Author: Блох Ф.
Tags: физика магнетизм магнитные явления молекулярная теория волновая механика
Year: 1934
Text
Ф. Б Л О Х
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ
МАrНЕТИЗМА
ПЕРЕВОД С HEMEUKoro
по!! РЕДАКЦИЕЙ
проф. РОЗЕНКЕВИЧА л. В.
=-"JI
.
онти rОСУДАРСТВЕННОЕ НКТП
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО УКРАИНЫ
Харьков 1934 Киев
......rp......... о..с_
-ТО... .....Н.. DOIIещено .
.пеТОПВС8 )'к,. .....п. .к.,.
l'O'lаОIl реперт.- . ., X ,.
InUD ... КIUaL l1aUnI.
ТТ 45 5 4
IMOLEKULARTHEORI;l.
DES MAONETISMUS
Von Dr. F. Bloch, Kopenhagen
Ответственный редактор К. Иршенко
Техническое оформление В. и. Ландс6ерz
ТИDоrрафия rocYAapcrBeHHoro' ваучно-техвическоrо издательства Украины
Киев, уа. BOpoBcKoro, 42
УпопНQМQЧ. rлавлита ом 2161(671).
3ак. 418.
Тираж 3000 7 арн,
от ИЗДАТЕЛЬСТВА
Предлаrаемая работа Блоха вышла в этом rоду в rep-
мании в виде отдельной статьи во втором томе BTopnro издания
Handbuch der Radiologie (Leipzig). Работа Блоха написана очень
просто и ясно и представляет оrромный интерес для довольно
ШИрОl<оrо Kpyra читателей........ для всех, кто знаком с волновой
механикой и интересуется теорией маrнетизма. Книrа Блоха дo
ведена до ПОСJlедних исследований в области теории маrнитных
явлений и в ней не только даны все основные выводы и резуль-
таты существующих исследований, но также приведен анализ
и критика подхода различных физиков к рассмотрению отдель-
ных вопросов теории маrнетизма.
Подчеркнем, что книrа Блоха........ единственная .работа в ми-
ровой литературе, дающая исчерпывающий обзор теории MarHe-
тизмз, в которой автором, MHoro продвинувшим теорию своими
собственными исследованиями, было бы так мастерски изложе-
но современное состояние теории.!
1 Перевод квиrи Блоха был проиэведен с корректурных оттисков и квиrа
сда"а в набор при еще не полученном от автора rOTOBoM ориrинале. Это за-
стаdипо издательство включить в текст не все имеющиеся в немецком ориrи..
вале рисунки.
s
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАrНЕТИ3МЕ
I 1. Опытные данные и определения
Известно, что тело, внесенное в однородное маrнитное поле
напряжеиия На, испыыыаетT маrнитную поляризаuию; при этом
поле, rосподсrвовавшее в aKYYMe до внесения тела, меняет
свое пеРВО1iачальное значение. Оно 61 дет равно:
H==H +grad(f f I.. t ! f f dl;I dV)==H..+H" (1)
rде 1" нормальная к элементу df поверхности тела компонента
макроскопическоrо маrнитноrо момента 1, рассчитанноrо на еди-
ницу объема тела и d'V . элемент ero объема.
Уравнение (1) можно рассмаТРИJ:,ать, как феноменолоrиче-
ское определе иие маrнитвоrо момента 1, отиесенноrо к единице
объема.
Момент 1 можно выразить через напряжение маrнитноrо поля
Н (}равнение (1) посредством сuотношения, справедливоrо для
определенной фиксированной точки тела
1 == I (Н) . (2)
ВИД зтоrо уравнения не зависит от формы тела.
rлавиая задaqа теории маrнетиэма заключается как раз 8
том, чтобы paC«J:blTb это уравнение, оснозываясь на элементар-
ных законах материи и законах ее молскулярноrо строения.
Для большинства ве1Деств компоненты вектора 1, пеРI.енди-
кулярные к нолю Н, рав tbl нулю. Поэтому для классификации
тел по ИХ маrнитн .rM свойствам достаточно исслед. jвать зависи-
мость проеКIlИИ J маrни rHoro момента (счи-rзющейся положите '1ь-
ной в tlanp 1В lении поля) на направление поля от абсолютноrо
значения поля Н, т. е. исследовать уравнение:
J ==] (Н,. (3)
Особенно важна первая производная J по полю в слабых
полях
:M H O =="1..
(4)
э ra величина называется м а r н и т н о й 8 О С при и u ч и в о-
с т ь ю вещества и, КаК видно ИJ формулы, обладает нулевой раз-
4
мерностью. Иноrда мы будем пользоваться восприимчивостью,
отнесенной к одноА rраммолекуле XL == v1. (v....... объем одной
rраММQлекулы).
Все тела, в зависимости от их маrнитных свойств, можно
разделить на следующие rруппы:
а) Д и а м а r н и т н ы е в е Щ е с т в а: 8 данном случае Х. о т р и-
ц а т е л ь н а и вообше настолько мала, что, при нормальнъ'х тем-
пературах и практически достижимых полях, между 1 и Н су-
ществует строrая линейная зависимость, т. е. в силу уравнений
(3) и (4).
J == хН.
(5)
Маrнитная восприимчивость, отнесенная к одной rраммоле-
куле XL, вообше rоворя, не зависит от 'IeMneJ:aTypbl. К этой
rрупnе принадлежат, Itапример, все блаrородные rаЗЫj 8 частно-
сти для rелия Не
Х == 0,2 · 1 О --- 7 .
б) Пар а м а r н и т н ы е 8 е Щ е с т в 8. Эдесь Х. п о л о ж и т е-
л ь н а и в различных случаях по разному зависит от темпера-
туры. В качестве xapaKTepHoro примера назовем:
1. 02-rаз. Для восприимчивости на .rраммолекулу справед-
С
лив так называемый "закон Кюри" х==у При комнатной тем-
пературе и атмосферном давлении
Х. ==0,14 · 10.....6.
2. Твердый Na. Здесь Х (почти вплоть ДО точки плавления)
не зависит от температуры и равна
Х == 5,8 · 10.... 7.
3. Твердое Ре при температуре выше l100 абс.: восприимчи"
вость подчиняется .закону Кюри-Вейса".
..... с ,
х ........ т ........ р
rде 8,) так называемая "пара'маrнитва я точка Кюри",
которая лежит при температуре 10500 абс.'
В) Ф е р р о м а r н и т н а я r р у п n а. Характерной особенностью
ЗТОЙ rруппы является то, что в определенных направлениях
монокристаллов .наблюдаются необычайно большие положитель-
ные значения J (даже при произвольно слабых полях), увеличи-
вающиеся еще больше с чистотой и совершенством кристалла.
аrнитная восприимчивость в большинстве случаев сильно
зависит от обработки и напряжений металла: она колеблется
в очень больших пределах, приблизительно от 50 до 30 000
(пермаллой).
..
1 R. F о r r е r, Journ. de Phys. et le Radlum {7), 1, 49 60, 1930. Nr. 2.
5
Ферромаrнитные вещества отличаются наиболее сложными
маrнитными свойствами. Например, в монокристаллах намаrви"
чивание анизотропно зависит от направления маrнитноrо поля
относительво кристаллических осей. Затем для мноrих ферро
маrнитных веществ J вообще не является однозначной функ..
цией Н, а зависит от caMO O процесса нАмаrничивания. Но это
явление так называемоrо "r и с т е рез а с а", не является харак-
терным для ферромаrнетизма, так как оно представляет из
себя вторичный эфект, зависит от напряжений и заrрязнений
и в чистых монокристаллах совершенно не наблюдается.
К элементам, обладающим свойствами ферромаrнетиков,
принадлежат Bcero три металла: Fe, Со и Ni; причем эти свой-
ства наблюдаются лишь до определенных температурных rраниц,
именно: для ре........ 1040, для Со .........1404 и для Ni --- 631 о абс. 1
Температура, при которой вещество теряет свои ферромаr-
нитные свойства, называется "ф е р р о м а r н и т н о й т о ч к о й
к юра" 8/. Эта точка лежит HeMHoro ниже "парамаrнитной
точки ер", определенной выше.
На основании независимости связи между 1 и Н (уравнение
(2) от формьт тела, мы можем из уравнения (1) сделать вывод,
что при заданном внешнем поле Н" намаrничение I является
ложной функцией от формы тела. и, вообще rоворя, даже при
условии однородности вещества ни в коем случае не может
80 всех точках тела быть одинаковой величины.
Для парамаrнитных и диамаrнитных веществ, rде почти
всеrдаIмало, величиной Н; можно пренебречь и положить Н==Н".
Напротив, для ферромаrвитов "р а з м а r н и ч и в а ю Щ е е п о л е"
Н, иrрает существенную роль, а поэтому здесь им пренебречь
нель?я. Особенно простой вид принамают наши формулы, если
рассматриваемое тело представляет собой длинный и тон кий
стержень, расположенный в направлении намаrничивания. Бла-
rодаря такому условию двойной интеrрал уравнения (1) сводится
только к учету влияния концов стержня, и поэтому им можно
пренебречь. При наличии внешнеrо однородноrо поля 1 Тоrда
постоянно на протяжении Bcero тела; следовательно, при боль-
ших значениях намаtничивания можно положить, что Н==Н"
(считая, что длина стержня весьма велика по сравнению с тол-
щиной). В дальнейшем (если не будет сделано специальных
oroBopoK) мы будем всеrда (на основании одной из двух указан-
ных причин) полаrать Н==На И, имея в виду это обстоятельство,
будем называть Н "внешним маrнитным полем".
О 2. Термодинамические соотношения
Рассмотрим тело заданной формы. Общий момент зтоrо тела
в направлении поля равен
м == f Jdv.
1 R. F о r r е r, Journ. de Phys. et le Radium (7) 1. 49...... 60, 1930, Nr.2.
(6)
6
Момент М -зависит однозначно от внешнеrо маrнитноrо поля
Н и теМlllературы Т
М==М (Н, .Т).
(7)
Пусть внешнее поле возбуждается друrим, достаточно сильно
намаrниченным телом, обший момент KOTOroro М' постоянен
и ориентирован в направлении ПРЯМОЙ 1 соединяющей оба тела.
Расстояние между телами R предполаrается большим по сравне-
нию с их линейными размерами. Испытываемое тело и тело, воз-
буждающее поле, будет притяrиваться по заковам маrнитоста-
аИКИ с силой, равной
емм'
К== R. · (8)
За счет уменьшения расстояния между телами мы можем
произвести механическую работу
dA==K. dR== 6'1:' dR. (9)
С друrой стороны, в том месте, rде находится испытываемое
'Тело, поле равно:
2М'
Н:::= R8. (10)
Если изменение внешнеrо поля dlf обусловлено изменением
R, то по уравнениям (9) и (10)
dA== MdH. (11)
Обозначим общее количество тепла через Q и внутреннюю энер-
rию тела через Е, тоrда по первому закону термодинамики
имеем
dE=:dQ+dA.
С друrо А: стороны, на основании BToporo закона
dQ== Т. dS,
J' де Т....... абсолютная температура тела, S энтропия, зависящая
только от MrBoBeHHoro состояния тела. Таким образом, поль-
зуясь уравнениями (11) и (12), получаем:
dE==T. dS MdH. (13)
(12)
Для получения термодинамических соотношений необходимо
руководиться следующим соображением: бесконечно малое из-
менение характеристических функций, получающихся в ависи-
мости от Toro или иноrо выбора переменных, должно представ-
пять из себя полный диференциал.
Выберем, например, в качестве независимых переменных Н
и Т. Соответствующая характеристическая функция ---- "свобод"
.Ная энерzия" будет равна:
P==E TS. (14)
7
Тоrда из уравнения (13} вытекает:
dF == dE Т dS ........ S dT ==....... S d Т-М dH.
L
Следовательно:
дР
==......S
дТ
дF
д Н == ........ м ·
(15)
в силу Toro, что F, в такой же мере как Е и S, есть
ристическая функция состояния, т. е. зависит только
BeHHoro состояния системы, мы имеем:
дS дМ
дН дТ ·
характе-
ОТ иrно"
(16)
Если же за независимые переменные мы выберем М и Т, то
получим HOBY х арактеристическую функцию, а именно:
ф==s Е+:Н . (17)
Исходя из уравнения (13), имеем:
dФс:ds+ Е +l'МН dE+ MdJ! + HdM == E H dT dM,
следовательно:
дФ Е+МН дФ н
дТ == 11 j дМ == ....... Т'
(18)
из чеrо
д d ( Н )
( E+M Н) ""' P
дМ ..... дТ Т ·
(19)
н
Если .М зависит только от отношения т (что имеет место,
например, в случае парамаrнитных rаэов, подчиняющихся закону
Кюри для маrнитной восприимчивости х), то из уравнения (18)
получим:
ф== Фl (М)+Фа СТ)
Е==...... MH+f(1j, (20)
r де f и ф2........ функции, записанные в термодинамическом смысле
в общеll виде. Если соотношение (7) имеет форму закона
Кюри-Вейса (ер. 9 1):
М == СН
Т..... 8
то из уравнения (18) следует:
Ф== ( 1 )+Ф2(Т)
и
Т. е.
....... .!!.. м ( ..!......... 1 )
т с т '
(21)
и для анерrии
М28
E== MH....... 2С +/(Т).
(22)
8
Уравнение (22) rОБОрИТ о том, что, кроме внешнеrо маrнит-
Horo поля должны существовать еще какие-то внутренние силы,..
влияющие на маrнитный момент. Уравнение (22) можно перепи-
сать еще так:
Е== (Н+ : )М+ЛТ), (22')-
и тоrда справедливость закона Кюри- Вейса можно интер-
претировать так, как будто, кроме внешнеrо маrнитноrо поля H,
действует еще "в н у т р е н н е е п о Л е В е й с а", напряжение кото..
poro РС1вно:
мв
HW==2C ·
(23)
Само собой разумеется, что это поле В е й с а не имеет ничеrо
общеrо с внутреННИi' полем HI' о котором мы rОБОрИЛИ в 1,..
и вообще своим происхождением не об язано внутреннему Mar-
нитному влиянию MOM HTa М. Утверждение сушествования та-
Koro поля здесь делается только для более удобноrо описания
экспериментальных фактов.
о 3. МаrНИТОК8лорический эфект
Под маrнитокалорическим эфектом разумеется явление измене-,
ния температуры тела в зависимости от и менения внешнеrо Mar-
нитноrо поля или маrнитн oro момента. При этом предполаrается,..
что процесс проходит адиабатиqе ки, Т. е. отсутствует обмен
теплом между окружающей средой и телом. Такое наrревание
ветру дно ВЫЧИСЛИl ь, пользуясь результатами предыдущих па..
раrрафов.
При адиабатическом процессе изменение количества тепла
тела dQ ==0. Так как dQ== Т. dS и dS==O, то уравнение (13) дает:
dE ==........ MdH. (24)
Вводя в качестве везависимых перемевных М и Т, получаем:.
( :; + м : ) dT== ( : + м :Z ) dM ==
== [ д (E + Mffl H]dM.
или по уравнению (19)
д дН
дт (Е + МН) dT:: т д T dM. (25}
Польэуясь этим уравнением, вообще rоворя, можно вычислить
нзменение температуры dT, вызванное изменением намаrничива-
Н
ния dM. Так например, пусть М зависит только от Т' тоrда
ан
т дТ ==Н.
9.
Затем из уравнения (20) удельная теплоемкость, при постояв..
НОМ объеме, 80 внешнем маrнитном поле н==о
д
дТ (Е+МН)==с.
If, следовательно,
Cf1dT== HdM.
Но для веществ, для которых справедлив закон Кюри-ВеЯса
м дН М
H==c(T e); дТ ==С'
таким образом
т т
со dT== с MdM == 2С d (М2),
или, если. вначале маrнитное поле равнялось НУЛIО,
те
с" dT== 2 (T 8)2 d (Н'),
rде Cf) CHOBa удельная теппоемкость при постоянном объеме
во внешнем поле, раввом нулю. При приближении к точке Кюри
C v очень быстро возрастает; следует ожидать особенно большоrо
маrнитокалорическоrо эфекта вблизи точки 8, что в действи-
тельности и наблюдается. 1
о 4. Маrнитострикция
В предыдущих параrрафах ( 2, 3) мы предполаrапи, что
внешняя форма тела остается неизменной, раз HaBcer да задан..
ной. В общем же случае, если TaKoro допущения не делать,
то тело, находящееся под известным внешним давлением Р, одно-
временно с ero намаrничиванием может изменять как свою форму,
так и объем v. Это явление называется маrнитострикцией.
Теперь для вычисления общей механической работы системы,
кроме работы, полученной ВС.lIедствие изменения внешиеrо поля,
необходимо учесть работу, затрачиваемую на преодоление внеш..
Hero давления, т. е. вместо уравнения (13), в сипу уравнения
(12), получаем
dE == т · dS М · dH Р · d V.
(26)
в зависимости от Toro или иноrо выбора везависимых пере-
менных здесь мы опять получаем различные характеристические
функции. Выставляя требование Toro, чтобы они были функциями
состояний, т. е. получаЮЩИt:СЯ из этоrо условия интеrрируемо-
сти, мы приходим К различным термодинамическим соотноше-
ниям. В ниже приведенных термодинамических соотношениях
1 W е I s s, Journ. de Phys. et le Radlum (2) 6. 161, 1921.
а Ср., например, В. R. Hirsch, Handb. der Elektr. und des Magn. издание L. Graetz,
Lelpzlg, 1918, том. 1, стр. 262.
10
мы будем иметь дело с тремя независимыии переменными, при
чем величины, стоящие за скобками, условимся, как оБЫКНJвенно
в каждом частном случае при диференцировании, считать по-
стоянньуми.
Выберем, например, в качестве веэависимых переменных Е, Н
и V; тоrда роль характеристической функции будет иrрать s.
В самом деле, на основании уравнения (26) имеем:
dS== (dE+MdH+pdV),
следовательно
( дS ) 1 ( дS ) М ( дS ) р
дЕ н,уТ ; дН Е,У == т ; дV Н,Е==Т.
(27)
Мы не станем здесь ПРИВОД8ТЬ всех мноrочисленных и не
Bcer да интересных условий интеrрируемости. Одно из таких
условий, например, имеет следующий вид:
( дlS ) д ( М ) д ( Р )
дНдV Е == (jv Т H,E дН Т N,E.
Выбирая за неэависимые переменные Т, Н и р, получаем' новую
характеристическую функцию, а именно:
a==E TS+ pV.
Пользуясь уравнением (26), ее полный диференциал запишем
в виде
dQ==dE TdS ......SdT +pdV + Vdp::=.......SdT .......MdH+ Vdp (28)
и tePMOr1-инамические тождества
( да ) . ( да ) ( да )
I дТ Н,р == S, дН Т.р == M; др Н,Т == У,
(29)
на основании чеrо, 8 частности, получается соотношение:
( д )Т == ( : )T'H ==( ];) P.T' (30)
Если З!f независимые переменные выбраны S, Н и р, то харак-
теристическая функция будет иметь вид:
K==E+pV.
В самом деле, по уравнению (26)
dK==dE+pdV + Vdp== TdS...... MdH+ Vdp.
следователрно:
( ) :& Т;
Н,р
( д К ) ...... ...... М .
д Н ...... ,
s,p
( :К ) == V,
'Р S,H
(31)
11
на основании чеrо, например,
( д )s == ( :)S.H == ( s.p. (32)
Уравнения (30) и (32) дают изменение объемов, связанное с из-
менением внешнеrо поля при изотермическом процессе (в пер-
вом случае, Kor да Т == const) и адиабатическом (во втором случае,
KorAa S == const,. Особенный интерес представляет тот факт, что
в обоих случаях
( : )p == ( :;; Н. (33)
Таким образом, изменение объема, обусловле ное явлением
маrнитострикции, возможно только при том условии, если при
изменении внешнеrо давления изменяется момент тела М. Так
как в общем случае момент М дЛЯ Н==О исчезает, то на OCH
вании уравнения (33) видим, что изменение объема для слабых
полеи имеет относительно Н квадратичную форму.
Перейдем к вычислению маrнитострикции для слабых полей
при допущении, Чl о вамаrничивание единицы объема (введенное
вами в 1) во всех точках тела одинаково.
Тоrда в силу 1
М== Vx Н,
r де х....... обозначает маrнитную восприимчивость, и из уравнения
(33) мы получаем
: == H(V ; +1. .
1 дV
или, вводя коэфициент сжатия х== V др '
11 == (1.X ; ).
(34)
Авалоrичные рассуждения верны и в том случае, если мы имеем
тонкое длинное тело (пусть длина ero равна 1), на которое
вместо внешнеrо давления действует (в направлении протя"
женности) растяrИВCiющая сила z. Механическая работа, сов ер...
шаемая телом против этой силы, равна
dA' ==Zdl,
и вместо уравнения (26) 'мы получаем
dE == TdS MdH +Zdl.
(35)
и так, все вышенайденные соотношении сохраняют силу
и в данном случае, только вместо V подставляется длина 1
и вместо давления р внешняя растяrивающая сила Z.
12
Например, вместо уравнения (33) мы имеем:
( : ) z:= (::) н'
(36)
что справедливо как для адиабатических, так и дли изо-
термических процессов. Для некоторых веществ, например, для
Ni при слабых полях и достаточно сильном растяжении, имеет
силу следующее эмпирически установленное соотношение
С/Н 1
M== .
Следовательно имеет место:
( д/ ) СН [( дl ) 1 ]
дН z== Z дZ н Z. ,
, 1 дl
ил , вводя модуль растяжения D== 7 дZ' .
1 СН.
7 == 2Z' (1 ZD).
(37)
Необходимо отметить, что все сказанное в этом параrрафе о
маrнитострикции не дает картины теоретическоrо обоснования
этоrо явлеhИЯ. Более Toro, здесь мы только свели теоре'l и-
дМ дМ
ческую проблему к нахождению величин др и дZ ' но оконча-
тельное вычисление этих величин может бh'ТЬ проделано (анало-
rично маrнитному моменту М) только на основании точноrо
изучения молекулярных свойств материи 1 .
t 5.. Статистика
Между термодинамическим, макроскопическим повеl(енн м
тела, которое мы до сих пор рассматривали, и ero микроско-
пическими молекулярными свойствАми существует определенноrо
ро а с я ь. Эта связь выражается в том, что "статистическая
сумма" Е
s
z== е kT
.
(38)
н свободная энсрrия F тела при абсо'Тютной температуре Т
.связаны между собой простым соотношением:
F== kTIgZ
(k больцмановская поtтояцная)
(39)
,
1 R. В е с k е r u М. К е r s t е п, zs. f. Phys. 64, 660. 1930.
13
Уравнение (39) получается известным способом из больцма..
HOBCKoro уравнения, связывающеrо энтропию S и вероятность W
маКрОСКОDическоrо состояния-
s
W 7i.
==е
При выводе выставляется требование, чтобы действительно
наблюдаемое макроскопическое состояние обладало максиму-
мом свпей вероятности. 1 Температура предполаrается за-
данной.
В уравнении (38) суммирование производится по всем возмож-
ным .стационарным сос-тояниям" s тела. Величины Ез обозна-
чают соответствующие им (стационарным состояниям) значения
энерrии.
Для простоты вычислений мы будем систему величин Ев рас-
сматривать как дискреТllое мноrообразие. Если это мноrообра-
эие Ев переходит частично или полностью в континуум, то ста-
тистическая сумма (38) заменяется соответствующим интеrралом.
Таким образом решение rлаввой задачи теории маrнетизма,
формулированной нами в 1, а именно: найти маrнитный мо-
мент тела, исходя из ero микроскопических свойств, сводится
к отысканию значений энерrии Ев стационарных СОСТ,Qяний тела
И, по этим значениям, вычислению статистической суммы (И3
уравнения (38). Действительно, из уравнения (15) маrви"твый
момент М получается простым диференцированием F по Н, т.е:
м == ......... дР ==kT. д Ig Z
дН дН
(40)
или по уравнению (38)
дЕ Е"
dlI е....--;;т
М s ·
== ....... Е
.,
e""7iТ"
,
(41)
Внешнее маrнитвое поле Н входит в отдельные значения
энерrии Е, в качестве параметра, и д: lI , таким образом, ест&.
производная, взятая по этому параметру.
Пользуяс.ь тем, что относи"rельная вероятносТь отдельноrо ста..
ционарноrо состояния равна
Ез
е.... kT
w== Е '
· ___ s
e kr
,
1 СМ., например, Р 1 а n с k, Theorle der Warmestrah1en.
14
М можно свести, очевидно, к следующей форме:
Еа
Ma е kТ
М == М, W,== · Е ( 41' )
s s ,
e .... kl
s
rде М........ обозначает средний маrнитный момент отдельноrо ста-
ционарноrо состояния. В самом деле, из уравнения, связываю-
щеrо маrнитный момент и энерrи iO
м дЕ а
s == дН '
(42)
МЫ видим, что оба выражения (41) и (41') для М идентичны.
Докажем уравнение (42) на основании классической теории
для случая, коrда рассматриваеМОt: тело состоит из N различ-
ных заряженных частиц с зарядами е. (i== l,i . . ., Nj, моrущих
как уrодно между собой взаимодействовать. Пусть кроме TOr()
наше тело находится под действием внешн rо маrнитноrо поля
напряжения Н, направленноrо вдоль оси z. н вычисляется из.
уравнения, связывающеrо Н с вектором-потенциалом.
H==rot А,
компоненты KOToporo имеют вид:
А:.== н у;
2
А == H х;
11 2
А ==0.
.
(43)
Пусть
E:::::J Е (XIY z" Р"I' P, ! Р.д (44)
будет функцией rамильтона, выраженной через прямоуrоль-
ные координаты x.y z, и соответствующие канонически сопря..
женные импульсы Ре, Р1/, P. отдельных частиц Hawero тела, если
при атом нет никакоrо внешвеrо маrнитноrо поля. При наличии
поля функция rамильтона полная энерrия в поле...... получится
по законам элеКТРОДИRамики путем замены векторов р, в ypaB
нении (44) через
е
PI+ А (с......... скорость света),
с ,
(45)
Т. е. запишется блаrодаря уравнению (43) в след ющем виде:
Не, Не,
Е==Е (XiYi Zi, P(l;I +2С У" Ри, ........ 2с X , Р.,) (46)
и, таким образом
дЕ == ( e; У' дЕ E ) (47)
дН 1 2с дрХI 2 С дру,
1&
Декартовы компоненты скоростей отдельных частиц (уравне-
ния rамильтона) апишутся
v == .
, дрХl '
v дЕ
11, дрVI.
Следовательно ур авнение (47) дает
, дЕ ......" е, ( Х V Y v ) (48)
дii ---- 2ё i. У, 'а:, ·
Как видим, это есть действительно z-вая компонента Mar-
нитноrо момента, обусловленноrо ДВИЖУЩИ'l ся заря,;ами.
Таким образом, действительно, справедливо соотношение
дЕ
Мr= дН . (49)
Совершенно аналоrичные соотношения величии сохраняются
и в квантовой теории, только там динамические величины заме-
няются их средними значениями в соответствующем стационар-
ном состоянии.
Само собою разумеется, что произведенные нами здесь вы-
числения не представляют собой Ifичеrо существенно HOBoro.
Более Toro, r лубокий физический .смысл уравнения (45) ОСНОIJЫ-
вается, rлавным образом, на соображения'Х, которые привели
в 2 к уравнению (15) и, в частности, к выводу уравнения ра-
боты, совершающейся вследствие изменения внешнеrо маrнит-
.Horo поля. Однако нам кажется, что подробное рассмотрение
соотношений (42) и (49) является поучительным для дальнейших
наших выводов.
11. ДИАМАrНЕТИ3М
а) ДИАМАrНЕТИЗМ АТОМОВ и МОЛЕКУЛ
t 1. Классическая теория
Задача молекулярной теории маrнетизма состоит в том,
""чтобы, исходя из самой структуры веществ, установить их Mar-
',нитные CBO' CTBa.
Представление наше об этой структуре сводится к тому,
что все тела состоят из положительно заряженных атомных
ядер и отри цательно за ряженных электронов, с массами
т ==O,899.1<r- 27 r и зарядами e==4,77.10 10 эл. стат. единиц. Путь
к решению такой задачи молекулярной теории маrнетизма со..
стоит в сведении в конечном счете макроскопически наблюдае-
Moro маrнитноrо момента (в смысле амперных молекулярных
токов) к маrнитному полю, обусловл нному движением элект-
ронов.
Ядра движутся сравнительно медленно, так как их массы
Be bMa велики, поэтому .влиянием этоrо движения на маrнет зм
Bell'.eCT a прак' ичееки можно пренебречь. Поэтому в дальней-
..шем мы будем считать ядра неподвижными. Таким образом Mar.
.t6
нетизм материи мы будем рассматривать как явление,' возни..
каЮlцее только блаrодаря электронам, движущимся в электро
статическом поле ядер. Для cTpororo теоретическоrо обосно'"
вания маrнетизма при изучении движения электронов необхо..
димо пользоваться измененными классическими законами Нью
тоновой механики, учйтывающими конечность n л а н к о в с к о r о
кванта действия h==6,55. 10 27 эрr/сек и требования кванто-
вой механики. Высказанное замечание не просто уточняет ре..
зультаты наших исследований, но содержит в себе rлубокий
физический смысл. Так, например, как мы увидим ниже, при
переходе к классической механике, т. е. при h== О маrнитный
момент тела, находящеrося в тепловом равновесии СОКРУ"
жающей средой, всеrда исчезает. Следовательно, дать объясне
ние маrнитному моменту вещества, .следуя cTporo законам
классической теории, вообще н е в о з:м о ж но.
Старая теория диамаrнетизма атомов Л а н ж е в е н а 1, которую
затем разработал и уточнил П у а л и 2 , основывается на том факте,
что атомы обладают конечной, независящей от температуры,
протяженностью, что тоже противоречит законам классической
механики. I
Рассмотрим сперва для простоты одноатомный.... rаз. В каж-
ДОМ атоме электроны находятся под влиянием электростати-
ческоrо поля ядра и взаимодействия самих электронов. При
этом мы пренебреrаем всеми релятивистскими влияниями
внутри атома, которые по меньшей мере обратно-пропорцио-
нальны квадрату скорости света с==2,99.10 1О см/сек.....! и не ока-
зывают значительноrо действия на маrнитиый момент. К таким
релятивистским эфектам можно отнести изменяемость масс
электронов и их маrнитное взаимодействие.
По теореме Л а р м о р аЗ действие внешнеrо маrнитвоrо поля,
напряжения Н в положительном направлении z в первом приб-
лижении (если пренебречь всеми эфектами, квадратичными отно'"
сительно н) при неизменном в остальном движении электронов,
выражается в том, что электроны испытывают прецессию BOKpyr
оси z с "частотой Л а р м о р а" равной
еН
ш== ·
2mo с
(1)
Это непосредственно вытекает из Toro, что потенциальная
энерrия V (х,у, Z,), зависящая от координат Х, Yi Z, электронов
атома (i== 1, . . .п) не изменяется при одновременном вращении
всех электронов BOKpyr оси, z и, кроме Toro, блаrодаря наличию
Р 1 Р. L а n g е v 1 п, Journ. de Phys. et lе Radium (4) 4, 678. 1905; Апп. СЫт. et
hysique (8) 5, 70. 1005.
I W. Р а u 11, Jr, SZ. f. Phys. 2, 201, 1920. '
8 J. L а r m о r, РЬН. Mag. (5) 44. 503. 1897.
Блох---41Э 2
17
Dнешнеrо маrнитноrо поля, на каждый электрон действует до-
полнительная сила) так называемая Л о р е н ц о в а с и 11 а
е
Kl==....... [v,H],
с
(2)
rде v t ........ вектор скорости электрона и
с компонентами е., ",., .
Классические уравнения 4вижения запишутся
,: дv еН
тO . == дx ........ с 1).
. до еН
то",. == ........ д + t;i
У. С
. до
тоС. ==........ ·
J дZ j
(3)
Полаrая
х,==Х о, cos wt+YOi sin wt,
Y,== X i sin wt+Yo 1 cos wt
(4)
%i==ZOi '
rде КООРДИ,наты Хо., YOi, %0. функции времени (в ид этих функций
такой же, {как и в случае исчеЗ8К'щеrо маrнитноrо поля), видим,
что фОрМjЛЫ (4) обозначают не что иное, как вращение BOKpyr
оси z (8 отрицательном направлении) с круrовой частотой оо.
Из наших уравнений видно, что подстаноака (4) У довлетао-
ряет уравнениям (3), если при этом положить ю== :Н и .пре-
тос
небречь членами пропорциональными Н2 и НОО. Общий момент
вращения электронов в направлении z (отсчитывается в соот-
ветствии с право винтовой системой) обусловленный полем,
равен
т==тo<D (X I+ygl). (5)
Следовательно, по уравнению (1) маrнитный момент
М == т == ........ elH ( + уо 2 ) (6)
2т о с 2т о с l l i ·
Но Аfакроскопически наблюдается, конечно, не мrновенпое
значение момента, определяемое формулой (6), а ero среднее
значение 80 dремени .
е 2 Н '"2'" ""'""2
М ==.......... 4т о с 2 (xo 1 + Yo t ).
1 ;
Так как при отсутствии поля все направления равноправны, то
2
2 а r (] i
ХО;== YO i == ZOi== 3 '
r де ro,........ расстояние i-Toro электрона до ядра атома.
Таким образом
elH а
м === 6 I 'О(
тос i
(7)
Допустим теперь, что атом не имеет спонтанноrо момента,
не исчезающеrо с внешним полем, Т. е., что среднее значение
момента, обусловленноrо движением электронов, при ОТСУТ"
ствии внешнеrо поля равно нулю.
Тоrда уравнение (7) дает среднее значение полноrо маrнит-
Horo момента. Обозначим через' N число атомов в единице.
объема; тоrда момент, отнесенный к единице объема, будет равен
elH 2 .
J==NM == N 6 ? roi
тос- i
И, на основании уравнения (4) отд. 1, восприимчивость
(8)
Ne l """2"
1.== 6 з rо..
тос i &
(9)
Подставляя в уравнении (9) порядок величины радиуса атома,
известноrо из кинетической теории rазов T 10 8CM, получаем
наблюдаемый порядок величины х.. ' .
Вычисления, произоеденные нами для одноатомных rазов без
cnoHTaHHoro момента (обуслооливающеrо, как мы увидим в отд.III,
независящий от температуры парамаrнетиэм) применимы как
к блаrородным rазам, так и к ионам растворов, носящим харак-
тер блаrородных rазов.
Ниже мы приводим результаты экспериментальных измерений
восприимчивости для Не и Ar, перечнсленных на rраммолекулу
I
Не: XL == 2,2. 10 8
Ат: XL ==....... 25 · 1 O 5 .
Вычислить теоретически cYMMy r 1 в ооrласии с опытом до
i
сих пор удалось только для rелия. 1
Независимость r'J от температуры свидетельствует о том,
l О, .
что для одноатомных rазов диамаrнитная восприимчивость на
моль, с т р о r о н е з а в и с и т о т т е м пер а т у р ы.
Для Toro, чтобы вышеупомянутая теория, опирающая ся на
классическую теорему Л а р м о р а, приводила к правильным
1 J. Н. v а n V 1 е с k, Proc. Nat. Acad. Amer. 12, 663, 1926.
19
результатам, необходимо, чтобы сумма r: i имела определен-
1
ное значение и не изменялась вследствие тепловоrо движения
атомов, т. е. их столкновений (что противоречит классической
теории); друrими словами, чтобы сохраняпась классически небъяс-
нимая стабильность нормальноrо состояния атома. В действи-
тельности леrко показать, что строrая статистика всех класси-
чески возможных состояний атома Bcer да должна приводить
к исчезающему маrнитному моменту.
При условии отсутствия внешнеrо маrнитноrо поля, функция
r а м и л ь т о н а, Т. е. энерrия электронов, выраженная через их
координаты и соответствующие сопряженные импульсы: Qi==X,y,Zi;
Рl==Ржf'fРZt запишется следующим образом:
Е== 2 o (p l +P ,+P;i)+ V (XiY Z ). .
И следовательно в силу 5 отд.I при наличии маrнитноrо поля
Е (p,q/) ==EJx y,z,j P1l,P1IiP,,) == 2;'o [(РЖt :y ,Y +
+ (P v ,+ : X'Y+P: 1 ] + V{x.y.z,). (10)
Леrко убедиться, что канонические уравнения Движения в форме
дН дН
q. == др, j Ре== dqj
тождественны с уравнениями движения (3).
В классической теории статистическая сумма [уравнение (38)
отдел 1] переходит в интеrрал rиббса, распространенный по
фазовому пространству системы
1 f Е (pq)
Z ==-1i3 е..... dp dq.
(11)
Поэтому, в нашем случае, при наличии п независимых атомов
[ 1 f Е(х.у! Z';РЖlР"Р") ] N
Z == е kT. dx" dYi dZij dp", dp" dP., . (12)
Но это выражение после интеrрирования по импульсам дела-
ется независимым от 8нешнеrо поля, вследствие чеrо по урав-'
нению (40) отдел 1 маrнитный момент исчезает совершенно.
О 2. Квантовая теория 1
Существование"' маrнитноrо момента, вытекаюшее из общих
квантово-теоретических принципов, здесь обосновано в такой
1 J. Н. УОП Vleck. Phys. Rev. 29, 727.1927; ЗО, 31.1927; 31,587.1928.
20
же мере недостаточно, как и вообще существование стационар-
НЫХ состояний. Введение кванта действия, cor ласно прин-
ципу соответствия по Шрединrеру, наибопее просто делается
таким образом. В классической функции rамильтона, выр а -
женной через импульсы Р и координаты q, первые заменяются
h д
диференциальным оператором 21tl дq ' и затем посредством "вол -
новой функции" Ф (квадрат абсолютноrо значения которой при
заданной 9нерrии системы является мерой вероятности коор-
динат) требуется ВЫПОJlнение, анаJlоrично уравнению rамиль"
тона Якоби в классической механике, следующеrо "волновоrо
уравнения": .
Е(р, q)ф(q)==Еф (q),
(13)
rде Е в отличие от оператора Е(р, q) есть обыкновенное число
так называемое "о ж и Д а е м о е з н а ч е н и е" энерrии.
Нахождение среднеrо значения т какой..либо динамической
величины f(p, q), т. е. какой..либо функции от р и q, ПРОИЗ80-
дится по определенному рецепту квантовой механики, оБОС80--
ванному тоже принципом соответствия.
h д
Для этоrо нужно в f вместо р подставить 21ti aq И С помощью
полученноrо оператора образовать интеrраn
f == !ф* f(p, q)фdq.
(14)
Это и есть искомое среднее значение функции f.
Здесь ф* есть комплексно сопряженная величина ф; f dq
обозначает, что интеrрирование производится по всем координа-
там всех электронов.
Напишем в качестве примера: среднее значение момента
количества движения системы, состоящей из п электронов,
относительно оси .
h 1&, J ( д д )
2ni ф* Х' ду, Y' дx. фdq==т,
l==l
(15)
и cpeДHe значение маrнитноrо момента, не учитывая релятиви-
стских поправок,
е
М== m.
2тос
Рассмотрим теперь" снова систему из n электронов, которая
находится под влиянием внешнеrо маrнитноrо поля напряжения
Н, направленноrо по оси Z, и подвержена действию 9лектро"
статическоrо попя, возбуждаемоrо в спуча е атома или иона
о Д н и м ядром, а в С,лучае молекулы с и с т е м о й таких ядеR..
Ядра будем считать неподвижными в сипу их больших масс.
(16)
21
При наличии мопекулы необходимо, кроме Bcero прочеrо, еще
произвести усреднение по всем возможным пространственным
ориентациям ядер, которые мы будем представлять себе совер-
шенно жестко связанными.
Пусть V (XiYi Zi) есть общая потенциальная энерrия системы,
возникающая вследствие взаимодействия ядер и взаимооттал-
кивающеrо действия электронов; 1'оrда можно написать
Е { ) == [( '!.....!..... He ) I+ ( + He х. ) '
pq 2т о 21t. дх, 2с у, 21ti ду, 2с I +
t
+(2 ; д:J 2 ]+ V(x,y,z;).
Мы будем рассматривать по ВОJlНОВОМУ уравнению (13) только
такое стационарное состояние системы, характеризующееся вол-
новой функцией Фо, которое COOTB TCTByeT минимальному значе-
нию энерrии Ео. Причем предположим, что такое состояние
,существует только одно, т. е. что наиболее низкий эверrети-
ческий уровень не "вырожден", а остальные эн рrетические
уровни лежат так высоко, что вероятность их возбуждения при
нормальных температурах практически исчеззюще мапа.
Все эти условия достаточно точно выполняются, если мы
имеем дело, например, с атомами блаrородных rазов; это непос-
редственно подтверждается их спектроскопическими свойствами.
Перейдем теперь к вычислению энерrии наибопее низкоrо
состояния в зависимости от If. Вычисления будем производить
с точностью до членов, пропорциональных H , причем MarHIITHoe
поле, как и в предыдущих параrрафах, мы будем рассматривать
как слабое внешнее возмущение, так что высшими членами мо-
жно будет пренебречь. Такой постановкой вопроса мы предпо-
лаrаем, что изменение энерrии, получающееся под влиянием
маrнитноrо поля, мало по сравнению с расстоянием OCHOBHoro
уровня от высшеrо энерrетическоrо уровня, что Bcer да имеет
место при нормальных полях.
Возникающая под ВJlиянием поля энерrия возмущения 8 силу
уравнения (17) может быть записана 8 следующей форме
е (pq) == H М+Н2 8 е l .. :Е (X +Y ),
тос l
rде М обозначает оператор маrнитноrо момента системы.
Пользуясь известными методами теории возмущений, энер-
rию во втором приближении можно вычислить по формуле
Е Е + ........ х' I €t10\1 (19)
о е о Е E '
n=t=0 о
rде Ео == J Фо е Фо dq обозначает среднее значение энерrии возму-
щения в стационарном состоянии Фо ,в о ,,== J Фn е Фо dq обозначает
»матричный элемент" энерrии возмущения. .
22
(17)
(18)
Подставляя сюда уравнение (18) и пренебреrая членами выше
второй степени относительно 1f, будем иметь
е2 [М" ]2
E==Eo 1f o+1f2 8 2 (Хi2+Уi2) Н2 Е 'E . (20)
. то с i п+о п О
Выше упоминалось (отд. 1, 5), что, зная энерrию стационар-
Horo состояния как функцию 1f, при диференцировании по Н
леrко получить среднее значение ero маrнитноrо момента. В дей-
ствительности выведенное там [отд. 1 уравнения (48)] нами соот-
ношение полностью переносится в квантовую механику, если
рассматривать ero как соотиошение между соответствующими
оператораltи.
Отмечая стационарное состояние индексом п и образуя по
обе стороны уравнения (49) отдел 1 средние значения, мы
получим
дЕ",
дН ===M'I.
(21)
Таким образом оrраllичиваясь линейной (относительно Н) ча-
стью маrнитноrо момента, по уравнению (20) для среднеrо ero
значения OCHoBHoro состояния атома или мопекупы мы получаем
следующее выражение:
М ==lVl н е 2 ( х.2 + 2 )+ 21f "., [M"J .
о 4т с 2 J У t Е E
. о l 40 '" о
(22)
Первая часть нашеrо выражения есть усредненный маrвитный
момент OCHoBHoro СОС1'ояния ПРtl отсутствии маrнитноrо попя.
Он исчезает в силу сделанноrо нами выше предположе ни я о том,
что нормальное состояние не вырождено. Если бы Мо*О, то
существовало бы еще хотя бы qдно стационарное состояние с той
же самой энерrией, но противоположным маrнитным моментом,
ибо энерrия, при отсутствии внешнеrо поля, не зависит от на-
правления вращения электронов BOKpyr оси z.
Если же мы имеем дело с одним атомом или ионом, и воз-
буждаемое ядром электрическое поле есть поле шаровой сим-
метрии, то в уравнении (22) исчезает также и третья часть.
До тех П9р пока мы пренебреrаем зфектами теории относи-
тельности, между Ааrнитным моментом М и моментом импульса
т, будет сохранять сипу соотношение
е
M== т.
2т о с
В этом случае момент импульса вращения постоянен во вре-
мени и, следовательно, ero матричные элементы исчезают квав-
товомеханически вплоть до ero средних значений в отдельнцх
стационарных состояниях, а поэтому исчезают и элементы Mar..
23
нитвоrо момента, т. е. можно написать M tlo == о. Таким образом,
в случае шаровой симметрии ядерно о поля для восприимчи-
вости мы получаем то же выражение, что и в предыдущем
параrрафе, только здесь средние значения в квантовомеханиче-
.
ском смысле мы должны рассматривать. как средние значения
при нормальном состоянии системы. Само собой разумеется,
и здесь сохраняет силу уравнение
2 2 2 2
(XI +Yl) == з ri'
1 1
И, следовательно, формула Паули для восприимчивости (уравне-
ние (9)
дМ Ne- 2
X==N дH == 6тoci 7'rl. (23)
Если же (как например, в мноrоатомной молекуле) поле ядер
не обладает шаровой симметрией, то т, а следовательно и М
уже не постоянны во времени, тоrда третий член уравнения
(22) не исчезает, а в общем случае имеет величину порядка
среднеrо члена. Для атомов и атомных ионов можно было ro-
ворить о средних размерах электронных траекторий на OCHOBa
нии только одной диамаrнитной восприимчивости. В случае же
мноrоатомных молекул одной диамаrнитной восприимчивости
недостаточно. Более Toro, так как третий член уравнения (22)
всеrда положителен, здесь имеет место только неравенство
дМ { е' "'3""2"
Z ==N дН ==N 4т о с l (Xi +Yi) +
, М п I 12 е' 2" 2
+2 kJ Е E > N 4 2 (XI+ Yi).
п=f=O n О mo С i
,
Несмотря на это, теоретически здесь нужно ожидать, вообще
rоворя, порядок восприимчивости такой же самый, как и в
атомах.
Далее из уравнения (23) следует, что восприимчивость, от-
несенная к rраммолекуле, не зависит от температуры также для
молекул. Но такой вывод справедлив лишь !Iока мы можем не
учитывать термическоrо возбуждения эверrетических уровней,
стоящих выше уровня нормальноrо состояния.
(23')
б) ДИАМАr Е1ИЗМ МАТЕРИАлев
о 3. Электронный rаз и классическая теория диамаrнетизма
Для объяснения мноrочисленных свойств металлов, в част-
ности явлений электропроводности, со времени работ Д р у д е и
24
Лор е н ца 1 установ илось слеДУlощее представпение о строении
металлическоrо кристалла.
Отдельные атомы ионизованы положительно и, как пока-
зывают результаты peHTreHoBcKoro анализа, расположены внутри
кристалла в виде решеток, причем каждому атому соответствует
один или нескольКо свободных электронов, так называемых
электронов проводимости. Электроны проводимости с достаточ-
ным во мноrИi< случаях приближением можно рассматривать
как идеальный rаз, предполаrая, что их взаимное отталкивание
и притяжение положительными ионами решетки в среднем
очень незначительно влияет на свободное движение этих элек-
тронов.
Это пrедположение, поддерживавшееся вначале только бла..
rодаря своему успеху, в квантовой механике может быть обо-
сновано теоретически. 2 В первую очередь мы здесь имеем в виду
тот факт, что электрон только Tor да можно рассматривать как
свободно движущуюся частицу, если силы, действующие внутри
кристалла, имеют периодическое потенциальное поле. Последнее
остается справедливым даже при том, коrда внутренние коле-
бания потенциала (как это обыкновенно и наБЛЮJJ.ается) дасти..
rают порядка кинетической энерrии электрона. В дальнейшем
мы совершенно не будем учитывать этих колебаний потенциала,
и электроны проводимости внутри металла будем рассматривать
как свободно движущиеся частицы.
Электронный rаз в работах Д р у д е и Л о р е н Ц а изучался
по классической статистике Б о л ь Ц м а н 8. Однако П а у л и я
было отмечено, что электронный rаз, вследствие ero высокой
концентрации уже при нормальной температуре совершенно "вы-
рожден". Поэтому неотличимость отдельных электронов. харак-
терная для квантовой механики, и соответствующее этому об-
стоятельству новое априорное определение равновероятных со-
стояний в квантовой статистике должны иrрать решающую
рол ь. _
При этом необходимо учитывать экспериментальный факт,
известный из теории строения атома, что электроны подчиня..
ются запрету П а у л и. Этот запрет rоворит о том, что в одном
стационаРНОАf состоянии может находиться только о Д и н или,
если не учитывать спин, Д в а электрона (см. отдел 111).
Это приводит нас (вместо статистики Б о JI Ь Ц м а н а) к так
называемой статистике Ферми. 4 Паули учитывая спины
электронов, сумел объяснить назависимый от температуры
парамаrнетизм щелочных металлов (ср. отдел IJ1).
..
1 Ср. Н. А. L о r е n t z, ТЬе theory of electrons. Lelpzlg, Teubner. 1916
I Р. В 1 о с Ь, ZS. f. Phys. 52, 555, 1928. '
8 w. Р а u 11, ZS. f. РЬуз. 41, 81. 1927.
· Е. F е r m 1, ZS. f. РЬуз. 36. 902. 1926.
.
25
Следствия из с т а т и с т и к и Ф е р м и для мноrочисленных
электрических и rальвано-электрических явлений были HeMHoro
позже подробно исследованы 3 о м Jd е р Ф е л ь Д о lwl. 1
Здесь мы не будем учитывать электронных спинов, обуслов-
ленных релятивистскими эфектами, Т. е. не будем принимать во вни-
мание собственноrо маrнитноrо момента электронов. Наши иссле-
дования строения металлов и их маrнитных свойств будут оста-
ваться в рамках нерелятивистской механики. Во-первых, что каса-
ется ионов в точках решеток кристалла, то здес'ь необхо-
димо отметить, что, например, для щелочных металлов передача
электронов проводимости отождествляется с передачей валент-
ных электронов. Мы допускаем при этом, что ионы, как это
наблюдается в растворах, носят характер блаrородных rазов.
Таким обра30 1 к ним можно применить все рассуждения
обоих предыдущих параrрафов. При этом необходимо помнить,
что, вследствие влияния соседних атомов и обусловленных ими
отклонений силовоrо поля от сферической симметрии, для их
участия в восприимчивости не просто подставляется значение,
найденное для растворов, а нужно учитывать появляющийся
(кик в уравнении 22) дополнительный член.
Однако в том случае, коrда с возрастанием aToMHoro радиуса,
т. е. с возрастанием порядковоrо номера элемента увеличива..
ется диамаrнитная часть ионов, значение, получаемое для раство-
ров достаточно верно.
Более трудным, хотя и более интересным вопросом является
вопрос о роли электронов проводимости в маrнетизме.
В литературе очень часто утверждается та мысль, что и по
классической теории они частично должны участвовать в диа..
маrнетизме. Такое утверждение основывается на том, что элек-
трон внутри металла под влиянием маrнитноrо поля описывал
бы спиралеобразную траекторию, которая действительно обуслав-
ливала бы некоторый диамаrнитный момент металла.
Между тем такое предотавление ошибочно, ибо, как мы уже
.""
показали в конце 1 этоrо отдела в самом общем виде, по
классической теории электроны при термическом равновесии
никоrда не MorYT вызвать маrнитноrо момента, также как не
может никоrда вырождаться силовое поле, в котором они дви-
жутся.
. Частный случай электронов проводимости, коrда внутри метал-
ла потенциал постоянен, а на rранице металла неожиданно быст-
ро возрастает, образуя барьер, удерживающи:й вылетание влек- '
тронов, входит в наши рассуждения автоматически.
В действительности, как. Б о р t так и Л о р е н Ц 3 высказали
мысль, что классическое 9боснование диамаrнетиэма, кажущееся
1 А. S о Лl m е r f е 1 d, ZS. f. Phys. 47, 1. 1928.
2 N. В о h r, DissertatiQn, Kopenhagen 1911.
3 Н. А. L о r е n t z, Gottinger V ortrage tiber die kinetisehe Theorie der Materie und
ElektrtziHit, Leipzig 1914, s. 188; Н. J. v о n L е е u w е п. Dfss. Lelden 1919, s. 49.
.
26
на первый взrляд HeMHoro искусственным, недостаточно ПО.'1но,
так как нельзя оrраничиваться рассмотрением электронов, нахо-
дящихся только внутри металла. Необходимо Bcer да учитывать
их отражение от стенок металла. Если принять это во внимание,
то оказывается, что при термическом равновесии под действием
маrнитноrо поля вдоль оrраничивающей стенки металла образу..
ется электрический ток; ero маrнитное действие ПОЛНОСТЬЮ ком-
пенсирует действие электронов, находящихся внутри металла.
Иначе обстоит дело в квантовой теории.
Первым долrом теряет свой смысл приведенное в 1 отд.
11 доказательство исчезновения маrнитноrо момента. Действи-
тельно, в силу Toro, что нельзя БОЛЬШ.е одновременно точно
измерить какую--либо координату системы и ее канонически сопря-
женный импуль<;, мы, следовательно, не сможем непосредст-
венно записать сумму состояния в форме интеrрала, распростра..
HeHHoro по всему фазовому пространству. Более Toro, необхо..
димо помнить, что здесь спектр энерrии систе.мы может ока-
заться полностью или частично дискретным, что, например, для
всеrда справедливоrо выражения (38) статистической суммы
имеет rромадное значение. Что касается наших классических
рассуждений в этом параrрафе, то они вообще не MorYT БJ IТЬ
больше применимы, так как в квантовой теории понятие траек-
тории вообще теряет свой смысл.
Производя исследования CTporo по законам квантовой меха-
ники, Л а н Д а у впервые показал, что электроны проводимости
действительно обуславливают диамаrнетизм, величина KOToporo
определяется п л а н к о в с к и м квантом действия и в пределе для
Нт h==O исчезает.
.
I 4. Теория диамаrнетизма свободных электронов Ландауt
Свободная энерrия rаза Ферми, .сосrоящеrо из N электро-
нов, выражается так:
F==Nw+Q,
(24)
rде
( (&) Es )
Q==.........k Т 19 1 + е "т
s
(25)
и Ф, так называемый "химический потенциал. , определяется
общим числом электронов N посредством уравнения
N ........ дQ == ,, 1
д(J} Es w
s
k T + 1
(26)
1 L. Landau, ZS.f.Phys. 64,629,1980; E.Teller, ZS. f.Phys. 67,311.1981"
Здесь приведено подробное повторение вычиспений Ландау, причем приняты
во внимание соображения Теплера.
27
Таким образом для усредненноrо маrнитноrо момента МОЖНО
записать:
м дF ==N дш I дQ дш дQ ==....... .
дН д Н т dw дН дН дН
(27)
Итак, для определения среднеrо маrнитноrо момента доста-
точно вычислить только сумму (25). Как в уравнении (25), так
и в (26) суммирование распространяется по всем стационарным
состояниям электрона.
Наша задача состоит, rлавным образом, в том, чтобы вычис-
лить раЗJIичные стационарные значения энерrии Ев электрона,
находящеrося внутри металла под ВJIиянием маrнитноrо поля Н.
Но произвести такое вычисление так, как это мы делали в 2
методом возмущений, допускавшим непосредственное разложение
энерrии в ряд по степеням внешнеrо поля Н, невозможно, так
как условие, необходимое для этоrо, а имемно: чтобы возбуж-
даемая полем энерrия возмущения была мала по сравнению с
энерrетическими расстояниями при отсутствии поля, для электрона
проводимости уже больше не выполнено.
В действительности, при достаточно большом куске металла,
стационарные значения энерrии электрона образуют практически
непрерывный спектр, так что даже наиболее слабое внешнее
маrнитное поле ни в коем случае нельзя рассматривать как "малое
возмущение" .
Вследствие тоrО,чтодиамаrнетизм электронов проводимости
(как мы увидим дальше) представляет чисто объемный эфект,
Т. е. п опорционален объему металла, форма поверхности, orpa-
вичивающей объем, иrрает сравнительно незначительную, второ-
степенную роль.
Таким образом контур мы !tlожем выбирать так, чтобы наши
вычисления получали наиболее простой вид. Для определения
спектра энерrии какоrо--либо металла, как правило поступают
так: во-первых, кусок металла представляется бесконечно боль-
шой еличины, за тем выделяется из иеrо часть объема Т, име..
ющая лучше Bcero форму параллелепипеда. При этом допускают,
что свойства Bcero металла получаются посредством периоди..
ческоrо повторения свойств части объема Т, причем Т выбира-
ется достаточно большим для Toro, чтобы поверхностными эфе..
ктами можно было свободно пренебречь. ,
Так как для приведенных в предыдущем параrрафе класси..
ческих соображений процессы, происходящие на rранице металла,
представляют известный интерес, то предположим, что наш ме-
талл оrраничен хотя бы n о о д н о м у направлению, например,
по направлению у. В направлениях х и z металл будем пред-
ставлять распространяющимся бесконечно и, следовательно, бу-
дем иметь ввиду только что высказанное требование периодич..
насти.
28
Пусть ширина нашеrо куска металла в направлении у будет В.
Положим электростатическую потенциальную энерrию V элек-
трона внутри металла равной нулю, т. е.
в в
V==V(y)==O дЛЯ 2 <:::Y<::: +2. (28)
в
Для I.YI> 2' "на rранице" металла, Т. е. в пределах малоrо
отрезка немноrих атомных раССТQЯНИЙ, V ДОЛЖНО быстро возра-
стать до определенной веЛtiЧИНЫ, большей чем кинетическая
энерrия электрона. Если маrнитное поле Н снова действует в
положительном направлении z, то вектор-потенциал можно за-
писать в свободной от диверrенции форме:
Az==Hy; AlI==Az==O. (29)
В отличие от формы, приведенной в уравнении (43) отд. 1,
рекомендуется именно эта форма записи, так как мы уже из-
брали некоторое преимущественное направление У, обусловлен-
ное контуром металла. Затем функция r а м и л ь т о н а для элек-
трона представится в виде
E(Pq);: 2 J (Рж : HYY+P +P ]+V(Y). (30)
Записав маrвитный момент
дЕ еу ( е ) е
М == == Р Н" == v У
% дН тос Х с т С Ж'
(31)
МЫ видим что вследствие выбора" вектор"потенциала в форме
(29) момент относится к плоскости у==о, в то время, как выбор,
Который мы сделали в уравнении (43) отд. 1, приводил к моменту
относительно точки х == у == о. Са мо собой понятно, что эти два
выбора в физическом отношении раВНОП,Еавны.
В квантовой механике из уравнения (30) вытекает уравнение
электрона Ш р е д и н r ера.
{ 2 J ( 2 ,:x : НУ) +( 2:, Y+( 2:, :zy] +V(у)}Ф==ЕФ. (32)
Для ero решения задаемся следующим соотношением
27c 1
h (fI1x+kz)
Ф == е fJ UJ (у).
Далее, пользуясь вышеупомянутым допущением, а именно:
периодичностью повторения свойств металла, мы требуем" в
направлениях х и z периодичности Ф с периодами А и с. Это
обозначает, что выделенный частичный объем Т равен объему
(33)
29
АВС с шириной В в направлении оrравиченноrо у. Затем для
импульсов w и k в направлениях х и z можно написать
gt h k Ih
w=== , C '
А.
(34)
rде gl И g, целые числа.
Из уравнений (32) и (33) теперь следует
J 1 [ ( е ) 2 ( h d ) 2 ] ,
2mо w ---т- С Ну + 2т. dy + V (у) JV w (У)==е 'V w (у),
(35)
с
k l
E== 2 +e.
то
(36)
Уравнение (35) можно интерпретировать так движение элект-
рона проектируется на направление у таким образом, как
будто бы, кроме потенциала V, на "состояние покоя" с
WC
YO eH
(37)
e 2 f12
действует еще rармоническая связь электрона 2т о с I (у уо)2,
классическая rармоническая частота которой равна
еН
w
пl оС '
(38)
т. е. двойной частоте Лармора.
Последнее соответствует как раз тому факту, что соверша-
ющееся далеко от Kpa B спиралеобразное движение электронов
происходит классически с двойной частотой Л ар мора.
До тех пор пока положение покоя (37) находится достаточно
далеко от rраницы металла, в уравнении (35) можно, очевидно,
влиянием краев, т. е. V, нсеrда при:небречь. Предположим, что
это осуществляется на расстоянии от краев. Тоrда уравне-
ние (35) представляет собой просто уравнение Шрединrера
для rармоническоrо осциллятора с определенными собственными
значениями
( 1 ) h(J)
Е== п +
2 21t
(п ==0, 1) 2. . . со),
т. е. для
.............. ( d ) . .!!С + ( ....... t1 )
2 еН 2
справедливо уравнение
( ) ( 1 ) eHh
е NW п+т 21tm о С ==(2п+l)Н't1-о,
(39)
( ,
rде
h
t-Lo == 41t
е ==0 912.10 20 GOS
тое '
(40)
есть так называемый маrиетон Бора. Мы пишем здесь Е 1 \ ==
== е (пw), хотя в пределах рассматриваемоrо интервала , ; <
< .!!... , е (nw) не зависит от' w. Очевидно, что длина !J. должна
2
быть выбрана так, чтобы на расстоянии от положения покоя,
(уравнение (37)) собственные функции v уравнения (35) были
уже настолько мапы, что и на rраницах интервала w : l<
можно пренебречь влиянием v. Это равносильно требов"а-
НИIО TOrOj чтобы классическая амплитуда rармоническоrо дви-
жения, Т. е. среднее значение классическоrо диаметра траекто-
рин спиралеобразноrо движения электронов внутри металла
было мало по сравнению с , Т. е. должно выполняться нера-
венство
Л2 тос'
u e 2 ff2 е,
t 41 )
rде обозначает среднюю по уравнению (36) энерrию электрона
при том условии} если не учитывать перемещения в направ-
лении z.
В случае невырожденноrо идеальноrо rаза
е ==kT
,
и в случае вполне вырожденноrо rаэа Ф е р ftf и:
== 1.. ( 3nh з ) !/а
40 то 1t '
r де n представляет собой число электронов, приходящихся на
единицу объема.
Относительно уравнения (41) необходимо отметить, что
величину можно выбирать независимо от линейных размеров
рассматриваемоrо куска металла. Поэтому при нормальных
Полях всеrда допустимо следующее неравенство:
B.
(42)
Предположение, относительно малости среднеrо классиче-
CKoro радиуса траектории по сравнению с линейными разме-,
рами металла, оказывает немалое влия.ние на теорию Л а н Д а у
в СМысле ее простоты.
31
wc В
Для еН > 2 /). невозможно отыскать простой явной формы
собственных значений € (nw) из уравнения (35).
В дальнейшем мы будем пользоваться также явлением, обус-
ловленным только быстрым повышением потенциала V на rpa..
ницах метапла,а именно тем фактом, что с увеличением i 'W I соб-
ственные значения ё (nw) уравнения (35) для каждоrо значения
1'f, быстро стремятся к большим положительным значениям.
Выбирая А и С достаточно большими, мы видим, что импульсы
w и k из уравнения (34) можно рассматривать как величины
непрерывно изменяющиеся. \
Тоrда из уравнениЯ (30) и (35) вытекает, что
дв 1 f ( еН ) 2 . д'"
v == == w ...... у v 2 d Y . М == ==
Z дw то с J а дН
== f y' ( w еН у ) v 2 d Y
oc с
(43)
средняя скорОсть электрона в направлении ХИМа ........ cpeДHe .
значение маrнитноrо момента относительно оси z. Они связаны
в сипу ураВltения (43) следующим важным для нас в дальнейшем
уравнением:
д€(nw) e'fP
......... Н [д Н Н М z == WV fIJ moC 1 (у........ у о) 2, ( 44 )
rде
(у ...... ..1"0)2 == J (у ........ Уо)' 'и 2 dy.
Вычислим теперь пользуясь уравнениями (25) и (27), сред-
ний маrнитный момент rаза Ферми.
Произведя вычисления, находим:
д Е (nkw)
дН
М == ,i'И. == ....... E(пkw {J)
nkwe +1
(45)
или, выбирая опять А и С настолько БОЛI?ШИМИ, что импульс k
и w можно было бы рассматривать как величины, изменяющие-
СВ непрерывно, получаем:
дЕ (па')
.... 00 .....
АС !! 00 дН
М == ......... dk d w k 1
h l . o.(пw)+ w
+ n 2т о
00 T
е +1
'"
(46)
32
r де М 1 ........ есть, выражаясь Har лядно, часть маrнитноrо момента
.вн утренности м талпа 8 , который мы иrсл ДY M.
В выражение для Ма можно подставить собственные значе-
ния (35) и (39), независящие от W т. е.
+00
М AC(B 24) eH fdk oo (2n+l) I.LO
I ....... h' d 1 ( k J ) ·
.. n kT (211+1) H1J-o + 2 ,.'W
00 I е т.
+1
Пользуясь уравнением (44), запишем М 2 в следующей форме
f!.( B ---А) дЕ (nw)
А с 2 .. + OO dk 00 , дН
M"== h C I f dw j х1
· 1 ( k, )
11==0 е kT · \п8)+ 2т. (J)
oo oo +1
Интеrрирование по w распадается на три части:
+ :Н ( А) e ( А )
М== { f d'W+ f d'W
е: ( А )
--- 00
-too -+ 00 00" д& (nw )
+ f d'W } f dk 0 8{пW): '
еН ( В ) 00 1т. u)
А kT
с Z 1
е +
== М 1 + М 2 + МВ
/
или
е.!!. ( В А ) де
с 2 OO 00 дW
f wdw f dk ( I+ U» )
n=:О e1z 1 2т о
.... 00 c 00 - + 1
: ( ;, А) -t 00 00 2
....... еlН АС ! dw f dk (y у.) ·
т. ей h 3 п==О k ('+2 . ",)
oo ---00 е +1
1 АС
}И 2 == H h l
"
(47)
(48)
(49)
(50)
Первый интеrрал уравнения (50) представляет собой
сред н ее значение маrнитноrо МОМЕнта, Lозбужда Moro
ТОКО М, который lipOTfl<aeT ВДОJJЬ rраниuы ме1алла; Э10
делается совершенно ЯСНЫМ, если вспомнить, что ИНТfrрИрОЕа-
ВНе по 'W да. т только некоторую составн) ю часть 'WQ!; (: ):
Для больших значений (w), Т. е. вне переделов м,- TaJIJla ПОДИН-
Б'-ОХ lL---а
"""
:}
TerpaпbHoe выражение, вслеJtствие быстроrо роста ., исчезает
а следовательно, исчезает и экспоненциальное выражение в зна.
менателе. Таким образом вместо уравнения (50), сренебреrая
вторым интеrралом, мы можем с достаточной точностью на-
писать
м :=...... At; еН ( В 4 )
2 Н h l С 2
еН ( В .... А ) дв
с I -t 00 00 aii
J dw f dk 1 ( I+ ----(1) )
п==О kT 2mo
....00 oo е +1
(51)
или, попьзуясь уравнением (43),
е.!!. ( В .... А )
с 2 +00 00
( В ) I АС J dw" dk еОа;
2 4 JiI J п O kT ( '+ ""(J.» ) 1 . (52)
M
2 ...... С .... 00 00 е + 1
НО ЭТО значение М 2 по уравнению (31), как мы видим,
){ействительно равно среднему Mo eHTY поrраНИЧ1l0rо тока,
так как выражение, взятое в уравнении (52) в скобки, пред-
ставляет среднее значение поrраничноrо тока в направле-
нии х' для края Y== ( }
в уравнении (51) дЛЯ М 2 мы пренебреrли вторым интеrра-
лом уравнения (50), 1ак как он пропорционален среднему квад-
рату классическоrо радиуса пути на rранице металла и не из-
меняется при увеличении ширины lJj таким образом растет
. пропорционапьно только поверхности выделенноrо объема, в
то время как остальные члены уравнения (51) увеличиваются
пропорционально объему. Пренебречь этим интеrралом, следо-
вательно, мы можем на основании формулы (42), так как он
4
дает член относительноrо порядка веЛIIЧИНЫ B .
Интеrрировать уравнение (51) сильно упрощается вследствие
Toro, что при 'W 1 == 00 подинтеrральные выражения исчезают;
и мы получаем:
АС ( В Л ) +00 1 11' еН ( В )
М 2 == ;:I и : k71f dk 'flg (1+e kT «(J) 2m..» ) fII -ё i " ;
00 п==О (53)
еН ( В ) .
и так как для w==......... с ......../1 еще сохраняет силу выражение
(39) для €, мы имеем
А С ( В t1. ) +00 1 k'J
2" е J 00 ( kT «й (2п+ I)HI'o.... 2т о ) )
М 2 == h? С kT dk Ig 1 +е ,(54)
oo п O
34
Аналоrично мы получаем совершенно такое же выражение
и для М.
М2==Ма
И, следовательно, в силу уравнения (47) и (48)
+00
==М + 2М == ABe .!... f dk { (2п+l) н 1-'-1 +
м 1 I h 2 С 1 " It'
п-О kT ( (2п + 1) HP-o + 2т; (&)
е +1
1 jl
+ kТ1g( l+е kT (1I) (2n+l)Нр..+ 2m,) )} (56)
Здесь на основании уравнения (42) пренебреrаем величин й
2l\ по сравнению с В. В уравнении (56) первая часть скобок
представляет собой член, обусловленныЯ электронами, находя-
щимися внутри металла, второй же член есть составная часть
электронов находящихся на rранице металла. Как мы сейчас
увидим, \эти две части, в противоположность классической тео-
рии, ни в коем случае компенсироваться не будут. Уравнение
(59) можно переписать еще так:
д { Аве еН + f oo ( k (11) (2ntl) Нр.. :п;.) )
М== kТ дн h s- dk Ig l+е . (57)
с n=D
---00
(55)
с друrой стороны, по уравнению (27)
дQ
М == ........ д Н ·
и мы леrко убеждаемся, что при вышеупомянутых пренебреже-
ниях действительно имеет место соотношение
+00 00 ..!.. « (1) ...... (2п + 1 )HtJ. ...... J!8 )
Q == ......:.kT e f dk Ig ( l+ekT 2то ) . (58)
h eff п==О
oo
Для слабых ,попей, Т. е. коrда
HfJ-о l
kT ,
сумма по п в уравнении (58) вследствие Toro, что JIоrарифмы
двух рядом стоящих значений п мапо отличаются друr от друrа,
запишется так:
Ь......l Ь
n'iJ/(п+ } )== f fЩ d 2 If' (е) 1: +. ..
а
.
3
При меняя ее к уравнению (58), мы получаем:
+00 dk
g==g +J BC 2e J 1 ( kl ) '
О 24 h' с р.о kT 2mo
, ......00 е + 1
причем
+00 со 1 ( k'J )
go== kT A C e ! dkJ d lg( l+eli1' U) 2щ..Е 2то )==
oo О
kT AZC 2 C Jdk j dXlg( 1+e klT (X 2 ,) )
00 ...... 00
представляет собой значение g при отсутствии внешнеrо поля.
Иrак
HIIJ- 2 д 2 Qо
g==g o L (59)
6 дш' ·
в сnабых полях для парамаrнитной части, обусловленной спином
электронов (как будет показано ниже в отд. 111) мы получаем:
g...... g + HtlJ-о 1 д'"Qо (60)
........ о 2 дш 8 '
т. е. часть &1, явно зависящую от Н, и вследствие этоrо по урав-
нению (27) среднее значение маrНИТНОI:О MOMtBTa в слабых полях
или диамаr'нитная восприимчивость противоположны ей по знаку
и равны 1/. парамаrнитной спинной части.
Бл rодаря такой зависимости мы можем боnее подробно ос-
тановиться на исследовании восприимчивости, вытекающей из
уравнения (59). что и будет нами сдеЛ(IНО ниже (см. отд. 111, О 4).
Теперь же относительно уравнения (а9) оrраничимся следу"
ющим замечанием. При переходе к классической механике, т. е.
при li h::O по уравнению (40) (.Lo и, следовательно, среднее зн/а-
чение маrНИ1 Horo момента исчезает, что впрочем, и нужно было
ожидать. «-
Вычислим маrНИ'J'ныА момент для случая невырожденноrо
rаза.
Примером TaKoro rаэа может служить rаз Ферми, но лишь
в том случае, если он имеет или BeCtaMa малую плотность элек..
тронов, или очень Вh СОКУЮ температуру.
При этих условиях он характерен тем, что ero химический
потенциал (1) отрицателен и весьма большой по величине. Тvi'да
функция распределения электронов Ферми на различных уровнях
энерrии Е
1
E.r tt)
е kT +1
86
...
переходит просто в функцию Больцмана
tJ.) .... Е s
е kT ·
При разло еНИ1И лоrарифма k из уравнения (58) по малой в этом
случае величине е kA Ш---(2n+l)Щ" 2т) первый член разложения дает
АВС Н +00 1 ( k ) 00 Нр.о ( )
g== kT f dk e k т tJ.) =- 2т. е kT 2n+l ==
h' с
oo n o
1 ( 112 ) 2
kT ABC еН J dk kT (J.) .... 2т о
== .......... е н fJOO
h l С sh .
....00 kT
(61)
.
Следовательно по уравнению (27)
+ 00 1 ( kl ) { сЬ HfJoo J
м == ......... да === 2 АВС еН f dk kT (J.) 2т о kT 1 (62)
дН h 8 с е 110 HII-o Н h HII-o
.....00 sh' kT s kT
С друrой стороны, из уравнения (26) общее число электро-
нов N равно
N дt& == 2 Аве еН + f oo dk klт< tJ.) ..... 2:. ) 1
....... д h I е н fJOO
(1) с sh k Т
.... 00
Следовательно
(63)
N f t h H o kT }
М == fAo t с g kT HII-o '
N
ипи, если n==у обозначает число электронов, приходящихся на
единицу' объема, то маrнитный момент, отнесенный к единице
объема
J== == пfAo{ctgh }. (65)
Это ----- известная функция Л а н ж е в е н а. Для парамаrнитноrо
момента rаза она получается с противоположным знаком (СМ.
отд. ПI, 1) при условии, что ero молекулы обладают маrнит-
ным MOMeHToM.... OJ а различные их ориентации в пространстве
рассматриваются а prlorl равновероятными.
Первый член уравнения (6 ) снова представпяет собой "внут"
реннюю" и второй "поrраничную" часть маrнитноrо момента.
При Нт h==O, т. е. при J10==O каждая из них увеличивается до
бесконечности, а сумма их стремится к нулю; это снова иллц-
стрирует взаимную компенсацию обеих частей в классической
механике.
(64)
87
На основании уравнения (4) OTA.I и уравнения (65) воспри-
имчивость выразится
dJ \ n......
х== dH H O == ЗkТ .
В смысле зависимости ее от температуры она подчиняется
закону Кюри (см. отд. 1 1), что не наблюдается в случае диа-
маrнитной восприимчивости обыкновенных rазов (отд. 11 2).
(66)
111. ПАР АМАrНЕТИ3М
О 1. fеория парамаrнетизма rазов Ланжевена
Подо во тому, как это мы делали для обряснения диамаrне-
тизма (отд. 11 1), для теореrическоrо обоснов ния парамаrкит-
Horo момента rаза мы должны также. сделать некоторые допу-
щения относительно свойств атомов rаза, допущения, выходя-
щие за пределы классической механики или статистики.
По старой теории Л а н ж е в е н а 1 суть заключается в следу-
ющем. Каждый отдельный атом (или молекула) уже при отсут-
ствии внешн rо маrвитноrо поля должен обладать независящим
от температуры "спонтанным" маrнитным моментом. Пусть ве-
личина этоrо спонтанноrо момента будет..... Кроме этоrо, необ-
ходимо предположить, что ero всевозможные пространственные
ориентации а prlori равновероятны. Вследствие Э10rо до тех пор,
пока отсутствует внешнее поле и, следовательно нет преиму-
щественных направлений, мы должны допустить, ЧТО в среднем
маrнитные моменты отдельных атомов распределены по всем
направлениям пространства равномерно; поэтому средний маrнит-
ный момент Bcero rаза равен нулю. При наличии внешнеrо поля
необходимо учитывать энерrетическое преимущество различных
ориентаций маrнитных моментов отдельных атомов. Преимуще..
ство это делается тем больше, чем меньше уrол между маrнит-
вым моментом и направлением попя. Количество таких ориен-
таций возрастает с понижением температуры rаза, и, следова-
тельно, при заданном внешнем поле мы получаем зависящий
от температуры средний общий момент rаза, расположенный
по направлению поля.
Вьучисления производятся проще Bcero с помощью статисти-
ческой суммы [уравнение (38) отд. 1]. В качестве отдельных
"состояний"/ атома мы будем рассматривать различные ориен-
тации маrнитноrо момента в то время как переносное движение
(так как в данном случае оно не иrрает существенной роли) мы
учитывать не будем совсем. Пусть 3 есть уrол, образованный
маrнитным моментом с направлением поля, , азимут, отнесенный
к этому направлению; Tor да, в силу выше упомянутоrо допуще-
1 Р. L а n g е v I п, Journ. de Phys. et 'е Radlum (4) 4,678. 1005; Апп. СЫт. et
Physlque t8) 5, 70, 1905.
88
ния (априорной равновероятности всех ОРИfнтаций), в статисти-
ческой сумме z каждый член, в котором момент расположен в
опр еделенном элементе npOCTpaHCTBeHHoro уrла dQ, умножается
на величину этоrо элемента:
d9 ==sin 3d3dtf.
Энерrии стационаРНЬ 1 Х состояний, входящие в z, в этом
ел учае выразятся через известную энерrию маrНита, который
об,разует с полем уrол 3 и обладает моментом равным 11:\
Е==...... H-r cos 3.
Таким образом статистическая сумма rаза из п независимых
ато мов запишется
Z == (j 'f j е Нр."С;В & sln fJdfJ) N == ( 4 kp.T Sh :;) N.
о о
и e-ro свободная энерrия, в силу уравнения (39) отд. 1, будет
F== NkTI ( 4 1t kT h HIJ- ) 9. ( 1 )
g H(Jo S kT '
а, с ледовательно, по уравнению (40) средний маrнит}.ыЯ момент
дР 1 HIJ- kT\
м == дн ==NJ1\ ct h kT H(Jo J (2)
или, вводя число атомов n, приходяшееся на единицу объема,
полу чим маrнитный момент, отнесенный к единице объема
м / HfJo kT\
J == 17 == пtJo \ ct h k Т ........ H(Jo J. (3)
Это известная формула Л а н ж е в е н а. )
Теперь, на основании уравнения (4) отд. 1 восприимчивость
будет иметь вид
nfJol
х== ЗkТ · (4)
Полученную здесь нами пропорциональность величины вос-
1
приимчивости С Т набп юдал впервые К ю р и t В кислороде, и
З'rО было большим успехом теории Ланжевена, которая
сумела объяснить ЭТОТ интересный факт, исходя из npOCToro
пред положения спонтанноrо маrнитноrо момента молекул. Зная
n(Jol
НЗ опыта величину SkT и пользуясь уравнением (4), можно вычис-
лить маrнитный момент отдельной молекулы.
..
1 Р. с u r 1 е, Апп. СЫт. et Physlque (7) 5, 289, 1895.
З9
Так в случае кислорода (О l) находим
р.== O,856.10 2°Cas.
Здесь тот же порядок величины MarHeToHa Б о р а (см. 4,
от д. 11). J
h е
....O== 4 ==O,912. 10 2°Cas.
1t т оС
Это совпадение не случайное. Оно rоворит о том, что сам
факт существования спонтанноrо момента существенным о бра-
зом обусловливается планковским квантом действия h, Т. е.
квантовой механикой.
И действительно в 3, rде проблема парамаrнетизма п осле-
довательно изучается в рамках квантовой механики, мы увидим,
что порядки величин спонтанных моментов атомов и/молекул
Bcer да определяются MarHeToHoM Бора.
/ Формула Ланжевена (3) имеет следствием то, что для сип ьных
полей или низких температур J уже не увепичивается про пор-
ционально увеличению поля, а все более и более должна при..
ближаться к "значению насыщения"
J п.....
ЕСли дробь нулевой раэмернnсти !f; имеет величину порядка
единицы, то это явление насыщения по уравнению (3) дела ется
достаточно заметным.
Подставляя в выражение
HfJo 1
kT==
выwеприв денное звачени r-, мы видим, что в леrко дос тижи-
мом практкчески пол а именно в поле напряжения
Н== 104 а
J
явлеНJ.lе насыщения уже при температуре T 10 абс. должно
быть достаточно заметным. Экспериментальная проверка этоrо
свойства при таких низких температурах производится, 1( он ечно,
на основании исследования тверДhТХ тел, для которых, стр 01.0
rоворя, выше приведенные соображения, основывающиес я на
допущ нии независимости молекуп друr от друrа, теряют уже
свой смысл. Однако для опdсанной нами теории существенно
только то, чтобы кажд й па'рамаrнитный атом или молекула
обладали свободно nращающимся в пространстве маrнитным
моментом. Это условие должн,) также удовлетворяться и для
твердоrо состояния атомов редких земель, так как по те орин
периодической сисrемы элементов Бора парамаrнетизм пр ион-
,:.ывается их внутренней незаконченной оболочке, ДОСТ ато ЧНО
40
хорошо защищенной внешними электронами от действия сосед-
них атомов кристалла.
В действительности в случае СИJJЬНО парамаrнитноrо суль-
фата rаДОJJИНИЯ GdSO. при низких температурах уже ясно
замечается приближение к насыщению,t и так как в силу выше-
сказанноrо, для атомов rадолиния, в кристалле должны у ДО в...
летворяться указанные условия, это является вторым сильным
подтверждением OCHoBHoro допущения теории Ланжевена.
Правда, как было замечено Д е б а е м, изменение J в зависи-
мости от температуры не может происходить абсолютно cTporo
по (3), так как это противоречило бы тепловому закону Нернста,
который в наиболее ПрОСТОЙ форме можно выразить так:
при уменьшении абсолютной температуры энтропия термодина-
мической системы стремится к нулю.
Энтропию можно леrко вычислить. По уравнению (2) М за...
Н
висит только от отношения т. Эдесь мы рассматриваем энер'"
rию, обуслорленную лишь внешним полем, следовательно на
основании уравнения (20) отд. 1 величина средней энерrии вы-
разится :raK:
Е == ....... м Н.
(5)
По уравнению (14) отд. 1 энтропия равна
s E F ,
Т
и, пользуясь уравнениями (5), (1) и (2), получим:
S== [ [ NHv- (cth ) I kTlg ( 4 T Sh ) ]==
==Nk [l ShX X ( ct:hx )].
..
rде для упрошения полаrаем x== ; . При заданном внешнем по.
пе и очень низкой ТЕ мпературе, Т. е. при очень большом х это
выражение примет вид:
41t
S==Nk 19 ,
х
(6)
следовательно, при Нт Т == О, Т. е. при х== со стремится не к O
а к s== 00
.
Причина этоrо затруднения заключается в сделанном нами
в формулах (1) и (2) допущении, нто все ориентации маrнитноrо
Момента в пространстве а priori равновероятны.
1 Н. К а m е r 1 f n g h - Оп n е s. Сотт. phys. Labor, Lefden, Nr.140 d. Vers1\
V Amst . Acad. Маl 1914; Н. R. W о 1 t J е r, Сотт. phys. Labor, Lelden, Nr. lб7Ь;
ersl. Amst. Acad. 82, 759. 1923.
41
В то время как такое допущение в классической теории было
безусловно необходимо, в квантовой теории эrа необходимость
отпадает, ибо здесь допускаются только отдельные дискретные
ориентации относительно поля.
Одновременно с таким допущением (см. 3) отпадает выше-
упомянутое противоречие с тепловым законом Н е р н с т а.
О 2. Спин электронов
В квантовой теории диамаrнетизма (ОТД. 11, 2) результаты
наших выводов были достаточно точными, хотя мы и не учиты-
вали эф кты, получающиеся по теории относительности.
В парамаrнетизме, как показало новое развитие квантовой
'теории, такие эфекты иrрают необычайно важную роль.
Выражаясь цаrлядно, можно сказать, что эти эфекты прояв-
.ляются в факте, замеченном вперьые У л е н б е к о м и r а у Д с-
м и т о м' при исследовании структуры мультиплетов и аномаль-
Horo расщепления атомных спектров 3 е е м а н а, именно........... элек-
трон наряду с маrнитным моментом, возникающим вследствие
.
.ero движения во внешнем силовом поле, должен еще обладать
.дополнительным собственным моментом, равным по величине
MarHeToHY Б о р а (уравнение 40) отд. 11.
Так как объяснение этоrо факта нужно искать по принципу
-соответствия в собственном вращении электрона, во "вращаю-
щемся" (spinning) электроне, то мы ero коротко будем называть
"спином". Параллельно маrнитному спинному моменту предпола-
rается еще существование собственноrо момента количества
движения электрона, а именно:
lh тос
'm в \ == 2 21t == е ....0. (7)
П а у л и 2 показал, как можно в квантовой механике правильно
формулировать rипотезу У л е н б е к а - r а у Д с м и т 8. Но rромад-
ная заслуrа Д и р а к а 8 состоит в объяснении Toro, что спин
электронов вообще не требует никакой особой rипотезы, а по-
.JIучается как следствие из релятивистскоrо волновоrо уравне-
ния электрона в силовом поле.
В классической теории относительности энерrияЕэлектрона
с компонентами импульса Pl' Р2' РЗJ по направлениям х, у, z
определится из уравнения:
2 Е,2 ---- т с 2 +р 2 +р 2' + 2 (8)
Ро -= с' о 1 2 Ра.
Д И Р а к указал на то обстоятельство, что для получения из.
уравнения (8) волновоrо уравнения нельзя просто заменять им-
пульсы р", операторами д д и соответственно энерrию Е==рос
2 п, х К
1 s. G о u d s m i t u. о. Е. U h 1 е n Ь е с k, Naturwissensch. 13.953, 1925.
I W. Р а u 1 i, ZS. f. Phys. 43 601. 1927.
а Р.Л.М. Dirac, Proc. Roy. Soc. London 117,610. 1927, 118, 351, 1928.
42
оператором 2 l д . так как это привело бы к не определенному
положительно значению плотности электронов и, кроме Toro,
противоречило бы общим требованиям KBdhtobo-механической
теории преобразованиА. Во избежание этоrо выставляется тре..
бование, чтобы оператор энерrии (как это было и в H реляти-
вистской теории) и, следовательно, на основании требований ре-
лятивистской инвариантности и операторы импульсов входили
в волновое уравнение линейно.
Д и р а к вместо уравнения (8) положил
s
(Ро+ ClKPK +т о C ) ф==о,
к 1
(9)
rде величины ак и суть операторы, действующие (наряду
(х, у, z, t) на новую переменную. Чтобы оба уравнения (8) и (9),
предполаrающие движение без влияния сил были эквивалентны
друr друrу, т. е. чтобы первое вытекало из последнеrо посред-
ством возведения в квадрат, операrоры ак И должны удовлетво-
рять следующему требованию:
а, а К +а K'J. j ==28/к; aK + aK == о; I== 1. (10)
(1, К== 1, 2,3),
iK== { О. если 1= К
1, если t== К.
Наиболее простые операторы, удовлетворяюшие уравнению
(10), представляют собой четырехрядные матрицы, которые
можно записать в следующей форме:
( О ЬК ) I ( Т О )
а к == ; == ·
h О O .1
/(
(11)
rде величины Ьк, 1 записываются в виде двухрядных матриц
( 01 )
Ь 1 == 1 О ;
( O i ) ( 1 О )
Ь 2 == i О ; Ь а == O l ;
( 10 )
1 == о 1 ·
(12)
Посредством простоrо правила перемножения матриц леrко
убедиться в справедливости уравнения (10) и правильности ни..
жеследующеrо уравнения
Ь 1 ==..!... , '12 аа == ( ы1 О ) ; bl== '1.'11 == ( ы ) ; Ьа== '11'12 == ( bl ) (13)
О Ь 1 l О ы l О Ь 1
!..
Таким образом новым электронным переменным следует
приписать четыре дискретных значения. Обозначим их через
t (с== 1, 2, 3, 4), тоrда, например, действие одн rо из вышепри-
43
веденных операторов а на волновую ФУНКЦИЮ Ф выразится уран"
нен ием:
аф== ф',
rде ради сокраIЦения записано
' (
ф 1:) == '1't Ф (С) t
a't
(14)
и '1-re суть элементы матрицы '1. Б рай т t впервые высказал
мысль, что величины '1 и ПО принципу соот етствия имеlOТ
простое наrлядное значение. Пользуясь компонентами скорости
'дЕ РК
VK == ==c J
дрк V т o 1 c l +p l l+p,2+Pa'
можно записать в классической теории энерrию в линейной
форме по отношению к импульсам
з з
PlJc==E== PKvK+тoc2"/1 х: С v l == V2K. (15)
K 1 JI с /(: 1
Сравнивая зто выражение с уравнением (9), мы должны по-
ложить
v
а К.
к ,
с
.. I и !
== У l cl .
(16)
По уравнениям (11) и (12) матрицы '1к и имеют собственное
значение +1 и 1, отсюда на основании уравнения (16) по
принципу соответствия, очевидно, следует, что электрон по
теории Д и р а к а всеrда движется со скоростью cBera. Этот на
первый взrляд поразительный результат, Ir4K показал Ш р е Д и н..
r е р2, можно объяснить так, что компоненты скорости (16) при
условии свободноrо движения м ожно разделить на две части
первую постоянную, моrущую принимать все значения от О дО
с, ее нужно рассмаТРИriать как обыкновенно наблюдаемую ско-
рость электрона, и вторую периодически очень быстро изменяю-
щую 'я во вр мени с малой амплитудой. Этому въ'текающему
из теории Дирака "движению др Iжания" электрона, выражаясь
наrпядно, IIриписывается СБОЙСТВО ero спина.
Во внешнем электромаrнитном силовом попе, обладающем
скалярным потенuиалом Ф О И Х-, у-, Z - компонентами вектор-
потенциала A 1 , А2' Ав, в )равнении (9)
. е А е I
Рк заlеняется через р K с . К И Ро через РО+с Ф о ,
(17)
1 о. В r е i t, Proc. Nitt. Acad. Amer. 14, 553. 1928-
I S С h r б d j n g е r, Berl. Ber. 418. 1930.
44
Т. е.. рассматривается волновое уравнение:
[Ро + + Фо а/( (р/( ; А к ) +moc ] ==o, (18)
.
причем в выражение для Ро и Pl< подставляются операТОрЬ1:
1 h д h д
Ро == с 211:, дt и РК == 2'i11 дх К . (19)
В классической теории эверrию в поле мы записали бы:
(Ро+ Ф о )' == ( Е+: Ф О у ==m c2+ l(PK АкУ. (20)
Для более наrлядроrо изучения дополнительных членов, обус-
Jlовленных спином элект ,онов, рекомендуется в уравнении (18,
слева I!римеНИ1Ь оператор. Тоrда мы получим
,
{(Ро+ ; ФОУ+ [(Ро+ : ФО)( К*l ак(РК Ак) + moc )
C la PK ; Ак) + muc )(Р + : Ф о )] +
+ K ( aK(PK ; Ак) + moc Xpo+ ; Фu)ф==О.
Для преобразования последнеrо члена применяем снова урав-
нение 18) и, помня, что веJJИЧИН!:l ак и MorYT переставляться
<: величинами Ро и РК И что удовлетворяются соотношения (ltЭ)
мы получаем:
{(Ро+ ; ФОУ+ : аК(ФОРК РКФ.J+Акро ркАо)
K l
8
( Рк ....... Ак ) 2...... m c2+
K l с
(21)
+ : а,'1. к Р,Ак+АiРК. РКАI АкР,)' J ф==о.
i+K
Лользуясь уравнением (13) и вь'ражениями
Е к == дФо дА к
дх к с дt
,
./
...
Н дА! дА.
1 == д д и Т. Д.
х. Х2
45
для электрическоrо Е и маrнитноrо Н полей имеем:
8
{(Ро+ : ФоУ т сl k /PK : Ак)' +
+!. [ (ЬН) i (аЕ )] ),,\ == О
с 2 J ·
(22)
Причем здесь а и Ь суть векторные матрицы с компонентами
а/( и ьк. Круrлые скобки, как и всеrда, обозначают скалярные
прои iведения. В уравнении (22) четвертый член обусловлен
энерrией электронноrо f,40MeHTa в маrнитном поле и пятый...........
движением ero в электрическом поле. Это ст, новится очевидным
при переходе к предельному случаю .медленноrо движения."
электрона, т. е. случаю, коrда ero энерrия мало отличается
от энерrии в состоянии покоя т о с 2 .
Таким образом мы полаrаем
Е Е'+тос l ,
Po== == ==Po +mос,
с с
(23)
rде Е' маЛо по отношению к Е. Обозначаем Ф (1, 2), Ф (3, 4) че-
рез q:> (1,2)ф(1,2), Еричем ПОМНИМ,'что двухстрочные матрицы (12)
действуют на ер и Ф подобно тому, как четырехстрочные матрицы,
ранее пrименявmиеся, действовали на ф. Тоrда наше уравнение
(18) в силу уравнения (23) можно записать еще в следующей форме:
s
(Ро' +2т о с+ : фо у; + lb/« (PK : Ак) Ф О, (24а)
8
(Ро'+ : Ф\l) Ф +к /к( РК : AK)"f== о. (246)
е
Пренебреrая выражением Po'+ Ф О по сравнению с 2m о с,
с
из уравнения (24 а) получаем:
' ЬK ( PK Ак ) ф (25)
тос K l
И из уравнения (22) приближенно
[(Е+еФ,,) 2 O 1 (PK : AKY+ 2 oC (bН)
i (2:0C).:1ti l bl bK (PK : Ak)Ei]f == о. ' (26)
причем здесь MI>l снова пользуемся уравнением (23), и блаrодаря
тому, что
, е ( ,е Ф ) 2
Ро +7 Фо тос Ро +тос+ с о ,
46
оно заменяется выражением
т c +2тoc. (Ро'+ : Ф о }
, Далее для матриц Ьк, как леrко убедиться из уравнения (12)r
имеют место следующие соотношения
Ь 1 Ь 2 i Ь а Ь 2 Ь з == i Ь 1 ь; Ь---; == i Ь 2 8 (27)
h е
Вводя MarHeTOH P-O== 4 (срав. уравнение 40 отд. 11), МЫ
1t тос
приводим уравнение (26) к виду:
Еф== { i ( Р !.. AK ) 2 еФо 1'0 (bH)
2mо К==l К С
iO( b)[E, ; ])+i (E. ; } , (28)
rде, для упрощения записи, Е, Ь, Ф записаНIil без штрихов, а v
оБО 4начает вектор скорости с компонентами 'VK== O (PK : Ак)
(K:::J 1, 2, 3). Уравнение (28) с точностью до последнеrо члена,.
который (хотя ero и не леrко интерпретировать наrлядно),.
иrрает важную роль при вычислении энерrетических уровней,.
представляет собой волновое уравнение точно TaKoro же типа,
которое получается на основании формулировки проблемы
спина Паули. 1
По П ёi У л и вектор p-оЬ вводится в волновое уравнение-
в качестве оператора, представляющеrо собой собственный
маrнитный момент электрона. Здесь же в уравнении (28) третий
член правой части представляет энерrию маrнитноrо момента
величины J.1o в маrнитноМ'поле, и четвертый энерrию, возНикаю....
щую при ero движении в электрическом поле. По теории атомных
и молекулярных спектров четвертый член дает МУЛЬТИПJl тное-
расщепление, а первый и третий члены .содержат расщепление
3 е е м а н а в маrнитном поле
дальнейшем для предельноrо случая медленно движущихсsr
электронов в теории Паули мьт будем оrраничиваться приближен .
ной формулировкой строrой теории Д и р а к а, Т. е. значение.
энерrии электрона во внешнем поле, вытекающее из уравне...
ния (28), мы QY дем считать совершенно точным. Квадраты абсо....
лютных значений волновых функций [ф(2)] и [ф( 1)]2, как по-
казал П а у л и, представляют собой вероятности встретить-
электронный момент, напраВJlенный в противоположную сторону
или параллельно оси z. Так как в квантовой механике систеМа
. h
С моментом количества движения J. 21t во внешнем маrНит.....
1 w. Р а u 11, ZS. f. Phys. 43, 601. 1927.
47
'..
НОМ поле может иметь 2j+lдискретных положений; и с друrой
.стороны, блаrодаря двухстрочности матриц Ь, дЛЯ спина элект"
РОНОВ возможны только два таких положения, электрону еле..
.дует приписать момент собственноrо импульса величины
h 1 h
2tt S ==2 21t .
Таким образом" если обозначить через
h
21t R
.вектор "момента импульса орбиты", то маrнитный момент, воз-
никающий вследствие движения электрона определится из урав..
,
.нения:
е h
2т а с 2 R == l"oR.
А собственный маrнитный момент электрона, выраженный че-
h
рез импульс вращения 5 будет равен
е h
2 R == 21-"05. (29)
muc 1t
,Итак для общеrо маrнитноrо момента электрона мы имеем
1-"0(K +25).
(30)
.
То обстоятельство, что маrнитныЯ момент и момент импуль"
са вращения квантово-теоретической системы, блаrО)Jаря спину
'электронов, уже не обязательно должн"" иметь одинаковую ори-
еН1 ацию, как мы увидим дальше, имеет rромадное значение для
теоретическоrо объяснения маrнитной восприимчивости и ано-
мальноrо эфекта 3 е е м а на.
Перейдем теперь к обобщению теории П а у ..71 И для системы
с большим числом электронов. В уравнении (28) наряду с про..
,странственными координатами волновой функции приписывалась
еще одна "переменная" С, которая моrла иметь два дискретных
значения 1 и 2 (соо l"ветственно двум возможным ориентациям
спина). В случае e больmоrо количества электронов волновая
-функция, кроме пространственных координат всех электронов,
-зависит также от "переменных" С. Число этих "переменнь'х"
равно числу имеющи ся электронов, причем каждая из них
может принимать значения 1 и 2. Таким образом, если в лу-
,чае одноrо электрона положить, что
Ф == Ф (х, у, Z, С), _ (31 )
-rде Ф обозначает п'олновую функцию, входящую в уравнение ( 8),
то в с:лучае N электронов
Ф ==ф (х, У" Zl' С,) (i== 1, 2, 3,... ,N) (32)
-48
Затем в кла сической ФУНКЦИИ r а м и л ь т о н а для системы N
частиц (каждая частица обладает зарядом е и маrнитным мо-
ментом 110) импульс i"той частицы заменяется операторами
h д
PK== 21ii ""д:X' (33)
к
и вместо вектора собственноrо маrнитноrо момента i-Toro элек-
трона записывается векторная матрица
t-t-obj. (34)
причем матрицы Ь (приведенные в уравнении 12) действуют на
переменную С i-Toro электрона, как действовали (в случае одно-
ro электрона) матрицы Ь на а. С помощью так обраэованноrо
оператора r а м и л ь т о н а Е устанавливается требование спра..
ведливости волноватоrо уравнения
{E(pXi' РУ,. Р2 i' X i , Yt. Zt, b j )} ф==Еф. ' (35)
Форма членов спинов для отдельных электронов берется и
трех последних членов уравнения (28).
Наряду с ними большую роль (особенно в ферромаrнетизме
(отд. IV») иrрают также и члены взаимодействия моментов спи.
нов различных электронов.
О 3. Парамаrнетизм атомов и молекул
При исследовании диамаrнетизма атомов и молекул с точки
зрения квантовой теории (отд. 11, 2) мы сделали предположе-
ние, что основное состояние системы не обладает спонтанным
маrнитным моментом. 1
С друrой стороны уже по результатам 1 этоrо отдела для
объяснения незаВИСЯIЦеrо от температуры парамаrнетизма rазов
нужно- отказаться от этоrо предположения.
Найдем оБIЦее выражение среднеrо момента квантовомехани-
ческой системы в произвольных полях, а именно: в статическом
силовом поле ядер (последние предполаrаются жесткими) и во
внешнем маrнитном' поле напряжения Н, направленном по оси z
В отличие от 2 отд. 11 мы допускаем не только то, что
дополнительная энерrия, обусловленная полем, мала по сравне-
нию с интервалами энерrий различных невырождеННЪ1Х состоя-
ний, но и то, что эта энерrия мала по сравнению с kT, так что
нет никаких признаков явления насыщения, и мы в выражении
маrнитноrо момента оrраничиваемся только членами линейными
относительно Н. При нормальных температурах и практически
достижимых полях, эти два условия вьтполняются с большой
точностью. Обозначим индексом s различные стационарные со-
стояния системы (атома или молекул) и значения ее энерrии во
внешнем поле через Еа, тоrда по 5 отд. 1 статистическая сумма
бу дет
Еа
Z== e kТ.
.s
(36)
13.110:< 4H:i .
49
Энерrия возмущения внешним полем, как в 2 TД. 11 фор-
мула (18), определяется уравнением
H'l.e' 2 2
ё. == ......... М.Н + 8 а ."./ Х i + у i) ·
тос .
I
Здесь таl(же нужно иметь ввиду тот факт, что (по 2) в вы-
ражении МВ в оператор общеrо маrнитноrо момента входят как
момент орбиты, так и Mo eHT спина всех электронов в заданном
направлении z. Обозначим энерrию s Toro стационарноrо со-
стояния при отсутствии внешнеrо маrнитноrо поля через Е 80 ,
тоrда по уравнению (37) и извеСТНЫ\f правилам квантовомехани-
ческой теории возмущений, ero энерrия в поле Н (с точностью
до членов КRадратичных относительно lf) выразится:
Е.==Е.о 7""""H(M.).+ :::e:. (X +y ). H2 ::s 12 , (38)
о 1 ,+ s о So
ST S -
rде индекс s обозначает среднее значение'в состоянии s и, как
обыкновенно, двойной индекс ss' нумерацию матричных элемен-
ТОВ. Подставив полученное нами выражение в статистическую
сумму (36) и разложив после этоrо экспоненциальную функцию
в ряд по степеням Н, до членов квадратичных в Н, МЫ приходим
К следующему выражению для Z . .
Z Eso {l+ H(Ma)s Н2 [ e ( 2 + 2
е kT kT kt 8т о с 2 7' Х; Yi).........
I (M.)ss' '1 (M.)s' ] t .
s' -::f;. S Es' о Eso 2kT r
(З )
. Е..
Так как И3 соображений симметрии е.... 7iT {М,).== О, 1'0
s
I
Z z { l + f{I ;' [ (Mz)Sa + \(Mz)ss'i' e l ( х 2 + у 2 )] 1.
о ZokT kJ е kT kJ Es'. Es. 8т о с 2 1 i r
s s'=\=S
(З9а)
Здесь Zo обозначает статистическую сумму при отсутствии
внешнеrо поля. С помощью достаточно точноrо в нащем приб-
лижении выражения
Ig z== IgZo+ zн:.т e : . [ ( .i.2 + 1( I 8 ICI (x + Y )8 ]
о s s!=t=s S. s: о .
, . (39б)
средний маrНИТ8ЫЙ момент (по уравнению (40) отд. 1) выразится
так:
М kT Ig Z == Е; [ (М.)в 2 +2 I (M.)ss' 11 е l ( х2 + ) ]
дН Zo e k kT Es,o....... Eso 4тосl / у, s ·
s STS
I (40)
50
Если в единице объема находится п Аlолекул или атомов рас-
сматриваемоrо сорта. и поперечным штрихом будем обозначать
усреднение, которое, например, для молеКУJl производится по
всем пространственным ориентациям ядер (ядра рассматриваются
как жестко связанные системы), то по уравнению (40) для маrнит-
ной восприимч вости мы получаем
п Es
1== Eso e-- kr" [ (.M.>.2 +2 I (M.)ss,/2 ( 2+yl) ]
e kr s kT s.t s Es'. Es. 4т. с . I I ·
s
(41 )
Рассмотрим это выражение ДЛЯ всевозможных случаев.
а) А т о м ы и и х и о н ы. Здесь, вообще rоворя, эверrетиче-
ские уровни (за исключением OCHoBHoro) лежат так низко, что
вторым членом в уравнении (41) можно пренебречь; в нужно
s
учитывать только состояния, соответствующие основному уров-
ню. Последней диамаrнитной частью уравнения (41) можно пре-
небречь уже при комнатной температуре.
Для Toro, чтобы теоретически вычислить маrнитную восприим";
чивость, необходимо сделать несколько предположений отно-
сительно строения OCHoBHoro терма атома, в особенности это
относится к типу связи между спином и импульсом вращения.
Останавливаясь на этом вопросе, на предположении так назы-
ваемой .нормальной" схемы связи Р у с с е л я - З а у н Д е р с а,
мы приходим к тому, что импульсы вращения спина всех элек-
TpO OB сводятся к одному жесткому вектору величины
h
21t S,
а орбитальный импульс вращения к вектору
h .
2х R,
и оба они приводятс к одному результирующему вектору об.
щеrо импульса вращени
i== :ft (R+S).
в то время, как состояние с различными значениями I S J == s
и I R' == k в энерrетическом смысле лежат на значительных рас-
стояниях друr от друrа, состояния с различными Ijl== j, т. е. с
различным взаимным наклоном векторов S и R, образуют сравни-
тельно мало отличающиеся друr от друrа термы мультиплета.
Основной терм атома, т. е. наиболее низкий терм CaMOro.
низкоrо мультиплета, состоит еще из 2j+ 1 взаимно вырожден-
51
НЫХ состояний, возникающих вследствие Toro, что j может иметь
различные компоненты m относительно направления z. Причем
по тео р еме моментов количества движения в квантовой меха-
. а
нике j всеrда имеет форму 2' rде а есть любое 'Целое число, и
т может принимать 2j+ 1 значений j, j+ 1. . . j 1, j.
Обозначая через (М.)т среднее значение маrнитноrо момента
в направлении z (при заданном значении маrнитноrо KBaHTOBO
ro числа" m в нормальном состоянии атома), мы видим, что
для маrнитной восприимчивости вместо уравнения (41) можно
написа ь формулу следующеrо вида:
+ .,
n 1 М I
х== 2i+l kT ( .)т.
т== )
(42)
Далее при вычислении (Ма)т пользуются следующим наrляд-
ным представлением. 1 Оба вектора R и S прецессируют так
быстро BOKpyr CBoero результирующеrо вектора j, что среднее
значение их компоненты z будет определяться z компонентой
их проекции на
Таким образом имеем
(jk)m
( k 1) tn ...... (jl) т
US)т
(s.),,, == (j т ,
-
вследствие чеrо для маrнитноrо момента в направлении z
(в силу уравнения (зо) получаем:
(М.)т == -;т и, R+2S)",== oт (l+ ;: ) (43)
ибо j==R+S, US)== (i1l+SI RI). Поэтому уравнение (43) даст
, ( UI+S' R2)m
(М.)", == ml10 1 + 2 Ut) т '
(44)
а так как в квантовой механике средние значения величин J
52, R' определяютсяj(j+l), s(s+I), k(k+l), то 'уравнение (44),
можно переписать
(М,)т ==mJ!.og,
(45)
rде
== 1 + j и+1) +s ( +.1) ....... k (k +1)
g } ()+1)
(46)
1 Для последующеrо ср. w. н е i s е n Ь е r g u. Р. J о r d а п, ZS. f. Phys.
7. 26 3, 1926.
52
есть так называемый .множитель Л а н Д е". Подставляя ypaBHe
иие (45) в уравнение (42) и учитывая формулу
m 2 jU+I)(2j+l)
3 '
т ==.....1
(47)
мы окончательно находим
.. п 2 2. ( 0 + 1 )
Z ..... 3k Т !1-og 1 J ·
(48)
Вышеприведенные соображения находят свое интересное при.
менение в теории парамаrнетиэма ионов редких земель r у н д а 1 .
Как уже отмечапось в 1, парамаfнетизм этих ионов .приписы-
вается не вполне зак нченным внутренним оболочкам с rлавным
квантовым числом n== 4 и азимутальным квантовым числом 1== 3.
r у н Д сделал весьма простое предположение, которое под-
твердилось мноrочисленными экспериментальными спектроско-
пическими данными и для друrих атомов. Суть ero состоит в
следующем: B каждом элементе, нормальное состояние KOToporo
(по теории периодической системы Б о р а) арактеризуется опре-
деленным распределением электронов по ра личным траектори-
ям, векторы R и S имеют максимальные значения. Далее, до
тех пор пока не заполнится первая . с т (}н е р о в а подrруппа
оболочки, мупьтиппетное расщепление »праВильное", так что в
наиболее низком мультиплетном терме векторы R и S ориенти-
рованы во взаимнопротивоположные стороны, между тем K K
при заполнении второй половины оболочки мультиплеты дела-
ются »обратными", и в самом низшем терме векторы R и S рас..
полаrаются параллельно друr друrу.
На основании этих допущений для любоrо элемента k,j и 8,
а СJlедова.тельно и множитель Л а н д е g по уравнению (46) и
маrнитная восприимчивость (48) определяются однозначно.
В случае трехкратно положительно ионизированных ато"
мов редких земель допускается, что, кроме об9ЛОЧКИ n==4,
l==3, имеются еще законченные оболочки, которые вообще не
участвуют в парамаrнетизме.
Построение первой подrруппы С т о н е р а не законченной
оболочки происходит на протяжении шести элементов от Се
до EUj следовательно здесь по r у н Д у j== l......s и в СИJlУ уравне-
j s+l
нения (46) g== j+l · Напротив для второй подrруппы на po.
тяжении интервала элементов Gd Ср j == 1 +s и в сипу уравне-
ния . (46) .g== j;S ·
В экспериментальнойфизи е принято по историческим сооб-
ражениям парамаrнитные свойства вещества выражать ero
1 Р. Н u n d, Z.5. f. Phys. 33, 855, 1925.
58
так называемым "числом MarHerpHoB В е й с а" z. Оно находитсSl
следующим образом: запишем, во-первых" выражение восприим-
чивости в самой общей форме (СМ. формула (4) в теории Л а Н-
ж е в е н а.
nр.2
Х == 3k Т ·
Выразим далее "пермаиентный момент" атома t.t. в единицах
MarHeTOHOB В е й с а
, fJ.O
J1 := 4,97 ·
Теперь запишется
== п(ZfJo')1 ( ZfJoO ) 2. ... ·
х 31lT 3kT 4,97
Сравнивая полученный резуль тат с формулой (48), имеем:
z==4,97. g V"j (j+ 1). /
\
Ниже мы приводим таблицу чисел MarHeToHoB, вычисленных
на основании уравнения (49) и найденных экспериментал..ьным
путем,:
(49)
Атомный f I I ..
Элемент ,.
номер I
Таблица 1
1 Z Zэ.мnир.
g 8blЧUСЛ.
I Ка б рера I Ст. Мейер
s
j
55 Се+++ 3 1/. 51. 81 .12,5 1
, 7
56 Pr +-- + 5 1 4 41 ./ 17,8 . 1
,'6
57 Nd+++ 6 8/ 9/2 8/ Jl 17,8 1
58 It +++ 6 2 4 31 13,4
,5
59 Sm+++ 5 6/. 5/1 2/7 4,2
60 Eu+++ 3 3 О о/о 0,0 1
61 Od r++ О 7/. 7/. 2 39,4
62 ть+++ 3 3 6 3/. 48,3
63 Оу+++ 5 5/2 1&/1 '/8 52,8
64- Но+++ 6 2 8 51, 52,8
65 Er+++ 6 8/. 15/1 81 47,7
/5
66 Тп+++ 5 1 6 7/. 37,6 3
67 уь+++ 3 1/ 7/1 8/ 22,5 2
. 7
68 Ср+++ О О О '/0 0,0 ди
1,4
7,8
8,0
8,0
7,9
40,0
47,1
52,2
52,0
47,0
5,"6
1,9
aMarH.
13,8
17,3
17,5
7,0
18,0
40,2
44,8
53,0
51,9
64,7
37,5
22,5
..диамаrи.
Как видно из таблицы, совпадение теоретических и экспери-
ментальных значений до элементов Eu и Sm очень хорошее.
Отклонения, которые получаются в остальных элементах, по
Ф л е к у 1 обусловлены тем, что при выводе уравнения (48) мы
в уравнении (41) пренебреrли вторым членом (чеrо нельзя было
сделать при комнатной температуре), между тем как он здесь
1 J. Н. van V I е с k, PllYS. Rev. 31, 587, 1928.
54
,
иrрает ДОВОЛЬНО значительную роль, и поэтому эксперименталь-
ные числа маrнеТОНБВ больше, чем вычисленные из уравне..
ния (48). В случае Eu это совершенно ясно, ибо здесь часть
восприимчивости, обусловленная первым членом уравнения (41)
вообще равна нулю.
Но объяснить резкие отклонения теоретических значений чисел
MarHeToH08 от экспериментальных в ДB KpaTHO положительно
ионизированных ионах "железной rруппы" от 19 Са++ до 28 Ni++
(для которых, в силу их положения в периодической системе
неоконченная оболочка п==3, 1== 2 должна ПРИВ,одить к T M же
результатам, что и в случае редких земель) не так то просто
и леrко. rипотетичеСI\И этот факт можно объяснить тем, что
здесь раСlЦепление мультиплетов настолько мало, что электри-
ческое ПО,lIе соседних атомов очень сильно влияет на связь
.
между спином и орбитой.
Если допустить, что это влияние выраЖQ.ется в исчезновении
среднеrо значения импульса траектории k (вследствие отклоне-
ния поля от сферической симметрии), и чтf) только вектор S
может свободно вращаться в пространстве, то по Б о з е и С т о-
н е р у 1 получаются достаточно хорошо совпадающие с опытом
результаты. Мrждх тем в этом случае сравнение с измерени-
ями значительно труднее, так как, например, во второй подrруп-
пе измерения сильно зависят от caMO постановки опыта. Это
становится понятным, если принять во внимание, что электри-
ческое поле, возбуждаемое соседними атомами, должно быть
не одинаковым для различных веществ и, следоgательно, в зави-
симости от вариаций связи может приводить к разным napaMar-
нетным свойствам.
б) М оп е к у ы. В молекулах электрическое поле (В котором
движутся электроны) возбуждается системой ядер, поэтому оно
уже не обладает сферическ. ой симметрией, как это было в слу-
чае атомов и атомных ионов. Поэтому обlЦИЙ импульс вращения J
электронов молекулы уже непостоянен; вследствие этоrо (если
не 'появляются какие-либо особенные симметрические соотноше-
ния) среднее значение орбитальноrо импульса вращения вообще
исчезает... Но если связь между моментом спина и орбитальным
моментом мала по сравненню с kT, то вектор S можно рассмат-
ривать как свободный вектор.
Тоrда, пренебреrая вторым и третьим членами в урав-
нении (41) и производя в первом члене суммирование по
всем ориентац'иям момента спина относительно внешнеrо поля
ESQ
С б 011 Ь Ц м а н/о в с к и м множите1lем е kT , мы 'приб1lиженно
получаем следующее выражение для маrнитной восприимчивости
4п 11. I
Х == kTO S (s+ 1). (50)
,
1 о. М. В о s е ZS f. Phys. 43. 864, 1927; Е. с. S t о n е r, РЬil. Mag. 8,250, 1929.
55
Таким образом получается хорошее совпадение с опытами
т е й л о р з,1 который измерил маrнитную восприимчивость для
1
CI0 2 , при s== 2 ' x==0,0557.10 6 при Т==293 0 и 760 мм давле-
ния, а из уравнения (50) при этих условиях Х ==0'0534.10.....6. Но
наблюдались также явления, которые нельзя объяснить сделанным
допущением, а именно: маrнитная восприимчивость трехатомной
молекулы N0 2 , измеренная 3 о н е,2 оказалась значительно меньше
x.==0,OO9.10 . Оказывается, что здесь, как и для объяснения
малой маrнитной восприимчивости большинства MHoroaToMHЬYX
молекул, необходимо предположить наличие сильной связи
между спином и орбитальным MO,.reHToM, что значительно YM HЬ-
шает свободное вращение Be opa S и, таким образом, обуслав--
ливает ослабление парамаrнетизма. .
Займемся в первую очередь исследованием двухатомных мо-
лекул. ,
В двухатомных молекулах, вследствие наличия особых симмет-
трических соотношений, электрическое' силовое поле, возбуж-
денное ядрами, является аксиально симметричным относительно
линии соединения центров. Поэтому, если ядра считать непод-
вижными, то, хотя общий импульс вращения электронов уже
и не сох.раняется, компонента ero по направлению линии соеди-
нения \центров ядер остается постоянной. Компоненту орбиталь--
Horo импульса вращения по вышеуказанному направлению мож-
но считать постоянной по тех пор, пока взаимодействие между
моментами импульса спина' и орбитальным моментом мало.
В зависимости от величины компоненты орбитальноrо импульса
вращения О,, 1, 2, 3... rоворят о термах , п L\ ...
что аналоrично атОмным спектрам, rде блаrодаря разным зна-
чениям момента орбитальноrо импульса вращения термы делятся
на термы S, P ,D .. .. ·
в дальнейшем мы будем обозначать через kr. компоненту век-
тора R в направлении Ли8ии соединения, т. е. компоненту орбиталь-
h
Horo. импульса вращения в этом направлении через 21t == kc ·
Аналоrично компоненту импульса вращения спина в направлении
. h
линии соединения ядер будем обозначать через 21t Sr.. ,
ТаК K ядра обладают большими массами, то мы не будем
учитывать их движения, в частности ero квантования.
Таким образом мы будем производить вычисления, предпо-
лаrая, что ядра неподвижны. Затем, следуя правилам класси-
ческой теории, усредним по различным ориентациям молекулы
в пространстве. Рассмотрим различные (в зависимости от вели-
чины расщепления мультиплетов) случаи отдельно.
1 N. w. Т а у 1 о r, Journ. Am. chem. Soc. 48, 854. 1926. N. w. Т а у 1 о r u.
о. Н. L е w 1 s, Pros. Nat. Acad. Amer. 11. 45 . 1925.
2 Т. S о n е, Tohoku Unlv. Scl. Rep. 11 (83), 139, 1922).
6
Предпо.ложим, что мультиплетное расщепление велико по
сравнению с kT, и компоненты R и S в направлении линии соеди"
нения ядер при нормальном состоянии молекулы будут соответ"
ственно k и sc. Тоrда средние значения остальных двух ком"
понент R и S пропадут, так как в данном случае векторы сильно
связаны в направлении линии соединения ядер. Наrлядно это
можно представить так: векторы R и S так быстро прецесси...
руют BOKpyr линии соединения ядер, что их перпендикулярные
к ней компоненты в стационарном состоянии молекулы в сред"
нем исчезают.
Пусть {} обозначает уrол, образуемый, линией соединения
ядер молекулы с осью z' в заданном каком-либо ее положении,
Tor да для молеКУЛЫ J находящейся в нормальном состоянии, мы
имеем
Подставляя
тывая, в силу
расщепления в
получаем
(М,)о == o cos {) (2s c +kc ).
полученное выражение в уравнение (41) и учк
принятой здесь нами величин,Ы мультиплетноrо
только нормальное состояние молекулы, мы
s
п 2
'1..== k (2s +k )2 cos2{}.
Предварительно в уравнении (41) мы пренебреrли вторым и
третьим поправочными членами, так как в данном случае уже.
при нормальных температурах они очень малы.
Вследствие Toro J что среднее cos 2 {). по всем положениям
молекулы равно
1
cos 2 3=="""""3'
выражение восприимчивости примет следующий вид:
2
x.:= T (2Sc +k Y. (51)
Если расщепление мультиллетов мало по сравнению с k1
то вектор S можно рассматривать как совершенно несвязанный
свободно движущийся вектор.
Это выражается в том, ч1q. 'в. уравнении (41) при условии
неподвижности ядер gроизводится суммирование при одном
значении множителя Больцмана.по всем 2s+1 положениям век..
тора S относительно линии соединения ядер.
Пренебреrая в уравнении (41) вторым и третьим членами
вместо выражения (51) мы получаем следующее выражение
пlJ- (k 2 23 + L )
х:== kT cos 2s+1 S J
S == S
или
2
x== j [4S(S+1)+k ].
(52)
57
Разобранный нами здесь случай наблюдается в двухатомной
молекуле кислорода 02. Измерения показали, что здесь с ДО.
статочной точностью Х подчиняется закону Кюри, чем оправды-
вается сделанное нами в уравнении (41) пренебрежение вторым
"1f третьим членами.
Результаты спектроскопических измерений, касающиеся
свойств OCHoBHoro терма молекулы, еще не совсем ясны, поэтому
пользоваться значениями s и kc найдеыными на основании этих
вычислений мы не можем. Предположим, Qднако, что основному
состоянию соответствует T pM З ___, Т. е., что kc ==0, s== 1, тоrда
мы вынуждены допустить, первым ДОllrом, что взаимодействие
между спином и орбитальным моментом настолько мало, что
/'
сохраняет силу предположение, сделанное нами при выводе урав-
нения (52). На основании Bcero этоrо мы также получаем очень
хорошо совпадающие с экспериментом результаты. Действи-
1'ельно: при kc == о, s== 1 из урав ени (52) для маrнитной восприим-
чивости при T==2 30 и давлении 760 мм имеем X==0,142.10--- 8 .
Соответственные экспериментальные значениЯе по r е к т о ру
и Вильсуl
и
z == о, 1447 · 10.....б
Х. == О, 1434 .1 О.....б
по Б а у е р у и П и к к а ру.2
Наиболее интересное применение теории парамаrнетизма
молекул мы находим при изучении по Ф л е к у BToporo пара..
маrнитноrо rаза окиси азоtа NO.8 .
На основании точноrо спектроскопическоrо анализа полоса-
70ro спектра NO удалось весьма точно установить систематику
ero термов. Кроме Toro, за последнее время произведен целый
ряд иаблюдений 4 над ero восприимчивостью вплоть ДО точки
плавления, блестяще подтвердивших теорию в а н-Ф п е к а, т. е.
справедливость уравнения (41). Интересно отметить то обсто-
ятельство, что порядок величины мультиплетноrо раСIЦепления
в этом rазе при нормальных TeMnepaTypax paBeH порядку вели-
чииы kT, так что формула (41) (если п.ренебречь небольшим
диа маrнитным третьим членомr применима в очень широких
интервалах.
1 А. Р. W i 11 s 11. L. о. Н е с t о r, Phys. Rev. 23, 209. 1924.
2 Е. Bauer u. А. Р i с с а r d, Jonrn. de Phys. et le Radlum 1, 97. 1920.
8 J. Н. уап V I е с k. Phys. Rev. 11, 609. 1928.
4 J. А h а r о n j u. Р. S с h е r r е r, 75. s. Phys. 58, 749; Р. В 1 t t е r, Proc. Nat;
Akad. Amer. 15, 638. 1929; R. S t о s s е 1, Апп. d. Phys. 10, 393. 1981; W. J. d е
Н а а s, Е. с. W 1 е r s m а, w. Н. С а р е 1, Proc. Amsterdam 33, 1119. 1930. Соmm.
Lelden Nr 2, 12Ь.
:58
На основании спектроскопических наблюдений над NO по
Б е р д ж у, М е л л и к е н у, r и л л е р и, Д ж е н к и н с у и Б а р т о н уl
установлено, что два наиболее низких терма, которые при
нормальных температурах мы только и имеем в виду, образуют
1
праВИJJЬНЫЙ дублет 2П , т. е. kc == 1 и s==2' и что в низком
терме обе компоненты kc и Sc имеют взаимно противополож-
ные направления, а в высшем они располаrаются взаимно парал..
лельно.
В уравнении (41) низшее стационарное состояние мы будем
отмечать индексом В== 1 и высшее ндексом s==2. Из спектро--
скопиче их измерений известно, что разность энерrий обоих
состояний, выраженная в волновВIХ числах'.......... 120,9 см...... 1 . Это"
соответствует (при комнатной температуре энерrетической
разности в 0,6 kT, т. е. мультиплетН'Ое расщепление здесь
действительно имеет величину поря;rка kT. Блаrодаря малости
энерrетической разности в уравнении (41) уже нельзя пренебречь
вторым членом. Более Toro, при суммиро вании по s и s' необ..
ходимо учитывать оба наиболее низких состояния 1 и 2. Более
высокими термами можно пренебречь.
Для вычисления восприимчивости поступим следующим
образом: пусть рассматриваемая молекула расположена так,
что ее линия соединения ядер образует с осью z уrол 3. Обоз-
начим 'далее е ую компоненту вектора М, лежащую в плоскости,
проходящей через ось z и линию соединения ядер, и перпендику-
лярную к последней через Ме; 71 УЮ компоненту BeKTop a, пер-
пендикулSJРНУЮ к оси z и k линии соединения ядер обозначим
через М1); тоrда M z будет равно
М : == М cos 3......... Ме sin 3. (53)
Это соотношение мы будем рассматривать как соотношение
между операторами, представляющими собой динамические
величины, входящие в уравнение (53); поэтому, в частности,
оно сохраняется как для средних значений, так и дл соответ-
ствующих матричных элементов.
Общий маrнитный момент из уравнения (30) определится
как вектор 11.(R+2S). Ита по уравнению (53) учитывая то, что
среднее значение (k)1,2 от ke исчезает, получаем:
(М : )1 == (1-0 (k cos 3+2s c cos 3........ 2se sin 3) 1
(M z )2== (:1-0 (kc cos 3+2s c cos 3 2se sin 3)2.
Аналоrично для матричных элементов
(М : )12 == (1-0 (kc cos 3+2s c cos 3....... 2se sin 3)12
(M z )21 ==.... (kc cos 3+2s cos 3 2se sin 8)21
(54)
.
(55)
1 R. s. 1\'1 u 11 i k Н, PllYS. Rev, 28. 493; R. Т. В f r g е, 1926; Nature 117,300,
1926; М. G u 111 е r у, ZS. f. Phys. 42. 121, 1927; F. А. J е n k f n s, А. Н. В а r t о п,
а. s. м u 11 i k е п, Phys. Rev. 30, 150. 1927.
59
Орбитальный момент количества движения в обоих paCCMaT
риваемых нами состояниях 1 и 2 одинаков, вследствие чеrо
(k c )I==(k C )2==1; (k C )12==(kc)21==O (56)
и в уравнение (56) входят только соответствующие матричные
элементы спина. Это подтверждает наше предположение отно-
сительно ero ориентации, т. е. тот факт, что спин в состояниях
1 и 2 располаrается антипараллельно и параллельно компоненте
орбитальноrо момента в направлении линии соединения ядер.
Таким образом вместо УI>авне.ния (55) можно написать:
(M z )tt==2v.o [ (sc )12 cos 3 (s )12 sin 3]
(М : )21 == 2(-1-0 [ (s, )21 cos 3 (se )21 sin 3] .
с
(57)
Так как здесь, аналоrично случаю с одним электроном, мы
имеем дело толь о с одним моментом спина S::::::J . мы мо.жем
матрицы, предстаВJlяющие величины 2se, 2s"J, 2s c заменить соот-
ветствующим образом матрицами b t , Ь 2 , Ь з , С'''которыми мы уже
встречались в теории электронноrо спина П а у л и 2, фор-
мула (12): Итак:
/ 2se==( )
( 0.....1 )
2s"l) == i О
2s == ( )
Здесь первая строчка и первая колонка относятся к состоя-
нию 2, вторая строчка и колонка к состоянию 1.
. В силу уравнения (56) уравнения (55) и (57) перепишутся
1
(JW=) 1 == ,,(cos3 2.2cOS&)==O
1
(M:Z)2 ==....0 (cos -&+2. 2 cos 3) == 2....0 cos 3
(М')12 ==....... 110 sln 3
(М а )21 == ....0 sin D
Обозначая для сокращения
,/ Е 2 ........ Е 1 :::J А (59)
и ПОJlЬЗУЯСЬ уравнениями (58), (59) для восприимчивости, из
уравнения (41) получае м сл едующее вы раж ение:
v == п [ ,.. slпЧ} +е k ( 4 cosl3 2 Sln2{) )]
л А I kT .1 ·
ki
· l+е' ,
(58)
Но так как
cosZ3==
:i
sin 2 3== ,
3
;
60
и если положить
4
k 1 == х,
то окончательно воспр имчивость будет
4 11 [ .!.. е.....х ( 1 ...... .!.. ) ' ] == 4: п l e х +х. х.
Х Зk Т l+e X х + х Зk Т x+xe X
Вводи при помощи определяющеrо уравнении
о
п ....2 8' .
У.. == SkT
( O)
(61)
(62)
.кажущееся число MarHeroHOB Б о р а 8 е и сравнивая уравнения
(61) и (62), имеем
.Q 2 Y l e.....x+xe x
u== х== .
. x+xe X k т
(63)
Из формулы непосредственно видно, что число маrиетовов с
уменьшением температуры монотонно уменьшается. При высо-
ких температурах оно асимптотически приближается к своему
:максимальному значению 2, которое соответствует совершенно
.свободному вращению вектора спина s. При умевьшающейся
температуре число MarHeToHoB стремится к нулю, так как в ко-
нечном итоrе в самом низком состоянии мarнитное действие
-спина и орбитальноrо момента КQ.мпенсируют друr друrа.
Ниже мы приводим для сопоставления таблицу значений е,
полученных экспериментальным путем и вычисленных по фор-
-муле (63).
Значение 6 взято из спектроскопических данных.
Таблица 2
Автор Т е э"спер I 8 8ЫЧUСАен
]) итте р . . . . . . . . . . . . . . . 269 1,837 1,837
Аrарони и О1еррер . . . . . . . . . 200,2 1 ,834: 1,834
Стессель .. . . . r . . . . . 289,2 1.841 1,833
Стессель . . . . . . . . . . . . 250,6 1,807 1, 7
Биттер . . . . . . . . . . . . . . . 216 1,768 1,771
Аrарови и UUeppep . . . . . 194,7 1.732 1,744
Стессель . . . . . . . . . . . . 178,0 1,713 1,718
Стессель . . . . . . . . . . . 157,2 1 ,679 1,678
,Стессель . . . . . . . . . . . . . . 135,5 1,612 1.624
Экспериментально найденные значения отклоняются от вычи-
сленных в пределах точности измерений, что прекрасно подтвер-
ждает теорию в а н- Ф Л е к а.
61
о 4. Парамаrнетизм свободных электронов
Как мы видели в отделе 11 31 движение свободных ЭJlек..
тронов внутри металла обуславливает диамаrнитную часть
маrнитноrо момента. Тоrда мы пренебреrли спином электронов.
Однако, как это показаJl На у л и, 1 спин электронов, как при
объяснении общих маr:иитных свойств металла, так и вообще в
поведении атомов и молекул, иrрает rромадную роль. Поэтому
сейчас займемся исследованием влияния спина, не учитшвая при
этом части в маrнитном моменте, рбусловленной изменением
движения электронов в маrнитном поле.
Изложенная B 2 этоrо отдела теория Д 1" Р а к а не моrла
и не ПрОВОДИЛ8, poro rоворя, резкой rрани между "эфектом
движения" и "эфектом спина". Однако по теории П а у л и для
малых скоростей электронов такое приближенное разrраниче-
иие этих эфектов ДОПУСТИМОI а именно формально электрону
приписывается неэависимо заряд и маrнитный и механический
собственные моменты.
В исследовании парамаrнетизма электронов мы Qудем исхо-
дить только из собственноrо момента импульt!tl элек.трона
S == · 2 и ero собственно электрическоrо момента величины
б о р о в с к о r о J10 MarHeToHa. Диамаrнетизм, обуславливаемый
одним зарядом электрона, формально мы: не буд м принимать
во внимание. (Заряд электрона предполаrается бесконечно малым).
Так как для свободных электронов не имеется никакой свя-
зи между спином и орбитальным моментом, то общий маrнит"
ный момент металла равен сумме парамаrнитноrо момента
и диамаrнитной ero части, полученной нами в отделе 11, 3.
Рассмотрим первым долrом стационарные состояния электро-
на, получаемые по теории П а у л и, предполаrая, что электрон
находится под воздействием внешнеrо маrнитноrо поля напря-
жения Н и направления z. Для этоrо рассмотрим уравнение (28).
Так как нас интересует только действие спина, то на основании
изложенноrо мы будет предполаrать, что электронный аряд
е формально равен нулю.
В силу Toro, что Еж==Е,==Еа==Н'J}==НУ==О' H:lr:=H, уравн€'ние
(28) примет вид:
Еф== { f 2 1 р2 К ....... 'ro Ь з Н } ф,
К=l то
или, расписывая подробно при помощи волновых
Ф (1), Ф (2) и I.Iриведенной в (12) матрицы Ь з , имеем:
. Е Ф (1)=={ :;, H!!:o 1 ф (1)
(64)
функций
(65)
1 w. р а u 1 J, Z. S. f. Phys. 41, 81. 1927.
w
62
ЕФ (2) { / + HlI'o }Н2), .
rде
р2:= Р1 3 +Р2 2 + P82 p z 2+Ру2+ Ра 2.
Если импульсы поступательноrо движения р", р, р в напра.
влениях х, у, z заданы, то уравнение (65) непосредственно дает
оба стационарные состояния, соответствующие пар'аллельному
и антипараллель му расположению спина относительно внешне--
ro поля. Собственные функции этих СОСТОЯН9 и их, энерrии
запишутся
2ft;
. Фl (1) ==е т(р.r:,+РVV+РZZ)Фt (2)==0; E 1 == : o HlI'o (66)
и
2ftl
Ф2 (1) ==0 Ф2 (2) == е 11 (рхх + РуУ + PZZ) ; Е 2 == : o + н 11'0. (67)
Так как к электронам, находящимся внутри металла мы при..
меняли статистику Фепмн, то нам необходимо теперь рассмо.
треть сумму (см. отдел If, 9 3)
9 F N(J)== kT lg( 1 +е W k S). (68)
СУММl.:Iрование распространяеТ<AI по 8сем стационарным со-
стояниям, т. е. по всем импульсам поступательнlfо движения, а
также при заданных трансляционных импульсах распространя-
ется ,состояния 1 и 2, обусловленные спином. Пусть у нас
имеется кусок металла, объема V, Tor да аналоrично тому, как
мы это делали во fI отделе 9 3, число состояний, заключаю...
щихся в интервале Иl\fПУЛЬСОВ dpa; dpy l!:p% равно:
/ V
h l dрж dPll dP..
Таким образом уравнение (68) преобразуется
g== У:аТ f f f[l (1+е ;II % )+
( ы +H1Ц) ) ] dРж dPlI dp..
+ 19 1 + е kT
"
Обозначим значения полусуммы (68) при отсутствии внешне...
ro поля через р'
Q1== У:/ J J ft g ( 1+е W )dP. dplI dp., · (70),
..J
причем 90 имеет то же самое значение, что и величина, введен-
ная нами в уравнение (59) отдел 11. Разло им теперь уравнение
63
(69,
(69) по степеням Н и, оrраничиваясь только квадратичными
членами, мы получим: .
9=290 + H2 i" 2 0 :: O . (71)
Для сравцения только что попученноrо результата с выраже-
нием (59) отдела 11 необходимо еще уравнение (71) разделить
на 2, так как во 11 отделе 3 не принималась во внимание
.двойственность общих состояний, обусловленная наличием спина.
Тоrда действительно мы получаем ",формулу (60) отдела 11, на
.основании которой нами уже были сделаны определенные вы-
воды, а именно: диамаrнитная восприимчивость противоположна
по знаку и равна по величине 1/8 раССМQтренной нами здесь
парамаrнитной восприимчивости.
Перейдем тепер к отысканию величины (70).
Вводя энерrию поступательноrо движения
р'" 1
Е== 2 то == 2 то (р;+ р;+р;) , (72)
.ее можно записать в виде следующеrо интеrрала по Е:
00 ш.....Е
9 == 21t k Т (:2т о )8'8 f v Е 19 ( 1 +е ItT ) dE. (73)
о
В наших вычислениях мы.оrраничимся только рассмотрением
(наиболее важtIPrо практически случая совершенно вырожден-
.Horo rаза Ф е р м и, коrда ш положительна и справедливо нера-
.»енство "
CJJ kl.
ш........ E KT,
:9 уравнении (73) экспоненциальный член очень велик по
oo E
. равнению с 1, так что 19 (l+e k T) можно заменить отноше-
ш.......Е
tВием kT ·
В пределах сравнительно узкоrо энерrетическоrо интервала
.
ш .......... Е ':::!. k Т
(74)
До тех пор, пока
:'экспоненциальное выражение уменьшается и в случае
Е .......... ш k Т, ,
'лодинтеrральное выражение (73) исчезает экспоненциаJIЬНО.
Пользуясь равенством (74), уравнение (73) можно записать
..8 следующей приближенной форме
CJ)
n 21t VkT :1 1 f / 81t V ( 2m ) 5
Cl:io== h B (2 то) " kT «(J) Е) r Е dE== 10 h 30 '8 001/.. (75)
О
i64
С уменьшением температуры степень приближения (15) уве-
Jlичивается.
Для введения общеrо числа электронов N вместо уравнения
(26) 11 отдела
дQ
N ==...... dш (76)
мы имеем приближенное уравнение
N== z dgo ,
dш
....
(77)
rде Q......величина, которую находим из уравнения (71).
Блаrодаря уравнению (27) отд. 11, маrнитный момент опре-
делится только вторым членом уравнения (11)
dQ
M== dH- . (78)
Но так как этот член сам пропорциовален lf2, то при опре..
делении по уравнению (76) числа N он обуславливает допол..
нительный член пропорционаJIЬНЫЙ Н4, которым можно пре-
1Iебречь. На основании ураLнений (77) и (75) имеем
N == .......... 2 dQo == 5 СШ 8/2
dш '
(19)
..
r де для сокращения записи положено:
81t V(2тO)8/1
с== 16h 8
(80)
Из уравнений (78) и (71) момент, отнесенный к единице объема,
равен
J..... М == 2H д 2 а.
V V д(J)..l'
следовательно, восприимчивость будет иметь вид
J 15с 1/1 (81)
Х==н==т v ш ,
rде с......... имеет значение (80).
Исключая ш из уравнений (79) и (80), мы окончательно полу"
чаем для вполне вырожденноrо электронноrо rаза парамаrнит"
ную восприимчивость в виде:
Х==Хо== : (5 с) ", ""== 12 (; )'" fJ 8mo t (82)
N
rде n==-----у число электронов, отнесенное к единице объема. Вос-
Приимчивость невъ'рожденноrо идеальноrо rаза, как мы сейчасуви-
дим, подчиняется закону Кюри, Т. е. с уменьшением температуры
5..1 ox '18 1
65
безrранично возрастает. При наличии вырождения восприимчи--
васть стремится к конечному малому пределу, что естественн()
вытекает из уравнения (82). Такое поведение восприимчивости
действительно наблюдалось для Na, К, Rb, и это было первым
веским подтверждением Toro допущения, что свободные элек..
троны металла можно рассматривать, как совершенно вырожден..
ный rаз Ферми.
Для более наrлядноrо истолкования Toro факта, что при
низких TeMnep:JTypax восприимчивость остается конечной (СМ.
урав. (82), мы рассмотрим еще раз полученное наl\iИ выражение
для восп иимчивости
.. 2fJo дlQо
Х. == v дш 2 .
Подставляя здесь значение Qo из уравнения (73), имеем:
00
fJ- 2 f 1 4 V ( ) 1 / 3 J ' /
v == , "", 2mо v Ef(E) [1 j(E)] dE.
л k Т , V h 3
О
(83)
(84)
rде
f(E)== Е Ш ·
e!lT + 1
В 9 Iражение, стоящее в скобках в уравнении (84), им ет очень
простой смысл. Мы знаем, что f(E} представляет собой вероят-
ность на ождения электрона в стационарном состоянии с посту..
пательной энерrией Е и определенной ориентацией спина, при
отсутствии внешнеrо маrнитноrо поля.
Вследствие этоrо
(85)
1 f(E)
(86)
дает вероятность Toro, что ),tbl не встретим в таком же самом
СОС10ЯНИИ движения какоrо-либо BToporo электрона, спин ко-
Toporo по принципу исключения должен быть ориеНТИР,ован в
противоположном направлении. Произведение обеих вероятно-
стей (85) и (86)
f(E)[l f(E)]
(87)
дает, очевидно, вероятность одновременноrо н а х о ж Д е н и я эле..
ктрона с о Д н о й ориентацией спина и н е н а х о ж Д е н и я BToporo
электрона с противоположной ориентацией спина, т. е. вероят-
ность нахождения о Д н о r о электрона с определенной ориен"
тацией спина в состоянии поступательноrо движения с энер"
rией Е. Та ким образом уравнение (84) rоворит о том, что при
слабых внешних полях в парамаrнетизме участвуют только те
электроны, которые находятся по одному в состоянии поступа-
тельноrо движения. TaKoro результата и следовало ожидать, так
как электроны, которые находились бы по два в одном и том
же трансляционном состоянии вследствие взаимно противопо-
ложной ориентации их спинов, компенсировали бы друr друrа.
66
Если
00
41t ( ) 3, J
п' (п == h 8 2mо 2 f (Е) [1 ........ f (Е)] У Е dE ,
о
(88)
т. е. равно числу электронов, находящихся в единице объема
по одному в трансляционном состоянии, то из уравнения (84)
имеем:
2
Х == :; n' (т) ·
(89)
в случае невырождеННОl"О rаза w отрицательна, и
100\ kT.
Вследствие этоrо функцией f(E) по сравнению с 1 можно
пренебречь и уравнение (88) перепишется
00
n'=: (2mo)'l'f f(Е)ПdЕ ==n=: o , (90)
о
rде п число электронов в единице объема....... друrими словами,
в рассмотренном здесь предельном случае электроны практи-
чески находятся по одному в различных состояниях переносноrо
движения, и вместо уравнения (89) мы действительно имеем за-
кон Кюри:
т
Х==И. (91)
. Разница между уравнениями (89) и (91) состоит только в том,
что в первое уравнение вместо истинноrо числа электронов п, вхо-
дит "эфективное число электронов" п', находящихся по одному
в определенных состояниях поступательноrо движения. Как по-
казывает уравнение (88), это эфективное число электронов при
низких температурах уменьшается пропорционально уменьше..
нию температуры, что компенсирует- как раз входящий в урав-
1
нение (89) множитель Кюри т и приводит К восприимчиво ти
(82), независящей от. температуры.
Если бы в уравнении (91) положить
( 3 ) ". nl'ah l
Т== т == (92)
о 1t 12kт o
то восприимчивость ХО в уравнении (82), выведенная нами для
случая идеально вырожденноrо rаза, по величине равнялась бы
восприимчивости идеальноrо классическоrо rаза (уравнение (91).
Таким образом порядок величины температуры в уравнении (92)
равен температуре, при которой обычно совершается переход
от классическоrо rаза к вырожденному.
67
Если предположить, что количество электронов в единице
объема равно количеству атомов в единице объема, т. е., что
почти каждый атом имеет одии свободный электрон, то по
уравнению (92) получаем
To 104 о абс.
Таким образом мы убеждаемся в том, что уже при нормаль..
ных температурах электронный rаз является, действительно,.
совершенно вырождеНr.ЫМ.
Перейдем TeIfepb к учету диамаrнитной части восприимчи-
вости, полученной в 6 отд. 11.
Полная восприимчивость электронов проводимости полу..
чается путем умножения (82) на некоторый множитель, а именно
..... ( 1t ) 1', n'/. то (93)
xo 8 3 .
Нужно думать, что представление о .свободных" электронах
проводимости особенно удачно применимо к щелочным металлам,
rAe внешний валентный электрон уже в свободных атомах отно-
сительно слабо связан.
Для определения n по формуле (93) предположим, что
каждый атом имеет один свободный электрон проводимости;
тоrда для щелочных металлов мы получаем следующие значе-
ния ьосприимчивости ХО. ДЛЯ сравнения мы приводим рядом
И экспериментальные данные.
Таблица 3
Na К Rb Cs
.
(107 '1..0) вычис. . . . \ 4,38 3,4 3,26 3,02
(107 У..о) наблюд. . 5,8 5,1 0,6 05
. . ,
Из таблиuы видим, что значения восприимчивости, вычислен-
ные теоретически, достаточно хорошо совпадают с ЭI{сперимен-
тально найденными. Значительные отклонения (ОПЫТIIЬJе лежат
ниже) при Rb и Cs объясняются, очевидно, тем, что мы при
вычислении в ура!Jнении (93) не учитывали диамаrвитной части
ионов решетки.
Эта часть с увеличением радиуса атома, конечно, также
увеличивается, делаясь. (в особенности в 1яжелых элемен 'ах)
достаточно БО.1ЬШОЙ, чтобы повлият, на результаты вычислений.
Труднее объяснить, поqему найденные эксперименrально зна-
чения восприимчивости Na и К б о л ь ш е значений, которые
нужно было ожида '.ь па расчетам нашей теории. Возможно, что
здесь иrрало значительную роль силовое влияние ионов на
электроны проводимости. И действительно, можно показать, что
18
такое силовое действие учитывается формально тем, что темпе....
ратура вырождения (92) делается меньшей, чем это дает для'
свободных электронов формула (92), а это в свою очередь
обуславливает увеличение независящей от температуры воспри-
имчивости. Точной теории, объясняющей этот вопрос, которая
в частности учитывала бы и влияние связи на диамаrнетизм, еще
не существует.
Исследуем теперь изменение маrнитноrо момента как функции'
напряжения поля Н в случае невырожденноrо 9лектронноrо,
rаза.
Так как в данном случае (J) отрицательна и 1(1)1 kT, то ана..
лоrйчно отд. 11. 3) лоrарифм в уравнении (68) можно разло-
U) 1!
жить по степеням е . Оrраничиваясь первыми членами раз о....
жения, имеем :
u) н tJ.tJ Н 1J.з 00 1!
Q== e kT'21t kT (2т J )'i е 7iТ +е kT)Je "т vEdE. (94}.
о
С друrой стороны, общее число электронов выразится
u) H1J.o Н 1J.o 00 Е
N ..... д2 ____ kТ 21t V (2 ) 3/2 ( kТ + °kf )J "Т УЕ
...... e т о е е е EdE
д h 8 ,
О
(95)
и следовательно по уравнению (94) общий момент
u) 00 1!
дQ kT 41tV 1/. HIJo J "т
M== д ==..-.oe h 8 (2т о ) sh kT е vEdE
о
(96}
или при учете уравнения (95)
h HlJoo
s kT
M==N't'o Н
cb
kT
Момент, отнесенный к единице объема, равен
N H't'-e
== JJ.o th kT ·
(9Z)'
J м th HlJoo N (98)
==у==пр.о kT J rде п== v · .
Сравнивая уравнение (98) с формулой (3), полученной по-
теории Л а н ж е в е н а, видим, что общий характер изменения J
1(8K функции Н остается тем же саМЬ1М. С друrой стороны БЛ8-
rодаря новому 'виду функции В уравнении (98), обусловленному
ДВУМЯ дискретными положениями спина, противоречие между
формулой Ланжевена и тепловым законом Нернста исчезает.
69
В самом деле, рассматривая часть, зависящую только от Н из
уравнения (94) и уравнения (97), для энтропии электронноrо
rаза имеем:
s== Е;Р :=.Nk{ Ig 2 ch 7 :;' th }J.o }. (99)
Выражение (99) ;действительно стремится экспоненциально
к нулю с увеличением температуры. Прибавляя в уравнение (98)
диамаrнитную часть (отдел 11 уравнение (65). MJ>I получаем об-
щий момент приходящийся на единицу объема:
J {th :H J t h HfJ-u kT } ( kT 2 )
+ n 110 kT С .JI 7iТ == н IJ.O == n II-u H!J'o sh H 11-0 ·
kT
(100)
TaKoro изменения вообще нельзя наблюдать, по той про-
стой причине, что находящийся в fеталле электронный rаз
есть rаз вырожденный, интересно отметить что для невырож-
денноrо rаза момент не растет монотонно в увеличением поля.
Увеличение происходит до определенноrо максимальноrо зна-
чения, и затем при дальнейшем росте поля момент с ремится
к нулю. При очень сильных полях каждый электрон металла
находится в минимальном энерrетическом состоянии в смысле
ero "спиралеобразноrо движения BOKpyr оси поля", что и обу..
славливает диамаrнитный момент величины "'0. С друrой сто..
роны спин всех электронов располаrается параллельно полю,
так что диамаrнитная и парамаrнитные части как раз компен-
сируют друr друrа.
IV. ФЕрромлrНЕТИ3М
о 1. Характерные свойства ферромаrнетиков
Эфект ЭйишТейиа......де-rааза
Ферромаrнитные тела (как отмечалось в 1, отдел 1) отли-
чаlОТСЯ, rлавным образом, той особенностью, что уже сравни..
тельно слабые внешние маrнитнюе поля MorYT вызывать не-
обыкновенно (по сравнению с друrими телами) сильное HaMar-
ничение. Наиболее характерно этот быстрый рост намаrничива--
иия проявляется в чистых монокристаллах, в так называемом
"направлении наиболее леrкоrо намаrиичения..
На рис. 1 показано изменение J в зависимости от Н.
На более сложной зависимости, обусловленной анизотроп-
ностью вещества (в произвольных направлениях), мы остано-
вимся ниже.
В достаточно чистых и правильно выраженных монокристал-
лах кривая намаrничения поднимается почти отвесно. Начиная
от определенноrо значения намаrничения J o , рост ЭТОТ сильно
70
замедляется и может давать заметное изменение J только при
большом увеличении поля.
Таким образом по сравнению со слабыми полями J o иrрает
роль как бы "Н а м а r н и ч е н и я н а с ы щ е н и я", paccMoTpeHHoro
нами в л а н ж е в е н о в о й теории парамаrнетизма в отд.III 9 1.
Поэтому мы будем 10 называть тоже "намаrничением насыщения".
Однако это "нама r н и ч е н и е н а с ы щ е н и я" сущестьенным обра-
.зом отличается от TaKoBoro парамаrнитных веществ, а именно: 10
здесь уже зависит от
температуры и, как мы
увидим в дальнейшем, 600
не может быть фор-
мально объяснено ори- 4до
ентацией всех элемен-
тарных маrнитов по
-направлению поля. Та.. 100
кое расположение эле-
ментарных маrнитов 200
"абсолютное на-
,сыщение" 1w (как и
в случае обыкновен-
ных параl.fаrнитных ве..
ществ) может быть
достиrнуто при нор-
мальных температурах Рис. 1. Кривая намаrвичевия монокристаллов ни-
только при очень силь- кепи в направлении наиболее леrкоrо намаrни.
ных внешних полях, в чевии [111] по Кайя.
то время как J o в
-силу ero определения достиrается уже при наличt1и слабых
полей. Так для получения "намаrничения насыrцения" и .абсо-
лютноrо насыщения" необходимо наличие полей разных поряд"
.ков величин, отличающихся, примерно, в lGБ раз при обычной
температуре.
При абсолютом нуле J o переходит в абсолютное насыщение J UJ , и
очевидно здесь эти величины совершенно эквивалентны друr друrу.
Характерной особенностью ферромаrнитных тел является на..
личие у них "ферромаrнитной точки Кюри" или, как мы будем
короче называть" т о ч к и К ю р н" 8, т. е. температурной точ-
ки, при которой J o делается равным нулю. При температуре
выше "точки Кюри" ферромаrнитное тело теряет свое основ..
ное свойство, т. е.при слабых внешних полях оно не обладает
уже конечным намаrничением. Более TorO........TaKoe тело необхо..
димо уже отнести к классу парамаrнитных тел, хотя ero пара-
маrнетизм все еще отличается от парамаrнетизма обыкновен-
Иh'Х парамаrнитных тел (например, paCCl\fOTpeHHblx нами в отд.III
парамаrнитных rаэов 02 11 NO). Разница эта заключается в свое-
образном изменении восприимчивости как функции темпера-
т .Уры (ср. отдел. 1, 1).
7
,
,
,
,
,
. "
.
...
/111)
..
\
, I
. I
I
.
. ,
.
100
о
I .
lJt1
1
РОО
I
1IJt)
)
1fI}Q,
50/1' ,#ф 10q
71
Совершающийся при температурах близких к точке Кюри
переход ферромаrнитноrо состояния в парамаrнитное, отражает..
ся известным образом на термических свойствах вешества, что,
впрочем, 'и следовало ожидать. Так, например, удельная теплоем..
кость С'" увеличивающаяся обыкновенно монотонно с ростом
температуры, вблизи точки кюри в сравнительно узком темпе..
ратурном интервале сильно уменьшается.
Первым вопросом, на который мы наталкиваемся при теоре..
тическом толковании ферромаrнетизма, является вопрос о при
роде элементарных МйfНИТОВ. Предположение, высказанное по
этому поводу еще до разработки квантовой механики, сводилось
к той мысли, что ферромаrнетизм вызывается каким-либо дви"
жением элrктронов внутри ферромаrнитноrо тела. После Toro,
как Э й н ш т е й н о м и Д e-r а а з о м t впервые было замечено,
что при перенамаrничении маrнитноrо тела изменяется ero мо"
мент импульса относительно направления намаrничения, пред-
ставилась возможность проверить такое обоснование' ферромаr..
нетизма экспериментально. В самом деле, если обыкновеНJIое
движение электронов обуславливает по явл ение ферромаrнетизма,
то отношение изменения намаrничения M k изменению момента
импульса А m (уравнение (16) отд. 11) равнSJЛОСЬ бы:
А М \ е
Ат ==2m о с.
(1)
Оказывается, что старые экспериментальные исследования
подтверждают этот результат. Более точные измерения, произ..
веденные С т юар т о м, 2 Б е к о м, 8 А р в и Д с о н о М, 4 Ч е т т 0-
к о м и Б е т с о м, 5 В особенности опыты Б а р н е т т а, 8 полу-
чнвшеrо обратный эфект, а именно намаrничение вращением
стержня, привели к иному результату: было получено с точ"
востью до нескольких процентов значение отношения А м I
Аm
вдвое большее:
\ : == :со .
До открытия электронноrо спина дать объяснение получен-
ным нами здесь результатам с точки зрения классической меха..
(2)
1 А. Е i n s t е I n u. W. J. d е Н а:а s,.:l Verh. d. о. Phys. Ges. 17. 152 u. 420.
1915. :"
I J. Q. S t е w а r t, Phys. Rev.", 1, 100. 1918.
8 Е. В е с k, Phys. ZS. 20, 490.--1919; Апп. d. PhY51k. 60, 109, lQ19.
· о. А r v 1 d s s оп, Phys. ZS. 21, 88. 1920.
· А. Р. С h а t t о с k u L. Р. B a t е 5, Nature 90r '122. 1922.
· Vgl. S. J. В а r n е t t, "Angular momentum of the elementary magnet 8 . Bull.
of the Nat. research Counc. Уо1. S,.:.Patt. 3, No. 118. s. 235;l.Nat. Acad. of Sc.l{122.
'12
ники не представлялось возможным. После введения понятия
спина картина изменилась. В самом деле, в отделе 111 уравнение
(7) мы видели, что величины собственноrо момента импульса
электронов и MarHIlTHoro момента, обусловленноrо спином, ведуТ"
себя так, как их наблюдаемые изменения в формуле (2). Таким
образом мы имеем все основания думать, что ферромаrнетизм,
если не полностью, то существеннейшим образом обуславли.-
вается ориентацией спина внутренних электронов.
Как истолковываются полученные здесь результаты (1), {2
при объяснении ферромаrнетизма с точки зрения квантовой ме--
ханики, мы увидим ниже ( 3). Сейчас же перейдем к изложе...
нию очень плодотворной rипотеэы, позволившей еще в 1907 ro-
ду В е й с у объяснить наиболее важные свойства ферромаrне--
тизма.
2. rипотеЗ8 МQлекулярноrо поля. ВеАса
Еще в 1908 r. п. К ю р и t указал на близкое термод'инами--
ческое сродство процессов перехода парамаrнетизма ..в ферро..
маrнетизм в точке Кюри и с ижения rазов при тем.пературе-
точки кипения. .
Последний процесс особенно хорошо описывается при ПО)10-.
щи уравнения в а н - Д ер - в а а JJ ь.с а. При выводе этоrо уравне..-
ния состояния наряду с взаимным отталкиванием молекул Быии
учтены силы притяжения на больших расстояниях. Последнее
выражалось в том, что к внешнему давлению добавлялось вну-
треннее дополнительное давление. Совершенно аналоrично по-
ступил и п. в е й С, 2 предположив, что для объяснения ферро-
маrнетизма к внешнему полю необходимо добавить He.KOTopoe
внутреннее дополнительное поле.
Не интересуясь происхождением этоrо BHYTpeHHero ПО-ЛR,
В е й с сделал предположение, что оно пропорционально уже
имеющейся маrнитной поляризации, отнесенной к единице объ
ема, т. е. общее действуюшее поле он положил равным
Н' == Н +vJ, (5)
rAe Н обозначает напряжение внешнеrо поля и 'aI числовой
коэфициент пропорциональности определяемый соответствую-
щим образом из опыта. Свои дальнейшие расчеты В е й с произ-.
водил на основании теории парамаrнетизма Л а н ж е в е н 8, из-
ложенной нами i:t 1 отд. 111.
Подставляя в формулу Л а н ж е в е н а отд. 111 уравнение (2).
вместо Н величину Н' уравнения (3), он получил ОСНО8НУЮ фор
мулу ферромаrнетизма.
I Р. с u r i е, Oeuvres, Paris 1908, s. 232.
I Р. W е j s s, Journ. de Phys. et le Radium (4) 6, 661. 1907; Phys; Zs. 9, 858..
1 ; Jah buch 4. ad. u. Elektr. 5, 212. 1908.
'lS
в 1 мы видели, что причину ферромаrнетизма нужно при..
писать спqну электронов, с друrой стороны установили, что
уравнение (2) отд. 111 оказалось неверным для ОПF сания пара-
маrнетизма невырожденноrо электронноrо rаза и TO ero необ-
ходимо заменить уравнением (98) отд. 111. Поэтому при изложе-
нии расчетов В е й с а мы будем исходить из последней формулы.
Это существенных изменений не внесет в изложение В е й с а,
зато мы с caMoro начала будем иметь дело с формулой (ср. 1
и 4 отд. 111), не противоречащей тепловому закону Н е р н с т а,
и, кроме Toro, мы будем иметь возможность сравнить получен-
НDJЙ нами результат с квантовой теорией ферромаrнетизма, ис-
ХОДЯLЦей непосредственно из электронноrо спина.
Маrнитный момент, отне-
i сенный к единице объема
rаэа, в уравнении (98) отдел
111 был равен
J ..... th Нр.о
п J kT .
( )
По теории молекулярноrо
поля В е й с а он перепишется:
,.
J == пи,\ th н' 1-'-0
ru kT '
(5а)
(5б)
Рис. 2.
Н' == н +yJ.
Уже по уравнениям (5а) и (5б), как мы сейчас увидим, так-
же для исчезающеrо внешнеrо поля Н намаrничение не равно
нулю, а принимает конечное значение J==J o , что является реша-
ющим фактом в истолковании ферромаrнеrизма.
В самом деле, это следует из рассмотрения уравнения (5)
посредством rрафическоrо построения. Введем новые величины,
не имеющие размерности
J Н' Н
V · X ....... . Х tJOO
== n 1-'-0 ' ....... k Т ' о == k Т
(6)
тоrда из уравнений (Ба) и (56) имеем:
y==thx,
(7а)
kT
у== о (х х о ). (76)
пtJ.2"
Эти кривые (7) изображены на рис. 2. Пересечение их дает
величину ХоУ==Уо, соответствуюLЦУЮ данному Хо, Т. е. (в сипу
уравнения (6) величину намаrничения J) в данном внешнем попе Н.
Непосредственно видно, что при достаточно низких температурах
и также при исчезаюшем внешнем MarHkTHoM поле остается на-
14
маrничение конечной величины, а именно J == J o . Из уравнения (6)
для н==о, x ==o, т. е. прямая (7б) проходит через начало коорди-
нат. До тех пор пока TaHreHC наклона прямой (7б) меньше таи-
reHca кривой (7а) в нулевой точке, т. е. меньше 1, кроме точки
пересечения у==о будут существовать еще две точки пересече-
ния
"
J
I у '== .
п (J-o
Таким образом при
kT 1
<
п Р'о"
или
о
т п(J-2" е
k
(8)
мы имеем дело с ферромаrнеrизмом.
Полученные неравенства (8) и дают объяснение явления точки
.е по Вейсу.
Звая из опыта температуру точки КIОРИ, можно из уравне-
ния (8) вычислить постоянную молекулярноrо поля. Рассмотрим
в качестве примера железо. Точка е для железа равна 10400;
величина наблюдаемоrо абсолютноrо насыщения nJ.1o равна n o ==
==J ю == 1700 о. Подставляя все эти значения в формулу (8) полу-
чаем:
v "" OJ 9 . 104 .
(9)
На основании полученной величины v можно сделать целый
ряд важных заключений относительно природы молекулярноrо
поля, но этот вопрос мы рассмотрим ниже, а сейчас перейдем
к исследованию изображений на рис. 2 кривой (7). Предположим
сперва, что Т < е и H O. Зададимся вопросом, какой физиче-
ский смысл имеет тот факт, что одному определенному заданному
значению Xo== fJ соответствуют при слабых полях три ТQЧКИ
пересечения, т. е. три значения Л
Причину этоrо соотношения нередко усматривают в свой-
ствах rистерезиса ферромаrнетиков. В самом деле, еще в 1
отдела 1 мы видели, что явление rистерезиса выражается в не-
однозначности J как функции Н, и что в зависимости от Toro, как
исчезает или растет намаrничение при изменении внешнеrо поля,
получаются самые причудливые петли кривых намаrничения.
Между тем уже порядок полученных нами величин rоворит о том,
что все эти соображения должны быть совершенно неверными.
И действительно, пользуясь, скажем, для желеэ&, найденной нами
величиной v (9) и вепичиной J o 1700 О при нормальных Te -
пературах, мы находим напряжение молекулярноrо поля
Hw==vJo 1,5.107 о. (10)
75
Полученная величина поля HaMHoro превышает максималь..
ное 1iапряжение поля 1(0 rayccoB, в пределах KOToporo наблюдается
явление rистерезиса. Следовательно, Бысказанная выше мысль,
которая должна была ПРИБОДИТЬ к единстьенно сравнимому
с полем 100 rayccoB полю, должна быть отброшена. Кроме Toro.
тоrда необходимо было бы допустить, что все ферромаrнитные
тела обладают свойством остаточноrо маrнетизма. Между тем
мы знаем. что эти свойства существеННЬ1М образом зависят от
обработки тел, их чистоты и т. д., а в очень чистых телах при
некоторых обстоятельствах вообще не наблюдаются. О причинах
обуславливаемых остаточный
маrнетизм, мы будем rОБОрИТЬ
ниже в 7. Итак вернемся
к нашей начальной мысли
относительно трех математи-
чески полученных точек пере-
сечения, соответствующих од"
ному ХО И трем значениям
Из этих трех значений J, нуж-
но полаrать, что только ма..
ксимальному соответствует ус..
тойчивое намаrничение (KOTO
рое можно физически ocy
о 2000 "000 6000 8000 rOVC( wествить), происходящее в
направлении поля. Остальные
Рис. 3. Кривые ваuаrвичения мноrокри- две точки пересечения COBep
сталлов кобальта по Кайи. шенно неустойчивы и практи
чески вообще не наблюдаемы..
При изменении внешнеrо поля, т. е. при изменении знака XO
противоположное значе ие J MrHoBeHHo делается устойчивым,
и вопрос заключается' только во времени, за которое про...
исходит переориентация намаrничения в друrом направлении.
Из экспериментальных наблюдений оказалось, что время пере-
ориентации необыкновенно мало, так что до сих пор оно вообще
не поддается измерению} и в нонечном счете мы получаем кривые
типа рис. 1, не имеющие вообще никаких следов остаточноrо
маrнетиэма.
Перейдем теперь к рассмотрению изменения J o в зависимости
от температуры. На рис. 2 это изменение получается вследствие
вариирования наклона прямой (76) при Хо== о. Очень низкие тем-
пературы соответствуют малому наклону и следовательно боль-
шому эна чению намаrничения J t . n1-'"о.
ВеЛlAина намаrничения п представляет собой как бы верх..
нюю rраницу, максимальное значение намаrничивания, которое
не может быть превышено ни при каких напряжениях внешних
полей, поэтому мы ero отождествляем с "абсолютным насыще-..
нием" JfIJ (см. 1). J w соответствует, действительно, параллель-
ному установлению всех элементарных маrнитов. Для темпера.
7
'600
1400
/0001)
1200
fOOO
800
600
;OD
76
ypы вблизи т==о, как видно из уравнения (7а, б), мы имеем
10 ::::: n'lLo (1 2е ) .
При возрастании температуры J o монотонно убывает (этоrо
'требует и эксперимент) и при Т== 8 достиrает нуля.
Вблизи точки Кюри 8 из уравнения (7а, б) мы получаем
10 ::::: n'l1о 'v 3 (1 ).
Выше точки Кюри Jo O мы имеем чисто парамаrнитный ха..
-рактер поведения тел, и закон намаrничения в слабых полях
представится
(11)
(12)
(13)
"rде восприимчивость 1. подчиняется закону Кюри-В ейса (срав.
. 1, отдел 1)
J == 1.. · Н,
п 2
.., IJ.O
л k (Т 8) ·
(14)
Мы видим, как просто описывает теория Вейса с качествен-
ной стороны rлавные особенности ферромаrнетизма.
Однако, хотя эта теория и обладает эвритической ценностью
и исключительной просто-rой, она не в состоянии дать описания
истинноrо положения вещей.
Во-первых, необходимо отметить, что уравнение (11), спра-
ведливое для низких температур, противоречит опыту, дающему
вместо формулы (11) 1
Jo пJ1o(l cT2). (15)
Правда это объясняется тем" что мы при описании парамаr-
нетизма пользовались формулой (4). Если вместо нея применить
-формулу (2) отдел 111 Ланжевена, то закон (11) перепишется
10 ::::: n'l-'o ( 1 ). (16)
что, впрочем, опять таки противоречит экспериментальным дан-
ным и кроме Toro, как мы видели, также противоречит и теп-
АОВОМУ закону НеРНС1З.
Возможность установить вместо (4) друrой, не поддающийся
простому истолкованию закон изменения J с те lпературой, ко-
.торыА правильно отображал был это изменение при низких тем-
пературах, указывает на наличие области применимости rипотезы
Вейса. В выведенном нами уравнении (14) для восприимчивости
при температурах, лежащих выше точки Кюри, мы снова встре-
чаемся с этими пределами, оrраничиваюшими теорию Вейса.
Полученная нами там "парамаrнитная точка Кюри. должна
1 Сраав. а особенности Р. W е 1 s s u. К а m е r 11 n g h - О n n е 5, Сошш. Nr.
114, 191u; Versl. Amst. Acad. Febr. 1910, s. 768.
77
была бы совпадать с ферромаrнитной точкой Кюри 8. OДHaKO
как показали измерения Фор Р е Р а, 1 этfi точка лежит выше
на 15............400.
В отделе 1 1 мы видели, как из термодинамических соображе...
ний на основании справедливости закона Кюри-Вейса для воспри-
имчивости при температурах, лежаПIИХ выше точки Кюри, была
установлена квадратичная зависимость энерrии ферромаrнитноrо
тела от ero намаrничения (ер. отдел 1 уравнение (22), и фор
маЛЬНQ установлено существование молекулярноrо поля.
Для более подробноrо исследования энерrии ферромаrнитноrо
тела (в особенности это- касается ero удельной теплоемкости) уже
недостаточно чисто термодинамических рассуждений; здесь
необходимо ввести особую дополнительную rипотеэу с таким
расчетом, чтобы ее леrко можно было проверить. Проще Bcero
предположить, что энерrетическое действие молекулярноrо
поля аналоrично (хотя возможно и не в абсолютном смысле
слова) действию внешнеrо поля Н.
Из уравнения (24) отд. 1 для бесконечно малоrо изменения
энерrии) . обусловленноrо адиабатическим изменением поля, мы
имеем
dE== 1dH. (17)
Пусть далее поле Вейса будет равно
Hw==v/, (18)
тоrда внутренняя энерrия ферромаrнитноrо тела, обусловленная
присутствием этоrо поля, запишется
dE== JdHtI) =:; vJdJ, (19)
т. е.
E ==....... ; J2. (20)
Здесь снова (анапоrично уравнению (22) отдел 1) мы полу"
чили квадратическую зависимость энерrии от намаrничеиия.
В силу уравнения (10) для удельной теплоемкости, OTHece HoA
к единице объема) мы получаем:
С ==.......... dE == .::.... d J2 (21 )
v dT 2 dT ·
В случае йсчезающеrо внеПlнеrо маrнитноrо поля 1 заменя..
ется значением 10' Т. е. вместо уравнения (21)
dJ
C7J=== 2 dT. (22)
По той причине, что за nредеЛОАf точки Кюри 10' а следо...
BaTeJJbHO, и J исчезают, и что при температурах, лежащих ниже
........
1 Р о r r r, с. R 188, t242 44, 1929, Nr. 19.
78
точки Кюри, (в силу уравнения (12) J линейно увеличиваютсsr
с уменьшением температуры, удельная теплоемкость, обусловлен-
ная молекулярным полем, в точке Кюри испытывает скачек.
Сравнивая ход теоретической кривой с опытными данными,
мы убеждаемся еще раз, что теория Вейса, допуская rипотезу
(19) правильно отражает качественную сторону физическоrо-
процесса. Однако для требовании более тонких особенностей
этоrо процесса она оказывается несостоятельной. В частности,.
это сказывается при требовании резкой прерывности кривой
удельной теплоемкости при температуре вместо быстроrо, но
непрерывноrо изменения.
Что касается физической природы молекулярноrо поля, то
проще Bcero казалось бы (в случае ферромаrнетиков) приписать
ero свойствам маrнитной поляризации. В самом деле, соrласно фор-
мулировки В е й с а (3) маrнитное поле, возбуждаемое всеми элемен-
тарнь,ми маrнитами и действующее на один из них индивидуа...
лизированный маrнетик, пропорционально намаrничению, рассчи...
танному на единицу объема. Однако количественные вычисления
показали, что эта мысль совершенно неправи 'lbHa. Так, например,.
основываясь на вышеприведеНhОМ объяснении молекулярноrо.
поля, леrко показать, что при расположении элементарных
41t
маrнитов в решетке кубической системы постоянная v равна 3
и при всяком друrом располоя<еlfии....... величине порядка 1.
В действительности же мы имеем дело. с несравненно большими
силами, чем маrнитные. силы взаимодействия элементарных
маrНИТ08. В этом можно леrко убедиться, подставляя в уравне-
ние (9) экспериментально найденные точки Кюри и находя.
величину . Оказывается, что порядок величины у получается'
б 4
при лизительно в 1000 раз большим з. Такое количественное рас"
хождение было впервые замечено самим Вейсом, который еще Tor-
да высказал мысль, что молекулярное поле внутри металла обус-
лавливается rораздо большими силами взаимодействия електри-.
ческоrо происхождения, нежели маrнитные силы взаимодействия
элементарных маrнитов. rlравда, дать CTporoe объяснение TaKO tY
действию электрических сид с точки зрения классической меха-
ники было невозможно, и только уже квантовая механика дала
неС6мненно удовлетворительное объяснение молекулярноrо поля..
Первыми работами по этому вопросу были работы r е й зе н..
б е р r а 1 и независимо работа Д о р Ф м а н а и Фре н к е л я. 2
По существу мы подошли вплотную к вопросу о том, каким
образом электрические силы взаимодействия MorYT обуславливать.
сильную связь ЭJ1ектронноrо спина, к вопросу, КОТОрЬ 1 Й уже
ставился в связи с объяснением различных энерrетичеСI{И сильно.
1 w. н е 1 s е n Ь е r g, ZS. f. Phys. 46, 619. 1928.
2 J. F r е n k е 1, ZS. f. Physi. 49, 31. 1928.
79.
()тличающихся друr от друrа термов атомов со мноrими
электронами, к вопросу, который просто и ясно решает кван..
товая механика, оперируя понятием "обмена электронов., не
Jlмеющеrо смысла в классической теории. В качестве наиболее
npocToro примера рассмотрим спектр атома rелия с двумя
электронами. Спектр ero состоит из двух слабо друr с друrом
комбинирующихся систем TepMoB 1 а именно из триплетной, так
называемой ортосистемы и синrлетвой парасистемы.
В ортосистеме спин электронов. каждый из которых равен
1 h
s == 2 в еАиницах 21t складываясь, образуют один общий мо-
мент равный 5== 1, который блаrодаря ero 25+1 ==3 возможным
ориентациям относительно какоrо-либо заданноrо направления
приводит к тройному расщеплению "без спинноrо" ортотерма,
Т. е. к триплетной системе.
В случае парасистемы спины компенсируют друr Apyra, Аа-
:иая 8==0, что обуславливает синrлетную систему. Интересно
отметить, что термы ортосистемы лежат в энерrетическом от-
ношении ниже соответствующих термов парасист мы. Объяснить
этот факт малой разностью маrнитной энерrии при параллель-
,ном и аllтипараллельном установлении маrнитных диполей мы
не можем. Такое объяснение должно сводиться к силам элект-
рическоrо происхождения. В известной теории спектра rелия
rаЯзенберrа 1 м.атематичеСIfИ это выражается в том, что для па-
расистемы 8 силу запрета Па}ли собств нная функция атома
симметрична относительно координат обоих электронов, т. е.
при перестановке электронов она не должна ИЗ.\tеняться. В слу-
чае же ортосистемы при перестановке электронов собственная
.функция атома должна менять своей знак. Это приводит к то..
'му, что среднее взаимное расстояние электронов в ортосистеме
.'больше, чем в парасистеме, поэтому взаимное отталкивание
.электронов будет меньше. Таким образом атомный терм
'ортосистемы может лежать значительно ниже соответствующе-
то терма парасистемы. Для более подробноrо и точноrо изу-
чення при:роды молекулярноrо поля мы применим метод исследо-
,вания атома rелия к случаю ферромаrнитноrо металла с очень
большим числом электронов.
t 3. Обмен электронов в ферромаrнетиках
Дать точное решение квантово-механической проблемы для
такой сложной системы, как металл с ero мноrочисленными
электронами, взаимодействующими как Apyr с друrом, так и
с ионами решеток, конечно не представляется ВОdМОЖВЫМ. При-
ходится удовлетворяться только известными приближениями,
пользуясь при этом целым рядом допущений, которые упроща-
ют интересующий нас вопрос и более ясно подчеркивают ero
1 w. н е I s е n Ь е r g, Z. S. f. Phys. 39. 499, 1926.
80
физическую. сущность. В наших исследованиях мы будем исхо.-
'дить из следующей модели металла, основанной на теории стро-
ения rомеополярн'ЬJХ олекул rейтлер - Лондона: металл пред-
ставляет собой сис'rему невозмущенных в нормальном состоянии
атомов, ядра ....КоТорых расположены в точках кристаллической
решетки и (8 силу, их большой' инертнос,ТИ) предпалаrаются
неподвижными. ВзаимодеАств е этих атомов мало по сравнению
с их внутренними силами, что позволяет исходить из рассмот-
рения металла, как системы невазм щенных атомов в основном
состоянии.
Электроны, находящиеся во внутренних законченных оболоч..
нах .атомов, не оказываIОТ значител.ьноrо влияния на внешние
свойства атомов, поэтому в наших расчетах мы будем учи ( ы-
вать их лишь ПОСТОЛЬКО J посколько они до некоторой степени
экранируют ядерное .поле.
Таким образом наше внимание будет сосредоточено на ва..
лентных электронах. Для упрощения мы преДПQЛОЖИМ, что
каждый атом в нормальном состоянии имеет один валентный элек-
трон, находящийся 8 некотором S - состоянии с собственной шаро-
симметрическоЙ функцие't и равным нулю орбитальным моментом.
Последнее допущение не противоречит эфекту Эйнштейна
де-rззза и эфекту Барнеттз, соrласно которым влияние ор..
битальноrо момента на ферромаrнетизм исчезающе мало.
Если отбросить такде допущение, то исчезновение общеrо
орбитальноrо момента нам пришлось бы получить путем 60-
JIee сложных вычислений, тносящихся к устранению "рост-
paHcTBeHHoro вырождения отдельных атомов. Эти вычисления
принципиальноrо значения не И\ilеют. Правда неООХодиМО.t:отме-
тить, что допущение существования- валентноrо электрона, на-
ходящеrося в s- состоянии, не всеrда соответствует действи-
тельности, что имеет место, например, в ферромаrни1'НЫХ эле..
ментах Fe, Со, Ni; ниже мы вернемся еще к этому ВОП1JОСУ и
установим некоторые дополнительные требования, позволяю..
щие учесть сложное строение этих элементов.
Маrнитными взаимодействиями в решетке по сравнеНИIQ с
электрическими мы будем 1 акже пренебреrJТЬ. Роль их в фер-
ромаrнетизме мы установим в друrом месте.
Анзлоrично те.ррии rомеополярной" связи молекул, электри-
ческое взаимодействие атомов решетки рассматривается как
малое возмущение, и вычи.сление 9нерrий различных стационар-
ных состояний системы производится только в первом прибли-
жении. По значениям энерrий определяет<!R статистическая сумма,
посредством которой по Э 5 отдел. 1, можно установить все
'свойства ферромаruетиков. Таким образом наша задача. будет
состоять в изучении проблемы теории возмущения, характерной
для обмена электронов и позволяющей находить энерrии......в
первом приближении, а собственные функции системы в "нуле.,
БОМ" приближении.
пox.....'1 6
81
Перейдем к ней. Вместо применявшейся прежде метода теории
rрупп исполь ем здесь метод более простой и наrлядный, кото-
phJ М впервые пользовался С л е й т е р t при изучении атомных
'спектров. Этот метод более соответствует физическому толко-
ванию вопроса, чем общие соображения метода теории rрупп
так как он в самом уже подходе к изучению систем, состоящих
из множества электронов, учитывает принцип Паули.
Рассмотрим с начала собственную функцию отдельноrо атома
решетки! находящеrося в нормальном состоянии. Положение
ero центра определится вектором f ,с целочисленными компо..
нентами /1' 12' 12' причем ero радиус вектор Wf, отсчитанный
от любой точки решетки как от начала координат, определится
вектором f и тремя основными векторами 8, Ь, с, а именно:
w,==f 1 a+f 2 b +fsC. : (23)
llосколько мы превебреrли маrнитными взаимодействиями,
собственные функции. каждоrо атома фf МОЖНQ. представить
в виде произведения двух функций: одной, зависящей только
от координат <р, (xyz), и друrой, зависящей, ,исключительно от
перемевной спина Паули, С, Ilf(C) (срав. уравнение (31) отд. 111)
моrущей в зависимости от параллельной или антипараллельной
(относительно какоrо.либо фиксированноrо направления) ориен-
тации спина принимать только два значения. В качестве T8Koro
фиксирова ноrо Н,аправления мы выберем положительную ось Z.
направленную вправо.
Поэтому в дальнейшем вместо Toro, чтобы rоворить "парал-
лельная" или "антипараллельная" ориентация пина, M . будеМ t
употреблять более короткий термин, а именно будем rоворить
что спин ориентировав "влево" или "вправо..
Б зависимости от правой или левой ориентации спина атома
f функция сп'ина ПРlQtимает разные значения
и(l) == 1. u(2) == О / ( 24а )
1'1' f'l
или
U (1) --- О . 11 (2) 1
f --- , f ...... ·
. I ф
Таким образом соответственно двум собственн функциям
(соответствующим одной энерrии атома) K дoe атомное состо-
яние вырождено дважды.
(24б)
"
фf'l. == фf UffJ.,
фf == q;f Uf ,
,
(2'5а)
,. (25б)
, .
в том СЛlчае, если решетка кристалла. состоит из N атомов;.
начальная, так сказать, исходная система будет вырождена
2 N раз.
1 J. с. S 1,а t е r, Phys. Rev. 34, 1293. 1929.
f2
Задавая для каждоrо атома 1 левую или правую ориентацию
спина, т. е. выбирая в качестве собственной функции (25а)
JlИ (25б), мы полностью характеризуем эт 2 N вырожденных
состояний. '
Можно, конечно, RОСТУПИ'!р и иначе. Скажем задать все те
атомы f 1 12 f з . · · f,., спины которых ориентированы вправо. Тоrда,
очевидно, спи ы остальных атомов 9УДУТ ориентированы влево,
и, следовательно, состояние системВl будет определяться одно..
значно.
На основании запрета Паули мы оперируем с собственными
ФУНКЦQЯМИ антисимметричными относительно электро ов, т. е.
функnиями, которые при перестановке местами каждой пары
электронов меняют свой знак. Пусть, например, спины атомов
f 1 , 12... Ir рриентированы вправо, и спины атомов f r + 1 , fr+2... IJ.l
ориентированы влево;. Tor да собственная функция выразится
суммой
. .
ф (fl. · · f r ) == ::t: Р [фflа.(I) f2 (2). · . фlr (r)фlr.+l (+l) . . . Фf ?] (26)
р
Здесь суммирование про изводится по всем перестановкам
электронов [ ! (i) обозначает, что i-тый электрон находится
при атоме f].
При этом четные перестановки входят в сумму со энаком r-
и н четные со знаком . I
Собственные функции "нулевоrо \ приближения", как известно,
представляют собой линейную комбинацию собственных фун-
кций (26), друrими словам.и, собственную функцию нулевоrо
приближения \j!. можно записать в форме '
. == а (11 . · . f ) \.1/ ( 11. . .f r ) · (27)
'10 . ' т
Вследствие этоrо вековая проблема сводится к решению линей-
ной однородной системы уравнений с коэфициентами а (11...1,),
куда "в виде параметра входит энерrия возмущения в первом
приближении.
Леrко пеказать, что эта система ураВ,нений в нашем случае
имеет вид 1
еа (11 . . .f r )+ I ff . [а (11'.. .f r ') а (11" . .f r )] ==0. (28)
'1' H..'r'
"
.' Здесь в есть энерrня возмущения, определенная в первом
приБЛИilCении с точностью о ПРОИЗВОJlЬНОЙ аддитивной посто-
янной.
Выражение (28) эквивалентно 2 N уравнеl1JfЯ-М (с таким же
числом неизве6ных) соответструющи 2 N ВQ8МОЖНЫМ "распре-
дел ениям a ..r направо ориентиpDванноrо СПИН,а различн ы х атомов.
1 Ср. для этоrо случая и последующих: F. В 1 о с h,...ZS. f. Phys, &7. 545. 1929
61, l06. 1980. ...
.
8;}
Суммирование производится по всем "распределениям" (f 1...1, ),
которые получаются из распределений. (11...1,) посредством пере-
становки вправо и влево ориентированных спинов двух аире..
деленных атомов, напр. атомов 1 и f'.
Тоrда соответствующий .обменный интеrрал" 1п, запишется
1", == J cp l> ! 2) t?> If > ( ;: + V l> + V 2>-+ \1 ) + _V ») d'C d't 2 ". (29)
Здесь r 1 'l обозначает взаимное расстояние электронов 1.ro
и 2-ro R V f , Vf' экранированные ядерные поля атома f и (.
Интеrрирование (28) распространяется по всему пространству
'обоих электронов. Как видно из уравнения, этот обменный ин-
теrрал ,очень быстро уменьшается с увеличением расстояния
между атомами 1 и f". Следовательно в нашем приближении
'можно допустить, что 1 иrрает значительную роль только иежду
двумя соседними атомами, причем всеrда имеет одно и 1'0 же
значение 1, т. е. предположить, что
1 J 1 для соседвих f и f .. (30)
'" == 1 о во всех' остальных случаях. '
Возвращаясь снова к уравнению (28), необходимо первым
долrом отметить, что система уравнений (28) распадается на
N+l независимых систем, соответствующих различньtМ. общим
числам спинов, ориентированных вправо, а именно, ЧИСЛАМ r==O,
1, 2, . . . ,N. В самом деле распределение (1'1,..., f',) содержит число
вправо. ориентированных спинов, равное числу их в первока-
чальном распределении (11, ..., 1,), из KOToporo новое распределе-
ние было ПОJJучен,О путем обмена мест вправо смотрвщих спинов.
То обстоятельство, что каждому стаЦИОНаРНОМУ состоянию
соответствует вполне определ вное r, Т. е. определенная величина
общеrо спина в направлении 'Z, rqвориr о ero ПОСТОЯtlСТве во-
времени r, что, конечно, и следовало ожида'lЬ. поскольку мы
пренебреrли маrнитными силами взаимодействия. .
. Общее число спинов r, ориентированных вправо, может быть
выражено через z-ую компоненту In общеrо сцинц.. (измеренную
h
В единицах 21t ) следующим образом:
r==п+т
или
т== r п,
1,","-
rде
N
n==2.
..
(31)
.
На основании общеrо квантово механическоrо закона сохра-
нения момента количества движения можно сказать, что в каж-
дом из стационарных состояний спин s (наряду с т) обладает
h
определенным значением (измерение в 21t В единицах).
84
.
,'(о Таким образом система уравнений (28) распадается как по
различным значениям т, так и s.
Однако нет никакой надобности сводить уравнение (28) к раз..
личным "системам термов" s.
Для наших дальнейших рассуждений достаточно, очевидно
физическоrо факта независимости энерrии стационарноrо состо-
яния (с заданными s при отсутствии внешнеrо маrнитноrо
поля) от пространственноА: ориентации вектора S и ero Z-ВОЙ
компоненты In, т. е. довольно Toro факта, что энерrия состо.;'
яния во всех системах уравнений одна при всех
1т: < 8.
.......
Это значение поз оляет леrко найти ч и с л о в с е х термов
Z (s), принадJiежа щих к одной системе термст s, а т кж их
среднюю энерrию е (s).
Пусть, например, Z(m) будет число термов, соответствующих
. ::-....
заданному числу т, ч 1) (т) средняя энерrия, тоrда по выше ска-
занному очевидно, что:
z (s) == Z (s) ........ Z (s + 1), (33)
z (s) E(S) .Z(S) 1) (s) Z(s+ 1) '1) (8+ 1). (34)
Z (щ). равно числу уравнений (28), соответствующих определен-
ному значению т.
'\
(32)
Z(m)==( )
или в силу уравнения "(31) .
. а Z(m)==(п nm}
Следовательно уравнение (33) дает:
( 2п ) ( 2п ) ( 2п ) 2а+ 1
Z(s)== п a n+s+l == n+s n+s+ 1 ·
Это уравнение с прекрасным приближением можно записать
проще, так как ПОРЯДКII величин n и 8 HaMHoro. превышают 1
порядок их ра вен числу имеющихся атомов), а именно:
( 2п ) 2s
в(5)== n+s n+s .
....
(35)
Известно, что сумма Z (т) 1l (m) эверrий s уравнения (28),
соответhвующих определенному т, равна сумме диаrональных
членов матрицы, лежащей основе этих уравнений.
Число диаrональных членов равно общему количеству ела..
raeMbIX суммы уравнения (28) по той причине, что в каж..
11. . . fr . .
Дl>tй из них входит коэфициент "первоначальнох:о распределе!
ния" a(f 1 ... f r ). Нужно решить, следовательно на основе урав..
85
пения (30) только вопрос о том, как часто среди ( ) распреде ';.
ний может находиться r вправо ориентированных спинов N ато-
мов с попарно противоположными спинами соседних атомов.
Ответ на -этот вопро , простой воп рос комбинатории, дает сле.
N ( N 2 )
дующее выражение 2 z ' 1 ,rде z обозначает число атомов,
находящихся по соседству одноrо атома, т. е. по уравнению (30)
.
получаем: .
Z(m) 'fj(m) == l z C';= )==Inz(n n", 21)
,
и поэтому на основании уравнения (34)
, [ ( 2п 2 ) ( 2п ...... 2 )]
z(s)e(s)-==/nz n+s 1 п+8 ==
I
l f". ( 2п ) (n s) (28+ 1)
NZ п+8 2п(2п 1) ·
Таким образом из уравнения (35)
( ) ...... / (п ......... s) (п + 8 t ...... [ п (п + 1) 8 (8 + 1 ) -
es nz 2п(2п l) Z 2(2п l) (
что, блаrодаря n 1, s 1 можно заменить выражением' .
. , "п 2 S2
е (s)== /z 4п ·
I
(26)
о 4. Теория ферромаrнетизма fеАзенберrа
. .
Для создания строrой теории ферромаrнетизма необходимо
отыскать все собственные значения уравнения (28) (имеется
в виду приближение в рамках 3). А так как до сих пор про-
извести таких вычислений еще не удалось, то приходится
исходить из тех или ины1x предположений I для Toro, чтобы
дать хотя бы не полное решение поставленной проблемьт.
Правда Б е т е 1 удалось отыскать собственные значения соот-
ветствующих уравнений, но ero результаты относились к наибо-
лее простому виду решетки, "к цепочке атомов". На примевения
же к Tpex elfHbIM решеткам / ero eTOД не у дa ocь распростра,
нить. ·
r е й з е н б е р r отметил, что преобпадающ е бопьшйнство
собственных значений (уравнение (28), относящихсSl к опреде-
ленной системе термов 5, должны находиться вблизи центра тя-
жести (36), а име но, в энерrетическом интервале величины по-
рядка Iv N . Сам же центр тяже ти энерrетических знаq ний
должен лежать в точке с энерrией величины порядка IN. При
1 Н. Bethe, ZS. Phys. 71, 205. 1931.
.
86,
'цостаТQЧНО высоких температурах (т. е. Т 8 точки Кюри),
н_ делая каких-либо существенных допущенйй, можно считать,
ЧIО все значения энерrий системы термов s находятся в центре
т-жести (36). Значения энерrий, находя иеся на HeKOT poм-pac..
стоянии от центра тяжести, входят с исчезающе малым стати..
стическим весом. При такой постановке вопроса можно хотя ка..
чественно объяснить явления, происходящие вблизи точки Кю-
ри. Однако при низких температурах .от таких расчетов не-
обходимо отказаться, по той причине, что в данном случае
славную роль иrрают наиболее }(изкие значения энерrий, т. е.
JIежаIцие .достаточно далеко от центра тяжести (блаrодаря их
.большим бопьцм новским множителям). К счастью, при низких
температурах наши соотношения снова становятся настолько
простыми, что допускают иначе подойти К. решению проблемы.
Об этом будет сказано в 9 5.
Если предположить, что все значения энерrий системы тер-
мов s определяются уравнение 1 (36), то все наши дальнейшие
рассуждения необычайно упрощаются.
Пусть в полож ельном направлении z' действует внешнее
поле напряжения Н. Вследствие 'этоrо нерrия каждоrо состо-
яния с заданным т увеличивается на. дополнительный член,
равный 2тН 1-"0' r де o обозначает б о У о в с к и й MarHeTOH
(уравнение (40) отд. 11. Но так как для каждоrо стационарноrо
состояния заданным s квантовое число т принимает целый
ряд значений, а именно m== s, s+l...s l, s, статистиче-
п
ская сумма запишется так: iJO
п + $ E(s) 2mHtJ.o
+
z== Z(s) е kT kT
8== О т=!' l
- (37)
Слаrаемые уравнения (37) в точках "наивероятнейших" значе-
ний 8 и т обладают острым максимумом,. следовательно эти
наивеРQятнеilшие значения совпадают с интересующими нас сред-
ними значенkями s и т с точностью Д9 тепловых флукту ций.
Таким образом, отыскивая, начения т и s, для которых сла-
I'аемое имеет макс иму м (у равнение- (З'l), этим caмpIM мы находим
средние значения т и s.
Если 8 будет иметь величину порядка N, то наивероятней-
шее значение т ,уже в очень слабом поле (Т. е. l! : ) бу.
дет равно
."
...... n1,-=8.
Точнее, для достаточно большоrо КРИСТjlлла
C!I*
".,
m== s при Н>О
I
m== B пра Н<().
,
87
Странная на первый взrляд прерывность, п.олучающ.аяся при
Н==О, объясн ется тем, что кристалл ведет себя з де сь подобно
маr,нит..ной иrле с макроскопическим M OMeHTOM 28 ....0' которая
при практически бесконечно малом поле в термиче'Ском равнове.:а
сии устацввливается параллельно направлению поля.
Под практически бесконечно малым полем мы понимаем
здесь поле, удовлетворяющее условию:
H kT -.
\ 2s(Joo
Итак, ПОJIаrая в уравнении (37)l m l == s I бу де-м отыскива.ть мак-
симум выражения:
/
.
Е (s)+ 2HslJ-.
kT == W(s ).
(38)
z's) == е
Для этоrо положим" что
" W( s + 1) == W(s) 6tr
или, ,пользуясь уравненйя и (35) и (36) и пренебреrая членами
1 1
порядка величин"""::=-"" и ..-
s n
:T ( IZS + 2H ) ::::: (n 2 :s) n-ts
е 2п p, o ( 2п ) s ·
$о и+s + 1 "
Мы приходим К трансцендентному уравнению,опред,ляющему s
1 ( /Z9 Н )
s==n+th kt 4п + ....0.
Если еще положить здесь
,
(39)
J == 2 s J.1o'
то мы окончательно находим
J == пв. th ( Н + Iz] ) fJ'o
,О 8nfJ' kT'
(40)
(41)
rде п обозначает число атомов, находящихся в единице объема.
Полученное ,нами уравнение в точности экв.ивалентно урав-
нению, выведенному на основании rипотезы молекулярноrо поля
Вейса ( 2), Ч:J;_ можно непосредственно проверить, . определяя
постоянную молекулярноrо поля как
,
/Z
== ..
8 п IJ
И подставляя уравнение (56) в уравнение (5а).
88
_ (42)
Таким образом предположение о том, что все энерrетические-
з-вачения системы сливаются со своим центром тяжести, при...
водит к тем же результатам., что и теория молекулярноrо полSl
Вейса; поэтому мож о непосредственно пользоваться ее резуль...
татами. (Здесь имеются в виду маrнитные свойства тел, полу-
ченные нами в 9 2). .
Физическое объяснение решения уравнений (41) или (5) и (7)
при слабых внешних полях находи" здесь свое теоретическое.
обоснование: решение, соответствующее стабильности, всеrда
ймеет н а и б о л ь ш е е абсолютное значение /: /== J/тaxl. Намаrни"
чение в напра лении z, наблюдаемое на опыте, запишется
/z== \Imaxl дЛЯ Н>О
/z== llmaxl для Н<О.
(43},
Постоянная v определяется в КВ31lТОВрЙ механике на oc o-
вании строения решетки и составляющих ее атомов. А именно...
по уравнению (42) она пропорциональна (и следовательно опре-
деляется им) обменному интеrралу (29) для двух соседних-
атомов. Правда, для нахождения численноrо значения нужно..
знать значительно больше относительно собственных функций.
сложных атомов, чем мы сейчас знаем.
Однако можно поступить иначе, а именно, по 'У, найденному-
из опыта (измеряя непосредственно точки Кюри и вычисляя
из уравнения (8» проверитъ справедл вость заключений отно-
сительно обменноrо ин еrрала и установить, насколько он соот--
ветствует нашему качественному знанию строения атома.
Из уравнениs1 (42) или из уравнения .,.
8k8 .
!== ,
2
( 44).
которое вытекает из уравнения (42) посредством подстановки (8),
следует, что для ферромаrнитноrо кристалла, rде .конечно тем-
пература Кюри положительна, обменный интеrрал долженr
быть положительным. Наоборот в теории молекулы Н 2 rеитлер-
Лондона 1 I/отрицательно. Это приводит к выводу, что моле-.
кула Н 2 в нормальном состоянии не обладает маrнитным моментом.
С друrой стороны r е й 3 е н б е р r показал, что при достаточно вы-
соком r.iia,BHoM !"вантовом числе sалентноrо электрона n(п>З)
может всеrда име'I'ь меСто положительное !. Правда, это воз..
можно только при совершенно определенных УСJЮвиях, что.
соответствует известному физическому факту, а именно, что.
сравнительно HeMHoro веществ в природе обладают ферромаr-
нитяыми свойствами. Однако нужно отметить.. что мы далеки.
от мысли теоретически предсказывать, должно ли то или иное-
1 w. Не! tler. u Р. Landon J ZS. f. Phys. 44,4 55.1927.
89"
вещество бь ть ферро аrнетиком или нет: ля этоrо понадоби..
.лось бы очень тщательно и детально изучить вообще свой..
ства атомов. Отметим еще инте ресное ..замечание, сделанное
по этому вопросу С л е й т е р о M. t Он предположил, основы-
ваясь на некоторых даННI)'Х, что ферромаrнетизм триады Ре,
Со, Ni связан с недостроенными оболочками n==3, 1== 2 (ср. . 3
отд.III). Хотя такое предположение и является очень заманчивым,
да1ь cTporoe объяснение ему не удалось. Если в уравнение
(44) вместо f) для железа подставить ero числовое значение
е == 10400 абс., а число находящихся по соседству атомов поло-
жить равным z== 8, то обменный интеrрал будет равен: ·
,1 r-.J lt4.10 13 эрr
I 0,1 электр. вольт.'
Полученная нами величина взаимодействия nBYX соседних
атомов решетки, иаход ихся на rасстоянии d==2,9.10 8 см
достаточно "хорошо соответствует действительности, так как
порядок личины положительных обменных интеrралов атомов
равен 1 вольт. Здесь при этом речь идет о взаимодействии элек;-
тронов внутри caMoro атома. Правда, для нахождениJl.. тьчнLlх
числовых значений, как ПОRаЗ8Л Д е л ь б Р ю к 2 недостаточно
npocToro допущения (сделанноrо )jами в Э 3) относительно O.ll-
Horo вален1-ноrо электрона атома, находящеrося в состоянии s.
Больше Toro, необходимо каждый атом в отдельности рассмат-
:ривать как систему, состоящую из мпоrих электронов.
В заключение этоrо параrрафа отметим, что эквивалентность
r е й з е б е р r о в о й теории и rипотезы молек лярноrо поля
вытекает из np cToro сравнения формул (36) и (20), которые
по своей зависимости от I совершенно тождественны друr друrу.
Чтобы убедиться в этом, достаточно исполь.зовать v (42) и
1I0ЛОЖИТЬ
(45)
1 ==25110. .
'Последнее зам.ечание позволяет нам все прежние ныводь} 2,
1(асавшие я УДeJIЬНОЙ теплоемкости, перенести' без изменения в
'Теорию rейзенберrа. ",-
о 5. Ферромаrнетизм при низких температурах 1
;'
Как уже отмечалось в 2, теория В е й с а Я и достаточ-
но хорошо оБЪЯСНЯ f качественную сторону ферромаrнетизма,
однако не может объяснить более тонкие явления, в частности
изменение намаrничения насыщения в функции температуры при
низких температурах. По теории rейзен ерrа этоrо и следовало
-ожидать, так как rипотеза молекулярноrо по-л.s эквивалентна
1 J. с. S 1 а t е r, Phys. Rev. 35, 509, 1930.
2 М. D е 1 Ь r ii с k, Апп. d. Physlk. 5, 36. 1930.
'90
упрощенному допущению относительно собственных значений
уравнения (28), которое справедливо только при высоких темпе-
ратурах (T е). При Температурах, лежащих вблизи точки Кю..
ри, необходимо учитывать некоторые количественные откло"
ненич ПОJlученнqrх результатов от экспериментальных данных;
например, ферромаrнитная и парамаrнитная точки Кюри прак"
тически не совпадают, что противоречит машей упрощенной
теории. При низких температурах-эти отклонения MorYT дости-
/raTb значительн&tх размеров, так что более точное их изучение
представляет необходимое дополнение к рассуждениям преды-
дущих параrрафов. ..
Известно, что при низких температурах (ср. 1) памаrниче-
ние насыщения очень близко к "абсолютному насыщеНИI<?", rде.
все элементарные маrниты ориентированы параллельно друr
друrу. .
Для перехода снова к рассуждениям 3 необходимо допу-
стить, нто при низких температурах и слабых внешних полях
существенную роль иrрают только те уравнения системы (28),
для которых число вправо ориентированных спинов r или очень
близко к общему числу наличных атомов ....N, или очень мало
по сравнению с ним. Последнее зависит от положительнрrо или
отрицательноrо (направление z) направления поля. Выберем
направление поля отрицательным. В случае обратноrо н прав"
JIения, рассуждения наши и выводы будут совершенно анало-
"ичны. Tor да число вле .о ориентированных спинов будет очень
мало по сравнению с tV, и, переименовывая ,,право" ориентиро-
ванные на "лево'" ориентированные, приводим задачу к случаю
отрицательно направлевноrо поля. Рассмотрим сперва амый
п'ростой случай, коrда r:=O, т. е. коrда все спины ориентиро-
ваны лево, и намаrничение в точнос и равно истинному насы-
щению. Так как здесь мы имеем только одно распределение
(11. · · f r ) и вследствие Toro, что спины ориентированы только
влево, уравнеqие (28) дает:
.
Е-а == о.
r'
(46)
Уравнение (46), очевидно имеет только одно собственное
значение: ,.
е == о.
(47)
Так как с одной стороны мы знаем,' что такое/рещение дол..
ЖНО принадлежать к системе термов s == п с маКСИМ8.'1ЬНЫМ зна-
чением импульса вращения спина, и с друrой стороны по 3
9та система термов имеет вообще только одно собственное
значение, то уравнение (47) действительно является этим реше..
нием.
Это получается и из уравнения (36) для s== W ПО той при..
Чине, что здесь центр тяжести энерrий совпадает с одним из
значений энерrии.
.." 91
Здесь ПРОЯВЛSlется важность теоремы, доказанной впервые
т е л л е р о м. 1 Он показал, что до тех пор, пока все обменные
интеrралы 1п уравнения (28) положительны, все значения энерrий
е системы уравнения (28 ) будут т.акже положительны, так что-
уравнение (47) представляет собой вообще наиболее низкий воз-
можный терм. Таким образом, мы приходи м к убеждению, чт()
при температуре абс.олютноrо "уля всеrда иrрает роль тольк()
система термов s== п, соответствующая истинному насыщению.
На основании соображений непрерывности можно сказать,
что до тех пор, пока держится низкая температура, сущеСТl:1ен
НУЮ роль. иrрают только системы термов, находящиеся в ее
близости. Это как раз соответствует ТОМУ экспериментальному
факту, что при низких температурах намаrничение насыщения
стремится к абсолютному н асыщению.
С друrой стороны, это является некоторым теоретическим
обоснованием Toro метода исследования явлений при низких
температурах, KOToporo мы здесь ПРJ4Держивались. Перейдем
теперь к исследованию уравнения (28). Рассмотрим для просто-
ты вместо трехмерной решетки простую линию цепь атомов.
Результаты, которые мы получим таким образом, можно будет
леrко обобщить на случай трех измерений.
Допу тим сперва, TO имеется только один ,вправо ориенти"
рованный спин r== 1, тоrда из уравнения (28) совместно с урав..
ением (30) мы имеем, что только обмен соседних атомов иrрает
роль:
еа (f) 1 [а (1 + 1) а (f)] +1 [а (1 1)....... а (1)] ==0. (48)
./
Для однозначноrо определения собственны значений урав-
нения (48) необходимо для решений а (f) установить требование
определенной "rраницы" или эквивалентных ей добавочных
условий. В [качестве таких условий выставим требование перио-
дичности (c 4, отд. 111) коэфициентов а (1), а именно их пе..
риодичноrо повторения Qтносительно хотя и большоrо, но все
же конечноrо числа атомов. Друrими словами, выберем в каче-
стве линейноrо размера "основной решетки" Д1Iину Od, rде d
постоянная решетки.
Соотве ВУIОЩИМ образом полаrаем
2rtlKt
ах (f)==e а J
(49)
rде К обозначает положительное или отрицательное- целое ЧИСllО.
Определяя е K K
e(ЛJ==2/(1 COS 2 K) ,
'...
,
t 5 0)
1 Е. Т е 1I е r, ZS. f. Fhys. 62, 107, 1930.
,
92
Мр! видим, что формула (40) де ствительно удовлетворяет урав-
нению (48).
Интересно отметить, что волновой характер решения (49)
ПОЗВj)ляет (конечно в известной аналоrии) сравнить обменную
динамику вправо ориентированноrо спина в cpeдec& eBO ориен-
тованвых сhинов, с движением свободной частицы в волновой
.механике. Тоrда уравнение (49) представляет собой волну д е-
Б р о r л я и уравнение (50) ее кинетическую энерrию. Аналоrия
делается еще более совершенной" если оrраничива@тся только
решением (49),. иrрающим ражную роль лишь при низких тем-'
пературах, для которых К4;:..О и которые в силу уравнения (30)
приводят IC минимальным значениям энерrий. Так как при этом
(если вместо f ввести длину X==I.d), коэфициенты ак (1) ==ак (х)
внутри aToMHoro расстояния мало изменяются, то уравнение (48)
можно заменить, не делая значительных поrрешностей, "волно..
БЫМ уравнением"
d 2 a
sa+/d 2 dx" ==O (dc= постоянная решетки). (51)
.. 2rr.iKx
Полаrая затем. OOTBeTCTBeHHO уравнени1ю (49) ак (х) == е' air,
8место уравнения '(50) имеем
t==I( 2 K Y. (52)
При переходе к большим значениям r будем исходить из
()CHOBHOro допущения. а ИfdеIJНО: до тех пор пока r мало по
сравн нию с общим. числом. атомбв N, Т. е. до тех пор, пока
плотность право ориентированных спинов достаточно мала, каж-
дый индивидуализированный спин можно рассматривать совер-
DleHHo аН8лоrично случаю" !!оrда r== 1. Решение соответствующих
уравнений будет представлять собой произведение или линей..
lIУЮ комбинацию произведений решений уравнения (49).
В действительности леrко показать, что "симметризирован-
вое Ч произведение
- 2rr.1
OKa'l t Kt f .+. . .+Krf r )
аК 1 . ..Kr (11.. .ff") е .. ,
РеК) -
дe суммирова ие распространяется на все перестановки чисел
К 1 . ../(, является приближенным решением и обобpl.ением урав-
вецш! (49J.
--Ютветствующие собственные значения выразятся аналоrич-
но уравнению (50)
(53)
,.
в (K 1 .. .1(,.)== 21 ' l (1 eos 27t J )
,
(54)
93
и для малых К 8налоrИчно уравнению (52)
( 21t ) 2 ,. 2
е (К. · ..Kf')== а 1 Kj. .
, Jc:. 1
(55)
t t .
Если, кроме Toro, по отрицательному направлени z действует
внешнее- поле' напряжения Н, то необходимо еще учесть ,энер-
rию H o r, и вместо уравнения (55) получаем: 6
е: (Ki,. . . Х Т ) == н 110 r+ ( ) ! 1 t К;. (56)
J=:==l
Важно отметить, "что, блаrодаря виду решений (53), простая
перестаН08ка чисел К 1 1 I .К". не дает HOBoro решения, поэтому
в статистике соответствующие значения энерrий (56) должны
иметь а prlori вес 1. Последнее обстоятельство соответ<;.!вует
тому, что (в квантовой ста'J'истике это всеrда имеется в виду)
частицы не отличаются нич м друr от Д,руrа. В силу Toro, что "-
числа К 1 . I · К". не Оl"раничены цикакими условиями в п реде-
лах · очень больш rо инт рвала значений ( от до + ).
высказанное TOJlЬK что замечание rоворит о том, что дальней..
ший ход вычислений совершенно аJlалоrиfiен методу Э й н ш
т е й н а - Б о з е в статистике идеальноrо rаза.
Нетрудно показать, что уравнение (56) справедливо также
'и в случае квадратной двух мерной решетки ипи простой куби-
ческой. Вместо целых чисел ХЗ при этом вводятся двух- И Tpex
меР,ные векторы с компонентами k j , lj' m j .
'For да статистическая C}'fMa вычисляется посредством энерrий
(56) как в статистике Эй н ш т е й н а - Б о з е, и среднее значение
/'2H 1 I
маrНИТRоrо момента при (Х== kT ,. , == kT по формуле 40) отд.
1 будет равно:
Случай одномерной решетки
00
[ 1 f du I
J==п!'-o 1 'It У1 Vи(eиio: 1) '
о
(57а)
Случай дв мерной решетк
\
//
[ 1 00
J===п 1'-0 1 1t .r
о
du
e'l1fX 1
].
(57б)
Наконец трехмерной
[ 1 "уu du ]
J ==п.... о . 1 J
2п Р 8/2" е и + 11 1 ·
о
..
" ....
(57в}
-#
94
Что касаеТся....вопроса о наличии ферромаrнетиэма, то здесь
,решающую роль иrрает поведение тела под. влияни€м очень
слабых маrнитных полей.
Как уже отмечалось, для установления наличия ферромаrне-
тизма необходимо установить, сохраняется ЛИ" при исчезаlоще.
малом аrнитном поле намаrничение ИЛИ нет. Кристалл, конеЧНО А
должен быть при этом достаточно больших размеров и удовлет-.
ворять уравнению (57). Как непосредственно видно, уравнени
(57а) И (57б) не удовлетворяют выше поставленному требова--
нию, при уменьшении Irнамаrничение также умеНJ>шается, а ДЛЯ
Н --:- О даже стремится K OO. Последнее, конечно, не имеет ника..
Koro физическоrо смысла"оно только свидетельствует о том)
что, наше приближение в случаях одномерной и двумерной
решеток, справедливо лишь вблизи нась'щения. J w == пt-"o, и при,
наличи Fлабых полей недостаточно.
Но с друrой стороны" неоБХОДИМ0 1 чтобы это приближение.
для'ферро аrнетиков при достаточно низких темперaqурах со-
храняло свою силу. Поэтому -то, что наше uрибпижение оказы-
вается недостаточным в случае линейной и поверхностной p -
шеток, укаЗЬtвает на невозможность появления у них ферромаr--
нетизма, хотя бы даже ---при этом обменнь'й интеrрал и БЫJL
положительным. Впрочем леrко убедиться, что попученнь'й.
результат верен не ТОЛЬКО для квадратной (уравнение 576), но.
и для любой повеРХНОСТlfОЙ решетки. ...
Напротив уравнение (571.) в случае положительноrо обмен--
Horo интеrрала 1 (что, ко.но, является необходимъ' м УСЛО-.
вием ферромаrнетизма) и трехмерной решетки показывает, чт()r
намаrничение при исчезновении внешнеrо маrнитноrо поля стре-
мится к определенному предельному значению, И действительно.
из уравнения (57 в) дЛЯ Н==О имеем "
&
J==n o[ 1 ;/I ] (т== t47t ): , ).
., \ .
Полученное зна ение Ы интерпретировали, в сИJJУ ero.
определения, как намаrничение насътщения J o , т. е. дЛЯ .НИ?КИХ.
температур можно написать:
10 == 1t o II ( ) -, ] ( == } ) ·
(58}
Уравнение (58) справедливо только для низких температур..
rAe 10 стремится к абсолютному насыщению nt'-o. Последнее
е
следует из Toro, что дЛЯ Т> намаrничение 10 делается отри-_
, 1 12
ца'ieЛЬНhТМ, т. е. что направление намаrничения противоположно
направлению поля, получаем результат, опять таки не имеющий
физическоrо смысла и свидетельствующий о недостаточности
.
"..
95.
'нашеrо приближения. Уравнение (58) можно считать _ правед"
ливым для ,низких температур. Оно справедливо как для про-
-стой куби еской пространственной решетки, так и для какой-либо
друrой (правда вводятся незвачительные числовые поправки).
Наиболее важ.ным результатом всех этих наших вычислений
для низших температур несомненно нужно считать то, что теоре-
тически намаrничение насыщения стремится к абсолютному
насыщению не по экспоненциальной функции (как имеем в тео-
рии r е й з е н б е р r а),' а пр1\ближается к нему по простой сте-
.ленной - функции, чеrо как раз требует и опыт. Правда, В е й с
(ер. 2) экспериментально установил закон, имеющий HeMHoro
,иную форму J o ==п o (1..... еР), но опытные данные не опровер..
rают также и друrую ф.Ррму этоrо закона (58)' J o , n(J-о (1 е 18/s).
Для окончательной и cTporoA проверки теории необходимы,
очевидно, более точные и .мноrочисленные экспериментальные
данные пр'и низких ...температурах. Сейчас во всяком случае
'Можно сказать, что изложенные здесь трактовки (при T 8
или 1 e) правWIЬНО отображают установленные опытом фактlW,
aK что в правильности объяснения ферромаrнетизма (приписы
.вание ero квантово-механическому обмену) вряд ли можно сом-
неваться. Более точное и cTporoe исследование обмена вблиз",
точки Кюри, несомненно, дополнило бы наши рассуждения.
До сих пор в наших ра суждениях мы исходили из упрощаю-
щеrо постановку зада'чи допущения что существует еJlинствен-
ВЫЙ валентный электрон атома, и не учитывали той с ложней-
:шей структуры, которой облада мноr09лектронный атом фер-
ромаrнетика. А между тем, учесть этот важный момент крайне
-необходимо, чем леrко убедиться, делая хотя бы простое
сравнение теоретической абсолютной величины намаrничення
с найденной опытным rryTeM.
В действительности, по выше изложенному абсолютное памаr-
ниче!lие, отнесецное к одному атому, как раз равно 1 MarHe-
тону Б о Р а, в то время как опыт дает величину дробную
и бо.,'IЬШУЮ MarHeTOHa. В о л ь Ф 1 объясняет это тем, это различ-
ilые атомы ферромаrнетика, с caMoro начала MorYT находиться
в состояниях различной мультиплетности. Нетрудно показать,
что, если допустить определенную "пропорцию в. смеси" атомов
различной мулЬ]иплетнос'tJ.I, то- вышеизложенные соображения
-качественно сохраняются. 13ыбира пропорцию смеси так, чтобы
наши выводы для низких температур сохраняли свою силу, мы
приходим К выводу, что парамаrнитная воспримчивость выше
точки Кюри вполне соответстует опыту. Установить теоретически
.ПfJОПОРЦИЮ смеси" невозможно, да и нет никакой надобности
если иметь в виду упрощения Вольфа, хотя учет сложной струк-
туры атомов ферромаrнетика несомненно приведет к еще более
точному количественному определеНИIО ero свойств. )
1 А. W о 1 f, ZS. f. Phys. 70, 519. 19J1.
.96
I 6. Nlаrнитная анизотропия и маrнитострикция
До сих пор в наших выводах мы пренебреrали маrнитными
зфектами взаимодействия электронов ферромаrнетиков и рас-
сматривали только их э JI е к т р и ч е с к о е взаимодействие, в част-
ности, их обменное взаимодействие.
rлавное достоинство Teop rейзенберrа ( 2) как раз
и состоит в том, что она пока\ыает,' каким образом сравни-
тельно большие электрические силы влияют на мзrнитные свой-
ства кристалла ферромаrнетиков. Этими силами ОQределяется
высокое положение точки Кюри и сильное намаrничение
ферромаrнетиков в слабых полях.
Между тем описанная теория не в состоянии объяснить мно-
rих важных свойств ферромаrнетиков. В дальнейшем мы уточ-
ним еще эту теорию, учтя маrвитные взаимодействия электронов,
Качественной мерой маrнитных энерrий может служить от-
ношение энерrий взаимодействия двух маrнитных диполей с мо-
ментом f-Lo и взаимным атомным расстоянием d к обменной энер-
rии двух соседних атомов. Последняя, как уже отмечалось, опре-
.деляется cor ласно 3 обменным интеrралом 1. !
Если для 1 положить '
/ k е,
'rде в на опыте наблюдаемая температура Кюри и для маrнит-
Horo взаимодействия
fJ-02
е т == J
d8
.то их отношение выразится
103,
ет
т. е. маrнитные силы tпримерно в 1()3 раз меньше электрических
обменных сил.
На первый взrляд может казаться странным, что маrнитные
.силы, HeCMOTp на их сравнительную малость, все же иrрают
заметную роль во ,взаимодействии электронов. Между тем из
квантовомеханической 'r.еории возмущений И:jвестно, что малые
возмущения только тоrда вызывают малые механические воз-
действия, коrда дополнительная энерrия возмущения мала по
сравнению с разностями энерrий стационарных состояний невоз-
мущенной системы. Для ферромаrнетичвых тел (rде в качестве
"невозмущенной системы" рассматривается весь ферромаrнитный .
кристалл вместе при учете обменноrо и прочих электрических
действий), это условие не выполнено.
В 3 мы идели, что определенному значению s, т. е. опре-
д ленной заданной абсолютной величине намаrаичения соответ-
ствует очень MHoro различных состояний с одной энерrией.
Блох 41 7
97
К таким состояниям и относятся. те, которые определяются
различными ориентациями вектора намаrничения относительно
какой-либо неизменной оси. Следовательно мы имеем уже здесь
дело с очень сильным .вырождением" невоэмущенной системы,
которое уничтожяется лишь маrнитными силами. Далее на
основании вычислений 5 и формул (50) и (54) мы видим, ЧТО
в достаточно большом кристалле (достаточно большое О), как
между энерrиями различных систем термов, так и между энер-
rиями одной определенной системы термов существуют произ-
вольно малые разности уровней, так что уже эти незначительные
силы MorYT обуславливать большие "вековые возмущения".
О том, что нстречающиеся в природе ферромаrнетики, дей-
ствительно, не имеют упомянутоrо нами с caMoro начала про-
cTpaHcTBeHHoro вырождения, свидетельствует их так называемая
"М а r н и т н а я а н и з о т р о п и я".
Смысл этоrо' явления заключается в том, что для достижения
определенноrо намаrничения, в зависимости от ero определения
по отношению к кристаллоrрафическим осям, налаrаются внеш.
вие маrнитные поля различных напряжений. В частности, как мы
отмечали в 1, в монокристаллах существуют одно или нес.
колько направлений "наиболее леrкоrо намаrничения".
Уже при исче:=tающе малых внешних полях кристалл в этих
направлениях намаrничивается до насыщения, в то время как
для достижения Toro же наСЫlцения в друrих направлениях
требуются в большинстве случаев поля от 100 до 1000 raycoB.
Наиболее простая картина намаrничения была получена К а й я,
при исследовании монокристаллов кобальта, так как эдесь
имеется только одно направление caMoro леrкоrо намаrничения,
а имеННО 1 rексоrональная ось кристалла!. На рис. 3 стр. 76 мы
привели кривые изменения намаrничения кобальта в направлении
rексоrональной оси (кривая 1) и в направлении перпендикулярном
к ней (кривая 2), Т. е. направлении "наиболее тру дноrо HaMar..
ничения" .
Для объяснения наших кривых, а также и Bcero комплекса
вопросов, связанных с маrнитной анизотропией, }fbI будем исхо..
дить из следующих двух rипотез:
1. К Р и с т а л л распадается на отдельные элементарные обла-
сти, которые БЛ8и;одаря обменному действию, намаrничиваlОТСЯ
спонтанно и однородно до насыщения,. так что а б с о л ю Т н о е.
з н а ч е н и е намаrничения внутри элементарной области опре..
деляется внутренними электрическими силами и заметно не
изменяется ПОД влиянием обычноrо внешнеrо маrнитноrо поля.
. О р и е н т а Ц и я намаrничения элементарной области по
определенному заданному направлению относительно кристал...
лических осей, вообще rоворя, происходит не спонтанно, а
требует дополнительной энерrИИ,зависящей от данноrо направ.
1 s. к а у а, Sc. Rep. Tohoku Imp. Univ. Toldo 17, 1157. 1928.
98
ления. В направлении более леrкоrо намаrничения эта дополни-
тельная энерrия исчезает.
Первую 'rипотезу, пежащую в основании теории остаточноrо
маrнетизма теоретически мы обоснуем в 7. Здесь только отме-
тим, что элементарные области ни в коем СЛУЧ8е нельзя отож..
дествлять с микрокристаллами поликристаллической субстан-
ции. Эти области возбуждаются уже в монокристалле, следствие
влияния внутренних маrнитных сил.
Уже порядок величин внешних маrнитных попей, необходимых
для уничтожения "энерrии анизотропии" указывает на то, что
объяснение ее нужно искать в маrнитных силах. Здесь мы имеем
в виду те маrнитные поля, которые, например, вызывают насы-
щение в направлении наиболее rрудноrо намаrничения и которые
так относятся к в е й с о в с к о м у внутреннему полю, как
оцененное выше маrнитное взаимодействие к энерrии обмена.
J\ля установления зависимости энерrии анизотропии от
ориентации нет надобности создавать какой-либо специальной
теории; она определяется просто из соображений симметрии,
и на долю теории остается только объяснение и основание
констант, входящих в установленный таким образом закон. Для
наиболее простоrо случая........... кобальта с rексаrональной осью,
иrрающей роль направления наиболее леrкоrо намаrничения,
энерrию анизотропии, отнесенную к единице объема, следует
положить равной
А == С 1 sin 2 3+С 2 sin. 3+ · . .,
(59)
rде 3 обозначает. уrол, образованный намаrничиваниек элемен-
тарной об асти с направлением rексаrональной оси.
Если имеется внешнее поле напряжения Н, образующее
с rексаrональной осью уrол ff, то наиболее вероятное состоя-
ние кристалла будет такое, Kor да все элементарные области
намаrничены под одним и тем же уrлом 8 относительно reKca-
rональной оси. Предположим, что намаrничение происходит по
направлению, лежащему в плоскости между внешним полем и
rексаrональной осью; Tor да энерrия единицы объема будет равна
E==A+HJocos (CP 3)==C1 sln 2 3+c.sin 4 3+
+. . . HJo соз (ер....... 3).
(60)
Уrол 3 нужно определить так, чтобы выражение (60) пред-
ставляло собой минимум; выбирая соответствующим образом
постоянные C t , С 2 ... мы получаем количественное объяснение
опыта К а й я.
При этом в уравнении. (59) достаточно оrраничиться двумя
первыми членами, так как сстальные не имеют существенноrо
99
значения. Для качественноrо объяснения кривой 2, рис. 3 в
направлении наиболее трудноrо намаrниче!lИЯ достаточно в урав-
нении (59) оrраничиться и первым членом.
1t
Действительно, при ер==2 уравнение (60) запищется
Е==С 1 sin 2 f} HJo sin 3,
и так как J o sin f) есть компонента намаrничения в направлении,
перпендикулярном оси, равная в данном случае намаrничиванию
в направлении поля то условие минимума F дает:
.l
J==H .
2С 1
(61)
При Н > 2;: . очевидно. J полаrается равным J==J o '
Аналоrичную картину мы имеем и в случае кристалла куби
ческой симметрии. Пусть, например, направления наиболее леr-
к oro намаrничения будут (100), (010), (001), тоrда на основании
соображений симметрии энерrия анизотропии будет равна:
А===С 1 (а1+а;+а:) + .. ., (62
rде (%1' а 2 , аз обозначают направляющие косинусы намаrничения
относительно трех rлавных осей.
Как непосредственно видно здесь, в ПРОТИВОПОЛ9ЖНОСТЬ
случаю кристалла с особенной 'осью нет членов квадратичных
относительно а 1 аа Cl s . Они MOr ли бы в силу кубической сим-
метрии войти только в форме a +a=+ct:, что, блаrодаря a +a:+
+а:== 1, не зависит от ориентации намаrничения относительно
осей кристалла и, следовательно, не имеет никакоrо отношения
к анизотропии. .
Для выяснения значения постоянных величин, входящих в
уравнения (59) и (62), необходимо учесть маrнитные силы, дей-
СТВУЮЩvlе внутри кристалла на спины. 1 Они обуславливают
в выражении энерrии дополнительный член, а именно:
Е \l e'Z [WljVj] S V
такп == '- 2m о с I r 3 ;j 'j 1
ij
е l [Wjj', 2Vj' Vj ]
+ ,. ==11: 2
1..; 2m о с;! r3jj'
j ::f:i
(63)
1 Р. В 1 о с h u а. G е n t 11 е, ZS. f. Phys. 70, 395. 1931.
100
+ L еl (Sj Sj') r!jj' 3 (Sj W;p) (Sj' Wjj')
== V 3 ,
2т с 2 ,.а..,
О J} ,
j=j::i'
rде индекс i обозначает, что суммирование проходит по различ-
ным ядрам с зарядами Ze и индексы j, j' показывают, что сум-
мировани . распространяется На различные электроны. Первая
сумма получается вследствие движения электронов относительно
ядер, вторая обусдавливается движением электронов друr по
отношению к друrу и наконец.......третья взаимодействием спинов;
V j обо Начает вектор скорости j-ro электрона, и S.i вектор
спина j-ro электрона.
Выражение энерrии (63) совершенно аналоrично выражению
энерrии, которым МЫ пользовались при вычислении маrнитных
действий в а т о м а х. ЕСJlИ маrнитную часть уравнения (63) рас-
сматривать как малое возмущение, то квантовомеханические вы-
числения, лроизведенные на основании теории возмущений, при-
водят к маrнитным эфектам (это относится в первую очередь
к первым членам суммы уравнения (6 ), которые наблюдаются
экспериментально, rлавным образом, в тонкой структуре атом-
ных спектров.
Порядок величины этих эфектов соответствует приблизительно
.внутренним маrнитным полям" напряжения 105 raycc, следо-
вательно HaMHoro превышает величины эфектов анизотропии,
соответствующих внутренним полям порядка 102 108 raycc.
Величины первых двух членов уравнения (63) определяются
средним орбитальным моментом количества движения электронов.
В случае атомов этот момент может иметь конечное значение,
но, как известно из эфекта Эй н ш т е й н a д е r а а за (ср. 9 1),
в ферромаrнетиках он совершенно отсутствует.
Таким образом в ферромаrнетиках в первом приближении,
в уравнении (63) иrрает существенную роль только третья "ди-
польная часть" и значения первых двух членов "спинной" части
и орбитальной части увеличиваются. только при переходе к
высшей степени приближения. .
Более точные вычисления показали, что первый член энерrии
анизотропии (59) для кристаллов с одной особой осью получается
правильноrо порядка ве ичины, если в вычислеllИЯХ учитывать
дипольную часть в первом приближении и .спин орбитальвую
чаСТI?" во втором, которая, как оказалось, имеет очень большое
значение.
Ясно, что блаrодаря квадратичности вхождения векторов спи-
нов в нашем приближении, получаются только квадратичные
относительно намаrничения члены энерrии анизотропии или квад-
ратичные по отношению направляющих косинусов намаrничения.
В то время, как для кристаллов с одной особенной осью,
высшее приближение дает только сравнительно малую поправку,
в случае кристаллов кубической симметрии, как например F ..ИЛIfe
N i , такое приближение иrрает rромадную роль.
101
В действительности мы видим, что квадра т ичные члены (из
соображений симметрии) не участвуют в анизотропии, самые
низшие члены, входящие в нее, это члены четвертой степени.
Поэтому для Toro, чтобы получить вообще эфект анизотропии,
нужно в дипольной части, по меньшей мере, учесть второе приб-
лижение и в части спин-орбитальной четвертое. При этих ус-
виях вычисления дают эфект анизотропии величины порядка,
наблюдаемоrо на опыте. Анизотропия в кристаллах кубической
систеМЬJ, как высший эфект возмущения, вообще rоворя, мень-
шеrо порядка, чем в кристаллах rексаrональной системы.
Исходя из маrнитной части (уравнение (62)) можно, как впер-
вые показали Б е к е р 1 И А к у л о в 2, теоретически объяснить
явление маrнитострикции (ср. 4, OTl(. 1).
Для TaKoro объяснения необходимо в первую очередь пока-
зать, что 9нерrия, необходимая для изменения длины ферромаr-
нетика на t11, зависит от ero намаrничения. Результаты, получае-
мые уже от дипольной части уравнения (63), дают правильный
порядок величины. '.t . !,
Для количественноrо объяснения этоrо явления необходимо
вычисления производить во втором приближении относ тельно
спинно-орбитаЛhноrо взаимодействия, что еще не было учтено.
Относительное изменение t1l в направл' нии с направляю-
щими косинусами тносительно кристаллических осей 1' 2' 8'
которое испытывает маrнитная элементарная область (при усло-
вии, если ее намаrничение ориентировано по отНОшению к осям
кристалла в направлении с косинусами а 1 а 2 аз), можно опре-
делить с точностью до числовоrо множителя, ОСНОвываясь лишь
На соображениях симметрии.
Учитывая члены, квадратичные отно ительно а и , мы по
лучаем.
( l ) ==c+xl. ai X2 a' laj ;.
tЖ, I :j l=t= j
Усредняя по различно ориентированным элементарным обла
стям, при заданном результирующем намаrничении, получаем
достаточно хорошо совпадающее с опытом объяснение явления
маrнитострикции, что леrко проверить, основываясь на данных
В е б с т е р а, который произвел измерения в различных направле..
ниях кристалла 8 Ре.
."'. ' ,
..
"1IJ)lnIIAn " . . .
(64)
.- -
о 7. Остаточный маrнетизм и rистерезис
В то время, как явления ферромаrиетизма наблюдаются
и в свободных от напряжений монокристаллах и кроме To ro
1 R. В е с k е r. ZS. f. Phys. 62, 253. 1930; R. В е с k е r u. М. К е r s t е п, zs. f.
Phys. 64. 660. 1930. и так же о. М а h а у а n 1, Phil. Trans. (А) 228, 63. 1929.
N. Д k u l о v, ZS. f. Phys. 52, 399. 1928; 54, 582. 19" 9; 57, 249. 1929: 59,
254, 1929; 64, 817. 1930; 66, 534. 193J; Phys. ZS. З2, 107. 1931.
а w. Н е f s е n Ь е r g, ZS. f. Phys. 69, 237. 1931.
102
'MorYT быть там достаточно хорошо изучены, свойство ферро-
маrнетизма, так называемый "о с т а1' о ч н ы й м а r н е т и эм",
присупtе, rлавным образом, поликристаллическим фер омаrне-
тикам с большими внутренними напряжениями. Явление "о с т а-
"
т о ч н о r о м а r н е т и з м а состоит в том, что намаrниченный
во внешнем поле ферромаrнетик при исчеэновании поля может
сохрянять некоторую часть cBoero первоначальноrо намаrниче-
пия. Это "остающееся намаrничение" может быть уничтожено при..
ложе нием поля противоположноrо направления, напряжение кото-
poro. называется "коэрцити вной силой".- Непосредственно
с этим явлением связан, так называем' й, "rистерезис" (ср. отд. 1,
1), заключающийся в том, что намаrничение зависит'''не только от
внешнеrо приложенноrо поля, но и от маrнитной "истории" веще..
ства. В зависимоСТИ от термической или механической обработки
материала можно наблюдать самые различные и сложнейшие
петли намаrничения. В пределах определенноrо интервала коэр-
цитивная сила принимает любhте значения, а для низшей ее
rраницы вообще невозможно установить ее величины (в монокри-
сталлах, например.. она равна нулю). Наоборот, что касается
верхней rраниu ы , то она никоr да не превышает нескольких
сотен raycc и обычно лежит значительно ниже.
По аналоrии с разобранной нами в предыдущих параrрафах
анизотропией, r де слабые поля иrрали существенную роль, мож-
но сказать, что и явление "остаточноrо маrнетизма" в значи-
тельной степени обусловлено м а r н и т н ы м и взаимодействиями
внутри ферромаrнеТИКО8. К тому же в параrрафе 4 мы уже
-видели, что, учитывая электрические обменны@ энерrии, можно
было дать некоторое "объяснение свойствам монокристаллов,
не обладающих ос:аточным маrнетизмом и никак нельзя было
понять конечной коэрцитивной силы.
Б е к е р впервые сделал попытку связать явление остаточно-
ro маrнетизма с маrнитной анизотропией и маrнитострикцией t .
Б е к е р предположил, что процесс перенамаrничения феррома..
rнетика происходит так, что вектор намаrничения в пределах
кристалла или в больших ето областях вращается, не изменяя
при этом заметным образом своей величины.
Далее было сделано предположение, что на такое вращение
вектора в не деформированном монокристалле кубической
системы не затрачивается никакой работы, в то время как
маrнитную анизотропию обуславливают деформации, вызванные
внутренними напряжениями и находящиеся в тесной связи с Mar-
нитострикцией. Из всех этих ДОП'ущений непосредственно выте-
кает явление остаточноrо маrнетизма, как следствие внутренних
напряжений, так как в этом случае достаточно сильное проти",
воположное поле дает энерrию необходимую для преодоления
"
1 R. В е с k е r, ZS. {. l'hys. 62, 253. 1930; R. в е с k е r u. М. К е r s t е n lS.
f. Phys. 64, 660. 1930.
103
маrнитной анизотропии. Между тем всем этим допущениям, сде.
ланнЫМ Б е к е р о м, можно противопоставить то, что уже в не..
деформированном монокристалле кубической системы имеется
маrнитная анизотропия, которая по представлениям Б е к е р а
приводила бы к остаточному маrнетизму и коэрцитивной силе'............
результат, противоречащий опыту.
Кроме Toro известно, что монокристалл кобальта, который
совершенно эквивалентен сильно деформированному кристаллу
кубической системы, не обнаруживает также никаких следов
остаточноrо маrнетизма.
Друrое И)lтересное предположение для объяснения остаточноrо
маrнетиз а было сделано А к у л о в ы м. 1 Он объяснял это явле-
ние, пользуясь термодинамическими соотношениями, исходя из
наблюдаемых на опыте кривых намаrничения и маrнитострикции
монокристаллов.
Однако основное ero предположение по меньшей мере было
очень необосиовано, а именно, он допускал, что маrнитострик-
ция не зависит от внешних напряжений. Кроме Toro, получается
так, что монокристалл кобальта д6лжен был бы обладать ос..
таточным маrнетизмом и по А к у л о ву. .
Несмотря на то, что как теория Б е к е р а, так и А к у л о в а
достаточно просто н хорошо объясняют мноrие эксперимен-
тально наблюдаемые факты, эти теории вряд ли можно
поддержать. Явление остаточноrо маrнетизма наиболее верно
можно было бы объяснить, если исходить из rипотезы элементар-
ных маrнитиых областей (см. 6), приведенной нами в 6.
Перейдем сейчас к теоретическому обоснованию этой rипотезы.
В 5 мы видели, что обменную динамику вблизи абсолютноrо
насыщеНИSI ферромаrнетика можно описывать волновой механи-
кой отдельноrо "свободно движущеrося спина-.
Это, конечно, является приБJlиженной: аналоrией. Развивая
ее дальше, мы переходим к описанию, свойств спинов (подобно
электронам) посредством волновых функций. Уравнение Слей-
тера (28) эквивалентно при этом волновому уравнению Шре..
динrера для электронов. Введем, кроме "волновой, функции"
ер (квадрат абсолютноrо значения, который представляет собой
плотносто вправо ориентированных спинов), соответствующую
волновую функцию Ф для влево ориентированных спинов. Тоrда
"функция r а м и л ь т о н а" , представляющая собой. обменную
энерrию, будет иметь простое выражение. Запишем,' например,
ее для случая, коrда ферромаrнетик представляет собой кон-
тинуум, коrда можно не учитывать ero рещетчатоrо строения
(при низких теМеПературах это допустимо если т<. <8 Кюри)
H==Id 2 f (<р grad Ф Ф grad, <р* grad ф* 1'* grad <р*) dт.. (65)
1 N. А k u 1 о v, zs. f. Pfys. 67, 794. 1931.
2 Р. В 1 о с h, ZS. f. Pfys. 74, 295. 1932.
104
Компоненты намаrничения примут вид
lz == (Joo ('fCf* фф*)
l == tJ-О ('fф* + фff*)
1" == tJ-; (срф*........ ф *),
"
(66)
rде 'Р'Р*+фф*==n== , следоватепьно, равно количеству aToMOJJ.
в единице объема. Величины " * и ф, ф* суть некомутарирующие
операторы. Их можно однако в целях качественноrо и наrляд-
Horo исследования рассматривать как обыкновенные произ@ольно
коммутарируемые числа. Если учитывать обменную энерrию, то-
перенамаrничение сопровождается исчезающе малой затратой
энерrии и поэтому не может существовать остаточноrо MarHe-
тизма. Это непосредственно видно из следующих рассуждений:
Полаrая в уравнении (65) ff== Уn, ф==о, мы получаем абсо....
лютныйминимумН==О, после чеrо из уравнения (66) Jz==п(Joo, Т. е.
кристалл в направлении z намаrничивается до абсолютноrо на-
сыщения. Правда, существуют такие состояния кристалла, в ко...
торых намаrничение имеет определенное заданное значение,
а энерrия все же отличается (очень мало) ст cBoero минималь-
Horo значения (кристалл предполаrается достаточно больших
размеров). Такие состояния кристалла MorYT быть реализованы
очень мноrими способами. Так, например, представим себе, что
кристалл объема V разделен на "элементарные области", Hauar--
ниченные до абсолютноrо насыщения вправо или влево, т. ew
в пределах которых , или Ф принимают максимальные значения
У"п. в зависимости от общеrо объема Toro или иноrо сорта
:9 лем ентарных областей намаrничение принимает разные значе-
ния, остающиеся в пределах, задаваемых абсолютным насыще-
нием V п f1-o. Для Toro, чтобы одновременно энерrия оставалась
вблизи cBoero минимальноrо значения, достаточно следить за.
тем, чтобы не было резкой rрани между элементарными облас-
тями, чтобы на rраницах областей плотность одноrо вида спи-
нов постепенно уменьшалась и плотность друrоrо вида наро-
стала. И действительно, из уравнения (65) видно, что если rpa-
диент ер и Ф везде достаточно мал, то энерrия произвольно'
мало отличается от cBoero минимальноrо значения, т. е. нуля.
До тех пор пока мы имеем дело с обменными действиями,.
большие качественные изменения (разделение кристалла на эле-
ментарные области) всеrда будут сопровождаться исчезающе
малой затратой энерrии. Блаrодаря этому обстоятельству вопрос
об элементарных областях представляется перед нами совсем
в друrом свете (мы имеем в виду здесь малые- дополнительные-
маrнитные энерrии (63»). "
105-
Будем ПРОИЗВОДИТЬ наши расчеты наиболее простым путем,
.а именно: рассмотрим третью часть уравнения (63), обусловлен-
ную маrнитным дипольным действием, причем проделаем это
.иезависимо от остальных двух "спин-орбитальных членов.. Оно
(действие) выражается в том, что области, находящиеся на боль-
ших расстояниях, блаrодаря медленному спаданию дипольной
энерrии, оказывают с увеличением расстояния существенное
влияние на определенное место элемеuтарной области.
Если "размаrничивающее. поле (ср. отд. 1, 1), направлен-
ное L B противоположную сторону намаrничения внутри элемен-
. тарной области выходит из rраниц этой области, rде намаrни"
чение меняет свое направление, то дипольное действие совер-
шенно аналоrично действ'Ию, наблюдаемому в на маrниченных
макроскопических телах. Увеличение энерrии обусловленное этим
размаrничивающим влиянием будет минимально, если элементар-
ные области будут как можно больше вытянуты в направлении
намаrничения. И действительно вычисления показывают, что
кристалл в статистически наиболее' вероятном состоянии, rде
свободная энерrия имеет минимум, делится на такие нитеобраз-
ные элементарные области.
Дипопьные члены в первую очередь определяют форму эле-
'ментарных областей, а свойства оrраничивающих их поверх-
ностей преимущественно зависят от спин-орбитальных членов.
В 6 мы видели, что последние приводят, rлавным образом, к
наблюдаемой маrниrной анизотропии, Последовательный пере-
oд от одной элементарной области, намаrничениой в определен-
ном направлении, к друrой соседней, наrлядно можно себе
представить так, как будто вектор намаrничения, отнесенный к
единице объема, на rранице перехода поворачивается с одноrо
-направления в друrое. Таким образом, маrнитная анизотропия
в этой переходной зоне обуславливает уврличение энерrии, кото4'
рую, зная свойства слоя перехода, можно вычислить, пользуясь
,результатами 6.
Это увеличение энерrии, очевидно, будет тем больше, чем
толще слой перехода. Если бы, с друrой "стороны, такой слой
перехода был очень тонок, т. е. производные от и Ф были бы
очень большие, то это обозначало бы сильное увеличение обмен-
.ной энерrии (СМ. уравнение 65).
В случае наиболее выrодном в энерrетическом смысле уста-
навливается, очевидно, между обменной энерrией и энерrией
анизотропии некоторое равновесие, соответствующее вполне
.определенной толщине слоя и совершенно определенным ero
войствам. В самом деле, из условия минимальности энерrии,
отнесенной к единице оrраничивающей поверхности, мы нахо-
дим порядок величины для толщины поrраничноrо слоя
d" / 1
V а'
(67)
"1'06
r де d обозна чает атомное расстояние, а.......... максим альную энер-
rию анизотропии, как она определялась в 9 6, отнесенную.к 1
атому и 1 обменный интеrрал. .
1
В 6, мы видели, что отношение а равно отношению виеш-
Hero поля, появляющеrося при явлении анизотропии, к 8нутрен-
нему полю В е й с а, т. е.
1
а 1 О.
и в силу уравнения (67)
30d.
(68)
Порядок величины минимальной энерrии, отнесенной к еди-
оице оrраниqивающ й поверхности, TorAa будет равен
оа
E '"" аЗ. (69)
До сих пор все наши рассу ждения относипись к монокристал-
лам; сейчас мы перейдем к объяснению отсутствия у них оста-
точноrо маrнетизма с точки зрения установленных зд сь нами
представлений.
Увеличение оrраничивающей поверхности элементарной об-
ласти, BЫ ЫBaeMoe влиянием маrнитных сил, обусловливает неко-
торое конечное приращение уерrии. Процесс перенамаrничения
может происходить так, что лишь немноrие мапые элементар-
ные области растут за счет окружающей их среды в "блаrо-
приятном" направлении.......... увеличиваясь все более и более. Чем
больше эти области, тем незначительней будет их поверхност-
ная энерrия по сравнению с объемной, обуславливаемой внеш-
ним полем и если такому росту областей ничто не препятствует,'
то совершенно понятно, почему перенамаrничение происходит
даже при наличии очень слабых внеШНИХ,полей.
В ()пытах 3 и к с т у с а и Т о н к с а, 1 хотя HeMHoro и при дру-
rих условиях, БЫJlО доказано, что такое смещение оrраиичиваю-
щих поверхностей различных намаrниченных областей, действи-
тельно, происходит. Более, Toro ими были произвечены измере-
ния скоростей этоrо смещения, и оказалось, что в полях при-
близительно в 5 raycc, скор.ость достиrает 50 M/ceK l. Эта ско-
рость, связанная с установлением термическоrо равновесия в
ферромаrнетиках, а также зависящая от внутренних маrнитных
взаимодействий, теоретически еще не была вычислена.
Совсем иначе, чем в монокристаллах, обстоят дела в поли-
кристаллических ипи сильно деформированных веществах, пока-
зывающих остаточный маrнетизм и rистерезис.
..
А
1 К. S i х t u s u. L. Т о n k 5. PhY5. Rev. 'п, 980. 1931.
107
До тех пор, пока на отдельных местах вследствие внутрен"
них напряжений поверхностная эверrия будет больше вычислен-
ной на основании уравнения (69), расширение поверхностей,
оrраничивающих элементарные области, не может совершаться
свободно и беспрепятственно.
ЕСЛ!l таких напряжений будем иметь очень MHoro, и ОНИ
будут достаточно резки, то перенамаrничение может прекра-
титься вообще, так как эти области совершенно остановят рас..
ширение элементарных областей.
Наблюдаемую коэрцитивную силу в этом случае нужно рас-
сматривать, как напряжение поля, величина KOToporo достаточно
велика для Toro, чтобы преодолеть энерrетические препятствия
и передвину;rь через поверхности возмущений орrаничивающую
элементарную область поверхность.
Как уже отмечалось, внутренние на'пряжения и обусловлен-
ные ими местные деформации кристалла являются энерrетиче-
скими препятствиями к расширению оrраничивающих поверхно-
стей, в чем леrко убедиться, пользуясь уравнением (69). Оно
rоворит о том, что как обменная энерrия, так и энерrия анизо..
тропии существенным образом зависят от решетчатоrо строения
решетки кристалла (речь идет об определенном месте кристал..
ла). В зависимости от деформации получается большее или
меньшее изменение энерrии на большем или меньшем интервале
протяженности. Кроме Toro, очевидно, что кривые намаrничения,
которые принимают самые причудливые формы, являются функ-
циями MecTHoro распределения вqзмущений. Хотя наших знаний
относительно BHYTpeHHero строеИия поликристаллических тел
и испытывающих термическую и механическую обработку ме-
таллов вряд ли достаточно для Toro, чтобы судить о характере
и процессе изменения намаrничения, но тем не менее соответ"
ствующие относительно этоrо предположения приводят к коэр-
цитивной силе величиныl порядка, наблюдаемоrо на опыте.
В связи с этим особенный интерес представляет собой во-
прос начальной ВОСПР!fИМЧИВОСТИ ферромаrнетиков, т. е. первое
наростание намаrничения в слабых полях.
Из опыта известно, что в этой области намаrничение обра-
тимо, т. е. не сопровождается rистерезисом, в то время как в
сильных полях наблюдаются скаЧКОО,бразные необратимые изме-
нения намаrничения, так называемые "скачки Б а р к r а у з е н а".
Основываясь на данном нами здесь объяснеНИJl явления оста-
точноrо маrнетизма, последнее замечание можно истолковать
следующим образом: каждый раз как только поверхность, orpa-
ничивающая элементарную область, преодолевает на своем пути
препятствие, (что происходит блаrодаря действию внешнеrо
ПОЛЯ), расширение ее продолжается совершенно свободно до
ближайшеrо большеrо возмущения, причем затраченная на это
энерrия освобождается необратимым путем, обусловливая tаким
образом теплоту rистерезиса. .
lOS-
Обратимое начальное намаrничение следует понимать так,
что перед преодолением препятствий, т. е. перед тем, как orpa-
вичивающие поверхности находятся в слабых маrнитных полях,
они, блаrодаря возмущениям, связаны, "квазиупруrо. в извест-
ных равновесных состояниях.
Под ВЛИЯН}lем внешнеrо поля поверхности HeMHoro смещают-
ся из paBHoBecHoro положения и при выключении поля возвра-
щаются снова в первоначальное положение. При обыкновенных
нормальных скоростях выключения внешних .подей этот процесс
протекает Tak медленно, что по существу он является обрати-
мым и не наблюдается никаких потерь на rистерезис.
Маrнитная ВQСПРИИМЧИВОСТЬ так же, как и весь процесс из-
менения намаrничения, полностью зависит от свойств внутренних
возмущений, и поэтому нет ничеrо у дивительноrо в том, что
она изменяется в достаточно больших пределах, зависящих от
войств материала (ср. отд. 1, 1). Кроме Toro начальная вос"
приимчивость существенным образом зависит от внешних дефор-
'маций. Так, например, известно, что при достаточно сильной
внешней деформации раст жения z никеля, начальная восприм-
ЧИВ<lСТЬ подчиняется следующему закону
const
Х. . .
Очевидно, здесь имеет место связь с маrнитострикцией, хотя
вполне удовлетворительноrо теоретическоrо объяснения еще
нет до сих пор.
ч о касается тех представлений, которые были здесь изло-
жены для объяснения явления остаточноrо маrнетизма, то остает-
ся только надеяться, что дальнейшее раЗвитие этих представле-
иий позволит нам раскрыть физический СМысл наблюдаемых на
опыте кривых намаrничения, или, наоборот, по характеру этих
опытных кривых мы сумеем сделать важные выводы относитель-
но BHYTpeHHero строения различных ферромаrнитных веществ.
,
"
..
1(9
СОДЕРЖАНИЕ
О... издательства. . . . . . . .
...... ..
. . .
...... ....
стр.
з:
L Общие сведения о маrнетизме
1. Опытные дaHBЫ и определеНИJl. .
2. Термодинамические соотношения
3. МаrнитокалорическиА эфект
4. Маrнитострикция . . . . . .
5. Статисти ка . . . . . . . . . .
11. Д и а м а r н е т и з м
а) Д и а м а r н е т и з м а т о м о в и м о л е к у л
1. Классическая теория . . . . . .
2. Квантовая теория. . . . . . . .
.... ...
. . . .
4
6
9
10
13
..............
. .-. ......
. . . . .
. . . . . .
..... .... .....
. .
. . . . . . . .
16'
20
. . .
........ ..
б) Д и а м а r в е т и з м м е т а л л о в
3. Электронный rаз и классическая теория диамаrнетизма. .
4. Теория диамаrнетизма свободных электронов Ландау. . .
. . .
24
21
. . .
111. Пар а м а r н е т и 3 М
1. Теория парамаrнетиэма rазов Ланжевена ........... з8
2. Спин электронов . . . . . . . . . . . .. .... . . . 42
3. Парамаrнетизм атомов и молекул . . . . . . . . . . . . . .. 49
4. Парамаrнетизм свободных эпектронов . . . . . . . .. 62
IV. Ферромаrветизм
1. Характерные свойства ферромаrнетиков. Эфект Эйнштейна......де-
rааза. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70
). rипотеза мо..1екулярноrо попя Вейса. . . . . . . . . . . . . . . 73
3. Обмен электронов в ферромаrнетиках . . . . . . . . . . . .. 80
4. Теория ферромаrнетизма rейзенберrа . . . . . . . . . . . .. 86
5. Ферромаrнетизм при низких температурах. . . . . . . . .. 90
6. Маrнитнаи анизотропия и маrнитострикция .. . . . . . . .. 97
7. Остаточный маrнетиэм и rистерезис. ............. Ю2
.
Киевск. филия rнтиУ. CllaHo к набору 3/V 1934 r. Подписано к печати 5/Х
1934 r. q. ормат бумаrи 1/18 62х94 см. Вес метр. стопы 35 Kr. На печатном листе
45,000 знаков