В. А. КРЕЧМАР
ЗАДАЧНИК
ПО
АЛГЕБРЕ
I
э
I
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ	I
I
(
>
>
г
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА.
МОСКВА 1864

512
К 80
УДК 512. 0 (075.4)
АННОТАЦИЯ
Настоящая книга является сборником задач
повышенного типа по элементарной алгебре и
тригонометрии.
Ее цель — дать материал для самостоятель¬
ных упражнений учащихся средней школы, же¬
лающих углубить свое знание математики. Ко
всем задачам (за единичными исключениями) да¬
ны решения.
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к первому изданию	 4
Задачи Решения
§	1.	Целые рациональные	выражения	 5	96
§	2.	Рациональные дроби	 И	^
§	3.	Радикалы. Обратные	тригонометрические функции.
Логарифмы	 22	137
§	4.	Уравнения и	системы	уравнений	первой	степени	.	32	163
§	5.	Уравнения и	системы	уравнений	второй	степени	.	42	193
§	6.	Комплексные	числа и	полиномы 	 51	222
§	7.	Прогрессии и	суммы		 68	278
§	8.	Неравенства 	 75	305
§	9.	Математическая индукция	 85	346
§	10.	Предел	 90	367

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В течение последних двух лет Ленинградский государственный
университет проводил математические олимпиады.
Автор принимал в ник участие, предлагая задачи по алгебре и
тригонометрии. Так родилась эта книга.
Ее цель—дать возможность попробовать свои силы в решении
более трудных алгебраических задач лицам, познания которых в этой
области не выходят существенно за пределы элементарных. Поднятие
общей культуры математического мышления в пределах элементарной
математики (в частности, повышение квалификации преподавателей
математики средней школы)—вот задача, разрешению которой автор
хотел бы оказать помощь своей книгой.
Предлагаемый сборник содержит задачи как по алгебре, так и по
тригонометрии (последние исключительно алгебраического характера).
Задачи по возможности систематизированы и снабжены решениями.
Внутри каждого отдела задачи во многих местах расположены так,
что ознакомление с методом решения одной из основных задач дает
возможность получить решение ряда других, непосредственно сле¬
дующих за ней.
В. Кречмар
Настоящее, пятое издание выходит без существенных изменений
Устранены некоторые погрешности, имевшиеся в предыдущих изданиях.

ЗАДАЧИ
г
§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Тождественное преобразование целых рациональных выражений —
вот основное содержание задач настоящего параграфа. Сложение,
умножение, деление и вычитание одночленов и многочленов, а равным
образом возведение их в степень и разложение на множители — вот
те элементарные сведения, которыми нам приходится пользоваться.
Что касается тригонометрических задач, то в этом параграфе, как и
в дальнейшем, мы предполагаем известными определение тригоно¬
метрических функций, основные соотношения между этими функциями,
все свойства, связанные с их периодичностью, и все следствия тео¬
ремы сложения.
Обратим внимание только на те формулы, которые дают возмож¬
ность преобразовывать произведение тригонометрических функций
в сумму или разность этих функций. Именно:
cos A cos В = [cos (А + В) + cos (А — В)],
sin A cos В = -^- [s'n В) Н~ s*n — ^)]>
sin A sin В=~ [cos (А — В) — cos (А + В)].
1. Доказать тождество:
(а* + b2) (*Ч- /) = (ах—by)1 + (bx + ау)\
2. Показать, что
(а* + Ь1 + с1 + d’) (хг + у1 + z1 -[-<*) = (ах—by — cz—dt)* +
-f- (bx + ay—dz + ct)*-\- (cx-\- dy -)-az—bt)*-)-(dx—с у + bz -f at)*.
3. Доказать, что из равенств:
ах—by—cz—dt = О,
bx-f- ay—dz -f- ct = 0,
cx -\-dy + az—bt = 0,
dx—cy -|- bz + at = 0
следует либо a=^b— с — d~ 0, либо x~y — z — t — 0.

6	ЗАДАЧИ
4. Показать, что имеет место следующее тождество:
(а* + й* + с*) (хг + у* + г1)—(ах -f by 4~ cz)* =
= (Ьх—ау)г -J- (cy—bzf + (az—cx)*.
5. Показать, что предыдущее тождество может быть обобщено
следующим образом:
(aj -f- а* 4- ... + ап) (b, 4_ ^2 4~ • • • 4_ bn) = (а1Ь14- агйг 4" • • •
...	+	■	• +(a„-A-flA-1)1-
6. Пусть
п (а* 4-ft* 4* с* 4- ... 4- /*) = (а 4-ft 4-с 4- ... 4-/),
где п есть число величин а, Ь, с, ...,/.
Доказать, что тогда
а=Ь — с— ... =/.
7. Доказать, что из равенств
2 I	2	1	I	2	1
Я1 + аг + • • • ап — I *
следует, что
ft* 4" fti 4" ■ • • 4" ft': — 1
-1 ^fllft,4-flA+...+fl„ft„^+l.
8. Доказать, что из равенства
(У — г)г 4- (г—.х)г 4- (■х—у)!* =
= (у + г — 2хУ + (г+х — 2у)г + (х+У — 2г)г
следует:
x — y — z.
9. Доказать следующие тождества:
(a* —ft*)* 4- (2 ай)* = (а* 4- й*)*
(6а* — 4 ab 4- 4й*)’ = (За* 4- бай — 5й*)5 4- (4а* — 4ай 4- 6/;*)’ 4-
4-(5а* — 5aft—Зй*)\
10. Показать, что
(р*—ягУ + (Ърд+яУ 4- (Zpq+рУ = 2(p!4-w4- яУ-
11. Доказать тождество:
X2 4- XY 4- К* = Z’,
если
Х=я* 4~ Зря*—р'*
У= — Зря(р+Я).
Z = p* + РЯ + Я*-

§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ	7
12. Доказать, что
(За + 3 Ь)к + (2а + Щк + а* + Ьк = (За + Щк + (а + Щк + (2а + Ь)к
при k = 1, 2, 3.
13. 1° Показать, что если ^ + > + ^ = 0, то
(ix—ky)n + (iy — kz)n + (iz — kx)n =
= (iy—kx)n + (iz — ky)n-\-(ix—kz)n
при n — 0, 1, 2, 4.
2° Доказать, что
+ (x + 3 )n + (x + 5)" + (x + 6)" + (x + 9)" + (x + 10)” +
+ (*+12)”+ (*-{-15)"== (*+1 )" + (*+2)"+ (*+4)"+
+ (*+7)"+(* + 8)" + (x+ll)n + (x-|-13)n + (*+14)"
при л = 0, 1, 2, 3.
14. Доказать тождества:
1° (а + &+с + <0* + (а + ^—с—d)2 -\-(а -}-с — b—d)* +
_|_ (а + d — b — с)2 = 4 (а* + Ь2 + с* + d2).
2° (а1 — Ьг + с2 — </*)* + 2 (ab—be + dc + ad)2 =
= (а* + b2 + с2 + d2)2 — 2 (ab— ad -J- be -j- dc)2.
3° (a2—c2 + 2bd)2 + (d2—b2 + 2ac)2 =
= (a2 — b2 + c2 — d2)2 + 2 (afc— fcc + dc + cdf.
15. Доказать тождество:
(a -f- b	c)4 -)- (b с — a)4 (c + a — b)2 + (« + b — c)4 =
= 4 (a4 + ft4 + c4) + 24 (fcV + с V + a!fc2).
16. Пусть s = a + fc+c.
Доказать:
s(s — 2b) (s — 2c) + s(s — 2c) (s — 2a)-|-s(s— 2a) (s — 2b) =
~(s — 2a) (s—2b) (s—2c) + 8afcc.
17. Доказать, что если a + b + c = 2s, to
a(s— a)* + fc(s — fc)*-|-c(s— c)*-|-2(s—a)(s—b)(s — c) = abc.
18. Положим
2s — abc\ 2a2 = a2-\-b2c2.
Показать:
(о2 — a2) (a2— b2) + (as — b2) (a2— c2) -)- (о2— с2) (о2— a2) =■
= 4s(s — a)(s — b)(s—c).

8
ЗАДАЧИ
19. Разложить на множители:
(х + У + zf —х* —J/’ — г*.
20. Разложить на множители:
*’+>’ +г’—Зхуг.
21. Упростить выражение:
(а + b-\- с)’ — (а-\-Ь—с)’ — (Ь+ с — а)’ — (с + а — Ь)г.
22. Разложить на множители выражение
(Ь — с)’ -[-(с—я)* ~Ь(а — Ь)г.
23. Показать, что если a-j-fc+c = 0, то
а* + Ь* + с’ = Зайс.
24. Доказать, что если а-\-Ь-\-с = 0у то
(а* + Ьг + сг)г = 2 (а4 + Ь* + с*).
25. Показать, что
[(а _ Ь)* + (Ь — с)* + (с — а)г]2 = 2 [(с — Ь)* + (Ь - с)* + (с—,а)*].
26. Пусть аbс — 0', доказать:
1°	2 (а5 4- Ь* 4- с5) = 5abc (а! + йг + сг).
2°	5 (с* + й* -f- cs) (аг + Ьг + с*) = 6 (а% + Ь* + с5).
3°	10 (а7 + b14- с7) = 7 (аг + Ъ* + сг) (а5 + Ь* -f- с*).
27. Даны 2п чисел: а,, а ап; Ьх, Ьг, ..., Ьп.
Положим
Ьх + Ьг 4- ... + bn — sn.
Доказать:
0 А ■+" СА + ... 4- апЬп =
= (al — al)sl+(at — a3)st + ... +К-, — an)sn-, + a„s„-
28. Положим
с, + а,+ ... 4<г„ = |«.
Доказать:
(s— а,)г +(s — я8)г + • • • +(s — О* — а> +аг+ • • •
29. Пусть дан трехчлен: Ля* 2Дгу +Су*.
Положим:
л: = ал:' + $у',
у=гух' + 8у'.
Тогда данный трехчлен перейдет в следующий:
А'х,г + 2В’х'у' + С’у'\

§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖГННЯ	'*
Доказать, что
в’* — А’С = (Я* — АС) (аб — РY)*-
30. Пусть
р- <7/ = 1	=	11 2, ..., п)
II
_ Pi+Ps+---+Pn	„	<7i+<7* + --- +<7п
р = -п . ч- -	•
Доказать:
Pi4, + Ps<li+ • • • +РпЧп = пРЯ — (Pi— РУ—(Рг—Р)г~ • • • —(Рп—рУ•
31. Доказать:
I 1 ,1	1	,	,	1
1 " 2п— 1	3	"	2л	— 3	■“	2п — 1	1
==4 О +Т + ^+ •••+ST=l) *
32. Пусть
1 . 1.1, , 1
S„— 1+9- + Т+ ' • • + Т *
Показать:
s.=n—(y+|+ •••+4г)-
2” га._л+(г=1+!!=в+ ... + _|?+_Lj).
33. Доказать тождество:
, _1 , 1_1 ,	I		1	1	1	|	1	|	I	1
2 3 4	2п — 1 2п п + ^п + г^ ’ ' ' ^2п *
34. Доказать:
О+^пК'-аАХ'+зА)--
*“(1 (2п— 1) a—l) (' 2п а —1)~
(и + 1)а (и+ 2) а	(га	+ я)а
(гг + 1)а — 1 (п + 2) а — 1'‘‘(п + «)а—I"
35. Пусть символом [а] обозначается целое число, ближайшее к с.
и меньшее или равное ему. Таким образом, N rg а < [а| -f- 1.
Доказать, что имеет место тождество:
и + \х н- тт] + [*+4] + ■ • • + [х+4г]= м-
36. Доказать, что
cos (a -f- b) cos (я — b) = cos* я—sin’ Ъ.

10	ЗАДАЧИ
37. Показать, что
(cos а -)- cos bf 4- (sin sin Ь)г = 4 cos* b ,
(cos а — cos ft)*4~ (sin а — sin b)* = 4sin* -
38. Дано:
(1 4- sin a)(l -)- sin fc)(l + sin c) = cos a cos b cosc.
Упростить:
(1 —sin g)(1 —sin b) (1 —sin c).
39. Дано:
(1 4- cosa)(l 4- cos P) (1 + cos y) = (1 —cos a) (1 — cos (5) (1 —cosy)-
Показать, что одно из значений каждой части этого равенства
будет:
sin a sin Р sin Y-
40. Показать, что
cos (a + р) sin (a—P) + cos (P 4- y) sin (P — y) +
+ cos(Y + 6)sin(Y—6)-f-cos (6 +a) sin (6—a) = 0.
41. Доказать:
sin (a -j- b) sin (a— b) sin (c 4- d) sin (c — d) 4-
-)- sin (c 4- b) sin (c — b) sin (d -)- a) sin (d— a) 4-
+ sin (d + b) sin (d — b) sin (a -)- c) sin (a — c) = 0.
42. Проверить тождества:
1° cos (P + Y—aH" cos(Y + a—P) + cos(a-f p — y) +
-f- cos (a + p 4- Y) = 4 cos a cos P cos Y-
2° sin (a 4-p 4-y) 4-sin (P 4-y—a) 4-
4-sin(Y4-ct—P)— sin(a4-p—y) = 4 cos a cos P sin Y-
43. Привести к логарифмическому виду:
sin (^ + -|) + sin (B4-j)4-sin (c4-4) +
4-cos^4--^j4-cos^fi4-^4-cos^C4--^j ,
если A-\- B-\-C=n.
44. Привести к логарифмическому виду:
. А .. В .. С . А , В . С
sin — 4- sin — 4- sin — 4- cos — + cos — 4- cos-j ,
если
A 4- B-\- С — я.

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	1	1
45. Упростить произведение:
cos a cos 2 a cos 4а.. .cos 2 "~'а.
46. Показать, что
я 2л Зя 4я 5я 6я 7я ( 1 \*
C0S15 C°S 15 C0S 15 C0S IT C0S15 C0S IF C0S IF!= (T) '
47. Дано: sin B = —sin(2i4-J-fi).
Доказать, что
tg(A + 5) = -|tgA.
48. Пусть А и В—острые и положительные углы, удовлетво-
ряющие равенствам:
3 sin* A-f-2 sin*В— 1,
3 sin 2.4 — 2 sin 2В= 0.
Доказать, что А-\-2В=>^.
49. Показать, что величина выражения:
cos* ф-(- cos* (а-{-ф) — 2 cos а совф соз(а-(-ф)
не зависит от величины ф.
50. Пусть
а = cos ф cos ф ф- sin ф sin ф cos 6,
а' = cos ф sin ф—sin ф cos ф cos б,
a" = sin ф sin б;
b — sin ф cos ф—cos ф sin ф cos б,
/?' = 5тф8Шф-]- cos ф cos ф cos б,
Ь" = — cos ф sin б;
с — — sin ф sin б, с' — cos ф sin б, с” — cos б.
Доказать, что
a* + a'* + a''* = l;	Ьг	+	Ь'г	+	Ь"г	=	1;	с* + с'* + с"* = 1;
a#-j-a'f>/-f-a"&" = 0;	ас -|~a/c'-f-a"c'' — 0;	be -f- Ь'с' -|- b"с" = 0.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
Преобразования дробных рациональных выражений, рассматри¬
ваемые в данном параграфе, основываются на обычных правилах дейст¬
вий с алгебраическими дробями.
Обратим внимание только на один факт, которым нам приходится
пользоваться (см. задачи 15, 16, 17). Если мы имеем двучлен первой
степени относительно х
Ах + В

12
ЗАДАЧИ
и если нам известно, что он обращается в нуль при двух различных
значениях х (например, при х = а и при х — Ь), то мы можем утвер¬
ждать, что тогда коэффициенты А к В равны нулю. В самом деле, из
равенств
Аа + В = 0;	АЬ + В= 0	(*)
получаем:
А (а—Ь) — 0
и так как а—ЬфО, то И = 0. Подставляя это значение у4=-0
в одно из равенств (*), найдем В=0. Равным образом можно утвер¬
ждать, что если трехчлен второй степени относительно х
Ах1 -}- Bx -f- С
обращается в нуль при трех различных значениях х (например, при
х—а, х = Ь и лг = с), то
И = /3 = С=0.
Действительно, тогда имеем:
АагфВафС= 0;	АЬ* + ВЬ + С=0;	Асг + ВсфС= 0.
Вычитая почленно, найдем:
А(а* — Ьг) + В(а~Ь) = 0,
А (а2—с2)-\-В(а—с) = 0.
Так как а—Ьф 0, а—с ф 0, то отсюда имеем:
Д(а-И)+Д = 0;	/4(а4-с)4-Д==0.
Отсюда найдем: А = 0 (так как Ь—с ф0), а затем получим, что
В=0 и С= 0.
Совершенно так же можно показать, что если многочлен третьей
степени
Ax’ + Bx* + Cx + D
обращается в нуль при четырех различных значениях х, то
A=B=C=D = 0,
и вообще если многочлен степени п обращается в нуль при л-|-1
различных значениях х, то все его коэффициенты равны нулю (см. § 6).
Наконец, в этом же параграфе мы рассмотрим ряд задач, относя¬
щихся к конечным непрерывным дробям. Мы предполагаем известными
те сведения об этих дробях, которые сообщаются обычно в элемен¬
тарных учебниках алгебры.
Из тригонометрии в этом параграфе мы предполагаем известными
также и основные формулы, относящиеся к решению треугольников.
1.	Доказать тождество:

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
2. Упростить следующее выражение:
(p+W (р5 + ?)+(p + W (? + ?)+ (F+W (т 4т) •
3. Упростить:
 1 (±_ Ч + _А_ fl - УЛ ■ - 2- fl—Ц
(Р+9)2 \Р4 ?V (P + ?)4VP*	?’/	(P	+ 9)sVP2 <?V
4. Пусть
а—6	Ь—с	с—а
X — —гт: •	_у = т—;— :	Z-——.
а + 6	J 6+с	с	+ а
Доказать, что
(1 +дг)(1 -f ЯП +г) = (1 — х)(1—	z).
5. Показать, что из равенства
(a+-^-f-c + d)(a—b—c-\-d) — (a—ft-f-c—d)(a-\-b—с—d)
вытекает:
о 6
7 = ¥‘
6. Упростить выражение:
ах* -\-Ьу*-\-сгг
bc(y—z)! + co(z—л:)’ + о6 (х—у)*
при условии:
ах +- by +- cz = 0.
7. Доказать справедливость равенства:
х*у*г* . (х*—а*) (у*—а*) (г*—о5)	(х*—Ь*)(у* — Ь*)(г*—68)
"а868“~‘	о*	(о*	—	6г)	Ь*(Ь*—аг)	~
= Х*+Уг + 2* — а* —
8. Положим:
о* ,	6^	 ск	_	,,
(о—6) (о—с) (6—о) (6 —с) (с—о) (с — 6)	ft*
Доказать, что
•£„ = <У, = 0; St = 1; 5S = а -+ b + с;
St = ab +- ас +- be +- аг -+ Ьг + с2;
S6 = аг +- Ь* + с2 + агЬ + Ьга +- с1 а +- агс +- Ь2с + сгЬ + abc.
9. Пусть

14	ЗАДАЧИ
Показать, что
SB = S1 — Si = 0; Sa = l; 54 = a-f~^-b c-\-d.
10. Положим:
п _ m(g+fr)(g + C) ■ .т (b+C)(ft + C) го (С + С)(С+Ь)
т (а—b)(a—с)‘	(b—c)(b—a)~‘	(с—а) (с—ft)’
Вычислить а„ а2, а, и а4.
11. Доказать тождество:
а.	(°—о)(а—Р)(Д—V) ■	(Ь—a) (ft— P)(ft—у)	■
(а—ft) (а—с)	(ft—а) (ft—с)	"г
12.	Показать, что
агЬгсг	,	агЬЫ2
(a—d)(b—d){c—d) 1 (а—с)(6—c){d—с)
агсгйг	.	bVd2
\a—b)(c—b)(d—b)'(b—a) (с—а) (d—a)
»= abc abd 4- acd -j- bed.
13. Упростить следующие выражения:
1»  \  .1.1
a [a—b) (a—c) ' b (b—a) (b—с) ‘ с (с—а) (с—b) ’
2■ 	1	I	5	_j	!
a‘(a—b) (a—c) ‘^bt(b—a) (ft—c) ' c2(c—a)(c—b) *
14. Упростить:
	a*	 ft*	c*
(a—ft) (a—c) (x—a)	(ft — a) (6 — c){x — ft)	' (c—a) (c — ft) (a:—c)	’
где ft — 1, 2.
15. Показать, что
b~\-c~\-d	*	с-f-d-f-a	|
(ft—a) (c—a) (d —a) (x—a)	(c—6) (d—b) (a—6)	(x—ft) ~*_
,	d	ci	—|- ft	|	fl-j-i	—|— с
"■"(d—с) (a—c) (ft—с) (x—c) "’"(a—d) (ft —d) (c—d)(x—d)
x—a—ft—с—d
(x — a) (x—ft) (x—c) (x—d)
16.	Доказать тождество:
„«(*—ft)(*—Д) , ht(x — c)(*—O) , „* (x—a)(x—6)
u (a—ft)(a—c)"*~" (ft—c)(ft-a)"f'fc (c—a) (с-ft) — Л *

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	15
17. Доказать тождество:
(к—Ь)(х—с) , (х—с)(х—а) , (х—а)(х—Ь)	,
(а—6)(а—с) ”■”(&—с)(Ь—а) (с—а) (с—Ь) ~
18. Показать, что если	=	т0
( а— ^ ^ —с _i_ с —°
\ с	а	'
19. Упростить:
)(г^»+г^+г^)=9-
a—b , Ь—с . с—а (а—Ь)(Ь—с)(с—а)
о + Ь'‘_6+с~'_с4-а (о + 6)(6+с)(с-|-о)‘
20. Доказать:
Ь—с	с—а . а—Ь	2	2.2
(а—Ь) (о—с)	(Ь—с)(Ь—а)	(с—а) (с — b) а— b Ь—с ‘с—а*
21. Упростить:
а*—Ьс	,	Ьг—ас	.	с2—ab
(о + 6)(о+с) ~‘-(&+с)(6+а) _‘_(с+а)(с + &) *
22. Доказать, что
dm (а—b) <Ь—с) + Ьт (a—d) (c—d) b—d
cm (a—b)(a—d)-t-am(b—c)(c—d) a—с
при m — 1, 2.
23. Доказать, что
1
x , x (x—п,) x(x — g,)(x— a2)
а, а,аг	а,ага,
■ /	л\пх(х—~а1)(х аг)... (x Qn-!-)| ^
'	а,ага,...а„	/
x *(* + 0,) xfo + a.) (х + аг) .
\	‘ a, a,a2 **“ a,a2a, "Г • * •
x(x + a,)(x + a2)...(x + an-,)j _
1 ‘ *	a,a2as...a„	j
х2 , х2(х2—а\)	_	/	ivB	х‘(хг—а‘)...(х2—а'_,)
= 1	*	I	Г~г •*•+1 U	:::
а*	а\	а2	tVa,...art
24.	Дано:
f>*-f-c2—а2 с2 + а2—Ь2 .а2+ Ь2—с2 .
2 Ьс	2	ас	2	ab
Доказать, что из трех дробей две должны быть равны положи¬
тельной, а третья — отрицательной единице.

IP	ЗАДАЧИ
25.	Показать, что из равенства
1.1.1
а 1 b с	а+Ь+с
вытекает:
Л . 1 .
ап ' Ьп с” ап Ьп ~\-сп 1
если п нечетное.
26. Показать, что из равенств:
Ьг-\-су	сх	+	аг	  ay	-f	Ьх
к(—ах-f Ьу-\-сг)	у(ах—Ьу + сг)	г (ах-{-by—cz)
следует:
х	у	г
а(Ьг+сг—аг) ~ Ь (а2+сг—Ьг)’== с (а2+Ь2—с2) ’
27. Дано:
a+P + Y=0,
a-\-b-{-c = О,
Доказать:
28. Если
- + -7Г+Х~°-
а Ь с
иа2 -f p/?s -f ус2 = 0.
й* -f- Ьг -f с* — (b -f с) (й -f с) (й -f b)
и
(Ьг + сг — йг) х = (с* -f й2 — Ь*)у = (а*Ьг — с*) г,
то
л*+/ + г* = (х-Р .у) (х + z) (>> + z).
29.	Рассмотрим конечную непрерывную дробь:
й -j- — . 1
*	ai+«2+..	j
•+-L.
а„
Положим:
ро=а*> <?,= !;	^,	=	«,«,	+	1;	<?,*=«!
и вообще
РК+1 ~ ак+1^* + Рк-1*
Q*+i — GA + iQt + Qt-l'

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
Тогда известно, что
o?=sfl.+Fj.	.	{п = 0'	2'	3'	•	•)-
“1+.^ ,
*	«я
Доказать следующие тождества:
 L__i_	| (-I)"-1
Q„ Q0 Q„Qi QiQt	Q„_,Q„
3 Pn+tQn-» ^лч^п+j ~ (°n + aGn + ian “Ь °n-> s + an) ' (
4° -^n = a 4——
Pn-i " cn-i4~ . l
■ • T7i
Qn-i B= a" an-t + •., 4__L.
30. Положим для краткости
C» + £+.	,	1	=	(a<” c„ =
и пусть дробь симметричная, т. е.
й„ = йп; c1 = an_1, ...
Доказать, что
П-, = <2п-
31. Пусть имеем дробь:
"о+-4- 1
I а -J 	1
« т •. -ui_.
а
Доказать:
Я? + #+1=Я„_
1РП + \ + РпРп„-

18	ЗАДАЧИ
и пусть
к дррби
р	р
и пусть ^ и -■1п~' — последняя и предпоследняя подходящая
Чп	Чп-1
-4-1
*+•..+1.
Доказать, что
PnQn + P п Рп-\
Qn + PnQn-i
33.	Рассмотрим непрерывную дробь
■"'"F •
Положим:
P0 = V Po=1! Л = ^ +
О	О
и вообще
Доказать, что
^ft+l	+	1>
Р*+1 = ^k + iQk	+
= b -L.£i a2
Q« 0	,02
34.	Доказать:
r	r"+I—r
r+l--rr-FTT-.
Г + 1
(число звеньев в непрерывной дроби равно п).
35.	Доказать:

J
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	19
36.	Доказать равенство:
а-х . а,	°'а'
I ап	сфл	-Ь	.	.	I	сп-1спап
где ct, ся,...,сп — произвольные величины, не равные нулю.
37.	Доказать следующие тождества:
10 sin(n + l)*	„	1	,
1 —Ц	— = 2cosjc—г; 	1
sinn*	2	cos*—2^—.	1
2 cos as
(всего п звеньев).
2° i+*,+*A+...+*A•••*» =
1
г-Ат ь>
*8+1
ftj+1
38.	Доказать, что
1° sin с + sin ft + sin с—sin (а -{- ft -f- с) =
. . а+Ь . а+с . Ь+с
— 4 sin —g— sin —g— sm —g—
2° cos a-)-cos ftcos с + cos (a-)-ft + с) =
39.	Показать, что
. a+b b+c a+c
4 cos —cos —2“ cos ~2~
tg a -(- tg b -f- tg с s»n (a + fr + c) = tg a tg ft tg c.
b 1 b 1 & cos a cos ft cos с b
40.	Доказать, что если A-\-B-\-C=n, то имеют место следую¬
щие соотношения:
ABC
1° sin^4-(-sin Д + sin С= 4 cos-g-cos-g-cos у .
2° cos A + cos В + cos С— 1 -f- 4 sin s)n Y s*n Y ‘
3° tg И + tg Д -f- tg C= tg Л tg Д tg C.
ЛО х ^ X fiii ^ x ^ I x fi i С -
4° tg T tg y + tg T tg y + tg Y tgT= 1.
5° sin 2A + sin 2B -J- sin 2C = 4 sin A sin В sin C.

20	ЗАЧАЧИ
41. Найти алгебраические соотношения между величинами а, Ь и с,
удовлетворяющими следующим зависимостям:
1° cos а -|- cos b -f cos с = 1 -р 4 sin у sin у sin у.
2° tg а 4- tg b + tg с = tg a tg b tg с.
3° cos2 а 4- cos* b 4- cos* с — 2 cos a cos b cos с = 1.
42. Показать, что
х	у	z	4xyz
Т^х* ^Г=4Г! = (1—х2)(1—(/2)(,—г1) *
если
xy+xz+yz = 1.
43. Показать, что сумма трех дробей:
Ь—с с—а а—b
I 4-be '	1 4-ас *	1 -fab
равна их произведению.
44. Доказать:
tg3a = tgoslg(^-f-a) tg(y—a).
45. Доказать, что из равенства:
sin4 а , cos* а  I
а	£>	~ а + Ь
вытекает соотношение:
sin* a , cos’a _	1
~о»	'	b*~~ (a + b)*'
46. Пусть имеем:
at cos а, 4-а, cosas4- ... -Pa„ cosan = 0,
a, cos (at 4- 6) 4- as cos (as 4- 6) 4- ... 4- a„ cos (a„ 4-0) = 0 (6 Ф kn).
Доказать, что при любом к будет:
at cos(a, +^.)-рйг cos(a24-А,)4- ... 4-й„ cos(an4-X) = 0.
47. Доказать тождество:
sin(P—у)	sin (у—a)	sin (а—Р)	_Q
cos р cos у	cos у cos a	cos a cos р
48. Пусть в треугольнике стороны равны соответственно а, b и с
и пусть
  s   s _	  s	,		 s
Г p ’ Г°	p—a ’ rb~~ p — ь ’ Г°	p — c'
где s—площадь треугольника и 2p = a-\-b-scc.

4
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	21
Доказать следующие соотношения:
а2 , Ьг	/-*
'«•7—.-	с
г.гг
2°
агга , b*rb	cVr
(о—6) (а—с)	(Ь—с)(Ь — а) ^	(с—а) (с—Ь)	г*
3° _а + ь+с (£. + ±_1_1Л = 4
га + гЬ + Гс \Га ГЬ ' Гс ]
АО 	Ьс	.	ас	,	ab
(а—Ь) (а—с)га2 — с) (Ь—а)гьг'г(с—а) (с—Ь)г*~
а8	.	Ь*	 с2	J_
(о— Ь)(а—с)гьгс~*~ (Ь—с)(Ь — а)Гсга Чс — а)(с—b)rjbxr* '
RO 	АТд	 .	brjj	сг	с
(а—Ь)(а—с) 1 (b—c)(b — а) (с—а)(с—Ь)
_	(Ь+с)га	(с	+	а)г„	(Q	+	fc)Tc	_р
(а—Ь)(а—с) ' (Ь— с)(Ь — а) ' (с—а)(с—Ь) г
49.	Доказать тождество:
sin (а 4- b—c — d) = sin(a~с)sin (Q~d) i sin V>— c)sin(fc — d)
'	sin	(a—b)	sin(fc—a)
60.	Дано:
о a	b	,	с
cos о = т i—; cos ш = —— ; cos ф = ——r
b + c	T	n+c	Y	a + b
(О, Ф и ф лежат в промежутке от 0 до л).
Известно, что а, b и с — стороны треугольника, у которого
углы равны соответственно А, В и С.
Доказать:
i° tg’i+tg’f-ftg2! =1.
2° tg |tg|tg|- = tg^tg^tg|.
51.	Доказать:
+
sin (о—b) sin (a—с) 1 sin (b—a) sin (b—c)
1
sin(c—n)sin(c—b) „ a—b a—с b—с
2 cos —x— cos —-r— cos —д—
52.	Доказать тождества:
,o	sin	a	,	sin	b
sin (a—b) sin (a—c) 1 sin (b—a) sin (b—c)
+	*!!£	=	o
sin (c—fi) sin (c—b)
	cos	a	cos	b
sin(a— fc)sin(a—c) ' sin(b—n)sin(fc—c) '
-j	 —	0
1 sin(c—a) sin(c—b)

22	задачи
63.	Доказать тождества:
1° sinasinfft— c)cos(ft4-c— а) +
+ sin ft sin (с — a) cos (с + а—6)4-
+ sin с sin (а—b) cos (а 4- Ь — с) — 0.
2° cos a sin (6—с) sin (Л -f- с — а)4-
4- cos b sin (с — a) sin (с + а — b) 4-
+ coscsin(a — b)sin(a-j-b — с) = 0.
3° sinasin(ft— c)sin(ft4-c— а) +
4- sin b sin (с—a) sin (c + a — b) -f-
4- sin с sin (a — b) sin (a + b—c) =
= 2 sin (b—c) sin (c — a) sin (a—b).
4° cos a sin (b — c) cos (ft 4-с—a) 4-
4- cos ft sin(c—a) cos (c 4-a — 6) +
+ cos с sin (a — ft) cos (a 4-ft—c) =
= 2 sin (ft — c) sin (с—a) sin (a — ft).
54. Доказать, что
1° sin* A cos(B—C)4-sins Bcos(C—4)4-sin* Ccos(4— B)~
= 3 sin A sin В sin C.
2° sin* A sin(5—C)+sin* £?sin(C—4)4- sin3 Csin(4—B) = 0,
если
A -j- В 4~ С = jt.
55. Доказать тождества:
1° sin 34 sin* (В—С) 4* sin 3В sin’ (С—4)4- sin 3Csins (4 — B) = 0.
2° sin 34 cos’ (В—C) 4- sin 36 cos’ (C—4) 4 sin 3 С cos’ (4 — £?)=
= sin 34 sin 3В sin SC,
если
44-Я4-С=я.
§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ
Отметим, что под символом у/А мы будем понимать (если п —
нечетное) то единственное вещественное число, п-я степень которого
равна 4. В этом случае 4 может быть как меньше, так и больше
нули. Если же п — четное, то под символом у/А мы будем понимать
то единственное положительное число, п-я степень которого равна 4.
Здесь обязательно 4^0.

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 23
При этих условиях, например,
1f Аг = А, если Л>0,
У~Аг = — А, если И< 0.
В остальном мы считаем известными обычные законы операций
с радикалами, дробными и отрицательными показателями. Напомним
также две формулы, оказывающиеся иногда при преобразованиях
весьма полезными, а именно:
Из вопросов, относящихся к тригонометрии, скажем прежде всего
несколько слов о формулах приведения. Необходимо отметить сле¬
дующее:
1° Функции sin л; и cos л: обладают периодом 2 л, а функции tgx
и ctgx:—периодом л, так что можно записать следующие равенства:
sin (х -J- 2fon) = sin х;	cos (х + 2fon) = cos x;
tg(*-J-An) = tg x; ctg(x + fort) = ctgx,
где k—любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).
2° Для функций sinx и cos л: величина л является полупериодом,
т. е. отбрасывание под знаком аргумента величины ^ л влечет за
собой изменение знака у функций. Следовательно:
sin (д: + fort) -= (— l)*sinx; cos (x-|-fort) = (— l)*cosx,
где k—любое целое число (положительное, отрицательное или нуль).
3° Функции sin л:, tgx и ctgx являются нечетными функциями,
а функция cosx—четной функцией. Поэтому
Угл + Ув=у/ГЛ+У2А‘ в+|/~:
А *-]/ А2—В
sin (—х) = — sin х;
tg (— х) = — tg *;
ctg(—jc)== —ctgjc;
cos(—х)— cos л:.
4° Если х и у— две величины, связанные соотношением
то
cosx = sinyi;	sinx = cos_y;
tg jc = ctg у;	ctgx = tg^.

24	ЗА	ЧАЧИ
Пользуясь этими замечаниями, мы всегда можем синус или косинус
любого аргумента привести к синусу или косинусу аргумента, лежа-
ГС
щего в промежутке от 0 до у. То же самое мы можем сказать и
относительно тангенса и котангенса.
В самом деле, любой аргумент а может быть представлен в сле¬
дующем виде:
71 I
а = «"2 ±“„-
ГС
где s—целое число, а 0 5=ао5=у. Отсюда и следует высказанное
предложение. Отметим также следующие формулы (А—целое число):
sin Ал = 0; tgA.T = 0;	cosAn = (—1)*;
fejt
sin -у = 0, если А четное:
kn	—
sin -у = (— 1) 2 , если А нечетное;
kn
cosy = (—I)2, если k четное:
fere
cos у-= 0, если k нечетное.
Напомним далее, что символом arc sin х мы будем обозначать дугу,
синус который равен х и которая заключена в промежутке от — ~
, я
Д° + 2 •
Таким образом всегда
я
у arc sin х £= + у .
Равным образом
71	t	^	I	71
—у< arc tg х< + у,
0 < arc cos х 5= л,
0 < arc ctg х <Г л.
В этом же параграфе мы помещаем несколько задач на преобра¬
зование выражений, содержащих логарифмы.
1.	Доказать, что
(__щ2=+ 2~rw \
I у2 + \Г2 + /3	/2 —У2-Уз )

§ 3. РЛ'ШКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 25
2.	Показать, что имеют место следующие соотношения:
1" = |/±- ]/|+ |/1
2° У /Г— V* = у ( /2 + /20 - /25).
3° //28— /27 = j(/98— /28—1).
.*^Г_4/Г+1
.3—2/5/	/5—1
ЧК?-К/=К1+К1:К1-
6°(Кт+Кт)Т=(' + ^5+^>Г“К1+
+ 1^т1в+ V7'ш~ Vш-
„ Г, А В С D
3. Пусть — = —= —= -j-.
J abed
Доказать, что
V~Aa + -f V~Cc + V~Dd = /(a + ft + c + d) (A + B + C+D).
4. Показать, что
/ax* by* + cz* = /а + /+ /с,
если
axs — by* — cz* и — + — + — = 1.
*	x	'	у	'	г
5.	Положим:
Показать, что
^л4-и
2п ,
Ь rtt — »♦
/я + п mLn ' 2fl
6.	Пусть

26	ЗАДАЧИ
Доказать следующие соотношения:
10 K„+i = “n + «n-,-
2° Un-i — UkUn-k + Uk-iUn-k-i-
Кгп-1 = ип + ип-1-
4° И,„ = И^ + Ии + 1 —“п-,.
5°	и„_5и„_1м„+1ип + 2=1.
6° КП+,“П + г —'1)"-
^ Un^n +1 ^Ц-2ИП-1 ®*И-1’
7.	Доказать следующие тождества:
i_	л	L	1
Г {2 [(a2 + ft2)7 —a][(a2 + ft2)2—ft]}2 ==a + ft—(a* + ft2)2
(а > 0, ft >0).
2° {3 [(а* + ft8)2 —а][(а* -f ft8)* — ft]}2 = (а + ft)2 — (о*—aft+ft2)2.
8.	Найти, чему равно выражение
1	-.L
(1 — оие)(1 + a*)-I(l-|-ft*)T(l — ftje) 2
при
х = а~' ^2 —— 1 )2	(0< a < ft < 2a).
9.	Упростить выражение:
„» _ Зп + (п2— 1) Vri*11*—2
пг—Зп + (п*—1)У пг—4 + 2‘
10.	Упростить выражение:
Г. Ej_±5 л 	1 Г 1 f_L_i Ll
YYT+a—V\^a, Kbfl*-l+aJ L ' «2	°J
-1^1+a—]Al_a ^1—as—1+£
(0 < a < 1).
11. Доказать, что при x ^ 1
-{-2}/r.x—1 -\-V x—2|/л:—1
равно 2, если x 5= 2, и равно 2|/д:—1, если х>2.
12. Вычислить:
|/" a + ft + c + 2|/ac+ftc-{-i/^a + ft-|-c—2]Azc + ftc
(a = 0, ft^O, с^О).	|
13. Доказать, что трехчлен xs-j-px-}-q обращается в нуль при 1
*- V-i+Vi+6+ K=i-/frg-

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 27
14.	Выразить л: через новую переменную так, чтобы |/л: + а и
|/~х-\-Ь сделались рациональными.
16. Уничтожить иррациональность в знаменателе дроби
 1
Va+ \ГЪ+ Vc+ 1Га' + |rW+f?
при условии:
а   b   с
аг~ V~ Т ’
16. Доказать, что j/^2 не может быть представлен в виде
P + Vq, где р и q рациональные (?>0 и не является полным
квадратом).
17. Доказать следующие тождества:
Ч¥-а)со5(т-а) г я\
10 	cos (2л—а) ^-bcos(a-y)sin(n-a) +
-f- cos (л + a) sin — у^ =0
2° [1—sin(3n—а) +cos(3n-fa)]	—sin	+
+ cos^y—ajj + sin2a = 0.
3° [1— sin (Лa)-{-cos (я-f a)]s-f- £l—sin ^^y + a^ -f-
+ cos^y—a^J =4—2 sin 2a.
18. Пусть a = 2Ал + а0, где 0^а0<;2л.
Доказать, что имеет место равенство:
sin У = (- 1)*]/
Допустим далее, что а = 2Ал-{-а0, где —л^а0<Л.
Показать, что тогда
cos| = (-\)k ]/
19. Если целое число а делится без остатка на л, то будем
писать это следующим образом:
а = 0 (mod л)
и говорить: а сравнимо с нулем по модулю л. Какие остатки может
давать целое число при делении его на целое же число л?
Ясно, что при делении любого целого числа на л в остатке
могут оказаться:
0, 1, 2, 3, ... ,л— 1.

28
ЗАДАЧИ
Если при делении а на л в остатке будет получаться k, то мы будем
писать так:
a = ft(mod л),
так как (что очевидно) в этом случае
а—A = 0(modfl).
Так, при делении а на 2 могут представиться только два случая:
либо а делится на 2, либо а при делении на 2 дает в остатке 1.
В первом случае пишем а = 0 (mod2), во втором а = 1 (mod 2).
Точно так же при делении на 3 в остатке могут оказаться 0, 1,
2 и, следовательно, могут представиться только- три случая:
a = 0(mod3), a=l(mod3), a = 2(mod3)
и т. д.
Рассмотрим следующую задачу.
Пусть имеем:
И,= 1.
А, — cos ля.
Ая)-
И4 = 2 cos	ля —-g-я)-
/ 2	1	\	4
At — 2 cos f у ля—у л J + 2 cos у nn.
A, = 2 cos (|пл-А„).
A7 = 2 cos [у nn—+ 2 cos [j- ля—^ л) +
-j-2 cos ^у ля-|-^л).
H8 = 2cos [\пя—^я) + 2сов^-|-ля—у я).
At = 2 cos {^пя—ул)+2с08^улл — ^ л)+2 cos (-|ля + ^ л).
i410 = 2 cos ^y ля—я j -f 2 cos у ля.
Л, =2 cos (плл-8 л)+2 cos	)	+
+ 2 СОБОЛЯ—^я)+ 2 cos ^ля—^ л)+ 2 cos	+	.
/„ = 2cos (|«я-§я)+2со$(|ля + 1я).
A. = 2 cos
(уЛЯ-
\

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 29
Att = 2 cos ^ лл — у л^ + 2соэ лтг —^	-f-
+ 2cos(^««-ln)^2cos(l,Ht+ln) +
, О 10	, о	/12	,	4	\
+ 2 cos у ля+ 2 cos I -[з'^ +	Хз11 J •
Л14=2со8	лл— ||л^	4-2cos ^у лл —^	+
-]-2С05^уЛЛ—•
^,,==2cos (^ЛЛ—^л) + 2 СОБОЛЯ—^л^ +
4-2cos(l«n-gn) + 2cos(iJfln + Jn).
(1	29	\	/ 3	27	\
уЛЛ-Ьд^я! , 2 COS 1 8-лЛ + д2 л] +
+ 2со8({ля + |л) + 2со8(|лл+4л)*
Л„ = 2с05 (lfin-f^n) + 2cos ^яя_^я^ +
, О /6	5	\ . „	8	,
+ 2 cos (— лл—у я j -1- 2 cos -jy л л —(—
+ 2 cos ^уЛЛ — у я j -I- 2 cos ^уЛЛ—у л^ +
+ 2соз^улл—уЛ^ + 2соз^уЛЯ + у Я^ .
Л, = 2 C0S	«Л + ^ Л ) + 2 COS ( |-ля— ~ л) +
+ 2 cos {jrm+'^j nj .
Доказать, что
Л4 =0, если л=1, 2 (mod 5),
Л, =0,	„	л = 1, 3, 4 (mod 7),
Л10 = 0,	„	п	=	1,	2	(mod 5),
Л„ = 0,	„	л	=	1,	2,	3, 5, 7 (mod 11),
Л„ = 0,	„	л	=	2,	3,	5, 7, 9, 10	(mod 13),
Л14 = 0,	„	л	=	1,	3,	4 (mod 7),
Л„ = 0,	„	я = 0 (mod 2),
Л17 = 0,	„	л=1,	3,	4, 6, 7, 9,	13,	14	(mod 17)
и что Лг,	Л,,	Л4, Лв, Лв,	Л9,	Л1г, Л|5 и	Л,,	ни	при каких целых
значениях л в нуль не обращаются (S. Ramanujan. Asymptotic
formulae in combinatory analysis).
20.	Пусть
p(n) = Л(л+ 3)г + £ + С(— l )п -(-D cos^ (rt—целое).

30	ЗАДАЧИ
Доказать, что имеет место следующее соотношение:
Р(й)— Р(п— 1)—р(п— 2)+р(п—4)+р(п— 5)— р(п — 6)
21. Показать, что
rs.nlсоа15°=/+>+
4	’	4
2°sin 18° = ——, cos 18° = -| 1/10 + 2 J/5.
22. Показать, что
Sin6°=- Т^ЗО—6 У^5—Кб+2 ^5
О
1/18 + 6 уТ +V10—2 У~5
cos 6° =
8
23.	Показать, что имеют место следующие соотношения:
cos (arc sin д:) = У1 —хг; sin (arc cos х) = j^l —хг.
tg (arc ctgx) = у; ctg (arc tg x) =	.
cos(arctg*) = -p==; sin (arc tgx) = y= •
x	1
cos (arc ctg x) = ■	;	sin	(arc	ctg x) -
VT+T*	П + л*
24. Доказать, что
arc tg x + arc ctg x =	,
11
arc sin x + arc cos x =	.
25. Доказать равенство:
arc tg x f arc tgy = arc tg + en,
1 Xy
где e = 0, если xy< 1,
e = —1,	„	ху>1	и	jc -C 0,
e= +1,	„	xy> 1 и *>0.
26. Показать, что
4arctg-g— arc tg ^9=-^-.
27. Показать, что
arc tg -i- + arc tg + arc tg ~ + arc tg — = ~ .
28. Показать, что
_	.	i	2x
2 arc tg x + arc sin = л
= 0.
(*>1)

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ
29. Доказать:
arc tg х 4- arc tg у =	,	если	*>0,
arctg.*r-f arctgy = —„ x<0.
30. Доказать:
arc sin x -f- arc sin у = tj arc sin (.v: 1 —уг + у 1^1 —x2) -f- ея,
где
11=1,	e = 0,	если	xy<Z0	или	хг +_y2 ^ 1,
tj = —1,	e = —1,	»	x*-J-yi	> 1,	x<0,	y<0,
T] = — 1,	e== +	1,	я	+	x>0,	>>0.
31. Проверить	равенство
arc cos x + arc cos ^y + y 3 — 3jc2^ = у,
если
1
32. Если
то доказать, что
33. Пусть
Доказать:
А = arc tg у и = arc tg у ,
cos 2 А = sin 4В.
a2 + b* = 7ab.
lg^ = Y(lga + 1SZ’)*
34. Доказать, что
—1 4-1о- т.
Ыашп
35. Доказать, что из равенств
X (у + г—х) __ у (г + х—у) _ г {х+у—г)
lg*	lg	I/	lg«
следует:
xy-yx = zy-y* = xz-z*>
36. 1° Доказать, что
lgba-lga£=t,
2° Упростить выражение:
ig (lg а)
a lea
(логарифмы берутся при одном и том же основании).

32	ЗАДАЧИ
37.	Дано:
_у:= lO’-te*; z=>10,-1g!'
(логарифмы взяты для основания 10).
Доказать:
х= lO'-te *.
38. Дано:
аг + Ьг = с*.
Доказать:
1 ёь+с « +1 ёс-ьа = 2'ёс>ьа1ёс-ьа-
39. Пусть
а>0, с>0, b — У ас, а, с и ас не равны I; Л/>»0.
Доказать:
lgaW lgaN-\gbN
lgcN lg6 N-\ge if *
40. Доказать:
„ 1
1 ga,a2. .. anx —	•	.	i
— 	1	  (-•	- 4—+
Iga,x lga2X	lg	anX
41. Даны две прогрессии с положительными членами: геометри¬
ческая и арифметическая:
а, ай,, ... 1 ап, .. •,
^*1 Ь,,	• • • )	•
Знаменатель первой и разность второй положительны. Доказать,
что всегда существует система логарифмов, для которой
lgan—bn = \ga—Ь (при любом п).
Найти основание р этой системы.
§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным будет:
Лх + В = 0;
где А и В не зависят от х. Решить уравнение первой степени соб¬
ственно и значит привести его к этому виду, так как тогда выраже¬
ние для корня становится очевидным:

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ	33
Обычно поэтому задача решения уравнения первой степени есть
задача преобразования данного выражения к виду Ах-\-В — 0. При
этом большое внимание должно быть обращено на эквивалентность
(равносильность) уравнений, входящих в возникающую при этом цепь
уравнений. Задача решения системы уравнений также в значитель¬
ной мере состоит в преобразованиях одной системы в другую, ей
эквивалентную.
Мы рассматриваем, однако, в этом параграфе не только уравнения
собственно первой степени относительно неизвестного х, но также и
такие уравнения, которые путем соответствующих преобразований
могут быть к этим уравнениям приведены (таковы уравнения, содер¬
жащие радикалы, тригонометрические уравнения и уравнения, содер¬
жащие показательные и логарифмические функции). Как в этом пара¬
графе, так и в следующем мы будем считать тригонометрическое
уравнение решенным, если найдено значение одной из тригонометри¬
ческих функций выражения, линейного относительно х.
В самом деле, если известно, что
tg{mx + n) = A,
то отсюда находим:
тх -f- п = arc tg A -f kn,
где k—любое целое число.
Следовательно, все искомые значения х заключаются в формуле:
 arc tg А—n + kn
т	"	•
Точно так же, если найдено, что
ctg {тх -\-п) = А,
то
.	i.	а	I «.	arc ctg Л—n + kn
тх -4- п = arc ctg A + kn и х =	-	—— .
т
Если же известно, что
sin (тх + п) = А,
то все значения х, удовлетворяющие последнему равенству, найдутся
по формуле:
тхп=(—1 )* arc sin A -f- kn,
где k, как и прежде, любое целое число.
Аналогично из равенства
cos (тх -f- п) = А
следует:
тх + п — ± arc cos A -J- 2/гл.
2 В. А. Кречыар

84	ЗАДАЧИ
При решении показательных уравнений не мешает вспомнить, что
уравнение
а*= 1	(а>0	и	не	равно	1)
нмеет единственное решение х = 0.
1.	Решить уравнение:
х—ab , х—ас , х—Ьс
а + Ь ~а + с Ь+с
2. Решить уравнение:
х—а , х—Ь , х—I
Ьс ас
3. Решить уравнение:
— CL ~р Ь -р С •
^С“2(тГ + ¥+4) ■
I
6х + 2а+ЗЬ+с 2х-}-6 а+ Ь + 3с
6х+2а—3Ь—с 2х-рба—Ь—Зс *
4. Решить уравнение:
а-\-Ь —х . а-j-с—х.Ь-\-с—х	4х  -
с	Ь	а	а-\-Ь-\-с
5. Решить уравнение:
\/b + x \/b+x с р/ж
Ъ * х ~ а~'
6. Решить уравнения:
1° Yx+\+V х—1 = 1.
2° Ух+1-Ух-1 = 1.
7. Решить уравнение:
3
Ya + V^ + y a-Vx =УЬ.
8. Решить уравнение:
^ 1 —Ух*—хг = х—1.
9. Решить уравнение:
У а + Ух—Ь ___ 1 /"а_
У Ь + Ух—а	' Ь
10. Решить уравнение:
pp±pi = yT	(я	>0).
V а+х— У а—х

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
11. Решить систему:
x+y+z = a,
x+y + v=*b,
х -f- z -f V = с,
y-\- z-j-v — d.
12. Решить систему:
+ *t=2alt
xl + xi—xt—xi = 2 at,
xl—xi + x,—xi = 2 at,
x у xs xt -J- jc4 = 2 fl4.
13. Решить систему:
ax-fm (y -f- z -f v) = k,
by + m{x-t-z + v) = l,
cz+m(x+y+v) = p,
dv-{-m(x-\-y-{-z) — q.
14. Решить систему:
Xy—a, x.—a,	Xp—a„
m,	m2	m
xi + Xx + - • • + xp — a.
15.	Решить систему:
1,1.1
“—i i— “ ^ i
x ' у 1 г ’
T+T + T = c’
—+—+—=d.
У г ' V
16.	Решить систему:
17. Решить систему:
ау-\-Ьх = с,
cx-j-az= b,
bz-{-cy = а.
cy + bz—2dyz,
az+cx— 2d' zx,
bx + ay — 2d"xy.

зс	ЗАДАЧИ
18.	Решить систему:
хг . уг
= *>.	-т-~— — а.
ау+Ьх * аг + сх ’ bz-j-cy'
19. Решить систему:
y + z—х = -Лг,
* + х-У = ^,
20. Решить систему:
(b + c)(y + z)—ax = b—c,
(c + a){x + z)—by = c — a,
(a + b)(x-\-y)—cz — a — b
при условии, что
а -f- b -f- с ф 0.
21. Решить систему:
(сфа)уф(а + Ь)г—(b + c)x~ 2аг,
(ia + b)z-\-(b-\-c)x—(с + а)у — 2Ь*,
(b-\-c)x-\-(c-\-a)y—(a-\-b)z — 2c>
при условии
ЬфсфО, афсф 0, афЬф 0.
22. Решить систему:
1 .
О + Р Ь + Ц ~‘с + р
— +.-iL. + _£_=i
а-f-v b -f-v ' c+v
23. Решить систему:
z-\-ay-\- агх + a* = 0,
z + by + Ьг x + b* = 0,
z + су + c2x -f- cs = 0.
24. Решить систему:
гфауф a'x + a*t + a* = 0,
z + by+b'x+b’t +Ь* = 0,
д + су-Ь^х + с^ -j-c4 = 0,
z + dy-\- d*x -f- rf'* -f d*—Q.

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ	37
25. Решить систему:
x+y + z + u = mt
ax-\-by-\-cz-\-du = n,
я*х-|- Ьгу -f- c*z-f cfu = k,
a‘x -V b*y	c*z + d* и — I.
26. Решить систему:
х, + 2xs-J-3x4-f-,..-\-nxn =Cj,
хг + 2x4 -j- 3x4-j- ... -j- nxx —аг,
*n + 2xi + 3*„ +• ••+«*„-! = an.
27. Решить систему:
xi— хг— хг——xn ~ 2a>
— Xj + Зх,,— x4—...—x„ = 4a,
— x4— xt-f-7x,— ...—xn = 8a,
—x—X'—x—... + (2"—1) x„ = 2 na.
28. Решить систему:
x4 -J- xs -f- x4 -f- ... -f- xn = 1,
xi + x, + • ■ • + xu —
■*1 "Ь Xt +	• + Xtl = 3»
X4 ~j~ X4 -f- ... -p Xn __ j — n.
29. Показать, что для совместности уравнений:
ах+Л = 0; а'х-рЛ' = 0
необходимо и достаточно, чтобы
ab' — а'Ь = 0.
30. Показать, что системы:
ах + Ьу-\-с — 0; a'x + b'y + с' ~ 0
и
/(ax+by + c) + V (а’х + Ь'уА- с') = 0,
m(ax+by + c)+ т’ (a'x + fc j>-pc') = 0
эквивалентны, если
lm'—1'т=^ 0.

38	ЗАДАЧИ
31. Доказать, что система:
ах + by + с = О,
а'х-\-Ь'у-\-с' = 0
имеет одно и только одно решение, если
ab' — а'Ь=?= 0.
32. Доказать, что из равенств:
ах-\-Ьу = 0,
а'х-\-Ь'у = 0,
если ab'—а'Ь^= 0, следует:
х=у = 0.
33. Показать, что условием совместности трех уравнений:
ахА-ЬуА-с — Ъ,
а'х+Ь'у -\~с' = Ъ,
а"х+Ь"у + с" = 0
является равенство нулю следующего выражения:
a” (be — b' с)+ V (са' — с'a) -f - с" (ab' — а'Ь).
34. Пусть а, Ь, с не равны между собой. Доказать, что из равенств:
x-^-ayA-cfz — 0,
x+by + b2z = 0,
хсу 4-c*z = 0
следует:
х=у—z= 0.
35. Доказать, что из равенств:
Ax-j-By + Cz =0,
^1Х + Вху -J- Cxz = О
следует:
х	у	z
СА,—С,А~ АВХ — А,В
при условии, что не все знаменатели равны нулю.
36. Доказать, что результатом исключения х, у, z из равенств:
ax+cy-hbz= О,
сх -f- by -f- az = О,
bx-\-ay-\-cz = О
будет:
as -\-b2 -f с*— 3abc =0.

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ	39
37. Дана система:
Т+Т-* (>+*)■
SL—JL — L( 1 _JL\
а с ~ X V Ь ]'
4—г—Ь('+*)-
Доказать, что уравнения совместны и определить х, у их.
38. Определить, совместны ли уравнения системы:
(a + b)x+(ap + bq)y=ap1 + bif,
(ар + bq) х+ (ар* 4 bq2)y = арг 4 bq\
(apk l-)-bqk l)x-\-(apk-f-bqk)y = apk+1 -\-bqk+i.
39. Решить систему:
xi + xt = alt
xt + xt = a2,
*3 + x* = a*>
Xn-i + xn ~ an-II
xn + xi = an-
40. Решить систему:
x-\- y-\-z = 0,
a*x	b*y сгг
a—d * b—d	с—d
■ 0,
ax . bu , cz .,	,. ,,	,.	.
я+га+^=йГ^-Л)(Л-с)(с_а)-
41. Решить систему:
(*+a)CV+ l) = (a—n)(l—b),
(y + b)(z + m) = (b—l)(m—c),
(г+с)(д;4 я) = (с—от) (л—а).
42. Определить k так, чтобы система:
х + (1 -Ь&)_у = 0,
(1 — k)x + ky= 1 -\-k,
(1+*)jc + (12—k)y = — (1+ft)
была совместна.
43. Решить систему:
х sin а 4 у sin 2a 4 z sin 3a = sin 4a,
jcsin/>4y sin 26 4 -z sin 36 = sin 46,
X sin с 4у sin 2c 4 -z sin 3c = sin 4c.

40
задачи
44. Показать, что из равенств:
-^ = A= ' ;	Д+£	+	С= л
sin A	sin В sin С
следует:
а = b cos С 4-с cos В,
b — c cos А	a cos С,
с —a cos В	Л cos Л.
45. Показать, что из данных:
а = b cos С -|- с cos в,
b = с cos Л -j- a cos С,
с = a cos б -j- b cos А,
0<СЛ<; л, 0 < В ■< л, 0 < С <; л; а>0, Ь > 0,	с>0
следует:
т = ~—в = ~7~~г и	А 4- В 4- С= л.
sill Л	sin В sin С	11
46. Пусть даны две системы равенств:
a = ftcosC-f-ccosB,	a*	= lf-\-c2—2bccosA,
/>= ccosA 4-acosC,	(1)	Лг	= аг4-с*—2accosB,	(2)
c = acosB + bcos A.	c*	—2abcosC.
Показать, что системы (1) и (2)	эквивалентны, т. е. из суще¬
ствования равенств (1) вытекает существование равенств (2) и, обратно,
из равенств (2) следуют равенства (1).
47. Пусть дано:
cos а — cos b cos с -}- sin b sin с cos Л,
cos b = cos a cos с + sin a sin с cos В,	(*)
cos с = cos a cos b -f- sin a sin b cos С
и, кроме того, пусть величины а, Ь, с и Л, В, С заключены между
0 и л.
Доказать:
sin Л sin В sin С
sin a sin b	sin с '
48. Доказать, что из условий предыдущей задачи следует:
1° соэЛ= — cos В cos С + sin В sin С cos а,
cos В — — cos Л cos С4- sin Л sin С cos b,
cos С — — cos Л cos В 4- sin Л sin В cos с.
2° tgie= ^ tgf tg^tg^tg£=£,
если е = Л 4-В 4-С—л и 2р=.а-\-Ь-^ с.
49. Решить уравнение:
(Ь— с) tg (х 4- a) 4- (с—a) tg (х 4- 0) 4- (а—b) tg (х 4- у) = 0.

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ	41
50. Доказать, что sin л: и cos х рациональны тогда и только тогда,
i *
когда tg ~ рационально.
51. Решить уравнение:
sin4 л: -р cos* х — а.
52. Решить следующие уравнения:
1° sin л: -р sin 2дг -р sin 3* = 0.
2° cos пх -р cos (я—2)* — cosjc = 0.
53. Решить уравнение:
1° /» sin (« — A:) = «sin(&—л).
2° sin(A:-p3oc) = 3sin(a—л:).
54. Решить уравнение:
sin 5л: = 16 sin* л:.
55. Решить уравнение:
sin л: -р 2 sin х cos (а—л:) = sin а.
56. Решить уравнение:
sin х sin (у—х) — а.
57. Решить уравнение:
sin (а -р л:) + sin a sin л: tg (ос -р л:) = т cos ос cos х.
58. Решить уравнение:
cos* ос + cos* л: + cos* (ос -р л:) =1 -р 2 cos а cos (а -р л:).
59. Решить уравнение:
(1— tg л:) (1 + sin 2л:) = 1 -р tg л:.
60. Показать, что если
tg х -Р tg 2л: + tg Зл: + tg 4л: = 0,
то либо 5л: = kn, либо 8 cos 2л: = 1
61. Дано выражение:
ах* -{-2Ьху + су2.
Вводим подстановку:	J
х = 2^005 0—Ksin0,
у — Xsin 0 -р Y cos 0.
Требуется подобрать угол 0 так, чтобы существовало тождество:
cjc* -р 2Ьху -р су* == ЛЛ* -р BY1.

42	задачи
62.	Показать, что из равенств:
*	У
tg(6 + a) tg(6+p) tg(0 + Y)
следует:
sin* (a - p)+sin* (P - у) +	sin* (y - a) = 0.
63. Решить системы:
«о sin x sin w sin 2	,
1 — = V = —•	*+У+* = я.
2otgi=t|,=tga	*+>,	+	*	= 3l.
a	b	с	•	i^i
64. Решить систему:
tgxtg.y = a; x+y = 2b.
65. Решить уравнение:
1 1
„	X		* + —	e„	_
4* —3	*=3	г_22*-*.
66. Найти положительные решения уравнения:
хл+, = 1.
67. Решить систему:
axby — m\ х-\-у — п (а>0, &>0).
68. Решить систему:
ху = ух; ах — Ъу.
69. Решить систему:
(«л-)1й а = (Ьу)1е ь,
Ь1е х = aig и,
70. Решить систему:
ху=ух,
х т=уп.
§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Настоящий параграф содержит в основном задачи, связанные с ре¬
шением квадратного уравнения и использованием свойств трехчлена
второй степени.
Обратим внимание иа то, что если корни трехчлена ах*-\-Ьх-\-с*)
мнимые, то этот трехчлен при любых вещественных значениях х со-
*) В этом параграфе буквы а, Ь, с, р, д и другие постоянные в уравне¬
ниях обозначают вещественные числа.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ	43
храияет свой знак. Легко видеть, что при этом знак трехчлена сов¬
падает со знаком свободного члена (со знаком с). Таким образом,
если с>0 и корни трехчлена ах1 +Ьх + с мнимые, то
ах2 -f- Ьх + с >• О
при любом вещественном х.
При решении систем уравнений следует иметь в виду следующее
предложение. Пусть рассматривается система т уравнений с т не¬
известными. [Пусть степени этих уравнений будут соответственно:
Тогда наша система, вообще говоря, допускает ktkt ... km систем
решений. Точнее, произведение степеней уравнений является верхним
пределом числа решений. Иногда этот предел достигается (см. за¬
дачу 23), а иногда нет. Однако не мешает все-таки иметь в виду это
предложение, так как оно предохраняет от потери решений.
1. Решить уравнение:
„>(Ь+ *)(* + с) , ы(Ь+с)(Ь + х) , ,,(с+х)(с+Ь) ,и , „ч1
(х—Ь)(х—с) +	(Ь—с)(Ь—х)'гс	(с—х)(с—Ь)
2. Решить уравнение
а3 (b—с)(х—Ь) (х—с) + Ь* (с—а)(х—с)(х—о)+
+ с* (а—Ь) (х—«)(х—Ь) = О
и показать, что если это уравнение обладает равными корнями, то
имеет место одно из равенств:
1 ± 1 ± 1 =0.
У а У Ь V с
3. Решить уравнение:
(а—х) Уа—х—(Ъ—х) Ух — Ь _ и
~	^	..	— CL ,ш и.
у а—х~\- у х—b
4. Решить уравнение:
У 4«-(-& — 5х + У 4Ь -f- а —5х—3 У а-\-Ь—2х = 0.
5. Доказать, что корни уравнения
(х—«)(х—c)-fX(x—b)(x—d) — 0
вещественны при всяком X, если a<Zb < с <Zd.
6. Показать, что корни уравнения
(х — а)(х—й)-(-(х—e)("x—c)-f-(x — Ь)(х—с) = 0
всегда вещественны.
7. Пусть
Р,Р. = 2 (?,+?„).

44	ЗАДАЧИ
Доказать, что по крайней мере одно из уравнений:
х*+рх +? = 0,
xt+P,x + qt= О
имеет вещественные корни.
8. Доказать, что корни уравнения:
а(х—Ь)( х—с) + £>(л:—а) (л:— c)+c(x—с) (л:— &) = 0
всегда вещественны.
9. Каковы должны быть р и q для того, чтобы корни уравнения:
x*-\-px + q = О
были также р и q?
10. Доказать, что при любых вещественных х, у к z имеет место
неравенство:
x?-{-y*-\-z*—xy—xz—yz Ш0.
11. Пусть
x-\-y + z — a.
Показать, что тогда
*’ + / + z’^j.
12. Доказать неравенство:
x+y+z^V3(x*+y* + z*).
13. Пусть аир являются корнями квадратного уравнения
x*+px + q = 0.
Обозначим aft+ р* = sft.
Выразить sk при А = ±1, ±2, ±3, ±4, ±5 через р и q.
14. Пусть аир корни квадратного уравнения:
x*+px + q = 0	(а>0,	Р>0).
Выразить \/~и + через коэффициенты уравнения.
15. Показать, что если два уравнения
Ах* + Вх +С =0,
А’ х* + В'х + С' = О
имеют общий корень, то
(АС — СА' )* = (АС—ВА’) (ВС — СВ').
16. Решить систему:
x(x + y + z) = a*,
У(х+у + г) = 1?,
z(x+y + z) = c*.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
17. Решить систему:
x(x + y + z) = a —yz,
y(x+y + z) = b—xz,
z(x+ y + z) = c—xy.
18. Решить систему:
у f 2x + z-^a(y + a:)(z + x),
z + 2y + x = b(z+y)(x+y),
x + 2z+y = с (у + z) (x + z).
19. Решить систему:
45
20. Решить систему:
21. Решить систему:
22. Решить систему:
23. Решить систему:
24. Решить систему:
25. Решить систему:
y + z + yz = a,
х + z + xz = b,
x+y + xy = c.
yz - ax,
zx = by,
xy — cz
X1 -|-y* — cxyz,
Л® + zx = bxyz,
y* z* = axyz.
AT(y + Z) = «*,
y(x + z) = b\
z(x+y) = c\
x* — ax + by,
y* = bx + ay.
л:* = я+(у — z)1,
f = b + (x-z)\
z* = c + (x—y)*.
(a> 0, b> 0, c>0).
x + y+cxy
' x+z+bxz
c(y + z) .
a(x + y) _
y+z + ayz 1
x + y + cxy 1
a(x+z)
, b(y+z)
b.
c.

46
26.	Решить систему:
ЗАДАЧИ
х—yz = a,
уг—xz = b,
z“—xy — с.
27. Решить систему:
Уг + хг—{y±z)x = a,
x*-\-z*—(x-{-z)y = b,
x*+y*—(x+y)z=c.
28. Решить систему:
х*+У* + ху=с*,
г* + х* 4- xz — b2,
У*z*yz= cf.
29. Решить систему:
■к* +У* + х* =«’,
x*+y>-i.g'=a*t
X -\-у +z —а.
30. Решить систему:
х* -р у* 4- z* 4- u1 = в4,
хг+у*+ z’ + и* = а',
х! 4-.у2 + г* + иг = д2,
х -\-у -f-z +и —а.
31. Доказать, что системы равенств (1) и (2) эквивалентны, т
из существования (1) вытекает существование (2) и обратно.
д2 + Ь* +с2 =1,	ад'	-f bb' 4-сс' =0,
д'2 4- 6'2 4- с'2 = 1,	д'д"	4- b’b" 4- е'с" = 0,
д"2 + Ь"г 4- с"2 = 1,	да"	4- bb" 4- сс" = 0.
а2 4-а'2 4-а"2 = 1.	ab	+ a'b' + а”Ь"=;0,
Ьг +b'* +b"* = l, .	bc	+ b'c' +Ь"с" =--0,
с24-с,24-с"2=1,	сд4-с'д'4-с"д"	= 0.
32. Из равенств:
х*(у + г) = аг; y*(x + z) = bs; z*{x-\-y) = c*', xyz = abc
исключить х, у и z.
33. Дано:
у	г   г х  , х у
г у ~а> х г ’ у х С*
Исключить X, у И Z.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ	47
34.	Исключить х, у, z из системы:
у* + гг—2ayz = 0,
z* -f- х1—2 bxz = О,
хг\-у%—2сху = 0.
35.	Показать, что результатом исключения х, у, z из системы:
будет:
(a-\-b-{-c)(b -{-с—а) (а-(-с—b)(a-{-b—с) = 0.
36. Исключить л: и у из уравнений:
х-\-у — а\ х?-\-у* = Ь\ х‘ +У = с.
37. Исключить а, b, с из системы:
Исключить х, у и z.
39.	Доказать, что если
х+у4-2+та» = 0,
ах-\- by -f- cz + dw — О,
(« — df (b—c)* (xw -\-yz) + (b—df (c—ft)* [yw + zx) -f
-f(c—df (ft—bf (zw + xy) = 0,
y*+yz-f Z* = ft*,
z* + xz+ x* = i>*,
x* + xy + / = c*,
xy+yz+ xz = 0
X
a
|=i-; fl* + &* + c* = l; a + b + c= 1.
38.	Дано:
то
X	V
(d—'>)(d—c) (b—c)	(d—c)(d—a)(c—a)
z
w
(d—a)(d — b)(a — b)	(b—c)(c—a)(a—b)
40. 1° Пусть
0<а<я,	0<р<я
и
О
cosa+cosp — cos (a-fP) = -^-.

48
Доказать:
2° Пусть
и
Доказать:
41. Пусть
Вычислить
ЗАДАЧИ
PJC
= -з •
0<а<л,	0<	Р<л
cos а cos р cos (а + Р)=
Рл
=т •
cos0 + cos9 = «;	sin 0 + sin ф = £>.
8 •
соз(0-|-ф) и sin(0 + 9).
42.	Дано, что а и Р — различные решения уравнения:
a cos х + b sin х —■ с.
Доказать, что
, а—р	с*
cos
43. Пусть
Доказать, что
44. Дано:
Доказать:
]0	е*-1
sin (6—и)  а
sin (6—Р)	b	* cos (6—Р)	d
'а*+6**
cos (0—а)
,	ac+bd
cos(a-P) = ^-c.
е*—1	1	+	2е cos Р + е*
l+2ecosa+p*	е2—1
е + cos р
sin р
1 +е cos Р
1 -f- 2е cos а + е e + cosa —sin а
а 1_. Р   , 1 + е
1 +е cos а '
2° tg-^tgf = ±
45. Доказать, что если
cos х— cos a sin2 a cos P
cos x—cos p	sin* p cos a ’
то одно из значений tg ^ есть tg-2- tg-f- .
/	Z	Z
46. Пусть
cos a = cos p cos ф = cos у cos 0; sin a = 2 sin -y- sin у

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ	49
Доказать, что
tgI-^- = tg* -§-• tgs-| .
47. Показать, что если
(х—a) cos 0 -f-у sin 0 = (х—a) cos 0t -f у sin 0, = о
и
* 6	* 01	OI
^ 2	*8 2	’
то
/ = 2ах—(1— /2)x2.
48. Доказать, что из равенств:
х cos 0 Д- у sin 0 = х cos <р+У sin тр = 2а
и
*	_	.	0	.	<р
2 sin sin ~ = 1
следует:
у* = 4а(а—х).
49. Пусть
cos 0 = cos а cos р.
Доказать, что
60. Показать, что если
cos х	cos (* + 0) cos (х + 20) cos (я + 30)
а = Т>	с	d	'
то
д+ с b + d
b	с
61. Пусть
: n cos a	j cos у tg 0 tg а
cos 0 =	5	;	cos	ro = -—~	—	.
cos p	Y cos P tg ф tg у
Доказать:
«8*4-* «8*-7= «g* 4-•
62.	Доказать, что если
cos 0= cos a cos P; cos cp= cos a, cos P; tg-|- tg = tg --,
TO
sin2 p = ( —	A(—[	0-
r \ cos a J \ cos a, /

50	ЗАДАЧИ
53.	Пусть
х cos (а-(- Р) -(- cos (а—Р) = л: cos (Р + Y) + C0S(P—Y)=
= х cos (у 4- а) 4- cos (у—а).
Доказать:
tga __ tg р	tgy
tgy(P+Y) tgy(a4-y) *Ву(« + Р)
54.	Доказать, что если
sin (0— Р) cos а . cos (a +0) sin Р
= 0
sin (ф—a) cos p	cos (ф— P) sin a
и
tg 0 tg a ■ cos (a—P) -
tg Ф tg P	cos (a + P)	’
TO
tg0 = y (teP+ctga); tg9 = i(tga—ctgp).
55. Дано:
л2 sin2 (a 4- P) = sin2 a 4- sin2 p—2 sin a sin p cos (a—P).
Доказать:
A	1	±	ti.	о
*а“Пм«еР-
56. Исключить 0 из уравнений:
cos (a—30) = т cos2 0,
sin (a—30) = m sin2 0.
57. Исключить 0 из уравнений:
(a— b) sin (0 4- ф) = (a + b) sin (0—ф)
,0	.	.	Ф
я tg у— b	—с.
58. Показать, что результатом исключения 0 и ф из уравнений:
„	sin	Р	sinv	\	•	а	■
cos0 = ——COSф =	——L;	COS(0—ф) = sinр sinY
sin a	T	sin	a	'	T	1	1
будет:
tg*ci = tg2p4-tg2Y.
59. Исключить 0 и ф из уравнений:
a sin2 0 4~ b cos2 0 = a cos2 ф 4~ b sin2 ф = 1; a tg 0 = b tg ф.
60. Доказать, что если
cos(0—a ) = a; sin(0—P) = b,
то
a2—2ab sin (a—P) 4- b* = cos2 (a—P).

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	51
61. Решить уравнение:
cos Зл: cos* х + sin Зл: sin* х = 0.
62. Решить уравнение:
sin 2x-j- cos 2х + sin х + cos х + 1=0.
63. Решить уравнение:
, ,	1	—	COS	X
tg* X = 	:	 .
а	1 — Sin X
64. Решить уравнение:
32 cos' х—cos 6 х = 1.
65. Решить и исследовать уравнение:
sin Зх -}- sin 2х=т sin х.
66. Решить уравнение:
0. cos л: cos (2х— а) ...	„
+ k) г - ч = 1 + A cos 2х.
'	cos (л—а)	1
67. Решить уравнение:
sin* х -f- cos* х— 2 sin 2л: + -j- sin* 2x — 0.
68. Решить уравнение:
2 lg* a + lg„* a + 3 lgai* a = 0.
69. Найти положительные решения:
xx+y=ya\ у*+У = хла	(a>0).
70. Найти положительные значения неизвестных х, у, и и V, удо¬
влетворяющих системе:
upv9 = ах, u9vp = ay, u V = b, uyvx = c
(й,	с>0	и	р*—дг Ф 0).
§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ
Мы предполагаем известными основные операции с комплексными
числами (сложение, умножение, деление и извлечение корня из ком¬
плексного числа). Равным образом, мы считаем известными тригоно¬
метрическую форму комплексного числа и формулу Моавра. При раз¬
ложении многочленов на множители и решении некоторых уравнений
высшей степени важную роль играет так называемая теорема Безу,
обычно приводимая в учебниках по элементарной алгебре. Напомним
ее формулировку. Если f(x) есть многочлен относительно х и если
/(я) = 0, то f(x) делится на х—а без остатка. Отсюда (допуская
существование одного корня у многочлена) вытекает возможность
разложения многочлена я-й степени на я линейных множителей, равных

52	ЗАДАЧИ
или неравных. Отсюда же, равным образом, может быть получено и
следующее предложение, которым мы в дальнейшем неоднократно
пользуемся: если известно, что некоторый многочлен я-й степени
относительно х обращается в нуль при я +1 различных значениях х,
то такой многочлен тождественно равен нулю. Следовательно, если
два многочлена я-й степени относительно х принимают равные зна¬
чения при я -f- 1 различных значениях х, то такие многочлены равны
тождественно, то есть коэффициенты при одинаковых степенях х
у этих многочленов совпадают. Наконец, упомянем еще о связи между
корнями уравнения я-й степени и его коэффициентами. Пусть многочлен
х" + Р1х"-'+ргхп-г+ ■ ■ . +рп-гх+рп
имеет корни: xt, .v,, ..., хп, так что существует разложение:
ел4-р1*"-Ч ргхп-г+...+рп = (х—xj(x—хг) ... (х—хп).
Тогда имеем соотношения:
Х1 + Хг + ■ • ■ + хп ~ —Pi
Хххг ~г ХгJC, -j- . . . -J- XfXn -p XtXf	,Xn = рг
xixtxt~i~ • • • “Ь Xn-tXn-iXn =	Pi
xrxt ... Xn ~ + pn.
1. Пусть x к у два комплексных числа.
Доказать:
\х+у\г+ \х—= 2 { | ^Г-Ы^Г }.
Символом |а] мы обозначаем модуль комплексного числа а.
2. Найти все комплексные числа, удовлетворяющие условию:
1° £ = **.
2° х = х*.
Символом х обозначаем число, сопряженное с х.
3. Доказать, что
"|/ (а,	... +о„)* + (£, +	+	^„)* = Y а* + bi ~г
+ V al + bl+-..+Y an + bn,
где а{ и Ь{ — любые вещественные числа (/=1, 2, 3, ..., я).
4. Показать, что
(я	с) (й + ^е + се2) (a-f-fe* + се) = а* -}-&’ + с‘—3abc,
если
е* + е + 1=0.
5. Доказать, что
с'—ab—ас—) (л:* _уя -J- г-*—ху—xz—yz) =
= х1 + Y1 + Z*—AY—XZ— YZ,

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ
53
если
X—ах -{- су +рг,
Y—cx-\-by-{- az,
Z = bx-\~ay-{- cz.
6.	Дано:
x+y + z = A,
X +у& -f- zs,1 — В,
х+>e* + ztt — С.
Отметим, что е как в этой задаче, так и в следующей опреде¬
ляется равенством: е* + е +1 =0.
1° Выразить х, у, z через А, В и С.
2° Доказать:
M|* + |smc|s = 3{|*|*+I-Vl' + M’}-
7. Пусть
A = x+y + z,	A' = x'-j-y'-i-z',	АА'= х”+у" + z";
B = x + y£ + ze\	В' = х'+у'Е±г'ег,	ВВ’ = х"+ /'e + zV;
C = *+.ye* + 2e,	С' = je'+/e*-f z'e,	СС = х"+/е* + г’в.
Выразить х", у" и z" через х, у, z к х’, у', z'.
8. Доказать тождество:
(ах—by—cz—dt)* + (bx+ay—dz + ct)1 + (сх + dy + az—W)* +
+ (dx—cy + bz + at)1 — (a1 + b* + c* + d*) (хг+3>г+z* -f- <*).
9. Доказать следующие равенства:
0 COS Пф _ ^
cos"<p
( 2) 1ё‘ф+ (	---+A
где
n
A = (— 1)* tg"tp
при n четном;
где
/4 = (—1) * ( Jtg"-I<p при л четном;
Л = (— 1)* tg>
при п нечетном.
Отметим, что в этой задаче, как и в последующих,
( П\	п (л —1) ... (n—k+\)
\k)~~ п~ 1 -2-3- ...-А
С)-*-
п (п — 1) .
1-2-3

54	ЗАДАЧИ
10. Доказать следующие равенства:
fe=m —I
1° 2гт cosIm х = ^	2(Т)	cos2(/n — k)x +	.
ft=m-1
2° 2,msin,mjc= (—l)m+A2(2ftm)cos2(m—*)jc4-(2™) .
fc=m
(2m^"*) cos(2m—2ftJ-l) x.
k = 0
k=m
4° 2,m sin*m+I x=\^ (— l)m+ft(2m + 1)sin(2w — 2* + 1)jc.
fe=o
11. Пусть
и„ = cos (x 4- r cos (a 4- 6) + r* cos (a 4- 20) -f	r" cos (a 4- n0),
vn = sin a 4- r sin (a 4- 0) -f- r1 sin (a 4-20) 4-... 4-r" sin (a 4-«0).
Показать, что
 cosa—rcos(a—8)—rn+1cos[ (п41)в4а]4гп+* cos(nfl4a)
K”	1 — 2rcos04r*	’
sin a—r sin (a—0)—rn+1 sin [ («41) 04al +rn+* sin (n04a)
Vn	1—2rcos0 4x*	'	‘
12. Упростить следующие суммы:
k=fl
1° S = 1 4- я cos 0 4-	cos 20 -f ... = Ckn cos *0 (C“—-1).
k =0
k^n
2° S' = и sin 0 4-	sin	20 4- ... = £]c£sin*0.
fe=o
13. Доказать тождество:
sin'^a-i- sinl/> 2a 4-sin1^ 3a 4- ... 4- sin,p na — 4- 4~n * *4‘~<гУ' ^2p~~ ^ ,
1	2	2-4-b	... 2p '
Jt
если a = 2n и /,<2л (p—целое положительное).
14. Доказать:
1° Многочлен jc(Ar”-1 — nan~l)-\-an{n—1) делится на (х—а)г.
2° Многочлен (1—л:")(1 4-л:) — 2ял:"(1—х)—пгхп( 1—д:)*
делится на
15. Доказать:
1°(х4_у)'1—х"—уп делится на ху{х-}-у)(хг-\-ху-\-уг), если п
нечетное число, не делящееся на 3.
3° 2гт cos*m+I х— V

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	55
2° (х+у)"—хп—уп делится на ху (х+у^х^ xy+ya)*i если п
при делении на 6 дает в остатке единицу, т. е. если я= 1 (mod 6).
16. Показать справедливость следующих тождеств:
1° (х+у)*—х*—у' = 3ху(д:+у).
2° (х +у)’—х5 —у5 = 5ху (х +у) (х* + ху+у*).
3° (*+у)7—х7—у’^ху^ + уЦ^ + ху+у2)*.
17. Показать, что выражение
(x+y+z)m—хт—ут—zm	(т	нечетное)
делится на
(х+у + г)8—х*—у*—г*.
18. Найти условие, необходимое и достаточное для того, чтобы
х* + У* +^s +kxyz
делилось бы на
x+y + z.
19. Вывести условие, при котором х”—ап делится на Xя—аР
(я и р—целые положительные числа).
20. Выяснить, делится ли многочлен:
x4a + x4i+l -)-x4f+! -f- x4d+* (a, b, c, d целые положительные)
на
x*-|-x* -j-x-)-l.
21. Выяснить, при каком п многочлен 1 +Х1 +х4 + ... +Х*"-2
делится на многочлен 1 -f-jc-f-x* -)-.. . + хп“\
22. Доказать, что
1° Многочлен	(cos(p-|-xsin<p)n—«жлф—xsinrap	делится на
х* 1.
2° Многочлен x”sin<p—Qn~* х sin яф-|-g” sin (я—1)ф делится
на х*—2gx cos Ф + Q*.
23. Выяснить, при каких значениях р и q двучлен х4 + 1 делится
на х* +рх + #.
24. Выделить вещественную и мнимую части в выражении + bi,
т. е. представить это выражение в ‘виде х+у/, где х и у веще¬
ственны.
25. Найти все корни уравнения
х"=1.
26. Найти сумму р-х степеней корней уравнения
х”=1	(р—целое положительное).
27. Пусть
2л ... 2л	.
в = cos——f-1 sm —	(л— целое положительное)

56
ЗАДАЧИ
и пусть
Ak = x-fj)eft-)-2esA;+ ... +wdn~')k (* = 0, 1, 2 п.— 1),
где х, у, z,	и, w суть п произвольных комплексных чисел
Доказать:
S М*Г=Я{1*Г+|.У|1 + И1+---+М1} (см. задачу 6)
ft =0
28.	Доказать тождества:
k=Tl — I
1° х8"—1 = (х2 — 1) Д ^лс*—2х cos	^	"
2° *■"+• -1 = (х-1) П (** -2* cos	+ i J .
3° **"+*-1=(*+1)Д (** +2xcos2^T+ 0 *
40*sn-fl = Д (л:* —2Arcos(-fe + ^?-+ l) .
29.	Доказать тождества:
.о . я . 2я . (п—1)я уп
1 Sln 2л Sln 2л ' ‘ 'Sln 2л = 2"“''
п
_0	2я	4я	2пл I — 1) *
2 cos ^—гт cos =——г ... cos:	—	-—
2л+ 1 2л + 1 2л+ 1 2п •
если п четное.
30. Пусть корни уравнения
хп=1
будут 1, а, Р, у. •••. Ь-
Показать, что
(1—сх)(1—Р)(1—Y)-■ -0 —*.) = «.
31. Пусть
Xj, xlt ... 1 хп
корни уравнения
х" + х"~'+ ... +д;+1 =0.
Вычислить выражение:
1,1, .1

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	57
32. Не решая уравнений:
+ - г1.= 1
р*	с*	•
V*	T^v*—с*	’
^1+ —^	1	——	== 1
Q* ^ ег—Ьг^е‘—Сг	'
найти:
** +f + z\
33. Доказать, что если cosa-f-isina есть решение уравнения
xn + ptxn~' + ... +р„ = О,
то
pt sin a + pt sin 2a+...-{ p„ sin rta = 0 (pt, pt,... ,pn вещественны).
34. Если a, b, c, k суть корни уравнения
xn + ру-1*-^ ргхп~г + ... +р„-1х + рп = О
(А. Рг> •••• Рп вещественны), то доказать, что
11 4 а1) (1 + Ь*)... (1+ *г) = (1 —рг +■ р— ... )г + (/>, -pt + pi — ...)s
• 35. Показать, что если уравнения:
.Vs -f рх + q — О
х‘ -f-p'x + q' =0
имеют общий корень, то
{pq'—qp) (p—p'f = (q—q’Y-
36. Доказать следующие тождества:
1° YC0ST+ VC0ST+ VC0ST= VТ(5_3 у1]-
2° Ycost+ Vcost+ V““т*
37. Пусть а -f- Ь с = 0.
Обозначим:
aft+ bk-\- ck = sk.
Доказать следующие соотношения (см. задачи 23, 24, 26 § 1):
2*4 = *■*;	6s, = 5sss.,:
6s7 = 7sss4;	1 Os, = 7s,ss;
25s7ss = 21s*;	50s* = 49s4s*;
^л+s= аЬсьп -f- ~2 ^Ssn+l.

ЗАДАЧИ
x+y = u + v,
ха+уг — H* + ©\
x"-j-у" =«” + ©"
x+y+z = u + v + t,
х* +уа + zl = иг + vx + /*,
х* +У* + Z* = U* + V3 + /*.
х"+у" + zn = ип + vn + tn
Л = х, + хге + х,еа,
Д=х1 + х2е* + х,е,
58
38. 1° Дано:
Доказать
при любом п.
2° Дано:
Доказать
при любом п.
39. Пусть
где
еа + е+ 1=0,
a Xj, х, и Xj — корни кубического уравнения:
ха+рх + ^ = 0.
Доказать, что А* и В3 являются корнями квадратного уравнения:
z*-\-27qz—27ра = 0.
40. Решить уравнение:
(х + я)(х + Ь) (х + с) (х -yd) = m
при условии:
а -J- b = с + d.
41. Решить уравнение:
(х+я)4 + (х + Ь)* = с.
42. Решить уравнение:
(х -f~ b -J- с) (х + я + с) (х + я + Ь) (я -f~ b + с) — abcx = 0.
43. Решить уравнение:
ха + 3яха + 3 (яа—Ьс) х -J- яа + Ьш + са—3abc = Q.
44. Решить уравнение:
ях4+bx% + сха + dx + е = 0,
при условии:
a-\-b — b-\-c-{-d = d-ye.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	59
45. Решить уравнение:
(а + b -{- х)г — 4 (с* -(- b* -f- *') — 12abx = 0.
46. Решить уравнение:
* + &&? = * (с и »>°1*
Вывести условие, при котором все корни вещественны, и в этом
случае определить число положительных и отрицательных корней.
47. Решить уравнение:
(5*4 +10** +1)(5а4+ 10а*+1)
(х* + 10** +1) (а4 + 10а*+5)
48.	Решить уравнение:
■ = ах.
1
«1	,	агх	 аа*-
.а
*— а, (*—а,)(*— а,)	{*—о,) (*—а*) (*—а,)
а,тх*“-1	2	рхт—рг
(*—а,)(*—о2)...(*—а1т)	(*—а,)(*—а4)...(х—агт) *
49. 1° Решить уравнение:
хг+рх* -{-qx + r — O
при условии, что =
2° Решить уравнение:
х* +рхх + qx + г = 0,
если .v, = хг 4- xt.
50. 1° Решить систему:
у* -f- z* + а* =Ъауг,
z* + x* + £' = 3bzx,
х‘ +У%+ с* = Зс*у.
2° Решить систему:
х*—а=у1—b — zl—с = и*—d — xyzu,
если с4 b-\- c + d = 0.
51. В разложении 1-f-(1 + х)I-(-х)" по степеням х
найти член, содержащий хк.
52. Доказать, что коэффициент при Xs в разложении по степе¬
ням х выражения
{(s—2) хг-\-пх—$}(.* + 1)"
равен:
ЙСГ*.
53. Доказать, что при х > 1
рх9—qxp—р 4-<7>0
(р, q — целые положительные числа и q>p).

60	задачи
54. Пусть х и а — положительные числа. Определить наиболь¬
ший член в разложении (х~\-а)п.
55. Доказать:
1°	2)"+	... +( — l/-1/. lm = 0.
если i > т.
2° tnm—m(m— +	2)m+	... + (— \)m-'m = m\
(i и m—целые положительные числа).
56. Доказать тождество:
{х*+аУ= {У'—&пхГ-яал + С*хГ-*а?.. .}* +
+ {С'пхп-'а-С>пхп-'а* + ...}*.
57. Определить коэффициент при х1(1 — 0, 1, ..., 2л) в сле¬
дующих произведениях:	.
1°	-Ь^”} {1 +•* +■**+•• •
2° {1 +jc + Jc*+ • • • +■*;"} {1—Jc-f-JC*—JCs-f ... +(—I)"*”},
3° {1 + 2„v -{- Ъхг ...+(«+1)x"}{1+2jc + 3jc,+ ...
... +(л+ 1 )■*"}.
4° {1+2д:+Зл:г-|-...+(л+1)д:л}{1— 2х+Ъх*—...
...+(-1)"(л+1)*и}.
58. Доказать:
i° i+c*n+C‘ + ... = q+q+...=2”-*.
2° С1 +С*	=	если	л	четное.
" 2 П ' 2П 1	1 2/1	*
3° 1+С* + ... 4- С"-1 = 2*”“*,	если л нечетное.
1 2П 1	1	2/1	'
59. Доказать тождества:
1° C»+C*4-C*4-...=i(2n + 2cosf).
2° С\ + С* + Оп+ ...=-i-(2"4-2 c°s^=^).
3° С£4-С»4-С»+ ...=i(2n4-2cos(-^i?).
60. Доказать:
1° С»4-С*4С» + ...=4-(2""14-2тсоэ^).
2° С'п+Оа+Оа+ ... = -i-(2n-I,4-2Tsm^).
з° q+q4-qo4-...=4(2”_I-2Tcosf).
4°	+	... = y(2n-I-2Tsin^).

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ	61
61. Доказать равенство:
1* + 2* +	...	+ /г* = С*+1 + 2(С*+ С* _4+	... 4	С*).
62. Если а,,	а,,	о, и а4—четыре последовательных коэффи¬
циента в разложении	(1 лг)" по степеням х, то
Qi . а> _ 2а,
о, + а, аа+а4 а, + а,'
63. Доказать тождество:
1 1 11 2"-1
Ь • • - +|-я_•пм,=-^Г- (я четное).
1 In— I)! 1 3!(п—3)1 1 5! (п—5)1 '	'	(и—1)11! п\
64. Найти величину суммы:
s = c’-3c*+3'q-3’q+...
65. Вычислить величины следующих сумм:
0=1_С* + С‘-С*+...,
°’=Ч-Сшп+С1п-С'п+--
66. Доказать тождества:
1° С»+20П + ЗС*+4С*+ ...+(« + l)C«=(Л-|-2)2п-,.
2° С*—2С* + ЗС» + ...+(-1 )"-• пС"п = 0.
67. Доказать, что
-С"
п +1 п п +1"
68. Доказать:
1° 1+ — С' +— С* 4-	|.. * сп — ^П+* *
' + 2 Ln+3	•■•+п + 1	„	+	1	•
2*С*	2>С‘ 2	2	п+'С"	-yi+i 1
0° 0/"*о I п i п \ п I	I	по	I
2	3	4	п+1	—	п	+	1	•
69. Доказать тождество:
£i Lc*4- —с»4_ I (	fn	1 1_ 1	1	_1_	I	1
2 п+зсп+---+	п сп~ 1 + 2 + з'“,_‘','^п'*
70. Доказать:
10 cj!+c»+1 + cj+l+... +c»+Jt=c»j»+I.
2° с»- С> + С* + ... + (-1 )ЛС*=( -1 )лс*_,.

62
ЗАДАЧИ
71. Показать, что имеют место равенства:
72. Доказать следующие тождества:
73. Пусть f(x) есть многочлен, дающий при делении на х—а
остаток А, а при делении на х—Ь(а=фЬ) остаток В. Найти оста¬
ток от деления этого многочлена на (х—а)(х—Ь).
74. Пусть f(x) есть многочлен, дающий при делении на х—а
остаток А, при делении на х—Ъ остаток В, а при делении на х—с
остаток С. Найти остаток от деления этого многочлена на
(а, b и с не равны между собою).
75.	Найти многочлен относительно х степени т—1, который
при т различных значениях х: xl7 лгг хт принимает соответ-
76. Пусть f(x) есть многочлен, дающий при делении на х — а
остаток At, при делении на х — аг остаток Аг, ..., наконец при
делении на х—ат остаток Ат. Найти остаток от деления этого
многочлена на (х—а1)(х—at)...(x—ат).
77. Доказать, что если jc,, хг, ..., хт есть т произвольных раз¬
личных величин, f(x) есть многочлен степени меньше т, то суще¬
ствует тождество:
78.	Доказать, что если /(лг) есть многочлен, степень которого
меньше или равна т—2, и je„ хг, ..., хт есть т произвольных не¬
равных величин, то имеет место тождество:
(х—а) (х—Ь) (я—с)
ственно значения: уг уг, ..., ут.
/(*)=/(*,)
. \	(x—xt)(x—xt)...(x—xm)
1 1*1 *l) (*1 *з) ■ • • (*1 Хт)
I f I у \ (* *i)	*»)•«■(* хт)
V 1 (*S— xt)(xt—х,)...{хг—хт)
If, . (X—ХЛ)(Х — X,)■■.(* —ДГи-,)
(хт—Xt) (хт—хг).. .(xm—xm_t) •
И*.)
f(xs)
(*1	■**)(*!	-*з)	■	■	■	(*1	Хт)	(х,	х,)	(х2	х3)...(х,	хт)
, 	f(xm)
= 0.
{хт Jf|) (хт Д'£) ■ • • (*т Хт — 7)

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ	63
79.	Положим:
s„ = :
” (Xl Х?) (-*1	*j)-	•■(■*!	Хт)
*1
iXt "^l) (-*2 XS) . . . (д'2 Хт)
(хт	xi )(хт	X‘l) • • ■ {хт xm-i)
(л:,, хг, хт—т произвольных не равных между собою величин).
Показать, что х„ = 0, если 0	—1 И5т_1=1, и вычислить
80.	Вычислить:
j,-n
s
П	(х1~хг)(х1 —х>)--Лх, — хт)
„ — п
(л:2 xi) (xz я3)...(л:2- хт)
— п
’"+(xm—xi)(xm—xi)---(xm—xm-,)	^	1’2’3’	'	'	‘
81. Показать, что если f(x) есть многочлен, степень которого
меньше т, то дробь
!(х)
(х — Xj) (х — хг). ,.(х—хт)
(xlt х,, ..., хт—произвольные неравные между собою величины)
может быть представлена в виде суммы т простейших дробей:
■^1 I ^2	■	. Ат
х—х, ' х—хг' ' ‘' *~х—хт
(где At, At, ..., Ат не зависят от х).
82. Решить систему:
Х1	ш	Х9.	t	Хп	  |
о,—at — Ьг
аг—bt	а,—Ьг ' ' ' Oj— bn
X, . Х„	X
-— = 1
ь 1 >
1.
ап — *1 ап— Ь
83.	Доказать, что имеет место тождество:
п\	С’	2	С»
(х+1)(х + 2)...(х + /г)	х+1	х	+	2'
3С’	пСп
п	-	tl+1 tl

64
ЗАДАЧИ
В частности, например, справедливо тождество:
^		—	Q2.	_1_ JL С*	1 Г'л _1_
л+1— 2	3	п	4	п	5	«т1*1
84. Доказать тождество:
. пвД,в,...Дп . (at—bt)(at—bi)...(an—bl)
v J Ь1Ь1...Ь„Т Ь, (Ьж—*„)	+
■ («1— Ьг)(а»—	68)
"Г bt(bt-bt)...(bt-bn)
(а, — Ь„)...(о„ — Ьп)	_
’ "~гь„(ьп-ь1)...(ьп-ьп_1)
85. Доказать тождество:
(х+Р)...(* + пР)
(а:—Р).. .(а—яр)
-1 =
_ V/ , чп-г я (я+г) (я8— 1 *) (я*—2»)... (я1—(г — 1 )*)
*	(г!)г	'	X
Г = I
86. Пусть дан ряд чисел:
^1* Са, • * ., С*, С*+|, • . .
Положим:
Дс* = cft+, с*,
так что по данному ряду чисел можно построить второй ряд:
Ас0, Дс1( Ас2, ...
Далее положим:
ДЧ = Асл+, —Ас*
и можно построить еще ряд чисел:
А с0, А Ср A cjf ...
и т. д.
Доказать следующие формулы:
1° сл+„ = Сл + тАса+^=^А8С* +
+ яЛ_я-1)(я-2)дч+...+
2° А%= с*+„- f сА+п_1 + ^=^сА+„_1+ ... + (-1)"с*
87. Показать, что если f(x) есть любой многочлен от л
пени п, то имеет место тождество:
/W = /(0)+ f Д/(0)+^=^ А8/(0)+ ...
, х(х— 1)...(ЛГ—я + 1) АП
...+	п1	а
1Ё_
-гр •
А”с*.
сте-
/(0),

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	65
где А/(0), Л'/(0), ..., А"/(0) получаются, исходя из следующего
основного ряда:
/(0), /(1), /(2), ...
88. Показать, что если
...+^(*-1)(х-2)...(*-л),
то
A.={s+i)n-e/,+C‘l(s-i)n+... +(—i)sq-r.
89. Доказать тождество:
я!	/1.1.	.1)1	С'п
х(х + 1 )...(х + п)
ii+_L+.. +-1-1 = 1	S*-	+
/х^х+1'* ' х + п) х*	(*+!)*	^
+ (х + 2)*+	1 )"(* + «)**
90. Пусть
<Р*(*) = *(х—1)(jc—2). • .(*—ft+1).
Доказать, что имеет место тождество:
Ф» {* +У) = Фл (*) + C'„4>n-i (х) Ф, O') + С* <рп_л (х) ф, (у) + ...
• ' • + СП ~1 Ф» (X) ф„- ! 0>) + Ф„ 00-
91. Доказать следующие тождества:
1° х" + уп = р"—+	...
, /	1	\г	п(я—	г	—	1)(п—г—2)—(« — 2г + 1) „„_гг„г ,
• ••-hi—О 	 Р	Я	+	.	• ■
2° xn+'xlf+t=pn-q-1p”-4+q_spn-v- • ■.
где
р = х+у, q — xy.
92. Пусть дг+у=1.
Доказать:
хт(1 +С'тУ + С>т+у + ... +C^-_V"-’) +
+уш (1 + СГх + ... + C-JX”-1) = 1.
з В. А. Кре
пиар

66	ЗАДАЧИ
93.	Доказать справедливость тождества:
г1
1	_ 1 J 1— V ^.
{х—а)т(х~ Ь)т	(а—Ь)т \(х—а)т'(х—а)т-1 (Ь—а)~
С2	Ст	~1	\
I	m + i	,	J	гт	—	г	I	>
—а)т“2(6 —а)* *” *4 *	—a) (b—a)m~lj
I 1 I 1 I	 L
^(6 —а)т \{x—b)rt~(x — b)m->(a—b)~r
, CZTJ, \
* ,,+ (*—6) (а— б)™"1 ) *
94. Показать, что всегда можно подобрать постоянные Л,, Л,,
Л,, ... так, чтобы имело место тождество:
(Х+у)п — х"+уп + \ХУ (хп~г+У"'*) + Агх*У* №~*+уп~*) + . • •
Определить эти постоянные.
95. Решить систему:
xt + xt = at,
ХгУ1 + ХгУг = а^
ХгУ\ + хгУ1=аг<
Xty\ + Xiy\^ai.
Показать, как решается общая система:
■*1 + л:2 + л:а+ • • ■ ^~ХП-1 ~ЬХП~ °1»	0)
xJt + x*y*+ ■■•+хпУп	(2)
хгУ\ + Х*У\ +■■■+ хпУп = аг>	(3)
*,У? -1 + ХгУГ "1 + • • ■ + хпУгпП ~1 = а>п-	(2л)
96. Решить систему:
x-\-y + z + u-{-v = 2,
рх + ду + rz+su + tv = 3,
ргх+q*y -j- ггг 4- s*« + t*v = 16,
p* x -{- q*y -f r‘z+s*u + t*v = 31,
p‘lx-pqly-\-riz\- siu-^-t‘lv^= 103,
p*x -j- q*y -j- r*z + s*u -f t*v — 235,
p*x -f qby 4- r*z + s*u 4-16v = 674,
p'x -j- q1y -j- r7z -p s7u -j- fv = 1669,
p*x-\- q*y + rez 4- s*u -f fv = 4526,
p°x -j- q*y -f- r*z-}- s9« 4- fv — 11595.
97. Пусть тир, — целые положительные числа ^ т).
Положим:
(1— *“)(1— ЛГя-,)...(1— хт-г+г)	,	.
(1— *)(1 — **)...(! — JC^)	~(т’

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	67
Доказать:
1° (го, ц) = (т, го—ц).
2°	(го,	ц + l) = (m—1, |л+1)-Ь*"_,1-1(/и—1, |л).
3°	(го,	(л + 1) = (р, ц,) + л:((л + 1, р,) + Xs (р + 2, р)+...
...+х(го—1, р).
4°	(го,	р) есть многочлен относительно л:.
5°	1—(го, 1) + (го, 2)—(го, 3)+...равно
(1—лг)(1 — Xs).. .(1—хт~1), если го четное,
О, если го нечетное
(Gauss, Summatio quarumdam serierum singularium, Werke,
Bd. II).
98. Доказать:
1° (1-J-xz)(l+JC*2). . .(1
fc= n	k	<fc+i)
. V (I-*")!!-*"-1)-.-!!-*"-*-1-1) J~~* jt
+ i±t	(1—■**) (1—je»)...(l—
2° (1 -j- xz) (1 "j- xsz)...(1 -j- xSn~*z) =
(1— **)(! — **)...(1 — xli)
99. Пусть
ph = (1 — x) (1 — **)... (1 — x*).
Доказать, что
л (л + О
1	  X	,	JC5	  ■	X	*'г	  J
Р~п~ PiPn-i РгРп-i	~п	~
100. Определить коэффициенты С0, С,, С,, ..., С„ в следующем
тождестве:
(1 -Ьл:гг)(1 +хг-,)(1 + дЛг) (1 +Л-1).. .(1 + х,в-1г)(1 Ч-**""1*"1 =
= С0 + С, (г + *-•) + Сг (zs + z-s) + ... + Сп (z“ + z-n).
101. Пусть
  sin 2пх sin (2л — 1) . .sin (2/г—k+l)x
k	sin x sin 2x... sin kx	*
Доказать:
1° 1 —ц, + иг—u,+. .. + игп =
= 2"-(I — cosa;)(1 —cosЗлг).. .[1 —cos(2/z — 1) at"J.
2° i_B; + B;-Bj+...+B;n==
 .	.. „ sin (2n+2)xsia(2n + 4)x.. .sin 4nx
sin '2x sin 4x...sin 'hix	*

68	задачи
§ 7. ПРОГРЕССИИ И СУММЫ
Задачи на арифметическую и Лометрическуго прогрессии, рассма¬
триваемые в настоящем параграфе, требуют для своего решения только
обычных сведений, сообщаемых в курсах элементарной алгебры. Сум¬
мирование же конечных рядов обычно производится методом конечных
разностей. Пусть требуется найти сумму
/(1) +/(2)-+...+/(«).
Ищем функцию F(k), которая удовлетворяла бы соотношению:
F{k+l)—F{k)=/ik).
Тогда легко видеть, что
/0)+/(2)+ • • • +/(«)= [^(2)-F(l)] + [F(3)-F(2)] + ... +
'	+[F(«	+	1 )-/Ч«)] =/7(л+1)-/7(1).
1. Пусть с*, Ьг, сг образуют арифметическую прогрессию. Доказать,
что величины:
1 1 1
Ь +с ’ с + а ’ а + Ь
образуют точно также арифметическую прогрессию.
2. Доказать, что если а, b и с — соответственно р-й, q-й и г-й
члены арифметической прогрессии, то
(q—r)a+(r—p)b + (p—q)c = 0.
3. Пусть в арифметической прогрессии ap — q; ад = р (ап—п-й
член прогрессии). Найти ат.
4. В арифметической прогрессии Sf — q\ Sg = p (Sn—есть сумма п
первых членов прогрессии). Найти Sp+g.
5. Пусть в арифметической прогрессии S —S . Доказать, что
S	tti
6. Дано, что в арифметической прогрессии ~^- = —г*
Од	tl
Доказать: — =	-.
ап	2 п—1
7. Показать, что всякая степень nk (k ^ 2 целое) может быть
представлена в виде суммы п последовательных нечетных чисел.
8. Пусть последовательность а,, «г,..., ап образует арифметическую
прогрессию, причем а1=0. Упростить выражение:
•S'= —+ —+•	— at	 L_V
а2	Ctj	&п— I	V	а2	°3	&П	—	2	/
9. Доказать, что во всякой арифметической прогрессии:
• • •
имеем:
1	п	—1
Уа,+ /аг V аг+У а,	Van.t+Van	Va,+	Van'

§ 7. ПРОГРЕССИИ И СУММЫ	69
10.	Показать, что во всякой арифметической прогрессии:
имеем:
г
О	2	2 t 2	2	.	.	2	2	л, . Z	2	»
О - С,— С2 С,— а, -|- . . . -f- Я2*_1 — C2ft — 2k 1 ' 1 — агк)-
11. Пусть 5 (п) — сумма п первых членов арифметической про¬
грессии.
Доказать:
1° 5(л + 3)—35(л4-2) + 35(л+1) —5(л) = 0.
2° S(3/z) = 3{.S(2/z)—S(/z)}.
12. Пусть последовательность а2, аг, ..., ап, еп+1, ... является
арифметической прогрессией.
Доказать, что последовательность St, S2, Sa, ..., где
— а, + аг + ■ • • + ап’
•S2 = an + 1 + • • • +Й2П:	*^2	=	а2П+1+ • * • +а2Л> •••>
представляет также арифметическую прогрессию, разность кото¬
рой в п* раз больше разности данной прогрессии.
13. Доказать, что если а, Ь, с — соответственно р-й, q-й и г-й
члены одновременно как арифметической, так и геометрической
прогрессий, то
сР-с.Ъс-а-са~ь= 1.
14. Доказать:
(1 +jc + jc*H- ... +х")г—хп =
= (1 —(— ЛГ —(—	—(— ... —)— хп 1) (1 —)— ЛГ —f— JC* —}— ... -j- хп +1).
15. Пусть Sn есть сумма п первых членов геометрический про¬
грессии.
Доказать:
Sn(Sin-Sin)^(Sin-Sn)\
16. Пусть числа av а2, с,, ... составляют геометрическую про¬
грессию.
Зная суммы:
найти произведение
^ —й1 + й2 + й2 + • • • 4 ПП1
£' = — + — + • • • +—,
п * п 1	*	П	1
Р= аха2.. ,ап
17.	Если а, а2, ..., ап вещественны, то равенство
(«1 +	•	•	•	-f-On-i)	(аг	+ аз+ • • • +йп) = (о,й2 + й2й, + - ■ • "Ьйп-1Яг^е
возможно только тогда, когда а,, аг, ..., ап—составляют геометри¬
ческую прогрессию. Доказать это.

70
ЗАДАЧИ
18.	Пусть с,, аг, ..., ап—геометрическая прогрессия со знаме¬
нателем q и пусть Sm = а1 + ... + ат.
Найти более простые выражения для следующих сумм:
19. Доказать, что во всякой арифметической прогрессии, разность
которой не равна нулю, произведение двух членов, равноотстоящих
от крайних членов, возрастает по мере удаления от концов ее
к середине.
20. Арифметическая и геометрическая прогрессии с положитель¬
ными членами имеют одинаковое число членов и одинаковые крайние
члены. Для какой из них сумма членов будет больше?
21. Арифметическая и геометрическая прогрессии с положитель¬
ными членами имеют первые два члена одинаковыми.
Доказать, что все прочие члены арифметической прогрессии не
больше соответствующих членов геометрической.
22. Найти сумму п членов ряда:
23.	Пусть av аг, ..., ап образуют арифметическую прогрессию,
а и,, иг, ..,, ип образуют геометрическую прогрессию. Найти выраже¬
ние для суммы:
1 ° 5, -f- St + ... -j- Sn.
со i	<
Sn = 1 • х -f- 2xz + 3jcs -j- ... + nxn.
s = GjU, + atut +...+ anun.
24. Найти сумму:
25. Пусть
= 1 * 4-2* + 3* + ... + л*.
Доказать:
с я(л + 1) . с л(п-Ы)(2л-Н). с _п*(л + 1)*
— Ь2 !	6	’	4	*
26.	Доказать следующую общую формулу:
27. Введем обозначение:
... -J~пк — Sk (п),

§ 7. ПРОГРЕССИИ И СУММЫ	71
Доказать формулу:
nSk (л) = Sk+l(n) +	(п—1) + 5й(/г—2)+ ... -J-5ft(2) + 5ft(l).
28. 1° Доказать, что
1* + 2* + 3*+ ... +nk = Ank+1 + Bnk + Cnk-' + ... + Ln,
т. е. что сумма Sk(n) может быть представлена как многочлен сте¬
пени k +1 относительно п, с коэффициентами, не зависящими от п,
и без свободного члена.
2° Показать, что
1	d	1
k + 1 ’	8	2	'
29. Показать, что имеют место следующие формулы:
р n(n+l)(2n+l)(3n£ + 3n—1)
30	’
^	n£(n+l)s(2n£	+ 2n—1)
12 •
^	6м7+21пв + 21м5—7п*+п _
•—	42	~
n (n + 1) (2м + 1) [Зм£ (и + 1 )£—(Зл£ + Зп — I)]
~	42	»
3 п" + 12 п7 + 14П*—7 п* + 2п£
24
_ n£ (п + 1 )£ [3n£ (n +1 )£—2 (2пг + 2n— I)]
—	24
30. Доказать, что имеют место следующие соотношения:
5, = Sf; 45? = 5,+ 35,; 25, + 5, = 35*; 5, + 57 = 25;.
31. Рассмотрим числа:
В0, Blt Въ, Вг, Bt, ...,
определяемые символическим равенством:
(B+l)*+1 — £*+* = £ + 1 (ft = 0, 1, 2, 3, ...)
и начальным значением В0— 1. Символ состоит в том, что, развернув
левую часть этого равенства по формуле бинома Ньютона, надо везде
степени заменить через индексы. Таким образом, приведенное симво¬
лическое равенство тождественно со следующим обыкновенным:
+ Ck+iBk-\- Ck+tBk^l + ... + С*+1Вг -\-Вв—Вк+г = & + !•
1° Вычислить при помощи этого равенства В0, Вг, Вг, ..., В .
2° Показать, что имеет место следующая формула:
1* + 2* + 3* + ... +/z* =
=	{n>t+l + С*+1 Bjik+ Ch+ lBtnk~1 + ... +Ck+ iBkn}.

72	ЗАДАЧИ
32. Пусть xt, х2> ..., хп образуют арифметическую прогрессию.
Известно, что
■*1 + хг + • ■ • + х„ — а>
Х\ + Х% -[- ... + Хп = Ь* •
Определить эту прогрессию.
33. Определить суммы следующих рядов:
1° 1 + 4х + 9л:£ +... + /г£лг"-1.
2° 1, + 2,jc + 3!V+ ... +nsxn-\
34. Определить суммы следующих рядов:
.о.. 3.5.7	|	^
*	1 +Т + ~4+~3 + • • • + 2^Г ■
2° i-i+T-i+---+(-i)"-,^=ri.
35. Определить суммы следующих рядов:
1° 1—2 + 3—4+...+(—
2° 1г_2г + 3£—...+(— lf-V.
3° 1 —3£ +5£—7£ + ... —(4л—1)£.
4° 2 ■ 18 + 3 ■ 2£ + ... + (/г +1) /г£.
36. Найти сумму п чисел вида:
1, 11, 111, 1111, ...
37. Доказать тождество:
*«+1 + _у«»+» = |^"+i_2^«-y + 2хгп-8/—... +(-1)"2лг/п}£ +
+	V	+	2_у£п_,х4— ...+(- ln^"}8.
38. Найти сумму произведений чисел: 1, а, о£, ..., о"-1, взятых
по два.
39. Доказать тождество:
(*"_,+-3^1г) + 2 (*"_1! + +iUf) + -- •+(«—!) (х+т) +
.	1	(хп—1\£
+ /г *"-* ( х—\ ) •
40. Доказать тождество:
1°  1 L__1 L-l	1	1
I.OTO оТо+Т** •
2
1-2	2-3	3-4^	'' ‘ ’ n (n +1)	п+Г
1,1,	,	1	_	1	/	1	I
~ 2 V
1-2-3 1 2-3-4	n(n+l)(n	+	2)	2 V 2	(n+l)(n	+	2)JM
nO ^	^	I	I	^	(ft	1)
ЬЗ-5-3-5-7*1" • ’ ‘ ' {2n — l) (2n + 1) (2n + 3) ~~2(2n+' 1) (2/г + З)"

§ 7. ПРОГРЕССИИ II СУММЫ
41. Вычислить сумму:
14	2*	Ч4	п4
5=ЬЗ + 3^5 + 5^7 + • • • + (2п—1) (2/1 + 1)"*
42. Пусть с,, аг, ..., ап—арифметическая прогрессия.
Доказать тождество:
+-^+...+-=-4- (-+-+ • • • +1) •
Уп	—	1	^1	"Ь	V ^1 ^2	ап/
43. Доказать, что
п . п +1 .	.	п	+	р	I	 1
73
1°
(п-Н)! ~г (л + 2)! ~ - • - “И (л + р+1)1 n! (n + p + l)t
(л+1)! ~ (л + 2)! Т ' • • ‘ (п + р + 1)! ^ п [ n!	(n + p+l)!j
(п и р — любые целые положительные числа).
44.	Упростить следующее выражение:
1.2,4,	,2"
х+1 1 *2+1	1	*4+1	1	•' • 1	*2"	+	1	*
45. Пусть
5» = 1+Т + Т+*- -+7Г-
Доказать:
п + Р + 1 ( п—р . п—р—1	1	1	_у  с
п-р+1 | п(р + 1) т" (п—1)(р-|-2) t- - - -	„(p	+	i)f	»	Р'
46. Пусть
5«=1+т+у+-- - +Т'
с'  Д+1 J 1 I ? I п 2 \
" —	2	\ п(п — 1)	г („_ 1) („_2) -г • •	• ^ 2-3 J *
Доказать, что Sn — Sn.
47. Пусть	есть сумма	первых k членов арифметической про¬
грессии. Какова	должна быть	эта прогрессия для	того, чтобы отно¬
шение не зависело от х?
48. Дано, что а,, ай, ..., ап составляют арифметическую прогрессию.
Найти следующую сумму:
/=п
С aiai+iai+i
■
49. Найти сумму:
1	I	.	1
cosa cos (a + P) ‘ cos (a + P) cos (a + 2p)~ ’ ‘ ’ ~ cos[a+(n—l)P]cos(a+«P) *

74	8АДАЧИ
50. Показать, что
.	. I * а , 1 * а I	1а	1	.	а
^“ + -2 ^-2+Т^Т+ • ** +2^ ^2^1 = 2^ ctg 2й-7—	^	"
51. Доказать следующие формулы:
. nh , /	,	п—1 .\
sm-H-sinl а-)	^—h 1
Iе sin а+sin (а-рй)Р .. ,+sin [а + (/г — 1)Л]  	 —^	- .
slnT
sin — cos f а+ n „ * h\
2° cos а+cos (а-рй)-р... -J-cos [а+(/г — 1) h] =	-—^	  .
sin’2
52. Найти величины следующих сумм:
с. . я ,	. 2я ,	,	.	In — I) я
5 = sin Psin р .. . р~ sin- — ,
n 1 п 1	1	п	*
с/	я	, 2я ,	,	(п—1)я
о = cos Р cos р . . . -Р cos  	.
п 1 п 1	1	п
53. Показать, что
sin ар sin Зар ... P-sin (2п—1) а	,
	■	     1	^ tp и/у
cos а pcos Зар ... р cos (2п—1)а ё
54. Вычислить суммы:
Sn = cos£ х + cos£ 2x -Р ... р- cos£ 2пх,
S„ = sin£ л: + sin£ 2jc + ... р- sin£ 2пх.
55. Доказать, что
|=р
Хтт	nni
Sin——r Sin——г- = ^
Р+1	Р+1
f np 1
--,	если	m-\-n делится на 2(р + 1);
»	если	т—п делится на 2(р+1);
0,	если	тфп	и если тря и
т—п не делятся на 2(рР1).
56. Найти сумму:
arctg i+h? +arctgIpfa?+- • • +arctg r+n(n-+.)^ (X>0)-
57. Найти сумму:
“ctg n^A+arc,g гтгя.+ •••+“«	•
если о,, a2, ... образуют арифметическую прогрессию с разностью г
К> 0, г>0).

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	75
58. Вычислить сумму:
^Larctg 2+k! + k*’
59. Решить систему:
*xsin~+*. sin 2~ + *t sin3sin (л-1)-£- = а, ,
. 2я .	.	п	2л	,	.	„	2я	,	.	.	,	2я
•*, Sln — + хш sln 2 — + х, Sln 3 — + • • • + хп	ЯП (л — 1) — — а, ,
*»sin -?■ + **sin 2 — + xt sin 3	+ .. . +	sin (л— 1)	= с,,
sin	sin	2	sin 3 (”-1> n + ...
1	n	1	*	n	*	n‘
I	•	/	,.(n — I) я
• • - +*„-! Sin (n— 1 ) — — = an-V
§ 8. НЕРАВЕНСТВА
Предполагаем известными основные свойства неравенств. Напомним
их вкратце.
1° Если а>Ъ и &>с, то а>с.
2° Если а>Ь, то а+ т» >£ + /».
3° Если а > Ь, то ат > Ьт при и>0 и	am < bm при	т < 0.
т. е. при умножении обеих частей неравенства на отрицательное
число, знак неравенства меняется на обратный.
4° Если а > Ь > 0, то с* > ft*, если л: > 0.
Это последнее неравенство легко доказывается для рационального х.
В самом деле, допустим сначала, что х — т есть целое положитель¬
ное число. Тогда:
ат—Ьт = (а—Ь) (а"1-1 + ат~гЪ + ... + Ьт~г).
Но обе скобки, стоящие справа, больше нуля, поэтому ат—Ьт>0
и ат > Ьт, Положим теперь х = -~. Тогда а*—Ьх=^/ а—Ь.
Имеем:
(а—Ь) = {уЪ—У1){у7г^-^... + у¥г:т).
Отсюда, действительно, следует, что
Уа-У~Ь>0, т. е. Уа>Уь.

76
ЗАДАЧИ
Пусть, наконец, л; = -Д. Имеем:
Но ар~у>Ь9 (по доказанному), следовательно, и f/ap> V. Для до¬
казательства же этого неравенства, при иррациональном х можно
рассматривать х как предел последовательности рациональных чисел
и прибегнуть к предельному переходу.
5° Если а > 1 и	>0, то	если же 0 < а < 1 и
лг>_у> 0, то ax<iay. Доказательство сводится в основном к тому,
что с®>1, если сс>0 и а>>1 и может быть получено из 4°.
6° Loga>:>Logaj;, если х>у и а>1 и Logaх<Logaу, если
х>у и 0<о< 1.
Из задач, рассматриваемых в этом параграфе, несомненно наиболь¬
ший интерес представляет задача 30 как по данным методам ее ре¬
шения, так и по количеству следствий. Отметим также задачу 50,
дающую неравенства, полезные во многих случаях.
1. Показать, что
2^ ■ ■ ■	(Л	—целое положительное).
2. Пусть п и р — целые положительные числа и л^1, р~^. 1.
Доказать:
3.	Доказать, что сумма любого числа дробей, взятых из совокупности
5.	Показать, что если а есть недостаточное значение ]/л с точ¬
ностью до 1 (а < У А + 1), то
п + 1	п+Р+1<	(п	+	1)2	+	(п	+	2у
(п + р)2<~ п п + р '
всегда меньше единицы.
4.	Доказать, что
п\ ^ |/п.
4 (2а -j-1) ‘
6. Доказать:
7.	Доказать:

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	77
8. Доказать:
ctg-|^ l+ctg6	(0	<	0 < л).
9. Показать, что если PpfipC= я (А, В, С>0) и угол С
тупой, то
tg Л tg В < 1.
10. Пусть tg 0 = /г tg ф (/г>.0).
Доказать:
11. Показать, что если
 ^—5+tgatgB =tgv, то cos2v<0.
cos a cos р ь ■	& 1 ’	'	—
12. Пусть имеем п дробей:
f-,	...,	>	0	(/=1,2,...,	/г).'
и t	иг	ип
Доказать, что дробь
°| + °гР • • • + °Д
t’l + Ьг Р ... + Ьп
содержится между наибольшей и наименьшей из этих дробей.
13. Доказать, что
т+п+-+р/^Т7/
заключается между наибольшей и наименьшей из величин:
l/a, ^Ь, ..., |У7.
14. Допустим:
0<а<Р<у<—< Я<
Доказать:
to а sina+sin р р sin у Р... р sin Я,	,
^ cosa + cos р pcosyp ... pcos Я.® *
15. Пусть
{х> у> г>0).
Доказать, что
^>/Ргх, если Я,>2,
хк<ук + г\ если Я, <2.
16. Доказать, что если
о2р&2 = 1,	/и2р/г2 = 1,

78
то
tg* 4+^*4+tgS4=L
Л + В+С=я (А, В, C>0).
ЗАДАЧИ
| am -\-bn\~£= 1.
17. Пусть
a, b, с и a-\-b—c, a-\-c—b, b-\-c — а положительны.
Доказать:
abc	(a + b—с)(а+ с—b)(b-\-c—a).
18. Пусть
A + B+C= я.
Доказать!
19. Пусть
Доказать:
20. Дано:
Доказать:
1° cosi4-fcosB-(-cosC^4"
«о а в с ^ зУз
2 cos-g- cos-g cos-g-^—|—.
21. Доказать, что
Y{a +	d)	cib-\-Y^d	(a>	b,	с	и	й?>0),
22. Доказать, что
аг + Ь> ^^a + b'j
23. Доказать, что
В
I
sin sm-g-sm
А + В+С = п (А, В, С> 0).
(о>0, 6>0).
1'
а + Ь	лГу,
=5; Yab (а, Ь>0),
ос 1 (а—bf^,a + b	I	(а—Ь)*
Я п =	9.	'	=	8	Ь	>
8 а
если а^-Ь.
24. Доказать:
25. Доказать:
а + 6+с
^ а£с
(а, Ь, с>0).
/а1й2-Ы/'а1а,-|-.. .	^	^	(а,	+	аа	+	... + ап)
(ai> 0; / = 1, 2, ..., л).

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	79
26. Пусть
а{ >-0	(/= 1, 2, ..., п) и а1аг ... ап = 1.	,
Доказать:	'
(1 PaJU Ре,)... (iPfln)S 2".
27. Доказать:
1° (я + &)(а + с)(6+с)^8а6с	(а,	Ь,	с>0).
no ° I b	| с —3
fc+c	а+с	а-\-Ь ~ 2"
28. Доказать:
у/(а -j-k)(b + /) (с + т) ^ l/abc-\- \/ktm	(а, Ь, с, k, I, /я>-0).
29. Доказать:
30. Доказать:
Xl+Xs+n'-,+Xn^yXlx1...xn,	(Xi>0; /=1, 2, .... П),
причем знак равенства достигается лишь в случае:
X, ■ X, — ... — Хп.
31. Пусть av аг, ..., ап составляют арифметическую прогрессию
К>0).
Доказать:
Va^n= Vayat... ап^
В частности:
Vп <\/Гп\<	.
32. Пусть а, b и с—целые и положительные.
Доказать:
а	Ь	с
aa+b+c./ya+b+c. Ca+b+c ^ (а р. £	с),
33. Доказать, что если а, Ь, с положительные, рациональные и
такие, что сумма каждых двух больше третьего, то
O+tO'O+^O+W*1-
34. Пусть даны п положительных чисел а, Ь, с, ..., I и пусть
у = сI р b р с р ... р /.
Доказать:

80	ЗАДАЧИ
35. Доказать неравенство:
А + агРг + • • ■ + апЬпУ =2 (°1 + й* + • • • + ап) (Ь\ + Ь\ . . . + Ь*п).
36. Доказать неравенство:
а1~\~аъ • ■ • + Ёэ "|/Пп (°i + яг+ • • • + ап).
37. Доказать, что
(*! + xi + • ■ • + хп)	+ • • ■ + —) = п*•
38. Пусть
x,+xt+ . .. +хп = р,
+ xtx,+ ...+ хгхп + х2хг + ... + хп_ txa = q.
Доказать, что
Р	I	п—1 -1 f s	2 п	  Р	п—1	f s	2п
— Л   1/ Р —-—;<7 — Х:>—	1/	р	тс-
п	1	п V ^	п—\н	—	‘—	n	п	г 1	п— 1
39. Пусть а, Ь, с, ..., / есть п вещественных положительных чисел
и пусть р и q также два вещественных числа. Доказать, что если
р и q одного знака, то
п (я'7+?+ V,+q-\-... + Р+9) ^ (tp + ЬР+ ... + Л («?+ #4- • • • + /*)-
Если же р и g разных знаков, то
/г (й°+?+ Ьр+9+ ... + Р'9) (аР + Ьр + ... + Р) (а9 + Ь9 + ... +19).
40. Доказать, что
1° (1	> 1 + сЛ (а — любое	положительное число и ^>1 и
рациональное).
2° (1 -f- а)х < -у-(а > 0 вещественное; Я—рациональное поло¬
жительное, аЯ<1)-
41. Пусть к„=^1 +-I) , п —целое положительное число.
1° Доказать, что
2° Доказать, что ип есть величина ограниченная, т. е. существует
постоянное число (не зависящее от п) такое, что ип меньше этого
постоянного числа при любом п.
42. Доказать:
1^2 < \/ 3 >	4	>{|/	/г> "+j/ п + 1 >...

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	8l
43. Доказать:
2>КЗ> j/4>	>	Уп+\ >...
44. Пусть имеем:
“Ь	n-^n	3^i>
с»*1 +	+	•	■	•	+	=_Уг,
«П1^1 + «„А + •.. + аппхп =уп,
где с;у>-0 и рациональны, дс,*у> 0.
Кроме того, дано:
Доказать:
45. Пусть
ak\ + akt + • • • + akn — i.
fl.A + fl*A+---+e»iA=1	(A=	1,	2,	.
y,yi---yn^x1xi...xn.
«,■>0, bt>0	(i	=	l,	2,	..., я).
Доказать:
^ К + ft,) (a, + ft,).. .(an + ba) ^	..0,+	^,...^.
46.	Доказать:
/'х1-\-хг-\-... +xn \*	+**	+.. • + **
л и k — целые положительные; 0.
47.	Пусть функция <p (t), заданная в некотором промежутке, обла¬
дает следующим свойством:
ф (<. + <») <Ф(М + Ф(<8)
для любых двух и /г, не равных между собой.
Тогда
+ ^г + • • • +^п\	ф (^) + ф(^г)+ • ■ •	+ ф(^п)
где tt, ..., tn—п произвольных величин из данного промежут¬
ка, не равных между собой.
48.	Найти наибольшее значение суммы:
S = sin с, + sin са + ... -f- sin ап,
если
ai > 0 и	... +я„ = я.

82	8АДАЧИ
49. Пусть х, р и q положительны, причем р и q целые.
Доказать:
1
Р	Я	’
если p~>q (х Ф 1).
50. Пусть х>0 и не равно 1, го рациональное.
Доказать:
тхт~1 (х—1)>х'л—1 >го(х—1),
если го не лежит между 0 и 1.
Если же 0<го< 1, то
гохт~‘ (х— 1)<х”— 1 <го(х— 1).
51. Доказать:
(1 +х)т ^ 1+гох,
если го не лежит в промежутке от 0 до 1;
(l+x)ra£i 1+гох,
если 0 ^ го ^ 1 (го — рациональное, х>—1).
52. Доказать:
^f+*P + ...+<jТ^	+	^ +
q=P> причем	q и	р оба целые положительные.
53. Найти,	при	каком значении х выражение
(х—x,)2 + (x—хг)г + ... + (х—хп)*
принимает наименьшее значение.
54. Пусть	х, + х„ + ... + хп = С (С—постоянная).	При	каких
значениях xt,	ха,	..., х„ выражение xf + x£+...+x*	принимает
наименьшее значение?
55. Пусть X/ > 0 (/ = 1,2, ..., п) и х, + хг + ... + х„ = С,
При каких значениях переменных х,, хх, ..., х„ выражение:
х\ + х\+ ... + х£
(Я,—рационально) принимает наименьшее значение.
56. Дано, что *,>0(/=1,2, ..., п) и сумма х, + хг + .., + х„ = С
постоянна. Доказать, что произведение х^-.-х,, достигает наиболь-
С
шего значения тогда, когда х = х. = ... ~х„ — — .
12	п	п
57. Дано, что х; > 0 (/ = 1, 2, ..., п) и произведение х,х2х,.. .х„
постоянно, т. е. х,х2.. .х„ = С.

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	83
Доказать, что сумма лг, -f- х2 + • • • + хп принимает наименьшее
значение тогда, когда
xt = х2 — ... — х„ = {У С.
58. Пусть xt > 0 (/ = 1, 2, ..., п) и сумма х2 + хз + • • • + хп — С
(постоянна).
Показать, что
ЛГИцсНа. . .х%п
12	П
принимает наибольшее значение, когда
£l_^2_	=3Ь —
Pi Ра	Рп	Pi “Ь Pa Н" • ■ • 4" Pn *
pf>0 (/=1,2, ..., n) и рациональны.
59. Пусть
of>0, х£>0	(/=	1,2,	...,л)
и
atx, + айхг + ... + а„х„ = С.
Доказать, что произведение xixt...xn примет наибольшее значение,
когда
С
а\х\ — агХ% =“ • ♦ • — апх„ — ^ .
60. Дано:
аг >0, д:, > 0 и atx\i + а2х^ + ... + я„лЛ* = С
(Xf> 0 и рациональные).
Доказать, что
x^'xi1*.. ,XILn
принимает наибольшее значение, когда
j1	}.2о2х^'*	%папхпп
Pi	Ра	Рп
61. Пусть х\'х\*.. .х^»-—С (постоянно).
Показать, что
+ агХ^ + • • ■ + апХЧ?
принимает наименьшее значение при условии
уМ1!	уДа	уДи
Л 1   л 2     Л Ц
К К	'" ’
aiPi	йаРа	апР	п
(я,-. х( >* 0; Я,,- и р,- > 0 рациональны).
62. Найти, при каких значениях х, у, z, ..., / сумма:
хХ+У* + г*+ ... + /*

84	ЗАДАЧИ
принимает наименьшее значение, если
ах + by + ... + kt = А	(а,	Ъ,	..., k и А постоянны).
63. При каких значениях х, у выражение
и = (о,х+ bty + с,)г -f-(a2x-f- bay + с2)2 + ... + (с„х+ Ьпу-\-сп)г
принимает наименьшее значение?
64. Пусть х0, х,, ..., х„ целые числа и допустим
х0<х1<х2<...<хп.
Любой многочлен п-й степени вида
хп+с1хп-' + ... +ап
принимает в точках х0, х,, ..., хп значения, из которых одно по
крайней мере больше или равно
л!
2п •
JTt
65. Пусть 0 х sS -g-. При каком значении х произведение
sin х cos х достигает наибольшего значения?
66. Пусть
x + y + z =	О^х^,	О^у^^-, 0
При каких значениях х, у и z произведение tgxtgytgz прини¬
мает наибольшее значение?
67. Доказать, что
1,1, ,1
>1
(п—целое положительное число).
68. Пусть о>1 и п — целое положительное число.
Доказать:
Л+1	Л-1
ап—1 >/z(a * —а 1 ).
69. Доказать, что
« .1.1. . 1 ^
'2<1 + -2+ 3'+ • • ■ + 251^1<Я
(п—целое положительное число).
70. Доказать, что
1,1^	1

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	85
§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
Задачи настоящего параграфа, в основном, решаются методом
математической индукции. Часть задач относится к вопросам комби¬
наторного характера.
1. Дано, что
и
Доказать, что
2. Пусть
и
Доказать, что
vn+i = 3v„—2®я_,
®о = 2» «\ = 3.
== 2" + 1.
«п+1	Зпп 2ип_1
ис = 0, и, = 1.
вя = 2»-1.
3.	Пусть с и Л>0 — произвольные данные числа и пусть
ai=4(fl+^)’ fl*=4(e»+£)'	а»=т(в—+^6:)'
Доказать:
ап—У~А /о,— ^ЛХ2"-1
./д.— К
'U+/A/
при любом целом п.
4. Ряд чисел
«О- «Р «21	•	•	•
составляется по следующему закону. Первые два числа а0 и ах даны,
каждое же следующее равняется полусумме двух предыдущих. Вы¬
разить ап через а0, с, и п.
5. Числа ряда
«11	«21	«Л	*	*	•
определены следующими данными:
«1 — 2 и оп = Зап_, + 1.
Найти сумму
«,+«а+ • • ■ +«„■
6. Числа ряда
• • •
связаны зависимостью:
«« = £««-,+ /	(«	=	2,	3,	...).
Выразить а„ через a,, k, Inn.
7. Последовательность

86	ЗАДАЧИ
удовлетворяет соотношению
2аи + вя., = 1.
Выразить я„ через я4, аг и п.
8. Числа ряда:
связаны зависимостью
an+t — 3сп+1 + ^an+i"~^n =
Выразить ап через я,, ах, аг и п.
9. Пусть пары чисел
(я, ft)(я,, /»,)(я2, £,)...
образуются по следующему закону
_ ... а+&. °i + 6. _ ... <*, + &,. , _я2+6
ui —	2	'	м—	2	’	*	—	2	'	1	2
Доказать:
«« = « + -§a)(l— ^).
bn = a + jib—а)	+2Т4")	‘
10. Числа ряда
■*■0» Уо* xi> У г* хж* У& • • •
определены зависимостями
хп = xn-i~\~ %Уп-1 sin а»
Уп=Уп-\^г^хп-\ cos2а.
Кроме того, известно, что x0 = 0; y0 = cosa.
Найти выражение для хп и уп через а.
11. Числа
*„ Х\»	•••!
Л. .Vl> ^2» * * *
Связаны соотношениями
*п = а*»-. + Р^»-,.
уп = ухп_,Ч-6>»п-1
Найти выражение для хп и уп через лг0, у0 и я.
12. Числа ряда
Х\* ^1» • • •
определены зависимостью
*п = “*«-!+К,-,.
Выразить хп через дг0, х2 и п.

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	87
13. Числа ряда х0, хх, ... связаны соотношением
„ _ Рхп — 1 Л~ЯХп—3.
п~ Р + Ч
Выразить хп через х0, х, и п.
14. Числа х0, хх, х  определяются с помощью равенства
 g*n-i + Р
Выразить х„ через х0 и п.
Рассмотреть частные случаи:
V — Xn-\	v	Xn-! + l
р тт	+	3*
15. Числа:
П-о, #2, ... *
К, Ь\> ^21 • • •
определяются по следующему закону:
п —ап + ЬПш .	_ 2апЬп
«n+i33 2	*	"+1 —а„ + Ь„*
а0 и />0 даны, причем я0 >-/>„> 0. Выразить с„ и />„ через а0, />0 и п.
16. Доказать тождество:
» I 1 I	,	1	1	,	_J	I	,J_
2n+\~r2s— 2	”*	(2/i)s—2л л + 1 ”*”« + 2	‘ ^ 2n'
17. Упростить выражение
(1 —x)(l — x2)...(l — xn) + x(l— x2)(l — x8)...(l—xn) +
+ x*(l—x3).. .(1—Xя) + . . .
... +x*(l — x*+1).. .(1 — Xй) + ... +x',-, (1 —x”) + x".
18. Доказать тождество:
x	x*	x4	x2"~‘	1	x—x2"
1—x2+l—x4+l—xs +	“1—x’ I—*4" *
19. Проверить тождество:
(1 + x) (1 -f-x2) (1 -f-x4)...(l-|-x2	)=l+x	+	x2	+ X + ...+X	•
20. Доказать справедливость тождества:
i+i+°-+i+(°+ч(»+д+...
1 a ab	abc
(g + l)(d + l)...(s+l)(fc + l)
abc...ski	~
(q+l)(b + l)...(fe + l)(/ + l)
abc...kl

88	ЗАДАЧИ
21.	Доказать тождество:
Ь+c+d + ...+k + l	Ь	с
а (а + 6 + с+ ... + k +1) а(а + Ь) (а + 6) (я + 6 + с)
+	Ё	+
т (а-\-Ь +с) (а + 6 +с + d)
(
• ■ "Г" (a + b + ...+k)(a + b + ...+* + /)•
22.	Пусть
п-*) + Г=^2о-*)(!-<72) +
-а (1 — z)(1 — qz). .. (1 — qn~lz) = Fn (z).
• • • T I _qn
Доказать тождество:
l+Fn(z) — Fn (qz) = (l—qz)( l—q*z). . .(1 —qnz).
23.	Доказать, что
у? (1 —an) (1 — a”-1).. .(1 — an-ft+»)
1 —ak
k-\
■ n.
24. Вычислить сумму:
с   a . a (a—1) . a(a—1) (a—2) . a(a—l)...(a—/i + l)
n~ b “* (b — l)'b(b — I) (6—2)	6 (6 — 1).. .(£>—n +1)
(b не равно ни одному из чисел: 0, 1, 2, ..., п — 1).
25. Пусть
*S„ = «, + («, + 1) аг + (а, + 1) (яг + 1) а3 -f- ...
... + (a1+l)(ag + l)..	1)я„.
Доказать, что
5B = (flI + l)(e1 + l)...(fl„ + l) —1.
26. Доказать следующие тождества:
х=п
1° £л:(л:+1).. .(л; + 9) = _р^л(Л-|-1)...(я^ + 1).
Х=1
х — п
2° У !	=1/1	!	I
^x(x+l)...(x: + q)	д \gl	(я + 1) (я + 2).. .(л + д))	'

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	89
27. Доказать тождество:
(‘ ~т~т) +	I) + • • ■ + (atr-4^=2—к)=
=_H1 — i+i~~T+-- -+2i^r\~ii) ■
28. Пусть имеем последовательность чисел (ряд Fibonacci):
О, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...
Последовательность эта определяется следующими условиями:
«п+. =
и и0 = 0, «, = 1.
Показать, что имеют место соотношения:
1° K/n-i==uo + Ki + U2+• ■ • + и«+1-
2° Ыгп+2 = и1 + кз + н5+ • ■ • +К2« + 1-
3° и2П + 1 = 1 + К2 + К4 + • • • + К2Л-
4 игп_, -f-1 U, Иг ~w з —И2„_, н2П.
5° «2Л-2+ 1 =«1—«2 + «2 —«2+ • • • +U2„-1-
6° «««„+,=«?+«,-l-...+и».
70 «2П = «.«2 + «2«3 + ■ • • + «2Л- 1«2Л.
8<> “«+,“«+2 —«пи„+3 = ( —П"-
9° «2„-Krt+1«n-, = (-lГ*-
Ю° и%—ип-гип_уип+1ип+г =1.
29. Вычислить сумму:
1 I ^ I	I	Un	+ 2
1-2	1-3	'" ‘	ип+1ип+3'
30. Доказать соотношения:
13 «»+/>-. = U„-,V. + “«V
2° «2П-1 = «2п + “2-1-
3° Ы2П-. = ««“« + ! —И«-2и»-,-
31. Доказать, что
и’4-и3 , — и3 =
П 1 Л + 1	п	—1
32. Доказать, что
*=т
и„—	^	Cn-ft-1.
k = 0
33. Найти число целых положительных решений уравнения:
^xt+x2 + . ..+хп = т
(т — целое положительное).

90
ЗАДАЧИ
34. Доказать, что общее число целых неотрицательных решений
уравнений:
х+2у — п', 2лг + 3y — ti—1; ..лд: + (л + Цу =
(л+1)* + (л + 2)_у = 0
равно л+1.
35. Показать, что общее число целых неотрицательных решений
уравнений:
х-\-Ау=Ъп—1, 4лг-)-9_у = 5л— 4, 9лг-|-16у = 7л—9, ...
..., /zsxr+(/z + l)ay = /z(/2+ 1)
равно п.
36. Имеется л белых и л черных шаров, помеченных номерами
1, 2, 3, ..., л. Сколькими способами можно расположить эти шары в ряд
так, чтобы два шара одинакового цвета не лежали рядом?
37. Сколькими способами можно распределить kn различных пред¬
метов на k групп по л предметов в каждой?
38. Сколько можно сделать из л элементов перестановок, в кото¬
рых два элемента а и b не стоят рядом?
39. Найти число таких перестановок из л элементов, при которых
ни один из элементов не занимает первоначального положения.
40. Сколькими способами л различных букв могут быть размещены
в г клетках (первая, вторая, ..., r-я клетка) так, чтобы в каждую
клетку попала по крайней мере одна буква (порядок букв внутри
клетки в расчет не принимается).
§ 10. ПРЕДЕЛ
Понятие о переменной величине и ее пределе предполагается
известным. Равным образом, мы считаем известными и основные тео¬
ремы о пределах, которые обычно излагаются в элементарных учеб¬
никах алгебры (предел суммы, произведения и частного). Напомним
один из признаков существования предела: если переменная величина
возрастает, но остается меньше некоторой постоянной величины, то
такая переменная величина имеет предел (равным образом, имеет
предел и такая переменная величина, которая, убывая, остается больше
некоторой постоянной величины). При рассмотрении вопросов, связан¬
ных с бесконечно убывающей геометрической прогрессией и вообще с
простейшими бесконечными рядами, следует иметь в виду, что символ:
ui + иг + и2 + • • • + ип + • ■ ■
обозначает не что иное, как lim (и, + ма + ... -j- u„)i еслИ этот пре-
П-> 00
дел существует. Если же этого предела не существует, то говорят,
что ряд:
М1 + К2 + Us + • • ■ + ип ~Ь • • •
расходится, и о численном значении символа говорить не приходится.

§ 10. ПРЕДЕЛ	91
1. Пусть хп — ап и |а[<1. Доказать, что lim хп — 0.
П-+&1
2. Доказать, что
Ига + = 0
П-ш «1
(при любом вещественном а).
3.	Найти:
4. Пусть
Доказать, что
5. Доказать, что
lim aBn*+q1n*-1 + ...+gft
П-200	-J-	... -{- bft
(ao +	+	9)'
2s—1 3s —1	ns—1
2s + 1	3*+l”	•„*	+	!•
lim P„ = -|.
«-►00 0
Um lft + 2k+...+nk	1
П -v CD	nk	+	l	k-\-\
(k—целое, положительное).
6. Доказать, что
Hm	<
п-*сл I	л	k	-{- 1 I ^
(k—целое, положительное).
7. Пусть имеем последовательность чисел хп, определяемую
равенством
v   хп — 1 *~Ь хп — 2
»	3
и начальными значениями х0 и дгг.
Доказать, что
n„,*„=b±2s.
«-►00 **
8. Пусть N^> 0. Возьмем произвольное положительное число хв
и составим следующую последовательность:
*2 = ^ (*.+£)*

92	ЗАДАЧИ
Доказать, что
lim хп= YN.
Г1-+ 00
9.	Обобщить результат предыдущей задачи на случай извлечения
корня любой степени из положительного числа.
Доказать, что если
т—1	,	N
х* ~ х°+	’
т	тх0
т— 1	.	N
Х 2 ~	~	Xl “1	1>
т	тх"
т — 1	,	N
Х„ =	X
то
lim хп=п^/Ы.
п-+ со
10. Доказать, что
lim l^i = 0-
ft-юо r “*
11. Пусть
k—tl
*-i: (/>+£- 0-
/г=1
Найти
lim 5„.
п-юo
12.	Пусть переменное xn определяется следующим законом обра¬
зования:
x0 = Va,
X, = V а + V а,
хг==	]/^й+ У^а+ \га ,
■^s =	а +	а +	*
Няйгп
lim хп.
«-►со

§ 10. ПРЕДЕЛ	S3
13. Доказать, что переменная
хп — 1 + -Ц + Ч= + • ■ - + ~т=— 2 V~n
^3	т	\Г	п
имеет предел при п—>оо.
14. Пусть даны две последовательности:
Л'о’ ^1’ ^1» • • • >
л. л. л.
каждый последующий член образуется из предыдущих следующим
образом:
х = ^п ~1 ^п ~1 •	v — Л/"х	v
лп	2	’	—	V	ХП-1Уп-1'
Доказать, что пределы хп и уп существуют и равны между собой.
15. Пусть
5, = 1 + 9 + 9* + ■ • • I <71 < 1»
5=1 + Q+ 0* + ... I Q| < 1.
Найти
1 +<7Q"b<7!Q!-b • • •
16. Пусть s есть сумма членов бесконечной геометрической про¬
грессии, с!—сумма квадратов этих членов. Показать, что сумма п
членов этой прогрессии равна:
17.	Доказать:
1° lim пкхп = 0,
П-VCD
если |х|< 1 и k—целое положительное число.
2° lim Уп = 1.
/г—>-ао
18. Найти суммы следующих рядов:
Г П2 + ^3 + 3^4+-- •++(я1-fl)+•■■
2	Г2Тз~*~2Тз^4+	'' ' +/г(л + 1)(/г + 2) + ■ • *
19. Доказать, что ряд:
1+т+т+т+-- • +++•••
есть ряд расходящийся.

94	ЗАДАЧИ
20. Доказать, что ряд
1+25+35+^5+	+/!“+■••
есть ряд сходящийся, если а > 1.
21. Найти суммы следующих рядов:
1° 1+2Х + 3 x* + ...+nxn-‘+...
2° 1 -|_4x + 9jc! + ...+4V!-,+ ...
3° 1+2,х + 3,х,+ ...+л,хв-, + ...	(М<1)-
1° Доказать, что переменная ил= ^"b^) (я= 1, 2, 3, ...)
редел.
2° Обозначив предел ип через е, так что lim (1 + —) =е,
П-> 00 V П 1
22
имеет предел
Доказать, что
1 . 1 . 1 Т	1	I	.	1	.	6
е — 1 + 1 + По + ГТо.ч + ■•• +
1-2 М-2-3 1 ' * ‘ ~ 1-2-3...А 1-2-3...Л-Л
(О<0 < 1).
23. Пусть
0<л:<у.
8ная, что lim = 1, доказать:
Х->0 Х
X—sin х < 4--^8*
— О
24. 1° Доказать, что ряд
+ ^ +	(°	^а^9)
есть ряд сходящийся.
2° Доказать, что, каково бы ни было вещественное число (о,
заключенное в промежутке от нуля до единицы (0<(о<;1), всегда
можно найти и притом единственным способом такие о,- (0 £= ai £= 9 —
целые), что
..	 а1 | °i 1 °а |	I	ап |
«>— ют- ю*“Г 10»т- ••• - 10«4---.
(разложить вещественное число в десятичную дробь).
3° Показать, что если десятичная дробь:
,	 £l I ^2_ .	|	[	°П	|
10 102 10*“*" *' ‘ 10"* *'
будет конечна или периодична (т. е., например, ап+1 = а„ ап+2 =
=а2, ..., а2„ = ап, ..., так что период содержит я цифр: а,, а2, ..., а„,
то представляемое ею число <в будет числом рациональным.

§ 10. ПРЕДЕЛ	95
25.	Доказать, что числа, определяемые следующими рядами, есть
числа иррациональные:
1° a = ~i—Ь-JS +-]»+ ттв + • • • +рН~--- I
где I—любое целое положительное число.
1 . 1 . 1 , 1 , 1
2° (о =
I ~	1	jl»2-I	*	jl'2'3'4	*	•**	I	^1«2« 3 ... П
I—любое целое положительное число.
26. Доказать, что е есть число иррациональное (см. задачу 22).
27. Пусть
1,1,1, , 1
t ‘ I I ' I I I 1	1 I /I-’*»
*1	*1*2	*12 8	1*2 • ■ • *Я
где 1 </,	/8	. и —целые числа. Доказать, что и рационально
только тогда, когда lk (начиная с некоторого k) все равны между
собою.
28.	Доказать, что переменная:
ип~ 1+"о' + ~ч''+- "Ь тг
имеет предел.
29.	Доказать следующую формулу:
л	1

РЕШЕНИЯ
§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1. Доказывается непосредственно проверкой.
2. Если раскрыть скобки, стоящие в правой части, и воспользоваться
формулой квадрата многочлена, то легко видеть, что все удвоенные произ¬
ведения взаимно уничтожатся, и мы получим искомое тождество.
3. Если воспользоваться тождеством предыдущей задачи, то из данных
нашей задачи следует:
(a2 -f b2 + с2 -f d*) {хг+у*+г* -f t*)=О,
откуда либо а2+Ь2-|-с2+ d2=0, либо х2+«/2+г2+ <2=0.
Но сумма квадратов вещественных чисел только тогда может равняться
нулю, когда каждое из этих чисел в отдельности равно нулю. Поэтому из
равенства a2+ ft2-fc2+d2=0 получаем: a — b = c = d = 0, а из равенства
■*2+(/2+zs+<2 = 0 имеем: х = у = z = t = 0.
Отсюда и следует искомый результат.
4. Это тождество может быть проверено непосредственно, а может быть
получено также из тождества (2), если положить в нем d = t — 0 и заменить
у через —у, а г через —г.
5. Если развернуть правую часть равенства, то все удвоенные произ¬
ведения взаимно уничтожатся и справедливость тождества сделается оче¬
видной.
6. Положим в тождестве (5) a, = a2 = a3= ... =a„ = 1; Ь1 = а; Ьг = Ь, ...
bn-i = k, bn = l.
Тогда получим:
л(а2+ Ь2+с2+... + &2+ /2) = (а + Ь+...-Н)2+(Ь— а)2 +
+ (с-а)2+...+(Л-02.
Но так как по условию задачи
л(а2+Ь2+. ..+/г2 + /2) = (а + Ь + ...+/г + /)2,
то
{Ь— a)2-f (с—а)2+... + (/г—/)2 = 0.
Отсюда следует:
а = Ь = с = ... =k = l.
7. Воспользуемся тождеством (5). По условиям задачи
a2 + c2 + ...+a2=l; Ь\ + Ь\+...+Ь*п = 1.
Поэтому имеем:
(fl] ^1-|-Q2^2 “Ь ■ * ■ “f* ^п^п)
“ 1 “(Я|&2	C2^l)2	(ai^3	a3^l)2	• ■ •	(ап-1^П	l)2'

§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ	97
Отсюда
0 =§ (°А	+ • • • +апьп)г Ш1;
следовательно,
— 1 —0|Ь| +°А + • • • ~han^n =5 +1-
8. Имеем:
(у + z—2х)2—(у—г)2 + (г+х— 2у)г—(г — *)2 + {х+у—2г)2—(х — yf=0.
Но
(у + г - 2х)2 - (р -г)2 = 4 (р —х) (г -*)
(пользуясь формулой разности квадратов).
Аналогично найдем:
(г+х — 2р)2—(г — х)г = 4 (г—у) (х — у),
(*+р—2г)2—(х—р)2 = 4(х—z)(p—г).
Следовательно,
4 (У— х) (г— х) + 4 (г — у) (х —у) + 4 (х—г) (у — г) = 0.
Раскрывая скобки, получим:
2хг -(- 2р2+2z*— 2xz—2pz—2ху = 0,
или
(х-У)г + (х-г)г + (у-г)2 = 0,
откуда и следует, что
х — у — 2 =0.
9. Первое из тождеств непосредственно очевидно. Второе перепишем
так:
(6а2— 4 aft + 4 ft*)’—(4а*—4aft + 6ft*)’ = (За2+5 ab —5 ft2)1 -f- (5a2—5aft —3 ft2)*.
Применяя слева формулу разности кубов, а справа формулу суммы кубов,
найдем, что достаточно доказать следующее тождество:
(3a2—2aft + 2ft2)2+(За2—2aft + 2 ft2) (2а2—2aft +3ft2) + (2а2—2aft + 3ft2)2=
= (5а2—5aft — 3ft2)2—(5a2—5aft —3ft2) (3a2+5aft —5ft2) + (3a2+5aft —5ft2)2.
Это тождество доказываем непосредственным раскрытием скобок.
10. Чтобы установить справедливость рассматриваемого тождества, мож¬
но переписать его так:
(Р2—Я*)* = (Р2+ W + Ч*)* — (2/*7 + Я*)*+ (Р2 + РЯ + V1)4—(2р? + р2)4.
Остается упростить правую часть и показать, что она равна левой.
Пользуясь формулой А4—В* = (А-\- В)(А—В)(А2+В2), получим для
правой части следующее выражение:
(Р* + Зр<7 +2д*) (р2— pq) [(p2-f pq +?2)2+ (2pq + р2)2] +
+ (2р2 + 3pq + р2) (р2—pq) [(р2 + pq +р2)2 -f (2р<7 + р2)2] =
= (Р+2?) Р (Р2—92) I(P2+ pq +‘?2)*+ (2р? +Р2)2] +
+ (2р + 9) 9 (92—Р2) I(Р2 + Р? + tf2)2 + (2pq + р2)2] =
= (р2—Р2) {(р2+ Р? + р2)2 [р2 + 2pq — 2рр —V2) +
+ (Р2 + 2р?) (р2+2рр) (2рр+р2—2pq — р2]} =
==(р*—р2)2 {(р2+ Р9 + 02)2— (р2 + 2рр) (р2 + 2рр)} = (р2—р1)4.
11. Проверить непосредственной подстановкой.
12. Проверить подстановкой.
4 В. А. Кречыар

98
РЕШЕНИЯ
13.	1° Случаи n=0, 1, 2 легко проверяются непосредственно. При
п=4, перепишем тождество следующим образом:
(гх—ky)*—(ix—kz)*+(iy—kz)4—(iy—ftx)* + (iz—ftx)4—(Iz — ku)*=0.
Преобразуем первые два члена:
(ix—ky)*—(ix—kz)*=[(ix—ky)*-{-(ix—kz)*] (2ix—ky—kz) k (г—у).	(1)
В силу равенства x+J/+z=0, получим:
(ix—ky)*—(ix—kz)* = k (2/ + ft) (y*—z2)	2//г)	xs-(-ks(!/2 + z2)].	(Г)
Но легко видеть, что выражение (2) получается из первого, уже рассмот¬
ренного, путем круговой перестановки букв х, у и г, т. е. такой переста¬
новки, при которой х переходит в у, у в г, а г переходит в х. Путем
такой же перестановки выражение (3) получается из (2). Поэтому нет необ¬
ходимости вторично производить вычисления для упрощения выражений
(2) и (3), а достаточно к полученному результату применить соответствую¬
щие перестановки. Тогда будем иметь:
(iy—kz)*—(iy—kx)*—k (2< + ft) (z2—x2) [(2/2+2/fc) y‘+k2 (г2-}-*2)], (2')
(iz — kx)*—(iz—ky)*=k(2i-\-k) (x2—ys) [(2/2-J- 2ik) z2+ft2 (x2+#*)]. (3')
Складывая же выражения (1'), (2') и (3'), получим:
ft (2l + k) {(2t2+2zft) [(уг—г2) x2 + (z2—х2) у*+(х*—у*) z2] +
2° При я=0 соотношение очевидно. Обозначим для краткости сумму,
стоящую в левой части равенства, символом:
2гх—ky—kz = (2/ + ft) х.
Квадратную же скобку можно переписать следующим образом:
(2г2+ 2/ft) x2+ft2 (y*+z*).
Итак, имеем:
Остается преобразовать следующие выражения:
(iy—kz)*—(iy—kx)*,
(iz—kx)*—(iz—ky)*.
(2)
(3)
+ ft2 (y*—z*+z*—x* + X*—y*)\= 0.
2 (* + *>"■
а сумму, стоящую в правой части, обозначим так:
При п= 1 нужно доказать:
8х + 2 ^ — 8* +2*-
т. е. нужно доказать, что
Остается только проверить, что

§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ	99
Но
2^=3 + 5 + 6 + 9 + 10+12+ 15 = 60,
2 * = 1+2 + 4 + 7 + 8 + 11+ 13 +14 = 60.
При л = 2 следует доказать, что
5>+*>,= 2(*+')2.
т. е. что
8*2 + 2х 2 k + 2 & = ■8л++Чх 2 *+2 **•
Итак, остается доказать, что
2*а=2/2>
что легко проверяется непосредственно.
Совершенно так же получаем, что для доказательства последнего слу¬
чая я = 3 надо только показать, что
2*2=£*’.
14. Первое тождество устанавливается следующим образом;
(а + 6 + c + d)! + (a + ft—с—d)2+(a + c— b—d)2 + (a + d— Ь—с)2=
= [(a + 6) + (c+d)]2+[(a + 6)-(c + d)]2+[(a-ft)+(c-d)]2 +
+ [(a—b)—(с—d)]2 = 2 (a + ft)2 + 2 (с + d)2 + 2 (a — ft)2 + 2 (с—d)2 =
= 2[(a + ft)2+(a—6)2] + 2[(c + d)2 + (c—d)2]=4(a2 + ft2 + c2+d2).
Второе и третье тождества доказываются также непосредственной провер¬
кой с некоторыми предварительными преобразованиями.
15. Перепишем наше равенство следующим образом;
[(a+ft + c)4-(a4+ft4+c4)] + [(ft+c-a)4-(a4 + ft4+c4)] +
+ [(c + a-6)4-(a4+64+c4)] + [(a + 6-c)4-(a4+64+c4)] =
= 24(a262+a2c2+ft2c2).
Рассмотрим первый член.
Имеем;
(a2+ft2 + c2 + 2aft + 2ac + 26c)2— a4—ft4—c4=6a2ft2+6a2c2+6ft2c2 +
+ 4ac (a2 + c2) + 4aft (a2 + ft2) + 4ftc (ft2+c2) + 12a2ftc + 12ft2ac + 12c2aft«
Остальные члены получаются из первого путем последовательной замены,
а через —а, b через —ft, с через —с. Произведя сложение, убеждаемся
в справедливости нашего тождества.
16. Имеем;
s(s—2ft)(s— 2c)+s(s—2c)(s—2a) + s(s — 2a)(s—2ft) =(s—2a) (s—2ft) (s—2c) +
+ 2a (s—2ft) (s—2c)+s(s—2a) (2s —2c—2ft) = (s—2a) (s—2ft) (s—2c) +
+ 2a (s—2ft) (s—2c)+s (s—2a) 2a.
Преобразуем сумму!
2a (s—2ft) (s—2c)+s(s—2a) 2a = 2a [(s—2ft) (s—2c) + s(s—2a)] =
= 2a[(s—2ft)(s—2c)+(s—2a)(s— 2ft)+2ft(s— 2a)] = 2a[(s— 2ft)(2s— 2c— 2a)+
+ 2ft (s—2a)] = 2a[(s—2ft) 2ft + 2ft (s—2a)] =2a-2ft [s— 26— 2a] =
= 4aft*2c = 8aftc.
4*

100	РЕШЕНИЯ
17. Развернем выражение, стоящее в левой части, по степеням s, по¬
лучим:
(а + Ь + с) s2—2s (а2 + Ь2 + с2) + а* + Ьг + с3+
+ 2s* — 2s2 (а + b + с) + 2s (а Ь + ас + Ьс) — 2aftc,
Так как a-fft-fc = 2s, то имеем:
2s*—2s (a2+ ft2+c2) + a3 + ft3 + c3 + 2s3—4s3 + 2s (ab -(-ac-fftc)—2abc =
= — 2s (a2-f- ft2+c2)+a3 + ft3+c3 + 2s (aft + ac + be)—2aftc = a3 + ft3+c3 +
+ (a + b -f c) (ab + ac -f be—a2— ft2—c2) —2abc.,
Непосредственным преобразованием этого последнего выражения убеждаемся,
что оно равно abc (см. также задачу 20).
18. Имеем:
(2с2—2а2) (2а2—2ft2) = (a2 + c2—ft2) (ft2-(-c2—а2) = с4—(а2—ft2)2.
Применяя круговую перестановку, получим:
(2с2—2ft2) (2с2—2с2) = a4—(ft2—с2)2,
(2с2—2с2) (2с2—2a2) = ft4—(с2—а2)2.
Отсюда
4 [(о2—a2) (a2— ft2) + (a2— ft2) (а2—с2) + (а2—с2) (а2—а2)] =
= a4 + ft4 + c4—(a2— ft2)2—(ft2—с2)2—(с2—а2)2 = — a4— ft4—c4 + 2a2ft2+
+ 2a2c2+2ft2c2 = — [а4—2 (ft2 + c2) a2 + (ft2—с2)2] =v [a4—2 (ft2—с2) a2+
+ (ft2—c2)2—4a2c2]=4a2c2—(a2—ft2+'c2)2=
= (2ac + a2—ft2+c2) (2ac—a2-f- ft2—c2) =
= (a + ft + c) (a + c— ft) (6 —a+c) (ft+ a—c).
Ho
a + ft+c = 2s;
a + b—c = 2(s—c);
a-(-c—ft = 2 (s—ft);
ft-fc—a = 2 (s—a),
и мы получаем справедливость тождества.
19. Имеем:
(x + j/ + z)3=x3+£3 + z3 + 3x2 0/ + z) + 3#2 (x + z) + 3z2 (х+у) + 6хуг.
Следовательно:
(х + У + гТ —Xs —у*—z3 = 3 {хгу+x2z + г/2х + г/2г -f г2х + ггу + 2хуг} =
= 3 {г (х2+у* + 2ху) + г*(х-\-у) + ху(х-\-у)) =
= 3 (х + у) {г(х+у) + г*+ху} = 3(х+у)(х + г)(у + г).
Итак:
(х+У + г)3 — Xs — ys—z3 = 3 (х + у) (х + г) (у + г).
20. Имеем:
(х + ^ + г)3 = х3 + {/3 + г3 + Зхг/(х + у+г) +
+ 3хг (х+# + г) + 3уг (х+у + г) - Ъхуг.
Следовательно:
ж' + ^’+г*—3x#z = (x + ft + z)3—3 (x+y + z) (хг/+хг+#г) =
= (*+ft+z) (хг+у2+г2—ху—xz—yz).

§ I. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ	101
21. Положим: a-\-b—с = х; fc+c—а = у; с + а — b=z.
Легко видеть, что x + y-\-z—a-\-b-\-c и, следовательно, нужно упро¬
стить следующее выражение:
(*+У + г)5 —xs—у3 —г3.
На основании задачи 19 имеем:
(x + p + z)’— Xs— f— га = 3(х + р)(х + г) (p + z).
Но
x+p=2fc; x + z = 2a; y-\-z = 2c.
Поэтому
(a + 6+c)s—(a + b—с)*—(ft +c—a)3—(c + a—b)3 = 2Aabo.
22. На основании задачи 19 имеем:
*a + f + г’ = (x + p + z)3 — 3 (x+p) (x + г) (p + z).
Положим здесь x = b—c; y = c—a; z = a — b, найдем
*+p + z=0; x + p=fc— a; x+z = a—c; y + z—c—b.
Следовательно:
(b—c)* + (c—a)’ + (a — fc)’ = 3 (a—b) (a—c) (c— b).
23. Легко получается из задачи 20. Но можно и следующим образом:
(a+ b +с) (a2+ fc2 + c2)=0,
так как
а + Ь + с = 0.
Следовательно,
flS + Ь3 + с3 + ab {а + Ь) + ас (а + с) + Ьс (ft + с) = 0.
Но
а-\-Ь= — с, a + c = —b, Ь+с =—а.
Теперь искомое тождество очевидно.
24. Имеем:
(a + fc+c)2=0,
а* + Ьг + с2 = — 2 (ab +ac + fcc).
Возводя обе части этого последнего равенства в квадрат, получим!
(a2 + fc2 + c2)2 = 4 [а3Ь3 -\-а3сг b3c2 -\-2a3bc -\-2Ь2ас -\-2сгаЬ] =
= 4 [a2fc2 + a2c2 + fc2c2 + 2afcc (a + fc + с)] = 4 [a2b2 + a2c2 + fc2c2].
С другой стороны:
(а* + Ь2 + с2)2 = а* + ft4 + с4 + 2 (а*Ь3 + агс2 + Ь гсг).
Отсюда
4 (а3Ь3 + aV + Ь3с3) = 2 (а2 + Ь3 + с2)2—2 (а4 + ft4 + с4).
Сопоставляя это с равенством
4 (агЬг + агсг + Ьгсг) = (аг + Ьг + с2)2,
получаем искомый результат.
25. Так как
{а_Ь) + (Ь-с) + (с-а) = 0,
то результат следует непосредственно из задачи 24.

102	РЕШЕНИЯ
26. 1° Имеем (см. задачу 23):
a* + fc, + c* = 3 abc.
Отсюда
(a’ + ft’-f-c’) (a2 + ft2+c2) = 3afcc (a2 + ft2+c2).
Далее, преобразуя левую часть, получим:
a5-f- ft' + c* + alft* (a-f-b) -\-агсг (a -j-c) + ft2c2 (b-f-c) = 3abc (a2+ft2+c2),
или
а5+ Ь5 + с5—a2fc2c—a2c2ft— ft2c2a = 3aftc (а2 + fc2 + c2).
Отсюда
as + fts + c5—abc (ab + ac + ftc)=3aftc (a2+ ft2+c2).
Ho
—2 (aft + ac+ be) =a2 + ft2+c2.
Отсюда и следует окончательный результат.
2° Непосредственно следует из задачи 23 и 1°.
3° Припомним соотношения:
2(a4+ft4 + c4) = (a2+fc2+c2)2 (задача 24),
+ b* +с’= 3afcc (задача 23).
Перемножая эти равенства почленно, найдем:
2[a7 + ft7 + c7 + a’fcs (a + ft) + asc2 (a + c) + ft’cs (ft + c)] = 3aftc (a2 + ft2 + c2)2.
Отсюда
2 [a7 + ft7 + c7 — a*ft*c—a’c’ft —6’c’a] = 3abc (a2 -f- ft2 + c2)2,
или
2 (a7 + ft7 + c7) — 2afcc (a2ft2 + a2c2 + ft2c2) = 3abc (a2 + ft2 + c2)2.
Ho
a2ft2+a2c2+ft2c2=-i- (a2+ft2+c2)2 (задача 24).
Поэтому
7
2 (a7 + ft7 + c7)=~2 abc (a2 + ft2+c2)2.
Пользуясь результатом 1°, получаем, наконец, искомое соотношение.
27. Для удобства вычислений введем в рассмотрение символ суммиро¬
вания. Будем полагать:
ft = п
ai + aj+ ••• +an= 2 a*’
k=i
Пользуясь этим символом, мы можем теперь написать:
ft = п	ft = л
a,fcl + as6J+...+anft„= 2 аФк —	+	2	aft^ft-
'	ft=i	fc=j
Но легко видеть, что
t>k ~ (*>i + bt + • • • + bk)—(*>i + bt +... + fc*_ 4)=sk—s*_ „

§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ	103
поэтому наша сумма примет следующий вид!
k=n	A=n-i	k—n
°А + 2 ak(sk—s*-i)=flA +	2	aksk— 2 a*SA-i +
k=2	k—l	k=s
k ~ n — 1	k	=	n—	1
+ ansn assi = (ai аг) si + ansn + 2 aksk— 2 ak + \sk ^
k=%	ft	=	J
ft = n — l
i o2) ,s'i -j-	a^^j)	s^	+	ansn	—(ctj a2) .s,
ft = J
+ (°j — as) Ss + • ■ • +(an-i—an) sn—l + ansn-
28. Легко доказывается, если раскрыть скобки в левой части и вос¬
пользоваться соотношением:
п
ai + аг + ■ • • + ап — ~2 's-
29. Подставляя в данное выражение вместо х и у их выражения через
х' и у', найдем, что
А' = Ааг + 2Вау + С\г,
с'=лрг+2врб+сеа,
В’ = Лсф + В(аб + Ру) + Суб.
Составляя выражение В'г—А'С', легко проверяем требуемое тождество.
30. Имеем:
l-n	t=n	l=n	i=n	t=n
2 pi9i=2 Р‘(1—ft)=2 ft—2 р*	= «p—2 pJ*
j=l	l-i	i=l	i=i	i=l
так как
nP=Pi + P2+---+Pn-
Далее:
f=n	f=n
2p,-ft = np—2 (Pi—P + P)2 =
i—п	t-П
=рп—.2 ка—р)*+2рр,—р*]=ир—2 (и—р)*—
/=i
/=п	/=п
— 2Р 2 P/ + nPS = nP—2 (Pi —Р)* —пРг-
1=1	1=1
Но
np—nps = np (1 — р) = npq.
Таким образом, получаем:
Pi <7, + Р*<7» + • • • + РпЯп = ПРЯ — (Рж—Р)г—(Р*—Р)г — • • • — (Р„ — Р)*.

104	РЕШЕНИЯ
31.	Действительно:
Л._1_+±._!_+
1 2 л — 1 3 2л—3 ' ‘' 2л—1 1
1 |(2я—1) + 1	(2л-3) + 3	, 1 + (2я—1)\
2л \ 1 -(2л—1)	3 (2л—3)	(2«— 1)-1 /
= ±|l + _A_ + ±+_L.
2я\ 1 2л — 1	3 2л—3	“ 2л— 1	1	f
(l + i■+!+•-■+2^=т)■
32.	1° Легко видеть, что
*«=1 +T+T+-"+i=n +
+ [(1_1) + (±_l) + (l_l) + ... + (±_l)] =
= п-(т+¥+"-+{17Г_) •
2°
k=n ^	k=n	k=n
Sn
k=l	/2=1	/2 = 1
Следовательно:
, (n — 1 , л—2 ,	1	\
nsn-n+^—j— + _g_+...+__J.
33.	Прибавим и вычтем из левой части следующее выражение:
2(4+T+i+---+i)-
-ч
Получим:

§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
105
34.	Имеем:
(1+^т)('-я!гт)(1+еЬ)-
"•(1+(2п—1)а—1)(*	2па — 1 ) =
 а (2а—2)-За.. .(2я—1) а (2ла—2)
— (а—1) (2а—1) (За—1).. ,(2яа—-I)-"
 	1-а-3-а-5-а.. .(2я—1)-а-(2а—2) (4а—2).. .(2яа—2)
(а — 1) (2а—1).. .(«а—1) [(я+ 1) а —1] [(я + 2) а—1].. ,[(я +л) а—1]—
1-а-З-а-б-а.. .(2я—1) а-(а — 1) (2а—1).. .(яа—1)
~~1(п + 1)а —1].. .[(я + я) а—1] (а—1) (2а —1).. .(ла —1)
 	1-а-З-а-б-а...(2л—1)-а „п
~ 1(л + 1)а—1]...[(л + л)а—Ц ‘
Но
1-з-б...(2я-1)-2"=1'^'5-:;2я.2" =i-2-3-4-5---2"
2-4-6...2л	1-2-3...л	—
=(л + 1)(я+2)...2л.
Отсюда и получаем искомое тождество.
35.	Пусть о < а: < а 1, где а—целое число. Разделим промежуток меж¬
ду а и o-f 1 на я частей. Тогда х будет лежать в одном из этих промежут¬
ков, т. е. найдется такое целое р (0 < р < я—1), что
Поэтому
fl+JL<*<fl+£±i
п —	tl
а + ?±±<х+±<а + Р±1,
1 п — я	я
0 + 1 —	+ ”—£—-<о + 1.
л	л
а + 1<х + ^—-<о + 1+ — .
— я	1	л
р+л-1^	п_1	Р±_«.
л — п	п
Отсюда
w“ [' +т] — ■" Г' +!+г1-1] ■=«■
[*+■-?]-- [*+”-+]«+••
Следовательно:
М+ |* + —J + •••+ |*+	] =(o—Р)о + р(о + 1)=ал+р.

106	РЕШЕНИЯ
С другой стороны, из неравенства
в+Р_<х<в+£±1
п —	п
получаем
ап + р^пх<ап+р-\-1,
следовательно,
[пх] = ап+р,
и формула доказана.
36. Имеем:
cos (а -f- 6) cos (а—6) = [cos a cos 6 —sln a sin 6] [cos a cos 6 + sin a sin 6] =
•= cos2ti cos2 6 —sin2a sin2 6 - cos2 а (1 —sin26)—(1 — cos2 a) sin2 6 = cos2 а—sin26.
37. Развернув скобки в левых частях равенств, легко их доказываем.
38. Имеем:
.	\	/,	■ «.W,	■ ч (1 —sin2 t*'f (1 —sin2 Ь) (1 —sin2 с)
(1 —sin а) (1 —sm6)(l —sin с) — -	,■	,—. ..	.—:—Г—=
'	’	(1	-}-sina) (1 +smfc)(l +smc)
cos2 a cos2 b cos2 с	.
=	;	=	cos	a	cos	b cos c.
cos a cos b cos с
39. Умножив обе части данного равенства иа
(1 + cos а) (1 +cos Р) (1 +cos у).
получим:
[(1 + cos а)(1 +cos р) (1 + cosy)]2 = sin2а sin2 р sin2у.
40. Пользуясь формулой
sin х cos у = —- [sin (*+//)-)- sin (х—{/)],
получим!
2 cos (а+ Р) sin (а — Р) = sin 2а—sin 2р,
2 cos (Р +у) sin (Р —у) = sin 2р —sin 2у
и т. д. Отсюда и следует тождество.
41. Пользуясь формулой
sinx sinjr =-i- [cos (x—у)—cos (x-j-#)],
придем к тождеству,
(cos 26—cos 2a) (cos 2d—cos 2c) + (cos 26—cos 2c)(cos 2a—cos 2d) +
+ (cos 26 — cos 2d) (cos 2c— cos 2a) = 0.
Пусть cos26 = a; cos2a=P; cos2d = y; cos2c=6; тогда
(a —P)(y—fi) + (a—6)(P—y) + (a—у) (6 — P) =
= (a—P)(y—6) + (a—y + y—6)(P—y) + (a—y) (6 —P) =
= (a —P)(y—6) + (a—y)(P—Y) + (y—6)(P—Y) + (a—y) (6 —P)=0.
Ho (a—P)(Y—6) + (Y—б) (P—Y)=(Y—6)(a—у)	и	(a-y)(P—y) +
-f(a—y){& — P) = (a—y) (6—у); отсюда искомая сумма равна (a—у) (у—6)+
+ (a—у) (6 —у)=0.
42. Iе Суммируя первые два косинуса, получим: 2 cos у cos (р—а); сум¬
ма же вторых двух косинусов даст: 2 cos (a Р) cos у. Дальнейшее очевидно.
2° Аналогично 1°,

§ 1. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ	107
43. Имеем!
sin (л+^-) +cos (^+^-)=sin (Л+^) +sin (y—Л — т) ^
=2выЛсов(|-Л-|).
При помощи круговой перестановки получаем (обозначая преобразуемую
сумму через S):
у==™ (-П-Л-|) + cos (|-B-£)+cos	=
ч	(я	А + В	В + С\	(А —В , В—С\ ,	. (я , „ ,	А\
= 2 cos	у —	^	HC04“2-+~H + S,44+C +	t)-
Воспользовавшись зависимостью Л + В+С = я, можно показать, что
(я А+В В+С\ . / я , С , Л\
С0Чт—2	8-J=s14"8+t+fJ-
Поэтому имеем:
S „ . / я, С, Л\	/Л—В	,	В—С\	. о . / я С Л\
ТГ = 251Ч	8 +Y+8-JC0S V 2	8 / S \ТГ	Y^Y) Х
(я	С Л\	„ , / я . С Л\
XC0S (т'+ Y+Y J=2s,n('8+Y+'8jX
Г /Л—В , В—С\ ,	/'я,	С, ли
X[C0S V~2 1 8 J +	cos (y +	y + yJJ =
. . ( Я,Л , B\ ,	f л В	,С\ . ( я ,с	, л\
_4sin^g-+Y+8-J пY	YJ sln\Y	"2	1ГJ ’
44. Употребляя преобразования, аналогичные предыдущим, приходим
к результату:
• А , , в . ■ с . А , В , С
sm T+sln—+sin—+cos v + cos —+ cos—=
45.	Имеем:
= 4^2 cos (-£+ |)cos (| + |)cos (| + -£)
sin 2a = 2 sin a cos a,
sin 4a=2 sin 2a cos 2a,
sin 8a = 2 sin 4a cos 4a,
sin 2”a = 2sin2n-1 a cos 2n-Ia.
Перемножая почленно и сокращая правую и левую части на произведение
sin 2a sin 4a...sin 2n_1 a,
получим:
sin 2na =2” sin a cos a cos 2a...cos 2n-Ia,
откуда
о	on . sin 2n a
cos a cos 2a... cos 2n_I a= ^	.
2” sin a

108	РЕШЕНИЯ
46.	Имеем:
. 2л	_	.	я	я
sm -тг= = 2 sin 7= cos vg .
15	15	15
. 4я „ . 2я 2я
Sln ТВ = Sm “Л) cos пз •
. 8я „ . 4я 4я
sin — = 2 sin -7= cos -г= >
15	15	15
. 16я	„	.	8л	8л
sm -7=- = 2 sin -г= cos -т= •
15	15	15
„	.	16я	.	я	8я
Перемножая эти равенства и замечая, что sm-j-g- =— sm — ; cosyg- =
7я
= — cos -jg , найдем:
Далее:
Отсюда
я 2я 4я 7я 1
cos ТВcos ТВ cos ТВ cos ТВ = 2*
5я 1
C0ST5=T
. 6я	„	. Зя	Зя
sm ТВ	sinTB cos	ТВ	’
. 12л:	_	. бя	бя
sin ~rzr-=2	sm -г-z- cos	-r=	•
15	15	15
Зя бя 1
cos ТВ * C0STB~2*"
Остальное ясно.
47. Имеем:
tg (Л + В) _ sin (Л + В) cos А _ sin (2Л + В) + sin В _ 3^
tgЛ — соз(Л + B)sin А~вт(2Л + В)—sinB 2*
48. Из данных соотношений получаем:
3
sin 2Вsin 2Л,
3 sin* А — 1 — 2 sin* В = cos 2В,
следовательно,
3
cos (Л+ 2B) = cos Л cos 2В —sin Л sin 2В =cos Л-3 sin* Л—sin A sin 2Л = 0.
49. Имеем:
2cosacoscp= cos (а + ф) + cos (а—ф).
Ф
Следовательно, рассматриваемое выражение равно
cos* ф + cos* (а + ф)—[cos* (о + ф) + cos (а + ф) cos (о —ф)] =
= cos* ф — cos* a cos* ф + sin* a sin* ф = sin* а.

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	109
50.	Имеем, например:
а2 + а'2+а"2 = cos5ф cos2ф+sin2ф sin2"ф cos26 + cos2фsin2ip +
+ sin2cp cos2!]; cos2 6 + sin2 ф sin2 6
(удвоенные произведения в первых двух квадратах взаимно уничтожаются).
Отсюда
а2 + а'2 + а"2=(cos2ф cos2 ip + cos2 ср sin2 ip) + (sin2 (р sin2 ip cos2 6 +
+ sin2 ф cos2 if cos2 б) +sin2 ф sin2 б = cos2 ф -f- (sin2 ф cos2 б + sin2 ф sin26) = 1.
Остальные аналогичны.
§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
1. Перепишем тождество следующим образом:
(2р’-9’)а _ .	.	(Р2-2?2)2
4 (Ps+9s)a Р Р V+93)*'
Легко видеть, что правая часть возникает из левой путем перестановки р и
q. Приведем левую часть к такому виду, из которого бы усматривалось,
что при подобной перестановке величина ее не меняется. Тогда и справед¬
ливость тождества будет ясна.
Имеем:
(Ра + 9а)а + (2ра-9а)а } =(^j?(Pe + <7e-PV).
2. Имеем:
Ра+9а ■	3	/	1	1\	6	(р+д)
(p+<7)*pV	(р+?)4\р*	яг)	(р+яУря
y-pq-tf	3	/1	1	2\	p»-w+9«	э	/1	iy
(Р+9)аРа9а (Р+Я)лРг Яг Ря) (Р+9)* Ра9а (P+9)4Vp	Я ) ^
~(Р+9)гРа93"*’ (P + 9)sPV~(P+9)2Pa9a ^Р ~рд+д	jy
3. Группируя два последних члена суммы, получим:
2	Я’—Р* ,	2	9	—	Р  2(9—р)	_	2(9—р)
пЭ/тЗ +fn_Li7\4 n*/7* lr>JLn\l лЗл« (Р +<? +2р9) —/
(р+<7)4 pV (р+я)* pY (p + qfpY v	(p+?)*pV
Присоединяя теперь первый член, найдем:
1 Я*—Р*_|_. 2(9—Р) _9—Р
(Р + 9)а Р494 (P + 9)sP59*	Р49
4. Нужно доказать, что
1+* 1+9 1+2
1—х 1—у 1—г
Подставляя вместо х его выражение, найдем:
1 +х а
1—х~ Ь
= 1.

110	РЕШЕНИЯ
Так как у иг возникают из х путем круговой перестановки букв а, Ь, с,
то имеем:
1 -\-у Ь
1 —у	с
1 +г	с
1 —г	а
Отсюда искомое тождество очевидно.
5.	Имеем:
а -}- Ь + с + d a—b -}- с—d
а + 6—с—d	a—b—c + d
и	AC	A В C + D	~
Но если	,	то	•.D- = —= , и обратно: если существует второе из
В L)	А	— В С — и
этих равенств, то существует и первое. Применяя эти соображения к на¬
шему случаю (полагая А = а + b + c+d; В = а + Ь—с—d; С = а — b-\-c—d;
D = a—b—c + d), найдем:
Отсюда следует:
o + fc а — b а4-Ь c + d
~~гп —	1	или 	,	= -г
c + d с—d а—b с—d
ас	а	b
— —-г или —=-г
b d	с	d
6. Знаменатель имеет вид:
bcy*-\-bcz*—4bcyz + асгг + асх2—Часхг + аЬхг + aby*—2abxy — c(axz-\- Ьуг) +
+ b(axi+ cz2) + а (cz2 + by2)—2bcyz—2acxz—2abxy =
= (a + b + c) (ax2 + by2-)-cz2)—c2z2—b2y2—a2x2—2bcyz—2acxz — 2abxy =
= (a + 6 + c) (ax2+ by2 + cz2)—(ax+by + cz)2.
Но так как по условию ах-\- by-\-cz— 0, то знаменатель оказывается
равным
(о + Ь + с) (ах2 + by2 + cz2),
и наша дробь равна
1
a + fc + c "
7. Приведем к общему знаменателю выражение, стоящее в левой части.
Числитель получающейся дроби будет равен:	•
х2у2г2 (а2— Ь2) + Ь2 (х2—а2) (у2—а2) (г2—а2)—а2 (х2—Ь2) (уг—Ь2) (г2—Ь2).
Легко видеть, что
(а2—х2) (а2—у2) (а2—г2) = ав—(x2+i/*+z2) а1 + (х!у2+x2z2 + y2z2) а2—x2y2z2.
Отсюда
(Ь2—х2) (Ь2—у2) (Ь2—г2) = 6е—(**+£/* + 2*) bi (х2у2 х2г2 + у2г2) Ь2—х2у2г2.
Подставляя эти выражения в числитель и производя необходимые преоб¬
разования, получим искомую величину дроби.
111

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	111
Имеем далее (приводя дроби к одному знаменателю):
so=(azife)(a.1_C)(fe-C)-{(fc-^-(a-C)+(a-fr)H0.
S - д I	6	I	с
1 “(а—6) (а—с) (6—а) (Ь —сУ(с—а) (с—Ь)
= (^-6)(аЬн^Т){д(&-с)-6(Д-С) + с(а-6)НО.
s  + ь- + £! *
(а—6) (а -с)^(Ь-а) (Ь-с) + (с-а) (с—Ь)
-(a-.b)(a!-c)(b-c)^(b-c)-b^a-C) + Ct(a-b^
Рассмотрим отдельно числитель.
Имеем:
а2 (6—с)—Ьг (а—с) +с2 (а—6) = а6 (а—6)—с (а2 + 6*) +с2 (а —Ь) —
= (а—b) (ab—са—с& + с2) = (а—Ь) [а (6—с)—с (Ь—с)] = (а—Ь) (Ь—с) (а—с).
Отсюда следует, что
S, = l.
Аналогично можно поступать и для вычисления S„ S4 и Ss, однако мы
поступим здесь несколько иначе.
Легко видеть, что имеет место следующее тождество:
(х—а) (х—Ь) (х—с) = х5—(а + 6+с) хг + (аЬ + ас + Ьс) х—abc.
Положим, в этом тождестве последовательно х — а,х — Ь и х = с, получим1
а5—(а + b + с) а2 + (ab + ас+ be) а—абс =О,
Ьг—(а + Ь+с) Ь3 + (ab + ас + be) b—abc—О,
с5 —(а + 6 + с) с2 + (ab + ас + Ьс) с—abc=0.
Далее, разделим первое из этих равенств на (а—Ь)(а—с), второе на
(6—с) (Ь—а) и третье на (с—а) (с—6) и сложим почленно. Тогда:
S,—(а + 6+с) Sz + (ab + ас + be) S,—abcS0 = 0.
Но так как известно, что S0=S,=0, a S, = l, то имеем:
S5 = а -f- b -\-с.
Для вычисления S4 возьмем предыдущее тождество и умножим обе
части его на х, получим:
х(х—а) (х—Ь) (х—с) — х4—(а + 6 + с) х2 + (ab+ас -f- Ьс) х2—abcx.
Поступая аналогично, найдем:
S*—(а + Ь+с) S3 + (аб + ас + 6с) S3—abcSt =0.
Отсюда
=(а + b + с) S3 —(ab + ас + be) Sz = (а + b + с)2—ab—ас—be=аг + Ьг +с2 -}-
+ а6+ас + 6с.
Аналогично для вычисления Ss (путем умножения исходного тождества
на х2) найдем:
S|—(а + b+с) S4 + (ab + ас + be) S,—abcSz=0.

11 ‘2	РЕШЕНИЯ
Следовательно:
S5 (a + fc+c) (a2 + b2 + c2 + ab + flc + fcc)— (ab + ас -f- be) (a + fc + c)ф-abc —
= (c + 6 + c) (a2 + 62 + c2) + c6c = a’ + 6s + c3 + c2b +n2c + fc2c +
+ bsc + c2a + c2b + abc.
9. Эта задача решается аналогично предыдущей. Именно равенства
S0 = S, = S2=0; S3=l,
устанавливаются путем непосредственной проверки, для вычисления же S4
можно прибегнуть к следующему тождеству:
(х—а) (.г — Ь) (х—с) (х—d) = x4— (a+ 6 + c + d) х3+ (afc +ac + ad + be + bd+
+ dc) x2— (abc + abd + acd + bed) x + abed.
Отсюда получаем:
S4=(a + b + c + d) S3 = a + 6 + c + d.
10. Положим, как и прежде:
„ __ ат bm
т (а — Ь) (а—с) (Ь—а) (Ь—с) (с—а) (с—Ь)'
Возьмем первый член нашей суммы ст и преобразуем его:
т (а+ 6) (а + с)_ (а +6 + с) am+1 +am_I-abc
а (а—b)(a—с)~	(а—Ь) (а—с)
Применяя круговую подстановку, получим аналогичные выражения для
второго и третьего членов ат. Складывая же все эти члены, найдем:
°т = (a + 6 + c) Sm+I +afccSm_
Отсюда находим:
Oi = (a + 6 + c)S2+a6c S0 = a + 6 + c	(S2=l,	S0	=	0),
a2 = (a -f- b + c) S, + abc S, = (a + b -f- c)2,
так как S3=a + 6+c, S, = 0,
tr3 = (a + b + c) Si+abc S2 = (a + 6+c) (o2-f b2 + c* + ab + ac + be) + abc,
a4 = (a + 6+c) S5 + a6cS3 = (a + 6 +c) [(a+ 6 +c) (a2+62+c2) + 2afcc]
(после небольших преобразований).
11. Преобразуем левую часть нашего тождества следующим образом:
( (а сс) (а Р) (а у) (fc—ct) (fr —Р) (6—у) (с—а) (с—Р) (с— у) ,
\ (а—0) (а—Ь) (а—с) (6—0) (6—а) (6—с) +(с—0) (с—а) (с— Ь)+
, (0-Д)(0-Р)(0-У) «Ру \
(0—с) (0—а) (с—b) abc )
Рассмотрим первые четыре члена суммы, стоящей внутри фигурной скобки.
Если развернуть числитель первого члена по степеням а, то получим:
а3—(a + Р + V) а‘ + («Р + «Y + Py) а —«PY-
Проделав аналогичную операцию с остальными тремя членами и сум¬
мируя, найдем, что сумма первых четырех членов будет равна
S.—(a + Р +Y) ^2 + (аР +aY + Py) S,—aPyS0,
где Sk есть известная нам сумма (см. задачу 9, где нужно положить d=0).
На основании результатов этой задачи, сумма рассматриваемых нами пер¬
вых четырех членов будет равна 1 и, следовательно, искомое выражение

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	113
примет вид:
abc / 1 —	—ару.
12.	Рассмотрим следующую сумму:
а1 	 р1	  у4
Si “(а—Р) («—Y) («— &) + (Р—«) (Р —V) (Р~ 6) + (у—«) (Y—Э) (Y—©) +
б*
т(в-а) (й-р) (6—у) "
На основании результатов задачи 9
S4 = a+P+Y + 6-
Положим в этой сумме:
а = а6с; Р -=abd\ y = acd; б = bcd.
Тогда:
а4		 а464с4
(а—Р) (а—у) (а—8)	(а^с—abd)(abc—acd)(abc—bed)
a2b2c2
(с—d) (6— d) (a—d)
Круговой перестановкой получаем аналогичные выражения для остальных
трех слагаемых, и предлагаемое тождество доказано.
13.	1° Преобразуем одно из слагаемых следующим способом:
-1.1	(±у
1	1	ab	ас	1	\	а	J
а (а—6) (а—с)ж=~а /J	1_\	Ч	~Ш / \.	1_\/J	1_ \ '
\ b	а ) \ с	а )	\	а	Ь )\ а	с )
Тогда искомая сумма будет равна:
. I 1)'	,	(Я ,
* | а-т-а а-аа-а
аг \
= abc Ss.
Но (см. задачу 8) S2=l и, следовательно, получаем:
1 ■ + - *
а(а — Ь)(а—с) b(b—c)(b—а)	с(с—а) (с—b)	abc
Впрочем, этот результат можно получить и несколько иначе. Рассмотрим
четыре величины а, 6, с и 0 и образуем для них S0.
Тогда имеем:
s = _J +	!	+	!	+
“ а (а — Ь) (а —с) Ь (Ь—а) (Ь—с) ^ с (с—а) (с—Ь) ^
1
(О—а) (0—Ь) (0—с)'
так как S0 = 0. Отсюда и получаем предыдущий результат.
= 0.

114	РЕШЕНИЯ
2° Аналогично предыдущему, сумма может быть преобразована так:
1
abc
(тУ ,	(I)'	,
	х +7—,	1	Т~/	1	ГТ +
I	(^~)	}__LS = _L(_L+JL+П
/J 1 \ / 1	1 \	J abc 3 abc [abc J
V с	a J \ o	b)	)
Итак:
a* (a — b) (a—c) b*(b —a) (b —с) с* (с—a) (с—b)	a*b2c:
Подобным же способом можно вычислять другие суммы вида:
11,1	.
а* (а — Ь) (а—с) bk(b —а) (6 —с) ск (с—а) (с—Ь) ’
14.	Имеем:
пк
(а — Ь) (а—с) (а—х)	(Ь—а) (6—с)	(b—х)	(с—а)	(с—Ь) (с—х)
при k--=l н при k — 2 (задача 9).
Отсюда и получаем:
(х—а) (х—Ь)(х—с)
bk	,	ck
= 0,
(а—b)(a—с) (х—а) "^(6—а) (6—с) (х — Ь) 1 (с—а) (с—Ь)(х—с)
х*	л
= (х—а) (х — Ь)(х—с) ' ^ = 1, 2)*
15.	Имеем:
b+c+d	{a + b+o+d—x) + (*—а),
(b—a)(c—a){d—а) (х—о)	(6—а) (с—a) (d—а) (х—а)
— (a + b +c + d *) (b—a)(c—a)(d—a)(x—a)	а)	(с—a) (d—a) ’
Применяя круговую перестановку к буквам а, Ь, с, d и складывая полу¬
ченные выражения, найдем, что величина суммы, стоящей в левой части,
равна:
(a + b+c+d х) | (а_&) (a_c)(0_d)(a—*)
;—6
	!	I
(d—a)(d—b)(d—c)(d—x) f
(6— a)(b— c)(b — d)(b—x)	(с—а) (с—6) (о—d)(e—x)
так как вторая сумма равна нулю.

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	115
Остается только убедиться, что
 1 + ! +
(а—6) (а—с) (а—d) (а—х)	(b—a) (b—c)(b—d) (Ь—х)
+ ! +  +
(с—а) (с — b)(c—d)(c—х)	(d—a) (d — b)(d—c)(d — x)
(x—a) (x—b)(x—c) (x—d)
Можно привести эти дроби к общему знаменателю и, произведя в чис¬
лителе необходимые преобразования, получить нуль. Однако, можно посту¬
пить иначе.
Умножив левую часть равенства на (а—х) (Ь—х) (с—х) (d—х), получим;
1	:(6—	х)	(с—x)(d —*)+-	1
(а—Ь)(а—с) (а—d)	у	(6—а) (Ь—с) (b—d)
х(а_л) (с-*) (d-*) + (---a) (с^6) (c_d) (а-х) (Ь-х) (d-x) +
1	(а—х)(Ь— х)(с—х) + 1.
(d—a) (d — b)(d—с)
Легко видеть, что мы имеем дело с многочленом третьей степени относи¬
тельно х.	Нужно	доказать, что	он равен	нулю тождественно.	Для	этого
достаточно	показать	(см. начало	параграфа),	что он обращается	в	нуль	при
четырех различных частных значениях х. Подставив вместо х последова¬
тельно а, Ь, с, d, убеждаемся, что наш многочлен при этих четырех значе¬
ниях обращается в нуль, а следовательно, он равен нулю тождественно.
16. Если перенести х* налево, то там образуется трехчлен второй сте¬
пени относительно х. Чтобы доказать, что он тождественно равен нулю,
достаточно показать, что он обращается в нуль при трех различных значе¬
ниях х. Полагая х—а, Ь, с, убеждаемся в справедливости тождества
17. Эта задача решается аналогично предыдущей задаче. Впрочем, как
задачу 16, так и эту задачу можно решить, пользуясь величинами (см.
задачу 8 и дальнейшие).
18. Положим:
а—b	Ь—с	с—а
— = *;	—=У.	— = *.
Левая часть нашего равенства примет вид:
х + у
(х+у+г) (т + У+т) -3 +^ + УГ +
Рассмотрим подробнее дробь ~~~~ • Имеем:
у + г	/6—с	с—а\	с	с	^ b2—Ьс + ас—а*
х ~ а b )'а—Ь	а — b	ab
с Ь2—аг—с(Ь—а) с	,	ч	с	i	и	,	0	.	2с*
= г • 	 =	—г	(—а — Ь +с) = -т (—а—6 —с + 2с) = —т i
a — b	ab	aby	'	'	ab	'	ab
так как а + 6+с=0.
Применяя круговую подстановку, найдем:
у + г	х + г	х + у	2с2	2аг 2Ь2	2
 !	 =	 =-r-	(а’ + Ь’+с*).
х	у	г	ab	Ьс ас abc	'

1 16	РЕШЕНИЯ
Но если а + 6+с=0, то а, + 6, + с, = 3а6с (см. задачу 23, § 1).
Следовательно:
у+г х + г х + у
х у г
и равенство доказано.
19. Умножая рассматриваемое выражение на (а + 6) (6 + с) (с+а), получим:
(а—Ь) (а + с) (6 +-с) + (а + с) (а + 6) (6 — с) + (а + 6) (с—а) (6 + с) +
+ (а—6) (с—а) (Ь—с).
Это выражение является трехчленом второй степени относительно а,
который обращается в нуль при а = Ь, а —с и а = 0, и следовательно равен
нулю тождественно, т. е.
а — Ь Ь—с с—а (а — 6) (Ь—с) (с—а)
а + 6	6+с с+а (а+ 6) (6+с) (с + а)
Мы предполагали при этом, что 6 ф с. Если Ь=с, то в справедливости
тождества легко убедиться непосредственно.
20. Имеем:
Ь—с	(Ь— а) + (а—с)	1	1_
(а—6)(а—с)	(а—6)(а—с)	а—6	а—с’
Разбиваем аналогично два остальных члена левой части и приходим к пред¬
лагаемому тождеству.
21. Ответ: 0. Эта задача решается аналогично задаче 19.
22. Нужно доказать:
dm (а—6) (6—c) + 6m(a—d)(c—d)	b—d
с™ (a—6)(а—d)+am(6—с) (с—d)	а—с
Приведя к общему знаменателю, докажем, что числитель равен нулю.
Однако, если разделить числитель на произведение:
(а—6) (а —с) (а —d) (Ь —с) (6 —d) (c—d),
то получим следующее выражение:	„
лт	Ьт
+ .и- ^,к—мпГ-Ь +
(а—6) (а—с) (а—d) (6 —а) (6 —с) (6—d)
гт	,/«»
^	«.w-	лТ	+
(с—а) (с—6) (c—d)	(d— a) (d — 6) (d—с) '
При m = l, 2 это выражение равно 0 (см. задачу 9).
23.	Докажем сначала, что
х *(х— а,) х(х—а,)(х—а2)
а, а,аг	а,а2а,	т • • •
,	х(х—а,)(х—а2)	...	(х—=
' • • +	а,а2	... а„
„ (х—а,)(х—а,) ... (х— а„)
а,а2 ... а„	л)
Точно так же легко видеть, что вторая фигурная скобка равна
(х + a,) (х + а,) ... (х + а„)

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	117
Произведение же фигурных скобок равно
(_j)п (*2-<) (**—«$	(*2-<)
Заменив в нем х через хг, а а,- через а2 и применяя равенство (*) в об¬
ратном порядке, получаем требуемое тождество.
24.	Дано:
Первая скобка равна:
(6—с)2—а2 (6—с—а) (6—с + а)
26с	~	26с	*
Вторая равна следующему выражению:
(а—с)2—62 (а—с—6) (а—с + 6)
2 ас	2ас
Равным образом третья примет вид:
(а + 6)2—с2 (а+6+с)(а + 6—с)
2а6	2а6
Рассмотрим сумму этих выражений:
(а + 6—с) (а+с—6) (а + 6 — с) (с + 6 — а)
26с	2ас
+ (fl+6—сНД + 6 + с) = а + 6—С|с(д+б+с)_б(С + 6 —д)—а(а+с—6)}=
(а + 6—с) (с + а—6) (с—а + 6)
~	2аЬс
=0.
Таким образом, иам дано, что
(а + 6—с) (а + с— 6) (с+ 6 — о)
2а 6с
Отсюда следует, что по крайней мере один из множителей, стоящий в
числителе, равен нулю. Допустим, например, а + 6—с=0. Тогда все три
скобки равны нулю и, следовательно, две из данных дробей равны 1, а тре¬
тья— 1. Тот же результат дадут и две остальные возможности.
25. Приведя исходное равенство к общему знаменателю и отбросив его,
после преобразований получим:
(а + 6) (а+с) (6 + с) =0.	(1)
Но второе равенство (которое требуется доказать) точно так же можно
привести к виду:
(а” + 6п) (ап+сп) (6"+сп) = 0.	(2)
Совершенно очевидно, что при п нечетном (2) следует из (1), так как
если, например, а + 6=0, то а = —6 и а" + 6п = а" + (—а)п = ап—а"=0.
26. Перепишем данную пропорцию следующим образом:
(Ьг + су) уг	(сх + аг) хг	(ау + Ьх)ху
— алс + бу+сг-ах — Ьу-\-сг~ax-\-by—cz ’

118
РЕШЕНИЯ
АСЕ
Но из пропорции: д=р — р следует:
А+С	С+Е	А+Е
B+D	D + F	B+F
АСЕ
(легко проверить, положив — =—=— = Л и выразив А, С и Е через X, В,
D. F).
Поэтому имеем:
с[х2+у*)+г(ах + Ьу) а(г2 + у2)+х{Ьу+сг)_Ь {х2+г2)+у (сг + ах)
с	а	Ь
Вычтем из каждого члена этого равенства х2+у2 + г2. Получим:
г (ах + by—сг) _х (Ьу + сг—ах) _ у (сг + ах— by)
с	а	~	b	'
Присоединим исходные равенства:
ау + Ьх Ьг + су	сх + аг
г (ax + by—сг)~х(— ах+Ьу + сг)~у(ах— Ьу + сг) '
Перемножая эти равенства почленно, найдем:
ау + bx Ьг+су сх + аг
' — 1	  .	*	4
cab
Отсюда
с = (ау + Ьх)ц,
Ь— (сх + аг) р,
а=(Ьг + су)ц.
Умножая первое из этих равенств на с, второе на & и третье на о и
составляя выражение Ьг+с2—а2, найдем Ьг+с2—а2 = 2цЬсх.
Аналогично получим:
с2 + аг—Ьг = 2усау,
аг+ Ьг—сг—2цаЬг.
Отсюда, окончательно:
х	_	У	_ z
а(Ь2+с*—а2) Ь(а2+с2—Ь2) с(аг + Ьг—с2)’
27.	Так как а + Ь + с= 0, то можем написать:
(а + Ь + с) (аа + b Р + су)=0.
Развернем выражение, стоящее в левой части, и найдем:
а?а + 62р+сау + а6 (а + Р)+ас(а + у) + с& (P+Y)=0*
Но
а + Р = —у: а + у= —Р; P+Y=—а.
поэтому
а2а + 6*р +с*у—а^У—асР—с6а=0,
пли
ага + 6 2р + сгу—абс ^j = 0,
ТО и
а*а + Ь* р+с2у=0.
о	Р	Y
и так как —НтгН—L=0 (по условию), то имеем!
CL	О	С

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	119
28. Из равенств
(62 +с2—а2) х = (с* + а2—Ь2) у=(аг + Ь2—с2) г
следует:
х _ у	г
1 1 1
Ь2 + с2—а2 с2 + а2—Ь2 а2 + Ь2—с2
Положим, для краткости:
62 + с2—а2 = Л; с2 + а2—Ь2=В] а2+Ь2—с2 = С.
Легко видеть, что наша задача эквивалентна следующей. Если уравне¬
ние х5 -f у2-|-z3 = (х + у) [х +z) (t/ + z) имеет решение
х=а, у = Ь, г = с,
то оно имеет и следующее решение:
1 1 1
Х==А ; У = В' Не¬
известно следующее тождество (см. задачу 19, § 1):
[х + у + г)3 — х1— у1—z3 = 3(x + t/)(x+z) [у + г).
Пользуясь этим тождеством, легко доказать, что равенства
x3 + t/3 + z3=(x + t/)(x + 2)(t/ + z),	(1)
[х + у + г)3 = 4 (х3 + у3 + г3) = 4 (х + у) (х + г) [у + г),	(2)
[х + у — г) [х + г—у)[у+г—х) = —4хуг	(3)
эквивалентны, и	существование любого из них влечет за собой существова¬
ние остальных. Таким образом, достаточно доказать, что
(j+i+cr) =4(j+i-) (j+f) (f+г) ’
т. е. что
[АВ + АС + ВС)* = 4 [А + В) [А + С) [В + С) • ABC.
Но
Л + В = 2с2; Л+С = 262; В + С = 2а2.
Поэтому нужно доказать:
[АВ + АС + ВС)3 = 32а2Ь2с2-АВС.
Займемся сначала вычислением АВ + AC + ВС, а затем вычислением ABC.
Имеем:
АВ + АС + ВС = А[В + С) + ВС = [Ьг+сг—а2)-2аг+
+ [а2 + (62—с2)] [а2— [Ь2—с*)] = 2а2Ьг + 2а2с2—2сА + а*— bl—с* + 2Ь2сг=
= _а4—Ь4—с4 + 2а262 + 2а2с2 + 2й2с2=4а262— [а2 + Ь2—с2)2 =
= [a — b+c)[—a + b+c) [а + Ь—с) (а + 6 +с).
В силу равенства (3)
(а + с—Ь) [Ь+с—а) (а + Ь—с) = —4abc.
Поэтому
AB + АС + ВС = — 4abc (а + Ь -f с).
Обратимся к вычислению ABC. Положим:
a2+b2 + c2 = s.

120	РЕШЕНИЯ
Тогда:
ABC = (s—2а2) (s—2b2) (s—2с2) = s3—2 (а2+ b2 + c2) s2 +
+ 4 (а2Ь2+а2с2+ bV) s—8a2b2c2=4 (a2b2+a2c2+b2c2) s—s2—8a2b2c2=
s {4a26 2+4a2c2+4bV— (a2 -f b2 + c2)2}—8a2b2c2 =
= — s {a* + b4 + с4—2a2b2— 2a2c2—26V} — 8a2b V=
= s(a + c—6) (6+c—a) (a+ 6—c) (a+ 6 + c) —8a2b2c2=
= —4abc (a + 6 +c) (a2+b2+c2)—8a262c*= —4a6c{as + 65 + c8 +
+ a2(b+c) + b2(a + c)+c*(a + 6) + 2abc}.
Ho
(a+ b) (a + c) (b +c) = a2(b +c) + b2 (a-|-c) + c2(a + b) + 2abc.
Поэтому, в силу равенства (1), выражение, стоящее внутри фигурной
скобки, равно 2(а8 + 63+с3).
Но в силу равенства (2):
2(a5 + b3+c3) = l(a + b + c)2.
Поэтому
АВС= —2 abc (a-f- b +с)3.
Но, как было выведено:
ЛВ +ЛС + ВС = — Aabc (a + b +с).
Поэтому, действительно:
(ЛВ + ЛС + ВС)3 = 32а2Ь2с2-ЛВС.
29.	1“ Имеем:
Рп ацРп-I ~Ь Рп—»• Рп Рп—2~ апРп~А
Qtl~ ailQn — l~hQn~li Qn Qn-1= ^TlQn — t'
Левая часть предполагаемого равенства преобразуется следующим способом:
Рп+2 Рп . Pn+i Рп-\   Pn+i _ Рп
р	Р	ап+2~р	°П+1	р	—ап + 2'ап+\’
1 п	71 i 1	1 п	1 п 1
Совершенно аналогично получаем, что и правая часть равенства дает
an+,-art+2, и тождество доказано.
2° Имеем:
Pk Pk-i PkQk-x-QkPk-x_{-1)*-1
Qk Qk~i	QkQh-t	QftQft-i
Полагая в этом равенстве k = l, 2, ... п и складывая почленно, получим
искомый результат.
3е Имеем:
Рn + 2Qn—2 ^п —2Qn + » = (an + »^>n+I ~i~Pn) Qn — £ Рп—2 (Qn+lan+» "I- Qn) J
= ап + 2 (Pn + lQn — 2 Рп — sQn+l) ~PPnQn — 8 Рn-tQn —
~ап + 2 {^п + х^п"!- Pn-l) Qn-2 Рп—2 (an + tQn +Qn-l)} "f"
(anPn — l "Ь PП — t) Qn-» Pn — 2 (anQn— I "bQn—») —
= an+ian + 2 (PnQn — 2 Pn — »Qrt) "1~ап+» {Pn—lQn—2 Pn — »Qn — l) *1“
~Pan (Pn—lQn — 2 Pn — tQn— l) ~an + ian + 2 {(anPn — t ^ Pn — 2) Qn — 2
-P„-2(a„Qn-, + Q„-»)Kan+2(-l)n+M-l)n =
= (an+2On+I^n + an+2 + “n) (— 1)".

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
4° Известно, что Рп — апРп_1 + Рп_г. Поэтому
. Рп-г	.1	.	1
ап + р	ап+ р — ап + _ р	,р
-1	г	п-i	г п — 1	ип	—	лгп — г ~Г г п — а
Р	Р
г п —г	г	п—г
— ап-1	п	= ап +
„	,Р».Ш
“»-1Тп
"Я
= ап +
ап-1 + -.
1
+
«1+7Г
«С
Аналогично найдем соответствующее выражение и для -»■
30. На основании результатов предыдущей задачи имеем:
Р	Р
Р		 			 а0) (Д0* ®2, ...» ап) 7у
ГП — 1	V	п
Следовательно, действительно P„_i = Q„.
31. Нужно доказать, что
рг  р р  р р  р*
'п + 1 *П — 1* П + 1 Г пг П + 2	* fl »
Рп +■1 (Рц + l Pn-i) = Pn (рп+г — Рп)'
Но
pn+i=apn + p„-i:
РП + 2 = аРП + 1 + РП-
Следовательно:
Рп +1 Рп—\=аРп-' Рп + г Р п = аРп + \'
Отсюда и следует справедливость нашего тождества.
32. По условию:
1
*	(а, Ь, ..., I, а, Ь /)‘
Рп	1
Qn (я. 6	0	’
Иначе
1

122	РЕШЕНИЯ
р
Таким образом х получается из ~, если в этой дроби заменить I
Уп
, • Ря
через l-rjf .
Но “
Рп lPn-i+Pn-2
Qn ^Qn-l + Qn-2
Поэтому
x__(i + Qn)Pn-1+Pn-a PnQn + PnPn-г т
(/ + ^)q„-i + Q„_,	Qn + ^nQn-i
33.	Легко видеть, что при й=0, 1 наша формула справедлива.
Допуская справедливость ее при k = n — 1, докажем, что она имеет место
и при k=n.
Итак допускаем!
Ь 4-а*	Рп-1
Ь° + ь[ + -
•. +Дп-1
Ьп. 1
Но иа основании закона составления Pk и Qk имеем!
Qn-1 ^n-iQn-a + an-iQn-«
где Р„_г, Р„_„ Q„_j, Q„_, не зависят от а„_х и bn_v
С другой стороны ясно, что дробь:
+ «п-i
Ьп-1,„
+ а„
получается из дроби
путем замены Ьп_х через *>„_! +г5
Ри
6о+й, + .
+ Ьп_ 1
°2
п

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	123
Поэтому
ъ + —
0+Ь, + .
1 _j_ 0,1 - 1
[ьп_ , + jj5^ Рп-2~Ьап-1РП-2
"-^“а (bn_i + g)Qn_2+««-iQn-.
^П — \РП — 2 ~Ь °п — 1Рп — 2"Ь U РП — 2	Рп-1 + и Рп — 2	и р I	_ р	р
	On		оп		ипгп — 1 ^Гипгп — г	Гп
h П J-л П 4-?Д П	П -1--И0	bnQ„_l-\	a„Q„_2	Qn
Оп — \Qn — 2 Т an — \Qn — 2 “г L Qn — 2	Qn— 1TI. Qn — 2
vn	n
P
34.	Обозначим значение нашей дроби через —■. Имеем!
Qn
P,=r;	Qj	=	r	+	1;
52
докажем методом индукции, что
P2=r(r + 1);	Q2=r2+r	+	lj
гп—1	_	г"+'-1
pn=r r_j I	Qn- г —!	•
При /г = 1 эти формулы справедливы. Предполагая справедливость их при
п=т, докажем, что они имеют место и при п—т + 1.
Имеем:
РтЛ-\ — Ьт + 1Рт "Ь ат + \Рт — \-
В нашем случае находим:
гт 1	rm— 1	1 rm + i	1
Рт+1 = (г+1)г7^г-г2-^г-=г-7=1-.
Аналогично получим, что
г»1 + 2 1
Qm+i —"
г —1
35.	Положим!
Тогда найдем!
±+_L=_L_.
иг 11Г+1 иг + хг
Поэтому
Далее}
И/- + И/-+1
л+1= \
0-1	0-2	и*
Ol	i—
u,+«2
i+l+l=l+; 1	1
иг uz ив иг uz~{-xz их-\-хш
L

124
РЕШЕНИЯ
где
2 иЛиг+хг‘
Итак:
«1	«2	U,	„J
«1	j	;
Uj+Uj+A-j
u, +«2
Uj + tt,
Методом индукции получим и общую формулу.
36.	Обозначим дробь:
с>л_
Ь, + о,
+•
• +3!
через ^, а дробь:
Vfj
СА '^с,с2а2
Ь.
4-
cn — \cnatP
С2Ь2 + . ^
• +,
р'	Р	Р
попожим равною —Нужно доказать, что — ==—" при любом целом по-
Qn	<!„
ложительном n.
Имеем:
Р\ ai . Рг
Q, Ьг‘ Qs М. + «/
Pi^ ctat	Pz _ clc2alb2
Qj	ci^i	Q2 cic2 (ЬхЬ2-f-^2)
Можно принять: P.=a.\ Q, = b.; P2=a.b2, Q2 = b,b24-a2, и тогда будут
иметь место соотношения (см. задачу 33):
Pn+i bn+1Pn -f- <зп+1 Pn_lf
Qn + l ^П + lQtl + att + lQn — Iе
Положим:
^ P\=Ci<h\ p’2 = c\cia\bv

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	125
Докажем, что тогда будем иметь при любом п:
РЛ = С|С2 ... спРп, Q„ = с,с2 ... cnQn.
Докажем это утверждение методом индукции, т. е., предполагая справедли¬
вость его при значке, меньшем или равном п, докажем справедливость и
при значке, равном п + 1.
Имеем:
^П + 1 =<'П + 1^П + 1^>П-ЬСПСЯ + 1вИ + 1^>П — I*	,
Qn +1 =cn + l^n+lQn ~i~ cncn + lan + lQ п — 1'
Отсюда (в силу предположения)
Р п + 1=сп + 1^п+1с1сг ••• сцРп “Ь спсп + 1ап + 1с1^* сп-\Рп-\~
С,С2 ... С,! + 1 (6„ + iPn + fln + iP„_j) = С,С2 ... Cn + i^n+l*
Совершенно так же докажем:
Qn+i=cic* cn+iQ«+i-
Теперь уже легко найдем, что
Р Рп
£_п	_«
«- Q'/
37.	1® Положим
1	1	Р„
2 cos х-
2 cos х 2 cos *	Q„	’
1
2 cos x
Имеем:
Поэтому можно положить:
Далее:
р
— 2 cos х.
Ч\
_ sin 2х	sin	х
Pi=—-—:	Qi=-—
smx	'	Sill	X
P2 „	1	4cos*x—1
pp = 2 COS X — 75	= -
Q2	2	cos	x 2 cos x
Следовательно, можно принять:
Р    sin 3x	n  sin 2x
2~ sinx '	sinx	'
Докажем, что тогда
sin(n+l)x .	sinrtx
" sinx ' Уп—sinx
при любом n.

126
РЕШЕНИЯ
Предполагая, что эти формулы справедливы при значениях, не превос¬
ходящих п, докажем, что они имеют место и при /г + 1. Имеем (см. задачу
33):
P„+1 = 2cos*Sin(n + 1>*-^=^sin(n + 2)*.
"	smx	sinx	sinx
Совершенно так же найдем, что
п _sin(n+l)x
Уп+1 sinx ’
а потому действительно!
Р„_ sin(n+i)x
Q„ sinnx
при любом целом положительном п.
2° Обозначим непрерывную дробь, стоящую в правой части, че¬
рез тг5 . Нужно доказать:
Чп
Р
Qn
Имеем]
Р, 1 . Р2 62+1
- —1 + &2 + 6262 + ... +ьгьг ... ьп.
Qi 1 ’ Qa 1	'
Поэтому можно принять:
Р, = 1; Q, = l; Р2 = 62 +1; <21=1.
Тогда индукцией легко доказать, что
Р„ = 1 + Ь2 + 6262-)-...+62Ь2 ... Ьа,
Qn— 1>
а следовательно, справедливо и наше равенство.
38.	1° Имеем:
sin а + sin b -f- sin с—sin (а + b + с) =
*= (sin а + sin ft) + [sin с—sin (а + Ь +с)] =
2U -т- I/	и 	 V Л , I* I о
Sin —^— COS —п 2 sin —к— COS
= 2 sin
2 ~ 2 2 2
a + b ( а — Ь	а + 6+2с)
(	а — Ь	а + 6+2с\
|cos_ cos 2 J =
. . a + b . a + c . b+c
-- 4 sin —sin sin —g-
2® аналогично предыдущему.
39.	Рассмотрим сумму!
tgn + tgfc + tgc.

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ
127
Имеем:
sin (а + b) cos с + sin с cos a cos Ь
cos a cos b cos с
sin(a + Ь) cos c + cos (а+ b) sln с—cos (а + Ь) sln с + sin с cos а cos
cos о cos Ь cos с
sin (а+ 6 + c) + sin с [cos а cos b — cos (а + 6)[
cos a cos b cos с
sln (а + Ь + с) + sin a sin 6 sln с
~~	cos a cos b cos с
Отсюда и следует искомое равенство.
40.	Равенства 1°, 2° и 3° легко получаются из задачи 38 (1°, 2°) и из
Задачи 39°, полагая а = А, Ь =б, с —С и а + 6+с=А+в + С = л.
Переходим к доказательству 4°. Перепишем левую часть следующим
образом:
5° В самом деле:
sin 2А + sin	2В + sin	2С = sin 2А + 2 sin (В + С) cos (fl — С) =
= 2 sin A cos А + 2 sin A cos (В — С) =
= 2 sin A [cos A +cos (В—С)] =4 sin	A sin В	sin С.
41.	1°	Нужно	найти, какое алгебраическое соотношение	имеет	место
между а, Ь и с, если
Для этого приведем левую часть равенства к «логарифмическому виду»,
т. е. постараемся [представить ее в виде произведения тригонометрических
функций величии а, Ь и с.
Но так как
А~\~ В “Ь С — я,
то
tg(
я А +В
Y 2“
А + В 1
Отсюда получаем:
А
♦ А , * в
* В 2	2	,
tg-к-Ч-	=1
так как
cos a+cos b -J-cosc — 1 —4 sin у sin — sin -^-=0*

128
РЕШЕНИЯ
Имеем:
cos а + cos 6 = 2cos^y^cos ^-g-^=»2 ^cos2 ^ cos2 ~ — sin2 ~ sin2j ,
cos с— 1 = —2 sin2	.
Поэтому левая часть примет вид:
2с< s2 ~ cos2 “	2	sin2	sin2	2 sin2 ~— 4 sin ■— siriy sin-^ =
= 2 [cos21 cos2- ( sin2 sin21 + 2 sin | sin A sin | + sin2 ) j =
= 2 [cos2|cos2|—(sin|-sin|- + sin|-)SJ =
= 2 [^cos-|-cosA + sin|-sin |-)+sIn-|-Jx
Г/ a b	a	.	b \	.	c]
X ^ cos y cos T - sin y sin T j - sm -^-J =
= 2(cos^ + sm-|-) (cos^±-6-sm-|-) =
= 2 [cos^ + c°s(|-|-)] [cos°4^-cos(|-|)] =
„ . я + 6+с—a . я +a+c—b , я+а + 6—с , a + fc + c—я
= — 8 sin —1	i	sin—1 sin— 	  sin	—	  .
4	4	4	4
Но это выражение по условию должно равняться нулю и, следовательно,
по крайней мере один из множителей должен равняться нулю. Но из ра¬
венства sina = 0 следует a— kit (где k—любое целое число). Поэтому между
а, b и с, удовлетворяющими исходному соотношению, существует по край¬
ней мере одна из четырех зависимостей:
п + 6 + с =(4/z —1~ 1) JT,
a+ 6— с=(4й — 1) я,
a+c—Ь = (4k— 1)я,
Ь + с—a —(4k — 1) я.
2е Имеем (см. задачу 30):
tga + tg 6 + tgc—tgatgb tg c==..fj_n(a + ^+c) _
cos a cos b cos с
В силу наших условий
sin(a + 6+c) = 0 и а + 6+с=Ля.
3° Преобразуем исходное выражение. Имеем:
1 — cos2 a—cos2 b—cos2 с + 2 cos a cos b cos с = 1 — cos2 a—cos2 b —
— (cos2 с—2 cos a cos b cos с + cos2 a cos2 6) +cos2 a cos2 6 = 1 —cos2 a—cos2 b —
—(cos с—cos a cos 6)2 + cos2a cos2 b =(1 —cos2a) (I — cos2 ft) —
— (cos с—cos a cos 6)2=(sin a sin 6—cos с + cos a cos 6) (sin a sin b +
+ cos с—cosacos 6)=[cojc—cos(a + fc)] [cos (a—b)—cos c] =
. . a + 6+c . a + 6—с . a + c—b . c+b—a
— 4 sm g-!— sm  sm — sm —	 .

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	129
Следовательно, существует по крайней мере одно из соотношений:
а + Ь+с — 2кл, a+b—с=2йя, а + с—Ь = 2кп,
Ь +с—а = 2кп.
42. Положим:
1 а	Р	.V
*=tg-2-;	У = tg-g-J	z = tg -i-.
Тогда
2x	.	2 у	, а 2г.
r=^=tga; T=p=tgP:	r=P=tgv.
и наша задача примет следующую форму. Доказать, что
tga + tgp + tgy = tga tgptgy,
если
tgytg|+tg|-tg| + tg|-tg-|-=l.
Последнее равенство перепишем так:
tg|-(tg| + tg|)-(1-tg|tg|-)=0-
6 V
Деля обе части на 1 — tg -Jj- tg , получим:
,ei=ctg6+v=tg(|-to).
Следовательно:
■ +ep_j_„
(так как если тангенсы равны, то углы отличаются на кратное л) и
a + р + у=(2k 1) я.
Но тогда предложение доказано (см. задачу 40, 3°).
43. Положим: fc = tgp; c = tgy: e = tga. Тогда
1 + ftc l+tgptgv
и, следовательно, наше равенство эквивалентно следующему:
tg (Р—V) + tg (Y—a) + tg (a—p) = tg (P—Y) tg (Y—a) tg (a—P).
Положим:
P_Y=*; Y—a = y\ a—р = г.
Остается доказать, что
tgx+tg0 + tgz = tgx tg tgz,
если
x + y + z=0.
Но тогда имеем:
tg (*+#) = — tgz; IfchtM.=-tgz.
Отсюда и следует искомое равенство.
5 В- А. Кречмар

130	РЕШЕНИЯ
Ясно, что обе последние задачи можно решить и путем непосредствен¬
ных преобразований рассматриваемых алгебраических выражений.
44.	Имеем:
_sin За sing (3—4 sin2 а) ■	3—4 sin2а
® ° cos3a~cosa(l —4 sin2a) ^а1—4 sln2а'
Делим числитель и знаменатель этой дроби на cos2 а и заменяем *
cos2 a
через l+tg2a.
Получаем!	_	_
. о х 3 — tg2a 4 КЗ-1-tga V 3 — tg a
tg 3a = tg a j—о T . - = tg a ==	• 	 .
1— 3tg2a	1_	/3tga	l	+	^3tga
Отсюда
tg 3a= tg a- tg + a J tg^—aj .
45.	Умножая на a+b обе части равенства и заменяя в правой единицу
через (sin2a + cos2 а)2, получим:
sin* a + cos4 a -j sin4 a + cos4 a = sin4 a + cos4 a + 2 sin2 a cos2 a,
a	b
откуда
L	q
— sln4 a—2 sin2 a cos2 a+-7- cos4 a=0
a	b
^ j/"sin2a — "j/"cos2a^ =0
b . . a	.	•
— sin4 a =— cos4 a,
a	b
или
sin4 a cos’ a
“•	  1.4
Подставляя в исходное равенство, найдем:
(а + Ь)3'
Поэтому
sln8 a , cos8 a a , b	1
a8 + ft2	(c + ft)4 + (a + b)4 (a + b)3'
46.	Из второго равенства имеем:
(a, cos a, + Oj cos a2+ ... +a„ cos a„) cos0—
—(a, sin a, +a2 sina2 +... -f an sin a„) sin 0=0.
На основании первого равенства и так как sin 0 9=0, получаем:
a, sina, +аг sinoj-f-... +а„ sina„ = 0.	(*)
Умножая первое равенство на cos Я, а равенство (*) на sin Я и вычитая
из первого результата второй, будем иметь:
a, cos(a,-f Я.)+а2 cos (аг + Я) -f- ... + ап cos (а„ + Я) =0.

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	131
47. Легко видеть, что левая часть приводится к следующему выражениям
(tg Р — tg у) + (tg у—tg a) + (tg a — tg P) =0.
48. 1° Имеем!
s s sa
r„—t=
'p—a p p(p— a)'
Следовательно!
a*  ap (p—a)
Ta—T~ s
Поэтому
aa .	62	с
о =
+ -r— + -^—==£-{a(p—a) + b(p—b)+c(.p—C)\.
го—г г ь r rc—r s
Ho
sz=p (p—a) (p— b) (p—c).
Отсюда
I a . b  с \
Й S\(P—b)(p—c) + (p—a){p— c) (p—a)(p—b)f
„ l(p—b) + (p—c) , (p—a) + (p—c) (p—a) + (p—b)l _0. .	.	,
= S\ (P-S)"(P-C)'+ (р=Н)(р"-^Г+ (P=e) (p-W f~ {a+ b + c)'
2° Имеем:
a*ra | b’rb t c’rc
(a—b) (a— c)	(b —c) (b—a)	(c—a)	(c—b)
(	,	b*	I	I
\ (p—a){a—b)(a—c) "r(p —b) (b — c) (6—a) (p—c)(c—a)(c—b) f
Чо (см. задачу 9)
a2
(p—a) (a—6) (a—с) (p—6) (Ь —с) (6—a)
c2	p*
T(p—c)(c— a) (c— b) (p—a)(p—b)(p—c)*
Поэтому
	sp^	 spa	p3	p2
a~(p—a){p—b)(p—c)~ s ~ t '
3° Получаем:
,	, _ / 1 .	1_,	1	s(g&+ac+&c—p*)
a 6 c \P—a P—' b P—c) fp—a) (p — fe) (p— c) *
Далее:
—+-T+T = T (p—a) + b(p — b)+c(p—,c)} =
ra rb гс ь
==■ (2p2—a2 — Ьг—с2) =у (—p* + vb +ac + bc).
Остальное очевидно.
5*

132	РЕШЕНИЯ
4° Рассмотрим сначала первую из сумм:
1 I Ьс(р—а)г	ас (р—Ь)г	аЬ(р—с)г \
s* ( (а—Ь) (а—с) (Ь—с) (Ь—а) (с—а) (с — b)f
_L I 2 Г Ьс	ас	ab 1 _
^s* L (о—Ь) (а—с) (Ь—с)(Ь—а) (с—а) (с—b)J
2pabc	—с)~^~ (Ь—с)(Ь— а)"^"(с—а) (с—Ь)]
+ аЬс [(а—Ь) (а—с) + (Ь—с) (Ь —а)+ (с—а) (с—Ь)] }
Но (см. задачу 8)
+».■■ А „-.+/Т* м=°.
(а— Ь) (а—с) (Ь—с)(Ь — а) (с—а) (с—Ь)
°	; +	Л J,. ..=»■
Поэтому
далее:
(а—Ь) (а—с) (Ь—с) (Ь— а) (с—а) (с—6)"
_рг Г Ьс  ас ab ~1 _
а —ss L(a—b)(a—с)	(b—с) (b— а) (с—а) (с—b)J
be 	ас	ab _ I Г 1
(а—b) (а—с) (6—с)(Ь—а) (с—а) (с—Ь) а С|[а(а—Ь) (а—с)
Ь(Ъ
—с) (Ь — а)~*~с(с—а) (с— б)'*'(0—а) (О—Ь)(0—с) ] ”*"аЬс}	*’
Итак,
рг	1
S	Г*
Перейдем ко второй сумме. Имеем:
1
с =
гагЬгс
_ S
~'аГьгс
Но
( а’га	,	Ъ*ГЬ	С»Гс	\
|(а—6) (а — с)	(Ь—с)	(Ь—а) (с—а) (с— Ь) (
/ ?!	+ *г .... - +	* 1
\(а—Ь)(а—с)(р—аУ(Ь—с)(Ь — а)(р—Ь)	(с—а)(с — Ь)(р—с)[ '
ь* с* >
» + /».	,ч/».	„wi\ + о. ''„w. h\i х +
(а—Ь) (а—с)(а—рУ (Ь—с) (Ь—а) (Ь—р)	(с—а) (с—Ь)	(с—р)
+ Г =0.
(р—а)(р—Ь)(р—с)
Поэтому
s(p—a) (р—Ь) (р—с)

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	133
О =
5° Имеем»
аг„ . Ьгь . ст.
(а—b) (а—с) (6—с) (6—а) (с—а) (с—Ь)
_ f	а	 6		с	1_
“S [(а—6) (а—с) (р—а)	(6—с) (6— а) (р—6)	(с—а) (с—Ь) (р—с)\
 I	а	.	Ь	 с
S "На—Ь) (а—с) (а—р)	(Ь—с)(Ь—а)(Ь—р)	(с—а) (с—Ь) (с—р)
 £ U
}—a)(p—b)(p—c)f
(р — а)(р—Ь)(р—с) (р-
sp
(р—а)(р—Ь)(р—с) s г •
Далее:
Ф+с)га t (с + о)гь j (Q + b)rc =<, (	(b + с)	+
°	(а—Ь)(а—с) (b—c)(b—a) (с—а)(с — Ь) \(а—Ь)(а—с)(р—а)
,	(с	+	а)	,	(а+ь)	| -falfrirlx
(*+«)(*—o)(p—t) (с—a)(c—6)(p—с) /	+
X {(a—b) (a—c) (p—a) (b —c) (b—a) (p— b) (c—a) (c—b) (p—c)}
—S {(a—b) (a—c) (p—a) + (b —c) (b—a) (p—b) + (c—a) (c— b) (p—с)}*
Ho
1	-I	 !	+
(a — b) (a—c) (a—p) (6—c) (b —a) (b — p)
I	1	-I	1	 -0
(c—a)(c—b)(c—p)	(p—a)(p—b)(p—c)
Поэтому первая фигурная скобка равна:
1
(р—а)(р—Ь)(р—с)‘
П*
1 равняется . Следо
s(a + b+c)	р2	р*	р8	р
Р*
Вторая же фигурная скобка равняется -р . Следовательно:
(р—а)(р—Ь)(р—с)	s s s s г
49.	Перепишем предполагаемое тождество следующим образом!
sin (a + b—с—d) sin (a—b) = sin (a—c) sin (a—d)—sin (b—c) sin (b—d).
Применяя формулу
sin Л sin В = A {cos (A—B)—cos (A +B)},
найдем:
sin(a + 6—с—d) sin (a — b)=-^- {cos (26—с—d)—cos (2д—с—d)},
sin(a—c) sin (a—d) = A {cos (c—d)—cos (2a—с—d)},
sin (6—c)sin(6 — d) = A {cos (c—d) — cos (26—с—d)}.
Остальное очевидно.

134	РЕШЕНИЯ
50. 1° Имеем:
, .	6	1	2 Ь + о
+ tg 2 “	,	0 _l + cos0_ р •
C0ST
где
а + 6+с = 2р.
Отсюда
1 + tg»!-+1 + tg2 | + 1 + tg2 A = (Н^±(а±ФНЕ + Ч =4>
и следовательно:
tg’| + tg*y + tg1 ^-= I.
tu.4_i±£_i_£=».
2	p	p
Поэтому
icr A ter JE ttr ^ _ 1 /(P—fl) (P —fc) (P—c)
tg 2 g 2 g 2 — V p*
Но известно, что
Отсюда
tg|tg-^tg-|=tg Atg|tgA.
51. Левая часть нашего равенства может быть переписана так:
 .. . }	,	.	..—Г {sin (6— с)—sin (а—с) + sin (а— 6)}.
sin (а— 6) sin (а—с) sin (b—с)1	'	'	'	1
Но имеем:
,	.	.	.	чо-	Ь—а	Ь	+	а—2с
sin(o—с)—sin (а—c) = 2sin—g—cos —	.
Поэтому выражение, стоящее внутри фигурной скобки, равно:
n , Ь—а Ь + а—2с	_ , Ь—а Ь—а . . Ь—а . Ь—с ,	с—а
2 sin —g— cos g	2 sin cos—g—=4 sm ■ ^ sin —sin—g—.
Ho
sin (a—b) sin (a—c) sin (b—c) —
„ . a—b . a—с . b—с a — b a—с b—с
= 8 sm ■ 2 sln —2~ Sln ~2~ C0S—2~ C0S —2~C0S ~2~'
Остальное очевидно.
52. 1° Дробь, стоящая	в левой части, имеет вид:
-г—.	.. .	*	. . ..	г {sin a sin (b —с) + sin b sin (с—а) +
sin(a—6) sin (а—с) sm (6—с)1	v	'	'	1
+ sin с sin (а—6)} = -—	 ^	———	-	•	V4	sin a sin (6—с),
1 sin (а—6) sin (а—с) sin (6—с)

§ 2. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ДРОБИ	135
где суммирование распространяется иа все выражения, получающиеся из
стоящего под знаком суммы путем круговой перестановки. Но
sin a sin (ft—с) =у [cos (а—Ь + с) —cos (а + ft — с)].
Поэтому имеем:
У! sin a sin (ft—с) — у {cos (а + с—ft) — cos (a + ft—c) + cos (ft+ a—c) —
— cos (ft + c—a) + cos (c+ 6—a) — cos (c + a—ft)} =0,
и наше тождество справедливо-
2° Для доказательства данного тождества можно поступить аналогично
тому, что мы имеем в случае 1°. Но можно получить эту же формулу непо-
Я	Я
средственно из формулы 1°, заменив а через —а, Ь через —ft и, на-
л
конец с через —с.
53.	1° Нужно доказать, что
2 sin a sin (Ь—с) cos (ft + c—а)— 0.
эстраняется иа выражения, возник
:тановки.
a sin (ft—с)=у {cos (a—ft + c) — cos (a + ft—c)}.
Суммирование распространяется иа выражения, возникающие из исходного
путем круговой перестановки.
Но
sin
Поэтому
У! sin a sin (Ь—с) cos (Ь+с—a) = y	cos (6 +с—a) cos (a — ft+c)—
—cos (a + ft—с) cos (ft+c—a)=y	[cos 2c + cos (2 ft—2a)—cos 2b—
— cos (2c— 2a)] = i {cos 2c—cos 2ft + cos 2a—cos 2c + cos 2ft—cos 2a+
+ cos (26—2a)—cos (2c—2a) + cos (2c—2ft)—cos (2a—26) + cos (2a—2c)—
—cos (2ft—2c)} =0.
2° Можно получить из 1° путем замены а через —а, 6 через —Ь и
л
с через -g— с.
3° Совершенно аналогично предыдущему найдем:
У! sin a sin (ft —с) sin (ft + с— a) — у {sin 2 (6 — a) + sin 2 (c—ft) + sin 2 (a—c)}.
Остается только показать, что
2"1
■jr- {sin 2 (ft—a) + sin 2 (c—ft) + sin 2 (a— c)} =2 sin (ft —c) sin (c—a) sin (a—ft).
Я
4° Доказывается аналогично 3° или путем замены а через ——а, 6 через
я	я
— ft и с через  с.

136	РЕШЕНИЯ
54. 1° Имеем:
2 sin* A cos (В—С) = 2 sin8 A sin A cos (В—С) =
= Y ^ sin* A {sin (А + В—С) + sin (А — В + С)}.
Но так как
Л + В + С = jt,
sin8 A cos (В— О = у 21sin2 ^ (sin 2C + sin2B) =
=2 stn8 A (sin В cos В + sin С cos С) = sin8 A sin В cos В + sin8 A sin С cos С +
+ sin2 В sin С cos С + sin8 В sin A cos А + sin8 С sin A cos А +
+sin2 Csin Bcos B=sin A sin В (sin A cosB+cos A sin B)+sin A sin С (sin A cos C+
+cos A sin C) + sin В sin С (sin В cos С + cos С sin C) = sin A sin В sin (A + B) +
+ sin A sin С sin (A + C) + sin В sin С sin (В + C) = 3 sin A sin В sin C.
2° Имеем:
2 sin’ A sin (B—C)=2si"2 ^ sln ^ s*n	=	^
=2 sin2 A sin	(В + C) sin (В —C) =
=-i-	sin8 Л	{cos 2C—cos 2B} = 2^ sin8 A (sin8 В —sin8 C)=
= sin8 A sin2 В sin2 С V4 (	~—ri-5^ = sin2 A sin8 В sin8 С I-.	—
VSln С sin2BJ	(sin2С
 L.,	 L_	,	_!	LUo.
sin2 В sin2 Л sin8 С sin2 В sinM |
55. 1° Имеем:
sin 3x = 3 sin x—4 sin2 x.
Поэтому
V sin 3A sin’ (В — О = y 21Sin ЗЛ	Sin (B — C)—sin 3 (B—Q} =
= |-^sin3(B + Osin(B—О—у 21Sin3(B + C)sin3(B—C) =
=	^ {cos (2B + 4Q—cos (4В + 20} —g 21(cos 6C “cos 6B) =
=-|- {cos 2 (B + 20—cos 2 (С + 2B) + cos 2 (C + 2A )—
—cos 2(A + 20 + cos 2 (Л+2В)—cos 2 (В + 2A)} —
—^- {cos 6C — cos 6В + cos 6Л — cos 6C + cos 6В —cos	6A }■
8
Ho
cos (2В + 4C) = cos (2B + 4Л),
cos (2С + 4B) = cos (2C + 4Л),
cos (2Д +40 = соб(2Д + 4В).

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 137
Итак, окончательно:
2 sin ЗА sin’ (В—С) = 0.
2° Так как cos Зх = 4 cos* х—3 cos х, то
2 sinЗА cos*(B—С) =
=Д sln3(fl + C) {cos 3 (В—С) + 3 cos (В—С)} =■
= j ^sin3 (B + C)cos3(B—C) + -|^Tsin3(B + C)cos(B—С)=*
= ~ £ (sin 6В + sin 6С) + |-£ {sin (4В + 2С) + sin (2В + 4С)} =
= ~ (sin 6А + sin 6В + sin 6С) = sin ЗД sin ЗВ sin 3С.
§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ
1.	Справедливость данного тождества можно проверить, например, сле¬
дующим способом. Из формул (*) (см. начало параграфа—Задачи) получаем:
утт- /|+ У j.
УУ
Поэтому имеем:
2 + Гз (УЬУУ) (1 +V 3)*- У 2
y2 + V2+y3 |А2+|/|-+^-1	2(3+
(1 + ГЗ)2 ]Г~2 _1+Гз
2 У 3 (1 + ГЗ) )Лб •
Аналогично получаем:
2-ГЗ	(\ — \ГЦ1.у 2 У 3—1
^2- j/1 +	2(3-	ГЗ)	~	Гб •
Следовательно:
/	2+Г~3	|	2-УЗ	\»
\y~2+V 2 + Г 3 Г 2—V 2— Г 3/
_/1+Гз , ГЗ-1\*_/2 Гз\*
{ Гб + Гб У “I Гб У “ *

138	РЕШЕНИЯ
2.	Докажем предлагаемые тождества путем непосредственной проверки.
1° Положим: / 2 = а, т. е. а’= 2. Требуется доказать:
(1 —а + а2)»=9(а—1).
Имеем:
(1— а + а*)г=1+аг + а4 + 2аг—2а’—2а = 3 (а2— 1),
так как
а5 = 2,	а4 = 2а.
Следовательно:
(1 — а + а2)* = 3(а2—а + 1)(а2—1) = 3(а2—а + 1)(а + 1)(а — 1) =
= 3 (а5 +1) (а— 1) =9 (а— 1).
2° Нужно доказать:
(У2+У20-?/25У = 9(У1>-У1).
Возводя в квадрат левую часть, находим:
У 4+ \V400+ /б25 + 2 /40—2 /бО—2 /бОО = У 4 + 2 /бО +
+ 5 У5 + 4 У5-2 /Нб-Ю /4=9(/б-/^).
3° Получается аналогично предыдущему.
4° Нужно доказать:
'/б + 1\4_ 3 + 2 У5
,/i-lJ 3-2/5*
Положим
У 5 = а.
Имеем:
/ 5 + 1 \ 4 _ (а + 1 )4 _ 1 + 4а + 6а2 + 4а8 + а4 _ 3 + 2а + За2 + 2а’
У~§ jJ ~(а —1)4_ 1—4а+6а2—4а3 + а4 3—2а + 3а2—2а”
так как а4=5.
Далее:
//б+Л4 3 + 2а + а2 (3 + 2а) 3 + 2а_3 + 2/б
V/5-lJ ~3-2а + а2(3-2а)-3-2а-3_2 yj’
5° Требуется доказать:
(l + У 3- /И)* = 5 (2- /27).
Положим	_
/ 3 = а, т. е. а5 = 3.
Имеем:
(1 + а—а2)2 = 1 +а2+а4 + 2а—2а2—2а5 = 1 + 2а—а2—2а* + а4.
Далее:
(1 +а—a2)s= 1 +3а—5а3 + 3а5 —а6.
Но
а" = 3а; а5 = 3.
А

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 139
Поэтому
(1 + а—а2)8 = 10—5а8 = 5 (2— р/27).
6" Положим \/ 2 = а и докажем сначала первое равенство, которое
можно переписать в следующей форме:
5(1 + а + а8)2 = (1 + а2)5.
Правая часть равна:
1 + 5а2 + 1 Оа4 + 10ав + 5а8+а1" = 5 (1 + а2 + 2а4 + 2а“ + а»),
так как
а10 = 4.
Далее:
а* = 2. а* = 2а; а8 = 2а8,
и, следовательно:
(1 +a2)s=5 (1 +a2 + 2a4+4a + 2a2),
и остается только доказать, что
(1 + a + a8)2 = 1 + 4a + a2 + 2a8 + 2a4.
В последнем равенстве легко убеждаемся, раскрывая скобки, стоящие
в левой части, и произведя небольшие преобразования. Для того чтобы
установить второе равенство, надо показать:
УУ КН KI+ К®+ Vm- К5)‘
или
5 (1 + V4) = (УТб+ V8 + V2-1)2.
Положим:
\/ 2—а\ as = 2, a8 = 2a; a7 = 2a2; a8 = 2a8.
Тогда надо доказать, что
(a4+as+a— l)2 = 5(l+a2).
Развертывая левую часть, найдем:
1 + a2+a8 + a8 + 2a7 + 2a5—2a4 + 2а4—2а8—2а.
Пользуясь равенствами, позволяющими заменять высокие степени а более
низкими, найдем требуемое тождество.
3.	Положим:
— --^-- — =-5.-7.
а ~ Ь ~ с d
Тогда:
А—аК; B = bK; С = сК; D — dX.
Следовательно:
УАа + УШ+ УСс+ yDd=yi(a + b + c + d).
Но
A + B + C + D=Ha + b + c + d)
.  Д+B+C+Z)
a+b+c+d ’

т
140	РЕШЕНИЯ
т. е.
ЛГТ Ул + в + с+р
V^a + b + c + d
Заменяя	К в	равенстве
У1л+ \rBb+V"cE+ V~Dd= yi(a+b + c+d)
найденным только что значением, получим искомое тождество.
4.	Положим для краткости:
\/ ax* + by2 + cz*=A.
Имеем:
,	\Гах? , by’	cz•	, /	/	1	1	1	\	з	/~
А=У Т+Т + Т=К fl*U+7+7j=*/a-
так как
ax, = by,=czs и —+ —=1.
*	х	у	z
Совершенно аналогично находим:
Л = 1/	Ь	и	А=г	с.
Отсюда
Складывая почленно эти равенства, получим:
А{'7 + ^+т)=^Уа +	+У°	•
Отсюда окончательно:
A=3/T + yr + y-Z.
5.	Положим:
Тогда
где сф=у.
Докажем, что
Имеем:
l+-i==«*	1	4=	=	Р-
У 2	V2
a« = «”+P”; Ь„ = ап—Р”,
ата„ — ^p = am+n.
a	nm-niom-n
атап-а-^ = {а^ + Г)(ап + ^)--	 =
„й-л I от — п
= am+" + pm+n + a"P" (am-"+ pm-n)— 	 ,
Но
а”Р
J

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 141
следовательно:
п п	ат — п	Пт + п	iom + n
°man 2й 	~ат+п-
Совершенно аналогично докажем и второе соотношение.
6.	Положим!
Тогда:
Кроме того:
1 + /5"	1-УТ в
 2 =а>	~2 =
а + р = 1, сф = — 1.
а2—а—1=0, ЭЕ—Э—1=0
ип = у~(.ап—Р")-
Перейдем к доказательству.
1° Имеем:
н„ + ап-1=-^= (а»_р«) +
= ^{(а"+а»-*)-(Р" + Р"-‘)}.
Но из равенства
a2—a — 1 =0
следует:
а4-1=а2. a” + a"_1 = a"+I
(умножив обе части предыдущего равенства на а"-1). Равным образом, легко
заключить аналогично:
Р" + Р"-, = Р"+1-
Поэтому
и„+ип^1 = у=(ап+1 — Рп+,) = ип+,.
2° Имеем:
U'fMn—k	—	lun—k—1 ™
~{(aft-pft) (an~k—pn-ft)4-(aft_' — Pft_1) (a”-*-1 — pn-ft-*)} =
= У {a" + P" —aftpn-ft—pftan-ft + an-2+ P"-2—pft-,an-ft-1-
=l^" + a"-, + P" + P"-,-P"(^+^)-a"(^+^)} =
= ^|an + an-.+ pB + p»-._p»°*Pp+«^?_oBg!E^j^|g
*4 |«n+«n-2+pn+pn-g-pn	}	-
= l{o"+an-2 + pn + P'--2},

142	РЕШЕНИЯ
так как ар+ 1=0. Далее, преобразуем следующим образом:
I. {аП+аП-2+рп+рп-2}=! |а«-. (а+±)+р«-.(р+^}=
= 1{ап-1(а-Р) + рп-1(Р-а)} = ^(ап-1-рп-1) =
= -^=(«"->-Р
3° Получается из 2°, если положить п = 2k, а затем заменить k через п.
4° Следует показать, что
5 („5" _ р»«) _(ап _ р«)5 _ («"+i _ р«+ (ап -1—рп -,)8 = 0.
Левая часть преобразуется следующим образом:
5 (а*»_р*») —а8" (а8 + 1 -1) + За*"р» (а^ +1	-
— За"Р2" (ар8+1-^)+р8" (р8 +1-^) •
Легко показать, что
“f’+'-sp-0-
С другой стороны, также легко убедиться, что
а8 + 1—1 = р8 + 1 —1 = а8 + р8 + 1 =
= (а + Р) (а*-ар+р8) +1 = аг-ар + рг + 1 = 5.
Отсюда и следует справедливость нашего тождества.
5° Следует доказать, что
(а"_Р'у—(ап-2-рп-2)(ап-1 —рп-1)(ап+1 —рп+1) (ап+2—рп+2) = 25.
Докажем сначала:
(а" -2 — Р" - 2Н«"+2—Р" + 2) = а2И + Р2"—(— 1)" (а4 + Р4),
(а"-1 —рп-,)(ап+1 —рп+1) = а2п + р2п + (—1)п(а2 + р2).
Но
а2+р2 = (а + р)2—2аР = 3; а4 + Р4 = (а2+ р2)2—2а2р2=7.
Поэтому
(ап-2—Рп-2)(ап-1 —рп-1)(ап+1 —рп+,)(ап+2-Рп+2) =
■	=(агп	+	Р2П)2—1—1)"-4 (a2" + P2n)—21.
С другой стороны:
(ап — Р")4 = а4" —4а8П Р" + 4—4ап р8” + р4П = а4" + Р4П + 4 —4(— 1)" (а2П + Р2П).
Вычитая из последнего равенства почленно предпоследнее, найдем
искомый результат.
6° и 7° доказываются аналогично предыдущим случаям.
7.	1° Имеем:
1	1	i
2 [(а2 + Ь V — а] [(а2 + Ь*)Т — Ь] = 2 (а2 + Ь2) — 2 (а + Ь) (а2 + 62) 2 + 2аЬ =
= (а2 + 62)—2 (а+6) V~a*+b2 +(а + Ь)2 + (а2+62) + 2оЬ —(а+Ь)2
(выделяя полный квадрат).

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 143
Следовательно:
1 1
2 [(а2 + б2)"2" — а] [(а2 + б2)"2" — Ь] = (а + Ь — /а2 + 62)2.
Отсюда и следует первое тождество.
2° Перемножая в левой части выражения, стоящие внутри фигурной
скобки, получим:
2 1
3(а3 + 63)Т—3 (а+ 6) (а* + 6’) 3 +3а6 =
2	2	14
= 3 (а2—ab + 62) 2 (а+6) ' — 3(а2—аб + 62) 2 (а+6) 8 +
2 1
+ (а+6)2—(а2—аб+ 62) = [(а + 6) 3 —(а2—аб + 62) 3 I3.
Дальнейшее очевидно.
, /2а —6
8.	Легко видеть, что ад:= I/ —^—, следовательно:
1 —ах
1 +
Г
1+а* _	т/2	а	—6	j	2а ^
,	.	А 	а-Ь	|/Н
^	(I о -, /2а-Ь	2а-б') L_
2(6—а) \/	6+6	(<>—а)
Аналогично находим:
т/т '+т/
2а —6
2а—6
-4/^
а + &|/^4 а + 6]/‘^^ а+6|/
2 а — 6
(так как 6—а>0).
Перемножая полученные два выражения, найдем:
,2а —6
/а2—2а6 + 62	/(6—а)2	а
ле два выражения, н
,-ш/~2а — Ь	. а1/2с-&	2
V —a+bV —Ь~ а~Ь —Ъ~ а2—2а6 +62_
6—а	6—а	(6—а)2	(6—а)2
9.	Разложим на множители выражение;
«3—3«—2.
Имеем:
п3 —3«—2 = п3—п—2п—2 = n (п2—1)—2 (п +1) =
= (п + 1) (п2—п— 2) = (п + 1)2(« — 2).

144	РЕШЕНИЯ
Равным образом:
п*—3« + 2=(п— 1)2(«+2).
Теперь мы можем написать:
(я8—Зп—2) + (п2— 1) Уп2—4 (n + l)2(n —2) + (п2— 1) Уп*^4_
ns—3n + 2 + (n2—1) |/"«*^4 ~~ (« —1)2(« + 2) + («2— 1) /Б*=4~
_(n + 1) /п-2 ^ (п+1) /п—2 +(«— 1) Уп + 2	(п+1) Уп^2
(n—1) /п+2*(п— 1) /n+T+(n + l)	1) J^n + 2*
10.	Рассмотрим вторую из дробей, стоящих в первой квадратной скобке,
именно:
1—а	1 —а	У1 —а
У\ — а2— 1+а	У\—	а2—(1 — а) /l+а—/1-
Итак, преобразуемое выражение примет вид:
[ УТ+а , УТ^а ] /Т^а2—1_
1ут+Б—УТ=Б УТ+^—УТ^\' а ~
УТ+^ + УТ^а УТ^а*— 1
У1 +а—У 1—а	а
2 а	(/ТИБ*—	1)
(|Л +а —/l-а)* ' а
2(/Т^а*—1)
(1+а + 1—а—2 У1 —а2)
11.	Из формулы (*) начала параграфа легко получить:
V А+ Ув + V А— У В =2	А +	8	■
Б нашем случае:
А = х; В = 4х—4,
Аг—В = х*—4*+ 4,
У Аг — В= У (х—2)2 = х—2, еслид:>2.
=2—х, если х<2.
В первом случае имеем:
V х + 2 Ух^Т + Vx—2 Ух^Л =2 ~\fХ^* — =2 Ух—1 .
Во втором случае будет:
Ух + 2 У^Т+Ух-2 У1=Г = 2 Y=
Также легко видеть, что и при х—2 значение рассматриваемого выра¬
жения будет также равно 2.

I
§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 145
12.	В этом случае:
Д = а + 6+с,	В = 4ас + 4Ьс,
И2—B=(a + b+c)*—4сс—ibc — a2 + b2-\-c2-\-‘2ab—2 be—2ac = (o-J-b—с)2.
Если
a-\-b—с> О,
то
У А*—В = а + Ь— с.
а-\-Ь —с < О,
У Аг—В—с—а—Ь.
Если
то
Отсюда легко получаем, что данное выражение равно 2 fa + b , если
а + Ь>с, и равно 2 У с , если а-\-Ь<с. При а + Ь=с оба эти значения
совпадают.
13.	Обозначим:
Тогда:
Следовательно:
Но
Поэтому
или
V-I+ /т+£ -
V-7-V^-
X = u + V-
дг* = (u +o)*=u*+ о2 + 3uo (u +o).
us + i.,s = —q\ uv= .
Xs = —q—px
x>+px+q=o,
что и требовалось вывести.
14.	Можно поступить, например, следующим образом. Положим:
Ух+а+Ух + Ь = г.
Тогда (умножая и деля левую часть на Ух +а—Ух + b) найдем:
а—b
Ух +а—Ух-\-Ь
или
= 2,
Ух + а — Ух+Ь=-—-,

146	РЕШЕНИЯ
Отсюда
л 	 ci— b
2 у х -|-a=z-f
2 Vx+b=z-
2
а—b
г
т. е. оба корня выражены рационально через г.
15. Обозначим общую величину отношений через т-» т. е. положим:
л
а _ b с 1_
V~F~~cr~ к '
Следовательно:
аг=ак;	Ь' = Ьк; с' =ск:	к = -	f ■'- .
а + 6+с
Поэтому
уТ + 1Лб_+/Г+^+»'Гб7+У7Г=(1 + |/T)(l/T + VF + VT).
Наша дробь примет вид:
1	_	(l-^THVV+^T-j/T)
и+УГ)(/Я“+уГ4Г+/'с)	(1—А,) (а+ 6—с + 2 VH>)
(1 —VTxVT + УТ-Ус) (а + 6—с—2 /db)
~	(1—>.)(а2 + 62+с2—2а6—2ас—26с)
(Уа+6+с— Уа' + б'+с'Х а+Уб — Y с)(д+6—с—2^аЬ)Уа+6+с
(а + 6+с—а'—6'—с')(а2 + 62+с2—2а6—2ас—26с)
16. Положим:
V 2 = Р+	9-
Отсюда
2 = р» + Зр9 + (Зр*+9) /р.
так как q не есть полный квадрат, то должно быть 3р2 + р = 0, что невоз¬
можно.
17. 1° Имеем (на основании 1°, 4° начала параграфа):
tg	a)=tg	{п	+	~Т~a)=tg ^_a^=ctga,
c°s (-y— a)=c°s(n; +-^—a^ = —cos^-^-—aj = —slna,	(2°,	4°),
cos(2n—a) = cos(—a) = cosa	(1°,	3°),
cos ^a — -y)=cos^-^—a^=sina	(3°,	4°),
sln(Jt—a) = — sin(—a)=+slna	(2°,	3°),
cos (я+а) = —cos a	(2°),
tin	—^ = —sin	a^	=	—cosa	(3°,	4°).

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 147
Теперь получаем:
—ctga-slna ....	,	,	,	. ,	,	,	„
 ^	|- sln2 a + cos2 a = — 1 -j- sln2 a -f- cos a = 0.
2° В этом случае получаем:
sin (3rt—a) =(—1)* sln (—a) = —sln(—a) = sina	(2°,	3°),
cos (3rt + a) = (— l)scosa=—cosa	(2°),
sln	a^	=	sin	+-^—aj = — sin	a^	=	—	cosa	(2°,	4°),
(Ьп \ (n , n \
cos I — a)=cos( 2n-\—g	aj =
= cos^-^-—aj = sina	(1°	или	2°,	4°).
Итак, имеем:
(1 —sin a—cos a) (1 + cos a + sln a) + sin 2a =
=[(1 —(sin a + cos a)] [1 + (sin a + cos a)] +sin 2a = 1 —(sln a 4-cos a)2 + sin 2a =>
= 1 —sin2 a—cos2 a—2 sin a cos a + sin 2a = 0.
3° Аналогично предыдущим.
18.	Действительно, имеем:
1 — cos a = 2 sin2 ~ ,
откуда
a , f 1 —cos a
sm T=± J/ —j— .
Но в наших условиях:
Т=*Я+1Г
Тогда:
где
sm
-|- = sln ^for+^ = (— l)*sin^t
sln^^O.
Поэтому, действительно:
sln
Аналогично доказывается и второе утверждение.
19.	Докажем справедливость лишь некоторых предлагаемых для рас¬
смотрения формул. Например, докажем, что Д1в = 0, если n=0(mod 2).

148	решения
Положим п = 2/. Тогда
I .	fin .	3	\	/3/я	5	N
2А»=еоа(т+п~тя)+саб\~г+я~'тп) +
/5/я ,5 \ ,	/7/я , 3 \	/7я	3	\
C0S \~4 32Яу °0S \~4~ 32Я )= C0S	32я) ~
— COS Г /я — у — ^я^ -Ь cos ( ~ + In +	+
+ со5(2/я-- + 3^) = -соз(?_з12Я)_
—( — l/cos^ + ^j+( — l)‘cos (^ + ^я)+ cos(^ —^I,)=°-
Докажем далее, например, что Л,4 = 0, если п = 1, 3, 4 (mod 7). Имеем:
1.	/1	13 \ ,	/3	3	\ ,	/5	3 \
~2 A14=COsl у ПЯ —уЯ J4* COS ( у ИЯ—— Я 1 + cos I у пя —^я J .
Если заменить здесь п числом, с ним сравнимым по модулю 7, то от этого
все косинусы получат только некоторый общий множитель, равный ± 1.
В самом деле, допустим, что
n = a (mod 7),
т. е.
« = а+7Л/,
где N целое.
Поэтому
cos(^- р) = cos (*(а + 7Л,)Я-р) = cos (^-ИМЯ- р) =
= (_l)*/vCos(^-p) = (-l)iv cos(^-p) .
так как в нашем случае £ = 1, 3, 5 и, следовательно, нечетно. (Р равно
3	13
одной из величин: — я, тт я.) Поэтому для того, чтобы доказать, что Л14 = О
14	14
яри « = 1, 3, 4, достаточно доказать, что это будет иметь место при « = 1,
3, 4. Справедливость же этого легко проверить.
Положим сначала п=1. Тогда докажем, что
cosl
“0S14
(тя-т1я)+СО8(уя“пя)+СО8(тя“йя)=0-
реобразуя, получим:
3	7	/	3	\ ,	3	, я
я 4-cos у я-f-cos — я = сов I я —-у я 1+ cos-у я 4-cos у=
3	3
= — COS -п Я 4- cos 77 я = 0.
14	14
Пусть теперь п — 3. Тогда надо доказать, что
/3	13	\	,	/9	3	\ ,	/15	3	\
cos^yn-nflj4-cos ^уя—i3nj4-cos^yn—
7	■	15	27	/	,	я	\	,	/„	я	\
^cos |4 я cos я 4~cos у я — cos I я4-у ) 4- cos I 2я — yj =
я , я „
= -C0Si4+C08l4 =

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 149
Совершенно так же убедимся, что и при п — 4 получим нуль.
В заключение докажем еще, что Л8 ни при каких значениях п (целых)
в нуль не обращается. Имеем:
-^-A,= cos ^ nn — ^Л^+COS^ — -^-пл + лл—=
= cos (-^-«я-^л^+(-1)псоз^«я + 1я).
Разберем различные случаи.
1° Пусть п = 0 (mod 4), n — 4N. Тогда:
cos ^Мл-~л^+(—1)wcos ^ ЛЫ + ^;Л^ =
= (—1)^С05^Я + (— l)^COS^n = ( — 1)^ ^ COS yg л + cos	.
Выражение же, стоящее в скобках, не равно нулю, так как оно пред¬
ставляет собою сумму косинусов двух острых углов.
2° Пусть nss=l (mod 4), т. е. n = l+4/V.
-ггЛ= cos ^ +№л —-^л^ + cos ^ + ЗЛГл—=
= (_,)А:|со8(^-^л) + соз(^-1л)} =
= ( — 1)^ | cos ^n + cos^nj ,
Легко убедиться, что сумма, стоящая в скобках, не равна нулю, а
следовательно, в этом случае Ав точно так же не равно нулю. Остается
еще разобрать случаи: л5=3 (mod 4) и л = 2 (mod 4). На доказательстве
этих случаев мы не останавливаемся.
20.	Нужно доказать, что
2>(*)=°.
если k = n, п—1,п—2, п—4, л—5, п — 6, и знак перед р (ft) выбирается соот¬
ветственным образом.
Легко видеть, что
Xp(*)=^X(fe+3)2+cX(-i)ft+z?Xcos^-
Первые две суммы, стоящие в правой части, равны нулю. Остается дока¬
зать только, что
2л ft
2-cos т~
Если ft есть	целое число,	то	могут представиться следующие случаи:
1° ft	делится на 3; ft = 3/.
2° ft	при делении	на	3 дает в	остатке	1;	ft = 31-(-l.
3° ft	при делении	на	3 дает в	остатке	2;	ft = 3/ + 2-
В 1° случае:
■

150	РЕШЕНИЯ
Во 2° и 3° случаях:
2nk 2я
cos—g- = cos -g-.
Допустим сначала, что п делится на 3. Тогда:
Ink
"Г
ЕШ 2лл 2я(п—1)	2я (п—2)
cos -g- = COS -g cos —^-g	-	— COS ^g - +
, 2я (n—4) 2я (n—5)	2я (n—6)
+ cos —	  +	cos	—	  —	cos	g	.
Ho
2=—1 (mod 3)
H	2nk	2nk'
cos -g- = cos —g—	,
если
k = ft' (mod 3).
Так как, no предложению: n = 0 (mod 3), то
n—1 =—1; n—2=1; n—4=—1; n—5 = +l; n—6 = 0,
и наша сумма примет вид:
2я	2я , 2л ,	2л	,	_
1 — COS -g-— COS -g- + COS -g- + COS -g- — 1 =0.
Остается доказать, что наша сумма равна нулю и в тех случаях, когда
n=± 1 (mod 3). В этом убеждаемся совершенно аналогично предыдущему.
21.	Имеем:
. .	/я я \ .я я	я,	я
sm 15° = sin(45°—30°) = sm (	—	I = sin — cos ——cos sln —=
V~2 /"3 У~2 I УИ—У~2
~ 2 ‘ 2	2	2~	4
Аналогично найдем и cos 15°.
Имеем:
•	•	n 2n
sin 18° = sm = cos .
10	о
Ho
„ , я я , 2л
2 sln -g- cos -g- = sln -g-,
„ . 2я	2я . 4я , л
2 sm -g- cos -g- — sm -g- = sln -g-.
Перемножая эти два равенства почленно, найдем:
я	2я	1
cos -=- cos -=- = ~r .
5	5	4
С другой стороны:
71 2л о Зя я „ я 2я 1

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 151
Итак, если положить:
2я	я
то имеем:
Но
Следовательно:
sin yg = cos -g- = х; cos-g- = j/,
У—х=~2 ■	*У = -j-
i,x+yf = {x—y)2 + 4xy = ~ + \=^.
уъ
х+У= 2 •
Пользуясь этим соотношением и соотношением у—х = -^-, получим:
x = sin ^ = sin 18° = —1	.
1U	4
Теперь легко найти и cos 18°.
22.	Действительно:
sin 6° = sin (60°—54°) = sin 60° cos 54° — cos 60° sin 54°.
Ho
,6-2/1	l+V"5
sin 54° = cos 36° = 1 —2 sin2 18°= 1 —2 ■
16
cos 54°= У1 —siu2 54° = -i У io—2 У 5.
Остается только подставить эти значения в первую формулу и результат
готов. Совершенно так же найдем и cos 6°.
23.	Прежде всего нужно иметь в виду, что
,1 ЗХ	зх	зх	,	,	зх
1 ) g-^ arc sin х^ 4—g-;	<	arc	lg х < + -g- ;
0 ^ arc cos х 5= я;	0 < arc ctg х < я;
2) sin (arc sin x) = x;	cos (arc cos x) = x;
tg (arc tg x) = x;	ctg	(arc	ctg x) = x.
Докажем теперь, что
cos (arc sinх)—У 1 —x2.
Положим:
arc sin x = y,
тогда:
sin у = x.
Нам же нужно вычислить cos у. Но известно, что
cos у= У1—sin2i/= У1—х2,

152	РЕШЕНИЯ
причем перед корнем берется знак плюс, так как
ЗХ	,	зт
2* = У = + ~2‘
и, следовательно:
cos 0.
Докажем, например, еще, что
cos (arc tg х) =	*	.
V\+X*
Положим!
arctg*=f/;	tgi/ = x.
Надо найти cos у. Имеем!
J-=,+tg.»=1+,..
Следовательно,
1
cos у —
1 + Х*
и
cos у — cos (arc tg х) —	1	■	-,
У \ + хг
где корень берется опять со знаком плюс, так как
cos # 5; 0.
Остальные формулы доказываются совершенно аналогично только что
доказанным.
24.	На основании определения:
я	.	,	я
 2~ < arc tg х < + -у,
0 <arc ctgx < я.
Поэтому
It	XI	X	X.	I
—2 < arc tgx + arc ctgx<+—.
Вычислим
sin (arc tg x + arc ctg x).
Имеем:
sin (arc tgx +arc ctg x) —
= sin (arc tg x) cos (arc ctg x) + cos (arc tg x) sin (arc ctg x) =
*	f-=L=.-r=L=	=	l.
* -ш Г *	•	■/«	■
1^1+хг Y\+x* Y i + x* Vl+x
Но если синус некоторой дуги равен 1, то эта дуга равна:
-у+2ft л,
где ft—любое целое, т. е. другими словами:
arc tg x+arc ctgx

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 153
может иметь одно из следующих значений:
—7л — Зя	я 5я 9я
2 ’	2	’	Т’	2	’	2
t • •
Но из этих значений только одно, а именно , заключено в промежутке
от —до + Щ- • Поэтому необходимо:
arc tgx+arc ctgx=-y.
Совершенно аналогично докажем, что
я
arcsinx+arccos х —
Прежде всего имеем:
л	.	-	Зя
 g-;5Sarcslnarc cosrS -g-.
С другой стороны:
sin (arc sin	arc cos x) = sin (arc sin x) cos (arccos x) +
+ cos (arc sinx) sin (arc cos x)=xl+ Y 1 —xl- Y1 —x*= 1.
Отсюда следует, что
n
arc sm x + arc cos x=-g-.
25.	Прежде всего легко доказать, что величины:
arc tgx+arc tgr/
и
х х+У
arctg-j—П»
1 —ху
отличаются друг от друга только на ея, где е—целое число.
В самом деле:
tgfarctgfi^fti'
& V Ь1 —ху) 1 —ху
tg (arc tg y+arc tg у) ^ 1?-(ЗГС tg x) +tg-(arC * y)	.
tgiircigy-f- rgi/i 1 —tg (arc tg x) tg (arc tg у) 1 -xy'
Но если две величины имеют равные тангенсы, то они отличаются друг
от друга только на слагаемое, кратное я.
Поэтому, действительно:
X 4* и
arc tg x+arc tgf/ = arc tg — + ея.	(*)
i —xy
Выясним точно значение e. Так как
я	.	, я
 2 тс tSx< + -2‘-
Я	,	.я
—2“<агс хёУ<+-2>

134
РЕШЕНИЯ
ТО
—я < arc tg х + arc tg у < + я
и, следовательно:
А так как
* х+У .
arc tg-т )-ея
1 —xy
< я.
я	,	х	+	г/	я
-T<arctgT^|<+T-
то | е | <2 и, следовательно, для е допустимы только три значения:
О, +1, —1.
Для того чтобы окончательно выяснить вопрос о величине е, напишем
следующее равенство:
cos |
i(arctgx+arctgf/) = cos ^arc tg *_^^ + ея j .
Отсюда
cos (arc tg x) cos (arc tg y) —sin (arc tg x) sin (arc tg y) = cos ^arc tg ^ cos ея.
На основании результатов задачи 23 имеем:
1	1	х.	у	  I
vr+x>'	рт+р	рт+7* *	рт+р	^!	[
• cos ея.
Следовательно:
I —xy
COS ЕЯ :
р(1+*гн1+^)
Имеем:
1/1 i (x+y V n A1 +**>+P>_ У(L +**> +P>
. V +\\-xy) ~ V (1 xy)2	'
Однако
P(T —xy)z~ 1 — xy, если 1—xy>0, т. e. если xy < 1,
ii
AT —xy)z=— (i—хг/), если 1—xf/<0, т. e. если xy> 1.
Поэтому
cosen = l, если xf/<l,
и
cos ея = —1, если xy> 1.
Так как ея может принимать только значения 0, я и —я, то отсюда сле¬
дует, что если xy < 1, то е = 0, и если xy > 1, то е = ± 1. Вопрос о том,
в каком случае придется взять минус, а в каком плюс, решается следую¬
щим образом.

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 155
Если xy > 1 и х > 0, то и у > 0, тогда arc tg х > 0 и arc tg у > 0, а
arc tg — < О.
I—*#
В равенстве (*) слева стоит положительная величина, следовательно,
и справа должна быть положительная величина, а потому ея должна быть
больше нуля, и е = +1. Совершенно аналогично убеждаемся в том, что
если xy > 1 и х < 0, у < 0, то е =—1.
26.	Имеем:
2_
111	5	5
4arctg-jr-=2arc tg-g-+2arc tg-g-=2arc tg p=2arc tg =
1	25
. 5 ,	4	5	t	12+12	,	120
= arc tg T2 + arc tg jg = arc tg	=arc tg ш .
1	144
Далее:
120 1
* 120 , * (	1 \
' ТТЭ	\	239)=arc ® j"
119	239	*	,	n
=arc tg 1 =-j-
120 J_	4
+119 ' 239
27. Применяя формулу задачи	25,	легко получаем результат.
28. Прежде всего замечаем,	что	так	как arc sin х заключен	между
Л	, Я n 1	<
■—^ и Н—а 2arctgx лежит между —л и	то
Зя	,	.	2х _ , Зл
—?Г = 2 arc tgx+arcsin	+	-g-.
Вычислим теперь синус от искомой	дуги,	т. е. найдем, чему равняется
выражение
sin ^2 arc tg х + arc sin	•
Имеем:
sin ^2 arc tgx + arc sin j =sin (2 arc tg x) cos ^arc sin-j-~^^ +
+ cos (2 arc tg x) sin ^ arc sin y-qjpJ
Вычислим сначала sin (2 arc tg x). Положим:
arctg x=y; tg y=x.
Тогда l
sin (2 arc tg x) = sin 2y = tg 2y ■ cos 2y.
Ho
tg2t._ 2tgy ■ CC3 2B-I~tg,y
tg-у' C0S^-l+tg^*

156	РЕШЕНИЯ
Следовательно!
sln (2arc tg x) =-. ^^ — 2x
1 + tg *y	1+x1'
Далее!
cos
(агс81пт|^)= >/"l —(r^s)*= Y|l+^ = iy *
так как x > 1.
Далее, легко видеть, что
1 — X*
cos (2aic tgx) = -j—>
sm
поэтому
(* 9r \	2*
arc sin J
sin ^2arc tgx+arc sin j;
2x x*—1 . 1—x*	2x _p
l+x* 1+xl l + xl 1+x
Итак, синус искомой дуги равен нулю, следовательно, эта дуга может
иметь одно из бесчисленных множеств значений:
—Зя, —2я,	—я, 0,	+ я,	2я, Зя, 4я, ...
Но среди	этих	значений	имеются лишь три	(—я, 0 и я), лежащих	в	тре-
 	Зя	, Зя	_ и	,
буемом	промежутке	от	— до	+ -тр.	С другой стороны, х>	1	и,	следо-
2х
вательно, 2arctgx>0 и arc sin ^	■,	>	0,	а потому и искомая сумма
2х
2 arc tg х + arc sin т—;—г
& I	i	+**
будет больше нуля и, следовательно, может равняться только я.
29.	Легко видеть, что
—я 55 arc tg х+arc tg	^ + я.
Составим:
sin^arc tgx+arc tg
Искомый синус оказывается равным (см. задачу 23):
sin (arc tg х) cos ^arc tg-j-) + c°s (arc tgx) sin ^arc tg =
\_
x	11	x
V X1	,	1	/Т1	X1	,	1
iTTT== * 	.	i	„г+i	■	„i^1»
VT+* ^1+** x-v^l+x* l+x* !+**

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 157
если х>0 (так как в этом случае У~х*=х). Если же х<0, то Ух* — — х
и тогда sin ^arc tgx+arc tg=—1. Отсюда следует, что
1 зх
arc tgx + arc tg —= ± -^- + 2*я,
где знак плюс берется в том случае, когда х > 0, а знак минус тогда,
когда х < 0.
Но так как, с другой стороны, должно быть:
—яг£=агс tgx+arc tg-^-sS + я,
то этим и исчерпывается решение нашей задачи.
30.	Вычислим выражение:
sin (jrc sin х +arc sin у).
Имеем:
sin (arc sin x +arc sin y) = sin (arc sin x) cos (arc sin y) +
+ cos (arc sin x) sin (arc sin y)—x У 1 — y*+y У 1—x*.
Таким образом, если мы рассмотрим две дуги:
arc sin х +arc sinj/
и
arc sin (x У1 — У2+У У1—хг),
то мы можем утверждать, что синусы этих двух дуг равны между собою.
Но если
sin a —sin р,
. а —р	а + Р
2 sin —~ cos —— 0,
и, следовательно, m6o^—~ = kn, либо ^t£ = (2ft' +1) Л- (k и к' целые),
т. е. либо
а = р + 2йя,
либо
а = — Р + (2ft' +1) я.
Поэтому мы можем утверждать, что
arc sin х + arc sin у = t] arc sin (x ]/ i —у* + у У1 —xs) + ея,
причем т] = +1, если е четное, и т]=—1, если е нечетное. Для того
чтобы точнее определить величину е, возьмем косинусы правой и левой
части. Получим:
cos (arc sin х + arc sin у) = cos [т] arc sin (x У1 — y*+y У1 —хг) + ея].
Отсюда
У 1— х*- У1 —уг—ху = (—1)" cos [arc sin {х У1—у*-\-у У i _**)].
Далее:
У\—х*- У\—у*—ху = ( — \УУ 1— (хУ 1— у*+уУ 1—х2)2.

158	РЕШЕНИЯ
Подкоренное выражение справа можно преобразовать следующим
образом:
1-(х УТ=?+у	=
= \—х2(\—у2)—у2(\—х2)—2ху V 1 —хг’ У 1 —у2=
= (1— хг) (1— у*) — 2ху У \—х2' У 1—у2+х2у2 =
= (У 1—х2 У \—у2—ху)\
Если окажется, что
у 1 — **■ УТ^у2—.ху>0,
то
1Л-(х УТ=р+у УТ=^)*=У (ут=&- ут=у-ху? =
= У 1-х*- У1 -у2-ху.
Поэтому в этом случае
(_!)• = +1,
т. е. е четное.
Если же окажется, что
УТ^Гх2 УТ=?-ху<0,
то
(-!)' = - 1,
и, следовательно, е нечетное.
Рассмотрим теперь выражение
1—х*—у2.
Имеем:
1— х2—у2= 1— х2—у2 + х2у2—х2уг=(1 —хг) (1 — у2)— х2у2=*
= ( У1— хг- у 1 —у*—ху)(У 1—хг У1 —у2+ху).
Величина 1—хг—уг может быть больше, меньше или равной нулю. Обра¬
тимся последовательно ко всем этим трем случаям:
1° Допустим 1— хг—уг>0, т. е. х2+у2< 1. Если произведение двух
множителей положительно, то эти множители либо оба одновременно поло¬
жительны, либо же оба одновременно отрицательны. Итак, мы имеем либо
У \—х* У \—у2—ху>0‘, У 1—хг У l—y2+xy>Q,
либо
У1— х2 у 1 —у2—ху <0; У1— х2 У\—у2+ху<0.
Но второй из этих случаев невозможен, так как, складывая оба последние
неравенства, получим:
УТ^х2 УТ^у2 < 0,
что невозможно. Если же существуют первые два неравенства, то
У1—хг У 1—у2—ху> 0.
Следовательно, в этом случае е четное.
Итак, если х2+у2 < I, то в нашей формуле в четное.
2° Пусть теперь 1 —х2—у2 < 0 и, следовательно, либо
у 1—х2 у 1 —у2 —xij > 0; У1—X1 ■ у 1 —у2 + ху<0,

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 159
либо
У1 — хг У1—уг—ху <0; У1—х*■ у 1 —;уг + ху> 0.
Но из первых двух неравенств легко получаем ху < 0.
При выполнении же этого неравенства обязательно будет:
У1 — Xs У 1—уг—ху > 0,
и, следовательно, е четное.
Из вторых двух неравенств получаем ху> 0 и е нечетное.
3° Наконец, допустим 1—хг—уг =0. Тогда опять могут представиться
два случая: либо ху^О, либо ху> 0.
В первом из этих случаев У1—Xs• У1—уг—ху > 0 и, следовательно,
е четное. Второй случай равным образом дает е четны^ (е=0), так как
существует следующая зависимость:
arc sin х + arc sin У1—x‘=(x > 0).
Теперь вопрос о четности е разрешен во всех возможных случаях. Посмот¬
рим, какова величина е. Имеем
| arc sin x+arc s\ny | < л.
Следовательно:
| т] arc sin (x У i —уг+у У1 —хг) + ея | < я.
Отсюда
1 е | <2.
Итак, е может принимать только три значения: 0, +1, —1. Сопоставляя
все полученные результаты, мы можем теперь утверждать, что
если хг + .УгЁ11 или если ХУ < 0, т0 6 = 0, т) = +1,
если же хг+#г> 1 и ху>Ъ, то е = ±1, т]=—1.
Чтобы выяснить, когда е = + 1, а когда е = —1, заметим, что при
х > 0, (/>0 arc sinx +arc sin у > 0 и, следовательно:
—arc sin (х У1—у*+у У1 —хг) + ел > 0,
а потому в этом случае е = +1. В случае же х < 0, у< 0 легко видеть,
что е = —1.
31.	Имеем (см. задачу 24):
arc cos х+arc cos	+ ^ Уз—3x*j =
= л—arc sin x —arc sin	+ y V 3—3x*^ ;
с другой стороны (задача 30):
aic sinx+arc sin + У3—3x*^ = т] arc sin £+ея,
где
i=* Y ‘-Y+Yrr=7i)'+Y+1YVT=*i)rr^'-
Ho
1-(| yr=^j = ~ (]AT=P- ]A3x)s,

160	РЕШЕНИЯ
а так как х^ -i-, то 4х* 3: 1: Зх* 1 —х* и Азх ^ А1— х2.
Y 1~(ъ + ^г Ага) =Y А( АТАГ2-Азх)2=
и в-?*
Следовательно:
•	arc	sin£=-^-.
Остается только найти т] и е (см. задачу 30).
Докажем, что
(|+tpn=3)’>i.
*’+(д+
Имеем:
х*+^+-|(1-х2)+^ АЗх Ab=^^|- + -i-x2+I(l-;
Следовательно,
г) = —1, е= +1.
Поэтому
arc cos х +arc cos	Аз—Зх2^ = я — ^—^- +л j =
32.	Имеем tgA = ^-; tg.B = -A Вычислим cos2A. Так как
/	О
1 +tg2 А —	1
cos2 А ’
то
Но .
Далее:
Но
1	,	.	1	50	.	.	49
Г = 1+йп = ^ и “sM = f
cos2 А 49	49	50'
98	24
cos 2Л = 2 cos2 А — 1 =gQ — 1 =25"
sin 4В = 2 sin 2В cos 2В.
cos 2В = 2 cos2 В-1 = j-pl^-1 =1,
sin 2B = 2 sin В cos В = 2 tg В cos2 В —	^„=4
b	l	+	tg2B	5
Поэтому
-ATга)
я

§ 3. РАДИКАЛЫ. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ЛОГАРИФМЫ 161
Следовател ьно,
д ч 24
sin4fi = 2-— . — = — и sin4B = COs2A.
33. Имеем по условию:
(а-}- Ь)‘ — 9аЬ или	=ab.
Остальное очевидно.
34. Положим:
lgan=x; \gman=y.
Тогда
ах = п; тУаУ — п.
Отсюда
X
ах — ту-ау\ ау — та.
Логарифмируя это последнее равенство при основании а, получаем иско»
мый результат.
35. Положим:
х(у-\-г—х)^у(г + х — у)^г(х+у— г)	1
lgx	lg	У	lg*	1
Тогда:
\gx = tx(y + z—х),
lg У = *У (г + х—у),
Ig z = iz(x +у—г).
Отсюда
y\gx + x\gy=2txyz,
ylgz + z\gy=2txyz,
г lgx + x \gz — 2txyz.
Следовательно,
у lg x-fx lg у=у lg 2+z lg у = z lg x +* lg z.
lg хУух = lg 2-V = lg xzzx.
Окончательно:
хУух=zyyz=хггх.
36. 1° Положим lgb a—x. Тогда:
bx — a.
Логарифмируя это равенство при основании а, получаем:
xlgcfc = l.
По х— lgb о. Следовательно, действительно, lgb a lga fc = 1.
2° Имеем:
flig аъ = ь.
Поэтому
lgb ('gb д)	1
a iSb° = (a,g6 to а>=(я'еа ь)^ь Оеь а) b\Bl (ig6 0) _ ^
6 ц А. Кречмар

162	РЕШЕНИЯ
37.	Из данных соотношений следует:
Логарифмируя эти равенства, получаем:	f
(1—lgx)lgi/=l; (1— lgji) lgz = l.
Отсюда
. , 1 1 1
lgx=l— г— = 1
lg</ ,	!_	1	—lg -г ’
lgz
и, следовательно:
x= Ю'-'е2.
38.	Исходное равенство дает:
a*—(c—b) (с + 6).
Следовательно:
2,gc+bfl = lgc+b(c—6) + 1.
2 ■gc-b а = lgc_b (с + 6) +1.
Перемножая эти равенства, находим:
4 lgc+Ь a'*gc-b a = *gc+b (с—+lgc-b (С + Ь) +1 +lgc+b (с—Ь) lgc_j (с+ 6).
Но
klc-Ь) (с + 6) кс+ь(с — 6)=1-
Поэтому
4 Igc+Ь а Igc-b 0 = 2 lgc+Ь а — 1 + 2 *gc-b а — 1 +2-
Окончательно:
Ыс+Ь а + !gc-b о = 2 lgc+ь а lgc-b “•
89. Положим
lg aN=x; lg cN = y; \gy-N = z.
Последнее равенство дает:
Отсюда
(ас)2 =N.
г
lgaW= 2-(l+lgac).
lgcW = |-(1+|g<:a)-
Поэтому
Следовательно!
2х I 1
--l=lgac; — 1 = lgc а.
или
х х—г
У ~*—у'

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 163
40.	Имеем:
. =в
gaia2...anx lgjj 0,0, ... в„ lgxa1 + lgxfl2+...
1
41.	Пусть
an=aqn; bn — b + nd.
Тогда:
lgfl„ = lga-f-nlg9,
lga„ — bn=lga + n\gg—b— nd=\ga — b.
Отсюда
n lg 9—nd = 0,
Igp9 = rf: Pd = 9-
Итак:
l
p=ffT.
§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ
СТЕПЕНИ
1.	Имеем:
Отсюда
fx—ab \ (х—ас \	[	х—Ьс	\	л
[т+г-с)+(т+F-6	)-о-
х—ab —ас—be , х—ос—ab—be , х—Ьс—ab—ас п
с + 6	а	+	с	"*	b+с	~
Ix—ab—ac—bc)( —J—=- -J j	f- *	0.
'	^a+6	1 а+о	1 b+cj
Предполагая, что
а + Ь а+в b +а
не равно нулю, получим:
x—ab+ac + bc.
Если же
_ *	|	1	I !—=о
а+Ь а+с Ь+с	’
то данное уравнение обращается в тождество, справедливое при любом
значении х.
2.	Перепишем уравнение следующим образом:

164	РЕШЕНИЯ
Имеем:
х—а —Ь—с х—Ь—а —с х — с—а—6 ^
Ьс	ас	ab
Отсюда
{х-а-Ь-с)(±+±+±)=0.
и, следовательно:
х=с + 6 + с.
Принимается, конечно, что ни одна из величин а, b и с, а также
1 + 1+1
Ьс ас ab
не равны нулю.
3. Если положить в нашем уравнении
6х-\-2а = А\ 36 + с = В; 2х + 6а = С; 6 + 3с = £>,
то уравнение перепишется следующим образом:
А+В C+D
А —В ~ С—D '
Прибавляя к обеим частям этого равенства по единице, найдем:
2А	2С
А—В	С—D '
Равным образом, отнимая по единице, получим:
2 В	2D
A—B~C^D'
Деля же почленно последние равенства, будем иметы
А =_С
В О *
т. е.
6х + 2а __ 2х + 6а
36 +с 6 +3с
Отсюда
( 6 2 ^ ( 6 2 ^
\ЗЬ+с Ь + Зс)Х \_6 + 3с 36+cJa‘
Наконец:
 ab
~~ с
4. Прибавим к обеим частям уравнения по 3 и перепишем его следую¬
щим образом:
4х
i + 6-fc
Отсюда
, . , ,	./11	1	\	.	а	+	б	+	с—х
<-а+Ь+с-Х)[-+т + т)= 4 а + ь+е .

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 165
Следовательно:
(а+6+с_*)(± + |+±__1^)=0
и, наконец)
х = а + Ь -f- с.
5.	Возьмем слева за скобки 6+х. Получим!
Следовательно!
Отсюда
1
i+—
Р
(Ь+х) р Ьс
а
i+—
„ Р
Р-и	Р
сЪ\Р+х
Далее:
/6+х\ р be _ b+x_fct
\ х )	~ а ’ х	а
р
b _(Ьс\Р+1	.
T-UJ
(
6с\р+*_
a j
6.	1° Возведя в квадрат обе части данного уравнения, найдем:
х-Н+х—1 + 2 Vx*—1 = 1.
Следова тельно:
2 ^7*^7= 1—2х,
4х2—4=1 -f-4x*—4х,
5
*=Т*
Ввиду того, что возведение в квадрат приводит, вообще говоря,
к уравнению, не эквивалентному данному, или, точнее, к такому уравне¬
нию, которое, помимо корней данного уравнения, может иметь и другие
корни, от них отличные, то необходимо проверить подстановкой, является
ли действительно -у корнем исходного уравнения. Подстановка показывает,
что у- не будет корнем исходного уравнения (здесь, как и прежде, рас¬
сматриваются арифметические значения корней).
2° Произведя преобразования, совершенно аналогичные предыдущим,
5
найдем, что x==f является корнем нашего уравнения.

166
РЕШЕНИЯ
7. Возводим обе части нашего уравнения в третью степень. Формулу
куб суммы возьмем в следующей форме:
(Л + В)1! = Л, + В1! + ЗЛВ {А +В).
Имеем:
а+ У х +а— J^x + З р/ а*—х (рУа-\- Ух-{-у/ а— |^х) = Ь.
Но так как
рУ а+ У х + рУ а—У х=р/ Ь,
ТО
20 + 3^ аг—х• рУ 6 = 6,
x=a*-l±rWL
Х	276	'
Предполагаем, что а и 6 таковы, что
Так как равенство кубов двух вещественных чисел влечет за собой и ра¬
венство самих чисел, то найденное значение х удовлетворяет и исходному
уравнению.
8. Возведя обе части уравнения в квадрат, найдем:
— Ух*—хг=х2—2х.
Отсюда
х*—х*—х‘ (х—2)*= О,
хг|х*—1 —хг—4 + 4х] =хг(4х—5)=0.
Таким образом, последнее уравнение имеет два корня:
о	5
х = 0 и х = —.
4
Подставляя их в исходное уравнение, увидим, что единственный корень
©того уравнения будет:
5
*=т-
9. Освобождаясь от знаменателя, получим:
(У a-f- Ух — б) У 6= У~а(У~Ь+ Ух—а),
или
У Ь (х—6)= Уа(х—а),
Ь(х — 6) = а(х—а),
x — a-i-b.
Легко видеть, что это значение х является также и корнем исходного
уравнения.
10. Умножая числитель и знаменатель на Уа-^-х-\- Уа—х, получим:
(Уа-{-х-f- У а—х)г= 2х У 6.
Отсюда
У о2—х2=х УЪ—а.	*

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 167
Возведя обе части этого равенства в квадрат, найдем два корня:
о ЧлУ1>
*=°- * = Т+F-
Но первое из этих значений не является корнем нашего исходного урав¬
нения, второе же будет корнем его при условии, если
6^1.
В самом деле, имеем:
, 2а /б	Г(1 + /~6)г	з/~1+/б
Г°+*-у « +	Ц^=у.-±_,
,Г  -.А	2а\Г~Ь	(У~ь—	1)г
Va-x=y a—rfF=\ray 1+ — =
= V"a-^C=== (если /б—1>:0).
/1+6	-
Подставляя вместо /а+х и /а—х полученные значения в исходное
уравнение, убеждаемся в справедливости нашего утверждения.
11. Складывая все данные уравнения, найдем:
a-f- 6 + c + d
x + i/ + 2 + i> =	з •
Следовательно:
/	,	, ,	ч	а	+	6-j-c	+	d	6-f-c+d—2а
v = (x+y+z + v)—(x+y+z) = g	а= g •
Аналогично получим:
a-f-c + d—26 _ a + b+d—2с#	a-f-6+с—2d
2	g	;	{/—	-g	J	X—	g
12. Складывая все четыре уравнения, получим!
4х, = 2а, + 2а, + 2а, + 2а4,
.. а1 + а, + а3 + а1
*i-	з	'
Если же умножить последние два уравнения на —1, а затем сложить все
четыре уравнения, то найдем:
g, + qa—а3—а4
2 2
Совершенно так же получим:
а,—а, + а3—а4
*»“ 2 ’
а,— а,—а,+а,
ч
4 2
13.	Положим: x + i/ + 2 + o=s. Тогда система перепишется следующим
образом:
ах + т (s—x) = k,
ЬуЛ-т (s—{/) = /,
C2+m (s—z)=p,
do+/n(s—v)=q,

168
РЕШЕНИЯ
так что
ms + x[a—m) = k; ms + y(b—m) — l; ms + z(c—m) = p;
ms + v (d—m) = q.
Отсюда получаем!
II
с
1
3
1
	5,
а—т
1
т
Ь—т
L. ‘'I
о —т
_ Р
т
с—т
с—т
Я
т
d—т
d—т
(*)
Складывая почленно эти равенства, найдем:
k
«=	+тг^+-Е-+ц1	msf-L-+*+-!_.ч- ' ) .
а—т b—т с—т d—т	\а—т	Ь—т	с—т	d—т/
Следовательно:
. Г,+т f_L_+ 1 +_L+ 1	.
\в—т	Ь — т	с—т d—т) J	а—т	b—т	с—т	d—т
Отсюда находим s, а затем из равенств (*) получаем и искомые значения
неизвестных х, у, г и V.
14. Положим общую величину отношений равною Я. Тогда имеем:
*1	Х% Ag	Xp^Qp	^
ml	~ /пг	mp
Отсюда
х1=а1+т1Я,
хг=ах+т!Х,
Хр=ар + трк.
Подставляя в последнее из данных уравнений, получим;
*l + *2+ • • • +Л77==а = (а1 + а2+ — +ар)+^ (т\ +тг+ • • • +тр)-
Следовательно:
_ о—а,—оа — ...—Ар
~ mi+mt+... +тр ’
а затем легко получаем и значения:
*„ хг хр.
15. Если положить:
1 . 1 . 1 . 1

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 169
то решение этой системы приведется к решению системы задачи 11. Поль¬
зуясь результатом этой последней задачи, легко получаем:
3	3
a-f-6-f-c—2d' У а + 6+d—2с’
3	3
a + c + d—2b’ и b+c+d-2a’
16.	Разделим первое уравнение на ab, второе на ас и третье на Ьс
(предполагая abc Ф 0); получим:
У-л. — = —
b a ab’
х г _ b
а с ас’
-л-У-=—
с * Ъ Ьс ’
Складывая все эти уравнения почленно, найдем:
f , 1,1 L(\
abc 2 \в6 ас Ьс) ‘
Отсюда
z
с
Следовательно:
г а2 + 62—с*
т. е.
2 =
и, далее, аналогично:
х =
2abc '
а*-\-Ьг—сг
2ab
аг+с2—62
2ас	'
62+с2—а2
2Ьс
17.	Прежде всего, имеем очевидное решение: х = у = г = 0. Будем теперь
искать решения, отличные от нуля, т. е. такие, где х, у, г нулю не равны.
Разделим первое из наших уравнений на уг, второе на гх и третье на ху.
Получим:
- + -=2d.
2 У
- + - = 2d',
х ' г
Отсюда
—+— =2d".
У х
— +— +-=d+d’ +d\
х ' у г

170	РЕШЕНИЯ
Поэтому
— = d'+d" —d; —=d + d"—d'; — = d+d’—d".
x	У	г
Окончательно:
Х J' I J" а * V "
d’ + d" — d' * d + d"—d” d + d'—d”
18. Перепишем систему следующим способом:
ay-\-bx_ 1 _ az + cx_ 1 _ bz + «/_ 1
ху ~ с '	хг Ь ’	уг а
Отсюда
а Ь  1	а	с    1	6	|	с   1
х ^ у ~	с	’	х	г ~ Ь	’	у	г	а
Следовательно (см. предыдущую задачу):
2а2Ьс	2аЬ2с	2аЬсг
х —	-	■	-	*	и —' I	•	2	—		 .	.	t
ас + аб—Ьс’ * Ьс + аЬ—ас ’ бс + ас—ab
19. Очевидное решение будет: х=у = г — 0. Теперь разделим обе части
каждого из уравнений нашей системы на хуг. Получаем:
±+±_±=±.
хг	ху	уг	а2’
1,±_!=±.
ху	уг	хг	Ь2 ’
± + ±_1 = ±.
уг	хг	ху	с2
Складывая попарно, найдем:
_2__L , J_.	±.	ji	= ±._L
ху~ аг 62’ уг~ 62 с2 ’ хг а2 с2'
Следовательно,
2а!Ьг	2	Ь2с2	2а2с2	...
+	^-fc2 + cs; *2~а2 + с2,	()
Перемножая эти равенства, получим:
222	8а4Ь4с4
хуг ~ (а2+62)(Ь2+с2)(а2+с2) *
Отсюда
2 V2 a W
V (а2 + 62)(Ь2+с2)(а2+с2)
Пользуясь равенством
2а262
ХУ--
а2 + 62
находим для г два значения, отличающиеся друг от друга только знаками.
По данному значению г из равенств (*) находим соответствующие значе¬
ния у их. Таким образом, получаем две системы значений х, у иг, удо¬
влетворяющих нашему уравнению.

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 171
20. Складывая почленно все три уравнения, найдем:
(* + г/ + г) (а + 6+с) = 0.
Следовательно:
х +у + г = 0,
откуда
  а—b _		 а—с _		 b—а
Х a + 6+c’ У a + 6+c’	2 a + 6+c'
21. Складывая почленно все три уравнения, получим:
(fc +с) х + (с + а) г/+(а +6) г = 2а3 + 26* + 2с3.
Пользуясь последовательно данными уравнения, найдем:
2(fc+c)jc = 2fc, + 2c,1
2 (с + а) у = 2а3 + 2с’,
2 (a + fc) z = 2as + 26’,
откуда
х = Ьг — 6с + сг; У — <1г—ас + сг; z = a*—а6+Ьг.
22. Рассмотрим следующее равенство:
х , у , z	(6—Я.) (6—р) (9—у)
a+e ‘r6+e'rc+e	(e+a)(e+fc)(e+c) •
Если преобразовать это равенство, приведя к общему знаменателю его
члены и отбросив этот общий знаменатель, то мы получим равенство нулю
некоторого многочлена второй степени относительно 0 с коэффициентами,
зависящими от х, у, г, X, р, v, а, Ь, с. Если вместо 0 мы подставим
в наше исходное выражение последовательно X, р и v, то в силу данных
уравнений это выражение (а следовательно, и образующийся из него мно¬
гочлен второй степени) обратится в нуль. Но если многочлен второ й
степени обращается в нуль при трех различных значениях перемен¬
ной, то он равен нулю тождественно (см. § 2, начало) и, следовательно,
равенство:
х у г	(0—(0—р) (0—у)
0+0	6+0	c-f-0	(0 + о)(0 + 6) (0+с)
(в силу существования данных трех уравнений) является тождественным
относительно 0, т. е. справедливо при любых значениях 0.
Умножим обе части этого равенства на а+0, а затем положим 0=—а.
Тогда найдем:
(а +Я.) (а + р) (o+v)
Х	(а	—	Ь)	(а—с)
Аналогично получим:
(fr+k) (6+P)(6+v).
(Ь—с)(Ь—а)
(с+?0 (с + р)(с + у)
2	(с—а) (с—Ь)
Конечно, мы предполагаем при этом, что данные величины X, р, v,
а равным образом a, b и с не равны между собою.
23.	Данные уравнения показывают, что многочлен:
as + xa* + t/a+z

172	РЕШЕНИЯ
обращается в нуль при трех различных значениях а, а именно при а=а,
при а = Ь и при а=с (мы предполагаем а, b и с не равными между собой).
Составим разность:
а’+ха*+{/а-(-г—(а—а) (а—Ь) (а—с).
Эта разность обращается также в нуль при а равном а, Ь, с. Если развер¬
нуть это выражение по степеням а, то получим:
(jc-f a-\-b +с) аг+({/—ab—ас—Ьс) а + г+аЬс.
Этот трехчлен второй степени относительно а обращается в нуль при
трех различных значениях а, а потому он равен нулю тождественно
и. следовательно, все его коэффициенты равны нулю, т. е.
x + a-f6-fc = 0, у—ab—ас—Ьс— 0, z-|-a6c=0.
Отсюда
*= — (a+6+c),
y = ab + ас + Ьс,
2= —abc
являются решением нашей системы.
24. Совершенно аналогично найдем:
I = —(a + 6+c + d),
к=ab -f- ас + ad + be+Ьй + cd,
у= —(abc-\-abd + acd -f bed),
г=abed.
25. Умножим первое из уравнений на г, второе на р, третье иа q
Н четвертое на 1 и сложим. Тогда получим:
(а* + a*q+ар+г) к + (b3 + Ьгд + Ьр + г) у +
+ (cl + ciq + cp + r)z + (d3 + d!!q-\-dp + r)u—mr + np-{-kq-{-l.
Подберем величины г, р и q так, чтобы имели место равенства:
Ьг -f b*q -f- bp + г = О,
с* + c*q + ер -f г = О,
d3 + d3q -f dp + г = 0.
Отсюда получаем (см. задачу 23):
q= — (6+c-f-d),
p = bc+bd-\-ed,
r— — bed,
И, следовательно:
N	N
х =	- —	■
as-\-a3q + ap + r (a — b)(a—c)(a — d)’
где
N=—mbcd + n(bc + bd + cd)—k(b + c + d) + l.
Что касается равенства
a3-\-asq + ap + r = (a—b) (а—с) (a—d),
ТО оно легко следует из тождества:
a’+qa*+pa -J-г = (а— Ь) (а—с) (a —d).

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Для нахождения переменной у подбираем q, р и г так, чтобы имели
равенства:
о* + a2q + ар +г = О,
с’+с'р+ср + г = 0,
d3 + d*q + dp + r = 0
и аналогично для остальных переменных.
26. Положим
*l+*2+---+*„ = S.
Складывая почленно наши уравнения, получим
s + 2s + 3s+... + /is = a,+a2+... + а„.
Но
1 +2+3 + ... + п = п(п+ ^ (арифметическая прогрессия).
Поэтому
2
s = n^^1^(a1-fai+...+an) = 4 (для краткости).
Вычитая теперь из первого уравнения второе, найдем:
*i+*2+*j + --- + *„—n*,=at—в,.
Отсюда
шг, = А+а2—а,
и
.. ___А+а2—а,
л* —	■	.
1	п
Вычитая из второго уравнения третье, получим:
_А+аг—аг
*г~ п
и т. д.
27. Положим:
*1 + хг + — + хп = S.
Тогда имеем:
■—ч + 2х, = 2a;	—s + 4хг=4о;
—s + 8x, = 8a; ...; —s+2пхп=2"a.
Отсюда
•••; *»=о+^.
Складывая эти равенства, получим:
s=na + s	"^2")*
Но
1 + 1+ +1 = 1_1
2 * 4	2”	2”"
Поэтому
s — 2"па.
173
место

174	РЕШЕНИЯ
Следовательно:
jc, = a + -|- = a-f 2"-1 па = а (1 +п-2"-,)1
х* = а + -|- = а + 2п-гпа = а (1+п2л-г) и т. д.
28. Пусть
*.+*г + *з+.- • +JC„ = S=1.
Тогда:
s—jc2 = 2; s—х, = 3;	s—xn_l = n— 1;	s—хп = rl.
Следовательно (так как S--1):
хг= — 1;	х,=	—	2;	...;	*„= — (n— 1).
Отсюда
*2 + -*s+ • • ■ +*н= —[(1 + 2 + ... + (п —1)1 =	"	•
Наконец:
х, = 1 — (х2 -f- хг + ... + хп) = 1 +	2	'	•
29. Допустим, что уравнения совместны, т. е. существует такое значе¬
ние х, которое удовлетворяет как первому, так и второму из уравнений.
Подставляя это значение х в наши уравнения, получим следующие тожде¬
ственные равенства:
ах + Ь—О; а'х-\-Ь'= 0.
Умножим первое из этих равенств на 6', а второе на 6. Вычитая получен¬
ные равенства почленно, найдем:
(ab’—a'b)x = 0.
Если общее решение х отлично от нуля, тогда действительно из послед¬
него равенства следует:
ab'—а'6 = 0.
Если же общее решение равно нулю, то из исходных уравнений будет
следовать:
6 = 6'= 0,
а потому и в этом случае
об'—а'6 = 0.
Итак, в обоих случаях, если данные два уравнения имеют общее реше¬
ние, то
ab'—а'6 = 0.
Обратно легко видеть, что при выполнении условия:
ab'—а’Ь—0
оба данных уравнения имеют общий корень (коэффициенты уравнений про¬
порциональны) и, следовательно, уравнения совместны.
30. Для того чтобы доказать, что данные системы эквивалентны, надо
доказать, что каждое решение одной из систем является одновременно ре¬
шением другой системы. Действительно, легко видеть, что каждое решение
первой системы является одновременно решением и второй системы. Остается

§■ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 175
только доказать, что каждое решение второй системы будет и решением
первой системы. Допустим, что пара чисел х и у является решением второй
системы, т. е. мы имеем тождественно:
Л+/Т=о,
т£ + т'Б'=0,
где
Ъ = ах + Ьу + с, £' ^а'х+Ь'у + с'.
Умножая первое из этих равенств на /и', а второе на V и вычитая их
почленно, найдем:
= 0.
Совершенно так же, умножая первое из равенств на т, а второе на / и вы¬
читая, получим:
(lm'=0.
Но так как по условию:
Im'—ml'
то из последних двух равенств следует:
1=0
и
Г=о.
т. е.
ах + Ьу+с = 0
и
а'х + Ь'у+с' = 0.
Итак, пара чисел х и у, являющаяся решением системы второй, одновре¬
менно является и решением системы первой.
31. Умножим первое уравнение на 6', а второе на Ь и произведем по¬
членное вычитание. Найдем:
(ab' — a'b)x-\-cb'—cfb =0.
Аналогично получим:
(ab' —а'Ь) у + с'а — а'с = 0.
Эти два уравнения эквивалентны исходным. Легко видеть, что если ab' —
—а'ЬФ0, то существует одна и только одна пара значений х и у, удовле¬
творяющих последним двум равенствам, а следовательно, и исходной системе
уравнений.
32. Умножая первое из равенств на 6', а второе на Ь и вычитая, найдем:
(аЬ' —а’Ь)х = 0.
Так как по условию ab’—а’ЬфО, то отсюда следует: x=0. Совершенно так
же докажем, что у = 0.
33. Из первых двух уравнений получим:
с'Ь—cb'	а'с—с'а
Х~аЬ'-а’ЬХ У~аЪ'—а'Ь '
Если три уравнения совместны, то пара чисел х и у, являющаяся решением
системы, составленной из первых двух уравнений, должна являться реше¬
нием и третьего уравнения. Поэтому при совместности трех данных урав¬
нений должна существовать зависимость:
nc'b — cb' . ,„а'с—с'а

176	РЕШЕНИЯ
нли
а' (с'Ь — сЬ') + Ь" (а'с—с’а) + с" (ab' — а'Ь) = 0.	(*)
Обратно, существование этой зависимости утверждает, что решение,
удовлетворяющее первым двум уравнениям, удовлетворяет и третьему. Эту
зависимость можно переписать следующими способами:
а' 1сЬ"—сГЬ) + Ь' (ac‘—ca") + c'(ba"—b"a) = 0,
а (c"b’—dЬ") + Ь (aV—cV) + с (Ь"а' —аЬ’) = 0.
Отсюда видно, что решение каждой пары из трех уравнений обязательно
является решением третьего уравнения, т. е. при соблюдении условия (*)
наша система совместна.
34. Вычитая из первого равенства сначала второе, а затем третье,
найдем:
(a— b) у + (аг— fc*) z=0,
(а—с)у + (аг—с»)г = 0.
Так как а—Ьф0 и а—сф0, то имеем отсюда:
p + (a + b)z = 0,
у + (а-\-с) г = 0.
Вычитая эти два равенства почленно, имеем;
(Ь—с) z=0.
Но	по	условию	b—сфО. Поэтому г=0. Подставляй же	значение	г = 0 в одно
нз последних	двух	уравнений, найдем у—0. Наконец,	при	помощи	одного
из исходных уравнений получим:
х=0.
35. Умножим первое из равенств на В,, а второе на В и вычтем их
почленно. Получим:
(АВ, — Л1В)х + (СВ1— C,B)z = 0.	(1)
Аналогично найдем:
(АС, — Afi)x+(BC, — BtC)y=0.	(21
Допустим теперь, что ни одно из выражений:
АВ,—А,В, СВ,—С,В, АС,—А,С
не равно нулю. Тогда из наших равенств получаем:
х	г
С^В^СВ~ ABt—AtB
[деля обе части первого равенства на произведение;
(АВ, — А,В) (С,В— СВ,)]
и
х _ У
С1В—СВ1 СА,—АС, ‘
Таким образом, в этом случае действительно имеет место искомая про¬
порция.
Пусть теперь одно и только одно из выражений;
АВ,—А,В, СВ,—С,В, АС, —А,С
обращается в нуль. Положим, например, СВ,—С,В=0. Тогда из равенств
(1) и (2) получаем: х=0. Предположим, далее, что два из рассматриваемых
выражений, например. С,В —СВ, и СА,— АС,, равны нулю, а третье, т. е.
АВ,—А,В, нулю не равно. Тогда найдем: х=у=0. И в этих случаях будет

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 177
иметь место наша пропорция, или, вернее, три равенства:
х = Х(С,В—СВ,),
у=Х (СА,—АС,),
г = к(АВ, — А,В).
Таким образом, два данных уравнения в этих случаях определяют пере¬
менные х, у и г „с точностью до общего множителя пропорциональности".
Если же все три величины:
АВ,—А,В, СВ,—С,В и АС,—А,С
равны нулю, то имеет место пропорция:
А_=В_ = £_
Л,~ В~ С, '
В этом случае система двух уравнений обращается в одно и относительно
величины переменных х, у и z, удовлетворяющих этому уравнению, нельзя
заключить ничего определенного.
36. Из первых двух уравнений (см. предыдущую задачу) получим:
хуг
ас—Ьг Ьс—аг ab—с*'
Отсюда
х=К(ас—Ьг),
у=Х (Ьс—а2),
г = К(аЬ—с2).
Подставляя в третье уравнение, найдем:
b (ас—Ьг) + а (be—az)+c(ab—с*) = 0,
или
a* + b* +С2—За6с = 0.
37. Перемножив первые два уравнения, получим:
хг z2 	у2
о2-с2-	б2-
Тот же результат мы получим, если перемножим третье и четвертое урав¬
нения.
Это показывает, что если имеют место любые три из данных уравнений,
то имеет место и четвертое уравнение, т. е. система совместна.
Для определения значений х, у иг. удовлетворяющих данной системе,
поступим так. Приравнивая правые части первого и третьего уравнений,
найдем:
ьно у,
у=ь\
Решая это уравнение относительно у, имеем:
ц—X
Р + Л'
Подставляя значения у в первые два уравнения, получим:
х г   2А,р

178	РЕШЕНИЯ
Отсюда
Яи -j- 1	^[1—1
х = а ,	г	—с ,	.
|l -j- A	J.I	4-	А
38. Перепишем систему следующим образом:
а(х + ру)+Ь(х + qy) = ap2-\-bq2,
ар (x + py) + bq (x + qy) = ap, + bq,l
apk~l (x-\-py)-\-bqk~' (x-\-qy) = apk+l bqk+'.
Теперь видно, что система эквивалентна следующим двум уравнениям:
x + py = pl; x + qy=q\
и, следовательно, система совместна.
39. Имеем:
Ху — a j х,,
*з = а2 —хг = а* — а, + .V,,
= а,—х, = а3 — а, + а, — хи
*н = ая-1~ал-2 + ••• ±аг-Ра1±*1-
Следует отметить, что в последнем равенстве верхние знаки будут в том
случае, когда п нечетное, а нижние знаки тогда, когда п четное.
Рассмотрим эти два случая в отдельности.
1° Пусть п нечетное. Тогда:
ХП = ап- 1 ая-3+ • • • +°2 а1 +•*!•
С другой стороны:
xn + xi = an-
Из этих двух равенств получаем:
а„—ап-1+ап-г——Яг+а1
х 1 —
и, следовательно:
*2 =
*» =
2
—ая + ап-1 — • •
а3 + а2
2
9
а2—ai + ая — • • • '
	+ °Э
2° Пусть теперь п четное. Тогда:
хп ~ ^Я— 1 ап— 2 "Р • • • ^2 "Р®1 ^1*
С другой стороны:
хп=ап—де,.
Следовательно, для совместности данной системы уравнений должно быть
выполнено равенство:
ан-1—ан-2+ •••— а2 + а, = а„,
т. е.
ан + ан-2+ • • • +а2 = ая-1 + ан-3+ • ■ • +°1
(сумма коэффициентов с четными значками должна равняться сумме коэф¬
фициентов с нечетными значками). Легко видеть, что в этом случае система
будет неопределенна, т. е. будет допускать бесчисленное множество решений,

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 179
именно:
х, = к,
хг — а,— к,
х, — аг—а, -f- к,
л*4—о,-	a.j	к,
хп~ап-1 an-t + •.. +Qj — Ог + а1 —
где к—произвольная величина.
40.	Из первых двух уравнений найдем:
Ь2 с2
b — d	с—d	с—d	а — d	а—d	b—d
Подставляя в третье уравнение, имеем:
(а /	Ьг	(	°г	о* \
\а—d\6—d с — d) b—d \c — d a—d)
+^d (^d-F^d)}==d (a-fc) (b~c) (c~a)-
После преобразований получим:
a f b* c2 \ , b t & a2 \
a—d\b— d с—d) 1 b—d \c—d a—dJ
 с (	a?	b* \	d (a—b)	(b—c) (a—c)
с—d\a—d b — d)	(a—d) (b — d) (c—d)
Поэтому
k = —(a— d)(b —d) (c— d),
и, следовательно:
x = (a—d) (b — c)(db-\-dc—be),
y=(b—d) (с—a) (dc + da—ac),
z = (c—d) (a—b) (ad + db—ab).
41.	Решая два последних уравнения относительно х к у, найдем:
(с—т) (п—а)
х+п =
У+Ь
г + с
(b — I) (т—с)
z+m
Отсюда
(с—т)(п—а)	.	.	z + m
* + а= '-(п-а) = (а-п) —
Аналогично:
z + c
У+1 = (1-Ъ)
г+т ‘
Подставляя найденные значения jс + а и {/ + / в первое уравнение, получаем,
что оно есть следствие двух последних. Таким образом, система неопреде-

180
РЕШЕНИЯ
ленна и все решения ее заключаются в формулах:
.. (с—т) (п.—а)	.
г+с	П*
(Ь—Г) (т—с)
У =  Ь'
при произвольном Z.
42. Из второго и третьего уравнения имеем:
(1 — k)x + ky= — [(1+ *.)*+(12—k) у];
отсюда с учетом первого уравнения (5—к)у=0 и либо k = 5, либо г/ = 0
(отсюда х = 0), что дает (подстановкой во второе уравнение) k= — 1.
43. Имеем:
sin 2а = 2 sin a cos а,
sin За = sin а (4 cos2 а— 1),
sin 4а = 4 sin а (2 cos’ а — cos а).
Поэтому первое из уравнений нашей системы перепишется следующим
образом:
х + 2у cos а + z (4 cos* а — 1) = 4 (2 cos’ а—cos а).
Остальные два аналогичны. Расположим это уравнение по степеням cos а.
Имеем:
8 cos’ а—4z cos2 а—(2г/ + 4) cosa + z—je=0.
Полагая cos a = t и деля обе части на 8, получаем:
(*>
Наша система уравнений равносильна утверждению, что уравнение (*) имеет
три корня: t = cos a, i = cos b и t = cos с. Отсюда следует (см. задачу 23):
z
-у- = cos а + cos b + cos с;
у I - 2
 —(cos a cos 6 + cos a cos c+cos b cos c);
4
X—z
= cos a cos b cos c.
8
Поэтому решения нашей системы будут:
jc = 2 (cos a + cos b + cos c) + 8 cos a cos b cos e,
у = — 2—4 (cos a cos b + cos a cos с + cos b cos c),
z = 2 (cos a + cos b + cos c).
44.	Положим:
a be.
sin A sin В sin С
Так как A + B + C = n, то
sin A — sin (В + C) = sin В cos С + cos В sln C.
Но из данной нам пропорции имеем:

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 181
Подставляя в последнее равенство, найдем:
а = b cos С + с cos В.
Остальные равенства получаются аналогично.
45.	Из первых двух данных равенств выражаем а и Ь через с и триго¬
нометрические функции. Получаем:
. с (cos А + cos В cos С)
sins С
(1)
с (cos В -f cos A cos С)
siiTC	•	(2)
Подставляя в третье равенство и произведя необходимые преобразования,
найдем:
1—cos2 А — cos2 В—cos2 С—2 cos A cos В cos С = 0.
Докажем теперь, что
А + В + С = п.
Преобразуем полученное нами равенство следующим образом:
cos2 А+2 cos A cos В cos С = 1 — cos2 В—cos2 С—cos2 В cos2 С + cos2 В cos2 С,
cos2 А + 2 cos A cos В cos С + cos2 В cos2C = 1 — cos2 В — cos2 С (1 —cos2 В),
(cos А + cos В cos С)2 = sin2 A sin2 С.
Но, так как ранее было получено (1), что
. ,	_	„ b sin2 С
cos А + cos В cos С =	>0,
С
то
cos А + cos В cos С = sin A sin С,
cos А = sin A sin С—cos В cos С = — cos (В + С),
/о > о А+В + С А—В—С „
cos А + cos (В + С) = 2 cos —— cos ^		 0.
Отсюда следует, что либо
-+2+С = (2/+1)Т’
либо
где I и V—целые числа. Покажем сначала, что предположение второе
невозможно. В этом случае мы имели бы:
А—В—С = (2/'+1)я,
В —А — С—(2/' + 1)я,
cos В = cos (А—С—я)= — cos (А —С) = —cos A cos С—sin A sin С.
Следовательно:
cos В + cos A cos С = —sin A sin С < 0,
что невозможно, так как прежде мы получили (2):
„ I ,	^ G Sin2 С .
cos В + cos A cos С=	>	0.

182
РЕШЕНИЯ
Итак, остается только случай
Л + В + С = (21 + 1)я.
Но в силу существующих для А, В и С неравенств, имеем:
О < 21 +1 <3,
т. е.
21 + 1 = 1
и
А + В + С = п.
Остается только доказать, что
abc
sin A sin В sin С *
Мы показали, что
cos А + cos В cos С = sin В sin С.
С другой стороны:
cos В + cos A cos С = cos (я—А —С) + cos A cos С =
= — ccs (А + С) + cos A cos С — sin A sin С.
Пользуясь этим равенством, а также равенствами (1) и (2), легко получаем
искомую пропорцию.
46. Покажем сначала, что из уравнений (1) следуют уравнения (2).
Умножим первое из уравнений (1) на а, второе на 6 и третье на—с и затем
сложим их почленно. Тогда получаем:
а2 + 6s—сг — 2аЬ cos С,
т. е. третье из уравнений (2). Аналогично получим и остальные два из
уравнений (2).
Чтобы получить уравнения (1) нз уравнений (2), сложим первые два
нз уравнений (2). После приведения подобных членов найдем:
2с2—2be cos А —2ас cos В = 0.
Отсюда
с= b cos А +я cos В,
Т. е. получаем третье из уравнений (1). Остальные получаем аналогично.
47. Из первого равенства получаем:
, cos а — cos b cos с
cos А =	:—т—.	.
sin b sine
Отсюда
...	.	,	.	sill*	b	sin2	с—(cos а—cos b cos с)г
sinM = l — cos* А —	   -	'	—
sin2 b sin2 с
(1 —cos2 b) (1 —cos2 c)—(cos a—cos b cos c)2
—	sin2 b sin2 с	~
_	1 — cos2 a—cos2 b —cos2 c + 2 cos a cos b cos с
sin2 b sin2 с
Следовательно:
sin2 A 1—cos2	a—cos2 b —cos2 c+2 cos	a cos	b cos с
sin2 a	sin2 a sin2 b sin2 с
Так как данные формулы переходят одна в другую путем круговой
перестановки букв а, Ь, с, А, В, С н от этого преобразования правая часть

182
РЕШЕНИЯ
Итак, остается только случай
Л + В + С = (2/ +1) я.
Но в силу существующих для А, В и С неравенств, имеем:
О <21 + 1<3,
т. е.
2/ + l = i
и
Д + В + С = я.
Остается только доказать, что
abc
sin A sin В sin С '
Мы показали, что
cos А + cos В cos С = sin В sin С.
С другой стороны:
cos В + cos A cos С = cos (я—А —С) + cos A cos С =
= — ccs {А + С) + cos A cos С — sin A sin С.
Пользуясь этим равенством, а также равенствами (1) и (2), легко получаем
искомую пропорцию.
46. Покажем сначала, что из уравнений (1) следуют уравнения (2).
Умножим первое из уравнений (1) на а, второе на b и третье на—с и затем
сложим их почленно. Тогда получаем:
а2 + fc2—c1 — 2ab cos С,
т. е. третье из уравнений (2). Аналогично получим и остальные два из
уравнений (2).
Чтобы получить уравнения (1) нз уравнений (2), сложим первые два
из уравнений (2). После приведения подобных членов найдем:
2с2—2fcc cos А —2ас cos В = 0.
Отсюда
c=b cos А + а cos В,
Т. е. получаем третье из уравнений (1). Остальные получаем аналогично.
47. Из первого равенства получаем:
cos а — cos b cos с
COS А =	:—Г—:	.
sin b sin с
Отсюда
...	.	,	.	sin2	b	sin2	с—(cos а—cos 6 cos с)2
SiiiM = I— cos2A =	 5	 --	'	—
sin2 b sin2 с
(1 —cos2	b)	(1 —cos2 c)—(cos a—cos	b	cos	c)2_
—	sin2 b sin2 с	~
 1 — cos2 a—cos2 b —cos2 c + 2 cos a cos b cos с
sin2 b sin2 с
Следовательно:
sin2 A	1 — cos8	a—cos2 b — cos2 c+2 cos	a	cos	b cos с
sin2 a	sin2 a sin2 b sin2 с
Так как данные формулы переходят одна в другую путем круговой
перестановки букв а, Ь, с. А, В, С н от этого преобразования правая часть

184	РЕШЕНИЯ
Отсюда
sm
^=V'—
+ b—с . а+с—b
-Ч? sin—Цг
2	sin	b	sin	с
,/sin“
+ fc+c . b + c—а
cos -^-=
^	1^/	sin	—— sin
2	sin	b	sin с
.	- В	В	.	С
Аналогичные выражения получаются для siny, cos у и sin *2“,
Cosу-. Вычислим теперь sin--~j^^ . Имеем:
, А + В , А В , А г В
Sin—2— = s ~2 C0S ~2~ cos ~Y sin“2~ =
Г . a + b+с . а+Ь—с/. а + с—Ь	. Ь + с—а\
У 8ш 2 Sln ~ (sm 2  sm ~ )
siii a sin b	V	sin	с	sin с /
а—Ь
с cos —
= cos
2	с
cos "2
Итак, мы получили формулу:
sin
а — Ь
cos " £
2
Аналогично найдем:
Так как е=А+В+С—я, то
Поэтому
и, следовательно:
11 2
	cos
с
cosy
А + В
a + ft
cos
J 2
С
cosy
то
А + В
я С —е
2
2 2 •
. А + В
sin 2
С—е
-cos 2
С—е
cos 2
a—6
cos 2
С ~ с
cos у cos у

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 185
Отсюда
С—в С а—b с
cos—2	cos ~2	cos—2	cos "2
С—в .	С	а	—	Ь	.	с
cos
и, следовательно:
cos —^—Ь cos ~2	cos	—2—Ь cos' 2
, в . (С в\ , р — ft р—а
tgTtg(T-4 J = tg —‘В — -
Пользуясь же формулой:
а + Ь
А + В C0S “Г- . С
C0S 2 ~ r~smT*
cosT
найдем совершенно аналогично предыдущему:
(о
.в,/С в \	,	р , р—с
tg4-ctg(-2-T) = tg-2 tgV'
!енства (1) и (2) почленно и извлек:
получаем:
*	1	т/.	Р.	р	—	а.	р—ft. р—с
V teYte^rtsV-tgV-
f2)
Перемножая равенства (1) и (2) почленно и извлекая корень квадрат¬
ный, действительно, получаем:
49.	Имеем:
a [tg(x+y)—tg (*+ P)l + * [tg (*+а) — tg (-»:+Y)1 +
+ с [tg (х + Р)— tg (х + а)] = 0.
Отсюда
a sin (у— Р) . b sin (а—у)	с	sin	(Р—а)
cos (х+р) cos (х + у) cos (х + а) cos (х+у) cos (х + р) cos (х + а)	'
a sin (у—Р) cos (х + а) + b sin (а —у) cos (х + Р) + с sin (Р—а) cos (х+у)= 0.
Наконец, находим:
, _а sin (у— Р) cos a + ft sin (а—у) cos Р + с sin (Р—а) cos у
asin(y—р) sin а+ft sin (а—у) sin р+с sin(P—a)siny *
50.	Имеем:
, х	1
cos2
Поэтому
2
COS X = 2 COS2 -п — 1 =	,
l+tg«4
2tg| l-tg2| 2tg|
sin x = tg x cos x —
i-tg2| i+tg2^- i+tg«4

186	РЕШЕНИЯ
Отсюда видно, что если tg -j- рационально, то рациональны sin* и cos*.
Покажем теперь, что если sin* и cos* рациональны, то рационален и tg ~ .
Из первого соотношения имеем:
^1 +tgs-| j cos*=l—tg2-|-.
Отсюда
2 * 1 —cos *
g 2 ~ I -f- cos * '
os * рг
второго равенства следует:
Следовательно, если cos* рационален, то рационален и tg2-^-. Но из
2tgy=sin*^l + tg2|-) .
Отсюда ясно, что при рациональности cos* н sin* рационален и tg-^- •
51. Так как sin2* + cos2* = 1, то
sin4 * + cos4 * + 2 sin2 * cos2 ж = 1,
т. е.
sin4 ж + cos4 ж = 1 —2 sin2 * cos2 ж.
Поэтому наше уравнение перепишется так:
1 — 2 sin2 * cos2 ж=а,
2 sin2 * cos2 * = 1 —а,
sin2 2* = 2(1—a); sin 2* =±1^2(1—а).
Для вещественности решений необходимо и достаточно, чтобы было
1
52. 1° Преобразуем левую часть уравнения. Получаем:
sin * + sin 3* -f- sin 2* = 2 sin 2* cos *+sin 2* = sin 2* (1 + 2 cos *) = 0.
Отсюда
1) sin2*=0;	2)cos*=—^	•
2° В данном случае преобразование левой части дает:
cos пх -f cos (п—2) *—cos * = 2 cos (п — 1) * cos *—cos *=
= cos *[2 cos (я — 1)*—11 = 0,
т. e. либо cos ж = 0, либо cos (n — 1)ж = -2-.
53. 1° Имеем:
т (sina cos *—cosa sin*)—п (sin b cos*—cos b sin *)=0,
(n cos b—m cosa) sin*—(n sin b—m sin a) cos*=0,
,	,	.	Г	n	sin	b	—m sin a 1	_
(n cos b — m cos a) cos * tg*	г	 =	0.
'	n	cos	b—/ncosa J

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
Отсюда
п sin b—т sin а
tg х=-
п cos b —т cos а
2° Имеем:
sin к cos За + cos х sin За = 3 (sin а cos х—cos а sin ж).
Отсюда
sin х (cos За + 3 cos а) — cos х (3 sin а —sin За) = 0.
Но
cos За = 4 coss а—3 cos а,
sin За=3 sin а—4 sin* а.
Поэтому уравнение принимает внд:
sin х cos’ а—cos х sin’ а = 0.
Итак:
tg* = tg* а.
54. Легко найти, что
sin 5.* = 16 sin5 х—20 sin’ х + 5 sin х.
Поэтому наше уравнение примет вид:
—20 sin’ х + 5 sin л:=0,
или
sin х (1 —4 sin’ *) =0.
Итак, имеем следующие решения:
smx:=0; sinx=±y.
55. Имеем:
2 sin х cos (а—х) = sin а + sin (2х—а).
Уравнение принимает вид:
sinх +sin (2х—а) =0,
или
0 . Зх—а х—а _
2 sin—^— cos 2	=0-
Итак, может быть
. 3к—а „	3х—а
sin—g—=0 и ■—g— = kn,
Т. е.
о ■ пи	a + 2kn
3x=a + 2kn; х = ———,
k—любое целое число.
Равным образом, имеем:
„ х—а х—а ... , я
c°s—g—=0; —2~ = (2/ +1) у;
х=а + (2/ + 1)я,
где /—любое целое число.

188	РЕШЕНИЯ
56. Имеем:
sin * sln (у—ж) = у [cos (2*—у) — cos у].
Поэтому уравнение перепишется так:
cos (2*—у)—cos у=2a,
cos (2* —y) = 2a + cos Y-
57. Имеем:
j ,	■	ч	i •	• sin (а+ж)
sln (a 4- x) 4- sm a sm ж )——- — m cos a cos x — 0.
'	1	'	cos(a+*)
Далее:
sin (a+ж) >	i	n
 7——Hcos(a+*)+sin asm ж}—m cos a cos*=0.
cos (а+ж)1	i
Отсюда
sin (a+ж) cosacosx—m cos a cos ж = cos a cos* {tg(a + x)—m} = 0.
cos(a+*)	’
Предполагая cos a Ф 0, получаем для определения ж следующие
венства:
cos*=0;	tg(a+*)	=	m.
58. Перепишем уравнение следующим образом:
cos* a+cos2 (а+ж)—2 cos a cos (а+х) = 1—cos* ж.
Отсюда
[cos a—cos (a + ж)]2—sin** = 0,
т. е.
[cos a—cos (a+ж)—sin*] [cos a—cos (a +x) + sinж] =0.
Далее:
[cos a (1—cos *) + sin * (sin a — 1)] [cos a (1 — cos ж) + sin x (sin a +1)] = 0,
sin2* j^cosa tgy+ sina—lj |cos a tg sina +1 j =0
(если sln ж Ф 0). Если йпж=0, то cos2a(l—cos ж)2=0.
Теперь легко находим следующие решения:
cosx=l; tg*-
59. Легко получить:
Поэтому
2k +1
cosx=l; tg*=ctga, т. е. х = 2кл и ж= —а-)		—я.
• о 2 tg ж
sin 2х —
Отсюда
l + tg*x*
(l-tg*)(l+T^||F) = l + tg*.
ii=li||i+Mf)l_-(l + tg*) = 0,
J^|i.{l-tg**-l-tg2*}=0,
tg*x(l +tgx)_n
1 + tg2* “ *
Для определения ж имеем: tgж=0, tgж=—1.

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 189
60. Имеем!
tg4+tgB=SinH+gj.
cos A cos В
Поэтому
,	.	.	.	,	.	„ , . „	sin 5х . sin 5х
tg * + tg 4х + tg 2х + tg 3* =	—	 =	=
cos x cos 4x cos 2x cos 3x
Sin5x	In	о	■	.1
=-	:	f,	r	— < cos 2x cos 3x + cos x cos 1x1.
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 1	'
Ho
cos 3x = 4 cos’ x—3 cos x.
Итак, наше уравнение принимает вид:
sin 5х	[cos 2х (4 cos’х—3) + cos4x]=0.
cos 2x cos 3x cos 4x
Отсюда
sin 5x [4 cos2 2x—cos 2x—1]
=0.
cos 2x cos 3x cos 4x
Следовательно, либо sin5x = 0, т. e. 5х = Аэт, либо
4 cos2 2x — cos 2x—1=0,
т. e.
8 cos 2x = l ± 1^17.
61. Подставляя вместо x и у их выражения через X и Y в трехчлен
ax2 + 26xi/-f-ci/2,
получим:
ax2 + 26xi/ + a/2 = a (X cos 0—Y sin 0)2 +
+ 2b (X cos 0—Y sin 0) (X sin 0 + Y cos 0) + с (X sin 0 + У cos 0)*=
= (a cos2 0 + 2b cos 0 sin 0 + с sin2 0) X2 + (a sin20 —26 sin 0 cos 0 +
+ с cos2 0) K2 + (—2a cos 0 sin 0 + 2c cos 0 sin 0 + 26 cos2 0—26 sin2 0) XY.
Так как коэффициент прн XY по условию должен равняться нулю, то
для определения 0 имеем следующее уравнение:
26 (cos2 0—sin2 0)—2 (a—с) sin 0 cos 0=0.
Иначе:
26 cos 20—(a—с) sin 20=0.
Итак:
tg20 = —.
a—с
62. Легко видеть, что
х+У_ sin(20+a + P)
х у sin (a — Р)
Поэтому
^t^sin2 (a—P)+^tisin2(P—у) +^-^sin2(v—a) =
x—у	у—г r " г—x vr ’
= sin (20 -fa + P) sin (a—P) + sin (20 + P + y) sin (P —y) +
+ sin (20+y + a) sin(y—a).

190	РЕШЕНИЯ
Но
sin (20 + а + Р) sin (а — Р) = ~ { cos (20 + 2fi)—cos (20 + 2а)}.
Применяя круговую перестановку, легко проверим справедливость на¬
шего тождества.
63.	1° Положим:
sin к sin у sin г и
 	   Кш
С
Тогда имеем:
sin * = aft; sin y = bk\ sin г = eft.
С другой стороны:
sin z=sin (я—x—у) = sin (х-\-у) — sin х cos у -f cos х sin у.
Отсюда
a cos у + b cos x = с,
b cos г + с cos у = a,
с cos x + a cos г =■ b.
Решая эту систему, найдем:
62 + с2—a2
cos X =
cos у -
cos г
2 be	'
с* + а‘—Ьг
2 са
а*+Ь*—с*
2 аЬ
Прн ft=0 получаем еще решения: sin.ic = sinj/ = smz=0.
2° Примем:
^ = lMl=Ml==k
abc'
Отсюда
tg x = ak\ tg y—bk\ tg z=cft.
Складывая эти равенства почленно, получаем (см. задачу 40, § 2):
(a + 6 + c) ft = tgA: + tg »/ + tg z = tg ж tg»/ tg z.
Следовательно,
(a + b -f-c) ft—ftsaftc = 0.
Итак:
<‘=±V1W-
Отсюда имеем: либо tg x= tg y= tg z = 0, либо
„,-± /ШИШ; ,В9_± /шиш,
щ,_± /щш.

§ 4. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ 191
64. Имеем:
tg26 = tg (4+g) ~
1 — tg л: tg у *
Но по условию:
tgxtg у = а,
поэтому
tgx + tgi/ = (l — a)tg26.
Зная же произведение и сумму тангенсов, легко найти и сами тангенсы
(см. § 5, квадратные уравнения).
65.	Преобразуем наше уравнение следующим образом:
1 1
X хн—.
4* + 22*-* = 3	2	+3
2
1
4* + 1-4* = 3*_Т(1+3),
Q X
4>т=3	■	-4.
Отсюда	Г
Итак:
Следовательно:
4*-'	*-Т
6
22*-* =(1/'3)гх-а.
3
2х—3 = 0 и ж=~2 .
66. Логарифмируя обе части нашего уравнения, находим
(x + l)lgx=0.
Отсюда
х = 1.
67. Логарифмируя первое уравнение, находим
х lga + i/lg6=lgт.
Остается только решить систему:
xlga + i/lgfc = lg т,
Ж + 1/ = П.
68. Положим:
х = tr; у=а11
(в этой задаче, как и в следующих, предполагается а > 0, Ь > 0, а ф I,
Ь Ф 1 и разыскиваются положительные решения).
Тогда (на основании первого уравнения):
Ь'У = ahx.
Но
ЬУ — ах.

192	РЕШЕНИЯ
Следовательно:
йЕУ = (йУ)Е = о**.
Отсюда
*№-ч)=о.
Итак, либо х=0, либо т] = |. Но при х = 0 получаем и у = 0. Отбрасывая
это решение, рассмотрим случай т] = |.
Следовательно:
Но
Отсюда
х = Ь^ и у= aS.
xlg а=у lg b,
5 lg*
*4ga = a4g*;
£(lg b — lga) = lg
lgo ’
lg b
lgfl'
ig |e*
E-, lg“
lg 6- lgfl'
Поэтому
_Й*Л
x~b^=\b lgfc •gt’-lga/.
Так как отношение логарифмов двух чисел не зависит от выбора основа¬
ния, то в выражении:
,g м
ё lgo
lg*
ыы можем считать первые логарифмы взятыми при основании Ь. Тогда:
,g
о
* =
lg b
lga
lg b
Аналогично найдем:
rlg b\ lg6 — lg a
x = 1	1
Ig a
f\gb\lgb-lga
69.	Логарифмируя второе равенство, найдем:

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 193
Полагая это отношение равным £, получим:
f	и'
х = сг; у —Ь'.
Подставляя эти значения для х и у в первое уравнение и предполагая,
что а Ф Ь±л, найдем: |=—1. Итак:
1 1
х =
70.	Имеем:
*=а’ У = Т-
Следовательно:
х = у«,
xm=yv
Пользуясь вторым уравнением, находим:
тх
уи —уп.
1 * тХ
Отсюда следует либо у = 1, и тогда и х=\; либо —=п, т. е.
У
пУ
*=—.
т
Подставляя во второе уравнение, имеем:
У'
Итак:
-=(т)“
П
( т \ т~п
’
т
— (т)т~п
х=уу	)
§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
1.	Имеем:
2 (ft+x)(x + c)	х3 (b+c + x) + xbcx
Х (х—Ь)(х—с) ~	(х—Ь)(х—с)	'
Поэтому левая часть нашего уравнения равна:
[х3	Ь3	с*	"I
(х — Ь)(х— с) + (Ь—х)(Ь—с) +(с— х)(с — 6)J +
Г х	Ь	с I
^~ СХ Ь— &) (х—с)	—х)(Ь^-с)	(с—х) (с — 6) J
7 В. А. Кречмар

194	РЕШЕНИЯ
Но (см. задачу 8, § 2):
х*
lh v\ lh /Л (г v\ tr М ^ +С + *>
(х — 6)(х—с) (6—х) (6—с)	(с—х) (с—Ь)
 ?	+	ь	+	-	=0
(х—Ь) (х—с)	(6 —х) (6 —с) (с—х) (с—Ь)
Поэтому уравнение принимает вид:
(6 + с+х)2=(6+с)2.
Отсюда
(6 + с + х)2—(6 +с)2 = 0,
(6 + с + х—b — с) (6 + с + х+ 6 +с)=0,
и, следовательно:
х, = 0;	х2=—2(6-|-с).
2.	Перепишем наше уравнение следующим образом:
(*_а)(*_6)(*_с)(6_с) (с_а)(а_6)
(х — 6) (6—с) (о — Ь) (х
Но известно (см. задачу 9, § 2), что
—о) (с—о) (6 — с)}
а*	6*
(о —х)(а—6) (о—с) (6—х)(6—а)(Ь—с)
- + >	*
(с—х) (с—а) (с—Ь) (х—а) (х—6)(х—с)"
Поэтому уравнение наше перепишется так:
(*_0)(*_6)(*_с)(6_с) (с_0)(Л_6){i-(^-o)(^&)(;c_c)} = о,
или
(6—с) (с—а) (а — Ь) [(х—а) (х—6) (х—с)—х*] =0.
Предполагая, что а, Ь, с не равны между собою, получим:
(а + b + с) х2—(ab + ас + be) х + abc = 0,
_а6 + ас + 6с ±	(ab + ас + 6с)2—4а6с(а+6 +с)
*	2(а+6+с)	*
Для равенства корней необходимо и достаточно, чтобы
(ab + ас + 6с)2—Aabc (а + 6 + с) =0.
Отсюда
а262 + а2с2 + 62с2 — 2a!bc—2b2ac—2csab — 0,
(ab + ac—6с)2—4о26с=0,
(!+'	IV * а
V с 6	а )	Ьс
Следовательно,
(М-4-ЛЬ

или
§ 5, УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 195
Наконец:
{y^+Yi~yi) (т^+71+7^) (у=ГУ=ь~
\	~Vb)(ih~Tzb+'h)=:0'
3. Перепишем наше уравнение в такой форме:
9	I
(а—ж)2 + (х—ft)2 _д Ь'
(а—ж)2 +(ж— 6)2
Отсюда имеем:
1 1
а—ж—(а—ж)2 (ж—Ь)2 +ж— 6 =а—Ь,
или
У(а—ж) (ж—Ь) =0.
Таким образом, искомые решения будут:
х, = а; жг = Ь.
4. Имеем:
|/Ча + 6—5х + ^46 +а—5х — 3 У а + 6 —2х.
Возведя обе части равенства в квадрат и произведя необходимые преобра¬
зования, получим:
У4 а+ 6—5х • 1^46 +а—5* = 2 (a + ft—2ж).
Возведя еще раз в квадрат, найдем:
(4а + 6) (46 + а) —5х (4а + b + 46 + a) + 25ж2 =
=4 (а2 + 62 + 4х2 + 2а&—4вж—4&ж).
Отсюда
ж2—аж—6ж + а& =0,
и, следовательно:
х, = а; х2 = Ь.
Подставляя в исходное уравнение, получим:
Уb—о + 2 Уь^а—3 Уb —о=0,
2 У а—Ь + У а — Ь—3 У а—6=0.
Отсюда следует, что если а ф Ь, то уравнение имеет два корня а и b (собст¬
венно говоря, если не считать известными действия с комплексными числами,
корень будет только один).
5. Перепишем наше уравнение следующим образом:
(1+Я.) x*—(a + c + kb+kd)x + ac + hbd=0.
Составим дискриминант этого уравнения D(k). Имеем:
D (Л) = (а + с + М + М)г—4 (1 + к) (ас + к bd).

196	РЕШЕНИЯ
Преобразуя, получим:
D (I) = X1 (6 — d)*+ 2Х (ab + ad+be + dc—2bd—2ac) -f (a—c)*.
Нужно доказать, что D(K)5z 0 при любом %. Так как D (К) есть трех¬
член второй степени относительно % и D (0) = (а—с)2 > 0, то достаточно
доказать, что корни этого трехчлена мнимые. Для того же, чтобы корни
нашего трехчлена были мнимые, необходимо и достаточно, чтобы выражение
4 (аб + ad + bc+dc—2bd—2acf—4 (а —с)2 (6 — df
было меньше нуля. Имеем:
4 (ab-\-ad-\-bc-\- dc—2bd —2ас)2—4 (а—с)2 (b—d)s =
=4 (ab + ad + bc + dc—2bd—2ac—ab + cb + ad—cd) (aq-\-ad-\-
■\-bc-\-dc—2bd—2ac + a6—cb—ad + cd)= —16(6—a) (d—с) (с—6) (d—a).
Это же последнее выражение, действительно, меньше нуля в силу постав¬
ленных условий:
а < b <с <d.
6. Исходное уравнение может быть переписано следующим образом:
Зх2—2(a-(-6+c)x-{-a6-l-ac-(-6c = 0.
Докажем, что
4 (а + 6 + с)2—12 (аб + ас + be) 0.
Имеем:
4 (а + 6 + с)2 —12 (аб + ас 6с) = 4 (а2+б2+с2—ab —ас—Ьс) =
- 2 (2а2 + 262+2с2—2а6 —2ас—26с) =
= 2{ (а2—2a6 + 62)-f(a2—2ас + с2) + (62—26С+С2) } =
= 2 { (а—6)2+(а—с)2 + (6—с)2} ^ 0.
7. Допустим, что кории обоих уравнений мнимы. Тогда:
р2—4<? < 0,
Р? —4?, <0.
Следовательно:
Р*+Р1—4<7—4<7, <0,
р2+р}—2рр, <0,
(Р—Pi)2<0,
что невозможно.
8. Данное уравнение перепишем так:
(а + 6 +с) хг—2 (аб -{-ас+6с) х + ЗаЬс—0.
Докажем, что его дискриминант больше или равен нулю.
Имеем:
4(a6 + ac+6c)2—12a6c(a + 6 + c) = 2 {(ab—ac)2 -f (ab — 6c)2 +(ac —6c)2 }• >0.
9. На основании свойств квадратного уравнения имеем:
Р+<7= —Р.
pq = q.
Решаем эту систему. Из второго уравнения получаем:
<7(р—1)=0.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 197
Отсюда либо <7=0, либо р=1. Из первого находим:
если <7=0, то и р=0;
если р — 1, то q = —2.
Итак, имеем два квадратных уравнения, удовлетворяющих поставленным
требованиям:
х2=0 и х2 + х—2=0.
10. Имеем:
х2 + У2+** —ху — хг —yz — ~ (2xs + 2у2 + 2z2—2xy —2хг —2yz) =
= у { (* — у)2 + (х—г)2+ (у— г)* } ^ 0
(см. задачи 6, 8).
Одиако, можно рассуждать и иначе. Расположим наше выражение по
степеням х. Получаем:
х2—(у+г)х + у2+г2—уг.
Для того чтобы доказать, что это выражение при всех значениях х будет
больше или равно нулю, достаточно доказать (см. начало параграфа), во-пер¬
вых, что
у2+г2—ргЗгО
и, во-вторых, что
(У+ г)2—4 (у2+г2—уг) 5| 0.
Легко видеть, что имеют место следующие тождества:
y2+z2— yz=(^y—г) +|-2г.
(У+г)2—4 (у2+г2—уг) = —3 (у—г)2
и, следовательно, наше утверждение доказано.
11. Имеем:
x2+y2 + z2—^=x2+y2 + (a—x—y)2—^.
Нужно доказать, что последнее выражение при всех значениях х и у
будет больше или равно нулю. Расположим этот многочлен по степеням у.
Получаем:
У* + (х—а) у + х2— ох + у.
Остается только доказать, что при всех значениях х
х2—ах
Имеем:
а2 / а V , 1
(х—а)2—4 ( х2—ах-)-

198	РЕШЕНИЯ
что и требовалось доказать. Однако, доказательство можно провести и не¬
сколько иначе. В самом деле, требуется доказать, что
3x2+3:/2+3z2^a2,
если
ж2+у2 + zs + 2*р+2*2 + 2уг = а2.
Следовательно, достаточно доказать;
Зж2 + Зуг + Зг2 ^ ж2+у1+z2+2ху + 2хг+2 уг,
или
2жг+2у2+2г2—2ху—2хг—2уг^0.
Это же последнее неравенство нам известно (см., например, задачу 6).
12. См. предыдущую задачу.
13. На основании свойств квадратного уравнения можем написать:
а + р = — р; ар=(7.
Поэтому
s,= —р.
Так как а и р—корни уравнения:
ж2+рж+<7 = 0,
то
и8 + pa + <7 = О,
Р2+рР + <7=0.
Складывая эти два равенства почленно, найдем:
s2 + PSi + 2i7=0.
Отсюда
si=—psl—2q = pi—2q.
Умножим обе части нашего уравнения на xk. Получим:
xft+2 + pxft+I + <7*й=0.
Подставляя сюда а и р и складывая, найдем:
sft+s + Ps*+i +<7*й = 0-
Полагая здесь k=\, будем иметь:
s,= —ps2—qSl.
Далее:
s, = — Р (р2—Щ + QP=3pq—р*.
Совершенно так же найдем:
si = p3—4piq + 2q2,
ss = —Ps + 5PS<7—5р<72.
Чтобы получить s_„ положим в нашей формуле k*= — 1. Имеем:
si + Pso "Ь Qs _ i == 0.
Но
«о=2; Sj =—p.
Поэтому
9s-i=+P—2p=—p;

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 199
Аналогично получим и s_s, s_„ s_4 и s_s. Впрочем, можно поступить и так:
  1	1		ak + pft s*
* ak fjk (af5)ft qk
Откуда легко найдем все желательные для нас значения s_*.
14. Пусть
Уа + У Р = ш.
Тогда:
со4=а + 4 £/а"Р + 6 у^р+4 у^ + р.
Но
а + р = —р; ар=9.
Следовательно:
ш‘=—P + 6J/V+4 у^Г(|ЛГ+]/р).
Но
(^a+yp)2 = a+p+2 /Нр=-р+2
поэтому
(0= V — р + 6 Vq + 4 У q-Y — Р+2 У q.
15. Пусть х есть общий корень данных уравнений. Умножая первое из
равенств на А', а второе на А и вычитая их почленно, получим:
(АВ'—А'В)х + АС' — А'С =0.
Точно так же, умножая первое на В' и второе на В и вычитая, найдем:
(АВ' — А'В)х*+ВС'—В'С= 0.
Возьмем значение для х из первого полученного равенства и подставим
во второе.
Получим искомый результат.
16. Складывая все три уравнения почленно, найдем:
(x + p + z)2=as+&2+c2.
Отсюда
х + у+г=±Уа!‘+Ь2+с‘:
Следовательно:
± Уаг+Ьг+с*' У ± уга2+Ь2 + с2' ‘	±Уа2+Ь2+сг'
17.	Легко видеть, что нашу систему можно переписать следующим
образом:
(х + г) (х+у) = а,
(У + г) (у + х) = Ь,
(г + х)(г + г/) = с.
Перемножая эти уравнения н извлекая корень квадратный из обеих частей
полученного равенства, имеем:
(х + г) (х + р) (р + г)= + У abc.
Отсюда
У abc	,	±	У	abc	У	abc
У+г=±-!——\ х + г=-=-А-	;	х + у=±^-^.

200	РЕШЕНИЯ
Складывая эти равенства почленно, найдем:
г abc / 1
'г V о""1”
,	.	V~abhf	1	,	1	,	1	\
x + y+z — ±—^—( — + 7Г + — J.
Но так как
У abc
„ + 2=±__.
ТО
У~abc /11	1
*= ± ■ '
2 {ь ^ с а У
Аналогично найдем:
, /Же ( 1 . 1	1	\	.	,	УШ	(	1,1	1 \
У=±~2-[^Т-Т)' z=±-F-U+a-7-j’
причем нужно брать либо одновременно везде плюс, либо одновременно
везде минус.
18.	Положим:
у+х=у: x+z= Р; y+z=a.
Тогда уравнения наши примут вид:
у+Р=ауР,
а + у = bay,
P + a = cap.
Решив эту систему (см. § 4, задача 17), мы найдем решения и исходной
системы:
x—y=z=0
1/11	1\
Х	2	\р —6 р—с	р—а)’
1/1.1	1_\
V	2	\р—с'р—а	р—b)’
1/1 , 1	1_\
г	2	\р—a p—b	р—с)’
где
2р=а+Ь+с.
19.	Прибавим к обеим частям наших равенств по единице. Получим:
1 + У+г + уг = а + 1,
1 -j- х -f- z -|- xz — b 4" 1,
1+х + у+ху = с+1
или
(14-p)(l + z) = a4-l,
(14-х) (14-2)= 6 4-1.
(14-Р)(14-*)=с4-1.
Перемножая эти равенства, получим:
(14-*)2(14-р)*(14-г)2=(14-о) (14- Ь) (14-е)
или
(14-*) (1 -уУ) (14-2) = ± У(14-0) (14- Ь) (14-е).

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Следовательно:
,+9=±/е«щ±3;
,+2,±/(i±fUi±ii.
20. Перемножим данные уравнения. Получаем:
(хуг)г= аЬсхуг.
Прежде всего имеем очевидное решение: х=у = г— 0. Далее:
хуг = abc.
Из исходных уравнений находим:
хуг = ахг; xyz = bys, xyz — cz*.
Отсюда
ax‘=abc; byt=abc\ cz!=abc;
x!=bc; уг=ас; z*=aft.
Таким образом, мы имеем следующую систему решений:
x—Ybc,	y=Yoc,	г—Yob;
х = — Y be,	y = — Yoc,	z= Yob;
x= Y be,	y= — Yoc,	z =—Yob;
x= — Y be,	y=Yoc>	2 = — Yob.
21. Складывая первые два уравнения и вычитая третье, получим:
2х‘=(с+ b — о) хуг.
Аналогично найдем:
Выделяя решение:
имеем:
2у*—(с+а—Ь) хуг,
2г‘=(а + Ь—с) хуг.
х=у=г = 0.
2х = (с+ b—а) уг,
2у = (с-\-а — Ь) хг,
2 z = (a+ Ь—с)ху.
Далее решение аналогично решению предыдущей задачи.
22.	Система приводится к виду:
ху + хг=аг,
% уг + ух=Ь‘,
гх+zy =с*.
Складывая эти уравнения почленно, найдем:
ху+хг+уг=^ (а*+ 6г+с*).
Принимая во внимание первые три уравнения, получим:
Ь1 + с*—сг_  а*+сг—6*.	„„	а* + Ьг

202
РЕШЕНИЯ
Перемножая эти три последние равенства, имеем:
(Ь8+с8—а8)(а8+с8—68)(а8+68—с*)
(xyzy 	g	,
т. е.
„ 8
+ с*—а8) (а8 + с8—68) (а8+ 68—с*)
Теперь легко находим:
(= ± j/[a* + с8-б8) (д*+Ь‘-с*)
8(68 +с8—а8)
/(08 + 6г—с2)(68+с8—а8) .
8(а8 + с8—68)
z__l_	—ft8) (b8+c8—о8)
8 (а8+ 6г—с8)
23. Складывая и вычитая почленно данные уравнения, найдем:
хг + уг = а(х + у) + Ь (* + {/) = (о+ ft) (* + {/),
x*—y* = a(x—y)—b (х—у) = (а—Ь)(х—у).
Отсюда
(* + {/) (хг—ху + у‘—а—Ь) = 0,
(х—у)(х‘+ху + уг—а + Ь) = 0.
Таким образом, придется рассмотреть следующие системы:
1° х+у = 0, х—у = 0;
2° х + у=0, хг+ху + уг—a + ft=0;
3° х—у=0, Xs—ху + уг—a—6 = 0;
4° х8—ху + у1—а—6=0; хг + ху + у‘—0 + 6=0.
Первые три системы дают следующие решения:
1° *={/= 0;
2 °х=±У'а—6; у=Т-У~а—6;
3° х=у=± Уа + Ь.
Последняя же система приводится к следующей:
х*-\-уг—а\ ху=—6.
Решая ее, получаем:
x = -i- (е Ya—26 + т) /а + 26),
{/ = у(е >^а—2Ь-т) ]/а + 26),
где е и т) принимают значения ±1 независимо друг от друга. Таким обра¬
зом, получаются еще четыре решения.
24. Преобразуем систему к следующему виду:
(x + y—z) (х + г—у) = а,
(y + z—х)(у + х—г) = 6,
(x + z—y) (z + y—x) = c.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 203
После умножения и извлечения корня квадратного имеем:
(x+y—z)(x + z—y) (y + z—x) = ± ]fabc.
Далее:
У + г-х=±У%,
■	-	t ~Ш / ^
х+г—у=± у
, ч/'^Ь
х + у—г= ± у — -
Следовательно:
*-±( /f+ /|); j- ±(yf + /?) ■
25.	Положим:
х+у + сху •’	y+z + ayz	’ x+z+fcxz
Тогда система примет вид:
Ьу+Ср = а; са+оу = Ь; аР + Ьа = с
Поэтому
* _Y, _L=X •	X-	_Р_4_Х=Х
с b Ьс ' а с ас ' b a ab'
а	Р	у _ * а* + Ьг + с*
а	b	с ~~ 2 abc
и, следовательно:
Ьг-Ьс*—п* _ о* + с*—Ь*	о*	+	Ь*—с*
° = —i2Й—:1	Р = -2ас ;	V=—20fc- -•
Далее:
Наконец:
Аналогично находим:
х+у + сху	1 .	сху _	1	*+#_ у
х + у	у ’	х+у	у	’ сху 1—у’
1 ■ 1 _ су
х~*~у	1	—у'
1 , 1 __ ьр
X Z 1 —р*
J 1 аа
у г 1—сГ
Отсюда найдем х, у иг.
26.	Умножаем первое, второе и третье уравнения соответственно на у,
г и х. Получаем:
cx-\-ay + bz= 0.

204	РЕШЕНИЯ
Равным образом, умножая эти уравнения на 2, л и у, найдем:
Ьх+су + ог = 0.
Из этих двух уравнений (см. задачу 35, § 4) имеем:
—? у- ^-=я,
о2—	Ьс Ь2—ас	с2—ab
т. е.
х = (о2—Ьс) Я; y — (bs—ос) Я; г = (с2—оЬ) Я.
Подставляя эти значения для х, у и г в третье уравнение, найдем:
с	1
Я2=
(с2—оЬ)2— (о2— Ьс) (Ь2—ос) о2 + Ь* + с* — ЗоЬс'
Теперь легко найти х, у иг.
27. Нашу систему перепишем следующим образом:
(уг—хг) + (гг—ху) = о,
(.г2—(/г) + (г2—Х(/) = Ь,
(х2—гр) + (рг—гх) = с.
Отсюда
,	Ь	+	с—о	,	о + с—Ь	,	о	+	Ь— с
хг—уг= g:	уг—хг = g : гг—ху = —-g	,
т. е. получаем систему предыдущей задачи.
28. Вычитая почленно наши уравнения, имеем:
(*—у) (х+У + 2)= Ьг—о2,	4
(х— г) (х + у + г)=с2— о2.
Положим: х + (/ + г=/, тогда
С*—У) t= Ьг—о*,
(х—Z) < = с2—о2.
Складывая почленно эти два уравнения, имеем:
[Зх—(х + #+г)] <= Ь2+с2—2о2.
Отсюда
/г+Ь2 + с2—2о2
Х~ 3/
Аналогично:
<2+о2+с2—2Ь2
3/
<2+о2+Ь2—2с2
3/
Подставляя эти значения х, у и г в одно из уравнений, найдем:
/4—(о2+ Ь2+с2) /2 + о4+ Ь4 + с4—о2Ь2—о2с2—Ь2с2=0.
Отсюда
а2+ Ь2+с2± }^3 (а + Ь + с) (—о+Ь + с) (о—Ь+с) (а + Ь—с)
t =
По найденному значению t получаем и значения х, у иг.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 205
29. Имеем следующие тождества:
(* + У + г)2—(х2+у2 + г2) = 2 (ху + хг + уг),
(х + у + г)2—(х2 + у3 + г5) = 3 (х + у + г) (ху + хг + у г)—Ъхуг.
Принимая во внимание второе и третье уравнения нашей системы, из пер¬
вого тождества получаем:
xy+xz + yz=0.
Из второго тождества имеем:
хуг = 0.
Таким образом, получаем следующие решения нашей системы:
х—0; у=0; z = a;
х=0; у=а; z=0;
х = а; у= 0; z = 0.
30. Пусть х, у, г и и являются корнями следующего уравнения чет¬
вертой степени:
a4—pa*+qa*—га + 2 = 0.	(*)
Положим
xk+yk+zk+uk=sk.
Тогда:
s4—Ps« + 9*!—rs, +1 = 0.
Но по условию:
s4=a4; s,= a2;	ss = a2;	s,=a.
Поэтому должно иметь место тождество:
а4— ра* + да*—га +1 — 0,
т. е. уравнение (*) имеет корень а=а, а потому одно из неизвестных, на¬
пример х, равно а.
Тогда должны иметь место равенства:
и + {2+г=0; и* + у‘+г*=0;	и2 + #2 + г2 = 0,
и следовательно (на основании результатов последней задачи):
и=у=г=0.
Итак, данная система имеет следующие решения:
x = a; u = y=z=0,
{/=а; х=ц = г=0,
г = а; х=у = и=0,
и =а; х = у = Z—0.
31. Эквивалентность этих систем вытекает из следующего тождества:
(а2 + Ь‘+с2—1)2 + (а'2 + Ь'2+с'*— 1)2+(а"2+Ь''2+с"2—1)2 +
+ 2 (аа' + Ъ Ь' + сс’ )* + 2 (аа" + Ь Ъ" + сс")2 + 2(а'а" + Ь'6"+с'с")2 =
= (а2 + а'2+аГ2—1)г + (Ь‘+Ь'2+Ь''2—1)2 + (с2+с'*+С"2—1)* +
+ 2 (аЬ + а'Ь' + d'b"f + 2 (ас + а'с' + а"с")* + 2 (Ьс + Ь'с' + VV)*.
Отметим, что девять коэффициентов a, a', d', b, Ь', Ь", с, с' и с'1 могут
быть (как это установлено Эйлером) выражены через три независимые

206
РЕШЕНИЯ
величины р, q и г следующим образом:
1+ Р2—?*—/■*.	2 (r + W).	_	2(—	9	+	рл)
7V '	7V	’
„»_2(—r+W).	,,/	1— Р* + ?*— гг,	,	2(p+qr)
N *	®	~	TV	’	С_	W	’
„»_2 (9+рс).	2 (—р+г^) _	^	1	—	р2—q‘+r*
N ’	0	N ’	С	~	N
(N= 1 + р2+92+г2).
32. Перемножая первые три равенства, получаем:
хУг* (у + г) (х + г) (х + у) = а'Ь’с*.
Пользуясь четвертым равенством, имеем:
(У + г) (х + г) (х + у) = abc
или
X* {у + Z) + у* (х + г) + г* (х+у) + 2xyz = abc.
Но, складывая первые три равенства, находим:
**(1/ + г) + уг(х + г) + гг{х + у)=а*+ & + <?.
Итак, окончательно:
а5 + Ь* + с5 + abc =0.
33. Складывая данные три равенства, получаем:
. «. ■	(.У—2)(г—х)(лс—у)
а+Ь + с= —	—	—	—.
хуг
Равным образом имеем:
д ъ с_ (У—г) (г + х) (х + У)
хуг	’
Ь-с-а = {г-хНх + уНУ+г),
хуг
с_а_ь = (^=УИУ±£И£±£).
хуг
Отсюда
(а + Ь + с) (Ь + с—а) (а + с—Ь) (о + Ь—с) =
= _ (£ _ JLV (£._£V f £	V = _oV
\2 У J \х г ) \у	х )
Отсюда окончательно получаем результат исключения:
2Ь2с2+ 2Ь2а2+2а2с2—а4— Ь4— с4 + а2Ь2с2=0.
34.	Имеем:
~ + — — 2а;	£ + £=2 Ь;	£+£ = 2с.
г р	х	г	у х
Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получаем:
I/2	2Г2	?2 X2 X2 /У2
|1+? + -г+^ + -г + ^ + 6=4а2+4Ь2 + 4с2.
С другой стороны, если перемножить эти равенства, то найдем:
уг , г2 , г2 t xs х1 уг ч о и_

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 207
Следовательно, результат исключения х, у и z из данной системы будет:
а2+62+с2—2abc— 1.
35. Имеем тождество:	.
(а+ 6 + с) (6 +с—а) (а + с—6) (а + 6 —с) = 462с2—(62 + с2—а2)2.
Подставляя в правую часть вместо а2, 62 и с2 их выражения через х, у и г
и пользуясь соотношением
ху + хг-\-уг = 0,
получим:
462с2—(62 + с2—а2)2=0.	•
Итак, действительно результат исключения х, у и г из данной системы
будет:
(а + 6 + с)(6 + с—а)(а + с—6) (а + 6—с)=0.
36. Имеем:
(х + У)3 =*’ + £/’ + 3ху (х + у) = х5 + у* + (х + у) [(х+у)г— (х2+у2)].
Итак:
(х+у)* = 3 (х + у) (хг + у‘)—2 (Xs + у>).
Но
х + #=а; х2 + {/2 = 6; х5+{/5=с.
Следовательно, результат исключения будет:
а‘ = Зоб — 2с.
37. Положим:
— = -^- = — = —
а 6 с Я"
Тогда:
а=хЯ; 6 = (Д; с=гЯ.	(*)
С другой стороны, имеем:
(а + 6 + с)2 = а2+ 62 + с2 + 2а6 + 2ас+26с.
Так как а + 6+с=1; а2+62+с2=1, то из последнего равенства получаем:
аб + ас+ 6с = 0.
Принимая же во внимание равенства (*), найдем:
ху + хг+уг = 0.
38. Имеем:
(„_А)
ИЛИ
*-(т+7+*М7+*+*) —
Отсюда
ар — 1 =у.
39. Из первых двух равенств находим:
z(d—c)+x(d—a) + y(d — b) = 0, 1
w(d—с) + х(а—с)+#(6—с) = 0. J	'	'
Умножая первое из этих равенств на у, а второе на х и складывая, полу¬
чим:
(гу + дох) (d — с) = х2 (с— а) + у‘ (6—d) + ху (а + с—6 — d).

208	РЕШЕНИЯ
Так же найдем, что
(zx+wy) (d—c) = x* (a—d) + y* (c—b)+xy (b -f-c—a—d),
zw (d — c)*=x* (o—d) (c—a) + y*(b—d) (c—fc) +
+ xy [ (a—d) (c—b) + (6 — d) (c—a)].
Подставляя найденные таким образом выражения для zy-\-wx, zx-\-wy и
zw в третье равенство, получаем:
Ах*+2Вху + Су‘=0,
где
А = (с—a)(a—d)s(b —с)г+(с—d)(fc— d)*(c—а)*+(а—d)(c—a)(d—с) (а—Ь)г,
С=(Ь—d) (a—d)t(b—c)‘+(c—b)(b—d)s(c—a)* + {b—d){c—b)(d—c)(a—b)t,
2В = (а + с—b—d) (а—d)‘ (Ь—с)* + (Ь + с—а—d) (b—d)* (с—а)г+
+ (d—с)* (а—Ь)г+[(а—d) (с—Ь) + (Ь—d) (с—a)] (d—c) (а—Ь)г.
Сделав необходимые преобразования (для упрощения выкладок можно поль¬
зоваться результатом задачи 8, § 2), найдем:
А =(а—d)‘(c—а)* (с—d);
B = (d—с) (а—d)(b—с) (a—c)(d — Ь);
С=(с—b)*(b—d)‘(c—d).
Поэтому имеем:
Ах*-}- 2Bxy + Cy‘ = (c—d) [(о—d) (а—с) x—(b—c) (d—Ь) у]г=0.
Отсюд а
х   у
(Ь—с) (d — b) (а — d)(a—с)
Подставляя эти значения в равенство (*), получим искомую пропорцию.
40.	1° Имеем:
0 a + Р a— Р (л	^
cos 2"C0S —-(2cos	2^-1j='2
или
. .a + P , a—p a + P , n
4 cos* —— 4 cos —cos —g1- + 1 = 0.
Отсюда
a + p 4cos+^± ]/l6cos£=P—16
cos-g- =	  .
~	. .	a—p	a	+ P
Так как подкоренное	выражение равно—1 о sin2	—— ,	а	cos ■ - ^	вещест-
ф О
вен, то	—16 sin2 —должно быть больше или равно нулю. Но быть больше
нуля это	выражение не может. Поэтому имеем:
sin^£=0.
Но так как 0 < a < я и 0 < р < л;, то а = р и, следовательно:
1
cos a = -g-

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
209
2° Аналогично 1°.
41. По условию:
а-Р-3,
„	0+ф	0—ф
2 cos—^ cos -~- = а,
п . 0 + ф 0—ф .
2sin —2^ cos —= 6.
Отсюда
Но
Поэтому
'8в4-ф=^
cos х*=-
'-V-2
l+tg‘4
sm х = -
2tg|
i+tg‘4'
cos (0 + ф) =	bi=tfTT
1+-. ^
l-^
a* a2—b2
b2’
sin (0+ф) =
+ a
2 —
a
2ab
6f a2 + 62"
a2
42. По условию имеем:
a cos a + b sin a = c,
a cos p + b sin P = c.
Складывая эти два равенства почленно, найдем:
2a cos -а ^ cos а ^ + 26 sin И ^ cos ° ^ ^ = 2с.
Отсюда
cos
а— Р
(a + 6tg^r)
ct + р . . a+p	ct + р
a cos —~ + 6 sin —~ cos —~~
Вычитая же данные равенства почленно, получим:
„	. a+p . а —Р _	.	а —р а + Р п
—2а sin—~ sin —^- + 26 sin ——- cos —^-=0.
Так как а и р—различные решения уравнения, то sin ° ^ ^ ф 0. Последнее
равенство, следовательно, дает:
tga + P =—
1Ь О	п

210	РЕШЕНИЯ
Вернемся к вычислению cos* а ^ . Имеем:
cos
1	*	=С.Л	+	^
га + Р/	а	+ р \ *	V	( . . b \*	о2+ 6*	'
cos8—р: I а + Ь tg—р- 1	(а + 6^г)
43. Перепишем данные равенства следующим образом:
sin6 (b cosa—a cos P) = cos 0 (b sin a—asm P),
sinO (d sin a—с sin P) = cos0 (c cos p — d cos a).
Исключая отсюда 0, найдем:
(b cosa—a cos P) (c cos P—d cos a) = (fc sin a—a sin p) (d sin a—с sin P).
Отсюда
be cos a cos p —ac cos* P—bd cos* a + ad cos a cos P =
= bd sin* a—ad sin a sin p — be sin a sin p -J- ac sin*P,
или
(be-{-ad) cos a cos P + (be-{-ad) sin a sin P = fcd + ac.
Наконец:
,	bd	+	ac
С05{а-^)=Ш+Ш'
44. 1° Имеем:
e*— 1	1	+	2e	cos	p+e*_2e*	+	2e	cos	p_ e+cos P
l+2ecosa+e*~ e*—1	—2e* + 2ecosa~e + cosa
(a с
пользуясь тем свойством пропорции, что из равенства —=— следует
a + с
*)•
b + d
Аналогично имеем:
е*—1	 l+2ecosP+e*	—2—2ecosP	 1+ecosP
l+2ecosa + e*	e*—1	2	+	2ecosa	l+ecosa'
Далее:
/е + cos P V (1 +ecos P)*_e*+cos* P — 1—e*cos*P sin*P
\e + cosa/ ~~(l+ecosa)* e* + cos*a—1—e* cos*a—sin* a '
Следовательно, действительно:
e*—1	_	1	+e	cos	P_	sin	P
l+2ecosa+e* l+ecosa sin a*
2° Из данного равенства следует (см. результат 1°):
е + cos Р _	1 +е cos Р
e + cos a~	l+ecosa*
Следовательно:
е + cos	р — 1 —е cos Р	е + cos Р +1 +е cos р
е + cos	a + 1 +е cosa — e + cos a—1 —е cos a
(ас	a + c a—с \
из равенства у = т следует: _=_j.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 211
Далее:
(1 —е) (1 — cos Р)	(1+е) (1 +cos Р)
(1 +е)(1 +cosа)~(1—е) (1 — cosa)
или
(1—cos Р) (1 — cos a) =	(1	+cos	Р)	(1	+	cos	а).
Наконец:
а Р 1 +е
tg 2 g 2 — ^ 1— е'
45.	Решая данное уравнение относительно cosx, найдем:
cos х (sin2 р cos a—sin8 a cos P) = cos8 a sin8 p—sin8 a cos8 p = cos2a—cos*p.
Ho
sin8 p cosa—sin8acos p = cosa(l—cos8 P)—cos P (1—cos8a) =
= cos a—cos p + cos a cos p (cosa—cos P) =
= (cos a—cos P) (1 + cos a cos P)
поэтому
cos a + cos p
cos x= —	  --.
1 + cos a cos p
Далее:
2 x 1 —cos x 1 + cos a cos P—cosa—cos P
 ==      „
b 2	1	+	cos	x	1	+	cos	a	cos	p	+	cos	a	+	cos	p
(1— cosa)(l—cos P)_ . a_. -P
(1 + cosa) (1 + cos P)	2 T
и, следовательно:
46.	Имеем:
. .	.	.	.	Ф	. , 0	n.	Л	cosa\	(.	cosa\
sin8 a = 4 sin8 +sin8-i5-= (1 — С05ф) (1—cos0) = ( 1 Б I 1	}.
2	2	7	\	cospy	\	cos у/
Отсюда
,	,	,	cos	P	+	cos	V	,	cos8	a
1 —cos2a= 1 —cos a 	L+-
cos p cos y cos p cos y ’
т. e.
. (1 ,	1	cos	P	+	cos	y
cos8 a 1 -( g  = cos a 	!■.
\ cos p cos yj	cos	p	cos	y
Предполагая, что cos a не равно нулю, найдем:
cos y + cos р
cos a =	.
1 + cos y cos p
Теперь легко проверить, что

212
РЕШЕНИЯ
6 6
47.	Положим tg-g—®!	lg'^'==P- Тогда два первых равенства примут
вид:
ха2—2уа-\-2а—х =0,
jrf52—2(/Р +2а—х=0.
Следовательно, аир суть корни квадратного уравнения:
xz2 — 2yz + 2а —х = 0.
Поэтому
, D 2у _ 2а—х
а + Р	аР = ^Г"-
Но, кроме того:
а — р — 21.
Остается из этих трех последних равенств исключить аир. Имеем тож¬
дественно:
(а + Р)2 = (а-р)*+4ар.
Следовательно:
= 41*+4 -2а Х
X
После упрощений, действительно, получаем:
у2 = 2ах—(1— 12)х2.
48. Из первых двух равенств видим, что 0 и ф суть корни уравнения:
х cos а + у sin а—2а = 0	(неизвестная а).
Ясно, что 0 и ф будут точно так же корнями уравнения:
(2а —х cos а)2 = уг sin* а.
Преобразуем это последнее уравнение следующим образом:
х2 cos2 а —4ах cos а + 4а2=у2 (1—cos* а),
(х2-\-у*) cos*a—4ах cosa + 4a*—у2=0.
Поэтому величины cos 0 и cos ф будут корнями следующего уравнения:
{x2+y2)z2—4axz + 4a2—y*=0,
а потому
 #»2	4&Х
COS 0 COS ф = х £ ; СО8 0 + СО8ф=р_р.
Далее имеем:
. . » 0 . . Ф « 1—c°s0 1—СОБф .
s ~2 sm “5' = 	2—	2—
или
1 —(cos 0 + cos ф) + cos 0 cos ф = 1.
Отсюда и следует, что
f/2=4a (a—х).
49. Имеем: -
.0	,	,	a

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 213
Но
trT.,j3 _ 1 —cos 0 _ 1 —cos a cos Р . lrrt а _ 1 —cos а
2	1	+ cos 0 1 + cos a cos p ’ ® 2	1	+ cos а ‘
Следовательно:
1 — cos a cos p 1—cos a
, 6 + ct , , 8—a__ 1+cosacosp 1+cosa  1—cosP , 2P
2	2 j 1 —cos a cos p 1—cos a	1 + cosp ® 2
1 + cos a cos p 1 + cos a
50. Имеем:
fl+c_ cosx + cos (x + 28)	cos(.x + 8) cos0_ b
ft+d^cosJx + ej + cos^ + Se)-"cos(a:+26)cos0~ с
Отсюда
a -j- c b -j- d
b ~~ с
51. Имеем:
cos P . . x > cos p
l + tg80 = l + tg*9 =
cos a	^	cosy
Отсюда
tg86 _cos p — cos a	cosy
tg8(p cos a cos p — cosy'
С другой стороны, нам дано, что
tg88_tg8a
tg2 ф tg8y ‘
Поэтому имеем:
cos Р—cos a cosy _tg8a
cos p—cosy cos a tg8y'
Из этого равенства получаем:
„ cos8 a sin8 у—cos8 у sin8 a  sin8 у—sin8 a
cos a sin8 у—sin8 a cosy ~cosasin8y—siu8<xcosy'
Ho
4 S P 1—cosP_ cosasin8y—sin8acosy—sln8y + sin8a_
“ 2 “1 + cos p cos a sin2 у—sin8a cos у + sin8 у—sin^a-
 sin8 a (1 —cos y) —sin8 у (1 —cos a) _
“sin2у (1 +cos a)—sin8a(l +cos y)~
„.„a	.	a	. , у o-jY * Y • , a
8 sm2-g- cos8 -g sin8 ~ — 8 sin8 cos8 sin8
„ . „ Y »Y «a 0 . , a ,a ,y
8 sm8 -g- cos8 у cos8 ^ — 8 sin8 cos8 cos8 J
. , a . , у
Sin8 -p- sin8 —
.,e,x
I cos8-| ( sin8 sin8

214	РЕШЕНИЯ
так как
52.	Положим:
, а , V . , V . ,а
cos8 -g — cos2 = sm2 ~ — sin8 ■
tg-o=*:	7>=у-
Тогда:
Далее:
поэтому
1 1 (/*
cos 0 = r—,—,=cos a cos В; cos ф = , , , — cos a.- cos В.
1 +х8	г	*	1+0
2_ 1—cos а cos р.	2_ 1—cosa,-cos Р
~~ 1 + cos a cos р ’	^ — 1 + cos а, • cos р ’
. „ Р _ 2 2_(1 —cos a cos Р) (1 —cos a, cos р)
ё^2~хУ (1+cos a cos Р) (1+cos a, cos р) *
Прибавим к обеим частям равенства по единице. Находим:
2	2 (1 + cos a cos a, cos8 p)
1 +cos p —(1 + cos a cos p) (1 + cos a, cos p) ’
Предполагая cos P Ф 0, получаем:
cos a + cos a, = 1 + cos a cos a, cos8 p,
т. e.
cos a + cos a, = 1 + cos a cos a, (1—sin8 P);
cosa cos a, sin8 P = 1 +cos a cos a,—cos a—cos a, = (1 —cos a) (1 —cos a,),
и, следовательно, действительно:
sin8p = (-^-l)(-L— Л.
r \cosa	cosa, j
53.	Имеем:
cos (p—y) — cos (a— P) cos (y—a) — cos (P—y)_ cos (a—p) — cos (y—a) _
cos (a + P) — cos (p+y)-cos (p+y)—cos (y + a)~ cos (y + a)—cos (a + p) —
Отсюда
sln —p)	sln(^T^~Y) sin(^T^—a)
sln(nr+p) Sin(^p+Y) sin(4^+a)
или
tgP — tg^Y^ tgY—tg	tga—tg£i^
tgP + tg^1^ tgY+tg	tga + tg^i^
Но из равенств
a—b a'—b' a"—b"

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 215
следует:
a__cS__cf_
Ъ ~Ь'~Ь* •
Поэтому имеем:
tg® __ tg р _ tgy
tg-^(P + V)	tg-i(a + y) tg y(a + P)
54. Из первого равенства имеем:
(tg 8 cos p—sin P) cos a (cos a—tg 0 sin a) sin p
(tg ф cos a—sin a) cos p (cos p + tg ф sin P)sina —
Отсюда
sin a cos p cos (a—P) tg 0 -f- sin p cos a cos (a + P) tg ф =
=2 sin p cos p sin a cos a. (•)
Из второго равенства получаем:
tg 6 ^ cos (a—P) tg P
tg ф cos (a + p) tg a '
Поэтому можно положить:
tg0 = A.cos(a—p) tg P;	tgф=—A,cos(a + p) tga.
Подставляя эти значения для tg 0 и tg ф в равенство (*), найдем:
,	1
2 sin a sin р "
Итак:
. _ cos (a— Р) 1 . .	.	.	D.
{ее = 2¥ш»со8р=Т^а + ^Р)-
cos (a + p) 1.,	.	D.
tg9— 2^Cosasin p~^
55. Имеем:
sin2 a + sin1 p—2 sin a sin p cos (a—P) =
= sin2 a + sin2 p —2 sin a sin p cos a cos p —2 sln2 a sin2 p =
= sin2 a—sin2 a sin2 p + sin2 p — sin2 a sin2 p — 2 sin a sin p cos a cos P =
= sin2 a cos2 p + sin2 P cos2 a—2 sin a sin p cos a cos p =
= (sin a cos P—cos a sin P)2=sin2 (a—P).
Поэтому
sin (a—P)= ± nsin (a + P),
sin a cos p—cos a sin p= ± n (sin a cos P + cos a sin P),
tga—tgP= ± n(tga + tgP).
Окончательно:
tg®=^tgP.
56. Развернем данные равенства. Получаем:
cos a cos 30 + sin a sin 30 = m cos’ 0,
sin a cos 30—cos a sin 30 = in sin’ 0.

216	РЕШЕНИЯ
Умножая первое из этих равенств на cos 30, второе на—sin 36 и складывая
почленно, находим:
cos а=т {cos’ 0 cos 30 —sin* 0 sin 30}.
Но известно, что
cos 30 = 4 cos’ 0—3 cos 0,
sin 30 = 3 sin 0 —4 sin8 0.
Следовательно:
cos8 0 cos 30 —sin8 0 sin 30 = 4 (cos* 0 -f- sin8 0)—3 (sin4 0 + cos4 0).
Но, возводя исходные равенства в квадрат и складывая, получаем:
cos" 0 + sin8 0 = -!=•.
т2
Вычислим cos4 0 +sin4 0. Имеем:
cos8 0+sin8 0 = (cos2 0+sin8 0) (cos4 0 + sin4 0—cos2 0 sin8 0) =
= cos4 0 + sin4 0—cos2 0 sin2 0.
Поэтому
jjj, = (cos8 0 + sin8 0)8 —3 sin8 0 cos8 0;	3	sin8	0	cos8	0	= 1—^ ;
sin
Итак:
in40 + cos40 = 1 —2 sin8 0 cos80 — 1 —-g- ^1 —^ j =-~ ^ 1	•
{4	2	1	2—
1 —> = —
т. e.
m2 + m cos a = 2.
57.	Из первого равенства получаем:
a [sin (0 + ф)—sin (0—ф)[ =b [sin (0—ф) + si« (0 + ф)].
Отсюда
а tgф = Ь tg 0.
Следовательно:
2'4
^ф = -
Т	0	*
Но из второго равенства имеем:
2
поэтому
0 fttgf+c
tg
2tg|	2^tg|+c)

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 217
Полагая для краткости tg~=x и преобразуя наше последнее равенство,
найдем:
be (I + xJ) = — (68+с1—а8) х.
Но
2х
1+х8
: sm ф.
Окончательно:
2 Ьс
Slfl Ф=_2	Г5—
а8—68-
58. Из третьего равенства получаем:
sin8 0 sin8 ф = (cos 0 cos ф —sin р sin у)*.
Пользуясь первыми двумя равенствами, находим:
(1 _?ВД (1 -™р.)=(sln рsin у.
\ sm2 a J \ sin2 а/ \_ sin2 а	I
Произведя необходимые преобразования, действительно получаем, что из
этого равенства вытекает:
tg!a=tg,y + tg8 р.
59. Имеем:
a sin8 0 + b cos8 0 = 1; a cos8 ф + 6 sin8 ф= 1.
Отсюда
a tg80 + 6= l + tg80,
* tg8 ф+а= 1 + tg* ф-
Следовательно:
С другой стороны:
(a—1) tg2 0 = 1 — b;
(6—1) tg2 ф= 1—а;
tg80 fi-ьу
*ЯгФ U —а/
tg80 _68
tg8 ф ~ а8'
Из этих двух последних равенств получаем (предполагая, что а не равно 6):
а + 6—2а6 =0.
60.	Перепишем первые два равенства следующим образом:
cos 0 cos a + sin 0 sin a = a,
sin 0 cos P—cos 0 sin p=6.
Умножая сначала первое из этих равенств на sin Р, а второе на cosa, а затем
первое на cos р, а второе на—sina и складывая, найдем:
sin 0 cos (a—P)=a sin P + 6 cos a.
cos 0 cos (a—P) = a cos p—6 sin a.
Возводя эти два последние равенства в квадрат и складывая, получим:
cos8 (a—P) = az—2a6 sin(a—P) + 6*.

218	РЕШЕНИЯ
61. Так как
cos Зх= cos* х—3 sin* х cos х,
sin Зх =— sin* х + 3 sin х cos* х,
то уравнение принимает вид:
(cos* х—3 sin* х cos х) cos* x + (—sin* x + 3 sin x cos* x) sin* x = 0,
cos* x—3 cos* x sin* x + 3 sin* x cos* x — sin* x=0
или
(cos* x—sin* x)* =0,
cos2x=0.
62. Так как
sin 2x +1 = (sin x + cos x)*,
то имеем:
(sin x + cos x)* + (sin x + cos x) + cos* x—sin* x = 0.
Отсюда
(sinx + cosx) (1 +2 cosx)=0
или
cos x (1 + tg x) (1 + 2 cos x) = 0.
Итак:
tgx=—1 и cosx=—j
дают искомые решения нашего уравнения.
63.	Имеем:
sin* х 1—cosx_q
cos*x	1—sinx-
(cos* x—sin* x) —(cos* x—sin* x)
cos*x(l—sin x)
(1 —tg x) (1 —cos x) = 0.
tgx = l и cosx = l.
cos 3a = 4 cos* a—3 cos a.
cos 6x =4 cos* 2x—3 cos 2x.
Отсюда
Отсюда
64. Имеем:
Поэтому
С другой стороны:
= 0,
а х ^l+cos2xy
2 ) *
Уравнение принимает следующий вид:
4 (1 + cos2x)*—(4 cos* 2х—3 cos 2х) = 1
или
4 cos* 2х + 5 cos 2х + 1 =0.
Итак:
cos2x = —1;	cos 2х=—~.
65.	Имеем:
sin 2х cos х + cos 2х sin х + sin 2х—т sin х=0.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 219
Отсюда
sinx [2 cos* х + cos 2х+2 cos х—m] = 0,
sinx [4 cos2 х + 2 cos x—(m+ 1)] = 0.
Итак, одно решение:
sin x = 0.
Другое получается по формуле:
— 1 ± Vim + 5
cosx=——1—.
4
Отсюда, прежде всего, следует, что должно быть
4т+5 52 0.
Далее, для существования одного из корней требуется, чтобы было
I — 1 + У4т + 5|<^4,
т. е. чтобы
—45S — 1 + V 4m + 5;S + 4
ИЛИ
—3 5i /4т+5^5,
т. е.
m 5.
Для существования другого корня необходимо:
| — 1— jA4m + 5|^4,
—4^ — 1 — Vbtn + Ъ^ 4,
I.
5
Итак, если т< — —, то cosx не имеет вещественных значении; при
5	/	1	\
т=—j cos х имеет одно вещественное значение lcosx = —J ; при
5	(	—1± 1^4/4+54
— — < m 1 cos х имеет два вещественных значения I cos х=	^	1
и при 1 < m 5 cosx имеет опять одно вещественное значение ^cosх=>
— 1	V4т + 5\	-	.
=		—-	  I	и	при	m	>	5	вещественных	значении	не	имеет.
66.	Перепишем наше уравнение следующим образом:
cos ^—— {(1 +А) cosх cos (2х—а)—(I + fc cos 2х) cos (х—а)}=0.
Но
cosx cos (2х—а) = '2' cos (3*—а)+~§" cos (*—а)»
cos 2х cos (х—а) cos (Зх—а) + -^- cos (х+а).
Поэтому
cos'(x—а) {(1 + feHC0S (3* ~ а) + cos (*—а) 1 ~ 2 cos (*—а) —
—k [cos(3x—a) + cos (x+a)]}=0

220	РЕШЕНИЯ
или
-—т-	г {cos (Зх—а)—cos (х—а) +A [cos (х—а)—cos (х+а)]} =0,
LUo {Л —— IXI
 &'ПХ {k sin а—sin(2x—а)} =0.
COS [A<'“GJ
Отсюда
sinx = 0 и sin (2х—а) = k sin а.
67. Так как
sin8x + cos8x = 1,
то
sin4 х + cos4 х+2 sin2 х cos8 х = 1
и
sin4 х + cos4 х = 1 — ~ (sin 2х)8.
Уравнение принимает следующий вид:
sin82x—8 sin 2х+4 = 0.
Отсюда:
sin 2х = 4 ±
sin 2х = 4 + 2 V^3.
Отбрасывая одно из решений, получаем окончательно:
sin2x = 4—2 Y3-
68. Имеем:
lg*a=ig^7; lg«*a==libs’ lgfl5jca=Ig^*
Уравнение принимает вид:
.A.	L..+-	3	-=а
igax lgeJf+l lga-«+2
Положим:
lgflx=z.
Остается только решить следующее уравнение:
2,1,3
7 + F+T+z + 2
Отсюда
Искомые корни будут:
Итак:
69.	Имеем:
6г2+11г + 4
z(z + l)(z + 2)-u-
4	1
г,~	3’	г*_—Т*
4	1
хг = а
Х = уХ + «.

§ 5. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ 221
Отсюда
4«2
у*+У = ух+У.
4о?
Следовательно, либо у — 1, либо х-{-у = —— . Но при у = 1 х4а = 1 и, сле-
х-\-у
дователыю, х=1. Итак, одно решение:
х= 1, у= 1.
Переходим к нахождению второго решения. Имеем:
(х+ «/)*=4а2,
т. е.
Поэтому
х + у = 2а.
хга=уа; (£)“ = !.
и, следовательно:
т. е.
х‘=у,
х*=2 а—х.
Из этого квадратного уравнения находим:
х=—y ± ]/" j + 2а.
Положительное решение будет:
х=—g-+	-^-+2а.
Соответствующее значение у найдется по формуле:
У=х*.
70.	Возведем первое из уравнений в степень q, а второе в степень р,
получаем:
иРЧр9г=ах(1,
upqvpt = аУр.
Деля одно из этих равенств на другое почленно, находим:
vgi-Pl=axg-ypt
и, следовательно,
ру-дх
п=ара-‘'1.
Аналогично найдем:
хр-уд
u=ap'-q\	(*)
Подставляя эти значения для и и о в третье и четвертое уравнения, имеем:
ар (х*+у*) - *худ _ bP'~qt,
а2хур-д (Х«+У») _СР«-?»
Отсюда
Р(х*+У*) — 2xyq = (p*—q*) lga b,
2xyp —q (x2 + у2) = (p*—q*) lga c.

222	решения
Следовательно:
xt+y*=p\&nb+q\gaC,
2xy=q\gab-\-p\gac.
Отсюда находим х и у. По найденным значениям хну формулы (*) дают
возможность получить и н V.
§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ
1. Пусть х = а + р/; у=у + Ы. Тогда:
x + j/ = a + Y+ (P+6)t,
х—«/ = a—v + ф—6) /,
I ^ +«/1* +1 ^1* = («+Y)2 + (Р + 6)2+(a-Y),*+(Р-6)2 ==
= 2(a2+p2) + 2(Y2 + 62)=2{U|2+|«/|2}.
2. Пусть x = a + p/, следовательно, jc=a—pi.
1° Из условий задачи имеем:
a—р/=a2 — р2+2api.
Отсюда
a=a2—р2; — р=2сф.
Поэтому
Р(2а + 1)=0; а=а2—рг.
Допустим сначала Р = 0; a=a2 или a (а—1) = 0. Итак, прежде всего имеем
решения:
а = 0; р = 0; х = 0;
а= 1; р = 0; х = 1.
Перейдем теперь к тому случаю, когда 2а+1=0, т. е.
а=-1- -1-1-ft- В2--^ В-±^1
2'	2	4	4’	Р—± 2 *
т. е.
1 , ,У5
2 ’
,	-j-	i
1	, Уз
* = 2 2 *
Следовательно, существуют четыре комплексных значения х, удовлетво¬
ряющих условию:
x=xz,
именно:	__
о .	1	,	•	Уз	I	.Уз
х = 0; х = 1] х = —^+‘	>	х=	— 2—1 ~~2~ •
2° Перейдем к решению следующей системы:
a (а2—Зр2—1) = 0; р (За2—р2+1) = 0.
Отсюда найдем решения:
а = 0;	р = 0;
о=0;	Р=±	1;
о= ± 1;	р =0.
Итак:
х=0; х=±1;	x=±i.
3.	Положим:
а,+ *>,/=*. аг + Ь^=у а„_,+ £„_,/ = «, an + bni = w.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	223
Тогда неравенство, которое требуется доказать, перепишется так:
I * + «/+••• +u + w |^|х| + |г/| + ... +1 и | = | w |,
т. е. нужно доказать, что модуль суммы нескольких комплексных чисел
меньше или равен сумме модулей слагаемых. Докажем это предложение
сначала для случая двух слагаемых, т. е. докажем, что
U + «/|5g|*| + |«/|.
Но
I * + УI = V(at + сг)г + (6, + Ь2)2 ;
\x\=V а* + Ь\; \y\=V~^+b{.
Следовательно, требуется доказать:
У(а1+агГ+(Ь1 + Ь2Г ^ V a* + b* + V а\ + Ъ\.
После возведения в квадрат обеих частей этого неравенства и после неко¬
торых упрощений получаем равносильное ему неравенство:
а,а, +	5S V(а* + Ь\) (а2 + 6|).
Это же неравенство будет несомненно справедливым, если
(aiai + ЬфъУ 5S (а\ + fc2) (а2 + 62),
т. е. если
(0,0, + Ь,Ь2у-(а\ + Ь\) (а2 + Ь\) ^ 0, -{ajb,-n2b,)2^ О,
что очевидно. Таким образом, доказано, что
\х + у\^\х\ + \у\,
при любых комплексных х и у. Для того чтобы доказать наше предло¬
жение в общем случае, поступаем так. Имеем:
1*+г/ + г+...+и + ю 1 = | (* + «/+•••+«) + И_:§|х + г/+...+и | + | ш|
(на основании доказанного). Применим теперь аналогичную операцию к
первому слагаемому:
I х + У + ...+и|-
Продолжая эту операцию, докажем наше предложение для случая п
слагаемых. Доказательство, приведенное нами, проведено методом матема¬
тической индукции. Присоединим к нему еще другое доказательство. До¬
пустим, что комплексные числа приведены к тригонометрической форме,
т. е. положим:
х=Qi (cos ф, +1 sin ф,);
у = е„ (cos Ф, + i sin <р2);...\w = е„ (cos <p„ +1 sin <p„).
Тогда имеем:
П	П
x + y + ...+w= 25аС08(Ра + ; 2 eAsin(PA>
k=i	k=i
|*[+1г/1 + ---+|ш|=2еА.
k =1
n	n
IX + у +... + w I'2 = (2 6a cos Ф*)2+ (2 Qk sin Фа)2-
b=i	k=i

224	решения
Нужно доказать:
а=(2 е*)2—(2 е*cos фа)2—(2	е*	фа)* ^ о.
k—1	k-l	k—l
Имеем:
(2 ga)2= 2 е|+22 QsQt.
k = l	k=l	s?zt
n	rt
(2 Qk cos ф*)*= 2 e* cos2 Фа + 2 2 cos ф.5 cos ф,.
k =1	k—\	S^t
n	n
( 2 Qk S'n Фа)2 = 2 Ca sin^A + 2 2	QsQt sJn Ф* sin ф„
k	k = l	S?=t
следовательно,
a =2 2 Cset—2 2 е*е(Со8(ф,—ф4),
S5*<	sy=t
A=2 2, QsQt {1 —cos (ф,—ф,)} =4 21 QsQt sin2 <Ь~Ф* ^ 0.
S?=t	S^t
4. Доказывается непосредственной проверкой, принимая во внима¬
ние, что
е2=—е—1; е*=1.
5. Легко видеть, что
а2+Ь2+с2—ab —ас—Ьс = (а + eb + е2с) (а+е26+ес),
д?+у* + г*—ху—xz—уг = (х-\-гу-\-ъгг) (x+£2i/ + ez).
Поэтому
(а2+Ь*+с2 —ab —ас—Ьс) (х2+у2 + г2—ху—хг—уг) —
= [(ах+су + Ьг) + (сх + by+аг) £ + (Ьх+ау + сг) е2] X
Х\(ах-\-су-\-Ьг)-\-(сх-\-Ьу-\-аг) в*-\-(Ьх-\-ау-\-сг) е] =
= X2+Y*+Z*—XY—XZ—YZ,
где
Х—ах+су + Ьг; Y = сх + Ьу + аг; Z — bx + ay + cz.
6. 1° Решая предложенную систему относительно х, у иг, получаем:
А+В + С ш	А + Be2 + Се	_	__А	+	Де	+	Се2
2° Имеем:
х— з ; у— 3	;	z—	3
\А |2+|В |2 + |С|2 = ЛА + ВВ + СС.
Но
AA=(x+y + z)(x+y+z) = \x\*-{-\y\*-{-\z\*+'x(y + z) + y(x+z) +7(*+«/),
ВВ = (х+уг+ге*) (х + уе2+ге) =
= I * l*+1 У l2+1 г \2+~х (ye + ге2) +р"(хе2+ze) + г(хе + уе%
СС = (х+уе2+ге)(х+уе + ге2) =
= I х |2+1 у |2+1 г |2+х~(уег + ze) + гГ(хе + ze2) + г (хе2+уе).

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	225
Складывая почленно эти три равенства, найдем:
\А\*+\В\* + \С\*=А~А+ВВ+СС =
=3^*|2+|j/|*+M*] + x[«/(l+e + e2) + Z(l+e!! + e)] +
+ «/[*(l+e2+e) + z(l+e + e2)] + 0[x(l +e + e2) + «/(l +е2 + е)].
Но так как 1+е+е2 = 0, то последние три квадратные скобки равны нулю
и, действительно:
| А |2+1 В |2+1 С |2=3 [| л: |2 + | у |2+1 г I2].
7.	На основании результата 1° задачи 6 имеем:
/( АА' + ВВ' + СС’ „ АА' +ВВ'е2 + СС'е _
х —	3	;	у	—	3
„ АА' + ВВ'е + СС'е2
3
Далее:
АА'+ВВ'+СС'=(х + у + г) (х’+у’+г') +
+ (х + г/е + ze2) (дт* + у'г + г'е2) + (х + i/e2 + ze) (X + i/'e2+z'e) =
= 3 (хх’ +zt/ + у г').
Итак:
х"=хх?+гу’ +уХ.
Аналогично
y" = zz' + ух' +xt/,
г" = уу' +хг' +zx'
(два последних выражения возникают из первого путем круговой пере¬
становки).
8.	Хотя доказательство этой формулы уже было дано нами прежде (см.
задачу 2, § 1), мы дадим здесь второе доказательство, пользуясь комплекс¬
ными числами.
Имеем тождество
(аб—Ру) (а'б'-ру) = (аа' + ру') (yP' +66')-(ар' + рб') (Ya' + 6Y'),
и положим здесь:
а=дг + yi;	p = z + it;	у =—(z—ti);	6=x—yi\
a'=a + bi;	P'=c + dt;	y' = —(c—di);	6 '=a—bl.
Тогда:
аб—Py=хг+у* + z2+i2,
a'6'—P'y' =a2+ 62+c2+d2,
aa' + Py' =(ax—by—cz—dt) + l (bx + ay + dz—ct),
YP' + 66' = Py' + aa' = (aa' + Py' )■
Поэтому
(aa' + PY') (yP' 66') = (ox—by—cz—dt)s-f-(bx-f-ay-f-dz—ct)K
Далее:
ap' +p6' = (cx—dj/ + az + 6i) + * (dx+cy—bz-\-at),
ya' + 6y' = —(cx—dy-\-az-\-bt)-\-i (dx+cy—bz-\-at),
т. e.
—(ap' + рб') (ya' + 6y') = (cx —dy + az + 6i)2+ (dx -\-cy—bz +a<)*-
8 В. А. Кречмар

226	РЕШЕНИЯ
Подставляя полученные выражения в исходное тождество, найдем:
(a2+fc2+c2+d2) (x2+{/2 + z2 + <2) = (a.v—by—cz—dl)2 +
+ (bx+ay + dz —ct)2+(cx—dy + az + bt )2+(dx + cy—bz + at )2.
Заменяя в нем d через —d и t через —t, получим искомое тождество.
9.	Развернем выражение
(cos ф + i sin ф)п,
пользуясь формулой бинома Ньютона. Имеем:
(cos ф + i sin ф)" = cos" ф + n cos" -1 ф i sin ф +
+ П Ь2~~ cosn~l(P (isin ф)2 + П -——- cos”-* ф (t sin ф)2+ ...
... +n совф(t sh^)"-* + (f sinФ)".
Отделяя в этом разложении вещественную и мнимую части и пользуясь
формулой Моавра, найдем:
cos
яф +1 sin яф = ^ cos" ф — —cos " ~ 2 ф sin2 ф + ... ^ +
-И ^я со8п_1ф вшф —	—~ cos"—8ф sin8 ф -f-.., ^ .
Отсюда
cos яф = cos” ф —П ^ 2 ^ cos"-2ф в1п2ф +...,
sin яф = я cos" - *ф sin ф —П^П [ ^2 з*—“ cos" ”* ф sin8 ф +...
Принимая во внимание четность или нечетность я и деля обе части этих
равенств на cos" ф, получаем искомые формулы.
10.	Докажем сначала случай 1°. Имеем:
(СОвф + 1 8Шф)+(С08ф—1 БШф)	'
cos (р —	2	•
Положим cos ф 1 sin ф=е. Тогда cos ф—I sin ф =е-1
2 /71
С082'»ф =	=_|_	£	C2*me-A-e2m-ft.
ft=0
Далее:
т~\	гт
2Jmcos2m(p==^cftmC2<m-A) + c^+ £ С*т
ft=o	k=m+i
Положим во второй сумме т—k = —(т—к'). Тогда эта сумма пере¬
пишется так!
о	т — 1
2/-.гт—ft’ _2(т— ft/)  "V1 rk 0—Цт-к)
ьгт 6	—	2j	гт
fc'=m-i	ft = о
Итаю
m-i
22т cos2“ ф = 2 cln (e2<m-A, + e-I<m-*,) + Cm-
к = о

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	227
Но
е2 (В>_А) _j_e-2 (m-A) _2 cos 2 (m — k).
Поэтому, действительно:
m-i
—b\ m _1_ t
2m"
22m cos2m cp = 2 2C*m cos 2 (m—fc) Ф + C''1
A=o
Jt
Заменяя в этой формуле ф через —ф, получим формулу 2°. Формулы
3° и 4° выводятся аналогично 1° и 2°.
11.	Составим выражение:
ип + ivn — (cos а + i sln а) + г [cos (а+0) + i sin (а + 0)] + ...
... +г" [cos (а + п0] + 1 sin(a + n0)] =
= (cos а + i sin a) {l +r (cos 0 + i sin0) +... +r" (cos n0 + /sin n0)}.
Положим:
cos 0 + i sin 0 = e.
Тогда
un + ivn — (cos a + *sin a) \1 +rE+ ••• + (re)n} = (cos a +1 sin a)!—^—j— .
(re)"+1 1
Преобразуем дробь -—'  ^— , выделив в ней вещественную и мни¬
мую части.
Имеем:
(re)n+1— 1 __[(re)”+1—1] [re — 1]
re—1	(re	—	l)(re	—1)
rn+i [cos nQ + l sin n0]—r [cos 0—i sin 0]
~	1—2rcos0+r2	+
. —r"+1[cos(n + l)0 + tsin(n-[-l)0]-fl
^	1—2rcos0+r2	'
Умножая эту последнюю дробь на cos a+ 1 sin а и выделяя вещественную
и мнимую части, получим искомый результат. В самом деле имеем:
, . r"+2[cos (n0 + a) + isin (п0 + а)] ,
u„ + tv„—	1—2r cos 0 + r2	+
—r[cos(a—0) + tsin(p—0)]
1—2r cos0+r2
. —rn+1 {cos [(«+ 1) 0 + a[ -fisin [(n+1)0+a]} +cosa+i sin a
+	1—2rcos0+r2
Отсюда
cos a —t cos (a—0) — rn+1 cos [(« +1) 0+a] + rn+2 cos (n0+a)
“n—	1—2rcos0+r2
sin a—r sin (a—0)—rn+1 sin [(n +1) 0+a]+rn+2sin(n0+a)
Vn~	1—2rcos0+r2
8*

228	решения
Если положить в этих формулах а = 0, г = 1, то найдем:
. п + 1а п а
sin —у- 0 cos у о
1 + cos 0 + cos 20 + ... + cos пв =	g	,
stay
. (я+ 1)0 . пв
sm isin у
sin 0 + sin 20 +... + sin я0 =	g	.
sing.
12.	Имеем:
S+S't'=2 (cos ft0 +1 sin ft0) = 2 C* (cos 0 + t sin 0)* =
ft =0	ft	=0
= (1 + cos 0 + i sin 0)" = 12 cos2 у + 2t sin 1 cos yj =
on n 6 (	6	, . ,	0\“	„„	„ 0 / пв , . , пв\
— 2" cos"-g I cos -g- + < sin у J =2 cos" у ( cosy +1 sin у J
Отсюда
S=2" cos" 1 cos у ; S’ = 2" cos" ysta у.
13.	Положим:
П
S = sin2^a + sin2** 2a + ... + sinv na = 2 sin2/J la.
i=i
Но (см. задачу 10)
1 P_1 1
sin2^ la =	(— l)p^ (— О* C2P cos 2 (p—ft) ia + g^ Cfp,
ft=0
поэтому
S = (2^ 2 (-D* C*p£ cos 2 (p-ft) la+£-p C%.
ft =0	1	=	1
Положим 2(p—ft) a=^. Тогда:
„	,	nl	n	+1 ,
sin у cos—g— g
V cos 2(p—ft) ia = cosg +... + cosng =	g
/=!	sin-i
(см. решение задачи 11).
Обозначим:
2
, nl n + 1.
stay cos—g
SHly
-ak.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	229
Тогда можно доказать, что оА = 0, если к одинаковой четности с p{k=p(mod 2)}
и ok=—1, если к и р—разной четности {fc = p +1 (mod 2)}, и мы получим:
,	1	ср
*	2гр~1	2l*	гр‘	2гр	гр'
k = 0
ft=p +1 (mod г).
Отсюда
k=0
к ' p+i (mod 2)
p-i
Но можно доказать: 2 С*р=22^_г (см. задачу 58 этого параграфа), и наша
к =о
к = p+i (mod 2)
формула выведена.
14.	1° Перепишем наш многочлен следующим образом:
хп—ап—пхап -1 + пап = (хп — а?)—па? ~1 (дг —а) =
= (дг—а) (дг"-1+ад:"-2+... +а"-1—пя"-1).
Второй сомножитель последнего произведения при х=а обращается в нуль
и, следовательно, делится на х—а, а потому данный многочлен делится на
(х—а)2-
2° Обозначим наш многочлен через Р„ и составим разность Р„—Я„_,.
Преобразуя эту разность, легко докажем, что она делится на (1—х)г.
Но так как это справедливо при любом целом положительном п, то мы
получаем ряд равенств:
Р п — 1 Рп — 2 = 0	ф« —1 (■'")>
Р, —Pt = ( 1—лО’фгИ.
Р2—Р, = ( 1—*)» фЛ^).
где ф1 (х)—многочлены относительно х.
Отсюда следует:
Pn—pi =(1 —*)* ’Р (*)■
Но так как
Р, = (1— дг)*,
то Р„ делится на (1 —дг)’, и наше предложение доказано.
15.	1° Рассматривая данное выражение как многочлен относительно у,
положим у—0. Мы видим, что при у = 0 многочлен обращается в нуль (при
любом дг). Поэтому наш многочлен делится на у. Так как он симметричен
относительно х и у (не меняется при перестановке этих двух букв), то он
равным образом делится и на дг. Таким образом, многочлен делится на ху.
Для того чтобы доказать, что он делится на x-f-y, положим в нем у——дг.
Легко видеть, что при п нечетном имеем:
(дг—дг)" —дг" —(—дг)" = 0.
Следовательно, наш многочлен делится на дс + «/. Остается только доказать
делимость многочлена на
х*+ху+у*={у—хе.)(у —дге2),

230	РЕШЕНИЯ
где
ег+е + 1=0.
Для этого остается только подставить вместо у сначала хе, а затем хе2 и
убедиться, что при этих подстановках многочлен принимает значение, рав¬
ное нулю. Так как п по условию не делится на три, то n = 3Z-J-l или 3Z+2.
При у—хъ многочлен принимает следующее значение:
(х + хе)"—х"—(хе)" = х" {е2" + 1 +е"}=х" (1 +е + е2) = 0.
Совершенно так же докажем, что и при у=хе2 многочлен обращается в нуль
и, следовательно, делимость его на ху (х+у) (хг+ху + уг) доказана.
2° Для доказательства этого утверждения поступим следующим образом.
Пусть величины —х, —у и х-\-у будут корнями некоторого кубического
уравнения:
а*—га2—ра—<7=0.
Тогда в силу известных соотношений между корнями уравнения и его
коэффициентами (см. начало параграфа), будем иметь:
г=—х—у + (х+у) = 0,
—р=ху—х(х + у)—у(х + у),
q=xy(x + y).
Таким образом, —х, —у и х + у будут корнями следующего уравнения:
аг—ра—9 = 0,
где
р=хг+ху + у*; q = xy(x + y).
Положим:
(-*)" + (-9)" + (*+!/)" = S0.
Между последовательными значениями Sn имеют место следующие соот¬
ношения:
Sn+s = pS„+, + qSn,
причем S, = 0. Докажем, что S„ делится на р2, если п = 1 (mod 6). Приме¬
ним метод математической индукции. Допустим, что S„ делится на р2, и
докажем, что тогда и Sn+t точно так же делится на р2. Имеем:
^И + 6=Р^И + 4 + 9£п + 1,
*n+4=pSn+2+9Sn+i-
Поэтому
S,!+e=P (p^n+2 + 9^n+i) + 9 (pSn+1+qSn) = p*Sn+i + 2pqSn+1 q2S„.
Так как S„, по предположению, делится на р2, то достаточно доказать,
что Sn+1 делится на р. Таким образом, нужно доказать только, что
(а' + у)п + (— *)п + (— у)п
делится на хг-\-хy + ys, если n = 2 (mod 6). Действуя так же, как в 1°,
легко докажем наше утверждение. Итак, предполагая, что S„ делится на
р2, доказали, что Sn+e также делится на р2. Но S, = 0 делится на р2. Сле¬
довательно, действительно:
S„ = (*+«/)"— х”—уп
делится на (x2+xj/ + «/2) при любом п = 1 (mod 6). Остается только дока-
вать делимость на х-\-у и на ху.
16.	Равенство 1° очевидно. Из задачи 15 следует, что (х + р)5—xs—ys
делится на ху (x+j/) (х2+х«/ + «/1). Так как многочлены (х+р)5—х5—у5 и
ХУ (а+У) (Л*+■*!/ + Уе) оба однородны относительно х и у одной и той же

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	231
степени, то частным от деления (x+p)s—Xs—у% на ху (х-\-у)(хг+ху +у*)
будет некоторая величина, не зависящая от х и у. Обозначим ее через А.
Имеем тогда:
{x+y)s—Xs—у% = Ау (х+р) (х2+хр+р2).
Ввиду того, что это равенство представляет собою тождество и, следо¬
вательно, справедливо при всех значениях х и у, положим здесь, например,
x = l, у = 1. Получаем:
2s—1 — 1 = А-2-3.
Отсюда А=5, и окончательно находим:
(х+vf—Xs —р* = 5ху (х + р) (х2+хр +у1).
Пользуясь результатом задачи 15,2°, можно написать аналогично преды¬
дущему:
(х+у)1 —х1 —у1 = Аху (х + у) (х2+ху+у2)2.
Полагая здесь х=р = 1, найдем: А =7.
17. Известно, что
(х + у + z)*—х» — у’—z2 = 3 (х + у) (х + z) (р + г).
Докажем, что (x+p+z)m—хт—ут—гт делится на х + р. Рассматривая
наш многочлен расположенным по степени х, положим в нем х=—у.
Имеем:
(—P + P + z)m—(—Р)"1—Pm—zm = О,
так как т—нечетное.
Следовательно, действительно наш многочлен делится на (х+р). Совер¬
шенно так же убеждаемся, что он делится на x+z и на p+z.
18. Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы многочлен
f(x) делился на х—й, состоит в том, чтобы / (а) — 0.
Положим:
f (X) = X» + kyzx = у2 + z*.
Для делимости этого многочлена на x+p+z необходимо и достаточно,
чтобы
/(— У— *) = 0.
Но
/ (—Р z) = — (p+z)2—kyz (у +z)+р2+z2 = —(k +3) yz (у +z).
Отсюда следует ft = —3. Итак, для делимости x2+p2+z2 + ftxpz на x+p+z
необходимо и достаточно, чтобы k=—3.
19. Разделим п на р. Получаем: п — /р +г, где /-^-некоторое целое,
положительное и	<	р.	Следовательно:
хп—а" = xLpxr—alPar=xlPxr—alpxr -\-alPxr—alpar=xr (xlp—alp)+alP (xr—ar).
Ho xlP—alP=(xp)1—(ftp/ делится на xp—ap, поэтому для делимости xn—o'*
на xp—oA необходимо и достаточно, чтобы xr—аг делилось на хР—аР. Но
это возможно только тогда, когда г=0 и, следовательно, п=1р. Оконча¬
тельно, для делимости х"—а" на хр—а? необходимо и достаточно, чтобы
п делилось на р.
20. Положим /(х)=х40+х4°+1 + л4С+2+х4‘‘+2. С другой стороны,
х2+х2+х + 1=(х + 1) (х2+1) = (х+1) (x + t)(x—i).
Остается только показать, что
/(-l)=/(0=f(-0=Q.

232	решения
21. Имеем:
l+^+^+...+^n-*=^£^,
1+х + х2+.. ■ + хп-1 = Х-^^.
xzn 1 хп 1
Нужно выяснить, при каком п	——: ——j- будет многочленом отно¬
сительно X.
Находим:
Х2П_ i хп—1 хп+1
х2—1 ' х — 1	х+1 ‘
Для того чтобы *" + 1 делилось на х+1, необходимо и достаточно,
чтобы (—1)”+1—О, т. е. чтобы л было нечетным.
Итак, 1+х2 + ...+х2п-2 делится на 1+х+х2 + .. .+х”-1 при л
нечетном.
22. 1° Положим!
/ (х) = (cos <р +х sin ф)”—cos nq) —х sin лф.
Но х2+ 1 = (х + i) {х—i) и /(1) = (cosф +: sinф)я—(cos/up + £sln лф)=0 (на
основании формулы Моавра). Совершенно так же убеждаемся, что
f(—i)=0, и наше предположение доказано.
2° Разложим многочлен хг—2qx cos Ф+Q1 на множители, линейные
относительно х. Для этого найдем корни квадратного уравнения:
х2—2qx cos ф + е2=0.
Получаем:
х—р cos ф ± I'V сов2ф—е2=е(со8ф ± t в1пф).
Обозначим:
х“ sin ф —g”-1 х sin лф + g” sin (л—1) ф = / (х).
Докажем, что
/ [g (cos ф ± i sin ф)] = 0.
23. Допустим, что
х', + 1=(х2 + рх +	9)(х2 + р'х+9') =
=** + (р + р') X* + (9 + я' + РР')	*2+W	+ 9Р') X + qq'.
Для определения	четырех независимых р, q, р'	и	q'	имеем	четыре	урав¬
нения:
р + р'=0,	(1)
РР' +9+9' =0,	(2)
Р9'+9Р'=0,	(3)
qq' = 1.	(4)
Из (1) и (3) находим: р’— —р\ p{q'—q) — 0.
1° Допустим: р — 0; р'— 0; q + q' =0j qq'= 1; 92 = —1;
<?=+«;	9'	= +«-
Соответствующее разложение имеет вид:
х4+1=1х2+0(лг2—0-
2° q' — q\ 9* = 1; 9 = ± 1.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	233
Допустим сначала q' =9= 1. Тогда рр' =—2; р+р' = 0; р2=2;
р=± г 2; р' = Т 1^2? Соответствующее разложение будет:
х*+1 = (х*—1г2х+1)(х1!+ |/"2х + 1).
Предположим теперь:
9=9'=—1; р + р' = 0; рр' = 2; p=±J'/2t; р' = тУ"а.
Разложение будет иметь вид:
х*+1 = (x2-f- Y 2ix—1)(х*—Y 2ix—1).
24. Положим:
Ya + bi=x+yi,
откуда
a + fci =х2—y‘-J-2xyi;
следовательно:
х2—yz—a; 2xy = b.
Для разыскания х, у остается только решить эту систему двух урав¬
нений с двумя неизвестными.
Имеем:
(х2+р2)2=(х2—р2)2+4х2«/2=я2+ Ь\
х2+у2 = Y^+b*;
поэтому
x*=a + YaF+b*\ у2=—a+/a2+62;
х= ±о+ Yo2 + fc2; у=± й+^о2 + г>2,
причем знаки корней связаны зависимостью 2ху = Ь. Итак, имеет место
следующая формула:
Ya + bi= ± a+ Ya2 + b* + ij/r—a+ /а2 + 62) ,
если Ь > 0 (так как тогда знаки х и у должны быть одинаковы), и
Ya + bi= ± a+Ya^+b*—i-yY —a+Ytf+b*^ ,
если b < 0.
25. Корни данного уравнения определяются формулой:
2/гя . . 2/гя ( 2я , . . 2я\*	,
Xft = cos-^-+i sin-^-= I cos —+ tsin —J ; (k =0, 1, —, n—1).
26. Имеем:
fc = 0	kstQ
где
2it	2я
e = cos	h 1 sln —.
n	n
Иташ
n-i
£ x£ = 1 -f er+e2f+... +e«n-«P-
ft=o

234	решения
Но
_	2рл , . . 2рп
гР= cos -— +1 sin -Р— .
п	п
Легко видеть, что еР— 1 тогда и только тогда, когда р делится на л.
В этом случае:
s = n.
Если же гр Ф 1, то
р пр 1
5= 1 +ер + в^+ ... +Е("-,)^= бЯ_1 = о,
так как ъпР = 1.
Итак:
Л-1
^^х£ = и, если р делится на л, и
k = 0
И — 1
если р на п не делится.
А=о
27.	Имеем:
П —1	Л —1
2^1 Ак р =
fe = 0	k—0
Но
Д*Лй = (х + ^ей + ге2Й+... +ше(п-1) k) (x+pe-ft+ze_2ft-f-...
... + ше-(п-1)*)=хх + {/{/+ ... +шш +
+ х ({/e_ft+ze~2ft+	.ше_(п_,)	*)	+
+ peft(x+ze_2ft+ ... +ше-(п-,) ft) +
+ ze2S (x + pe_ft + ... + ше-(п-,) *) +
+ ше (п-1) k (х + {/e-ft+ ... +ue-(n_2) *).
Поэтому
П-1
2 AkAk=n(\x\*+\y\2+	+	i®	i2)+
А=0
4**2 (5e-ft4-2e_2A:4* • -■ +ьуе“<"-1)*)-Ь
k—o
п — i _	  _
4-^2 (*е*4-ге-й4-+K/e~tn"*)*) + ...
Но
ft=о
Л-1
.. - + ® 2 Й("',} *+у“(и-^+ ... +ив*).
k-1
2 e'ft=°.
А=о
если / не делится на л (см. задачу 26).

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	235
Поэтому все суммы, стоящие в правой части, обратятся в нуль, и мы
получаем:
И0|2+|Л1|*+...+Мп_1|г = п{|х|* + |{,Р+...+|И2}.
28. 1° Обозначим корни 2л-й степени из единицы через xs, так что
2sn . . 2sn .	, о	о ,
*s=cos —+ i sin — (s=l, 2	2n).
Поэтому
5 П	Л-l	Stl — I
x!n — l = Д (x—xs)= Д (*—**). Д (X—xs)-(x’— 1),
S= 1	S= 1	s=n	+ l
так как =— 1; х2и = 1. Но	■*$»	следовательно:
*2"_ 1 = (*2_ 1) Д (*_*,) {x-~xs) = (Л2-1) П ( х2-2х cos ~ + 1 ) .
Остальные случаи доказываются аналогично.
29. 1° Перепишем равенство 1° предыдущей задачи следующим способом:
х™~2+х‘п -1 + ... + х2 +	1 = Д	( х2 - 2х	cos	- +1 ) .
S=1	'	п	/
Положим в этом тождестве х=\. Имеем:
п= Д (2_2cos	=	Д	4	sln2 ™ =
5=1 4	J	S=1
os (л l) • * ^	•	9	,	«	(fl ■” 1 ) JX
= 2* sin2 — • sin2 — ... sm2 -—.
n ti	n
Отсюда действительно:
. л ,	2л	. In — 1)л	У п
sm — • sin — ...	sm  	— =	.
п п	п	2"-1
2“ Решается аналогично 1°.
30. Имеем:
хп — 1 = {х—1) {х—а) (х—Р) (х—у).. .(х—%).
Отсюда
я"-1-]-*"-2-}-... +х+ 1 =(х—а) {х—Р).. .{х—Я).
Следовательно,
(1_а)(1-Р)...(1_Я) = л.
81. Составим уравнение, корнями которого будут:
Х^ 1, Х2 1,	хп 1.
Это уравнение имеет вид:
(*+1)"+(*+1)"-,+ -..+(*+1) + 1=о>
т. е.
(х+1)п+,-1	(v+i)»+i_i	п
х+1—1	х

236	РЕШЕНИЯ
Далее, составим уравнение с корнями:
1 1	1
х,-1’ х2—1 ’	хп—1 ’
Оно будет иметь вид:
\х+ )	1	(1+>:)"+1—х"+1
=0.
\_
X
Развернув последнее выражение по степеням х, найдем;
(п + 1)хп + (”+^)пхв-1+...==°,
или
*"+•5-
Но сумма корней этого уравнения равна —. Следовательно,
■	Ч,....,	'	■
х, — 1 х,— 1	х„—1	2
32. Рассмотрим уравнение (считая за неизвестное t)i
хг . У2 . г2 . -
t —Ьг t—с2 '
В силу данных уравнений это уравнение имеет три корня: р2, v2, q2. Раз¬
вернем последнее уравнение по степеням t. Получаем:
*(<—62)(< — с2)— x2(f—b*)(t — с2)—уг (t—c*)t—zz{t—b*)t= 0,
Z»+aZ2+...=0,
где a = —Ьг—с2—х*—уг—г2.
Но корнями этого уравнения (как уже было замечено выше) являются:
р2, V2, е2. Поэтому должно быть:
р2 + v2+e2 = 62+c2+x2+p2-f-z2.
Отсюда
x2+p2 + z2 = p2 + v2 + g2—Ьг—с2.
33. Так как cosa + t'sina есть корень данного уравнения, то имеем:
П
2pft(cosa + /sina)"-*=0 (считая р0=1)
или
Но
поэтому
k=0
п
(cos a +Z sin а)" 2 Pk (cos а-f- i sin a)-*=0.
fe=0
(cos a -f f sin a) “1 = cos a—i sin a,
n
2 (cos a—i sina)ft=0,
n
2 Pft (cos —* sin afe)=0.
fe=o

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	237
Отсюда, действительно:
П
2 Pk sin ka=p, sina + p2 sin 2a+ ... + p„ sinna = 0.
k — Q
34. На основании данных задачи имеем тождественно:
жп+р1хп-,+р2хп-2+...+р„_1х+р„=(х— а)(х—b)...(x—k).
Подставляя сюда вместо х сначала i, а затем —I и перемножая почленно,
получим искомый результат.
35. Вычитая два данных уравнения почленно, найдем:
(р—р')х + (9—<?')= 0.	(1)
Умножая первое из уравнений на q’, а второе на q и вычитая почленно,
будем иметь:
(<?' — 9) +* (Р9' —ЯР') =0.
х*(Я'—Я) + РЯ'
'-9Р')=0. \
—9Р'=0. J
(2)
Исключая теперь из уравнений (1) и (2) х, получим искомый результат.
36.	Корни уравнения
х7 = 1
суть
2kn , . . 2kn	n	. о	сч
cos -y- + ism-y- (в =0, 1, 2, ..., 6).
Поэтому корнями уравнения
х"+х3+х4+х*+х2 + х+1 =0	(*)
будут:
xft = cos^ + isln^	(* = 1. 2, 3, 4, 5, 6).
Положим
1
■* + — = </.
1 X
тогда
*,+^-=9г—2; **+р-=9’—Зр.
Уравнение (*) можно переписать следующим способом!
(«■+?-)+( «•+^)+(«+т)+1-°-
Легко видеть, что
*2	*S*
1	,	—	о	2*л
% +— =X* + Xft = 2 cos —.
Отсюда можно заключить, что величины
„ 2я	4л	„ 8я
2cos-y-, 2cos-y, 2cos-y
являются корнями следующего уравнения:
y*+yz—2у —1=0.

238	решения
Построим уравнение, корнями которого была бы величина:
■3 Г 2л 4 /'„ 4я -2	8я
у 2 cos -у , у 2 cos -j-, у 2 cos -у.
Пусть корни некоторого кубического уравнения
х*—ах2 + Рх—с=0
будут
т	“• р- Y-
Тогда имеем:
а + р+у=а; ар+ау + Ру=Р; аРу=с.
Пусть уравнение, корнями которого являются величины р/a, p/р, р/у >
будет:
Xs — Ах2 + Вх—С=0.
Тогда:
i/^+yj+y^A; р/a |/"р+£/a j/^+j/'p У~у=В;
p/ару = С.
Воспользуемся следующим тождеством:
("г+р+9)s =ms+ps+92+3 (т + р+9) (mp + +р^) —Зтр9.
Полагая здесь вместо т, р и q сначала р/a, p/р, р/у» 0 затем р/сф^
р/ауГ р/Р\\ найдем:
Л" = а + ЗЛВ—ЗС,
В* = Ь + ЗВСА—ЗС2.
В нашем случае имеем: а=— 1, 5 = —2, с = 1, С=1. Отсюда
Аг = ЗАВ — 4,
В3 = ЗАВ —5.
Перемножая эти уравнения и полагая АВ=г, найдем:
z*—9г2 + 27z—20 = О,
(г—3)2 + 7 = 0,
z=3— р/ 7.
Но
•i42 = 3z—4=5—3 р/7^ A = j/~5—Зр/7Г
Поэтому, действительно:
р/”а + р/ Р+ р/^= }/"2cos у + l/*2cos	j/"2cos у =
= -^5_3jJ/7:
Совершенно аналогично доказывается и второе тождество.
37.	Так как по условию а+Р + с = 0, то мы можем считать, что а, Рис
являются корнями следующего кубического уравнения:
х' + рх+9 = 0,
где
р=оЬ+ос + Рс; 9=—abc.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	239
Имеем:
(а + 6 +с)2=а*+6*+с! + 2(а6 +ас+6с),
т. е.
s2=—2р.
Полагая в нашем уравнении последовательно х=а, х = Ь, х=с, получаем:
а*+ра + <7 = 0,
6*+р6 +9 = 0,
с*+рс + q = 0.
Складывая эти последние равенства почленно, находим:
s«+Psi + 3<?=0.
Но так как s1 = a + 6+c=0, то s,= —3q.
Умножая предварительно обе части нашего исходного уравнения на хп,
полагая затем в нем х=а, 6 и с и складывая, найдем:
sft+»= —Psk+1—?sft-
Положим здесь k — \, 2, 3, 4. Найдем:
s4 = 2рг; ss = 5p<j; se = — 2ps + 3<7*; s7=—7 p2q.
Пользуясь этими соотношениями, легко докажем первые шесть формул.
Так же легко доказывается и последняя формула.
38.	Имеем:
х—u = v—у;	х2—u2 — v2—у2.
Второе равенство перепишем следующим образом:
(х—и) (х- + и)—(v — у) (v + у) = 0.
Так как к—u — v—у, то это последнее равенство запишется так:
(х—и) [x+u—(v+y)]=0.
Отсюда следует:
1°	х—и = 0;	v—у = 0; х = и; y = v;
2° (x-J-u)—(в+р) = 0; {х—и)—(v—y)=0; x = v; у —и.
Следовательно, действительно:
*" + ^” = и"+о".
Перейдем ко второму случаю. Допустим, что х, у, г являются корнями
некоторого кубического уравнения:
а5 + раг + qa + г = 0.
Докажем, что м, v и t будут корнями этого же уравнения. Имеем:
х+у+г=—р-, xy + xz+yz=q; xyz=—r.
Отсюда ясно, что для того, чтобы доказать, что и, v и t являются
корнями того же уравнения, что х, у иг, достаточно доказать, что
u + v + t=x+y + z,
uv + ut + vt =ху + хг + уг,
uvt — xyz.
Первое из этих равенств справедливо по условию. Второе вытекает сейчас
же из тождества
2 (ху + хг + рг) = (х+р+г)2—(х2+рг + г2)

240
РЕШЕНИЯ
и из условия
x2+{/2+z2=u2+o2 + /2.
Равным образом, третье равенство следует из тождества
3x{/z=x»+{/s + z* + 3 (*+{/+г) (ку+хг+уг)— (* + {/+z)s
и из условия
*’+02+z2 = «' + v‘ +1‘.
Итак, и, v, t являются корнями того же уравнения третьей степени,
что и х, у и z. Поэтому имеет место одна из шести возможностей:
и
V
t
X
У
Z
У
X
г
X
Z
У
У
Z
X
Z
X
У
г
У
X
Очевидно, что во всех случаях будет:
хп + уп + z"=u" + vn +
39.	Возведя в квадрат первый из трехчленов, получаем:
А2 = (*? + 2х2х2) + (х2 + 2х,х2) е + (х2 + 2х,х,) е2.
Далее:
А*=(х\+х\ + х\ + 6х,х2х,) + (Здс\хг + Зх2х, + Зх2х„) е +
+ (Зх^х, + Зх'х, + Зх2х2) е*,
Положим:
Далее:
а=х21хг+х1хг+х11х1,
P=x,x2+x2x2+x,xJ.
*\ + *2 + х\ = — (P*i + Я) — (рхг + q) — (рх3 + q) = — 3?,
*1+*2+*» = 0-
¥Л=—1.
так как
Кроме того,
поэтому
Л2 = — 9<? + Зае + Зре2.
Переставляя х, и х„ найдем также:
В’ =—9<? + Зое2 + Зре.
Отсюда
А’ + В’ = —18<7—За — ЗР = — 27q,
так как
а + Р =*!■*, (лгх + х2) + x2xs (х2+д:,) + х,х, (х, + х,) = —Зх,х2х, = 3q.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	241
Так же получаем:
А*-Ва = — ’Zip2.
Нужно только иметь в виду, что
ар = Зх\х + (xjx* + Jtj*;++ х\х^с, + х4*,*,,+xjx**, =
— 3^2 +A'Jx’x’ { — -[ --j + X,XjXs (.*J+X2+■*,)•
\ х\ **
причем
±+±+± = _з_р!
х\ х* xl Я Ф'
40. Положим:
a + b = c-\-d=p.
Имеем:
(х* + рх+а6) (x2+px-\-cd)=m,
или
[(х+ f),+ab~i\ [(x+i J+Cd -Pi] =m-
Пусть
(*+f)W
Тогда уравнение принимает вид:
^y+ab-ETj ^у +Cd-E^=m,
y*+[ab+cd—(cd-^)“m= О-
Остается только решить это квадратное уравнение.
41. Введем подстановку
а+6
х=у г,
тогда:
,а—6	,	а—6
х + а=«Н—g— ; х + Ь = у	g-.
Уравнение принимает вид:
/ а—. ( а—
(»+-г-)+(»--5-J =«•
Но
( a—6Y1	.	.а—6	2/ а—6\* , . /а—6\* /а—6\4
(* + —J “И+V —+«**(—) +4^'v — j +(~rj ’
поэтому уравнение примет вид:
л « У а—&V • . У а—Ь\* с
У*+*{^г)Уг+(—)^-
Итак, задача привелась к решению биквадратного уравнения.
т. е.

242	решения
42. Положим для краткости:
я + Р +с=р
и введем подстановку:
х + Р=У-
Имеем:
(У—а) {у—Ь) {у—с) р—аЬс(у—р) = 0.
Отсюда
р{р’— (я + Р+с) р*+(яР + ас + Рс) р}—abcy=0,
или
р {(я + Р + с) р*—(я + Р + с)2 р+(яР + ас+Рс) (а + Р + с) —аРс} = 0.
Итак, для р находим три значения. Одно из этих значений равно нулю,
два другие получатся как корни квадратного уравнения. Затем легко найти
и соответствующие значения х.
43. Уравнение перепишем следующим образом:
(х + я)2—ЗРс(х + я) + Р2 + с5 = 0.
Положим х+я = р. Уравнение примет вид
р2—ЗРср + Р2 + с' = 0.
Но известно (задача 20, § 1), что
Р2 +Ь’+са—ЗРср=(р + Р+с)(р2+Р2+с2—рр— ус—Ьс).
Следовательно, один из корней последнего уравнения будет —Р—с, два
другие найдутся решением квадратного уравнения. Затем находим соот¬
ветствующие значения х.
44. Уравнение содержит пять коэффициентов: я, Р, с, d и е. Между
этими коэффициентами существуют две зависимости. Таким образом три
коэффициента остаются произвольными. Выразим все коэффициенты через
любые три.
Имеем:
a = c+d; е=Р+с.
Уравнение примет вид:
(с -f d) х* + Рх2 + сх2+ dx + (Р + с) = 0,
С (х4+х2 +1) + dx (х2 +1) + Р (xs +1) = 0.
Но
х» + 1 = (х + 1)(х2-х + 1),
х‘+х2+1=(х‘+2х2+1)—х2=(х2+1)2—х2=(х2+х + 1)(х2—х + 1).
Уравнение теперь перепишется так:
(х2—х+ 1) {с(х2 + х + 1) + dx (х +1) + Р (х +1)} = 0.
Приравнивая нулю первый множитель, найдем:
1 . Уз
Х~ 2±( 2 '
Остальные два корня найдутся решением второго квадратного уравнения.
45. Имеем следующую формулу:
(я + Р +х)2 = я2 + Р2 + Xs -f За2 (Р + х) -J- ЗР2 (а+х) + Зх2 (а + Р) + 6 аРх.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	243
Пользуясь этой формулой, приведем наше уравнение к виду
Xs—(а + Ь)хг— (а—Ь)г х + (с— Ь)г (с + Ь) = 0.
Отсюда
х2(х—а—Ь)—(а—Ь)2(х—а—Ь) = О,
(х—а—Ь) [х2—(с—Ь)2]=0,
(х—а—Ь) (х + а—Ь) (х—а + Ь) = 0.
Таким образом, данное уравнение имеет три корня:
_	х	—	а-\-Ь\	х	=	а—Ь\ х = Ь — а.
46.	Перепишем уравнение следующим образом:
а2х2 2ах2 , 2ах2
Следовательно:
Отсюда
(а + х)2 а+х	а+х'
[ и V ,	2ахг
х г— I =т2	;— ,
\ а+х/	а	+	х
х4	,	2ах2
-—,—«=т2	,— .
(а+х)2	а	+	х
Положим —-р-= у. Тогда уравнение примет вид:
уг + 2ау—тг = 0.
Отсюда находим у, а затем по найденным значениям у отыщем и зна¬
чения х. Для у находим следующие значения:
[у=—а±У аг+тг.	(1)
Значения же х определятся по формуле:
* = |-±	\	+	ау.
(2)
Возьмем в формуле (1) знак плюс. Тогда соответствующее значение у
будет больше нуля. Вычислим для этого значения у по формуле (2) значе¬
ния х. Убеждаемся, что х имеет два значения: одно положительное, а дру¬
гое отрицательное. Итак, наше уравнение всегда имеет, по крайней мере,
два вещественных корня: положительный и отрицательный.
Рассмотрим теперь тот случай, когда в формуле (1) берется знак минус.
В этом случае значение у отрицательно и для вещественности х необ¬
ходимо и достаточно, чтобы «у2 + 4а г/22:0. Но, следовательно, должно быть:
{/ + 4а^0,
т. е.
—а— У^а2 + ш2+4а g О,
m2S8a2.
При соблюдении этого условия все четыре корня будут вещественны.
Так как ау < О, то

244
РЕШЕНИЯ
и, следовательно, оба вещественных корня, найденные в предположении,
что в формуле (1) имеет место знак минус, будут отрицательными. Итак,
если все четыре корня вещественны, то один из них положительный, а три
отрицательные.
47.	Положим для краткости:
5*« + Ю*»+1
**+ 10as + 5
Тогда уравнение примет вид:
f(x)-f(a) — ax.
Далее, имеем:
(х — 1)*
x—f (*) =
* + /(*) =
V+10xs+5
(*+l)5
x*+ 10x*+5 ‘
Деля первое из этих равенств на второе, найдем:
х—f (х) (х—Р5
*+/(*)
Обозначим:
■(*})'
1	а — 1
=у;	-г-г^ь.
х+1	Q	+	1
Из равенства (*) получаем:
x-f(x)=-ysx+ysf(x)
x(l—ys)=f{x)(l+y‘)
f{x)_ 1 -у*
х 1 + у*'
Совершенно аналогично имеем:
/(fl). 1-Ь‘
а 1 +	'
Наше уравнение можно переписать теперь так:
1 —у5	1	+	Ь5
\+у*~1—Ь‘ '
откуда
у*=—Ъ*.
Это же уравнение имеет пять корней, именно:
У к — —bzk	(ft=0, 1, 2, 3, 4»
(*)

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ПОЛИНОМЫ	245
следовательно:
\+Ук 1	(£J + i)_(c_1)ea
* 1—Уь 1+Ье* (а+1) + (а—1)е* *
Далее:
к	к_
(а +1) е 2—(а—1)е2_
хк—	_к_	к_~
(а+ 1)е * + (а—1)е2
ft ft	Aft	nk	. . nk
fl(B 2 — e2) + e 2 +e2 cosl fasin-5~
ft ft  ft ft	Jl£	.	,	nk	■
а(в Г+е2) + е 2 —e2	°C0ST“ ' T
В частности, при &=0 получаем решение:
1
х0=-
48.	Преобразуем левую часть уравнения. Обозначим сумму, стоящую
в левой части, через Sm. Тогда:
S, = l+ а' ■
х—аг (х—а,)(х—a*) (х — a,) (х — aj ‘
Докажем, что
х2т
S”>-(X—ai)(x—a2) ... (х—a2ffi) '
Допустим, что равенство справедливо при m = n, и докажем, что оио будет
справедливо и при m=n+l. Имеем:
х2"	  a!,„+,x2"
2п)	(*	Cl)
С»» + 2^гП + *
£	___	^	■	Ц8П + 1Л	j
П+1	(х—а,) ... (х—ajJ^fx—а,) ... (х—аг„) (х—а2п+1)'1'
+
(х—а,) ... (х—аш+г)'
Приведя правую часть к общему знаменателю и проделав необходимые
преобразования, действительно получим:
хг"+а
(х—а,) ... (х—агп+х)'
Теперь наше уравнение примет вид:
х2т—2рхга + р2
(х—а,) ... (х—агт)
=0
(хт — р) (х"1 —р)=0.
Уравнение имеет т двойных корней.
49.	1* Имеем: х1+хг+х,= —р; х,хг+х,х,+х2х,=р; x,x,Xj = —г.

246
РЕШЕНИЯ
Пользуясь первым равенством, находнм:
Из равенства третьего имеем:
Остается только построить квадратное уравнение, которому удовлетво¬
ряют х2 и х,.
2° Решается аналогично предыдущему.
50.	1° Пользуясь тождеством задачи 4 этого параграфа, мы можем нашу
систему переписать следующим образом:
Для того чтобы найти все решения данной системы, нужно рассмот¬
реть все возможные 27 комбинаций. Таким образом, мы получим 27 сис¬
тем, каждая из которых содержит три уравнения, линейные относительно
неизвестных х, у и г.
Если каждой из этих систем дать трехзначный номер, в котором место
цифры будет соответствовать номеру уравнения, а сама цифра — номеру
сомножителя в этом уравнении, то эти 27 систем запишутся так:
Например, в системе 213 из первого уравнения взят второй сомножи¬
тель, из второго уравнения взят первый сомножитель и из третьего урав¬
нения третий сомножитель, т. е. системой 213 будет следующая:
г/+гв + аег = 0, г+х + Ь = 0, х-}-уЕг + <ж = 0.
Приведем еще несколько систем в развернутом виде:
(у + г + а)(у+гв + ае*) (у + ze* + се) = О,
(z-fx + b) (z+хе + Ье*) (г + хе* + Ье) = 0,
(х + г/ + с) (х+^Е+СЕ!)(х + г/Ег + се)=0.
111,	112,	113,	121,	122,	123,	131,	132,	133,
211,	212,	213,	221,	222,	223,	231,	232,	233,
311,	312,	313,	321,	322,	323,	331,	332,	333.
(/+z	+о	—0,	г + х -J-b —0,	х-\~ у	+с —О,
у+гг	+ се* = 0,	z+xe* + 6e* = 0,	х+уг	+се* = 0,
{/ + ze* + oe	=0,	г + хЕ* + 6е =0,	x-J-«/e*+ce =0,
y-\-z	+о	=0,	г+хЕ + Ье* = 0,	х+#е	+ ce*=0
(111)
(323)
(333)
(122)
и Т. д.
2° Имеем:
х*=хуги -f- о,
tf=xyzu + b,
z* = xyzu+c,
ut—xyzu + d.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	247
Перемножая эти уравнения и полагая xyzu — t, найдем:
<4 = (<+a)(< + b)(< + c)(f+d).
Отсюда для определения t имеем следующее уравнение:
(a+b + c-J-d) t* = (ab +ac+ ...) f* + (abc+acd + ...)< -\-abcd = 0.
Ho
a + b+c + d = 0,
поэтому для нахождения t получаем квадратное уравнение. Найдя t, легко
получаем х, у, г и и.
51. Имеем:
П 4-х^"+1	1
1 + <1 + *) + (1 +*)* + ...+ (1 +*)” = (1+ х) t =
П+1	П+1
=U^c"+iXk~l
к =0	’	fc=	1
Отсюда следует, что член, содержащий хк, будет:
r'k+i k
/i+i ■
52. Имеем:
(х+1)"= 1 + С’х + С* х* +... +С?-* х,г_,+С*ху+... +хп.
Так как этот многочлен умножается на трехчлен второй степени:
(s—2) xl + nx—s,
то ясно, что коэффициент при Xs в произведении будет равен:
(s-2)C*—г + «СГ‘-*С‘.
Произведя необходимые преобразования, получим, что это последнее выра¬
жение действительно равно:
пСп~2-
53. Положим:
х = 1 + а,
гдеа > 0 (так как х > 1).
Тогда имеем:
px4—qxP—p+q = p{\+a,)q—q(\+aY—p+q =
= р |l+ga+?^~^a2+... j—q |l + pa + P(^ 2 ^a8 + ... j — p+9 =
= (Pcp—9Cp) + (PCJ~0Cp) a* +...
Так как q > p, то можно доказать, что в разложении все члены будут
положительными [коэффициент при а* (если k > р) будет равен рСк]. Таким
образом, для того чтобы доказать справедливость нашего утверждения,
достаточно доказать, что
д = рс*—?С*>0,
если q>p и £i£p.

248	решения
Имеем:
. _п9(<?— О (9—fe + 1)	Р(Р—1)	(р—fe + 1)
v 1-2.3 ... k	4	1-2-3 ... k
= ^{(<7-1) (<7-2) ... (<7-fc + l)-(p-l)(p-2) ... (p_ft + i)}>0,
так как
<7—1 > p—1;	<?—2>p—2;...
54.	Пусть искомый наибольший член будет:
Tk — Ckn xn~kak.
Этот член должен быть не меньше двух рядом с ним стоящих членов
и Tk+i- Таким образом, имеют место неравенства:
= il Tk>:Tk+1-
Отсюда
* ■-==!.
п—й + 1 а —
п—k а <
k + 1 х *
Первое из этих неравенств дает:
^£("+1)° _
— х+а
Из второго же получаем:
fcS(n + lL0_L
— х +а
(п+1)а	(n+	1) а
Попустим сначала, что -——1 	целое число. Тогда и 	—— — 1
J	х	+	а	х + а
будет также целым числом, и так как k есть целое число, удовлетворяющее
неравенствам
(п_+_!!с_1	(п+1)а
х + а — — х+а	'
то k может принимать два значения:
ft = (2±iif, =
х + а	х + а
В	этом	случае	существуют два	смежных члена,	которые	равны	между
собою, но	больше всех остальных. Обратимся	к рассмотрению того случая,
(п +	1)а	_
когда —Ц—<	не целое число. Тогда имеем:
х + а
(«+!)«. Г(п+1)а~|	„
х+а	I х + а J +	*
где	0 < 0 <	1	(о	символе	[ ] см. задачу 35, § 1).	Наши	неравенства	в	этом

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	249
случае примут вид:
r(n + U«l +01
к-
х+а
(л+ 1)о
х + а
Легко видеть, что в этом случае существует только одно значение к, удов¬
летворяющее нашим неравенствам, именно:
‘-рЙЗ-*]-
(п+1 )0	гг
Итак, когда х _^_^ не целое число, то существует только один член с д,
больший всех остальных.
55. Пусть I и т—некоторые целые положительные числа. Имеем:
(x + \)m-xm = rnxm-l + m('™ ~-')хт-г + ...+тх + 1.
Заменяя здесь х через х + 1, получим:
(х + 2)»-(*+1)»=т(х+1)"-1 + т (”~!) (х + 1)т~г+ ■. ■ +т (х + 1) +1.
Вычитая из этого равенства предыдущее, найдем:
(х + 2)т—2 (х+ 1)т+хт=т(т—1)x'n_a + pIA:m-s+ ...
Аналогично получим:
(х + 3)т—3 (х + 2)т + 3 (х + 1)т —хт=т (т— 1) (т—2) х1"-’-}- ргхт~*+...
Методом математической индукции можно доказать следующее общее тож¬
дество:
(х + i)m - у (x + i-lT+i-y^ (x-H-2)m+... + ( -1 )lxm—
= m (m—1)...(m — i1) xm-' + pxra_,_l + ...
Отсюда легко получить, что при i = m
(х + m)'“ — у- (х + т — 1 )т+(х + т—2Г + .. • + ( — 1 )mx“ = ml
Если же i > т, то получаем:
(х + /)"-у (х + /- l)m+-1T2~- (x + i-2)m + ...+(- l)‘xm = 0.
Полагая в этих последних равенствах х=0, находим искомые тождества.
56. Имеем:
(х + ш)"=хп + С* х"-1 al + Сгпхп-г агР + С’х"-5 а3/* + ...==
= {хп—C*xn-V + С^хп-4с4—...} + « {С^х"-^—С’х"-За3 + ...}.
Переходя к сопряженным величинам, получим:
(х—ai)n = {хп—С* х"-2аг+CJ x“-V-. -. l-i {С>„ xn~la-C*n хп-!а3
Перемножая почленно оба эти равенства, находим искомый результат.

250	РЕШЕНИЯ
57.	1° Наше произведение мы можем записать следующим способом:
п	п	гп
2 **2 *‘=2 At^'
s=о “о	“о
Отсюда следует, что
^=2 1
S+7= /;
0<5<П
оШ‘Шп
Допустим сначала 1^п. Тогда s может принимать значения s=0, 1, 2.../
и, следовательно:
A i=l +1,
если 1^п.
Если же л < I 2п, то положим:
l = n + V,
где :Sn; Г = 1—п.
В этом случае s может принимать только следующие значения:
s = Г,	V +1, ... , п.
Всего значений будет:
п—(Г — 1) = л—(/—п—1)=2я—1+1.
Итак:
Лг=2л + 1—I, если п<1^ 2п.
Легко видеть, что Л„_* = Л„+^ = п—й + 1.
В самом деле, развертывая произведение, непосредственно получаем:
(1+х+х*+... +х") (1 +х+х‘+... +хп) = 1 +2х + 3х* +... + пхп~1 +
+ (п +1) хп + пхп+1 + .,. + 2хгп~1+хт.
2° В этом случае имеем:
П	П	2П
2 (—о* ^	2	2
s = 0	Г = 0	1 = 0
Отсюда	ф
Л|=2 (-!)*•
/ = S + C
о—	s< п
л
Рассматривая опять отдельно случаи, когда /^п и когда 1>п, при¬
ходим к выводу:
если /£= л, то Л(=-У^——,
если 1>п, то Лг=0 при / нечетном и
Лг = (—1)" при I четном.
Таким образом, Лг=0 при любом нечетном /, т. е. произведение содер¬
жит только четные степени х. При этом, если п четное, то все коэффици¬
енты (у четных степеней) равны +1, если же п нечетное, то половина

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	251
этих коэффициентов равна +1, а половина равна —1.
{А0 = Аг — ... = ЛП_, = +1; А„+1 = Ап+г =... = Агп = — 1)
3° Имеем:
п	п	tn
у (*+i)**2(s+1)^=2 Ai*1-
ft=о	s=o	Т=о
Отсюда
^i=2 (*+i)(s+i)=s (*s+/+i)
fc+s=:	k+s=t
o^k<n	o< feSS n
o< sS»	oSs^n
Предположим сначала, что l^n, тогда k может принимать только
следующие значения: 0, 1, 2	/.	Соответствующие	значения	s	будут:
/, /-1 0.
Поэтому
л=2 [*(/-ft)+/+i]=/2 У ^+а+1)2=-/+1)(/|2)(/+3),
k=o	~	6
й=0
считая известным, что
1» + 22 +... + Р = КУА-ЩЫ +1)
(см. задачу 25, § 7).
Допустим далее, что п<(^2п, и положим / = « + /', где l^=/';Sn.
Тогда k может принимать только следующие значения:
/',/' +1 п
и, следовательно:
At=y. (fts+/+l)=V lk(l-k) + l+l) = l V ft_V *2 + (/+l)(2n_Z + l)=
k+s=l	k^F-s	k=l—n k=l—n
(2n—I + 1) (Z2 + 2Z +2) (I—n—1) (I—n) (2Z—2n—1) n(n + l)(2n + ])
~ 2 + 6 6
4° Решается аналогично предыдущему.
58. 1° Имеем:
1+С' + С2 + С* + ...+С^-,+С^ = ( 1 + 1)” = 2«,
i-ci+c*-c*+...+(-i)"cs=(i-i)"=a
Складывая эти два равенства, а затем вычитая, получаем искомое тож¬
дество.
2° и 3° сводится к 1°, если принять во внимание, что С2П = С2Я_
59. Рассмотрим тождество:
(j + *)»=с® + С'пх + С'х* + Су +...+С^- хп~' + Спп хп.
Положим в этом тождестве последовательно х—1, е, е2, где е2 + е + 1= 0.

252
РЕШЕНИЯ
Получаем:
2'‘ = С®+С|1 + С2+С2 + ...
(1 +е)" = С® +С*е + С'е2 + С*е3+ ...
(1 +е8)" = С® -f- CJjE* + С* Е4 + С’Ев + . . .
Но 1+е*+е'*=0, если k не делится иа 3, и 1 +eft+e2ft=3, если k де¬
лится на 3.
Следовательно:
2" + (1+е)" + (1 +е')"=3 {С®+С*+С® +...}.
Так как для е можно принять значение
2л
2л
e = cos-g- + isin-g- ,
4л	. . 4л я	... я
1 —f— Е = — Е =	—COS -g	J Sin -g- = COS -g -f« sin —
2я	. , 2я	я	. . я
1 +Ё* = —Е = 	 COS	-g	J Sin -g- = COS -д	I sm -д- .
Поэтому
TLTL
2"+(1+е)"+(1+Ег)" = 2"+2со8-д- .
Отсюда и получаем:
ch +Cn +Сп +-"=_з (2" + 2 cos -g-) .
два другие равенства получатся аналогично предыдущему при рассмотрении
сумм:
2"+е (1 + ё)" + е2 (1 +е2)",
2"+е2 (1 +е)" + е (1 +Е2)”.
60. Решение аналогично решению предыдущей задачи. Рассмотреть
(1+*Г-
k(k— 1) k2	k
61. Так как Ck = ——=-g—g
Следовательио,
, то
2 C\ = k*—k.
>2 Cl =2 *'-2
R==2	ft	=	2	T=l
k.
Отсюда и получается наше тождество.
62.	Пусть о, = С*; аг = С*+1:	o,	=	C*+2j	о4	=	С*+2.
Тогда:
а2_п—k
Од п — k—2
я» fe+3
а, п—k—1
k + 2	*

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	253
Остается только доказать:
1.1 2
1+fi. 1+^i-	1+-^-
а,	а,	аг
63.	Если переписать наше равенство в виде:
п! . л! , п!	п\
= 2П-1,
1!(п — 1)! 1 3! (п—3)! 5! (п—5)!	(п	—	1)!	1!
то задача сводится к доказательству следующего соотношения (см.
задачу 58):
Сп + С?« + • ■ • + Cn_1 =2"-1-
64.	Рассмотрим равенство:
( I , ./з\“	(	2л	.	2л\"	2пп	. . 2пп	,
\-2+1~2-) =1С08Т + ,“,ТУ ^cos-y + rsm-g-.	О
Далее:
+ C2(-i /3)2+С* (-1^3)* + ...} =
{1 —3Cn +■•■-/ /З (d -ЗС* +32C‘-3*C’ +...)}.
-^3(C^-3C*+32C‘-3*C’ + ...)=(-l)n 2”
sm -
Приравнивая коэффициенты при l в обеих частях равенства (*), получим:
2пл
тг •
Отсюда
= 'С'п-ЗС* +32С‘-3*С’„ + ...=(-IV»+* у= sin^ .
Отсюда легко получаем:
s=0,	если	я нз 0 (mod 3),
s = 2"-1, если пз= 1 или 2(mod 6),
s =—2п~1, если n = 4 или 5 (mod 6).
65.	Рассмотрим выражение:
(1+0".
Имеем:
(1 + 0" = 1 + С* /+С2/8 + С*»'5 +...
Отсюда
<1+0" —(1— с2+С*„-С»+ ...) + !((-— С*+С‘ —...).
Но
l + i= /T^cosy + jsinyj .

254	решения
Поэтому
п
0=1—С*+С4—С“+ ... = 22 cos^
o'=C^-C*+C2-C; + ...=22sin^.
Отсюда следует, что, если п = 0 (mod 4), т. е. n=4m, то
а = (— 1)т2гт; о’ = 0.
Если же n = l (mod 4), т. е. n = 4m + l, то
о = о' =( —1)га 22т.
Далее, если п = 3 (mod 4), т. е. n=4m + 3, то
a==(_l)ffl + i 2«m + i. 0'=(_!)<» 2ИЛ+1.
Наконец, если n = 2 (mod 4), т. е. n=4m + 2, то
о = 0, а'=(-1)'”22Я+1.
66.	1. Запишем нашу сумму сокращенно:
s = l-C° +2С>+£С2+...+(л + 1)С" = 2 (ft + l)C*
k = 0
Введем новую переменную суммирования. Положим: k —п—ke, Тогда сумма
перепишется так:
5=2°(«-*' + 1)C"-*' =^(n-k + \)Ckn =
k'—п	k=0
= s" I« + 2- (* +1)] C« = (« + 2) 2" c«- 2"	+1)	cn =
ft =0	ft	=0	ft	=0
= (n + 2) 2"—s.
Следовательно:
2s = (n + 2) 2"; s=(n + 2) 2n_I.
Можно поступать для вычисления этой суммы и несколько иначе.
Перепишем ее следующим способом:
S = (C»+C^+...+Q + (C^ + 2C' + ...+nC") = 2'* + n + 2^=H+
+зП(п-1)(п-2) + ...+п(п-1) + п>1=з
= 2» + n|l+(n-l) + (n~11)(2n~2) + ...+(n-l) + l| =
= 2« + п{С»_, +С‘_, +...+С"-1}=2" + л2'"2 = 2"-1 (я + 2).
2.	Имеем:
с;-2с;н-зс;+...+(-1)“-'.с;-»-2"(*~1|+
+з',("~;'г.з~2|+-+(-1)"-"-
+ ( —1)п-,}=п(1—1)"-*=0.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ft полиномы	255
67.	Перепишем нашу сумму следующим способом:
^ с1 ^ с* I ^ с* I ^	1	Сп-	1
-2 сп—з с«+т сп-• • • + ~т+г сп
п п(п—I) п(п—1) (п—2)	(— I)”-1
2	1-2-3	1	1 -2-3-4	  п	+	1
1	/(л	+ 1)п (n + l)n(n—1)
“п + 1 1 »-2	Ь2+	+	••■+! Ч /-
1 I Г:	п + 1	(п + 1)	п (п + 1)п(п—1)
“п + 1 \ L	1	1-2	1-2-3	'г---
+5+}-,-±5{(,_1Г«+„| = +1
68. 1° Рассмотрим следующий многочлен:
(1 +*)»+»=1 +cjj+1 х+с%+1 **+... +с;£;*»+*.
Отсюда
(1+ДС)п + 1 —1	са С» С*	С"
 ^qpi = ся*+-2**	"3~	+	— + 1ТГ* •
Полагая здесь х=1, получаем искомое тождество.
2° Получается из предыдущего тождества при *=2.
69. Положим
П-1
C"-TC"+TC«+--*+LJl—C"=“'-
Тогда имеем:
(	1 n (n 1) . 1 n (п—1) (п—2) ,	1
2 -ТГ2-+Т	Ь2ТЗ	+--7“
L .	1 (п-1)(п-2) , 1 (п-1)(п-2)(л-3)	}
2	1-2	■‘‘З	1-2-3
in ,fT n, 1 fn(n-l) (п—1) (п—2)\
, 1 \п (п— 1) (п—2)	(я-1)(п-2)(я-3) |
^ 3 1	1-2-3	1-2-3
n —1 , (п—1)(п—2) ,	_
“	1-2	1-2-3
Итак:
1
Un Un-1  п
Поэтому можем написать ряд равенств:
1
«г—«1 = у ■
3
I
ип ип—1
П

256	РЕШЕНИЯ
Складывая эти равенства почленно, найдем:
u«=1 +t+4+---+V
70- 1° Можно поступить следующим образом. Выражение, стоящее в
левой части, есть коэффициент при х", в следующем многочлене:
s = (l +х)п + (1 +х)"+, + (1 +х)п+2+... +(1 +x)n+ft.
Преобразуем этот многочлен. Имеем:
s = (1 +х)" { 1+(1+х) + (1 + х)2 + ... +(1 +x)ft | =
=(1 +*)" <1+Х^+,~1-=т <(1 +*)n+ft+,-(1 +*)"}•
Коэффициент при xn+1 в многочлене, стоящем внутри фигурной скобки,
равен
сп+1
un+fe+i*
Наше предложение доказано.
2° Выражение, стоящее в левой части, есть коэффициент при хп в сле¬
дующем многочлене:
хп (1 +х)п—хп~1 (1 + х)п + хп~2(1 + х)п+...
... +(_1)ЛХ«_Й (1 +Х)П = (1 + х)« {	+ ... +( —1)йх"-й} =
= (1 +x)n_1 { х"+я + (—l)AJCn-A}.
Легко видеть, что коэффициент при х" в последнем выражении равен
(-1 )*cJL,.
71. 1° Рассмотрим следующие многочлены:
п	т
(1+а-)п=2сп^; о +*)"=2]<&а
5=0	t—0
Имеем:
п	т	т+п
(1 + *)» (1 + *Г = 2 С*** 2 Cm** = 0 +^)ra + " = 2 СРт+п*Р-
s=o	:=о	р=о
Отсюда следует искомое равенство.
2° Следует из 1°.
72. 1° Рассмотрим произведение:
(1 +х)" (1 +х)" = (1 + х)2Л.
Имеем:
П	П	2	П
S=0	t — 0	1	=	0
Отсюда
<4= 2 сп сп-
s+t=l
Следовательно:
с"„= 2 сп<=2c«crs=2»
8+<=Я	8=0	8=0

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	257
2° В этом случае рассмотрим следующее произведение:
(1+^)ст(1— л:)т= (1 — л1)®.	(*>
Следовательно,
т	т	т
2 (-1W 2 с',*<=
5=0	*	=	0	/=0
поэтому
2 (-1)*С^„ = (-1)'С^.
S+t=2t
Допустим сначала, что т четное, и положим т = 2п. Пусть 1 = п. Тогда:
2 (-1гад«-'=(-1)пс?п.
а+<=гп
Отсюда
гп
ij(-i)' (сг5„)'=(-1)лсгп„.
5=0
3° Если же т нечетное, то полагаем т = 2л + 1. Коэффициент при
хал+1 в левой части равенства (*) равен:
2П+1
2 (-1)*с‘„+1с*8П+1= 2 (-D* <c«sn+1)'.
8 + < = ГП + 1	S-0
Но правая часть равенства (*) показывает, что этот коэффициент должен
равняться иулю (так как из разложения легко видно, что отсутствуют не¬
четные степени х). Поэтому
ГП +1
V»
St-*)* (с:„+1)'=о
и равенство 3° доказано,
4е Имеем:
С'пх + 2С’хг + ... + пСппхп = пх (1 + х)п~*,
С°п + С'пх+...+ СХ = ( !+*)"•
Перемножая почленно оба эти равенства, найдем:
П	П
2scy 2 спхкапх (! +лГ-«.
s=o	k=0
Приравнивая коэффициент при хп в обеих частях этих равенств, получаем
искомое тождество.
73.	Так как произведение (х—а) (х—Ь) есть трехчлен второй степени,
то от деления на него многочлена f (х) в остатке будет обязательно мно¬
гочлен первой степени относительно х: ах+р. Таким образом, имеет место
тождество:
f(x) = (x—а)(х—6)Q(x)+ax+p.
Остается только определить аир. Положим в этом тождестве сначала
х = а, а затем х — Ь. Получаем:
/ (о) = ао + р,
/(Ь) = а6 + р.
? В. А. Крсчмер

258	решения
Но нам известно, что остаток от деления f (х) на х—а равен f(a). Поэтому
/(а) = А.
f(b) = B.
Итак, для определения а и Р получаем следующую систему двух урав¬
нений с двумя неизвестными:
act +* Р = А,
а/> + р=В.
Отсюда
1 (А-В);
Р =
а— Ь
аВ—ЬА
а — Ь
74. Совершенно так же, как и в предыдущей задаче, приходим к вы¬
воду, что остаток от деления будет иметь вид:
ахг+рх+у.
Для определения же а, р и у имеем следующую систему:
аа2+ Р а + у = А,
ab' + pb+Y = B.
асг+ рс + у = С.
Определив а, р, Y из этой системы, мы можем искомый остаток ax'-f-
+ Р* + Y представить в следующей симметричной форме:
(х—Ь) (х—с)	(х—а) (х—с)	(х— о)(х—Ь)
(а — Ь)(а—с)	(Ь—а)(Ь—с)	{с—а)(с — Ь)
75. Остаток будет:
(х—х,) (х —х,)...(х —хст)	(х—х,)(х—х„)...(х—хт)
(Х|	Х()	(Xj	Х3). . . (Х, Xm)	(Х3	Xj) (Х2	Xj)... (х8 xm)
.	(*	*l) (*	*2)' • ■ {x xm — г)
" (Xm—Xl)(Xm — Xt)...(xm—Xm-l)
76. Искомый многочлен (см. предыдущую задачу) будет иметь вид:
(х	ог) (х	а,).. .(х Ост) ^	| (*	Oi) (х	о»). • ■ (х Q/я)	^ .
(а,— аг) (а,—а,).. .(а,—ат) ‘^(а,— а,) (аг— а,).. .(о,—ат) 8
+ .	“•)(*—1“2) -Ах—'ат~х)_ я
(аСТ ai) (аСТ °2> • • ■ (“я
►кдает, 1
;тановит]
(х—х2) (х — х8).. .(х — хт)
77. Наше равенство утверждает, что тождественно равны два много¬
члена. Для этого достаточно установить, что многочлен:
^Xi){xl—xi)(x1—x,)...(xl—xm) '
I f / ч (X —х,)(х —Х3)...(У—Хст)	,
+	(x2-x,)(x3-x3)...(x3-xm)
,	ч	(х	— X,) (х	Хг). . -(х—Хст-|)	3/.Л
...+f(vm) (Xm_Xt)'.'(Xm_Xmt) П)
тождественно равен нулю. Так как степень этого многочлена равна т—1,
то достаточно установить, что он обращается в нуль при т различных
значениях х. В самом деле, легко проверить, что этот многочлен действи-

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	259
тельио равен нулю при
JC = X|, X2I Xgf . .., Хот.
78. Получается из предыдущей задачи, если приравнять коэффициенты
при хт~'.
79. Если положить в предыдущей задаче Цх) = 1, х, хг,	хт~‘,
то будет доказано, что s„ = 0, если 0^п<т—1. Для доказательства
тождества:
достаточно положить в тождестве задачи 77 / (х)=хт~1 и приравнять ко¬
эффициенты при хт~х в обеих частях получающегося тождества. Для того
чтобы вычислить sn при п > т—1, можно поступить следующим образом.
Допустим, что хи хг, .... хт удовлетворяют уравнению степени т:
ат + р1аи“, + р1а'л-1+... +pm-ta + pm = 0,
где
— Pl = *l+*2+ ■■■+Хт,
Рг =	+	xix,	+	-'-+xm-txm,
— р,=х,л:2л:,+ ...,
( — lftpk = xixz---xk + ---
• ••• *•••••»•*#»••
Умножим обе части нашего уравнения на ак. Получаем:
am+ft-fp1am+ft-,-fp2am+ft-*+ ... -fpm_,aft+, + pmaA=0.
Полагая в этом равенстве последовательно а=х,, х2, .... хт и складывая
найдем:
sm + k~\~ Plsm + k-i^~Pzsm + k-z-\-	4*	Pm-i&ft	+	i	+	Pmsk~^'
При k=0 имеем:
«и + PiSm-по¬
следовательно:
Sm г — Р| Xi -f* xz -f-.. • -f- x
При k—1 получаем:
sm +1 4" Plsm 4" Pzsm —I = ^-
Далее:
sm+1 = (*i + xt + x, + ... + хт)г—(ад, + ... + xm _ ,xm) =
= xj+xj+ ... -bx'j-f-x^g-l-A:^,-!-....
т. e. sm+I равняется сумме произведений по два из множителей:
Х|, Х|, ..., хт.
При этом множители могут быть как равные, так и неравные. Анало¬
гичные результаты можно получить для sm+2, sm+5 и т. д. Эти же резуль¬
таты могут быть получены с гораздо большим изяществом и другим спо¬
собом (Gauss, Theoria interpolations methodo nova tractata). Положим;
 1
(х,— x2) (X,—*,)...(*!—зст)~ *’
'	Q	*
(X,—x,)(Xj—*,)...(x2—xm)	”
 1
(Xm —x,) (Xm —x2)... (xm — xm _,)	“m'
9'

260	РЕШЕНИЯ
Тогда имеем:
sn=A4ai+**aB + • • • +<«т-
Образуем следующее выражение:
Р _ СЦ	а,	■ ат _
1—*,2	I— X,Z+-"+l— Хт2 '
Пользуясь формулой для бесконечно убывающей геометрической про¬
грессии и предполагая, что г выбрано так, что |х,г|<1, |х,г|<1, ...
..., |xmz| < 1, развернем сумму Р в бесконечный ряд следующим способом:
P = a,(l+x,z + xj2,!-f-x;2s + ...) + a1!(l +х,2 + х'г,+х*г,+...)+...
■ • ■+am0+*mz + A:mz' + A:mz'+• •
Иначе:
Р = (a, + а„ + ... + am) +(x,a, + xtat + ... + хтат)г +
+ (^a, + x2a2 + ... + хгтат) г2 + ...,
т. e.
p — so + V +	+	s,22 +'...
Положим для краткости:
(1 —х,г) (1 — х2г).. .(1 — xmz) = Q.
Располагая Q по степеням г, можем написать:
Q = 1 — <т,г + <т2г2+ ... ±amzm,
где
= xi "Ь хг “Ь ■ • ■ "Ь хт<
Oi = X,XI+XIX>+... +Xm_tXm,
Умножая обе части равенства (*) на (1—х,г)(1—х2г)...(1—хтг), имеем:
PQ = at (1 —*2г) (1 — хгг).. .(I —xmz) + a2 (1 —x,z) (1 —*3z).. .(1 — хтг) +
+ a, (1 —х,г) (1 — х2г) (1 —х4г).. .(1 — хтг) + ...
• ■ •	(! — *|Z) (1 —xtz).. .(1 —хт_1г).
Таким образом, произведение PQ есть многочлен относительно г степе¬
ни т—1. Покажем, что он просто равен zm~l, т. е. имеет место тождество:
PQ = zm~\
В самом деле, выражение PQ—г'”-1 обращается в нуль при г=— .
11
— , .... —. Действительно, при г = — имеем:
х3	хт	t	Х1
\ XJ \	*.	/	\	Х1	)	х™~1	х[п~1	X™-1
Совершенно так же покажем, что PQ—г'”-1 обращается в нуль при
z — —	—. Но если многочлен степени т—1 обращается в нуль при
Х1	хт
т различных значениях переменной, то он равен нулю тождественно. Та¬
ким образом, PQ—гт-1 = 0 тождественно. Следовательно:
 =Р.
Q

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	261
Иначе:
-171— I	1
1 — охг + огг* — о,г* + ... ±стгт
= s0 + s,z+... +sm_22'B-£ + sm_,г'в-, + ...
Если развернуть левую часть в бесконечный	ряд, расположенный	по
степеням г, то этот ряд начнется только с члена,	содержащего	г'®-1.	По¬
этому коэффициенты при z°, г1, ..., г™-2 и в правой части должны быть
равны нулю, т. е. имеем:
s0=sl = st —... = sm_t = 0.
Кроме того, коэффициент при г”1"1 в левой части равен 1. Поэтому
sm -1 ~ 1 ■
Теперь наше равенство примет следующий вид:
утп — 1
^^— У ® ” 1 I С ytft . | с	~ /Я + 1 . 1
1— 0,Z + 0£Z2 — 0SZ»+... ±OmZm~	+ m	^ m + iz
Сокращая обе части на г™-1, найдем:
1 _ ol2 + а4г«■_ а,г» + ... ± ат гт = 1 + &т2 + *т++ '''
Иначе:
1 = (1 —о,г + огг2—о, г* + ... iОтя^^*) О + smz + sm+iz£ + • • • )■
Располагая правую часть по степеням г и приравнивая коэффициенты
при этих степенях нулю (так как левая часть содержит только 1), найдем:
*ст—о. = 0,
c,ism + s«.+i = °.
Таким образом, мы получаем возможность вычислить sm, sm+l, sm+I...
Однако, для того чтобы установить общее предложение о структуре sm+1,
рассмотрим:
±_J_. _L_ _L_=Vxvf>V' =
Q-1-дс.г 1 —*2г "1 —хтг ^	«	•"
=2^*f<-*,+,r+r-
Но, с другой стороны:
-Q = l + smz +sm + iz* + ■ •• +s7n+ftzft + 1 + •
поэтому получаем:
sm+k =	2	*f*f*f...
s+s'+s"+ . . . =* +1
Итак, получаем следующий окончательный результат: sm+k равняется
сумме произведений й +1 равных или неравных вели¬
чин,	взятых нз совокупности Xj, х2, ..., хт.	В	частности:
5Л1 + 1 = *1 + *2 + ■ • • + *Л + *1*2+ *1*5 + • • -
- ■ ■ + х\хт + *2*5 + • • ■	+ • • ■ + хт — 1*7Л»
$7Л + 2 — *J + *2 + • • • + *ш + *1*2 + ■ • • + *m—1*тл + *1*2*5 + ■ • •

262	РЕШЕНИЯ
80.	Введем следующее обозначение:
(^ii *2»	хт)~
Х1
(*, — *„) (X, —X,). . . (*1 — хт)
х"
г л\) lAj “
(хг ЛЧ) (*2	•	'{х1	■*/»)	(хт	х\){хт	Л2)-**(Л1Я	хт	—l)
Имеем:
(*! — *») (ХЖ Л»)- . -(Ж, Лт) '
(I \ R-f/Я —2
!Ь.1	1
\*i xt J \*i хъ) V*i xm)
Поэтому легко видеть, что
s (х х х	(L I ±Л
>_П 1Л1»	2*	♦	•	лт)	 v v v дИ+1Я— 2	V	/
W	Л1Л2***Л/П	\Л1 л2	/я	/
81.	Справедливость утверждения следует из тождества задачи 77.
Это же тождество дает, что
f(X ,)
1
м
*
1
>Г
I
Лх, —хт) '
f (*2)
(Х2 Д|) (Д| Х2) ..
• (*2 хт)
f(xm)
(х т хт — l)
82.	Составим выражение:
х, ■ х, .	.	хп	(X—а,) (Я— а,). ..(Я—а„)	„
а—&,+Я—&2	" Я—К (Я—6,)(Я—62)...(Я—6„) К1
Если перенести все члены в левую часть, привести их к общему знамена¬
телю и отбросить его, то получим слева многочлен относительно Я степени
п—1.
В силу существования данной нам системы уравнений этот многочлен
обращается в нуль при п различных значениях Я, а именно при Я=а„
о, ап. Поэтому он равен тождественно нулю, а следовательно, и исход¬
ное равенство (*) является тождеством. Но тогда равенство (*) представляет
собою разложение на простейшие дроби следующей дроби:
(*.-6.) (Я — Ь2).. .(Я-Ьп)-(Я-а,) (Я—а,).. .(Я-а„)
(Я-6,)(Я-6г)...(Я-6„)

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	263
Поэтому неизвестные xlt х2, ..., хп найдутся по формулам предыдущей за*
дачи, и мы получаем:
_ (&1— а.) (Ь,—а£).••(&!— ап)
(b1-b1)(b1-b.)...(b1-bB)'
 (^2	^l)	(^2	Qs)- • *(^2	&п)
(Ьг-Ь,)(Ь2-Ь,).'.(Ьг-Ьп)' "•
83. Легко получается, пользуясь результатом задачи 81.
84. Рассмотрим следующую дробь:
(х—а,) (х—at).. .(х—ап)
(х—bj)(x—Ь£)...(х—Ь„)
Легко видеть, что разность
(х—а,) (х—а£).. .(х—а„)	.
(х—Ь2) (х— 6,).. .(х—Ьп)
по приведению к общему знаменателю будет такою дробью, у которой сте¬
пень числителя ниже степени знаменателя. Эта дробь может быть разложена
на простейшие дроби. Поэтому имеет место тождество:
(х— а^(х—а£)...(х—ап) , , А, , Л£ ,
71—TT77Z— 7Z—ГГ	1 +	—г	+	■	•	•'
(х—Ь,) (х—Ь£)...(х—Ъп)	х—6, х— Ь2	х—	Ьп
Помножая обе части этого тождества на х—Ь,, найдем:
(х-о,)(х—а£)...(х—а„) _	.	Л£	Ап	,r_hy
(x-b2){x-bt).:.(x-bn)	Ь' + А' + х-Ь^Х	*•>+ -+х-Ьп(Х
В этом тождестве мы можем положить:
х = Ь,.
Тогда имеем:
(b, —a,) (Ь, —а2)... (b, — a„)
Аг'
(b2—b£) (b,—b,)... (b,—bj
Аналогичные выражения получим и для Л2, А   Л„.
Итак, имеем следующее тождество:
(х—Qi)(x— а£)...(х—ап)	(6,—Qi)(bi—о£).. .(Ь,— on) _ I .
(х—61) (х—Ь£)...(х—b„)	(Ь, Ь£) (6, b8)...(b, bn)	х Ь,
(&t — a,) (bt—Qt)...(Ьг — ап) _J ,
(6, — *i) (b,—bs)...(b£ —bj ’ x — b£ 'r***
■ (b„—a,)(b„—g£)...(b„—g„)	1
"	(bn—bj) (b„—b£)., .(b„—b„_,) X-
При x=0 получаем искомое тождество.
85.	Так же, как в предыдущей задаче, легко установить, ч?°
(х+Р)(х + 2Р)...(х + пР) у Лг
(х-р)(х-2р)...(х-пр)	^--х-гр	'

264	РЕШЕНИЯ
где
, =	(гр + р)(гр + 2р)...(гр + пр)
г (ГР — Р) (ГР — 2р)...[/-р—(г—1) р] [гр—(г +1) р]...(гр—«р> •
Остается только упростить этот коэффициент,
86. Имеем:
h+t—Са=Дса, т. е. сА+1 = с+ДсА,
и формула 1° справедлива при п=1. Предполагая ее справедливость при
показателе, равном п, докажем справедливость при показателе, равном
п+1. Действительно:
сЛ+п+1 = сй + п + Лса + в —
-(% 4+	4*.	+... + 4"с) +
+ 4 (с,+2-Лс, +	4-с,	+... + Д*с»)-
«,+(2+l)4c,+(2fcl> + i)4^ + ... + 4-c,-
п +1 .	. (п*|*1)п	,	,	д	fi	j.»
= ck-\ j— ДсАН j~2—ДсА+...+Д Ck,
и предложение доказано.
Аналогично доказывается и формула 2°. Легко видеть, что при п=1
она справедлива. Допустим справедливость ее при индексе, равном п. Тогда
имеем:
дл+1с  дг 	”	ас	п (п 1) д
Л Cfr йС/1 + п j ЛС^ + п_,+	| g	&ck + n — s •••
• ■ • + (	1) ACk = (Сд + п +1 Cft+n) р (cft+ п	п—i) +
+ “+72—' (С* + п-' — сА + л-*) + • • • +(—1)" (сА + 1—cft) =
— г	”+1г	_(п	+ 1)”г	I	1/	цп	+	1-
— tft+n+1	j—LA+n	р2—i; Wr
87. Проверить справедливость этой формулы нетрудно. Мы видим, что
правая часть является многочленом степени п относительно х. Обозначим
его через ф (х), т. е. положим:
f (0) + у Дf (0) + —р“- дг/ (0) + ... + *(*-!)•-(*-"+.4 д+ (0) = ф (х).
Пусть в этом равенстве х=0. Получаем: ф(0) = ^(0), при х=1 найдем:
Ф(1)=/(0) + Д/(0) = /(1).
Пользуясь формулой 1° предыдущей задачи, можно утверждать, что
вообще:
Ф(6) = /4*) при й = 0, 1, 2, ..., п.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	265
Таким образом, два многочлена [ф (х) и Дх)] степени п равны при п + 1
различных значениях независимой переменной х, следовательно, они равны
тождественно, и мы имеем)
Ф (х) = f (х)
при любом X.
Выше мы дали только проверку справедливости формул. Не трудно
и вывести эту формулу.
Пусть f(x) есть многочлен степени п. Прежде всего мы утверждаем,
что можно всегда подобрать коэффициенты Л0, Л„ А Ап так, чтобы
имело место тождество
f (*) = Ав + А ,х + А2х (х — 1) + А ,х (х — 1) (х—2) +...
... + Л„х(х— 1)(х—2)...(х—п + 1)
В самом деле, разделим многочлен f (х) на многочлен (х—1)(х—2)...
...(х—п + 1). Так как этот последний многочлен также степени п, то
в частном мы получим некоторую постоянную, а в остатке многочлен,
степень которого будет не выше п — 1. Деля этот многочлен на х (х—1)...
...(х—п), найдем постоянную Л„_, и т. д.
Вычислим теперь эти постоянные Л0, Л„ Л£, ..., Л„_„ Л„.
Положим для краткости:
х(х — 1) (х—2).. .(х—k + 1) = ф* (х) (ft = 1, 2, 3, ...).
Тогда имеем:
Дф*(х)==фА(х + 1>—фА(х) = (х+1)х(х — 1)...(х — й + 2) —
—х (х— 1).. .(х—k + 1) = k -х (х— 1).. .(х—k + 2) = Лф4_, (х).
Для определения Л0, Л„ Л Ап поступим следующим образом. Поло¬
жим в нашем тождестве х = 0. Так как фА(0)=0, то найдем)
A0 = f{ 0).
Возьмем теперь разность от обеих частей нашего тождества. Получаем)
Дf (х) = Л, Дф, (х) + Л£Дф-, (х) + ... + Л„Дф„ (х) =
= Л, + 2Л£ф, (х) + ... +пЛ„ф„_, (х).
Полагая здесь х=0, имеем:
л,=д/(0).
Далее:
(х) = 2Л2Дф, (х) + ... + пАпДф„_, (х) = 2Л£ + ... + п (п — 1) Л„ф„_£ (х).
Отсюда
Продолжая эту операцию дальше, найдем все коэффициенты)
Ло, Л£, «.., Ад-
88.	Заменим в нашем равенстве х через х+1. Имеем)
(х + 1)" = Л0 + Л,х + ~ х (х — 1) + ^ х (х —1) (х—2) +...
... +~^х (х — 1).. .(х—п+ !).

266	РЕШЕНИЯ
Полагая f{x) = (x-\-1)" и пользуясь результатом предыдущей задачи,
находим:
л,=д*/(0).
Из формулы 2° задачи 86 получаем искомое выражение для А3.
89, Полагая в формуле 2° задачи 86 k=0, получаем:
А"С0 = С„-| С»., +	С„_,-... +(-1)" С0.
Положим:
1
С„ = -
.(*+«)*
н примем:
С_ 1	с	Г1	с	1
0 (х + п)*’	*	(* + п — 1)г'	п~х*1
для доказательства нашего тождества останется только доказать, что
д« 1	—	"»	Ml1!	+-L.I
(x+n)s х(х+1)...(х + п) \ х
Докажем это индукцией. При п = 1 формула справедлива. Предполагая,
как обычно, ее справедливость при индексе, равном л, докажем.справедли¬
вость ее и прн индексе п+1. Имеем:
Дп+‘ !	=	д ( д" !	^	=
(х + л+1)*	(jc	+	„	+	i)^
~А {(*+1)(* + 2)...(х + л + 1) (х+1 ”^х + 2 "!■••• + * + n + l)}-
в_ 2!	ii+_i_+	+_L_l_
х(х+1)...(х + л) I X ^JC + K ••• ^ X + nJ
	5!	J _!_+_!_+ ...+	!	1	=
(x +1) (x + 2).. .(x+л +1) ^jc+1 x + 2	x+n	+ 1/
==*(х+1)...(х+л + 1) {(*+n+,)(7 +7fT+ ’” + 7+n)_
“*(j+T+* + 2 + ■■•+^ + n + l)} =
(" + 1)'	/ 1 |	1 I	. 	!	I
Х(Х+1)...(х + Л+1) \ X X + 1	JC	+	n	+	lf	■
При jc= 1 из нашего тождества следует:
I П I 1 I ,	1	\	■■	1	C"	,	,	,	Un 1
n + 1 \ 1	2 I*"-'t‘ n+lf ~ Is	; («+ l)a '
90.	Выражение q>n(x+y) будет многочленом п-й степени относительно х.
Поэтому мы можем представить его следующим образом (см. задачу 87):
<Р„(* + '/) = А0 + Л,<р, (*) + Л2фг (*)+•■■ + АпФ„(х),

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА II ПОЛИНОМЫ
267
где
. _ А*Ф„ (У)
s ~ si
(так как <р„(х-]-«/) переходит в <р„ (у) при x=0).
Но известно (задача 87), что
Дфи(</) = «Фл_1 («/),
следовательно:
Д'Фл (</) = и (и — И Ф«-г (г/).
« • 4 4
Д*ф„ («/) = n (n—1)... (n — s +1) ф„_5 (у).
Итак!
и наша формула справедлива.
Впрочем справедливость этой формулы может быть установлена и из
других соображений. Пусть х и у—целые положительные числа большие п.
Тогда имеют место следующие равенства:
Приравнивая коэффициент при г" в обеих частях этого равенства, по¬
лучим:
Фл (* + </) = Фл (*) + С|,Фл-1 (*) ф! (У) + • ■ • + Сп~' ф! М Фл-1 {У) + Фл (У)-
v Пусть уп есть какое-либо целое положительное число, большее п.
Тогда I
будут два многочлена степени п относительно х, и оба эти многочлена равны
между собою при всех целых значениях х, больших п. Следовательно, они
равны тождественно при всех значениях х. Однако, у„ может принимать все
целые значения, большие п. Следовательно, совершенно аналогично преды¬
дущему, заключаем, что у0 может принимать любые значения, и равенство
Фл (*+</) = Ф„ (х) + с),Фл -1 (*) Ф, («/) + ...+ Сп~ * ф, (х) ф„_, {у) + ф„ (у)
(1+*)* = !+*г+^2-^
(1+г)У = 1+уг+Щ-^
(l+2f+^=l-(-(X + !/)Z-f
(* + «/) (х+у— 1)	,
Ь2	2	+
(х+У)(х + у— 1){х + у—2)
1-2-3
С другой стороны:
т. е.
Фл(*+%) и Ф„(а-) + С|,Ф„_, (*) ер, (%) + ...	(у0)
справедливо при любых значениях хну.

268	РЕШЕНИЯ
91.	Прежде всего, оба тождества, как 1° так и 2°. легко могут быть
доказаны методом математической индукции. В самом деле, при п = 1 тож¬
дество 1° имеет место. Допустим, что оно имеет место при всех значениях
показателя, не превосходящих п, так что имеем:
хп + уп = рп	рп-г g + Mp-3) pn-V_n(n-4Hn--5) pn-v+_ т'
Умножим обе части этого равенства на х-\-у = р. Получаем:
xn+l + yn+l + ху (хп~1 + уп~,)^=
п+1 п rf-i . п{п—3)	.	л*(п—4)(п—5)
= Р + —уР *9 +	1-2 Р q——Г^з—-Р V+--.
Отсюда
xn+i + yn+i^pn+i_!Lpn-iq +п(п-3) pn_,q! _пл^4Нп-Ь) pn_v +
• •• — я (р"	-р"
("— 1)(и-5)(я —6)	, ,	\
i-2-з р q ■
п+1	1п(п	—3) , п —11
= Pn+1 j—Р 9 + )	1.2	Н	р|Р V-
(п (п—4) (п 5) (п 1) (п 4) )	_
\	1-2-3	+	1-2	/ Р 9
. п + 1	.	(п + 1) (п—2)	.	,
= Р +‘	j—	Р *9+ —L ['2 l-pn-V —
(п + 1)(п—3)(п—4)
1-2-3	Р
и теорема справедлива при показателе, равном п+1.
Совершенно так же можно доказать и предложение 2°.
Заметим, что, если х и у суть корни некоторого квадратного уравне¬
ния, то обе формулы представляют собою не что иное как выражение сим¬
метрических функций корней этого уравнения через его коэффициенты.
Если положить в этих формулах x = cos(p + i sin(p; у = cos ф—i sin ф, то
*” + Уп = 2cos лф; р = х + «/ = 2собф; q=xy=+ 1;
xn+» — t/n+1_ sin (п + 1)ф
X—у	вшф
т *	sin	(n	+1) ф
Таким образом, мы получаем разложение cos пш и 	1	-+-2-	по	сте-
т	sm	ф
пеням совф.
92.	Положим:
** + J/* = S*;	xy=q.
Нужно доказать:
S* + C'mqSm_t+C*m+l q*Sm-t + ... +С^-_*1	S, = 1.
Предполагая справедливость этого равенства, докажем, что
sm+i + c'm+lqsm+qn+ssm.1 +... + c--	ss+ oms, = i.

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	269
Мы можем считать, что х и у являются корнями следующего квадрат¬
ного уравнения:
аг—а + д = 0.
Отсюда получаем
Sk+\ — Sk Ч$И-1
при любом целом k.
Следовательно:
^i7i+i S т qS гп _,,
Sm ^ гг, — I Q^m — 2*
Sm- i~Sm — t У S т _s,
Sj— Sj—qSlt
St=St qS0,
s,=s,.
Умножаем эти равенства последовательно на
I Г1 п Сг Л*	nm-i т-1 пт т
' т+\Я' т+гЯ > •••• ^гт-i ?	• ^гтЯ
и складываем.
Тогда слева получаем:
sm+1 + c^+igsm + c^!+^sm_1+... +с?т-_,1 «"-‘s.+cjys,.
Нужно доказать только, что правая часть равна 1. Правая часть равна
S/n + Cm+i Я$т-1 +C*!+Jg'Sm_,+ ... + C£JпJ,g'n-, St+C£nqmS1 —
ySm-, С,n + iq*Sm_2 Cm + 2qsSm-t — Ctm_xq S0.
Иначе:
$m + (^m + 1)	+ (С„ + , + C'm+l)qtSm_t + ...
••• +(CT-. +C?m?*)qm-' Sl+CZlq~Sl-qS„.t-Cim^Sa.t-...
■ ■ • -C7-s,-cz-\yms0=
— {Sm + C'mqSm_t + C*(+lq*sm-г +... + C™m 'tqm-lS,} +
+ C1\nqmSl^-:^S0.
Но фигурная скобка, по условию, равна 1, a C^S,—O^"J1S0=0, так
как S, = 1, a S0=2. Итак, правая часть равна !. Легко видеть (кроме того),
что при т = 1 наше равенство справедливо. Теперь мы можем утверждать,
что оно справедливо при любом т.
93.	Если и+ о = 1, то
> (1 + с>++,«*+...+ С™-.*,«" -) +
+ o'” (1 +	л + С^,+, н2 + ... +	-«)	=	1.
Положим:
 х — а.  х—Ь

270	РЕШЕНИЯ
Тогда, действительно, будет: ц + «=1. Далее:
'  (±_л_ Г1 J_xf‘	'	I	.	nm-i
umvm \vm‘m v"‘-1 T Wu + i v’n-i T • • • T im — s v
+ (^т+Ст-^Ж=Т + Ст + .	+	•	■	•	+	C7m-i	~
Отсюда и получаем наше тождество.
94. Легко видеть, что всегда можно подобрать постоянные Л,, А%
чтобы имело место тождество:
(1 + 0" = I + Г + Axt (1 + /»-*) + Axt* (1 + Г-4) + ...
В самом деле, (1 + <)" есть многочлен степени п относительно t. Разде¬
лим его на <"+1. Тогда в остатке получится многочлен степени не выше
п—1. Его мы разделим на <(fn-s+l) и т. д. Ясно, что частные отделения
будут постоянные, однозначно определяющиеся в процессе деления. Если
положить в образующемся тождестве t = ~, то найдем:
(* + у)п=хп -j- р" -f- Atxy (л'”-г + р"-г) + Аххгу* (х"“4-ру"-4) +...
Для определения коэффициентов Л„ Аг, ... положим в этом тождестве:
х = cos ф i sin ф; р = cosq>— isincp.
Тогда имеем:
(2cos<p)" = 2cos /нр + 2Л, cos (и—2) <р -J- 2Ла cos (п —4) <р + .,.
Припоминая известные формулы, дающие разложение степени косинуса
по косинусам кратных дуг (см. задачу 10, 1° и 3е), найдем выражения для
Ait Л2, ...
95. Пусть у, и ух будут корнями некоторого квадратного уравнения:
Уг + РУ + Я = 0.
Составим это уравнение, т. е. найдем р и q.
Для этого умножим первое уравнение на q, второе на р, третье на еди¬
ницу и сложим. Получаем
x,(y2I+py, + q) + xi(yl + pyt+q)=alq + axp + at=0,
так как
у‘ + РУу + Я = у\ + РУг+Я = 0.
Далее, умножаем второе уравнение на q, третье на р и четвертое на
единицу. Имеем:
*i«/i (у\ + РУ1+Ч) + хгуг (у1 + РУх+я) = агд + а,р + ал=0.
Итак, для определения р и q получаем линейную систему:
°1<? + агр + а, = 0,
а,<? + а,р + а4=0.
Найдя отсюда р и q из квадратного уравнения y*-\-py-\-q = 0, опреде¬
лим р, и уг. Зная же р, и р2, например, из первых двух уравнений, опреде¬
лим х, и Л'а. Совершенно так же решается и общая система. Именно, допус¬
тим, что р,, р2 у„ являются корнями некоторого уравнения степени п:
Уп+Р1Уп1 + Рг Уп8 + • • • + Рп -1 У + Рп=0.
Чтобы составить это уравнение, умножим уравнение (1) на р„, уравнение (2)
иа р„_, и т. д. и, наконец, уравнение (п + 1) на ! н сложим. Тогда

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	271
получим:
fllPn + a«Pn-l + *" + an+I=0-
Затем умножаем уравнение (2) на р„, уравнение (3) на р„_, и т. д. и,
наконец, уравнение (и+2) на 1. Получаем вторую линейную зависимость
для определения рп, р„_„ ... Продолжая эту операцию дальше, мы
получим в конце концов для определения неизвестных р„ р2, ..., р„ п ли¬
нейных уравнений. Если же р,,  	  р„	будут	найдены, то для опреде¬
ления ylt yt уп придется решить уравнение:
P"4-PP"_, + --.+Pn-j У+Рп = °-
Если же iy,, уг, ..., уп известны, то для нахождения х„ хг хп
останется только решить систему линейных уравнений.
Мы приведем здесь также оригинальный способ решения этой системы,
принадлежащий S. Ramanujan’y (Note on a set of simultaneous equations.
Collected Papers, p. 18). Рассмотрим следующее выражение:
ф (0) =	 l	x*	I	I	-3}
444	1 —01/, + \—Qyt + '" +1 —вуп
Ho
r^=*. o +0^.+0S^ +Q3y\ +•■■>.
r^-=xt(i+e«/t+e1^ +0M +...).
r^-=x„(i+ep„+e^+04 + ...)•
Следовательно:
Ф (0) = (x, -f x, -f... + *„) + (x,p, +	+... + xny„) в 4-
+ (*,</! + • • • Л-ХпУ'п) ег+ ... -НздГ"1 + Хгу\п~л +... +хпу*пп~') №п~' +
+ (х1у\п + ...+хп,/пп)&п + ...
Но в силу данных уравнений получим:
Ф(0)=о,-)-а20+аг0г +... -f-fl»j0sn~,'t"• • •
Если же привести дроби к общему знаменателю, то найдем:
^	Л1 + Лг0 + Л30г+...+Ли8"-1
wК)~ i+e10+el08+...+fin0"	•
Отсюда
(а, + а20 + а,0г+-..+ а?Л'г~' + ---)(1 + 6,0 + ВгФ +... + В„0") =
= At + AtQ +... + A,fin~x.
Поэтому
Л, = а„
Л2 = а2 + а,В„
^s = o,-t-a2Bl-f а,В2,
А„ — а„ + о„_,В, +а„_2В2 + ... -(-о,Вп_„
0 = а,|+1 +а„В, + ... + а,В„,
0 = an+« + an+iS1-f... +агВп,
0 = нгя + о*п-|б| + ... + апВп.

272
РЕШЕНИЯ
Так как величины а„ а„ а„, ая+, а,п известны, то из послед¬
них уравнений можно найти сначала В,, Bt, В„, а затем Л,,	.... А„.
Зная же величины А[ и В/, можно построить рациональную дробь Ф(0).
Построив эту дробь, разложим ее на простейшие дроби. Пусть, напри¬
мер, имеет место следующее разложение:
ф<0>=Г^Ге+Т^ё+Т^
Рп
Тогда ясно, что
*i = Pi5
хл ~Рг\
Vi =<г.;
Уг = Яг^
*н = Рт
Уп~Чп>
и система решена.	*
Интересно, что Hardy, перечисляя семь наиболее замечательных (по его
мнению) из работ Ramanujan’a, причисляет к ним и ту, изложение которой
мы только что дали.
96.	Для данного случаи имеем:
2+e+3es+2es+e4
^ <°>-1_е_5е2+е»+зе«_-е' ■
Разлагая же эту дробь на простейшие, получим следующие значения
неизвестных:
3
Р=—1;
18+ /5 .
lJ~ 10 •
3+/5.
Ч 2
18— /5 .
г 10
3-/5
2 :
8+/б .
ц —
2/5
Сп
II
ьэ ^
d
1;
00
II
а
,. Vb+\
1 О
I
97.	1° Имеем:
(т, р) =
(1 _Л) (1 _**). . .(1 — хго-^) (1 —xro-^+1).. .(1
*)(!— х”)
(1 —х) (1 — хг).. .(1 — л?) (1 — х) (1 — хг).. .(1 — х'п-^)
Отсюда ясно, что
Ст, р) = (ш, т — р).
2° Действительно:
(1 —хи) (1 —х”1-1).. .(1 —хт-^+‘) (1 — хт~*)
(т, р +1)
(1—х)(1—хг)...(1—х^)(1—х^+')
(1—хт-1).. .(1 — хт~»)(\ — хт-»-*)	1	—х“
“	(1— х)(1— хг)...(1— х»+')	■	1	—Хт~^~1 *

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	273
Итак!
1 хт
(m, |i + l) = (m—1, р + 1)
= (т —1, р + 1) —	^	-
1— хт-*-1
1 — Х?+'	]
= (т — 1, р + 1)	1+л--*- ri^irrTJ =
= (т — 1, р + 1)+*'я->1-,(т—1, ц).
3° Пользуясь результатом 2°, получаем ряд равенств:
(т, р + 1) = (т— 1, р+1)+хт-!‘-,(т—1, р),
(т—1, р + 1) = (т—2, р + 1)+дси’-1*-*(т—2, р),
(р + 2, р + 1) = (р + 1, р + 1)+*(р + 1, р),
(p-fl, й + 1) = (й. В)-
Складывая эти равенства почленно, найдем:
(т, р + 1) = (р, р)+*(р + 1, \1)+...+хт-*-'(т — 1, р).	(*)
4° Нужно доказать, что (т, р) есть многочлен. Имеем:
1 —хт
(т. 1) = -!^^-= 1 Н-лг+л*+ ...
Таким образом, наше предложение справедливо при р=1 и любом т. Пред¬
полагая,	что	(т, k) есть многочлен при k 5= р, на основании формулы	(*),
можем утверждать, что и (т, р + 1) точно так же многочлен.	Итак,	наше
предложение доказано методом математической индукции.
5° Введем обозначение:
f(x,m)=l-(m, 1) + (т, 2)-(т, 3) + ...+<-1)и <т, т).
Докажем сначала, что
/(х, m) = (l—xm~')f(x, т — 2).
Имеем:
1 = 1,
(т, l)v=(m —1, \) + хт~\
(т, 2) = (m—1, 2) + хт~г(т— 1, 1),
(т, 3) —(т — 1. 3) + xm-s(rn—1, 2),
(т, т—1 ) = (т—1, т — 1)+* (т—1, т—2),
(т, т) = (т—1, т — 1).
, Умножая эти равенства последовательно на ±1 и складывая, получим!
[(х, m) = {l—xm-^)—(m—l,l)^l-xm-г) + (m-l,2)^l—xm-,)—...
... + ( —l)CT-*(m—1, т — 2) (1— х).
Но
(1— хт-г)(т—1, 1) = (1— хт-')(т—2, 1),
(1—хш-а) (т—!, 2) = (1 —хт~1) (т—2. 2),

274	решения
Поэтому
fix, m) = (l—	1—	(т—	2.	l) + (m_2, 2) — ...
... + (— 1)т-г (т—2, т—2) } = (1 —х'»-1) f (х, т —2).
Итак:
fix, m) = (l—xm~1)f(x, т—2),
fix, т—2)=(1—хт_3)/(х, т—4),
Допустим сначала, что т четное. Тогда получим:
fix, m) = (l —xm~l) (1 —xm-s) (1 —xm-5).. .(1 —xs) f (x, 2).
Ho
f{x, 2) = 1 —(2, l) + (2, 2)=2-i=^-=l-x.
Следовательно, действительно,
f(x, m) = (l —xm-,)(l—xm-s).. .(1—xs) (1—xy,
если m четное.
Если же m нечетное, то имеем:
fix, m) = (l —xm_I) (1 —xm_s)...(l —x2) / (x, 1).
Ho fix, 1)=0, следовательно fix, m) = 0 при любом нечетном т. Впро¬
чем, этот последний факт легко установить и непосредственно из выражения
для / (х, т):
fix, m) = l—(m, l) + (m, 2)—(m, 3)-f ...( —1)“ (m, m).
98.	1° Положим:
1 + у [L-x ) 0	X	3	г W (n).
^	(1—x)(l—x’)...(l—xfc)
Тогда:
F(n+i)=i + V	-o	x^	zk.
(1—x)(l—x2)...(l—xft)
Отсюда
F(n-f 1)— F(n) =
= V	X~	2ft{	1—	Xn	+	'	—	l+Xn-ft+*}	+
nl (I —X) (1—X2).. .(1 —xfc)	‘	1
(11 +1) (n+t)
+ x 2	2n + ,=
11	.	ft	(ft+1)
= y ,(L-^);,;(l-x"-^ — д..,,, (1 _,fe) +
^(l-x)(l-x*)...(l-xfc)
(ft4-1) (fl + 2)
+ X 2	2n + ,=
+ , V (1 -*") (1 -X"-).. .(1 -X"-*^^.,
(1—x)(l—x2)...(l—x*-')
n (n+i)
+ 2Xn + 1 x~1	zn = zxn+I F (Л).

Итак:
т. е.
Поэтому
§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	275
•F (n -f 1)—F (n) = zxn+i F (n),
F(n+l) = (l+zx?1+l)F(n).
F (n) — (1 + zx") F(n— 1),
F(n-l) = (l+zx”-')(n-2),
F(3) = (l+z*3)F(2),
F(2) = (l+zx‘)F (1),
F (1) = 1 -{-xz.
Перемножая эти равенства, действительно получаем:
F(n) = (l-f xz) (1 -f xsz)...(l -fx"z).
Аналогично докажется и 2°.
Из равенства Iе следует также, что
(1— хп)(1 —	хп~к+1)
(1 —дг) (1— Xs)...(1— X*)
есть многочлен относительно х (см. задачу 89).
Точно так же из этого же равенства может быть получена формула
бинома Ньютона. В самом деле:
1 —+ l J -(-л: + + ... -\-x"~k
1—xk	1 -f x + х*+ ... +x*-1
Поэтому при х = 1 это последнее выражение принимает значение
n—k+l _
 	г-1— . Следовательно, можно считать, что выражение:
к
(1 — хп) (1— х"-1)..^!— *"-*+■)
(1 —х) (1—л:2)...(1—дс*)
при х=1 переходит в
п(п — 1)...(п — A-f 1) _f,k
1-2...А
в формула 1° при х=1 дает:
(1 + z)n= 1 + 2	(Эйлер).
k — l
99. Легко получается из 1° задачи 90 при 2=—1.
100. Положим:
C0 + C1(2+2-I) + C2(z*+Z-*)+...+C„(2n + 2-n) = <P,l(z).
Тогда имеем:
,	1 -|-Хг" + ,2
Фл(* г)-Фл(г) хг+хгп
(пользуясь выражением ф„ (г) через произведение). Пользуясь представле¬
нием <р„ (г) в виде суммы, при помощи последнего тождества найдем:
Ckx2k+l (I —xtn~2k) = Cft+, (1 _**«+**+*)
(А = 0, 1, 2 п—1).

276
РЕШЕНИЯ
Кроме того, легко видеть, что Сп—хп‘. Полагая в последнем соотно¬
шении между Cft и Сц+, для ft значения: п — 1, п—2 О и перемножая
получающиеся равенства, найдем:
(1 _^n + ift-Ц) (1 __xtn + lk+t) (1
к	(1—	Xs) (1— х*)...(1— x2"-sft)
(ft=0, 1,..., п — 1).
101.	1“ Положим:
cos х + i sin х = е.
Тогда:
cos x—i sin x = e-1.
Далее:
cos /x + /sin lx = el;	cos Ix—i sin lx = e~l.
Следовательно:	«
p*
sin lx = gr(l—e a).
Подставляя это значение sin/t в выражение для и*, найдем:
(1 —дгп) (1 — дгп~1).. .(1 — <?»"-*+«) -у k <«п-ft)
Uk~	(I(!-<?*) 'Ч
где q —в-*.
Искомая сумма перепишется следующим образом:
1—к,+н,—н8 + ... +нг„= 1 +
гп	1
Воспользуемся теперь формулой 1° задачи 90 и, заменив в ней п через
1
— П——
2п, положим x = q и г — — q	г.
Тогда имеем:
in	k-n~	—
1—Ut+Uz—из +- • ■(1—Q	*) —
k=i
tn	ft
= П (1 —e*"+' -*ft) = Д (I —e**-1) (1 - е-й+1) =
ft = l	fe	=	I
ft	П
= Д 2[1—cos(2ft — l)x] = 2" JJ [1—cos(2ft — 1)*].
k — l	k—l
2° Положим (как в задаче 97):
(1 -у”) (1 -<?»'-■)... (1 -о»"-**»)
(l-q)(l-q*)...(l-qk)
Тогда:
где q = cos 2x —i sin 2x.
—— k (2ft-k)
ий = (2я, ft) q 1

§ 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и полиномы	277
Нам нужно вычислить следующую сумму:
«
гп	гп
2(-1)4=	kYq~k*n-k\
ft=o	ft=o
где (2л, 0) = 1.
Из задачи 98, 1° имеем:
ft (fe+i)
Тогда имеем:
(1— <?z)(l — qh)...{\ — <?,nz) = V (—1)*(2л, k)q	*	г*.
ft = 0
Положим:
(1 — qz) (1 — q2z).. .(1— <?*"z) = <p„ (Z, q).
Фn (2, <?)'ф„ (—2, <?) = ф„ (?*. 2*).
Отсюда
гп	ft	(fe	+	i)	s	(s+i)
2(-l)ft(2П,	k)q	2	z*. 2(2n, s)9 2 Z* =
ftcO	5s;o
2П
= 2 (-l)m{2n, /n}qm(m+,>Z1,B,
m=о
где {2л, m} получается	из (2и, /л) путем замены q	через	q*.	Рассмотрим
коэффициент при	г2” в	обеих частях этого равенства. В	правой	части	этот
коэффициент равен
(—1)"{2л, л} «”+•).
В левой же части для этого коэффициента получаем следующее выражение:
ft (/г-н) [ s(s+i)
2	(—l)ft (2л, А) (2л, s) q 2	!	.
ft+S = 2«
Но
(2л, 2л—А) = (2л, А),
поэтому последняя сумма равна
9*п*+ч 2(—1)*(2л, А)2
ft=o
Итак, имеем:
,ft2 - 211ft
zn
k)*q**-ink = (—i)a{2n, n}qn
 1J	Л.)	If	—	^	If ^11,
ft=0
Ho
(2n,
отсюда
гп
П).
ft=o

278	решения
Далее .
— я1
(2л. п) = н„<7*	,
{2л, я} = ы„<7-п’,
где н„ получается из ы„ путем замены х через 2х.
Окончательно:
V3/_п* * -( .,„sin(2n + 2)xsin(2n+4)x...sln4nx
U*	sin	2х sin 4х.. .sin 2ях
А =0
Отметим, что мы имели при выводе следующую формулу:
2/Т
2(-l)ft(2n, k)*qkl-*nk=(-\)n{4n, я}<Г"*
ft=0
Совершенно так же можно получить следующую формулу:
2/1+1
2(—1)*(2я + 1,	0.
k — О
Если положить q=lt то (п, k) перейдет в С* и мы получаем формулы:
2 /1
2(-1)*(С*„)* = (-1)"С?„,
ft =0
2/1 + 1
ft=u
Равным образом, если воспользоваться тождеством:
Фи (г, с)-ф„(<?"г, <7)=ф2„(г, 9),
то получаем:
и отсюда
(см. задачу 72).
2 К fe)!<?ft, = (2n, л),
ft =0
2<>*=с»
ft =о
§ 7. ПРОГРЕССИИ И СУММЫ
1.	Нужно доказать, что
1111
с+а 6+с а + 6 а+с*
Это же равенство равносильно следующему:
6—а	с—6
(с+а)(6+с) (а + 6) (а+с)’

§ 7. прогрессии и суммы	279
или
ь—q с—ь
Ь +с — а+Ь ’
т. е.
Ьг—аг—сг—Ьг.
Последнее же равенство следует непосредственно из данных задачи.
2. Если ап есть п-й член, а ат есть т-а член арифметической прогрес¬
сии, то имеем!
ап = a,+d(n —1).
“m=aI + d (« — !),
где d—разность прогрессии.
Отсюда
ап—ат=(п—т) d.
Из условий задачи имеем!
b—c=(q—г) d
c—a = (r — p)d
о— b — (p—q) d.
Умножим первое из этих равенств на а, второе, на Ь и третье на с, получим!
d [(q—r)a + (r—p)b + (p—q)c] = a{b—c) + b {c—a)+c(a—b)=Q,
откуда
(Q—r)a+(r — p)b + (p—q)c = 0.
3. Имеем!
ap—ag = (p—q)d
(d—разность прогрессии).
Так как по условию:
ар — Ч’ aq=P> т0 Op—og = q—p,
поэтому
<?—р=(р—<?) d,
и, следовательно:
d = — 1
(предполагаем р—q Ф 0).
Далее:
am—ap = [tn—p)d,
отсюда
om=ap + [m — p)d = q—m + p.
4. Имеем:
ap+fc = aft + P^-
Пусть k в этом равенстве пробегает значения: 1, 2, 3,..., q. Сложим
почленно полученные q равенств. Получаем:
ая+1 + V*-* + • • • + ар+? = а, + аг + ...+a? + P<?d.
Но
ар+1 ~Ьар+« • • • "Ъар+0 =^р + 9 ^р>
+ а* + • ■ ■ + aq = Sq>

280	РЕШЕНИЯ
поэтому имеем:
Sp + q — $0 + Sg + POd.
С другой стороны, известно:
_а1+ар	а,+ад
Р 2 Р’ Р 2 Q'
Отсюда
или
2S- 2S,
р ~ = a„-aq = (p-q)d.
Следовательно:
2 (qSp—pSg)
p—q
--pqd.
о ,o ,2 №p-pS9) (p + q)Sp-{p + q)SQ
\+9-Ър + Ъд +	 =
Окончательно:
p — q
5.	Следует из 4. Впрочем можно и следующим способом. Имеем
с =_
2
с °. + ая
sb=—о— р:
а,+а?_
— л Qt
отсюда
или
Отсюда
Но
P + Q
Следовательно, действительно:
0\-\~ар	ai +я«
-2-гР = —2“’'
[2а, + d (р -1)] р = [2а, + d (q -1)1 q,
2а, (р—q) + d(ps—Р—<?*+<?) =0,
2а,+ d (р + а —1)=0.
°1 +ар+5==0>
Op + q = ai + d(P + Q — \).
а, -\-Qp+a
S.4.. = —?(Р + <?)-
5» +л 0-
6.	Имеем:
Из данных задачи следует:
ai + ат т
+°п п~

т. e.
Отсюда
поэтому
§ 7, прогрессии и суммы	281
2а, + (m — 1J й т
2а, + (п— 1) d гг
2а, (п—m) + {(m — 1) п —(гг — I) т) d = О,
a,n = al+{m — l)d=~+(m—l)d=^^d,
2п—I .
 	Г.
и окончательно:
ат 2т — I
а„ 2п — 1 *
7. Нужно доказать, что при данных пик (целых положительных
к^2) можно найти такое целое s, чтобы имело место равенство:
(2* + l) + (2s + 3)+...+(2s+2n-l) = nft.
Но левая часть равна:
(2s + п) п.
Поэтому остается доказать, что можно подобрать такое целое число s, чтобы
имело место равенство:
(2s + n)n = nft,
/г (гг*-*— 1)
S_ 2 *
Но гг может быть четным или нечетным. В обоих случаях s будет целым,
и наше предложение доказано.
8. Пусть a,=d. Тогда aft = a,+d(&—1 ) = d(k—I), так как по условию
а, = 0.
Следовательно:
s=T+T + "-+b^"(1 + ^+---+^=з) =
П—2	п	—г	п—г
fr = l	k	= i	* = 1
n-t	п—г	п — г	п — г
fe=i	fc=i	*=t	ft=i
О,	1	2)d	d	_o„_i	,	O,
tn-2_ d _t'(n—2)d a, an_,"
9. Умножая числитель и знаменатель каждой дроби, стоящей в левой
части, на выражение, сопряженное со знаменателем, получаем:
\rat—VallVa,— }rat	У"^п—	]/а^_,
S =-
а„—а„
= ~r(Vat— Va, +	Уаг+ ... + Va„— V ап_1) = ~п-~а1 ,
I

282	решения
так как
ctz ол — аг at = ... =йл—Qn-\ — d.
Отсюда
g__ Van— l^ai— ап~а 1	_	"	— 1
d d ( ^а„+ V^a,)	1^+»+	Vау
10. Имеем:
а'—а1~(а1~аг) (а, + а2) = — d (а, +а2),
aj—а* = (а, —а4) (а, +а4) = — d (а, +а4),
a2ft =	1 °tk) (агк-1 +a2ft) ~	^	(°2ft-l+a2ft)-
Поэтому
S=—'d (ai + aj+as+a4+ ... +«2ft-i + asft)== — d ■ '	z* 2ft.
Ho
a2ft = Oi+d(2*—1);	«1—«!* = — d(2ft — 1),
следовательно:
S=~ d (2ft_ 1)	ft	=	2-A^	(af-a*ft).
11. 1° Имеем:
S (n + 2)—S (n + l) = an+2*
S (n + 3)—S(rt) = an+1+an+l + an+s.
Следовательно, нужно только доказать:
an+i + <W» + a/H4 ^an+2
Но можно доказать, что
ar + as
2
2
(если г и s одинаковой четности).
В самом деле:
ar+aj = 2al +(s — 1) d +(г— 1) d = 2 [ai + (^p—
--	  ,	.	,	L	*	■	v	2	j	j	=2a
поэтому
r+s »
к
an+i +an+i —2an+I,
и следовательно, действительно:
an+i + an+2 + an+2 3an+l=0.
2° Прежде всего:
S (2n)—S (n) = a„+1 +... +a2n = ££>±i±£!™ .
Теперь имеем:
S (3n) = a, + o,+... +an + (an+t + • • • +a2n) +a2n+i + • • • +a«n =
! Л + (an + °2П +1) + (an -1 + a2n + 2) + • • • + (ai + °*n)*

§ 7. прогрессии и суммы	283
Но так как сумма двух членов арифметической прогрессии, равноудаленных
от ее концов, есть величина постоянная, то
ап + агп+1 = ап-1 + °2И+» = • • • =а!+ а«л = ап+1
Поэтому	»
S (3n)=5i±^h£s! „ + (a„+1+aal).n = 3?s±i±^! n = 3(S(2n)-S(n)).
12. В силу наших обозначений будет:
Sft = a(ft-D п + 1 +a(ft-D П + 2+ • • • +akm
Sft+i = a*n+i + aftn+2+■ • • +a(ft+D n-
Рассмотрим разность:
•Sft+i
Имеем:
^ft+i Sfc — lafyn+n akn1 "f“ * • • “i" lakn+t a{k—i) я + г! ~Plaftn+l‘“a(ft_i) n+il*
Но так как
am—at = (m—l)d,
то
Sft+1—Sft = nd + ... +nd + nd—n‘d.
13. Имеем:
b—a = d(q—p)\ с—b=d (r—q)\ c—a=d(r—p)',
с другой стороны:
a = u,wp-1; 6 = uJ(o?-1; c = u,cor-1,
где и, есть первый член геометрической прогрессии, а са—ее знаменатель.
Поэтому
аь~с-Ьс~а-са~ь	=
„.J^rfw-ri+rfl/—/Ц+d (/>-?(.|(?-Г) (p-l>+(r-p) {q -1)+(р-д>
Но легко видеть, что
d(q—r) + d(r—p)+d(p—q)=0,
(q—r) (p—i)+(r~p)(q—i)+(p—q) (r—i)=o.
Итак, действительно:
аЬ-С'Ьс-а.с°-ь —1.
14. Имеем:
хп+> i
l+x + ** +	\-х”	=	-	Х_х	-	•
Следовательно:
/i;n + l_l\2
(1+* + *«+.rJ -х"=-
(x"+1— l)2—хп (х — 1)* x*n+*—2x"+,-f-l—x"+,-f-2x”+1—хп _
=	(х	—	I)2	(х—I)2
=^_г7/~ = <1 + * + **+•••+*""') О +x+x2+...+xn+,).
15. Пусть рассматриваемая геометрическая прогрессия будет:
Mi» иг,...» ип, мп+1 »*••» utnt мгГ1+1».*., u8rt*

284
Отсюда
Но
Поэтому
РЕШЕНИЯ
San Sztt u2п +1 “Ь • • • "f" иап9
Sin— Sn = Un + l + ... +U8„.
Щ = и,дк~1\	Us^u^'-'.
Uk = us qk s,
dan+k i*kQ •
следовательно:
San—San = «2rt+, + -•■+ “Sn = Ягп (“i + “a +■--■+ Un) = (fnSn,
San—S„ = u„+l + ... +«2n=9M (Mi +u2+ • • • ~hun) = qnS„.
Поэтому
S,i (S,„ Stn) = qtnSn,
(San-S^q^,
и рассматриваемая задача решена.
16.	Пользуясь формулой суммы членов геометрической прогрессии,
получаем:
с ап0
q-l ’
22 L
S' - "п д а^_апЯ — а^ т __L
2_j q—i ' anai’
q
s
Tir = anal.
Следовательно:
Но, с другой стороны:
Pz — (dlai.. .an)* = {aia,l)n,
отсюда
17.	Рассмотрим известное уже нам тождество Лагранжа (см.
задачу 5, § 1):
(**+**+-•• +*,*_,) (у\ +^2 + • • • +^_i) — (ххУа + хаУа + • • • + хп-,Уп-,У =
= (*i У а —ХгУа)* + (х,Уг —*аУа)г + • • • + (*п-аУп-л —Уп-аРп-аУ*
Положим:
Х\ —Х2~С1г, ...» хп —	1*
У\~аг> Уг~аа»	Уп-\ = атг
Г огда имеем:
(«? +	)	(о,	+«:+...+ а*) — (а,а2 + агаг + ... + а„_ ,а„)*=
= (а,о,—я^-Нс.а,—ог«2)!+ •• • +(“n_2“«—(*)

§ 7. прогрессии и суммы	285
Скобки, стоящие во второй части равенства, имеют следующую структуру:
“ft“j “ft' as''
причем ft + s= ft'+s\ Легко видеть, что если а,, а  а„ составляют
геометрическую прогрессию, то (при условии ft -f-s = ft' -f-s')
akas—ak' as' =0.
В самом деле:
a^a,?*-1; as = alqs~l;
ак. = а1Як'-'\	а8,=а1/-1.
Поэтому, действительно:
ар, =
н
ak’ “s' = “f <7fc +s'_I
“ft“s = «fe' “s'.
Итак, если p,. a,  ап составляют геометрическую прогрессию, то
все скобки, стоящие во второй части равенства, равны нулю и, действи¬
тельно, имеет место соотношение:
(aJ + “*+•• ■ + “* -i) (“* + “* + ••• + “n) = (“ia2+ “*“» + ■ ■ • +an-ian)2-
Допустим теперь, что это соотношение имеет место. Нужно доказать,
что числа а„	ап	составляют	геометрическую	прогрессию.	В	этом	слу¬
чае все скобки, стоящие во второй части равенства (*), равны нулю. Но
среди этих скобок имеют место следующие:
(“.“ft — “*“ft-.)!	(*=з.	4	")■
Поэтому имеем:
-5S-«=£s	(*=3.4	п),
“ft-.
т. е. числа а,, а,,..., ап действительно составляют геометрическую про¬
грессию.
18.	1° Известно, что
с _“т<7—
Составим искомую сумму. Имеем:

286	РЕШЕНИЯ
3»
1	\	ап	а\)
1 _ .	1	1	У.	ап	а.У	_	д* ( 1	]_\
-fe " ’ ’	|	„к	|	j_	„ft	|	„ft	|	qtll\a^	aJy
а1+а»	an-l+an	l+<f	1—	Чк
19. Пусть данная прогрессия будет: alt	ап.	Обозначим через
а~ ft-й член от конца прогрессии. Тогда:
а- = а„—(ft — 1) d,
k
ak=^at + (k — l)d.
Рассмотрим произведение акси. Имеем:
ака- = а,а„—(ft—l)*d2 + (ft—1) d (а„—а,) =
= а,а„—(ft— 1)* d* -f-(ft—1) (n — 1) d*.
Итак:
4% = °i“« +rf2 {(*—!) (л — 1)—(ft — I)*}.
Остается только доказать, что выражение:
P„ = (ft-I)(n-l)-(ft-l)*
. п п+1
возрастает при возрастании я от 1 до у или —.
Имеем:
Pft = (ft —1)(л —ft),
^А+1 = *(« — к— *)•
Отсюда
Рк+1—Рк = п — 2*.
п
Следовательно, Pft+i>Pft. если п—2ft > 0, т. е. если ft<^-, и наше
предложение доказано.
20. Пусть а,, а2 ап есть арифметическая прогрессия, а и,, и2, ...
..., и„—геометрическая. По условию a, = u,; ап = ип. Пусть знаменатель
геометрической прогрессии равен q. Тогда:
un=ulqn~1 = an.
Положим:
ai + “»+•••+ “п = sn’> ui + U2 + • ■ • + ип = ап-
Докажем, что
Имеем:
ai+an at + ai‘7n-1 _ _ (+‘7n_1
s„=—g 	2	 i	2
_unq—	gn—1
"	4—1	1	<7	—	1	'
Так как no условию a, > 0, то остается доказать только:
<7п-1< *+<?"-*
4—1 —2

§ 7. прогрессии и суммы	287
Левую часть предполагаемого неравенства запишем следующим образом:
jEt=1 + Я +<?'+•••	=
= у {(1 + fl"-1) +(<? +9П-1) + • • - +(Qk+Qn-k-1) + • •+D} •
Докажем, что
<7ft+<7n-ft-1 = 1 +<7П-1-
В самом деле:
qk + qn-k-i_i _qn-i={gk_V)jrqn-k-1 (1 _qk)=(qk_{) (1 _qn-k-^ ^о,
так как еслиq > 1, то qk—1 =20, 1 —qn-k~1^L0, еслиже q < 1, то qk—1 ^0,
1—qn~k~l^0. При <7 = 1 ясно, что произведение, стоящее в левой части
нашего неравенства, равно нулю. Итак, действительно:
qk+qn-k-i^l+qn-i
Фигурная скобка содержит п простых скобок, каждая из которых не пре¬
восходит 1 +<7П“1. Поэтому, действительно:
«7"-1^_1+<7"-'
9_1 =п 2 *
т. е.
^
что решает поставленную задачу.
21.	Пусть первый общий член прогрессий будет а, а второй 6 Тогда
п-й член арифметической прогрессии будет равен:
а + (Ь—а) (п — 1),
а соответствующий член геометрической прогрессии имеет вид:
ЧГ'
Итак, нужно доказать:
а + (Ь_а)(п-1)^а
Иначе нужно доказать, что
а + (6—а)(п — 1)—а	=0,
или
Левую часть этого неравенства перепишем следующим образом:
•(4-){*-1»-[(тГ+(1Г+-+(4)+^
Ъ	- ъ , ь ,
Рассматривая порознь три случая: — > Ь —<1, “ = 1» легко докажем
справедливость нашего неравенства.

288	решения
22. Нам нужно вычислить:
S„ = 1 -х + 2х2 + Зх2 + ... + пхп.
Умножим обе части этого равенства на х. Имеем:
Snx = 1 -х2+ 2xs + Зх4 + ... (гг—1) хп-^-nx',+,.
Легко видеть, что правая часть равна:
S„—х—х*—Xs—... —xn-f-nxn+1.
Таким образом, имеем тождество:
S„x=S„+nxn+1—х (1 +х + х2 + ... +хп-1),
S„(*—l) = nxn+1—х^р
s„ (x—l)*=x {nxn+* +1 —(n +1) x"}.
Окончательно:
=	+1) *"+ Ч-
23. Имеем:
n
s= 2
k=l
Умножим обе части этого равенства на q (где q — знаменатель геометриче¬
ской прогрессии). Получаем:
П
*q= 2 akuk+i
k — 1
(так как ukq==uk+i).
Отнимем от обеих частей равенства по s. Имеем:
П	П
sq—s= 2 akuk+i— 2
ft=i	ft=i
Преобразуем правую	часть	следующим	образом:
П+1	П+1
2	2 aft“ft—ci“i+an+i“n+i =
k—2	fe=2
П+1	Л+1
= —2 к—ai«i+on+i“n+i=—2 duft+a«+iun+i—aiui>
k-г	*=»
где d — разность арифметической прогрессии.
Итак:
П + 1
s(9 — 1) = — d 2 “fc + an+i«n+i — «.«1.
k = Z
!	.v	j ми+1<з—	a2
s(q— l) = a„+,»„+i—a.u,— d	_x	—•
Окончательно:
  an + iMn + i atui j un + iQ uz,
q-1	(?-1)2

§ 7. ПРОГРЕССИИ И СУММЫ
289
24.	Искомую сумму можно переписать следующим способом:
*1+*, + ...+*“+р+р-+...+;рй + 2п.
Суммируя в отдельности каждую нз геометрических прогрессий и объединяя
полученные частные суммы, будем иметь:
(**n+2+i)(**n— 1)
(я*—1) Хгп
-f-2п.
25.	Сумма S, легко вычисляется по формуле суммирования арифмети¬
ческой прогрессии. Перейдем к вычислению St. Рассмотрим следующее
тождество:	\
(* +1)" — х‘ = Зл-1 + 3* +1 •
Положим в этом тождестве последовательно х=1, 2, 3, ,п и просум¬
мируем почленно получающиеся равенства. Имеем тогда:
2 (*+!)'- 21 ** = 3 2 ** + 3 V * + «•
# = 1	Х	=	1	*	—1	Х — 1
Иначе:
4
{2*-ЬЗ»-Ь... +n* + (n + l)t}-{l‘ + 2‘+...+ns} = 3SI + 3S1+n.
3St+3S, + п= (п +1)*— 1.
с п(п + 1)
*1- 2 •
Теперь легко находим:
Итак:
Но
е  я (п +1) (2rt-f- 1)
6
Аналогично выводится формула и для S,. Нужно только рассмотреть
тождество:
(х + 1)‘—x*=4cs + 6«:l+4x+ 1
и воспользоваться прежде найденными выражениями для S, и S,.
26. Имеем тождественно:
(х +1 )**■1 -***■1 = (k + 1) xk +	xft-1 +
+ - + 'i)2.?-'1)?-!+-..+(* + !)* + !•
Полагая здесь последовательно х=1, 2, 3, .... п и суммируя, получасы
искомую формулу.
27. Рассмотрим следующую квадратную таблицу:
1*| 2й 2
7*~ 2* 5
]Л оЛ з*
4 *...п*
4 *...п
, .пп
Ю В. А. Кречмар
j* 2* 3* 4*...л*

290	РЕШЕНИЯ
Сумма членов, содержащихся в каждой строке, равна: 1* + 2* +... + л* =
= SA (п). Таким образом, сумма членов всей таблицы будет
nSk (п).
С другой стороны, суммируя по ломаным линиям для суммы всех чле¬
нов таблицы, получаем:
lft+(lft + 2-2fe) + (lft + 2ft + 3-3ft) + (lft + 2*+3ft+4-4ft) + ...
...+(1*+2*+3* + ... + (я — l)* + n.nft)=l+[Sft(l) + 2ft+1] +
+	(2) + Э*+‘] + [Sft (3) + 4*+Ч + ... + [SA (л -1) + nft+1] =
= l+S*(l)+S*(2) + ...+S*(n-l) +
+ (lft+I+2ft+1 + 3*+I + ... +nft+l).
Итак:
«Sft(")=Sft+,(n)+Sft(n-l)+Sft(n-2) + ...+Sft(2)+Sft(I).
28.	Как 1° так н 2° предложения легко получить из формулы задачи 26.
Перепишем ее следующим образом:
о=_Ас k(k-l) _	 S„	(И	+	1)*^-1
дк	9 °Л-1	1.9.4	b_Ll+	ft	+	1	'
При к — \\
S, —1 + 2+3+... + n = —П*~Ь"2П'
Таким образом, оба предложения (1° и 2°) справедливы при k=l. Предпо¬
ложим, что они справедливы при любом значении индекса, меньшем к, и
докажем, что они будут справедливы и при индексе, равном k. Так как по
предположению	есть многочлен относительно л степени k, S^_j много¬
член степени k—1, ..., то легко видеть из формулы (*), что действительно
Sk будет многочленом степени fe + 1. Далее, так как Sk_lt SA_2, ...,S0
не содержат члена, не зависящего от п, то и S* не содержит подобного
/(я+1)*+1-1
члена I -	  ПРИ	разложении по степеням п не будет содержать
свободного члена^. Из этой же формулы (*) легко видеть, что коэффициент
при старшем члене в разложении Sk по степеням л будет	Остается
R "р I
только доказать, что коэффициент при втором члене, т. е. В, равен В раз¬
ложении (*) существует только два члена, содержащих я*. Один из них
к	(п	+	Uft+1	1
содержится в —а другой в - j . По доказанному, имеем:
Далее:
ft + l ~k+\n +n
Отсюда легко видеть, что
гъ 1

§ 7. прогрессии и суммы	291
Относительно структуры остальных коэффициентов С, L можно утверж¬
дать следующее: коэффициент при пк+1~1 будет равен:
с -А-
k+l *+г
где А от k не зависит. Это предложение доказывают методом индукции,
пользуясь формулой (*).
29. Для вычисления S4 можно воспользоваться, например, формулой
задачи 26.
Можно поступить и следующим образом. Из результата предыдущей
задачи следует, что
п*+Сп*+Бп* + Еп.
Остается определить только С, D и Е. Так как последнее равенство является
тождеством, то оно справедливо при всех значениях п. Полагая здесь по¬
следовательно п=1, 2 и 3, получаем систему уравнений для трех неизвест¬
ных С, D и Е. Именно имеем:
С+О+Е-1
8С + 4£>+2£ = ^,
27 + C49D + 3£ = ^.
Отсюда найдем:
С-1; D-О; C=_i..
Остается только разложить выражение:
— п* п* _ Л
5 + 2"*"¥	30
на множители, и искомый результат будет найдеи.
Аналогично получим и остальные три формулы.
30. Справедливость тождеств устанавливают непосредственной провер¬
кой, пользуясь прежде полученными выражениями для Sn.
31. Положим А = 1. Имеем:
(£ + 1)*—£2 = 2.
Иначе:
Вг + 2£, + 1— В,=2.
Следовательно, В,=-^.
Далее примем А =2. Получаем:
(В+ 1)*—В* = 3,
т. е.
B. + SBj+SBj + l—В, = 3, т. е. Вг=~.
10*

292
РЕШЕНИЯ
Продолжая дальше, получим следующую таблицу:
Зная эту таблицу, можно легко решить задачу 29, т. е. расположить S4, S„
S, и S7 по степеням п. Числа этн играют весьма важную роль во многих
вопросах математики и обладают рядом интересных свойств. Они носят
название чисел Бернулли (J. Bernoulli, Ars Conjectandi). Можно пока¬
зать, что Вк при ft нечетном н большем I будет равно нулю. Числа же
Бернулли с четным значком будут довольно быстро возрастать. Приведем
2
значение Вш. Если положить Blie= ——, то оказывается, что
Z = 62753 13511	04611	93672	55310	66998
93713 60315	30541	53311	89530	55906
39107 01782	46402	41378	48048	46255
54578 57614	21158	35788	96086	55345
32214 56098	29255	49798	68376	27052
31316 61171	66687	49347	22145	80056
71217 06735	79434	16524	98443	87718
31115
Таким образом, числитель этого числа содержит 215 цифр. (D. Н. L е h-
m е г, 1935.) Переходим к доказательству соотношения 2°.
На основании результатов задачи 28 можно положить:
(ft +1) (l*+2ft+3*+...+и*) = n*+In*+Cnft-‘+Dn*-*+...+Ел,
где С, D, ..., L от п не зависят, но несомненно зависят от ft. Положим:
(ft +1) (1*+2*+3* +... + л4) = «*+• + С£+1а, л* +
Тогда мы можем написать следующее символическое равенство:
Переход от символического к обыкновенному происходит после раскры¬
тия скобок в правой части путем замены as через as (s = 0, 1, 2, ...).
Так как это равенство тождественно относительно л, то мы можем
положить в нем вместо л п + 1 и получить:
(ft +1) [lft+ 2ft + ... + (п+ 1)*] = (л +1 +a)ft+1—afe+1.
Вычитая же из последнего равенства предыдущее, найдем:
(ft + 1) (п+ 1)*=(л +1 +a)*+I — (л+а)6+1.
2730’	17	’
43867.
18 ~ 798 ’
N= 171390,
(ft +1) (lft+2ft+... +nk) = {n+a)k+l—aft+I.

§ 7. прогрессии и суммы	293
Полагая здесь п = 0, имеем:
(а + 1)*+I—aft+,= +1.
Кроме того, напомним (см. задачу 28, решение), что а от к не зависят и
1
что а, =—.
Итак, числа ak н Bk определяются одним и тем же соотношением и
а, = Вг. Поэтому
ak = Bk
при любом к.
32.	Пусть разность нашей прогрессии есть d. Тогда:
xk = xl+d(k — 1).
Из первого равенства имеем:
*1 +*л	,	Jn(n	—	1)
-£ря = о; nxt+d 2	—а.	(*)
С другой стороны:
х\ = х\ + 2*, d (к — 1) + d* (к — 1 f.
* Поэтому из второго соотношения получаем:
2 х1=пх\+2х^ 2 (*-1)+<р 2 (*-»)1==ь1-
fc=i	ft=i	*=i
Отсюда
+2,,a "JbzO+a- (“-Uy-Jl _ t.	(1)
(см. задачу 25).
Возводя обе части равенства (*) в квадрат н деля на п, находим:
лх;+2+	=	и
Вычитая из равенства (1) равенство (2), получим:
d2n(n*—1) Ьгп—а*
12	—	п
Следовательно:
2 ^3(Ь2л —а2)
d=±'
п У п1 —1
По найденному значению d нз равенства (*) находим х„ а следовательно,
можем построить и всю арифметическую прогрессию.
33.	1° Положим:
П
s= 2 кгхк-\
k — l
Отсюда
п
л-s — 2 ****•
£*1

294
РЕШЕНИЯ
Вычитая из второго равенства первое, найдем:
П + 1	п
S(x— 1)= 2 (A — l)1**-1— 2 кгх*-\
к=я	к=I
Следовательно:
п	п
s(x—1)= ^ (*—lpJ^-’ + nV—2 k*xk-\
fe=l	k=l
n	n	n
s(x— l) = nV— 2 (2ft —l)x*-, = nV—2 2***-,+ S ЛГ‘-,==
fe=l
= nV-2	+	*}+T=r
(см. задачу 22).
Окончательно:
1 + 4* + 9*!+	|	О8—2я*п (*—!) + (*"—!)(*+!)
{x — 1)*
2° И в этом случае поступают аналогично предыдущему. Положим:
п
s=1,+2,t + 3V+11.+bV-,= 2 ft***-1.
k — \
Составим разность:
п	п	п
sx—s — п*хп —3 2 к'х*-1 + 3 2 ft**-1— 2 **"*•
* = I	fr	=	I	ft	=	l
Подставляя вместо сумм, стоящих справа, выражения, полученные прежде,
будем иметь:
-(д. 1) „у. о п1*" (лг— !)■ —2илг” (JC— 1) + (ж”— 1) (ж +1)
„пдсп+1—(п + 1)х" + 1 хп— 1
+	(х—I)1 ~Т^Т •
Окончательно:
s(x— l)* = nV (х—1)*—3n*x" (x — l)* + 3nx"(xs— 1)—(xn—1) (x*+4x+ 1).
34.	Для определения величин искомых сумм вычислим предварительно
следующую сумму:
п
l+3x + 5x!+... + (2n— l)*"-^ 2 (2ft — 1) jc*-,=
k = l
= 2 У fix'1-1— V +-1 - 2nx" (*—0—(•*+ 0 (*"— h
fe=.	ft=,	(*-!)*
Для вычисления первой из сумм положим в выведенной формуле x = -g-.
Тогда имеем:
!+"2+f +~g + • • • +22«-i1	{3(2”—1)—2п}.

§ 7. прогрессии и суммы	295
Полагая же х=—найдем:
,3 А 7	2л-1	2"	+	(-1)"+»(6я+1)
2	4	'	* 2n_*	9-2"-1
35.	Iе Допустим сначала, что я четное. Положим п = 2т. Тогда:
1—2 + 3—4+...+ ( —1)п-1л=1 —2 + 3—4 + ...
...+(2m— 1)—2m=(l+3+...+2m — 1)—
— (2 + 4 + ...+2m) = — т = —| .
Теперь пусть п—нечетное н положим п — 2т—1. Тогда наша сумма примет
вид:
[1—2 + 3—4+ ... —(2m—2)] + (2т—1) = —(т—1) + 2/тг—1=/л=^А-‘.
Итак, если положить:
1—2 + 3—4+... +(—I)”-1 ti—S,
то
с	п
S=— если п четное,
с п +1
5=—— t если п нечетное.
Впрочем, этот результат может быть получен гораздо проще. В самом
деле, в случае четного п имеем:
s=[l — 2] + [3—4] + [5—6] + ...+[(2m— 1)—2т] = — Ьт = — т= —~ .
Отсюда получается результат и для нечетного я.
2° Допустим сначала, что я четное и положим п=2т. Имеем!
I2—2* + 3*—...+(— 1)п-‘ я2= (Iя—2*> +
+ (3*—4*) +... +[(2m—I)1—(2т)2] = —(1 +2)-*
—(3+4) —...—(2т—1+2т) = —11+2 + 3+4 + ...
...+2т-1+2т] = -<^^=_МШ
Итак, если я четное, то
1*_ 2»+Зг—...+( —I)4-1 я*= -
Если п = 2т + 1 нечетное, то
1*—22 + 32—... +(— I)”-1 я2= I2—22 + 32—4*—...
... - (2т)2 + (2т +1)2 = ~2т	+1) + (2т +1)2 =
я(я— 1) я (я +1)
2	Ь2 •
3° Искомая сумма равна—8я2. Результат получается аналогично преды¬
дущему.

296	РЕШЕНИЯ
4° Искомую сумму перепишем так:
2 (*» + **)= V кш+ 2 feI=«L«+iL(3n8 + 7n + 2)
ft=t	ft=i	ft=i	12
(см. задачу 25).
36. Рассматриваемая сумма может быть переписана так:
10—1 10*— 1	10s—1	10”—1
9	~ 9	9	г • ■ ■ Ч g •
Отсюда легко находим, что величина ее будет равна:
I	10"—1	\
9	{	9	"}•
37. Рассмотрим первую нз скобок, стоящих в правой части, и перепишем
ее следующим способом:
„гп+* , „гп+i
2**«+• _2xtn~1 tf+2х!”* у* —... ± 2xt/n—хгп+’ = 2х   JL2-	x!n+*.
хг + у*
Вторая скобка возникает из первой путем перестановок букв х и у,
поэтому она равна:
j.Sn + 2 . ,.in + s
2У- 	У!п+1.
Xs + уг
Возведя в квадрат оба полученные выражения н складывая результат легко
докажем справедливость тождества.
38. Искомое произведение равно:
(1о+1-аг+... + 1-ап-') + (а-а*+...+аап-,) +
+ (а1а*+...+а1-ап-,)+...+а”_г-яя-1 =
= а(1+а+...+а"-г) + а*(1+а+...+ап-) +
+ as (1 + а+ ... +ап-4)+ ... +агп~* (1 +а) +asn-s =
а"-*—I . а"-*—1 , «а"-*—1 ,
= а	;	1-а	 ;	Ья	i—К--
а—1	а—1	а—1
...+а*и-5 —=i + as"-s^-=-^— {(an+an+I +
а— I	а— 1 а— 1 1
+ an + 1+... +asn-s + aln-*) — (a + as + a* + ... + aIn-s +
, -2П-»ч<	(Qn—1)(ап—о)
39. Сумму, стоящую в левой части, можно переписать следующим
образом:
(jp?=r+?L+	)	+1*"-,	+	2*”-’+	D	*]■+и.
Первая из скобок равна:
4 [х + 2х*+ ... + (п— 1) х"-1] = -ж 1(«—0	п*"-,+_П
хп i-т" т... tv	хп(х—	I)1
(см. задачу 22).
Вторая же скобка получается из первой путем замены х через —.
Отсюда легко следует искомый результат.

§ 7. ПРОГРЕССИИ И СУММЫ
297
40. 1° Имеем!
_!_= 1 — —
1-2 2*
J__ I J_
2-3- 2*	3	’
Jt_ J
3-4“ 3	4	•
i ' ’ Г * i
n(n + l) n П+Г
Складывая правые н левые части, получим искомый результат.
2° Искомая сумма может быть переписана следующим способом:
п
S = £ k (ft +1) (ft + 2)*
fe=i
Ho
1 11 111
kik + l)(k + 2)~ 2 ' k fc + 12*ft + 2‘
Поэтому
s= И1 +	'+ + H^+7 +• - ■+ЙТ2) ~
“(i+i + -" + ^+^i)=i(1+¥) +
+ ( J+T + --- + i) + H^Ti+^b)_^
“("З + "4+ ■■■+ 7Г ) =T + ~2n + 2	2	n+1
2	n+1
1 1
_± (1 ! ^
2 \ 2	(n+l)(n	+	2);	*
НИ!
s-S«Sr,-
3° Решение совершенно аналогично решению предыдущей задачи
41. Сумма наша равна:
п
fc=i
Отсюда
I6S-V 16ft«—! + !__у (4ftS+,) + Iy (2fe + l)-(2fe-Q
l6i-2- 4ft*-I ~2-1(4Й +1,+2 Za (2ft — I) (2ft + 1)
k-i	ft=i	ft=i
,*-4'<*-±y-+i>+.+ii(gb-gk).
1В,щш11+1+1|;+Н+
+ T+... +
|6S_2.(»+l)(2» + l)+„ +
7 1	1	2л	—1	2n +1
т.}-
2n + l

298
Окончательно:
РЕШЕНИЯ
где m = 2n+ 1.
42. Имеем:
icq — т(т* + 2)	1
6	2т	*
1 _	1	. а.+а» I (1+ М
а,а„ e,+a„ а,а„ а, + а„ \ап^а, ) ’
I	1	Qa	+	flfi-i	1 f 1 ■	1	\
агап—1 агЛ~ап— 1 агап— i аг + а„— i \а* an—i)
' V ' ‘ Г а. + а' ‘ ' i ' >ill\
а„а. а, + а„ а,а„ а. + еДе, "‘‘а,,,/’
Но
а, + а„ = а1 + а„_, = а, + а„_г=...
Поэтому, складывая почленно ряд наших равенств, найдем:
_L+_L_+...+_!_= 2 (1+1 + ...+1).
ata„ а,а„_,	е„а,	е.	+	еДа, а, 1 ап)
43. 1° Легко видеть, что имеет место тождество:
1	1	n+k—l
{n+k —1)1 (n + ft)l“ (n + ft)i ‘
Полагая в этом тождестве ft —1, 2 р + 1 и складывая почленно полу¬
чающиеся равенства, докажем, что действительно:
п , п+1 ,	п	+	р	1
I , оч ! +" • • • "+
1
(„ + 1)1 ' („ + 2)1
2° Имеем:
п	п
(п + р+1)1 п I (п + р +1)1
(П + 1) 1 (п + 2) 1
(„ + Р+1) 1	(п+	1)	I
+ ^+.- +
п + р
1
1
(см. 1°).
Поэтому действительно:
1	+	,ТГГоП	+	----*
(П + 2)1
(n + p+l)I ni (п + р+1)
1
(я +1) I (п + 2) 1	'	’	^	(П	+ р+1) I
44. Справедливо следующее тождество:
-I1
п ( п|
1
nl (п + р+1) 1
В нашем случае имеем:
1
I
2
г—1
г+1
г2—1 *
1
1
2
х— 1
1
х+1
1
х*—1 *
2
хг— 1
1
х2+1
1
х4—1 *
2
X* — 1
х4+1
Xs—1 *
1
1
2
:г” — 1
х2п+1
Х*» + 1 —
(1)
(2)
(3)
(п+1)

§ 7. прогрессии и суммы	299
Умножаем обе части равенства (1) на 1, равенства (2) на 2, равенства (3)
на 2* и т. д., наконец, умножаем обе части равенства (п + 1) на 2". Полу¬
ченные результаты складываем и находим:
1,2, 2" 1 2п+1
r+T + FTT + "'+2*" + l-x-l~x*" + ,-l •
45.	Имеем:
п — р
л + р + 1	п	—	р—ft + 1
п-р + 1 £i(p+ft)(n-ft +1)~
п—р
"ipj+r,?. (гЬ+я=1+г)("-'’-6+1)“
п - р
_	1 у (П+1 р \
п-р+1 ^ Vp+fe n—k + l)
= ^+тИ1)(р-^Т + р-Т2+**-+1)-
-р(4+я=1+-+яп)]=:
=,т4+г(р-тт+"-+1)^+,-р)=
=J^rT+---+-i = (1+T+---+^)_
— (1+4‘+4'+ • • • +т) =sn-sr
46.	Имеем:
S'-n + l (	1	I	2	+	+^=-4	=
п 2	\л(п—1) ^(л —1)(л—2)	2-3	J
п — г
п + 1	v	к
-~Т~~ ^{п-к + 1)(п-к)-
П — 2
_п_+1	,	у	—к
~ 2	* = . («-* + !)(«-*)*
 Й
Разобьем дробь ,	,		гг	на две простейшие дроби. Именно по-
г (п — ft	+ 1) (n — ft)
ложим:
	—ft	Л	В
(л—ft +1) (л—ft)	л—ft + 1 л—ft*
—k = A (n—ft) + B (л—ft + 1).
Отсюда, полагая сначала k — n, а затем ft = п+1, найдем:
А=п+1; В = — п.

300	РЕШЕНИЯ
Поэтому
*-■++*•+,>х:,.-=1тг--2+*-
“Я(^=Т + ^=2+-"+т) =
“^ + п (^+^1 +•••+¥) +(4 + ^Т+ •••+¥) “
Ч(-^+---+т)-Ы]=
с=Ч^+(1+ ^ri+---+i)+1_'l=
= 1+¥+T'f
47. Пусть п-й член искомой прогрессии будет а„, разность же прогрес
сни примем равной d. Тогда:
_а, + ах
ьх— 2 х,
Skx = “A^kx.
Отсюда
Skx^Qi+akx . _2a, + d(ftx—1)	_.2а,—	d	+	ftxd
Sx а,+ах	2а,+d(x— 1)	2а,—d+dx
Для того чтобы последнее отношение имело значение, не зависящее от х
необходимо и достаточно, чтобы
2а,—d = 0,
т. е. в искомой прогрессии разность должна равняться удвоенному пер
вому члену.
48. Можно доказать следующее предложение:
ak + al = ak' +аг >
если ft+/=ft' + /'.
В самом деле:
а^ — а, + (ft — 1) d\ аг = а, -f- (/ — l)d:
ak.—al-\-(k' — l)d; av =а, + (Г — l)d.
Отсюда
aft+ a/= 2а, + (ft +1—2) d,
ak,+ar =2a, + (ft' + r— 2) d.
Но так как по условию
k + l = k'+l',
то из последних равенств действительно следует, что
ak + al — ah'

§ 7. ПРОГРЕССИИ И СУММЫ	301
Пользуясь этим замечанием, имеем:
ai + °i+*—+<Ч+1 = 2в/+1*
Данная сумма преобразуется поэтому следующим образом:
»
Но
поэтому
It	It
с aiai + iai+t
h а‘+а^ 2 h '<+1'
а1=а!+| &'• а1 + 2 = а1+1 +^,
П
S =i Z (°J+. -*> = у Z К + 2a,* + «*-!) rf*l =»
= ±,{aln+2ald^n^-nd* + n[n + Yn + [)<l*\ =
1	1 г ■ л, .... (n-I)(2n + 5) „1
=Yrt 1 a.+flid(« + D + -	  ['
49.	Известно, что
tg (а + ftP) tg [а + (ft I) PI= cos (a -j, fepj cos [a + (ft — Г) Р] *
Поэтому
cos (a + ftp) cos [a + (ft — 1) PI
K = 1
= iHTpZ{tg (a + *P) — tg [a + (ft —1) P]} =
k — l
= il«rp { tg(a + P) —tga + tg(a + 2p> — tg (a + P) +...
50. Имеем:
... + tg(a + nP) — tg (a + (n — 1) P)} = -tg(a* tga .
2 ctg 2a— ctg a =»— tga,
о .	* a	. a
2ctga—ctg-g-=— tgy,
„ , a	.a	.a
2ctg -g ctg —= tg— ,
„ . a . a . a
2 ctg -Ctg = - tg ^гт.
.Ill
Умножая эти равенства последовательно иа 1,	и	скла¬
дывая почленно, получаем искомый результат.
51.	Рассмотрим следующую формулу:
cos [a+(ft —2) ft] — cos [a + ftft] = 2 sin ft sin [a+(ft — I) ft].

302
РЕШЕНИЯ
Полагая в этой формуле А = 1, 2, 3, .... а—1, а, найдем:
2 sin ft sin а = cos (а—ft)—cos (a 4- ft),
2 sin	ft sin (а -1- ft) — cos a—cos (a -1- 2ft),
2 sin ft sin (a -f 2ft) = cos (o -f ft)—cos (a + 3ft),
2 sin ft	sin [a 4-(a—2) ft	] = cos	[a + (/t—3)	ft] — cos	[a 4-(a—1) ft],
2 sin ft	sin [a-f (n— I) ft	] = cos	[o + (n—2)	ft]—cos	[a 4-aft].
Складывая эти равенства почленно, находим:
2 sin ft {sin a-f sin (a + ft)-f sin (a + 2ft)+ ... -1-sin [a 4-(a— I) ft]} =
= cos а 4-cos (a—ft)—cos (a 4-aft)—cos [a + (a—1) ft] =
= {cos a—cos [a 4-(a— 1) ft]} + {cos (a—ft)—cos (a 4-aft)} =
о	■	n~I	t. ■ (	, я—1 Л , n ■ f , n~1	i	\	■	a4- 1 ,
— 2sm—g—	ft sin I a-j—ft J-f 2 sin I a-j—ft	J sm	—ft =
n , (	, n~l	, \ о , nh	h
= 2 sin I a-]—g—	ft I . 2sin~2-	cos-^-
Отсюда и получаем действительно:
sin а 4-sin (a -f ft) + sin (a + 2ft)+ ... + sin [a + (a— I) ft] =
. aft
sm-g-
. A
s.n¥
Аиалогично получается и вторая формула. Впрочем она может быть очень
я
легко получена из только что выведенной путем замены а через — а.
я
52. Полагая в предыдущих формулах а = 0; ft = —, легко получим:
s=c*s£- s'=°- ‘
53. На основании результатов задачи 51, имеем:
sin па sin па
sin а + sin За + ... + sin [(2a — 1) а] =
cos а + cos За. 4-cos [(2a—I) а] =
sin а
sin aa cos na
sin a
Остальное очевидно.
54.	Для вычисления искомых сумм можно поступить, например, сле¬
дующим образом. Составляем сумму Sn и S”. Легко видеть, что
S„ + S„ = 2n.
С другой стороны,
Sn — S^=cos 2х 4- cos 4х ... 4-cos 4а*.
Применяя вторую из формул задачи 51, найдем:
о ,	.	,	,	,	sin	2пх	cos	(2а 4- 1)jc
cos2х4-cos4х-f... 4-cos4nx =	5	—.
11	sin	x

Итак:
Отсюда
г
§ 7. прогрессии и суммы	303
sin 2пх cos (2п + 1)х
S—S,, —	>
п п	sln х
sin 2пх cos (2n-\-l)x
О _  At -T-	О •	•
п 1	2 sm х
sin 2пх cos (2n + I) x
o _ — At _	_	•
n	2 sm x
55. Воспользуемся формулой:
sin A sin В [cos (A—B)—cos(A + B)].
Тогда имеем:
p	p	p
V . mni tint 1 V	(m—n)ni	I V (m-f-n)nt
S =Ъ™ ^+1 • Sm J+i=2 2- C0S-MTI 2- ^C0S S+I
Но если Arc-f/i делится на 2(p-|-I)p то cos^~q3y™==1 и
p
s4Ecos'7+r-2p-
£ = 1
Пользуясь формулой 2° задачи 51, легко найдем:
р
Е(т—п) ni	,
C0S—р+1 =—
(=i
Отсюда
s-—E±i
2 ■
Аналогично доказываются и остальные случаи.
56. Имеем:
arc tg (ft +1) x -f-arc tg (— ftx) =
ftx+x—ftx	.	x
~аГС g I— (ft+l)x(— ftx) _аГС g l+ft(ft + I)x2 ’
так как (ft + l)x(—ftx) < I (см. задачу 25, § 3).
Отсюда
arc tg2x—arc tgx=arc tg
X
arc tg 3x—arc tg 2x=arc tg
l+2-Зх*'
arc tg (n +1) x-arc tg nx =arc tg 1 + я(д + 1)А -
Складывая почленно эти равенства, находим, что искомая сумма равна:
tix
arc tg (n +1)x—arc tg x=arc tg j+(fl + 1)JC, •

▼
304	РЕШЕНИЯ
57. Легко видеть, что
arc tg a* + arc tg (- aft_,) = arc tg	= arc tg 1+fl'Qfci ■
Теперь легко найдем, что наша сумма равна:
j A. j. I О *
arc tg 4-^	 .
• +al°n + l
58. Положим:
I + ft2 + ft4 = — ху, х + у = 2с.
(Это делается для того, чтобы применить формулу
. х + у	,
arc tg -j—-s- = arc tg x + arc tg у, если xy < 1.)
i xy
Тогда:
2k
агс *^2+ft2 + ft4~arC tg	Jrc	tg(*2—л + 1)»
поэтому
гг
ж ч	2ft
2м arc 2-fft2-f fta=arC tg 3—arc tg 1 +агс tg агс tg з+...
k =1
... -fare tg (rt, + n + l)—arc tg (и2—л+1) =arc tg(rr2 + rt+l)—~	.
59.	Пусть ft	есть одно из чисел:	1, 2, .... n—1. Умножим	первое
. . Я	.	,2я	.	.	Зя
из уравнении на sine—, второе на sin* —, третье на sin я— и т. д.,
. . (п— 1)я _
наконец последнее на sin ft -	-—. Сложив полученные произведения по-
п
членио, найдем:
я	2я
Aixt + Asxt+... +	=	а,	sin	ft —+ а,	sin ft — -f ...
■ j —О1*
sln	ft i— 	.
При этом
я	.	. я , .	я . , ,2я . . 2я ,	, ,Зя . . Зя ,
А, — sin	/ — sin ft	1- sin I — sin ft i- sin / — sin ft f-...
1	n	n	tl	tl	n	n
, . ,(я —1)я	(n —1)я
...	4- sin / J	— •	sin	ft i	.
n	n
Пользуясь формулой 2е задачи 51, докажем, что
А/ = 0, если / Ф ft,
А{—^ , если / = ft.
Отсюда получаем:
2/	я	,	,.2я,	,	.	,	(п	—1)я\
** = - ^ai sin ft ——|-a, sin ft — + ... +an-i sin ft -—),
(ft = l, 2, 3, ..., /t—1).

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	305
§ 8.- НЕРАВЕНСТВА
1. Имеем:
1 1. 1^1. .	1	^ 1	. 1 ^	1
2а~2а ’ 2а— 1 >2п:	п+2>2п’	п+1>2п’
Складывая эти неравенства почленно, найдем:
11 1 11, , 1 _ " _ 1
я + 1в + 2	" 2в'>2в 2а	'‘	2в 2 п	2'
2.	Легко видеть, что
1 1 1
Но
поэтому
(B + ft + 1) (а + ft) (в + ft)2 (a + ft— 1) (в + ft)
	I	__1	1
(a + ft +1) (a + ft) — a + ft a + ft + 1 ’
	I	__J	1_
(a+ft—1) (a + ft) — a + ft— 1 a + ft’
11 1 11
a + ft a + ft + i (a + ft)2 a + ft — 1 a + ft'
Суммируя эти неравенства от ft = I до k—p, получим искомое соотно¬
шение.
3.	Пусть имеем а дробей (ajSil):
1 L J_ J_ JL Л
a '	Ь	*	с ’ d  ft’	/ •
Допустим:
2	<	b	<c < d < ... < k <1.
Тогда:
ft^a + l; c^ft + 1; d^c+1; ...; /^ft + l.
Следовательно:
ft 5ia +1; c^a + 2; d^a + 3; ...; /So+а — I.
Поэтому
11	1	_	1	1	1	1	I
^2 “E ь* "E • • •	■	/»	= ,.г ~E	.	i\2 + — ~E /„	I	„
aj-rfe2-r... . p =a*-i-(fl + i)«-r-" -r(e + n_i)*'-a_i a + „_|-
Отсюда
II	1	я
~E 1,2 ~E •*. "E ,2 <- ’
а* Ьг	P	(a—1) (a + n — 1) '
Ho
a — 1 S: 1; a + а — l^a+1; (a — 1) (a + a — l)jSa+l
i+i+ — +F-STT<1*
4.	Действительно:
(a!)2 = (I-a)-(2(a-I)) ... (a-1).

306	РЕШЕНИЯ
Но
так как
Поэтому
к (п—й + 1)^п,
к (п—к + 1)—п = (п—к) (к—1)^0.
1 •п = п,
2-(и — 1)^п,
3-(п—2)^/1,
Отсюда
5. Так как
то
n-I=ft.
(п!)*^пп и уТС\^Уп.
а< VА <а + 1,
УА+а< *+К Т5ТГ<1; ^—>0.
ЛЗ±йДЗ=л<г1-«
2а +1
А—а* т/~т	1ЛТ	А—а*
2а+т	^>в+айт-
Перейдем теперь к доказательству второго неравенства.
Заметим, что при любом х имеет место неравенство:
Отсюда
X (1—х)=х—
В самом деле, имеем:
«-*■-1— (*-т)‘з50.
При этом очевидно, что знак равенства может иметь место лишь
1
при x = Y*
Так как можно предположить, что У А—аф-^-, то
[1 -( У А -а)] (У А -а) < i-.
№,+,)_(г-ж+0,<_^_.
Умножая обе части этого неравенства иа У А-а > 0. иайдемз
(2а +1) (УА —а)—(А — а*)< I.

§ 8. НЕРАВЕНСТВА
Отсюда, наконец:	•
^<°+£?Г+4<*Ьт5 •
6.	Имеем:
in как
-4=> 2|^п + 1— 2 Vn,
У п
Vn + i — YJ =—-г 1—1
Следовательно:
l^n + l + l^n 2 Уп
1 >2 УТ—2,
у= > 2 V^3 -2 /2",
^=>2 ^4-2^3,
-U>2	2 Kn.
V n
Складывая эти неравенства, получаем искомый результат.
7.	Положим:
д_ 1 Г» - 1	3	5	25-1
л~4* 4s- 2 ' 4 * 6 •" 2s •
Тогда
2	4	2s 2	4	6 2s 1
А < -тг
3 5 "■ 2s + l 1 3 5 "• 2s — 1 2s+l*
a<4-	1
A 2s + 1 '
Отсюда
A* < jr-4-г; A <	1
2s + r	У2в + Г
Но, с другой стороны:
.	1 2	4	2s—2
> 2 ’ 3 ' 5	2s —1 *
.	1	3	5 2s —I
2*4*6’" 2s •
Перемножая почленно эти два соотношения, найдем:
1

308	РЕШЕНИЯ
то
1.	1
.,6	.,0 .
ctg2-к- ctg2 — 1
ctge=  g-
2—е	2с^т
ctgy
Следовательно:
0
0 cts2 ~2	1	е
1+Ctg0— ctg — = Ц	д	ctgy =
Sctgg-
— 1 ( 0 0 \ (1 Ctg 2 )
={ctg‘T-2ctg2+, =- о > е = °’
2 ctg-5- ’	'	2ctg-^-
так как
ctg > О (0 < 0 < я).
9.	Имеем:
tg (А + ‘В) = l-fg^fi = tg (я -С) = - tg С > 0.
так как С тупой угол.
Итак:
tg Л -Ь tg 5	-
1— tgAtgB
Я
Но так как Л и В меньше , то tgЛ-l-tgB>0, а следовательно:
1 —tgЛtgB>0; tgЛtgB<I.
10. Действительно:
tor to ml	tg 0 — tg ф	_ (n — l)tgq>
lg'	w	• + tg0 tg9	1 + я tg2ф
Поэтому
tc,,0	.	(Я-1)2	.	(«-D2	^(n-\f
№Ф + ^ф)2	(ctgV—rttgф)2-f4n	— An
11. Имеем:
co:: оу — ^ tg2 Y
C0S2Y 1 + tg2 у'
Для того чтобы доказать, что cos 2у 5= 0, достаточно доказать, что
1 —tg2 Y^|0.
Но имеем:
. , , cos2 a cos2 ft —(1 -f-sin а sin Р)2
g Y —	cos2 a cos2 p

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	309
Остается доказать, что
cos2 a cos2 р —(1 -f- sin а sin Р)2 5 0.
Но
cos2 а cos2 р—(1 +sin а sin р)2 = (1 —sin2 а) (1 —sin2 р) —
—(1 +sinasin Р)2 =— (sina + sinР)2^0.
12. Пусть т есть наименьшая, а М наибольшая из данных дробей.
Тогда:
m = Г“ = м («' = •• 2> 3.	«)•
Отсюда
тЬ,?5а;^=МЬ{.
Суммируя все эти неравенства (при значениях »' от 1 до п), найдем:
т 2 ^ 2 ai Ш м 2 bi-
Итак, действительно:
“ 2*. ~
13. Мы предполагаем, конечно, что все величины а, Ь, ..., / положи¬
тельны и везде берется арифметическое значение корня. Кроме того, т,
п, ..., р—целые положительные числа. Возьмем логарифмы наших корней,
т. е. рассмотрим величины:
lga lg b lg/
m ' n *	p
Пусть p наименьшая, a M наибольшая из этих дробей. На основании
результатов задачи 12 имеем:
ца + 1еь + ...+?е/<Д1.
m + n+...+р
Следовательно:
m+n + ...+р
р < lg	у	ab	..	КМ,
и наше предложение легко отсюда следует.
14. См. задачу 12.
15. Имеем:
ук—zh=y* (х*-2—ук~г) + г2 (х*-2—гх~2),
так как
x2 = i/2 + г2.
Из того же равенства следует: х > у, х > г. Поэтому, если
I—2>0,
то
г*-*—/-*>0 и х	—аА—2 > 0,
а следовательно, при К > 2:
хх—рх—г'‘>0, т. е. х''>рх+г\
Совершенно так же докажем, что
хЛ < рх+г\ если X < 2.

310	РЕШЕНИЯ
16. (См. задачу 7, § 1). Для доказательства можно поступить, напри¬
мер, следующим способом. Если а*+Ь* = 1, то, очевидно, можно найти
тако1 угол ф, что
О = С05ф;	1>=31Пф.
Совершенно так же можно отыскать угол ф' такой, что
m = cos ф', п — sin ф/.
Тогда имеем:
| ат-f-Ьп | = | cos ф cos ф' -)-sin ф втф' [ =| cos (ф—ф') | I.
17. Имеем:
0х 3: а1—(Ь—с)*,
Ь*^Ьг—(с—о)2,
сг^с2—(а—fc)2.
Перемножая, получим:
агЬгс2 Si (а 4- b —с)2 (а -1-с—Ь)г (Ь+с—а)2.
Отсюда и следует искомое неравенство.
18. Известно, что если Д + В + С = я, то
А , В	А ,	С	В С	,
tg Т tgт + tg т tg	т+tg т tgт = 1
(см. задачу 40, 4°, § 2).
Положим:
, А	.В	.С
tg-fT=*:	tg-g-	= i/;	tg-g-=z.
Тогда остается доказать, что
*2+</2-)-z2gl.
если
xy+xz + yz — l.
Но имеем:
2 {х1+У1+г2) — 2 {ху + xz + yz) = {x—y)* + {x—z)* + {y—z)*^0.
Отсюда
2 (хг + уг+гг)—2SiO,
дс2 + 1/2+z2^ 1.
19. Имеем:
г|п А	л/~(р—Ь)(р—с).	В _ -,/■ {р—а){р—с)
sin т=у  Гс . sin-g— у	-
, с _ Г(р—д)(р—ь)
smT“ У аЬ •
Следовательно, достаточно доказать:
(p—a)(p—b)(p—c)^ 1

"	§	8.	НЕРАВЕНСТВА	311
Поэтому нужно только доказать:*
(Ь+с—а) (а+с— Ь) (а + Ь — с) ^ ,
abc	-	'
при условии, что b+с—а>0, а+с—6>О и а+Ь—с>0(см. задачу 17).
Можно доказать это неравенство и иначе. Положим:
. А . В . С
sm — sin -g- sm -g- = |,
имеем тогда:
Отсюда
Следовательно:
-т(
А —В А + В\ А + В
cos —	cos —g— J	cos —g— ■
г А + В А — В А + В 4t -
cos5 — g	cos —g— cos	—g	Ь2£=0.
cos -
cos -A‘ 0— ± l/" cos2 0 ц—85
Л — В ,	sЛ—В
ms	■	'	*	—v
Л + fi
j4 + fi	Л —В
Так как cos—^— и cos—вещественны, то должно быты
cos2^=^-8£S0;
8£^cos2^=^; 85^1;
20. 1° Имеем соотношение (см. задачу 40, 2°, § 2):
ABC
cos A + cos В + cos C= 1 +4 sln sin -y sin .
Пользуясь результатом предыдущей задачи, получаем искомое не¬
равенство.
2е Так как существует соотношение:
cos cos cos	(sin А + sin В + sln С),
то данная задача представляет собою частный случай задачи 48 этого па¬
раграфа.
21. Достаточно доказать, что
(а+с) (fc+d)Safc+cd + 2 Уabed,
т. е. что
cb+adS2 Уcbad.
Но
cb+ad—2 У cbad = ( УсВ— У ad)1 SO.
22. Имеем:
а2 + Ь*— 2ab = (а—b)* S0.

812	РЕШЕНИЯ
Отсюда
а*—aft + ft2 So ft.
a2 + ft2 Safe (a+ 6).
Следовательно:
3a2 + 3ft2S3a2ft + 3aft2.
Прибавим к обеим частям этого последнего неравенства по а* + 62.
Имеем:
4а5 + 4 ft2 S (а + ft)2.
Итак, действительно:
a2 + ft2 ^ ,'а + Ь\>
2 =\ 2 )■
23. 1° Нужно доказать, что среднее арифметическое двух положительных
чисел ие меньше их среднего геометрического. В самом деле:
£ + * _ УГЬ =-i(a + ft_2 У^Ь)= 1 ( У а-УьУ^О.
2” Для того чтобы доказать, что
а + Ь	1	(а—ft)2
-±— УаЬ^—g-J-	{а >Ь),
достаточно доказать:
(Уа-Уь)г ^(а-Ъ)*
2	=	Ь
Следввательно, нужно доказать:
{Уа+ УРУ^ 1
8ft = 2 ’
Имеем:
так как -г- > 1.
ft
Аналогично доказывается и второе неравенство.
24. Положим а—хг; Ъ=у>\ с=гг. Тогда остается только доказать, что
x, + y* + zt—Зхуг SO
при любых неотрицательных х, у и г.
Однако имеем (см. задачу 20, § 1):
** + У3 + г*—Зхуг — (х + у + г)(хг + у*+гг—ху—хг—уг).
Итак, остается доказать только, что
хг+у* + г*—ху—хг—у г S 0.
Но мы имеем (см. задачу 10, § 5):
2х*+2уг + 2гг—2ху—2хг—2уг = (х—уУ + (х—г)г+(у—г)*^:0.

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	313
25. Имеем:
\Г~—	+	аг	.	О,	+	а, _	.		—^-On-i+On
t	2	»	У :z= g ‘ » • « • » Г On — lO« 2	•
Складывая эти неравенства почленно, получаем искомое.
26. Имеем:
Перемножая эти неравенства почленно, имеем:
U±a1ML±£l^dl±4t> ^ }Г^7Тп = 1..
Итак, действительно:
(1 ~hai) (1 +аг)-- •(! +вп) = 2".
27. 1° Воспользуемся следующим тождеством:
(а + Ь) (о + с) (Ь + с) = (ab + ос + Ьс) (о + Ь + с)—abc.
Но
±+1+£ШуЩ; а2±р^1Шу^.
Поэтому
(о + b + с) (ab -f ас + *>с) ^ 9abc,
и следовательно:
(а + Ь) (а + с) (Ь + с) ^ 8abc.
2° Имеем:
а , Ь , с а + Ь+с ,,b + a + с ,,
;тгг;+гп;- h . „	ч „ > „	1_г
b-f-c а + с а + 6	Ь+с	а+с
+С^+^Ь_1=(0+*+сКьТ^+^+^Ть)~3‘
Но
(Ь +с) + (а +с) + (с + Ь) ^3 уА(Ь + с) (а + с)(а + Ь),
■т. е.
Далее:
А+Нс§| у{Ь + с)(а + с)(а + Ь).
ЬТс + НТс + ^Тб = (Ь +с) (а +с) (а + Ь) ^ +с) (°+С) +
+ (Ь + с) (о + b) + (a + b) (a+c)}S
в,мчщ+ч№; ^р+йч»+«>•<.+«■.
Поэтому
FTi+sb+STT3^ У<»+Ч(»+'Х«+»)х
Х(Я-с)(о+с)(о+Ч У(Я-^Чо + ЙЧо+Ы'-З.

314	РЕШЕНИЯ
Итак, действительно:
_5_+_^+_£_>±
Ь+с^а+с^а+Ь= 2 -
28. Достаточно доказать:
(а + А)(Ь + 1) (c + m)|i(£/abc + p^klm)’.
Имеем:
(a + k)(b + l)(c + m) = abc-{-klm-\-{alc-\-kbc+abm) + {klc+alm-\- kbm),
abc-f-f/klm) =abc-\-klm-\-3 Уа.3Ьгс*к1т-\-3\fк*1гтгаЬс.
Но
alc-\-kbc-i-abm 3 ,	 klc	+	alm	+	kbm	3 /■
	3	>	у	a2b*c*klm; 	3	>	у	kH3m3abc.
Отсюда и следует справедливость нашего неравенства.
29. Имеем:
з/— ^а+Ь+с
Но
т. е.
Поэтому
У^с=а + ь+с'
1 +1 4-1 > 3 —L_ > __J_
n + A+c =*y- = a + b+c-
30.	Нужно доказать, что среднее арифметическое я положительных чисел
не меньше (>) среднего геометрического этих чисел. Мы приведем несколько
доказательств этого предложения. Начнем с наиболее изящного из ннх.
Оно принадлежит Коши.
Итак, нам нужно доказать, что
я
При л=1 справедливость этого неравенства очевидна. При я=2 и при л=3
предложение нами было доказано (см. задачи 23, 24).
Покажем сначала, как доказать справедливость нашего утверждения при
п— 4. Имеем:
*1+*2 ■ *» + *«
х\ "I" хг + хг + *4	2	2	-щ /"х, + xs хг + х4
4	-	2	—	V 2*2’
Но

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	315
Поэтому
xt + xt + xs + X, 1/V— лГ— _ 4 /
	4	к	V Х,Хь— ^ XiXtXsXi.
Докажем теперь вообще, что, если теорема справедлива при п = т, то
она справедлива и при п — 2т.
В самом деле:
xt т -1 Н~ хгт _
2т
Х1~\~ Х2 I -^8 ~f~ -^4 I	I	Х2ТП — 1 ~Ь Х2т
о “г о "Г • • • Т	о
X | ~Ь Xt Xs + хг ^гд-i ~t~x2m
2 2
(так как мы предполагаем справедливость теоремы при п = т).
Далее:
2т
Vx,xs- V x,xt.. • V хгт-,хгт=гг1/
XiXgXfX^. . .хгт.
Итак, предполагая, что теорема справедлива при п=/п, мы доказали,
что она справедлива и при п = 2т. А так как мы доказали справедливость
теоремы для п = 2, то она справедлива при п=4, 8, 16, т. е. справед¬
лива при п, равном любой степени двух. Однако нам нужно доказать, что
теорема справедлива при любом целом значении п. Возьмем некоторое зна¬
чение п. Если п является степенью двух, то для такого п теорема спра¬
ведлива, если же иет, то всегда можно прибавить к п некоторое q, такое,
что п+<7 будет степенью двух.
Положим:
n+<7 = 2m.
Тогда имеем
*1+*2 + Л:8+ • • • +*П+*П + 1 + • • • + *n+g
-> n+q /
= у XlX1. . ,х„-хп + 1.. ,х„^
n+q	= у 18* ■ • п лп+1" 'лп+д
при любых положительных дс/ (* = 1, 2, .... n+q).
Положим:
xt “Ь *2 "Ь • • ■ +хп
хп+1 —xn+t ... хп+д	—	.
Получаем:
*1+*t+...+*n+*‘ + *‘+•••+*"•<,
n + q
Отсюда
t + ^t+ * • • +ХП 'J1 \/	„	f	Xl+Xt+	-t-xn\q

316
РЕШЕНИЯ
и, окончательно:
х, +*2 4- ... +л„
у/"Х1Х2... хп .
Итак, теорема справедлива для любого целого показателя п. Очевидно, что
если х, = хх =... =х„, то в нашей теореме имеет место знак равенства.
Докажем, что знак равенства может быть только тогда,
когда все величины xv хг, хп равны между собой. Предположим, что
хотя бы две из величин, например х, и х2, не равны между собою. Докажем,
что тогда обязательно будет иметь место знак неравенства, т. е. будет:
*i + *a+ • ■ • +*п	л/—	—
“	>	у xixz- . .хп.
В самом деле:
х1~\~хг I xi~\~ х2 ,
2 + 2 + *»+•" + «
п
Но если дс, не равно х2, то
Хл+А* ^ л/- —
следовательно,
sV (Ц^у
а потому и
/	*»■	••■*«>	V
*i “Ь ■*» "Ь ■ ■ • +*п ^ п/—	—-
			 > У xixf • •хп ,
если хотя бы две из величин х„ х2, .... хп не равны между собою. Мы да¬
дим еще несколько доказательств этой теоремы. Перейдем ко второму.
Пусть п—положительное число, большее или равное единице (п^1). До¬
пустим, что а и Ь—два вещественных положительных числа. Тогда имеет
место неравенство:
(а"-* —&"-*) (а—Ь) 2:0.
Отсюда
о" + b" а"~*Ь -(- Ьп~‘а.
Рассмотрим п положительных чисел: а, Ь, с к, I. Применим это нера¬
венство для всевозможных пар чисел, образующихся из данных п чисел.
Сложим образующиеся неравенства. Находим:
(ол + Ь") + (ап + с") + ... + (an + Г) +
+ (Ьп + с") + ... + (Ьи + Г) + ... + (fc“ + ln) S (ап~'Ь + Ьп~'а) +
4-(0n-,c-|-cn-,fl)-l- ... +{an-4 + ln~1a)+ ... + (кп~Ч + 1п-гк).

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	317
Отсюда имеем:
(п—1)(ап + Ьп + ... +Г)^
^ а (Ь"-'+с"-,+ ... +/"-,) + Ь (ап-,+с"-,+ ...+/"-’) +
+ с(аг,-1+Ьп-,+ ...+/"-,)+...
...+Цап~1 + Ьп~1 +	(*)
Пользуясь этим неравенством, можно методом индукции доказать нашу
теорему о соотношении между средним арифметическим и средним геомет¬
рическим п чисел. Нам нужно доказать, что
*1 + *2 + ■ ■ - + хп пу— гт"
~	у XtXt, . ,Х„.
Положим:
х, = ах2 = bn; х,—сп;...;х„^1 = кп;х„=1п.
Тогда достаточно доказать, что
^±Г + ---+^+^аЬ..м.
п	—
Допустим, что это неравенство справедливо при значении показателя, равном
п — 1, т. е.
Ьп_,+ ... + кп~х + Г~х^{п—i)b-k...l,
ап-1 + сп-,+ ... +/"-1 S (п—1) а-с.../,
ап-' + Ьп-,+ ...+кп-1^(п—\)а-Ь...к.
Пользуясь неравенством (*), находим:
(п— l)(a" + bn+...+ftn + /n)^
—1) bk...l-\-b (n—1) a-с.../+... +Цп—1) ab...k.
Отсюда
(n—l)(an + bn+ ...+kn + ln)^(n—\)-n-a-b-c...kl,
т. e.
an + bn+...+/"	.
  	1	-—>abc...kl,
n	—
Итак, наша теорема вторично доказана. Переходим к третьему доказа¬
тельству этой теоремы. Оно опять будет проведено методом математической
индукции. Пусть имеется п положительных чисел a, b к, I. Нужно
доказать:
а + Ь + ...+к + 1^п Уab...kl.
Предполагая, что теорема справедлива для п—1 чисел, имеем:
a + b + ... +ft + /Si(n-l) n~l/ab...k + l.
Итак, теорема будет доказана, если будет доказано неравенство:
(п—1)" \/ab...ft + /Sirt Vab...k’l.
Отсюда следует, что нужно доказать неравенство:
/	,.%*/	ab...ki	ab...k(
(«-») у —jn——рг—.

318	РЕШЕНИЯ
Положим:
ab — kl *n (n-1)
[ti	s	•
Поэтому нужно доказать:
Итак, доказательство нашей теоремы сводится к доказательству нера¬
венства:
1,
где £—любое вещественное положительное число, а п—целое положитель¬
ное. Докажем это неравенство. При 1=1, очевидно, имеем знак равенства.
Допустим теперь, что £> 1. Нужно доказать:
5" — 1
=	1	«г-	„ЦП-	I
Имеем:
Но
Поэтому
5-1 = ё
уЕ^=£"-1+6,,-*+...+Р+Е + 1-
1 <1<£* <£*<...< 5““* < 5"-1.
Ь»-,+6»-«+...+Е+1<яЕ»-‘,
и, следовательно, действительно:
Е"-1
<«6П
5-1
Если же 5 < 1. т° нужно доказать, что
5П —1
5-1
>п6"
Этот результат устанавливается совершенно аналогично предыдущему, и
теорема доказана. Заметим, что все рассмотренные иами доказательства
были проведены методом математической индукции. Поэтому желательно
было бы получить такое доказательство, которое устанавливало бы непо¬
средственно, что
если а„ as, ..., а„—любые положительные величины, не равные одно¬
временно между собою. Положим о,■=■*". Тогда нужно доказать, что
*?+*? + ...+*£  _
^	xtxs.. О,
т. е. вопрос сводится к тому, чтобы установить, что некоторая функция
(форма) от п переменных х„ хг хп положительна. Известно, что п букв
хи х2 х„ можно переставить «1 способом. Если f (*,, хг, ..., хп) есть
некоторая функция от п переменных х„ хг, .... хп, то символом
2/(х„ хг хп) мы будем обозначать сумму «I величин, возникающих из

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	319
f(xlP х2 х„) путем применения всех возможных перестановок. Так,
например,
2 *," = («-!)• (< + *"+... +*")•
Введем обозначение:
<+4+...+< 	  ч
^	XlXt,,mXn ф(*11 *(»••»! *и)-
Легко видеть, что при применении любой из перестановок функция
Ф(дс„ хг, ..., хп) не меняется. Поэтому имеем:
«! Ф (*i. хг х„) = 2 ^	+	... + *") — ^ х,хг.. .хп.
Но
2*? + *? + ... +хпп = п\ (*Р+<+...+ж").
С другой стороны:
<+<+ • V +*И=(й=1)Т X *?•
поэтому
nl ф (дг,*:,.. ,хп) = 2 х" — 2 *1-+ • • хп.	(*)
Введем в рассмотрение следующие функции:
Ф. = 2( х1~1—х2~') (х1~хг).
Фг = 2 ( х1~г~х2~г) (*!—*«) хз.
ф*=2 (х1~г—■*?“') (** —**)
Фп—1—*2) (^i *г) ***4- • .*п*
Имеем:
Ф1=2 2 х"—:22*"“‘**’
Ф,=22Х"_Ч—2 2*?_'**х»’
Ф. = 2 2 xi”Vi —:2 2 _
Ф« -1=2 2 х*х*х‘ • • • хп—2 2 xixtx>-- xrr
Складывая эти выражения почленно, находим:
Ф, + ф, + ф# + • • • + Фп—1 —2 21 ■*, 2	xixf	•	*хп.
Сопоставляя это равенство с равенством (*), получим:
«1ф(*1. х. хп)=у(Ф«+Ф« + Ф» + ---+Ф«-»)-
Итак:
х” + х"+...+х"	1
	—	дс,*,.	.	.*„	=	(ф,	+	ф,+	... + Ф„-,).

320
РЕШЕНИЯ
Однако легко видеть, что ф„ %, ..., ф„_, обращаются все в нуль тогда
и только тогда, когда xl = xt— ... —хп.
Если же переменные не все одновременно равны между собою, то все
Ф,■ > 0. Действительно, имеем:
Ф. = 2 <*.(<"“ + ••• +*Г*) is1°-
ф»=2^«—ж*)*( лГ_,+"-+^_*)дг*=0,
Поэтому
Фп -1 = 2 ~Х^ Х‘Х*- ■ ■ *« = 0>
■ >0,
причем равенство возможно только в том случае, когда х1 = хг=‘... =х„.
Итак, теорема доказана. Изложенное только что доказательство принадле¬
жит А. Гурвицу (Werke, Bd. II).
31. Имеем (пользуясь предыдущей задачей):
n/z~z 	 -г-°1 + °2+ • • • +ап fli+an °1+ал
IуаЛ...ап^	  =	—27— п~2—■
Для того чтобы доказать второе неравенство, рассмотрим произведение:
(а,а,.. .а„)*=(о1а„) (а2аи_,).. .(а„а,).
Но можно доказать, что
akan~k+i = aian (см- задачу 19, § 7).
Поэтому
faa,.. .ап)*^(а1ап)п
И
у/о,аг. • ап — а~п-
1	I
32. Рассмотрим а величин, равных — , b величин, равных —, и с вели¬
чин, равных Среднее арифметическое этих величин будет:
1	, .	1 .	1
а	• т + с	'	—	о
а	Ь	с	3
a-f-6-f-c	a-f-6-j-c'
Среднее геометрическое:
C+6+C
Следовательно:
I. е.
а + Ь + с
а	Ь
1 /Т~Г~Г
«+*+£/"] j г
= V аа ' Ъ6 ' Сс *
аа+6+с. ьа+Ь+с-са+Ь+с ‘ (а + + с)>
О

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	321
33. Положим
а	Р	Y
о = —; Ь = — ; с= —,
т	т	т
где а, р, у и т—целые положительные.
Рассмотрим произведение:
\Ь
О+^И'+т4) (,+г^У-
Так как а, р и Y—целые положительные числа, то подкоренное выражение
можно рассматривать как произведение а сомножителей, равных 1-|—^ ,
Р сомножителей, равных 1+—-г— , и y сомножителей, равных 1 + -—— •
и	С
Тогда имеем:
a+p+v г /	—с\«/,	,	с—о\Р/
.•(■+^М-+~)+ у(‘+У) .
—	a+p+v
Возводя обе части этого неравенства в степень о+ Ь+с, получаем искомый
результат.
34.	Имеем:
—+ —+• + —
s—o s—b	s—/
> v ^		— s —
— У (s—a)(s—b)...(s—l) £/(s_c)(s_t)...(s—I)
Но
{/(s-a)	=g	(S-Q)	+	(S-^+	v	•	t	=	g=l.s.
Поэтому
1	n
{J/(s—c)(s—t>)...(s—/) —(n—1)S ■
Дальнейшее очевидно.
35.	Прежде всего это неравенство может быть получено из тождества
Лагранжа (см. задачу 5, § 1). Однако можно поступить для доказательства
и несколько иначе. Составим следующее выражение:
(Xej + цР,)*+(Ха2+ pibj)*+... + (кап + цЬ„)*= ЛА*+2ВХц +Сц*
где
А = а* + а*+... +а* ; C = b\ + 4>* +... +i£;
В = o,b, +a2b2 + ... + anbn.
11 В. А. Кречмар

322
РЕШЕНИЯ
Так как левая часть этого неравенства представляет собою сумму квадра¬
тов, то
A>*+2BXn + Cpi*=gO
прн всех значениях к и pi.
Следовательно, трехчлен
Ахг+2Вх + С
при всех вещественных значениях х больше или равен нулю. Поэтому корни
этого трехчлена либо вещественные равные, либо мнимые, и дискриминант его
меньше илн равен нулю, т. е.
В*—АС^О.
Итак:
(а1Ь1 + а,Ь,+ ... +a„b„)*-(aj + a*+ ... +агп) (Ь*+ ... +Ь*п) ^0.
Отсюда следует также, что знак равенства возможен только при условии:
 ап
Ь, Ьг	Ьп
36. Положим в неравенстве предыдущей задачи b, = b2= ... =b„ = 1.
Тогда имеем:
ai+a*+-- - + an = ]/"n(aJ-f-a2+... + с£).
Отсюда, действительно:
ai + a2+ • • ■ +an=l^n(oJ + a*+... +a*).
37. Результат получается из формулы задачи 35, если положить:
» W
II
><
°2
— Xg» • ■.
a*
xn1
1
К
__ 1 .
..; b*
_ 1
— *1 ’
2
“дг/
• • * n
xn
Однако можно воспользоваться и теоремой о среднем арифметическом.
Именно, имеем:
1 , 1 , I 1	т/1	1	1
—I	Ь • •	• Н—	п |/ — •	...	—	.
Xj Х2	Хп	У	X,	X'z	хп
Перемножая эти два неравенства, получаем искомый результат.
38.	Докажем сначала, что
2 2п
Р г 9-°-
п—1 —
Имеем:
Я — Х|Х2 -|-х1х2	jXn,
0 S (х, —*2)*+(x,-x,f + ... + (x„ -x„ _ ,)*.
Следовательно:
(n -1) (xj+x* + ... + x*) - 2q ^ 0.
Ho
x'+x* + ...+x*=p*—2q.
OR—\

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	323
Отсюда и получаем:
* 2п <7^0.
п — 1
Рассмотрим теперь вместо п величин п — 1 величину: х,, х2,
х[+1 хп, исключив из рассматриваемых одну из величин ж,-, и положим:
Р—Х;=р',
<7—(*i*i + *,*jt + ■ • - + Ж/Ж/+ *,*/+1 + ...+ х,хп) = q'.
Применяя только что выведенное неравенство, можем утверждать, что
2(п—
^ п—2
Но
q' = q —Xi (X, + жг	, + ж,ч, + ... + xn)=q —Xi (p—X,).
Поэтому
по¬
следовательно:
nx*—2px,-+2(n—I)?—(n—2) p*5|0.
Рассмотрим трехчлен второй степени:*
пхг—2рж + 2(п—1)9—(п—2) р*
и обозначим его корни через аир.
Решая квадратное уравнение, найдем:
р п— 1 ЛГ
“=п JT У f
2 п
:—г 9.
*>■*
Тогда имеем тождество:
пх\—2рж,- + 2 (п — 1) 9—(п—2) р* = п (ж,—а) (ж,-—Р) f| 0.
Отсюда следует, что ж,- лежит между а и р, т. е.
а<х,<р.
39.	Пусть а и Ь— два вещественных положительных числа. Если р>0,
то при a>b, of—ЬР>0, если же р<0, то при а>6 а?—ЬР<0. Поэтому мы
можем утверждать: (ар—ЬР)(а9—b?)S0, если р и q одного знака; (аР—ЬР)Х
Х(а9—Ь?)Ё§0, если р и q разных знаков и при любых вещественных а и Ь.
Рассмотрим сначала тот случай, когда р и q одного знака. Имеем:
аР+9+ ЬР+9аРЬ9 + а9ЪР,
аР+ч + сР+ч |г аРсЧ+аЧсР,
aP+9+iP+q ^ аР19 + а91Р,
ЬР+ч+ср+с1^ ЪРсЧ + ЪЧсР,
й
Складывая почленно эти неравенства, получаем:
(n—l)(aP+9+bP+9+...+lP+9)^'2iaPb9’
II*

324	РЕШЕНИЯ
где а и Ь в последней сумме принимают все значения из ряда а, Ь, с,
Прибавим к обеим частям этого неравенства:
2а/,+?-
Получаем:
п (аР+ч+ ЪР+ч^ ...+1Р+9)^(аР+ЬР+ ...+1?)(аЧ + ЬЧ+ ... + F).
Совершенно аналогично получается и второе неравенство. Легко получить
из этих неравенств результаты задач 36 и 37.
40.	1° Пусть Х= —; т>п. Имеем:
п
К(>+«тХ‘+-т)-(‘+*т)
.(1+°т) + (1+0т) + -"+(1+ат)+”-"
т
^множитель 1 +а берется под корнем п раз, а множитель 1 берется
г — п раз^ .
Отсюда
п
Л , т\т
('+«т '
<1+а,
(1+а)"	.
2° Положим Л = — и допустим сначала m>n, т. е. Л> 1. Имеем:
п
^1—a	п + т—п
т
Множитель 1—а — берется под знаком-корня п раз, а множитель 1 берется
т—п раз. Отсюда
П
(,	т\Ш	1
1—а—	<1—а<——,
\	п )	1+а
, яг 1
1 —а —<	™ ,
П	т	'
(1+а)"
т
(1+«Г<— 1
, т
1—а . —

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	325
Предположим теперь, что т<п. Имеем:
£/(1+«Г= {/(1+а)(Ц-а) ... (1 + а).Ь1 ... 1<
.(1 +а)м + п — ,-i_[	ат^
п j ат
Итак, и в этом случае
(!+«)"< ‘
j am
п
~	а/я.
Отметим, что мы предполагали —<1.
1
41.	1° Положим в неравенстве 1° предыдущей задачи в=д_|_| *
ft 4- 1
к = — - . Получаем:
Отсюда
О+ЖГЧ'+Й’-
т. е. ип+1'>ип.
Приведем еще одно из доказательств. Не пользуясь теоремой о среднем
арифметическом, докажем, что
О+^ГЧ-НО'-
если а>0 и п—целое положительное.
Рассмотрим тождество:
1+лх 1 + (п— 1) де 1+Зх 1+2*	1+х
1 + nx-j +(;1__1)д. • i + („_2)* ••• ]+2х‘ 1+х *~Т~
(х>0).
Но
!+(*+>)*	. ■	*	х	1	+	(п+	1)	х
1 +kx	1	+ kx 1 + пх 1+пх
(fe = 0, 1, 2 п— 1).
Поэтому
,+“>[!:т!Йг-Т
(1+лх)"+,>[1+(л+1)х]п.
„	а
Полагая здесь х = —;—г-р-, получим:
и(п+1)
11 В- А. Кръчмар*

326	РЕШЕНИЯ
В частности, при а=1, найдем:
К-±тГ>КУ
2° Имеем:
Итак,
1
tin<Z
при любом целом положительном ft.
Если принять ft = 6, то найдем:
-yfn+l n(n+i>/■ (п+1)п п(п+”/777Тум'^"(п+,11,/Л'з
= К пп+1 ~	'	п
42.	Имеем:
п+
(см. задачу 41).
Но дробь
Поэтому
3
— < 1, если п>3.
п —	—
уи
43.	Нужно доказать:
y'V+T)
-yi+T
<1, если п>3.
<1	(„_2,	3,	4,	...).
Имеем:
п(п-1) /-7 ГТ7 j n(n-i) / о-
=	/('+У) -„-ТТ<	VП-ТТ = '-
44.	Докажем, что
lg f/,- i? ah lg х, + ah lg x, + ... -f ain lg xn	(i= 1, 2	n).
Для этого достаточно доказать:
\g(ax+by+cz+... +/a)^algx+61gy+... +l\gu,	(*)
если o + 6 + ---+^ = l и о, b ... /—рациональные положительные числа.

I
§ 8. НЕРАВЕНСТВА	327
Положим:
_а ._Р i — h.
a- N; d- N; ...; i— N .
Тогда:
cx —1— p —f-... —-
Для доказательства же неравенства (*) достаточно доказать:
ax-\-by-{-cz-\-... -\-lu5zxayb ... и1.
Но мы имеем:
x'V' ... и‘ = 7х*у? ... ик = 7х ■ ■■ ХУ ■■■ У ••• и и~~
<«*+РУ+---+*? = ах + ь + _ +Zb>
N
Итак доказано:
№ = aii lg *i + aii lg ■*» + ■ ■ ■ + ain lg xn (« = 1. 2 n).
Отсюда
n	n	n	n
2ig«/i=^(ig*i) 2 «/i+og*») 2	- + (1s*n) 2
i = l	/=i	i	—i	1	=	1
ИЛИ
n
i — i
Наконец:
2 1gJ/t = 1g*. + 1g*2+--- +lg*B = lg^a ••• xn-
У1У2 * • • 1/n ” *1*2 • • • xnm
45.	Положим — =xf(i=l, 2, ..., n). Тогда нужно будет доказать
Щ
неравенство:
{Уа+*,)(!+*.) ••• (i+*„)^i + Ухл ••• *»•
Теорема справедлива при л=1, 2, 3 (см. задачи 21, 28). Допустим, что «на
справедлива при п = т, и докажем, что она справедлива и при л = 2т.
Имеем:
l)0+*l) ••• (1+X2in-l) (1+X2m) =
= уУТ(Н-*,)(1+*2)- /(1+*S)(1+*J	/(!+*.«-,) О
+	+	...	(i	+	^w^C)^i +
+ У«л Уа •••	••• **“•
Итак, теорема справедлива для любого показателя, равного степени
двух. Докажем теперь, что она справедлива для любого целого показателя п.
Пусть n + q = 2m. Тогда:
п+д
/U+*i) (!+*«) ••• (!+*„) (1+*1>(1+%) ••• 0+У*)^1 +
Н" |/^-*1*2 • * * хпУ \Уг • • • Уд*
Положим:
1 +f/I— 1 +1/2= • • • = 1 -\~Уд= |У(1 +•*,) (1 +хг) ... (1+Хп) = У.
11*
I

328
РЕШЕНИЯ
Имеем:
n+’/(l+x,)(l+x2) ... (1+*в)-У»^1+"Ч'Лл ..
Ho
(1+х,)(1+*2) ... (!+*„) = К".
Поэтому
n+l/YnY«^\+-^yxl ... х„(К-1)9.
т. e.
у^1 + '+»АЛ ... хп(У-1)9.
или
(У'-1)”+?^хЛ ... xn(Y-\)i.
Отсюда
... хп.
Y-\^yXix, ...*„.
Окончательно:
и теорема доказана.
Знак равенства возможен лишь при условии х, = х2 = ... =х„ = 1.
46.	Доказательство этой теоремы, так же как и предыдущей, проводится
методом Коши. Предложение справедливо при п — 1; докажем сначала, что
оно справедливо при п= 2, т. е. докажем, что
' и
при любом целом положительном k. При k = 1 это последнее неравенство
действительно имеет место. Предполагая справедливость этого неравенства
при /: = /, докажем справедливость его при k = l-{-1. Итак, имеем (согласно
предположению):
*'.+4
2* = 2 •
X ~(* X
Умножим обе части этого неравенства на	—?.	Находим:
(х, + хг)1+ '^(4+ xl) (*i + *»)	*(+1 + х2*:1 + ХА + хгх[
21 + 1	=	4	4
Но
так как
Поэтому
s*(+,+4+\
x[+i +Х1*1 —x[xt—x[xt = (x, — x2) (xj — x') ^ 0.
JL +1 _i_	+1
*1	1	t
l

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	329
и неравенство (*) доказано при любом целом k. Итак, наше основное пред¬
ложение справедливо при п= 2. Докажем теперь, что если оно справедливо
при n=m, то оно справедливо и при п — 2т. В самом деле:
/ + + + xs + Хх + ■ * * + xzm — 1 xtm \
V	2т	}	~
/*,+*,	Х,+Х,	хгт-1+Х1	'*
/ Х\ + *2 I *3 + Xj	хгт—л + -*2|я\
— ( 2	2	* * * ~г	2 J
т	/
(х-^г)+V ■ • •+(**=£*■)'
х* + хк хк + х* _ t **„,_,+*!
О “Г о *т* • • • “Г
k
2/и
Таким образом, нами установлено, что теорема справедлива при п,
равном степени двух. Остается доказать ее справедливость при любом
целом п. Положим п + р = 2,л.
Тогда:
/Ч +**+ • -. + *„ + </.+Р,+ • • • +»Р\к^,
\	п+Р	)	=
х* + хк +... + х* + у* +!/*+■■■ +,(/%
1	п	+	р
Положим:
Имеем:
Отсюда
*,+ЛГ2+... +Хп
0. = 01= •••=»,, = -	—
	(*!+...	+хп)	(п	+	р)
Х\+Хг+ . .. +хп + у1+у2 + . • • +Up —	  ■
I I (Х'	•	•	•	"Ь+Л	р
i п ) =	п + р
Окончательно:
^^i+iidL^+^y< *?+*£ + •••+**
и предложение доказано полностью. Легко установить, что знак равенства
возможен только при условии:
Хш — г, — ... — х„.
47.	Это предложение является обобщением предыдущих теорем (см.
задачи 30, 45, 46). Доказательство проводится совершенно так же, как

330	РЕШЕНИЯ
и в упомянутых теоремах. Именно, предполагая справедливость теоремы
при п=т, докажем ее справедливость при п — 2т. Имеем:
*(b±4ir±£!B)-»(:
_|_	|	?*т	—	1~Ь^жт
(Ц^+...+ф	?т)
=	т	^
ф(М+ф(<») |	,	ф(<«т-1)+ф0гш)
2  2
т
Ф (<,) + Ф (<2) +... +Ф (/2от_,) + ф (itm)
2т
(так как по условию tv (гт не равны все между собою, то их можно
сгруппировать так, что, например, /, ф /2). Таким образом, теорема спра¬
ведлива при п— 2т. Положим теперь п + р=2т. Тогда:
Ф(~
+ <2 + . .. +f„ + T, + Т2 + ... + Т/Л ^
п + р
Ф (<,)+... +ф (<„) + ф (т,) + ... +ф (Гр)
<  : —
Я + Р
(при этом tt, ..., tn не равны все между собою). Положим:
T, + T1+...+T<, = <» + <»t---+V„
Следовательно:
т, — т2 —... — т р	^
Al + *г + • • • +*п + Т1 + •• • + Т,Л	(	+	*t	+	•	■	•	+	*»Л
п к+i Г*\	»	Г
С другой стороны:
ф(*,) + ... +ф(<„) + ф(т,) + ...+ф(т/))
п + р
Ф (*i) + • • • + Ф(*
л + р
ф (/,) + ... +Ф(А) + РФ^-1+-"'+<п^
Из последнего неравенства, действительно, получаем:
+ Ф(А)
ф ^ U + • • • +	..Ф	(*l)	+	■	•	•
Прежде выведенные теоремы (см. задачи 30, 45, 46) получаются, как мы
уже утверждали, из этого более общего предложения. Покажем это.
1° Пусть
Ф(0 = —ig(i+0;
тогда:
|s('+Hb)

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	331
Далее:
31(),)+Ф([.>__|8(1+,,>+|е(1+ы=_,е>А|1+Л)(1+,-)
Но
^(1+<.)(1+<а)<1+<1^1+<8 = 1 + ^-г (<» Ф '*)•
Поэтому
lg ^(T+W+7J<lg (l +
(основание логарифмов больше единицы)
-lg V(1 + <»)(! + *,)> - lg (1 +	.
Таким образом, функция:
<Р(0 = — lg (I +0
действительно обладает свойством:
m (ti + tA д>(М+ф(<2)
2 Г 2
а потому должно быть:
ф ^, + <г+...+<„^ ^(М + Ф^)+ •••+?(<„)
lg |/(1+<1)(1 + <2) ••• U + <n)<lg(l + -1 + 'n'+<n) •
Далее:
(/(! + <,)(!+<,) ... (l + <n)<l+-fV+.-n-+<" =
п
t .. lg(l+M + lg(l+<a) + -..+lg(l+fH)
__(!+<, ) + (1+<г)+--•+(!+<„)_
п
Полагая 1 -)-/,•=х,-, находим окончательно:
п/~	~	~-х\ +Л:2+ • ■ • + Хп
У Л1Л2 ■ ■ ■ п ^	~	■
Очевидно, что если допустить возможность хг=хг=... =хп, то будет:
я/'ГТ	~	-с- *1 +Л:г + • ■ •	+хп
у х\хг	хп =2	   •
2° Если положить:
<f(t) = tk,
ГО
,(ЦЬ)_(Ь+Ь)\
Предполагая установленным неравенство
получаем результат задачи 46.

332	РЕШЕНИЯ
3° Положим:
<Р (0 = 18(1+е‘)
(логарифм берется при основании е>1).
Тогда:
V	+е	1	),
g.('.>+T.«.lE,ey-(|+e,,|„+,,„;
Так как
   +
У(1+е»1)(1+е«2)>1+е * ,
то для функции (р (t) выполняется неравенство:
Поэтому
ф(.
(*п)
*	п
lg d+rL^‘)<ig (1 +е-,}+,
/t + ?2 + »~ - + tfl	'
1+е'	<V(1+е'1) ... (1 +е*п).
Положим:
е’ = к; t = \gek.
Тогда:
lg1 + . . . + 1?
V(1+е'1) ... (1 + е'«) = V(! + >.,) И+ Я.,) ... (!+*.„)> 1 +е "	.
Окончательно:
|У(1+Я,,) (1+А,,) ... (1 + >.„) >1 +	•••	•
48.	Пусть 1,, tj, ..., tn заключены в промежутке от 0 до л
(0</,-<я).
Докажем, что
sln it+ ''' +tn < slfl f| + sin<» + •'' +sin tn .
n	n
Для этого достаточно доказать (см. задачу 47):
_sln +	sin(,	+	slnf,	^

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	333
В самом деле1
+ sin С -|-sin t. . /. + /-	,	11 ~J~ С.
sm - 2 *		? = sin -1'g 8 — sln 1 2 * cos8
-- sin . 2 sin* t-L~>0
2	4
(в нашем случае ф(/) = — sln <)-
Итак:
sin f, + sinf 2	sln	t	n ^ (, + <,+ . ■■+<„
n	n
(если 0<*,-<я).
Поэтому, если о, + дг + ... + а„ = л, то
зт
sin Oj -f- sin аг -f- ... + sin a’<n sln — ,
если а,. аг, .... а„ не равны все между собой.
С другой стороны, если
зт
а1 —	  *	*	■	 °П	“ ,
то величина суммы:
sin а, + ... + sin а„
становится равной:
. зт
п sin — .
п
Итак, действительно, наибольшим значением суммы:
sin д, + sln аг + ... + sin д„
при условии
ai + °2 + ••• +а« — п	(°i	>	0)
будет:
. зт
п sm — ,
п
и это наибольшее значение суммы достигается при значениях
я
а, — аг — ... — д„ — •
49.	Докажем, что разность:
хР— 1 ХЧ— 1
Р	Ч
(если хф\ и р > q) больше нуля. Для этого достаточно доказать!
Д = q (кР— 1)— р (зе?— 1) > 0.
Допустим сначала, что х > 1. Имеем:
Д =q (хР— I)—р (хЧ— 1) = (х—1) { q (KP-l + xP~t+ ...' + *+ 1) —
— Р +	+ *+ 1)} = (х — 1) {q (хР-г + хР-2+ ... + *4) —
— (р —д)(х<?_1 + х9-2+... + х+1)
Если х > 1, то

334	РЕШЕНИЯ
Поэтому
Д — Q (xP— 1)— р(*?— 1) > (х —1){ q(p — q)x*—(p — q) qx^-1 } =
= qx4~1 (р — q) (х — 1 )* > 0.
Итак, если х> 1, то теорема доказана. Предположим теперь, что х < 1.
В этом случае имеем:
хР-1+хР~г + ...+х9 < (p—q) х9,
х?-1 + х?_г+...+х + 1 > qxg~l,
... + х?)_(р_9)(х®-, + ... + х+1) < (p — q) qx4—q(p—q)xl-1 =
= q{p—Q)*q~l (*—1).
Следовательно:
A> q (p—q) x9-'(x — l)*>0.
Впрочем, это предложение можно доказать, исходя из теоремы о среднем
арифметическом. Напомним, что мы имеем неравенство (см. задачу 40):
(1 +а)х > 1 +аЯ,
(Х>1, рациональное; а > 0, вещественное).
Совершенно аналогично тому, как было получено это неравенство, можно
вывести следующее:
(1—а)‘> 1— al,
если 0 < «х < 1; Х>1, рациональное. Пользуясь этими неравенствами, мы
докажем, что
хР—1 хЧ—1
—— > .
Положим х9 = £;	—	Тогда	нужно	доказать:
если p>q (*;£1).
s -н-
1 > Х(Е—1),
или
Г-1-М6-1)>0.
Допустим сначала х> 1; £> 1. Положим |= 1 +а. Тогда имеем:
—1—Л(£—1) = (1 +ot)A—1 —Яа > 0.
Если же х < I, то и | < 1. Полагаем в этом случае
£=1—а (0 < а < 1).
Легко находим:
1 ——1) =(1 —а)х—1 —X (—а) > 0.
50.	Допустим сначала, что т>1. Положим т=— (p>q, целое, поло¬
жительное). Имеем тогда (см. задачу 49):
«*»•
]
Положим = х; %,—х . Тогда получаем:
хт — 1 > т (х—1).

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	335
Заменим в этом неравенстве х через i. Находим:
(У1)'
Умножая обе части этого неравенства на —хт, получим:
хт — 1 <тхт~1(х— 1).
Итак, если m> 1, то действительно:
тхт~1 (х— 1) > х"1 — 1 > m (х— 1).	(1)
Допустим теперь, что 0<т<1. Полагая £® = х, ~=т, находим:
1
х"1 — 1 > — (х — 1).
т '
Заменяя здесь х через хт, найдем:
xm — l <т (х— I).
Заменяя в этом последнем неравенстве х через -i- и делая необходимые пре¬
образования, найдем:
тхт~1 (х—1) < хт — 1 < т (х—1)	(0 < т < 1).	(2)
Перейдем теперь к рассмотрению отрицательных значений т. Положим
т — — л, где п > 0, рациональное. Докажем сначала, что при отрицатель¬
ном т
х"1 — 1 > m(x—1).
Так как л>0, то л + 1>1 и можно воспользоваться неравенствами (1).
Именно, имеем:
хп+'— 1 <(л + 1)хп (х—1).
Отсюда
пхп(х—1) > х" — 1.
Заменяя здесь п через —т, найдем:
—тх~т (х—1) > х~т — 1.
Умножая обе части этого неравенства на —хт, получаем, действительно:
xm — I > т (х—1).
Если же заменить в этом неравенстве х через -i-, то находим:
хт — 1 <mxm-1(x—1).
Итак, действительно:
тхт~1 (х—1) < хт — 1 < т (х—1),
если 0 < т < 1,
т (х—1) < хт—1 < тхт~1 (х — 1),
если т—любое рациональное, не лежащее в промежутке от 0 до 1, а х —
любое вещественное положительное число, не равное единице.
51.	Неравенства этой задачи непосредственно следуют из результатов
предыдущей.

336	PE111FHT14
52.	Положим:
х1=Уг у = т-
Тогда предполагаемое неравенство перепишется так:
{У1+У* + — +У„\т^
’) =
где m3: 1, рациональное. На основании результатов задачи 47 достаточно
доказать, что
t” + t”
№
при любом рациональном m> 1 и при любых вещественных положительных
<, и 1,. Иначе, достаточно доказать:
(№№
Воспользуемся результатами задачи 51:
(1 +х)т 3:1 + тх,
если т> 1 рациональное и I + х > 0. Имеем:
Складывая эти два неравенства, получим неравенство (1), и решение задачи
окончено. Решение нашей задачи может быть получено и непосредственно
из неравенств задачи 51. докажем, что таким путем можно вывести даже
более общее неравенство. Именно докажем:
^Уг + Уг + — + Уп	!% + £+■■ ■+Уп
если X—рациональное число, не лежащее в промежутке от нуля до еди¬
ницы, и
^У1 + Уг + --- +Уп^-г» У* ‘''
если 0 < Я, < 1. Легко видеть, что для доказательства первого неравенства
достаточно доказать:
(	?»'	V-+(	4*1	V' + .-. + f	^(2)
\У,+У. + ".+Уп) ^\Уж + У» + -+Уп/	^\У,	+	-+Ун/	-	(	>
Однако, имеем (см. задачу 51):
( л V-gi+if "л О.
\У1 + Уг + — +Уп/	\У1+Уг + ~-+Уп	/
Полагая здесь 1=1, 2, .... п и складывая возникающие неравенства, полу¬
чим, действительно, неравенство (2). Совершенно аналогично проводится
доказательство и для случая 0 < X < 1.

§ 8. HEPABPI1CTBA	337
53. Положим:
xi +	+	кп~ р;	К1 +** + ■	• • -hxn — p'-
Имеем:
(х—х,)* + (х—х2)г + ...+(х—х„)3 = пх*—2рх + р' = п |хг —Ц- * +	=*
Наименьшее значение наше выражение может принять лишь тогда,
( Р V	р' Рг
когда принимает наименьшее значение I*—(так как величина £—^
от х не зависит). Но величина ^х—^ ие может быть отрицательной,
поэтому ее наименьшее значение будет равно нулю. Отсюда следует:
X — Р^=*1+-"+*а
п	п
Итак, сумма
(х—х,)* + (х —х2)* + ... + (* —х„)г
принимает наименьшее значение прн
х х, 4-х, +	+х„
п
54. Положим:
*!+** + ■ —Мм=5»-
Тогда:
(х, —х2)г + (х, —х,)г +... + (х2 —х,)г +... + (х„_, — х„)г = (п — 1) S2 — 2q,
где
q = х,х2 + х,х3 +... + х,х„ + х2х, +... + х„ _ ,хп.
Далее:
(х, +х2 +... +х„)г = S2 + 2<7.
Итак:
(я-1,5,=2» + £ (х<—Ху)1,
i>l
Cz = St + 2q.
Отсюда находим:
пБг = С* + У’ (х,-—ху)*.
/>1
Последнее равенство показывает, что S2 примет наименьшее значение тогда,
когда принимает наименьшее значение	(к,-—X/)*. Наименьшее значение
/>/
этой суммы равно нулю и достигается при
х, =х, = ... =х„.

338	РЕШЕНИЯ
Но так как
*1 + *г + -” +*п=С,
то
*? + ■• • +*л
принимает наименьшее значение при
С
Х\ —Х1 — ■ • • —хп —■ —— •
55.	Допустим сначала, что \ не лежит в промежутке от 0 до 1. Тогда
имеет место следующее неравенство:
x^ + x^ + ...+х^
причем знак равенства (как это легко установить) будет иметь место лишь
при условии:
х,—хг = ...—хп.
Если дано, что
*i + *s + -- + *n = C,
то при всех значениях х„ xt х„, связанных этой зависимостью, будем
иметь:
\Х
х\+х1 + ...+х^п(^У
Отсюда видно, что наименьшее значение выражения
^+4+...+^
будет п( — ^ и достигается оно при х.=х. =... —х„ = — .	Если же
V п /	п
0< а < 1, то имеет место неравенство:
х\+х^ + ... + хкп
< ^х1 + ...+хпу.
п
Тогда при
мы имеем наименьшее значение величины
х\+х^ + ...+х%п.
56.	Имеем неравенство (см. задачу 30):
<*. + *. + :,■•+** .
у 1 2 П 	п	п
Отсюда
Таким образом, произведение хгхг...х^ не превосходит величины
С
и достигает ее только при х, — хг=... —хп = — (см. задачу 30). Итак, дей¬

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	339
ствительно наибольшее значение произведение хгхг...хп примет тогда, когда
С
Х1 — хг —... — хп — ^ .
57. Имеем:
п	—
Следовательно:
*i +** + — + *л = п
При этом знак равенства возможен лишь при условии х1—х1=... = г„.
Отсюда ясно, что наименьшее значение сумма х1+хг + ... +*„ принимает
при условии:
*,=*г=... =*„ = Vc.
58. Допустим сначала, что р,- (i = 1, 2, ..., п) целые. Имеем:
Pi + H2 + P3+ . .. +Ил
Hi+ » * • + JAft	/" V	V	V	V	V	У	У
 	1/л1л1	л1л* л2	п	ЛП	---
I/ •	•	»	•	—	•	•••	•••	«• •	—
Г	[I,	pj	Ц|	р2	р2	рп	рп
*1 . хъ .	Хп
Следовательно:
Mi + Ms + • • • + Мп	Mi+---+Mn
*!“ *?’ • •<“= и1+:л+рпГ+^+'''	• ■ №
причем знак равенства достигается лишь при условии:
*1	*2	  Хп
Pj Да	М’п
Пусть теперь р* могут быть и дробные. Приведя дроби к одному зна¬
менателю, положим:
где X,- и р— целые положительные.
Так как
л^‘ xj*2. ..xjja—y/r х\1 х\2.. ,хкпп,
то наибольшего значения произведение Jtj11 х**2.. ,х^п достигает одновременно
1 J	J
с произведением х,1 дс,1.. .хпп, где X,-—целые. На основании прежде дока¬
занного это будет тогда и только тогда, когда
Х\	 		Xfj
Xj	Xj	Х„
Деля знаменатели на р, получим:
■£* = £? =	__^л_
Hi	Ms	Мл‘

340
PF.IIIFNIin
Итак, если х;>0 и дг,-f дсг + ... +хп = С, то произведение л^'дг^*...
•.-х^* (р,- > 0, рациональные) достигает наибольшего значения тогда и только
тогда, когда
*1 ^2 _	ХП
Mi М*	Мл
59.	Имеем:
V7lWt...v„ g
Отсюда следует, что произведение:
«Wo,*,.. .ап.хп
достигает наибольшего значения лишь при условии:
°г*т ~	— ... = Пп*п-
Но так как
°1*ГаЛ- • ■anxn = (OiOf • -ап) (V*- ■ -*п).
то, действительно, произведение	лгП	достигает наибольшего значения
тогда и только тогда, когда
С
Vi — ^2^2  - - •  @пхп "
п
60. Положим:
Тогда:
и
Далее!
o^=yi(i = l, 2	я).
-(!)
01+J/S + --- +</п — С.
ИХ	Ип
/п-\*ч /пЛ^п
Задача сводится к тому, чтобы выяснить, когда произведение
М-i И а	Мл
у\' -у'г
достигает наибольшего значения, если р, + рг + ... + р„ = С. На основании
результата задачи 58, это будет иметь место при условии:
|U	]£п'
^-1	^‘2	In
Итак, если
Я1^>+о!^+...+п„^=С,
то наибольшего значения произведение:

§ 8. НЕРАВЕНСТВА
341
»n
достигнет при условии:
Я.О,**1	Я2Д2*2»	_КЛ^
Pi	Рг	Рп
61. ПОЛОЖИМ!
•••• V/j4 ^п*
Отсюда
*,=(S) ’ *а=(й) •	*п==(й)
и задача переходит в следующую: при каком условии
У\ + У2 + • ■ - 4* Уп
принимает наименьшее значение, если
y'i'-y'Z'-'-y^Cx’
где С.—новая постоянная.
Я	Я
Так как —1,	—	рациональны, то	положим:
Hi	И«
Я| . ^'2 	Яп
Hi- N H2~iV ц„~ N"
Тогда получим такую формулировку задачи: узиать, когда «/, + у2+...-f-y„
принимает наименьшее значение, если
У*?1 у\2' - .у”" = С2	(а,-—целые положительные).
Наконец, примем
У\ —	У2 = ®2^2> •••» Р«
и приходим к задаче:	при каких условиях	сумма
а1и1 + а2ц2+...+а пип
принимает наименьшее значение, если
н“< u“»...u“" = cs.
Но
а,и, + а2ы2 + • • •	«■+«»+ • •• +0,1/ цп, цПа tfht — °>+°а+■ • •+а«/(;
а, +а2+...+а„	=	v	*	2	’	‘- “	v	*’
Следовательно, с^ц,a2u2+...принимает наименьшее значение
тогда, когда
и, = ц2= ... =ц„.
Итак, если
то
я,^Ч-а2^+... +ая^»
принимает наименьшее значение при условии:
yUl	y^S	уВц
i-
^-2
fliPi °гРг	flnPn

342	РЕШЕНИЯ
62.	Применяя формулу Лагранжа (см. задачу 5, § 1), имеем!
(*г+р* + гг+...+<2) (а2+Ь2 + с2+...+&) =
= (ох + by -f ... + kt)2 + (xb —у a)2 + (хс — га)2 -J-...
Так как
а2 + Ь2+с2 + ... +feJ
постоянно и
ах + by -f- ... -(- kt = А
(по условию) и, следовательно, также постоянно, то сумма1
x2 + y2 + z2+...+t2
принимает наименьшее значение тогда, когда наименьшее значение прини¬
мает сумма:
(xb —уа)2 + (хс—га)2 + ...
Но эта сумма наименьшим значением имеет 0 и достигает его при условии!
xb—уа—0; хс—za = 0...,
т. е. тогда, когда
х _у__ г _	_	t
а Ь	с	“	k
Положим это	общее	отношение равным	X,	так	что!
х = аХ,
У = ЬХ,
г = сХ,
t — kX.
Подставляя	эти	значения	для х, у.	г,	! в	равенство
ах + by	...	+	kt =	А,
найдем!
А
л~а2 + Ь2+...+к2'
и, следовательно, искомые значения х, у, .... t, прн которых выражение
х2 + у2 + ... +<* принимает наименьшее значение, будут:
аА
х —
a2 + b2+...+k2'
ЬА	.	.	*	_	ЬА
^ j I u I	~т»	•••’	1	“,
V + f>*+. ..+&»*	а2	+ Ь2+...+к2’
63.	Имеем:
и = Ах2 + 2 Вху + Су2 + 2 Dx + 2 Ey-\-F,
где
A = aJ-j-o:+ .,.	В	=	а,Ь,+с262+ — -{-апЬп\
C = 6f + 6|+... +Ьгп;	D	=	a1cl + a!cs+ ... +апсп;
Е = Ь1с1 + Ьгсл + ... +bncn\	F = cl+c22+...+cjt.
Положим:
x=x' + a; j/ = j/' + p.

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	343
Тогда получаем:
и = А (х- + a)2 + 2В (*' + а) (у' + р) + С (у' + р)* + 2D (х1 + а) + ЕОг' + Р)+Л
Развернем это выражение по степеням х' и у'. Получаем:
и = Ах>г + 2 Вх'у' + Су'2 + 2(Aa + BP+D)x' + 2(Ba + Cf> + E)y'+Fl.
Выберем теперь аир так, чтобы коэффициенты при х' и у' в последнем
разложении равнялись нулю. Для этого нужно только подобрать а и Р как
решения следующей системы:
Аа + ВР +£> = 0,
Ва + Ср + £=0,
Тогда будем иметь:
и = Ах'2 + 2 Вх'у' + Су'2 + F'.
Далее:
и = { А2х'2 + 2 В Ах'у' + АСу'2} + F'=~ {(Л*' + By')2 + (АС — В2) у’2} +F'.
Но
AC-B2 = (af + a2 + ...+asn) 0J+...+ &»)_
— (a,fc1+a26i!+...+a„6n)sS0, Л>0.
Поэтому и принимает наименьшее значение тогда, когда
Ах' + Ву' = 0 и у'= 0.
Отсюда
х'=у' =0 и х = а, j/=P-
Итак, значения х и у, при которых и принимает наименьшее значение, по¬
лучаются как решения следующей системы уравнений:
Ах A- By + D = 0,
Вх + Су + Е=0.
Впрочем, этот результат может быть получен и несколько иным способом.
Положим:
х + Ь^+с^Х,-, a2x + fc2j/ + c2 = X2;	апх+ Ьпу+сп=Хп.
Пусть Я,, Я   Я„—какие-либо постоянные, удовлетворяющие следующим
условиям:
й]Я] + я2Я2 -f-... + а„Яп = 0,
61Я,+ Ь2Я2+ ... +6ПЯ„ = 0,	(*)
ci^i +сгЯ* + • • • + спк„ = к,
где к—произвольное число.
Тогда имеем:
Я,*. -1~Я2Х2-)- ... + Я,Л, = к
и, следовательно, нужно найти наименьшее значение выражения
при условии, что
+	+	■	■	<	+ ^»^n = k (постоянно).
На основании результата задачи 62 имеем, что наименьшее значение полу¬
чается при условии:

344	РЕШЕНИЯ
Иначе:
Подставляя эти значения для Я,,, Хг, ...Д„ в первые два из уравнений (*),
найдем:
atXt + агХг + ... + апХп=О,
Ь,Х1-\-ЬгХг-\- ... -\-ЬпХп=0.
Отсюда приходим к системе, полученной нами в предыдущем способе решения.
64.	Известно, что имеет место следующее тождество (см. задачу 77, §■ 6):
f (х\ =f (г ^	*i)	•	•(■*—Хп) |
0 К— xt)(x0 — *г)■.•(*»— *„)
1 ffv-l (*—*»)(* — *«)•••(*—*n) ■
п 0 (X, -Х„) (X,	(X,	-	х„)	+	•	•	•
, f I v	*■>)	*l)>	■	'{Х
п) (х„-х0)(х„-х1)...(х|1-х„_1) •
где f (х) есть любой многочпен степени п.
Приравнивая коэффициенты при х„ в обеих частях этого равенства, находим:
1=	 f(x	о)
	I
(*»	^i)	(-«о	*2)	•	■	*(х0	Хп)
f(xi)	_	+	,	f(xn)
(Х| х0) (X, Х2). . . (Xj хп)	(хп	х0)	(х„	Х|)...(хп	хп—	|)
Обозначим через М наибольшую из величин:
\П*о)\. I/(*,)!	If (*„)!■
Тогда:
1<м J—	!	l.	!	+...
1 I (*0	*i)	(*о	х2).. > (а'0 хп) |	|	(Xj	дг0).. . (Xj ,vrt) |
J	I
'"+ I	*n-l)	I	I	'
Легко видеть, что, в силу наших условий, имеем:
I (**“ *о) (xk *i)* ■ *(*ft xk—l) iXk *£ + l)' ■ •(xk xn) I ^
Поэтому
 ! < !
I ixk—xo) (x/t—xi)- •■(xk—xn)\ ~~k- («—*)!
Следовательно:
n	rt
M V"	2"
.<мУ •
—	^k\(n—k)\	n\	n	ill
Наконец,
,..(n-k)\	...
k ~0	k—Q
M > —
— 2" '
65.	Так как sin* x + cos* x= 1, т. e. сумма двух величин sln*x н cos*x
постоянна, то произведение этих величии sin* х-cos* х достигает наибольшего
значения, когда эти величины равны между собою. Это будет при х = -^- .

§ 8. НЕРАВЕНСТВА	345
Впрочем, это же легко усмотреть из тождества:
66.	Известно, что если
sin х ■ cos х = ^ sin 2x.
л
x + i/+z— -j*»
т°	tg x tg g + tg x tg z + tg g tg z = 1
(см. задачу 40,4°, § 2). Итак, сумма трех величин:
tgxtgg, tgxtgz, tgj/tgz
постоянна. Поэтому произведение этих величии, т. е.
tg2 х tg2 у tg2z,
достигает наибольшего значения при условии:
lg* tgy=igx tgz—tgy tgz,
т. e. при условии:
tgx = tgj/=tgz
и, следовательно, при
л
*=У=г=~е ■
67. Имеем:
_i_+_±-+ +± + _J_==(_L.+_J_U
п + I л + 2	3п^Зл	+	1	\"	+	1	3n+l'^
■ / J , 1 \ .	1	4n+i	4/1+2
\ n +2 Зл /	‘	2n+1	(n +1) (3n-i- 1)	(n + 2)3nT“*
•”+2(2n + l)2> (4" + 2) {(2n+l)2 +2(2« + l)2/ = 1'
68. Положим:
a = a2.
Нужно доказать:
a2" — 1 S n (an+1 — a"-1).
Иначе:
 i
a2"— I>nan-,(a2 — 1) +;—
—	'	a2—1 —
Ho	1
a2” — 1
= a2«”-•> + a2 <" ~2> + ...	+	a2	+1 S n £/a2 • a4... a2" ~2
(пользуясь теоремой о среднем арифметическом и среднем геометрическом
нескольких чисел).
Так как
2+4 + ... +(2л—2) = л (л —1),
то, действительно:
a2"—1
а2 —1
^ ист

346	PEUIFHHH
69. Перепишем нашу сумму следующим образом!
1+Т + (у+^) + (у + ¥+Т+^) + -'-
••• + (2«-2+1 + ---+2^г*)+2п-, + 1'^“'+2й^-1 '
Каждая из скобок больше половины и, следовательно, вся сумма больше
■ С другой стороны, сумма может быть переписана так:
1 + 1у+т) + (т+У+У+т)+ ••• + (^+2^1 + 1+ •••+2^=1) •
Но каждая из скобок меньше единицы, следовательно, вся сумма меньше л.
70. После преобразования приходим к неравенству:
(а + с) (а + 6) (6+rf) (c + rf)—(a + 6+c + rf) (c+d) ab —
—(a + 6+c + d)cd (a + 6)3:0,
или к следующему:	‘
(od —6c)*^0.
§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
1. Полагая в основной формуле л = 1, найдем:
02 = 30,—2о0 = 3-3—2 - 2 = 5 = 2г +1.
Предположим, что
oft = 2*+1	(6 = 1, 2, ..., л),
и докажем, что
о„+1 = 2л+> + 1.
Действительно:
о„+1 = 3о„-2о„_, = 3 (2"+ 1)-2 (2”_I + 1) =
= 3.2П + 3—2п—2=2" (3 —1) + 1 = 2п+,+ 1.
2. Аналогично предыдущей задаче.
3. Легко видеть, что искомое соотношение, действительно, справедливо
при п = I.
Предполагая его справедливость при показателе, равном п, докажем
справедливость и при показателе, равном п + 1. В самом деле:
ап+1-^А_ у(а" + ^-)~]А1_<-2ГЛап + Д
an+i	1.(ап	+—\+у~А ап+2^Аа„ + Л \an+VA/
2 \	ап )
Но, по предположению:

(ап-УаУ (ot- у*п~'_ /Ч - Га\
\ап+У~А/ Чо.+ ^Л/	Чо.+	УД/
§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
Поэтому
ап+,-\ГА {дп_уГА\2 ( а,-\ГА \
ап+1 + Va
4.	Имеем:
„	“о+°1	  «l+«a.	„ я2 + о„. о„ + о,.
“г — 2	' *	2	’	— 2	2	’	•	■	•
Отсюда
а0—а,	о.—а,	с2	—а2.
о2 Д|— g » О) я2—	2	>	о3	2
Следовательно:
т, а0
а,-а, = -
■*2	«j	—	2	*
Ct | 1 ■ Og	Л]	flg
а “а—	2	2*	’
1 йо
„ _ — а<
at а, —
23 ’
Легко видеть, что имеет место следующая общая формула:
, о,— 0,1
2«-i
Складывая почленно все последние найденные формулы, имеем:
ft ft — fll С° ■ С| °°	С0	I	I /	1\П-1	°1	со
я,, я2 2	~г“	2г 23	О	2"-‘
Отсюда окончательно:
_2аН^	.(с^—a0j
"	3	3.2И-1	•
5.	Рассмотрим соотношение:
aft = 3«ft-i + 1-
Будем давать здесь k значения 2, 3, 4, .п. Получаем:
Положим
Тогда имеем:
Следовательно,
2 «А = 3 2 Яй-.+и —1-
ft=2	Й=2
Й1 +°2 + • ■ • + й„ =S.
S—а, = 3 (S—ап\ + п — 1.
I

348	РЕШЕНИЯ
Остается выразить ап через а,. Имеем:
a„ = 3an_, -f-1.
а„_, = 3ап_,+ 1.
Отсюда
ап лп—, = 3 (дп — j оп—г).
Поэтому
ап ап—1 = 3 (On —1 ап — 2) ~ З2 (л„_г—Яп~г) —
= 38(fln_s а„_4) = ...=3	г(а2—Qj).
Но
а2 = За, + 1 == 7.
Итак:
ап—ап.1 = 5.3п-2.
Полагая здесь п равным 2, 3, 4, п. имеем:
а2—а, = 5-1,
%	о,—а2=5-3,
а, — а2 = 5 • Зг,
а„ — an-t = 5-3n~2.
Складывая почленно эти равенства, найдем:
a„-a1 = 5(I+3 + 32+...+3n-2)=-|(3',-,-I).
Перепишем выражение для S следующим образом:
5=4 {3 (fl„-a,) + 2flI-n + 1} =
=y{y(3"-,-1>+4-'i+1} = t {so"-1)-2"}-
6.	Имеем:
ап = £о„-, +1,
an_, = fea„_2 + i.	.
Следовательно:
an	|	=	k	ifin—i яп~2)	"	k2	(a„_2	on_	3)	=	•	■	•	=	(fl2	flj).
Отсюда
n2 = (fl2 й|),
at— a2 = k(a2— a,),
a,—a, = fe*(a2 — a,),
«г.—ar.-i = ft"~! («I—+)•
Складывая эти равенства, найдем:
ЬП-1 1
а„ = *"-Ч+ПГТ1-*-
7.	Перепишем данное соотношение следующим образом:
an + i ап (ап an-i) —

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	349
Положим:
ап—a„-t = x„	(« = ?, 3, 4, ...).
Тогда имеем:
хп +1 хп— I'
Полагая в этом равенстве п равным последовательно 2, 3, п — 1 и скла¬
дывая, найдем:
Полагая же в равенстве
х„—хг=п—2.
п — 3, 4, п и складывая, получаем:
ап О, =	4“	•••	4+т*
Итак:
ап = ог + х,+*4+... +х„.
Но
S *ft=2 (*г + 6-2) = (л-2)*г + (л-2) + (л-3) + .
*=3	k—l
... + |-(„-2),,+Ы^=3.
Отсюда
—	Ч-(п—1)0, —(ц—г| а,-
8.	Положим:
ап + > ап +1 = хп-
Тогда будет иметь место следующее соотношение:
+1+1 2+i + +.-i = 1-
На основании результата предыдущей задачи имеем:
(п —1Нп—2)	9
хп—	2	*)'^2	1*
Но легко видеть, что
п-г
ап— ог = + + хг+...+А„_2=2 **•
k—l
Следовательно:
~~~2   _ -
k—\	fr=i	k^l
Наконец,
(л— 1)(п — 2)	Qw„	1Чл	,
- П—2	П—2	П—2
an-at = T 2 (6-1)(6-2)2 (6 — 1)—•+ 2

350	РЕШЕНИЯ
9.	Можно вывести искомые формулы, пользуясь методом математической
индукции. Легко видеть, что эти формулы имеют место при п = 1. Так как
 ап-1 + &п-1
Я" 2 *
то, предполагая формулы справедливыми при индексе, равном п — 1, дока¬
жем справедливость их при индексе, равном п. По предположению, имеем:
о„_, = а+-| (b-o) (l —	,
= g- (b а) ^ 1 +2 ^n_i^ •
Тогда:
ап = П"-| + 6"-1==с+|(&_а)(1__|_)
и, следовательно, формула для ап имеет место при любом целом положи¬
тельном п. Остается только доказать, что формула для Ьп точно так же
справедлива при любом целом положительном п.
Имеем:
bn =---2—J = a+4 {Ь~а) 0 +2^)
и доказательство закончено.
Однако решение этой задачи можно построить и совершенно иначе.
Легко видеть, что
„ . .°n_i 'b^n-i. и оп-1_Ь36п_1
ап~	g	* п~	4	'
Умножим правые и левые части этих равенств на некоторый множитель Я.
Получаем:
ап + ^Ьп = ^'2’+4-^^ an-i + ^Y~**T	Ьп~1'
Подберем Я так, чтобы
т+тл=(т+тО*-
Искомых значений Я будет два и они будут корнями уравнения
Я2—Я—2=0,
т. е. будут равны Я, = 2 и Я2=^— 1.
Итак, при этих значениях Я имеет место равенство
ап+Я6„= ^Y"*’?^) (an-i + ^n-i)>
справедливое прн всех целых положительных значениях п. Полагая здесь
п последовательно равным 1, 2, 3, ..., п, получим:
а, + Я6, =
а2+Я62=
an + ^bn— ^y +

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	351
Перемножая эти равенства почленно, найдем:
a„ + Xfc„ = ^—(а + ХЬ),
при любом целом положительном п и при Х = 2 и —1. Подставляя эти пос¬
ледние значения X, найдем:
а„ + 26„ = а+2Ь,
ап—Ь„=ф(а—Ь) .
Отсюда имеем, действительно:
=	^i).	b„	=	a	+	|-(6-a)^l+2^^.
10. Имеем:
x„ = xn_,-b2sin2a{/„_„
Уи = 2 cos2 ax„_,
Умножая второе из равенств на X и складывая с первым, получаем:
*г. + ^п = (1 + 2Х cos2 а)	+ (2 sin2 a + X)
Подберем X так, чтобы имело место равенство:
(2 sin* a -f- X) = X (1 -f- 2X cos2 a).
Отсюда
X= ± tga.
Тогда получаем:
(x„ + tyn) = (1 + 2X cos2 a) (*„ _, -f %yn _,),
или
(xn + kyn) = (1 + 2X cos2 a)" (x0 + Xt/0).
Подставляя сюда вместо x0 и y0 их значения, а равным образом, полагая
последовательно X = tga и Х = —tga, найдем два следующих равенства:
хл+ (/„• tg a = (1 + sin 2а)" sin а,
х„ —у„ • tg а = —(1 —sin 2а)" sin а.
Отсюда
x„=-i- sina {(t +sin2a)"—(1—sin 2a)"},
j/„ = -^-cosa {(1 +sin2a)”+(l—sin2a)"}.
11. Совершенно так же, как в двух предыдущих задачах, получим:
хп + КУп =рГ(*о+ Ку») ,
хп “Ь ^гУп = il2 (*о “Ь ^гУо) >
где р,=а-)-Х,у; р2 = а + Х2у. и Х2—корня квадратного уравнения:
(Р + ЛЛ) = X (а + Ху).
Если X, Ф Х2, то мы имеем два уравнения для определения двух неиз¬
вестных хп и уп, и задача решена.
Допустим теперь, что Х^Х,. Тогда ц, = |i2, и два уравнения совпадают.
Для определения хп и уп можно поступить следующим образом.
Имеем:
хп = —КУп + К' (*о + Ку<>)-	(*)

352	РЕШЕНИЯ
Подставляя значение хп во второе из исходных равенств, найдем:
Уп = YI—КУп -1 + vl‘ (*о + КУо)) + Ъуп-
Отсюда
{/n + (Y^i —6){/„-I=YP?“’ (+ + Я,г/„).
Положим уп =	Тогда для г„ получаем следующую	зависимость:
* liizn +(Y^i — 6)г„-, = у(д:о + Я1{/о).
ИЛИ
' —	zn -1+гг (+>+KyJ■
"	it	"	1	*	it
Mi	Mi
Отсюда находим z„ (см. задачу 6), а затем и уп. Далее, хп находится по
формуле (*).
12.	Перепишем данную зависимость следующим образом:
хп—ах„_, — Py„_2 = 0.
Положим:
а = а + Ь; Р =■—ab
(т. е. а и b являются корнями ьвадрдтиого уравнения: ss—as—Р=0).
Тогда имеем:
*«—e+1-i —&+1-,—в6*„-, = 0,
*п — ахп-л—Ь (+,-1—«+,-2) = 0.
Положим:
Хп OV„_| уп.
Данная зависимость примет вид:
Уп — Ьу„-1=0‘
Отсюда
Уп = ЬУц — i,
Уп-\ — Ьу
Уг=-Ьул.
Следовательно:
Уп = Ьп~%.	-
Для нахождения хп имеем теперь:
xn—axn_l = bn-'y1.
Положим: хп = Ь"гп. Тогда:
Ьгп—агп_л =--{/„
или
у - Я	.«1
п~ Ь г"-,+ ь ’
Пользуясь результатом задачи 6, найдем:
. .7 ey-_ (ь )
гп~{т) ,+ Т_, т’
ь
После же простейших преобразований окончательно получаем:
ап—Ъп	пп-'-Ьп-*
хп = г- x.—ab	т	х0.	.
" а—Ь 1	а—Ь	“

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	333
Впрочем, эту задачу можно решить и по методу предыдущей, если ввести в
рассмотрение две последовательности хп и у„, определяемые соотношениями:
Уп — 1 'хп — I “Ь0*!/м-1*
13. Решается совершенно так же, как предыдущая задача. В этом
случае
а = 1; Ь =	.
Р + Я
14. Рассматривая две переменные и гп, определяемые зависимостью
Уп = иУп-1 + $гп-1.
гп = УУа — i "b®zn — 1»
положим:
Уп
7~ — хп-
СП
Тогда переменная будет удовлетворять заданной зависимости:
_СЦ'„-,+Р
"	Y*n-,+6	’
и решение нашей задачи сведется к решению задачи 11.
Например, в данном частном случае:
Ал-1 "Ь ^
имеем:
и т. д
Второй частный случай:
“ *«-. + 3
Уп ~Уп — 1 + 2П-1»
г„ = {/п-1 + 32„_,
2 *п-1 + i
проще всего разобрать следующим образом.
Запишем это соотношение так:
Тогда
J. _2*п-1 + 1 _9 j L
хп	хп -1	хп	—
1 1
хп хп -1
Полагая здесь п = 1, 2. 3. п и складывая, получаем:
1 1 „
	—	In,
K*i хл
15.	Легко видеть, что
и, следовательно:
при любом целом п.
“ 2пхв + 1-
an +1^/1+ 1 = ati^n*

354	РЕШЕНИЯ
Но
У°п— У%1^_ап—	= ап—Уа„-лЬп-\^
Va„+Vbn an+V апЬ„ о„+УЧ.-А.-,
йн-1+^п-1 I/'T й
2 Увп-А.-. _(Уап-л-Уь^
gg-' + b“-i + ^-.*«-1 V )Ас"-1 + ^ Ь"-*/
|Лс - l/-£
Положим - :_!!	-~1=ип.	Тогда имеем:
Un-I Un-2»
  2
uti—% Mn-s *
u2 »
“.=“o •
Возводя последовательно эти равенства в степени 1, 2, 2*,
Но
Поэтому имеем:
16.	Имеем:
“л-1=“0
,п—\
1 У^Ьп—1 Qn—1 V аЛ
' VaZTr+Vk7,~апц1+ V~aJ>
. t^a»—V fl0fcB
Va0+yrb0 а0+\Гаф0
0
.rt“I
i i i 1 Г 1	1	1
(2k)3—2k 2ft ' (2ft)2—1 4ft \2.k— 1 2ft-j-lJ=‘.
2ft—(2ft — 1) (2ft + l) —2k\
2k (2k — 1)	2k (2k + 1) /	:
 L J !
2 | оь i оь Ob«
(2ft— 1 2k 2ft 2ft -}-1J
Поэтому
X(2ft)3—2ft= 2"{( 1+T+,"+2n^l) +
k — \
+ (t+1+■ ■ • +2^=т)+2ЙТТ-2 (t+t+• • • +k)}=
= т{2( 1+1 + "-+2^~т)_1+2^Л_
-2(т+т+--+^)}=( 1+т+у+---+2;г=л)~
“(т+т+"-+^)
2n+l '

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ индукция	355
Отсюда
V 1 I п _ I L + J Li I 1 L_
Z+(2k)*—2*т2л +1 2TJ 4 2n — 1 2п
fe = l
=— 	1   —
n+ITn+2T T2rt
(см. задачу ЯЗ. § 1).
17. Обозначим наше выражение через ф„ (*). Имеем:
Ф,(х) = (1—х)+х=1,
ф»(*)=(1—*) (•— хг)+*(1 — x') + x*= 1.
Отсюда можно предположить, что <р„ (х) = 1 при любом п. Легко видеть, что
имеет место следующее соотношение:
Фп+1 (*) = (1 — *" + 1) фп (*) + *n + t-
Предполагая, что фи (лг) = 1. из последнего соотношения получаем:
Фп+1 (*) = !•
Но так как ф,(л:) = 1, то ф„ (дг) = 1 при любом (целом, положительном) п.
18. Положим:
•	9tl — 1
Х	.	*	,	.	/V
1 — л? + 1 — X1 + ' ’ • + 1 _дгп~ф,‘
Тогдаа
•Л
V*
гП
Фп+1 (*)=Фп(*)+- Х
1—Хг‘^
Теперь легко доказать предлагаемую формулу методом индукции.
19.	Положим:
(1+лг)(1+х’)(1+д:!*)...(1+д:гВ-,) = Х.
( Умножая обе части иа 1—х, найдем:
I Г
J ]	Х(1-*)	=	[(1-х)	(1+*)] (1+хг) (1+***)... (l-fx’"'1^
= [(1 -Xs) (1 +Л-8)] (1 +Х*г) ... (1 +Уг"_,)-=
= [(1—x*)(l + Je*)](l+je*) ... (1+хгП-,)=... = 1— **".
Отсюда
20. Имеем:
X	=	1+л: + х1 + л:г+...+хгП-1.
I+-U«±l
1 . g + 1	fl+1	с + 1	(fl+l)(b+l)
a	ab	a	ab	ab
Допустим:
II-1 0+1 I ... I (c + ')(f, + 1)---(s+n (c+l)(fc + l)...(s + l)(fe + l)
a ab	abc...sk	abc...sk
0

3j».i	РЕШЕНИЯ
п *	^	(o + l)(b + l)-.-(s + I)(ft + I)
Прибавляя к обеим частям по -—1——	т1	г-.— 	 ,	получим:
abc...ski
to + l)(ft+l)...(s + l)(fc+l> (fl + l)(b + l)...(s + l)(ft + l)
abc...sk	abc...ski
(g + l)(b+l)...(fc + l)(/ + l)
abc.. .ski
и формула доказана методом индукции.
21.	Имеем:
Ь (a + b)—a 1	1
о(аф-Ь) о(аф-Ь) а аф-Ь’
с	(аф-Ьф-с)—(аф-Ь)	1	1
(аф-Ь) (аф-Ьф-с) (a-J-b) (a-j-Ь ф-с) сф-Ь аф-Ьф-св
	I	 1	1
(а ф- Ь ф- ... ф- Ь) (а ф- Ь ф- — ф- Ь ф- /) а ф- Ь ф-... ф- ft аф-Ьф-...ф~Ьф-/
Складывая эти равенства почленно, найдем:
Ь	с	I
<Чаф-Ь)^ (а + Ь) (аф-Ьф-с) г‘"п (a+b + ...+k)[a + b + ...+k + l)
1	1	Ь	+	c+...+k + l
и тождество доказано.
22.	Имеем:
о аф-Ьф-...ф-Ьф-/	а(аф-Ьф-сф-...ф-£ф-/)
F• (2)=j4^(1-z) ,
F,	-(1—
Отсюда
1 ф-F, (z) —F, (9^)=1 ф-j^- (1 — г)—JTZT^r (! ~<?г) =1 —<?г-
т. e. тождество справедливо при л=1.
Но
F„ (z) =F„-t W +	О-*)	(1	-«*)■ ■ •(1-?ч-,2).
Fп (yz) = F„_, (yz) +yz^n 0 — уг) (1 — Угг)... (1 — у"г).
Допустим, что тождество справедливо при индексе, равном п—1, т. е.
допустим, что имеет место равенство:
1 +F„-, (г)—F„_, (уг) = (1 — уг) (1 -угг).. .(1 —qn~'z).

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	357
Тогда имеем:
1 + Fn (г) — F„ (qz) = (l-qz)(l-q'z)...(1 - qn~'z) +
+ fZyT (*— г)(1— ?z)...(l — qn~'z) —
- , ^_qn (1 — ?г)(1— 9гг)...(1— 9пг) =
= (1— 9-г) (1 — <?sz)...(l — qn~lz) |t + \'~п С ~г) —
-	(1 —?"г)| =(1 —?г) (1 —<?*г).. .(1 — qn~'z) (1 — qnz),
что и доказывает тождество при любом п.
23.	Положим, как и в предыдущей задаче:
Fn(z) = TZZ^V—г) +уз^2(1—г)(1—9г) + ...
Отсюда
k=\
Докажем, что
М<Г”) = — п.
Имеем (см. тождество предыдущей задачи):
1+М‘Г,)-/Гп(1)=0.
Но
fn(l)=0.
Следовательно:
Рп (9-1) =	1-
Допустим:
M?-"+,)=-(«-i).
Имеем:
\+Fn(q-n)-Fn(q-n+')=Q.
Отсюда
Рп(Д~п) = Рп (?-п+1) —1=— (п —1) —1 = — п.
Итак, действительно:
fc=i
Полагая здесь q~l — a, получаем искомое тождество.
24.	Положим:
а (а—1) ... (a—k+ 1)
u*~6(6 —1) ... (b—k + 1)'
a (a—I) ... (а—k + 1) (а—к)
А+1 6(6 — 1).., (6 —6 + 1) (6—6)*
12 в. А. Кречмар

358
РЕШЕНИЯ
Отсюда
Следовательно:
п	п
2 и*(о-Л)=2 в*+.(Ь + 1-Л-1).
ft=i	ft=1
Но
П
2 "* = Sn-
Поэтому
п
п
п
а$п — 2	_	о	2	к*+>— 2	1)	“а+1»
п
а$п — 2	—	(^	+	1)	(^п	+	и1
П + 1 I
«о — 2 huk-
Отсюда
(fl_b_l)Sn = (b+l) (ы„+1—uj+u,—(л + 1)и„+1 = (Ь—л) и„+1—Ьи,.
Теперь S„ легко находится.
25. Легко доказывается индукцией.
26. Оба тождества легко доказываются индукцией.
27. Левая часть равна:
28.	Если последовательность чисел хп определена зависимостью:
хп = ах„_, + Р*п—г
при данных начальных значениях х„ и х„ то имеет место следующее общее
выражение для хп:
ап—Ьп	ап-л—Ьп-1
Хп—^-b~Xl~ab	Хф
где а и Ь—корни квадратного уравнения:

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ индукция	359
где а и Ь—корни уравнения: s*—s—1=0, так что можно положить
1 4- VS 1 —VT _
а =—g	»		2—* Окончательно:
Пользуясь этим выражением для ип, можно легко проверить справедливость
всех предлагаемых соотношений (см. задачу 6, § 3). Однако, последнее выра¬
жение для ип может быть получено и иным способом.
Будем рассматривать величины и0, и,, и2, иг, ... как коэффициенты
некоторого бесконечного ряда:
Ф (*) = и1 + игх + и3х* +	+	... + u„_,xn-* + и„хп~1 + • • •
ИЛИ
00
Ф (*)= 2 Uk + lxk-
й= о
Далее:
00	СО
*ф(*)= 2 u*+i*ft+,= 2 “***»
к—о	k=1
оо	сю
Х*ф(х)= 2 ик+1хк+г= 2 Uk-lxk'
k-а	к=s
Поэтому
СС
Ф(Х) — Хф(х) — Х2ф(х) = 2 (“ft+t—^“ft —
к =»
Отсюда (так как uh+1 — uk—uft_, = 0)
Ф (х) (1 —х—х2) = 1
и
I
ф(*)=<
1 —X— X2
Однако, выражение ^	может быть представлено в следующем виде
(разложено на простейшие дроби):
1	= ! / “ Ё 1	/•)
1—х—х2 а—р\1+ах 1+PxJ’
где
С другой стороны:
1 -=1— ах+а2х*+ ..,,
1 + ах
1
1+рх =
12*
;l— px+psJt2+...

b.-i *{№)'*'-№)>■
вительно:
“-tMNT'-NT'}-
360	РЕШЕНИЯ
Подставляя эти разложения в равенство (*), найдем:
у, i }1 ,1- у „'*+‘	''
к-о
Поэтому, действительно:
Впрочем, все десять тождеств настоящей задачи могут быть доказаны
и методом математической индукции. Докажем, например, тождество?0 и 10°.
При п — 1 имеем:
u* = u,u21
что, действительно, справедливо.
Допустим, что
u1H1 + u2u,+ ...+H2rt_su2„_2=u’fl_2.
докажем, что
М1М2 "t“U2US • • * “Ь М2П —В^гп —2 “Ь ^2П —2М2П —1 “Ь* И2П — 1М2П = U2fl’
В самом деле, на основании нашего допущения, имеем:
(MjM* "Ь • - ■ “Ь ^2«—3u2rt —гЯ_М2П —2w2rt —I 4*ыгп —1М2П ” Ы2П —2 “Ь
"ЬМ2« — 2^24 — 1 Н“М2П —JM2rt ” W2« — 2 (^2П — 2 “Ь М2П “l) “ЬМ2Г*—JW2rt ^
— W2rt—2U2fl	—1мгп ”м2п (мгп — 2 "bM2ri — i)
Переходим к тождеству 10°. При п — 1 тождество легко проверяется.
Допустим, что
Urt — 1 ^/1-з'4г»-2^»1ип + 1 “ ^
и докажем, что
Un Un — iutt — ittn + iun + t = !•
Для этого достаточно доказать, что
—I Mn-3Wn — 2r,riWrt+1	^П~2рП — tWn + iMrt + 2 —0.
Но имеем:
 Wri —1 ^п — 3ИП — 2w«wrt + l Uri —2Uri —lUr*+lWrt + 2“
=	+ Mr»-i) “H wn —i) (urt" un —t) ~\~utt-2uti + i (^п-з^п мп-|ип+г) e
= Mn + ,Mrt_2 {u/i"bw/i-i "bun-3uri	u« —1Ыг1 + г{	^
^ ^n + i^n~2 {^n — t ~ l^n + t ”f*	(^n "Ь ^n —з)} 3
+	"2	— I — turi+ 2 “b	—l}1 “
= Ми+1«п-2“п-1 t««-i—W« + 2 + 2wrt} =0.
так как
Mtt+i+2u«=0.
t
I
I
I

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	361
29. Имеем:
п
llk + 2
+-gg+_«— = у
1 -2 1 -3	+	h„	+	1h„+2	2-1
MA + iuft+a
ft =0
у Uj + г — »ft + i_yr f _j	L ^ =
2-	Uk + \uk+i	2. \,U* + 1 U/i + tJ
ft =0	ft	=	o
\ ^1	^2	^П	+ I/	\ ^3	^4	^n + ij
_ 1 _j__j J  M, + ^2 Un + 2H~«n + »_
U,	W2 U-n + 2	Un + Ъ	^1^2 Un + i^n + i
и, и
n+4
и1^г ип+2ип+г
30.	Рассмотрим последовательность чисел:
^с> ^1» ^2» ^8» ^4» •••»
определяемую следующим соотношением:
^Л-М^Я+
Тогда имеем:
«1=«0 + 1'1.
o, = O2 + Oi = t)0+2o„
d* = Bj + t>,=2о0 + 3и,,
fj = t'4+^j = 3ofl + 5o„
Методом индукции легко получить, что вообще:
"л=“л-Г',« + “А
Рассмотрим следующую последовательность:
Vtj~Up — 1*	“Нр*	+ п —1-
Тогда имеем:
^Л ~ ^р+П — 1	—	1	"Т	^п^р*
и формула 1° доказана.
Формула 2° следует из 1° при р = п. Доказательство формулы 3е сво¬
дится к доказательству следующего равенства:
— 1 ^П^Л+I ^Л — 2^Л —1*
31.	На основании формулы 1° предыдущей задачи имеем:
и!П " — 1^2П “Ь ^П^2П + I*
Итак, нужно доказаты
^Л“1 *^2Л "i* ^П*^2П + 1 ~^п +Wn+1 ^п —1*
Доказательство несложно, если только иметь в виду соотношения:
2 | 2
^2п +1 == ^/1 + 1 *
U£tt = Un—lUn “I* W/jWn +1*

362	РЕШЕНИЯ
32.	Положим:
S сЦ.,.,-»,
k=0
Нужно доказать, что vn — un (где ип есть n-й член ряда Фибоначчи). Дока¬
жем, что при любом п будет:
ип+, = ап + а„-,.
Допустим сначала, что п четное, и положим и =2/. Имеем:
И	["+]	[+1
^n+t— 2 ^n-k’ vn— 2 F'n-k-1' vn-\ 2 P'n-k-f
k=o	k—o	k=o
Так как n = 2l, то
[f]-* M-'-1»
Поэтому имеем:
<’n+*n-, = 2cn-*-.+ 2ct*-r
k=0	k=Q
Положим во второй сумме 6 = 6' — 1, тогда:
v„ + v„-l — l+ 2 CA_fe_,+ 2 cn-k’~i =
k=i	k’=\
= 1+ 2
k=l
Но известно, что
r^h	i	лй-i
bn-fe-l i
Поэтому
fn + l’n-l= 1+ 2 Cn-k~^ C/-i = 2 ^n-* = ^n + i-
fe = l
так как
r l-г i — nl
—c/-
Точно так же докажем, что ort+1 = o„ + o„_1 и при нечетном п. Но
легко проверить, что
0!=и,: ог=м„.
Поэтому ясно, что
vn = u„
при любом п.
33.	Обозначим число целых положительных решений нашего уравнения
через Nn(m). Легко видеть, что Л', (т) = 1. Вычислим Л'2(т), т. е. число
решений уравнения:
х1+хг = т.

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ
363
В этом уравнении jc, может принимать следующие значения: 1,2,3, ...,m—1
и, следовательно, уравнение имеет следующую систему решений:
(1, т — 1),	(2,	т— 2) (т — 1, 1),
Перейдем теперь к вычислению Nt (m), т. е. к определению числа решений
уравнения:
х1+хг-{-хг=т.
Будем давать хг значения 1, 2, 3 т—2. Ясно, что
М, (tn) = N2 (m-l)+.V, (m-2) + ... + Nt (2) =
Каково бы ни было г, эти выражения дают решения уравнения (*). По¬
смотрим, какие значения должно принимать г для того, чтобы х н у были
целыми и неотрицательными. Итак, должны иметь место неравенства;
и г должно быть целым. Если п+2 не делится на Л + 1, то г может при¬
нимать значения:
т. е.
Докажем методом индукции, что
Очевидно, что
Nn (m)=Nn-x (m—1) + (V„_, (m—2) +... +Wn_, (n— 1).
Предполагая, что
имеем:
(см. задачу 70, § 6).
34.	Общий вид рассматриваемых уравнений будет:
kx + (k + \)y = n— Л + 1	(*	= 1, 2, ..., n + 1).
Перепишем это уравнение следующим образом:
* (х+у + 1) + у = п + \
О
и положим:
(n+1) — teSO; (* + l)z—(п+2) SO.
Отсюда
п+2	^п+1
й+1= = k

364
РЕШЕНИЯ
Обозначим число решений уравнения (*) через Nk. В этом случае имеем:
Если же л + 2 делится на ft+1, то
Но если л + 2 не делится на ft + 1, то
Г” + 21 _ rn+1]
[ft+lj-[ft+lj '
если же л + 2 делится на ft + 1, то
л +2
ft +1
Итак, во всех случаях:
N,
-[#]•
-РЖЖ]-
Полное же число решений равно:
iv1+wI+...+wB+1=[n±i]-[l±i] +
+ [*+■] _[■+>]+...+ [!±1
+[St]-[S»]-
ьтат может быть получек
Iю	1	00
1 ■ =У о*»;  ! =V<?
_ ГП+ 1
U+1
*4>]_
+
п+ 1
л+2
— л +1.
Вппочем, этот результат может быть получен и иначе.
Имеем:
(ft+i )у
у=о
Поэтому
ft—1
	1	= V1 V1 gftx+fft+ity+ft-i
(1— <?*)(1 — oft+1) ^ ^
X = Q I/=0
Если правую часть этого равенства развернуть по степеням д, то легко
видеть, что коэффициент при qn в этом разложении будет равен Arft, т. е.
равен числу решений уравнения:
ftjc + (ft + l)j/ = n — ft+1.
Таким образом, величина:
!V, + lVj+...+Wn+,
будет коэффициентом при qn в следующем разложении:
1,1	о*

§ 9. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ	365
Однако легко видеть, что это разложение равно:
9(1— q) (i_ 9*+1~1_9*+*) = <?(1— 9) (l — 9	0 ~(n + 1)9 •
fe=o	’	4	n=o
Отсюда и следует:
Л^+Л/а+... + 1Уп+1 = п+1.
35. Общий вид уравнений будет:
ft2* + (/z + 1)1{/=[(й + 1)*—и—к*
(k — \, 2, 3,..., и).
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что одно решение будет:
х = — (п+1); у — п.
Тогда, как известно, все решения будут получаться из выражений:
* = -(п + !) + (/> +1)4,
у — п—pH,
где р есть одно из значений, принимаемых k.
Для тогб чтобы х и у были неотрицательными, необходимо и достаточно,
чтобы t принимало целые значения, удовлетворяющие неравенствам:
J?±L <=<< "
(p + i)*= =р»'
Далее, рассматривая отдельно два случая (п+1 делится на (р+1)* и п + 1
на (р + 1)* ие делится), приходим к результату.
36. По условию, черные и белые шары чередуются. Поэтому возможны
два предположения:
1) белые шары занимают нечетные места, т. е. первое, третье, а чер¬
ные— четные места;
2) белые шары занимают четные места, а черные—нечетные места. Легко
видеть, что белые шары с номерами 1, 2. ..., п могут быть расположены иа
нечетных местах п! способами, равным образом черные шары располагаются
иа четных местах также п! способами. Итак, при первом предположении
имеем (nl)2 способов расположений всех шаров. Столько же расположений
получаем и при втором расположении. Следовательно, полное число располо¬
жений шаров равно:	'	-
2 (п!)!.
37. Пусть L^f, обозначает число способов, которыми можно распределить
kn различных предметов на k групп по п предметов в каждой группе.
Сколькими способами можно составить первую группу из п предметов?
Ясно, что число этих способов равно C”fc, и ясно, что
Тk  лЛ /& —1
^nk —bnk Lnk-n•
Отсюда легко получаем:
Т и — лп	/-*п
nft ^nk^{k-i) п... ^ап'
38. Посмотрим, сколько имеется перестановок из п элементов, в которых
два определенных элемента а и Ь стоят рядом. Могут быть следующие слу¬
чаи: а стоит на первом месте, а—на втором,..., наконец, а — иа (п—1).
а b всегда справа, т. е. соответственно на втором, третьем, ... и на п-м
месте. Может быть итак: b стоит на первом месте, ..., наконец, Ь стоит на

366	РЕШЕНИЯ
(п—1)-м, а а соответственно справа. Всею, таким образом, 2(и—1) случаев.
Но каждому из таких случаев отвечает (п—2)1 перестановок. Поэтому общее
число таких перестановок, у которых два определенных элемента а и Ь стоят
рядом, будет:
(п—2)1 2 (гг—1) = 2 (п —1)1.
Следовательно, число перестановок из п элементов, у которых два элемента
а и Ь не стоят рядом, будет:
п\— 2 (и—1)1 = (гг—1)! (и—2).
39.	Обозначим число искомых перестановок через Qn и положим п\=Р„.
Рассмотрим всю совокупность перестановок Рп. Среди этих перестановок
существует Qn таких, при которых нн один из элементов не занимает своего
исходного положения. Посмотрим, сколько существует таких перестановок,
в которых один только элемент сохраняет свое исходное положение.
Несомненно, что таких перестановок будет nQ„_,. Равным образом, число
перестановок, в которых только какие-либо два элемента сохраняют исход¬
ное положение, будет -	^	^ Qn-г и т- Д- Наконец, число перестановок,
где все элементы сохраняют исходно'е положение, будет Q0=l. Таким обра¬
зом, имеем:
рп = Qn + nQn-iH S -2 ^ Qn-a"l' • • • + nQi + Qo-
Это равенство символически можно записать следующим образом:
Pn = (Q +1)”.
Символ состоит в том, что после возведения в степень везде степень следует
заменить значком, так что Q* переходит в Qk. Следовательно, мы можем
написать следующее символическое тождество, справедливое при всех зна¬
чениях х:
(P + x)n=(Q + 1+х)"
(так как символически везде степень Р может быть заменена той же сте¬
пенью Q + 1).
Полагая здесь х —— 1, найдем:
Q"=(P —1)П.
Переходя от символического равенства к обыкновенному, имеем:
Qn=pn—y pn-i+n(i J1)Pn-*+---+(~ lr-'nP. + t- i)n;
V 2!	3!	+4!	+•"+	(n—1)1 + nl )'
40.	Рассмотрим все такие размещения п букв, при которых могут быть
как свободные, так и занятые клетки. Если п = 1, то число способов, кото¬
рыми можно разместить 1 букву в г клетках, равно т (в 1-ю клетку одну
букву, в остальные по 0, во 2-ю клетку одну букву, в остальные по 0 и т. д.).
Все размещения 2 букв в т клетках получаются из только что рассмотрен¬
ных г размещений путем последовательного размещения второй буквы в 1-й,
2-й, ..., r-й клетке. Таким образом, число размещений 2 букв в т клетках
будет равно гг, и легко видеть, что общее число размещений п букв в г
клерках будет гп. Обозначим число способов, посредством которых п различ¬
ных букв могут быть размещены в г клетках так, чтобы в каждую клетку
попала по крайней мере одна буква, через Аг Среди наших г” размещений

§ 10. ПРЕДЕЛ	367
рассмотрим те, в которых в каждую клетку попала, по крайней мере, одна
буква. Число таких размещений Аг. Затем рассмотрим все те размещения,
где будет свободна одна и только одна клетка. Таких размещений будет
гЛг_,. Далее, число размещений, где свободны две и только две клетки,
будет:
г (г-Ц ,
1-2
и т. д.
Поэтому имеем:
Аг-{-гАг-, + ■ j g - i4r_2+ ... -f-rAI-f-l =гп^~1.
Это равенство символически можно записать следующим образом:
(А + 1)'=г" + 1
(т. е. после развертывания левой части следует в ней заменить везде А ‘
через Ah).
Далее, имеем:
(А +1 + х)г = j] Ск х* (A + l)r-ft.
k — 0
Из этого равенства получаем следующее символическое справедливое при
всех значениях х:
(А +1 + хУ = 2
ft=0
Положим здесь л;=—1. Тогда:
аг= 2 с* (~Dk w-ky+1]=2 <-i>* (г-ky ск+2 (—i)*c*
k=0	k=0	k—0
Ho
2 (—I)*C* = (1 —1),=0.
_	k	=	0
Поэтому
Ar= 2(-l )h(T-k)nCk.
A=o
Переходя от символического равенства к обычному, получаем:
Аг= 2 (-1 )к (г-Ь)п Ск = г" — f (г-1)" +	(г-2)" + ... -I-(-1/
к=о
(см. задачу 55, § 6).
§ 10. ПРЕДЕЛ
что | Ь | > 1. Дока:
|Ы>1+л(|6|-1) (л > 1).
1. Положим а = у, так что | b | > 1. Докажем, что
Действительно:
[Ып={1+(|Ь)-1)}п = 1+л(|Ь1-1) + П-(^-^(|Ь1-1)»+...
Отсюда н следует:
|fc|”> 1+л(|&| —1) (л > 1).

3(18
РЕШЕНИЯ
Тогда:
1*«1 = |в|" = Т4та<;“	1
\Ып "1 + п(|Ь| —1)
и действительно:
lim хп = 0.
П -*■ СС
2.	Легко видеть, что можно предположить а> 0. Тогда х,->0 (i = 1,
2, 3, ...). Пусть Л есть целое число, удовлетворяющее условию £ 5S а < Л ,
а .
так что ■. . , < 1.
к +1
Положим п> к. Тогда:
л! 1-2-3 ...k k+ 1 ft + 2” ' л "
Но
а а а а	а
. < т-г-г; т-г-о < 5Г-Г-,;	•	-	•;	—	<	-
fc + 2	Л + 1*	А + 2^й + 1	 г.	к	+	\'
Поэтому
nk / Л \ti~k
а" аг fa \п-к
л! < ft! U + 1 У ’
д	'	"	\»~к
Но так как ——г < 1, то ( ^ --,Л	-»-0,	если	л-»-	оо,	а	потому при любом
k +1	\М-1/
вещественном а имеем:
пп
lim — =0,
П -» 00 я!
т. е. факториал п\ растет быстрее, чем п-я степень любого вещественного
числа.
3.	Числитель и знаменатель этой дроби беспредельно растут вместе
с возрастанием п. Рассмотрим отдельно три случая: k = ht k<h и к > h.
1° Л = Разделим числитель и знаменатель на nk—n . Получаем:
h , 00 + —+-..+^'
h—i _i_	j n.	n	п™
a0nh + a1nh-' + ...+ah	...
n	n,t	a
— о
benh+blnh~, + ...+bk	—	-j-	... -J-	b<>
2° k<h.
n	nh
aBnk+ainfc-l+... +0*	1-	nh-k	nh
lim 0 r 	!		—— = lim	г	r~	=	0.
M +ftin +---+bA ь
° л	лЛ
3° k> h. Аналогично получаем, что в этом случае:
flflnfe+a1n*-t + .-- + ak ^
benh+blnh-i+...+ал

§10. ПРЕДЕЛ
309
4. Имеем:
ТУ Ь* — 1 jf k — 1 уПу ft2 + fe +1
Ho
д fe—1	1-2-3...(п —I)
k = 2
Ilfc + l 3-4-5. ..(n+1) n (n+l) ’
TT ** + * + !. 7-13-2l...(n» + n+l)_n» + n-H
AAfe*—fe + 1- 3-7-13...(/j2—n + 1)	3
Поэтому
5. Положим:
1-+ х>	о	ПГ+П	3
1* + 2* + 3*+...+п‘	пк
п*+*
tx I I
При fc = l имеем Р'п=-и, следовательно:
1>т П = 4-
П -► JO	X
1
I
Точно так же легко иаходим lim Рп = _ . Допустим, что lim Рп--
п -► СО	3	п <х>	I	-}-1
для всех значений I, меньших ft, и докажем, что lim Р* = fe+I ' ^оложим
si-=l,+2, + ... + п‘. Тогда имеем следующую формулу (см. задачу 26, § 7):
(Ь, ,w ,	+	(ft	+	l)fe(fe-l)
l^T I) T |#2 *fe-iT 1.2.3
Ho Pk„ =	,	поэтому	имеем:
Sft-s+ - --
...+(* +1) s1 + s0 = (n + l)ft+,—l.
р"=гЬ(1 + ^)
Отсюда и следует, что
1 \fc+1
I
ь Pk~x
ft r n
PI
(ft+1 )n‘
ft+i 1-2 n
k +1 ffi
lim P*=_L_
n~* ao	ft	+	1
Однако, это предложение можно доказать и непосредственно. Воспользуемся
неравенством (см. задачу 50, § 8):
тхт~1 (х— 1) > xm— 1 > т (х—1)
(х>0 и не равно 1, т—рационально и не лежит между 0 и 1).
Положим здесь m = ft + l и х заменим через — . Получаем:
(ft +1) хк (х—у) > х*+1 — ук+1 > (ft +1) yk (х —у).

370	РЕШЕНИЯ
Положим здесь сначала х = р, у = р—1, а затем лс = р+1, j/ = р. Тогда найдем:
(Р + l)ft+1—pft+1 > (fe + l)pft> рЛ+,-»(р —l)ft+1.
Полагая в этом неравенстве р=1, 2, .п и складывая, получаем:
(n+l)k+l—\ > (*+l)(lft+2ft+...+nft)>nft+1.
Деля все части неравенства на (/z+l)nfc+1, найдем:
1 I ( . , Mfc+1 1 \	lft + 2ft+ ... -\-пк	1
k + l\\ +nj nk+I)	nk+l	^	k	+	Г
Отсюда и следует, что
lim lfe+2*+•■•+«*.	I
n-> 00	nfc+1	ft	4-1
6.	Пользуясь обозначением предыдущей задачи, получаем:
lfc4-2fc4-... -\-пк
пк	Л	+	1	V"	Л	+	1	)
Пользуясь выражением для Р*, полученным в предыдущей задаче, имеем:
п(рк 1	\	1	fe-t-,	 1	К
V " k + \) ik + \)nk (ft4-1)nk 2 "	ft4-1 nfc~i ’
Отсюда
(ft 4-1 )nh	(k	+ \)nk 2	"
f nk 1 \ v f (n4- l)fc+1—nk+1	ft	1
(i+l)n‘
так как
lim (ft + l)ft+1 nft+1 —i и lim pk~1= JL
(ft4-l)nfc	"	k	'
7.	Из задачи 4, § 9 имеем:
У 	2*1 +*0	I /	1ЧП-1	*o)
n 3	'	'	3«2n—1	*
Отсюда следует:
lim *„ = 2s±^.
П —► CO	**
8.	Имеем следующее соотношение (см. задачу 3, § 9):
*n-V~N Ар-Оу”
U4-/W/
Так как
ТО
*0+^1 _
^,-^yn_0
„4-Yn)
Отсюда
lim ——= 0 и lim xn=y~N.
I	П -> CO JCn 4~ r ^	л	-»	oo

§ 10. ПРЕДЕЛ	371
Итак, получаем способ для извлечения корня квадратного из числа. Он
состоит в следующем: берем любое положительное число (например, прибли¬
женное значение корня с точностью до единицы) за хв. Представляем N в виде
произведения двух множителей, из которых один равен х0, так что
к,	N
N=xB .
Берем среднее арифметическое этих множителей и обозначаем его через х19
так что
*1=1г(*о+—)•
Далее, полагаем:
N
N = xl-—,
Л1
и опять берем среднее арифметическое:
И Т. д.
Величина погрешности, которую мы делаем, принимая хп за приближен¬
ное значение V N, может быть определена из формулы:
xn-VN /x0~V'Nyn
xn+V~N U„ +Y N J
9.	Докажем прежде всего, что
Действительно:
Хр > N.
ЛГ-х"1 , ' "
*?=*?-.( *+—
Р Р-М ‘ тх
Но
\т	Ы	—
/	N—x™.\	N—x™
( 1+ р—\ >1+ р-
\ тХр-^ I
N
„т
хр-1
(см. задачу 51, § 8).
Поэтому
Xp>N,
при любом р (целом, положительном).
Докажем теперь, что переменная хр убывающая, т. е. докажем, что
Хр Хр—1 <- 0.
В самом деле:
хр	Хр—,	—	< 0.
r г	тХр_л
Итак,	переменная	х„	убывает, но	остается положительной. Поэтому она
имеет предел.	Обозначим	этот	предел	через	X. Из соотношения
m — l	.	N

372	i	ешьния
при п -> со получаем1
к = ^к +
Легко видеть, что
ткт~г'
km = N и к = ^ Ж
Kn>VN> N
m-i
п
и мы получаем возможность найти верхний предел ошибки, когда мы прини¬
маем хп за приближенное значение 'jj/ N .
10. Имеем:
У л! - уГп
(см. задачу 4, § 81.
Отсюда и следует искомый результат.
11. Легко доказать следующее неравенство:
1ф7<уТ&-,<±	ч+*>о).
к
Полагая здесь х = -рр • найдем:
2n2 + k Г ‘л2	2л2'
Отсюда
\_
  . ..	М-
к — 1	к	—	1
+l2n* + k<Sn< 2л2ХЛ
! +
Л = 1
Правая часть равна:
п(л + 1)
4/i2	-
fe = l
Поэтому предел правой части при п-+ со равен —. С другой стороны:
п1™» (2л2 X л X 2л2 + а) ,,’Тсс 2л2 (2л2 + к) •
' ft = i	fc = i	/	к-1
Но
А:2
ft2	ft2	12	+	22+...+л2
<2-.;
A=i	ft=i
Si
1 2л2 (2л2 + A)	Z-i 4л1	4л1
I	1	-
Следовательно:
lim 1 1 у*_у ‘	}=0н lim V
"-*■“1 Й ^2n+ft/ "-"“fcTl
fe 1
2л2 + k~ 4

§ 10. ПРЕДЕЛ •	373
Итак, обе переменные, между которыми заключено Sn, стремятся к
Поэтому
Km S„ = T.
П —*• ОС	4
12.	Имеем:
дг’=а+*„_,.
Легко видеть, что переменная х„ возрастает. Покажем, что все значения
этой переменной остаются меньше некоторого постоянного числа. Имеем:
—а <0,
так как < х„.
Отсюда
ЩШ.)
Но так как вторая скобка больше нуля, то должно быть
1/~4a + ] +1
^—1— , т. е. возрастающая переменная ограничена и, сле¬
довательно, имеет предел. Положим lim дгя_,= lim хп = а. Из исходного
п -> 00	п	®
соотношения между хп и хп-х получаем:
аг—а—а = 0,
и так как aSO, то
VAa+l + 1
а- 2
13.	Докажем, что переменная хп убывающая. Имеем:
1_ — 2(^ + 1 — У п).
V п+1
Но
yw+l —У~п = —г-=^	г=>-'	1
Уп + 1+ У п 2Уп + \
и следовательно:
*л + 1 <хп-
Но можно доказать (см. задачу 6, § 8), что
,+Fl+F1+'‘'+7^>2lAn+,_2'
Поэтому
хп > 2( У?[+\ - УН) —2 >-2.
Итак, убывающая переменная хп остается постоянно больше — 2. Следо¬
вательно, она имеет предел.
14.	Покажем сначала, что хп > уп. Действительно:
*п—Уп = Хп~1\Уп~’> —	УУп~гУ>0.

374	*	РЕШЕНИЯ
Но
у  у 	 ХП-1~\~Уп-1 у 	 Уп-1 ХП-1 ^ П.	-
ЛП fl — I 	 2	ЛП	—	1	2	^	и»	ХП—\	^	ХПУ
т. е. переменная х„ убывающая. С другой стороны:
Уп Уп — \~ Уп — \'хп — 1 Уп — I = Г" Уп — 1 (	—I /Уп — l) ^-0,
т. е. уп > и переменная уп возрастающая. Отсюда следует, что каждая
из переменных хп и уп имеет предел. Положим limхп—х\ limуп = у. Имеем:
„  хп — \Л~Уп-1
п 2 '
Отсюда
у^.х + У
Х~ 2
и, следовательно:
* = «Л
15.	Имеем:	—=s,; —= s; отсюда <7 = 1——; Q = 1——.
!-<?	*'	1	—Q
Но
1 1
Si	s
16.	Имеем:
s = ul + ulq + ul(f+...=u1 (1 +9+4'2+...): а*=и\(\ +92 + д,4+...)
Далее:
= ц„<7—ц, _	1—9__s ^_ Пу а2_ —1 , s2=-—j.
"	q—1	l—q	v	1—q2	(1	—	q)‘
Имеем:
2u\	2u\q
c*j_fT2 =	:	■	c2	rr2	_
+	(1_^(1+9)-	a (i_0»(i + fl) *
Отсюда
s2—a2
fl-s2+a2
s„=s (1 —<?«){ i — [$^=5]"} -
17.	1° Положим x= —. Тогда | </1 > 1, и можно положить |</| = 1+Q,
где Q > 0.
Имеем:
| rtV
(i+е)"
1 I no I »("->) p, ,	n(n— l)...(n-fe)	»	*
+ e-t- 1>2	e+---+ 1.2.3... (fe+i) 6	+---+e

§ 10. предел	375
Предполагая, что л > к, найдем:
i k п, пк 	я*	(А+ 1)1
(1+е)п<п(л—1)(я—2)...(я—А + 1)(я—fe)eft+I
(fc + 1)!	 }
O-jX'-D-O-V)*»-*»'
Но выражение:
(* + 1)1  \
если я оо (k—постоянное).
Поэтому, действительно:
lim пкхп=0, если п -*■ со.
2° Положим:	^/~п—1 = а(а>0). Тогда имеем: п = (1 +«)".
Отсюда
л = 1 + ла+^72“^ “2+ •••+““■
Следовательно:
">iT+'lo'; <,'<Я=Г<4(“>2)-
Итак:
а < -^= иО<У я— 1 < —(я > 2).
р п	V	п
Теперь легко видеть, что	_
lim yfn= I.
18.	Имеем:
J, J, ,	!	= ,	1
1 . О "Г о _ о Г • • • Т _ /_ . , »
1-2	2-3	л (и+ 1) я + 1’
1 1 1 _ 1 / 1 1 \
Г2^3 + 2-3-4+,"+я(я + 1)(я+2)“ 2 \. 2 (n + l)(n + 2)J
(см. задачу 40, § 7).
Но
Ь2 + 2^3+в**+л (п + 1) + *‘,==
= lim	—п4"о~о4" • • • 4*—7—;—Г\Г= ^ \ I—1 * / — !•
л->со |1*2	2*3	л	(л-f	1)|	п->	оо	\	л-|-1J
Итак:
i=_L+J_+..
1-2 2-3	^я(я+1)т
Аналогично:
4	1-2-3	2-3-4	‘	1	л	(я	+1) (п + 2)

376	РЕШЕНИЯ
Можно доказать более общую формулу:
 ! + ! . 1 1 , _ 1
1-2-3... (р+1)	2-3-4	... (4+2) + •••+„ („ + !)... (4 + ,,) +	^
(см. задачу 26, § 9).
19.	Допустим, что ряд сходящийся, т. е. допустим, что предел S„=l +
+ TJ-+ ... ПРИ п -*■ 00 существует и равен S.
Тогда lim Sm = S. Но с другой стороны:
«-+00
о О _	1	,	1	,	,	1	1
“ п п+1 п + 2	‘‘ 2п > 2
(см. задачу 1, § 8). что невозможно. Итак, ряд не может быть сходящимся.
Впрочем, расходимость этого ряда может быть доказана и иначе. Пусть
2ft<n<2ft+*. Тогда имеем:
5„ = 1+4 + (т+т) + (т+¥+Т+]') + -”
’+(2*-, + 1 + "‘+2*)
‘ + 1	2kJ	2*+1	rt
Но
1 . 1	2	__ 1 _	1111	4 _ 1
3	4	4	2	’	5 + 6 + 7 + 8>8~2
Поэтому
Но при п -*■ оо, k 00, а следовательно, и Sn -*■ 00, и ряд расходящийся
(см также задачу 22).
20.	Положим Sn — 1 +23Г + дЗ‘-Ь • ■ • ++■ • Д-пя того чтобы доказать, что
ряд сходящийся, нужно доказать, что lim Sn существует. Но легко видеть,
П-+ 00
что Sn возрастает с возрастанием п. Остается доказать, что S„ ограничена.
Пусть 2ft_1 < n 5S 2*. Имеем:

или
§ 10. ПРЕДЕЛ	377
Итак:
    1 1 f t 1
1 -f- 2а-1_^ (92^°—1 + ■ • ■ + ^2ft-,)a-1 *
= 1 +2^^*^2!)а-1 + (2*_,)а_| ’
1
S <
1- '
2»-1
Итак, S„ действительно ограничена, lim Sn существует и ряд сходится.
п -> СС
21. 1° Имеем (см. задачу 22 § 7):
1х + 2х2-)- .., -\-пх" = -—{nr"+1—(n-f- 1)х”+ I},
\Х 1)
1 -f 2х-f Зх2-f- ... -f-/ixn_,-j- ,.. = lim {l +2х+3х2-)- ... -f nx"-1} =
n -+ 00
=^^{n"n+,“("+1)x,,+1}=(^I? •
так как
lim лж" = 0 (I x | < 1)
n -> cc
(см. задачу 17, 1°).
2°, 3° Из результатов задачи 33 § 7 получаем:
1 +4*+ 9х2 + ... +nV-’ + ... =	,
l+22*+32x2 + ...+nV‘-l + ...=.l+g+*-.
22. 1° Непосредственно следует из задачи 41 § 8. Отсюда же может
быть получено еще одно доказательство расходимости ряда
1+т+т+т+---+4'+-"
Положим
lim (l + iy=e.
л-х* V л )
Так как переменная	стремится	к	е	возрастая,	то	имеем:
ЫУ<‘
при любом целом положительном п.
Отсюда
t 1 \

378	РЕШЕНИЯ
если логарифм берется при основании е. Или
^>lg (1+^)'
1+T+¥+-" + ;r>lg2+lg (1+y) + lg (1+т) + -**'
Итак:
1+-2+^-+...+^-> lg (п + 1)
и ряд расходится.
2° Пользуясь формулой бинома Ньютона, получаем:
Л.._ 1 V‘_, , „ 1 , л(п-1) 1 , п (п 1) (п—2) 1 .
Vl + nJ ~	п	Ь2 п* П2Т3 JJS + —
п(п —1)(п—2)... [n—(п —1)] ^	_
=^(‘Ч)+'й'Ч)(-й‘+-
Положим для краткости
Тогда:
(Ч"7г) — 2+m2 + u3 + ... +Mft + M*+I+Mft+2+... +и„
Имеем:
Отсюда
1——
„ ^	1	Ц^+.	  л	^	1
k 1-2-3... к’ Mft fe + l fe + l
1
«А+i <nft-
:fe+l ’
1 1
и*+г<иь + 1 k + 2	ft (A + 1)* ’
1
Пи < Uh
(ft + D
П-ft
Итак:
«fc + l+«ft + 2+---+nn<^i [1+fe^T + ---+{fe + 1I)H_ft-i]
Следовательно:
“ft+i+ “*+» + ■ • • +“n < 1.2.3 ... k ’ T *
'g (« + 1).
U±
к '

§ 10. предел	379
Отсюда
0< (1+4)"-<2+ы’ + - +Ыа) < Ь2ТТ7Й • Т
Пусть п -*■ оо. Тогда:
lim “*=П2 ft
П-¥ СО	1	*	.	•	♦	«
и, следовательно:
0< е_ (2+ТТ2+Ь2Тз+‘'+ !-2-3 ... ft) <1-2... ftT*
Отсюда и следует:
1.1. 1
е = 2+^ + т-тг^+...+
'1-2'г1.2-3‘г,‘‘ "г 1-2-3 ... ЬГ 1-2-3 ... ft-ft '
(О < е < 1).
Таким образом, можно написать:
е = 2 + П2 + П‘Гз+"' + 1.2-3 ... ft +'”
23.	Имеем:
2 sin-4 х—sin х—2 sin -i- * f 1 —cos 4- лЛ =4 sin 4* * sin* -J- x.
2	2	\	2	J	2	4
Отсюда
2 sin -i- *—sin x< 4
*(*)■
так как sin a < a при a > 0.
Иначе:
2 sin-g-sinx <-g-*s.	(1)
Заменяя здесь * через ^x, ^x,	x,	найдем:
о • 1	■	1	^	[	f	ХУ
2smTx~SinYx<T[Y) '
2dn-g-*-sin-J-*<-g-(-j) ,
Умножаем неравенства (1), (2	(я)	последовательно	на	1,	2,...,2П-*
и складываем их:
0-1	,1	1	/	ЛГ	\»
2sm2Sx-sin2jnrr*<g-^2inrr) *
ства (1), (2	(я)	последовательш
2 sin ^ х sin х -g х ^ I + -f-4 - - - 4~	|	•
пределу при я -»■ со, находим:
I sln gn	I j	(II	1	I
— sin x > ^ j хг lira -|l + ^ + p- +...+ jnn-j
(2)
(3)
(«)

380	решения
Но
lim
{1+Т+^+---+4йЦ=^Ч/
Следовательно)
24.	1° Положим)
х
slnoйг
lim 	=	1.
7	00	X
2"
• 1 ,
X—Sin х<-рг хг.
— о
с  °i I аг .	.	ап
i',_Io+Io*+-" + io?r-
Нужно	доказать, что	S, имеет предел	прн	п->■	оо. Легко	Видеть, что
S„ возрастает при возрастании л, так что S,,+, >S„. Докажем, что S„ огра¬
ниченно. Имеем:
5,1 = ю То® “Ь * * - + То^- ^(ю+Тог + ’-'+То") <
< 9 (1о+Т№ + •' ‘+ Ш«+• • • )■
Итак, S„ < 1 и ряд сходится.
2° Так	как со	лежит в промежутке от 0 до	1, то	разделим	этот проме¬
жуток на десять	равных	частей. Число со	попадет	либо внутрь, либо на
границу одной из этих частей. Следовательно, можно найти такое целое
число о, (О :S о, fS 9), что
Ei <ш <£l±J
10= 10	’
т. е.
Итак, число	лежит в промежутке от 0 до ^. Разделим этот про¬
межуток на десять равных частей. Тогда будем иметь:
10г= 10 10*
Отсюда
ai , аг	-	ai | аг+ 1
10+10» = < 10"*~ 10г •
Эту операцию мон^но продолжать подобным же образом дальше.
Докажем, что
Лт« (io+i^ + '" + io"n) “■

§ 10. ПРЕДЕЛ	381
О	4“ 1
Здесь переменная возрастает, но остается все время меньше —, следова¬
тельно, она имеет предел. Рассмотрим переменную:
Д1 I Д я I	I	—1 I Дп	^
1П Г in* т“ • " * "г t/in — t т"
10 М02^*" МО"-1 г 10”
п пгтяртло fin п г.тпо
ю
Легко видеть, что эта переменная убывает, но остается больше и,
I °в-« 1	+	fgi	I	gt	|
Vio+ioi+',, + ion-,+ ion J	+	1
следовательно, также имеет предел. Так как разность
J_
10я
стремится к нулю при п—*- оо, то обе эти переменные стремятся к одному
и тому же пределу, который в силу неравенств
at , аг i	|	ап	*?-.. ^ а I I аг I	I	att—1	|	gn~W
10 ^ Ю*-1- —	10"	= ^ 10+10«+-" + 10»-,'*‘ 10я
будет равен со.
3° Если дробь конечна, то несомненно, что она равна рациональному
числу. Перейдем к случаю периодичности. В этом случае имеем:
.	. gi ■ аг I _|_Лд_л	!_	(01 I аг I I art \ |
- 10+ 10*+--- + 10я + 10я \ Ю+ 10*+-" + 10я у +
+ 10*я\,10+10*+--- + 10яУ + "- V10 10	10"у
(. . I . 1	\ /а, , о, ,	,	а„\	1
Х( +1^ + 1ай+",)-(ю + !о*+,"+7оя)	1_~
10я
 о,10я~Ч-ог10я-*+ ... +a„_,10-f-an
“ 10я—1
т. е. со есть число рациональное.
Совершенно так же можно убедиться, что будет рациональной и смешан¬
ная периодическая дробь (т. е. такая дробь, период которой начинается не
с а,, а позже).
Можно доказать (привлекая некоторые арифметические соображения),
что, обратно, если число рационально, то его разложение в десятичную
дробь обязательно будет либо конечным, либо периодическим (чисто перио¬
дическим, или смешанным периодическим).
Таким образом, всякая непериодическая бесконечная дробь дает обяза¬
тельно иррациональное число.
2,
25.	Положим, что со рационально, т. е. ы = ~^~ , где 1 и N—целые числа.
Имеем:
1 =	I 1	1	1	I	1	I
N / Р I*	I'fl	^ч	+	О*	рп	+	«*
Умножим обе части равенства на lntN и перенесем л первых членов
правой части налево.
Получим:
2/я*-М(/я*-*+г,-‘+...+1я,-‘я-*>Ч1)=лг|^1+^4+Дл+...|.

382
РЕШЕНИЯ
Отсюда
|zl^—N (i"*-»+ /"*-«4.... + l) I <
Итак:
 ^ ■ 1 1 1	/*" + »
1/*л+» + /г(гп + 1)Т^«(гп+1)4- - - - > =N
' 1-
| Zlnt — N (in*-4- /п,"4+ ... +1) | < N ■
/*п +1
/*Л + 1 J •
Если взять п достаточно большим, то правая часть может быть сделана сколь
угодно малой, в то время как левая часть есть целое число, не равное нулю
2° Доказывается совершенно аналогично 1°.
26.	Имеем:
е==2+о7+^Т+-" +7ГТ +
21 1 31 гп1^(п + 1)|
Положим:
Z
е~ N
(где Z и N—целые положительные числа).
Тогда:
— = 2+— +—4-	н L I. 1
N 1 21^31	^(7V	+	1)!
или
1
Z(W-1)1_(2+^+^ + "-+7^)m = FT1
Отсюда
*"(JV + l)(JV + 2) +
<
<_!_+ ! + ! + =JL
^N+ 1^(^+1)*^(л + 1)*+ N •
что невозможно, так как справа стоит правильная дробь, а слева—целое
число, не равное нулю. Итак, е есть число иррациональное. Если разложить
е в десятичную дробь, то эта дробь будет бесконечной непериодической.
Приведем следующее значение е, содержащее 2500 знаков после запятой.
е=2,71828 18284	59045	23536	02874	71352	66249	77572 47093	69995
95749 66967	62772	40766	30353	54759	45713	82178 52516	64274
27466 39193	20030	59921	81741	35966	29043	57290 03342	95260
59563 07381	32328	62794	34907	63233	82988	07531 95251	01901
15738 34187	93070	21540	89149	93488	41675	09244 76146	06680
82264 80016	84774	11853	74234	54424	37107	53907 77449	92069
55170 27618	38606	26133	13845	83000	75204	49338 26560	29760
67371 13200	70932	87091	27443	74704	72306	96977 20931	01416
92836 81902	55151	08657	46377	21112	52389	78442 50569	53696
77078 54499	69967	94686	44549	05987	93163	68892 30098	79312
77361 78215	42499	92295	76351	48220	82698	95193 66803	31825
28869 39849	64651	05820	93923	98294	88793	32036 25094	43117
30123 81970	68416	14039	70198	37679	32068	32823 76464	80429
53118 02328	78250	98194	55815	30175	67173	61332 06981	12509
96181 88159	30416	90351	59888	85193	45807	27386 67385	89422

§ 10. ПРЕДЕЛ
383
87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496
84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418
49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016
76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051
01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354
02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224
74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868
76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246
65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409
75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251
64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743
70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622
64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828
93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959
30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298
49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812
88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169
84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177
88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327
61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109
62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310
05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275
36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965
50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183
15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139
55990 06737 64829 22443 75287 18462 45780 36192 98197 13991
47564 48826 26039 03381 44182 32625 15097 48279 87779 96437
30899 70388 86778 22713 83605 77297 88241 25611 90717 66394
65070 63304 52795 46618 55096 66618 56647 09711 34447 40160
70462 62156 80717 48187 78443 71436 98821 85596 70959 10259
68620 02353 71858 87485 69652 20005 03117 34392 07321 13908
03293 63447 97273 55955 27734 90717 83793 42163 70120 50054
51326 38354 40001 86323 99149 07054 79778 05669 78533 58048
96690 62951 19432 47309 95876 55236 81285 90413 83241 16072
26029 98330 53537 08761 38939 63917 79574 54016 13722 36133
Дадим также десятичный логарифм этого числа (282 знака)
Log,0e=0,43429
44819
03251
82765
11289
18916
60508
22943
97005
80366
65661
14453
78316
58646
49208
87077
47292
24949
33843
17483
18706
10674
47663
03733
64167
92871
58963
90656
92210
64662
81226
58521
27086
56867
03295
93370
86965
88266
88331
16360
77384
90514
28443
48666
76864
65860
85135
56148
21234
87653
43543
43573
17247
48049
05993
55353
05
27.	Легко видеть, что если /д. (начиная с некоторого k) все равны между
собою, то мы имеем дело с бесконечно убывающей геометрической прогрес¬
сией и со действительно рационально. Остается доказать, что если подобное
обстоятельство (равенство всех /д.. начиная с некоторого k) не имеет места,
то со иррационально. Доказать же это можно совершенно аналогично преды¬
дущему (см. задачу 25).

384	решения
28.	Докажем, что переменная ип убывает, т. е. что un+1<u„. Имеем:
«п+,=1+4+т + • • •+^_ 18 (rt+1)-
Отсюда
Рассмотрим переменную
*-кг
и докажем, что эта переменная убывает, т. е. докажем, что нп+1 < vn, и.п
/	1	\п+*	/	J\П+1
(,+!Г+т) <(1+7г) •
т. е. покажем, что
п+1
/	1	\л+*	1
(1+7г)	>*	+
п+1*
т
—	т
Имеем (1+а)	> 1+а — (см. задачу 40, 1°, § 8).
о	1	т	п+1
заменяя в этом неравенстве а через a — через	найдем:
Л + 1
(■4)"
«ч1,1(п+1)
п (п +2)'
Но
п (п + 2)	Тп + Г
/	1	\п	+ 1
Итак, переменная п„=1 1 + —1 убывает. Покажем, что
/ I\п+1
lim ( 1 -I— )	=е.
П-+ОС V п }
Имеем:
л | 1 у ('+")
(+»)~ (1+±) •
Но lim (1 JLV = е,	lim fi+iUl. Итак, действительно
П -*■ 00 \ п/	I;	—V	СС \ П J
(1 \в + *
] J ) =е и, следовательно:
п )
/ 1 \«+1
К) >е-
Поэтому (n+l)lg(l+^-)>l, !g (I+^-)>^Tj.

§ 10. предел	385
а потому
“п + 1 —“п <0,
и переменная ип—убывающая.
С другой стороны:
B„ = l+y+j + ...+“lgn>Ig (n + l)-lgn>lg (l+-i-)>0.
Так как переменная ип убывает, но остается больше нуля, то она
имеет предел. Обозначим этот предел через С. Итак!
С носит название эйлеровой постоянной. Дадим значение этой постоянной
с 263 знаками после запятой. Имеем:
С = 0,57721 56649 01532 86060 65120
90082 40243 10421 59335 93992
35988 05767 23488 48677 26777
66467 09369 47063 29174 67495
14631 44724 98070 82480 96050
40144 86542 83622 41739 97644
92353 62535 00333 74293 73377
37673 94279 25952 58247 09491
60087 35203 94816 56708 53233
15177 66115 28621 19950 15079
84793 74508 569
29.	Имеем:
X X
sln х = 2 sln g- cos g-,
X	XX
sin-2=2 sln g* cos ^ ,
sln|j = 2sin^ cos 1^,
s*n 2^rr=:2 sin Fpf cosjpi •
Перемножая эти равенства почленно, найдем:
Далее:
п„ . х	к	х	х	х
sin х = 2" sm	cos g-	cos g-s	cos gj • • •	cos gn»
2"si4	,
Имеем:
Положим
sm л:	x	x	x	x
COSg- COS gj COS gj .. . COS gH
i *
x	2"
lim 2" sin = = lim x — x.
в -* *	2n	x
2"
I X X X	X	\	XXX
„bm ( cos-g- cosg* cosgj...cosgH I = cos g- cos g^ cos gj ...

386
РЕШЕНИЯ
Тогда имеем:
Принимая здесь х = ~2~' на“Дем искомую формулу. Число я, также как
и е, есть число иррациональное и, следовательно, не может быть выражено
конечной или периодической десятичной дробью. Даднм значение я с 2035
знаками после запятой.
п= 3,14159 26535	89793	23846	26433	83279 50288	41971	69399	37510
58209 74944	59230	78164	06286	20899 86280	34825	34211	70679
82148 08651	32823	06647	09384	46095 50582	23172	53594	08128
48111 74502	84102	70193	85211	05559 64462	29489	54930	38196
44288 10975	66593	34461	28475	64823 37867	83165	27120	19091
45648 56692	34603	48610	45432	66482 13393	60726	02491	41273
72458 70066	06315	58817	48815	20920 96282	92540	91715	36436
78925 90360	01133	05305	48820	46652 13841	46951	94151	16094
33057 27036	57595	91953	09218	61173 81932	61179	31051	18548
07446 23799	62749	56735	18857	52724 89122	79381	83011	94912
98336 73362	44065	66430	86021	39494 63952	24737	19070	21798
60943 70277	05392	17176	29317	67523 84674	81846	76694	05132
00056 81271	45263	56082	77857	71342 75778	96091	73637	17872
14684 40901	22495	34301	46549	58537 10507	92279	68925	89235
42019 95611	21290	21960	86403	44181 59813	62977	47713	09960
51870 72113	49999	99837	29780	49951 05973	17328	16096	31859
50244 59455	34690	83026	42522	30825 33446	85035	26193	11881
71010 00313	78387	52886	58753	32083 81420	61717	76691	47303
59825 34904	28755	46873	11595	62863 88235	37875	93751	95778
18577 80532	17122	68066	13001	92787 66111	95909	21642	01989
38095 25720	10654	85863	27886	59361 53381	82796	82303	01952
03530 18529	68995	77362	25994	13891 24972	17752	83479	13151
55478 57242	45415	06959	50829	53311 68617	27855	88907	50983
81754 63746	49393	19255	06040	09277 01671	13900	98488	24012
85836 16035	63707	66010	47101	81942 95559	61989	46767	83744
94482 55379	77472	68471	04047	53464 62080	46684	25906	94912
93313 67702	89891	52104	75216	20569 66024	05803	81501	93511
25338 24300	35587	64024	74964	73263 91419	92726	04269	92279
67823 54781	63600	93417	21641	21992 45863	15030	28618	29745
55706 74983	85054 94588	58692	69956 90927	21079	75093	02955
32116 53449	87202	75596	02364	80665 49911	98818	34797	75356
63698 07426	54252	78625	51818	41757 46728	90977	77279	38000
81647 06001	61452	49192	17321	72147 72350	14144	19735	68548
16136 11573	52552	13347	57418	49648 43852	33239	07394	14333
45477 62416	86251 89835	69485	56209 92192	22184	27255	02542
56887 67179	04946 01653	46680	49886 27232	79178	60857	84383
82796 79766	81454	10095	38837	86360 95068	00642	25125	20511
73929 84896	08412 84886	26945	60424 19652	85022	21066	11863
06744 27862	20391 94945	04712	37137 86960	95636	43719	17287
46776 46575	73962	41389	08658	32645 99581	33904	78027	59009 ,
94657 64078	95126 94683	98352	59570 98258

Василий Августович Кречмар
Задачник по алгебре
М.. 1964 г., 388 стр.
Редактор И. Е. Морозова
Техн. редактор Л. Ю. Плакше
корректор О. А. Бутусова
Сдано в набор 27/IV 1964 г. Подписано к печати
20/VII 1964 г. Бумага 60Х90/1в. Физ. печ. л. 24,25.
Условн. печ. л. 24,25. Уч.-изд. л. 24,12.
Тираж 75 000 экз. Т-09144. Цена книги 82 коп.
Заказ № 1536.
Издательство «Наука*.
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект. 15.
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова Главполиграфпрома
Государственного комитета
Совета Министров СССР по печати
Москва, Ж-54, Валовая, 28.