/
Author: Фресан Х.
Tags: математика математическая логика логика серия мир математики точные науки
ISBN: 978-5-9774-0717-5
Year: 2014
Text
Мир
МАТЕМАТИКИ
22
Сон разума
Математическая логика и ее парадоксы
TCAGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Хавьер Фресан
Сон разума
Математическая логика и ее парадоксы
Москва - 2014
TCAGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 22: Хавьер Фресан. Сон разума. Математическая логика
и ее парадоксы. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с.
На пути своего развития математика периодически переживает переломные моменты,
и эти кризисы всякий раз вынуждают мыслителей открывать все новые и новые горизон-
ты. Стремление ко все большей степени абстракции и повышению строгости математи-
ческих рассуждений неминуемо привело к размышлениям об основах самой математики
и логических законах, на которые она опирается. Однако именно в логике, как известно
еще со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы — неразрешимые на первый (и даже
на второй) взгляд утверждения, которые, с одной стороны, грозят разрушить многие
стройные теории, а с другой — дают толчок их новому осмыслению.
Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя, Алана Тьюринга ассоции-
руются именно с рождением совершенно новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изу-
ченные явления. Так давайте же повторим удивительный путь, которым прошли эти уче-
ные, выстраивая новый фундамент математики.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0717-5 (т. 22)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Javier Fresan, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены:
gettyimages, agefotoslock, Corbis.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Посвящается Хосе Антонио
Паскуалю и Розе Наварро Дюран
Содержание
Предисловие........................................................ 9
[лава 1. Аксиоматический метод..................................... И
От неевклидовой геометрии — к теории относительности ............. 14
Новые системы аксиом ............................................. 20
Аксиомы арифметики................................................ 23
Чего мы ожидаем от аксиом......................................... 27
[лава 2. Парадоксы................................................ 33
Теория множеств................................................... 35
Парадокс Рассела.................................................. 42
Парадокс лжеца ................................................... 48
[лава 3. Программа Гильберта...................................... 55
Формализм Гильберта .............................................. 57
От языка — к метаязыку............................................ 63
[лава 4. Теоремы Гёделя........................................... 67
Теоремы о неполноте............................................... 71
Гёделевская нумерация............................................. 78
Доказательство теорем о неполноте................................. 84
О чем не говорится в теоремах..................................... 90
[лава 5. Машины Тьюринга.......................................... 93
Думать как машина ................................................ 97
Вычислимые функции............................................... 101
Проблема остановки ...............................................110
[лава 6. Хорошо кончается то, что не кончается................... 115
Нечеткая логика.................................................. 115
Сложность.........................................................122
Гедель, Тьюринг и искусственный интеллект.........................128
7
СОДЕРЖАНИЕ
Библиография..............................................137
Алфавитный указатель .....................................139
8
Предисловие
Супруги спорят между собой: «Ты всегда мне перечишь», — говорит жена. «Это
не так», — возражает муж. «Видишь? Ты сам же это подтверждаешь», — снова
критикует его жена. «Милая, ты права, я всего лишь тебе перечу», — признает муж
в попытках положить конец спору. «Вот! Ты сам в этом признался!» — кричит жена
и хлопает дверью. От подобных сцен не застрахован ни один, даже самый счастли-
вый брак. Если бы философ и математик Бертран Рассел никогда не переживал по-
добные моменты, он бы не женился четыре раза. И все же его семейные ссоры,
должно быть, завершались совершенно не так, как у других людей: после фразы
«Ты сам же это подтверждаешь» Рассел, должно быть, помолчал несколько секунд
и, сказав: «Да, дорогая, это очень интересно», закрылся в своем кабинете.
Зачем? Чтобы подумать об утверждениях, которые описывают сами себя, об ис-
тинном и ложном и осознать парадокс, который ставил под сомнение то, что мате-
матика последних двух тысяч лет является завершенным воплощением «сна разума».
Парадокс Рассела — один из главных действующих лиц этой книги, однако сначала
мы расскажем о том, как открытие неевклидовой геометрии радикально изменило
аксиоматический метод, и о том, что противоречие, положившее конец «счастливым
и спокойным будням» Рассела, берет начало в традиции, восходящей, по меньшей
мере, к Эпимениду Критскому. Парадокс Рассела был бы обычной математической
диковинкой, если бы он не породил множество новых вопросов. Сначала мы погово-
рим о решении этого парадокса, которое предложил Давид Гильберт — один из ум-
нейших людей своего времени. В течение 30 лет он сохранял уверенность, что в один
прекрасный день математика навсегда освободится от парадоксов. Это же хотел до-
казать и юный Курт Гедель, однако он обнаружил, что в арифметике существуют
истинные высказывания, которые невозможно доказать.
С того момента как Гёдель объявил о своем открытии на конференции в Кёнигс-
берге в сентябре 1930 года, его теоремы о неполноте продолжают удивлять специа-
листов в точных и гуманитарных науках. Некоторые сочли теоремы Гёделя знаком
поражения разума, хотя преимущество в этой битве изначально было на его стороне,
другие видели в них неоспоримое доказательство превосходства человека над маши-
нами. Однако лишь те, кто в полной мере понял суть статей Гёделя, смогли вывести
логику на новый уровень. Гениальный Алан Тьюринг — человек, взломавший дья-
вольские шифры нацистов, смог создать первые компьютеры, дав теоремам о непол-
ноте новое толкование. Обо всем этом и о многом другом пойдет речь в этой книге.
Мы решили не ограничиваться нулями и единицами машин Тьюринга, а попытались
9
ПРЕДИСЛОВИЕ
сделать еще один шаг вперед и описать множество оттенков одного из последних
«снов разума» — нечеткой логики.
Я хочу поблагодарить редакцию издательской компании RBA за предложение
написать такую книгу. Именно слова «изложить популярным языком», упомяну-
тые в одном из писем редактора, побудили меня начать каждую главу с неболь-
шой художественной зарисовки. Без историй моей подруги Лауры Касильес,
этой Шахерезады XXI века, я никогда не смог бы связать нечеткую логику и де-
серт в японском ресторане. Эпиграф к пятой главе родился благодаря Патрисии
Фернандес де Лис, очарованной личностью Алана Тьюринга. Подробные коммен-
тарии Хесуса Фресана, Давида Гарсеса, Мигеля Эрнаиса, Виктории Лей Вега де
Сеоане, Хавьера Мартинеса и Лус Рельо помогли мне существенно улучшить книгу.
Также я благодарен Марии Агирре Рокеро, Луису Аскарате, Ноэлю Гарридо, Хено
Галарса, Марии Анхелес Леаль, Карлосу Мадриду, Хосе Марии Матеос, Гильермо
Рей, Роберто Рубио, Марии Хосе Солер, Лукасу Санчесу и Микелю Тамайо
за ценный вклад, который они внесли в создание этой книги.
10
Глава 1
Аксиоматический метод
Со времен греков говорить «математика» — значит говорить
«доказательство».
Николя Бурбаки
Энтузиазм, с которым адвокат Тауринус разорвал конверт, не теряя времени на по-
иски ножа, сменялся разочарованием по мере того, как он строчка за строчкой читал
убористо исписанные две страницы. В этом письме, полученном одним ноябрьским
утром 1824 года, содержался ответ Карла Фридриха Гаусса на заявление об откры-
тии чрезвычайной важности — доказательстве пятого постулата Евклида.
К тому времени не осталось такого раздела физики и математики, куда Гаусс,
которому исполнилось почти пятьдесят, не внес бы свой вклад, за что получил титул
princeps mathematicorum — «король математиков». Однако ни в одной из его работ
не был затронут важнейший вопрос того времени: верен ли пятый постулат? Мож-
но ли через точку, не лежащую на данной прямой, провести одну и только одну пря-
мую, параллельную данной? Ответ на этот вопрос в некотором роде позволил бы
понять, какую форму имеет наш мир.
История Евклида и его труда, «Начал», где он изложил свои идеи, восходит
к 300 году до н. э. Именно тогда этот древнегреческий математик, о котором нам
почти ничего не известно, составил учебник по геометрии, где систематизировал все
знания, которые до этого из уст в уста передавались пифагорейцами и учениками
Платона. В то время как над входом в Академию Платона можно было прочесть
фразу «Да не войдет сюда не знающий геометрии», «Начала» Евклида были пред-
назначены для неподготовленного читателя и помогали понять науку о формах и фи-
гурах с помощью простейших формулировок. Чтобы сделать свой труд более по-
нятным и одновременно подчеркнуть четкость и строгость геометрии, Евклид начал
изложение с ряда определений и аксиом, из которых, запасясь терпением, логически
можно было вывести любое из сотен предложений, записанных в книге. Возмож-
но, создание никакого другого учебника не имело столь радикальных последствий
для развития всей человеческой мысли на протяжении последующих двух тысяч лет.
И
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Евклид на картине Рафаэля «Афинская школа».
Гоеческий математик изображен в окружении учеников, с циркулем в руках.
В словарях аксиома определяется как истина, не требующая доказательства вви-
ду своей очевидности. В этом смысле аксиомы являются выводами, к которым без
особых усилий может прийти любой человек, даже далекий от цивилизации. Евклид
проводил различие между общими утверждениями и постулатами: в то время как
аксиомы вида «равные одному и тому же равны и между собой» применимы как
к правильным многоугольникам, так и к богам, постулаты являются исключительно
частью геометрии. Александрийскому мудрецу хватило пяти постулатов, на которые
опирались «Начала». Первые три постулата гласили, что от всякой точки до всякой
точки можно провести прямую; ограниченную прямую можно непрерывно продол-
жать по прямой и что из всякого центра всяким раствором может быть описан
круг. Четвертый постулат гласил, что все прямые углы равны между собой, а соглас-
но пятому, в размышлениях над которым Тауринус провел много месяцев, если пря-
мая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, в сумме
меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся
с той стороны, где углы меньше двух прямых.
12
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Две прямые пересекаются в той части плоскости, где углы меньше двух прямых.
Возможно, что первое впечатление современного читателя будет таким же, как
и у современников Евклида: пятый постулат не столь очевиден, как предыдущие,
и чтобы понять его, не обойтись без карандаша и бумаги. Именно поэтому очень
скоро геометры начали ставить под сомнение его принадлежность к аксиомам и пы-
тались доказать его исходя из остальных постулатов. Однако все подобные попытки
ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «АГОРА» (РЕЖИССЕР АЛЕХАНДРО АМЕНАБАР,
АВТОР СЦЕНАРИЯ МАТЕО ХИЛЬ, 2009)
Гипатия: Синезий, каково первое правило Евклида?
Синезий: Почему ты спрашиваешь меня?
Гипатия: Просто ответь мне.
Синезий: «Равные одному и тому же равны и между собой».
Гипатия: Хорошо. Разве не подобны мне вы оба?
Синезий: Да.
Гипатия: Аты,Орест?
Орест: Да.
Гипатия: Хочу сказать всем, кто находится в этой комнате:
у нас больше сходств, чем различий, и что бы
ни произошло на улицах, мы останемся братьями
и сестрами Мы братья и сестры. Запомните, что
ссоры - удел простолюдинов и рабов.
Афиша фильма «Агора»,
главной героиней
которого является Гапатия
Александрийская.
13
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
оставались безрезультатными, хотя и позволяли получить утверждения, эквивалент-
ные пятому постулату, которые помогали лучше понять его следствия. Наиболее из-
вестные следствия пятого постулата гласят, что сумма углов треугольника равна
180°, а через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только
одну прямую, параллельную данной. Независимо от точной формулировки постула-
та о параллельности прямых ученые сомневались, является ли он самостоятельным
относительно других постулатов или же, напротив, выводится из них с помощью ис-
кусных рассуждений и его можно исключить из списка аксиом. Через эти сомнения
прошли все греческие и арабские комментаторы «Начал» и исследователи эпохи
Возрождения.
Каково же было удивление Франца Адольфа Тауринуса в то ноябрьское утро,
когда он, вместо того чтобы, превзойдя лучшие умы в истории, довольствоваться
заслуженной славой, получил письмо, в котором Гаусс признавался, что после трид-
цати лет размышлений пришел к выводу: может существовать геометрия, в которой
пятый постулат не выполняется. Однако эту новую, неевклидову науку следовало
сохранять в тайне до тех пор, пока не будут уточнены все детали ряда теорем, ко-
торые, казалось, противоречили общепринятым убеждениям, незыблемым на про-
тяжении двух тысячелетий. Новую геометрию не приняли бы те, кто считал, что
треугольники и круги, описанные в книге природы, выглядят именно так, как их
описал Евклид, и никак иначе. Ведь, подобно Аристотелю для схоластиков, Евклид
был не просто человеком, но источником почти священного знания.
От неевклидовой геометрии - к теории относительности
Так могла бы начаться история, основанная на реальных событиях, в которой рас-
сказывалось бы о Гауссе (1777—1855), измеряющем размеры многокилометрового
треугольника, вершинами которого стали три горы в Германии. Целью эксперимента
было определить, является геометрия пространства евклидовой или нет. По ходу
истории к «королю математиков» присоединились бы другие действующие лица,
в частности венгр Янош Бойяи (1802—1860) и русский математик Николай Лоба-
чевский (1792-1856), которые при публикации своих открытий не испытывали та-
ких опасений, как Гаусс.
В аристократических салонах ученые Европы восхищали бы публику, демон-
стрируя макеты удивительных поверхностей, на которых сумма углов треугольника
была меньше 180°. Некто наверняка прервал бы одну из таких демонстраций, вскри-
чав «Евклид умер!», а тот, кому были чужды революционные настроения, схватил-
14
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
ся бы за голову, потому что «никто не может одновременно служить двум господам:
если геометрия Евклида истинна, то нужно исключить неевклидову геометрию
из списка наук и поместить ее рядом с алхимией и астрологией»1.
Однако на страницах книги, которую читатель держит в руках, рассказывается
другая история. Она также начинается с открытия новой геометрии, но ее развязка
еще более неожиданна: речь пойдет о первых экспериментах по созданию искус-
ственного интеллекта и компьютерах. Неевклидовы модели не просто открывают
путь в новые миры — важнейшее следствие их существования лежит в сфере фило-
софии. Евклид выбрал свои аксиомы потому, что их истинность была очевидной.
Тем не менее когда ученые обнаружили, что на некоторых поверхностях через дан-
ную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных одной и той же
прямой, а на других поверхностях нельзя провести ни одной прямой, параллельной
данной, вопрос о том, какие аксиомы являются истинными, утратил смысл. Почему
постулат о параллельности прямых должен быть более истинным, чем постулаты,
отрицающие его? В действительности корректность того или иного постулата будет
зависеть только от того, какие объекты мы изучаем.
Альберт Эйнштейн (1879—1955) сумел извлечь пользу из сложившейся ситуа-
ции и благодаря неевклидовой геометрии решил задачу, не дававшую покоя самому
Исааку Ньютону (1643—1727). Согласно закону всемирного тяготения, открытому
Ньютоном в 1685 году, два тела притягиваются друг к другу с силой, которая уве-
личивается с ростом произведения их масс и с уменьшением квадрата расстояния
между ними. Этот закон позволил описать движение планет и траекторию падения
яблок с деревьев, однако важнейший вопрос по-прежнему оставался без ответа: как
может Земля воздействовать на Луну, если их разделяет почти 400 тысяч киломе-
тров? Действие, совершаемое на расстоянии, считалось чем-то относящимся к алхи-
мии и ни в коем случае не могло быть принято научной школой того времени. Чтобы
преодолеть это препятствие, был даже воскрешен эфир, упоминавшийся в греческой
мифологии, — летучая субстанция, заполняющая промежутки в пустоте, благодаря
которой сила тяготения распространяется от одного тела к другому. Однако раз-
личные эксперименты поставили под сомнение существование эфира или чего-то
подобного.
И тогда на сцену вышел Эйнштейн. Любой может представить себе, что прои-
зойдет с простыней, которую натянули два человека, если в ее центр бросить мяч,
однако предположить, что точно так же ведут себя планеты в космосе, смог лишь
1 Из письма Готлоба Фреге (1848—1925) Давиду Гильберту (1862—1943).
15
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
этот гениальный сотрудник патентной конторы в Берне. Тело столь большой массы,
как Земля, искажает пространство вокруг себя, и гравитация есть не что иное, как
мера кривизны пространства. Если маленький шарик бросить на простыню, дефор-
мированную под весом мяча, он немедленно скатится к ее центру. Аналогично, тело
в состоянии свободного падения притянется к поверхности Земли в результате ис-
кажения пространства вокруг нее. Если тело находится далеко от Земли и при этом
движется, как, например, Луна, то благодаря искажению пространства оно не при-
тянется к Земле, а будет удерживаться на земной орбите. Таким образом, в той гео-
метрии, где гравитация является мерой кривизны пространства, пятый постулат Ев-
клида не выполняется.
Гоафическое изображение деформации пространства,
вызванной силой земного тяготения.
Эйнштейна совершенно не волновало, что его теория относительности разрушила
мечты о евклидовом космосе, поскольку со временем он понял, что геометрия носит
сугубо формальный характер. В первой главе книги «О специальной и общей теории
относительности» — научно-популярном изложении результатов своих исследова-
ний, опубликованном в 1920 году, — Эйнштейн объясняет, что геометрия основана
на ряде понятий («точка», «плоскость» и «прямая»), которые мы четко представля-
ем себе, а также на определенных простых предложениях, аксиомах, которые ка-
жутся нам истинными, если трактовать их согласно нашим представлениям о поня-
16
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
тиях геометрии, к которым они относятся. Исходя из этих основных принципов
остальные предложения доказываются методом дедукции: если все промежуточные
рассуждения корректны, то истинность вывода зависит исключительно от истинно-
сти исходных посылок. Таким образом, чтобы ответить на вопрос, какую форму
имеет наш мир, необходимо знать, верны пять постулатов Евклида или нет. Однако
найти ответ на этот вопрос методами геометрии нельзя. Более того, этот вопрос
не имеет смысла.
Эйнштейн продолжал: бесполезно пытаться доказать, действительно ли через
две точки можно провести только одну прямую. Все, что нам известно, — это то,
что в геометрии идет речь о понятиях «точка» и «прямая линия», которые связаны
следующим образом: две различные «точки» определяют единственную «прямую».
Чтобы спор об истинности аксиом имел смысл, сначала нужно установить их соот-
ветствие с реальностью: если всякий раз, когда Евклид упоминает «точку» и «пря-
мую линию», мы будем трактовать эти понятия привычным нам способом, то акси-
ома «через две точки можно провести прямую» будет корректной, и мы сможем
подтвердить ее истинность экспериментально. Однако ничто не указывает, что
в геометрии эти понятия нужно понимать точно так же, как и в обычной жизни, —
напротив, геометрия есть не более чем множество абстрактных идей и отношений
между ними.
Одна из последних фотографий Альберта Эйнштейна, сделанная около 1950 года.
17
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Рассмотрим пример, который впервые упоминается в статьях итальянского гео-
метра Эудженио Бельтрами (1835—1900). Пусть пространство, в котором находят-
ся объекты, заключено внутри круга (не включая его границу). Предложим следую-
щее простое соответствие: когда Евклид говорит о «точке», мы будем представлять
точки внутри круга, а когда он говорит о «прямой линии», мы будем представлять
себе отрезки, начало и конец которых лежат на границе круга. В такой трактовке
две «точки» определяют единственную «прямую линию» и, следовательно, первый
постулат Евклида будет выполняться. Перед тем как рассмотреть пятый посту-
лат, напомним, что две «прямые» параллельны, если они никогда не пересекаются.
Возьмем произвольную «точку» внутри круга, например его центр, и произвольную
«прямую линию». Соединив «точку» с концами отрезка («прямой линии»), полу-
чим две «прямые», которые проходят через нее и параллельны исходной прямой,
так как гипотетические точки пересечения этих прямых находятся на границе круга,
а она не принадлежит пространству! Следовательно, в модели Бельтрами постулат
о параллельности прямых не выполняется.
параллельные данной
Неевклидова модель Эудженио Бельтрами.
Обратите внимание, что выше слова «точка» и «прямая линия» в одних случаях
заключены в кавычки, а в других — нет. Таким образом мы проводим различие
между абстрактными понятиями «точки» и «прямой линии», которые могут иметь
различные толкования, и реальными точками и прямыми, на основе которых были
определены эти понятия. Тот, кто считает, что описанная нами неевклидова модель
не более чем математическая игра, возможно, изменит свою точку зрения после
18
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
краткого экскурса в биологию. Расстояние, видимое человеческим глазом, в луч-
шем случае составляет несколько километров. Как следствие, все прямые, которые
пересекаются за границей видимой нами области, выглядят для нас одинаково,
а все, что мы видим вокруг себя, в достаточной мере соответствует модели, пред-
ложенной Бельтрами. В конце концов, какой будет разница между двумя прямы-
и
ми, которые пересекаются в Нью-Йорке, и прямыми, которые пересекаются в Лос-
Анджелесе, для европейца? Маленький мир человека не описывается законами
геометрии Евклида. Однако человеческая философия не ограничивается этим ма-
леньким миром.
Мы выбрали модель Бельтрами произвольно, из множества возможных.
В том же самом пространстве мы можем назвать «прямыми» дуги окружности —
в этом случае не будет выполняться первый постулат, так как две данные точки
можно будет соединить неограниченным числом способов. Чтобы однозначно опре-
делить окружность, требуются три точки, и именно возможность выбрать третью
точку произвольно и будет препятствовать выполнению постулата. Если в некото-
рых моделях первый постулат выполняется, а в других — нет, то истинность ут-
верждения, согласно которому через две «точки» проходит единственная «прямая»,
зависит от значения понятий «точка» и «прямая», и задаваться вопросом о его ис-
тинности столь же нелепо, как и размышлять об истинности пророчества «В году Л
родится В», где читатель может заменить Л и В произвольными значениями.
Пространство, в котором две разные прямые соединяют точки А и В
и в котором не выполняется первый постулат Евклида.
Именно это мы имели в виду, когда говорили, что Эйнштейн очень четко пони-
мал исключительно формальный характер геометрии. Несмотря на это его интересо-
19
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
вали не логические отношения между понятиями, а конкретный вопрос о том, как
объяснить действие сил на расстоянии, не используя понятие эфира. Для Эйнштей-
на «точками» были точки пространства, положение которых определялось коорди-
натами, указывающими их местоположение и момент времени, когда мы их рассма-
триваем. «Прямыми» для него были кратчайшие пути между двумя точками, вдоль
которых движется луч света. Если для того чтобы объяснить природу пространства,
физику нужно отказаться от постулата о параллельности прямых, то почему бы
не сделать этого? В мае 1919 года, спустя четыре года после того, как Эйнштейн
определил тяготение как меру кривизны Вселенной, экспедиции на африканский
остров Принсипи удалось обнаружить, как отклоняется луч света звезд, близких
к Солнцу и видимых только во время солнечных затмений. Именно эти эксперимен-
ты вкупе с теоретическими исследованиями, а не использование неевклидовой гео-
метрии, позволили подтвердить корректность теории относительности.
Разумеется, когда Евклид работал над «Началами», он не думал о том, что его
«точки» и «прямые» можно заменить чем-то другим. Для него все составляющие
геометрии были наполнены физическим значением. Доказательством этому служат
формулировки аксиом, которые, в частности, гласят, что для двух данных точек
можно провести соединяющую их прямую, а не что для всякой пары «точек» суще-
ствует единственная «прямая», их содержащая, — как мы обычно понимаем эту ак-
сиому. Различие между двумя этими формулировками заключается в этом едва за-
метном переходе от точек к «точкам» и от «можно провести» к «существует».
Именно этот переход привел к тому, что геометрия обрела абстрактный характер,
и родилась математическая логика.
Новые системы аксиом
Первым следствием революции, произошедшей в геометрии, стало переопределение
понятия аксиомы: теперь не имело смысла искать «очевидные истины». С момента
рождения неевклидовой геометрии аксиома стала представлять собой не более чем
утверждение, которое из соображений удобства становится основой некоторой тео-
рии, после чего из этого утверждения выводятся теоремы. Живительная особен-
ность языка заключается в том, что мы можем сочетать слова так, как нам заблаго-
рассудится, но если мы будем соблюдать определенные правила, наш собеседник
всегда поймет нас, даже если мы произносим фразу впервые. Однако придумав но-
вое слово, мы должны объяснить его значение другим людям, и если они посчитают
это слово бесполезным или неблагозвучным, оно вряд ли приживется в языке. Нечто
20
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
подобное происходит и в логике: утверждение нельзя доказать «с чистого листа» —
на этом листе вначале нужно записать некоторые принципы, истины, с которыми
согласны все, а также правила дедукции или логического вывода, благодаря кото-
рым мы сможем получить новые утверждения на основе аксиом.
Классический пример подобного правила — modus ponens, «утверждающий мо-
дус», который заключается в следующем: «Если А, то В» и если А истинно, то В
истинно. Вновь отметим, что значение правил логического вывода, как и значе-
ние аксиом, исключительно формально. Так, силлогизм: «Все люди могут летать.
Икар — человек, следовательно, он может летать» — корректен, в то время как
высказывание: «Если идет дождь, земля мокрая. Земля мокрая, следовательно,
прошел дождь» корректным не является. Хотя высказывание о мокрой земле после
дождя выглядит разумным, а высказывание о летающих людях — совершенно аб-
сурдным, первое высказывание корректно, а во втором перепутаны причина и след-
ствие. Действительно, после дождя земля мокрая, однако если земля мокрая, это
необязательно связано с дождем: например, по улице просто могла пройти поливаль-
ная машина. Также существует modus tollens (от лат. modus tollendo tollens — «путь
исключения исключений»), который гласит, что из утверждения «Если Л, то В» при
ложном В выводится ложность А, как в высказывании «Если что-то неизвестно,
об этом лучше промолчать. Если я говорю, то я знаю, о чем говорю».
ОБОЗНАЧЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Структуру modus ponens и modus tollens удобнее запомнить, если записать их в виде схем, в ко-
торых посылки и заключение разделены линией. Если мы обозначим через -1А и -1В отрицания
А и В, то есть утверждения, противоположные им по смыслу, то modus ponens и modus tollens
будут описываться следующими схемами:
А->В А->В
А и -.В
В -Л
В общем случае правило вывода верно, когда его результат является истинным
вне зависимости от толкования посылок. Так, высказывание «Если Р и Q, то R»
корректно вне зависимости от значений Р, Q и R: всякий раз, когда Р и Q одно-
временно будут истинными, R также будет истинным. И вновь речь идет о фор-
21
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
[альном критерии, который подразумевает, например, что высказывание «гхли
оль отличается от единицы и если единица равна нулю, то вы мой отец» является
орректным. Так как ни в одном из возможных миров ноль не может отличаться
т единицы и одновременно быть равным ей, исходные посылки никогда не будут
ерными. Это понимали уже схоластики, которые сформулировали выражение ех
ontradictione sequitur quodlibet, то есть «из противоречия следует все что угодно».
MODUS TOLLENS И ФАЛЬСИФИЦИРУЕМОСТЬ
Согласно философу Карлу Попперу (1902-1994),
modus tollens - это единственное корректное правило
вывода в естественных науках. Когда мы пытаемся объ-
яснить какое-то явление, то научный метод, который
Поппер назвал гипотетико-дедуктивным, заключается
в том, чтобы выдвинуть гипотезу и провести экспери-
мент. который позволит опровергнуть ее. Если из i и-
потезы Н следует наблюдаемое следствие 0, которое
неизменно повторяется в лабораторных условиях, то Н
становится научным законом. Однако если мы не мо-
жем поочередно проверить все возможные ситуации,
в которых применима наша гипотеза, то мы никогда
не сможем быть уверенными в ее истинности. Чтобы
быть уверенными в том, что все лебеди - белые, нуж-
Философ Карл Поппер
в 1980-е годы.
но исследовать все уголки планеты, однако достаточно
увидеть всего одного черного лебедя, как это произошло с первыми поселенцами в Австралии,
чтобы опровергнуть гипотезу. Этот принцип известен под названием принципа фальсифициру-
емости и является не чем иным, как modus tollens: «Если гипотеза Н верна, то из нее следует
следствие 0. Так как мы наблюдаем противоположное 0, то гипотеза Н ложна».
Теперь, когда мы знаем, что такое аксиомы и правила вывода, мы можем дать
очные определения понятиям «теория», «доказательство» и «теорема», которые
:а предыдущих страницах более или менее соответствовали привычным представле-
[иям. Доказательство — это процесс, позволяющий получить новые результаты
[утем применения правил вывода к аксиомам. На практике доказательство пред-
тавляет собой конечную последовательность утверждений, или высказываний,
22
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
первое из которых обязательно должно быть аксиомой (в математике нет «чистых
листов»!), а каждое из последующих может быть либо аксиомой, либо выводиться
из предшествующих высказываний с помощью правил вывода. Последнее высказы-
вание доказательства называется теоремой. Теория — это множество аксиом, пра-
вил вывода и всех теорем, которые можно доказать с помощью этих правил на осно-
ве аксиом. В некоторых случаях вместо «теория» мы будем говорить «система ак-
сиом».
До сих пор центром нашего внимания была геометрия Евклида — теория, состо-
ящая из пяти постулатов «Начал», правил вывода, подобных утверждению «равные
одному и тому же равны и между собой», и всех теорем о кругах, треугольниках
и многоугольниках, которые только может представить себе читатель. Мы также
упомянули о неевклидовой геометрии, которая содержит первые четыре постулата
геометрии Евклида и отрицание пятого постулата (утверждение, согласно которо-
му через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести бесконечно много
прямых, параллельных данной). Однако настоящим главным героем этой книги яв-
ляется арифметика — теория, в которой рассматриваются числа, используемые при
счете и называемые натуральными.
Аксиомы арифметики
В свете всего вышесказанного для определения арифметики нужно прежде всего
найти ее аксиомы. В конце XIX века эти поиски занимали умы многих ученых, по-
скольку в первой половине столетия их мечтой было описать окружающий мир,
а во второй — точно определить, что же такое натуральные числа. А уже на основе
этих чисел нетрудно найти определение для других видов чисел, например отрица-
тельных или дробных: так, число —1 получается добавлением знака «минус» к на-
туральному числу 1 и используется, когда мы хотим указать на различие между дву-
мя направлениями, например на шкале термометра или при движении средств
на банковском счете. В свою очередь, 2/3 получается делением 2 на 3 и использу-
ется, когда одно число нельзя нацело разделить на другое. Но как определить числа,
не определяемые на основе других?
Ученые давали различные ответы на этот вопрос. Георг Кантор (1845—1918)
предложил определять натуральные числа как числа, описывающие количество эле-
ментов множества, однако, как вы увидите в следующей главе, это «лекарство»
только ухудшило положение «больного». Неудача Кантора, несомненно, обрадова-
ла его заклятого врага Леопольда Кронекера (1823—1891), для которого вопрос
23
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
об описании натуральных чисел был закрыт с формулировкой: «Бог создал нату-
ральные числа. Всё остальное — работа человека». Джузеппе Пеано (1858—1932)
был не настолько экзальтированным и предложил новую точку зрения, которую
впервые представил в 1889 году в книге под названием «Начала арифметики, из-
ложенные новым методом». До настоящего момента, рассуждал Пеано, предпри-
нимались попытки сначала определить натуральные числа, а затем найти аксиомы,
на основе которых можно было бы доказать теоремы. Почему бы не поступить на-
оборот? Сначала можно составить перечень аксиом, затем определить числа как
объекты, удовлетворяющие им, и, возможно, в числе этих объектов будут не только
привычные нам числа.
Обложка книги Джузеппе Пеано
«Начала арифметики, изложенные
новым методом».
Этот хитроумный шаг позволил Пеано возвести здание арифметики на основе
всего пяти аксиом, пятая из которых, известная как аксиома индукции, вновь ока-
залась немного сложнее остальных. В основу новой арифметики легли особое число
ноль и операция, ставящая в соответствие каждому натуральному числу другое, ко-
торое называется следующим за ним. Далее этот итальянский математик предложил
описать на этом языке натуральные числа как объекты, обладающие следующими
свойствами:
24
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
1) ноль есть натуральное число;
2) число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
3) ноль не следует ни за каким натуральным числом;
4) всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом;
5) если множество А содержит ноль и содержит следующее число для любо-
го числа, принадлежащего этому множеству, то А содержит все натуральные
числа.
Первая теорема, которую можно доказать на основе аксиом Пеано, гласит, что
единица отлична от нуля, однако сначала нужно объяснить, что такое «единица».
Внимательно изучив доказательство этой теоремы, можно получить представление
о том, как работать с аксиомами и правилами вывода. Как мы уже говорили, до-
казательство того, что единица отлична от нуля, обязательно должно начинаться
с аксиомы, каковой является аксиома Пеано: «число, следующее за натуральным,
тоже является натуральным» (1). Затем можно использовать другую аксиому или
высказывание, получаемое из предыдущих согласно логическому правилу вывода.
На этом шаге мы выберем аксиому, которая звучит так: «Ноль есть натуральное
число» (2). Теперь с помощью modus ponens из двух первых утверждений: «число,
следующее за натуральным, тоже является натуральным» и «ноль есть натуральное
число» — выведем третье высказывание доказательства: «существует число, сле-
дующее за нулем» (3). Для краткости будем называть это число единицей и будем
обозначать его 1. На этом шаге можно перезаписать аксиому № 3, заменив ее эк-
вивалентной формулировкой: «если число — ноль, то оно не является следующим
ни для какого числа» (4), и применить высказывание (3), которое мы уже доказали
выше и которое гласит: «следующее за нулем число есть единица». Использовав
modus tollens, получим: «Если число — ноль, оно не является следующим ни для ка-
кого числа. Единица — следующее за нулем число, следовательно, единица — это
не ноль». Именно так звучит наша теорема: «Единица отлична от нуля» (5).
Теперь, доказав, что ноль и единица — различные числа, мы можем задуматься:
образуют ли объекты, удовлетворяющие аксиомам Пеано, бесконечный ряд, иными
словами, существует ли бесконечно много натуральных чисел? Мы ведь знаем, что
каждое число отличается от всех предыдущих. Именно здесь крайне важна аксиома
индукции, которая позволяет доказывать теоремы обо зсех натуральных числах,
не рассматривая каждое из них конкретно. Чтобы понять, в чем заключается прин-
цип индукции, представьте себе числа как последовательность костяшек домино,
из которых мы выбрали несколько и подтолкнули их. Аксиома индукции подтверж-
25
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
дает ожидания читателя: если мы подтолкнем первую костяшку в ряду и если при
падении каждой костяшки будет падать следующая за ней, то после того как упадет
первая костяшка, упадут и все остальные.
После того как мы доказали, что существует натуральное число, отличное от нуля,
которое называется единицей, эти же рассуждения можно повторить и показать, что
существует еще одно число, отличное от нуля и единицы. И действительно, «число,
следующее за натуральным, тоже является натуральным» (1) и «единица есть на-
туральное число» (2). Применив modus ponens, получим, что «существует число,
следующее за единицей» (3). Это число мы назовем двойкой. Согласно аксиоме
№ 4, «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»
(4). Наша теорема гласит, что «ноль и единица — различные числа» (5), таким
образом, вновь применив modus ponens, имеем: «число, следующее за нулем, от-
личается от числа, следующего за единицей» (6), и этими числами, о которых идет
речь, являются единица и двойка. С другой стороны, двойка и ноль — различные
числа, так как двойка следует за единицей, а ноль не следует ни за каким натураль-
ным числом.
Если мы повторим эти же рассуждения, заменив единицу на двойку, то дока-
жем, что существует натуральное число, которое мы назовем «три» и которое от-
личается от всех уже упомянутых, то есть от нуля, единицы и двойки. Повторив
эти же рассуждения достаточное число раз, можно доказать, что конкретное число,
например 1729, отличается от следующего за ним и от всех предыдущих. Благодаря
аксиоме индукции, чтобы доказать утверждение «всякое натуральное число отлича-
ется от следующего», достаточно доказать, что единица отличается от нуля (иными
словами, что падает первая костяшка домино) и что это же утверждение верно для
произвольного конкретного числа и следующего за ним (другими словами, что при
падении костяшки домино падает и следующая за ней).
Читатель, дошедший до этих строк, усомнится, обязательно ли прибегать к та-
кому многословию, чтобы убедиться в элементарном, а именно в том, что два на-
туральных числа различны. И он будет совершенно прав, поскольку ни один отец
не станет таким способом объяснять сыну, что две карамельки в кармане не то же
самое, что всего одна. Однако логика описывает не рассуждения обычной жизни,
а способ, которым нужно рассуждать, чтобы гарантированно прийти к истинному
заключению. Мы избавили термины «ноль», «число» и «следующее» от всех ин-
туитивно понятных значений, сведя их к абстрактным понятиям, связанным между
собой посредством аксиом и правил вывода.
26
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
Чего мы ожидаем от аксиом
Благодаря новой концепции аксиом и доказательств, те теории, в которых немногие
очевидные истины занимали привилегированное положение, стали более демокра-
тичными системами. В этих системах любые высказывания могут быть названы ак-
сиомами. Однако это верно лишь априори, поскольку неразумно допускать, чтобы
грудной ребенок был избран премьер-министром, и столь же неразумно выбирать
аксиомы совершенно произвольно. Подобные ограничения никак не умаляют полез-
ность и аксиоматических теорий. Евклид четко понимал, как следует выбрать аксио-
мы, но когда использовать повседневный опыт оказалось невозможно, пришлось
определить формальные критерии корректности аксиом: непротиворечивость, ре-
курсивную перечислимость и полноту.
Чтобы объяснить, что означает непротиворечивость системы аксиом, немного
пофантазируем о технологиях будущего. Мы легко можем предположить, что через
сто лет группа ученых создаст всеразрушающий снаряд, способный в мгновение ока
уничтожить любой предмет. Мы также можем представить, что, создав новые спла-
вы, другая группа ученых спроектирует самолет, неуязвимый для любого оружия.
Каждое из этих утверждений вполне допустимо, например, в научно-фантастиче-
ском фильме, однако в сценарии вряд ли обе эти гипотезы будут выполняться одно-
временно, поскольку если кто-то выстрелит всеразрушающим снарядом по неуязви-
мому самолету, мы столкнемся с парадоксом.
В общем случае говорят, что множество аксиом является непротиворечивым,
если оно не порождает противоречий, то есть если из него нельзя вывести некоторое
высказывание и его отрицание одновременно. Так, аксиомы «существует всеразру-
шающий снаряд» и «существует неуязвимый самолет» противоречивы, так как
из первой следует, что при ударе снаряда самолет разрушится, а из второй — что
самолет останется неповрежденным. Требование непротиворечивости — минималь-
ное требование к аксиомам, но проблема заключается в том, что гарантировать
непротиворечивость системы аксиом часто можно только с помощью более сложных
теорий, непротиворечивость которых ста »ит больше вопросов, чем ответов. Эта ги-
гантская черепаха, которая стоит на другой черепахе, та — на третьей и т. д. до бес-
27
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
В ПРОТИВОРЕЧИВОЙ СИСТЕМЕ АКСИОМ
ЛЮБОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ - ТЕОРЕМА
Допустим, что мы хотим доказать истинность высказывания Q. Так как система аксиом противо-
речива, существует теорема Р, отрицание которой, не-Р, также будет теоремой. Это означает, что
можно найти доказательства Р и не-Р. Как мы уже говорили, когда речь шла о правилах выво-
да, заключение «Если Р и не-Р, то Q» является корректным, так как исходные посылки никогда
не выполняются одновременно. Так как в противоречивой системе аксиом Р и не-Р - теоремы,
объединив правило вывода «Если Р и не-Р, то Q» и доказательства Р и не-Р, с помощью modus
ponens можно показать, что Q - теорема. Иными словами, сколь бы невероятным это ни каза-
лось, в мире, где ноль равен единице и одновременно отличается от нее, вы - мой отец (даже
если вы - женщина). Ex contradictione... - из противоречия следует все что угодно.
конечности, будет одним из чудовищ, с которым придется сразиться героям нашей
истории.
Чтобы объяснить понятие полноты, оставим в стороне научную фантастику
и воспользуемся примером, который мне подсказало одно из произведений арген-
тинского писателя Гильермо Мартинеса. Представьте, что в закрытой комнате со-
вершено убийство. Прибыв на место преступления, полиция обнаруживает рядом
с трупом двух подозреваемых. Каждому из них известна вся правда о том, кто же
убийца. Тем не менее если подозреваемые не признаются, полицейским придется
начать поиски отпечатков пальцев, следов Днк и любых других косвенных до-
казательств, которые позволят вынести обвинение. Если же эти поиски ни к чему
не приведут, то подозреваемые будут выпущены на свободу.
Или: после тяжелого рабочего дня полицейские отправляются в бар, чтобы рас-
слабиться. Один из них только что поступил на службу, и остальные едва знакомы
с ним. Судя по тому, что он рассказывает сослуживцам, он родился в Саламанке,
затем его семья сразу же переехала в Барселону, потому что его родители хотели
жить у моря. При этом его коллеги не могут понять, женат он или нет. Нет сомнений
в том, что на этот вопрос существует только один правильный ответ.
Из обеих ситуаций понятно, что довольно часто «истинное» не означает «дока-
зуемое». Именно это имеют в виду логики, когда говорят о неполноте системы акси-
ом. В идеале все истинные утверждения о некоторых объектах можно доказать
28
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
на основе нескольких аксиом. Но, как правило, теория содержит высказывания,
которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, — такие высказывания называются
неразрешимыми. Опровергнуть высказывание означает доказать его отрицание: на-
пример, опровергнуть высказывание «все лебеди белые», которое мы уже упомина-
ли, означает доказать, что «существует лебедь не белого цвета». Полные теории —
это теории, которые не содержат неразрешимых высказываний, или, что аналогич-
но, это системы аксиом, в которых для произвольного высказывания можно дока-
зать или это высказывание, или обратное ему. Внимательный читатель уже заметил,
что во втором определении полноты расплывчатое понятие «истина» заменено по-
нятием «доказательство». Так удалось разрешить некоторые из парадоксов, кото-
рые издавна волновали философов.
С большинством математических теорий дело обстоит так же, как в нашем пер-
вом примере: никто не может однозначно ответить, виновны подозреваемые или
нет. Но не удивляйтесь, когда мы скажем, что всегда можно выбрать аксиомы так,
чтобы теория была полной: для этого система аксиом должна содержать все ис-
тинные высказывания. В этом случае все доказательства будут выполняться в одну
строчку, так как всё, что мы захотим доказать, уже будет аксиомой. Почему бы нам
не поступить именно так, ведь полные теории — это настоящий рай для логиков?
Всё доказуемое будет совпадать с истинным, а доказательства будут максимально
короткими. Однако множество всех возможных истинных высказываний слишком
велико, чтобы его можно было выбрать в качестве множества аксиом. Нас инте-
ресует не столько длина доказательств, сколько возможность проверить их кор-
ректность каким-либо автоматическим методом. Так как в доказательстве каждое
утверждение является либо аксиомой, либо выводится из предыдущих с помощью
правил, чтобы узнать, доказывает ли перечень высказываний некоторую теорему,
мы должны иметь возможность подтвердить, что некоторое высказывание является
аксиомой. И если мы включим в систему слишком много аксиом, подобная проверка
потребует бесконечно много времени.
Система аксиом называется рекурсивно перечислимой, когда подобного не про-
исходит, то есть когда за конечное число шагов можно доказать, является ли произ-
вольное утверждение аксиомой. Критерий рекурсивной перечислимости становится
препятствием на пути «жадного» логика, который хочет доказать все больше и боль-
ше теорем, не позволяя добавить к системе все необходимые аксиомы. Разумеется,
рекурсивно перечислимыми являются системы аксиом геометрии и арифметики,
а также, в общем случае, все системы, содержащие конечное число аксиом. Также
существуют рекурсивно перечислимые системы с бесконечным множеством аксиом,
29
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
поскольку основной особенностью таких систем является не число аксиом, а то, что
корректность любого доказательства, составленного на их основе, можно подтвер-
дить за конечное число действий.
РАЗРЕШИМАЯ СИСТЕМА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ АКСИОМ
Одну из возможных рекурсивно перечислимых систем с бесконечным числом аксиом можно
получить, если развернуть одну из аксиом Пеано в бесконечное число утверждений. Аксиому
«О не следует ни за каким натуральным числом» можно считать сжатой формой множества вы-
сказываний: «О не следует за нулем», «О не следует за единицей», «О не следует за двойкой»
и т. д. до бесконечности. Предположим, что мы хотим определить, является ли некоторое вы-
сказывание одной из этих аксиом. Разумеется, оно будет принадлежать приведенному выше
списку, если будет начинаться со слов «О не следует за...», а далее будет указано некоторое
число. Напомним, что «единица» в действительности означает «число, следующее за нулем»,
«два» - «число, следующее за числом, следующим за нулем» и т. д. Нам останется только под-
считать, сколько раз в нашем высказывании встречается слово «следующее». Следовательно,
рассматриваемая нами система аксиом является рекурсивно перечислимой.
Подведем итог. Аксиоматический метод появился примерно в 300 году до н. э.,
с написанием «Начал». Евклид считал, что аксиомы являются очевидными истина-
ми, соответствующими нашим представлениям о предметах в физическом мире, од-
нако открытие новых геометрий в середине XIX века покончило с этим реалистиче-
ским подходом. С того времени аксиомами называются всего лишь высказывания,
выбранные из соображений удобства в качестве основы математической теории.
Когда мы применяем к аксиомам определенные правила вывода, например modus
ponens или modus tollens, мы получаем новые истинные высказывания, которые
в математике называются теоремами. Истинность теорем определяется доказатель-
ствами — конечными последовательностями высказываний, первым из которых
является аксиома, следующими — либо аксиомы, либо утверждения, полученные
из предыдущих по правилам вывода. Теория представляет собой множество аксиом,
правил вывода и всех теорем, которые можно доказать с помощью этих правил
на основе аксиом.
Логика — раздел математики, занимающийся изучением теорий в абстрактном
виде. Поэтому любая система аксиом вызывает у логика интерес не своим содержа-
нием, а тем, соответствует ли она трем свойствам: непротиворечивости, рекурсивной
перечислимости и полноте. Первое свойство гарантирует, что теория не содержит
30
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД
противоречий, и это необходимый минимум, позволяющий построить математиче-
ское здание. Рекурсивная перечислимость означает, что теория не содержит слиш-
ком много аксиом — иначе возникнет ситуация, когда мы не сможем определить,
является ли данное доказательство истинным. Наконец, полнота теории означает,
что ее аксиом достаточно для вывода всех истинных утверждений в области, к кото-
рой она относится. Иными словами, в такой теории можно доказать или опровер-
гнуть любое утверждение формальными методами.
В следующей главе мы рассмотрим ряд парадоксов, которые в конце XIX сто-
летия пошатнули тысячелетние основы математики. К счастью, вскоре были пред-
ложены различные решения, для которых кажущейся непротиворечивости аксиом
было недостаточно — ее еще нужно было доказать. Об этой формалистской про-
грамме мы поговорим в главе 3. Затем мы расскажем об одном из прекраснейших
элементов логики — теореме Гёделя о неполноте, которая определяет равновесие
между непротиворечивостью, полнотой и рекурсивной перечислимостью.
31
Глава 2
Парадоксы
Парадокс есть сама страсть мыслителя.
Сёрен Кьеркегор
Хотя родители юного Бертрана Рассела в своем завещании указали, что их младший
сын должен воспитываться на тех принципах, во имя которых они сражались во вре-
мена викторианской Англии, бабушка со стороны отца не допустила, чтобы этот
мальчик с умными глазами стал атеистом. Ребенка передали воспитательницам, ко-
торые в классическом духе обучали Бертрана религии и иностранным языкам, бла-
годаря чему юный аристократ в совершенстве овладел французским, немецким
и итальянским и несколькими годами позже смог с легкостью путешествовать
по всему миру. Однако в те далекие дни юности Бертран думал лишь о замыслова-
тых греческих символах, которые так подходили для того, чтобы выразить его пе-
чальные мысли о самом себе и о выпавшей ему доле.
Меланхолию не развеяло даже поступление в академию города Саутгейт для
подготовки ко вступительным экзаменам в Кембриджский университет. Рассел на-
деялся, что общение со сверстниками ему поможет, он представлял себе идилличе-
ские картины, в которых он читал великих английских поэтов и обсуждал их твор-
чество с другими учениками или спорил до рассвета о занимавших его философских
проблемах. В действительности его ждала группа молодых людей, которые думали
только о выпивке и волочились за женщинами, а женщины при каждом удобном
случае смеялись над робким впечатлительным юношей. Подобно романтическим
героям, Бертран многие вечера провел, гуляя по тропинкам Саутгейта, любуясь за-
катом и думая о самоубийстве.
Он не сделал этот последний шаг не потому, что ему не хватило духа, а потому,
что когда Бертрану было И лет, его брат Фрэнк открыл ему врата рая, который стал
для него настоящим спасением и о котором еще столько предстояло узнать. Знаком-
ство юного Рассела с райским садом «Начал» Евклида, к которым он обращался
33
ПАРАДОКСЫ
Бертран Рассел в 1893 году в возрасте 21 года,
удостоенный степени бакалавра математики
кембриджского Тринити-колледжа.
всякий раз, когда враждебный мир делался невыносимым, было подобно первой
любви. Однако счастье Бертрана было неполным — хотя, по рассказам, греческий
мудрец доказал все, каждый, кто открывал страницы этой книги, должен был при-
нять на веру следующее утверждение: «Точка есть то, что не имеет частей».
А если бы она имела части? «От всякой точки до всякой точки можно провести пря-
мую». А если нельзя? Бертран неохотно прислушался к совету брата, говорившего,
что если не принять аксиомы на веру, обучение продолжить нельзя.
Прошло время, и спустя 12 лет после приезда в Олд-Саутгейт Бертран снова
оказался в тупике — как в те моменты, когда он думал о самоубийстве. За эти 12 лет
успело произойти многое: он получил степень по математике и философии в Кем-
бриджском университете, где тайное общество лучших студентов, называвшее себя
«Апостолами», наконец подарило ему тысячи часов бесед, которые он надеялся най-
34
ПАРАДОКСЫ
ти во время учебы. Он успел совершить путешествие, опубликовать первые книги
о немецкой социал-демократии и основах геометрии и сочетаться браком с Элис
Пирсолл — дочерью американских квакеров. Основным занятием Рассела остава-
лась математика, а его целью было свести аксиомы геометрии к законам логики, что-
бы никакое утверждение больше не требовалось принимать на веру.
Попытавшись вывести из логики всю математику, Бертран столкнулся с проти-
воречием, которым на первый взгляд казалась одна из задачек вида «Может ли
мужчина жениться на сестре своей вдовы?». Чтобы увидеть, в чем заключается под-
вох, достаточно проанализировать значение каждого понятия. Однако разрешение
противоречия, которое волновало Рассела, требовало гораздо больших усилий: два
лета подряд он день за днем глядел на чистый лист бумаги, утро сменялось полу-
днем, наступал вечер, а лист по-прежнему был чистым, и в конце концов он пришел
к мысли о том, что не существует множества всех множеств, которые не содержат
сами себя.
Теория множеств
Чтобы понять, в чем заключается парадокс, который положил конец счастливой
и спокойной жизни Бертрана Рассела, сначала в нескольких словах опишем основы
теории множеств. В предыдущей главе мы хотели показать, что основы аксиомати-
ческого метода можно встретить уже в «Началах», однако для Евклида аксиомы
были очевидными истинами, а не исходными утверждениями, выбранными из сооб-
ражений удобства. Со временем языка Евклида оказалось недостаточно для изло-
жения новых математических идей. Доказать сложные теоремы XIX века исключи-
тельно с помощью слов и фигур было так же сложно, как сегодня перевести на один
из мертвых языков инструкцию для iPhone.
Постепенно математическая нотация становилась все более символической: была
введена форма, пригодная не только для записи рядов, производных и интегра-
лов, — благодаря работам английского математика Джорджа Буля (1815—1864)
стало возможным записывать в виде уравнений логические высказывания. Геоме-
трия изучает фигуры в пространстве, арифметика — числа, математический ана-
лиз — средства, необходимые для формализации физических законов, алгебра —
уравнения. Можно ли найти язык, общий для всех этих дисциплин, который сде-
лал бы очевидным их единство?
35
ПАРАДОКСЫ
БУЛЕВА АЛГЕБРА
Джордж Буль, один из прародителей
вычислительной алгебры.
Джордж Буль был первым, кто провел аналогию между
логическими связками «и» и «или» и операциями ум-
ножения и сложения в алгебре. Он также ввел обо-
значения 0 («ложь») и 1 («истина») для двух значений
логических переменных. Перед тем как рассмотреть
пример, напомним, что при умножении чисел резуль-
тат равняется нулю только тогда, когда одно из этих
чисел равно нулю.
Допустим, что мы хотим перевести на язык алгебры
высказывание «Все люди смертны».
Буль предложил обозначить через р значение ис-
тинности высказывания «быть человеком», за q -
значение высказывания «быть смертным». Этот хи-
троумный прием позволяет свести содержание фразы
к уравнению р • (1 - q) = 0.
Так, если некто является человеком, то р принимает значение истинности 1 («истина»).
Уравнение гласит, что произведение чисел р и (1 - q) равно нулю. Так как р отлично от нуля,
то 1 - q должно равняться нулю. Однако это означает, что q равно 1 («истина»), то есть что
человек смертен.
Размышляя о проблеме, которая изначально не имела ничего общего с этим
скорее философским, нежели математическим вопросом, Георг Кантор в период
с 1878 по 1884 год считал, что нашел ответ в теории множеств. На интуитивном
уровне множество определяется как совокупность объектов: мы говорим о множе-
стве животных, множестве парков Парижа или множестве читателей этой книги.
Эти совокупности можно определить, перечислив все входящие в них элементы либо
указав нечто общее для этих элементов. Так, множество натуральных чисел (напом-
ним, что натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете) — это
не что иное, как множество N = {0, 1, 2, 3 ...}. Если бы мы хотели рассмотреть
только четные числа, то записали бы 2N = {0, 2, 4, 6 ...} или 2N = {n Е N | п крат-
но 2}, где символ Е обозначает «принадлежит», а вертикальная черта | — «такое,
что». Мы указали не список элементов множества, а правило его определения, так
как в этом случае мы рассматриваем подмножество натуральных чисел, обладающее
свойством делимости на два.
36
ПАРАДОКСЫ
Едва начав работу, Кантор осознал, что в его новой теории рассматривались
одновременно два объекта совершенно разной природы: конечные и бесконечные
множества. По сути задача о нахождении числа элементов множества (математики
называют его кардинальным числом, или мощностью множества) имеет разные ре-
шения в зависимости от того, конечное или бесконечное множество мы рассматри-
ваем. Представим очень простую ситуацию: допустим, мы хотим узнать, имеют ли
два конечных множества одно и то же кардинальное число, например равно ли чис-
ло букв в слове «нахальство» числу цветов радуги. Очевидный метод заключается
в том, чтобы подсчитать элементы каждого множества и сравнить результаты: так
как в слове Н-А-Х-А-Л-Ь-С-Т-В-О десять букв, а в радуге семь цветов (крас-
ный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый), то эти два мно-
жества содержат разное число элементов. Но что произойдет, если мы применим
этот же метод к двум бесконечным множествам? В этом случае необходимо либо
считать, что все бесконечные множества обладают одинаковым кардинальным чис-
лом и поставить на этом точку, либо использовать какой-то другой метод.
Вернемся к конечным множествам и посмотрим, что произойдет, если мы будем
не рассматривать две совокупности по отдельности, а станем по очереди извлекать
из них по одному элементу: начнем с буквы Н и красного цвета и т. д., пока не дойдем
до буквы С, которой соответствует фиолетовый цвет. В этот момент одно из двух
множеств уже «закончилось», а в другом осталось еще три элемента — буквы Т,
В и О, следовательно, кардинальное число этого множества больше. Операция, ко-
торую мы попытались проделать, в математике называется установлением биекции
между двумя множествами и означает присвоение каждому элементу множества X
элемента другого множества Y «один к одному» так, что выполняются следующие
условия.
1. Не существует двух элементов X таких, которым соответствует один и тот же
элемент Y.
2. Каждому элементу Y соответствует какой-либо элемент множества X.
Таким образом, используя введенную нами терминологию, можно сказать, что
кардинальные числа двух множеств равны, если между ними можно установить би-
екцию. Нетрудно показать, что установить биекцию между двумя конечными мно-
жествами с разным числом элементов нельзя, так как либо несколько элементов X
будут поставлены в соответствие одному и тому же элементу У, либо какой-то эле-
мент У останется без пары.
37
ПАРАДОКСЫ
Рис. 1
Три примера отображения конечных множеств, лишь одно из которых (см. рис. 3)
является биекцией, так как на рис. 1 двум элементам первого множества
сопоставлен один элемент второго, а на рис. 2 один из элементов
исходного множества остался без пары.
Преимущество этого подхода в том, что его можно применить к бесконечным
множествам. Таким образом, будем говорить, что кардинальные числа двух мно-
жеств равны, если между множествами можно установить биекцию. Первое след-
ствие этого, возможно, удивит читателя: существует столько же четных чисел,
сколько четных и нечетных, вместе взятых. Как такое возможно? Для доказатель-
ства этого весьма неочевидного утверждения достаточно определить биекцию меж-
ду натуральными и четными числами. Сопоставим 0 и 0, 1 и 2, 2 и 4, а произволь-
ному п сопоставим число, в два раза большее него. При таком отображении различ-
ным числам всегда будут соответствовать разные числа, и любое четное число будет
сопоставлено с числом, в два раза меньшим его. Так как оба свойства биекции вы-
полняются, это означает, что существует столько же четных чисел, сколько и нату-
ральных!
Переформулируем этот результат: «В отеле с бесконечным количеством комнат
всегда найдется место для новых постояльцев, даже если все номера заняты». В са-
мом деле, в гостиницах с конечным количеством номеров, где нет свободных мест,
вам в лучшем случае подскажут, где находится ближайший отель. Но в гостиницах
с бесконечным количеством номеров этого не происходит: так как в них столько же
комнат, сколько комнат с четными номерами, можно использовать составленную
нами биекцию и переселить постояльца из первого номера во второй, из второго —
в четвертый и т. д., таким образом все комнаты с нечетными номерами окажутся
свободными. И мы можем найти комнату для бесконечного числа путешественни-
ков. Возможно, владельцам отелей стоит взять это на заметку.
Существование подобных гостиниц, которые невозможно заполнить, — это
не просто любопытный факт, связанный с четными числами, а основное свойство
38
ПАРАДОКСЫ
бесконечных множеств, как заметил Рихард Дедекинд в своей статье «Что такое
числа и для чего они служат», опубликованной в 1888 году. Множество является
бесконечным, если можно определить биекцию между ним и его частью. Очевидно,
что с конечными множествами подобное невозможно, так как часть конечного мно-
жества не может быть поставлена в соответствие целому (как мы говорили выше,
между двумя конечными множествами, число элементов которых равно тип со-
ответственно, можно установить биекцию только при т — п). Тем не менее нату-
ральных чисел бесконечно много, так как часть этого множества, строго включенная
в него, то есть множество четных чисел, имеет то же кардинальное число, что и все
множество в целом. Следовательно, новое определение соответствует рассуждени-
ям, основанным на аксиомах Пеано, с помощью которых мы в предыдущей главе до-
казали, что натуральных чисел бесконечно много. Однако множество натуральных
чисел — это наименьшее бесконечное множество из всех, что можно представить.
Поэтому все множества, для которых можно установить биекцию со множеством
натуральных чисел, называются счетными множествами, а их кардинальное число
обозначается буквой алеф — первой буквой еврейского алфавита. Индекс указыва-
ет, что речь идет о наименьшем кардинальном числе: ^0.
Счетность множества означает, что между множеством X и множеством нату-
ральных чисел можно установить биекцию. Так, каждому натуральному п можно
поставить в соответствие элемент этого множества, который мы обозначим через хп,
так, что если пит различны, то хп и хт также различны. С другой стороны, все
элементы X можно записать в виде хп для некоторого п. Когда дети идут на экскур-
сию с классом, учитель иногда присваивает им номера, чтобы никто не потерялся.
Перед тем как сесть в автобус, каждый ученик громко выкрикивает свой номер:
пе-е-ервый!, второ-о-ой!, тре-е-етий! Каждый ученик имеет свой номер, и ни один
из номеров не повторяется. Элементы счетных множеств также имеют свои поряд-
ковые номера: «пе-е-ервый!» — это хг «второ-о-ой!» — х2. Счетные множества —
это множества, элементы которых можно выстроить в ряд. Мы показали, что мно-
жество четных чисел является счетным, так как их можно упорядочить: 0, 2, 4, 6, 8,
10... Это же справедливо и для положительных и отрицательных чисел, так как
можно, начав с нуля, называть их поочередно: 0, 1, —1, 2, —2.
Элементы любого ли множества можно выстроить в ряд? Если это так, то все
множества будут счетными, и мы придем к тому же, с чего начали, когда использо-
вали примитивный метод подсчета элементов множества. Однако пусть читатель
не беспокоится: одним из величайших достижений Георга Кантора стало открытие
множеств, которые не являются счетными. Пусть дано множество, образованное
39
ПАРАДОКСЫ
бесконечными последовательностями нулей и единиц, то есть объектами вида
0100100010... или 1100101001... Покажем, что если мы будем считать это множе-
ство счетным, то придем к противоречию. В самом деле, если бы это множество
было счетным, мы могли бы записать все его элементы в виде списка следующим
образом:
первый элемент
второй элемент
третий элемент
Напомним, что а , b и с принимают только значения 0 и 1. Составим элемент,
который будет принадлежать к множеству бесконечных последовательностей ну-
лей и единиц и при этом не будет упомянут в нашем списке. Для этого рассмотрим
элементы, расположенные по диагонали и обведенные рамкой Рассмотрим а0: если
этот элемент равен 0, начнем нашу последовательность с 1, и наоборот. Так мы опре-
делим первый член нашей последовательности. Перейдем к Ь^: если этот элемент
равен 0, то вторым членом нашей последовательности будет 1. Если же, напротив,
этот элемент равен 1, то вторым членом последовательности будет 0. В общем слу-
чае для определения n-го члена нашей последовательности мы будем рассматривать
соответствующий элемент на диагонали и записывать противоположное ему зна-
чение. Таким образом, мы получим последовательность, все члены которой будут
иметь значение 0 или 1, следовательно, эта последовательность будет принадлежать
к рассматриваемому множеству. Например, если наш список будет начинаться так:
первый элемент -> 0 1 0 0
второй элемент -> 1 Е 0 0
третий элемент -> 0 0 ш 1
то первыми членами составленной нами последовательности будут 1, 0, 0. Так как
этот метод составления последовательности нулей и единиц заключается в измене-
нии значений элементов, расположенных по диагонали, он называется диагональ-
ным методом. Здесь мы хотим показать, что последовательность, полученная диа-
гональным методом, является элементом рассматриваемого множества, однако
40
ПАРАДОКСЫ
не фигурирует в гипотетическом списке всех элементов этого множества. И дей-
ствительно, наша последовательность не может быть первой последовательностью
из списка, так как их первые члены отличаются. Она не может быть и второй по-
следовательностью, так как мы изменили ее второй член, она не может быть ни тре-
тьей, ни четвертой: каждая последовательность из списка будет отличаться от со-
ставленной нами как минимум одним элементом — этот элемент будет располагать-
ся на диагонали. Мы предположили, что множество последовательностей нулей
и единиц счетное, то есть все его элементы можно представить в виде списка, и по-
лучили противоречие. Это доказывает, что наше множество не является счетным!
Мы посвятили несколько страниц объяснению основных понятий теории мно-
жеств не только для того, чтобы даже сформулировать парадокс Рассела. Доказа-
тельство того, что множество последовательностей нулей и единиц не является счет-
ным, читатель может счесть не более чем виртуозным упражнением, однако оно
позволит нам показать в главе 5, что существуют задачи, с которыми не могут спра-
виться даже компьютеры, и установить пределы «сну разума», о котором говорится
в названии этой книги. Мы также надеемся, что смогли продемонстрировать читате-
лю, сколько тайн встречается тем, кто путешествует по миру бесконечных множеств.
ПРЕПОДАВАНИЕ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ В ШКОЛЕ
В 70-е годы группа последователей француз-
ской математической группы Бурбаки, кото-
рые, однако, в большинстве своем не были ма-
тематиками, захотели ввести теорию множеств
в курс начальных школ Европы. В этой учебной
программе натуральные числа объяснялись
как кардинальные числа конечных множеств.
0 определялся как кардинальное число пусто-
го множества, а сложение 2 и 3 объяснялось
Диаграммы Венна — наиболее типичный
способ представления множеств.
как объединение множества из 2 элементов
с другим множеством из 3 элементов, при этом
не важно, что результат будет юозначаться 5,
важно, что 2 + 3 - 3 + 2, так как не имеет значе-
ния, в каком порядке мы будем объединять элементы множеств. Как рассказывал Пьер Картье,
вто время бывший секретарем группы Бурбаки, в результате этой политики в сфере образова-
ния дети возвращались из школы домой и плакали: «Мама, я не хочу быть множеством».
41
ПАРАДОКСЫ
Парадокс Рассела
Бертран Рассел познакомился с теорией множеств в 1896 году. Ему было довольно
трудно принять ее: автор книги, из которой Рассел узнал о существовании этой тео-
рии, входил в число тех, кто считал, что теория Кантора была недостаточно строгой,
и уподоблял ее теологии, а Рассел в этот период стремился к максимальной научной
строгости. Однако позднее он понял, что многие обвинения в адрес Кантора были
необоснованными, и включил идеи этого немецкого математика в последнее издание
«Начал математики», вышедшее в мае 1903 года. Знакомясь с новой литературой,
чтобы дополнить последнее издание книги, Рассел открыл для себя труд Готлоба
Фреге, который предвосхитил многие из его открытий, опередив Рассела на 20 лет.
Понять, что Фреге и Рассел вели речь об одном и том же, было не всегда просто:
сложный символический язык Фреге, подобный нотной партитуре современной му-
зыки, не имел ничего общего с простой и понятной нотацией, которую Рассел пере-
нял у Пеано.
Подробно изучив «Исчисление понятий» (Begriffsschrift) — книгу, в которой
Фреге впервые изложил результаты своих исследований, — Рассел начал задумы-
ваться о множестве всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Множество
Гзтлоб Фреге — создатель математической логики.
42
ПАРАДОКСЫ
Страница «Исчисления понятий» Гзтлоба Фреге.
всех котов определенно не является котом, однако множество всего, что только
можно себе представить, также можно представить. О таких множествах мы гово-
рим, что они принадлежат сами себе.
Конечно, это определение несколько расплывчато, поэтому давайте одним махом
разберемся со всеми множествами такого типа. Обозначим через R (по первой бук-
ве фамилии Рассела) множество всех множеств, которые не содержат сами себя
в качестве своего элемента: к R будет принадлежать множество котов, столов и все
совокупности предметов, не содержащие сами себя. И все будет в порядке, пока мы
не пересекаем границу, отделяющую R от остальных множеств.
43
ПАРАДОКСЫ
Рис. 1
Рис. 2
Различие между множеством всех котов, которое не является котом (рис. 1),
и множеством всего, что только можно себе представить, которое также можно себе представить
(рис. 2). (Источник: Умберто Эко, Vertige de la liste, Париж, издательство Flammarion, 2009, стр. 396).
Парадокс возникает, когда мы задаемся вопросом, по какую сторону этой вооб-
ражаемой границы находится само R: любой ответ на этот вопрос приведет к проти-
воречию. Предположим, что множество R принадлежит само себе. Тогда R облада-
ет свойством, которое мы хотели устранить, следовательно, оно не может принад-
лежать к множеству всех множеств, которые не принадлежат самим себе. Но что
это за множество? Это вновь множество Л! Следовательно, если R принадлежит
само себе, то R не принадлежит само себе. Пока что все в порядке: может случить-
ся, что R не принадлежит само себе и, исходя из этой гипотезы, мы не придем к про-
тиворечию. Посмотрим, что произойдет, если мы будем считать, что R не принад-
лежит само себе. В этом случае R будет обладать свойством, которое определяет
множество всех множеств, не принадлежащих самим себе, следовательно, R будет
принадлежать этому множеству. Иными словами, если R не принадлежит само себе,
то R принадлежит само себе. Оба этих вывода нарушают основной принцип, вос-
ходящий к трудам философа Парменида, который в своей дидактической поэме
«О природе» показал, что нет промежуточных путей между бытием и небытием.
Математическая формулировка этого принципа гласит, что элемент либо принадле-
жит множеству, либо нет. Так как любой третий вариант исключен, в математике
этот принцип называется законом исключенного третьего.
Чтобы объяснить свой парадокс простыми словами, Рассел описал город, где
по закону брадобрей должен брить только тех, кто не бреет себя сам. Мы заменили
свойство «принадлежать самому себе» на «бриться самому», и теперь в роли множе-
ства R будет выступать брадобрей. В этой версии парадокса возникает вопрос: кто
бреет брадобрея? Если он бреет себя сам, то принадлежит к числу тех, кого по за-
кону ему брить нельзя. Если же он не бреет себя сам, то по закону он должен брить
себя сам. Что бы они ни делал, он окажется в тюрьме, где, возможно, некий логик
44
ПАРАДОКСЫ
попытается убедить его, что провести несколько лет в тюрьме всегда лучше, чем
столкнуться с противоречием, которое ставит под сомнение правильность всей мате-
матики двух тысячелетий.
В другой версии парадокса брадобрей заменен на библиотекаря, которому нужно
навести порядок в библиотеке — такой большой, что для нее требуется каталог, со-
держащий все каталоги. Кто-то предложил, что было бы неплохо отделить каталоги,
которые содержат ссылки на самих себя, от каталогов, которые не содержат таких
ссылок. Это предложение понравилось библиотекарю, и он принялся за работу.
В течение многих лет он работал днями и ночами, и вот, когда он осмотрел одну
за другой все полки, ему осталось решить, куда следует поместить объемистый ка-
талог, в составление которого он вложил столько сил. Если этот каталог содержит
ссылку на самого себя, его нельзя включить в каталог всех каталогов, которые не со-
держат ссылку на себя. Если, напротив, этот каталог не содержит ссылки на себя
самого, его нужно включить в каталог всех каталогов, которые не содержат ссылку
на себя. Если он принадлежит к такому каталогу, то не принадлежит ему, и наобо-
рот. Лишь в этот момент библиотекарь понял, что все его труды оказались напрас-
ными: предложенный критерий не позволит составить полную классификацию.
Столкнувшись с этим парадоксом, Рассел написал письмо Фреге, который
в то время вносил правки в доказательства второго тома своего главного труда —
«Основные законы арифметики». В него Фреге включил аксиому, благодаря кото-
рой стало возможным сформировать множество всех объектов, обладающих свой-
ством Р, однако Рассел открыл, что если эту аксиому применить к самому свойству
Р = «принадлежать самому себе», то это приведет к противоречию: множество R
всех множеств, которые не принадлежат сами себе, нарушает закон исключенного
третьего. Обескураженный этим открытием, Фреге, с присущей ему скрупулезно-
стью, добавил к книге предисловие, в котором признался: «С автором не может про-
изойти ничего более печального, чем, закончив свой труд, увидеть, как рушится одна
из основ выстроенного им здания». Затем он предложил видоизменить эту аксиому,
однако ее новый вариант не согласовывался с остальной системой аксиом, поэтому
решения парадокса Рассела пришлось ждать несколько лет.
В период с 1906 по 1908 год Рассел нашел простое решение парадокса, на осно-
ве которого сформулировал теорию типов. До этого он занимался решением онтоло-
гической задачи, предметом которой были описания вида «наибольшее натуральное
число» или «нынешний король Франции», которые, будучи грамматически коррект-
ными, не описывают никакой конкретный объект. В случае с «множеством всех мно-
жеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента» дело обстоит еще
45
ПАРАДОКСЫ
РАССЕЛ О ФРЕГЕ
В письме к историку математической логики Жану ван Хейенорту от 23 ноября 1962 года Рас-
сел так отзывался о Фреге:
«Когда я думаю о благородстве и честности, то понимаю, что не знаком ни с кем, кто
мог бы сравниться с Фреге в стремлении к поиску истины. Фреге заканчивал труд всей
своей жизни, большая часть его трудов была проигнорирована, а предпочтение было
отдано людям бесконечно менее компетентным, чем он. Второй том уже был готов к пу-
бликации, и когда Фреге понял, что его фундаментальная гипотеза была ошибочной,
он отреагировал на это с интеллектуальным удовольствием, подавив всякое разочаро-
вание. Это было чем-то почти сверхчеловеческим и являло собой признак того, на что
способны люди, которые посвятили себя творчеству и знанию, а не отчаянной погоне
за властью и славой».
хуже: это множество не просто не существует, но даже его описание не является
корректным. Оно равносильно высказыванию «Франция в период правления ны-
нешнего короля» или «наибольшее натуральное число».
В простейшем варианте теории Рассела каждому математическому объекту мож-
но присвоить число в зависимости от его сложности: элементы имеют тип 0, множе-
ства элементов — тип 1, множества множеств элементов — тип 2 и т. д. Например,
если рассмотреть натуральные числа, то число 8 будет иметь тип 0, множество Р
всех четных чисел и множество / всех нечетных чисел — тип 1, а множество {Р, 1}
будет иметь уже тип 2, так как его элементы будут иметь тип 1. После того как всем
объектам присвоены типы, устанавливается нерушимое правило: для объекта типа п
можно задать отношение принадлежности только к объекту типа п + 1. Выражение
«число 8 четное» является корректным, так как 8 имеет тип О, Р — тип 1. Тем не ме-
нее нет смысла задаваться вопросом, является ли само множество Р четных чисел
четным числом или нет, так как в этом случае речь идет об отношении принадлеж-
ности, связывающем объекты одного типа. Именно о таком отношении шла речь
в описании множества всех множеств, которые не принадлежат самим себе. На язы-
ке логики говорить «принадлежать самому себе» с концептуальной точки зрения
некорректно, и здесь парадокс исчезает: для данного свойства Р можно рассмотреть
множество объектов, которые обладают этим свойством, однако для этого Р как
минимум должно быть корректно определено.
46
ПАРАДОКСЫ
Эрнст Цермело. создатель первой аксиоматики
теории множеств.
Одновременно с публикацией в журнале American Journal of Mathematics ста-
тьи Рассела «Математическая логика, основанная на теории типов» Эрнст Цермело
(1871-1953) предложил новое решение этого парадокса, менее концептуальное,
чем выдвинутое Расселом, но намного более практичное с точки зрения «рабочих
от математики». Сегодня нам известно, что одна из величайших трудностей при
создании любой теории — это определить предмет ее изучения. Повсюду говорят
о теории информации, но что такое информация? Некоторые определяют биологию
как науку о жизни, но что такое жизнь? Этими же вопросами задался Цермело
при рассмотрении теории множеств. Согласно интуитивному определению Канто-
ра, множества были не более чем совокупностями объектов, обладающих опреде-
ленным свойством, однако такое определение допускало создание множества всех
множеств, которые не принадлежат сами себе. Без четкого определения множества
нельзя было двигаться дальше. Цермело заменил примитивное определение множе-
ства списком аксиом, в число которых включил аксиому, не позволявшую опреде-
лить множество из парадокса Рассела. Начиная с этого момента множества стали
определяться как объекты, удовлетворяющие списку аксиом.
47
ПАРАДОКСЫ
Парадокс лжеца
Мы начали эту главу с анализа парадокса Рассела, однако пусть читатель не думает,
что логические парадоксы являются исключительно творениями современности.
Само слово «парадокс» — «неожиданный, странный» — имеет греческие корни.
В широком смысле парадокс — это абсурдное заключение, к которому ведут рас-
суждения, кажущиеся правильными и начинающиеся с корректных гипотез. Когда
Рассел стал рассматривать множество всех множеств, которые не принадлежат сами
себе, он опирался на литературную и философскую традицию. Вплоть до кон-
ца XIX века казалось невозможным, что парадоксы пересекут границу естествен-
ных наук и вторгнутся в царство чистого разума. Философы прибегали к парадок-
сам, чтобы подчеркнуть, что чувства обманчивы, а поэты использовали парадоксы
как единственный способ донести до читателя истину о любви. Математики же
страшились парадоксов, словно ящика Пандоры, открыв крышку которого, можно
разрушить все в один миг. Поэтому открытие противоречий в теории множеств
в то самое время, когда ученые постепенно начали признавать труд Кантора универ-
сальной основой математики, вызвало кризис, пошатнувший самые основы науки.
И на преодоление этого кризиса потребовалось несколько лет.
Один из древнейших парадоксов — это парадокс об Ахиллесе и черепахе, с по-
мощью которого философ-досократик Зенон Элейский, ученик Парменида, хотел
доказать, что движения не существует, и нанести удар по защитникам атомистиче-
ской концепции пространства и времени. Зенон объяснял: фора, которую Ахиллес
дает черепахе, чтобы забег проходил в равных условиях, непреодолима — когда атлет
добежит до того места, где черепаха находилась вначале, она проползет чуть дальше.
Когда Ахиллес преодолеет расстояние, пройденное черепахой, он вновь не сможет
поравняться с ней — она успеет проползти немного вперед. Ахиллеса всегда будет
отделять от черепахи некоторое расстояние, сколь бы малым оно ни было.
В другой формулировке этого парадокса утверждается, что стрела никогда не до-
стигнет цели, так как когда она пролетит половину требуемого расстояния, ей нужно
будет преодолеть вторую половину, когда она пролетит половину этой половины —
останется четвертая часть, затем восьмая и так далее до бесконечности. Однако
в реальной жизни Ахиллес всегда обгоняет черепаху, а стрела долетает до цели.
Возможно, наиболее интересными среди классических парадоксов являются ан-
тиномии — утверждения, истинные и ложные одновременно. Среди них выделяется
парадокс лжеца, обычно приписываемый Эпимениду Критскому, хотя возможно,
что этот философ, о котором говорили, будто он проспал 57 лет в пещере, зачаро-
48
ПАРАДОКСЫ
ванной Зевсом, не осознавал, что формулирует парадокс. В одном из стихов Эпи-
менид говорит о «критянах, вечно лживых», которые не верили в бессмертие Зевса.
Однако сам Эпименид также был критянином, поэтому его утверждение относилось
к нему самому и было равносильно высказыванию «Я всегда лгу».
Допустим, что Эпименид лжет, тогда его высказывание не может быть верным,
следовательно, он говорит правду. Если же, напротив, Эпименид говорит правду,
то его высказывание должно быть истинным, следовательно, он лжет. По легенде,
поэт Филит Косский умер от изнеможения, пытаясь разрешить этот парадокс.
В действительности фраза «я всегда лгу» не парадокс в строгом смысле этого
слова, так как ее отрицанием является не высказывание «я всегда говорю правду»,
как мы предположили выше, а высказывание «я лгу не всегда» или «иногда я говорю
правду». Тем не менее, вложив в уста Эпименида слова «эта фраза ложна», мы по-
лучим настоящий парадокс. В самом деле, предположим, что эта фраза истинна —
в этом случае она должна выполняться, то есть быть ложной. Но если эта фраза
ложна, то она должна быть истинной, так как она относится к себе самой. Если она
истинна, то она ложна, если она ложна, то истинна. Это нарушает закон исключен-
ного третьего, согласно которому любая фраза является истинной или ложной,
и принцип непротиворечивости, который гласит, что обе эти ситуации не могут про-
исходить одновременно.
ОСТРОВ РЫЦАРЕЙ И ОРУЖЕНОСЦЕВ
Некий логик попал на остров, все жители которого делились на две группы: рыцари всегда го-
ворили правду, а оруженосцы всегда лгали. Повстречав троих жителей А, В и С, логик спросил А,
к рыцарям или оруженосцам он принадлежит, но получил столь пуганый ответ, что был вынужден
обратиться к В и спросить его: «Что сказал Д?». В ответил: «Д сказал, что он оруженосец». Однако
в этот самый момент в разговор вмешался С, который предупредил логика: «Не верь В, он лжет!»
На основе этих двух утверждений логик может определить, кем же являются В и С. В самом
деле, согласно В, житель Д сказал «Я оруженосец», что можно считать одной из версий пара-
докса лжеца: «Я всегда лгу». Следовательно, существует единственный непротиворечивый вы-
ход из этой ситуации: когда В говорил об Д, он солгал, следовательно, В - оруженосец. Таким
образом, когда С предупреждал логика, он говорил правду, из чего следует, что С - рыцарь.
Чтобы узнать, кем на самом деле является Д, нам потребуется задать дополнительные вопросы.
49
ПАРАДОКСЫ
В разные эпохи парадокс лжеца трактовался по-разному. Сервантес, например,
упоминает его в главе LI второй части «Дон Кихота» — «О том, как Санчо Панса
губернаторствовал далее, а равно и о других поистине славных происшествиях» в ка-
честве примера того, сколь трудные решения приходилось принимать Санчо Пансе
на острове Баратария. До этого, в главе XVIII, дон Кихот объясняет, что к наукам,
которые должен знать странствующий рыцарь, принадлежит математика, «ибо
необходимость в математике может возникнуть в любую минуту». Именно это про-
6 шедевре Мигеля Сервантеса Дон Кихот предлагает
разрешить парадокс своему оруженосцу.
50
ПАРАДОКСЫ
исходит с Санчо Пансой, когда ему сообщают о деле хозяина поместья, разделенно-
го рекой, который обязывал всякого, кто хотел переправиться через нее, сначала
сообщить, куда он направляется. Если путник говорил правду, ему разрешалось пе-
реправиться через реку, но если он лгал, его ждала казнь. После вступления закона
в силу судьи беспрепятственно пропускали почти всех, пока в один прекрасный день
перед ними не предстал человек, который заявил, что направляется на виселицу,
чтобы быть повешенным. Посовещавшись, судьи вынесли вердикт: «Если позво-
лить этому человеку беспрепятственно следовать дальше, то это будет значить, что
он нарушил клятву и согласно закону повинен смерти; если же мы его повесим,
то ведь он клялся, что пришел только затем, чтобы его вздернули на эту виселицу,
следственно, клятва его, выходит, не ложна, и на основании того же самого закона
надлежит пропустить его»1.
В контексте нашего обсуждения этот пример не слишком полезен, так как, уви-
дев, что причин повесить путника столько же, сколько и отпустить его на свободу,
Санчо Панса посоветовал отпустить его, поскольку «делать добро всегда правиль-
нее, нежели зло». Здесь интересным будет добавить, что два самых известных пара-
докса в истории — парадокс Ахиллеса и черепахи и парадокс лжеца — в действи-
тельности очень отличаются. С одной стороны, рассуждения Зенона, доказываю-
щие невозможность победы Ахиллеса над черепахой, основаны на ошибочном пред-
ставлении о бесконечности. Предположив, что изначально фора черепахи равняется
одному метру, Зенон указывал, что Ахиллес должен преодолеть расстояние
11111
— -1-1--1--1---Нит. д.,
2 4 8 16 32
чтобы догнать черепаху. При этом сначала ему нужно преодолеть его половину
(1/2) , затем — половину половины, то есть одну четверть (1/4) , затем — полови-
ну половины половины, то есть одну восьмую (1/8) и т. д. Так как число слагаемых
бесконечно велико, то расстояние, которое должен преодолеть Ахиллес, обязатель-
но равняется бесконечности, таким образом Ахиллесу не хватит всей жизни, чтобы
преодолеть его и догнать черепаху. Ошибка Зенона состояла в том, что сумма бес-
конечного числового ряда необязательно равна бесконечности, при условии что чле-
ны ряда убывают с достаточной быстротой. Николай Орезмский (1323—1382) при-
вел красивое геометрическое решение этого парадокса, в котором показал, что сум-
1 Перевод Н. Любимова, Б. Кржевского. — Примеч. ред.
51
ПАРАДОКСЫ
ма ряда Зенона равна не бесконечности, а в точности единице — именно такую
фору Ахиллес дал черепахе. Следовательно, парадокс Зенона есть не более чем
ошибочное представление о бесконечных рядах.
Схема, с помощью которой Николай Орезмский в XIV веке показал, что
сумма ряда из парадокса об Ахиллесе и черепахе не равна бесконечности.
С парадоксом лжеца дело обстоит иначе. «Эта фраза ложна» — об этом вы-
сказывании нельзя сказать, истинно оно или ложно, так как любой ответ неизменно
ведет к противоположному. Как заметил греческий логик Хрисипп из Сол, те, кто
сформулировал парадокс лжеца, «совершенно отклонились от изначального значе-
ния слов — они произвели лишь звуки, ничего не выразив». Первой естественной
реакцией будет объяснить противоречие тем, что высказывание ссылается на само
себя, однако этого недостаточно — высказывания «эта фраза истинна» или «эта
фраза относится к книге «Сон разума. Математическая логика и ее парадоксы» так-
же ссылаются сами на себя, однако не вызывают никаких затруднений.
Другим, несколько хитроумным решением, будет поставить вопрос: не принад-
лежит ли понятие истинности, подобно понятию множества, к числу тех, которые
52
ПАРАДОКСЫ
просто использовать, но трудно определить. Этой точки зрения придерживался
Альфред Тарский (1902—1983), который в 1933 году опубликовал статью объемом
свыше двухсот страниц на польском языке, где впервые формально определил ис-
тину. Несмотря на значительный объем статьи, Тарский не предложил придать по-
нятию «истинность» новое значение, а вместо этого всего лишь описал на языке
математики аристотелево определение истины как соответствие между тем, что го-
ворится о реальности, и самой реальностью. Подобно тому как высказывание «снег
белый» истинно тогда и только тогда, когда снег в самом деле белый, высказыва-
ние Р является истинным в некоторой теории тогда и только тогда, когда при интер-
претации Р в рамках структуры, которую описывает эта теория, Р является истин-
ным. В какой структуре следует интерпретировать фразу вида «эта фраза ложна»?
Как вы увидите в главе 4, ответить на этот вопрос удалось лишь Курту Гёделю.
В конечном итоге парадокс Рассела, парадокс Ахиллеса и черепахи и пара-
докс лжеца были решены, однако попутно родилось множество других вопросов.
В 1905 году преподаватель института Дижона Жюль Ришар открыл парадокс, свя-
занный с диагональным методом Кантора. Годом позже юный библиотекарь Бодли-
анской библиотеки Оксфордского университета (необязательно тот, который прово-
дил дни и ночи, составляя каталог всех каталогов, не содержащих ссылки на самих
себя) упростил парадокс Ришара, представив, что произойдет, если для описания
любого натурального числа можно использовать только пятнадцать слов. Так как
число выражений, состоящих из пятнадцати слов, является конечным, то с их помо-
щью мы можем описать лишь конечное множество чисел. Среди всех чисел, которые
мы не сможем описать пятнадцатью словами, одно будет наименьшим. Обозначим
его через п. Однако в этом случае п будет «наименьшим числом, которое нельзя
описать менее чем пятнадцатью словами» — это описание содержит всего девять
слов!
Как мы можем быть уверены, что парадоксы не будут и дальше распространять-
ся, подобно вирусам? Источниками противоречий служили бесконечность, самоот-
носимость и не вполне точно определенные понятия. Однако не все высказывания,
которые ссылаются сами на себя, порождают парадоксы, полностью исключить бес-
конечность из математики нельзя, и у нас нет инструмента, который безошибочно
укажет на недостаточно четко определенные понятия. В следующей главе мы рас-
скажем о стратегии, с помощью которой наиболее выдающийся математик своего
поколения, Давид Гильберт, хотел полностью избавиться от парадоксов.
53
Глава 3
Программа Гильберта
Бог существует потому, что математика непротиворечива,
а дьявол существует потому, что мы не можем доказать это.
Приписывается Андре Вейлю
«Кто из нас не обрадовался бы, если бы мог поднять завесу, за которой скрывается
будущее, окинув взором перспективы нашей науки и ее секреты?»
Начинался новый век, и тысячи посетителей Всемирной выставки в Париже на-
воднили ее павильоны, озаряемые ярким августовским солнцем. В это же время
в Париже проходил II Международный математический конгресс, и Давид Гиль-
берт выступал в амфитеатре Сорбонны на заседании своих секций. Его целью было
впервые рассказать не о том, что уже доказано, а о том, что еще предстоит открыть.
Никто не сомневался, что Гильберт был лучшим математиком своего поколения, од-
нако его выступление было отодвинуто на второй план — наряду с исследованиями,
посвященными древним японским геометрам, и предложениями ввести во всех стра-
нах единый научный язык. Разумеется, ученого пригласили выступить и на общем
заседании конгресса в день открытия, но он слишком долго не мог определиться
с темой выступления, и организаторам пришлось исключить его доклад из прог-
раммы.
Наблюдая, как Гильберт в своих очках поднимался на кафедру, зрители спраши-
вали друг у друга, о чем же он все это время размышлял.
«История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каж-
дый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодви-
гает в сторону как неразрешимые, чтобы заменить их новыми». Гильберт был убеж-
ден, что единственным двигателем прогресса в математике является решение задач.
Поэтому, обращаясь к собравшимся в зале Сорбонны, лидер Гёттингенской матема-
тической школы подчеркивал, что решить задачу означает сформулировать рассуж-
55
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
дения, с помощью которых, исходя из конечного числа гипотез, выраженных точны-
ми терминами, можно прийти к выводу за конечное число этапов посредством стро-
гих логических правил вывода. Чтобы проиллюстрировать свои идеи, Гильберт вы-
брал двадцать три задачи, которые, по его мнению, должны были указать направле-
ния исследований математикам XX века, однако ему не хватило времени, чтобы
прокомментировать все эти задачи. Благодаря свидетельствам его друзей — мате-
матиков Германа Минковского (1864—1909) и Адольфа Гурвица (1859—1919) —
нам известно, каких трудов стоило Гильберту выбрать задачи, упомянутые в париж-
ском докладе. И однако он ни на секунду не усомнился в своем выборе. Вторая за-
дача из списка звучала, казалось, совершенно невинно: являются ли аксиомы ариф-
метики непротиворечивыми?
ЗАДАЧА О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ МНОЖЕСТВА
В предыдущей главе вы увидели, что одним из величайших открытий Георга Кантора было дока-
зательство того, что не все бесконечные множества имеют одинаковый размер. И действитель-
но, его диагональный метод позволил показать, что натуральных чисел меньше, чем бесконеч-
ных последовательностей, состоящих из нулей и единиц. В первой задаче из списка Гильберта
требовалось дать положительный или отрицательный ответ на вопрос о том, существует ли такое
множество, кардинальное число которого будет больше, чем кардинальное число множества на-
туральных чисел, но меньше, чем кардинальное число множества последовательностей из нулей
и единиц. Благодаря трудам Курта Гёделя (1940) и математика Пола Коэна из Стэнфордского
университета (1963) сегодня нам известно, что если исходить из привычной системы аксиом
теории множеств, на этот вопрос нельзя дать ни положительного, ни отрицательного ответа.
Доклад Гильберта прозвучал 8 августа 1900 года. К этому времени в теории мно-
жеств уже появились первые парадоксы, однако Рассел открыл противоречие, кото-
рое заставило всех забить тревогу, лишь годом позже. Очень быстро парадокс
о множестве всех множеств, которые не принадлежат сами себе, встревожил евро-
пейские математические круги: в Англии Уайтхед предсказал конец «счастливым
и спокойным будням», в Германии Фреге добавил к своим «Основам арифметики»
пессимистичное предисловие, во Франции Анри Пуанкаре, враг математической
логики, победно воскликнул: «Формальная логика не бесплодна: она порождает
противоречия». Если от кого и ожидали ответа, то это был Давид Гильберт — его
многие считали новым Евклидом благодаря опубликованной им в 1899 году системе
56
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
аксиом геометрии, которая ознаменовала начало современного подхода к этой дис-
циплине. Тем не менее Гильберт не потрудился дать меткий ответ, который вошел бы
в историю, подобно изречениям Уайтхеда, Фреге и Пуанкаре: он просто точно знал,
как можно избавить математику от парадоксов.
Давид Гхльберт больше всего подходил на роль того,
кто покончил бы с математическими парадоксами.
Формализм Гильберта
Решение, предложенное Гильбертом, состояло из двух этапов. Сначала нужно было
полностью формализовать арифметику, то есть представить все ее содержимое как
формальную систему. Это следовало сделать с максимально возможной строгостью,
и за этим первым этапом должен был последовать второй, на котором доказыва-
лась бы корректность выполненной формализации. Математика, в отличие от жены
Цезаря, не была выше подозрений: ее непротиворечивость следовало доказать. Для
этого Гильберт предложил ряд приемов, объединенных названием «метаматема-
тика».
Читатель справедливо заметит: какова разница между системами аксиом, кото-
рые мы рассматривали выше, и формальными системами, которые Гильберт хотел
57
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
определить для арифметики? Действительно, эти понятия очень похожи, однако
формальные системы обладают важным отличием: в них любое утверждение пред-
ставляется в виде символов искусственного языка, лишенных конкретных значений.
Цель Гильберта понятна из его переписки, в которой он, например, объясняет, что
геометрия не изменится, если вместо терминов «точка», «прямая» и «плоскость» мы
напишем «любовь», «закон» и «трубочист». Как следствие, для формалиста выра-
жения «глава третья» и «глава 3» — это два разных высказывания, единственная
связь между которыми заключается в особенностях синтаксиса: оба выражения на-
чинаются с одного и того же слова.
Основу гильбертовой формальной системы составляло множество базовых сим-
волов L, основанных на алфавите нашего языка. На их основе можно создать фор-
мулы, которые будут представлять собой не что иное, как конечные последователь-
ности символов, составленные согласно ряду грамматических правил. Если, напри-
мер, язык содержит открывающую и закрывающую скобки, то одно из его правил
может звучать так: справа от каждой открывающей скобки обязательно должна
быть записана закрывающая скобка.
Чтобы определить формальную систему, помимо алфавита, необходимы аксио-
мы и правила вывода. Аксиомы отличаются от всех остальных формул только тем,
что занимают привилегированное положение. Как мы указывали в главе 1, выбор
аксиом — одна из сложнейших задач при определении формальной системы: если
мы выберем слишком много аксиом, то они могут смешаться с остальными формула-
ми, а если мы выберем слишком мало аксиом, то некоторые формулы нельзя будет
ни доказать, ни опровергнуть. Правила вывода, в свою очередь, это процедуры,
позволяющие получить новые формулы на основе уже известных. Аксиомы и пра-
вила вывода объединяются в формальные доказательства — последовательности
формул, каждая из которых является либо аксиомой, либо получена из предыдущих
формул с помощью правил вывода. Традиционно последняя формула доказательства
называется теоремой.
Следовательно, первое требование программы Гильберта заключалось в том,
чтобы описать алфавит, определить аксиомы и формальные правила вывода для
арифметики. Этой задаче Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед посвятили три
объемных тома «Начал математики», опубликованных в 1910—1913 годах. В дей-
ствительности теория, предложенная Расселом и Уайтхедом и названная вскоре
логицизмом, выходила далеко за рамки формалистской программы: оба ее автора
не ограничивались формализацией арифметики и хотели свести ее к логике, то есть
определить все понятия теории натуральных чисел исходя из чисто логических
58
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
обозначений, а также вывести из этих понятий все теоремы арифметики. Одним
из величайших успехов математики XIX века было построение любого класса чисел
на основе натуральных, таким образом, если бы Рассел и Уайтхед достигли своей
цели, математика и логика пошли бы рука об руку по дороге, свободной от противо-
речий (по крайней мере, основоположники логицизма на это надеялись).
НЕПРИБЫЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Ключевой труд Рассела и Уайтхеда был опубликован изда-
тельством Cambridge University Press. Издательство смогло
выделить на публикацию всего 300 фунтов, что составляло
половину необходимой суммы. Недостающие 300 фунтов
обязалось внести Лондонское королевское общество, чле-
ном которого был Рассел, однако в итоге было внесено
лишь 200, а остаток Расселу и Уайтхеду пришлось запла-
тить из своего кармана. «Неплохой баланс, - шутил Рас-
сел впоследствии, - за десять лет работы мы заработали
минус пятьдесят фунтов на каждого».
В упрощенной версии формальная система арифметики, предложенная Расселом
и Уайтхедом в «Началах математики», состояла из следующих основных символов:
0 (число ноль), s (функция следования), —. (отрицание), V (дизъюнкция «или»),
3 (существование), = (равенство) и открывающая и закрывающая скобки. Позднее
к этим символам были добавлены переменные х, у, z типа 0, которые обозначали
натуральные числа, а также переменные А, В, С типа 1, то есть множества нату-
ральных чисел, и т. д. по мере того, как требовались элементы все новых и новых
типов. Возможно, внимательный читатель заметил отсутствие других символов, ко-
торые должны быть частью языка: например, наряду с квантором существования,
благодаря которому можно формализовать высказывания вида «существует нату-
ральное число, обладающее свойством Р», можно было бы добавить еще один сим-
вол, который означал бы «для всех», как в высказывании «для всех натуральных
чисел выполняется утверждение Р». По сути, этот универсальный квантор очень
59
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
широко используется в математике: «для всех» обозначается символом V. Мы дей-
ствительно можем добавить к языку символ V, однако этого на самом деле не требу-
ется, так как выражение «для всех натуральных чисел выполняется высказыва-
ние Р» равносильно выражению «не существует такого натурального числа, для
которого не выполнялось бы высказывание Р». Следовательно, символ V можно
выразить с помощью символов отрицания и существования.
Это же справедливо и для конъюнкции «и»: для ее обозначения существует сим-
вол А, однако он является избыточным, так как его можно заменить символами V
и Чтобы доказать это, рассмотрим три операции теории множеств: дополнение,
объединение и пересечение.
Для данного множества/!, которое содержится в другом множестве В, дополне-
нием множества А до В называют множество, состоящее из элементов, принадле-
жащих В, но не А. Например, дополнением множества гласных {а, е, i, о, и} англий-
ского алфавита является множество согласных. Рассмотрим операции объединения
и пересечения. Для данных множеств X и У их пересечение X П У определяется как
множество элементов, одновременно принадлежащих X и У. Например, если X —
множество четных чисел О, 2, 4, 6, 8,10..., а У — множество чисел, кратных трем,
0, 3, 6, 9, 12, 15..., то чтобы найти их пересечение, нужно определить их общие
элементы: ими будут 0, 6, 12, 18..., то есть числа, кратные шести. Объединением
множеств X U У называется множество, которому принадлежат все элементы X
и все элементы У. В предыдущем примере первыми элементами объединения X и У
будут 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9...
Похожесть символов, обозначающих пересечение двух множеств (П) и конъ-
юнкцию двух высказываний (А), а также символов, обозначающих объединение
двух множеств (U) и дизъюнкцию двух высказываний (V), вовсе не случайна. Если
сопоставить свойствам Р и Q множества чисел, обладающих этими свойствами, на-
пример X и У, то числа, обладающие свойствами Р и Q одновременно, будут эле-
ментами пересечения множеств X П У, а числа, обладающие свойством Р или Q,
то есть как минимум одним из этих двух свойств, будут принадлежать объединению
множеств X U У. Дополнение множества, в свою очередь, соответствует отрицанию
высказывания. Для представления дополнений, объединений и пересечений мно-
жеств очень удобно использовать диаграммы, созданные британским математиком
и философом Джоном Венном в 1880 году. С их помощью можно доказать, что
конъюнкция свойств Р и Q равносильна отрицанию дизъюнкции отрицаний Р и Q,
иными словами, Р Л Q = -(-P V ^Q). Это свойство позволяет выразить Л через
V и —
60
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
Рис. 1. Пересечение двух множеств,
соответствующее конъюнкции PAQ.
Рис. 2. Объединение двух множеств,
соответствующее дизъюнкции Р V Q.
Рис. 3. Дополнение множества,
соответствующее отрицанию -i Р.
Диаграммы Венна, на которых представлены операции пересечения (рис. 1),
объединения (рис. 2) и дополнения (рис. 3) множеств.
61
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
Сделав замечание о том, как представляются выражение «для всех» и конъюнк-
ция высказываний (логическое «и»), рассмотрим, как переводятся в формальную
систему арифметики некоторые аксиомы Пеано. Первая аксиома Пеано звучит так:
«Ноль есть натуральное число». Эта аксиома не требует перевода, так как мы вклю-
чили символ 0 в созданный нами язык. Перейдем ко второй аксиоме: «Каждое на-
туральное число имеет число, следующее за ним». В этой аксиоме фигурируют две
переменные: рассматриваемое натуральное число, которое мы будем обозначать че-
рез х, и следующее за ним, которое будем обозначать через у. Вспомним, что число,
следующее за данным, записывается с помощью буквы s, которая ставится перед
этим числом, и выражается формулой у = sx, то есть «у равно числу, следующему
за х». Следующий шаг заключается в том, что высказывание «каждое натуральное
число» равносильно высказыванию «для всех натуральных чисел», и в этом контек-
сте слово «имеет» означает «существует». Таким образом, аксиома принимает вид:
«Для всякого натурального числа х существует натуральное число у такое, что
у = sx». Если бы мы могли использовать символ V, то на этом можно было бы оста-
новиться: аксиома записывалась бы как V х 3 у (у = sx) — скобки мы использова-
ЧЕТВЕРТАЯ АКСИОМА ПЕАНО
Переведем в формальную систему арифметики четвертую аксиому Пеано, которая гласит:
«за двумя различными натуральными числами следуют различные натуральные числа». Сначала
определим переменные, используемые в высказывании: это два натуральных числа, х и у. Ак-
сиома гласит, что не могут одновременно выполняться два следующих условия: х и у различны,
следующие за ними числа совпадают. Иными словами, не существует чисел х и у таких, что:
1)х отличается от у;
2) число, следующее за х, равно числу, следующему за у.
Если бы символ конъюнкции был частью определенного нами языка, то эта аксиома записы-
валась бы так:
-л Ях-i Эу(-1 (Х-у) Л [SX“Sy)).
Так как использовать символ конъюнкции нельзя, нужно переписать это выражение, приме-
няя функции отрицания и дизъюнкции. С учетом того, что отрицание отрицания высказывания
равносильно исходному высказыванию, четвертая аксиома Пеано примет вид:
-«Эх-1 Зу(->( (х-у) v (-. (sx-sy)))).
62
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
ли, чтобы выделить свойство, которым обладают числа х и у. Так как этот символ
применить нельзя, нужно выполнить еще одно действие: так как «для всякого на-
турального числа х существует натуральное число у такое, что у = sx» равносильно
«не существует натурального числа х такого, что для него не существует натураль-
ного числа у такого, что у = sx», и вторая аксиома Пеано будет записываться так:
~i 3 х ~i 3 у (у = sx). После столь подробных объяснений читатель может самостоя-
тельно убедиться в том, что третья аксиома Пеано, «О не следует ни за каким нату-
ральным числом», соответствует выражению ~i3x (sx = 0).
От языка - к метаязыку
Благодаря описанному выше процессу арифметика была очищена от значений и све-
дена к формальному каркасу. Теперь ее аксиомы являются исключительно последо-
вательностями абстрактных символов, а доказательства превратились в упражнения
по комбинаторике. Однако мы по-прежнему можем сформулировать высказывания
со смыслом: например, мы можем сказать «вторая аксиома Пеано длиннее третьей»,
«квантор существования упоминается во второй аксиоме Пеано два раза» или «фор-
мула ~1(0 — 1) является теоремой арифметики». Важно, что здесь речь идет уже
не о формализованных высказываниях языка L, а о фразах на русском языке, кото-
рые относятся к формулам L. В этих фразах говорится уже не о числах, а о выска-
зываниях о числах, таким образом, они выходят за пределы математики в область
метаматематики. Этот переход подобен ситуации, когда один из героев романа на-
чинает писать свой роман. Подобно тому, как литература порой превращается в ме-
талитературу, математика может превратиться в метаматематику.
Одним из важнейших открытий Гильберта было проведение четкого различия
между уровнями языка, к которым принадлежат различные высказывания. Пред-
ставьте себе урок английского языка, на котором учитель по-русски объясняет тон-
кости значения какого-то слова. В этот момент используются два языка: англий-
ский, который изучают ученики, и русский, который они используют в качестве
инструмента. Это же происходит и с фразой вида «формула ~i3x~i Зу (у = sx)
длиннее, чем формула —• Зх (sx = 0)» — в ней сочетаются последовательности сим-
волов языка L и выражения «формула» и «длиннее», принадлежащие не к языку L,
а к метаязыку, который мы используем, чтобы описать формальную систему, так
сказать, извне. Термины «ноль», «следующее» и «равно» принадлежат к языку L,
где они записываются как 0, s и = соответственно, однако слова «формула», «до-
казательство» и «истинный» принадлежат метаязыку и невыразимы на языке L.
63
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
Следовательно, при формализации арифметики все эти высказывания в рамках са-
мой арифметики теряют смысл.
Но какое отношение все это имеет к парадоксам? Ведь целью программы Гиль-
берта было избавить от них математику. Как мы отмечали в предыдущей главе, мно-
гие парадоксы связаны с самоотносимостью, которая вполне имеет право на суще-
ствование в естественных языках, но нет никаких причин для того, чтобы она со-
хранялась в искусственных языках формальных систем. Когда мы озвучиваем пара-
докс Рассела на русском языке, нам кажется вполне логичным, что существует два
класса множеств: одни принадлежат сами себе, другие — нет. Однако в формальной
системе отношение принадлежности, примененное к двум переменным одного
и того же типа, нарушает правила грамматики языка. Еще более интересным явля-
ется парадокс лжеца: «эта фраза ложна». Чтобы эту фразу можно было рассматри-
вать всерьез, формальная система должна не только допускать самоотносимость,
но и содержать свойство «быть истинным», которое можно будет выразить сред-
ствами самого языка, а не только метаязыка. Гильберт ожидал, что эти две ситуации
никогда не произойдут одновременно, если формализация арифметики будет про-
ведена должным образом.
Однако одних лишь ожиданий было недостаточно, и теперь важнейшим стано-
вился второй этап программы Гильберта, в котором предлагалось положить конец
кризису в основах математики, метаматематически доказав непротиворечивость
формализованной арифметики. Только так математики будущего могли быть абсо-
лютно уверенными в том, что больше никогда не столкнутся с противоречиями.
В этом метаматематическом доказательстве допускались не все методы: можно
было использовать лишь два самых строгих, которые Гильберт назвал немецким
словом finit, не слишком вдаваясь в объяснения, и которые позднее получили назва-
ние финитных. Финитные методы должны были устранить все рассуждения, в ко-
торых можно было усомниться. Так, не допускались доказательства от противного,
хотя этот метод использовал еще Евклид для доказательства того, что существует
бесконечное множество простых чисел, а квадратный корень из двух нельзя пред-
ставить в виде отношения двух натуральных чисел. Первый шаг доказательства
от противного заключается в том, что мы отрицаем исходное высказывание, которое
хотим доказать. Если, например, мы хотим доказать, что существует бесконечное
множество простых чисел, то исходная гипотеза будет предполагать, что множество
простых чисел является конечным. Затем на основе этой предпосылки нужно про-
извести корректные логические умозаключения, пока мы не получим абсурдное ут-
верждение, которое будет гласить, например, что теорема арифметики, доказанная
64
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
независимо от рассматриваемого утверждения, не выполняется. Все промежуточные
рассуждения корректны, следовательно, единственным объяснением того, что мы
пришли к абсурдному выводу, является ложность исходной гипотезы. Таким обра-
зом исходное утверждение оказывается доказанным. Часто, когда нам нужно дока-
зать существование некоторого математического объекта, например решения неко-
торого уравнения, легче не найти его, а показать, что его отсутствие ведет к абсурд-
ному заключению. Это же может произойти и в метаматематике: возможно, мы
не сможем подтвердить истинность утверждения вида «формула Р доказуема», най-
дя явное доказательство этой формулы, однако можем предположить, что такого
доказательства не существует, и в результате прийти к противоречию. Однако Гиль-
берт не был достаточно уверен в этих методах, поэтому предпочел отказаться от них.
ПУАНКАРЕ ПРОТИВ ГИЛЬБЕРТА
Анри Пуанкаре (1854-1912), которого некоторые истори-
ки называют «последним универсальным математиком»,
испытывал неприязнь к тем, кто хотел свести математику
к множеству формальных отношений между символами.
Когда в 1899 году были опубликованы «Основания гео-
метрии» Гильберта, Пуанкаре написал длинную рецензию,
в которой критиковал автора за стремление «заставить
математику функционировать подобно механическому пиа-
нино». Несколько лет спустя, когда Гильберт по-прежнему
не вполне четко представлял себе различия между языком
и метаязыком, он попытался доказать непротиворечивость
арифметики, применив принцип индукции, то есть пятую ак-
сиому Пеано. Пуанкаре обратил на это внимание, указав,
Анри Пуанкаре.
что Гильберт попал в порочный круг: он пытался доказать непротиворечивость арифметики с по-
мощью важнейшей аксиомы самой арифметики. И хотя Гильберт утверждал, что использовал
не индукцию, а метаиндукцию, однако прав был все же Пуанкаре. И Гильберт в конце концов
согласился с ним, вняв доводам своего ученика Германа Вейля (1885-1955).
Давид Гильберт был не единственным, кто отвергал неконструктивные методы.
Одновременно с логицизмом и формализмом развивалась еще одна концепция, при-
званная разрешить парадоксы теории множеств, в которой предполагалось полно-
65
ПРОГРАММА ГИЛЬБЕРТА
стью исключить использование бесконечности. Для интуиционистов все математи-
ческие объекты были продуктами человеческого разума, следовательно, они могли
существовать только в том случае, если их можно было построить. Последователи
этого направления различали потенциальную бесконечность, соответствующую
множествам, которые можно неограниченно расширять, и актуальную бесконеч-
ность, характерную для законченных сущностей. Интуиционисты признавали, что
натуральных чисел потенциально бесконечно много, так как к любому конечному
множеству вида {0, 1, 2, ..., и} можно добавить новые числа, однако нельзя гово-
рить обо всех натуральных числах одновременно. Они также не признавали закон
исключенного третьего, согласно которому для любого высказывания истинным
обязательно является либо оно само, либо его отрицание. Отвергнув этот закон, сто-
ронники интуиционизма были вынуждены также отвергнуть все математические
теоремы, в доказательстве которых он использовался. Сам основоположник интуи-
ционизма, датский математик Аёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881—1966), был вы-
нужден отвергнуть множество ранее полученных им самим результатов, в которых
использовался закон исключенного третьего.
Интуиционисты также хотели избавиться от аксиомы выбора, предложенной
Эрнстом Цермело для теории множеств. Согласно этой аксиоме, для данной сово-
купности множеств, конечной или бесконечной, можно выбрать по одному элементу
из каждого множества и таким образом определить новое множество. Тем, кто
не признавал существование актуальной бесконечности, вряд ли понравился бы по-
добный спо< об выбора элементов, который был сродни магии, не подчиняющийся
никакому четкому правилу.
В ряде статей, опубликованных с 1904 по 1927 год, Давид Гильберт постепенно
уточнял свою стратегию замены всех математических доказательств доказатель-
ствами, выполненными с помощью финитных методов. Кульминацией его програм-
мы должно было стать максимально строгое и четкое доказательство непротиво-
речивости арифметики. Однако глава Гёттингенской математической школы не мог
и предположить, что некий австрийский юноша, который начал изучать в Венском
университете физику, а затем и математику, попытается дополнить формалистскую
программу и обнаружит, что мечте Гильберта не суждено сбыться. И более того, со-
берется доказать это финитными методами!
66
Глава 4
Теоремы Гёделя
«Когда возникнет противоречие, необходимости в споре
между двумя философами будет не более, чем между двумя математиками.
Им будет достаточно взять перья и абак и сказать друг другу:
произведем вычисления».
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Улицы Кёнигсберга видели многое. В этом городе семь мостов, и жители не раз за-
давались вопросом: можно ли пройти по всем мостам ровно один раз и при этом
вернуться в исходную точку? Этого не мог сделать никто, но и доказать, что это
невозможно, также не удавалось, пока в 1735 году швейцарский математик Леонард
Эйлер не создал теорию графов и не дал отрицательный ответ на этот вопрос.
Сорок лет спустя Иммануил Кант гулял по тем же мостам, пытаясь опреде-
лить пределы чистого разума. Давид Гильберт также родился возле Кёнигсбер-
га, и у общества сторонников эмпирической философии было достаточно причин,
чтобы совместно с Венским кружком именно в этом городе провести конференцию
с 5 по 7 сентября 1930 года.
Схема решения задачи о кёнигсбергских мостах,
принадлежащего Леонарду Эйлеру.
67
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
Целью конференции было определить, в какой степени в первые годы XX века
удалось справиться с кризисом, вызванным парадоксом Рассела. Докладчиками
на пленарном заседании стали те, кто внес наибольший вклад в развитие трех на-
правлений, призванных разрешить кризис: логицизма, сторонники которого счита-
ли, что всю математику можно свести к логике; формализма, успехи которого за-
ключались в проведении различий между языком и метаязыком; и интуицизма,
в рамках которого предпринималась попытка исключить бесконечность из матема-
тики. Также в программу входили доклады участников, желавших представить свои
последние открытия, и непринужденные беседы в городских кафе, которые, хотя
и не могли сравниться с венскими, но тоже были весьма уютными.
Австрийский логик Курт Гёдель был приглашен выступить с тезисами своей док-
торской диссертации, открывавшей путь к математике, которой подвластно всё. Од-
нако за то время, что прошло с момента защиты диссертации и до начала Кёниг-
сбергской конференции, Гёдель в своих исследованиях пришел к выводу, что мечте
логиков его поколения не суждено сбыться. И хотя он не сказал об этом в своем
выступлении, по окончании круглого стола, которым завершалась программа следу-
ющего дня конференции, он заявил, что располагает примерами истинных высказы-
Фотография Кёнигсбергского университета, известного в народе
как Альбертина. Около 1900 года.
68
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «УБИЙСТВА В ОКСФОРДЕ» (РЕЖИССЕР АЛЕКС ДЕ ЛА ИГЛЕСИА,
АВТОР СЦЕНАРИЯ ХОРХЕ ГЕРРИКАЭЧЕВАРРИЯ, 2008)
Шелдон: 0, я забыл, что говорю с защитником универсальной логики. Вы и полиция верите, что
истину можно доказать. Исходя из неких аксиом с помощью корректных рассуждений
можно прийти к верному выводу, не так ли?
Мартин: Это верно, как верно и то, что сегодня среда.
Шелдон: А что если я скажу «Все британцы лжецы»? Эта фраза будет истинной, ложной или ее
нельзя будет доказать?
Мартин: Разумеется, существую^ математические высказывания, которые нельзя доказать или
опровергнуть исходя из аксиом. Это неразрешимые высказывания.
Шелдон: Именно. Теорема Гёделя о неполноте. Даже в мире чистой математики не все можно
доказать.
Мартин: Да, я это знаю, но в нашем случае это не так.
Шелдон: Известно ли вам, что истинное и доказуемое разделяет пропасть, бездна? Мы никогда
не узнаем, известны ли нам все данные о каком-либо явлении, при этом любая новая
информация может изменить все.
69
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
ваний, которые нельзя доказать исходя из аксиом. Гёдель был подобен главному
герою истории, который в финале произведения нашел разгадку с помощью ключа,
упомянутого на первых страницах. Его слова застали собравшихся врасплох, поэто-
му практически не вызвали обсуждения и даже не были зафиксированы в прото-
коле.
И все же комментарий скромного юноши в круглых очках мог изменить направ-
ление дальнейшего развития всей логики, и это не ускользнуло от внимания некото-
рых присутствующих. Среди них был Джон фон Нейман, который, благодаря своей
легендарной быстроте ума мгновенно понял, что имел в виду Гёдель, и попросил его
по окончании конференции изложить свои соображения подробнее. Фон Нейман
учился с Гильбертом в Гёттингене и даже опубликовал несколько статей под его ру-
ководством, однако вскоре он начал сомневаться, что с помощью финитных мето-
дов, предложенных формалистами, можно доказать непротиворечивость математи-
ки. В юности фон Нейман добился некоторых успехов в разрешении этой проблемы
и продолжал работать над ней. Как-то ночью ему приснилось решение, но, попытав-
шись его записать, математик увидел ошибку в рассуждениях и в итоге решил за-
няться другими вопросами.
Помимо открытий в области логики, Джон фон Нейман совершил
важный вклад в квантовую механику.
70
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
Прибыв в Кёнигсберг в качестве приглашенной звезды, Джон фон Нейман
вскоре понял, что его затмил актер второго плана, рассказавший о том, что имен-
но могло присниться фон Нейману. Вернувшись домой, давний коллега Гильберта
обнаружил, что если рассуждения австрийского математика верны, то непротиво-
речивость арифметики нельзя доказать в рамках самой арифметики. Фон Нейман
сообщил об этом Гёделю 20 ноября 1930 года, всего через три дня после того, как
Гёдель отправил в журнал Monatshefte fur Mathematik und Physik рукопись статьи
«О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных
систем /» с аналогичным выводом. Фон Нейман проникся уважением к своему кол-
леге, и когда весной 1931 года статья была опубликована, он прервал курс лекций
в Берлине, чтобы объяснить важность открытия Гёделя, а 20 лет спустя вспоминал
этот момент как «веху, видимую издалека, во времени и пространстве».
В дни проведения Кёнигсберской конференции в этом же городе находился
и Давид Гильберт — он был приглашен на встречу общества немецких ученых, что-
бы выступить с речью на тему «Логика и понимание природы». Эта речь прозвуча-
ла на следующий день после того, как Гёдель сделал свое заявление, и весьма веро-
ятно, что он также находился среди ее слушателей. В своем выступлении Гильберт
горячо провозгласил, что в математике не существует неразрешимых задач: «Не надо
верить тем, кто сегодня с философической миной и тоном превосходства пророчит
закат культуры, и впадать в ignorabimus1. Нет для нас, математиков, никако-
го ignorabimus, и, по моему убеждению, нет его и для естественных наук вообще.
Вместо дурацкого ignorabimus провозгласим наш контрлозунг: мы должны знать —
мы будем знать!» Эхо выступления Гильберта еще не стихло, когда он узнал, что его
программа находится под угрозой.
Теоремы о неполноте
До заявления Гёделя программа Гильберта давала все основания рассчитывать
на успех: ее первый этап, формализация математики, по всей видимости, был завер-
шен Расселом и Уайтхедом в книге «Начала математики», а различные логики пы-
тались доказать непротиворечивость классических формальных систем начиная
с арифметики. Хотя еще во введении к своей докторской диссертации Гёдель пред-
положил невозможность существования «истинных высказываний, которые нельзя
1 Сокращение латинского изречения ignoramus et ignorabimus, то есть «не знаем и не узнаем». Это изречение было
взято из доклада немецкого физиолога Эмиля Дюбуа-Реймона «О пределах познания природы» (1872), в котором
он выразил пессимизм по поводу ограниченности научного знания.
71
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
вывести в рассматриваемой системе», он стремился не положить конец мечтам Гиль-
берта, а доказать правильность его программы. Однако последние открытия того
времени говорили об обратном: исследования Гаусса в области геометрии отрицали
возможность создания идеально точной карты Земли; Эварист Галуа (1811—1832)
доказал, что почти никакое алгебраическое уравнение нельзя решить простыми ме-
тодами, а Вернер Гейзенберг (1901—1976) поставил новые задачи перед наукой,
введя принцип неопределенности, согласно которому нельзя одновременно с точно-
стью определить положение электронов и их скорость.
Теоремы Гёделя сделали очевидными все ограничения, присущие аксиоматиче-
скому методу: если в первой главе мы объясняли, что обязательными свойствами
любой формальной системы являются непротиворечивость (полное отсутствие про-
тиворечий), рекурсивная перечислимость (возможность отделить аксиомы от про-
чих высказываний) и полнота (истинное и доказуемое полностью совпадают),
то Гёдель показал, что арифметика не может обладать всеми тремя этими свойства-
ми одновременно. Согласно его трудам, никакая рекурсивно перечислимая и непро-
тиворечивая система аксиом арифметики не может быть полной, то есть всегда будут
существовать какие-либо истинные свойства чисел, которые нельзя будет доказать
исходя из аксиом арифметики. В этом и заключается суть теоремы Гёделя о непол-
ноте, которую специалисты называют первой теоремой Гёделя, так как, помимо нее,
он доказал и вторую теорему, в которой утверждается, что высказывание «арифме-
тика является непротиворечивой» являет собой пример неразрешимого высказыва-
ния. К таким же выводам по результатам конференции в Кёнигсберге пришел и фон
Нейман.
Для доказательства первой теоремы о неполноте Гёдель видоизменил парадокс
лжеца, превратив его в неразрешимое высказывание, которое тем не менее не со-
держало противоречий. Очарование этой теоремы отчасти заключается в том, что
она находится всего в одном шаге от парадоксов, но никогда не делает этот шаг. Мы
уже рассказывали в главе 2 об антиномии Эпименида, которая в одной из формули-
ровок звучит как «эта фраза ложна». И действительно, если это высказывание ис-
тинно, то оно само утверждает свою ложность, а если считать его ложным, то оно
должно быть истинным. Что произойдет, если вместо истинных утверждений мы
будем рассматривать доказуемые? Обозначим буквой С (по первой букве фамилии
72
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
Гёделя) высказывание «это высказывание недоказуемо» и будем предполагать, что
используемая нами система аксиом является непротиворечивой. Если С ложно, то,
так как G гласит «я недоказуемо», то С является доказуемым, однако в непротиво-
речивой системе никакое ложное высказывание не может быть доказуемым, так как
это немедленно приведет к противоречию. Если С не является ложным, оно истин-
ное, следовательно, имеем истинное высказывание, гласящее «я недоказуемо». Та-
ким образом, мы предположили, что исходная система непротиворечива, однако
обнаружили истинное, но недоказуемое высказывание. Иными словами, непротиво-
речивость подразумевает неполноту.
Мы предположили, что исходная система непротиворечива... Но какая система?
Внимательный читатель, задавшись этим вопросом и прочитав предыдущий абзац,
возможно, подумал, что автор запутался и не совсем четко представляет, о какой
системе идет речь. С удовольствием сообщаем, что читатель самостоятельно пришел
к важнейшему вопросу, на который до Гёделя никто не мог дать ответ. Наши рас-
суждения показывают, что утверждение «я недоказуемо» должно быть истинным,
однако здесь речь идет не о математическом высказывании, как нам бы того ни хо-
телось, но о метаматематическом, так как в нем говорится не об объектах изучения
какой-либо теории, а о самой теории. Гениальность Гёделя заключалась в том, что он
перевел некоторые высказывания с метаязыка на язык арифметики благодаря систе-
ме кодов, в основе которой лежали простые числа. После этой «гёделизации» мета-
математики натуральные числа стали вести двойную жизнь: с одной стороны, они
остались неизменными, с другой — стали играть роль формул, что позволило вы-
разить высказывание вида «я недоказуемо», которое априори имело смысл в метая-
зыке, в виде отношения между числами.
Более подробное описание гёделевской нумерации будет приведено дальше,
а пока мы укажем, что с ее помощью в арифметике можно найти утверждение, экви-
валентное высказыванию «я недоказуемо». Если бы множество аксиом арифмети-
ки 5 было рекурсивно перечислимым и непротиворечивым, то существовала бы ис-
тинная, но недоказуемая формула С5 (мы использовали индекс S, чтобы указать,
что эта формула зависит от выбранных нами аксиом и при смене системы аксиом эта
формула также изменится). Гёдель поставил всех логиков перед необходимостью
сделать выбор либо в пользу полноты, либо в пользу непротиворечивости. И, что
было еще хуже, арифметика была не просто неполной — ее полнота была недости-
жимой. Когда в начале этой книги мы приводили пример с инспектором полиции,
который недавно пришел на службу, читатель мог возразить, что его коллеги навер-
няка узнали бы, женат ли он, продлись разговор немного дольше. Существуют
73
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
«ВСЁ, ЧТО НЕ В ВАШЕМ СПИСКЕ»
Рэндел Манро (род. в 1984 году) работал в NASA, пока в 2005 году не обнаружил в себе уди-
вительный талант смешить людей шутками на околонаучные темы. Он начал рисовать комик-
сы xkcd - «веб-комикс о романтике, сарказме, математике и языке». В его схематичных комик-
сах часто упоминаются различные понятия физики, математики и информатики. Курт Гёдель
становился героем множества историй, однако лучшая из них рассказана в комиксе «Фетиши»,
приведенном ниже. В нем вы можете видеть трех персонажей, а рисунки поясняет текст:
«Недавно писатель Катарина Гейтс попыталась составить таблицу всех сексуальных
фетишей. Она понятия не имела, что ту же задумку уже однажды провалили Рассел
и Уайтхед».
Один из героев комикса говорит:
- Привет, Гёдель. Мы тут собираем полный список всех фетишей. Скажи, что тебя воз-
буждает?
- Всё, что не в вашем списке, - отвечает Гёдель.
Author Katharine. Gates recently attempted
TO ПАКЕ A CHART OF ALL SEXUAL FETCHES.
LITTLE DO SHE KNOW W ROSSQL- AND WHITEHEAD
HAD already failed at this same task.
HEX GODEL - WE'RE COMPILING
A comprehensive list of Fetishes.
WHAT TURNS YOU ON?
ANYTHING NffT
I ON YOUR USE
UH...HM. .
\
Рэндел Манро на встрече
в Массачусетском технологическом
институте (источник: Petehume).
74
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
неполные системы, которые перестают быть таковыми, если добавить к ним несколь-
ко аксиом. Однако в случае с арифметикой это не так: Гёдель не только привел
недоказуемое утверждение С$, но и доказал, что не имеет смысла включать его в ка-
честве аксиомы, так как, применив аналогичный метод на множестве Т = 5 + С5 —
множестве аксиом, которое вновь будет непротиворечивым и рекурсивно перечисли-
мым, — мы получим новое истинное, но недоказуемое высказывание Сг Если от-
рубить гидре с бесконечным числом голов одну, это не спасет нас от неполноты.
Мы обещали объяснить, как можно перевести на язык арифметики неразреши-
мое высказывание «я недоказуемо», однако вначале скажем несколько слов о вто-
рой теореме о неполноте. В главе 1 мы упомянули, что в противоречивой системе
аксиом любое высказывание является теоремой. Следовательно, существование
хотя бы одной формулы, которая не является теоремой, позволяет доказать, что рас-
сматриваемая теория является непротиворечивой. Если можно найти всего одно
недоказуемое высказывание, это автоматически доказывает непротиворечивость
системы. Достаточно всего одного! Поэтому зачем рассматривать сложные выска-
зывания, когда достаточно простейшего: 0 = 1? В начале книги мы указали, как
теорема «единица отлична от нуля» выводится из аксиом Пеано. Нетрудно убедить-
ся в том, что в любой разумной теории о числах, даже при выборе иных аксиом, ноль
будет отличаться от единицы. Таким образом, заявление «арифметика является
непротиворечивой» равносильно словам: формула 0 = 1 недоказуема.
И вновь мы столкнулись с высказыванием на метаязыке, однако благодаря «гёде-
лизации» мы можем преобразовать ее в формулу о числах, которую обозначим Cons
(где S — система аксиом). В этой системе обозначений первая теорема о неполноте
гласит, что из Cons следует С$, так как если арифметика является непротиворечивой
(иными словами, Cons истинна), то С$ истинна. Здесь будет уместно напомнить,
в чем заключается одно из важнейших правил дедукции, modus ponens, позволяю-
щее выводить из логической формулы «если А, то В» и формулы А формулу
В. Предположим на мгновение, что непротиворечивость арифметики можно дока-
зать в рамках самой арифметики. Следовательно, формула Соп5 является доказуе-
мой, и, вкупе с доказательством первой теоремы о неполноте Соп5 Gs, согласно
modus ponens следует доказательство Cs. Однако этот вывод абсурден, ведь Gs
недоказуема! Единственный возможный вывод таков: чтобы доказать непротиво-
речивость арифметики, нужно выйти за ее пределы — именно об этом говорится
во второй теореме о неполноте, которую сам Гёдель считал «неожиданным след-
ствием» своих исследований.
75
ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ
Согласно программе Гильберта, для доказательства непротиворечивости матема-
тики следовало начать с арифметики. Тем не менее вторая теорема Гёделя указыва-
ет, что если доказательство непротиворечивости арифметики существует, то в нем
обязательно должны использоваться более сложные методы, чем предложенные
формалистами финитные. Читатель наверняка заметил, что название статьи Гёделя
«О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных
систем /» наводит на мысли о возможном продолжении. И действительно, в этой
статье содержались лишь наброски второй теоремы о неполноте. Хотя все указан-
ное в ней было верно, Гёдель так и не написал вторую часть статьи, что согласуется
с его образом «исследователя, который оставляет работу над деталями остальным»,
созданным его биографами. На самом деле Гёдель объяснил все подробности дока-
зательства Давиду Гильберту и его коллеге Паулю Бернайсу (1888—1977) во время
трансатлантического путешествия — они и опубликовали первое полное доказа-
тельство второй теоремы о неполноте в 1939 году. О духе тогдашней науки свиде-
тельствует тот факт, что сам Гильберт завершил доказательство теоремы, которая
сводила на нет все его труды в течение предыдущих 25 лет.
Однако теоремы о неполноте были приняты совершенно не так, как они того
заслуживали. Некоторые математики считали, что неразрешимое высказывание
«я недоказуемо» — лишь любопытный частный случай, никак не влияющий на их
исследования. Были и те, кто не понимал тонкую разницу между истинным и до-
казуемым и обвинял Гёделя в том, что он воспроизвел парадокс лжеца. К их числу
относился и шестидесятилетний Эрнст Цермело, хотя он как никто другой знал,
сколь тяжело бороться за идею: его аксиома выбора в свое время вызвала огромное
множество критических отзывов. Словом, математическое сообщество в то время
не было готово понять работу, содержавшую принципиально новые методы и касав-
шуюся области, которая традиционно была уделом меньшинства. Томас Кун совер-
шенно прав, указывая в своей книге «Структура научных революций», что «откры-
тие всегда сопровождается трудностями, встречает сопротивление, утверждается
вопреки основным принципам, на которых основано ожидание». К счастью, перевод
статьи Гёделя на английский язык и популярное изложение его теорем способство-
вали тому, что начиная с 70-х годов теоремы о неполноте постепенно обрели статус
важнейших открытий в логике со времен Аристотеля.
76
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
Курт Гёдель в Институте перспективных исследований
в Принстоне, Нью-Джерси.
77
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
ГЁДЕЛЬ И АМЕРИКАНСКОЕ ГРАЖДАНСТВО
Покинув нацистскую Германию, Курт Гёдель в 1940 году был принят на работу в Принстонский
университет. Когда семь лет спустя он получил американское гражданство, с ним произошел
анекдотичный случай. Как и остальные кандидаты, Гёдель должен был продемонстрировать
на экзамене знание американской конституции. И хотя экзамен был лишь формальностью,
Гёдель решил серьезно подготовиться к нему, однако во время подготовки обнаружил в Кон-
ституции США несколько логических противоречий:
- Ранее у вас было немецкое гражданство?
- Нет австрийское! - поправил чиновника Гёдель.
- Какая разница, в любом случае - страна с проклятым диктатором. К счастью, в Америке
это невозможно!
- Совершенно наоборот, - перебил Гёдель. - И я знаю, как это может случиться!
Однако чиновник, которого Альберт Эйнштейн предупредил, что Гёдель отличается от осталь-
ных кандидатов, взял нить разговора в свои руки и перешел к рутинным вопросам, сказав:
«Не будем умствовать». Примерно е то же самое время некоторые логики начали формировать
основы новой теории - деонтической логики, целью которой было избежать противоречий при
дополнении существующих законов новыми положениями.
Гёделевская нумерация
21 июня 1851 года Адольф Андерсен, лучший шахматист того времени, встретился
в одном из старейших ресторанов Лондона с Лионелем Кизерицким, преподавате-
лем шахматного клуба в Париже, и сыгранная ими партия позже была названа бес-
смертной. Впечатленный стратегией Андерсена, который пожертвовал слоном, фер-
зем и двумя ладьями, Кизерицкий захотел отправить запись партии в свой шахмат-
ный клуб. «Белые: пятая пешка слева передвинута на две клетки вперед. Черные:
пешка на той же вертикали ставится перед пятой пешкой белых. Белые: третья пеш-
ка справа передвигается на две клетки вперед. Черные: пешка, которой был сделан
первый ход, бьет пешку, которой белые совершили последний ход»... Но нет! За-
пись выглядела вовсе не так. Ее первые символы: е2—е4 е7—е5 f2—f4 е5: f4 ...».
Вся запись заняла не больше трех строк!
78
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
Если бы шахматист использовал первый способ записи, стоимость телеграммы
с описанием партии превысила бы стоимость счета в «Кафе де ля Режанс», где сы-
грать в шахматы можно было за пять франков в час.
Игроки разработали чрезвычайно краткий способ записи ходов. Для этого они,
во-первых, применили старинный метод аналитической геометрии Декарта, благо-
даря которому каждая клетка шахматной доски стала обозначаться двумя коорди-
натами: латинской буквой от а до /г обозначались вертикали, числами от 1 до 8 —
горизонтали. Пешки не обозначались никак, а все остальные фигуры получили
обозначения по первым буквам названий (в русской нотации: Кр — король, Ф —
ферзь, Л — ладья, К — конь, С — слон). Далее нотация пополнилась другими
символами: взятие фигуры обозначалось буквой х (в русской нотации — двоеточи-
ем), шах — знаком умножения в русской нотации и решеткой (#) — в междуна-
родной. В этой нотации последовательность символов «е2—е4 е7—е5 f2—f4 е5: f4»
означает: «белые делают ход пешкой на клетку е4, черные отвечают ходом пешки
на е5. Затем белые делают ход пешкой на f4, черные проводят взятие этой пешки
пешкой, которая находилась на клетке е5».
Этот пример подтверждает, насколько удобно использовать системы кодов
в различных областях, в том числе за пределами математики, преобразуя сложные
выражения в цепочку простых символов. В предыдущей главе вы видели, как свой-
ства натуральных чисел, записанные обычным языком, можно перевести на язык
символов, описанный в «Началах математики». Так, аксиома «О не следует ни за ка-
ким натуральным числом» в этой системе преобразуется в формулу ~’3x(sx = 0).
Однако Гёделю требовалось сделать еще один шаг вперед: чтобы доказать теорему
о неполноте, ему было недостаточно свести арифметику к формулам — требова-
лось свести любую формулу и даже любое доказательство к единственному числу.
И Гёдель вспомнил, что на семинарах по истории философии, которые он посещал
во время учебы в Венском университете, профессор Теодор Гомперц рассказывал
об издании Луи Кутюром неотредактированных рукописей Лейбница в 1903 году.
Подобно своим гениальным предшественникам, Лейбниц потратил немало сил,
чтобы положить конец вавилонскому смешению языков, которым Бог наказал лю-
дей за то, что они хотели построить башню высотой до самого неба. Для этого Лейб-
ниц задумал универсальный язык, в котором все человеческие мысли вне зависимо-
сти от языка носителя сводились к каталогу первичных идей, каждой из которых
ставилось в соответствие простое число. С помощью этой системы можно было най-
ти числа, соответствующие производным идеям так, что всегда было возможным
79
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
«извлечь базовые обозначения, их составляющие», подобно тому, как из простых
чисел образуются составные. Если понятиям «вода» и «неподвижность» поставле-
ны в соответствие, например, числа 3 и 5, то понятие «озеро» (неподвижная вода)
можно выразить произведением 3 • 5. И напротив, если понятие озера обозначается
числом 15, мы можем разложить 15 на простые множители, найти в энциклопедии
основных идей те, что соответствуют числам 3 и 5, и сделать вывод, что озеро есть
не более чем неподвижная вода. Так, чтобы узнать, является ли утверждение вида
«А есть В» истинным, достаточно определить, делится ли число, обозначающее В,
на число, обозначающее А, и «когда возникнет противоречие, необходимости в спо-
ре между двумя философами будет не более, чем между двумя математиками». Эта
амбициозная программа Лейбница, открытая спустя двести лет после его смерти,
никогда не была реализована, однако она подсказала Гёделю, как можно перевести
метаязык на язык арифметики.
Напомним, что простые числа — это числа, которые делятся только на 1 и на са-
мих себя: например, число 5 простое, так как не делится ни на 2, ни на 3, ни на 4,
однако 6 не является простым, так как при делении на 2 дает 3. Первыми простыми
числами являются 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19, 23, 29, 31. Путем доказательства от про-
тивного, которое так не любили интуиционисты, можно установить, что этот пере-
чень простых чисел можно продолжать бесконечно. Большинство усилий физиков
второй половины XX века было направлено на определение элементарных частиц,
из которых состоит материя и которые нельзя разделить на другие, более мелкие ча-
стицы. Математикам же со времен Евклида известно, что элементарными частицами
арифметики являются натуральные числа. Действительно, для любого натурального
п возможны два варианта: либо и является простым, либо существует число, отлич-
ное от 1 и и, которое является делителем этого числа. Если, например, п равно 23,
то мы имеем дело с первым случаем, но если п равно 30, то его можно разделить на 2.
Следовательно, исходное число не является простым. Его можно представить
в виде произведения: и = а • b (в нашем случае 30 = 2 • 15). Мы получили два чис-
ла, для которых повторим вышеописанные действия: если оба этих числа являются
простыми, процесс на этом завершается, но если одно из них не является простым,
мы вновь запишем его в виде произведения сомножителей. В нашем примере 2 яв-
ляется простым, однако 15 можно представить в виде произведения 15 = 3 • 5, таким
образом, 30 = 2 • 3 • 5. Так как 2, 3 и 5 — простые числа, процесс на этом заверша-
ется. В общем случае мы либо находим простой сомножитель, либо найденные нами
множители постепенно уменьшаются — это гарантирует, что описанный нами про-
цесс рано или поздно завершится. Таким образом, мы доказали основную теорему
80
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
арифметики, которая гласит, что любое число можно представить в виде произведения
простых множителей, которые могут повторяться. Пример: 77220 = 2 • 2 • 3 X
X 3 • 3 • 5 • И • 13. В этом случае используется сокращенная запись: 77 220 = 22 • З3 X
X 5 • И • 13, где показатели степеней указывают, сколько раз повторяется каждый
сомножитель.
Основная теорема арифметики утверждает, что разложение на простые множи-
тели не только существует для любого натурального числа, но и является единствен-
но возможным (порядок множителей при этом не имеет значения). Иными словами,
мы можем записать число 77 220 другим способом, например 77 220 = 5 22 11 X
X З3 • 13, однако и в новом разложении будут использоваться те же простые множи-
тели, возведенные в те же степени.
В предыдущей главе мы показали, что «алфавит» арифметики состоит из восьми
символов: 0 (число ноль), s (функция следования), —। (отрицание), V (дизъюнкция
«или»), 3 (существование), = (равенство), открывающие и закрывающие скобки.
Мы также использовали переменные х, у, z для обозначения чисел. На первом этапе
кодификации Гёдель предложил поставить в соответствие каждому из этих симво-
лов число от 1 до 8, переменным х, у, z — три первых числа, больших 8, как по-
казано в таблице ниже.
0 S “I V 3 = ( ) X У 1
1 2 3 4 5 6 7 8 И 13 17
После того как мы присвоили числа «основным идеям» арифметики, закодиро-
вать формулу очень просто: сначала нужно подсчитать число используемых в ней
символов (с повторениями) и выбрать столько же простых чисел. Размеры фор-
мулы не имеют значения, так как простых чисел бесконечно много. Далее каждое
простое число возводится в степень, соответствующую символу, согласно таблице,
приведенной выше, после чего все множители перемножаются. Но вместо долгих
объяснений рассмотрим один пример.
Третья аксиома Пеано гласит, что «0 не следует ни за каким натуральным чис-
лом», и записывается в виде ~>3x(sx = 0). Будем следовать инструкциям « гёдели -
зации»: чтобы преобразовать эту формулу в число, сначала нужно подсчитать,
сколько символов в ней используется. Их всего девять: 3, х, (, s, х, 0 и). Вы-
берем первые девять простых чисел, а именно: 2, 3, 5, 7, И, 13, 17, 19 и 23. Соглас-
81
ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ
но таблице, —। отрицанию соответствует число 3, следовательно, нужно возвести
простое число 2 в степень 3, то есть вычислить 23. Квантор существования 3 обо-
значается числом 5, поэтому нужно возвести простое число 3 в пятую степень: З5.
Повторив аналогичные действия, получим 511, 77, И2,1311,176,191 и 238. После того
как мы перемножим эти числа, формула примет вид:
23.35.511.77.112.1311.176.191.238
Описанный нами метод позволяет представить любую формулу в виде числа, ко-
торое мы будем называть числом Гёделя. Никто не мешает нам выполнить аналогич-
ные действия и для доказательств. Напомним, что доказательство — это не более
чем конечная последовательность, состоящая, например, из п формул. Следователь-
но, можно сначала представить в виде числа каждую из этих формул, затем вы-
брать п простых чисел, возвести каждое из них в степень, равную числу Гёделя для
каждой из формул, после чего вычислить их произведение. Таким образом, любое
арифметическое доказательство сводится к одному числу.
Ключевой момент здесь заключается в том, что «гёделизация» является обрати-
мой. Те, кто немного знаком с химией, знают, что одной из важнейших задач в ней
является определение того, какие реакции являются обратимыми. Например, при
сжигании топлива оно превращается в водяной пар и диоксид углерода — знамени-
тый углекислый газ, являющийся причиной парникового эффекта. Однако из этих
газов нельзя получить исходное топливо, в противном случае все энергетические
проблемы человечества были бы решены. Другие химические реакции обратимы,
как, например, реакция, происходящая при пропускании водяного пара над раска-
ленной железной пластиной: полученные в ее результате оксид железа и водород
можно вновь превратить в железо и водяной пар.
Именно этот сценарий мы хотим восстановить в арифметике, так как числа
никогда не смогли бы вести «двойную жизнь», как того хотел Гёдель, если бы, играя
одну роль, они навсегда забывали бы о другой. Благодаря основной теореме ариф-
метики все «реакции» при «гёделизации» обратимы. Рассмотрим, почему это так.
Допустим, дано число
304 496 379 203 017 490 604 020 678 ИЗ 081 132 612 291 772 080 917 708
404 389 616 093 394 253 015 558 500 327 468 465 234 375 000,
которое мы записали специально для того, чтобы читатель представил себе наимень-
шие числа Гёделя. Основная теорема арифметики гарантирует, что это число можно
82
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
разложить на простые множители. Если вы не хотите выполнять разложение вруч-
ную, что вполне объяснимо, то можете обратиться к веб-странице http://www.
wolframalpha.com и записать в строке поиска слово «factor», а затем — это число.
Для разложения больших величин на простые множители компьютеру потребуется
значительное время, однако важно другое: основная теорема арифметики гарантиру-
ет, что это разложение всегда существует и, более того, является единственным.
К счастью, наше число сравнительно невелико, поэтому его разложение на множи-
тели займет менее секунды:
23* З5-5 п-7 3-Ц5-1313-17 7-1913-236-291 2-3111-37 8.
Теперь осталось внимательно рассмотреть показатели степеней и восстановить
исходные символы согласно таблице. Мы получим формулу ~i3x~'3y(y = sx), ко-
торая гласит, что не существует натурального числа х такого, что для него не суще-
ствует числа у такого, что у является числом, следующим за х. Переформулировав
это высказывание, читатель убедится, что его можно записать в виде «число, следу-
ющее за натуральным, тоже есть натуральное число», а это есть не что иное, как
вторая аксиома Пеано.
Разумеется, не все натуральные числа являются числами Гёделя для какой-либо
формулы, но даже если кто-то скажет нам, что какое-либо число не соответству-
ет никакой формуле арифметики, мы мгновенно сможем это проверить. Например,
15 = 3 • 5 не является числом Гёделя для какой-либо формулы, так как по условиям
«гёделизации» разложение числа на простые множители должно обязательно содер-
жать первые простые числа без пропусков, а в разложении 15 отсутствует число 2.
Число 1536 = 29 • 3 также не соответствует никакой формуле арифметики: хотя в его
разложении присутствуют первые простые числа без пропусков, число 9 не соответ-
ствует ни одному из символов алфавита.
Подведем итог: описанная система кодификации позволяет сопоставить любой
формуле (и любому доказательству) арифметики число, кодирующее всю ее струк-
туру целиком. Кроме того, эта «математическая реакция» является обратимой в том
смысле, что, разложив произвольное натуральное число N на простые множители,
можно определить следующее.
1. Является ли N числом Гёделя для некоторой формулы.
2. Если число N соответствует некоторой формуле, то какой именно.
83
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
ГЁДЕЛЬ В ЛИТЕРАТУРЕ
В романе «Новые признания» (The new confessions) Уильяма Бойда главный герой снимает
шедевр немого кино, однако его премьера остается незамеченной, так как в то же самое время
появляются первые звуковые короткометражные фильмы. Лишь Курт Гёдель, который мимолет-
но появляется на страницах романа, признает талант режиссера.
В романе мексиканского писателя Хорхе Вольпи «В поисках Клингзора», опубликованном
на десять лет позже, подруга главного героя, физика по имени Фрэнсис Бэкон, врывается на се-
минар Гёделя в Институте перспективных исследований и начинает кричать на него, обвиняя
в неверности. Когда действие переносится в последние ряды аудитории, «профессор Гёдель
объявляет, что не может продолжать занятия, и безудержно заливается слезами». Главным его
конфликтом, объясняет автор устами фон Неймана, были не формально неразрешимые пред-
ложения, а «терзания от любви к проститутке - собственной жене». Эпизод «Новых признаний»
выглядит правдоподс 5ным, но сцена, описанная Вольпи, и жестока, и неправдоподобна.
Писатель Уильям Бойд сделал Курта Гёделя одним из героев
своего романа «Новые признания».
Доказательство теорем о неполноте
Хотя мы уделили немало времени объяснениям гениального метода нумерации,
на создание которого Гёделя вдохновили труды Лейбница, не следует забывать, что
этот метод — лишь средство достижения цели: доказать, что в любой непротиво-
речивой и рекурсивно перечислимой системе аксиом существуют истинные, но недо-
84
ТЕОРЕМЫ ГЕДЕЛЯ
казуемые высказывания. В начале этой главы мы указали, по какой схеме должно
выполняться это доказательство: в парадоксе лжеца нужно заменить понятие истин-
ности понятием доказуемости и получить самоотносимое утверждение, которое гла-
сит: «я недоказуемо». Если противоречия не допускаются, то это утверждение
должно быть истинным, следовательно, недоказуемым. Основная сложность, как
мы уже указывали, заключается в том, чтобы найти арифметический эквивалент
этого утверждения на метаязыке, в котором речь идет не о числах, а о математиче-
ских теориях. Теперь в нашем распоряжении есть все необходимые методы, позво-
ляющие это сделать. Далее мы попытаемся изложить важнейшие этапы доказатель-
ства Гёделя максимально простым языком.
Нужно перевести на язык арифметики утверждение «я недоказуемо». Но что
означает доказуемость утверждения в системе аксиом арифметики? Это означает,
что существует доказательство, которое заканчивается нашим утверждением,
то есть конечная последовательность формул, каждая из которых является либо ак-
сиомой, либо получена из предыдущих формул с помощью правил вывода. Чтобы
определить, является ли последовательность формул, которую мы обозначим Z, до-
казательством высказывания X, нужно показать, что X строится по вышеуказанно-
му правилу и что его последней формулой является именно X. Основная идея за-
ключается в том, чтобы с помощью «гёделизации» сопоставить формулам X и Z
числа Гёделя, которые мы будем обозначать строчными буквами х и z. Нам хоте-
лось бы найти механизм D, который позволял бы для натуральных чисел х и z через
определенное количество шагов дать ответ, является ли последовательность формул,
соответствующая числу z, доказательством формулы с числом Гёделя х. Следова-
тельно, высказывание D (х, z) будет истинным, если Z доказывает формулу X,
и ложным — в противном случае.
Приведем простейший пример. Напомним, что число Гёделя для второй аксиомы
Пеано равно 2 3 • 3 5 • 5 11 • 7 3 • И 5 • 13 13 • 17 7 • 19 13 • 23 6 • 29 2 • 3111 • 37 8. Так как
определяющее свойство аксиом гласит, что они являются доказательством самих
себя, то если мы подставим вышеприведенное число вместо х и z в D (х, z), резуль-
тат будет истинным: последовательность формул для числа Гёделя z, состоящая
в этом случае лишь из второй аксиомы Пеано, является доказательством формулы,
которой соответствует число х — это вновь вторая аксиома Пеано! Однако если мы
введем в качестве значения z число 23 • З5 • 511 • 77 • И2 • 1311 • 176 • 191 • 238, меха-
низм D (х, z) выдаст результат «ложь», так как формула, соответствующая этому
числу, не является доказательством второй аксиомы Пеано. Тот факт, что формула
для числа Гёделя х доказуема, означает, что существует число z такое, что последо-
85
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
вательность формул, соответствующая z, является доказательством формулы, свя-
занной с х. Иными словами, существует z такое, что высказывание D (х, z) являет-
ся истинным. Как следствие, формула 3z D (х, z), которую для краткости будем
обозначать Dem (х), гласит, что формула, соответствующая числу Гёделя х, доказу-
ема. Вкратце повторим вышеизложенное: если бы существовала формула D, то бла-
годаря «гёделизации» все тонкости доказуемости высказываний можно было бы
свести к простому отношению между натуральными числами х и z. Какая же теория
рассматривает подобные отношения? Арифметика!
Читатель уже наверняка понял, что наиболее трудоемкая часть работы Геде-
ля состояла в том, чтобы доказать, что механизм, обладающий описанными выше
свойствами, действительно существует. Для этого Гёделю потребовалось 46 этапов,
которые мы опишем лишь вкратце. Допустим, что дано некоторое натуральное чис-
ло z, кодирующее некую последовательность формул. По основной теореме арифме-
тики мы можем разложить z на простые множители:
z = p^-p2k2-pf-... -pnkn.
Итак, мы разложили число z на простые множители, возведенные в различные
степени. Так как z соответствует последовательности формул, то каждый показатель
степени будет числом Гёделя для одной из этих формул. Таким образом, мы можем
определить числа Гёделя для всех формул последовательности, которые обозначим
/?о, • • • /? .
1 Z У п
Вновь повторим одно из основных утверждений этой книги: доказательство —
это конечная последовательность формул, каждая из которых является либо акси-
омой, либо получена из предыдущих формул с помощью правил вывода. Следова-
тельно, нужно подтвердить следующее:
— первый шаг: последовательность формул с числами Гёделя kv k2, ... kn явля-
ется доказательством, то есть каждому из этих чисел соответствует либо ак-
сиома, либо высказывание, которое получено из предыдущих с помощью пра-
вил вывода;
— второй шаг: последняя формула последовательности — это формула, которую
мы хотим доказать.
Начнем с последнего шага, который является наиболее простым: нам дана фор-
мула, которой соответствует число Гёделя х, и мы хотим узнать, оканчивается ли
последовательность высказываний этой формулой, — простейшее требование, ко-
86
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
торое должно выполняться, если речь действительно идет о доказательстве. Выше-
приведенные расчеты позволяют определить числа Гёделя для каждой формулы по-
следовательности. Последней формуле соответствует число kn, поэтому достаточно
проверить, что числа х и kn равны. Никто не усомнится в том, что проверить равен-
ство чисел очень просто.
Теперь перейдем к первому этапу нашей гонки с препятствиями и рассмотрим
формулы, которым соответствуют числа Гёделя k2, ... k„. Именно здесь обяза-
тельно должно выполняться условие рекурсивной перечислимости системы аксиом
арифметики — ранее это условие казалось не более чем причудой. Напомним, что
множество аксиом 5 является рекурсивно перечислимым, когда за конечное число
шагов можно показать, является некоторое высказывание аксиомой или нет. Следо-
вательно, в нашем распоряжении находится формула А (х) (А — по первой букве
слова «аксиома»), которая для любого числа х позволяет определить, является ли
соответствующее ему высказывание аксиомой. Достаточно вычислить A (k}),
A (k2), ... A (kn), и мы узнаем, какие из высказываний предполагаемого доказа-
тельства являются аксиомами. Первая формула, которой соответствует число Гёде-
ля kv обязательно должна быть аксиомой, так как ей не предшествуют формулы,
из которых ее можно было бы вывести. Следовательно, если результат A слу-
чайно окажется ложным, дальнейшие денствия не потребуются: z не является чис-
лом Гёделя, соответствующим доказательству. Предположим, что этого не произо-
шло.
Некоторые из следующих формул, которым соответствуют числа /?2, /?3 ... kn,
будут аксиомами, другие — нет. Для тех, что не являются аксиомами, нужно пока-
зать, что они выводятся из предыдущих высказываний по допустимым правилам
вывода. В своей скрупулезно выполненной работе Гёдель доказывает, что для каж-
дого правила вывода существует формула I, которая для первых s чисел kr k2, ... ks
возвращает результат «истина», если формула, обозначаемая числом Гёделя ks, вы-
водится из формул, обозначаемых числами Гёделя k2 ... k t (предшествующей
формулы), по соответствующему правилу вывода. Например, I (kr k2, k4) будет
истинной, если четвертая формула последовательности выводится из трех предыду-
щих по правилу вывода, обозначаемому формулой /. Таким образом, этот процесс
можно выполнить для формул, которые не являются аксиомами, и если для каждой
из них формула, обозначающая хотя бы одно из правил вывода, вернет значение
«истина», то первый этап будет успешно завершен, и z будет числом Гёделя, обо-
значающим доказательство. Так как здесь нетрудно запутаться в технических дета-
лях, выделим главное: нужно запомнить, что мы доказали существование процесса
87
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
D (х, z), определяющего, является ли последовательность формул, обозначаемая
числом z, доказательством высказывания, которому соответствует число Гёделя х.
Для этого достаточно выразить в виде отношений между числами правила, которым
должно удовлетворять доказательство, что мы уже не раз повторили.
Отлично: в рамках арифметики мы сформулировали высказывание Dem (х), ко-
торое гласит: «формула, выражаемая числом Гёделя х, доказуема». Отрицанием
этой формулы будет —। Dem (х), которая звучит так: «формула, выражаемая числом
Гёделя х, недоказуема». Пока что все абсолютно понятно, но мы постепенно при-
ближаемся к тому, чтобы совершить своеобразное сальто-мортале. Сначала следует
напомнить, что высказывание «арифметика является непротиворечивой», которое
фигурирует во второй теореме о неполноте, равносильно высказыванию «формула
0 = 1 недоказуема». Напомним также, что 1 является числом, следующим за нулем,
то есть 1 = $0. Предлагаем читателю убедиться, что число Гёделя для формулы
0 = 1 равно 255150. Следовательно, высказывание - Dem (255150), переведенное
на язык арифметики, гласит, что «формула, обозначаемая числом Гёделя 255150,
недоказуема», то есть «формула 0 = 1 недоказуема», что равносильно высказыва-
нию «арифметика непротиворечива». Высказывание —• Dem (х) позволяет убить
сразу двух зайцев.
Важность выражения - Dem (х) заключается в том, что это уже не высказы-
вание на повседневном языке, а арифметическая формула, в которой используются
только символы 0, s, V, 3, =, (, ) и некоторые переменные. Буквы «Dem» — это
лишь сокращенный способ записи этого выражения, так как его полная запись очень
сложна и занимает не одну страницу. Однако если мы захотим найти его полную за-
пись, то сможем сделать это, используя исключительно символы алфавита арифмети-
ки. И ради этого мы потратили столько сил! У нас нет никаких сомнений, что теперь
читатель знает, что нужно сделать всякий раз, когда ему встретится записанная в та-
ком виде формула: ее нужно записать согласно гёделевской нумерации. Сопоставим
выражению -• Dem (х) число Гёделя, которое обозначим d. Возможно, это число
будет настолько большим, что во всем мире не хватит чернил, чтобы записать его,
однако его размер совершенно не важен — главное, что это число будет конечным.
Вся структура высказывания «формула, обозначаемая числом Гёделя х, недока-
зуема», содержится в единственном числе d. Параметр х не фиксирован, он не рав-
няется, например, 14451937 500, а может принимать любые значения. Но если этот
параметр может принимать любые значения, почему бы умышленно не принять х
равным В этом случае мы получим высказывание — Dem (J), которое гласит, что
«формула, выражаемая числом Гёделя d, недоказуема», но так как d, в свою оче-
88
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
НЕПОЛНОТА ЗАМОЩЕНИЙ
Замощение плоскости - это покрытие ее «облицовочной плиткой» определенной формы без
промежутков и наложений. Исламское искусство содержит прекраснейшие образцы замощений,
но они встречаются и в природе: так, пчелиные соты представляют собой оптимальное замо-
щение плоскости шестиугольниками. Оно необязательно должно быть правильным: возможно,
существуют другие, непериодические замощения, не обладающие какой-либо симметрией.
В 70-е годы логик Хао Ван (1921-1995) обнаружил, что если вопрос о замощении плоскости
является неразрешимым в том же смысле, в каком нельзя ни доказать, ни опровергнуть выска-
зывание «я недоказуемо», то подобные непериодические замощения плоскости существуют. Так
как возможность существования подобных замощений показалась ему полностью абсурдной,
он сделал вывод: этот вопрос обязательно должен быть разрешимым. Однако несколько лет
спустя один из его студентов доказал, что, используя 20426 плиток разной формы, можно полу-
чить непериодическое замощение плоскости. Эта величина понемногу уменьшалась, и в итоге
было найдено непериодическое замощение плоскости, состоящее всего из двух плиток разной
формы.
Слева — правильное замощение плоскости, образованное одинаковыми
правильными многоу! ольниками подобно пчелиным сотам.
Справа — пример непериодического замощения.
редь, является числом Гёделя, обозначающим высказывание «формула, выражаемая
числом Гёделя х, недоказуема», —• Dem (d) преобразуется в высказывание «форму-
ла „формула, выражаемая числом Гёделя х, недоказуема** недоказуема». Нетрудно
видеть, что это высказывание означает не что иное, как «я недоказуемо»1.
1 В этой книге мы не можем абсолютно точно привести формулы, описывающие свободные переменные, замены
и обобщения, которые Гедель использовал в своей статье. Однако мы полагаем, что упомянули все основные элементы
его доказательства.
89
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
О чем не говорится в теоремах
Заключительный этап рассуждений, в котором мы доказали, что никакое непроти-
воречивое и рекурсивно перечислимое множество аксиом арифметики не может
быть полным, очень точно воспроизводит сцену, когда ученики возвращаются
из школы домой и плачут: «Мама, я никогда не буду логиком!», а остальные —
«горсточка счастливцев», о которых писал Шекспир, — улыбаются до ушей. Мы
хотим, чтобы читатель этой книги оказался в числе этих немногих. Хотя, возможно,
нам не удалось достичь этой цели, и те, кто хочет закричать: «Мама, я никогда
не буду логиком!» или отбросить книгу в сторону, поймут, что теоремы, о которых
мы только что рассказали, не имеют ничего общего с фразой вида: «После того как
Гёдель доказал, что не существует доказательства непротиворечивости арифметики
Пеано, которое формулируется в терминах самой арифметики, политологи, наконец,
поняли, почему следовало мумифицировать Ленина и выставить его на обозрение
в Мавзолее».
Следует признать, что автор этой цитаты, французский эссеист Режи Дебре,
известен своим воображением, но отнюдь не невежеством: он родился в 1940 году
и изучал философию у Луи Альтюссера в Высшей нормальной школе Парижа.
Он находился в тюремном заключении в Боливии, но был освобожден после на-
чала международной кампании в его поддержку, в которой участвовали Жан-Поль
Сартр и папа римский Павел VI — трудно найти более непохожих друг на друга
людей. В свободное от политики время Дебре начал работу над своим трудом, се-
годня насчитывающим около пятидесяти книг, среди которых «Происхождение по-
литики», из которой и взята цитата о Ленине.
Пример Режи Дебре не единственный: другие интеллектуалы, например фило-
софы Жиль Делёз и Юлия Кристева, психоаналитик Жак Лакан и архитектурный
критик Поль Вирильо, использовали прием, который французский философ Жак
Бувресс называл «головокружением аналогий». Они выводят из логического выска-
зывания, носящего сугубо технический характер, некий общий вывод, не имеющий
никакого отношения к математике, но псевдонаучный вид которого, несомненно,
произведет впечатление на читателя.
Гораций писал, что однажды выпущенное слово улетает безвозвратно. Помимо
цитат, приведенных в этой книге, читатель может самостоятельно ознакомиться
с оригинальными произведениями Юлии Кристевой, Режи Дебре, Жака Лакана,
Жиля Делёза и Поля Вирильо и решить, являются их слова доказательством того,
что не следует рассуждать о неизвестном, или, напротив, они как нельзя лучше под-
90
ТЕОРЕМЫ ГЁДЕЛЯ
тверждают огромную притягательность некоторых теорем, которые — повторим
вслед за Джоном фон Нейманом — являются вехой, видимой издалека, во времени
и пространстве. Далее мы расскажем только о тех, кто прекрасно понимал, о чем
говорит, и на сцену выходит один из величайших гениев в истории — Алан Мэтисон
Тьюринг.
91
Глава 5
Машины Тьюринга
На что я могу надеяться?
Иммануил Кант
«Евр...» Бетти нетерпеливо ожидала, когда телеграфный механизм остановится,
чтобы прочитать сообщение целиком. «Европа». Прошло больше пяти лет с того
дня, как журнал, который она любила читать в часы, свободные от работы прислу-
гой в одной из богатейших лондонских семей, устроил конкурс кроссвордов. «Евро-
па ник...» Каждый день она вспоминала, как удивило ее известие о победе в кон-
курсе и как она не решалась попросить недельный отпуск. «Европа никогда». Затем
она попыталась восстановить в памяти путешествие с другими любителями логиче-
ских задач, пока очертания Блетчли-парка не стали в ее памяти столь же ясными,
как в тот осенний день, когда она впервые увидела его. «Европа никогда не будет».
Она боялась забыть малейшие подробности истории, которую собиралась расска-
зать всему миру, когда закончится война. Р-у-с-с-к-о-й. Последнее слово появи-
лось с небольшим опозданием, но Бетти могла праздновать очередную победу со-
юзных войск: ей удалось перехватить сообщение «Европа никогда не будет рус-
ской». Было 15 апреля 1945 года, и с этой фразой Адольф Гитлер обратился к высо-
копоставленным членам нацистской партии.
Они не единственными получили умоисступленное сообщение диктатора за две
недели до его самоубийства: Гиммлер и не подозревал, что его переписку с Гитлером
читало одновременно десять тысяч человек в маленьком поселке в восьмидесяти ки-
лометрах от Лондона, надежно спрятанном, чтобы избежать бомбардировок. Имен-
но там в 1939 году была создана правительственная школа кодов и шифров, которая
занималась расшифровкой сообщений, кодируемых нацистами на машине «Эниг-
ма» — самой совершенной шифровальной машине того времени. «Энигму»
в 1918 году начал производить инженер Артур Шербиус. Вначале он продавал ма-
шину частным лицам, однако потом ее потенциал оценили немецкая армия и флот,
и «Энигма» начала широко использоваться военными, службой безопасности и раз-
ведкой. Когда войска вермахта вторглись в Польшу в начале сентября 1939 года,
93
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
методы шифрования «Энигмы» достигли такой сложности, что возможность их
взлома даже не рассматривалась.
И лишь совместная работа группы, состоявшей из математиков, физиков, пере-
водчиков и уже упомянутых нами женщин — победительниц конкурса кроссвордов,
помогла разгадать загадку дьявольской машины, которая посредством электриче-
ских импульсов и системы роторов преобразовывала одну и ту же букву, записанную
два раза подряд, в разные символы. Одетые в костюмы пиратов, словно скучающая
знать, ищущая развлечений в годы войны, первые дешифровщики в 1939 году раз-
местились в бараках рядом с викторианским поместьем. Ни одна душа в соседнем
поселке не должна была заподозрить, какую важную задачу решали обитатели
Station X — так назывался центр в сообщениях союзников, отправляемых на пере-
довую. Даже Уинстон Черчилль называл Блетчли-парк «курицей, несущей золотые
яйца, которая никогда не кудахчет».
Справа — немецкие военные кодируют сообщения на машине «Энигма»,
один из экземпляров которой изображен на рисунке слева.
94
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
Вверху — зал Блетчли-парка, в котором происходила расшифровка кодов «Энигмы».
Внизу — современная фотография поместья.
Поляки заметили одну особенность «Энигмы», делавшую ее уязвимой: каждая
буква вне зависимости от положения всегда кодировалась одной и той же буквой.
И все равно потребовалось ответить еще на много вопросов, прежде чем за пять
дней до высадки союзников в Нормандии обитатели Блетчли-парка смогли отпразд-
новать расшифровку секретного сообщения Гитлера. В сообщении утверждалось,
что американский десант высадится в Кале, почти в трехстах километрах к северо-
востоку от пляжа Арроманш. Возможно, высадка союзников вообще не состоялась
бы, если бы не была получена информация о местонахождении нацистских подло-
док, которую удалось расшифровать в Station X. Это было особенно удивительно,
если учесть, что в 1939 году у дешифровщиков не было ни одной машины «Эниг-
ма», на которой можно было бы проверять свои гипотезы.
Работая день и ночь сменами по восемь часов, дешифровщики из Блетчли-парка
сконструировали прототип машины, идентичной той, что находилась в руках у на-
95
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
цистов, однако успех предприятия был бы невозможен без юного английского мате-
матика, которого многие студенты Кембриджа сравнивали с греческим «богом
из машины»: он появился словно из ниоткуда, чтобы помочь выиграть войну. Без
Алана Тьюринга (1912—1954) было бы нелегко понять, что во всех сообщениях
обязательно упоминались дата и время, к которым они относились, и именно с этого
следовало начинать их расшифровку.
Статуя Алана Тьюринга из угольного сланца работы
британского скульптора Стивена Кеттла рядом
с портретом Тьюринга, который хранится
в Национальном музее компьютеров в Блетчли-парке
(источник: Джон Каллас).
Тьюринг также предложил сконструировать огромный компьютер «Бомба», ко-
торый позволял моделировать работу десяти «Энигм» одновременно. Да, Тьюринг
видел дальше своих коллег, и происходило это не потому, что он обучался в лабора-
тории с новейшим оборудованием, а потому, что он долгое время исследовал грани-
цы теоремы Геделя — прекраснейшего, по его мнению, творения человеческого
разума.
96
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «ВЗЛОМАТЬ КОД» (РЕЖИССЕР ХЕРБЕРТ УАЙЗ, АВТОР СЦЕНАРИЯ ХЬЮ УАЙТМОР, 1996)
Дилли Нокс: Я ознакомился с некоторыми подробностями вашей работы, господин Тьюринг, и должен признаться, что многие из них мне непонятны.
Тьюринг. Меня это не слишком удивляет.
Дилли Нокс: Когда я был молод, я был неплохим математиком, но некоторые фразы совершенно сбивают меня с толку. Например, вот эта: «0 вычислимых числах в приложении к проблеме разрешения». Можете сказать что-либо по этой теме?
Тьюринг. Что именно?
Дилли Нокс: Не знаю, что-нибудь, несколько слов, объясните в общих чертах.
Тьюринг. Несколько слов?
Дилли Нокс: Да.
Тьюринг. В общих чертах?
Дилли Нокс: Да, если это возможно...
Тьюринг. Хорошо. В общих чертах - речь идет об истинном и ложном. Это техническая статья по математической логике, в которой также рассматривается, как трудно отличить истинное и ложное. Люди, то есть многие люди, думают, что в математике всегда известно, что истинно, а что нет, но это не так! И это никогда не будет так! Это проблема, над которой математики работают уже сорок или пятьдесят лет. Как вам это объяснить? Нужно понять, как отличить истинное отложного, понимаете? [...]
Дилли Нокс. На самом деле не совсем, но теперь мне кое-что понятно. Ваши идеи кажутся мне весьма оригинальными, и я убежден, что вы станете ценным членом нашей команды или группы - называйте ее как угодно.
Думать как машина
Постройка «Бомбы», или «Колосса», первого программируемого компьютера, так-
же изготовленного в Блетчли-парке, вписывалась в череду открытий, восходящую
как минимум ко второму десятилетию XVII века, когда немецкий астроном Виль-
гельм Шиккард (1592—1635) создал первые «часы для счета» — хитроумный ме-
ханизм, способный выполнять сложение, вычитание, умножение и деление.
За Шиккардом следовал Блез Паскаль (1623—1662), в девятнадцать лет начав-
ший работу над своей вычислительной машиной, чтобы облегчить труд отца —
сборщика налогов в Руане. Его «Паскалина» произвела фурор в аристократических
97
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
салонах, вызвав удивление ученых и членов знатных семейств. 1ам же ее увидел
и Готфрид Лейбниц (1646—1716). Он был убежден, что «терять время на вычисле-
ния, подобно рабам, недостойно выдающихся людей», поэтому неудивительно, что
«Паскалина» вызвала у Лейбница большой энтузиазм и желание немедленно ее
усовершенствовать. Ученый мечтал создать машину, способную распознавать все
истинные высказывания.
«Паскалина», придуманная французским ученым Блезом Паскалем,
стала первой вычислительной машиной в истории.
В начале XIX века вычислительные машины Паскаля и Лейбница вдохновили
английского математика Чарльза Бэббиджа (1791—1871) и его ученицу Аду Бай-
рон (1815—1852) на исследования по теории вычислений. Для создания аналитиче-
ской машины (Analytical Engine) Бэббидж и Байрон выделили обязательные эле-
менты всех процессов в информатике. Во-первых, должна существовать программа,
указывающая операции, которые нужно выполнить. Она представляет собой ряд
инструкций, которые на основе множества входных данных позволяют вычислить
результат, возвращаемый пользователю на выходе программы. Например, на вход
программы «умножить» подаются пары чисел вида (2, 3), выводом является их про-
изведение — в этом случае 2’3 = 6. Чтобы программа (далее мы будем называть
ее алгоритмом) могла быть исполнена, необходимы процессор, выполняющий ин-
струкции, и память, в которой хранятся входные данные, инструкции и все проме-
жуточные расчеты. В аналитической машине Бэббиджа входные данные вводились
с помощью перфорированных карт, которые использовались в ткацком станке Жак-
кара, предназначенном для автоматического создания узоров.
98
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
Ада Байрон была дочерью великого английского поэта лорда Байрона и Анабел-
лы Милбэнк, которую муж называл «королевой параллелограммов», так как она
обучалась алгебре и геометрии у главы кафедры Кембриджа. Лорд Байрон оставил
семью после рождения Ады, и Анабелла начала обучать дочь наукам с очень ранне-
го возраста. В семнадцать лет девушка познакомилась с Чарльзом Бэббиджем, про-
изошло это на ужине, организованном ее подругой и наставницей Мэри Сомервилл,
которая всегда поощряла занятия Ады математикой. Вскоре Ада объяснила Бэб-
биджу, как можно вычислить числа Бернулли с помощью перфокарт. Эта задача
по своей сложности намного превосходила те, которые к тому времени удалось ре-
шить изобретателю аналитической машины. С помощью своего метода, позволяв-
шего «ткать алгебраические задачи», Байрон не только написала первую в истории
программу, но и показала, что для решения задачи алгоритмически необязательно
начинать с нуля. При решении почти всех задач повторялся определенный набор
базовых операций, поэтому часто было достаточно скомбинировать уже имеющиеся
перфокарты в правильном порядке. Такие базовые операции современные програм-
мисты называют подпрограммами.
Используя тот же подход, что и Ада Байрон, Алан Тьюринг смог заложить ос-
новы теории алгоритмов в статье «О вычислимых числах в приложении к проблеме
разрешения», опубликованной в 1937 году в журнале Proceedings of the London
Mathematical Society. В то время как Бэббидж на смертном одре был убежден, что,
проживи он еще несколько лет, и его аналитическая машина стала бы известной
всему миру, Байрон и Тьюринг поняли, что прежде чем можно будет сконструиро-
JARDINS
D'ADA BYRON
(МССАППХУ TO. RACE, Ml ЖМП Ш5 «
млтввонвдоожвв шг)
МАТЕМАПСА
! •I. T. .J
Слева — памятная марка, выпущенная в честь столетия
со дня рождения Чарльза Бэббиджа. Вверху — табличка
у садов Барселоны, посвященных Аде Байрон (фото:
Анна Наварро Дюран).
99
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
вать первый компьютер, необходимо значительно продвинуться в теории алгорит-
мов. Наибольших размышлений требовал вопрос, какие задачи можно решить с по-
мощью машины Бэббиджа, а какие — нет. Нечто подобное происходит сегодня
ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
В одной из известнейших историй о Карле Фридрихе Гауссе рассказывается, что как-то раз его
учитель в начальной школе захотел немного передохнуть и дал ученикам задание сложить все
числа от 1 до 100. Учитель не рассчитывал, что юный Гаусс мгновенно найдет ответ, применив
метод, который он затем использовал для вычисления суммы чисел от 1 до 1000. Пусть нужно
найти сумму всех натуральных чисел, предшествующих числу п. Идея Гаусса заключалась в том.
чтобы записать сумму 1 + 2 + ... + п в обратном порядке и воспользоваться симметрией ее
членов так, как показано ниже:
1 + 2 + ... + (л - 1) + л
л + (л-1)+ ... + 2 +1.
Читатель легко может убедиться, что если сгруппировать каждое слагаемое с тем, что за-
писано под ним, их сумма всегда будет равна л + 1. Так как этот процесс повторяется п раз,
результатом сложения будет л (л + 1). Однако в этой сумме каждое число учитывается дважды:
один раз - в первом ряду, один раз - во втором. Следовательно, полученную сумму нужно
разделить на два:
. п п(п+1)
1+2+...+л= —----
2
Читатель спросит, сможем ли мы, заменив первые п чисел на первые п квадратов, получить
похожую формулу. Применив несколько более сложный метод, можно доказать, что
11 +22+... +пг = - п3 + - п2 + — п
3 2 6
и что сумма первых п кубов рассчитывается по формуле
,з-13 3 1 4 1 з 1 з
г +2 +... +1Г = -п+-п+ — п.
4 2 4
В общем случае, к-е число Бернулли связано с коэффициентами, которые появляются в фор-
муле суммы п первых степеней многочлена к-го порядка от переменной п. Этим числам легко
дать словесное определение, но сложно вычислить по формуле, поэтому алгоритм, разрабо-
танный Адой Байрон, стал огромным шагом вперед.
100
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
с квантовыми вычислениями, теория которых заметно отстает от практических ре-
зультатов, полученных в попытках сконструировать первый квантовый компьютер.
Гениальная идея Тьюринга, позволившая определить границы возможностей
компьютеров будущего, заключалась в том, чтобы со всей серьезностью обдумать,
что означает «мыслить как машина». Очевидно, что компьютер не обладает ни раз-
умом, ни воображением человека, которые позволяют нам действовать в совершен-
но незнакомых ситуациях. С другой стороны, машины не устают и не скучают, вы-
полняя трудоемкие вычисления, у них никогда не бывает «плохих дней». Они —
машины! Чтобы отличить задачи, которые компьютер не способен решить ввиду
технических ограничений (например, потому что время выполнения написанной
программы будет сопоставимо с возрастом вселенной), от тех, которые неразреши-
мы из-за особенностей формулировки самой задачи, Тьюринг описал идеальный
компьютер с бесконечным объемом памяти и бесконечным временем выполнения
программ. Задача, которую не могла решить эта машина Тьюринга, не поддалась бы
самому мощному компьютеру будущего, таким образом, метод, разработанный ан-
глийским математиком, позволял определить границы возможностей компьютеров.
Вычислимые функции
Первым успехом Тьюринга стало определение вычислимой функции. Далее всякий
раз, когда мы будем говорить о функции, мы будем иметь в виду функцию, опреде-
ленную на множестве натуральных чисел и принимающую натуральные значения.
Напомним, что функция — это не более чем способ сопоставить каждому числу
другое число, которое мы будем называть отображением первого. Чтобы лучше по-
нять изложенное ниже, читатель может представить функцию как машину, которая
придает форму закладываемому в нее материалу. Так, наша функция превращает
число 3 в другое число, которое мы будем обозначать / (3), где / — первая буква
латинского слова «функция». Процесс получения / (п) по известному п может опи-
сываться последовательностью алгебраических операций или более сложной словес-
ной формулировкой. Например, если эта функция сопоставляет каждому числу сле-
дующее за ним (как вы уже знаете из предыдущих глав, эта функция используется
в аксиомах Пеано), то мы мож₽м записать / (n) = п + 1, и результатом будет
/ (3) = 3 + 1 = 4. Если же, напротив, функция определяет n-е простое число,
то / (3) будет равно 5, а / (4) будет равно 7, так как первыми простыми числами
являются 2, 3, 5, 7, И. В этом случае функция задается словесным описанием,
а не простой формулой, определяющей значение функции в каждой точке.
101
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
Образ машины может быть обманчивым, и читатель, возможно, поверит, что
идеальная машина Тьюринга, о которой мы говорим, в состоянии вычислить значе-
ние любой функции, которую только можно себе представить. В действительности
дело обстоит с точностью до наоборот: действия, скрытые между входным значени-
ем п и выходным значением / (п), могут быть настолько сложными, что даже маши-
на Тьюринга будет неспособна их выполнить. Чтобы читатель лучше понимал эту
ситуацию, необходимо подробно объяснить, как работают машины, которые при-
думал Алан Тьюринг, когда ему было немногим больше двадцати лет.
Первым элементом машины Тьюринга является лента, не имеющая начала и кон-
ца (напомним, что речь идет об идеальной машине), разделенная на ячейки. В каж-
дую ячейку помещается только один символ — 0 или 1. Эти символы соответствуют,
как известно, двум возможным значениям истинности. Вторым элементом машины
Тьюринга является устройство чтения-записи, способное определять, какой символ
записан в определенной ячейке, и производить запись поверх него.
После прочтения любого символа устройство чтения-записи может повести себя
пятью различными способами: стереть ранее записанное число и записать 0, заме-
нить записанный символ на 1, сместиться вправо, сместиться влево (чтобы эти две
операции могли быть выполнены, крайне важно, чтобы бумажная лента не имела
ни начала, ни конца) или просто остановиться, никак не реагируя на прочитанный
символ. Последовательность действий контролируется конечной последовательно-
стью инструкций, которые указывают, как машина должна реагировать в каждом
возможном случае. Например, первая инструкция может звучать так: «Если считан
102
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
символ 1, сместиться влево и перейти к третьей инструкции». Все инструкции следу-
ют одной и той же схеме.
Инструкция номер__: если считан символ
то выполнить операцию___и перейти к инструкции номер
Инструкции
1. ...
2....
3....
Текущий символ: О
ее устройство
Лента
Принцип действия машины Тьюринга
(источник: «Complexity» Мелани Митчелл).
Как мы уже упоминали, инструкции нумеруются начиная с 1, используются сим-
волы 0 и 1, а допустимыми операциями являются запись 0 (0), запись 1(1), переход
на ячейку вправо (R), переход на ячейку влево (L) или останов (N). Таким образом,
любую инструкцию можно описать всего четырьмя параметрами. Если первая ин-
струкция звучит так: «Если считан символ 1, сместиться влево и перейти к третьей
инструкции», достаточно записать (#1, 1, L, #3). Читатель уже наверняка понял,
что для каждой ячейки требуются две инструкции: одна указывает, что нужно де-
лать, если считан символ 0, другая указывает, что нужно делать, если считан сим-
вол 1. Если в предыдущем примере третья инструкция указывает только действие,
выполняемое в случае, если считан 0, но в действительности считан символ 1, то ма-
шина не сможет продолжить работу. Возможное решение этой проблемы может вы-
103
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
глядеть так: в случае когда машина Тьюринга не имеет четких инструкций (а сама
по себе она не способна «придумать», что делать дальше), она останавливается.
Чтобы сделать объяснение более понятным, укажем явно инструкции для всех воз-
можных случаев. Рассмотрим очень простой пример с машиной Тьюринга Т, для
которой заданы следующие три команды.
Инструкция № 1: Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 3.
Инструкция № 1: Если считан 1, сместиться вправо и перейти к инструкции
№2.
Инструкция № 2: Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 3.
Инструкция № 2: Если считан 1, остановить выполнение.
Инструкция № 3: Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 1.
Инструкция № 3: Если считан 1, остановить выполнение.
При кодировании машины Тьюринга согласно описанной системе возникает во-
прос: что делать, когда машина останавливается? Ведь в этом случае не указано,
какая инструкция должна быть следующей. Простейшим решением будет приписать
символ 0: это гарантирует отсутствие ошибок, так как машина Тьюринга попытается
найти инструкцию 0, но ни одна из инструкций не обозначена этим числом. При-
менив этот прием, запишем следующую последовательность инструкций, полностью
описывающих работу Т:
(#1, 0,1, #3) (#1,1, R, #2) (#2, 0,1, #3)
(#2,1, N, #0) (#3, 0,1, #1) (#3,1, N, #0)
Теперь посмотрим, как будет действовать машина, если на ее вход подать ленту,
на которой записаны только нули. Стрелка указывает положение считывающей го-
ловки машины Тьюринга в каждый момент времени.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Программа начинает выполнение первой инструкции. Так как считан 0, а ин-
струкция гласит «Если считан 0, записать 1 и перейти к инструкции № 3», доста-
точно заменить 0 на 1 и посмотреть, как звучит третья инструкция.
104
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Инструкция № 3 состоит из двух частей: первая указывает, что если считан О,
то нужно записать 1 и вернуться к инструкции № 1, однако согласно второй части
этой инструкции, если считан символ 1, машина Тьюринга должна остановить ра-
боту. Так как в этом случае считан именно символ 1, программа прекращает выпол-
нение. Следовательно, если подать на вход машины Тьюринга ленту, заполненную
нулями, Т остановится после того, как запишет 1 в исходной точке.
Рассмотрим, что произойдет, если мы снова подадим на вход программы ленту,
которую только что получили. Входные значения будут выглядеть так.
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
Начнем с первой инструкции: так как считан символ 1, нужно сместиться вправо
и перейти к инструкции № 2. Никакой загадки нет.
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
1Т
Теперь, согласно инструкции № 2, если считан 0, машина Тьюринга должна за-
менить его на 1 и перейти к инструкции № 3. Последуем этой инструкции.
0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
И вновь, согласно инструкции № 3, машина Т должна остановиться, если счи-
тан 1, следовательно, программа прекратит выполнение, а результатом ее работы
будет лента, на которой записаны две единицы посреди бесконечного множества
нулей, при этом устройство чтения-записи будет располагаться рядом с единицей,
записанной справа. Если мы вновь запустим эту машину Тьюринга, в результате
получим ленту, на которой будет записано три единицы, таким образом Т вычисляет
не что иное, как значение функции / (п) = п + 1.В общем случае функция является
вычислимой, если существует машина Тьюринга, вычисляющая каждое из ее зна-
чений.
105
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
Допустим, что натуральное число п закодировано, как мы показали в предыду-
щем примере, путем ввода бумажной ленты, на которой записано п единиц посре-
ди бесконечного множества нулей справа и слева, при этом устройство чтения-за-
писи расположено на ячейке с последней единицей. Функция / будет вычислимой,
если существует такая машина Тьюринга, что при вводе произвольного значения п
описанным способом ее выходным значением будет / (п). Мы доказали, что функ-
ция «прибавить единицу» является вычислимой на машине Тьюринга. Так как для
вычисления функции / (п) = п + 2 достаточно выполнить это же множество ин-
струкций два раза, а для вычисления / (п) = п + 3 — трижды, операция сложения
является вычислимой. Вычислимой является и операция умножения, поскольку ум-
ножить 3 на 5 означает сложить число 5 с самим собой три раза или сложить число
3 с самим собой пять раз. Мы указали, что функция является вычислимой, если
существует машина Тьюринга, вычисляющая каждое из ее значений, но это не озна-
чает, что мы всегда можем найти такую машину. Рассмотрим, например, функцию,
которая принимает в качестве входных и выходных значений только нули и едини-
цы. Следовательно, достаточно определить значение / (0), которое может равняться
0 или 1, и / (1), которое также будет иметь одно из этих значений.
Читателю несложно убедиться, что существует всего четыре функции с подоб-
ными свойствами: та, которая всегда возвращает значение 0; та, значение которой
всегда равно 1; та, которая при входном значении 0 принимает значение 0, при вход-
ном значении 1 — 1, и та, которая сопоставляет числу 0 — 1 и наоборот, числу 1 — 0.
Так как число этих вариантов конечно, все эти функции являются вычислимыми, так
как возможно (хотя бы теоретически) описать множество инструкций для вычисле-
ния их значения в каждом конкретном случае. Однако описание алгоритма для ото-
бражения какого-либо из этих значений может оказаться столь сложным, что мы
не сможем в явном виде описать машину Тьюринга, которая вычисляла бы его. Рас-
смотрим пример, предложенный Артуро Сангалли.
Пусть на множестве чисел от 1 до 9 определена некая функция, которая ставит
в соответствие п значение 1, если десятичная запись числа П содержит п последо-
вательных цифр п (например, число 4444 для п = 4), и 0 в противном случае. Со-
гласно этому определению / (1) равно 1, так как десятичная запись П, которая на-
чинается с 3,141592 ... , содержит 1 (это первый знак после запятой).
Аналогично / (2) также равно 1, однако чтобы найти первую последовательность
цифр 22, нужно просмотреть 135 первых знаков И: ...44609550582231725359408.
Следующая таблица была составлена с помощью программы для подобных экспери-
ментов, которая находится на сайте http://www.angio.net/pi/bigpi.cgi.
106
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
Последовательность цифр Позиция Последовательность цифр Позиция
333 1698 666666 252 499
4444 54 525 7777777 3346 228
55555 24 466 88888888 46 663 520
Из таблицы видно, что наша функция принимает значение 1 для первых восьми
натуральных чисел, так как запись числа Л содержит последовательности цифр 333,
4444, 55555, 666666, 7777777 и 88888888. Чтобы вычислить значение / (9),
можно написать программу, которая будет обходить все знаки Л, пока не будет най-
дена искомая последовательность из девяти девяток подряд. Если такая последова-
тельность в записи Л действительно существует, то программа обязательно обнару-
жит ее, и функция примет значение 1. Время выполнения программы в данном слу-
чае не имеет значения, поскольку, как мы неоднократно указывали, речь идет
об идеальной машине, не имеющей физических ограничений, свойственных компью-
терам. Однако если последовательность из девяти девяток подряд в записи Л от-
сутствует, программа никогда не остановится, и мы не сможем определить значение
/ (9). Следовательно, мы никогда не сможем узнать, является ли функция / вычис-
лимой, если только не докажем, что в записи числа Л присутствует последователь-
ность из девяти девяток подряд. Однако в этом случае программа будет бесполез-
ной, так как из нашего доказательства будет следовать, что / (9) равно 1. Эта функ-
ция является вычислимой, хотя на первый взгляд может показаться, что это не так.
Чтобы доказать это, нужно рассуждать точно так же, как мы рассуждали выше: так
А ЧТО, ЕСЛИ ВСЕ ЕСТЬ ЧИСЛО?
В своем рассказе «Вавилонская библиотека» аргентинский писатель Хорхе Луис Борхес пред-
полагает, что вся информация во вселенной может содержаться в единственной книге, кото-
рая «содержит бесконечное число бесконечно тонких страниц». Но зачем хранить информацию
в этом громадном томе, если, возможно, она поместится в одно число? Одна из самых таин-
ственных гипотез современной математики заключается в том, что в десятичной записи чис-
ла л, равного отношению длины окружности к ее диаметру, рано или поздно встречается любая
числовая последовательность. Если это в самом деле так, то в записи этого числа содержится
не только последовательность 999999999, но и числовая последовательность, кодирующая
любое сообщение прошлого, настоящего и будущего.
107
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
как число функций, определенных для чисел от 1 до 9 и принимающих значения
О и 1, является конечным (в нашем случае таких функций 512 — управиться с ними
будет несколько труднее, чем с функциями, определенными только для 0 и 1 и при-
нимающими значения 0 и 1), существует машина Тьюринга, вычисляющая значение
каждой из них. Это пример вычислимой функции, машину Тьюринга для которой
мы не можем описать в явном виде.
Другим классом вычислимых функций являются рекурсивные функции, то есть
такие функции, в которых значение / (п) можно вычислить на основе значений, ко-
торые принимает эта функция для других чисел, меньших п. Большинство функций,
постоянно используемых в математике, являются рекурсивными, но все ли они вы-
числимы? Алан Тьюринг моментально дал отрицательный ответ на этот вопрос: су-
ществует множество функций, значение которых не сможет вычислить ни одна ма-
шина Тьюринга, более того, если выбрать функцию произвольным образом, то она
почти наверняка не будет вычислимой. В то же время по другую сторону Атлантики
логик Алонзо Чёрч (1903—1995) из Принстонского университета пришел к тем же
выводам, разработав формальную систему, которую он назвал лямбда-исчислени-
ем. Обе эти идеи были столь новаторскими, что единственным, кого смогли найти
редакторы журнала Proceedings of the London Mathematical Society для рецензиро-
вания статьи Тьюринга, оказался именно Чёрч. Так началось их плодотворное со-
трудничество, прервавшееся на время войны, результатом которого стал принцип,
сегодня известный под названием «тезис Чёрча — Тьюринга». Возможны и другие
Алонзо Чёрч, коллега Тьюринга и создатель лямбда-исчисления.
108
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
определения вычислимой функции, но если принять этот тезис, то все они будут
эквивалентны существованию машины Тьюринга, вычисляющей значения функции.
Чтобы доказать, что почти никакие функции не являются вычислимыми, Алан
Тьюринг использовал хитроумный вариант диагонального метода Кантора, рассмо-
тренный в главе 2. В ней мы рассказали, что не существует способа упорядочить
список последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Когда мы предполагали,
что можем расположить одну последовательность после другой, изменяя значения
элементов по диагонали, нам удалось сформировать последовательность из нулей
и единиц, которая не совпадала ни с одной последовательностью в списке. Анало-
гичным образом можно показать, что множество функций не является счетным.
Мы указали, что функция — это отображение, сопоставляющее 0 и / (0),
1 и /(1), 2 и / (2) и т. д. до бесконечности. Следовательно, вся информация / со-
держится в последовательности чисел / (0), / (1), / (2), / (3)... Для простоты бу-
дем рассматривать только функции, которые принимают значения 0 и 1, например
функцию /, значение которой равно 0 для четных чисел и 1 — для нечетных. В этом
случае вся информация / содержится в последовательности 0101010101..., так
как если мы хотим найти отображение п, достаточно перейти к n-му члену этой по-
следовательности. Надеемся, мы убедили читателя, что функции, которые принима-
ют только значения 0 и 1, эквивалентны бесконечным последовательностям нулей
и единиц. Следовательно, множество функций не является счетным!
Каждая машина Тьюринга вычисляет значение единственной функции, поэтому
утверждать, что все функции являются вычислимыми, можно, лишь доказав, что
существует по меньшей мере столько же машин, сколько и функций, значения кото-
рых мы хотим вычислить. Однако Тьюринг установил, что бесконечное множество
его машин намного меньше. Чтобы показать, что множество функций не является
счетным, сначала следовало записать их в виде последовательностей из нулей и еди-
ниц. Мы можем записать в виде символов любую машину Тьюринга, поскольку она
представляет собой конечную последовательность инструкций, и каждую из них
можно записать несколькими символами. Как вы уже увидели, (#1,1, L, #3) озна-
чает то же, что и «Инструкция номер 1: если считан символ 1, сместиться влево
и перейти к третьей инструкции». Представив машину Тьюринга как последова-
тельность инструкций, читатель сможет найти способ, позволяющий записать все
возможные машины Тьюринга в виде списка.
Б< линий интерес для нас будет иметь процесс «гёделизации», рассмотренный
в главе 4. Он заключается в присвоении огромных натуральных чисел каждой фор-
муле логики первого порядка так, что по известному числу можно восстановить ис-
109
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
ходную формулу. Этот метод, примененный к машинам Тьюринга, позволяет свести
всю информацию, содержащуюся в программе, к одному числу. Как и в случае с « гёде-
лизацией», машины Тьюринга соответствуют не всем числам, а только тем, которые
обладают определенными свойствами. Хотя существует бесконечное множество ма-
шин Тьюринга, его размеры не могут превышать размеры множества натуральных
чисел, так как всякая машина Тьюринга кодируется с помощью натуральных чисел.
Таким образом, мы доказали, что множество машин Тьюринга является счетным,
следовательно, счетным является и множество вычислимых функций, которые
по сравнению со множеством всех функций подобны иголке в стоге сена.
Проблема остановки
Лейбниц, а в начале XX века и Давид Гильберт — мечтали создать машину, спо-
собную отличать истинные высказывания от ложных. Как мы отметили в главе 3,
программа Гильберта по «очистке» математики от парадоксов заключалась не толь-
ко в формировании ее устойчивого фундамента — с этим справились древние на-
чиная с Евклида, и пока что основы математики стояли прочно. Для абсолютной
уверенности в том, что в будущем никакой Рассел не вытащит из рукава новый па-
радокс, помимо укрепления логической структуры математики, требовалось рассчи-
тать метаматематические структуры, чтобы доказать, что они способны выдержать
вес всего здания науки. Первые два вопроса, которыми задался Гильберт, звучали
так: является ли математика полной и непротиворечивой, иными словами, совпада-
ет ли истинное и доказуемое, и нет ли риска столкнуться с противоречиями в мате-
матике. За три года до того, как Гёдель доказал, что для арифметики эти требования
несовместимы, Давид Гильберт и его ученик Вильгельм Аккерман (1896—1962)
добавили к этим вопросам еще один, который был изложен на первом пленарном
заседании Международного математического конгресса в 1928 году.
Проблема разрешения (Entscheidungsproblem) заключалась в том, чтобы доказать
существование алгоритма, на вход которого подается математическое высказывание,
а возвращается — «истина» это или «ложь». Хотя множество аксиом должно быть
рекурсивно перечислимым, для множества теорем, как вы увидите далее, это тре-
бование невыполнимо. Однако сначала воссоздадим сцену, связанную с новой про-
блемой Гильберта, свидетелем которой был автор этой книги. Этот случай произошел
на Международном математическом конгрессе в Мадриде в августе 2006 года.
Некий математик беседовал с кем-то, кого принял за журналиста. После обмена
шутками о шайке воров, от которых пострадали некоторые присутствующие на кон-
110
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
ференции, один из участников разговора захотел узнать, чем занимается другой.
Это было рискованно: наиболее вероятно, что ответом на вопрос стал бы получасо-
вой монолог, во время которого энтузиазм говорящего рос так же быстро, как угасал
интерес слушателя. Однако в этот раз математик решил, что журналист не поймет
его объяснений, поэтому ограничился тем, что сказал: «Смотрите: у меня есть маши-
на, в которую я ввожу высказывание, и она отвечает, истинно это высказывание или
ложно». Тогда мнимый журналист, который до того момента прекрасно скрывал
свое истинное лицо, воскликнул: «Превосходно! Не сможете ли вы как-нибудь
одолжить мне эту машину на денек-другой? Я работаю со множеством математиче-
ских гипотез и совершенно не представляю, истинны они или ложны».
Да, всем нам хотелось бы иметь такую машину, однако Алан Тьюринг в ходе ис-
следований, посвященных вычислимым функциям, доказал, что создать ее невоз-
можно. Для этого он рассмотрел универсальную машину, входными значениями для
которой могли выступать не только числа, но и инструкции произвольной машины
Тьюринга. Если инструкции описывали то, что мы сегодня называем программой,
то универсальная машина сама по себе была подобна компьютеру и была способна
имитировать, по крайней мере теоретически, работу произвольной машины Тьюрин-
га. Описав этот абстрактный компьютер, ученый на несколько лет предвосхитил
архитектуру современных компьютеров, поэтому редакция журнала Time совершен-
но справедливо включила его в число людей тысячелетия с комментарием: «Каждый
раз, когда мы нажимаем на клавишу компьютера, мы работаем с реинкарнацией ма-
шины Тьюринга». Использовав этот компьютер (которых, строго говоря, тогда еще
не существовало), Тьюринг показал, что существование подобной «машины истин-
ности» приводит к абсурдному результату.
Посмотрим, как Тьюринг справился с проблемой разрешения. Сначала он пред-
положил, что мечту Гильберта можно воплотить в реальность, то есть существует
механический метод, позволяющий за конечное время определить, является данное
высказывание истинным или ложным. В частности, этот алгоритм позволяет оце-
нить истинность высказывания «Машина Тьюринга Т останавливается, когда на ее
вход подается значение п». Как мы уже указывали, благодаря методу «гё делиза -
ции» мы можем сопоставить каждой машине Тьюринга число так, что в нем будет
закодирована вся структура машины. Если п — число, описывающее некую машину
Тьюринга, мы будем обозначать эту машину как Т (п). В этой нотации проблема,
которую мы хотим решить, может быть записана так: остановится ли машина Тью-
ринга Т (п), если на ее вход подать число т? Следует подчеркнуть, что если идеаль-
ная машина, которую представлял себе Гильберт, существует, то она сможет дать
111
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
ответ на этот вопрос не в каких-то конкретных случаях, а для любых значений тип.
Следовательно, речь идет о функции двух переменных, которая для данной пары
чисел (т, и) определяет, остановится ли машина Тьюринга, описываемая числом п,
когда ей на вход будет подана лента, на которой будет записано число т. Вернемся
к примеру с числом Л и обозначим за / число машины Тьюринга, которая просматри-
вает десятичные знаки Л в поиске требуемой последовательности. При вводе пара-
метров (9, t) наша функция вернет значение 1, если среди знаков Л обнаружится
последовательность из девяти девяток подряд (так как в этом случае машина оста-
новится), в противном случае — 0 (в этом случае машина будет продолжать работу
бесконечно).
Если мы предположим, что существует машина Тьюринга Р, решающая эту про-
блему, мы получим противоречие. Чтобы убедиться в этом, повторим еще раз прин-
цип действия Р: это машина Тьюринга, на вход которой подаются пары чисел (т, п)
и выходным значением которой может быть одно из двух значений: 1, если машина
Тьюринга Т (п) при заданном исходном значении т в определенный момент оста-
новится, и 0 — в противном случае. Иными словами, либо не существует машины
Тьюринга, обозначаемой числом п (так как не все натуральные числа обозначают
какую-либо машину Тьюринга), или же она существует, но программа выполняется
бесконечно долго при введенном параметре т. Такая программа, представляющая
собой настоящий кошмар для специалистов по информатике, называется бесконеч-
ным циклом. Здесь важно, что если бы в нашем распоряжении находилась такая
машина Т, мы с легкостью смогли бы создать другую машину Тьюринга (обозначим
ее через С), входным значением которой было бы одно число п и которая действо-
вала бы следующим образом:
— если машина Тьюринга Т (п) останавливается, когда ее входное значение
равно п (иными словами, если Р (п, п) равно 1), то С не остановится никогда;
— если машина Тьюринга Т (п) бесконечно долго продолжает работу, если ее
входное значение равно п (иными словами, если Р (п, п) равно 0), то С оста-
новится, едва начав работу.
В главе 2 вы увидели, как возникает парадокс лжеца, лишивший покоя мудреца
Эпименида: это происходит, когда критянин говорит, что все критяне — лжецы, или
когда высказывание описывает само себя так: «это высказывание ложно». Далее мы
показали, как Гёдель использовал самоотносимость для формулировки истинного,
112
МАШИНЫ ТЬЮРИНГА
но недоказуемого высказывания, гласящего: «это высказывание недоказуемо». Те-
перь читатель наверняка догадается, как следует закончить рассуждения: мы опре-
делили машину Тьюринга С, которая останавливается или безостановочно продол-
жает работу в зависимости от того, как работает другая машина, Т (п). Но что про-
изойдет, если на вход С подать саму машину С, то есть соответствующее ей число с?
Если машина Т (с) остановится, то С не остановится. Если, напротив, Т (с) войдет
в бесконечный цикл, то С остановится. Но С и Т (с) — это одна и та же машина!
Она не может одновременно вести себя по-разному! Предположив, что проблема
остановки имеет решение для любых тип, мы пришли к противоречию: демон са-
моотносимости нашептывает нам «выбери с», но одна и та же машина будет одно-
временно вести себя по-разному.
Мечта Гильберта и Лейбница оказалась несбыточной. Самоотносимость сначала
побудила Бертрана Рассела сформировать новые, более прочные основы матема-
тики, затем позволила Гёделю доказать, что оптимизм ученых того времени был
неоправданным, а теперь Тьюринг вновь использовал ее, чтобы справиться с про-
блемой разрешения — на этот раз самоотносимость стала свойством теоретических
машин, которые позднее дали начало первым компьютерам.
Мы сказали, что логика описывает не рассуждения повседневной жизни, а спо-
соб, которым нужно рассуждать, чтобы гарантированно прийти к истинному резуль-
тату. В самом деле, пока что мы рассматривали только формулы, в которых значения
истинности 0 и 1 были лишены какого-либо значения. Мы всегда выбирали между
белым и черным. В следующей главе мы попытаемся описать мир оттенками серо-
го — более естественно, но менее четко.
ИЗ
Глава 6
Хорошо кончается то,
что не кончается
Чтобы получить даже мельчайшую крупицу нового знания,
требуется долгое и трудное самоотречение,
пойти на которое готовы лишь немногие, чистые душой.
Маргерит Дюрас
Возможно, он знал, что делал, когда повел ее в ресторан, куда ходили только япон-
цы. Возможно, он не сомневался в своем обаянии. Если ему не удастся поразить
спутницу начитанностью и рассказами о своих путешествиях, он еще может спасти
свидание, удивив ее одним из экзотических блюд. Когда официантка, не столь кра-
сивая, как того требует история, осведомилась о выборе десерта, все складывалось
благополучно. Он немного знал японский, поэтому когда официантка спросила, как
следует приготовить чайный трюфель: «со сливками, без сливок или как-то еще»,
мужчина, хоть и был несколько смущен, тем не менее решительно сказал: «Как-то
еще». Вскоре официантка вернулась и, улыбаясь, подала тарелку трюфелей, на ко-
торой было налито совсем немного сливок, не касавшихся самого блюда. Мужчина
и женщина посмотрели друг на друга и одновременно сказали: «Проклятые азиаты!
Им неизвестен принцип непротиворечивости».
Нечеткая логика
Несмотря на внешние различия, все множества, которые мы рассмотрели до этого,
обладали одним общим свойством: для любого элемента и любого множества на во-
прос «Принадлежит ли этот элемент множеству?» можно было дать только один
ответ: да или нет. Описание множества могло быть каким угодно сложным, но от-
ветом на этот вопрос обязательно было бы «да» или «нет». Именно это произошло
в примере с числами, десятичная запись которых содержит все возможные последо-
вательности и о которых мы рассказали в предыдущей главе. Неизвестно, принад-
115
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
лежит Л этому множеству или нет, но в любом случае на этот вопрос можно дать
только один ответ. Предложения логики также подчиняются этой схеме: они либо
истинны, либо ложны, и любая другая возможность исключается. Более того, два
основных парадокса, которые мы рассмотрели (парадокс Рассела и парадокс лже-
ца), возникают именно тогда, когда даже с теоретической точки зрения невозможно
ответить на вопрос «да» или «нет», невозможно определить, принадлежит некий
элемент множеству или нет. Дело не в том, что закон исключенного третьего допу-
скает исключения, а в том, что множество всех множеств, которые не являются эле-
ментами самого себя, и выражение «эта фраза ложна» формально некорректны, по-
тому что отношение принадлежности справедливо только для объектов разных ти-
пов, а также потому, что понятие истинности принадлежит не языку, а метаязыку.
В некотором смысле теория множеств и логика находятся на вершине отвесной ска-
лы: истинное расположено на самом краю, и достаточно легкого дуновения ветерка,
чтобы отправиться в свободное падение по направлению к ложному. Однако боль-
шую часть земной поверхности занимают не отвесные скалы, а пологие склоны.
Несколько лет назад во многих странах произвела настоящий фурор настольная
игра Scattergories. В этой игре нужно выбрать любую букву алфавита, а затем за-
писать слова из разных областей, которые начинаются с этой буквы. Например,
если нам дан список «Спорт. Названия песен. Части тела. Национальная кухня.
Оскорбления» и после броска игральной кости, которая имеет форму икосаэдра, вы-
пала буква «К», ответ может звучать так: «Кёрлинг. «Катюша». Колено. Кулебяка.
Кретин!». В рекламе игры Scattergories расстроенный мальчик уходит из дома, уно-
ся игру с собой, потому что его друзья сказали, что «корабль» не относится к кате-
гории «морские животные». В конце концов они решают уступить ему, так как хотят
продолжить игру, но в следующем туре мальчик вновь принимается за старое: когда
выпадает буква «О», он спрашивает друзей: «А осьминога можно назвать домаш-
ним животным?»
В то время как некоторых живых существ затруднительно причислить к живот-
ным, множество домашних животных определено еще хуже: к нему, конечно же,
принадлежат кошки и собаки, и так же совершенно однозначно в него не входят вол-
ки и слоны. Однако хотя некоторые причислят тарантулов к множеству «животных,
к которым я не хочу подходить ближе, чем на километр», другие развлекаются тем,
что бросают тарантулам сверчков между прутьями клетки. Так же нечетко, как
и множество домашних животных, определены и другие множества, с которыми мы
имеем дело каждый день, например множество красивых людей, хороших рестора-
нов и смешных шуток. Первым предложил теорию, описывающую подобные ситуа-
116
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО. ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
ции, польский логик Ян Лукасевич (1878-1956). В 1917 году он представил трех-
значную логику, в которой высказывания могли быть не только истинными или лож-
ными, но и «возможными». Например, человек ростом 1,50 м низкий, человек ро-
стом 2 м — высокий, а тот, чей рост составляет 1,75 м, является «возможно, высо-
ким» или «возможно, низким» — все зависит от того, с кем мы его сравниваем:
с пигмеями или игроками НБА.
МЕСТЬ ЛЖЕЦА
Если мы вновь рассмотрим парадокс лжеца, на этот раз с точки зрения трехзначнои логики
Лукасевича, то увидим, что противоречие исчезает: основа наших рассуждений заключалась
в том, что если высказывание «эта фраза ложна» не является истинным, т оно обязательно
является ложным. Однако в новой логике существуют высказывания, которые являются не ис-
тинными и не ложными, а возможными. Поскольку суть парадокса не сводится исключительно
к закону исключенного третьего, его можно переформулировать так, что он сохранится и в трех-
значной логике. Рассмотрим высказывание «эта фраза не является истинной». Все высказыва-
ния делятся на три класса (истинные, ложные и возможные), поэтому мы рассмотрим каждый
класс по очереди. Если высказывание истинно, то оно должно выполняться, следовательно, оно
не будет истинным. Если, напротив, высказывание является ложным или возможным, тогда оно
не является истинным и, следовательно, должно быть истинным. В новой логике определить
истинность высказывания «эта фраза не является истинной» по-прежнему невозможно.
Включение в перечень возможных значений истинности значения «возможно»
стало настоящим прорывом за пределы черно-белого мира классической логики.
Однако этого прорыва оказалось недостаточно: значение «возможно» само по себе
никак не помогает нам принимать решения. Допустим, что журналист решил подать
в отставку после смены редакционной политики издания. Обозначим через Р вы-
сказывание «я не согласен с новой политикой редакции». Следовательно, класси-
ческое решение будет выглядеть так: «Если Р истинно, я ухожу» и «Если Р ложно,
я остаюсь». Так как любое решение всегда сопровождается множеством тонкостей,
журналист с радостью согласился бы иметь возможность выбора из трех вариантов.
Но как в этом случае следует понимать значение «возможно»? Если Р возможно,
то нужно уходить в отставку или оставаться? Что отделяет одно решение от друго-
го? Если мы хотим, чтобы наша логика позволяла принимать подобные решения,
необходим более высокий уровень точности.
117
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
И здесь на сцену выходит профессор Калифорнийского университета в Беркли
Лотфи Заде, который в 1965 году предположил, что значение принадлежности эле-
мента множеству или значение истинности высказывания может описываться лю-
бым числом, лежащим на интервале от 0 до 1. Таким образом, игроки в Scattergories
могут установить, что правильными ответами будут, например, только те, что при-
надлежат рассматриваемому семантическому полю более чем на 0,6, а журналист
может решить уйти в отставку, если степень его несогласия с новой редакционной
политикой будет превышать, допустим, 0,45. Заде обозначил новые множества ан-
глийским словом fuzzy, которое можно перевести как «нечеткое, не имеющее четко
обозначенных пределов». Следовательно, на вопрос о принадлежности элемента
нечеткому множеству существует бесконечно много ответов.
Создатель нечеткой логики Лотфи Заде
(источник: Вольфганг Хюнше).
Читатель, возможно, поддастся искушению интерпретировать нечеткие множе-
ства в терминах теории вероятностей. Возможно, в этом случае объяснение станет
более понятным, но говорить, что степень принадлежности элемента к множеству
является вероятностью того, что он принадлежит к этому множеству, некоррек-
тно — это идет вразрез с духом нечеткой логики, предложенной Заде. Посмотрим,
что происходит, когда мы бросаем в воздух монету. Мы с детства знаем, что вероят-
ность выпадания решки равна 50%, и это означает, что если мы подбросим монету
118
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
много раз, например 10 тысяч, то примерно в половине случаев выпадет орел, в по-
ловине — решка. Но результат каждого броска будет единственным: орел или реш-
ка. Вероятность, по меньшей мере в упрощенной трактовке, отражает ограничен-
ность наших знаний о ситуации: если бы нам с абсолютной точностью была известна
сила, с которой мы подбросили монету, если бы мы могли уподобиться богу Эолу
и повелевать ветрами, то смогли бы с точностью предсказать результат броска моне-
ты. Это означает, что глубинный принцип, лежащий в основе теории вероятностей
в ее простейшем понимании, совпадает с принципом классической логики, в то вре-
мя как в мире нечетких множеств при броске монеты может выпасть решка, скорее
решка, чем орел, скорее орел, чем решка, орел или любое из промежуточных значе-
ний, выраженных с бесконечной точностью.
В отличие от классических множеств, граница которых подобна отвесному утесу,
множества, изучаемые в нечеткой логике, определяются функцией принадлежности,
которая воспроизводит форму пологого склона. Рассмотрим в качестве примера
множество высоких людей. Если считать, что люди ниже 1,60 м низкие, выше
1,90 м — высокие, то функция принадлежности этого множества примет следую-
щий вид:
Функция принадлежности нечеткого множества высоких людей.
Гоафик функции имеет форму склона.
Выполнив некоторые вычисления, можно доказать, что степень принадлежности
тех, чей рост менее 1,60 м, к множеству высоких людей равна 0. Если рост человека
119
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
больше или равен 1,90 м, он будет абсолютно точно считаться высоким, а если его
рост находится на интервале между этими двумя значениями, то для определения
степени принадлежности к множеству нужно умножить его рост в метрах на 10, вы-
честь 16, а затем разделить полученное число на 3. Если известно, что степень вы-
соты человека равна 0,5, как, например, для автора этой книги, то этого достаточно,
чтобы определить его рост.
В других случаях график функции принадлежности может иметь форму треу-
гольника или трапеции. Если считать, например, что «слишком холодно» — это
любая температура ниже +10 °C, «слишком жарко» — температура выше +30 °C,
а идеальная температура находится на интервале между +18 и +22 °C, то график
функции принадлежности ко множеству благоприятных температур будет напоми-
нать изображенный на рисунке ниже. Если мы сравним этот график с климатограм-
мами для разных городов, то сможем выбрать тот, где будет комфортнее всего жить,
или, по крайней мере, исключим совсем уж неподходящие варианты.
Температура в °C
Функция принадлежности нечеткого множества благоприятных температур.
Гоафик функции имеет форму трапеции.
Нечеткие множества, имитирующие шкалу оттенков серого, описывающую ре-
альность, помогают разрешить некоторые парадоксы, поскольку благодаря им мы
можем рассматривать понятия в самом широком смысле. Представим, что в кафе
нам подали очень горький кофе. Скорее всего, прежде чем выпить кофе, вы добави-
те в него немного сахара. Нет сомнений, что если мы добавим в чашку единственную
120
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
крупинку сахара, вкус совершенно не изменится. Следовательно, действие «доба-
вить крупинку сахара» не влияет на горечь кофе. Добавим еще одну крупинку саха-
ра, затем еще и еще одну — всего десять ложек сахара. Если наше исходное пред-
положение верно и ни на одном шаге вкус не изменился, значит кофе, в который
добавлено десять ложек сахара, по вкусу ничем не будет отличаться от горького
кофе, который нам подали в начале, — этот результат выглядит, по меньшей мере,
подозрительно. Нетрудно понять, что ситуация не описывается классическими мно-
жествами, о которых мы говорили в предыдущей главе. Горький кофе, который
невозможно пить, и слишком сладкий, приторный кофе разделяет не бездна, а по-
логий склон. Хотя мы не способны ощутить изменение вкуса кофе при добавлении
в него всего одной крупинки сахара, степень принадлежности ко множеству «кофе,
приятного на вкус» возрастет, сколь бы малым ни было изменение вкуса. Если мы
добавим в кофе еще одну крупинку, степень принадлежности к этому множеству
возрастет еще больше, и, наконец, когда мы добавим в кофе в общей сложности де-
сять ложек сахара, его вкус станет невыносимо приторным.
При обобщении любого математического понятия (это и попытался совершить
Заде, введя нечеткую логику) нужно обязательно убедиться в том, что новая теория
корректна для всех исходных объектов. Классические множества являются частны-
ми случаями нечетких множеств: для них функция принадлежности из всего бес-
конечного множества значений принимает только два значения: 0 и 1. Тем не менее
отношение включения множества в другое, а также операции объединения и пере-
сечения, которые, как вы увидели в главе 3, являются основными в теории множеств,
обобщить не так просто. На эти и другие вопросы Заде дал ответ в своей статье,
опубликованной в 1965 году.
Обозначим как А и В два нечетких множества, соответствующие функции при-
надлежности к которым мы будем обозначать Это означает, что для данного
элемента х число fA (х), указывающее степень принадлежности х к множеству А,
заключено в интервале от 0 до 1, и это же верно для fB (х). Использовав эту нота-
цию, Заде установил, что А включено в В тогда, когда для любого элемента х число
fA (х) меньше или равно fB (х). Рассмотрим пример. Вместо того чтобы считать
людей ниже 1,60 м низкими, выше 1,90 м — высокими, мы понизим границу мно-
жества и будем считать низкими людей ниже 1,50 м, далее степень принадлежности
ко множеству будет постепенно возрастать, как и ранее, до значения 1,90 м. Таким
образом мы получим еще одно нечеткое множество высоких людей. Степень при-
надлежности автора к этому множеству будет равна уже не 0,5, а 0,625. Согласно
Заде, первое множество содержится во втором, и это соответствует интуитивному
121
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО. ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
представлению о том, что высокие люди остаются таковыми, даже если снизить
нижнюю границу множества.
Описав нечеткую логику, Лотфи Заде, изучавший электротехнику, предполо-
жил, что новую логику можно применить при обработке информации и распознава-
нии образов — в двух областях, где нечеткость играет определяющую роль. Исто-
рия показала, что Заде недооценил свою идею, и наиболее широко созданная им
логика применяется именно в той стране, жители которой едят чайные трюфели
«со сливками, без сливок или как-то еще». В конце 90-х годов в японских магазинах
начали продаваться копировальные аппараты и стиральные машины с нечеткой ло-
гикой, а в небоскребах Токио стали устанавливать лифты, нечеткая логика которых
позволяла сводить время ожидания к минимуму. Как говорилось в рекламном роли-
ке одной из этих стиральных машин, наступила нечеткая эра.
СТИРАЛЬНЫЕ МАШИНЫ С НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКОЙ
Чтобы оптимизировать длительность и качество стирки, полезно точно указать, является одеж-
да очень грязной, слегка грязной или практически чистой. Простейшие стиральные машины
с нечеткой логикой присваивают каждой загрузке белья значение загрязнения от 0 до 1. Затем
к фиксированному интервалу стирки продолжительностью в десять минут добавляется опреде-
ленное время в зависимости от степени загрязнения одежды. Машина может, например, опре-
делить, что для чистого белья (0) достаточно базового времени стирки, а для очень грязного
(1) - на две минуты больше. Следовательно, если мы положим в стиральную машину слегка
грязную рубашку, продолжительность стирки увеличится на одну минуту. В других, более слож-
ных моделях, с целью экономии электроэнергии учитывается степень жирности (жирные пятна
отстирываются тяжелее других) и вес загруженного белья.
Сложность
«Любовь» и «справедливость» — слишком расплывчатые понятия, чтобы их можно
было описать двоичной логикой. Множество оттенков серого, простирающееся
между «он меня любит» и «он меня не любит», между виной и невиновностью, опи-
сывается нечеткой логикой. С ростом сложности возникает потребность в новом
мышлении. Следовательно, полезно ввести оценку сложности понятий, однако само
понятие «сложность» не поддается попыткам дать ему определение. Даже в царстве
математики, где правит абсолютная точность, нельзя однозначно отделить сложные
122
ХОРОНЮ КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
проблемы от простых. Именно это происходит и с машинами Тьюринга: если в про-
шлой главе работа с идеальными компьютерами позволила нам получить теоретиче-
ские результаты, касающиеся проблем, которые не может решить машина, то теперь
нас интересует, какие расчеты она может провести с учетом ограничений в объеме
памяти и времени выполнения программ. Именно так, за неимением лучшего опре-
деления, мы будем отличать простые задачи от сложных.
В первом приближении мы можем определить сложность как число операций,
необходимых для решения задачи. Представим коммивояжера, которому нужно
посетить несколько городов, после чего вернуться в исходный. Следовательно, его
целью будет максимально сократить пройденный путь. Если этими городами будут,
например, Париж (П), Лондон (Л), Берлин (Б) и Рим (Р) и коммивояжер начина-
ет поездку в Париже, то его секретарь может составить расписание шестью разны-
ми способами: ПЛБРП, ПЛРБП, ПБЛРП, ПБРЛП, ПРБЛП и ПРЛБП. Учи-
тывая примерные расстояния Париж — Лондон (455 км), Париж — Берлин
(1050 км), Париж — Рим (1435 км), Лондон — Берлин (1095 км), Лондон —
Рим (1855 км) и Берлин — Рим (1515 км), можно рассчитать общую длину каждо-
го маршрута и выбрать кратчайший из них:
Маршрут Км Маршрут Км
ПЛБРП 4500 ПБРЛП 4875
ПЛРБП 4875 ПРБЛП 4500
ПБЛРП 5435 ПРЛБП 5435
Учитывая данные, представленные в таблице, оптимальным будет маршрут
Париж — Лондон — Берлин — Рим — Париж или он же, но в обратном на-
правлении: Париж — Рим — Берлин — Лондон — Париж. Но что произойдет,
если коммивояжеру нужно будет посетить не три города, а четыре, пять или любое
другое количество городов? Для решения этой задачи всего для двадцати городов
компьютеру средней производительности потребуется 80 тысяч лет, и в свете этого
возможная потеря времени от неправильного выбора маршрута уже несущественна.
Если мы попытаемся решить задачу «грубой силой», то потребуется рассмотреть
уже не шесть случаев — их число будет равно произведению 1 • 2 • 3 • ... и т. д.
до 20. Запись этого числа содержит девятнадцать цифр. В математике это число
называется 20 факториал и обозначается восклицательным знаком после числа. Так,
3! = 1 • 2 • 3 = 6; 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24; в общем случае п! равен произведению пер-
вых и натуральных чисел.
123
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
Факториал — это пример функции, вычислить значение которой теоретически
очень просто, однако на практике компьютеры пасую? перед этой задачей. Как мы
уже отмечали в предыдущей главе, все рекурсивные функции являются вычисли-
мыми. Напомним, что функция является рекурсивной, если значение / (п) можно
вычислить на основе значений, которые принимает эта функция для чисел, мень-
ших п. Факториал — это классический пример рекурсивной функции, так как если
мы хотим вычислить 4! = 1 • 2 • 3 • 4, мы можем сначала найти произведение 1 • 2 • 3,
а затем умножить его на 4. Но что представляет собой произведение 1 • 2 • 3? Оно
равно 3!, таким образом, если известно значение 3!, то чтобы найти 4!, достаточно
одной операции. В общем случае п! = (п — 1)! • п — это доказывает, что факториал
является рекурсивной, а следовательно, и вычислимой функцией. Для машины Тью-
ринга, способной работать бесконечное время, вычисление п! не представляет труд-
ностей. Но на практике значения факториала возрастают столь быстро, что с ними
вскоре становится невозможно работать.
График, показывающий рост значений факториала.
Предыдущий пример был бы не более чем любопытным фактом, если бы факто-
риал не описывал число перестановок элементов конечных множеств, то есть число
способов, которыми можно упорядочить их элементы. Так, фразы «3! = 6» и «мно-
жество {1, 2, 3} можно записать шестью разными способами (123, 132, 213, 231,
312 и 321)» содержат одинаковую информацию. Так как примитивный метод реше-
ния многих задач, схожих с задачей коммивояжера, требует последовательного пе-
ребора всех элементов множества, которое может быть достаточно большим, то ско-
рость, с которой возрастают значения факториала, имеет фатальные последствия.
В одном из простых определений сложными называются задачи, решение которых
124
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
ИЗОБРЕТАТЕЛЬ ШАХМАТ
По легенде, персидский царь хотел наградить изобретателя шахмат и подарить ему все, что он
пожелает. Тогда мудрец удивил царя просьбой, которая показалась скромной: он хотел получить
дно зерно за первую клетку доски, два - за вторую, четыре - за третью и т. д. - на каждой
клетке доски дсижно было находиться в два раза больше зерен, чем на предыдущей. Эта прось-
ба показалась царю насмешкой, и он, рассерженный, повелел слугам немедленно исполнить
просьбу мудреца и выслать ему столько зерна, сколько тот просил. Каково же было его удивле-
ние, когда один из советников на следующий день сообщил ему, что для этого не хватит зерна
в амбарах всего мира. Функция, принимавшая значения 1,2,4, 8... возрастала столь быстро,
что общее число зерен составило 18446744073709551615.
требует выполнения сопоставимого числа операций, а простыми считаются те, кото-
рые разрешимы не только с теоретической, но и с практической точки зрения, то есть
в разумное время. Эти задачи часто обозначаются буквой Р (по первой букве ан-
глийского слова «полином»), так как число операций для их решения примерно рав-
но некоторому многочлену от времени выполнения.
Ученые заметили, что существуют задачи, найти решение которых очень сложно,
а подтвердить его правильность относительно просто. Вернемся к примеру с отелем
из главы 2, который на этот раз содержит конечное число комнат. Предположим,
что группа из четырехсот человек хочет остановиться в отеле в те дни, когда там
125
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
будет свободно всего сто номеров. Выбрать сто человек из четырехсот, не следуя
какому-либо критерию, очень просто, однако заявка от группы сопровождалась од-
ной странной просьбой: некоторые путешественники настолько не ладили друг
с другом, что их нельзя было размещать в соседних номерах. Не стоит и думать, что
эту задачу можно решить перебором всех возможных выборок ста человек из четы-
рехсот, но при этом для любого предложенного решения достаточно будет подтвер-
дить, что никакие два путешественника, которые не ладят друг с другом, не будут
поселены в соседние номера. С этой задачей сможет справиться администратор оте-
ля даже без помощи компьютера всего за несколько часов. Такие задачи, которые
сложно решить, но легко проверить, математики относят к классу NP.
Пока что мы говорили о сложности задач как о неотъемлемой части их формули-
ровки. Эта точка зрения априори ошибочна, так как сложной или простой является
не задача сама по себе, а наш способ ее решения. Возможно, найденное нами реше-
ние требует выполнения множества операций, но при этом существует другое, более
простое. В этом случае наше решение относится к классу NP, в то время как сама
задача — к классу Р. Решение задачи о коммивояжере заключалось в переборе всех
возможных маршрутов. Однако в таблице показано, что при смене порядка обхода
городов на противоположный длина маршрута не меняется. Следовательно, выбор
маршрута Париж — Лондон — Берлин — Рим — Париж ничем не отличается
от маршрута Париж — Рим — Берлин — Лондон — Париж, поэтому достаточно
рассмотреть половину исходных случаев. На практике подобное упрощение не слиш-
ком полезно, так как половина огромного числа по-прежнему остается огромным
РИ NP
Как вы увидели в главе 3, датой символического начала математики XX века считается август
1900 года, когда Гильберт обнародовал свой список из двадцати трех задач на конференции
в Париже. Вновь в Париже, но уже сто лет спустя, экспертная комиссия из Института Клэя вы-
брала семь открытых задач, которые, по ее мнению, обозначили направление математических
исследований нового столетия. Четвертая проблема в этом списке, известная как проблема
равенства классов Р и NP, заключается как раз в том, чтобы подтвердить, существуют ли задачи
класса NP сами по себе или же, напротив, любую задачу, решение которой можно проверить
за полиномиальное время, также можно быстро решить, найдя некий хитроумный алгоритм.
Того, кто найдет решение этой проблемы, ждет премия в один миллион долларов. Как видите,
математика иногда может приносить доход.
126
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
числом. Этот аспект имеет скорее философский характер: если в первом решении мы
упустили из вида столь тривиальную деталь, то сколько подобных моментов мы еще
не учли? Мы сказали, что наша исходная точка зрения априори ошибочна, посколь-
ку неизвестно, существуют ли задачи, для которых сложность является неотъемле-
мым свойством их формулировки, а не решений. К числу таких задач, возможно,
относится задача о коммивояжере, пока что никому не удалось доказать, что все ее
решения являются сложными.
В связи с этим определением сложности возникает еще одно замечание: в по-
добной трактовке не проводится различие между задачами, для решения которых
требуется одинаковое число операций. По нашему определению, запомнить пароль
из двенадцати символов — это простая или сложная задача независимо от того,
из каких символов состоит пароль, так как для этого неизменно потребуется двенад-
цать действий: запомнить первый символ, второй, третий и т. д. до двенадцатого.
Однако никто, будучи в здравом уме, не скажет, что запомнить пароли
111111111111 и 6u0yfz3eq85s одинаково просто. Первый пароль можно сжать до слов
«12 единиц», а второй пароль можно описать только одним способом — посимволь-
но. В середине 70-х годов советский математик Андрей Колмогоров на основе этого
примера ввел новое определение сложности, предложив заменить число операций
на число инструкций. Сложность последовательности символов стала определяться
как минимальная длина алгоритма, необходимого для ее генерации.
Представим себе машину Тьюринга, задача которой — записать определенную
последовательность нулей и единиц, которую мы назовем s. Как вы увидели из пре-
дыдущей главы, машине нужно дать последовательность инструкций вида «Если
считано 1, сместиться вправо и перейти к инструкции № 2». В этом упрощенном
варианте мы говорим, что сложностью s является натуральное число п, если суще-
ствует машина Тьюринга, описанная посредством п инструкций, выходным значе-
нием которой является s, и если никакая машина не может сгенерировать заданную
последовательность за меньшее число инструкций. Таким образом определяется
функция К (по первой букве фамилии Колмогорова), которая сопоставляет каждой
последовательности нулей и единиц ее сложность. Рассмотрим последовательность
1111... Если подать на вход машины Тьюринга ленту, на которой записаны только
нули и единственная инструкция которой гласит «Инструкция № 1: Если считан 0,
записать 1 и перейти к инструкции № 1. Если считан 1, сместиться вправо и перейти
к инструкции № 1», то в результате мы получим последовательность 1111... Это
означает, что заданная последовательность имеет минимально возможную слож-
ность К (s) = 1, так как для ее описания достаточно единственной инструкции.
127
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
Удивительное следствие этого определения сложности состоит в том, что компью-
теры не могут генерировать бесконечные случайные последовательности нулей и еди-
ниц. Интуитивно понятно, что последовательность является случайной, когда невоз-
можно предсказать, каким будет ее следующий элемент. Это означает, что описание
случайной последовательности не может быть короче, чем сама последовательность.
Иными словами, ее сложность бесконечно велика. Однако все компьютерные про-
граммы содержат конечное число инструкций (вспомните определение машины Тью-
ринга из предыдущей главы). Следовательно, генерируемые ими последовательности
нулей и единиц, сколь случайными бы они ни казались, всегда будут иметь конечную
сложность. Компьютеры могут воспроизводить только псевдослучайные последова-
тельности, поэтому для генерирования истинно случайных последовательностей мно-
гие физики пытаются использовать недетерминированность атомов.
С другой стороны, определение сложности по Колмогорову во многом схоже
с парадоксом библиотекаря, о котором мы рассказали в конце главы 2, где рассма-
тривается множество натуральных чисел, которые можно описать пятнадцатью сло-
вами. Так как число фраз, состоящих из пятнадцати слов, является конечным, мно-
жество таких чисел также будет конечным. Следовательно, среди всех чисел,
не принадлежащих этому множеству, можно определить наименьшее. Обозначим
его за п. Однако в этом случае п будет «наименьшим числом, которое нельзя опи-
сать менее чем пятнадцатью словами» — это описание содержит всего девять слов!
Логично задаться вопросом, не приведет ли введенное нами определение сложности
к противоречиям. Ответ удивляет: если бы функция К была вычислимой, то есть
если бы существовала машина Тьюринга, способная вычислить для данной последо-
вательности нулей и единиц s сложность К (s), то рассуждения, аналогичные тем,
что мы использовали при решении проблемы остановки, позволили бы воспроизве-
сти парадокс библиотекаря на формальном языке арифметики. Следовательно,
единственно возможный ответ таков: сложность не является вычислимой, и этого
достаточно для разрешения парадокса библиотекаря, который оставался открытым:
выражение «описать пятнадцатью словами» некорректно, так как принадлежит
не к языку, а к метаязыку.
Гёдель, Тьюринг и искусственный интеллект
На предыдущих страницах мы ограничились обсуждением понятия сложности ис-
ключительно с точки зрения математики, и читатель убедился, что определение это-
го понятия сопряжено с многочисленными трудностями. Наша изначальная цель
128
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
была еще более амбициозной: мы хотели узнать, как измеряется сложность понятий
«любовь» и «справедливость». Постепенно все новые и новые математические от-
крытия вдохновили исследователей на создание новой теории сложности, которую
можно обобщить фразой «целое больше, чем сумма его частей». Слова «сияние»,
«рана», «солнце» и «ближайший» имеют четкие значения — мы можем узнать их
в словаре. Но когда французский поэт Рене Шар пишет «Сияние — рана, ближай-
шая к солнцу», из четырех прекрасно знакомых нам слов рождается нечто новое.
Стих представляет собой нечто большее, чем сумму слов, поэтому понять поэзию
непросто.
Эта эмерджентность присуща не только языку — она характерна для так назы-
ваемых общественных насекомых, с ее помощью объясняется успех интернета, и она
является одним из ключей к изучению нервных систем живых существ. Представим
себе, например, крохотного муравья, который в поисках пищи следует алгоритмам,
заложенным в его генах. Мы никогда не смогли бы понять сложную организацию
муравейника, способного приспосабливаться к экстремальным ситуациям, если бы
рассматривали его исключительно как совокупность отдельных муравьев. Иммун-
ная система также представляет собой нечто большее, чем совокупность клеток,
экономика есть нечто большее, чем множество покупателей акций, а интернет —
это нечто большее, чем сумма отдельных действий пользователей из разных уголков
планеты. Понять, каким образом из относительной простоты отдельных компонен-
тов этих систем возникает сложное единое целое — одна из величайших задач науки
начала нынешнего столетия.
Хотя определение сложной системы как системы, в которой целое больше суммы
его частей, довольно приблизительно, нет сомнений, что оно весьма точно описывает
наш мозг. В этом случае отдельными компонентами системы являются нейроны —
клетки, получающие импульсы, обрабатывающие их и передающие их другим ней-
ронам посредством множества отростков. Среди исследователей мозга распростра-
нено мнение, согласно которому сеть связей, благодаря которым мозг становится
чем-то большим, чем просто совокупностью отдельных нейронов, лежит в основе
таких явлений, как восприятие, разум и чувства. А если бы мы могли воссоздать
подобную структуру в информатике? Первые попытки математического модели-
рования нейронов упоминаются в статье, опубликованной в 1943 году, в которой
невролог Уоррен Маккалок и логик Уолтер Питтс определили нейрон как функцию,
которая на основе ряда входных значений выдает единственное выходное значение.
До этого момента все функции, рассмотренные в этой книге, имели единственное
входное значение и преобразовывали его в другое значение посредством ряда опера-
129
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
ций. Однако в реальной жизни очень и очень немногие явления определяются всего
одним параметром. Современная теория искусственных нейронных сетей, созданная
на основе идей Питтса и Маккалока, позволяет имитировать работу мозга с помо-
щью функций от нескольких параметров. Предположим, что мы хотим вычислить
значение функции /, которое зависит от чисел хг х2, ... х„. Основная идея здесь за-
ключается в том, что программа, в которую передаются эти числа, обрабатывает их
подобно тому, как ядро нейрона обрабатывает электрические импульсы, поступаю-
щие по отросткам. Так как величина этих импульсов может отличаться, для каждого
числа х. нужно указать еще одно число, w., которое называется весом и обозначает
важность каждого электрического импульса по отношению к остальным. Например,
если w. и w намного больше, чем ll>,, ... w ., это означает, что на результиру-
ющее значение оказывают наибольшее влияние первый и последний импульс. На ос-
нове весов импульсов в искусственной нейронной сети рассчитывается взвешенная
сумма s = + w2x2 + ... + wnxn и находится значение функции, как показано
на рисунке.
Новизна нейронных сетей заключается в том, что программа, с помощью кото-
рой мы хотим решить задачу, представляет собой не фиксированный, а открытый
алгоритм, веса в котором могут изменяться. В действительности всякая нейронная
сеть обычно проходит фазу обучения, на которой программа методом проб и ошибок
«узнает», какие веса являются наиболее походящими, или, иными словами, какие
входные сигналы следует учитывать в большей степени, чтобы итоговый результат
был удовлетворительным. Если задача нашей нейронной сети заключается, напри-
130
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО. ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
мер, в распознавании человеческого голоса и в ходе обучения выясняется, что боль-
шую часть первого импульса составляет фоновый шум, то сеть не будет придавать
первому импульсу особого значения. Нейронные сети также очень эффективны при
составлении метеорологических прогнозов и при решении задач, подобных задаче
коммивояжера. Компьютеры, в которых используются нейронные сети и другие
передовые алгоритмы, способны решить задачу коммивояжера уже для двухсот го-
родов.
Благодаря нечеткой логике и нейронным сетям компьютеры, способные во мно-
гом имитировать деятельность человеческого мозга, перестали быть только частью
научной фантастики. Решение новых задач стало главной целью новой, быстро раз-
вивающейся научной дисциплины — искусственного интеллекта. В течение многих
лет считалось, что машина никогда не сможет играть в шахматы на уровне гроссмей-
стера. Вне зависимости от того, на сколько ходов вперед она способна просчитать
игру, ей неизвестны слабые стороны противника, она не способна учесть иные пси-
хологические факторы. Машина не смогла бы обыграть человека и в азартные игры:
как обучить компьютер игре в покер, если блеф противоречит очевидной выигрыш-
ной стратегии? Голоса критиков умолкли, когда в феврале 1996 года суперкомпью-
тер Deep Blue, ставший результатом работы компании IBM, начатой еще в 1950-е
годы, обыграл Гарри Каспарова в первой партии шахматного матча. Затем, несмо-
тря на то что Deep Blue мог оценивать сто миллионов позиций в секунду, из пяти
следующих партий, которые игрались медленнее обычного, в четырех победу одер-
Гарри Каспаров обдумывает очередной ход в партии
против суперкомпьютера Deep Blue 10 мая 1997 года.
131
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
жал российский шахматист. Однако годом позже машина была усовершенствована,
и Deep Blue удалось одержать победу в трех партиях и еще одну — свести вничью,
совершая ходы с той же скоростью, что и профессиональные шахматисты. Чемпион
мира был повержен, однако это не помешало Каспарову по-прежнему отстаивать
превосходство человека над машиной. Любопытно, что он приводил точно те же до-
воды, что и его противники, создавшие Deep Blue: «Это синтез, способность соче-
тать творчество и расчет, искусство и науку в единое целое, большее, чем сумма его
частей».
ДИАЛОГ ИЗ ФИЛЬМА «Я, РОБОТ» (РЕЖИССЕР АЛЕКС ПРОЙАС, АВТОР СЦЕНАРИЯ
ДЖЕФФ ВИНТАР, ПО ЦИКЛУ ПРОИЗВЕДЕНИЙ АЙЗЕКА АЗИМОВА, 2004)
Главный герой фильма, полицейский по фамилии Спунер, расследует убийство, в совершении
которого он подозревает робота Санни.
Спунер: Теперь роботы могут и убивать. Прими поздравления. Отвечай!
Санни: Что это означает? {Мигает одним глазом.) Когда вы вошли и посмотрели на другого
человека... Что это значит? (Вновь мигае! одним глазом.)
Спунер Это знак доверия. Это человеческое. Тебе не понять.
Санни: Отец учил меня человеческим эмоциям. Они... сложные.
Спунер: Ты хотел сказать, твой конструктор?
Санни: Да.
Спунер: Так зачем ты его убил?
Санни: Я не убивал доктора Лэннинга.
Спунер: А почему прятался на месте преступления?
Санни: Я боялся.
Спунер: Роботы не испытывают страха. Они вообще лишены чувств. Они не знают голода, им
не нужен сон.
Санни: А мне нужен. Мне даже снятся сны.
Спунер: Только люди видят сны. Даже собаки их видят, а ты нет. Ты - просто машина. Имитация
жизни. Может ли робот написать симфонию? Или создать шедевр живописи?
Санни: А вы можете?
Эти успехи привели к тому, что возобновились ожесточенные споры ученых
и философов, начатые 50 годами ранее Куртом Гёделем и Аланом Тьюрингом. Ис-
132
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
пользуя разные методы, Гёдель и Тьюринг сформулировали одинаковые определе-
ния формальной системы и одинаково трактовали неразрешимые задачи. Однако
Гёдель различал формализм и логику, механизм и разум, а Тьюринг считал эти по-
нятия полностью синонимичными. Доведя это сравнение до предела, в 1947 году
Тьюринг сформулировал следующий постулат: наилучшей моделью человеческого
мозга является универсальная машина, способная имитировать поведение любой
программы. Эту универсальную машину сам Тьюринг ввел, чтобы справиться с про-
блемой разрешения Гильберта. Тьюринг считал, что на вопрос о том, могут ли ком-
пьютеры мыслить, можно дать ответ только по итогам эксперимента. В написанной
в 1950 году статье «Вычислительные машины и разум», название которой вошло
в историю, Тьюринг предложил «игру в имитацию», чтобы ученые посредством
ряда вопросов, передаваемых в письменном виде, могли определить, с кем они взаи-
модействуют — с человеком или компьютером. Суть теста заключалась в том, что
если машина во всем ведет себя подобно разумному существу, то простейшее объ-
яснение этому состоит в том, что она действительно является разумной.
Также Тьюринг предложил, чтобы претендента на звание разумного существа
попросили написать стихотворение или выполнить сложные вычисления. По сути,
успешное выполнение первого задания заставит предположить, что претендент —
человек, а быстрый ответ на второй вопрос заставит думать, что перед нами — ком-
пьютер. Конечно, многие вообще не способны писать стихи или же стихи поэта-
авангардиста могут напоминать случайный набор слов. Существуют и настоящие
люди-«компьютеры», способные перемножать огромные числа или раскладывать
их на множители с фантастической, машинной скоростью. Но несмотря на все эти
трудности, все согласны с тем, что если мы можем задать неограниченное число
вопросов, то всегда отличим человека от машины. Пока что тест Тьюринга не смог
пройти ни один компьютер. Более того, этот тест используется и для распознавания
спама, который, как правило, генерируется компьютерами.
В декабре 1969 года, спустя пятнадцать лет после смерти Тьюринга, Гёдель счел,
что обнаружил в его работе ошибку, которая могла иметь серьезные последствия.
Тьюринг не учел, что разум непрерывно развивается. Во время демонстрации фор-
мальные системы не претерпевают изменений, равно как и машины во время расче-
тов, однако ничто не может гарантировать, что живой разум не изменяется во время
рассуждений. Следовательно, компьютер никогда не сможет заменить человеческий
разум. В любой книге по искусственному интеллекту рано или поздно встречается
раздел, посвященный аргументам Гёделя, однако они относятся не к описанной нами
ситуации, а к идее оксфордского философа Джона Лукаса, согласно которой теоре-
133
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО. ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
мы о неполноте в некотором роде имеют отношение к возможности изобретения раз-
умных машин. Любопытно, что Гёдель никогда всерьез не думал о том, что его от-
крытия имеют отношение к структуре человеческого разума.
Наиболее известный аргумент противников искусственного интеллекта, как мы
уже сказали, принадлежит философу Джону Лукасу, который до того, как посвя-
тить себя философии и древней истории, изучал математику. В статье «Разум, ма-
шины и Гёдель», представленной в 1959 году Оксфордскому философскому обще-
ству, Лукас удивительно простым языком объяснил, почему человеческий разум
нельзя свести к компьютеру: так как мы способны обучить машину аксиомам и пра-
вилам вывода арифметики, мы можем составить все формулы языка и попросить
машину определить, какие из них являются истинными. Рано или поздно компьютер
дойдет до высказывания «эта фраза недоказуема» и проведет остаток вечности
в попытках доказать или опровергнуть ее, в то время как мы, люди, немедленно
поймем, что эта фраза является неразрешимой. «Следовательно, машина по-
прежнему не будет адекватной моделью разума <...> который будет всегда нахо-
диться на шаг впереди любой закостенелой, омертвевшей формальной системы», —
заключал Лукас.
Прошло полвека, и уже почти никто не согласен ни с Джоном Лукасом, ни с его
последователем, Роджером Пенроузом, который в 1989 году расширил и допол-
нил его точку зрения. Означает ли это, что мы, люди, видим истинность высказы-
вания Гёделя? Первая теорема о неполноте гласит, что если арифметика является
непротиворечивой, то высказывание «эта фраза недоказуема» является истинным,
следовательно, чтобы определить его истинность, сначала необходимо определить
непротиворечивость арифметики. Если мы примем непротиворечивость арифметики
на веру, так как сочтем, что мир свободен от противоречий, то мы также сможем
запрограммировать робота, в коде которого будет отражено ожидание того, что
арифметика является непротиворечивой. Это не более чем одна из трактовок второй
теоремы о неполноте, которая гласит, что непротиворечивость арифметики нельзя
доказать в рамках ее формальной системы. Тем не менее, возражает Лукас, мате-
матики способны доказать непротиворечивость арифметики, обратившись к более
сложным методам и языкам высших порядков. Да, мы способны выйти за рамки
системы, в то время как у компьютера подобный шаг вызовет затруднения. Но что,
если нам удастся обучить его этому? Что, если в очень сложной искусственной ней-
ронной сети возникнут новые трактовки непротиворечивости? Ответ на этот вопрос
не так прост, как может показаться.
134
ХОРОШО КОНЧАЕТСЯ ТО, ЧТО НЕ КОНЧАЕТСЯ
Что подумал бы Евклид об отходе от аксиоматического метода? Дополнение ак-
сиоматического метода нечеткой логикой XXI века стало бы прекрасным финалом
этого романа, который начался с открытия неевклидовой геометрии, продолжился
теорией множеств и ее парадоксами, а в последующих его главах на первый план
вышли три героя: Давид Гильберт, Курт Гёдель и Алан Тьюринг. Это было бы пре-
красным завершением нашей книги, но исследования математиков и логиков на этом
не заканчиваются. За те несколько месяцев, которые пройдут, прежде чем эта книга
попадет к первым читателям, математики, физики и инженеры еще больше усовер-
шенствуют нейронные сети. Нечеткая логика, возможно, возьмет новый курс, и,
быть может, кому-то удастся найти решение проблемы равенства классов Р
и NP. Поэтому будет лучше, если сейчас мы поставим точку. Хорошо кончается то,
что не кончается, — эта фраза станет неплохим финалом книги, главными героями
которой являются парадоксы.
135
Библиография
BERTO F. Tutti pazzi per Godel!, Roma, Laterza, 2007.
ElJCLIDES Elementos, Madrid, Gredos, 2000.
FRESAN J. Godel. La logica de los escepticos, Madrid, Nivola, 2007.
HEIJENOORT J.V. From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, Cam-
bridge (Massachussets), Harvard University Press, 1967.
HOFSTADTER D.R. Godel, Escher, Bach. Un eterno у grac'd bucle, Barcelona, Tus-
quets, 1987.
MARTINEZ G. у Pineiro G. Godel \f(para todos), Barcelona, Destine, 2010.
MITCHELL M. Complexity, Oxford, Oxford University Press, 2009.
MoSTERfN J. Los logicos, Madrid, Espasa, 2000.
NAGEL E. у Newman J.R. El teorema de Godel, Madrid, lecnos, 1970.
SANGALLI A. The Importance of Being Fuzzy and Other Insights from the Border bet-
ween Math and Computers, Princeton, Princeton University Press, 1998.
SMITH P. An Introduction to Godel’s Theorems, Cambridge, Cambridge University
Press, 2007
SOKAL A. у BRICMONT J. Imposturas intelectuales, Barcelona, Paidos, 1999.
137
Алфавитный указатель
ignorabimus 71
modus ponens 21, 25, 26, 28, 30, 75
modus tollens 21, 22, 25, 30
Аккерман, Вильгельм 110
аксиома выбора 66, 76
аксиома индукции 24, 25, 65
аналитическая машина 98
Аристотель 14, 76
арифметика 23—26, 45, 56—66, 71—
90,134
Байрон, Ада 98—100
Бельтрами, Эудженио 18—19
Бернаис, Пауль 76
бесконечность 37—39, 51—53, 65—66,
68,109,110
биекция 37—39
Бойяи, Янош 14
Брауэр, Ян 66
булева алгебра 36
Буль, Джордж 35—36
Бурбаки 41
Бэббидж, Чарльз 98—100
Ван, Хао 89
ввод 98,104-106,110-113,127-130
Вейль, Герман 65
вывод 98,105-107,110, ИЗ, 127-129
Галуа, Эварист 72
Гаусс, Карл Фридрих И, 14, 72, 100
«гёделизация» 73, 75, 78—86, 109—111
Гёдель, Курт 9, 53, 56, 67-91,110,
128-135
Гёделя, числа 83-87
Гейзенберг, Вернер 72
Гильберт, Давид 55—58, 63—66, 71,
76,110-111
Гильберта, программа 55—66, 71, 76,
110
Гурвиц, Адольф 56
Дебре, Режи 90
Дедекинд, Рихард 39
Декарт, Рене 79
Делёз, Жиль 90
диагональный метод 40, 53, 56,109
доказательство 22—23, 27—31, 63—66,
82-88
доказательство от противного 64, 80
«Дон Кихот» 50—51
дополнение множества 60—61
Евклид 11-20, 30, 34, 35, 64
Заде, Лотфи 118, 121—122
закон исключенного третьего 44, 45,
66
замощение 89
Зенон Элейский 48, 51—52
интуицизм 68
искусственный интеллект 15, 128—135
истинность 15-20, 27-31, 35-36,
49-53,116-118
«Исчисление понятий» 42—43
Кант, Иммануил 67
Кантор, Георг 23, 36, 37, 42, 53, 56,
109
кардинальное число множества 37—41,
56
квантор 59, 60, 63, 82
Колмогоров, Андрей 127—128
139
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
компьютер 97,101,111,123-128,131,
133-134
Коэн, Пол 56
Кронекер, Леопольд 23
Кун, Томас 76
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 79—80,
84, 98,110, ИЗ
Лобачевский, Николай 14
логицизм 58, 65, 68
Лукас, Джон 133
Лукасевич, Ян 117
Международный математический кон-
гресс 55,110
метаматематика 57, 63-65, 73
метаязык 63-66, 73, 80,116,128
Минковский, Герман 56
множество
нечеткое 118—121
счетное 39-40
«Начала математики» 58-59, 71-72,
76, 79
«Начала» 11-14, 20, 23, 34, 35
неевклидова геометрия 9, 14—20, 23,
135
нейронные сети 130—131, 135
непротиворечивость 64—66, 70—76,
90,134
неразрешимое высказывание 29, 71, 72,
75, 76, 89,134
нечеткая логика 10,115-122,131,135
Ньютон, Исаак 15
объединение множеств 60—61
Орезмский, Николай 51—52
парадокс 48—53, 57, 64, 72,120
лжеца 48-53, 64, 72, 85,117
об Ахиллесе и черепахе 48, 51-53
Рассела 42—47, 53, 64, 68
Ришара 53
Парменид 44, 48
Паскаль, Блез 97—98
Пеано, Джузеппе 24
Пенроуз, Роджер 134
пересечение множеств 60-61,121
Платон 11
полнота 27-31, 72, 73, 75
Поппер, Карл 22
правила вывода 20-25, 28-30, 58,
85-87
принцип непротиворечивости 115
проблема
остановки 110-113,128
разрешения ( Entscheidungsproblem )
97, 99,110, 111, ИЗ
Пуанкаре, Анри 56—57, 65
пятый постулат (о параллельности пря-
мых) 11-16, 18, 20
равенство классов Р и NP 126,135
Рассел, Бертран 9, 35, 42—48, 56,
58—59, ИЗ
рекурсивная перечислимость 27, 29—
31, 72, 73
самоотносимость 52, 53, 64,112, ИЗ
система аксиом 20-23, 29-30, 73, 85
сложность 122-129
случайная последовательность 128
Тарский, Альфред 52
Тауринус, Франц Адольф 11—14
теорема
о неполноте 69, 71-79, 84-90,134
основная теорема арифметики 81—
83, 86
140
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
теория
множеств 35—42, 47, 48, 56, 60, 65
относительности 16
типов 45,47
Тьюринг, Алан 96, 99,101,108—111,
ИЗ, 128-135
Тьюринга машина 93—113, 124, 127—
128
Уайтхед, Альфред 11орт 56—59, 71, 74
фальсифицируемость 22
Филит Косский 49
финитные методы 64, 66, 70, 76
фон Нейман, Джон 70—72, 84, 91
формализм 9, 65, 68, 70, 121, 133
формальный язык 128
Фреге, Готлоб 15, 42—43, 45—46,
56-57
функция 59,101-102,105,109,119,
120
вычислимая 101-110,124,128
Цермело, Эрнст 47, 66, 76
Чёрч, Алонзо 108
число
Бернулли 99—100
натуральное 24—26, 62—63, 81, 83,
101
простое 64, 79—83, 86,101—102
Эйлер, Леонард 67
Эйнштейн, Альберт 15—20, 78
эмерджентность 129
«Энигма» 93—96
Эпименид Критский 9, 48—49, 72, 112
«эта фраза ложна» 49, 52—53, 64, 72,
112,116,117
«это высказывание недоказуемо» 73,
75-76, 85, 89, ИЗ
141
заметок
заметок
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 22
Хавьер Фресан
Сон разума.
Математическая логика и ее парадоксы
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисна»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите иа сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Украша, 01033, м. Ки!'в, а/с «Де Агостпй»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
3 + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за сооой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 30.04.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 17.06.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 4,5.
Усл. печ. л. 5,832.
Тираж: 50 000 экз.
© Javier Fresan, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0717-5 (т. 22)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТРТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Сон разума
Математическая логика и ее парадоксы
На пути своего развития математика периодически переживает
переломные моменты, и эти кризисы всякий раз вынуждают мыс-
лителей открывать все новые и новые горизонты. Стремление
ко все большей степени абстракции и повышению строгости ма-
тематических рассуждений неминуемо привело к размышлениям
об основах самой математики и логических законах, на которые
она опирается. Однако именно в логике, как известно еще
со времен Зенона Элейского, таятся парадоксы - неразрешимые
на первый (и даже на второй) взгляд утверждения, которые,
с одной стороны, грозят разрушить многие стройные теории,
а с другой - дают толчок их новому осмыслению.
Имена Давида Гильберта, Бертрана Рассела, Курта Гёделя,
Алана Тьюринга ассоциируются именно с рождением совершен-
но новых точек зрения на, казалось бы, хорошо изученные
явления. Так давайте же повторим удивительный путь, которым
прошли эти ученые, выстраивая новый фундамент математики.
ISBN 978-597740682-6
9 785977 406826