Text
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
МАТЕМАТИКЕ
П ВЫ ЕННОЙ
ТРУДНОСТИ
К. У. ШАХНО
Сборник задач
по элементарной
математике
повышенной
трудности
Издание 5-е, стереотипное
Издательство «Вышэйшая школа»
Минск 1969
Шахно К. У.
Ш31 Сборник задач по элементарной
математике повышенной трудности. Изд. 5-е,
стереотипное. Минск, «Вышэйш.
школа», 1969 г.
478 с. с илл. 50000 экз. 95 к.
Сборник содержит свыше тысячи задач по
элементарной математике, главным образом повышенной
трудности. Задачи, по возможности,
систематизированы и снабжены решениями. 6 отдельных случаях в
связи с решением задачи и там, где это уместно,
приведены вопросы теории. Иногда они предпосланы
решению группы задач, объединенных общей идеей. Даиы
разъяснения по вопросам теории равносильности
уравнений, построения графиков, комплексных чисел, обратных
тригонометрических функций, математической индукции
и некоторым другим вопросам.
Сборник рассчитан на лиц, окончивших среднюю
школу и' желающих'продолжать совершенствоваться в
методах решения задач или готовиться в вуз. Он может
послужить дополнительным пособием учителю при
работе в классе, для индивидуальных заданий учащимся,
особо интересующимся математикой, студентам педа-
гбгических институтов.
61(076)
ЗАДАЧИ
I.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Разложить на множители (1—15):
1. bc(b-\-c)-\-ca(c—a)—ab(a-\-b).
2. a2bz(b—a)+b2c2(c—b)+c2a2(a—с).
3. [(xz+y2) (a2+bz)+4abxy]2-4[xy(az+bz)+ab(xz+yz)]\
4. 2a2b+4abz—a2c+acz—4b2c+2bcz—Aabc.
5. y(x—2z)z+$xyz+x{y—2z)2—2z(x+y)2.
6. Sx3(y+z)-y3(z+2x)-z3(2x-y).
7. *4+t/4+z4—2x2yz—2x2z2—2y2zz.
8. x2y-\-xyz-\-x2z-\-xz2-\-y2z-\-yz2-\-2xyz.
9. x2y+xyz-\-xzz-{-xz2-\-y2z-\-yz2-\-3xyz.
10. x3+5x2+Sx—9.
11. x3+9xz+\\x-2\.
12. л;3(х2-7)2-36л;.
13. (6-c)3+(c-a)3+(a-fr)3.
14. \xi+yzy+{zz-xzy-{y2+z2y.
15. (*+#+г)3—x3—y3—z3.
16. Доказать, что произведение четырех последовательных
целых чисел, увеличенное на единицу, равно квадрату целого
числа.
17. Доказать, что число 132п—1, где й — натуральное,
делится на 168.
18. Доказать, что число 721—487 делится на 288.
19. Доказать, что из равенства
(a-b)z+(b-c)z+(c-a)2= (a+b-2c)z+
+ (b+c—2a)*+ (c+a-2b)z
следует, что a=b—cy если ау b и с — вещественны.
20. Доказать, что если т-\-п-\-р=0у то m3-f-rt3-f-p3=3mnp.
з
21. Разделить многочлен
у2х2+2ух+1 +2yzx2+z2x2+2zx
на многочлен \-\-xz-\-yx.
22. Разделить многочлен
Зах+а3х3—3—За+2х2+4а2х—х3—а2х2+2х—а3х2
на многочлен
3—х2-\-х-\-ах2—ах.
23. Доказать, что многочлен x3-\-y3-\-z3—Ъхуг делится на мно-.
гочлен x-\-y-\-z.
24. Доказать, что произведение
(хт— 1) (хт~1— 1) (хт+1—1)
делится на {х—\) (х2—\) (х3—1). Число т — целое
положительное.
25. Найти условие, при котором выражение
ат-1-\-ат-г-\-...-\-а-\-\
делится на выражение
a^+a^+.-.+a+l,
где тип — натуральные числа.
26. Доказать, что многочлен x3h-\-x32-\-x2Si делится на х2-\-х-\-\,
где k — натуральное число.
27. Проверить справедливость равенства
(1 +х) (1 +х2) (1 +jc4)...(1 +х2п~1) = 1 +*+х2+...+*2п-1.
28. Найти сумму коэффициентов многочлена, получающегося
после раскрытия скобок в выражении
(1 -\-4х—4х2)175 (1 +2х) 5 (1 — Зх+х2+2х3)149.
29. Доказать равенство
д, (x-b)(x-c) 9 (x-c)(x-a) 2 (x-a)(x-b) _ ,
(a—b)(a—c) (b—c)(b—a) (с—а) (с—6)
30. Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы
ах-\-Ь
дробь ■— не зависела от х.
тх-\-п
31. Найти необходимые и достаточные условия того, чтобы
_, ах2-*-Ьх-\-с
дробь —5-; ;— не зависела от х.
г тх2-\-пх-\-р
Упростить выражения (32—42):
32 ' I ' " 1 2 I 4 I 8 h—^g
1-* М+*^ 1+jc2M+x4^ l+Jk:8^ 1+x16 '
4
зз l i ' i l
(a-b) (a-c) ^ (b-c) (b-a) ^ (c-a) (c-b) *
34 fl2 i h% + c% .
' (a-6) (a-c) ^ (b-c)(b-a)lr (c-a)(c-6) '
a—b b—c c—a (a—b) (b—c) (c—a)
• a+6+6+c + c+a+ (а+б)(6+с)(^+л) *
(b-c) (c-a) **" (c-a) (a-b) ~*~ (a-b) (b-c) '
уф (//2-62) (г2-62) (y*-c*) (z2-c2)
' 62C2"T" . ^2^2_C2) + C2(C2_£2)
38 (^+^)[1+^+(а+6)^-(а+^)[а+6+(1+^)А:]
[1+а&+(д+&)х]2 Л
X
га+н-(1+дб)*у
Ll+a&+(a+&)jJ
x*-j[x-iy л?-£с*-1)» x2(jc-1)2-1
' (jc2+l)2-l2 + x2(^+l)2-l'+ x4-(jc+1)2
40 (*2-#2)3+(#2-г2)3+(г2-*2)з
(*-</)3+G/-z)3+(z-*)3 '
a2(c—b) Ьг(а—с) сг(Ь—а)
be ас ab
41, .
a(c—b) ' b(a—c) c(b—a) *
be ac ab
1.1.1
42.
x(x+l) (*+l) (*+2) ^ (*+2) (x+3)
1 1
^ (x+3) (x+4) x (x+4) (x+5) '
43. Доказать, что
V с ^ a ^ b J\a-b^b-c^c-al
если a+b-\-c=Q.
44. Доказать, что
!_±+J__±+ +_J L=_!_+_L_+ +_L
45. Доказать, что если
а\+а\+... -j_fl2_;p2.
а161+а262+ ... -\-anbn = pq,
то
at a2 cin P
bi~ bz~ '" ~ bn~ q '
если все величины, входящие в данные равенства, вещественны.
46. Доказать, что если
fli а2 a^n
bi~~b2~ '" ~ bn '
то
(a2+fl2+ ... +а2) (&2+62+ ... + 62J = (fln6i+fl2&2+-... +an^n)2.
47. Доказать, что дробь ——^- при любом целом п — т
кратима.
.„ _ a2+o2 a a b
48. Доказать, что -rz-.—-=—, если ——=—.
о2+с2 с be
49. Доказать, что
Qi \n Ci(h-\-C2C&-\- ... + Cfttffc
— несо-
/ fli \n = cifli
если -—=-—= ... =-— a Ci, c2 Cft —любые числа, не равные
01 t?2 Oft
нулю одновременно.
50. Доказать иррациональность числа У2.
51. Почему (У2)3=2?
52. Почему: а) а°=1; б) a"=ya™; в) a~m=——, m>0;
г) «* = «? a
53. Чему равно арифметическое значение fa2?
— — — Vx ~i/ х
54. Когда верны формулы: а) 1х-Уу = Уху\ б) -^г-= у-»-;
; ь
в) ]/^4=--^уа; г) <ф = -УМ?
55. Доказать, что если -±-=-т— =...= -г-, то
#1 Оз °п
(flft>0, bk>0; k=0, 1, 2, ..., n).
Упростить выражения (56—112)
56.
II I
T -2
(* + </)
I I
хг+уг
x+y
Щху
57.
a3+8a36
2^ з 2^
а3+2Уа6+463
: 1-2
rip-
a-26
У2а26+У4а62
58.
50.
60.
Уа2-У462 Уа2+У462+У16а6
а+Ь
(х--уУ(Ух+у-у)-*+2хУх+уУу' З(У^-лг)
хУх+уУу х—у
УаЬ—у¥ у~с£Ь—Уа№
Уа2—уь2
а+Ь
61.
62.
3 3
{^ ~-^ ~){W+y^-ia~b)
(Уа^-уЬ^) (а+Ь)
(х*+уУх~у~+хУх~у~+у2) (yx+y^-z-yxj 2j~y
х-у Ух+iy
\ Ух—Уу Ух~1 у
х+у~(хУх+уУу) (Ух+уу)~1
63.
yab3-\-ja3b l—jab \l а—У a a+ja2 \
fa+fb 'jab J \ ia-\ ya+1 /
64.
1-Уа
1
1-Уа3 .- ja-t+Va?
l—уа
1+yar1
65.
2 V jx+ja /
л^уб+узлР1)2
*e -]/х3+2ах2+а2х n/xz-2ax2+a2x \- ,
™-{V —a V x~^—j 'ia+
^ 2 V x xrl
67. b
68. ya-
aia+ya2b* *— \ .*- *.- «.-
Уа3+Уа26
1+аУа+а+Уа
-4
1
X
1 —Уа2 Уа-2
1+а
X
Уа+1
-Уа2
-JL з_
а 3+Уа
69.
*+а*:У* W 1-]/4
1а
ю_
У*—Уа
ХУ(^-й)3.
70.
а-ЬУ2а2х
2х+У4ах2
fa—fix
12х
71. fr+^+'+'W'n-Tfr'-Ayg.Hq+J*
дН-лг-1—2 г д:
„ [*У^-(*+.')1^=1р]^
73.
Ул:2—1
*+2у^+1 + х~1а* fx
__ Ух—ia
2JX+
(][а-]/х)*+(]/а+УхУ
fa+fx
74.
У2Ь
■4ab+4b2
fib
75.
76,
у Уа6-6У2 Уа6+6У2
3
У(б-з)у^+(з-му^^ ух=-
уб-уг>-2
(5-4а:2)У5-^У(У2+1)2+(У2-1)2-1.(-8^)
^Х
К (5—4*2)2+(4лУ5)2
У2*+У2а
X
77.
78.
Улг^+Уа-1
л;
+
VV-i
(Уа+У^)3+2а-г?
(Уа+У6)3+26-а
д:(л:2—1) 2 +1
П2 12
^
*-—
1 \-4
=У(-1-Г V-f -
9
79.
80.
/ ya2b2+aja
11+
ауЬ-\-ЬУа
ут+г
у\+х—у\-х
1-х
уГ^еЧ-д:-1
а 6
У(4-Г+У(т-)"У
4
Ул:-2— 1 —
, х>0.
_ 1
81.
82.
83.
Ус
3 г 3
У5+1
_1 _1
5(о 6-с 6)
а 3—Ус-1
У5-1
бУа
з_ s__
Уа—Ус
U2-4a: 2+2/yo,2,
2 \1+y5+yx ' 1_у5+УхУ^2-4^ 2+2/уо
Уэ—4У5-У 2+У5 V
П-^
У2а-У6
У2а+]/6
=(«+£-»У(!Г)-
84.
у&-
Уа-
*^ЧУ-^У(4)"
Уа+уЬ
,(,+_!£+»).
85.
уУ20+НУ2-Уб-4у2+
+ -^У(а+3)Уа-За-1
а—1
2(Уа+1)
-Ы
ю
86. 9
X.
87.
88.
]/2у54- |/зУ-|) -Уз-2У2
3 3
хУ40У2+56:У(УЗ+1)2+(УЗ-1)2
3
|Т/ (1-а)УЬН-|/ 3^ Г V
2У1-а2
i\-x , yi+jc(l—x) 4
L2y(l+*)3
89. л:3
(Т^У</)2+(У*-У</)2
х+У*#
4-8а+4а2 - - Зауа
VI.
5 3
,у:
90. х I/ (^»*Н*-»)' | у [/ (4x2-9y2^f,-y) I
*+</
■V
{2х-Ъу)ъ
2ху_У
2ху \ (x*-ify
+ -^^ У У , Y, - (*2-</2)
х-у Г (х+</)3 tf y
V
(х±уу
х—у
91.
(УаЧ-1+а)/-=^= Л-(уД2+1-а)/ JL +Л
\У«2+1 / \Уа2+1 /
X
Уа2+1+а
1
X
Уа2+1— а
-УТ
4 %РЯ
p—q p+q p2—q
i
зУ(/ьН); /»?>о.
93.
л;
1 + (Ух+1)2(1-У%)-2
1
2У*(1—Ух)
И
94.
2У*(1+У*) J 21/х-2хЦх
-* :(2+_j^Uw ^
V^-4
2+V*
2+Ух
3
fx-2 / У*2+2Ух
ок l-(m+x)~2 Г, 1-(т2+%2) "И 1
95. —— . ,„: I 1 ^ — I , если х=
\ т4-х/
2тх
т—\'
96.
(1-л:2) 2 4-1
+
(1-л:2) "2-1
если x=2k2 (1+&)-1 и k>\.
97. (1+*-»)-»+(1-х-1)-»,
если x=(l-M71)2(l+"-1) 2
98.
(g+х) 2(*+6) 2 + (Д-^) г(х—Ь) 2
-1 -1 -1 -I
(а+х) 2 (х+6) 2-(a-x) 2 (x—b) 2
если x=^ab и а>6>0.
Г L -L -L L 1_L
99. I (х+а) 3 (х-а) 3 + (х+а) 3 (х-а) 3 -2 J 2,
т3+м3 Л
если х=а—; - и /л>м>0.
т6—пй
100.
1 \2
X -{-X
-4а2хт я
, если
2тп
л:=(а+Уа2—l)m-n.
101
. ( а+хг ) 2 +(а—*2) 2, если х=4(а—1) и
1) 1<а<2; 2) а>2.
12
102.
(x2+a2) 2 +.(x2—a2) 2
(%2+a2) 2 — (л:2—а2) 2
-2
, если
lm2-\-n2\2
x=al— J и м>т>0.
mo" (m-f-%) 2 + (m—%)2 2tfm
103. ; ^—. если *=
(m+%)2 — (m~ x)2
n2+l
И /72>0, 0<ft<l.
104. b-2+a 3% 3) *+(сг2+а зд. з\ 2>
(^ ^. 3_
63 — a3) 2.
in_ 2a(\+x2)2 Wl/a l/ * \
105. — ' , если Jf=-^r у-Г—У —I
и a>0, 6>0.
з . з
106. %3+12*, если. *=У4(У5+1) —У4(У5—1).
107. x3-\-ax-{-b, если х =
У-^п^
+
-ь
2 К 4 +27*
108. (A-i+a-1) (x+a) n — 6-*х n , если
n / n n \
13
109. У2+У~5-У-38+17У5-т*. l/\-nx
6 ' г \-\-tix '
-38+17у5+тх
И/ 2т ,
если #=—V 1 и 0<т<п<2т
т т п i
Уп+1 -./ n+i
хп+ ]'апхп1-\-у ап+ Ухпап'—1,
(п п \ п+1
b^i—а*+Ч ~.
111. yahxn~k-\-yan-hxk—2уЬх-\-Ьг, если
2п
' 2/t
nn—Zk
112. У(х+1)2+У(х-1)2-4Ул:2—1 + 1, если
(2+уЗ)« + 1
х=
(2+уЗ)"-1
Доказать справедливость равенств (113—115):
.., (iM)-+(i±r5r-(i^)--(-^r
/ 1-+-V5 Ч^^1 / 1—V5 Ч"-^1
=(—-~—1 —I—7)) t « — натуральное.
.- 2а+Уа2—Ьг
114. ЬУ2—^Х^—^- = у(а+6)5-У(«-6)3,
Уа+Уа2—^
если а> \Ь\.
115. У х+гу^Т+У х—2Ух—1 = 2, если л:^2.
14
п.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
116. Доказать, что уравнение ах-\-Ь=0 при афО имеет
решение и притом единственное.
117. Доказать, что для совместности уравнений aiX-{-bi=Q
и а2х-\-Ь2=0, где а\фО и «2^0, необходимо и достаточно, чтобы
афг—a26i = 0.
Выяснить, совместны ли уравнения (118—120):
118. *+1=0 и х2+5*-}-4 = 0.
119. х2+х—20 = 0 и х2—6х+8 = 0.
120. *2+а*+1=:0 и хг+х+а = 0.
Выяснить, являются ли равносильными уравнения (121 — 124):
121. 2х=х—\ и 2х+х2+\=х-{-х2.
122. хг=Ъх—2 и х2-\ 1—= 3х—2+ *
х—\ х—1
123. *+1=0 и (jc+I)Vjc—1=0.
124. У(л;-6)(*-1)=уТ4 и ix^E-ix—l=iT4.
Решить уравнения (125—134):
125. а2х = а(х+2) — 2.
_лл х—тп х—тр х—пр
126. —-— + -!- + —-?-=т+п+р.
m-f-n m-\-p п-\-р
197 а+ь—х , а+с—х b+c-х Ах _
Xli^ "с + Ь + а ^а+Ь+с~ '
a, b и с — числа одного знака.
128. |х—1| = 2.
129. jjt—1|+|jc—2|=1.
130. |*-2|+|*-3|+|2х-8| = 9.
\x\-\ 1 / \x\-b 14-2-1*1 \ д W-9 7
4 8\ 4 5 / 2 8 '
131.
.зг.^4-^-13*-51
5 2
15
\1m-axY+(ax-Zny
lM- (2m-axy+(ax-bn)*-2m Ж
135. Является ли совокупность уравнений
7х—2 £/+5=0;
7х—2^+5=0
системой?
136. В результате решения системы уравнений
Зху 2xz yz
x+y x+z y+z
нашли, что системе удовлетворяют следующие числа:
120 120 120
Х~~ 61 *' У~~ П *' Z~~ 19 '
Сколько это даст решений?
137. Если решение одной системы является решением другой
системы, то будут ли эти системы эквивалентными?
138. Дана система уравнений
М=0;
\в=о.
Умножаем первое уравнение на тхФО, второе на Ш2ф0 и
результаты складываем; затем повторяем эту операцию, взяв
множителями числа П\Ф0 и П2ф0, причем П\Фт\ и П2фт2.
В результате получим новую систему
ГС=0;
Id=o.
Будет ли полученная система эквивалентна данной?
139. Доказать, что системы
М=о;
1в=о
(*)
fmH-J-m2B=0; .„.
1лИ-}-Л2В=0 v ;
эквивалентны, если Wi«2—т2П\фО. -
140. Верно ли предложение, обратное сформулированному
в задаче 139, т. е. если рассматриваемые в той задаче системы
эквивалентны, то т\П2—т2П\ф№
141. Дана система линейных уравнений
f aix-\-biy-\-ci=Q\
I a2X-\-b2y-\-C2—Q.
16
Предполагая, что aib2—a2bi=£0, будем решать ее каким-либо
способом, например способом сложения и вычитания. Получаем:
Ctbi—сфг a2Ci—aiCz
У-
aib2—a2bi' aib2—a2bi
Нужно ли проверять, удовлетворяют ли найденные значения
х и у данной системе?
142. Доказать, что система
(atx-{-biy-{-Ci = 0;
\ а2х-\-Ь2у-{-с2=0
имеет одно и только одно решение, если афг—аф\Ф&
143. Равносильны ли уравнения
Щ=0-Р(х)=0.
где Р(х) и Q {х) — многочлены относительно х?
144. Равносильны ли уравнения
хт=ут и х=у?
т — натуральное число.
145. Определить число а так, чтобы система
2х-\-у~Ь\ Зх—2у=4; ах-\-5у—\\
была совместна. о _
146. При каких а и 6 система
Зх—4у^=\2; 9х+ау = Ь
будет несовместной и при каких неопределенной?
147. Определить k так, чтобы система
x+(\+k)y=0; (1-% + Лу=1+Л;
(\+k)x + (\2-k)y = -(\+k)
была совместна.
148. Доказать, что система
Г Зх+2у=\0;
| тх-\-(т—\)у = Зт-\-\;
[ 2тх-}-4у=7т — \
либо несовместна, либо неопределенна.
149. Противоречит ли равенство
a{b-\-c) =ab-\-c
равенству
a(b-{-c)=ab-{-ac ?
17
Решить системы уравнений (150—154)
+\y-i\=
= 40-4.
150. Г [i+l+b-l| = 5;
I I*
|х+1
151. i\x-\\ + \y-b\ = U
\у=5+\х—\\
152. Г 3|%|+5t/+9 = 0;
1 2х-\у\-7 = 0.
153. Г |х—#| = 2;
154. Г х+у|=1;
l M+M=i.
155. При каких целых значениях я решение системы
Г /г%—г/= 5;
\ 2лг+3/гг/ = 7
удовлетворяет условиям х>0, г/<0?
156. При каких значениях а и b многочлен
х^—Зх3+Зх2-\-ах+Ь
делится на х2—Зх+2?
157. При каких значениях а п'Ь многочлен
xk—3x3+3x2+ax+b
делится на х2—3%-j-4?
158. Многочлен
xn+aiXn-l+... -r-a„_iX+«n
при делении на х—а дает остаток Л, а при делении на х—Ь дает
остаток В. Найти остаток от деления этого многочлена на
(х—а) (х—Ь), если афЬ.
159. Многочлен
xn+aixn~i+... +fln-i*+an
при делении на х—а дает остаток А, при делении на х—Ь —
остаток В, при делении на х—с — остаток С. Найти остаток от
деления этого многочлена на (х—а) (х—Ь) (х—с), если а, Ь и с
различны.
160. При каком соотношении между р и q многочлен
x3-\-px-\-q делится (без остатка) на (х—а)2 и чему равно в этом
случае а?
161. Многочлен
х*+2х3-\-ах2+2х+Ь
является квадратом другого многочлена. Найти этот последний
многочлен, а также числа а и Ь.
18
162. Определить Л, В и С так, чтобы имело место равенство
х+3 Л Вх+С
(х-И)(*2+1)—х-И *2+1 '
163. Убедиться, что система
2х+3у—г+4=0; 7х—4#—5г+4 = 0;
Зх—г/Н-2г—10 = 0; 8л;—8*/—2г+5 = 0
несовместна.
164. Дана система
а с \ b /
JL + J.=„(,_£.)..
а с ц \ о /
Выяснить, при каких я, и ц она совместна, и определить лс,
У, г.
165. Найти все решения системы
/ х—2г/+4г=0;
\ 2х+г/+32=0.
Решить системы уравнений (166—171):
166. Г л:—a y—b z—c
{Ь+су-а* (с+а)*-
x+y+z=k(a-\-b+c).
•Ьг
(а+Ь)2-с2 '
167. Г х—y+z=Q;
J (а+^)л:-(а4-с)^+(6-т-с)2=0;
[ abx—acy-\-bcz=\.
Числа a, b и с различны.
168. Г (b+c)(y+z) — ax = b—с;
(c-J-a) (2-h^)-i-bi/ = c—a;
(а+6) (х-Н/) —cz—a—b,
если а+б+с^О.
169. ax+bt/+C2=6x+c«/+a2:=cx-f-««/+^2::=«+^+c.
Числа a, b и с — вещественные.
'{
I»
170.
W =c.
ay-\-bx *
zx ,
az-\-cx
yz
■a.
171.
bz+cy
mi m2 trip
. Xi-\-x2-\-... -\-xv=a.
172. Определить вещественное число а так, чтобы один из
корней уравнения
4х2-^ГЫс+4я3=0
был квадратом другого.
173. Составить квадратное уравнение с вещественными коэф-
фициентами, один из корней которого равен -—г-.
174. При каких значениях а уравнение
(5а-1)х2-(5а+2)х+За-2=0
имеет равные корни?
175. При каком вещественном значении т выражение
х2+т(т—1)х+36
есть полный квадрат?
176. При некоторых значениях р уравнение
гЧ-Зх+3+р(л;2+л;)=0
имеет равные корни. Составить квадратное уравнение, имеющее
корнями эти значения р.
177. В уравнении
х2—2x+q=0
квадрат разности корней равен 16. Определить свободный член
уравнения.
178. При каких значениях т уравнение
9х2— \8тх—8т+16=0
имеет корни, отношение которых равно двум?
179.. При каких вещественных значениях т уравнение
2тх2—2х—Ът—2=0
имеет различные корни?
180. Какими должны быть р и q, чтобы уравнение
x2-{*px-\-q = 0
имело корнями р и q?
20
181. При каком т уравнения
2х2-(Зт+2)л;+12=0;
4х2-(9т-2)л;+36=0
имеют общий корень?
182. Показать, что уравнение
(х-1) (х—3) +т (х-2) (х—4) = О
имеет вещественные корни при любом вещественном т.
183. Показать, что корни уравнения
(х—а) (х—Ь) + (х—Ь) (х—с) + (х—с) (х—а) = 0
всегда вещественны, если а, Ь и с вещественны,
184. При каких целых k корни уравнения
kxz—(l—2k)x+k=2
рациональны?
185. Доказать, что при нечетных р и q уравнение
x2-\-px-\-q = 0
не имеет рациональных корней.
186. Доказать, что уравнение
хЬ+ах+1=0
не имеет рациональных корней, если а — целое число, но 1а|=^=2.
187. Доказать, что если уравнение
xm+alxm-i+azxmr-2+... +ат=0
с целыми коэффициентами at, a%, ..., ат имеет рациональный
корень, то этот корень есть целое число.
188. Доказать, что если несократимая рациональная дробь
р
— является корнем уравнения
q аохт+а1Хт-*+а2хт-2+...+ат=0
с целыми коэффициентами ао, сц, ct% ..., flm, to q есть делитель ао,
a p есть делитель ат.
189. Доказать, что если алгебраическое уравнение с
рациональными коэффициентами имеет корень вида а-^-Ь^с, где а, Ь
и с — рациональные числа, причем ЬфО, с>0 и с не является
квадратом рационального числа, то оно имеет и корень вида
a—byF.
Решить уравнения (190—-193) t
190. (6х+7)2(Зл:+4)(л;+1)=6.
191. х2(1+х)2+*2=8(1+л;)2.
192. х(*+1)(*-1)(*+2)=24.
.193. (х-2)4+(л:~3)4=1.
21
194. Решить уравнение
х3+21л;2+140л:-300=0,
если известно, что один из его корней вдвое больше одного из
двух других.
195. Составить алгебраическое уравнение наименьшей
степени с рациональными коэффициентами, имеющее корнями
1+УЗ и 2+УЗ.
Решить системы уравнений (196—210):
196.
197.
\х2—Зх+2=0;
\х2+5х—\4=0
/ х2+ху = 6;
\у2+ху = 3.
198. Гх4+Зл;2</2+</4=109;
\х2+у*+ху=\3.
199. <{х+у+\)2+{х+у)2=2Ь;
\xz-y2 = 3.
200. (x(y+z)=5;
\ y(z+x)=S;
[z(x+y)=9.
201. ( x+y+z=\3;
\ x2+y2+z2 = 6\;
[2yz=x(z+y).
202. (x2+y2+z2=35;
{ 3x+2y2—7xz = — \A\
[x(z-\)=4.
203. (x2+y2+z2=U;
\xy-\-xz—yz=7\
[x+y+z=6.
204. (x2+y2=axyz;
\y2+z2=byzx)
[z2-{-x2 = czxy.
a>6>c>0, 6-fOa.
205. [x2+y2 = z2\
\ xy-\-yz-\-zx=47\
(z-x){z-y) = 2.
206. (x(x+y+z)=a2-
y(x-\-y-\-z)=b2',
z(x+y+z)=c2.
a>0, 6>0, c>0.
22
t
207. [y-\-z-\-yz=a\
•j z-\-x-\-zx=b\
\x-\-y-\-xy=c.
a> —1, &> — 1, c>—1.
208. Гх2 = -
209.
a>0, 6>0, c>0.
t/2 _ 2X ХУ X2-j-y2-j-Z2 ш
бг-f-q/ cx+az ay-\-bx аг-\-Ьг-\-сг '
a, б, с вещественны.
210. fx+#+z=0;
{ xz+yz—z2 = 20;
[jc4+t/4—24=±560.
211. Найти вещественные решения системы
Г 2х—у=\;
\\х+у—2ху—г2=3.
Выяснить, являются ли уравнения равносильными (212
212. yP(x)=yQ(x) и P(jc) = Q(jc).
213. yP(x)Q(x)=R(x) и yPC^VQW^^CAr).
2,4. №==*(*) и S-*M-
r QW VQW
Решить уравнения (215—239):
215. Ух—6+fl0x+5 = 2.
216. (^-l)^^)-^^)^-^^-
V^2—Зх+2—Уд:2—7х+12
217. гЧ-3-У2х2-Зх+2=-|- (*+1).
218. У(7х-3)3+8У(3-7д;)-3=7. .
219-(1+т)+4Ш2=4-
1 1 i
220. (а+*)3-И(а—л:) 3-5(a2-*2)3 =0.
23
221. te + y*±^ = 2.
r b-\-x f a—x
222. yI+45—Ух^Гб=1.
223. y73-V7ZI=^i.
f X I XX
224. yi+x ! =У2+л:.
yi+л:
225. 4x+1 +2xy2 (2x2+1) + (2x+1) y4x2+4x+3=0.
226. 2У2л:+Ух=з1/ ^-г-+2У2л;-Ух.
У 2л:+У*
s s
227. Уa+tx+Va-yx=ib.
s_ J_
228. y*+y2x—3=yi2(x— 1).
5 5
229. У16+Ух+У16-Ух=2.
230
. У*-3-2ух-4+Ух—4Улг—4 = 1.
231. У*+2-У*-2 = х
Ух+2+ух—2 2
\+x—12x+x2 _ g У2+х+Ух
232. —' f ' =as
1 +х+У2л:+л;2 у2+х-Ул:
ваз. 4=^- V4±^—i.
234.
\-\-ax r l—bx
n n n__
Уа+х , Уд+х _ jx w
* В примерах 234—239 я — целое>1.
24
УП + 1 -, / П+1
xn+ ianxn2+ V an-f- -tfxnanl = b,
где g>0.
236. yaftJc"-A+yA:ftan-ft+2y6A:, где rt>fc>Q,
6>a>0.
237. У(х+1)2-4-У(х-1)2=4У*2-1.
238.
239.
у/ a—x y^a—x
x*
a-\-x
n_ n_
Уа—Vx 2n.-
—=Ух.
У*2 f Уа2
Решить системы уравнений (240—243)1
240. f . т/л:—t/ 20
''b-'+Vf-Hrx+j,'
[ jc2+i/2 = 34.
241.
л:—i/
242.
У*2*/—Уху2
1
2 '
ix+y-Ух
^ У*+У]/=7.
243. jix-iy = 2}fxy\
\х+у = 20.
jx+y-1/x
У
■■ 0,375;
III.
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
244. Турист, идущий из деревни на станцию, пройдя за
первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к поезду на 40 мин,
если будет двигаться с тою же скоростью. Поэтому остальной
25
путь он проходит со скоростью 4 км/час и прибывает на станцию
за 45 мин до отхода поезда. Каково расстояние от деревни до
станции?
245. Трехзначное число оканчивается цифрой 3. Если эту
цифру перенести влево (т. е. поместить вначале), то новое число
будет на единицу больше утроенного первоначального числа.
Найти это число.
246. Самолет летел сначала со скоростью 220 км/час. Когда
ему осталось пролететь на 385 км меньше, чем пролетел, он
изменил скорость и стал двигаться со скоростью 330 км/час.
Средняя скорость самолета на всем пути оказалась равной 250 км/час.
Какое расстояние пролетел самолет?
247. Мне вдвое больше лет, чем Вам было тогда, когда мне
было столько лет, сколько Вам теперь; когда Вам будет столько
лет, сколько мне теперь, тогда сумма наших возрастов будет
равна 63 годам. Сколько лет каждому?
248. Две автомашины выехали одновременно из одного и
того же пункта в одном и том же направлении. Первая имеет
скорость 50 км/час, а вторая 40 км/час. Спустя полчаса из того же
пункта выехала третья машина и, догнав вторую, находилась
в движении еще 1,5 час до того, как нагнала первую. Какова
скорость третьей машины, если движение всех машин равномерное?
249. Пассажирский поезд идет из Л в В и после 5 мин
остановки в В идет далее в С. Спустя 14 мин после того, как он
покинул В, ему встречается скорый поезд, скорость которого вдвое
больше скорости пассажирского поезда. Скорый поезд выехал
из С в тот момент, когда пассажирский поезд был на расстоянии
25 км от Л. Кроме того, известно, что скорому поезду нужно
2 час, чтобы пройти расстояние СВ, и что если он из А сразу
возвратится, то прибудет в С на 0,75 час позже прибытия
пассажирского поезда. Сколько километров в час делает каждый
поезд и как удалены друг от друга пункты Л, В и С?
250. Некоторое количество денег было разложено на я кучек.
После этого из первой кучки переложили во вторую — часть
бывших в первой кучке денег. Затем из второй кучки — часть
оказавшихся в ней после перекладывания денег переложили
в третью кучку. Далее, — часть денег, получившихся после этого
я
в третьей кучке, переложили в четвертую и т. д. Наконец из я-й
1
кучки — часть оказавшихся в ней после предшествующего
перекладывания денег переложили в первую кучку. После этого
26
в каждой кучке стало Л рублей. Сколько денег было в каждой
кучке до перекладывания?
251. Двое рабочих, работая вместе, могут окончить
некоторую работу в 12 дней. После 8 дней совместной работы один из
них заболел, и другой окончил работу один, проработав еще
5 дней. Во сколько дней каждый из них, работая отдельно, может
выполнить эту работу?
252. Две бригады рабочих, работая одновременно, могут вы-
2
полнить некоторую работу в 8 дней. Если бы работало — рабо-
о
чих первой бригады и 0,8 второй, то работа была бы выполнена
^в 11— дней. Во сколько дней могла бы выполнить эту работу
каждая бригада в отдельности?
253. Когда старшему брату было столько лет, сколько сейчас
среднему, тогда младшему было 10 лет. Когда среднему будет
столько, сколько сейчас старшему, тогда младшему будет 26 лет.
Сколько лет каждому брату, если сумма лет старшего и среднего
братьев в день рождения младшего была в два раза больше
числа лет младшего в настоящее время?
254. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих
в отношении 1 : 2, а другой содержит те же металлы в отношении
2 : 3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы
получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении
17:27?
255. Поезд вышел со станции Л по направлению к В в 9 час.
В 15 час он остановился из-за снежного заноса. Через 2 час путь
был расчищен, и машинист, чтобы наверстать потерянное время,
повел поезд на остальном пути со скоростью, превышающей
скорость поезда до остановки на 20%. Но поезд все же пришел
с опозданием на 1 час. На следующий день поезд, шедший по
тому же расписанию, тоже попал в занос, но на 150 км дальше
от А, чем первый поезд. Простояв 2 час, он тоже пошел со
скоростью на 20% выше прежней, но нагнал лишь полчаса и
пришел в В с опозданием на 1,5 час. Найти расстояние между Л и В.
256. На участке реки от Л до В течение так медленно, что его
можно принять равным нулю. На участке же от В до С оно
достаточно быстро. Лодочник прбплывает расстояние от Л до С за
3 час, а обратно от С до Л (вверх) за 3,5 час. Если бы на всем
протяжении от Л до С течение было такое же, как от В до С, то
3
на весь путь от Л до С потребовалось бы 2—- час. Сколько
времени понадобилось бы в этих условиях, чтобы подняться вверх
от С до Л? •
27
257. В сберкассу на книжку было положено 1640 руб. и в
конце года было взято обратно 882 руб. Еще через год на книжке
снова оказалось 882 руб. Сколько процентов начисляет
сберкасса в год?
258. Двое рабочих взйлись сжать ржаное поле в течение
одного дня, причем каждый обязался сжать половину поля.
Первый начал работу на 2 час 16 мин раньше второго. В полдень,
когда ими уже было сжато 0,4 поля, они приостановили работу
для обеда и отдыха на 1,5 час. Первый окончил свою часть в
7 час 54 мин, а второй в 8 час 10 мин пополудни. В котором часу
начал работать каждый?
259. Два каменщика сложили вместе стену в 20 дней. Во
сколько дней выполнил бы работу каждый из них отдельно, если
известно, что первый каменщик должен работать на 9 дней
больше второго?
260. Два пешехода А и В вышли одновременно друг другу
навстречу из городов М и N. Когда они встретились, то
оказалось, что А прошел на 6 км больше, чем В. Если каждый из них
будет продолжать путь с той же скоростью, то А придет в N
через 4,5 час, а В в М — через 8 час после встречи. Определить
расстояние между М и N.
261. Два автомобиля выезжают одновременно навстречу друг
другу из А в В и из В в А. После встречи одному приходится еще
9
быть в пути 2 час, а другому — час. Определить их скорости,
о
если расстояние между А и В равно 210 км.
262. Для печения пшеничного хлеба взято столько
килограммов муки, сколько процентов составляет припек на эту муку.
Для печения ржаного хлеба взято на 10 кг больше муки, а
именно столько килограммов, сколько процентов составляет припек
на ржаную муку. Сколько килограммов взято той и другой муки,
если всего выпечено 112,5 кг хлеба?
263. Проходя первый участок пути в 24 км, паровоз делал
в час на 4 км меньше, чем когда проходил второй участок в 39 км.
На прохождение второго участка он употребил на 20 мин
больше, чем на прохождение первого. Какова скорость паровоза на
первом участке?
264. По окружности длиною в 360 м движутся два тела. Одно
из них проходит в секунду на 4 м больше другого и поэтому
проходит всю окружность на 1 сек скорее. Сколько метров в секунду
проходит каждое тело?
265. Окружность заднего колеса в 2 раза больше
окружности переднего. Если длину окружности заднего колеса
уменьшить на 1 м, а переднего увеличить на 1 м, то на протяжении
60 м заднее колесо сделает на 30 оборотов больше переднего.
Определить длину окружности каждого колеса.
28
266. Трамвайная линия имеет длину 15 км. Если увеличить
скорость трамвая на 3 км/час, то трамвай будет затрачивать на
каждый рейс на полчаса меньше, чем теперь (рейсом называется
пробег трамвая-туда и обратно). Сколько времени затрачивает
"теперь трамвай и какова его скорость?
267. В ремонте дома участвовали плотники и маляры. Те и
другие получили за работу одну и ту же сумму, но маляров было
двумя меньше, чем плотников, и поэтому каждый маляр получил
одним рублем больше плотника. Сколько было плотников
и сколько маляров, если известно, что число рублей, уплаченных
им всем, было на 26 больше утроенного числа всех рабочих?
268. От Москвы до Ленинграда 650 км. Пассажирский поезд
проходит это расстояние на 12 час скорее товарного, так как его
часовая скорость на 24 км больше. Сколько километров в час
проходит каждый поезд?
269. От дома до школы 400 м. Ученик старшего класса делает
на этом пути на 300 шагов меньше, чем ученик младшего класса,
так как у него шаги на 30 см больше. Определить длину шага
каждого.
270. Магазин купил кусок сукна за 200 руб. 5 м из этого
куска остались непроданными, а остальное сукно было продано за
190 руб., при этом на каждом метре было получено 1,5 руб.
прибыли. Сколько метров сукна было в куске?
271. Куплено два сорта некоторого товара, причем второго
сорта на 15 кг больше первого. За второй сорт заплачено 32 руб.,
а за первый 22,5 руб. Сколько куплено килограммов того и
другого сорта, если килограмм второго сорта стоил на 10 коп.
дешевле килограмма первого?
272. При двух последовательных одинаковых процентных
повышениях заработной платы сумма в 100 руб. обратилась в
125 р. 44 к. Определить, на сколько процентов повышалась
заработная плата?
273. В сосуде было 20 л чистого спирта. Часть этого спирта
отлили, а сосуд долили, водой. Затем сно&а отлили столько же
литров, сколько в первый раз, и сосуд опять долили водой. После
этого в сосуде оказалось чистого спирта втрое меньше, чем воды.
Сколько спирта отлили в первый раз?
274. У мальчика имеются двухкопеечные монеты. Играя, он
укладывает их на площадке плотно одну к другой то в виде
квадрата, то в виде правильного треугольника, используя
каждый раз все монеты. В последнем случае в стороне содержится
на 2 монеты больше, чем в первом. Какая сумма денег имеется
у мальчика?
275. В шахматном турнире двое из участников выбыли,
сыграв только по три партии каждый. Поэтому на турнире ^ыло
сыграно всего 84 партии. Сколько было участников
первоначально и играли ли выбывшие участники между собой?
29
276. Куплено материи двух сортов на сумму . 15 р. 20 к.
Если бы цена материи первого сорта была выше, а второго ниже
на одно и то же число процентов, то первый сорт стоил бы 15 руб.,
а второй 2 р. 40 к. Сколько стоил первый сорт в действительности?
277. Из Тулы по направлению к Вязьме вышел товарный
поезд. Спустя 5 час 5 мин по той же дороге вышел из Вязьмы
в Тулу пассажирский поезд. Оба поезда встретились на
промежуточной станции. От этой станции товарный поезд шел до
Вязьмы 12 час 55 мин и от той же станции пассажирский поезд шел
до Тулы 4 час 6 мин. За какое время прошел каждый поезд путь
между Вязьмой и Тулой?
278. Студенты взяли на лодочной станции лодку напрокат.
Сначала они спустились на 20 км вниз по течению реки, затем
повернули обратно и вернулись на лодочную станцию, затратив
на всю прогулку 7 час. На обратном пути, на расстоянии 12 км
от лодочной станции, они встретили плот, проплывавший мимо
лодочной станции как раз в тот момент, когда они отправлялись
на прогулку. Определить, с какой скоростью двигалась лодка
вниз по течению и какова скорость течения?
279. Из двух населенных пунктов выходят навстречу друг
другу два курьера и встречаются в некотором пункте Mi. Если бы
первый курьер вышел на час раньше, а второй на полчаса
позже, то они встретились бы на 18 мин раньше, чем в
действительности. Если бы второй вышел на час раньше, а первый на
полчаса позже, то они встретились бы в пункте, отстоящем от Mi на
5600 м. Найти скорости обоих курьеров.
280. Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы
окончить работу за 24 час, если бы делали ее все одновременно.
Вместо этого они приступили к работе один за другим через
равные промежутки времени, и затем каждый работал до окончания
всей работы. Сколько времени они рыли канаву, если первый,
приступивший к работе, проработал в 5 раз больше, чем
последний?
281. Сплав из двух металлов весом в Р кг, будучи
погруженным в воду, теряет в своем весе А кг. Такой же вес первого из
двух составляющих металлов, погруженного в воду, теряет В кг,
а второй С кг. Найти вес составляющих сплав металлов
и исследовать возможность решения задачи в зависимости от
величин Р, А, В и С.
282. От двух кусков сплава с различным процентным
содержанием меди, весящих ткг и п кг, отрезано по куску равного веса.
Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого
куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах
стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков?
283. Объем А составляет т-ю часть суммы объемов В и С,
а объем В — п-ю часть суммы объемов Л и С. Какую часть
суммы объемов А и В составляет объем С?
30
284. Две точки движутся с постоянными скоростями по
окружности длиною L. Если они движутся в разных направлениях, то
встречаются каждые t\ сек. При движении в одном направлении
Одна точка настигает другую через каждые U сек. Определить
скорости обеих точек.
285. Из Л в В отправилась лодка. Когда лодка прошла уже
/ км, из Л в В вышел пароход, который пришел в В на t час
раньше лодки. Каково расстояние между А и В, если скорость лодки
составляет v км/час, а скорость парохода w км/час"}
286. Мастер дает сеанс одновременной игры в шахматы на
нескольких досках. В конце первых двух часов он закончил р%
партий выигрышем, а / партий проиграл. За следующие два часа
он выиграл у <7% оставшихся противников, т партий проиграл
и остальные п партий закончил вничью. На скольких досках шла
игра?
287. В сосуде содержится а л /?%-ного раствора азотной
кислоты. Сколько литров <7%-ного раствора той же кислоты нужно
влить в сосуд, чтобы после добавления некоторого количества
воды, доводящего общий объем смеси до b л, получилась бы
кислота крепостью г%?
288. В одном сосуде находится а л р%-ного раствора кислоты,
а в другом b л <7%-ного раствора той же кислоты. Из каждого
сосуда отлили по одинаковому количеству литров и взятое из
первого вылили во второй, а взятое из второго вылили в первый.
Сколько литров было взято из каждого сосуда, если в сосудах
оказался раствор одной и той же крепости?
289. Два велосипедиста, выехав одновременно с разными, но
постоянными скоростями из пункта А в пункт В, достигнув его,
сразу поворачивают обратно. Первый велосипедист, обопуав
второго, встречает его на обратном пути на расстоянии а км от В,
затем, достигнув А и снова повернув к В, он встречает второго
велосипедиста, пройдя k-ю часть расстояния от А до В. Найти
расстояние от А до В.
290. В некоторой точке круглого биллиарда радиуса R на
расстоянии а от его центра находится упругий шарик. В какую
точку борта нужно направить шарик, чтобы он, дважды отразившись
от борта, вернулся в исходную точку? Размерами шарика
пренебрегаем.
291. Сферический баллон с толщиной стенки е, изготовленный
из материала плотности d, наполнен жидкостью плотности 6.
Каков должен быть внутренний радиус R баллона, для того чтобы
при погружении его в жидкость плотности А имело место
равновесие? Какому условию должны удовлетворять плотности d, б и
Л, чтобы задача была возможна?
292. Средний годовой процент прироста населения из года
в год остается постоянным. Если бы годовой процент прироста
увеличился на k, то через п лет численность населения была бы
31
в два раза больше, чем при нормальных условиях. Определить
годовой процент прироста населения.
293. Сосуд, наполненный последовательно двумя
жидкостями, плотности которых d и D, весит соответственно q и Q кг,
включая сюда и вес самого сосуда. Найти вес сосуда и его объем.
Найти условия возможности задачи.
294. Два поезда выезжают одновременно из А и В навстречу
друг другу и встречаются на расстоянии р км от В. Через t час
после встречи второй поезд, миновав пункт Л, находился в q км
от него, а первый в это время, миновав пункт В, находился от
второго поезда на расстоянии в два раза большем, чем
расстояние между пунктами А и В. Найти скорости поездов и расстояние
между А и В.
295. Число х в т раз больше разности чисел у и z, a число у
в п раз больше разности х и г. Найти зависимость между тип,
если известно, что z в два раза больше разности чисел х и у.
Числа х, у и z не равны нулю.
296. Часы показывают в некоторый момент на т мин меньше,
чем следует, хотя и спешат. Если бы они показывали на п мин-
меньше, чем следует, но уходили бы в сутки на t мин больше, чем
уходят, то верное время они показали бы на сутки раньше, чем
покажут. На сколько минут в сутки эти часы спешат?
297. Дети делят орехи. Первый взял а орехов и п-ю часть
остатка; второй — 2а орехов и п-ю часть нового остатка;
третий — За ореховки п-ю часть нового остатка и т. д. Оказалось, что
таким способом разделены все орехи поровну. Сколько было
детей?
298. Колхоз купил для заправки тракторов на а руб.
лигроина и на такую же сумму керосина, всего п кг. Сколько
килограммов куплено лигроина и сколько керосина, если килограмм
первого на b руб. дороже килограмма второго?
299. Из пункта А в пункт В выехала машина с почтой. Через
t мин за ней выехала другая. Двигаясь со скоростью v км/час,
она нагнала первую и, передав забытый срочный пакет,
повернула назад. В пункт А вторая машина прибыла одновременно
с прибытием первой в пункт В. С какой скоростью двигалась
первая машина, если расстояние между А и В равно Ь км?
300. Две бригады рабочих заработали по одинаковому числу
руб. В первой бригаде было на а рабочих меньше, чем во второй,
вследствие чего каждому рабочему второй бригады досталось
на b руб. меньше, чем каждому рабочему первой бригады. Число
рублей, заработанных каждой бригадой, на с больше числа
рабочих в обеих бригадах вместе. Сколько было рабочих в каждой
бригаде?
301. Двое рабочих выкопали ров, работая один после
другого. При этом первый работал а дней и выполнил часть всей рабо-
32
ты, равную —. Если бы они работали вместе, то ров был бы
вырыт в число дней, равное среднему арифметическому между
числом дней, в течение которых работал первый, и числом дней, в
течение которых работал второй. Сколько дней работал второй?
302. По одной и той же окружности движутся два тела в
одну и ту же сторону. Длина окружности равна а м. Одно тело
проходит окружность на р мин скорее другого тела. Определить,
сколько метров в минуту проходит каждое тело, зная, что они
при движении сходятся каждые q мин.
303. Наняты двое рабочих по разным ставкам. Первый
получил а руб., а второй, работавший меньше первого на п дней,
получил с руб. Если бы первый работал столько дней, сколько
второй, а второй столько, сколько первый, то они получили бы
поровну. Сколько дней работал каждый?
304. Группа экскурсантов должна была заплатить за обед
в ресторане а руб. Но у Ь участников не оказалось в наличии
денег и поэтому каждый из остальных внес еще с руб. Сколькслбы-
ло экскурсантов? ^
305. Скорый поезд был задержан у семафора на р мин и
наверстал опоздание на перегоне в d км, пройдя его со средней
скоростью на v км/час больше той, какая полагалась по
расписанию. Какова средняя скорость на этом перегоне по расписанию?
306. Два вкладчика положили в сберкассу одинаковые
суммы. Первый взял вклад по истечении а месяцев и получил т руб.,
а второй взял вклад по истечении Ь месяцев и получил п руб.
Сколько каждый из них положил в сберкассу и сколько
процентов начислила сберкасса?
307. В трех сосудах находится одинаковая жидкость в
неравных количествах. Если половину содержимого (по объему)
одного сосуда разлить поровну в два других, а затем половину
содержимого другого сосуда, оказавшегося после первого разлива,
разлить поровну в два других и после этого половину
содержимого третьего сосуда разлить поровну в два других, то во всех
сосудах окажется жидкости поровну, а именно по 16 л. Сколько
было литров жидкости в каждом сосуде вначале? (Задачу
решить арифметически.)
308. Товарный поезд прошел путь от Ленинграда до Москвы
со средней скоростью 20 км/час, а от Москвы до Ленинграда со
средней скоростью 30 км/час. Какова средняя скорость поезда
на всем пути (время, потраченное на остановку в Москве, в
расчет не принимается)?
309. Доказать, что разность между любым числом и числом,
изображенным теми же цифрами, но написанными в обратном
порядке, делится нацело на 9.
2 Шахно К. У.
33
IV.
ПРОГРЕССИИ*
310. Могут ли числа УЗ, 2, У8 быть членами (не обязательно
соседними) арифметической прогрессии?
311. Доказать, что в арифметической прогрессии ait аг, ...
любые четыре члена ат, ап, ah, д,, для которых т-\-n = k-\-l, связаны
соотношением
am-\-an = ah+ai.
312. Доказать, что три члена an-i, o.n, an+i арифметической
прогрессии ai, а2, ... связаны соотношением
313. Найти сумму двадцати членов арифметической
прогрессии аи а2, ..., если ae+a9-\-ai2-\-ai5=20.
314. Найти арифметическую прогрессию аи а2, ..., если
ai-\-a2-\-a3=9 и aia2a3=\5.
315. Найти арифметическую прогрессию, если сумма п ее
членов Sn = 2n2—3/г.
316. Найти десятый член арифметической прогрессии, если
сумма п ее членов Sn = 3n2—2п.
317. Найти арифметическую прогрессию, у которой сумма
любого числа членов, начиная с первого, в четыре раза больше
квадрата числа членов.
318. Число членов арифметической прогрессии равно 10.
Сумма членов, стоящих на четных местах, равна 15, а на нечетных —
12,5. Найти все члены прогрессии.
319. Дано, что в арифметической прогрессии ap = q, aq—p
(ап — n-vi член прогрессии). Найти ат.
320. Числа а2, Ь2У с2 образуют арифметическую прогрессию.
Доказать, что числа
1 1 ' 1
Ь+с' с+а' а+Ь
также образуют арифметическую прогрессию.
321. Найти сумму всех несократимых дробей со
знаменателем 3, заключающихся между целыми числами тип (т<п).
322. Доказать, что если в арифметической прогрессии
5m=S„, где Sk—сумма первых k членов прогрессии, то Sm+n = 0.
* Во всех приведенных здесь задачах на прогрессии подразумевается,
что члены прогрессий — вещественные, если специально не оговорено
противное.
34
323. Дано, что в арифметической прогрессии
Sm т2
Sn ~~ п2 '
Доказать, что -
ат 2т—1
ап 2м—1
324. Параллелограмм пересекается двумя рядами прямых,
параллельных его сторонам. Каждый ряд состоит из т линий.
Сколько всех возможных параллелограммов можно составить из
этих линий?
325. Числа 3, 5, 9, 15, ... таковы, что разности между ними
образуют арифметическую прогрессию. Найти п-и член этой
последовательности чисел.
326. Вычислить сумму
12-22+32-42+ ... + (-1)т~*т2.
327. Какие из последовательностей
1,—§-. 4"'-~т' -; % 2> 2> -; з,_з'з> -; 2'°* 0> -
являются геометрическими прогрессиями?
328. Могут ли числа 10, 11, 12 быть членами (не обязательно
соседними) геометрической прогрессии?
329. Доказать, что в геометрической прогрессии аи а2, ...
любые четыре члена ат, ап, ah, aL, для которых m-\-n = k-\-l, связаны
соотношением
aman = ahai.
330. Доказать, что три члена an-i, an, an+i геометрической
прогрессии ait a2, — связаны соотношением
2
ап — an_ian+i.
331. Если числа х, у, z составляют геометрическую
прогрессию, то
(x+y+z) {x-y+z) =x2+y2+z2.
332. Найти сумму п чисел вида
5, 55, 555, 5555, ...
333. Доказать, что
11 ... 1 55 ... 56 = 33... 342.
h ft-1 ft-1
334. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии
равна 3,5. Сумма квадратов тех же членов равна 5,25. Найти
первый член, и знаменатель прогрессии.
335. В арифметической прогрессии даны ее члены ат+п=Л
и ат-п — В. Найти ее члены ат и ап.
336. В геометрической прогрессии даны ее члены ат+п=А
и ат-п = В. Найти ее члены ат и ап.
2*
35
337. Доказать, что если числа а, 6, с, d составляют
геометрическую прогрессию, то
(b-c)2+ (с-а)2+ (d-b)2= (a-d)2.
338. Найти сумму
(*+т)+(*2+^)+--+(*"+^)2
339. Доказать, что
(\+х+х2+ ... +хп)2—хп =
= (\+х+х2+ ... +хп~1)(\+х+х2+ ... +хп+1).
340. Найти произведение п первых членов геометрической
прогрессии с положительными членами, зная их сумму S и
сумму Si их обратных величин.
341. Найти сумму
х+2х2+Зх3-\- ... + пхп.
342. Известно, что сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии есть предел Sn при п -»- оо, где п — сумма
первых членов прогрессии. Нужно ли это доказывать?
343. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 9, а сумма квадратов ее членов — 40,5. Найти
первый член и знаменатель прогрессии.
344. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равна 3, а сумма кубов ее членов равна -^-. Напи-
1 о
сать три первых члена этой прогрессии.
345. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, стоящих на нечетных местах, равна 36, а сумма ее
членов, стоящих на четных местах, равна 12. Найти эту
прогрессию.
346. Первый член бесконечно убывающей геометрической
прогрессии равен 1. Каждый же из остальных членов в 2— раза
меньше суммы двух смежных с ним. Найти сумму этой
прогрессии.
347. Найти бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию, первый член которой равен 1 и каждый член в три раза
больше суммы всех следующих за ним членов.
348. Сумма первых четырех членов бесконечно убывающей
геометрической прогрессии равна 15. Сумма первого и четвертого
членов в 1,5 раза больше суммы второго и третьего. Найти
сумму прогрессии.
349. Найти знаменатель бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, зная, что сумма ее первых шести членов со-
7
ставляет-д- суммы всех ее членов.
36
350. В арифметической прогрессии 11 членов. Первый член
равен 24. Первый, пятый и одиннадцатый члены составляют
геометрическую прогрессию. Написать все члены арифметической
прогрессии.
351. В арифметической прогрессии, состоящей из 9 членов,
первый член равен 1, а сумма равна 369. Геометрическая
прогрессия тоже содержит 9 членов, причем первый и последний члены
ее совпадают с соответствующими членами данной
арифметической прогрессии.
Найти седьмой член геометрической прогрессии.
352. Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если
второй член увеличить на 8, то данная прогрессия обратится
в арифметическую, но если затем третий член будет увеличен на
64, то она опять обратится в геометрическую прогрессию. Найти
эти числа.
353. Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще
одно число так, что все три числа образуют арифметическую
прогрессию. Если средний член этой прогрессии уменьшить на 6, то
получится геометрическая прогрессия.
Найти неизвестное число.
354. Три числа, сумма которых 114, можно рассматривать как
три последовательных члена геометрической прогрессии или как
первый, четвертый и двадцать пятый члены арифметической
прогрессии. Найти эти числа.
355. Из точек А и В одновременно начали двигаться два тела
навстречу друг другу. Первое в первую минуту прошло 1 ж, а в
каждую последующую проходило на 0,5 м больше, чем в
предыдущую. Второе тело проходило каждую минуту по 6 м. Через
сколько минут оба тела встретились, если расстояние между А
и В равно 117 м?
356. Возможны ли три таких числа ait a2, аз, чтобы они были
одновременно первыми, вторыми и третьими членами
арифметической и геометрической прогрессии?
357. В многочлене ax^-\-bxz-\-Ax2-\-dx-\-l коэффициенты а, Ь
и 4 образуют геометрическую прогрессию, а 4, а и Ь — арифме*
тическую. Многочлен делится на \-\-x-\-x2. Найти частное от
деления первого многочлена на второй.
358. Даны две прогрессии: арифметическая
и геометрическая
bu b%, ••• . Ьп, ... ,
в которых ai=bi и а2=&2. Обе прогрессии возрастающие, и все
члены этих прогрессий положительны. Доказать, что все члены
арифметической прогрессии, начиная с а3, меньше
соответствующих членов геометрической прогрессии.
37
ЛОГАРИФМЫ
а) ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
359. Почему а1о^*=х?
360. Что больше, loga 2 или loga 3?
361. Доказать, что log^ a loga b = 1.
362. Доказать, что logba = , , t
logc b
363. Когда верна формула , log a2=21og(—a)?
364. Доказать, что
2а-\-ЪЬ \oga-\-\ogb
log g - - ,
если 13a&=4a2+9&2.
365. Доказать, что
log-^j-=y(Ioga-Hog&),
если a2-\~b2=7ab.
366. Доказать, что
logb+c a-t-Iogc-6 a=21ogb+c a Iogc-b a,
если a2-f&2=c2.
367. Вычислить logs 9,8, зная, что Iogio2 = a и logi07 = 6.
loga N
368. Доказать, что -. rr=l+Ioga&.
logub /V
369. Доказать, что a-3g, °gb a' = \ogba.
logb a
370. Доказать, что logb a=\ogbn an.
371. Что больше, log43 или logi69?
372. Вычислить logf-8, зная, что logi23 = a.
373. Доказать, что
1
!0^«2- ... вдХ- I 11
-К..4-
logaiX l0ga2^ l0gan*
i 1
374. Дано: y=\0^<>s>ox] z=io*-ioe»oi>
Доказать: jc= 10 1Чо^»о«.
38
375. Доказать, что если a, b и с — три последовательных
члена геометрической прогрессии, неравные между собой, то
logg*— \0gbX _ \0gqX
logbX— logo * \ogcX
376. Доказать, что если \ogkX\ logmд:; logn* образуют
арифметическую прогрессию, то
n2=(kn)l°sKm.
377. Доказать, что если
л2=(Лл)1°в*т,
то logft*; logm л:; logn х образуют арифметическую прогрессию.
378. Найти ошибку в следующем «доказательстве»: так как
т<Т'то (т)3< (у)2; ,о^(т)3<1о&10(т)2;
31og10— < 21og10y-; 3<2.
б) ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Выяснить, являются ли равносильными уравнения (379—384):
379. logP(*)=logQ(A:) и P(x)=Q(x).
380. logP(x)+logQ(x)=R(x) и log [P(x) Q(x)] = Р(х). -
381. \ogP(x)-\ogQ(x)=R(x) и \0g^r=R(x).
382. п log Р(х) = Q(х) и log [P(x)]n = Q(x); n—четное число.
383. ах=аУ и х=у\ (а>0).
384. Iog8(A:2-l) = l и log8(A:-l)-flog8(A:+l)=l.
385. Ученик решает уравнение log(x—1)2=2 log3 так:
2 log(A:—1) =2 log 3; log (x—1) =log3; x—1=3; *=4. Нетрудно
проверить, что х=4 удовлетворяет уравнению. Но кроме этого
корня, уравнение имеет еще и корень х=— 2. Почему он был
потерян?
Решить уравнения (386—408):
386. (Iogxy5)2-logx5y5+l,25=0.
387. 3yii7+21gy^—2.*
388. Уlogx 5V54-log y- 5^5=—Уб logxy5.
* Знаком lg х обозначается десятичный логарифм числа х.
39
389. (Vxyog.x-1^5.
390. А;2183эс-1'51е:с=}/Т0.
391. xte2* + ig*3 + 3=
1
У*+1-1 Ул:+1 + 1
392. y21g(—Ar)=lgVx2.
393. log2yJc2"=l.
394. log2(x+l)2+k)g2|*+l| = 6.
395. А:1ое^^-2)1=9.
log _ (зс-2)
396. x Iх =9.
ilog _(x2-a:)
397. x =а1оёа^4; (а>0).
398. l/logxy5J7log5 аг= — I.
399. 21og,3.]og3,.3 = log9/-3.
400. У logo Уах+logx Уал:+
'+Г logey~+log,y^-=a.
401. logaA>logbC«(l+logca)=logbA;-logc*-logac.
402. logax.+log -3X+log1x=6.
403. loge^loge^+Ooge*)8^... =-y-
404. _[££(У^+1 + 1)==з
log*]/*—40
i_ 2 J.
405. 4"s'«+6"«=9-«.
406. 4зс+у^=21-5.2*-1+у^:^=6.
407. (У2+уз)+(У2-уз) =
= 4.
40
408. 27*+12*=2 -8*.
Решить системы уравнений (409—424):
409.
1
ig</-igM=
410
411.
log4100*
. floga*— \oga'y=m\
\l0go»X— log„3f/ = rt.
(loga x+loga i/—2)log 4_a = —1;
9
*+</—5a=0.
412. / log,-(*2+i/2) = 2 log»(2a) +2 log10o(AT2—I/2) J
\%</=a2.
413. f jo/=40;
\ jf«ev=4.
414. Г52*-Зу=675;
jlog3,I(x+^/)=6.
415. f t/«»+7*+«— 1;
I A:-f-j/=6; </>0.
416. Г8*=10#;
12*=5i/.
417. (x*+v=y12;
\y*+v=x3.
418. i xi*+iv=y3;
] V,_ 1
I yi**iv = x9,
' xm=yn;
419. J
logp—=l •
1 У logp#
420. fjeJ>=
. (xy=yx;
\a*=b*, (a#l> 6=?M).
41
421
\х™=^уп.
X3=iy*;
423. | л ,5
У3 =ixz;
422.
(1+у)х=Ю0;
(0-0
2х
(i/+l) =
424.
5z=9(yjc+yt/)
^;
t/z=JC3
VI,
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
425. Найти тип, если
Сп+2-С п+2'С п+2=0,6:1:1.
426. Доказать, что
m+i /-,m—* o/-.m /-.m+*
t-n ~T~wi -\~ЛСп =^C n±2-
427. Собрание, на котором присутствует 30 человек, в том
числе две женщины, выбирает четырех человек для работы на
избирательном участке. Сколько может встретиться случаев,
когда в число избранных войдут обе женщины?
428. Нужно распределить преподавание в шести классах
между тремя преподавателями. Сколькими способами можно
произвести это распределение, если каждый должен получить два
класса?
429. В вещевой лотерее разыгрывается 5 предметов. Первый
подошедший к урне, вынимает из нее 5 билетов. Каким числом
способов он может их вынуть, чтобы 3 из них оказались
выигрышными? Всего в урне 100 билетов.
430. Экскурсанты разделились на две равные группы для
розыска заблудившегося товарища. Среди них есть только 4
человека, знакомых с местностью. Каким числом способов они мо-
42
гут разделиться так, чтобы в каждую группу вошло 2 человека,
знакомых с местностью, если всего их 16 человек?
431. Комсомольцы строительной организации выделили в
помощь подшефному детскому дому бригаду в 5 человек. В
составе комсомольской организации 25 человек, в том числе 5
маляров, 4 плотника и 2 штукатура. Каким числом способов можно
укомплектовать бригаду, чтобы в нее вошли рабочие всех этих
специальностей по одному?
432. Для культпохода куплено 2 л билетов в театр на места,
находящиеся в одном ряду партера (в ряде In мест). Сколькими
способами можно распределить эти билеты между лицами
данной компании, состоящей из п мужчин и п женщин, чтобы не
сидели рядом двое мужчин или две женщины?
433. Девять нз десяти карт, среди которых есть червонный
туз, раздаются трем лицам так, что первый получает 3, второй 4,
а третий 2. Сколько существует способов раздачи, при которых
червонный туз попадает к третьему лицу?
434. Сколько различных натуральных чисел можно составить
из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если в каждое число входит каждая из
данных цифр не более одного раза?
435. Сколько различных двузначных чисел можно составить
из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры 0, 1,2, входят в каждое число не
более одного раза, а цифра 3 — не более двух раз?
436. Сколько различных пятизначных чисел, больших 20 000,
можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, если цифры 2, 3, 4 входят
в каждое число по одному разу, а цифра 1 — два раза?
437. Сколько различных пятизначных чисел без повторения
цифр можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы четные
цифры не стояли рядом?
438. Найти коэффициент при xk в выражении
х{\ — x)b+x2(\+2x)s+x3{\+3x)i2,
не выписывая лишних членов.
439. Доказать, что 1 Р°—1 делится на 100.
440. Доказать, что коэффициент при Xs в разложении по
степеням х выражения
[(s—2)x2+nx—s](x+\)n
равен пСп .
441. Доказать, что
i2+(q)2+(q)2+... +(су=с-п.
442. В разложении ix^x — — ) биномиальный
коэффициент третьего члена на 44 больше коэффициента второго. Найти
свободный член.
43
443. В разложении \У#+ ——I сумма коэффициентов на
Iх
240 меньше суммы коэффициентов разложения (а-\-Ь)2п. Найти
третий член первого разложения.
444. Сколько рациональных членов содержится в разложении
(У2+УЗ)100?
445. Найти все рациональные члены разложения I f2 =1 i
\ у2/~
не выписывая члены иррациональные.
446. Найти все те значения п, при которых какие-либо три
последовательных коэффициента разложения бинома (х-\-а)п
являются тремя последовательными членами арифметической
прогрессии.
447. Найти показатель п бинома {х-\-2)п, зная, что десятый
член разложения этого бинома имеет наибольший коэффициент.
448. Доказать, что наибольший коэффициент разложения
(а-\-Ь)2п есть число четное.
449. Найти наибольший член разложения (1+У2)50.
450. Определить номер наибольшего члена разложения
{p-\-q)n по убывающим степеням буквы р, предполагая, что р>0;
q>0; p-\-q=\. При каких условиях: а) наибольший член будет
первый? б) наибольший член будет последний? в) разложение
будет содержать два одинаковых последовательных члена,
превышающих все остальные члены разложения?
/ 2 \в
451. В разложении 1а;+1-] I найти свободный член, не
выписывая членов, зависящих от х.
452. В разложении (1+лг—л:2)25 найти тот член, у которого
показатель степени х в три раза больше суммы всех
коэффициентов разложения.
453. Найти коэффициент при х3 в выражении
454. Доказать:
(1 +х)п+ (1 +х)п~1х+ (\+х)п~2х2-\-... + (\+х)хп-1+хп=*
/ . ,ч . (п4-\)п , , (п-{-\)п(п—\) „ ,
(я+1)дся+ V Ту ^n_1+ V Y>2|3 Lxn-2+t..+lf
п — натуральное число.
455. Разложить по убывающим степеням х—2 многочлен
*4-11х3-ИЗл;2-72;с+45.
44
VII.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
Доказать тождества (456—484):
1—tg2 а
456. sin4a+cos4actg2a=—г—-—.
2tga
457. tg 3a=tg a tg.(60°+a) tg(60°-a).
45S.tg(35»+a)tg(25-a)=^g±g^.
459. COSa+sina=tg2a+sec2a.
cos a—sin a
460.
sin* (l+tg*tg-|-j=tgx.
461. tg3a—tg2a—tg a = tg a tg2a tg 3a.
462. ctg a—tg a—2 tg 2a—4 tg 4a=8 ctg 8a.
it
463. 1ga1gP+1gptgT + fgTtga=lf a + p + T=-y.
464. sin 2м a -j-sin2ttB-|-sin2tt7 =
= (— l)n+14-sin«asin n В sin n 7, если а+В+7=л, « — целое
число.
465. tgn a+tg «B+tg«y = tg/i a tg«B tg и 7,
если a+B-fy=jt, n — целое число.
лпп sin */+sin* cos(*+*/) .
466. 2-!—. 1 v y/ = tg(x+y)-
cos y—sin л: sin (лг+t/)
467. cos2a+cos2B—2cos acos Bcos(a+B) =sin2(a+P).
468. cos2(a+6)+cos2(a—B)— cos 2a cos 26 = 1.
469. 4 sin a sin (60°—a) sin (60°+a) = sin 3a.
470. 16 sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° sin 90°= 1.
471. sin 10° sin 20° sin 30° sin 40° cos 10° cos 20°X
3
X cos 30° cos 40°=
256'
.__ л 2л 1
472. cos-=-cos ——=-7-.
5 5 4
лтП я 4л: 5л _ .пс
473. cos — cos -=- cos —=-=0,125.
45
474. cos 55° cos 65° cos 175°=— * _ .
8]/2
475 L_ V3_=4
' sin 10° cos 10°
Ana Л ^Я 1
476. cos — cos ——-=-— .
5 5 2
.__ 2л . 4л , 6л I
477. cos—-—f-cos——+cos
7 ' 7 ' 7 2 '
478. sin 47°+sin 61°-sin 1 l°-sin 25° = cos 7°,
479. cos24°+cos480-cos840-cosl2°=-|-. '
480. sin 10°+sin20o+sin30o+sin40o+sin50°=
= sin25osin30°cosec5o.
481. tg2atg(30°-a)+tg2atg(60°-a) +
+tg(60o-a)tg(30°-a) = l.
л™ , ■ n -, sin 10,5*
482. l+2cos7x= , ' .
sin 3,5л:
483. 4cos[30o--yjsin(60°-y-)=-
. 3
sin—-a
sin — a
484. sin2a+sin2p+sin2 у = 2 cos a cos 6 cos 7 +2,
если а+|3 + т = л.
Привести к виду, удобному для логарифмирования
(485-492):
485. tg30o+tg40°+tg50o+tg60°.
486. sin2(a+p) — sin2 a—sin2 p.
487. 3—4cos 2a+cos4a.
488. cos 1 la+3 cos 9(1+3 cos 7a+cos 5a.
489. sin 5a sin 4a+sin4a sin 3a—sin 2a sin a.
490. 2 cos 10° cos 20—2 cos 30°+sin 40°.
491. cos(a+p)cosf+cos a+cosp+cosf—sin(a+P)sin-(.
492. sin70°+8cos20° cos 40° cos 80°.
46
Выяснить, при каких а справедливы равенства (493—502)»
493. ytg2a—sin2a = tg a sin a.
494. yi-f sin2ra = sin a+cos a.
лле l/l—COSa ,
495. I/ ~— = ctg a—coseca.
i 1-f-cosa
лпа l/tga—sina ,
496. \/ --5 :—=cosec a—ctg a.
* tga+sina
497. ]/sec2 a+cosec2 a = — tg a—ctg a.
498. ytg2a+ctg2a+2 —sec acosec a.
499. T/H^ + l/IEl^:=_2seCa.
" 1— sin a " 1-fsina
500. yi-cos a+yi+cos a=2sin(^-- ^-) .
501. yi+sina+yi— sin a = — 2 sin —.
502. cosecal/-— \--t—l- y2 = -y2(ctg2 a+2).
r 1-f-cosa 1—cos a
503. Доказать, что если tga=—; sinp =—- , то a-f2B==45c
7 У10
и ^ — острые углы).
504. Выяснить, при каких х справедливы равенства:
а) sin л:=У1—cos2x; 6)tg2x+l = sec2A:;
ctg—=- ; r) sin(jt—x)=sin x.
2 1— cosx
505. При каких х верна формула
., i+cosx
cos-r-= У ?
506.
Что больше, sin a или tg a? (0<a<—)
507. Какая из тригонометрических функций (прямых) может
инять значение —— ?(a>0, b>0).
2}'ab
508. Что больше, sin 1 или sin Г?
509. Найти наименьшее значение выражения (tga+ctga)2.
47
510. Что больше, sin(a+p) или sin a+sin p?,
(o<a<-£, 0<p<f).
511. Что больше, tg 2a или 2 tg a? I 0<a< —) .
512. Синусом числа х называется число, равное синусу угла
в х радианов. Это определение синуса числа х. Можно ли было
условиться называть синусом числа х число, равное синусу угла
в х градусов?
513. Правильно ли называть радианное измерение
отвлеченным?
514. В каких интервалах изменения х функция tg x
возрастает?
515. Для тангенса половинного угла существуют следующие
формулы:
, a i/ I—cos a ,
tg-^T=± У -7~, И tg
& 2 Г 4-cosa &
a sin a
2 — Г 1+cosa 2 1+cosa'
Вторую можно получить из первой, если умножить числитель
и знаменатель подкоренного выражения на 1+cosa, заменить
1— cos2 a на sin2 a и извлечь корень из дроби. В результате
получаем
, a sin a
tg— =rh
2 " 1+cos a *
Почему же можно не писать знаки + и — в правой части?
516. Найти sin 18°, пользуясь равенством sin 36°=cos 54°.
517. Найти сумму
sin a+sin 2a+sin 3a+ ... +sin n a.
518. Найти сумму
cos a+ cos 2a+cos 3a+... +cos n a.
519. Доказать, что если
At=A cos2 a+B sin a cos a+C sin2 a;
Bi=2C sin a cos a+£ (cos2 a—sin2 a)—2A sin a cos a;
Ci=A sin2 a—B sin a cos a+C cos2 a,
то
Z?12+4^1C1 = J32-4^C.
520* Доказать, что если
5sinp = sin(2a+|3),
то
tg(«+P) = 3
tga 2 "
4»
2*
521. Дано, что равенство
aii cos(ai+(p)+a2Cos(a2+(p)-T-... -r-ancos(an+q>) =0
имеет место при <р=0 и при некотором ц>=уофкя {k=0, ±1,
±2, ...). Доказать, что при этих условиях написанное равенство
справедливо при всяком ф.
522. Доказать, что если
cos л:—cos a sin2 a cos j3
cos x—cos p sin2 p cos a '
то
, x a p
tgT=tgVfg4-
523. Доказать, что если
Ф ft
cos a = cos (3 cos cp = cos 7 cos 9; sin a=2 sin —^ sin
то
t^tg^tgO.; («#^Я; *=0. =Ы. ±2, ...).
524. Доказать, что если
cos(6—a)=a и sin(6—$)=b,
то
a2—2a& sin(a—p)+62=cos2(a—P).
525. Доказать, что если
cosx соз(л:+ф) соз(л:-т-2ф) cos (A'-f-Зф)
a b с d
то
.. а-\-с b-\-d
~~b~==~t~'
526. Вычислить cos(a+|3) и sin(a-f-p), если
sina+sinp = p и cos a+cosp = <7.
527. Доказать, что если углы a, p и у треугольника связаны
зависимостью*
3
cos a-f-cos p—cos (a-f-р) = —,
то треугольник правильный.
528. Доказать, что если стороны треугольника a, b и с состав-
i л i в i С
ляют арифметическую прогрессию, то ctg — , ctg — и ctg —,
где Л, В и С — углы треугольника, противолежащие сторонам
a, b и с, также составляют арифметическую прогрессию.
49
529. Найти зависимость между углами А, В и С, если
известно, что
tg,4+tgB+tgC=tg,4tgBtgC.
Найти затем при этом условии наименьшие положительные
значения углов, если, кроме того, дано, что угол А равен
полусумме углов В и С, а угол С равен сумме углов А и В.
530. Дано: Л+£+С=я, ——т=——„=——~. Доказать:
sin A sin В sin С
fl2=fc2_j_c2_2 bC COS А.
531. Исключить 0 из уравнений:
cos(a—30) =m cos3 0;
sin (a—30) =m sin3 0.
532. Исключить 0 и ф из уравнений:
a sin20+& cos2 0=1; acos2(p+b sin2 ф= 1; a tg0 = 6 tgtp; афЬ.
533. Упростить выражение
dg»* , ig** , 6 / 1 tg3 \
sin2* cos2x cos2x \ sin2 л: cos2x I
534. Доказать, что если a, (5 и у — острые углы и cos a+cos {5+
a В v
+cosу = 1+4 sin — sin-^- sin—-, то а+р+у=л.
535. Доказать: для рациональности sin х и cos x необходимо
х
и достаточно, чтобы был рационален tg—.
Jt Jt • Jt
536. Доказать, что если 0<a<—; 0<р<— ; 0<Т<—,
то равенство cos2 a+cos2 |3+cos2 y+2 cos a cos p cos y= 1
имеет место тогда и только тогда, когда a+p+T=jt.
537. Пользуясь тригонометрическими функциями, доказать,
что из равенств
а2+Ь2=\ и а2+р2=1
следует неравенство
|aa+6p|^l.
л
538. Главные значения Arc tg x берутся из интервала от ——
л
до -г-. Можно ли было бы взять для них интервал от 0 до я?
539. Доказать равенства:
а) arc sinx+arc cosjc=— ;
jt
б) arctg+arc ctg;t = —-.
50
540. Доказать равенства:
а) arc cos(—х)=п—arc cos x;
б) arcctg(— x)=ji+arcctgx.
541. Доказать равенства:
а) sin (arc cos x) =cos(arc sin x) = yi—x2;
x
б) sin (arc tgx)=cos(arcctgx)
в) sin(arcctgx)=cos(arc tgx)
yi+*2
1
r) tg(arc sinx)=ctg(arecosx) =
yi+x2
X
У 1-х*
У 1-х2
д) tg(arccosx) ?=ctg(arc sin x)=-
e) tg(arcctgx)=ctg(arc tgx) =
542. Доказать равенства (х>0):
x
1
x , yi—x*
a) arc sin x=arc cosyi—x2= arc tg =arc ctg
У 1-х2 x
У1—x2 , x
6) arc cosx=arcsinyi—x2=arctg =arcctg
yi-x
. . x 1 1
в) arc tgx = arc sin —= arc cos -—arc ctg —
У1+Х2 yi+x2 x
• 1 x . 1
r) arc ctg x = arc sin — — arc cos- — —arc tg —
У1+х2 yi+x2 x
Ш. Чему равен arc cos (cos {,)
544.c Чему равен arc sin (sin x)?
545. Чему равен arctg(tgx)?
546. Доказать равенство
?
. ( 1 . \ yi+x-yi-x
sinl —-arcsinx l=- —-
51
547. Доказать, что
. sinjc+cos* 3
arc sin — = —n—x,
|2 4
jt 5
если —г<х<—-я.
4 4
548. Доказать, что
2x
2 arc tg*+arc sin ■ 2 =jt,
если x> 1.
549. Доказать, что *
. /3 . \ ^(1 + 21/"1^72)
sin т- arc sin я = —^ , ' .
550. Доказать, что
cos
I — arc sin x J =—р—==—==zr-.
y2(i—уГ=^)
651. Доказать, что cos (7 arc cos х) есть многочлен 7-й
степени относительно х*.
Доказать равенства (552—554):
\—ху
552. cos (arc tgx+arc tgt/)=-
У1+*2У1+1/2
При каких х и у оно имеет смысл?
553. tg(2arcsinx)= ^ **
1-2х2
При каких л: оно имеет смысл?
2х
554. sin (2 arctgx)=——-.
I -\-хг
При каких Jf оно имеет смысл?
555. Вычислить выражение
sin( 2arctg—j+cos(arctg2y3),
556. Вычислить выражение
sin(2 arc tg—j +tg(~2" arc sin— j
* Выражение вида ~Qlu^r cos (n arg cos x), где n — натуральное число,
является многочленом относительно х и называется многочленом или
полиномом П. Л. Чебышева.
52
557. Проверить равенство.
arc cos —— + arc tg —zr= arc tg —^—-
У2 |2 ]/2-l
558. Вычислить сумму
arc tg2+arc tg 3.
559. Доказать, что сумма
arc sinA;+3 arc cos jc+arc sin(2jcyi — x2)
не зависит от х, если х2<-^-.
560. Доказать:
arc sinx+arc sin у=ц arc sin(^yi— г/2—J—г/"|/1 — x2)-{-en,
где
ti = 1, e = 0, если ху^.0 или х2+г/2^1;
rj = — 1, e = —1, если х2-{-у2>1 и x<0, y<0\
rj = — 1, e=l, если x2Jry2'>\ и х>0, г/>0.
561. Доказать, что
. 4 , . 5 , . 16 л
arc sin — + arc sin -777 + arc sin —=—-.'
5 13 65 2
562. Доказать, что
arc cosx+arc cosl — + — УЗ—3x2J =-q"i
если —^x^l.
563. Доказать:
x~\~u
arc tg x+arc tg y= arc tg -у— \- en,
где
e = 0", если ху<\\
e = —1, если ху>\ и х<0;
e=l, если ху>\ и x>0.
Доказать равенства (564—569):
5 rt , 2 л
564. arcsin —+2arctg—=-2".
565. arctg—+arctg-^-+arctgy+arctg—=-j-j
1 1 я
566. 4arctg —-rarctg-2^=—.
53
20
567. 2 arctg 10+arcsin-—-=jt.
я 1
568. arctgx=— + arctg —, если x>0.
■я 1
569. arctgx = — — — arctg—, если x<0.
2 x
VIII.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Решить уравнения (570—628):
570. sin л: sin 2x sin 3x=—-sin4x.
4
571. 3(1—sinx) = l+cos2A:.
572. tg —xctg —x—1 —sec-^- x cosec — x.
bo об
573. sin (*+25°)sin(x—20°) = sin (70°+*) sin (65°—x)
574. tg (x+30°) tg (л:—60°) = 1.
575. sin2x+cos2x+sin x+cosx+l —0.
576. sin x+siri 2x+sin 3x= 1+cos jc+cos 2x.
577. sin 3x—cosx— sin x.
578. cos 7x+sin22x=cos22jt;—cos x.
579. sin3* cosx—cos3* sin x = -— .
4
580. cos 5x+cos3x+sin5A:+sin3A: = 2cos( — 4 1.
581. sin x+sin 2x+sin Злг+sin 4x=0.
582. sin л; sin 3*=—-.
3
583. cos3.*:sin3.x;-f sin3xcos3jt;=— ;
584. sin2x sin x-fcos2;c=sin5A: sin4x+cos24x
585. cos2x-|- cos2 2x+cos2 Зх+cos2 4x=2.
586. sin2A:+sin22x==sin23A:-f-sin24A:. ♦
54
587. sin2x+sin22A:=sin23x.
588. 2sin2x+sin22x=2.
589. sin4-^ + cos44-=-|-.
о о о
з
590. cos4x+sin4x—2 sin 2x+ — sin2 2л:=0.
591. 2 sin2x = 3(sinx+cosx).
592. sinx+cosx+sinxcos x = \.
29
593. sin10x+cos10x=— cos4 2л:.
lb
594. cos2* cos 2x+cos 4x+cos 3x cos x-\-2 cos**
595. tg5x=tgxtg(60°-x)ctg(30°—x).
_лс , . cos 2x
596. cosx-f-sinx=—: rr—.
I— sin2x
597. tgx+tg2x—tg3x = 0.
598. (1— tgx)(l+sin2x) = l+tgx.
599. tgx+tg2x+tg3x+tg4A:=0.
. tgx+ctgx=sinx(tgxtg^-+lj
600
601. secyx+cosecyx=2y2.
602. tg(x2—*)ctg6=l.
603. |sinx2|=l.
604. sin|x|=l.
605. cosx2=l.
606. tg^= \-cosl*\ .-
6 1—sin|jc|
607. sin2xsin6x = l.
608. (sec x-f-cosec x) }'2 — sec2 x-fcosec2 x.
609. sin3x+sin2x—m sin x.
/5 \ 1
610. sinl—-я cosnx \=—-.
611. sin (я cos x)= cos (л: sin x).
612. tg(rttgjO=ctg(rtctgx).
613. sin22/T::l = 4-.
55
614. Iogc6exsin*+logsinxcosjii;=2.
615. x4-2xsin(;a/) + l=0.
616. 2 arc cos л:=6,3.
617. arctg — -f-arc sin x=—-.
618. arcsinx+arc sin2jc=—.
о
619. 2 arc sinjc = arccos2;c.
620. 2 arc cos x = arc sin (2x^1—x2).
621. arc sinjc = 2 arcsinjcy2.
622. arc cos x—arc sin x = arc cos -~.
623. arc cosx = arctgx.
624. arc tg (x— 1) +arc tg x+arc tg(*+1) = arc tg 3*.
2 1
625. arc sin —+arc sin ]/l— jc=arc sin — .
3/x 3
1 — xz 2x 4
626. arccos—■?+arctgT;;^=TJ,.
627. arc tgx= arctg— arctg——r.
628. arc sinjc=arcsinfl-f arc sin 6.
Решить системы уравнений (629—631):
629.
3
sin л: smy——;
tgxtg«/==3.
630.
631.
sin2x4-sin2#= -_;
д;+# = 75°.
sin x=~)/2 sin */;
tg*=y3tg#.
66
IX.
НЕРАВЕНСТВА
Решить неравенства (632—642):
л„„ тх-\-п рх-{-а тх~п , рх—а
632. fr н ' ч < --+ н ч
а-\-Ь а—Ь a~b a-\-b
634. i±i>- 3 >
:-2 ^ х-2 2
635. -<4"-
х 2
636. х3+5л:2+3л:—9>0.
637. 2х3>х+1.
638. -Ы^4>0-
(jc—2) (х—4)
639. х4—6х3+11л-2—6х<0.
«40 (*+1)(*+2)(*+3)
(2*-1)(*+4)(3-*Г
(л;3-1)(л:+2)2(л:-5) _
x2(x2-9)(x4+l) ^
642. jc4+jc3—7x24-a*4-6>0, если д:=1 и *= — 3 являются
корнями многочлена, стоящего в левой части равенства.
643. Каково должно быть k для того, чтобы оба корня
уравнения
(k—\)xz—2kx+k+3=0
-были положительны?
644. Каково должно быть к для того, чтобы при любом х
значение трехчлена
(2k—\)x*+(7k+2)x-3k
было больше значения трехчлена
(k+3)x*+5(k+l)x-4(k+l)
при том же значении х?
645. Каким должно быть X, чтобы при k>0 и при всяком х
выполнялось неравенство
57
2&jc2+2A, x+k
4x2+6x+3 >
646. Доказать, что если а, Ь и с — стороны треугольника, то
при всяком х
ЬЧ2+ (Ь2+с2—а2)х+с2>0.
647. Доказать неравенство Буняковского
{аф1+агЬ2+афг)2^ (а\ +al -\-a\) (b\ -\-b\ +b\).
648. Определить а так, чтобы все корни уравнения
х2 х2
х2—р2 x2—q2
были вещественные. При этом рфО; дфО; афО.
Решить неравенства (649—653):
650. УЗ—х>х—2.
651. уЗл^5">У^4.
652. Ух+6>У*+Т+ifex—5.
653. 4(*—1)<У(*+5)(3*+4).
Решить системы (654—659):
654. (Зх—1>*+3*/;
\ х(1— Зх) >4х—Зх2—2у.
655. /Зд:+2«/>7;
\4</+2*>3.
656. ГЗх+2г/>4;
{ х—6t/>—5.
657. J 5х+Зг/>121;
\7*+4г/ = 168.
658. f {/>л:2;
I х>у2.
ГЗх+2«/=6;
659. |*2+//2>4;
660. Доказать, что если \а\<Ь, то —b<a<b.
661. Доказать, что если —b<a<b, то |а|<6.
662. Доказать, что |я+6|^|а|+|6|.
58
663. Доказать, что \а—b\^\a\—\b\.
664. Каково должно быть k для того, чтобы неравенство
I х2—kx— 1 I
I х2+х+\ ]<
было справедливо при любом значении х}
665. Доказать, что при а>0 и Ь>0
а-\-Ь а , Ь
-<-гт-: +
l-fa+6 1+а ' 1+6 '
666. Доказать, что если а>6>0 и т>п, то
am—bm an—bn
>
am-\-bm ап+Ьп
667. Доказать, что арифметическая дробь с увеличением
числителя и знаменателя на одно и то же положительное число уве--
личивается, если она правильная, и уменьшается, если она
неправильная.
668. Доказать, что дробь
ai+Q2+ - +ап
bt+b2+ ... +bn
заключена между наименьшей и наибольшей из дробей
; (6Й>0, k=l, 2, ..., п).
bi ' Ъг ' Ьп
Доказать неравенства (669—671)
х2+2
669. х2+2 ^2
1 1
670. (-|)2+(^)2>ух+У^; хфу.
671. а) -^±^^У^;
ui+a2+a3+a4 _ \ ■
б) j ^iaia2a3a^
(at^0, а2^0, а3^0, а4^0).
672. Разложить данное положительное число а на два
положительных слагаемых так, чтобы их произведение оказалось
наибольшим.
673. Желают устроить прямоугольную площадку так, чтобы
с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а
четвертой стороной примыкала бы к длинной стене. Если имеется
59
100 м сетки, то какими должны быть стороны площадки с паи-,
большей площадью?
674. Из круговых секторов данного периметра найти сектор
наибольшей площади.
675. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного
полукругом. Дан периметр фигуры. Каковы должны быть ее
размеры, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?
676. Около шара радиуса R описать конус наименьшего
объема.
677. Данное положительное число а разложить на два
положительных сомножителя так, чтобы их сумма оказалась
наименьшей.
678. На странице книги печатный текст должен занимать
(вместе с промежутками между строк) 216 см2. Верхнее и ниж-<
нее поля должны быть шириною по 3 см, а правое и левое по
2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то
каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?
679. Доказать, что
аь+Ьь+с^аЬс(а+Ь+с),
(а^О, b^zO, c>0).
680. Доказать, что если aif а2, ..., ап неотрицательны, то
л-1
yaia2+yaia3+.... +Уап-1 ап^—^ (ai+a2+...+an).
681. Доказать, что если а,\, аг, —, ап положительны и
aia2... fln=l, то
(l+fl4)(l+fla)-(l+fl»)>2».
682. Доказать, что если ai^O, a2~^0, a3^0, то
ai+a2+«3
3
683. Доказать, что
ai+a2+... +ап
■ iaia2a3.
:Vaifl2... an\
п
(ai>0, a2^0, ...,а„>0).
684. Данное положительное число а разложить на п
положительных слагаемых так, чтобы их произведение оказалось
наибольшим.
685. В данный шар вписать цилиндр наибольшего объема.
Доказать неравенства (686—691) л
686. 2n>\+n-p*=i\ (л>1).
60
687. "!<(^у-)"; (">!)•
688-1+ТГ + ¥ + - + 7!г<3-
689. Ы1+-2-21+...+/i-/i!<(n+l)l
ш 1.3.5...(2B-l)<_Lj
2-4...2л Ул
691. уЬ2-3.../1>Ул.
692. Наборщик рассыпал некоторое число, представляющее
шестую степень натурального числа. Его цифры: 0, 2, 3, 4, 4, 7, 8,
8, 9. Какое это число?
693. Газ в количестве а м3 последовательно пропускают через
п фильтров, каждый из которых поглощает р% общего объема
примесей, содержащихся в газе, поступающем в
рассматриваемый фильтр. Затем газ поступает в резервуар, где находится
Ь м3 газа, содержащего д% (по объему) примесей. Какой
процент примесей (по объему) допустим для газа до его очистки,
если число процентов примесей в газовой смеси в резервуаре не
должно превышать г?
694. Вклад в А руб. положен в сберегательную кассу по р%
годовых. В конце каждо'го года вкладчик берет В руб. Через
сколько лет после взятия соответствующей суммы остаток будет
не меньше утроенного первоначального вклада? При каких
условиях задача имеет решение?
695. Непромытый золотой песок содержит k% чистого
золота. После каждой промывки песка отходит р% содержащихся
в нем примесей и теряется q% имеющегося в песке золота.
Сколько следует сделать промывок, чтобы число процентов
содержания чистого золота в золотом песке было не меньше чем г?
696. В резервуар, содержащий А л воды, вливают а л р%-ного
(по объему) раствора спирта, а затем, после перемешивания,
через другую трубу выливают а л образующейся смеси. Сколько
раз нужно повторить эту операцию, чтобы в резервуаре
получился раствор спирта, крепостью не менее q%?
697. Найти наименьшее и наибольшее значение выражения
acosx+b sinx.
698. Найти наибольшее и наименьшее значение выражения
a sin2x-\-b sin x cos x-\-c cos2x,
сфа.
699. Доказать, что если А, В и С — углы остроугольного
треугольника, то
sinM+sin2B+sin2C>2..
61
700. При каких х справедливо неравенство
sin 2x—cos 2х+1
sin2x-f-cos 2x— 1
■>0?
701. Решить неравенство sin (cos х) <0.
702. Решить неравенство lgsinx^O.
703. Найти те значения х, при которых cos (sin x)
положителен.
704. Найти те значения х, при которых arc cos( — arc sin x)
имеет смысл.
705. Решить неравенство arc sin lg x>0.
706. Решить неравенство sin—r>0.
x2
707. Доказать, что если
0<a<|;0<p<y; 0<Y<-^ И a+P+Y = «.
то
При каком условии будет знак равенства?
708. Дано: 0<a<~, 0<P<-|",0<y<^-" Доказать, что
сумма a+p-f-T будет острым углом тогда и только тогда, когда
выполняется неравенство
tg a tgp+tg р tgy-f-tg y tg a< 1.
709. Доказать, что если 0<ф<л, то
l+ctgq><ctg-|-.
710. Доказать, что если а, р и у - углы треугольника и угол
Т — тупой, то
tgatgp<l.
711. Доказать, что если a, p и? — углы треугольника, то
3
cos2 a-fcos2 p+cos2 у^ —.
712. Доказать, что если a, p и у — углы треугольника, то
• ос . Э . у *
sinTsinTsinT^-F.
62
713. Доказать, что если 0<*<— то
sin x<.x<.tgx.
я
714. Доказать, что если 0<a<ft<— , то
а) a—sin a<ft—sin P;
б) a-tga>ft-tgft.
я
715. Доказать, что если 0<а<р^—, тс
sin a sin ft
a ft '
я
716. Доказать, что если 0<*<—, то
2
sinjO—х.
я
я
717. Доказать, что если 0<a<ft<—, то
tga< tgft
aft*
X.
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
718. Можно ли сказать, что число 2+5/ больше числа 1+4/?
719. Является ли число —5/ отрицательным?
720. Найти целое число п, если
(1+4)»= (1-1)».
721. При каких вещественных х и у справедливо равенство
*+1 + 0/-3)/ _,
5+3/ +"
722. Найти вещественные х и у из соотношения
(х+у)Ч— -г- — х=-у+Ы(х+у)-1.
63
723. Найти вещественные решения системы уравнений
{ x-i=yi;
\ х—Р=2а—у
и значение комплексного параметра а.
724. Решить уравнение Ы—z=l-f-2/«
725. Решить уравнение |2:|+z=2-i-i.
726. Доказать тождество
|2i+«2|a+ki-za|a=2(1^12+12^),
где Zi и z% — комплексные числа.
Представить комплексное число в тригонометрической форме
(727-729):
727. 1— cos a+/sina, где О^а^я.
я 3
728. 1+sin a+/cosa, где -х-^а^—я.
3
729. 1+itga, где я^а<-<г-я.
Выяснить, где расположены точки, соответствующие
комплексным числам z=x-\-iyt для которых выполняются
соотношения (730—732).
730. а) |г|=2; б) K|z|<2; в) Re (г2)*=0; г) 1т(г)^>~;
Д)
Z~X ] -1.
*+1
731. а) argz=-£-; б) -nf<argz<— \
3 ' ' 3 ^~'&~^ 2
732. а) х<0; б) г/^0.
733. Точка z описывает в плоскости окружность радиуса
единица в направлении движения часовой стрелки. Какой путь
опишет при этом точка 2? (г и z — сопряженные числа).
734. Доказать, что модуль произведения двух комплексных
чисел равен произведению модулей этих чисел, а аргумент —
сумме их аргументов.
735. Доказать, что модуль частного двух комплексных чисел
равен частному модуле,й делимого и делителя, а аргумент —
разности их аргументов.
736. Доказать формулу Муавра (п>0):
(cos ф+/ sin ф)n = cos n ф+/ sin n ф.
* Обозначения1 Re (z), Im (2) и argz означают соответственно
действительную часть, мнимую часть и аргумент комплексного числа.
64
737. Доказать формулу Муавра (я<0):
(cos ф+/ sin ф)n = cos n ф+/ sin n ф.
738. Найти модуль комплексного числа
x2—yz-\-2xyi
xyl2+rf#+jf'
Вычислить выражения (739—741), положив
2зх ... 2л
со = cos —т (-isin-^—*
739. (аи+Ы)(а©2+Ь).
740. (a+b+c) (а+6со+ссо2) (а+6 со2+с со).
741. (а+&со+ссо2)3+(а+&со2+ссо)8.
742. Вычислить гш-\——, если г есть корень уравнения
743. Выразить sin (5 arc sin at) через х.
744. Найти суммы:
а) sinx+sin Злг-f- ... +sin(2n—\)x\
б) cos x+cos Зх+ ... +cos (2п— 1) х.
745. Доказать, что если cos <x+/ sin а есть решение уравнения
хп+р\Хп~х-\-... +^п=0
Л /?ь Рг, i..» Рп — вещественные числа, то
pi sin a+/?2 sin 2а+ ...+/?n sin гга=0,
746. Найти суммы:
Si=l—Сп-\-Сп—Сп + •••']
о2 = Си С« т^л С« -(- ...
747. Найти сумму
S = С* - 3Q + 32Q - Зза + ...
748. Доказать:
„— ——.—г п,— / ср + 2^тг . <р + 2£тЛ
>/ р (cos ср + t sin cp) = у р I cos-^ f- / sin J I;
k = 0, ±1, ±2, ...
65
749. Доказать:
б)/ТТ^=±(/ф~/|/^); 6<0;
750. Вычислить: а) уТ; б) Тм+^УЗ; в)уТ.
751. Доказать, что корни уравнения хп=\ могут быть
записаны так: 1, а, а2, ..., ап-1.
752. Изобразить геометрически корни уравнения 2*=/.
Решить квадратные уравнения (753—754):
753. x*+(2i- \)х—7—i=0.
754. х2—(3+t)x+3/==0.
755. Решить уравнение
хв+л:5+л:4+л:3+л:2+л:+1 =0.
756. Найти сумму р-х степеней всех корней уравнения
хп— 1 =0 (р — целое, п — натуральное).
757. Решить уравнение
(*+0"+(*-Оп=о,
п — целое положительное.
758. Решить уравнение
\-\-xi \п_ 1+t'tgg
1— xi ) ~ 1— i tg a '
n — целое положительное.
XI.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
759. Доказать, что в арифметической прогрессии аь «2, ...
с разностью d любой член
an=ai-\-d(n— 1).
760. Доказать, что в геометрической прогрессии аи а2г ... со
знаменателем q любой член
66
Доказать равенства (761—768):
761. Ап = т(т— l)...(m-n-f 1).
762. Р„== 1.2-3... n=nl
7кч ^>n_ m(m—l)...(m—я-f-l)
/DO. Um— i~o~o •
1 -2-3... п
764. (ai4-a2+ ... + ап)г=а\ +4+ ... +<£+
4-2(aia2-f aias4- - 4-«n-ifln).
765.J1- + -4- + ...+ "' -П(П+1)
1-3 ^ 3-5 ^'" г (2п-1) (2/г -fl) 2(2гг+1) *
766. l4-f24+ ... +/i4=-^r/i(n-H) (2/г+1) (Зм2+3/г-1).
767. l5-f28+ ... +/г5=-^-м2(/г+1)2(2/г2+2/г-1).
768. tg*+ -i-tg-f + ... + Jftgi--Ictgi- 2 ctg2*.
/
769. / 4-f ]/44-У44- ... 4-У4<3,
л четверок
770. (14-a)n>14-"a; a> —1, a=^=0 и п — натуральное,
большее единицы.
771. Доказать, что сторона правильного вписанного в
окружность 2п-угольника выражается формулой
У-/Ч
(п—2) двойки
где R — радиус этой окружности.
772. Доказать, что п прямых, пересекающихся в одной точке
и лежащих" в одной плоскости, делят эту плоскость на 2 п частей.
773. Доказать, что сумма всех членов каждой
горизонтальной строки таблицы
1
2 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
равна квадрату нечетного числа.
774. Доказать, что п различных прямых, лежащих в одной
плоскости, разбивают эту плоскость на области, которые могут
Г 67
быть закрашены красной и синей красками так, что все смежные
области (т. е. области, имеющие общий отрезок прямой) будут
закрашены разными красками.
XII.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ
Найти область определения функций (775—781)!
775. a) у^2-х\ б) */=У*2-4; в) у» ]/~^J
г) 0=у*(*+2)(*-3)(*-4);
Д) У= —У* г_=; е) У=Л1 x-2ix-\._
У*+1-У*-1 г
1
776. а) г/=У2-2-^; б) г/= г; в) (/=**;
г) i/=x-\
777. a) y=«log(x*-l); б) y=log(x+l)+log(x-l);
в) */=log(x2-3*+2); г) t/=yiog3(*-l).
778. a) y=x\ogx для *=т^0 и г/=0 для х=0;
б) t/=-x-*logx2 для х=7^0 и г/ = 0 для *=0.
779. а) У=-^-^> б) y=ism 4x\ в) t/=sin —;
-) #=Vtg2*-(y3-H)tg*+y3.
780. a) i/=yiogasin*; б) y=\g\gtgx\
в) i/=log(l,5-f-sinx-f-cosA;).
3 2х
781. а) j/=arc cos—; б) t/=arcsin 2;
в) #=arc sin (arc sin л;).
«8
Найти период функций (782—783) и
х
782. a) j/=sin3x; б) #=cos — j
в) y=tgZx-\-2ctg2x; г) t/=sin-y+cos —;
д) y—s'm-^-cos3-^-}
783. a) #=sin2rc;r, б) t/=siny2.*;-|-cosy3A:.
Исследовать функции и построить их графики (784—812)?
784. у=х^—2х2+2.
785. y=(x—k}\ если /г— 1s^a:^£-[-1 и k=0, ±2, ±4, ±6, ,
786. у = \х\.
787. у=\х+2\.
788. г/=|х_1|+|х-2|.
789. t/=—^4
790. у=\х*—1|.
791. t/=|x2—Зх+2|.
792. г/= 1
793. у= т
1+х2
л*
1+х2*
794. y = \og2(—x).
795. r/=log2|4
796. y = \\og2,x\.
797. t/=2sin2x.
798. i/= —sin~
* 2
799. r/=sln4x+cos4A?.
800. y=s\n\x\.
801. i/==|sin л:|.
802. y=x-\-s'm x.
803. г/=arc sin (sin л;).
804. f/=arccos(cosx).
805. t/=arc cos (cos x)t
806. t/=arctg(tgjc).
69
2x— 1 1 / 2x—1 \
807. */=— arctgltg—jr—я ), если х не равно це-
2 я \ 2. I
лому числу, и */=#, если х равно целому числу.
808. j/=arcsinyi— *+arc sin]/*.
809. i/=arc tg*—arc ctg— .
1—*
810. r/=arctgx+arctg———.
1-х2
811. w=arccos-——r-.
\+x2
812. r/=arccos(2A;2—1)+2 arc sin x.
813. Как получить график функции y=\f(x)\, если график
функции y*=f(x) известен?
814. Как получить график функции г/в/(|х|)» если график
функции y=f(x) известен?
Выяснить, как расположены точки плоскости, координаты
которых удовлетворяют уравнениям (815—818):
815. ху=0.
816. \х—2|=1.
817. х2=у2.
818. |2#-1|+|2Н-1|+-4-1*1 = 4.
' уз
Выяснить, как расположены точки плоскости, координаты
которых удовлетворяют неравенствам (819—828):
819. *>-£-.
820. |*| <3.
821. х+у+\>0.
822. f у—2х+К0;
{ у—х—3>0.
(2х+у-2>0;
823. \ х—у<0;
[2у—х—2<0.
824. |х+1/|<1.
825. М+М<1.
826. \\х+\\-\у-Ц\<\.
827. у2—х2<0.
70
828. f </—x2>0;
\y-x<0.
Определить графически число вещественных корней
уравнений (829—833);
829. sin*=*.
830. 2*=*+2.
831. 2л:3—6лг2+1=0.
832. tg*=*.
833. sin*= —
х
834. Решить графически систему уравнений
х*+у=\0;
XIII.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
(Планиметрия)
Доказать теоремы (835—869):
835. Треугольник, имеющий две равные высоты,—
равнобедренный.
836. Треугольник, имеющий две равные медианы,—
равнобедренный.
837. Треугольник, имеющий две равные биссектрисы,—
равнобедренный.
838. Если биссектриса угла треугольника является
одновременно его медианой, то такой треугольник— равнобедренный.
839. Если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух
других сторон одного треугольника соответственно равны углу,
прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон второго
треугольника, то такие треугольники равны.
840. Треугольники с равными периметрами и двумя
соответственно равными углами равны.
841. Трапеция с равными диагоналями—равнобедренная.
842. Если в шестиугольнике противоположные стороны
равны и параллельны, то три его диагонали, соединяющие
противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
71
843. Сумма расстояний любой точки окружности до двух
ближайших к ней вершин вписанного в эту окружность правильного
треугольника равна расстоянию взятой точки до третьей
вершины треугольника.
844. Прямые, соединяющие основания высот остроугольного
треугольника, образуют треугольник, биссектрисами которого
являются высоты данного.
845. Из всех треугольников с одинаковым основанием и
одинаковым углом при вершине равнобедренный имеет наибольший
периметр.
846. Если в шестиугольнике противоположные стороны
параллельны, а три диагонали, соединяющие противоположные
вершины, равны между собой, то вокруг такого шестиугольника
можно описать окружность.
847. Диаметры окружностей, каждая из которых проходит
через точку пересечения высот треугольника и через две его
вершины, равны между собой.
848. Прямая, проходящая через основания двух высот
остроугольного треугольника, отсекает от треугольника подобный ему
треугольник.
849. Треугольники с соответственно параллельными
сторонами подобны.
850. Радиусы окружностей, описанных около подобных
треугольников, пропорциональны сходственным сторонам.
851. Если из точки С проведены к окружности секущая,
имеющая с окружностью точки пересечения Л и В, я отрезок CD,
где D точка окружности, и если CA-CB = CD2, то прямая CD есть
касательная к этой окружности.
852. Если из точки, отстоящей от прямой на расстояние а,
проведены к этой прямой две наклонные с проекциями на нее,
равными 2а и За, то сумма углов этих наклонных со своими
проекциями равна 45°.
853. Если в четырехугольнике, две противоположные стороны
которого не параллельны, отрезок прямой, соединяющий
середины этих сторон, равен полусумме двух других сторон
четырехугольника, то этот четырехугольник — трапеция. '
854. Длина отрезка прямой, соединяющей середину
основания треугольника с серединою отрезка высоты между вершиной
и ортоцентром, равна радиусу описанного около треугольника
круга.
855. Касательные к окружности, проведенные через вершины
прямоугольника, вписанного в эту*окружнрсть, образуют ромб.
856. Прямая, проходящая через основания высот
треугольника, проведенных из двух его вершин, перпендикулярна прямой,
проходящей через его третью вершину и центр описанного вокруг
треугольника круга.
857. Биссектрисы углов, образованных продолжениями яро-
72
тивоположных сторон вписанного в окружность
четырехугольника, перпендикулярны между собой.
- 858. Диаметр вписанного в прямоугольный треугольник
круга равен разности между суммою катетов и гипотенузой.
859. Середины оснований трапеции и точка пересечения ее
диагоналей лежат на одной прямой.
860. Если из точки Р, взятой вне окружности, проведены
к этой окружности касательные РА и РВ, где А и В — точки
касания, то отрезок перпендикуляра АС, опущенного из точки А на
диаметр BD, делится прямою PD пополам. Точка С — основание
перпендикуляра, точка D — точка окружности.
861. Расстояние от точки окружности до хорды есть средняя
пропорциональная между расстояниями от этой точки до
касательных, проведенных к окружности в концах хорды.
862. Центр описанного около треугольника круга, точка
пересечения его высот и его центр тяжести лежат на одной прямой.
863. Если прямая, параллельная основаниям трапеции,
проходит через точку пересечения диагоналей, то отрезок,
отсекаемый от этой прямой боковыми сторонами трапеции, делится
точкой пересечения пополам.
864. Середины диагоналей описанного около окружности
четырехугольника и центр »той окружности лежат на одной
прямой.
865. Из всех треугольников с одинаковым основанием и
одинаковым углом при вершине равнобедренный имеет наибольшую
площадь.
866. Если в равнобедренный треугольник ABC вписан
полукруг, диаметр которого лежит на основании АС, и если к полу-
кругу проведена касательная, пересекающая сторону АВ в
точке М, а сторону ВС в точке N, то произведение AM'CN есть
величина постоянная.
867. Если через точки А и В пересечения двух окружностей
проведены две секущие MAN и PBQ, пересекающие одну
окружность в точках М и Р, а другую в точках N и Q, то прямые NP
и NQ параллельны.
868. Произведение диагоналей вписанного в окружность
четырехугольника равно сумме произведений его
противоположных сторон.
869. Куб гипотенузы больше суммы кубов катетов.
870. Найти расстояние от центра описанного около
треугольника круга до центра вписанного в этот треугольник круга.
Радиусы кругов R и г {R>r).
871. Доказать, что радиус вписанного в треугольник круга
не больше половины радиуса описанного около треугольника
круга.
872. К какой вершине треугольника лежит ближе всего центр
вписанной в этот треугольник окружности?
73
873. Какая медиана наименьшая?
'874. Будет ли вписанный равносторонний многоугольник
правильным?
875. Будет ли описанный равносторонний многоугольник
правильным?
876. Из каких равных правильных многоугольников можно
сложить паркет?
877. Вершина В треугольника ABC перемещается так, что
длина медианы AD остается неизменной, а сторона АС —
неподвижной. Найти геометрическое место точек В.
878. А и В — две заданные неподвижные точки окружности,
М — подвижная точка той же окружности. На продолжении
отрезка AM в сторону, внешнюю к окружности, откладывается
отрезок MN=MB. Найти геометрическое место точек N.
879. Найти геометрическое место вершин прямого угла
неизменяемого прямоугольного треугольника, если две другие его
вершины скользят по сторонам другого прямого угла.
880. Одна окружность касается прямой в точке А. Другая
касается той же прямой в точке В и первой окружности в
точке М. Найти геометрическое место точек М.
881. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до двух данных прямых есть величина постоянная.
882. Из точки вне окружности проведена секущая и в точках
пересечения ее с окружностью — касательные. Найти
геометрическое место точек пересечения этих касательных.
883. Из точки D, взятой на стороне ВС треугольника ABC,
проводятся всевозможные прямые, пересекающие стороны АС
и АВ или их продолжения соответственно в точках Е и F. Найти
геометрическое место точек пересечения окружностей, описанных
вокруг треугольников CDE и BDF.
884. На сторонах прямого угла отложены от его вершины О
отрезки ОА и ОВ, равные между собой. Через точки А и В
проведены прямые, параллельные двум данным взаимно
перпендикулярным прямым и пересекающиеся в точке М. Какую линию
опишет точка М, если прямой угол будет вращаться вокруг своей
вершины О?
885. В круг вписан правильный шестиугольник. Пользуясь
только линейкой, построить — часть радиуса R, где п = 2, 3,
4, 5,...
886. На данной прямой построить точку, сумма расстояний
которой до двух данных точек наименьшая.
887. Даны точки Л и В и между ними две параллельные
прямые MN и PQ. Провести между последними в данном
направлении отрезок CD так, чтобы сумма AC-\-CD-\-DB была
наименьшая.
74
888. В данный острый угол вписать треугольник наименьшего
периметра так, чтобы одна его вершина находилась в точке,
данной внутри угла, а две другие — на сторонах угла.
• 889. Через три данные точки провести параллельные прямые
так, чтобы расстояния между ними были равны.
890. На продолжении диаметра построить такую точку,
чтобы длина касательной, проведенной из нее к окружности,
равнялась диаметру.
891. Из вершин треугольника как из центров построить
окружности, каждая из которых касалась бы двух других
внешним образом.
892. Построить треугольник по данной стороне с, высоте Ль
и медиане та.
893. Построить треугольник, зная основания трех его'высот.
894. Провести секущую к двум концентрическим
окружностям так, чтобы хорда большего круга была вдвое больше хорды
меньшего круга.
895. На стороне данного угла найти точку, равноудаленную
от другой стороны и от данной точки внутри угла.
896. В данный сегмент вписать квадрат так, чтобы одна его
сторона лежала на хорде (основании) сегмента.
897. Трапецию пересечь отрезком, параллельным основанию,
так, чтобы он разделился диагоналями на три равные части.
898. Построить окружность, проходящую через две данные
точки и касающуюся данной прямой.
899. Пользуясь только линейкой, разделить трапецию на две
равновеликие части.
900. Пользуясь только линейкой, разделить параллелограмм
на две части, площади которых относились бы, как 1 : 2.
901. Данный треугольник превратить в равновеликий ему
треугольник с данным основанием и общим углом при основании,
причем оба основания должны лежать на одной прямой.
902. На данной прямой найти такую точку, чтобы модуль
разности расстояний ее от двух данных точек, находящихся по одну
сторону от прямой, был наименьшим, а также такую точку,
чтобы модуль этой разности был наибольшим.
903. Основания трапеции равны а и Ь. Найти отрезок прямой,
соединяющий середины ее диагоналей.
904. В треугольник, длины сторон которого суть a, b и с,
вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что
она, пересекая две первые стороны, разделяет данный
треугольник на две фигуры — треугольник и четырехугольник. Найти
периметр полученного треугольника.
905. В треугольник вписан круг так, что две из его сторон
делятся точками касания в отношениях — и -1—. Найти отноше-
п q
ния сторон треугольника.
75
906. На отрезке и двух его неравных частях построены
полукруги в одну сторону. По радиусам R и г меньших полукругов
определить радиус круга, касательного ко всем трем полукругам.
907. Площадь треугольника ABC равна S. Его стороны АВ,
ВС и С А разделены точками М, N и Р так, что АМ:МВ=1'Л,
BN:NC=\A и СР:РА = 1:4. Найти площадь треугольника,
ограниченного отрезками прямых AN, ВР и СМ.
908. В треугольник со сторонами a, b и с вписан круг, Точки
касания его со сторонами данного треугольника соединены
прямыми и таким образом получился новый треугольник, стороны
Которого требуется определить.
909. Основания высот остроугольного треугольника со
сторонами a, b и с служат вершинами другого треугольника. Найти
8 S2
периметр последнего и показать, что он равен —т—, где S —
площадь данного треугольника.
910. Найти радиус вписанной в прямоугольный треугольник
окружности, если даны радиус R описанной около этого
треугольника окружности и площадь треугольника S.
911. В треугольник со сторонами k, l и m вписана
окружность. К окружности проведена касательная так, что отрезок ее
внутри треугольника, заключенный между точками пересечения
касательной с первыми двумя сторонами треугольника, равен а.
Найти площадь треугольника, отсеченного этой касательной от
данного.
912. Прямоугольный треугольник разделен на два
треугольника перпендикуляром, опущенным из вершины прямого угла на
гипотенузу. В образовавшиеся треугольники вписаны
окружности с радиусами п и г2. Найти радиус круга, вписанного в
данный треугольник.
913. Даны две окружности с радиусами R и г. Их общие
внутренние касательные взаимно перпендикулярны. Найти площадь
треугольника, образованного этими касательными и общей
внешней касательной окружностей.
914. Непараллельные стороны трапеции продолжены до
взаимного пересечения и через полученную точку проведена прямая,
параллельная основаниям трапеции. Найти отрезок ее,
ограниченный продолженными диагоналями, если основания трапеции
а и Ь.
915. В трапеции, основания которой а и Ь, проведена через
точку пересечения диагоналей прямая, параллельная основаниям.
Найти длину отрезка этой прямой, отсекаемого от нее боковыми
сторонами трапеции.
916. Прямоугольный лектор радиуса R разделен на две части
дугой круга того же радиуса с центром в конце дуги сектора.
Найти радиус круга, вписанного в меньшую из этих частей.
917. Два круга радиусов rt и г2 касаются в точке С и к ним
7в
проведена общая внешняя касательная АВ, где Л и В — точки
касания. Найти длины сторон треугольника ABC.
- 918, Две окружности радиусов г и R касаются снаружи.
Найти расстояние от точки касания до их общей внешней
касательной.
919. Два круга радиусов R и г внешне касательны. Найти
радиус круга, касательного к ним и к их общей внешней каса-
тельной.
920. Три окружности радиусов a, b и с касаются попарно
снаружи. Найти длину хорды, отсекаемой третьей окружностью от
общей внутренней касательной первых двух окружностей.
921. Около данного квадрата со стороною а описан круг»
и в один из полученных сегментов .вписан квадрат. Определить
сторону вписанного квадрата.
922. Два круга радиусов R и г касаются снаружи в точке М,
На окружности радиуса г взята точка N, диаметрально противо-
положная точке М, и в этой точке проведена касательная. Найти
радиус круга, касательного к двум данным и к касательной,
проходящей через точку N.
923. Дан прямоугольный сектор АОВ радиуса R.
Параллельно его хорде АВ на расстоянии т от нее проведена секущая,
пересекающая продолженные радиусы ОА и ОВ в точках С и D,
а дугу сектора. — в точках Е и F. Из точки Е, ближайшей к С,
восставлен к CD перпендикуляр ЕМ, пересекающий ОА в
точке М. Показать, что длина отрезка DM не зависит от т, и найти
длину этого отрезка.
924. По данным двум сторонам а и Ь треугольника найти
третью сторону, если известно, что медианы, проведенные к
данным сторонам, пересекаются под прямым углом.
925. Найти радиус круга, зная длины а и b двух его хорд,
исходящих из одной точки окружности, и расстояние d от
середины первой из данных хорд до второй.
926. Через центры двух равных касающихся окружностей
радиуса г проведена окружность радиуса 2г. Из некоторой
точки, находящейся на последней окружности, описана окружность,
касательная к первым двум. Найти ее радиус.
927. Дан прямоугольный треугольник ABC, где А — прямой
угол. Из А опущен перпендикуляр АК на гипотенузу, а из К—
перпендикуляры КР и КТ на катеты АВ и АС. Зная, что ВР=т
и СТ=п, найти длину гипотенузы.
928. Площадь треугольника ABC равна St; площадь
треугольника АНВ, где Я —- точка пересечения высот, равна «S2.
Найти площадь прямоугольного треугольника ABL,
предполагая, что точка L лежит на отрезке СИ или его продолжении.
929. Две стороны остроугольного треугольника — 20 см и
23,2 см. Радиус описанного около треугольника круга равен
14,5 см. Найти радиус вписанного в треугольник круга.
77
930. Катеты треугольника — 3 и 4. Через середину меньшего
катета и середину гипотенузы проведен круг, касательный к
гипотенузе. Найти площадь этого круга.
931. Две равные окружности радиуса г пересекаются. В
общую часть обоих кругов вписан квадрат.
Найти сторону этого квадрата, если расстояние между
центрами окружностей равно г.
932. На двух смежных сторонах квадрата построены во
внешнем поле два полукруга и к ним касательные, параллельные
своим диаметрам. Найти радиус круга, касательного к этим двум
полукругам и к упомянутым касательным, если сторона
квадрата равна 2а.
933. Через две смежные вершины квадрата проведена
окружность так, что касательная к ней, проведенная из третьей
вершины, равна двойной стороне квадрата. Найти радиус этой
окружности, если площадь квадрата равна 10.
934. Окружность касается большего катета треугольника,
проходит через вершину противолежащего острого угла и имеет
центр на гипотенузе. Найти ее радиус, если катеты равны 3 и 4.
935. Центр окружности, радиуса 3 лежит на другой
окружности радиуса 5. Из центра О последней проведен диаметр,
касательный к первой, и в точку касания — радиус, пересекающийся
с общей хордой-в точке К. Найти длину отрезка ОК.
936. Каждые две противоположные вершины квадрата со
стороною а служат вершинами двух равных ромбов. Найти
площадь, общую обоим ромбам, если площадь каждого из них
равна половине площади квадрата.
937. Прямоугольный треугольник ABC с катетами а и Ь
разделен на две равновеликие части AMN и BCMN прямой MN,
перпендикулярной к гипотенузе АВ. Найти площадь круга,
описанного вокруг четырехугольника BCMN.
938. К двум извне касающимся окружностям радиусов R и г
проведены две общие касательные. Найти площадь трапеции,
образованной этими двумя касательными и хордами,
соединяющими точки касания.
939. В некоторый угол вписана окружность радиуса г, а
длина хорды, соединяющей точки касания, равна а. Параллельно
этой хорде проведены две касательные, и таким образом
получилась трапеция, площадь которой требуется найти.
940. В треугольник со сторонами а, Ь и с вписан полукруг
с диаметром, лежащим на стороне с. Найти величину этого
диаметра.
941. Найти площадь треугольника, если отрезки, образуемые
на одной из его сторон точкой касания вписанной окружности,
суть т и п, а противолежащий ей угол треугольника равен 60°.
942. Меньшее основание трапеции DC = b; большее
основание АВ — а. На продолжении меньшего основания найти точку М
78
при условии, чтобы прямая AM разделила трапецию на две
равновеликие части.
. 943. Прямая, параллельная основанию треугольника, делит
его площадь пополам. В каком отношении она делит боковые
стороны треугольника?
944. Найти длину отрезка прямой, параллельной основаниям
трапеции и делящей трапецию на две равновеликие фигуры,
заключенного между боковыми сторонами трапеции. Длины
оснований трапеции равны а и Ь.
945. Прямая, параллельная основаниям трапеции, разделяет
ее на две части, площади которых относятся между собой, как
7:2 (считая от большего основания). Найти длину отрезка этой
прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции,
если основания трапеции равны 5 и 3.
946. Площади треугольников, образованных отрезками
диагоналей трапеции с ее основаниями, равны Si и Sa. Найти
площадь трапеции.
947. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника,
проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам
треугольника. Эти прямые разделяют площадь треугольника на
шесть частей, из которых три — треугольники с площадями Si,
S2 и S3. Найти площадь данного треугольника.
948. Прямая, параллельная основанию треугольника с
площадью S, отсекает от него треугольник с площадью Si.
Определить площадь четырехугольника, три вершины которого
совпадают с вершинами маленького треугольника, а четвертая лежит
на основании большого треугольника.
949. К двум, извне касающимся в точке А окружностям,
радиусы которых 3 и 1, проведена общая внешняя касательная ВС.
Найти площадь фигуры ABC, ограниченную окружностями и
касательной.
950. По высотам hi, h2, h3 треугольника определить его
площадь S.
951. По медианам mi, m2, m3 треугольника определить его
площадь S.
952. Площадь четырехугольника равна S. Найти площадь
параллелограмма, стороны которого равны и параллельны дна*
гоналям четырехугольника.
953. В равнобедренной трапеции средняя линия равна d,
а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь
трапеции.
954. В угол вписаны два внешнекасательных круга. Хорды,
соединяющие точки касания каждого круга со сторонами угла,
равны соответственно 1а и lb. Определить угол.
955. В равнобедренный треугольник вписаны один над
другим два круга радиусов R и г, касающиеся друг друга. Найти
углы при основании треугольника.
79
956. Точка D внутри круга радиуса R удалена от центра на
расстояние а. Через D проведены диаметр и две взаимно
перпендикулярные хорды, одна из которых образует угол а с
диаметром. Определить площадь вписанного в круг четырехугольника,
имеющего эти хорды диагоналями.
957. Окружности радиусов г и R касаются прямой AD в
точке Л и расположены по одну сторону от AD. Прямая,
параллельная AD, пересекает окружности в точках Б'и С, находящихся
по одну сторону от линии центров. Найти радиус окружности,
описанной вокруг треугольника ABC.
958. Из вершин квадрата, сторона которого а, как из центров,
проведены окружности радиусов а. Найти площадь, общую всем
четырем построенным кругам.
959. Прямая касается окружности в точке А. Параллельно
этой прямой проведена другая прямая, пересекающая
окружность в точках Б и С, которые соединены с точкой А.
Рассматривая площадь треугольника ABC как функцию расстояния
между прямыми, написать формулу, связывающую функцию
и аргумент. Радиус окружности равен R.
960. Из всех прямоугольников с площадью 5 найти
прямоугольник с наименьшим периметром.
961. Треугольник ABC с площадью 5 и углом а при
вершине А разделен ца две равновеликие фигуры AMN и CMNB
прямой MN, где М и N — точки на сторонах АС и АВ. Найти
периметр фигуры AMN при условии, что длина MN—наименьшая.
962. Три положительных числа a, b и с связаны зависимостью
а%*=1 Ьг-\-сг.
На основании каких теорем можно утверждать, что эти числа
могут быть приняты за длины сторон треугольника и что этот
треугольник прямоугольный?
XIV.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
(Стереометрия)
Доказать теоремы (963—971):
963. В правильном тетраэдре сумма расстояний от любой
внутренней точки до его четырех граней есть величина
постоянная.
964. Если имеется конечное число таких прямых, что каждые
две из них пересекаются, то все они или проходят через одну
точку, или лежат в одной плоскости.
80
965. Любой выпуклый четырехгранный угол можно пересечь
плоскостью так, что в сечении получится параллелограмм.
966. Куб можно пересечь плоскостью так, что в сечении
получится правильный шестиугольник.
967. Если через три вершины параллелепипеда, являющиеся
вторыми концами ребер, исходящих из одной вершины,
проведена плоскость, то треугольник, получающийся в пересечении
параллелепипеда этой плоскостью, пересекается диагональю
параллелепипеда, исходящей из той же вершины, в центре тяжести.
968. Если все двугранные углы трехгранного угла острые, то
и все плоские углы трехгранного угла тоже острые.
969. Если любое сечение поверхности плоскостью есть
окружность, то эта поверхность — шаровая.
970. Не существует многогранника с нечетным числом
граней, все грани которого являются многоугольниками с нечетным
числом сторон.
971. Любой плоский угол четырехгранного утла меньше
суммы трех других плоских углов.
972. Найти геометрическое место проекций данной точки на
всевозможные плоскости, проходящие через другую данную
точку.
973. Найти геометрическое место центров сечений данной
шаровой поверхности плоскостями, проходящими через данную
прямую.
974. Доказать, что через любую прямую можно провести
плоскость, параллельную любой другой прямой, если только эти
прямые не пересекаются.
975. Построить общий перпендикуляр к двум
скрещивающимся прямым.
976. Построить прямую, параллельную данной прямой и
пересекающую две другие данные прямые.
977. Построить отрезок данной длины, параллельный данной
плоскости, так, чтобы концы его находились на двух данных
прямых.
978. Взяты такие четыре вершины куба, что никакие две из
них не лежат на одном ребре. Через каждые три из этих четырех
вершин проведена плоскость. Найти объем тела, ограниченного
проведенными плоскостями. Ребро куба равно а.
979. Через каждые три вершины куба с ребром а, лежащие
в концах каждых трех ребер, сходящихся в одной.вершине,
проведена плоскость. Найти объем тела, ограниченного этими
плоскостями.
980. От правильной четырехугольной призмы плоскостью,
проходящей через диагональ нижнего основания и одну из
вершин верхнего основания, отсечена пирамида с полной
поверхностью S. Найти полную поверхность призмы, если угол при
вершине треугольника, получившегося в сечении, равен а.
81
981. Плоские углы при вершине параллелепипеда равны
между собой и равны 45°. Длины ребер, сходящихся в одной вершине,
равны а, Ь и с. Найти объем параллелепипеда.
982. В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из
одной вершины, суть а, Ь и с. Первые два ребра взаимно
перпендикулярны, а третье образует с каждым из них угол а. Найти объем
параллелепипеда.
983. Острые углы а, $ и у являются плоскими углами
трехгранного угла. Найти его двугранные углы.
984. Найти объем параллелепипеда, если длины трех его ребер,
сходящихся в одной вершине, равны /, т и п, а плоские углы при
той же вершине — а, р и у, причем все острые.
985. Через середину высоты правильной треугольной
пирамиды, параллельно ее боковой грани, проведена плоскость. Найти
площадь получившегося сечения, если площадь боковой грани
пирамиды равна 5.
986. Через центр основания правильной треугольной
пирамиды, параллельно двум непересекающимся ребрам ее, проведена
плоскость. Найти площадь получившегося сечения, если боковое
ребро пирамиды равно /, а ребро основания а.
98Л Боковые грани пирамиды, основанием которой служит
равнобедренная трапеция с высотой h, одинаково наклонены
к плоскости основания. Из вершины пирамиды опущены
перпендикуляры на боковые стороны трапеции, и основания их
соединены. В полученном треугольном сечении угол при вершине
равен а, а площадь сечения равна 5. Найти объем пирамиды.
988. Основанием четырехугольной пирамиды служит
трапециях основаниями а и Ь (а>Ь) и высотой К. Боковая грань,
проходящая через, меньшее основание трапеции, перпендикулярна
к плоскости основания, а противоположная грань является
равнобедренным треугольником с углом при вершине пирамиды,
равным а. Через вершину пирамиды и точку пересечения
диагоналей трапеции проведена плоскость, параллельная основаниям
трапеции. Найти площадь образовавшегося в этой плоскости
треугольника-.
989. Через сторону основания правильной треугольной
призмы проведена плоскость под углом а к плоскости основания.
Определить площадь образовавшегося треугольного сечения,
если объем пирамиды, отсеченной плоскостью от призмы, равен V.
990. Гранями треугольной пирамиды являются равные
равнобедренные треугольники. Основание и противолежащий ему
угол каждого такого треугольника — а и а. Найти объем
пирамиды.
991. Основанием прямой призмы служит ромб KBCD со
стороною а и углом 60°. Концы Bt и Di диагонали верхнего
основания призмы соединены прямыми ВхЕ и D\F с серединами сторон
82
KD и KB нижнего. В пересечении этих прямых образуется угол
BiODi, равный а. Определить объем призмы.
■ 992. В основании прямой призмы лежит равнобедренный
треугольник, периметр которого равен 2р, а каждый из двух равных
углов равен а. Через основание этого треугольника и конец
противоположного ребра призмы проведено сечение. Угол при
основании этого треугольного сечения равен р. Найти объем призмы.
993. Найти полную поверхность правильной треугольной
пирамиды по данному ее объему V и углу а между боковой гранью
и плоскостью основания.
994. Основанием пирамиды служит прямоугольник. Длина
каждого бокового ребра равна т. Плоские углы трехгранных
углов при основании пирамиды суть а, р и 90°. Найти объем
пирамиды.
995. В правильной четырехугольной пирамиде, у которой
сторона основания равна а и двугранный угол при основании
равен d, через одну из сторон основания проведена плоскость под
углом р к плоскости основания. Определить площадь сечения.
996. Высота правильной треугольной пирамиды равна h,
а двугранный угол при боковом ребре равен 2а. Найти объем
пирамиды.
997. В правильной я-угольной пирамиде сторона основания
равна 2а, двугранный угол при боковом ребре равен 2а.
Определить объем пирамиды.
998. Правильная треугольная пирамида пересечена
плоскостью, проходящей через вершину основания и середины двух
боковых ребер. Найти отношение боковой поверхности пирамиды
к площади основания, если известно, что секущая плоскость
перпендикулярна к одной из боковых граней. Указать, к какой
именно.
999. Основанием пирамиды служит трапеция, боковые
стороны и меньшее основание которой равны а, а острый угол а.
Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом ф.
Найти объем пирамиды.
1000. Из середины высоты правильной четырехугольной
пирамиды опущен перпендикуляр на боковое ребро, равный h, и
перпендикуляр на боковую грань, равный а. Найти объем
пирамиды.
1001. Через одно из ребер основания правильной
треугольной пирамиды со стороной основания q проведена плоскость
перпендикулярно противолежащему боковому ребру и делящая это
ребро в отношении т:п. Определить полную поверхность
пирамиды.
1002. Вычислить объем правильной пирамиды высоты А, зная,
что в основании ее лежит многоугольник, сумма внутренних
углов которого равна 90°я, а отношение боковой поверхности
пирамиды к площади основания равно k.
83
1003. Правильная пятиугольная пирамида SABCDE
пересечена плоскостью, проходящей через вершины А и С основания
и середины ребер SD и SE. Найти площадь сечения, если ребро
основания пирамиды равно q, а боковое ребро равно Ь.
1004. Через вершину правильной я-угольной пирамиды и
через две вершины многоугольника, лежащего в основании, под
углом а к плоскости основания проведена плоскость,
рассекающая основание на два многоугольника, имеющие соответственно
(r-f-2) вершины и (п—г) вершин [г < |. Найти объем
пирамиды, если общая сторона этих двух многоугольников равна Ь.
1005. Боковые ребра и две стороны основания треугольной
пирамиды равны между собой и равны Ь. Угол между равными
сторонами треугольника, лежащего в основании, равен а. Найти
объем пирамиды.
1006. Основанием пирамиды SABC служит треугольник ABC,
в котором АВ и АС образуют между собой угол а и АВ=АС=а.
Грань SBC перпендикулярна к плоскости основания, а грани
SB А и SCA образуют с плоскостью основания углы ф.
Определить боковую поверхность этой пирамиды.
1007. Две правильные треугольные пирамиды имеют общую
высоту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания
другой; боковые ребра одной пересекают боковые ребра другой.
Боковое ребро / первой пирамиды образует с высотой угол а,
боковое ребро второй образует с высотой угол р. Определить объем
общей части этих пирамид.
1008. Правильный октаэдр пересечен плоскостью так, что
в сечении получился правильный шестиугольник. Все вершины
этого шестиугольника соединены с одной из вершин данного
октаэдра. Найти объем образовавшегося тела, если объем
октаэдра равен V.
1009. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде
проведена плоскость через две противоположные вершины
параллельно диагонали основания. Определить площадь сечения,
если высота пирамиды h, а стороны оснований а и Ъ.
1010. В основании пирамиды лежит ромб со стороной а и
острым углом а. Каждый из двугранных углов при основании
равен ф. Определить объем шара, вписанного в эту пирамиду.
1011. Две равные правильные четырехугольные пирамиды
приложены одна к другой основаниями так, что оба основания
совпадают, а вершины расположены по разные стороны от
общего основания. В образованный таким образом восьмигранник
вписан шар. Определить его радиус, если сторона основания
каждой из пирамид равна а, а плоский угол при вершине
равен а.
1012. Шаровая поверхность касается трех ребер куба, сходя-
84
щихся в одной вершине, и трех его граней, пересекающихся в
вершине, противоположной предыдущей. Найти часть поверхности
этой сферы, лежащей вне куба, если ребро куба равно а.
1013. Шар вписан в прямую призму, в основании которой
лежит прямоугольный треугольник. В этом треугольнике
перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу,
имеет длину h и составляет с одним.-из катетов угол а.
Определить объем призмы.
1014. Ребро правильного тетраэдра равно а. Определить
радиус шара, поверхность которого касается всех ребер тетраэдра.
1015. Двугранный угол при боковом ребре правильной
четырехугольной пирамиды равен а, а радиус шара, вписанного в эту
пирамиду, равен R. Найти полную поверхность пирамиды. -
1016. В прямой круговой конус объема V вписана
треугольная пирамида с плоскими углами при вершине, равными а, |3 и у.
Найти объем этой пирамиды.
1017. В шаре из Точки его поверхности проведены три равные
хорды под углом 2а друг к другу. Определить их длины, если
радиус шара равен R.
1018. В правильную четырехугольную пирамиду, сторона
основания которой равна а, а плоский угол при вершине равен а,
вписан полушар с плоскостью экватора, расположенной в
основании пирамиды. Найти объем многогранника, четыре вершины
которого находятся в точках касания шаровой поверхности с
боковыми гранями пирамиды, а пятая — в центре полушара.
1019. Стороны равнобедренной трапеции касаются кругового
цилиндра, ось которого перпендикулярна параллельным
сторонам трапеции. Найти угол, который образует ось цилиндра
с плоскостью трапеции, если основания трапеции суть а и Ь, а ее
высота равна h.
1020. Осевое сечение конуса — две взаимно
перпендикулярные прямые. На одной и той же образующей конуса взяты
точки А и В на расстоянии а друг от друга. На поверхности конуса
взяты еще две точки С и D такие, что ABCD — правильный
тетраэдр. Найти расстояние от вершины конуса до ребра CD этого
тетраэдра.
1021. Найти объем цилиндра, расположенного внутри
правильного тетраэдра так, что высота тетраэдра служит осью
цилиндра, окружность одного основания цилиндра лежит в
плоскости основания тетраэдра, а окружность другого касается
остальных граней тетраэдра и пересекает две другие его высоты.
Ребро тетраэдра равно /.
1022. Радиус основания конуса равен R, а образующая
наклонена к плоскости основания под углом а. В этом конусе
проведена плоскость через его вершину под углом ф к его высоте.
Найти площадь полученного сечения.
83
1023. Два конуса имеют общую высоту, но вершины их лежат
в разных концах высоты. Образующая первого конуса равна /,
а угол при вершине его осевого сечения равен 2а. Угол при
вершине в осевом сечении второго конуса равен 2р. Найти объем
общей части конусов.
1024. В трапеции одна из боковых сторон равна Ь и образует
с большим основанием, равным 2а, угол а. Меньшее основание
равно а. Определить объем тела, образованного вращением этой
трапеции вокруг данной боковой стороны.
1025. Угол образующей а конуса с плоскостью его основания
равен а. Найти объем описанной около конуса пирамиды,
основанием которой служит ромб с острым углом р.
1026. Около конуса описана треугольная пирамида, причем
линиями касания боковая поверхность конуса делится на три
части, относящиеся между собой, как 5:6:7. Найти отношение
между частями боковой поверхности пирамиды, ограниченными
линиями касания.
1027. На плоскости лежат три равных конуса с общей
вершиной. Каждый из них касается двух, рядом лежащих. Найти
угол при вершине осевого сечения одного из этих конусов.
1028. На высоте конуса, как на диаметре, описан шар. Найти
объем части шара, заключенной внутри конуса, если даны
высота h конуса и угол при вершине его осевого сечения, равный 2а.
1029. Конус с углом а между осью и образующей и радиусом
основания г рассечен сферической поверхностью, центр которой
находится в вершине конуса, так что объем конуса разделен
пополам. Найти.радиус этой сферы.
1030. В правильную /г-угольную пирамиду с ребром
основания q и боковым ребром а вписан шар. Найти его радиус.
1031. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
h. Перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного около
пирамиды, на ее боковую грань, образует с высотой угол а.
Найти объем шара.
1032. Прямой круговой конус рассечен на две части, равные
по объему, плоскостью, проходящей через центр вписанного
шара перпендикулярно оси. Найти угол между образующей и
плоскостью основания.
1033. В прямой круговой конус, угол при вершине осевого
сечения которого равен а, вписан шар радиуса г и затем проведена
плоскость, заключающая окружность касания поверхности
конуса с поверхностью шара. Найти объем получившегося усеченного
конуса.
1034. Основанием пирамиды служит прямоугольник,
диагонали которого образуют между собой угол а, а боковые ребра ее
составляют с плоскостью основания угол ф. Найти объем
пирамиды, если известно, что радиус описанного около нее шара
равен R.
86
1035. В конус вписан шар радиуса г. Найти объем конуса,
если известно, что плоскость, касающаяся шара и
перпендикулярная к одной из образующих конуса, отстоит от вершины
конуса на расстояние d.
1036. В шар радиуса R вписан цилиндр. Рассматривая объем
цилиндра как функцию радиуса основания цилиндра, написать
формулу, связывающую функцию и аргумент.
1037. Можно ли определить призму как многогранник, у
которого две грани— равные многоугольники с соответственно
параллельными сторонами, а все остальные грани —
параллелограммы?
РЕШЕНИЯ
I. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ *
1. A = c(b2+bc+ac—a2) —ab(a+b) = c(b2—a2) +с2(Ь+а) —
—ab (а+Ь) = (a+b) (bc—ac+c2—ab) = (а+Ь) [ (be—ab) +
+ (с2-ас)]= (а+6) [^ (c-a) +c(c—a) ] = (a+b) (6+c) (c-a).
2. Л==62(а2Ь-а3+с3-с26)+с2а2(а-с)=62[(а26-с26) —
~(а3-с3)]4-а2с2(а-с)=63(а2-с2)-Ь2(а3-с3)+а2с2(а-с)=-
«=» (а—с) (b3a+b3c—b2a2—b2ac—b2c2+a2c2) = (а—с) [Ь2а (Ь—с) +л
+ЬЧ (Ь—с) -а2 (Ь2-с2) ] = (а—с) {Ь -с) (b2a+b2c-a2b—a2c) =
== (а—с) (Ь—с) [ab (Ь—а) +с(Ь2-а2) ] =
= (а—с) (b—c) (b—a) (ab-\-bc-\-ca).
.3. Выражение, стоящее в первых квадратных скобках, легко
приводится к следующему:
(ax+by)2+(ay+bx)\
а второе — к такому:
4(ay+bx)2(ax+by)K
Имея это в виду и воспользовавшись формулой разности
квадратов двух количеств для данного выражения А, получаем
A = [(ax+by)2+(ay+bx)2]2-4(ay+bx)2(ax+by)2=
*=[(ax-\-by)2-\- (ay-\-bx)2—2(ay-\-bx) (ax+by)] [\ax-\-by)2-\-
+ (ay+bx)2+2(ay+bx) (ax+by)] = [(ax-\-by) — (ay+bx)]2X
Х1(ах+Ьу) + (ау+Ьх)У=[(а-Ь)(х-у)]*[(а+Ь)(х+у)]*=
= (a-b)2(a+b)2(x-y)2(x+y)\
4. Л = 2а26+4а62—а2с—2abc+ac2+2bc2—\b2c—2abc=
=z2ab(a+2b)-ac(a+2b)+c2(a+2b)-2bc(a+2b)=*
= (a+2b) (2ab—ac+c2—2bc) = (a+2b) [a(2b—c) —c (2b—c) ] =
= (a+2b)(2b-c)(a-c).
5. A=y(x—2z)2+8xyz+xy2—Axyz+Axz2—2zx2—Azxy—2zy2=
* Здесь выражение, подлежащее упрощению, обычно не повторяется,
а обозначается буквой А.
88
=y(x—22) H- (xy2—2zy2) — (2zx2—Axz2) = (x—2z) (yx—2yz+
+y2-2xz) « (x-2z) [x (y-2z) +y (y-2z) ] =
в (x—2z) (y—2z) (x+y).
6. A = 8x3(y+z) — y3z—2y3x—2xz3+z3y=8x3(y+z) —
-yz (y2-z2) -2x (y3+z3) = (y+z) [8x3-yz (y-z)-2x (y2-yz+
+z2)]=(y+z) (8x3—y2z+yz2—2xy2+2xyz—2xz2) = (y+z)X
X [ (Sx3-2xy2) + (2xyz-y2z) —. (2xz2-yz2) ] = (y+z) [2x (Ax2-
-y2)+yz(2x-y)-z2(2x-y)] = (y+z) (2x-y) (Ax2+2xy+yz^
-zz) = (У+z) (2x-y) [ (Ax2-z2) + (2xy+yz) ] =
*= (y+z) (2x-y) [ (2x+z) (2x-z) +y (2x+z) ] =
= {y+z) (2x—y) (2x+z) (2x—z+y).
7. A = (x^+y^—2x2y2) —2 (x2—y2) z2+zk—Ay2z2=^ (x2—y2)2—
—2(x2—y2)z2+z^—4y2z2= [ (x2—y2) — z2]2— (2yz)2= (x2—y2~
—z2—2yz) (x2—y2—z2+2yz) = [x2— (y+z)2] [x2— (y—z)2] =»
= (x+y+z) (x—y—z) (x+y—z) (x—y+z).
8. A = (x2y+xy2) + (xz2+yz2) + (x2z+y2z+2xyz) =xy(x+y) +
+z2(x+y)+z(x+y)2= (x+y) (xy+z2+zx+zy) =
= (x+y) [x (y+z) +z (y+z) ] = (x+y) (y+z) (z+x).
Замечание. Исходное выражение симметрично
относительно букв х, у, z, т. е. такое, что от замены х, у, z
соответственно буквами у, z, х не меняет своего вида. Следовательно, если
оно имеет множитель х+у, то оно имеет также множители y+z
и г+х. Таким образом, после выделения множителя х+у можно
было предвидеть наличие множителей y+z и z+x в
окончательном результате.
9. А = (x2y+xy2+xyz) + (x2z+xz2+xyz) + (y2z+yz2+xyz) =s
=xy (x+y+z) +xz (x+y+z) +yz (x+y+z) =
= (x+y+z) (xy+yz+zx).
10. A=(x3-l) + (5x2-5) + (3x-3) = (x-\)(x2+x+l) +
+5(x-\)(x+\)+3(x-\)^(x-1) (x2+x+1 +5jc+5+3) =*
= (x-\) (x2+6x+9) = (x-\) (x+3)2.
11. A=(x3-\) + (9x2-9) + (\\x-U) = (x-\)(x2+x+\ +
+9jc+9+11) = (jc-1)(jc2+10jc+21) = (jc-1)(a:+3)(a:+7).
12. A=x[x2(x2-7)2-36]=x[x(x2-7)-6][x(x2-7)+6] =
*=x(x3-7x-6)(x3-7x+6)=x[(x3+l)-7(x+l)][(x3-l)-
_7(x-1) ] =x(x+1) (x-1) (x2-x-6) (x2+x-b) =
= x(x+\)(x-\)(x-S) (x+2) (x+3) (x-2).
13. Воспользуемся формулой (m+n)3=m3+3mn(m+n)+n3
для преобразования первого слагаемого данного выражения.
Получим
A=[(b-a) + (a-c)]3+(c-a)3+(a-b)3=(b-a)3+
+3(b-a) (a-c) [ (b-a) + (а-с)] + (а-с)3— (а-с)3—
-(b-a)3=Z(a-b)(b-c)(c-a).
14. A = 3(y2+z2) (x2+y2) (x-z) (x+z).
Указание. Решать так же, как задачу 13.
89
15. A = [ (x+y+z)3-x3] - (y3+z3) = [ (x+y+z) -x] [ (x+
+</+z)2+ (*+</+*) *+x2] - (</+z) (*/2-*/z+z2) =
= (y+*)[(x+y+z)*+(x+y+z) x+x*-y*+yz-z*].
Вместо того чтобы производить утомительные выкладки для
выделения других множителей способом группировки,
воспользуемся замечанием к задаче 8. Так как данное выражение
симметрично относительно х, у, z, то наряду с множителем y+z оно
имеет множители z+x и х+у. Поэтому можно написать
(x+y+z)3-x3-y3-z3= (x+y) (y+z) (z+x)B,
где В — частное от деления данного выражения-на произведение
трех выделенных множителей. Рассматривая левую и правую
части последнего равенства как многочлены относительно х и
замечая, что в равных многочленах коэффициенты при одинаковых
степенях буквы х равны, найдем сравнением коэффициентов при
х2, что В = 3. Следовательно,
A = 3(x+y)(y+z)(z+x).
16. Пусть п — любое целое число. Тогда получим
п (п+1) (п+2) (п+3) +1 = (п*+3п) (п^+Зп+2) +1 =
= (п2+Зп)*+2(п*+Зп) + \ = (/г2+3/г+1)2.
|7. 132n-l = 169"-l = 168(169"-1H-169n-2+... +1).
18. 721-487=7.4910-7-480 = 7- (4910—1) —480 =
-7-48(499+498+ ... +1)—48-10 = 48[7(499+498+... +1) —10].
Так как 49=8-6+1, то 49ft=6m+l и выражение в
квадратных скобках будет иметь вид
7(6п+Ю) —10=7-6/1+60 = 6(7/1+10).
И*гяк
721-487=48-6(7/1+10) =288(7/1+10),
т. е. делится на 288.
19. Обозначим буквой А левую часть данного равенства.
Получим
А = (а+Ь-2су+ (Ь+с-2а)*+ (с+а-26)2= [ (а-с) +
+ (b-c)Y+[(b-a) + (c-a)Y+[(c-b) + (a-b)Y=2(a-cY+
+2(Ь-с)г+2(Ь-ау+2(а-с) (b-c)+2(b-a) (c-a) +
+2(c-b) (a-b)=2A + [(a-c) (b-c) + (b-a) (c-a)] +
+ [(a-c) (b-c) + (c-b) (a-b)] + [(b-a) (c-a) +
+ (c-b)(a-b)]=2A + (a-cy+(b-c)z+(a-b)z=2A+A = 3A.
Итак, Л=ЗЛ, 2Л = 0, Д=0, т. е. (а-6)2+(&-с)2+(с-а)2=0.
Отсюда а = Ь = с.
20. Так как из равенства т+п+р=0 следует, что т——п—
—Р, то
т3+п3+р3= (—п—р)3+п3+р3= — п3—3пр(п+р)—р3+п3+р3=я
= —Зпр(п+р) =3тпр
(см. также задачу 23).
90
21. (y*+2yz+z*)x*+2(y+z)x+\ I {у+г)х+\
(y2+2yz+z*)x2+ (y+z)x I {y+z)x+\
(#+*)*+1 ,
О
22. Расположив делимое и делитель по убывающим степеням
буквы х и пользуясь известным правилом деления многочлена
на многочлен, получим
(а3—1)х3—(о3+а2—2)^+(4o24-3o+2)x—За—3
*-(о3—1)х3—(а3—1) х2 -f 3(а2+о+1)*
(о— 1)х2—(о— 1)х+3
(аЧ-а+1)*—(о4-1)
— (о2 — 1) х2 + (о2—1) х — 3 (а -f 1)
-— (Q2 — 1) х2 + (a2—1) * — 3 (о + 1)
О
23. Подставим в данное выражение вместо х величину —у—г.
Получим (—y—z) 3+y3+z3—3 {—y—z) yz= — (</+г)3+г/3+г3+
-\-2>y2z-\-2>yz1= — (y-\zz)3-\- (y-\-z)3=0. Отсюда, на основании
теоремы Безу, заключаем, что многочлен x3-\-y3-\-z3—Zxyz делится
на х—(—у—г)=х+у+г.
24. Среди трех последовательных натуральных чисел одно
непременно кратно 3 и одно или два четные. Тот из двучленов
хк—1 (k=m-\-\, т— 1, т), у которого k — четное, разделится на
х2—\; у которого k кратно трем, разделится на л:3— 1 и,
последний при любом натуральном k разделится на х— 1.
ат—[ ап—\
25. Представив данные выражения в виде г- и ,
видим, что вопрос сводится к выяснению признака делимости
выражений ат— 1 и ап— 1. Очевидно, для этого необходимо, чтобы
было т^п. Пусть частное и остаток от деления т на п будут р
и q, т. е. m = np-\-q. Получим
am_l anp+q_l anp ag — ag_j_ag— 1
ап— 1 ~~ ап— 1 ~ an—1 ~
an—1 ' an —1
Отсюда видно, что для возможности деления нацело необходимо
и достаточно, чтобы #=0, т. е. чтобы т было кратно п.
26. Корни Xi и хг трехчлена х2-\-х-\-\ удовлетворяют
условиям *?+*i'+1=0 и х3{=\ (/=1,2). Поэтому х\ -\-х32-\-х2*=
(x?)h-\-(x*)i0x*-\-(x?)9Xi— l-j-*i+*i=0. Отсюда, по теореме
Безу, данный многочлен делится на x—Xi и х—х2, а
следовательно, и на их произведение (x—xi) (х—х2) =х2-{-х-\-\.
•27. Умножим и разделим левую часть доказываемого
равенства на 1-х. Получим
91
;(1-лО(1+Ж1+*2)---'(1+*2п~|)== i-*2n ^
1— х -1-х
== 1 +л:Н-л:2+ ... Н-л:2"-1.
28. Произведение трех данных множителей приводится к
многочлену степени 2- 175-f-i -5-1-3* 149 = 802. Поэтому можно
написать
(14-4х—Ах2)175 (1 +2х)5 (1 — Зх+х2+2х3) 149=
=Л1Л;8024-Л2л;801+ ... +Л803.
Полагая в этом равенстве х=\, получим
Л1+Л2+ - +Ат= 1175-35-1149=243.
29. Это равенство можно доказать путем упрощения левой
части. Но такой путь приведет к большим выкладкам. Можно
доказать короче. Известно, что если два многочлена f(x) и ф(д:)
степени п имеют одинаковые значения при л+1 различных
значениях х, то они тождественно равны. В данном случае л=2.
Полагая в левой и правой частях доказываемого равенства х=а;
х=Ь; х—с, получим для обеих частей соответственно а2, Ь2, с2.
Тем самым тождество доказано.
30. I. Необходимость. Пусть ■—^—=k, где k — не за-
тх-\-п
висит от х. Освободившись от знаменателя, получим равенство
ax-\-p=kmx-\-kn. Но из равенства многочленов следует
равенство их коэффициентов при одинаковых степенях х. Поэтому
можно написать, что a — km и b = kn или —= —. Если т = 0
т п
та
•"(или<,я=0), то пропорцию следует написать иначе: — = -т-
/ п Ь \ „
I или — =—I. Случаи т = л=0 исключается.
\ т а 1 J
II. Достаточность. Пусть — = — = к. Тогда»
т п
, , , ax-\-b mkx-\-nk , тх-\-п ,
a = mk; b = nk; — = —k ■ =k.
mx-\-n mx-\-n mx-\-n
31. Поступая так же, как и в задаче 30, найдем, что искомые
необходимые и достаточные условия состоят в следующем:
а b с
т п р'
32.—+ 1 _(!+*) + (!-*)_ 2
1-х ' 1+* (1—*)(1+х)
92
1 1 2 = 2 2 _ 4
Прибавляя к полученному результату четвертую данную дробь,
а затем пятую и шестую, получим окончательно
1 . 1 2 4 8 ' 16 32
\-х ~*~ \+х + l-f-*2 + l-f-*4+ l+*8 + 1-f-*16 ^ 1-х32*
33. Приведя дроби к общему знаменателю, получим
"у .ч * w r[(6-c) + (c-a) + (a-$)]=0.
(а—6) (6—с) (а—c)LV ' v у ч /J
34. После приведения дробей к общему знаменателю, получим
Q2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)
N
где
N=(a-b)(b-c)(a-c).
Разлагаем числитель на множители:
a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=a2(b-c) + (b2c-c2b) +
+ (c2a-b2a)=a*(b-c)+bc(b-c)-a(b2-c2) =
*= (b—c) (a2+bc—ab—ac) = (6—с) [ (а2—afc) + (be—ас)} =.
= (6-е) [a(a-b)-c(a-b)]=* (a-b) (b-c) (a-c) =N.
Отв ет; -п = 1.
iV
35. Складываем данные дроби попарно — первые две и
вторые две. Получим
„_ (а-6)(6+с) + (Ь-с)(а+6)
;+
(a+b)(b+c)
(с-а) [ (а+b) (Ь+с) + (а-Ь) (b-с)]
(a+b) (b+c) (с+а)
ab—b2+ac—bc+ab—ac+b2—bc
(a+b) (b+c)
(с—a) (ab+b2+ac+bc+ab—b2—ac+bc)
+
(a+b) (b+c) (с+а)
2ab-2bc (c-a)(2ab+2bc) 2b (a-c)
(a+b) (b+c) ' (a+b) (b+c) (с+а) (a+b) (b+c)
2b(a+c)(c—a) __ 2b (a—c) 2b (a—c)
+ (a+b) (b+c) (c+a) ~ (a+b) (b+c) (a+b) (b+c) ~~ "
36. Приведя дроби к общему знаменателю, получим, что
данное выражение
9а
A — у*г* 4. c2(j/2-^2) {z2-b2)-b2(y2-c2) (z2-c2) ^
' — 62C2 + b2c2(b2-c2) ^
t/2z2 с^&—сгЬ2&—с2угЬ2+с2Ь*—Ь2у2г*+Ь2с?г2+Ь2у2сг--Ь2ск
"b2c2^~ b2c2(b2—c2)
угг2 с2у2г2—Ь2у2г2-^-с2Ь^—Ь2с^ y2z2
+
b2c2 ' b2c2(b2—c2) b2c2
y2z2(c2-b2)+c2b2(b2-c2) _ y2z2 (b2-c2) (-y2z2-\-b2c2)
38. Л =
b2c2(b2—c2) b2c2 ' b2c2(b2—c2)
f2z2 —y2z2-\-b2c2 y2z2 y2z2 b2c2 .
W"^ ¥c2 ==~b2c2 b2c2 + 62c2 ~" '
(\+ab)[\+ab+(a±b)x]-{a+b)[a+b+{l+ab)x]
[\+ab+(a-\-b)x]2—[a+b(\+ab)x]2
(l+ab)2-)-(\+ab)(a+b)x-(a+b)2-{a+b)(l+ab)x
(\+ab)2-(\+ab)2x2+(a+b)2x2-(a+b)2
(\+abl2- (a+6)2
(\+ab)2{\-x2)-{a+b)2(\-x2)
{\+ab)2-(a+b)2 1
(1-д:2)[(14-а6)2-(а+6)2] "" 1-х2'
-x+\) (x*+x-l) (x-x2+l)(x^
f 1 -*) (*2-b 1 +*) (x2+x-1) (x2
(a:2—x— \)(x2—jc+1) x2+x—1 . X—X2+l
39 л __ (*2-*+1) (*2+*~ 1) (x-x2+1) (*+*2-1)
(х2+1-х)(л:2-т-14-х) + {x2+x-l){x2+x+\) ~*~
(x2-x-1)(a:2+;H-1) х2+х-\-\ ' *2+*+l
x2-x+1 x2+x-1 +x-x2+ 1 +x2—x+1
*24-л:4-1 х2+д:+1
= X2+X+l
40. Рассматривая сумму первых двух слагаемых числителя
как сумму кубов двух количеств или поступая так, как в
задаче 13, получим следующее выражение для числителя!
3(*2—у2) (у2—z2) (z2—x2). Аналогично поступая со знаменателем,
найдем, что он равен 3(x—y)(y—z)(z—x). Отсюда данное
выражение
3(x2-y2){y2-z2)(z2-x2) , , w i w , ч
А г= —)-—ZJJ2. >± ^L =- (х+у) (y+z) {z+x).
4x-y)(y-z){z-x) v -гум» i /
аЦс-Ь)+Ь3(а-с)+с3(Ь-а) _ М
' ~ a2(c-b)+b2(a-c)+c2{b-a) ~~ N '
94
M=a*(c-b) + (b*a-c*a) + (-bsc+c4) =a3(c-b) -a (cs~b3) +
-\-Ьс(сг-Ьг) = (c-b) (as-ac2-abc-abz+bc2+b2c) =
• = (c—b) [ (a3—abz) + (—ac*+bc2) + (—abc-\-bzc) ] =
^(c-b)[a(a2-b2)-c2(a-b)-bc(a-b)\==:
= (c-b) (a-b) (a*+ab-c2-bc) = (c-b) (a-b) [ (a?-c*) +
+ (ab-bc)] = (c-fc) (a-fc) (a-c) (a+c+6).
Аналогичными преобразованиями получим, что знаменатель
N—(c—b)(a—b)(a—c). Впрочем, эти преобразования можно
найти в решении задачи 34. Теперь получим
N (с-Ь) (a-b) (a-c) r r
АО Q 1 1 Г
42. Замечая, что
(x+k)(x+k+\) *+* *Н-Л+1 '
получим
А=(± L)+(J 4 + (_J —) +
. /_! LW-i U =
Мх+З *+4 / \*+4 х+5/
__J_ 1 5
л; x-f5 x(x+5)
43. Рассмотрим произведение-первого множителя на первое
слагаемое второго множителя:
/ a—b b—c с—а \ с с I Ь—с с—а \ __
^__ + __ + __^___ 1+__^ а -\~ b ) —
с bz-bc+ac-a2 _ , с c(a-6)-(a2-62) __
a—fe ab a—b ab
.1+^.^-Ш-й±Ш._1+^_[е-(в+ц],
а так. как с= —(a-f&), то получим окончательно для этого про-
2с2
изведения 1 -\ г-. Точно так же произведение первого множи-
ab
2а2
теля на второе слагаемое второго множителя будет 1 -f- -г— и
2Ь2
на третье слагаемое 1 -| . Складывая полученные выражения
и пользуясь результатом задачи 20, получим
ab be ca abc
95
=3 + 1^ = 3+6=9.
abc
44. l-| + 4_| + ...+_L__^_=1+| +
+t+t+-+2^i+^-2(t+t+t+-+if) =
=i+-L + i-+ +-L + _L_ . J_+ +_±, J__
^2^3 T'"^ft ^ft+1 + ft+2 +'"+ 2ft-1 ^2k
-(1+т+г+-+г)=ш+ш+-
1
£+1 ' k+2 ' ""' ' 2k
45. Умножим первое равенство на q2, второе — на р2, третье—
на —2pq ^'результаты сложим почленно. Получим
• (а^-МН^-ЗДЧ- -. +(anq-bnp)*=0.
Следовательно,
aiq—bip=a2q~b2p= ... —anq—6np=0,
откуда и вытекает доказываемое равенство.
46. Преобразуем заданные отношения и воспользуемся свой:
ством равных отношений:
a>ibi a2b2 anbn aibi-\-a2b2-{-...+апЬп
ь\ ь\
Отсюда
ai&i+a2&2+..
- ь\
■• +#п&п =
&2+&2+...+ &2П
(1)
Ц-(*1+Й+...+Й). (2)
Аналогичными преобразованиями получим
albl-\-a2b2-{'... +а„6п = — (ai2+a|+ ... +a£). (3)
at
Перемножая равенства (2) и (3) почленно, найдем
(aifri+aaW-' - +a»*»)*= (af+aS + .- +«п) (Й+б| + ...Ч-Й).
47. Все общие множители числителя и знаменателя данной
дроби являются также множителями выражения a (14/1+3) +
+6(21/1+4), где а и 6 — целые. Но при а=3 и 6= —2 получим
3(14/1+3)—2(21л+4) = 1. Таким образом, общими множителями
членов дроби могут быть лишь числа ±1, т. е. она несократима.
ло ^ а2 Ь* а2+&2 б2 „
48. Так как — == -г-,-то , _ , , = -г-. Но из данной пропор-
Ьг с2 о2+с2 с2
ции имеем Ь2 = ас. Подставляя это в правую часть полученной
а2+62 ас а
пропорции, найдем щ^Г = "^Г = 7"'
96
49. Из данной пропорции получаем
п п п
dCLi Сгйг chak
сф\ ~ сф\ ^~ •" "~ сф\ '
Отсюда, пользуясь свойством равных отношений, найдем
dai+Czcft-b ... -\-ChOh _ ciq" _ / а± \п
50. Покажем, что никакая рациональная дробь — (т и п —
натуральные числа) не равна У2. Для доказательства допустим,
Ytl tTl2
что существует такая дробь —, что —j- = 2. Предполагаем эту
дробь несократимой, т. е. т и п не имеющими общих множите-
т2
лей. Из.соотношения —г- =2 вытекает, что т2=2п2г а это озна-
п2
чает, что число т есть четное. Положим т = 2р и, подставив
в равенство т2=2п2, получим Ар2=2п2 или п2=2р2. Но в таком
случае число п тоже четное, чего не может быть, так как
т
—■ по предположению — несократимая дробь.
п
51. По определению корня кубичного из числа.
52. а) По определению нулевой степени числа (афд)\ 6) по
определению дробной степени числа; в) по определению
отрицательной степени числа (аф0)\ г) по определению первой
степени числа.
,53. Уа2=ф|. Или иначе: ~]/а2 = а, если a^O; ~\[ab=~a, если
54. а) х^О, у^О; б) *>0, у>0; в) a>0, b<0, с — любое
вещественное число; г) а^.0, Ь^О.
55. Пользуясь свойством равных отношений, получим
ai+a2-{- ... +ап at
Ь\+Ьг-\- ... +bn bi
или, извлекая квадратный корень,
Ул1-г-а2-Ь - -Hn ^(ц
С другой стороны, из данной пропорции находим
* Если некоторые из cw (m «= I, 2 k) равны нулю, то для составления
этих отношений используем лишь те от, которые не равны нулю.
4 Шахно К. У, 97
cixbi
ь\
ИЛИ
УаА
Отсюда получим
йгЪг
1a2b2
b2
b*
УапЬп
bn
iaibi+ya2b2-h... +УапЬп yatbi V^i
bi+b2+ ...+bn
by
УЬ
Сравнивая левую часть этого равенства с такою же
полученного ранее, легко найти равенство, которое нужно доказать
56—115. Указание. При решении этих задач следует
помнить, что встречающиеся в них корни предполагаются
арифметическими. Поэтому важно в тех случаях, когда наложены
ограничения на параметры, уяснить себе, где эти ограничения
используются, в прочих случаях наложить такие ограничения, если
они должны быть наложены.
56. А =
(У*+У*/)2-(У*+*/)2
(ix~+l/y)1x~+i
~}2
(1х+уУ)Ух+у
х+2^ху+у—х—у
х+у
Щху
х+у х+у I х+2^ху+у
2Уху
57. А
2^ху \ 2^хц
уЪ{а—86)
-1 =
2У^
(У*+У*/)2(*+*/)
W~x~y)2
х+у х+у {х+у)''
la—2}b
ya2+2Jab+4p2 }'a
Уа[(Уа)з-(2уб)з]
(W2+(fo(2y£) + (2TO2
2^ху 2Уху Аху
— У^2=
з
1а
Уа-21Ь
У*а2:
58. Л =
= УаУа—Уа2=0.
(1а)3-(УЩ3 y2aT(fa+y2b)
(Уа)2-(У26)2 (]/а+У2б")2
98
ш {a+b) (Уа+У2Ь) _ Уа?+у2аЬ+у№ y2ab
а-\-Ь \ »- л— ' С ГЦ
\ Уа+У26 Уа+У26
1
: (уа+у26) = Га2+2УаУ2И-У4^ ^
Уа+У2Ь Уа+У26
(Уа+у2Ьу
59. Л =
(Уа+У26)2
(у7*-уу~2) з {У~х+у~у) -*-\-2xyx+yyi
+
хух+уУу
ьМУу-Vx) (i^-iy) z+2xyl+yylj
(Ух)*-(У у)* хух+уУу
зу* у^_зхуу+Зуух-у7+2хух+^/У^ зу*
ух+уу хух+уУу 1x+iy
ЗхУ»— ЗхУу+ЗуУ~х Зу~х ЗУх(х—Ух~у+у)
хУх-\-уУу
зу*
Ух+уу (Уху+(ууу
ЗУ~х Zjx
60. Л
ух+уу ух+уу ух+Уу
уЪ(Уа-уЬ) ■ уШ-уШ
= 0.
№)2-(W2 a+b
(yW—ytf)(W-fcb+ffi) 1_
(У&-Уа)[(Уа)з+(у£)3]
уь
УагЬ-УаЬг
-1
Ja+yb (у а)* + (У by
fb(y^-y^+y¥-y^-\-yg~b)
a+b
? b W = /-fl\-i_ g+b*
\ a+b I \ a+b/ a *
99
ei. л= 01х+Ь)№*+уУу){Ух+Уу)-*-Уху 2jy ^
х—у Ух+Уу
д jx^-y'x'y+yf-t^ 2y~y = фс-УуУ 2iii_a
х-у ' У'х'+Уу У^-уф Ух+уу
Ух-уу 2уу = ух+уу
Ух+Уу У^+Уу У'х'+Уу
62. А
1Ух*{Уу-1]х): (^2-^2)+У^З^(У^+У^/)
х+у—(х—уху+у)
(-У^: (Ух+^)+У^)У^(У^+У7)
y^i/
-У*3#+У*У£/(У%+У*/)
-У;
4
(Зу+Ух3у+Уху
Уху Уху
_ 1ху _х
Уху
А =
Уа6(У6+Уа) 1— УаЬ
Уа+уь УаЬ
Уа(У'а2-1)
Уа-1
Уа2(Уа+1)
Уаб
64. Л
bi^V[^(^+i)"H=^:^=^==-«
УаЬ
Уаб
1-Уа
Уа763
5
_0+Уа+Уя2)-Уа (1+Уа3):(Уа+1)-Уа
1-Уа2
1
1+Уа 1—Уа+уа2_уа
100
5 / * \ 5
1— У а
1-уТ
= 1.
ГЗ
[УЬх(Ух+Уа): (Ух+Уа)+уЬх]2+Ьх+3
65. А =
(уьх+узу
V3 *— *—
-^ (УЬх+УЬх)*+Ьх+3
2pybx+bx+3
66. А
1 / 1
(УЬх+узу (уьх+уг)*
= (У6^+У3)2 ^{
(УЬх+узу
y^w-y^w]1^
- 3 ^ -1-1
3 3 3
__L ]/(x2-a2)a = 1 1/~(х~2-а2)а [ "]/ (x*-a*)a
2а г д: 2a Г х 2а г х
У
2Г Jf a2
з
67. Л = b
Уа*(Уа3-\-УЬ3)
УаЬ
-4
:(Уа-уЪ)~у1 \ =
У«2(Уа+у&)
= б[ (Уа^-УаЬ+iW-iab): (Уа-Уб)-Уа]"4 =
= 6 [ (Ув-У6)2: (Уа-У6) -у^]"4=
= Ь{у~а-уЬ-У~а)-ь = 6(-У6)~* = 6— = 1«
68. Л = fa
(1+а)(1+Уа) ^,2
1-fa2
;+у«2
X
101
x (i+Yfl3):(yfl+i)-Yfli^^.-
\+У~¥
\-Уа ) \+Уа2
l+a+Уа?—a I —'fa 3r '- »- л
^ ^\ ^— ya=ya—ya—O.
1—Уа l+fa2
69 A = I x^+afa у ( У*-Уа ■■
У7 ) \ У~х "
+ -JK)'5 УТх^ау
Ух—Уа
__ J x}'x-{-aya \ 5
ft
(Ух—Уа)2+Уах
Ух(Ух-Уа)
Ух3+Уа3 Ух{У~х-У~а)
Ух х—Уха-\-а
У(х-а)* =
(х-ауо =
[(Ух+Уа) (Ух-Уа)]5 (*-а)10 = (х-а) * (х-а)м
t_
= (л:—а)2 = Ух—а.
70А== I fe(ja+1ty:[fa(№+fc)]-\ \_
Уа—У2х
уа2:у4х2—\ 1_
Уа—У2х У2*
У~а*—У4х* 1
У2аг
У4х2(Уа—У2х) У2х _
Уа+У2х
У№
У2х2
Уа+рх—рх
У4^"
102
(»_ \ -в
J4x2
16х*
71 л- [(Д+Дс)(1+У^)]'(1—Ух)» ^
х2--2л;-Н
лГТП ГТТ (а+х)2(1-х)2
(*-1)2
= (а-\-х)2х—ах(а-\-2х)* = х\
х-ахУ (а+2х)2
72. А
Л! *+1 1/ (*+1)3
*Г (*-1)2 Г (*-1)2
(*-1)!
xy^L±L-VZ*±
Г U-D2 Г (х-
(*-1)'
Утй^(х"
: Ул:2— 1
:У*2-1
1)
:Ул:2— 1 = (Ул:2— 1) 7 :У%2-1=Ух2-1:Ул:2-1 = 1.
73. А =
(У*+1)2+У*(У*-Уа):(У*-Уа)-Ул: =
2Ул7+2(У^2+У^2): (fa+fx)
(У*+1)2+У*-У* _ (fx+1)2 = У*+1
2Ух+2 2(Ух+1) 2
74. Л =
Уа3(а2+2а
6+462)
(а-26)2
J2_ _ __
Уа—У26 Уа+У26
+ У863—а3
У2
У
а3(а3-8Ь3)
(а-26)3
Уа3-863
У2(Уа+У2&-Уа+У2б)
а-26
Здесь предполагается а+2х>0.
103
r \ a—2b I a—2b
= ya3-8b3
2b a—2b
1
— ybia3-8b\
a—2b 4У& 2
75. Л = У(^3-ЗИГ^+(36-1)Уа6^
уьз-\
У ]/ab(b-
b-\
1)
3 e_
yb5a = yabib5a=ya2be=bya.
76. Л = (5-4x2) У5+8У5^ У2(У*+уД) ^
У(5+4х2)2 ya+fx
(5+4х2)У"5
77. Л = ('+*£=!
5+4х2
У2ах=у\0ах.
2-1 Ух2-1-
х—Ух2^Т х+Ух2"^!
•_Ll/v2 1 /
Ух2—1 =
(x-f Ух2-1)2- (х-ух2-1)2 4хУх2-1
[х2-(х2-1)]Ух2-1
= 4х.
Ух2-1
78. А =
а-\-ЗУа2Ь-\-ЗУаЬг-\-Ь-\-2а—Ь
а+зуа2б"+зуа62+b+26—а
■У# У£-
ЗУа(Уа2+Уа6+Уб2)
_зуб(Уа2+уаб+У62)
s . \ 2 б з s .
У а \ -\lb b3 _ У а2 УЬ2
з— I j а ' а3 3— 3—
УЬ ) у&2 уа2
УтУ^=
79. Л = УаЧУЬ*+Уа*) _ j
O+Vf+y-S)-
3
(П->)Мт+ППП)3-
104
■1 =
80. Из данного выражения и из условия х>0 видно, что
допустимыми значениями для х являются те числа, которые
удовлетворяют неравенствам 0<х<1. Отсюда следует, что Ух2=-{-л:к
а У(х—1)2= 1— х. Имея это в виду, преобразуем выражение так:
А =
П+х
+
ф-хУ
yi-fx-yi-x У1—л:2—(VI—л:)2
VI-
1
у**
У1+*
у\—х
У\—х2-\
yi+x—У1—х yi+x—VI—x
p+x+jl-x yi-л:2-!
yi+x—jl^x x
(У1+х+У1-^)2 VI—л:2—1
(1+*)-(!-*) ' x ~"
2+2У1—jc2 yi-jc2-l _ (VI—x2)2—!
v2
2x
81. A
-5c
—5a 6 -f 5c
-l
6ya
__1 _ JL
з з
a — с
У а—Ус
—4a 6
бУа
бУд
i. - JL
з _c з
Уа—Ус
Уа—ic V 6Ya
зу^"
4yac
Уа—ус 2Уас
")/a—Ус
ЗУс2"
2c *
82
л= (У5+1)(1-У5+Уа:)_+(У5-1)(1+У5+Ул:) >(
2[(1+Ух)2-(У5)2]
X
х+2ух-4 ^ 1-5+(У5+1)Ух+5-1 + (У5-1)Ух
У*У5
2(а;+2Уа;—4)
105
X
x+2^x—4 У*-2]/5
У*У5 2У*У5
83. Так как у^(9—4/5) |/*2 + /~5 =
= ])Л(9-4/"5)(2 + /^)2= ^(9-4/"5) (9+ 4/"5)
= f" 92-(4/5)2=f"8T=W= l,
то данное выражение
Л =2
У
+ г
-2|/^+2^) = L2 К а 1 {/4?Jj
= о 1 /"1 ( УТа~У~Ь V . / /25-/6
i1"/^] "2V a\ 2/^
_ о ,/"2. [УЪ-УЪ)
/2а
2а
84. Л =
4/2а
Г [_
а У 2а
(Y~ab — b + b) (Y~a + /"6)
(а + /а6— а) (/а — /б)
^
(/^а-/Я2
а= 1.
l/|4l/l
1 +
11 +
2/б(/а + /Ь)"
/о2"—/F
2/6 \
'У a + Yb а — Ь
~т~
Уа — УЬ 2/аБ
//а + /б а —6 \ /а + /б
Ya — Yb) 1/а—/6 2Y~ab )' Уа — У1)
Ya + Yb Ytf-Yb*
Ya — Yb
= 1 +
\ /а—/6 2/аб у Ya—Yb
+ {У^—У~ЬУ = 2 /об + а - 2 /об + 6 = а + 6
2/аЬ ™ 2/"а6 2/аб
85. Так как у^20 + 14 /2|/"б — 4 / "2 =
«^"(20+ 14/^)2 (6 —4/"2)3 =
«у/22(Ю + 7/2")2 • 23(3-2/2")3 =
106
= у/ 25 (198 + НО /1) (99 — 70 /1) =
= у^6 (99 + 70/2) (99 — 70 /1) =
«= гу^ЭЭ2— (70 V/"2)2 = 2-^9801 — 9800 = 2,
то данное выражение
1 з
Л = 11 +4-/"а V а — Ъа + ЪУ а—\
Уа%— 1
L 2(^+1)
+ 1
1 +
/ (/а- 1)£
У а—\
Уа.— \\ У~а+\ У~а+\ шУа + \
+ 1 =
1.
. 4=9(fT754-j/~9.-§-) 4"
86. Л =
-7 (3-2/1)3 • 82 (5|/"2 + 7)2 : /8 =
= э(>/8 -21-\f -
27
— 2/(99 — 70/2) (99 + 70"/ 2) :2 =
9(^" уЛ|)~4--у/992-(70|А2)2=9(^ТАб)"4-
-/9801 -9800 = 9^-] -1 = 9 62 . _ „ д2
-1 = 9- f--l = 9.i_-l
4-1=3.
87. А
-W-
(1_а)«(1+а)
9а4
16(1—а)4
W-
4(1 — а2)
9аэ
6/16(1_fl) б/ 9а3 у
~~ |/ 9а(1 + а)' К 4(1—а2) "~ /
16(1—а) 9а3
9а (1+а) 4(1 —а2)
К (1+а)2 |/ 1+а
88. А
1-х /l + х
+
2/(1 + х)3 2/(1-х)3 J У~\
1— *+1 + * 1 /Т=Г*
—• I4/—
1-х V 1+*
2/(1+х)3(1-*)3 У 1-х УТТх
107
2fT
1
2^(1 +xY{\-xfV\-x {\+x)¥{\ + xYV\-x
1
89. A «- x?
2(Ух* + №)_
1 —JC'
5
/ X
У' xV~x
32
'-=-) ¥~х* = х* ~Vx = S2x.
x2Y x
90. А = х{х — у)Ух — у + у{2х + Ъу)Ух — у +
-f 2xyVx~ У— (x + y)2V* — y = (xz — xy + 2xj/ +
+ 3t/2 + 2д# — x2 — 2xy — y*) Vx — y *=y(x + 2y) \ x — y.
в fl+a2(l/l+fl4a)(Kl+a2-fl)
... (a + l/TT^)(2a —21/Tm2) 2
92. Л
V1 + a2'
]/l _|_a2(a_|_|/! +a*(]/l + a« — a)
к p(p2-<;
.i/ES-i/S
к p —? к p —я
Так как р > q> 0, то / (p + <?)2 = P -f q\ V (P — q? = p — q.
Отсюда
л_ p + q p — q _ %q
Vp — я Vp — q Vp —
93. A
(\-V~xy
Ух[[\-УхУ+(\+Ух)г]
1
(\-У'хУ
1
1
2j/*(l — x) 2/x(l+*) (l — У xf 2Ух(\ — х)
1 1 — 2x У~х
2У1с[\+х) 2У~х(\ — х) 2У~х(\— хг)~ л;2— 1 "
8 —л: 4-\-2У~х + Ух~2
2 + У~х ! 2 + У~х
Ух* — 2У~х+ 2 У~х Ух~* —4
94. А
+
У~х-2
У~х(У1с + 2)
108
8 — x 2 + у х , z/— 0 з/— . /— п
~ гт= • тт=—гр= + V х = 2 — у х + у х = 2.
2+г/х 4 + 2угх+угх2
95. А
{т-\-х)2—\ ( 2тх—\-\-т2-\-х2
2тх
—1
{т + х— I)2 *
-UL+1+1. ("* + *)2—1 = (m + *+l)2 =
т -\- х — 1 2тх ~ 2тх
(т— 1)2(т + х + I)2 [т2 — 1 +(т— I)*]2
2m (m— 1)2*
Но л:(т —1)=1.
(та — 1 + 1)я
Поэтому А = -^—; Ц-£-
J 2т (т— 1)
96. Так как £ > 1, то
2т (т— \fx
т*
тл
{\-х2)
Поэтому
1
4k
(1+£)2J
2т (т— 1)
4m-^« + i]-4-*±|-+i
2(т—1) '
" k + 1
(1— &)2'~ k—\'
k
Г
^[(l-*2)
-11 =
1
Отсюда
1 '
Л =
+
1
-4 Vk-\
97. А =
k—\) l\k—\
/а
=7— +
i
2 / jc—1 ч"2
у k у
X'
+
— y2
(* + 1)2 ' (д:— 1)2
(x— 1)2 + (*+ 1)2 2л:2 (1 -f *2) 2(я + 1)2*2(1 +*2)
~ ' (*+1)2(х—I)2 (л;2—I)2 (я + 1)2(*2— I)2
_2(я + 1)*2[(я + 1) + (я+ I)*2]
|(я + I)*2 — (я + 1)]2 ''
1-я-1 я — 1
Но л" = -г-;—=г- = —г^Г> & х2{п-\-\) = п—\. Поэтому
1 + п х л + 1
л ^ 2(я~ 1) [(я+!) + (»-1)1 = 2(я-1)-2я _я
[(я— 1) —(я + 1)Р 4 1
98. Так как а > О, 6 > 0 и, следовательно, j/~a2 = а и
109
Y& = bt то {а + х){Ь + х) = (Уа* + УаЬ)(УР + УаЬ)
с= У~аЬ (У~а + V~b)%, а (а — х) (х — Ь) =
= У ab{V d — V b)2. Так как а> 6, то
У(у~^ — У~ЬУ = /"а — К"6.
Поэтому
' У (а— х) (х — Ь) — У~(а + x)(x-\-b)
У (а — х) (х — Ь) 4- V '(а + х) (х + Ь)
a~b {V~a — V~b) — \ГаЬ(У~а + Yb)
УаЬ(Уа — У b) + Yab{V a+V b)
(У а-УЬ)-(у-д + УЪ)
(Уа-У b) + (Ya + Yb)
— 2 У~6
2Y~a
m3 -+- n2 , m3 + я3 + m3 — n3
99. x 4- а = a —=-=—„ -f a = a
' ™j3 «J '
тл — n*
rrr— na
2m3a
rrr
x — a =
2n»a
rrr — rv
x 4- a
x — a
rrr
i3 *
Поэтому данное выражение
m2 + n% — 2mn \~ j _ , Г
\ n m
mn
mn
(m — rif
Ho m > n и, следовательно, У(т — rif = m — n, так что
A
У mn
m — n
100. После вынесения х т за скобку получим
7 m~Л \2
4a2x
= x
M.
Но а: "•" =(а+ У a2- l)2 и 1 + х тл = 1 +
4- (а 4- /a2—l)2 = 2а2 4- 2а У а2— 1 = 2а (а 4- /а2 —1).
Поэтому
М = [2а (а 4- /a2—l)]2 — 4а2 (а 4- > a2—l)2 =
4а2 (а 4- К а2 — I)2 — 4а2 (а 4- У а2 — I)2 = 0 и хт • М = 0.
но
11 1 1
101. (a + x*) 2=(a + Vx) 2 = (a + 2\/J=l) 2 =
_ i _ i_
= [(a- 1)4-2/^=1 + 1] 2 = [(/^=T + l)2] 2 =
у a— 1 4- 1
Аналогично получим
(a-xTfT = (a-Vx)~^ = [{V^\- l)2f *".
Если 1) l<a<2, то |/a_ \ < \
/(/^ZTI-ij^i-^^Zrr, (a-*2)
l i_
2
-(l-/^)"1
1
Поэтому данное выражение
1
Л =
4-
1 1
/a—1 + 1 \ — Va—\ 2 —а'
Если 2) a>2, то /a—1 > 1, |^(/^=Т—1]^
.2
= V'a-l —1, (а — x2) 2 =(l/a— 1— l)_1 =
1.1.1 2Va^l
A =
4-
\Га^Л — \% \ a— 14-1 /a—1 — 1
a —2
102. Л =
К*2 — a2 — /x2 4- a2
^ x2 — a2 4- l/x24-a2
(l/"x2 —a2 — VAx2 + a2)2
(x2 — a2) — (x2 + a2)
_ J
~~ a'
2x2 — 2 /(x2 4- a2) (x2 — a2)
Ho x2 = a2
x2 — V(x2 4- a2) (x2 — a2)
т24-л2
— 2a2
2
2tnn
m24-n2
2/тш ,
-, (x24-a2)(x2 — a2) =
4- a2 a
m2 4- n2
2mn
-*• *+*£-*-*.*$=& vp+w-*
4m?n2
ill
„ л* — m2 . . л
в= Ф ■ —rt —» так как п > т > 0 и, следовательно,
|/(та — л2)2 = л2 — та, а 1/тал2 = тл.
Теперь можем написать, что
1 I л т% +п2 г ^ — тг У I 2m2 Y m2
Л = -V I а2 ■ ft ' а!
103. Л
а4 V 2тл 2тп ) \ 2тп J л2
[Vт + х + Vт — х)2 2т + 2]/ т% — х*
(j/m + x)2 — [V т — х)% 2х
Подводя множитель х под знак радикала, мы считали Yx* == х>
потому что х > 0, как это следует из условия.
Таккак—^-^-,тоЛ=^-+]/ ^_ + _
%"£ -+Г ("^Чл/ • Но °<л<1> и поэтому
1 «
/
П2_! \а !_rt2
2л / 2л
Таким образом,
„24-I , 1-я2 2 1
Л = \~ ■ =38 1 ~ P5S
2п ^ 2« 2л л
104. А=[х Цх 3+а 3)] 2 +
_4_ ___2_ __2_ _J[_ J2_ __2_ J 1_
+ [« 3(« 3+* 3)1 2=*3(* 3+<*~3) * +
-fa3(* 3 +а 3) 2 =ф У + а 3) 2(*3 + *3)
A JL-LJLJ- i_ i_ A. J_
«(х3 +а*)2х*а\ Но *3 «(**-а*)\
_2_ 2 JL.Li.iL
*3 =6т_а3, *3 +а3 =63.
Поэтому
i-J_i_ i-J_JL _L J_ _H- 1 1
Л = (*3)2 (6з ^аз)Таз = аЧЦь*__а*у^
11»
,05. A = *V]+*W*+*-*) =
(]/l -f*2)2 — x*
= 2aУ 1 -f x2(V l+x* — x).
Ho
2/o6 |/ V 2|/a& /
У \ 2Vab )
a-\-b
2Vab '
Поэтому
Л-2а fl+.lfa4"l fl-_M fl(« + 6). 2» д
2 |/a6 \ 2 Vab 2\fab ) V~aJ 2 Vab '
106. Подставляем в выражение x3 -f 12л: значение л; и
пользуемся формулой
(т — tif = т3 — Зтп (т — я) — л3.
Л = [^4(К14-1)]3-3^4(|/-5 + 1)^"4(/-5-1)х-:
- [y^4(K"5-l)]3 + 12* = 4^~5 4- 4-3^6&-
_4]Л§4-4-{- 12л; = 8—12*4- 12* = 8.
107. Подставляем значение х в выражение х3 -{- ах -{- b и
пользуемся формулой (т 4- я)3 = т3 4- Зтп (т -f n) 4- я3.
ЧУ-w ■?•+*)•+
+ (к -Т_]/""?"+ "^) + <" + * = -* +
2 / V 4 ' 27
а* 3 1 / — -р^-* 4- а* = — ах 4- а* — 0.
108. Вынесем за скобки хп. Получим
its
A = xn
a + x (a + x) п
ax
i
x~"
1-1
1 - +
a V jt
- + ' "-4
x b
= л;
a \ x
i
= x -M
Ho x = abn+l : (a
n + l
n + 1
a
(ал + 1-г>л + 1):6л + ' =
= (4)n+1-i; i + t= T
Отсюда Л1 =
b
n + 1
a * 6
= 0
и Л = *п .jW = 0.
109. Так как ]/~ 2 + V ~Ьу/ — 38 + 17 ]/ 5 =
= ^"(2 + ^ ~5)3 (— 38 + 17 К"5) =
= •^(38+ 17 |/"5) (—38+ 17 К 5) =
уЛ(17/5)2-382= 1,
то данное выражение
А =
1 — тх
f 1 + пх
V 1 — пх'
1 + тх
Преобразуем теперь каждый множитель отдельно:
1
— 1
1 — тх
-1Л?
2т
п
2т п . f 2т . , Г 2т ,
2 1/ 1 т — пЛ/ 1
п у п • у п
2т
п — т
114
. 1 -f nx __
1 — nx
, n . f2m /2m
m у п у n
1 —
m
n , /" 2m , . f 2m
— 1/ 1 m -n\/
гтг у n у п
2/2m Л (rn-л)2
m2 — n2 I
/i
«л;
, , l / 2m
m + n+Y —
nx n — m
так как из условия п > т следует, что ]/(т — п)2 = п — т.
/2т / 2т
п 1 у п
я — m п — т
т* — п*\ lH 1
п / (т — п)2
п f п% / п п \
110. А= у xn + i[xn + i +fl« + i)
(я — т)2 (т — nf
4-
+ У an + l[an + l +хп+1)-1^
= |/ *« + ' +fl«+« [у x~n + l +y an+1 )-\ =
(п п. \ 1 / п. п \ / ft п. Vt-Ц
x^^+flB + lrU"7^+an + ,J-l = UB+4fl^"Jr-1.
Но хл + 1 = Ьп+х -a"+1, а xn + 1 + an+l = bn + l. Поэтому
л \ n + l
л = ия+Ч л -1=ь-\.
2л . ~ \
113
«fT^
n—2k
n
/?№"
— 2k
2« _|_ 1
+ 62
Ho
2n
x (V b — Vb—a)n-
■2k
n—2k
n—2k
2n
у b — Yb—a
Y~a
-/f-W'-
Поэтому
*-r^[{Yl-YVy-*Vl{Yl-
x+ 1
112. Так как *^_ = (2 + j/ 3)". то
+ 1
= УТх~=Т? [(2 + /~3)2 + 1-4(2 + УЩ + 1 =
.= У (х — 1)" (4 + 4 ]ЛЗ + 3 + 1 — 8 — 4|Лз) + 1 = 1.
ИЗ. f1+JA5V| /^V^V"' /1-^V
2 / ' \ 2 / V 2
l_|/-5\«-' / l + i/'g^-1
2 / V 2
1 __ у~Ъ Y~l ( \ — У~Ь
1 + /5
+ 1 -
2 / V 2
+ 1
1 + 1/5 \n-' 3 + Y 5
2 / 2
i + v^s v'd + K's)1
1_ у 5 у-1 (l-l/l)2 _ ( l + j/5 Y+1 (\-V~b \n+l
no
114. Воспользуемся формулой
- VaTVs^ /а + у- в ± YA-^f^
для преобразования знаменателя левой части доказываемого
равенства. Получим
/■
а + |Ь| , , f а — \Ь\
+
V
2 г \ 2 '
Обозначая левую часть равенства буквой А и используя
полученное выражение для знаменателя, можем написать
A = bV~2. 2» + /*-*
|/^ + /aI
-1*1
2а + уУ-^
з= 20 , - =я
_ (2а+У^"-62) (У^+И-Уа-М)
(а+Н) —(а-[6|)
щ- [fl+|*|+V(fl+H) (а-\Ь\У+а-\Ь\] (уаЩ-^а-[Ь\)
= щШа+\Ь\У-(Уа-\Ь\У).
Если \Ь\<а, то все выполненные выкладки будут справедливы,
так как корни являются арифметическими. Полученное
выражение равно правой части доказываемого равенства.
Действительно, при 0<Ь<а имеем |6| = 6 и утверждение очевидно. Если
о<0, то \b\--b. В этом случае получим
-[(11а-Ь)3-(11а-{-Ьу] = (1/а+Ь)*—Ца-Ь)\
т. е. то,, что и требовалось доказать.
115. Пользуясь формулой преобразования радикала
f А±ув (см. решение задачи 114), получим
Y*+2y*— 1+ ух—2ул^Т=1
V
x+jx2—4(лг— 1)
2
117
Здесь мы положили V(i— 2)2=2—*, так как по условию *^2.
П.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
116. Существование единственного решения х=
уравнения ах-\-Ь = 0 при а=5^0 вытекает из однозначной выполнимости
деления в любом числовом поле.
117. Необходимость. Пусть данные уравнения
совместны, т. е. существует такое значение х, которое удовлетворяет и
первому уравнению, и второму. Так как каждое из них имеет
bi Ьг
единственное решение и эти решения суть х= и *== ,
то отсюда получаем
или афг—«2^1 = 0.
Ь\ Ьг
II. Достаточность. Пусть выполнено условие афг—
«. л лл ^ ^2 bi Ьг
_a2bi = 0. Из него следует, что — = — или = .
' cti ач di a2
bi bz
Но и являются решениями соответственно первого
и второго уравнений, в чем можно убедиться подстановкой этих
значений в уравнения. Выходит, что рассматриваемые уравнения
имеют общее решение, т. е. они совместны.
118. Совместны. Их общий корень х= — \.
119. Совместны. Их общий корень х=4.
120. Вычтем из первого уравнения второе. Получим
(а— 1) (х—1)=0. Отсюда а=\ или х=\. Подставляем х=\
в первое уравнение. Эта подстановка дает а = —2.
Следовательно, уравнения совместны при а=\ и а = —2.
121. Равносильны, так как второе получено из первого
прибавлением к обеим частям равенства одного и того же
многочлена xz-\-\.
122. Не равносильны. Первое имеет корни 1 и 2, а второе
только корень 2.
118
123. Не равносильны. Первое имеет только один корень
х= — 1, а второе только один корень х==\. Число —1 не
является корнем второго уравнения в области вещественных чисел,
так как У*— 1 в этом случае не имеет смысла.
124. Не равносильны в поле действительных * чисел. Первое
имеет корни х=8 и х= — 1, а второе только х=8.
2
125. а(а— \)х=2(а— 1). Если афО и аф\. то х= —. Если
а=0, то уравнение не имеет решений. Если а=\, то уравнение
удовлетворяется любым значением х.
126.(™_р)+(^_п) + (^/?_т)=0, "
\ т+п W \ р+т I \ п+р I
к—(тп+пр+рт) , х—(тп+пр+рт) х—(тп+пр+рт) _
р+т ~^+р ~~ '
+ ~^TJ ) [х~~ (т^+пр+рт) ] =0.
Н j—фО, то х=тп+пр+рт. Если
р-\-т п+р
любым значением х.
р-\-т п+р
= 0, то уравнение удовлетворяется
127. ( «±b£:+,)+(±te+,)+(±tpL + ,)^
-{*—^E+rh°- («+»+«-*)(f + T + T~
)=0. Множитель А= \-~r-]
/ a b с
а+Ь+с ! a b с а+Ь+с
не равен нулю. Действительно, пусть, например, а^Ь^с>0
(случай отрицательных a, b и с легко привести к
рассматриваемому). Тогда
1 / a+b+c l a+b+с [ a+b+с Л
А =
а+Ь+с
1
^ + £±«+(-±i_I)]^
a+b+с
так как все слагаемые в квадратных скобках положительны
/ а+b с+с.
\ с "" с
житель, получим а+Ь+с—х=0, откуда к—а+Ь+с.
128. Так как |а|=я, если а^О, и|а| =—а, если а^.0, то дан-
119
>2 ). Сократив последнее уравнение на этот мно-
ное уравнение при *^г1 приводится к уравнению л:—1 = 2, а при
*<1 — к уравнению — (х—1)=2. Из первого найдем *i = 3, а из
второго *2= — 1.
129. Если х<1, то |*—1|=1т*, |л:—2| = 2—л: и данное
уравнение приводится к такому: 1— *+2—*=1. Из него находим
*=1. Если l<*s^2, то \х—\\ = х—\ и |*—2| = 2—*. Левая часть
данного уравнения равна 1 при всяком х из рассматриваемого
промежутка, а так как правая тоже равна 1, то при всяком х,
удовлетворяющем соотношениям 1<*^:2, уравнение
удовлетворяется. Наконец, если х>2, то \х— \\=х—1, |л:—2|=д:—2, и
данное уравнение приводится к уравнению х— 1+*—2=1, которое
не имеет решений *>2. Итак, уравнение удовлетворяется, если
ls^*^2.
130. Поступая так же, как в задаче 129,.найдем, что данное
уравнение приводится к следующим смешанным (т. е.
содержащим равенство и неравенство) системам:
1) 2-*+3-*+8-2*=9, х^2;
2) jc—2+3—х+8—2л:=9, 2<*s^3;
3) х—2+*—3+8—2* = 9, 3<х<^4;
4) х—2+х—3+2*—8 = 9, *>4.
Первое уравнение имеет корень х=\, который удовлетворяет
неравенству *<2. Второе уравнение имеет корень *=0, но он не
удовлетворяет неравенствам 2<л:^3. Третье уравнение не имеет
решений, так как его левая часть равна 3, а правая 9. Четвер-
11
тое уравнение имеет решение *= ——, которое удовлетворяет
неравенству *>4. Поэтому данное уравнение имеет следующие
решения: *i=l, *2= —г-.
131. 40(|*|-1)-5(|*|-5)+4(14-2|д;|) =80(|*|-9)-140,
53|*|=901, |*|=17; *!=17, *2=-17.
132. После легких преобразований получим 4*+8 = 5|3*—5|.
Если 13*—5|=3*—5, т. е., если *> — , то 4*+8= 15*—25 и * = 3.
17
Если 13*—5| = 5—3*, то найдем *= -т^-.
133. Поступая так же, как в задаче 132, найдем *=4. В
отличие от предыдущей задачи здесь только одно решение, так как
предположение |3*—2| = 2—3* приводит к противоречию.
134. Преобразуем числитель, воспользовавшись формулой
суммы кубов двух количеств. Получим
(2т—Зп) [(2т—ах)2— (2т—ах) (ах—Зп) + (ах—Зп)2]
(2т-ах)2+(ах-3п)2 -2т-3п.
120
Если 2m—ЗпфО, то, сократив обе части уравнения на 2т—Зп,
освободив уравнение от дробей и приведя подобные, найдем
2т Зп
(2т—ах)(ах—3п)=0. Отсюда х^= . х2= . Если же
а а
2т—3п=0, то уравнение удовлетворяется любым х, не равным
2т
а
135. Является.
136. Одно, а не три, как иногда говорят учащиеся, потому что
по определению решением системы называется такая
совокупность численных значений неизвестных, которая удовлетворяет
каждому уравнению системы.
137. Могут быть эквивалентными, но могут и не быть.
Например, системы
{х+у—2 = 0; (Зх—у—2=0;
[х—Зг/+2=0 и \6х—2у—4 = С
0
имеют общее решение х=у=\, но не эквивалентны.
138. Может быть эквивалентна данной системе, но может и
не быть. Так, например, взяв т4=1, m2=2, «i=2, я2=4 для
системы
( x+2y—4 = 0;
\2х—Зу—\=0
получим
Г 5л:—Ау—6 = 0;
\ 10х—8#—12 = 0.
Система первая не эквивалентна системе второй.
139. Всякое решение системы (*), очевидно, является
решением системы (**) при любых mt, m2, щ, n2. Возьмем теперь
решение системы (**). Оно, будучи подставлено в уравнения этой
системы, обратит каждое уравнение в верное числовое
тождество. Умножим первое из них на п2, второе на т2 и из первого
результата вычтем второй. Получим
(т^пъ—m2ni)/l = 0.
Но mtn2—m2rti=^=0, поэтому Л = 0, а это и означает, что решение
системы (**) является решением первого уравнения системы (*).
Аналогично можно показать, что это решение удовлетворяет
и уравнению В = 0.
Если же система (*) не имеет решения, то и система (**) его
тоже не имеет.
140. Нет, не верно. В качестве примера, для которого это
утверждение не имеет места, можно взять следующую систему
уравнений:
( ax+by+c=0;
\ ax-{-by-{-c=0.
121
Однако, если в первой системе задачи 139 aib2—a2bl=£0, то для
такой системы, как легко показать, сформулированное в задаче
предложение верно.
141. Нужно, если предварительно не была доказана теорема,
сформулированная в задаче 139. На самом деле, система
c2bi—Cib2
х =
У=*
аф2—а2Ь^ '
a2Ci—aic2
aib2—a2bi '
являясь выводной из данной, очевидно, удовлетворяется теми
значениями хну, которыми удовлетворяется данная. Но есть ли
такие числа, иначе говоря, существует ли решение у данной
системы,— из решения не вытекает. Таким образом, можно лишь
"утверждать, что если данная система имеет решение, то
найденные значения х и у дадут его. Существование решения мы
докажем, если проверим подстановкой, что найденные значения х и у
удовлетворяют данной системе.
142. Умножая первое уравнение на Ь2, а второе на —bi и
складывая новые уравнения, получим
(aib2—a2bi)x-\-Cib2—c2bi = 0.
Умножая первое данное уравнение на — а2, а второе на cii и
складывая, получим
(aib2—a2bi) y-{-c2ai—Cia2=0.
Так как а\Ь2—а2Ь\ф^, то новая система, имеющая единственное
решение, эквивалентна данной (задача 139).
Р(х)
143. Если _. есть несократимая дробь, т. е. если числитель
Q{x)
и знаменатель ее не имеют общих множителей, то уравнения
Р(х)
—Л-L—Q и Р(х)=0 равносильны. В общем случае — не равно-
сильны.
144. Корни второго уравнения, очевидно, являются корнями
первого. Однако не всякий корень первого уравнения
удовлетворяет второму. Поэтому в общем случае они не эквивалентны.
145. Решив систему двух первых уравнений, найдем х = 2,
у=\. Подставив эти числа в третье уравнение, получим а = 3.
146. Известно, что система
(aix+biy = cl;
\агх+Ь2у = с2
будет несовместна, если отношения коэффициентов при одинако-
122
вых неизвестных равны, но они не равны отношению свободных
ai bi , ci .
членов, т. е. если — = -t—ф—, и неопределенна, если три коэф-
а2 02 Сг
фициента одного уравнения пропорциональны трем соответ-
л.л. ui bi Ci
ствующим коэффициентам другого, т. е. если — = -г- = —.
U2 0% С%
Применяя это к данной системе, устанавливаем, что для
неопределенности ее нужно, чтобы — = —— = —, т. е. чтобы а — —12
о —4 vz
и 6 = 36, а для несовместности а = —12 и ЬфЗб.
147. Решив первые два уравнения относительно х и у, найдем:
_ (k+l)2 k+l
Х~~ k2+k-l * У~ k2+k-l *
Подставив найденное значение х и у в третье уравнение,
получим следующее уравнение для определения k:
(1+fe)3 , (\2-k)(k+\)
Из него найдем ki— —1, &2=5.
148. Решая первые два уравнения, найдем, что х=4, у= —1,
если тфЗ, и любые х и у, удовлетворяющие первому уравнению,
если т — 3. Подставляя л:=4'и */== —1 в третье уравнение,
найдем, что для совместности требуется, чтобы т = 3. Отсюда
заключаем, что при тфЪ система несовместна, а при т=3 хотя
и совместна, но неопределенна, так как приводится к следующей:
(Зх+2у=10;
\3х+2у=10;
(6х+4у=20.
149. Не противоречит. Первое справедливо при с=0 и любых
а и Ь, а также при а=\ и любых о и с, т. е. является уравнением.
Второе же справедливо при любых a, b и с и является поэтому
тождеством.
150. Из второго уравнения видно, что у—1=— U+1|^0.
Поэтому \у—1|=#—1 и система запишется так:
ГЫ-1+0-1=5;
\ И-1=40-4.
Исключая |лг—I— 11, получим Ay—4-f-f/— 1 = 5. Отсюда у = 2.
Подставляя у = 2 в первое уравнение, найдем |#-f-l| = 4. Если х+l >0,
то получим уравнение лг-f-1 =4 и из него найдем д;=3. Если
*+1<0, то получим уравнение —дг—1 =4 и из него найдем
х=— 5.
123
Таким образом, система имеет решения: #i = 3, 0i = 2; xz=*
= -5, 02 = 2.
151. Из второго уравнения видим, что у—Ь=\х—1|>0 и,
следовательно, \у—Ъ\=у—Ъ. Теперь система запишется так:
х—1
х-\
+0-5=1;
+5-0=0.
1 13
Из нее находим |я—1|= —, т. е. х— 1 = ±-г-. Отсюда xi=—,
11 1 11
01в—; *2=у-, t/2= -у;
152. Из первого уравнения находим, что 50=—ЗМ—9, т. е.
что 0<О и, следовательно, \у\ = —у. Из второго — 2х = \у\-{-7,
т. е. х>0 и |л;|=л:. Система принимает вид
/Зх+50+9=О;
\2х+у-7 = Ъ.
44 39_
7 *
153, Данную систему можно, записать так?
Решив ее, найдем: х= —, 0=
(х—у=±2',
\±х±у = 4.
Во втором уравнении достаточно брать только верхние или
только нижние знаки. Решив четыре системы, найдем следующие
решения: *i=3, i/i=l; *2=1, 02=3; л;3=— 3, уг= — 1; х^= — 1,
04=-3.
154. 1) Пусть 0^0. Тогда |0| = 0 и второе уравнение будет
иметь такой вид: |л:|+0=1. Найдя из него 0=1—\х\ и подставив
это значение у в первое уравнение, получим |д:+1 — \х\\ = 1.
Отсюда х—|х| = 0, |jc|=jc и, следовательно, дс^О. Итак, если 0^0, то
и jc^O. Система же в этом случае примет такой вид:
Гх+0=1;
Ь+0=1.
2) Пусть 0^0. Рассуждая так же, как в первом случае,
докажем, что тогда и x<;0, а система будет иметь вид
f*+0 = -l;
\х+у = -\.
Таким образом, системе удовлетворяет любая пара
неотрицательных чисел, сумма которых равна +1, а также любая пара
неположительных чисел, сумма которых равна —1.
124
155. Решив систему, найдем:
_ 15n+7 _ 7tt—10
Х~ Зя2+2 ' У~ Зя2+2 '
Так как 3«2+2>0, то для того, чтобы было д;>0, а у<0,
необходимо и достаточно, чтобы п удовлетворяло неравенствам 15«-f
7 10
+7>0, In—10<0 или —7-=г<п<-—. Очевидно, таких значений
15 7
только два: 0 и 1.
156. Разложим трехчлен х2—Зх-\-2 на множители. Получим
х2—Зх-\-2 = (х— 1) (х—2). Отсюда ясно, что для того, чтобы
данный многочлен делился на трехчлен х2—Зх-\-2, достаточно,
чтобы он делился на х— 1 и на х—2. Но по теореме Безу остаток от
деления многочлена на двучлен х—а равен значению этого
многочлена при х=а. Применяя ее к двучленам х—1 и х—2,
получим 1— 3+3+а+& и 16—24-\-\2-\-2а-\-Ь. Для того чтобы деление
нацело было возможно, необходимо и достаточно, чтобы эти
остатки равнялись нулю. Отсюда получаем систему уравнений
для определения значений а и Ъ
Г а+Ь = -1;
\2а-\-Ь = -4.
Решив ее, найдем а = — 3, Ь = 2.
157. Дискриминант трехчлена х2—Зх-\-4 равен З2—4-4 =
= —7<0. Следовательно, корни трехчлена комплексные, и
применять в этом случае метод, основанный на теореме Безу (см.
задачу 156), хотя и можно, не следует, так как он приведет
к большим вычислениям. Для решения задачи другим методом
будем делить данный многочлен на данный трехчлен по
правилам деления многочленов:
*х4—Зх3+Зх2+ах+Ь
"%4—Зх3-\-4х2
—х2-\-ах-{-Ь
~ — х2+3х—4
х2—Зх+4
(а—3)х-\-Ь+4
Так как в остатке получился многочлен степени более низкой,
чем степень делителя, то дальше производить деление
невозможно. Чтобы деление многочлена на трехчлен было выполнимо
нацело, нужно подобрать значения а и b так, чтобы остаток стал
равен нулю. Очевидно, для этого достаточно (да и необходимо)
положить й=3и Ь = —4, т. е. потребовать, чтобы коэффициент
при х и свободный член остатка обратились бы каждый в нуль,
Т25
что приведет к системе а—3 = 0, 6+4 = 0. Этим методом можно
было бы решить и предыдущую задачу (№ 156).
158. Остаток от деления многочлена на (х—а) (х—b) будет
многочленом первой степени. Обозначим его через тх-\-п, а
данный многочлен через f{x). Получим тождество.
f(x) = (x—а) {х— Ь)ц)(х)+тх+п,
где ф(л:) — частное. Положив в равенстве х=а и л:=6, получим
систему для определения тип
( А = та-\-п;
\ В = mb-\-n.
А—В аВ—ЬА „
Решив ее, найдем, что т= :—■; л= ; . Отсюда .
а—о а—о
искомый остаток
А— В , аВ—ЬА А х—Ь , _ х—а
тх4-п= —- хА ;—=А —4-В-- .
а—о а—Ъ а—о о—а
Впрочем, нетрудно и непосредственно без вычислений
сообразить, что остаток будет иметь такой вид, если учесть теорему,
сформулированную при решении задачи 29.
159. В этом случае остаток от деления будет многочленом
второй степени: тх2-{-пх-\-р. Поэтому, поступая как в задаче 158,
найдем систему для определения чисел т, п и р:
С А=та2-\-па-\-р\
\ В = тЬг\-пЬ+р\
[С = тс24-пс4~р.
Решив эту систему относительно т, п и р и подставив найденные
значения т, п и р в остаток тх2-\-пх-\-р, получим после неслож-
л (х~Ь) (х—с)
ных преобразований тх2-\-пх-\-р=А ■ ■ * +
{b-c){b-a) ' (с—а){с—Ь)
Нетрудно и без вычислений сообразить, какой будет вид
остатка, особенно если учесть теорему, приведенную в решении
задачи 29.
160. Разделив многочлен xz-\-px-\-q на многочлен х2—2ал:+а2,
найдем остаток (p-\-3a2)x—2a3-\-q. Так как остаток должен
тождественно равняться нулю, то получим уравнения р+3а2 = 0 и
Р Р3
—2а3+<7 = 0. Из первого найдем, что а2= —о~ или ав= — •£-.
?2
Я Я г>
Из второго найдем, что а3= ~ или ав= -j . Сравнивая эти два
126
значения а6, получим следующее соотношение между р и q,
которое необходимо должно выполняться для того, чтобы деление
р3 о2
рассматриваемых многочленов было возможно: ■— -\-~-=Q,
Значение а проще всего получить, разделив значение а3 на зна-
чение а2 наиденные выше. В результате получим а= — т> .
161. Так как старший член данного многочлена есть я4, то
искомый многочлен имеет вид x2-\-px-\-q. Отсюда получим
тождество
xb+2x3+ax2+2x+b = (x2-\-px-\-q)2
или .
хЬ-\-2х3-\-ах2+2х-\-Ь=хЬ-\-2рх3+
+ (p2+2q)x2+2pqx+q2.
Но в равных многочленах равны коэффициенты при одинаковых
степенях буквы х. Приравнивая коэффициенты при я3, взятые из
левой и правой частей равенства, затем при х2 и т. д., получим
следующую систему уравнений.
2 = 2р; a=p2+2q; 2=2pq\ b = q2.
Из нее легко находим р=\\ <7=1; а=3; Ь = \. Искомый
многочлен имеет вид х2-\-х-\-\. -
162. Освободив равенство от знаменателей, получим
тождество
(А+В)х*+(В+С)х+А+С=х+3.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях буквы х,
взятые из левой и правой частей этого равенства, придем к
системе
ГЛ+В=0;
{£+С=1;
U+C=3.
Из нее найдем: А = \; £ = — 1; С=2.
163. Решив систему трех первых уравнений, получим *=1,
у = — 1, 2=3. Но эта тройка чисел не удовлетворяет четвертому
уравнению. Следовательно, данная система несовместна.
Можно поступить иначе. Сложить второе и третье уравнения
и из результата вычесть первое. Получится уравнение &tf—8y—
—22—10=0, которое противоречит четвертому.
164. Приравнивая левые части первого и третьего уравнений,
найдем
я(1+1")==^(1~т); (м-ю-f-^-*.
Если к-\-цф0 или, что одно и то же, Х=£—ц, то у = Ь-— . Под-
127
ставляя найденное значение у в первое и второе уравнения,
получим систему для определения х и z
а с \x-\-X
х г 2
а с м-+^к
Складывая, а потом вычитая почленно эти уравнения, найдем:
X.LI+1 Xli—1
Если подставить найденные значения х, у, г в четвертое
уравнение (им мы не пользовались), то получится тождество.
Отсюда вывод: если %ф—\i, то данная система совместна.
165. х=*—2t\ y=t; z=t, где t — любое число.
166. ^ = -£=* =
(a+b+c) (b+c—a) (a+6+c) (с+а—Ь)
z—с
а (a-\-b-\-c)(a+b—с) '
Сделав сокращения и воспользовавшись свойствдм равных
отношений, получим
х—a y—b z—c (x-\-y-\-z) — (a-\-b-\-c)
c-\-b—a a-\-c—b a-\-b—c a-\-b-\-c
= (k-l)(a+b+c) ==k_u
a-\-b-\-c
Отсюда
x==a+(k—l)(c+b—a); y = b + (k-\)(a-\-c-b)\
z=c-\-(k—\)(a-\-b—c).
167. Умножив первое уравнение на —а2, второе — на а,
третье —на —1 и сложив полученные уравнения, найдем [—а2-\-
•НК&+С)— 6ф= — 1Г откуда г= _ _ . Затем,
умножив первое уравнение на —с2, второе — на с, третье — на — 1
и сложив полученные результаты, найдем х= — —.
(а-с)(Ь-с)
Подставляя найденные значения я и у в первое уравнение, по-
1£S
168. Сложив три уравнения данной системы, получим
следующее выводное уравнение: (a-\-b-{-c) (x-\-y-{-z) = 0. Так как
а-$-Ь-\-сфО, то оно приведется к следующему эквивалентному:
x-\-y-\-z = 0. Полученное уравнение есть следствие уравнений
данной системы, и если мы добавим его к данным трем
уравнениям, то новая система из четырех уравнений будет
эквивалентна данной. Теперь рассматриваем эту новую систему. Из
четвертого уравнения находим y\z—— x и подставляем это значение л:
в первое уравнение. Получим — (b-\-c)x—ах=Ь—с, откуда
с—Ь . а—с Ъ—а
х———г- . Аналогично найдем у= ■——т—:— и z-
a+b+c ' — """«— *- a+b+c " a+b+c'
169. 1) Если а-\-Ь-\-сФ0 и среди чисел a, b и с есть различные,
то система имеет единственное решение x=y=z=\. Оно
найдется обычным способом исключения неизвестных, рассмотрев,
например, первые два уравнения и уравнение x-\-y-\-z=?>,
которое получится как следствие уравнений системы, если все три
уравнения сложить почленно.
2) Если а-\-Ь-\-сфО и а — Ь=с, то система принимает вид
*-h/+z=3;
x+y+z=3.
В этом случае любые три числа х, у и 2=3—х—у являются
решением системы.
3) Если a-f-b-f-c = 0, но не все числа а, Ъ и с равны нулю
(в этом случае любая тройка чисел удовлетворяла бы системе),
то, пользуясь равенством а-{-Ь-{-с=0, можем привести данную
систему к следующей:
f ax-\-by— (a-\-b)z=0\
•[ bx— (a-\-b)y-{-az=0;
I — (a-\-b)x-\-ay-\-bz=0.
Из нее видно, что третье уравнение есть следствие первых
двух и что любые три числа, равные между собой, будут
решением системы.
Замечание. Если бы числа a, b и с могли принимать
комплексные значения, то пришлось бы рассмотреть еще один случай.
Именно, если бы одновременно было а-\-Ь-\-с=0 и a2-{-ab-{-b2=0,
то два уравнения данной системы были бы следствием третьего.
В этом можно было бы убедиться, например, так. Положив
с== — (а-\-Ь) в первом уравнении, получим уравнение ах-\-Ьу—
~(a-\-b)z=0. Умножив его на b и положив b2=—ab—az и ab-\-
-^-Ь2 = —а2, получим уравнение bx— (a-{-b)y-{-az = 0, которое
совпадает со вторым (а-\-Ь = —с). Аналогично можно показать,
что и третье уравнение системы есть следствие первого.
5 Шахно К. У.
129
В рассматриваемом случае любая тройка чисел,
удовлетворяющая уравнению ax-\-by+cz=0, есть решение системы.
170. Так как х, у и z не равны нулю, то система равносильна
следующей:
или
ау-\-Ьх 1 т az-\-cx 1
ху с' zx b '
a b 1 ас 1
х у с ' х z b '
bz-\-cy l
yz a
b с _ 1
У z ~ a '
Сложим почленно последние три уравнения. Получим:
\ л: у z / а о с
JL + ± + JL = _L(_L + _L+-L).
Это уравнение вместе с теми тремя, из которых оно получено,
образует систему, эквивалентную данной. Вычитая из четвертого
а 1/1.1 1 \
уравнения этой системы третье, найдем —=-—1—— I,
г х 2 \ b с а I
2аЧс д 2Ь2са
откуда х= ;—;—;—. Аналогично получим: у=—т—г-. ;
3 ac+ab—bc J ab+bc—ca
2c2ab
bc-\-ca—ab
171. Обозначим равные отношения буквой t. Тогда получим
систему
Х\ — С1\ Х2—й2 Хр— dp
rrii т2 тр
*i+-*:2+ ... +хр = а
=*;
или
Xi=-ai-\-mrf; x2=a2-\-m2t\ ...;
xp = ap-\-mpt\ Xi-\-x2-\- ... +jtp = a.
Решение заданной системы и этой суть равносильные задачи.
Подставляя значения хи х2, ..., хр, найденные из первых р
уравнений, в последнее, придем к следующей системе:
Xi = ai-\-mit\ x2=-a2-\-m2t; ...; xp=ap-\-rript\
t(mi-\-m2-\-... +тр) = а—а1—а2— ... —ар.
Введем обозначения: mi+m2+ ... -\-тр=А и а—ai—а2~
—,..—ар = В. Тогда последнее уравнение примет вид At=B. Если
л , л j. £ a—ai—a2— ... — аР
АфО. то t== -г- = ■ -- и данная система имеет
A mi+m2+ ... +mp
130
единственное решение, которое получим, если подставим
найденное значение t в формулы jtixsai-f-ffii?; x2=a2-\-m2t\ ...; хр — ар-{-
-\-mvt. Если Л=0, но ВфО, то уравнение At=B не имеет
решений, а следовательно, и система не имеет решений. Если Л = 0
и Б = 0, то уравнение At —В обращается в тождество. Система
в этом случае имеет бесконечное множество решений, которые
можно получить с помощью формул Xi = ai-]-mit; x2=a2-\-m2t\
...; xv — av-\-mvt, где t — любое число.
172. Если Xi и х2— корни данного уравнения, то по условию
x2*=xi, а по теореме Виета Х\х\ —а3 и *i+*i = -j-. Отсюда:
2. 15 П 3 5
Xi=a\ а2+а— — =0; а£= —; а2= — -^-*
173. Известно, что если алгебраическое уравнение с
вещественными коэффициентами имеет комплексный корень а-\-Ы
(ЬфО), то оно имеет и сопряженный ему корень a—hi. Так как
Ж (1+02
Xi= ——г = —.—y~ = t, то второй корень искомого
квадратного уравнения будет x%=—i. Отсюда, пользуясь теоремой
Виета, получим квадратное уравнение *2+1=0.
174. Квадратное уравнение имеет равные корни тогда и
только тогда, когда его дискриминант равен нулю. Отсюда получаем
уравнение (5а+2)2—4(5а—1) (За—2)=0 для определения
соответствующих значений а. Решаем его: 35а2—72а+4=0; ai=2;
2
175. Чтобы квадратный трехчлен был полным квадратом,
необходимо и достаточно, чтобы он имел равные корни, что будет
иметь место в том и только в том случае, когда дискриминант
трехчлена равен нулю. Поэтому получаем [m(m—1)]2—4-36=0,
т(т—1) = ±12: а) т2—т—12=0; mi=4, m2=—3; б) m2—
—m-f-12=0 — дает комплексные значения т.
176. Дискриминант данного уравнения должен равняться
нулю. Поэтому имеем (3+р)2—4-3(1+р) =0, р2—6р—3 = 0. Это
и есть искомое уравнение. Заметим, что находить значения р не
требуется, так как уравнение уже получено.
177. (xi-x2)2=16; (Х1-Х2)2 = (xl+x2)2-Axix2;
(*i+*2)2-4xiX2=16; 22-4<7=I6; 4a = -12; a=-3.
<-7о о , 18т 16—8/п
178. В уравнения xl-jrx2=-—и xix2=— подставим
*1 = 2л:2. Получим 3*2=2т и 2*2 = —-——. Сравнение х2, полу-
5*
131
/ 2 \2 8-4m _
ченных из этих уравнений, дает ( — т\ =—-—. Отсюда
находим: 4т2=8—4т; тг-\-т— 2=0; mi = —2; m2=l.
179. Чтобы квадратное уравнение имело различные корни,
необходимо и достаточно, чтобы дискриминант уравнения был
не равен нулю. Поэтому получаем соотношение \+2т{Ът-\-2)ф
ФО или 6т2-{-4т-\-1Ф0. Но трехчлен 6m2+4m+l имеет
комплексные корни, так как его дискриминант отрицательный, и
поэтому при любом вещественном т он не равен нулю, а
следовательно, при любом вещественном т данное уравнение имеет
различные корни.
180. Для этого должно быть р-\-д=—р и pq = q. Из второго
уравнения этой системы получаем q(p—1) =0. Отсюда или д=0,
или /7=1. Но при <7=0 первое уравнение дает /? = 0, а при р=\
из него получаем q=—2. Итак, имеем: /?i=0, qi=*0\ рг—U Яг~
= —2 и соответствующие им уравнения: а) х2=0; б) х2-\-х—2=0.
181. Предположим, что уравнения имеют общий корень х=а.
Тогда должно быть
Г2а2-(Зт+2)я+12 = 0;
\4а2-(9т-2)я+36=0.
Умножая первое равенство на два и вычитая из полученного
4
результата второе, найдем (3/п—6)а—12=0, откуда а= ——~.
4
Итак, необходимо, чтобы выполнялось соотношение а— „.
Подставим это значение а в первое уравнение. Получим:
о 16 (Зт+2)4
2'(т-2)2 ^=2"-+ и'
8-(3m+2)(m-2)+3(m-2)2=0; -8m+24 = 0; m = 3.
Нетрудно видеть, что при т==3 уравнения действительно имеют
общий корень а=4.
182. Вычисляем дискриминант и преобразовываем его:
(2+3m)2—(l+m)(3+8m)=m2+m+l =
Ч-ЧГЧ-
Последнее же выражение, как сумма положительных величин,
есть величина положительная, а в этом и состоит необходимое
и достаточное условие вещественности корней квадратного
уравнения с вещественными коэффициентами.
183. Для этого достаточно доказать, что дискриминант
уравнения неотрицательный, т. е.
4(а+6+с)2— \2(ab+bc+ca)^0.
132
Покажем это:
4(a+b+c)2—12 (ab + bc+ca) =2 (2a2+2b2+2c2— 2ab—2Ьс—
"■ —2ас) =2[(a2—2ab+b2) + (b2—2bc+c2) + (с2—2ас+а2}] ==
= 2[ (а—6)2+ (6-с)2+ (с-а)2] ^0.
184. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
дискриминант уравнения, равный 4/г+1, был точным квадратом, т. е. что-
т2—\
бы 4&+1=т2, где т — целое число. Отсюда & = —-— =
(m-l)(m+l) _
= L-± l_< Очевидно, оба множителя числителя
должны быть четными числами. Пусть т—\=2п и т+1=2я+2.
Тогда k=n (я+1), где п=0, ±1, ±2, ...
185. Так как р — нечетное, то и дискриминант p2—4q тоже
нечетное число. Поэтому, если есть рациональные корни у
уравнения, то должно быть
/72—4<7=(2т+1)2.
Положив /? = 2&+1; <7=2/+l, получим
(26+1)2-(2т+1)2=4(2/+1).
Преобразуем левую часть:
(2k+iy—(2m + \)2=2(k+m+l)2(k-m).
Это число делится на 8, потому что числа &+т+1 и k—m в
сумме дают нечетное число 2k-\-\ и, следовательно, одно из них
четное. Правая же часть 4(2/+1) не делится на 8. Полученное
противоречие доказывает теорему.
186. Предположим, что уравнение имеет дробный рациональ-
т
ныи корень —, где тип — целые числа, не имеющие общих
множителей, и Ы^1. Подставим его в уравнение вместо х. По-
tn^ m
лучим -—г + а f- 1=0. Умножим обе части последнего равен-
J я4 п
ffl't
ства на п. Будем иметь —г 4-ат-\-п=0. Но это невозможно, по-
п6
ш4
тому что — — несократимая дробь, а ат-\-п — целое число.
п6
Предположим, что уравнение имеет целый корень т. Тогда,
подставляя в уравнение х=т, получим m4+am+l=0. Разделим
на m все члены уравнения. Будем иметь mz-\-a-\ =0. Но если
тф±:\, то это невозможно, потому что тъ-\-а есть целое число,
133
1
a нецелое. Если же m = ±J, то а = -4-2, что исключено.
Утверждение доказано.
187. Предположим, что уравнение имеет корень х=—, где
Я
р и q — взаимно простые числа и |^|=т^1. Тогда должно быть
I P \m I P \m_1 / Р \т~г
1—1 +fli(—) +яг(—I +.... Н-ат=0 или после
умножения на ^m_1
Последнее же равенство невозможно, так как первое
слагаемое есть нецелое число, а все остальные — целые.
188. Если дс= корень уравнения, то, поступая как в
задаче 187, получим следующие два равенства:
a0J~- +ai/7m-1+fl2/7m-2^+ ... +am<T-1 = 0;
Qm
а0рт-*+сцрт-2д+а2рт-3д2+ ... +am^—=0.
P
Так как в левой части первого равенства второе слагаемое
и все дальнейшие — целые числа, то и первое слагаемое должно
быть целым, иначе равенство невозможно. Поэтому а0 должно
иметь q делителем. Аналогично, с помощью второго равенства,
докажем, что р есть делитель ат.
189. Пусть уравнение имеет вид Р(х)=^0. Выполним деление
с остатком многочлена Р{х) на произведение {х—а—Ь^с) (х—
—a-{-bic) = (x—a)2—b2c. Обозначим частное через Q{x), а
остаток (он будет не выше первой степени относительно х) через
Ах-\-В. Тогда получим
P(x) = Q{x)[{x-a)2~b2c]+Ax+B. (*)
Так как х=а-\-Ь^с корень Р(х), то, положив в равенстве (*)
х=а-\-Ь^с, получим
0=Q(x)-0+A{a+bi'c)+B.
Но число A(a-\-by с)-\-В есть сумма рационального числа
Аа-\-В и иррационального числа Abijc. Поэтому оно может
обратиться в нуль в тем и только в том случае, когда каждое из них
в отдельности равно нулю, т. е. когда АЬ^с=0 и Ла+Б —0. Так
как по условию ЬфО и сфО, то из первого равенства получим
134
Л=0, а из второго В — О. Итак, оказывается, что многочлен Р{х)
делится на (х—а)2—Ьгс, а следовательно, и на х—(а—Ь^с).
Последнее же означает, что а—b^c есть корень рассматриваемого
уравнения.
190. (6*+7)2 — (6лН-8)(6х+6)=:6. Положим у = 6х+7.
Тогда получим: у2{у+\) (£/—1) =72, г/4—у2—72=0, t/2=9, y2=— 8.
Отсюда
а) (6л:+7)2=9, 6*+7 = ±3; *, = - ~-, дгя=- J-;
б) (6х+8)2=-8, 6х+7==±2У"2/;
—7±2У2/
ХзА = ё •
6
191. х2{\+х)2+х2+2х{\+х)х=8{1+х)2+2х2{1+х)>
[х(\+х)+х]*=2(\+х)[4(\+х)+хЧ) [х(х+2)]2=
= 2(1+х) (х+2)2, jc2(x+2)2—2(1+х) (х+2)2=0,
(*+2)2(х2—2х—2)=0,
^1,2=—2, ЛГз,4= 1±УЗ.
192. (х2-{-х)(х2+х-2)=24,
[(Л2+Л;_1) + 1][(Х2+Х_1)_1]==24,
(х2+х—1)2-1=24, (х2+х-1)2=25,
х2+л;— 1 = Чг5; a) x2-f-x—1=5, х2+х—6 = 0; ^=2, х2=—3;
б) *2+х—1 = —5, х2+л;+4=0;
— 1±УТ5/
Хз 4 = .
193. [(д: 1") + "I" Г + [( ^— -f-) ^ Г = Г * Положим У=
5 „ / 1 \4 / 1 \4
=дс —. Получим уравнение \y-\- — I + (# —-1=1.
Раскрывая скобки и приводя подобные, придем к уравнению 2t/4+
7 17 11
+3</2- —=0. Отсюда у2=~', у2^-—; У1=-^-; у2^:-—-
у7 5
ys,4=±—g-t. Пользуясь равенством х тг—У> найдем: Xi=3;
#2—^, *з,4——п—'•
135
Можно было бы не вводить замены х ^г—У, а
преобразовать данное уравнение к следующему квадратному!
(х2—5х)2+14(*2—5*)+48 = 0.
Оба указанных метода пршложимы к любому уравнению вида
(*-а)4+(*—Ь)^=с.
194. Пусть один корень будет х, а другой #i=2a:. Если
подставим в уравнение 2х вместо х, то получим уравнение 8л;3—
—84х2+280*—300. Оно, вместе с данным, образует систему, из
которой можно найти корень х. Для этого умножим данное
уравнение на 2, а найденное уравнение разделим на 4 и из первого
результата вычтем второй. Получим 21а:2—21 0а:+525 = 0. Отсюда
(х—5)2=0, х~5, ATi= 10. Зная два корня кубического
уравнения, легко найти третий корень. Для этого можно, например,
воспользоваться тем, что сумма всех корней равна коэффициенту
при х2, взятому с противоположным знаком, т. е. x-J--Xi+X3=21,
так что л:3=6.
195. Если алгебраическое уравнение с рациональными
коэффициентами имеет корни 1+УЗ и 2+УЗ, то оно имеет и корни
1—УЗ и 2—УЗ (задача 189). Поэтому искомое уравнение будет
иметь следующий вид:
(*-1-УЗ) (*-2-У"3) (*-1+У"3) (*-2+У"3) =0
или после упрощений
х4—6a:3+7a:2+6jc—2=0.
196. Решив каждое уравнение по формуле квадратного
уравнения, найдем, что первое имеет корни 1 и 2, а второе — 2 и —7.
Следовательно, система имеет только одно решение х = 2.
197. Как видно из уравнений данной системы, значения х,
у и х-\~у не равны нулю. Поэтому, разделив первое уравнение на
второе и сократив в левой части дробь на х-\-у, получим
уравнение х=2у, которое является следствием уравнений системы,
т. е. уравнением, которое удовлетворяется всеми решениями
данной системы. Отсюда следует, что система
х=2у\
у2+Ху = 3
эквивалентна данной. Подставив х=2у во второе уравнение,
найдем у2-\~2у2=3 и #=±1. Но тогда х = ±2. Из уравнения
х = 2у видно, что х и у одного знака. Поэтому решения системы
будут такие: *i=2, t/i=l; x2=— 2, у2= — \.
198. Так как первое уравнение системы приводится к виду
136
(x2-\-y2)'i-\-x2y2=\09> то систему можно записать так:
(u2+v2=\09)
\u+v=\3)
где и=х2-\-у2 и v=xy. Найдя и из второго уравнения,
подставляем его значение в первое и решаем: (13—v)2-\~v2=\09, v2—
— 13и+30 = 0; ^1= 10, v2==3; Wi = 3, u2=\0. Поэтому данная
система приводится к следующим двум: а) х2-\-у2=\0, ху=3;
б) х2-\~у2==3, ху—\0. Решаем первую. Для этого умножаем
второе уравнение на 2 и затем один раз складываем с первым,,
а другой раз вычитаем из первого. В результате получаем
систему
,Пх+у)2=\6;
1 (х-у)2= 4,
эквивалентную данной, которая приводится к следующим
четырем линейным системам:
/*-Н/=±4;
\х-у=±2.
Решая их, найдем: xi = 3, #i=l; x2=— 3, t/2 = — 1; *3=1, Уз=3;
Л*4= — 1, уь=—3.
Вторая система решается аналогично. Ее решения
следующие:
У23+/УТ7 ftt-iJYf
5== 2 "' ^5== 2~
*е— ^ ■, Уб— 2 '
f23-*yi7 f23+/yl7
*7 = „ , 1/7 =
2 г v. 2
-У23+*УТ7 — У23—ГУТТ"
*в- 2 ' У8=* 2 '
199. [(х+у) + 1]2+(х+у)2=25, 2(х+у)2+2(х+у)-24=0)
(х+у)2+(х+у)-\2=0; x+y==^L.
Поэтому задача решения данной системы равносильна задаче
решения следующих двух систем: а) х-\~у = —4, х2—#2=3;
б) *+# = 3, х2—у2=3.
Решаем первую систему: х-\~у=—А\ (х-\-у) {х—у) =3. Отсю-
да х—у=* — i что вместе с уравнением х-\-у=—4 дает *i=
19 13
137
Решаем вторую систему: дг+// = 3; (х+у) (х—у) =3. Отсюда
л—*/=1, что вместе с уравнением х-\-у = 3 дает х2=2; 1/2=1.
200. Складывая первые два уравнения и вычитая из
результата третье, найдем, что 2ху = 4 или ху = 2. Очевидно, всякое
решение данной системы является решением полученного
уравнения. Аналогичными преобразованиями получим еще два
уравнения yz—б и xz=3, которые также являются следствиями
уравнений данной системы. Таким образом, система ху—2\ yz=6;
Л2=3 удовлетворяется любым решением данной системы.
Обратно, всякое решение новой системы будет решением данной,
так как каждое уравнение данной системы можно получить,
сложив соответствующие два уравнения новой. Следовательно,
система ху = 2; i/z = 6; xz — Ъ эквивалентна данной. Перемножим все
три уравнения новой системы. Получим уравнение x2y2z2 = 3Q
или xyz = ^-6, которое является следствием уравнений новой
системы, и, присовокупив его к уравнениям новой системы,
получим следующую систему из четырех уравнений: ху = 2; 1/2 = 6;
Х2=3; xyz = zk§. Она, как и предыдущая, также эквивалентна
данной. Решаем эту систему. Подставим в последнее уравнение
системы вместо ху число 2. Найдем, что z=d=3. Аналогично
найдем, что x—zkl и у = ±2. Учитывая первые три уравнения, из
которых видно, что ху>0, yz>0, xz>0, получим следующие
решения данной системы:
Xi=\, t/i=2, Zi = 3; x2= — 1, (/2=—2, z2= — 3.
201. Возведем в квадрат первое уравнение системы, из
результата вычтем второе и третье. Получим уравнение xy-{-xz=3Q
или x(y-\-z)—3Qt которое является следствием уравнений
данной системы. Присовокупим это уравнение к уравнениям
рассматриваемой системы, тогда получим систему из четырех
уравнений, равносильную данной. Найдя из четвертого уравнения
36
y-\-z= — и подставив это значение y-\-z в первое уравнение сис-
темы, получим х-\ =13; х2—13*+36=0; *i=4; лг2 = 9.
Используя эти значения х, а также третье и четвертое уравнения
системы, найдем для определения у и z следующие две системы:
(y+z=9; ГН-г=4;
\yz=\$ \yz=\8.
Решение их элементарно, а потому не приводится. Выполнив
его, получим следующие решения данной системы:
*i=jl, «/i = 6, Zi = 3; x2=4, #2=3, z2==_6;
х-3=9, ys=2+ip4, z3=2—tУ14; x4=9, t/4=2—*У14, 24 = 2+^14.
138
202. Умножим первое уравнение на 2, второе — на —1,
третье — на —3 и результаты сложим. Получим:
2x2+2y2+2z2—Sx-2yz+7xz—3xz+3x=70+H-\2',
2х2+2г2+4хг = 72; x2+2xz+z2=36; (*+г)2=36; x+z = ±6.
Если к трем уравнениям данной системы присовокупить один раз
уравнение x-\-z=6, а другой — уравнение x-\-z =—6, то получим
две системы уравнений, по четыре уравнения в каждой, которые
вместе равносильны данной системе. Беря из этих систем третьи
и четвертые уравнения, получим две системы для определения
х и z: а) x+z = 6, x(z—\)=4; б) х+г=— 6, x{z—1)=4.
Решаем первую из них: z —6—х; х(6—х— 1) =4, хг—5*+4 = 0; *1=1;
л2=4, Zi = 5, z2=2. Вторая система решается аналогично. Из нее
найдем:
—7+УЗЗ _ —5±У~33
*з,4— 2 ' 2з>4— о *
Исключив произведение xz из второго и третьего уравнений
системы, получим #2=7+2л:, а отсюда, подставляя xt,x2, хз, *4 вмес-
4 4
то х, найдем: #1 = ±3; 1/2=±У15; #з=±УЗЗ; */4=гЬ"УЗЗ. Таким
образом, данная система имеет восемь решений.
203. Возведем в квадрат третье уравнение и из результата
вычтем первое и удвоенное второе уравнения системы. Придем
к уравнению 4yz=S или yz=2, которое является следствием
уравнений данной системы, и, добавив его к уравнениям данной
системы, получим систему, равносильную данной. Подставим
вместо yz число 2 во второе уравнение системы и рассмотрим
систему из полученного уравнения xy-\-xz = § и третьего
уравнения, т. е. следующую систему:
f х(у+г)=9;
\x+(y+z)=6.
Из нее находим: i/-fz = 6—х; х(6—х)=9; х2—6х+9 = 0; х=3;
t/+z = 3. Теперь значения у и z легко определить из системы
jy+z = 3;
\yz=2.
Решив ее, найдем для у значения 1 и 2, а для z значения 2 и 1.
Итак, *i=3, t/i=l, Zi = 2; x2=2>, y2=2, z2=l.
204. Сложим первое уравнение с третьим и из результата
вычтем второе. Это даст 2х2= {a+c—b)xyz. Отсюда получим ^=0
и 2х=(а-\-с—b)yz. Подставив в данную систему Xi = 0, найдем
i/i=0, Zi=0. Аналогичными преобразованиями получим также
уравнения 2у= (b-\-a—c)zx и 2z=(c+b—a)xy. Если не
учитывать нулевое решение, которое уже найдено, то полученная
система
139
[2x = (a-\-c—b)yz\
\ 2y={b+a—c)zx\
[2z= {c-\-b—a)xy
равносильна данной.
Перемножая первые два равенства этой системы и деля
результат на ху>0, получим уравнение {а-\-с—b) {b-\-a—с)22=4.
Аналогичными преобразованиями получим также {Ь-\-а—с) (с-{-
-\-Ь—а)х2=4 и (с-\-Ь—а) (а-\-с—Ь)уг=А. Из этих уравнений
найдем:
±2 ±2
*= . =-; у= _^
У(Ь+а-с) (c+b-а) у(с+Ь-а) (а+с-Ь)
±2
z= , .
Ца-\-с-Ь)(Ь+а-с)
Эти формулы и дадут решения данной системы, однако нужно
учесть, что х, у и z, как это видно из данной системы, должны
быть все положительны. Таким образом, с учетом решения Xi =
= (/i=Zi = 0 система имеет 3 решения.
Условия, наложенные на a, b и с, гарантируют
вещественность найденных решений.
205. Сложим все три уравнения системы. Получим после
упрощений: х2-\-у2-\-2ху=49; (х-\-у)2=49 или x+y = zt7.
Умножим второе уравнение на 2 и сложим результат с первым.
Получим уравнение (x-\-y)2-\-2z(x-\-y) =94-f-22. Рассмотрим теперь
эти два уравнения и первое уравнение данной системы. Они
образуют систему
(х+у = ±7;
\ (х+у)*+2г(х+у)=М+*;
[x2-\-y2=z2,
которая, как легко доказать, равносильна данной.
Решаем эту новую систему. Подставив х-\-у=±7 во второе
уравнение, найдем уравнение для определения z: 49± 142 = 94+
-f-22. Из него находим, что 2i=9; 22=5; 23=—9; 24=—5.
Подставляя найденные значения z в третье уравнение, получим
следующие системы:
(х2-\-у2=8\; (х2-\-у2=25;
\х+у = ±7 и \х+у = ±7.
Решения этих систем, приведенные в соответствие с
найденными значениями z, дадут следующие 8 решений данной системы:
*i = 4, £/i = 3, 2i=5; *2=3, 1/2=4, 22=5;
хз=— 4, уз=— 3, 23=—5; х4=— 3, Уь=— 4, 24=—5;
7-УПЗ 7+уТШ п
*5— К г У5= п » 25 — У5
140
У_7+У113 , 7-УПЗ у ,
у_-7-У113 -7+УПЗ
*7= о » #7 — s • z7 — — 9;
—7+УПЗ —7-УПЗ
*8= ^ , (/8= 2"' , z8=-9.
206. Сложим три уравнения данной системы. Получим
уравнение {x-\-y-\-z)2=a2-\-b2-\-c2. Данная система вместе с этим
уравнением образует систему, эквивалентную данной.
Подставляя в первое уравнение значение x-\-y-\-z=±^a2-\-b2-\-c2r найдем
а2
*= — —.
±ia2+b2-\-c2
Аналогично получим:
Ь2
у— ; 2=
±^а2-\-Ь2-\-с2 ±Уа2+Ь2+с2
Из уравнений системы видно, что х, у и z должны быть
одного знака. Следовательно, во всех полученных формулах нужно
брать одинаковые знаки — или только знаки плюс, или только
знаки минус. Таким образом, решений будет два.
207. Прибавив по единице к обеим частям каждого уравнения
системы и сделав несложные преобразования, придем к
следующей системе, равносильной данной:
Г(1+0)(1+2)=<Н-1;
\ (l+z)(l+*)=H-l; (*)
l(l+x)(l+i/)=c+l.
Перемножив первые два уравнения этой системы и разделив ре-
с+1
(а+1) (b4-l)
зультат на третье, получим (\-\-z)2=- —~ ■ или 2=
-±у
(а+\)(Ь+\)_ _и
с+\
Аналогично найдем
Т/ (с+1)(,+ 1)_ у (6+1)(с+1) _
Из системы (*) видно, что знаки перед корнями нужно взять
или все верхние, или все нижние, так что получится два решения.
141
208. Перенеся вторые слагаемые из правых частей уравнений
в левые и преобразовав получившиеся после этого разности
квадратов, придем к следующей системе, равносильной данной:
Г (x+y—z) (x+z—y) =a\
{ (у+г-х){у+х-г)=Ъ\ '(*)
[ {z+x—y) (z+y—x) =с.
Перемножив первые два уравнения этой системы и разделив это
произведение на третье уравнение, получим (х-\-у—z)2=—
и x-\-y—z=±: 1/ —. Аналогично найдем еще два уравнения
ИЛ1
и составим систему
х+у-г=±У -^-;
у+г-х=±У^; (**)
-х—у = ±У
z+x-y = ± |/ ~
Система (**) будет равносильна системе (*), а
следовательно, и данной, если знаки перед радикалами в правых частях всех
уравнений брать одинаковые. Это можно усмотреть из
системы (*).
Сложив два первых уравнения системы (**) и разделив на 2,
получим
-4(*y?*yf)-¥(f+l)
и аналогично
JaFcl 1 . 1 \ idbcl 1 , 1\
209. Как видно из системы, ни одно из неизвестных не может
равняться нулю. На самом деле, если бы, например, д:=0, то
тогда yz=0 и x2-{-y2-\-z2—0. Но это невозможно, так как в этом
случае было бы x=y=z=0 и отношения, входящие в систему,
не имели бы числового смысла. Поэтому система будет
равносильна той, которая получится из нее, если заменить все
отношения обратными величинами. Эта система имеет вид
о. Ь be с , а а2-\-Ь2+с2
х у У z z х x2-\-y2-\-z2
Заметим, что ни одно из чисел а, Ь, с не равно нулю. Действи-
142
b b
тельно, если а = 0, то из последней системы получим — = \-
У У
ее
Н = —, откуда следует 6 = 0 и с=0. Но этого не можег
быть, так как отношения в данной системе не имеют смысла
в этом случае.
Сложим все уравнения новой системы, а затем вычтем из
полученной суммы поочередно ее первое уравнение, второе и третье.
Получим следующую систему, равносильную данной:
с а b 1 a2-\-b2-\-с2
z х у 2 x2-\-y2-\-z2
или
~ = ^ = — =t
a b с *
где /=^0.
Из последних равенств находим: x = at; y=bt; z=ct и, под-
b l a2+b2+c2 b
ставляя в равенство — = — ————=-, получим: гт =
у 2 x2-\-y2-\-z2 01
J a2_l_ft2_l_c2 \ \ 1
= у |a»W)r т = ~W' '= Т • Таким образом'един"
ственное решение будет:
a b с
Х=Т- У=Т' Z=Y-
210. Перепишем данную систему так:
(z = — {x+y)\
\ (x+y)2—2xy = z2+20;
[ (x2+y2)2~2x2y2=zb-\-b60.
Подставляя значение x-\-y = —z из первого уравнения во второе,
получим z2—2xy = z2-\-20, — 2ху = 20, ху= — \0. Подставляем
в третье уравнение x2-\-y2=z2-\-20, полученное из второго
уравнения, а также ху = — 10. Это даст: {z2-\-20)2—2- ( — 10)2=24-f-
+560; 24+4022+400—200 = г4+560; 40г2=360; z=+3. Для
определения х и у имеем систему
( х+у = ±3;
\ху = -\0.
Решив ее и учитывая значения z=+3, получим 4 решения
дайной системы:
*i = 5, yi = —2, Zi = — 3; Xz=— 2, t/2=5, z2= — 3;
x3=— 5, 1/з=2, z3=3; x4=2, */4= — 5, z4=3.
211. Из первого уравнения находим */=2х— 1 и подставляем
во второе. Получаем:
143
4x+2x—\—2x(2x—\) -z2=3; 4a'2-8x+4+z2=0;
4(a--1)2+z2=0.
Последнему уравнению удовлетворяЕот лишь х=\, z=Q (корни
должны быть вещественными). Но тогда у = \. Итак, система
имеет единственное решение: *=1; у=1; 2=0.
212—243. Указание. В элементарной математике при
решении иррациональных уравнений и их систем корни четной
степени считаются арифметическими. За значение корня
нечетной степени из вещественного числа принимается его
единственное вещественное значение. Основной метод решения
иррационального уравнения состоит в исключении радикалов путем
возведения обеих частей уравнения в некоторую степень с таким
расчетом, чтобы после этого уравнение перестало быть
иррациональным. Иногда такую операцию нужно повторить. В поле
вещественных чисел этот метод может привести к уравнению,
неравносильному данному, а следовательно, и к посторонним
решениям. Поэтому при решении таких уравнений методом
исключения радикалов необходима проверка (испытание)
найденных значений путем подстановки их в данное уравнение и те
из них, которые не будут ему удовлетворять, нужно отбросить
как посторонние. Возведение обеих частей уравнения в нечетную
степень приводит к равносильному уравнению и в этом случае
проверку производить не нужно. Все сказанное о решении
иррациональных уравнений нужно отнести к 'решению систем таких
уравнений.
212. В первом уравнении должно быть Р(х)^0 и Q(x)^Q,
а во втором они могут быть какими угодно. Поэтому в общем
случае уравнения не равносильны.
213—214. В первом уравнении должно быть P(x)Q{x) ^=0.
Во втором — Р(х) ^?0 и Q (х) ^0. Поэтому в общем случае
уравнения не равносильны (см. задачу 124).
215. Так как левая часть больше двух, то уравнение не имеет
решений.
2.6. (**-3,+2)-(^-7*+12)_=1/-2 у-^з^+2+
+ y*2-3*+2-y*2—7X+12
+У*2-7х+12 = У2, (У*2-Зл:+2)2= (f2-y*2-7*+12)2,
*2-Зл:+2 = 2-2У2х2-14л:+24+л:2—7*+12, y'2*2-14*+24 =
= 6—2х, 2х2—14*+24 = 36—24лг+4*2, 2л:2—10*+12 = 0,
х2—5x-f-6=0; *i = 2, *2=3.
Оба корня удовлетворяют уравнению, что легко
устанавливается проверкой. *
* В тексте мы, как правило, проверку корней не приводим, а лишь
указываем, какие из найденных корней посторонние.
144
217. 2х2+6-3(л:+1)-2У2л:2-Зх+2 = 0,
2x2-3x+2-2j/2a'2-3x+2+1 =0.
Положим
У2х2—Зх+2 = у.
Тогда получим:
f/2—2Г/-+-1 =0, у=\; ]/2jc2-3jc+2=1, 2jc2—Здг+2= 1,.
2хг—Зд:+1=0; *i=l, *2=-£-,
218. j/(7*-3)3—s =7.
У(7д;-3)3
Положим
у(7х—3)3 = t/,
Тогда будем иметь:
s |/2-7(/-8 = 0; (/i=-4, (/2=8.
а) У(7лг—3)3 = —1, 7д:—3 = — I, *i=-|-;
б) У(7х—3)3=8, 7х-3=32, *2=5.
219. Т/£+9+_4==4.
Положим
_:+9
Тогда получим:
"l/ *+'
y+J=A> */2-4</+4 = 0; у = 2, У ^±?-=2,
х+9
= 4, *+9 = 4x, х = 3.
л:
2
220. Разделим все члены уравнения на (а—х) 3. Получим
i аЛ-х\ 3
следующее уравнение, эквивалентное данному: ( —■—I —
i_
i аЛ-х\ 3
—5-1 ) +.4=0. Решаем это уравнение относительно
145
1
I a+x\* (a+xy 5+3 л
\ - _ I как квадратное: I 1 --= —-— . Отсюда:
\_
. /a-\-x\3 f a-f-x
a) ( I =1, =1, a-\-x=a—x, xi = Q;
\ a—xl a—x
6) (^±±Y = 4t £±1=64, a+x = 64a-64*, x2=
\ a—x/ a—x
65
Найденные значения х проверять не требуется.
63
а.
221. Обозначим у = t/. Тогда уравнение приведется
к следующему равносильному: у-\ =2 или у2—2у-\-\—0. От-
У
сюда'.
t/=l, 1/хТТ ==^' Г~ГГ" =1> а—х=Ь-{-х, х=
а—х а—х , , . а—Ь
b+x ~ ' Ь+х
222. y*-f45=l+y*-16, (Ух+45)3=(1+Ух-16)3, х+45=
= 1 Ч-ЗУх—16+3 (Ул:—16) 4-х—16, (Ух—16)2+Ул:—16—20=0;
-1+9
Ух—16= —
а) Ух—16 = 4, х—16 = 64, Xi = 80;
б) уд:—16=—5, х—16 = —125, х2=-109.
223. Из уравнения видно, что допустимыми значениями х
являются лишь те, которые удовлетворяют системе неравенств:
х ;>0, 1 ^0, что приводит к соотношениям x~>z\ или
хх
Г~ „ х— 1
1 арифметический, а =
X X
У (х-\ y
= у I I и данное уравнение равносильно такому:
_1 \2
У^У^-У(¥)
146
или
У^-(ух+1-1-]/^-!-) =0. Отсюда:
а) 1М=±=0. ^-=0. Xi=U
б) yjc+1 —l = y^—if (yx+l-l)2=-
х—1
х+1-2ух+1 + 1= , х2_2хух+\+х+\=0, (х-}/х+1)2=0>
х— ух+1=0, х = ]/х+1, x2=*+l, х2_х_1=0,
1+У5"
Хг:
о 1—У5
Значение х= также корень данного уравнения.
1
224. Уравнение не имеет решения, так как У1+х <
У1+Х
<У1+х<У2+х.
225. [4х+1 +2ху2 (2х2+1) ]2=[- (2х+1) У4х2+4х+3]2,
(4х+1)2+4х(4х+1)У2(2х2+1)+8х2(2х2+1) =
= (2х+1)2(4х2+4х+3), (4х+1)2+4х(4х+1)У2(2х2+1) +
+ 16х4+8х2=(4х2+4х+1) (4х2+4х+3), (4х+1)2+
+4х(4х+1)У2(2х2+1)+16х4+8х2=(4х+1)(4х2+4х+3) +
+ 16х4+16х3+12х2, (4х+1)2+4х(4х+1)У2(2х2+1) =
= (4х+1) (4х2+4х+3) +4х2(4х+1),
4х(4х+1) У2~(2х2+1) = (4х+1) (4х2+4х+3+4х2-4х-1),
4х(4х+1)У2(2х2+1) = (4х+1) (8х2+2). Отсюда: а) 1+4х=0 и
х= — J-; б) 2хУ4х2+2 = 4х2+1, 4х2(4х2+2) = (4х2+1)2
16х4+8х2=16х4+8х2+1.
Последнее равенство невозможно.
Итак, уравнение имеет единственное решение х=»—т-.
147
226. (2У2*+у,-зУ-^)2 = (2-|/2*-у1)\
- — 9х Яг —
4(2х+Ух) — \2ух-\ ^Цг=4(2д:-]/л:), —^~г =4"|/х.
2х+Ух 2х+ух
— 9
Так как хфО, то, сократив на ух, получим уравнение —— '=4.
2]/*+1
5 25
Отсюда 8Ул:+4=9, V*= — , х——-.
8 64
227. Возведем в куб обе части уравнения и воспользуемся
(f
формулой (т+п)3=т3-\-Ътп{т-\-п)-\-п3. Получим: \ К а+Ул:+.
+ У a-fx) ={Щ\ а+У^+3 \ (а+Ух) (а-у!с)р-\-а-Ух=Ь,
2а+ЗУа2—хуь = Ь.
Из преобразованного уравнения видно, что если Ь = 0, но
аФО, то уравнение не имеет решения. Если же а=Ь = 0, то
уравнение удовлетворяется тождественно, а так как допустимыми
значениями для неизвестного ввиду наличия в данном уравнении
Ух являются лишь значения я>0, то в этом случае решениями
будут все неотрицательные числа.
Пусть теперь ЬфО. Тогда найдем: 3]/а2—х уЬ = Ь—2а,
*г-г Ь~2а 2 (Ь-2а)3 (Ь-2а)3 '
^^^—^-,^-х^ ш ,х = а* 27Г—()*
зуь
Возведение уравнения в куб приводит к уравнению,
эквивалентному данному в области вещественных чисел. Таким
образом, при ЬфО последнее уравнение и данное имеют одни и те же
корни в области допустимых значений для неизвестного первого
уравнения, т. е. при условии х^О.
(Ь—2а)3
Поэтому, если а2 Цг^—— >=0, то уравнение имеет единст-
венное решение, выражаемое формулой (*). Если же а2—
(Ь-2а)3
276
<0, то уравнение не имеет решения. Например, при
й = 0, но ЬфО, формула (*) даст *=——<0, выходящее из об-
ласти допустимых значений.
148
228. Поступая так же, как в задаче 227, получим:
х+^х(2х-3) У12(х—1)+2х—3=12(х—1),
х— \+Ух(2х—3)12(х— 1)=4(*— 1), р2х{х—\){2х—3) =
= 3(х— \),\2х{х— 1) (2л;—3)=27(х— I)3, (х— \)[4х(2х—3) —
_9(*-l)2] = 0, (*-l)(-*2+6x-9)=0, (х-\) (*-3)2=0;
ЛГ±= 1, Х2=3.
Так как уравнение было возведено в нечетную степень, то
полученное в результате этой операции новое уравнение
эквивалентно данному и найденные значения х в проверке не
нуждаются.
5 5
229. Положим |/ 16+]/* = tt, |/ 16—Ух = и. Тогда уравнение
примет вид u-\-v = 2. Возведем его в пятую степень. Получим:
(и+у)5==32, «5+у5+5«у(«3+у3) + Ю«2о2(«+у)=32,
M5_|_y5_|_5«u(«-f у) («2—«и+и2)+10«V(«+у) =32,
и5+у5+5иу[(и+у)2-3«у](и+у)+10и2у2(«+у)=32.
Подставляя сюда u-\-v = 2 и «5+ у5= (16+У*) + (16—Ух) =32,
найдем:
32+5«у(22-3«у)-2+ 10«V-2 = 32, 4uv-uW=0, uv(4-uv)=0.
Отсюда
5
а) и = 0, У 16+У~х=0, 16+у7=0,
что невозможно;
5
б) о=0, У 16—У*=0, 16—У*=0, х=256
(это значение х является корнем данного уравнения);
в) 4—uv=0, uv=4.
Решая систему
uv = 4, u-\-v = 2,
получим:
и(2—и) =4, и2—2м+4 = 0, и=1±»УЗ",
в то время как
16+Ух=«
должно быть вещественным числом.
У
230. Положим Ух—4—y^zO. Тогда х=у2-\-4 и уравнение
можно записать так:
У//2-2//+1+У#2-4//+4=1
или У {у—1)2+У(#—2)2=1, или, наконец, \у— \\-\-\y—2\=\. Если
149
y^l, то \y—l\=l—y, \y—2| = 2—у и уравнение примет вид
1 —г/-{-2—г/ = 1. Отсюда 2у = 2, у—\. Если \<у<2, то \у—1|=
— #~*~1> |(/—2| == 2—t/ и уравнение приведется к такому: у— 1 +
-f-2—г/=1. Но это значит, что # может быть любым. При у^2
будем иметь \у— \\ — у—1, \у—2\=у—2, а данное уравнение
запишется так: у—\-\-у—2=\. Из него находим, что у — 2. Итак,
должно быть: 1^г/^2; 1 =^Ул:—4^2; 1^х—4^4; 5^х^8.
Уравнение имеет бесконечное множество решений.
(Ух+2-Ух-2)2
23>- i^F(^ir = T' -+2-2У^-4+х-2 = 2,,
Ул;2-4 = 0, х2—4=0; xi=2, х2=—2.
Первое значение х является корнем данного уравнения. Второе
должно быть отброшено, так как х = — 2 не принадлежит
области допустимых значений (х—2=— 4<0).
232. Допустимыми значениями для неизвестного этого
уравнения являются х^О. Умножим числитель и знаменатель левой
части уравнения на 2 и воспользуемся формулами квадрата
разности и квадрата суммы двух количеств:
2(1+х~У2х+х2) _ 2-f*-2y2+*y*-|-x
2(1+*+У2х+л:2) 2+*+2У2+]ф+х
= (У2+*-У*)2
{y~2+x+fx)2
Тогда уравнение примет вид
/ П+х-Ух \*=аЯ У2-Н+У*
^ У2+х+Ух ' У 2+7— ix
или
^У2+л;+ух'
Извлекаем корни из обеих частей уравнения. Это даст
fe^ = а. "Г,
П+х+Ух
Заметим, что все примененные сейчас операции при переходе от
данного уравнения к уравнению (*), включая операцию
извлечения кубического корня, не могут привести к потере корней или
к приобретению посторонних. Таким образом, уравнение (*) рав-
150
носильно данному уравнению. Так как корни должны быть
арифметическими, то из полученного равенства следуют неравенства
0<а^1. Действительно, числитель и знаменатель левой части
уравнения — положительные числа, причем числитель не
больше знаменателя.
Освобождая уравнение (*) от знаменателя, получим новое
уравнение, которое также равносильно данному: ]/2+*(1 — а) =
= ]/лг(1+я). Так как a^rl, то обе части последнего уравнения
неотрицательны и возведение его в квадрат снова приведет
к уравнению, равносильному данному. Таким образом, задача
свелась к решению следующего уравнения: (2+л:) (1— а)2=
=х(1+а)2. Решаем его: х[(\+а)*— (1— а)2] = 2(\— а)2, 4ах=
Итак, уравнение имеет единственное решение х= —^ »
если 0<a^Cl, и не имеет решения, если а^.0.
Замечание. В данном случае отпала надобность в
испытании найденного значения неизвестного, хотя при решении
уравнения применялась операция возведения уравнения в квадрат,
которая, вообще говоря, приводит к посторонним корням.
Объясняется это тем, что при тех ограничениях, которые мы попутно
налагали на неизвестное (*^0) и на параметр (0<а^1), все
производившиеся операции приводили к уравнениям,
равносильным данному. Надо сказать, что при решении иррациональных
уравнений с буквенными коэффициентами такой путь обычно
оказывается более удобным, чем тот, при котором мы обязаны
производить испытание найденных значений неизвестного, так
как в последнем случае приходится решать еще задачу на
преобразование буквенного выражения, иногда довольно сложного.
233. Так как корень предполагается арифметическим, то
должно выполняться условие: -—— >0; (\-\-bx) (1— Ьх) >0;
1—62л:2>0; х2<— . Так как арифметический корень есть число
о1
неотрицательное (а в данном случае он может быть лишь
положительным), то необходимо (но не достаточно), чтобы было
1~а*>0; {\-ах){\+ах)>0\ \-а2х2>0; х2<\\ Если эти
I -{-ах а2
* За исключением х=0, для которого а может быть любым.
151
условия не выполнены, то уравнение не имеет решения.
Предполагая это выполненным, мы будем иметь в обеих частях
равенства положительные величины и возведение его в квадрат
приведет к следующему уравнению, равносильному данному:
/ 1— ах \2 \-\-bx
\ \-\-axl \—Ьх
Решая это рациональное алгебраическое уравнение, получим,*
{\—ax)2(\+bx) = (\-\-ax)2(\—bx), а2Ьх3=(2а—Ь)х-х
■\l2a-b -\l2a-b
Очевидно, первый корень удовлетворяет уравнению. Что
касается Х2 и х3, то, для того чтобы они были корнями уравнения,
2а—b Л ,
должны выполняться следующие условия: —-—^=0 (решения
должны быть вещественными), *2<—- (в противном случае
а1
уравнение вообще не имеет решения, так как левая часть его
будет отрицательной, а правая положительной), *2<-т£ (корень,
входящий в левую часть уравнения, должен быть
вещественным). Если эти условия будут выполнены, то найденные
значения х дадут корни данного уравнения. Упростим эти условия.
Из первого соотношения получаем:
2а—b n 2a—b n 2а , Л 2а , а _ 1
а26^' Ь ^ ' b ^ ' & ^ ' b 2
Из сопоставления первого и второго получаем:
9/7—h 1 2а—b 2а 2а а
^ej£^<J^ti^<li-fl_l<ii^Li<2l^ <1,
а26 a2 b b b b .
или, сведя два результата в один,
1 а л
Что касается условия х2< —, то оно выполняется.
Действием
тел ь но,
2_ J_ _ 2a~~b _ JL — 2afr-fe2-fl2 = _ (a-fr)2
* b2 ~ a2b b2 ~ a2b2 ~~ a262 - '
так как афЬ.
152
234. Если п — четное, то допустимые значения х должны
удовлетворять условиям х>0 и а-|-л;>0. При нечетном п эти
ограничения на х налагать не требуется. Числа a, b и х,
очевидно, не равны нулю.
В левой части равенства вынесем за скобки }/~а -f- х. Полу-
п
а-\-х У* (
ах b
п /1 1 \ Ух п
чаем ija-\-x ( 1 \ =-~—. Отсюда }'а-]-х •
» I* *v / С/
f
а-\-х \n+i a
/ x==~h~' Здесь левая часть больше нуля,
следовательно, и правая часть должна быть больше нуля, т. е. а и b
n+i
удовлетворяют неравенству —>0. Далее: ( 1 —~й~>
п п
Г/ a \n+1 I (a \n+i
==|("Г") — 1 |дс. Если (-г-1 —1 =7^=0, т. е. если аФЬ, то
отсюда найдем х = (*). При нечетном п формула (*)
1
(тГ-
всегда даст решение данного уравнения при условии, что а и b
одного знака и афЬ. Кроме того, эта формула даст решение при
п нечетном и в том случае, если в знаменателе дроби перед вы-
п
ражением I — I поставить знак минус. При четном п, кроме
ab>0 и аФЬ, должно быть х>0 и а+лс>0. Из формулы (*)
видно, что х будет положительным, если: а) а>0 и -т->1, что
приводит к соотношениям а>Ь>0; или б) а<0 и 0<-т- <1, что
приводит к соотношениям 0>а>Ь. Что касается а-\-х, то эта сумма
всегда будет положительна при положительном х, так как а-\-х=*
п
I а \п+'
=Х\Т) '
153
Итак, формула (*) при четном п дает единственное решение,
если а>Ь>6 или 0>а>"5. При иных соотношениях между а и b
уравнение не имеет решения.
235. Если п нечетное число, то п2 также нечетное число, и при
х<0 корень степени п-\-\ из хпап* даст мнимую величину.
Поэтому при нечетном п допустимыми значениями неизвестного будут
х^О. При п четном допустимыми значениями неизвестного х,
очевидно, будут все вещественные числа. Параметр Ь в обоих
случаях есть величина положительная, гак как Ь равняется
сумме двух арифметических корней, из которых, по крайней мере,
один не обращается в нуль. При решении будем считать сперва
п нечетным и, следовательно, х^О. В левой части данного урав-
п
нения вынесем за знак первого радикала xn+i, а за знак второго
п
an+1. Получим:
п "I/ п п п "]/ п п
;"+* г x"+i-f-a"+I+aT^ ' an+i+x"+i=b,
Уп п I п п \
(п п \ п+1 п п ri
хгнл^-а^) ~^~ = ь, х"+1+а"+1 = Ьп+\
п п п I п п \ п+1
r^+i = 6"+i—a«+"1, х — \Ь"+Х—a"+v п ,
при этом, как видно из предпоследнего равенства, должно быть
Ь^а, иначе найденный х не будет решением данного уравнения.
Из этого решения видно, что если п будет четным, то
решений будет два:
(п п \ п+1
при Ь>а и одно х=--0, если а = Ь.
236. Так как n>k>0, то уравнение имеет корень Xi = 0.
Теперь можем считать, что х^О. Разделим все члены уравнения
на Уап~к хк. Получим квадратное уравнение
n-2k n—2ft
Чт)" -2^(f)2" -+^=a
154
Решив его, найдем:
n-2ft _ 2п
(JL.) _УЬ±уЬ—а х _/ ]/6±f6—а у^
* а' fa ' а * Уа '
2n 2ft
х2,з=(УЬ±}'Ь—a)n~2h • a2ft~n.
Однако при n — 2k вычисления теряют смысл. Но # = 0 остается
корнем и в этом случае. Других же корней при n=-2k уравнение
иметь не будет, так как в этом случае уравнение приводится к
виду 2Уах = 2^Ьх, причем по условию афЬ. В заключение отметим,
что, как видно из правой части данного уравнения, допустимыми
значениями для неизвестного являются лишь х^О. Это было
использовано и при вычислениях. Условие Ь>а гарантирует
вещественность х2 и х3.
237. Если п нечетное число, то допустимыми значениями х
являются все вещественные числа, а при п четном — лишь те,
для которых выполняется неравенство \х\^\.
Разделим обе части неравенства на У(х—I)2 (хф\).
Получим:
(У^)2+'-У^.(У^)2-т+'-
D l/ X+l
Решив его как квадратное относительно у -, придем к урав-
п
нению у р=2±УЗ. Оно равносильно данному при
дополнительном условии \х\>\ в случае п четного. Так как 2±УЗ>0, то
возведение его в степень п приведет к уравнению г=(2±
х— 1
+ УЗ)П, которое также равносильно данному. Решив последнее,
(2±УЗ)п+1
найдем a'i2= -zr , где в числителе и знаменателе нуж-
(2±УЗ)П—1
но перед УЗ брать одинаковые знаки. Оба эти корня являются
корнями данного уравнения как при п четном, так и при п
нечетном, так как, очевидно, |*i|>l и |х2|>1.
238. Умножим обе части уравнения на у - 2 -. Получим:
155
n __^__ n n
1 -J / a2—x2 1 i / аг—хг . -l / a2—x2 a2—*2
~x*V х~г a2? %2 ' Г x2 ' a2*2 ~~ '
n+l
/ a2_v2\ n a2—X2 — / — \
x=±
У
(*)
2n_
Оба найденные значения л; будут корнями данного уравнения,
правда, в случае четного п не при всяких значениях а. Чтобы
в этом убедиться, выясним, при каких условиях сделанные здесь
преобразования будут приводить к уравнениям, равносильным
данному, и покажем, что эти условия выполнены. Будем сперва
считать п четным. Так как в этом случае все корни должны быть
арифметическими, то, как видно из уравнения, должно быть а—
—аг^О, а-\-х>0 или x^Za и х>—а. Следовательно, —а<х^а
и а>0. При этих условиях все произведенные операции
(умножение корней, деление корней и т. д.) обратимы, т. е. их можно
провести в обратном порядке, а это гарантирует равносильность
исходных и получаемых равенств. Таким образом, данное урав-
а
нение равносильно уравнению х— ±— . однако при
2п
условии — а<х^а или |х|<а. Но это условие выполнено, так
У:
у
1К 1
как г \-\-ап+1>\.
Если п нечетное, то, как не трудно видеть, уравнение (*)
также будет равносильно данному, но нет оснований требовать,
чтобы было а>0. Достаточно, чтобы афО.
1 1
239.
Vv
а — у/'х
V а — \f х
П
Гъ
у х
Г
а — х
1 +а
1 +а
136
Рассуждая так же, как в задаче 238, докажем, что это
значение х есть единственный корень данного уравнения.
Ух—и 1 / х2—и2 "]j x2—tfi
—-£- = у -—-*— = -' , то первое
уравнение данной системы эквивалентно следующему уравнению:
т/х2—у2 20
х—у+ | . | = —г—. Если \х-\-у\=х-\-у, т. е. если х+*/>0,
то система эквивалентна такой: л;2—г/2+]/л;2—г/2—20 = 0; x2-f-*/2=
= 34. Положим У*2— г/2=2>0. Тогда первое уравнение примет
вид z2+2—20=0 и из него найдем zi=4; ,г2= — 5. Но 22=—5,
как отрицательное, нужно отбросить, а тогда система приведется
к следующей, эквивалентной данной:
Ух2—у2==А\ *2+г/2=34 или х2—у2=\6\ х2+г/2=34.
Решив ее, получим х =+5; г/ = +3. Из них только xi = 5; i/i=3
и х2=5; г/2=—3 являются решениями данной системы, а *=—5;
g/ = ±3 нужно отбросить, так как при этих значениях х-\-у<0.
если х-\-у<0, то, аналогично решая, найдем: л;3,4=— I/ -к-;
241. Выполнив сокращение в первом уравнении, разделив на
з
3— т/ х 17
Уху и положив у — = г, найдем: z+H = ir или 222—5z+
+2 = 0. Решив его, получим Zi = 2; z2=-^-. Таким образом,
задача решения данной системы равносильна задаче решения
следующих двух систем:
a) fx=2fy; ifx—У#=3
и
б) У*= \ Ш У*-й=з.
3
Решаем первую. Для этого подставляем значение ^х из пер-
3 3_ 3_
вого уравнения во второе. Получаем: 2]/*/—]/*/ = 3; "|/г/=3; */i = 27;
Xi=Syi = 2\6.
Так же решаем вторую систему: — {Л/ — V У — &,V У = — 6;
у2 = — 216, x2 = -g-i/2 = — 27.
157
242. В левой части первого уравнения уничтожаем
иррациональность в знаменателе. Тогда данная система приводится
— 3 - —
к следующей эквивалентной: Ух= -т^У\ У*+У# = 7. Подставля-
— 3 —
ем значение Ух из первого уравнения во второе: — у-\-Уу = 7\
_ й_1_9П —
3//+1бУг/—112=0; Уу = ^—. Так как У г/ — арифметический,
О
то для него получаем только одно значение Уу=4. Отсюда
г/= 16; х = 9.
243. (Ух—Уу)2=(2^ху)2; х+у—2Уху = 4ху и на основании
второго уравнения 20—2Уху = Аху; 2ху-\~Уху—10=0. Отсюда
1+9 5
УХУ:= ~ ; Уху = 2; ху = 4. Равенство Уху= —
невозможное, так как }'ху — арифметический. Итак, получаем
систему *+#=20; ху = 4, которая является следствием данной
системы и потому удовлетворяется любым решением данной системы,
если оно существует. Решаем ее: // = 20—х\ х(20—х)=А\ х2—
—20х+4 = 0; л:=10±4Уб; г/=10 + 4У6. Но ]hc—p = 2]hcy>Q.
Поэтому х>у (равенства быть не может) и из найденных значений
нужно взять только следующие два: х=10-)-4У6; г/=10—4|6.
Испытание х и у показывает, что они удовлетворяют системе.
Однако, несмотря на возведение в квадрат уравнения, проверку
можно было бы и не производить, так как здесь выполняются
условия х>0, у>0, х>у, которые гарантируют обратимость
указанной операции.
III.
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
244. Пусть расстояние от деревни до станции х км. Если бы
турист шел все время со скоростью 3 км/час, то он потратил бы
х 2
на путь — час, что на — час больше, чем было в его распоря-
О О
жении. Таким образом, чтобы поспеть точно к отходу поезда, он
Iх 2\ и »
должен оыл затратить времени I — —)час. В
действительности же он лишь первый час шел со скоростью 3 км/час, а затем
со скоростью 4 км/час, что в общем составило у 1+——) час-
158
т 3
Так как он пришел за — час до отхода поезда, то отсюда полу-
чаем уравнение
х 2 х—3 , 3
ез= 1 -4- ■ -I 2
3 3^4^4
Решаем его:
4*-8=12+Зх; х = 20.
245. Обозначим число десятков искомого числа буквой х,
тогда число запишется так* 10я+3. Число, получающееся
перемещением влево цифры 3, имеет вид ЗОО+я. Поэтому получим
уравнение 300+jc=3(10jc+3) + 1. Решив его, получим дг= 10,
а искомое число 103.
246. Обозначим расстояние, которое пролетел самолет, "через
х км. Со скоростью 220 км/час он пролетел часть пути, большую
• 385 %+385
половины на —^— км, т. е. равную — км, затратив на нее
х+385 лг—385
■ „ 99П час. Остальную часть пути, а именно —~ км, он про-
ооп / л;—385
летел со скоростью 330 км/час, затратив на нее час. Учи-
А' oo\J
тывая, что средняя скорость на всем пути равна 250 км/час,
х
можем подсчитать все время полета. Оно равно -г^т; час- Отсюда
z5U
х+385 , х—385 х
получаем уравнение 2<22Q + = -^ . Решив его,
найдем, что х== 1375.
247. Обозначим число лет младшего через х, а старшего
через х-\-у. Тогда для хну получим следующую систему
уравнений:
{х+у=2(х—у);
\х+у+х+2у=63.
Решив ее, найдем: х = 2\; х-\-у = 28.
248. Пусть скорость третьей машины будет х км/час, а число
часов, за которое эта машина догнала вторую, равно у. К тому
моменту, когда третья машина догнала вторую, первая машина
прошла путь 50(г/+0,5) км, вторая 40(г/+0,5) км, третья ху км.
К этому моменту третья и вторая машины прошли одинаковые
расстояния, что приводит к уравнению 40(0+0,5) =jo/, а первая
удалилась от второй и третьей на число километров, равное
50(г/+0,5) — 40(г/+0,5) = 10г/+5. Так как третья машина
проходит этот путь за 1,5 час, а в час пробегает на (х—50) км больше
первой, то получаем уравнение 10г/-[-5= 1,5(jc—50) или Зх—20у—
-160=0.
159
Итак, имеем систему
Г 4(%+0,5) =*ет
\3х—20у—160 = 0.
Решив ее, найдем, что x=Q0.
249. Пусть скорость пассажирского поезда есть х км/час,
а скорого у км/час. Так как по условию у=2х, то
пассажирскому поезду требуется на пробег от Л до С столько же времени,
сколько скорому — на пробег от Л до С и обратно. Но пассажир-
25
ский поезд выходит из Л на — час раньше^ чем скорый из С,
и поэтому он, несмотря на пятиминутную остановку в В, прихо-
3
дит в Сна у час раньше скорого. Отсюда получаем уравнение
ТС
х ~ 4 + 60 *
Решив его, найдем х=30. Тогда г/=60, а ВС=120 км.
Определим теперь АВ.
Пассажирский поезд шел от В до встречи со скорым 14 мин
14
и прошел за это время —•30 = 7{км). Следовательно, скорый
ьи
поезд прошел с момента выхода из С до момента встречи с пас-
113
сажирским 120 км—7 км= 113 км, затратив на этот путь -^- час.
60
Пассажирский же поезд, после того как он отошел от Л на 25 км,
был в пути до момента встречи со скорым на 5 мин меньше этого
113 5 108 27
времени, т. е. -хх~ час—т^г час= -т^— час= —=■ час. За это вре-
60 60 60 15
27
мя он прошел 30-— =54 (км), причем 7 км из них за пункт В.
Следовательно, ЛБ = 72 км (25+54—7).
250. Обозначим количество денег, бывшее до
перекладывания в 1-й, 2-й, ..., я-й кучках, соответственно через Х\, х%, ..., хп,
а количество денег в последней кучке, оказавшихся в ней после
перекладывания из (я-1-й) кучки, но до перекладывания из нее
в первую, через у. После перекладывания из первой кучки во
вторую в первой осталось количество денег, равное —«—Xi,
а после перекладывания из я-й кучки в первую в первой их ста-
п—\ . 1 „ п—\ —
ло %Н у, г. в последней у. После первого
перекладывания во второй кучке стало количество денег, равное Хг+
160
-j—-*i, а после того, как из второй кучки переложили в третью,
во второй их оказалось ( х2-\ хЛ . Подобными же
рассуждениями докажем, что в третьей кучке в результате всех пе-
п—\~
рекладывании количество денег стало
*зН ( *2+ — Xi )\
п V. п\ п /J
и т. д. Так как в результате перекладываний во всех кучках
стало по А руб., то отсюда приходим к следующей системе
уравнений;
Xi-\ У=А;
п п
л—1
п
п—\
A(X2+±Xi}=A.
^[*+t(*+TXi)]=A:
у=А.
Из последнего уравнения найдем у и, подставив его значение
в первое уравнение, определим Х\. После этого найти х2, Хз, ...,
хп не составит большого труда. В результате получим!
'2-2л+2
„=«Л;
пс
х2-
„_1)2"' - („_ 1)2
Хз==Хь=* ... ^хп=^А.
А;
251. Пусть один рабочий может выполнить работу в х дней,
а другой в у дней. Каждый из них отдельно выполняет в день
часть работы, равную соответственно — и —~, а работая вме-
1
сте гг часть. Отсюда уравнение (
12
У
1
"И*
За 8 дней
0 * - *
совместной работы они выполнили -г? = — всей работы, и
другому пришлось еще работать 5 дней, чтобы закончить ее, Отсюда
2 5
получаем второе уравнение -тг~~^ — SBSB^e Итак, имеем систему
1+Х
х у
12; 3 + у ~*К
6 Шахяа К. У.
161
Решив ее, найдем лс=60; у = 15.
252. Пусть одна бригада выполняет работу в х дней, а дру-
гая в у дней. Тогда первая в один день выполнит — часть всей
работы, а вторая — . Так как, работая вместе 8 дней, они выпол-
8 8
няют всю работу, то получаем следующее уравнение: 1 =
х у
2 2 1
= 1. Но -^- первой бригады выполняют в день лишь -~ всей
О о X
О 8
работы, а 0,8 второй -—. Чтобы выполнить всю работу та-
У
ким составом рабочих, нужно 11 — дня. Отсюда получаем вто-
,, 1 2 1 1 0,8 , _
рое уравнение 11-г—^ h 1 * "т———=1- Решив систему
двух полученных уравнений, найдем, что ж=12; г/=24.
253. Пусть количества лет старшего, среднего и младшего
братьев в настоящее время выражаются числами х, у и z. Если
учесть, что {х—у) лет тому назад младшему было 10 лет, то
получим уравнение z— (х—у) = 10. Через {х—у) лет младшему
будет 26 лет. Поэтому можно написать, что z-\-{x—y) =26. Вдень
рождения младшего старшему было {x—z) лет, среднему {у—z)
лет, а сумма лет была 2г. Таким образом, получаем третье
уравнение х—z-\-y—z=2z. Решив систему этих трех уравнений,
получим х=40; «/=32; г=18.
254. Обозначим число частей первого сплава и число частей
второго сплава, которые нужно взять, чтобы получить третий
сплав, через хну. Тогда в новом сплаве первого металла будет
12 2 3
— х-\- — у, а второго ~7г х-\- — у. Так как отношение количеств
о О о О
этих металлов в новом сплаве равно 17:27, то получим
уравнение
(т*+т'):(т*+т')=,7:27
X
или (52+6): (10z-f9) = 17:27, где г= — . Решив это уравнение,
У
9 о •
найдем, что г= -^=, т. е. первого сплава нужно взять 9 частей,
«35
а второго 35.
255. Обозначим искомое расстояние, выраженное в
километрах, через х, а скорость поезда через у км/час. Первый поезд шел
162
до вынужденной остановки б час и прошел за это время путь
6у км. Остальную часть пути (х—бу) км он прошел со скоростью
i г. I Х—бу 0
\,2у км/час, затратив на прохождение ее — - час. Всего поезд
был в пути, с учетом вынужденной двухчасовой стоянки, число
часов, равное 6+2-1—г-г-—-. Это число часов на 1 больше числа
часов, положенного по расписанию и равного —. Отсюда полу-
ц
чаем уравнение
1,2г/ у
Аналогично рассуждая относительно второго поезда, получим
второе уравнение
6+i^+2+ «-<*-'«> =л+1,5.
Решив систему этих двух уравнений, получим х=600.
256. Обозначим скорость лодки в стоячей воде,
рассчитанную на час, через Vi, скорость течения на участке ВС через v%,
расстояние АС через S и расстояние АВ через х. S и х выражены
в одних и тех же единицах длины, в скоростях V\ и v%
употреблены те же единицы длины.
Лодочник на движение вниз по реке тратит 3 час, причем
х
часть этого времени, равная —час, тратится на прохождение
S~x
пути АВ, а другая, равная ——— час, на прохождение пути ВС.
Ui + f2
Отсюда получаем уравнение
х S—x
Vi Vi-\-V2
При движении вверх по реке лодочник тратит на прохожде-
S—x
ние пути ВС уже час, на прохождение пути АВ—прежнее
х
время, т. е. — час, а на весь путь АС—3,5 час. Отсюда получаем
Vi
Еторое уравнение
х S—х
JL + f_=3,5.
Vi Vy — Vz
Если бы на всем пути АС скорость течения реки была такая
же, как и на участке ВС, то при движении вниз по реке потре-
6» 163
s
бовалось бы на прохождение пути АС —; час. Так как по ус-
о 3
ловию это число часов равно 2-—, то получаем третье уравнение
5 =23
Vi-\-v2 4 '
После некоторых упрощений полученных уравнений придем
к системе
[ xv2+Sui=3vi(ui-\-v2);
" ~2xu2-\-2Svl = 7ui(vl-v2); (*)
45 = 11 (vi+v2).
Умножив первое уравнение на 2 и сложив полученное
уравнение со вторым, найдем 4Svi = vi(\3vi~v2). Разделив его на
Vi^O и вычитая из результата третье уравнение системы (*),
найдем 2vl—\2v2=6 или vi=Qv2. Подставив vi=Qv2 в третье
уравнение системы (*), получим v2—-^=-.
45 245 205
Таким образом, имеем: v2=-—\ и4= ——; vi—v2=-==-.
5 5 77
Отсюда искомое время /= ==-——==-— час=3 час 51 мин.
Vi—v2 205 20
257. Обозначим искомое число процентов через х. В конце
первого года на книжке стало (1640Н х] руб. Но с
книжки было снято 882 руб., и поэтому на следующий год осталась
сумма 1640+ х—882 = 758+ х. К этой сумме
прибавилась в конце второго года процентная сумма ( 758+
1640 \ х
-\—77^гх Jtkf: » после чего на книжке снова оказалось 882 руб.
,со . 1640 , /_0 , 1640 \ х
Отсюда получаем уравнение 758+~Y00~^"^V ^~Т00~ / Ш =
=882 или 41х2+5995л:—31 000=0. Решив его, найдем х=5.
258. Обозначим число часов работы второго рабочего через х.
Первый рабочий начал работу на 2 час 16 мин раньше второго,
а окончил лишь на 16 мин раньше его. Значит, первый работал
(я+2) час. Второй работал после перерыва 8 час 10 мин—
2
.—1 час 30 мин=6 час 40 лш«=6-~- час, а до перерыва
о (
164
(x — 6-^-1 час. Так как второй за х час выполняет половину всей
работы (вторую половину выполняет первый), то в час он вы-
л 2
1 *~~6Т
полняет -jr- часть работы, а всего до полудня — . Первый
работал после перерыва 7 час 54 мин— 1 час 30 мин=6 час
2 / 2 \
24 мин=6~ час, а до перерыва ( х-\-2—б-r-l час. Так как
первый за час выполняет часть работы, равную - ■, то до на-
ступления полудня он выполняет часть работы, равную
лЧ-2-6-1-
5 тт -
— —. Но вместе первый и второй сделали до наступления
V^i" ^)
полудня 0,4 всей работы. Отсюда получаем уравнение
2 2
х—6— х+2—6 —
- 3_ + 5-=0 4.
2х ^ 2(x+2)
После упрощений получаем: 9л:2—80л;—100 = 0; х=—==—;
л*= 10 (отрицательный корень отбрасываем, как не
удовлетворяющий условию задачи). Следовательно, второй работал до полу-
2
дня 10 час—6— час = 3 час 20 мин и поэтому начал работать
О
в 8 час 40 мин. Первый начал работать в 6 час 24 мин. *
259. Пусть второй каменщик может выполнить работу в
течение х дней. Тогда первому понадобится на нее {х-\-9) дней.
За один день первый выполнит часть работы, равную , вто-
1 1 п
рои — равную — , а вместе — равную -~т-. Поэтому получаем
уравнение j г-г- = «п или х2—31л:—180=0. Из него нахо-
дим, что л;=36. Итак, первый может выполнить работу в 45 дней,
а второй в 36.
260. Обозначим искомый путь в километрах через х.
Пешеход, вышедший из А, перешел середину пути и прошел от нее
к В еще 3 км, а пешеход, вышедший из В, не дошел 3 км до
середины пути. Таким образом, к моменту встречи первый прошел
I— +3)/сж, а второй ( -jr-—31 км. В дальнейшем первый про-
165
ходит путь ( — 3) км за 4,5 час и, следовательно, движется
со скоростью ( -~ 31 :4,5 км/час, а второй со скоростью
(—+31:8 км/час, потому что проходит путь (-тг+З) км за
8 час. Зная скорость равномерного движения пешеходов и
пройденный каждым из них путь до встречи, подсчитаем время,
затраченное каждым на движение от момента выхода до встречи.
Для первого пешехода это будет
(т+3):[(т-3):4'5Ь-
а для второго
(т-ФКт+'И-
Так как это время одинаково, то отсюда получаем уравнение
(i+»)=[(f-3)H4f-»)-[(T^)4
Решаем его:
(т+з)ЧЧт-Ь
(т+3)'3==±(т_3) ч 3*+18=±(4*~24);
*i = 42, *2= —.
Второй корень не удовлетворяет условию задачи (путь между
М и N больше 6/сжи тем более больше —км). Итак, MN = 42км.
261. Пусть скорость одного автомобиля будет х км/час.
После встречи он движется еще 2 час и, следовательно, проходит
после встречи 2х км. Другой автомобиль проходит после встречи
9
(210—2а:) км, и так как он на это затрачивает — час, то ско-
о
9
рость его равна (210—2*):—. Выезжают автомобили одновре-
о
менно и поэтому затрачивают одинаковое время на движение
до встречи. Вычисляя его для первого и второго автомобиля
и приравнивая найденные значения, получим уравнение
210-2* д 2л^ Решаем его: (210-2*)*=-?-**,
Х (210-2*) :4-
166
з
210—2x= + -n-x, Xi = 60, л;2=420. Так как путь имеет длину
210 км, то второй корень должен быть отброшен, потому что
в этом случае часть пути 2х оказалась бы больше всего пути.
Итак, скорость одного автомобиля равна 60 км/час, а другого
(210-120):-|-=80 км/час.
о
262. Пусть пшеничной муки было взято х кг. Тогда ржаной
было взято (x-j-10) кг. Припек на пшеничную муку составил
х2 (лг+Ю)2
-rrjr, а на ржаную -— —. Сумма килограммов той и другой
хг
муки вместе с припеками составляет 112,5 кг. Отсюда: х-\- -—— -f-
+Х+Ю+ ^"ti0^ =П2,5; х2+П0л--5075=0; х = -55+90;
л:1 = 35; х2= —145. Отрицательный корень отбрасываем. Итак,
пшеничной муки было взято 35 кг, а ржаной 35+10=45 кг.
263. Если обозначим скорость паровоза на первом участке
х км/час, то время, затраченное им на прохождение первого
24
участка, будет равно — час. Второй участок был пройден
паровозом со скоростью (л:+4) км/час и времени при этом^ было за-
39
трачено ■ ■ час. Но второй участок паровоз прошел за время,
которое на 20 мин, т. е. на —час, больше времени, потраченного
о
на прохождение первого участка, и поэтому имеем уравнение
39 24 1
—-— =——г которое приводится к такому виду: х2—41л:-f-
л:-р4 X о
-}-288=0. Р-ешив его, найдем корни Xi==32 и л;2 = 9. Оба эти
корня удовлетворяют условиям задачи.
264. Пусть одно тело проходит в секунду х м. Тогда другое
тело будет проходить в секунду (х-\-4) м. Первое пройдет окруж-
360 360 „
ность за сек, а второе за . Но второе тратит на этот
путь на одну секунду меньше первого, и поэтому можно написать
уравнение ТХ==^ Решаем ег°: 360(л:-|-4) —3б0дг=
=х{х+4), 1440=х2+4х, л;2-т-4х—1440=0; х = 36, л;+4=40,
265. Пусть длина окружности переднего колеса будет х м.
Тогда окружность заднего будет 2л: м. После увеличения длины
окружности переднего колеса на 1 м и уменьшения длины окруж-
167
60 к
ности заднего на 1 м переднее сделает оборотов на пути
СЛ 60 т
в 60 м, а заднее -~ г. Так как заднее при этом сделает на
2
30 оборотов больше переднего, то получим уравнение -х :
2 .
—=1, которое приводится после упрощении к такому:
Х~р 1
5
2хг-\-Зх—5=0. Из двух его корней Xi= 1 и х2= — только
первый удовлетворяет условиям задачи. Итак, длина окружности
переднего колеса равна 1 м, а заднего 2 м.
266. Пусть искомое время, выраженное в часах, будет х.
30
Действительная скорость трамвая на пути в 30 км есть — км/час,
а после уменьшения времени пробега на 0,5 час она стала рав-
- 30 / гт о /
нои рг-з- км/час. По условию вторая скорость на 3 км/час
, ' . 30 ,, 30
больше первой, и поэтому можно написать \-3= з-г или
х х—0,5
2л:2—л:— 10 = 0. Решив его, найдем, что время, затрачиваемое
трамваем на рейс, равно 2,5 час, а скорость движения равна
12 км/час.
267. Пусть плотников было х человек. Тогда маляров было
л-"—2, а всего рабочих 2л;—2. Общее число рублей, уплаченное
рабочим, составило 3(2лг—2)-f 26, а так как бригады маляров и
плотников получили поровну, то на долю плотника пришлось
3(2х-2)-Ь26 л 3(2л--2)-Ь26
■ руб., а на долю маляра —— — руб. Но
ЛХ ЛуХ £)
последняя сумма на 1 руб. больше первой, что приводит к урав-
3(2х—2)4-26 , , 3 (2л:—2)+26 „
нению h 1=—— — . Произведя упроще-
2х 2 (л;—2)
ния, получим уравнение хг—8л:—20 = 0. Отсюда л:=10; х—2 = 8.
268. Пусть скорость товарного поезда есть х км/час. При та-
650
кои скорости ему нужно час, чтобы пройти расстояние от
Москвы до Ленинграда. Пассажирский поезд, имеющий скорость
/ . сл\ , 650
\х-\-Щ км/час, проходит это расстояние за час,
затрачивая при этом на 12 час меньше товарного. Поэтому справедливо
650 650 1П лт , пл
уравнение ТоГ"^- УпР°стив его, получим хг-\-2Ах-~
— 1300=0. Отсюда: х=26; л:+24=50.
168
269. Если длина шага ученика младшего класса равна х м,
то на расстоянии 400 м он сделает шагов. Ученик же
старшего класса, имея длину шага на 0,3 м больше, сделает на этом
расстоянии только —, п п шагов. Но второй делает на 300 ша-
x-f-0,3
400
гов меньше первого, и поэтому справедливо уравнение
Л ЛП
— •—г-^-г-=300. Выполнив упрощения, приведем уравнение к ви-
ду \0х2+3х—4=0. Отсюда: х = 0,5; x-f-0,3 = 0,8.
270. Если в куске было х м, то покупная цена метра равна
200 к ( 200 , 1 к\ к т
руб., а продажная I [-1,51руб. Так как продано было
лишь (х—5) м и выручена при этом сумма в 190 руб., то можно
написать уравнение I [-1,51 (х—5) = 190, которое после
упрощений приводится к следующему: Зх2-|-5л:—2000 = 0.
Отсюда х=25.
271. Если первого сорта было куплено х кг, то цена одного
22 5
килограмма этого сорта будет —— руб. Второго сорта было
куплено (x-f-15) кг, и, следовательно, цена одного килограмма
32
его будет руб. Но первая цена на 10 коп. выше второй,
*~r15 32 22,5
что приводит к уравнению — - -[-0,1 = —:—• После упроще-
Л—J— ID X
ния получим х2-\-\\0х—:3375=0. Отсюда: x = 2S; x-{-15=40.
272. Обозначим искомое число процентов через х. Тогда при
первом повышении зарплата в 100 руб. повысится на х руб. и
составит сумму(lOO-j-л;)руб., а при повторном повышении увеличит-
т+х к ' /inn . i 100+* \ *
ся на —г^ х руб. и составит сумму! 100+*Н туг»—х\ руб.,
которая равна 125,44 руб. Отсюда 100—J-л:—J ———х= 125,44.
После упрощений получим х2-[-200л;—2544 = 0. Из него найдем,
что х=\2.
273. Если первый раз было отлито х л спирта, то после этого
в сосуде осталось (20—х) л. Но так как сосуд был долит водой,
20—л;
то в одном литре смеси уже содержалось только —^г— л спирта.
Поэтому в х л отлитой смеси содержалось чистого спирта лишь
20-л;
—^г—х л. В результате двух отливании в сосуде осталось спир-
169
оп 20-лг 1
та 20—х ——х. Но это составляет -г- первоначального, т. е.
20-*
5 л. Таким образом, приходим к уравнению 20—х —— -лг=5.
После упрощения его получаем уравнение х2—40л:+300 = 0,
решив которое найдем *=10.
274. Обозначим буквой х число монет, уместившихся в
стороне квадрата. Очевидно, на всей площади квадрата их
разместится х2. При размещении монет в виде правильного
треугольника число монет в основании треугольника будет л:+2, в
следующем ряду х+1, затем х и т. д. и, наконец, одна монета. Поэтому
получим уравнение (лг-|-2) -|- (л:-]-1) -{- ... -f-2-f-1 =л;2. Оно приво-
(л:+3)(л:+2)
дится к виду ——-£——- = л:2 или л:2—5х—6 = 0. Отсюда
найдем, что л: = 6, число монет х2=36, а сумма денег — 72 коп.
275. Пусть искомое число участников было х. Полностью
сыграли друг с другом по партии лишь {х—2) участников (двое
выбыли) и число этих партий равно (л:—3) -f- (at—4) -f-...-f-2-f-l =
(х-2) (*-3) „
= . L. и Если выбывшие участники турнира между
собой играли, то различных партий, сыгранных ими, будет не б, а 5
(jc—2) (лг—3) г пл
и в этом случае будем иметь уравнение —+5 = 84.
Если же выбывшие участники не играли друг с другом, то все
6 партий, сыгранных ими, будут различными, а потому уравне-
(х—2) (л:—3)
ние для определения х будет такое: - — — +6=84.
Первое уравнение приводится к такому: л:2—5дг—152 = 0 и оно не
имеет рациональных решений. Второе уравнение имеет вид х2—
—5л:—150 = 0. Его корень лг=15 дает решение задачи. Итак,
число участников было 15, причем двое выбывших не играли между
собой.
276. Пусть стоимость материи первого сорта есть х руб.
Тогда его стоимость после повышения на у процентов составит х-\-
~^~ Тип ' что ПРивол-ит к уравнению лг+ -—г =15.
Первоначальная стоимость материи второго сорта равна (15,2—лг) руб.,
/,,« 15,2-х \
а после понижения на у процентов I 15,2—лг ——У) руб.
Но эта новая стоимость равна 2 р. 40 к. Поэтому можно напи-
15 2 х
сать, что 15,2—лг '———у = 2,4. Итак, имеем систему
уравнений
170
*+ж=15;_
Исключив из нее у, получим уравнение 2х2—43дс-|-228=0. Из
него найдем: *i=12; дг2=9,5.
277. Пусть поезда встретились в некоторой точке пути С
(рис. 1). Обозначим число часов, затраченное товарным поездом
на прохождение пути ТС, через х, а его скорость через у км/час.
Время в часах, затраченное пассажирским поездом на
прохождение пути ВС, будет равно х—5 —. Обозначим скорость
пассажирского поезда через z км/час. Очевидно, можно написать, что
ТС=ху и ТС=4— г. Отсюда получаем уравнение ху = 4 — г.
Аналогично ВС=1х—5 — jz и БС=12 — у. Отсюда получаем
уравнение ( х—5 — jz=\2-rz У- Перемножая эти уравнения, по-
/ г 1 \ л 1 к-,11 , 61 41 155 пл ,
лучим: ху[х-Ъ~) z = 4-z-\2~y; ^--д^—^; 24дс«—
31 1
— 122л:—1271 =0. Отсюда: Xi = —; лг2 = 10 —- . Первый корень
О т
не удовлетворяет условиям задачи. Итак,
товарный поезд затратил на прохожде- ГС В
ние пути ТС 10 час 15 мин, а на прохож- тулд Вязьма
дение всего пути 10 час 15 лшя+12 час
55 ман~2?> час 10 мин. Пассажирский Рис .
поезд затратил на прохождение пути ВС
10 час 15 мин —5 час 5 мин = Ъ час 10 мин,
а на прохождение всего пути 5 4ас 10 мин + 4 час 6 лшн = 9 «/ас
16 мин.
278. Если обозначить скорость лодки в стоячей воде через х
км/час, скорость течения реки и скорость движения плота
через у, то скорость лодки по течению будет х-\-у, против течения
20
х—у, время движения лодки по течению час, против тече-
х~т~У
20 20 , 8
ния час, до встречи с плотом —; и, наконец, вре-
х—у j2 х+у х-у
мя движения плота —. Так как прогулка длилась 7 час, то по-
У
20 , 20 _ _
лучим уравнение -— 1 =7. Так как время движения
х~тУ х у
171
лодки и плота до их встречи одно и то же, то получаем уравнение
20 8 12
—; 1 =—. Из второго уравнения находим: 20ц(х—
х+у х—у у
—у)-\-8у(х-\-у) = \2(х2—у2); 7ху=Ъхг. Но х=0 не удовлетворя-
7
ет условиям задачи, а поэтому 7у=3х, х= -^ у. Подставив х=
7
= — у в первое уравнение, найдем «/=3, а следовательно,
о
х=7. Итак, скорость лодки по течению равна 10 км/час, а ско-
рость течения реки 3 км/час.
Т г t r . II 279. Обозначим места первой, второй
Из Н] П2 и третьей встреч курьеров буквами М\,
Мг, М3 (рис. 2), скорость первого через
Рис* 2 Vi км/час% а второго через v2 км/час. При
втором движении первый курьер идет до
встречи со вторым дольше, чем первый раз, на 1 час —
3
— 18 мин=\ час — час = 0,7 час. Поэтому он проходит больше
7
на — v 1 км, в то время как второй идет меньше времени на
1 1 3
— час-\-\8 мин=— час-\-— час=0,8 час и проходит
соответственно на 0,8 v2 км меньше, чем при первом движении.
Расстояние М\Мг и есть то дополнительное расстояние 0,7 V\, которое
пройдено первым, и одновременно расстояние 0,8 и2, которое не
дошел второй. Отсюда получаем уравнение 0,7yi = 0,8u2 или
7ui = 8y2.
При третьем движении второй курьер идет дольше первого
на 1,5 час и проходит за эти 1,5 час путь 1,5^2 км, в то время как
первый не доходит 5,6 км до точки Mi и, следовательно, затра-
5,6
чивает времени на движение до встречи на час меньше, чем
при первом движении. Таким образом, путь 1,5и2 км,
пройденный вторым курьером за последние 1,5 час его движения до
встречи, состоит из пути MiM3=5,6 км и того пути NMly
который бы не дошел второй до М\, если бы он двигался столько же
5,6
времени, сколько и первый, т. е. на час меньше, чем при пер-
5 6
вом движении. Иначе: М3М= l,5t/2, M3Mi = 5,6, MiN= -1— -и2,
а так как M3N=M3Mi-\-MiNt то получаем уравнение 1,5и2=
с с i 5,6 лл V2 7
=5,0-1 >Х}г- Из первого уравнения находим — = — и под-
172
7
ставляем во второе. Получаем 1,5и2=5,6+5,6--г- = 10,5.
8
Итак, i>2=7, а тогда Vi= —--ь2=Ъ.
280. Обозначим число часов работы последнего рабочего
через х, число часов работы предпоследнего через х-\-у, а число
рабочих через z. На выполнение работы всего было затрачено
число часов, равное x-\-(x-\-y)-\-{x-\-2y)-\-[x-\-(z— \)у\=хг-\-
z(z—1)
+г/[1+2+... + (z— \)]—xz-\-y . По условию задачи это
число часов равно 24 z. Отсюда получаем уравнение xz-\-yX.
z(z—\)
X —- =24z или 2x-\-y(z— 1) =48. Но первый рабочий
работал в 5 раз больше последнего. Поэтому получим еще такое
уравнение:х-\-(z—\)у = Ъх. Вычитая это уравнение из первого,
получим д;=48—5х. Отсюда: 6#=48; х=&. Так как
продолжительность выполнения всей работы равна числу часов работы
первого рабочего, то, следовательно, рабочие рыли канаву 40 час.
Замечание. Иногда решающие эту задачу предполагают,
что продолжительность работы последнего рабочего равна
промежутку времени, в течение которого первый работал в
одиночку. Тогда число рабочих оказывается равным пяти и задача
получает простое решение. Однако такое предположение
подменяет эту задачу другой, потому что такое предположение не
вытекает из условий задачи. На самом же деле продолжительность
работы первого рабочего в одиночку будет различной и
находится в зависимости от числа рабочих, как это^видно из
уравнения (г—\)у=Ъ2. Если рабочих было только 2, то интересующая
нас продолжительность работы будет равна 32, если число
рабочих было 3, то продолжительность равна 16 и т. д.
281. Пусть вес первого металла, входящего в сплав веса Р,
будет х кг. Тогда вес второго будет (Р—х) кг. Килограмм пер-
В
вого металла теряет в весе при погружении его в воду — кг,
С
а второго р- кг. 1ак как потеря в весе данного куска сплава
равна сумме потерь весов составляющих его металлов, то
получаем уравнение
хВ ■ (Р~Х)С -л
у+ р -л-
Д Q g Д
Решив его, найдем, что х=Р-~—— а Р—х = Р
В—С ' . В—С , ,
Для возможности решения задачи нужно, чтобы х и Р-
173
были положительными или, иначе, чтобы числители и
знаменатели найденных значений х и Р—х были одного знака. Это
приводит к таким соотношениям: С<А<В или В<А<С.
282. Обозначим вес отрезанного куска через х кг, а число
процентов содержащейся в первом и втором кусках меди
соответственно через у и г. Тогда в куске, отрезанном от первого
сплава, будет содержаться -тт^\кг меди, в куске, отрезанном от
xz (т—х)у (n—x)z
второго сплава, ттхскг, а в остатках — и — " . В но-
ху , (n—x)z
вых сплавах будет содержаться килограммов меди т^г-\—г^.—•
xz itti х) и
и -77^;+ —Топ—* Первый из новых сплавов будет весить п кг,
второй — m кг, а процентное содержание меди в них одинаковое.
Поэтому можно написать уравнение
ху {n—x)z xz (m—x)y
Too + ^oo- ЙЮ+-Щ-. ,oo.
n m
Л xu4-(n—x)z xz4-(m—x)y
Отсюда: —-— — = —; xytn-{-nmz—xzm =
n m
r=xzn-\-mny—xny; xm{y—z)-{-xn{y—z)=mn(y—z). Сокращая
mn
на и—гФО, получаем xm-\-xn = mn, откуда х= ;—.
v J J m-{-n
283. Обозначим отношение объема С к сумме объемов А и В
через —. Тогда можно написать:
(Ат = В+С;
\ Вп=А + С;
[Сх=А+В.
Прибавим А к обеим частям первого равенства. Получим А(т-\-
1 А
-\-\)=А-\-В-\-С. Отсюда , , = А , п , _ . Аналогичными
т+1 ААгВАгС
к \ В \
преобразованиями получим
л+1 Л+Я+С х+\
С
Л+Я+С
Почленное суммирование трех последних ра-
1 , 1 , 1 А+В+С
венств дает —j- + — + — = -j^^ = 1. Поэтому:
174
1
1 -
jc+1 " m-fl
^(m+l)(M+l).
mn—\
составляет часть -
x=
1
л-f Г *+l
(m+l)(n+l)
mn—1
m/i-1
(/n+l)(n+l)
т+я+2
mn—\
*+l =
Объем С
mn—\
суммы объемов А и Б.
т-\-п-{-2
284. Пусть точки начали двигаться из одной точки
окружности в разных направлениях (навстречу друг другу). Если
скорость одной, рассчитанная на секунду, есть х, то она за время t\
пройдет путь xtu а другая, если ее скорость, рассчитанная на
секунду, есть у, пройдет путь yt\. Сумма их путей составит длину
окружности L. Поэтому получаем уравнение xt\-\-yU=b или
L „
х-{-у= —. Пусть теперь точки движутся в одном направлении,
и
начав движение из одной и той же точки окружности. Тогда
первая за время t2 пройдет путь xt2, а вторая за то же время
пройдет путь yt2. Полагаем х>у. Тогда первая, двигаясь быстрее
второй, настигнет вторую по истечении t2 сек и, следовательно, за
время t2 сек ее путь будет на L длиннее пути первой за то же
время. Отсюда получим второе уравнение xt2—yt2=L или х—
L
•У =
h
Решая
систему
х-{-у =
-*/ =
найдем, что х-
L(tj+t2)
2tit2
У =
L_
U
k
L(t2-
■h)
2Ut2
(t2>ti). Следует
заметить, что раз точки при обоих движениях (т. е. в одном
направлении и в разных направлениях) сходились через равные
промежутки ti и t2, то они начинали движение из одной и той же
точки окружности, чем мы при решении пользовались.
285. Пусть расстояние между Л и В равно х км. Лодка
прошла это расстояние за
х
— час,
v
пароход за — час.
w
Но лодка
пришла в В на / час позднее парохода и, кроме того, еще до
выхода парохода она была в движении — час. Таким образом,
лодка была в движении, на
(»±)
час больше, чем пароход.
175
XX I
Отсюда получаем уравнение =t-\ . Решаем его: xw—
J J v w v
Ждо(1^4-/)
w; x=— — (w>v).
w—v
286. Обозначим искомое число досок через х. В первые два
часа мастер выиграл —г партий и / проиграл. Следующие два
часа он вел игру уже на ( х—-^г- — /] досках. Из всех партий,
сыгранных за последние два часа, он выиграл ( х—гк^~~ ') X
Х-глл партий, проиграл тип партий свел вничью. Так как
общее число партий, сыгранных за последние два часа,
составляется из всех выигранных, проигранных и сведенных вничью пар-
хр
тии за эти часы, то отсюда получаем уравнение х— тт^г-* =
==(х — ТпгГ — ОтпгГ + АП+«- Решив его, найдем, что х=
10000(m+tt) + 100/(100-9) ,
"~ (юо—р) (юо-7) ,:
287. В сосуде было чистой (стопроцентной) кислоты ■—— л.
Если в сосуд добавить х л #%-ного раствора кислоты, то
количество чистой кислоты будет доведено до ( Тлтг + ттчтс) л- Но
после добавления туда еще воды раствор будет содержать чис-
br ^ ар , ха
той кислоты -г-гтг л. Поэтому получим уравнение
100 ' J ^ 100 ' 100
br „ Ьг—ар
= ттт77> решив которое, найдем х= —.
100 q
288. Пусть из каждого сосуда отлили х л. В первом сосуде
{а—х)р {b—x)q T_
осталось чистой кислоты ———л, а во втором —л. Кро-
ме того, в первый добавили ее -—-л, а во второй -j~r. Так как
новые смеси стали одной концентрации, то получим:
1 \(а—х)р . *9 1 * Г(&-*)9 , ХР].
a L 100 "*" 100J b I 100 МООГ
178
bp(a—x)-\-bqx=aq{b—x)-\-apx\
x(a+b)(q—p)=ab(q—p).
Считая p=fcq и разделив уравнение на p—q^O, найдем х=
ab
~~ a+b '
Если p = q, то задача имеет бесконечное множество решений.
289. Пусть искомое расстояние есть х км, скорости первого
и второго велосипедистов у км/час и z км/час. До первой встречи
первый велосипедист проехал {х-\-а) км, затратив на него
*+а „ х—а _
час, а второй проехал {х—а) км и затратил час. Так
как время их движения одинаково, то приходим к уравнению
х-\-а х—а х-\-а и
= — . К моменту второй, встречи пер-
У
или
вый велосипедист проехал 12*+-г-) км, а второй I 2х— -г— )км.
2х+
2х—
Таким образом, получаем второе уравнение
k
или
2£+1
2k—\
= —. Подставляя значение
У
У z
из второго уравнения
в первое, получим
х+а 26+1
х—а
2k-\
x=2ka.
290. Пусть в начальный момент шарик
находится в точке М (рис. 3). Так как
угол падения равен углу отражения, то
ZMNO = ZONP=ZNPO=ZOPM, <х = р,
2а = 2|3 и ANMP — равнобедренный.
Следовательно, MQ 'X. NP и положение
точки N определится расстоянием OQ = х.
По свойству биссектрисы внутреннего
OQ NQ OQ*
угла треугольника имеем -г^~
= -Г7Т7 ИЛИ
NM
дит к уравнению —г
nit
9}
МО2 NM2 '
Из него находим
что приво-
а* а2+Я2+2ал;
хгаг+х*ф+2ах*—a2R2+a2x2=0; 2ax*-\-2a2x2-\-R2x2—a2R2=0;
2ах2(а+х)+№(х*-а2)=0; (а+х) {2ax2-\-R4-^R2a) =0.
Так как а+хфЪ (*>0, а>0), то 2ax2-\-R2x—R2a=0. Отсюда х=
■Я2+УЯ'+8а2Я2 R
4а
= -^(У8а2+^2-^).
177
291. Общий вес заполненного баллона состоит из веса обо-
[441 4
— л(/?+е)3—— nR3\d n веса жидкости —я/?3 6,
наполняющей баллон. Вес жидкости, вытесненной погруженным
4
в нее баллоном, равен — л(/?-{-е)3Д. Все веса предполагаются
измеренными одной и той же единицей веса. Так как
погруженное тело находится в равновесии, то получаем уравнение
[ул(№)3-|яф+ула-|п(№)3Д.
Решаем его:
V—-
K d-A
Условия возможности задачи получатся из требования быть
положительным R, т. е. из условия-^—т~>1- Если d—Д>0, то
получим: d—6>d—A, 6<Д, A<d и 6<A<d. Если d—Д<0, то d—
—6<d—A, 6>Д, A>d и а?<Д<6.
292. Пусть число процентов прироста населения за год
будет х. Если к началу первого года количество населения было
Ах
А человек, то к началу второго года оно стало Ai=A-{- -т-ргрг =
= i4(1+"i^0 ) » а к началУ третьего А2=А^ 1 + щ) =
=А (l-f-т™") и т- Д- Очевидно, к началу л-го года количество
(X \n_1 / X \п
1 + тт^:) , а к его концу — А ( 1-J- г™ )
При годовом приросте населения, равном (x-\-k) процентов, об-
Н—гтттг) • Во
втором случае численность населения должна быть в два раза
больше, чем в первом. Отсюда получаем уравнение
"0+t£)"-m('+i£)"
178
Решаем его:
1+ Ш~ = ^2(1+ ж) ' (У2-1)х=Л-100(У2-1),
У2-1
-100.
Задача возможна лишь при таких k и п, при которых
найденное значение для х будет положительное.
293. Если вес сосуда р, а его объем и, то при заполнении его
первой жидкостью общий вес сосуда будет (vd-\-p) кг, а при
заполнении второй — vDA-p. С другой стороны, эти веса равны q
и Q. Отсюда получаем систему уравнений
Г vd-{-p = q;
\vD+p = Q,
Q-q Dq-dQ
из которой находим, что v= -^—~; р —
D-d ' r D-d '
Условия возможности задачи сводятся к условиям
положительности найденных дробей для р и v. Это приводит к требова-
D Q , D Q л
ниям, чтобы было или ——>—>1, или -г-<—<1. Если хотя бы
d q d q
одна из дробей неположительна или если D = d, a Q^d, то
задача неразрешима. Если же D = d и Q = q, то вес р и объем v
связаны одним соотношением vd-{-p = q и задача имеет
бесконечное множество решений.
294. Обозначим скорости первого и второго поездов через
Vt км/час и v2 км/час, а расстояние между А и В через х км.
Двигаясь после встречи в противоположных направлениях,
поезда через t час оказались на расстоянии 2х друг от друга. До
встречи они вместе покрыли расстояние х, т. е. в два раза
меньшее, чем после встречи. Таким образом, встретились они через
-— t час после выезда из начальных пунктов А и В. Поэтому
можно написать следующую систему уравнений:
х—р= YtVi>
1_
2
( х—p-\-q = v2t.
P=Yt0t;
Из второго уравнения находим v%= -j-, а подставив это значе-
179
ние v2 в третье, найдем x=3p—q. Теперь из первого легко нахо-
2(2/7-g)
ДИТСЯ Vi= — .
295. Как видно из условия задачи, числа х, у и z должны
удовлетворять следующей системе уравнений:
(x=m(y—z);
\y = n{x—z)\
[z=2{x—y).
Решив систему первых двух уравнений относительно х и у, най-
(m-\-mn)z (n4-mn)z
дем, что х— -—; у= ^—-, а подставив эти зна-
тп— 1 тп— 1
чения х и у в третье уравнение, получим искомую зависимость
(2m—2n)z о i о 1 л
в следующем виде: 2= - ^— или mn—2т+2я—1=0.
тп—\
296. Пусть часы уходят на х мин в сутки. Тогда, чтобы они
т
показывали правильное время, им придется ходить — суток.
Если бы они уходили вперед на (x-\-t) мин в сутки, то при
отставании в данный момент на п мин от правильного времени им
пришлось бы ходить ——— суток или на 1 сутки меньше, чем
tfl tTl Tl
— , чтобы ликвидировать это отставание. Итак, 1 = ———,
х х x-\-t
x2+(t-{-n—m)x—mt=0; x= ^ —' .
Второй корень отрицательный, и его отбрасываем.
297. Пусть детей было х. Последний из них, т. е. х-овый,
получил ах орехов плюс — остатка. Но так как это был последний
из участников дележа, а орехи между ними были поделены все,
то и остатка не могло быть. Следовательно, каждый получил по
ах орехов, а всего орехов было ах-х=ах2. Доля первого тоже
ах2—а,
была ах, но, с другой стороны, она равна а-\ ■ . Поэтому
QX2—а х2 1
получаем: ах=а-\ , х=\-\ , хг—пх-\-п—1=0,
п±(п-2) ,
х= -ъ— » Xi=n— 1, х2=\.
298. Пусть куплено х кг лигроина. Тогда керосина было
куплено (п—х) кг. Цена килограмма лигроина есть -— руб. и керо-
х ' ■-
180
сина руб. Так как килограмм лигроина на Ь руб. дороже
п—х
килограмма керосина, то получаем уравнение
а а
х п—х
Решаем его: а(п—х)— ax=bx(n—x), bx2—(2a-\-bn)x-\-an=Q;
2a+bn±yia2+b2n2 0
х= ^ . Знак плюс перед радикалом не годится,
потому что в этом случае х был бы больше п, так как
2а+Ьп Ьп п УАа2-\-Ь2п2 ^Ьгпг __bn n
2Ь > ~2Ь~~~2И 2Ь "> 2b ~~ 2tT = T
2а+Ьп—У4аг+Ь2п*
Итак, имеем лигроина ■ „г яг, а керосина
2а+Ьп—]/4а2+62п2 _ Ьп—2а+1±аг-\-Ь2пг
2b 2b
299. Пусть искомая скорость есть х км/час. Первая машина
d
проходит путь а км в — час, а вторая находится в пути на t мин
меньше, т. е. ( — J час. Половину времени, в течение
которого вторая машина находится в движении, она расходует на
то, чтобы догнать первую, и покрывает при этом расстояние
— 1 —) v км. Первая машина прибыла в В одновременно
с прибытием второй в Л и, следовательно, после получения
пакета была в движении столько же времени, сколько и вторая, т. е.
-г- — I час. Поэтому на движение первой машины от мо-
2\ х 60/
d
мента выхода из А до момента получения пакета пошло
х
1 / d t \ 1 / d . t\
-TlT-6o)= т(т+боГас' за которые она прошла
расстояние—! \--гАхкм. Поэтому получаем уравнение
Т ("7 _ 4V= т(4 + ioV Решив ег0- найдем-что
1SI
— — (Ш+tv)±V (60rf+ tv)2+240dvt
X~ 2t '
а так как скорость может быть только положительной, то ответ
будет такой:
- (Ш+tv) +У (60d+tv)2+240dtv
— км/час.
300. Обозначим число рабочих первой бригады через х. Тогда
во второй их будет х-А-а, а в обеих вместе 2х-\-а человек.
Каждая бригада получила число рублей, превышающее число
рабочих в обеих бригадах на с, т. е. 2х-\-а-\-с, а следовательно, рабо-
2х-\-а-\-с
чий первой бригады получил ■ руб., рабочий же второй
2х-\-а-\-с
бригады - руб. Но рабочий второй бригады получил на
X-f~CL
Ь руб. меньше рабочего первой бригады. Поэтому можно напи-
2х-\-а4-с , , 2х4-а4-с _
сать такое уравнение: = \-Ь= !—!—. После не-
х+а х
сложных упрощений получим bx2-\- (ab—2а)х—а(а-\-с) =0. От-
2а—аЬ±У(2а—аЬ)2+4аЬ(а+с)
сюда х= — . Знак минус перед
корнем следует отбросить, потому что соответствующее ему
решение будет отрицательным. Действительно,
\2а—аЬ\<У(2а—ab)2+Aab(a+c).
Итак,
._ 2а—аЬ+У(2а—ab)2+4ab{a-\-c)
Х~ 26
301. Пусть второй рабочий работал х дней. До того как
приступил к работе второй, первый работал один в течение а дней
и выполнил часть работы, равную — всей работы.
Следовательно, первый может выполнить и выполнил в день часть работы,
равную —. Второму пришлось выполнить оставшуюся часть
работы, а именно часть, равную 1—— = -——. Отсюда видно,
Я Я
я—р
что второй выполнил в день часть работы, равную , Но вте-
182
чение ~\ дней рабочие, работая вместе, могут выполнить всю
работу, поэтому имеем уравнение
р а+х д-р а+х
qa 2 qx 2
Решаем его:
px(a-\-x)-\-{q—p)a(a-\-x) =2qax, px2—aqx-\-a2(q—p) =0;
_ aq±^azqz—4dlp{q—p) __aq±z{aq—2ap)
x_ __ ____ _ f
Xi= —(q—p), x2=a.
P
Оба корня удовлетворяют условиям задачи (q>p).
302. Обозначим скорость одного тела через х м/мин. Это те-
ло проходит окружность за —мин. Пусть другое тело движется
медленнее, тогда время, за которое второе тело пройдет
окружность, будет равно ( \-р)мин, а его скорость м/мин.
За q мин первое проходит путь xq м, а второе — — м. Но за
т+»
время q мин первое тело проходит на а м больше, чем второе
тело, потому что настигает второе тело за это время. Поэтому
aq
получаем уравнение —-\-a = qx, решив которое, найдем
т+»
ap±l/azpz-{-4a2pq _
Xz= —t . 1—- щ гак как отрицательное значение х
2pq
должно быть отброшено, то получаем, что одно тело проходит
Р+Ур2+4р<7 а ]/р2+4/7о—р
в минуту а-—-~ —м, а другое =а -———г-~м,
2рч ±л_р 2рч
X
303. Пусть первый работал х дней, тогда второй работал
(х—п) дней. За один рабочий день первый получал по — руб.,
Q
а второй по руб. Если бы первый работал (х — п) дней, а
183
второй х дней, то первый заработал бы —(х — п) руб., а второй
с
х руб. Но в этом случае их заработки были бы одинак/овы.
CL С
Поэтому получаем уравнение — (х — п) = х. Решаем его:
а(х — rif = схг, V а(х — п) = + х У с. Но так как левая часть
положительна (х — я>0), то знак минус в правой части должен
быть отброшен. Поэтому получаем х = —т= —=. Второй работал
V а— ус _
nV а пУ с . ^ .
число дней, равное х — п = —р= = — п =-— -= (а > с).
V а — У с V а— V с
304. Обозначим число экскурсантов через х. Каждый из них
должен был заплатить —руб. Но из-за отсутствия у Ь
экскурсантов денег остальные х — Ь уплатили каждый по(~ + с I руб., а
все вместе, принявшие участие в платеже, I \- с ) (х — Ь).
Последняя сумма составляет полный расход, т. е. а руб., и поэтому
получаем уравнение I \- с ) {х — Ь) = а, решив которое, найдем
cb ± Vc*b* + 4abc 0
х = ^ • Знак минус нужно отбросить, так как в
этом случае ргшение отрицательное (cb < У с2Ь'2 + Aabc).
305. Пусть искомая скорость есть х км/час. Скорость же
фактическая равна (х -f- v) км/час. Время движения поезда по
расписанию равно — час, а фактически было затрачено час, что
оказалось меньше на р мин. Отсюда получаем уравнение
d р „ —pv-h\<rpW-\-240pvd
—- =с7г> решив которое, найдем х = ——-=—^—! —.
Знак минус перед радикалом нужно отбросить, так как в этом
случае получается отрицательное решение, что невозможно.
306. Если сумма вклада есть х руб., а сберкасса выплачивает
у % годовых, то х и у найдутся из системы
( хуа
1200
хуЬ
т
1200
184
— П —X.
Разделив первое уравнение системы на второе, а затем вычтя
из первого уравнения второе, придем к следующей системе,
равносильной данной:
т —х а
п —х b '
ху (а — Ь)
1200
т
^ ап — Ьт 1200 (т — п)
Решив ее, получим: х = т—',У = -—т -•
J a — bv an — bm
Если учесть, что х и у должны быть положительны, то
отсюда легко получить условия возможности задачи. Для этого должно
быть -г- > —- > 1 или 0 < -г- < — < 1.
on b n
307. Так как в третьем сосуде, как и в двух других, после
третьего разлива оказалось 16 л, то после второго разлива в нем
было 32 л и 16 из них вылито в первый и второй по 8 л в
каждый. Отсюда заключаем, что в первый сосуд из третьего было
влито 8 л. Сколько же в него было влито из второго? После третьего
разлива, когда во второй было влито из третьего 8 л, во втором
оказалось 16 л. Следовательно, до третьего разлива, т. е. сразу
после второго, во втором сосуде также было 8 л и, следовательно,
при втором разливе из второго сосуда было перелито в первый и
третий 8 л, по 4 л в каждый. Отсюда заключаем, что в первый
сосуд из третьего и второго сосудов было перелито 8 л + 4 л =
= 12 л. При первом разливе из первого сосуда была перелита во
второй и третий половина содержимого, и, значит, в нем оставалась
половина количества литров, бывшего там сначала. Отсюда
следует, что эта половина есть 16л — 12 л = 4 л, а всего в первом сосуде
было 8 л. Определим теперь количество литров жлдкости,
находившееся вначале во втором сосуде. В него было влито из
третьего сосуда 8 л, из первого 2 л и вылито 8 л в третий и первый.
Так как в результате в нем оказалось 16 л, то, следовательно, в
нем было 14 л (16 — 8 — 2 4- 8). Но раз в первом было 8 л, во
втором 14 л, а во всех трех 48, то в третьем было 26 л.
308. Если путь от Ленинграда до Москвы в километрах
обозначить буквой S, время движения поезда в часах буквой /ь а обрат-
25
но t2, то искомая скорость в км/час будет такая: v = —-———.
f 1 + 12
О 4 S 4 S 2S 2'60 О,
20 + 30
309. Обозначим цифру единиц первого разряда буквой аъ
цифру единиц второго разряда — буквой а2 и т. д. по разрядам, вплоть
до цифры единиц самого высокого разряда, которую обозначим
185
буквой ап. Само число будем изображать так: ах аг... йп-\йп.
Тогда число, изображенное теми же цифрами, но написанными в
обратном порядке, будет апап л . .. агах. Из арифметики известно, что
всякое число можно представить как сумму некоторого числа
кратного девяти и суммы цифр данного числа. Поэтому каждое из
написанных выше двух чисел можно представить так:
ад • ■ • a„-ian = 9Л + а* + а2 + • • ■ + fl„-, + aa,
апап_х... а2ах = 9В f a„ -f ап^х 4- •.. + а2 -f <h-
Вычитая из первого равенства второе, получим
аха.л... ап лап — апап-х. .. а.2ах = 9 Л — 9Б = 9 {Л — В),
т. е. разность чисел есть кратное девяти.
Замечание. Из этого доказательства видно, что если второе
число будет любое, но составленное из тех же цифр, что и данное,
то разность таких чисел будет делиться нацело на 9.
IV.
ПРОГРЕССИИ
310. Не могут, так как если бы было ak = |/"з , at = 2, ат —
= Y& , то, считая для определенности k < / < щ, имели бы
2 = ^3 +(l-k)d, j/8 =]/3 +(m-k)dt
откуда получили бы, что
2— /3" _ /— k
Но это невозможно, так как слева иррациональное число, а
справа рациональное
311. Воспользуемся формулой
aa = ax + d{n — 1),
где ах и d — первый член и разность прогрессии. Получим
ат + ап=-ах + d(m— 1) + ах + d(n — l) = 2al +
+ d(m-\-n — 2) = 2ах -f d(k + / — 2) = a, -M(6— 1)-f
+ a1 + d{l—l) = ak + al.
312. Числа a,,-!, a„, ая+1 являются тремя последовательными
членами арифметической прогрессии. Поэтому ап — ап-х = ап+1 — ап
186
313. ав + «is = а9 + «12 = «i + «го, так как «в и а1Ь, а также а^
и а12 являются равноотстоящими от концов прогрессии членами.
Отсюда:
2 {ах + а2о) = 2°; ai + «го = Ю;
s20= ^+2^)2° = юр.
314. По свойству арифметической прогрессии а2 — а\ — #з — fl2
или aj + а3 — 2а2. Заменив «j + а2 через 2а2 в первом уравнении,
получим За2 — 9, а2 = 3 и ах + «з = 6. Подставив значение а2 во
второе уравнение, получим Ъахаъ = 15 или а^з = 5. Итак, имеем
систему а^д = 5, a1Jra3 = 6. Решив ее, получим для ах два
значения: 1 и 5. Точно так же для разности прогрессии d получим
два значения: а2 — ах = 3 — 1=2, а2 — ах = 3 — 5 = — 2.
Следовательно, и две прогрессии:
1, 3, 5, 7, ...;
5, 3, 1, -1, ...
315. Положим в формуле для Sn вместо п сперва число 1, а
потом число 2. Получим S1 — a1 = —1, S2 = a1+A» = 2. Отсюда
а2 = 2 — ах = 3, d = аг — ах = 4. Прогрессия будет такая: — 1, 3,
7, 11, ...
316. а10 = S10 — S9 = 280 — 225 = 55.
317. Сформулированное в задаче условие можно записать так:
Sk = 4k2, где k — число просуммированных членов прогрессии, а
Sk — сумма этих k членов. Полагая в этой формуле ^=1 и затем
k = 2, получим:
Sx = ах = 4 • I2 = 4; S2 = ^ + а2 = 16.
Таким образом, имеем
«! = 4, а2 = 16 — ах = 12.
Отсюда находим разность прогрессии d = а2 — ах — 8. Теперь
известны первый член ах = 4 прогрессии и ее разность d = 8;
следовательно, прогрессия известна. Первые ее члены таковы: 4, 12, 20,
28, ...
318. Замечая, что в арифметической прогрессии ах, а2, ..., ai0
по определению арифметической прогрессии, аг — ах = а4 — ая =
= ... =а10 — «э — ^» гДе я* — разность прогрессии, можем написать
«2 + «4 + • • • + «10 — «1 — «3 — • • • — а9 = («2 — «l) +
+ («4 —«з) + • • • 4- («ю —%) = 5d = 15— 12,5 = 2,5.
Отсюда d = 0,5. Найдем теперь первый член прогрессии из
выражения суммы ее десяти членов:
S10 = 15 + 12,5 = 27,5 = 2ai +29 • °>5 .ю = 5 (2ах + 4,5),
2ах + 4,5 = 5,5; ах = 0,5.
187
Искомая прогрессия будет такая:
0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5.
319. Так как по условию ар = q и а^ = р, то ар — aq = q — p.
С другой стороны, используя формулу ak = a1-j- d(k—1), где d —
разность прогрессии, получим
ap — aq = al + d(p—\) — a1 — d{q—\) = d{p—q).
Сравниваем два полученных для ар — aq выражения: q — р = d(p —
— q). Отсюда находим, что d = — 1. Но ат — ар = (т — р) d и
ат =ap + (m — p)d = q — m + p.
320. Для доказательства достаточно установить, что
_J L_ = _J L_
b-\-c a + с а-\-с a-\-b'
Замечая, что числа а2, б2, с2, как образующие арифметическую
прогрессию, связаны соотношением
а2 — Ь2 = б2 — с2,
преобразуем написанные разности так:
_J 1_ а — Ь _ Ф—tf
b + с a-f-c~(Hc)(a + c)"" (a -f b)(b + с)(с -f a) *
_J 1_ _ b — c = fr2 — c2
a + c a-\-b ~ (a + c)(a + b)~ (a + b) (b + c) (a + c)'
В полученных выражениях знаменатели одинаковы и числители
равны на основании соотношения
а2 — Ьг — Ьг — с2.
Следовательно,
_1 1_ =_J 1__
b-\-c a-\-c~a-\-c a-f-6'
321. Дроби, сумму 5 которых нужно найти, находятся среди
следующих:
-^Ш Зш + 1 Зт + 2 Зп — 1 Зл__
т~3' 3 ' 3 ' •'" 3 ' 3 ""'
Эта последовательность есть конечная арифметическая прогрессия
с первым членом т и разностью d = -»-. Число & ее членов
найдем из равенства
Л = Я1 + -тг-(&— 1),
откуда k — Ъп — Ът-\- 1. Следовательно, сумма этих дробей
с _ (гп + я) (Зп — Зт + 1)
188
т. а , 3/й З/я + 3
Но в сумму St вошли также сократимые дроби -^-, =—, ...,
3/1-3 Зл u , ,
—~—, -^-. Иначе их можно записать так*, т, т~\- 1, ..., л— 1,
л. Этих чисел л— т -\- 1, они образуют арифметическую
прогрессию и потому их сумма
с {т + п)(п — /л + 1)
•Ь2 = 2 '
Теперь можно написать, что искомая сумма
с с с (m + /i)(3n—3m+1) (т-f- п){п — т+ 1)
о = i^! — о2 = 2 о ^
= л2 — т2.
322. Из равенства Sm — Sn получаем:
2a' + df-'> m- 2a' + d2("-1)«, ан(«-л) +
+ d(m2 —m —л2 + л)=.-0,
(m —n)[2oi + d(m + /i—1)] = 0 *
илиl после сокращения на m — л Ф 0 получим
2Й1 + d(m + л—1) = 0.
r. c 2a! + d(m + n— 1). , .
Поэтому Sm+n = -J-i—Ц^ (m + л) = 0.
323. Воспользуемся формулой
2ax + d(k-\) u
bk - 2 k'
На основании ее и условия задачи получим
m^ + djm— 1)1 т /л2
[2a,+d^ — 1)]л ~ л2
или
[2ax + d (т — 1)1 л = [2ax + d (л — 1)] т.
Преобразуем последнее равенство:
2a1(m-~n)-\-d[(n— \)m—{m— 1)л] = 0,
2а! (т — л) — d (т — л) = 0.
После сокращения на т — л ф 0 найдем, что d = 2ax. Теперь
можем написать, что
ат _ a-^-^djm— 1) _ ах + 2а, (/л— 1) _ 2т— 1
~a^ ~ ax + d(n— 1) ~ Д! + 2а, (л — 1) ~ 2л— Г
189
324. Каждый ряд из т параллельных линий вместе с двумя
сторонами параллелограмма, которым линии соответствующего
ряда параллельны, образуют ряд из (т + 2) параллельных линий.
Будем их нумеровать по порядку 1, 2, 3, . ., т + 2 сверху вниз
и слева направо и называть 1, 2, 3-я, ..., (т + 2)-я по вертикали
и 1, 2, 3-я, . . ., (т + 2)-я по горизонтали. Первая линия по
вертикали с каждой следующей, т. е 2, 3-й, ..., (т -f 2)-й по
вертикали образует по одному параллелограм-
1 му, а всего (m-f-1) параллелограммов
(рис. 4). При этом предполагается, что
т горизонтальных линий еще не
проведены. Вторая линия по вертикали
обет** —— разует с 3, 4-й, . ., (т + 2)-й всего т
р . параллелограммов (параллелограмм,
образованный ею с первой линией по
вертикали, учтен ранее) Третья линия по
вертикали образует с каждой следующей по вертикали по
параллелограмму, а всего (т — 1) параллелограммов И так далее,
вплоть до (т+1)-й линии по вертикали, которая образует с
единственной следующей один параллелограмм Итак, одни
вертикальные линии с двумя горизонтальными (сторонами данного
параллелограмма) образуют число параллелограммов, равное сумме
членов следующей прогрессии: т + 1, т, т— 1 2 1 Эта
сумма равна
причем сюда же вошел и данный параллелограмм Проведем
теперь т горизонтальных линий и, выбрав какой-нибудь из
полученных ранее параллелограммов, будем относительно его и (т -j- 2)
горизонталей повторять рассуждения, приведенные выше
применительно к данному параллелограмму и (т -\- 2) вертикалям. Мы
убедимся, что с помощью (т -f- 2) горизонталей можно из каждого
ранее полученного параллелограмма образовать -—■—-~ —'—
параллелограммов, а следовательно, всего с помощью двух рядов
прямых, параллельных сторонам параллелограмма, по т линий в
каждом, с учетом сторон параллелограмма, можно образовать
(m+l)(m + 2)
(m-Ь l)2(m-f 2);
пара лле лог раммов.
325. Составим разности соседних членов заданной
последовательности:
&1 = 5 — 3 = 2, 62 = 9 —5 = 4, &3= 15 —9 = 6, ...
Числа 2, 4, 6, ... образуют арифметическую прогрессию с
разного
стью d = 2. Таким образом, член данной последовательности
равен сумме предыдущего члена этой последовательности и того
члена найденной арифметической прогрессии, номер которого равен
номеру предыдущего, т. е.
ak = ak-i + bk-v
Поэтому получим
«л = an-i + Ьп-\ = ап-2 + 6„_2 + Ьа_! = ... = ах + Ьх +
+ 62 + • • • + 6Я_1 = 3 + 2 + 4 + ...+(2л-2) =
= 3 + 2(1+2 + ... + л — 1) = 3 -4- лг (п — 1) = я2 — л + 3.
326. Если m — четное число, то искомая сумма
Sm = (I2 —22) + (З2 —42) + . .. + [(m— 1)2 — т2] =
= _3 — 7— ... — (2т— 1) =
(3 + 2т—1). ^ / , ,ч
__ 2 _ т(т+ 1)
2 ~ 2 '
Если т — нечетное число, то
с _ с , т2 _ {т-\)т _ m(m+l)
327. Все четыре последовательности являются геометрическими
прогрессиями. Знаменатель первой прогрессии есть qx — — -^,
знаменатель второй <72=1, знаменатель третьей q3~— 1, наконец,
знаменатель четвертой <74 = 0.
328. Не могут. Для того чтобы они могли быть членами
геометрической прогрессии, должны существовать такое число q и
натуральные числа тип, при которых выполнялись бы равенства:
11 = К)?";
12= lO*?".
/ 11 \п 112 \т
Но тогда было бы 1-^ = I —^ или 11л= I2m10"—m, что,
очевидно, невозможно.
329. Воспользуемся формулой ап = од*-1, где ах и q — первый
член и знаменатель прогрессии. Получим
атап = axqm-1 axqn~x = d\qm+n~* = a\qk+l~% =
= ад*-1 axq{~1 = akav
330. Числа ал_ь ап, ап+1 являются последовательными члена-
нами геометрической прогрессии. Поэтому а„:ап—1 = ап+1:а„ или
а% = ап-хаа+1. В доказательстве предполагалось, что знаменатель
191
прогрессии q ф 0. Однако справедливость доказываемого равенства
для случая q = 0 очевидна.
331. Раскрываем скобки в левой части и пользуемся формулой
у2 = xz. Получим
(х + 2 + у) (х + 2- </) = (* + г)2- у2 = л:2 + 2*z + г2-
_ t/2 = д.2 _|_ 2t/2 _|_ -,2 _ yl ^ Х1 + у2 + 2at
332. Рассматриваемую сумму можно записать так:
1
5^
1 . 102
—I -,
-'+... + ^
Так как первые слагаемые в числителях дробей образуют
геометрическую прогрессию со знаменателем 10, то последнее выражение
легко преобразуется к виду
5 /1П 10"—1
333. 11 ... 1 55... 56 = (102*-1 + 102ft-2+ ;.. + Ю-г-
1
+ 1) + 4 (10й-1 + Ю*-2 + ... + Ю + 1) + 1
~(102* — 1
10й + 2 \2
Ю2* — 1 10й— 1 1
l^rr + 4-lbrr + 1 =^-(102ft-l+4-10^-4 + 9)
= -й- (102*-f 2 . ю* • 2-f 22) =
У
3(10*—1)
10*
3
i+iY
+ 1
10-1 +1
= [3( 10*-1 + 10fe-a + ... 4-10 -f 1) + l]2 =-
«(3- 10*-1 + 3 . 10*-2+...-f 3- 10 + 4)2 = 33...34\
834. Обозначим первый член прогрессии через х, а знаменатель
через у. Тогда для этих трех членов х, ху и ху2 на основании
условия задачи можно написать
х + ху + хуг = 3,5, х2 + xhf + х2у* = 5,25.
Возведем в квадрат обе части первого уравнения и разделим его
после этого почленно на второе уравнение. Получим
ХЦ\ 4-у + у8)8 _ 12,25
х*(\+у* + у*) ~ 5,25'
Рещаем это уравнение, предварительно сократив левую часть на
х*ф0:
192
Ч\+У* + У){\+У2-У), (Ц-</+</2)[3(1 + </ + </2)-
-7(l+t/2-t/)] = 0.
Но 1 -f у 4- У2 ~ 0 не имеет вещественных корней. Знаменатель
прогрессии t/ определяется поэтому из уравнения
3(1+</ +</2)-7(1+*/2-</) = 0.
Находим:
2*/2-5</ + 2 = 0; ^ = 2, ft = 4". *i = ^
2 ' ^ 1 + ft + У\
.3,5 3,5 _ 3,5.4 .
-т-0,5, х2-тт^-т^-_-т--2.
Итак, задача имеет два решения: ^ == 0,5, ft = 2; л:2 — 2, ft — 0.5.
335. Будем рассматривать ап как первый член арифметической
прогрессии. Тогда ат+п будет (т+1)-й член этой прогрессии и
будем иметь соотношение cim+n = ctn -\- tnd. Совершенно так же,
рассматривая ат как первый член арифметической прогрессии, а
ат+п как (п -f- 1)-й член, получим
am+„ = am -f nrf.
Наконец, рассматривая ат-п как первый член прогрессии, а ат+п
как (2п -f 1)-й член, получим
ат+п = ат-п + 2^-
Во всех этих равенствах d есть разность данной прогрессии. Из
этих трех уравнений находим:
ат = ат+п — nd = А — nd, ап = ат+п — tnd — А — tnd,
А-В
d
lm + n
2nd 2nd '
Подставляя значение d в первые два уравнения, находим:
А —В я А —В А + В
ат = А — п-
а„ = А — т
2л 2 2 '
А — В 2пА —тА + тВ (2п — т)А + тВ
2п 2п 2п
336. Рассматривая ат как первый член геометрической
прогрессии, а ат+п как (л+1)-й, получим am+n = amqn или ат = Aq~n.
Рассматривая ап как первый член геометрической прогрессии, а
ат+п как (т + 1)-й член, найдем ат+п = a„^m или a„ = Aq~m.
Наконец, рассматривая aOT_.„ как первый член геометрической
прогрессии, а ат+п как (2л -f 1)-й член, придем к соотношению
7 Шахно К. У. 193
am+n = am-ng2n или А = Bg2n. Во всех этих равенствах q
знаменатель данной прогрессии. Из последнего уравнения находим
1
А \Тп
и подставляем его в первое и второе уравнения. Получаем:
-п J_ _m_
в J yB j у <-, «-„ ^В
337. Обозначим знаменатель этой прогрессии буквой д и будем
число а считать первым членом этой прогрессии. Тогда можем
написать, что b = ад, с = aq2, d = ад3. Пользуясь этими формулами,
получим
(Ь — с)2 + (с — а)2 + (d — б)2 => {ад — ад2)2 = (а^ — а)2 -f
+ (а^-^)2 = а2(1-^)2[^ + (^+1)2 + ^(^+1)2] =
= а2 (1 - gf {ф + ?2 + 2? + 1 + ^ + 2ф + <72) -
= а2 (1 — ?)2 [<f + 2^(1 + <72) + (1 + д2)2] =
а2{\ — gf(g + 1 + <72)2 = а2(1 — q*f = (а — а<?3)2 - (а — d)2.
338. Обозначим данное выражение буквой 5 и воспользуемся
формулой квадрата суммы двух чисел. Получим
S = [х2+ 2 +~) + (х*+ 2+—] + ...+
+ (х2п
+ 1 -М2
339. (1
(хп+1 — I)2
(х
хп —
+ 2+ -
+ *4 + .
+ 2п-
+ Х + Х
— хп(1-
-I)2
1 хп+2
1 \
л;2" /
...+
-1 =
:2 + .
-X)2
— 1
1
Х2п
х2п + 2п
д4л + 2
х2л (л;2 —
.. + хп)2
д-2л + 2
= M4-i
1^ д;2л—2
+ - + 1?
1 (х2)2" + ]-
— Х*п ' д-2 _ J
'1) + 2"-
— хп = Г
-2хп+1 + \-
(х-
■ 4- *-2 4- .
-1.
x—l j
—xn+2xn±l-
-\f
. . 4- хи-ПП
+
^ +
-Xw =
-xn+2
4-
X— 1 X— 1
+ х + л;2 + ... + x"+1).
340. Дано S^ax + ai + .-.+a» и Si = -j-+-J-+... + —.
Нужно найти о = dOa... an. Пользуясь тем, что в конечной гео-
194
метрической прогрессии произведение членов, равноотстоящих от
концов, равно произведению крайних членов (задача 329), получим
о2 = (а^.. . ап)2 = (афп) (а2ап^х). .. (ад) - (а^)».
С другой стороны, на основании того же свойства можно написать
о - ах + а2 -f ... + аЛ — — f- — h • • • + ~г~
Поэтому
<"<-«=!• °!=(-£)"■ * = |^2
341. 5 = х + (л:2 + л:2) + (а:3 + 2л:3) + ...+ [хп-\-(п — \) хп]
=* + х2 + л:3 + ... + хп + х (х + 2л:2 + ... + я*п) — пхп+1\
1
+ Sx — nxn+l,
( ,,Q _ПХп+2 — (П+ 1)Хп+1+ X
{Х- 1)5- : ^—^ -J
5 = (x-ZT[f[nxn+l-(n + 1)*п + 1]"
342. Не нужно. Это определение суммы бесконечно
убывающей прогрессии, принятое в курсе элементарной математики, а
определение не доказывают.
343. Если последовательность аь а2, а3,... есть геометрическая
прогрессия со знаменателем q, то последовательность a2v а\, а%у ...
является также геометрической прогрессией, но со знаменателем q2.
Поэтому, пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, можем написать следующие два уравнения:
й1 9;-Д-, = 40,5.
l — q ' 1 — q2
Подставляя значение ах = 9(1—q), найденное из первого
уравнения, во второе, получим:
М11^=4од^) -1,1 + ,-20-а
q^-L, аг = 9( 1--1^=9-3-6.
344. Если аъ а2, а3,.. . есть геометрическая прогрессия со
знаменателем q, то а\, а|, а|,.. . тоже геометрическая прогрес-
У* 195
скя, но со знаменателем q3. Поэтому можем написать следующие
два уравнения для определения первого члена прогрессии и ее
знаменателя:
«1 о а1 108
1 —<7 ' 1 — q3 13 *
Найдя из первого уравнения аг = 3 (1 — q) и подставив это
значение ах во второе, получим:
27(1 — д)3 _ 108 (1 — qf _ _Ь_
\ — q3 13* 1-4-<7-г-<72 13'
13 (1 - 2q + <72) = 4 (1 + д + д2\ Зд2 - Юд + 3 = 0,
# = -^—; ^^l-' «1 = 31 1—-у =3— 1 =2.
Значение о2 = 3 > 1 не подходит, так как прогрессия убывающая.
2 2
Второй и третий члены прогрессии будут — и -^-.
о У
345. Если последовательность аъ а2, а3, а4, ... есть бесконечно
убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем д, то
последовательности аъ а3, ... и а2, а4) ... также будут бесконечно
убывающими геометрическими прогрессиями со знаменателями д2.
Поэтому можем написать следующие два уравнения:
ai = 36; Г-^Ц- = 12.
1 - д2 ' 1 — .
Найдем из первого уравнения ах = 36 (1 — д2) и подставим это
значение во второе уравнение. Учитывая, что а2 = axq, получим:
36? = 12, д = -^-, Gi = 36 [l— -^\ -36—4 = 32,
32 32
а искомая прогрессия будет такая: 32, -к-, -тг> • • •
0 У
346. Если обозначить знаменатель прогрессии, сумму которой
нужно найти, через д, то прогрессия может быть записана так: 1,
д, q2, ... Так как второй член прогрессии меньше суммы смежных
с ним членов 1 и д2 в 2^- раза, то получаем уравнение 1 -j- д2 =
13 2 3
= -g-q, решив которое, найдем, что д1 = к-; q2 = ^- Второй
корень не годится, так как при q = ^ прогрессия не будет
убывающей. Находим сумму прогрессии: S = ^ — 3.
1 —-
3
196
347. Обозначим знаменатель искомой прогрессии q. По условию
любой член прогрессии в 3 раза больше суммы всех следующих
за ним членов прогрессии. В частности, первый член равен
утроенной сумме всех членов прогрессии без первого. Но искомая
прогрессия имеет такой вид: 1, q, q2, ... Следовательно, сумма всех
членов, начиная со второго, есть сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии с первым членом q и знаменателем q,
которая равна . Отсюда получаем уравнение 1 = 3* -. ,ре-
шив которое, найдем q — -г-. Искомая прогрессия имеет вид 1,
4' 16' •"
348. Обозначим первый, второй, третий и четвертый члены
через аъ а2, а3 и а4, а знаменатель прогрессии — через q. Тогда
будем иметь: а2 = axq\ а3 = axq2; а4 = axq3. По условию задачи ах +
+ а4 = 1,5 (а2 + а3) или ах -\-atqz = 1,t(axq -\-axq2). Но ахфО, в
противном случае прогрессия имела бы вид 0, 0, 0 что не
может быть, так как сумма первых четырех членов не равна
нулю. Разделив равенство на аъ получим 1 + q3 = \,5q(l -\- q).
Решаем это уравнение:
2(1 +93) = 3(7(1 + Я), 2(1+<7)(1-<7 + <7*)-3<7(1 + <7) = 0,
(1 + 9)(2?2 _5<7 + 2) = 0.
Но 1 + q Ф 0, иначе прогрессия не была бы убывающей (q = — 1),
поэтому 2q2 — bq -f- 2 = 0. Отсюда находим:
5+3 1
Второе значение не даст убывающей прогрессии и должно быть
отброшено. Остается только q = =-. Из условия Oi + а2 + аз +
+ а4 = 15, найдем ах. Действительно,
с агЦ-^) Ч'""^) 15
6* - 1-а ~ ~Т ■ -15'
2
15 ire a
-g-fli= 15, ах = 8.
о
Отсюда сумма прогрессии 5 = р = 16.
7
349. По условию задачи имеем 56 = ~-S. Если обозначить пер-
197
вый член прогрессии через ах Ф О, а знаменатель прогрессии через
Ml — д«) 7 аг
д, то последнее равенство запишется так: — -^ = д- • .
7 1
Сокращая на , J_ ф 0, получим 1 — д6 = ~, Отсюда д = ± -у==.
350. Обозначим разность этой арифметической прогрессии
буквой d. Тогда первый, пятый и одиннадцатый члены этой
прогрессии запишутся так: 24, 24 + Ad, 24 + \0d. Так как они образуют
геометрическую прогрессию, то имеет место соотношение
(24 + 4с?)2 = 24 (24 + 10d).
Решаем полученное уравнение:
(6 + d)2 = 3(12 + 5d), 36+ 12d + d2 = 36+ 15d,
d2 = 3d; dx = 0, d2 = 3.
Получаются две прогрессии:
24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24, 24
и
24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54.
351. Девятый член а9 арифметической прогрессии определится
1 4-с
из соотношения 7> 9 • 9 = 369. Из него находим а9 = 81.
Знаменатель д геометрической прогрессии определится из равенства 81 =
= 1 • q6. Отсюда находим д2 = 3 Седьмой член геометрической
прогрессии равен ахф — 27.
352. Обозначим первое, второе и третье числа через аъ а2 и а3
Эти три числа составляют геометрическую прогрессию, и поэтому
можно написать, что а\ = аха3 Числа аъ а2 + 8, а3 составляют
арифметическую прогрессию, и поэтому можно написать, что а% -f
-f 8 = 1 р 3. Наконец, числа аъ а2 4-8, а3 + 64 составляют
геометрическую прогрессию, и поэтому можно написать, что (а2 +
4-8)2 = ах (о3 4~ 64). Таким образом, имеем систему уравнений:
а\ = аха„ а% 4- 8 = ^-±А3, (а, 4- 8)2 = ах (а3 +.64).
Произведем умножение в третьем уравнении
а\ 4- 16а2 + 64 = ага9 + 64аг.
Но на основании первого уравнения а\ = а^; поэтому
предыдущее уравнение принимает вид 16а2 + 64 = 6Aav Отсюда аг ~ Ааг —
— 4. Подставляем найденное значение а2 во второе уравнение
системы. Получаем:
198
Отсюда Оз == 8 + 7av Найденные выражения для а2 и а3 через аг
подставляем в первое уравнение системы и решаем его
относительно av Получаем:
(40i — 4)2 = й! (8 + 7аг); 9а? — 40ах +16 = 0; ах = 20 ^ 16 .
20 4- 16
Если ах == — = 4, то а2 = Аах — 4 = 12; а3 = 8 -J- 7ах — 36.
9
с- 20— 16 4 л 20 Q , „
Если аг = —- = — то а2 = 4ах — 4 = д-; а3 = 8 4- 7ах =
100
= .
9
\
Итак, возможны две тройки чисел: 1) 4, 12 и 36, 2) -^-,
20 100
353. Обозначим искомое число буквой х, а другое, вставленное
между числами 3 и х, буквой у. Три числа 3, у и х образуют
арифметическую прогрессию. Поэтому можно написать, что у =
3 4- х
= —~—. Числа 3, у — бил: образуют геометрическую прогрессию,
и поэтому можно написать, что (у — б)2 = Зх. Заменив в этом
уравнении неизвестное у на основании предыдущего равенства,
получим
i+i-eV = 3*.
Решаем это уравнение:
(нГ^)2 = 3*' (х~9)2= Пх> а:2 —30x4-81 =0; % = 27, хг = 3.
Во втором случае все три числа одинаковы, так что они образуют
арифметическую прогрессию с разностью, равной нулю. После
уменьшения второго числа на 6 получим такие три числа: 3, — 3,
3. Они образуют геометрическую прогрессию со знаменателем,
равным — 1.
354. Обозначим первое, второе и третье числа через х, у и z.
По условию задачи имеем х-\- у -f- z — 114. Так как эти числа
образуют геометрическую прогрессию, то имеет место равенстю
у2 — xz. С другой стороны, так как эти числа являются
соответственно первым, четвертым и двадцать пятым членами
арифметической прогрессии, то, обозначая разность прогрессии буквой d,
получим у — х + 3d, z — х -\- 24а\ Подставляем эти значения у и
z в полученные выше уравнения. Это приводит к следующей
системе уравнений: х -f (x -f 3rf) + (* + 24d) = 114; (# + 3d)2 = х (х +
199
+ 24d), которая после упрощений принимает такой вид: х + Ы —
= 38; d2 = 2dx. Решив ее, найдем: хх = 38, dx = 0 и х2 = 2, d2 =
= 4. Итак, возможны два решения: 38, 38, 38 и 2, 14, 98.
355. Обозначим искомое число минут через х. Второе тело
прошло за это время путь 6х м. Первое тело проходило в каждую.
минуту, начиная со второй, на 0,5 м больше, чем в предыдущую,
и, следовательно, общий пройденный им путь будет равен сумме
х членов арифметической прогрессии, первый член которой есть 1,
пк 2 + 0,5(л:— 1) т
а разность 0,5, т. е. ! ^ х. Так как тела встретились,
то получаем следующее уравнение:
fa+ 2 + 0,5^-1) < = П7-
Отсюда
xz + 27* — 468 = 0; х = 12
(отрицательный корень отброшен).
356. По свойству арифметической прогрессии должно быть а2 =
~^-х—-, а по свойству геометрической — а2 = ага3. Сравнивая
значения а\, взятые из этих равенств, получаем
Отсюда находим:
(«1 + Дз)2 ~ 4g!fl3 _n. (fli — fl3)2 _ft
4 ~U' 4 ~U'
^1 + Я 3
что дает ах = а3. Но тогда и а2 = —^— = а± = а3.
Это возможно лишь в том случае, когда разность
арифметической прогрессии равна 0, а знаменатель геометрической 1. Если
бы эти числа были первым, вторым и третьим членами
арифметической прогрессии и первым, третьим и вторым членами
геометрической, то это возможно и при неравных аъ а2 и а3. Например:
1 , / . 3\ .. п , 1 / 1 \
4-2, т, _1^ = -Tj;^2, — 1. -2" ^ 4/
357. Должно быть б2 = 4а и 2а = b + 4. Отсюда:
б2 = 2(6 + 4); б2 —26 —8 = 0; Ь, = 4, 62 = —2; ах = 4, а2 = 1.
При а = b — А делимое будет иметь вид
4х4 + Ах9 + 4х2 + d* + / = 4*а (л:2 + х + 1) + d* + /.
Следовательно, для делимости этого многочлена на х2 + х + 1
необходимо и достаточно, чтобы было d = / = 0. В этом случае
200
частное будет равно 4л:2. При а — 1 и b = — 2 делимое имеет вид
*4 — 2л;3 + 4л:2 + dx + / и частное от деления его на л:2 + х + 1
будет многочлен второй степени вида л:2 + тх + п. Поэтому
можно написать
л:4 — 2л:3 + 4л:2 + dx + / = (л:2 + х + 1) (л:2 + тл: + п) = х* +
+ (т + 1) л:3 + (т + At + 1) л:2 + (т + «) л: + л.
Приравнивая коэффициенты при л:3 из левой и правой частей
равенства, а затем при х2, придем к следующей системе:
т + 1 = —2, т + п + 1 = 4.
Отсюда т = — 3, « = 6, а искомое частное в этом случае будет
л:2 — Зх + 6.
358. Дано, что обе прогрессии возрастающие, т. е. что d =
— а2 — ах > 0, 0 = —! > 1. Нужно доказать, что ап < 6л при п > 2.
Доказательство. ал = a1 + d(/i—1) = д1-}-
+ (а2 — ах){п— I) = flx
- fll[l + fo- l)(n- 1)1 = а1[1+(^-1)(1 + 1+ ...+!)]<
i + (-^-H(«-i:
rt—1
<fl1ll + (?- 1)(^-2 + <?*-* + . . . + ? + 1)] = flill +
V.
ЛОГАРИФМЫ
а) ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ \
359. По определению логарифма.
360. Если а> 1, то большему числу соответствует и больший
логарифм, т. е. loga2<loga3. Если 0<а<1, то большему
числу соответствует меньший логарифм, т. е. loga 2 > logfl 3.
361. Пусть log^a = х. Тогда по определению логарифма Ьх = а.
Логарифмируя это равенство, получим х loga b = loga а, а так как
х = \ogba и logaa= 1, то получим окончательно
log*alogflfc= 1.
362. Пусть log^ a = x и logc а = у. Тогда по -определению
логарифма имеем Ьх = а и су = а. Отсюда Ьх — с*. Логарифмируя
последнее равенство, получим х logc b = y logc с = у. Подставляем сюда
201
вместо х и у их выражения logft a log. & =» logc а. Отсюда logft a =
log, Ь
363. Так как под знаком логарифма должна находиться
положительная величина, то формула log a2 = 21og (— а) верна, когда
— а > О или а < 0. Следует также иметь в виду, что формула
loga2 = 21oga верна лишь при а > 0. И только формула log а2 =>
= 21og J a { верна при всяком а Ф 0.
364. Из условия
13а6 = 4а2 + 962
найдем, что
5
Логарифмируя последнее, найдем
2 log —р = log a -f log 6.
Отсюда и следует доказываемое равенство.
365. Из равенства a2 -J- б2 = 7а6 следует, что
(а + 6)2 = 9а6, fep) =а6.
Прологарифмировав последнее равенство, получим то, что
требуется доказать.
366. Так как а2 = (с -f- 6) (с — 6), то, логарифмируя последнее
равенство сперва по основанию с -j- b, а потом по основанию с — 6,
получим
21ogc+fta = 1 + \0gc+b (с — 6) и 21og,_6 a = 1 -f- log,_A (c + b).
Перемножаем эти равенства и производим преобразования:
41og,+* a \ogc_ba =* 1 -f- log,+ft (с — b) -f- log,_„ (с тЬ 6) +
+ logc+6 (с — 6) log,_& (с + b) = [1 + logc+ft (с - 6)] +
+ [1 + logr_, (с + 6)1 = 21ogr_, a + 21og,+, a.
367. Пользуясь соотношением logft a = , ^c , (см. задачу 36%
получим
In* Q 8 = loft»9'8- logxo(49-0,2) 21og1()7 -f- log102- 1 __
g8 ' bg108~ 31og102 31og102
= 26 + a — 1
~ 3a
868. Пользуясь формулой logft a = . gc , (см. задачу 362), полу-
log^ о
чим
202
369. Пользуясь соотношениями loga6=»-r — (см. задачу 861)
Ш а1о%а х = х (задача 359), получим
tog» flog* a) / 1 Vogftpogftg)
logftfl log* a
a t=\a J = (flloga*) lo&> (lo8*>°) -=
= b^b№b") = \ogba.
370. Положим log6a = ;e. Тогда по определению логарифма
bx = а. Возведя последнее равенство в степень п, получим bnx ~ ап
или (Ьп)х = ап. Последнее же означает, что log^a" = х, а так как
х = lgfta, то \gbn an = lgft a.
371. lg43 = lg42 32 = lg169 (см. задачу 370).
372. Пользуясь формулами, доказанными в задачах 370 и 361,
получим
lg/Т 8 = &64 = 1&4' = 31g3 4 = 31g3 A =
= з(18з12-1ёзз) = з(11-з-1)==3(т-1)
1
3(1—а)
373. Воспользуемся формулой log6 а = , ^ ^ (см. задачу 361).
Получим
, х = 1 = I
- 1
bgai x 4ogfl2* '"^ \ogan x
874. Логарифмируя данные равенства, получим
(1 — log10 x) log10 г/ = 1, (1 — log10 у) log10 г = 1.
Отсюда
log10x = 1 — -г—— = 1 —
bgio У j 1__ 1 — log10 z'
log102
1
1 — log10 г
Ноэтому л: = 10
203
375. Так как log,, a = -. и Ь = \^ас, то
1 — 1 — 1 — ? 21oga.ylog, х
°gftA: ~ log, 6 ~~ \ogx у^Г ~ \ogxa + log^c ~ logax + log,*"
Подставляя это значение logft x в левую часть доказываемого
равенства, получим
bga* —logft* = logfl x (loga x + log. *) — 21oga x log, x =
log„ jf — log, x 21oga л: log, x — log, * (logfl x + log, *)
_ (lQgq xf — lQga x log, л: = loga x (loga л: — log, x) = loga л:
loga л: log, x — (log, x)2 log, л: (logfl x — log, x) log, x'
376. По определению арифметической прогрессии можем
записать
lo§m х — 1о§* х = log« х — logm х.
Пользуясь формулой logft a = ■. « (см. задачу 362), преобразуем
написанное выше равенство
— lo&k х
\ogkm &k \ogkn hgkm'
Сокращая на logfex, приводя подобные члены и потенцируя,
получим:
2 1
ZT = 1 + ' i^ „ » 21°g* n = ]°gfe m (loS* Л + 1),
logfe m logfe n
logfe m log* m
log* n2 = logfe m logfe {nk), logfe я2 = logfe {nk) , n2 = (nk)
Если logfex = 0 (на этот множитель мы сокращали), т. е. если
х = 1, то числа logk х, logm x, log„ х дают арифметическую
прогрессию 0, 0, 0 при любых k, m, п, и, таким образом, необходи-
logfem
мость соотношения п2 = (kn) в этом случае отпадает.
377. Если х=1, то числа logfex, logmx, lognx образуют
арифметическую прогрессию 0, 0, 0 при любых к, т, п, в
частности, и при таких, при которых выполняется данное в задаче
соотношение. Будем теперь считать, что х ф 1 Прологарифмировав
данное равенство, получим:
log^m
bg* (kn) = logfe n2, logfe m (1 + logfe n) = 21ogfe n,
l + logftn_ 2 1 = 2 _
\ogkn logfem ' logfen logfem
Умножим последнее равенство на logfe x ф 0. Получим
204
\ogkn Ък \ogkm.
Пользуясь формулой
i logc я
найдем, что
l°g„ * + log* * = 21ogm x или log* jf — logm x = logm * — log„ x,
а это и требовалось доказать.
378. При делении неравенства 31og10-^-< 2Iog10-n- на Iogle-^-
придем к неравенству противоположного смысла (3 > 2), так
как log10 -J- < 0.
б) ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
379—381. В первых уравнениях Р{х) и Q(x) должны быть
положительны, а во вторых они могут быть одного знака (в задаче
379 они могут также быть равными нулю). Таким образом,
рассматриваемые пары уравнений в общем случае не равносильны.
382. В первом уравнении должно быть Р(х) > О, а во втором
Р(х) может быть любым вещественным числом, не равным нулю.
В общем случае эти уравнения не равносильны.
383. Если л: = у, то и ах ~ а>. Однако ах может быть равно а?,
когда хфу, если а— I. Таким образом, если аФ 1, то уравнения
ах — а? и х = у равносильны.
384. Решаем первое уравнение: х2 — 1=8, х2 = 9, хх — 3,
х2 ~ — 3. Оба корня удовлетворяют этому уравнению.
Подставляем теперь х = 3 и х = — 3 во второе уравнение и убеждаемся, что
х = — 3 ему не удовлетворяет. Следовательно, уравнения не
равносильны.
385. Потому что уравнение
21og (х — 1) = 21og 3
не эквивалентно данному, так как
log(x— 1)2 = 21og |х — 1|.
Оно эквивалентно данному лишь при х > 1, а при х < 1 такому:
21og(l— x) = 21og3.
Решив последнее, найдем х — —2.
386—424. Указание. I. При решении логарифмических и
показательных уравнений часто приходится логарифмировать и потен-
205
цировать обе части уравнения. Указанные операции могут привести
к уравнениям, не равносильным данным. Это следует иметь в виду,
чтобы не потерять корни и не приобрести посторонние.
Логарифмирование может привести к потере решений, а потенцирование к
приобретению посторонних (см. задачи 379—385). Посторонние
могут быть выявлены проверкой (испытанием). Чтобы не потерять
решения, нужно стараться применять такие операции, которые бы
приводили к уравнениям, равносильным данным, или, в крайнем
случае, имели бы среди своих решений — решения данного.
II. В том случае, когда неизвестное входит и в основание и в
показатель (например, хх, (х + I)108 y и т. п.), допустимыми
значениями букв могут быть лишь такие, при которых основание
положительно. Если же показатель не может быть отрицательным,
то основание может обращаться и в нуль. Например, в выражении
(1 + у)* должно быть у > — 1, а если х > О, то у > — 1
386. (i- log,5) - у log, 5 + -|— 0. log2,5 - 61og, 5 + 5 = 0,
. bg, 5 = 3 + 2; log, 5 = 5, xb = 5,
x1 = fr5"; log, 5= 1, *2 = 5.
387. ZV\gx — lg* = 2; Igx — 3 /Ig^ + 2 = 0,
VW*~ = ^^~\ V\gx = 2, lg* = 4, x, = 104 = 10000;
Vlgjf = 1, lg* = 1, x2 = 10. Оба корня удовлетворяют уравнению.
388. Так как левая часть уравнения положительная, то должна
быть положительной и правая часть, что будет иметь место лишь
тогда, когда log,]/5<0 или 0<#<1. Предполагая это
условие выполненным, возведем в квадрат данное уравнение. Получим
новое уравнение
3 3
у log, 5 + 3 = у log; 5 или log! 5 — log, 5 — 2 = 0,
которое равносильно данному (при условии 0 < х < 1). Решаем его:
log* 5 = -у-; log,5 = — 1, *x = -g-;
log, 5 = 2, Хш = УГ.
Второй корень посторонний, так как}/ 5>1.
389. Логарифмируем обе части уравнения. Получим следующее
уравнение, равносильное данному:
(log6 х — I)log6 Y~x~ = log6 5 или log2 x — log5 x — 2 = 0.
206
Решаем его:
1 4- 3
logs x = -^—; log5 х = 2, х = 52 = 25; log5 х = — 1,
■^2 —
Замечание. Равносильность данного уравнения и
полученного логарифмированием данного следует из того, что основание
степени [/ х предполагается положительным. Вообще, уравнение
uv = до, где и > 0, как можно показать, равносильно уравнению
v\ogau = \ogaw.
390. Логарифмируем обе части уравнения. Получим уравнение,
равносильное данному (см. задачу 389), которое затем решаем, как
биквадратное:
(21g3*-l,51gx)lg* = lgKT0, 21g4л: 1- lg2*=*i-,
4lg4*-31g2x-l=0;lg2x-i^jp = l, lg*=± 1,
Xi = 10, X2 = -г*.
391. Делаем сперва алгебраические преобразования в правой
части уравнения, затем логарифмируем обе части:
lg2* + 31g* + 3 2
Vl+x+l ]/l+x—1
lg2 x-f 31gx + 3
\gx(\g2x-j-3\gx + 2)^0.
me равносильно данному
[x, получим
lg* = 0; lg* = — 1; lgjf = —2.
Полученное уравнение равносильно данному (задача 389). Решая
его относительно lg x, получим
Отсюда
Xi = 1; х2 = 0,1; х3 = 0,01.
392. Так как должно быть — х > 0, то У х2 — — х и данное
уравнение равносильно следующему:
/21g(-*) = lg(-*).
Возведя последнее уравнение в квадрат, получим
21g(-*)=-lg»(-*).
207
Решаем его:
lg(-*)[2-lg(-*)] = 0; lg(-*) = 0, lg(—x) = 2;
Xi = — 1, x2 = — 100.
Оба корня удовлетворяют данному уравнению.
393. Данное уравнение равносильно такому: log2|*| = 1. Отсюда
\х\ = 2; Xi = 2, х2 = — 2.
394. Уравнение равносильно следующему:
21og21 х + 1 ! + log21 * + 11 = 6.
Отсюда:
31oge|*+l| = 6, log2|A:-M!=2, |ж+1|. = 4,
х -f 1 = ± 4; xx = 3, x2 = — 5.
loga*
395. Так как а — z, то уравнение равносильно такому:
(л: — 2)2 = 9 (при условии х > 0, * =£ 2). Отсюда:
jc — 2 = + 3, л; = 5.
396. Воспользовавшись формулой logft a = log/ а" (см. задачу
370), получим
l0V-r(*-2) log.,(^-2)2 log^(*-2)«
а: = х н х =9,
т. е. уравнение задачи 395. Следовательно, х = 5.
397. Так как а = а а =2,
то
-s-log .__ (*2 —х) log.— Ух*— х , ,. .
2 / * ' V * log^ (я2 — л;)
Поэтому уравнение принимает вид
2 = х2 — х или х2 — х — 2 = 0.
Решив его, найдем х = 2 (х = — 1) — посторонний корень.
398. Так как в правой части отрицательное число, а корень,
находящийся в левой части, — положительное число, то множитель
logsх в левой части должен быть отрицательным. Предполагая,
что условие logs'* <C 0 выполнено, возведем обе части уравнения в
квадрат. Получим следующее уравнение, равносильное данному:
log хУЪх log| х = 1.
Далее преобразуем левую часть полученного уравнения, используя
формулу
\ogbahgab= 1.
Будем иметь:
208
Y (Io^ 5 + lo^ *) Io&2 *=h (log, 5+1) logs' x = 2,
log, 5 log| * + log| x = 2, logs2 x -f log5 * — 2 = 0.
Решаем полученное квадратное уравнение относительно log5 x.
Получаем
logsх =~ 2~~ = — 2, л; = 5~2 = -^.
399. Преобразуем обе части уравнения, используя при этом
формулу
. 1
IogA a = -j г—.
Будем иметь:
2 '"io^T ' Т5&Щ = iog3(9^T)' 21°g3 (9V x)"
= log3 х log3 (Зх), 2 (log8 9 -f- log3 ]/"х) = Iog3 x (log3 3 -f log3 x),
2(2 -f -j- log3x) = log8x(l + log3x), 4 + log3x =
= log3 x + logl x, logl x = 4.
Отсюда:
log3 x = ± 2, xx = 9, jca = -g~-
Каждое из примененных здесь преобразований обратимо, т. е.
однозначно выполнимо в обратном порядке. Это гарантирует
равносильность всех полученных уравнений и данного уравнения. По
этой причине нет надобности испытывать найденные значения
хх и х2 — они будут корнями данного, причем потери корней не
произошло.
400. Преобразуем данное уравнение, пользуясь соотношением
. 1
logfta =
Получим:
10§а£'
^(l+loge*+^(i^ + l) +
+ 1/4-(1<*а*-1) + 4-/ 1
4 v ьа ' ' 4 1о£„х
(logax-H)2 1/'(logax-l)'
4logax V 41ogax
209
Так как числители подкоренных выражений положительны, а
корни — арифметические, то должны быть и знаменатели
положительными. Это значит, что должно быть logaA;>0 и loga д: -f- 1 > 1,
а следовательно, данное уравнение эквивалентно следующему:
logfl*+ 1 + llogq*—И ж а
2Y\ogax aV \ogax
Из него видим, что а > 1. Действительно, второе слагаемое левой
части положительно, а первое больше единицы, так как
logaA:+l + 2|//ю^ + (Кю^-1)2
2)/loga х 2/loga x
21/ loga x
Следовательно, если а < 1, то данное уравнение не имеет решений.
Если logejc> 1, то уравнение имеет вид
logax + 1 +logex~ 1 Л ,1п„ .г
= а или J/ loga х = a.
2j/logax
Отсюда: loga x = а2 > 1; jq = 0е*, Если 0 < loga х < 1, то урав-
J_
1 a2
нение приведется к виду logax — -^ < 1, откуда х2 = о •
Очевидно, Xj и х2 являются корнями данного уравнения, и других оно
не имеет.
401. Пользуемся формулой log6 a ==> -г-^-т (см. задачу 362):
in0 y!°iaifi _l _L_A - !°Ifii . l-^i^lo? с
l°^X\og^[l+\ogach-\^rb \ogac]og«C>
logax(logac +l)-(logaA:)2. a) logax = 0, xx = 1;
6) loga с -j- 1 = loga x, loga x = loga (ac), x2 =» ac.
402. На основании соотношения logft a = log/ ал (см. задачу
370) данное уравнение можно записать так:
log3 х + logs *2 + logs x~l = 6.
Отсюда:
log3 * + 21og3 jf — log3 x ~ 6; log3 x = 3; x = 33 = 27.
403. log8 * + (logs я)2 + (l°gs *)3 + ••• есть бесконечная
геометрическая прогрессия с первым членом и знаменателем, равными log8 x,
и раз она по условию имеет сумму, то она убывающая. Поэтому,
210
пользуясь формулой суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии, получим
logs* =J_
1 — log8 x 2 *
Решаем это уравнение:
1
1 Т
21og8 х = 1 — log8 x, log8 * = -jp x = 8
2.
404. Положив Ух + 1 = у > 0 и сделав некоторые упрощения,
получим
log(y+ l) = log(t/2-41).
Отсюда:
t/ Н- 1 = г^ — 41, t/2 — г/ — 42 = 0; ^ = 7, г/2 = -6.
Второй корень отбрасываем, так как #а < 0. Используя ух = 7,
найдем 1/*+ 1 =7, х = 48. Полученный корень удовлетворяет
данному уравнению.
_ j_
405. Разделим все члены уравнения на 9 . Получим:
--1
+
-1=0,
-1 ±V 5
Но знак минус перед радикалом не годится, поэтому
1 1
У~5-1
1,2 , УТ-1
_ bg— = log —
X =
У 5-1
log 3 — log 2
log(/T-l)-log2'
406. Положим х + У л:2 — 2 «=#. Тогда уравнение запишется
так:
4у_5-2у-1 = 6; 22у —|- • 2у — 6 = 0;
2 • 2*у —5- 2у— 12 = 0.
211
Решая полученное уравнение как квадратное относительно 2у > О,
найдем:
2у = 5+ П =4, 2у = 2\ у = 2; х + / х2 —2 = 2,
*2 _ 2 = (2 — х)\ х2 — 2 = х2 — 4х +4, Ах = 6, * = -я-.
407. Так как
/ryf = ^-(ку
]/2+/3 V2+VT
то данное уравнение эквивалентно следующему:
(1^2+ 1/3~)Ч,/ -V = 4 или
1К2 + КЗ )
(1^2 + V ~Т Т- 4 (1/"г + /з~)*+ 1 = о.
Решая его как квадратное, получим
(К2 + V3~T = 2 + 1/~3!
Отсюда:
а) (К2+ КЗ~)Х=2 + 1/"з;
(2 + /У)2 = 2 + /Т, -- = 1, * = 2;
б) (|/2"+ /"зТ = 2-/з;(2+1/з")2 = (2 + 1/ТГ1»
~2~ — 1» х2 = *■
408. Разделив обе части уравнения на 8х, придем к
следующему уравнению, равносильному данному:
|)\ li-Г-ь
Положим
у ^ (т) ■Тогда получим: #*+у—2 = 0; у3 ~1 +
+ у—1 = 0; (у— 1)(г/2 + 1/ + 2) = 0. Ног/Ч(/-2 = 0 не
имеет вещественных корней. Поэтому
</=1; (4)Х==1; * = 0-
212
409. Воспользовавшись формулой
, 1
log* a
и потенцированием, приведем данную систему к следующей
равносильной:
\х + у\ = 10; у = 2\х\. Но 0 = 2|*| >0
и, следовательно,
х + у = х + 2 \х\ > 0.
Поэтому \x-\- у\~ х-\- у и последняя система приводится к
таким двум:
а) х + у = 10, у = 2х\ б) х + У = 10, у'= — 2х.
Решив их, найдем:
10 20 ш ол
*i = -у. */i = -3-; *2 = — 10» #а = 20-
410. Пользуясь формулой
logft a = \ogbn an
и потенцируя, придем к следующей системе, равносильной данной:
х У у =ат; V~X'- V У = ап или х2: у = а2т\ х3: у2 = а6л.
Отсюда:
2(2ОТ - 3„) 6(от - 2Я)
х = а \ у = а
411. Замечая, что
. 1
log±a = ^ ,
log«T
и производя потенцирование в первом уравнении, придем к
следующей системе, равносильной данной:
Аху = 9а2; х + у = 5а.
Решив ее, найдем:
19 9 1
Х\ = -^ я. У\= Ya'> x2= Y~a' Уг = ~2 а'
412. Пользуясь формулой \ogba = \ogbn ап, приводим
логарифмы, входящие в первое уравнение, к основанию 10, а затем
потенцируем. В результате система приведется к следующей:
{х2 + у2)2 = 4а2(х2 — у2), ху = а2.
Замечая, что
(*2 + ff = \х2 — 1/2)2 + Ах2у2 и *Y = a4,
213
преобразуем первое уравнение новой системы так:
(х2 — у2)2 + 4*У = 4а2 (х2 — у%
(х2 — у2)2 — 4а2 (х2 — у2) + 4а4 = О,
[(л;2 — у2) — 2а2]2 = О, х2 — у2 = 2а2.
Таким образом, приходим к следующей системе, равносильной
данной (при условии х2 > у2 > 0):
х2 — у2 =-. 2а2, л# = а2.
Решаем ее:
I/ = —, х2 — -^ = 2а2, х4 - 2а2*2 — а4 = 0,
* х2
х2 = а2 + ]/2а"4 = а2(1 + l/~2~); *i,2 = ± аК 1 + V"2T
*/u =■ * = + a VVT- 1 .
+ aV l -f /2
413. Так как здесь *>0 и t/ > 0, то, логарифмируя оба
уравнения, придем к следующей системе, равносильной данной:
lg*-f lg«/ = lg4 + l;
\gy-\gx = lg 4.
Из первого уравнения находим выражение для lgt/ и подставляем
его во второе уравнение*
lg*(lg4+ 1 — lg дс) = lg 4.
Решая это уравнение как квадратное относительно lg*, получим
lg4+l+(lg4-l)
Отсюда:
\gx = lg4, lgx = 1; Xi = 4, *2 = 10; yx = 10, t/a » 4.
414. Из второго уравнения находим:
х + У= {V% )6; * + # = 4; t/ = 4 — х
Подставив найденное значение у в первое уравнение, получим:
Ъ2х Ъ4~х - 52 • З3, З4 • 25* • 3~х = 25 • З3,
/25V 25 1 ' ч
\т] "; хв1-у==3-
415. Из первого уравнения следует, что должно быть или
х2 + 7х+ 12 = 0, или у=\.
Поэтому задача решения данной системы равносильна задаче
решения следующих двух систем:
а) х2 + 7х + 12 - 0, х + у = 6; б) у=\, х + у = 6.
214
Их решения такие:
Xi = — 3, ух = 9; *а = — 4, t/a => 10; х3 = 5, t/3 = Ь
416. Исключив I/, получим
8х = 2 • 2х или 23* = 2*+J,
откуда 3x = x-f-l, х = —-. Подставляя л: = -х- во второе
уравнение, найдем
12
417. Из первого уравнения находим f/ = х . Подставляем най-
(х+ур
денное значение */ во второе уравнение. Получим х = #
Следовательно, или х=\, или -—. = 3. Если х — \, то из
первого уравнения найдем, что у = 1. Итак, первое решение л^ = 1.
& = 1. Если ^2^~ = 3 или (х -Ь «/)2 = 36 и х + у = 6 (х >0.
г/>0), то из любого уравнения системы получим х = f/2. Подставив
в уравнение л: -f- f/ = б, придем к уравнению у2 + у = б. Отсюда
у = 1^° = 2, л: = 22 = 4.
» 2
Итак, второе решение хг = 4, уг = 2.
418. Здесь предполагается, что х > 0 и # > 0. Из второго
уравнения находим
з /* _ 4 _
х = t/
и подставляем в первое. Это дает
у (/ * + / у )2 у
у = 0 1
что возможно, когда у = 1 или
|<к *+г у)г=4'т-е- к~х+v~y=т-
Таким образом, получаем две системы:
з
4 л 4 г
/у+/7 *-
а) у = 1, у =х
215
4 _ 4 2
решение которых есть задача, равносильная решению данной
системы. Чтобы найти решения первой системы, подставляем во
второе уравнение у = 1 и получаем х = 1. Итак, л^ = 1, */х = 1.
Обращаемся теперь ко второй системе. Подставив
4/ . 4/ 4
V X + V У ="д-
в показатель левой части второго уравнения, найдем # =*Д
Теперь для определения у имеем уравнение
V У +У У з"^0-
Решаем его:
i/
(значение ~ ^->/"57<0 и потому не может быть
приравнено V У)- Следовательно,
419. Так как здесь х>0 и г/>0, то, прологарифмировав
первое уравнение системы, получим следующее, ему эквивалентное
уравнение: m\ogpx = n\ogp у. Так как t/ ф 1 (см. второе уравнение),
то последнее можно записать в виде
при условии, что т Ф 0. Сравнивая полученное уравнение со вторым,
видим, что
Jogp — = — или т1о&Р х — т 1о§р У^п-
У "L
Таким образом, при т ф 0 данная система эквивалентна такой:
mlog^ х — n\ogp y = Q, m\ogp x — m\ogp у = п.
Вычитая из второго уравнения первое, получим
(п — т) log^ у = п,
и если пф т, то
л п п2
Ъри п — т Ьр т р т(п — т)
216
Следовательно, в этом случае система имеет единственное решение:
n'i п
т (п — т) п — т
х = р , у=р
Если п = т Ф 0, то ввиду положительности х и у из первого
уравнения следует х = у, что невозможно, так как при х = у левая
часть второго уравнения будет 0, а правая 1. Таким образом, при
п — т Ф О система не имеет решений. Если т = О, но п ф О,
тогда из первого уравнения получим у = 1. Однако у — 1 не является
допустимым значением для второго уравнения. Следовательно,
при т — О и п Ф О система не имеет решений. Наконец, при
т = п = 0 первое уравнение удовлетворяется тождественно и все
решения системы найдутся как решения второго уравнения. Из
второго уравнения получим
logp х = (logp x — logp у) log, у, (logp г/ — 1) logp x = log' г/.
Итак, в этом случае система удовлетворяется любой парой таких
чисел:
уфр; х = рХоЬУ-{ .
420. Допустимыми значениями неизвестных будут лишь х > 0
и у > 0. Из этого и из второго уравнения следует, что должно быть
или а > 1 и b > 1, или 0<а<1и0<6<1. Если 0 < а < 1 и
b > 1 или а > 1 и 0 < 6 < 1, то система не имеет решения.
Пусть теперь а > 1 и b > 1 (или 0<а<1 и 0<6<1).
Логарифмируя первое и второе уравнения по любому основанию,
получим систему уравнений, эквивалентную данной:
y\og х = %log у; х log a = у log b.
Перемножая уравнения полученной системы и сокращая на ху > 0,
придем к системе
log a log х = log b log y\ x log a = t/log b,
которая также эквивалентна исходной системе. Из первого
уравнения последней системы найдем, что
log Ь
, log 6 , log a
g* = loga gy' a Х = У •
Подставляя найденное значение во второе уравнение той же
системы, получим:
log b log b — log a
log a . , , log a log Ь
у .\0ga = y\ogb; у ~ s
log a*
Отсюда, если log b — log a Ф 0, то
217
log a log b
. .. , log 6 — log a fog 6 - log a
У \logaJ '* \loga
Если же log b — log a = 0, то log b = log a, a — b и из второго
уравнения получаем х = у. В этом случае системе удовлетворяет
любая пара положительных чисел хну, равных между собой.
421. Здесь допустимые значения для неизвестных х > 0, у > 0.
х
Из первого уравнения находим х — у и, подставив наиденное зна-
тх
~У
чение х во второе, получим у = уп. Но последнее равенство возмож-
< тх „ .
но только, когда у = 1 или — = п. Таким образом, задача решения
данной системы равносильна задаче решения следующих двухсистем:
tnx
а) у = 1, хт = уп и б) — = /2, я"1 = г/я.
Подставляя t/ = 1 во второе уравнение первой системы, найдем
tnx
х = 1. Итак, первое решение л^ =1, t/i = 1. Подставляя у = —
во второе уравнение второй системы, получим:
Если m — n ф 0, то найдем второе решение:
_ m \ mx2 __ m I m \ __ I m
x*^\T) ' У2 ТГ~Т\Ч] ~\T
Если же m — /2 = 0, т. е. m — n, то из второго уравнения получим
х = (/. В этом случае система удовлетворяется любой парой равных
положительных чисел хну.
422. Допустимые значения для неизвестных: у у- 1, л: — любое
вещественное число. Преобразуем второе уравнение:
(у2- I)2*"2 = (f ~ \С > (У- 1)2д;~2(У + 1Г"2 = (У ~ l)tX
(у + If ' vy ' vy ' *; (у + If '
(t/ _ l)2*-2 (у _j_ 1)2* = (y — 1)»*,
(у _ 1Г*-Ч(у -f 1)»' - (y - 1)2] = 0.
Полученное уравнение равносильно второму уравнению данной
системы, и задача решения ее эквивалентна задаче решения следующих
двух систем:
а) (У — I)2*-3 = 0, (1 + у)к = 100 (при условии 2х — 2 > 0)
и б) (</+1Г-(*/-1)2 = 0, (1+у)*-100.
218
Из первого уравнения первой системы находим у = 1 и, подставив
во второе уравнение, получаем 2х = 100, х = log2100 > 1. Итак,
*i = log2100, t/x = 1.
Из первого уравнения второй системы находим у — 1 = (1 + у)х
и, пользуясь вторым уравнением, получаем:
у— 1 = 100, у = 101; 102* = 100, х = log102100.
Итак, х2 = log102100, у2 = 101.
423. Допустимые значения неизвестных х > 0, «/> 0, 2 — любое
вещественное число. Кроме того, следует иметь в виду, что так как
У х и У у — арифметические, то г > 0 (это видно из третьего
уравнения).
Из первого уравнения находим, что
Бг
х = у .
Подставляем это значение х во второе уравнение системы. Это даст
г_ _16_
3 75*
У =У •
Отсюда видим, что или у = 1, или-^- = -=^-. Если у = 1, то из вто-
О /02
1 18 ТЛ
рого уравнения получаем * = 1, а из третьего z = —^-. Итак,
первое решение
, . 18
Xi = I, У\ = 1, Z\ — -л—.
„ 2 16 2 16 4 57
Если -£- = ^, г2 = -gg-, г = у, то * = ^ = у2.
Поэтому, подставив х — у2 в третье уравнение, получим:
4 л/— 4 _ ,— г 3 1
у + У у =Y' У==У у —-д-^'УУ = —2— = Т'
1 2 *
Итак, второе решение
Отсюда у = у, х = #2 == - j.
• _J_ __ 1 _ 4
219
i
^ = 16
Решение аналогично решению згдачи 423.
_4_
3*
VI.
СОЕДИНЕНИЯ И БИНОМ НЬЮТОНА
425. Воспользовавшись формулой
k — /+ 1
cl =
/
запишем данное равенство так:
wn п-\-2 — т гт п — т+1 п-~т-\-2 гт Лс,,
L/1+2 : ^, | 1 ■ * k/i-f-2 '• м , "Л— * , , " • C„-f2 = U,0.1 . 1.
т -f- 1
Отсюда имеем
т + 2
' л — т + 2
т + 1
я — т -f- 1
" т + 2
т -f- 1
5;
= 1
или
5(т + 1) = 3(л — т + 2);
т -j- 2 = я — т -f- 1.
Решая последнюю систему, найдем п = 5; m = 2.
426. Первое доказательство. Выделим какие-нибудь два
элемента из числа данных (п + 2) элементов. Тогда сочетания из (п -f-2)
элементов по (т-\- 1) разделятся на четыре группы: а) не
содержащие этих двух элементов; б) содержащие оба эти элемента;
в) содержащие первый из выделенных элементов и не содержащие
второй; г) содержащие второй из выделенных элементов и не
содержащие первый. Очевидно, группы а), б), в), г) состоят
соответственно из
■>m+l
vn—1
сочетаний, отсюда и следует тождество, которое требуется
доказать.
220
Второе доказательство. Имеем
Сн + С"1 + 2С -
л!
п\
+
(ш— 1)!(/г — ш + 1)!
(т + 1)!(/г
+ 2
/72-
О!
+
/тг! (я — т)!
л!
(/72— 1)!(/2 —/72
2
1
1
4-
+
//г (/г — т)
2/г-
1)! [ /7z(m+ 1)
/г!
(п — /я) (/г
(/72
/72+2
1)!(лг — m— l)f
1
X
(п — /7?) (/г — /72 + 1) т
п2 + 3/2 + 2
/72 (/72 + 1)
/2!
/72 + L)
+
+
/72 (/72 + 1)(/2
/72 + 1)(/2 —/72)
(я + 2)!
(m+ l)!(/2 —m+ 1)!
427. Очевидно, искомое число случаев равно
28-27
(т — 1)!(/2 — /72— 1)!
П\ (/2+ 1)(/2 + 2)
(т+ 1)!(/2 —/72+ 1)!
Cm f-1
X
+2
Ьзо—2 = О.
28
1 • 2
= 378.
428. Первый преподаватель может выбрать себе два класса
числом способов, равным С\. После выбора им двух классов из
оставшихся четырех второй может выбрать сеСе два класса числом
способов, равным С\, а, следовательно, всего способов выбора
двумя преподавателями себе по два класса из шести равно С\ • С\. Но
когда первый и второй выберут по два класса, то останется
только два класса и поэтому третий не будет иметь возможности
выбирать. Поэтому искомое число способов будет равно
С^ = -^.^4 = 6-5.3== 90.
429. Вынуть три выигрышных билета из имеющихся в урне
пяти билетов можно числом способов, равным С\. Вынуть же два
билета невыигрышных можно числом способов, равным Cfoo -5 =
= С\ь. Так как каждые три выигрышных билета могут быть
соединены с каждыми двумя невыигрышными, то общее число
способов, при которых из пяти вынутых билетов три окажутся
выигрышными, равно
5-4 95-94
Г2
= 44 650.
1-2 1 -
430. Число способов, которыми можно распределить четыре
человека, знающих местность, на две группы по два человека в
221
каждой, равно G\. К каждой такой паре можно присоединить
остальных шесть человек числом способов, равным Cie—4 — С12.
Таким образом, общее число способов указанного в задаче
разделения на группы равно
±П г* -_L All 12- 11 • 10 9-8-7
2Ц'Ц!""2 " Ь2" 1 -2-3-4.5-6 ~~
431. Одного маляра можно ввести в состав бригады пятью
способами, а к нему присоединить плотника четырьмя способами.
Поэтому общее число способов, которыми можно выделить одного
маляра и одного плотника, равно 5-4. Очевидно, общее число
способов, которыми можно выделить трех человек разных
специальностей (маляр, плотник, штукатур), равно 5-4-2. Так как
остальные члены бригады не должны быть рабочими этих
специальностей, то их можно выделить числом способов, равным
^25-11 = W4 — —\~7Ъ—
Итак, искомое число способов есть 5-4-2-91 = 3640.
432. Занумеруем места ряда числами 1, 2, 3, ... , 2п. Если
разместить мужчин на местах с нечетными номерами, то каждому
данному размещению мужчин соответствует п\ размещений
женщин на местах с четными номерами, потому что это есть не что
иное, как всевозможные перестановки из п элементов. Но в свою
очередь и мужчины могут быть размещены на нечетных номерах
п\' способами. Итак, общее число способов, требуемых в задаче,
когда мужчины занимают места с нечетными номерами, а
женщины места с четными номерами, равно п\ п\ = (я!)2. Но мужчин
можно посадить и на места с четными номерами, тогда, повторяя
предыдущие рассуждения, убедимся, что и таких способов будет
(п!)2. Отсюда видно, что полное число распределений будет
равно 2{п\у.
433. Очевидно, число способов раздачи не зависит от порядка
раздачи. Поэтому пусть сперва получит две карты третье лицо.
Одна карта у него должна быть червонный туз, вторую карту он
может взять девятью способами, поскольку остается после изъятия
червонного туза девять карт. После того как третье лицо возьмет
2 карты, останется 8, причем червонного туза среди них не будет,
и второе лицо может взять 4 карты числом способов, равным С*.
Таким образом, число способов, которыми могут взять 2 карты, в
том числе червонный туз, третье лицо и 4 карты второе лицо,
равно 9Cg. Но при каждом выборе этими лицами положенного им
числа карт первому предоставляется возможность выбрать 3 карты
из четырех, что можно сделать числом способов, равным С\ =
=ш С\ = 4. Следовательно, общее число способов раздачи равно
4 • 9С* = 2520.
222
434. Различных однозначных чисел, исключая нуль, будет
А\ — 4. Если бы среди данных цифр не было нуля, то число
различных двузначных чисел было бы равно А\. Но так как среди
них есть нуль, то в числе размещений из этих пяти цифр по две
есть однозначные числа, это те, которые начинаются с нуля.
Число их равно А\ = 4. Значит, различных двузначных чисел
получится А\ — А\ = 16. Аналогично найдем, что число различных
трех-, четырех- и пятизначных чисел будет равно соответственно
А35 — А] = 48, А\ — Л^ = 96 и А]— А[ = 96.
Всего получится 4 -f- 16 + 48 + 96 + 96 = 260 чисел.
435. Число различных двузначных чисел, составленных из цифр
0, 1, 2, 3 так, что в каждое двузначное число входит каждая из
этих цифр не более одного раза, равно А\ — А\ — 9. Если же
учесть, что цифра 3 может входить в число два раза, то к уже
полученным двузначным числам добавится число 33, а всего
получится 10 чисел.
436. Из пяти элементов можно составить Рь = 5! различных
перестановок. В этой задаче элементами являются цифры 1, 1, 2,
3, 4 и, следовательно, каждая перестановка даст пятизначное
число, в которое войдет два раза цифра 1 и по одному каждая из
цифр 2, 3, 4. Но среди этих цифр будут одинаковые, а также
числа меньше 20 000. Выясним, сколько чисел будет различных.
Если в каком-либо полученном числе поменять местами две цифры,
то получится другая перестановка. Если эти цифры различны, то
получится и другое пятизначное число. Если же эти цифры
одинаковы, то число останется прежним. Но в каждое число входят
две единицы, меняя которые местами, -мы получаем то же число,
но другую перестановку. Следовательно, различных пятизначных
чисел будет -^Р5 =-~-• 5! = 60. Среди них числа,
начинающиеся с единицы, будут меньше 20 000. Подсчитаем количество
последних. Отбросим первый элемент. Тогда из остальных четырех,
т. е. из цифр 1, 2, 3, 4, можно составить Р4 = 4! = 24
четырехзначных числа. Если впереди каждого из них приписать
отброшенный ранее элемент, т. е. цифру 1, то получатся различные
пятизначные числа, меньшие 20 000. Те же самые числа получились бы,
если бы отбросить второй элемент и, составив из оставшихся
различные четырехзначные числа, приписать впереди отброшенный
ранее элемент, т. е. единицу. Но раз они дадут те же самые числа,
то их учитывать не нужно. Все прочие числа, как пятизначные и
начинающиеся с цифр 2, 3, 4, будут больше 20 000.
Итак, искомое количество чисел равно 60—24 = 36.
437. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 можно составить Ръ = 5!
различных пятизначных чисел без повторения цифр. Среди них будут и
такие, которые будут иметь рядом стоящие четные цифры 2 и 4.
Подсчитаем количество последних. Для этого рассмотрим четыре
223
следующих элемента: 1, 24, 3, 5. Число перестановок Р4 = 4! даст
пятизначные числа, в которых четные цифры стоят рядом, причем
сперва цифра 2, а потом цифра 4. Если рассмотреть элементы 1,
3,42, 5, то число перестановок из них также даст пятизначные
числа, в которых рядом стоят четные цифры, причем сперва
цифра 4, а потом цифра 2. Иных пятизначных чисел, в которых бы
рядом стояли четные цифры, очевидно, нет. Поэтому искомое
количество чисел равно 5! — 2 • 4! = 72.
438. Так как при первом биноме есть множитель х, при
втором множитель хг и при третьем я3, то из членов разложения
первого бинома нужно взять член с х3, из членов второго
разложения член с х2 и, наконец, из членов третьего разложения член
с х. Умножив эти члены соответственно на х, хг, хг, получим
— хС\х* + x*C\{2xf + x3C\2(3x).
Искомый коэффициент будет равен 9
— q + 4q + 3Cj2=— 4 + 4-284-3. 12= 144.,
439. 1 lio—l =(10+ I)10— 1 = 1010+ 10 • 109 +
+ тг|" 108 + -- + 10* ю + 1 — 1 = ю2(Ю3+ Ю8 +
+ 5-9- 108 + ... + 1) = 100Л,
где Л — натуральное число.
440. Так как (1 + х)п = 1 + С\х + С\хг + ... -\-'Csnxs + ••• +
-\-хп, то коэффициент при Xs в произведении (1 + х)п на данный
трехчлен равен
As = (s-2)Csn-2 + nCsn-l-sCl
Но С* = С*"1 • П~1+1 ■ Поэтому
As = (s - 2) СГ2 + пСп-х - sCn-x • n~Ss+l = (s - 2) СГ2 +
+ Csn-l(n-n + s- 1) = (s- 1)СГ2 + (5- 1)СГ! =
= (s - 2) СГ2 + (s - 1) СГ2 • *7^|2 -
= Cs~2(s — 2 + л— s + 2) = лСГ2.
441. Сг/i является биномиальным коэффициентом при хп в
разложении 1 + xfn. С другой стороны,
(1 _[-л:)2'г = (1 + *)*(*+1)*
и тот же коэффициент можно получить, собрав коэффициенты при
хп в произведении
(1 + С\х + С2*2 + ... + О:*) (*» + С1пхп~1 + С2^"2 + ... + 1).
224
Он получится, если умножить первые члены этих разложений,
затем вторые и т. д., наконец, последние и результаты сложить.
Это и приведет нас к равенству
i2 + (С\? + (Ctf +... + (Cnnf = сп1п.
442. Коэффициент третьего члена равен С„, а коэффициент
второго С„. По условию первый из них больше второго на 44.
Поэтому получаем уравнение
СЛ — СЛ ='44.
Решим его:
п(п — 1) лл • о 00 Л 3 + 19
v ; — п = 44, п2 — Злг — 88 = 0; п =—=—-.
1 -2
Знак минус должен быть отброшен, потому что п > 0. Получаем
/г = 11. Находим свободный член
ЗЗ-Щ
г*+1 == <й (* К *)"-* • (-~т) =(-i)*cfi* 2 .
Чтобы х был в нулевой степени, нужно, чтобы = — 0,
т. е. & = 3. Отсюда свободный член равен —Си =— 165.
443. Сумма коэффициентов первого разложения есть 2л, а
второго 2гп. По условию первая меньше второй на 240. Поэтому
получаем уравнение 2гп — 2п — 240. Решим его:
22* _2* —240-0, 2" = * ±31 .
Знак минус нужно отбросить, так как 2п > 0. Получаем 2п = 16 =
= 24, я = 4. Находим третий член разложения
т, = с; (j/^)* (т^-)2= б V^-
444. Имеем
100—л п
• Гя+1 = С?00 WW'W ЗГ = СГоо • 2 2 . З.3.
100 — л л
Так как для рациональности члена показатели —= и
-^-должны быть целыми числами, то число п должно быть кратно 3 и
2, т. е. кратно 6. Но 0<! п ^100 и числа п, кратные шести,
будут 0, о, 12, ... , 96. Подсчитаем число m их. Получим:
96==0-Ь6(т—1); т—1 = 16; /и =17.
8 Шахно К* У, 225
445. Напишем общий член данного бинома
(1 \п 40-5л
~ут) = (-1),1^о'2~т~"-
г» * 40 — Ьп
Рациональными членами будут те, для которых -—-^ равно
целому числу. Выясним, при каких п это будет иметь место:
- = т; 40 — Ъп = 6т; Ъп — 40 — 6т; п = 8 — m =- т.
6 5
Чтобы для п получились целые значения, нужно придавать m
значения, кратные пяти, но при этом, такие, чтобы число п не
выходило из интервала, заключенного между числами 0 и 20. Такие
значения для m будут: —10, —5, 0, 5, а соответствующие числа
для п: 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:
Т21 = 2-">; -7\5 = Си • 2-5 = Clo • 2~в;
Т9 = Сго! Т9 = Сго • 25.
446. По условию
Воспользовавшись формулой Сп = -^- и сделав некоторые пре-
' п
образования, приведем это уравнение к такому виду:
п2 — (4k + 1) п + 4&2 — 2 = 0,
откуда
Ak -f 1 Ч- 1/8Л + 9
2
Так как Ak -f- 1 — число нечетное, а я — натуральное, то
необходимо, чтобы У8k -f- 9 был нечетным числом, т. е. чтобы 8k -f 9 =
= (2m -f 1 )2- Отсюда находим, что
. _ (m —l)(m-f-2) __ 2(m — 1)(m -f 2) + 1 ± (2m + 1)
Л- 2 ' "~ 2
n1==m2_ 2( /i2 = (m-f-l)2 —2.
Выражения для ях и я2 можно объединить в одной
формуле п = т2 — 2. Так как 0 < /г — 1 < & < & -f- 1 <я и k =
(т—1) (m-f 2)
— j у L( T0 отсюда заключаем, что m может принимать
лишь значения 3, 4, 5, ... Действительно, при m = 1 будет k = 0,
что неюзможно, так как тогда будет & — 1 < 0, что неюзможно,
а при m = 2 получим k = /г = 2, что протиюречит неравенству
&+ 1 <п.
226
447. Так как Tk+l т= Cnxn~k • 2k, то должно быть
Cl 29 > С*п • 28 и Cl • 29 > Сп ■ 210. Но С* = Ckn~l X
. . п — k+1 т-.
X —^_. Поэтому предыдущие неравенства примут вид
—о— • 2 > 1 и 1> 1п • 2. Из первого неравенства находим:
2я — 16 > 9, 2/2 >- 25, п > 12,5. Из второго неравенства находим
/г — 9 < 5, л<14. Итак, 12,5 </г < 14. Следовательно, л =» 13.
448. Наибольший коэффициент разложения (a -f- £)2/I есть
коэффициент Сгп У {п-\-\)-го члена. Покажем, что он — четное
число:
Гп 2п{2п—1)(2п~2)...{2п — п-{-\)
2п~ 1 - 2 - 3 ... (лг 1)лг
2л (2л - 1)(2л - 2)... (2л- 1 -л + 2) _ ,
~ л 1-2...(л-П) --^-ь
449. В разложении (1 + К 2)50 общий член
Гл+1 = С5по(1/"2Г-
Биномиальный коэффициент Cso растет с возрастанием я от 0 до
26, а затем убывает. Множитель (|/ 2)" все время растет с
возрастанием л. Следовательно, пока л растет от 0 до 26, растет и
величина члена разложения. Когда л станет больше 26, то
биномиальный коэффициент Cso станет убывать с возрастанием п, и
хотя (l/^)" при этом возрастает, все же не ясно, будет ли общий
член Tn+i возрастать или убывать. Чтобы это выяснить, исследуем
отношение (л + 1)-го члена разложения к л-му, т. е. отношение
Тп+\: Тп. Вначале это отношение, как мы выяснили, больше
единицы. Когда это отношение будет и будет ли меньше единицы!*
Имеем
Tn+i Сй> • [V~2)a __ 51-
Тп С£х • (V 2)"-' л
Решим неравенство • V 2 < 1.
51 1<_Д=- 1L< l + V~*
У 2.
п /2' л V2 *
V2+ 1
Итак, при п > 51 (2 — V 2) отношение Тп+1: Тп будет меньше
единицы. Найдем наименьшее целое число, большее числа
8* 227
51 (2 — Y 2). Возьмем значение У 2 по недостатку и по
избытку с точностью до одной тысячной:
1) |/~~2= 1,414; 2 — 1/1 = 0,586; 51 (2 —/1) = 29,886;
2) уНг =1,415; 2 — У~2 = 0,585; 51 (2 — У~2) = 29,835.
Сопоставляя числа 29,835 и 29,886, видим, что в числе 51(2 —
— У 2) содержится 29 целых и еще правильная дробь. Значит,
наименьшее целое число, которое больше числа 51 (2—V 2),
есть 30. Следовательно, начиная с п = 30, отношение Тп+\: Тп
становится меньше единицы и, значит, Т31 < Т30. При значениях
п < 30 отношение Тп+\: Тп > 1. Это означает, что Тгй > Т29 >
> ... > Тъ т. е. наибольший член разложения есть
7-,. = С8(Г5)" = СЙ(1Л2)".
450. Покажем, что в разложении (р + #)'2 при р > 0, q > 0 и
р -f # = 1 существует наибольший член, и найдем его номер. Для
наибольшего члена должны, очевидно, выполняться неравенства:
Tk > Tk_if Tk > Tk+X. Если воспользоваться формулой
^ = с*-1 •/>*-*+V-1.
то неравенства примут вид
(п — k + 2) q kp
(k-\)p >l' (n-k+l)q>l-
Из первого найдем, что k < (п + 1) q + 1. а из второго & > (л +
+ 1)<7- Объединяя, получим
(л+ 1)<7<&<(л+ 1)?+ 1.
Если (я + 1)0 будет целым числом, то и (л + 1)<? + 1 тоже
будет целым, и так как оба они удовлетворяют написанным выше
соотношениям для k, то эти два числа дадут номера наибольших
членов разложения. Таким образом, в этом случае будет два
наибольших члена. Очевидно, что для того, чтобы один из этих
членов был первым или последним (k = 1 или k = л + 1), должно
быть соответственно (л + 1)q = 1 или /z-f- 1 =^(/z-f- l)-f- 1-
Если (л + 1) 0 будет нецелым числом, то, так как k не может
равняться дробному числу (л + 1)0, оно больше его, а так как
оно не может равняться дробному числу (п + 1)0+1» т° оно
меньше его. Такое целое число единственное. Это есть целая
часть числа (п + 1)<?+ 1. Таким образом, в этом случае будет
один наибольший член. Чтобы этот член был первым или
последним, очевидно, должно быть соответственно (л + 1)#<1 или
л+1<<7(л + 1)+1.
451. Представим выражение [ х + 1 + — ] в следующем ви-
228
де:
i+i,+4
. Рассматривая 1 как первый член бинома, а
х -\ как второй, по формуле общего члена можем написать:
Tk+l = Ctlx + —
Здесь k принимает значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Применяя форму-
/ 2 \*
лу общего члена к биному \х-\ , получим для него такое
х
выражение:
Т'т+1 = С? • xk~m. (4)m= С? • 2m • **-*».
Таким образом, общий член разложения ( х + 1 -\ ] будет
иметь вид Сб • Ck • 2m • х^2т. Здесь т принимает значения 0, 1,
..., k. Из выражения общего члена ясно, что свободный член по-
k
лучится при k — 2т — 0, т. е. когда т = —. Следовательно, для
получения свободного члена нужно взять всевозможные четные
значения для k, а такими значениями будут числа 0, 2, 4, б,
положив для соответствующих т значения в два раза меньше, т. е.
/ 2 \6
О, 1,2, 3. Таким образом, свободный член разложения I x -f 1 -\— I
будет равен
1 + Cl • С\ • 2 + Cl • С\ • 22 + Ct • Cl • 23 =
= 1 + 60 + 360+160 = 581.
452. Положим (1 + х — *2)25 = Д*50 -f Л2а:49 + ... + Л51. При
х = 1 получим
4 + 4 + -.+ 4i = i.
Значит, нужно найти член Аъх*. Так как (1 + х — г2)25 = [1 +
+ л:(1—л:)]25, то, рассматривая последнее выражение как бином,
можем написать его общий член в виде
7Vi = C2V**(l-*)*.
С другой стороны, для (1 —x)k общий член будет такойг
#+1 = С* •(—*)'.
Поэтому получим
7Vi=C2Vci.(-l)'.**+/.
229
Здесь должно быть 0 < k < 25, 0 < / < k, k -f I = 3, / = 3 — k.
Отсюда видно, что может быть только kx = 3, k% = 2 и
соответственно 1г — 0, /2 = 1. Заметим, что под С* подразумевается
единица.
Итак,
А3х* = (С1ъ • С§ — С225 • С\) *а = 1700 лЛ
453. Данное выражение является геометрической прогрессией с
первым членом, равным (1 -f *)3. и знаменателем, равным 1 + х.
Поэтому имеем
(1 + xf + (1 + *)4 + - + (1 + *)15 =
Так как в знаменателе находится х, то для получения члена с х9
нужно в числителе найти член с х*. Такой член есть только в
разложении (1 + я)16 и коэффициент при нем
С. K-U>.14.13,1820
1 • 2 • 3 • 4
является искомым
454. Левая часть данного выражения есть геометрическая
прогрессия со знаменателем- . Воспользовавшись формулой суммы
членов геометрической прогрессии, а затем формулой бинома
Ньютона, получим
кя+1
(1 + х)"
1 -\-х
1
= (х+ 1)"+' — ха+1 = (п+ \)хп +
+ J^tliiL ^ + <^f^i *-+... +1.
455. Заменяя д; через (* — 2) + 2, получим
*4 __ 11 хз + 43x2 — 72* + 45 = [(* — 2) + 2]4 — 11 [(* — 2) +
+ 2Р -}- 43 1(х — 2) + 2Р — 72 [(* — 2) + 21 + 45.
Если теперь раскрыть по формуле бинома Ньютона выражения
1(х — 2) + 21*. где k = 2, 3, 4, рассматривая дс — 2 как один член,
то после приведения подобных членов получим
(X — 2Y — 2>{х — 2)3 + (х— 2)2+ 1.
Задачу можно решить, пользуясь условием равенства
многочленов и записав предварительно данный многочлен так:
А (х —■ 2)4 + В (х — 2)3 + С (л: — 2)2 + £> (л: — 2) + Е.
230
VII.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ
Указание.
При решении задач этого раздела следует иметь в виду, что,
говоря о тождественности двух математических выражений, мы
исключаем из рассмотрения те значения входящих в них букв, при
которых хотя бы одно из них теряет смысл.
cos 2<x
456. sin 4а + cos 4а ctg 2а == sin 4а + cos 4а • -—— =
sin 2а
sin 4а sin 2а -+- cos 4а cos 2а cos (4а — 2а) cos 2а
sin 2а sin 2а sin 2а
. „ 1 l-tg2a
-Ctgza- tg2a _ 2tga .
2tga
tg« +
457. tga.-^'+y; - i-w
6 l-tgatg2a j_t 2tga
1 — tg2a
3tga — tg3a , 3 —tg2a , tg260° —tg2a
1—3tg2a & 1—3tg2a & 1—tg260°tg2a
-\ал tg6Q° + tga tg6Q°-tga
~lg ' l-tg60°tga ' l+tg60°tga~
= tgatg(60° + a)tg(60° —a).
-i-[cos (10° +2a) — cos60°] cos(10°-f2a) l-
-j [cos(10° + 2a) + cos60°] cos(10° + 2a) + -L
_2cos(10° + 2a)— 1
459.
2cos (10° + 2a) + 1'
COS a -|- sin a (cos a -f sin a)2
COS a — sin a COS" a — sin* a
cos8 a + 2 sin a COS a + cos2 a 1 -f sin 2a
cos 2a cos 2a
■tg2a + sec 2a.
460. sin*( 1 + tgxtg-y) = sin*-
x , , . x
COS X COS -jr- + Sin X Sin -g'
X
COS X COS -7j-
231
= sin x
COS X —
COS
sin*
COS* COS
COS X COS
sin x
COS*
= tg x..
461. tg 3a — tg 2a — tga = tg 3a —
tg2a + tga
l-tg2atga
(1 — tg 2a tg a) = tg 3a — tg 3a (1 — tg 2a tg a)
= tga tg2a tg3a.
462.- ctg a — tg a — 2tg 2a — 4tg 4a =
2cos 2a
cos" a — sin" a
— 2tg 2a — 4tg 4a =
2 (cos2 2a — sin2 2a)
cos a sin a
2sin 2a
sin 2a
sin 2a cos 2a
4 (cos2 4a — sin2 4a)
4tg 4a =
cos 2a
4cos 4a
4tg4a =
4sin 4a
sin 4a
8cos 8a
sin 4a cos 4a sin 8a
463. tg a tgp + tgT (tg a + tg?) = tga tg p +
COS 4a
= 8ctg 8a.
+ tg
-2"-(« + P)
(tga + tgf) - tga tgp + ctg (a + P)(tga +
+ tgP) = tg a tg f + \gJl\^ (tg« + tg P) - .
= tg«tgp+l-tgatgp=l.
464. sin 2/z a + sin 2гг p -f- sin 2/zy = 2sin л (a 4- p) cos л (a — p) -f-
4- 2sin л y cos л y = 2sin л (тс — y) cos n (a — 10 +
4- 2 sin л y cos nfa — (a 4- p)J = 2sin (л u — л y) cos л (a — p) 4;
4- 2sin л y cos [л и — л (a 4- p)] = 2 • (— 1 )л sin (—л y) cos л (a — p) 4
4- 2 • (— \)nsinn усо5л(а + p) = 2 • (— 1)" sin л y [cos л (a 4-|) —
— cos л (a — P)] = 2 • (—\)nsmn y(—25Шла5ШлР) —
= (—\)n+l 4sin л a sin л P sin л y«
465. tg n a 4- tg лр 4- tg л y = tg л а 4-
tgпP+tgлY ,
+
1 —tgлptgЛY
(1 — tgлptgЛY) = tgлa + tgл(Y +
232
+ P)(1 — tg/zptg/zT) = tg/za + tgn(Tc — a)(l — tgn^tgnj) =
= tg л a — tg n a (1 — tg n p tg л y) = tg л a tg n p tg л у.
sin i/ + sin * cos (* + y) 2 i "г Ю г/
466.
cosy — sin ж sin (л: + у) 1 r ._ , .,
v cosr/—jr- [cosy — cos (2* + y)\
2
= sint/ + sin(2* + t/) = 2sin (x -f t/) cos л = t
cos t/ + cos (2x + i/) 2cos (x + y) cos x ''
467. cos2 a + cos2 p — 2cos a cos p cos (a -f §) = —^_ j_
+ 1+2°S^ - Icos(a + P) + COS (a -ft] COS (a + P) =
- 1 + cos2a+cos2^_[cos(a + p) + cos (a - P)] cos (a + P) -
= 1 + COs(a + P)cOs(a — P) — COS2 (a + P) —
— cos (a — p) COS (a + P) = 1 — cos2 (a + p) = sin2 (a + P).
468. cos2 (a + P) + cos2 (a — P) — cos 2a cos 2p =, 1 + cos2(6t+P) +
+ l+cos2(a-P) __l_[cos(2a + щ + cos(2a _2p)] = 1 +
. cos£ (a + P) + cos 2 (a — p) cos 2 (a-h p) + cos 2 (a — p)
469. 4sinasin(60°—a)sin(60°+a)=4sina. i- (cos 2a — cos 120°) =
= 2sinacos2a — 2sinacos 120° = sin 3a — sin a + sin a = sin 3a.
470. 16sin 10° sin 30°sin 50°sin 70° sin 90°=8sin 10° sin 50° sin 70° =
4 • 2sin 10° cos 10° sin 50° sin 70° _ 4sin 20° cos 20° sin 50° _
~~ cos 10° cos 10°
2sin 40° cos 40° sin 80c
cos 10° sin 80°
1.
471. Обозначим левую часть подлежащего доказательству
тождества буквой А. Будем иметь
А = ~$2 Sin 2°° Sin 4°° ' ^^in 8°° = бГ *C0S 2°° ~"
— cos 60 ) sin 80° = -~- ( sin 80° cos 20ю ^- sin 80° J =
233
/"3
Ж"
(sin 100° + sin 60° — sin 80°) =
n . тс тс 2тс
0 2 sin -=- cos -=- cos —=-
._ft тс 2тс 5 5 5
472. cos -=- cos -»— = =
5 5 „ . it
2sin
. 2тс 2«
sin-й- cos-^-
sin
5
4тс
sin
2sin
1Г
T~
4sin
4sin -=-
5
_. . тс тс 4rc / 2тс
47Г 5* 2smTcos-=-cos-=-cos U-T
473. cos -=- cos -=- cos -=- = . \ Lj
. 2тс 4tc 2it
sin -y- cos -=- cos -=-
2sin-y-
2sin -y-
4тс 4tc
sin -=- cos -=-
4sin-^-
sin-y- sin I тс-f -=-
sin
8sin-y-
8sin
presto-y-
7 1
= 4-= 0,125.
474. cos 55° cos 65° cos 175° = — -i- (cos 120° -f cos 10°) cos 5° =
1_
~~ 2
cos 5° -f cos 10° cos 5° =
(— cos 5° + cos 15° -f cos 5°) =
= — -i- cos 15° = — -|- cos (45° — 30°) =
L (cos45°cos30° + sin45°sin30°) = — ■ jl1 .
4 ^ 8J/I
475. -г
1
sin 10c
V$ _ 0 cos 10° — tg 60° sin 10c
cos 10°
sin 20c
234
cos 60° cos 10° — sin 60° sjq 10° _
cos70c
sin 20° cos 60'
sin20°cos60c
sin 20°
sin20°cos60c
= 4.
,_л rc 2тс . . тс . Зтс
476. cos -= cos -=- = 2sin -77- sin -r#r
00 10 10
28,11 To ""То"
n . Зтс Зтс
28Ш__С0$Ж
тс
то
_3тс_
10
. 2тс бтс
slnTFs,nTo
2sin
477.
тс тс
Т + То ls,n
_3тс_
10
тс . Зтс
sin -=- sin —=~
0 О
о • Зтс . тс
2sin-^- sin-=-
_ . тс / 2тс , 4тс бтс
2sin -у-1 cos -=- + cos -у- + cos -=-
2sin
2siny-
_ . тс 2тс тс 4тс
2sin у- cos -у- + 2sin у cos -=—Ь
, п . гс бтс .
4- 2sin у- cos -у 1 =
2sin —
sin
Зтс
sin-y-b
. бтс .Зтс . 7тс
4- sin -я sin у—f- sin
>у
sin
бтс
~7~
sin тс — sin
т
л . ГС
2sin-y
sin
~ • гс
2sin-y
1
478. sin 47" 4- sin 61° — sin 11° — sin 25° = 2sin 54° cos 7" —
2sin 18" cos 7° = 2cos 7° (sin 54°— sin 18") = 4cos7" sin 18" cos 36c
= cos 7° •
4sinl8°cosl8°cos36c
cos 18°
= cos T
= cos 7° •
2sin'36°cos36°
cos 18c
sin 72°
sin 72°
= cos 7°.
235
479. cos 24° + cos 48° — cos 84° — cos 12° = 2cos 36° cos 12c
— 2cos 48° cos 36° = 2cos 36° (cos 12° — cos 48°) =
л a^o • ,oo ; оло 2cos 18° sin 18° cos 36°
= 4cos 36 sm 18° sin 30 = тш =
cos 18
2sin36°cos36° sin 72° 1
2 cos 18° 2sin72° 2
480. a * (2sin 5° sin 10° + 2sin 5° sin 20° + ... -f
2sin 5
+ 2sin 5° sin 50°) = } (cos 5° — cos 15° + cos 15° — cos 25° +
-f cos 25° — cos 35° -f cos 35° — cos 45° -f cos 45° — cos 55°) =
cos 5° —cos 55° 2sin30°sin25° . oco . o_0 EO
= n . FO ■ = n . Fd ■ = sin25 sin 30 cosec 5..
2sin 5 2sin 5
481. tg 2a [tg (30° - a) + tg (60° — a)] + tg (60°- a) tg (30°— a) =
toQa tg(30°-«) + tg(60°-q)
==tg2a,l-tg(30°-a)tg(60o-a>[1-tg(3° -
— a) tg (60° — a)] + tg (60° - a) tg (30° — a) *=
= tg 2a tg (90° — 2a) [ 1 — tg (30° — a) tg (60° — a)] +
+ tg (60° — a) tg(30° — a) = tg 2a ctg 2a [1 — tg(30° —
— a) tg (60° — a)] + tg (60° — a) tg (30° — a) =
«= 1—tg(30°—a)tg(60°—a) + tg(60°—a)tg(30°—a)= 1.
„oo 1 , о -7 i . 2cos 7x sin 7x 1 , sin 14a:
482. 1 + 2cos 7x — 1 H ^-= = 1 -\
sin 7x sin 7x
sin 7x -f sin 14л: 2sin 10,5* cos 3,5л: sin 10,5л:
sin 7л: 2sin 3,5* cos 3,5л: sin 3,5л:
483. 4cos f 30° — -I j sin ( 60° j J = 2 [sin (90° — a) -f
-f-sin 30°] = 2 (cosa-f- i-J = 1 -f 2coSa= 1 -f
2sin a cos ac , sin 2a sin a -f sin 2a
sina sin a sin a
n . 3 a .3
2sin -y a cos -7j- sin -fr- a
n • a a .1
2sm -к- cos -y sin -у а
236
484. sin2a + sin2B + sin2^
cos 2a 1
"o 1
cos 23
+
-f 1 — cos2y — 2 —
cos 2a + cos 2p
cos2y =
= 2 — COS (a + 8) cos (a — p) — COS2[u — (a + B)] =
= 2 —cos(a + B)cos(a—B) —cos2(a + B) =
= 2 — cos (a + 8) [cos (a — B) + cos (a + B)] =
= 2 — cos (тс — y) • 2cos a cos 8 = 2 + 2cos a cos В cos y.
sin S0°
485. (tg 30° + tg 60°) + (tg 40° + tg 50°) =
+
sin 90°
1
cos 40° cos 50c
2
+
cos 30° cos 60c
1
+
cos 30° sin 30° ' cos 40° sin 40c
2 2 (sin 80° +sin 60°)
sin 60°
1 sin 80°
4sin70ocosl0°
cos 30° cos 10°
sin 60° sin 80c
4cos2Q°
cos 30° '
486. sin2 (a + 8) — sin2a — sin2p = 1 — cos2 (a + 8) —
1 — cos 2a 1 — cos 28
— COS2(a-f-p) +
cos 2a -f- cos 2p
= —COS2(a + S) + COS(a + p)cos(a —P) =
= COS (a + P) [cos (a — P) — cos (a -f- p)] = 2cos (a + p) sin a sin p.
487. 1 + cos 4a — 4cos 2a + 2 = 2ccs22a — 4cos 2a + 2 =
= 2 (cos2 2a — 2cos 2a + 1) = '2 (1 — cos 2a)2 = 8sin4a.
488. (cos 1 la -f- cos 5a) -f- 3 (cos 9a + cos 7a) =
= 2cos 8a cos 3a -f- 6cos 8a cos a = 2cos 8a (cos 3a + 3cos a) =
= 2cos 8a (4cos3a — 3cos a + 3cos a) = 8cos 8a cos3a.
489. sin 5a sin 4a -f sin 4a sin 3a — sin 2a sin a = sin 5a sin 4a +
+ -jr- (cos a — cos 7a) —* — (cos a — cos 3a) = sin 5a sin 4a -f
+
cos 3a — cos 7a
= sin 5a sin 4a -f- sin 5a sin 2a =
= sin 5a (sin 4a -f- sin 2a) = 2sin 5a sin 3a cos<a.
490. 2 • -y-<cos 30° 4- cos 10°) — 2cos 30° 4- sin 40° =
237
= cos 10° — cos 30° + sin 40° = 2sin 20° sin 10° -f-
+ 2sin 20° cos 20° = 2sin 20° (sin 10° + sin 70°) =»
= 4sin 20° sin 40° cos 30° = 2 V~3 sin 20° sin 40°.
491. [cos (a + P) cos y — sin (a -f- P) sin j] + cos a + cos P -f
+ cos y = [cos (a + p + y) + cosal + (cos p -f- cos y) =
■T
2cosla+ ^t T 1 cos ^ t T 4-2cos ^ t T cos
= 2cos
P + T
cos I a -f-
+ T
2
+ cos
— T
P+Y T+a a+
= 4cos ' cos ——~ cos
2 2 2 '
492. sin 70° 4- 4 (cos 60° 4- cos 20°) cos 80° = sin 70° 4-
4- 2cos 80° 4- 4cos 20° cos 80° = sin 70° 4- 2cos 80° 4-
4- 2cos 60° 4- 2cos 100° = cos 20° 4- 2cos 80° 4- 1 —
— 2cos 80° = 1 4- cos 20° = 2cos210°.
493. )/tg2a - sin2a = l/ i^ _ si^"=
у cos2a
. f sin2a (1 — cos2a) /r-=—r-«- i +
= I / *—5 ~ = у tg2a sin2a = tg a sin a
У COS2a r '
Ho | tg a sin a | «= tg a sin a, если tg a sin a
sm^a
cos a
> 0 или cosa>0.
Отсюда получаем
(4k— l)ic
<a<ll*+2il «-(2A+1K
494. Y\ 4- sin 2a = j/sin2a 4- cos2a 4- 2sin a cos a =
= ]/(sin a 4- cos a)2 = | sin a 4- cos a |. Ho | sin a 4- cosa | =
= sin a 4- cos a, если sin a 4- cos a = Y 2cos \-? a J > 0.
Отсюда
(4*-Jjhc « , ^ (4*+!)* „(M-l)* (M + 3)it
2 <T~a< 2 4 < a< 4
495.- "I/
1-
1 —cos
1 4- cos
cosa
a /(1 — cosot)2 _ , /"(1 — cosa)2 _
a ~" J/ 1 — cos2a ~~ |/ sin2a ~~
sin a
= |coseca — ctga|. Ho coseca — ctga
238
. 1 — cos a
= ctg a — cosec a, если cosec a — ctg a = : < U.
& ь sin a ^
Отсюда sin a < 0 и (2k — 1) тс < a < 2k it.
496. T/;g*-sin« , i/! -cosa = i/-(',~cosf -
f tg a -f sin a J/ 1 -}- cos a |/ 1 — cos^a
= 1 / — r~2—-— = V (cosec a — ctg a)2 = | cosec a — ctg aj.
Ho | cosec a — ctg a | = cosec a — ctg a, если cosec a — ctg a =
1 COS a
= : > 0. Отсюда sin a > 0 и 2k -к < a < (2k -k 1) тс.
Sin a
Однако в отличие от задачи 495 здесь доказываемое равенство
и (2£ + 1)тс
теряет смысл не только при а = #тс, но и при а = х '-—£—.
Поэтому окончательно получим:
2*»<.<(«+i)i:Ji* + ^<.<(2* + ,),.
497. J/" sec2a -f cosec2a = [/ tg2a -f 1 -}- ctg2a -f 1 =■«
= |/(tga-}-ctga)2 = | tg a -j- ctg a |. Ho | tga -f ctga j =
1 _i_ tg2a
= —tga — ctga, если tga-}-ctga = —~—-—< 0. Отсюда
tg a
tga<0 и (2^ + ])тс <g<(fc-H)it.
498. ]/tg2a + ctg2a + 2 = V (tg a + ctg a)2 =*
в i // sin2a + cos2a У = 1 / . 21 , - К sec2a cosec2 a
К ^ sin a cos a / К sin2a cos2a
= | sec a cosec a j. Ho ) sec a cosec a |= sec a cosec a,
1 2 ^ Л
если sec a cosec a = —: «= —r-^— > 0.
sin a cos a sin 2a
Отсюда sin 2a > 0 и k тс < a < -* ^—-—.
4QQ l/?+sing i -1/l-sina /(1+Sina)2
4"' V 1-slria 4" V 1+sina " У l-sin'a +
/"(l~sina)T /(1+Sina)2 /-(losing)2
"^ J/ 1—sin2a = V cos2a "*" [/ cos2a
239
1 + sin a 1 —sin a
= 2 I see a I.
I cos a I |cos a | |cos a(
Ho j sec a j — — sec a, если sec a < 0. Отсюда
(4fe+l)* ^. (4fe + 3)TC
2 ^ ^ 2 "
500. V 1—cosa + |/1 +cosa = l/ 2sm2-|- -f
+ |/^2cos2-|-=l/2(|
a a
slnT ~H C0ST
Так как
^2(si"-r—cos-|-) = 2sin(-i—r)-
то доказываемое равенство будет справедливо в том и только в
том случае, когда
a
Sin -тгт
2
a
=* sin -г- и
2
a
COS-jr-
2
— COS
2*
2£ + -i-jic<-|-<(2A+l)icf (4*+l)«
т. е. когда sin-^->0 и cos-^-<0. Из первого неравенства
a
следует, что у:ол -^- должен оканчиваться в первом или втором
квадранте, а второе неравенство требует, чтобы он оканчивался
во втором или третьем квадранте. Следовательно, угол — должен
оканчиваться во втором квадранте. Итак,
a < (4k -Ь 2) тс.
501. Представив левую часть доказываемого равенства в виде
у l-fcos(-| a)+l/ 1— C0S(lT~ 7'
замечаем, что она имеет такой же вид, как и левая часть
равенства задачи 500., Поэтому и решение ее может быть выполнено по
тс a
тому же плану. Более того, если положить -^ a = <р, то -^г —
= —г к" и данное равенство примет вид
У 1 + cos ср, -|- у 1 —coscp■•= 2sin (-I j- )•
24a
Последнее ничем, кроме обозначения аргумента, не отличается от
равенства задачи 500. Поэтому можно воспользоваться ответом
задачи 500 и написать
(46+1)гс<ср<(4£ + 2)тс .
или
(4k + 1)тг<-^- — а<(4£ + 2)гс.
Отсюда простыми преобразованиями получим окончательно -
4Л 5~ jic<:a<:f4/fe 2~)тс*
502. Так как л[—^—- + -= ! = 1А 2—т- =
\ 1 4" COS a 1 — COS a у 1 — COS^a
У sin2a J sin a |
то для левой части равенства получим
1 V~2 /2—K5(i- '
Sin a I sin a | \ sin a | sin a
Для того чтобы в скобках получить ctg2a -f 2, нужно положить
| sin a | = — sin a, т. е. считать sin a < 0. Действительно, в этом
случае выражение в скобках будет равно
1 -| г-к— = 1 + cosec2a = 2 + ctg2 a.
Sin2a &
Но если sin a < 0, то (2k -f 1) тс < a < (2k -f 2)ic.
503. tgp = -ISL_ = 1_ = 4-{ '
+ /1-sin2? /io/l-^ 3
7^4 25 j
- 1_ 3_ 25
7*4
Отсюда aH- 2£ = 45° -f 360° • А, где k = 0y ±1, ±2, .... а так
как 0 < a < 45°, 0 < р■< 45° и, следовательно, 0 < a -f 2p < 135°,
то k = 0 и получим a + 2(3 = 45°.
504. а) При 2Ьс <*< (2£ -Ь 1)тс. б) При всех я, исключая
26 -И
J *■ ■ it.
в) При всех х, исключая х — 2кк. г) При всех х.
241
505. При тех значениях, при которых cos -г- > 0, т. е. при
2k ir — -£- < -1 < 2Ьг -f Z- или (Ak — 1) tz < a: < (Ak -f 1) ъ
506. tg a > sin a. Действительно, tg a = =*
to to cos a
1 ^ .
=» Sin a • • > sin a.
COS a
507. Известно, что среднее арифметическое двух
положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел, т. е.
а + b ^ л/—й
—■=— > у ао, причем знак равенства имеет место лишь при
а+6, а+Ь ~ .
а — о. Поэтому =- > 1 и при а Ф о значение -—=- > 1
2\ ab 2\/ ab
могут принять тангенс, котангенс, секанс и косеканс, а при
а = b — все.
508. Синус единицы больше синуса одного градуса, так как
синус единицы по определению равен синусу, угла в один радиан,
а синус одного радиана больше синуса одного градуса.
2
глл п , i 42 / Sin a "f C0S a \
509. (tg a + ctg a)2 = —: !
■ \ sin a cos a J
1
Sln^a COS^a
>4,
sin2 2a
так как sin2 2a < 1. Это наименьшее значение достигается
(2k + 1)«
при a= ^ ■.
510. Так как a и p— острые углы, то 0<cosa<l, Q<
<cos р < 1. Поэтому получаем sin (a -f- Р) = sin a cos p -f cos a sin p<
< sin a • 1 -f- 1 • sin p. Итак, sin (a -f p) < sin a -f sin p.
IT
611. tg2a>2tga. Действительно, так как 0<a<-j, то
0<tga<l, 0<tg2a<l, 0<l-tg2a<l, { _* >l
и . ,
tg2a= ^Ч"» =2tga» . * а >2tga- 1.
& 1 — tg2a & 1 — tg2a s
512. Можно. Однако такое определение синуса числа
привело бы к более сложным формулам в математическом анализе, чем
принятое.
242
но
513. Неправильно. Радиан есть угол, принимаемый за единицу
при радианном измерении углов, подобно тому, как угловой градус
есть угол, принимаемый за единицу при градусном измерении углов.
И подобно тому, как в градусном измерении угол выражается
именованным числом (числом градусов), так и при радианном
измерении угол выражается именованным числом (числом радианов).
514. В любом интервале, в котором определена эта функция.
Так, например, tgx возрастает в интервалах I 0, ~к-\, I -я-, тс),
нельзя сказать, что tg* возрастает в интервале (0, тс).
515. Задание синуса и косинуса вполне определяет, в какой
четверти оканчивается угол. Можно также исходить из того, что
а
Sin -jr-
. а 2 . а а
tg -д- = . a sin а = 2sin -77- cos -^ •
2 а 2 2
cosT
516. sin 36° = sin 2 • 18° = 2 sin 18° cos 18°; cos 54° =
= cos 3 • 18° = 4cos2 18° — 3cos 18°; 2sin 18° cos 18° =
= 4cos318° —3cosl8°, 2sin 18° - 4(1 — sin218°) —3,
4sin2l8°4-2sinl8°—1 =0.
Так как sin 18° > 0, то из полученного уравнения находим
■п1оо -1 + j/l
sin 1о = -. ■•
4
517. Умножим и разделим данное выражение на 2sin-^-. Тогда,
обозначая искомую сумму буквой 5, получим
5 == I 2sin-y sin a + 2sin-^-sin 2а + ... +
2sinT
о- - • ■ - ] / а 3,3
+ 2sin -75- sin л а I — —- I cos -= cos-77- а + cos -77- а —
^ / 2sin-|- V 2 г 2
5 , , 2п — 1 2л + 1 \
— cos -к- а + ... + cos ~ а — cos 5 а I =
. п а . (п + 1) а
1 / а 2п + 1 \ 2 2
1 cos -* cos д—— а '
. . а v 2 2 / .а
2sin-H- ч ' sm~o
243
518. Умножив и разделив данное выражение на 2sin-yH
поступая далее, как в задаче 517, получим для искомой суммы
S =
. па (п 4- \)а
sm— cos-^—jj-!—
sin
a
519. Пользуясь формулами косинуса и синуса двойного угла,
преобразуем выражения для Ах, Вх и Сх так:
А
л 1 + COS 2a sin 2а п 1 — cos 2a
А • - \- В ~ f- С • -
2
А + С
-f- -у- sin 2а -\ ^— cos 2a;
Вх — С sin 2а -j- В cos 2а — ,4sin 2а = В cos 2а — {А — С) sin 2a;
А+С В . 0 А—С
sin 2а - cos 2a;
Сх- 2 2 ~.»~- 2
д; — 4АХСХ = Ш cos 2а — (А — С) sin 2a]2
Л + С
+
— sin 2а -J - cos 2a
Л-ЬС
— j -у sin 2а -] cos 2a
= Б2 cos2 2a
520.
— 2В (А — С) sin 2a cos 2a -f (А — Cf sin2 2a —
— [(А + С)2 — (Б sin 2а + (А — С) cos 2а)2] =
= Б2 (cos2 2а + sin2 2a) -\-{A — Cf (sin2 2a 4- cos2 2a) —
— (Л 4- С)2 = В2 4- И — С)2 — (Л 4- С)2 = В2 — ААС.
tg(a + P) sin (а 4-Р) cos a sin. (2а 4-1) 4-sin p
tga
cos (а 4- Р) sin a sin (2а 4- ?Р) — sin p
_ 6sinp __ 3
~ 4sinp ~~ Т"
521. Для (р = 0 данное равенство приводится к виду
ах cos ах 4- a2 cos a2 4-.. • 4- &п cos an — ®-
Для <р ?= (р,0 ¥= k те его можно записать так:
(«! cos aj 4- a2 cos a2 4-... + ял cos %) cos <p0 — (ax sin ax 4-
4-.О2 sin a2 4-... 4- ansin ajsin cp0 = 0.
Учитывая первое равенство, а также и то, что sin щ Ф 0,
получим равенство
ах sin ax 4- «2 sin a2 4- ... ~Ь ansin an = 0.
244
Умножая теперь первое на coscp, где ср — любое число, а
последнее на sin ср и вычитая из первого результата второй, получим
a1cos(a1+ cp) +a2cos(a2 + <f) + ... -f a„cos(ая + <р) = 0.
522. Находим cosx из данного равенства:
sin2 В cos2 a — sin2 a sin2 3
— sin2 S cos a — sin2 a cos 8 —
_ (1 — cos23) cos2a — (1 — cos2a) cos23
(1 — cos23) cos a — (1 — cos2a) cos 3 —
__ cos2a — cos28 _ . cos a -f- cos 8
(cos a — cosS)(l -f- cos a cos 8) l+cosacos3
% \ COS X
Пользуемся формулой tg2 -^- = -r-- .
Получим
, 2 x _ 1 -f cos a cos 3 — cos a — cos 3
2 1 -f cos a cos S -f- cos a -f- cos 8 ~~
= 1~C0Sa 1~ C0S^ = tff2 Л ta« _L
1+cosa l+cos8 8 2 ё 2'
523. cos2a = 1 — sin2a = 1 — 4sina -|- sin3 -^ = 1 —
— (1 — COS cp) (1 — COS O-) = COS cp -f COS в — COS cp COS в =
cos a cos a cos2a
cos 8 cosy cos 8 cos у
CQg Я -I— COS Y
Сокращая на cos a Ф 0, найдем cos a = . , n—■—. Остается,
1 + cos 3 cos y
как и в задаче 522, подставить cos a в формулу tga — =.
1 —cos a
1 -f- cos а
524. Данные равенства можно записать так:
cos О cos a -f sin О sin a. = а\ sin О cos 3 — cos О sin 8 = b.
Умножим перюе равенство на sinS, а второе на cos а и
результаты сложим; умножим опять те же равенства — первое на cos 8,
а второе на sin а и результаты вычтем почленно. После этого
получим
sin О cos (а — 8) = asin3 -\-bcosa -
и
cos в cos (а — 8) = a cos 8 — b sin а.
245
Возведем теперь полученные равенства в квадрат и результаты
сложим почленно. Это даст:
cos2 (а — В) (sin2B + cos2B) = (а sin В + b cos а)2 +
+ (а cos В — b sin a)2, cos2 (а — В) = а2 (sin2B + cos2B) —
— 2ab (sin В cos а — cos В sin a) -f- № (cos2a + siri2a),
cos2 (a — B) = a2 — 2ab sin (a — 6) + b2.
_2 a + с _ cos x + cos (x + 2cp) __ 2cos (* + 9) cos cp _
b -\- d ~ cos (* + cp) + cos (x + 3<p) — 2cos (a: + 2<p) cos?"~
cos (a; + <p) 6 ^ a + c b -\- d
— — Отсюда —^— = —!—.
cos (x + 2<p) с
го* о • a + P a — P о a + P a — P
526. 2sin —~- cos —^-J- = p; 2cos —£-!- cos —^-J- = 9.
Отсюда tg——£. = i—. Пользуясь теперь формулами sin 2x =
2tg* ' 0 1— tg2* • / . оч 2W
— и cos 2x = 2 , получим sin (a + fj) = - 2 , 2 и
1 + tg2 x " "~ ^ 1 + tg2 x ' " ' ' * ° v ' r; " p2 + ?2
cos (a + В) = Л-тЛ
. q2 + p2
627. Так как cos a -f- cos В = 2cos —~- cos •
2 2'
a cos (a + p) = 2cos2 —~- — 1, то данное равенство можно
преобразовать так:
a + В а — В а + Р 1 Л
2cos —^- cos —^ 2cos2 —~i- к- = 0,
„ а+р а —р а+Р , 1 п
COS2 рг-1 COS рг-5- COS =-!-- + —- = О,
2 2 2 4
/а+р 1 а-Р У, 1 1 2 а-р
(C0S 2"^—"2-C0S—2-^/^-4 4 C0S —2 =0'
а+р Г а — рУ . 1 . 2 а-р
cos-T^-Tcos-^-j+Tsin2 -^- = 0
Но сумма квадратов вещественных чисел тогда и только тогда
равна нулю, когда каждое из этих чисел равно нулю. Отсюда
• а —Р п а+Р * <* — Р п *
sin —~- — О и cos —^- jj~ cos —„-*— = 0.
Из первого, учитывая, что аир — углы треугольника, получим
a = р. Но тогда, подставив a = В во второе, найдем: cos a ^- =^0,
246
cos« ^y, a = -^-. Итак, a = (3 = -^-. Но тогда и третий угол
тс
равен -5-, т. е. треугольник правильный.
528. Стороны а, Ь и с образуют арифметическую прогрессию и
потому связаны зависимостью а — b = b — с. Так как-стороны
треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов,
то из условия а — b = b — с получим
sin А — sin В = sin В — sin С.
Отсюда:
п. Л —В А + В п. В —С В + С '
2sin к—cos —я; = 2sin —к cos
2 """ 2 2 '
А В\ к — С . ( В С\ к—А
Sinl ^ 2-JC0S=—2 = SmV-2 2~JC0S 2
,. А В А . В\ . С
sin-^-cos-х cos-^-sin-х- I sin-^-=
( . В С В . С\ . А
= I sin —- cos -~ cos -=- sin -р-1 sin -у
Разделив обе части последнего равенства на положительную вели-
. А . В . С
чин> sin -~- sin -~- sm-~-, получим
.В .А С , В
ctg ~2 ctg-^- = ctg-^- —ctg^-.
529. Рассматривая данное равенство как уравнение
относительно tg А, определим из него tg А. Получим
* А " ~ 1-Д^Л с = ~tg {В + С) = tg (~ в ~ q-
Но если тангенсы равны, то углы связаны зависимостью А = k %\
+ (— В — С) или A + B + C = kr:, где k = 0, ±1, ±2, ...
Наименьшие положительные углы, удовлетворяющие поставленным в
задаче условиям, найдутся из системы: A -f- В -)- С = 2тс, 2Л =.
2 1
=*fJ-f-C, С = Л -f #• Решив ее, найдем, что А = -^- тс, 5 = -^- ic,
тс
С = тс. Если взять k — \, то получили бы С = -^-, а для
такого угла данное тождество теряет смысл.
530. sin A = sin (тс — В — С) = sin (В -f С) = sin£ cosC +
247
-f- cos В sin С. Но —:—j- = —:—н~ = . _ - = t. Отсюда:
sin Л sin В sin С
81пЛ=—, smB = —, sinC = —.
Подставляя полученное в первое равенство и сокращая на /, найдем
а — b cos С -f- с cos В. Так же найдем Ь — с cos Л -f- a cos С и с =
= а cos Б -f- Ь cos Л. Умножая первое из них на а, второе на b
и третье на с и вычитая из первого результата два последних,
получим
а2 — Ь2 — с2 = — 26с cos Л или а2 = Ь% + с2 — 26с cos Л.
531. Из данных равенств получаем:
cos a cos 39 -J- sin а sin 39 = т cos39;
sin a cos 39 — cos a sin 39 = m sin39.
Умножая первое на cos 39, а второе на sin 39 и вычитая
почленно, получим
cos a = m (cos39 cos 39 — sin39 sin 39).
Преобразуем это выражение, пользуясь формулами косинуса и
синуса тройного угла. Получим
cos a = m [cos39 (4 cos39 — 3cos 9) — sin3 9 (3sin 9 — 4sin39)] =
= m [4 (sin69 -f cose9) — 3 (sin49 -f cos49)l.
Возведя данные равенства в квадрат и складывая, найдем
sin69 +-cose9 = —5-. t*\
т2 \ )
Найдем теперь sin49 -f cos49:
sin49 -j- cos49 = (sin2 9 + cos29)2 — 2sin29 cos29 =
= 1 — 2sin36cos2e.
■—5- = sine6 4- cos69 = (sin29 -I- cos29)3 —
m2 vi/
— 3sin29 cos29 (sin29 + cos29) = 1 — 3sin29 cos29.
Отсюда
sin29 cos39 = 4- ( 1 К
3 \ m2
и
sin49 + cos49 = l--|-^__lr). (**)
Пользуясь написанным выше выражением для cos a, a также
равенствами (*) и (**), получим окончательно
т2 -\- mcosa■ = 2.
248
532. Разделив первое уравнение на cos20, второе на cos2cp и
воспользовавшись формулой sec2* = 1 -f- tg2x, найдем
откуда
Но из
тельно
а + Ь =
533
=
(а—1
) tg20 = 1
tg2e
tg2cp
-b,
-(
третьего данного уравнения
Ьг ( 1 —
а2 " [\ —
= 2ab.
cos2*
1
sin4x '
1
sin4x cos6*
ьУ rr
. Так
a J
sin4*
cos6*
—(cos8* -f-
как а
6
cos2*
(b-\)tg<
\-b\
\—aj
получим
Ф b, то
, 4
1 sin2;
!<P =
tg20
tg^cp
b
a
с +
\-a,
Ьг
~ a2
1-
1-
4sin2A;
cos4*
sin8* -f- 6cos4x sin4x -j- 4cos6a;
+ 4cos2* sin6*) = -—~. A =
' siirxcos6*
1
sin4x cos6
-b
-a
=
sin
X
Следова-
, откуда
*x-\-
534. Перенесем все члены данного равенства в левую сторону,
так что в правой будет 0, и приведем левую часть к виду,
удобному для логарифмирования. Получим
1 , • a • Р • Т
cos# -J- cos p -f cos T —* — 4sin -~- sin -^- sin -—- —
«4-8 a — 8 n . » T ,, • * • P . Y
= 2cos —^-E- cos —~ 2sin2 -x 4sm — sin -^- sm -~ =
2 I cos2 -=- cos2 -к sin2 -РГ- sin2 -£ sin2 -4
2 a 2 P
cos2 -=- cos2 -^
— 2sin — sin -^- sin -^- I = 2
I • a • Pi- T '2
— ( sin у sin -y + sm -^
о I a P
= 2(cos—cos-^-h
. a . В , . T a В . a . В
-f sin ^ sin -y + sln 2 / \C0STC0S 2 SlnT Sln"^
- sin i) = 2 (cos -i=± + sin -L) (cos -i+i_ sin X) _ o.
249
Но первый множитель положительный в силу того, что 0 < а < —
О < р < -рр 0 < у < -~-. Поэтому должно быть:
cos —~- — sin -£- = 0; cos —^- = sin -£-;
Но
COS т^- = COS 1 -д- £-
^ 2 ^ 2 ' ^ 2 2^2'
а для острых углов из равенства их косинусоз следует равенство
углов. Поэтому
а 4- 3 тс г
*
535. Достаточность. Если tg-^- рационален, то этого
достаточно для того, чтобы sin* и соз* были рациональными, потому что
существуют зависимости:
2tg~ i-^T
sin*=~ ; cos*
1 + tg2^- 1+tg2^-
Необходимость. Если sin* и cos* рациональны, то необходимо
*
будет рациональным и tg-^-, как это видно из формулы
* sin*
tg -^- =
2 1 + cos *
При этом, конечно, имеются в виду такие *, при которых суще-
*
ствует ig-cr, т. е. * ф (2k -f 1)тг.
536. Нужно доказать две теоремы:
I. Дано: 0 < а < -£-, 0 < р < -£-, 0 < т < -у/
а + Р + Т = '1Г-
Доказать: cos*a -j- cos2p -f- cos*y -f- 2cos a cos p cos у = 1.
И. Дано: 0 < a< у, 0 < p < у, 0 < T < -|-,
cosaa -f- cos2p -f- cos2y + 2cos a cos p cos у = 1.
250
Доказать: а + Р + Т — п-
Доказательство 1. Преобразуем выражение
cos2a -f cos2p + cos2y + 2cos a cos p cos y.
cos2a -f cos2p + cos2y + 2cos a cos p cos у = ^ f-
+ ^_+|os2p + cos2^ + [cos(a_p) + cos(a + p)]C0ST _
= 1 -f cos (a -f- p) cos (a — p) -f cos (a + P) cos у +
+ cos (a — P) cos у + cos2y = 1 -f- cos (a + P) [cos (a — p) -f
-f cos y] + cos у [cos (a — p) + cos y] = 1 -f [cos (a — p) -j- , -
+ cos y] [cos(a -f- p) -f- cos у] = 1 + Icos(a — fi) + cos 7] [cos (те — у) -\-
-j- cos у] = 1 + [cos (a — p) + cos y] (— cos у -j- cos y) = 1.
Доказательство II. Рассматривая равенство
cos2a -f- cos2p -f- cos2y + 2cos a cos p cos у = 1
как квадратное уравнение относительно cos a, определим из него
cos a. Получим
cos а = — cos р cos у ± j^cos^ cos2y — cos2p — cos2y + 1 =
= — cos p cos у + ]/cos2p (cos2y — 1) -f- 1 — cos2y =
= — cos p cos у + |/(1 — cos2y) (1 — cos2P) =
= — ccs p cos у + У sin2ysin2p = — cos p cos у + sin p sin y.
Но знак минус перед вторым слагаемым должен быть отброшен,
так как при условии 0 < a < -^-, 0< Р < -=-, 0 < у < -у будет
cos а > 0, в то время как — cos P cos у — sin p sin у < 0. Таким
образом, остается только cos a = — cos p cos у -j- sin p sin у, что
можно записать так: cos a = — cos (p + у) или cos a •= cos [те — ({Л -J- у)].
Ho 0<p<-^-, 0<y<^. Поэтому 0<р-+у<тг, — те <
<^ _ (р 4 y)< 0, 0 < те — (у -f- Р)< «. Так как, кроме того, 0 < a <
<—, то из равенства косинусов углов а и те—(Р + у) следует
равенство этих углов, т. е. a = те — (Р + т) и a -f- P + Т = те-
537. Из данных равенств следует, что можно положить
а = cos ху Ь — sin х; a '= cos yt р = sin у. Но тогда | а а + Ь р | =
= | cos jc cos у -f sin x sin у |.= \cos(x~y)\ < 1.
538 — 569. Указание. Напомним некоторые определения и
формулы, относящиеся к обратным тригонометрическим функциям.
,251
В тригонометрической функции у = sin х угол х (или число х)
является аргументом, at/ — функцией. Поменяем ролями функцию
и аргумент. Тогда получим новую функцию, которая называется
обратной для данной. При этом новую функцию также будем
обозначать буквой уу а аргумент — буквой х. Тогда для обратной
функции получим х = sin у. Новая функция называется арксинусом и
обозначается так:
у = Arc sin x.
Записи у = Arc sin л: и x = siny равносильны, и поэтому можно
сказать, что арксинус х есть угол (или число), синус которого
равен х. Вместо слова «угол» часто употребляют слово «дуга».
Так как х есть синус, то допустимыми значениями для х
являются лишь те, которые удовлетворяют неравенствам —1<ж< 1.
По данному синусу можно найти не один угол, а бесконечное
множество их. Поэтому говорят, что функция у — Arc sin x — бес-
конечнозначная. То ее значение уъ соответствующее данному хъ
те те
которое удовлетворяет неравенствам ~- < ух < -^-, называется
главным значением функции Arc sin x, а если ух — угол, то
главным углом. Множество всех главных значений Arc sin x,
соответствующих всевозможным х от—1 до-f-l, называется главной
ветвью Arc sin х и обозначается arc sin х. Функция у = arc sin x
однозначная и возрастающая в своей области определения, т. е. в
промежутке [ — 1, 1 ].
Аналогично определяются функции Arc cos x (арккосинус х),
Arctg* (арктангенс х), Arc ctg л; (арккотангенс х) и их главные
значения — arc cos x, arctgx, arc ctg x.
Функция у = arc cos x определена, однозначна и убывает в
промежутке [ — 1, 1]. Функция t/ = arctgx определена, однозначна и
возрастает в промежутке (— оо, -f- со). Функция у = arcctgx
определена, однозначна и убывает в промежутке (— со, -(-со).
Для обратных тригонометрических функций имеют место
следующие зависимости:
Arc sin x = k те -f (— 1)* arc sin x, ~- < arc sin x < -^-;
Arc cos x -f- 2k те + arc cos x, 0 < arc cos x < те;
Arctgx = £:r + arctg>;, — -^- < arctgx < -^-j
Arc ctg x = k те -f- arc ctg x, 0 < arc ctg x < те;
k = 0, +1, ±2, ...
sin (arc sin x) = x, cos (arc cos x) = x,
tg (arc tg x) = x, ctg (arc ctg x) == x.
252
Если sin a = sin p, причем а и р— главные значения арксинуса,
то обязательно а = р. Это следует из однозначности функции
arcsin*. To же самое можно сказать и о других
тригонометрических функциях.
538. Можно. Однако в этом случае функция и ее график не
были бы непрерывны.
(* \
539. а) Положим arc sin х = а. Тогда sin а = х и cos I -~ а I =
= х. Так как по определению главного значения арксинуса
ТС ТС ТС ТС ТС _
2~<а<-2", то— -у< — КуиО<у- а < тс. С
другой стороны, всегда можно написать х = cos (arc cos х). ^Итак,
cos ( -~ a I = cos (arc cos х), причем 0 < arc cos x < тс. Но если
косинусы некоторых углов равны и эти углы являются главными
значениями арккосинуса, то тогда и углы равны. Поэтому
получим:
ТС ТС
-~ а = arc cos х, а + arc cos x — -~-,
тс
arc sin x + arc cos x = — •
Так же доказывается и равенство «б».
540. а) Положим arc cos (— х) = а. Тогда cos а = — х и cos (тс —
— а) = х. Так как'по определению главного значения арккосинуса
0<a<ir, то — тс< — а<0 и 0<тс — а<тг. С другой стороны,
можно написать х = cos (arc cos х). Итак, cos (тс — а) = cos (arc cos x),
причем 0 < arc cos x < тс. По если косинусы некоторых углов
равны и эти углы являются главными значениями арккосинуса, то и
углы равны. Поэтому получим:
тс — а = arc cos ху а = тс — arc cos x,
arc cos (— л;) = тс — arc cos x.
Аналогично доказывается равенство «б».
541. a) sin (arc"cos л;) == |/ 1 —cos2 (arc cos л;) = j/l —x2. Перед
корнем взят знак плюс потому, что 0 < arc cos x < тс. Таким
образом, вывод этой формулы свелся к написанию формулы sin a =
= Y 1 — cos2 а, к подстановке в нее а = arc cos x и использованию
формулы cos (arc cos л:) ='х. Аналогично выводятся и все остальные
формулы этой задачи. Докажем, например, формулу «г». Пишем
, sin a
формулу tga = — —, подставляем а = arc sin x и пользу-
у 1 — sin2 а
емся формулой sin (arc sin x) = х.
_ . X
Получим tg (arc smx> = =,
253
Перед корнем взят знак плюс потому, что когда ~- < а < -^-,
то tga и sin а имеют одинаковые знаки. Для получения другой
формулы, содержащейся в равенстве «г», нужно взять формулу
, cos a
ctga =' r ■-, положить в ней a = arc cos x и воспользовать-
У 1 — cos2a
ся .формулой cos (arc cos x) = x.
Само собой разумеется, что каждая из формул «а» — «е» имеет
свою область допустимых значений для х. Так в «а», например,
— 1 < л; < 1, в «б» и «в» — все вещественные значения х.
542. Докажем, как образец, формулы «в». Прочие
доказываются аналогично.
х
I. sin (arc tg x) = -т= (см. задачу 541, б). Угол arctgx
V 1 +*2
заключен между ^- и -=- и имеет синус, равный . Но
в промежутке от ~- до -х-, в силу однозначности функции арк-
х
синус, существует только один угол, синус которого равен —.
у 1 + х%
Этот угол есть arc sin :. Итак, arc tg x = arc sin
Полученная формула верна при любых значениях л;, в частности
при х > 0.
II. cos (arc tg л;) = (см. задачу 541, в). Угол arctg.*:
У 1 -f- х2
при л; > 0 заключен в промежутке между 0 и -=- и имеет
косинус, равный . Но в промежутке от 0 до JL, в силу одно-
у 1 -[- X 2,
значности функции арккосинус, существует только один угол,
косинус которого равен -.
у 1 -f- хъ
Этот угол есть arc cos
У"1Ч-*2'.
Итак, arc tg x = arc cos _ для х > 0.
V1 + **
III. ctg(arctgx) =— (см. задачу 541, е). Угол arctgx прил;>0
заключен между 0 Иу и имеет котангенс, равный -^-j. Но в про-
254
межутке от 0 до -=-, в силу однозначности функции арккотангенс,
существует только один угол, котангенс которого равен —. Этот
угол есть arc ctg—. Итак, arc tg x = arc ctg—, если х > 0.
Требование, чтобы было х > 0, обусловлено формой записи, а
не существом дела. Так, например, если формулы «в» записать не
в виде непрерывных равенств, а раздельно, то из трех равенств,
которые только что были рассмотрены, лишь для равенства arc tg х=
~ arc ctg — требуется условие х > 0, а другие верны в более
широких пределах для х Именно, первое верно при всех ху а второе
при х > 0.
543. arc cos | cos -=- тс | = arc cos
ю 6
COS 1 2т: р- it
— arc cos l -=- тс I = -£- тс.
Было бы неправильно написать
/ 6 \ 6
arc cos I cos — тс I = — тс.
Равенство arc cos (cos a) = a справедливо лишь в том случае, когда
угол а заключен между ^0 и тс, потому что 0 < arc cos (cos a) < тс.
Если угол а не находится в интервале [0, тс], то он является лишь
одним из значений Arc cos (cos а).
544. Так как ^- < arc sin (sin*) < -~-, то: 1) если ^ <
< х < -~-, то arc sin (sin х) ='х\ 2) если -~- < х < -=- тс, то arc sin
(sin x) = arc sin [sin (тс — л;)] = тс — х, потому что в этом случае
Г) (-
— < тс — х < -^-; 3) если -^~ тс < х < -~- тс, то arc sin (sin x) =
тс тг
= arc sin [sin (x — 2тс)] = х — 2тс, потому что -^ < х — 2тс <-^-.
D ^ 2Л — 1 . . 2А + 1 " тс
Вообще, если ^—«<*'< —я те или» иначе> «^ «" <
< х < Ы -f- -д-, то arc sin (sin x) = (— 1 )*-1 (k тс — х), потому что
в этом случае
sin [ (— I)*-1 {k тс — х)] = (— I)*'1 sin (&' те — х) =»
255
- (— l)*"1 • (— l)*sin(— x) = — (— l)*-i • (^ l)*sinx =
= sinx; 2~<(~ \)k~x{k* — x) < -|-.
545. Так как й"< arc tg(tgx) <-|-, то: 1) если £-<"<
TC ТС j
< у, тогда arc tg (tg x) = x; 2) если у < x < у те, то arc tg (tg *) =
= arc tg [tg (x — тс)] = x — тс, так как — < x — те < —;
3 5
3) если — те < х < — те, то arc tg (tg дс) = arc tg [tg (x — 2те)] == x —
TC TC i ТГ
— 2те, потому что к- <х — 2те < —-; 4) если — те <х < —
ТС
то arc tg (tg х) = arc tg [tg (x -\- те)] = x -f- те, так как — < x + те <
* о к 2k—\ 2k + 1 , ,, .
< —=-. Вообще, если ■= те < x < ^— те, то arc tg (tgx) =
TC 7C
arc tg [tg (x — k тс)] = x — & тс, потому что «-<* — & тс < —-.
546. I. Первое решение задачи будет основано на использова-
. а V 1 4- sin а — ]/ 1 — sin а
нии формулы sin -~- = s » справедливой
для =-<а<-^-. Докажем ее.
У l+sin* = l/ sin2-~- -f-cos8-^- + 2sin ycos-y =»
= У (sin т+cos t)2= ± (sin т+cos т
или
cos -y-b sin у = ± y\ + sina.
Аналогично получим
a • a , i/i :
cos-^ sin-~-= + ]/1—sin a.
258
Но если
~п тс а . а /--_ / тс _ а \
т- -у < а < -у. то cos у + sin-у = У 2 cos I — + у I > О
и перед радикалами нужно взять знаки плюс, Поэтому получим
а 1/^1-4- sin а — V" 1 — sin а
Sln Т " " 2
Положив в этой формуле а = arc sin x и воспользовавшись
равенством sin (arc sin x) = х, найдем, что
. . 1 . \ yi+x-Vl-x
sin -г- arc sin x =
2 — ~/ 2
t II. Пользуемся формулами: sin -^ = ± ^
Пусть а = arc sin x, тогда cos a = ]/" 1 — x2
• a •
sin -7Г- = i
2 2
1Л + /1-(1-*2)-V^1-]/1-(1-a:2)
± 2
- 2 ± 2
Если * > 0,' то jjt| = a:, "[/1 -f л: > }/"l — л: и a > 0. Поэтому в
правой части равенства нужно перед дробью взять знак плюс.
Получим
sin I -*- arc sin x 1 =* - !—g— •
Если х < 0, то J х\ = — х, V\ + a; < \f\ — х и а < 0.
Следовательно, в правой части перед дробью нужно взять знак минус.
Получим
1
... . \ y\ — x — V\+x VTTx — V\—x
sin ( у arc sin x I =» 5 !— = - ' ^-^ .
9 Шахно К. У. 257
, з
sin л; — sin -^ те — x
тл- . sin x + cos x . \ 2
647. arc sin ~ = arc sin ч
V 2 V 2
о 3 ■ 3
2cos —- те sin x r TC
4 ~-\~ 4
e= arc sin -=== — = arc sin
V 2
-T«-x,
3
sin i — тс — x
к 5
так как при условии ~j- < х < —г- те выполняется соотношение
— -у<^~1Т — * < ~у (заДача 544>-
548. Положим arc tg л; = a, arc sin , a =* р и найдем тангенс
I "у" Л
левой части доказываемого равенства. Получим
tg2a + tgp
tg(2a + p) =
tg a = x, tg 2a =
1 — tg 2a tg p '
'Ho
2tga 2x
1 - tg2a 1
2x
sin p = , 2; cos p = + |/l — cos2 p =»
./"■ 4^~ / / 1 - x*y x*-\ t
V ^(Tm?^ (TT^j^^TT (так как *>I);
tgp = sin^ - 2x
cos p x2 — Г
9v 2x
tg 2a + tg P = -—j + -^—j = 0; tg (2a + P) = 0. Отсюда видим,
что и 2a + Р = k те. Так как * > 1, то 0 < a < -—; 0 < р < -^-;
0<2a4-p<-^-7T.
Отсюда следует, что k = 1 и 2a -f p =» те, что и требовалось
доказать.
549. Воспользуемся формулой
sin -у a = 3sin -x— 4sin3 -у = sin -~- ( 3 — 4sin2 -я-
258
= sin-^-(l -f 2cosa),
положив в ней a = arc sin x Отсюда получим sin a = x, и так как
TZ 1Г , -
й- < a < -—, то cos a = -f у 1 — x2. Что касается множителя
. ,a
sin —, то для него будет следующее выражение;
V 2(1 + ]/ 1-х2)
Когда л; > 0, тогда будет и a > 0, так что в правой части нужно
взять перед дробью знак плюс. С другой стороны, при х > 0
будет У хг = х и формула примет вид
a v
sin— ==
2 1^2(1 -И''1 -*2)
Когда л: < 0, тогда будет и a < 0 ив правой части равенства
нужно взять перед дробью знак минус. Но в этом случае У хг — —х
и мы приходим снова к такой же формуле:
а х
sin-rr- =
2 }/"2(1+У 1—я5)
Подставляя найденные значения cos a и sin-^- в формулу для
sm-^-a, получим
sin 1 -n-агс sin х I =
х (1 +2/1 — *2)
К 2(1 Ц- i7 1 - х2)
550. Положим л = arc sin jt, где ~- < а < —. При этих
условиях для а будем иметь
cos
т^/1
cos а *= -\- У 1 — sin2 а = у \—&.
259
a , Г 1 -\- cos a
2 " |/ 2
/ 1 —(1 — jc»)
V 2(1 — / 1—л:2)
1*1
Поэтому
cos \ -o- arc sin jk ) = cos
K2 (l — /T^72) K2( 1 -1/1 — x2)
551. Обозначим cos (n arc cos *) = Tn. В формуле cos 2a =»
= 2cos2 a — 1 положим a = arc cos x. Тогда, учитывая, что
cos (arc cos л;) = x, получим T2 = 2x2— 1. Точно так же из
формулы cos За =^ 4cos3 а — 3cos а найдем Т3 = 4х3 — Зл:. С помощью
формулы cos (л + 1)а — 2cos л а cos а — cos (л — 1) а, положив в ней
« = arc cos х, получим равенство Тп+1 = 2Тп • х — Tn^v Полагая
в нем л = 3, 4, 5, 6 и учитывая найденные значения Т2 и Т3,
получим последовательно:
Г4 = 2х (4л:3 — Зх) — (2х2 — 1) = Ъх4 — Вх*+1;
Тъ = 16хб — 20г» + 5х; Т6 = 32л:6 - 48л:4 + 18л:2 — 1;
Т1 = cos (7arc cos х) = 64л:7 — 112л:5 + 56л:3 — 7х.
652. Пользуясь формулами задачи 541, получим
cos (arc tg x 4- arc tg у) = cos (arc tg x) cos (arc tg y) —
— sin (arc tg x) sin (arc tg y) = ■ • ■ ■ *■■ —
У 1 + л:2 у 1 + У2
х У 1 — ху #
у 1 + х2 1/ 1+#2 у \+#у \-\-tf
Эта формула имеет смысл при любых хну.
2tg (arc sin л:)
553. tg (2are sin x) = -
1 — tg2 (arc sin л:)
2x
V 1 — x2 2xV 1-х2
< x2 1 — 2x2
Здесь были использованы формулы задачи 541*.
Доказанное равенство имеет смысл, если — 1 < х < 1, но
хф±тт
* О другом способе решения см. замечание к задаче 555.
260
554. sin (2arc tg л:) = 2sin (arc tg л:) cos (arc tg л:) =
x 1 2x
2-
V 1 + x2 V 1 + *a l + x*'
Здесь были использованы формулы задачи 54г1*.
Доказанное равенство имеет смысл при всех х.
555. Положим arc tg -^- = х, arc tg 2 У 3 «■ г/. Тогда, пользуясь
определением арктангенса, можем написать
tgX д-, tgi/ = 2/3.
Поэтому получим:
cos* =
vi+ v* j/i+|
1/*Ш'
1 3 1
Sin X = tg X • COS X = -7Г
cosy =
з у 16 УТО'
1 1
1Л + (2 1/3)а ^13'
причем перед корнями берем знак плюс, так как главные значения
углов, имеющих положительные тангенсы
(-1«21/-з).
являются острыми углами (углами, лежащими в первом квадранте).
Теперь будем иметь
sin I 2агс tg 4-) -f cos (arc tg 2 У ~ 3) = sin 2x +
1 3
+ cos у = 2sin x cos x -f cos у = 2 • - . • ■ -f
* У 10 /10
.1 3,1
Замечание. Решение этой задачи было бы короче, если
использовать формулы задачи 541. Однако, чтобы ими пользоваться,
нужно или помнить эти формулы, или иметь их под рукой.
Задачи 552—554 были решены именно с использованием формул
задачи 541, но они могут быть решены и способом, примененным здесь.
О другом способе решения см. замечание к задаче 555.
261
3 5
556. Положим arc tg — = x, arc sin -rs- = У- Тогда, пользуясь
определениями арктангенса и арксинуса, можем написать
3 . 5
tgx = -j-, sin 0= -J3-.
Поэтому получим:
1 1 4*
cos л:
V 1 + Тб
3 4 3
sin х = tg х cos л: = —г • -=- = -=-,
4 5 5
cosy = V\— sin2 г/ = у I—/_j =
Перед корнями взяты знаки плюс, потому что 0 < х <
_[2_
13
О < у < -о-- Теперь будем иметь
sin (2arctg-^-j -f tg (-yarcsin-jg-j = sin 2x + tg -|- =
s,n# о 3 4
= 2sin a: cos x + -r— = 2 •-=- • -=- -f
1 + cos ы 5 5 / 19
13(1 + T3-
24 5 29
~~ 25 + 25 ~ 25 '
557. Положим arc cos——- = x= —p, arctg—— = и Отсюда
]/2 4 1/2
tgx= 1, tg г/ = Найдем теперь тангенс левой части подле-
жащего доказательству равенства. Получим
t4arccos-^+arctgJ^) = tg(,+^_ffe±J^ =
1
V 2 /2 + 1
_!_~У2-Г
/"2
Следовательно, х -f # = & тс + arc tg ——, где k — целое число
V 2 — 1
262
или 0. Но 0 < у < -^-, а х = -j-. Поэтому 0 < * -f- # < -^ и k
может быть равно только нулю. Отсюда получаем х -f у =»
.1^2 + 1
= arctg—-^ , т е то, что требовалось доказать.
/2-1
558. Вычислим тангенс данного выражения. Получим
Ыагс to 2 4- arc to 3) - *g (^с tg 2) + tg (arc tg 3)
tg (arc tg 2 -f arc tg 6) - x_ ^ ^ {g 2) tg (arc [g 3) -
2 + 3 ^^j
1-2-3
те
Следовательно, arc tg 2 4- arc tg 3 = k те p где k — целое число
1С 7t
или 0 Ho -j- < arc tg 2 < -y, — < arc tg 3 < -^- и -у < arc tg 2+
-f- arc tg 3 < те Но между -^ и те есть только одно число, тангенс
3^
4
3
которого равен — 1 Это число -т- тс. Поэтому получим arc tg 2 +
-f arc tg 3 = -j «.
559. Пусть arc sin x — у. Тогда sin у = л:, sin 2*/ = 2sin г/ cos у =«
= 2л; j/ 1 — х2 Отсюда
2# = ft те -f- (— 1)* arc sin 2x У \ — x\
где ft — целое число или нуль. Но из условия х2 < -^- вытекает,
1 1 те 'те те rt тс
у 2 12 * ^^4 22
k = 0. Поэтому 2# = 2arc sin дс = arc sin 2x Y 1 — *2- Теперь можно
написать arc sin к -f Загс cos дс 4- arc sin {2х У 1 — л;2) =3 (arc sin x +
Зтс 4
-f- arccosA:) = -^-.
560. Положим arc sin л: = a, arc sin # = p. Тогда будем иметь:
sin a = x, cos a = -f- ]/ 1 — x\ sin p = r/, cos p = + ]/ 1 — г/2,
причем перед обоими радикалами ставим знак плюс, потому что
— < а <-^-. ?г < р < -у, а косинусы таких углов
положительны. Воспользуемся теперь формулой синуса суммы двух углов.
* Эту задачу можно решить и с помощью формулы задачи 560.
263
Получим
sin (arc sin x + arc sin y) = sin (a -j- p) = sin a cos p + cos a sin p =
= хУТ=^Л-уУТ^х~\
Отсюда следует, что
<х4-р = &тс+(— l)*arcsin(;e V \—y2+yV 1-х2),
где k — целое число или нуль. Но
ТС ТС ТС ТС
и сумма a -f P должна удовлетворять одному из следующих
соотношений:
, тс
1. — «•<<* +р<—я-;
2.--!<« + ?<-£;
3. -£- < ос + Р < тс.
Легко убедиться, что при соотношениях 1, 2 и 3 будет
соответственно k= — 1, k = 0 и А = 1, так что получатся формулы:
I. а + р = — тс — arc sin (x V 1 — У2 4-1/ К 1 — х2)\
П. а + Р = arc sin (x V I — у2 + i/ / 1 — х2);
III. а -{- р « тс — arc sin (x V \ — у2 4-«/ / 1 — *2)-
Эти три формулы могут быть сведены в следующую одну: arc sin x-j-
4- arc sin у = ?) arc sin (x V 1 — У2 4- У V 1 — я2) 4- г «i причем ?) =
= 1, е = 0 для соотношения 2; tj = — 1, е = — 1 для
соотношения 1; yj = — 1, е = 1 для соотношения 3. Выясним, какие
должны быть зависимости между х и у, чтобы имели место эти
формулы.
а) Пусть ч\ = 1, е = О, т. е. выполняется соотношение 2. Тогда
cos (а 4- Р) > 0. Справедливо и обратное утверждение: если cos(<x -j-
4- Р) > 0, то имеет место соотношение 2, а следовательно, ч\ = 1,
е = 0. Но cos (о 4- Р) = cos a cos р —- sin а sin р = j/ 1 — х2 \г 1 —у2—
— ху. Поэтому для того, чтобы выполнялось неравенство cos (a 4-
+ р) > 0, необходимо и достаточно, чтобы
V l—x2V \—y2-xy>0. (*)
Во-первых, это всегда будет выполняться, если ху < 0. Во-вторых,
это будет выполняться и при ху > 0, если 1 — х2 — у2 > 0 или
х2 -f У2 < 1» чт0 становится очевидным, если неравенство (*)
переписать так:
У 1 — х2 — у2 4- х2у2 > ху.
264
б) Пусть теперь г\ — — 1, е = — 1 или yj = — 1, е= 1, т. е.
выполняются соотношения 1 или 3. Нетрудно видеть, что для этого
необходимо и достаточно, чтобы было cos (a -J- |3)< 0 или У 1 -~ х2 X
X У 1 — у2 — ху <0. Здесь ху > 0. Переписывая последнее
неравенство в виде
у i-^-^ + xy < Ху,
убеждаемся в том, что 1 — х2 — у2 < 0 или х2 + у2 > 1. Если же
учесть, что соотношение 1 имеет место лишь тогда, когда аир,
а следовательно, и х, и у отрицательны, а соотношение 3 — лишь
тогда, когда а и р, а следовательно, и х, и у положительны, то
можно сказать yj = — 1, е = — 1, если х2 + у2 > 1 и х < 0, г/ < 0,
a Y] = — 1, 8=1, если х2 + i/2 > 1 и л;> 0, г/ > 0.
4 5
561. Для упрощения выражения arc sin -=- -+- arc sin -рт восполь-
4\2 . / 5 X2
зуемся формулой задачи 560. Так как I -=- +1 y~- 1 < 1, в этой
формуле нужно положить ?) = 1 и е = 0. Поэтому имеем
. 4 . .5
arc sin -=- -f- arc sin -pj- =»
. / 4 /" 25 . 5 , A 16
,nUl/ 1-169 +1ST К !—25
4 12 5 3 \ .63
/'-(Я'—ж-
«= arc sin
= arcsm|_. _+_._.j =arcsm 65_.
Преобразуем полученный арксинус в арккосинус. Это можно
сделать с помощью формулы arc sin x = arc cos ]/ 1 — х2 задачи 542,
так как -^- > 0. Получим
. 63
arc sin -*ё- — arc cos
65
Итак, имеем
. 4 . . 5 , . 16
arc sin -=- + arc sin -гтг + arc sin -^ =■
5 13 65
16 , . 16 it
= arccos-65'+arCS,n"65-==T-
Замечание 1. To, что при сложении arc sin x и arc sin у можно
пользоваться формулой arc sin x + arc sin у = arc sin (x У 1 — у2 -\-
-\.у'У \—л:2), можно обосновать и иначе, чем сделано
в решении этой задачи. А именно: последняя формула верна, если
=- < arc sin x + arc sin у <~к-.
265
В данном случае
arc sin -=- < arc sin -~— = —,
о 2 3
. 5 ^ .1 .тс
arc sin -p5- < arc sin -^ = -^
10 2 6
и, следовательно,
0 < arc sin -g- -J- arc sin -p^ < -^-.
Замечание 2. Само собой разумеется, что эту задачу
можно решить без ссылки на формулу задачи 560, а пользуясь лишь
определениями обратных тригонометрических функций и их
главных значений. Для этого можно поступить так: положить arc sin -=- =
о
5
в= a, arc sin-pj- = р, найти sin a, cos а, sin ^, cosp и
воспользоваться формулой синуса суммы двух углов. Это даст sin (a -f- p) =я
с= -££-, откуда a -f- р = к г. + (— 1)* arc sin -^=-. Из условия же 0 <
< а + Р < -S- установим, что & = 0. Сложив теперь по тому же
. 63 . 16
способу arc sin-хр- и arc sin -x=-t докажем тождество.
Этим способом была решена задача 548.
тс
562. Пользуясь формулой arc sin x -f- arc cos x = -~-, можно на-
X
писать arc cos x + arc cos ( -=- -f- -y V 3 — 3x2) = я — arc sin x —
— arc sin [-it + ~o~V 3 — 3a:2 ). Теперь достаточно найти сумму
arc sin x -f arc sin ( -~- -f- -~- У 3 — Зх21. Воспользуемся формулой
задачи 560. Для выяснения значений yj и s вычислим величину
суммы квадратов аргументов:
*г + (4+4-/з-з*«) =** +4+4к з-з** +.
2 ' 2 \ . J ^ 4 ' 2
3 3 2 3 , %2 , У~3 лГ, _: 3
у2 1 ^
+ т + т(1~-"2) = т>1'
266
потому что из х > -~- вытекает, что 4л:2 > 1, Зл;2 > 1 —л:2,
1/~Зх > У \ — хъ и ^- х уПГ=~Р> -i-(l — л:2).
Так как, кроме того, аргументы положительны, то у\ = —1,
е = 1. Итак,
arc sin л; + arc sin __ -f -_- V' S—3x2) = тс —
— arc sin
[,-/i-(^ + 4_KT=^)2-b
+ И l-*2(-|--j- -1/3-3*
и так как
/1*>/Т^72, то |/Л1_/-1 + -^угз=а
Поэтому
= -1(/3*-1/Х=Т2).
arc sin л: -f- arc sin ( -~- -f- -=- У 3 — Зл:21
arc sin
^(т/Зх-КТ^Г2)^
+ [^ + ^V3-3x*)V\-x*
= тс — arc sin
Vi
-—т—з"-
Отсюда
arc cos x -f arc cos I -£- -f -?r V^ 3 — Зл;2 J = тс —
тс
2 r w "~ / ~~ " 3
Замечание. Возможно и более короткое решение, причем
без ссылки на формулу задачи 560. Действительно, заметив, что
sinT= 2
тс 1
-, cos -^- = -^-, cos (arc cos л;) = х,
sin (arc cos л:) = Y 1 — л:2,
267
можем написать
4 + 4-V^3=a5?—J-.jt + Jl-^vn^rs
2 • 2 ' ~ ~~ 2 ~ ' 2
«= cos I -^ arc cos л: I; arc cos x +
4- arc cos ( ~y -f -^ J/ 3 — Зл:2) = arc cos л: -f-
-f arc cos
cos l -s arc cos л:
= arc cos x -f-
так как
тс тс
+ -g—arc cos x = -у,
-^-< *< 1, 0< arc cos л: <-^-
0 < — arc cos x < -o-
(см решение задачи 543).
563. Положим arctgx = a, arctg*/ = B. Тогда будем иметь
tg a = х, tg 3 = у. Пользуясь формулой тангенса суммы двух углов,
получим
tg(arctg* + arctgi,) = tg(* + p)= ^+Д -*±L.
Отсюда следует, что
а + 3=£тс-Ь arctg-* + l/
1-ху'
где k — целое число или нуль. Но
тс -к тс ,, тс
и сумма a -f В должна удовлетворять одному из следующих
соотношений:
1. — *<ос + 3<— -у;
3. ~<a-f3<rc.
268
Легко убедиться, что при соотношениях 1, 2 и 3 будет
соответственно k = — 1, k — 0 и k — 1, так что получатся формулы:
I. а + б^ — тс+arctf * + У '
1 ~xij
П. а + B = arctg^±l;
ь 1 —ху
III. а 4- В = тс -f- arc tg
ху
х + у
1 — ху
Эти три формулы могут быть сведены в следующую одну:
arc tg x 4- arc tg у — arc tg *_J ■ -f в тс,
причем e = О для соотношения 2; е = — 1 для соотношения 1;
е = 1 для соотношения 3. Выясним, какие должны быть
зависимости между х и у, чтобы имели место эти формулы.
а) Пусть s = 0, т. е. выполняется соотношение 2. Тогда
cos (a 4- В) > 0. Справедливо и обратное утверждение: если cos (a 4-
-f- В) > 0, то имеет место соотношение 2, а следовательно, е = 0.
Но cos (a -f- В) = cos ос cos В — sin а sin 8, а так как tg а = х, tg В = у,
то
1 1 . * х
cosa = г -, r sin a = tea cos a =
+ ]/l+tg2A ]/l-|-X2' .1/1+?'
cos В = „ , sin В =
и
cos (a + 8) a ■
Поэтому, для того чтобы выполнялось неравенство cos (a 4 Р) > 0,
необходимо и достаточно, чтобы было
V 1+ *2V i+ у*
а это будет при 1 — ху > 0 или ху < 1.
Заметим, что при вычислении cos a перед радикалом был взят
знак плюс по той причине, что при ^-<а< -^- будет cosa>
> 0. То же самое можно сказать и относительно cos 8.
б) Пусть теперь е = — 1 или е = 1, т. е. выполняются
соотношения I или 3. Нетрудно видеть, что для этого необходимо и до-
| ум
статочно, чтобы было cos (a + В) < 0 или г —■" — < 0.
V 1 + х2 V 1 + у*
269
Последнее же будет выполняться при 1 — ху < 0 или ху > 1. Если
же учесть, что соотношение 1 имеет место лишь тогда, когда а и
(3, а следовательно, и х, и у отрицательны, а соотношение 3 —
лишь тогда, когда а и р\ а следовательно, и х, и у положительны,
то можно сказать, что г = — 1, если ху> \ и а: < О, а г = 1,
если ху > 1 и х > О
2
564. Полагая в формуле задачи 563 х = у = -^- и замечая, что
о
2 12 12
в этом случае ху < 1, получим 2агс tg -у = arc tg ^- Но arc tg-^- =
1 5
= arc cos—r ,, . д = arc cos -rw- (см. задачу 542, в). По-
144 l°
/
1 +
25
. 5 ( _ , 2 . 5 , 5 «с
этому arc sin -ух- -f- 2arc tg -^- = arc sin -у*- 4- arc cos -p^ = —.
Замеча ние. Эту задачу можно решить и не пользуясь
формулой сложения арктангенсов. Для этого достаточно доказать,
5 2
что sin (a -f Щ * 1. где а = arc sin -г*-, a (3 = arc tg -к- Отсюда
те
будет следовать, что а + 2р «= -*-.
565. Полагая в форму
чая, что ху < 1, получим
565. Полагая в формуле задачи 563 х = -~- и!/=ти заме-
о о
1 , . 1 .3^5 .4
arc tg -g- + arc tg -^ = arc tg { { = arc tg -y.
l~ T' T
Прибавляя к этому результату arc tg -=- и снова пользуясь той же
4 1
формуЛОИ ДЛЯ X — -у- И !/=у, ПОЛуЧНМ
arc tg у + arc tgy = arc tg -y.
Наконец, складывая arc tg -77- и arc tg -3-, получим окончательно
У о
arc tg-y + arctg-g- + arc tgy +arctg-g- =*
7 1 те
*= arc tg-^- -fare tg -g- = arc tg 1 =* -p
270
Замечание. Задачу можно решить, не пользуясь готовой
формулой сложения арктангенсов, а применив метод, которым
была решена задача 558.
566. Пользуемся три раза формулой суммы арктангенсов (см.
задачу 563) для случая ху <. 1. Получим:
4агс tg -=- = 2 arc tg — -f arc tg -=-
2 5 5
«= 2arc tg— —r- = 2arc tg -^ = arc tg-^ 4-
.5 . 2-5 ,120
+ arc tg-^ = arc tg—-—-^ = arc tg-^,
12 V Ж
4arct^4-arctg4 = arctgTO + arctgl~239
120 1
119 239 _ 120- 239— 119
«= arc tg J20 ^ - arc tg {]g 23g + J2() =»
+ TT?' 239
_ 119- 239 + 239- 119 _ 119 • 239 + 120
- arc l§ ид. 239 +120 "* аГС g 119. 239 + 120 =
= arc tg 1 = —,
567. 2arctgl0 преобразуем по формуле суммы арктангенсов,
полагая в формуле задачи 563 х — у = 10 (случай ху > 1, х > 0),
a arc sin -г^- преобразуем в арктангенс с помощью формулы
задачи 542, а. Получим
20
2arctg 10 -f- arc sin -щ =(arctg 10 -farctg 10) -+
20 10 + 10- ,
+ arctg ^^,+Tclg +
,20 " 20 , 4 20
4"arctg"99 =7r~arctg~99 + arclg~99 =7r
Замечание. Задачу можно решить, показав, что sin(2а + Р);
271
20
= 0, где а = arc tg 10, a (3 «= arc sin -щ. Отсюда будет следовать
равенство 2а + (3 «= & тс и останется лишь показать, что & = 0.
тс
568. На основании формулы arc tg x + arc ctg x = -у, получим
тс
arc tg x = -~ arc ctg а;. Так как здесь предполагается л: > 0, то
arc ctg x = arc tg — (см. задачу 542, г). Теперь будем иметь
, тс тг 1
arc tg x = -„— arc ctg x = -~— arc tg —,
ч
ТС
569. Пользуясь формулой arc tg x -+■ arc ctg л: = -~-, можем напи-
тс
сать arc tg x = -^ arc ctg ;с Но arc tg x — тс — arc ctg (—х) (см.
задачу 540, б), a arc ctg (— х) = arc tg (см. задачу 542, г), так
как х < 0 и, следовательно, — х > 0. Теперь будем иметь
arc ctg a: = -~— arc ctg x = -~ к — arc ctg (— x)] =»
тс 1 тс 1
c=T_TC + arctg--J = -T-arctgT.
VIII.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
570. sin х sin 2x sin За: = -~- sin 2л: cos 2х,
sin 2a: (2sin x sin За: — cos 2х) — О,
sin 2a: (cos 2а: — cos 4л: — cos 2л:) = 0, sin 2л: cos Ax = 0.
a) sin 2л: = О, 2х = k тс, хх = ——;
б) cos 4л; *= 0, 4х = -—^—-—; х2
(2&-И)тс _ (2/г + 1)тс
2
571. 3(1— sin*) = 2cos2*, 3(1—sin*) = 2(1—sin2*),
(1 — sin a:) (1 — 2sin x) = 0.
272
a) 1 — sin x — 0, sin x = 1, xx = 2k тс -f- -~- » -*-—^L_J—;
6) 1 — 2sinx «= 0, sin x = -|-, *2 = & - -f.(— \f
TC
2' ~a "\—*/ e"
3 5
672. sin -=- x cos -7Г a; ,
_ i
sin
3.5 3.5'
cos -=- x sin -^- x cos-3-д; sin ~^-x
3.5 .3 5
cos-?- x sin -s- л: — sin -?-x cos-^-л: == 1,
5 3 \ . . 16 .16 nL ^
16 4Л + 1 15 ,,, 14
_ * = ^ тс> д:-=-д2-(4Л-Ь 1)«.
573. sin(x — 20°) cos [90°— (x + 25°)] «~
«* cos [90°— (70° + *)] sin (65°— x),
sin (x — 20°) cos (65°— x) — cos (x — 20°) sin (65°— x) = 0,
sin (x — 20°— 65° + x) = 0,
sin (2x - 85°) = 0, 2* — 85° = 180° k,
2x « 180° k + 85°, x » 90° A + 42,5°.
574. tg>(* + 30°) tg (* — 60°) - ctg 190° - (x + 30°)] x
X tg (jc — 60°) = ctg (60° — x) tg (* — 60°) «. — 1.
Отсюда видно, что данное уравнение не имеет решений.
575. sin 2дс + sin л: + 1 -f- cos 2x + cos x «= 0,
2sin л: cos x -f sin л: -f 2cos2 л; -f cos x =» 0,
sinx(2cosjc + 1) -f cos#(2cosx -f- 1) *= 0,
(2cos x + 1) (sin x -f- cos x) = 0.
1 2
а) 2cos д: + 1 = 0, cos дс = ^-, xx = 2k тс + — тс;
б) sinx + cosx = 0, tgx = — 1, дг2 = £тс —и.
576. sin 2л: + 2sin 2л: cos x — cos x -\- 2со52л:,
sin 2л: (1 4- 2cos л:) = cos x (1 -f 2cos x),
(1 + 2cos x) (2sin x cos x — cos д-) = 0,
(1 + 2cosx)cosa-(2s^— 1) = 0.
273
1 2
а) 1 -f 2cosx = 0, cosx = 5-, лх = 2kтс ± -—те;
* о
б) cos x = 0, л2 = -—х тс;
1 тг
в) 2sin х — 1=0, sin л = -у, хя = k тг -f- (— 1)* • -^-.
577. sin Зл + sin л — cos л = 0, 2sin 2л- cos x — cos л = 0,
cos л- (2siri 2л; — 1) = 0.
а) cos л = 0, л, = ~ тг;
б) 2sin 2л — 1 = 0, sin 2х = -^-, 2л: = kv 4- (— 1)* ~,
*8- 2 + ( п J2.
578. cos 7л: -+■ cos x — (cos2 2л; — sin2 2x) = 0,
2cos 4л; cos Зл: — cos 4л — 0, cos Ax (2cos Зл — 1) = 0.
А Л Л ^k + 1 2£ + 1
a) cos 4л: = 0, 4л; = -—~ тс, хх = ^ тг;
б) 2cos Зл: — 1 =0, cos Зл- = -^ Зл = 2k те + -у,
2 Ь л. *
*2 = ~3~ "9"'
679. sin л: cos л (sin2 л: — cos2 х) = -т-.
-7rsin2x(—cos 2л) =-7-, г- sin 4л = —г. stn 4л: = — 1,
2 4 4 4
о, * , 4А-1 4Лг— 1
4л = 2/е тг ^-, 4л = ■= тс, л: =^ —~ тс.
580. 2cos 4л: cos x -f 2sin 4л cos x = 2 ( cos -j- cos 4л +
-f- sin -j- sin 4л- I, cos x (cos 4л; -f sin 4л) =
V~2 I |/~2 \
= —jr— (cos 4л + sin 4л), (cos 4л -f sin 4л) I cos л »— I = 0
a) cos4л + sin4л =0, tg4л = — 1, 4л = ft* £-,
274
Хл =
\k—\
У2 п V 2 _, , те 8k ± 1
б) cos х s— = 0, cos х = —н—, лс2 = 2л тс + — = —^— те«
681. sin л- -f sin Зх -f sin 2x 4- sin 4л- *= О,
2sin 2л- cos х 4- 2 sin Зле cos л- «= 0, cos л- (sin 2л- -j- sin Зле) =» О,
2cos,sin4,cos4, = 0.
a) cos х = 0, хх =
2k -j- l
■я;
б) sin -у л: = 0, -у л: = Л тг, дсв = -г- л тс;
в) cos -у л- = 0, ~2~х= ^ тс> *8 = (2Л-Ь l)w.
582. -у (cos 2л- — cos 4л:) = -у, cos 2ле — cos 4л- — 1 = О,
cos 2л- — 2cos2 2л- = 0, cos 2л: (1 — 2cos 2л:) = 0.
2k -f l
2k Л- 1
а) cos 2л: =0, 2л: = ^—-7:. х\
1 те
б) 1 — 2cos 2л: = 0, cos 2л: = -у, 2л- = 2k тс + -у,
2%
6/г + 1
тс, ле2
6я + 1
3 1
583. cos2 x cos л: sin Зле -f- sin2 x sin x cos Зле = -у, cos2 x • -y- X
1 3
x (sin 4л: -f sin 2ле) 4- sin2* • -y (sin 4a: — sin 2ле) = -у,
3
sin 4ле • (cos2x 4- sin2*) 4- sin 2x (cos2a: — sin2*-) = -y,
sin 4л: 4- sin 2x cos 2x = -y, sin Ax 4- — sin 4ле = -y,
3 • „ 3 . , , , 0, . тс 4£+ 1
ysin4x = -y sin 4x =1, \x = Ik тс 4- —, л-= * те.
584. -y (cos л: — cos Зле) 4- -у (1 4- cos 2x) = -y (cosa; — cos 9ле)4-
4- -у (1 -j- cos 8a:), cos 2x — cos Зле 4- cos 9a: — cos 8ле = 0,
275
cos 2x — cos 8x + cos 9x — cos Зл: = О,
2sin 5a: sin 3a: — 2sin 6x sin 3a: = 0,
x 11
sin 3a* (sin 6a; — sin 5x) = 0, 2sin 3x Sin -^ cos -~- x = 0.
2 ° 2
0 <Tff
a) sin 3a; == 0, 3x = & тс, ^ = —*—j
11 „11 2>fe -f- 1 2£ + 1
б) cos -£- a- = 0, ~y x ~ —g TC- *a = —^\— r;
X X
в) sin — = 0, -~- = k тс, д:3 = 2& тс.
Но при k — 6/z хх — 2пк. Поэтому а:3 заключается в агх и все
k-к 2k + 1
решения содержатся в формулах: хх — —5—, *с2 = —^— тс.
со, 1+cos 2а; , 14-cos4a; , 1+cos 6а- , "ч-соБвА- 0
585. —2—+—2—+—а—+—2— = 2-
cos 2a: -f- cos Ax -f cos 6a; -f cos 8a: == 0,
2cos За; cos x -f 2cos 7x cos а: = 0,
cos a; (cos За; -f cos 7 a*) = 0, 2cos x cos 2a; cos 5a; = 0.
a) cos 5a: = 0, 6a; = ~ re. xi — —тт^— TC«*
0) cos 2a: = 0, x% = -—д тс;
в) cos x = 0, a;3 = s Tt-
On -"- 1
Но при k = 5/г 4- 2 a*! = ——?— « == *s Поэтому все решения
уравнения содержатся в формулах:
2£ + 1 2k+ \
Xl = —ГО— те; Х% = 4 ТС'
го« 1 — cos 2х , 1 — cos 4а; 1 — cos 6а; . 1т- cos 8a;
686. 2— + g = 2 + -Г-'
cos 2a; -f- cos 4a; ■*■» cos 6a- -f- cos 8a;,
£cos 3a; cos x •=» 2cos 7x cos x, cos a; (cos 3a: — cos 7x) = 0,
2cos x sin 2a; sin 5a; = 0.
a) sin 5a: = 0, 5x = k тс, хх = —f-;
276
k "К
б) sin 2x = 0, 2х = k тс, хг — —р-;
в) cos х = 0, х3 = -—= тс.
Но при k-=2n-\-\ х2 = —^— тс = х3. Кроме того, х% при k = 2n
дает те же значения, что и Xi при k = 5л. Поэтому все решения
уравнения содержатся в формулах:
хх р—; #2 — л те#
587.
&тс _ 2Лг -f- 1
~~5~: *а~'
-=- (1 — cos 2x) -f sin2 2a; = -~- (1 — cos 6x),
. , _ cos 2х — cos 6х _ . „ 0 . ft . , Л
sin2 2а; = = 0, sin2 2х — sin 2a; sin Ax = О,
sin 2a; (sin Ах — sin 2а-) = 0, 2sin 2a- sin x cos За; = 0.
k тс
а) sin 2а" = 0, 2а- = k тс, хх = —~—;
б) cos За; = 0, Зх = ~— тс, хг = ^ тс;
в) sin х = 0, а;3 = & тс.
При k = 2п хх = п тс и содержится в а;3. При k = 2п -f 1 а^
содержится в а:2, если в хг положить k = 2>n -f- 1. Поэтому все
решения уравнения содержатся в формулах:
2k + 1 ,
а^ = ^ тс, х2 = k тс.
588. sin2 2а; = 2 — 2sin2A;, 4sin2A: cos2a; = 2cos2x\
cos2a; (2sin2x — 1) = 0, cos2a- (— cos 2x) = 0, cos2a; cos 2a: = 0.
а) cos2* = 0, cos x = 0, xx = ~ тс;
б) cos 2a; = 0, 2a- = „ те» *2 = Z TC-
589. sin4 -~ + cos4 -|- + 2sin2 -i- cos2 -£ — 2sin2 -|- COs2 -A =»
5 ( . . x , 2 xY I.22 5, 1 . , 2
= T, ^sm2T-fCOS2Tj _Tsin2TA: = T, l-TSin2-3-A:=x
277
5.22 3.2 , V 3 2 ,,«
2 3£ + 1 3£ + 1
Т* = ~"3~-тс' * = ~Т-я"
590. cos4а: 4- sin4A: 4- 2sin*x cos2*: — 2sin2x cos2a: — 2sin 2a: 4-
3 1
4- -£- sin2 2л; = 0, (sin2* -I- cos2*:)2 — — sin2 2л; — 2sin 2a: 4-
4- 4- sin2 2л; = 0, 1 — 2sin 2x -f -\- sin2 2a: = 0,
4 4
sin2 2x — 8sin 2л: 4- 4 = 0, sin 2a = 4 — 2 Y 3 (4 + 2_/~3 > 1 и
поэтому отброшено). 2л: = k тс 4 (— l)*arcsin (4 — 2 j/ 3),
&тс . 1
л: =
-j- (_ 1)* arc sin (4 — 2/3).
2 ' 2
591. 2 (sin 2a: 4- 1 — 1) = 3(sin a: + cosx),
2 (2sin a: cos x 4- sin2A: -f cos2a: — 1) = 3 (sin x + cos a:),
2 [(sin a: 4-cos л:)2—1] = 3(sin x 4- cosa:). Положив sin x 4- cos x = у
и сделав преобразования, придем к уравнению: 2у2 — Зу — 2 = 0,
1 ' Г
ух = ~-, у2 = 2. Отсюда cos х 4- sin х = <у и cos a: 4~ sin х=2
Решаем первое: )/" 2 sin ( -j- 4- а: I = ^-, sin I -^- 4- а: I = — «-./-д.
1 71
х = & тт — (— 1 )* arc sin — г-. Равенство sin x 4- cos x = 2 не-
2 )А2 4
возможно. Действительно, | sin а: 4 cos а: | = Y 2 j sin I — 4- х 11 <
< V 2< 2.
592. sin а: 4- cosa: 4- -n" (2sin xcosx 4-1 — 1) = 1, sin a: 4- cos x 4-
4- -y [(sin л: -j- cos л:)2 — 11 = 1. Положив sin x -j- cos л: == у и сделав
преобразования, придем к уравнению: у2-\-2у — 3 = 0, ух = 1,
#2 = — 3. Второй корень отбрасываем, так как l sin x 4- cos x \ <
< Y 2 (см. решение задачи 591).
Итак, cos х + sin х = 1, Y 2 cos I at — j = 1, cos I x—j-) =
— a: j- = 2£ я ± JL; xx — 2k тс, л:а =
278
-0, , 1— cos2x\V / 1 4-cos2*\5 29 4o
593. [ j +^ J = -^ cos42*;
2 + 20cos2 2x + 1 Ocos4 2x 29 4 n
= -rrr cos4 2a:.
32 16
5 + 7 1
24cos4 2x — 1 Ocos2 2x — 1 = 0, cos2 2* =
24 2'
*Y 4- -о- cos 4л; = -y, cos 4a; = 0, 4л; = —~ тс, х = ^ тс.
594. Преобразуем левую часть уравнения:
cos2a: cos 2a; 4 cos 4a; 4 cos За; cos x 4 2cos4a; = cos2a; cos 2a; -|- cos 4a; 4
-J-cos 3a; cos a;-|-cos2a;(1 4cos 2 a;) =cos a;(2cos a; cos 2a;4cos3a:-j-cos a;) 4
4- cos 4a; = cos x (cos 3a; -f- cos x 4 cos 3a; 4 cos x) 4 cos 4л; =
«= cos x (2cos 3a; 4 2cos л;) 4 cos 4л: = 2соз x cos 3a; 4 2cos2a; + cos 4 a; =
= cos 4л: -f cos 2a; + 1 4 cos 2a; -f- соз 4л; = 1 -f- 2 (cos 2л; -f- cos 4a;) =i
= 1 + 4cos За: cos x.
Теперь данное уравнение запишется так:
1
1 4- 4cos За; cos x
2sinT
Умножим обе части уравнения на sin л:. Получим:
sin х 4 4sin x cos x cos За; = , sin x 4 2sin 2a; cos За; =
0 . х
2дат
2sin -=г- cos -тг-
2 2 ■ , ■ с i х
= , sin х 4 Sln 5a; — sin x = cos -^-,
2sinT
х /тс \ х а; тс
sin 5а; = cos -=-, cos I -= 5дм = cos -у, + -^ = -к— 5а; 4 2k тс;
4k 4 1 4£ 4 1
*i = —Y\—те' Х% = "—9 *'
Но, умножая уравнение на sin л;, мы могли ввести посторонние
корни, которые, являясь корнями уравнения sin x — 0, имеют вид
х = п тс. Из формулы для xL и л;2 видно, что п не может быть
четным, т. е. эти формулы не могут дать чисел вида 2т тс. Таким
образом, посторонние корни, если они есть, имеют вид (2 т + 1)тс,
Приравняв значение (2т + 1)тс сперва к хъ а потом к х2, найдем
279
, 11m+ 5 9m+ 4 _
# = g и « = -—-. Следовательно, в формуле для хх
, llm + 5 . 9т+ 4
' 2 ' а в Ф°РмУле Для х<ь кф ^ , причем в первом
случае т нечетное, а во втором — четное.
595. Преобразуем правую часть уравнения:
tg * tg (60° - *) ctg (30° - х) = tg x • У*"* Х x
1 -f V 3 tg x
|/"3 + tg* = 3tg*-tg** _2tgA: + (l—tg2Jc)tgx
1 _ у~з tg * 1 - 3tg2* (1 - tg2*) - 2tg2*
2tg*
_ l-tg2*+tgX _ tg2* + tg* =tg3^ .
i 2tg* by l-tg2*tg*
1 — tg2AT 'ЩХ
Теперь уравнение запишется так: tg Ьх = tg Зл:. Решаем его:
k ТС
5* = & тс + За;, 2* = & тс, л: = —^-. Но при k = 2т + 1 обе
части уравнения не имеют смысла. Следовательно, нужно считать
k = 2m и * = m тс.
спв , . cos2* — sin2*
596. cos x + sin x =
cos2* -J- sin2* — 2sin * cos * '
, . cos2* — sin2* , . cos * + sin *
cos * -f sin * = - :—r=, cos * -f- sin * =
(cos * — sin *)2' cos * -r sin *
(cos * + sin *) (cos * — sin * — 1) = 0.
тс 4£ j
а) cos * + sin * = 0, tg * = — 1; xx = k тс — = — тс;
б) cos * — sin * = 1, У 2 cos ( -г- + * J = 1»
cos (— -f * | = ; -£- + * = 2Ы + -5-,
V 4 / V 2 4 - 4'
*2 = 2& тс, *3 = 2 TC-
597. tg* + tg2* = tg3*, ^£*f*£x (1 - tg * tg 2*) = tg 3*,
tg3*(l—tg*tg2*) = tg3*,
tg3* — tg*tg2*tg3* = tg3*, tg~tg2*tg3* = 0.
280
а) tg x = 0, xx = k я;
б) tg 2x = 0, x2 = -^-;
в) tg 3x = 0, x3 = —£-.
Но при k = 3n x3 = n те = #!• Кроме того, при & = 2л получим
для х2 то же значение, что и для х3 при k = Зп. Если же учесть,
2/2—1
что х = -—~ те не может быть корнем уравнения, то все ре-
шения содержатся в формуле х = —~-.
___ cosх — sinх , „ . . „ . Л . ч cosх + sinx
598. (cos2* -j- sin2x + 2sin x cos x) =
cos x cos a:
(cos x — sin x) (cos x -f- sin x)2 = cos x -j- sin x,
(cos x + sin x) (cos2* — sin2* —1) = 0, (cos * -f- sin x) (cos 2x — 1) =0.
к 4£ j
а) cos x + sin x = 0, tg * = — 1; xx = k те — = — TC;
б) cos2x— 1 = 0, cos2x = Ij 2x = 2k ъ, x2 — k-к.
599. Преобразуем левую часть уравнения:
(tg, + tg4x)+(tg2, + tg3,) = 1^c^ +
sin 5x sin Ъх (cos 2л; cos 3x -j- cos x cos Ax)
cos 2x cos 3x cos x cos 2x cos 3x cos 4x
_ sin 5x [cos 2x (4cos8x — 3cos x) -j- cos x cos 4x] _
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
sin 5x [cos 2x (4cos2x — 3) -j- cos 4x] sin5x(4cos22x—cos 2x—1)
cos 2x cos 3x cos 4x cos 2x cos 3x cos 4x
Приравняв это выражение нулю и освободив полученное
уравнение от знаменателя, придем к следующему уравнению,
равносильному данному:
sin Ъх (4cos2 2х — cos 2х — 1) = 0.
Решаем его:
а) sin 5х = 0, 5х = k те, хх = —^—;
б) 4cos2 2х — cos 2х — 1 = 0; cos 2х = —=-~ -,
о «#. , 1 ± V17 . ^ 1 1 + 1/17
2х = 2k те ± arc cos 5 , х2 — k те + -rr- arc cos s——
о 2 о
281
600. Преобразуем правую часть уравнения
sin х I tg x tg -у 4- 1) = sin x
X X
, sin x sin -к- 4- cos x cos -^
x . A 2 2
x
cos a; cos -^~
x\ x
cos * ^ cos -=-
V 2 / 2 sin a:
sin x - = sin x • = = tg jc
a: x cosx
cos лг cos -jr- cos a: cos -^
Следовательно, данное уравнение эквивалентно такому tg x 4-
-fctgA; = tgx Прибавим к обеим частям — tg л:, получим
уравнение ctg х = 0, которое может быть и не эквивалентно данному, но
является следствием era Из последнего уравнения найдем х =
■= х п« Однако при таких значениях к обе части данного
уравнения теряют смысл. Итак, уравнение не имеет решения.
601.-—l-7^r + U=-=2Vr"2. sin/1 + cos]/^ =
cos J/ A" sin У к
= 2 Y 2 sin /1 cos ]Лс. |/"1 sin ( -^- + }AT J =
= Y~2 sin 2 У 2л. sm 2 ]/ a: = sin ( ~ + ]/T I
а)2\Гх = 2*ic.+ 4 4- /I /T, = 8* + ' -
4 ■ r ~. r -i 4
— 8£ -f- 3
6) 2 Y' x = (2k + 1)« - 4 + /T h,«
4 ' r / / а 12
Но при k = 3n Y~x~2 = д я «r }/* *i-
Поэтому все решения содержатся в формуле
(8* + 3)2_2
тс.
к =
144
причем k принимает лишь неотрицательные значения, т е. 0, 4- 1,
+ 2, ...
602. tg (л:2 — л:) = tg 6, х2 — х = 6 4- &ти, *а — х — (6 + &тс) =
л 1 ± Y 25 + Ak тс 0 , л _!_ 1 _!_ о
= 0, л: = [—s—! Здесь 6 = 0, +1, +2, ... ил-
может быть мнимым, так как х2 — х остается вещественным при
найденных значениях х.
282
603. Уравнение |sinx2| = 1 равносильно следующим двум: sinx2 =
— 1 и sinx2 = — 1 или одному sin2*2 = 1. Из последнего находим:
1-cos2л2 = ^ cos2x2 = _и 2х2 = (2Л + 1)1г>
■^2 = -—g—*» х = ±\/ i—тс' * = 0, *J' ±2> •••
604. |*] = jf—тс или а: = ± х к> гДе Л = 0, -f 1,
+ 2, ...
605. х2 = 2kк, х = ± ]/~2ЬГ; k = 0, ±1, ±2, ...*
606. Так как tg2x = tg21 а: |, то уравнение можно переписать так:
. . 1 — cos | х |
ь ' ' 1 — sm j х j
Решаем его:
1 — cos2 \х\ 1 — cos Iх
, • 2| , - , • , , , 1 — cos2|x| =(1 — cos|x|)(l+sin|jf|),
1 — sin2 |jt] 1 — sin : дс! ' ' -
(1 — cos! x I) (cos i x ] — sin j x I) = 0.
а) 1 —cos. x\ =■ 0, cosj x\ = 1, ix = 2k n, k = 0, -J- 1, + 2, ...
Отсюда ± x = 2k тс, x = + 2&тс или хх = 2k тс, где k == 0, +1,
±2, ...
б) cos j a: |—sinl *| =0," tglJfl = 1, \x\=kix.-\-—, где & = 0,
тс 4& 4- 1
+ 1. -f 2, ... Отсюда ± x = kit + -г- или a:2 = ^ тс и хя =
4k 1
= тс, где k = 0, l, 2, ...
607. Уравнение не имеет корней. Действительно, так как
|sin<x| < 1, то произведение двух синусов может равняться единице
только в одном из следующих случаев: a) sin 2х = 1, sin 6х = 1;
б) sin 2а: = —1, sin 6а: = —1. Рассмотрим первый случай. Будем
4k+1 4/+1
иметь х = ~ тс и х = —т^—тс. Сравнивая найденные
значения х, получим- j-— тс = ——тс, 3(4&+ 1) = 4/ + 1, \2k-f
4- 3 = 4/ -f 1, \2k — 4/ — 2, 6k = 21 — 1. Но четное число не
может равняться нечетному, и, следовательно, первый случай
невозможен. Так же можно показать, что и второй случай невозможен.
* Здесь, как и в задаче 602, х может быть комплексным, лишь бы хг был
вещественным.
283
Докажем это же по-другому. Сделаем следующие
преобразования:
1 — sin 2х sin 6х = 0, 1 ~- (cos Ах — cos 8х) = О,
2 — cos Ax + cos 8х = О, 1 — cos Ах -f 1 + cos 8x = О,
2sin2 2x + 2cos2 Ах = 0.
Последнее возможно в том и только в том случае, когда
sin 2х = 0 и cos Ах = 0 совместно. Из полученных уравнений нахо-
k-iz 2/ + 1 ~ £ * 2/-И „,
дим, что х = —н- и х = о1 тс. Отсюда: -jr- = —-» тс; 46 =
I о со
= 21 -f 1, что невозможно.
ппо sin х 4- cos x , /-д sin2x -f- cos2x
DUO. : l/ 2 =
sin a: cos x sinzx cos'x
Y~2 (sin x -j- cos x) sin x cos x = 1, 2sin ( — -|- x) sin x cos x = 1,
sin( —-f- x]sin2x = 1. Последнее возможно тогда и только тогда,
когда a) sin ( -^—f- х\ = sin2x = 1 или б) sin ( -т- + х) =sin2x =
тс тс тс
= — 1. В первом случае получим: -j- -f x = 2k тс -f -5-, xl — -j- +
тс тс
4- 2£ тс; 2х = 2/2 тс = —, х2 = -j- + п тс. Так как должно быть
тс
*i = *2. то решение будет х = -т- 4- 2& тс. Во втором случае полу-
ТС _ , ТС 8k 3 г. о ТС"
чим: — 4-х = 2£тс ^-, х3 = т тси2х = 2птс —, я4 =
4/2 — 1 „ 4/г — 1 , 8k — 3
= -г тс. Но -г тс =£ — тс, потому что в противном
случае было бы 4/г — 1 =8k — 3 или 2/2 — Ak — 1, что невозможно.
Следовательно, второй случай отпадает, и все решения данного
тс
уравнения содержатся в формуле х = —г- 4- 2^ тс.
609. sin Зх 4- sin 2х — m sin x = 0, sin 2х cos x 4- cos 2x sin x 4-
4- sin 2x — m sin x = 0, sin x (2cos2x 4- cos 2x 4- 2cos x — m) =* 0,
sin x (4cos2x 4- 2cos x — m — 1) = 0 Отсюда: a) sin x = 0, x = £ тс;
6) 4cos2x 4- 2cos x — m — 1=0, cos x = —~ ———. Для ве-
284
щественности cos х нужно, ч,тобы было 4т + 5 > О, т. е. m >
5 5
> —. Следовательно, при m < j- уравнение 4cos2x+ 2cos x—
5
— т — 1 =0 не имеет решения. Если m > -г~> т0 еш<е нужно,
чтобы при этом значении m было бы |cosx| < I, т. е. чтобы
выполнялись неравенства:
«)
1 + У 4т + 5
<i; P)
— 1 —V 4т+ 5
4
< 1.
Рассмотрим случай а). Должно быть: | — 1 + V 4т + 51 < 4, или
— 4 < — 1 + V 4т + 5 < 4, или — 3 < У 4m -j- 5 < 5. Но левое
неравенство всегда справедливо, а для того, чтобы выполнялось
правое, нужно, чтобы 4т + 5 < 25, т. е. m <; 5. Если же учесть
5
неравенство m > -р т0 в рассматриваемом случае должно быть
j- < m < 5.
4
Рассмотрим случай J3). Должно быть: | — 1 — ]/ 4m -f- 51 < 4
или — 4 < — 1 — У 4т + 5<4, или т < 1, а с учетом m >
5 5
—, ранее найденного, получим j- < m < 1.
Итак, уравнение имеет следующие решения:
1 + V 4т+ 5
5
1) x = kizt если т< —;
2) ^ = ^ тс; х2 = 2k тс + arc cos
если 2~ < т < 1;
оч л оа , — 1 + V 4т + 5
3) хх — k тс; лг2 = 2& тс + arc cos -т =—, если 1 <
< т < 5;
4) х = k тс, если т > 5.
5 тс 3 С П*
610. -^-tccostcx = kv: + (— l)ft • -х-, cos тс a: = -—^-f in •
Так как |cos7г д:| < 1, то из всех k = 0, ±1, +2, ... можно взять
лишь k = — 1, & = 0, & = 1, все же прочие дадут для | cos тс х |
значение > 1, что невозможно. При k = — 1 получим: cos тс х =
3 17 { 7 \
=—g ПГ = ~ "кг тс ^ =2/2 тс ±агс cos I—Ш"/' xi = 2/2 ±
± — arc cos j г~г I; при k = 0 будем иметь: cos тс х = -у^, тс^=
285
= 2п тс ± arc cos ~r-, кг = 2n 4 — arc cos -r?r; при k = 1 получим:
10 тг 10
3 1 1 , « "о , 1
cosTCA:=-g io~ = ~2"' % X = * IP *3 = IT
/ «
6И. Уравнение можно записать так: sin (тг cos х) = sin I -~
— Trsinx). Пользуясь условием равенства синусов, получим:
тг 4k 4- 1
а) тс cos х = 2k тг 4- -~ тс sin а: или sin х 4- cos х = ^ ;
или cos х — sin х =
б) тг cos х — (2k 4- 1) тг — I -^ тс sin х)
4k + l
2
4& 4- 1 г— (
Решаем первое'уравнение: sin х 4- cos х = ~ , у 2 cos x—
тс \ 4& 4- 1 / тс\ 4k+\ ~ .
1 — cos а: г- = 7==— Очевидно, чтобы
4/ 2 ' w°^ 4 у 2/~2
4&4- 1
2/2
было по абсолютной величине меньше единицы, из всех
чисел 0, ±1, 4 2, ... для k нужно взять только нуль. Поэтому
/ тс \ 1 ~ 1 тс ^
cos л: -г ) = —=, хл = 2л тс 4 arc cos —■= 4- —г- Решаем вто-
^ 4 ) 2\Г2 ~ 2/2 4
4k 4- 1 _/-j5 / , тс \ 4k 4- 1
рое уравнение: cos* — sinA:=——^ , у 2cosIa:4--x 1=—к—»
cos | х 4- — I = ^=г-. Подобно предыдущему случаю и здесь k
V 4/ 2/2
может быть равно только нулю. Поэтому cos I х 4- JL ) = i==r->
1 тг
х» — 2п тг 4 arc cos 7=r 7- или, объединяя с хъ получим х =
~ 2V 2 4
1 тс
= 2/2 тг 4 arc cos 7=^ + —г-
2/2 ~ 4
612. Перепишем уравнение так: tg (тг tg х) = tg I -= тс ctg х I.
•Пользуясь условием равенства тангенсов, получим:
тс 1
Tctg* = &TC-f--£ TTCtg* ИЛИ tg X = k 4" -я ctg *• (*)
286
Следует иметь в виду, что те корни уравнения (*), которые
2т -f 1
дадут тангенсу значения вида —-~ или котангенсу значения
вида т (т — целое), если они вообще существуют, не будут яв-
ляться корнями данного, потому что при tg х ——-7> -iiumcigx =
= т теряет смысл левая или правая часть данного уравнения.
Такие корни уравнения (*) при определении корней данного
должны быть отброшены.
Уравнение (*) эквивалентно следующему: tg д: = k 4- -~ -,—
Z lg X
или tg2x — ( Л -t- -у 1 tg jc + 1 =0. Решая последнее, найдем tg х =
2k + 1 4- Y(2k + \f— 16 п
= ! ~ v—'— . Для вещественности tg х должно
быть: (2k -f- I)2 > 16, J2& -f- 11 > 4. Следовательно, k не может
быть равно 0, ± 1, —2. Кроме того, должны быть исключены те
значения k, которые дают tg х = -—^ . Для того чтобы tg x =
2/71 -4- 1
= 1 необходимо, чтобы (2k + 1)а— 16 было квадратом
нечетного числа, т. е. чтобы (2k 4- I)2— 16 = (21 -\- I)2. Отсюда
получаем: (2k + I)2 —(2/ -f I)2 = 16, (2k 4- 1 4- 2/ 4- 1)(2& —2/) = 16,
(k f / 4- 1)(& — /) = 4 или ay = 4, где положено и = k + I + 1,
и = & — /. Таким образом, нужно решить в целых числах
уравнение uv = 4, причем и и v — числа различной четности, потому что
a 4- v = 2k 4- 1. Таких решений будет четыре- их = 1, vx = 4; «2 = 4,
t'2 = 1; «з = — 1> уз = — 4, «4 = — 4, d4 = — 1. Первое и второе
решения дают 2k+\=u-\-v — 5, а последние 2k 4- 1 = — 5.
В первом случае k = 2, а во втором £ = — 3. Но если k = 2, то
5±3 ♦ *
tg * =-—-г—, причем только tg* = -~- должно быть исключено, так
как левая часть данного уравнения в этом случае не определена.
Второе же (tg х = 2) приводит к решению х = п тс -j- arc tg 2. Ьсли
, Q , —5±3 , 1
k = — 3, то tg x = j , причем только tg x = — должно
быть отброшено, a tg х = — 2 приводит к решению х = п тс — arc tg 2..
Итак, данное уравнение имеет следующие решения:
.о ♦ 2k + * ± V(2k+ 1)2— 16 .
л^ = я тс ± arc tg 2, *2 = л к + arc tg : r—l—!—£ ; £=>
= 4-3, ±4. ±5, ...; л=0, ±1, ±2, ...
613. y--i-cos2.2 =-£-, cos2.2 =0,2-2 =
287
2fc-fl v^T 2fc+l .г , 2fc + l
= g ic, 2 = ^ TC,]/_x = log2 j—^^
Y~^~x = log2 (2£ + 1)TC — 2,
л; = — [logg (2k 4- 1)те — 2]2. Так как У— x — арифметический, то
т/zr^ 2k 4 1
2 > 1, т. е. j-—тс > 1, Это значит, что 6=1. 2, 3, ...,
а быть отрицательным или нулем k не может.
6Н. logCos х Sin X 4 "I : 2 = 0,
logcos*Sin#
(logCos x sin xf — 21ogcos x sin # -f 1 = 0,
(logcos * sin x — l)2 = 0, logcos x sin x =0 1, cos * = sin ju,
it 8k 4- 1
tgat = 1; # = 2&7t-f — = -—-p-— тс. Здесь нельзя было бы на-
4 4
писать х = &тс 4 -7-» потому что sin лг и cos*, являясь основаниями
логарифмов, должны быть положительными.
615. х2 4- 2х sin (*#) 4 sin2 (*#) -f cos2 (jet/) = 0, Uf sin (xy)? 4
4- cos2 (xy) = 0. Следовательно, должно быть cos2 (xy) = 0, # -f
' тс
4 sin (xy) = 0. Из первого уравнения находим ху = k тс 4- —, a
тсгда из второго получим х =* — sin ( бтс -f -^-). Если k = 2/2 -f 1,
то *i = 1, t/x = 2/2 тс 4- -и-тс. Если k = 2/2, то *2 = — 1, у2 = 2п тс—
тс 3
— ^- = 2/птс4-2-тс; (—/i = m-f 1).
616—627. Указание. При решении уравнений, в которых
неизвестные находятся под знаком обратной тригонометрической
функции, часто приходится находить синусы (или косинусы,
тангенсы и т. д.) обеих частей равенства. При этом следует иметь
в виду, что получающиеся уравнения, вообще говоря, не будут
равносильны исходным. Например, /4=5 и sin A = sin 5, вообще
говоря, не равносильны. То же следует сказать об уравнениях
А — В и tg A = tg 5 и им аналогичных.
616. Не имеет решений, так как 0 < arc cos х -< тс, а здесь
6,3 _ ,г ^
arc cos x = —~- = 3,15 > тс.
тс 1
617. Имеем arc sin x = -?— arc tg-y-. Отсюда sin (arc sin x) =
• ( K x 1 \ • 1* I ♦ 1 \
= sin I -2 arc tg-=-1 или x = sin -j- cos ( arc tg-=-) —
288
* . / . 1 \ 1
— cos —7- sin arc tg
4 ^ 7/ /2 -,/, , 1 V 2
/I+4§
1 3 _
= -=-. Проверку наиденного значения x проще все-
V^l
го осуществить с помощью теоремы: если sin a = sin 3, причем а и
8 — главные значения арксинуса, то а = 3 (см указание к решению
3 тс 1
задач 538—569) В данном случае arc sin -=- = а, а -т arctg-y =
= р Так как 0 < arc sin -=- < -^ и О < —.— arc tg-=- < -я-, т. е
тс тс
0<*<-^-и 0 < 3 < —, кроме того, доказано, что sin a = sin 3,
о . 3 тс 1
то а = В или иначе arc sin -гг- = —; arc tg-=-.
5 4 b 7
618. Взяв косинус от обеих частей равенства и
воспользовавшись формулами задачи 541, получим:
тс
cos (arc sin х -f arc sin 2x) = cos-^-,
cos (arc sin x) cos (arc sin 2x) — sin (arc sin x) sin (arc sin 2x) = -~-,
Vl—x2 YT^Tx1 — 2x2 = ~ /l — x2 V 1 —4a:2 = 2a:2 -f -i-,
(1 _ дг2)(1 —4a:2) = f2x2 + ^-j , 1 —5лг2 -f 4*4 = 4х4 + 2a:2 + -i-,
7 t 3 ] i /~3" 1 , /"3"
7д: = T; xx = — у T, *2 = - T J/ y.
Значение x2 < 0 не удовлетворяет данному уравнению, так как
в этом случае левая часть уравнения имеет отрицательную
численную величину, а правая — положительную. Чтобы проверить
первый корень хх > 0, положим arc sin х^ = a, a arc sin 2.^ = 3. Так
как 0 < а-< -^-, о < s < -у, 0 < а + 3 < * и угол ~ тоже при-
тс
надлежит промежутку (0, тс), то из равенства cos (a -f 3) = cos -^~
г, тс
следует равенство a -f $ = —.
о
• Замечание. Здесь была использована теорема: если cos a =
10 Шахно К. У. 289
= eosB, причем а и ,3 — главные значения арккосинуса, то a = 3
(см. указание к решению задач 538—569).
619. Возьмем косинус от обеих частей уравнения и,
воспользовавшись формулами задачи 541, получим:
cos (2агс sin х) — cos (arc cos 2х), cos2 (arc sin x) — sin2 (arc sin x) = 2x,
(\—x*) — x*=2x> 2x2 -f 2x — 1 - 0; xt = J—|—L, x% =
. Второй корень посторонний (|х2|>1). Чтобы
2
испытать корень хг > 0, обозначим arc sin х1 = л, a arc cos 2xx — 3.
Так как 0 < 2а < тг и 0 < 3 < тг, то из равенства cos 2а = cos 3
следует равенство 2а = 3 (см. замечание к задаче 618).
620. Взяв синус от левой и правой частей уравнения, получим:
sin (2arccosх) = sin [arcsin(2хУ1 — x2)j, 2sin(arccosx)cos(arccosx) =
= 2x У 1 —x2, 2x У Л — x2 = 2x У 1 — x'2. Полученное равенство
есть тождество, однако это еще не значит, что любой х, для
которого |л;| <! 1, удовлетворяет данному уравнению. Так как arc cos x
всегда неотрицательный, то, как видно из данного уравнения,
0 < arc sin (2хУ 1 —х2) < -~-. Отсюда получаем 0 < 2arc cos x<-~-
или 0 < arc cos х<—^ Следовательно, тт=- < х < I.
621. sin (arc sin x) = sin(2arcsin хУ 2), х = 2sin (arc sin x]/~2)x
x cos (arc sin x ]/" 2), x — 2x У 2 У 1 — 2x2. Решив полученное ирра-
циональное уравнение, найдем: хх = 0, х2 = -L-:—, #3 == —
4 * d 4 *
Корень xls очевидно, удовлетворяет уравнению. Испытаем корень
х2. Имеем: 0 < arc sin хг < -^-, arc sin x21/2 = arc sin
У~2 те л— тг
> arc sin -^-jr— = —, 2arc sin x2 к 2 > -=-. Итак, оказывается, что
при х = х2 численная величина левой части уравнения меньше
ТС 1С „
-~-, а правой — больше -<г-. Следовательно, х2 — посторонний
корень. Легко убедиться, что и х3 посторонний. Данное уравнение
имеет только один корень х = 0.
622. Запишем уравнение так: arc cos x — arc sin x = -^-
290
Но
It
arc sin x = — arc cos л: (см. задачу 539). Подставляя это
значение arc sin л: в предыдущее уравнение, получим:
. 7Г \ ТГ 2тГ
arc cos x — | — arc cos x I = -^-, 2arc cos x = -^—,
7Г TC 1
arc cos x = -^-, a; = cos -5- = -~-.
623. tg (arc cos x) == tg (arc tg x), J— — = x, x2 = ^ 1 — x2 ,
x4 + x2 — 1 =0. Последнее уравнение имеет два вещественных
корня: хх — Л/ } 5 -1, х2 = — 1 / К 5 —1 Корень х2 < 0 не
удовлетворяет данному уравнению, потому что arccosx2>0, a
arc tg Xj < 0. Значение х — хх удовлетворяет уравнению, так как
0 < arc cos x2 < ~ и 0 < arc tg х2 < -^-.
624. Перенеся второй член из левой части уравнения в правую
и взяв тангенс от обеих частей уравнения, получим
х— I + х + \ Зх — х _ л п
-. -. ' . . .. = . , Q или 2х(4х2 — 1) = 0.
1—(х — 1)(х+1) 1 + Зх • х v
Последнее уравнение имеет корни: х, = 0, х2 — -х-, х3 =± ~-,
и все они, как легко проверить, удовлетворяют данному уравнению.
625. Взяв синус от обеих частей уравнения и воспользовавшись
формулами задачи 541, получим
или
_2
3
Так как корни подразумеваются арифметические, то последнее
уравнение противоречиво. Следовательно, данное уравнение не имеет
решений.
626. Возьмем косинус от обеих частей уравнения и
воспользуемся формулами задачи 541. Получим:
1 — X2 1 _____ / / 1 — Х2\2
l+x*' l/l + p^-" '"("П^1
X
10* 291
1 2x 1
X " /—2x \2' 1—л:2~ 2'
j / ^x \
i/
(1 — jgg) |^< 1 — jca)a 4xVx2V(l — x2)2 = 1
(1 4-х2)2 (1 4-х2)2(1-х2) ~ 2" U
J д;2 Tt; 2Х ^
Так как 0 < arc cos . 2 < те и — < arc tg -r -2 < -^-, то для
того, чтобы левая часть данного уравнения была —- те > т, должно
- 1— л:2, те 2х^Лг. 1-х2
быть arc cos —г——=- > -тг и arc tg -: ~ > 0. Отсюда -г——=- <
14-х2 2 1 — jr 14-х2
2х
< 0, -г——.г- > 0 и, следовательно, х2 > 1 и х < 0.
I — хг
Возвращаемся теперь к уравнению (*). Входящие в него корни
должны быть арифметическими, и поэтому |/(1—х2)2 = х2— 1,
г— (1 х2)2
ух2 = — х. Теперь уравнение (*) можно записать так: — :. ■ ' —
(1 4-х )
4л:2 1
п 2.2 = ;г-. Но это невозможно, так как левая часть
равна — 1, а правая =-. Следовательно, уравнение не имеет
решений.
627. Взяв тангенс от обеих частей уравнения и сделав
некоторые преобразования, получим
а а — b
~b~~a + b a2 + b2
_a_ a — b b* + a2
+ b 'a + b
Произведем испытание найденного значения х. Левая часть
данного уравнения при х — 1 дает —. Выясним, даст ли правая
тс
часть —. Пользуясь условием равенства тангенсов, можем написать
. а а—Ь те
arc,gT_arctga_- = T + ftn.
Замечая, что b Ф 0 (иначе данное уравнение теряет смысл),
перепишем последнее равенство так:
292
i-4
i a , b it ,
arc tg-y + arc tg — = — + k тс
1 + T
или
,arctg# + arctgy—-^ = —+ &тс, где # =-у.
Так как 1- < arc tg t/ < -^-, |- < arc tg -p^| < -|- и
— тс < arc tg у -f- arc tg , < тс, то & может равняться только О
или —1. Итак, получаем, что arc tg у -f агс tg , = -р или
arc tg t/ -f arc tg т~т^ = т-«. Если 1 + t/ < О, то, очевидно,
— ^-<arctgt/<0, — ^-<arctgr=| < 0, — тс < arc tg у +
-f arc tg, < 0. Ясно, что в этом случае правая часть будет
3
равна -и и, следовательно, х = 1 не будет корнем уравнения.
Если 1 + у > 0, то arc tg у и arc tg i-^u ^УДУТ в промежутке 0 <
< у < 1 неотрицательны, и их сумма может быть только
положительным числом, а в промежутках — 1 < # < 0 и 1 < t/ < -f оо
они будут разных знаков, и их сумма будет находиться между
ТС ТС _
и -f —. В этом случае
, . .1 — у , а .а — b тс
arc tg у + arc tg j-^-+ = arc tg-y — arc tgy^ - -j.
Следовательно, при -т- > — 1 уравнение имеет единственное
решение дс = 1. В прочих случаях уравнение не имеет решений.
628. Взяв синус от обеих частей уравнения, получим:
sin (arc sin х) — sin (arc sin a -f arc sin b),
x = aV \—Ь2 + ЬУ\—а\
Испытаем это значение х, подставив его в данное уравнение. Это
даст
arc sin (а ]/ 1 — Ь2 -\- Ь\г 1 — а2) = arc sin a + arc sin b.
293
Последнее равенство является тождеством, если ab < 0 или а2 +
-\- Ь2 < 1 (см. задачу 560). Конечно, кроме того, предполагается,
что ' а | < 1 и 161 < 1. При указанных ограничениях, налагаемых
на а и Ь, найденное значение х будет единственным решением
данного уравнения. Если а и b этим соотношениям не удовлетворяют,
то уравнение не имеет решения.
629. Из второго уравнения находим произведение cos х cos у,
используя первое уравнение. Получим:
, . sin х sin у 3 0 1
щхщу — — = -. = 3, cos х cos у = —г.
cos х cosy 4cosxcost/ 4
Поэтому данная система приводится к следующей равносильной:
1 . . 3 .
cos х cos у = —, sin л: sin у — —. Складывая почленно полученные
уравнения, а затем вычитая их и пользуясь формулами косинуса суммы
и косинуса разности двух углов.придем к новой системе, равносильной
данной: cos (х — у) = 1, cos (х -f- у) = к-- Отсюда: х — у = 2ттс,
2 тс тс
*4гг/ = 2лтс4: —тс, х = (л -j- w) тг + —, у — (п — т)тс + —;
m = 0, ±1, ± 2, ...; л = 0, ±1, ±2, ...
Сол ; 2 . • 2 3 1 — COS 2х . 1 — COS 2# 3
630. sin2* + sm2y = -^-, —-т> ^ 2—Т'
cos 2x -f cos 2t/ = —, cos (х -f */) cos (x — y) = -j-,
cos 75° cos (x — y) = —r, cos(x— y)
4' v y' 4cos75° 4sinl5°
cos 15° cos 15° cos 15° 1PO
= cos 15 .
4sinl5°cosl5° 2sin30° 2-0,5
Итак, cos(x — t/) = cosl5°; x~ у = 360° n ± 15°, * -f i/ = 75°;
' xx = 180пл + 45° = (4л + 1)45°, yx = — 180° л -f 30° =
= (—6/2 + 1)30°; x2 = 180° л + 30° = (6/2 + 1)30°,
t/2 = _ l80°/2 4- 45° = (— 4/г -j- 1)45°.
631. Во втором уравнении выразим тангенсы через синусы и
косинусы и затем подставим в него значение sin x из первого урав-
п i п/^, sin* .,/- sint/ |^2 sin у
нения. Получим: tg х = у 3 tg и, = 1/3 —, — =
J r bU cosx cost/ cosx
= L i.f sin t/ (]/" Izbas i/ — ]/" 3 cos x) = 0; a) sin у = 0, t/x =
= & тс. Подставляем в первое уравнение sin x = 0, хг = п тс. Итак,
х1 = л~, у1 = кт:. Следующую группу решений получим из
уравнения б) У 2 cos t/ — ]/ 3 cos х = 0. Решаем его: |/ 2 cos # =
294
= УЗ cos х, У 2 cos у = ± ]/ 3 }Л — sin2x, ]/ 2 cos г/ =
= ± У 3 |/ 1 — 2sin21/. Возводим обе части уравнения в квадрат:
2cos2 у = 3 (1 — 2sin2 j/), 2cos2 у = 3 (2cos2t/ — 1), cos2 */ = -|-, cos j/ =
l/3
== ± —о—» Уг = m TC ± ~F-- Подставляем найденное значение cos у
- /—з"
в первое уравнение системы. Получим: sinx = ± ]/2 I / 1 j-=»
= ± —к—, хг = / те + -J-. Так как мы возводили в квадрат обе
части уравнения, то необходимо испытать значения хг и уг.
Подставляем во второе уравнение tg(/Tr + -j-)=]/"3tg ( m те ± -^-1.
Период тангенса есть те, поэтому можно написать: tg ( ± -г-1 =
= V 3tg ( ± -jr), ±1 =]/ 3 | ± -г/~-)■ Итак, уравнение
удовлетворяется, если брать одновременно верхние или одновременно
нижние знаки в обеих частях последнего равенства. Подставляем
в первое уравнение sin ( / те ± ~ = ]/~2sin I т те ± -^-). Если бр
одновременно оба верхних или оба нижних знака, то последнее ра-
л/% \
венство можно переписать так: cos / те . J-—— = ~\/~2 cos т те . —,
cos/те = cosmTt;, (— 1)' =. (— \)т. Отсюда заключаем, что / и т
нужно брать одновременно четные или нечетные. Поэтому система
имеет следующие решения:
*i = п те, ух — k те; дс2 = / те -f -1-, у2 = т те -f- —; xs = / те —,
Уъ = т% — -£; m, n, k, 1 = 0, ± 1, ±2, ... ,
причем / и т нужно брать одновременно четные или нечетные.
IX.
НЕРАВЕНСТВА
632. После приведения к общему знаменателю получим:
{тх+п)(а—Ь) — (рх+д)(а + Ь) (тх — п) {a+b) -f- (px—q){а — Ь)
ать
29S
Если а2 — b2 > 0, то неравенство после преобразований
принимает вид (mb 4- ра) х > па — qb\ если а1 — Ь2 < 0, то (mb -f- pa) x <
< па — qb Отсюда получим х >—, , —, если (а2 — b2)(mb-\-
v J mb 4- pa
+ pa)>0; x< _^L=L^_, если (a2 — ft2) (mb + pa) < 0.
mb -\- pa
ваз. 4(8' + 3)7Г-5)<о, 4^-<a
a) 25*4- 17 > 0, 8x + 3<0; * > _-Я-, дг<—-|;
~"Й"<Х<~4: б)25л:+17<0. 8*4-3>0, х< —-gg-,
л: > ^-. Это невозможно.
о
634. 2- + 2-_62^-2>0,-^>0, 3>0.
Неравенство справедливо при всяком х ф 2.
635. ^=-^ < 0. а) 2 — х < 0, 2х > 0. Отсюда л: > 2. б) 2 —
— л: > 0, 2л: < 0. Отсюда х < 0
636. Неравенство приводится к такому: (дс—1) (х + З)2 > 0.
Последнее же равносильно неравенству х — 1 > 0, откуда * > 1.
637. 2xs — х — 1 > 0, (2л:3 — 2х2) 4- (2х2 — 2х) 4- (* — 1) > 0,
(х— 1)(2л:2 4-2* 4- 1)>0. Но 2х2 4- 2х 4- 1 = \ \(2х + I)2 +1] >
> 0. Поэтому неравенство равносильно такому: х — 1 > 0.
Следовательно, х > 1.
638. Неравенство эквивалентно такому: (х— 1) (х — 2) (л: — 3) (х—
— 4) > 0. Корни многочлена, находящегося в левой части
неравенства, будут 1, 2, 3, 4. Расположим их в порядке возрастания.
Построим интервалы: * (— со, 1), (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4- °о) Крайние
* Если а и Ь — произвольные вещественные числа и а < Ь, то по
определению:
1) интервалом (а, Ь) называется множество всех вещественных чисел дс,
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь;
2) сегментом [a, b\ называется множество всех вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь;
3) полусегментом [а, Ь) называется множество всех вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам о < х < Ь;
4) полуинтервалом (а, Ь\ называется множество всех вещественных чисел х,
удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь.
Интервал, сегмент, полусегмент, полуинтервал объединяются общим
термином промежуток. При этом нередко к слову промежуток добавляют в первом
случае открытый, во втором — замкнутый, в третьем и четвертом — полуоткрытый.
296
интервалы есть условная запись того факта, что в первом случае
х < 1, а в последнем х > 4. При переходе х из одного интервала
в другой, смежный с ним, многочлен меняет свой знак, так как
границей смежных интервалов служит корень многочлена.
Поэтому для всех х какого-либо из написанных интервалов имеет место
постоянство знака численной величины многочлена и чередование
знака с -f на — или с — на 4 при переходе из интервала в
интервал. Следовательно, раз в первом из них многочлен
положительный, что очевидно, то он будет положительным также в
третьем и пятом интервалах Итак, должно быть х < 1, или 2 < х <
< 3, или х > 4.
639. (х4 — х3) — (5х3 — 5х2) + (6х2 — 6х) < О,
х(х— 1)(х2 — 5х + 6)<0, х(х — 1 )(*""— 2)(х — 3)<0.
Записав теперь интервалы (— со, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 3), (3,'+оо)
и поступая, как в задаче 638, получим решения: 0 < х < 1
и 2<х<3.
640. Данное неравенство равносильно следующему:
_2(х+4)(х +3)(х + 2)(*+ 1) (х i-J(x-3)> 0.
Далее, поступая, как в задаче 638, найдем решения: — 4 < х <
< — 3, - 2 < х < — 1 и ~ < х < 3.
641. Данное неравенство равносильно неравенству
(х-1)(х-5)
(х + 3)(х —3)^ '
а последнее — неравенству (х 4- 3) (х — 1) (х — 3) (х — 5) > 0.
Поступая теперь, как в задаче 638, найдем решения: х< — 3, 1<х<3
и х> 5.
642. Пользуясь теоремой Безу, напишем остатки от деления
данного „ многочлена нах — 1 и на x-f3 и приравняем остатки
нулю. Получим: а -\-b — 5 = 0; — За -\- Ь — 9 = 0. Из этой
системы найдем а = — 1, Ь = 6. Разделив теперь многочлен х4 -}- х3 —
— 7х2 — х + 6 на (х—1)(х + 3), получим в частном х2 — х — 2
и, следовательно, можем написать х4 4 х3 —7х2 — х -\~6 — (х — i )x
X (х -f- 3) (х2 — х — 2) = (х — 1) (х ,4- 3) (х — 2) (х + 1) > 0.
Рассматривая интервалы: (—со, — 3), (—3, —1), (—1,1), (1, 2), (2,
4- со), убеждаемся, что данное неравенство справедливо, когда х
находится в первом, или третьем, или пятом интервалах, т. е.
должно быть х < — 3, или — 1 < х < 1, или х > 2.
643. Для этого должны одновременно выполняться неравенст-
Ь с
ва: Ь2 — 4ас> 0, — < 0, — > 0, где а, Ь,с~ коэффициенты
данного уравнения. Эти неравенства равносильны следующим: — 2k +
297
4- 3 > 0, k (6 — I) > 0, (6 — 1) (k 4- 3) > 0. Отсюда получим: a) k <
3 3 3
<-2-,&>0, &>1,£>-3, что дает 1< А; < -у; б) Л < у-, k < 0,
& < 1, 6 < — 3, что дает & < — 3.
644. Составим разность трехчленов. Получим (6 — 4)х3 -\-
4- (26— 3)х4~&4 4. Этот трехчлен должен быть при всех х
положительным. Но квадратный трехчлен имеет знакопостоянную
величину при всяком х, если его корни комплексные, т. е.
дискриминант отрицательный. При этом знак совпадает со знаком
коэффициента при х2. Следовательно, должны совместно
выполняться неравенства:
(26 —З)2 — 4(6 — 4) (£4- 4)<0 и 6 — 4 > 0.
Из второго получаем 6 > 4, а из первого— 126 -f 9 -f 64 < 0,
73 73
126 > 73, 6 > -ту. Отсюда видим, что должно быть 6 > -у~-.
645. Так как дискриминант трехчлена 4х2 4- 6х 4 3
отрицательный, то он имеет знак коэффициента при х2, т. е. знак плюс.
Поэтому неравенство можно переписать так: 26 х2 + 21 х -\- X > 4бх24
4- 66 х 4- 36 или 26 х2 4- 2 (36 — X) х 4- 36 — X < 0. Но трехчлен,
находящийся в левой части, не может быть отрицательным при
всех х, потому что коэффициент 26 при х2 — положительный (см.
решение задачи 644). Таким образом, данное неравенство не
имеет решений.
646. Данное неравенство будет удовлетворяться при всяком х,
если дискриминант данного трехчлена отрицательный, т. е. если
(b'z 4- с2 — а2)2 — \Ь2с2 < 0. Последнее легко преобразовать к виду
— 16р(р — а) (р — Ь) (р — с) < 0, где р — полупериметр. А это
неравенство очевидное.
647. Для доказательства рассмотрим неравенство
* (% + ^х)2 -f (а, 4 b2xf -f (а3 4- Ь3х)2 > 0,
справедливое при любых х. Дискриминант квадратного трехчлена,
находящегося в левой части этого неравенства, должен быть < 0.
Отсюда и вытекает неравенство Буняковского.
648. Освободив уравнение от дробей, получим уравнение
(а — 2)х4 — (а — 1) {р2 4- ?2)х2 4 apV - 0.
Чтобы все корни биквадратного уравнения 6х4 -{- 1х2 -{- т = 0
были вещественные, необходимо и достаточно, чтобы квадраты
х\ и х\ корней этого уравнения были неотрицательны или чтобы
171 I
совместно выполнялись неравенства /2 — 46т > 0, -г- > 0, -у- < 0.
Так как последние два можно записать в виде mk > 0 и /6 < 0,
то для уравнения задачи это будет выглядеть так:
29»
(a — l)2 (p2 + <72)2 — 4 (a — 2) apV > 0, (a — 2) a p2q2 > 0,
(a_2)(a-l)(p2-f <?2)>0.
Но первое неравенство выполняется тождественно. На самом
деле, учитывая, что
(a —2)a = [(а— 1)- 1][(а— 1) + 1] = (а— I)2- 1,
это неравенство можно записать в виде (а—1)2(р2— <?2)2 4-
-f- 4pV> 0. Что касается двух других, то так как p2q2 > 0 и р24-
-f- q2 > 0, то их можно записать так: (а — 2)а>0, (а — 2)х
х (а — 1) > 0. Отсюда: а) а — 2 > 0, а > 0, a — 1 > 0, что дает
a > 2; б) a — 2 < 0, a < 0, а — 1 < 0, что дает а < 0. Итак, a > 2
или a < 0.
Зя J 4л: "3
649. Неравенство равносильно такому: -~ > 1, или -~ > 0,
з
или (4л: — 3) (х — 2)< 0. Отсюда получим — < х < 2.
650. Должно быть 3 — х > 0 или х < 3. Если л: < 2, т. е.
х — 2 < 0, то неравенство будет выполняться, потому что^З—х
арифметический. Если же 2 < х < 3, то возведение в квадрат
неравенства даст: 3 — х > л:2— 4л: + 4, л;2 — Зл: -f- 1 < 0, (л: —
3 — V~b\l 3 + K"5", л ~
1' - < 0. Это значит, что должно быть
2_ / \ 2_
' 3-/5 ^ 3 + /5 ^Q
я < * < —L-^ , а если еще учесть, что 2 < л: < 3, при-
3-"|/Т^0 3 + i/~5~ Q _ 3 + /5"
чем ~ < 2, а » < 3, то получим 2 < л: < я •
Соединяя с ранее полученным результатом (л: < 2), видим, что ре-
/ 3-ЫЛ5"
шения составляют интервал I — оо,
2
651. Должно быть х — 4 > 0 и Зл: — 5 > 0, т. е. х > 4.
Предполагая это выполненным, возведем неравенство в квадрат Это даст
Зл: — 5 > х— 4 или х > -»-. Сопоставляя с х > 4, получим
окончательно х > 4.
652. Прежде всего должны выполняться совместно
неравенства: х + 6 > 0, л: + 1 > 0, 2л: — 5 > 0, что будет иметь место, если
5 ,-,
х > -=-. Предполагая это выполненным, возведем обе части
неравенства в квадрат. Тогда после преобразований получим
У(х + 1) (2л: — 5)< 5 — х. Следовательно, х < 5, так как левая
часть положительна. Предполагая и это выполненным, снова
возведем обе части неравенства в квадрат. Тогда придем к неравенству
299
x2 -f- 7x — 30 < 0 или (х -f 10) (л: — 3) << 0, которое справедливо при
— 10 < х < 3. Сопоставляя с ранее полученными неравенствами
5 5
~к~ <* < 5, видим, что для их совместности нужно, чтобы — < х < 3.
653. Так как должно быть (х -f 5) (Зх -f 4) > 0, то отсюда
заключаем, что должно иметь место х < — 5 или х > ~-. Если,
кроме того, х < 1, то левая часть будет отрицательной и,
следовательно, неравенство будет выполняться, если х < — 5 или
4
о-<лс<1. Если же *>1, то, возведя обе части данного
о
неравенства в квадрат, получим после упрощений 13л:2 — 51* —
— 4 < 0 или 13 I х И—pj- ) (х — 4)< 0. Последнее будет
справедливо при рг- < х < 4. Сопоставляя полученные ранее для х < 1
4
неравенства х < — 5 и о- < х < 1 с полученными теперь для
о
дг>1, 1 < х < 4, видим, что окончательно решения можно запи-
4
сать так: 1) х < — 5; 2) я- < * < 4.
654. Система приводится к виду: Зу — 2х < — 1, 2у — Зх > 0.
2я | 3 3
Из нее получим у <—^— и г/ > -^-х. Следовательно, -q-*<#<
2д: — 1
<—г—, а соответствующие этим неравенствам для у значения
3 ' 2х - 1
х определятся из неравенства -~- х < —^—, что даст х <
2 2 3 2л: 1
< F-. Итак, получим: х < --, -9- * < У < —о—•
655. Решая каждое неравенство относительно у, получим
7 Зх 3 2х
# >—s—и#>—т—• Эти неравенства одинакового смысла.
Решение относительно х привело бы также к неравенствам
одинакового смысла. Полученные неравенства показывают, что х может
быть произвольным, а у должен быть выбран больше наибольшего
7 Зх 3 2х
из значений—-— и —;—. Чтобы выяснить, какое из этих
2 4
3 2х 7 Зх
двух выражений больше, решим неравенство —-г— > —~—, что
11 7 — Зх 3 — 2х
даст х > -^-, а затем неравенство;—_-— > —j—, что даст х <
300.
11 л ,. ^ 7 — Зх И
<^ —г-. Отсюда получаем: 1) у > —~—, если х < —; 2) у >
3 — 2х 11
>—-—, если х > —.
' 4 Зх
656. Из первого и второго неравенств находим: у > —^—,
х + 5 ^ 4— Зл: х + 5 тт
у < —^—. Следовательно,—^— < и< —7;—. Что касается х, то
о 2d
4 — Зх х + 5 7 т,
его найдем из неравенства —~— < —^—, что даст х> —. Итак,
-7 4 — Зх ^ х -f 5
окончательно: х > -^, —^— <У < —k~ •
657. Находим у из уравнения и подставляем его значение в
неравенство, которое решаем. Получим: 5х + 3 • > 121,
20х-}-504 — 21х> 484, х < 20. Таким образом, получаем реше-
^ ОЛ 168 — 7х .
ния в виде л: > 20, # = - .
Можно было бы найти х из уравнения и подставить его в
неравенство. Тогда решения получили бы в таком виде: у > 7, х =
_ 168 —4г/
"~ 7 '
658. Так как х>#2>0, то система эквивалентна такой:
У-~> х2; у < У х. Отсюда х2 < у < V'я. Для этого требуется,
чтобы х удовлетворял неравенству х2< 1/^х, которое можно
переписать в виде х4 < х, или х(х3— 1) < 0, или х(х— 1) < 0. Из
последнего находим, что 0<х< 1. Следовательно, решения системы
можно записать так: 0 < х < 1, х2 <у <V х.
659. Из уравнения находим у, подставляем его в оба
неравенства и решаем совместно систему неравенств. Получим: х2 -f
-f-(6—Зх)2>4> х-6~3*< 1 или 13х2 — 36х + 20>0, Зх2-
— 6х + 2>0 или 13 (х— -]§")(*"" 2)>0' 3[х— ~—3/Х
/ 3+]/зЛ _ _ , .10 3—Уз" г
X U Чг 1 > 0. Отсюда а) х < -^-, х < ^ . Следо-
3—1^3" 6—Зх лч ^0 3-Ы/~3
вательно, х < ^ , £/ = —п—. б) х > 2, х > g •
Следовательно, х > 2, у = -—^—.
660. а) Если а > б, то )а| = а, и данное неравенство
запишется так: а < Ь. Кроме того, — b < 0, а положительное число и нуль
801
больше отрицательного, и поэтому — Ь < а. Итак, если а > 0, то
— Ь < а < Ь.
б) Если а < 0, то | а | = — а, и из данного неравенства
получим — а < 6 или — Ь < а. Кроме того, 6 > 0, а отрицательное
число меньше положительного, поэтому а < 6. Таким образом, и в
этом случае — Ь < а < Ь.
661. Если —b < а < Ь, то —Ь<а и а<6 или а -f 6 > О
на — b < 0. Но тогда (a -f b) (а — &)< 0 или а2 — ft2 < 0.
Отсюда а2 < б2, | a I < ft.
662. Пусть a a b — любые вещественные числа. Очевидно,
— | а | < а < ' а |, — | Ь [ < Ь < j Ь|. Складывая эти неравенства
почленно, получим — ()a|-f-|fr|)<a-f-&<i#|-f-IH Но тогда
\a-\-b\ < \а\ + |6| (см. задачу 661).
663. Замечая, что а — (а — b)-\-bt можем написать \а\ ~\{а —
— &) -f- &| < |a — b\ -\-\b\ (см. задачу 662). Отсюда |a — b\> \a\ —
-\b\.
664. Данное неравенство равносильно следующей системе
неравенств:
о ^ % ^Х т ' ^ о
которая, если освободиться от положительного знаменателя,
приводится к следующей:
2*2 + (3 -f k) x + 2 > 0, 4*2 — (k — 3) х -f 4 > 0.
Чтобы эти неравенства выполнялись одновременно и для всех
х, необходимо и достаточно, чтобы дискриминанты трехчленов,
стоящих в левых частях неравенств, были отрицательны, т. е.
чтобы
(3 + ф-16 = (А + 7)(*-1)<0,-
(k— З)2 — 64 = (k + 5)(£— 11)< 0.
Для первого должно быть — 7 < к < 1, а для второго — 5 <
<£<11. Общая часть интервалов (—7, 1) и (—5, 11) есть
(—5, 1). Поэтому доказываемая теорема имеет место только для
тех значений k, которые удовлетворяют условию —5<&< 1.
rrk а + ь а , b ^ а , b
1 + а + Ь 1 + a -f- & ' l-fa + &l+al+&'
666. Так как а ф 0, то данное неравенство можно записать
Ь
т
-У
так: ~> ^ —. Но 0< — < 1, а m > /г. Поэтому
1+1Т/ 1+и
4-)Ч(4-)'--Ш">.-(4)".'+(4кч-
302
/ ь \n
4- I — I . Поделив почленно предпоследнее неравенство на
последнее, получим неравенство, которое требовалось доказать.
667. Пусть -г дробь правильная и k > 0, а > О, b > 0. Нуж-
a-\-k ^ а „ а
но доказать, что , > -г-. Так как -: правильная арифме-
Ь-\- k о о
тическая дробь, то b > а. Умножая это неравенство почленно на
положительную величину k и прибавляя к обеим частям
неравенства по величине ab, получим ab + bk > ab -f- ok или b -f- (a -f- &) >
> a (6 -f- &)• Деля теперь обе части неравенства на положительную
величину 6(6 + А), получим ^—^ > ^щ, или ^ > -p
Если -г неправильная дробь и & > 0, а > 0, b > 0, то неравен-
а-\-к ^ а
ство , , , < ~г доказывается аналогично.
b + k b
668. Пусть наименьшая из дробей -г^-, -~ —£- будет
Ьх Ъг Ъп
обозначена через т, а наибольшая — через М. Тогда можно
написать: т < -±- < М, /и < -т^- < М, .... /и < -Л .<Г Л1. Так как
^i > 0> ^2 > 0, ..., Ьп > 0, то, освобождаясь от знаменателей, получим:
т6х < ах < M6j;
т5а < а2 < М62;
/п6я < ал < Ш.
Суммируя почленно и вынося множители /пиМза скобки,
находим m (^ + Ь2 + -. 4- &я) < «1 + «2 + ••• + ал < М(6Х -f 62 4- ••• +
4- £„)• Наконец, деля члены неравенств на положительную
величину Ьх 4- ^2 + ••• + Ьп, получаем
^ах-\- а2 4- ••• 4- ап »*
bx + b% + ... + bn
что и требовалось доказать.
(*2+1)+1
669- ~wrr = v*+1 +wrr-2+2:
4'* + '-рЙлТ+2>2-
О/У. — -] -=• = -=
У у \/ х у ху
ЭОЭ
Уху
Уху
= (V x +Vy)
671. a)
1 + №х ~^У>
>Vx +Vy.
Уху
ax + <*2 __ Va] + УЩ — 2 Уа&г + 2 V^a
2 - 2
_ ^ _ _ у aia^
Знак равенства возможен только тогда, когда at = аа.
б) Пользуясь только что полученным неравенством, можно
написать
fli + а2 а3+ а4 ^
ах + «2 + Яз -f а4 _ 2 **~ 2 V(h<h + V^i
■*?• -х ■ ^
4 2 2
> у Уаха2 VoLza4 > угахага.лаА.
Знак равенства возможен лишь тогда, когда ах — а2 = а3 = а4-
672. Пусть х и г/ — два положительных числа, сумма которых
равна а. Так как среднее арифметическое двух положительных
чисел не меньше среднего геометрического этих чисел (задача 671, а),
то можно написать -^- > Ущ или ху < ( -^ 1. Ни при каком выбо'-
ре положительных чисел х и у произведение ху не будет больше, чем
а У „ а
■у ] . С другой стороны, при х = у = -у получается
произведение I -«") • Следовательно, наибольшее значение ху получит при
х = у. Нетрудно видеть, что это решение единственное, т. е. если
к Фу, то ху< I -у
673. Обозначим сторону площадки, перпендикулярную стене,
буквой х. Тогда параллельная стене сторона будет 100 — 2х, el,
площадь S = А" (100 — 2х). Нужно найти то значение х, при
котором S будет иметь наибольшее значение. Но S и 25 достигают
своих наибольших значений при одном и том же значении х.
Поэтому рассмотрим величину 25 — 2х (100 — 2х). Эта последняя
является произведением двух положительных чисел 2х и 100 — 2х,
304
сумма которых есть величина постоянная, равная 100.
Наибольшего значения величина 2S, а следовательно, и S достигнут при
2х.= 100 —2д: (задача 672). Отсюда х = 25.
674. Пусть длина дуги сектора /, радиус г, периметр 2р и
площадь S. Тогда S ~ — г/, 2r -f / = 2/?, г = -у (2/? — /) и,
следовательно, 5" = — (2/? — /) /. Наибольшее значение S будет при
том же значении /, что и наибольшее значение 4S = (2р — /) /.
Последнее же будет при 2р — / = / (см. задачу 672). В этом
случае I = р, г = -—- р или / = 2г.
,675. Пусть высота прямоугольника х, его основание и диаметр
полукруга 2у, периметр всей фигуры 2р (данная величина) и
площадь фигуры S. Тогда
S = 2ху -f тс у2; 2х -f 2у 4- тс г/ = 2/?; 2х = 2р — 2у — ку -
и, следовательно,
S = y{2p — 2y — Tty)+ *tf = у(2р — 2у — тс у -f тс у) = 2г/ (р — #).
Окно будет пропускать наибольшее количество света, когда 5
будет наибольшее. Наибольшее же значение 5 наступит тогда,
когда и наибольшее значение -k-S = у(р — у). Последнее же будет
при у = р — у (см задачу 672), т. е. при
l/ = yHJc
1 2 —тс
у(2/? —2(/ —т:г/)= —^—Р-
676. Возьмем осевое сечение ABC (рис. 5)
конуса. Пусть высота BD — h, а радиус
основания CD = г. Тогда объем конуса У =
= — тс л2Л. Так как
BE = /ОЯ2 — 0£2 - ]/(/* — Я)2 — R* = Vh{h — 2R),
то из подобия треугольников BCD и ВОЕ получим:
г R R2h
h Yh(h — 2R)' h — 2R-
Поэтому
1
V-^R*
h2 1
:=щ = -^-^RWv где Vx
h?
h-2R 3 "V1' "*- ri~ h-2R'
Величина V будет иметь наименьшее значение одновременно
305
с величиной Vv Последняя же будет наименьшей тогда, когда
у- будет наибольшей. Но
1 h — 2R I 2R Л 2R
Vx h2 2R h \ h
1 „ 2R t 2R
и так как множитель -~-=г постоянный, то при —г- = 1 г- ве-
ZR tl п.
личина jj- примет наибольшее значение (см. задачу 672), а объем
V — наименьшее. Найдем соответствующие значения h, r и V. Из
2R , 2R
равенства —г- — 1 г- находим:
п п
Rh
А-,^.8^2-4
V=4-r.R2-8R = 2-^7г^3 = 2Ушара.
677. Пусть х и у — два положительных числа, произведение
которых равно а. Так как среднее арифметическое двух
положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел (см. за-
дачу 671, а), то можно написать, что—^-^>]/а или х + у >
>2]/а. Ни при каком выборе положительных чисел х и у
сумма х + у не будет меньше, чем 2 \га. С другой стороны, при х —
= у = Ya получается сумма 2 j/а. Следовательно, наименьшее
значение х -\- у получит при х = у. Нетрудно видеть, что это
решение единственное, т. е. еели х Ф у, то л: -j- г/ > 2 Ya-
- а „
3 а м е ч а и и е. В сумме х-\-у величина у = —. Поэтому
полученный результат можно сформулировать так: величина u = x -\-
а
-\ , где а > 0 и х > 0 достигает своего наименьшего значения
при х — Va и только при этом значении х.
678. Обозначим ширину печатного текста на странице буквой
х, а длину — буквой у. Тогда ширина страницы будет х -f 4,
длина г/ 4- 6, площадь страницы S = (х -f- 4) (г/ + 6). Раскрывая в
последнем выражении скобки и замечая, что ху = 216 (по условию),
получим S = 216 + 6х + 4f/ -Ь 24 или S = 240 + 6х + 4 • .
Нужно найти те значения х, при которых величина 5 будет иметь
/ 144 \
наименьшее значение. Но величины S — 240 + 6 I x -j- — I и
зов
144
u= x-\ достигают своих наименьших значений при одном
х
и.том же значении х. Для величины и это значение х равно
]/144 = 12 (см. задачу 677). Отсюда получаем, что ширина
страницы 16 см, а длина 24 см.
679. Пользуясь соотношением среднего арифметического и
среднего геометрического двух неотрицательных чисел (см. задачу
671, а), получим
• а4 + ^ + ^ = ^^ + ^1^ + £^Ч/^ + /^ +
г А2 I г2 сг л_ а%
+ 1/Va4 = a2b2 -f b2c2 -f c2a2 - a2 • J -f 62 • —~ (- .
-f c2 • - ^" b* > a2 V¥F2 -f b2 \П*Ф -f c2 A2^ =
= afo(a + 6 -f- c).
680. Пользуясь формулой —~—> j//wi (см. задачу 671, а),
получим
К axa2 + К aia3 + - + У an-ian < —g ' 2— +
• Дя-1+Дя_я—1 ,
-г ••• i 9 " 2~~ ^ х '" п
681. Так как —~—- >у ak или 1 -f ak > 2J/ ak (задача 671, а),
то получим (1 + «i)(l + Яг) ••• (1 + ап) > 2 У ах • 2 \ла2...2\/Гап —
= 2«Уаха% ... ая = 2».
682. Обозначим: ах = *3, a2 = t/3, a3 = г3. Тогда неравенство
примет вид ^ > хг/г и достаточно доказать, что х3 -\-
-\- у3 + z3 — 3xyz > 0. Но х3 -\- у3 -{- z3 — 3xyz делится на х +
-\- у -\- zt что можно проверить по теореме Безу, подставляя в
многочлен х — —у — z (см. решение задачи 23). Разделив многочлен
на х -f у -f- z, получим частное к2 -f у2 -f z2 — ху — yz — zx.
Поэтому х3-\- У3 -f 23— 3jq/z = (* -f- у -f г) (л:2 + г/2 -f г2 — *г/ — yz — zx)=
= (* + «/ + *) у(^-1/)Чу(!/-г)2+у(г-^ (см.
решение задачи 183). Отсюда, действительно, х3 + у3 -f г3 — Зхг/z > 0.
683. Справедливость этого неравенства для п = 2 была
доказана в задаче 671. Предположим, что оно справедливо для п — k,
и докажем справедливость его для п = 2k. Действительно,
307
«i 4- Q2 4 Q3 4 ^4 + •• • 4- aa»-i 4 Q2fe
26
>
V'
ai+Jh ш ^3 + 04 flgfe-i + A2fe >
k/~ . Qk
> V Vaxa% Va3aA... Va2k-i a2k = V axa2... a2k.
Итак, если доказываемая теорема верна для п = k, то она
верна и для п = 2&, а так как она верна для л = 2, то она
верна также для. п = 4, л = 8 и вообще для /г = 2т.
Пусть теперь п не является степенью двух. Добавим к числу
п число р так, чтобы было л -f р = 2т, и положим
а -п - ~п _fli+gs + -+fl|,
"я-И — "л+2 — ••• — "«+р — ; - •
Будем иметь
?i 4- Qa + ••• + ап 4- fl„+i 4 - + Дй+р = Qi+ а24- ... 4 ап+ pan+i
п + р п + р
п+Р/г — н Qi 4- dj 4 ••• 4 Дд 4- №+i _
> f ад,... ай<+Г Но ТГТр
йл 4- а? 4 ... 4 0„
« + /?
(/i4-p)(fli+fl2 + -- 4-а„) ^ Qi 4 а2 4 • •• +Qn fl
n(n + p) n
+ Q2 + -4Qn
л
= nY^~^n (gi + g» + "+fl«^. Поэтому
„ли ^4а2 + ...4а^Ь>-у^7^
Возведя последнее неравенство почленно в степень —
#i 4- «2 4 ••• 4- «„ ^ я
получим окончательно -1—!——; !—- > и а^г ■■• ап-
308
684. Пусть хъ x% ..., хп — положительные числа, сумма
которых равна а. Так как среднее арифметическое любого
количества положительных чисел не меньше среднего геометрического этих
а
чисел (см. задачу 683), то можно написать, что -— >
лг / а У
> у хгх2 ■.. хп или хххч. .. хп < I — I .
Ни при каком выборе положительных чисел хъ х2 хп их
произведение не будет больше, чем ( — ] . С другой стороны, при
хх — х2 = ... = хп =>■— получается произведение I — ) .
Следовательно, наибольшее значение произведение х1х2.-хп получит при
Х\ == Л2 == • • • == Xrf>
Нетрудно видеть, что это решение единственное, т. е. если
среди чисел хъ х2, .., хп есть неравные, то произведение этих л
чисел будет меньше ( —
685. Обозначим радиус основания цилиндра через г, его высоту
через л, а радиус данного шара через R. Если взять осевое
сечение цилиндра, то из него легко установить, что л = ]/(2R)2—(2а)2 =
= 2j/#2— г2. Поэтому объем цилиндра V = r.r2h = 2тса2х
X VR2 — f\ Нужно найти то значением, при котором объем будет
иметь наибольшее значение. Но величины V и V2 достигают своих
наибольших значений при одном и том же значении г. Очевидно, при том
же значении г достигает своего наибольшего значения и величина
■ ~ 2 V2 = 2г* (R2 — г2). Последняя же получит наибольшее
значение при г2 = 2R2 — 2г2, так как, представив ее в виде г2 • г2 (2R2—
— 2а2), замечаем, что г2 -f r2 -f 2R2 — 2r2 = 2R2, и, следовательно,
наибольшее значение произведения r2r2 (2R2 — 2г2) получится при
равенстве всех его множителей (см. задачу 684). Из равенства
г2 — 2R2 — 2г2 найдем значение радиуса основания цилиндра г~
Г~2
= R А/ -^-, при котором цилиндр имеет наибольший объем.
686. 1 + (2«—1) = 1 +(2— 1)(2"-г+2*-2+ ... +2+ 1)> 1 +
+ пУ2п~х • 2"~2... 2 • -1 = 1 -Ь п 1/ 2^ = 1 + л VW* (см.
задачу 683Х
687. л! = К (л!)2 = 1/(1 -л) [2-(л—1)1 [3) .(л - 2)j... (л • 1) =
У\ • л • К2 \(л — 1) • V'3 • (л — 2)... Уп • 1 >
309
. 1-М 2 + (п— 1) 34-(л — 2) л + 1 (п + \\п,
>___ L 1.—А_ ..._^_J (см. задачу
671).
688. 1 + 1 + 4 + 21з + у4т4+-+2Т-31Т^<1 +
1--J-
/ill 1 \ 2п
+ (' + т+т + т + - + 2^) = 1 + —4=1 +
2
+ 2(l-^)=3-2-lr<3. .
689. (2— l)-l!-f-(3— 1)-2! +... + [(л + 1) —л]л! = 21 — 1! +
+ 3! — 2! + ... + (л -f 1)! - л! = (л -f 1)!— 1< (л + 1)!
690 И- Ь3.5...(2л-1) 1 3 5 2л- 1
690> Л~ 2-4-6..2Л -Т,Т*Т-~2Г_<
2 _£ 6 2л 1
3 5 7""2л+1 1 . 3-5...(2л—1)(2л + 1)
2 • 4 • 6 ... 2л
1 <-Аг<-'
А(2п+\) ^ А -2л ^Лл'
Итак, Л < JL Л2 < —, А <
Лл' л' ^ У" я '
ftQI «, ,"/(1 -2-3...л)2
691./1.2.3...л^|/\,2,з„,;-
^ "/(1 •л)-[2-(л-1)1...[6-(л-& + 1)1 ...(л- 1)
1 -2 -З...Л
Но Л (л — k + 1) = kn — & (А — 1) = kn — п — k {k — 1) + л = (k —
— 1) (л — k) -f п. Отсюда видно, что при всяком k,
удовлетворяющем неравенствам 1 < k < л, выражение k (л — k-\- \)> п.
Поэтому имеем
п г п / Tin л
/1 .2-3... л >1/ т-т^Ц -
V 1 • 2 • 3 ... л /1 .2-3... л
Отсюда (j/l • 2 • 3 ... л)2 > л и У\ • 2 • 3...л>Угл. Если
л >2, то /1 • 2 -З...Л >]/л.
692. Искомое число девятизначное. Поэтому, обозначив его
через л:6, можем написать 108<л:в< 109. Извлекая корень шестой
310
степени с точностью до единнц, получим 20 < х < 32. Но сумма
цифр числа равна 45, значит, искомое число, а следовательно, и х
делится на 3. Таких чисел, больших 20 и меньших 32, всего
четыре: 21, 24, 27, 30. Рассматривая данные цифры искомого числа,
легко убедиться, что х = 27, а искомое число есть 276 = 387 420 489.
693. Если обозначить искомое число процентов буквой х, то
после прохождения газа через первый фильтр из общего числа
примесей, равного ■
ах ахр
ах
ТОО
м3, будет поглощено
ахр
1ш
нется
лг или
00 100
второго фильтра останется
1
ах
ах
1-
1 —
Р
" 100
Р
100
м\
м3, так что оста-
Очевидно, после
ах
лг, а после /1-го
X
х
Р
100,
ах ах I. р \п
~ ТОО + ТОО \ ТОО/
прибавится примесей jILm
станет
100'
шо г юоГ"'" —"w "*~ юо
мп. При поступлении в резервуар к количеству а —
м3 газа прибавится еще Ьм3, причем
', так что в газовой смеси в резервуаре
bq
+
ах I . р
ТОО \ ТОО/ ' 100
должно превосходить г% общего объема газа, находящегося в
резервуаре. Поэтому искомое число х удовлетворяет соотношению
ах Л р_\" bq_ £_\ h , __^_ , ££.( ] Р
\1 юо/ + юос юо[ +а юо+ юо\
г \L р У ■ г ~
м3 примесей. Это последнее не
Из
него находим ах
1 —
100/
100/ + 100
100/ ^
< (a -f- b) г —г bq
Так как в левой части полученного неравенства находится
положительная величина, то при (а + b) r < bq неравенство, а
следовательно, и задача не имеет решения. Если же (a -f b) r > bq, то
получим
(а + b) r — bq
х<
г
ТОО
Р
100
+
г
Too
694. В конце первого года к вкладу в А руб. касса прибавила
Ар
процентную сумму -гкгг, а вкладчик взял со счета В руб. Таким
образом, к началу второго года вкладчик имел на книжке сумму
Р
A^AV + m
В руб. В конце второго года были
произведены такие же операции, отчего сумма AL руб. обратилась в
сумму
зп
А' = ^(1 + ш)-в-А(1 +
100
— В
1+1 +
100
В конце третьего года вместо суммы в А2 руб. на книжке была
сумма
з
А^ + ш
В = А\ 1 +
+ 1 +
100
— в
1+1 +
100,
+
100
руб
Ясно, что в конце х-го года вклад выражался суммой
M'+ifo
В
^'^Ш + 1 + ж' +
+
+ 1 +
р
100
х-\
Выражение, стоящее в квадратных скобках, является суммой х
первых членов геометрической прогрессии с первым членом,
равным 1, и знаменателем, равным 1 + -ifey Поэтому для суммы
вклада получим
А11 +
!00
В
1 +
100
^(i + JlV-
1 +
100/
100
1005
1 +
в
__ _ __ Ар — 1005 / _p^_Y 100
100/ * J ~ р \ + 100/ + р '
Но по условию задачи эта сумма не меньше 3.4. Поэтому получаем
Ар-\00В(. р\* 1005
— 1 + -гкк 4 > ЗА Решив это неравенство, наи-
Р \ ЮО/ р
\g(3Ap— \00B)—\g{Ap- 1005)
дем
х>
lg(100 + p)-2
Так как р > 0, Л > 0, Б > 0 и, кроме того,. Ар > 100В усумма
вклада возрастала), то все выражения, находящиеся под знаками
логарифмов, являются положительными величинами и выражение
для х имеет смысл. С другой стороны, если Ар < 100в, то задача
не имеет решения.
695. Пусть следует сделать х промывок. В единице непромыто-
k i. k
го песка содержится -^ единиц чистого золота и [ 1 — -г^г j еди
312
ниц примесей. После одной промывки единицы песка золота оста-
етСЯ Ш (' - ш) единиц- а пртесей- (l - ±) (l - 4)-
Очевидно, после двух промывок единицы песка число единиц
золота и примесей будет
100
\-Л *L(i_JL
100 100 Г ЮО
100 V 100
шоу \ ЮО
а после х промывок соответственно
АЛ jlY /i_AUi _£_
100 \ 100/ И \ 100/ \ 100
Так как процент содержания золота после х промыюк должен
быть не менее г, то отсюда получаем неравенство
±(l-JL)\j-\JL(l-Ay+(X-±.)(x--JL
100 \ 100/ ^ 100 [ ЮО \ 100/ "^ \ 100/ \ 100,
Решаем это неравенство:
loo V юоД юо/ ^ юо V -юо/ V 10°
k(\00 — r)(100 — q)x>r(\00 — k)(100 — p)x,
\00 — q\v r(\00 — k)
100— р) ^ k(\00—r)
Логарифмируем обе части неравенства, причем для определенности
будем считать основание логарифмов больше единицы. Если q < р,
то левая часть неравенства будет больше единицы и мы получим
logC<100-*> log M100-*)
'К*(Ю0 —г) ^ „ g*(100 —г)
*> 100-g ; еС™ *>Р' Г0Х< , 100-g =
log70(T^ logT00^
если q — р, то х может равняться любому натуральному числу,
т. е. любое число промывок сохраняет процент содержания золота.
Очевидно, в этом случае задача имеет решение лишь при k > г.
696. Первый раз влили в резервуар чистого спирта ~т~ л, но
после того как из него отлили а л смеси, чистого спирта оста-
ар А п
лось в резервуаре -щ • -j—r— л- Повторение этой операции
привело к тому, что число литров спирта в резервуаре стало
313
ар
А + ар
ар
ТОО
А + а
+
Л-Ьа;
\ 100 А + а ' 100/Л +а
После л; таких операций число литров чистого спирта в
резервуаре, очевидно, станет равным
ар
ТОО
+
+ ...+
А-\-а ' \ А-{-а ) '" \ A -f a
а общий объем смеси останется А л. Так как процент содержания
спирта должен быть не менее д, то отсюда получаем неравенство
ар
ТОО
+
А + а ^ \А + а
+ ...+
1 —
А + а
А
>
Ад
А-\-а
100'
> д. Отсюда най-
которое приводится к такому: р
дем, что х > -.—, при этом должно быть р> д. Если же р <
& А + а
< ?, то задача не имеет решения.
697. a cos х -f ^ sin x = а ( cos jc 4 sin jc ) = a (cos дс -f
-f tg cp sin jc) =
cos <p
(cos x cos cp -f sin jc sin cp) =
=« ]/a2 + 62 cos (a: — cp). Поэтому \acosx -{- bs'mx\ =
= ]/aTT^!cos(x— cp)! < У a2 + б2 или — /a2 + 63 < a cos * -f
+ 6sin>: < J/V + 62.
Следовательно, наименьшее значение данного выражения будет
— У а2 + б2, а наибольшее V a2 -\- b2.
спо • 2 . к • , 2 1 — COS 2*
698. а sin* х + о sin jc cos х -J- с cos2 jc = a • ^ \-
, , sin 2х , 1 -f cos 2л; с + a , 1 f/ . 0 . ., 0 Л
+ & • —о Ь с • —~ = —д h -Tr[{c—a)cos2x 4-0 sin 2*] =
2 ' " 2
c+a c—a
О 1
cos 2x +
2 ' 2
b
sin 2* 1 — —x h
с — a
-\ x— (cos 2x 4- tg f sin 2x) —
с — a
с 4- а с — a
4-
2coscp
(cos 2x cos cp 4-
-f sin 2x sin <p) = ^-t-^ 4- — Y b2 4- (c — af cos (2* — cp). Если
314
с -f- о.
cos (2л:— ср) = 1, то получим наибольшее значение, равное —^ \-
i/ ffi л. (г а)2
+ "" s—s— » а ПРИ cos (2л; — ср) = — 1 будем иметь наимень-
с + а V Ь2 + (с — а)2
шее значение, равное —^ - -~ —.
Полученный результат верен и при а — с.
699. Так как sin2 A + sin2 В + sin2 С = 2 cos Л cos Я cos С + 2 (см.
задачу 484) и 2 cos Л cos Б cos С > 0, поскольку Л, В и С острые
углы, то sin2 Л + sin2 В + sin2 С > 2.
sin 2л: — cos 2л: + 1 _ 2sin л: cos х + 2зт2л: _ •
sin2x-}-tos2x—l 2sinxcosx — 2sin2x
cos x -f sin x 1 -f tg x
cos x — sin л: 1 — tg л;
му
Поэтому неравенство равносильно тако-
: - _ . — > О или (1 -f tg х) (1 — tgjc)> 0, исключая х = Н,
I lg X
при котором левая часть данного неравенства теряет смысл, но
которое является решением преобразованного неравенства. Таким
образом, получаем: 1 — tg2 х > 0, tg2 х < 1, | tg х J < 1, — 1 < tg jt<
ТС ТС
< 1, &ТС- д"<*<£я, £тС<Х<-— -f&TT.
701. В этом случае должно выполняться неравенство соял:<
1Г 3
< 0. Но тогда -2--Ь2&п<л;<—7Г + 2&1Т.
702. Так как | sin х | < 1 и основание логарифмов больше
единицы (логарифм десятичный), то неравенство равносильно такому:
sin х > 0. Следовательно, 2k т. < х < (2k + 1) я.
703. cos (sin x) > 0 при любых л;, потому что — 1 < sin х < 1,
а углы, заключенные между — 1 радиан и -f 1 радиан, находятся
в первом и четвертом квадрантах, где косинус положительный.
7Г 2
704. Должно быть —1 < -^ arc sin x < 1 или .<r arc sin л: <
/ ТС ~-
2 2 2
< —. Отсюда — sin — < х < sin —„
ТС ТС ТС
705. Должно быть 0 < lgx < 1. Отсюда 1 < х < 10.
706. Должно быть 2k ъ < — < (2k + 1)тс, где £ = 0, 1, 2, ...
1 1 1
Если Л = 0, то —г < тс, л:2 > —, |л:| > . —. Это возможно, ког-
xL тс у тг
да: а) л:>-—= иб)л:<— —=. Если k = 1,2,3, ..., то tstxTw <
У тс ]/ тс (2/г + 1)гс
315
1 1 1
< *2 < оь или ,/ /ОА , 1ч— < | * I < /-Tw—• Это возможно, ког-
2&ТС J/(2«+l)lC ' ]/ 2&ТГ
да в) < л; < (х>0, | *, = х) и г) — <
/(2£ + 1) тс у" 26 тс V(2^+I)ic
< — л: < г или т < а; < Л— (л: < 0, \х\ =
/26* ]/2А:тс /(2£ + 1) тс
= -*).
л 3 т
707. Так как tg —, tg —-, tg -£ положительные числа,
то, пользуясь тем, что среднее арифметическое двух
положительных чисел не меньше среднего геометрического этих чисел (см.
задачу 671, а), можем написать
tg'-■£ + tg'i- + tg-\ - 4-(tg'т + *8"т) +
+ т (*** т + ««"т) + т (tg2i + Фт)>
=tg-i-tgi-+tgi-tgJ-+tgi.g^=tgAtg±+
1 g 2 g 2
+ tgi.g^±i(.-tgAtg4)=tg^tg± +
+ tg-Ltg^l(1_tg^tg4) = tgAtg± +
+ tgfclg^^-tgTtg-j = tgT.gt +
+ 1-18^4=1.
Для того чтобы имело место равенство
tg^ + ^T + ^T^1'
316
необходимо и достаточно, чтобы а = р = ? = -й-- Действительна
последнее можно записать так:
T(*T + *i)+T(w-S-+vi) +
+ tg -Ltg T или T^tgT-tg-|-J +
Но это будет иметь, место тогда и только тогда, когда tg-y =
8 у
= tg -J- = tg —, а так как а, р, т — острые углы, сумма которых
равна 7т, то это приводит к условию а = р = у == —.
708. Нужно доказать две теоремы:
I. Дано: 0<а<-^-, 0<р<~, 0< т < -£-, 0 < а + р+
+ т < т-
Доказать: tga tgp + tg p tg т + tg у tg«< 1.
II. Дано: 0<a<-|-, 0 < р < -£-, 0 < т < -jj-,
tga tgp-f- tgP tgT -f-tgT tga< 1.
Доказать: 0<a-f-p-f-7<-—.
Доказательство I. 0 < у <-~ (a -f p) < -„-.
1-tgatgp
y-(« + P)
«dg<a + P)=-tg7+TgF
Поэтому tg y < tg
Итак, tg r < —7 . J—. Умножим обе части неравенства на
б'^ tga + tgp
tg a -f tg p > 0. Получим tg у (tg a -f tg P)< I — tg a tg p. Отсюда
tgatgp + tgptgT + tgTtga< 1.
Доказательство II. Перепишем данное неравенство так:
tg 7 (tg a + tg P) < I — tg a tg p. Отсюда видим, что 1 — tg a tg p > 0.
Разделив обе части неравенства на (I — tg a tg P) tg у > 0, получим
tg я + tg p ^ 1 , . / тс
1-tgatgp ^ tgT *' b\ 2
317
или tg(oc + P)<tg(-^- — у).
Но так как 0 < a < -^-, 0 < р < -|- и tg (a + Р) > О, то О < a 4-
ТГ / 1С \
+ Р < -п~. Поэтому из неравенства tg (a-f-P)<tg I -~ у 1 вытекает
« + Р<-£- — Т или 0<а + (3 + Т<4--
709. 1 + ctg <p = 1 -f
l-tg2-|- 2tg-|-+l-tg2-|-
2tg-|- 2tg-|-
tg2^--2'tg-|- + l-l) 2-(tg-|-- Г*
2tg \ 2tg -f-
= ctg-| _ctg-|-ftg-|-— lj <ctg-|-, так как
"2-ctg^f tg-|-~ 1 j >0 при условии 0< ср<тг.
710. Раз угол у тупой, то 0 < a -f P < -к- и 0 < a < -^ р <
<-^-. Но тогда tga<tg(~— PJ = ctgР=-^у- Итак, tga<
< -—q. Умножая обе части неравенства на tg р > 0, получим tg a x
tg Р
х tgp <l.
711. Обозначим левую часть неравенства буквой Л. Будем иметь
. ,, 1 + cos 2 3 1 + cos 2 у , . . . /Q ,
А = cos2 a + '——у Н —у = cos2 a -f 1 -f cos (p -f
-f- у) cos ((8 — у) — cos2 a -f cos (тс — a) cos (P — y) -f 1 = cos2 a —
— cos (p — y) cos a -f 1. Иначе cos2 a — cos (p — y) cos a -f 1 — Л' = 0.
Рассматриваем последнее как квадратное уравнение относительно
cos a. Для того чтобы cos а был вещественным, дискриминант
этого уравнения должен быть неотрицательным, т. е. должно быть
cos2 (р — у) — 4 (1 — А) > 0. Отсюда 4 (1 — Л) .<r cos2 (Р — у) < 1 или
1 3 -
1—Л<—. Таким образом, получаем Л>-^-.
318
Отсюда же легко усмотреть, что cos2 a -(- cos2 3 -f- cos2 7
= —г- тогда и только тогда, когда а = 3 = у = —.
712. smTs,n^-s1nJ-=T
COS
а —
= -у I cos
а
— sin
2
2 Т
cos 1_I ism 2
2
T _ 1
C0S-2" s,nT
cos
— 3 . у
-f- -j- cos^ -
J_
2
cos2
sin2 -_- cos sin -_- -f
cos''
sin
1 a —
tcos-t-
1 2a— 3 1
< -pT COS2 s-i < -7Г-.
713. Построим острый угол ЛОВ (рис. 6),
хорду ЛВ и касательную ЛС в точке А к
окружности радиуса г с центром в вершине О
угла. Очевидно, 5дд0в < 5сект.смв < ^ллос-
Если х есть радианная мера угла ЛОВ, то
предыдущее неравенство можно записать так:
-п- г2 sin х < -д- г2 х < -^- г2 tg х или по
сокращении на -к-/*2> 0 sin х < л; < tgx. Следует
заметить, что неравенство sin х < х верно при
всяком х > 0, а |sinx|<|x| при любом
вещественном х Ф 0.
Рис. 6
714. а) sin 3 — sin a = 2sin -
— cos v—^— < 2sin
так как
0 < cos Т" ' < 1. Но известно, что если х > 0, то sin x < х.
Поэтому 2sin —х— < 2 ' 9 g = 3 ~~ a (3 — a > 0). Таким образом,
sin 3 — sin a < 8 — а и а — sin a < 3 — sin 3.
б) tg<p-.) = ттУ|т<^-^таккак0<тет^<
тс
< 1. Но если 0 < х < -у, то tg x > х. Поэтому tg 3 — tg a >
> tg (р — a) > Р — а. Отсюда a — tg a > р — tg ?.
319
715. I. Обозначим 3 — a =5>0. Тогда —^ = — (3 sin a —
a p ap .
— a sin 3) = —- [(a + b) sin a — a sin (a -J- 8)] = — (a sin a -f 8 sin a —
ap a3
— a sin a cos Ь — a cos a sin 5) = —г- [a sin a (1 — cos o) -f a 3 cos a[ —
ap \ a
sin 8
Но оба слагаемых в квадратных скобках
положительны. Действительно,
положительность первого очевидна, а в
положительности второго можно убедиться на
'основании неравенств sin х < х < tg x для 0 <
тс
<л:<,-н- (см. задачу 713), из которых
tg a ^ , л sin 8 ,, ,.,
следует, что -^— > 1, а 0 < —г— < 1. Поз-
ос о
sin a sin 3 . Л sin at sin 3
тому_ -Л>0 „_>—.
И. Докажем неравенство геометрически. Из треугольников ОСВ
и ОСА (рис. 7) на основании теоремы синусов получим
ML-9A. ВС = 0В = 0А
sin 3 ~~ sin С sin a sin С sin С
~ ЛС £С sin 3 ЛС £С + ЛЯ , , АВ п
Отсюда -г—q- = -— или -г-5- = -Б^г = —^— = 1 + -57^ По"
sin3 sin a sin a ВС ВС ВС
лагая радиус окружности равным единице, можем написать w AF =»
= 8, wBf = a. Поэтому А8 < w ЛЯ = 3 - а, £С> £Я = tg a >
^ / 7ЮЧ d sin3 Д5
>а (см. задачу 713). Возвращаясь к равенству-г-1- = I -\—^-t
sin a dL
заменим в нем АВ на В — а, а ВС на а, отчего получим -—- <
r J sin a ^
Р — а В В sin В sin a
< 1 -f =1 + — — 1 = — или -у- < -—.
а а а р а
716. Возьмем любой х, удовлетворяющий условиям 0 < л: <
<-тр • Тогда, положив в неравенстве задачи 715 a = х, 3 = —-,
. тг V
sm-jr-
sin x 2 2
получим > ■ или sin х > — х.
Т
320
717. I. Обозначим p — a = Ь > 0. Тогда %£ — ^ = -L(atg3 —
p a ap
— Ptga) =-Ltatg(a + ft)-(« + ft) tg «] ==-L {a [tg(a-f 8) - tg a]-
tsa] = -^
a sin 8
a? \ cos (a -f- 8) cos a
-Hga >
1 /a sin 8
a3 \ cos a
ism a
cos a
sin
ft
! cos а
sin a
sin 6
sin a
8
a
>0 (см. задачу 715) и тогда
а) Если 8 < а, то
Р > a '
б) Если Ь > а, то между числами аир можно вставить числа
Ть Ь -. Та так> чтобы было 0<а<Т!<т2< •••< Та<Р<
тс
<-«-t а разности Ti — а, уг—Ti» •••» Р — Та были бы меньше a
tg 3 tg yh
Тогда на основании случая «а» получим —- > -^^ > ... >
Р
Та
^ tg Tl tg a
Ti a '
II. Дадим геометрическое доказательство,
(рис. 8) — дуги окружности радиуса единица
с центром в точке О, равные соответственно
аир. Пусть В и С — точки пересечения
касательной к окружности в точке А с
продолжениями радиусов OD и ОЕ. Проведем
через точку D прямую MN \\ АС и пусть М
и N — точки пересечения ее с прямыми ОС и
ОА. Тогда можно написать
tg р _ АС _ MN
АВ~ DN'
Пусть AD и АЕ
С
tga
DN j-DM DM #
DN ~ + DN ( }
Проведем касательную LD к окружности в
точке D и пусть L — точка пересечения ее 0
с продолжением радиуса ОЕ, Очевидно,
DM > DL= tg(P-a) > p-a, а Ш= Рис. 8
== sin a < a = w DA (см. задачу 713), следо-
£Ш p-a _ _ .br^
вательно, -гПй-> • Тогда из равенства (*) получим i2J->
tg a
N й
U
> 1 +
DN^ a
-a tg ?
a
tsa> a'
tg?. tga
P > a'
11 Шахно К. У.
321
X.
КрМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
718. Нельзя. Понятие «больше» и «меньше» неприменимо к
комплексным числам.
719. Отрицательное число есть вещественное число, которое
меньше нуля. К комплексным же числам понятие «меньше»
неприменимо. Поэтому нельзя число — Ы назвать отрицательным.
720. Запишем данное равенство так:
.НУГ- '■
Но
1 +1 __ (1 -f if _ 1 + 2t — 1 _ 2i_ _ .
1 — i ~ 1 — i2" ~ 1+1 ~ 2 ~~1'
Поэтому получим in = 1. Отсюда n = 4k, где k = 0, + 1, +2,
± 3, ...
721. Освободившись от знаменателя, получим х -f 1 -h-(y— 3)/ =
= 2 -f 8i. Два комплексных числа равны, когда равны их
вещественные части и равны их мнимые части. Поэтому имеем
х + 1 = 2;
у —3 = 8.
Отсюда х = 1, у = 11.
722. Умножим обе части уравнения на — I. Получим
(х + yf -+ 6 -f- xt = t/i -f- 5 (* -f y) -f t.
Приравниваем вещественные части
(я + г/)2 -f- 6 = 5 (x -f- г/) и мнимые части х = г/ + I.
В полученной системе
(^ -Ь г/)2 — 5 (л: + г/) -Ь 6 = 0;
х~^у = 1
первое уравнение решаем как квадратное относительно a: -f- г/.
Получим х -\- у = ~ . Остается решить системы:
a) U — у = 1; б) |х — I/ = 1;
Ответ: хг = 2, ух = 1; х2 =-у, г/2 = -у-
322
723. Из первого уравнения находим х = 0, у = — 1.
Подставляя найденные значения х и у во второе уравнение, получим
а. = 0. _____
724. Уравнение можно записать так: V х* -\- уг — (* -f- и/) =
= 1 -f 21. Отсюда У х2 -f г/2 — х = 1, — у = 2. Решив систему,
3 3
найдем: х = -^-, г/ = — 2, г = -75 2i.
725. V^M7? + (х + ty) - 2 + f, Vx* + y* + a: = 2, у = 1.
Отсюда: л: = —, у = \, z = — -f- *.
726. Если zx = *i -f (г/i, z2 = *2 + п/2, то гх + г2 = Xi -f x% -f
+ »' (г/i + #2), ^ — г2 = хх — х2 -f- * (i/i — #2).
Поэтому | гх -Ь г212 + I zt — г212 = (^ + *2)2 + (уг + #2)2 + (*i —
- *2)2 + (</i ~ У*)2 = Ъх\ + 2^ + 2х* + 2у\ = 2 (*» + yj) + 2 (*| +
+ ^) = 2(|г1|2+|22|2).
727—758. Указание. В этих задачах часто используется
тригонометрическая форма комплексного числа и его геометрическое
изображение. Напомним, что любое комплексное число а = а -f- Ы Ф 0
можно преобразовать к виду а = р (cos ср -f i sin cp). Последнее
выражение называется тригонометрической формой комплексного числа.
Число р = Y а2 + Ь2 называется модулем комплексного числа а,
а угол ср—его аргументом. Аргумент определяется формулами:
cos cp = —, sin cp = —. Модуль р > 0V а аргумент ср может
принимать бесконечное множество значений, так как sin cp и cos cp не
меняют своей величины, если ср
изменить на 2Ы, где k — целое число. «у
Обычно для ср берут наименьшее по
абсолютной величине значение, т. е.
такое, что — тг < ср < тт. Это значение
аргумента называется главным. ^.
Комплексное число а = а -f- Ы услови- .^""^l'
лись геометрически изображать точкой — К^Г L
М, у которой в данной прямоугольной
системе координат абсцисса равна а,
а ордината b (рис. 9.) По этой
причине ось абсцисс называется
вещественной осью, а ось ординат — мнимой
осью. Комплексное число также изображают направленным
отрезком ОМ, т. е. отрезком прямой, у которого указано, какая из
ограничивающих его точек является началом и какая концом. В
данном случае О есть начало, а М — конец. Такой направленный
отрезок называется вектором. Вектор, имеющий началом точку О,
а концом точку М, обозначается так: ОМ. Направление вектора ука-
П* 323
зывает стрелка на его конце. Таким образом, комплексное число
а = а -\- Ы изображают вектором, начало которого совпадает с
началом координат, а конец — с точкой М (а, Ь).
Длина вектора, т. е. длина отрезка ОМ, дает геометрическое
изображение модуля числа, а угол, образованный осью абсцисс и
вокторзм, т. е Z ХОМ, дает изображение аргумента. Очевидно,
вещественным числам соответствуют точки, лежащие на
вещественной оси, а чисто мнимым числам — на мнимой оси.
727. р = ]/(!— cos a)2 + sin2 ос = 1/4
S1IT
= 2
sin
0. а 1
2sin -^-, cos ср -
2
COS а
2sin-
а тс — а
sin-~-—cos—ъ—, sin ср =
sin а
тс — а
2sinT
cos y = sin -у
Главное значение ср = —■=—, а данное число z = 2sin -^-X
w i тс —а . . тс —а
X cos—3 h i sin —7Г-
728. р = "K(l + sina)2 + cos2a = l/ 4cos2 (^ |Л =
тс а
cos|T-y
= 2с os
, COS cp =
1 + sin a
2cos
тс
а
COS!
— |, Sin cp
cos a
2cos
тс
= sin
,4 2
тс а
тс а
Главное значение ср = — —, а дан нее число
п . тс a
г = 2cos[ -j- — у
, тс а \ . / тс a
cos(t-тК'"s,n т~т
729. р = V 1 + tg2 a = У sec2 a = | sec a
1
COScp
— sec a,
= — COS a = COS (a — TC), sin Ф = =
— sec a . ■ T —sec a
sin a = sin (a — тс), 1 -f / tg a = — sec a [cos (a — тс) +
-f- i sin (a — тс)].
324
730. а) Геометрически модулю комплексного числа z
соответствует расстояние от точки плоскости, изображающей число z, до начала
координат. В данном случае это расстояние равно 2. Следовательно,
равенству | z \ = 2 соответствуют точки окружности с центром в
начале координат и радиусом, равным 2
(рис. 10).
б) Так как равенству | z j — 2
соответствуют точки окружности с
радиусом 2 и с центром в начале
координат, то неравенству |г j < 2
соответствуют точки круга, ограниченного этой
окружностью, исключая точки
окружности. Аналогично числам | z \ > 1
соответствуют точки, расположенные вне
круга, ограниченного окружностью
радиуса единица с центром в начале
координат, исключая точки этой
окружности. Поэтому числам г, удовлетворяющим соотношениям 1 <
<|г|<2, соответствуют точки, расположенные в кольце между
двумя концентрическими окружностями радиусов / и 2 и
имеющими центр в начале координат, исключая точки этих
окружностей (рис. 11).
Рис. 10
Рис. 11
Рис. 12
в) Так как г2 = (х + iyf = х2 — у1 + 2xyi, то R(z*) = х2 — j/2 =
— (х — у) (х + у)- Следовательно, равенство R (г2) = 0 распадается
на два: х — у — 0 и х -f- у = 0. Эти уравнения являются
уравнениями биссектрис координатных углов. Поэтому точки,
соответствующие соотношению R (г2) = 0, расположены на биссектрисах
четырех координатных углов (рис. 12).
г) Так как Im (г) = у, то данное неравенство запишется таи
у > -у. Отсюда видно, что точки находятся выше прямой,
параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на расстояние, равное
4- (рис. 13).
325
д)
1
2+1 |, IZ— 1 |а <|2+lj2, (X
l)2-H/2<(*-H)2+
-ft/2, x2 — 2x -f 1 + i/2 < *2 + 2x + 1 -f i/2, — 2л: < 2л:, 4л; > О,
л: > 0. -Отсюда видим, что точки находятся в полуплоскости,
расположенной правее оси ординат, включая ось ординат (рис. 14).
У.
кУ
Рис. 13
Рис. 14
731. а) Аргументом комплексного числа z называется величина
угла, образованного полупрямой, проведенной из начала координат
через точку, являющуюся изображением z, с положительным
направлением оси абсцисс (вещественной оси). Поэтому равенству
arg г
-w- соответствуют точки полупрямой, выходящей из начала
о
Рис. 15
координат, наклоненной к оси абсцисс под углом -^-(рис. 15).
о
б) Учитывая сказанное в пункте «а», легко убедиться, что
числам, аргументы которых удовлетворяют соотношениям -^- <
< arg z < —, соответствуют точки плоскости, расположенные
внутри угла, заключенного между полупрямой, выходящей из начала
координат под углом -^- к положительному направлению оси
абсцисс, и положительным направлением оси ординат. При этом
точки, расположенные на сторонах угла, исключаются (рис. 16).
732. а) Во втором и третьем координатных углах, исключая
точки оси ординат (рис. 17).
б) В первом и втором координатных углах, включая точки оси
абсцисс (рис. 18).
326
733. Окружность радиуса 1 в направлении, обратном движению
часовой стрелки. Центр этой окружности симметричен центру
данной окружности относительно оси абсцисс.
734. zxzt = pi (cos cpi + i sin срх) pa (cos ?a 4- i sin cpa) =
Pi?2 l(cos ?icos ?2 — sin ?i sin cp2) + i (sin ?! cos cp2 -|- cos cpj sin <pa)l =
= Pi p2 [cos (cpt + cp2) -f t sin (?! + ?2)].
Рис. 18
735.
4 = Pi (cos ?i + / sin <pt) =
Z2 p2(C0Scp2 +i'sin(p2)
" __ Pi (cos <Pi + t sin «Pi) (cos cp2 — i sin <pa)
" P2 '
COS* cp2 -f Sin2 cp2
Pi
«= ~ • (cos cpi + t sin <pi) [cos (— cp2) + I sin (— <pa) J =»
P2
"= ~ fcos (<Pi — Ъ) + i sin (?i — ?2)1.
P2
736. Так как zn = z - z... z и аргумент произведения равен
сумме аргументов сомножителей (см. задачу 734), то отсюда и
следует формула Муавра.
737. Так как z~k = —%, то, положив п = — т (т > 0), получим
(cos cp + J sin ср)л =х (cos cp -f- f sin ср)-/я —
1
1
(cos cp -f i sin cp)OT
cos mcp — £ sin mcp =• cos (— m) cp -J-
cos /hep + i sin mep
+ / sin (— m) cp =» cos ncp + / sin мер.
738. Модуль числителя равен
У(*-УлГ + (2ху)*= V~WTW- *% + У*-
327
Модуль знаменателя равен
VI
{xyVW + (V * + y*Y= V (х2 + у2)2 =х* + у2.
Так как модуль частного равен частному модулей делимого и
делителя, то
х2 — у2 + 2xyi
xyV2~+i V x* + y*
х2 + У2 ^ ,
х2 + У2 ~ '
2С03.
'■А
739. (асо -f бсо2) (аш2 -f- Ьш) = а2ш'3 + аЬш2 -^ аЬш* + Ь
Но (о3 = ( cos -~- + * sin -^- J = cos 2я -f i sin 2rc = 1,.
Ш2 -f- (0 = 1.
Поэтому данное выражение
A = a2 + aba2 -f аба) -f 62 = a2 + a6 (I2 -f to) + b2 = a2 — ab + Ь
740. Так как шя = 1, а со2 -f со = — 1 (см. задачу 739), то
{а-\-Ь + с) [а2 + ab (со2 + со) + ас (со2 + «>) + be (со2 -f ш • со3) -f
. + Ь2ш3 + с2со3] = (а + 6 -f с) (а2 -f б2 -Ь с2 — ab — ас — be) =
= аз _|_ £3 _|_ сз _ За^с
(см. решение задачи 682).
741. Эту задачу можно решить непосредственным
перемножением. Но такой путь длинный и утомительный. Поступим иначе.
Обозначив данное выражение буквой Л, преобразуем его, пользуясь
формулой суммы кубов двух количеств и соотношением со2 -f ш =
= — 1 (см. решение задачи 739). Получим
A — (a -f- Ьш 4- ссо2 -)- а -+- Ьш2 4- ссо) <рь
где <pi— краткое обозначение неполного квадрата разности данных
двух количеств. Отсюда
А = (2а — b — c)(pv
Но нетрудно видеть, что А симметрично относительно а, Ь и с,
т. е. не меняет своей величины от одновременной замены а на Ь,
b на с и с на а. Действительно, преобразуем Л, используя
равенство со3 = 1 (см. задачу 739). Получим
А = (асо3 + Ьш + ссо2)3 -f (асо3 -£ Ьш2 + ссо4)3 == со3 (6 + ссо + аш2)3 -f
-f со6 (b + сш2 + aw)3 = (Ь 4- с о + а со2)3 4- (6 4- с со2 4- а со)3.
Аналогично можно показать, что
Л = (с 4- асо 4- Ьш2)* 4- (с + а"*2 + М3-
В силу этого можно утверждать, что А имеет также множителями
многочлены 2Ь — с — а и 2с — а — Ь. Поэтому
А = (2а — b — с) (2Ь — с — а) (2с — а — Ь) ср2,
828
где <р2 — частное от деления А на (2а — b — с) (2Ь — с — а) х
X (2с — а— Ь). Замечая теперь, что коэффициент при высшей
степени а многочлена А равен 2, устанавливаем на основании
равенства многочленов, что ср2 — 1. Итак,
А = (2а — b — с) (2Ь — с — а) (2с — а — Ь).
742. Пусть z = cos a -J- i sin а. Тогда получим:
J_
,142
Jll2~) Г42~ = (C0S Я + ' Sin a)H2 + (C0S а + * Sjn а)~142
= cos 142а -f i sin 142а -f cos 142а — i sin 142a = 2 cos 142a.
Но из уравнения 2 -| =1 получим:
2!-г+1=0, г= i-±-^< =
= cos(±A) + isin(±-|-). ,
Итак,
1 142тт 4 л
2:142 Н пг = 2cos ~Т— = 2cos -о" я = — 2cos -о" = — 1- '
£ о о о
743. Положив в формуле Муавра (см задачу 736) п = 5,
получим
(cos a -f t sin a)5 = cos 5a -j- i sin 5a
или
COS5 a + 5l COS4 a sin a — lOcos3 a sin2 a — lOi cos2 a sin3 a -f-
-f 5cos a sin1 a + i sin5a = cos 5a -j- i sin 5a.
Приравняв мнимые части и положив в них a = arc sin х, найдем,
что
sin (5arc sin х) = 5cos4 (arc sin x) sin (arc sin x) —
— lOcos2 (arc sin x) sin3 (arc sin x) + sin5 (arc sin x) =
= b(VT^~x*Yx— 10(^1 — x2 )2лг3 + хь = 5(1 — x2)V~
— 10(1 — x2)x3 + x\
Отсюда
sin (5arc sin x) = 16a:5 — 20л:3 + 5 а:.
744. Обозначим сумму синусов буквой А, а сумму косинусов
буквой В и, положив затем z = cos x + i sin x, получим
В + At = (cos x + * sin a:) + (cos За: + i sin За:) + ... -f-
+ [cos (2/z — l)x + isin (2/z — 1) x] = z + z3 +... + &n~x =»
829
z (zu — 1) (cos x + i sin x) (cos 2nx -f i sin 2nx — 1)
г2 — 1 cos 2x + i sin 2x — 1
_ (cos x + i sin x) (— 2sin2 nx -f- 2t sin ял: cos мл:)
— 2sin2 a: + 2i sin * cos x
(cos х -f (* sin x) • 2( sin nx (cos я* -f- i sin nx)
2i sin л: (cos x -f- (sin л-)
sin л*
sin*
(cos «a: -f i sin шс).
Итак,
Отсюда:
_ , .. sin nx . sin nx .
В -f tA= —— cos nx + t —. sin nx.
sin x sin *
_ sin я* sin 2nx A svtf nx
В _ __ cos nx = _^—• д _
sin л: 2 sin x' sinx
Конечно, эту задачу можно было бы решить и способом,
примененным в задаче 517.
745. Умножим обе части данного уравнения на х~п и в
полученном результате положим
x~k = (cos a -f i sin x)~k = cos kx — i sin kx.
Получим
1 + pi x~x -f p2x~2 + ... + Pnx~n = 0» 1 + Pi (cosа —* sina) +
+ Рг (cos 2a — I sin 2a) + ... -f ря (cos/la — i sin nx) — 0.
Так как рь р%, ..., рл — вещественные, то
рх sin ax -f p2 sin 2a -f ... -f pn sin nx = 0
как мнимая часть числа, равного нулю.
746. Так как St + iSa = (1 + £)л, 0 + 0я = /~2~ (cos ~ +
, то, пользуясь формулой • Муавра, можем написать
о -о гь 2 I П1: , • • ПТ:\ гт
5^ -f- t«S2 = 2 cos-t~ + f sin-j- I. Приравнивая теперь
вещественные части этого равенства, а затем мнимые, получим:
S, = 2 cos-—; S2 = 2 sin-r-.
1 4 2 4
. . it
+ * sin —
4
330
747. Докажем, что S \f 3 является мнимой частью выражения
(1 -f- i\f 3)". Действительно,
(1 +*У~3)"= 1 + СЩГЪ +С1(1\ГЪ)*+С%(1У~Ъ)» + ... -
= 1 - С» • 3 + С* • З2 + ... +iV Т(С k - CI • 3 + С5 • З2 - .. .)■
С другой стороны, пользуясь формулой Муавра, можем написать
(1+1/3)» =
тс тс
2 ( cos -=- + / sin —
пя I ЯТС . . /2ТС
= 2n ( cos -5- -f ( sin -^-
2" n
Отсюда S = ■ Sin Ц1
У 3 3
Любопытно отметить, что если в решении исходить из бинома
(— 1 -\-iV 3)л, то ответ будет такой:
2Л 2п тс
Полезно доказать тождественность этих двух выражений для S.
748. Число w называется корнем степени п из числа г, который
обозначается У z , если wn = z.
Пусть
У г = У р (cos » + i sin cp) = /? (cos Ф + £ sin Ф).
На основании определения корня и формулы Муавра будем иметь
Rn (cos лФ -|- i sin /гФ) = p (cos <p + 1 sin y).
Но если комплексные числа равны, то их модули равны, а
аргументы отличаются на число 2£тс, где k = 0, ±1, ±2, ... Таким
образом,
/?» = р, Ф = ср + 2£тс.
Отсюда
пг—. ———ч v—/ ср + 2^ , • • <р + 2£тс\
у Р (cos 9 + * sin ?) = у р I cos — \- t sin -L-+ I,
причем У [j — арифметический.
Нет надобности придавать k всевозможные целые значения,
а достаточно брать лишь £ = 0, 1, 2, ..., п — 1. Действительно,
k
если k > п или k < 0, то, выделив целую часть q дроби —,
получим k — qn -f г, где положительный остаток /- < я. Но тогда
<р + 2&тс = у + 2 (ЯП + г) тс ^ у 4-2гтс
331
и значения косинуса и синуса в силу периодичности будут
такими же, как и при одном из k = 0, 1, 2, ..., п — 1.
С другой стороны, при различных k, взятых из чисел 0, 1,2, ...,
п — 1, значения корней будут различными. На самом деле,
если при kx и &2> гДе 0 < &х -< /г — 1 и 0 < k2 < п — 1, имеет
место равенство значений корня, то должно быть
ср -f- 2kx тс <р + 2/^2 тс
_1_! ± i_j £— = 2т тс или Ял — к* = тп,
п п
что возможно только при т. — О (т — целое). Но тогда kx — k2.
Итак, корень степени п из комплексного числа имеет п и только
п различных значений, Исключение представляет лишь z — 0.
В этом случае все значения корня равны между собой и равны
нулю.
749. Положив V а + Ы ~ х -f yi, получим: а -\- Ы = {х -{- yi)2;
a -f- Ы — х2 — у2 -f 2л;г//. На основании равенства комплексных
чисел можем написать: х2 — у2 = а, 2л# = 6. Подставив у = —,
найденное из второго уравнения, в первое, получаем:
^. «-±у/1
а + V а2 + б2 _ а + Р 'г i / Р + о
значение —~-^ < 0 и поэтому отброшено ]. Тогда
Отсюда
2х ± V 2 (о + а) К 2
Из равенства 2ху — b видно, что знаки перед радикалами нужно
взять одинаковые, если b > 0, и разные, если b < 0
750. a) z = y/r/=|/cos-~-4-/sin —
46 + 1
cos ~— тс -j-
-f- /sin —~— тс; k = 0, 1, 2; z2 = cos-^- + /sin-£- =
О 0 0
У~Ъ i 5 ... 5 V~3 , !
2 , z2 = cos— тс + * sin -g- тс = — + g »
9 9
z3 = cos -=- тс -f i* sin — тс = — /;
о о
332
/3 + 1 .
/2
в) / 1 = / cos 0 + / sm 0 = cos —= f- t sin
5 ' —' 5 '
£ = 0, 1, 2, 3, 4.
2k TC 2>fe 7C
751. Корни уравнения л:" = 1 суть ak = cos h * sin
где £ = 0, 1, 2, ..., n — 1. Отсюда: a0 = 1;
2тг . 2n 2h , , . 2h
ax = cos \- i sm —; afe = cos — f- t sm
2я
n
2tu \ ^
= I cos Ь f sin = aj
/2 Л
Положив g^ = a, можно записать эти корни в виде 1, о, а\
752, Из формулы 2 = {^ / =
Ak + 1 . • 4& + 1 '
—cos ——— тс -f * sin—|т=— тт видно,
ТС . . 7С
что значение гх = cos -утг -f ' sm уг-
имеет модуль р = 1, а аргумент <р =
— -у^. Остальные корни г2, г3, ..., гв
также имеют модули, равные единице,
а аргумент каждого следующего
отличается от аргумента предыдущего
на величину -^-. Поэтому
геометрически корням г1г z2, ..., ze будут соответствовать вершины
правильного шестиугольника, изображенного на рис. 19.
753. х
_ — (2* —1)±У(2/ — 1 )2 + 4 (7 + 0
(2г — 1) ±1/25 —21+ 1 ±5
> Х\ — <Э —~ ', Х% — — £, — I,
754. х
3 + /±К(3-М)2— \2i 3 + * ± (3 — /)
2 2
#1 == О, ^2 == ^-
755. Умножим обе части уравнения на х — 1. Тогда уравнение
333
26 тс
примет вид х1 — 1 = 0 или х1 = 1. Корни его: xk — cos —= (-
+ / sin —=—, причем при к = 0 получится х0 = 1 и этот корень
посторонний для данного уравнения. Поэтому в найденном
выражении для xk нужно положить лишь 6 — 1, 2, 3, 4, 5, 6.
756. Корни уравнения хп—1 =0" суть 1, а, а2, ..., а"-1, где
9тг 9тг
а = cos \- I sin — (см. задачу 751). Поэтому искомая сумма S=
= 1 + оР + о?р + ... + u^-Op = 1 + а" + (а/7)2 + ... + (а/7)"-1. Если
р делится на п, то ар = 1 и сумма равна п. Если р не делится
на п, то а.р ф 1 и можно воспользоваться формулой суммы
геометрической прогрессии. Тогда для искомой суммы получим, что она
арп — 1
равна г— = 0, так как аРп — 1 = (ап)Р — 1 = 1 — 1=0.
а — 1
757. Представим уравнение в виде ( : I = — 1 (х ф i)..
Извлекая корни, найдем
х+ i 26+1 , . . 26 + 1
—1— = Cos те + I Sin ! те,
х— in n
где 6 = 0, 1, 2, ..., п—1. Отнимем от обеих частей равенства по
1 и после этого разделим уравнение на L Получим
2 .26+1 , . /, 26 + 1 \
. = sin те + i[ 1 — cos те =а
0 . 26 + 1 26+1 0 . . 2 26 + 1
= 2sin —s—■ те cos —J? тс + 21 sin2 —jr1 те =
п . 26 + 1 / 26+1 , . . 26 + 1
= 2sin ~ ■ тс COS я1 тс + * sin ^ те
2п \ 2п 2п
Отсюда
1
х — /
.26+1 / 26+1 , . . 26 + 1
Sin - те COS zr1 те + * sin zr1 те
2п \ 2п 2/2
26+1 . . 26+.1
cos—й -тс — i sin—- те ,
2п 2п ,26+1
= ctg—к-—гс —/.
.26+1 b 2n
sin—-J— те
2п
Итак,
,26+1 . . 26 + 1 •
6 = 0, 1, 2, ..., п—\.
334 •
758. Так как
1 4- i tg a _ cos a -f- / sin a
1 — iig x cos a — / sin a
то уравнение можно записать так:
l + xi Y
= cos2a -f /sin2x,
, . , = со 2a 4- i sin 2a
1 — xi J
или, извлекая корень степени п,
\+xi 2 (a + kit) , . . 2 (a + k ~)
— = COS — ! 4- I Sin —- ■ -.
1 — XI П П
Прибавляя к обеим частям последнего равенства по 1, получим
2 = , + coslfcbM + ,-sin 2<* + **> = 2cos* *-±^- +
\ —XI П П П
. ft. . а-\- k-x a 4- & тс _ a-f-h / a 4- & тс
+ 2f sin cos — = 2cos — cos
n n n
+ i sin
Отсюда
1 —XI
a 4- & тг / a 4- & тг .. a 4- & тг
cos cos h t sin —
/z \ n n
a 4- &rc . . a 4- krz
cos f sin
n i ,. a 4- kiz
= 1 — t tg —■
a 4- kit
cos
n
Итак,
i • i j i a + kit . ., a4- kiz
\—xi = 1 — /tg —■ , xi — i tg —■ ,
n n
x = tg 1±AjL; k = 0, 1, 2, ..., n - 1.
XL
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
759—774. Указание. Если какое-нибудь утверждение
справедливо для единицы и если каждый раз, когда оно справедливо
для какого-нибудь числа, оно справедливо и для следующего
числа, то оно справедливо для любого числа.
335
Сформулированное предложение называется принципом
математической индукции.
Метод доказательства, основанный на принципе математической
индукции, называется методом математической индукции.
Применение метода математической индукции сводится: 1) к
проверке высказанного утверждения для п = 1; 2) к
предположению, что утверждение верно для п = k; 3) к доказательству
теоремы, что из предположения справедливости утверждения для n=k
следует его справедливость и для п = k -f- 1.
Иногда пункт 1 рассматривают не с п --= 1, а с какого-нибудь
другого п —- т. Например, при доказательстве свойств
многогранников нам пришлось бы начинать с п = 4. Однако это не умаляет
общности сформулированного выше, так как всегда можно
положить п = v -f т — 1 и рассматривать процесс доказательства,
начиная С v = 1.
759. Для п = 1 формула справедлива, так как дает ах = av
Предположим, что формула верна для п — k, т. е.
ak = a1 + d(k — \).
Тогда
otk+i = ak + d = ах + d (k — 1) + d = at -f- dk.
Следовательно, формула
an = ax + d{n — \)
верна для всех п.
760. Формула ап — а^-1 для п = 1 верна. Пусть она верна
для n — k, т. е. ak = axqk~\ Тогда а*+1 = а$ = од**'
Следовательно, формула ап = а^"-1 верна для всех л.
761. Напомним, что размещениями из т элементов по п
называются такие соединения, из которых каждое содержит п элементов,
взятых из данных т элементов, и которые, если отличаются одно
от другого, то или элементами, или порядком элементов.
Пусть из элементов аъ а2, ..., ат составляются различные
размещения по одному. Очевидно, что таких размещений будет т.
Таким образом, формула
Апт = т(т—1) ...(т — п+1) (*)
верна при п = 1,
Предположим, что формула (*) верна при n — k. Докажем, что
тогда формула (*) будет верна и при п — k + 1, т. е.
4+1 = m(m — 1) ... (/72 — k).
Для доказательства возьмем какое-нибудь размещение из т
элементов по k, например а1( а2, ..., ak, и будем приписывать в
конце его каждый из оставшихся (т — к) элементов, т. е. будем
приписывать в конце взятого размещения поочередно и только
по одному разу элементы а^+и а^+г, •••, ат' Получим (т — k)
336
размещений из т элементов по (6 + 1). Поступая так же с
каждым из размещений из т элементов по 6, мы каждый раз будем
получать (т — 6) размещений из т элементов по (6 + 1). А так
как по предположению Акт = т (т — 1) ... (т — 6 + 1), то число
полученных описанным выше способом размещений из т
элементов по (6+1) будет равно
Ат(т — k) = m(m — 1) ... (т — 6).
Остается выяснить, будет ли последнее выражение равно А^х,
т. е. не будет ли среди полученных размещений одинаковых и все
ли различные размещения вошли в это число?
Допустим, что среди полученных размещений есть два
одинаковых. Назовем их Ах и А2. Так как одинаковые размещения
имеют одинаковые элементы на одинаковых местах, то пусть на
последнем месте Аг и А2 находится элемент av Удалим at из Ах и
\. Получим два одинаковых размещения Аг и А2 из т элементов
по 6. Но это невозможно, потому что мы к каждому размещению
из m элементов по 6 приписывали каждый из оставшихся (т. е.
не вошедших в данное размещение) элементов только один раз.
Допустим, что некоторое размещение А из т элементов по
(6+1) нашим способом не получено. Пусть на последнем месте
этого размещения находится элемент а/( который не совпадает ни
с каким другим элементом этого размещения, так как в
размещение не входит один и тот же элемент больше одного раза.
Удалим а{ из А. Получим размещение А из т элементов по 6. Значит,
чтобы получить размещение А, достаточно было в конце
размещения ~А приписать элемент ah не вошедший в А. Но мы брали
всевозможные размещения из т элементов по 6. Следовательно,
брали и размещение А. Мы приписывали в конце каждого такого
размещения каждый из не вошедших в него элементов.
Следовательно, мы приписывали в конце размещения А элемент a[f и поэтому
размещение А не может отсутствовать среди полученных.
Итак,, доказано А^"1 = т(т— 1) ... (т — k), если имеет место
формула Акт = т(т—1) ... (т — 6+1). Кроме того, ранее было
доказано, что формула (*) верна при п—\. Следовательно,
формула (*) верна при всяком п.
762. Перестановками из т элементов называются такие
соединения, каждое из которых содержит т этих элементов и
отличается от другого порядком элементов.
Очевидно, из одного элемента можно составить только одну
перестановку, т. е. Рх — 1, так что формула Рп = п\ справедлива
при п = \.
Предположим теперь, что формула
Рп = П\ (*)
837
верна при п = k. Докажем, что она верна и при п = k -f- l,
т. е.
P*+i = (A+l)l
Для доказательства возьмем из данных (&+ 1) элементов аъ а2,
..., ak, ctk+i какие-нибудь k элементов и составим из них
перестановку. В этой перестановке поставим оставшийся (k -j- 1)-й элемент
один и только один раз перед первым элементом перестановки,
затем перед вторым и т. д., перед k-ш элементом и после &-го.
Таким образом, с помощью взятой перестановки из k элементов
получим (k -f 1) перестановку из (k -j- 1) элемента. Поступая так же
с каждой перестановкой из k элементов, взятых из данных (k + 1)
элементов, мы каждый раз будем получать (k -(- 1) перестановку
из (£+1) элементов. А так как по предположению Pk = k\, то
число полученных описанным выше способом перестановок из
(k + 1) элементов будет равно k\ (k -f- 1) = (k -f 1)! Остается
выяснить, будет ли полученное выражение равно Pk+u т. е. не
будет ли среди полученных перестановок одинаковых и все ли
различные перестановки вошли в это число.
Допустим, что среди полученных перестановок есть две
одинаковые. Назовем их рг и р2. Так как одинаковые перестановки
имеют одинаковые элементы на одинаковых местах, то некоторый
элемент аг занимает одно и то же место как в ръ так и в р2.
Пусть, например, это будет последнее место, т. е. (k -j- l)-e место.
Удалим at из рх и р2. Получим две одинаковые перестановки рх
и р2 по k элементов в каждой. Но это невозможно, потому что
мы в каждой перестановке из k элементов ставили оставшийся
(k -f 1)-й элемент на последнее место один и только один раз.
Допустим, что некоторая перестановка р из (k -\- 1) элементов
нашим способом не получена. Пусть, например, в ней элемент а1
стоит на последнем месте.Удалим at из р. Получим перестановку
р из k элементов. Значит, чтобы получить перестановку р, нужно
было взять перестановку р и в конце поставить элемент av Но
мы брали всевозможные перестановки из k данных элементов, в
том числе и перестановку р, не содержащую элемент at. Мы
приписывали в конце каждой такой перестановки оставшийся (k -f- 1)-й
элемент. Следовательно, мы приписывали в конце перестановки р
элемент аг и поэтому перестановка р не может отсутствовать
среди полученных.
Итак, доказано Pk+i = (k + 1)!, если имеет' место формула
Ph =* k\ Кроме того, выше было доказано, что формула (*) верна
при п~\. Следовательно, формула (*) верна при всяком п.
763. Сочетаниями из т элементов по п называются такие
соединения, каждое из которых содержит п элементов, взятых из
данных т элементов, и отличается от другого хотя бь! одним
элементом.
зза
Пусть из элементов аь а2, ..., ат составляются различные
сочетания по одному. Очевидно, что таких сочетаний будет т.
Таким образом, формула
гп __ т(т — \) ... (т — п -f 1)
Lm~ Ь2...п
(*)
верна для п = 1. -
Предположим, что формула (*) верна для п = k. Докажем, что
тогда формула (*) будет верна и для п = k -f 1, т. е.
rk+i_ m(m — \)...(m — k)
1-2... (£+1)
Для доказательства возьмем какое-нибудь сочетание из т
элементов по k, например аъ а2, ..., ak, и будем приписывать к нему
в качестве (k -j- 1)-го элемента каждый из оставшихся (га— k)
элементов один и только один раз. Получим (т — k) сочетаний из
т элементов по (k -f l).
Поступая так же с каждым из сочетаний из т элементов по
k, мы каждый раз будем получать (т — k) сочетаний из т
элементов по (k -\- 1). А так как по предположению
k _ m(m — \) ...(m — k+\)
1-2... k
то число полученных описанным выше способом сочетаний из т
элементов по (k -f- 1) будет равно
га (га— 1) ... (га — k -f l)
1 -2
(т — k).
Нетрудно видеть, что среди подсчитанных сочетаний есть
одинаковые. Чтобы это установить, возьмем какое-нибудь сочетание с
из т элементов по (k -j- 1), например аъ а2, а3, ..., a^+i» и УДа*
лим из него элемент av Тогда получим сочетание сх из га
элементов по k, состоящее из элементов а2, а3, ..., ай+ь среди
которых нет av Затем из с удалим элемент а2 Тогда получим
сочетание съ состоящее из элементов alt а3, ..., uk+u среди
которых нет а2. Продолжая удалять из с последовательно элементы по
одному, мы, наконец, удалим из с элемент cik+i и получим
сочетание Ck+\ из т элементов по k, состоящее из элементов аъ а2,
... , ak, среди которых нет элемента а^+ь Так к^к мы к каждому
сочетанию из га элементов по k присоединяли каждый из
оставшихся (т — k) элементов, то мы присоединяли к сочетанию ct
элемент аь к сочетанию сг элемент а2 и т. д., наконец, к
сочетанию Ck+i элемент ak+u получая каждый раз одно и то же
сочетание с из га элементов по (k + 1). Отсюда следует,, что каждое
сочетание из га элементов по (k -j- 1) нами подсчитано (6+ 1) раз
и, следовательно, общее число их, полученное ранее, нужно
разделить на (k -J- !)• Это даст
839
m(m— 1) ... (m — k -f- 1) (m — k)
_ 1.2... k(k-\- 1) '
Очевидно, в полученном числе сочетаний больше не встретится
одинаковых, а также не будет ни одного пропущенного. Итак,
доказано, что
А+1 _ т(т~\) ... (m — k)
У*чп —
1-2... (£+1) '
если имеет место формула
rk _ т(т — 1) ... (т — k -f- l)
1-2.../fe
Кроме того, ранее было доказано, что формула (*) верна длял = 1.
Следовательно, формула (*) верна для всех п.
764. Так как
{ах -f a2f = a2i +al + 2аха2,
то доказываемая формула верна для п = 2. Допустим, что эта
формула верна для п ~ k, т. е.
(ах + а2 + ... + а*)2 = а? + д2 + ... + aj + 25,
где 5 — сумма всевозможных попарных произведений, составленных
из чисел alt a2, ..., ak, и докажем, что формула будет верна для
n = k+\.
(ах + а2 + ... + ak + aA+1)2 = [(ax + a2 -f ... -f- aft) -f- aA+1]2 =
= (ai + <*2 + ... + ahf -f 2 (ax -f- a2 + ... -f aft) aft+1 -b'af+i =
= e? + C2 + -. + a\ + 25 + 2 (atak+1 -f a2ak+l + ... +
'+ аАал+1) -f af+i = a? + a| + ... + Oa+i + 2Slt
где 5j — сумма всевозможных попарных произведений,
составленных из чисел аъ а2 ак+1. Тем самым формула для квадрата
многочлена доказана для всех п.
765. Обозначим левую часть равенства Sn. Пользуемся
методом математической индукции:
I2 __ 1 1(1 + 1) _ 1 • 2 J_
3"
^ Sl 1 -3 ~ 3' 2- (2- 1 + 1) 2-3
При п = 1 равенство верно.
2) Предположим, что Sk =
k(k+\)
2 ■ (2k + 1) *
3) Докажем что 5, ,- (*+1) К*+1)+И
3) Докажем, что 6ft+1 --^rfc .(k+ 1) + 1]
2 • (26 + 3) *
340
Действительно,
*+х * ~*~ (26 + 1) (26 + 3) 2 (26 + 1) (26 + 1) (26 + 3) ~~
_ (fe+ 1)1£(26 + 3)4-2(6 + 1)1 _ (6 + 1)(2624-56 + 2) _
~ 2- (26 + 1) (26 + 3) ~ 2(26 + 1) (26 + 3)" ~
= (*+1)(26+1)(6+2) (6+1)(6 + 2)
2(26 + 1) (26 + 3) 2 (2/fe+ 3) '
766. Обозначим левую часть формулы Sn. При /г = 1 формула
справедлива. Предполагая справедливость ее при п = 6—1,
докажем справедливость формулы при n — k.
Sk = 5ft_i + k* = -~ (6 — 1) * (2/? —1) (362 — 36 — 1) + 64 =
= Ж ]{k ~ 1} (2^ ~ X) [W - 36 - 1) + 30*»] =
= -^-[(k—\)(2k—\) (362 + 3* — 1) — 66 (6 — 1) (2k — 1) +
k
+ 3063] = —- \(k — 1) (26 - 1) (362 + 36 — 1) +
-f- 66 (362 + 36 — 1)] = A- (362 + 36-1) 1(6 — 1) (26 — 1)4-
+ 66) = A- (362 + 36-1) (262 + 36 + 1) =
= i-fe(Hl)(2Hl) (362 4- 36 - 1).
767. Обозначим левую часть равенства Sn. При п = 1
равенство верно. Предположим, что оно верно при п = k — 1, и докажем
справедливость его при п = k. Получим
Sk = Sk_, + б3 = --L (6- 1)262[2(6- I)2 + 2(6-1)-
— 1 j + ^ = JL ^ цб — I)2 (2б2 — 26 — 1) + 1263] = .
= А- б2 ((6 — I)2 (262 + 26 — 1) — 46 (6 — I)2 4- 12631 =
= А 62[(6— 1)2(262 + 26 — 1) 4- 46(262 4- 26 — 1)] =
12
= А б2 (262 + 26 - 1) [(6 - I)2 + 461
341
_ &{k+ \y(2k* + 2k — 1)
12
Тем самым равенство доказано для любого п.
768. Обозначим левую часть равенства Sn. При п = 1 равенство
справедливо. Действительно,
0 . 1 . х sin л; 1 —cos л;
Si = tgx + -7Т- tg -н- = -—— -{-
2 2 cos л: 2sinA;
2sin2 х + cos x — c°s2 x _ cos x ~\- cos2 л: -f 2sin2 x — 2cos2 x
2sin x cos л: 2sin x cos л;
cos x (1 -f- cos x) — 2cos 2x cos x (1 -f cos л:) 2cos 2л;
2sin л; cos x 2sin x cos x sin 2%
1 -f- cos x I . x _ . 0
— 2ctg2*= — ctg — 2ctg 2л:.
2sin% ь 2 ь 2
Предположим, что равекстЕО справедливо при п = k—1, и
докажем, что при п = k оно тоже справедливо. На самом деле,
S* = S*-i + ^г tg -^ = -^гг ctg-^r -2ctg2x +
+ Y {% "fir = 4г ( 2ctg ~2^г + tg-|rJ-2ctg2*.
Но, положив -^- = а, получим для выражения в скобках
2ctg 2a + tg a = ctg 2a -f (ctg 2a -f- tg a) =
, Л cos 2a cos a 4-sin 2a sin a . n cos (2a — a)
= ctg 2a -\ ■ = ctg 2a -f v -
sin 2a cos a sin2a-cosa
__ cos 2a 1 __ 1 -f- cos 2a _ __ x
~~ ikT^ + sTrT2a ~ sin2a ~ g * ~ C g ~¥"
Итак,
S* = 4rct8-|r-2ctg2x-
Равенство доказано.
769. 1. При п = 1 неравенство справедливо, так как V 4 < 3.
2. Если неравенство справедливо при п = k, то оно справедливо
и при п = k + 1. Действительно, обозначив левую часть неравенства
через Sn, будем иметь
5,+1 = V'iTS* < "К4ТЗ = VI < 3.
770. 1. При п = 2 неравенство справедливо, так как
(1 -|- а)2 = 1 + 2а + а2 > 1 + 2а (а2 > 0).
342
2. Пусть неравенство справедливо при n — k. Покажем, что
тогда неравенство справедливо и при п — k -f- l. Действительно,
(1 + fl)*+i = (1 + fl)*(i + а) >(1 + ka){\ + а) > 1 + (Л + 1)а.
771. Здесь имеет смысл считать лишь п > 2. При я = 2
получим квадрат. Для него а4 = R Y % т- е- доказываемая формула
справедлива. Пусть формула справедлива для п ~ k. Докажем
справедливость ее для п = k -f- l, пользуясь формулой удвоения.
Получим
,*+! = 1/ Л™ „г, , / rv, _1
2R2~2R у R2 ^-а22* =
Л/ 2R*-2Ry ^-1^^2-1/2+^2 + ...+К 2") =
(/г — 2) двойки
= ]/ 2Я* -Я2 J/ 4- (2 - у2 + |/2 + ... +|/ 2
(6—2) двойки
= Ry'2-y2+yr2+...+ V~2.
(k—l). двойка
Формула доказана,
772. 1. При п — \ утверждение справедливо, так как прямая,
проведенная на плоскости, делит эту плоскость на две части.
2. Пусть утверждение справедливо при n — k, т. е. плоскость
разделена k прямыми на 2k частей. Тогда (k -f- 1)-я прямая,
проходящая через ту же точку, разделит надвое каждую из тех двух
частей плоскости, которые заключены между двумя ранее
проведенными прямыми, ближайшими к последней. Значит, плоскость
будет разделена на (2k -}- 2) части.
773. 1. При п = 1 утверждение справедливо. 2. Пусть при
п = k эта сумма Sk = (2k — I)2. Заметим, что первый член &-й
строки равен k, число членов строки равно (2k—1) и последний
член равен (3k — 2). Строка (k + 1 )-я получится из строки k-и,
если к каждому члену k-й строки прибавить по единице и затем
• приписать справа два следующих по порядку числа. Поэтому
получим
Sk+l = Sk + (2k — 1) + 3k + 3k H- 1 - (2k —\)2 + 8k=-- (2k + l)2.
Утверждение доказано.
774. Пусть в плоскости М проведена прямая АВ. Она разделит
плоскость М на полуплоскости ML и М2. Одну из этих полупло-
343
скостей можно закрасить красной краской, а другую—синей.
Таким образом, при п = 1 утверждение доказано.
Предположим, что при п — k утверждение также справедливо.
Это означает, что после . проведения k различных прямых на
плоскости М плоскость так разбилась на области, что смежные
области закрашены различными красками (красной и синей).
Проведем (k -f- 1)-ю прямую, которую назовем CD. Прямая CD разделит
плоскость М на полуплоскости Nt и N2. Перекрасим
полуплоскость N2 так, чтобы там, где до проведения CD было закрашено
синей краской, после проведения CD было бы закрашено красной
и, наоборот, где раньше было закрашено красной краской, теперь
было бы закрашено синей. В полуплоскости Nx сохраним прежнюю
окраску. Рассмотрим теперь две произвольные смежные области Рх
и Р2. Области Рх и Р2 могут лежать по разные стороны от CD, но
могут лежать и по одну сторону от CD. В пгрзом случае Рх и Р2
после проведения k прямых и до проведения прямой CD
составляли одну область и имели одинаковую окраску. После проведения
прямой CD та часть ее (Рх или Р2), которая оказалась в
полуплоскости Nx, сохранила свою окраску, а другая часть (Р2 или Рх),
оказавшаяся в N2, изменила свою окраску. Поэтому смежные
области Рх и Р2 в первом случае окрашены разными красками. Во
втором случае области Рх и Р2 после проведения k прямых и до
проведения прямой CD составляли две различные области, те же
или частично те же, что и после проведения CD. Если теперь они
находятся в полуплоскости Nx, где окраска сохранена прежняя, то
они закрашены разными красками, потому что раньше были
закрашены разными красками. Если теперь они находятся в
полуплоскости N2, где красная окраска заменена синей, а синяя — красной,
то они закрашены разными красками, потому что до проведения
CD они были закрашены разными, хотя и другими, красками.
Таким образом, утверждение справедливо и для п — k -f l.
Следовательно, оно справедливо при любом п.
XII.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ.
775 — 781. Указание. Областью определения функции
одного аргумента называется множество всех допустимых значений
этого аргумента. Для элементарной функции, определяемой
посредством математического выражения, допустимыми считаются все те
вещественные значения аргумента, при которых математические опе-
344
рации, входящие в данное выражение, имеют смысл, а численная
величина выражения является вещественным числом. При
нахождении области определения элементарных функций следует
помнить, что:
1) знаменатель дробного выражения не должен обращаться
в нуль;
2) выражения, находящиеся под знаком корня четной степени,
должны быть неотрицательными;
3) выражения, возводимые в иррациональную степень или в
степень, содержащую в показателе аргументы, должны быть
положительными, а при положительном показателе — неотрицательными;
4) выражения, находящиеся под знаком логарифма, должны
быть положительны;
5) выражения, находящиеся под знаком арксинуса или
арккосинуса, должны по абсолютной величине не превосходить единицу;
6) выражения, находящиеся под знаком тангенса или секанса,
не должны равняться ~ т:, где k = О, + 1, + 2, ... ;
7) выражения, находящиеся под знаком котангенса или
косеканса, не должны равняться &тг, где k = О, ±1, +2, ... ;
8) основание и показатель степенно-показательного выражения
и° не должны одновременно обращаться в нуль.
775. а) 2 — х2 > 0, х2 < 2, | х | < У % ~ У\< х < У 2.
Область есть замкнутый промежуток [— У 2, V 2].
б) х2 — 4>0, л'2 > 4, \х\ > 2. Область состоит из двух
промежутков: (—оо, —У 2], [У 2, -f оо).
х -4- 1
в) —~-я > 0; х < — 3 и х> — 1. Область состоит из двух
промежутков: (—оо, —3), [—1, -f-со].
г) Решив неравенство х (х -f 2) (х — 3) (я — 4) ;> О (см. решение
задачи 638), получим: Jt <; — 2, 0 < я <;3, х> 4. Следовательно,
область состоит из трех промежутков: (—оо, —2], [0, 3], [4, -f со).
д) jc>0, х—1 > 0. Отсюда х>\, а область [1, + со).
е) х—\>0 и х — 2\/х — 1>0. Но последнее неравенство
равносильно такому: (Ух— 1 — I)2 > 0, так что должно быть
х>\. Следовательно, область определения есть промежуток [1,
+ °°).
776. а) 2 — 2~х > 0, 2~х < 2, — х < 1, х > — 1. Область есть
промежуток [—1, + со).
б) х— 1 ф 0. Область состоит из двух промежутков: (—со, 1)
и (1, + со).
в) и г) Областью является множество всех положительных
чисел.
777. а) х2 — 1 >0, х2> 1, \х\ > 1; *< — 1 и *> 1. Областью
являются два промежутка: (—ос, —1) и (1, -j- со).
343
, б) x-f- 1 >0, х — 1 >0; х> 1. Область (1, -f- °°)-
в) а;2 — За: + 2 > 0, (х — 1) (* — 2) > 0; х < 1 и * > 2. Область
состоит из двух промежутков: (— оо, 1) и (2, + оо).
г) log3(x — 1) > 0. Отсюда х— 1 > 1, а х > 2. Областью
является промежуток [2, -f оо).
778. а) Все неотрицательные числа, т. е. промежуток [0, -f- оо).
б) Все вещественные числа, т. е. промежуток (— оо, -f- оо).
779. a) sin х ф 0; х ф &-, где k = 0, +1, +2, ... Таким
образом, область есть множество всех вещественных чисел, за
исключением чисел вида &тс. Иначе: область есть множество всех
промежутков вида (&тс, (&-f- 1) те), где k = 0, +1, +2, ...
kit 9k 4- 1
б) sin 4* > 0, 2&tc<4x<(2£-j- 1)тс, ^- < х < ^ тс. Об-
(kiz 2k + \ \
ласть состоит из множества всех промежутков вида I -^-, -—-т—тс I,
где k = 0, +1, ±2, ...
в) Множество всех вещественных чисел, исключая х ~ 0.
г) Должно быть tg2 х — (Y 3 -f- 1) tg jc + ]/ 3 > 0 или (tg a: —
— l)(tgx — Y 3) > 0. Решение последнего неравенства сводится
к решению следующих двух неравенств: tg х < 1 и tg х > ]/ 3. Из
них находим, что
7Г ТС 7U 7U
&тс jr < Х< &тс + -J- и &тс-}--^<л:<&тс-[- —-.
Итак, область состоит из множества всех интервалов вида
и вида
&ТС — —, &ТС + —
« 7Г , ТС I
^7Г4-—, &7Г + — ),
где k = 0, ±1, ± 2, ...
780. а) Должно быть loga sinx>0. Если а> 1, то это
равносильно требованию sin х > 1. Но sin л: не может быть больше еди-
ницы, а равен единице он будет при х = „ ^ Таким
образом, областью в этом случае будет множество всех чисел вида
- — ~-—тс, где k = 0, +1, ± 2, ... Если же 0 < а < 1, то это
равносильно требованию 0 < sin x < 1 или sin x > 0. В этом случае
областью будет множество всех промежутков вида (2/г тс, 2& тс -f- 2тс),
где k = 0, ±1, ± 2, ...
б) Должно быть lg tg x > 0. Так как здесь основание больше
единицы, to последнее неравенство равносильно такому: tg х > 1.
Отсюда /sic-f-—r-<jc<&rc-f-—. Следовательно, область состоит
346
781. а) Должно быть
из множества всех промежутков вида ( кк -f -j-, kn-^ — ), где
k^O, +1, ±2, ...
в) Так как | sin х -f- cos х | <; \2 < 1,5 (см. решение задачи 697),
то областью является множество всех вещественных чисел.
3 I
— < 1. Отсюда ! х I > 3 или х < — 3
х |
и л: > 3. Область состоит из промежутков (— со, —3] и [3, -f °°)-
2\х\
б) Должно быть ' ' 2 < 1. Но это неравенство
тождественное, так как 2 j x | < l'+*2, 1 + х2 — 2 | х | > 0, (1 — \х\)2>0.
Поэтому областью является множество всех вещественных чисел.
в) Должно быть —1 < arc sin x < 1. Область [—sin 1, sin l].
782. а) Период ш = -^—, так как
о
у == sin Зх = sin (За: + 2-) = sin 3 ( х -\- -=- тс).
*ч о л: + 8тг ( х , п \ х
б) о) — 8тс, так как cos = cos I — -f- 2ти I = cos —.
в) Период первого слагаемого равен -^-, а второго -~-.
Период суммы должен содержать целое число раз как -^-, так и
о
—. Такое наименьшее число есть тг, которое и является периодом.
г) Рассуждая так же, как в пункте «в», убедимся, что 12ти —
период функции.
д) Так как у = —- sin x -f -5- sin 2л:, то период функции равен 2тг.
4 , 8
2ти
783. а) Период функции равен -^— = 1.
б) Период sin V 2х есть —-!=-, а период cosVS* есть — - ._=—.
]/ 2 ]/ 3
Если бы функция sin V 2 х + cos |/ За: была периодической, то ее
период о) ф 0, как нетрудно видеть, должен бы при делении на
2ти 2~
—-^=г дать целое число и точно так же при делении на —7—.
V 2 ]/ 3
2k ъ 21 тк
Это значит, что должно быть w = —-=- и (1) = - ■,._ -, где k и /—
V 2 К 3 _
2/гтс 2/тг . |/"3 /
какие-то целые числа. Но тогда—тт— = —=- или - - = -г, что
У 2 V3 V 2 k
847
невозможно, так как в левой части равенства находится
иррациональное число, а в правой — рациональное. Таким образом,
рассматриваемая функция непериодическая.
784 — 812. Указание. При построении графика функции
нужно изучить свойства функции, исследовать функцию. Построение
графика функции «по точкам», без учета ее свойств и особенностей,
может привести к грубым ошибкам. -Для построения графика
нужно прежде всего найти область определения функции. Затем
полезно выяснить, не симметрична ли лн-
Шния относительно оси 0Y или начала
координат, найти, по возможности, ее
наибольшее и наименьшее значения,
выяснить значения функции на границах
области определения. После этого
можно взять несколько точек для уточне-
Jx ния линии, в частности точки пересече-
* ния линии с осями координат. Если
р функция периодическая, то при
построении можно ограничиться любым
промежутком а < х < Ь, взятым из области
определения функции, если b — а ~ to, где to — период функции.
Полезно также помнить, что если функция у — f (x) — четная,
т. е. f (— х) = f (x), то ее график есть линия, симметричная
относительно оси ординат; если функция у = f' (х) — нечетная, т. е. / (— х) =
— — f {x), то ее график есть линия, симметричная относительно
начала координат.
784. Область определения — множество всех вещественных
чисел. (Пиния симметрична относительно оси ординдт, так как
(— xf — 2 (— xf + 2 - х4 — 2х2 + 2.
Поэтому достаточно рассмотреть лишь х > 0. Выделяя полный
квадрат, получим у — (х% — I)2 + 1 • Если х = 1, то у = 1. Это —
наименьшее значение функции. Если х *-|-оо, тог/-> + со. Если
х = 0, то у — 2. Это точка пересечения линии с осью OY. С осью
ОХ она не пересекается, так как у = (х2— I)2 + 1 > 0. Взяв еще
дополнительно точки для * = —- и для х = 2, получим такую
таблицу для х > 0 (рис. 20):
X
У
0
2
0,5
-1,5
1
1
2
10
-> ~\- оо
-»• ~\- оо
785. Область определения — множество всех вещественных чисел.
Но с увеличением х на 2 и k увеличивается на 2, а поэтому значе-
848
л: I = — х для х < 0, то
График функции состоит
ние функции не меняется. Значит, функция периодическая с
периодом 2. Поэтому достаточно построить график функции в
промежутке .— 1 -^ х < 1, что соответствует k — 0. Для этого случая у ~ х2
(рис. 21).
786. Так как | х | = х для х > 0 и
у — х для Jt>0 и у = — х для х < 0
из двух полупрямых, являющихся
биссектрисами первого и второго
координатных углов (рис. 22).
787. Так как | х + 2 | = х + 2,
если л: > — 2, и j л: + 2 | —
= — {л + 2), если х < — 2, то
функцию можно записать так: i/ = \ /Ч
А,/
0 +1
Рис. 21
л: -f- 2 для х >—2 и у
для л: < — 2. Функциям же у —
= x-f 2 и I/ = —jc—2
соответствуют прямые линии, из которых
первая проходит через точки (— 2, 0) и (0, 2), а вторая — через
точки (— 2, 0) и (0, — 2). Поэтому искомый график состоит из
двух полупрямых, определяемых написанными выше уравнениями.
Эти полупрямые выходят из точки (— 2, 0) и расположены от оси
абсцисс со стороны положительных ординат (рис. 23).
— X
Рис. 23
788. а) Если *<1, то | л: — 1 | = 1 — *, \х — 2 [ = 2 — х, у =
= — 2х + 3. Этому уравнению соответствует прямая, проходящая
через точки (0, 3) и (1, 1), а при условии х < 1 ему
соответствует полупрямая, выходящая из точки (1, 1) и расположенная от оси
абсцисс со стороны положительных ординат.
б) Если 1<л:<2, то \х — 1 | = * — 1, \х — 2| = 2 — х, у = 1.
Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси абсцисс
и проходящая через точку (1, 1), а при условии 1 < х < 2 ему
соответствует отрезок этой прямой, заключенный между точками
(1, 1) и (2, 1).
в) Если л;>2, то|л: — 11 = * — 1, \х — 2\ = х — 2, у =--2х — 3.
Этому уравнению соответствует прямая, проходящая через точки
849
(2, 1) и (0, —3), а при условии к > 2 ему соответствует
полупрямая, выходящая из точки (2, 1) и расположенная от оси абсцисс
со стороны положительных ординат. График функции изображен
на рис. 24.
~Х
Рис. 24
Рис. 25
789. у — — л: I л: I
— х2, если х > 0;
х2, если х < 0.
График функции состоит из части параболы у — х2,
соответствующей х < 0, и части параболы у = — х2, соответствующей х > 0
(рис. 25).
790. Если л:2 > 1, т. е. | х | > 1, то у = \ х2 — 1 [ = х2 — 1.
Уравнению^ I/ = х2 — 1 соответствует парабола, проходящая через
точки (—1,*Т)), (0, —1), (1, 0), а при условии \х\> 1 ему
соответствуют ветви этой параболы,
выходящие из точек (— 1, 0) и
(1, 0). Если *2< 1, т. е. |*|<1,
то у — | х2 — 1 | = 1 — х2.
Уравнению у = — х2 -|- 1
соответствует парабола, проходящая
через точки (—1, 0), (0, 1),
(1,0), а при условии |*j<l
ему соответствует отрезок дуги
этой параболы, ограниченный
точками (— 1,0) и (1,0). График
функции изображен на рис. 26.
791. График функции
получится из графика параболы
у = х* — Зх + 2,
Рис. 28
— v2
если часть ее, находящуюся под осью абсцисс (где у < 0),
заменить симметричной ей линией относительно оси абсцисс (рис. 27).
792. Область определения (—оо, + °°)- Кривая симметрична
относительно оси ординат и вся расположена над осью абсцисс.
350
При х — 0 функция принимает наибольшее значение у = 1. При
х> 1 функция убывает *, и если х-+ + оо,
793. Область определения (—со, + со).
относительно начала координат. Так как
у =
то у -> 0 (рис. 28).
Кривая симметрична
1
1+*2 1 -М2 — 2* + 2* (х— 1)2 + 2* (* — I)2
то отсюда видно, что при х = 1
функция имеет наибольшее зна-
1
чение У = ~2'
+ 2
При *==0 и у= 0. Если 0<л:<1,
то функция возрастает; если х > 1,
то функция убывает. Когда х ->
1
4-оо,тог/=
• + ^
■0 (рис. 29).
Рис. 27
794. Функция (/ = log2(—а:) определена для х < 0. Ее
значение при л; = —а (а > 0) совпадает со значением функции у = \og%x
при л: = а. Следовательно, графики функций у = Iog2 (— х) и у =
= log2* симметричны относительно оси ординат. Но график функ-
Рис. 28
Рис. 29
ции y — log^x общеизвестен, прэтому график данной функции
будет иметь вид, изображенный на рис. 30.
795. Область определения — множество всех вещественных
чисел, за исключением нуля. Кривая симметрична относительно оси
ординат, так как log21 — х' = log21 х |. Но при х > 0 у = log21 x | =4
= log2 х, и отсюда ясно, что график данной функции будет состоять
* Функция f (х) называется убывающей (возрастающей) в некоторой области,
если она определена в этой области и если для любой пары xt и х2
принадлежащих ей значений из хх < хг следует / (х{) > / (х2) [/ (*i) < / {х^}].
351
из графика функции у = loga х и симметричной ему линии
относительно оси ординат (рис. 31).
736. График данной функции будет в промежутке [1, 4- оо)
совпадать с графиком функции у = loga х, а в промежутке (0, 1 ]
являться зеркальным отображением функции у = log2 x в беи
абсцисс (рис. 32).
'797. Область определения функции есть промежуток (—оо, -f оо),
но для построения достаточно рассмотреть промежуток [0, тс],
потому ЧТо у = 2sin 2х имеет период ш = тс. При х = -j- функция имеет
Рис. 30 Рис. 31
наибольшее значение у = 2, а при х = — тс —- наименьшее
значение у = — 2. Если t/ =0, то *! = 0, *2 = -£-, *3 = тс. В проме-
Рис. 33
жутке 0 < х < -^- функция возрастает, в промежутке -^- < х <
< Jl тс __ убывает,* в промежутке -у тс < х < тс — снова возрастает
(рис. 33).
798. Функция имеет период и> = 4тс, поэтому достаточно ее
исследовать в промежутке [0, 4тс]. Это исследование проводится
аналогично исследованию, проведенному в задаче 797. График
функции изображен на рис. 34.
352
799. Период функции о> = -~-. Функция приводится к виду
сходно с исследо-
r/=l/2sin(— +4*
тс
Тб~'
16
Ji/
"7^
ff
й5г- X
Рис. 34
Исследование ее в промежутке
ванием функции в задаче 797.
График функции см. на рис. 35.
800. График симметричен
относительно оси ординат. При
х > 0 график данной функции
и график функции у = sin x
совпадают (рис. 36).
801. Для всех х, для
которых sin х > 0, график данной
функции и график функции у —
= sin х совпадают. Для всех х>
для которых sin x < 0, график данной функции и график
функции у — sin х симметричны относительно оси абсцисс (рис. 37).
802. График получится
суммированием ординат
графиков функций у = х и(/ =
= sin х, соответствующих
одному и тому же значению
абсциссы. Кривая
симметрична относительно начала
координат, так как
(— х) -f sin (— х) =
= — (х + sin x).
График функции дан на
рис. 38.
803. Область определения
(— ос, -f со). Но данная
функция периодическая с периодом 2-я. Поэтому достаточно построить гра
тс 3
Рис. 35
фик ее в промежутке
2' 2
_ тс тс
Если =- < х < -jp
то
-X
Рис. 36
12 Шахно К. У.
353
у = arc sin (sin x) ■= x, а если -^ < x < — тс, то t/ = arc sin (sin дг) «
— к — x (см. задачу 544). Отсюда видим, что график данной функ-
Рис. 37
ции в промежутке
["Г
состоит из двух отрезков
прямых (рис. 39).
804. Область определения функции — множество всех
вещественных чисел, но так как она имеет период и> = 2те, то будем ее
исследовать в промежутке [0, 2 те]. Если
0 < х <.гс, то у = arc cos (cos #) = х; если же те <; # < 2те, то
t/ = arc cos (cos x) = arc cos [cos (2те — x)} = 2те — x,
так как 0 < 2те — x <; те. Отсюда видим, что график данной
функции в промежутке [0, 2те] состоит из двух отрезков прямых (рис. 40).
Рис. 38
О JP
Рис. 39
805. Равенство у — Arc cos (cos x) равносильно равенству cosy —
= cosx. Но тогда получим у — 2k к ± х, где& = 0, ± 1, ± 2, ...
Отсюда видим, что у — Arc cos (cos x) — функция бесконечнознач-
ная. График функции состоит из двух семейств параллельных
прямых. Одни из них образуют с осью абсцисс углы 45°, а
другие 135°. Расстояние между прямыми каждого семейства равно
те|Л2 (рис. 41).
806. Область определения — множество всех вещественных
чисел, за исключением чисел вида
2k-\-\
те где k — любое целое
«54
число. Так как данная функция периодическая с периодом о> = тс,
то достаточно исследовать функцию в промежутке! ^-, ~\,
Если —-^ <х< —, то
у = arc tg (tg x) = x.
Поэтому график данной функции
в рассматриваемом интервале
состоит из отрезка прямой,
ограниченного точками (— 1, — 1) и (1, 1)
(рис. 42).
807. Область определения
функции есть множество всех
вещественных чисел. Преобразуем выражение, определяющее функцию.
Пусть k < х < k + 1, где k —целое число. При х =* k и у = k.
Пусть теперь х = k + а, где
\,У _. 0<а<1. Получим
—X
Рис. 40
Рис. 41
Рис. 42
2 (k + а) — 1 1 .
у = _!_______. arc tg
tg2»^-1,
. 2а —1 1 , , 2а — 1 \ , , 2а —1
* + ~Х> -^arctg^tg-^— «J — Л Н a—
1 2а—1 , . 2а— 1 2а — 1
-Т--2-"=Л + —2 2— = *'
тс 2а — 1 тс
так как ^- < ~—- тс < -— и, следовательно,
2а—1
arc tg I tg —g— тс
2а—1
тс (см. задачу 545).
12»
355
Итак, если k <x< k-\- \, то у = k. Очевидно, для k -f 1 < х <
< k -f 2 функция t/ = & -f 1. Отсюда видим, что график данной
функции в промежутке k < х < & + 1 представляет собой отрезок
прямой, параллельной оси абсцисс и отсекающей на оси ординат
направленный отрезок, равный k.
Правые концы этих отрезков" не принад-
— лежат графику (рис. 43).
808. Область определения функции
определится из системы неравенств:
^ у 1 — х > 0, х >0. Это даст 0 < х < 1.
Следовательно, областью является
промежуток [0, 1]. Преобразуем данное
выражение. Возьмем синус от обеих
частей данного равенства. Получим
Рис. 43 sin у = sin (arc sin ]/! — х +
0
1
= sin (arc sin y\
-f- cos (arc sin J/T
-f- arc sin У x) =
jc) cos (arc sin У x) -J-
дс) sin (arc sin j/ x) =
~%
У х>0 и У\ — x>0, то 0<arcsin ^1 — х < -^-,
, # 0 < arc sin У x < —
и 0 < у < л. Поэтому из равенства
sin у = 1 следует t/ = -jr-. Этот же
результат можно было бы получить
и на основании задачи 560. Таким
образом, графиком данной функции
является отрезок прямой, ограниченный
точками I 0, -=- 1 и ( 1, — ) (рис. 44).
809. Область определения — множество всех вещественных чисел,
за исключением нуля. Преобразуем выражение, находящееся в
правой части равенства, пользуясь формулами задач 568, 539 и 569.
Если х > 0, то
Рис. 44
у = arc tg x — arc ctg — = -^ arc tg arc ctg—
* ( I 1 , * 1 \ TC тс л
- =T- arctgT + arcctgT =T-T = 0.
356
Если х < О, то
у = arc tg x — arc ctg
тс , 1 ,
»— arc tg arc ctg
= ^ I arc tj
1 , ♦ l
r arc ctg —
X X
Итак, графиком данной функции
будет для х > О положительная
полуось ОХ, а для х < 0 полупрямая,
параллельная оси ОХ, и отсекающая
на оси OY отрезок величиною — тс,
считая от начала координат (рис. 45).
810. Область определения —
множество всех вещественных чисел, за
исключением — 1. Преобразуем
данное равенство. Возьмем тангенс от
обеих частей равенства. Получим
У
—х
-л
Рис. 45
tg У = tg I arc tg x -f arc tg y-—
tg (arc tg x) -f tg arc tg
1
1 -\-x
x +
1 -f X X*+l
1 — X
1 — tg (arc tg x) tg I arc tg y-—
Следовательно, у = k тс -f- —j-. При
тс
этом, так как — < arc tg x <
^тс тг 1 — л: тс
<Т- -T<arc,gTT^<T
и — тс < arc tg x -f arc tg -^—-— <
1-х
1
1 -f*8
= 1.
1 -f-JC
10
■**
Рис. 46
1 +JC
< тс, & может равняться только
О или — 1. Итак, получаем, что
у——г или у = -г-тс. Если 1-f * < О, то,'очевидно, —
<
* < arc tg x < 0; — -|- < arc tg у—^ < 0 и
тс < # < 0. Ясно, что в
этом случае у = j- тс. Если 1 -f x > 0, то, как легко выяснить,
1 — х
arc tg л: и arc tg ^—-— будут в интервале 0 < а; < 1 положительны
и, следовательно, их сумма может быть только положительным
числом, а в интервалах — 1 < л: < 0 и 1 < х < -f оо они разных знаков,
357
и поэтому их сумма будет находиться между
и + -к-- Отсю-
тс 3
что у = —, если л: >— 1, и у = -тс.
да заключаем,
лельных оси ОХ, из которых одна выходит из точки I — 1,
если
4 ' —" " ^ -» " у — ^
1. График функции состоит из двух полупрямых, парал-
тс
т
идет в сторону положительных абсцисс, а вторая выходит из точ-
и идет в сторону отрицательных абсцисс.
ки
-1.-Т*
Сами
точки
1,
д- I и I — 1, ~ тс I графику не принадлежат (рис. 46).
811. Область определения — множество всех вещественных чи-
1— хг
сел, так как
t 2 < 1 при всех х. График функции симметри-
1 -f~ X
чен относительно оси 0Y. Поэтому рассматриваем только х > 0.
Из данного равенства получаем
cost/
1
1 + х2'
Эта формула напоминает формулу, выражающую косинус угла
через тангенс половинного угла. Естественно поэтому вычислить
tg ~. Находим, что
У
U
-V-
1 — cos у
= Ух*
X.
2 у 1 + cos у
причем перед радикалом взят знак плюс, потому что 0 <! у < тс,
X
и, следовательно, tg-^->0. Из равенства tg-£-
получаем
arc tg x или
0 < г < тс.
ражающую
ственно поэтому
Равенство cos z
косинус угла через
у — 2arc tg х. Значит, график
данной функции для х > 0
получится из известного графика
функции у = arc tg x удвоением
ординат последнего (рис. 47).
812. Область определения
функции — промежуток [— 1, 11.
Положим arc cos (2л:2 — 1) ~'z.
Получим cosz = 2a:2 — 1, причем
2а;2 — 1 напоминает формулу, вы-
косинус половинного угла. Есте-
вычислить
cos -^-. Находим
358
COS
T ~" + 1/ 2~-=V 2 er*H*b
Следовательно,
z = 2arc cos л:, если x > 0, и г = 2arc cos (— x),
если *<0. Таким образом, если
x > 0, то i/ = 2arc cos x -f 2arc sin * = it; если x < 0, то
# = 2arc cos (— x) + 2arc sin x = 2
-^ arc sin (— x)
-f 2arc sin x ■■
Рис. 48
= тс -j- 2arc sin x -f- 2arc sin x = it -}- 4arc sin я.
График функции для х > 0 есть
полупрямая, параллельная оси
абсцисс, которая выходит из точки
(0, тс) и идет в сторону
положительных абсцисс. График
функции для х < 0 получится из
графика функции у — arc sin x, если
его ординаты увеличить в четыре
раза и затем так полученную
кривую поднять на величину тг, т. е.
все ординаты увеличить на тс
(рис. 48).
813. Если /(*)>0 для всей
области определения, то график
функции у = | / (х) | везде совпадает с графиком функции у — f (x).
Если же в некоторых интервалах /(*)<(), то график функции
y — \f(x)\ в этих интервалах симметричен с графиком функции
у = f[x) относительно оси абсцисс, а в прочих частях совпадает
с ним (см., например, задачи 786, 787, 790, 791, 796, 801).
814. График функции y — f(\x\) симметричен относительно оси
ординат, причем для х > 0 он совпадает с графиком функции y—f(x)
(см., например, задачи 786, 795, 800).
Если функция у = f (x) определена
только для х < 0 (например, f (x) —
=У —л:), то выражение /(| х\) не имеет
смысла.
815. Уравнение ху = 0 распадается
на два уравнения: х == 0 и у == 0.
Первому соответствует ось ординат, потому
что только точки, расположенные на оси
ординат, имеют абсциссы, равные нулю.
Точно так же убедимся, что второму Рис* 49
уравнению соответствует ось абсцисс. Поэтому уравнению ху = 0
на плоскости соответствуют все точки, расположенные на осях
координат.
(Ю}
W
— X
гт
816. Если х>2, то |* — 2\ = х — 2=1. Отсюда х = 3. Если
х < 2, то |# — 2j = 2 — л: *= 1. Отсюда х = 1. Уравнению х = 3 на
плоскости соответствует прямая, параллельная оси ординат и
проходящая через точку (3, 0). Уравнению х = 1 на плоскости
соответствует прямая, параллельная оси ординат и проходящая через
точку (1, 0). Следовательно, уравнению \х — 2| = 1 на плоскости
соответствуют все точки, расположенные на прямых х = 3 и х = 1
(рис. 49).
817. Уравнение х2 = у% распадается на два независимых
уравнения: у — х и у = — х. Первому соответствует биссектриса первого
и третьего координатных углов, а второму — биссектриса второго
и четвертого. Поэтому уравнению х2 — у1 на плоскости
соответствуют все точки, расположенные на биссектрисах четырех
координатных углов (рис. 50).
818. а). Если х > 0, 2у — 1 > 0, то 2у + 1 > 0 |*| *= *.
|2# — 1| = 2у— 1, |2у + 1| = 2</ + 1 и уравнение принимает вид
4 1
2« — 1 + 2w + 1 Н—т= х = 4 или w = —- х + 1.
У у|/3 ]/3 -
4
4
ч^
г'''
J
а
0
в
- *
*■ Д
Рис. 50
Рис. 51
Этому уравнению соответствует прямая, проходящая через точку-
А (0, 1) и наклоненная к оси абсцисс под углом 150° (рис. 51). Но
так как х>0 и у> -^-, то точки расположатся на отрезке этой
i/3~ 1
прямой, ограниченной точками А (0, 1) и В'
2 ' 2
б) Если х > 0, 2t/ + 1 < 0, то 2t/ — 1 < б, \х\ = х, \2у—\
1 — 2t/, | 2г/ + 11 = — 1 — 2у и уравнение примет вид
\-2у-\-2у +
КЗ
4 или у = —-= — 1.
У 3
Этому уравнению соответствует прямая, проходящая через точку
D (0, — 1) и наклоненная к оси абсцисс под углом 30°. Но так как
360
x > О и у <
1
, то точки расположатся на отрезке этой прямой.
ограниченной точками D(0,
в) Если х > О, 2у—\ <
j/~3 __J_
2 ' 2
О, 2t/+ 1 >0, то 1*1 =
1) и С
1 — 2у, j 2г/ 4- 11 = 2г/ + 1 и уравнение примет вид
*, |2у-1|«
l-2t/ + 2i/+l+wy л:
Этому уравнению соответствует прямая, параллельная оси ординат
и отстоящая от нее на расстояние 9 , считая от начала
координат в сторону положительных абсцисс. Но так как ?>"<#<-п-.
то точки лежат на отрезке этой прямой, ограниченной точками
в
V
2 * 2 / V 2 '
Итак, при х > 0 точки, координаты
данному уравнению, заполняют
контур ABCD. Так как подстановка в
это уравнение —х вместо х не
меняет вида уравнения, то отсюда
можно сделать вывод, что и слева от оси
координат есть точки,-координаты
которых удовлетворяют данному
уравнению, и что они заполняют контур
ABXCXD, симметричный с ABCD
относительно оси ординат., В целом
получится контур правильного
шестиугольника (рис. 51).
819. Так как уравнению х — -х-
соответствует прямая, параллельная
оси ординат и проходящая через точку
которых удовлетворяют
1У
~*
Рис. 52
то
точки, координаты которых удовлетворяют неравенству л: > — ,
заполнят полуплоскость, расположенную правее этой прямой, исключая
граничные точки, т. е. точки самой прямой (рис. 52).
820. Так как в этом случае выполняется соотношение —3<я<3,
то точки, удовлетворяющие своими координатами данному
неравенству, расположены в полосе, ограниченной прямыми х = 3 и х =
= — 3, но исключая точки самих прямых. Эти прямые параллельны
оси ординат и отстоят от нее на расстояния, равные 3 (рис. 53).
361
821. Точки расположены выше прямой, уравнение которой
х + у + 1 = 0 (рис. 54).
822. Выше прямой у — х — 3 = 0 и одновременно ниже прямой
у — 2х + 1 = 0 (рис. 55).
ш
ш
/у///
\У
ш
W,
тл
Рис, 53
Рис. 54
823. Выше прямых 2а: + f/ — 2 = 0 (I) и л: — у = 0 (II) и ниже
1фямой 2у — х — 2 = 0 (III) одновременно (рис. 56).
824. Данное неравенство равносильно следующим: — l<x-ft/<l
(см. задачу 660). Следовательно,
точки находятся в полосе
между прямыми х-\-у — 1=0 и
х -{- у -\- I =0 и на ее границах
(рис. 57).
— X
-* Щ /0
Рис. 55
Ряс. 56
825. Если х > 0, у > 0, то получим 0 <>-f-i/< 1. В этом
случае точки находятся в прямоугольном треугольнике, отсеченном
от первого квадранта прямой х + у = 1 (рис. 58) и на его контуре.
Случаи х < 0, у < 0; х>0, у < 0; *<0, |/ > 0 дадут соответст-
962
венно: — 1<* + #<0, 0<х — t/<l, — l<*_t/<o. Очевидно,
точки, соответствующие всем этим четырем случаям, расположатся
внутри квадрата, образованного прямыми х + у = \, х + # = — 1,
х — у = — 1, х — у = 1 и на его контуре.
- X
- ЛГ
Рис. 57
Рис. 58
826. Данное неравенство равносильно следующим: —1 < |лс+1| —
— \у— 1 | < 1 (см. задачу 660).
а) Если х+ 1 >0; у— 1 > 0, то — 1 < л: — г/ + 2 < 1.
Следовательно, в этом случае точки расположены выше прямой у = 1 (/),
выше прямой х — у + 1 = 0 (//), ниже прямой х — у + 3 = 0 (///) и
правее прямой х = — 1 (/К). На рис. 59 эта область отмечена
горизонтальной штриховкой.
б) Если х-\-\>0, у— 1 < 0, то — 1 < л: + г/ < 1.
Следовательно, соответствующие точки расположены ниже прямой у = 1 (/),
ниже прямой х -\-у—\ =0 (V), выше прямой д; + У + 1
и правее х = — 1 (IV), На
рис. 59 эта область отмечена
вертикальной штриховкой.
в) Случай х + 1 < 0>
у — 1 > 0 приведет к
неравенствам — I < х + 1/ < 1 >
а случай л: -f 1 < 0, у — 1 <
< 0 — к неравенствам — 1 <
< х — у + 2 < 1. Очевидно,
соответствующие этим двум
случаям точки расположатся
в области, симметричной
заштрихованной горизонтально
и вертикально относительно
прямой х = — 1 (косая
штриховка). рис. 59
0 (VI)
363
Рис. 60
827. Данное неравенство равносильно такому: \у\ < | х\, которое
приводится к следующим: — | * | < */ < | * (• Если х > 0, то— #<*/<*
и соответствующие точки расположены под прямой у — х и над
прямой у — — х. Если х < О, то л: < */ < — х и соответствующие
точки расположены под прямой у = — х и над прямой у = х.
Следовательно, точки, координаты
которых удовлетворяют данному
неравенству, расположены в
правом и левом углах,
образованных прямыми у = х и у =
«= —х (рис. 60).
828. В сегменте, отсекаемом
прямой у = х от параболы,
у = х2 (рис. 61).
829—834. Указание.
Вещественные корни уравнения
f(x) — 0 можно толковать
геометрически как абсциссы
точек пересечения графика
функции у = / (х) с осью абсцисс. Таким образом, число таких точек
даст число вещественных корней уравнения f(x) = 0.
Вещественные корни уравнения fi (x) = /2 (х) можно толковать
геометрически как абсциссы точек пересечения графиков функций у = fx (x)
и у — f2(x). Таким образом, число последних даст число
вещественных корней уравнения /х (х) — /2 (х).
Если начерчен график функции y = f(x), то, измерив в
выбранном для построения функции
масштабе отрезки,
соответствующие абсциссам точек
пересечения графика функции у — f(x)-
с осью абсцисс, можно
приближенно определить корни
уравнения f (х) = 0. Аналогичным
способом можно приближенно
определить корни уравнения
/i (x) = /а (х). В этом состоит
графический способ решения
уравнений. Степень точности
графического решения
уравнения1 существенно зависит от
выбранного масштаба построения
графика. Если вблизи точек пересечения графиков выполнить
построение в достаточно большом масштабе, то можно получить
корни уравнения с высокой степенью точности.
829. Строим графики функций у = sin x и у = х. Они имеют
одну точку пересечения (рис. 62). Следовательно, уравнение имеет
только один корень х — 0.
-*
Рис. 61
364
830. Строим графики функций у — 2х и у — х + 2. Из рис. 63
видно, что графики пересекаются в двух точках. Следовательно,
уравнение имеет два • корня. Один корень х = 2. Другой корень,
как видно из рисунка, заключен в интервале (—2, — 1).
Последнее легко проверить вычислением. Действительно, подставив в
f(x)~2x— х—2 сперва х = —2, а затем" х = — 1, получим
/(—2) > 0 и /(—1)< 0. Следовательно, в интервале (—2,-1)
функция обращается в нуль.
Рис. 62
831. Строим график функции у — 2х? — 6л:2 + 1. Из рис. 64
видим, что график пересекается с осью абсцисс в трех точках.
Следовательно, уравнение имеет три вещественных корня. Из рисунка
также видно, что один из корней
находится в интервале (— 1, 0),
другой в интервале (0, 1) и третий
в интервале (2, 3). Последнее
легко проверить вычислением (см.
решение задачи 830).
-/
Рис. 64
36S
833, Строим графики функций у = tg х и у — х. В силу
нечетности этих функций положительному корню уравнения
соответствует равный ему по абсолютной величине отрицательный
корень того же уравнения. Поэтому интересуемся лишь корнями не-
S~^f
У
0 fT^S
Рис. 65
Рис. 66
отрицательными. Из рис. 65 видим, что уравнение имеет корень
х = 0, а затем корни, заключенные в интервалах
, 26+ 1
«тс. ■= тс
тс» ~2~ тс '' I 27Г'
«-Х
Рис. 67
С увеличением k корень приближается к величине —^— тс. Таким
образом, уравнение имеет корень х = 0 и бесконечное
множество корней как положительных, так и отрицательных.
366
833. Строим графики функций у — smx и у = —
-^гипербола). Как видно из рис. 66, уравнение имеет бесконечное
множество корней как положительных, так и отрицательных. Первый
положительный корень содержится в интервале I 0, -~- 1, а
следующие положительные близки к значениям тг, 2тг, Зл:, ...
В силу нечетности функций у — sin х и у = — каждому
положительному корню соответствует равный по абсолютной величине
отрицательный.
834. Строим графики парабол у = — хг + 10 и х ="4— у2
(рис. 67) и измеряем абсциссы и ординаты их точек пересечения.
Находим: х1 = 3, у1=\; х2 ~3,3, у2^ — 0,7; хъ« — 3,6, #„«
^ — 2,9; х4^ —2,8, #4ss2,6.
XIII.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
НА ПЛОСКОСТИ
(Планиметрия)
835. Дано: в Д ABC АЕ _[_ СВ, BD _!_ АС, АЕ = BD. Доказать:
АС = СВ (рис. 68): Л ABD = Д АЕВ, потому что у них общая
гипотенуза АВ и равные по условию катеты АЕ и BD.
Следовательно, равны и углы DAB и ЕВА, как углы равных
треугольников, лежащих против равных сторон DB и ЕА. Но тогда АС — СВ,
как стороны Л ABC, лежащие против равных углов ЕВА и DAB.
836. Дано: в Д ABC AD = DC, В£ = ВС,
ЛЯ = DB. Доказать: АС = ВС (рис. 68). Точка
пересечения медиан О отсекает от медианы -^-
о
часть ее, считая от основания. Поэтому АО =
= -|- АЕ =-5- BD = ВО и Д ЛОВ —
равнобедренный. Но тогда Z £>ВЛ == Z ЕАВ, а еле до- «
вательно, и Д ЬВЛ = Д ЕАВ, как имеющие
равные углы (Z DBA= Z. ЕАВ), заключенные
между равными сторонами (АЕ = BD по уело- Рис. 68
367
Рис.
вию, АВ — общая). Отсюда вытекает, что AD = BE, как стороны
равных треугольников, лежащих против равных углов. Но так
как AD = -i-ЛС, BE == -L-BC, то АС=ВС.
837. Дадим два доказательства этой теоремы.
Доказательство I. Пусть в Л ABC (рис. 69) биссектрисы
AD и СЕ равны. Нужно доказать, что А АВС — равнобедренный.
Проведем третью биссектрису ВО,
где О — точка пересечения биссектрис.
Возьмем теперь второй экземпляр
этого треугольника и будем
соответственные точки обозначать теми же
буквами, но снабженными значком 1.
Приложим Л А1В1С1 к Д АВС так,
чтобы вершина Сх совпала с
точкой D, биссектриса С1Е1 с DA, a
вершины В и Вх были расположены
по одну сторону от линии
совмещения этих биссектрис (рис. 70). В силу
равенства углов В и Bt заключаем,
что вокруг четырехугольника ADBBX можно описать окружность.
Покажем, что AD \\ ВВХ.
Действительно, на основании теоремы о внешнем угле
треугольника можем написать: Z BOD = Z BAD + Z OB А. Но Z BAD =
= Z.BBXD (вписанные, опирающиеся на
одну и ту же дугу), a Z ОБА ~
— Z OxBxD (половины равных углов
В и Ву). Поэтому Z BOD = Z ВВхОх
или Z ВВхОх + Z ЖА = 2d.
■ Таким образом, вокруг
четырехугольника ОВВхОх можно описать окружность,
а так как у него ОхВх — ОВу как один
и тот же отрезок биссектрисы угла В,
то дуги окружности, описанной вокруг
четырехугольника ОхОВВх, стягиваемые
хордами ОхВх и_ОВ, будут равны. В
таком случае ООх \\ ВВХ или AD || ВВХ.
Итак, четырехугольник ADBBX есть
вписанная в окружность равнобедренная
трапеция. Но в равнобедренной трапеции диагонали АВ и BXD
равны. Отсюда следует, что АВ = ВС, т. е. Л АВС —
равнобедренный.
Замечание. Так как при доказательстве было использовано
лишь условие AD = СЕ, а то, что AD и СЕ — биссектрисы, не
было использовано, то тем самым доказана не только
сформулированная выше теорема, но и следующая, более общая: если из двух
вершин треугольника проведены к противоположным сторонам два
WQ
Рис. 70.
368
отрезка, имеющие точку пересечения на биссектрисе третьего
угла и равные между собой, то треугольник равнобедренный.
Доказательство II. Дано, что в A ABC АЕ = ВЕХ и АЕ
и BD — биссектрисы углов А и В (рис. 71). Нужно доказать, что
АС = ВС.
Проведем BF || АЕ и AF || BE. Пусть Z DBA = а и Z £Л£ - р.
Рассмотрим треугольники ЛВ£> и ЛВ/7.
В этих треугольниках сторона АВ
общая, а В/7 =.- BD, как равные одному и
тому же отрезку АЕ (один по построению,
другой по условию). Если допустить, что
rZ DBAy/. ABF, т. е. что а> 3 (/.ABF =
= Z £А8 = 3), то сторона ЛЛ будет
больше стороны AF, потому что в неравных
треугольниках с двумя соответственно
равными сторонами против большего угла
лежит и большая сторона.
Итак, имеем AD > AF, если а > 3.
Рассмотрим теперь Д ADF, в котором
AD и AF являются сторонами. В нем
Z ADF > Z AFD. Действительно, Z ADF =
*= 180э—23— Z AWD= 1803—23 — (а + Z BDF)= 180°—a— Z BDF—
— В —3; Z Л/7/)^ 180°— Z.MAF— Z ЛМ/7^ 180° — 2а — (В +
-f £BFD)= 180° — 2а — 3— /_BFD = 180° — а— Z BFD— В— а.
Но Z BZ)/7 = Z BFD, как углы при основании равнобедренного
Д BFD (£Z) = BF). Учитывая, кроме того, что по предположению
а > 3, получаем Z ADF > Z Л/7/). Но в треугольнике против
большего угла лежит и большая сторона, т. е. AF > AD. Однако
это противоречит полученному ранее: AD > AF.
Итак, а не может быть больше 3, а ввиду равноправности
а и В не может быть и а < 3. Остается лишь а = 3, 2а = 23 и,
следовательно, АС = СВ.
Замечание. Доказательство II является доказательством от
противного, но оно имеет зато одно преимущество перед
доказательством I, состоящее в том, что требует меньшего объема
знаний из начального курса геометрии, так как использует лишь
теоремы о равенстве и неравенстве треугольников и о параллельных
линиях. Измерение вписанных углов и возможность вписать
четырехугольник в окружность, используемые в доказательстве I, здесь
не требуются.
Подобно доказательству I здесь также допускается обобщение,
Эта более общая теорема состоит в следующем: если отрезки
прямых АЕ и BD (рис. 71), проведенные из вершины А я В A ABC
к противоположным сторонам, пересекаются внутри треугольника,
равны между собой и разбивают углы А я В так, что /_ В -=
— Ч + а2. Z Л = Зх -f 82, где ах и ^ имеют общую "сторону АВ,
то или ах > ^ и а2 < % или ^ < фх и а2 > 32.
369
Доказательство этой теоремы ничем не отличается от
доказательства II, если только в выкладках доказательства иметь в виду,
что углы при основании треугольника не 2а и 2[3, a ax + а2 и Pi -т- р2.
838. Дано, что в Л ЛВС (рис. 72) АО = ОС и Z ЛВО = Z ОЯС.
Нужно доказать, что ЛВ = ВС. Продолжим ВО на расстояние
OD = OB и точку О соединим с точками Л и С. Так как ЛО = ОС
по условию, a OB = OD по построению, то четы-
В рехугольник ABCD параллелограмм. Но /.АВО =
= Z ОВС и поэтому этот параллелограмм есть
ромб. Отсюда АВ = ВС.
839. Дано, что в треугольниках ABC и
ЛВА Z.A=/.AX, АС = АХСЪ АВ + ВС =
= АХВХ + B-sC-l (рис. 73). Нужно доказать
равенство этих треугольников. Продолжим
сторону АВ на отрезок BD ~ ВС и точку D
соединим с С. В равнобедренном A CBD /. D =
= Z.DCB, как углы при основании, сумма их
равна внешнему Z ABC, а потому Z ABC —
D = 2 Z £>. Делая аналогичные построения для
Л Л^С^ также установим, что Z Л^^ =
Рис. 72 = 2 Z Dt. Но Д ADC = A Л^А, потому что
у них £А=/. Аъ АС = ЛА, ЛО = ЛВ +
-\-BD = AB-\-BC = АХВХ + Bid = ЛА. Отсюда Z £> = Z £>i
и Z ЛВС — Z ЛхВхСх, а тогда равны и третьи углы данных
треугольников, т. е. Z АСВ = Z Л^/^. Таким образом, в
треугольниках ABC и А1В1С1 £А— /1АЪ АС = АХСХ и Z.ACB=
= Z.AXCXBX и, следовательно, треугольники равны.
АЛ. ■
Рис. 73
840. Дано, что в треугольниках ABC и Л^А Z ЛВС =
= Z АфхСъ Z ВЛС = Z ВИА, ЛВ + SC + АС = Л^ + ВА +
+ ЛА (рис. 74). Доказать равенство этих треугольников.
Продолжим сторону АВ на отрезок BD = ВС и на отрезок АЕ = ЛС
и соединим точки D и £ с С. В равнобедренном треугольнике DBC
Z. D =■- Z. DCB, как углы при основании, сумма их равна внешне-
370
му углу ЛВС, а потому /LD^—V. ЛВС. Точно так же докажем,
что Z Е = -jj- Z ВЛС. Делая аналогичные построения для aAACi,
получим, что Z £>i = -n Z ^^Л и Z £i = -=- Z ВИ^. Но
Z ЛВС = Z Л^А, a Z ВЛС = Z ВИА, поэтому 'Z Я = Z Оь
Z E = 'Z. Ev Кроме того, ED — EtDt — 2р и, следовательно,
Д ОЯС = Л О^А. Из равенства этих треугольников вытекает
равенство DC = ОА, а так как ранее было доказано, что Z О =
= Z Оь то равнобедренные треугольники СВО и C^Di равны.
Теперь имеем в треугольниках ЛВС
и ЛхВА'- ВС-ВА (боковые
стороны в равных
равнобедренных треугольниках), Z ЛВС =>
= Z.AXB£,X (по условию), /.ЛСВ^з
= Z ЛА#1 (как дополняющие
равные величины до 180°).
Отсюда Л ЛВС = Д ЛХВА-
841. Дано, что в трапеции Рис- 75
ABCD ЛС = ££>. Доказать, что
ЛБ = CD (рис. 75). Через вершину С проведем прямую СЕ || BD
до пересечения с продолжением основания AD в точке Я. В
треугольнике ЛСЕ ЛС — СЕ = BD (СЕ и BD — противоположные
стороны параллелограмма), поэтому он равнобедренный. Но тогда
Z СЕЛ = Z СЛЕ, как углы при основании равнобедренного
треугольника, а так как Z ВОЛ = Z СЕЛ' (соответственные), то и
Z CAD = Z ВОЛ. Переходя к рассмотрению треугольников ABD
и ACD, видим, что они равны, потому что у них АС = BD,
Z CAD = Z ВОЛ, ЛО — общая. Но тогда ЛВ = СО, как третьи
стороны равных треугольников.
371
842. Пусть АВ = DE и АВ \\ DE (рис. 76). Соединим А с Е и
5 с Д В четырехугольнике АВОЕ стороны АВ и D£ равны и
параллельны, и он, следовательно, есть параллелограмм. Но
диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Итак,
диагонали AD и BE разделятся точкой О пополам. Но если
рассмотреть теперь четырехугольник AFDC, то также убедимся, что
CF разделится в точке О пополам. Итак, AD, BE и CF проходят
через точку О.
Рис. 77
843. Пусть правильный треугольник ABC вписан в окружность
с центром в точке О (рис. 77). Возьмем на дуге ВС точку М.
Требуется доказать, что MB + МС = МА. Проведем ВО \\ СМ. Пусть
точка пересечения прямых BD и AM есть Е. Покажем, что
MB = ME. Действительно, углы треугольника ЛВС, как
равностороннего, равны 60°; Z АМВ = Z АСВ = 60° (вписанные,
опирающиеся на одну и ту же дугу АВ); Z СМА = Z СВА = 60°
(вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу ADC); Z МЕВ =
= Z СМ Л = 60° (накрест лежащие при параллельных СМ и DB
и секущей AM). Итак, в треугольнике МВЕ два угла по 60°,
следовательно, и третий также равен 60°. Поэтому треугольник МВЕ
равносторонний и MB = ME. Покажем теперь, что МС = ЕА.
Соединим точку D с точкой А.
Треугольник DEA — равносторонний, потому что
Z DEA = Z МЕВ = 60° (вертикальные),
Z Л£>£ = Z ЛСВ = 60° (вписанные,
опирающиеся на одну и ту же дугу АВ),
Z DAE = 180° — Z ADE—Z DEA =
= 180° — 60° — 60° = 60°. Поэтому DE =
= АЕ. Соединим теперь точку D с
точкой С. Четырехугольник EDCM есть
параллелограмм, потому что Z CZ)£ =
= Z CAB = 60° (вписанные, опирающиеся
на одну и ту же дугу СВ), и,
следовательно, накрест лежащие углы CDB и DEA
Рис.- 78 при прямых CD и AM и секущей DB
372
Рис. 79
равны, что доказывает параллельность CD и AM (DE || СМ по
построению). Но в параллелограмме противоположные стороны
равны и мы имеем СМ = DE = ЕА. Окончательно AM = Л£ -h
+ £М = СМ + М£.
844. Пусть AD, BE и CF — высоты остроугольного
треугольника ABC (рис. 78). Нужно доказать, что AD, BE и CF —
биссектрисы треугольника DEF. Докажем, например, что Z.EDA=Z.ADF,
Так как Z AFC = Z ADC = 90°,
то вокруг четырехугольника AFDC
можно описать окружность. Тогда
убедимся, что Z ADF = Z ACF,
как вписанные, опирающиеся на
одну и ту же дугу AF, Точно так
же докажем, что Z.EDA — Z ЕВА.
Но из прямоугольных
треугольников ABE и ACF получим
Z ABE = 90° — Z ВЛС = Z ЛСЛ
Следовательно, Z ЯОЛ = Z ЖЖ
845. На данном основании АС—
~М построим сегмент,
вмещающий данный угол (рис. 79). Соединим какую-либо точку В
окружности с точками Л и С. Получим треугольник ABC с данным
основанием и данным углом при вершине. Проведем теперь диаметр
DF ±АС и построим окружность радиуса DA с центром в D.
Предполагая, что точка В отлична от D, продолжим АВ до пересечения
с построенной окружностью в точке Е и соединим ее с С, а
точку D с А, С и Е. Покажем, что BE — ВС. Действительно,
Z 'ADC = Z ABC (вписанные в окружность О, опирающиеся на
одну и ту же дугу), Z ADC = 2 Z ЛЕС (первый — центральный,
а второй — вписанный в окружность и опирающиеся на одну и ту
же дугу). Но тогда Z ВСЕ = Z ABC— Z АЕС = Z Л£С —
— Z ЛЯС = 2 Z АЕС— Z Л£С - Z ЛЕС,. а следовательно,
треугольник СВЕ — равнобедренный и ВС = BE. Отсюда АВ + ВС =
= Л5 -f- ££ = ^£, и так как В не совпадает с центром D, то ЛЯ
есть хорда, и для нее при любом
выборе точки В справедливо Л£< ЛD-j-
-f D£ (AD -f D£ равно диаметру).
Заметив, что DC = DE (радиусы
окружности D), получаем AD -f- DC >
> АВ + BCV т. е. искомый
треугольник — равнобедренный.
846. В трапеции ACDF (рис. 80)
AD = CF и потому она
равнобедренная (задача 841). Отсюда получаем
/ LCD = Z IDC. Но Z LAF =
= Z IDC и '/ 4FI = Z DCL
(накрест лежащие) и, следовательно, Рис. 80
373
Рис. 81
£LCD=*'£LDC=/.LAF='Z.LFA. Точно так же Z KBA-/. КАВ=
= Z KED = Z /CD£, Z МСЯ = Z МЯС - Z МЯЯ = Z MFE.
Рассматривая теперь четырехугольник BCDE, видим, что у него
суммы противоположных углов равны и потому через точки Я,
С, D и Е можно провести окружность. Но тогда в силу
равенства углов СЯЯ и CFE она пройдет через вершину Я, а в силу
равенства углов DCF и DAF — через вершину А. Теорема
доказана.
847. Пусть AD, BE и CF — высоты треугольника ABC (рис. 81),
пересекающиеся в точке О, а
ОК и OL — диаметры
окружностей, описанных вокруг АВ и
ВС и проходящих через О.
Покажем, например, что
OK = OL. Соединим L с Я' и
К с В. Так как Z ОВК =
Z OBL = 90°, то LB является
продолжением ВЦ. Но Z.OKB =
= Z ОАВ, как вписанные,
опирающиеся на одну и ту же
дугу. Точно так же / OLB —
= Z ОСВ. С другой стороны,
Z (Ш - 90° — Z ЛЯО = / ОСВ.
Следовательно, Z ОКВ — Z 01Я, треугольник OKL—
равнобедренный и OK = OL.
848. Пусть BD ± АС и АЕ ± ВС (рис. 82). Прямоугольные
треугольники CBD и САЕ, как имеющие
общий угол АС В, подобны. Из их подобия
CD RC
получаем -р^г = -ттг. Таким образом,
С с ЛС
треугольники CDE и ЛЯС имеют общий
угол АСВ, заключенный между
пропорциональными сторонами, откуда и следует
подобие этих треугольников.
849. Известно, что углы с
параллельными сторонами или равны, или в сумме
составляют два прямых. Если допустить* что
каждая пара соответственных углов треугольников в сумме
составляет два прямых, то сумма шести углов треугольников даст шесть
прямых, что невозможно. Если допустить, что треугольники имеют
только по одному равному углу, то сумма шести углов
треугольников будет больше четырех прямых, что опять невозможно. Остается
допустить, что два угла одного треугольника равны двум углам
другого. Но тогда треугольники подобны.
850. Л ABC со д А^В^Сь R и г — радиусы описанных около
этих треугольников кругов. Доказать: R : г — АС : АгСг (рис. 83).
Соединим центр окружности О с точками А и С. В треугольни-
Рис. 82
374
Рис. 83
ке АОС АО = ОС = R, a Z АОС = 2 Z ABC, так как он, как
центральный, измеряется дугой АС, в то время как Z ABC —
вписанный, и измеряется половиною дуги АС. Соединив центр
окружности Ot с точками А1 и Съ также получим равнобедренный A ЛА<?1
с углом при вершине А101С1,
который равен удвоенному углу
AxBtCt. Но Z ABC = Z Л^А,
как соответственные в подобных
треугольниках ABC и ЛХ£А»
поэтому Z ЛОС = Z ЛА^!.
Отсюда вытекает, что
равнобедренные треугольники АОС и ЛхОА
подобны и имеет место
пропорция ОС : ОА = АС : ЛА или
/?: г = ЛС : ЛА-
851. Предположим, что СО
(рис. 84) не касательная. Тогда
она будет секущей, и пусть Е — вторая общая точка прямой CD
с окружностью. Построим треугольники АЕС и DBC. Они подобны,
так как у них /.С — общий, а углы CBD и СЕ А равны, как
вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AD. Из подобия
получим СА • СВ = CD - СЕ Ф CD2, так как СЕ Ф CD (СЕ =
= CD + DE или СЕ = CD — DE). Но это противоречит условию.
Следовательно, CD — касательная.
852. Проведем медиану AD Д ABE (рис. 85) и
треугольники ADB и ADC. В этих
треугольниках угол D общий. Кроме
того, у них отношения сторон,
заключающих этот угол, равны.
Действительно, DB : AD ~ а : а У 2 =
= 1 :J^2~, DC : AD_= 2а : а У 2 =
= У 2 : 1. Следовательно, AADBoo
оо'Л Л£>С. Но в подобных
треугольниках против сходственных сторон
лежат равные углы. Поэтому Z.ABD=
= Z DAC, a Z Л££> + Z ЛС/) =
= Z £>ЛС + Z ЛСО = Z ЛО£
(свойство внешнего угла треугольника), Отсюда
= 45°.
853. Дано, что в четырехугольнике ABCD AM = MD, BN = JVC
рассмотрим
С
Рис. 84
Z ABD -f Z ЛСО =
иМ =
ЛЯ +DC
(рис. 86). Нужно доказать, что ABCD —
трапеция.
Проведем отрезок прямой DN и продолжим его на величину
NE ~ DN. Соединим точку Е с точкой Л. Получим Д ADE, в ко-
373
AE
тором MN есть средняя линия, и она равна -~- . Соединим теперь
точку Е с точкой В. Получим Д NEB, равный Д DNC, так как
у них CN = NB (по условию), DN = NE (по построению) и Z CND=>
Z БЛГ£, как вертикальные.
Отсюда получаем, что ££ = CD и,
.... АВ + ВЕ
следовательно, MN = ^ .
Сравнивая с полученным ранее
АЕ
равенством MN ~ — , находим,
что АВ -f BE = Л£. Но это
возможно только в том случае,
когда АВ и BE лежат на одной - *
прямой. Так как BE || CD, то теорема доказана.
854. Пусть О — центр описанного около Д ABC круга (рис. 87);
AD, BE и CF —-его высоты; Я —точка пересечения высот; Af, /(
и L — середины отрезков АН,
ВС и АС. Нужно доказать, что
КМ = АО. A OKL со д АВН в
силу параллельности сторон, а так
как KL = -i- ЛВ, то <Ж=-^- ЛЯ=
= ЛМ. Рассматривая
четырехугольник ЛО/СМ, видим, что в нем
противоположные стороны ОК и
AM равны и параллельны. Поэто-
КМ = ЛО.
описанного четырехугольника
Рис. 86
му ЛО/СМ — параллелограмм и
855. Противоположные стороны
попарно параллельны, так как каждая пара сторон перпендикулярна
к одной и той же
диагонали прямоугольника. Таким
образом, этот
четырехугольник — параллелограмм с
равными высотами. Но тогда
он будет ромб, что следует,
например, из сравнения двух
выражений для его площади
(aha =bhb).
856. Пусть в Д ЛВС
высоты Л/С, BL, СМ
пересекаются в Я (рис. 88). Точки
К, L, М лежат на сторонах
треугольника. Проведем
диаметр AD окружности, описанной около Д ABC, и соединим точки
М и L. Нужно доказать: ML j_ AD.
Рис. 87
376
Опишем окружность вокруг четырехугольника ALHM. Это
можно сделать, так как Z ALU = Z АМН =. d. Тогда Z AHL =»
= Z ЛМ1 (вписанные, опирающиеся на ^ Л£). Кроме того,
Z ЛЯХ = Z ВСЛ (взаимно перпендикулярные стороны) и Z ADB =
~ Z ЛСБ (вписанные, опирающиеся на w ЛБ), Следовательно,
Z ЛМ1 = Z Л2Ж Обозначим
точку пересечения AD и AIL
буквой W. В треугольниках
AMN и Л/Ю два угла одного
равны двум углам другого.
Поэтому Z ANM = Z ЛБО = d,
т, е. MLi ЛО.
857. Пусть продолжения
сторон АВ и CD вписанного
четырехугольника ABCD (рис. 89)
пересекаются в точке Е, а ВС
и AD — в точке F. Пусть
биссектриса угла Е пересекает
окружность в точках К и L, а
угла F — в точках М и N.
Пользуясь теоремой об
измерении угла, образованного
секущими с помощью дуг, можно написать:
-и AN — w DM = w BN — w CM,
^ Ж. — w ЯВ = w DL — w C/C.
Рис. 88
N
1
t
bJ^z
V
\—-
\n —"""
JD
"W
Рис. 89
Сложив эти равенства почленно и сделав преобразование,
получим w /CjV -f w ML = w LN -f- w М/С, что и доказывает теорему.
858. Указание. Треугольник, одна вершина которого
совпадает с вершиной прямого угла данного треугольника, а две другие
377
находятся в центре окружности и в точке касания окружности
с катетом, — равнобедренный.
859. Пусть в трапеции ABCD (рис. 90) диагонали АС и. BD
пересекаются в точке О, а точка Е есть середина большего
основания. Проведем прямую ЕО и пусть F будет точка пересечения
прямой ЕО с меньшим основанием.
Докажем, что F есть середина основания
ВС. Для этого рассмотрим
треугольники DEO и BOF. Они подобны, так
как у них Z BOF = Z DOE (как
вертикальные) и Z FBO — EDO (накрест
лежащие)." Следовательно, ~pf)==7yp- Но,
очевидно, и треугольники CFO и АЕО
FC FO
тоже подобны, а поэтому
Рис. 90
BF FC
АЕ ОЕ
Таким образом, ^ = -гр, а так как ED = АЕ, то BF = FC.
860. Соединим точку D с точкой А и точку Р с центром
окружности О (рис. 91). Обозначим точку пересечения АС и PD
через Я. Так как Л DEC со A DPB, то ЕС : РВ = DC : DB. Так как
Л ADC со л РОЯ (Z ЛОС = Z РОВ), то РВ : АС.= ОЯ : DC
Перемножая почленно ^полученные пропорции, найдем £С = -к- АС.
Рис. 91
Рис. 92
861. Пусть АВ — хорда (рис. 92); АС и ВС — касательные,
Р — точка окружности; PD, РЕ « PF — перпендикуляры,
опущенные из Р на АВ, ВС и ЛС Из подобных треугольников PDB и APF
(Z РЛР = Z РВЛ, как измеряемые половиной дуги РА) найдем
PD : РВ ~ PF : АР. Точно так же из подобных треугольников
378
Рис. 93
PAD и РВЕ (Z РВЕ — Z РЛВ, как измеряемые половиной дуги РВ)
получим PD \.АР = РЕ : РВ. Перемножая почленно полученные
равенства, найдем PD2 = PF • РЕ.
862. Пусть Ох есть центр описанного около треугольника круга,
02 — точка пересечения его высот и 03 — центр тяжести
треугольника (рис. 93). Соединим точки 01 и 03, а также 03 и 02
отрезками прямых. Докажем, что Ot03
и 0302 составляют одну прямую.
Треугольники OxOzD и 02ОэВ
подобны. Действительно, Z OxDOz =
= Z 02В03, как накрест лежащие
при параллельных, 03D : 03В =
= 1 : 2 — по свойству центра
тяжести треугольника, DO± : ВО.г —
= DE . £С = 1 : 2, так как ED
есть средняя линия Л ЛВС, и
Л £OtD со д С02£ вследствие
параллельности их сторон (см.
задачу 849). Отсюда Z В0302 = Z £>ФА и отрезки О^ и 0302
лежат на одной прямой. При доказательстве предполагалось, что
медиана не совпадает с высотой. Но случай такого совпадения
соответствует равнобедренному
треугольнику, и в этом случае теорема
очевидна.
863. Нужно доказать, что ЕО =
= OF (рис. 94). Проведем через
точку пересечения диагоналей О высоту
КР. Так как EF || АВ, то Д COF со
ос А САВ и ADOEco/\DBA. В
подобных треугольниках отношение
сходственных сторон равно
отношению сходственных высот, и
поэтому из первой пары подобных треугольников получаем
OF КО _„„ ЕО КО
Рис. 94
порцию
(КР, очевидно,
про-
рав-
АВ КР* ' АВ КР
на высоте Д АСВ, проведенной из вершины С, и высоте Д ADB,
проведенной из вершины D; точно так же КО для треугольников
OF
OCF и ODE). Сравнивая написанные соотношения, получаем -тд =
ЕО
= 4ъ и OF = EO.
АВ
864. Пусть четырехугольник ABCD описан около круга с
центром О, и Е — середина его диагонали АС (рис. 95). Нужно
доказать, что прямая ОЕ пересекает вторую диагональ BD в ее
середине.. Обозначим точку пересечения ОЕ и BD буквой F. Обозначим
радиус круга через г, а периметр и площадь четырехугольника
а79
через 2/7 и 5. Так как для описанного четырехугольника АВ + DC =
= AD -}- ВС = р и 5 = рг, то можно написать, что
5лоо+5вос ^'(ЛД + ДС) = 4-Р'=45- (*)
С другой стороны,
Sbce -f- 5o/i£
-q- 5лвс 4- -к- 5лос = -ft- 5.
/**\
Рис. 95
Сравнивая равенства (*)-и (**), найдем Sbce 4 SDAE = Saod 4
-f- Sboc или Sboc — 5fiC£ = $dac E—
—Saod , или Sboe 4- Soec — Saoe 4
4- 5Do£ • Ho S0£c = Saoe , и поэтому
Sbo£ = Sdoe . Из последнего равенства
находим, что BN = DM.
Рассматривая треугольники BFN и
DMF, видим, что они имеют по
равному катету и острому углу.
Следовательно, Л FBN = Л FDM и FB = DF.
865. Указание. Наиболее
удаленная точка окружности от данной
хорды есть точка пересечения
окружности с перпендикулярным к хорде
диаметром.
866. Теорема будет сразу же
доказана, если установить, что Л АОМ оэ
со Д CNO, где О — центр полукруга
(рис. 96). В этих треугольниках Z А— Z С, как углы при
основании равнобедренного треугольника. Покажем еще, что ZMOA =
Z ONC. Пусть L, Р и Q — точки касания прямых АВ, MN и ВС с
полукругом. Так как 01 ± АВ и 0Q ± ВС, то Z LOQ= 180°— Z В. С
другой стороны, 180° — ZB = Z44ZC =
= 2 Z А Отсюда ZLOQ = 2Z А Но МО
есть биссектриса Z LOP и Л/О —
биссектриса ZQOP. Поэтому Z.LOQ=2/_MON=
= 2 Z Л и Z МОЛ/ = Z А. Заметив, что
в треугольниках АОМ и ONM также
Z АМО = Z AM/fO, заключаем, что и
Z МОЛ = Z ММ). Так как Z MNO =
= Z OjVC, то Z МОЛ = Z ON С и Л ЛОМоэ
оо д СМ). Из подобия получаем AM: АО =
= ОС : #С. Отсюда ЛМ • NC = ЛО • ОС=
?)•
867. Возможны два случая: а) прямые MAN и PBQ
пересекаются вне данных окружностей; б) эти прямые пересекаются
^АО^ ^
380
внутри одной из окружностей (на рис. 97 второй случай
изображен пунктиром). Разберем только первый случай. По
свойству вписанного четырехугольника £ N -\- Z ABQ = 180° и
Z М + Z АВР = 180°. По свойству смежных углов Z ABQ +
-Ь Z АВР = 180°. Складывая почленно первые два равенства
и пользуясь третьим, получим
Z М + Z # = 180°.
Следовательно, jVQ || MP.
868. Пусть ЛЯСО —
вписанный в окружность
четырехугольник с диагоналями АС и
BD (рис. 98). Пусть угол ABD
не меньше угла DBC.
Проведем прямую BE так, чтобы N
Z ABE = Z DfiC. Так как в
треугольниках ABE и БОС,
кроме этих равных углов, еще
равны углы ВАЕ и BDC, как
вписанные, опирающиеся на
дугу ВС, то Л ABE со &BDC
Поэтому
Рис. 97
DB АВ
DC=WmDB
AE = DC • ЛЯ.
О
Подобными будут также треугольники ВСЕ и ABD, потому что у
них Z ABD = Z СВЕ, как суммы равных углов, и Z Л£>£ =
= Z ЛСВ, как вписанные, опирающиеся на дугу АВ. Поэтому
DR ВС
-г=- = j^- или DB ■ СЕ = AD • ВС. Скла-
AD СЕ
дывая последнее равенство с равенством
(*), получим:
DB ■ АЕ + DB ■ ЕС = DC • АВ + AD ■ ВС;
DB (АЕ + ЕС) = DC- AB + AD- ВС;
DB- AC = DC ■ AB + AD- ВС
869. Пусть длины катетов а и b, a
гипотенузы с. По теореме Пифагора с2 =
= a2 -f- 62. Умножим обе части равенства
на с. Получим с3 = с ■ a2 -f- с • б2. Но
а < с и 6 < с. Поэтому с3 = ад2 -f сб2 >
> а • а2 -f 6 • № = a3 -f б3. Итак, с3 > а3 -f Ь3.
870. Пусть Ох — центр описанного около треугольника круга
(рис. 99), а О — центр вписанного в него круга. Соединим прямой
точки В и О и пусть D есть точка пересечения ее с описанной
окружностью. Проведем диаметр DE = 2R этой окружности. Так
как BD — биссектриса угла ABC, то ЛО = DC и потому £D ± АС.
Проведя OK±ED, найдем из треугольника OOxD, что 00\ = 01Z)24-
381
+ 0D2 — 201D- Ш Ho 01D=R, KD = KL + LD = OM -f LD =
= r + LD, где ОМ j. ЛС. Поэтому 00* = /?2 + OD2 — 2/? (r+LD) =
= R* — 2#r + OD2 — 2R-LD = R2 — 2Rr + OD2 — /Ш2. Покажем,
что OD — AD. Для этого рассмотрим треугольник A0D. Так как
АО — биссектриса угла ЯЛС и Z G4D = Z DBC, как вписанные,
опирающиеся на одну и ту же дугу, то Z DAO = Z DAC -f Z САО=
= Z ШС + Z ОЛЯ = Z ШЛ -f
+ Z ОАВ. Но и Z ЛОО = Z £ЯЛ+
+ Z0y45, так как /.A0D — внешний
угол треугольника АВО. Из равенства
углов A0D и DA0 следует равенство
AD = 0D. Поэтому получаем:
Рис. 99
001 = Я2 — 2/?г; 00j = |//?2 — 2/?г.
Замечание. Решение задачи
проведено на примере остроугольного
треугольника. Однако и способ
решения и результат будут верны для
любого треугольника. Если
треугольник равносторонний, то очевидно, что
это расстояние равно нулю.
Впрочем, и в этом случае полученная
формула остается верной.
871. I. На основании задачи 870 квадрат расстояния между
центром описанного около треугольника круга и центром
вписанного в этот треугольник круга равен R2 — 2Rr, где R и г — радиусы
описанного и вписанного кругов. Поэтому имеем: R2 — 2Rr > О,
2Rr </?2, r<C-y-R- Знак равенства будет иметь место только для
равностороннего треугольника.
II. Пусть стороны треугольника будут a, b и с, а
противолежащие им углы а, р и -у- Пользуясь формулой 5 = рг, где Sup —
площадь и полупериметр треугольника, формулой 5 = -^- ab sin y,
а также теоремой синусов, согласно которой а = 2R sin а, Ь — 2R sin р,
с — 2R sin -у, найдем, что отношение радиусов вписанной и
описанной окружностей равно:
г __ 5 __ afrsinf __ 2R sin a 2R sin р sin y
__ _ _ __
P*
R (a -f & + с) 2R2 (sin а + sin p + sin y)
2 sin a sin P sin y
sin a -f- sin p -f- sin y '
Преобразуем знаменатель полученного выражения:
• п • « . я + В а —
sin а + sin p -f sin y = 2 sin —^- cos —~-
382
+ 2sin^-cosX = 2sln^--1-) С05Ч~Р +
«+ P
■f cos —^-
Если же учесть, что
2 sin a sin p sin у =
= 16 sin -j cos-^- sin-^- cos-^-X
X sin-1-cos-^-,
то получим
Рис. 100
r 'л • а • P • V ^л l l
(см. задачу 712).
872. Пусть в треугольнике ABC (рис. 100) /. АВС> Z CAB.
-Соединим центр О окружности, вписанной в треугольник, с его
вершинами А к В я рассмотрим треугольник АВО. Его угол а =
= — Z ABC, потому что центр О лежит на биссектрисе ВО
угла "ЛВС. Точно так же 3 = — '/_ CAB. Но тогда 3 < а, а так как
в треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона, то
ОВ < О А. Отсюда ясно, что центр окружности, вписанной в
треугольник, лежит ближе всего к
вершине того угла треугольника, который
является наибольшим углом.
873. В треугольнике ЛЯС (рис. 101)
проведем медиану BD к стороне АС,
продолжим ее на отрезок DE — BD и
соединим точку Я с Л и С. В
полученном четырехугольнике АВСЕ диагонали
в точке пересечения делятся пополам,
и, следовательно, этот четырехугольник
есть параллелограмм. Отсюда получаем,
что АВ=СЕ, АЕ = ВС и {2BDf +
4- АС2 = 2АВ2 + 2fiC2. Из этого равенства, положив в нем АВ =
— с, ВС = а, АС = о, ВО = ть, найдем ть = т .
Полученное соотношение показывает, что медиана будет
наименьшей, если она проведена к наибольшей стороне.
383
fan+f
874. Будет, потому что все его углы будут вписанными,
опирающимися на равные дуги, а равносторонний и равноугольный
многоугольник есть правильный.
875. Ромб может служить примером равностороннего, но не
правильного многоугольника. Однако если он имеет нечетное
число сторон, то он будет правильным. Докажем это.
Пусть вершины многоугольника, имеющего (2п -f 1) сторону,
будут обозначены через Аъ А2, Л3, ...,
А2п+\, а точки касания сторон с
окружностью через Вь В2, Bs> ..., B2n+i
(рис. 102). Очевидно, A2BV = А2В2.
Но тогда, используя равенство
сторон, получим, что AiBi = А3В2 =
= AxB2n+i — Л3Вг, т. е. отрезки двух
смежных сторон многоугольника,
сходящихся в вершине Аъ считая от
вершины до точек касания, равны
таким же отрезкам сторон,
сходящимся в вершине А3. Точно так же
покажем, что они равны отрезкам
сторон, сходящимся в вершинах Аъ,
А7 Л>л+1. Итак, отрезки сторон,
Ау и А2п+1, равны, т. е. А1В2п+\ =
A2n+\B2n+i- Следовательно, сторона АхА2пЬ^ делится точкой
касания пополам. Но таким же способом убедимся, что все
стороны имеют точки касания с окружностью в серединах сторон.
Соединим точки Аъ Ву и А2 с центром О. Очевидно, Л СМ^ =
=' Л ОА2Въ и поэтому Z ОАхА2 = Z ОА2Вх. Так как ОАх и ОЛа
являются биссектрисами углов Ах и А2, то углы многоугольника
при вершинах Ах и А2, а значит, и при всех, равны между собой.
Но равносторонний и равноугольный многоугольник есть
правильный.
876. Если из правильных одноименных многоугольников можно
сложить паркет, то необходимо, чтобы внутренний угол такого
многоугольника, повторенный несколько раз, дал полный угол, т. е.
угол в 360э. Так как внутренний угол правильного многоугольника
180 (п — 2)
с п сторонами содержит число градусов, равное -, то чис-
п _п 180 (п~ 2)
ло dbO : должно быть натуральным. Определим из этого
условия, каким должно быть п. Имеем
360/г 2/1
Рис. 102
примыкающие к вершинам
180 (л —2) п — 2
2-Ь
2 +Л,
где
k =
, *(л-2) = 4, я = -3- + 2.
384
Так как 0 < k < 4, причем k — целое, то для того чтобы п было
целым, k можно придать лишь значения делителей числа 4, т. е.
1, 2, 4. Это дает для п значения 6, 4, 3.
Итак, такими многоугольниками могут быть только квадраты,
правильные треугольники и шестиугольники. Покажем, что этого
и достаточно, т. е. что из указанных видов многоугольников
действительно можно сложить паркет. Если провести систему
равноотстоящих параллельных прямых и пересечь ее такой же системой
прямых под углом 90°, то получится паркет, сложенный из
квадратов. Если провести систему параллельных равноотстоящих
прямых и пересечь ее такой же системой прямых под углом 60°, а в
каждом из получившихся ромбов
провести меньшую диагональ, то
получим паркет из треугольников.
Паркет из шестиугольников
получится, если в паркете из треугольников
объединять подходящим образом по
шесть треугольников в один
шестиугольник.
877—884. Указание. Геомет- Л
-. Рис. 103
рическим местом точек, обладающих
некоторым свойством, называется
множество всех точек, обладающих этим свойством.
Чтобы доказать, что фигура / является геометрическим местом
точек, обладающих некоторым свойством, достаточно доказать две
теоремы: 1) если точка обладает указанным свойством, то она
принадлежит фигуре /; 2) если точка принадлежит фигуре /, то она
обладает этим свойством.
В качестве образца подробного решения задачи на отыскание
геометрического места может служить решение задачи 877.
877. I. Проведем прямую ВО \\ AD (рис. 103) до пересечения ее
с продолжением основания АС треугольника в- точке О. Точка О
делит отрезок АС внешним образом в отношении 2:1.
Действительно, по свойству параллельных, пересекающих стороны угла,
ОС RC 2
имеем jr-A = — = -=- = 2. Следовательно, точка О неподвижна для
UA BL) 1
RO RC
любого положения вершины В. Кроме того, -ту- = —= = 2, откуда
видно, что вершина В в любом положении треугольника отстоит от
неподвижной точки О на одно и тоже расстояние ВО — 2AD. Итак,
вершина В находится на окружности радиуса г = 2AD с центром
в точке О, расположенном на продолжении стороны АС за
вершину А на расстоянии О А — АС.
II. Возьмем любую точку Вх на построенной окружности,
отличную от точек М и N, и соединим ее с точками Л, С и О.
Проведем ADt || ОВх. Отрезок ADt будет медианой треугольника
13 Шахно К. У.
385
АВХС. Действительно, по свойству параллельных линий, пересекаю-
BXDX OA ,
щих стороны угла, имеем ~=f = -г- = 1, так что BXDX = ОхС.
С другой стороны,
л^
АС
ОС
\.ADX
1
Ofii = AD и точка fiL
ОЯх ОС 2' '"^ 2
является вершиной рассматриваемых треугольников. Таким образом,
найденная окружность,
исключая точки М и N, и является
искомым геометрическим местом.
878. Хорда АВ делит
окружность на две дуги: Сх и С2
(рис. 104). Для точек М,
взятых на дуге Сх, геометрическим
местом точек N будет дуга
другой окружности, концы которой
находятся в А и В,
расположенная от хорды АВ по ту же
сторону, что и Сх- Вписанный в
эту дугу угол, опирающийся на
концы хорды АВ, вдвое меньше
аналогично вписанного в дугу Сх
угла. Для точек Мх, взятых на
дуге С2, искомым геометрическим
местом будет дуга окружности,
имеющая концы А и В,
расположенная от АВ с той же
стороны, что и С2, и вмещающая
вписанный угол, опирающийся на
концы хорды АВ, вдвое меньший,
С2 угол.
105) данного прямого угла XOY
Рис. 104
чем аналогично вписанный в дугу
879. а) Пусть вершина О (рис.
и вершина В прямого угла движущегося прямоугольного
треугольника ABC расположены по разные
стороны от гипотенузы АС. Так как
Z ABC + Z АОС =180°, то вокруг
четырехугольника АВСО можно
описать окружность. Описав ее, видим,
что при любом положении
движущегося треугольника ABC угол АОВ
остается неизменным, потому что
Z АОВ — Z АСВ, как вписанные,
опирающиеся на одну и ту же
дугу АВ. Следовательно, точка В
находится на прямой ON,
проходящей через вершину О данного
прямого угла и наклоненной к стороне OY
этого угла под углом BOY, равным углу АСВ треугольника. Самое
близкое положение вершины В к точке О есть то положение М, когда
гипотенуза будет лежать на прямой OY. Самое удаленное положение
вершины В от точки О есть положение N, при котором катеты
треугольника ABC параллельны сторонам угла XOY. Итак,
при любом положении треугольника ABC, скользящего концами А
и С по сторонам угла XOY, вершина В его прямого угла
находится на отрезке MN. Справедливо и обратное утверждение, т. е.
любая точка В+ взятая на отрезке MN, является вершиной
рассматриваемого прямоугольного треугольника в одном из его положений.
Это легко доказать, построив окружность радиуса, равного
половине гипотенузы данного треугольника, которая проходит через точки
В и О.
Таким образом, искомое геометрическое место точек есть
отрезок MN диагонали ON прямоугольника OK.NL, стороны которого
KN и NL равны соответственно катетам АВ и ВС треугольника и
параллельны сторонам ОХ и OY угла XOY.
б) Пусть вершина О (рис. 106) данного прямого угла XOY и
вершина В прямого угла движущегося треугольника ABC
расположены по одну сторону от
гипотенузы АС. В этом случае
рассуждениями, сходными с
предыдущими, легко убедиться в
том, что геометрическое место
вершин В прямоугольного
треугольника ABC есть отрезок
MN, направленный по
диагонали прямоугольника со
сторонами K.L и LP, равными
катетам АВ и ВС треугольника ABC,
и параллельными сторонами ОХ
и OY угла XOY. Этот
прямоугольник расположен внутри
угла, смежного с данным.
Отрезок MN проходит через
вершину О данного угла, а ограничивающие его точки М и N
соответствуют тем положениям вершины В движущегося
треугольника ABC, при которых гипотенуза лежит соответственно на
сторонах ОХ и OY угла XOY.
880. Соединим точку М (рис. 107) касания окружностей g
точками А и В и проведем общую касательную MN к окружностям
в точке М, где N — точка пересечения прямых MN и АВ. Так- как
в треугольнике АМВ отрезки AN, NM и NB равны, как отрезки
касательных, проведенных к окружностям из одной и той же
точки N, то N есть центр окружности, описанной около
треугольника АМВ. Таким образом, при любых двух окружностях,
удовлетворяющих условиям задачи, точка М будет находиться на окруж-
13*
887
ности радиуса NM с центром в N. Легко доказать, что справедливо
и обратное утверждение, а именно, любая точка М окружности
радиуса -у АВ с центром в N, отличная от точек А и В, является
точкой касания некоторых двух окружностей, из которых одна
касается прямой АВ в точке Л, а другая — в точке В.
Таким образом, искомым геометрическим местом будет
окружность радиуса -к- АВ с центром в середине N отрезка АВ,
исключая точки А и В.
^~——^^ 881. а) Если прямые парал-
у/^^ "N. лельны и расстояние между
/ \ ними а больше данной посто-
/ \ янной величины Ь, то таких
[ \S \ точек не существует. Если
\ ^~-j(J1 \ а — Ь, то все точки, заклю-
\ /^^У/п^\\ ) ченные между этими прямы-
\^ is//\/l\\\ J ми* а также точки этих
^-^ У-^ I ^*-Ч S прямых составят искомое гео-
/ГуN JB метрическое место точек.
\ / Если а < 6, то геометриче-
Х^ ^/ ским местом точек будут две
Рис 107 прямые, параллельные
данным и отстоящие от каждой
b + a b— a
данной на расстояния, равные —^— и —~—.
б) Если прямые пересекаются, то, обозначив их NP и QL
(рис. 108), проведем прямые АЕ и CF, параллельные NP и
отстоящие от нее на данную постоянную величину 6, а затем прямые BE
и DF, параллельные прямой QL и отстоящие от нее на ту же
величину Ъ. Нетрудно видеть, что сумма расстояний любой
точки К, взятой внутри прямоугольника ABCD, меньше 6, а любой
Рис. 108
388
точки /?, взятой вне этого прямоугольника, больше Ь. Для точек
же, лежащих на контуре прямоугольника ABCD, сумма расстояний
равна Ь. На самом деле, возьмем любую точку М, например, на
стороне ВС прямоугольника. Пусть ММХ, ММ2— расстояния от
точки М до данных прямых NP, QL. Проведем BBX±QL, ММ3±ВВХ
Тогда ММХ + ЛШ2 = ММХ -f М3ВХ. Но Л ММХВ = Л ЛШ3Д, так
как они прямоугольные с общей гипотенузой MB и равными
углами МВМХ и ВММъ, как равные одному и тому же углу BCBV
Поэтому ММХ = МЪВ. Таким образом, получаем ММХ + ММ2 ~
~ МЛВ -f- М3ВХ = ВВХ = Ь. Если возьмем точку на какой-либо
другой стороне прямоугольника, то таким же способом докажем, что
и для нее сумма расстояний до данных прямых равна Ь. Так как
для точек, не находящихся на контуре прямоугольника, как было
ранее сказано, эта сумма не равна Ь, то искомое геометрическое
место есть контур построенного прямоугольника ABCD.
882. Пусть ЛВС — любая секущая данной окружности,
проведенная из данной точки А
(рис. 109), причем В и С—
точки пересечения секущей
и окружности. Пусть MB
и МС — касательные к
окружности. Проведем
MP _]_ АО и4 соединим В
и М с О. Обозначим
точку пересечения МО и
АС буквой N. Очевидно,
дОМРсоДОЛМ.
Поэтому ОР\ОМ =ON:OA или
nD ОМ-ON
OP — ~-j—. Но из
ОА
треугольника ОВМ нахо-
ОВ2
дим, что ОМ • ON = ОВ\ Следовательно, ОР = -^-, а так как
ОВ и О А данные величины, то это означает, что любая точка М
проектируется на данную прямую ОА в одну и ту же точку Р.
Следовательно, точка М находится на прямой, перпендикулярной
прямой ОА и отстоящей от центра данной окружности на вели-
ОВ2
чину ОР
ОА
Возьмем теперь любую точку М, находящуюся вне данной
окружности и расположенную на прямой, перпендикулярной ОА и
отстоящей от центра О данной окружности на расстояние ОР =
ту-т-. Проведем касательные MB и МС к окружности из точки М
и покажем, что прямая ВС будет проходить через точку А.
Предположим, что прямая ВС пересечет прямую ОА в некоторой точ-
389
ке Аъ а ОМ в точке Nv Тогда, замечая, что треугольники OAtNt
и ОМР подобны, и рассуждая далее так же, как в первой части
♦ 0В%
доказательства, найдем, что OP = -^-j- ■ Но тогда ОД = О А, а это
и означает, что точки А и Ах совпадают или что прямая ВС
пройдет через точку А. Поэтому можно сказать, что искомое
геометрическое место точек суть два луча КМ и LQ, лежащие на прямой,
перпендикулярной данной прямой ОА и отстоящей от центра дан-
г по ОВ2
ной окружности на расстояние UP = yrr, причем точка Р
находится на отрезке ОА, а не вне его.
883. Окружность, описанная вокруг треугольника ABC,
исключая точки В к С.
Указание. Пусть точка М
(рис. 110) принадлежит искомому гео:
метрическому месту. Докажем, что угол
ВМС есть величина постоянная, равная
углу CAB. Действительно, Z ВМС =
= Z BMD + Z DMC, Z BMD^BFD и
Z DMC — Z DEC, как вписанные,
опирающиеся на w BD и w CD;
Z CED = Z FEA, как вертикальные;
наконец, Z СЛВ = Z DFB + Z FfA — no
теореме о внешнем угле треугольника.
Итак, Z CAB = Z ВМС, а это и
означает, что точка М лежит на окружности,
описанной вокруг треугольника ABC.
Впрочем, возможно такое расположение точек Е и F, что угол ВМС
будет не равен углу CAB, а будет дополнять его до 180°. Но и
в этом случае точка М будет лежать на той же окружности.
884.'Две прямые, параллельные биссектрисам смежных углов,
образованных данными прямыми, и проходящие через точку О
(рис. 111).
Указание. Проведем через
точку О прямые ОК и OL,
параллельные двум данным
перпендикулярным прямым. Проведем AM \\ ОК
и BM^OL, пересекающиеся в
точке М. Пусть К есть точка
пересечения ВМ и ОК и L — точка
пересечения AM и OL. Треугольники OAL
и О KB равны, так как они
прямоугольные, и ОА = ОВ, a Z AOL =
= Z КОВ, как углы с взаимно
перпендикулярными сторонами. Следова-
Рис. ш тельно, OL — О К и точка М лежит
Рис. 110
на биссектрисе угла LOK. Если бы проводить AMt || 0L и
BMt || О/С, то точка Мх лежала бы на биссектрисе угла,
смежного с углом LOK-
885. Пусть ABCDEF — данный шестиугольник и О — центр круга
(рис. 112). Проведем AD, BE, CF и АЕ. Точка М1 разделит
радиус OF пополам. Это очевидно. Проведем BMV Точка М2
разделит радиус О А в отношении 1:2,
как это видно из подобных
треугольников BMiC и М2М10. Итак, ОМ2 =
— —R. Проведем СМ2. Точка М3
будет такая, что ОМ3 = — /^. Это
видно из подобных треугольников
CM2D и М3М20. Соединяя точки Мъ
и D отрезком прямой, получим точку
М^ такую, что 0М4 = -=- R, и т. д.
886. а) Если данные точки Л и В лежат на данной прямой CD,
то любая точка М, лежащая на отрезке АВ, будет искомая.
б) Если точка А лежит на прямой CD, а точка В —вне прямой
(рис. 113), то точка А и есть искомая. Действительно, для любой
точки М прямой CD, отличной от А, выполняется неравенство
AM + MB > АВ.
Рис. 112
Рис. 114
в) Если А и В лежат по разные стороны от прямой CD (рис. 114),
то точка М пересечения прямых АВ и CD будет искомой. На
самом деле, для любой другой точки N прямой CD будет AN -J-
+ NB > АВ = AM -f MB.
г) Если точки А и В лежат
по одну сторону от прямой CD
(рис. 115), то, построив точку Аь
симметричную с А относительно
прямой CD, найдем искомую
точку, как точку М пересечения
прямых АХВ и CD. Очевидно,
для любой другой точки N прямой .
щ
CD будет выполняться соотношение: NA-\-NB*= NAX + NB> AlB=
= АХМ-+ MB = MA -f- MB.
887. Пусть точка А (рис. 116) лежит ближе к MN, чем к PQ.
Проведем через В отрезок BE, равный и параллельный CD. Соеди-
Рис. 116
ним точки £ и Л отрезком прямой и пусть 5 есть точка
пересечения прямых ЕА и MN. Построив отрезок ST, равный и
параллельный CD, где Т — точка пересечения ST и PQ, найдем, что AS -{-
-f ST -J- ТВ — наименьшее и, следовательно, положение ST отрезка
CD—: искомое. Действительно, всякое иное положение SXTX даст
этой сумме значение больше найденного, так как ASX + Si7\ -f*
+ ТХВ *= ASX + BE + ESX = BE -f
+ (£5A + SXA) > BE+ EA =BE +
+ ES-\-SA=ST + TB + AS.
888. . Пусть треугольник АВХСХ
(рис. 117) имеет вершины Вх и d
на сторонах CW и ОМ угла MON,
а третью в данной точке А Построим
точки Ах и Л2, симметричные
точке А соответственно относительно
ON и ОМ, и соединим отрезками At
и Blf а затем — Л2 и С%. Периметр
треугольника АВХСХ равен
периметру ломаной АхВхСхАг. Он больше
отрезка АХА2. Отсюда следует, что
наименьший периметр будет иметь
тот из треугольников рассматриваемого вида, у которого вершины
будут в точках А, В и С, где В и С —точки пересечения прямой
АХА2 с прямыми ON и ОМ. Из 'способа построения ясно, что
решение будет единственное.
889. а) Пусть данные точки А, В и С (рис. 118) не лежат на
одной прямой. Предположим, что задача решена и прямые AD,
Рис. 117
392
Рис. 118
BF и ЕС— искомые. Так как BF должна делить расстояние
между прямыми AD и СЕ пополам, то BF должна пройти через
середину F отрезка АС. Отсюда следует, что одну прямую нужно
направить по медиане BF треугольника ABC, а две другие
провести через точки А и С параллельно ей.
В этом случае задача имеет три решения (три медианы).
б) Если точки лежат на одной
прямой и две из них симметричны
относительно третьей, то любые
параллельные прямые, проходящие
через эти точки, будут искомыми. Если
же расстояния между соседними
точками не равны, то задача не имеет
решения.
890. Пусть АВ—-диаметр
окружности, а О — ее центр (рис. 119).
Проведем АС ± АВ и отложим АС =
= АВ. Соединим С и О отрезком
прямой. Если D — точка пересечения
СО с окружностью, то касательная
MD к окружности в точке D пересечет продолжение диаметра
АВ в искомой точке М. Действительно, д ОСА = Д OMD, так
как О А = OD, a Z AOD — общий. Отсюда DM = АС = АВ.
891. Искомые окружности
должны точками касания D, Е и F
(рис. 120) разбить стороны
треугольника на отрезки AD = AF,
BD = BE, СЕ = CF. Учитывая,
что отрезки касательных,
проведенных из одной и той же точки
к окружности, равны, делаем
вывод, что точки D, Е и F будут П
точками касания сторон
треугольника с окружностью, вписанной
в этот треугольник. Отсюда ясно,
что задача" решится просто, если в
треугольник ABC вписать
окружность.
892. Построим по гипотенузе с — АВ и катету hb =BD
прямоугольный Д ABD (рис. 121). Проведем ВМ \\ AD и засечем ВМ
дугой окружности радиуса AM — 2тп с центром в точке А. Через
найденную точку М проведем СМ || АВ до пересечения с прямой AD
в точке С. Точка С будет третьей вершиной искомого Д ABC. Если
2та = hb или 2та = с, то решение будет единственное. Если
2та > hb, но не равно с, то два решения. Если 2та < hb или
hb < с, то задача не имеет решения.
893. Проведем биссектрисы внутренних углов треугольника, име-
Рис. 119
393
ющего вершины в данных точках. Проведем через каждую вершину
этого Треугольника прямую, перпендикулярную биссектрисе этого
угла. Построенные таким образом три прямые образуют
треугольник, который и будет искомым
(см. задачу 844).
894. На продолжении
радиуса О А (рис. 122) меньшей
окружности отложим отрезок АВ=
= О А. На отрезке АВ, как
на диаметре, опишем окружность,
и пусть точка пересечения ее с
большей окружностью есть С.
Секущая С А и есть искомая.
Действительно, из подобных
треугольников 0±СА и OAD видно,
что АС = -»- AD, а из равных
треугольников ОСА и OED, что
АС — ED. Если радиус
большей окружности больше диаметра
меньшей, то задача не имеет
решения.
895. Через данную точку М (рис. 123) проведем прямую ОМ,
проходящую через вершину О
данного Z АОВ. Возьмем на
стороне ОВ любую точку К, опустим
из нее на О А перпендикуляр KL
и из точки К, как из центра,
дугой радиуса KL засечем прямую
ОМ в точке N. Если теперь
провести MP \\ N К до пересечения
с ОВ в точке Р, то точка Р и
будет искомая. Действительно, про
ОР
ведя PR±OA, видим, что
Рис. 120
Рис. 121
ОК
PR_
KL
РМ
KN
так как KL —
Рис. 122
= KN, то PR = РМ. На той же
стороне найдется и еще одна точка,
удовлетворяющая условиям задачи,—
это точка пересечения стороны ОВ с
прямой, проходящей через точку М
параллельно прямой KNt.
Если угол прямой или тупой, то
точка Р найдется так: соединяем
вершину О угла АОВ (рис. 124) с
точкой М отрезком прямой ОМ и
проводим PL X ОМ через середину L
т
Рис. 123
отрезка ОМ. Точка Р пересечения прямых ОВ и PL и будет
искомая. В случае прямого угла такая точка будет единственная
на- стороне ОВ. Если угол тупой, то такая точка на стороне ОВ
либо найдется одна, либо ее не
будет. Последнее, очевидно,
будет в том случае, когда точка
М находится внутри угла АОХ
или на его границах, причем
здесь OXiOB.
Замечание. Расстоянием
от точки Р до луча ОЛ
является длина отрезка ОР, а не
длина отрезка Р/С,
перпендикулярного к прямой ОЛ. Длина
Р/С есть расстояние до прямой
ОЛ, а не до луча ОЛ.
896. Проведем радиус OD (рис. 125), перпендикулярный хорде
АВ, являющейся основанием ^сегмента. Пусть С есть точка
пересечения OD и АВ. Построим
любой квадрат MNPQ,
симметричный относительно OD, сторона
которого MN лежит на АВ.
Проведем прямую CQ до
пересечения с дугой сегмента в
точке S и прямую СР,
пересекающую дугу в точке R. Из точек
5 и R опустим перпендикуляры
на АВ и пусть основания их Т
и L. Точки 5, R, L и Т будут
вершинами искомого квадрата.
Доказательство правильности
построения легко привести, если рассмотреть следующие три
пары подобных треугольников: CST и CQM; CRL и CPN; CSR
и CQP.
Решение задачи единственное, если дуга сегмента а < 270°.
При а > 270° задача не имеет
решения.
897. Пусть в трапеции ABCD
(рис. 126) построен такой
отрезок MN, параллельный AD,
что М/С = KL = LN. Проведем
прямую CL до пересечения ее с
большим основанием AD в
точке Р. Так как KN = 2-LN, то
AD = 2 • PD. Следовательно, Р
есть середина отрезка AD.
Отсюда вытекает, что для постро-
Рис. 124
/ г
\—\
\
м
0
1 -i
1
Я
L \
CN
О
Рис
125
895
Ркс. 128
ения искомого отрезка достаточно провести прямую,
параллельную основаниям трапеции через точку пересечения диагонали и
прямой, соединяющей середину одного основания с концом
другого. Искомый отрезок определится точками пересечения
проведенной прямой с боковыми сторонами
трапеции. Доказательство
правильности построения легко получится,
если рассмотреть две пары
следующих треугольников: АСР и PCD,
а затем ABC и DCB.
Задача имеет два решения (см.
пунктир на рис. 126).
898. Пусть А и В — данные
точки, a MN—данная прямая.
а) Если точки А и В лежат по разные стороны от прямой MN
или на прямой MN, то задача не имеет решения.
б) Если АВ || MN, то существует только одно решение. В этом
случае искомая окружность проходит через основание
перпендикуляра, опущенного из середины отрезка АВ на MN.
в) Если А и В (рис. 127) лежат по одну сторону от прямой
MN и прямая АВ пересекает
MN в некоторой точке С, то
искомая окружность проходит
через такую точку D прямой
MN, для которой CD есть
средняя пропорциональная
между АС и ВС (см. задачу
851). В этом случае задача
имеет два решения.
г) Если точка А или точ-
*а В, но не обе
одновременно, лежат на MN, то решение единственное.
899. Продолжим боковые стороны AD и ВС (рис. 128) данной
трапеции ABCD до их пересечения в точке М и проведем через нее
и точку О пересечения диагоналей прямую МК, пересекающую
основания трапеции в точках L и К. Эта прямая разделит
трапецию на равновеликие фигуры.
Действительно, прямая МК точками
L и К делит основания трапеции
на равные части, откуда и
следует равновеликость трапеций
ADLK и KLCB. Для
доказательства того, что К и L —
середины оснований, проведем медиану
треугольника AM В, выходящую
из вершины М. Эта медиана
разделит пополам и основание DC.
396
Но прямая, проходящая через середины оснований трапеции,
проходит и через точку пересечения ее диагоналей (см. задачу 859).
Следовательно, проведенная медиана совпадает с прямой МК, а
точки L и К делят основания трапеции пополам.
900. Проведем любую прямую MF (рис. 129) через точку О
пересечения диагоналей данного
параллелограмма ABCD, не
параллельную его сторонам. Она
разделит параллелограмм на две
равновеликие трапеции ADEF и FECB,
где Е и F — точки пересечения
прямой MF с противоположными
сторонами параллелограмма.
Продолжив сторону AD
параллелограмма до пересечения ее с прямой
MF в точке М, проведем прямую
МК через точку М и точку N
пересечения диагоналей трапеции
ADEF, где К — точка
пересечения прямых МК и АВ. Проведем
прямые КЕ и DF и через точку
Т их пересечения прямую MP.
Прямая MP и разделит площадь
параллелограмма ABCD в отношении
проведем через точку Т отрезок QR
о!
о!
ю
{м
\l
\е
\о^"
rw\
;
К Р
в
Рис. 129
1:2. Для доказательства
АВ, где Q и R — точки
пересечения его с боковыми сторонами трапеции ADEF. Так как К —
середина отрезка AF (см. задачу 899), то QT : TR — 2:1 (см.
задачу 897), а следовательно, и АР : PF = DL : LE — 2 : 1. Но тогда
2 1
площадь трапеции ADLP равна -^ площади трапеции ADEF или -~-
площади параллелограмма ABCD.
901. На основании АС данного треугольника ABC отложим
отрезок AD, равный данному основанию треугольника, который
нужно построить. Проведем С К II BD до пересечения с прямой АВ
в точке К- Эта точка и будет третьей вершиной искомого
треугольника. Доказательство следует из равенства площадей
треугольников KBD и BCD.
902. а) Если прямая АВ, проходящая через данные точки А и
В, не параллельна и не перпендикулярна данной прямой CD, то
для точки пересечения прямой CD с перпендикуляром к отрезку
АВ в его середине выражение \АМ — МВ\ будет иметь наименьшее
значение, равное нулю, а для точки пересечения прямых АВ и CD —
наибольшее, равное длине отрезка АВ.
б) Если прямая АВ параллельна прямой CD, то точка М, для
которой \МА — МВ\ имеет наименьшее значение, является
основанием перпендикуляра, опущенного из середины отрезка АВ на CD.
897
Этот минимум равен нулю. Такой точки на прямой CD, для
которой [AM — МВ\ было бы наибольшим, не существует.
в) Если АВ перпендикулярна CD, то наибольшее значение
\АМ — МВ\ будет для точки пересечения АВ с CD. Это значениз
равно длине отрезка АВ. Такой
точки М на прямой CD, для которой
| AM — ВМ | имело бы наименьшее
значение, не существует.
903. Пусть Е и F будут
середины диагоналей АВ и CD (рис. 130).
Проведем через точку F прямую,
параллельную основаниям трапеции,
до пересечения ее с боковой
стороной АС в точке К- Очевидно, KF
будет средней линией Л ACD и она пройдет через точку Е, так
что КЕ будет средней линией Л CAB. По свойству средней ли-
Рис. 130
НИИ
треугольника можно написать EF — KF — КЕ = -~
а — Ь
AD ВС
904. Нужно найти периметр Д DCE (рис. 131). Отрезки
касательных, проведенных из одной и той
же точки к одной и той же
окружности, равны. Поэтому DM = DK,
ЕМ** EL, BK = BN, AL = AN, a
искомый периметр 2р = CD -f- DE -f*
+ CE = CD + DM + ME + CE =*
= CD+ (DK + EL) + CE = (CD -f-
+ DK) + (CE + EL) = Ctf + CL =*
= (CB — BK) + (CA — AL) = СЯ +
+ С A — (M + 4L) = a + b — (BN -f-
+ ЛЛГ) = a + 6 — ЯЛ = a + 6 ~ с
905. Положим: ЛО = mx, DB =*
= nx, CE = py, BE = qy (рис.132).
Тогда АВ:ВС: CA = (mx -f- л*): (py -f
+ #*/) • (mx-\-py). Но по
свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из од-
х и
ной и той же точки, DB = BE или пх = ду. Отсюда =—2_ и,
q n
следовательно,
Л# : ВС : СА = (mq -f- л?) J (рл + $w) г (л?<7 + Рп) =*
= ?("* + «): л(р + я) : (л*? + /?л).
906. Пусть радиус искомой окружности есть ОК = х (рис. 133).
Из треугольников 0%ОхО и С^ООз, пользуясь теоремой 6 квадрате
стороны треугольника, получим
Рис. 131
8ва
\(R + xf = (R + r-xf + r2 + 2ry;
\(r + xf = (R + r — xf + R2 — 2Ry,
где у~ОхА— проекция общей стороны на данный отрезок.
Умножив первое уравнение на R, а второе — на г и сложив результаты
получим:
(R + xfR + (г + xfr = (Я + г — xf(R + г) + г2/? + r#V
R3 + 2(tf2 + г2)*'+ (R + г)*2 + г3 = (R + /f — 2(tf + г)2* + (# +
+ r)x2 + r#(# + г); 2*[/"2 + Я2 + (/? + г)2) =
= (Я + г)3 — Я' — г3 + гЯ(Я + r), Ax{R2 + Rr + r2) =
="ЗЯл(# + г) + #/•(# + г), 4(#2 + /?г + г2)х =
Яг(Я + г)
= ARr(R + r), x =
Я2 -f- Rr + r2
д ■ тх F Ру
Рис. 132
907. Обозначим Sj искомую площадь Л KLR (рис. 134).
Соединим точки В и К отрезком прямой ВК и составим отношение
площадей треугольников СКВ и ЛКС,
которые будем обозначать
соответственно
S*.
Получим 52: 53 —
^КС ■ BQ: КС • AT = BQ : AT. Но
д £QAf оэ Д Л7Ж поэтому £Q : AT =
= Ш :Л1Л = 4:1. Отсюда 52: S3 =
= 4:1. Обозначим 54 площадь Д Л/СВ
и составим отношение плошадей 54 и 53.
Получим 54 : 53 - ВО • АК : СЕ • АК =
= BD:CE, а так как BD:CE=BN:NC=
= 1 : 4 в силу подобия треугольников
fi£W и ШУ, то 54 : 53 = 1 : 4.
Складывая равенства -=*- = 4 и -^- =——
Рис. 134
и прибавляя по 1 к обеим частям нового равенства, получим:
^2 + S3 + S4
4 +
+ ' 5, 4
53 - -2J-5.
39в
Но рассуждения, проведенные относительно Д АКС, могут быть
применены и к треугольникам CRB и ALB, так что площади по-
4 _ 4
следних также равны -^— 5 каждая. Отсюда St = S— 3 • ^prS —
908. Д МОС и Д QOM (рис. 135)
углом MOQ. Поэтому они подобны
и можно написать MQ : МО =
= МС : ОС. Отсюда ALV=2-MQ =
= 2 . —^- . Но МО = R,
где /?—радиус вписанного в ААВС
круга;
b~AM +g — NB
2
а + b—{AM + ОД
прямоугольные
с общим
__ a + b — (AP +РВ) д + Ь — с _(а + Ь + с) — 2с _2р—2с __
2 ~2~ 2 ~ 2 ~
= р — с, где р — полупериметр Д ЛВС;
ОС = V"OAf2 + МО = VR* + (р — с)\
Следовательно,
.... 2R(p — c) n abc abc
MN = ._ vr 4=, где Я = -г^г
]//?2 + (р_с)2 4S
Аналогично найдем:
2R(p-a)
МР =
YR^ip-af
NP
^P(p-a)(p-b)(p-c)
2R(p-b)
YK + ip-Ь)*'
909. Пусть Д MNP (рис. 136)
есть тот, периметр которого требуется
определить. Начнем с определения
стороны MN. Для этого обратимся к
треугольникам MNC и АВС. Они
подобны, так как у них угол С общий, а
стороны, заключающие этот угол,
пропорциональны. Последнее утверждение
следует из подобия прямоугольных тре- Я
угольников АМС и BNC, так что, действи-
400
MC AC
тельно, д^ == -g-. Из подобия треугольников MNC и ABC имеем
MN с cR
~5~~ ~р~ или MN = —=~, гдеR1uR — радиусы окружностей,
описанных вокруг этих треугольников. Радиус R мы можем считать
известным, так как он вычисляется по формуле R = —— a Rx =
ОС
= —о-, потому что окружность, описанная около треугольника
MNC, пройдет через О (Z ОМС + Z CWC = 180°), причем ОС —
диаметр (Z ОМС = 90°).
Итак,
/№V =
c/?t __ с-ОС __ с(РС — РО) _ с • PC — с • РО __
R 2R 2R
25 — 25х S — Sx
2/?
2tf R '
где St — площадь Л АВО. Аналогично получим
«J «J9 ■-> . , О О3
/VP =
-*- и РМ
R ' R '
где S2 и S3 — площади треугольников ВСО и АСО. Следовательно,
3S-(S1+Sa + 53)
2p=M/V + /VP + PM =
3S — S = 2S
R ~ R
R
8S2
abc
910. Положим ЛС = а, ВС = b (рис. 137). Получим 2r = CO -f-
-f СЯ = ЛС — Ж) + CB — BE = AC — AF + CB - SP = a + 6 —
— (AF + FB) = a + b — 2R = |/(a + 6)2-2^ = |/a2 + 62 + 2a6-
-2/? = |/4/?2 + 4S-2/?.
Отсюда r = ]/^2 + 5 __ ^
Рис. 137
Рис. 138
401
911. Нужно найти площадь S треугольника MCN (рис. 138).
Зная стороны треугольника ABC, легко найти и радиус вписанной
в него окружности. Поэтому будем считать его известным и
обозначим буквой г. Как видно из рисунка,
S = Smco + Snco — Smno = ~тг МС • r-f-
1
NC
1
■MN-r =
= -^-(MC + NC
MN)r = -L(MC
2 "~ ' 2
NC + MN — 2MN)r =
== "2" (2P — 2аУ = (Р — a)r>
где 2p —периметр A MCN. Этот периметр 2p = kJrl — m (см.
решение задачи 904).
Замечание. Рассматриваемая окружность, вписанная в Д ABC,
по отношению к Д MCN называется вневписанной. У любого тре-
/7
Рис. 139
угольника таких окружностей три. Если стороны треугольника a, b
и с, а радиусы соответствующих вневписанных окружностей га,
гь и гс, то, как показывает решение этой задачи, имеют место
формулы: 5 = (р — а)га = (р — b)rb = (р — с)гс.
912. Пусть Оъ 02 и 03 (рис. 139) —центры кругов, вписанных
в данный А АВС, в Д ABD и в Д С£>Л, где D — основание
перпендикуляра AD, опущенного из А на ВС. Так как Д ЛБ02со д BCOt
и Д £СОх со д ЛС03, то rx: R = ЛБ : БС и г2: /? = ЛС : СБ.
Отсюда:
Итак,
_1
Я2
ЛБ2.
ВС*'
'2
R2
АС
БС2
или
ВС
ВС
+ i
/?2
"БС2
= 1.
*" = г? + г*; R = yif3-?r
402
913. Обозначим буквой S площадь A ABC (рис£ 140).
Соединив центры О и Oi с точками касания и положив Z DOE = a,
замечаем, что Z FOiK—Q0o—а. Поэтому получим
S = ~ АС-СВ = -L (R+AE) (r+BF) =
".-i(^tgf)[r+rtg(45-f)]e ,
^(l.+tgf)[l +
/?r
(l+.t|
а а
T+»-tg-2
Z? v#
В/ К
Рис. 140
914. A DME oo А ЛМС,
ADNEcoACNB, AM NEсо А АСЕ
(рис. 141). Отсюда получаем:
AC _ hj
a ~~ h'
С В hi AC !n+h
a
AC
b
h ' b
AC hi+h
a
h
AC=
ab
AC hi CB hi a b A„
Но из — = — и -— = —- находим, что АС=ВС и, следова-
а h a h '
тельно, АВ=АС+СВ = 2АС=~?^.
а—о
403
915. Из подобия треугольников ACD и АКО (рис. 142)-^- =
К
А2 •
Из подобия треугольников АСВ и КСО
hi , К
Отсюда — 4- -г-
а о
h + h2 +
Аналогично z =
. К + К
2ab
1 и i/ =
А.
6
ab
а + Ь
а + Ь'
Складывая,
lab
Рис. 142
(рис. 143). Аналогично: 00\ = 02В2 + ОБ2 = 0,В2 + 02Л2
получим КМ = у + 2 =
916. Ох02 = ОхЛ2 + 02Л2 или,
обозначая искомый радиус буквой х,
получим (R + xf = {R — xf + 02Л2;
02Л2 = (/? + *)2 — (R —x)\ = 4Rx
или
(tf _х)* « Х2 + 4^х; Я2 - 2Rx + х* = х2 + 4/?дс; #2 = 6Ях;
R
* = -в-
917. Из прямоугольного Л ABD (рис. 144)
АВ2 = ВО2 — ЛО2 = (rt + rj* —
— ('i — г if = 4rxr2.
Проведем касательную к окружности в
точке С и продолжим ее до
пересечения, с АВ в точке Е. Соединим точки
£ и Ot отрезком прямой. Так как АЕ —
ЕС =.ЕВ — У гхг% по свойству
касательных, проведенных из одной точки, то
Л ОуАЕ = АО^С, Z АОхЕ = / СОгЕ,
и, следовательно, прямоугольные
треугольники OxAF и ОхЕС подобны.
Поэтому
не. 143
AF
АОх~
ЕС
ОхЕ
Но АО, = ri; ЕС = уг^
0,Е = VOiC* + CE*=V'i\+Wt й AF=AOt Ж= rx -rXY%
ОхЕ у л + ГхГ%
'>Yt
г%
АС = 2AF = 2г
У:
г%
+ ^ » ^ "™ ^ V /"! + Г2
Аналогично получим ВС — 2г2 • у —-J-—. Кроме того, ранее
было найдено АВ2 = 4/у», так что Л£ = 2|^ 'Л-
404
918. Проведем CD j_ АВ, BF || Ог02 к ЕС ± OA (рис. 145).
Получившиеся при этом треугольники ABF и DEC подобны, как
треугольники с перпендикулярными сторонами. Поэтому можно на-
CD AR
писать —Б- = ~ор-- Но АВ = 2 у"^ С£ = y/fr (см- решение
задачи 917), BF = R-{-r. Отсюда
Рис. 144
CD=--CE •
ЛБ
V/?r
BF
919. Проведем БС || О А
(рис. 146). Тогда из
треугольника ABC по теореме Пифагора
получим
АВ = /БО^ЛС* =
= V(R + rf — (R — rf=2\fW.
Проведем теперь DE \\ OxOz. Из
прямоугольного треугольника
ADE получим
AD=--VW
где х
Л DBF получим
Рис. 145
АВ = V(R + xf~ (R~ xf = 2VR7,
искомый радиус. Наконец, проведем DF || 0203, тогда из
Но
DB = /ОЯ — БЯ = / (г + xf —_(г — х)2 - 2 ^rjc.
ЛБ = AD + ОБ или 2VWr = WRx + 2/rJt;
V~R + У~Г X (V~R + V~rf
Есть и еще одна окружность, которая касается данных
окружностей снизу, а прямой — правее обеих данных окружностей. Ее ра-
Rr
диус равен(|/- + /-2.
405
920. Проведем ОзЕА-О^, 03FJ_AB и соединим прямой
центр Оз с концом А искомого отрезка АВ (рис. 147). Очевидно,
AB = 2AF=2y AO\-FO\=2i с2-х\
где x = 03F = DE.
Рис. 146
Чтобы найти х, рассмотрим треугольники Oi03£ и 0203Е,
имеющие общий катет 03Е. На основании теоремы Пифагора получим
03Е2=030\- 0,Е2 = 0302- 02Е2.
N
Отсюда
(с+а)2-(а+х)2= (Ь+с)2-
— (b-x)2; (а+х)2-(Ь-х)2=(а+
+2х) = (а+Ь+2с) (а-b);
a2—b2+2x(a+b) = a2—b2+
+2c{a—b)\
2x(a+b)=2c(a—b)\ x=
a—b
AB = 2ic2—x2-
=2y
(a-by
(a+by
= 2cX
X
У
(a+6)2-(a-6)2
=4c-
V«ft
(a+6)2 " a+6
921. Проведем OCLBE, где О — центр окружности, и
соединим прямыми О с вершиной А данного квадрата и с
вершиной В — вписанного (рис. 148). Обозначим искомую сторону
через х. Из прямоугольного треугольника ОВС имеем
466
OB2 = ВС2 + ОС2 = ВС2 -f (OO -f DC)2 =
а
+ *
2 / \ 2
Но OB = ОЛ, и из прямоугольного треугольника ОЛО находим, что
о2
2"
Теперь получим:
а2 [ х V . [ а V а2
АО2 = OD2 -j- DA2 = 4- + -х
4 4
* \2 , / а , \2 а2 х2 а2
5л;2 -+- 4ал: — а2 = 0; х = -?-
922. Таких окружностей три (одна с
центром в 03) а две другие изображены
на рис. 149 пунктиром). Обозначим
искомый радиус буквой х, а центры
данных окружностей буквами Ог и 02.
Соединим прямыми 03 с Ох и 02 и
опустим из 03 перпендикуляр 03Л на
линию ОхОг. Рассмотрим прямоугольные
треугольники Ох03А и 02ОгА, имеющие
общий катет 03Л. На основании теоремы
Пифагора получим
ЕС В
Рис. 148
О3Л2 = О1О2_01Л2==О2О2 —02Л2 или иначе
(R + *) — (R + 2г — а;)2 - (г + х)2 — (* — г)\
/ /
/ /
/
/ 1
1 \
L- -\
^ s
' 1
/ \
1 \
\ \
\ -ч
Vs
1/
л
<\
Чк
Л
^Г
4
я
^г
jt
\ ч
1 \
1 v
1 \
/ 1
^>^ '■" *^|
\ ' г
\
s
/
%'' 1
У 1
х у
Решаем это уравнение:
(2R + 2г)(2л: - 2r) « 4гдг, (# -}- г)(лг - г)
#* = r(R -f- г), * - -^-(R + г).
= глг,
407
Нетрудно видеть, что две другие окружности имеют радиусы:
2R + 2r
R +r и-£-(/? +г).
923. Как видно из рис. 150,
DM = у DE* + МР=V (DL + L£)2 + £С2 =
= l/(OL-b^£)2 + (^C — £L)2 = V(OL + LEf+ (OL — LEf =
= ]/ 20L2 + 2LE2 = ]/7l/"Ol4l^ = V^VOB = Y~20E =
Так как длина отрезка DAf не
содержит m, то это и означает, что
она не зависит от т.
924. Обозначим искомую сторону буквой с (рис. 151). Так как
треугольники ЛОВ, ВОЕ и AOD— прямоугольные, то по теореме
Пифагора получим:
АО2 -f OD2 = AD2; БО2 + Of2 = BE2; ВО2 + ЛО2 = АВ2.
Точка О делит каждую медиану в отношении 1 к 2, считая от
основания. Поэтому, если положить OD = х, ОЕ ~ у, то АО = 2у,
ВО = 2х. Так как, кроме того, BE = -^, AD — ^ и АВ = с, то
написанные выше равенства можно переписать так:
а2 Ь2
4#2 + х% = -J ; 4л:2 -ft/2 = —; 4л:2 -f 4t/2 = с2.
Складывая почленно первые два уравнения, получаем
а2 4- № а2 4- б2
5х2 4- Ъу2 = а ^р или 4л:2 + 4у2= ^ .
Воспользовавшись теперь третьим уравнением, найдем
с —
V
а2 4-б2
408
925. Обозначим искомый радиус буквой х (рис. 152). Так как
/ АКО = 90°, то из Л АОК находим: х = АО = УгАК* + КО%\
АК = -«-, а длину 0/( найдем из подобных треугольников 0/(D
и /(Б£ (взаимно перпендикулярные
стороны). Получим
KO:OD = KB: KE.
Но
KB
~; KE = d; BE = ]/KS2 — /(£2 =
У
- — d2; OD =EF = BF~BE =
4
2 V '
d\ КО
Рис. 152
= OD
KB
KE
-{i-Y?
d* ~
a
2d'
Таким образом,
\Г
X = Ad\ a* + b% - 2b V** — 4d2'
926. Таких окружностей возможно четыре — с центрами в
точках А (две концентрические) и D (две концентрические), из
которых подробно рассмотрим только одну с центром в А и радиусом
АК = х (рис. 153). Проведя ряд построений, понятных из рис. 153,
рассмотрим треугольники АСЕ и FCE. По теореме Пифагора
получим
АС1 = АВ + ЕС2 = (AF + FEf + ЕС\
но
АС = АК + КС = х + г; AF = 2r; EF = |/>С2 - £С2 =
= /4г2 — г2 = /У~3; (х + г)2 = (2г + г]/"~3)2 + г2;
(Л + г )2 - 4г2 + 4г2/ ~3 + Зг2 4 г2, (* + rf = 8г2 4- 4]/3 г2;
* 4-г = 2г]/~2 4-/ 3\ х = — r+'2r]/r2 + V~3 =
"= г(2]/2 + 1/Т" — 1) = г(У"~6 4-1^2 — 1).
Здесь была использована формула
iai—тт^; -1 /л + Va*^b ,
у
а—Уа%—в
409
Радиусы других окружностей (две из них обозначены пунктиром)
будут:
AL = г(У~6 + V 2 + 1); DN = г{УЪ - У~2 - 1);
ОМ = г(У~6 — |Л2 + 1).
/7
./
Рис. 153
Окончательно ответ можно записать так:
г(У~6±У~2± 1).
927. Обозначим КР = у, КТ =*
= z (рис. 154). Пользуясь
свойством перпендикуляра, опущенно-
j го из вершины прямого угла на
£ гипотенузу, получим: у2 = tnz,
г2 == пу. Отсюда находим:
Рис. 154
z = -^-; ~2 = пу; у3 = т2/г; </ = У1Ш\ г = К "*^
Теперь, пользуясь теоремой Пифагора, вычислим гипотенузу:
ВС = АВ% + ЛС2 = (m + z)2 + (п + г/)2 = (т + К"^2")2 +
+ (п + >/Ж)2 = К"*2 (К""*2 + К л2 )* + У~п?(У~пт+ \Гт*)* «
= (l/'Ti2 -f >/" т2)2 • (|Лт« -f У~гР) =(У~пг* + У~п?)3-
Обозначая ВС — х, можем написать окончательно:
т6 +п
2_ $_
3 ч2
* = (/?Г +п°)
41*
928. LK2 = AK-KB (рис. 155), где К — проекция С на АВ.
Но Л АНК оо А СКВ (взаимно перпендикулярные стороны),
поэтому АК\НК = СК: KB или АК ■ № = СК- НК Отсюда:
1
LK2 = СК • НК\ LK = У СК- НК или 5 = j АВ • L/C -
= ~АВУ СК- НК
-V
-АВ-СК
АВ • Я/С - l/SiS*
929. Этот радиус можно найти по формуле г =-=-, если
найти третью сторону (рис. 156). Найдем ее. Пусть треугольник с
заданными сторонами есть ABC. Опишем" вокруг него окружность
Рис. 155
Рис. 156
и проведем высоту его BD и диаметр BE. Соединив конец
диаметра Е с вершиной треугольника А, получим прямоугольный
треугольник ABE, подобный треугольнику CBD, так как Z BDC =
= Z ВАЕ = 90°, Z ВСА = Z BE А. Из подобия имеем:
1 ,
5~§ *>-"■-£-»
23
29
==^1_9 иб = 16;
_20
29
ЛС = ЛЯ + DC = ]/" ЛЯ2 — BD2 + >ЛВС2 — BD;
V 202 — 162 +
+
84 144
162=12 + ~ = -^-;
о о
S = ±AC-BD=±
144
5
16 =
1152
Q£ 1152 ал
= 36;Г=5Т36 = 6Л
930. Соединим середину гипотенузы Е с серединой F катета
(рис. 157). Очевидно, EF || АС, а следовательно, £Р JL ВС. Угол
DFf:, таким образом, является прямым вписанным углом в окруж-
411
ность. Поэтому перпендикуляр ED к гипотенузе в точке касания
ее с окружностью пересечется с продолжением катета ВС в точке
Д находящейся на окружности, т. е. ED есть диаметр. Замечая,
что Л EBD со д ABC, так как они прямоугольные и имеют общий
угол ABC, пишем:
ЕР
ВЕГ~
АС 5 4
-^; BE = \-AB = \VAC* + BC* = \,
ED = 2r = BE.-~ =
10 5 с 25
Рис. 158
931. Пусть искомая сторона будет обозначена буквой х, а сам
квадрат занимает положение ABCD (рис. 158). Легко доказать,
что AD L ОхОг, и на основании теоремы о перпендикуляре,
опущенном из точки окружности на диаметр, можно написать
АВ = ОхЕ • EF. Но АЕ = у, ОхЕ =^J-S *
EF = OxF-OxE
r—х Ъг + х
2r
г — х Ъг -f- x
2 2
2х% -f 2rx — 3r2 = 0, x =
и поэтому
KV7-0
Рис. 159
932. Пусть искомая окружность
(рис. 159) имеет центр в точке О
(другая возможная окружность обозначена
пунктиром). Обозначим искомый радиус
буквой х. Сделаем дополнительные
построения, понятные из рисунка. Из
прямоугольного треугольника EDO получим
ЕО* = £D2 -f DO* = ED2 +
+ (AB-BD-OA)\
Ho
412
EO = a + x, ED = ~ EL = -^ EK2 + № = -/a2 + a2
a>/~2
, AB = 2£L = 2a/2;
BD=~EL = ^ИД 0Л = )/" ОС2 + ЛС2 = ]/"jc2 + jt2 = a:)/" 2,
и поэтому будем иметь
«^y + UaV~2-^-xV~2l
(a -f x)2 =
Решаем это уравнение:
(a + xf = | -f ( |a^"2-^"2)2, a2 + 2a* + x2 = | -f
+ ~ a2 — 6ax + 2x2, x2 — Sax + 4a2 = 0,
x = 2(2 — )/~3)a.
Радиус окружности, обозначенной
пунктиром, равен 2a.
933. Обозначим искомый радиус
буквой х (рис. 160). Рассмотрим
прямоугольные треугольники ОАВ и ODF. Применяя к ним
теорему Пифагора, получим
О А2 = ОВг + ЛВ2 = (ОС — CBf + АВ2 = ЛЯ2 4- (\^OD2 — DC2 —
Но
— СЯ)2 = ЛЯ2 4- (К О/72 4- FD* — DC2 — CBf.
О A =x\OF = x\ FD = 2]/То; DC = ^; СВ = /Ш;
и равенство можно переписать так:
413
Отсюда:
10
10
дг2 = ~ + х2 + 40 — ^ — 2\; \0х2 + 375 +10,
2]Л0л:2 + 375 = 50, 10х2 + 375 = 625, Юх2 = 250, х = 5.
934. Обозначим искомый радиус буквой г (рис. 161).
Проведем радиус в точку касания окружности с большим катетом. Так
OD ВС
как OD || ВС, то AOADoo &BAC, и можно написать-^ ==~пд"
Но OD = r; ВС = 3; ЛЯ = ]/9 + 16 = 5; ОЛ = 5 — г и пропорция
запишется так:
15
г 3
= = -=-. Отсюда находим: Ъг = 15 — Зг;
о — /° о
г =
о
935. Из прямоугольных треугольников ЛО^, ЛОВ и СООг
(рис. 162) имеем:
АО\ — ОхВ2 = ЛО2 — ВО2, 9 — О^2 = 25 — (5 — ОгВ)\
0x5 = ^, СО = /00?-0^ = 4.
Рис. 162
Из подобия треугольников О^В и ОхСО находим:
KB: ОхВ = СО: ОхС; /СБ = ОхВ 0С 9 4
ОВ = 001 — ОхВ = Ъ
Отсюда по теореме Пифагора
охс ~
9
10
" 10
41
""10
OK « VKB* + ОВ2 = 4-/73.
_6_.
5 '
Ш
936. Искомая площадь S, очевидно, равна сумме площадей
треугольников АКВ, BLC, CMD и DNA (рис. 163). Но эти
треугольники равны, и поэтому можно записать
ASAKB = 4 • i- • АВ ■ КР = 4
1
а • КР-
Найдем КР- Из подобия треугольников КРВ и RTB получаем
KP:RT = РВ : ТВ и КР = RT • -^-.
Так как площадь ромба равна половине площади квадрата и одна
диагональ у них общая, то вторая диагональ ромба равна половине
диагонали квадрата. После этого нетрудно установить, что -
RT = ±СВ = \а-
ВТ = ~- -АВ
4
3
—а.
4
Что касается РВ, то ясно, что РВ — —а. Итак, имеем:
КР RT РВ - ' д Ь4
^-^ ТВ ~ 4й 2-3
937. Очевидно, радиус этой
окружности равен—£М (рис. 164).
По теореме Пифагора получим:
ЯМ2 = ВС2 + СМ2 = а- + СМ2,
СМ = ЛС —ЛЛ^ - 6 — AM.
Величину AM найдем из
подобия треугольников ABC и AMN,
после чего легко найдутся СМ
и ВМ. Действительно:
АВ2
-g.HS-4
ЛМ2
= |лвс = 2, ЛЯ2
а? + Ьч-
Ф + б2
ЛМ2
2;
ЛМ2 = -^1±-^-,СМ = 6 — ЛМ = 6
ЯМ2
I/ 2' ;
= а2 + СМ2 = а2 + f Ь — 1/ а* + b j = а2 +
Искомая площадь
ВМ2
J- {3 (a2 -f 6*) - 2b VH<* + *2) 1-
418
8
Отметим, что вокруг четырехугольника BCMN действительно
можно описать окружность, потому что Z.BCM -\- /. BNM = 180°.
938. Общая касательная MN (рис. 165) к данным окружностям
будет средней линией трапеции ABCD.
В самом деле, отрезки касательных,
проведенных к окружности из одной и той
же точки, равны. Поэтому КМ = АМ =
^ВМ и KN = DN = CN.
Следовательно, MN — АВ, а искомая площадь 5 =
лт JR3
= MN • BF = АВ • BF=AB ■ %, = 4£-.
BF BF
Ho BE = 0201 = R-\-r, AE = R — rt
AB = VBB — AB = }/(#. -f rf ~(R~ rf = 2\rRr и
8RrVWr
R + r '
939. Обозначим искомую площадь буквой 5. Проведем DK ±AB
(рис. 166), диаметр EL и прямую FL. По
свойству описанного четырехугольника DC -f-
+ ЛВ = Л£ + С В и площадь
S =
ЛЯ + DC
2
D/C =
ЛО +СБ
Dtf =
AD-DK^AD- 2r,.
Рис. 166
так как трапеция равнобедренная в силу
равенства углов DAB и С В А. Величину же
DA найдем из подобных треугольников ADK
и ELF (в силу перпендикулярности сторон).
Составим пропорцию:
Отсюда
AD
EL
AD =
DK AD 2r
~ EFy 2r ~ a '
Ar2
и 5 - AD • 2r -
8r3
940. Пользуясь формулой Герона, найдем площадь треугольника
S = Vp(p-a)(p-b)(p-c).
Соединим теперь центр 0 (рис. 167) вписанного полукруга с
вершиной С треугольника и вычислим площадь А АВС, как сумму
площадей треугольников АОС и ВОС. Получим:
-jAC • 0D + -у-ВС
0E=-^br + ±-ar
416
= —(a + 6); r = „ , , , 2r =
2 v ' " a + b ' * fl-fe
•. 941. Обозначим радиус вписанной в треугольник окружности
С
Я
с
Рис. 167
буквой t. В треугольнике ОБА (рис. 168) гипотенуза АО — 2г, так
как ZEAO = 30°. Поэтому ЛЯ = j/ЛО2 — ОЕ* = гУ 3 = AF.
Заметив, что ЕС — т и BF — nf подсчитаем площадь треугольника
по формуле S — рг, а затем по формуле Герона. В первом случае
■ получаем
а во втором
5 = Vp(P — a){p — b){p — c) =V(m+n + rV~3) mnr /1
Сравнивая правые части, предварительно возведенные в квадрат,
получаем:
(т + п + г |/"~3)2 г2 = (т + л + г У"3)тлг /"3,
(т + л + г|/*"3)г = тпУ~Ъ\ 5 = тл "|/ ЗГ
942. Пусть СМ = * (рис. 169), а высоты треугольников ABE
и CAf£ соответственно /гх и А8. По условию
-g-oAi = "2"(а + ^) № + fh) или ^-~ =
х h
Но из подобных треугольников ABE и C7W£ имеем — — /Г"
Отсюда:
2а_£_ *_а — Ь а — b
1Г+Ь + "а"' Т ~ а + 6 ' х = а' а + b '
14 Шахно К. У. 417
943. AABCcoADBE (рис. 170). Но в подобных треугольниках
отношение их площадей равно квадрату отношения сходственных
сторон, и поэтому имеем
Отсюда
АР
DB
AD + DB
DB
+ 1 = У~2 и
V~s
/?
AD СЕ
V~2.
= |Л2-1.
DB BE
944. Проведем DK II ВС и ML || ВС
(рис. 171). Если обозначить высоты тре-
- угольников DMK и MAL, проведенные
соответственно из вершин D и М, через
N Ах и А2, а искомую длину через *, то
равенство Smncd = Sabnm запишется
5 так:
х + Ь , а + х
Ai-
• А,,
2 -1 - 2
Но, с. другой стороны, AAMLooAMDK и, следовательно,
МК AL х — Ь а — х
Нг
AL х
—5 ИЛИ г—
А2 Ах
А,
Перемножая левые части полученных равенств, а затем правые
и приравнивая результаты, получим:
а + х
х + Ь , х—Ь
-г- • *» • -х-
А,
а — х
2 "* ""АГ
2х2 = а2 4- б2
t xi—p^cP—x*,
'.'-\Г*
* + b2
2 '
945. Решается аналогично задаче
944. Проводим D/C I! ВС и ML Ц ВС
(рис. 172). Обозначим: MV = jc, D£ =
= Аь М/7 = А2. Так как
Sabnm : Smncd = 7 г 2, то
5+* л . £+1 /ь = 7 : 2 или
2 (5 -f х) А2 = 7 (jf + 3) hv Из подобия треугольников AML и ШЖ
имеем ~х- = Х~~ , Перемножая левые части последних двух
А2 К
418
равенств, а затем правые и приравнивая результаты, получим
2(25 — х*)^7(х* — 9), х = ~/ТТЗ.
946. Проведем СЕ || D5 (рис. 173) и обозначим высоты
треугольников CDO и АВО через /^ и Кг. Очевидно, искомая площадь 5
равна площади А АСЕ. Поэтому, пользуясь подобием
треугольников CDO и АСЕ, можем написать
VA =
/~S К + А,
-В .В
Рис. 173
Точно так же из подобия треугольников АВО и ЛЕС получаем
Сложив два последних равенства, найдем, что
У5 +/5 = К + ^ _
5 = (/^ -F/S2)2.
947. Обозначим искомую
площадь через S, длины отрезков AD,
BE и DE (рис. 174) через х, у иг.
Так как каждый из полученных
треугольников в силу параллельности
сторон подобен основному, то можно
написать следующие три равенства:
У
У§1 х /S,
\ ~S х + У + *' ■ \ S х + у + г'
Складывая почленно эти три равенства, получим
VS, + V'5+T/Ta _ х + у + z
5!/ В
x + y + z
>/Т
x + y + z
= 1.
419
Отсюда
или иначе
/s =VSi+VSt+Vs~*
s = (Vs, + ys2 + /s3)2.
948. Обозначим искомую площадь
буквой Q, а высоты треугольников DCE и
ADF, проведенные соответственно из
вершин Си Д через hx и А2 (рис. 175).
Очевидно, Q = Sx + 5д£^, причем в силу
параллельности DE и АВ Sdef не
зависит от выбора точки F на основании АВ.
Так как у треугольников DCE и FDE DE
есть общее основание, то
Sdef
= -г- или
5d£F , , fl2
Sx Ax 5,
Sd£f -f- Si Л2 + ^i
Q A2 + Ai
5i
Л1
ИЛИ -?r =
5,
Л1
Так как ADCEco /\ACB, то — = , *, . Перемножим левые
части полученных равенств между собой, а правые между собой:
Q Vs[ h + h К , Q
s, /s"
ftl
h2 + hx
= 1,
= 1, Q^lAS^.
Vssx
949. Пусть точки В и С
будут точки касания окружностей
с общей внешней касательной, а
Ох и 02— центры окружностей
(рис. 176). Проведем CD || О^.
В прямоугольном треугольнике BCD
катет Б£ = В0Х — 0XD = ЯС^ —
—С02 = 3 — 1=2, а гипотенуза
CD = 0Х02 = 3+1=4. Но если
катет в два раза меньше
гипотенузы, то противолежащий ему
Z BCD = 30°, a Z SDC = Z ВОИ=
= 60° и Z С02Ох = 120°.
Искомая площадь S равна разности
между площадью трапеции Ох02СВ и суммой площадей секторов
АОхВ и А02С. Основания трапеции суть 3 и 1, а высота
Рис. 176
ВС= \fCD2 — BD2 =/16 — 4=21/3.
420
Поэтому
3+1
-2J/3
тг . З2 • 60 . тг. Р . 120
-41/T-^ic
360 ' 360
24[/У—1Ь
6
950. Подставив в формулу Герона
25 и 25 25
получим
V
S =
/
ft, ft2 Л3
1 + 1.
Ai A2
"Аз
1+1
А2 А3
"Ах
1+1-1
А3 hx А2
951. Продолжим одну из медиан за основание треугольника на
отрезок, равный -~- медианы. Соединим конец этого отрезка и точку
о
пересечения медиан с концом основания. При этом получится
2 2 2
треугольник со сторонами -^-тъ -тгт2, ~^-mz и с площадью, в
три раза меньше искомой. Тогда, воспользовавшись формулой
Герона, получим.
5 = -^-У{ЩЛ-ЩЛ-Щ) ( тх-\-щ—тъ) {щ+щ—Шу) (т3-\-т1~т2).
952. Вычислительно это находится быстро, а именно, если
длины диагоналей суть 1Х и /2, а угол между ними а, то площадь
четырехугольника
1
S = -п-1х1г sin a,
а площадь параллелограмма
Рис. 177
Рис. 178
421
Отсюда получаем Q = 2S. Этот же результат можно получить
чисто геометрически. Приведем это второе решение. Пусть дан
четырехугольник ABCD (рис. 177). Так как ACFD, АВЕС и
BEFD — параллелограммы, то AABD = ACEF, /\ВСЕ = А АС В,
AADC = ADCF. Поэтому
Q = ScDF + SbCE + ScEF -f <$£C£> = (SaCD "fc; Sylfic) +
-f- (5,4bd + S^cd) = S -f S -f- 25.
953. Пусть EF — средняя линия трапеции (рис. 178.) Проведем
высоту KL трапеции через точку
пересечения диагоналей. Ввиду равнобедренности
трапеции точки К и L будут серединами
оснований. Соединим точки Е, К, F и L
последовательно. Получим квадрат EKFL.
Действительно, ЕК есть средняя линия
в треугольнике ADC и ЕК =— АС
Аналогично FL =
АС,
2
KF =
DB,
EL = -у- DB. Но в равнобедренной
трапеции диагонали равны, а если АС = BD,
то £/С = /С/7 = FL = LE, т. е.
четырехугольник EKFL есть ромб, а так как
диагонали взаимно перпендикулярны,' то
LEKF = 90° (£/С II ЛС, FK \\ BD) и
EKFL есть квадрат. Отсюда видим, что
Рис. 179 высота трапеции KL — EF = d.
Итак, S = EF -KL = d2.
954. Обозначим искомый /ЛСВ=<х, а радиусы окружностей
через ли/? (рис. 179.) Проведем биссектрису С(Л угла и £7И |] СОх.
Очевидно, Z Д£М = '/ ЕСК = -тг- Так как по условию DE = 2а
2 J
и АВ = 2&, то, полагая R > а, получим sin -у = -дт^г = D —.
Но Л АО^В оо ADOE, как треугольники с соответственно
параллельными сторонами. Поэтому
ОЕ
Отсюда
АВ
DE'
R
2Ь
2а
sin-s- =
6
а
Ь~
- и
-а
R-r
R + r
b — а
b + a
b + a
422
955. Обозначив искомый 'ZCBA = a (рис. 180), поступаем
далее так же, как и в задаче 954. Получим
R-r
C0Sa = lT+7-
956. Нужно найти площадь
четырехугольника NKLM (рис. 181). Ооо-
значим ее буквой «S,' а диагонали
NL = 2х ус КМ = 2у. Выполнив
дополнительные построения, понятные
Рис. 180
из рисунка, получаем из рассмотрения прямоугольных
треугольников ODA и О AN:
2x = NL = 2NA = 2/NO* — О Л2 =
= 2 /NO2 — (OD sina)2 = %YR% — a2 sin2a.
Аналогично другая диагональ
Отсюда
2у = КМ = 2]/#2 — a2 cos2a.
S = -i- • 2х • 2у = 2^2 — fl2sin2a )/#2 —a2cos2a =
-./
^4 _ fl2£« + « sin2 2а;
957. Введем обозначения: Z CAB =
= a, ZBAF = $ (рис. 182). Тогда
/ЛСЯ = 90°-(а + р), а /ЛЯС =
= 180° — (90° — Р) = 90° + ^.
Искомый радиус а; по теореме синусов
ВС _ .
определится так: л: = ~ . -. По той
же теореме можем записать
423
sfna
или
ВС
AC
sin(90° + P)
AC
AB
sin [90°— (a-+p)]
AB
sin a cosp cos (a + P)'
Из треугольников ACF и Л££ получаем
AC = 2/?cos(a + p) и ЛВ = 2rcosp.
Подставляя это в два последних отношения, получим:
2R • cos (a + P) __ 2rcosp cos2 (a -f P) =_r_
~R;
cosp
cos(a + P) ' cos2p
cos (a + P) = | /"~
cos p |/ /?
(a и a + p — острые углы). Отсюда
Sin a
cosp
Рис. 184
Следовательно,
х =-
вс =vw.
2 sin a
958. Очевидно, искомая площадь
5 — SSomn = 8 (Samjv — 5амо) (рис. 183).
Так как в треугольнике АМТ катет АТ = ~^-, а гипотенуза
ДМ = а, то
424
Поэтому
с 1 о « тс а2
1 тс
£аи о = уЛМ ' 0М sin "б" =
= ^-а-ОМ =-La(MT — OT)
AM sin-o о-
Отсюда
S = 8
"24"
-0_
2
1/~3 —1
/3—1
= -|-(тсН-3-3/3).
. 959. Обозначим расстояние AD между параллельными прямыми
через х, а площадь ААВС через у (рис. 184). Пользуясь
теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд, получим: '
BD-DC = BD2 = л:(2/? — х), BD = Ух (2R — х).
Следовательно,
У
\-ВС • AD = 4r- 2BD • AD = BD-AD = xVx (2R —x).
960. Если стороны прямоугольника х и у, то его площадь S =
= ху, а периметр Р = 2х + 2#. Используя равенство л# = S,
преобразуем выражение для периметра. Получим:
Р = 2х + 2у = 2х + 2- — =2. *' + 5
* а: а:
_2 л:2 — 2xV'5+S + 2xV~S = (* — / S)2
+ 4/S.
Отсюда видно, что наименьшее
значение для Р получится при х = У S, и
оно равно 4 У S. Но тогда и # =У S.
961. Положим /Ш = х, AN = у
(рис. 185). Тогда по теореме косинусов
М№ = х2 + #2 — 2л# cos a,
а так как
1 . 1 с
■у **/ sin a = —5; у
2S ctg а = [х —
л: sin а
5
то МЛ* = х2 +
л: sin а
425
+
2S
sin а
дг sin' а
2Sctga.
Величина MN2, а вместе с ней и MN получат наименьшее
значение тогда, когда
X —
X =
л: sin a
В этом случае
S
У*=
Sina
I— = 1/-Д-; MN = l/-^-
1П a у sin a y sin a
= 2-l/lL-sin4-,
V sin cn 2
2Sctga =
1 -f sin-y J =
а искомый периметр
2/7 = 2x + MN = 2 1/ — [
у sin a \
At/ <5 O^ a
= 41/ -r— cos2—;—.
К sin a 4
962. На основании теорем, обратных следующим: 1) сумма
любых двух сторон треугольника больше третьей; 2) Пифагора.
XIV.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В
ПРОСТРАНСТВЕ
(Стереометрия)
963. Возьмем внутри правильного тетраэдра ABCD точку О
(рис. 186). Соединив отрезками прямых точку 0 со всеми верши-
„ нами тетраэдра, получим четыре
пирамиды; АВСО, BCDO, CADO, ABDO.
Очевидно, сумма объемов этих четырех
пирамид равна объему данного тетраэдра.
Обозначив площадь грани тетраэдра и
a 4ef-S.'. _ 1 Г ~~г:-\/> его высоту через S и h, а расстояние
< -- -Vf ~>С от точки q д0 граней, которые
являются высотами полученных пирамид,
через hi, h2, h3, /z4, получим:
D
Рис. 186 ~Sh =-l~shi + 4-5/г2 +4-S/*3+isA4
00 обо
или hi + h2 -f h3 + hi = /г.
964. Если все прямые пересекаются в одной точке, то имеет
место первый случ*ай. Если же какая-нибудь данная прямая не
проходит через точку пересечения двух других данных прямых,
то тогда она лежит в плоскости, проведенной через эти две
прямые, потому что она имеет две общие точки с этой плоскостью,.
,-"Н^
426
являющиеся точками пересечения ее с прямыми, определяющими
плоскость. Аналогично можно показать, что всякая другая данная
прямая (их конечное множество) -также лежит в этой плоскости.
1965. а) Пусть противоположные грани четырехгранного угла
обозначены Р, Q и R, S (рис. 187). Пусть линия пересечения
первых двух есть ОА, а вторых ОВ. Всякая плоскость, пересекающая
грани угла и параллельная плоскости,
проведенной через прямые ОА и ОВ,
пересекает угол по параллелограмму.
Действительно, линии пересечения
проведенной плоскости с плоскостями Р
и Q параллельны АО, а с плоскостями
R и 5 параллельны ОВ.
б) Если плоскость Р || плоскости Q
(или плоскость R || плоскости 5), то
любая плоскость, секущая грани угла и
параллельная прямой ОВ
(соответственно прямой ОА), пересечет угол по
параллелограмму,
в) Если плоскость Р || плоскости Q и плоскость R || плоскости
5, то любая плоскость, секущая грани угла, даст в сечении
параллелограмм.
966. Через вершины К, L, Р (рис. 188) данного куба проведем
плоскость, а через середину А ребра КМ — другую плоскость, па-
Рис. 187
Рис. 188 Рис. 189
раллельную первой. Сечение куба второй плоскостью будет
плоский шестиугольник ABCDEF. Этот шестиугольник правильный,
так как все стороны его равны между собой и равны половине
диагонали грани куба, а углы равны по 120°, потому что они
имеют стороны, параллельные сторонам правильного треугольника KLP-
967. Плоскость, проходящая через ребро AD (рис. 189) и
параллельное ему ребро EF, пересечет сторону /\АВС в середине g
427
стороны ВС. Следовательно, диагональ BD параллелепипеда
пересечет плоскость Д ЛВС в точке К, лежащей на медиане Ag.
Проведя плоскость через ребра BD и ME, аналогично докажем, что
эта диагональ проходит и через вторую медиану Д ABC, т. е.
через точку пересечения медиан.
968. Пусть дан трехгранный угол О ABC (рис. 190). Так как его
двугранные углы с ребрами О А и О В острые, то проекция OD
ребра ОС на плоскость ОАВ расположится
между прямыми ОА и ОВ. Но любой
В плоский угол трехгранного угла меньше
180°. Действительно, если бы он был
больше 180° или равен 180°, то,
учитывая, что сумма двух плоских углов
трехгранного угла больше третьего,
получили бы для суммы всех плоских углов
величину, большую 360°, что, как
известно, невозможно. Поэтому по
меньшей мере один из углов AOD или DOB
будет острый. Предположим, что именно Z AOD меньше 90°.
Тогда проведем плоскость Р JL О А (рис. 191). Так как Z AOD
меньше 90°, a Z АОК = 90°, то Z AOD расположится внутри
Z АОК, а следовательно, трехгранный угол OADC будет
находиться внутри прямого двугранного угла
АОК М- Продолжим грань О АС до
пересечения ее с плоскостью Р.
Получим в пересечении этих
плоскостей прямую ON±OA. Итак, ZAON =
= 90°, a Z AOD — часть угла AON.
Следовательно, плоский угол AOD
данного трехгранного угла меньше 90°,
т. е. он острый.
Аналогично доказывается, что и
плоские углы АОВ и ВОС тоже
острые.
969. Пусть одно из сечений этой "
поверхности плоскостью есть
окружность с центром в Ol (рис. 192).
Проведем через Ох плоскость,
перпендикулярную плоскости полученной
окружности. Эта плоскость пересечет окружность по диаметру АВ,
а поверхность — по ноюй окружности, проходящей через точки А
и В. Взяв центр и радиус этой второй окружности за центр и радиус
сферы, опишем сферу. Любая точка М построенной сферы лежит на
рассматриваемой поверхности. Действительно, проведем через эту
точку и через центры двух построенных окружностей плоскость,
которая пересечет каждую из окружностей в двух точках, а
сферу — по новой окружности. Эта последняя, как имеющая с поверх-
Рис. 191
428
ностью три (даже четыре!) общие точки, лежит на поверхности,
а значит, лежит на ней взятая точка сферы. С другой стороны,
любая точка, не находящаяся на построенной сфере, не
принадлежит рассматриваемой поверхности. Действительно, если бы она
принадлежала поверхности, то тогда эта точка и две точки
пересечения сферы с прямой, соединяющей центр
сферы с рассматриваемой точкой, лежали
бы на одной окружности, что невозможно.
Теорема доказана.
970. Допустим, что такой
многогранник существует и имеет т граней. Пусть
грани имеют число сторон пъ п2, ■ ■ ■ , пт.
Подсчитаем число ребер этого
многогранника. Очевидно, число всех сторон всех
граней в два раза больше числа ребер
многогранника, так как одно и то же ребро служит
общей стороной двум смежным граням.
п л , п1 + п2 + ...
I юэтому число ребер многогранника / = ■ ~—
«2 пт — нечетное и число их т тоже
сумма, стоящая в числителе, тоже нечетная
остатка-на 2. Итак, такого многогранника
каждое из чисел пъ
нечетное, поэтому и
и не разделится без
не существует.
971. Пусть в четырехгранном угле SABCD наибольший плоский
угол есть ASB (рис. 193). Проведем
плоскость через прямые SD и SB. Так
как любой плоский угол трехгранного
угла меньше суммы двух других, то
можем записать: Z ASB < Z ASD +
-f Z DSB, Z DSB < Z DSC + Z BSC.
Отсюда получаем Z ASB < Z ASD -f
-f Z DSC -f Z BSC.
Доказательство было проведено на
примере выпуклого угла. Однако и
теорема, и метод доказательства
справедливы для любого четырехгранного
угла.
972. Рассмотрим какую-нибудь
плоскость Р, проходящую через данную точку В и не проходя
щую через другую данную точку А (рис. 194). Пусть AM ±
JLплоскости Р. Соединим В с А Та М прямыми. Получим
прямоугольный Л АМВ. Отсюда ясно, что точка М лежит на сфере
диаметра 2R = АВ с центром в середине О отрезка АВ.
Нетрудно доказать, что и обратно — любая точка этой сферы
является проекцией точки А на некоторую плоскость, проходящую
через точку В, так что эта сфера является искомым
геометрическим местом.
429
973. Проведем через данную прямую АВ (рис. 195) плоскость
Р, пересекающую данную шаровую поверхность с центром в О по
окружности с центром в Ох. Соединим прямой точки О и Ох
(ООх _l плоскости Р) и через О проведем плоскость Q J_ АВ,
которая пересечет АВ в точке С.
Треугольник ООхС прямоугольный и
лежит в плоскости Q Если
плоскость Р будет вращаться вокруг
АВ, продолжая сечь шаровую
поверхность., то Л ООхС будет
продолжать оставаться
прямоугольным и лежать в плоскости Q.
Поэтому, если АВ не имеет общих
Рис 1Q4 точек со сферой, то
геометрическое место точек Ох будет часть
дуги окружности диаметра ОС,
заключенная внутри данной сферы. Если АВ касается сферы, то
это будет окружность радиуса, в два раза меньшего радиуса
сферы. Если АВ пересекает сферу, то геометрическое место точек Ох
будет окружность диаметра ОС.
Во всех случаях центр находится
в середине отрезка ОС.
974. Пусть требуется провести
плоскость через прямую EF
параллельно прямой АВ (рис 196).
Возможны два случая: a) EF ||
II АВ. Тогда любая плоскость,
проходящая через EF, но не
проходящая через АВ, будет
параллельна АВ, потому что если
плоскость проходит через прямую,
параллельную данной прямой, то
она параллельна этой прямой,
б) EF скрещивается с АВ. Возьмем
на прямой EF любую точку О и проведем через нее прямую CD ||
|| АВ, что по аксиоме параллельности можно сделать, причем
такая прямая будет единственная. Через пересекающиеся прямые
EF и CD можно провести плоскость
и притом только одну. Эта плоскость
будет параллельна АВ, потому что
она проходит через прямую CD,
параллельную АВ Покажем, что
такая плоскость единственная.
Предположим противное, т. е. что
существует еще плоскость, проходящая
через EF и параллельная прямой АВ
Рис. 196 Тогда проведем третью плоскость,
Рис. 195
Я-
-в
430
Рис. 197
проходящую через АВ и точку О, что можно сделать, и притом^
такая плоскость будет единственная. Последняя плоскость будет'
пересекать первые две по двум различным прямым, проходящим
через точку О, параллельным АВ. Но это невозможно.
Следовательно, в этом случае плоскость,
проходящая через EF параллельно АВ,
единственна.
975. Пусть АВ и CD (рис. 197)
скрещивающиеся прямые. Проведем через
прямую CD плоскость Р, параллельную
прямой АВ (задача 974), и плоскость Q,
перпендикулярную к Р. Проведем еще через
прямую АВ плоскость R,
перпендикулярную плоскости Р и пересекающую Р по
некоторой прямой EF. Плоскость Р, как
перпендикулярная к плоскостям Q и R,
будет перпендикулярна к линии их пересечения MN.
Следовательно, MN перпендикулярна к CD и EF. Но EF || АВ и MN
лежит в плоскости прямых EF и АВ, поэтому MN j_ АВ. Итак,
MN есть общий перпендикуляр
прямых АВ и CD.
976. Пусть прямые АВ и CD
(рис. 198) скрещивающиеся и ни одна
из них не параллельна третьей
данной прямой MN. Проведем через АВ
плоскость Р, параллельную MN
(задача 974). Такая плоскость будет
единственная. Проведем через CD
плоскость Q, параллельную MN.
Такая плоскость тоже будет
единственная. Линия СВ пересечения плоскостей Р и Q и будет
искомой. Однако может случиться, что плоскости Р и Q
параллельны. Это будет иметь место тогда, когда прямые АВ, CD и MN
параллельны одной и той же плоскости. В этом случае задача не
имеет решения. Не будет решения и тогда, когда прямая АВ, или
прямая CD, или обе они параллельны MN. Если АВ и CD лежат
в одной плоскости, но не параллельны MN одновременно, то,
когда плоскость Р, в которой лежат прямые АВ и CD, параллельна
MN, -»- существует бесконечное множество решений; когда эта
плоскость Р не параллельна прямой MN,— существует одно решение
(если прямые АВ и CD пересекаются) и ни одного (если прямые АВ
и CD параллельны или все три прямые пересекаются в одной точке).
977. Пусть данные плоскость, прямые и длина отрезка будут
Р, АВ, CD и d (рис. 199). Через прямую АВ проведем плоскость Q,
параллельную CD, а через CD — плоскость R, параллельную АВ
(см. задачу 974). Очевидно, плоскости Q и R параллельны и дан-"
ная плоскость Р пересечет их по некоторым прямым KL и MN,
Рис. 1!
431
параллельным между собой. Строим отрезок EF — d так, что
точки Е и F лежат соответственно на /<Х и MN. Если теперь
провести прямую АС так, чтобы она была параллельна прямой EF
Рис. 199
и пересекала прямые АВ и CD (см. задачу 976), то отрезок ее,
заключенный между точками пересечения А и С, и будет искомым.
Однако возможно такое
расположение плоскости Р, прямых АВ, CD и
отрезка d, а также задание длины
отрезка, что задача не будет иметь
решения, или будет иметь два
решения, или бесконечное множество
решений.
978. Образовавшаяся фигура есть
правильный тетраэдр^4£С£> (рис. 200)
с ребрами АВ =а\/2. Его объем V=
_ з _ л а* _а3
~а 6 ~ 3'
Рис. 200
979. Фигура — правильный
восьмигранник (октаэдр) с ребром АВ =
(рис. 201). Он состоит из двух равных правильных
1 п
пирамид EABCD и FABCD с высотой ЕО = -^- EF = -у. Поэтому
=i^ =
aV 2
1 taV 2
объем V = 2VABCDE - 2 • -i- p^ J • -f- = ±.
980. Обозначим ребро основания буквой х, а боковое ребро
буквой у (рис. 202). Тогда S = -~- х2 + л;г/ -f- -*- DB • £F. Полная
поверхность призмы 5л = 2*2 -f- 4л;г/. Умножая предыдущее равенство
432
на 4 и сравнивая с последним, видим, что Sn — 45 —-2DB • EF
Но DB = BCV~2= xV~2; EF =FBctg -^- = * ^ ctg
Выразим у через л::
2'
</
EC = VEF*-FC*= j/^ctg2-^--^-==
Vr2sin-y
Рис. 201
Теперь можно найти х:
S = -±-x* + xy + ^DB.EF = ±.x*
Рис. 202
X2 V^COS a
V~2
-Ь
sin-
+ —х/2 . —|— ctg-у = I sin —+ V2cosa + cos-2 I,
2sinT
X =
25 sin ~
sin-^- -f- V 2 cos a -f cos -~-
433
Искомая полная поверхность
5Л = 45 —2x^2
хУ2
ctg-ir = 45-2A:actg4- =
= 45
45sin^-ctg —
sin-~- + )^2cosa + cos-^-
2
= 45.
sin-rt- -f V 2cos a
, a r-K a
sm— -}-y 2cosa+ cos—
981. Из прямоугольных треугольников ADO, DOB и £)Л£
(рис. 203) находим:
АО2 = AD2 —DO2 = с2
DB
= с£ —
cos 45*
= <72
cos22°30'/ " \соб22о30',
1+cos 45° J^
cos2 22° 30' — cos2 45°
cos2 22° 30'
с2
-с2
2 Y 2cos2 22° 30'
; АО =
cos2 22° 3Q'
с
V*V
2 cos 22° 30'
Рис. 203
Поэтому искомый объем
V=Sh = S-AO = abs\n4b° •
обе
К
2 К 2 cos 22° 30'
2 К 2 cos 22° 30'
982. Искомый объем V = ab • DO (рис. 204). Опустим из D
перпендикуляры DA и DC на смежные ребра основания. Так как
Л DAB = Л DCB, как имеющие общую гипотенузу и по равному
острому углу, то АВ = ВС и прямоугольник АОСВ является
квадратом. Теперь легко найти высоту параллелепипеда:
484
DO =VDB* — OB* = VDB*—(AB2 + A02) = YDB2 — 2АВ2 =
= Усг — 2c2 cos2 a = с У 1 — 2cos2 a = с У — cos 2a.
Отсюда
V = abc Y —cos 2 a.
Замечание, cos 2a < 0, так как 2 a > 90° (плоский угол
трехгранного угла меньше суммы двух других)
983. Через точку А (рис. 205), отстоящую на единицу длины
от вершины S данного трехгранного угла SABC, проведем
плоскость, перпендикулярную ребру SA. Так как углы р и j острые,
то плоскость пересечет и другие ребра трехгранного угла. В
сечении -получится А АВС, его угол ВАС и есть, очевидно, искомый.
Положим Z ВАС = ср. Для нахождения ср выразим ВС2 с помощью
теоремы косинусов через стороны треугольников АВС и SBC и
полученные выражения приравняем. Будем иметь AC1 -f- АВЪ —
— ЧАС • ABcos ср = 5С2 -f SB2 — 2SC • SBcosa или 2 AC ■ ABcos cp =
= 2SC • SB cos a — (SO — AC) — (SB2 — AB2). Но из
треугольников ASC и Л5В найдем: ЛС = tgfr ЛВ - tgr; 5C = —Ц-: SB -
SO — AC1^ SB2 — AB*=l.
-2tgP tg Ycoscp =
2 cos a
cosr
— 2; cos cp =
cosP'
Поэтому получим:
cos f) cos y
cos a
cosy ■ sin p sin т
Учитывая равноправность углов a, (3, y, получим для двух
других двугранных углов следующие выражения:
cos3
COS Y COS a COS Y
и
cos a cos p
sin y sin a
sin a sin j3
435
984. Пользуясь рис. 206, можем написать, что искомый объем
V = Im sin y • BD = Im sin у • ВС sin ср = //тг sin у • /Ш sin p sin cp =
= Imn sin p sin у sin ф. В последнем выражении неизвестна только
величина sin ср. Но
cos a — cos В cos т
cos ср = г '
(см. задачу 983), 1 -J- cos ср =
1
sin р sin у
[cos a — cos (p -f- у)]
sin p sin у
sin p sin y + cos а — cos p cos у
sin p sin у
2 . a + P-H
X sin
sin p siny
P + T-a
sin
X
Рис. 206
Рис. 207
и аналогично
1 — cos ср =
sin ' „ !-sin——£ -■ Теперь легко наи-
sinpsin-f 2 ""* 2
дем sin<p на основании формулы sin ср ="^1—cos2cp
х У 1 -f- cos ср, после чего получим
V = 21тп
= У~1 — COScpX
у sin-
+ Р + Т ,;„ а + Р — Т ei„ Р + Т ~ а С1.„ Т + *
2 sin - -sin^—^ sin
985. Обозначим буквой о искомую площадь треугольника M/(L
(рис. 207). На основании теоремы о свойствах параллельных
сечений пирамиды имеем
2 / п , \2
АР
Щ
l-AO.+^AO,
436
*" l 3 ^ 6 / 36 *
Отсюда а
25
36^
986. Чтобы провести плоскость через центр основания О (рис. 208)
параллельно ребрам ВС и AD, достаточно провести через О
прямую L/C || ВС, через точку L пересечения
L/C с ребром ЛС прямую LN || Л£) и через
прямые L/C и LW плоскость. Последняя
и будет та, о которой говорится в задаче.
Сечение LNMK есть прямоугольник.
Действительно, построенная плоскость
параллельна ребру СВ и поэтому она
пересекает боковые грани, проходящие через это
ребро по прямым, параллельным ребру СВ.
Поэтому MN || L/C. Точно так же LN \\
М/С, так что LNMK— параллелограмм.
Кроме того, по теореме о трех
перпендикулярах, ВС J_ AD и, следовательно,
2_
3
2 1
987. Так как грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости
основания, то в основание можно вписать окружность, и вершина М
пирамиды проектируется в центр О этой окружности, (рис. 209).
Искомый объем V = -7г Sabcd • МО. Определим высоту
Рис. 208
LNMK — прямоугольник, Очевидно, /CL •
а искомая площадь S =
CB = -ja,
КМ =
1
= тло
^
I
~9aL
МО
= уЕМг — ЕО2. Из чертежа основания ABCD видно, что h = ВК =
= 2 • ЕО. Следовательно, ЕО = —h. Определим теперь ЕМ из
1
AEMF. Площадь его 5= -~- МЕг sin a
МЕ = у
f"~~2S I
ким образом, найдена высота МО —Л/ —. 7
r f sin a 4
AD + ВС
2S
sin а
Та-
h2. Найдем
площадь основания, oabcd
ВК, а так как по свойству
описанного четырехугольника AD -j- ВС = АВ + CD и в силу
равнобедренности трапеции АВ — CD, то AD + ВС = 2 • АВ и Sabcd =
— АВ • ВК = АВ • h. Остается определить АВ. Из подобия
треугольников АВК и ENO имеем АВ : ВК = ЕО : EN. Но ВК = К
1 ЕО №
ЕО = — h, поэтому АВ = ВК • 7пг> = л—™ • Из А ЕММ находим
2 LW 2 » LW
437
EN = EMsin ~ = l/4^- • sin 4- =
2 V sin a 2
2S ■ sin2
yVtg|
/s.tg^'
5л£С£> =
0 . a a
2 sin -^- cos -pp
]/ s ■ *
Рис. 209
а искомый объем
"8 ,/2*_
/, , / о х « V sma
А2
4
h3
- V'85 /i2sina.
12/25 sin-|-
988. Пусть сечение, площадь 5 которого нужно найти, есть
KLM (рис. 210). Основание KL этого треугольника мы найдем,
воспользовавшись тем, что Л ОКБ со Л DCB и Л КОС оо Д ВАС.
КО h% . КО hx
Получим
, , = —i-, а сложив эти равенства, найдем,
КО КО h2 + hx . „п аЬ т л
что -т— = -=—=—- = 1; КО = ——г. Точно так же убедимся,
b a h a + b j « »
что OL=OK =
a6
-, так что /(X
2а6
Высота треугольного
а + 6' '"" "" *х" " a-f-6
сечения М^ = 1ЛИ£2 -f h\ = j/"MF2 — F£2 -f h\. Ho AfF
= FBdg4
— ctg -^-, EF = h, а /*! найдем из ранее получен-
438
OK hi , h л,_ bh _
ного соотношения = -±, что даст ht = — OK = ——г. Таким
ah a a + b
образом, S = -wKL • MOi = ——r
2 a + £
/t
ctg»-5—Л« +
62/l2
С Е N/ 9 D
{a+bf
Рис. 210
989. Обозначим искомую площадь через 5, а площадь Д Л/Ш
(рис. 211) через Sv Известно, что площадь проекции плоской
фигуры равна площади проектируемой фигуры, умноженной на
косинус угла между плоскостью проекции и плоскостью фигуры. По-
Рис. 211
Рис. 212
с с Л с Si с АВ2 sin 60°
этому \ = о cos a. Отсюда 6 = • , где 6Х = ^ =
1/3" 1
= Л52--~. По условию ^5Х • CD = V. Но так как CD =
439
= DE.igoi = ABsin60ctgoi=AB^3 tga, то V= l-AB'-^-X
X
ABV3
2
площадь
tga = ——2_ и АВ = 2^Kctga. Поэтому искомая
о
5 =
Si' Kl/2ctg2a . ]/3
cos a cos a
990. Пусть DABC (рис. 212) —данная пирамида. Проведем
высоту DE грани DC В и высоту DF пирамиды. Их основания Ей/7,
очевидно, будут лежать на высоте АЕ треугольника ABC.
Обозначим х = АЕ = DE. Тогда искомый объем V можно записать так:
V = ~ • -j CB • АЕ • DF = -i-a* • D/7 =
= 4-0* /ЛД2 — Л/72 = ~ ах Vй2 —
AF\
Величина AF = у найдется,
если сравнить два выражения
для DF2, полученные из
треугольников ADF и EDF. Это
даст:
а2 — и2 =
а
у2 = х2 — {х — у)2,
2 ^2ху, У = 2^> где
x = DE = CEctg-j =
а , a
= TctgT.
Рис. 213
Поэтому
V = -—<ах
о
V*-T?-£m
COSz-7j SIFT
а
2 a3 Kcos a
sin'
12 sin —
991. Обозначим площадь основания и высоту призмы
соответственно S и^ Н, так что искомый объем V = S • Н = a2 sin 60° • Н =
= а*НУ3., Из ДВХ£А (рис. 213) получаем Н = ВВк =
440
= VByE* — BE2, где BE = KB sin 60° = a^3 , а ^Я = BxO + 0£.
Замечая, что треугольники KDB и K\DXBX равносторонние со
сторонами а и EF — средняя линия AKDB, находим, что
а а За
ВХЕ =
- + ■ =
2sin-~- 4sin-^ 4sin-y
Поэтому
H =
aj/3
/9a2
16 sin2-|-
a
3 2 aV"3 , / 3 . 2 <*
_-a2= 1/ — sin2-?r =
4 . a y 4 2 -
2 sin-?r
2 sin
i i/". 1Cno • о a a ^3 -. / cos a
— I/ sin2 60 — sin2-^ = — 1/
± V 2 2sin| V
aY\ ]/sin (б0°+^-) sin (б0°-^
— cos 120е
2 sin
V =
3a3
4 sin
~Y sin(60°+-^jsin(^60c
992. Обозначим сторону ЛВ (рис. 214)
основания буквой х. Искомый объем
V = SABC -CD= -^-AB-CE.CD =
= \аВ- AEtga-CD =
= \х --ftga- CD = -L*»tga. CD.
Выразим CD через х:
Рис. 214
CD = l/D£2-£C2 = |/(-f tg pj2- (-|-tg a)' =
= Л l/tp2R_tg2g = x Vsin2 P cos2 а — sin2« cos^J _
2 У Щ ? g 2 cos a cos p ~
= xVAsin(P + a)sin(^ —^)~
2 cos a cos (3
441
Чтобы найти х, подсчитаем периметр Л ЛВС Будем иметь
х
2р = АВ + ВС + СА = АВ + 2СА = х + 2
2 cos a
Отсюда:
= х
1 -f- cos a 2
cos а
cos а
pcosa Т7 1 ,, ,-,,,.
х = г. a V = -rx2ig<i • CD
cosa-^-
x3tgg ")/sin(ft -f a) sin (ft — a) _
8 * cos a cos ft ~"
p3cos3a tg a ,/ . /Q ,—, ,. /Q :
— У sm (ft -f- a) sin (ft — a) =
8 cos8 -7j- cos a cos ft
p3 sin 2a /sin (ft -f a) sin (ft — a)
16cose-~- cos ft
Рис. 215
Рис. 216
993. Выразим полную поверхность 5 пирамиды через сторону
основания DB = х (рис. 2J 5). Обозначив площадь основания
пирамиды через Sx и пользуясь формулой площади проекции плоско?
фигуры (см. решение задачи 989), получим
„ . , 2SlCos24 *2K3W^-
cos a
cos a
cos a
2 cos a
442
Но
1 х2КЗ
*2Кз
V - -J- Sx • ЛО = 4- • Чг^ • 0£ • tga = Ч^ • -4-СЯ • tga -
12
л:2/3
х3
= 36 * *sin6°otga = -24 tga и x = 2f 3Kctga.
Подставляя значение л: в найденное выражение для 5, получим
5 =
2 |/Tcos2^-/9F2ctg2a
cos a
994. Из прямоугольных треугольников ECB, EAB и ЕDC {рис. 216)
находим: FB=2CB = 2££ cos a = 2m cos a; KB = 2AB = 2BEcosP =
=2mcosP; £C=££sina =msina; fD^j/fC2—CD2^!/^^—ЛЯ2 =
= )/m2 sin2 a — m2 cos2 P = m yAsin2 a — cos2 p =
= /и
/cos 2a + cos 2 В лГ -.——^ 7 cT~
£ - = /я К — cos (a -f B) cos (a — p)
и искомый объем
V = -Lfb ■ BK • ED = -j m3 cos a cos p /— cos (a + p) cos (a — "{J).
Замечание, cos (a -f p) < 0, так как a -f- p > -^ (сумма двух
плоских углов трехгранного угла больше третьего).
f
Рис. 218
Два /""Г)
995. Искомая площадь S = ^ • KL (рис. 217). По
теореме синусов из Л KFL находим
KL KF FL
а
sina sinp sin(180° — a— p) sin(a + p)'
443
Следовательно,
KL =
a sin a
ri KF
a sin;p
sin (я + (3)'
одм
FO
sin (a + (3)'
Из подобных треугольников MNE и DC£ находим:
CD : MiV = K£ : £F. Ho МИ =* a; £F = = ъ ,
cos a 2 cosa
KE = EF — KF = — asinP = a sin (a — ft)
2 cos a sin (a + P) 2 cos a sin (a -f P)'
Отсюда
Ci
Поэтому
/>n _ ma/ ^ _ a sin (a — ft) • 2 cos a _ a sin (a -r- p)
EF ~~ 2 cos a sin (a + p) • a — sin (a + P)
c ЛВ4-СО „r 1
a sin (a—p) a sin a
a + sin (a + p) J ' "sin (a + p) ~
a
sin (a + p) -f sin (a — p) a sin a _ a2 sin8 a cos p
2 sin (a -f p) sin (a + p) sin2 (a + p)
996. Обозначим сторону основания СВ буквой х (рис. 218). Тогда
искомый объем
1 1
V = 4-' -тгВСЧт 60° • FO = 4-V-Л =
*а/3
!|/3
6 2
12
К.
Из подобия треугольников /1FO и ADE (прямоугольные, имеющие
общий Z FAE) получаем АЕ : DE = ,4F : FO. Но
АЕ = ЛС • sin60° = -£lpL; DE = CE- ctga = ^-ctga;
OF = Л и ЛF = FO ■ ^ = h • g^j = yT • h • tg a.
DE
2xctga
Из Л ;4FO : AF2 = АО2 + OF\ а так как АО =- -|- /Ш = t-|- x;
OF = /z; /!F = /*yTtga, то (Л J/Ttg я)2 = (^~ х ) + /г2;
, 3/i2tg2a=-~x2+/i2; ~i-*2 = Su2tga — u2;
х2 = 9h2 (tg2 a - tg2 30°) = 9h2 ^n (a+ 30°). sin (a ~ 30°) =
X О / CQS2 a . CQS2 3Q
444
_ 12sin (a + 30°) • sin (a — 30°) u2
— fi t
cos" a
,. x2V~3 , j/3>sin(a + 30°)sin(a — 30°)
Итак, V = —гк h =
12
cos^a
997. На рис. 219 изображена часть
п -угольной пирамиды. Z АС В — 2 а есть
двугранный угол при боковом ребре.
Найдем площадь основания
S = п • S0BE = n.-jBE- ОК= п х
1 0 , 180° 2 . 180°
Х~2 -2а- а • c\g—- = /2 -a2ctg-^—.
Определим высоту пирамиды ОМ. Из
подобия треугольников ОМЕ и CD£ имеем
OM:CD = EO: EC. Но
ОЕ = ОВ =
KB
sin-
180е
sin-
180е
-; CD = BD • ctg a =
= B£ < cos/ DB£-ctga = 2а cos—ctg a Z DBE = I KOB;
ec = Ved2—cd*
V
EBsin
180е
CD2 =
-у>*^)-(
о 180° * I -
2a cos ctg a —
2a л / . 180° . 2
= ——I/ sin sin2 a
sin a у n
-%- V-
sma у
cos"
180е
cos2 a =
180° , \ / 180°
cos I (- a cosa
Поэтому искомый объем
1
V = -^.S.OM=±S.CD.EI° =
445
2 , 180° 0 180° ,
па2 ctg —«— • 2a cos • ctg a •
sin-
180c
2a
sin
-У -cos(i^-+a)
cos
180c
na3 cos a • ctg2
180°
,./-«(Ж + .)
cos
180°
Замечание, cos
180c
-f- a < 0, так как
180°
+ a > 901
Действительно, Z EBD —
180c
> Z CBD, потому что tg Z EBD =
180°
a>ZCBD-f-ZBCD-.
= 90°.
998. Плоскость сечения AEF (рис. 220), очевидно, не может
быть перпендикулярна к грани ADC, потому что, опустив
перпендикуляры из вершины D на линии АЕ
и AF, легко убедиться в равенстве их,
что невозможно, так как первый из
них был бы одновременно
перпендикуляром к плоскости, а второй —
наклонной к ней. Это же ясно и из
свойств симметрии:
перпендикулярность к плоскости' ADC влечет за
собой и перпендикулярность к
плоскости ADB. Поэтому плоскость сечения
перпендикулярна к плоскости BDC
Обозначим сторону основания буквой
1в х и выразим через нее площадь
основания и боковую поверхность
пирамиды:
S1=l ЛВ*5т60° =^5-_
2 4
(5г — площадь основания);
S2= 3
ВС- DL
<S2 — площадь боковой поверхности). Здесь ВС = х, а DL найдем
из подобных треугольников DOL и KAL (они прямоугольные и имеют
446
общий Z DLA). DL: AL = OL: KL. Ho AL = v , OL =
= -~- AL = ■—^—, KL = --DL. Поэтому получаем:
О О ^
DL.KL = OL- АЦ DL--^DL = -^ЦД- • -^-; DU = ~\
6
За;2-4
/e:
£>b = ^^r И5» = —• o= = -_ ,___ = ^=z
)A2 2/2'5i 2^2/Зл:2 ]/ 6
999. ^ = 4" 5^cd • ОМ (рис. 221); Wd = AD + BC • C£ =
ВС + 2DE + ВС
C£ = (ВС + DE) • СЕ
= (a + a cos a) a sin a = a2 (1 -j- cos a) sin a = 2a2 sin a cos2
2 •
Для определения высоты ОМ пирамиды замечаем, что ввиду
одинакового наклона ребер к основанию вершина пирамиды
проектируется в центр О описанного около основания круга, радиус
которого есть АО. Найдем этот радиус. Для этого, описав вокруг тра-
11
/1
/ 1
/ 1
к.
/1
//
/
/
а
\
\
\\
\\
и
\
\
-J0
Рис. 221
пеции круг, замечаем, что так как хорды АВ, ВС и CD равны
между собой, то равны и соответствующие им дуги. Отсюда
заключаем, что центральный / АОВ — а, потому что
соответствующая ему w АВ = — АС, Теперь из Л OF А получаем
.a . a
sin— 2sm"2-
Из Л МО А находим
МО = АО • tg <p =
а
2япт
tg?.
447
Поэтому
V — — -2а2 sin а cos2 -^-
О it
2sin
9 я
— • tg<p = -g-a3cos3~tg<p.
1000. Пусть KN = h к KL = а (рис. 222). Обозначим высоту МО
буквой Я, тогда М/( = —#• Заметив, что MN =]/MK*—KN2 =
1/-1-Я2-/*2 и ML = УМК?-К1? = \/\нг~ «V
воспользуемся двумя парами подобных
треугольников: МОЯ и MAW; МОР и
MKL. Из первой пары имеем: у^ =
МЛ/ Dn #iV
-7777- ИЛИ ВО = МО • -г^^
МО МЛ/
=н.
h
V\H%-
; из второй:
h2
ОР_
KL
МО nD МО
X
Я
/:
-. Но так как ОР
Н% — аг
= РВ, то О В2 = ОР2 + РВ2 = 2 • ОР2. Отсюда:
Я/г \2 . / Яа ^2
/:
= 2-
Я2 — /*2
Vt"*-
ай
№ [ JL. я2 — а2 ] =
1 \ 2а/г
Найдем сторону основания
ВС = 2 • ВР = 2 • ОР = 2
аЯ
/:
= 2-
2яА
Поэтому
/" a2ft2
У 2а1—
1
Я2 —а2
2V2ah
/2а2 — h2 ~ Vh2 — а2
16а3/*3
3 3(h2 — a2)Y2a2 — h2
448
1001. Полная поверхность 5 = Sabc + 3 • SCmb (рис. 223).
Но SABC = -j AC ■ CBsin60° = Ч v ; Scmb = -уCB • MF =
1
= -^-<7]/CM2-CF2
^/"
CM2 — -^~. Остается определить
СМ. Положим CD = my, MD = яг/. Так как Л МСО со Д £CD
(прямоугольные треугольники, имеющие общий угол МСЕ), то
С£ : CD = СМ : СО. Но С£ = СВ sin 60е
-ф1: со = -§-<* =
^-]/3; CD=my\ СМ = (т-\-п)у. Отсюда получаем, что СЕ-СО
2 ЗУ ч * ]/2т(т+л)'
а СМ = (т + я)г/ = (т + п)Я = JL у2т(т + /г).
= CD ■ СМ или ? г„" ■ -?-l/ 3 = ту(т-\-п)у и у =
(т + п)д _
/2т (/и + /г) 2т
2 ^ |/ 2т
Таким образом,
1
>CMS:
СМ2 — -j?2
/
1 , , f 2m + 2/г — т q2 .,-.——г-.
-т*-
?2Кз
+ 3<72
У(т + 2/г) т __ ^/З
4т
4т
1т+уЗт(т + 2л)1.
1002. Сумма внутренних углов многоугольника равна 180°(т— 2) =
- 904 2 (т — 2) = п, т « -|- -f 2. Обозначим 'Z МСО буквой *
15 Шахно К. У.
449
(рис. 224, на котором изображена — часть всей пирамиды). По
условию ■
'бок
k. Отсюда получаем:
1
т ■ Т •лв ■ мс ьмс ь ос i
1 ^ ^ =k'> ~oc=k или C0SX = mc = T'
т
АВ • ОС
Рис. 225
Найдем теперь площадь основания
S0CH = m.±-AB-CC=m • АС ОС = т • ОС • tg ^
= т ■ ОС2 • tg
Из Л МОС находим
ОС = OMctgx= h ctg x =
Следовательно,
360°
л+ 4'
Л cos д;
h
У'\— cos2 д; Vk%—\
_ m/г2
осн ~ ^2 |
. 360° „ (л 4-4) Л3 . 360°
tg —: И V = -^-777^—Чт • U
'Л +4
6(&2- 1) &Я+4'
ос =
Замечание. ОС можно найти и без применения тригономет-
СМ
рии. Действительно, из равенства -~-^- = k находим СМ = ОС ■ k,
а из Л МОС найдем (ОС • kf = ОС2 + Л2 или ОС = , ^ .
У /г2—1
450
1003. Найдем длины L/C, АС и КР (рис. 225), нужные для
вычисления искомой площади трапеции ALKC. Из подобия тре-
/ К *sK \ 1
угольников SLK и SED ^получим: р-~- = ^тг = -о~; ^ = ~о~ ED =
= -jr-. Чтобы найти АС, обращаемся к рисунку основания. Так как
Z ABC = 108°, то Z CBF = 180° — 108° = 72э, Z -8CF - 18°.
Таким образом, BF есть половина стороны десятиугольника, вписанного
в окружность радиуса q. Поэтому BF = -— q и АС2 = АВ2 +
+ ВС2 + 2АВ -BF = q2 + q2 + 2q- ^ ~ 1 ? = ?2 -^ + 6;
ЛС = -у\/~2 /5+6 = "f"^5 "+" *)• ВеличинУ ^С просто
вычислить и тригонометрически: АС = 2 • АВ cos 36° = 2<7 cos 36° = 2 ? х
х 1-A-t-i = -1(уг5"+ 1). Высота КР = VKC2 — PC2. Но РС=
= -L{AC-LK) = \
±(VS + l)--Lq
i£§_; КС2 = KD2+
4
-+ CD2— 2 • CD-DM = \—\ + q* — 2q ■ -У- (потому что из подобия
треугольников SND и KMD вытекает, что
1 1 1 Ь2 4- 2d1
- MD = -^-ND=-±rCD = -^-q, т. е. /СС2 = ^ *
2 4 4 " м 4 '
Итак,
кр = |/*1+V-fl^^'^+V- .
Отсюда находим
= т|(Уг5"+-2)]/'4624-3^.
1004. Пусть плоскость, рассекающая основание пирамиды на
два многоугольника, есть АМВ (рис. 226) Многоугольник ABD
имеет (г •+- 2) вершины, a ABNLK имеет (л — г). Искомый объем
у = ± 5 • Я = 4" л • 4- ОВ2 • sin — . ОМ -
3 3-2 я
15* 451
n ( CB V . 360° n_ . п
Т[вт^СОв)&т~'ОС'^а-Г
180° (г + Г
2sin
X
X ОС • tg a . sin
360° л
4sin*180> + 1> 2
6 , 180° (г +1)
—ctg -—! -
ч . 360° .
X sin • tg а =
,2 180° (г+1) . 360° ,
nb* cos i—!—' • sin —— • tg а
48sin* 180° <'+'■>
X
Замечание. Из условия г<
/г — 2
следует, что г -f- 2 <
< — -j- 1, а л — г > -д- -f 1, т. е. что /■ -f 2 < л— г и угол ЛОБ
(см. рис. 226), соответствующий многоугольнику с меньшим числом
сторон, всегда будет меньше 180°.
1005. Обозначив площадь основания пирамиды буквой S, а ее
высоту Н и пользуясь рис. 227, получим:
5 = -£- АВ • ВС sin а = -у Р sin а;
C0ST
cosT
- ~l/ cos2 4- — cos2 60° =
си \ 2
452
COS
, / cos a
~ V
cosl20c
cos
_/sin(60^A)sln(60^^);
V =
1 0 .. 1 62 sin ft h -i / . / cno . a \ . / .л» a
COS— ч ; ч
4 & sin -jy sin ^60° + -|-)«sin (б0°—\
Рис. 229
1006. Так как площади треугольников SAG и SAB равны
(рис. 228), то искомая боковая поверхность
Q = -^- ВС • SD+2 - -^-АВ > SE. Но АВ = а;
ЯС = 2 • 5D = 2 • ЛЯ sin — - 2«sin-|-j
S£ =
ED
COS cp
ЛЯ sin -£-
COSCp
AB COS -r- sin —
COSCp
a sin a
= *i
2costf
a sin a
pn PP . a sin a . 1 , « ^о111и. . .
SD=*SE • sin cp = ——— sin cp Q «= —-« 2a sin -p- « ~ sin <j> -f
T 2coscp T ^ 2 2 2coscp T
a sin a a2 sin a / gc . , - \
+ Д--7Г—— = -?: sm-~-sincp-f 1 .
» 2coscp 2coscp \ 2 T /
453
1007. Искомый объем V состоит из объемов двух пирамид,
имеющих одно и то же основание ECF (рис. 229) и высоты AD
и DB. Обозначим площадь основания буквой 5. Имеем V =
= -g- S • AD + "з~ S • DB = -|_ S . (AD + щ = JL S . АВ, где АВ=
— АК • cos a = /cos а. Чтобы вычислить площадь S правильного
треугольника, найдем радиус С£> описанного около него круга:
АВ = /cosa = AD + Ьв = CD • ctga + CD • ctgp =
= CD (ctg a + ctgp) = CD. ™±±IL. CD= 'cos a sin a sin P
sin a sin p ' sin (a -f- p)
Рис. 230
Отсюда
V~±.S.AB = ^.ec: *Л™° -AB =
— ^ 3^in2 a cos3 a sin2 p
"fen2 (a + pj
1008. Приведем плоскость MNPQRS (рис. 230) через центр
октаэдра параллельно какой-нибудь грани, например CFD. Она
ооразует в сечении с октаэдром шестиугольник с вершинами в
серединах М, N, Я, Q, R и о шести ребер октаэдра. Этот
шестиугольник правильный, так как каждая его сторона равна половине
454
ребра октаэдра, а каждый угол между соседними сторонами
равен 120°, потому что стороны шестиугольника параллельны
сторонам правильного A CDF. Соединим все вершины этого
многоугольника с вершиной В октаэдра. Получим пирамиду с высотой ВО =
= -у BE — ~~-h, где h — высота пирамиды BCDF. Обозначим
площадь многоугольника MNPQRS буквой а, а объем
пирамиды BCDF — букюй V2- Тогда для искомого объема V\ найдем, что
vv=i-
1 и 1
6.
pa. Итак, Vx
2 VI h
А~~ ' "о"' где а — Ре"Р° октаэд-
V,
A V,
16 '
1009. Из симметрии пирамиды ясно, что Kq = Lq и АК = AL
(рис. 231). Следовательно, LK _L Aq. Поэтому искомая площадь
S = -— • ЛХ • Aq. Из прямоугольного Д AqM находим
Aq = VAM* + qM'2. Но ?М = h, а АМ = АС — СМ =
AC — Eq AC + Eq aV^+bV!
= АС~
2 2
(a + tyVv
Поэтому
Лд-V
a -\-b
а + Ь
4-Л2
У<Е
+ ьу
+ /г2
V~2 1 "г" К 2
Для вычисления отрезка /CL заметим, что линия /С£ li £Д потому
455
что KL и BD лежат в плоскости BDNF и пересечься не могут в
силу параллельности BD и плоскости ALqK- Из чертежа ясно,
что KL = BD — PD — BD = BD — 2-PD = aV'2 — 1-PD-
Остается найти PD. Так как Д NRD со д LPD, то можно записать
PD ~RD Но NR = h, RD = MC = ЛС-Е* -*Vb~bV2_
LP NR- ' x 2 2
LP = OG, a GO из подобных треугольников qAM и 6Ж)
/2
определяется так:
_52_ _ ЛМ. пг _ _^У_ ип _ h^ а^ - ah = IР
АО ~ AM* AM ' AU ~ a + b ' 2 ~ a + 6 '
Гаким образом,
PD = LP • — = a/z . g~^ = (a —6)a_ а
M? a+6 у 2h (а +Ь)У 2 <
/CL = al/^-2.PD = aK2-2.J^^^^M_.
(a + fc))/ 2 a + Ь
Следовательно, площадь
S l KL Ac l 2V'2ab i/> + 6>' , y-
a + b |/ 2
/i2
1010. Проведем плоскость £Д£ (рис. 232) через точки L и Е
касания, шара с двумя гранями пирамиды и его центр О. Эта
плоскость, как проходящая через перпендикуляры ОЕ и OL к этим
граням, будет перпендикулярна к граням, а значит, и к линии их
пересечения. Поэтому Z LDE = ср, плоскость LZ)£ пересечет С/7
в точке F под прямым углом. Отсюда ясно, что отрезок FD,
равный высоте ромба, разделится точкой касания Е пополам.
Следовательно, можно написать:
а . , ср 4 тга3 . ср
е= -^-sinatg-^-; К = -д- тг г3 = —g- sin3a tg3 -|-.
1011. Опустим перпендикуляр Ж) (рис. 233) на плоскость
основания пирамид. Он, очевидно, пройдет через центр шара.
Проведем апофему АВ пирамиды. Она будет касательной к шаровой
поверхности. Соединим основание О перпендикуляра АО и основа-
456
ние В апофемы АВ. Получим прямоугольный треугольник АОВ и
из него находим, что радиус шара
г = ОС=ОВ -sin Z СВО = -|-sin Z СВО = -у / 1 — cos2 Z СЯО =
1012. Искомая поверхность 5 состоит из трех равных
сегментных поверхностей. На рис. 234 эти поверхности расположены
впереди куба, ниже его и левее. Шаровая поверхность касается
ребер, сходящихся в вершине Е, и граней, пересекающихся в
вершине F. Обозначая радиус сферы г = OA=OL = ОВ и пользуясь
формулой сегментной поверхности, получим
S = 3.2*r -CD = 6rcr .МЯ = 6*г(/Ш —ЛМ) = 6тсг(2г — а).
Для определения г обратимся к равнобедренному
прямоугольному AOKL. Из него найдем OL = ОК ]/~2> и так как OL = г,
а ОК = ОМ = АМ — ОА = а — г, то г=*(а — г)У2, г = "_ 2 =
= а (2 — ]/ 2). Поэтому
457
5 = бтгг (2г — а) = 6тга2 (2 _ }/ 2) (3 — 2 ]/' 2) -
-6тга2(10 — 7 ^"2).
1013. V = S.H = ±-AB-BC-EF = ±-M-.^-
2 2 sin а cos а
EF =
Нг • EF
№
2sina • cos a
sin 2a
EF (рис. 235). Остается определить
Рис. 234
высоту EF. Она равна диаметру шара KL или иначе —
диаметру вписанного в Д ABC круга. Последний можно определить по
25
формуле 2г — —. Для этого определим АС.
н
АС =
DB
h
АВ =
cos a cos a • sin a sin on ■ cos a
h h h sin a + cos a -f 1
cos a
sin a
+ .7
Sin a • cos a
; 2p = АВ + ВС -f AC
sin a • cos a
2sin -~- cos -y -f 2cos2 —
2sin -~- cos — cos a
.a p
siiw- • cos a
h =
a , a
sin -77- -f- cos -=-
sin — cos a
• h=
2/i2 • 2sin -y cos a
sin2a.A/2sin(-~-f- -j-j
458
2 У 2 h • sin -?г • cos a
/2A
. . a a
4sin — • cos -fr
. . 7Г a
cos a • sin I ~y + у
2cos -y • sin
it a
v =
h2
sin 2a
• EF =
V2h3
2sin 2a • cos
sin
1014. Пусть ABCD (рис. 236)
данный тетраэдр. Проведем через
ребро АВ плоскость, параллельную
противоположному ребру CD.
Такая плоскость будет
единственная и ее можно построить так:
взять точку К на АВ, провести
прямую CXDX |! CD; тогда плоскость,
проходящая через АВ и CXDU
будет требуемой. Затем таким же
способом построим плоскость,
проходящую через ребро CD и
параллельную противоположному
ребру АВ. Эти две плоскости будут
параллельны. Построив для
каждой пары противоположных ребер
тетраэдра параллельные плоскости,
мы получим многогранник,
который, очевидно, является кубом с диагональю грани, равной а.
Шар, касающийся ребер тетраэдра, окажется вписанным в
построенный куб, причем его диаметр будет равен ребру куба. Поэтому
искомый радиус
Рис. 236
*-1лю~|
aV 2
V2
1015. Обозначим буквой ср угол O^^MS (рис. 237) при ребре
основания данной пирамиды. Искомая полная поверхность
•5 = S0CH -f S6oK = АВ2 -j-
АВ'
COS <р
= ЛЯ2-
1 + cosy
COS f
= MN* ■ i+cost = (2* • ctg4-Х- 1+C0S<f
COS? \ S 2 / COScp
= 4#2- ctg2-2. . i + cosy = AR2 (1+coscpf
2 cos у sin2 9 • cos f
459
Остается найти sincp и cos ф. Проведем плоскость OEF через
центр О шара и через точки Е и F касания его с двумя
смежными боковыми гранями. Эта плоскость перпендикулярна к граням,
на которых лежат точки Е и F, и, следовательно, перпендикулярна
к линии их пересечения, т. е. к ребру SB. Поэтому Z EPF — а,
где Р — точка пересечения ребра SB с построенной плоскостью. Из
четырехугольника OEPF находим EF — 2EQ = 2/?cos—. С другой
Рис. 237
стороны, четырехугольник EFLK, где L и К — точки касания
шара с двумя другими гранями пирамиды, есть квадрат и поэтому
EF = -L LE'yi « Y~2Rsin cp = 2#cos-|-,
откуда
sin cp == Y 2cos—; coscp = ]A — sin2 cp = л / \ __
2cos2 ~y =
Y — cos a • cos2 —
1016. Так как боковые ребра DA, DB и DC (рис. 238) данной
пирамиды равны, то высота DO проектируется в центр О
описанного около треугольника ABC круга, искомый объем Vi=-^-S-DO,
1
где S — площадь Д ABC По условию задачи V ~
460
Т
7г Я2 • DO,
3V VS
где JR. — радиус основания конуса. Отсюда DO = —^и!/,= -^.
Обозначим боковое ребро пирамиды буквой х. Тогда можно на
писать:
АВ
= 2л: sin -у; ВС = 2х sin -|-; ЛС = 2х sin -I-.
Воспользовавшись теперь формулами
R = -^ и5 = ]/р(р-а)(р-6)(р-с),
получим
^1 = -
4S
тг • ЛВ2 • ВС2 • ЛС2
• 16S3 =
V
4тс
- cosec2
cosec2 -£- X
X cosec2
Т
/(
sin-^-+ sin ~ н-sin — • х
х
J/ ^sin-|-+sini~sinXJ . (^sin-i + sin-I- —sin^-j
. . т , . а .В
х (sm-i-H-sin-y — sm-^-
1017. Если соединить концы Б, С
и /С (рис. 239) этих хорд между
собой, то получится правильная пирамида,
вписанная в шар радиуса R с плоским
углом при вершине боковой грани 2а.
Требуется определить боковое ребро АС
этой пирамиды. Если провести диаметр
AF через центр D основания и конец
F его соединить с точкой С, то
получится прямоугольный треугольник.
Поэтому, приняв АС = х, получим
= 2R
x* = AF .AD = 2R VAC* —CD* = 2R l/ x2 — (— ClY=
f-4-3
= 2/?|/ x2 —
ЛСsin a
"/'-(тт-У-'ттуЧ—
461
Итак,
X —
4*1
77Т\/ ~а sin2a = ——-
У 3 V 4 -j/з
/ cos 2a — cos 120° _ 4R
У sin2 60° — sin2 a
- = -~ У sin (60° 4- «) sin (60э— а).
1018. Многогранник, объем V
которого нужно найти, есть пирамида.
Вершины М, N, P, Q (рис. 240) ее
основания находятся на апофемах
пирамиды. Чтобы это доказать, проведем
плоскость через высоту АО пирамиды и
радиус ОР полушара, где Р — точка
касания шара с гранью ACD. Так
как АО перпендикулярна к плоскости
основания пирамиды, а ОР — к
плоскости боковой грани, то проведенная
плоскость будет перпендикулярна к
обеим этим плоскостям, а следовательно,
и к линии CD их пересечения. А это
значит, что линия АВ, являющаяся линией пересечения
проведенной плоскости с гранью CAD, перпендикулярна CD, т. е. АВ, «а
й
которой находится точка касания Р, есть апофема. Объем V —
— -^-PQ2 • РЕ. Для определения PQ заметим, что AAPQoo AABL
и поэтому
PQ
LB
АР u id l irn а^2
а для опре-
АР
деления —г^- положим Z АОР = Z РВЕ = <р, после чего получим:
462
. АР = AOsin у = ABsin2<p, —rg- = sin2cp = 1 — cos2cp =
AP
AB
-'-'-3-),--(-Й'-'-*'т
COS2 -jr Sin2 ft
2 2 cos a
-.2
9 a ~ 9 a
COS2 -^- COS2 -д-
Таким образом,
_. _ , _ АР а I2 cos a
PQ = LB- —тъ* = , а РЕ = PBsin tp =
2cos2 —
a OB . a BD .
a , a . a , a l/cosa
tg -7Г sin ? = -=- tg -7r
Поэтому
V =
2 & 2 T 2 6 2 a
cosT
'a ]/~2 cos aД a ±^ a "j/cos a
0 2 a I ' T T cT
2cos2 — / cos -y
a3 cos2 a sin -jT- У cos a
12cose-|-
1019. Спроектируем трапецию ABCD (рис. 241) на плоскость,
перпендикулярную оси цилиндра. В плоскости проекций получим
трапецию AxBlCxD1. Так как в нее вписывается окружность и она
к пп AxBx-\-CxDx a + b
тоже равнобедренная, то ВХСХ = —£ ■=—^-±- = —^—, потому что
АХВХ = AS = 6 и CXDX — CD — а. Подсчитаем высоту трапеции:
АХЕ = l/(^y_(^Z^y = VaX"Отсюда sin* =-^, где
х — искомый угол. При этом должно быть ab <№.
1020. Соединим середину L отрезка АВ (рис. 242) с серединой
М отрезка CD. Отрезок LM является общей медианой
равнобедренных и равных между собой треугольников CLD и АМВ. Поэто-
463
му LM есть общий перпендикуляр к ребрам АВ и CD тетраэдра.
Найдем его длину: LM = YBM2 — BL% = 1 / JL аг L а2 =
-. Пооведем через ребро" CD плоскость, перпендикулярную оси
ТА2
Рис. 241
Рис. 242
конуса. Так как осевое сечение конуса есть две взаимно
перпендикулярные прямые, то угол между проведенной плоскостью и
образующей АВ равен 45°. Поэтому LS = LM = —?=-, a SM = LM V2=
У2
= а. Но CM2 = SM-MN или -^ = а • MN. Отсюда: MN = -?-;
4 4
О/С = 5АГ = -i- (SM + ЛСД =
= т(й+т)=та' °*^
_L SM; КМ = KN —MN =
= SK — MN = 4- a ra=:
о 4
з
= -г- а. Следовательно, ОМ —
о
« уШ^ТШ* = ^^.
1021. Пусть CD/5, (рис. 243)
есть сечение тетраэдра
плоскостью, проходящей через его вы-
464
соту DO и боковое ребро DC, а заштрихозанный прямоугольник
KLMN — соответствующий разрез цилиндра, объем V которого
требуется определить. Здесь CD = /, a CF = DF = —^—■, как
высоты граней правильного тетраэдра. Обозначим высоту цилиндра
MN = h, а радиус основания ON = г. Из подобия треугольников
ЯСГ и MNC получим
NC:MN = TC:ET или °С~Г = ~. (*)
Но
ОС = -|- С/7 - ^5. /; ЕТ2 = FT -ТС (Л FEC — прямоугольный);
(±FCX
FT — _ V / —- PV — ^ Л ТГ — FC FT—
~ 2 / 18 / 9 1% * V ~[8~1'Т~ 9 ''
Поэтому равенство (*) можно записать так:
-Чг- l — r) -FTl==h й— / или /г И — г = — /. Из
V 3 / 9 9 2>Л2 2/6
подобия треугольников L/C/7 и ETF найдем FK '• KL = /*Т: ЯГ
OF-r FT nr 1 }Л5
или т—— = pjr. Но Or =-— tC = —p-h поэтому получим:
(^/-г]^/ = /г-^/;Л + 2У"2г = -Д^/. Решив систему
11 ~ 2 V~3
а А=-2ГЛ
Отсюда
465
1022. Соединим центр окружности С (рис. 244) с серединой D
хорды АВ отрезком прямой, а также соединим точку D с верши-
CD
ной конуса Е. Так как CD ± АВ, a tg Z DEC = ^-, то отсюда
видно, что /С DEC — наименьший из
всех углов, которые образует прямая
ЕС с различными прямыми,
проведенными в данной плоскости через
вершину Е. Следовательно, прямая ED есть
проекция прямой ЕС на эту плоскость
и Z DEC = ср. Учитывая это, найдем
длины отрезков ED и АВ, после чего
искомую площадь 5 можно будет легко
вычислить. Имеем:
ED=-
СЕ R-iga
COScp
COS'f
АВ = 2- AD = 2]fACi — CD2
2/?У.1— tg2atg2<p =
2R
2R
cos a cos cp
= 2VR*-{CE.ig«?Y =
2l/^M^tga.tg<p)2 =
У cos2 a cos2 cp — sin2 a sin2 <p
cos a cos cp
У cos (a -J- cp) cos (a — cp).
Поэтому
S = ~AB- ED~
RHg.a
Рис. 245
■ У cos (a 4- <p) cos (a — <r>T.
cosacos'cp v \ i т/ v т/
1023. Искомый объем V равен
сумме объемов конусов ADE и АСЕ
(рис.,245). Поэтому V = -^ тг • АВ2 X
XBD +-j тг . А82 • БС=-^- тг
X (DB + ВС) =-|- тг. Л£2 • DC. Но
ZX^ = DF ■ cos a = / cos a. С другой
стороны, DC = DB + BC = AB ctga-f
Л£2Х
-Ь ЛЛctgр или /cosa = А5 • (ctga + ctg 0) = AS • ^«s^fr
466
л . п I cos a sin а sin 3 _ „ А
Отсюда АВ = г—т—, л, . Подставив наиденные значения АВ
sin (a -f р)
-.„ тг тг/3 cos3 а sin2 а sin2 3
и DC в формулу объема, получим V = ~ . 2, R.—к
1024. На рис. 246 изображено осевое сечение тела вращения
(заштрихованная фигура). Искомый объем V равен разности между
суммой объемов конуса ABL и усеченного конуса LKDA и
объемом конуса DCK- Поэтому
у = * IAF* • BF + (ЛР + АР . £)£" + DP) <EF~DE? • Ш =
= * [ЛЛ • (BF H- F£) + DP • (FE — EC) + AF . DE ■ EF] =
о
e JL (ЛР • BE+DE? • FC+ AF -DE- EF) = -£- [ЛР- (ЯС + CE)+
-f DE2 • (BC — FB) + AF.DE.(BC->r CE — BF)] =
= -~- [(2a sin a)2 (6 -)- a cos a) -j- (a sin a)2 (b — 2a cos a) -f-
о
тг a2 sin2 a
-f- 2a sin a • a sin a (b -f a cos a — 2a cos a)] = ^ (46-}-4acosa-f
-|- 6 — 2a cos a -j- 26 — 2a cos a) =
7тг a2 6 sin2 a
1025. V = -~Sh = ---AD ■ CDsm$ - OM = -^-CD* - OMsin$
467
(рис. 247). Но МО = ML sin a = a sin а, С£>
С/С
Я/7 2-OL
2 • LM cos а
sin
V =
2а cos а
sin В
sin (3 sin p sin p
1 / 2а cos а
sin
. Таким образом,
a sin a sin (3
2а3 sin 2а cos а
3sin §
1026. Обозначим радиус основания конуса буквой г, а его
образующую— / (рис. 248). Боковая поверхность конуса
образующими М/С, ML и MN, по которым касаются коническая поверхность
и описанная вокруг конуса пирамида, делится на части -jQ-nrl,
lo
А 7 1П
-jo- тс /-/"И -г^- тс /7. Отсюда видно, что w KL = -,-=- тс г,
1о 1о 1о
uLiV =
12 14
«= -Г5" тс г, \j NK. — -Yo"ТСГ и» следовательно, w /CL : w LiV: w NK.=
lo lo
= 5:6:7, так что Z /COL = 100°, Z LOW = 120°, Z NOK = 140°.
Обозначим площади частей боковой поверхности пирамиды, на
которые ее делят образующие М/С, ML, MN, через Slt S-2, S3.
Очевидно, 5X = 2 • Saicl = CL-l = OL-tgZ LOC • / = /7 tg 50° и
аналогично 52 = r/tg60°, S3 = r/tg70°. Итак, имеем 5Х: S2:S3 —
= r/ tg 50°: /7 tg 60°: rl tg 70° = tg 50*: tg 60°: tg 70°.
1027, Приведенный в тексте решения рис. 249 не
соответствует действительности. Однако это искажение позволяет лучше
подметить нужные для решения зависимости. Пусть SO и SOx — вы-
468
соты двух смежных конусов; SK и SL — их образующие, по
которым они касаются плоскости, и точки А и В— проекции центров
О и Ох на эти образующие. Точка М есть точка пересечения ли-
/1
нии OOt с образующей, по которой эти конусы касаются. Очевидно,
Z OMS = 90°. Из Л OMS находим АВ = ООг = 2 • ОМ -
= 2 • OS • sin Z OSM = 2 • 05 • sin -у, где л: — искомый угол. Из
• Д ASC находим АВ * 2 • ЛС — 2 • SA • sin 60° - 2 • SO . cos -1 х
X sin 60°. Сравнивая, находим: 2 • 05 • sin -^- = 2 • 05 • cos -у sin60°,
sin|--cos-|-.sIn60o,tg-|-=sin60o, tg±j¥l, *=2arctg^.
469
1028. Как видно из рис. 250, искомый объем
V = ~ тс г2 • KF + ~ тг • FD* • AF i-rc . FD* ■ OF =
= 4"[2r* • KF + FD* • (AF — Of)l = -^(2r2 ■KF-\-FDi-r)^
rcr
(2r • Л77 + Z7/)2),
где г = -~-; /С/7 = /C£ • sin a = 2rsin2 a = /г sin2 a; FD=OD • sin 2a =
=r sin 2a = — sin 2a. Отсюда
Tt/l
V = -^l/t2sin2a+^r-sina2a
тг/г3
(1 -f cos2 a) • sin2 a.
1029. Пусть искомый радиус есть x = OD (рис. 251), объем
конуса Vx и объем шйГрового сектора, заключенного внутри
конуса, V2. По условию Vx — 2V2. Выразим Vx и V2 через г, а и х.
Получим:
V1 = -g-icr».0£ = i-icr8ctga; У2 = -|- ic *2 • /СМ =
= -|-**2 • (О/С— ОМ) = 4-'^^2 • {х — xcosol) =
= -75-тт.*3 • (1 —cos a) =
Y * xs sin2 -y
470
Подставим найденные значения для Vt и V2 в равенство V1 = 2V2
Это даст — 7r/-3ctga =-^-Tr^sin2-^-.
Отсюда:
г3 ctg a
8sin2 -я-
-L 3
2
ctg a
sin'
1030. Проведем плоскость через высоту МС (рис. 252) и
апофему ME пирамиды. Образовавшиеся при этом треугольники МСЕ
и МЕЮ подобны. Из их подобия находим, что СЕ: OD = МЁ : МО
Рис. 252
Но СЕ= BE- ctg Z ECB = -|- • ctg-^-; OD = /? (неизвестный);
ME = УШ*~^В~Ё* = у a2 i-?2; ЛС = У ME2— СЕ2 =
l/«2-i^2-T^ctg2l^=l/a2-T^
cosec*
180°
/
1
1
а* —
4 . .180° 0. 180°
sin2 2sin
п п
j/^sin2-^-^;
MO = MC — CO = MC — R.
Из предыдущей пропорции имеем:
СЕ ME
R MC — R
• CE-(MC — R) = ME-R;
471
R =
СЕ -МС
СЕ + МЕ
g-cig
Т/
4а2 sin2.
180°"
180
2 [q cos \- Y 4#2 — Q2 • sin
180е
1031. Проведем высоту СВ и апофему СК пирамиды и соединим
их концы В к К (рис. 253). В полученном Л СВК Z СКВ =
= Z COF = а в силу перпендикулярности сторон. Проведем
диагональ LD основания и соединим точку D с концом Е диаметра СЕ.
Из прямоугольного Л CDE получаем
1
1
BD* = CB- BE. Но BD = ~ LD= -^-]/ АВ> + Л!2 =
V~2
2
\
Ж)= V~2-DK = V 2 • В/С = 1/2 • СВ • ctg a =
= l/~2-A-ctga; СВ = A, BE = 2R — h.
Теперь получим:
2/г3 • ctg2 а = /г (2/? — /г); R =
= -^-(l+2ctg2a); У в-± „.£»=,
= -i- тг /г3 (1 + 2ctg2a)3.
1032. Возьмем осевое сечение
конуса ЛВС (рис. 254). Пусть
искомый Z BCD — х. Соединив центр О
шара с концом С образующей ВС
и его же с точкой касания F шара и
образующей ВС конуса, видим, что
Z BOF = Z BCD — х
(перпендикулярность сторон) и Z OEF=Z. BCD —
— х (как соответственные). По условию
задачи V2 = -х- Vlf где Vx — объем данного конуса, а V2 — объем
отсеченного плоскостью конуса со стороны вершины данного.
Обозначив радиус шара буквой г, выразим объемы Vx и V2 через г и
угол х. Находим:
Vx = -L tz • CZ)2 • BD = -^ (OD • ctg Z OCD)2 • CZ) • tg Z BCD =
2 • ctg2 4r ' r • ctg-£- • tg * = ~ • г3 • etg3 -£- • tg*;
472
OF
rrr iff I I I l-i \ lip ТГ /"3
V* = T ' °B ' °B = 3" \ sinZ FEO) ' cos~Z BOF ~ 3sin2 x cos^"
Подставляя найденные значения Vx и V2 в равенство ]/2 =
1 1/
= -^- Ki, получаем:
-г-» = -?г ct§3 тг *g *» sin2 * cos * с*£3тг tg x = 2,
sin2 x cos л: 2 ь 2 b 2
sin3* ctg3 — = 2, sin x ctg — == Y 2,
cos —
2sin—- cos —
2 2.x
sin-
l/ 2, cos2— =Jr2-
1
x 1
C0ST = W "2
f 2
= arc cos a,_ , x = 2arc cos
V~2
l
K^
Рис. 255
1033. Пусть ВО (рис. 255) есть высота конуса. Она проходит
через центр Ох шара и центр О основания конуса. Опустим
перпендикуляр CD из точки С касания шара с образующей АВ на
высоту ВО и центр 0± шара соединим прямой с точкой С.
Получившийся при этом Z DC01 *= Z Д£0 = — (в силу
перпендикулярности сторон). Опустим из точки С перпендикуляр СЕ на пло-
473
скость основания конуса. При этом получим, что Z АСЕ = Z ЛВО
= -jr- (соответственные). Искомый объем
V = J-tt(CZ)2 + CD • ОЛ + ОАг) . Ш.
Определим входящие сюда отрезки:
2'
CD = 0ХС • cos Z DCOx == r cos
DO - тх + OjO = ОхС • sin Z DCOx + г = r I 1 + sin ,,
О Л = ЛС =
C£
DO
г 1 -f- sin
cos Z ЛС£ а
cosT
COS
Подставляя найденные величины в выражение объема, получаем
к 3
rcoe-g-l +ГС05-2--—^ i +
COS-тг
+
r2 1 + sin
COS2
r(l+sinT] =
7Г r31 1 -f- sin
X
X
1-fsin-s-
I —sin2 —
=t"s 1+sinT)(1-sinT+1
1 —sin
ткг V +sinTJ ;———
4 ' 1 — sin —
474
1034. По теореме синусов имеем АВ = 2/? sin Z /1СБ =
= 2/? • sin (180° — 2«f) = 2R • sin 2? (рис. 256). Высота пирамиды
CD=AD- tg<p=-y,4£ • tg <p - R sin2? tg <p.
Поэтому искомый объем
у = * s • И =^-AB-EF.sina . CD = 4"^- sina-CD =
3.6 о
= -7- < 4/?2 • sin2 2cp sin a • R • sin 2cp tg <p =
2
= -— #3 . sin3 2<p tgcp sin a.
Рис. 256 Рис. 257
1035. На рис. 257 изображено сечение конуса плоскостью,
проходящей через ось конуса и ту его образующую, к которой, пер*
пендикулярна касательная к шару плоскость. Следу этой плоскости
на рисунке соответствует прямая DF. Соединим центр шара Q
с точкой касания С шара и образующей МА и его же с точкой
касания F шара с построенной плоскостью. Очевидно,
четырехугольник COFD есть квадрат со стороной г. Высота конуса
мв = ов + ом = ов + у ос2-]-см2 = ов +
+ V ОС2 + (MD — CDf = г + V r* + {d — r)\
475
Радиус основания конуса АВ определится из подобия треугольни:
ков АВМ и ОСМ (прямоугольные, имеющие общий угол АМВ).
Имеем:
АВ:ОС-МВ:^С; AB-OC$-r. r + VJTW^f ,
Таким образом, объем конуса
Рис. 258 Рис. 259
Замечание. Возможна и другая касательная плоскость,
кроме изображенной на рисунке. Она отстоит от построенной на
расстояние, равное 2г. В этом случае объем конуса
V = — k + V' r2 + (d-frf ]3
3 (d + r?
1036. Возьмем осевое сечение цилиндра (рис. 258). Обозначая
радиус цилиндра буквой х, а объем буквой у, можем написать
у = кг* - CD. Но из прямоугольного треугольника CD А находим,
что
CD = У AC2 — AD% = V 4tf2 — 4х2 = 2 ]/#2 — х\
Отсюда получаем формулу
у = 2тг хг У Яг — х%.
1037. Можно, но тогда придется отнести к призмам также
такие многогранники, которые не принято называть призмами.
Например, ромбический додекаэдр (рис. 259).
ОГЛАВЛЕНИЕ
. I. Преобразование алгебраических выражений . 3
II. Алгебраические уравнения 15
III. Составление уравнений 25
IV. Прогрессии , 34
V. Логарифмы 38
а) Общие свойства логарифмов 38
б) Логарифмические и показательные
уравнения 39
VI. Соединения и бином Ньютона 42
VII. Преобразование тригонометрических
выражений ... 45
VIII. Тригонометрические уравнения 54
IX. Неравенства 57
X. Комплексные числа 63
XI. Математическая индукция 66
XII. Исследование функций и построение
графиков 68
XIII. Геометрические задачи на плоскости
(Планиметрия) . . . 71
XIV. Геометрические задачи в пространстве
(Стереометрия) ... 80
Шах но Константин Устинович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
Л^АТЕМАТИКЕ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
Изд, 5-е, стереотипное.
Редактор Молчанова А. К. Худож. редактор Вп-
лентович В. Н. Техн. редактор Моргунова Г. М.
Корректор Гресик Е. Г. •
Подписано к печати с матриц 2/IV 1969 г.
Формат 60X90V16. Типогр. № 3. Печ. л. ЗЭ.
Уч.-изд.. л. 29,7. Тип. зак. 1650. Тираж 50 000 экз.
Цена 95 коп.
Издательство «Вышэйшая школа»
Государственного комитета Совета Министров БССР по
печати. Редакция физико математической
литературы. Минск, ул.. Кирова, 24.
Полиграфкомбииат им. Я. Коласа
Государственного комитета Совета Министров БССР по
печати* Минск, ул. Красная, 23,
УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
ИЗДАТЕЛЬСТВА «ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА»
ПО ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ
Вышли в 1968 году
В ей ник А. И. Термодинамика. Изд. 3-е, исправл.
и дополн. 22,76 л. 93 коп.
Адзерихо С. Я- и др. Введение в линейную
алгебру, теорию поля и ряды Фурье. 8,2 л. 23 коп.
Г у рек и й Е. И., Ершова В. В. Основы
линейной алгебры и аналитическая геометрия. Изд. 2-е,
исправл. и дополн. 20,12 л. 66 коп.
Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения.
23,3 л. 80 коп.
Турецкий А. X. Теория интерполирования в
задачах. 15,85 л. 70 коп.
Тышкевич. Р. И., Феденко А. С. Линейная
алгебра и аналитическая геометрия. 30,42 л. 1 руб.
Заказы на эти книги направляйте по адресу: г. Минск,
пл. Свободы, 19. Магазин «Книга — почтой». Заказы
выполняются наложенным платежом.
О содержании и оформлении этих книг просим
сообщать издательству: г. Минск, ул. Кирова, 24.
Издательство «Вышэйшая школа».