Клиффорд Пикове ·
От Пифагора до 57-мерных объектов
250 основных вех в истории математики
Б НОМ

Великая
МАТЕМАТИКА

Clifford A. Pickover
The Math
BOOK
From Pythagoras to the 57th Dimension,
250 Milestones in the History of Mathematics

Клиффорд Пиковер
Великая
МАТЕМАТИКА
От Пифагора до 57-мерных объектов
250 основных вех в истории математики
Перевод с английского
С. А. Иванова
4
Москва
БИНОМ. Лаборатория знаний

УДК 501+001
ББК 22г+72.3
П32
Публикуется с разрешения
STERLING PUBLISHING CO., INC. (США)
при содействии Агентства Александра Корженевского (Россия)
Пиковер К.
П32 Великая математика. От Пифагора до 57-мерных
объектов. 250 основных вех в истории математики /
К. Пиковер ; пер. с англ. С. А. Иванова — М. : БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2015. — 539 с. : ил.
ISBN 978-5-9963-0514-8
Книга «Великая математика» включает 250
иллюстрированных исторических эссе, посвященных развитию
математики. Каждая статья в доступной форме отражает
квинтэссенцию описываемого математического достижения. Автор
книги, известный популяризатор науки, блестящий
журналист, выпускник Йельского университета, издал более
40 научно-популярных книг по математике, физике,
медицине, религии, информатике и др., многие из которых
переведены на иностранные языки.
Для всех любителей математики.
УДК 501+001
ББК 22г+72.3
ι®
Научно-популярное издание
Пиковер Клиффорд
ВЕЛИКАЯ МАТЕМАТИКА
ОТ ПИФАГОРА ДО 57-МЕРНЫХ ОБЪЕКТОВ
250 ОСНОВНЫХ ВЕХ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
Ведущий редактор М. С. Стригунова
Художественное оформление: И. Е. Марев
Художник Н. А. Новак
Технический редактор Е. В. Денюкова
Корректор Ε. Η. Клитина
Компьютерная верстка: Е. А. Голубова
Подписано в печать 10.07.14. Формат 84x90/16.
Усл. печ. л. 47,60.
Издательство «БИНОМ. Лаборатория знаний»
125167, Москва, проезд Аэропорта, д. 3
Телефон: (499)157-5272, e-mail: binom@Lbz.ru, http://www.Lbz.ru
© 2009 by Clifford A. Pickover
© Перевод на русский язык, оформление,
ISBN 978-5-9963-0514-8 БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015

Если посмотреть на математику должным образом,
то окажется, что она обладает не только истиной, но
и высшей красотой - красотой холодной и строгой,
подобной красоте скульптуры.
Бертран Рассел (Bertrand Russel, Mysticism and Logic, 1918)
Математика является прекрасным, увлекательным
предметом, полным воображения, фантазии и
творчества, которое ограничивается не мелочами
физического мира, а лишь силой нашего внутреннего света.
Грегори Чейтин (Gregory Chaitin, «LessProof, More Truth»,
New Scientist, July 28, 2007)
Может быть, ангел Господень обозрел бесконечное
море хаоса, а затем мягко коснулся его своим перстом.
В этом крошечном и недолговечном водовороте формул
и возникла наша Вселенная.
Мартин Гарднер (Martin Gardner, Order and Surprise, 1950)
Великие уравнения современной физики являются
неотъемлемой частью научных знаний, они способны
пережить даже те шедевры зодчих, которые были
созданы задолго до их открытия.
Стивен Вайнберг (Steven Weinberg, in Graham Farmelo's
It Must Be Beautiful, 2002)

Введение
Красота и польза математики
Вдумчивый наблюдатель, видя математиков за работой,
может сделать вывод, что они являются последователями
экзотических сект, посвятившими себя поискам эзотерических
ключей от Вселенной.
Филип Дэвис и Рувим Херш
(Philip Davis and Reuben Hersh, The Mathematical Experience)
Математика пронизывает все области научной деятельности и имеет
неоценимое значение в биологии, физике, химии, экономике, социологии и технике.
С помощью математики можно объяснить цвет закатного неба или
архитектуру нашего мозга. Математика помогает строить сверхзвуковые самолеты
и американские горки, моделировать запасы земных природных ресурсов,
изучать субатомную квантовую структуру и получать изображение далеких
галактик. Математика изменила наш взгляд на космос.
Я надеюсь, что эта книга, в которой используется всего несколько формул,
привьет читателям вкус к математике, будет способствовать развитию их
воображения и даст им пищу для ума. Однако эта книга - не просто сборник
различных интересных фактов, не представляющих большой ценности для
среднего читателя. На самом деле, согласно сообщениям департамента
образования США, успешное окончание курса математики в средней школе ведет к
более плодотворной учебе в колледже вне зависимости от того, какую
специальность выбрал студент.
Математика полезна тем, что позволяет нам строить космические
корабли и изучать геометрию нашей Вселенной. Числа могут стать нашим первым
средством связи с разумными инопланетными расами. Некоторые физики
даже считают, что понимание более высоких пространственных измерений и
топологии — науки, изучающей различные виды форм и их взаимосвязи, -
может когда-нибудь дать человечеству шанс в поисках выхода из нашей
Вселенной, когда она прекратит свое существование вследствие либо невыносимой
жары, либо холода, и тогда бы мы смогли назвать нашим домом все
пространство-время.
В истории математики многие открытия совершались одновременно
несколькими людьми. Как я уже упоминал в моей книге «Лента Мёбиуса», в
1858 г. лента Мёбиуса (удивительный перекрученный объект, имеющий
только одну сторону) одновременно и независимо друг от друга была открыта
Августом Мёбиусом (1790-1868) и его современником, немецким математиком
Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882). Это открытие, сделанное
одновременно Мёбиусом и Листингом, подобно тому как математический анализ
был одновременно разработан английским ученым-эрудитом Исааком
Ньютоном (1643-1727) и немецким математиком Готфридом Вильгельмом
Лейбницем (1646-1716), заставляет меня задаться вопросом: почему так много
открытий в науке были сделаны одновременно разными учеными, работаю-
6 ВЕЛИКАЯ МАТЕМАТИКА

щими независимо друг от друга? В качестве другого примера можно привести
британских натуралистов Чарльза Дарвина (1809-1882) и Альфреда Уоллеса
(1823—1913), которые одновременно и независимо друг от друга разработали
теорию эволюции. Кроме того, как оказалось, гиперболическая геометрия
была одновременно разработана венгерским математиком Яношем Бойяи
(1802-1860) и русским математиком Николаем Лобачевским (1793-1856)
независимо друг от друга.
Скорее всего, такие одновременные открытия были сделаны потому, что
просто пришло время для таких открытий, с учетом знаний, накопленных
человечеством на тот момент. Иногда двум ученым идеи приходят во время
прочтения результатов одних и тех же предварительных исследований,
полученных одним из современников. В то же время мистики полагают, что в
таких совпадениях присутствует более глубокий смысл. Австрийский биолог
Пауль Каммерер (1880-1926) писал: «Таким образом, мы приходим к образу
мира-мозаики или к космическому калейдоскопу, который, несмотря на
постоянные перетасовки и перестановки стеклышек, тем не менее стремится так
или иначе уложить их вместе». Он сравнил события в нашем мире с гребнями
океанских волн, кажущимися изолированными и не связанными друг с
другом. Согласно его спорной теории, мы замечаем лишь гребни волн, однако под
их поверхностью может находиться некий синхронно работающий механизм,
который мистическим образом соединяет события в нашем мире и заставляет
их объединяться в группы.
Жорж Ифра в своей книге «Всеобщая история чисел» рассматривает вопрос
одновременности открытий, когда пишет о математике майя:
«Поэтому мы еще раз видим, как люди, сильно отделенные друг от
друга временем или пространством, пришли... к очень похожим, если не
идентичным, результатам. ...В некоторых случаях объяснение этому
можно найти в контактах и взаимном влиянии различных групп
людей... Истинная причина заключается в том, что мы ранее называли
глубоким единством культуры: интеллект человека разумного
является универсальным и его потенциал является удивительно
равномерно распределенным по всем частям света».
Древние люди, такие как древние греки, были глубоко увлечены числами.
Может быть, в трудные времена в постоянно меняющемся мире лишь числа
оставались непреходящими? Для древнегреческого союза пифагорейцев числа
были материальными, неизменными, удобными, вневременными
сущностями — более надежными, чем друзья, менее грозными, чем Аполлон и Зевс.
Тематика многих статей в этой книге связана с целыми числами.
Гениальный математик Пол Эрдёш (1913-1996) был очарован теорией чисел
(занимающейся исследованием целых чисел) и поставил много задач, простых в
формулировке, но чрезвычайно сложных в решении. Эрдёш считал, что если
в математике и можно сформулировать какую-то проблему, которая будет
неразрешимой в течение более сотни лет, то эта проблема будет именно в теории
чисел.
Многие аспекты Вселенной могут быть выражены целыми числами.
Числовые последовательности характеризуют расположение лепестков в цветке
ВВЕДЕНИЕ 7

ромашки, размножение кроликов, орбиты планет, гармонию в музыке и
взаимосвязи элементов в Периодической таблице Менделеева. Леопольд Кроне-
кер (1823-1891), немецкий алгебраист и специалист в области теории чисел,
сказал однажды: «Целые числа пришли от Бога, а все остальное создано
человеком» . Он подразумевал, что целые числа являются первоначалом всей
математики.
Еще со времен Пифагора признавалась роль целочисленных отношений в
нотном стане. Что более важно, целые числа сыграли решающую роль в
эволюции понимания человечеством науки. Например, французский химик Антуан
Лавуазье (1743-1794) обнаружил, что химические соединения состоят из
фиксированных пропорций элементов, соответствующих отношениям небольших
целых чисел. Это было очень убедительным доказательством существования
атомов. В 1925 г. определенные целочисленные соотношения между длинами
волн спектральных линий, испускаемых возбужденными атомами, дали
самые первые ключи к пониманию структуры атомов. Почти целочисленные
соотношения атомных масс стали доказательством того, что атомное ядро
состоит из целого числа одинаковых нуклонов (протонов и нейтронов). Отклонения
от целочисленных отношений в этом случае привели к открытию изотопов
химических элементов (разновидностей атомов с почти одинаковыми
химическими свойствами, но с разным количеством нейтронов).
Небольшие отклонения атомных масс изотопов от точных целочисленных
значений подтвердили знаменитое уравнение Эйнштейна Ε = тс2, а также
возможность создания атомной бомбы. Целые числа повсеместно присутствуют в
атомной физике. Отношения целых чисел являются основной нитью в ткани
математической науки, или, как сказал немецкий математик Карл Фридрих
Гаусс (1777—1855), «математика - царица наук, а теория чисел — царица
математики».
Математическое описание Вселенной постоянно растет, но образ нашего
мышления и наш язык остаются прежними. В наше время постоянно
открываются и создаются новые разделы математики, но при этом мы нуждаемся
в свежем образе мышления и понимания. Например, в последние годы было
предложено несколько математических доказательств известных в истории
математики задач, но эти доказательства оказались слишком длинными и
сложными, чтобы убедить специалистов в их правильности. Математику
Томасу Хейлзу пришлось ждать пять лет, прежде чем рецензенты его
геометрической статьи, принятой к печати в журнале Annals of Mathematics, в
конечном итоге признали, что не смогли найти ошибок в статье и что журнал может
опубликовать доказательство Хейлза, но только с примечанием, что журнал
не гарантирует правильность решения! Более того, математик Кит Девлин в
газете New York Times высказал предположение, что «математика достигла в
своем развитии такой стадии абстракции, что многие ее пограничные вопросы
непонятны даже специалистам». Если уж специалисты сталкиваются с такого
рода проблемами, то легко понять, как сложно им порой доводить такого рода
информацию до широкой публики. Мы делаем всё, что можем. Математики
могут строить теории и производить вычисления, но могут оказаться
неспособными до конца осмыслить, объяснить или передать свои идеи другим людям.
Здесь уместно провести аналогию с физикой. В то время как Вернер Гейзен-
берг был обеспокоен тем, что человек никогда не сможет по-настоящему по-
8 ВЕЛИКАЯ МАТЕМАТИКА

нять строение атома, Нильс Бор был немного более оптимистичен в этом
отношении. В начале 1920-х гг. он писал: «Я думаю, что мы, возможно, готовы
сделать это, но в процессе понимания структуры атома нужно уяснить себе смысл
самого слова "понимание"». Сегодня с помощью компьютеров можно делать
различные выводы, лежащие за пределами ограничений, накладываемых
нашей собственной интуицией. В самом деле, компьютерные эксперименты
приводят математиков к таким открытиям и озарениям, о которых они ранее и
не мечтали до той поры, пока компьютеры не получили широкого
распространения. Компьютеры и компьютерная графика позволяют математикам
обнаруживать результаты задолго до того, как они могут их доказать на уровне
формул, а также помогают открывать совершенно новые области математики.
Даже такие простые компьютерные программы, как программа
табличных расчетов, дают современной математике такую вычислительную мощь,
которую жаждали бы иметь Гаусс, Леонард Эйлер и Ньютон. Приведем лишь
один пример: в конце 1990-х гг. компьютерные программы, разработанные
Дэвидом Бейли и Геламаном Фергюсоном, помогли создать новые формулы,
которые установили связь между числом «пи» и log 5, а также с двумя
другими константами. По сообщению Эрика Кларрайха в журнале Science News,
как только компьютер составил эту формулу, проверка ее правильности стала
очень простым делом. Часто простое знание ответа является самым большим
препятствием, которое требуется преодолеть при проведении доказательства.
Математические теории иногда использовались для предсказания явлений,
которые в течение долгих лет не могли найти себе подтверждения. Например,
уравнения Максвелла, названные в честь физика Джеймса Кларка
Максвелла, предсказали открытие радиоволн. Из уравнений поля Эйнштейна
следовало, что гравитация Способна преломлять свет и что Вселенная расширяется.
Физик Поль Дирак однажды заметил, что абстрактная математика,
изучаемая нами сегодня, дает представление о физике в будущем. В самом деле, его
уравнения предсказали существование антиматерии, которая впоследствии и
была обнаружена. Также математик Николай Лобачевский говорил, что «не
существует такого раздела математики, даже совершенно абстрактного,
который не был бы когда-нибудь применен к явлениям реального мира».
В этой книге вы встретитесь с различными интересными видами
геометрий, в которых, как полагали, были сокрыты ключи от Вселенной. Галилео
Галилей (1564—1642) считал, что «Великая книга природы написана на языке
математики». Иоганн Кеплер (1571-1630) построил модель Солнечной
системы, использовав для этого Платоновы тела, подобные додекаэдру. В 1960 г.
физик Юджин Вигнер (1902-1995) был впечатлен «необоснованной
эффективностью математики в естественных науках». Большие группы Ли, такие
как группа Ли Eg, которая обсуждается в данной книге в статье «В поисках
группы Ли Е8» (2007), возможно, Помогут в будущем создать единую теорию
физики. В 2007 г. шведско-американский космолог Макс Тегмарк
опубликовал ряд научных и популярных статей, посвященных математической
гипотезе Вселенной, которая утверждает, что наша физическая реальность является
математической структурой, иными словами, наша Вселенная не просто
описывается математикой — она и есть сама математика.

Структура и цель написания данной книги
На каждом важном этапе своего развития физика требует и
часто стимулирует создание новых математических
инструментов и понятий. Наше современное понимание законов физики,
со всей их крайней точностью и универсальностью, возможно
только в терминах математики.
Сэр Майкл Атья (Sir Michael Atiyah, «Pulling the Strings», Nature)
Одной из распространенных характеристик математиков является страсть к
завершенности - желание вернуться к начальным принципам для объяснения
своей работы. В результате читателям математических текстов часто
приходится продираться через страницы предпосылок, прежде чем они доберутся
до самой сути. Чтобы избежать этой проблемы, статьи в книге весьма
коротки, в лучшем случае несколько абзацев. Такой формат позволяет читателям
двигаться по кратчайшему пути для лучшего понимания самой темы статьи,
без необходимости разбираться в большом объеме информации. Хотите
узнать о бесконечности? Обратитесь к статье «Трансфинитные числа Кантора»
(1874) или «Парадокс "Гранд-отеля" Гильберта» (1925), и вы получите сеанс
быстрой тренировки мышления. Вас интересует первый коммерчески
успешный карманный механический калькулятор, разработанный заключенным
в нацистском концентрационном лагере? Прочитайте статью «Калькулятор
"Curta"» (1948), где вы найдете краткое описание истории разработки этого
устройства. Интересно, как забавно звучащая теорема однажды помогла
ученым в создании нанопроводов для электронных устройств? Тогда загляните в
статью «Теорема о волосатом шаре» (1912).
Почему нацисты заставили президента Польского математического
сообщества сдавать свою собственную кровь для кормления вшей? Почему убили
первую женщину-математика? Возможно ли на самом деле вывернуть сферу
наизнанку? Кто был «Числовым папой римским»? Когда же люди завязали
свои первые узлы? Почему мы больше не пользуемся римскими цифрами? Как
звали самого древнего ученого в истории математики? Может ли поверхность
иметь только одну сторону? Ответы на эти и другие заставляющие задуматься
вопросы вы найдете на страницах данной книги.
Конечно, мой подход имеет некоторые недостатки. Нельзя в нескольких
абзацах глубоко развить какую-либо тему. Поэтому в разделе «Примечания и
список дополнительной литературы» читателям предложен список
литературы для дальнейшего чтения. Хотя иногда я привожу список первоисточников,
часто я также указываю ссылки на производные материалы, которые
читателям зачастую проще найти, чем более старые первоисточники. Читатель,
заинтересовавшийся изучением любой темы, может использовать эти ссылки в
качестве полезной отправной точки.
Моя цель написания книги «Великая математика» заключается в том,
чтобы предоставить широкой аудитории краткий справочник важных
математических идей и их создателей в формате небольших статей, достаточно
коротких для того, чтобы читатель смог воспринять информацию всего за несколько
10 ВЕЛИКАЯ МАТЕМАТИКА

минут. Большинство статей посвящены темам, интересующим меня лично.
Увы, я, будучи ограниченным объемом, не смог включить в нее все великие
вехи на пути развития математики. Таким образом, отмечая некоторые
удивительные явления математики, я был вынужден пропустить много
замечательных математических чудес. Тем не менее я считаю, что в эту книгу вошло
большинство математических событий из тех, которые сыграли важную роль
в истории математики и оказали сильное влияние как на саму математику,
так и на общество и на человеческое мышление в целом.
Некоторые статьи посвящены в высшей степени практическим вещам,
например логарифмической линейке и другим вычислительным устройствам, а
также геодезическому куполу и изобретению нуля. Изредка в книге
встречаются более легкие темы, которые, тем не менее, имеют важное значение,
например кубик Рубика или решение задачи о складывании простыни. Иногда
фрагменты информации повторяются с тем, чтобы каждую статью можно было
читать независимо от других. Слова, выделенные полужирным шрифтом,
отсылают читателя к соответствующим статьям. Кроме того, небольшой раздел
«СМ. ТАКЖЕ» внизу страницы для каждой статьи организует путешествие по
книге в игровой манере поиска новых открытий.
Книга «Великая математика» отражает мои собственные пробелы в
знаниях - в то время, когда я старался осветить максимально большое количество
областей науки и математики, мне было трудно высказаться по всем
аспектам, и в этой книге ясно проступают мои личные интересы, равно как и мои
сильные и слабые стороны. Я несу ответственность как за выбор вошедших в
эту книгу ключевых статей, так и, конечно, за любые ошибки и неточности.
Эта книга не является исчерпывающей монографией или научной
диссертацией, скорее, она предназначена для развлекательного чтения для школьников,
студентов естественнонаучных факультетов, а также математиков и
заинтересованных непрофессионалов. Я буду весьма признателен за обратную связь
и предложения читателей по улучшению книги, поскольку считаю ее
продолжающимся проектом и своим любимым делом.
Книга написана в хронологической последовательности, в зависимости от
года математического события или открытия. (Даты, относящиеся к
Древнему миру, являются приблизительными. — Прим. ред.) Иногда в литературе
можно найти отличающиеся даты одних и тех же событий, поскольку
некоторые источники указывают дату публикации как ту дату, когда было сделано
данное открытие, в то время как другие источники дают фактическую дату,
когда был открыт тот или иной математический закон, несмотря на то что дата
его опубликования иногда бывает годом или несколькими годами позже. Если
я сомневался в точности самой ранней даты открытия, то часто использовал в
качестве нее дату соответствующей публикации.
Датирование статей также может быть предметом дискуссии, когда свой
вклад в данное открытие внесли несколько ученых. Зачастую, когда это было
целесообразным, я использовал самую раннюю дату, но иногда по совету
коллег ставил ту дату, когда какая-либо идея занимала особенно видное
положение. В качестве примера можно привести код Грея, который используется
для облегчения коррекции ошибок в цифровой связи, например при передаче
телевизионного сигнала, и делает линии передачи менее чувствительными к
шуму. Этот код был назван в честь Фрэнка Грея — физика, работавшего в Bell
ВВЕДЕНИЕ 11

Telephone Laboratories в 1950-1960-х гг. В то время этот вид кодов играл
важную роль, отчасти из-за патента на него, выданного в 1947 г., а также
благодаря появлению современных линий связи. Статья, посвященная коду Грея,
относится к 1947 г., хотя он, возможно, появился гораздо раньше, потому что
корни этой идеи тянутся к Эмилю Бодо (1845-1903), французскому пионеру
телеграфа. В любом случае, в каждой статье или в разделе «Примечания и
дополнительная литература» я попытался дать читателям почувствовать
разброс возможных дат событий.
Ученые иногда спорят в отношении лица, которому по традиции
приписывается то или иное открытие. Например, автор Генрих Дорри называет имена
четырех ученых, которые считают, что конкретная версия задачи Архимеда
о быках не связана с Архимедом, но также называет четырех авторов,
которые считают, что эта задача должна быть приписана Архимеду. Ученые также
спорят относительно авторства парадокса Аристотелева колеса. Везде, где это
возможно, я упоминаю о таких спорах либо в основном тексте, либо в разделе
«Примечания и список дополнительной литературы».
Вы заметите, что значительное число важных открытий в математике
было сделано в последние несколько десятилетий. Всего лишь один пример:
в 2007 г. исследователи наконец «решили» проблему игры в шашки, доказав,
что если один из соперников является идеальным игроком, то игра будет
заканчиваться вничью. Как уже упоминалось, часть быстрых достижений в
области математики за последние годы связана с использованием компьютеров,
применяемых в качестве инструментов для математических экспериментов.
В случае проблемы шашек, анализ игры фактически начался в 1989 г. и для
полного решения потребовал использования десятков компьютеров. Игра в
шашки имеет примерно 500 миллиардов миллиардов возможных позиций.
Изредка в основных статьях книги имеются ссылки на цитаты журналистов,
пишущих о науке, либо известных исследователей, но из соображений краткости
в статьях я не привожу список источников цитат или полных учетных данных
конкретного автора. Я заранее прошу прощения за такой изредка
встречающийся в книге компактный подход к цитированию, однако помочь в точной
идентификации автора призваны ссылки на цитаты, приведенные конце книги.
Даже именование теорем может оказаться непростым делом. Например,
математик Кит Девлин в 2005 г. написал в своей колонке для Американской
математической ассоциации:
«Большинство математиков за свою жизнь доказывают большое
количество теорем, и процесс, при котором их имя закрепляется за
одной из теорем, является весьма бессистемным. Например, Эйлер,
Гаусс и Ферма доказали сотни теорем каждый, многие из этих теорем
являются очень важными, и все же их имена приписываются лишь
нескольким из них. Иногда теоремы называют именами математиков
неправильно. Самым известным случаем, пожалуй, является теорема
Ферма: сам Ферма почти что наверняка не смог доказать «Великую
теорему Ферма». Скорей всего, после смерти самого Ферма его имя
было приписано кем-то другим к той гипотезе, которую французский
математик набросал на полях книги. И теорема Пифагора была
известна задолго до появления на исторической сцене самого Пифагора».
12 ВЕЛИКАЯ МАТЕМАТИКА

В заключение отметим, что математические открытия служат основой для
исследования природы реального мира, в то время как математические
методы позволяют ученым делать предположения о нашей Вселенной: таким
образом, открытия, описанные в этой книге, занимают подобающее им место среди
наивысших достижений человечества.
На первый взгляд может показаться, что эта книга является длинным
каталогом отдельных концепций и имен ученых-математиков с довольно слабой
связью между ними. Но по мере прочтения книги, я думаю, вы сможете
увидеть многочисленные связи, концептуально объединяющие эту книгу.
Очевидно, что конечная цель ученых и математиков заключается не в простом
накоплении фактов и формул: они стремятся понять закономерности, принципы
организации и отношения между этими фактами для того, чтобы
сформулировать теоремы и придать абсолютно новые направления ходу человеческой
мысли. Во мне самом математика вызывает состояние восхищения природой
ума, пределами мысли и нашим местом в этом огромном космосе.
Наш мозг, эволюционировавший от того органа, который заставлял нас
убегать от львов по африканской саванне, возможно, не сконструирован так,
чтобы проникнуть за бесконечную завесу реальности. Нам могут
понадобиться математика, естественные науки, компьютеры, увеличение объема нашего
мозга, и даже литература, искусство и поэзия, чтобы помочь откинуть этот
занавес. Те из вас, кто собирается приступить к чтению книги «Великая
математика» от корки до корки, — ищите взаимосвязи, взгляните с благоговением на
эволюцию идей и отправляйтесь в самостоятельное плавание по бескрайнему
морю воображения.
Благодарности
Я выражаю благодарность Тейе Крашек, Деннису Гордону, Нику Хобсону,
Питу Барнсу и Марку Нандору за их ценные замечания и предложения. Я
хотел бы также особо поблагодарить Мередит Хейл, редактора моей книги, а
также Джоса Лейса, Тейю Крашек и Пауля Нюландера, которые позволили мне
включить в книгу свои математические художественные работы. При
исследовании памятных вех и поворотных моментов в истории математики,
представленных в этой книге, я изучил широкий спектр прекрасных справочников и
веб-сайтов, многие из которых перечислены в разделе «Примечания и список
дополнительной литературы» в самом конце. Эти ссылки включают в себя:
MacTutor History of Mathematics Archive (www-history.mcs.st-and.ac.uk),
«Википедия: свободная энциклопедия» (en.wikipedia.org), «Мир
математики» (mathworld.wolfram.com), книга Яна Гулльберга «Математика: от
появления чисел», книга Дэвида Дарлинга «Универсальная книга математики»,
материалы Иварса Петерсона Math Trek Archives (www.maa.org/mathland/
mathland_archives.html), книга Мартина Гарднера «Математические игры»
(на CD-ROM, приобретенная через Американскую математическую
ассоциацию), и некоторые из моих собственных книг, такие как «Страсть к
математике».

Шагомер у муравьев
~Ш ^^^ Муравьи — общественные насекомые, произошедшие от веспоидных ос в се-
Щ редине мелового периода ок. 150 млн лет назад. После широкого распростра-
^^^^Ш I нения цветковых растений, т. е. ок. 100 млн лет назад, появилось множество
™- разнообразных видов этих насекомых.
О Муравьи-бегунки вида Cataglyphis fortis из пустыни Сахара в поисках
еды проходят огромные расстояния по песчаным ландшафтам, часто
полностью лишенным каких-либо визуальных ориентиров. Эти существа способны
возвращаться к своему гнезду по кратчайшему пути, вместо того чтобы идти
обратно по собственному следу. Они не только умеют определять
направление по солнечному свету, но и, по-видимому, обладают неким встроенным
^компьютером» шагомером, подсчитывающим количество сделанных шагов
и вычисляющим по нему пройденное расстояние. Муравей-бегунок может
пройти до 50 м, пока не встретит мертвое насекомое, от которого он оторвет
кусочек и понесет по прямому пути обрат но в гнездо, вход в которое представляет
собой отверстие диаметром обычно менее миллиметра.
Изменяя длину ног муравьев и тем самым удлиняя или укорачивая
длину их шага, исследовательская группа немецких и швейцарских ученых
подтвердила, что муравьи действительно определяют расстояние посредством
«подсчета» шагов. К примеру, после того как муравьи достигали цели своего
путешествия, их ноги удлиняли при помощи приклеенных подпорок или
укорачивали посредством частичной ампутации. Затем исследователи возвраща-
^^Г\ ли их в ту же точку, из которой они были взяты, и муравьи начинали свой путь
обратно к гнезду. Муравьи с удлиненными ногами проходили слишком далеко
и пропускали вход в гнездо, а муравьи с подрезанными ногами, напротив, до
него не доходили. Однако если муравьи начинали свой путь от гнезда с уже
— измененной длиной ног, они были способны вычислять расстояния
правильно. Это позволяет заключить, что ключевым фактором, помешавшим
муравьям в первом случае, стало изменение длины шага. Более того, сложнейший
£ j компьютер в мозгу у муравья позволяет ему вычислять величину, связанную
с горизонтальной проекцией его пути, так что он не заблудится, даже если за
время пути на его дороге нанесет песком новые холмы или долины.
Ьна^ СМ. ТАКЖЕ Счет у приматов (30 млн до н. э.), Цикады и простые числа (1 млн до н. э.).
Qi?
У муравьев-бегунков из пустыни Сахара имеется встроенный «шагомер», позволяющий
им точно определять пройденное расстояние по числу сделанных шагов. Муравьи с
приклеенными к ногам подпорками (красного цвета) проходят слишком далеко и
пропускают вход в гнездо.

\
ν
4

от
О
Счет у приматов
X
и
Η
О
Около 60 млн лет назад маленькие лемуроподобные приматы расселились во
множестве областей земного шара, а 30 млн лет назад среди них возникли
первые обезьяноподобные существа. Могли ли они считать? Понятие счета у
животных — предмет горячих споров среди специалистов, занимающихся
изучением их поведения. Тем не менее многие исследователи убеждены, что у
животных все-таки имеется некоторое врожденное чувство счета. Г. Калмус в
своей ста гье «Животные и математика», опубликованной в журнале Nature,
пишет:
Сейчас уже почти не остается сомнений в том, что некоторых животных,
например белок и попугаев, можно обучить счету... Навыки счета
отмечены у белок, крыс и насекомых-опылителей. Некоторые из этих и
других животных могут численно различать аналогичные по всем другим
признакам визуальные изображения, а других можно научить узнавать и
воспроизводить последовательности акустических сигналов. Некоторых
даже можно обучить выстукивать число элементов (точек) на визуальном
изображении... Отрицать математические способности у животных нас
заставляет лишь отсутствие у них звуковых или письменных обозначений
для чисел.
Доказано, что крысы умеют «считать» — они легко осуществляют
требуемые действия нужное число раз в обмен на поощрение. Шимпанзе могут
нажимать на коми ьютере цифры, соответствующие числу бананов в ящике. Тэцу-
ро Мацудзава из Института исследования приматов Киотского университета
(Япония) научил шимпанзе различать цифры от 1 до 6, нажимая
соответствующую клавишу на компьютере при выводе на экран определенного
количества объектов.
Майкл Беран из Университета штата Джорджия в городе Атланта, США,
провел исследования по обучению шимпанзе счету при помощи
компьютерного экрана и джойстика. На экран сперва выводилась определенная цифра, а
затем соответствующее ей количество точек — так шимпанзе учились
сопоставлять одно с другим. Одна из шимпанзе выучила подобным образом цифры от 1
до 7, а другая научилась считать до 6. Повторное тестирование, проведенное с
промежутком в три года, показало, что оба шимпанзе по-прежнему могли
сопоставить количество точек с цифрами, но частота ошибок при этом возросла
вдвое.
СМ. ТАКЖЕ Шагомер у муравьев (150 млн до н. э.). Кость Ишанго (18 000 до н. э.).
По всей видимости, приматы обладают некоторым врожденным чувством счета, а
высших приматов можно научить различать числа от 1 до 6: они нажимают
соответствующую клавишу на компьютере при выводе на экран определенного количества
объектов.

Цикады и простые числа
и
Η
to
О
Цикады — крылатые насекомые, появившиеся ок. 1,8 млн лет назад в эпоху
плейстоцена, когда ледники попеременно занимали и оставляли территорию
Северной Америки. Цикады из рода Magicicada (так называемые
периодические цикады) проводят большую часть своей жизни под землей, питаясь
соками корней растений, после чего выбираются на поверхность, где
спариваются и быстро умирают. Этим существам свойственна одна удивительная
особенность: время их появления из земли соответствует периодам,
длительность которых обычно составляет 13 или 17 лет, т. е. является простым
числом (простое число — такое целое число, у которого есть только два целых
делителя: 1 и оно само, например 11, 13, 17). Весной 13-го или 17-го года
своей жизни периодические цикады начинают строить туннель для выхода
наружу. Иногда более полутора миллионов особей появляются одновременно
на одном акре земли. Подобная массовость является одним из механизмов их
выживания, поскольку служит быстрому пресыщению хищников, например
птиц. Те просто не успевают съесть всех выбравшихся на поверхность цикад.
Исследователи предполагают, что формирование циклов длиной в простое
число лет обусловлено тем, что таким образом повышается вероятность
избежать встречи с более короткоживущими хищниками и паразитами. Например,
если бы жизненный цикл таких цикад составлял 12 лет, они стали бы более
легкой добычей для всей совокупности хищников с продолжительностью
жизненных циклов 2,3,4 или 6 лет. Марио Маркус из Института молекулярной
физиологии Общества Макса Планка (Дортмунд, Германия) вместе со своими
коллегами обнаружил, что подобные «простые» циклы складываются естественным
образом при математическом моделировании эволюционных изменений в
результате взаимодействия «хишник—жертва». В ходе эксперимента
моделируемым при помощи компьютера популяциям цикад были изначально приписаны
случайные значения длительности жизненных циклов. Спустя определенное
время последовательность мутаций неизменно приводила к выработке у
моделируемых цикад стабильного цикла из простого числа лет.
Конечно, подобные исследования все еще находятся в зачаточном
состоянии и оставляют множество вопросов без ответа. Что такого особенного в 13 и
17 годах? Какие именно хищники и паразиты обусловили именно такой сдвиг
длительности жизненного цикла цикад? И по-прежнему остается загадкой,
почему из всех известных науке 1500 видов этих насекомых лишь
представители небольшого рода Magicicada являются периодическими.
СМ. ТАКЖЕ Шагомер у муравьев (150 млн до н. э.), Кость Ишанго (18000 до н. э.),
Решето Эратосфена (240 до н. э.), Проблема Гольдбаха (1742), Построение правильного сем-
надцатиугольника (1796), «Арифметические исследования» Гаусса (1801), Доказательство
теоремы о распределении простых чисел (1896), Константа Бруна (1919), Гипотеза Гиль-
брайта (1958), Числа Серпинского (1960), Скатерть Улама (1963), Эрдёш и его опыт
математического сотрудничества (1971), Гипотеза Андрики (1985).
Время перехода некоторых цикад к стадии взрослого насекомого соответствует периодам,
равным простому числу лет, как правило, 1В и 17 годам. Иногда более полутора миллионов
особей появляются на поверхности одного акра земли за небольшой промежуток времени.

te
1 *ϊ
■

Узлы
Η
о
φ
История вязания узлов уходит во времена, предшествующие возникновению
современного человека (Homo sapiens). К примеру, в одной из пещер в
Марокко были обнаружены раскрашенные охрой раковины с проделанными в них
отверстиями возрастом 82 000 лет. Другие археологические находки
свидетельствуют о том, что бусы из раковин изготавливались древними людьми и
значительно ранее. Отверстия в раковинах означают, что сквозь них
продевалась веревка или нить, а значит, чтобы закрепить ракушки-бусины и придать
нанизанной нити удобную для ношения форму, должны были использоваться
и узлы.
Квинтэссенцией использования орнаментальных узлов в декоративном
искусстве является знаменитая Келлская книга — богато украшенное Евангелие,
созданное ирландскими монахами примерно в 800 г. В наши дни изучение
свойств узлов, например трехлистного узла с тремя пересечениями,
составляет отдельный раздел в широкой области математики, посвященной топологии
замкнутых перекрученных петель. В 1914 г. немецкий математик Макс Ден
(1878—1952) доказал, что зеркальные отражения трехлистного узла не
являются топологически эквивалентными.
Математики столетиями пытались вывести последовательности действий,
которые помогали бы отличать сплетения, выглядящие как узлы (так
называемые тривиальные или незаузленные узлы), от истинных узлов и различать
истинные узлы между собой. С течением лет были составлены бесконечные на
первый взгляд таблицы отличных друг от друга узлов. На сегодняшний день
найдено более 1,7 млн неэквивалентных узлов, на графической диаграмме
которых имеется 16 и менее пересечений.
Сейчас по тематике узлов проводятся специальные конференции. Узлы
интересуют ученых из самых различных областей, от молекулярной
генетики (где они помогают понять, как распутать петлеобразные структуры в ДНК)
до физики частиц (где они используются, чтобы отобразить фундаментальную
природу элементарных частиц).
Узлы имели ключевое значение для развития цивилизации. Они
использовались для соединения частей одежды, крепления на теле оружия и
доспехов, создания жилищ, сделали возможным мореплавание и исследование
мира. Сейчас теория узлов в математике достигла такого уровня сложности,
что осознать глубинные возможности ее применения довольно непросто. За
несколько тысячелетий человечество преобразовало простые узелки на бусах в
модели структуры реального мира.
СМ. ТАКЖЕ Кипу (3000 до н. э.), Кольца Борромео (834), Узлы Перко (1974), Полиномы
Джонса (1984), Закон Мерфи и узлы (19Ь8).
Квинтэссенцией использования орнаментальных узлов в искусстве является Келлская
книга - богато украшенное Евангелие, созданное ирландскими монахами примерно в
800 г. н. э. На приведенной иллюстрации хорошо видно, как узлы образуют самые
разные и причудливые узоры.

*J,
ft
■τ>8
S'l
*·ν
V4s
->'
V - :·, Λ"
.- 'Λ "?-
•ι
&±ϊ
41 *
л xiS'
, f '
,1. ,«
ν:.;.:·
ί" ·-, V
w ..
h
ϊ. Ψ
'./;y-:'
к
v.
9-S
'Mil
1

Кость Ишанго
ОО
о
as
В I960 г. бельгийский геолог и путешественник Жан де Хайнцелин де Брокур
(1920—1998) обнаружил на территории современной Демократической
Республики Конго кость павиана с нанесенными на нее отметками. Сначала
предполагалось, что кость Ишанго является обычной счетной рейкой,
использовавшейся африканцами каменного века. Однако, по мнению некоторых ученых,
последовательность насечек свидетельствует о том, что математические
способности ее владельца могли превосходить простые навыки счета объектов.
Кость была обнаружена в области Ишанго около верховий реки Нил, на
территории которой располагалась стоянка большой группы людей
палеолита. Позже эта местность оказалась погребена под пеплом при извержении
вулкана. Один из рядов отметок на кости начинается с трех бороздок, число
которых затем удваивается до шести. Четыре бороздки сменяются восемью.
За десятью бороздками следуют пять. Это может свидетельствовать об общем
понимании операций удвоения и деления пополам. Еще более удивительным
кажется тот факт, что все числа во втором ряду являются нечетными (9, 11,
13, 17, 19, 21). В третьем ряду содержатся все простые числа между 10 и 20,
а сумма всех чисел в каждом из трех рядов равняется либо 60, либо 48, а оба
этих числа кратны 12.
Учеными найдено некоторое число палеолитических счетных реек, среди
которых имеются и еще более древние, чем кость Ишанго. Например, в
местности Лебомбо в Свазиленде была обнаружена малоберцовая кость павиана
возрастом 37 000 лет с 29 насечками. Болыпеберцовая кость волка возрастом
32 000 лет с 57 насечками, разделенными на группы по пять, была найдена в
Чехословакии. Хотя подобные построения и являются чисто
умозрительными, некоторые исследователи даже выдвинули гипотезу о том, что отметки на
кости Ишанго представляют собой некий вид лунного календаря, при помощи
которого женщина каменного века отслеживала свой менструальный цикл.
Это позволило им выдвинуть тезис: «Менструация породила математику».
Даже если кость Ишанго представляет собой простое средство счета, сам факт
наносимых для этой цели отметок отличает нас от животных и представляет
собой первый шаг к символьным вычислениям. Полностью разгадать
загадку кости Ишанго мы сможем только тогда, когда подобных ей объектов будет
найдено больше.
СМ. ТАКЖЕ Счет у приматов (30 млн до н. э.), Цикады и простые числа (1 млн до н. э.),
Решето Эратосфена (240 до н. э.).
Кость павиана с нанесенными на нее рядами отметок из местности Ишанго сначала
считалась обычной счетной рейкой, некогда использовавшейся африканцами каменного
века. Однако, по мнению некоторых ученых, характер отметок предполагает, что
математические способности ее владельца превосходили простые навыки счета объектов.

Λ 1

от
О
О
О
Кипу
о
φ
Древние инки использовали для записи чисел кипу — сложные мнемониче
ские конструкции, состоящие из нитей и завязываемых на них узелков. До
недавнего времени древнейшее из дошедших до наших дней кипу
датировалось 650 г., однако в 2005 г. при раскопках поселения Караль на побережье
Перу было обнаружено кипу, возраст которого составляет приблизительно
5000 лет.
Южноамериканские инки создали высокоразвитую цивилизацию,
которую отличали общая государственная религия и общий язык. Несмотря на
то что у инков не существовало письменности в привычном понимании этого
слова, они вели подробные записи, зашифрованные при помощи особой
логико-числовой системы в кипу, сложность которых могла составлять от трех до
нескольких тысяч нитей. К несчастью, испанцы, при освоении ими Южной
Америки, сочли странные для них кипу творениями дьявола. Тысячи кипу
были уничтожены во славу Господа, и на данный момент их сохранилось всего
около 600.
Тип узлов, их взаимное расположение, направление нитей, их уровень,
цвет и расстояния между ними — все это имело определенный количественный
смысл и соответс" вовало объектам реального мира. Различные группы узлов
использовались для записи различных степеней числа 10. При помощи узлов
велся учет человеческих и материальных ресурсов, делались разнообразные
календарные записи. Кипу могли содержать и более детальные данные,
например строительные чертежи и схемы танцев, или даже отображать события
из истории инков. Кипу развеивают представление о том, что математическое
мышление может развиваться лишь после того, как цивилизацией будет
изобретено письмо. Пример инков показывает, что общество может достичь
высокого уровня математического развития и при полном отсутствии привычной
нам письменности. Любопытно отметить, что в настоящее время существуют
компьютерные системы хранения и управления данными, которые
называются «кипу» («Quipu») в честь этого удивительного древнего устройства.
Одним из зловещих назначений кипу являлся расчет жертвоприношений.
В инкском обществе проводились ежегодные ритуальные убийства
определенного числа взрослых и детей, и кипу использовались в том числе и для
планирования подобных мероприятий. Некоторые из таких кипу олицетворяют
собой империю инков, нити в них обозначают дороги, а узлы — число жертв,
приносимых в дар богам.
СМ. ТАКЖЕ Узлы (100 000 до н. э.), Счёты (1200).
Древние инки использовали для записи чисел особые конструкции — кипу, состоящие из
гвязанных узелками нитей. Тип узлов, их взаимное расположение, направление нитей,
их уровень и цвет использовались для записи дат, числа людей и различных иных
объектов.

ν
Υ
\
4
•γ.
^ι
4* .' «
1 « \
ι:
\

о*
Игральные кости
О Трудно представить себе мир без случайных чисел. В 1940-е годы задача
генерации статистически случайных чисел встала перед физиками при
моделировании термоядерного взрыва. В наши дни случайные числа используются
во многих компьютерных сетях для регулировки интернет-трафика и
предотвращения перегрузок. При помощи случайных чисел формируется беспри-
О страстная выборка мнений потенциальных избирателей при политических
опросах.
Игральные кости, первоначально изготавливаемые из мелких косточек
копытных животных, были одним из первых способов получения случайных
чисел. В древних культурах считалось, что боги влияют на исход бросания.
О поэтому на результат метания костей полагались при принятии важнейших
решений — от выбора правителей до разделения наследства. Даже сейчас
метафора Бога, бросающего кости, весьма популярна — достаточно вспомнить
известное высказывание астрофизика Стивена Хокинга: «Бог не только играет
в кости, но и иногда путает нас, бросая их там, где они не могут быть видны».
Древнейшие образцы игральных костей были обнаружены вместе с на
^шн4 бором для игры в нарды возрастом 5000 лет при раскопках легендарного Со-
Ф ■* жженного города (Шахри-Сухте) на юго-востоке Ирана. Это поселение прошло
четыре стадии развития цивилизации и неоднократно уничтожалось пожара-
""V——j ми до того, как было полностью покинуто в 2100 г. до н. э. Там же археологами
.^■■Н был найден древнейший протез глазного яблока, который в далекие времена
О гипнотически взирал с лица древней жрицы или прорицательницы.
Игральные кости столетиями используются в качестве наглядного
примера при изучении теории вероятностей. В случае однократного подбрасывания
^РЦ кости с количеством граней η и различными числами на каждой из граней ве-
^■■4 роятность выпадения любого из таких чисел равна 1/п. Вероятность выпаде
φ ния определенной последовательности из i чисел равна 1/п'. Например, пеане
выбросить четверку вслед за единицей на традиционной игральной кости со-
Г Ж Л ставляет 1/62 = 1/36. При подбрасывании двух традиционных костей шанс
\Лг получить некоторую сумму чисел равен отношению количества комбинаций,
* дающих в сумме искомое число, к общему числу всех возможных
комбинаций — вот почему выбросить на двух костях в сумме 7 гораздо легче, чем 2.
СМ. ТАКЖЕ: Закон больших чисел (1713), Игла Бюффона (1777), Метод наименьших
квадратов (1795), «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа (1812), Критерий хи-
квадрат (1900), Затерявшиеся в гиперпространстве (1921), Создание рандомизирующих
устройств (1938), Стратегия игры в «Свинью» (1945), Метод середины квадрата фон
Неймана (1946).
Сначала игральные кости изготавливались из мелких косточек копытных животных
и были одними из самых ранних средств получения случайных чисел. В древних куль
турах кости использовались для предсказания будущего, поскольку считалось, что боги
влияют на исход бросания.

о
о
34
О
д
Магические квадраты
Бернар Френикль де Бесси (1602-1675)
По легенде, магические квадраты были изобретены в Древнем Китае, а
первый манускрипт с их упоминанием относится ко временам императора Юя
Великого и датируется примерно 2200 г. до н. э. Магический квадрат
состоит из N2 клеток, или ячеек, заполненных неповторяющимися целыми
числами таким образом, что сумма чисел во всех горизонталях, вертикалях и
главных диагоналях такого квадрата одинакова.
Если совокупность целых чисел в магическом квадрате представляет собой
последовательный ряд от 1 до N2, то говорят, что это квадрат N-ro порядка,
а магическое число, или сумма каждой строки, является константой, равной
ЩЫ2 + 1 )/2. Альбрехт Дюрер, художник эпохи Возрождения, в 1514 г.
составил приведенный здесь замечательный магический квадрат размерами 4x4.
Обратите внимание, что два центральных числа
в нижнем ряду вместе составляют «1514», т. е. год
создания квадрата. Сумма чисел во всех строках,
столбцах и главных диагоналях равняется 34.
Кроме того, 34 в сумме также дают числа, расположен
ные по внешним углам квадрата (16 + 13 + 4 + 1), и
числа в малом центральном квадрате
2 χ 2 (10 + 11 + 6 + 7).
В 1693 г. все 880 возможных магических
квадратов четвертого порядка были перечислены в
опубликованном посмертно сочинении «О магических
квадратах или таблицах» Бернара Френикля де Бесси, выдающегося
французского математика-любителя, который сохраняет титул одного из главных
исследователей магических квадратов и по сей день.
Человечество прошло долгий путь со времен создания простейших
магических квадратов 3x3, издревле почитаемых во всех культурах и на всех
континентах — от индейцев майя до африканского народа хасуа. Сейчас математики
изучают свойства магических квадратов в пространствах высокой
размерности, например в форме четырехмерных гиперкубов и имеющих магические
суммы во всех соответствующих направлениях.
СМ. ТАКЖЕ Магические квадраты Франклина (1769), Совершенный магический тессе-
ракт (1999).
16
5
9
4
3
10
6
15
2
11
7
14
13
8
12
1
В убранстве собора Святого семейства в испанском городе Барселоне используется
магический квадрат размером 4x4, магическое число которого равно 33, т. е., согласно
многочисленным интерпретациям библейских текстов, возрасту Иисуса Христа на
момент смерти. Отметим, что этот магический квадрат нельзя назвать
традиционным, так как некоторые числа в нем повторяются.

fS
...*
3: "*
- »s»
t »■
■<
-4-
■*»»4"
-v
.# ■»
. r -
%
*

00
о
о
34
о
X
φ
Плимптон 322
Джордж Артур Плимптон (1855-1936)
«Плимптон 322» — название загадочной вавилонской глиняной таблички.
В ней содержатся записанные клинописью числа, упорядоченные в таблицу
из 4 столбцов и 15 строк. Историк науки Элеанор Робсон описывает ее как
«один из самых знаменитых математических артефактов в мире». Табличка
датируется ок. 1800 г. до н. э. и представляет собой перечень пифагоровых
троек — таких целых чисел, которые соответствуют длинам сторон
прямоугольного треугольника и удовлетворяют соотношению а2 + Ь2 = с2,
соответствующему теореме Пифагора. К примеру, пифагорову тройку образуют
числа 3, 4, 5. Четвертая колонка таблицы попросту содержит номер строки.
Единого мнения относительно назначения чисел в таблице не существует, но
некоторые исследователи полагают, что они были набором решений,
записанных учащимися при изучении алгебраических или тригонометрических
задач.
Табличка «Плимптон 322» названа по имени нью-йоркского издателя
Джорджа Плимптона, который в 1922 г. приобрел ее у торговца
древностями за 10 долл., а затем передал в дар Колумбийскому университету. Она
является памятником древневавилонской цивилизации, сложившейся в
Месопотамии — плодородной долине между реками Тигр и Евфрат (территория
современного Ирака). Если соотносить время создания таблички с известными
историческими фактами, то можно сказать, что безымянный писец, ее автор,
жил в пределах столетия относительно эпохи правления царя Хаммурапи,
известного своим сводом законов и принципом «око за око, зуб за зуб». Судя по
событиям библейской истории, Авраам, о котором говорится, что он ув ч сво
их людей к западу от расположенного на берегу Евфрата города Ура в Ханаан,
также должен быть близким современником писца.
Вавилоняне писали на влажной глине, выдавливая па ней знаки стилом —
особой заостренной палочкой для письма. В вавилонской системе счисления
число 1 записывалось в виде единичного штриха, а числа от 2 до 9 представля-
ги собой различные сочетания таких штрихов.
СМ. ТАКЖЕ Теорема и треугольники Пифагора (600 до н. э.).
«Плимптон 322» — вавилонская клинописная глиняная табличка (показана
вертикально). В ней перечисляются целые числа, соответствующие длинам сторон
прямоугольного треугольника и удовлетворяющие соотношению теоремы Пифагора а2 + Ь2 — с2.

Ί ■■>.
-> <
J
4
4 у ί4*"
itk,
Mi'
ж?
4

ON
La
О
О
φ
Папирус Ринда
Ахмес (ок. 1680 до н. э. - ок. 1620 до н. э.),
Александр Генри Ринд (1833-1863)
Папирус Ринда считается наиболее значимым из всех сохранившихся
источников по древнеегипетской математике. Этот свиток шириной примерно
30 см и длиной около 5,5 м был обнаружен в одном из захоронений в городе
Фивы, расположенном на восточном берегу реки Нил. Создавший его писец
по имени Ахмес пользовался иератическим письмом, родственным
иероглифической системе. Так как время написания свитка датируется примерно
1650 г. до н. э., Ахмес оказывается первым человеком в истории математики,
чье имя допело до наших дней! Кроме того, в этом папирусе содержатся самые
ранние примеры использования символов, обозначающих математические
операции. К примеру, «плюс» обозначается парой ног, идущих навстречу
прибавляемой величине.
В 1858 г. шотландский юрист и будущий египтолог Александр Генри Ринд
приехал в Египет, чтобы поправить пошатнувшееся здоровье. Он купил этот
папирус на обычном рынке в Луксоре. В 1864 г. свиток был приобретен
Британским музеем.
Ахмес пишет, что свиток учит «точному исчислению вещей, ведущему к
пониманию их сущности, постижению всех их тайн и загадок». В свитке
рассматриваются как различные теоретические вопросы, например действия с
дробями, арифметические прогрессии, алгебраические операции и геометрия
пирамид, так и практические математические знания, требующиеся для
повседневных бытовых расчетов и используемые при строительстве и
финансовом учете. Наиболее интересной мне кажется задача под номером 79,
интерпретация которой изначально вызывала у ученых некоторые затруднения.
Сейчас «задачу 79» обычно рассматривают как загадку, которую можно
перевести так: «В семи домах содержат по семь копеек. Каждая кошка убила
по семь мышек. Каждая мышка съела по семь колосьев зерна. Каждый
колосок зерна дал бы семь гекатов (мер) пшеницы. Сколько здесь всего
перечислено?». Любопытно отметить, что вариант этой загадки с упоминанием числа
7 и животных продолжал существовать на протяжении тысячелетий! Мы
видим очень похожую задачу в «Книге абака» (т. е. «Книге о счете») Фибоначчи
1202 г., и в гораздо более позднем английском детском стишке «Когда я шел в
Сент-Айвс», также повторяющем число 7.
СМ. ТАКЖЕ Ганита сара самграха (850), «Книга абака» Фибоначчи (1202), «Тревизская
арифметика» (1478).
Папирус Ринда - наиболее важный из имеющихся источников по древнеегипетской
математике. Свиток, фрагмент которого здесь представлен, посвящен различным
математическим задачам, в том числе действиям с дробями, арифметическим прогрессиям,
алгебраическим операциям, геометрии, а также финансовому учету.

Li' ;-f ·
: ί'ίίΐΐ
» Jiki
\W*j» jflpy. . -|" κβτ'
*¥?
Λ
τι* ' : *л! --.ff '^ij·
- :-**»■:*** ,' ν: > ■-'
ι!
■ t"
ι у> ,.#'..<$? V
■П и
-■4f
ί
i i
1 ■--■#',*
• · ' &■■ ■■
А
\f,,
■**2

hLh
Qi3
Крестики-нолики
"1J~ Игра в крестики-нолики — одна из древнейших и наиболее популярных игр,
I ^^^ известных человечеству. Хотя появление игры в ее современном варианте мо-
^^^^Ш ЛИ жет относиться и к не столь отдаленным временам, археологи установили,
что возникновение игр по принципу «выстрой три фигуры в ряд» восходит
О к Древнему Египту ок. 1300 г. до н. э., и я подозреваю, что игры подобного
типа возникли на заре человеческого общества. При игре в
крестики-нолики два игрока, один из которых играет крестиками, «X», а другой
ноликами, «О», по очереди ставят свои фигуры на клетки игрового поля размерами
3x3. Игрок, первым выстроивший 3 своих фигуры в один ряд по вертикали,
О горизонтали или диагонали, выигрывает. На доске размерами 3x3 игру
всегда можно свести к ничьей.
В Древнем Египте времен великих фараонов настольные игры составляли
важную часть повседневной жизни. Известно, что в игры, подобные
крестикам-ноликам, играли и в те давние дни. Крестики-нолики можно считать свое-
^тша образным «атомом», из которого с течением столетий строились молекулы все
J более сложных позиционных игр. С небольшими изменениями и
дополнениями эта простая игра приобретает невероятную сложность и начинает требовать
-у__ большого времени на то, чтобы ей в должной степени обучиться.
LuMrf Математики и любители головоломок постоянно переносят принципы игры
О в крестики-нолики на доски большего размера, пространства большей
размерности и странные игровые поверхности, например такие, как прямоугольные
или квадратные доски, соединенные по краям и образующие тор (форму пон-
l_j чика) или бутылку Клейна (поверхность со всего одной стороной).
Приведем несколько любопытных фактов об этой игре. Количество
способов, которыми игроки могут разместить свои крестики и нолики на доске,
составляет 9! = 362 880. Число возможных партий при учете всех игр, которые
заканчиваются за 5,6, 7,8 и 9 ходов, составляет 255168. В начале 1980-х годов
компьютерные гении Дэнни Хиллис и Брайан Сильвермен с друзьями собрали
способный играть в крестики-нолики компьютер из 10 000 деталей
конструктора «Tinkertoy®». В 1998 г. силами ученых и студентов из Торонтского
университета был создан робот, способный играть против человека в трехмерные
крестики-нолики (4x4x4).
СМ. ТАКЖЕ Го (548 до н. э.), Игра «Икосиан» (1857), Решение игры «Овари» (2002),
Решение игры в шашки (2007).
Аналитическое представление всех возможных партий в крестики-нолики, данное
философами Патриком Гримом а Полем Сент-Дени. Каждая клетка на доске делится на
более мелкие ячейки, чтобы показать различные возможные варианты выбора.

УЖМ
1ДД1
SJ^
олзфяЗо
Ν
Д ίί &ί Ϊ&&& Ш
ЗЗЙ£?!&&&
Χ
У^а
χΰ
m
с,
о
0
X
X
у» *»
££&
^^
1И ГЯ"
£><НФ<&ЙЕ><Е*.
^
UJ^bJJ
й зй& х£ J^i &χ £& Que
О
^g >< ^^| χ uj^ χ ^
Щз^**р&*%№*о
*й&§£
ЗЙУШ*£!Ж
о
w
jj££^£ft *£&&£»$&
ТГИ РЯС 5S3L1EK-.
liUft
О
saSiSi
^S^
/\
X
&U
Зй&х&Е^
шшт
г^\
X
О
^Ф^О£Ь*££г!)
X
ΪΕ
χ
ИИ 1ЙЙ1 SBJH
έδί
м.
&£li
Хч
43f
R®.i^SS ^tj^ip
fefjafe ybfetS
HiilJUbl^lf.JHiJUl
Д/Ьзс x nbui·
az^fissofuifet
лЦ^тргрЕдг
4t^zii>S
ozx^ox
з51^оРЧГЁР
X
4 »*-
&м
sqgw
X
*lh-
L·
3
X
35
с
><
Щ
,!ш?йъ&'М&
1
t3L*t
ярд
«ашэ-шге.
χ
II
*Ш
χ
χ
о
ъШ
с,
*%%
X
^ξϊξ^^^ξϊ
χ
\
Xsf**Sx&**%x£**
X
)
X
ojtah
о
X
ШЕК
о
FEE
«χ
g£feg£
2££ёУк&£я
•^^
"SW
О
#
хШ*
χ
χ
pSJ^itJ, £#££££,
О
&*ь&ЕеЛ
Ш
о
:
χΦί&
щ
χ
Ε
χ
gpftfpgf
F ><

ON
О
о
to
О
φ
Теорема и треугольники Пифагора
Баудаяна (ок. 800 до н. э.),
Пифагор Самосский (ок. 580 до н. э. - ок. 500 до н. э.)
В наши дни маленькие дети часто впервые узнают о знаменитой теореме
Пифагора из классического фильма «Волшебник страны Оз» 1939 г. Ее
рассказывает Страшила, когда наконец получает от волшебника в дар мозги. Увы,
но Страшила воспроизводит знаменитую теорему совершенно неправильно!
Теорема Пифагора гласит, что в любом прямоугольном треугольнике
квадрат длины гипотенузы с равен сумме квадратов длин двух других более
коротких сторон (катетов) α и 6, что записывается в виде а2 + Ь2 = с2.
Опубликованных доказательств у данной теоремы существует больнее, чем у любой
другой. Так, в книге Элиши Скотта Лумиса «Теорема Пифагора» приводится
367 ее различных доказательств.
Пифагоровыми треугольниками называются прямоугольные
треугольники, стороны которых являются целочисленными. Прямоугольный
треугольник «3-4-5» (с длинами катетов 3 и 4 и длиной гипотенузы 5) — единственный
пифагоров треугольник, все три стороны ко горого выражены
последовательными целыми числами, и единственный целочисленный треугольник, сумма
сторон которого (12) равна его удвоенной площади (6). Следующим после
треугольника «3-4-5» пифагоровым треугольником, катеты которого выражены
^гвумя последовательными числами, является треугольник «21-20-29».
Десятый такой треугольник уже гораздо больше: «27304197-27304196-38613965».
В 1643 г. французский математик Пьер де Ферма (1601—1665) предложил
найти такие пифагоровы треугольники, в которых и гипотенуза с, и сумма
катетов (а + 6) являлись бы квадратами целых чисел. К всеобщему удивлению,
оказалось, что наименьшими тремя числами, удовлетворяющими данному
условию, являются 4565486027761, 1061652293520 и 4687298610289.
Получается, что второй такой треугольник будет настолько «велик», что если бы
значения длин его сторон были выражены в футах, то протяженность его
катетов превзошла бы расстояние от Земли до Солнца!
Хотя формулировка теоремы часто приписывается Пифагору, она, по всей
видимости, была впервые введена индийским математиком Баудаяной
несколькими столетиями ранее (ок. 800 г. до н. э.) в его книге «Баудаяна-суль-
ва-сутра». Пифагоровы треугольники предположительно были известны и
ранее — древним вавилонянам.
СМ. ТАКЖЕ Плимптон 322 (1800 до н. э.), Пифагор и его математическое братство
(530 до н. э.), Гиппократовы луночки (440 до н. э.), Теорема косинусов (1427), Теорема
Вивиани (1659).
Персидский математик Насир ад-Дин ат-Туси (1201-1274) привел один из вариантов
доказательства теоремы Пифагора, принадлежащий Евклиду. Ат-Туси был весьма
разносторонним ученым, занимавшимся математикой, астрономией, биологией, химией,
философией, медициной и теологией.

г
' V- л -■ Х^^>^£^
^ '\^^\\· *
С
1. .
мм;,
2^ С
С

Ul
Го
Го — настольная игра для двух игроков, придуманная в Древнем Китае в при-
^^ мерно 2000 г. до н. э. Древнейшее письменное упоминание об этой игре мож-
I ^^ но найти в тексте «Цзо-Чжуань» («Комментариев Цзо») — раннем образце ки-
м^^н^^^к тайской исторической прозы, в котором упоминается о человеке, игравшем
в эту игру в 548 г. до н. э. Из Китая игра в го попала в Японию, где в XIII
в. приобрела огромную популярность. Во время игры два игрока поочеред-
^Р^к ^Ш^ но ставят белые и черные камни на точки пересечения линий на игровой до-
ψ jj^\ ске, разлинованной 19 χ 19 линиями (размер классической лоски, но могут
\^^^^^^^J использоваться и доски с меньшим или большим числом линий). Камень
^^^ ^^^ или группа камней считаются захваченными и удаляются с доски, если они
полностью окружены камнями противоположного цвета. Цель игры состоит
l__j в том, чтобы занять на игровой доске большую территорию, чем противник.
^J Игра в го сложна по многим причинам. Среди них большой размер игрового
поля, многообразие стратегий и огромное число вариантов возможных партий.
Простое обладание большим числом камней, чем у противника, не
обеспечивает победы. С учетом симметрии имеется 32 940 возможных игровых дебютов,
из которых 992 считаются сильными. Число возможных вариантов располо-
Ожения камней на доске обычно оценивают примерно в 10172, а число всех
возможных партий — примерно в 10768. Как правило, игра между двумя хорошими
игроками состоит из примерно 150 ходов, а среднее число возможных вариан-
НфН тов хода обычно составляет около 250. Если достаточно мощные программы
^Ы для игры в шахматы способны победить сильнейших шахматистов, то лучшие
Φ программы для игры в го часто проигрывают одаренным школьникам
Играющим в го компьютерам сложно просчитывать ход игры наперед, по-
_. _ скольку при этом приходится рассматривать гораздо большее число осмыс-
^^^ ленных вариантов ходов, чем в шахма гах. Процесс оценки выгодности опре-
Ф деленной позиции также весьма затруднителен, поскольку различие между
позициями всего в одной незанятой точке может влиять на судьбу больших
групп камней.
В 2006 г. два венгерских исследователя заявили о создании алгоритма,
названного ими UCT (от англ. Upper Confidence bounds applied to Trees, алгоритм
с использованием верхних доверительных пределов применительно к
древовидным структурам), который способен состязаться с профессиональными
игроками в го, но лишь на досках, разлинованных 9x9 линиями. Алгоритм
UCT помогает компьютеру отобрать для дальнейшего анализа наиболее
эффективные ходы.
СМ. ТАКЖЕ Крестики-нолики (1300 до н. э.), Решение игры «Овари» (2002), Решение
игры в шашки (2007).
Игра в го сложна по многим причинам. Среди них большой размер игрового поля,
многообразие стратегий и огромное число вариантов возможных партий. Если достаточно
мощные программы для игры в шахматы способны победить сильнейших
шахматистов, то лучшие программы для игры в го часто проигрывают одаренным школьникам.

от
О
to
О
Φ
Пифагор
и его математическое братство
Пифагор Самосский (ок. 580 до н. э. - ок. 500 до н. э.)
Около 530 г. до н. э. древнегреческий математик Пифагор поселился в городе
Кротоне в Италии, чтобы развивать там учение о математике, музыке и пере-
оождении душ. Хотя, вероятно, многие из достижений Пифагора в
действительности принадлежат его ученикам, идеи Пифагора (или идеи
пифагорейского братства) влияли на развитие нумерологии и математики на протяжении
многих столетий. Пифагору обычно приписывается открытие математических
соотношений, соответствующих музыкальным гармониям. К примеру, он
заметил, что колеблющиеся струны производят гармоничные звуки, если
соотношения их длин выражены целыми числами. Его также интересовали
треугольные числа (равные числу кружков, которые при составлении вместе образуют
рисунки в виде равносторонних треугольников) и (свершенные числа (равные
сумме всех своих собственных положительных делителей). Хотя знаменитая
теорема, носящая его имя (а2 + б2 = с2 для прямоугольного треугольника с
катетами α и & и гипотенузой с), была известна индийцам и вавилонянам задолго
до него, некоторые исследователи считают, что Пифагор и его ученики были
первыми среди греков, кто сумел ее доказать.
Для Пифагора и его последователей числа были подобны богам, чистым
и свободным от изменчивости материального мира. Почитание чисел от 1 до
10 было для пифагорейцев некоторой разновидностью политеизма. Они
верили, что числа являются живыми существами, обладающими телепатической
формой сознания. Согласно их учению, человек может отринуть свою
«трехмерную» жизнь и достигнуть телепатического единения с этими численными
сущностями при помощи различных техник медитации.
Некоторые из этих на первый взгляд довольно странных идей не чужды и
современным математикам, которые часто спорят о том, является ли
математика плодом исключительно человеческого разума или же самостоятельной
частью Вселенной, никак не зависящей от человека. Для пифагорейцев
математика была экстатическим откровением. Осуществленное пифагорейцами
смешение математических и теологических представлений впоследствии
оказало значимое влияние на древнегреческую религиозную философию, играло
важную роль в религиозной мысли Средневековья и даже нашло свое
отражение в работах философа Иммануила Канта в Новое время. Бертран Рассел
полагал, что если бы не Пифагор, теологи вряд ли столь упорно стремились бы
найти логические доказательства бытия Бога и бессмертия души.
СМ. ТАКЖЕ Плимптон 322 (1800 до н. э.), Теорема и треугольники Пифагора (600 до
н. э.).
Пифагор (бородатый мужчина с книгой внизу слева) учит юношу музыке на картине
«Афинская школа» Рафаэля Санти (1483-1520), великого художника и архитектора
итальянского Возрождения.

Лу
ц
НС
.
Ν
\
\

о
я
Апории Зенона
Зенон Элейский (ок. 490 до н. э. — ок. 430 до н. э.)
Уже более тысячи лет философы и математики пытаются решить апории
Зенона — набор парадоксальных утверждений, призванных доказать, что
движение невозможно и является всего лишь иллюзией. Зенон был
древнегреческим философом-досократиком из южной Италии. В его наиболее известном
парадоксе участвуют древнегреческий герой Ахиллес и медленная черепаха,
которую, как утверждается, Ахиллес никогда не сможет догнать, при
условии что черепахе дано преимущество в расстоянии в момент начала
движения. Фактически данный парадокс подразумевает, что вы никогда не
сможете выйти из комнаты, в которой вы сейчас находитесь. Для того чтобы дойти
до ^вери, вам сначала потребуется преодолеть половину расстояния до нее.
Затем вам придется пройти половину оставшегося пути, затем половину уже
от этой половины и так далее. Соответственно, добраться до двери за
конечное число таких переходов не удастся! Предел данной бесконечной
последовательности действий можно математически представить как сумму ряда (1/2 +
+ 1/4 + 1/8 + ...). Один из современных путей к разрешению парадокса
Зенона состоит в утверждении того, что сумма данного бесконечного ряда 1/2 +
+ 1/4 + 1/8 + ... в точности равна 1. Если принять, что на осуществление
каждого последующего шага уходит вполовину меньше времени, чем на
предыдущий, то общее время, затрачиваемое на выполнение этого бесконечного
ряда действий, не будет при этом отличаться от реального времени,
необходимого для того, чтобы выйти из комнаты.
Однако подобный подход не дает полностью удовлетворительного решения,
поскольку он не объясняет, каким образом возможно завершить
прохождение бесконечного числа последовательно лежащих точек. В настоящее время
для подробного анализа этого парадокса математики обращаются к понятию
бесконечно малых — невообразимо крохотных величин, практически, но не
полностью равных нулю. В сочетании с разделом математики, называемым
нестандартным анализом, и в частности, теорией внутренних множеств, это
позволяет разрешить парадокс, но дискуссии не прекращаются. Еще одним
способом снятия парадокса является обращение к тому, что если пространство
и время дискретны, то общее число переходов при движении от одной точки до
другой неизбежно должно быть конечным.
СМ. ТАКЖЕ Аристотелево колесо (320 до н. э.), Расходимость гармонического ряда
(1350), Представление числа π в виде бесконечного ряда (1500), Создание математического
анализа (1665), Санкт-Петербургский парадокс (1738), Парадокс брадобрея (1901),
Парадокс Банаха—Тарского (1924), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925), Парадокс дней
рождения (1939), Парадокс береговой линии (1950), Парадокс Ньюкома (1960), Парадокс
Паррондо (1999).
Согласно наиболее известной апории Зенона, кролик никогда не догонит черепаху, если
той было дано даже небольшое начальное преимущество в расстоянии. По существу,
этот парадокс также подразумевает, что им обоим никогда не удастся достичь фи
нишной прямой.

о
Гиппократовы луночки
Гиппократ Хиосский (ок. 470 до н. э. - ок. 400 до н. э.)
Древнегреческие математики были зачарованы присущими геометрии
красотой, симметрией и порядком. Разделяя с прочими это страстное увлечение,
Гиппократ из Хиоса показал, каким образом можно построить квадрат,
равный по площади заданной луночке — серповидной фигуре, образованной
выпуклыми дугами двух окружностей. Нахождение Гиппократом квадратуры
луночек является одним из наиболее ранних из известных примеров
математических доказательств. Другими словами, Гиппократ продемонстрировал,
что площадь этих луночек может быть в точности выражена через площадь
прямолинейной фигуры, или «квадратуры». В приведенном здесь примере
суммарная площадь желтых луночек, касающихся вершин прямоугольного
треугольника, равна площади этого треугольника.
Под нахождением квадратуры древними греками понималось построение
при помощи циркуля и линейки такого квадрата, площадь которого была бы
равна площади заданной фигуры. Если такое построение возможно, о фигуре
говорят, что она является квадрируемой. Греки хорошо освоили построение
квадратур многоугольников, но задачи нахождения квадратуры
криволинейных фигур оказались гораздо сложнее. Собственно, на первый взгляд было
весьма сомнительно, что криволинейные объекты вообще можно квадриро-
вать.
Гиппократ также известен тем, что составил первый известный
систематический труд по геометрии, сделав это почти за столетие до Евклида. Евклид
мог использовать некоторые из идей Гиппократа в собственных «Началах».
Сочинения Гиппократа примечательны тем, что они заложили общие
структурные основы, от которых могли в дальнейшем отталкиваться другие
математики.
Поиски Гиппократом решения для задачи о луночках были попыткой
продвинуться в нахождении «квадратуры круга» — построении квадрата,
равновеликого (равного по площади) кругу. Математики пытались решить
проблему «квадратуры круга» на протяжении более 2000 лет, пока наконец в 1882 г.
Фердинанд фон Линдеман не доказал, что это невозможно. Сейчас нам
известно, что существует всего пять типов квадрируемых луночек. Три из них были
открыты Гиппократом, а два других найдены в середине 1770-х гг.
СМ. ТАКЖЕ Теорема и треугольники Пифагора (600 до н. э.), «Начала» Евклида (300 до
н. э.), «Геометрия» Декарта (1637), Трансцендентные числа (1844).
Суммарная площадь двух луночек (желтых серповидных фигур), касающихся вершин
прямоугольного треугольника, равняется площади этого треугольника. Древние греки
были очарованы элегантностью подобных геометрических построений.

от
О
to
О
Платоновы тела
Платон (ок. 428 до н. э. - ок. 348 до н. э.)
Платоново тело (или правильный многогранник) — это выпуклый
многогранный трехмерный объект, все грани которого являются одинаковыми
мноугольниками со сторонами равной длины и углами равной величины.
Кроме того, в каждой вершине Платонова тела сходится одинаковое число
ребер. Наиболее известным примером Платонова тела является куб, гранями
которого служат шесть одинаковых квадратов.
Древние греки обнаружили и доказали, что всего можно построить лишь
пять Платоновых тел: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. К
примеру, икосаэдр имеет 20 граней, каждая из которых представляет собой
равносторонний треугольник.
Платон описал пять Платоновых тел в своем трактате «Тимей» (ок. 360 г. до
н. э.). Он не только испытывал благоговение перед их красотой и симметрией,
но и считал, что эти формы выражают собой сущность четырех основных
элементов, из которых состоит космос. В частности, маленькие частицы огня, по
его мнению, имеют форму тетраэдров — вероятно, потому что эти
многогранники отличаются тонкими острыми краями. Октаэдры образуют воздух. Вода
состоит из икосаэдров, самых гладких многогранников среди всех Платоновых
тел. Земля же состоит из кубов, которые выглядят крепкими и устойчивыми.
Додекаэдр, по мысли Платона, был использован Богом для размещения
созвездий на небесах.
Пифагор Самосский — знаменитый мистик и математик, живший во
времена Будды и Конфуция (ок. 550 лет до н. э.), — был, вероятно, знаком с
тремя из пяти Платоновых тел (кубом, тетраэдром и додекаэдром). В Шотландии
были обнаружены слегка скругленные подобия Платоновых тел, вырезанные
из камня людьми позднего неолита по меньшей мере за тысячу лет до
Платона. Немецкий астроном Иоганн Кеплер (1571—1630) пытался использовать
модель помещенных друг в друга правильных многогранников для описания
движения планет вокруг Солнца. Хотя теории Кеплера оказались
ошибочными, он был одним из первых ученых, настаивавших на геометрическом
толковании небесных яш ений
СМ. ТАКЖЕ Пифагор и его математическое братство (530 до н. э.), Архимедовы
полуправильные многогранники (240 до н. э.), Эйлерова характеристика выпуклых
многогранников (1751), Игра «Икосиан» (1857), Формула Пика (1899), Геодезический купол (1922),
Многогранник Часара (1949), Многогранник Силаши (1977), Спидроны (1979), Поиски
холиэдра (199Ь'
Традиционный додекаэор представляет собой многогранник с 12 пятиугольными
гранями. Здесь приведено выполненное Паулем Нюландером изображение гиперболического
додекаэдра, гранями которого служат сферические поверхности.

\
I i

от
φ
«Органон» Аристотеля
Аристотель (384 до н. э. - 322 до н. э.)
Ш Аристотель был древнегреческим философом и ученым, учеником Платона и
^^^^ш Ш учителем Александра Македонс кого. Общим названием «Органон» (от греческо-
^^^^ ^· го слова, означающего «инструмент», «метод») обозначают совокупность шести
сочинений Аристотеля, посвященных логике. В его состав входят труды «Кате-
О горни», «Об истолковании», «Первая аналитика», «Вторая аналитика», «О
софистических опровержениях» и «Топика». Название «Органон» и порядок
входящих в него работ были закреплены издателем и комментатором Аристотеля
Андроником Родосским ок. 40 г. до н. э. Хотя Платон (ок. 428 г. до н. э. — 348 г.
до н. э.) и Сократ (ок. 470 г. до н. э. — 399 г. до н. э.) занимались изучением не-
t которых логических вопросов, именно Аристотель первым систематизировал
"л изучение логики и заложил основы научного рассуждения, определившие путь
# ' развития западного мира на протяжении последующих двух тысячелетий.
Цель «Органона» состоит не в том, чтобы сообщить читателям некоторый на-
Т4-—-4 бор истин, а в том, чтобы наделить их инструментарием, позволяющим опреде-
.^■■Н лять, что истинно, а что нет, и тем самым помогающим в постижении мира. Ос-
Оновным таким инструментом у Аристотеля является силлогизм — рассуждение из
трех высказываний, например: «Все женщины смертны. Клеопатра — женщина.
Следовательно, Клеопатра смертна». Если первые два высказывания — посылки —
b_d истинны, то мы можем быть уверены, что и заключение истинно. Аристотель
. ^ также ввел различие между частными и общими терминами. Так, «Клеопатра» -
частный термин, а «женщина» и «смертная» — общие термины. При
использовании общих терминов им предшествуют такие указания, как «все», «некоторые»
или «ни один из». Аристотель рассмотрел множество возможных видов
силлогизмов и показал, какие из них являются правильными, а какие — ошибочными.
Аристотель также дополнил свое учение о силлогизмах рассмотрением
модальной логики, т. е. высказываний, содержащих слова «возможно» и
«неизбежно». Современная математическая логика допускает как отступления от
методологии Аристотеля, так и перенос его подхода на другие виды
высказываний, включая те, которые выражают более сложные отношения, или те, в
которых содержится более одного квантора, например: «Ни одна женщина не
любит всех тех женщин, которые не любят некоторых женщин». Тем не менее
данное Аристотелем систематическое изложение основ логики считается
одним из самых великих достижений человечества. Оно способствовало
развитию областей математики, близких к логике, и оказало неоспоримое влияние
на теологов и их способ суждения о Боге и мироздании.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Булева алгебра (1854), Диаграммы Венна
Г1880), «Основания математики» (1910-1913), Теорема Гёделя о неполноте (1931),
Нечеткая логика (1965).
Рафаэль, один из великих мастеров итальянского Возрождения, изображает
Аристотеля (справа) стоящим с «Никомаховой этикой» в руках рядом с Платоном. Эта фреска
под названием «Афинская школа» была написана между 1510 и 1511 гг. и находится в
одном из дворцов Ватикана.

к?
&
Ч
Л >
£Т

от
о
Аристотелево колесо
Аристотель (384 до н. э. - 322 до н. э.)
О
Упоминание о парадоксе Аристотелева колеса мы находим в древнегреческом
трактате «Механика». Эта проблема веками вызывала большой интерес у
величайших математиков. Представим себе маленькое колесо, прикрепленное
к большому таким образом, что их можно схематически изобразить в виде
двух концентрических окружностей. Между точками на большей
окружности и точками на меньшей окружности существует взаимно однозначное
соответствие, т. е. каждой точке на большей окружности соответствует одна и
только одна точка на меньшей окружности, и наоборот. Тогда оказывается,
что наша фигура из двух колес проедет одинаковое расстояние независимо
от того, совершит ли малое колесо оборот по стержню, проложенному над
дорогой на высоте его нижней точки, или же большое колесо сделает оборот по
дороге. Но как такое возможно? В конце концов, мы же прекрасно знаем, что
длины окружностей колес не одинаковы.
Сейчас математикам известно, что взаимно однозначное соответствие точек
на двух кривых не означает, что они должны иметь одинаковую длину. Георг
Кантор (1845—1918) доказал, что число или мощность множества точек на
отрезках любой длины одинакова. Он назвал такое трансфининтное число точек
«континуумом». Например, всем числам на отрезке от нуля до единицы могут
быть поставлены во взаимно однозначное соответствие все числа на некоторой
бесконечной линии. Разумеется, до выхода работы Кантора эта проблема
вызывала у математиков большие затруднения. Также отметим, что, с
физической точки зрения, при движении большого колеса по поверхности дороги
маленькое колесо будет проскальзывать и волочиться по линии, касающейся его
поверхности.
Точная дата написания «Механики» и имя ее автора могут навсегда
остаться загадкой. Хотя эту работу часто приписывают Аристотелю, многие ученые
сомневаются, что «Механика», старейший известный трактат по
инженерному делу, в действительности была написана им. Другим возможным
кандидатом в авторы этого сочинения является ученик Аристотеля Стратон из Ламп-
сака по прозвищу «Физик», умерший в 270 г. до н. э.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Санкт-Петербургский парадокс (1738), Транс-
финитные числа Кантора (1874), Парадокс брадобрея (1901), Парадокс Банаха—Тарского
(1924), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925), Парадокс дней рождения (1939),
Парадокс береговой линии (ок 1950), Парадокс Ньюкома (1960), Неразрешимость континуум-
гипотезы (1963), Парадокс Паррондо (1999)
Представим себе маленькое колесо, прикрепленное к большому. На иллюстрации
показано движение фигуры из двух колес, которая движется слева направо, так что
большее колесо катится по поверхности дороги, а малое — по стержню, протянутому вдоль
его нижней точки.

о
о
34
О
φ
«Начала» Евклида
Евклид Александрийский (ок. 325 до н. э. - ок. 270 до н. э.)
Знаменитый геометр Евклид Александрийский жил в эллинистическом
Египте. Его книга «Начала» является одним из наиболее популярных
учебников в истории математики. Изложение Евклидом планиметрии основано
на теоремах, все из которых могут быть выведены всего из пяти простых
аксиом, или постулатов. Один из них гласит, что через любые две точки можно
провести только одну прямую. Другой знаменитый постулат утверждает, что
через точку, не лежащую на некоторой прямой, можно провести только одну
прямую, параллельную данной. Лишь в XIX в. математикам наконец стало
известно о существовании неевклидовых геометрий, в которых постулат о
параллельности выполняется не всегда. Систематический подход Евклида к
доказательству математических теорем при помощи последовательности
логических утверждений не только заложил основы геометрии как науки, но и
послужил образцом для множества других областей, в которых используются
топические или математические доказательства.
«Начала» состоят из тринадцати книг, охватывающих двух- и трехмерную
геометрию (планиметрию и стереометрию), учение о пропорциях и теорию
чисел. «Начала» были в числе первых книг, напечатанных после изобретения
печатного станка, а их изучение на протяжении многих столетий входило в курс
университетского образования. С момента первой печати «Начал» в 1482 г.
насчитывается более тысячи различных изданий этой книги. Хотя
многочисленные приведенные в «Началах» доказательства могут и не принадлежать
самому Евклиду, строгая систематизация материала и ясный стиль
изложения наделили его труд непреходящей ценностью. Историк математики Томас
Хит назвал «Начала» «величайшим учебником по математике всех времен».
«Начала» оказали огромное влияние на таких ученых, как Галилео Галилей и
Исаак Ньютон. Философ и логик Бертран Рассел писал: «В возрасте
одиннадцати лет я начал изучать Евклида с моим старшим братом в роли учителя. Это
было одно из важнейших событий в моей жизни, столь же ослепительное, как
первая любовь. Я и не представлял, что в мире может существовать что-либо
настолько прекрасное». Поэтессе Эдне Сент-Винсент Миллей принадлежат
следующие строки: «Евклид один лишь зрел нагую Красоту».
СМ. ТАКЖЕ Теорема и треугольники Пифагора (600 до н. э.), Гишюкратовы луночки
(440 до н. э.), «Органон» Аристотеля (350 до н. э.). «Геометрия» Декарта (1637),
Неевклидовы геометрии (1829), Многообразие Уикса (1985).
Фронтиспис «Начал» Евклида (ок. 1310) в переводе Аделарда Батского с арабского
языка на латинский - древнейшего сохранившегося перевода «Начал» на латинский язык.

■г
I
д .*
\:
I
«V
r
.
V.-э· *
•\?4
Τ ■ . -
ν- -- ■ ■
ъ V '
К! „ "-~
ч " .
; <r ί>·
4
V '-
1
Λ.
. t
*5a
s
<ί
о
2?
•

О
34
О
Qi?
Архимед, песчинки и быки
Архимед Сиракузский (ок. 287 до н. э. - ок. 212 до н. э.)
В 1941 г. известный английский математик Г. X. Харди писал: «Архимеда
будут помнить даже тогда, когда будет забыт Эсхил, ибо языки умирают, но
математические идеи — нет. Может, «бессмертие» и глупое слово, но у
математиков, наверное, больше всех шансов обрести его, что бы оно ни значило».
Действительно, древнегреческого геометра Архимеда часто называют
величайшим математиком и ученым античности и относят к четырем величайшим
математикам, когда-либо жившим на Земле — вместе с Исааком Ньютоном,
Карлом Фридрихом Гауссом и Леонардом Эйлером. Любопытно, что Архимед
иногда посылал своим коллегам ложные доказательства теорем, чтобы иметь
возможность уличить их в присвоении его открытий.
Помимо многих других математических достижений, Архимед знаменит
своим интересом к очень большим числам. Так, например, в своей книге
«Исчисление песчинок» («Псаммит») Архимед подсчитал, что число песчинок,
потребующихся для того, чтобы полностью заполнить весь объем Вселенной,
равно 8 χ 1063.
Еще более удивительно то, что столь «небольшое» число, как 7,760271406
486818269530232833213 ... χ ю202544, является решением одного из вариантов
знаменитой задачи Архимеда о быках — стихотворной загадке, в которой
требуется вычислить общее число скота в четырех стадах разного цвета. Архимед
писал, что тот, кто сможет решить эту задачу, будет «увенчан славой» и тем
самым «докажет, что достиг совершенства в этом виде мудрости (т. е. в
математике)». Лишь в 1880 г. математики смогли наети приблизительный ответ
этой задачи. Более точный результат был впервые получен канадскими
математиками Хью К. Уильямсом, Р. А. Джерманом и К. Робертом Царнке при
помощи компьютера IBM 7040.
В 2003 г. историками математики был найден ранее считавшийся
утерянным текст Архимеда под заглавием «Стомахион». На древнем пергаменте,
отмытом и вторично использованном монахами около тысячи лет назад,
обнаружились следы принадлежавшей Архимеду задачи по комбинаторике
(комбинаторика — раздел математики, изучающий количество способов, которыми
может быть решена та или иная заадча). Цель задачи, изложенной в «Стома-
хионе», состояла в том, чтобы определить, каким числом способов можно
составить квадрат из приведенных здесь 14 сегментов. В 2003 г. четверо
математиков определили, что это число составляет 17152.
СМ. ТАКЖЕ Число π (250 до н. э.), Эйлерова задача о разбиении многоугольников (1751),
Гугол (1920), Теория Рамсея (1928).
Одна из целей задачи, изложенной в «Стомахионе» Архимеда, состоит в том, чтобы
определить, каким числом способов можно составить квадрат из приведенных здесь 14
сегментов. В 2003 г. четверо математиков определили, что это число равно 17152
(рисунок Тейи Краше к).

*;■
"г
ϊ Л
-Μ · ■ '
1·"" .
^'.
' \
,'1*
5· " * ,,*
Vi' ь,у
\

О
О
Число π
Архимед Сиракузский (ок. 287 до н. э. - ок. 212 до н. э.)
Число «пи», обозначаемое греческой буквой π, выражает отношение длины
окружности к ее диаметру и примерно равно 3,14159. Вероятно, многие
древние народы заметили, что при одном обороте колеса телега проезжает
вперед чуть больше, чем на длину трех ее диаметров. Это давало примитивное
наглядное представление о том, что длина окружности примерно в три раза
больше ее диаметра. В одной древневавилонской табличке упоминается, что
отношение длины окружности к периметру вписанного в нее
шестиугольника составляет 1 к 0,96 — такое приближение позволяет получить примерное
значение числа «пи», равное 3,125. Древнегреческий математик Архимед
(ок. 250 лет до н. э.) был первым, кто математически строго определил
интервал, в котором лежит истинное значение числа π: между 223/71 и 22/7.
Обозначение этого числа буквой π ввел валлийский математик Уильям Джонс
(1675—1749) в 1706 г. — вероятно, по греческому слову «периферия», начина-
ющемуся с этой буквы.
Число π — наиболее известное отношение в математике, на Земле и,
вероятно, во всех развитых цивилизациях Вселенной. Количество знаков после
запятой в числе π бесконечно, и до настоящего времени не удалось обнаружить
в их последовательности какого бы то ни было порядка. Скорость, с которой
компьютер вычисляет значение числа π, является интересной
характеристикой его вычислительных возможностей. Сейчас нам известно более триллиона
знаков числа π.
Число π обычно ассоциируется у нас с окружностью. Так же было и в
науке до семнадцатого века, когда эти понятия впервые удалось разделить. В то
время было открыто и изучено множес гво кр ивых (различные арочные линии,
гипоциклоиды, и кривые, называемые верзьерами), и оказалось, что их
площади также выражаются через число π. Позднее π оказалось отделено от всех
геометрических фигур вообще; сейчас это число используется в бесчисленном
количестве областей, относящихся к теории чисел, теории вероятностей,
комплексным числам, а также при вычислении сумм рядов из простых дробей,
например π/4 = 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7... В 2006 г. японский инженер на пенсии
Акира Харагути установил мировой рекорд по запоминанию и перечислению
по памяти 100 000 знаков числа π.
СМ. ТАКЖЕ Архимед, песчинки и быки (250 до н. э.), Представление числа π в виде
суммы бесконечного ряда (1500), Задача о веревке вокруг Земли (1702), Эйлерово число
е (1727), Постоянная Эйлера-Маскерони (1735), Игла Бюффона (1777), Трансцендентные
числа (1844), Теорема Гольдича (1858), Нормальное число (1909·
Число «пи» приблизительно равно 3,14 и представляет собой отношение длины
окружности к ее диаметру. Древние люди, вероятно, замечали, что при одном обороте колеса
телега проезжает вперед чуть больше, чем на длину трех ее диаметров.

νΛ
■ ч-, чг-
<ί
ч
Ч
NN

Решето Эратосфена
Эратосфен (ок. 276 до н. э. - ок. 194 до н. э.)
ι I ^^ Простое число — это такое число, которое делится только на само себя и на
^^^^^^^^ единицу (например, 5 или 13) Число 14, например, не является простым, так
как 14 = 7 χ 2. Простые числа интересуют математиков на протяжении уже
*·*" более двух тысяч лет. Около 300 г. до н. э. Евклид доказал, что не существу-
Оет наибольшего простого числа, т. е. множество простых чисел бесконечно.
Во как можно определить, что число является простым? Около 240 г. до н. э.
древнегреческий математик Эратосфен придумал первый расхожий способ
нахождения простых чисел, который мы сейчас называем «решетом
Эратосфена» . В частности, с его помощью можно найти все простые числа на
интервале до некоторого заданного числа. Эратосфен был человеком разносторон-
^■■rf них интересов. Он долгое время возглавлял знаменитую Александрийскую
β ·* библиотеку и стал первым, кто привел разумную оценку диаметра Земли.
Среди тех, кто занимался изучением простых чисел, был и французский те-
-^^^ олог и матемагик Марен Мерсенн (1588—1648). Он пытался найти формулу, по
LhhJ которой можно было бы вычислить все эти числа. Хотя универсальной форму-
Олы ему обнаружить не удалось, придуманные им числа Мерсенна вида 2^ — 1,
где ρ - целое число, по-прежнему привлекают неослабевающее внимание. Те
числа Мерсенна, в которых ρ равно простому числу, легче всего проверить на
. простоту, поэтому именно они обычно оказываются наибольшими известными
человечеству простыми числами. Сорок пятое найденное простое число Мер-
^■■Н сенна (243112609 - 1) было вычислено в 2008 г. и состоит из 12 978 189 знаков!
• В наши дни простые числа играют важную роль при создании алгоритмов
криптосистем с открытым ключом, используемых для зашифрованной пере-
г ιΛ дачи сообщений. Что важнее с точки зрения чистой математики, простые чис-
\ir ла лежат в центре многих нерешенных математических проблем, включая ги-
• потезу Римана, касающуюся распределения простых чисел, и бинарную
проблему Гольдбаха, утверждающую, что любое четное число, большее 2, может
быть записано в виде суммы двух простых чисел.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Кость Ишанго (18 000 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), Построение правильного семнадцатиугольника (1796),
«Арифметические исследования» Гаусса (1801), Гипотеза Римана (1859), Доказательство
теоремы о распределении простых чисел (1896), Константа Бруна (1919), Гипотеза Гиль-
брайта (1958), Числа Серпинского (1960), Скатерть Улама (1963), Эрдёш и его опыт
математического сотрудничества (1971), Криптография с открытым ключом (1977), Гипотеза
Андрики (1985).
Польский художник Андреас Гускос создает произведения современного искусства,
объединяя тысячи простых чисел и используя их в качестве текстур, накладываемых на
различные поверхности. Эта работа носит название «Эратосфен» в честь
древнегреческого математика, придумавшего первый метод нахождения простых чисел.

ίΝ -5
■05=.
Ο^ ^ΝΓΟ··
У
//Х0///У^Я"
//', ГГ.
s
//
'>/
'
3*
*4s ·
■■/ι
i\\u_.- -"***
\*
ч^Л
•ψ
...;*:
^Ντ'λ".1. *\д\\.л

о
to
О
Qi3
Архимедовы полуправильные
многогранники
Архимед Сиракузский (ок. 287 до н. э. - ок. 212 до н. э.)
Подобно Платоновым телам, архимедовы тела, или архимедовы полуправильные
многогранники, представляют собой выпуклые трехмерные объекты, все грани
которых являются правильными многоугольниками с равными сторонами и
равными углами. Однако в архимедовых телах эти правильные многоугольники
не являются одинаковыми. К примеру, Архимедом был описан напоминающий
современный футбольный мяч многогранник, образованный 12
пятиугольниками и 20 шестиугольниками, а также 12 других подобных тел. Образующие такое
тело многоугольники сходятся в каждой его вершине в одном и том же порядке.
Исходные работы Архимеда, в которых описывались все 13 архимедовых
тел, были утеряны и известны нам лишь по другим источникам. В эпоху
Возрождения художники нашли все архимедовы тела, кроме одного, а в 1619 г.
Кеплер привел их полный набор в своей книге «Гармония мира» (лат. Harmonices
Mundi). Архимедовы тела можно обозначить при помощи численной записи,
последовательно указывающей число углов у фигур, сходящихся в одной
вершине. К примеру, запись 3, 5, 3, 5 означает, что треугольник, пятиугольник,
треугольник и π ятиугольник сходятся у всех вершин многогранника именно в
таком порядке. При помощи такой записи можно перечислить следующие
архимедовы тела: 3, 4, 3, 4 (кубооктаэдр); 3, 5, 3, 5 (икосододекаэдр); 3, 6, 6
(усеченный тетраэдр); 4, 6, 6 (усеченный октаэдр); 3, 8, 8 (усеченный куб); 5, 6, 6
(усеченный икосаэдр, или футбольный мяч); 3,10,10 (усеченный додекаэдр); 3,
4,4,4 (ромбокубооктаэдр); 4,6,8 (ромбоусеченный кубооктаэдр); 3,4, 5,4 (ром-
боикосододекаэдр); 4,6,10 (ромбоусеченный икосододекаэдр); 3, 3, 3, 3, 4
(курносый куб) и 3, 3, 3, 3, 5 (курносый додекаэдр, или курносый икосододекаэдр).
Особый интерес представляет тридцатидвухгранный усеченный икосаэдр.
На строении этого архимедова тела основана форма футбольного мяча. По
этому же принципу располагались линзы, фокусирующие взрывные волны
детонаторов в атомной бомбе «Толстяк», сброшенной на японский город Нагасаки
во время Второй мировой войны. В 1980-е гг. химикам удалось создать самый
маленький футбольный мяч в мире — молекулу из 60 атомов углерода,
расположенных в вершинах усеченного икосаэдра. Подобные молекулы,
называемые бакиболами, обладают поразительными химическими и физическими
свойствами, которые активно исследуются во множестве областей — от
создания смазочных материалов до разработки лекарств против СПИДа.
СМ. ТАКЖЕ: Платоновы тела (350 до н. э.), Архимед, песчинки и быки (250 до н. э.),
Эйлерова характеристика выпуклых многогранников (1751), Игра «Икосиан» (1857),
Формула Пика (1899), Геодезический купол (1922), Многогранник Часара (1949), Многогранник
Силаши (1977), Спидроны (1979), Поиски холиэдра (1999).
13 архимедовых полуправильных многогранников в произведении Harmonices Mundi II
словенской художницы Тейи Крашек. Название дано в честь опубликованной в 1619 г.
книги И. Кеплера «Гармония мира», подробно описывающей эти тела.
60

н·.^
\
^>
л
>
τ
\ ·» '
Д.'
-с.-.
■Ч ι
к
1 42
<п

La
to
φ
Архимедова спираль
Архимед Сиракузский (ок. 287 до н. э. - ок. 212 до н. э.)
Термин спираль часто используется в общем смысле для описания любой
геометрически гладкой кривой, которая огибает центральную точку или ось,
одновременно от нее удаляясь. Если начать приводить примеры объектов,
имеющих форму спирали, на ум приходят как повседневные, так и самые
экзотические объекты: нежный завиток усиков папоротника, форма свернутых
щупалец осьминога, положение, которое принимает гусеница, когда
прикидывается мертвой, спиральный кишечный тракт жирафа, форма языка
бабочки, спиральное поперечное сечение свитка. Спиральные линии наделены
простой красотой, которую люди копируют в своем искусстве и орудиях труда, а
природа использует для создания разнообразных органических структур.
Математическое описание простейшей спиральной линии, архимедовой
спирали, было впервые дано Архимедом в 225 г. до н. э. в его сочинении «О
спиралях». Эта спираль описывается уравнением г = а + 6Θ. Параметр α
отвечает за поворот спирали, а параметр 6 задает расстояние между ее
последовательными витками. Наиболее часто встречающиеся спирали относятся к
спиралям архимедова типа: плотно свернутые плоские пружины, края скатанных
ковров, декоративные спирали на ювелирных украшениях. К практическим
способам использования архимедовой спирали относится преобразование
вращательного движения в линейное в швейных машинках. Архимедова
спиральная плоская пружина особенно интересна своей способностью отвечать
как на скручивающее, так и на поступательное усилие.
К древнейшим примерам архимедовых спиралей относятся
доисторические спиральные лабиринты, спиральные узоры на глиняных горшках VI в.
до н. э., древнеалтайские орнаменты (середина первого тысячелетия до н. э.),
резьба на пороговых камнях в скальных камерах бронзового века в
Ирландии, свитки ирландских манускриптов, и тибетские танка — раскрашенные
или вышитые изображения на буддистские сюжеты, иногда вывешиваемые в
монастырях. В целом, спираль — повсеместно используемый в древнем мире
символ. Его частое употребление в местах погребений предполагает, что он мог
использоваться для обозначения круга жизни, смерти и возрождения,
подобного неизменно сменяющим друг друга восходу и закату солнца.
СМ. ТАКЖЕ Золотое сечение (1509), Локсодрома (1537), Спираль Ферма (1636),
Логарифмическая спираль (1638), Замощение Фодерберга (1936), Скатерть Улама (1963), Спидро-
ны (1979).
Побег папоротника имеет форму архимедовой спирали, впервые описанной Архимедом в
его трактате «О спиралях» в 225 г. до н. э.

21
ν V4 & ,
Ν
Λ-
... 1
, 1 *:

00
о
о
Циссоида Диокла
Диокл (ок. 240 до н. э. - ок. 180 до н. э.)
Циссоида Диокла была впервые исследована древнегреческим математиком
Диоклом ок. 180 г. до н. э. Он пытался применить любопытные свойства этой
кривой при удвоении куба. «Удвоением куба» называется знаменитая
античная задача на построение куба, в два раза большего по объему, чем заданный,
что означает, что грань большего куба должна быть в ^2 раз больнее грани
меньшего куба. Использование Диоклом циссоиды и точки ее пересечения
с прямой было теоретически верным путем решения, но не соответствовало
строгим правилам евклидовых построений, допускавших применение одних
лишь циркуля и линейки.
Название «циссоида» происходит от
греческого слова, обозначающего форму листа
плюща. График кривой стремится к
бесконечности в обоих направлениях оси у и имеет один
касп (точку заострения). Обе ветви кривой,
расходящиеся из каспа, стремятся к одной и
той же вертикальной асимптоте. Если
провести окружность, проходящую через касп
циссоиды О и касающуюся ее асимптоты, а также
произвольную прямую линию, соединяющую
касп и некоторую точку Μ на кривой и
пересекающуюся с асимптотой в точке В, то длина
отрезка СВ всегда будет равна длине отрезка
ОМ. В полярной системе координат уравнение
кривой можно записать как г = 2a(sec θ — cos θ),
а в прямоугольной системе координат — как
у2 = xs/(2a — χ). Любопытно что циссоида
может быть получена движением вершины
параболы при ее перемещении без
проскальзывания по второй параболе того же размера.
Диокл был увлечен кривыми, относящимися к так называемым
коническим сечениям. В своей работе «О зажигательнх зеркалах» он по существу
рассуждает о фокальной точке параболы. Одна из преследуемых им целей
состояла в том, чтобы найти зеркальную поверхность, фокусирующую
максимальное количества тепла при падении на нее яркого солнечного света.
СМ. ТАКЖЕ Кардиоида (1637), Длина дуги полукубической параболы Нейля (1657),
Астроида (1674).
Параболическая телекоммуникационная антенна. Древнегреческий математик Диокл
был увлечен подобными кривыми. В своей работе «О зажигательных зеркалах» он по
существу рассуждает о фокальной точке параболы. Диокл стремился найти
зеркальную поверхность, фокусирующую максимальное количество тепла при падении на нее
света.

»v
л

«Альмагест» Птолемея
Клавдий Птолемей (ок. 90 - ок. 168)
«Альмагест» — труд выдающегося древнегреческого математика и астронома
Клавдия Птолемея, состоящий из 13 книг. В нем содержится полный
комплекс знаний того времени практически обо всем, что касается астрономии.
В «Альмагесте» Птолемей рассматривает видимое движение планет и звезд.
Используемая им геоцентрическая модель, в которой Земля находится в
центре Вселенной, а Солнце и другие планеты вращаются вокруг нее, считалась в
Европе и арабском мире истинной на протяжении более чем тысячи лет.
Название «Альмагест» является латинизированной формой арабского al-
kitabu-1-mijisti («Великое построение»). Особый интерес со стороны
математиков «Альмагест» привлекает своим тригонометрическим содержанием,
включающем эквивалент таблицы значений синусов для углов от 0° до 90° с
15-минутным интервалом и введение в сферическую тригонометрию. В
«Альмагесте» также приводятся теоремы, близкие современной теореме синусов, и
формулы половинных и кратных углов. Ян Гулльберг пишет: «То
обстоятельство, что столь большое число ранних древнегреческих работ по астрономии
полное гью утеряно, вероятно, является следствием полноты и совершенства
изложения материала в "Альмагесте" Птолемея, сделавшего все более
ранние сочинения ненужными и излишними». По замечанию Герда Грассхоффа,
«"Альмагест" Птолемея делит с "Началами" Евклида лавры научного текста,
наиболее длительное время пробывшего в повсеместном употреблении. С
момента его написания во втором столетии нашей эры и до времен позднего
Возрождения этот труд полностью определял содержание астрономии как науки».
«Альмагест» был переведен на арабский язык ок. 827 г., а в XII в. с
арабского был сделан его перевод на латинский. Персидский математик и астроном
Абу-л-Вафа (940—998) написал подробный комментарий к «Альмагесту»,
дополнив и систематизировав приведенные в нем тригонометрические теоремы
и их доказательства. Любопытно, что исходя из своей модели движения
небесных тел Птолемей пытался вычислить размер Вселенной. По Птолемею,
планеты движутся по небол ыпим окружностям, называемым эпициклами,
которые, в свою очередь, движутся по большей окружности. Птолемей подсчитал,
что радиус внешней сферы, к которой «крепятся» дальние неподвижные
звезды, в 20 000 раз больше радиуса Земли.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Теорема косинусов (ок. 1427).
В «Альмагесте» Птолемея излагается геоцентрическая модель мира, в которой Земля
находится в центре Вселенной, а Солнце и планеты вращаются вокруг нее. Эта модель
была общепризнано в Европе и арабском мире на протяжении более тысячи лет.

«Арифметика» Диофанта
Диофант Александрийский (ок. 200 - ок. 284)
Древнегреческого математика Диофанта Александрийского иногда
уважительно называют «отцом алгебры». Ему принадлежит авторство
«Арифметики» (ок. 250 г.) — серии математических книг, столетиями влиявших на
развитие математики. «Арифметика», вероятно, является самым знаменитым
алгебраическим сочинением во всей древнегреческой математике. Диофант
внес важный вклад в развитие системы математических обозначений.
Кроме того, он учит обращению с дробями как с обычными числами. В
посвящении к «Арифметике» Диофант обращается к Дионисию (вероятнее всего,
епископу Александрийскому), уверяя, что хотя изложенный в ней материал
и может быть довольно сложен, но «с вашим прилежанием и под моим
руководством постичь его будет весьма легко».
Многие работы Диофанта сохранились благодаря арабским переводам,
которые, в свою очередь, были переведены на латинский язык в XVI в. Диофан-
товы уравнения, т. е. уравнения, для которых ищутся целочисленные
решения, названы в его честь. Пьер де Ферма записал свою знаменитую последнюю
теорему Ферма о целочисленных решениях уравнения а" + 6" = с" на полях
французского перевода «Арифметики», опубликованного в 16811.
В своей «Арифметике» Диофант часто обращается к нахождению
целочисленных решений уравнений вида ах2 + Ьх = с. Хотя ряд методов решения
уравнений, занимающих Диофанта, был известен еще древним вавилонянам,
неоспоримое достижение Диофанта, согласно Дж. Д. Свифту, состоит в том,
что он «первым ввел полную и последовательную систему алгебраической
нотации, обладавшую огромным преимуществом перед чисто вербальными
описаниями, используемыми его предшественниками (и многими преемниками)
<...>. Вторичное открытие «Арифметики» через византийские источники в
значительной мере способствовало возрождению математики в Западной
Европе и оказало большое влияние на многих математиков, величайшим из
которых стал Ферма».
Отметим, что персидский математик аль-Хорезми (780—850) делит с
Диофантом титул «отца алгебры» за собственное сочинение «Алгебра»,
содержащее систематический метод решения линейных и квадратных уравнений. Аль-
Хорезми привнес индоарабские цифры и алгебраические идеи в европейскую
математику, а слова «алгоритм» и «алгебра» происходят от его имени и слова
«аль-джабр», соответственно. В арабском языке термином «аль-джабр»
обозначается одна из операций, используемых при решении квадратных уравнений.
СМ. ТАКЖЕ Смерть Гипатии (415), «Алгебра» аль-Хорезми (830), «Краткое изложение»
(1556), Последняя теорема Ферма (1637).
Титульный лист издания «Арифметики» Диофанта 1621 г., переведенной с латинского
на французский язык французским математиком Клодом Гаспаром Ваше де Мезири-
аком. Вторичное открытие «Арифметики» европейцами способствовало возрождению
математики в Западной Европе.

DIOPHANTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX»
JET DE NVMERJS MVLTANqFLIS
I/BEJ^ У hi VS.
З^ипс primum Crta & haunt editi, atqueabfolutifimu
Commentartis illitfirati.
AVCTOR.E CLAVDIO GASPARE BACHETO
MEZIRIACO 5 Б В V S I A N O.V- С
''■ -■- f ι-
■'ν* ν·1 τ г л*.
' ГШГНГТМЯГКГМ \W +ψ*- , j Л 4ITU· Ι
τν*«. ■ "·ι Λ», моохж
L . J.V'V, '-iS^r^,; —J.
ГА.
I' f.5^
LVTETIAE PARISIORVM,
Sumptibus SEBASTIANI CRAMOISY,Via
Iacobza,fub Cicoous.
M. DC. XXL
CVM TRir/LEClO REC/Λ

Теорема Паппа
Папп Александрийский (ок. 290 - ок. 350)
Предположим, что некий фермер хочет посадить девять кленовых деревьев
таким образом, чтобы они образовали десять прямых рядов по три дерева в
каждом. Одним из любопытных способов достижения этой цели является
применение теоремы Паппа. Если три точки А, В, С расположены в любых
трех произвольных местах на одной прямой, а три другие точки D, Е, F
расположены в любых трех местах на второй прямой, то, по теореме Паппа,
точки Χ, Υ, Ζ пересечения сторон в пересекающемся шестиугольнике AFB-
DCE также будут лежать на одной прямой. Фермер может решить свою
задачу и получить десятый нужный ему ряд, посадив дерево В таким образом,
чтобы точки Β,Υι/ίΕ также находились на одной прямой.
Папп был одним из виднейших математиков эпохи эллинизма. Он знаменит
благодаря своему «Математическому собранию», написанному около 340 г.
Данная работа посвящена областям геометрии, связанным с
многоугольниками, многогранниками, окружностями, спиралями и сотовыми структурами,
создаваемыми пчелами. «Математическое собрание» Паппа также ценно тем,
что в нем приводятся результаты из других античных работ, оригинальные
тексты которых ныне утеряны. Томас Хит писал об этой работе: «Написанная,
очевидно, с целью возрождения классической древнегреческой геометрии, она
практически полностью ее собой исчерпывает».
Макс Ден писал о знаменитой теореме Паппа, что та «знаменует собой
важное событие в истории геометрии. Изначально геометрия была посвящена
измерениям: определению длины линий, площади плоских фигур, объема
различных тел. Здесь же мы впервые имеем дело с теоремой, сформулированной
в рамках обычной измерительной теории, но самой по себе свободной от каких
бы то ни было элементов измерений». Другими словами, эта теорема
демонстрирует существование фигуры, задаваемой одной лишь совокупностью
линий и точек. По мнению Дена, эта фигура была «первым построением
проективной геометрии».
«Математическое собрание» стало широко известно в Европе после 1588 г.,
когда был издан его перевод на латинский язык, выполненный Федерико Ком-
мандино. Фигура Паппа интересовала Исаака Ньютона и Рене Декарта.
Примерно через 1300 лет после написания Паппом «Математического собрания»
французский математик Блез Паскаль сформулировал теорему, носящую его
имя, - любопытное обобщение теоремы Паппа.
СМ. ТАКЖЕ «Геометрия» Декарта (1637), Проективная геометрия (1639), Теорема
Сильвестра (1893).
Если три точки А, В, С расположены в любых трех местах на одной прямой, а три
другие точки D, Е, F расположены в любых трех местах на второй прямой, то, по
теореме Паппа, точки Χ, Υ, Ζ пересечения сторон в пересекающемся шестиугольнике
AFBDCE также будут лежать на одной прямой.

\

Рукопись Бахшали
«Рукопись Бахшали» — знаменитый математический сборник, найденный в
1881 г. на северо-западе Индии. Дата создания рукописи может восходить к
третьему столетию нашей эры. Большая часть рукописи была утеряна, и на
момент ее обнаружения из нее сохранилось тишь около 70 берестяных
листов. «Рукопись Бахшали» содержит методы и правила решения
арифметических, алгебраических и геометрических задач. В ней также приводится
формула для вычисления квадратного корня.
Одна из имеющихся в рукописи задач звучит так: «Перед вами группа из 20
человек, состоящая из мужчин, женщин и детей. Все эти люди вместе
зарабатывают 20 монет в день. Каждый мужчина в день зарабатывает по 3 монеты,
каждая женщина — по полторы монеты, а каждый ребенок — по полмонеты.
Сколько среди них мужчин, женщин и детей?». Сможете ее решить?
Правильный ответ - 2 мужчин, 5 женщин и 13 детей. Обозначим число мужчин,
женщин и детей в группе через а, & и с соответственно. Hani случай описывается
системой двух уравнений: а + & + с = 20 и За + (3/2)6 + (1/2)с = 20.
Приведенное решение является единственно верным.
Рукопись была найдена неподалеку от деревни Бахшали округа Юсуфзай
области Пешавар (территория современного Пакистана). Датировка рукописи
представляет собой предмет больших споров, однако большинство
исследователей полагает, что она является комментарием к более ранней работе,
датируемой между 200 и 400 г. Одной из необычных особенностей используемой в
«Рукописи Бахшали» нотации является использование знака «+» после числа
для обозначения отрицательных чисел. При записи уравнений жирной
точкой обозначается неизвестная величина, которую требуется найти. Похожей
точкой обозначается ноль. Дик Терези пишет: «Самым важным в "Рукописи
Бахшали" является то, что это первый источник по индийской математике,
полностью свободной от религиозного содержания».
СМ. ТАКЖЕ «Арифметика» Диофанта (250), Ноль (650), Ганита сара самграха (850).
Фрагмент «Рукописи Бахшали», найденной в 1881 г. на северо-западе Индии.

.f
4
< :;: :--"
>
'
A
v
ν
.
■ i
- - .
I

Смерть Гипатии
Гипатия Александрийская (ок. 370 - ок. 415)
Гипатия Александрийская приняла мученическую смерть от рук толпы
христианских фанатиков, разорвавших ее на части за то, что она не
придерживалась строгих христианских правил и норм. Гипатия относила себя к
неоплатоникам, язычникам и последователям идей Пифагора. Любопытно, что
Типа ия - первая женщина в истории математики, о которой мы имеем вполне
достоверные и подробные сведения. Известно, что она была физически
привлекательна и непреклонно соблюдала обет безбрачия. Когда ее спрашивали,
почему она так увлечена математикой и не желает выходить замуж, она
отвечала, что обвенчана с истиной.
Гипатией были, в частности, написаны комментарии к «Арифметике» Ди
офанта. Одной из математических задач, задаваемых ею ученикам, был поиск
целочисленных решений следующей системы уравнений: х — у = аихг — у2 =
= (х — у) + Ь, где α и 6 известны. А можете ли вы найти такие целые значения
для х,у,ак Ъ, при которых были бы верны оба соотношения?
Христиане были ее яростными философскими противниками и
официально осуждали ее приверженность взглядам Платона о природе Бога и
посмертном существовании. В один теплый мартовский день 415 г. христианские
фанатики, собравшись толпой, схватили ее, разорвали на ней одежды и стали
сдирать ее плоть с костей при помощи острых раковин. Затем они разрезали ее
тело на куски и сожгли. Подобно современным жертвам религиозного
терроризма, Гипатия была схвачена только лишь потому, что была известной
представительницей других религиозных убеждений. С момента гибели Гипатии и
вплоть до эпохи Возрождения и творчества Марии Аньези среди женщин более
не было известных математиков.
Смерть Гипатии инициировала отъезд многих видных ученых из
Александрии и во многом ознаменовала конец эпохи греческих достижений в матема
тике. На всем протяжении европейских Темных веков ведущие роли в разви
тии математической науки перешли к индийцам и арабам.
СМ. ТАКЖЕ Пифагор и его математическое братство (530 до н. э.), «Арифметика»
Диофанта (250), «Основы анализа» Аньеэи (1748), Докторская степень Ковалевской (1874).
В 1885 г. английский художник Чарльз Уильям Митчелл изобразил Гипатию за
несколько мгновений до ее смерти от рук толпы христианских фанатиков, сорвавших
с нее одежды и убивших ее прямо в церкви. По некоторым свидетельствам, с нее при
помощи острых предметов содрали кожу, а затем сожгли заживо.

J»1
»·
i г*
ib
J
1
*ί. -
ι |Ш<0
*i\ л
' 4l
*
-
ι k ■
1·
i
■ 1
1
1
4
' i
I
■ I
. ,t 1 1
i
&
.- -r.
V
)
11 i,v
1
)
\
1
»<
?
о
α

Ноль
Брахмагупта (ок. 598 - ок. 668), Бхаскара (ок. 600 - ок. 680),
Махавира (ок. 800 - ок. 870)
У древних вавилонян изначально не было символа для обозначения нуля,
что вносило неясность в их математические записи. Представьте, как бы мы
были озадачены, если бы в современной записи чисел вроде 12, 102 и 1002
отсутствовали нули, помогающие легко их различать. В том месте, где должен
был располагаться ноль, древневавилонские писцы просто оставляли пустой
промежуток. Определить точное количество таких пробелов в середине или
на конце числа было непросто. В конце концов вавилоняне ввели отдельный
символ для заполнения этого пространства между цифрами, но у них,
вероятно, так и не возникло представления о нуле как собственно о числе.
Около 650 г. число ноль вошло в индийскую математику. В Гвалиоре к югу
от Дели была найдена каменная табличка этого времени с числами 270 и 50.
Числа на табличке, датируемой 876 г., уже очень похожи на современные за
исключением того, что нули в них меньше других цифр и немного
приподняты над строкой. Такие индийские математики, как Брахмагупта, Махавира и
Бхаскара, свободно использовали ноль в математических операциях.
Например, Брахмагупта объяснял, что вычитание числа из него самого дает ноль, и
также заметил, что любое число при умножении на ноль дает ноль. «Рукопись
Бахшали» может быть первым документально подтвержденным
свидетельством использования нуля в математических целях, но дата ее создания точно
не установлена.
Около 665 г. цивилизацией майя в Центральной Америке также была
изобретена цифра ноль, но это достижение, по-видимому, никак не повлияло на
другие народы. Индийское же представление о нуле было усвоено арабами,
европейцами и китайцами и, без сомнения, изменило мир.
Математик Хоссейн Аршам пишет: «Введение нуля в десятичную систему
счисления в тринадцатом веке было важнейшим достижением в развитии
современной числовой системы и сделало легким и возможным оперирование
большими числами. Без введения обозначения для нуля <...> моделирование
экономических, астрономических, физических, химических и
промышленных процессов было бы немыслимым. Отсутствие этого символа является
одним из серьезнейших недостатков римской системы цифр».
СМ. ТАКЖЕ Рукопись Бахшали (350), Ганита сара самграха (850), «Книга разделов об
индийской математике» (953), «Блестящая книга» Самуила ал-Магриби (1150), «Книга
абака» Фибоначчи (1202).
Введение цифры ноль зажгло тот огонь, который в конце концов позволил человечеству
проще оперировать большими числами и осуществлять эффективные вычисления в
разнообразных областях от экономики до физики.

ч

«Задачи для заострения умов
юношества» Алкуина
Алкуин Йоркский (ок. 735 - ок. 804),
Герберт Орильякский (ок. 946 - ок. 1003)
Знаменитый средневековый ученый Флакк Альбин Алкуин, также извест
ный как Алкуин Йоркский, был родом из английского города Йорка. По
приглашению короля Карла Великого он прибыл к его двору, где стал одним из
наиболее уважаемых и почитаемых учителей. В это же время он создает свои
геологические трактаты и поэмы. Алкуин также был настоятелем аббатства
Сен-Мартен в Туре. Он считается одной из главных фигур, стимулировавших
расцвет науки во время так называемого каролингского Возрождения.
Исследователи преполагают, что его математическое сочинение «Задачи
для заострения умов юношества» (лат. Propositiones ad acuendos juvenes)
внесло свой вклад в образование последнего римского папы-математика Герберта
Орильякского. Герберт, страстно увлекавшийся математикой, был избран
папой римским под именем Сильвестра II в 999 г. Глубокие познания папы в
математике склонили некоторых его врагов к мысли о том, что он занимается
черной магией.
«Числовой папа» превратил пол Реймсского собора во Франции в огромные
счёты. Он также перенял арабскую систему цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9) и
ввел ее в качестве замены римским цифрам. Герберт также способствовал
изобретению маятниковых часов, придумал устройства для отслеживания
планетарных орбит и писал труды по геометрии. Когда он понял, что ему не хватает
познаний в формальной логике, он стал изучать ее под руководством
немецких логиков. «Числовой папа» говорил: «Праведный человек живет верой, но
благое дело — совмещать веру с обучением наукам».
В «Задачах...» Алкуина содержится около 50 логических задачек и их
решений. Самые знаменитые из них касаются переправы через реку волка, козы
и капусты, счета голубей на лестнице и трех ревнивых мужей, ни один из
которых не может оставить свою жену наедине с другим мужчиной. В
Propositiones впервые приводятся некоторые крупные классы математических и
логических задач. Автор популярных книг по математике Иварс Петерсон
отмечает: «Анализ задач (и их решений), приводимых в "Задачах...", высвечивает
увлекательные картины из различных аспектов средневековой жизни. Кроме
того, это произведение свидетельствует о непреходящей роли загадок и
головоломок в математическом образовании».
СМ. ТАКЖЕ Папирус Ринда (1650 до н. э.), «Алгебра» аль-Хорезми (830), Счёты (1200).
Математический труд Алкуина предположительно внес свою лепту в образование
последнего римского папы-математика Герберта Орильякского. Герберт, страстно
увлекавшийся математикой, был избран папой римским под именем Сильвестра II в 999 г.
На фотографии изображена статуя «Числового папы» в городе Орилъяк (Овернь,
Франция).

w
'Ρ
"*vk
\\ч\
ι «-
k. CBUBBUf SYLVIiSittUi U
MlCHIlill UA14J И1АЛШ6
1ШВ1 1 UflUK UK 10U3
L'AUYUILCKIS SA. ШИШ
ш otnlS ut tit есмшш IBS
1Ш U!t> ОДК6 III! К С110СШЦ ШСШК «JUL
lit U Ш1|_ИШШб L AIIUILUC
$
,***:;:

«Алгебра» аль-Хорезми
Абу Джафар Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (ок. 780 - ок. 850)
Аль-Хорезми — персидский математик и астроном, большую часть своей
жизни проведший в Багдаде. Его книга по алгебре «Китаб аль-мухтасар фи хисаб
аль-джабр ва-ль-мукабала» («Краткая книга о восполнении и
противопоставлении») была первой книгой, в которой приводились методы систематическо
го решения линейных и квадратных уравнений. Иногда ее упоминают под
кратким заголовком «Алгебра». Аль-Хорезми считается «отцом алгебры»
наряду с Диофантом. Перевод его работ на латинский язык познакомил Европу
с десятичной позиционной системой счисления. Любопытно, что слово
«алгебра» происходит от арабского «аль-джабр» {al-jabr), одной из двух
описанных в его книге операций, которые применяются для решения квадратных
уравнений.
Для аль-Хорезми аль-джабр — это метод, которым можно избавиться от
отрицательных членов в уравнении посредством прибавления к каждой его ча
сти одинаковой величины. Например, выражение хг = 50л: — 5л;3 можно
привести к виду 6х2 = 50л:, прибавив к каждой части уравнения 5л:2. Аль-мукабала -
это метод, согласно которому мы собираем величины одного типа в одной
части уравнения. Например, выражение х2 + 15 = χ + 5 можно упростить до
х2 +10 = х.
Книга помогала читателям решать такие уравнения, как л:3 + Юл: = 39,
х2 + 21 = Юл: и Зл: + 4 = х2. Если же говорить более обобщенно, аль-Хорезми
был убежден, что сложные математические задачи можно решить, разбив их
на ряд более маленьких шагов. Аль-Хорезми хотел, чтобы его книга прежде
всего имела практическую ценность и помогала людям осуществлять
вычисления, связанные с денежными вопросами, наследованием имущества,
судебными исками, торговлей и рытьем каналов. В «Алгебре» в том числе
разбирались типовые задачи из этих областей и их решения.
Аль-Хорезми провел значительную часть своей жизни в Багдаде,
возглавляя «Дом Мудрости» — библиотеку, переводческий центр и место учебных
занятий. «Дом мудрости» являлся основным интеллектуальным центром
Золотого века ислама. К сожалению, в 1258 г. он был разрушен монголами. По
легенде, воды Тигра окрасились в черный цвет от чернил книг, брошенных в
его воды.
СМ. ТАКЖЕ «Арифметика» Диофанта (250), «Блестящая книга» Самуила ал-Магриби
(1150).
Советская марка, выпущенная в 1983 г. в честь аль-Хорезми, персидского математика
и астронома. Книга аль-Хорезми, повященная алгебре, содержала систематические
методы решения разнообразных уравнений.

-.
·+* «»«·„
■\
- -
,rf#rl'\%
■u"m
//·■
^
"VW
fc. ·.· ■
^^,^.^^^1 -"«*- 'few·.'*»*'
\7 -^«
NSiSbS?
Л Τ

Кольца Борромео
Питер Гатри Тэт (1831-1901)
Кольца Борромео — простой, но любопытный набор взаимопересекакчцихся
объектов, занимавший воображение математиков и химиков в XV в. Этот
узор назван в честь видной семьи времен итальянского Возрождения,
расположившей на своем гербе три взаимно переплетенных кольца.
Обратите внимание, что в узоре колец Борромео никакие два кольца не
сцеплены попарно, так что, если разрезать любое из трех колец, все другие
кольца рассыпятся. По предположениям ряда исследователей, кольца в этом узоре
символизировали три семьи — Висконти, Сфорца и Борромео, — образовавшие
неустойчивый союз посредством взаимных браков. Такой же рисунок мы
находим в орнаменте 1467 г. во флорентийской церкви Сан-Панкрацио. Еще
более древний треугольный вариант этого узора использовался викингами —
знаменитый его пример был найден на столбике кровати знатной женщины,
умершей в 834 г.
В математическом контексте кольца Борромео впервые были рассмотрены
шотландским математиком и физиком Питером Тэтом в вышедшей в 1876 г.
работе, посвященной узлам. Поскольку для каждого взаимного пересечения
колец возможны два варианта (одно сверху, другое снизу и наоборот), всего
существует 26 = 64 рисунка колец с различными пересечениями. Принимая во
внимание соображения симметрии, только 10 таких рисунков будут
геометрически различными.
Сейчас математикам известно, что нельзя составить узор Борромео из
абсолютно плоских колец. Это легко проверить самостоятельно, попытавшись
соединить вместе кольца из проволоки: при переплетении их неизбежно
придется немного погнуть. Теорема о том, что составить узор Борромео из плоских
колец невозможно, была доказана в 1987 г. Майклом Фридманом и Ричардом
Скора.
В 2004 г. химики из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе
создали молекулярное соединение в форме колец Борромео. Оно состояло из
шести металлических атомов и имело 2,5 нм в ширину. В настоящее время
исследователи размышляют о возможном использовании подобных молекулярных
колец Борромео в таких областях, как спинтроника (технология, основанная
на использовании спина электрона и его заряда) или построение цифровых
медицинских изображений.
СМ. ТАКЖЕ Узлы (100 000 до н. э.), Теорема Джонсона (1916), Закон Мерфи и узлы
(1988).
Этот декоративный мотив из колец Борромео был найден во французской
рукописи XIII в., где он символизирует христианскую Троицу. В оригинальное изображение
было включено слово «trinitas» (латинское слово, означающее «троица» или
«триединство»), разделенное на три слога — «tri», «ni», «tas». В каждое кольцо было вписано по
одному слогу.

Μ
*

Ганита сара самграха
Махавира (ок. 800 - ок. 870)
Трактат «Ганита сара самграха» (Краткое руководство о сущности
математики), датируемый 850 г., знаменит благодаря нескольким причинам. Во-
первых, это единственный сохранившийся трактат по арифметике,
созданный джайнистским ученым. Во-вторых, в нем содержится практически весь
комплекс математических знаний Индии середины IX в. Кроме того, это
самый ранний дошедший до нас индийский текст, полностью посвященный
исключительно математике.
«Ганиту» написал Махавира (или Махавирачария, т. е. «Учитель
Махавира»), живший на юге Индии. Одна из задач, приводящихся в этой книге,
пользуется неизменной любовью у учеников и формулируется так. Молодая
женщина поссорилась с мужем и в пылу ссоры порвала свое ожерелье. Треть
украшавших его жемчужин рассыпалась вокруг нее. Шестая часть упала на
кровать. Половина оставшихся жемчужин (и половина того, что осталось
после этого, а потом опять половина оставшегося, и так всего шесть раз)
раскатилась повсюду. После этого на нитке осталась всего 1161 жемчужина. Сколько
всего жемчужин было у молодой дамы в ожерелье изначально?
Поразительный ответ заключается в том, что ожерелье юной индианки
состояло из 148608 жемчужин! Рассмотрим эту задачу подробно. Шестая часть
жемчуга упала на кровать, а треть — вокруг молодой женщины. Это означает,
что число всех тех жемчужин, которые не упали ни на кровать, ни рядом с
хозяйкой, составляет половину от всех жемчужин в ожерелье. После этого
оставшийся жемчуг делится пополам шесть раз, т. е. ((1/2)7)х = 1161, где χ — число
всех жемчужин; таким образом, значение χ равно 148 608. Да уж, стоило такое
ожерелье того, чтобы ссориться!
«Ганита» примечательна тем, что в ней содержится ясное утверждение о
том, что квадратного корня из отрицательных чисел не существует. В
«Ганита» Махавира также рассматривает свойства числа ноль и вводит систему
наименований для чисел от 10 до ДО24, излагает методы нахождения суммы
последовательности, члены которой являются квадратами арифметической
прогрессии, приводит правила определения площади и периметра эллипса, а
также методы решения линейных и квадратных уравнений.
СМ. ТАКЖЕ Рукопись Бакшали (350), Ноль (650), «Тревизская арифметика» (1478).
В трактате «Ганита сара самграха» разбирается математическая задача о
женщине, которая поссорилась со своим супругом и порвала ожерелье. Жемчуг ожерелья
рассыпался по определенному набору условий, и требуется определить, сколько жемчужин
было в ожерелье изначально.

*■
Ч -' .·"
>
л
л
ч
\

Формула Сабита
для дружественных чисел
Сабит ибн Курра (826-901)
Пифагорейцы Древней Греции были увлечены идеей дружественных чисел —
пары чисел, каждое из которых равно сумме всех собственных делителей
второго числа (к собственным делителям числа не относится оно само).
Наименьшую такую пару образуют числа 220 и 284. Число 220 делится без остатка
на 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, что в сумме дает 284, а число 284
делится на 1, 2, 4, 71 и 142, что в сумме дает 220.
В 850 г. арабский астроном и математик Сабит ибн Курра составил
формулу, которую можно использовать для получения пар дружественных чисел.
Положим ρ = 3 χ 2й"1 — 1,д = 3х2п — 1иг = 9х 22"1 — 1 для целого η > 1. Еслир, q
и г — простые числа, то 2npq и 2пг образуют пару дружественных чисел.
Подстановка η = 2 в это выражение дает числа 220 и 284. Однако данная формула не
охватывает все существующие дружественные числа. Во всех известных нам
случаях числа в паре являются либо оба четными, либо оба нечетными.
Будет ли когда-либо найдена четно-нечетная пара дружественных чисел? Поиск
дружественных чисел довольно сложен. К примеру, к 1747 г. Леонард Эйлер
нашел всего 30 таких пар. Сейчас нам известно более 11 миллионов пар
дружественных чисел, но только в 5001 паре оба числа меньше, чем 3,06 χ 1011.
В Книге Бытия 32 : 14 говорится о том, что Иаков подготовил в подарок
брату своему 220 коз. По мистическому толкованию, в этом был «скрыт тайный
замысел», поскольку число 220 является одним из пары дружественных
чисел, а Иаков стремился укрепить свою дружбу с Исавом. Мартин Гарднер,
автор научно-популярных работ по математике, упоминает о следующем случае.
Некий араб, живший в одиннадцатом веке, сообщает, что однажды вырезал
числа 220 и 284 на плодах, один из которых съел сам, а другой дал съесть пред
мету своей страсти для усиления любовного влечения. Но он, к сожалению, не
упомянул, чем этот эксперимент закончился.
СМ. ТАКЖЕ Пифагор и его математическое братство (530 до н. э.).
В Книге Бытия Иаков приносит, в дар своему брату 220 коз. По мистическому
толкованию, в этом был «скрыт тайный замысел», поскольку число 220 является одним из
пары дружественных чисел, а Иаков стремился укрепить свою дружбу с Исавом

«Книга разделов об индийской
математике»
Абу-л-Хасан Ахмад ибн Ибрахим ал-Уклидиси (ок. 920 - ок. 980)
Ал-Уклидиси (буквально «переписчик Евклида») - арабский математик, чье
произведение «Китаб ал-фусул фи ал-хисаб ал-Хинди» («Книга разделов об
индийской математике») является самым ранним известным арабским
сочинением, описывающим позиционное использование индо-арабских цифр,
т. е. использование знаков, соответствующих цифрам от О до 9, при котором
позиции цифр в многозначном числе справа налево последовательно
соответствуют степеням 10 (например, 1, 10, 100, 1000 и т. д.). Труд ал-Уклидиси
также представляет собой древнейшее из сохранившихся сочинений по
арифметике на арабском языке. Хотя ал-Уклидиси родился и умер в Дамаске, он
много путешествовал и вполне мог учиться индийской математике в самой
Индии. До наших дней дошла лишь одна копия рукописи «Разделов».
Ал-Уклидиси уделяет также внимание разбору математических задач
своих предшественников в контексте новой системы чисел. Дик Терези, автор
нескольких популярных книг о науке и технике, пишет: «Его имя было
свидетельством его уважения к грекам. Он переписывал работы Евклида и тем
заслужил свое прозвище. Одним из элементов его наследия является математика
чернил и бумаги». Во времена ал-Уклидиси в Индии и исламском мире было
принято осуществлять математические вычисления, нанося их заостренной
палкой на песке или пыли и стирая предыдущие шаги по мере записи новых.
Ал-Уклидиси предложил вместо этого использовать чернила и бумагу.
Письменная арифметика позволяет полностью сохранить процесс вычислений, и
хотя при этом стереть написанное невозможно, вычислительный процесс
наделяется гораздо большим удобством и эффективностью. До известной
степени использование бумаги произвело революцию в осуществлении умножения
и деления столбиком.
Режи Морелон, издатель «Энциклопедии по истории арабской науки»,
пишет: «Одной из наиболее выдающихся арифметических идей ал-Уклидиси
является использование десятичных дробей» и введение знака, отделяющего
дробную часть числа от его целой части. К примеру, для последовательного
деления 19 пополам ал-Уклидиси дает следующие значения: 19; 9,5; 4,75; 2,375;
1,1875; 0,59375. В конце концов, простота и легкость вычислений,
обеспечиваемая десятичной системой, привели к ее повсеместному использованию как
на родине ал-Уклидиси, так и во всем мире.
СМ. ТАКЖЕ Ноль (650).
В Индии и исламском мире времен ал-Уклидиси математические вычисления часто
записывались на песке или пыли, а предыдущие шаги стирались по мере записи новых.
Введенная ал-Уклидиси письменная арифметика, или «арифметика чернил и бумаги»,
позволила полностью сохранять процесс вычислений и наделила его гораздо большим
удобством и эффективностью.

-V ί "
ι*

о
кг
О
«Трактат» Омара Хайяма
Омар Хайям (1048-1131)
Персидский математик, астроном и философ Омар Хайм более всего знаменит
своими четверостишиями - рубай. Однако не менее великую славу он
приобрел своим знаковым «Трактатом о доказательствах задач алгебры и альмука-
балы» (1070). В нем Хайям выводит методы решения кубических уравнений
и некоторых уравнений более высокого порядка. Им были приведены
решения, к примеру, таких уравнений, как Xs + 200* = 20jc2 + 2000. Хотя
используемые Хайямом приемы не были абсолютно новыми и оригинальными,
сделанные им обобщения, позволившие решать любые кубические уравнения,
более чем достойны внимания. В «Трактате» содержится полная подробная
классификация кубических уравнений и их решения с помощью конических
сечений.
Хайям также показал, каким образом можно выразить n-ю степень бинома
а + Ъ в виде суммы степеней акЬ, где η — любое целое число. В качестве
примера рассмотрим выражение (а + by, которое равно (а + 6) χ (а + 6) χ (а + 6)..., где
(а + 6) повторяется η раз. При осуществлении биноминального разложения,
к примеру, (а + 6)в, мы получим (а + б)5 = а5 + 5а46 + 10а3Ь2 + 10а263 +5а64 +
+ б5. Численные коэффициенты (1, 5,10,10, 5 и 1) называются
биномиальными коэффициентами и представляют собой строку в треугольнике Паскаля.
Некоторые наработки Хайяма в этой области приводились им в другом своем
сочинении, к которому он делает отсылки, но оно было впоследствии утеряно.
Труд Хайяма по геометрии, законченный в 1077 г., «Шарх ма ашкала мин
мусадарат китаб Уклидис» («Комментарии к трудностям во введениях книги
Евклида»), содержит интересный взгляд на знаменитый постулат Евклида с
параллельных прямых. В «Комментариях» Хайям обсуждает свойства
неевклидовых геометрий и тем самым приоткрывает завесу над той областью
математики, которой суждено будет возникнуть лишь в XIX в.
Буквальный перевод имени «Хаяйм» — «мастер, шьющий шатры и
палатки», предположительно, указывает на профессию его отца. Хайям однажды
назвал себя «тем, кто сшивает пологи науки».
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), «Великое искусство» Кардане (1546),
Треугольник Паскаля (1654), Кривая нормального распределения (1733), Неевклидовы
геометрии (1829).
Гробница Омара Хайяма в Нишапуре (Иран). Ажурная конструкция расписана
цитатами из стихов поэта.

-ΐ
~ J
.£**
. *

«Блестящая книга»
Самуила ал-Магриби
Самуил ибн Яхья ал-Магриби (ок. ИЗО - ок. 1180),
Абу Бакр ибн Мухаммад ибн ал-Хусаин ал-Караджи (ок. 953 - ок. 1029)
Самуил ал-Магриби (Самуил абу-Наср ибн-Аббас) родился в Багдаде в
еврейской семье. Его страсть к математике проявилась в возрасте тринадцати
лет, когда он начал изучать индийские методы вычислений. К восемнадца-
Оти годам он прочел практически всю доступную в его время математическую
литературу. Ал-Магриби написал свой самый знаменитый труд, «Ал-Бахир
фи'л—джабр» (название которой обычно переводится как «Блестящая книга
о науке арифметике»), когда ему было всего 19 лет. «Блестящая книга»
примечательна как собственными идеями ал-Магриби, так и излагаемыми им
сведениями об утерянных работах персидского математика X в. ал-Караджи.
Н"Н В «Блестящей книге» особое значение придается арифметизации алгебры.
Φ Ί В ней объясняется, что с неизвестными арифметическими величинами, или
переменными, при совершении арифметических операций можно обращаться,
как и с обычными числами. Ал-Магриби рассказывает, как вычислять
степени чисел и многочленов, и излагает методы нахождения корней многочленов.
Многие исследователи считают, что «Блестящая книга» —- первый трактат, в
котором содержится утверждение ж0 = 1 (в современной записи). Другими
словами, ал-Магриби осознал, что любое число, возведенное в нулевую степень,
равно единице. Ал-Магриби в своей работе также легко оперирует
отрицательными числами и нулем, приводя такие соображения (в современной записи),
как О — а = — а. Он также освоил операции умножения с участием
отрицательных чисел и гордился выведенной им формулой 1г + 22 + З2 +... + п2 = п{п + 1) χ
χ (2η + 1 )/6 — данное выражение, по всей видимости, в более ранних работах
не встречалось.
В1163 г. после тщательного изучения исламской веры и глубоких
размышлений, Самуил ал-Магриби перешел из иудаизма в ислам. Он мог бы
осуществить этот переход и ранее, но медлил, поскольку не хотел задеть чувства
своего отца. Написанное им впоследствии сочинение «Опровержение христиан и
евреев» дошло до наших дней.
СМ. ТАКЖЕ «Арифметика» Диофанта (250), Ноль (650), «Алгебра» аль-Хорезми (830),
Основная теорема алгебры (1797).
«Блестящая книга» Самуила ал-Магриби — по-видимому, первый трактат, в котором
содержится утверждение зс° = 1 (в современной записи). Другими словами, ал-Магриби
первым осознал, что любое число, возведенное в нулевую степень, равно единице.
Μ
Μ
La

Счёты
о
о
В 2005 г. в рамках проводимого на сайте Forbes.com голосования читатели,
редакторы и приглашенные эксперты присвоили счётам второе место в
рейтинге важнейших изобретений всех времен по степени их влияния на
человеческую цивилизацию (первое и третье места в списке заняли нож и компас
соответственно).
Современные счёты с костяшками на проволочных спицах, используемых
для вычислений, уходят корнями к таким древним устройствам, как саламин-
ская плита — древнейшая сохранившаяся счетная доска из тех, что
использовались вавилонянами ок. 300 г. до н. э. Такие доски обычно делались из
дерева, металла или камня, а на их поверхности вырезались желобки, по которым
при счете перемещались бусины или камешки. Около 1000 г. ацтеками было
изобретено напоминавшее счёты устройство непоуальтцитцин, именуемое
его поклонниками «ацтекским компьютером». Оно состояло из закрепленных
на деревянной раме нитей с нанизанными зернами кукурузы и помогало
операторам осуществлять сложные вычисления.
Счёты в привычном нам виде, с передвигаемыми по спицам костяшками,
использовались в Китае примерно с 1200 г., где они назывались суаньпань.
В Японии счёты называют соробаном. В некотором смысле счёты можно
назвать предком современных компьютеров — подобно компьютеру, счёты слу
жат средством для осуществления человеком быстрых вычислений в сфере
торговли и инженерном деле. Счёты все еще используются в Китае, Японии, на
территории бывшего Советского Союза и в Африке; в слегка измененном виде
счётами также пользуются слепые. Хотя счёты преимущественно
используются для быстрого осуществления операций сложения и вычитания, опытный
оператор при помощи счётов может быстро делить, умножать и даже вычис
лять квадратный корень. В 1946 г. в Токио проводился марафон по скорости
вычислений, и в его рамках было проведено соревнование между оператором
традиционного японского соробана и человеком, использовавшим
электрический арифмометр того времени. Как правило, оператор соробана одерживал
верх над своим противником.
СМ. ТАКЖЕ Кипу (3000 до н. э.), «Задачи для заострения умов юношества» Алкуи-
на (800), Логарифмическая линейка (1621), Механический компьютер Бэббиджа (1822).
Арифмометр «Curta» (1948).
Счёты — одно из важнейших изобретений всех времен по степени его влияния на
человеческую цивилизацию На протяжении многих столетий счёты служили
инструментом, позволяющим людям осуществлять быстрые вычисления в сфере торговли и
инженерном деле.

•\
L*
■ / ·
>,

о
«Книга абака» Фибоначчи
Леонардо Пизанский
(также известен как Фибоначчи, ок. 1175 - ок. 1250)
По оценке Карла Бойера, Леонардо Пизанский, также известный как
Фибоначчи, — «вне всякого сомнения, наиболее оригинальный и способный
математик всего средневекового христианского мира». Фибоначчи, богатый
итальянский купец, много путешествовал по Египту, Сирии и Берберии
(Алжиру). В 1202 г. он опубликовал свой трактат под названием «Книга абака» (лат.
Liber Abaci), познакомивший Западную Европу с индо-арабскими цифрами
и десятичной системой счисления. В наши дни эта система используется по
всему миру, вытеснив крайне громоздкую римскую систему цифр,
общепринятую во времена Фибоначчи. В «Книге абака» Фибоначчи отмечает: «Вот.
девять символов, используемых индийцами: 987654321. При помощи
этих девяти символов и знака 0, который в арабском называется сифр, можно
выразить любое число, как будет показано ниже».
Хотя «Книга абака» была не первым сочинением в Европе, в котором
описывались индо-арабские цифры — и даже несмотря на то, что десятичные
цифры не получили немедленного распространения в Европе сразу после ее
публикации, — считается, что эта книга оказала большое влияние на развитие
европейской мысли, поскольку она была адресована как ученым, так и людям из
купеческой среды.
«Книга абака» также познакомила Западную Европу со знаменитой
числовой последовательностью 1,1,2, 3, 5,8,13 ..., которую мы сейчас называем по
следоеательностью Фибоначчи. Отметим, что, за исключением первых двух
чисел, каждое число в данной последовательности равняется сумме двух
предыдущих. Эта последовательность чисел встречается в природе и различных
разделах математики удивительно часто.
Является ли Бог математиком? Вселенная, как кажется, достоверно
постижима при помощи математики. В сущности, природа — это математика.
Положение семян в подсолнухе можно описать при помощи чисел Фибоначчи.
Семена в соцветии подсолнуха, как и во многих других цветах, располагаются
двумя семействами переплетающихся спиралей, одни из которых
закручиваются по часовой стрелке, а другие — против часовой стрелки. Число таких
спирг леи в соцветии, как и число лепестков, очень часто является членом
последовательности Фибоначчи.
СМ. ТАКЖЕ Ноль (650), «Тревизская арифметика» (1478), Спираль Ферма (1636), Закон
Бенфорда (1881).
Семена в соцветии подсолнуха располагаются двумя семействами переплетающихся
спиралей, одни из которых закручиваются по часовой стрелке, а другие - против
часовой стрелки. Число таких спиралей в соцветии, как и число лепестков, очень часто
является членом последовательности Фибоначчи.

■* -
*v
\

ON
Задача о зернах на шахматной доске
Абу-ль-Аббас Ахмед ибн Халликан (1211-1282),
Данте Алигьери (1265-1321)
Известная шахматная задача Сиссы примечательна в истории математики
тем, что она столетиями использовалась для иллюстрации природы
геометрической прогрессии и характера ее роста. Кроме того, она является одним из
самых ранних примеров задач, связанных с шахматами. По-видимому,
впервые эта задача излагается арабским ученым ибн Халликаном в 1256 г. Ибн
Халликан рассказывает историю о великом визире Сиссе бен Дахире,
которого, согласно легенде, индийский царь Шерам спросил о том, какую награду
он желает получить за изобретение игры в шахматы.
Сисса обратился к царю со следующей речью: «Ваше величество, я буду
счастлив, если вы уплатите мне одно зерно пшеницы за первую клетку
шахматной доски, два зерна пшеницы за вторую клетку, четыре — за третью,
восемь зерен — за четвертую клетку и так далее вплоть до шестьдесят четвертой
клетки».
«И это все, о чем ты меня просишь, о глупец?» — вскричал изумленный
царь.
Царь просто не понимал, сколько зерен пшеницы Сисса в
действительности просит себе в награду! Одним из способов определить их количество
является вычисление суммы первых 64 членов геометрической прогрессии
1 + 2 + 22 + ... + 2вз = 264 — 1, что дает ошеломительный результат: «всего»
18 446 744 073 709 551 615 зерен пшеницы.
Вероятно, некоторый вариант этой истории был известен Данте, поскольку
он обращается к похожей метафоре при описании рая в сзоей «Божественной
комедии». Живописуя изобилие небесных огней, он пишет: «И множились
несметней их огни, чем шахматное поле, множась вдвое». (Пер. М. Лозинского.)
Ян Гулльберг пишет: «Если предположить, что примерно 100 зерен пшеницы
занимают один кубический сантиметр, то общий объем причитающегося
Сиссе зерна составит примерно... двести кубических километров, а для его
погрузки потребуется два миллиарда товарных вагонов, причем длина составленного
из них поезда будет соответствовать тысяче оборотов вокруг Земли......
СМ. ТАКЖЕ Расходимость гармонического ряда (1350), Задача о веревке вокруг Земли
(1702), Кубик Рубика (1974).
Знаменитая шахматная задача Сиссы иллюстрирует природу геометрических прогре-
сий. Сколько конфет достанется голодному жуку в приведенном здесь усеченном вари
анте этой задачи, если продолжить ряд 1+2 + 4 + 8+ 16—?
98

«
··

от
Ul
О
Ρ
Расходимость гармонического ряда
Николай Орем (1323-1382), Пьетро Менголи (1626-1686),
Иоганн Бернулли (1667-1748), Якоб Бернулли (1654-1705)
Если бы Бог был бесконечностью, то расходящимися рядами были бы его
ангелы, взлетающие все выше и выше, чтобы Его достичь. За промежуток
длиной в вечность все такие ангелы непременно достигнут своего Создателя. Для
примера рассмотрим следующий бесконечный ряд: 1 + 2 + 3 + 4... . Если мы
будем прибавлять по члену в год, то сумма всех членов ряда за первые четыре
года составит 10. В конце концов спустя бесконечное число лет эта сумма
достигнет бесконечности. Математики называют такие ряды расходящимися,
поскольку при бесконечном числе членов ряда его сумма вырастает до
бесконечности. Но в данном случае нас интересует ряд, который расходится
значительно медленнее. Это более волшебный ряд, ангел, если так можно сказать,
с более слабыми крыльями.
Рассмотрим следующий гармонический ряд — первый знаменитый пример
расходящегося ряда, члены которого стремятся к нулю: 1 + 1/2 + ί/3 + 1/4 +
.... Разумеется, этот ряд «расходится» гораздо медленнее, чем предыдущий,
но тем не менее вырастает до бесконечности. В действительности он растет так
невероятно медленно, что если бы мы прибавляли по члену в год, то спустя 1043
лет его сумма все еще была бы меньше 100. Уильям Данхэм пишет:
«Математики с большим опытом обычно забывают, каким удивительным оказывается
этот факт для незнакомых с ним учащихся — то, что добавляя все более и более
ничтожно малые величины, мы тем не менее достигаем суммы, большей
любой, сколь угодно большой, конечной величины».
Первым ученым, доказавшим расходимость гармонического ряда, был
известный французский средневековый философ Николай Орем, сделавший это
ок. 1350 г. Однако открытие Орема впоследствии оказалось забыто и спустя
несколько столетий было вновь совершено итальянским математиком Пьетро
Менголи в 1647 г. и швейцарским математиком Иоганном Бернулли в 1687 г.
Брат Иоганна Бернулли Якоб опубликовал его доказательство в своей работе
1689 г. под названием «Трактат о бесконечных рядах» (Tractatus de Seriebus
Infinitis), который он заключает следующим восклицанием: «Так душа
необъятного пребывает в теле наименьшего; и в теснейших пределах нет никаких
пределов. О сколь велика радость узревать мельчайшее в бесконечности!
Обширнейшее подмечать в малом сколь дивно и божественно!».
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Задача о зернах на шахматной доске (1256),
Представление числа π в виде суммы бесконечного ряда (1500), Константа Бруна (1919),
Последовательно описанные многоугольники (1940).
Портрет Николая Орема в рукописи его трактата «О происхождении, сущности и
обращении денег» (лат. «De origine, natura, jure et mutationibus monetarum»),
завершенного около 1360 г.
100

.1
I'
• »
Г ι
• «
4
У >
ν
ι ν
4
V
11ч- ч
ч
.·
/
■I*

Теорема косинусов
Гияс ад-Дин Джамшид Мас'уд ал-Каши (ок. 1380-1429),
Франсуа Виет (1540-1603)
Используя теорему косинусов, можно вычислить длину одной из сторон треу
гольника при условии, что известен угол, лежащий напротив этой стороны, и
длины двух других сторон. Данная теорема может быть выражена
соотношением с2 = а2 + Ь2 — 2abcos С, где а, 6 и с — длины
сторон треугольника, а С — угол между
сторонами α и 6. Вследствие своего всеобщего
характера эта теорема применяется во множестве
областей — от геодезической съемки до вычисления
\ траекторий полета воздушных судов.
Обратите внимание, что в случае
прямоугольного треугольника теорема косинусов
становится теоремой Пифагора (с2 = а2 + Ь2), поскольку
величина угла С в этом случае равна 90 , а его
косинус равен нулю. Также отметим, что если известны длины всех трех
сторон треугольника, то при помощи теоремы косинусов можно вычислить
величины всех его углов.
В «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.) имеются зачатки идей, ведущих к
выводу теоремы косинусов. В XV столетии персидский астроном и математик
ал-Каши составил строгие тригонометрические таблицы и сформулировал
теорему в виде, приближенном к ее современному варианту. Французский
математик Франсуа Виет в XVI в пришел к теореме косинусов независимо от ал-Каши.
Во французском языке теорема косинусов называется «теоремой ал-Каши»
{Theoreme d'Al-Kashi) в знак признания его заслуг по объединению
разрозненных результатов, связанных с этой теоремой. Наиболее значимая работа ал-
Каши, «Ключ к арифметике», была завершена им в 1427 г. В ней подробно
рассматриваются математические основы астрономии, картографии, зодчества и
финансового учета. Ал-Каши использовал десятичные дроби для вычисления
суммарной площади, которую занимают декоративные ячейки сотового свода
(мукарны) — традиционные элементы исламской и персидской архитектуры.
Франсуа Виет прожил удивительную жизнь. Среди прочего, действуя по
поручению короля Франции Генриха IV, Виет сумел расшифровать код,
используемый агентами испанского короля Филлипа П. Филипп считал, что
столь сложный шифр не может быть взломан обычным человеком, и потому
когда он обнаружил, что его военные планы известны французам,
пожаловался Папе Римскому, что против его страны используют черную магию.
СМ. ТАКЖЕ Теорема и треугольники Пифагора (600 до н. э.), «Начала» Евклида (300 до
н. э.), «Альмагест» Птолемея (150), «Полиграфия» И. Тритемия (1518).
Иранская марка, выпущенная в 1979 г. в память об ал-Каши. Во французском языке
теорема косинусов называется «теоремой ал-Каши» в знак признания его заслуг по
объединению разрозненных результатов, связанных с этой теоремой.

• A
1979 t/u-</">c/'*</V ^ΓΔΑ
*■.■>'
.
ι
s
.
г
N
\
v·* .
^Ι\·ΤΗΕ ISLAMIC REPUBLIC OF I RAH UJjVW
GHYATH-AL-OIN JAMSHID KASHANI
(14-15) A.C.

00
«Тревизская арифметика»
Европейские арифметические тексты XV и XVI вв. часто содержат словесно
сформулированные математические задачи, так или иначе связанные с
торговлей, на доступных примерах которых объясняются важные
математические идеи. Традиция использования словесных задач при обучении
математике уходит корнями на многие столетия назад; древнейшие примеры мы
находим в текстах Древнего Египта, Китая и Индии.
«Тревизская арифметика» полна такого рода задачами. Их героями часто
являются купцы, желающие выгодно вложить деньги или избежать обмана.
Эта книга написана на венецианском диалекте и была издана в 1478 г. в городе
Тревизо на севере Италии. Неизвестный автор книги пишет: «Некоторые
молодые люди, к судьбе которых я небезразличен и которые жаждут проявить
себя на купеческом поприще, часто обращались ко мне с просьбой изложить
на письме фундаментальные принципы арифметики. Посему, побуждаемый
моей к ним симпатией и важностью сего предмета, я постарался извлечь
лучшее из моих скромных способностей и предпринять этот труд, чтобы хоть в
малой степени удовлетворить их чаяния». Он приводит большое число
разнообразных словесных задач, в сюжете которых участвуют купцы с именами
вроде Себастьяно или Джакомо, желающие, к примеру, совместно вложить
деньги в некоторое дело и справедливо разделить прибыль. В книге также
описывается несколько способов выполнения умножения и приводятся выдержки
из «Книги абака» Фибоначчи (1202).
«Тревизская арифметика» особенно важна тем, что она является первой
печатной книгой по математике в Европе. Кроме того, она способствовала
распространению индо-арабской системы цифр и соответствующих методов
вычислений. Поскольку торговые связи в то время начали образовывать прочную
международную сеть, дальновидные предприниматели ощущали растущую
необходимость в освоении математики. Сейчас «Тревизская арифметика»
увлекает исследователей, поскольку она представляет собой своеобразное окно
во времени, сквозь которое можно увидеть методы обучения математике,
бытовавшие в Европе XV в. Представленные в ней задачи включают в себя
вычисление платы при обмене товарами, разрез тканей, торговлю шафраном, смеси
металлов в монетах, обмен валюты и вычисление долей в прибыли,
полученной при совместном вложении денег. На ее примере читатели начинают
понимать, в том числе и современные проблемы, связанные с обманом,
ростовщичеством, а также задачу определения процентных выплат.
СМ. ТАКЖЕ Папирус Ринда (1650 до н. э.), Ганита сара самграха (850), «Книга абака»
Фибоначчи (1202), «Краткое изложение» (1556).
Купцы взвешивают свои товары на рыночной площади (около 1400 г.). Рисунок
выполнен по витражу XVI в. из Шартрского собора (Франция). В задачах из «Тревизской
арифметики», самой ранней известной печатной книги по математике в Европе, по
большей части речь идет о купцах, денежных вложениях и торговле.
104

-lis-
у
-rJ
« '.
4

О
О
Представление числа π в виде
суммы бесконечного ряда
Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), Джеймс Грегори (1638-1675),
Нилакантха Сомаяджи (1444-1544)
Сумма бесконечного ряда является суммой бесконечного набора чисел. Эти
ряды играют важную роль в математике. В случае таких рядов, как,
например, 1 + 2 + 3 + ..., сумма ряда бесконечна — говорят, что такой ряд
расходится. Знакочередующимся называется ряд, в котором каждый второй член
является отрицательным. Один пример знакочередующегося ряда уже
несколько столетий привлекает к себе повышенное внимание математиков.
Число пи, обозначаемое при помощи греческой буквы π, представляет
собой отношение длины окружности к ее диаметру и может быть выражено при
помощи на удивление простой формулы: π/4 = 1 — 1/3 + 1/5 — 1/7 + ... .
Отметим также, что функцию арктангенс в тригонометрии можно выразить
следующим образом: arctg(a:) = χ — χ/3 + χ/5 — χ/7+.... Если взять данную формулу
для арктангенса и подставить в нее значение χ = 1, то в результате мы получим
бесконечный ряд, в сумме дающий π/4.
Ранджан Рой отмечает, что открытие бесконечного ряда, сумма которого
напрямую связана со значением числа π, «совершенное независимо друг от
друга различными людьми, живущими в различных условиях и культурах,
позволяет говорить о характере математики как универсальной
дисциплины». Формула, выражающая число π в виде суммы бесконечного ряда, была
открыта немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем,
шотландским математиком и астрономом Джеймсом Грегори и индийским
математиком XIV или XV в., личность которого точно не установлена, но этот
результат обычно приписывается Нилакантхе Сомаяджи. Лейбниц вывел эту
формулу в 1673 г., а Грегори — в 1671 г. Рой пишет: «Открытие Лейбницем
возможности представить число π в виде суммы бесконечного ряда стало его
первым великим достижением». Нидерландский математик Христиан
Гюйгенс говорил Лейбницу, что это удивительное свойство окружности будет
вечно славиться среди математиков. Даже Ньютон признавал, что в этой формуле
проявилась гениальность Лейбница.
Грегори вывел формулу для арктангенса раньше Лейбница, хотя он и не
обратил внимания на частный случай, при котором арктангенс равен π/4.
Выражение арктангенса через бесконечный ряд также было приведено Сомаяджи
в 1500 г. в его книге «Тантрасамграха». Сомаяджи было известно, что число π
невозможно выразить в виде суммы конечного числа рациональных дробей.
СМ. -ТАКЖЕ Число π (250 до н. э.), Апории Зенона (445 до н. э.). Расходимость
гармонического ряда (1350), Постоянная Эйлера-Маскерони (1735).
Число π, приближенное значение которого образуют знаки, приведенные на данной
иллюстрации, также может быть выражено при помощи на удивление простой формулы
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ... .
106

50 «2
45 8 о
4i
7 «^
5359
•193;
'930
• 9334
?ЫЪ .
3"
•j432 4
■1249 2
' - -1
f «/
b
t
'93
1
7351*
8

Золотое сечение
Фра Лука Бартоломео де Пачоли (1445-1517)
В 1509 г. итальянский математик Лука Пачоли, близкий друг Леонардо да
Винчи, опубликовал свой трактат Divina Proportione («О божественной
пропорции»), посвященный соотношению, широко известному ныне под
названием золотого сечения. Это отношение, обозначаемое буквой φ, встречается в
математике и природе с удивительной частотой. Золотое сечение проще всего
представить на примере отрезка, разделенного на две части таким образом,
что отношение всей длины отрезка к его большей части равно отношению
большей части к меньшей, т. е. (а + Ь)/Ь = Ь/а = 1,61803... .
Если длины сторон
прямоугольника находятся в отношении
золотого сечения, то такой прямоугольник
также называется золотым. При
отрезании квадрата от золотого
прямоугольника мы получим новый золотой прямоугольник. Этот меньший золотой
прямоугольник также можно разделить на квадрат и еще один золотой
прямоугольник. Этот процесс можно продолжать до бесконечности, получая все
более и более малые золотые прямоугольники.
Бели в исходном прямоугольнике провести диагональ из верхнего
правого угла к нижнему левому углу, а затем в его дочернем прямоугольнике (т. е.
следующем по размеру) провести диагональ из нижнего правого угла к
верхнему левому, то точка пересечения этих двух линий окажется точкой, к которой
сходятся все малые золотые прямоугольники. Более того, длины этих
диагоналей также будут находиться в отношении золотого сечения. Точку схождения
дочерних прямоугольников иногда поэтически называют «Божьим оком».
Золотой прямоугольник является единственным прямоугольником, в
котором при отрезании квадрата остается прямоугольник, подобный исходному.
Если соединить вершины полученных фигур, то такая линия окажется
аппроксимацией логарифмической спирали, закручивающейся вокруг
«Божьего ока». Логарифмические спирали встречаются повсюду — в морских
раковинах, рогах животных, улитке уха — везде, где природе требуется заполнить
пространство экономично и равномерно. Спираль представляет собой прочную
структуру, для построения которой требуется минимум материалов.
Расширяясь, она увеличивается в размере, но ее форма всегда остается неизменной.
СМ. ТАКЖЕ Архимедова спираль (225 до н. э.), Спираль Ферма (1636), Логарифмическая
спираль (1638), Квадрирование прямоугольника (1925).
Художественное изображение золотого сечения. Обратите внимание, что диагональные
линии пересекаются в точке, к которой будут сходиться все дочерние золотые
прямоугольники.

l·

ui
00
«Полиграфия» И. Тритемия
Иоганн Тритемий (1462-1516),
Абу Юсуф Якуб ибн Исхак ибн Саббах аль-Кинди (ок. 801 - ок. 873)
В наши дни в основе криптографии лежит сложная математическая теория.
Однако в древние времена при зашифровке сообщений часто использовались
простые шифры подстановки, при которых одни буквы заменяются на
другие. Например, слово «кот» будет выглядеть как «лпу» при замене каждой
буквы в слове на следующую за ней по алфавиту. Разумеется, столь простые
шифры было легко взломать, особенно после открытия метода частотного
анализа, разработанного, в том числе, арабским ученым аль-Кинди в IX в.
В рамках данного метода подсчитывается, какие буквы встречаются в
языке чаще всего (в английском языке такие буквы образуют известный ряд
«ETAOIN SHRDLU»), и эта информация используется для разгадывания
подстановочных кодов. Могут использоваться и более сложные методы анализа,
в том числе подсчет повторяющихся буквенных сочетаний. Например, в
английском языке за буквой «Q» почти всегда следует буква «U».
Первая печатная книга по криптографии, Polygraphiae Libri Sex (в русском
варианте «Полиграфия»), была написана немецким монахом, аббатом
бенедиктинского монастыря Иоганном Тритемием и опубликована в 1518 г. после
его смерти. В «Полиграфии» приводятся сотни столбцов латинских слов,
выстроенных по две колонки на странице. Каждое такое слово заменяет собой
букву алфавита, причем одной и той же букве может соответствовать
несколько слов. К примеру, первая страница начинается следующим образом:
a: Deus [Господь] a: clemens [милостивый]
b: Creator [Создатель] b: clementissimus [всемилостивейший]
с: Conditor [Творец] с: pius [праведный]
При зашифровке сообщения его буквы последовательно заменяются
подходящими по контексту словами. Удивительно, что таблицы Тритемия строятся
так, что зашифрованные с их помощью сообщения будут выглядеть
осмысленными молитвами. Например, если послание начинается с букв С А, такая
«молитва» будет, соответственно, начинаться со слов Conditor clemens
(«милостивый Творец») латинской фразы. В остальной части «Полиграфии» излагаются
более совершенные криптографические методы и сопутствующие таблицы,
позволяющие надежно защищать секретные сведения.
Другая знаменитая работа Тритемия, «Стеганография» (написана в 1499 г.,
опубликована в 1606 г.), была внесена Католической Церковью в «Индекс
запрещенных книг», поскольку выглядела как сочинение по черной магии, хотя
в действительности попросту являлась еще одним кодовым словарем!
СМ. ТАКЖЕ Теорема косинусов (1427), Криптография с открытым ключом (1977).
Немецкий аббат Иоганн Тритемий на гравюре авторства Андре Теве (1502—1590).
«Полиграфия» Тритемия — первая печатная книга по криптографии. Она содержит списки
латинских слов, которые используются для шифровки сообщений. В случае перехвата
таких посланий сообщения выглядят как обычные молитвы.
110

,-
--■^■=3=
< s
;Λ<
- . -t
—'. ■
^
.
sss -
—
,-^-i
-.'-■
.■'•:Q.
r-
\; W'*'Y*.
.*,,,,;ΐ«ί ί?»,*
'.**.,. φ....
. „ш .-Φ т.ιλφφ . **--
Ъ-:*]*. ■■::
У, Λ' ' ;
-.'. :ί ... - ;
,:..„уу. .■.::■■.:
..ί-ί-.-.-.·.·
\
л
\
\
·■ л ' >»■
■Ν
!.".ν ··■·..
в*-** ·
I
I .
ι
.
Hi; ι In

La
кг
Локсодрома
ПедруНуниш (1502-1578)
Введенная в навигационных целях локсодромическая спираль, также
известная как сферическая спираль, локсодрома или линия румба, пересекает все
земные меридианы под постоянным углом. Локсодрома обвивается вокруг
Земли подобно гигантской змее и закручивается вокруг полюсов, никогда их
не достигая.
Одним из способов прокладки маршрута в мореплавании является
попытка следования по кратчайшему пути между двумя точками, т. е. по дуге
гигантской окружности, опоясывающей Землю. Однако, хотя такой путь и будет
кратчайшим, для того чтобы ему следовать, навигатору придется непрерывно
вносить поправки в курс на основании постоянного считывания показаний
компаса. Для мореплавателей выполнить это условие было практически
невозможно.
В то же время следование по локсодромическому пути позволяет
навигатору направлять судно все время по одному и тому же делению компаса (под
одним и тем же румбом), хотя на то, чтобы достичь пункта назначения, при
этом уйдет больше времени. К примеру, чтобы попасть из Нью-Йорка в
Лондон, путешественнику следует направляться под постоянным углом в 73° к
меридиану. На проекции Меркатора локсодромы имеют вид прямых линий.
Лоскодрома была введена в использование португальским математиком и
географом Педру Нунишем. Нуниш жил во времена, когда Инквизиция
наполняла страхом Европу. Многие евреи, жи вшие в Испании, были насильно
обращены в католичество. Среди них был и Нуниш, обращенный в
христианство еще ребенком. Основными объектами преследования для поздней
испанской Инквизиции стали как раз потомки таких конверсос («выкрестов»):
подобная судьба постигла и внуков Нуниша в начале 1600-х гг. Герхард Мер-
катор (1512—1594), фламандский картограф, был арестован Инквизицией за
сочувствие протестантской вере и подозрительно частые путешествия и едва
избежал казни.
Некоторые североамериканские мусульманские общины используют
линию локсодромы к Мекке (юго-восток) в качестве киблы (направления
совершения молитв) вместо традиционного кратчайшего пути. В 2006 г.
Малайзийское национальное космическое агентство (ANGKASA) спонсировало
проведение семинара по вопросу правильного определения киблы находящимися на
орбите мусульманами.
СМ. ТАКЖЕ Архимедова спираль (225 до н. э.), Проекция Меркатора (1569), Спираль
Ферма (1636), Логарифмическая спираль (1638), Замощение Фодерберга (1936).
Художник Пауль Нюландер, занимающийся компьютерной графикой, создал эту
симпатичную двойную спираль, применив стереографическую проекцию к лоскодромической
кривой (стереографическая проекция отображает сферу на плоскость).

\
ΐ
\
ν
v\
ν,
к
^1
л

La
La
«Великое искусство» Кардано
Джероламо Кардано (1501-1576), Никколо Тарталья (1500-1557),
Лодовико Феррари (1522-1565)
Математик, медик, астролог и азартный игрок времен итальянского
Возрождения Джероламо Кардано более всего известен своим сочинением по алгебре,
озаглавленным «О великом искусстве или о правилах алгебры» (Artis mag-
пае, sive de regulis algebraicis), которое чаще упоминают под сокращенным
названием Агя Magna («Великое искусство»). Хотя эта книга хорошо
продавалась, Ян Гулльберг отмечает: «Ни одно отдельное издание не
стимулировало интерес к алгебре в той мере, в которой это удалось "Великому искусству",
которое, однако, представляет собой весьма скучное чтение для современного
читателя, ведь ему приходится продираться сквозь страницы многословной
риторики, неизменно предваряющие решение... С неутомимой энергией
шарманщика Кардано повторяет однообразные решения для доброй дюжины
почти одинаковых задач, хотя хватило бы и одного».
Как бы то ни было, во впечатляющей работе Кардано приводились методы
решения различных типов уравнений третьей и четвертой степеней, т. е.
уравнений, в которых наивысшая степень, в которую возведены неизвестные,
равна трем либо четырем соответственно. Метод решения кубического уравнения
вида х3 + ах = Ь Кардано узнал от другого итальянского математика, Никколо
Тартальи. Тарталья взял с Кардано клятву, что тот никогда не опубликует этот
метод, однако Кардано нарушил слово, узнав о том, что Тарталья не был
первым, кто решил кубическое уравнение при помощи радикалов. Общий метод
решения уравнения четвертой степени был найден учеником Кардано
Лодовико Феррари.
В «Великом искусстве» Кардано открывает существование того, что мы
сейчас называем мнимыми числами (числами, в основе которых лежит
квадратный корень из —1), хотя он и не сумел оценить их свойства в полной мере.
По существу, он приводит первое вычисление с участием комплексных чисел,
когда пишет: «Опуская сопутствующие мыслительные мучения, при
умножении 5 + v—15 на 5-v—15 мы получаем 25 — (— 15). Следовательно,
произведение этих чисел равно 40».
В 1570 г. Инквизиция обвинила Кардано в ереси за составление гороскопа
Иисуса Христа. Несколько месяцев он провел в тюрьме. По легенде, Кардано
предсказал точную дату своей смерти, и чтобы обеспечить истинность этого
пророчества, покончил с собой в этот день.
СМ. ТАКЖЕ «Трактат» Омара Хайяма (1070), Мнимые числа (1572), Теория груп" (1832).
Итальянский математик Джероламо Кардано известен своим сочинением по алгебре,
озаглавленным «О великом искусстве или о правилах алгебры» (лат. «Artis magnae,
sive de regulis algebraicis»), также сокращенно называемым «Великим искусством»
(«Ars Magna» ).
114

HIERONYMI CAR
DANI, PR^STANTISSIMI MATHE
UATICI, Ρ Η I L Ο ί Ο ί Η I, AC RBDICl,
ARTIS MAGN^E,
SIVE DE REGVLIS ALGEBRAICIS,
Lib.unus. Qui & totius opens de Arithmetics, quod
OPVS PERFECTVM
infcripfit,eft in ordine Decimus·
HAb€sinhocIibro,ftudiofeLcAor^€guIas Algebtakas fltali, deb Cof
(a uocant) nouis adinucntionibus .acdemonftrationfbus ab Authore ita
locupktatas,ut pro pauculis ancea uulgd rrids Jam (eptuaginta eua(crtnt.Ne*
cpiblum, ukitmmffiimerasalterijautduoun^uenimedam^bidtio duobus,
aut tres uni {quaks Riertnr,noduin cxplicam. Huncafit librumideo (eon.
firoedereplacuitjiKhocabftrufiistmo, & plane inexhaufto totius Aridimeri
cse tbefauro in lucem eruto > dC quaft in theatro ouodam omnibus ad ГрсЛап
dumexpoftto, Le&otes indtaretur,ut rdiquos Operis PerfeAilibros, qui pet

La
ON
«Краткое изложение»
Хуан Диес (1480-1549J
«Краткое изложение» (Sumario Compendiosoi) Хуана Диеса — учебник по
математике, изданный в Мехико в 1556 г. Эта книга стала первым
математическим сочинением, напечатанным в Новом Свете, — задолго до эмиграции
пуритан в Северную Америку и основания Джеймстауна в Виргиниии. Автор
книги, брат Хуан Диес, был спутником Фернандо Кортеса во время
завоевания испанцами империи ацтеков.
Диес писал свою книгу главным образом для людей, скупающих золото и
серебро, которые добывались на приисках Мексики и Перу. Помимо таблиц,
позволивших купцам легко получать нужные им численные значения без
липших вычислений, часть книги посвящалась алгебре, связанной с peine
нием квадратных уравнений, т. е. уравнений вида ах2 + Ъх + с = О, где α Φ Ο.
К примеру, одна из приводимых в книге задач переводится так: «Найдите
такое число, при вычитании 15 3/4 из которого останется величина, равная
квадратному корню из этого числа». Это эквивалентно нахождению решения
уравнения х2 - 153/4= х.
Полное заглавие сочинения Диеса звучит следующим образом: Sumario
compendioso de las quentas de plata у ого que in los reynos del Piru son neces-
sarias a los mercaderes у todo genero de tratantes. Los algunas reglas tocantes al
Anthmetiea, т. е. «Краткое изложение расчетов золота и серебра, которые в
королевствах Перу необходимо вести купцам и всем, кто занимается торговлей.
Несколько правил, касающихся арифметики». Печатный пресс и бумага были
специально доставлены из Испании на корабле, а затем перевезены в Мехико.
На сегодняшний день известно о существовании всего четырех
сохранившихся копий «Краткого изложения».
Согласно Ширли Грей и К. Эдварду Сэндиферу, «Первая в Новом Свете
книга по математике на английском языке вышла лишь в 1703 г. <·.·> .
Среди всех ранних колониальных изданий по математике книги, написанные на
испанском, представляют наибольший интерес, поскольку они, как правило,
были составлены уже в самой Америке и предназначались для людей,
живущих в Америке».
СМ. ТАКЖЕ «Арифметика» Диофанта (250), «Алгебра» аль-Хорезми (830), «Тревизская
арифметика» (1478).
Sumario Compendioso — первая книга по математике, напечатанная в Новом Свете.

iiSumanocopcdtorotdae qitetae
bcplatar огос(спк)е rcpioewtfitni fon neccfforiaaa
be-mcrcidercetrtodocencrooccratantce· Coalguna·
reglaetocantteal вНфтеНса.
Φ JFKb*pot$uan&ie5fte£U. (g>

ON
Проекция Меркатора
Герхард Меркатор (1512-1594), Эдвард Райт (ок. 1558-1615)
Большинство достижений древних греков в области отображения круглой
Земли на плоской карте в Средние века оказались полностью забыты. Джон
Шорт замечает, что в XV в. «ценность мореходных карт в глазах пиратов-бу-
каньеров едва ли не превышала ценность золота. Позднее карты стали для
богатых купцов символом статуса: огромные состояния, наживаемые в те
времена, были обязаны тому обстоятельству, что надежная морская навигация
сделала возможным создание оживленных торговых маршрутов».
Одной из самых знаменитых картографических проекций в истории
является проекция Меркатора (1569), которая сразу же стала широко
использоваться в морских путешествиях. Она носит имя в честь фламандского
картографа Герхарда Меркатора. Норман Троуэр пишет: «Как и некоторые другие
проекции, карта Меркатора является конформной (т. е. передает углы без
искажений и сохраняет в каждой точке постоянный масштаб по всем
направлениям). Но кроме того, она обладает одним уникальным свойством: прямые
1инии на ней являются линиями румба или локсодромами (линиями
постоянных показаний компаса)». Последнее качество оказалось неоценимым для
мореплавателей, которые прокладывают маршруты и управляют
движением корабля, руководствуясь показаниями компасов и других устройств для
определения географических направлений. Использование карты Мекратора
особенно возросло в XVII в. после изобретения морского хронометра — часов с
особо точным ходом, позволяющих вычислять долготу по времени
астрономических событий.
Хотя Меркатор был первым картографом, создавшим проекцию, на
которой линии румба пересекают меридианы под постоянным заданным углом,
он, вероятно, использовал при ее создании графические методы, не сильно
углубляясь в математическую теорию. Анализ преимуществ карты Меркатора
осуществил английский математик Эдвард Райт в книге «Некоторые ошибки
навигации». Для математически подготовленного читателя стоит упомянуть,
что картографическая проекция Меркатора с координатами хну при
значениях широты φ и долготы λ строится следующим образом: χ = λ — Х0ку = sh-,(tg<p),
где λ0 — значение долготы в центре карты. Проекция Меркатора обладает
своими несовершенствами: к примеру, размер объектов, удаленных от экватора,
на ней значительно преувеличивается.
СМ. ТАКЖЕ Локсодрома (1537), Проективная геометрия (1639), Протрактор (1801).
Карта Меркатора широко используется для морских путешествий. Однако этой
карте свойственны существенные искажения. К примеру, Гренландия на ней оказывается
примерно одного размера с Африкой, хотя в действительности площадь Африки
превосходит площадь Гренландии в 14 раз.

s
*&
К
;v
у
/
J
4
/

Мнимые числа
Рафаэль Бомбелли (1526-1572)
Мнимое число — такое число, квадрат которого является отрицательной
величиной. Великий математик Готфрид Лейбниц назвал мнимые числа
«чудесным полетом Духа Божьего, почти амфибией между бытием и небытием».
Поскольку квадрат любого действительного числа является положительной
величиной, многие ученые столетиями были уверены, что корня из
отрицательной величины существовать не может. Хотя к идее мнимых чисел
приближались различные математики, их история начинается в Европе XVI в.
В 1572 г. итальянский инженер-гидравлик Рафаэль Бомбелли,
руководивший работами по осушению болот, издал свой знаменитый трактат
«Алгебра». В этой книге было впервые введено обозначение для V-1 — величины,
являющейся решением уравнения jc2 + 1 = О. Бомбелли писал: «Это было
дикой мыслью по суждению многих». Большинство математиков упорно
отказывались «верить» в мнимые числа. Среди них был и Декарт, который и
закрепил за этими числами название «мнимые», употребив этот эпитет в
качестве насмешки.
В XVin в. Леонард Эйлер обозначил буквой i — по первой букве
латинского слова imaginarius, т. е. «мнимый». Эта запись используется нами и по
сей день. Не будь мнимых чисел, многие ключевые достижения современной
физики оказались бы невозможными. Мнимые числа помогают осуществлять
эффективные вычисления, связанные с переменным током, теорией
относительности, обработкой сигналов, гидродинамикой и квантовой механикой.
Мнимые числа могут даже использоваться при создании великолепных фрак -
тальных полотен, которые при последовательном увеличении проявляют все
большее усложнение своего рисунка.
Ученые-физики самых разных направлений, от теории струн до квантовой
теории, сходятся во мнении, что чем глубже кто-то изучает физику, тем
ближе он подходит к чистой математике. Можно даже сказать, что математика
«управляет» реальностью так же, как операционная система компании
Microsoft управляет компьютером. Волновое уравнение Шрёдингера,
описывающее базисную реальность и события в терминах волновых функций и
вероятностей, можно считать невидимой основой нашего существования. При этом
мнимое число входит в это уравнение.
СМ. ТАКЖЕ «Великое искусство» Кардано (1545), Эйлерово число е (1727),
Кватернионы (1843), Гипотеза Римана (1859), «Философия и занимательное в алгебре» Мэри Буль
(1909), Фракталы (1975).
Мнимые числа используются Джосом Пейсом при создании великолепных фрактальных
полотен, которые при последовательном, увеличении проявляют все большее
усложнение своего рисунка. Сперва математики настолько скептически относились к идее
мнимых чисел, что насмехались над теми, кто верил в их существование.

■^
л ■%
ν
#"
к
-.·;
'b*
ι
ι
1
, ■-
о -
»»
J
1
Ч
-
ι
I
i
*«*:-?—S
i-ы
!Ϊ
1 f:—
■ ■
=£.

ON
Гипотеза Кеплера
Иоганн Кеплер (1571-1630), Томас Каллистер Хейлс (р. 1958)
Представьте, что вам нужно положить в большую коробку как можно
больше мячей для гольфа при условии, что крышка коробки по-прежнему должна
плотно закрываться. Плотность мячей в коробке определяется как доля
объема коробки, которая занята мячами. Для того чтобы сложить в коробку как
можно больше мячей, необходимо найти такое их расположение, при
котором их плотность будет максимальной. Если просто взять и насыпать мячики
в коробку, их плотность составит всего около 65%. Если же вы аккуратно
выложите на дне коробки слой мячей в гексагональном (сотовом) порядке, а на
следующем слое станете располагать мячи в углублениях, созданных первым
слоем, и так далее, то при этом можно будет достичь плотности упаковки
мячей до π/ν18, т. е. около 74%.
В1611 г. немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер выдвинул
гипотезу о том, что никакое иное расположение мячей не обладает большей средней
плотностью. В частности, в своей монографии «О шестиугольных снежинках»
он предположил, что невозможно расположить одинаковые шары в трехмер
ном пространстве более плотно, чем при помощи гранецентрированной
(гексагональной) кубической упаковки. В девятнадцатом веке Карл Фридрих Гаусс
доказал, что гексагональная упаковка является наиболее эффективной среди
всех регулярных трехмерных решеток. Однако гипотеза Кеплера осталась
недоказанной, поскольку никто не мог однозначно ответить, нельзя ли достичь
большей плотности при нерегулярной упаковке.
Наконец в 1998 г. американский математик Томас Хейлс поразил весь
научный мир, представив доказательство правоты Кеплера. Уравнение Хейлса
содержало 150 переменных и описывало все возможные варианты
расположения 50 шаров. Компьютерные вычисления подтвердили, что ни одна
комбинация переменных не позволяла досч ичь эффективности упаковки выше 74%.
Ведущий американский математический журнал Annals о/ Mathematics
согласился опубликовать это доказательство при условии, что оно будет
одобрено экспертной группой из 12 ведущих специалистов в этой области. В
2003 г. специалисты из экспертной группы заявили в своем отчете, что они
«на 99% уверены» в том, что данное доказательство является корректным. По
подсчетам самого Хейлса, работа над составлением полного формального до
казательства гипотезы Кеплера займет около 20 лет.
СМ. ТАКЖЕ Геометрические задачи «сайгаку» (1789), Теорема о четырех красках (1852),
23 проблемы Гильберта (1900).
Вдохновленные знаменитой гипотезой Кеплера, ученые из Принстонского
университета Пол Чейкин, Сальваторе Торквато и их коллеги решили изучить плотность
упаковки шоколадных конфет «M&M'sk. Они обнаружили, что плотность случайной
упаковки тел такой формы составляет около 78%. т. е. на 4% выше, чем в случае
правильных шаров.

ON
Логарифмы
Джон Непер (1550-1617)
|К
Изобретателем логарифмов и первым публикатором логарифмических
таблиц был шотландский математик Джон Непер, изложивший свое открытие
в сочинении под заглавием «Описание удивительной таблицы логарифмов»
(1614). Логарифмы внесли неоценимый вклад в развитие науки и техники,
сделав возможным осуществление сложных вычислений. До эпохи
электронных калькуляторов логарифмы и таблицы логарифмов повсеместно
использовались в геодезии и навигации. Непер также известен изобретением палочек
Непера — брусочков с нанесенными на них таблицами умножения,
правильное взаимное расположение которых облегчает процесс вычислений.
Логарифм числа χ по основанию 6 записывается как log^a:) и равняется
показателю степени у, такому что χ = Ьу. Например, поскольку 35 = 3х3х3х
хЗхЗ = 243, можно сказать, что логарифм 243 по основанию 3 равен 5, или
log3(243) = 5. Другой пример: log10(100) = 2. Что касается практического
смысла логарифмов, то операцию умножения, скажем, 8 χ 16 = 128, можно
переписать в виде 23 χ 24 = 27, т. е. свести вычисление к простому сложению
степеней (3 + 4 = 7). До появления калькуляторов инженер при перемножении двух
чисел обычно искал в таблице логарифмы обоих чисел, складывал их, затем
искал в таблице соответствующую строку с результатом сложения и по ней
находил произведение. Это чаще всего оказывалось быстрее, чем умножать
вручную. На том же принципе основано действие логарифмических линеек.
В современной науке самые различные величины и шкалы определяются
через логарифмы других величин. Среди ярких примеров можно привести
шкалу рН в химии, единицу измерения бел в акустике и шкалу Рихтера,
используемую для оценки силы землетрясения, — в основе всех их лежит
десятичный логарифм. Изобретение логарифмов непосредственно перед эпохой
открытий Исаака Ньютона по степени влияния на развитие науки можно
сравнить с появлением компьютеров в двадцатом столетии.
СМ. ТАКЖЕ Логарифмическая линейка (1621), Логарифмическая спираль (1638),
Формула Стирлинга (1730).
Джон Непер, изобретатель логарифмов, также известен созданием, оригинального
вычислительного прибора - палочек или цилиндров Непера. Вращающиеся цилиндры
Непера позволяют сводить процесс умножения к последовательности простых операций
сложения.

о
к
6
7
8
ю
*ж
I
2
4
Г
8
9
ко
а
4
/
<f
у
а
ю
I Ж
II Ία
«а
4
<f
•
9
to
Ж I
*a
*У
У
ж
II
ία
«У
О*
У
β
же
II
*а
«у
«4
*
β
9
ж
II
12
«У
ж
• *
•
*
ж©
жж
13
ж*
ж
I/
Ж/ I*
Ж 'ж 'itf^jr
ЖУ |ж «*
ж*
**|«»
•
шо
жж
«а
«У
ж
ж
гб
I*
Ж8
»*
жо
I I
жа
жу
к
ж
гб
**
жа
*9
ае
I ,0
ж ж
«а
жу
I ,
ж
ж*
жу
жа
"У
•
аж
2 .
4.
I I
I I
J
ι α
*■
!ι
I
ι ί
χ .
lc
ι *
6
8
6
j
4c
<5
г
9
1 '
*
s
4-
5
4
•
8
i?
,'
» *l
■I
Μ
8
1
г.
V
vr
<5'
I X
5
5 *
e
5
i
1
I
ч
1
Ϊ.
I
< 1 J
j^
! 5 0
■ r a
£ l7

ON
Логарифмическая линейка
Уильям Отред (1574-1660)
Те, кто учился в средней школе до 1970-х гг., еще могут помнить, что
логарифмическая линейка некогда была столь же обычной вещью, что и пишущая
машинка. С ее помощью инженеры могли буквально за несколько секунд
перемножить и разделить большие числа, извлечь квадратные корни и выполнить
множество других операций. Самый ранний вариант устройства с
двигающимися друг относительно друга шкалами был разработан в 1621 г. английским
математиком и англиканским священником У. Отредом на основе теории
логарифмов, введенных шотландским математиком Дж. Непером. Отред,
вероятно, сначала не осознавал важности своего изобретения, поскольку не стал
немедленно публиковать его. По некоторым свидетельствам, один и i его
учеников позаимствовал эту идею и издал руководство по пользованию
логарифмической линейкой, в котором превозносилось ее удобство и утверждалось, что
этим устройством «столь же легко пользоваться сидя верхом на лошади, сколь
и стоя на ногах». Отред был глубоко оскорблен подобным вероломством.
В 1850 г. 19-летний французский артиллерийский офицер
усовершенствовал изначальный вариант логарифмической линейки. Линейки нового типа
применялись французской армией во время войны с Пруссией для расчета
траектории снарядов. Специальные логарифмические линейки использовались
на американских бомбардировщиках во время Второй мировой войны.
Знаток истории логарифмических линеек Клифф Столл пишет: «Только
представьте себе все те достижения инженерной мысли, которые обязаны
своим существованием скольжению двух плашек друг относительно друга — это
Эмпайр-стейт-билдинг, плотина Гувера, изгиб моста Золотые Ворота,
гидродинамические передачи, транзисторные радиоприемники, пассажирские
самолеты Boeing 707...». Вернер фон Браун, разработчик ракет Фау-2, полагался
в своих вычислениях на логарифмические линейки немецкой компании Nes-
tler, как это делал и Альберт Эйнштейн. Логарифмические линейки
производства компании Pickett находились на борту космических кораблей во время
полетов по программе «Аполлон» на случай отказа компьютеров!
В XX в. по всему миру было выпущено около 40 млн логарифмических
линеек. Учитывая ключевую роль, которую это устройство играло со времен
промышленной революции и до наших дней, оно заслуживает отдельного места
в этой книге. В работах Общества имени Уильяма Отреда утверждается: «На
протяжении трех с половиной столетий она [логарифмическая линейка]
использовалась для проектных расчетов при строительстве почти всех
сооружений, возведенных за это время на поверхности Земли».
СМ. ТАКЖЕ Счёты (1200), Логарифмы (1614), Арифмометр «Curta» (1948), НР-35:
первый научный карманный калькулятор (1972), Программа «Mathematica» (1988).
Логарифмическая линейка играла ключевую роль в развитии науки и техники со
времен промышленной революции и до наших дней. В XX в. было выпущено около 40 млн
таких линеек, которые использовались инженерами для решения бессчетного
количества задач.

л
ч\*
V4 х^4
4 ч.чч^4 . .\ХЧ\
ч**% ν Ν^ хч^
^
^ 4S44 «> ^^

ON
ОТ
ON
Спираль Ферма
Пьер де Ферма (1601-1665), Рене Декарт (1596-1650)
В начале XVII в. Пьер де Ферма, французский юрист и математик, совершил
ряд блестящих открытий в области теории чисел и иных разделов
математики. В своей работе 1636 г. «Введение к теории плоских и пространственных
мест» (лат. Ad locos pianos et solidos lisagoge) он определил и изучил
множество важных кривых, в том числе циклоиду и так называемую спираль
Ферма. Считается, что в деле создания аналитической геометрии Ферма во
многом зашел дальше второго ее основоположника, Рене Декарта.
Спираль Ферма, или параболическая спираль, задается уравнением г2 = αζθ
в полярных координатах, где г — расстояние от центра, а — постоянная,
определяющая плотность витков спирали, а θ — полярный угол. Для любого
положительного значения θ имеются отрицательное и положительное значения г,
вследствие чего получаемая кривая симметрична относительно центральной
точки. Ферма особенно интересовала зависимость между площадью,
ограниченной рукавом спирали, и значением по оси χ на различных поворотах
спирали.
В наши дни специалисты в области компьютерной графики иногда
используют эту кривую при моделировании расположения семян в головках цветов.
К примеру, они рисуются в точках, центр которых определяется значениями
полярной координаты r(i) = fei1/z, угол θ задается формулой θ(ϊ) = 2ϊπ/τ, где τ —
золотое число 11 + v51/2 , a i — счетчик, принимающий значения 1, 2, 3, 4,....
Такой графический подход позволяет получить много различных
спиральных рукавов, которые заворачиваются в том или ином направлении. Можно
проследить различные наборы симметричных спиралей, расходящихся из
одной центральной точки, например, набор из 8,13 или 21 спирального рукава,
т. е. количества рукавов, соответствующего последовательности Фибоначчи
(см. «Книга абака» Фибоначчи).
Майкл Мэхони пишет: «Ферма уже некоторое время изучал спирали,
прежде чем встретил описание одной из них в "Диалоге" Галилея. В своем письме
Мерсенну от 3 июня 1636 г. он описывает спираль вида г2 = αζθ...».
СМ. ТАКЖЕ Архимедова спираль (225 до н. э.), «Книга абака» Фибоначчи (1202), Золотое
сечение (1509), Локсодрома (1537), Последняя теорема Ферма (1637), Логарифмическая
спираль (1638), Замощение Фодерберга (1936), Скатерть Улама (1963), Спидроны (1979).
Для любого положительного значения θ имеются отрицательное и положительное
значения г, вследствие чего получаемая кривая симметрична относительно начальной
точки, расположенной в центре этой художественной интерпретации спирали Ферма.

ON
от
кг
Последняя теорема Ферма
Пьер де Ферма (1601-1665), Эндрю Джон Уайлс (род. 1953),
Иоганн Дирихле (1805-1859), Габриель Ламе (1795-1870)
В начале XVII в. французским юристом Пьером де Ферма был совершен ряд
блестящих открытий в области теории чисел. Хотя Ферма был всего лишь
любителем, а не профессиональным математиком, он сформулировал
множество важных математических проблем. В их число входит и знаменитая
Последняя (или Великая) теорема Ферма, решение которой было найдено лишь
в 1994 г. англо-американским математиком Эндрю Уайлсом. Уайлс потратил
на поиски доказательства семь лет своей жизни. Последняя теорема Ферма
породила больше попыток ее доказать, чем какая бы то ни было другая
теорема математики.
Эта теорема гласит, что уравнение х" + у" = ζ" не имеет ненулевых
целочисленных решений х,укг при η > 2. Ферма сформулировал эту теорему в 1637 г.,
сделав пометку на странице принадлежащем ему экземпляре «Арифметики»
Диофанта: «Я нашел поистине чудесное доказательство данного утверждения,
но поля этой книги слишком узки, чтобы его вместить». Сейчас считается, что
Ферма не располагал подобным доказательством.
Ферма был не самым обычным юристом. Наряду с Блезом Паскалем
(1623—1662) он считается основателем теории вероятностей. Как соавтора
аналитической геометрии вместе с Рене Декартом (1596—1650) его относят к
одним из первых современных математиков. Однажды Ферма
заинтересовался вопросом о -ом, возможно ли найти такой прямоугольный треугольник, в
котором и длина гипотенузы, и сумма длин катетов будут квадратами целых
чисел. Сейчас нам известно, что три наименьших числа, удовлетворяющих
этому условию, довольно велики: это 4 565 486 027 761, 1 061 652 293 520 и
4 687 298 610 289.
Теореме Ферма посвящен огромный объем научных исследований. Работы
над ней привели к возникновению совершенно новых математических
методов. В 1832 г. Иоганн Дирихле опубликовал доказательство последней
теоремы Ферма для случая η = 14. Габриель Ламе в 1839 г. доказал ее для случая
η = 7. Амир Аксел пишет, что последняя теорема Ферма «вероятно являлась
труднейшей в мире математической загадкой. Простая, элегантная и, как
казалось, совершенно не имеющая доказательства, последняя теорема Ферма
занимала воображение как любителей, так и профессиональных математиков на
протяжении более трехсот лет. Для одних она оказалась чудесной страстью.
Для других она стала наваждением, ведущим по пути лжи, обмана и безумия».
СМ. ТАКЖЕ Теорема и треугольники Пифагора (600 до н. э.), «Арифметика» Диофанта
(250), Спираль Ферма (1636), «Геометрия» Декарта (1637), Треугольник Паскаля (1654),
Гипотеза Каталана (1844).
Портрет Пьера де Ферма кисти французского художника Робера Лефевра (1756-1831).
130

ON
от
кг
«Геометрия» Декарта
Рене Декарт (1596-1650)
«Геометрия» французского философа и математика Рене Декарта вышла в свет
в 1637 г. В этом знаковом сочинении показывалось, каким образом
геометрические объекты можно исследовать средствами алгебры. Работа Декарта
инициировала развитие аналитической геометрии — области математики,
посвященной описанию пространственного положения объектов через систему
координат и его анализу при помощи алгебраических методов. В «Геометрии» также
рассматривались решения различных математических задач, способы записи
положения точек на плоскости с использованием действительных чисел,
задание и классификация кривых при помощи математических уравнений.
Любопытно, что в «Геометрии» не используется собственно декартова
система координат или вообще -либо система координат. В книге равное
внимание уделяется как переводу алгебраических операций на язык
геометрических построений, так и обратным действиям. Декарт считал, что
последовательность алгебраических шагов при доказательстве должна иметь
соответствующее геометрическое представление.
Ян Гулльберг пишет: "Геометрия" — самый ранний математический текст.,
который современный учащийся может легко прочесть, не рискуя запутаться
в изобилии вышедших из употребления обозначений... Наряду с "Началами"
Ньютона она является одним из важнейших научных сочинений
семнадцатого столетия». Согласно Карлу Бойеру, Декарт хотел «освободить» геометрию
от использования поясняющих рисунков при помощи алгебраических
процедур и одновременно придать смысл алгебраическим операциям через их
геометрическую интерпретацию.
Если говорить более широко, новаторство Декарта заключается в
революционном предложении по объединению алгебры и геометрии в единый
предмет. Джудит Грабинер пишет: «Так же как историю западной философии
молено рассмотреть как серию комментариев к Платону, так и последние 350
лет развития математики можно рассмотреть как серию комментариев к
"Геометрии" Декарта и триумф декартова метода при решении задач».
Бойер заключает: «С точки зрения математических способностей, Декарт
был, вероятно, наиболее одаренным мыслителем своего времени, но в глубине
души он в сущности не был математиком». Геометрия была для Декарта лишь
одной из граней всего многообразия его жизни, посвященной науке,
философии и религии.
СМ. ТАКЖЕ Теорема и треугольники Пифагора (600 до н. э.), Гиппократовы луночки
(440 до н. э.), «Начала» Евклида (300 до н. э.), Теорема Паппа (340), Проективная
геометрия (1639), Фракталы (1975).
«Великий архитектор» (1794), раскрашенная гравюра Уильяма Блейка. Средневековые
европейские ученые часто связывали геометрию и законы природы с Божественным
началом. С течением столетий геометрия, изначально посвященная задачам на
построение при помощи циркуля и линейки, становилась все более абстрактной и
аналитической наукой.

■' ν»
- --■ ..--*-.-'"
* Г. Γ -.."S
ц \
\
\

Кардиоида
ON
от
кг
Альбрехт Дюрер (1471-1528), Этьен Паскаль (1588-1640),
Оле Рёмер (1644-1710), Филипп де Ла Ир (1640 - 1718),
Иоганн Кастильон (1704-1791)
Кардиоида - кривая, имеющая сердцевидные очертания. Ее можно получить
движением фиксированной точки одной окружности, катящейся по другой
(неподвижно закрепленной) окружности того же радиуса. Кардиоида вызывала
интерес у математиков на протяжении многих столетий благодаря своим
математическим свойствам, красоте графика и практической ценности. Название
«кардиоида» происходит от греческого слова, означающего сердце. Уравнение этой
кривой в полярных координатах имеет вид г = а(1 — cosG). Площадь фигуры,
ограниченной кардиоидой, составляет (3/2)παζ, а длина этой кривой равна 8а.
Существует и другой способ построения кардиоиды. Сперва рисуется
окружность С и на ней отмечается некоторая точка Р. Затем строится набор различных
окружностей, центры которых лежат на окружности С, а сами они проходят
через точку Р. Совокупность таких окружностей заполнит всю внутренность
кардиоиды. Кардиоида так или иначе возникает во множестве на первый взгляд
ничем не связанных областей математики — от каустики в оптике до центральной
части множества Мандельброта во фрактальной геометрии.
В истории кардиоиды есть несколько значимых дат. Около 1637 г.
французский юрист и математик-любитель Этьен Паскаль, отец математика Блеза
Паскаля, исследовал более общий случай этой кривой — так называемую
улитку Паскаля. Однако метод построения «улитки» был описан еще в 1525 г.
немецким художником и математиком Альбрехтом Дюрером в его «Руководстве
к измерению» (нем. Underweysung der Messung). В 1674 г. датский астроном
Оле Рёмер рассматривал кардиоду при изучении эффективных конструкций
зубчатых передач. В 1708 г. французский математик Филипп де Л а Ир
вычислил длину кардиоиды. Любопытно, что говорящее название «кардиоида»
закрепилось за этой кривой только в 1741 г., когда Иоганн Кастильон
использовал именно этот термин в своей работе, опубликованной в журнале
«Философские труды Королевского общества».
Кардиоидные кривые имеют не только теоретическую, но и практическую
ценность. По словам Глена Веккионе, они хорошо отображают «картины
интерференции и конгруэнции волн, концентрически исходящих из точечного
источника. Таким образом, они могут отображать области наиболее высокой
чувствительности микрофонов и антенн... Микрофоны с диаграммой
направленности в виде кардиоиды чувствительны к фронтально направленному
звуку и практически не улавливают звуков, идущих с задней от них стороны».
СМ. ТАКЖЕ Циссоида Диокла (180 до н. э.), Длина дуги полукубической параболы Ней-
ля (1657), Астроида (1674), Фракталы (1975), Множество Мандельброта (1980j.
Кардиоидную кривую можно получить перемещением, прямой линии, соединяющей одну
точку окружности с другой, по кругу при условии, что передний конец линии движется
в два раза быстрее, чем задний (визуализация Джоса Лейса).
134

ί
\
>5»Ν,
f
у
>
^
^ -

ON
00
Логарифмическая спираль
Рене Декарт (1596-1650), Якоб Бернулли (1654-1705)
Логарифмические спирали встречаются в природе повсеместно — можно
легко назвать целый ряд примеров из ботаники и зоологии. К наиболее
популярным из них можно отнести логарифмические спирали раковин наутилусов,
рога многих млекопитающих, расположение семян во многих растениях
(скажем, у подсолнуха и маргаритки) и чешуек в сосновых шишках. Мартин
Гарднер обнаружил, что пауки часто встречающегося вида Eperia ткут паутину,
нити которой завиваются вокруг центра в логарифмическую спираль.
Логарифмическую спираль (изогональную спираль или спираль Бернулли)
можно описать уравнением г = ke"9, где г — расстояние от начальной точки.
Угол θ между касательной линией к кривой в произвольной точке и радиус-
вектором к точке касания (г, Θ) является постоянным. Эта спираль была
впервые рассмотрена французским математиком и философом Рене Декартом в
1638 г. в его письмах к французскому теологу и математику Марену Мерсенну.
Позднее эта кривая была более тщательно и подробно изучена швейцарским
математиком Якобом Бернулли.
Наиболее впечатляющим проявлением логарифмической спирали в
природе являются огромные рукава галактик. С точки зрения традиционной науки,
считается, что для образования структур столь гигантских размеров
необходимо существование дальнодействующих взаимодействий, например
гравитации. Рукава спиральных галактик являются местами активного
формирования звезд.
Спиральные рисунки часто спонтанно возникают тогда, когда материя
организуется через преобразования симметрии — изменение размера (рост) и
вращение. Форма обусловливается функцией, а спиральная форма позволяет
компактно расположить относительно длинные структуры. Длинные, но
компактные трубки раковин моллюсков и улиток обладают очевидными
преимуществами: прочностью и увеличенной площадью поверхности. Рост отдельной
особи обычно происходит таким образом, что ее отдельные части и органы
сохраняют примерно одинаковые пропорции друг относительно друга —
вероятно, по этой причине в природе часто наблюдается явление самоподобного
спирального роста.
СМ, ТАКЖЕ Архимедова спираль (225 до н. э.), Золотое сечение (1509), Локсодрома
(1537), Логарифмы (1614), Спираль Ферма (1636), Длина дуги полукубической параболы
Нейля (1657), Замощение Фодерберга (1936), Скатерть Улама (1963), Спидроны (1979).
Раковина наутилуса имеет форму логарифмической спирали. Внутри она делится на
камеры, число которых у взрослых особей может достигать 30 и более.

.· ч

ON
Проективная геометрия
Леон Батиста Альберти (1404-1472), Жерар Дезарг (1591-1661),
Жан-Виктор Понселе (1788-1867)
Проективная геометрия занимается изучением взаимосвязей между
объектами и их проекциями, т. е. изображениями, получающимися при
проецировании этих объектов на плоскость. Проекции визуально можно представить
себе как отбрасываемые предметами тени.
Итальянский архитектор Леон Батиста Альберти был одним из первых
ученых, приблизившихся к идеям проективной геометрии через свой интерес к
искусству перспективы. Художники и архитекторы эпохи Возрождения вообще
были крайне увлечены задачей изображения трехмерных объектов на
двумерных полотнах. Альберти иногда помещал между собой и пейзажем стеклянный
экран, закрывал один глаз и наносил на стекло точки в тех местах, которые
соответствовали видимому изображению. Получаемый таким образом двумерный
рисунок правдоподобно воспроизводил трехмерный ландшафт.
Первым профессиональным математиком, формализовавшим принципы
проективной геометии, стал французский ученый Жерар Дезарг. Дезарг хотел
расширить границы евклидовой геометрии. В 1636 г. он опубликовал работу
под названием «Пример одного из универсальных методов авторства г-на Же-
рара Дезарга из Лиона, касающегося практики построения перспективы» (фр.
Exemple de I'une des manieres universelles du S.G.D.L. touchant la pratique de la
perspective), в которой излагался геометрический метод построения
перспективных изображений различных объектов. Дезарг также интересовался
свойствами объектов, которые не изменяются при проективных отображениях.
Теоретические выводы Дезарга были использованы художниками и граверами
того времени.
В главной работе Дезарга, «Черновом наброске подхода к явлениям,
происходящим при встрече конуса с плоскостью» (фр. Brouillonproject d'une atteinte
aux evenements des rencontres d'un cone avec unplan), изданной в 1639 г., была
изложена проективная теория конических сечений. Новую волну интереса к
проективной геометрии привлек «Трактат о проективных свойствах фигур»
(1822) французского математика и инженера Ж.-В. Понселе.
В проективной геометрии такие элементы, как точки, прямые,
плоскости, при проецировании обычно остаются точками, прямыми и плоскостями.
Однако в проекции могут измениться длины, соотношения длин и величины
углов. В проективной геометрии параллельные в евклидовой геометрии
прямые сходятся в бесконечно удаленной точке.
СМ. ТАКЖЕ Теорема Паппа (340), Проекция Меркатора (1569), «Геометрия» Декарта
(1637).
Рисунок Ганса Вредемана де Вриса (1527 — ок. 1607), нидерландского архитектора и
инженера эпохи Возрождения, выстраивавшего свои произведения в соответствии с
законами линейной перспективы. Проективная геометрия восходит к принципам
перспективы из живописи и черчения европейского Возрождения.

ι Ι
&
\
?
t^
Ά
·!.»■
»ί.:.Μ·ΐ4>1"
лг

ON
Труба Торричелли
Эванджелиста Торричелли (1608-1647)
Представьте, что ваш друг вручает вам банку красной краски и предлагает с
ее помощью полностью закрасить бесконечную поверхность. Какую
поверхность вы выберете? На этот вопрос существует много возможных вариантов
ответа, но одним из самых знаменитых подобных объектов является труба
Торричелли — роговидный объект, образованный вращением графика
функции f(x) = 1/х при χ е [1, оо) относительно оси х. Применение стандартных
методов математического анализа к трубе Торричелли показывает, что она
обладает конечным объемом, но имеет бесконечную площадь поверхности!
Джон де Пиллис объясняет, что, с математической точки зрения, при
наливании краски в трубу Торричелли можно полностью наполнить ее воронку,
т. е. тем самым закрасить всю ее внутреннюю поверхность, даже несмотря на
то что число молекул краски конечно. Этот кажущийся парадокс можно
частично разрешить, если вспомнить, что труба Торричелли в действительности
является математическим построением, а конечное число молекул краски,
«наполняющей» рог, служит аппроксимацией конечного объема этого рога.
При каких значениях α функция вида f(x) = 1/ха будет образовывать рог
конечного объема и бесконечной площади? Попробуйте найти ответ на этот
вопрос самостоятельно или вместе с друзьями.
Труба Торричелли названа так в честь итальянского физика и математика
Эванджелисты Торричелли, открывшего ее в 1641 г. Торричелли был поражен
тем, что эта труба представляла собой бесконечно длинное тело с бесконечной
площадью поверхности, но конечным объемом. Торричелли и его коллеги
считали, что в этом сокрыт глубочайший парадокс, поскольку они еще не
располагали аппаратом математического анализа и не могли полностью оценить и
понять суть этого феномена. Сейчас Торричелли известен благодаря
исследованиям по астрономии, которые он проводил вместе с Галилеем при помощи
телескопа, и изобретению барометра. Трубу Торричелли иногда еще называют
рогом или трубой архангела Гавриила. Такое название вдохновлено образом
архангела Гавриила, который должен протрубить в рог при объявлении дня
Страшного Суда, и связывает представление о беконечном с Божьим
всемогуществом.
СМ. ТАКЖЕ Создание математического анализа (1665), Минимальная поверхность (1774),
Псевдосфера Бельтрами (1868), Трансфинитные числа Кантора (1874).
Труба Торричелли заключает в себе конечный объем, но обладает бесконечной площадью
поверхности. Этот объект иногда называют рогом Гавриила — такое название
вдохновлено образом архангела Гавриила, который должен протрубить в рог при
объявлении дня Страшного Суда (визуализация Джоса Лейса, развернута на 180°).
140

τ»' .им· ii'ffliiiiiiiir/ifi |iiiii;ii;ii'i,'[fiyi*[,i.iii,ii4!i|-fii|!
*§;

Треугольник Паскаля
Блез Паскаль (1623-1662), Омар Хайям (1048-1131)
Одна из наиболее знаменитых целочисленных таблиц в истории математики
носит название треугольника Паскаля. Блез Паскаль был первым, кто
написал посвященный этой последовательности трактат (1654), хотя о ее
существовании было известно персидскому поэту и математику Омару Хайяму
еще в 1100 г., а до того она использовалась математиками древней Индии и
Китая. Первые семь строк треугольника Паскаля приведены вверху справа.
Каждое число в треугольнике является суммой двух расположенных над
ним чисел. Со временем математики обнаружили, что треугольник Паскаля
играет важную роль в теории вероятностей, при разложении бинома {х + yf
и во многих областях теории чисел. Математик Дональд Кнут (род. 1938)
однажды заметил, что с треугольником Паскаля связано столько замечательных
отношений и свойств, что когда кто-либо открывает в нем новую сущность, это
уже не волнует почти никого, кроме собственно автора открытия. Тем не менее
исследователи обнаруживают все новые связанные с этой структурой чудеса, в
том числе особые геометрические рисунки в его диагоналях и существование в
нем рисунков из полных квадратов с различными гексагональными
свойствами, изучают расширение треугольника и его рисунков с включением в него
отрицательных чисел, строят его аналоги в более высоких измерениях.
Если заменить четные числа в треугольнике точками, а нечетные —
пустыми местами, то получившийся рисунок будет
фрактальным, многократно повторяющимся на
различных масштабах. Подобные фрактальные
узоры имеют и практическую ценность, так как они
·* могут использоваться учеными-материаловедами
.» при создании новых структур с инновационными
свойствами. К примеру, в 1986 г. исследователями
w ► _ были созданы проволочные прокладочные
структуры микронных размеров, почти идентичные
треугольнику Паскаля с пустотами на месте нечетных
'.·.' . чисел. Площадь наименьших треугольников со-
■Ψ. ^ · ставляла порядка 1,38 мкм2. Ученые обнаружили,
• '►. ' что такая сверхпроводящая структура в магнитном
поле проявляет множество необычных свойств.
СМ. ТАКЖЕ «Трактат» Омара Хайяма (1070), Кривая нормального распределения (1733),
Фракталы (1975).
СЛЕВА: Джордж У. Харт создал эту нейлоновую модель пирамиды. Паскаля при
помощи физического процесса, называемого селективным лазерным спеканием. СПРАВА:
фрактальный треугольник Паскаля, упоминаемый в тексте. Число ячеек в
центральных красных треугольниках всегда является четным, кроме того, это совершенное
число (т. е. число, равное сумме своих положительных делителей, например 6, 28, 120, 496,
2016...).

ρ
л
л * л-1 .
А
%
д

Длина дуги полукубической
параболы Нейля
Уильям Нейль (1637-1670), Джон Валлис (1616-1703)
В 1657 г. английский математик Уильям Нейль стал первым человеком,
которому удалось «спрямить», т. е. найти длину дуги нетривиальной
алгебраической кривой. Эта особая кривая называется полукубической параболой и
задается уравнением у2 = ах3. Если переписать его в виде у = ± Ьх3'2,
становится понятнее, где в этой кривой присутствует «половина куба», от которой,
собственно, и происходит название полукубическая. Сообщение о
достигнутых Нейлем результатах было опубликовано в работе Джона Валлиса «О
циклоиде» 1659 г. Любопытно, что к 1659 г. были вычислены лишь длины дуг
трансцендентных кривых, таких как логарифмическая спираль и циклоида.
Поскольку попытки спрямления эллипса и гиперболы оказались
безуспешными, некоторые математики, среди которых был и французский
философ и математик Рене Декарт (1596—1650), предположили, что лишь очень
малое число кривых вообще возможно спрямить. Однако итальянскому
физику и математику Эванджелисте Торричелли (1608—1647) удалось спрямить
логарифмическую спираль, ставшую первой кривой линией, кроме круга, чью
длину удалось определить. Следующей спрямленной кривой стала циклоида —
это достижение принадлежит английскому геометру и архитектору сэру
Кристоферу Рену (1632—1723), осуществившему это в 1658 г.
Около 1687 г. нидерландский математик и физик Христиан Гюйгенс (1629—
ι 1695) показал, что полукубическая парабола
является кривой, по которой тело под воздействием грави-
■ тации движется вниз таким образом, что проходит
одинаковые расстояния по вертикали за одинаковые
промежутки времени. Полукубическую параболу
также можно описать при помощи пары уравнений:
χ = t2 и у = at3. В таком виде длина кривой как
функция от t составляет (1/27) χ (4 + 9t2f'2 - 8/27.
Другими словами, кривая имеет такую длину на интервале
от 0 до ί. В научной литературе для параболы Нейля
иногда приводится уравнение у2 = ах2, т. е. касп кри-
* вой в этом случае направлен вниз по оси j/, а не влево
по оси х.
СМ. ТАКЖЕ Циссоида Диокла (180 до н. э.), «Геометрия» Декарта (1637),
Логарифмическая спираль (1638), Труба Торричелли (1641), Задача о таутохроне (1673),
Трансцендентные числа (1844).
СЛЕВА тюлукубические параболы, задаваемые уравнением х3 = ау2 при двух разных
значениях а. СПРАВА: некоторые кривые являются неспрямляемыми, т. е. имеют
бесконечную длину. Здесь приведен график функции f(x) = χ ■ sin('/x) при 0 < χ < 1. Эта
кривая имеет бесконечную длину для любоого открытого множества, ограниченного с
одной стороны точкой χ = 0 и f(0) = 0.

ON
Теорема Вивиани
Винченцо Вивиани (1622-1703)
Отметим некоторую точку внутри равностороннего -реугол ьника. От этой
точки проведем прямые к каждой из сторон так, чтобы три эти прямые были
перпендикулярны этим сторонам. Независимо от того, в каком месте мы
поместили нашу точку изначально, сумма перпендикуляров, опущенных из нее
к сторонам треугольника, будет равна его высоте. Эта изящная теорема
названа в честь итальянского математика и ученого Винченцо Вивиани. Галилей
был так впечатлен талантом Вивиани, что пригласил его в свой дом в Арчетри
(Италия) в качестве помощника и секретаря.
Многие исследователи занимались вопросом об обобщении теоремы
Вивиани, например рассмотрением случая, когда точка помещается вне
треугольника, или изучением применимости этой теоремы к любому правильному
га-угольнику. В последнем случае сумма длин перпендикулярных отрезков,
проведенных из некоторой точки внутри многоугольника к га его сторонам,
будет в га раз больнее апофемы этого многоугольника (апофема — расстояние
от центра правильного многоугольника до любой из его сторон). Теорему
Вивиани также можно распространить и на пространства большей размерности.
После смерти Галилея Вивиани написал его биографию и надеялся
подготовить к изданию полное собрание сочинений своего наставника и учителя. К
сожалению, Церковь наложила запрет на это намерение, что повредило
репутации Вивиани и стало большим ударом для науки в целом. В 1690 г. Вивиани
опубликовал перевод «Начал» Евклида на итальянский язык.
Теорема Вивиани интересна с математической точки зрения не только
благодаря обилию разнообразных доказательств, но и потому, что она
используется для обучения некоторым аспектам геометрии. Порой в эту задачу
привносят элементы реального мира, формулируя ее следующим образом: девушка,
очень любящая плавать, живет на острове, который имеет форму
равностороннего треугольника. Она хочет построить на острове домик в том месте, где
сумма расстояний до всех его берегов минимальна, так как она проводит на
всех трех пляжах равное количество времени. Учащиеся обычно с удивлением
узнают, что расположение домика не имеет значения.
СМ. ТАКЖЕ Теорема и треугольники Пифагора (600 до н. э.), «Начала» Евклида (300 до
н. э.), Теорема косинусов (1427), Теорема Морли о трисектрисах (1899), Треугольник в
шаре (1982).
Отметим точку в произвольном месте внутри равностороннего треугольника. Прове
дем от нее линии, как показано, к сторонам треугольника. Сумма длин
перпендикулярных отрезков, проведенных от этой точки к сторонам треугольника, всегда будет
равна его высоте.
146

Создание математического анализа
Исаак Ньютон (1642-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716)
Честь создания математического анализа (совокупности дифференциального
и интегрального исчислений) обычно приписывается английскому
математику И. Ньютону и немецкому математику Г. В. Лейбницу, хотя с идеями
скоростей роста и пределов функций были знакомы многие математики
прошлых времен, начиная еще с древних египтян, разработавших правила
вычисления объема пирамид и научившихся аппроксимировать площадь круга.
В XVII в. и Ньютон, и Лейбниц искали решения задач, связанных с
касательными, скоростью роста функций, их минимумами, максимумами и
бесконечно малыми приращениями (невообразимо крохотными величинами,
практически, но не полностью равными нулю). Они оба понимали, что
дифференцирование (нахождение касательной к кривой в некоторой точке, т. е.
прямой линии, которая «лишь касается» кривой в этой точке) и интегрирование
(нахождение площади под кривой) являются взаимообратными процессами.
Ньютон пришел к этому открытию (1665—1666) в результате исследований по
бесконечным суммам, однако он промедлил с публикацией достигнутых
результатов. Лейбниц опубликовал открытый им метод дифференциального
исчисления в 1684 г., а интегрального исчисления — в 1686 г. Он писал:
«Недостойно одаренным людям подобно рабам тратить часы в трудах вычислений...
Мой новый метод... позволяет устанавливать истину посредством
разновидности анализа без каких-либо усилий воображения». Ньютон негодовал.
Яростные споры о том, как разделить вклад этих ученых в создание
математического анализа, растянулись на много лет, и как следствие, прогресс в области
развития самого метода был этим сильно замедлен. Ньютон первым применил
средства математического анализа для решения физических задач, а Лейбниц
разработал большую часть той системы обозначений, которая используется в
современных математических учебниках.
Сейчас математический анализ так или иначе затрагивает все
направления научных исследований. Он играет неоценимую роль в биологии, физике,
химии, экономике, социологии и технических науках — в любой области, где
необходимо описать изменение каких-либо величин, например скорости или
температуры. Математический анализ объясняет нам структуру радуги, учит,
как заработать больше денег на фондовом рынке, помогает вести космические
корабли, делать прогноз погоды, прогнозировать рост населения,
проектировать здания и сооружения и анализировать распространение заболеваний.
Математический анализ произвел революцию не только в науке. Он изменил сам
способ, которым мы смотрим на мир.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Труба Торричелли (1641), «Анализ бесконечно
малых» Лопиталя (1696), «Основы анализа» Аньези (1748), «Аналитическая теория
вероятностей» Лапласа (1812), «Исчисление бесконечно малых» Коши (1823).
Картина «Ньютон» кисти Уильяма Блейка (1795). Блейк, художник и поэт,
изображает Исаака Ньютона в образе Божественного геометра, созерцающего нарисованные на
земле чертежи и прозревающего законы математики и мироздания.

χ
t·».
4 *- ι
> i
ι.
ib.<
^ "«. ' s
L.
*; '

ON
SO
Метод Ньютона
Исаак Ньютон (1642-1727)
История применения вычислительных методов, основанных на рекуррентных
последовательностях (в которых каждый новый член задается как функция
от предыдущих членов), восходит корнями к самому зарождению
математика. Древние вавилоняне использовали подобные алгоритмы для вычисления
квадратных корней из положительных чисел, а древние греки — для
получения приближенного значения числа π. В наши дни при помощи
рекуррентных формул вычисляются значения многих важных специальных функций
из области математической физики.
Численный анализ часто применяется для нахождения приближенных
решений сложных задач. Метод Ньютона — один из самых известных численных
методов решения уравнений вида f(x) = О. В науке и прикладных дисциплинах
часто возникает задача нахождения нулей, или корней, различных функций
при помощи обычных алгебраических методов.
Сущность метода Ньютона сводится к следующему. Сперва выдвигается
некоторое численное предположение о значении какого-либо из корней
функции. Затем функция в этой точке аппроксимируется своей касательной, т. е.
прямой линией, которая «едва касается» графика функции в этой точке.
Затем находится точка пересечения этой линии с осью χ — эта точка обычно
является лучшей аппроксимацией ближайшего корня функции, чем
изначальное приближение. Этот алгоритм итерационно повторяется, давая все более и
более точные приближенные значения для корня исходной функции. Точная
формула, применяемая в методе Ньютона, записывается следующим образом:
хп+1 = хп — fixj/fixj, где штрих (') обозначает первую производную от
функции/.
Данный метод может применяться и к функциям, содержащим
комплексные величины. Используя визуализацию средствами компьютерной графики,
можно определить, в каких областях метод надежен, а где ведет себя странно
или недостоверно. Таким графикам часто свойственно хаотическое поведение,
они нередко образуют прекрасные фрактальные картины.
Математические основы метода Ньютона были изложены Исааком
Ньютоном в его сочинении «Об анализе уравнениями бесконечных рядов» (De
analyst per aequationes numero ti rminorum infinitas), написанном в 1669 г. и
опубликованном Уильямом Джонсом в 1711 г. В 1740 г. метод Ньютона был
переработан английским математиком Томасом Симпсоном. Симпсон описал
его как итеративный метод решения общих нелинейных уравнений при
помощи дифференциального исчисления.
СМ. ТАКЖЕ Создание математического анализа (1665), Хаос и эффект бабочки (1963).
Фракталы (1975).
Средства компьютерной графики позволяют определить достоверность метода
Ньютона при нахождении с его помощью приближенных решений уравнений с
комплексными корнями. Пауль Нюландер получил это изображение, применив метод Ньютона для
нахождения решений уравнения гъ — 1 = 0.
ISO

^
* 1
*r,
* ** >il,
4.
4.
\v
>■ f

ON
ΚΙ
от
Задача о таутохроне
Христиан Гюйгенс (1629-1695)
В XVII в. математиков и физиков интересовала задача нахождения кривой,
которая бы описывала форму особой наклонной поверхности. В частности,
такая поверхность должна была обладать следующим уникальным свойством:
объекты (помещаемые на нее по одному), двигаясь по этой поверхности вниз
под воздействием силы тяжести, всегда должны были достигать ее нижней
точки за одно и то же время, независимо от того, в какой точке они начинали
движение (при этом предполагалось, что трение отсутствует).
Нидерландский математик, астроном и физик Христиан Гюйгенс нашел
решение этой задачи в 1673 г., изложив его в своем труде «Маятниковые часы»
{Horologium oscillatoriumi). С технической точки зрения, решением задачи о
таутохроне является циклоида — кривая, задаваемая движением
фиксированной точки на некоторой окружности, катящейся по прямой линии. Задача о
таутохроне называется задачей о брахистохроне, если речь идет о кривой, по
которой скорость спуска материальной точки в отсутствие трения при ее
движении от одной точки до другой является наибольшей.
Гюйгенс предполагал использовать свое открытие для увеличения точности
маятниковых часов. Участки таутохронных поверхностей должны были
располагаться в них вблизи от точки крепления нити. Тем самым нить маятника
всегда следовала бы по оптимальной кривой независимо от того, из какого
места маятник начал бы свое качание (к сожалению, на практике оказалось, что
трение нити о такую поверхность вносит в ее движение слишком
существенные погрешности).
Особенность таутохроны упоминается в «Моби Дике» при описании
котлов, используемых для вытапливания китового жира: «Здесь также
охватывает человека глубочайшее математическое раздумье. Именно в левом котле
«Пекода», пока мыльный камень усердно описывал вокруг меня спирали, мне
впервые открылся тот замечательный геометрический факт, что всякое тело,
скользящее по циклоиде, например мой мыльный камень, будучи
отпущенным, из любой точки опустится вниз за одно и то же время». (Пер. И. Берн-
штейн.)
СМ. ТАКЖЕ Длина дуги полукубической параболы Нейля (1657).
Три мячика катятся вниз по таутохронной поверхности под воздействием силы
тяжести. Хотя они начинают движение из разных точек, все они достигнут нижней
точки в одно и то же время (мячики помещаются на эту поверхность по одному за
раз).

Астроида
Оле Кристенсен Рёмер (1644-1710)
Астроида — кривая с четырьмя каспами {касп —
обыкновенная точка возврата, или точка «заострения» данной
кривой. — Прим. пер.), описываемая фиксированной
точкой на окружности, которая катится по
внутренней стороне окружности большего диаметра. Диаметр
большей окружности в четыре раза больше диаметра
меньшей окружности. Астроида примечательна тем
разнообразием математиков, которые исследовали ее
любопытные свойства. Кривая была впервые описана
датским астрономом Оле Рёмером в 1674 г. в ходе его исследований по поиску
наиболее эффективных конструкций зубчатых передач. Изучению астроиды
посвящали свое время такие видные ученые, как швейцарский математик
Иоганн Бернулли (1691), немецкий математик Готфрид Лейбниц (1715) и
французский математик Жан д'Аламбер (1748).
Астроида описывается уравнением хг/3 + у2/3 = R2'3, где R — радиус
неподвижной внешней окружности, а Д/4 — радиус внутренней катящейся
окружности. Длина астроиды равна 6R, а площадь области, ограниченной астроидой,
составляет Зя^/в. Любопытно, что длина кривой 6R не зависит от π, несмотря
на участие окружностей в построении астроиды.
В 1725 г. математик Даниил Бернулли обнаружил, что астроиду будет
описывать точка и на такой внутренней окружности, диаметр которой составляет
3/4 от диаметра внешней неподвижной окружности. Другими словами, точка на
такой окружности описывает ровно такую же кривую, как и точка на
окружности, диаметр которой составляет всегог/ от диаметра внешней окружности.
В физике астроида используется в модели Стонера—Вольфарта для
исследования различных свойств энергии и магнетизма. В патенте США. №4987984
описывается использование формы астроиды для механических роликовых
муфт: «Кривая астроиды дает столь же хорошее рассеивание напряжения, как
и эквивалентная ей дуга окружности, но требует меньшей степени удаления
материала, т. е. позволяет получать более прочные структуры».
Любопытно, что все отрезки касательных к астроиде с концами на осях χ и
у имеют одинаковую длину. Это можно представить себе, мысленно
приставляя лестницу к стене под всеми возможными углами — она при этом вычертит
участок астроиды.
СМ. ТАКЖЕ Циссоида Диокла (180 до н. э.), Кардиоида (1637), Длина дуги
полукубической параболы Нейля (1657), Треугольник Рело (1875), «Суперяйцо» Пита Хейна (1965).
Художественное изображение астроиды в качестве огибающей семейства эллипсов (в
геометрии огибающая семейства кривых — это кривая, которая касается каждой
кривой семейства и при этом вся состоит из этих точек касания).

Αν
* .8
>«
V

ON
SO
ON
«Анализ бесконечно малых»
Лопиталя
Гийом Франсуа Антуан, маркиз де Лопиталь (1661-1704)
В 1696 г. французский математик маркиз де Лопиталь опубликовал первый
в Европе учебник по математическому анализу под названием Analyse des ιη-
finiment pet its, pour V intelligence des lignes courbes («Анализ бесконечно
малых для познания кривых линий»). Задачу своей книги он видел в
распространении методов дифференциального исчисления.
Принципы математического анализа были сформулированы несколькими
годами ранее Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем, после чего этот
метод был доработан братьями Бернулли, математиками Якобом и Иоганном.
Кит Девлин пишет: «По существу, до выхода книги Лопиталя Ньютон,
Лейбниц и двое братьев Бернулли были едва ли не единственными людьми в мире,
кто разбирался в математическом анализе».
В начале 1690-х гг. Лопиталь нанял Иоганна Бернулли, чтобы учиться у
него дифференциальному и интегральному исчислениям. Лопиталь был так
увлечен новым методом, что быстро его освоил и вскоре обобщил полученные
знания в своем исчерпывающем сочинении. Роуз Болл пишет о книге Лопи
таля: «Честь составления первого учебного курса, объясняющего принципы
математического анализа и его применение, принадлежит Лопиталю... Его
труд получил широкое распространение; он ввел систему дифференциальных
обозначений во всеобщее употребление во Франции и способствовал
ознакомлению с ней в Европе».
Лопиталь также известен названным его именем правилом, которое
входило в состав его книги. Правило Лопиталя позволяет находить предельное
значение дроби, числитель и знаменатель которой либо оба стремятся к нулю,
либо оба стремятся к бесконечности. Лопиталь сначала хотел сделать военную
карьеру, но из-за слабого зрения ему пришлось обратиться к математике.
Сейчас известно, что Лопиталь в 1694 г. условился с Бернулли, что будет
платить ему 300 франков в год, чтобы тот сообщал ему о своих открытиях,
которые Лопиталь последовательно вносил в свою книгу. В1704 г., после смерти
Лопиталя, Бернулли начал открыто говорить о существовании этого
соглашения и заявил, что многие результаты, изложенные в «Анализе бесконечно
малых», в действительности принадлежат ему.
СМ. ТАКЖЕ Создание математического анализа (1665), «Основы анализа» Аньези (1748),
«Исчисление бесконечно малых» Коши (1823).
Фронтиспис первого в Европе учебника по математическому анализу — «Анализа
бесконечно малых для познания кривых линий» («Analyse des inflniment petits, pour
I'intelligence des lignes courbes») Гийома Франсуа де Лопиталя.
156

Par M
SEC
Ρ OV R
IS LIGNES COl
- *
* ·.
.URufti-.: ι

кг
о
Задача о веревке вокруг Земли
Уильям Уистон (1667-1752)
Хотя задача о веревке вокруг Земли и не является вехой в истории
математики в отличие от событий, которым посвящено большинство разделов этой
книги, эта маленькая жемчужина математики достойна упоминания просто
потому, что увлекает детей и взрослых уже более двухсот лет и служит
хорошим примером тому, как простые математические соображения могут помочь
мыслящему человеку делать выводы, противоречащие очевидной интуиции.
Представим, что у нас есть веревка такой длины, что ее как раз хватает,
чтобы плотно обтянуть баскетбольный мяч в самой широкой его части (т. е.
по экватору). На сколько следует удлинить эту веревку, чтобы она отстояла от
поверхности мяча во всех точках ровно на один фут? Какие у вас будут
предположения?
Затем вообразим, что у нас есть веревка, обтягивающая по экватору
сферу размером с Землю, т. е. длина этой веревки составляет около 25 000 миль
(40 000 км)! Насколько теперь придется удлинить веревку, чтобы она
отстояла от поверхности Земли на один фут вдоль экватора?
Ответ, который для большинства оказывается неожиданностью,
заключается в том, что эта величина составляет 2π, или примерно 6,28 футов (1,91 м),
как для баскетбольного мяча, так и для Земли — т. е. примерно равна росту
взрослого человека. Если R — радиус Земли, а 1 + R — радиус увеличенной
окружности в футах, то, сравнив длину веревки до увеличения (2яД) и после
2π (1 + В), получаем, что разница между ними составляет 2π футов независимо
от значения радиуса Земли или баскетбольного мяча.
Задача, очень похожая на эту, содержится в написанном Уильямом Уисто-
ном в 1702 г. учебном пособии по «Началам» Евклида. Уистон, английский
теолог, историк и математик, вероятно, более всего известен своим
сочинением «Новая теория Земли от ее сотворения до свершения всех вещей» (1696), в
которой он выдвинул предположение о том, что Всемирный потоп был вызван
кометой.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Число π (250 до н. э.), Задача о зернах на
шахматной доске (1256).
Веревка или металлическая лента плотно обернута вокруг сферы размером с Землю по
экватору (или по любой другой огромной окружности). На сколько следует удлинить
ленту, чтобы она во всех точках отстояла от поверхности сферы ровно на один фут?
158

-
\
\

кг
Закон больших чисел
ЯкобБернулли (1654-1705)
UT
В 1713 г. доказательство закона больших чисел, принадлежащее
швейцарскому математику Якобу Бернулли, было опубликовано в его посмертно
изданной работе «Искусство предположений» (Ars Conjectandi). Закон больших
чисел - теорема теории вероятностей, описывающая долгосрочную
стабильность случайной переменной. Так, если число наблюдений за исходом
эксперимента (скажем, подбрасывание монеты) достаточно велико, то доля
некоторого результата (например, выпадения орла) будет близка к вероятности
такого результата — в данном случае 0,5. Говоря более формально, если
имеется последовательность независимых и одинаково распределенных
случайных переменных с конечными математическим ожиданием и дисперсией, то
среднее значение этих наблюдений будет приближаться к теоретическому,
или математическому ожиданию.
Предположим, что мы бросаем стандартную шестигранную игральную
кость. Можно ождидать, что среднее значение результатов, полученных при
последовательных бросках, будет стремиться к среднему арифметическому
всех возможных результатов, т. е. 3,5. Допустим, что в первые три броска
выпало 1, 2 и 6, т. е. полученное среднее значение составило 3. Однако с
увеличением числа бросков среднее арифметическое всех результатов в конце концов
неизбежно достигнет ожидаемого значения 3,5. Владельцы казино любят
закон больших чисел, поскольку благодаря ему они могут рассчитывать на
стабильные итоги розыгрышей в долгосрочной перспективе и планировать свою
деятельность соответствующим образом. Страховые компании полагаются на
закон больших чисел при планировании и расчете возможных убытков.
В «Искусстве предположений» Бернулли оценивает долю белых шаров
в урне, заполненной неизвестным числом черных и белых шаров. Вынимая
шары из урны и возвращая в урну случайный шар после каждого изъятия,
он определяет долю белых шаров в урне по доле вытащенных шаров, которые
оказались белыми. Согласно Бернулли, осуществив эти действия
достаточное число раз, можно достичь любой желаемой точности оценки. Он пишет:
«Бели бы наблюдения за всеми событиями продлить до вечности и тем самым
обратить предельную вероятность к идеальной определенности, то стало бы
ясным и наглядным, что все в мире происходит в определенных соотношениях...
Даже в самых случайных... событиях мы смогли бы увидеть проявление...
определенной закономерности».
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 до н. э.), Кривая нормального распределения (1733),
Санкт-Петербургский парадокс (1738), Теорема Байеса (1761), Игла Бюффона (1777),
«Аналитическая теория вероятностей» Лапласа (1812), Закон Бенфорда (1881), Критерий
хи-квадрат (1900).
Швейцарская памятная марка, выпущенная в честь математика Якоба Бернулли в
1994 г. На нее в том числе помещены график и формула, связанные с открытым
Бернулли законом больших чисел.
160

MATH Ε ' ΤΙ
■±(х,+...+хп)—>Е{
Π
BURKARD WALTENSPUL
1
С R &IER

кг
кг
Эйлерово число е
Леонард Пауль Эйлер (1707-1783)
По мнению английского астронома и автора научно-популярных книг Дэвида
Дарлинга, число е, «вероятно, самое важное в математике число. Хотя число
π более знакомо обычному человеку, число е обладает гораздо большей
значимостью и пронизывает собой сферы гораздо более высокие».
Значение числа е примерно равно 2,71828. Его можно вычислить многими
различными способами. К примеру, оно является предельным значением
выражения (1 + 1/п), возведенного в п-ю степень, где η неограниченно
возрастает. Хотя о существовании этой константы знали такие математики, как Якоб
Бернулли и Готфрид Лейбниц, первым, кто всерьез занялся изучением этого
числа, стал Леонард Эйлер. Он же первым использовал для его обозначения
букву е в письмах, написанных им в 1727 г. В 1737 г. он доказал, что число е
иррационально, т. е. не может быть выражено в виде от ношения двух целых
чисел. В 1748 г. Эйлер вычислил первые 18 знаков этого числа. На
сегодняшний день известно более 100 000 000 000 знаков числа е.
Число е используется в самых различных областях. Например, оно
входит в формулу, описывающую форму цепной линии — свободно провисающей
нити, закрепленной с двух концов, применяется при вычислении сложных
процентов и решении разнообразных задач теории вероятностей и статистики.
Оно также входит в состав одного из самых удивительных из всех
когда-либо открытых математических соотношений: еы + 1 = 0, объединяющего пять
важнейших математических символов: 1, 0, π, е и i (квадратный корень из
минус единицы). Американский математик Бенджамин Пирс говорил: «Мы не
в состоянии понять эту формулу и не знаем, что она значит, но нам удалось ее
доказать, а значит, мы можем быть уверены в ее истинности». По результатам
ряда опросов, проведенных среди математиков, она занимает первое место в
списке самых красивых математических формул. Казнер и Ньюман отмечают:
«Мы можем лишь воспроизводить это уравнение, не переставая задаваться
вопросами о его скрытом смысле. Оно равным образом взывает к мистику,
естествоиспытателю и математику внутри нас».
СМ. ТАКЖЕ Число π (250 до н. э.), Мнимые числа (1572), Постоянная Эйлера-Маскерони
(1735), Трансцендентные числа (1844), Нормальное число (1909)
Арка в Сент-Луисе имеет форму перевернутой цепной линии. Кривая цепной линии
задается формулой у = (а/2)-(ех/а + е-х/а). Эта арка является самым высоким в мире
памятником - ее высота составляет 630 футов (192 м).

'-« &
; v^?4
ι ,
?s-
- |1
Ί !!'
. \
ι ,

кг
от
о
Формула Стирлинга
Джеймс Стирлинг (1692-1770)
В наши дни факториалы встречаются в математике повсюду. Для
неотрицательного целого числа га запись «га факториал» (или факториал числа га,
обозначается га!) — это произведение всех положительных целых чисел, меньших
или равных га. Например, 4! =1x2x3x4 = 24. Обозначение га! было введено
французским математиком Кристианом Крампом в 1808 г. Факториалы
играют важную роль в комбинаторике, например в тех случаях, когда требуется
определить число возможных вариантов взаимного расположения объектов.
Они также встречаются в теории чисел, теории вероятностей и
математическом анализе.
Поскольку значения факториалов растут крайне быстро (к примеру,
значение 70! больше 10100, а 25206! больше Ю100000), удобные методы аппроксимации
значений больших факториалов оказываются невероятно полезными.
Формула Стирлинга, п!» л/2яе~~ппп+У2, позволяет получать точную оценку значения
га!. Здесь знак » обозначает «приближенно равно», а е и π математические
постоянные: е ~ 2,71828, π « 3,14159. При больших значениях га это
выражение преобразуется до еще более простой аппроксимации: 1п(га!) и raln(ra) — га, что
можно также записать в виде га!» п"е".
В 1730 г. шотландский математик Джеймс Стирлинг вывел эту формулу
в своей наиболее значимой работе, озаглавленной «Дифференциальные
методы» {Methodus Differentialis). Стирлинг начал свою математическую карьеру
в эпоху политических и религиозных конфликтов. Он поддерживал
дружеские отношения с Ньютоном, но большую часть своей жизни после 1735 г.
посвятил руководству промышленными предприятиями.
Кит Болл пишет: «На мой взгляд, это одно из самых важных достижений
математики XVIII в. Оно показывает нам, какие невероятные изменения
происходили в математике в XVII и XVIII вв. Логарифмы были изобретены лишь
около 1600-х гг. "Начала" Ньютона, заложившие принципы математического
анализа, появились 90 лет спустя. В течение последующих 90 лет
математики начали открывать формулы, подобные Стирлинговой — наполненные той
красотой и изяществом, которые были бы непрецставимы без формализации
математического анализа. Математика перестала быть утонченной игрой для
любителей — она стала занятием профессионалов».
СМ. ТАКЖЕ Логарифмы (1614), Принцип Дирихле (1834), Трансцендентные числа (1844),
Теория Рамсея (1928)
Формула Стирлинга в окружении ровно 4!, или 24, жуков.
164

l/2„-wwH-l/2
п\ ~ (2π)17ν^
•Ν.
s '

кг
от
Кривая нормального распределения
Абрахам де Муавр (1667-1754), Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855),
Пьер-Симон Лаплас (1749-1827)
Кривую нормального распределения, или закон распределения ошибок,
первым описал французский математик Абрахам де Муавр в своем сочинении
1733 г. «Вычисление приближенного значения суммы членов бинома (a+ЬУ при
разложении в ряд» (Approximatio ad summam terminorum binomii (α+6)" in se-
riem expansi). Несмотря на большой математический талант, де Муавр всю
свою жизнь провел в бедности. Ему даже приходилось подрабатывать игрой в
шахматы в кофейнях.
Нормальное распределение иногда называют распределением Гаусса в честь
Карла Фридриха Гаусса, занимавшегося подробным изучением этой кривой
годами позже. Оно представляет собой важное семейство непрерывных
распределений вероятности, использующихся практически во всех научных
областях, так или иначе связанных с анализом данных, полученных из
наблюдений. К таким областям относятся демография, статистика здравоохранения,
астрономические измерения, наследственность, распределение умственных
способностей, статистика страхования и вообще любая сфера, в которой
существует некоторый разброс экспериментальных данных и наблюдаемых
характеристик. По существу, именно в начале XVIII в. математики начали
осознавать, что множество самых различных измерений склонны проявлять одни и
те же характеристики рассеяния или распределения.
Нормальное распределение определяется двумя ключевыми
параметрами: математическим ожиданием (средним значением случайной величины) и
стандартным отклонением, определяющим дисперсию или степень рассеяния
значений. График плотности нормального распределения имеет вид
симметричной колоколообразной кривой, так как значения соответствующей
случайной величины больше сконцентрированы в середине, чем по краям.
Де Муавр пришел к понятию нормального распределения в рамках своих
изысканий по аппроксимации биномиального распределения, наблюдаемого,
например, в экспериментах с подбрасыванием монеты. Пьер-Симон Лаплас
использовал это распределение в 1783 г. при изучении погрешности
измерений. Гаусс применял его в 1809 г. при изучении астрономических данных.
Антрополог сэр Фрэнсис Гальтон писал о нормальном распределении так:
«Мне едва ли известно что-либо, способное в той же степени поразить
воображение, сколь та дивная форма космического порядка, которая выражена в
законе распределения ошибок. Древние греки персонифицировали бы этот
закон и обожествили бы его, если бы он был им известен. Он безмятежно и
скрыто правит среди дичайшего беспорядка».
СМ. ТАКЖЕ «Трактат» Омара Хайяма (1070), Треугольник Паскаля (1654), Закон
больших чисел (1713), Игла Бюффона (1777), «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа
(1812), Критерий хи-квадрат (1900).
Банкнота номиналом 10 немецких марок с изображением Карла Фридриха Гаусса в
окружении графика и формулы плотности нормального распределения.
166

BANK
со
LU
О
Ζ
э
ей
u-r
Χ
и
со
h-
Э
UJ
Ω
:.
s
**
I
Μ
■..■
.
о ■
-
."4sl.
, !..:ΐΓ^ί«
И
л
■э
о
о
"С
в
00
3
6К

кг
La
Постоянная Эйлера-Маскерони
Леонард Пауль Эйлер (1707-1783), Лоренцо Маскерони (1750-1800)
Численное значение постоянной Эйлера—Маскерони, обозначаемой греческой
буквой γ, составляет 0,5772157... . Это число связывает показательные
функции и логарифмы с теорией чисел. Оно определяется как предел выражения
(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/га — log га) при га, стремящемся к бесконечности.
Область применения числа γ широка — это число играет важную роль при
изучении бесконечных рядов, произведений, теории вероятностей и представлений
определенных интегралов. Например, среднее число делителей у всех чисел
от 1 до га очень близко к In га + 2γ — 1.
Задача вычисления значения γ не привлекла столь широкого
общественного интереса, как задача вычисления числа π, но и у числа γ есть много горячих
поклонников. Если сейчас нам известно до 1 241100 000 000 десятичных
разрядов π, то к 2008 г. было вычислено лишь около 10 000 000 000 разрядов γ.
Процесс вычисления значения числа γ значительно сложнее, чем процесс
вычисления π. Вот несколько первых его знаков: 0,577215664901532860606512
09008240243104215933593992....
История этой математической постоянной не менее длинна и
увлекательна, чем истории других знаменитых постоянных, например пне. Число γ и
его определение ввел Леонард Эйлер в своей работе «Наблюдения над
гармоническими прогрессиями» (лат. De Progressionibus harmonicis observationes),
вышедшей в 1735 г., но в свое время он смог вычислить всего шесть его
десятичных знаков. В 1790 г. итальянский математик и священник Лоренцо
Маскерони вычислил дополнительные знаки этой константы. Мы до сих пор
не знаем, можно ли выразить это число в виде дроби (так, например, число
0,1428571428571... можно представить как 1/7). Джулиан Хэвил,
посвятивший числу γ целую книгу, приводит в том числе следующий факт: известный
английский математик Годфри Харолд Харди обещал передать свое почетное
звание савилиаиского профессора в Оксфорде любому, кто докажет, что число
γ не может быть представлено в виде дроби.
СМ. ТАКЖЕ Число π (250 до н. э.), Представление числа π в виде суммы бесконечного
ряда (1500), Эйлерово число е (1727).
Портрет Леонарда Эйлера, выполненный Иоганном-Георгом Брукером (1756).
168

Задача о Кёнигсбергских мостах
Леонард Пауль Эйлер (1707-1783)
Теория графов — раздел математики,
занимающийся изучением связности объектов.
В задачах теории графов объекты для
простоты обычно представляются в виде точек
и соединяющих их линий. Одна из
старейших задач теории графов связана с семью
мостами немецкого города Кенигсберга
(ныне это город Калининград на
территории России). Жители старого Кенигсберга
любили совершать долгие прогулки вдоль
реки, протекающей через центр города,
прохаживаться по соединяющим ее берега мостам и собираться на островке
в ее середине. В начале XVIII в. кёнигсбержцы все еще точно не знали,
существует ли способ, позволяющий пройти по всем семи мостам, не пересекая ни
один мост дважды, и вернуться при этом в начальную точку пути. Наконец в
1736 г. Л. Эйлер доказал, что такого маршрута не существует.
Эйлер представил мосты в виде графа, в котором частям города
соответствуют точки, а мостам — линии, ребра графа. Он показал, что обойти граф,
проходя по каждому ребру в нем только однажды, возможно только в том
случае, если в графе имеется менее трех вершин нечетной степени (степень
вершины графа определяется числом линий, заканчивающихся или
начинающихся в этой точке). Граф Кёнигсбергских мостов не обладал нужными
характеристиками. Таким образом оказалось, что обойти граф, не проходя по
каждому ребру более одного раза, нельзя. Эйлер обобщил свои наблюдения до
анализа путешествий по любой сети мостов.
Задача о Кёнигсбергских мостах важна для истории математики тем, что
решение Эйлера соответствовало первой теореме теории графов. В наши дни
теория графов используется во множестве областей, начиная от изучения
путей химических реакций и транспортных потоков до социальных сетей,
образуемых интернет-пользователями. Теория графов даже способна описать
характер распространения венерических заболеваний. Придуманный Эйлером
простой способ представления связности мостов безотносительно их длин
оказался предвестником топологии — раздела математики, в котором изучаются
свойства и взаимоотношения чистых форм.
СМ. ТАКЖЕ Эйлерова характеристика правильных многогранников (1751), Игра «Икоси-
ан» (1857), Лента Мёбиуса (1858), Гипотеза Пуанкаре (1904), Теорема Жордана о кривых
(1905), Игра «Почки и побеги» (1967).
СЛЕВА: один из возможных маршрутов по четырем из семи Кёнигсбергских мостов.
СПРАВА: частичная карта Интернета, построенная Мэттом Бриттом. Длина
линий показывает временную задержку между двумя узлами. Различные цвета
обозначают разные типы узлов — к примеру, коммерческие, правительственные, военные или
образовательные.

ν
■г; ч
о
Чг
л.
-4J
·■*>
</'
->Л-
%.
* '*■
-*>
i\
Д
'/C.V
■J-1' -
",'"" ~τ
ι
"Й'
>·, -..,:
' >■*
* ■"' ■
7Τ ъ1 «■
'Λ^
*■: ' ·
>.
■ ■ ,
Φ
■
ч
.'. χ,
·*^-
ΐ)ν
ί ,
г f ' >
, ι Ίι
V ι <"*
A
> .-=:"' ν
"If
:'У:*\ь> Л&' •■'■■с
■■■t. ...·■■*

кг
00
Санкт-Петербургский парадокс
Даниил Бернулли (1700-1782)
Даниил Бернулли — швейцарский математик, физик и врач немецкого
происхождения. Он является автором увлекательной статьи по теории
вероятностей, опубликованной в 1738 г. в «Комментариях Петербургской
академии наук». В статье описывался парадокс, сейчас известный под названием
Санкт-Петербургского парадокса. Его проще всего объяснить на примере с
подбрасыванием монетки и деньгами, которые игрок получает в заисимости
о.т исхода бросков. Философы и математики долго рассуждали о приемлемой
плате за право участвовать в этой игре. А сколько вы были бы готовы
заплатить за участие в подобном развлечении?
Вот один из вариантов изложения Санкт-Петербургского парадокса. Будем
подбрасывать монетку до тех пор, пока не выпадет решка. Общее число бросков
η определяет размер выигрыша, равного $2". Таким образом, если монетка
при первом же броске падает решкой, игра заканчивается и выигрыш
составляет $2* = $2. Бели же в первый раз выпадает орел, то монетка подкидывается
снова. Если на второй раз выпадает решка, то игра прекращается, а выигрыш
составляет $22 = $4 и так далее. Подробный анализ заключающегося в этой
игре парадокса выходит за рамки данной книги, однако, согласно теории игр,
«рациональный игрок» участвует в игре тогда и только тогда, когда размер
вступительного взноса (ставки) за участие в игре меньше средней ожидаемой
суммы выигрыша. При разборе Санкт-Петербургской игры оказывается, что
любая конечная сумма начального взноса будет меньше ожидаемой средней
суммы выигрыша, т. е. рациональный игрок захочет вступить в игру
независимо от того, насколько велика будет конечная сумма вступительного взноса!
Питер Бернстайн так говорит о глубине парадокса Бернулли: «Эта
статья — одна из самых глубоких из всех когда-либо написанных работ не только
в отношении рисков, но и человеческого поведения. Акцент, который делает
Бернулли на сложной взаимосвязи между расчетами и инстинктом, касается
практически всех аспектов человеческой жизни».
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Аристотелево колесо (320 до н. э.), Закон
больших чисел (1713), Парадокс брадобрея (1901), Парадокс Банаха—Тарского (1924),
Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925), Парадокс дней рождения (1939), Парадокс
береговой линии (ок. 1950), Парадокс Ньюкома (1960), Парадокс Паррондо (1999).
С 1730-х гг. философы и математики много размышляли над Санкт-Петербургским
парадоксом. По мнению ряда ученых, при таких условиях игры игрок может выиграть
неограниченное количество денег. Но сколько бы вы в действительности заплатили за
право в ней участвовать?

Θ
Si V
"О
№
Φ
//Θ
§&
ίο
-ν
•β-
\ : V- Ν
\-
■^ л ^
&
\
0
,.;.©*
Λ*
.Λ
\
©
'V
ι «V
©
ο
ν
л -
Τ. .'
WT"
if
ό>
Ι

Проблема Гольдбаха
Кристиан Гольдбах (1690-1764), Леонард Пауль Эйлер (1707-1783)
Нередко труднейшие математические задачи обладаю! донельзя простыми
формулировками. В 1742 г. прусский историк и математик Кристиан
Гольдбах предположил, что любое целое нечетное число, большее 5, можно
записать в виде суммы трех простых чисел, скажем 21 = 11 + 7тЗ (простое
число — такое целое число, как например 11, 13, 17, у которого есть только
два целых делителя: 1 и оно само). Переформулированная Леонардом
Эйлером эквивалентная проблема (так называемая бинарная проблема Гольдбаха
или проблема Эйлера) гласит, что любое положительное четное число,
большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Чтобы
привлечь интерес к выходу романа «Дядя Петрос и проблема Гольдбаха», одно из
крупнейших английских издательств Faber and Faber учредило приз в
размере 1 000 000 долларов для того, кто смог бы доказать проблему Гольдбаха за
время с 20 марта 2000 г. до 20 марта 2002 г. Однако претендентов на вручение
приза так и не нашлось, и задача эта по сей день остается открытой. В 2008 г.
Томаш Оливейра-и-Силва, исследователь из университета Авейру
(Португалия), при помощи распределенных компьютерных вычислений подтвердил
правоту гипотезы Гольдбаха для всех чисел вплоть до 12 · 1017.
Разумеется, никакие вычислительные мощности не помогут решить эту
проблему для всех чисел вообще. Поэтому математики не теряют надежды
найти строгое математическое доказательство того, что интуциция
Гольдбаха оказалась верной. В 1966 г. китайский математик Чэнь Цзинжунь немного
приблизился к решению, доказав, что любое достаточно большое четное число
представимо либо в виде суммы двух простых чисел, либо в виде суммы
простого числа и полупростого (произведения двух простых чисел). Так,
например, число 18 равно сумме 3 + (3 χ 5). В1995 г. французский математик Оливье
Рамаре показал, что любое четное число, большее или равное 4, является
суммой не более чем шести простых чисел.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.). Решето Эратосфена (240 до н. э.).
Построение правильного семнадцатиугольника (1796), «Арифметические исследования»
Гаусса (1801), Гипотеза Римана (1859), Доказательство теоремы о распределении
простых чисел (1896), Константа Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта (1958), Скатерть У лама
(1963), Эрдёш и его опыт математического сотрудничества (1971), Криптография с
открытым ключом (1977), Гипотеза Андрики (1985).
«Комета Гольдбаха» — график, на котором отмечено количество возможных способов
(ось х) представить четное число η (ось у) в виде суммы двух простых чисел (4 < η <
< 1000000). Звездочка внизу слева располагается в точке 0, 0. Значения по оси χ
представлены на промежутке от 0 до приблизительно 15 000.
174

I
I
v.
■«■ч /■
-,/
/
. * ■

00
«Основы анализа» Аньези
Мария Гаэтана Аньези (1718-1799)
Итальянский математик Мария Аньези является автором «Основ анализа»
(ит. Instituzioni analitiche) — первого подробного учебника, охватывающего и
дифференциальное, и интегральное исчисления, и одновременно первого
дошедшего до нас математического сочинения, написанного женщиной.
Американский математик Дирк Ян Стройк называет Аньези «первой выдающейся
женщиной-математиком со времен Гипатии (V в.)».
Аньези была одаренным ребенком. К13 годам она владела по меньшей мере
семью языками. Большую часть своей жизни она избегала общения с другими
людьми и интересовалась исключительно вопросами математики и религии.
Клиффорд Трусделл пишет: «Она просила у своего отца позволения стать
монахиней. Придя в ужас от мысли о том, что его любимое дитя может его
покинуть, отец Марии умолял ее переменить решение». Аньези согласилась
остаться жить в отцовском доме до тех пор, пока ей будет обеспечено относительное
уединение.
Выход «Основ анализа» стал для научного сообщества настоящей
сенсацией. Комитет Парижской академии наук заключил: «Требовался большой ум и
мастерство для того, чтобы довести... до почти полного единообразия методов
все те разрозненные открытия, рассеянные по работам современных
математиков и зачастую выраженные весьма отличными друг от друга способами.
Порядок, ясность и точность царят во всех частях этой работы... Мы считаем
этот труд наиболее полным и прекрасно составленным сочинением». В
«Основах анализа» среди прочего приводится описание кривой третьего порядка,
которая получила имя верзьеры Аньези (или локона Аньези) — она
описывается уравнением у = 8а3/(хг + 4αζ).
Глава Болонской академии пригласил Аньези занять место профессора
математики в Болонском университете. Согласно некоторым свидетельствам,
Аньези так и не отправилась в Болонью, поскольку к тому времени полностью
посвятила себя религии и благотворительности. Тем не менее это делает ее
второй женщиной, получившей, хоть и номинально, профессорскую должность
(первой была Лаура Басси, 1711—1778). Аньези потратила все свое состояние
на помощь бедным и сама окончила свою жизнь в крайней бедности в
богадельне.
СМ. ТАКЖЕ Смерть Гипатии (415), Создание математического анализа (1665), «Анализ
бесконечно малых» Лопиталя (1696), Докторская степень Ковалевской (1874).
Фронтиспис книги «Instituzioni analitiche» («Основы анализа») - первого подробного
учебника, охватывающего и дифференциальное, и интегральное исчисления, и первого
дошедшего до нас математического сочинения, написанного женщиной.

INSTITUZIONI
AN ALITICHE
/ r ν so
■-*
. г
•V
ι
*!4
·:ϊ
t
t-
?.·
ι
ίν
L.
V
EG Ζ- J

кг
Эйлерова характеристика
выпуклых многогранников
Леонард Пауль Эйлер (1707-1783), Рене Декарт (1596-1650),
Пал Эрдёш (1913-1996,
Формула Эйлера для выпуклых многогранников считается одной из самых
красивых формул в математике и одной из первых великих формул
топологии — науки, занимающейся изучением чистых форм и их взаимосвязей.
Опрос, проведенный среди читателей журнала Mathematical Intelligencer,
присвоил этой формуле звание второй самой красивой формулы в истории -
на первом месте оказалась эйлерова формула еы + 1 = О, приводимая в разделе
«Эйлерово число е* (1727).
В 1751 г. Леонард Эйлер обнаружил, что для любого выпуклого
многогранника с числом вершин V, числом ребер Ε и числом граней F выполняется осот-
ношение V — Ε + F = 2. Многогранник называется выпуклым, если в нем нет
отверстий или углублений, или, более формально, если отрезок, проведенный
между двумя произвольными точками внутри такого многогранника,
полностью лежит внутри этого объекта.
К примеру, куб имеет 6 граней, 12 ребер и 8 вершин. Подставив эти значения
в эйлерову формулу, получаем 6 — 12 + 8 = 2. Для додекаэдра оно будет
записываться ^ак: 20 - 30 +12 = 2. Любопытно, что ок. 1639 г. Рене Декарт обнаружил
родственную формулу для многогранников, которую можно преобразовать в
формулу Эйлера при помощи нескольких простых математических шагов.
Позднее эта формула в обобщенном виде стала использоваться при
изучении сетей и графов и помогла математикам характеризовать сложные
геометрические объекты — например, многогранники с отверстиями или фигуры
более высоких размерностей. Формула Эйлера упрощает решение и многих
практических задач — например, компьютерные специалисты используют ее
при построении электросхем, а ученые-космологи обращаются к ней при
моделировании формы нашей Вселенной.
Эйлер уступает титул самого плодотворного математика в истории по
количеству публикаций лишь венгерскому ученому Палу Эрдёшу. К несчастью,
к концу своей жизни Эйлер потерял зрение. Впрочем английский автор
научно-популярных книг Дэвид Дарлинг отмечает: «Число его статей кажется
обратно пропорциональным качеству его зрения; скорость появления его работ
только увеличилась после того, как в 1766 г. он почти полностью ослеп».
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Архимедовы полуправильные
многогранники (240 до н. э.), Эйлерово число е (1727), Задача о Кёнигсбергских мостах (1736), Игра
«Икосиан > (1857), Формула Пика (1899), Геодезический купол (1922), Многогранник Ча-
сара (1949), Эрдёш и его опыт математического сотрудничества (1971), Многогранник Си-
лаши (1977), Спидроны (1979), Поиски холиэдра (1999).
Эйлерова характеристика (V - Ε + F) невыпуклых многогранников, например этого
маленького звездчатого додекаэдра, нарисованного Тейей Крашек, может отличатося
от 2. Здесь F = 12, Ε = 30, а V = 12, т. е. значение характеристики равно —6.

кг
Эйлерова задача о разбиении
многоугольников
Леонард Пауль Эйлер (1707-1783)
В 1751 г. Леонард Пауль Эйлер предложил прусскому математику
Кристиану Гольдбаху (1690—1764) следующую задачу: каким числом способов
плоский выпуклый η-угольник Еп можно разбить диагоналями на треугольники?
Или, если говорить менее формально, каким числом способов можно
разрезать многоугольный пирог на треугольные куски, ведя нож прямо от одного
угла до другого? Линии разрезов при этом не должны пересекаться. Эйлер
вывел следующую формулу:
2-6 10...(4п-10)
Многоугольник называется выпуклым, если отрезок, проведенный между
двумя произвольными точками внутри многоугольника, полностью лежит
внутри этого многоугольника. Математик и автор научно-популярных книг
Генрих Дёрри пишет: «Эта задача тем более интересна, что она скрывает в себе
множество сложностей, несмотря на внешне безобидный вид, как с
удивлением обнаружит читатель...». Эйлер и сам признавал: «Метод индукции,
который я использовал, оказался крайне трудоемким в применении».
Например, для квадрата £4 = 2, что соответствует двум его возможным диа-
i оналям. Для пятиугольника Еъ = 5. По существу, в первых экспериментах
решение легко ищется при помощи графического представления задачи, но с
увеличением сторон многоугольника визуальный поиск решений быстро
становится трудноосуществимым. Например, когда мы переходим к 9-угольни-
ку, число способов разбить его диагоналями на треугольники достигает 429.
Задача о разбиении многоугольников привлекла к себе большое внимание
со стороны многих ученых. В 1758 г. венгерско-немецкий математик Янош
Сегнер (1704 — 1777) вывел рекуррентную формулу для определения значений
Еп:Еп = EJL^ + Е3Еп 2 +... + Еп_гЕг. Рекуррентной называется такая формула,
в которой каждый последующий член выражается через предыдущие.
Любопытно, что значения Еп тесно связаны с другим классом чисел,
называемых числами Каталана {Еп = Св1). Числа Каталана встречаются в
комбинаторике — разделе математики, изучающем вопросы сочетания, размещения и
перестановки элементов конечных множеств.
СМ. ТАКЖЕ Архимед, песчинки и быки (250 до н. э.), Проблема Гольдбаха (1742),
Теорема Морли о трисектрисах (1899), Теория Рамсея (1928).
Правильный пятиугольник можно разбить диагоналями на треугольники пятью
различными способами.
180

Задача о ходе коня
кг
Абрахам де Муавр (1667-1754), Леонард Пауль Эйлер (1707-1783),
Адриен Мари Лежандр (1752-1833)
В задаче о ходе коня шахматный конь должен полностью обойти шахматную
доску размерами 8x8 клеток, ступив на каждую клетку доски ровно один
раз. Поиск различных видов таких маршрутов столетиями увлекал
математиков. Первое документально подтвержденное решение этой задачи было
дано Абрахамом де Муавром, французским математиком, который более
известен благодаря исследованиям кривой нормального распределения и
теоремам о комплексных числах. В решении де Муавра конь заканчивал свой
обход на клетке, которая лежала далеко от начальной точки пути.
Французский математик Адриен Мари Лежандр «улучшил» этот результат и нашег
решение, при котором первая и последняя клетки находятся на расстоянии
одного хода, т. е. весь путь коня замыкается в непрерывный круг из 64 ходов.
Такой маршрут называется замкнутым. Леонард Эйлер нашел такой
замкнутый маршрут, при котором конь обходит две половины доски по очереди.
Эйлер стал первым, кто написал математическую работу, подробно
анализирующую задачу о ходе коня- В 1759 г. он представил свою работу Берлин
ской академии наук, но опубликован этот знаковый труд был только в 1766 г.
Любопытно, что в 1759 г. Берлинской академией была учреждена премия в
размере 4000 франков за лучший труд, посвященный задаче о ходе коня. Эта
награда, однако, так и не была вручена — вероятно потому, что Эйлер был в то
время назначен главой Академии и не мог претендовать на ее получение.
В моем любимом варианте этой задачи конь проходит по шести граням
куба, каждая из которых представляет собой шахматную доску. Генри Дью-
дени приводит такой маршрут по кубу в своей книге «Математические
развлечения», и я полагаю, что он опирался при этом на решение (в котором все
грани последовательно обходятся конем по очереди) из более ранней работы
французского математика Александра Теофила Вандермонда (1735—1796).
Поклонниками этой задачи неоднократно разбирались ее решения для
шахматных досок, нанесенных на поверхность цилиндра, ленты Мёбиуса, тора,
бутылки Клейна и даже для пространств большей размерности.
СМ. ТАКЖЕ Лента Мёбиуса (1858), Бутылка Клейна (1882), Кривая IP о (1890).
Маршрут, шахматного коня по доске размерами 30 χ 30 клеток, обнаруженный ученым,
работающим в области информационных технологий, Дмитрием Брантом при помощи
нейронной сети, состоящей из группы соединенных друг с другом искусственных
нейронов. Их совместная работа и обеспечивала нахождение решения.

_ί_χД5i4l£-XL··"' &'fu£&'^£j\X
д223&аЗ&Л-ЗЗ^аа& 3
5$ίΌ$$&№.'
S^^S^^Az!
^^Δ^Σ^ί^η

кг
on
Теорема Байеса
Томас Байес (ок. 1702-1761)
Теорема Байеса, сформулированная английским математиком и
пресвитерианским священником Томасом Байесом, играет фундаментальную роль в
науке. Ее можно представить в виде простой математической формулы,
используемой для вычисления условных вероятностей. Условной
вероятностью Р(А\В) называется вероятность некоторого события А при условии того,
что произошло некое событие В. Согласно теореме Байеса, Р(А\В) = [Р(В\А) χ
< Р(А)]/Р(В). Здесь Р(А) — априорная вероятность события А, т. е. вероятность
события А в том случае, когда о событии В ничего не известно; Р(В\А) —
условная вероятность В при учете, что произошло событие А; Р(В) — априорная
вероятность события В.
Представим, что у нас есть два ящика. В ящике № 1 лежит 10 мячей для
гольфа и 30 бильярдных шаров. В ящике № 2 бильярдных шаров и мячей для
гольфа поровну, по 20 каждого вида. Вы выбираете случайный ящик и
достаете оттуда один предмет. Предполагается, что вероятность вытащить любой
шар или мяч одинакова. Вы вытаскиваете бильярдный шар. Какова
вероятность того, что выбранный вами ящик был ящиком № 1? Другими словами,
какова вероятность того, что объект вынут из ящика К: 1, если это
бильярдный шар?
Пусть событие А соответствует выбору ящика №1, а событие В — доставанию
бильярдного шара. Мы хотим вычислить Р(А\В). Вероятность Р(А) составляет
0,5, или 50%. Р(В) — вероятность достать бильярдный шар, если неизвестно,
какая коробка выбрана. Она вычисляется как сумма вероятностей доставания
бильярдного шара из каждого ящика, умноженных на вероятность выбора
этого ящика. Вероятность достать бильярдный шар из ящика № 1 равна 0,75.
Вероятность достать такой шар из ящика ·Ν"° 2 равна 0,5. Суммарная
вероятность достать бильярдный шар из неизвестного ящика, таким образом, равна
0,75 χ 0,5 + 0,5 χ 0,5 = 0,625. Р(В\А), или вероятность достать бильярдный шар
из ящика № 1, равна 0,75. Используя формулу Байеса, получаем, что
вероятность того, что шар извлечен из ящика № 1, т. е. Р(А\В), равна 0,6.
СМ. ТАКЖЕ Закон больших чисел (1713), «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа
(1812).
Перед вами два ящика - ящик № 1 (вверху) и ящик № 2 (внизу). Вы выбираете
случайный ящик и вытаскиваете из него бильярдный шар. Какова вероятность, что шар
был вытащен из верхнего ящика?
184

Магические квадраты Франклина
кг
on
Бенджамин Франклин (1706-1790)
52
14
53
61
3
60
11 6
55 58
4
13
62 >t
71
59
12
54
7 Ю
20
46
29
35
21Ш
43
23
9 8 θ 56 41
38
26
■
36
30
37
27
45
19
44
22
39 12
25
24
50
16
2
1 64
15
49
18
48
31
33
"4
32
47
Бенджамин Франклин был ученым, изобретателем, государственным
деятелем, издателем, философем, музыкантом и экономистом. В 1769 г. в письме
к своему коллеге он описал построенный им в ранние годы магический
квадрат.
Магический квадрат Франклина
состоит из 8 χ 8 клеток и обладает множеством
удивительных свойств, не все из которых,
возможно, самому Франклину были
известны. Числа в каждой строке и в каждом
столбце квадрата в сумме дают 260.
Половина каждой строки или столбца дает
в сумме 130 — половину 260. Кроме того,
каждый уголок дает в сумме 260.
Примеры уголков выделены на иллюстрации
серым. Квадраты, обведенные жирной
черной линией, как бы образуют «разбитый»
уголок (14 + 61 + 64+15+18 + 33 + 36
+ 19), который тоже дает в сумме 260.
В квадрате Франклина можно найти и много других красивых особенностей -
например, четыре числа по углам квадрата и четыре числа в его центре
также дают в сумме 260. Сумма чисел в любом малом квадрате 2x2 равна 130,
как и сумма любых четырех чисел, равноудаленных от центра квадрата. При
переводе чисел в двоичную систему счисления обнаруживаются еще более ин-
т( ресные закономерности. Увы, несмотря на все удивительные свойства этого
квадрата, основные его диагонали не дают в сумме 260, т. е. он, строго говоря,
не может быть назван магическим по классическому определению, в которое
входит условие о сумме чисел по диагоналям.
Нам неизвестно, какой метод использовал Франклин для построения
своих квадратов. Многие пытались раскрыть его секрет, но до 1990-х гг. не было
найдено ни одного быстрого алгоритма, а ведь Франклин утверждал, что
может создавать квадраты «так же быстро, как и писать». В1991 г. индиец Лалб-
хай Пател изобрел метод, позволяющий строить квадраты Франклина. Хотя
этот метод и отнимал довольно много времени, Пател со временем научился
быстро осуществлять эту процедуру. В магическом квадрате Франклина было
найдено столь большое число интересных особенностей, что он стал метафорой
математического объекта, наполненного закономерностями и свойствами,
которые продолжают обнаруживаться еще долгое время после смерти
первооткрывателя.
СМ. ТАКЖЕ Магические квадраты (2200 до н. э.), Совершенный магический тессеракт
(1999).
Портрет Бенджамина Франклина (1767) кисти Давида Мартина (1737—1797).
186

χ'
\
Λ
κ

кг
Минимальная поверхность
Леонард Пауль Эйлер (1707-1783), Жан Мёнье (1754-1793),
Генрих Фердинанд Шерк (1798-1885)
Представьте, что мы вынимаем из мыльной воды плоское проволочное
кольцо. Кольцо будет затянуто дискообразной мыльной пленкой, обладающей
меньшей площадью, чем все иные формы, которые гипотетически могли
бы образоваться, — математики называют такую поверхность минимальной.
Если говорить более строго, конечная минимальная поверхность часто
характеризуется наименьшей возможной площадью, ограниченной заданной
замкнутой кривой или кривыми. Средняя кривизна такой поверхности равна
нулю. Поиски математиками минимальных поверхностей и доказательств их
минимальности растянулись более чем на два столетия. Многие
минимальные поверхности, заключенные между ограничивающими кривыми в
трехмерном пространстве, отличаются большой красотой и сложностью.
В 1744 г. Леонард Эйлер открыл катеноид — первый пример минимальной
поверхности, выходящей за рамки тривиальных случаев вроде плоских
круглых форм. В 1776 г. французский геометр Жан Мёнье обнаружил геликоид-
ную минимальную поверхность (Мёнье, кроме того, был генералом
французской армии и создателем первого прототипа дирижабля - воздушного шара в
форме эллипсоида с винтовым управлением, способного перевозить людей).
Следующая минимальная поверхность была найдена немецким
математиком Генрихом Шерком только в 1873 г. В том же году бельгийский физик Же
зеф Плато провел серию экспериментов, которые привели его к
предположению о том, что мыльные пленки всегда образуют минимальные поверхности.
«Проблемой Плато» называются поиски математического обоснования
истинности этого утверждения. (Плато потерял зрение в результате эксперимента
по физиологии зрения, во время которого он безотрывно смотрел на Солнце
в течение 25 секунд.) Среди совсем недавних примеров можно вспомнить
минимальную поверхность Косты, первое математическое описание которой дал
бразильский математик Селсу Коста в 1982 г.
В наши дни математикам приходят на помощь компьютеры и средства
компьтерной графики. Они помогают вычислять и строить изображения все
новых минимальных поверхностей, которые часто бывают довольно
сложными. Поиск минимальных поверхностей может иметь значение для таких
практических областей, как материаловедение и нанотехнологии. Например,
некоторые полимеры при смешивании образуют поверхности раздела,
являющиеся минимальными поверхностями. Знание формы поверхности раздела
помогает ученым предсказывать химические свойства таких смесей.
СМ. ТАКЖЕ Труба Торричелли (1641), Псевдосфера Бельтрами (1868), Поверхность Боя
(1901).
Поверхность Эннепера — оана из минимальных поверхностей (изображение построено
Паулем Нюландером). Эта поверхность была открыта около 1863 г. немецким
математиком Альфредом Эннепером (1830-1885).
188

ч
[!

кг
кг
кг
Игла Бюффона
Жорж-Луи Леклерк, граф де Бюффон (1707-1788)
Метод Монте-Карло, названный так в честь района Монако, широко
известного своими многочисленными казино, играет важнейшую роль в математике
и науке. Он основывается на использовании случайных величин и
позволяет решать задачи из самых разнообразных областей, от статистики цепных
ядерных реакций до регулирования транспортных потоков.
Один из самых ранних и наиболее известных примеров использования
этого метода восходит к XVIII в., когда французский натуралист и математик
граф де Бюффон обнаружил, что, многократно бросая иглу на разлинованный
лист бумаги и подсчитывая число падений, при которых игла пересекает
нарисованные линии, можно получить приближенную оценку значения
математической постоянной «пи» (π = 3,1415...). Для простоты представьте, что мы
кидаем зубочистку на деревянный пол, причем ширина половой доски равна
длине зубочистки. Чтобы получить приближенное значение числа «пи»,
бросая на пол зубочистку, следует число бросков умножить на 2 и разделить на
число падений, при которых зубочистка ложилась так, что пересекала линию
между соседними досками.
Бюффон обладал множеством талантов. В составленной им энциклопедии
«Всеобщая и частная естественная история» (Histoire naturelle, generate et
particuliere) в 36 томах он обобщил всю известную к его времени информацию
о мире природы. Труд Бюффона оказал большое влияние на Чарльза Дарвина
и теорию эволюции,
Современные мощные компьютеры могут генерировать огромное
количество псевдослучайных чисел в секунду. Это позволяет ученым полностью реа-
лизовывать все преимущества метода Монте-Карло и решать задачи в области
экономики, физики, химии, предсказания структуры белка, формирования
галактик, искусственного интеллекта, лечения рака, прогнозирования
ситуации на фондовом рынке, поиска нефтяных месторождений, проектирования
обтекаемых форм, а также задачи чистой математики, к которым никакие
иные методы не применимы.
В наши дни внимание общественности к методу Монте-Карло было
привлечено такими физиками и математиками, как Станислав Улам, Джон фон
Нейман, Николас Метрополис, Энрико Ферми. Ферми использовал его для
изучения свойств нейтронов. Метод Монте-Карло использовался и для расчетов в
рамках «Проекта Манхэттен» — американской программы по разработке
атомной бомбы во время Второй мировой войны.
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 до н. э.), Число π (250 до н. э.), Закон больших чисел
(1713), Кривая нормального распределения (1733), «Аналитическая теория вероятностей»
Лапласа (1812), Создание рандомизирующих устройств (1938), Метод середины квадрата фон
Неймана (1946), Треугольник в шаре (1982).
Портрет Жоржа-Луи Леклерка, графа де Бюффона, выполненный художником Франсуа-
Юбером Друэ (1727-1775).
190

Ν
ч
с. р -V
л
9 '»»'
Ts
,ι
Ч* ■ ν
ν>^Λ74*
ч ·.

кг
кг
Задача о 36 офицерах
Леонард Пауль Эйлер (1707-1783), Гастон Тарри (1843-1913)
Пусть имеется шесть полков, в каждом из которых есть шесть офицеров
различного ранга. В 1779 г. Леонард Эйлер заинтересовался вопросом о том,
возможно ли выстроить этих 36 офицеров квадратом размерами 6x6 таким
образом, чтобы в каждом столбце квадрата находилось по одному офицеру из
каждого полка, а в каждой его строке — по одному офицеру каждого ранга.
Говоря языком математики, это эквивалентно нахождению двух взаимно
ортогональных латинских квадратов шестого порядка. Эйлер верно
предположил, что данная задача не имеет решения, а французский математик Гастон
Тарри строго доказал это в 1901 г. «Задача о 36 офицерах» содействовала
развитию комбинаторики — раздела математики, изучающего возможные
способы сочетания и размещения элементов. Сейчас латинские квадраты исполь
зуются в кодах обнаружения и исправления ошибок и в сие гемах связи.
Латинский квадрат представляет собой квадратную таблицу, заполненную
га наборами чисел от 1 до η таким образом, что каждая отдельная строка или
столбец содержат каждое число только один раз. Количество возможных
латинских квадратов начиная с га = 1 равно 1, 2, 12, 576, 161 280, 812 851 200,
61 479 419 904 000,108 776 032 459 082 956 800 и т. д.
Два латинских квадрата называются ортогональными, если среди га2 пар,
полученных при сопоставлении этих двух массивов, нет повторяющихся, т. е.
все они различны между собой (сопоставлением назовем объединение двух
чисел в упорядоченную пару). К примеру, так выглядят два взаимно
ортогональных латинских квадрата третьего порядка:
3 2 1 2 3 1
2 13 12 3
13 2 3 12
I I I
Эйлер также предположил, что если выполняется равенство га = 4fe + 2, где
k — положительное целое число, то в этом случае пары ортогональных
латинских квадратов размерами η χ га не существует. Эта гипотеза не была ни
доказана, ни опровергнута на протяжении более ста лет, пока, наконец, в 1959 г.
математики Э. Т. Паркер, Р. К. Боус и С. С. Шрикхенд не построили два
латинских квадрата размерами 22 χ 22 клеток. В настоящий момент доказано, что
два ортогональных латинских квадрата размерами га χ га существуют для всех
положительных целых значений га, кроме случаев га = 2 и га = 6.
СМ. ТАКЖЕ Магические квадраты (2200 до н. э.), Архимед, песчинки и быки (250 до
н. э.), Эйлерова задача о разбиении многоугольников (1751), Теория Рамсея (1928).
Пример латинского квадрата размером 6x6, раскрашенного шестью цветами таким
образом, что ни в одном столбце или строке ни один из цветов не повторяется. Теперь
нам известно, что существует 812 851 200 латинских квадратов шестого порядка.

кг
00
s0
Геометрические задачи «сайгаку»
ФудзитаКагэн (1765-1821)
Явление под названием сангаку, или «японская храмовая геометрия»,
зародилось в период изоляции Японии от западного мира примерно между
1639 и 1854 гг. Математики, фермеры, самураи, женщины и дети — все
население Японии было в тот период увлечено решением сложных
геометрических задач, которые записывались на особых табличках. Эти разноцветные
таблички обычно подвешивались к крышам храмов. Сохранилось более 800
табличек сангаку, многие из которых посвящены задачам о касающихся друг
друга окружностях. В качестве примера на соседней странице приведена
относительно поздняя табличка сангаку, созданная в 1873 г. 11-летним
мальчиком по имени Киндзиро Такасака. На ней изображен веер, составляющий
ровно треть от полного круга. Если диаметр желтого круга обозначить как dv
то чему будет равен диаметр зеленого круга <22? Правильный ответ выглядит
так: dz ~ d\ (>/3072 + 62) /193.
В 1789 г. японский математик Фудзита Кагэн опубликовал книгу «Симпэ-
ки Сампо» («Ма тематические задачи, вывешенные перед храмом»), ставшую
первым сборником задач сангаку. Древнейшая из дошедших до нас дощечек
датируется 1683 г., но имеются исторические свидетельства об их
существовании по меньшей мере уже с 1668 г. Большинство сангаку заметно
отличаются от привычных нам задач из учебников геометрии, поскольку поклонники
храмовых дощечек обычно увлечены окружностями и эллипсами. Некоторые
задачи сангаку настолько сложны, что физик Тони Ротман и преподаватель
Хидэтоси Фукагава в своей статье отмечают: «Современные геометры
неизменно используют при их решении сложные методы, в том числе
математический анализ и аффинные преобразования». Тем не менее задачи сангаку были
в принципе достаточно простыми, чтобы при некоторых усилиях их могли
решить даже дети.
Чад Бутин пишет: «Вероятно, не стоит удивляться тому, что судоку —
числовые головоломки, которые в наши дни, похоже, решают абсолютно все,
приобрели большую популярность в Японии, прежде чем распространиться
за океаном. Увлечение ими кажется отзвуком того математического безумия,
которое захлестнуло эти острова столетия назад, когда люди в охватившем их
воодушевлении обращали наиболее красивые геометрические решения в ис
кусно иллюстрированные деревянные дощечки, называемые сангаку...»
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Гипотеза Кеплера (1611), Теорема
Джонсона (1916).
Поздняя дощечка сангаку (1873), созданная 11-летним мальчиком.
194

t

кг
Метод наименьших квадратов
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Представьте, что вы входите в пещеру, с потолка которой свисают роскошные
сталактиты. Можно ожидать, что между длиной сталактита и его возрастом
существует определенная корреляция, хотя взаимосвязь между этими двумя
переменными может и не быть точной. Например, на рост сталактитов могут
влиять непредсказуемые колебания влажности и температуры. Однако если
предположить, что нам доступны химические или физические методы
оценки возраста сталактита, то мы сможем вывести общую тенденцию
зависимости его длины от возраста, которая позволит нам в будущем делать
примерные прогнозы.
Ключевую роль в науке при выявлении и построении подобных
зависимостей играет так называемый метод наименьших квадратов. В наши дни он
входит в большинство пакетов программного обеспечения для обработки
статистических данных. С его помощью наборы разрозненных и зашумленных
экспериментальных данных аппроксимируются прямыми линиями или
гладкими кривыми. Метод наименьших квадратов заключается в математической
процедуре нахождения кривой «наилучшего соответствия» для заданного
набора точек данных посредством максимального уменьшения суммы квадратов
расстояний от этих точек до аппроксимирующей кривой.
Анализ методом наименьших квадратов начал разрабатывать немецкий
ученый и математик Карл Фридрих Гаусс в 1795 г. Ему в то время было
всего 18 лет. Значимость своего метода Гаусс сумел доказать в 1801 г., когда с
его помощью ему удалось предсказать и определить будущее положение
астероида Церера. Следует сказать, что Цереру изначально открыл итальянский
астроном Джузеппе Пиацци (1746—1826) в 1800 г., но позднее этот астероид
скрылся за Солнцем, и после этого его новое местонахождение ученые
установить не могли. Австрийский астроном Франц Ксавер фон Цах (1754—1832)
отмечал, что «без тонкого ума и расчетов доктора Гаусса мы, возможно, так и
не смогли бы обнаружить Цереру вновь». Любопытно, что Гаусс долгое время
держал свои методы в секрете, чтобы сохранить преимущество перед своими
современниками и укрепить свою репутацию. Позднее он иногда публиковал
свои научные результаты в зашифрованном виде, и таким образом в случае
необходимости мог доказать, что он совершил какое-либо открытие прежде
остальных. Наконец, Гаусс раскрыл свой секретный метод наименьших
квадратов в 1809 г. в блестящем труде «Теория движения небесных тел».
СМ. ТАКЖЕ «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа (1812), Критерий хи-квадрат
(1900).
Плоскость наименьших квадратов. Здесь метод наименьших квадратов использовался
для нахождения плоскости «наилучшего соответствия» для заданного набора точек
данных. Сумма квадратов длин синих отрезков, параллельных оси у, являет.ся
минимально возможной.
196

кг
ON
Построение правильного
семнадцатиугольника
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
В 1796 г. Гаусс, которому тогда еще не было и 20 лет, обнаружил способ
построения правильного 17-угольника (гептадекагона) с использованием одних
лишь циркуля и линейки. Полученный результат он опубликовал в 1801 г. в
своей монументальной работе «Арифметические исследования» (Disquisitio-
nes Arithmeticae). Важность открытого Гауссом построения была обусловлена
тем, что все подобные попытки со времен Евклида оказывались неудачными.
Более 1000 лет математикам было хорошо известно, как при помощи
циркуля и линейки строить правильные га-угольники, в которых га кратно 3 или 5,
или является степенью 2. Гаусс расширил этот список, добавив в него
многоугольники с простым числом сторон вида 2(2"* + 1» где га — целое число. Можно
перечислить несколько первых таких чисел: F0 = 3, Ft = 5, F2 = 17, F3 = 257,
F4 = 65 537 (такие числа называются числами Ферма и необязательно
являются простыми). В 1832 г. был построен 257-угольник.
Даже в поздние годы Гаусс по-прежнему считал это открытие одним из
своих величайших достижений и хотел, чтобы правильный семнадцатиугольник
поместили на его надгробие. Согласно легенде, резчик по камню отказался
выполнить это условие, сославшись на то, что ввиду сложности построения
семнадцатиугольник в камне на вид ничем не будет отличаться от окружности.
1796 год был плодотворным для Гаусса. Самые разные идеи сыпались из
него как из рога изобилия. Помимо решения задачи о построении
семнадцатиугольника (30 марта), Гаусс изобрел модулярную арифметику и вывел закон
взаимности квадратичных вычетов (8 апреля) и закон распределения простых
чисел (31 мая). Он доказал, что любое положительное целое число можно
представить в виде суммы не более трех треугольных чисел (10 июля). Кроме того,
в этом же году Гаусс описал конечное поле вычетов по простому модулю (1
октября). Говоря о своем семнадц&гиу голышке, Гаусс упоминал, что был
«поражен» тем, что со времен Евклида так мало открытий было сделано в области
построения многоугольников.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), «Арифметические исследования» Гаусса (1801), Гипотеза Ри-
мана (1859). Доказательство теоремы о распределении простых чисел (1896), Константа
Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта (1958), Скатерть Улама (1963), Гипотеза Андрики
(1985).
Рыбка-клоун в семнадцатиугольном пруду.
198

*v
Г··
<- .
a
О
Ο
. ο
)
Γ.
^
^

^1
кг
Основная теорема алгебры
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Основная теорема алгебры имеет несколько формулировок. Согласно одной из
них, любой многочлен степени η > 1 с действительными или комплексными
коэффициентами имеет η комплексных корней. Другими словами, многочлен
Р{х) степени η имеет η значений х. (некоторые из них могут повторяться), при
которых Р(х) = О. Следует сказать, что алгебраическое уравнение степени η
имеет вид Р(х) = апх" + ап1хп1 + ... + atx + α0 = О, где αη Φ О.
В качестве примера рассмотрим квадратичный многочлен f(x) = χ2 — 4.
График этой функции представляет собой параболу с точкой минимума при χ = О.
Этот многочлен имеет два различных действительных корня (х = 2 и χ = — 2),
которые на графике функции представлены точками, в которых парабола
пересекает ось х.
Эта теорема, в частности, примечательна количеством попыток ее доказать.
Честь первого доказательства основной теоремы алгебры обычно приписыва-
ю г немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу, нашедшему его в 1797 г.
Гаусс представил это, первое, доказательство в своей докторской диссертации
1799 г. Оно касалось многочленов с действительными корнями и содержало
возражения против предшествующих попыток доказательств. По
современным стандартам, доказательство Гаусса было не вполне строгим, поскольку
он полагался на непрерывность некоторых кривых, но оно тем не менее стало
серьезным шагом вперед по сравнению со всеми предыдущими изысканиями.
О том значении, которое Гаусс придавал основной теореме алгебры, говорит
тот факт, что он постоянно к ней возвращался. В последней из написанных им
работ, вышедшей в 1849 г., — ровно через 50 лет после диссертации —
приводилось четвертое найденное им доказательство. Отметим, что в 1806 г. Жан
Роббер Арган (1768—1822) опубликовал строгое доказательство основной
теоремы алгебры для многочленов с комплексными коэффициентами. Следствия
основной теоремы алгебры важны для многих разделов математики, а для ее
доказательства привлекаются положения из самых разнообразных областей -
от общей алгебры и комплексного анализа до топологии.
СМ. ТАКЖЕ «Блестящая книга» Самуила ал-Магриби (1150), Построение правильного
семнадцатиугольника (1796), «Арифметические исследования» Гаусса (1801), Полиномы
Джонса (1984).
Иллюстрация Грега Фаулера, изображающая три решения уравнения г3 — 1 = 0. Корни
этого уравнения 1, —0J5 + 0.86603Ϊ и -0J5 — 0,86603i располагаются в центре больших
«глазков». Графическое решение уравнения получено при помощи метода Ньютона.
200

я*
ц
f.'
. ν ^
у
ι. -.ι
♦
V
4
·>· ^'
г .
ν-7·
. * ч.·
> β;
*»
Ч :>g:·, -
*
i
• 1 Л
* .%

«Арифметические исследования»
Гаусса
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855)
Стивен Хокинг пишет: «Когда Гаусс приступил к работе над своими эпо-
Охальными «Арифметическими исследованиями» (лат. Disquisitiones Arith-
metieae), теория чисел была не более чем набором бессвязных результатов..
В "Исследованиях" он ввел запись сравнимости по модулю и тем самым
объединил и обобщил теорию чисел». На момент публикации этого
монументального труда Гауссу было 24 года.
I V В Арифметических исследованиях» изложены основы модулярной арифме-
Ш тики, опирающейся на отношение сравнимости чисел по модулю. Два целых
числа ρ и q сравнимы по модулю целого числа s тогда и только тогда, когда разность
(p — q) делится на s без остатка, записывается как ρ = q (mod s). При помощи этой
^^, компактной записи Гаусс переформулировал и доказал знаменитый квадратич-
J ный закон взаимности, который был не полностью доказан несколькими годами
ранее французским математиком Адриеном Мари Лежандром (1752—1833).
Возьмем два различных нечетных простых числа ρ и q. Рассмотрим следующие
утверждения: (1) число ρ является полным квадратом по модулю числа q; (2) число
q является квадратом по модулю числа/?. Согласно квадратичному закону
взаимности, если νι р, и q сравнимы с 3 (mod 4), то верно ровно одно из утверждений (1)
и (2); в противном случае либо оба утверждения (1) и (2) верны, либо ни одно из
них не является верным. {Квадратом называется целое число, которое можно
записать в виде квадрата какого-либо другого числа, например 25 = 52.)
Таким образом, этот закон определяет разрешимость двух
взаимосвязанных квадратных уравнений в модулярной арифметике. Гаусс посвятил
рассмотрению этого закона отдельный раздел своей книги. Он считал этот закон
«золотой теоремой» и «жемчужиной арифметики» и был настолько им
увлечен, что составил восемь независимых способов его доказательства.
Математик Леопольд Кронекер говорил: «Совершенно удивительно, что
один-единственный человек, да еще в столь юном возрасте, оказался способен
на столь глубокое и хорошо выстроенное исследование по абсолютно новой
дисциплине». Используемый Гауссом метод изложения, в котором за
теоремами следуют доказательства, следствия и примеры, был усвоен последующими
авторами. Именно в «Арифметические исследования» уходят корнями работы
многих ведущих математиков XIX в. по теории чисел.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 мли до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), Построение правильного семнадцатиугольника (1796),
Гипотеза Римана (1859), Доказательство теоремы о распределении простых чисел (1896),
Константа Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта (1958), Скатерть Улама (1963), Эрдёш и его
опыт математического сотрудничества (1971), Криптография с открытым ключом (1977),
Гипотеза Андрики (1985).
Портрет Карла Фридриха Гаусса кисти датского художника Кристиана Альбрехта
Йенсена (1792-1870).
Μ
00
202

s
(

00
о
Протрактор
Джозеф Хаддарт (1741-1816)
Протрактором называют разновидность транспортира — устройства,
используемого для построения и измерения углов на плоскости или для
проведения линий под различными углами. Обычный транспортир
представляет собой полукруглый диск с нанесенной на него градусной шкалой от 0° до
180°. В XVII в транспортиры начали использоваться в навигации в качестве
самостоятельных инструментов, и они перестали служить частью других
устройств. С их помощью моряки прокладывали курс на морских картах.
В 1801 г. английский капитан Джозеф Хаддарт изобрел протрактор —
прибор для нанесения на навигационную карту местоположения корабля. Эта
разновидность транспортира состоит из трех линеек, две из которых способны
поворачиваться относительно неподвижной третьей центральной линейки.
Подвижные линейки можно закрепить под любым требуемым углом.
В 1773 г. Хаддарт, работая на Ост-Индскую компанию, отправился в
плавание к острову Св. Елены, расположенному на юге Атлантического океана, и
британскому владению Бенкулен на острове Суматра. Во время этого
путешествия он подробно исследовал западное побережье Суматры. Составленная им
в 1778 г. карта пролива Святого Георга, соединяющего Ирландское море на
севере с Атлантическим океаном на юго-западе, является признанным образцом
ясности и точности. Помимо изобретения протрактора, Хаддарт также
предложил использовать отметки уровня полной воды в лондонских доках, которые
пробыли в употреблении вплоть до 1960-х гг. Он спроектировал устройства на
паровой тяге для производства веревок и канатов, которые задали стандарты
качества в этой отрасли.
В 1916 г. Управлением гидрографии США было дано следующее описание
принципа использования протрактора: «На инструменте выставляются два
угла между тремя выбранными [опорными] объектами. Затем инструмент
перемещается по карте до тех пор, пока лучи, образуемые тремя его линейками,
не пройдут соответственно и одновременно через эти три выбранных объекта.
Центр инструмента при этом укажет положение корабля, которое можно
выколоть булавкой или отметить карандашом сквозь специально расположенное
в этом месте прибора отверстие».
СМ. ТАКЖЕ Локсодрома (1537), Проекция Меркатора (1569)
Джозеф Хаддарт, английский капитан и изобретатель протрактора. Протрактор -
разновидность транспортира, используемая для нанесения на навигационную карту
местоположения корабля.
204

\
.У
0&«р**а£кг/м**ь
Ι*—/
а*
<gUS^ ,<2рг.

00
о
кг
Ряд Фурье
Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830)
В наши дни ряды Фурье используются при решении множества практических
задач — от расчетов колебаний до обработки изображений, т. е. практически
в любой области, где требуется частотный анализ. К примеру, ряд Фурье
помогает ученым определять химический состав звезд или описывать то, как в
голосовом тракте возникает речь.
До создания своего знаменитого ряда французский математик Жозеф
Фурье сопровождал Наполеона в его египетском походе 1789 г., где несколько лет
провел за изучением египетских артефактов. Исследования Фурье в области
математической теории тепла начались около 1804 г. после возвращения во
Францию. К1807 г. он заверши и свой важный труд «О распространении тепла
в твердых телах». Среди интересов Фурье было изучение теплопроводности в
телах различной формы. При решении подобных задач исследователи обычно
располагают знанием о температуре в некоторых точках поверхности и на ее
краях в момент времени t = 0. Чтобы найти решение для такого класса задач,
Фурье и ввел ряд с членами из функций синуса и косинуса. Говоря более
широко, он обнаружил, что любую дифференцируемую функцию можно с
произвольной точностью представить в виде суммы функций синуса и косинуса
независимо от того, насколько причудливым может выглядеть ее график.
Биографы Джером Равец и Дж. Граттан-Гинесс пишут: «Достижение
Фурье можно понять, лишь оценив, насколько могущественными оказались те
математические средства, которые он изобрел для решения уравнений. Они
породили большой ряд последователей и поставили перед математическим
анализом новые задачи, которые стимулировали развитие этой области вплоть
до конца столетия и даже далее». Английский физик сэр Джеймс Джине
(1877—1946) отмечал: «Теорема Фурье говорит нам о том, что любую кривую,
независимо от ее природы или способа, которым она изначально была
получена, можно в точности воспроизвести наложением достаточного числа простых
гармонических кривых — коротко говоря, любую кривую можно получить на
слоением волн».
СМ. ТАКЖЕ Функции Бесселя (1817), Гармонический анализатор (1876),
Дифференциальный анализатор (1927).
Молекулярная модель гормона роста человека. Ряд Фурье и соответствующие мето
ды Фурье-синтеза используются для определения молекулярных структур по данным
рентгеновской дифракции.
206

I
ϊ
Ν
'.
Ч-

00
ы
«Аналитическая теория
вероятностей» Лапласа
Пьер-Симон, маркиз де Лаплас (1749-1827)
Первым крупным трудом по теории вероятностей, объединившим ее с
математическим анализом, стало сочинение французского математика и
астронома П.-С. Лапласа «Аналитическая теория вероятностей» (фр. Thiorie Analyt-
ique des Probabilites). Объектом изучения в теории вероятностей служат
случайные события. Хотя однократное подбрасывание кубика и можно назвать
случайным событием, при его многочисленном повторении станут очевидны
определенные статистические закономерности, изучение которых позволит
делать обоснованные предсказания результатов.
Первое издание лапласовой «Аналитической теории вероятностей» было
посвящено Наполеону Бонапарту и содержало методы нахождения
вероятностей составных событий по вероятностям составляющих. В книге также
описывался метод наименьших квадратов и игла Бюффона, рассматривались
многие практические аспекты применения вероятностной теории.
Стивен Хокинг назвал «Аналитическую теорию вероятностей» шедевром,
Он пишет: «Лаплас был убежден, что наш мир строго детерминирован и
случайных вещей в нем происходить не может. Вероятность является лишь
следствием недостатка нашего знания». По Лапласу, для достаточно совершенного
существа не осталось бы ничего «неопределенного» — эта концептуальная
модель стала главенствующей в науке вплоть до появления квантовой механики
и теории хаоса в XX в.
Чтобы объяснить, как вероятностные процессы могут иметь предсказуемые
результаты, Лаплас просит читателей представить несколько урн,
расставленных по кругу. В одной урне лежат только черные шары, в другой — только
белые. В остальных урнах белые и черные шары находятся в различных
пропорциях. Если мы достанем из одной урны шар и положим его в соседнюю урну, а
затем продолжим делать так по кругу, то в конце концов соотношение белых
и черных шаров во всех урнах окажется одинаковым. Этим Лаплас
показывает, что действие случайных «природных сил» может приводить к
результатам, характеризующимся предсказуемостью и порядком. Лаплас пишет:
«Примечательно, что этой науке, которая родилась из рассмотрения азартных
игр, суждено стать важнейшей областью человеческого знания... Важнейшие
вопросы жизни, по большей части, являются всего лишь задачами теории
вероятностей». Среди других знаменитых ученых, развивавших теорию
вероятностей, можно назвать Дж. Кардано (1501—1576), П. де Ферма (1601—1665),
Б. Паскаля (1623-1662) и А. Н. Колмогорова (1903-1987).
СМ. ТАКЖЕ Создание математического анализа (1665), Закон больших чисел (1713),
Кривая нормального распределения (1733), Игла Бюффона (1777), Метод наименьшие
квадратов (1795), Теорема о бесконечных обезьянах (1913), Треугольник в шаре (1982).
Лаплас отметил, что вероятность, уходящая корнями в анализ азартных игр, может
стать «важнейшим объектом человеческих знаний».
208

00
ON
Задача принца Руперта
Руперт Пфальцский (1619-1682), Питер Ньивланд (1764-1794)
Задача принца Руперта связана с долгой и увлекательной историей. Принц
Руперт был изобретателем, художником и воином. Он бегло говорил почти
на всех европейских языках и блестяще знал математику. В битвах принца
сопровождал огромный пудель, внушавший ужас солдатам противника,
поскольку считалось, что он обладает сверхъестественными силами.
В середине XVII в. принц Руперт сформулировал свою знаменитую
геометрическую задачу: какой наибольший деревянный куб можно протащить
сквозь заданный куб со стороной 1 дюйм? Если говорить более точно,
какова сторона R наибольшего квадратного отверстия, которое можно проделать в
кубе, не сломав его?
Сейчас нам известно, что ответ на эту задачу таков: R = 3V2/4 —1,060660 —
Другими словами, сквозь куб со стороной 1 дюйм может пройти куб со
стороной R (1,06...) дюймов и меньше. Принц Руперт выиграл в споре о том, что в
одном из двух одинаковых кубов можно проделать отверстие, достаточное для
того, чтобы сквозь него прошел второй куб. Многие думали, что это
невыполнимо.
Хотя задача принца Руперта впервые была опубликована Джоном Валли-
сом (1616—1703) в его «Трактате об алгебре» (1685), ее решение (1,060660)
было найдено лишь спустя столетие после пари Руперта с нидерландским
математиком Питером Ньивландом. Это решение было опубликовано посмертно
(1816) учителем Ньивланда Яном Хендриком ван Свинденом, обнаружившим
его среди своих бумаг.
Если вы возьмете куб и повернете его одним из углов к себе, то увидите
правильный шестиугольник Наибольший квадратный тоннель, который можно
проложить сквозь куб, вписывается именно в этот шестиугольник. По
расчетам математиков Ричарда Гая и Ричарда Новаковски, сторона наибольшего
куба, который можно продеть сквозь гиперкуб, составляет 1,007434775...,
т. е. квадратный корень из 1,014924... — наименьшего корня уравнения
4х4 - 28jc2 - 7хг + 16* + 16 = 0.
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Эйлерова характеристика выпуклых
многогранников (1751), Тессеракт (1888), Губка Менгера (1926).
Принц Руперт выиграл в споре о том, что в одном из двух одинаковых кубов можно
проделать отверстие, достаточное для того, чтобы сквозь него прошел второй куб.
Многие думали, что это невыполнимо.

J
1 '
It
V- ..; с 'ϊ
ν·.-.
I·" \" * ·
* 4
л
л » 4 'i>.
'.1
·■
\ *■
к
ι»
ϊ *
Л
%

00
Функции Бесселя
Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846)
кг
Немецкий математик Фридрих Бессель не получал никакого официального
образования после того, как ему исполнилось 14 лет. В 1817 г., изучая
движение планет под воздействием сил взаимного притяжения, Бессель ввел новый
тип функций, обобщив более ранние наблюдения математика Даниила Бер-
нулли (1700-1782).
Со временем функции Бесселя стали неоценимым инструментом во многих
математических и технических областях. Борис Григорьевич Коренев пишет:
«С функциями Бесселя связано огромное число различных технических задач
и разнообразных проблем, затрагивающих практически все важные области
математической физики». В самом деле, различные аспекты теории функций
Бесселя используются при решении задач в таких разделах физики, как
теплопроводность, гидродинамика, диффузия, обработка сигналов, акустика,
радиофизика и физика антенн, колебания пластин, колебания в цепях,
напряженные состояния, возникающие вокруг трещин в материалах,
распространение волн, атомная и ядерная физика. В теории упругости функции Бесселя
используются для решения многочисленных пространственных задач,
подразумевающих применение сферических и цилиндрических координат.
Функции Бесселя являются решениями особых дифференциальных
уравнений. Их графики напоминают колеблющиеся затухающие синусоидальные
волны. К примеру, в случае волнового уравнения с участием круглой
мембраны, например кожи на барабане, один из классов решений содержит
функции Бесселя. Решение для стоячей волны также может быть выражено в виде
функции Бесселя, т. е. функции расстояния г от центра до края мембраны.
В 2006 г. исследователи из Лабораторий Акисимы и Университета Осаки
(Япония) использовали функции Бесселя для создания устройства, которое
при помощи волн рисует на поверхности воды буквы и картинки. Оно
получило название AMOEBA (сокр. от англ. Advanced Multiple Organized
Experimental Basin). Это устройство состоит из 50 генераторов водных волн,
окружающих цилиндрический резервуар с водой диаметром 1,6 м и глубиной 30 см.
AMOEBA способна «произнести» полный латинский алфавит. Изображение
каждой буквы появляется на поверхности воды лишь на мгновение, но
воспроизводимые рисунки способны последовательно сменять друг друга каждые
несколько секунд.
СМ. ТАКЖЕ Ряд Фурье (1807), Дифференциальный анализатор (1927), Аттрактор Икеды
(1979).
Функции Бесселя используются при решении задач на распространение волн или
определения мод колебаний тонкой круглой мембраны (визуализация Пауля Нюландера).

00
Механический компьютер Бэббиджа
Чарльз Бэббидж (1792-1871),
Августа Ада Кинг, графиня Лавлейс (1815-1852
Чарльз Бэббидж — знаменитый английский аналитик, статистик и
изобретатель. Помимо этого, он отличался большим интересом к проблеме
религиозных чудес. Бэббидж писал: «Чудеса суть не нарушение установленных
законов, но... указание на существование законов иных, куда более высших».
Он настаивал на том, что чудеса могут случаться в механистическом мире.
Так же как и сам Бэббидж мог вносить странные и неожиданные действия в
программы своих машин, по мысли Бэббиджа, и Бог мог «программировать»
схожие аномалии в мироздании. Тщательно изучив библейские рассказы о
чудесах, он даже подсчитал, что шанс воскрешения человека из мертвых
составляет, по его оценке, 1 к 1012.
Бэббидж часто считается наиболее значимым математиком и инженером в
предыстории электронных вычислительных машин. В частности, он известен
соданием огромного управляемого вручную механического калькулятора -
дальнего предка наших современных компьютеров. Сам Бэббидж считал, что
его машина будет наиболее полезна при составлении математических таблиц.
Больнее всего он опасался ошибок, вносимых людьми при переписывании
вручную результатов с 31 металлического диска (устройства вывода
информации). Сегодня ясно, что Бэббидж примерно на столетие опередил свое время и
что условия той эпохи противоречили его благородным мечтаниям.
Свою работу над так называемой «Разностной машиной» Бэббидж начал в
1822 г., но ему не суждено было ее закончить. Предполагалось, что она
сможет вычислять значения полиномиальных функций и будет состоять
примерно из 25 000 механических деталей. Бэббидж также намеревался создать еще
один компьютер более общего назначения — Аналитическую машину. Такой
«компьютер» программировался при помощи перфокарт и имел раздельные
области для хранения чисел и вычислений. По расчетам, Аналитическая
машина, способная запоминать 1000 50-значных чисел, имела бы в длину более
100 футов (около 30 м). Составлением программы для Аналитической
машины занималась Ада Лавлейс, дочь знаменитого английского поэта Джорджа
Байрона. Несмотря на помощь и участие Бэббиджа в этой работе, именно Ада
традиционно считается первым программистом в истории.
В 1990 г. писатели Уильям Гибсон и Брюс Стерлинг выпустили роман
«Машина различий», в котором предлагают читателю вообразить, что было бы,
если бы механические компьютеры Бэббиджа получили широкое
распространение в викторианском обществе.
СМ. ТАКЖЕ Счёты (1200), Логарифмическая линейка (1621), Дифференциальный
анализатор (1927), ЭНИАК (1946), Арифмометр «Curta» (1948), НР-35: первый научный кар
манный калькулятор (1972).
Рабочая модель одного из узлов разностной машины Чарльза Бэббиджа. Сейчас она
входит, в экспозицию лондонского Музея науки.

ι η
ι*
II
n I
«I
8
98
9
1(1
• I

00
от
«Исчисление бесконечно малых»
Коши
Огюстен Луи Коши (1789-1857)
Американский математик Уильям Уотерхаус пишет: «Математический
анализ в начале XIX в. пребывал в любопытном состоянии. Не было никаких
сомнений в том, что он верен. Достаточно искусные и талантливые математики
успешно применяли его уже столетие. И при этом никто по-прежнему не moi
объяснить, как он работает .... Затем появился Коши» В своем сочинении
1823 г. «Собрание уроков по исчислению бесконечно малых» (фр. Resume des
lecons sur le calcul infinitesimal) плодовитый французский математик
Огюстен Коши развил и формализовал теорию математического анализа, а также
привел современное доказательство так называемый «основной теоремы
анализа», изящно объединяющей две главные ветви математического анализа
(дифференциальное и интегральное исчисления) в единую систему.
Копта начинает свое сочинение с четкого определения понятия
производной. Его учитель и наставник, французский математик Жозеф Луи Лагранж
(1736—1813), мыслил о производной в терминах кривых и считал производную
некоторой функции касательной прямой к графику этой функции. Чтобы
найти производную, Лагранж стал бы по мере необходимости перебирать
подходящие формулы. Стивен Хокинг пишет: «Коши зашел значительно дальше
Лагранжа; он определил производную функции / от χ как предел разностного
отношения Ay/Δχ = [f(x + i) — f(x)]/i* при i, стремящемся к нулю, что и
является нашим современным негеометрическим определением производной.
Аналогичным образом, сделав запись интегральных выражений более
ясной, Коши смог доказать основную теорему анализа, которая устанавливает
правило вычисления интеграла от функции f(x) на участке от χ = а до χ = Ъ для
любой непрерывной функции /. Говоря более точно, основная теорема анализа
гласит, что если / — интегрируемая функция на промежутке [а, 6], a H(x) —
интеграл от функции f(x) на участке от а до χ < Ь, то производная функции Н(х)
равна f(x). Другими словами, Н'(х) = f(x).
Уотерхаус заключает: «Коши в сущности не заложил никаких новых
основ; он лишь сдул плотную завесу пыли с величественного здания
математического анализа, уже покоящегося на прочном фундаменте...».
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до и. э.), Создание математического анализа (1665),
«Анализ бесконечно малых» Лопиталя (1696), «Основы анализа» Аньези (1748), «Аналь
тическая теория вероятностей» Лапласа (1812).
Огюстен Луи Коши, литография Грегуара и Пене.

v^-
"λ Λ —
.ν
4
%.
"У".
Чл
к "&
ν-·
■τ i.".-'^ ~
J
&
&
V
л>
V
«»
c^^. L^Z&&.

00
кг
Барицентрическое исчисление
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
Немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус, знаменитый благодаря
названной его именем односторонней петле — ленте Мёбиуса, — также внес
большой вклад в развитие математики изобретением барицентрического
исчисления. Барицентрическое исчисление — метод геометрического
определения точки как центра тяжести системы других точек, которым приписаны
определенные массы. Барицентрические координаты Мёбиуса можно
представить себе при помощи опорного треугольника. Эти координаты обычно
записываются в виде тройки чисел, которые соответствуют воображаемым
массам, помещенным в вершины треугольника. Тем самым эти массы
определяют точку, являющуюся геометрическим центром масс этого
треугольника. Новые алгебраические методы, которые Мёбиус изложил в своей книге
1827 г. «Барицентрическое исчисление» (нем. Der Barycentrische Calcul), со
временем приобрели широкое использование. В этой классической работе
также обсуждались смежные разделы аналитической геометрии, в том числе
проективные преобразования.
Слово «барицентр» происходит от греческого «барис» («тяжелый») и
обозначает центр масс. Мёбиус справедливо предположил, что несколько грузов,
расположенных вдоль прямого стержня, можно заменить одним грузом,
помещенным в центр масс этого стержня. Исходя из этого простого принципа,
он вывел математическую модель, в которой каждой точке пространства
приписываются числовые весовые коэффициенты.
Сейчас барицентрические координаты считаются разновидностью обычных
координат и применяются во многих областях математики и компьютерной
графики. Барицентрические координаты отличаются особым удобством
использования в разделе проективной геометрии, посвященном вопросам
инцидентности — совпадения либо несовпадения таких элементов, как прямые,
плоскости и точки. В проективной геометрии также рассматриваются
взаимоотношения между объектами и их изображениями, получающимися при
проецировании этих объектов на некоторую поверхность — такие изображения или
проекции можно представить себе как тени, отбрасываемые твердыми телами.
СМ. ТАКЖЕ «Геометрия» Декарта (1637), Проективная геометрия (1639), Лента Мёбиуса
(1858).
Барицентрические координаты. Точка Ρ является барицентром точек А, В и С.
Говорится, что [А, В, С] - барицентрические координаты точки Р. Если треугольник ABC
поместить на острие иглы в точке его барицентра, он будет сохранять равновесие.

110
10
kg
10
kg
BRIAN С. MANSFIELD

00
Неевклидовы геометрии
Николай Иванович Лобачевский (1792-1856),
Янош Бойяи (1802-1860), Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866)
Со времен Евклида (ок. 325 до н. э.— ок. 270 до н. э.) казалось, что так
называемый постулат о параллельности (или постулат о параллельных прямых)
адекватно описывает устройство нашего трехмерного мира. Согласно этому
постулату, в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести только одну прямую, которая никогда не пересечется с данной.
Создание систем неевклидовой геометрии, в которых этот постулат не
соблюдается, со временем привело к колоссальным последствиям. Эйнштейн
говорил о неевклидовой геометрии следующее: «Этой трактовке геометрии я
придаю величайшее значение, ибо не будь я с ним знаком, я бы никогда не
смог создать теорию относительности». По существу, в общей теории
относительности Эйнштейна пространство-время представляет собой неевклидову
геометрическую систему, в которой пространство-время деформируется, или
искривляется, вблизи гравитирующих тел, таких как Солнце и планеты. Про
исходит это так: представьте, что вы положили шар для боулинга на толстый
лист резины. Бели затем поместить небольшой шарик в образовавшееся
углубление и его подтолкнуть, то некоторое время маленький шарик будет
обращаться вокруг шара для боулинга подобно тому, как планеты обращаются
вокруг Солнца.
В1829 г. русский математик Николай Иванович Лобачевский опубликовал
свой труд «О началах геометрии», в котором представил полностью
согласованную геометрическую систему, основанную на положении о ложности
постулата о параллельности. Несколькими годами ранее венгерский математик
Янош Бойяи разработал похожую неевклидову геометрию, но его результаты
были опубликованы лишь в 1832 г. В 1854 г. немецкий математик Бернхард
Риман обобщил открытия Бойяи и Лобачевского, показав, что при
соответствующем числе измерений могут существовать различные неевклидовы
геометрии. Риман однажды заметил: «Ценность неевклидовой геометрии
заключается в том что она освобождает нас от власти устоявшихся представлений и
позволяет подготовиться к тому времени, когда открытие физических законов
потребует геометрии, отличной от евклидовой». С появлением общей теории
относительности это предсказание исполнилось.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), «Трактат» Омара Хайяма (1070),
«Геометрия» Декарта (1637), Проективная геометрия (1639), Гипотеза Римана (1859),
Псевдосфера Бельтрами (1868), Многообразие Уикса (1983).
Гиперболическая мозаика Джоса Лейса является примером одной из разновидностей
неевклидовой геометрии. Нидерландский художник Мауриц Эшер также знаменит
своими экспериментами с неевклидовыми геометрическими системами, в которых целую
вселенную подчас можно сжать и представить в виде конечного диска.
220

\
w
^
\
"Ч*
■si
. υ j .

00
от
Функция Мёбиуса
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
В 1831 г. Август Мёбиус придумал и описал интересную экзотическую
функцию, которая теперь носит его имя и обозначается μ(η). Чтобы понять, как
работает эта функция, представим себе, что нам надо разложить все целые
числа по трем большим корзинам. При этом каждое число должно
располагаться ровно в одной из трех корзин. На первой корзине крупно написано
«0», на второй «+1», а на третьей «—1». В корзину, обозначенную «0», Мёбиус
помещает все числа, кратные квадратным числам (кроме 1), т. е. 4, 8, 9, 12,
16, 18,... . Квадратное число — это такое число, которое является квадратом
другого целого числа (например, 4, 9, 16 и т. д.). К примеру, μ(12) = 0, так
как 12 кратно квадратному числу 4 и потому помещается в корзину «0».
В корзину, обозначенную «—1», Мёбиус кладет числа, которые
раскладываются в нечетного числа простых множителей. Например, 5 χ 2 χ 3 = 30, поэтому
число 30 попадет в эту корзину, так как у него три простых делителя. Все
простые числа также окажутся здесь, поскольку у них есть только один простой
делитель — они сами. Таким образом, μ(29) = —1 и μ(30) = —1. Оказывается,
вероятность того, что произвольное число попадет в корзину с надписью «—1»,
равна З/π2 и совпадает с вероятностью попасть в корзину с надписью «+1».
Наконец, рассмотрим корзину, обозначенную «+1». В ней оказываются все
числа, раскладывающиеся в произведение четного числа различных простых
множителей (например, 6:2x3 = 6). Для полноты Мёбиус помещает в эту
корзину единицу. Числа в этой корзине образуют следующий ряд: 1, 6, 10, 14,
15,21, 22.... Первые 20 значений загадочной функции Мёбиуса выглядят так:
μ(η) = {1, -1, -1, 0, -1,1, -1, 0, 0,1, -1, 0, -1,1,1, 0, -1, 0, -1, 0}.
Удивительно, но ученые обнаружили, что функция Мёбиуса имеет
практическое применение в области интерпретации теории субатомных частиц.
Функция Мёбиуса также интересна тем, что полностью ее поведение не
разгадано, и тем, что множество математических соотношений так или иначе
содержат μ(η).
СМ- ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 мли до н. э.)> Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Гипотеза Андрики (1985).
Август Фердинанд Мёбиус, фронтиспис собрания сочинений с портретом автора.

V ■",.-·
«fv>
V·
»·ν ' ι:
■ϊ ' ^ 'к-
^ ;.^ .-.i; *-
αί: us
ί^-sfT

00
Теория групп
ЭваристГалуа (1811-1832)
Французский математик Эварист Галуа способствовал созданию важного
раздела абстрактной алгебры, носящего его имя, — теории Галуа. Он знаменит
благодаря своему вкладу в теорию групп, связанную с изучением понятия
симметрии. В частности, в 1832 г. Галуа разработал метод определения
разрешимости алгебраического уравнения в радикалах и тем самым, по существу,
положил начало современной теории групп.
Мартин Гарднер пишет: «В 1832 г. ...он был убит выстрелом из пистолета.
...Ему не было еще и 21 года. Нескоторые ранние отрывочные результаты в
области групп были получены и до него, но именно Галуа первым заложил
основы современной теории групп и даже дал ей название в длинном грустном
письме, которое он написал своему другу в ночь перед роковой для него
дуэлью». Ключевой характеристикой группы является то, что она представляет
собой множество элементов вместе с некоторой операцией, при применении
которой к любым двум элементам из этого множества в результате
получается элемент из этого же множества. В качестве примера рассмотрим множество
целых чисел и операцию сложения — вместе они образуют группу. При
сложении двух целых чисел всегда получается целое число. Геометрический объект
удобно характеризовать через его группу симметрии, определяющей
особенности симметрии объекта. Эта группа состоит из множества преобразований,
при применении которых к объекту он остается неизменным. В наши дни
многие важные разделы теории групп часто объясняются учащимся на примере
кубика Рубика.
Обстоятельства, приведшие к гибели Галуа, так никогда и не были
полностью выяснены. Возможно, его смерть стала следствием ссоры из-за
женщины или политических разногласий. В любом случае, готовясь к концу, Галуа
провел ночь, лихорадочно записывая свои математические идеи и открытия.
На рисунке справа приведена страница из сделанных им в последнюю ночь
записей, посвященная решению уравнений пятой степени (уравнений, содержа-
щих хб).
На следующий день Галуа был тяжело ранен выстрелом в живот. Он
беспомощно лежал на земле. Рядом не было врача, а его противник просто взял и
ушел с места поединка, оставив Галуа корчиться в предсмертных муках. Все
научное наследие Галуа умещается менее чем в 100 страницах посмертно
опубликованных гениальных работ.
СМ. ТАКЖЕ Группы симметрии орнаментов (1891), Программа Ленглендса (1967), Кубик
Рубика (1974), Группа-Монстр (1981), В поисках группы Ли Ε (2007).
Поспешные математические записи, сделанные Галуа в ночь перед роковой дуэлью. На
этой странице слева чуть низке центра различимы слова «Une femme» {φρ.
«женщина»), где «femme» перечеркнуто — возможный намек на причину дуэли
224

7^ ^*^>^-· _

00
ОТ
Принцип Дирихле
Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805-1859)
Первая формулировка этого принципа (1834) принадлежит немецкому
математику Иоганну Дирихле — по этой причине принцип чаще называют
«принципом Дирихле», хотя сам он использовал термин Schubfachprinzip
(«принцип ящиков»). Выражение «принцип голубей и ящиков» впервые было
использовано математиком Рафаэлем Робинсоном при публикации в серьезном
математическом журнале (1940). Говоря простым языком, если имеется т
ящиков и η голубей, можно быть уверенным, что по крайней мере в одном
ящике находится больше одного голубя при условии, что η > т и все голуби
рассажены по ящикам.
Это простое утверждение широко используется в самых разных областях -
от сжатия цифровых данных до задач с участием бесконечных множеств,
которые невозможно поставить во взаимнооднозначное соответствие друг
другу. «Принцип голубей и ящиков» в обобщенном виде имеет применение и в
"еории вероятностей: если η голубей случайно распределяются по т ящикам
с равными вероятностями 1/т, то по крайней мере в одном ящике окажется
более одного голубя с вероятностью 1 — т\/[(т — п)!/га"]. Рассмотрим несколько
примеров, в которых следствия этого принципа могут привести к
неинтуитивным результатам.
В соответствии с принципом Дирихле в Нью-Йорке должно проживать по
меньшей мере двое людей с одинаковым числом волос на голове. Представим
число волос в виде «ящиков», а людей в виде «голубей». В Нью-Йорке живет
более 8 млн человек, а волос на голове у человека гораздо меньше миллиона;
таким образом, должно существовать по меньшей мере два человека с ровно
одним и тем же числом волос на голове.
Поверхность листа бумаги размером с долларовую купюру раскрашена в
синий и красный цвета. Всегда ли возможно найти на такой поверхности две
точки одного цвета, так чтобы они лежали на расстоянии ровно одного дюйма
друг от друга независимо от того, насколько причудливо поверхность
раскрашена? Чтобы ответить на этот вопрос, нарисуем равносторонний треугольник
со стороной один дюйм. Цвета в этом случае будут «ящиками», а вершины
треугольника — «голубями ». По меньшей мере две вершины в таком треугольнике
неизбежно будут одного цвета. Это доказывает, что на расстоянии ровно
одного дюйма друг от друга должны существовать две точки одного цвета.
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 до н. э.), «Аналитическая теория вероятностей»
Лапласа (1812), Теория Рамсея (1928).
Если имеется т домиков для голубей и η голубей, то по крайней мере в одном домике
находится больше одного голубя при условии, что η > т.
226

ι..

00
Кватернионы
Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865)
Кватернионы — четырехмерные числа, придуманные в 1843 г. ирландским
математиком Уильямом Гамильтоном. В наши дни кватернионы
используются для описания динамики движения тел в трехмерном пространстве,
применяются в компьютерной графике, при создании виртуальных пространств и
программировании видеоигр, при обработке сигналов, в робототехнике и
биоинформатике, при изучении геометрических характеристик пространства-
времени. В программном обеспечении космических кораблей «Спейс шаттл»
кватернионы используются при расчетах траектории движения, навигации и
общем управлении полетом, потому что работать с ними быстро, компактно
и надежно.
Несмотря на потенциальную полезность кватернионов, некоторые
математики сначала были настроены в отношении них весьма скептически.
Шотландский физик Уильям Томсон (1824—1907) писал: «Кватернионы явились
Гамильтону уже после того, как большая часть действительно хороших работ
была им завершена; хотя они и удивительно гениальны, но сулят лишь чистое
зло тем, кто так или иначе их касается». В то же время инженер и
математик Оливер Хевисайд в 1892 г. высказывался так: «Изобретение кватернионов
следует считать наиболее выдающимся достижением человеческой
гениальности. Векторный анализ без кватернионов мог бы открыть любой математик
...но для того, чтобы ввести кватернионы, требовался истинный гений».
Любопытно, что Теодор Качинский (террорист по прозвищу «Унабомбер») писал
сложные математические работы по кватернионам, до того как перейти к
массовой рассылке бомб по почте.
Кватернион в четырехмерном пространстве определяется как Q = a0 + a1i +
+ aj + a3k, где i, j и k являются (подобно мнимому числу i) единичными
векторами в трех взаимно ортогональных (перпендикулярных) направлениях,
перпендикулярными к вещественной числовой оси. При сложении и
перемножении кватернионы ведут себя как многочлены, но при этом i, / и k обладают
следующими свойствами: i2 = j2 = k2 = — 1; ij = —ji = k; jk = —kj = i;ki = —ik = j.
Гамильтон упоминал, что нацарапал эти формулы ножом на одном из камней
дублинского моста Брум Бридж во время прогулки с женой, после того как они
явились ему во внезапной вспышке озарения.
СМ. ТАКЖЕ Мнимые числа (1572).
Трехмерное сечение четырехмерного кватернионного фрактала, построенное физиком
Лео Финком. Эта замысловатая поверхность отображает сложное поведение функции
Qn+1 = Qn2 + c.zdeQuc- кватернионы и с = -0,35 + 0,7i + 0,15} + 0,3k.
228

1

00
Трансцендентные числа
Жозеф Лиувилль (1809-1882), Шарль Эрмит (1822-1901),
Фердинанд фон Линдеман (1852-1939)
В 1844 г. французский математик Жозеф Лиувилль предложил
научному сообществу рассмотреть следующее очень интересное число:
0,110001000000000000000001000..., которое позднее было названо
постоянной Лиувилля. Можете ли вы догадаться, что оно означает и какой принцип
использовался при его построении?
Лиувилль показал, что это необычное число является трансцендентным,
тем самым сделав его одним из первых чисел, трансцендентность которых была
доказана. Обратите внимание, что в этой постоянной единицы (1) стоят на тех
местах после запятой, которые соответствуют факториалам, а все остальные
позиции заполнены нулями. Иными словами, единицы располагаются только
на 1-м, 2-м, 6-м, 24-м, 120-м, 720-м и т. д. местах после запятой.
Трансцендентные числа настолько необычны, что были «открыты» лишь
относительно недавно. Всем, вероятно, хороню знакомо только одно из них -
число π, а кроме него еще, может быть, Эйлерово число е. Эти числа нельзя
выразить в виде корней алегбраического уравнения с рациональными
коэффициентами. Это означает, к примеру, что число π не может быть точным решением
уравнений вида 2х* — 3xs +7 = 0.
Доказать, что число является трансцендентным, довольно сложно. В1873 г.
французский математик Шарль Эрмит показал, что число е является
трансцендентным, а в 1882 г. Фердинанд фон Линдеманн доказал трасцендентность
числа π. В 1874 г. немецкий математик Георг Кантор вызвал большое
удивление со стороны многих математиков, показав, что «почти все» вещественные
числа трансцендентны. То есть, если бы каким-либо образом было возможно
положить все числа в одну банку, а затем потрясти ее и вытянуть одно наугад,
оно практически наверняка оказалось бы трансцендентным. И все же,
несмотря на подобное «изобилие» трансцендентных чисел, лишь некоторые из них
известны и имеют собственные имена. Точно так же в небе видно множество
звезд, но сколько из них вы сможете назвать?
Помимо своих математических изысканий, Лиувилль активно участвовал
в политической жизни Франции и в 1848 г. вошел в состав Национального
учредительного собрания. После поражения на выборах следующего года
Лиувилль впал в глубокую меланхолию. Его записи стали бессвязными и начали
обильно перемежаться поэтическими цитатами. Тем не менее на протяжении
своей жизни Лиувилль написал более 400 серьезных математических работ.
СМ. ТАКЖЕ Гиппократовы луночки (440 до н. э.), Число π (250 до н. э.), Эйлерово число
е (1727), Формула Стерлинга (1730), Трансфииитные числа Кантора (1874), Нормальное
число (1909), Число Чамперноуна (1933).
Французский математик Шарль Эрмит (ок. 1887). В 1873 г. Эрмит доказал, что число
Эйлера «е» является трансцендентным
230

00
Гипотеза Каталана
Эжен Шарль Каталан (1814-1894), Преда Михайлеску (р. 1955)
Обманчиво простые задачи о целых числах могут приводить в замешатель
ство даже самых блестящих математиков. Как и в случае последней теоремы
Ферма, на то, чтобы доказать или опровергнуть простые утверждения,
касающиеся целых чисел, могут уйти столетия. Некоторые такие задачи,
возможно, не удастся решить никогда даже объединенными усилиями человека
и компьютера.
Чтобы объяснить, в чем состоит суть гипотезы Каталана, рассмотрим
последовательность квадратов целых чисел, больших 1, т. е. 4, 9,16, 25,... и
последовательность кубов: 8, 27, 64,125.... Если мы объединим эти два ряда и
расположим числа в них по порядку, то получим последовательность 4, 8, 9, 16,
25, 27, 36.... Обратите внимание, что 8 (куб 2) и 9 (квадрат 3) —
последовательные числа, т. е. числа, следующие друг за другом на числовой оси. В 1844 г.
бельгийский математик Эжен Каталан предположил, что 8 и 9 — единственные
последовательные степени целых чисел! Если бы существовали другие
аналогичные пары, то они являлись бы некоторыми целочисленными значениями,
при которых выражение хр — уя = 1 истинно, а значения х, у, puq больше 1
Ка галан считал, что у этого уравнения есть только одно решение: З2 — 23 = 1.
История гипотезы Каталана связана со многими колоритными фигурами.
За сотни лет до Каталана средневековый французский ученый Леви бен Гер-
шом (1288—1344), известный также под именами Лев Герсонид и Ралбаг,
доказал частную формулировку этой гипотезы, а именно что З2 и 23— единственные
степени чисел 2 и 3, различающиеся на 1. Ралбаг был знаменитым раввином,
философом, математиком и знатоком Талмуда.
Значимой датой для этой гипотезы стал 1976 г. — в этом году Роберт Тийде-
ман из Лейденского университета (Нидерланды) показал, что если
существуют другие последовательные степени целых чисел, то их число конечно.
Наконец, в 2002 г. Преда Михайлеску из Падерборнского университета (Германия)
полностью доказал гипотезу Каталана.
СМ. ТАКЖЕ Последняя теорема Ферма (1637), Эйлерова задача о разбиении
многоугольников (1751).
Бельгийский математик Эжен Шарль Каталан. В 1844 г Каталан предположил, что
числа 8 и 9 являются единственными последовательными степенями целых чисел.
232

00
О
Введение матриц Сильвестром
Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897), Артур Кэли (1821-1895)
В 1850 г. в своем сочинении «О новом классе теорем» английский математик
Джеймс Сильвестр впервые ввел слово «матрица» для описания прямоуголь
ного расположения или массива элементов, который можно складывать и
перемножать. Матрицы часто используются для описания систем линейных
уравнений и вообще во всех случаях, когда требуется представить
информацию, зависящую от двух и более параметров.
Заслуга понимания и раскрытия подлинной значимости алгебраических
свойств матриц приписывается английскому математику Артуру Кэли за его
дальнейшую работу по матрицам, написанную в 1855 г. Поскольку Кэли и
Сильвестр много лет провели в тесном сотрудничестве, их часто считают
совместными основателями теории матриц.
Хотя теория матриц была разработана лишь в середине XIX в., некоторые
простые представления о матрицах уходят корнями глубоко в историю.
Древним китайцам были известны простейшие матрицы — магические квадраты,
а кроме того, они умели применять матричные методы для решения систем
уравнений. В XVII в. некоторые соображения об использовании матриц
возникали у японского математика Сэки Кова (1683) и немецкого математика Гот-
фрида Лейбница (1693).
И Сильвестр, и Кэли учились в Кембриджском университете. Сильвестр,
однако, не мог претендовать на ученую степень, поскольку был евреем, хотя
по результатам выпускного университетского экзамена по математике он
занял второе место среди всех учащихся. До Кембриджа Сильвестр посещал
Королевский институт Ливерпуля, но был вынужден перебраться в Дублин из-за
нападок со стороны других студентов, вызванных его религиозной
принадлежностью.
Кэли проработал адвокатом более десяти лет, написав за это время около
250 математических работ. Затем он был приглашен на должность
профессора Кембриджского университета, после чего опубликовал еще 650 работ. Кэли
первым ввел и изучил операцию умножения матриц.
В наши дни матрицы используются во множестве областей, в том числе при
шифровании и дешифровании данных, в компьютерной графике (например, в
видеоиграх и при визуализации медицинских данных), при решении систем
линейных уравнений, в физике в рамках trвантово механических
исследований структуры атома и при изучении условий равновесия твердых тел, в
теории графов и теории игр, при построении экономических моделей и
проектировании электросетей.
СМ. ТАКЖЕ Магические квадраты (2200 до н. э.), Задача о 36 офицерах (1779), Теорема
Сильвестра (1893).
Портрет Джеймса Джозефа Сильвестра на фронтисписе 4-го тома «Собрания
математических сочинений Джеймса Джозефа Сильвестра» под редакцией Г. Ф. Балтера
(издательство Кембриджского университета, 1912 г.).
234

00
Теорема о четырех красках
Фрэнсис Гатри (1831-1899), Кеннет Аппель (р. 1932),
Вольфганг Хакен (р. 1928)
Картографы столетиями полагали, что для того, чтобы раскрасить любую
плоскую карту таким образом, чтобы любые две области с общей границей
были разного цвета (хотя две области одного цвета могут при этом иметь
общую вершину), достаточно всего четырех красок. Сейчас нам точно
известно, что хотя для некоторых карт на плоскости требуется даже меньшее
число цветов, ни для одной плоской карты не требуется больше четырех красок.
Четырех цветов достаточно для любых карт, нарисованных на поверхности
сфер и цилиндров. Семи цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту на
поверхности тора (объекта в форме пончика).
В 1852 г. математик и ботаник Фрэнсис Гатри первым предположил, что
четырех цветов достаточно, когда пытался раскрасить карту графств
Великобритании. Со времен Гатри математики тщетно пытались доказать следствия
из этого простого на первый взгляд наблюдения о четырех красках. Проблема
четырех красок долгое время оставалась одной из самых знаменитых
недоказанных теорем тополе 1'ии,
Наконец в 1976 г. математикам Кеннету Аппелю и Вольфгангу Хакену
удалось доказать теорему о четырех красках посредством перебора тысяч случаев
при помощи компьютера. Тем самым эта проблема стала первой теоремой
чистой математики, в которой основная часть решения была получена
компьютерными средствами. В наши дни роль компьтеров в математике все более и
более растет — машины помогают математикам строить крайне сложные
доказательства, которые подчас превосходят границы человеческого понимания.
Теорема о четырех красках — лишь один тому пример. В качестве другого
примера можно привести доказательство теоремы о классификации простых
конечных групп, существующее в виде 10 000-страничной серии работ большого
коллектива авторов. К сожалению, традиционные человекоориентированные
методы проверки доказательств на предмет их корректности терпят неудачу,
когда объем таких доказательств начинает превышать тысячи страниц.
Удивительно, но оказывается, что теорема о четырех красках имеет малую
практическую ценность собственно для географов и картографов. Например,
изучение атласов разных времен не выявляет никакого стремления к
уменьшению используемого при составлении карт числа цветов. В книгах по
истории географии и картографии часто используется значительно больше цветов,
чем это необходимо.
СМ. ТАКЖЕ Гипотеза Кеплера (1611), Гипотеза Римана (1859), Бутылка Клейна (1882),
В поисках группы Ли Eg (2007).
В этой карте штата Огайо (сканированное изображение оригинала 1881 г.)
используется всего четыре цвета. Обратите внимание, что никакие две области одного цвета
не имеют общей границы.
236

Τί В С Ρ Ε „ Г С Η 1 J К L ЧГ^~ IPО >
' ι» ■ , , ""*" у - ■;
|ί О ВО ' ·£ -'
Λ Л ί "ίΐ
R S Τ U V
χ ν ζ„
"#4
Η J ЬЬЯПЛ
Ιι
1?
— с'
te -£T.
"J1
* &.
Ε Ε^
^
* % ОТ
3%
*"* С А К О
BJJJf
*?r
О .£~N
~S*
%. .fcJSB—
ж~
■По
^
Ν*
" "S-
*
С 1 Я Τ
'orf£""
МИВММЦМИ,
»в
-в
V Ε
и ~
V A S О Я
MAP OF °
нлмшгох со," »
OHIO
А В_ С О Ε
. ! J К
^1
_W_ Ν . О р Q R 8 Τ _U V W X V

00
La
Булева алгебра
Джордж Буль (1815-1864)
Наиболее значимой работой английского математика Джорджа Буля
является его вышедшая в 1854 г. книга «Исследование законов мышления, на
которых основываются математические теории логики и вероятностей». Буль
стремился свести логику к простой алгебре, включающей в себя всего две
величины, 0 и 1, и три простых операции: и, или и не. В наши дни Булева
алгебра широко используется в телефонной коммутации, при создании
современных компьютеров. Сам Буль считал свою работу в области логики
«наиболее ценным... вкладом, который я сделал и, вероятно, когда-либо сделаю в
науку, и той вещью, по которой я желал бы, если этому суждено случиться,
чтобы меня помнили в дальнейшем...»
Буль умер в возрасте всего 49 лет от воспаления легких. К несчастью для
него, его жена разделяла убеждение, что лекарство должно быть подобно
причине болезни. Поскольку болезнь Буля была вызвана тем, что он попал под
холодный дождь, она в качестве лечения обливала его водой прямо в постели.
Математик Огастес де Морган (1806—1871) высоко оценил работу Буля в
следующих словах: «Булева логическая система — лишь одно из доказательств
тому, на что способно сочетание гения и терпеливого труда... В то, что
символические процессы алгебры, созданные как инструменты для численного
расчета, способны компетентно выразить любой акт мышления и служить
грамматикой и словарем всеобъемлющей логической системы, никто бы не
поверил до того, как это было доказано...»
Спустя примерно семьдесят лет после смерти Буля американский
математик Клод Шеннон (1916—2001), будучи еще студентом, ознакомился с булевой
алгеброй и показал, что ее можно использовать для оптимизации устройства
систем коммутаторов на телефонных линиях. Он также обратил внимание на
то, что релейные схемы подобны задачам булевой алгебры и могут
использоваться для их решения. Тем самым Буль при посредстве Шеннона заложил
одну из основ нашей нынешней эпохи цифровых технологий.
СМ. ТАКЖЕ «Органон» Аристотеля (350 до н. э.), «Теория игры в меледу» Луи Гро
(1872), Диаграммы Венна (1880), «Философия и занимательное в алгебре» Мэри Буль
(1909), «Основания математики» (1910-1913), Теорема Гёделя о неполноте (1931), Код
Грея (1947), Теория информации (1948), Нечеткая логика (1965).
Украинский художник и фотограф Михаил Толстой творчески выражает свое
представление о двоичном потоке данных, состоящем из единиц и нулей. Эта иллюстрация
напоминает ему о стремительном течении двоичной информации по цифровым сетям,
например сети Интернет.
238

t'f.
^ N
»
.6
s
s
•
»И
* ^ -»o

00
КГ
Игра «Икосиан»
Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865)
В 1857 г. ирландский математик, физик и астроном Уильям Гамильтон
описал игру «Икосиан», цель которой состоит в том, чтобы найти такой путь
по ребрам додекаэдра (правильного 12-гранника), чтобы каждая его
вершина была пройдена ровно один раз. В наши дни гамильтоновым путем в
теории графов называется такой путь, который ровно один раз проходит через
каждую вершину графа. Понятие гамильтонова цикла (или гамильтоновой
цепи) — нахождение которого и является целью игры — подразумевает, что
путь замыкается в начальной точке. Ан глийский математик Томас Киркман
(1806—1895) сформулировал задачу игры «Икосиан» более общим образом:
если имеется граф в виде многогранника, то существует ли такой цикл,
который проходит по всем его вершинам?
Название «Икосиан» происходит от введенного Гамильтоном вида алгебры,
называющегося икосианным исчислением и основанном на свойствах
симметрии икосаэдра. Гамильтон решил задачу о додекаэдре при помощи данного
исчисления и связанных с ним икосианов (особого рода векторов). Оказалось,
что гамильтонов цикл существует для всех Платоновых тел. В 1974 г.
математик Фрэнк Рубин описал эффективную процедуру поиска, позволяющую
найти в графах некоторые из гамильтоновых путей и циклов.
Права на игру «Икосиан» выкупил лондонский производитель игрушек,
который выпустил на ее основе головоломку. В ней каждая вершина
додекаэдра называлась именем крупного города, и из нее выступал небольшой
стержень. Игрок отмечал свой путь по городам, оборачивая нить вокруг
пройденных стержней. Игрушка выпускалась и в других вариантах — например, в
виде плоской перфорированной доски, отверстия на которой соответствовали
вершинам додекаэдра (плоскую модель додекаэдра можно получить, вырезав
одну из его граней и растянув полученный объект так, чтобы он лег на
плоскость). Увы, продажи игры оказались не очень высоки — частично из-за того,
что решить головоломку было крайне просто. Вероятно, в своем увлечении
глубокими теориями Гамильтон просто проглядел тот факт, что простой метод
проб и ошибок позволяет найти решение очень быстро!
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Архимедовы полуправильные
многогранники (240 до н. э.), Задача о Кёнигсбергских мостах (1736), Эйлерова характеристика
выпуклых многогранников (1751), Формула Пика (1899), Геодезический купол (1922),
Многогранник Часара (1949), Многогранник Силаши (1977), Спидроны (1979), Поиски холиэдра
(1999).
Творческое изображение Тейи Крашен на тему игры «Икосиан». Цель игры состоит в
том, чтобы найти такой путь по ребрам додекаэдра, чтобы пройти каждую его
вершину ровно один раз. В 1859 г. права на эту игру выкупил лондонский производитель
игрушек.

.f**
ν ♦
a
*
Λ ..
.V,
V " ·«
<Vi- ;
v4

00
Гармонограф
Жюль Антуан Лиссажу (1822-1880), Хью Блэкберн (1823-1909)
Гармонограф — художественное устройство викторианской эпохи, в котором
обычно используются два маятника, под воздействием которых на бумагу
наносятся кривые линии, имеющие как художественную, так и
математическую ценность. В одной из разновидностей гармонографа первый маятник
приводит в движение перо, а второй — стол с закрепленным на нем листом
бумаги. Объединенное воздействие двух маятников обусловливает сложное
движение пера по бумаге, которое неуклонно замирает в одной точке вследствие
трения. Каждый новый росчерк пера при новом обороте ложится на неболь
шом расстоянии от росчерка, проведенного на прошлом обороте, что
придает наносимому рисунку волнистый, отдаленно запоминающий паутину вид.
Изменяя частоту и фазу колебаний одного маятника относительно другого,
можно получать большое число разнообразных картин.
В простейшем случае наносимые линии можно представить как фигуры
Лиссажу, описывающие сложное гармоническое движение и выражаемые
(в случае остуствия трения) кривыми следующего вида: x(t) = Asin(at + d),
j/(i) = Bsin(bt), где t — время, а А и В- амп' итуды. Отношение α к 6 задает
относительные частоты, d — разность фаз. Таким образом, варьируя значения
немногочисленных параметров, можно получать самые разнообразные
орнаментальные кривые.
Первые гармонографы были сооружены в 1857 г. французским
математиком и физиком ЭКюлем Антуаном Лиссажу. Лиссажу использовал два
камертона с прикрепленными к ним маленькими зеркалами, которые колебались с
различной частотой. Лучи света отражались от зеркал и рисовали в воздухе
сложные кривые линии, развлекавшие зрителей.
Заслуга создания традиционных гармонографов с маятниками
принадлежит английскому математику и физику Хью Блэкберну. Многие
разновидности гармонографов Блэкберна создаются и по сей день. В более сложных
гармонографах могут использоваться дополнительные маятники или даже
системы сцепленных маятников. В моем романе «Вирус небес» описывается
причудливый внеземной гармонограф, в котором «перо колеблется на платформе,
которая колеблется на другой платформе, которая колеблется на третьей
платформе и так далее вплоть до десятой платформы».
СМ. ТАКЖЕ Дифференциальный анализатор (1927), Хаос и эффект бабочки (1963),
Аттрактор Икеды (1979), Кривая бабочки (1989).
Изображение, полученное на гармонографе Иваном Московичем. В 1960-е гг. Московии
создавал большие механические гармонографы, подвешивая маятники к вертикальной
поверхности. Москович, знаменитый составитель головоломок, содержался в
концентрационном лагере Аушвиц и был освобожден в 1945 г.
242

ill
*
s/
x\
*/>'·

00
La
00
Лента Мёбиуса
Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868)
Немецкий математик Август Фердинад Мёбиус был стеснительным,
малообщительным, рассеянным профессором. Свое самое знаменитое открытие —
лента Мёбиуса — он сделал, когда ему было уже 70 лет. Чтобы изготовить
ленту Мёбиуса своими руками, возьмите полоску бумаги, поверните один ее
конец на 180° и склейте с другим концом. Получится односторонняя
поверхность — жук сможет доползти из любой точки такой поверхности в любую
другую ее точку, ни разу не пересекая ее краев. Попробуйте раскрасить ленту
Мёбиуса карандашом. Не выйдет сделать одну ее сторону красной, а другую,
к примеру, зеленой, поскольку у этой ленты всего одна сторона.
С течением лет, прошедших после смерти Мёбиуса, популярность и
степень использования его ленты только росла. Она стала неотъемлемым
символом математики, мистики, науки, искусства, техники, литературы и музыки.
Лента Мёбиуса стала общеупотребимым символом для обозначения
переработки отходов, олицетворяя собой замкнутый процесс преобразования мусора в
полезные материалы. В наши дни воплощения ленты Мёбиуса можно найти
повсюду — от молекулярных структур и металлических скульптур до
почтовых марок, литературных произведений, промышленных патентов,
архитектурных форм и даже моделей Вселенной.
Август Мёбиус открыл эту знаменитую ленту одновременно с другим
своим современником, немецким математиком Иоганном Бенедиктом Листингом
(1808—1882). Однако Мёбиус зашел дальше Листинга и более тщательно из
учил некоторые важные свойства этого объекта.
Лента Мёбиуса стала первой односторонней поверхностью, открытой и изу
ченной человеком. Кажется весьма странным, что до середины XIX в. никто не
интересовался свойствами односторонних поверхностей, но как бы то ни было,
никаких свидетельств о подобных наблюдениях не сохранилось. Поскольку
лента Мёбиуса для большинства людей обычно служит первым и
единственным примером из области топологии (раздела математики, занимающегося
изучением геометрических форм и их преобразований друг в друга), это
элегантное открытие заслуживает места в нашей книге.
СМ. ТАКЖЕ Задача о Кёнигсбергских мостах (1736), Эйлерова характеристика выпуклых
многогранников (1751), Задача о ходе коня (1759), Барицентрическое исчисление (1827)
Треугольник Рело (1875), Бутылка Клейна (1882), Поверхность Боя (1901).
Множество лент Мёбиуса (иллюстрация создана Тейей Крашек и автором этой
книги). Лента Мёбиуса — первая односторонняя поверхность, открытая и изученная
человеком.
244

άκ
ν
ζ
ν ,, 4'
··
4.
%*"
·»·
,^
ι · ·
ι · ι
• <
- » ;»
• · ·
> ·
Ν Щ % »

00
00
Теорема Гольдича
Хемнет Гольдич (1800-1867)
Нарисуем гладкую замкнутую выпуклую кривую Сх, ограничивающую
выпуклую область. Проведем внутри этой кривой хорду, зафиксируем ее
длину, и начнем перемещать хорду вдоль кривой таким образом, чтобы оба ее
конца постоянно находились на кривой С . Можно мысленно представить
себе, что мы перемещаем палку по поверхности лужи, ограниченной
кривой Cj. Отметим на палке некоторую произвольную точку, делящую палку
на две части длинами ρ и q. При перемещении палки по периметру кривой
эта точка опишет новую замкнутую кривую С2, лежащую внутри исходной
кривой Cj. Теорема Гольдича гласит, что если форма Ct такова, что наша
«палка» может обойти кривую С1 полностью, то площадь между кривым i
Cj и С2 будет равна npq. Любопытно, что эта площадь совершенно не зависит
от формы кривой Ct.
Теорема Гольдича не перестает удивлять математиков уже более сотни лет.
Например, в 1988 г. английский математик Марк Кукер писал: «Две вещи в
ней приводят меня в полное изумление. Во-первых, формула площади не
зависит от формы начальной кривой Сх. Во-вторых, [формула площади между
кривыми Ct и С2] — это формула площади эллипса с полуосями ρ и ς, но сама-то
теорема с эллипсами никак не связана!»
Эта теорема была опубликована Хемнетом Гольдичем в 1858 г. Гольдич
был главой колледжа Гонвилл-энд-Киз в составе Кембриджского
университета в середине XIX в. Кривая Гольдича С2 для окружности Сх радиуса R
также является окружностью с радиусом г = ψΛ — pq .
СМ. ТАКЖЕ Число π (250 до н. э.), Теорема Жордана о кривых (1905).
При перемещении отрезка по внешней кривой точка, отмеченная на отрезке,
описывает внутреннюю кривую. Теорема Гольдича гласит, что площадь, заключенная между
этими кривыми, равна npq и не зависит от формы внешней кривой (рисунок Брайана
Мэнсфилда).
246

Ν
\
ν

00
La
Гипотеза Римана
Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866)
Многие математические опросы показывают, что «доказательство гипотезы
Римана» — одна из важнейших открытых проблем в математике. Гипотеза
Римана связана с поведением особой дзета-функции, которую можно
представить с помощью замысловатого вида кривой и которая используется в
теории чисел для изучения свойств простых чисел. Эта функция имеет
обозначение ζ(χ). Изначально она определялась как сумма бесконечного ряда ζ(χ) =
= 1 + (1/2)* + (1/3)* + (1/4)* + ... . При χ = 1 данный ряд не имеет конечной
суммы. При значениях χ больше 1 ряд сходится к конечному числу. При χ
меньше 1 сумма ряда опять является бесконечной. Полная дзета-функция,
подробному рассмотрению и описанию которой посвящена специальная
научная литература, представляет собой более сложную функцию, эквивалентную
этому ряду при вещественных значениях χ больнее 1, но имеющую конечные
значения для любого действительного или комплексного числа, кроме тех
чисел, действительная часть которых равна 1. Известно, что значение
функции равно нулю при х, равном —2, —4, —6..., и что эта функция имеет
бесконечное число нулей на множестве комплексных чисел, действительная часть
которых лежит между нулем и единицей, — но достоверно неизвестно, каким
именно комплексным числам соответствуют эти нули. Знаменитый
математик Георг Бернхард Риман предположил, что эти нули приходятся на те
комплексные числа, действительная часть которых равна 1/2. Хотя в пользу
этой гипотезы говорит огромное число подтверждающих ее примеров, она все
еще остается недоказанной. Доказательство гипотезы Римана имело бы
глубинные следствия в области теории простых чисел и повлияло бы на наши
представления о свойствах комплексных чисел. Поразительно, но через
исследование гипотезы Римана физики смогли обнаружить существование
загадочной связи между квантовой физикой и теорией чисел.
В настоящее время более 11000 волонтеров по всему миру работают над
гипотезой Римана в рамках проекта ZetaGrid. Они осуществляют поиск нулей
дзета-функции Римана при помощи специального программного обеспечения
для распределенных вычислений. Каждый день вычисляется и проверяется
более 1 миллиарда новых нулей дзета-функции.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Расходимость гармонического ряда (1350), Мнимые числа (1572), Теорема о четырех
красках (1852), 23 проблемы Гильберта (1900).
Построенное Тибором Майлапгом изображение дзета-функции Римана C(s) в
комплексной плоскости. Четыре маленьких «глазка» вверху и внизу соответствуют нулям
функции при Re(s) — 1/2. График функции построен на интервале от -32 до +32 по
мнимой и действительной осям.
248

.vv
^

00
ON
oo
Псевдосфера Бельтрами
Эудженио Бельтрами (1835-1899)
Псевдосфера — геометрический объект, напоминающий два склеенных по
краю музыкальных рожка. «Мундштуки» таких рожков располагаются на
концах двух хвостовиков бесконечной длины, так что дуть в них, пожалуй,
могли бы лишь всемогущие боги. Этот особой формы объект был впервые
подробно рассмотрен в статье 1868 г. «Опыт интерпретации неевклидовой
геометрии» итальянского математика Эудженио Бельтрами, знаменитого своими
работами по геометрии и физике. Поверхность псевдосферы Бельтрами
образуется путем вращения кривой, называемой трактрисой, вокруг ее
асимптоты.
В то время как обычная сфера в каждой своей точке обладает так
называемой положительной кривизной, псевдосфера имеет постоянную
отрицательную кривизну, т. е. она является вогнутой во всех своих точках (кроме
центрального каспа). Таким образом, сфера представляет собой замкнутую
поверхность конечной площади, а псевдосфера — незамкнутую поверхность
бесконечной площади. Английский научно-популярный писатель Дэвид Дар-
линг пишет: «Хотя и двумерная плоскость, и псевдосфера бесконечны, на деле
в псевдосфере умещается больше пространства! Можно мыслить об этом в том
ключе, что псевдосфера более интенсивно бесконечна, чем плоскость». Из
огрицательности кривизны песвдосферы следует, что сумма углов
треугольника, нарисованного на такой поверхности, неизбежно составит менее 180°.
Геометрия псевдосферы называется гиперболической. В прошлом некоторые
астрономы даже предполагали, что всю Вселенную можно описать при
помощи гиперболической геометрии со свойствами псевдосферы. Историческая
ценность псевдосферы заключается и в том, что она была одной из первых
моделей неевклидова пространства.
Интересы Бельтрами простирались далеко за пределы математики. В его
че-ι ырехтомном сочинении Opere Matematiche («Математические работы»)
обсуждаются явления оптики, термодинамики, упругости, магнетизма,
электричества. Бельтрами был членом Академии деи Линчей и в 18Θ8 г. стал
президентом этого научного учреждения. За год до своей смерти он был избран
членом сената Италии.
СМ. ТАКЖЕ Труба Торричелли (1641), Минимальная поверхность (1774), Неевклидовы
геометрии (1829).
Разновидность классической псевдосферы Бельтрами, также обладающая постоянной
отрицательной кривизной (визуализация Пауля Нюландера).
250

00
кг
Функция Вейерштрасса
Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс (1815-1897)
В начале XIX в. математики обычно считали, что непрерывная функция f{x)
должна иметь производную (уникальную касательную линию) в большинстве
своих точек. В 1872 г. немецкий математик Карл Вейерштрасс поразил
своих коллег-математиков из Берлинской академии наук, показав, что это
представление ошибочно. Предложенная им функция была всюду непрерывна, но
не была дифференцируема (т. е. не имела производной) ни в одной точке. Она
°° . .
задается равенством f(x) = ^ a coslb πχI , где а — действительное число, та-
кое что 0 < а < 1, Ъ — нечетное положительное число, a ab > (1 + 3π/2). Знак
суммы Σ означает, что функция складывается из бесконечного числа
тригонометрических функций и образует плотно уложенную осциллирующую
структуру.
Разумеется, математикам было хорошо известно, что функции могут быть
не дифференцируемы в некоторых проблемных точках, например в нижней
точке клиновидной кривой, задаваемой уравнением f(x) = \х\, которая не имеет
производной при χ = 0. Однако после того, как Вейерштрасс продемонстиро-
вал кривую, не дифференцируемую ни в одной точке, математическое
сообщество оказалось в затруднительном положении. Математик Шарль Эрмит писал
Томасу Стилтьесу в 18Θ3 г.: «Я в страхе и ужасе отвращаюсь от прискорбной
чумы непрерывных функций, не имеющих производной...»
В 1875 г. Поль Дюбуа-Реймон опубликовал статью, посвященную
описанию функции Вейерштрасса. Тем самым она стала первой опубликованной
функцией такого рода. За два года до публикации Дюбуа-Реймон предоставил
Вейерштрассу черновик своей работы (в черновом варианте рассматривалась
несколько иная функция f(x) = Σ (α χ)'/* >гле (α/&)> 1»но перед публикаци-
ей статьи она была заменена на обычную формулировку).
Подобно другим фрактальным объектам, функция Вейерштрасса при
последовательном увеличении проявляет все большее усложнение своего
рисунка. Другие математики, например чешский математик Бернард Больцано и
немецкий математик Бернхард Риман, работали над похожими идеями в 1830
и 1861 гг. соответственно, но их результаты остались неопубликованными.
Другим примером всюду непрерывной, но не дифференцируемой ни в одной
точке кривой является фрактальная кривая Коха.
СМ. ТАКЖЕ Кривая Пеано (1890), Снежинка Коха (1904), Размерность Хаусдорфа (1918),
Парадокс береговой линии (1950), Фракталы (1975).
Эта поверхность Вейерштрасса, собранная из семейства кривых Вейерштрасса, была
построена и смоделирована Паулем Нюландером с использованием следующих
значений:
fix) = Цзт{жа''х)/жак\ (0 < χ < 1; 2 < а < 3; суммирование велось по к от 1 до 15).

1 x-
V
' \
V
u \
λ

00
кг
«Теория игры в меледу» Луи Гро
ЛуиГро (ок. 1837-ок. 1907)
Меледа — одна из древнейших механических игрушек-головоломок. В 1901 г.
английский математик Генри Дьюдени отмечал: «Эта увлекательная и
поучительная старинная игрушка обязательно должна быть в каждом доме».
Цель игры в меледу состоит в том, чтобы освободить все кольца, надетые
на жесткую вытянутую горизонтально проволочную петлю. На первом шаге с
конца петли можно снять одно или два кольца. Полная процедура
распутывания всех колец довольно сложна, поскольку одни снятые кольца приходится
вновь надевать на петлю, чтобы снять другие, и один и тот же набор действий
приходится повторять по многу раз. Оказывается, что минимальное число
требуемых шагов равняется (2n+1 — 2)/3, если число колец η четное, и (2"+1 —1)/3,
если η нечетное. Мартин Гарднер пишет: «Для решения головоломки из
двадцати пяти колец требуется 22 369 621 шагов. Учитывая, что опытный игрок
способен осуществлять до 50 шагов в минуту, на решение такой говоломки у
него уйдет ... немногим более двух лет».
По легенде, эта головоломка была изобретена китайским полководцем
Чжугэ Ляном (181-234), чтобы занять свою жену на то время, пока он был в
военных походах. В 1872 г. французский чиновник Луи Гро доказал
существование прямой связи между кольцами на проволоке и двоичными числами в
своей брошюре «Теория игры в меледу» (фр. Theorie du Baguenodier). Каждое
кольцо меледы может быть представлено знаком двоичного кода: «1» означает
надетое состояние, а «0» — снятое. В частности, Гро показал, что если набор
состояний колец заранее известен, то можно вычислить двоичное число,
которое в точности покажет, сколько еще шагов необходимо и достаточно, чтобы
решить головоломку. В работе Гро использовался один из первых примеров
современного кода Грея, в котором два последовательных двоичных числа
различаются только одним знаком. Ученый и специалист в области
информационных технологий Дональд Кнут писал, что по существу Гро был «истинным
изобретателем двоичного кода Грея», который в наши дни широко
используется для упрощения процесса исправления ошибок при передаче цифровой
информации.
СМ. ТАКЖЕ Булева алгебра (1854), Пятнашки (1874), Ханойская башня (1883), Код Грея
(1947), Головоломка «Мгновенное умопомешательство» (1966).
Начинам с 1970-х гг. в США было зарегистрировано большое число патентов на
разновидности старинной игры-головоломки меледы. Например, один из ее вариантов
легко молено разобрать, даже если головоломка не решена. В другом молено менять число
используемых колец, тем самым задавая уровень сложности игры (рисунки взяты из
патентов США №4000901 и №3706458).
254

7*
24'
22
34
J
J8
20
L·
16
г
14^
32
22
s
10
/ 34
-ЛГ
- J!5
-J4
32
INVENTOR.
^г4а&.-<£с^0£<*с
12
У
14
^v
28
30
26
ч, Л-32
ι
-36
14
^Я?
#
у4ГГО/?Л/£У&

00
Докторская степень Ковалевской
Софья Ковалевская (1850-1891)
Русский математик Софья Ковалевская сделала важный вклад в теорию
дифференциальных уравнений и стала первой женщиной в истории,
получившей докторскую научную степень в области математики. Подобно многим
другим математическим гениям, Софья полюбила математику в очень юном
возрасте. В своей автобиографии она писала: «Смысла этих идей я,
разумеется, понять еще не могла, но они действовали на мою фантазию, внушая мне
благоговение к математике как к науке высшей и таинственной,
открывающей перед посвященными в нее новый чудесный мир, недоступный простым
смертным». Когда Софье было 11 лет, стены ее комнаты были по случайности
оклеены листами лекций математика Михаила Остроградского по
дифференциальному и интегральному исчислению.
В 1874 г. Гёттингенский университет присвоил Ковалевской докторскую
степень с отличием за ее исследования в области дифференциальных урав
нений с частными производными, абелевых интегралов и структуры колец
Сатурна. Но несмотря на полученную ученую степень и восторженные
рекомендательные письма от математика Карла Вейерштрасса, Ковалевская на
протяжении многих лет не могла получить преподавательскую должность,
поскольку была женщиной. Однако, в конце концов, в 1884 г. она
получила возможность читать лекции в Стокгольмском университете (Швеция) и в
том же году была назначена на профессорскую должность сроком на пять лет.
В 1888 г. Парижская академия наук присудила ей премию за исследования в
области теории вращения твердых тел.
Ковалевская заслуживает места в истории математики еще и потому, что
она была первой русской женщиной — выдающимся математиком и третьей
женщиной в истории Европы, получившей профессорское звание — после
Лауры Басси (1711—1778) и Марии Аньези (1718—1799). Она стала первой
женщиной, работавшей преподавателем на математической кафедре. Всех этих
успехов ей удалось достичь, несмотря на значительное сопротивление со стороны
семьи и общества. К примеру, ее отец запрещал ей изучать математику и ей
приходилось тайно заниматься по ночам, пока ее родные спали. В то время
женщинам в России не позволялось жить отдельно от родственников без
письменного разрешения отца, поэтому ей пришлось выйти замуж, чтобы иметь
возможность уехать за границу и продолжить свое образование. Позже она
писала: «Нельзя быть математиком, не будучи в то же время и поэтом в душе».
СМ. ТАКЖЕ Смерть Гипатии (415), «Основы анализа» Аньези (1748), «Философия и
занимательное в алгебре» Мэри Буль (1909), Теория идеалов Эмми Нётер (1921).
Софья Ковалевская стала первой женщиной в Европе, получившей докторскую научную
степень в области математики.

φ.
к-'
С-
\
\/\» /* с *jb'*
/Zv+ъ

00
Пятнашки
Ной Палмер Чепмэн (1811-1889)
1
5
θ
13
2
6
10
15
3
7
11
14
4
8
12
Хотя появление игры в «пятнашки» и не является важной вехой в истории
математики, в отличие от идей и событий из других разделов этой книги она
вызвала такой всплеск интереса среди широкой общественности, что
достойна упоминания хотя бы из исторических соображений. Набор для игры в
пятнашки можно легко купить и в наши дни. Он состоит из 15 квадратных
костяшек и одного пустого поля, которые располагаются в рамке или коробочке
размерами 4 χ 4. В собранном виде пронумерованные костяшки
располагаются в последовательности от 1 до 15, которая заканчивается пустым
(свободным) квадратом.
В 1914 г. вышла книга Сэма Лойда
«Энциклопедия головоломок», где был приведен
вариант этой головоломки, при котором в
начальном положении квадратики с числами 14 и 15
переставлены местами. По Лойду цель игры
состояла в том, чтобы, передвигая квадратики
вверх, вниз, вправо и влево, выстроить их в
последовательности от 1 до 15 (т. е. вернуть 14 и 15
на свои места). В «Энциклопедии» Лойд
объявил, что готов выдать приз в размере 1000 долл.
тому, кто найдет решение головоломки, но увы,
оказалось, что при таком начальном положении
костяшек решить ее невозможно.
Исходная версия головоломки была
придумана в 1874 г. почтмейстером из Нью-Йорка
Н. П. Чепмэном. Она мгновенно обрела
невероятный успех — подобно тому, как это произошло с кубиком Рубика столетие
спустя. Изначально костяшки в коробке не были закреплены, так что игрок
мог вынимать их и располагать случайным образом, а потом пытаться решить
получившийся расклад. Выяснилось, что при случайном начальном
положении чисел головоломку можно решить только в 50 % случаев!
С течением времени математики точно определили, при каких начальных
положениях костяшек эта говоломка имеет решение. Немецкий математик
В. Арене писал: «Игра в пятнашки появилась в США; она быстро
распространилась и благодаря бесчисленному количеству преданных поколонников
одержала сокрушительную победу, стала настоящей эпидемией». Любопытно, что
прославленный шахматист Бобби Фишер мог решить эту головоломку меньше
чем за 30 секунд, если при начальном расположении цифр это было возможно.
СМ. ТАКЖЕ Головоломка «Мгновенное умопомешательство» (1966), Кубик Рубика (1974).
В 80-е гг. XIX в. пятнашки произвели настоящий фурор по всему миру - подобно тому,
как это случилось с кубиком Рубика в наши дни. С течением времени математики
точно определили, при каких начальных положениях костяшек эта говоломка имеет
решение.
Неразрешимая
комбинация в пятнашках
(начальное положение}

Ν
J
Ч
I *
ν
^D
1
.;
\
"1
iV.
'
'<
J
■Ι
\

00
Трансфинитные числа Кантора
Георг Кантор (1845-1918)
Немецкий математик Георг Кантор заложил основы современной теории
множеств. Он ввел поразительную идею трансфинитных чисел, используемых
для обозначения относительных «размеров» бесконечных наборов элементов.
Наименьшее трансфинитное число называется алеф-нуль (обозначается
символом Хо) и соответствует количеству целых чисел. Но если количество целых
чисел бесконечно (и состоит из Хо элементов), то существуют ли другие, более
высокие уровни бесконечности? Оказывается, что, хотя существует
бесконечное количество целых чисел, бесконечное количество рациональных чисел
(чисел, которые можно выразить в виде дроби) и бесконечное количество
иррациональных чисел (таких как квадратный корень из 2, которые
невозможно выразить в виде дроби), бесконечное количество иррациональных чисел
в каком-то смысле более велико, чем количество рациональных или целых
чисел. Аналогичным образом, существует больше действительных чисел (к
которым относятся рациональные и иррациональные числа), чем целых.
До принятия идей Кан ора в качестве фундаментальной теории его
шокирующие представления о бесконечности вызывали обширную критику — что,
по всей видимости, усугубляло приступы охватывающей Кантора тяжелой
депрессии. Кантор уравнивал свою идею Абсолютно Бесконечного,
превышающего все трансфинитные числа, с Богом. Он писал: «Я не испытываю никаких
сомнений в отношении истинности трансфинитных чисел, которые я постиг
с Божьей помощью и которые, в их разнообразии, я изучал более двадцати
лет». В 1884 г. Кантор написал шведскому математику Гёста Миттаг-Леффле-
ру письмо, в котором объяснял, что он был не создателем этих новых идей, но
только их вестником: Бог даровал ему вдохновение, оставив за Кантором лишь
способ и стиль изложения научных работ. Кантор был неколебимо уверен в
существовании трансфинитных чисел, поскольку ему, как он утверждал,
«поведал об этом Бог». Кроме того, всемогущество Божье оказалось бы ограничено,
если бы он создал одни лишь финитные (т. е. конечные) числа. Знаменитый
математик Давид Гильберт отзывался о работе Кантора как о «прекраснейшем
плоде математического гения» и как об «одном из высочайших достижений
чисто интеллектуальной деятельности человека».
СМ. ТАКЖЕ Аристотелево колесо (320 до н. э.). Трансцендентные числа (1844), Парадокс
«Гранд-отеля» Гильберта (1925), Неразрешимость континуум-гипотезы (1963).
Фотография Георга Кантора вместе с женой, сделанная около 1880 г. Необычные идеи
Кантора о бесконечном первоначально подвергались широкой критике, что могло обо
стрять течение депрессии, с которой Кантор боролся всю жизнь.
260

00
кг
Треугольник Рело
Франц Рело (1829-1905)
Треугольник Рело — один из примеров множества любопытных
геометрических объектов вроде ленты Мёбиуса, практическое применение которым
было найдено лишь на относительно поздней ступени развития человеческого
интеллекта. Лишь после 1875 г., когда этим криволинейным треугольником
заинтересовался выдающийся немецкий инженер-механик Франц Рело, он
стал широко использоваться на практике. Хотя Рело не был первым, кто
нарисовал и рассмотрел фигуру, образованную пересечением трех окружностей
в углах равностороннего треугольника, именно он обнаружил у нее свойство
постоянной ширины и первым стал использовать ее в различных
практических устройствах и механизмах. Конструкция треугольника настолько
проста, что современные исследователи лишь удивляются тому, что до Рело
никому не пришло в голову ее использовать. Эта фигура является
близкородственной к окружности, поскольку также обладает постоянной шириной,
т.е. расстояние между двумя ее противоположными точками (длина отрезка,
проходящего через центр треугольника и ограниченного его сторонами)
всегда одинакова.
Целый ряд промышленных патентов посвящен описанию дрелей,
способных просверливать квадратные отверстия и основанных на использовании
формы треугольника Рело. На первый взгляд кажется, что утверждение о том,
что при помощи дрели можно сверлить практически квадратные отверстия,
противоречит здравому смыслу. Как может вращающееся сверло вырезать
какие-либо иные отверстия, кроме круглых? Но такие сверла существуют. В
качестве примера здесь приведен рисунок из патента США №4074778 (1978) на
«Дрель для сверления квадратных отверстий» на основе треугольника Рело.
Треугольник Рело часто используется и в патентах на другие дрели, а также
в патентах на новые формы бутылок и банок для прохладительных напитков,
формы свечей, а также на конструкции вращающихся полок, коробок
передач, ротационных двигателей и стеллажей.
Изучением треугольника Рело занимались многие математики, так что
о его свойствах известно довольно много. К примеру, его площадь равна
А = уЛп— V3 )г , а площадь проделываемого сверлом такой формы отверстия
составляет 0,9877003907... от площади правильного квадрата. Небольшое
различие обусловлено тем, что углы получаемого отверстия незначительно
закруглены.
СМ. ТАКЖЕ Астроида (1674), Лента Мёбиуса (1858).
Рисунок 1978 г. из патента США № 4074778, посвященного конструкции дрели для
сверления квадратных отверстий на основе треугольника Рело.
262

ю
ω
or
о
ό|

Гармонический анализатор
Жан Батист Жозеф Фурье (1768-1830),
Уильям Томсон, лорд Кельвин (1824-1907)
В начале XIX в. французский математик Жан Батист Фурье обнаружил, что
любую дифференцируемую функцию вне зависимости от степени ее
сложности можно представить с произвольной точностью в виде суммы синусов и
косинусов. К примеру, периодическую функцию /(jc) можно представить в виде
суммы слагаемых вида Ап· sin(nx) + Βη· cos(nx), где Ап и Вп — амплитуды.
Гармонический анализатор — физическое устройство для определения
коэффициентов Ап и Вп. Первым создателем гармонического анализатора был
Уильям Томсон, лорд Кельвин — английский ученый, занимавшийся
математической физикой. В1876 г. он разработал подобное устройство для анализа кривых,
связанных с наблюдением приливных океанских волн. Бумага с нанесенной на
нее рассматриваемой кривой оборачивалась вокруг главного цилиндра
инструмента. Затем эта кривая вручную обводилась специальной рейкой, в результате
чего определялись различные составляющие данной кривой, а через них и
искомые коэффициенты. Кельвин писал, что его «кинематическая машина»
способна предсказывать не только «время и высоту приливов, но и глубину воды в
любой момент времени, представляя ее величину в виде непрерывной кривой
...на многие годы вперед». Поскольку приливные волны зависят от множества
факторов: положения Солнца, Луны, вращения Земли, формы береговой
линии, профиля морского дна — они обычно бывают весьма сложными.
В 1894 г. немецкий математик Олаус Хенрики (1840—1918) разработал
гармонический анализатор для определения гармонических
составляющих сложных звуковых волн, например тех,
которые производят музыкальные инструменты. В его
устройстве использовалось несколько блоков и
стеклянных шаров, которые присоединялись к измерительным
шкалам, показывающим фазу и амплитуды 10 гармоник
Фурье.
В 1909 г. немецкий инженер Отто Мадер
сконструировал гармонический анализатор, в котором для обвода
кривой использовались рейка и сменные диски,
соответствовавшие различным гармоникам. В гармоническом анализаторе Монтгомери,
созданном в 1938 г., для определения гармоник кривой использовались
средства оптики и фотоэлектрики. Г. К. Монтгомери, работавший в «Лабораториях
Белла», писал, что его устройство «особенно подходит для анализа речи и
музыки, покольку оно может работать напрямую от обычной пленки со звуковой
дорожкой».
СМ. ТАКЖЕ Ряд Фурье (1807), Дифференциальный анализатор (1927).
СЛЕВА: запись приливных волн, сделанная в течение двух недель (1—14 января 1884 г.)
в Бомбее. Волны записывались на цилиндр с бумажной лентой, поворачивавшийся на
одно деление каждые 24 часа. СПРАВА: гармонический анализатор немецкого
математика Олауса Хенрики.
г
L
V
[
к
_
LJ
[
'
'
1
1
ΪΓ
Sad
1
1
L.
-.«.
[.
*
■
264

.-
( »

00
кг
s0
Кассовый аппарат Ритти
Джеймс Ритти (1836-1918)
Трудно себе представить, как розничные магазины могли эффективно
работать до того, как был изобретен кассовый аппарат. Кассовые машины
значительно способствовали предотвращению воровства. С течением десятилетий
их устройство становилось все более сложным. Не будет большим
преувеличением утверждать, что они стали одним из основных преобразующих
механизмов индустриальной эпохи.
Первый кассовый аппарат был изобретен в 1879 г. Джеймсом Ритти. Свой
первый салун в городе Дейтоне (штат Огайо) Ритти открыл еще в 1871 г. Сам он
именовал себя «торговцем чистейшим виски, добрыми винами и сигарами».
Основную трудность для Ритти составляла добросовестность его работников,
которые не избегали случая время от времени положить в собственный карман
деньги, полученные от покупателей.
Однажды во время путешествия на пароходе Ритти заинтересовал
механизм, считающий число оборотов судового винта. Ему пришла в голову мысль
о создании похожего механизма, который мог бы использоваться для
фиксации сделок с наличностью. В ранних моделях машин Ритти использовалось
два ряда клавиш, каждая из которых соответствовала денежной величине от
пяти центов до одного доллара. Нажатие на клавиши приводило в движение
вал, соединявшийся с внутренним счетчиком. В 1879 г. Ритти запатентовал
свой аппарат, назвав его «Неподкупным кассиром Ритти». Ритти вскоре
продал свой бизнес по производству кассовых аппаратов предпринимателю по
имени Джейкоб Эккерт, а тот в 1884 г. перепродал компанию Джону Паттер-
сону, который переименовал ее в «Национальную компанию по производству
кассовых аппаратов».
Из небольшого зерна, заложенного Ритти, выросли все современные
кассовые аппараты. Паттерсон добавил рулон с бумажной лентой для записи
транзакций при помощи перфоратора. По окончании транзакции звенел
установленный на аппарате звонок, а денежная сумма отображалась на большом
циферблате. В 1906 г. изобретатель Чарльз Ф. Кеттеринг разработал модель
кассового аппарата с электромотором. В 1974 г. «Национальная компания по
производству кассовых аппаратов» (National Cash Register Company) сменила
название на более краткое NCR Corp («Эн-Си-Ар Корпорэйшн»). В наши дни
функциональные возможности кассовых аппаратов превзошли самые смелые
мечты Джеймса Ритти — эти машины автоматически фиксируют время
транзакций, запрашивают цены из баз данных, вычисляют соответствующие
суммы налогов, учитывают различные ставки для привилегированных клиентов
и вычисляют скидки на уцененные товары.
СМ. ТАКЖЕ Арифмометр «Curta» (1948).
Копия (1904 г.) первой модели кассового аппарата Ритти.
266

'*■ ν

Диаграммы Венна
Джон Венн (1834-1923)
В 1880 г. английский философ и священник англиканской церкви Джон Венн
предложил способ схематического изображения множеств, их элементов и
логических отношений между ними. Диаграммы Венна обычно состоят из
круговых областей, представляющих собой группы объектов с какими-либо общими
свойствами. Например, допустим, что внутри универсума из всех реально
существующих и мифических существ (ограничивающий прямоугольник на
первой картинке), область Η представляет собой множество всех людей, область
W — множество крылатых существ, а область А — множество ангелов. Простой
взгляд на диаграмму показывает, что (1) Все ангелы являются крылатыми
существами (область А полностью лежит внутри области W); (2) Ни один человек
не является крылатым существом (области Η и W не пересекаются) и (3) Ни
один человек не является ангелом (области Η и А также не пересекаются).
Это графическое построение служит нагляд
ным изображением одного из основных правил
логики, а именно: из утверждений «все элементы
множества А являются элементами множества
W» и «ни один элемент множества Η не является
элементом множества W» следует, что «ни один
элемент множества Η не является элементом
множества А». При взгляде на круги диаграммы
это заключение становится очевидным.
Похожие построения применялись в логике и до Венна — например,
Лейбницем и Эйлером, но именно Венн всесторонне изучил их, формализовал и
вывел общие правила их использования. В действительности целью Венна был
вывод обобщенного построения симметричных диаграмм для представления
большего количества пересекающихся множеств, но сам он смог добиться
лишь представления 4 множеств при помощи эллипсов.
Прошло столетие, прежде чем Бранко Грюнбаум,
математик из Вашингтонского университета, показал, что
симметричные относительно вращения диаграммы Венна
можно построить из 5 конгруэнтных эллипсов (рис. 2).
Математики постепенно поняли, что симметричные
относительно вращения диаграммы можно нарисовать,
только если число «лепестков»-множеств в них является
простым. Однако найти симметричные диаграммы с 7 ле £
пестками оказалось столь сложно, что математики сперва
сомневались в их существовании. В 2001 г. математик Петер Хамбургер и
художница Эдит Хепп построили пример диаграммы Венна из 11 лепестков.
СМ. ТАКЖЕ «Органон» Аристотеля (350 до н. э.), Булева алгебра (1854), «Основания
математики» (1910 1913), Теорема Гёделя о неполноте (1931), Нечеткая логика (1965).
Симметричная 11-лепестковая диаграмма Венна (изображение любезно предоставлено
доктором Петером Хамбургером и Эдит Хепп).

ι β
>д
Г
'
ν .
■-; _.

00
00
Закон Бенфорда
Саймон Ньюкомб (1835-1909), Фрэнк Бенфорд (1883-1948)
Закон Бенфорда, также называемый законом первой цифры, гласит, что в
различных наборах эмпирических данных цифра 1 обычно оказывается на
самой левой (первой) позиции числа с вероятностью примерно 30%, что
гораздо выше ожидаемых 11,1% (т. е. случая, когда вероятности всех цифр
оказаться на этой позиции равны и составляют l/θ). Проявления закона
Бенфорда наблюдаются, например, в таблицах численности населения, уровней
смертности, курсов акций, статистике бейсбольных соревнований, площадей
рек и озер. Объяснения этой закономерности были найдены лишь
относительно недавно.
Закон Бенфорда назван так в честь физика Фрэнка Бенфорда из компании
General Electric. Он опубликовал посвященную этому наблюдению работу в
1938 г., хотя само это открытие было сделано ранее математиком и
астрономом Саймоном Ньюкомбом еще в 1881 г. Ньюкомб обнаружил, что страницы
справочников с логарифмическими таблицами, отведенные числам,
начинающимся на цифру 1, гораздо сильнее замусолены и истрепаны, чем любые
другие, так как цифра 1 оказывается первым знаком числа на 30% чаще, чем
чюбая другая. Изучив различные наборы данных, Бенфорд определил, что
вероятность некоторой цифры η от 1 до θ оказаться первым знаком числа равна
log10(l + 1/га). Даже знаменитая последовательность Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5,
8,13...) следует закону Бенфорда. Числа Фибоначчи гораздо чаще начинаются
с цифры «1», чем с любой другой цифры. По всей видимости, закон Бенфорда
применим к любым данным, подчиняющимся «степенной зависимости».
Например, крупные озера встречаются редко, озера среднего размера — чаще, а
небольшие озера — еще чаще. Аналогичным образом, на интервале 1—100
лежит 11 чисел Фибоначчи, но только по одному такому числу приходится на
следующие три интервала по 100 чисел (101—200, 201—300, 301—400).
Закон Бенфорда часто используется для выявления случаев
мошенничества. К примеру, специалисты по налоговому учету могут использовать этот
закон для определения налоговых деклараций с ложными данными: в таких
документах встречаемость знаков не соответствует той, которую было бы
естественно ожидать в соответствии с законом Бенфорда.
СМ. ТАКЖЕ «Книга абака» Фибоначчи (1202), «Аналитическая теория вероятностей»
Лапласа (1812).
Проявления закона Бенфорда можно наблюдать в таблицах курсов акций и других
финансовых данных, в счетах за электричество, адресах и т. д.
270

•^'
^5?
.'«3»
*** to «^ ""-
4 >
^
о
S3
- !
-^
I «л
/ 5*
-.1.3
*
*Г
•J

Бутылка Клейна
Феликс Клейн (1849-1925)
Бутылка Клейна была впервые описана в 1882 г. немецким математиком
Феликсом Клейном. Она представляет собой объект, в котором узкое горлышко
бутылки заворачивается внутрь нее, образуя фигуру без внутренней и
внешней стороны. Бутылка Клейна является близким родственником ленты
Мёбиуса и теоретически может быть получена путем склеивания двух лент
Мёбиуса вдоль краев. Один из способов построения несовершенной физической
модели бутылки Клейна в нашей трехмерной вселенной состоит в том, чтобы
пересечь ее с самой собой на небольшом круглом участке. Для того чтобы
построить истинную бутылку Клейна без самопересечений, требуется четыре
измерения.
Вообразите, какое бы вас ждало разочарование, если бы вы попытались
выкрасить одну лишь наружную сторону бутылки Клейна. Вы начинаете
красить с того места, которое кажется выпуклой «наружной» поверхностью, и
доходите до узкого горлышка. Четырехмерный объект не имеет
самопересечений, тем самым позволяя вам продолжать двигаться по горлышку
бутылки, которая теперь оказывается «внутри» нее. На том участке, где горлышко
раскрывается, вновь переходя в выпуклую поверхность, вы обнаружите, что
теперь красите внутреннюю полость бутылки. Если бы наша Вселенная
имела форму бутылки Клейна, то существовал бы путь, пройдя вдоль которого,
можно было обратить наши тела, например так, чтобы наши сердца оказались
с правой стороны тела.
При поддержке Кингбриджского научного центра близ Торонто и
компании Killdee Scientific Glass, занимающейся производством стекла для
лабораторной посуды, астроном Клифф Столл создал самую большую в мире
стеклянную модель бутылки Клейна. Кингбриджская бутылка Клейна имеет 43
дюйма (1,1 м) в высоту и 20 дюймов (50 см) в диаметре и состоит из 33 фунтов
(15 кг) чистого боросиликатного стекла.
Заинтересованные необычными свойствами бутылки Клейна математики и
любители головоломок часто изучают воможности игры в шахматы и
прохождения лабиринтов на такого рода поверхностях. Если бы на бутылку Клейна
была нанесена карта, то для того, чтобы никакие две области одного цвета на
ней не граничили друг с другом, потребовалось бы шесть разных цветов.
СМ. ТАКЖЕ Минимальная поверхность (1774), Теорема о четырех красках (1852), Лента
Мёбиуса (1858), Поверхность Боя (1901), Как вывернуть сферу наизнанку? (1958).
Бутылка Клейна имеет гибкое горлышко, которое заворачивается внутрь бутылки,
образуя объект без раздельных внешней и внутренней сторон. Для того чтобы
построить истинную бутылку Клейна без самопересечений, требуется четыре измерения.

« a

00
00
от
Ханойская башня
Франсуа Эдуард Анатоль Люка (1842-1891)
Головоломка «Ханойская башня» была изобретена французским
математиком Эдуардом Люка в 1883 г. Он выпустил ее в виде игрушки, которая
моментально обрела успех по всему миру. Эта математическая головоломка состоит
из нескольких дисков различного размера с отверстием посередине, которые
надеваются на три стержня. Изначально все диски надеты стопкой на один
стержень и располагаются по размеру от самого большего (внизу) к самому
меньшему (наверху). В ходе игры игрок перекладывает диски по одному с
одного стержня на любой другой, снимая верхний диск с любой стопки и
помещая его наверх любой другой стопки. При этом диски большего размера
нельзя класть на диски меньшего размера. Цель игры состоит в том, чтобы
перенести всю начальную стопку дисков (обычно восемь) с одного стержня на
другой. Подсчитано, что минимальное число ходов, необходимое для
решения головоломки, составляет 2" — 1, где η — число дисков.
Говорят, что игра была вдохновлена рассказом о легендарной башне
индийского храма Брахмы, в которой хранилось 64 золотых диска. Жрецы Брахмы
якобы были заняты непрерывным перемещением этих дисков по тем нее
правилам, что и в «Ханойской башне». Когда ими будет сделан последний ход и
задача будет решена, этому миру придет конец. Заметим, что если бы жрецы
были способны перемещать диски со скоростью один диск в секунду, то на
осуществление всех 2е4 — 1, или 18446 744073 709 551615, необходимых ходов
потребовалось бы πρι 1мерно 585 млрд лет, что по современным оценкам во много
раз превосходит возраст нашей Вселенной.
Если стержней всего три, то существуют простые алгоритмы решения
головоломки — эта игра часто используется, на уроках по информатике в качестве
примера при изучении рекурсивных алгоритмов. Однако оптимальное
решение для вариантов «Ханойской башни» с четырьмя и более стержнями пока
еще не найдено. Математиков эта головоломка интересует и благодаря ее
связи с другими областями, в том числе кодом Грея и нахождением Гамильтоно-
вых путей на п-гиперкубе.
СМ. ТАКЖЕ Булева алгебра (1854), Игра «Икосиав» (1857), «Теория игры в меледу» Луи
Гро (1872), Тессеракт (1888), Код Грея (1947), Головоломка «Мгновенное
умопомешательство» (1966), Кубик Рубика (1974).
Знаменитая флажная башня Ханоя построена в 1812 г. и располагается в центре
вьетнамской столицы. Ее высота составляет около 1093 футов (33,ί м), а с учетом,
высоты флага — 134,5 фута (41 м). По легенде, именно она послужила источником
вдохновения при выборе названия для головоломки.
274

i
-*:*£
£
* к
'-.:(-.
ч
Л . ,-ν
-:

00
00
«Флатландия»
Эдвин Эбботт Эбботт (1838-1926)
Более столетия назад Эдвин Эбботт Эбботт — священник и директор одной из
школ викторианской Англии — написал фантастическую книгу, в которой
описывается взаимодействие существ из различных пространственных
измерений. Это произведение по-прежнему весьма популярно среди студентов-
математиков и часто рекомендуется для чтения при изучении взаимосвязей
между такими измерениями.
Эбботт воодушевляет своих читателей раскрыть для себя новые способы
мышления и восприятия. Во «Флатландии» описывается раса двумерных
существ, живущих на плоскости и совершенно не подозревающих о
существовании вокруг них иных, более высоких измерений. Если бы мы посмотрели
сверху на такой двумерный мир, то смогли бы заглянуть внутрь любого их
строения или даже живого существа (существо из четвертого измерения, в
свою очередь, могло бы видеть наши тела изнутри и, к примеру, удалять оп> ■
холи, не проникая для этого сквозь кожу). Флатландцы не заметили бы нас,
даже если бы мы находились всего в нескольких дюймах над их плоским
миром, наблюдая за всеми событиями их жизни. Если бы вы захотели вызволить
флатландца из тюрьмы, вам достаточно было бы просто поднять его над
плоскостью и опустить в любом другом месте Флатландии. Это действие
показалось бы флатландцу чудом, ведь у него в словаре даже нет такого слова, как
«над».
В наши дни проекции четырехмерных объектов, получаемые
средствами компьютерной графики, подводят нас на шаг ближе к изучению явлений
и пространств более высоких размерностей. Но даже самые блестящие
математики часто оказываются бессильны вообразить себе четырехмерную
реальность — так же, как и квадратный герой «Флатландии» с трудом может
осмыслить существование третьего измерения. В одной из самых
драматических сцен «Флатландии» двумерный герой сталкивается с изменением формы
трехмерного создания, проходящего сквозь Флатландию. Будучи квадратом,
он может наблюдать лишь последовательную смену поперечных сечений
этого существа. Эбботт был убежден, что изучение четырехмерного пространства
служит развитию нашего воображения, увеличивает наш трепет перед
Вселенной и степень нашего смирения — первые шаги при любой попытке лучше
понять реальность и прикоснуться к Божественному началу.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Бутылка Клейна (1882), Тессеракт (1888).
Обложка 6-го издания «Флатландии» Эдвина Эбботта Эбботта. Обратите внимание,
что жена главного героя («My Wife») изображена в виде отрезка внутри его
пятиугольного дома. Во Флатландии женщины представляли особую опасность из-за того,
что, будучи отрезками прямых, имели острые концы.
276

О day and night, but this is wondrous strange"
IftDimteutm
FOiNTLAND
Ttv*DimtnMm>
α
FLATLAHD
A Romance '~%_^ ")
of Μ an υ Dimensions^ X
«б*
ОмМмапи
UWLAND
By A Square
(Edwin A. Abbott)
If
— Tkrtt Dimnuma
SfACSLAXD
**/#*<ί thtrtftrt as a ttrang/r gtv* it wtkemt'
BASIL BLACKWELL · OXFORD
Price Seven Shillings and Sixpence ne

Тессеракт
00
00
00
Чарльз Говард Хинтон (1853-1907)
Не знаю, существует ли такой раздел математики, который увлекает и детей,
и взрослых столь же сильно, как идея четвертого измерения —
пространственного направления, отличного от всех направлений нашего привычного
трехмерного пространства. Богословы полагают, что в четвертом измерении могут
пребывать загробная жизнь, рай, ад, ангелы и наши души. Математики и
физики часто используют четвертое измерение в своих вычислениях; оно
является важной частью теорий, описывающих самую ткань нашей реальности.
Тессеракт — четырехмерный аналог обычного куба. Термин гиперкуб
используется в более общем смысле для описания аналогов куба во всех других
размерностях. Как куб можно представить себе, взяв квадрат и мысленно
передвигая его в третьем измерении — это будет фигура, образуемая движением
квадрата в пространстве, — так нее и тессеракт представляет собой «след» куба,
передвигаемого в четвертом измерении. Хотя человеку трудно вообразить себе
куб, перемещаемый в направлении, перпендикулярном всем трем его осям,
на помощь математикам приходят средства компьютерной графики, которые
помогают обрести более полное понимание объектов и фигур более высоких
размерностей. Обратите внимание, что куб ограничен квадратными гранями,
а тессеракт — кубическими. Можно следующим образом представить число
точек (углов), отрезков (ребер), квадратов (граней) и кубов, соответствующих
объектам различной размерности:
Точка
Отрезок
Квадрат
Куб
Тессеракт
Пентеракт
Точек
1
2
4
8
16
32
Отрезков
0
1
4
12
32
80
Квадратов
0
0
1
6
24
80
Кубов
0
0
0
1
8
40
Тессерактов
0
0
0
1
10
Слово тессеракт было придумано и впервые использовано в 1888 г.
английским математиком Ч. Г. Хинтоном в его книге «Эра новой мысли».
Хинтон известен тем, что был двоеженцем, а также использовал в своей работе
набор раскрашенных кубов, который, как он утверждал, помогал легко освоить
представление о четвертом измерении. На спиритических сеансах кубы Хин-
тона якобы помогали людям увидеть призраков умерших членов своей семьи.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.). Задача принца Руперта (1816), Бутылка
Клейна (1882), «Флатландия» (1884), «Философия и занимательное в алгебре» Мэри Буль
(1009), Кубик Рубика (1974), Совершенный магический тессеракт (1999).
Изображение тессеракта, построенное Робертом Веббом при помощи программного
обеспечения Stella4D (тессеракт — четырехмерный аналог обычного куба).

».

00
00
чО
Аксиомы Пеано
Джузеппе Пеано (1858-1932
Простые арифметические правила счета, сложения и умножения знает
каждый школьник, но откуда эти правила берутся и как мы можем быть увере
ны в том, что они верны? Итальянскому математику Джузеппе Пеано были
хорошо знакомы пять аксиом, или постулатов Евклида, лежащих в основе
геометрии, и Пеано решил создать похожий набор основных положений для
арифметики и теории чисел. Пять аксиом Пеано относятся к натуральным
числам и могут быть сформулированы так: 1) 1 является натуральным
числом; 2) число, следующее за натуральным, также является натуральным; 3)
если пит — натуральные числа, и следующие за ними числа равны, то η и τη
также равны; 4) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 5) Если S —
подмножество натуральных чисел, содержащее 1, и если число, следующее за
любым числом из множества S, также входит в множество S, то множество S
содержит все натуральные числа.
Пятая аксиома Пеано позволяет математикам определять, присуще ли
некоторое свойство всем натуральным числам. Для этого сперва следует
доказать, что число 1 обладает этим свойством. Затем необходимо доказать, что для
любого натурального числа i верно, что если i обладает этим свойством, то из
этого следует, что и i + 1 также обладает этим свойством. Чтобы стало яснее,
воспользуемся следующей метафорой. Представьте бесконечную линию,
сложенную из едва касающихся друг друга спичек. Если мы хотим зажечь все
спички, то, во-первых, должна загореться первая спичка, а во-вторых, все
спички должны лежать достаточно близко друг к другу, чтобы огонь мог
передаваться от одной к другой. Если какая-либо из спичек на этой линии будет
лежать слишком далеко от соседней, огонь на ней остановится. При помощи
аксиом Пеано можно формализовать арифметику для бесконечного
множества чисел. Аксиомы Пеано образуют основу нашей системы чисел и помогают
математикам строить другие системы чисел, использующиеся в современной
математике. Пеано впервые представил свой набор аксиом в книге 1889 г.
Arithmeticesprincipia, nova methodo exposita («Начала арифметики,
изложенные новым методом»),
СМ ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), «Органон» Аристотеля (350 до н. э.),
Булева алгебра (1854), Диаграммы Венна (1880), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925),
Теорема Гёделя о неполноте (1931), Нечеткая логика (1965).
Работа итальянского математика Джузеппе Пеано затрагивает вопросы философии,
математической логики и теории множеств. Пеано преподавал математику в
Туринском университете до самого дня своей смерти от сердечного приступа.
280

00
О
Кривая Пеано
Джузеппе Пеано (1858-1932)
В 18Θ0 г. итальянский математик Джузеппе Пеано привел один из первых
примеров заполняющей пространство кривой. Английский
научно-популярный писатель Дэвид Дарлинг упоминал, что это открытие было подобно
«землетрясению» для здания традиционной науки. Говоря об этом новом классе
кривых, русский математик Наум Яковлевич Виленкин писал: «Казалось,
что все рухнуло, что самые основные математические определения потеряли
всякий смысл...»
Термин кривая Пеано часто используется синонимично выражению
заполняющая пространство кривая. Такие кривые обычно получаются в
результате итерационного процесса, в ходе которого строится зигзагообразная линия,
которая в конце концов заполняет собой все пространство, в пределах которого
она лежит. Мартин Гарднер пишет: «Кривые Пеано оказались глубоким
потрясением для математиков. Их линии кажутся одномерными, но в пределе
они занимают двумерную площадь. Следует ли их вообще называть кривыми?
Что еще хуже, кривые Пеано можно легко задать и таким образом, чтобы они
заполняли собой пространство кубов или даже гиперкубов...». Кривые
Пеано непрерывны, но, подобно снежинке Коха или функции Вейерштрасса, не
имеют касательной ни в одной своей точке. Размерность Хаусдорфа
заполняющих пространство кривых равна 2.
Существует и практическое применение кривых Пеано. На их основе
строятся эффективные маршруты посещения некоторого числа населенных
пунктов. Например, Джон Дж. Бартольди, профессор из Школы промышленного
и системного проектирования в составе Технологического института
Джорджии, использовал эти кривые при разработке системы маршрутов для
организации, доставляющей сотни порций еды бедным семьям, и при разработке
маршрутов доставки крови в больницы и госпитали Американского Красного
Креста. Места поставки, как правило, сосредоточиваются в густо заселенных
областях, поэтому заполняющие пространство кривые позволяют строить
весьма удобные предполагаемые маршруты — ведь они «обходят» все точки
на одном участке карты, прежде чем перейти к другому участку. В настоящее
время ученые экспериментируют с использованием кривых Пеано в системах
наведения орудий. Такие математические модели очень эффективно работают
на компьютерах, выведенных на земную орбиту.
СМ, ТАКЖЕ Задача о ходе коня (1759), Функция Вейерштрасса (1872), Тессеракт (1888),
Снежинка Коха (1904), Размерность Хаусдорфа (1918), Фракталы (1975).
Гильбертов куб - трехмерное расширение классической двумерной кривой Пеано.
Сторона этой скульптуры из бронзы и нержавеющей стали составляет 4 дюйма (10,2 см).
Она создана по модели Карло Секена из Калифорнийского университета в Беркли.
282

л
.<
А

00
Группы симметрии орнаментов
Евграф Степанович Фёдоров (1853-1919),
Артур Мориц Шёнфлис (1853-1928), Уильям Барлоу (1845-1934)
Выражение «группы симметрии орнаментов» означает совокупность
способов, которыми двумерную плоскость можно замостить таким образом, чтобы
получающийся орнамент можно было продолжать бесконечно. Всего
существует 17 групп симметрии орнаментов, каждая из которых характеризуется
определенным набором симметрических преобразований, например сдвига и
поворота.
Группы орнаментов открыл и классифицировал выдающийся русский
кристаллограф Е. С. Фёдоров в 1891 г. Независимо от Фёдорова их
изучением также занимались немецкий математик А. М. Шёнфлис и английски
кристаллограф Уильям Барлоу. Тринадцать из этих групп (известные как изо-
метрии) так или иначе включают в себя симметрию вращения, четыре — нет.
Пять представляют гексагональную симметрию. Двенадцать содержат
прямоугольную симметрию. Мартин Гарднер пишет: «Семнадцать групп симметрии
описывают все принципипально отличные друг от друга варианты построения
бесконечно повторяющегося узора в двух измерениях. Элементами этих групп
являются простые операции, применяемые к базовому элементу узора: сдвиг,
поворот и зеркальное отражение. Эти семнадцать групп симметрии имеют
большое значение при изученнии структур кристаллов».
Знаменитый геометр Гарольд Коксетер отмечал, что искусство заполнения
плоскости повторяющимся орнаментом достигло пика своего расцвета в
Испании XIII в. — мавританские архитекторы использовали все 17 групп
симметрии в элементах декоративного убранства знаменитого дворца и крепости
Альгамбры. Так как в исламской традиции осуждается изображение
человека и живых существ, особую значимость в декоративном искусстве арабского
мира приобрели симметричные орнаментальные узоры. Дворцовый комплекс
Альгамбра в Гранаде изобилует сложнейшими арабесками, покрывающими
поверхность керамических изразцов, сводов и резных деревянных панелей.
Посещение Альгамбры оказало существенное влияние на творчество
голландского художника М. К. Эшера (1898—1972), который часто обращался к
приему симметрии в своих работах. Эшер сказал однажды, что его поездки в
Альгамбру стали для него «богатейшим источником вдохновения, из
которого он когда-либо питался». Эшер пытался «усовершенствовать» мавританское
исскуство, используя в качестве основы для своих набросков геометрические
сетки и накладывая на них изображения животных.
СМ. ТАКЖЕ Теория групп (1832), Квадрирование прямоугольника (1925), Замощение Фо-
дерберга (1936), Мозаика Пенроуза (1973), Группа-Монстр (1981), В поисках группы Ли
Eg (2007).
Дворцовый комплекс и крепость Альгамбра. Мавританские архитекторы использовали
множество различных групп симметрии при создании элементов его великолепного
декоративного убранства.
284

\
» »-■ ' '
* !
'- I
ι-
\
V :
.x
\\\\\\
.Ν5Γ
·№"
ι
w
if
I _ «
ι

00
Теорема Сильвестра
Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897), Тибор Галлаи (1912-1992)
Теорема Сильвестра, также извес ная как сильвестрова задача о коллине-
арных точках или теорема Сильвестра—Галлаи, привела все
математическое сообщество в замешательство на целых сорок лет. Она гласит, что если
на плоскости дано некоторое конечное число точек, то выполняется одно из
следующих условий: или 1) существует прямая, проходящая ровно через две
точки из имеющихся, или 2) все точки коллинеарны, т. е. лежат на одной
прямой линии. Английский математик Джеймс Сильвестр выдвинул это
утверждение в 18Θ3 г., но не смог найти для него доказательства. Математик
венгерского происхождения Пал Эрдёш занимался изучением этой проблемы
в 1Θ43 г., а верное решение было найдено в 1944 г. венгерским математиком
Тибором Галлаи.
Изначально Сильвестр просил читателей доказать, что «невозможно
расположить любое конечное число вещественных точек таким образом, чтобы
прямая линия, проведенная через любые две этих точки, при этом проходила
и через третью, если только все эти точки не лежат на одной и той нее прямой».
Вдохновленный гипотезой Сильвестра, математик Габриэль Эндрю Дирак
(1925—1984) — приемный сын Поля Дирака и племянник Юджина Вигнера — в
1951 г. предположил, что для любого набора из η точек, не всё из которых
коллинеарны, существует по меньшей мере п/2 прямых, содержащих ровно две
точки. На сегодняшний день известно всего два контрпримера к утверждению
Дирака.
Математик Джозеф Малкевич пишет о теореме Сильвестра так:
«Некоторые математические теоремы с несложными на вид формулировками
занимают важное место в истории, поскольку, несмотря на кажущуюся простоту,
долгое время избегают решения... Эрдёш весьма удивился, узнав, что теорема
Сильвестра остается недоказанной на протяжении столь многих лет... Одна
плодотворная теорема может побудить развитие мысли во множестве
направлений, часть из которых продолжает разрабатываться и по сей день». В своей
речи, обращенной к Университету Джонса Хопкинса (1877), Сильвестр
говорил: «Математика — не книга, помещенная в обложку, ...не шахта, сокровища
которой лежат лишь в ограниченном количестве рудоносных жил... Она
бесконечна... ее возможности так же безграничны, как миры, что вечно
накапливаются и множатся под внимательным взглядом астронома...».
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Теорема Паппа (340), Введение матриц
Сильвестром (1850), Теорема Юнга (1901).
Если имеется некоторый конечный набор точек, не все из которых лежат на одной
прямой (здесь эти точки представлены разноцветными шариками), то, по теореме
Сильвестра-Галлаи, должна существовать по меньшей мере одна прямая, проходящая
ровно через две такие точки.
286

00
ON
Доказательство теоремы о
распределении простых чисел
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (1777-1855),
Жак-Саломон Адамар (1865-1963), Шарль-Жан де ла Валле-Пуссен
(1866-1962), Джон Идензор Литлвуд (1885-1977)
Математик Дон Цагир писал: «Несмотря на простоту определения и роль
«кирпичиков» для всех натуральных чисел, простые числа растут среди
натуральных подобно сорным травам, и никто не может предсказать, где пробьется
следующий их росток. ...Что еще более удивительно, простые числа подчиняются
необычайной закономерности: существуют правила, определяющие их
поведение, и они повинуются этим законам с почти военной точностью».
Рассмотрим величину π(η), равную количеству простых чисел, меньших
или равных заданному числу п. В 1792 г. в возрасте всего 15 лет Карл Гаусс
увлекся вопросом о распределении простых чисел и предположил, что π(ή)
примерно равно η/1η(η). Одно из следствий этой теоремы состоит в том, что
η-e простое число примерно равно nln(n), а относительная погрешность этой
оценки стремится к 0 с приближением η к бесконечности. Гаусс позже
уточнил свою оценку до вида π(η) ~ Li(n), где Li(n) — интеграл от функции ln(jc) в
пределах от 2 до п.
Наконец, в 18Θ6 г. французский математик Ж. Адамар и бельгийский
математик Ш.-Ж. де ла Вале-Пуссен независимо друг от друга доказали
утверждение Гаусса. Исходя из результатов численных экспериментов, математики
предположили, что π(η) всегда немного меньше, чем Li(n). Однако в 1914 г.
Литлвуд доказал, что если бы было возможно рассмотреть огромные значения
п, то было бы видно, что знак неравенства π(η) < Li(n) меняется бесконечно
часто. В 1933 г. южноафриканский математик Стенли Скьюз показал, что первое
пересечение значения π(η) — Li(n) = 0 происходит ранее числа 10 , назван
ного числом Скьюза. С 1933 г. это значение было сокращено примерно до 10316.
Английский математик Г. X. Харди (1877—1947) однажды назвал
число Скьюза «самым большим числом, когда-либо служившим в математике
конкретной цели», хотя с тех пор оно потеряло этот почетный титул. Около
1950 г. Пал Эрдёш и Атле Сельберг обнаружили элементарное доказательство
теоремы о распределении простых чисел, т. е. такое доказательство, в котором
не используются элементы высшей математики.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), Построение правильного семнадцатиугольника (1796),
«Арифметические исследования» Гаусса (1801), Гипотеза Римана (1859), Константа Бруна (191S '
Гипотеза Гильбрайта (1958), Скатерть Улама (1963), Эрдёш и его опыт математического
сотрудничества (1971), Криптография с открытым ключом (1977), Гипотеза Андрики (1985).
Простые числа «растут среди натуральных подобно сорным травам.- и никто не
может предсказать, где пробьется следующий их росток.»».
288

1.2.3,4.5.6,7.8.9.10. И. 12.13,14.15,16.17.18.19.20,21,22.23.24.25,26.27.28.29.30,31,32.33.34.35.36.37.38.39.
40.41.42.43.44.45.46.47.48.49.50.51,52.53.54.55.56.57.58,59.60,61.62.63.64,65.66.67,68.69.70.71.72.73.74.75.
"б. 77.78.79.80,81,82.83,84.85.86.87.88.89,90,91.92,93.94.95,96,97.98.99.100.101.102.103.104.105.106,107.108.
109.110.111.112. ИЗ. 114,1 L\J!6.1 Π, 118.119.120.121.122.123.124.125,126.127.128.129.130.131.132.133.134.135.
136.137.138.139.140.141.142.1'43.144.145.146.147.148.149.150.151.152.153.154.155.156.157.158.159.160.161.162,
163.164.165.166.167.168.169,170. 171.172.173.174,175,176.177.178.179. 180.181.182.183.184.185,186,187.188.189.
190.191.192.193. 194. 195.196,197,198.199. 200.201.202.20.3.204.205.206,207,208.209. 210.211.212.213.214.215.216.
21". 218.219,220.221,222.223.224.225,226.227.228.229,230.231.232.233.234.235.236.237,238.239.240.241.242.243.
244.245,246.247.248. 249.250.251.252,253.254,255.256.257.258.259,260.261.262.263.264,265.266.267.268.269.270.
271.272.273.274,275. 276.277.278.279.280,281.282.283.284.285,286,287.288.289,290.291.292.293.294.295,296.297.
298.299.300.301.302.303,304.305,306.307,308.309.310.311.312,313.314.315. 316.317.318.319.320.321.322.323.324.
325.326.327.328.329.330.331.332,333,334.335.336.337.338.339.340.341.342,343,344.345.346.347.348.349.350.351.
352.353.354.355.356.357.358.359.360.361.362.363.364.365.366.367.368,369,370.371.372.373,374.375.376.377.378.
379. ,.,Ο.381.182.383.384.385.386.387.388,389. J90.391.392.39.3.394.395,396,397. „, 8.399.400.40J 402.403.404.405.
406.407.4( 409.410.411,412,413.414.415.416.417.418.419.420.42>422,423,424.425.426.427.428.429.430.431.432.
433.434.435,436.437.438.439.440.441.442.443.444,445.446.447.448,449.450.451.452.453.454.455.456.457,458.459.
460.461.462.463.464.465.466.467.468,469.470.471.472.473.474.475.476.477.478.479.480.481.482 483.484.485.486.
487. 8.489.490.491.492.493.494.495,496.497,49ί 499,500.501.502.503.504.505.506.507,508.509.510.511,512.513.
514.515.516.517.518.519.520.521.522.523.524.525.526,527.528.529.530.531.532.533.534.535.536.537.538.539.540.
541.542.543.544.545.546,547.548.549,550.551.552.553.554.555.556.557,558.559.560.561.562.563.564.565.566.567.
568. 569.570.571.572.573,574,575.576.577.578.579.580.581.582,583.584,585,586 587.588.589.590.591.592.593 "94.
595.596.597.598,599.600.601.602.603.604,605.606.607.608.609.610.611,612.613.614.615,616.617.618.619.620.621
622.623.624.625.626.627.628.629.630.631.632.633.634.635.636.637,638.639.640 641.642.643. ο44.645.646.647 648.
649.650,651,652.653.654.655.656.657.6: . 659,66! 661.662.663.664.665.666.667.668.669.670.671.672.673.674.675.
676.677.678.679.680.681.682.683.684,685.686,687.688.689.690.691.692.693.694.695,696,697.698.699. 700.701 "02.
"03.704.705.706.707.70u 709 ΊΟ. 711.712.713.714.715,716,717.718.719.720.721.722.723.724.725.726.727.728,729.
"30. "31. 732.733. 734. 735. 736. 737,738,739. 40.741.742,743. 744. 745.746,747. 748.749. 750.751. 752.753.754.755.756.
757. "58.759. 760.761. 762.763. 764.765. 766. 767. 768.769.770.771. 772.773.774,775.776. 777. 778.779.780. 781.782. 783.
""N4. "85. 786.787, 788.789. 790. 791. 792. 793. 794, 795.796.797 798.799.800.801.802.803.804. 805.806. 807.808.809, .110,
811.812.813.814.815.816,817,818.819.820,821. 822.823. 824, 825.826.827. 828.829. .0.831,832.833.834.835.836.837.
:n3S.839. 840,841.842.843.844.845. 846.847.848. 849. 850.851.852.853.854. 855.856.857.858.859. ΐ'Ί. 861. 8Γ. 863 Ϊ64.
S65.866. 867, 868.869, 870.871.872.873.874. 875.8"6.877.878.879.880.881.882.883.884.885.886.887. 888.889.890, 891.
S92.893.894.895. 896. 897.898.899.900,901.902,903,904.905.906.907.908.909.910,911.912,913.914.915.916,917.918.
919. " 921.922.923,924.925.926.927.928.929.930.931,932.933.934,935.936.937.938.939.940.94l. "'2.943.944.945.
W6.947.948.949.950.951.952.953.954,955.956,957.958.959,960.961.962.963.964,965.966.967.968.969.970.971.972.
9"3.974.975.976.977.978.979.980,981.982.983.984.985.986.987.988.989.9, J. 991.992.993.994.995.996.997. 98.999

00
чО
Формула Пика
Георг Александр Пик (1859-1942)
Теорема Пика изящна своей простотой и примечательна тем, что ее можно
легко проверить при пэмощи карандаша и листа бумаги в клетку.
Нарисуем простой многоугольник на равномерно разлинованном листе, так чтобы
все вершины (углы) многоугольника приходились на узловые точки сетки.
Теорема Пика гласит, что площадь А такого многоугольника в квадратных
единицах можно определить, сосчитав число i точек, лежащих внутри
многоугольника, и число Ъ точек, расположенных на границе многоугольника:
А = i + 6/2 — 1. Теорема Пика неприменима к мноугольникам с отверстиями
внутри.
Георг Пик, австрийский математик, опубликовал эту теорему в 1899 г.
В 1911 г. Пик ознакомил Эйнштейна с ключевыми работами важнейших
математиков, что помогло Эйнштейну развить и проработать его общую теорию
относительности. Когда в 1938 г. отряды гитлеровских войск заняли Австрию,
Пик, будучи евреем, бежал в Прагу. К сожалению, этого оказалось
недостаточно для спасения его жизни. Нацисты захватили Чехословакию и в 1942 г.
отправили Пика в концентрационный лагерь Терезиенштадт, где он и умер.
Из примерно 144 000 евреев, содержавшихся в Терезиенштадте, около
четверти умерло там же, а еще 60% было переправлено в Аушвиц и другие лагеря
смерги.
Математики впоследствии обнаружили, что не существует прямого
трехмерного аналога теоремы Пика, который бы позволял вычислять объем
политопа (например, многогранника) через подсчет заключенных внутри него и
приходящихся на его границы точек трехмерной сетки.
Используя теорему Пика и разлинованную кальку, можно приближенно
вычислять площади различных областей на картах — для этого требуемую
область достаточно аппроксимировать многоугольником с вершинами в узлах
сетки. Английский научно-популярный автор Дэвид Дарлинг пишет: «За
последние несколько десятилетий... выведено множество обобщений теоремы
Пика, относящихся к более обобщенным многоугольникам, многогранникам
большей размерности и сеткам, отличным от квадратных... Эта теорема
служит связующим звеном между традиционной евклидовой геометрией и
современным предметом дискретной геометрии».
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), «Начала» Евклида (300 до н. э.), Архимедовы
полуправильные многогранники (240 до н. э.).
По теореме Пика, площадь этого многоугольника равна I + Ь/2 — 1, где i - число точек,
расположенных внутри многоугольника, а Ь — число точек, расположенных на границе
многугольника.
290

00
Теорема Морли о трисектрисах
Фрэнк Морли (1860-1937)
В 1899 г. англо-американский математик и опытный шахматист Фрэнк
Морли сформулировал теорему, позднее названную его именем. Она гласит, что
в любом треугольнике точки пересечения смежных трисектрис всегда
образуют равносторонний треугольник. Трисектрисами называются прямые,
которые делят внутренний угол на три равные части. В треугольнике эти
прямые пересекаются в шести точках, три из которых образуют вершины малого
равностороннего треугольника. Это утверждение получило целый ряд
доказательств, причем первые из них были весьма сложными и изощренными.
Коллеги Морли нашли его открытие столь прекрасным и удивительным,
что окрестили его «чудом Морли». Ричард Фрэнсис писал: «По всей
видимости, нераспознанная античными геометрами либо же поспешно отринутая
из-за связи с трисекцией, построение которой невозможно классическими
инструментами, эта задача стала известной лишь столетие назад. Хотя она была
предложена Фрэнком Морли ок. 1900 г., для строгого-бё решения и
доказательства потребовались еще более поздние открытия. Так и случилось, что эта
красивая и элегантная евклидова теорема, загадочно остававшаяся
незамеченной на протяжении столетий, принадлежит двадцатому век_,»
Морли сперва преподавал в квакерском Хэверфордском колледже в
Пенсильвании, а затем в Университете Джонса Хопкинса. В 1933 г. он
опубликовал работу под названием «Инверсная геометрия», написанную в соавторстве
с его сыном, математиком Фрэнком В. Морли. Тот так вспоминал о своем отце
в собственной книге «Мой малый вклад в шахматы»: «Он мог начать рыться в
кармане своего жилета в поисках огрызка карандаша длиной дюйма в два; за
этим следовало копание в боковом кармане, откуда извлекался старый
конверт, ...наконец он вставал и с некоторой украдкой направлялся в сторону
своего кабинета,.. .а моя мать тогда кричала ему вслед: «О Фрэнк, ты ведь не
собираешься работать?..». На что неизменно следовал ответ: «Ну разве что самую
малость!..», — и дверь кабинета за ним закрывалась».
Теорема Морли продолжает увлекать математиков. В 1998 г. Ален Конн,
французский математик и лауреат Филдсовской премии, представил новое
доказательство этой теоремы.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Теорема косинусов (1427), Теорема Вивиани
(1659), Эйлерова задача о разбиении многоугольников (1751), Треугольник в шаре (1982).
Согласно теореме Морли (которую иногда называют «чудом Морли»), в любом
треугольнике точки пересечения смежных трисектрис всегда образуют равносторонний
треугольник

О
о
23 проблемы Гильберта
Давид Гильберт (1862-1943)
Немецкий математик Давид Гильберт писал: «Наука исполнена жизни лишь
до тех пор, пока она в изобилии предлагает нам нерешенные вопросы;
отсутствие вопросов — признак смерти». В 1900 г. он представил научному
сообществу список из 23 важнейших математических проблем, решение которых
должно было быть целью математической науки двадцатого века. Благодаря
высокой репутации Гильберта, математики тратили и продолжают тратить
огромное количество времени, трудясь над этими задачами. Знаковая речи
Гильберта, произнесенная им на Международном конгрессе математиков и
возымевшая огромное влияние, начиналась так: «Кто из нас не был бы рад
приоткрыть завесу, за которой лежит сокрытое от нас будущее; окинуть
взглядом грядущие достижения нашей науки и тайны ее развития в
предстоящие столетия? Каковы будут те особенные цели, к которым будут
обращаться ведущие математические умы грядущих поколений?»
Около десяти проблем из списка сейчас уже полностью решены. Многие
другие имеют решения, с которыми согласно большинство математиков, но
относительно которых все еще идут некоторые споры. К примеру,
доказательство гипотезы Кеплера (входящей в состав Проблемы 18), в которой ставится
вопрос об эффективности упаковок шаров, основывается на проведенных
компьютерных расчетах, проверить которые человеку крайне сложно.
Одной из самых знаменитых проблем, по-прежнему не решенных на
сегодняшний день, остается гипотеза Римана, касающаяся распределения нулей
дзета-функции Римана (крайне извилистой функции). Сам Давид Гильберт
отмечал: «Если бы я очнулся после тысячелетнего сна, то первым, о чем бы я
спросил, было: «доказана ли гипотеза Римана?..».
Бен Янделл пишет: «Решение одной из проблем Гильберта — тайная
мечта многих математиков... За последние сто лет такие решения и значимые
частные результаты были получены из всех уголков земного шара. Список
Гильберта исполнен чистой красоты; окруженные притягательным
романтическим и историческим ореолом, эти прекрасно подобранные задачи служат
организующей силой математики».
СМ ТАКЖЕ Гипотеза Кеплера (1611), Гипотеза Римана (1859), Парадокс «Гранд-отеля»
Гильберта (1925).
Фотография Давида Гильберта (1912) из серии открыток с преподавателями Гёттин-
генского университета. Такие открытки пользуются большой популярностью среди
студентов.
294

■δ*

О
о
Критерий хи-квадрат
Карл Пирсон (1857-1936)
Ученые часто сталкиваются с тем, что получаемые экспериментально
результаты не совпадают с теми, которых можно было ожидать, исходя из
теории вероятностей. Например, если при последовательных подбрасываниях
игральной кости отклонение выпадающих значений от ожидаемых величин
слишком велико, то логично предположить, что кость, скорее всего,
несимметрична — к примеру, ее вес распределен неравномерно.
Метод проверки по критерию хи-квадрат был впервые опубликован в 1900 г.
английским математиком Карлом Пирсоном. С тех пор он стал применяться
в бесчисленном количестве областей, начиная от криптографии и программ
обеспечения надежности и заканчивая анализом статистики результативных
ударов в бейсболе. При использовании такой проверки предполагается, что
события независимы (как в примере с подбрасываниями игральной кости).
Значение критерия хи-квадрат можно вычислить, когда известны как
наблюдаемая экспериментально частота Ot некоторого события, так и его
теоретическая (т. е. ожидаемая) частота £.. Формулу Пирсона можно записать в виде
χ2 = Σ(Ολ — Ε)2/Ε.. Если ожидаемая частота события и его наблюдаемая частота
в точности совпадают, то χ2 = 0. Чем сильнее эти величины различаются, тем
больше значение χ2. На практике серьезность этого расхождения определяется
по справочным таблицам, которые помогают исследователям определить,
насколько значима та или иная степень расхождения ожидаемых результатов с
экспериментальными. Разумеется, если значение χ2 слишком близко к нулю,
это тоже может вызывать подозрения, поэтому нормальными обычно
считаются одновременно не слишком высокие, но и не слишком низкие значения χ2.
В качестве примера попробуем проверить гипотезу о том, что некий
случайный набор из 100 насекомых был взят из популяции, в которой бабочки и
жуки встречаются с одинаковой частотой. Если в нашем наборе мы наблюдаем
10 неуков и 90 бабочек, то величина χ2 составит (10 — 50)2/50 + (90 — 50)2/50 =
= 64 — это огромное значение показывает, что наше изначальное
предположение (о том, что наши насекомые случайно взяты из популяции с одинаковым
числом бабочек и жуков), скорее всего, ошибочно.
Работы Пирсона были удостоены многих наград, несмотря на то что вне
сферы математики он был расистом и призывал к войне против «низших рас».
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 до н. э.), Закон больших чисел (1713), Кривая
нормального распределения (1733), Метод наименьших квадратов (1795), «Аналитическая
теория вероятностей» Лапласа (1812).
Использование критерия хи-квадрат помогает проверить гипотезу о том, что
случайный набор из 100 насекомых был взят из популяции, в которой бабочки и жуки
встречаются с одинаковой частотой. В приведенном случае высокое значение этого
критерия {64) указывает на то, что наша изначальная гипотеза скорее всего ошибочна.
296

Ч
Ч
\
\

О
Поверхность Боя
Вернер Бой (1879-1914), Бернар Морен (р. 1931)
Поверхность Боя была обнаружена в 1901 г. немецким математиком Верне-
ром Боем. Как и бутылка Клейна, этот объект является односторонней
поверхностью, не имеющей краев. Поверхность Боя также является неориен-
тируемой поверхностью, означающей, что двумерное существо может
перемещаться в пределах этой поверхности и находить такие пути, которые будут
зеркально переворачивать это существо (т. е. оно будет переходить в свое
зеркальное отражение) по его возвращении в исходную точку. Лента Мёбиуса и
бутылка Клейна также являются неориентируемыми поверхностями.
Формально говоря, поверхность Боя есть погружение проективной
плоскости в трехмерное пространство без сингулярностей. Для создания
поверхности Боя существуют геометрические рецепты, и некоторые из них связаны
с растяжением диска и приклеиванием края диска к краю ленты Мёбиуса.
В процессе этого поверхность может проходить сама через себя, но ее нельзя
разрывать или прокалывать насквозь. Поверхность Боя очень трудно
представить себе, хотя специалисты в области компьютерной графики лучше
понимают ее форму.
Поверхность Боя обладает симметрией третьего порядка. Другими
словами, существует такая ось, относительно которой данная форма может быть
повернута на 120° таким образом, чтобы ее вид остался прежним. Интересно, что
Бой смог набросать несколько моделей данной поверхности, но он не смог
задать уравнения (т. е. сконструировать параметрическую модель) для описания
этой поверхности. Наконец, в 1978 г. французский математик Бернар Морен
с помощью компьютера нашел первую параметризацию этой поверхости.
Морен, который был слеп с детства, сделал успешную карьеру в области
математики. Журналистка Эллин Джексон, специализирующаяся в области
математики, пишет: «Вовсе не отнимая у Морена экстраординарную способность к
визуализации, его слепота, возможно, еще более усиливает эту способность...
Одна из причин, затрудняющих визуализацию геометрических объектов,
заключается в том, что каждый склонен видеть лишь внешнюю сторону данных
объектов, а не их внутреннюю суть, что может быть очень сложным... Морен
обладает развитой способностью перехода от внешней оболочки к внутренней
сути... Поскольку получение информации через осязание у него вошло в
привычку, после манипулирования с ручной моделью в течение пары часов Морен
может сохранять в памяти форму этой модели долгие годы спустя».
СМ. ТАКЖЕ Минимальная поверхность (1774), Лента Мёбиуса (1858), Бутылка Клейна
(1882), Как вывернуть сферу наизнанку? (1958), Многообразие Уикса (1985).
Поверхность Боя (визуализация Пауля Нюландера). Этот объект является
односторонней поверхностью, не имеющей краев.
298

\

О
Парадокс брадобрея
Бертран Рассел (1872-1970)
В 1901 г. английский философ и математик Бертран Рассел обнаружил
возможный парадокс, или кажущееся противоречие, которое вынудило его
внести изменения в теорию множеств. В одной из версий парадокса Рассела,
также известного под названием «Парадокс брадобрея», фигурирует некий
город, где имеется один парикмахер, который бреет каждого мужчину,
который не бреется сам, и никого больше. Может ли парикмахер побрить самого
себя?
Сценарий, казалось, требует, чтобы брадобрей побрил сам себя, если и
только если он не бреется сам! Хелен Джойс пишет: «В связи с этим парадоксом
возникает пугающая перспектива того, что вся математика основана на
шатком фундаменте- и нед ьзя доверять тому, что не может быть доказано».
Парадокс Рассела в своем первоначальном виде включает в себя множество
всех множеств, которые не являются элементами самих себя. Многие
множества R не являются элементами самих себя, например множество кубов не
является кубом. Примером множества Т, которое действительно содержит себя
в качестве элемента, является множество всех множеств. Каждое множество,
казалось бы, является либо множеством типа В., либо множеством типа Т, и
никакое множество не может быть ими обоими. Тем не менее Рассел задав ι-
ся вопросом о множестве S всех множеств, которые не являются элементами
самих себя. Так или иначе, S не является элементом самого себя и является
элементом самого себя. Рассел понял, что нужно изменить теорию множеств
таким образом, чтобы избежать подобной путаницы и возможных
противоречий.
Одним из возможных опровержений парадокса брадобрея, по видимому,
является то, что мы можем просто сказать, что такого брадобрея не существует.
Тем не менее парадокс Рассела привел к более чистой форме теории множеств.
Немецкий математик Курт Гёдель использовал аналогичные наблюдения при
формулировке своей теоремы о неполноте. Британский математик Алан
Тьюринг также нашел работу Рассела полезной при изучении неразрешимости
проблемы останова программы, которая касается оценки того, действительно
ли компьютерная программа закончит свою работу за конечное число шагов.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Аристотелево колесо (320 до н. а.), Санкт-
Петербургский парадокс (1738), Аксиома выбора Цермело (1904), «Основания
математики» (1910-1913), Парадокс Банаха-Тарского (1924), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта
(1925), Теорема Гёделя о неполноте (1931), Машины Тьюринга (1936), Парадокс дней
рождения (1939), Парадокс Ньюкома (1960), Число «Омега» Грегори Чейтина (1974),
Парадокс Паррондо (1999).
В парадоксе брадобрея фигурирует город, где парикмахер бреет каждого человека,
который не бреется сам, и никого больше. Бреет ли брадобрей сам себя?
300

lr
>
I
^
III
'{'
,V ft-
л **
- :i
! V.i
•
^
л

О
Теорема Юнга
Генрих Вильгельм Эвальд Юнг (1876-1953)
Представьте себе конечное множество рассеянных точек, напоминающее
россыпь звезд на карте созвездий, либо множество капель чернил, случайным
образом упавших на лист бумаги. Нарисуйте прямую линию, соединяющую
две точки, между которыми имеется наибольшее расстояние. Это
максимально возможное расстояние d между двумя точками множества
называется диаметром множества точек. Теорема Юнга говорит, что независимо от
того, насколько странным образом рассеяны эти точки, их можно заключить
в круг радиусом не больше В случае точек, расположенных на
сторонах равностороннего треугольника с единичной длиной стороны, описанная
окружность проходит через все три вершины этого треугольника и имеет
радиус ιΛ/3.
Теорема Юнга обобщается на три измерения, где множество точек может
быть заключено в сферу радиусом не более v6d/4 . Это означает, например, что
если у нас есть набор точечных объектов в пространстве, таких как сч ая птиц
или рыб, то эти объекты будут гарантированно заключены в такую сферу.
В настоящее время теорема Юнга распространена на различные неевклидовы
геометрии и пространства.
Если мы хотим распространить эту теорему на такие поразительные
случаи, как заключение птиц в многомерную гиперсферу размерности п, то мы
можем прибегнуть к удивительно компактной формуле:
г<
d\ n ,
\2{п + \)
которая означает, что четырехмерная гиперсфера радиусом dy]2/5
гарантированно заключает в себе стаю скворцов, вылетающих в четвертое измерение.
Немецкий математик Генрих Юнг изучал математику, физику и химию в
университете Марбурга и в Берлинском университете с 1895 по 1899 г. Дан
ная теорема была им опубликована в 1901 г.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Неевклидовы геометрии (1829), Теорема
Сильвестра (1893).
Стая птиц, насколько сложной бы она ни была, может быть заключена в сферу
радиусом не более -Jed/4, если рассматривать каждую птицу как точку в пространстве
Что мы можем сказать о стае скворцов в четырехмерном пространстве?

-*
dh
>ч
^Г
*

о
Гипотеза Пуанкаре
Анри Пуанкаре (1854-1912), Григорий Перельман (р. 1966)
Гипотеза Пуанкаре, выдвинутая в 1904 г. французским математиком Анри
Пуанкаре, касается топологии — раздела математики, связанного с
изучением форм и их взаимосвязей. В 2000 г. Математический институт Клэя
предложил приз в 1 млн долл. за доказательство этой гипотезы, которую можно
достаточно точно наглядно представить себе с помощью апельсинов и
бубликов. Представьте себе петлю из струны, наброшенную на апельсин. В теории,
мы можем медленно сжать петлю в точку, не разрывая ни струны, ни
апельсина, таким образом, чтобы петля снялась с поверхности апельсина. Однако
если струна будет обернута вокруг бублика через его отверстие, то нельзя
будет стянуть струну в точку, не разорвав струну или сам бублик. Поверхность
апельсина называется односвязной, а поверхность бублика — неодносвязной.
Пуанкаре понимал, что двумерная сферическая оболочка (например, сфера,
моделирующая поверхность апельсина) односвязна, и он спросил, обладает
ли трехмерная сфера (множество точек в четырехмерном пространстве,
которые находятся на одинаковом расстоянии от одиночной точки) теми нее
свойствами.
И наконец, в 2002 и 2003 гг., российский математик Григорий Перельман
доказал эту гипотезу. Как ни странно, Перельман не проявил большого
интереса к получению премии Института Клэя и просто выложил свои решения в
Интернете вместо того, чтобы опубликовать их в каком-либо ведущем
математическом журнале. В 2006 г. Перельман был удостоен престижной Филдсов-
ской премии за свое решение, но он отказался от награды, заявив, что она для
него была «совершенно неуместной». Для Перельмана «не требуется
никакого другого признания», если его доказательство было правильным. Журнал
Science в 2006 г. сообщил, что «доказательство Перельмана коренным образом
изменило два различных раздела математики. Во-первых, решена проблема,
которая более века была камнем преткновения в самой центральной области
топологии... [Во-вторых], эта работа привела к гораздо более обширным
результатам... она стала своеобразной «периодической таблицей», которая
вносит ясность в изучение трехмерных пространств, во многом подобно тому, как
в свое время таблица Менделеева внесла ясность в изучение химии».
СМ. ТАКЖЕ Задача о Кёвигсбергских мостах (1736), Бутылка Клейна (1882), Филдсов-
ская премия (1936), Многообразие Уикса (1985).
Французский математик Анри Пуанкаре, выдвинувший гипотезу Пуанкаре в 1904 г.,
которая оставалась недоказанной вплоть до 2002-2003 гг., когда российский
математик Григорий Перельман, наконец, предложил убедительное доказательство этой
гипотезы.
304

О
Снежинка Коха
Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870-1924)
Снежинка Коха часто оказывается одним из первых фрактальных объектов,
с которыми приходится сталкиваться студентам. Она также является одним
из самых ранних фрактальных объектов, описанных в истории математики.
Впервые сложная форма этой снежинки появилась в статье шведского
математика Хельге фон Коха «О непрерывной кривой без касательных, получен
ной методом элементарных геометрических построений». Процесс постро
ения исходного объекта, из которого получается снежинка, — кривой Коха,
начинается не с равностороннего треугольника, а с отрезка прямой.
Чтобы построить извилистую кривую Коха, мы можем рекурсивно
изменять отрезок прямой, наблюдая* как в данном процессе он ветвится до
получения бесконечного количества краев. Представим себе, что данный отрезок
разбит на три равных сегмента. Далее, заменим средний сегмент двумя
прямыми отрезками с длиной, равной длинам первых трех сегментов, таким
образом, чтобы вместе они образовали клин V-образной формы (который образуют
верхние стороны равностороннего треугольника). Итак, мы получили
ломаную линию, состоящую из четырех прямых отрезков. Для каждого из этих
отрезков повторим процесс разбиения на три сегмента и формирования на них
V-образных клиньев.
Если начать с отрезка длиной 1 дюйм, то длина растущей кривой на гам
шаге в данной итерационной процедуре составит (4/3)" дюймов. После
нескольких сотен итераций длина кривой станет больше, чем диаметр видимой
Вселенной. В самом деле, «окончательная» кривая Коха имеет бесконечную
длину и фрактальную размерностью около 1,26, потому что она частично
заполняет ту двумерную плоскость, на которой она построена.
Три копии кривой Коха, построенные на сторонах равностороннего
треугольника, и образуют снежинку Коха. Несмотря на то что край снежинки Коха
имеет бесконечную длину, она охватывает конечную площадь l2>/3s2 J /5, где
s — длина стороны исходного треугольника, или, что эквивалентно, площадь
снежинки Коха просто в 8/5 раза больше площади исходного треугольника.
Напомним, что в точках излома функция не имеет определенной касательной,
и это означает, что в точках излома функция является недифференцируемой
(т. е. не имеет производной). Кривая Коха является недифференцируемой в
любой точке (потому что она в любой точке имеет изломы) несмотря на то, что
она является непрерывной.
СМ. ТАКЖЕ Функция Вейерштрасса (1872), Кривая Пеано (1890), Размерность Хаусдор-
фа (1918* Губка Менгера (1926), Парадокс береговой линии (1950), Фракталы (1975).
Замощение снежинками Коха. Для создания этого рисунка математик и художник
Роберт Фатхауэр использовал снежинки различных размеров.
306

О
Аксиома выбора Цермело
Эрнст Фридрих Фердинанд Цермело (1871-1953)
Дэвид Дарлинг называет эту аксиому теории множеств «одним из самых
спорных аксиом в математике». Она была сформулирована в 1904 г.
немецким математиком Эрнстом Цермело, который позже получил должность
почетного профессора в университете Фрайбурга. Впоследствии он отказался от
этого места в знак протеста против гитлеровского режима.
Хотя эту аксиому трудно записать в математическом виде, ее можно
проиллюстрировать с помощью длинной полки, на которой стоят аквариумы с
золотыми рыбками. В каждом аквариуме должна находиться, по крайней мере,
одна золотая рыбка. Аксиома выбора (АВ) просто говорит о том, что
теоретически вы всегда можете выбрать по одной рыбке из каждого аквариума, даже
если существует бесконечно много аквариумов, и нет способа, как
вытаскивать золотую рыбку из аквариума, и даже если эта золотая рыбка является
неотличимой от других.
В математической терминологии, если S представляет собой семейство
непустых множеств, не имеющих общего элемента, то существует некоторое
множество, содержащее ровно один общий элемент с каждым множеством s
из семейства S. Другими словами, существует функция выбора /, обладающая
тем свойством, что для каждого множества s в данном семействе множеств /(s)
является членом множества s.
До того момента, как данная аксиома выбора была сформулирована, не
было никаких причин полагать, что мы всегда смогли бы найти
математическое обоснование того, какую рыбку удастся выловить из данного
аквариума при условии, что в некоторых аквариумах будет находиться бесконечное
количество рыбок. Также не было причин полагать, что мы всегда смогли бы
найти некоторое математическое обоснование, на использование которого
ушло бы время, меньшее бесконечности. Получается, что АВ лежит в основе
многих важных математических теорем в алгебре и топологии, и большинство
современных математиков принимают АВ, потому что она является весьма
полезной. Эрик Шектер пишет: «Когда мы принимаем АВ, это означает, что мы
примкнули к Конвенции о том, что мы должны разрешать использование
гипотетической функции выбора в доказательствах, словно она «существует» в
некотором смысле даже в тех случаях, когда мы не можем привести ее явный
пример или ясный алгоритм».
СМ. ТАКЖЕ Аксиомы Пеано (1889), Парадокс брадобрея (1901), Парадокс «Гранд-отеля»
Гильберта (1925).
Даже если у нас есть бесконечно много аквариумов с золотыми рыбками, то
теоретически мы всегда сможем выловить по одной рыбке из каждого аквариума, даже если у
нас нет «правила», согласно которому мы будем вылавливать этих золотых рыбок из
аквариумов, и даже если эти золотые рыбки неразличимы.
308

О
Ui
Теорема Жордана о кривых
Мари Энмон Камиль Жордан (1838-1922), Освальд Веблен (1880-1960)
Возьмите проволочную петлю, изогните ее самым запутанным образом так,
чтобы избежать самопересечений, и положите ее плашмя на стол, чтобы
создать лабиринт ходов. Поместите в данный лабиринт муравья. Если лабиринт
будет достаточно сложен, то на глаз трудно определить, будет находиться
муравей внутри или снаружи данной петли. Один из способов определить,
находится ли муравей внутри этой петли, заключается в том, чтобы подсчитать,
сколько раз воображаемая прямая линия, проведенная от муравья за пределы
данного лабиринта, пересечет проволоку. Если линия пересекает кривую
лабиринта четное число раз, то муравей будет находиться вне лабиринта, если
нечетное число раз, то муравей будет находиться внутри.
Французский математик Камиль Жордан исследовал эти виды правил
определения внутренней и внешней областей кривых, причем наибольшую
известность ему принесла теорема, называемая теперь теоремой Жордана о
кривых (ТЖК), показывающая, что простая (т. е. не имеющая
самопересечений) замкнутая кривая делит плоскость на две связные части — внутреннюю и
внешнюю. Хотя это высказывание может показаться очевидным, Жордан
понял, что оно требует строгого доказательства, которое оказалось непростым.
Теорема Жордана о кривых появилась в его курсе Cours a'analyse de VEcole
Poly technique ( « Курс анализа в Политехнической школе » ), впервые
опубликованном в трех томах между 1882 и 1887 гг. ТЖК появилась в третьем издании
текста, опубликованном в период между 1909 и 1915 гг. Точное
доказательство ТЖК обычно приписывают американскому математику Освальду Вебле-
ну, который представил его в 1905 г.
Следует отметить, что жорданова кривая является плоской кривой,
которая представляет собой деформированную окружность, и она должна быть
простой (т. е. не может иметь самопересечений) и замкнутой (не должна иметь
концевых точек, а также должна полностью охватывать некоторую часть
плоскости). На плоскости или сфере жордановы кривые имеют внутреннюю и
внешнюю области, и чтобы перейти из одной части в другую, необходимо
пересечь, по крайней мере, одну линию этой кривой. Однако на торе (поверхности в
трехмерном пространстве в форме бублика) жордановы кривые не обязательно
обладают таким свойством.
СМ. ТАКЖЕ Задача о Кёнигсбергских мостах (1736), Теорема Гольдича (1858), Гипотеза
Пуанкаре (1904), Рогатая сфера Александера (1924), Игра «Почки и побеги» (1967).
Жордановы кривые, изображенные математиком и художником Робертом Бошем.
ВВЕРХУ: находится ли эта красная точка внутри или вне кривой Жордана? ВНИЗУ:
белая линия является жорданоеой кривой; зеленая и синяя области являются ее
внутренней и наружной областями соответственно.
310

О
ON
Последовательность Морса-Туэ
Тициан Аксель Туэ (1863-1922), Марстон Морс (1892-1977)
Последовательность Морса—Туэ (МТ) представляет собой двоичную
последовательность, начало которой имеет вид 01101001.... В моей книге «Лабирин
ты для ума», когда данная последовательность преобразуется в звуки, один
персонаж замечает: «Это самая странная вещь, которую вам довелось когда-
либо услышать. Она либо точно нерегулярная, либо она не точно
регулярная». Эта последовательность названа в честь норвежского математика
Тициана Акселя Туэ и американского математика Марстона Морса. В 1906 г. Туэ
представил данную последовательность в качестве примера апериодической
рекурсивно рассчитываемой строки символов. В 1921 г. Морс применил
данную последовательность в своих исследованиях в области дифференциальной
геометрии, и с тех пор у этой последовательноеги было обнаружено
множество увлекательных свойства и применений.
Один из способов создания последовательности заключается в том, чтобы
начать с нуля, а затем постоянно делать замены 0 —> 01 и 1 —> 10,
последовательно получая: 0, 01, ОНО, 01101001, 0110100110010110... . Обратите
внимание, что некоторые члены последовательности, такие как третий член 0110,
являются палиндромами (последовательностями, которые одинаково
читаются как слева направо, так и справа налево).
Можно создать данную последовательность по-другому: каждый член
получается из предыдущего путем добавления к нему сопряженной величины.
Например, если вы видите число ОНО, вы добавляете 1001.
Можно также создать последовательность, взяв числа 0, 1, 2, 3..., записав
их в двоичной форме: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111... и взяв сумму цифр по
модулю 2 для каждого двоичного числа (т. е. разделив сумму на 2 и взяв
остаток). Это также дает последовательность Морса- Туэ: 0,1,1,0,1,0,0, 1...
Эта последовательность является самоподобной. Например, удаление всех
элементов, стоящих на четных местах, не изменяет последовательности. Если
удалить каждую четную пару элементов, опять получим исходную
последовательность (т. е. оставляем первые два числа, следующие два удаляем и т. д.).
Хотя последовательность является апериодической, она далеко не случайна.
В ней есть сильные взаимосвязи между ближними и дальними членами.
Например, не существует более двух одинаковых соседних кусочков
последовательности.
СМ. ТАКЖЕ Булева алгебра (1854), Мозаика Пенроуза (1973), Фракталы (1975), Аудиоак-
тивная последовательность (1986).
Картина Марка Дау, составленная из квадратных плиток, содержащих набор
симметричных спиралей. Единицы и нули в последовательности Морса—Туэ отвечают за две
ориентации этих плиток по мере заполнения ими шахматной доски.

ч
\
\
N
Μ
^ч
N
Л
\

О
Теорема Брауэра
о неподвижной точке
Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966)
Дэвид Дарлинг характеризует теорему Брауэра о неподвижной точке как
«удивительный результат в топологии и одну из самых полезных теорем в
математике». Макс Беран говорит, что от этой теоремы у него «захватывает
дух». Представьте себе, что у нас есть два листка бумаги одинакового
размера, причем один листок лежит на другом. Ваш сосед по комнате берет один
листок, сминает его в комок и бросает на другой лист так, чтобы ни одна часть
этого скомканного листка не выходила за края нижнего ровного листка
бумаги. Теорема утверждает: на данном скомканном листке бумаги имеется хотя
бы одна точка, которая будет находиться точно над тем же самым местом на
нижнем листке бумаги, где она находилась первоначально, когда два ровных
листка лежали один на другом. (Считается, что ваш сосед, сминая листок
бумаги, не порвал его.)
Та нее теорема работает и в других измерениях. Представьте себе
шарообразные чаши с лимонадом с отверстием наверху. Ваш сосед по комнате
взбалтывает лимонад. Даже если все точки в жидкости приходят в движение,
теорема Брауэра настаивает на том, что должна существовать некоторая точка
в данном лимонаде, которая будет находиться в том же самом месте, где она
находилась до того, как ваш сосед стал взбалтывать лимонад. На более точном
языке математики теорема утверждает, что любое непрерывное отображение
n-мерного шара в n-мерный шар (где η > О — размерность пространства)
должно иметь неподвижую точку.
Голландский математик Лёйтзен Брауэр доказал теорему для случая η = 3
в 1909 г. В 1910 г. французский математик Жак Адамар доказал эту теорему
для общего случая. По словам Мартина Дэвиса, Брауэр зачастую бывал
драчлив, а к концу своей жизни уединился «под влиянием припадков полностью
безосновательных финансовых треволнений, параноидального страха
банкротства, преследования и болезни». В 1966 г. он попал под машину и погиб,
переходя через улицу.
СМ. ТАКЖЕ Проективная геометрия (1639), Задача о Кёнигсбергских мостах (1736),
Теорема о волосатом шаре (1912), Геке (1942), Аттрактор Икеды (1979)
Случайно смятый комок бумаги помогает наглядно представить теорему голландского
математика Лёйтзена Брауэра о неподвижной точке, являющуюся «удивительным
результатом в топологии и одной из самых полезных теорем в математике».

\\
\

О
Нормальное число
Феликс Эдуард Джастин Эмиль Борель (1871-1956)
Закономерности в бесконечном потоке цифр в числах, подобных числу π,
являются постоянным предметом поисков для математиков. Математики
предполагают, что число π является «нормальным», т. е. в нем любая конечная
последовательность цифр возникает с такой же частотой, как это молено было
бы ожидать для абсолютно случайной последовательности. Поиск
возможных «рисунков цифр» в числе π сыграл ключевую роль в романе Карла
Сагана «Контакт», в котором прите ьцы из космоса закодировали изображение
круга в последовательности цифр числа π. Также интерес представляют
теологические умозаключения, интригующие читателей вопросом, не создана
ли сама наша Вселенная такой, чтобы в физических константах можно было
обнаружить некоторые послания к человечеству? В самом деле, если π —
нормальное число, то где-то внутри его бесконечной последовательности почти
наверняка тщательно закодирован весьма точный образ всех нас —
координаты атомов, из которых мы состоим, наш генетический код, все наши мысли,
все наши воспоминания. Мы спешим вас обрадовать: число π делает нас
бессмертными!
Иногда математики используют словосочетание «абсолютно нормальный»,
чтобы обозначить нормальность в системах счисления с любым основанием и
«просто нормальный», если число является нормальным в системе счисления с
конкретным основанием. (Например, наша десятичная система имеет
основание 10, потому что она использует 10 цифр, от 0 до 9.) Нормальность означает,
что все цифры одинаково вероятны, все пары цифр равновероятны, все тройки
цифр равновероятны и т. д. Например, в числе π цифра 7 теоретически должна
появляться примерно один миллион раз среди первых 10 миллионов цифр его
десятичного представления. В действительности это случается 1000 207 раз,
что очень близко к ожидаемому значению.
Французский математик и политический 1вятель Эмиль Борель ввел
понятие нормального числа в 1909 г. как способ описания числа π, которое,
казалось, обладает свойствами случайного набора цифр. В 1933 г.
искусственно созданное число Чамперноуна было одним из первых чисел, оказавшихся
нормальными по основанию 10. Первое абсолютно нормальное число было
создано Вацлавом Серпинским в 1916 г. Как и в случае с числом π, есть
предположение, которое пока еще не доказано, что числа v2. e и 1п2 тоже являются
нормальными числами.
СМ. ТАКЖЕ Число π (250 до н. э.), Эйлерово число е (1727), Трансцендентные числа
(1844), Число Чамперноуна (1933).
«Часть числа π» — рисунок, который был создан при рассмотрении лишь одной малой
части бесконечной последовательности цифр в числе π, в которой каждая цифра
закодирована определенным цветом. Предполагается, что число π является «нормальным»
и обладает свойствами полностью случайной последовательности цифр.

О
«Философия и занимательное
в алгебре» Мэри Буль
Мэри Эверест Буль (1832-1916)
Мэри Эверест Буль была математиком-самоучкой и получила известность
благодаря своей интересной книге «Философия и занимательное в алгебре»,
вышедшей в 1909 г. Она была женой Джорджа Буля (1815—1864),
британского математика и философа, который изобрел алгебру логики, впоследствии
ставшую основой для современной компьютерной арифметики. Она также
отвечала за редактирование его монументальной книги «Законы мышления»,
изданной в 1854 г. Ее книга «Философия и занимательное в алгебре» дает
современным историкам некоторое представление о математическом
образовании в начале 1900-х гг.
Какое-то время Мэри работала в Куинс Колледже, который был первым
женским колледжем в Англии. Увы, она жила в эпоху, когда женщинам не
было разрешено получать ученые степени или преподавать в колледже. Хотя
она отчаянно хотела заниматься преподаванием, ей пришлось устроиться на
работу в библиотеку, где она консультировала многих студентов. Упорство и
рвение к математике и образованию сделали ее героиней в глазах некоторых
современных феминисток.
В конце своей книги она обсуждает мнимые числа, такие как , к
которым она относилась с мистическим благоговением: «[Один из лучших
студентов-математиков Кембриджа] продолжал думать о квадратном корне из минус
единицы, как если бы он существовал на самом деле, до тех пор, пока он не
потерял сон и ему не пригрезилось, что он сам квадратный корень из минус
единицы и он не может извлечь сам себя, и от этого он так заболел, что совсем
не смог сдать экзамен». Она также пишет, что «Ангелы и квадратные корни из
отрицательных чисел... — это посланники от Пока-еще неизведанного, и они
пришли, чтобы сказать нам, куда нам дальше следует идти, показывая самый
короткий путь туда, и предупреждают, куда нам не следует идти в настоящее
время».
Математика, казалось, была в самой крови Булей. Старшая дочь Мэри Буль
вышла замуж за Чарльза Говарда Хинтона (1853—1907), который также
предложил мистическую интерпретацию тессерактов и инструменты для визуали
зации четвертого измерения. Другая ее дочь, Алисия, получила известност]
благодаря своей работе с политопами. Термин «политоп» был придуман ею
самой для обобщения понятия многогранника на большие размерности.
СМ. ТАКЖЕ Комплексные числа (1572), Булева алгебра (1854), Тессеракт (1888),
Докторская степень Ковалевской (1874).
Мэри Эверест Буль, автор книги «Философия и занимательное в алгебре» и жена
математика Джорджа Буля, который изобрел булеву алгебру.

v«

sO
о
I
sO
^r
«Основания математики»
Альфред Норт Уайтхед (1861-1947), Бертран Рассел (1872-1970)
Два британских философа и математика, Бертран Рассел и Альфред Норт
Уайтхед, в течение восьми лет вместе работали над созданием своего
исторического трудаPrincipia Mathematica («Основания математики», три тома,
содержащие около 2000 страниц, выпущенные в 1910-1913 гг.), который был
призван продемонстрировать, что математика можеа быть сформулирована с
использованием таких понятий логики, как класс и принадлежность к
классу. Авторы попытались вывести математические истины из аксиом и правил
логического вывода в символической логике.
Нью-йоркское издательство Modern Library ставит книгу «Основания
математики» на двадцать третье место среди наиболее важных произведений
научной литературы XX в. в списке, который включает в себя такие книги,
как Double Helix («Двойная спираль») Джеймса Уотсона и «Многообразие
религиозного опыта» Уильяма Джеймса. В книге «Стэнфордская энциклопедия
философии» так говорится об «Основаниях математики»: «Написанная в
защиту логицизма (точки зрения, что математика в значительной степени
может быть сведена к логике), данная книга сыграла важную роль в развитии и
популяризации современной математической логики. Она также послужила
одним из важнейших стимулов к исследованиям в области основ математики
на всем протяжении XX в. Наряду с «Органоном» Аристотеля, она остается
самой влиятельной книгой по логике из когда-либо написанных».
Хотя в книге «Основания математики» удалось дать вывод многих
крупных теорем в области математики, несколько критиков были озабочены
некоторыми допущениями, сделанными в книге, такими как аксиома
бесконечности (постулирующая существование бесконечного числа объектов), которая,
кажется скорей эмпирическим, чем логическим предположением. Таким
образом, вопрос о том, может ли математика быть сведена к логике, остается
открытым. Тем не менее книга «Основания математики» оказалась
чрезвычайно влиятельной, поскольку в ней подчеркивались связи между логицизмом и
традиционной философией. Таким образом, она явилась катализатором новых
исследований в различных областях философии, математики, экономики,
лингвистики и информатики.
В «Основаниях математики» через несколько сотен страниц авторы
доказывают, что 1 + 1 = 2. Издательство Cambridge University Press, издавшее
книгу, решило, что публикация «Основания математики» приведет к убытку
примерно в 600 фунтов стерлингов. Только после того, как авторы взяли часть
расходов на себя, книга была опубликована.
СМ. ТАКЖЕ «Органов» Аристотеля (350 до н. э.)> Аксиомы Пеано (1889), Парадокс
брадобрея (1901), Теорема Гёделя о неполноте (1931).
Через несколько сотен страниц в первом томе книги «Основания математики»
авторы отмечают, что 1 + 1=2. Доказательство фактически завершается во втором
томе и сопровождается комментарием: «Вышеприведенное утверждение иногда
оказывается полезным».
320

< · 3. hr α,βί - β = ι^.= α /Зе2
Dem.
V '54-26. l· . = ;r# /9=t'#. - :«i /3: ξ ' "
г*г- ·2311 - ''*' "У= '·■
[*1J 2] =- β-* (1)
■ -o^.y) u= :c jC=j ' ^ £=/ (2)
f-.(2).*ll-54 *5 1 К Prop
From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been
defined, that 1 + 1 = 2.

чО
Теорема о волосатом шаре
Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881-1966)
ы
В 2007 г. ученый-материаловед Франческо Стеллаччи из Массачусетского
технологического института использовал теорему о волосатом шаре (ТВШ) из
области математики, чтобы заставить наночастицы слипаться друг с другом,
формируя длинные цепочечные структуры. Согласно очень приблизительной
формулировке данной теоремы, которая впервые была доказана в 1912 г.
голландским математиком Лёйтзеном Брауэром, «если сфера покрыта мехом, и
мы стараемся плавно расчесать волоски так, чтобы они все лежали вдоль
поверхности сферы, у нас всегда либо один волосок будет стоять прямо, либо в
мехе останется отверстие (например, проплешина)».
Группа ученых под руководством Стеллаччи покрывала наночастицы
золота волосками из молекулярной серы. Согласно теореме о волосатом шаре,
волоски, скорее всего, будут торчать вертикально в одном или нескольких
местах, и эти точки будут нестабильными дефектами на поверхности частиц,
что дает возможность легко заменить эти волоски химическими веществами,
которые вели бы себя, ак маленькие ручки, которыми эти частицы могли бы
держаться друг за друга, и, возможно, когда-нибудь могли быть использованы
для формирования нанопроволоки в электронных устройствах.
На математическом языке ТВШ гласит, что любое непрерывное
касательное векторное поле на сфере должно иметь хотя бы одну нулевую точку.
Рассмотрим непрерывную функцию /, которая приписывает каждой точке ρ на
сфере некоторый вектор в трехмерном пространстве такой, что /(р) всегда
касается сферы в точке р. Это означает, что существует, по крайней мере, одна
точкаρ такая, что /(р) = 0. Другими словами, «волоски на меховом шаре
нельзя причесать таким образом, чтобы в каждой точке сферы они были плоско
уложены».
Из данной теоремы вытекают интересные следствия. Например,
поскольку ветер можно рассматривать как вектор, который в каждой точке земного
шара имеет определенную величину и направление, эта теорема будет
утверждать, что где-то на поверхности Земли горизонтальная скорость ветра
должна быть равна нулю, независимо от того, насколько ветреной будет погода в
любом другом месте Земли. Интересно, что теорема о волосатом шаре не
верна для поверхности тора (например, поверхность бублика), и, таким образом,
теоретически возможно создать заведомо неаппетитный волосатый бублик, на
котором все волоски будут приглажены вдоль его поверхности.
СМ ТАКЖЕ Теорема Врауэра о неподвижной точке (1909).
Если мы попытаемся гладко причесать волосы на волосатом шаре так, чтобы все они
лежали вдоль его поверхности, то всегда останется, по крайней мере, один волосок,
который будет стоять прямо, либо в этом месте останется пустое место (например,
проплешина).

\^'
i,4 ι
°r
^.--^'- ·**
к
τ <£-
У '* »
/
" I
^
г*- -'
A·' ^S#
■•А
^^ί ir
- -* »
*v
8> «n
lr
У
ft1·
',.·■'
' Г-

чО
LKT
Теорема о бесконечных обезьянах
Феликс Эдуард Джастин Эмиль Борель (1871-1956)
Теорема о бесконечных обезьянах утверждает, что обезьяна, случайным
образом нажимая клавиши на клавиатуре пишущей машинки и располагая
бесконечным временем, почти наверняка может напечатать какой-нибудь
конкретный текст, например Библию. Рассмотрим одну библейскую фразу:
«В начале сотворил Бог небо и землю...». Сколько времени потребуется,
чтобы обезьяна ее напечатала? Допустим, что на клавиатуре имеется 93 символа.
Фраза содержит 56 символов (в ан^л. варианте In the beginning, God created
the heavens and the earth. — Прим. пер.), считая пробелы и точку в конце. Если
вероятность попадания по правильной клавише составляет 1/п , где η — число
возможных клавишей, то вероятность того, что обезьяна правильно наберет
56 последовательных символов в конечной фразе, составляет 1/9356. Это
означает, что обезьяна в среднем должна сделать более чем 10100 попыток, прежде
чем она напечатает правильную фразу! Если бы обезьяна нажимала по одной
клавише в секунду, то для ввода этого текста ей потребовалось бы печатать в
течение времени, соответствующего современному возрасту Вселенной.
Интересно, что если бы мы сохраняли верно введенные символы, то от
обезьяны потребовалось бы гораздо меньше нажатий клавиш Математический
анализ показывает, что с вероятностью 50/50 обезьяна всего лишь за 407
попыток сможет напечатать правильное предложение! Это грубо демонстрирует
то, как эволюция может давать замечательные результаты, осваивая
неслучайные изменения путем сохранения полезных функций и устранения
неадаптивных.
Французский математик Эмиль Борель упоминал о «дактилографических»
(т. е. печатающих на машинке) обезьянах в статье, вышедшей в 1913 г., в
которой он прокомментировал вероятность того, что один миллион обезьян,
работая по 10 часов в день, напечатают все книги, хранящиеся в библиотеке.
Физик Артур Эддингтон писал в 1928 г.: «Если армия обезьян будет стучать
на пишущих машинках, то они смогут напечатать все книги, хранящиеся в
Британском музее. Вероятность, что таким образом они добьются конечного
результата, бесспорно, выше вероятности того, что, например, все молекулы
газа в сосуде внезапно переместятся в одну из его половин».
СМ. ТАКЖЕ Закон больших чисел (1713), «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа
(1812), Критерий хи-квадрат (1900), Создание рандомизирующих устройств (1938).
Согласно теореме о бесконечных обезьянах, обезьяна путем случайного нажатия
клавиш на клавиатуре пишущей машинки за бесконечное время почти наверняка сможет
напечатать какой-либо конкретный конечный текст, например текст Библии.
Ъ1А

чО
ON
Гипотеза Бибербаха
Людвиг Георг Элиас Мозес Бибербах (1886-1982),
Луи де Бранж де Бурсиа (р. 1932)
Гипотеза Бибербаха связана с двумя колоритными личностями: одиозным
нацистским математиком Людвигом Бибербахом, который в 1916 г. выдвинул
эту гипотезу, и франко-американским математиком-одиночкой Луи де Бран-
чсем, который доказал гипотезу Бибербаха в 1984 г., хотя некоторые
математики изначально скептически относились к работе де Бранжа, потому что
ранее объявленные им результаты оказались ошибочными. Карл Саббаг пишет
о де Браннее: «Он, может быть, и не чудак, но с причудами. Он мне как-то
сказал: "Мои отношения с коллегами катастрофичны". И за ним, казалось,
тянется след недовольства, раздражения и даже презрения его коллег только
потому, что он не делает снисхождения ни студентам, ни своим коллегам,
незнакомым с областью, в которой он работает».
Бибербах был активным нацистом и участвовал в репрессиях еврейских
коллег, в том числе немецких математиков Эдмунда Ландау и Исайи Шура.
Бибербах говорил, что «представители сильно отличающихся рас не должны
смешиваться друг с другом, будучи студентами и преподавателями... Я
считаю удивительным, что евреи все еще остаются членами академических
комиссий».
Гипотеза Бибербаха утверждает, что если функция обеспечивает взаимна
однозначное соответствие между точками единичного круга и точками одно-
связной области плоскости, то коэффициенты степенного ряда,
представляющего эту функцию, никогда не превосходят степень соответствующего члена
ряда. Другими словами, если для функции f(z) = а0 + atz + a2z2 + а3г3 + ...
выполнены соотношения а0 = О и αΎ = 1, то |aj < η для каждого п>2. Односвязная
область может быть весьма сложной, но не должна содержать никаких
отверстий.
Де Бранж говорит о своем математическом подходе: «Мой ум не очень
гибок. Я сосредоточиваюсь на чем-то одном и при этом не в состоянии держать в
уме общую картину. [Если я что-либо опускаю], то в отношении себя должен
быть очень осторожным, чтобы не впасть в своего рода депрессию...».
Гипотеза Бибербаха имеет большое значение отчасти потому, что она бросала вызов
математикам в течение 68 лет и все это время вдохновляла их на серьезные
исследования.
СМ. ТАКЖЕ Гипотеза Римана (1859), Гипотеза Пуанкаре (1904).
Бибербах начинал свою работу в качестве приват-доцента в Кёнигсбергском
университете в 1910 г. Здесь изображено одно из старых зданий университета, позже
разрушенное во время Второй мировой войны. Вдалеке виден Кёнигсбергский собор.

№1
V r r
L
л
.- f
t_ A
4. ¥ '&'·';■
V-Λ. „,
"Υ "*v 4*· ■
#*
ι- *
k, »*
*„., N
*;'-*.
1 >

sO
Теорема Джонсона
Роджер Артур Джонсон (1890-1954)
CN
Теорема Джонсона утверждает, что если три окружности одного радиуса про
ходят через одну точку, то оставшиеся три точки их пересечений должны
лежать на другой окружности того же радиуса, что и три исходных. Теорема
примечательна не только своей простотой, но и тем, что она, по-видимому,
не была «открыта» до 1916 г., пока американский геометр Роджер Джонсон
не сформулировал ее. Дэвид Уэллс пишет, что эта относительно недавняя
находка в истории математики «свидетельствует, что существует богатство
геометрических свойств, которые еще лежат скрытыми от взора и ждут своего
открытия».
Джонсон является автором книги «Современная геометрия Джонсона:
Элементарный трактат о геометрии треугольника и окружности». Он получил
докторскую степень в Гарварде в 1913 г., и с 1947 по 1952 г. он занимал пост
декана математического факультета Бруклинского филиала Хантер-коллед-
жа, который позже стал Бруклинским колледжем.
Мысль о том, что даже в наши дни можно получить новый, простой и
одновременно глубокий математический результат, не столь надумана, как
кажется. Например, математик Станислав Улам с середины до конца 1900-х гг.,
казалось, был переполнен простыми, но новыми идеями, которые быстро
привели его к новым разделам математики, включающим теорию клеточных ав
томатов и метод Монте-Карло. Другим примером простоты и глубины идеи
является мозаика Пенроуза — орнамент из плиток, открытый в 1973 г.
Роджером Пенроузом. Эти плитки могут полностью покрывать бесконечную
поверхность орнаментом, который является никогда не повторяющимся
(апериодическим). Апериодические орнаменты сначала рассматривались лишь как
математический курьез, но позже были обнаружены физические материалы, в
которых атомы были расположены по той же схеме, что и плитки Пенроуза, и
теперь эта область играет важную роль в химии и физике. Также можно было
бы обратить внимание на замысловатое и поразительно красивое поведение
множества Мандельброта, этого сложного фрактального объекта, описывае
мого простой формулой ζ = ζ2 + с и открытого лишь в конце XX в.
СМ. ТАКЖЕ Кольца Борромео (834), Игла Бюффона (1777), Геометрические задачи «Сан-
гаку» (1789), Клеточные автоматы (1952), Мозаика Пенроуза (1973), Фракталы (1975),
Множество Мандельброта (1980).
Согласно теореме Джонсона, если три одинаковых окружности проходят через одну
точку, то три остальные точки их пересечений должны лежать на другой
окружности того же радиуса, что и три исходных.
328

чО
^
Размерность Хаусдорфа
Феликс Хаусдорф (1868-1942)
00
Размерность Хаусдорфа была введена в 1918 г. математиком Феликсом Хаус
дорфом и используется для определения дробных размерностей фрактальных
множеств. В повседневной жизни мы обычно имеем дело с целочисленными
топологическими размерностями гладких объектов. Например, плоскость
является двумерной, потому что точку на плоскости можно описать двумя
независимыми параметрами, например координатами по оси χ и оси у. Прямая
линия является одномерной. Для некоторых более сложных множеств и
кривых размерность Хаусдорфа обеспечивает другой способ определения
размерности. Например, представьте себе линию, которая делает зигзаги и повороты
таким сложным образом, что частично заполняет всю плоскость. Ее
размерность Хаусдорфа превышает 1 и принимает значения, которые все больше и
больше приближаются к 2 по мере заполнения этой линией плоскости.
Заполняющие пространство кривые, подобные кривым Пеано, имеют
размерность Хаусдорфа, равную 2. Размерности Хаусдорфа береговых линий
варьируются от 1,02 для побережья Южной Африки до 1,25 для западного
побережья Великобритании. На самом деле, согласно одному из определений,
фрактал — это множество, размерность Хаусдорфа которого превышает
топологическую размерность. Использование дробной размерности для
количественного описания шероховатости, масштабных характеристик и степени
запутанности структур было продемонстрировано в таких разнообразных
областях, как искусство, биология и геология.
Феликс Хаусдорф, еврей по национальности, работал профессором
математики в университете Бонна и был одним из основоположников современной
топологии. Он получил известность благодаря своей работе в области
функционального анализа и теории множеств. В 1Θ42 г., когда над ним нависла угроза
отправки в концлагерь, Хаусдорф покончил жизнь самоубийством вместе со
своей женой и ее сестрой. За день до этого Хаусдорф написал другу: «Прости
нас. Желаем всем вам и всем нашим друзьям дожить до лучших времен».
Многие способы вычисления размерности Хаусдорфа сложных множеств были
сформулированы другим евреем — русским математиком Абрамом Самойло-
вичем Безиковичем (1891—1970), и поэтому иногда используют другое
название — «размерность Хаусдорфа—Безиковича».
СМ. ТАКЖЕ Кривая Пеано (1890), Снежинка Коха (1904), Парадокс береговой линии
(1950), Фракталы (1975).
Размерность Хаусдорфа используется для определения дробных размерностей
фрактальных множеств, подобных этой запутанной фрактальной модели (визуализация
Пауля Нюландера).
330

V€/
"^
x.v
νΛ
c?
л
.4
х.Л
>·*
':*■·■..
\*г
у1· C.
1 ' L ■·' ►'■•Г·'*''
, V -.л » С ·*
·» V·. v
"V
.*--cS
•Ό. .-у;
r.·^
P4.*
♦ '
tfv
'*■".
£■' Λ
<-:'
ν ^
. ■*
G
- ·*
t\ ^з -с
. 3
■r·*".' :■■©
X\
"*£.. fTt^l
> % 1ι
.^■•^s.*,
•
-V:
-·.:
■^ .·
с
;^_
"
r>
■
•
!"\
t \Cp
• V
»v
• V
\ ■*
-^
;
„
·?·
-
„^v*"
■ v. ,« ■«
,<3
t?
Υ
-
*ч. * Чу. " >
\
«"W ,ί'.-
V
ν*. 4
>·Λ\ Ιί ' г
*■
и !
Λ

чО
^Ί
Константа Бруна
ВиггоБрун (1885-1978)
чО
Мартин Гарднер пишет: «В теории чисел нет раздела, более насыщенного
загадками, чем теория простых чисел: этих раздражающих, непослушных целых
чисел, которые отказываются делиться на какое-либо петое число, кроме самих
себя и 1. Некоторые вопросы, касающиеся простых чисел, настолько просто
формулируются, что понятны даже ребенку, и вместе с тем они настолько
глубоки и далеки от решения, что многие математики теперь подозревают, что они
не имеют решения... Возможно, теория чисел, как квантовая механика, имеет
свой собственный принцип неопределенности, который делает необходимым в
некоторых областях, отказ от точности в пользу вероятностных формулировок».
Простые числа часто встречаются в виде пар последовательных нечетных
чисел, таких как 3 и 5. В 2008 г. наибольшие из известных простые числа-
близнецы имели более 58 000 цифр в каждом. Считается, что простых чисел-
близнецов бесконечно много, однако этот факт еще не доказан. Возможно,
потому, что гипотеза о бесконечности количества простых чисел-близнецов
является одной из основных неразрешенных проблем, в фильме «У зеркала
два лица» есть роль профессора математики в исполнении Джеффа Бриджеса,
который объясняет эту гипотезу Барбре Стрейзанд.
В 1919 г. норвежский математик Вигго Брун доказал, что если сложить
все обратные значения последовательных простых чисел-близнецов, то сумма
будет сходиться к конкретному числовому значению, которое теперь
называется константой Бруна: В = (1/3 + 1/5) + (1/5 + 1/7) + ... ~ 1,902160... При
том что сумма обратных значений всех простых чисел расходится (равна
бесконечности), тот факт, что сумма обратных значений простых
чисел-близнецов сходится, т. е. стремится к определенному конечному значению, весьма
интересен. Это, в свою очередь, означает наличие относительного «дефицита»
простых чисел-близнецов, несмотря на бесконечность их множества. В
настоящее время в нескольких университетах продолжаются поиски простых чисел-
близнецов, а также поиски более точных значений константы Бруна. Кроме
первой пары, все пары простых чисел-близнецов имеют вид (6п — 1, 6п +1).
Как заметил Эндрю Гранвиль, «простые числа являются самыми
основными объектами в математике. Они также являются одними из самых
загадочных, ибо после вековых поисков структура множества простых чисел по-
прежнему не очень хорошо понятна...»
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Расходимость гармонического ряда (1350), Гипотеза Гольдбаха (1742), Построение
правильного семнадцатиугольника (1796), «Арифметические исследования» Гаусса (1801),
Доказательство теоремы о распределении простых чисел (1896), Последовательно
описанные многоугольники (1940), Гипотеза Гильбрайта (1958), Скатерть Улама (1963),
Гипотеза Андрики (1985).
График количества простых чисел-близнецов, меньших х. Значения по оси χ
расположены в интервале от 0 до 800, при этом крайнее правое плато в верхней части графика
достигает значения 30.

Гугол
О
Милтон Сиротта (1911-1981), Эдвард Каснер (1878-1955)
Термин «Гугол->>, который обозначает число, записанное единицей с
последующими 100 нулями, был придуман девятилетним Милтоном Сироттой.
Милтон и его брат Эдвин большую часть своей жизни работали на заводе своего
отца в Бруклине, районе Нью-Йорка, измельчая абрикосовые косточки для
получения абразивного материала, используемого в промышленных целях.
Сиротта был племянником американского математика Эдварда Каснера,
который внедрил в массы этот термин после того, как попросил Милтона
придумать название для очень большого числа. В печати слово «гугол» впервые
появилось в 1Θ38 г.
Казнер известен тем, что был первым евреем, назначенным на научную
должность на факультете в Колумбийском университете, а также тем, что в
соавторстве с Джеймсом Ньюменом написал книгу «Математика и
воображение», в которой представил число «.гугол» вниманию широкой аудитории.
Хотя число «гугол» не имеет особого значения в математике, оно оказалось
очень полезным для сравнения больших количеств и для того, чтобы
вызывать в общественном сознании благоговение перед чудесами математики и той
огромной Вселенной, в которой мы экивем. 1акэке слово «гугол» изменило мир
в совсем другом аспекте. Ларри Пейдж, один из основателей
интернет-поисковика Google, интересовался математикой и назвал свою компанию в честь
числа «гугол» после того, как случайно написал это слово неправильно.
Существует немногим более, чем гугол, различных способов расположить
70 элементов в виде некоторой последовательности, например число
вариантов расположения 70 человек в очереди для входа в дверь немного превыша
ет гугол. Большинство ученых согласны, что если бы мы могли сосчитать все
атомы всех звезд в видимой Вселенной, мы имели бы гораздо меньшее число,
чем гугол атомов. Гугол лет требуются для того, чтобы испарились все черные
дыры во Вселенной. Однако число возможных шахматных партий превышает
число гугол. Термин «гуголплекс» представляет собой число, записанное
единицей с последующими гугол нулями. Количество цифр в нем превышает
количество атомов во всех звездах в видимой Вселенной.
СМ. ТАКЖЕ Архимед, песчинки и быки (250 до н. э.), Трансфинитные числа Кантора
(1874), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925).
Существует немногим больше, чем гугол, различных способов нанизывания 70 бусинок,
при условии что каждая бусинка отличается от другой и что нитка ожерелья
остается незавязанной.
354

О
Ожерелье Антуана
Лун Антуан (1888-1971)
Ожерелье Антуана является великолепным математическим объектом,
который можно представить в виде цепочек внутри цепочек внутри цепочек...
Ожерелье можно построить, взяв сначала сплошной тор, или
пространственную фигуру в виде бублика. В торе мы построим цепочку С из η компонентов
(звеньев). Далее, изменим каждое звено цепи С таким образом, чтобы оно
стало другой цепочкой Сх из η сплошных торов. В каждом звене цепи Сх
построим меньшую цепочку из сплошных торов. Продолжая этот процесс до
бесконечности, мы будем получать тончайшие ожерелья торов, диаметры которых
будут стремиться к нулю.
Математики говорят, что ожерелье Антуана гомеоморфно множеству
Кантора. Два геометрических объекта называются гомеоморфными если первый
можно деформировать во второй путем растяжения и изгиба. Например, мы
можем плавно деформировать пластичный бублик из глины в предмет в
форме кофейной чашки без каких-либо разрывов с последующим склеиванием
частей. Отверстие в бублике становится отверстием в ручке кофейной чашки.
Множество Кантора, введенное немецким математиком Георгом Кантором в
1883 г., является особым множеством точек с бесконечным количеством
промежутков между ними.
Французский математик Луи Антуан потерял зрение в 29 лет, участвуя в
Первой мировой войне. Математик Анри Лебег посоветовал Антуану
заняться исследованием двумерной и трехмерной топологий, потому что «в таком
исследовании духовное зрение и привычка к концентрации внимания может
заменить утраченное зрение». Ожерелье Антуана примечательно тем, что оно
является первым «диким вложением» множества в трехмерное пространство.
Используя идеи Антуана, Джеймс Александер изобрел свою знаменитую
рогатую сферу.
Беверли Брехнер и Джон Майер пишут: «Торы используются для
построения ожерелья Антуана, но на самом деле в ожерелье Антуана торов нет.
Остался только "бисер", пересечения (бесконечно большого количества) сплошных
торов. Ожерелье Антуана — несвязное множество..., потому что для любых
двух различных точек имеется такая стадия создания этого ожерелья, что эти
точки окажутся на разных торах...».
СМ. ТАКЖЕ Задача о Кёнигсбергских мостах (1736), Рогатая сфера Александера (1924),
Губка Менгера (1926), Фракталы (1975).
Визуальное представление ожерелья Антуана в изображении
математика-программиста Роберта Шарейна. На каждом следующем этапе построения каждый кольцевой
компонент будет заменен на замкнутую цепочку колец. То, что получится в
результате бесконечного числа таких этапов, и будет ожерельем Антуана.
336

-Ϊ i
$
•ч. *
^ ν
ί, *
его
с
>»«
к >·
'( »
\ I
v.
ί4
t
ι
%
\-
>
\
5* ? ■■■
'
•"·!**\-
1*4
f л
ν*
~ν
ν -
-~ί
ι
irsj
4
<- «V

Теория идеалов Эмми Нётер
Амалия Эмми Нётер (1882-1935)
Несмотря на ужасные предубеждения, с которыми суждено было
столкнуться нескольким женщинам, они боролись против сознания правящих кругов
того времени и выстояли в математике. Альберт Эйнштейн дал оценку
способностям немецкой женщины-математика Эмми Нётер, описав ее как
«самого значительного творческого математического гения из всех женщин,
получивших высшее образование». В 1915 г., во время работы в Геттинген
ском университете в Германии, Нётер получила первый значительный
математический результат в области теоретической физики. В частности, теорема
Нётер устанавливает связи законов сохранения с симметриями системы. Эта
работа и связанные с ней труды оказали помощь Эйнштейну, когда он
разрабатывал общую теорию относительности, посвященную природе гравитации,
пространства и времени.
После защиты диссертации Эмми Нётер хотела заняться преподаванием
в Геттингене, но ее противники заявили, что нельзя рассчитывать на то, что
мужчина станет учиться «у ног женщины». Давид Гильберт, коллега Нётер,
так ответил ее недоброжелателям: «Не понимаю, почему пол кандидата
служит доводом против избрания ее приват-доцентом. Ведь здесь университет, а
не мужская баня!» Нётер также известна своим вкладом в теорию
некоммутативных алгебр, где порядок перемножения сомножителей влияет на результат
произведения. Наибольшую известность Нётер получила за свое
исследование условий обрыва цепей на идеалах колец и в 1Θ21 г. опубликовала работу
Idealtheorie in Ringbereichen («Теория идеалов в кольцах»), которая сыграла
большую роль в развитии современной абстрактной алгебры. В этой области
математики рассматриваются общие свойства операций, и в ней часто логика
и теория чисел объединяются с прикладной математикой.
Увы, в 1Θ33 г., несмотря на математические достижения, нацисты
уволили Нётер из Геттингенского университета за то, что она была еврейкой. Она
бежала из Германии и поступила на работу в колледж Брин-Мор в штате
Пенсильвания. По словам журналистки Шиван Роберте, Нётер «каждую неделю
выезжала с лекциями в Принстонский институт, а также посещала своих
друзей Эйнштейна и Германа Вейля». Ее влияние распространялось далеко и
широко, и многие из ее идей получили развитие в статьях, написанных ее
студентами и коллегами.
СМ. ТАКЖЕ Смерть Гипатии (415), Докторская степень Ковалевской (1874).
Амалия Эмми Нётер, автор статьи «Idealtheorie in Ringbereichen» («Теория идеалов в
кольцах»), которая сыграла большую роль в развитии современной абстрактной
алгебры. Нётер также разработала часть математического аппарата общей теории
относительности, однако зачастую работала безвозмездно.
338

Затерявшиеся в гиперпространстве
Дьёрдь Пойа (1887-1985)
Представим себе жука-робота, помещенного в изогнутую трубку. Это
существо совершает бесконечное случайное блуждание, делая в трубке по
одному случайному шагу вперед или назад. Предположим, что трубка является
бесконечно длинной. Какова вероятность того, что в результате случайного
блуждания жук в конечном счете вернется обратно в исходную точку?
В 1Θ21 г. венгерский математик Дьёрдь Пойа доказал, что ответом
является единица: при одномерном случайном блуждании жук всегда будет
возвращаться в исходную точку. Если бы жук находился в начале координат
двумерной Вселенной (на плоскости), а затем стал бы совершать случайные шаги на
север, на юг, на восток или на запад, то в результате такого случайного
блуждания вероятность возвращения жука в исходную точку также бы была равна
единице.
Пойа также показал, что наш трехмерный мир является особым:
трехмерное пространство является первым евклидовым пространством, в котором для
жука возникает вероятность безнадежно потеряться. Жук, совершая
бесконечные случайные блуждания в трехмерной Вселенной, в конце концов
вернется в начало координат с вероятностью 0,34 (или 34%). В пространствах
большей размерности шансы вернуться еще меньше и равны примерно 1/(2п)
для больших размерностей п. Вероятность, равная 1/(2п), совпадает с
вероятностью возвращения жука в исходную точку на втором своем шаге. Если жук
не попадет домой с нескольких первых попыток, то существует вероятность
того, что он навсегда потеряется в пространстве.
Родители Пойа были евреями, но обратились в католичество за год до его
рождения. Он родился в Будапеште, в Венгрии, и в 1940-х гг. стал
профессором математики в Стэнфордском университете. Его книга «Как решать
задачу» была продана в количестве более одного миллиона экземпляров, и он, по
мнению многих, является одним из самых влиятельных математиков XX в.
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 лет до н. э.), Закон больших чисел (1713), Игла
Бюффона (1777), «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа (1812), Закон Мерфи и
узлы (1988)
Насекомое случайным образом делает либо один шаг вперед, либо один шаг назад в
бесконечной трубке. Какова вероятность того, что такое случайное блуждание в
конечном счете приведет насекомое обратно в исходную точку?
540

,s

Геодезический купол
Вальтер Бауэрсфельд (1879-1959),
Ричард Бакминстер Фуллер (1895-1983)
Геодезический купол можно построить путем триангуляции Платонова тела
или другого многогранника, так что купол имеет плоские треугольные грани
и может довольно хорошо аппроксимировать поверхность сферы или
полусферы. Существует несколько конструкций для таких куполов. В качестве
примера рассмотрим правильный додекаэдр с его двенадцатью
пятиугольными гранями. Поместите в середине каждого пятиугольника точку и
соедините ее пятью отрезками с вершинами этого пятиугольника. Поднимите точку
так, чтобы она касалась воображаемой сферы, описанной вокруг додекаэдра.
Теперь вы создали новый многогранник с 60 треугольными гранями и
получили простой пример геодезической сферы. Еще лучшие аппроксимации
поверхности сферы можно получить путем деления граней на большее
количество треугольников.
Треугольные грани купола распределяют механическое напряжение по
всей его структуре, и теоретически купола могут вырастать до очень больших
размеров из-за их жесткости и прочности. Первый настоящий геодезический
купол был разработан немецким инженером Вальтером Бауэрсфельдом для
планетария в городе Йена в Германии, который был открыт для публики в
1922 г. В конце 1940-х гг. американский архитектор Ричард Бакминстер
Фуллер самостоятельно изобрел геодезический купол и получил патент СП1А на
его конструкцию. Вооруженные силы СП1А под впечатлением конструкций
Фуллера предложили ему осуществлять курирование разработки куполов в
военных целях. Кроме своей прочности конструкции куполов весьма удобны,
так как они заключают в себе большой объем при небольшой площади
поверхности, что делает их эффективными с точки зрения экономии строительных
материалов и снижения потерь тепла.
Фуллер сам прожил часть жизни в таком геодезическом куполе и отметил,
что прекрасная аэродинамическая форма помогает куполу противостоять
ураганам. Будучи вечным мечтателем, Фуллер разработал грандиозный план
установки над Нью-Йорком геодезического купола диаметром 2 мили (3,2 км)
и высотой целую милю (1,6 км) для того, чтобы можно было управлять
погодой и защищать жителей города от дождя и снега!
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Архимедовы полуправильные многогранники
(240 до н. э.), Эйлерова характеристика выпуклых многогранников (1751), Игра «Икоси-
ан» (1857), Теорема Пика (1899), Многогранник Часара (1949), Многогранник Силаши
(1977), Спидроны (1979), Поиски холиэдра (1999).
Павильон США с геодезическим куполом, который был представлен на Всемирной
выставке ( «Экспо-67» ) 1967 г. в Монреале. Канада. Сфера купола имела 250 футов (76 м)
в диаметре.
542

%
L^JL^,U* J> ^> _*
^--л^.
^
~. I
'* >
,ιν- «П |
^ч.
i .
-л ■■*
л ·'
• - <
•v£
Ϋ
*.»-.»
•л
■ч.
t*
·* '.ад.»1 :
'.ч4^1

Рогатая сфера Александера
Джеймс Уэдделл Александер (1888-1971)
Рогатая сфера Александера является примером запутанной,
переплетающейся поверхности, у которой визуально трудно определить внутреннюю и
внешнюю стороны. Представленная математиком Джеймсом Уэдделлом Алексан-
дером в 1Θ24 г., рогатая сфера образована последовательно растущими
парами рогов, концы которых почти сходятся друг с другом. Начальный этап
построения рогатой сферы Александера можно показать на пальцах.
Сдвиньте близко большой и указательный пальцы руки так, чтобы они не касались
друг друга, а затем представьте, что на конце каждого из них также
вырастают большой и указательный пальцы меньшего размера, и представьте, что
этот процесс вырастания пальцев продолжается бесконечно! Объект
представляет собой фрактал, состоящий из смыкающихся пар «пальцев», которые
образуют ортогональные (перпендикулярные) окружности уменьшающихся
радиусов.
Хотя рогатую сферу Александера (вместе с ее внутренней частью) трудно
представить визуально, она гомеоморфна шару. (Два геометрических
объекта называются гомеоморфными, если первый объект можно преобразовать во
второй путем его растяжения и изгиба. Таким образом, рогатая сфера
Александера без прокалывания или разрыва может быть растянута в шар. Мартин
Гарднер пишет: «Бесконечно регрессирующие смыкающиеся формы рогов в
пределе образуют то, что топологи называют «дикой структурой»... Хотя она
и эквивалентна односвязной поверхности шара, она ограничивает область,
которая не является односвязной. Петлю эластичного шнура, окружающего
основание рога, нельзя извлечь из данной структуры даже за бесконечное число
шагов».
Рогатая сфера Александера больше чем просто любопытный объект — она
является конкретной и важной демонстрацией того, что теорема Жордана—
Шёнфлиса не распространяется на большие размерности. Эта теорема
утверждает, что простые замкнутые кривые делят плоскость на внутреннюю
ограниченную область и внешнюю неограниченную область и что эти области гоме-
оморфны внутренности и внешности окружности. Эта теорема в трехмерном
пространстве не верна.
СМ. ТАКЖЕ Теорема Жордана о кривых (1905), Ожерелье Антуана (1920), Фракталы
(1975).
Часть рогатой сферы Александера, изображенная Камероном Брауном. Впервые
представленная математиком Джеймсом Уэдделлом Александером в 1924 г., рогатая сфера
является фракталом, состоящим из бесконечного числа смыкающихся пар «пальцев».
344

»· i
3*
V,.
£
^

Парадокс Банаха-Тарского
Стефан Банах (1892-1945), Альфред Тарский (1902-1983)
Известный и, казалось бы, странный парадокс Банаха—Тарского (ВТ) был
впервые заявлен польскими математиками Стефаном Банахом и Альфредом
Тарским в 1924 г. Парадокс (который фактически является доказательством)
показывает, каким образом математический шар можно разбить на
несколько частей, а затем так собрать эти части, чтобы сделать две идентичных копии
этого шара. Кроме того, парадокс показывает, как можно разобрать на части
шар величиной с горошину, а затем собрать эти части так, чтобы сделать шар
размером с Луну! (В 1947 г. Робинсон показал, что минимальное требуемое
число таких кусков равно пяти.)
Этот парадокс, построенный на основе ранней работы Феликса Хаусдор
фа, показывает, что те виды величин, которые могут быть измерены в нашей
физической Вселенной, не обязательно сохраняются, когда математический
шар как бесконечное множество точек рубится на куски и вновь собирается по-
другому, с использованием только сдвигов и поворотов. В парадоксе БТ
рассматриваемые неизмеримые подмножества (кусочки) являются очень
сложными и запутанными, не имея прямых аналогов для границ и объема в
физическом мире. Парадокс не выполняется в размерности два, но имеет место во
всех больших размерностях.
Парадокс БТ зависит от аксиомы выбора (АВ). Поскольку данный
парадокс выглядит так странно, некоторые математики полагают, что АВ не верна.
С другой стороны, во многих областях математики принятие АВ является
настолько полезным, что математики часто спокойно используют ее при
доказательстве и формулировке теорем.
В 1Θ3Θ г. блестящий ученый Банах был избран президентом Польского
математического общества, но несколько лет спустя, во время нацистской
оккупации, Банах был вынужден сдавать свою кровь — работать «кормителем
вшей» на заводе по производству противотифозной вакцины.
Тарский обратился в католическую веру, потому что, будучи евреем, не мог
рассчитывать получить серьезную должность в польских университетах. Во
время Второй мировой войны нацисты уничтожили почти всю его большую
семью.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Аристотелево колесо (320 до н. э.), Санкт-
Петербургский парадокс (1738), Парадокс брадобрея (1901), Аксиома выбора Цермело
(1904), Размерность Хаусдорфа (1918), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925),
Парадокс дней рождения (1939), Парадокс береговой линии (1950), Парадокс Ньюкома (1960),
Парадокс Паррондо (1999).
Парадокс Банаха—Тарского показывает, что математический шар можно разбить на
несколько частей, а затем собрать эти части так, чтобы сделать две идентичные
копии этого шара.
346

I
-~>
■\
^ I
\l
,Λ
V-
4
л \

Квадрирование прямоугольника
Збигнев Морон (1904-1971)
Трудная головоломка, которая пленяла математиков, по крайней мере, в
течение столетия, состоит в разбиении прямоугольника или квадрата на
квадраты; последняя задача известна также как «идеальное разбиение
квадрата» . Общая постановка задачи состоит в том, чтобы выложить прямоугольник
или квадрат, используя квадратные плитки с различными длинами сторон,
выраженными целыми числами. Это может показаться простым делом, и вы
даже можете поэкспериментировать с карандашом, бумагой и
миллиметровкой, но оказывается, данную работу можно выполнить только с некоторыми
схемами разбиения на квадраты.
Первый квадрированный прямоугольник был найден в 1Θ25 г. польским
математиком Збигневом Мороном. В частности, Морон нашел прямоуго т.ни"
размером 33 χ 32, который можно сложить из девяти различных квадратов
с длинами сторон 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 и 18. Он также обнаружил
прямоугольник размером 65 χ 47, который можно сложить из 10 квадратных плиток
с длинами сторон 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 и 25. В течение многих лет
математики утверждали, что идеальное разбиение квадрата на квадраты меньших
размеров выполнить невозможно.
В 1936 г. четыре студента-математика Тринити-колледжа: Р. Л. Брукс,
К. Э. Б. Смит, А. X. Стоун и У. Т. Татт, увлеклись этой темой, и, наконец,
в 1940 г. они открыли первый квадрат, состоящий из 69 квадратных плиток!
В ходе дальнейшей работы Бруксу удалось сократить количество плиток до
39. В 1962 г. А. У. Дж. Дуйвестэйн доказал, что любой квадрат должен
содержать не менее 21 плитки, а в 1978 г. он нашел такой квадрат и доказал, что он
является единственно возможным.
В 1993 г. С. Дж. Чепмен нашел вариант замощения листа Мёбиуса
квадратными плитками с использованием только 5 квадратов. Цилиндр тоже может
быть облицован квадратами разных размеров, но для этого потребуется, по
ι :райней мере, 9 плиток.
СМ. ТАКЖЕ Группы симметрии орнаментов (1891), Замощение Фодерберга (1936),
Мозаика Пенроуза (1973).
Польский математик Збигнев Морон обнаружил, что прямоугольник размером 65 х 47
можно выложить из 10 квадратных плиток с длинами сторон 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22,
23, 24 и 25.

Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта
Давид Гильберт (1862-1943
Представьте себе обычный отель на 500 номеров, каждый из которых занят
гостями. Вы прибыли во второй половине дня и вам говорят, что свободных
номеров нет. Вы с грустью уезжаете. В данном случае никакого парадокса
нет. Далее, представим себе отель, в котором существует бесконечное
количество номеров, каждый из которых занят. Хотя отель полный, портье сможет
дать вам номер. Как он сможет это сделать? Позднее, в тот же день, в отель
прибывает бесконечный поток делегатов съезда, и портье также сможет дать
всем им по номеру, нажив на этом огромное состояние!
Немецкий математик Давид Гильберт представил публике эти парадоксы в
1920-х гг., чтобы проиллюстрировать таинственные свойства бесконечности
Итак, каким образом вы получите номер в «Гранд-отеле» Гильберта? Когда
вы один приехали в целиком заполненный отель, портье смог дать вам номер
путем перемещения постояльца из номера 1 в номер 2, переместив затем
предыдущего постояльца из номера 2 в номер 3 и т. д. Теперь номер 1 для вас
освободился. Для того чтобы разместить бесконечный поток делегатов съезда,
всем нынешним гостям следует переехать в четные номера, путем переселения
первоначального гостя из номера 1 в номер 2, гостя, который до этого жил в
номере 2, — в номер 4, гостя из номера 3 в номер 6 и т. д. Теперь портье может
заселить делегатов съезда в пустующие нечетные номера.
Парадокс «Гранд-оте га» Гильберта можно понять с помощью теории
трансфинитных чисел Кантора. Ведь тогда как в обычной гостинице число
нечетных номеров меньше, чем общее количество номеров, в бесконечном отеле
«число» нечетных номеров не меньше, чем общее число номеров (математики
используют термин мощность, говоря о размере этих множеств).
СМ ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Трансфинитные числа Кантора (1874),
Аксиомы Пеано (1889), 23 проблемы Гильберта (1900).
В «Гранд-отеле» Гильберта все номера заняты, но портье гостиницы может дать вам
номер. Как он может это сделать?
350

щ
т
«- ' /ν, 11 Ρ
έ
ίΟ.ν

Губка Менгера
Карл Менгер (1902-1985
Губка Менгера является фрактальным объектом с бесконечным числом
полостей — кошмарный объект для любого стоматолога. Объект был впервые
описан австрийским математиком Карлом Менгером в 1Θ26 г. Для того
чтобы построить такую губку, начнем с «материнского куба» и разделим его на
27 идентичных кубиков. Затем удалим куб в центре и шесть кубов, которые
имеют с ним общие грани. При этом в большом кубе останется 20 небольших
кубиков. Будем повторять этот процесс до бесконечности с каждым из 20
кубиков. Число кубиков растет как 20", где η — число итераций, выполняемых
на материнском кубе. Вторая итерация дает нам 400 кубиков, а к тому
времени , когда мы доберемся до шестой итерации, у нас будет 64 млн кубиков.
Каждая грань губки Менгера называется ковром Серпинского.
Фрактальные антенны на основе ковра Серпинского иногда используются в качестве
эффективных приемников электромагнитных си ι налои Как сами ковры, так и
весь куб, обладают увлекательными геометрическими свойствами. Например,
губка имеет бесконечную площадь поверхности и нулевой объем.
По данным Института подсчета объемов строительных работ на каждой
итерации грань в форме ковра Серпинского «растворяется и превращается в
пену, окончательная структура которой не имеет площади, но все еще
обладает периметром, который становится бесконечно длинным. Подобно
скелету животного, у которого исчезла вся плоть, заключительная форма не имеет
субстанции — она занимает плоскую поверхность, но более не заполняет ее».
Этот пористый остаток парит между линией и плоскостью. Тогда как линия
является одномерным объектом, а плоскость — двумерным объектом, ковер
Серпинского имеет «дробную» размерность 1,89.
Губка Менгера имеет дробную размерность (называемую размерностью Ха-
усдорфа) между размерностями плоскости и трехмерного тела, равную
примерно 2,73, и была использована для наглядного представления некоторых
моделей пенообразного пространства-времени. Доктор Джаннин Мозли
построила модель губки Менгера из более чем 65 000 визитных карточек весом
около 150 фунтов (70 кг).
СМ. ТАКЖЕ Треугольник Паскаля (1654), Задача принца Руперта (1816), Размерность
Хаусдорфа (1918), Ожерелье Антуана (1920), Окружности Форда (1938), Фракталы (1975).
Ребенок, изнутри изучающий губку Менгера с бесконечным числом полостей. При
создании этой совместной художественной работы энтузиастов фракталов Гейлы Чандлер
и Пауля Бурке компьютерная модель губки, выполненная Бурке, была совмещена с
изображением ребенка.

I» *
* ·
. к-
О η- \ή- -ό- ;θ;;θ·
■.·*. ·.*?·. '.'f}\ "*?■ !■»- ·*""
•α-.*
• α- -ό-
■я·· 'Λί· \ϊ·"
:?.· -β
. * 4
1 ·' ■
• t
"Ί·'·4· ..'
:Τ- :·?·: .-■*- -»:
> *■ '
* ' V ■ •.-.ИХН"""-:-;
• ■
» * а
• ■ » *
■tl^si!t=··"" ~ r.♦·■'·-.-■
, * ·-Ш-·■··■·
**-·■■■:·* ■■ ■ ·- · - · m ι»** г.··· -------
** ■; . Ι - . .
■ I
■ Ι ι
Ι' ' »и .::■::.:
1 i .;..
„****: .::■::■::.
Ιιτίί. « ■ ■■««
Ш ;·· ■■■ · · · · ι
Αι
I- .*л ■' · · ·.
- ·.. .'"..и ...-.
■ ■
•ι *
* ж в
{..I- - - ·
Mi
'Nina
κ ■ ■ a
ЧУЙ'
»■ · '« · -I
I ■ ■ · «
■ ·
■ » ·■
■ ft
s » а э » *
a a a - =■
■< ■* ·· *
--■-
a t m Λ

кг
Дифференциальный анализатор
ВэниварБуш (1890-1974)
Дифференциальные уравнения играют решающую роль в физике, технике,
химии, экономике и многих других дисциплинах. Эти уравнения использу
ются тогда, когда функция описывает непрерывно изменяющуюся величину
вместе с некоторой скоростью изменения этой величины, выраженной в виде
производных. Только простейшие дифференциальные уравнения позволяют
получать решения, которые выражаются явными формулами с конечным
числом базисных функций, таких как синусы и функции Бесселя.
В 1927 г. американский инженер Вэнивар Буш и его коллеги разработали
дифференциальный анализатор (ДА), представляющий собой аналоговый
компьютер, состоящий из колес и дисков, который с помощью интегральных
методов позволял решать дифференциальные уравнения с несколькими
независимыми переменными. ДА был одним из первых передовых
вычислительных устройств, применяемых в практических целях.
Истоки более ранних версий этих видов устройств можно найти в работе
лорда Кельвина и его гармоническом анализаторе (1876). В СП1А
исследователи, работающие на военной авиабазе Райт-Па гтерсон и в Высшей
электротехнической школе Мура Пенсильванского университета, построили ДА,
применявшиеся, в частности, для создания таблиц артиллерийской стрельбы до
изобретения электронно-вычислительной машины ENIAC. За эти годы у ДА
было много областей применения, начиная от исследований эрозии почвы и
создания чертежей плотин до проектирования сверхмощных бомб,
используемых для уничтожения немецких плотин во время Второй мировой войны. Эти
вычислительные устройства даже были показаны в научно-фантастических
фильмах, таких как классический голливудский фильм 1Θ56 г. «Земля
против летающих тарелок»!
В своем эссе 1Θ45 г. «Как мы можем мыслить» Буш рассказал о своем
видении «мемекса» — футуристической машины, которая будет способствовать
усилению человеческой памяти, позволяя людям хранить и извлекать из памяти
ассоциативно связанную информацию, по аналогии с современными
гипертекстовыми системами. Он писал: «Между счётами и современными клавишными
счетно-аналитическими машинами лежит огромная пропасть. И настолько же
большая она будет между арифмометрами и арифметическими машинами
будущего... Утомительные манипуляции в высшей математике в будущем должны
быть намного облегчены... Дух человека должен воспарить...».
СМ. ТАКЖЕ: Счёты (1200), Функции Бесселя (1817), Гармонограф (1857), Гармонический
анализатор (1876), ЭНИАК (1946), Калькулятор «Curta» (1948), Аттрактор Икеды (1979).
Дифференциальный анализатор в лаборатории двигательных установок им. Льюиса в
1951 г. Анализатор был одним из первых передовых вычислительных устройств,
которые стали применяться для решения практических задач, таких как проектирование
сверхмощных бомб, используемых для уничтожения немецких плотин во время Второй
мировой войны
354

» э · *
» « ι ι
9 -» Ч
» » » * »
• · .
» t ι»
■. О
. »«и»о
• .β βο β
οάο-eo
?,
. °ν-\
6ое-:н?
e=r©oo
-«i-toV
·ί»ο^·
«**«
о too
ж J
„;, -
»· 60
»* 00
•oo ·
оооооое
ϋ'
о oox
1» O^O
Ь. i** >
СГ :3
во <*
0
0
O&Wfc&CC©'-.
ν
is
ч"
.'
« "
f

00
Теория Рамсея
Фрэнк Пламптон Рамсей (1903-1930)
Теория Рамсея связана с нахождением порядка и структур в системах. Пол
Хоффман пишет: «В основе теории Рамсея лежит идея о том, что полная разу
порядоченность невозможна... Если проводить поиски в достаточно большом
объемлющем множестве, то можно найти любой математический «объект».
С помощью теории Рамсея можно узнать, каково должно быть минимальное
число элементов объемлющего множества, чтобы в нем нашелся искомый
объект». Теория Рамсея названа в честь английского математика Фрэнка
Рамсея. Он положил начало этому разделу математики в 1928 г., когда
занимался исследованием одной логической задачи. С помощью теории Рамсея
часто ищут количество элементов в системе, необходимое для выполнения
некоторого конкретного свойства. За исключением интересной в некотором
отношении работы Пала Эрдёша, исследования в теории Рамсея не приносили
плоды вплоть до конца 1950-х гг.
Один пример простейшего применения теории Рамсея относится к
принципу Дирихле, который гласит, что если у нас есть т клеток с голубями и в них
находится η голубей, то мы можем быть уверены, что по крайней мере в одной
из клеток находится более одного голубя, если η > т. В качестве более
сложного примера рассмотрим η точек, разбросанных по листу бумаги. Каждая
точка соединена с каждой другой точкой отрезком красного или синего цвета.
Теорема Рамсея, которая является одним из основополагающих результатов
в комбинаторике и теории Рамсея, показывает, что η должно быть равно 6,
чтобы гарантировать, что на данном листе бумаги появится либо синий, либо
красный треугольник.
Еще одной иллюстрацией применения теории Рамсея служит так
называемая задача о вечеринке. Каково наименьшее число гостей должно
присутствовать на вечеринке, чтобы среди них нашлось 3 человека либо попарно не
знакомых друг с другом, либо попарно знакомых? Ответ — 6 человек. Решение
той же задачи для 4 человек является гораздо более сложным делом, а
решение для групп из большего количества человек, возможно, никогда не будет
найдено.
СМ. ТАКЖЕ Архимед, песчинки и быки (250 до н. э.), Эйлерова задача о разбиении
многоугольников (1751), Задача о 36 офицерах (1779), Принцип Дирихле (1834), Парадокс
дней рождения (1939), Многогранник Часара (1949)
Пять точек, соединенных друг с другом отрезками красного или синего цвета. На этом
рисунке нет полностью красного или полностью синего треугольника. Для того чтобы
гарантировать, что образуется либо полностью красный, либо полностью синий треу
гольник, требуется шесть точек.
356

Теорема Гёделя о неполноте
КуртГёдель (1906-1978)
Австрийский математик Курт Гёдель был выдающимся математиком и
одним из самых блестящих логиков XX в. Последствия его теоремы о неполноте
огромны и используются не только в математике, но и в таких смежных
областях знаний, как информатика, экономика и физика. Когда Гёдель работал
в Принстонском университете, одним из его ближайших друзей был Альберт
Эйнштейн.
Теорема Гёделя, опубликованная в 1931 г., произвела довольно
отрезвляющий эффект на логиков и философов, потому что она означала, что в любой
строго логической математической системе имеются утверждения или
вопросы, которые нельзя доказать или опровергнуть на основе аксиом, принятых
внутри этой системы, и, следовательно, возможно, что даже основные
аксиомы арифметики могут породить противоречия. Это делает математику по
существу «неполной». Последствия этого факта продолжают ощущаться и
обсуждаться. Кроме того, теорема Гёделя положила конец вековым попыткам
установить аксиомы, которые обеспечили бы строгую основу для всей матема
тики.
Хао Ван пишет на эту же тему в своей книге «Размышления о Курте Гёде
ле»: «Влияние научных идей и философских теорий Гёделя растет и значение
их потенциальных последствий может продолжать расти. До появления более
определенных подтверждений или опровержения его далеко идущих гипотез
может пройти не одна сотня лет». Дуглас Хофштадтер отмечает, что вторая те
орема Гёделя налагает естественное ограничение на математические системы
и «свидетельствует о том, что противоречивыми являются только те версии
формальной теории чисел, в которых утверждается собственная непротиворе
чивость».
В 1970 г. среди коллег Гёделя получило распространение его математиче
ское доказательство существования Бога. Доказательство имело объем
меньше страницы и вызвало настоящий переполох. Ближе к концу своей жизни
Гёдель стал страдать паранойей, и ему стало казаться, что люди пытаются его
отравить. Он перестал есть и умер в 1978 г. В течение жизни он также страдал
от нервных срывов и ипохондрии.
СМ, ТАКЖЕ «Органон» Аристотеля (350 до н. э.), Булева алгебра (1854), Диаграммы Вен
на (1880), «Основания математики» (1910-1913), Нечеткая логика (1965).
Альберт Эйнштейн и Курт Гёдель. Фото Оскара Моргенштерна, архивы Института
перспективных исследований, Принстон. 1950-е гг.
358

ОТ
ОТ
Число Чамперноуна
Дэвид Гоуэн Чамперноун (1912-2000)
Если объединить в одну цепочку натуральные числа: 1, 2, 3, 4... и
поставить впереди десятичную запятую, то мы получим число Чамперноуна:
0,1234567891011121314... . Подобно числу π и числу е, число Чамперноуна
трансцендентно, т. е. не является корнем ни одного многочлена с целыми
коэффициентами. Также известно, что это число нормально по основанию 10,
т. е. любая конечная последовательность цифр встречается в нем с частотой,
ожидаемой для абсолютно случайной последовательности чисел. Дэвид
Чамперноун доказал нормальность этого числа, показав, что в нем цифры от 0 до
θ встречаются с предельной частотой 10%, каждый из возможных блоков по
две цифры встречается с предельной частотой 1% , каждый блок из трех цифр
встречается с предельной частотой 0,1% и т. д.
Криптографы отметили, что некоторые простейшие традиционные
статистические индикаторы неслучайности не реагируют на число Чамперноуна.
Другими словами, простые компьютерные программы, которые пытаются
найти закономерность в данной последовательности цифр, не могут «увидеть»
в числе Чамперноуна какой-либо закономерности. Этот недочет укрепляет
наше представление о том, что статистики должны быть очень осторожны
всякий раз, когда они объявляют, что данная последовательность является
случайной или бессистемной (хаотической). Число Чамперноуна является
первым примером искусственно созданного нормального числа. Оно было создано
в 1Θ33 г. Дэвидом Чамперноуном, когда он был еще студентом Кембриджского
университета. В 1937 г. немецкий математик Курт Малер доказал, что
константа Чамперноуна трансцендентна. Сегодня мы знаем, что двоичное
представление константы Чамперноуна, полученное путем конкатенации
(связывания в виде цепочки) двоичных представлений целых чисел, также является
нормальным по основанию 2.
Ханс фон Байер считает, что если перевести нули и единицы в код азбуки
Морзе, то «где-то в строчках этой однообразной непонятной китайской
грамоты скрыта любая возможная конечная последовательность слов, ...в ней
содержится каждое любовное послание и каждый роман из когда-либо
написанных.. . Возможно, придется пройти вдоль данной строчки символов расстояние
в миллиарды световых лет, прежде чем они отыщутся, но все они находятся
где-то там...».
СМ. ТАКЖЕ Трансцендентные числа (1844), Нормальное число (1909).
Первые 100000 цифр представления константы Чамперноуна в двоичном формате
(визуализация Адриана Белшоу и Питера Борвейна). Нули в последовательности были
преобразованы в —1, а затем пара (± 1, +1) перемещалась по плоскости. Интервал
изменения вдоль оси χ составляет (0,8400).
360

Бурбаки: тайное общество
Анри Картан (1904-2008), Клод Шевалле (1909-1984),
Шолем Мандельбройт (1899-1983), Андре Вейль (1906-1998) и др.
Историк науки Амир Д. Аксел однажды написал, что Николя Бурбаки был
,величайшим математиком XX в.», который «изменил наше представление
о математике как науке... Он был ответствен за появление «новой
математики», которая охватила американское образование в середине века...». Его
трактаты «образуют основы для большей части современной математики,
...нет работающих математиков, ...которые сегодня не испытали бы на себе
влияния плодотворной работы Николя Бурбаки».
Тем не менее Бурбаки, гениальный математик и автор десятков известных
работ, никогда не существовал! Бурбаки был не персоной, а образованным в
1Θ35 г. тайным обществом математиков, из которых почти все были
французами. Группа попыталась осуществить полностью самодостаточное, предельно
логическое и скрупулезное изложение всех основных положений современной
ма тема! ики — от начала до конца — путем публикации книг по теории
множеств, алгебре, топологии, функциям, интегральному исчислению и многому
другому. В число членов-основателей этой секретной группы входили
блестящие математики Анри Картан, Жан Кулон, Жан Дельсарт, Клод Шевалле,
Жан Дьёдонне, Шарль Эресманн, Рене де Поссель, Шолем Мандельбройт и
Андре Вейль. Члены этой группы считали, что более старые математики без
нужды цепляются за прежнюю практику, поэтому членам группы Бурбаки
приходилось уходить из группы по достижении ими 50-летнего возраста.
Во время написания их совместной книги любой член имел право наложить
вето на любой аспект, который он считал неуместным. Вслед за этим
следовали громкие ссоры. На каждом совещании они должны были вслух и тщательно
читать свои работы, строка за строкой. В 1Θ83 г. Бурбаки опубликовали свой
последний том под названием « Спектральная теория ». И сегодня L'Association
Des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki (Ассоциация сотрудников Николя
Бурбаки) все еще каждый год проводит семинары Бурбаки.
Морис Машаль писал, что «Бурбаки никогда не изобретал ни
революционных методов, ни грандиозных доказательств теорем — и никогда даже не делал
попыток этого. То, что эта группа действительно привнесла, ...было новым
пониманием математики, глубокой перестройкой и переуточнением ее
компонентов, разработкой нонятной терминологии и условных обозначений, а так
же неповторимого стиля».
СМ. ТАКЖЕ «Основания математики» (1910-1913).
Военное кладбище жертв Первой мировой войны под Верденом. Последствия этой
войны стали трудным испытанием для честолюбивых французских математиков.
Огромное количество студентов и молодых преподавателей были убиты, что стало одной из
мотиваций для нескольких молодых парижских студентов-математиков к созданию
группы Бурбаки.
362

ШУ
Ж-1 ί .
Г1
ι

ОТ
ON
Филдсовская премия
Джон Чарльз Филдс (1863-1932)
Премия и медаль Филдса являются самой известной и влиятельной наградой
в области математики. Как и Нобелевская премия в других сферах
достижений, премия Филдса возникла из желания поднять математику выше
межнациональных разногласий. Эта премия, вручаемая раз в четыре года, отмечает
сделанные достижения в математике и стимулирует проведение будущих ис
следований.
Премию иногда называют «Нобелевской премией математиков», потому
что в действительности Нобелевская премия математикам не присуждается,
однако премия Филдса присуждается только математикам в возрасте не более
40 лет. Денежная сумма премии является относительно небольшой, всего
около 13 500 долл. в 2006 г., тогда как Нобелевская премия превышает один
миллион долларов США. Эта награда была учреждена канадским математиком
Джоном Чарльзом Филдсом и впервые вручена в 1Θ36 г. Большую часть своего
состояния, 47 000 долл., Филдс завещал для создания премиального фонда.
На лицевой стороне медали изображен греческий геометр Архимед.
Латинская фраза на обратной стороне переводится как «Математики, собравшиеся
со всего света, вручили [эту награду] за выдающиеся труды».
Математик Александр Гротендик бойкотировал свою собственную
церемонию награждения медалью Филдса в 1Θ66 г., потому что награждение
проводилось в Москве, и он тем самым выразил протест против советского военного
присутствия в Восточной Европе. В 2006 г. российский математик Григорий
Перельман был удостоен премии «за вклад в геометрию и его революционные
идеи в изучении геометрической и аналитической структуры потока Риччи»,
которые привели к доказательству гипотезы Пуанкаре. Перельман отказался
от награды, заявив, что премия не имеет для него никакого значения.
Интересно, что примерно 25% медалистов было еврейской
национальности, а почти половина работали в Институте перспективных исследований в
Принстоне, штат Нью-Джерси. Альфред Нобель (1833—1896), шведский
химик и изобретатель динамита, учредил Нобелевскую премию; однако
поскольку был изобретателем и промышленником, то не учредил какой-либо премии
в области математики, потому что он лично был мало заинтересован в
математике или теоретических науках.
СМ. ТАКЖЕ Архимед, песчинки и быки (250 до н. э.). Гипотеза Пуанкаре (1904),
Программа Ленглендса (1967), Теория катастроф (1968), Группа-Монстр (1981).
Премию Филдса иногда называют «Нобелевской премией математиков», однако пре
мия и медаль Филдса присуждаются только математикам не старше 40 лет.
364

if
Γ\
\
С
L
;ι,
j
\
\
>
LL-VI \ "L\.-

ON
Машины Тьюринга
Алан Тьюринг (1912-1954)
Алан Тьюринг — блестящий математик и теоретик — был вынужден стать
подопытной морской свинкой и подвергнуться экспериментам с приемом
лекарственных препаратов для того, чтобы «вылечить» его от гомосексуализма. Он
подвергся подобным гонениям, несмотря на то что им была выполнена работа
по раскрытию немецких шифров, которая приблизила конец Второй мировой
войны и привела к вручению ему ордена Британской империи. Когда
Тьюринг вызвал полицию для расследования ограбления в своем доме в Англии,
гомофобный полицейский заподозрил Тьюринга в гомосексуализме. Тьюринг
был вынужден либо пойти в тюрьму на год, либо подвергнуться
терапевтическому лечению экспериментальным лекарственным препаратом. Чтобы
избежать заключения в тюрьму, он согласился на то, чтобы ему в течение года
вводили гормон эстроген. Его смерть в возрасте 42 лет, спустя два года после
ареста, стала шоком для его друзей и семьи. Тьюринг был найден в постели.
Вскрытие показало, что он был отравлен цианидом. Возможно, он покончил с
собой, но и до настоящего времени никто в этом не уверен точно.
Многие историки считают Тьюринга «отцом современной информатики».
В своей знаменитой статье «О вычислимых числах в применении к проблеме
разрешимости» (написанной в 1Θ36 г.) он доказал, что машины Тьюринга
(абстрактные устройства для манипуляции с символами) смогут выполнять
любые мыслимые математические задачи, которые будут представлены в виде
алгоритма. Машины Тьюринга помогают ученым лучше понять границы
возможностей вычислительных устройств.
Тьюринг также является создателем теста Тьюринга, который проясняет
такие понятия, как «обладает ли машина интеллектом» и смогут ли машины
в один прекрасный день «думать». Тьюринг считал, что машины в конечном
итоге смогли бы пройти его тест, демонстрируя свою способность вести диалог
с человеком столь естественно, что люди не смогут определить, разговаривают
л и они с машиной или с человеком.
В 1Θ3Θ г. Тьюринг изобрел электромеханическую машину, которая смогла
взломать нацистские шифры, генерируемые немецкой шифровальной маши
ной «Энигма». Машина Тьюринга, которая называлась «Бомба», была
усовершенствована математиком Гордоном Велчманом и стала главным
инструментом для расшифровки секретных донесений, зашифрованных машиной
«Энигма».
СМ. ТАКЖЕ ЭНИАК (1946), Теория информации (1948), Криптография с открытым
ключом (1977).
Копия машины «Бомба». Алан Тьюринг изобрел это электромеханическое устройство,
чтобы помочь в расшифровке секретных донесений, зашифрованных машиной
«Энигма».
366

-s
Μ
■·■· +
h"
.v" 4;,
"vvvr fr'7
" J'J L !^::::':v::jW4J:-:'i :"' ;>
* S· л ι л
, : ι _j . ^ 3_ "*· r- - ■
- ;' v*
л i?
,4 .
■ ;
ι
\

ON
Замощение Фодерберга
Хайнц Фодерберг (1911-1942)
Мозаика, или замощение плоскости, заключается в том, что плоскость
заполняется набором из небольших форм, называемых плитками, укладываемых
без перекрытия и щелей между ними. Самые очевидные виды замощении
можно увидеть на кафельном полу, на котором плитки имеют форму
квадратов или шестиугольников. Основная структура пчелиных сот представлена
шестигранными элементами, возможно, такая структура «полезна» для пчел
вследствие эффективности такой схемы укладки мозаики с точки зрения
расхода материалов, необходимых для создание гексагональной решетки ячеек
в пределах данной области. Существует восемь различных видов мозаик на
плоскости, в которых используются два или более видов выпуклых
правильных многоугольников, в которых вокруг вершины каждого многоугольника в
одинаковом порядке уложены аналогичные многоугольники.
Мозаики получили широкое распространение в искусстве голландского
художника Эшера, а также в древнем исламском искусстве. В самом деле,
искусство мозаики насчитывает тысячи лет, и его можно проследить еще с времен
шумерской цивилизации (ок. 4000 г. до н. э.), в которой стены зданий были
украшены глиняными мозаичными плитками.
Замощение Фодерберга, открытое Хайнцем Фодербергом в 1Θ36 г.,
является особенным, потому что является самым ранним из известных спиральных
замощений плоскости. Привлекательный рисунок мозаики выполняется из
одинаковых плиток в форме неправильного девятиугольника. По мере
повторения этого девятиугольника образуется бесконечная спиральная лента,
которая вместе с другой спиральной полосой покрывает всю плоскость без зазоров.
Замощение Фодерберга называется моноэдрическим, поскольку все плитки в
нем одинаковы.
В 1970-х гг. математиками Бранко Грюнбаумом и Джеффри К. Шепардом
было предложено новое спиральное замощение мозаичными плитками. Их
мозаичные плитки могут использоваться для получения замощения
плоскости спиральным рисунком плиток с одной, двумя, тремя и шестью ветвями.
В 1Θ80 г. Марджори Райе и Дорис Шаттшнайдер описали дополнительные
способы создания из пятиугольных плиток спиральных замощений,
содержащих несколько ветвей.
СМ. ТАКЖЕ Группы симметрии орнаментов (1891), Квадрирование прямоугольника
(1925), Мозаика Пенроуза (1973), Спидроны (1979).
Спиральное замощение Фодерберга в изображении Тейи Крашен. Такое замощение
называют моноэдрическим, потому что в нем все плитки одинаковы.
368

кг
Гипотеза Коллатца
ЛотарКоллатц (1910-1990)
Представьте себе, что на улице идет град, и отдельные градины летают вверх
и вниз под порывами ветра. Иногда градины взмывают вверх так высоко, что
почти исчезают из поля зрения, а затем падают обратно на землю и врезаются
в нее, подобно небольшим метеоритам.
Задачи о так называемых числах-градинах на протяжении нескольких
десятилетий пленяли математиков, поскольку на первый взгляд они просты в
расчетах, но решить их оказалось довольно трудно. Для вычисления
последовательности чисел-градин (иногда называемых (Зп + 1)-числами) возьмем
любое натуральное число. Если оно четное, разделим его на 2, если нечетное —
умножим на 3 и прибавим 1. Затем для полученного ответа правило повторяем.
Например, последовательность чисел-градин для η = 3 выглядит так: 3,10, 5,
16, 8, 4, 2, 1, 4... (многоточие означает, что далее в последовательности будут
только числа 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4 и т. д.). Подобно граду, падающему из туч, эта
последовательность дрейфует вниз и вверх, и порой кажется, что она образует
случайный рисунок. Кроме того, кажется, что подобно настоящим градинам,
числа-градины обязательно попадут в конце концов «на землю» — к числу 1.
Гипотеза Коллатца, названная в честь немецкого математика Лотара
Коллатца, сформулировавшего ее в 1937 г., заключается в том, что какое бы
начальное число для формирования последовательности мы ни взяли, рано или
поздно в этой последовательности появится 1. До сих пор математики не
нашли способа доказательства этой гипотезы, хотя она проверялась на
компьютере для всех начальных значений вплоть до 19 χ 258 = 5,48 χ 1018.
Любому, кто смог бы доказать или опровергнуть эту гипотезу,
предлагались разные награды. Математик Пал Эрдёш так прокомментировал
сложность этой гипотезы: «Математика еще не готова к решению таких задач».
Дружелюбный и скромный Коллатц получил много наград за свой вклад в
математику. Он умер в 1990 г. в Болгарии, во время участия в математической
конференции, посвященной компьютерной арифметике.
СМ. ТАКЖЕ Эрдёш и его опыт математического сотрудничества (1971), Аттрактор Икеды
(1979), Энциклопедия целочисленных последовательностей (1996).
Фрактал Коллатца. Хотя поведение {Зп + 1\чисел ооычно рассматривается на
множестве целых чисел, соответствующее отображение можно распространить и на
множество комплексных чисел. При соответствующей раскраске комплексной плоскости
видно ее сложное фрактальное поведение.
370

'if г- *
*
,■
ψ
*
9
Ά
.
«*'
*.... ,
b -· t
- *
• я
*··.·'.-
i ■■ *s
ϊ".·
.1
' л.
'■' Vs
. · ■
;. £
·■·
.
■**
t*«
i'-
•W
·»
Ν*
«к
»*?
-■
>
t
Ж
*
' -* .-»·■' s:-· ·.-· - . л ■ * 4t
Eh'" * " I
«ИГ
" Г'

ОТ
00
Окружности Форда
Лестер Рэндольф Форд-старший (1886-1967)
Представьте пенистый молочный коктейль с бесконечным числом пузырьков
всех размеров, касающихся друг друга без взаимопроникновения. Пузырьки
становятся все меньше и меньше, причем более мелкие пузырьки постоянно
заполняют полости и промежутки между более крупными. Математик Лестер
Форд в 1938 г. рассмотрел одну из форм такой таинственной пены, и
оказалось, что такая структура как раз характеризует самую суть нашей системы
«рациональных» чисел. (Рациональными называются числа наподобие У2,
которые могут быть выражены в виде дроби )
Для создания фордовской пены начнем с выбора любых двух целых чисел,
his.k. Нарисуем окружность радиусом l/(2ft2) с центром в точке (A/ft, l/(2ft2)).
Например, если вы взяли А = 1 и ft = 2, то получится окружность с центром
в точке (0,5, 0,125) и радиусом 0,125. Продолжим рисовать окружности для
различных значений Λ и ft. По мере того как картина будет уплотняться,
обратите внимание, что ни одна из окружностей не пересекается с другой, хотя
некоторые из них могут касаться друг друга. Около любой окружности будет
располагаться бесчисленное множество окружностей, касающихся ее.
Представим вымышленного лучника, стоящего над фордовской пеной в
точке с достачочно большой ординатой у. Для имитации полета стрелы
проведем вертикальную линию от месторасположения нашего лучника (например,
при χ = а) до оси абсцисс. (Эта линия будет идти перпендикулярно оси х.) Если
а — рациональное число, то линия должна пронзить какую-нибудь фордов-
скую окружность и достичь горизонтальной оси χ точно в точке касания этой
окружности. Однако, когда лучник расположен в точке, соответствующей
иррациональному числу (представленному бесконечной последовательностью
неповторяющихся десятичных цифр, наподобие числа π = 3,1415...), стрела
должна выйти из каждой окружности, в которую она вошла, а затем войти в
другую фордовскую окружность. Таким образом, стрела лучника должна
будет пройти через бесконечное число окружностей! В процессе более глубокого
математического исследования окружностей Форда становится ясно, что они
обеспечивают отличную визуализацию различных уровней бесконечности и
трансфинитных чисел Кантора.
СМ. ТАКЖЕ Трансфинитные числа Кантора (1874), Губка Менгера (1926), Фракталы
(1975).
Окружности Форда (визуализация Джоса Лейса). Изображение повернуто на 45", так
чтобы ось χ шла от нижнего левого края рисунка к верхнему правому. Окружности
становятся все меньше и меньше по мере того, как пространства между более
крупными окружностями заполняются более мелкими.

V-.·.
,ч

ОТ
00
Создание рандомизирующих устройств
Уильям Томсон, барон Кельвин Ларгс (1824-1907), сэр Морис Джордж
Кендалл (1907-1983), Бернар Бабингтон Смит (1905-1993),
Леонард Генри Калеб Типпетт (1902-1985), Фрэнк Йейтс (1902-1995),
сэр Рональд Эйлмер Фишер (1890-1962)
В современной науке генераторы случайных чисел полезны при
моделировании природных явлений и получении выборочных данных. До появления
современных электронно-вычислительных машин для получения случайных
чисел исследователи должны были проявлять творческий подход. Так,
например, в 1901 г. для генерации случайных чисел лорд Кельвин использовал
номера, написанные на бумажках, извлекаемых из вазы. Тем не менее он
нашел этот подход «неудовлетворительным», отметив в своих записках:
«Наилучшего перемешивания, которого мы смогли добиться в вазе, оказалось
совершенно недостаточно для обеспечения равных шансов для всех бумажек».
В 1927 г. британский статистик Л. Типпетт проводил исследования с
таблицей, состоящей из 41600 случайных цифр, которые были получены как
средние цифры в записи чисел, отвечающих площадям административных округов
в Англии. В 1938 г. британские статистики Р. Фишер и Ф. Йейтс опубликовали
15 000 дополнительных случайных чисел, которые они получили, используя
две колоды игральных карт для выбора случайных цифр в таблице логарифмов.
В 1938—1939 гг. британский статистик М. Кендалл вместе с британским
психологом Б. Б. Смитом начали исследования по генерации случайных чисел
механическим устройством. С помощью этого рандомизирующего устройства
впервые удалось получить таблицу из 100 000 случайных цифр. Они также
сформулировали ряд строгих тестов для проверки того, действительно ли эти
цифры являются статистически случайными. Таблица случайных чисел Кен-
далла и Смита широко использовалась до тех пор, пока в 1955 г. корпорация
RAND не опубликовала миллион случайных чисел со стандартным
отклонением 100000. Корпорация RAND использовала машину с колесом,
напоминающим колесо рулетки, подобную машине Кендалла и Смита, и с помощью
аналогичных математических тестов провела проверку полученных цифр на
предмет того, чтобы они являлись статистически случайными числами.
В машине Кендалла и Смита использовался двигатель, соединенный с
картонным кругом диаметром 10 дюймов (25 см). Этот картонный диск был
разделен на 10 сегмен гов по возможности максимально одинаковых размеров,
которые были последовательно пронумерованы от 0 до 9. Диск освещался неоновой
лампой. Происходила зарядка электрического конденсатора, который в
конечном итоге зажигал лампу-вспышку. Оператор рандомизирующего
устройства мог увидеть и записать ту цифру, которая при этом появлялась на диске.
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 до н. э.), Игла Бюффона (1777), Метод середины
квадрата фон Неймана (1946).
Сложные и непредсказуемые движения капли воска в лавовой лампе использовались в
качестве источника случайных чисел. Такая система для генерации случайных чисел
упоминается в патенте США 5732138, выданном в 1998 г.
374

ОТ
Парадокс дней рождения
Рихард фон Мизес (1883-1953)
Мартин Гарднер пишет: «Издавна необычные совпадения укрепляли веру в
то, что оккультные силы оказывают влияние на нашу жизнь. События,
которые, казалось, чудесным образом нарушали законы вероятности, связывали
с волей богов или бесов, Бога или Сатаны, или, по крайней мере, с
таинственными законами, неизвестными науке и математикам». Одной из проблем,
заинтриговавших исследователей совпадений, стал парадокс дней рождения.
Представьте, что вы находитесь в большой гостиной, куда постепенно
входят люди. Сколько людей должно быть в комнате, прежде чем вероятность
того, что у некоторых из них совпадут дни рождения, станет равной, по
крайней мере, 50% ? Эта задача, поставленная в 1Θ3Θ г. американским
математиком австрийского происхождения Рихардом фон Мизесом, имеет важное
значение, потому что ответ в ней противоречит интуиции большинства людей, а
также потому, что этот парадокс часто встречается среди задач по теории
вероятностей в современных школах. А также еще потому, что различные
вариации парадокса дней рождения служат полезными моделями для анализа
удивительных совпадений в повседневной жизни.
Предполагая, что в году 365 дней, в ответе этой задачи получим что в
комнате должно быть всего 23 человека. Другими словами, если в комнате
находится не менее 23 слу гайно выбранных людей, то с вероятностью более 50%
существуют пары людей с одинаковыми днями рождения. Для 57 или более
человек эта верой'- ность будет превышать 99% .Вероятность становится
равной 100%, если в комнате будет находиться не менее 366 человек, благодаря
принципу Дирихле. Будем считать, что 365 возможных дня рождения
равновероятны, при этом будем игнорировать високосные дни. Формула для расчета
вероятности совпадения дней рождения, по крайней мере, у двух из η человек,
определяется выражением 1— [365!, [365" (365 — η)!] , которое может быть
аппроксимировано формулой ι _ е~п Д2"365) #
Всего лишь 23 человека, возможно, несколько меньше, чем вы ожидали,
поскольку мы не искали двух конкретных людей или совпадения
определенных дат рождения. Достаточно, чтобы совпали дни рождения у двух любых
че овек. В самом деле, из 23 человек можно составить 253 различные пары, и
у людей любой из них дни рождения могут совпасть.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Аристотелево колесо (320 до н. э.), Закон
больших чисел (1713), Санкт-Петербургский парадокс (1738), Принцип Дирихле (1834),
Парадокс брадобрея (1901), Парадокс Банаха-Тарского (1924), Парадокс «Гранд-отеля»
Гильберта (1925), Теория Рамсея (1928), Парадокс береговой линии (1950), Парадокс Ньюкома
(1960), Парадокс Паррондо (1999).
Сколько человек должно находиться в комнате, чтобы вероятность того, что у
некоторых из них дни рождения будут совпадать, была не менее 50%? В предположении,
что в году 365 дней, получаем ответ, противоречащий интуиции большинства
людей. — всего лишь 23 человека.
376

'
■* .
\
и
\
* 1
N
\

Последовательно описанные
многоугольники
Эдвард Каснер (1878-1955), Джеймс Рой Ньюмен (1907-1966)
Нарисуйте окружность радиусом 1 дюйм (около 2,5 см). Далее постройте
равносторонний треугольник, описанный около данного круга. Затем постройте
окружность, описанную около данного треугольника. После этого постройте
квадрат, описанный около этой второй окружности. Затем нарисуйте третью
окружность, описанную около квадрата. Далее постройте правильный пяти-
О угольник, описанный около окружности. Продолжайте эту процедуру до
бесконечности, каждый раз увеличивая на единицу число сторон правильного
многоугольника. Все другие фигуры — это окружности с увеличивающимся
радиусом, которые заключают в себе всю совокупность предшествующих
фигур. Если продолжать этот процесс, каждый раз описывая окружности боль-
^^, шего радиуса со скоростью одна окружность в минуту, то сколько времени
потребуется, чтобы достичь окружности с радиусом, равным радиусу нашей
* Солнечной системы?
Бели постоянно описывать около фигур все новые и новые окружности,
может показаться, что их радиусы будут расти все больше и больше, становясь
бесконечными по мере продолжения данного процесса. Однако совокупность
вложенных друг в друга многоугольников никогда не будет расти и никогда не
достигнет ни размеров Солнечной системы, ни размеров Земли, ни даже
размеров велосипедного колеса. Хотя первоначально окружности растут в размерах
очень быстро, темп роста постепенно замедляется, а радиусы окружностей в
результате приближаются к предельному значению, заданному дробью со
знаменателем в виде бесконечного произведения:
R = 1 / [cos (π/3) χ cos (π/4) χ cos (π/5)...].
Возможно, самым интригующим был спор по поводу предельного
значения R. Кажется, что его достаточно просто вычислить. По словам
математиков Эдварда Каснера и Джеймса Пьюмена, которые первыми сообщили об этом
значении в 1940-х гг., значение R приблизительно равно 12 цюймам. Значение
12 также упоминается в немецкой статье, опубликованной в 1964 г.
Кристоффель Дж. Боукемп в 1965 г. опубликовал работу, в которой
сообщалось об истинном значении R = 8,7000. Мне забавным, что вплоть до
1965 г. математики все еще предполагали, что правильное значение R равно 12.
Истинное значение R с точностью до 17 знаков имеет вид 8,7000366252081945
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Задача о зернах на шахматной доске (1256),
Расходимость гармонического ряда (1350), Представление числа π в виде суммы
бесконечного ряда (1500), Константа Вруна (1919).
Вокруг центрального круга попеременно строятся описанные многоугольники и
окружности, как это описано в тексте (на рисунке красные линии изображены слегка
утолщенными для художественного эффекта). Можно ли заставить такой рисунок
вырасти больше размера велосипедного колеса?
Μ
sO
L±^
378

Геке
Пит Хейн (1905-1996), Джон Форбс Нэш-мл. (р. 1928)
«Геке» является настольной логической игрой для двух игроков на
гексагональной сетке, как правило, в форме ромба 11 χ 11 полей. Игра была
изобретена датским математиком и поэтом Питом Хейном в 1Θ42 г. и независимо
от него американским математиком Джоном Нашем в 1947 г. Наш, лауреат
Нобелевской премии, известен широкой публике, пожалуй, в качестве
персонажа голливудского фильма A Beautiful Mind («Игры разума»), в котором
были показаны его математические способности и борьба с одолевающей его
шизофренией. Согласно книге A Beautiful Mind, в качестве оптимального
размера Нашем была предложена игральная доска, имеющая 14 χ 14 полей.
Игроки используют разноцветные фишки (например, красного и синего
цвета) и попеременно ставят их в шестиугольные клетки. Целью «красных»
является составить из фишек красную дорожку, соединяющую две
противоположные стороны доски. Целью «синих» является выложить синюю дорожку,
соединяющую две другие противоположные стороны. Четыре угловых
шестиугольника принадлежат обеим сторонам. Наш обнаружил, что игра никогда
не может закончиться вничью, и что игра благоприятствует первому игроку,
который всегда имеет выигрышную стратегию. Один из способов сделать игру
более справедливой заключается в том, чтобы позволить второму игроку
выбрать тот или иной цвет после того, как первый игрок сделает свой первый ход,
либо после первых трех ходов. В 1Θ52 г. фирма Parker Brothers выпустила в
продажу версию данной игры для широкой публики, в которой
использовались шестигранные игральные фишки. Выигрышная стратегия для первого
игрока была продемонстрирована для нескольких размеров игральных досок.
Хотя игра кажется простой, математики использовали ее в более глубоких
прикладных целях, таких, как доказательство теоремы Брауэра о
неподвижной точке. Хейн стал всемирно известным благодаря своим проектам, стихам
и математическим играм. Когда немцы вторглись в Данию в 1Θ40 г., он был
вынужден уйти в подполье, возглавив антигитлеровскую группу. В 1944 г. он
сформулировал свой творческий подход: «Искусством является решение
такой задачи, которую нельзя четко сформулировать прежде, чем она будет
решена».
СМ. ТАКЖЕ Теорема Брауэра о неподвижной точке (1909), Стратегия игры в «Свинью»
(1945), Равновесие Нэша (1950), Головоломка «Мгновенное умопомешательство» (1966.,
Настольная логическая игра на гексагональной сетке. Цель «красных» заключается
в том, чтобы соединить дорожкой из красных фишек две противоположные стороны
игральной доски. Целью синих является формирование пути, соединяющего две другие
противоположные стороны доски. В этом примере «красные» выиграли.
380

Стратегия игры в «Свинью»
Джон Скарн (имя, данное при рождении: Орландо Кармело Скарнечиа)
(1903-1985)
«Свинья» является игрой с простыми правилами, но с удивительно
сложными стратегией и анализом. Эта игра имеет важное значение в качестве
модели для решения многих, казалось бы, простых задач, по прошествии
определенного времени давшей толчок обширным математическим исследованиям.
Игра «свинья» также используется многими преподавателями при
обсуждении стратегии игры в качестве учебного примера.
Игра «свинья» была впервые описана в печатных изданиях в 1Θ45 г. Джоном
Скарном — американским фокусником, экспертом по карточным играм,
карточным манипулятором и изобретателем, но корни этой игры уходят в несколько
разновидностей старых народных игр. В самом начале игры первый игрок
бросает игральную кость до тех пор, пока на ней не выпадет 1, либо он
прекращает бросать кость и суммирует все выпавшие очки и добавляет их к своему счету.
Если же на игральной кости выпадет 1, то все очки, набранные в данной серии
бросков, будут обнулены и не будут добавлены к счету данного игрока, а право
делать следующий ход переходит к его сопернику. Выигрыш будет за тем игроком,
счет которого достигнет 100 очков или больше. Пример: во время вашего броска
на игральной кости выпало 3. После броска вы решили бросить кости еще раз и у
вас выпала «единица». При этом к вашему счету ничего не добавится и вы
передаете кость своему сопернику. Он бросает кость несколько раз, во время которых у
него выпадает серия очков «3-4-6», и решает прекратить броски. Таким образом,
к его счету будет добавлено 13 очков и он передаст кость обратно вам. Свинья
считается «азартной» игрой в кости, потому что игроки, в очередной раз бросая
игральную кость, должны сами решать, должны ли они поставить под угрозу
обнуления все свои предыдущие очки, набранные в течение данной серии бросков.
В 2004 г. специалисты в области информационных технологий Тодд У. Нел-
лер и Клифтон Прессер из Геттисбергского колледжа в Пенсильвании подробно
проанализировали игру «свинья», чтобы найти оптимальную стратегию игры.
Используя математику и компьютерную графику, они обнаружили сложную,
интуитивно непонятную выигрышную стратегию, и показали, почему
стратегия, при которой за один ход набирается максимальное количество очков,
явно отличается от стратегии игры, рассчитанной на победу. О своих выводах
и демонстрации оптимальной стратегии они поэтически написали:
«Наблюдение детальной структуры этой стратегии подобно наблюдению впервые
полученного четкого изображения поверхности далекой планеты при условии, что
до этого приходилось рассматривать лишь ее нечеткие изображения».
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 до н. э.), Равновесие Нэша (1950), Дилемма
заключенного (1950), Парадокс Ньюкома (1960), Головоломка «Мгновенное
умопомешательство» (1966).
Простая игра «свинья» заключает в себе удивительно сложные стратегию и анализ.
«Свинья» была впервые описана в прессе в 1945 г. американским фокусником и
изобретателем Джоном Скарном.

ЭНИАК
Джон Мокли (1907-1980), Дж. Преспер Экерт (1919-1995)
Электронно-вычислительная машина ЭНИАК (от англ. ENIAC —
электронный числовой интегратор и вычислитель) была построена в Пенсильванском
университете американскими учеными Джоном Мокли и Дж. Преспером
Экертом. Это устройство было первым электронным перепрограммируемым
цифровым компьютером, который мог использоваться для решения
широкого спектра вычислительных задач. Первоначально ЭНИАК предназначался
для расчета таблиц артиллерийской стрельбы для армии США, однако его
первым важным применением стал расчет конструкции водородной бомбы.
ЭНИАК был введен в эксплуатацию в 1Θ46 г. и стоил по тем временам око-
э 500000 долл., при этом он работал почти в непрерывном режиме, пока не
был выключен 2 октября 1Θ55 г. Компьютер ЭНИАК содержал более 17 000
вакуумных ламп и около 5 миллионов паяных соединений, выполненных
вручную. Для ввода и пробивки перфокарты использовались устройства для
считывания и пробивки перфокарт фирмы IBM. В 1ΘΘ7 г. команда студентов
технического университета под руководством профессора Яна Ван дер
Шпигеля воспроизвела «копию» 30-тонного ЭНИАКА на одной интегральной
микросхеме!
В число других знаменитых электронно-вычислительных машин 1930
1940-х гг. входил и американский компьютер Атанасова—Берри
(представлен в декабре 1939 г.), немецкая вычислительная машина Z3 (показана в мае
1941 г.) и британский компьютер Colossus (1943), однако эти машины были
либо не полностью электронными, либо не являлись ЭВМ общего назначения.
Авторы патента ЭНИАК (№ 3120606, заявка на патент была подана в 1947 г.)
писали: «С появлением повседневной необходимости в сложных расчетах
быстродействие компьютера стало настолько актуальным, что на рынке не
оказалось ЭВМ, способных полностью удовлетворить спрос в современных
вычислительных методах... Настоящее изобретение призвано сократить
продолжительность таких длительных вычислений до секунд...»
Сегодня применение компьютеров вторглось в большинство областей
математики, включая численный анализ, теорию чисел и теорию вероятностей.
Математики, конечно, все больше и больше используют компьютеры в своих
исследованиях и в учебном процессе, иногда с применением компьютерной
графики для того, чтобы разобраться в чем-либо более детально. Некоторые известные
математические доказательства были получены с помощью компьютеров.
СМ. ТАКЖЕ Счёты (1200), Логарифмическая линейка (1621), Механический
компьютер Бэббиджа (1822), Дифференциальный анализатор (1927), Машины Тьюринга (1936*
Арифмометр «Curta» (1948), НР-35: первый научный карманный калькулятор (1972).
Фотография «ЭНИАКа», первого электронного перепрограммируемого цифрового
компьютера, который мог использоваться для решения широкого круга вычислительных
задач. Его первым важным применением был расчет конструкции водородной бомбы.
384

\
к
I
•:ч*
» __.

ON
Метод середины квадрата
фон Неймана
Джон фон Нейман (1903-1957)
Ученые применяют генераторы случайных чисел для решения широкого
спектра задач, таких как разработка секретных кодов, моделирование движения
атомов, а также проведение точных исследований. Генератор псевдослучайных
чисел (ГПСЧ) представляет собой алгоритм, который генерирует
последовательность чисел, имитируя статистические свойства случайных чисел.
Метод середины квадрата, разработанный Джоном фон Нейманом в 1Θ46 г.,
является одним из самых известных и самых первых компьютерных ГПСЧ.
Фон Нейман предложил следующее. Начнем с некоторого числа, например,
1946, возведем его в квадрат и получим число 3786916, которое можно
записать в виде 03 7869 16. Возьмем число, записанное четырьмя средними
цифрами, 7869, и продолжим процесс возведения в квадрат и вычисления числа,
образованного четырьмя средними цифрами. В реальной практике фон Нейман
использовал десятизначные числа и следовал тем же самым правилам.
Фон Нейман известен тем, что совместно с другими учеными проводил
исследования в области термоядерных реакций, которые привели к созданию
водородной бомбы. Фон Нейман понял, что его простой метод рандомизации
имеет недостатки и что данная последовательность в конечном итоге может
повториться, но он остался доволен применимостью этого метода для многих
приложений. В 1951 г. фон Нейман предупредил пользователей этого метода:
«Всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения
случайных чисел, грешен вне всяких сомнений». Тем не менее он предпочел этот
метод аппаратному методу генерации случайных чисел, в котором не
записываются их значения, что делает затруднительным повторение процедуры
вычислений для выявления проблем. В любом случае фон Нейман не имел доступа
к компьютерам с достаточным объемом памяти для хранения большого числа
«случайных» значений. А его удивительно простой подход позволил получать
случайные числа на компьютере ЭНИАК в сотни раз быстрее процесса
считывания члсел с перфокарт.
В последнее время большое распространение получили
алгоритмы-генераторы псевдослучайных чисел с использованием линейного конгруэнтного
алгоритма, описываемого формулой Х„+, = (аХ + с) mod т.
Здесь η > 0, а — множитель, т — модуль, с — приращение и Х0 — начальное
значение. Алгоритм ГПСЧ, называемый «Вихрь Мерсенна», разработанный в
1997 г. Макото Мацумото и Такудзи Нисимурой, также является очень
хорошим алгоритмом для многих современных приложений.
СМ. ТАКЖЕ Игральные кости (3000 до н. э.), Игла Бюффона (1777), Создание рандомизи-
рующих устройств (1938), ЭНИАК (1946).
Джон фон Нейман в 1940 г. Фон Нейман разработал метод середины квадрата,
известный как один из самых первых компьютерных генераторов псевдослучайных чисел.
386

I
S
Л

кг
Код Грея
Фрэнк Грей (1887-1969), Эмиль Бодо (1845-1903)
Код Грея — это система счисления, в которой два соседних значения
различаются только в одном разряде и только на единицу. Например, 182 и 172 могут
быть смежными числами в десятичном коде Грея (средние цифры отличаются
на 1), а 182 и 162 (цифры отличаются не на 1), а также 182 и 173 (числа
отличаются более чем в одном разряде) не будут являться числами в коде Грея.
Один простой, известный и полезный код Грея называется рефлексным
(отраженным) двоичным кодом Грея и состоит из одних только нулей и единиц.
Мартин Гарднер объясняет, как преобразовать стандартное двоичное число в
его рефлексный эквивалент в коде Грея. Сначала мы проверяем самую правую
цифру, а затем по очереди рассматриваем каждую следующую. Если
следующая цифра слева равна О, то оставляем исходную цифру прежней. Если
следующая цифра слева 1, то исходную цифру надо изменить. (Предполагается, что
слева от крайней левой цифры стоит О и, следовательно, она будет
оставаться неизменной.) Например, применение этого метода преобразования к
числу 110111 в коде Грея дает число 101100. Мы можем затем преобразовать все
стандартные двоичные числа для создания последовательности в коде Грея,
которая начинается так: 0, 1, 11,10,110,111, 101, 100, 1100, 1101, 1111,...
Рефлексный двоичный код был первоначально разработан для того,
чтобы облегчить предотвращение получения ошибочных выходных сигналов от
электромеханических переключателей. В случае применения кода Грея
небольшое изменение в положении будет влиять только на один бит. Сегодня
коды Грея используются для облегчения коррекции ошибок в цифровой
связи, например, при передаче телевизионных сигналов, а также для снижения
чувствительности систем передачи информации к шуму. Французский
инженер Эмиль Бодо использовал коды Грея в телеграфии в 1878 г.
Этот код был назван в честь физика-исследователя Фрэнка Грея,
работавшего в лаборатории Белла, который широко использовал эти коды в своих
технических патентах. Грей изобрел метод для преобразования аналоговых
сигналов в двоичный код Грея с использованием электронных ламп. Сегодня
коды Грея также имеют важные приложения в теории графов и теории чисел.
СМ. ТАКЖЕ Булева алгебра (1854), «Теория игры в меледу» Луи Гро (1872), Ханойская
башня (1883), Теория информации (1948).
Схема из патента США № 2632058, заявка на который была подана в 1947 г., а сам
патент был получен Фрэнком Греем в 1953 г. В этом патенте Грей представил свой
знаменитый код, названный «рефлексным (отраженным) двоичным кодом». Позже
этот код в честь Фрэнка Грея был назван другими исследователями «кодом Грея».
388

March 17, 1953
Filed Nov. 13, 1947
F. GRAY
PULSE CODE COMMUNICATION
2,632,058
4 Sheets-Sheet l
22
STHV-I
PULSE
GEN.
ι—· STMV-l
SAW
TOOTH
WAVCC&i
1
38
AH*
40
и.
39

00
Теория информации
Клод Элвуд Шеннон (1916-2001)
Подростки смотрят телевизор, «бродят» в Интернете, крутят свои DVD-
проигрыватели и бесконечно общаются в чатах через телефоны, обычно даже
не осознавая, что основы нашего информационного века были заложены
американским математиком Клодом Шенноном, который в 1Θ48 г.
опубликовал «Математическую теорию связи». Теория информации является
дисциплиной прикладной математики, связанной с количественной обработкой
данных, она помогает ученым оценить пропускную способность различных
систем хранения, передачи и обработки информации. Теория информации
также имеет дело со сжатием данных и с методами снижения шума и
процента ошибок, позволяющими обеспечить надежное хранение и передачу по
каналу связи максимально возможного количества данных. Мера информации,
известная, как информационная энтропия, как правило, выражается через
среднее число битов, необходимых для хранения или передачи данных.
Большая часть математического аппарата вне самой теории информации была
создана Людвигом Больцманом и Уиллардом Гиббсом для области
термодинамики. Алан Тьюринг также использовал подобные идеи при взломе
шифров, полученных с помощью немецкой шифровальной машины «Энигма» во
время Второй мировой войны.
Теория информации затрагивав' разнообразные области знаний, начиная
от математики и информатики до нейробиологии, лингвистики и черных дыр.
На практике теория информации применяется в таких областях, как взломы
кодов и устранение ошибок считывания фильмов с DVD-дисков из-за царапин
на них. Журнал Fortune в 1Θ53 г. писал: «Без преувеличения можно сказать,
что человеческий прогресс в мире и выживание в войне больше зависят от
полезных приложений теории информации, нежели от демонстрации
физических законов на примере атомных бомб или силовых установок, где работает
знаменитое уравнение Эйнштейна ».
Клод Шеннон скончался в 2001 г. в возрасте 84 лет после долгой борьбы с
болезнью Альцгеймера. В какой-то период своей жизни он отлично
жонглировал, катался на одноколесном велосипеде и хорошо играл в шахматы. К
сожалению, из-за своего заболевания он был не в состоянии наблюдать за
стремительным наступлением эпохи информации, которую он помог создать.
СМ. ТАКЖЕ Булева алгебра (1854), Машины Тьюринга (1936), Код Грея (1947).
Теория информации помогает технологам определить пропускную способность
различных систем хранения, передачи и обработки информации. Теория информации имеет
применения в различных областях: от математики и информатики до нейробиологии.
390

с
Γ·
*
ν
*ч
•л
\
ч
IF *
ill

00
Арифмометр «Curta»
Курт Херцштарк (1902-1988)
Механический арифмометр «Curta», ставший, по мнению многих историков
науки, первым коммерчески успешным портативным механическим
арифмометром, был разработан австрийцем еврейского происхождения Куртом
Херцштарком во время его заключения в концентрационном лагере Бухен-
вальд. Портативный арифмометр «Curta» мог выполнять умножение,
сложение, вычитание и деление. На цилиндрическом корпусе «Curta», который
обычно держали в левой руке, имелось восемь ползунков для ввода цифр.
В 1Θ43 г. Херцштарк был обвинен в «пособничестве евреям» и в
«порочных связях с арийскими женщинами». В конечном итоге он оказался в Бухен-
вальде, где нацисты, узнав о его технических опытах и идеях относительно
вычислительных машин потребовали, чтобы он передал им чертеж
конструкции своего арифмометра, при этом они надеялись преподнести это устройство
Гитлеру в качестве подарка в честь окончания войны.
После войны, в 1Θ46 г., Херцштарк был приглашен князем Лихтенштейна
для постройки завода по выпуску этих арифмометров, которые получили
широкое распространение у пользователей в 1948 г. Какое-то время «Curta» был
одним из лучших доступных карманных арифмометров и получил широкое
распространение в быту до появления электронных калькуляторов в 1970-х гг.
Арифмометр «Curta» I был 11-разрядным. Арифмометр «Curta» II,
представленный в 1954 г., обладал 15-разрядным счетным механизмом. В
течение почти 20 лет было выпущено примерно 80 000 арифмометров «Curta» I и
60 000 П.
Астроном и автор научных работ Клифф Штоль писал: «Иоганн Кеплер,
Исаак Ньютон и лорд Кельвин сожалели о том времени, которое они
потратили впустую для выполнения простых арифметических операций... О, что
это была бы за вещь, — карманный арифмометр, который мог складывать,
вычитать, умножать и делить! Простое в управлении устройство, оборудованное
цифровой индикацией и памятью. Но таких устройств до 1947 г. не было! А
затем из Лихтенштейна на протяжении четверти века стали поступать лучшие
карманные арифмометры. В этой небольшой стране альпийских пейзажей и
налоговых убежищ Куртом Херцштарком была создана самая гениальная
вычислительная машина, когда-либо украшавшая руку инженера: арифмометр
"Curta"».
СМ. ТАКЖЕ Счёты (1200), Логарифмическа линейка (1621), Механический
компьютер Беббиджа (1822), Кассовый аппарат «Ритти» (1879), Дифференциальный анализатор
(1927), НР-35: первый научный карманный калькулятор (1972).
Арифмометр «Curta», вероятно, стал первым коммерчески успешным портативным
механическим арифмометром. Это карманное устройство было разработано Куртом
Херцштарком во время его заключения в концентрационном лагере Бухенвальд.
Нацисты надеялись преподнести это устройство Адольфу Гитлеру в качестве подарка.
392

к ι ι
f > »
ι Q
C' 01
ill -
>

чО
Многогранник Часара
Акош Часар (р. 1924)
Многогранники (или полиэдры) — это тела, построенные из набора многоу
тальников, соединенных друг с другом по ребрам. Сколько существует
многогранников, у которых каждая пара вершин соединена ребром? Помимо
тетраэдра (треугольной пирамиды), многогранник Часара является единственным
известным полиэдром, у которого нет диагоналей (диагональ определяется
как линия, соединяющая любые две вершины, не соединенные ребром).
Обратите внимание, что тетраэдр имеет четыре вершины, шесть ребер, четыре
грани и не имеет диагоналей. Каждая пара вершин соединена ребром.
Многогранник Часара был впервые описан в 1Θ4Θ г. венгерским
математиком Акошем Часаром. С помощью комбинаторики (изучающей способы
выбора и упорядочивание объектов из совокупностей объектов) математики теперь
знают, что кроме тетраэдра у любых других не имеющих диагоналей
многогранников должно иметься, по крайней мере, одно отверстие. Многогранник
Часара имеет одно отверстие (что трудно представить себе без модели, которую
можно подержать в руках) и топологически эквивалентен тору (бублику). Этот
многогранник имеет 7 вершин, 14 граней и 21 ребро и является двойственным
к многограннику Силаши. У двойственных многогранников вершины одного
соответствуют граням другого.
Дэвид Дарлинг пишет: «Не известно, есть ли какие-то другие
многогранники, в которых каждая пара вершин соединена ребром. Следующий
возможный многогранник такого типа должен был бы иметь 12 граней, 66 ребер, 44
вершины и 6 отверстий, но эта конфигурация кажется маловероятной, что,
впрочем, делает его еще более сложным представителем этого любопытного
семейства многогранников».
Мартин Гарднер отмечает широкую область применений многогранника
Часара: «Исследуя структуру этого хитроумного геометрического тела,
[можно обнаружить] замечательный изоморфизм между задачей о семицветной
карте на торе, «наименьшей конечной проективной плоскостью», решением
старой головоломки о тройках девушек, выбираемых из группы в 7 девушек,
решением задачи о турнире по бриджу между 8 командами и построением ма
гического квадрата нового типа, получившего название «квадрат Рума».
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Архимедовы полуправильные многогранники
(240 до н. э.), Эйлерова характеристика выпуклых многогранников (1751), Игра «Ико-
сиан» (1857), Теорема Пика (1899), Геодезический купол (1922), Теория Рамсея (1928/.
Многогранник Силаши (1977), Спидроны (1979), Поиски холиэдра (1999).
Многогранник Часара. Считается, что, за исключением тетраэдра, многогранник
Часара является единственным известным полиэдром, который не имеет диагоналей,
где диагональ определяется как линия, соединяющая любые две вершины, не связанные
между собой ребром этого многогранника.
394

Равновесие Нэша
ДжонНэш (р. 1928)
Американский математик Джон Нэш в 1994 г. получил Нобелевскую премию
по экономике. Работа, за которую он получил эту премию, появилась почти
полвека ранее в виде его изящной 27-страничной докторской диссертации,
которую он написал в возрасте 21 года.
В теории игр равновесие Нэша относится к игре с участием двух или более
игроков, где ни один игрок не может увеличить выигрыш, изменяя свою
стратегию игры в одностороннем порядке. Если каждый игрок выбрал стратегию
и ни один игрок не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, в то
время как стратегии других игроков остаются неизменными, то текущий на
бор стратегий является частью равновесия Нэша. В 1950 г. Нэш был первым,
кто в своей диссертации «Некооперативные игры» показал, что равновесия
Нэша для смешанных стратегий должны существовать для всех конечных игр
с любым числом игроков.
Теория игр сделала большой скачок вперед в 1920-х гг. благодаря работе
Джона фон Неймана, который достиг вершины творчества в своей книге
«Теория игр и экономическое поведение», написанной в соавторстве с Оскаром
Моргенштерном. Авторы сконцентрировали свое внимание на играх «с
нулевой суммой», в которых интересы двух игроков были строго
противоположными. Сегодня теория игр актуальна при изучении человеческих конфликтов
и проведении коммерческих переговоров, а также в изучении поведения
популяций животных.
Что касается самого Нэша, то в 1958 г. журнал Fortune отметил его
за достижения в теории игр, алгебраической геометрии и нелинейной
теории, назвав его самым блестящим из молодого поколения
математиков. Казалось, что ему уготовано достижение новых успехов, но
в 1959 г. он был помещен в психиатрическую лечебницу с диагнозом
«шизофрения». Он считал, что инопланетяне сделали его императором
Антарктиды и что обычная вещь, например, предложение в газетной
статье, может иметь скрытый смысл и очень важное значение. Нэш
однажды заметил: «Я не осмелился бы сказать, что существует прямая
связь между математикой и сумасшествием, но несомненно то, что ве-
[икие математики страдают от маниакального поведения, бреда и
симптомов шизофрении».
СМ. ТАКЖЕ Геке (1942), Стратегия игры в «Свинью» (1945), Дилемма заключенного
(1950), Парадокс Ньюкома (1960), Решение игры в шашки (2007)
СЛЕВА: лауреат Нобелевской премии Джон Нэш. Эта фотография была сделана в
2006 г. на симпозиуме по теории игр в Кёльнском университете в Германии.
СПРАВА: математический аппарат теории игр может применяться для моделирования
сценариев реального мира в широком диапазоне — от социальных наук до международны*
отношений и биологии. В ходе недавних исследований равновесие Нэша применялось для
моделирования поведения пчелиных роев, конкурирующих за жизненные ресурсы.

s
, ·'-'-
-4t
'"4
"7
4 ч: /
ι
V· .:■

О
Парадокс береговой линии
Льюис Фрай Ричардсон (1881-1953), Бенуа Мандельброт (р. 1924)
Если попытаться измерить длину береговой линии или границы двух стран,
то результат измерения будет зависеть от использованной меры длины. При
уменьшении меры длины измерение становится все более чувствительным к
изгибам границы и, в принципе, длина береговой линии будет стремиться к
бесконечности по мере стремления к нулю длины мерного отрезка.
Британский математик Льюис Ричардсон изучал это явление, когда пытался
установить зависимость между возникновением войн и протяженностью границы
раздела двух или более народов. (Он обнаружил, что число войн для данной
страны пропорционально числу стран, с которыми она граничит.)
Основываясь на работе Ричардсона, франко-американский математик Бенуа
Мандельброт сделал предположение, что соотношение между длиной мерного отрезка
(ε) и наблюдаемой общей длиной (L) береговой линии может быть выражено
через параметр D, который является фрактальной размерностью.
Оценить величину D можно на основе изучения связи между количеством
N мерных отрезков, укладывающихся в длине, и длиной мерного отрезка ε.
Для гладкой кривой, такой как круг, Ν(ε) = с/г, где с является константой. А
для такой фрактальной кривой, как береговая линия, это соотношение
принимает вид Ν(ε) = c/eD. Если мы умножим обе части формулы на ε, то длину
береговой линии можно выразить через длину мерного отрезка: Ζ,(ε) = ε/εΒ.
Параметр D соответствует чему-то вроде размерности в традиционном
понимании (линия является одномерной, плоскость — двумерной), за исключением
того, что D может принимать дробные значения. Поскольку береговая линия
имеет запутанную форму в различных масштабах, она слегка «заполняет»
плоскость, а ее размерность лежит между размерностями линии и плоскости.
Фрактальная структура кривой означает, что последовательное увеличение ее
графического изображения будет показывать все более тонкие уровни
детализации. Мандельброт дает значение D = 1,26 для береговой линии Британии.
Конечно, для объектов реального мира мы никогда не сможем использовать
бесконечно малый мерный отрезок, но этот «парадокс» показывает, как
природные объекты демонстрируют дробные размерности в интервале изменения
масштабов их измерения.
СМ. ТАКЖЕ Функция Вейерштрасса (1872), Снежинка Коха (1904), Размерность Хаус-
дорфа (1918), Фракталы (1975).
По мере использования мерных отрезков все меньшей и меньшей длины для измерения
длины береговой линии Англии, длина этой береговой линии оказывается стремящейся
к бесконечности. Этот «парадокс» показывает, как природные объекты
демонстрируют дробную размерность в интервале изменения масштабов их измерения.
398

s
ν
#
А Ч.
У. ν
/
*

О
Дилемма заключенного
Мелвин Дрешер (1911-1992), Меррил Микс Флад (р. 1908),
Альберт Такер (1905-1995)
Представьте себе ангела, имеющего дело с двумя заключенными. Каин с
Авелем подозреваются в том, что они незаконно забрались обратно в Эдемский
сад. Против каждого из них имеется недостаточно доказательств. Если ни
один из них не признается, то срок наказания в виде скитания обоих братьев
по пустыне составит всего лишь шесть месяцев. Если один брат признается,
то он выйдет на свободу, а другой будет обречен ползать по пустыне и глотать
пыль в течение тридцати лет. Если нее признаются оба брата — Каин и Авель,
то каждый будет приговорен к пяти годам скитаний. Каин и Авель отделены
друг от друга таким образом, чтобы они не могли общаться между собой. Что
должны делать Каин и Авель?
С одной стороны, решение их дилеммы кажется простым: если ни Каин, ни
Авель не признаются, то в конечном итоге они оба получат минимальное
наказание — скитаться по пустыне в течение шести месяцев. С другой стороны,
вполне возможно, что если Каин решит молчать, то у Авеля появится соблазн
сознаться и предать Каина в последнюю минуту, тем самым достигнув
наилучшего результата в виде собственной свободы.
Один из важных теоретико-игровых подходов показывает, что такой
сценарий приводит каждого подозреваемого к признанию, даже если при этом он
понесет более жесткое наказание, чем в случае стратегии совместного
молчания и отказа от признания вины. Дилемма Каина и Авеля исследует конфликт
между благом отдельного человека и благом группы людей.
Дилемма заключенного была впервые официально сформулирована в
1950 г. Мелвином Дрешером и Меррилом М. Фладом. Альберт Такер
исследовал дилемму, чтобы понять и проиллюстрировать сложность анализа игр с
ненулевой суммой, в которых победа одного игрока не обязательно ведет к
поражению другого. После работы Такера появилось множество литературы о
применении теории таких игр в различгых областях — начиная от философии
и биологии до социологии, политологии и экономики.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Аристотелево колесо (320 до н. э.), Санкт-
Петербургский парадокс (1738), Парадокс брадобрея (1901), Парадокс Банаха-Тарского
(1924), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925), Парадокс дней рождения (1939),
Стратегия игры в «Свинью» (1945), Равновесие Наша (1950), Парадокс Ньюкома (1960),
Парадокс Паррондо (1999).
Дилемма заключенного была впервые официально сформулирована в 1950 г. Мелвином
Дрешером и Меррилом М. Фладом. Дилемма помогает исследователям в демонстрации
сложности анализа игр с ненулевой суммой, в которой победа одного игрока не
обязательно приводит к поражению другого.

«
1

Клеточные автоматы
Джон фон Нейман (1903-1957), Станислав Мартин Улам (1909-1984),
Джон Хортон Конвей (1937)
Клеточные автоматы являются классом простых математических систем,
которые могут моделировать различные физические процессы со сложным
поведением. Клеточные автоматы применяются при моделировании
распространения видов растений, размножения животных наподобие усоногих
раков, колебаний химических реакций и распространения лесных пожаров.
Некоторые из классических клеточных автоматов состоят из решетки
ячеек, которые могут существовать в двух состояниях: занятости или
незанятости. Занятость клетки определяется из простого математического анализа
занятости соседних клеток. Математики определяют правила, устанавливают
игральную доску и дают возможность игре играть с самой собой на игровом
поле. Хотя правила, регулирующие создание клеточных автоматов просты,
создаваемые ими картины (или паттерны) являются очень сложными, а
иногда кажутся почти случайными, наподобие турбулентного потока жидкости
или выходных данных криптографической системы.
Первые работы в этой области были начаты Станиславом Уламом в 1940-х гг.,
когда он моделировал рост кристаллов с помощью простой решетки. Улам
предложил математику Джону фон Нейману использовать аналогичный
подход к моделированию самореплицирующихся систем, таких как роботы,
которые могли бы построить других роботов, и примерно в 1Θ52 г. фон Нейман
создал первый двумерный клеточный автомат с 29 состояниями на ячейку.
Нейман доказал математически, что для такой модели существует паттерн,
который будет бесконечно копировать самого себя в пределах данной
клеточной вселенной.
Самым известным из двумерных клеточных автоматов, обладающих
двумя состояниями на клетку, является игра «Жизнь», изобретенная Джоном
Конвеем и популяризированная Мартином Гарднером в журнале Scientific
American. Несмотря на простые правила этой игры, в ней генерируется
удивительное разнообразие поведений и форм в том числе так называемых глайде-
ров — сочетаний клеток, которые движутся по сетке как единое целое и даже
могут взаимодействовать для выполнения вычислений. В 2002 г. Стивен
Вольфрам опубликовал работу «Новый вид науки» (A New Kind of Science),
которая укрепила ту идею, что клеточные автоматы могут иметь важное
применение практически во всех областях науки.
СМ. ТАКЖЕ Машины Тьюринга (1936), Математическая гипотеза Вселенной (200"7).
Моллюск Conus textile, рисунок на раковине которого напоминает структуру
клеточных автоматов. Подобный рисунок возникает в результате активации и ингибирова
ния соседних пигментных клеток. Он напоминает изображение, создаваемое
одномерным клеточным автоматом, поведение которого задается так называемым
«Правилом 30».
402

■'».'»
^ ' ν

«Математические развлечения»
Мартина Гарднера
Мартин Гарднер (1914-2010)
«Быть может, ангел Господень обозрел бесконечное море хаоса,
а затем мягко коснулся его своим перстом. В этом крошечном
и недолговечном водовороте формул и возникла наша Вселенная».
Мартин Гарднер, «Порядок и неожиданности»
Автор книги «Способы победы в ваших математических играх» написал, что
Мартин Гарднер «принес больше математики нескольким миллионам
человек, чем кто-либо другой». Эйлин Джексон, заместитель главного редактора
журнала Американского математического общества, отметила, что Гарднер
«открыл глаза широкой публике на красоту и очарование математики и
многих вдохновил сделать этот предмет работой всей жизни». Действительно,
несколько известных понятий в математике впервые были представлены
вниманию мировой общественности в работе Гарднера раньше, чем они
появились в других изданиях.
Мартин Гарднер — американский писатель, который вел рубрику
математических игр и развлечений в журнале Scientific American в 1957—1981 гг. Он
также опубликовал более 65 книг. Гарднер учился в Университете Чикаго, где
получил степень бакалавра философии. Основную часть своего широкого
образования он получил от прочтения книг и из обширной переписки.
По мнению многих современных математиков, Гарднер является одним из
самых важных людей, которые воспитывали интерес к математике в США на
протяжении значительной части XX в. Дуглас Хофштадтер однажды назвал
Гарднера «одним из великих умов, родившихся в СШАв этом столетии». В
«Математических играх» Гарднера рассматривались флексатоны, игра Конвея «Жизнь»,
полимино, куб сома, игра «Геке», «Танграмы», мозаики Пенроуза,
криптография с открытым ключом, художественные работы М. К. Эшера и фракталы.
Первая статья Гарднера в журнале Scientific American на тему гексафлек-
сагонов появилась в декабре 1956 г. Джерри Пиль, издатель, спросил
Гарднера, имеется ли у него достаточное количество подобного материала, чтобы на
его основе создать регулярную журнальную рубрику. Гарднер ответил, что это
как раз совпадает с его задумками. В следующем выпуске журнала, в январе
1957 г., началась регулярная публикация рубрики Гарднера.
СМ. ТАКЖЕ Геке (1942), Клеточные автоматы (1952), Мозаика Пенроуза (1973),
Фракталы (1975), Криптография с открытым ключом (1977), Телесериал «4исла» (2005).
СЛЕВА: эмблема, использованная в 2008 г. на конференции Gathering for Gardner. Эта
конференция проводится раз в два года в честь Мартина Гарднера и призвана
содействовать распространению новых идей в популярной математике, магии,
головоломках, искусстве и философии. (Эмблема придумана Теей Крашек.)
СПРАВА: Мартин Гарднер перед шестью полками с собранием всех своих сочинений,
начиная с 1931 г. (Фотография была сделана в его доме в Оклахоме в марте 2006 г.)

; *
■:·■ ι
:; « is
1 U.:
»*ч
I ·!
.1
4
»

00
Гипотеза Гильбрайта
Норман Л. Гильбрайт (р. 1936)
В 1Θ58 г. американский математик и фокусник Норман Л. Гильбрайт что-то
настрочил на салфетке, а затем выдвинул интригующую гипотезу о простых
числах, состоящую в следующем. Выпишем в строку последовательность
простых чисел. Затем выпишем последовательность разностей этих чисел, затем
последовательность разностей чисел из второй строки (без учета знака минус)
и т. д.:
31,...
,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
1,
ι.
2,
D,
2,
2,
2,
2,
2,
2,
0,
> - ■
5,
2,
2,
0,
0,
0,
о,
о.
2,
. . .
7,
4,
2,
0,
0,
0,
о,
2,
. . .
11,
2,
2,
0,
0,
о.
2,-
. . .
13,
4,
2,
0,
0,
2,.
. .
17,
2,
2,
0,
2,.
. .
19,
4,
2,
2,.
. .
23,
6,
4,.
. .
29,
2,.
. .
Гипотеза Гильбрайта заключается в том, что, начиная со второй строки,
первое число в каждой строке всегда равно единице. Никто не нашел ни одного
исключения, несмотря на то что поиски велись до нескольких сотен
миллиардов строк. Математик Ричард Ги однажды написал, что «получить
доказательство гипотезы Гильбрайта в ближайшем будущем маловероятно, хотя она, по
всей вероятности, верна». Математики не уверены, существенно ли для
данной гипотезы наличие именно простых чисел, или же она справедлива для лю -
бой последовательности, которая начинается с 2 и состоит из нечетных чисел,
которые возрастают с достаточной скоростью.
Хотя гипотеза Гильбрайта исторически не столь значима, как многие
другие факты, изложенные в этой книге, она является прекрасным примером
задач со столь простой формулировкой, что она понятна даже
математикам-любителям. Однако для ее решения профессиональным математикам могут
потребоваться столетия. Быть может, мы получим доказательство этой гипотезы
тогда, когда человечество лучше поймет распределение промежутков между
простыми числами.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до
н. э.)> Проблема Гольдбаха (1742), Построение правильного семнадцатиугольника (1796),
«Арифметические исследования» Гаусса (1801), Гипотеза Римана (1859), Доказательство
теоремы о распределении простых чисел (1896), Константа Бруна (1919), Скатерть Улама
(1963), Гипотеза Андрики (1985).
Норман Гильбрайт, фотография 2007 г., когда он работал в Кембриджском
университете. Крупный специалист по теории чисел Пал Эрдёш сказал, что, по его мнению
гипотеза Гильбрайта верна, но для ее доказательства может потребоваться лет 200.
406

Как вывернуть сферу наизнанку?
Стив Смейл (р. 1930), Бернар Морен (р. 1931)
На протяжении многих лет топологи знали, что теоретически возможно
вывернуть сферу наизнанку, но не имели ни малейшего представления, как это
сделать. Когда для исследований стала доступна компьютерная графика,
математик и специалист по компьютерной графике Нельсон Макс в 1977 г.
создал мультфильм «Выворачивание сферы наизнанку», который был основан
на работе слепого французского тополога Бернара Морена 1967 г.
Мультипликационный фильм посвящен тому, как можно осуществить
выворачивание путем пропускания поверхности сферы через саму себя без каких-либо
отверстий или складок. Математики считали, что проблема является
неразрешимой, вплоть до примерно 1958 г., когда американским математиком
Стивеном Смейлом было доказано обратное. Тем не менее никто не мог четко
визуализировать такое движение без графики.
Когда мы обсуждаем выворачивание сферы, мы не говорим о том, как
вывернуть наизнанку спущенный мяч через его надувное отверстие, чтобы затем
надуть его снова. Наоборот, мы имеем в виду сферу, в которой нет отверстия.
Математики пытаются наглядно представить себе сферу, сделанную из тонкой
пленки, которую можно растянуть и далее пропустить через себя без разрывов,
изломов и складок. Задача избежать таких изломов и складок делает
математическое выворачивание сферы наизнанку весьма затруднительным.
В конце 1990-х гг. математики сделали еще один шаг вперед и обнаружили
геометрически оптимальный путь — такой, который
минимизирует энергию, необходимую для изгиба поверхности сферы в
ходе ее трансформации. Такой оптимальный способ
выворачивания сферы наизнанку в настоящее время продемонстрирован
в одном из самых популярных цветных фильмов, созданных с
помощью компьютерной графики, под названием Optiverse.
Однако мы не можем использовать принципы, изложенные в этом
фильме, чтобы вывернуть реальный герметично закрытый
воздушный шар наизнанку. Реальные мячи и воздушные шары не
изготовляют из такого материала, который можно пропускать
сквозь самого себя, поэтому такие реальные объекты нельзя
вывернуть наизнанку без протыкания в них отверстия.
СМ. ТАКЖЕ Лента Мёбиуса (1858), Бутылка Клейна Q882),
Поверхность Боя (1901).
СЛЕВА: современные математики точно знают, как вывернуть сферу наизнанку. Тем
не менее на протяжении многих лет топологи не могли показать, как осуществить
эту непростую геометрическую задачу. СПРАВА: физическая модель Карло Г. Секена,
демонстрирующая одну из математических стадий процесса выворачивания сферы
наизнанку. (В начале процесса сфера была зеленой снаружи и красной внутри.)

ν
.
·'· ri

00
Бильярд в Платоновых телах
Льюис Кэрролл (1832-1898), Гуго Штейнгауз (1887-1972),
Мэтью Хадельсон (р. 1962)
Вопрос бильярда в Платоновых телах занимал математиков в течение более
чем столетие, но полного решения этой задачи пришлось ждать почти
пятьдесят лет после того, как она была решена для случая куба. Представьте себе
бильярдный шар, отскакивающий от внутренних стенок куба. Трением и
гравитацией в теоретической дискуссии можно пренебречь. Можем ли мы най
ти такую траекторию шара, чтобы он возвращался в исходную точку после
того, как отскочит от каждой стенки куба по одному разу? Проблема была
изначально сформулирована английским писателем и математиком Льюисом
Кэрроллом (1832-1898).
В 1Θ58 г. польский математик Гуго Штейнгауз опубликовал решение, в
котором показал, что такие траектории существуют для кубов, а в 1Θ62 г.
математики Джон Конвей и Роджер Хейворд обнаружили схожие траектории
внутри правильного тетраэдра. Все отрезки траектории между стенками имеют
одинаковую длину как для случая куба, так и для случая тетраэдра.
Теоретически шар будет отскакивать от стенок и двигаться по этой траектории вечно.
Тем не менее никто не был уверен, существуют ли такие виды траекторий и
для других Платоновых тел.
Наконец, в 1997 г. американский математик Мэтью Хадельсон показал
любопытные траектории для бильярдного шара, отскакивающего от стенок
внутри Платоновых тел: восьмигранного октаэдра, 12-гранного додекаэдра,
и 20-гранного икосаэдра. Бильярдный шар, двигающийся по траекториям,
найденным Хадельсоном, отскакивает от внутренней стенки каждой грани
и наконец возвращается в исходную точку, чтобы снова начать движение по
этим траекториям. В своей работе Хадельсон воспользовался компьютером,
который помог ему в проведении исследований. Данная задача была
особенно трудной, учитывая большое количество возможных траекторий, которые
требовалось исследовать для додекаэдра и икосаэдра. Чтобы улучшить
интуитивное восприятие задачи для таких многогранников, Хадельсон написал
программу, генерирующую более 100 000 случайных начальных траекторий, а
затем исследовал те из них, которые проходили через все 12 граней додекаэдра и
через все 20 граней икосаэдра.
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Внешние бильярды (1959).
Математики обнаружили такие траектории, двигаясь по которыми внутри пяти
Платоновых тел бильярдный шар будет возвращаться в исходную точку. Например,
существует такая замкнутая траектория «отскакивающего шара», двигаясь по
которой шар ударяется о каждую внутреннюю стенку 20-гранного икосаэдра, показанного
здесь на рисунке Тейи Крашек.
410

.
\
V.

Внешние бильярды
Бернхард Герман Нейман (1909-2002), Юрген Мозер (1928-1999),
Рихард Эван Шварц (р. 1966)
Концепция внешних бильярдов (ВБ) была разработана в 1950-х гг.
британским математиком немецкого происхождения Бернхардом Нейманом.
Американский математик немецкого происхождения Юрген Мозер в 1970-х гг.
популярно изложил теорию ВБ как упрощенную модель движения планет.
Для эксперимента с ВБ нарисуем многоугольник. Поместим точку х0 вне этого
многоугольника. Будем рассматривать эту точку в качестве отправной точки
бильярдного шара. Шар движется по прямой линии и, коснувшись одной из
вершин многоугольника, продолжает двигаться в новую точку xt такую, что
эта вершина оказывается серединой отрезка от jc0 до xt. Двигаясь по часовой
стрелке, будем продолжать эту процедуру со всеми следующими вершинами.
Нейман задался вопросом, может ли такая траектория, или орбита, вокруг
выпуклого многоугольника быть неограниченной с тем, чтобы в итоге шар
удалился в бесконечность? Для правильных многоугольников все траектории
будут ограничены, и шар не будет удаляться все дальше и дальше от
многоугольника. Если вершины многоугольников имеют рациональные
координаты (например, они могут быть выражены в виде дробей), то траектории будут
ограниченными и периодическими, и в конце концов будут возвращаться в
исходные точки.
И наконец, в 2007 г. Рихард Шварц из Брауновского университета показал,
что внешний бильярд Неймана может привести к получению неограниченной
траектории на евклидовой плоскости, продемонстрировав это для
четырехугольника, называемого воздушным змеем Пенроуза, который используется в
мозаике Пенроуза. Шварц также обнаружил три большие восьмиугольные
области, внутри которых траектории периодически перепрыгивают из одной
области в другую. Другие области имеют траектории, сходящиеся к множеству
точек, из которых, в свою очередь, исходят неограниченные траектории. Как
и другие современные доказательства в математике, доказательство Шварца
было проведено с помощью компьютера. Что касается Неймана, то он получил
докторскую степень в Берлинском университете в 1932 г. Когда Гитлер
пришел к власти в 1933 г., Нейман понял, насколько опасно быть евреем, и бежал
в Амстердам, а затем в Кембридж.
СМ ТАКЖЕ Бильярд в Платоновых телах (1958), Мозаика Пенроуза (1973).
Рихард Шварц показывает, что динамика внешнего бильярда вокруг «воздушного змея»
Пенроуза (оранжевый центральный многоугольник) может быть наглядно
представлена в виде замысловатого орнамента плиток различных цветов. Цвета различных
многоугольных областей дают указание на то, как ведут себя траектории с началом
в этих областях.

>Αν »Ал8и£ A
' %* .A>
?0p ж. У
f"
W*W*W*V
л АЖ«А
% ^Т >
Ж А^
▼л?
аАЛ
Τ чжжу
ОТДО
1 ν
'*!■>!■> ^
«tj »?**
At4
Жа ж У
^ VA* ί
~A Al
A**'» A^^A
w* ж. a^
^ ^№> Av «t At
? ι у >
*Ж1^
w
«r
"**A It
♦4
1
A
(\\ *
*2τΑν r
'•ЖТ1·
4 A >"
Γ V
V »i
A
J
V
V
A
ι!» »
A
A
A
ν
v·
A a
t >
AtArAT**
.у *жс* ч.
4
>
E12)
>WA7A
*tj
у <5U^ 4.
^ ψ V
Γ *· * w Ί
А Ж» А Ж У
▼Λ? *&►▼·
αΑΛ Λ*Α
A " * .A.
1
fi. V/
A ajfe AW
«tAtik α
f ȴ >
"a a5; »-
Τ
•
*
tv
Α«Λ
г V
'«SSCTBi
ΑΤΑΤΑ74
*έ >i5W^
4/
л
I:
АШЯШЦ
ч
к

ON
О
Парадокс Ньюкома
Уильям А. Ньюком (1927-1999), Роберт Нозик (1938-2002)
Перед вами стоят два закрытых сундука или коробки с надписями «Сундук
1» и «Сундук 2». Ангел объясняет, что в сундуке 1 находится золотой кубок
стоимостью $ 1000. В сундуке 2 находится либо паук, который ничего не
стоит, либо картина «Мона Лиза» стоимостью в миллион долларов. У вас есть
выбор: либо взять то, что в обоих сундуках, либо взять только то, что в
сундуке 2.
Теперь ангел усложняет ваш выбор. «Мы сделали прогноз о том, каково
будет ваше решение. Мы почти уверены в правильности прогноза. Когда мы
ожидаем, что вы выберете оба сундука, мы кладем в сундук 2 только
никчемного паука. Когда мы ожидаем, что вы выберете только сундук 2, мы кладем
внутрь картину «Мона Лиза». В сундуке 1 всегда лежит тысяча долларов,
независимо от того, какой выбор мы от вас ожидаем».
Сначала вы думаете, что должны выбрать только сундук 2. Ангелы
отличные прорицатели, и, следовательно, вы получите картину «Мона Лиза». Если
взять оба сундука, то весьма вероятно, что ангел предвидел ваш выбор и в
сундук 2 положил только паука. Вы получите только кубок стоимостью $ 1000 и
паука.
Но теперь ангел опять запутывает вас. «Сорок дней назад мы сделали
прогноз о том, каков мог бы быть ваш выбор. Мы уже положили в сундук 2 либо
«Мону Лизу», либо паука, но что именно — мы вам не скажем».
Теперь вы думаете, что вам следует выбрать оба сундука и получить тем
самым все, что можно. Вам кажется глупым выбрать только сундук 2, потому
что если вы это сделаете, то не сможете получить больше, чем «Мону Лизу».
Зачем отказываться от тысячи долларов?
В этом суть парадокса Ньюкома, сформулированного в I960 г. физиком
Уильямом А. Ньюкомом. Эта загадка была дополнительно разъяснена
философом Робертом Нозиком в 1Θ6Θ г. Эксперты до сих пор ломают голову над этой
дилеммой и не пришли к единому мнению, какая же стратегия является
наилучшей.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.)> Аристотелево колесо (320 до н. э.)> Санкт-
Петербургский парадокс (1738), Парадокс брадобрея (1901), Парадокс Банаха-Тарского
(1924), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925), Дилемма заключенного (1950),
Парадокс Паррондо (1999).
Парадокс Ньюкома был сформулирован в 1960 г. физиком Уильямом Ньюкомом.
Возьмете ли вы оба сундука, зная, что ангелы являются сверхинтеллектуальными
предсказателями и почти никогда не ошибаются?

ON
О
Числа Серпинского
Вацлав Серпинский (1882-1969)
Математик Дон Цагир пишет, что «нет никакой видимой причины, почему
одно число является простым, а другое — нет. Напротив, при взгляде на эти
числа можно ощутить присутствие одной из необъяснимых тайн творения».
В I960 г. польский математик Вацлав Серпинский доказал, что существует
бесконечно много нечетных целых чисел к, называемых числами
Серпинского, таких, что к χ 2" + 1 никогда не будет простым числом ни для какого
натурального п. Иварс Петерсон пишет: «Это странный результат. Нет никаких
очевидных причин, почему именно эти выражения никогда не будут давать
простые числа». На основе этого результата была поставлена проблема
Серпинского: отыскать наименьшее число Серпинского.
В 1Θ62 г. американский математик Джон Селфридж обнаружил
наименьшее из известных чисел Серпинского, к = 78 557. В частности, он доказал, что
при к = 78 557 все числа вида к χ 2" + 1 делятся на одно из следующих чисел:
3, 5, 7,13, 19, 37 или 73.
В 1967 г. Серпинский и Селфридж предположили, что 78 557 является
самым маленьким числом Серпинского и, таким образом, оно является
решением проблемы Серпинского. На сегодняшний день математикам интересно,
найдется ли когда-нибудь еще меньшее число Серпинского. Если бы мы
смогли просканировать все значения к < 78557 и найти соответствующее простое
число для каждого из них, то мы смогли бы знать это наверняка. По состоянию
на декабрь 2013 г. оставалось всего шесть чисел-кандидатов, которые не были
исключены как возможные наименьшие числа Серпинского. В ходе проекта
распределенных вычислений под называнием Seventeen or Bust выполняется
проверка этих оставшихся чисел. Например, в октябре 2007 г. было
доказано, что 33 661 χ 27031232 + 1 является простым 2116617 значным числом, тем
самым к = 33 661 было исключено из числа возможных кандидатов в числа
Серпинского. Если математики смогут найти простое число надлежащего вида
для всех оставшихся к, то будет решена проблема Серпинского, и завершен
почти 50-летний период поисков.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до в. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), Построение правильного семнадцатиугольника (1796),
«Арифметические исследования» Гаусса (1801), Доказательство теоремы о распределении
простых чисел (1896), Константа Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта (1958), Скатерть Ула-
ма (1963), Эрдёш и его опыт математического сотрудничества (1971), Гипотеза Андрики
(1985).
Логотип проекта распределенных вычислений Seventeen or Bust, посвященного
определению того, является ли 78 557 наименьшим числом Серпинского. В течение многих
лет в этом проекте были задействованы вычислительные мощности сотен
компьютеров по всему миру, совместно работавших над решением этой проблемы.
416

' -а к.

ОТ
Хаос и эффект бабочки
Жак Соломон Адамар (1865-1963), Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912),
Эдвард Нортон Лоренц (1917-2008)
Для древних людей хаос представлялся в виде неизвестного мира духов —
угрожающего, кошмарного видения, которое отражало страх человека перед
неуправляемым и вызывало необходимость придания формы и структуры его
страхам. Сегодня теория хаоса является захватывающей, развивающейся
областью, которая включает в себя изучение широкого набора явлений,
характеризующихся повышенной зависимостью от начальных условий. Хотя
хаотическое поведение порой кажется «случайным» и непредсказуемым, оно часто
подчиняется строгим правилам, описываемым математическими
уравнениями, которые могут быть сформулированы и изучены. Одним из важных
инструментов исследований, помогающим в изучении хаоса, является
компьютерная графика. Как правило, хаотическое поведение является нерегулярным
и беспорядочным, начиная от хаотически движущихся игрушек с мигающими
огнями до клубов и колец сигаретного дыма; другие примеры включают в себя
погоду, некоторые виды заболеваний нервной системы и сердца, ситуацию на
фондовом рынке и некоторые электронные компьютерные сети. Теорию хаоса
также часто применяют во множестве областей визуального искусства.
В науке существуют некоторые известные и яркие примеры хаотических
физических систем, таких как тепловая конвекция в жидкостях, явление
флаттера у сверхзвуковых самолетов, флуктуации химических реакций,
динамика жидкостей, рост численности населения, столкновения частиц с
периодически вибрирующими стенками, движения различных маятников и
роторов, нелинейные электрические цепи и неустойчивые пучки.
Истоки теории хаоса относятся примерно к 1900 г., когда такие
математики, как Жак Адамар и Анри Пуанкаре, изучали сложные траектории
движущихся тел. В начале 1960-х гг. Эдвард Лоренц, метеоролог-исследователь Мас-
сачусетского технологического института, использовал систему уравнении
для моделирования конвекции в атмосфере. Несмотря на простоту своих
формул, он быстро нашел один из признаков хаоса — весьма небольшие изменения
начальных условий приводят к непредсказуемым и различным результатам.
В своей статье 1963 г. Лоренц объяснил, что взмах крыльев бабочки в одной
точке земного шара в дальнейшем может повлиять на погоду за тысячи
километров от нее. Сегодня мы называем такого рода чувствительность эффектом
бабочки.
СМ. ТАКЖЕ Теория катастроф (1Θ68), Константа Фейгенбаума (1975), Фракталы (1975),
Аттрактор Икеды (1979).
Хаотический математический узор, созданный Роджером А. Джонстоном.
Хотя хаотическое поведение может показаться «случайным» и непредсказуемым, оно
часто подчиняется математическим правилам, вытекающим из уравнений, которые
можно исследовать. Очень маленькие изменения начальных условий могут привести к
совершенно различным результатам.
418

ON
Скатерть Улама
Станислав Мартин Упам (1909-1984)
В 1Θ63 г., машинально водя ручкой по бумаге во время скучного доклада,
американский математик польского происхождения Станислав Улам
случайно начертил замечательную спираль, в которой можно заметить узоры,
образуемые простыми числами. (Простым называется число, большее 1,
например 5 или 13, которое делится только само на себя и на 1.) Начиная с 1 в
центре спирали, разворачивающейся против часовой стрелки, Улам записал
последовательные натуральные числа. Затем он обвел кружками все простые
числа. По мере того как спираль увеличивалась в размерах, он заметил, что
простые числа, как правило, выстраиваются вдоль диагональных прямых.
Как позже более наглядно было показано с помощью компьютерной
графики, существуют и простые диагональные структуры, образованные
чередующимися диагоналями, состоящими только из четных или только из нечетных
чисел. Интересно, что на некоторых диагоналях, как правило, лежит больше
простых чисел, чем на других. Возможно, большую важность, чем открытие
Уламом узоров, имеет тот факт, что его метод простого наглядного
представления узора из простых чисел показал возможность использования компьютера
в качестве своего рода микроскопа, позволяющего математикам
визуализировать структуры, которые могут привести к появлению новых теорем. Этот вид
исследований в начале 1960-х гг. постепенно привел к взрыву в
экспериментальной математике к концу XX в.
Мартин Гарднер пишет: «Спиральные сетки Улама добавили немного
фантазии к рассуждениям о загадочном сочетании порядка и случайности в
распределении простых чисел... Не следует всерьез воспринимать машинальные
наброски Улама, которые можно отнести к спорным вопросам в математике.
Именно Улам сделал предположение, которое привело его и Эдварда Теллера к
«идее», сделавшей возможным создание первой термоядерной бомбы».
Помимо вклада в развитие математики и работы над Манхэттенским
проектом по разработке первого ядерного оружия во время Второй мировой войны,
Улам также известен благодаря своей работе по системам двигателей
космических аппаратов. Он бежал со своим братом из Польши накануне Второй
мировой войны, но остальные члены его семьи погибли во время Холокоста.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), «Арифметические исследования» Гаусса (1801), Гипотеза
Римана (1859), Доказательство теоремы о распределении простых чисел (1896), Теорема
Джонсона (1916), Константа Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта (1958), Числа Серпинско-
го (1960), Эрдёш и его опыт математического сотрудничества (1971), Криптография с
открытым ключом (1977), Гипотеза Андрики (1985).
Скатерть Улама на поле из 200 χ 200 целых чисел. Несколько моделей диагональных
узоров выделены желтым цветом. Простая графическая интерпретация Улама
демонстрирует использование компьютера в качестве своего рода микроскопа, позволяющего
математикам визуализировать структуры, которые могут привести к новым
теоремам.
420

/
ν
ι -Λ,
•У .· -У
'

ON
Неразрешимость континуум-
гипотезы
Георг Кантор (1845-1918), Пол Джозеф Коэн (1934-2007)
В статье о трансфинитных числах Кантора мы обсуждали наименьшее
трансфинитное число, называемое алеф-нуль, К0, которое используется для
«подсчета» количества целых чисел. Хотя бесконечными являются и множество
целых чисел, и множество рациональных чисел (чисел, которые могут быть
выражены в виде дробей), а также множество иррациональных чисел
(например квадратный корень из двух), бесконечное количество иррациональных
чисел в некотором смысле больше, чем бесконечное количество
рациональных и целых чисел. В этом же смысле количество вещественных чисел
(которые включают в себя рациональные и иррациональные числа) превышает
количество целых чисел.
Для обозначения этой разницы математики используют символы: Х0 - для
«количества» рациональных чисел или целых чисел и С — для «количества»
иррациональных или вещественных чисел. Существует простое соотношение
между С и Х0, а именно С — 2 °. Здесь С — мощность множества вещественных
чисел, которое иногда называют континуум.
Математики также рассматривают еще большие бесконечности,
символически обозначаемые Νχ, К2 и т. д. Здесь символ Кх теории множеств обозначает
мощность наименьшего бесконечного множества, которое больше, чем
множество мощности Х0, и так далее. Континуум-гипотеза Кантора утверждает, что
С = КХ =2 °; однако вопрос, действительно ли С равно Κχ, считается
неразрешимым в нашей современной теории множеств. Другими словами, такие
великие математики, как Курт Гёдель, доказали, что эта гипотеза не противоречит
стандартным аксиомам теории множеств. Однако в 1Θ63 г. американский
математик Пол Коэн доказал, что утверждение о ложности
континуум-гипотезы также не противоречит существующим аксиомам! Коэн родился в городке
Лонг-Бренч штата Нью-Джерси, в еврейской семье, и в 1950 г. окончил
среднюю школу Стуивзант в Нью-Йорке.
Интересно, что количество рациональных чисел равно количеству целых
чисел, а количество иррациональных чисел равно количеству вещественных
чисел. (При обсуждении понятия «количества» чисел бесконечного
множества математики обычно используют понятие мощности.)
СМ. ТАКЖЕ Аристотелево колесо (320 до н. э.), Трансфинитные числа Кантора (1874),
Теорема Гёделя о неполноте (1931).
Различные бесконечные величины, которые трудно представить себе в уме, можно
исследовать с помощью компьютерной графики, как на этом изображении рациональных
чисел Гаусса. На этом рисунке положение сферы отвечает комплексной дроби p/q.
Сферы касаются комплексной плоскости в точке p/q и имеют радиус равный l/(2qq\.
422

л .

ON
«Суперяйцо» Пита Хейна
Пит Хейн (1905-1996)
Примерно в 1Θ65 г. датский ученый, коне руктор и изобретатель Пит Хейн
создал «суперяйцо», или суперэллипсоид, как объект красоты и обаяния,
поскольку оно могло стоять на обоих концах с поразительной устойчивостью.
Трехмерная форма суперяйца является фигурой вращения суперэллипса,
задаваемого формулой \х/а\ ' +|ί//&| ' =1 Для а/Ь = 4/3, вокруг оси х. В общем
случае уравнение суперэллипсоида имеет вид \\х\ +\у\ I +|2| ~^ ' где а
и b больше нуля.
Фигуры в виде суперяйца Хейна, изготовленные из различных материалов,
были популярны в качестве игрушек и сувениров в 1960-х гг. В наши дни
дизайн суперяйца используется повсеместно. Суперяйца используются в
качестве свечных канделябров, в дизайне фурнитуры, а также в качестве
заполненных жидкостью контейнеров из нержавеющей стали, применяемых для
охлаждения различных коктейлей и напитков, которые бросают в бокалы с
напитками. Впервые суперяйцо Хейна «встало на ноги» в 1965 г., когда фирма
Skjode из города Скьерн в Дании начала выпуск и продажу таких суперяиц.
В 1971 г. самое большое в мире суперяйцо, изготовленное из металла и весом
почти в одну тонну, было поставлено перед Кельвин-Холлом в г. Глазго.
Задолго до Хейна французский математик Габриель Ламе (1795—1870)
работал с более общими формами суперэллипса, но Хейн был первым, кто создал
суперяйцо и прославился популяризацией своих собственных версий
суперяйца в архитектуре, мебели и даже в городском ландшафте.
Суперэллипс также использовался в качестве формы для транспортной
развязки на площади в Стокгольме, в Швеции. Форма эллипса не подходила для
этой цели, потому что заостренные концы эллипса мешали бы
беспрепятственному потоку автомобилей в пространстве, приближенном к прямоугольнику, и
в 1959 г. к Хейну обратились с просьбой высказать свое мнение по этому
поводу. Мартин Гарднер писал об окружной автодороге вокруг Стокгольма:
«Кривые Хейна оказались до странности удобными, они ни слишком округлые, ни
слишком прямоугольные, являясь гармоничным сочетанием эллиптической
и прямоугольной красоты. Стокгольм сразу же воспринял суперэллипсы со
степенью 2,5 [у которых а/Ь = 6/5] в качестве основного мотива планировки
нового центра города...»
СМ. ТАКЖЕ Астроида (1674).
«Суперяйцо» Пита Хейна, стоящее напротив рва с водой, окружающего замок Эгесков
на острове Фюн в окрестностях города Квендрупа в Дании. Замок, построенный в
середине 1550-х гг., является одним из наиболее хорошо сохранившихся «замков на воде»
эпохи Ренессанса. Первоначально попасть в замок молено было только через подъемный
мост.
424

f

Нечеткая логика
ЛотфиЗаде(р. 1921)
Классическая двузначная логика связана с условиями, которые являются
либо истинными, либо ложными. Нечеткая логика (НЛ), которая позволяет
получать непрерывный диапазон истинностных значений, была введена
математиком и ученым Лотфи Заде, родившимся в Азербайджане, выросшем в
Иране и переехавшим в Соединенные Штаты в 1Θ44 г. НЛ имеет широкий
спектр практического применения и была выведена из теории нечетких
множеств, в которой каждый элемент имеет степень принадлежности данному
множеству. Заде опубликовал свою новаторскую математическую работу по
теории нечетких множеств в 1Θ65 г., а в 1Θ73 г. детально разработал НЛ.
В качестве примера рассмотрим систему контроля температуры некоторого
устройства. Функция принадлежности множеству может существовать для
таких понятий, как «холодный», «теплый» и «горячий». Одно измерение может
давать три значения, например, «не холодный», «немного теплый» и
«немного горячий», которые могут быть использованы для управления этим
устройством. Заде считал, что если контроллеры с обратной связью можно было бы
запрограммировать так, чтобы они могли использовать неточные, зашумлен-
ные входные сигналы, то они могли бы быть более эффективными и более
легкими в реализации. В некотором смысле, этот подход похож на то, как люди
часто принимают решения.
Начинать разработку методологии НЛ было не просто, и Заде даже было
трудно найти технический журнал, который принял бы к печати его статью
1Θ65 г., возможно потому, что ученые сопротивлялись появлению
«неопределенности» в инженерных науках. Кадзуо Танака пишет: «Поворотный момент
для нечеткой логики настал в 1974 г. [когда] Эбрахам Мамдани из
Лондонского университета применил нечеткую логику... для управления простой
паровой машиной...». В 1Θ80 г. НЛ была использована для управления печами для
обжига цемента. Различные японские компании использовали НЛ для
управления процессами очистки воды и в системах управления железнодорожными
поездами. С той поры НЛ также используется для управления
сталелитейными заводами, фотокамерами с автофокусировкой, стиральными машинами,
процессами брожения, автомобильными двигателями, антиблокировочной
тормозной системой, системами проявления цветной кино- и фотопленки,
обработкой стекла, в компьютерных программах для биржевых торгов и
системах, используемых для распознавания письменной и устной речи.
СМ. ТАКЖЕ «Органон» Аристотеля (350 до н. э.), Булева алгебра (1854), Диаграммы
Веяна (1880), «Основания математики» (1910—1913), Теорема Гёделя о неполноте (1931).
Нечеткая логика была использована в разработке автоматических стиральных
машин. Например, патент США № 5897672, полученный в 1999 г., описывает
использование нечеткой логики для определения относительной доли различных типов ткани в
одежде, загружаемой в стиральную машину.
426

λ
ч

ON
ON
Головоломка «Мгновенное
умопомешательство»
Франк Армбрустер (р. 1929)
В детстве я никогда не мог собрать головоломку из кубиков под названием
«Мгновенное умопомешательство» (Instant Insanity). Я не должен был
сильно расстраиваться, потому что существует 41472 различных способа для
укладки этих четырех кубиков в ряд, и только 2 из них являются решением
задачи. Методом проб и ошибок собрать кубики невозможно никогда.
Головоломка выглядит обманчиво просто и состоит из четырех кубиков, у
которых каждая из шести граней раскрашена в один из четырех цветов.
Раскраска каждого кубика индивидуальна. Цель состоит в том, чтобы выстроить
эти четыре кубика в ряд так, чтобы каждая сторона ряда оказалась
окрашенной только в один цвет. Поскольку у каждого кубика имеется 24 возможных
ориентации, существует максимум 4! χ 244 = 7962624 конфигураций. Одна
ко это количество можно уменьшить до 41472, потому что кубики могут быть
уложены в любом порядке, при этом конечный результат не зависит от
порядка расположения самих кубиков.
Чтобы понять эффективные способы решения этой головоломки,
математики представили задачу в виде графа, вершинами которого являются 4
цвета граней кубиков. При таком подходе каждый кубик представлен графом, в
котором вершины, соответствующие цветам противоположных граней,
соединены ребром. По словам журналиста Ивара Петерсона, «тот, кто знаком с
теорией графов, как правило, может найти решение в течение считанных минут.
Эта головоломка служит изящным уроком в логическом мышлении».
Популярность головоломки «Мгновенное умопомешательство» резко возросла
после того, как консультант по образовательной части Франк Армбрустер передал
лицензию своей версии головоломки фирме Parker Brothers, которая продала
более 12 млн наборов кубиков в конце 1960-х гг. Аналогичная головоломка из
цветных кубиков была популярна примерно в 1900 г. и называлась Great Tantalizer.
Армбрустер написал мне: «Когда в 1965 г. мне дали образец головоломки Great
Tantalizer, я увидел возможность ее применения в образовательных целях. Мой
первый образец был сделан из дерева с раскрашенными гранями. Следующий
вариант этой головоломки был выполнен из пластика и упакован в коробку в
ссложенном виде. Когда я продавал его, один из покупателей предложил то
название, которое я зарегистрировал в качестве торговой марки. Затем фирма Parker
Brothers сделала мне предложение, от которого я не смог отказаться».
СМ. ТАКЖЕ «Теория игры в меледу» Луи Гро (1872), Пятнашки (1874), Ханойская
башня (1883), Геке (1Θ42), Кубик Рубика (1974).
Франк Армбрустер, держащий свою знаменитую головоломку «Мгновенное
умопомешательство». Чтобы расположить все четыре кубика в ряд, имеется 41472 различных
способа, и только два из них являются решением головоломки. В конце 1960-х гг. было
продано более 12 миллионов комплектов головоломки «Мгновенное
умопомешательство» (Instant Insanity).
428

Программа Ленглендса
Роберт Филэн Ленглендс (р. 1936)
В 1967 г. Роберт Ленглендс, 30-летний профессор математики Принстонско-
ю университета, написал письмо знаменитому специалисту по теории чисел
Андре Вейлю (1906—1998) с просьбой высказать свое мнение по некоторым
новым математическим идеям. «Бели Вы готовы прочесть [мое письмо] и
рассмотреть изложенное в нем всего лишь как предположение, я был бы вам
очень благодарен за это. Если нет — я уверен, у Вас есть корзинка для бумаг».
Как писал в журнале Science Дана Маккензи, Вейль никогда не отвечал на
письма, но письмо Ленглендса оказалось «розеттским камнем»,
связывающим два различных раздела математики. В частности, Ленглендс утверждал,
что существует эквивалентность между представлениями Галуа (которые
описывают связи между решениями уравнений, изучаемых в теории чисел)
и автоморфными формами (обобщениями периодических функций — таких
как, например, функция косинуса).
Программа Ленглендса оказалась настолько плодотворной темой, что
позволила получить другим математикам две Филдсовские премии. Гипотезы
Ленглендса возникли, в частности, из попыток найти обобщения
закономерностей, которым подчиняются разбиения целых чисел в сумму произведений
других целых чисел.
Как написано в книге «Дневник Ферма», программу Ленглендса можно
рассматривать как большую единую теорию математики, согласно которой
«математика алгебры, занимающейся исследованием уравнений, и
математика анализа, занимающегося изучением гладких кривых и непрерывных
изменений, тесно связаны между собой». Гипотезы в программе Ленглендса
«по своей красоте подобны архитектуре собора, поскольку они демонстрируют
такое нее элегантное соответствие различных элементов друг другу». Тем не
менее эти гипотезы очень трудно доказать, и некоторые математики считают,
что для завершения программы Ленглендса могут потребоваться столетия.
Математик Стефан Гельбарт пишет: «Программа Ленглендса является
синтезом несколько важных тем в классической теории чисел. Кроме того, и, что
более существенно, она является программой для будущих исследований. Эта
программа возникла примерно в 1967 г. в виде серии гипотез, и в
последующем она повлияла на исследования в теории чисел во многом точно таким же
образом, как и гипотезы А. Вейля, под влиянием которых, начиная с 1948 г.,
сформировался курс алгебраической геометрии».
СМ. ТАКЖЕ Теория групп (1832), Филдсовская премия (1936).
СЛЕВА: Роберт Ленглендс. СПРАВА: программа Ленглендса связывает два различных
раздела математики и включает в себя гипотезы, которые, как говорят, «подобны
архитектуре собора», поскольку демонстрируют такое же элегантное соответствие
различных элементов друг другу. Программу Ленглендса можно рассматривать как
большую единую теорию математики, для полного понимания которой могут
потребоваться столетия.

r ί
U
J ' ' «
» / 41 > ■ ~ -4.
» * # * *.
.1 - - 'J, <■ i
t \ . . «
,^s·..· ' -^^V
^)j/^* * * *-i']*<v: *· . y£&
'NT* -'if
, '*
'— **--*, *-44
- jM
к
i\0 ■ * *■
-г
i
s -: >
ί
- ι
I
I
·./■'. -·
■■·. \'l Λ
V ν ■
τ<->* *' _ . , v .
I ΐ
*
чФ
4
^\-
f λ
О ?-:\
χ
li
··?*/
£
?-
r*
r«n\
f ""ί
I
1 '
N'
1
1 '
Ί
1
I

ON
кг
Игра «Почки и побеги»
ДжонХортон Конвей (р. 1937), Майкл С. Патерсон (р. 1942)
Игра «Почки и побеги» (Sprouts) была изобретена в 1967 г. математиками
Джоном X. Конвеем и Майклом С. Патерсоном, когда оба учились в
Кембриджском университете. Захватывающая игра обладает увлекательными
математическими свойствами. Конвей написал Мартину Гарднеру: «На
следующий день после того, как "Почки и побеги" проросли, оказалось, что все в
них играют, ...изобретая как смешные, так и фантастические варианты игры.
Некоторые уже начинают играть в «Почки и побеги» на поверхностях тора,
бутылки Клейна и... думать о ее многомерных версиях».
Для того чтобы сыграть в эту игру с соперником, начните с того, что на
листе бумаге нарисуйте несколько точек. Чтобы сделать ход, либо проведите
между двумя точками кривую (побег), либо начертите замкнутую линию,
которая будет начинаться на одной из точек и на ней же заканчиваться. Ваша
кривая не может пересекать другую кривую или саму себя. Далее, поставьте
на этой кривой новую точку (почку). Игроки по очереди делают ходы, и вы ·
игрывает тот игрок, который делает последний ход. Из каждой точки может
выходить не более трех линий.
На первый взгляд кажется, что игра может продолжаться вечно. Однако
сейчас известно, что при количестве η начальных точек игра закончится
минимум через 2п ходов и максимум через (Зп — 1) ходов. Первый игрок всегда
может выиграть в тех играх, которые начинаются с трех, четырех или пяти
точек.
В 2007 г. исследователи с помощью компьютерных программ определили,
какой игрок станет победителем во всех играх с начальным количеством точек
до 32. Пока не известно, что будет с игрой, начинающейся с 33 точек. Знатоки
игры «Почки и побеги» Жульен Лемуан и Симона Вьено пишу г: «Несмотря на
небольшое количество ходов... трудно определить, выиграет ли первый или
второй игрок, при условии что эти игроки играют отлично. Наилучшее из
опубликованных и проверенных доказательств представлено [Риккардо] Фокарди
и [Фламинией] Люччио, которые показали, кто победит в игре с 7 точками».
Журналист Иварс Петерсон пишет: «Игры могут разрастаться и
демонстрировать все виды неожиданных картин роста, что делает разработку выигрышной
стратегии весьма сложным делом. Никто еще не выработал целостной
стратегии для идеальной игры».
СМ. ТАКЖЕ Задача о Кёнигсбергских мостах (1736), Теорема Жордана о кривых (1905),
Решение игры в шашки (2007).
Игра «Почки и побеги». В данном примере использовались только две начальных точки
(обведенные кружками), и игра еще не закончена. Несмотря на кажущуюся простоту,
эта игра весьма трудно поддается анализу даже при незначительном увеличении чис
ла исходных точек.
432

ON
00
Теория катастроф
Рене Том (1923-2002)
Теория катастроф является математической теорией драматических или
резких изменений. Математики Тим Постон и Ян Стюарт приводят следующие
примеры таких катастрофических изменений: «Грохот землетрясения, [либо]
критическая плотность популяции, ниже которой некоторые существа
размножаются как кузнечики, а выше которой — подобно роящейся саранче
Клетка внезапно меняет свой репродуктивный ритм и начинает делиться, делиться,
делиться — подобно раковой клетке- По дороге в Таре ему было видение... *»
Теория катастроф была разработана французским математиком Рене
Томом в 1960-х гг. Теория получила дальнейшее развитие в 1970-х гг. в работах
британского математика японского происхождения Кристофера Зимана,
который применил ее к поведенческим и биологическим наукам. За свои работы
в области топологии, изучение геометрических форм и их отношений в 1958 г.
Том получил Филдсовскую премию.
Теория катастроф обычно относится к исследованию динамических систем,
описывающих зависимость некоторой величины от времени (например,
биение сердца), и к изучению взаимосвязи этих систем с топологией. В частности,
теория фокусирует свое внимание на «критических точках» определенного
вида, в которых равны нулю первая производная функции, а также одна или
более производных высшего порядка. Дэвид Дарлинг пишет: «Многие
математики взялись за изучение теории катастроф, и на некоторое время она стала
необычайно модной. Однако она не достигла такого же успеха, которого
добилась ее младшая сестра — теория хаоса, потому что не смогла выполнить своего
обещания — делать успешные прогнозы».
Том в своих исследованиях стремился понять, как непрерывный ход
процесса (например, стабильное поведение заключенных в тюрьмах или
международные отношения) может внезапно уступить дорогу скачкообразном]
изменению (тюремным бунтам или войне). Он показал, как такие явления могут
быть описаны в виде абстрактных математических поверхностей — таких как
«Бабочка» или «Ласточкин хвост». В основе последней картины Сальвадора
Дали, «Ласточкин хвост» (1983), лежала поверхность, используемая в теории
катастроф. Дали также написал картину «Топологическое похищение
Европы — в знак уважения Рене Тома* (1983), на которой изображен
сейсмический разлом ландшафта, а также записано уравнение, его описывающее.
СМ. ТАКЖЕ Задача о Кёнигсбергских мостах (1736), Лента Мёбиуса (1858), Филдсовская
премия (1936), Хаос и эффект бабочки (1963), Константа Фейгенбаума (1975), Аттрактор
Икеды (1979).
Теория катастроф является математической теорией резких изменений, таких как
поведение тучи саранчи по мере увеличения ее плотности. В результате исследований
ученые предположили, что внезапное начало роящегося поведения в туче саранчи (когда
стая насекомых ведет себя как единое целое) запускается в результате возрастания
контактов задних ног насекомых в течение нескольких часов. Большая туча саранчи
может состоять из миллиардов насекомых.
434

.·.. f,..
' v.
/ι
it.·
9 Λ
f< <"
г* V-, '

On
чО
Задача об освещенности комнаты
Джордж Токарский (р. 1946)
Представьте себе, что мы находимся в темной комнате с плоскими
зеркальными стенами. Комната имеет несколько поворотов и боковых коридоров. Если
я где-нибудь в комнате зажгу спичку, сможете ли вы ее увидеть, независимо
от того, где вы стоите в этой комнате, какую форму имеет эта комната или в
каком боковом проходе вы находитесь? Эквивалентным образом задачу
можно сформулировать в терминах бильярдного шара, катящегося по
бильярдному столу. Для любых ли двух точек на бильярдном столе в форме
многоугольника существует траектория бильярдного тара, их соединяющая?
Если мы оказались в Г-образной комнате, то вы сможете увидеть пламя
независимо от того, в каком месте вы будете находиться, потому что луч
света, отражаясь от различных стен, сможет попасть в ваши глаза. Но можно ли
представить себе такую таинственную многоугольную комнату, которая
настолько сложна, что в ней имеется точка, до которой луч света никогда не
дойдет? (В нашей задаче мы предполагаем, что человек и спичка прозрачны.)
Эта задача была впервые представлена в научной прессе математиком
Виктором Клее в 1969 г., хотя еще раньше, в 1950-х гг. математик Эрнст Штраус
задумывался над этой проблемой.
Шокирующим является то, что до 1995 г. никто не знал ответ, пока Джордж
Токарский из Университета Альберты не обнаружил такую комнату, которая
не может быть полностью освещена. У комнаты, чертеж которой он
опубликовал, было 26 стен (сторон многоугольника). Впоследствии Токарский
нашел пример с 24 стенами, и эта странная комната стала многоугольником с
наименьшим количеством сторон, известным до последнего времени. Мы
не знаем, можно ли найти многоугольную комнату, которая не может быть
полностью освещена, с меньшим числом стен. Существуют и другие похожие
задачи. В 1958 г. математик и физик Роджер Пенроуз и его коллега
показали, что неосвещенные зоны могут существовать в некоторых комнатах с
искривленными стенами. Недавно были обнаружены комнаты с искривленными
стенами, для освещения каждой точки в которых требуется бесконечно много
спичек. Для любого конечного числа спичек существуют такие комнаты с
искривленными стенами j которые не могут быть полностью освещены этим ко
личеством спичек.
СМ. ТАКЖЕ Проективная геометрия (1639), Теорема о картинной галерее (1973).
В 1995 г. математик Джордж Токарский нашел такую не полностью освещаемую
комнату в виде 26 угольника. В данной комнате есть такое место, что если в нем
держать зажженную спичку, то существует другая точка, которая останется в
темноте.
436

кг
о
Дональд Кнут
и игра «Быки и коровы»
Дональд Эрвин Кнут (р. 1938), Мордехай Мейровиц (р. 1922-1927)
«Быки и коровы» — это настольная игра по взламыванию шифра, которую
изобрел в 1970 г. М. Мейровиц, израильтянин-почтальон и специалист в
области телекоммуникаций. Основные компании, выпускающие игры,
отвергли предложение Мейровица, поэтому он договорился о продаже своей игры с
небольшой английской компанией Invicta Plastics. Игра разошлась тиражом
более 50 млн экземпляров, что сделало ее самой успешной игрой 1970-х гг.
Согласно правилам, один из игроков — шифровальщик — выбирает
последовательность четырех цветных колышков, каждый из которых может быть выкрашен
в один из шести цветов. Противник должен угадать последовательность, которую
загадал шифровальщик, сделав при этом по возможности наименьшее количество
предположений. Каждое предположение должно быть представлено в виде
последовательности из 4 цветных колышков. Шифровальщик подсказывает, сколько
колышков имеют правильный цвет и находятся в правильном порядке («быки»),
и сколько колышков имеют правильный цвет, но стоят в неправильном порядке
(«коровы»). Например, секретный код может быть последовательностью
«зеленый-белый-синий-красный». Другой игрок может сделать предположение, что
кодом является «оранжевый-желтый-синий-белый». В этом случае шифровальщик
подсказывает, что у другого игрока один «бык» и одна «корова», но не упоминает
конкретные названия цветов. Игра продолжается, при этом другой игрок делает
все новые предположения о правильном коде. Шифровальщик может выбрать
секретный шифр из общего количества б4 (или 1206) возможных комбинаций в
предположении, что 6 цветных колышков устанавливаются в 4 позициях.
Игра «Быки и коровы» имела важное значение, отчасти в связи с
длительными ее исследованиями, которые велись с момента выхода игры на рынок.
В 1977 г. американский ученый Д. Кнут опубликовал стратегию, которая
позволяет игроку всегда угадать правильный код за 5 попыток. Эта стратегия
была первым известным алгоритмом решения игры «Быки и коровы», после
чего было опубликовано большое количество работ по этой теме. В1993 г. Кэнд-
зи Кояма и Тони В. Лай опубликовали стратегию, в которой в самом худшем
случае требовалось максимум 6 попыток, но со средним числом попыток,
равным всего лишь 4,340. В 1996 г. Жи Сян Чен и его коллеги обобщили
предыдущие результаты на случай, когда имеется η цветных колышков, стоящих в т
положениях. Также игру несколько раз исследовали с использованием
генетических алгоритмов — методов, инспирированных эволюционной биологией.
СМ. ТАКЖЕ Крестики-нолики (1300 до н. э.), Го (548 до н. э.), Головоломка «Вечность»
(1999), Решение игры «Овари» (2002), Решение игры в шашки (2007).
Схематическое изображение игры «Быки и коровы». В данном случае скрытым кодом,
показанным внизу, является код «зеленый-синий-красный-сиреневый». Игрок начинает
с предположения о коде в верхней части доски и за пять ходов после получения
подсказок от соперника находит правильное решение.
438

кг
Эрдёш и его опыт математического
сотрудничества
Пал Эрдёш (1913-1996)
(встречаются варианты написания Пол Эрдёш, Пауль Эрдёш)
О математиках часто принято думать как о людях, изолированно сидящих в
отдельных кабинетах и редко говорящих с другими людьми, поскольку они
целыми днями работают над созданием новых теорем и доказательством
старых гипотез. Это верно в отношении некоторых из них, но математик
венгерского происхождения Пал Эрдёш показал математикам важность сотруд
ничества и «социальной математики». Всего за свою жизнь он опубликовал
около 1500 научных работ — больше, чем любой другой математик в мировой
истории, при этом его работы были опубликованы в соавторстве с 511
различными учеными. Его интересы затрагивали обширные области математики, в
том числе теорию вероятностей, комбинаторику, теорию чисел, теорию гра
фов, классический анализ, теорию приближений, теорию множеств,
В последний год своей жизни, в возрасте 83 лет, он продолжал печь
теоремы, как блины, и читать лекции, бросая вызов общепринятому мнению,
что математика является спортом молодых людей. Эрдёш всегда обменивался
творческими идеями, заботясь больше о том, чтобы задача была решена, чем
о том, кто будет автором ее решения. По словам Пола Хоффмана, Эрдёш
думал над большим числом задач, чем любой другой математик в истории, и мог
вспомнить подробности, изложенные в любой из написанных им 1500 работ.
Подкрепившись кофе, Эрдёш занимался математикой по 19 часов в сутки, и
когда друзья убеждали его сбавить темп, у него всегда был один и тот же ответ:
«У меня будет достаточно времени, чтобы отдохнуть в могиле». После 1971 г.
он почти каждый день принимал амфетамины, чтобы избежать депрессии и
стимулировать рождение математических идей и научное сотрудничество.
Эрдёш постоянно путешествовал и питался на ходу, полностью концентрируясь
на математике за счет общения, секса и еды.
Первый свой след в математике Пал Эрдёш оставил в возрасте 18 лет, когда
он нашел элегантное доказательство теоремы о том, что для каждого целого
числа п, большего 1, всегда найдется простое число между η и удвоенным
числом 2п. Например, между 2 и 4 лежит простое число 3. Позже Эрдёш
сформулировал элементарное доказательство теоремы о распределении простых
чисел.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), «Арифметические исследования» Гаусса (1801), Гипотеза Ри-
мана (1859), Доказательство теоремы о распределении простых чисел (1896), Константа
Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта (1958), Скатерть Улама (1963).
Пал Эрдёш поддерживал свой сверхчеловеческий график работы путем постоянного
употребления кофе, таблеток кофеина и бензедрина, считая, что «математик — это
машина для превращения кофе в теоремы». Он часто работал по 19 часов в сутки в
течение семи дней в неделю.
440

кг
НР-35: первый научный
карманный калькулятор
Уильям Редингтон Хьюлетт (1913-2001) и команда
В 1972 г. компания Hewlett-Packard (HP) со штаб-квартирой в Пало-Альто,
Калифорния, представила первый в мире карманный калькулятор для инженерных
расчетов, т. е. калькулятор с тригонометрическими и показательными
функциями. Калькулятор НР-35 обладал числовым диапазоном от 10"100 до 10+10°. На
момент выхода на рынок его цена составляла 395 долларов США. (Фирма HP
присвоила данной модели номер «35», потому что на ней имелось 35 клавишей )
Соучредитель компании Билл Хьюлетт начал разработку этого
компактного калькулятора вопреки тому, что исследования рынка показали, что на
рынке практически отсутствовал спрос на карманные калькуляторы. Как
ошибались эти исследователи! В течение первых нескольких месяцев продаж
число заказов превысило ожидания компании в отношении всего объема рынка.
В первый год фирма HP продала 100000 штук калькуляторов НР-35, и более
чем 300 000 были проданы до момента прекращения их производства в 1975 г.
На момент выхода на рынок модели НР-35 для выполнения высокоточных
научных расчетов использовались логарифмические линейки. Существующие
в то время карманные калькуляторы могли выполнять только сложение,
вычитание, умножение и деление. С выпуском НР-35 все изменилось.
Логарифмическая линейка, которая обычно могла производить вычисления с
точностью только до трех значащих цифр, «умерла» и в дальнейшем редко
использовалась в программе школьного обучения во многих школах США. Можно
только гадать, что смогли бы совершить великие математики прошлого, если
бы в их распоряжении имелся калькулятор НР-35.
Сегодня, когда научные калькуляторы сравнительно недороги, они
существенно изменили учебные программы по математике, преподаваемые в боль
шинстве стран. Педагоги уже не преподают методы вычисления значений
трансцендентных функций с помощью бумаги и карандаша. В будущем
преподаватели, вероятно, будут уделять еще больше времени объяснению
математических понятий и исследованию математических приложений вместо
обучения рутинным вычислениям.
Боб Льюис пишет: «Билл Хьюлетт и Дэйв Паккард основали Силиконовую
долину в гараже Хьюлетта. Подбрасыванием монеты было выбрано название
компании Hewlett-Packard, а не Packard-Hewlett... Хьюлетт никогда не
проявлял большого интереса к тому, чтобы стать знаменитым. На протяжении всей
своей жизни в глубине души он оставался, по существу, обычным инженером».
СМ. ТАКЖЕ Счёты (1200), Логарифмическая линейка (1621), Механический компьютер
Бэббиджа (1822), Дифференциальный анализатор (1927), ЭНИАК (1946), Калькулятор
«Curta» (1948), Программа «Mathematica» (1988).
Калькулятор НР-35 был первым, в мире научным карманным калькулятором с
тригонометрическими и показательными функциями. Билл Хьюлетт начал его разработку,
несмотря на ошибочные прогнозы отсутствия рыночного спроса на такие калькуляторы.
442

?·
cs
CC,

кг
от
Мозаика Пенроуза
Роджер Пенроуз (р. 1931)
Мозаика Пенроуза состоит из плиток двух простых геометрических форм,
которые, будучи уложенными вплотную друг к другу, могут покрыть плоскость
узором без промежутков или наложений, и при этом рисунок не будет
повторяться периодически. В отличие от мозаики Пенроуза, простые
шестиугольные кафельные плитки в некоторых ванных комнатах демонстрируют
простой повторяющийся у .-юр. Интересно, что замощение Пенроуза, названное в
честь английского математика и физика Р. Пенроуза, обладает симметрией
вращения пятого порядка, т. е. тем же видом симметрии, который
наблюдается у пятиконечной звезды. Если повернуть весь мозаичный узор на 72
градуса, он будет выглядеть так же, как и до поворота. Мартин Гарднер пишет:
«Хотя и можно построить орнаменты Пенроуза с высокой степенью
симметрии... большинство таких орнаментов, подобно Вселенной, являются
таинственной смесью порядка и неожиданных отклонений от порядка. По мере
расширения этих орнаментов, кажется, что они всегда стремятся воспроиз
вести самих себя, но этот процесс является достаточно неконтролируемым».
До открытия Пенроуза большинство ученых считали, что кристаллы на ос
нове симметрии пятого порядка создать невозможно, но недавно были обна
ружены квазикристаллы со структурой, напоминающей мозаику Пенроуза,
обладающие замечательными свойствами. Так, например, квазикристаллы
металлов являются плохими проводниками тепла, так что материалы на их
основе могут применяться в качестве скользящих антипригарных покрытий.
В начале 1980-х гг. ученые размышляли о возможности того, что в основе
атомной структуры некоторых кристаллов может быть непериодическая
решетка, т. е. решетка, которая не имеет периодических повторений. В 1Θ82 г.
Дан Шехтман обнаружил непериодическую структуру на микрофотографиях
сплава алюминий-марганец, полученных в электронном микроскопе, у
которых наблюдалась симметрия пятого порядка, напоминающая мозаику
Пенроуза. В то время это наблюдение было таким поразительным, что некоторые
сказали, что это является настолько же шокирующим, как если бы была
найдена пятиконечная снежинка.
Что интересно, в 1997 г. Пенроуз подал иск о нарушении авторских прав
компанией в Англии, которая якобы нанесла рисунок мозаики Пенроуза на
туалетную бумагу Kleenex. В 2007 г. исследователи в журнале Science
опубликовали доказательства того, что мозаичный узор, похожий на мозаику
Пенроуза, использовался в средневековой мозаичной плитке в исламском искусстве,
за пять веков до его открытия на Западе.
СМ. ТАКЖЕ Группы симметрии орнаментов (1891), Последовательность Морса—Туэ
(1906), Квадрирование прямоугольника (1925), Замощение Фодерберга (1936), Внешние
бильярды (1959).
Мозаика Пенроуза выполнена с помощью плиток двух геометрических форм, которыми
молено замостить плоскость без пробелов и наложения плиток друг на друга, при этом
мозаичный орнамент не повторяется периодически. (Визуализация Джоса Лейса.)
444

\
Ν.
s
\
U.'
\ V
>-
Λ
λ
>
χ
4
ν
^ \ \
?v
\
>r
>v
\
X
\
V
\
>
V

Теорема о картинной галерее
Вацлав (Васек) Хватал (р. 1946), Виктор Клее (1925-2007)
Представьте себе, что вы находитесь в зале богатой картинной галереи,
имеющей в плане форму многоугольника. Если бы нам нужно было расставить
смотрителей галереи в некоторых углах (вершинах) этого зала, то какое
минимальное число смотрителей понадобилось бы для того, чтобы они
одновременно могли обозревать всю внутреннюю область многоугольника?
Предположим, что смотрители видят во всех направлениях сразу, но не могут видеть
сквозь стены. Кроме того, смотрители размещаются в углах галереи, чтобы
никому не мешать осматривать произведения живописи. Чтобы решить эту
задачу, для начала можно изобразить на бумаге многоугольный зал галереи
и затенить сектора наблюдения смотрителей, расположенных в нескольких
вершинах этого многоугольника.
Теорема о картинной галерее Хватала, названная в честь математика и
ученого чехословацкого происхождения В. Хватала, утверждает, что в картинной
галерее с η -углами может находиться не более L«/3j смотрителей по углам,
которые смогут наблюдать за всей галереей, где символы L—J указывают на
математическую функцию «floor» (округление до наименьшего целого), которая
возвращает наибольшее целое число, меньшее или равное п/3. Мы
предполагаем, что многоугольник является «простым», т. е. стены картинной галереи
не самопересекаются и сходятся только в своих конечных точках.
В 1973 г. математик Виктор Клее поставил перед Хваталом вопрос о
необходимом количестве смотрителей, и вскоре Хватал доказал эту теорему.
Интересно, что для наблюдения за картинной галереей в форме многоугольника
только с прямыми углами необходимо лишь смотрителей. То есть для
такого вида галереи с 10 углами требуется не 3, а лишь 2 смотрителя.
С тех пор исследователи рассматривают задачу о картинной галерее с
использованием смотрителей, которые могут двигаться по прямой
линии, а не только находиться в фиксированных местах. Эту
задачу также рассматривают в трех измерениях и со стенами,
имеющими отверстия. Норман До пишет: «Когда Виктор Клее
впервые поставил задачу о картинной галерее, он, вероятно, не
подозревал, что она мотивирует постановку такого большого
количества задач, которые решаются до сих пор спустя уже более
тридцати лет. [Теперь] эта область исследований полна интерес
ными задачами...».
СМ. ТАКЖЕ Проективная геометрия (1639), Задача об освещенности
комнаты (1969).
СЛЕВА: три смотрителя картинной галереи, расположенные на
месте трех больших сфер, могут одновременно просматривать всю внутреннюю область
этой многоугольной комнаты с 11 вершинами.
СПРАВА: теорема о картинной галерее стимулирует большое количество
геометрических исследований с использованием необычной схемы расположения стен,
перемещающихся смотрителей, а также распространяется на случаи больших размерностей.

.**
*·
*
ч
\s

Кубик Рубика
Эрно Рубик (р. 1944)
Кубик Рубика был придуман венгерским изобретателем Эрно Рубиком в
1974 г., запатентован в 1975 г. и запущен в серийное производство на
венгерском рынке в 1977 г. К 1982 г. в одной только Венгрии было продано по
меньшей мере 10 млн кубиков Рубика, т. е. больше, чем все население страны. По
оценкам, по всему миру было продано более чем 100 млн кубиков.
Кубик Рубика представляет собой набор из 3 χ 3 χ 3 отдельных кубиков,
окрашенных таким образом, чтобы шесть граней большого куба имели шесть
различных цветов. 26 внешних подкубиков закреплены внутри так, чтобы все
шесть граней куба могли вращаться. Цель сборки этой головоломки
заключается в том, чтобы вернуть раскрученный кубик в такое состояние, при котором
каждая сторона была бы только одного цвета. Существует
43 252 003 274 489 856 000
различных вариантов взаиморасположения маленьких кубиков, и только
один из этих вариантов является искомым. Имея кубики Рубика,
отображающие каждый из этих «легальных» вариантов комбинаций маленьких
кубиков, можно было бы покрыть ими всю поверхность Земли (включая океаны)
около 250 раз. Столб, состоящий из кубиков Рубика во всех его позициях,
имел бы в длину около 250 световых лет. Если разрешить снимать цветные
наклейки и помещать их на различные грани подкубиков, то получится
1,0109 χ 1038 вариантов кубика Рубика 3x3x3.
Минимальное число поворотов, необходимых для решения головоломки в
случае произвольной начальной позиции, пока еще не известно. В 2008 г.
Томас Рокики доказал, что для всех исходных позиций кубика Рубика задача его
сборки может быть решена не более чем за 22 поворота граней куба.
Один естественный вариант кубика Рубика, который так и не появился на
полках магазинов игрушек, является четырехмерной версией кубика
Рубика — тессерактом Рубика. Общее количество позиций в тессеракте Рубика
составляет 1,76 χ 10120. Если бы кубик или тессеракт поворачивали один
раз в секунду с момента начала возникновения Вселенной, то до сих
пор не были бы перебраны все возможные конфигурации.
СМ. ТАКЖЕ Теория групп (1832), Пятнашки (1874), Ханойская башня (1883),
Тессеракт (1888), Головоломка «Мгновенное умопомешательство» (1966).
СЛЕВА: корпус звуковой колонки работы Захария Пейсли в виде кубика
Рубика. Этот сабвуфер с прямым приводом весит 68 кг. Пейсли говорит, что
эти звуки «способны проникать сквозь бетон, что наделяет этот сабвуфер
питий мощностью, что кубик Рубика мог бы собраться сам по себе».
СПРАВА: в 2008 г. Ханс Андерссон построил пластмассового робота, который мог
самостоятельно собирать кубик Рубика, используя световой датчик для определения
цвета конкретного кубика. Этот робот не требует отдельного подключения к
персональному компьютеру для выполнения вычислений и манипуляций с кубиком Рубика.

A
Χ
с
^
^
**>

Число «Омега» Грегори Чейтина
Грегори Джон Чейтин (р. 1947)
Говорят, что компьютерная программа выполнила «останов», когда она
выполнила свою задачу, например, когда она вычислила тысячу простых чисел
или первую сотню цифр числа «пи». В то же время программа будет работать
вечно, если задача является бесконечной, подобной вычислению всех чисел
Фибоначчи. Что произойдет, если мы введем случайную последовательность
битов в машину Тьюринга в качестве ее программы? (Машина Тьюринга
является абстрактным устройством для манипулирования символами, которое
может моделировать логику компьютера.) Когда начнется выполнение этой
программы, какова вероятность того, что машина остановится? Ответ можно
найти в числе Ω Грегори Чейтина (числе «омега»). Это число варьируется в
зависимости от машины, но для данной машины является четко заданным
иррациональным числом со значением между нулем и единицей. Для
большинства компьютеров число Ω близко к значению 1, потому что совершенно
случайная программа скорей всего заставит компьютер выполнить что-нибудь
невозможное. Аргентино-американский математик Грегори Чейтин показал,
что последовательность цифр в числе Ω не имеет определенной структуры,
что число может быть определено, но является совершенно неисчислимым, и
что оно имеет бесконечно много цифр. Особенности числа Ω имеют обширные
математические приложения и ставят фундаментальные ограничения на то,
что мы можем знать.
Квантовый теоретик Чарльз Беннетт пишет: «Наиболее замечательным
свойством числа Ω... является то, что если бы были известны первые
несколько тысяч цифр Ω, то их, в принципе, было бы достаточно, чтобы решить
большинство интересных открытых вопросов в математике...». Дэвид Дарлинг
говорит, что свойства числа Ω показывают: задачи, которые допускают
решение, «образуют крошечный архипелаг в огромном океане неразрешимости».
По словам Маркуса Чауна, «число Ω показывает, что математика... в основном
состоит из зияющих дыр. В самом центре Вселенной... господствует анархия».
Журнал Time объясняет: «Данная концепция расширяет... теорему Геде-
ля о неполноте, которая говорит, что в любой математической системе всегда
будут присутствовать недоказуемые положения, и отсюда возникав" проб е-
ма остановка машины Тьюринга, которая говорит, что невозможно
предсказать... завершится ли когда-нибудь работа конкретной компьютерной
программы».
СМ. ТАКЖЕ Теорема Гёделя о неполноте (1931Ί. Машины Тьюринга (1936).
Особенности числа Ω имеют большие математические последствия и устанавливают
фундаментальные ограничения на то, что нам дано узнать. Число Ω имеет
бесконечное количество цифр, и его свойства показывают, что задачи, которые можно решить,
«образуют крошечный архипелаг в огромном океане неразрешимости».
450

Сюрреальные числа
Джон Хортон Конвей (1937)
Множество сюрреальных чисел значительно шире множества
действительных чисел. Сами «сюрреальные числа» были изобретены плодовитым
математиком Дне. Конвеем для анализа игр, хотя название для них было придумано
Дональдом Кнутом в популярной математической новелле Surreal numbers,
изданной в 1974 г. (пер. на рус. яз. Д. Кнут «Сюрреальные числа». — М.:
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. — Прим. ред.). Это является, возможно,
одним из тех немногих случаев, когда основное математическое открытие было
впервые опубликовано в художественном произведении. Сюрреальные числа
обладают множеством странных свойств. Вспомним, что действительные
числа включают в себя как рациональные числа, такие, как, например, х/2, так
и иррациональные числа, такие, как, например, число «пи», и могут быть
представлены в виде точки на бесконечно длинной оси чисел.
Сюрреальные числа включают в себя действительные числа и многое
другое. Мартин Гарднер пишет в своей книге Mathematical Magic Show:
«Сюрреальные числа являются искусным обманом. На столе, сделанном из
нескольких стандартных аксиом теории множеств, стоит пустая шляпа. Конвей
разводит в воздухе двумя простыми правилами-палочками, затем опускает руки
в практически ничто и достает оттуда бесконечно богатую палитру чисел,
которые образуют реальное и замкнутое поле. Каждое реальное число окружено
множеством новых чисел, которые лежат к нему ближе, чем к нему лежит
другое «реальное» число. Система действительно является «сюрреальной».
Сюрреальное число является парой множеств {XL, XH}, где индексы
указывают на относительное положение (слева и справа) этих множеств в данной
паре. Сюрреальные числа весьма привлекательны, потому что построены
на чрезвычайно маленьком и простом фундаменте. В соответствии с
Конвеем и Кнутом, сюрреальные числа следуют двум правилам: 1) каждое число
— это пара множеств ранее созданных чисел, при этом любой элемент
левого множества не больше и не равен любому элементу правого множества, и
2) одно число меньше либо равно другому числу тогда и только тогда, когда
ни один член левого множества первого числа не больше и не равен второму
числу, и ни один из членов правого множества второго числа не меньше
и не равен первому числу. Сюрреальные числа включают в себя
бесконечность и бесконечно малые числа, т. е. такие числа, которые меньше любого
действительного числа, которое только можно себе представить.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Создание математического анализа (1665),
Трансцендентные числа (1844), Трансфинитные числа Кантора (1874).
СЛЕВА: Джон Г. Конвей на конференции по комбинаторной теории игр на
Международной исследовательской станции в городе Банф в провинции Альберта, Канада, в июне
2005 г. СПРАВА: обложка книги Д. Кнута «Сюрреальные числа», которая является
одним из немногих случаев, когда математическое открытие было опубликовано в
художественном произведении. Сюрреальные числа содержат в себя бесконечность и
бесконечно малые числа, которые гораздо меньше любых мыслимых действительных чисел.

\
t

Узлы Перко
Кеннет Перко-мл. (1941-2002), Вольфганг Хакен (р. 1928)
На протяжении веков математики искали способы, как различать узлы между
собой. В качестве одного примера рассмотрим две показанные здесь
конфигурации, которые изображают два узла, о которых на протяжении более 75 лет
думали, что они представляют собой два различных типа узлов. В 1974 г.,
математики обнаружили, что можно просто сменить точку наблюдения одного
узла, чтобы показать, что оба узла одинаковы. Сегодня мы называем эти узлы
парой Перко в честь нью-йоркского адвоката и, по совместительству,
тополога Кеннета Перко, который, крутя в руках веревку на полу своей гостиной,
показал, что эти два узла на самом деле были одним и тем же узлом!
Два узла считаются одинаковыми, если мы можем манипулировать ими без
разрезания таким образом, чтобы один из этих узлов выглядел в точности так
же, как и другой узел, по отношению к таким точкам пересечений веревки, где
одна из веревок идет поверх другой, и к таким точкам пересечений, где одна
веревка идет под другой. Помимо других своих характеристик, узлы ч акже
классифицируются по расположению и числу пересечений в них веревки, а
также по некоторым особенностям своих зеркальных изображений. Точнее
говоря, узлы классифицируется с использованием различных инвариантов, где
их симметрия является одним из инвариантов, а число пересечений в них —
другим инвариантом, при этом характеристики зеркального отражения
играют в классификации лишь второстепенную роль. Не существует общих
практических алгоритмов определения того, является ли запутанная кривая узлом
либо взаимным переплетением двух различных узлов. Очевидно, не так легко
понять, является ли эта петля «узлом» или не является им (т. е. является
«неузлом»), просто глядя на какой-либо узел, спроектированный на плоскость
так, чтобы были видны места, где одна веревка идет выше, либо ниже другой.
(«Неузел» эквивалентен замкнутому контуру, подобному обычной
окружности, которая не имеет самопересечений.)
В 1961 г. математик Вольфганг Хакен разработал алгоритм определения
того, действительно ли проекция узла на плоскость (при сохранении
изображения тех мест пересечений, где одна веревка идет поверх, либо под другой
веревкой) является на самом деле «неузлом». Однако эта процедура настолько
сложна, что до сих пор не была реализована. Документ с описанием данного
алгоритма в журнале Acta Mathematica занимает 130 страниц текста.
СМ. ТАКЖЕ Узлы (100 000 до н. э.), Полиномы Джонса (1984), Закон Мерфи и узлы
(1988).
Две конфигурации, показанные здесь, представляют собой два узла, которые в течение
более чем 75 лет рассматривались как два различных типа узлов. В 1974 г.,
математики обнаружили, что эти узлы на самом деле были одним и тем же узлом. (Визуали
зация Джоса Лейса.)
454

^

кг
Фракталы
Бенуа Мандельброт (1924-2010)
В наши дни фрактальные узоры, выполненные с помощью компьютерной
графики, можно встретить где угодно. Среди ученых и, что довольно
неожиданно, среди художников и дизайнеров продолжает расти интерес к фрактальным
картинам, от волнистых узоров на компьютерных художественных постерах
до иллюстраций в самых серьезных физических журналах. Слово «фрактал»
было придумано в 1975 г. математиком Бенуа Мандельбротом для описания
набора кривых сложного вида, многие из которых нельзя было увидеть до
появления компьютеров с их способностью к быстрому выполнению больших
объемов вычислений. Фракталы часто проявляют самоподобие, которое
предполагает, что в каком-либо исходном объекте можно найти в уменьшенном
масштабе различные точные или неточные копии данного объекта. Детали
объекта продолжают воспроизводиться с разными степенями увеличений,
подобно тому, как бесконечно вкладываются одна в другую русские матрешки.
Некоторые из этих форм существуют только в абстрактном геометрическом
пространстве, но другие могут быть использованы в качестве моделей для
сложных природных объектов, таких как береговые линии и ветвления
кровеносных сосудов. Завораживающие компьютерные изображения могут
возбудить и мотивировать интерес учащихся к математике в большей степени,
чем любые другие математические открытия прошлого века.
Физики проявляют к фракталам большой интерес, потому что они иногда
могут описать хаотическое поведение реальных явлений, таких как
планетарное движение, поток жидкости, диффузию лекарств, поведение
межотраслевых отношений и вибрацию крыльев самолета. (Хаотическое поведение часто
создает фрактальные картины.) По традиции, когда физики или математики
наблюдали сложные результаты, они часто искали сложные причины. В
противоположность этому, многие фрактальные формы раскрывают
фантастически сложный характер простейших формул.
В число ранних исследователей фрактальных объектов входил Карл Вей-
ерштрасс, который в 1872 г. рассматривал функции, которые были повсюду
непрерывны, но нигде не дифференцируемы, и Хельге фон Кох, который в
1904 г. изучал такие геометрические формы, как снежинка Коха. В XIX в. и
начале XX в. несколько математиков изучали фракталы в комплексной
плоскости, однако не смогли в полной мере оценить или визуализировать эти
объекты без помощи компьютера.
СМ. ТАКЖЕ «Геометрия» Декарта (1637), Треугольник Паскаля (1654), Функции Вей-
ерштрасса (1872), Кривая Пеано (1890), Снежинка Коха (1904), Последовательность
Морса—Туэ (1906), Размерность Хаусдорфа (1918), Ожерелье Антуана (1920), Рогатая сфера
Александера (1924), Губка Менгера (1926), Парадокс береговой линии (1950), Хаос и
эффект бабочки (1963), Множество Мандельброта (1980).
Фрактальные структуры в изображении Джоса Лейса часто демонстрируют
самоподобие, которое предполагает, что различные структурные темы повторяются в
различных масштабах размеров.
456

π
V
ч
9
6
ν
^
Л
^
N
^
Ъ
^Г\
^
^
ч
>'
\
V
П
9
cf
Л
\
%
V
> s

кг
Константа Фейгенбаума
Митчелл Джей Фейгенбаум (р. 1944)
Простые формулы могут приводить к удивительно разнообразному и
хаотическому характеру поведения системы при описании различных явлений, от
роста и деградации популяции животных до изменения параметров
некоторых электронных схем. Одной особенно интересной формулой является
логистическое отображение, которое моделирует рост численности
биологических популяций, популярно описанное биологом Робертом Мэем в 1976 г., в
основе которого лежит более ранняя работа бельгийского математика Пьера
Франсуа Ферхюльста (1804—1849), исследовавшего модели изменения
численности населения. Эта формула может быть записана в виде хп+1 = гхп(1 —
хп). Здесь хп представляет население в момент времени п. Переменная χ
определяется относительно максим: ьной численности населения экосистемы и,
следовательно, принимает значения от 0 до 1. В зависимости от значения г,
которое управляет скоростью прироста населения и убывания в результате
голода, численность населения может подвергнуться различным сценариям
изменения. Например, при увеличении г она может сходиться к
единственному значению или подвергаться бифуркации (раздвоению кривой роста), так
что будет колебаться между двумя значениями, затем между четырьмя
значениями, затем — между восемью значениями и, наконец, станет настолько
хаотической, что небольшие изменения в исходной численности населения
будут приводить к очень разным, непредсказуемым результатам.
Отношение расстояний между двумя последовательными интервалами
бифуркации сходится к константе Фейгенбаума, равной 4,6692016091..., —
числу, которое было открыто американским специалистом в области
математической физики Митчеллом Фейгенбаумом в 1975 г. Интересно, что, хотя
Фейгенбаум изначально рассматривал эту константу для отображения, подобного
логистическому, он также показал, что она применима ко всем одномерным
отображениям такого рода. Это означает, что многие хаотические системы
будут демонстрировать бифуркационное поведение с одинаковой скоростью,
и таким образом его константу можно использовать для предсказания того,
когда в системах появится хаос. Такой тип бифуркационного поведения был
обнаружен во многих физических системах до того, как они переходили в
хаотический режим работы. Фейгенбаум быстро понял, что его «универсальная
константа» очень важна, написав, что «этим вечером я позвонил своим
родителям и сказал, что я открыл нечто действительно замечательное, и, когда я
до конца осмыслю его суть, оно сможет сделать меня известным человеком».
СМ. ТАКЖЕ Хаос и эффект бабочки (1963), Теория катастроф (1968), Аттрактор Икеды
(1979).
Бифуркационная диаграмма (повернутая по часовой стрелке на 90°) в изображении
Стивена Уитни. Этот рисунок показывает невероятно богатое поведение простой
формулы при изменении параметра г. Бифуркационные «развилки» молено рассмотри
вать как маленькие, тонкие, легкие ветвления кривых среди хаоса.
458

кг
кг
Криптография с открытым ключом
Рональд Лорин Риверст (р. 1947), Ади Шамир (р. 1952),
Леонард Макс Адлеман (р. 1945), Бейли Уитфилд Диффи (р. 1944),
Мартин Эдвард Хеллман (р. 1945), Ральф К. Меркле (р. 1952)
На протяжении всей истории криптологи стремились изобрести средство для
отправки тайных сообщений без использования громоздких кодовых книг,
содержащих шифровальные и дешифровальные ключи, которые могли легко
попасть в руки врага. Например, немцы в период 1914—1918 гг. потеряли
четыре кодовые книги, которые были восстановлены британской службой
разведки. Британское криптографическое подразделение, известное как Комна
та 40 (Room 40), расшифровало немецкие линии связи, дав союзным войскам
важнейшее стратегическое преимущество в Первой мировой войне.
Для того чтобы решить проблему работы с шифровальным кодом, в 1976 г.
Уитфилд Диффи, Мартин Хеллман и Ральф Меркле из Стэнфордского
университета, штат Калифорния, разработали метод криптографии с открытым
шифровальным ключом — математический метод пересылки закодированных
сообщений с помощью пары криптографических ключей: открытого ключа и
закрытого ключа. Секретный ключ держится в секрете, тогда как (что
примечательно) открытый ключ может широко распространяться без потери
степени секретности. Шифровальные ключи связаны математически, но
закрытый ключ никоим образом нельзя получить из открытого ключа. Сообщение,
зашифрованное с помощью открытого ключа, можно расшифровать только с
помощью соответствующего закрытого ключа.
Чтобы лучше понять, как работает способ шифрования с открытым
ключом, представьте себе щель почтового ящика на входной двери дома. Любой
человек с улицы может бросить что-либо в щель почтового ящика; при этом
открытый ключ сродни адресу этого дома. Тем не менее только тот, кто
обладает ключом к входной двери этого дома, может получить почту и прочесть ее.
В1977 г. ученые Массачусетского технологического института Рональд
Риверст, Ади Шамир и Леонард Адлеман предположили, что большие простые
числа можно использовать для защиты сообщений. Компьютер очень просто
справляется с перемножением двух больших простых чисел, но обратный
процесс нахождения двух исходных простых чисел по их произведению может
оказаться очень затруднительным делом. Также следует отметить, что
специалисты в области компьютерных наук уже давно разработали метод
шифрования с открытым ключом для британской разведки, однако эта работа
держалась в тайне по соображениям национальной безопасности.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
«Полиграфия» И. Тритемия (1518), Проблема Гольдбаха (1742), «Арифметические
исследования» Гаусса (1801), Доказательство теоремы о распределении простых чисел (1896).
Шифровальная машина «Энигма», до наступления эпохи современной криптографии
используемая для кодирования и декодирования сообщений. Нацисты использовали для
создания шифров, которые имели ряд недостатков, например, то, что сообщения могут
быть декодированы, если кодовая книга будет захвачена противником.
460

,-
ss:
" ч.
. >
* . с
*
? * F
ν .

кг
кг
Многогранник Силаши
Лайош Силаши (р. 1942)
Многогранниками называются трехмерные тела с плоскими гранями и
прямыми ребрами. В число общеизвестных примеров многогранников входит куб
и правильный тетраэдр, который представляет собой пирамиду, сложенную
из четырех граней, каждая из которых имеет форму равностороннего
треугольника. Если многогранник правильный, то все его грани имеют
одинаковые размер и форму.
Многогранник Силаши был обнаружен в 1977 г. венгерским математиком
Лайошом Силаши. Этот многогранник является гептаэдром (семигранником)
с семью шестиугольными гранями, имеет 14 вершин, 21 ребро и отверстие.
Если бы мы стали сглаживать поверхность многогранника Силаши таким
образом, чтобы его ребра стали менее выступающими, то могли бы увидеть, что
с топологической точки зрения многогранник Силаши эквивалентен бублику
(или тору). Многогранник Силаши обладает 180-градусной симметрией. Три
пары граней конгруэнтны, т. е. они обладают одинаковыми формой и
размером. Другие непарные грани являются симметричными шестиугольниками.
Примечательно, что тетраэдр и многогранник Силаши являются только
двумя известными многогранниками, у которых каждая грань имеет общее
ребро с другой гранью. Гарднер пишет, что «до тех пор, пока компьютерная
программа, написанная Силаши, не нашла эту структуру, ничего не было
известно о том, могла ли она существовать вообще».
Многогранник Силаши также дает представление о задаче раскраски карт.
Традиционная карта может быть раскрашена минимум в четыре цвета, так
чтобы никакие две соседние области не были бы одинакового цвета. Для
карты, построенной на поверхности тора, соответствующее число цветов равно
семи. Это означает, что все грани многогранника Силаши должны быть
разного цвета, чтобы никакие две смежных грани не имели одинаковый цвет. Для
сравнения, как видно, в случае тетраэдра для построения карты на его
поверхности требуется только четыре цвета, что топологически эквивалентно сфере.
Можно подвести следующий итог для свойств этих двух многогранников:
Тетраэдр 4 грани 4 вершины β ребер О отверстий
Многогранник Силаши 7 граней 14 вершин 21 ребро 1 отверстие
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Архимедовы полуправильные многогранники
(240 до н. э.), Эйлерова характеристика выпуклых многогранников (1751), Теорема о
четырех красках (1852), Игра «Икосиан» (1857), Теорема Пика (1899), Геодезический купол
(1922), Многогранник Часара (1949), Спидроны (1979), Поиски холиэдра (1999).
Абажур этой лампы, созданной Гансом. Шепкером, выполнен в форме многогранника Си-
462

кг
Аттрактор Икеды
Кенсуке С. Икеда (р. 1949)
Любая динамическая система является мощным источником
поразительных картин. Динамические системы — это модели, в основе которых лежат
правила, описывающие способ изменения некоторой величины со временем.
Например, движение планет вокруг Солнца может быть смоделировано в виде
динамической системы, в которой планеты движутся в соответствии с
законами Ньютона. Представленный здесь рисунок показывает поведение
математических формул, называемых дифференциальными уравнениями. Один из
способов понимания поведения дифференциальных уравнений заключается
в том, чтобы представить себе такую машину, которая принимает значения
для переменных в начальный момент времени, а затем через некоторое время
вырабатывает их новые значения. Так нее как можно отслеживать путь струи
воздуха по траектории, которую оставляет в ней струйка дыма,
компьютерная графика дает возможность отслеживать траектории частиц, движение
которых определяется простым дифференциальным уравнением. У
динамических систем есть своя практическая сторона — иногда их можно использовать
для изучения поведения реальных объектов, таких как потоки жидкости,
вибрация мостов, орбитальное движение спутников, управление рукой робота
и выходные сигналы электронных схем. Часто в виде результатов получают
графические изображения, напоминающие дым, завихрения, пламя свечи и
полосы тумана, разносимые ветром.
Показанный здесь аттрактор Икеды является примером странного
аттрактора, который обладает нерегулярным, непредсказуемым поведением.
Аттрактор является множеством, в котором динамическая система развивается,
либо к которому она через некоторое время приходит. У простых аттракторов
по мере приближения к аттрактору первоначально близкие точки
продолжают оставаться вместе. У странных аттракторов первоначально соседние точки
в конечном счете будут следовать по широко расходящимся траекториям. Это
так же, как в случае движения листьев деревьев в турбулентном потоке:
невозможно предсказать, где эти листья будут в конечном итоге находиться по
отношению к своим первоначальным положениям.
В 1979 г. японский физик-теоретик Кенсуке Икеда опубликовал работу
под названием «Многозначное стационарное состояние и его нестабильность
при передаче света по системе кольцевых полостей», которая описывает
изменение этого аттрактора. В математической литературе имеется множество
других известных аттракторов и связанных с ними математических
отображений: Лоренца, логистическое, «кот Арнольда», подковы, ЭнонаРосслера.
СМ. ТАКЖЕ Гармонограф (1857), Дифференциальный анализатор (1927), Хаос и эффект
бабочки (1963), Константа Фейгенбаума (1975).
Динамические системы являются моделями, поведение которых основано на правилах,
описывающих способ изменения некоторой величины со временем. Показанный здесь
аттрактор Икеды является примером странного аттрактора, обладающего
нерегулярным, непредсказуемым поведением.
464

~Γ
f /

Спидроны
Даниэль Эрдели (р. 1956)
Журналист Иварс Петерсон пишет о спидронах: «Поле треугольников,
смятое и закрученное в виде волнистого кристаллического моря. Хрустальный
шар, изрезанный по спирали лабиринтами коридоров. Кирпичная кладка
из плотно прилегающих кирпичей, образующих аккуратную, компактную
структуру. В основе каждого из этих объектов лежит замечательная
геометрическая форма, составленная из последовательности треугольников —
спиральный многоугольник, который напоминает хвост морского конька».
В 1979 г. художник-график Даниэль Эрдели создал спидрон, который был
частью его домашнего задания в рамках курса теории форм Эрно Рубика в
Будапештском университете искусств и дизайна. Эрдели начал
экспериментировать с более ранними версиями спидрона еще в 1975 г.
Чтобы построить спидрон, нарисуйте равносторонний треугольник, затем
проведите линии от трех его вершин до точки в центре, построив три
одинаковых равнобедренных треугольника. Далее, нарисуйте зеркальное отражение
одного из этих равнобедренных треугольников так, чтобы он выступал наружу
исходного треугольника. На одной из двух коротких сторон этого выступающего
равнобедренного треугольника постройте новый равносторонний треугольник
меньшего размера. Повторив процедуру, вы создадите спиральную структуру
из треугольников, размеры которых будут уменьшаться. Наконец, убрав
исходный равносторонний треугольник и соединив две структуры из треугольников
вдоль длинной стороны самого крупного равнобедренного треугольника, в итоге
получите фигуру, по форме напоминающую морского конька.
Спидрон имеет замечательные пространственные свойства и
способность образовывать различные пространственные многогранники
и мозаичные узоры. Если проследовать вдоль хвоста этого морского
конька, то выяснится, что площадь любого равностороннего
треугольника равна сумме площадей всех треугольников меньшего размера.
Бесконечное множество треугольников меньшего размера может быть
уложено внутрь одного равностороннего треугольника без перекрытий.
Поскольку спидроны имеют форму завивающейся спирали, они
являются бесконечным источником форм для создания великолепных
трехмерных скульптур. В числе возможных примеров практического
применения спидронов можно привести их использование в
звукопоглощающих плитах и амортизаторах для техники.
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.). Архимедовы полуправильные
многогранники (240 до н. э.), Архимедова спираль (225 до н. э.)> Логарифмическая
спираль (1638), Замощение Фодерберга (1936).
СЛЕВА: спидрон — спиралевидная структура из треугольников, которая растет в
сторону уменьшения размеров треугольников на основании из двух вершин. СПРАВА:
спидроны имеют способность образовывать различные мозаичные узоры и заполняющие
пространство многогранники, подобные этой скульптуре, любезно представленной
Даниэлем Эрдели.

-.iSfc
К.
£·.·
. *£ < ~
<*ft
Ъ
><;·*.·& --Be
«, >?
-* .^
■:.·- -v.-** 'if4* t~^
* - a* ! ·

00
о
Множество Мандельброта
Бенуа Мандельброт (1924-2010)
Дэвид Дарлинг пишет, что множество Мандельброта, или, для краткости,
М-множество, — это «самый известный фрактал и один из самых ...
красивых известных математических объектов». Книга рекордов Гинесса назвала
его «самым сложным объектом в магематике». Артур Кларк подчеркивает
степень полезности компьютера для получения наглядных представлений:
«В принципе, [множество Мандельброта] могло быть открыто сразу же, как
только человек научился считать. Но даже если бы люди работали без устали
и никогда не ошибались, всех представителей человеческого рода, живших
когда-либо на Земле, не хватило бы, чтобы выполнить элементарные
арифметические действия, необходимые для построения множества Мандельброта
умеренного размера».
Множество Мандельброта является фракталом — объектом, в любом месте
которого можно найти повторяющиеся в различных масштабах одинаковые
структурные элементы. Представьте себе красивые изображения множества
Мандельброта, создаваемые с помощью математической петли обратной
связи. В самом деле, множество строится методом итераций, или повторений, с
помощью очень простой формулы zn +1 = ζπ2 + с, для комплексных значений ζ
и с, с условием zQ = 0. Данное множество содержит все точки, для которых эта
формула не создает расходящихся к бесконечности значений. Первые
наброски изображения М-множества были показаны в 1Θ78 г. Робертом Бруксом и
Питером Мателски, а затем в сыгравшей заметную роль в математике работе
Мандельброта 1Θ80 г., посвященной фрактальным аспектам М-множества и
передаваемому им богатству геометрической и алгебраической информации.
М-множество содержит набор сверхтонких спиралей и извивающихся
дорожек, связывающих бесконечное количество островковых форм. Увеличение
изображения М-множества с помощью компьютера легко позволяет получать
такие картины, которые никогда не представали взору человека. Невероятные
просторы М-множества привели Тима Вегнера и Марка Петерсона к
следующему замечанию: «Вы, возможно, слышали о компании, которая за
дополнительную плату может назвать какую-либо звезду вашим именем и
зарегистрировать это название в своей книге. Может быть, то же самое в скором времени
будет сделано с множеством Мандельброта!».
СМ. ТАКЖЕ Мнимые числа (1572), Фракталы (1975).
Множество Мандельброта - это фрактал, т. е. объект, в любом, месте которого
можно найти повторяющиеся в различных масштабах одинаковые структурные
элементы. С помощью компьютерного увеличения М-множества можно легко получить такие
картины, которые никогда не представали перед взором человека (визуализация Джоса
Лейса).
468

г

00
Группа-Монстр
Роберт Л. Грисс-мл. (р. 1945)
В 1981 г. американский математик Роберт Грисс создал Монстра —
крупнейшую и одну из наиболее таинственных так называемых спорадических групп,
которые являются конкретным множеством групп в области теории групп.
Стремление постичь Монстра помогло математикам понять некоторые из
основных составных элементов симметрии, а также то, как такие составные
элементы, наряду с некоторыми их особыми подсемействами, могут
использоваться для решения глубоких проблем, связанных с симметрией в области
математики и математической физики. Мы можем рассматривать группу-
Монстр, как поразительную снежинку с более чем 1053 порядками
симметрии, существующую в 196884-мерном пространстве!
Грисс рассказывал, что «подсел» на создание группы-Монстра в 1979 г.,
когда женился и его жена с пониманием относилась к его интенсивным
научным поискам, когда он брал отпуск только на два дня в году: на День
благодарения и Рождество. В 1982 г., наконец, был опубликован его 102-страничный
документ, посвященный этому Монстру. Математики удивились тому, как
Грисс смог построить группу-Монстра без использования компьютера.
Структура Монстра не столько интересна сама по себе, сколько
предполагает наличие глубоких связей между симметрией и физикой, и даже может
иметь связь с теорией струн, согласно которой все элементарные частицы во
Вселенной состоят из крошечных вибрирующих петель энергии. Марк Ронан в
своей книге Symmetry and the Monster пишет, что приход Монстра «опередил
свое время — это кусок математики двадцать второго века, который нечаянно
соскользнул в XX век». В 1983 г. физик Фриман Дайсон писал, что Монстр
может быть «встроен некоторым неожиданным образом в саму структуру
Вселенной».
В 1973 г. Грисс и Бернд Фишер предсказали существование Монстра, а
Джон Конвей дал Монстру его имя. В 1998 г. Ричард Борчердс был удостоен
Филдсовской премии за свою работу по изучению Монстра и его глубоких
связей с другими областями математики и физики.
СМ. ТАКЖЕ Теория групп (1832), Группа симметрии орнаментов (1891), Филдсовская
премия (1936), В поисках группы Ли Е8 (2007).
Американский математик Роберт Грисс (на фото), создавший в 1981 г. группу-Монстр.
Стремление к пониманию Монстра помогло математикам понять некоторые из
основных составных элементов симметрии. Группа-Монстр включает в себя 196884-мерное
пространство!
470

'у
'· А'
ι*.·1·
f .
. . -
S *
Ή4
.1
is>*.
ί -'
< ..^
-»_ * '
*g&*
'*?"■'.*■
'>w·
■; ·#i
*·'
Г i
«
, "Ч
■
t
Τ ^
г
-i
-· "я
. .■
'л {
V
I
*
й4

00
Треугольник в шаре
Глен Ричард Холл (р. 1954)
В 1Θ82 г. Глен Холл опубликовал свою знаменитую статью «Остроугольные
треугольники в n-мерном шаре». Это была первая опубликованная
математическая статья Холла, в которой он обсуждает работу, проведенную им во
время слушания курса геометрической вероятности, читавшегося в
университете Миннесоты. Представьте себе, что вы выбрали в круге наугад три точки,
чтобы построить треугольник. Холл задался вопросом, какова при этом
вероятность получения остроугольного треугольника, и не только внутри круга,
но и для более высоких размерностей, например внутри сферы и гиперсфер.
Соответствующие обобщения круга называют n-мерным шарами.
Остроугольным называется такой треугольник, в котором каждый из трех углов меньше
90°. Вот некоторые значения Рп — вероятности выбора остроугольного треу
гольника в n-мерном шаре, если каждая точка выбирается независимо от
других и равномерно в шаре:
Р2 = 4/π2 -1/8 = 0,280285 (круг)
Р3 = 33/70 * 0,471429 (сфера)
i>4 = 256/(45π2) + 1/32 » 0,607655 (гиперсфера в четырехмерном
пространстве)
Р6 = 1415/2002 « 0,706793 (гиперсфера в пятимерном пространстве)
Рв = 2048/(315π2) + 31/256 « 0,779842 (гиперсфера в шестимерном
пространстве)
Холл отметил, что по мере увеличения размерности сферы вероятность
выбора остроугольного треугольника также повышается. К тому моменту, когда
будет достигнута размерность, вероятность выбора остроугольногого
треугольника составит 0,905106. Эта работа о треугольниках примечательна тем,
что вплоть до начала 1980-х годов математики не обобщали вероятность
выбора остроугольного треугольника на случаи с более высокой размерностью.
В частной беседе со мной Холл отмечал, что он был поражен потенциальным
чередованием вероятностей от рационального решения к иррациональному, и
обратно, в зависимости от размерности шара, т.н. размерностной
осцилляцией, существования которой математики, возможно, не предполагали до этого
исследования. Рациональными являются числа, которые могут быть
выражены отношением двух целых чисел. Заметим, что в 1986 г. математик
Кристиан Бухта занимался получением аналитического решения интегралов Холла.
СМ. ТАКЖЕ Теорема Вивиани (1659), Игла Бюффона (1777), «Аналитическая теория
вероятностей» Лапласа (1812), Теорема Морли о трисектрисах (1899).
Выберите в круге наугад три точки, чтобы с их помощью построить треугольник.
Какова при этом вероятность получения такого треугольника, у которого каждый из
трех углов был бы меньше 90°?
472

00
Полиномы Джонса
Воган Фредерик Рэндал Джонс (р. 1952)
В математике даже самую запутанную петлю в трехмерном пространстве
можно представить в виде проекции, или тени, на плоской поверхности.
Когда математические узлы изображают на рисунках, пунктиром показывают те
места, где одна веревка пересекает другую, проходя над ней или под ней.
Одна из целей теории узлов coci оич в сом, чтобы найти инварианты узлов,
где термин инвариант относится к такой математической характеристике,
которая является одинаковой для эквивалентных узлов и с помощью которой
можно было бы выявлять различия между двумя разными узлами. В 1Θ84 г.
среди специалистов по теории узлов поднялся шум в связи с поразительным
изобретением новозеландского математика Вогана Джонса, который нашел
инвариант, называемый теперь многочленом (полиномом) Джонса,
способный отличить друг от друга больше узлов, чем любой предыдущий инвариант.
Джонс сделал свое прорывное открытие случайно, во время работы над одной
из проблем физики. Математик Кит Девлин пишет: «Чувствуя, что наткнулся
на неожиданную, скрытую связь, Джонс проконсультировался со
специалистом в области теории узлов Джоаном Бирманом, а остальное, как они говорят,
уже история...». Работы Джонса «проторили путь к открытию целого ряда
новых полиномиальных инвариантов и привели к резкому росту исследований в
теории узлов, причем некоторые из этих исследований были инспирированы
осознанием важности новых интересных приложений как в биологии, так и в
физике...». Биологи, изучающие ДНК, проявляют интерес к самим узлам, а
гакже к тому, как они смогут помочь в понимании функционирования
генетического материала в клетке или даже способствовать устойчивости клетки к
вирусным атакам. Систематическая процедура, или алгоритм, позволяет
математикам выразить полином Джонса для любого узла на основе картины его
пересечений.
Использование инвариантов узлов имеет долгую историю. Примерно в
1928 г. Джеймс У. Александер (1888—1971) представил первый полином,
связанный с узлами. Увы, полином Александера был бесполезен для обнаружения
разности между узлом и его зеркальным отражением, что стало возможным с
помощью полинома Джонса. Через четыре месяца после того, как Джонс объ
явил о своем новом полиноме, было объявлено о создании более общего поли
HOMaHOMFLY.
СМ. ТАКЖЕ Узлы (100 000 до н. э.), Узлы Перко (1974), Закон Мерфи и узлы (1988).
Узел с 10 пересечениями (визуализация Джоса Лейса). Одна из целей теории узлов
заключается в том, чтобы найти такую математическую характеристику, которая
является одинаковой для эквивалентных узлов, и с помощью которой можно было
выявлять различия между двумя разными узлами.
ΑΊΑ

\

00
Многообразие Уикса
Джеффри Ренвик Уикс (р. 1956)
Гиперболическая геометрия является неевклидовой геометрией, в которой
не соблюдается аксиома параллельности Евклида. В гиперболической
геометрии, если в двумерном случае взять любую прямую и точку вне ее, то через
эту точку можно будет провести множество других прямых, не пересекающих
первую прямую. Гиперболическая геометрия иногда представляется
наглядно с помощью седлообразных поверхностей, на которых сумма углов
треугольника будет меньше 180°. Такие странные виды геометрий имеют большое
значение для математиков и даже для космологов, которые размышляют о
возможных свойствах и формах, встречающихся в нашей Вселенной.
В 2007 г. Дэвид Габай из Принстонского университета, Роберт Майерхоф
из Бостонского колледжа и Питер Милли из Мельбурнского университета в
Австралии доказали, что некоторое конкретное гиперболическое трехмерное
пространство, или 3-многообразие, имеет наименьший объем. Эта форма, на
зываемая многообразием Уикса в честь его первооткрывателя, американского
математика Джеффри Уикса, привлекает к себе огромный интерес со стороны
топологов, которые каталогизируют формы такого рода.
В традиционной евклидовой геометрии понятие «наименьший объем» в
трехмерном пространстве не имеет смысла. Формы и объемы можно
пропорционально уменьшать вплоть до любого малого размера. Однако
пространственная кривизна гиперболической геометрии дает собственные единицы
длины, площади и объема. В 1Θ85 г. Уикс обнаружил небольшое многообразие
с объемом равным примерно 0,94270736. (Многообразие Уикса связано с
пространством вокруг пары переплетенных петель, известных, как зацепление
Уайтхеда.) До 2007 г. никто не знал наверняка, что многообразие Уикса
является наименьшим.
Лауреат премии Макартура Джеффри Уикс получил степень доктора
философии по математике в Принстонском университете в 1Θ85 г. под руководством
Уильяма Терстона. Одним из его главных увлечений является использование
топологии для преодоления разрыва между геометрией и наблюдательной
космологией. Он также разработал интерактивную программу для знакомства
студентов с геометрией, которая позволяла бы им исследовать конечные, но
безграничные вселенные.
СМ. ТАКЖЕ «Начала» Евклида (300 до н. э.), Неевклидовы геометрии (1829),
Поверхность Боя (1901), Гипотеза Пуанкаре (1904).
Эта модель многообразия Уикса содержит только одну галактику, но мы видим, что
изображения этой галактики повторяют кристаллическую структуру, создавая
иллюзию бесконечного пространства. Подобный эффект похож на эффект зеркального зала,
который также создает иллюзию бесконечного пространства.
476

00
Гипотеза Андрики
Дорин Андрика (р. 1956)
Простым числом является целое число, которое имеет ровно два различных
целых делителя: единицу и самое себя. Примерами простых чисел служат 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и 37. Великий математик Леонард Эйлер
(1707—1783) заметил: «Вплоть до сегодняшнего дня математики напрасно
пытались обнаружить некоторый порядок в последовательности простых
чисел, и у нас есть основания полагать, что это тайна, в которую никогда не
дано будет проникнуть человеческому разуму». Математики долго искали
закономерности в последовательности простых чисел, а также в
последовательности интервалов между ними, где термин «интервал» относится к разности
двух последовательных простых чисел. Величина среднего интервала между
простыми числами возрастает как натуральный логарифм простого числа на
любом конце этого интервала. В качестве примера такого большого интервала
можно привести 879 не простых чисел, стоящих после простого числа 277 900
416 100 927. В 2009 г. самый крупный известный интервал между простыми
числами имел длину 337 446.
В 1985 г. румынский математик Дорин Андрика сформулировал «гипотезу
Андрики», которая касалась интервалов между простыми числами. В
частности, данная гипотеза гласит, что y]pn+i - yjpn < 1 , гдерп — п-е простое число. Так,
например, рассмотрим простые числа 23 и 29. Применяя гипотезу Андрики,
получим -^29 - л/23 < 1 - Другой способ написания этого имеет вид gn < 2Jp~ +1,
гдерп — п-е простое число, a.gn =pn+l ~~Рп· В 2008 г. было показано, что данная
гипотеза справедлива для значений л вплоть до 1,3002 х1016.
Что касается левой части неравенства в гипотезе Андрики, Ап =yjpn+i ~^Рп ,
то наибольшее когда-либо найденное значение для Ап имеет место при га=4,
при котором Ап приблизительно равно 0,67087. Гипотеза Андрики была
сформулирована именно в то время, когда компьютеры стали получать
повсеместное распространение, что способствовало всплеску активности в попытках ее
осмысления и поисков контрпримеров, которые могли бы опровергнуть эту
гипотезу. Но до настоящего времени гипотеза Андрики сохраняет свои позиции,
хотя и остается недоказанной.
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до в. э.)> Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Гипотеза Гольдбаха (1742), «Арифметические исследования» Гаусса (1801), Функция
Мёбиуса (1831), Гипотеза Римана (1859), Доказательство теоремы о распределении простых
чисел (1896), Константа Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта (1958), Числа Серпинского
(1960), Скатерть Улама (1963), Эрдёш и его опыт математического сотрудничества (1971).
Функция Ап для первой сотни простых чисел. Самая высокая вертикальная точка в
этом графике (в его левой части) составляет примерно 0,67087, а числа по оси χ
расположены в интервале от 1 до 100.
478

00
аЬс-гипотеза
(Гипотеза Эстерле-Массера)
Дэвид Массер (р. 1948), Джозеф Эстерле (р. 1954)
Гипотеза аЪс считается одной из наиболее важных нерешенных проблем
теории чисел, изучающей свойства целых чисел. Если бы гипотеза была верна,
то математики смогли бы доказать многие другие известные теоремы всего за
несколько строк.
Гипотеза была впервые выдвинута в 1Θ85 г. математиками Джозефом Эстер
ле и Дэвидом Массером. Чтобы понять гипотезу, определим бесквадратное
число как целое число, которое не делится на квадрат никакого числа.
Например, 13 является бесквадратным, а число θ (делится на З2) таковым не
является. Бесквадратная часть целого п, обозначаемая sqp (n), является наибольшим
бесквадратным числом, которое может быть образовано путем перемножения
простых множителей п.. Так, для η = 15 простыми множителями являются 5 и
3, при этом 3x5 = 15 является бесквадратным числом. Поэтому sqp (15) = 15.
В то же время для η = 8 все простые множители равны 2, что означает, что sqp
(8) = 2. Аналогично, sqp (18) = 6 определяется путем умножения его простых
множителей 3 и 2, a sqp (13) = 13.
Далее, рассмотрим числа а и Ъ, которые не имеют общих сомножителей, и
число с, которое является суммой а и Ь. Рассмотрим, например, а = 3, b = 7 и
с = 10. Бесквадратная часть произведения аЪс равна 210. Обратите внимание,
что sqp (abc) больше, чем с, но это не всегда так. Можно доказать, что
отношение sqp (abc)/c может стать сколь угодно малым при соответствующем выборе
a, bis. с. Однако abc-гипотеза утверждает, что [sqp(abc)]"/c действительно
достигает минимального значения, если η — произвольное действительное
число, большее 1.
Дориан Голдфельд пишет: «...abc-гипотеза является более чем
утилитарной, но для математиков она также еще и необыкновенно красива.
Наблюдение такого большого количества диофантовых [имеющих целочисленные
решения] задач, которые так неожиданно заключены в одном уравнении,
убеждает, что все разделы математики являются аспектами одного
основополагающего единства...»
СМ. ТАКЖЕ Цикады и простые числа (1 млн до н. э.), Решето Эратосфена (240 до н. э.),
Проблема Гольдбаха (1742), Построение правильного семнадцатиугольника (1796),
«Арифметические исследования» Гаусса (1801), Гипотеза Рима на (1859), Доказательство
теоремы о распределении простых чисел (1896), Константа Бруна (1919), Гипотеза Гильбрайта
(1958), Скатерть Улама (1963), Гипотеза Андрики (1985).
abc-гипотеза считается одной из наиболее важных нерешенных задач теории чисел.
Гипотеза была впервые выдвинута в 1985 г. математиками Дэвидом Массером
(изображенным на этой фотографии) и Джозефом Эстерле.
480

4&
о,
Λθ
Р(лМ
0(^ )
<: Μ <Μ)
in
fo'CftJ
f («) *jW
ffa-ik)
A

00
Аудиоактивная последовательность
Джон Хортон Конвей (1937)
Рассмотрим комбинацию цифр: 1, 11, 21, 1211, 111221 Проговаривание
чисел вслух поможет понять принцип создания данной последовательности.
Так, второй член содержит две «единицы», тем самым мы получаем 21 в
третьем члене последовательности. В третьем члене содержится одна «двойка»
и одна «единица». Продолжая в таком порядке, можно построить всю
последовательность. Эта последовательность интенсивно изучалась математиком
Джоном Конвеем, который назвал этот процесс «аудиоактивным».
Аудиоактивная последовательность растет довольно быстро. Например,
16-й член последовательности имеет вид 132113213221133112132113311211
1312211213211312111322211231131122211311123113321112132113222113
12113211. Если внимательно посмотреть на эту последовательность, то мож
но обнаружить, что в ней преобладают «единицы», в то время как «двойки» и
«тройки» встречаю гея реже, и совсем нет чисел больше 3. Можно ли доказать,
что никогда нельзя будет встретить комбинацию 333? Из приведенного ниже
представления 11-го члена последовательности (в котором «тройки»
обозначены квадратиками т) можно увидеть, что «тройки» кажутся блуждающими
подобно кораблям, потерявшимся в бескрайнем океане:
Количество цифр в n-м члене этой последовательности примерно пропорци
онально константе Конвея:
(1,3035772690342693912570991121525518907307025046594...)".
Математики считают замечательным то, что «странный» аудиоактивный
процесс построения дает эту константу, которая, оказывается, является
единственным положительным вещественным корнем некоторого
полиномиального уравнения. Интересно, что константа относится ко всем начальным
последовательностям цифр, за исключением 22.
Существует большое количество вариаций построения подобных
последовательностей. Британский исследователь Роджер Харгрейв предложил
вариант, в котором каждый новый член последовательности учитывает, сколько
всего раз данный символ встречается в предыдущем члене. Так,
последовательность, начинающаяся с 123, в этом случае будет иметь вид: 123, 111213,
411213, 14311213 Автор считает, что все его последовательности в конце
концов будут колебаться между 23322114 и 32232114. Сможете ли вы
доказать это? Какими свойствами обладают обратные последовательности? Можно
ли, начав с какого-то члена, выстроить последовательность в обратном направ
лении и вычислить начальную последовательность символов?
СМ. ТАКЖЕ Последовательность Морса-Туэ (1906), Гипотеза Коллатца (1937),
Энциклопедия целочисленных последовательностей (1996).
Метод конструирования аудиоактивной последовательности дает константу Конвея,
равную 1,3035..., которая является единственным положительным, действительным
корнем некоторого полиномиального уравнения 69-й степени. Этот корень находится
на месте желтой сферы. Другие корни этого многочлена отмечены знаками «+».
482

+ ++
++
+
+
+
+
+
+
+ +
+ +
+ ++
+
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ ,
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+

00
00
Программа «Mathematica»
Стивен Вольфрам (р. 1959)
На протяжении последних 20 лет произошел сдвиг в практическом применении
математики — переход от чистой теории и доказательств к применению
компьютеров и проведению математических экспериментов. Этот сдвиг
обусловлен, в частности, наличием таких вычислительных программных пакетов, как
программный пакет «Mathematica», выпускаемый американской компанией
Wolfram Research из г. Шампейн в штате Иллинойс, который был создан
математиком и теоретиком Стивеном Вольфрамом. Первая версия программного
пакета «Mathematica» была выпущена в 1988 г., и сегодня она дает общую
вычислительную среду, предоставляющую многочисленные возможности по созданию
алгоритмов, компьютерной графики с применением соответствующего
пользовательского интерфейса. «Mathematica» является одним из примеров
многочисленных программных пакетов, доступных сегодня для экспериментальной
математики, таких, как «Maple», «Mathcad»- «Matlab» и «Maxima».
С 1960-х гг. существовали отдельные программные пакеты для численных,
алгебраических, графических и других задач, при этом исследователи теории
хаоса и фракталов уже давно используют компьютеры для решения своих
задач. Программный продукт «Mathematica» помог в удобной форме объединить
различные особенности специализированных пакетов. Сегодня «Mathematica»
используется в области машиностроения, науки, финансов, образования,
искусства, дизайна одежды и других областях, которые требуют визуализации
результатов и проведения экспериментов.
В 1992 г. начался выпуск «Журнала экспериментальной математики»,
который продемонстрировал, как компьютерное моделирование можно
использовать для исследования математических структур и построения
компьютерных изображений. Дэвид Берлински пишет: «Компьютер... изменил саму
природу математического опыта, впервые дав возможность математике, подобно
физике, стать эмпирической дисциплиной; теперь в ходе математического
эксперимента мы можем раскрывать саму природу вещей, которые благодаря
компьютерной графике стало можно увидеть своими глазами».
Математики Джонатан Борвейн и Дэвид Бейли пишут: «Возможно,
наиболее важным достижением в зтом направлении является разработка широкого
спектра математических программных продуктов, таких, как «Mathematica»
и «Maple». В наши дни многие математики имеют большой опыт работы с
этими инструментами в своей повседневной исследовательской работе. В
результате мы видим волну новых математических результатов, которые были ча
стично или полностью получены с помощью программных инструментов.
СМ. ТАКЖЕ Счёты (1200), Логарифмическая линейка (1621), Механический компьютер Бэб-
биджа (1822), Кассовый аппарат Ритти (1879), Дифференциальный анализатор (1927), Каль
кулятор «Curta» (1948), НР-35: первый научный карманный калькулятор (1972).
Пакет «Mathematica» дает вычислительную среду, предоставляющую множество возмож
ностей по созданию алгоритмов, компьютерной графики и работе с пользовательским ин
терфейсом. Этот образец программы трехмерной графики любезно предоставлен Майклом
Троттом, специалистом в области символьных вычислений и компьютерной графики.
484

,1
Г
1
V
л
-
^п^
о
у·
\-
> > - ΐΤ^Γΐ-4.!
V4
">':'
>4
4
->
v -> *
·&
w \
z>
f
'",. ν
^'-s~ :*
■^г-:% *.

Закон Мерфи и узлы
Де Витт Л. Самнерс (р. 1941), Стюарт Дж. Уиттингтон (р. 1942)
С давних времен моряки и ткачи замечали, что канаты и нити имеют явную
тенденцию запутываться и завязываться в узлы, что является проявлением
знаменитого закона Мерфи, гласящего, что если какая-то неприятность
может произойти, то она обязательно произойдет. Тем не менее до недавнего
времени не существовало строгой теории, объясняющей данный феномен.
Рассмотрим только один практический результат завязывания узлов: один
узел на тросе альпиниста может снизить максимальную прочность троса на
разрыв на целых 50%.
В 1988 г. математик Де Витт Л. Самнерс и химик Стюарт Дж. Уиттингтон
четко выявили эти явления путем моделирования тросов, канатов и других
струноподобных объектов, таких как химические полимерные цепи, как
случайные блуждания без самопересечений. Представьте себе муравья,
отдыхающего в некоторой точке кубической пространственной решетки. Он может
случайно передвигаться в любом из шести направлений, прокладывая свой путь
по этой решетке (т. е. назад или вперед в любом из трех направлений). Для того
чтобы смоделировать физический объект, который не может занимать
одновременно одну и ту нее точку в пространстве, траектория движения муравья
избегает самопересечений, так что в пространстве нет такой точки, в которой
муравей побывал бы больше одного раза. На основе своих исследований
Самнерс и Уиттингтон доказали общий результат: почти все достаточно длинные
траектории случайных блужданий без самопересечений содержат узлы.
Кроме того, что их исследование помогает объяснить, почему длинный
садовый шланг в вашем гараже с большой долей вероятности
может завязаться в узел или почему веревка с узлами,
найденная на месте преступления, может не иметь значения для
судебной экспертизы, эта работа имеет огромное значение для
нашего понимания переплетающихся спиралей ДНК и
структуры белка. Давным-давно, специалисты по фолдингу белка
полагали, что образование узла выходит за рамки
возможностей белковой молекулы, но в настоящее время был найден
ряд таких узлов. Некоторые из этих узлов могут
стабилизировать структуру белка. Если ученые смогли бы точно
предсказывать структуру белка, то они смогли бы лучше понять
причины заболеваний и разрабатывать новые лекарства, которые
1 основаны на знании трехмерной формы белка.
СМ. ТАКЖЕ Узлы (100 000 до н. э.), Кольца Борромео (834), Зате-
. . , рявшиеся в гиперпространстве (1921), Узлы Перко (1974), Полиномы
^ , ч Джонса (1984).
СЛЕВА: запутанные рыболовные сети. СПРАВА: единственный узел на тросе
альпиниста может серьезно снизить прочность этого троса на разрыв.

ι ι;
и- .:
,;-'».
""-Ν4**
•^•>^_?Ч
Am
,ο
Jb „·*
\

00
Кривая бабочки
Темпл Фэй (р. 1940)
Параметризация — это система уравнений, которая выражает совокупность
величин как функций нескольких независимых переменных. Кривая на
плоскости, как часто говорят, является параметризованной, если набор
координат (х,у) на кривой представлен в виде функции переменной t.
Например, в обычных декартовых координатах мы имеем стандартное уравнение
окружности: х2 + у2 = г2, где г — радиус окружности. Мы также можем
определить окружность с помощью параметрических уравнений: χ = г · cos (ί),
у — г - sin(i), где 0 < ί < 360°, или 0 < t < 2π. Для построения графика
программисты используют растущее значение t и соединяют полученные на графике
точки (х, у) сплошной линией.
Математики и художники в области компьютерной графики часто
прибегают к параметрическим представлениям, потому что некоторые геометрические
формы очень трудно описать в виде одиночных уравнений таким нее способом,
который использовался для окружности. Например, чтобы нарисовать
коническую спираль, можно использовать уравнения х = а- ζ · sin(i), у = а- ζ ■ cos(i)
и ζ = ί/(2π<?), где α и с являются константами. В на тли дни коническую спираль
используют в некоторых видах антенн.
Красота многих алгебраических и трансцендентных кривых выражается
в их симметрии, лепестках и листиках, а также в их асимптотическом пове -
дении. Кривые в виде крыльев бабочки, разработанные Темплом Феем в то
время, когда он работал в Университете Южного Миссисипи, являются
одним из таких типов кривых красивой, сложной формы. Уравнение для кри
вой в виде крыльев бабочки может быть записано в полярных координатах
как p=ecose-2cos(40) + sin5(0/12). Эта формула описывает траекторию
движения точки, соответствующую форме крыльев бабочки. Переменная ρ —
расстояние от точки до начала координат. Кривая бабочки с момента ее
первого представления в 1989 г. продолжает очаровывать своей красотой как
студентов, так и математиков, и воодушевляет студентов на эксперименты с ее
вариантами с более длительными периодами повторения, такими, как как
с
р=е
08θ - 2,lcos(60) + sin7(0/3O).
СМ. ТАКЖЕ Гармонограф (1857).
Красота многих алгебраических и трансцендентных кривых выражается в их
симметрии, лепестках и листиках, а также в их асимптотическом поведении. Эта кривая
в виде бабочки, построенная Темплом Феем, в полярных координатах может быть
записана уравнением р = есоав -2cos(40)+sin5(0/12).
488

Энциклопедия целочисленных
последовательностей
Нейл Джеймс Александр Слоан (р. 1939)
Энциклопедия целочисленных последовательностей (On-Line Encyclopedia of
Integer Sequences — OEIS) является огромной базой данных целочисленных
последовательностей с возможностью поиска данных. Она используется
математиками, учеными и непрофессионалами, которые занимаются поисками
числовых последовательностей в различных дисциплинах, начиная от теории
игр, головоломок и теории чисел до химии, средств связи и физики.
Поразительное разнообразие OEIS можно продемонстрировать на примере двух
записей: количество различных способов зашнуровать обувь, имеющую η пар
отверстий для шнурков, и количество выигрышных позиций настольной игры
Tchoukaillion Solitaire в зависимости от количества камней. Веб-сайт для
OEIS (www.research.att.com/~ njas/sequences/) содержит более 200 000
последовательностей, что делает его самой большой базой данных в своем роде.
Каждая запись содержит несколько первых членов последовательности,
ключевые слова, математические обоснования и список литературы. Н.
Слоан, американский математик британского происхождения, начал
коллекционировать целочисленные последовательности в 1Θ63 г., будучи аспирантом в
Корнелльском университете, и первое воплощение OEIS хранилось на
перфокартах, а затем в виде «Справочника целочисленных последовательностей»,
вышедшего в 1Θ73 г., и содержащего 2400 последовательностей. Книга была
переиздана в 1ΘΘ5 г. и включала уже 5487 последовательностей. Веб-версия
стала доступна в 1996 г., и в нее продолжает добавляться около 10000 новых
записей в год. Если бы это было опубликовано в виде книги сегодня, то заняло
бы 750 томов размером со «Справочник», выпущенный в 1995 г.
База данных OEIS — это монументальное достижение науки, ее часто
используют для идентификации последовательностей, либо для того, чтобы
определить текущее состояние известной последовательности. Ею можно
пользоваться при выдвижении новых гипотез. Например, математик Ральф
Стефан недавно сформулировал более 100 гипотез во многих областях просто
путем изучения последовательностей OEIS. Путем сравнения
последовательностей, имеющих одинаковые начальные члены (либо последовательностей,
связанных друг с другом посредством простых преобразований), математики
могут приступать к рассмотрению новых гипотез, касающихся разложения в
степенные ряды, теории чисел, комбинаторики, нелинейных рекуррентных
формул, двоичных представлений и других областей математики.
СМ. ТАКЖЕ Последовательность Морса-Туэ (1906), Гипотеза Ко^латца (1937), Аудиоак-
тивная последовательность (1986), Задача о складывании простыни (2001).
В базе данных OEIS есть последовательность, которая характеризует число способов
шнурования обуви, имеющей η пар отверстий для шнурков, таким образом, чтобы
каждое отверстие имело хотя бы одно прямое соединение с противоположной стороной.
Она имеет вид 1, 2, 20, 396, 14976, 907200. Шнуровка должна начинаться и
заканчиваться на крайних парах отверстий под шнурки.
490

i
\ч
^
mv^
.·"*
■s .,- > I
III**

Головоломка «Вечность»
Кристофер Уолтер Монктон, 3-й виконт Монктон Брэнчльский (р. 1952)
Крайне сложная головоломка, известная как головоломка «Вечность»
{Eternity), была повальным увлечением в 1ΘΘΘ и 2000 гг. и стала предметом
серьезного математического и компьютерного анализа. 20Θ частей
головоломки, все разные, состоят из правильных треугольников и
«полутреугольников», и все имеют одинаковую площадь, равную шести маленьким
треугольникам. Задача состоит в том, чтобы сложить все части воедино в один
большой, почти правильный двенадцатиугольник.
Когда фирма Ertl Toys начала ее серийный выпуск в июне 1999 г.,
Кристофер Монктон, изобретатель этой головоломки, объявил приз в 1 миллион
фунтов стерлингов тому, кто ее соберет. Первоначальные компьютерные расчеты
Монктона дали ему возможность предположить, что головоломку
невозможно будет собрать в течение нескольких лет или, возможно, намного дольше.
Действительно, исчерпывающий поиск всех возможностей занял бы
настолько много времени, что самому быстрому компьютеру потребовалось бы много
миллионов лет для поиска решения этой головоломки посредством
упрощенных поисковых алгоритмов.
Возможно, к разочарованию Монктона, два британских математика, Алекс
Селби и Оливер Риордан, 15 мая 2000 г. продемонстрировали правильную
сборку этого пазла, которой они добились с помощью компьютеров, и заявили
свои права на приз. Они обнаружили интересный факт, что по мере
увеличения количества элементов головоломки типа «Вечность» примерно до 70
сложность ее возрастает. Однако при увеличении числа элементов пазла, начиная
с 70 штук, начинает возрастать количество возможных правильных решений.
Пазл «Вечность» с 209 элементами имеет по крайней мере 1095 решений —
гораздо больше, чем число атомов в нашей Галактике. Тем не менее головоломка
все равно является чертовски трудной, потому что гораздо больше тех
случаев, когда ее сборка не удается.
Поскольку Селби и Риордан поняли, что может существовать большое
количество решений этой головоломки, они сознательно решили отказаться от
подсказок Монктона при получении его собственного решения для того, чтобы
рассмотреть все возможности нахождения более простых решений. В 2007 г.
Монктон выпустил пазл «Вечность II» с 256 квадратными элементами,
цветные края которых должны совпадать друг с другом при сборке элементов в
сетке размером 16 χ 16 элементов. Возможное количество конфигураций этой
головоломки равно 1,115 χ 10S5T.
СМ. ТАКЖЕ Квадрирование прямоугольника (1925), Замощение Фодерберга (1936),
Мозаика Пенроуза (1973).
Пример одного элемента головоломки «Вечность», показанного в виде желтого
многоугольника из треугольников. Каждый элемент составлен из треугольников и
«полутреугольников».
492

Совершенный магический тессеракт
Джон Роберт Хендрикс (1929-2007)
Традиционный магический квадрат содержит целые числа, расположенные
в полях квадратной сетки так, что сумма чисел в каждой строке, каждом
столбце и вдоль каждой диагонали одинакова. Если числа являются
последовательными целыми числами от 1 до N2, то говорят, что данный
магический квадрат являетсям квадратом iV-ro порядка. В магическом тессеракте
(четырехмерном кубе) содержатся целые числа по порядку от 1 до iV4,
расположенные таким образом, что сумма чисел в каждой из N3 строк, N3 колонок,
N3 столбцов, N3 рядов (термин, используемый для обозначения четвертого
пространственного направления) и вдоль 8 основных квадрагоналей (которые
проходят через центр и соединяют противоположные углы) постоянна и
равна S = 2V(1 + 2V4)/2, где N — порядок тессеракта. В общей сложности
существует 22 272 магических тессерактов 3-го порядка.
Термин совершенный магический тессеракт означает, что магическая
сумма достигается не только в строках, колонках, столбцах, рядах и квадраго-
налях, но и на всех диагоналях и тригоналях (пространственных диагоналях
кубов данного тессеракта). В совершенном магическом тессеракте все кубы
совершенные и все квадраты совершенные (т. е. пандиагональны таким образом,
чтобы все ломаные диагонали квадрата складывались и авали магическую
постоянную сумму).
Канадский исследователь Джон Хендрикс был одним из ведущих в мире
специалистов по многомерным магическим объектам. Он доказал, что
совершенный магический тессеракт не существует для порядков ниже 16-го и что
существует совершенный магический тессеракт 16-го порядка. Этот
совершенный магический тессеракт 16-го порядка содержит числа 1, 2, 3,..., 65 536
и обладает магической суммой 534 296. В1999 г. он и я вычислили первый
известный совершенный магический тессеракт 16-го порядка. Мы можем
обобщить то, что известно сегодня: наименьший совершенный тессеракт имеет
порядок 16, самый маленький совершенный куб имеет порядок 8, а наименьший
совершенный (пандиагональный) магический квадрат имеет порядок 4.
СМ ТАКЖЕ Магические квадраты (2200 до н. э.), Магический квадрат Франклина
(1769), Тессеракт (1888)
Совершенный магический тессеракт шестнадцатого порядка трудно визуализировать,
поэтому мы представляем один из магических тессерактов третьего порядка Джона
Хендрикса с выделенными строкой (желтая), столбцом (зеленый), колонкой
(красная), рядом (голубой) и квадрагональю (образованной тремя сиреневыми цифрами). Его
магическая сумма равна 123.
494

Парадокс Паррондо
Хуан Мануэль Родригес Паррондо (р. 1964)
В конце 1990-х гг. испанский физик Хуан Паррондо показал, как, играя
поочередно в две игры, в каждой из которых гарантирован проигрыш, можно
заведомо выиграть и обогатиться. Научно-популярная писательница Сандра
Блэйксли написала, что «то, что открыл Паррондо, кажется новым законом
природы, который может помочь объяснить, среди всего прочего, как из
первичного бульона возникла жизнь, почему популярность президента Клинтона
выросла после того как он попал в ,секс-скандал, и почему инвестирование в
падающие акции может иногда приводить к большему приросту капитала».
Ошеломляющий парадокс имеет различные приложения: от динамики роста
народонаселения до оценки финансовых рисков.
Чтобы понять этот парадокс, представьте, что вы играете в две азартные
игры с подбрасыванием несимметричной монеты. Вероятность Pt выигрыша
в игре А меньше 50% и выражается формулой Pt = 0,5 — χ. Если вы
выиграете, то получите 1 долл., в противном случае вы потеряете 1 долл. В игре В вы
проверяете, не вырос ли ваш выигрыш на величину, кратную 3. Если нет, то
вы подбрасываете другую несимметричную монету с вероятностью выигрыша
Р2 = (3/4.— х). Если да, то вы подбросываете третью несимметричную монету с
вероятностью выигрыша Р3 = (1/10 — х). Играя по отдельности либо в игру А,
либо в игру В, например при χ = 0,005, в долгосрочной перспективе вы
гарантированно проиграте. Однако, если вы будете играть в них поочередно (или
даже если вы случайно будете переключаться между этими играми), ваш
выигрыш в конечном итоге превзойдет самые смелые ожидания! Обратите
внимание, что результат игры А влияет на игру В в течение чередования этих игр.
Впервые Паррондо придумал свою парадоксальную игру в 1996 г. Инженер
в области биомедицины Дерек Эббот из Университета Аделаиды, Австралия,
придумал термин парадокс Паррондо, после чего в 1999 г. Эббот опубликовал
свою работу, в которой была произведена проверка противоречащего
интуиции результата, полученного самим Паррондо.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 г. до н. э.), Аристотелево колесо (320 до н. э.), Закон
больших чисел (1713), Санкт-Петербургский парадокс (1738), Парадокс брадобрея (1901),
Парадокс Банаха-Тарского (1924), Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта (1925), Парадокс
дней рождения (1939), Парадокс береговой линии (1950), Парадокс Ньюкома (1960 ■
Физик Хуан Паррондо был вдохновлен подобными шестеренками, поведение которых
может противоречить интуиции, особенно когда рассматриваются возможности их
использования в микроскопических устройствах. Паррондо перенес свои идеи, связан
ные с физическими устройствами, в область азартных игр.
496

ν

Поиски холиэдра
Джон Хортон Конвей (р. 1937), Джейд П. Винсон (р. 1976)
Рассмотрим традиционный многогранник, построенный из набора
многоугольников, являющихся гранями. Холиэдром называется такой
многогранник, у каждой грани которого имеется по крайней менее одно отверстие в
форме многоугольника. Границы этих отверстий не имеют общих точек ни друг с
другом, ни с ребрами многогранника. Например, рассмотрим сплошной куб,
имеющий шесть граней. Затем представим себе, что через одну из граней мы
вдвигаем в этот куб пятигранный стержень, который проходит куб насквозь и
выходит с другой стороны, образуя пятиугольный туннель. В данный момент
мы построили объект с 11 гранями (6 исходных граней куба и 5 новых граней
в пятиугольном туннеле), и только у 2 из этих 11 граней имеются пробитые
в них отверстия. Каждый раз, когда мы будем пробивать отверстие, мы
будем создавать еще большее количество новых граней. Огромная проблема при
построении холиэдра заключается в том, чтобы проделать отверстия таким
образом, чтобы они в конечном счете пропели более чем через одну грань с
целью сокращения числа граней, которые остались совсем без отверстий.
Концепция холиэдра впервые была предложена математиком Джоном X.
Конвеем из Принстона в 1990-х гг., который предложил награду в размере
10 000 долл. любому, кто сможет найти такие объекты. Он также оговорил в
качестве особого условия, что его денежное вознаграждение будет разделено
на количество граней такого объекта. В 1997 г. Дэвид У. Уилсон придумал
слово «холиэдр» для обозначения такого перфорированного многогранника.
Наконец, в 1999 г. американский математик Джейд П. Винсон
обнаружил первый в мире образец холиэдра, насчитывающего в общей
сложности 78 585 627 граней (которые, очевидно, сильно уменьшили
денежный приз Винсона)! В 2003 г. специалист по компьютерной графике Дон
Хэтч обнаружил холиэдр с 492 гранями. Поиск новых холиэдров
продолжается.
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Архимедовы полуправильные
многогранники (240 до н. э.), Эйлерова характеристика выпуклых многогранников
(1751), Задача принца Руперта (1816), Игра «Икосиан» (1857), Теорема Пика
(1899), Геодезический купол (1922), Многогранник Часара (1949), Многогранник
Силаши (1977), Спидроны (1979).
СЛЕВА: Пример проталкивания треугольного стержня через куб. СПРАВА: Отверстия
и туннели в антарктической ледяной пещере напоминают великолепные пористые
структуры холиэдра. Конечно, у холиэдра должны иметься туннели, ограненные
многоугольниками, и каждая из плоских стен холиэдра в туннеле должна содержать как
минимум одно отверстие в форме многоугольника.

о
о
Задача о складывании простыни
Бритни Гэлливен (р. 1985)
Представьте, что ночью у вас случилась бессонница и вы решили снять с
кровати простыню, которая в толщину составляет около 0,4 мм. Вы сложили ее
один раз, и ее толщина стала равной 0,8 мм. Сколько раз вам надо сложить
простыню, чтобы ее толщина стала равной расстоянию от Земли до Луны?
Самое замечательное, что если вы сложите простыню всего лишь 40 раз, то
вы будете спать на Луне! В другом варианте этой задачи у вас в руках лист
простой бумаги толщиной 0,1 мм. Если бы вы могли сложить его 51 раз,
то толщина сложенного листа стала бы больше, чем расстояние от Земли до
Солнца! Увы, физически нельзя сложить такие объекты столько раз. На всем
протяжении ΙΘΟΟ-x гг. преобладал здравый смысл, подсказывающий, что в
реальности лист бумаги нельзя сложить пополам более 7 или 8 раз, даже если
исходный лист бумаги был большим. Тем не менее в 2002 г. школьница
Бритни Гэлливен потрясла мир известием о том, что она смогла сложить лист
пополам 12 раз.
В 2001 г. Гэлливен выписала формулу, которая характеризует
предельное число раз, в которое можно сложить лист бумаги данного размера в
одном направлении. Для случая листа толщиной t можно найти исходную
минимальную длину бумаги L, необходимую для складывания листа η раз:
L = [(πί)/6] χ (2" + 4) χ (2" — 1). Можно исследовать характер изменения
функции (2" + 4) χ (2" — 1). Начиная с η = 0, получаем последовательность целых
чиселО, 1, 4,14, 50,186, 714, 2794,11050, 43946,175274, 700074 .... Это
означает, что при складывании листа бумаги пополам в одиннадцатый раз
количество материала, которое будет потеряно на складывание вдоль краев складок,
будет в 700 074 раз больше того количества материала, которое потеряется при
первом складывании пополам.
СМ. ТАКЖЕ Апории Зенона (445 до н. э.), Энциклопедия целочисленных
последовательностей (1996).
В 2001 г. Бритни Гэлливен выписала формулу, которая характеризует то предельное
число раз, в которое мы сможем сложить простыню или лист бумаги данного размера
в одном направлении.
500

\
Ν

о
о
Решение игры «Овари»
ДжонУ. Ромейн (р. 1970), Анри Э. Бал (р. 1958)
«Овари» является древней африканской настольной игрой, которой уже
более 3500 лет. В наши дни «Овари» является национальной игрой Ганы, в нее
играют по всей Западной Африке и Карибском бассейне. Игра «Овари»
является игрой типа «подсчета и захвата» и относится к семейству стратегических
игр, называемому манкала.
Доска для игры в «Овари» состоит из двух рядов по шесть лунок
(углублений в доске), в начале игры с четырьмя камнями (в качестве которых
используются бобы, семена или мелкие камешки) в каждой лунке. Каждому игроку
принадлежит по шесть лунок, и игрок, делающий ход, перекладывает
камни из одной лунки в другие. Делая ход, игрок выбирает одну из шести своих
лунок, вынимает из нее все свои камни и кладет по одному камню в каждую
лунку против часовой стрелки от исходной лунки. Второй игрок затем берет
камни из одной из шести лунок со своей стороны и проделывает то же самое.
Если игрок кладет последний камень в лунку противника и в ней оказывается
2 или 3 камня, то он забирает все камни из этой лунки в свою
лунку-накопитель. Если в предыдущей лунке на стороне противника также оказывается 2
или 3 камня, игрок их тоже забирает. Игроки берут камни только из лунок на
стороне соперника. Игра заканчивается, когда у одного из игроков в лунках на
его стороне доски не остается камней. Выигрывает тот, кто захватит больше
камней.
Игра «Овари» привлекала к себе большой интерес исследователей в области
искусственного интеллекта, в которой иногда разрабатываются алгоритмы
для решения головоломок или игровых ситуаций, но вплоть до 2002 г. никто
не знал, существует ли игра типа «крестиков-ноликов», которая
заканчивалась бы вничью при условии, что в нее будут играть идеальные игроки.
Наконец, программисты Джон У. Ромейн и Анри Э. Бал из Амстердамского
свободного университета написали компьютерную программу, которая
рассчитывает результат для всех 889 063 398 406 позиций, которые могут возникнуть при
игре в «Овари», и доказали, что эта игра должна заканчиваться вничью для
случая идеальных игроков. Большой объем вычислений потребовал около 51
часа работы компьютерного кластера с 144 процессорами.
СМ. ТАКЖЕ Крестики-нолики (1300 до н. э.), Го (548 до н. э.), Дональд Кнут и игра
«Быки и коровы» (1970). Головоломка «Вечность» (1999), Решение игры в шашки (2007).
Игра «Овари» привлекала к себе большой интерес исследователей в области
искусственного интеллекта. В 2002 г. специалисты по компьютерным играм рассчитали
результат для всех 889 063 398 406 позиций, которые могут возникнуть в игре «Овари»,
и доказали, что эта игра должна заканчиваться вничью для случая идеальных игроков.

ч

о
о
NP-полнота игры «Тетрис»
Эрик Д. Демэйн (р. 1981), Сьюзан Хохенбергер (р. 1978),
Дэвид Либен-Новелл (р. 1977)
Тетрис — весьма популярная видеоигра, представляющая собой падающие
кирпичики, изобретенная в 1985 г. российским компьютерным инженером
Алексеем Пажитновым. В 2002 г. специалисты по компьютерным
вычислениям количественно оценили трудность игры «Тетрис» и показали, что она
имеет сходство со сложнейшими проблемами математики, которые не имеют
простых решений, а для нахождения оптимальных решений требуют полного
перебора вариантов.
В тетрисе игральные фигурки появляются в верхней части игрового поля
и падают вниз. По мере медленного падения вниз данной фигурки, игрок
может поворачивать ее, либо двигать из стороны в сторону. Фигурки называются
«тетрамино» и состоят из четырех соединенных вместе квадратиков. Тетра-
мино имею форму буквы «Т», либо другую более простую форму. Когда одна
фигурка достигает своего места в нижней части поля, где она останавливается,
сверху начинает падать следующая. Всякий раз, когда ряд внизу заполняется
квадратиками без пробелов, этот ряд удаляется, а все ряды выше него
опускаются на один ряд вниз. Игра заканчивается, когда новая фигурка тетрамино не
сможет упасть, потому что она блокируется. Цель игрока заключается в том,
чтобы играть как можно дольше для максимального увеличения своего счета.
В 2002 г. Эрик Д. Демэйн, Сьюзан Хохенбергер и Дэвид Либен-Новелл
исследовали обобщенную версию этой игры, в которой сетка игрового поля
могла бы иметь любое количество квадратов в ширину и высоту. Эта группа
исследователей обнаружила, что, если попытаться максимально увеличить
количество рядов при игре с заданной последовательностью тетрамино, то игра
окажется NP-полной («NP» расшифровывается как «недетерминировано-по-
линомиальная»). Несмотря на то что задачу такого класса можно проверить
на предмет правильности ее решения, в действительности для нахождения ее
решения может потребоваться чрезмерно много времени. Классическим
примером NP-полной задачи является задача коммивояжера, которая состоит в
нахождении кратчайшего маршрута продавца, либо сотрудника службы до
ставки, который должен посетить много разных городов. Такие задачи явля
ются трудными, потому что нет быстрого и эффективного алгоритма для
поиска их решений.
СМ. ТАКЖЕ Крестики-нолики (1300 до н. э.), Го (548 до н. э.), Головоломка «Вечность»
(1999), Решение игры «Овари» (2002), Решение игры в шашки (2007).
В 2002 г. специалисты по компьютерным вычислениям количественно оценили
трудность игры «Тетрис» и показали, что она имеет сходство со сложнейшими
проблемами математики, которые не имеют простых решений, а для нахождения
оптимальных решений требуют исчерпывающего анализа.
504

о
о
Телесериал «4исла»
Николас Фалаччи (р. 1959) и Шерил Хыотон (р. 1957)
Телесериал «4исла» (в оригинале NUMB3RS) — это американское
телевизионное шоу, созданное супружеской командой сценаристов Николасом Фалаччи
и Шерил Хыотон. Сюжет этой криминальной драмы разворачивается вокруг
талантливого математика, Чарли Эппса, который помогает ФБР в раскрытии
преступлений с помощью своих гениальных математических способностей.
Может показаться, что не стоило бы включать в эту книгу обычное телешоу
наряду с такими известными понятиям^, как Великая теорема Ферма или
работы Евклида. Но ВС6 ЯСС «4исла» является достаточно важной темой,
поскольку стал первым весьма популярным еженедельным сериалом, сюжет которого
вращался вокруг математики, в котором имелась команда консультантов по
математике и который также получал критические замечания от
математиков. Формулы, которые показывались в этом телешоу, были реальными и
подходили к соответствующим сериям. Математическое содержание шоу «4исла»
варьировалось от криптоанализа, теории вероятностей и Фурье-анализа до ба-
ейсовс ого анализа и основ геометрии.
Шоу «4исла» доказало свою значимость также потому, что создавало
большие возможности для обучения студентов. Например, учителя математики
использовали уроки телесериала на своих занятиях, а в 2007 г. сам
телесериал «4исла» и его создатели получили ΗβΓρβΛν Национального комитета по
науке за свой вклад в повышение научной и математической грамотное ги
населения. В сериале упоминаются такие известные математики, как Архимед,
Пал Эрдёш, Пьер-Симон Лаплас, Джон фон Нейман, Бернхард Риман, Стивен
Вольфрам — часть тех, кто встречался на страницах данной книги! Кендрик
Фрейзер пишет: «Наука, разум и рациональное мышление играют в этих
историях столь заметную роль, что Американская ассоциация содействия
развитию науки в 2006 г. посвятила целых полдня своего ежегодного симпозиума
роли этой программы в изменении общественного восприятия математики».
Серии телешоу начинаются со слов, посвященных математике: «Mi r все
используем математику повсюду. Для того чтобы сказать, который час, для
предсказания погоды, для подсчета денег... Математика — это больше, чем
просто формулы и уравнения. Математика — это больше, чем просто цифры.
Это — логика. Это — рациональность. Она использует разум для решения самых
больших известных нам загадок».
СМ. ТАКЖЕ «Математические развлечения» Мартина Гарднера (1957), Эрдёш и его опыт
математического сотрудничества (1971).
Сцена из сериала «4исла» — американского телевизионного шоу с участием
талантливого математика, который помогает ФБР раскрывать преступления, используя свои
гениальные математические способности. Шоу было первым популярнейшим
еженедельным сериалом, сюжет которого вращался вокруг математики и которое
консультировала команда математиков.
506

I >
I
\

о
о
кг
Решение игры в шашки
Джонатан Шеффер (р. 1957)
В 2007 г. математик-программист Джонатан Шеффер с коллегами с помощью
компьютеров доказали, что шашки, в том случае если в них играют
абсолютно правильно, являются безвыигрышной игрой. Это означает, что шашки
напоминают «крестики-нолики» — игру, в которую невозможно выиграть, если
оба игрока не делают неверных ходов. Обе игры заканчиваются вничью.
Чтобы доказать это, Шефферу потребовалась работа сотен компьютеров в
течение 18 лет, что сделало шашки самой сложной игрой, которая когда-либо
была решена. Это также означает, что теоретически возможно построить
такую машину, которая никогда не будет проигрывать человеку.
Шашки, для которых используется клеточная доска 8x8, получили
колоссальную популярность в Европе в XVI в., а наиболее ранние версии данной
игры были обнаружены в руинах античного города Ур (ок. 3000 лет до н. э.)
на территории современного Ирака. Фигурки шашек часто имеют форму
черных и красных дисков, которые передвигают по диагонали. Игроки
поочередно делают ходы и «съедают» шашки противника, «перепрыгивая» через них
своими шашками. Конечно, при том, что в шашках имеется примерно 5 χ 1020
возможных комбинаций, доказать то, что в этой игре гарантируется ничья,
гораздо сложнее, чем доказать, что в крестики-нолики выиграть невозможно.
Группа ученых, изучающих шашки, рассмотрела 39 000 миллиардов
комбинаций с 10 или меньшим числом шашек на доске и затем определила,
могут ли красные или черные выиграть партию. Также эта исследовательская
группа использовала специальный поисковый алгоритм для изучения дебюта
данной игры и наблюдения за тем, как в результате дебютных ходов
образуются 10-шашечные комбинации. Решение проблемы шашек стало важнейшей
ступенью в области искусственного интеллекта, где зачастую
разрабатываются стратегии решения сложных компьютерных задач.
В1ΘΘ4 г. программа Шеффера Chinook сыграла несколько партий вничью с
чемпионом мира по шашкам Марионом Тинсли. Через восемь месяцев Тинсли
умер от рака, и некоторые стали упрекать Шеффера, что он ускорил кончину
Тинсли стрессом, который тот пережил, сыграв вничью с программой Chinook.
СМ. ТАКЖЕ Крестики-нолики (1300 до н. э.), Го (548 до н. э.), Игра «Почки и побеги»
(1967), Решение игры «Овари» (2002).
Французский художник Луис-Леопольд Бойли (1761—1845) в 1803 г. написал эту сцену
семейной игры в шашки. В 2007 г. специалисты в области компьютерных вычислений
доказали, что игра в шашки, когда в нее играют идеальные игроки, всегда должна
кончаться вничью.
508

ΝΛ
■ Λ

о
о
кг
В поисках группы Ли Е,
Мариус Софус Ли (1842-1899),
Вильгельм Карл Иозеф Киллинг (1847-1923)
8
В течение более ста лет математики пытались понять огромный 248-мерный
объект, известный им только как Eg. И наконец, в 2007 г. для укрощения
этого сложного зверя международная группа математиков и программистов
использовала суперкомпьютер.
В качестве лирического отступления рассмотрим книгу Mysterium
Cosmographicum («Тайна мира») Иоганна Кеплера (1571—1630), который был
так увлечен изучением симметрии, что предположил, что вся Солнечная
система и орбиты планет могут быть смоделированы Платоновыми телами, такими,
как куб и додекаэдр, вложенными один в другой, образуя при этом слои
наподобие гигантской кристаллической луковицы. Эти виды кеплеровской
симметрии были ограниченными как по сфере применения, так и в количественном
отношении, однако в самой Вселенной властвуют такие виды симметрии,
которые Кеплеру, вероятно, трудно было бы представить в своем воображении.
В конце XIX в. норвежский математик Софус Ли изучал объекты с
гладкой симметрией вращения, наподобие сферы или бублика в нашем обычном
трехмерном пространстве. В размерностях 3 и выше эти виды симметрии
описываются группами Ли. Немецкий математик Вильгельм Киллинг в 1Θ87 г.
предположил существование группы Ли Е8. Более простые группы Ли
контролируют форму электронных орбиталей и симметрии элементарных частиц.
Большие группы, такие как Е8, могут когда-нибудь дать ключ к созданию
единой теории физики и помочь ученым в понимании теории струн и гравитации.
Фокко дю Клу, голландский математик и специалист по компьютерным
вычислениям, который был одним из членов команды, занимавшейся
поисками группы Е8, писал программное обеспечение для суперкомпьютеров и
размышлял о применениях группы Е8 в то время, когда он умирал от бокового
амиотрофического склероза и дышал с помощью аппарата искусственного
дыхания. Он умер в ноябре 2006 г., не дожив до конца поисков Eg.
8 января 2007 г. суперкомпьютер вычислил последнюю запись в таблице
для Е8, которая описывает симметрии 57-мерного объекта, который можно
представить способным вращаться в 248 направлениях без изменения своего
внешнего вида. Это исследование является важным успехом в прогрессе
математических знаний и использовании больших суперкомпьютеров для
решения глубоких математических проблем.
СМ. ТАКЖЕ Платоновы тела (350 до н. э.), Теория групп (1832), Группы симметрии
орнаментов (1891), Группа-Монстр (1981), Математическая гипотеза Вселенной (2007).
Граф группы Е8. В течение более ста лет математики пытались понять эту
огромную 248-мерную сущность. В 2007 г. суперкомпьютер вычислил последнюю запись в
таблице для Ее, которая описывает симметрии некоторого 57-мерного объекта.
510

3-S?
J^
^r
?v-: *-.',, 4:
Λ*
>- .*s. л
-' -' · if-." --
■J' ■«..'»,,
.: v
s/
■-.** -',
.'■--...*■ ч
**;
.-·■:
X.
^ ^.Ъ
ι

о
о
кг
Математическая гипотеза
Вселенной
Макс Тегмарк (р. 1967)
В этой книге мы столкнулись с различными геометриями, которые, как
полагают, хранят в себе ключи от Вселенной. Иоганн Кеплер смоделировал
Солнечную систему с помощью таких Платоновых тел, как додекаэдр. Большие
группы Ли, подобные группе Ли Eg, могут когда-нибудь помочь в создании
единой теории физики. Даже Галилей в XVII в. говорил, что «Великая книга
природы написана на языке математики». В 1960-х гг. физик Юджин Вигнер
был впечатлен «необоснованной эффективностью математики в естественных
науках».
В 2007 г. шведско-американский космолог Макс Тегмарк опубликовал
научно-популярные статьи по математической гипотезе Вселенной (МГВ),
которая утверждает, что наша физическая реальность является математической
структурой и что наша Вселенная не просто описывается математикой — она
и есть сама математика. Тегмарк является профессором физики в Массачусет-
ском технологическом институте и научным директором Института
основополагающих вопросов. Он отмечает, что, когда мы рассматриваем равенства типа
1 + 1 = 2, обозначения для чисел не так важны по сравнению с отношениями,
которые описываются этими равенствами. Он считает, что «мы не изобретаем
математические структуры — мы обнаруживаем их, а изобретаем только
обозначения для их описания».
Из гипотезы Тегмарка следует, что «все мы живем в гигантском
математическом объекте — таком, который является более сложным, чем додекаэдр,
и, вероятно, более сложном, чем объекты с такими устрашающими
названиями, как многообразие Калаби—Яу, тензорные расслоения и пространства
Гильберта, появляющиеся сегодня в самых передовых теориях. Все в нашем
мире является чисто математическим, включая вас самих». Если эта идея
кажется притиворечащей интуиции, это не должно вызывать удивления, потому
что многие современные теории, такие, как квантовая теория и теория
относительности, могут бросать вызов интуиции. Как сказал однажды математик
Рональд Грэм: «Наш мозг развивался для того, чтобы уберечь нас от дождя,
помочь найти место, где растут ягоды, и спасти нас от насильственной смерти.
Hani мозг не развивался в том направлении, чтобы помочь нам понять
действительно большие числа или посмотреть на объекты в сотнях тысяч измерений».
СМ. ТАКЖЕ Клеточные автоматы (1952), В поисках группы Ли Ε (2007).
Согласно математической гипотезе Вселенной, наша физическая реальность
является математической структурой. Наша Вселенная не просто описывается
математикой — она и есть сама математика.

*
air тл

Примечания
и список дополнительной литературы
Я составил следующий список, в который вошли некоторые материалы, использованные
мной при написании данной книги. Как многим известно, интернет-сайты «приходят и
уходят». Иногда они меняют адреса или полностью исчезают. Когда писалась эта книга,
значительный объем информации брался мной с сайтов, адреса которых приведены ниже.
Если я пропустил какое-то интересное или важное явление в математике, которое, на
ваш взгляд, было незаслуженно забыто, пожалуйста, сообщите мне об этом. Для этого
нужно всего лишь зайти на сайтpickover.com и отправить мне электронное письмо,
описывающее математическую идею и ваше мнение о ее влиянии на математическое сообщество.
Возможно, в следующее издание этой книги войдут такие математические изюминки как
гёмбёц, древнейший китайский математический трактат Suan Shii Shu, задача Фробениу-
са о почтовой марке, головоломка «Танграм», а также математические работы Софи Жер-
мен.
В целях экономии места из печатного варианта книги многие ссылки были удалены.
Однако ссылки на дополнительные источники, а также примечания и более полные
цитаты можно найти на страничке pickover.com/mathbook.html.
Ниже использованы общепринятые сокращения для названий следующих издательств:
АКР: А. К. Peters, Ltd., Wellesley, MA; AMS: American Mathematical Society, Providence,
RI; Dover: Dover Publications, NY; CUP: Cambridge University Press, NY; Freeman: W. H.
Freeman, NY; HUP: Harvard University Press, Cambridge, MA; MM: The Mathematical
Association of America, Washington, DC; MIT: MIT Press, Cambridge, Massachusetts; Norton:
W. W. Norton & Company, NY; OUP: Oxford Univesity Press, NY; PUP: Princeton
University Press, Princeton, NJ; RP: Running Press, Philadelphia, PA; S&S: Simon & Schuster, NY;
TMP: Thunder's Mouth Press, NY; UBM: The Universal Book of Mathematics; UCP:
University of Chicago Press, Chicago, IL; Wiley: John Wiley & Sons, Hoboken, NJ; W&N: Weiden-
feld & Nicholson, London; WS: World Scientific, River Edge, NJ.
(Более подробное и развернутое изложение многих математических идей, приведенных
в данном издании, можно найти в книге Айгнер М., Циглер Г. Доказательства из Книги.
Лучшие доказательства со времен Евклида до наших дней. - Пер. 4-го англ. изд. - М.:
БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. - Прим.ред.)
Список общей литературы
Anderson, Μ., Victor К., Wilson, R. Sherlock
Holmes in Babylon and Other Tales of
Mathematical History. MAA, 2004.
Boyer, С , Merzbach, U. A History of Mathematics.
Wiley, 1991.
Darling, D. The Universal Book of Mathematics.
Wiley, 2004.
Dunham, W. Journey through Genius. NY
Penguin, 1991.
Gardner, M. Martin Gardner's Mathematical
Games (CD-ROM). MAA, 2005
Gullberg, J. Mathematics. Norton, 1997.
Hawking, S. God Created the Integers, RP, 2005.
Hodgkin, L. A History of Mathematics. OUP,
2005.
O'Connor, J., Robertson, E. MacTutor History of
Math Archive, tinyurl com/5ec5wq.
Weisstein, E. Math World Wolfram web resource.
mathworld.wolfram.com.
Wikipedia Encyclopedia, www.wikipedia.org.
Книги Клиффорда А. Пиковера
Я часто использовал свои собственные книги в
качестве справочной информации для
различных статей этой книги, однако, в целях эконо-
514 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

мии места, я обычно в каждой из статей не
повторяю список ссылок в виде нижеуказанного
перечня своих книг:
Pickover, С. Keys to Infinity. Wiley, 1995.
Pickover, С. Surfing through Hyperspace. OUP,
1999.
Pickover, C. Computers, Pattern, Chaos, and
Beauty. Dover, 2001.
Pickover, С Wonders of Numbers. OUP, 2001.
Pickover, C. The Zen of Magic Squares, Circles,
and Stars. PUP, 2001.
Pickover, C. The Paradox of God. NY: Palgrave,
2001.
Pickover, C. Calculus and Pizza. Wiley, 2003.
Pickover, C. A Passion for Mathematics. Wiley,
2005.
Pickover, С The Mobius Strip. TMP, 2006.
Pickover, C. From Archimedes to Hawking. OUP,
2008.
Pickover, С The Loom of God. NY: Sterling, 2009.
Список дополнительной литературы
к статьям в этой книге
Введение
Devlin, К. tinyurl.com/6kvje4&tinyurl.
com/5k9wry.
Dorrie, H. 100 Great Problems of Elementary
Mathematics. Dover, 1965.
Ifrah, G. The Universal History of Numbers.
Wiley, 1999.
Kaku, M. Hyperspace. NY: Anchor, 1995.
Kammerer, P. Das Gesetz der Serie. Stuttgart:
Deutsche Verlags-Anstalt, 1919.
Klarreich, E. Sci. News. 165:266;2004.
Kruglinski, S. tinyurl.com/23rosl.
Шагомер у муравьев, 150 млн лет до н. э.
Devlin, К., tinyurl com/64twpu.
Wittlinger, Μ , Wehner, R, Wolf, H., Science,
312: 1965, 2006.
Счет у приматов, 30 млн лет до н. э.
Вегап, М., Animal Cognit. 7:86;2004.
Kalmus, Η., Nature 202:1156;1964.
Matsuzawa, Т., Nature 315:57;1985.
Цикады и простые числа, 1 млн лет до н. э.
Campos, P. etal. Phys. Review Lett. 93: 098107-1;
2004.
Goles, Ε., Schulz, О., Markus, Μ. Nonlinear Phe-
nom. in Complex Sys. 3: 208; 2000.
Hayes, B. Am. Scient. 92: 401; 2004.
Peterson, I. tinyurl.com/66h3hd.
Узлы, 100 000 лет до н. э.
Bouzouggar, A. et al. Proc. Natl. Acad. Sci. 104:
9964; 2007.
Meehan, B. The Book of Kells. London: Thames &
Hudson, 1994.
Sossinsky, A. Knots. HUP, 2002.
Кость Ишанго, 18 000 лет до н. э.
Bogoshi, J., Naidoo, К., Webb, J. Math Gazette.
71: 294; 1987.
Teresi, D. Lost Discoveries. S&S, 2002.
Кипу, 3000 г. до н. э.
Ascher, M., Ascher, R. Mathematics of the Incas.
Dover, 1997.
Mann, С Science. 309: 1008; 2005.
Игральные кости, 3000 г. до н. э.
Hayes, В. Am. Scient. 89: 300; 2001.
Магические квадраты, 2200 г. до н. э.
Pickover, С. The Zen of Magic Squares, Circles,
and Stars. PUP, 2001.
Плимптон 522, 1800 г. до н. э.
Robson, E. Am. Math Monthly. 109: 105; 2002.
Папирус Ринда, 1650 г. до н. э.
Eves, H. Great Moments in Mathematics (Before
1650). MAA, 1983.
Robins, G., Shute, С The Rhind Mathematical
Papyrus. Dover, 1990.
Крестики-нолики, 1300 г. до н. э.
К. Заславский отмечает, что в 3300-летнем
храме, воздвигнутом в память фараона Сеха I, доска
для игры в крестики-нолики была высечена на
стене этого храма. Реальные современные
правила игры в крестики-нолики впервые были
описаны К. Бэббиджем примерно в 1820 г.
Zaslavasky, С. Tic Tac Toe and Other Three-In-A-
Row Games. NY: Thomas Crowell, 1982.
Теорема и треугольники Пифагора, 600 г. до н. э.
Loomis, E. Pythagorean Proposition.
Washington, DC: Natl. Council of Teachers of Math,
1972.
Maor, E. The Pythagorean Theorem. PUP, 2007.
Го, 548 до н. э.
Frankel, К. Sci. Am. 296: 32; 2007.
ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 515

Пифагор и его математическое братство, 530 г.
до н. э
Gorman, P. Pythagoras. London: Routledge Ke-
gan & Paul, 1978.
Russell, В. A History of Western Philosophy.
S&S, 1945.
Апории Зенона, 445 г. до н. э.
McLaughlin, W. Sci. Am. 271: 84; 1994.
Гиппократовы луночки, 440 г. до н. э.
Dunham, W. Journey through Genius. NY:
Penguin, 1991.
Платоновы тела, 350 г. до н. э.
Платоновы тела являются выпуклыми
многогранниками. Многогранник называется
выпуклым, если для каждой пары точек,
принадлежащих его форме, весь отрезок, соединяющий
две этих точки, будет лежать внутри его формы.
Некоторые астрофизики предположили, что вся
наша Вселенная может быть в форме
додекаэдра.
«Органон» Аристотеля, 350 г. до н. э.
SparkNotes. tznyurl coml5qhble.
«Начала» Евклида, 300 г. до н. э.
Воуег, С., Merzbach, U. A History of
Mathematics. Wiley, 1991.
Архимед, песчинки и быки, 250 г. до н. э.
Дорри называет четырех ученых, которые не
считают, что версия с быками, которая в
ответе дает такое гигантское число, как-то связана
с Архимедом, но он также называет других
четырех авторов, которые считают, что эту задачу
следует приписать Архимеду.
Dorrie, H. 100 Great Problems of Elementary
Mathematics. Dover, 1965.
Williams, H. German, R., Zamke, C. Math. Com-
put. 19: 671; 1965.
Число π, 250 г. до н. э.
В своей книге «Новые основы математики» (А
New Introductzon to Mathematics), написанной
Уильямом Джонсом в 1706 г., он впервые ввел
для этой известной константы греческую букву
π. Символ π позже получил популярность
благодаря Леонарду Эйлеру, который начал
использовать его в 1737 г.
Архимедовы полуправильные многогранники,
240 г. до н. э.
Полуправильные многогранники включают в
себя 13 архимедовых тел, а также призмы и
антипризмы, если все их грани являются
правильными многоугольникми.
Архимедова спираль, 225 г. до н. э.
Gardner, M. The Unexpected Hanging and Other
Mathematical Diversions. UCP, 1991.
«Альмагест» Птолемея, 150 г. н. э.
Grasshoff, G. The History of Ptolemy's Star
Catalogue. NY: Spnnger, 1990.
Gullberg, J. Mathematics. Norton, 1997.
«Арифметика» Диофанта, 250 г.
Г. Ив пишет: «Как и когда новые символы цифр
первыми вошли в Европу, до сих пор
неизвестно. Они могли быть введены в Испании арабами,
которые вторглись на пиренейский полуостров в
711 г. Полная система счисления получила еще
более широкое распространение в двенадцатом
веке в виде перевода трактата аль-Хорезми на
латынь...».
Eves, H. An Introduction to the History of
Mathematics. Boston, MA: Brooks Cole, 1990.
Swift, J. Amer. Math. Monthly. 63: 163; 1956.
Теорема Паппа, 340 г.
Dehn, Μ. Am. Math. Monthly. 50: 357; 1943.
Heath, T. A History of Greek Mathematics.
Oxford: Clarendon, 1921.
Рукопись Бакшали, 350 г.
Дата рукописи по-прежнему является
предметом дискуссии. Многие из более ранних ученых
датировали ее примерно 400 г. Г. Ифра пишет,
что «рукопись Бахшали не могла быть написана
ранее девятого века, [однако], вполне вероятно,
что рукопись в современной форме была издана
как комментарий, либо как копия более ранней
математической работы».
Ifrah, G. The Universal History of Numbers.
Wiley, 1999.
Teresi, D. Lost Discoveries. S&S, 2002.
Ноль, 650 г.
Arsham, Η. tinyurl.com/56zmcv.
516 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

«Задачи для заострения умов юношества» Алку-
ина, 800 г.
Atkinson, L. College Math. J. 36: 354; 2005.
Peterson, I. tinyurl.com/5dyyes.
Кольца Борромео, 834 г.
Cromwell, P. et al. Math. Intelligencer. 20: 53;
1998.
Freedman, M., Skora, R. J. Differential Geom. 25:
75; 1987.
Lindstrom, В., Zetterstrom, H. Am. Math.
Monthly. 98: 340; 1991.
Формула Сабита для дружественных чисел, 850 г.
Gardner, Μ. Mathematical Magic Show. MAA,
1989.
«Книга разделов об индийской математике», 953 г.
Morelon, R. Encyclopedia of the History of Arabic
Science. London: Routledge, 1996.
Saidan, A. S. Isis. 57: 475; 1966.
Teresi, D. Lost Discoveries. S&S, 2002.
«Трактат» Омара Хайяма (1070)
Разные ученые также работали над биномом
Ньютона, включая китайского математика Яна
Хуэя (ок. 1238-1298), индийского математика
Пингала, которые, похоже, жили в третьем веке
до нашей эры, и Исаака Ньютона, обобщившего
эту формулу для других показателей степени.
«Блестящая книга» Самуила ал-Магриби, 1150 г.
O'Connor, J., Robertson, E. tinyurl com/5ctxvh.
Perlmann, Μ. Proc. Am. Acad. Jew. Res. 32: 15;
1964.
Счёты, 1200 г.
Слово «Счёты» может происходить от
древнегреческого слова «abax» («вычислительная
таблица») и/или от древнееврейского «abaq», что
означает «пыль».
Ewalt, D. tinyurl.coml5psj89.
Ifrah, G. The Universal History of Computing.
Wiley, 2002.
«Книга абака» Фибоначчи, 1202 г.
В настоящее время многие авторы начинают
последовательность Фибоначчи с О, в виде О, 1, 1,
2, 3... . Следует отметить, что число столбцов в
микроканальцах млекопитающих, как
правило, выражается числом Фибоначчи.
Воуег, С, Merzbach, U. A History of
Mathematics. Wiley, 1991.
Задача о зёрнах на шахматной доске, 1256 г.
Gullberg, J. Mathematics. Norton, 1997.
Расходимость гармонического ряда, 1350 г.
Dunham, W. College Math. J. 18: 18; 1987.
«Тревизская арифметика», 1478 г.
Peterson, I. tinyurl com/6a9ngu.
Smith, D. Isis. 6:3U;1924.
Swetz, F. Capitalism and Arithmetic. Chicago
Open Court, 1986.
Swetz, F. Sci & Educat. 1: 365; 1992.
Представление числа го в виде суммы
бесконечного ряда, 1500 г.
Р. Рой говорит, что, хотя формула ряда
появляется в труде «Tantrasangraha», индийский
математик и астроном Нилакант Сомаяджи в своей
работе по астрономии, « Aryabhatiyabhasya»,
комментарии относительно «Арьябхэте»,
приписывает этот ряд для синуса математику Мад-
хава (1340-1425).
Roy, R. Math. Mag. 63: 291; 1990.
Золотое сечение, 1509 г.
Происхождение термина «Золотое сечение»
является спорным, но, по-видимому, этот термин
появился в XII в. Хотя последний этап в истории
золотого сечения начался благодаря трактату « О
божественной пропорции», написанному
итальянским математиком Лукой Паччоли (1509),
древнегреческие математики изучали это
соотношение гораздо раньше, потому что оно часто
появлялось в геометрических науках. Отметим,
что на рисунке, использованном для данной
статьи, изображены спирали Фибоначчи,
основанные на последовательных членах
последовательность Фибоначчи. Поскольку отношения
между последовательными членами ряда Фибо-
1 + V5
наччи равны золотому сечению φ = , то эти
две спирали очень похожи по внешнему виду.
«Полиграфия» И. Тритемия, 1518 г.
Peterson, I. tinyurl com/6gvf6k.
ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 517

«Великое искусство» Кардано, 1545 г.
Dunham, W. Journey through Genius. NY:
Penguin, 1991.
Gullberg, J. Mathematics. Norton, 1997.
O'Connor, J. Robertson, E. tinyurl com/5ue8kh.
«Краткое изложение», 1556 г.
Gray, S., Sandifer, С Math. Teacher. 94: 98; 2001.
Smith, D. Am Math Monthly. 28: 10; 1921.
Проекция Меркатора, 1569 г.
Short, J. The World through Maps. Richmond.
Hill, Ontario Firefly Books, 2003.
Thrower, N. Maps and Civilization. UCP, 1999.
Гипотеза Кеплера, 1611 г.
Donev, A. et al. Science. 303: 990; 2004.
Hales, T. Ann Math. 162: 1065; 2005.
Szpiro, G. Kepler's Conjecture. Wiley, 2003.
Логарифмы, 1614 г.
Gibson, G. Napier and the Invention of Logarithms
// Handbook of the Napier Tercentenary
Celebration. Ε. Μ. Horsburgh, ed. Los Angeles:
Tomash Publishers, 1982.
Tallack, P. The Science Book. W&N, 2003.
Логарифмическая линейка, 1621 г.
Φ. Кайори пишет: «Совершенно не очевидно,
что Деламин [ученик] украл это изобретение у
Отреда. Деламин мог быть независимым
изобретателем ».
Cajori, F. William Oughtred. Chicago: Open
Court, 1916.
Oughtred Society, oughtred org.
Stoll, С Sci. Am. 294: 81; 2006.
Спираль Ферма, 1636 г.
Mahoney, Μ. The Mathematical Career of Pierre
de Fermat. PUP, 1994.
Naylor, M. Math. Mag. 75: 163; 2002.
Последняя теорема Ферма, 1637 г.
Aczel, A. Fermat's Last Theorem. NY: Delta,
1997.
Singh, S. Fermat's Last Theorem. NY: Forth
Estate, 2002. (Русский перевод: Сингх С.
Великая теорема Ферма. - М.: МЦНМО,
2000. -Прим.ред.)
Геометрия Декарта, 1637 г.
Воуег, С, Merzbach, U. A History of
Mathematics. Wiley, 1991.
Grabiner, J. Math. Mag. 68: 83, 1995.
Gullberg, J. Mathematics. Norton, 1997.
Кардиоида, 1637 г.
Vecchione, G. Blue Ribbon Science Fair Projects.
NY: Sterling, 2005.
Логарифмическая спираль, 1638 г.
Gardner, Μ. The Unexpected Hanging and Other
Mathematical Diversions. UCP, 1991.
Проективная геометрия, 1639 г.
К другим выдающимся людям XV и начала
XVI вв., продвинувшим математическую
теорию, относились П. Франческа, Леонардо да
Винчи и А. Дюрер.
Труба Торричелли, 1641 г.
DePillis, J. 777 Mathematical Conversation
Starters. MM, 2002.
Треугольник Паскаля, 1654 г.
Gordon, J. et al. Phys. Rev. Lett. 56: 2280; 1986.
Теорема Вивиани, 1659 г.
De Villiers, Μ. Rethinking Proof with Sketchpad,
Emeryville. CA Key Curriculum Press, 2003.
Создание математического анализа, 1665 г.
В 1671 г. Ньютон написал работу по методам
разложения в ряды и флюксиям (флюксия -
термин, введенный Ньютоном для производной).
Эта работа, уже в 1671 г. известная
современникам Ньютона, не была опубликована вплоть до
1736 г.
Метод Ньютона, 1669 г.
Hamming, R. Numerical Methods for Scientists
and Engineers. Dover, 1986.
Задача о таутохроне, 1673 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
«Анализ бесконечно малых» Лопиталя, 1696 г.
Ball, W. A Short Account of the History of
Mathematics. NY: Dover, 1960.
Devlin, K. tinyurl com/6rc8ho.
Kleiner, I. J. Educat Studies in Math. 48: 137;
2001.
518 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Эйлерово число с, 1727 г.
Математическая константа е является особой по
многим причинам, например функция f(x) = e"
равна своей производной.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Kasner, E., Newman, J. Mathematics and the
Imagination. Dover, 2001.
Maor, Eli, e: The Story of a Number. PUP, 1998.
Формула Стирлинга, 1730 г.
Формула л! к се~" п"~' 2 была впервые обнаружена
Авраамом Муавром (1667-1754), где с -
постоянная, Стирлинг показал, что с = \!2π .
Ball, К. Strange Curves, Counting Rabbits, and
Other Mathematical Explorations. PUP, 2003.
Кривая нормального распределения, 1733 г.
Galton, F. Natural Inheritance. London Macmil-
lan, 1889.
Постоянная Эйлера -Маскерони, 1735 г.
Havil, J. Gamma. PUP, 2003.
Задача о Кёнигсбергских мостах, 1736 г.
Newman, J. Sci. Am. 189: 66; 1953.
Санкт-Петербургский парадокс, 1738 г.
Martin, R. tinyurl com/2sbcju
Bernstein, P. Against the Gods. Wiley, 1998.
Проблема Гольдбаха, 1742 г.
Doxiadis, A. Uncle Petros and Goldbach's
Conjecture. NY: Bloomsbury, 2000.
«Основы анализа» Аньези, 1748 г.
Mazzotb, M. The World of Maria Gaetana Agnesi.
Balbmore, MD: Johns Hopkins Univ. Press,
2007.
O'Connor, J., Robertson, E. tinyurl. com/3h74kl.
Struik, D. A Source Book in Mathematics, 1200-
1800. PUP, 1986.
Truesdell, С Arch, for Hist Exact Sci. 40: 113;
1989.
Эйлерова характеристика выпуклых
многогранников, 1751 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Wells, D. Math. Intelligencer. 12: 7; 1990 and 10:
30; 1988.
Эйлерова задача о разбиении многоугольников,
1751 г.
Dorrie, H. 100 Great Problems of Elementary
Mathematics. Dover, 1965.
Задача о ходе коня, 1759 г.
Dudeney, H. Amusements in Mathematics. Dover,
1970.
Теорема Байеса, 1761 г.
Некоторые историки считают, что задолго до
Байеса эта теорема, возможно, была открыта
английским математиком Николасом Саундер-
соном.
Магические квадраты Франклина, 1769 г.
Patel, L. J. Recr. Math. 23: 175; 1991.
Минимальная поверхность, 1774 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Задача о 36 офицерах, 1779 г.
Bose, R. et al. Canad. J. Math. 12: 189; 1960.
Геометрические задачи «сангаку», 1789 г.
Boutin, С. tinyurl.com/6nqdl5.
Rothman, Т., Fukagawa, H. Sci. Am. 278: 85;
1998.
Основная теорема алгебры, 1797 г.
Dunham, W. College Math. J. 22: 282; 1991.
«Арифметические исследования» Гаусса, 1801 г.
Hawking, S. God Created the Integers. RP, 2005.
Протрактор, 1801 г.
Huddart, W. Unpathed Waters. London: Quiller
Press, 1989.
U.S. Hydrographic Office. Bay of Bengal Pilot,
Washington, D.C.: Govt. Printing Office,
1916.
Ряд Фурье, 1807 г.
Jeans, J. Science and Music. Dover, 1968.
Ravetz, J., Grattan-Guiness, I. Fourier //
Dictionary of Scientific Biography. Gillispie, C, ed.
NY: Scribner, 1970.
«Аналитическая теория вероятностей» Лапласа,
1812 г.
Hawking, S. God Created the Integers. RP, 2005.
Richeson, A. Natl Math. Mag. 17: 73; 1942.
ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 519

Задача принца Руперта, 1816 г.
Хотя Джон Валлис был первым, кто описал эту
проблему, я датирую данную статью в
соответствии с датой, когда Питер Ньивланд
фактически нашел максимальный куб, который
проходит через куб. В некоторых первоисточниках,
по-видимому, предполагается, что описание
этой проблемы, которое было дано Валлисом, не
появилось на свет, пока не вышло в печати
второе издание его книги, опубликованной в 1693 г.
Guy, R., Nowakowski, R. Am. Math. Monthly.
104:967; 1997.
Функции Бесселя, 1817 г.
Korenev, В. Bessel Functions and Their
Applications. Boca Raton. FL: CRC Press, 2004.
Механичекий компьютер Бэббиджа, 1822 г.
Norman, J. From Gutenberg to the Internet. No-
vato, CA: Historyofscience. com, 200.
Swade, D. Sci. Am. 26886; 1993.
«Исчисление бесконечно малых» Коши, 1823 г.
Hawking, S. God Created the Integers. RP, 2005.
Waterhouse, W. Bull. Amer Math. Soc. 7: 634;
1982.
Барицентрическое исчисление, 1827 г.
Gray, J. Mobius's Geometrical Mechanics // Mo-
bius and His Band. Fauvel, J. et al. eds. OUP,
1993.
Неевклидовы геометрии, 1829 г.
Tallack, P. The Science Book. W&N, 2003.
Функция Мёбиуса, 1831 г.
Хотя Август Мёбиус разработал эту
последовательность в 1831 г., предварительная работа по
ее созданию была за 30 лет до Мёбиуса
выполнена К. Гауссом.
Теория групп, 1832 г.
Было бы неправильно считать, что вся теория
групп пришла в голову Галуа в его последнюю
ночь. И. Петерсон пишет: «В самом деле, Галуа
написал несколько статей на эту тему, начиная
с того момента, когда ему было всего 17 лет, и
во всех этих статьях содержится его новая идея
о "группах". Галуа действительно создал раздел
математики, занимавший ученых в течение
сотен лет, но не за одну ночь! »
Gardner, M. The Last Recreations. NY: Springer,
1997.
Peterson, I., tinyurl.com/6365zo.
Кватернионы, 1843 г.
Гамильтон опубликовал много работ,
посвященных разработке теории кватернионов, в том
числе статью «О кватернионах», опубликованную в
нескольких номерах журнала «Philos. Mag.» в
период с 1844 по 1850 гг.
Гипотеза Каталана, 1844 г.
Peterson, I. tinyurl com/6g5k8n.
Булева алгебра, 1854 г.
O'Connor, J., Robertson, E. tinyurl.com/Srv77h.
Гармонограф, 1857 г.
Кривые Лиссажу на самом деле впервые были
исследованы Н. Боудичем в 1815 г., а затем
независимо исследованы Ж. Лиссажу в 1857 г.
Возможно, картины Лиссажу не следует
рассматривать как картины «гармонографа», имея в виду,
что картины гармонографа зависят от
постепенного затухания колебаний.
Лента Мёбиуса, 1858 г.
Pickover, С. The Mobius Strip. TMP, 2006.
Теорема Гольдича, 1858 г.
Cooker, M. Math. Gaz. 82: 183; 1998.
Гипотеза Римана, 1859 г.
Derbyshire, J. Prime Obsession. NY: Plume, 2004.
Псевдосфера Бельтрами, 1868 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
«Теория игры в меледу» Луи Гро, 1872 г.
Примерно в 1500 г. итальянский математик
Лука Пачоли первым в Европе отметил эту
головоломку. Джон Уоллис проанализировал ее в
своей «Алгебре» в 1685 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Gardner, M. Knotted Doughnuts and Other
Mathematical Entertainments. Freeman, 1986.
Knuth, D. The Art of Computer
Programming. Boston: MA, Addison-Wesley, 1998.
(Русский перевод: Кнут Д. Искусство
программирования для ЭВМ. - М.: Мир,
1976. - Прим.ред.)
520 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Пятнашки, 1874 г.
Slocum, J., Sonneveld, D. The 15 Puzzle. Beverley
Hills, CA: Slocum Puzzle Foundation, 2006.
Трансфинитные числа Кантора, 1874 г.
Наиболее важные работы Кантора, связанные
с трансфинитными числами, написаны в 1874-
1883 гг. Наиболее полно свои мысли о
трансфинитных числах он выразил в своей самой
известной работе «К обоснованию теории о
трансфинитных множествах», 1895.
Первое доказательство Кантора,
демонстрирующее, что множество всех действительных чисел
является несчетным и что не может
существовать взаимно однозначного соответствия между
действительными числами и натуральными
числами, было сформулировано в 1873 г. и
опубликовано в журнале «JReineAngew Math» 77: 258;
1874.
Dauben, J. Georg Cantor. HUP, 1979.
Гармонический анализатор, 1876 г.
Montgomery, Η. С. J. Acoust. Sac. Am. 10: 87;
1938.
Thomson, W. Proc. Royal Soc. London. 27: 371;
1878.
Кассовый аппарат Ритти, 1879 г.
«James Ritty». tinyurl.com/6u2so.
Cortada, J. Before the Computer. PUP, 1993.
Диаграммы Венна, 1880 г.
Диаграммы, весьма похожие на диаграммы
Венна, за 100 лет до работ Венна появились в работе
Леонарда Эйлера «OperaOmnia».
Edwdrds, A. Cogwheels of the Mind. Baltimore,
MD Johns Hopkins Univ Press, 2004.
Grimbdum, B. Math. Mag. 48: 12-23; 1975.
Hamburger, P. tinyurl.com/6pp860.
Бутылка Клейна, 1882 г.
Stoll, С. tinyurl. com/92rp.
Аксиомы Пеано, 1889 г.
«Peano Axioms», tinyurl.com/6ez7a7.
Кривая Пеано, 1890 г.
Bartholdi, J. tinyurl.com/5dtkn4.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Gardner, M. Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers.
MM, 1997. (Русский перевод: Гарднер М. От
мозаик Пенроуза к надежным шифрам. - М.:
Мир, 1993. -Прим.ред.)
Pltzman, L., Bartholdi, J. J. Assoc Comput Mach.
36: 719; 1989.
Vilenkin, N. In Search of Infinity. NY: Springer,
1995.
Группы симметрии орнаментов, 1891 г.
Б. Грюнбаум отмечает, что точное число
рисунков орнаментов в Альгамбре трудно определить,
пока мы не рассмотрим, следует ли принимать
во внимание цвета.
Coxeter, H. Introduction to Geometry. Wiley,
1969.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Gardner, M. New Mathematical Diversions. MAA,
1995. (Русский перевод: Гарднер М. Новые
математические развлечения. - Μ.: ACT,
2008. -Прим.ред.)
Grunbaum, В. Notices Am. Math. Soc. 56: 1; 2006.
Теорема Сильвестра, 1893 г.
Malkevitch, J. tinyurl com/55ecl5.
Доказательство теоремы о распределении
простых чисел, 1896 г.
Weisstein, Ε. tinyurl com/5puyan.
Zagier, D. Math. Intelligencer. 0: 7; 1977.
Формула Пика, 1899 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Теорема Морли о трисектрисах, 1899 г.
Недавно Джон Конвей также представил
более простое доказательство теоремы Морли.
Подробности см. S. Roberts
Francis, R. tinyurl com/6hyguo.
Morley, F. My One Contribution to Chess. NY: B.
W. Huebsch, 1945.
Roberts, S. King of Infinite Space. NY: Walker,
2006.
23 проблемы Гильберта, 1900 г.
Yandell, В. Honors Class. АКР, 2003.
Поверхность Боя, 1901 г.
Jackson, A. Notices Am. Math. Soc. 49: 1246;
2002.
Парадокс брадобрея, 1901 г.
Joyce, Η. tinyurl com/63c5co.
ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 521

Russell, B. Mysticism and Logic and Other Essays.
London: G. Allen & Unwin, 1917.
Гипотеза Пуанкаре, 1904 г.
Mackenzie, D. Science. 314: 1848; 2006.
Nasdr, S., Gruber, D. New Yorker, p. 44, Aug. 28,
2006.
Poincare Conjecture, tinyurl com/395gbn.
Аксиома выбора Цермело, 1904 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Schechter, E. tinyurl com/6bk6zy.
Теорема Брауэра о неподвижной точке, 1909 г.
Berdn, M. tinyurl com/595q4d.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Devis, M. The Engines of Logic. Norton, 2000.
Нормальное число, 1909 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
«Философия и занимательное в алгебре» Мэри
Буль, 1909 г.
Peterson, I. tinyurl coml5bnetc.
«Основания математики», 1910-1913 гг.
Irvine, А. tinyurl.com/aothp.
Modern Library's 'Top 100 Nonfiction Books,
tinyurl com/6pghuw.
Теорема о волосатом шаре, 1912 г.
Choi, С. tinyurl com/5wfk5h.
DeVries, G., Stellacci, F., et al. Science. 315: 358;
2007.
Теорема о бесконечных обезьянах, 1913 г.
Отметим также, что использование термина «
почти наверное» в первом предложении статьи
является математическим способом выразить мысль
о том, что обезьяна напечатает конечный текст с
вероятностью единица в предположении, что ей
предоставляется бесконечное число попыток.
Borel, Ё, J. Phys. 3:189; 1913.
Eddington, A. The Nature of the Physical World.
NY: Mdcmillan, 1928.
Гипотеза Бибербаха, 1916 г.
Mehrtens, Η. Ludwig Bieberbach and Deutsche
Mathematik // История математики Phillips,
Ε., ed, MAA, 1987. Source for the Bierberbach
quote on the Jews.
Sabbagh, K. tinyurl com/5969je.
Теорема Джонсона, 1916 г.
Kimberling, С. tinyurl com/6a7o96.
Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and
Interesting Geometry. NY: Penguin, 1992.
Константа Бруна, 1919 г.
Gardner, Μ. Sci. Am. 210: 120; 1964.
Granville, A. Resonance. 3: 71; 1998.
Peterson, I. tinyurl.c0m/5db4tw.
Гугол, 1920 г.
Ученые иногда разделяются во мнении, в каком
году родился Сирота (в 1911 или в 1929), в
также в дате первой публикации о числе «гугол»: в
1920 или в 1938.
Kasner, Ε., Newman, J. Mathematics and the
Imagination. Dover, 2001.
Ожерелье Антуана, 1920 г.
Brechner, В., Mayer, J. Coll. Math. J. 19: 306;
1988.
Jdckson, A. Notices of the Am. Math. Soc. 49:
1246; 2002.
Затерявшиеся в гиперпространстве, 1921 г.
Asimov, D. The Sciences. 35: 20; 1995.
Рогатая сфера Александера, 1924 г.
Gardner, M. Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers.
MAA, 1997. (Русский перевод: Гарднер М. От
мозаик Пенроуза к надежным шифрам. - М.:
Мир, 1993. - Прим. ред.)
Квадрирование прямоугольника, 1925 г.
Zbigniew Moron, tinyurl com/5v3tqw.
Парадокс «Гранд-отеля» Гильберта, 1925 г.
Заметим, что существуют определенные
уровни или классы бесконечности, которые «Гранд-
отель» Гильберта, возможно, не в состоянии
воспринять. Г. Кантор показал, что существуют
виды бесконечности, слишком большие, чтобы
их можно было пересчитать, что существенно,
когда мы ассоциируем каждого постояльца
отеля с номером комнаты. Также необходимо
заметить, что точную дату формулировки и
происхождение парадокса «Гранд-отель» Гильберта
определить трудно. Сам Гильберт говорил об
этом отеле на своих лекциях, которые он читал
в 1920-х гг. Его статья «О бесконечности» была
отправлена в журнал в 1925 г.
522 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Gamow, G. One, Two, Three...Infinity. NY:
Viking Press, 1947.
Губка Менгера, 1926 г.
Fractal Fragments, tinyurl.com/5sog2j.
The Menger Sponge, tinyurl.com/58hy6p.
Дифференциальный анализатор, 1927 г.
Bush, V., Gage, F., Stewart, H. J, Franklin Inst.
203: 63; 1927.
Bush, V. tinyurl.com/cxzzf.
Теория Рамсея, 1928 г.
Graham, R., Spencer, J. Sci. Am. 263: 112; 1990.
Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers.
NY: Hyperion, 1999.
Теорема Гёделя о неполноте, 1931 г.
Гёдель доказал неполноту теории, изложенной
в «Основаниях математики», что обсуждается в
статье «Основания математики» в другом месте
этой книги.
Hofstadter, D. Godel, Escher, Bach. NY: Basic
Books, 1979.
Wang, H. Reflections on Kurt Godel. MIT, 1990.
Число Чамперноуна, 1933 г.
Belshaw, A, Borwein, P. tinyurl. com/6mms3d.
Von Baeyer, H. Information. HUP, 2004.
Бурбаки: тайное общество, 1935 г.
Aczel, A. The Artist and the Mathematician. TMP,
2006
Mashaal, M. Bourbaki. AMS, 2006.
Замощение Фодерберга, 1936 г.
Grunbaum, В., Shephard G. Math. Teach. 88: 50;
1979.
Grunbaum, В., Shephard, G. Tilings and Patterns.
Freeman, 1987.
Rice, M., Schattschneider D. Math. Teach. 93: 52;
1980.
Парадокс дней рождения, 1939 г.
Gardner, M. Knotted Doughnuts and Other
Mathematical Entertainments. Freeman, 1986.
Peterson, I. tinyurl com/53w78.
Последовательно описанные многоугольники,
1940 г.
Bouwkamp, С. Indagationes Math. 27: 40; 1965.
Kasner, Ε., Newman, J. Mathematics and the
Imagination. Dover, 2001.
Геке, 1942 г.
Gale, D. Am Math. Monthly. 86: 818; 1979.
Gardner, M. Hexaf lexagons and Other
Mathematical Diversions. S&S, 1959. (Русский перевод:
Гарднер М. Математические головоломки и
развлечения. - М.: Мир, 1971. - Прим.ред.)
Nasar, S. A Beautiful Mind. NY: Touchstone,
2001.
Стратегия игры в «Свинью», 1945 г.
Neller, Т. Presser, С. UMAP. 25: 25; 2004.
Neller, Т., Presser, С. tinyurl com/6fqyht.
Peterson, I. tinyurl.com/5tnteq.
Scame, J., Scarne on Dice. Harrisburg, PA:
Military SeMce Publishing Co., 1945.
Метод середины квадрата фон Неймана, 1946 г.
Hayes, В. Am. Scient. 89: 300; 2001.
Код Грея, 1947 г.
Gardner, M. Knotted Doughnuts and Other
Mathematical Entertainments. Freeman, 1986.
What Are Gray Codes? tinyurl.com/5txwee.
Теория информации, 1948 г.
Tallack, P. The Science Book. W&N, 2003.
Арифмометр «Curta», 1948 r.
Точнее, Херцштарк был "полуеврей", как
называл его один нацист, когда сам Херцштарк
пытался защитить своих друзей от гестапо. Его
отец был евреем, а мать была католичкой.
Furr, R. tinyurl.com/hdl3.
Ifrah, G. The Universal History of Computing.
Wiley, 2002.
Saville, G. tinyurl.com/5da57m.
Stoll, С Sci Am. 290: 92; 2004.
Многогранник Часара, 1949 г.
Csaszar, A. Acta Sci. Math. Szeged. 13: 140; 1949.
В этой статье нет рисунков, что объясняет,
почему она не стимулировала дальнейших
исследований вплоть до 1970-х гг.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Gardner, M. Time Travel and other Mathematical
Bewildennents. Freeman: 1987.
ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 523

Равновесие Нэша, 1950 г.
Nasar, S. A Beautiful Mind. S&S, 1998.
Tallack, P. The Science Book. W&N, 2003.
Парадокс береговой линии, 1952 г.
Mandelbrot, В. Science. 156: 636; 1967.
Richardson, L. Statistics of Deadly Quarrel.
Pacific Grove. CA: Boxwood Press, 1960.
Дилемма заключенного, 1950 г.
Poundstone, W. Prisoner's Dilemma. NY: Double-
day, 1992.
Клеточные автоматы, 1950 г.
Von Neumann, J. Theory of Self-Reproducing
Automata. Urbana: IL: U. Illinois Press, 1966.
Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign,
IL. Wolfram Media, 2002.
«Математические развлечения» Мартина
Гарднера, 1957 г.
Berlekamp, E., Conway, J., Guy, T. Winning Ways
for Your Mathematical Plays. Burlington, MA:
Elsevier, 1982.
Gardner, M. Martin Gardner's Mathematical
Games (CD-ROM). MAA, 2005.
Jackson, A. Notices Am. Math. Soc. 52. 602; 2005.
Гипотеза Гильбрайта, 1958 г.
Норманн Гильбрайт сказал мне: «Эрдёш считал,
что моя гипотеза, скорее всего, верна, но
должно пройти еще минимум 200 лет, пока она не
будет доказана ».
Guy, R. Am. Math. Monthly. 95: 697; 1988.
Guy, R. Math. Mag. 63: 3; 1990.
Guy, R. Gilbreath's Conjecture // Unsolved
Problems in Number Theory. NY: Springer, 1994.
Odlyzko, A. Math. Comput. 61: 373; 1993
Как вывернуть сферу наизнанку? 1958 г.
Заметим, что, хотя теоретически возможно
вывернуть сферу наизнанку, окружность не может
быть вывернута наружу.
Бильярд в Платоновых телах, 1958 г.
Cipra, В. Science. 275: 1070; 1997.
Внешние бильярды, 1959 г.
Cipra, В. Science. 317: 39; 2007.
Schwartz, R. tinyurl.com/2mtqzp.
Парадокс Ньюкома, 1960 г.
Gardner, M. The Colossal Book of Mathematics.
Norton, 2001.
Nozick, R. "Newcomb's Problem and Two
Principles of Choice // Essays in Honor of Carl Hem-
pel. Rescher, N., ed., Dordrecht: D. Reidel,
1969.
Числа Серпинского, 1960 г.
Peterson, I. tinyurl.com/674cu3.
Seventeen or Bust, seventeenorbust.com.
Zagier, D. Math. Intelligencer. 0: 7,1977.
Хаос и Эффект бабочки, 1963 г.
Gleick, J. Chaos. NY: Penguin, 1988.
Lorenz, E. J. Almos. Sci. 20: 130; 1963
Скатерть Улама, 1963 г.
Gardner, Μ. The Sixth Book of Mathematical
Games from Scientific American. UCP, 1984.
Неразрешимость континуум-гипотезы, 1963 г.
Последние работы математика У. Хью Вудена
дают возможность предположить, что
континуум-гипотеза неверна, и, по сути, гипотеза
продолжает оставаться самой горячей темой
современных исследований.
Cohen, P. Proc. Natl. Acad. Sci. 50: 1143; 1963.
Godel, K. Am. Math. Monthly. 54. 515; 1947.
Woodin, W. Notices of the Am. Math. Soc. 48:
567; 2001.
Суперяйцо Пита Хейна, 1965 г.
Gardner, M. Mathematical Carnival. NY:
Vintage, 1977. (Русский перевод: Гарднер М.
Нескучная математика. - Μ.: ACT, 2009. -
Прим. ред.)
Нечеткая логика, 1965 г.
Tanaka, К. An Introduction to Fuzzy Logic for
Practical Applications. NY: Springer, 1996.
Головоломка «Мгновенное
умопомешательство», 1966 г.
Armbruster, F. tinyurl.com/65epdv.
Peterson, I. tinyurl.com/6pthxh.
Программа Ленглендса, 1967 г.
Gelbart, S. Bull. Am. Math. Soc. 10: 177; 1984.
Gelbart, S. Number Theory and the Langlands
Program. Guangzhou, China. Intl. Instruct. Conf.
2007.
Mackenzie, D. Science. 287: 792; 2000.
Mozzochi, С The Fermat Diary. AMS, 2000.
524 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Игра «Почки и побеги», 1967 г.
Berlekamp, Ε., Conway, J., Guy, R. Winning
Ways for Your Mathematical Plays.
Burlington, MA: Elsevier, 1982.
Focardi, R., Luccio, F. Discrete Appl. Math. 144:
303; 2004.
Gardner, M. Sci. Am. 217: 112; 1967.
Lemoine, J., Viennot, S. tinyurl.com/56bfcd, ti-
nyurl.com/6kazbt.
Peterson I. tinyurl.com/613huh.
Теория катастроф, 1968 г.
Фраза относится к истории из Нового Завета
и является метафорой для тех случаев, когда
происходит нечто, что вызывает внезапное
изменение обычного порядка вещей, например,
внезапное изменение чьей-либо точки зрения на
противоположную. - Прим. пер.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Thorn, R., with response by Zeeman, E.
Catastrophe Theory // Dynamical Systems-Warwick
1974, Manning, A. ed. NY: Springer, 1975.
Zahler, R., Sussman, H. Nature. 269: 759; 1977.
Задача об освещенности комнаты, 1969 г.
Darling, О. UBM. Wiley, 2004.
Stewart, I. Sci. Am. 275: 100; 1996.
Stewart, I. Math Hysteria. OUP, 2004.
Дональд Кнут и игра «Быки и коровы», 1970 г.
Chen, Z. et al. Finding a Hidden Code by Asking
Questions // Proc 2nd Annual Intl.Conf.Com-
put.Combinat., Hong Kong, 1996.
Knuth, D. J. Recr. Math. 9: 1; 1976.
Koyama, K., Lai, T. J. Recr. Math. 25: 251; 1993.
Пал Эрдёш и экстремальное сотрудничество,
1971 г.
Hoffman, P. The Man Who Loved Only Numbers.
NY: Hyperion, 1999.
Schechter, B. My Brain Is Open. S&S, 2000.
HP-35: первый научный карманный
калькулятор, 1972 г.
Lewis, В. tinyurl com/5t37nr.
Мозаика Пенроуза, 1973 г.
Р. Амманн обнаружил эти виды разбиения
примерно одновременно с Пенроузом и независимо
от него. Со слов Б. Грюнбаума и Дж. Шепарда
«в 1973 и 1974 гг. Роджер Пенроуз обнаружил 3
комплекта апериодических прототипов
мозаичных плиток». К примеру, первый набор плиток
мозаики, обозначаемый Ρ , состоит из 6 плиток
на основе ромбов, правильных пятиугольников,
пентаклей и полупентаклей с краями,
измененными в результате проекций, и зубцами. Второй
набор апериодических плиток, обозначаемый
Р2, был обнаружен Пенроузом в 1974 г. и в нем
имелось всего лишь 2 мозаичных плитки.
Chorbachi, W., Loeb, A. Islamic Pentagonal Seal
// Fivefold Symmetry. Hargittai, I., ed. WS,
1992.
Gardner, M. Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers.
Freeman, 1988. (Русский перевод: ГарднерМ.
От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. -
М.: Мир, 1993. -Прим.ред.)
Griinbaum, В., Shephard, G. Tilings and Patterns.
Freeman, 1987
Lu, P., Steinhardt, P. Science. 315: 1106; 2007.
Makovicky, E. 800-Year-Old Pentagonal Tiling
from Maragha, Iran, and the New Varieties of
Aperiodic Tiling it Inspired // Fivefold
Symmetry. Hargittai, I., ed. WS, 1992.
Penrose, R. Bull, of the Inst. Math. Applic. 10:
266; 1974.
Rehmeyer, J. tinyurl.com/64ppgz.
Senechal, M. The Mysterious Mr. Ammann //
Math. Intell. 26: 10; 2004.
Теорема о картинной галерее, 1973 г.
Если многоугольник является выпуклым, то
всю его внутреннюю область можно
просматривать из любой его вершины.
Chvatal, V. A Combinatorial Theorem in Plane
Geometry // J. Combinat. Theory. 18: 39; 1975.
Do, N. Austral. Math. Soc. Gaz. 31: 288; 2004.
Fisk, S. J. Combinat. Theory, Ser. B. 24: 374;
1978.
O'Rourke, J. Art Gallery Theorems & Algonthms.
OUP, 1987.
Кубик Рубика, 1974 г.
Longridge, Μ. cubeman.org.
Vellemdn, D. Math. Mag. 65: 27; 1992.
Число «Омега» Грегори Чейтина, 1974 г.
Chaitin, G. J. ACM. 22: 329; 1975.
Число «Омега» впервые появилось в этой статье.
Этот термин также использовался в
техническом отчете исследовательского отдела фирмы
IBM за 1974 г.
Chaitin, G. Meta Math? NY: Pantheon, 2005.
ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 525

Chown, M. New Sci. 169:28;2001.
Gardner, M. Fractal Music, HyperCards and More,
Freeman, 1991. (Содержит примечания К.
Беннета.)
Lemonick, M. tinyurl.com/59q796.
Сюрреальные числа, 1974 г.
Conway, J., Cuy, R. The Book of Numbers. NY:
Copernicus, 1996.
Gardner, M. Mathematical Magic Show. MAA,
1989.
Knuth, D. Surreal Numbers. Reading, MA:
Addison-Wesley, 1974. (Русский перевод:
Кнут Д. Сюрреальные числа. - М.: БИНОМ.
Лаборатория знаний, 2013. - Прим.ред.)
Фракталы, 1975 г.
Многие визуально интересные фракталы
генерируются с помощью итерационных методов,
которые впервые были введены математиками
Дж. Джулия и П. Фату с 1918 по 1920 г.
Mandelbrot, В. The Fractal Geometry of Nature.
Freeman, 1982.
Константа Фейгенбаума, 1975 г.
Feigenbaum, Μ. Computer Generated Physics //
in 20th Century Physics / Brown, L. et al., eds.
NY: A1P Press, 1995.
May, R. Nature. 261: 459; 1976.
Криптография с открытым ключом, 1977 г.
Diffie, W., Hellman, M. IEEE Trans Info Theory.
22: 644; 1976.
Hellman, M. Sci. Am. 241: 146; 1979.
Lerner, K., Lerner, В., eds. Encyclopedia of
Espionage Intelligence and Security. Farmington
Hills, MI, Gale Group, 2004.
Rivest, R., Shamir, Α., Adleman, L. Commun.
ACM. 21: 120; 1978.
Многогранник Силаши, 1977 г.
Gardner, Μ. Fractal Music, HyperCards and More.
Freeman, 1992.
Peterson, I. tinyurl com/65p8ku.
Szilassi, L. Struct. Topology. 13: 69; 1986.
Аттрактор Икеды, 1979 г.
Ikeda, К. Optics Commun. 30: 257; 1979.
Strogatz, S. Nonlinear Dynamics and Chaos. NY:
Perseus, 2001.
Спидроны, 1979 г.
Erdely, D. www.spidron.hu.
Peterson, I. Sci News. 170 266 2006.
Множество Мандельброта, 1980 г.
Clarke, A. The Ghost from the Grand Banks. NY:
Bantam, 1990.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature
Freeman, 1982.
Wegner, Т., Peterson, M. Fractal Creations. Corte
Madera, CA: Waite Group Press, 1991.
Группа-Монстр, 1981 г.
Conway, J., Sloane, N. The Monster Group and
its 196884-Dimensional Space and A Monster
Lie Algebra? // Sphere Packings, Lattices, and
Groups. NY: Springer, 1993.
Griess, R. Invent. Math. 69: 1; 1982.
Griess, R., Meierfrankenfeld, U., and Segev, Υ
Ann. Math. 130: 567Ц989.
Ronan, M. Symmetry and the Monster. OUP, 2006.
Треугольник в шаре, 1982 г.
Buchta, С. 111. J. Math. 30: 653; 1986.
Hall, G. J. Appl. Prob. 19: 712; 1982.
Weisstein, E. tinyurl.com/502sap.
Полиномы Джонса, 1984 г.
Многочлен HOMFLY получил название от
фамилий первооткрывателей: Hoste, Ocneanu,
Millett, Freyd, Lickorish, Yetter.
Adams, С The Knot Book. AMS, 2004.
Devlin, K. The Language of Mathematics. NY: Owl
Books, 2000.
Freyd, P. et al. Bull. AMS. 12: 239; 1985.
Jones, V. Bull. AMS. 12: 103; 1985.
Przytycki, J., Traczyk, P. Proc AMS 100: 744;
1987.
Witten, E. Commun. Math. Phys. 21: 351; 1989.
Многообразие Уикса, 1985 г.
Cipra, В. Science. 317: 38; 2007.
Gabai, D. et al tinyurl.com/6mzsso.
Weeks, J. Hyperbolic Structures on 3-Manifolds.
Princeton Univ. Ph.D. thesis, Princeton
University, 1985.
Weeks, J. The Shape of Space. NY: Marcel Dekker,
Inc., 2001.
Гипотеза Андрики, 1985 г.
Andrica, D. Revista Matematica. 2: 107; 1985.
526 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Andrica, D. Studia Univ. Babe§-Bolyai Math. 31:
48; 1986.
Guy, R. Unsolved Problems in Number Theory.
NY: Springer, 1994.
abc-гипотезя (Гипотеза Эстерле-Массера), 1985 г.
Darling, D. UBM. Wiley, 2004.
Goldfeld, D. Math Horizons. Sept: 26; 1996.
Goldfeld, D. The Sciences. March: 34; 1996.
Masser, D. Proc. Am. Math Soc. 130: 3141; 2002.
Nitaq, A. tinyurl com/6gaf87.
Oesterle, J. Asterisque. 161: 165; 1988.
Peterson, I. tinyurl.com/5mgwvk.
Аудиоактивная последовательность, 1986 г.
Conway, J. Eureka. 46: 5; 1986.
Conway, J., Guy, R. The Book of Numbers. NY:
Copernicus, 1996.
Программа «Mathematica», 1988 r.
Trademarks (Mathematica: Wolfram Research;
Maple: Waterloo Maple; Mathcad: Mathsoft,
MAT1.AB: MathWorks).
Berlinski, D. The Sciences. Jul./Aug.: 37; 1997.
Borwein, J., Bailey, D. Mathematics by
Experiment. АКР, 2003.
Wolfram Research, wolfram, com.
Закон Мерфи и узлы, 1988 г.
Deibler, R., et al. BMC Molec. Biol. 8: 44; 2007.
Matthews, R. Math. Today. 33: 82; 1997.
Peterson, I. tinyurl.com/5r8ccu, tinyurl.
com/5nlrms.
Raymer, D., Smith, D. Proc. Natl. Acad. Sci. 104:
16432; 2007.
Sumners, D., Whittington, S. J. Phys. A 21: 1689;
1988.
Кривая бабочки, 1989 г.
Fay, Т. Am Math. Monthly. 96,442; 1989.
Энциклопедия целочисленных
последовательностей, 1996 г.
Sloane, N. My Favorite Integer Sequences //
Sequences and their Applications. Ding, C,
Helleseth, Т., Niederreiter H., eds., NY:
Springer, 1999.
Sloane, N. Notices of the AMS. 50: 912; 2003.
Stephan, R. tinyurl com/'6m84ca.
Головоломка «Вечность», 1999 г.
Selby, Α. tinyurl.com/5n6dwf.
Weisstein, Ε. tinyurl.com/6lyxdl.
Парадокс Паррондо, 1999 г.
Отметим, что в случае, когда игра А или игра
В играются по отдельности, в долгосрочной
перспективе вы гарантированно проиграете для
любого допустимого значения я; от 0 до 1.
Abbott, D. tinyurl.com/6xwg44.
Blakeslee, S. tinyurl.com/6yvd92.
Harmer, G., Abbott, D. Nature. 402: 864; 1999.
Harmer, G., Abbott, D. Stat. Sci. 14: 206; 1999.
Поиски холиэдра, 1999 г.
Hatch, D. tinyurl.com/5rttaq.
Vinson, J. Discr Comput. Geom. 24, 85; 2000.
Задача о складывании простыни, 2001 г.
Historic. Soc Pomona Vail, tinyurl. coml5cv4ce.
Решение игры «Овари», 2002 г.
Peterson, I., tinyurl com/65hnet.
Romein, J. Bal, J. IEEE Computer. 36: 26; 2003.
NP-полнота игры Тетрис, 2002 г.
Формула подсчета очков в большинстве
вариантов игры «Тетрис» учитывает тот факт, что
некоторые фигурки укладываются сложнее, чем
другие, и таким образом при их укладке должно
присуждаться больше очков.
Breukelaar, R., Demaine, E., et al. Intkl. J.
Comput. Geom. Appl. 14: 41; 2004.
Demaine, E., Hohenberger, S., Liben-Nowell, D.
Tetris Is Hard, Even to Approximate //
Comput. Combinat., 9th Ann. Intl. Conf. 2003.
Peterson, I. tinyurl.com/5mqt84.
Телесериал «4исла», 2005 г.
Frazier, К. tinyurl.com/6e2f8h.
Weisstein, Ε. tinyurl.com/5n4c99.
Решение игры в шашки, 2007 г.
Cho, A. Science. 317: 308; 2007.
Schaeffer, J., et al. Science. 317: 1518, 2007.
В поисках группы Ли Е , 2007 г.
В 2007 г. физик А. Дж. Лизи размышлял над
тем, как в физике в результате различных
аспектов странных и прекрасных симметрии группы
ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 527

Eg могут возникать различные элементарные
частицы.
Collins, G. Sci. Am. 298. 30; 2008.
Lisi, A. G. tinyurl.com/60zgdh.
Mackenzie, D. Science. 315; 1647; 2007.
Merali, Z. New Scientist. 196: 8; 2007.
American Insbtute of Math, aimath org/E8/.
Математическая гипотеза Вселенной, 2007 г.
Теория Тегмарка была частично основана на
его докладе, состоявшемся на симпозиуме
«Мультивселенная и теория струн»,
состоявшемся в 2005 г. в Стэнфордском университете.
Семена его теории взошли в других работах в
конце 1990 г., но полного расцвета они
достигли в 2007 г. Другие исследователи, такие как
К. Цузе, Э. Фредкин, С. Вольфрам
предположили, что физическая вселенная может работать
по принципу клеточных автоматов.
Collins, G. Sci. Am. 298. 30, 2008.
Fredkin, E. PhysicaD. 45: 254, 1990.
Tegmark, Μ. New Scientist. 195: 39, 2007.
Tegmark, M. tinyurl.com/6pjjxp.
Wolfram, S. A New Kind of Science. Champaign,
IL: Wolfram Media, 2002
Zuse, K. Elektronische Datenverarbeitung. 8. 336;
1967.
528 ПРИМЕЧАНИЯ И СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Указатель
23 проблемы Гильберта 294
Адамар.жак 418
Аксиома выбора цермело 308
Аксиомы выбора 346
- Пеано 280
«Алгебра» аль-хорезми 68, 80
Алгебраическое уравнение 224
Александер, джеймс 336, 344, 474
Алкаши 102
«Альмагест» птолемея 66
Аль-хорезми 68, 80
«Анализ бесконечно малых» лопиталя 156
Аналитическая машина 214
«Аналитическая теория вероятностей» лапласа
208
Аньези, мария 74, 176, 256
Апории зенона 42
Аристотелево колесо 50
Аристотель 48
«Арифметика» диофанта 68, 74
«Арифметические исследования» гаусса 202
Арифмометр «curta» 392
Архимед 54,56,62
Астроида 154
Атомная бомба «толстяк» 60
Аттрактор икеды 464
- простой 464
- странный 464
Аудиоактивная последовательность 482
Бакиболы 60
Барицентрическое исчисление 218
Басси, Лаура 176,256
Бернулли, Даниил 172
-.Иоганн 100, 154, 156
-,Якоб 136, 160, 162
Бесконечно малые величины 42
- приращения 148
Бильярд в Платоновых телах 410
- внешний 412
«Блестящая книга» Самуила ал-Магриби 92
Бойяи, Янош 220
Борель, Эмиль 324
Брауэр, Лёйтзен 322
Булева алгебра 238
Буль, Джордж 238, 318
Бурбаки: тайное общество 362
Бутылка Клейна 182, 272, 298
Бэббидж, Чарльз 214
Введение матриц Сильвестром 234
Вейерштрасс, Карл 252, 256, 456
Вейль.Андре 430
«Великое искусство» Кардано 114
Виет, Франсуа 102
Вселенная 178
Вычислительные машины 214
Галилей, Галилео 128
Галуа,Эварист 224,430
Гамильтон, Уильям 228, 240
«Ганитасарасамграха» 84
Гарднер, Мартин 86, 136, 254, 282, 332, 344,
376, 394, 402, 404, 420, 424, 444, 452, 462
Гармонический анализатор 264,354
- ряд, расходимость 100
Гармонограф 242
Гаусс, Карл Фридрих 166, 196, 198, 200, 202,
288
Геке 380
Генерация случайных чисел 26, 374, 386
Геодезический купол 342
Геометрические задачи «сангаку» 194
«Геометрия» Декарта 132
Гёдель, Курт 300, 358
Гильберт, Давид 260, 294, 338, 350
Гипатия Александрийская 74, 176
Гиперкуб 278
Гипотеза Андрики 478
- Бибербаха 326
- Гильбрайта 406
- Каталана 232
-Кеплера 122, 294
- Коллатца 370
- Пуанкаре 304, 364
УКАЗАТЕЛЬ 529

- Римана 58,248, 294
- Эстерле-Массера 480
Гиппократовы луночки 44
Го 38
Головоломка «Вечность» 492
- «Мгновенное умопомешательство» 428
Графы 178
Группа ли е8 , поиски 510
Группа-Монстр 470
Группа симметрии 224
- орнаментов 284
Губка Менгера 352
Гугол 334
Гюйгенс, Христиан 106, 144, 152
Да Винчи, Леонардо 108
Д'Аламбер.Жан 154
Декарт, Рене 70, 128, 130, 132, 136, 144, 178
Дзета-функция Римана 248
Диаграммы Венна 268
Дилемма заключенного 400
Динамические системы 464
Диофантовы уравнения 68
Дирихле, Иоганн 226
Дифференциальные уравнения 464
Дифференциальный анализатор 354
Дифференцирование 148
Длина дуги полукубической параболы Нейля
144
Доказательство теоремы о распределении
простых чисел 288
Докторская степень Ковалевской 256
Евклид 44, 52, 58, 66, 90, 220
Жордан, Камиль 310
Задача о 36 офицерах 192
- об освещенности комнаты 436
- о веревке вокруг Земли 158
- о зёрнах на шахматной доске 98
- о Кёнигсбергских мостах 170
- о складывании простыни 500
-о таутохроне 152
- о ходе коня 182
- принца Руперта 210
- Сиссы 98
«Задачи для заострения умов юношества» Алку-
ина 78
Заде, Лотфи 426
Закон Бенфорда 270
- больших чисел 160
- Мерфи и узлы 486
Законы Ньютона 464
Замощение Фодерберга 368
Затерявшиеся в гиперпространстве 340
Золотое сечение 108
Игла Бюффона 190, 208
Игра 34,508
- азартная 382
- «Икосиан» 240
- настольная 38
- «Почки и побеги» 432
- «Свинья» 382
Икеда, Кенсуке 464
Инвариант 474
Интегрирование 148
«Исчисление бесконечно малых» Коши 216
Калькулятор 442
Кантор, Георг 50, 230, 260, 336, 422
Кардано.Джероламо 114,208
кардиоида 134
Касп 64,154
Кассовый аппарат Ритти 266
Квадратичный закон взаимности 202
Квадратное число 222
Квадрирование прямоугольника 348
Квазикристаллы 444
Кватернионы 228
Кельвин 374
Кеплер, Иоганн 46, 60, 122, 510
Кипу 24
Клейн, Феликс 272
Клеточные автоматы 402
«Книга абака» Фибоначчи 96, 104,128
«Книга разделов об индийской математике» 88
Кнут, Дональд 142, 254, 452
и игра «Быки и коровы» 438
Ковалевская, Софья 256
Ковер Серпинского 352
Код Грея 254, 274, 388
Колмогоров А.Н. 208
Кольца Борромео 82
Комбинаторика 356
Компьютерная графика 234, 382
Конвей,Джон 402, 410, 432, 470, 482, 498
Коническое сечение 64
Константа Бруна 332
- Фейгенбаума 458
Кости игральные 26
Кость Ишанго 22
Коши, Огюстен Луи 216
530 УКАЗАТЕЛЬ

« Краткое изложение » 116
Крестики-нолики 34, 508
Кривая бабочки 488
- Коха 252
- нормального распределения 166, 182
- Пеано 282, 330
Кривизна 250
Криптография 110
- с открытым ключом 460
Критерий хи-квадрат 296
Кронекер, Леопольд 202
Куб 278
Кубик Рубика 224, 258, 448
ЛавлейсАда 214
Лагранж.Жозеф Луи 216
Лаплас, Пьер-Симон 166, 208
Латинский квадрат 192
Лебег, Анри 336
Лежандр.Адриен Мари 182,202
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 106, 120, 148
154,156, 162,234
Лента Мёбиуса 182, 218, 244, 262, 298, 348
Ли, Софус 510
Лиувилль, Жозеф 230
Лобачевский Н.И. 220
Логарифмическая линейка 126,442
-спираль 108,136
Логарифмы 124, 126
Лойд.Сэм 258
Локсодрома 112
Лопиталь, Гийом Франсуа 156
Магические квадраты 28, 186, 234, 494
- Франклина 186
Мандельброт, Бенуа 398, 456, 468
Математическая гипотеза Вселенной 512
Математический анализ 148
Машины Тьюринга 366
Меркатор, Герхард 118
Мерсенн, Марен 58, 128, 136
Метод Монте-Карло 190
- наименьших квадратов 196, 208
- Ньютона 150
- середины квадрата фон Неймана 386
- частотного анализа 110
Механический компьютер Бэббиджа 214
- калькулятор 214
Мёбиус, Август 218,222,244
Минимальная поверхность 188
Многогранник 498
- архимедов полуправильный 60
- выпуклый 178
- правильный 46
- Силаши 394, 462
-Часара 394
Многообразие Уикса 476
Многоугольник 446
Множество Мандельброта 134, 468
МозаикаПенроуза 412,444
Мозаичные узоры 466
Монктон, Кристофер Уолтер 492
Морон, Збигнев 348
Муавр де, Абрахам. 166, 182
Муравьи-бегунки 14
«Начала» Евклида 52, 102, 146, 158
Неевклидова геометрия 52, 90, 220, 476
Неевклидово пространство 250
Нейман фон, Джон 386, 396, 402
Непер,Джон 124,126
Неразрешимость континуум-гипотезы 422
Нечеткая логика 426
Нётер, Эмми 338
Ноль 76
Ньютон, Исаак 70, 106, 124, 132, 148,150, 156
Нэш.Джон 396
Ожерелье Антуана 336
Окружности Форда 372
«Органон» Аристотеля 48, 320
«Основания математики» 320
Основная теорема алгебры 200
«Основы анализа» Аньези 176
Отред, Уильям 126
Пазл 492
Папирус Ринда 32
Папп Александрийский 70
Парадокс Банаха-Тарского 346
- береговой линии 398
- брадобрея 300
- «Гранд-отеля» Гильберта 350
- дней рождения 376
- Ньюкома 414
-Паррондо 496
- Санкт-Петербургский 172
Паскаль, Влез 70, 130, 142, 208
Пачоли.Лука 108
Пеано, Джузеппе 280, 282
Пенроуз, Роджер 436
Пирсон, Карл 296
Пифагор Самосский 40, 46, 74
Пифагорейцы 86
УКАЗАТЕЛЬ 531

Пифагоровы треугольники 36
Перельман Григорий 304, 364
Планиметрия 52
Платоновы тела 46, 240, 410
Плимптон-322 30
Поверхность Боя 298
Пойа, Дьёрдь 340
«Полиграфия» И. Тритемия 110
Полиномы Джонса 474
Последняя теорема Ферма 68, 130
Последовательность Морса-Туэ 312
Последовательно описанные многоугольники
378
Постоянная Эйлера - Маскерони 168
Построение правильного семнадцатиугольника
198
Принцип Дирихле 226, 356, 376
Проблема Гольдбаха 58, 174
Программа «Mathematica» 484
- Ленглендса 430
Проективная геометрия 138,218
Проекция Меркатора 118
Птолемей, Клавдий 66
Пуанкаре, Анри 304, 418
Протрактор 204
Псевдосфера Бельтрами 250
Пятнашки 258
Равновесие Нэша 396
Размерность Хаусдорфа 282, 330, 352
Рассел, Бертран 300, 320
Решение игры в шашки 508
- «Овари» 502
Решето Эратосфена 58
Риман, Бернхард 220, 248
Рогатая сфера Александера 336, 344
Рубик, Эрно 448, 466
«Рукопись Бахшали» 72,76
Ряд 42, 100, 106
-Фурье 206
Сети 178
Скатерть Улама 420
Снежинка Коха 282, 306, 456
Создание рандомизирующих устройств 374
Спидроны 466
Спираль архимедова 62
- ДНК 486
- Ферма 128
Сравнимость по модулю 202
Стереометрия 52
«Стомахион» 54
532 УКАЗАТЕЛЬ
«Суперяйцо» Пита Хейна 424
Сфера 408
Счёты 78, 94
Тарталья, Никколо 114
Тегмарк, Макс 512
Телесериал «4исла» 506
Теорема Байеса 184
- Брауэра о неподвижной точке 314, 380
- Вивиани 146
- Гёделя о неполноте 358, 450
- Гольдича 246
- Джонсона 328
- Жордана о кривых 310
-косинусов 102
- Морли о трисектрисах 292
- о бесконечных обезьянах 324
- о волосатом шаре 322
- о картинной галерее 446
- о четырех красках 236
- Паппа 70
- Пифагора 36, 102
- Сильвестра 286
- Юнга 302
Теория вероятностей 26, 208
- Галуа 224
- групп 224
- идеалов Эмми Нётер 338
- информации 390
- катастроф 434
- Рамсея 356
«Теория игры в меледу» Луи Гро 254
Тессеракт 278, 318, 448, 494
- совершенный магический 494
Тетрамино 504
Тетрис 504
Топология 178
«Трактат» Омара Хайяма 90
Трактриса 250
«Тревизская арифметика» 104
Треугольник в шаре 472
- Паскаля 142
-Рело 262
Тритемий, Иоганн 110
Трисектриса 292
Труба Торричелли 140
Тьюринг, Алан 300, 366, 390
Узлы 20, 24
- Перко 454
У лам, Станислав 420

Факториал 164
Фейгенбаум, Митчелл 458
Ферма де, Пьер 128, 130, 208
Ферхюльст, Пьер Франсуа 458
Фибоначчи 96, 104
Филдсовская премия 292, 304, 364, 430, 470
«Философия и занимательное в алгебре» Мэри
Буль 318
«Флатландия» 276
Формула Пика 290
- Сабита для дружественных чисел 86
- Стирлинга 164
-Эйлера 178
Фрактал 134, 142, 150, 252, 398,456,468
Функции Бесселя 212,354
Функция Вейерштрасса 252, 282
-Мёбиуса 222
Фурье, Жан Батист 206, 264
футбольный мяч 60
Хайям, Омар 90
Ханойская башня 274
Хаос 458
- и эффект бабочки 418
Хаотические системы 458
Хаусдорф, Феликс 330, 346
Хокинг, Стивен 202, 208
Холиэдр 498
Цикады 18
Цилиндр 348
Циссоида Диокла 64
Четвертое измерение 278
Числа Каталана 180
- мнимые 120
- натуральные 288
- Серпинского 416
- случайные 26
- сюрреальные 452
- трансфинитные Кантора 50, 260, 350, 372
- трансцендентные 230, 360
- Ферма 198
- Фибоначчи 270
Число π 56, 106
, представление в виде суммы бесконечного
ряда 106
- нормальное 316,360
- «омега» Грегори Чейтина 450
- простое 18
- Чамперноуна 316,360
Шеннон, Клод 238, 390
Шифрование 234
Эйлер, Леонард 86, 120, 162, 168, 170, 174, 178,
180, 182, 188, 192
Эйлерова задача о разбиении многоугольников
180
- характеристика 178
Эйлерово числое 162,230
Эйнштейн, Альберт 220, 290, 338, 358
ЭНИАК 384
«Энигма» 366
Энциклопедия целочисленных
последовательностей 490
Эратосфен 58
Эрдёш, Пал 178, 286, 288, 370, 440
- и его опыт математического сотрудничества
440
Эрмит, Шарль 230, 252
Эффект бабочки 418
abc-гипотеза 480
Hewlett-Packard 442
НР-35: первый научный карманный
калькулятор 442
NP-полнота игры «Тетрис» 504
УКАЗАТЕЛЬ 533

Правообладатели изображений
Иногда трудно было достать древние или редкие документы, приведенные в книге, в
хорошем качестве. В таких случаях я брал на себя смелость использовать технику
обработки изображений для удаления грязи и царапин, усиления контраста фрагментов
фотографий, а иногда и для частичной раскраски черно-белых документов, чтобы выделить
определенные детали или просто сделать изображение более привлекательным для просмотра.
Я надеюсь, что сторонники сохранения исторических документов и фотографий в их
исходном виде простят мне эти небольшие художественные приемы и поймут, что моей
целью было создание привлекательной книги - богатой в историческом и иллюстративном
плане - которая была бы эстетически приятной даже для студентов и непрофессионалов.
Фотографии и рисунки, которыми щедро снабжена вся книга, должны подчеркивать мою
любовь к невероятной глубине и разнообразию математики, искусства и истории.
Images © Clifford A. Pickover: pages 49, 55, 75,9
7,103,106,112,113,133,147,148,151,157,159
,169,174,179,185,189,197,199,201, 203, 272
(left), 277, 291, 295, 297, 301, 321, 333, 337,
339, 345, 353, 361, 383, 385, 399,425,427,
437,441,443,450,469,470,477,493,497,499,
502,517
Images © Teja Krasek: pages 59, 65, 183, 245,
373,408,415
Images by Jos Leys fioslevs.com): pages 125, 139,
145, 225, 377,449,459,461,473,479
Images © Paul Nylander, bugmanl23.com:
pages 51, 117, 155, 193, 217, 255, 257, 303,
335
Used under license from Shutterstock.com:
p. 21, Image © shaileshnanal, 2009; p. 23,
Image © 2265524729, 2009; p. 31, Image ©
Mikael Damkier, 2009; p. 33, Image © rfx,
2009; p. 43, Image © GJS, 2009; p. 47 and 177,
Image © James Steidl, 2009; p. 61, Image ©
Hisom Silviu, 2009; p. 63, Image © Andreas
Guskos, 2009; p. 67, Image © Ovidiu Iordachi,
2009; p. 91, Image ©Sebastian Knight, 2009; p.
93, Image © Olga Lyubkina, 2009; p. 99, Image
© Tan Kian Khoon, 2009; p. 101, Image ©
Ella, 2009; p. 123, Image © Jiri Moucka, 2009;
p. 127, Image © Maree Stachel-Williamson,
2010; p. 141, Image © Geanina Bechea, 2009;
p. 163, Image © Maxx-Studio, 2009; p. 167,
Image © MWaits, 2009; p. 213, Image © Yuri
Arcurs, 2010; p. 231, Image © Steve Mann,
2009; p. 243 and 351. Image© photobank.kiev.
ua, 2009; p. 275, Image © Lee Torrens; p. 279,
Image © Holger Mette, 2009; p. 289, Image
© Rafael Ramirez Lee, 2009; p. 293, Image ©
Yare Marketing, p. 305, Image © Jeff Davies,
2009; p. 307, Image © Arlene Jean Gee, 2009;
p. 313, Image © Andrey Armyagov, 2009;
p. 319, Image © Anyka, 2009; p. 327, Image
© Vasileika Aleksei, 2009; p. 329, Image ©
ChipPix, 2009; p. 355, Image © Elena Elisseeva,
2009; p. 379, Image © Jeff Carpenter, 2009;
p. 381, Image © Scott Maxwell/ LuMaxArt,
2009; p. 387, Image © Marcus Tuerner, 2009;
p. 395, Image © Wayne Johnson, 2009; p. 401,
Image © Tischenko Irina, 2009; p. 405, Image
© Lou Oates, 2009; p. 412, Image © kotomiti,
2009; p. 419, Image © Zoran Vukmanov
Simokov, 2009; p. 435, Image © Jakez, 2009;
p. 439, Image © Dmitrijs Mihejevs, 2009; p.
445, Image © Polina Lobanova, 2009; p. 455,
Image © Fabrizio Zanier, 2009; p. 490, Image
© Ronald Sumners, 2009; p. 491, Image ©
vladm, 2009; p. 495, Image © Gilmanshin,
2009; p. 501, Image © Robert Kyllo, 2009; p.
503, Image © Armin Rose, 2009; p. 505, Image
© Kheng Guan Toh, 2009; p. 507, Image ©
imageshunter, 2009; p. 509, Image © suravid,
2009
Other Images: p. 19 Image Matthias Wittlinger; p.
27 Royal Belgian Institute of Natural Sciences;
p. 29 Photo by Marcia and Robert Ascher.
In the collection of the Museo National de
Anthropologia у Arqueologia, Lima, Peru; p.
39. Paul St. Denis and Patrick Grim developed
the Fractal Tic Tac Toe image in the Logic Lab
534 УКАЗАТЕЛЬ

of the Philosophy Department at SUNY Stony
Brook. An earlier version appeared in St. Denis
and Grim, "Fractal Image of Formal Systems,"
Journal of Philosophical Logic 26 (1997), 181-
222, with discussion in Ian Stewart, "A Fractal
Guide to Tic-Tac-Toe," Scientific American
283, no. 2 (2000), 86-88; p. 69 © istockphoto.
com/bkindler; p. 71 © istockphoto.com/
fanelliphotography; p. 81 © istockphoto.
com/ -M-I-S-H-A-; p. 95 Mike Simmons,
Astronomers Without Borders; p. 109 Photo by
Rischgitz/ Getty Images; p. 111 © istockphoto.
com/ kr7ysztof; p. 129 © Science Museum/
Science & Society; p. 131 © istockphoto.com/
ihoe: p. 146 By George W. Hart, http://www.
georgehart.com; p. 165 Courtesy of The Swiss
Post, Stamps & Philately; p. 175 Wikipedia/
Matt Britt; p. 187 Courtesy of Dmitry Brant,
http://dmitrvbrant. com: p. 191 Library
of Congress, David Martin, painted 1767;
p. 205 Fractal Art by G. Fowler; p. 211 ©
istockphoto.com/theasis: p. 219 Wikimedia/
Carsten Ullrich; p. 223 Brian Mansfield;
p. 233 Wikimedia/Leo Fink, using Gaston
software; p. 239 Portrait is the frontispiece to
Vol. 4 of The Collected Mathematical Papers
of James Joseph Sylvester, edited by H. F.
Baker, Cambridge University Press 1912; p.
241 © istockphoto.com/ nicoolay; p. 247 Ivan
Moscovitch; p. 249 Clifford A. Pickover and
Teja Krasek; p. 251 Brian С Mansfield; p. 253
Tibor Majlath; p. 259 U.S. Patent Office;
p. 263 © istockphoto.com/MattStauss: p. 267
U.S. Patent Office; p. 269 photographer Clive
Streeter © Dorling Kindersley, Courtesy
of the Science Museum, London; p. 271 ©
National Museum of American History;
p. 272 (right) and 273 Venn Diagrams created
by Edit Hepp and Peter Hamburger; p. 283
Image created by Robert Webb using Stella4D
software, http://www.software3d.com:
p. 287 Designed and photographed by Carlo
H. Sequin, University of California, Berkeley;
p. 311 Robert Fathauer; p. 315 Robert Bosch,
Oberlin College, DominoArtwork.com: p. 317
Mark Dow, geek art; p. 323 From the book
George Boole: His Life and Work, by Desmond
MacHale (Boole Press); p. 341 Rob Scharein,
visit Rob's website at knotplot.com; p. 347 ©
istockphoto.com/ Pichunter; p. 349 Cameron
Browne; p. 357 Image by Paul Bourke and
Gayla Chandler, featuring Sydney Renee;
p. 359 NASA Headquarters/Greatest Images
of NASA; p. 363 Photographed by Oskar
Morgenstern. Courtesy of the Archives of the
Institute for Advanced Study, Princeton, NJ;
p. 365 Peter Borwein; p. 367 © istockphoto.
com/ BernardLo; p. 369 Photographed by
Stefan Zachow; p. 389 U.S. Army Photo, from
K. Kempf, "Historical Monograph: Electronic
Computers Within the Ordinance Corps";
p. 393 U.S. Patent Office; p. 397 Wikimedia/
Larry McElhiney; p. 400 Wikimedia/Elke
Wetzig; p. 403 © istockphoto. com/abzee;
p. 407 Wikimedia/© 2005 Richard Ling;
p. 409 "Card Colm" Mulcahy, March 2006,
Norman, Oklahoma; p. 411 Norman Gilbreath
at Cambridge University, England; p. 413
Designed and photographed by Carlo H. Sequin,
University of California, Berkeley; p. 417
Richard Evan Schwartz; p. 421 © 2002-2008
Louie Helm; p. 423 Roger A. Johnston, Fractal
image created with Apophysis (software
available at www.apophvsis.orgl: p. 429 ©
Philip Gould/ CORBIS; p. 431 © istockphoto.
com/CaceresFAmaru: p. 433 Edward
Rothschild; p. 434 © С J. Mozzochi, Ph.D.,
Princeton, NJ; p. 447 © 2008 Hewlett-Packard
Development Company, L.P. Reproduced
with Permission. Photo by Seth Morabito;
p. 451 © istockphoto.com/dlewis33: p. 452
Photo by Zachary Paisley. Rubik's Cube® is a
registered trademark of Seven Towns, Ltd.; p.
453 Hans Andersson; p. 456 Thane Plambeck;
p. 457 Front cover from Donald Knuth's book,
SURREAL NUMBERS, © 1974. Reproduced by
permission of Pearson Education, Inc.; p. 463
Steven Whitney at 25 vearsof prograrhming.
com: p. 465 Robert Lord; p. 467 Hans
Schepker, Mathematical Artist and Teacher; p.
471 Daniel Erdely © 2005; p. 475 Photography
by Robert Griess; p. 481 Image courtesy of
Jeff Weeks, www.geometrvgames .org: p. 485
David Masser; p. 489 Michael Trott; p. 511
Courtesy of Photofest; p. 515 Wikimedia/
John Stembridge
ПРАВООБЛАДАТЕЛИ ИЗОБРАЖЕНИЙ 535

Содержание
Введение 6
150 млн лет до н. э. Шагомер
у муравьев 14
30 млн лет до н. э. Счет у приматов 16
1 млн лет до н. э. Цикады и простые
числа 18
100000 лет до н. э. Узлы 20
18000 лет до н. э. Кость Ишанго 22
3000 г. до н.э. Кипу 24
Игральные кости 26
Магические квадраты 28
Плимптон322 30
Папирус Ринда 32
Крестики-нолики 34
Теорема и треугольники
3000 г. до н.
2200г. дон.
1800 г. до н.
1650 г. до н.
1300г. дон.
600 г. до н. э.
Пифагора 36
548 г. до н. э. Го 38
530 г. до н.э. Пифагор
и его математическое братство 40
445 г. до н. э. Апории Зенона 42
440 г. до н. э. Гиппократовы луночки 44
350 г. до н. э. Платоновы тела 46
350 г. до н. э. «Органон» Аристотеля 48
320 г. до н. э. Аристотелево колесо 50
300 г. до н. э. «Начала» Евклида 52
250 г. до н. э. Архимед, песчинки
и быки 54
250 г. до н. э. Число π 56
240 г. до н. э. Решето Эратосфена 58
240 г. до н. э. Архимедовы
полуправильные многогранники 60
225 г. до н. э. Архимедова спираль 62
180 г. до н. э. Циссоида Диокла 64
150 г. «Альмагест» Птолемея 66
250 г. «Арифметика» Диофанта 68
340 г. Теорема Паппа 70
350 г. Рукопись Бахшали 72
415 г. Смерть Гипатии 74
650 г. Ноль 76
800 г. «Задачи для заострения умов
юношества» Алкуина 78
830 г. «Алгебра» аль-Хорезми 80
834 г. Кольца Борромео 82
850 г. Ганита сара самграха 84
850 г. Формула Сабита
для дружественных чисел 86
953 г. «Книга разделов об индийской
математике» 88
1070 г. «Трактат» Омара Хайяма 90
1150 г. «Блестящая книга»
Самуила ал-Магриби 92
1200 г. Счёты 94
1202 г. «Книга абака» Фибоначчи 96
1256 г. Задача о зернах на шахматной
доске 98
1350 г. Расходимость гармонического
ряда 100
1427 г. Теорема косинусов 102
1478 г. «Тревизская арифметика» 104
1500 г. Представление числа π в виде
суммы бесконечного ряда 106
1509 г. Золотое сечение 108
1518 г. «Полиграфия» И. Тритемия 110
1537 г. Локсодрома 112
1545 г. «Великое искусство» Кардано 114
1556 г. «Краткое изложение» 116
1569 г. Проекция Меркатора 118
1572 г. Мнимые числа 120
1611г. Гипотеза Кеплера 122
1614 г. Логарифмы 124
1621г. Логарифмическая линейка 126
1636 г. Спираль Ферма 128
1637 г. Последняя теорема Ферма 130
1637 г. «Геометрия» Декарта 132
1637 г. Кардиоида 134
1638 г. Логарифмическая спираль 136
1639 г. Проективная геометрия 138
1641 г. Труба Торричелли 140
1654 г. Треугольник Паскаля 142
1657 г. Длина дуги полукубической
параболы Нейля 144
1659 г. Теорема Вивиани 146
1665 г. Создание математического
анализа 148
1669 г. Метод Ньютона 150
536 СОДЕРЖАНИЕ

1673 г.
1674 г.
1696 г.
1702 г.
1713 г.
1727 г.
1730 г.
1733 г.
1735 г.
1736 г.
1738 г.
1742 г.
1748 г.
1751г.
1751г.
1759 г.
1761г.
1769 г.
1774 г.
1777 г.
1779 г.
1789 г.
1795 г.
1796 г.
1797 г.
1801 г.
1801 г.
1807 г.
1812 г.
1816 г.
1817 г.
1822 г.
1823 г.
1827 г.
Задача о таутохроне 152
Астроида 154
«Анализ бесконечно малых» Лопи-
таля 156
Задача о веревке вокруг Земли 158
Закон больших чисел 160
Эйлерово число е 162
Формула Стирлинга 164
Кривая нормального
распределения 166
Постоянная
Эйлера-Маскерони 168
Задача о Кёнигсбергских
мостах 170
Санкт-Петербургский
парадокс 172
Проблема Гольдбаха 174
«Основы анализа» Аньези 176
Эйлерова характеристика
выпуклых многогранников 178
Эйлерова задача о разбиении
многоугольников 180
Задача о ходе коня 182
Теорема Байеса 184
Магические квадраты
Франклина 186
Минимальная поверхность 188
Игла Бюффона 190
Задача о 36 офицерах 192
Геометрические задачи
«сангаку» 194
Метод наименьших квадратов 196
Построение правильного семнадца-
тиугольника 198
Основная теорема алгебры 200
«Арифметические исследования»
Гаусса 202
Протрактор 204
Ряд Фурье 206
«Аналитическая теория
вероятностей» Лапласа 208
Задача принца Руперта 210
Функции Бесселя 212
Механический компьютер Бэббид-
жа 214
«Исчисление бесконечно малых»
Коши 216
Барицентрическое исчисление 218
1829 г.
1831 г.
1832 г.
1834 г.
1843 г.
1844 г.
1844 г.
1850 г.
1852 г.
1854 г.
1857 г.
1857 г.
1858 г.
1858 г.
1859 г.
1868 г.
1872 г.
1872 г.
1874 г.
1874 г.
1874 г.
1875 г.
1876 г.
1879 г.
1880 г.
1881г.
1882 г.
1883 г.
1884 г.
1888 г.
1889 г.
1890 г.
1891г.
1893 г.
1896 г.
1899 г.
1899 г.
1900 г.
1900 г.
1901 г.
1901 г.
1901 г.
1904 г.
Неевклидовы геометрии 220
Функция Мёбиуса 222
Теория групп 224
Принцип Дирихле 226
Кватернионы 228
Трансцендентные числа 230
Гипотеза Каталана 232
Введение матриц Сильвестром 234
Теорема о четырех красках 236
Булева алгебра 238
Игра «Икосиан» 240
Гармонограф 242
Лента Мёбиуса 244
Теорема Гольдича 246
Гипотеза Римана 248
Псевдосфера Бельтрами 250
Функция Вейерштрасса 252
«Теория игры в меледу»
ЛуиГро 254
Докторская степень
Ковалевской 256
Пятнашки 258
Трансфинитные числа
Кантора 260
Треугольник Рело 262
Гармонический анализатор 264
Кассовый аппарат Ритти 266
Диаграммы Венна 268
Закон Бенфорда 270
Бутылка Клейна 272
Ханойская башня 274
«Флатландия» 276
Тессеракт 278
Аксиомы Пеано 280
Кривая Пеано 282
Группы симметрии
орнаментов 284
Теорема Сильвестра 286
Доказательство теоремы о
распределении простых чисел 288
Формула Пика 290
Теорема Морли о трисектрисах 292
23 проблемы Гильберта 294
Критерий хи-квадрат 296
Поверхность Боя 298
Парадокс брадобрея 300
Теорема Юнга 302
Гипотеза Пуанкаре 304
СОДЕРЖАНИЕ 537

1904 г. Снежинка Коха 306 1942 г.
1904 г. Аксиома выбора Цермело 308 1945 г.
1905 г. Теорема Жордана о кривых 310 1946 г.
1906 г. Последовательность 1946 г.
Морса-Туэ 312
1909 г. Теорема Брауэра о неподвиж- 1947 г.
ной точке 314 1948 г.
1909 г. Нормальное число 316 1948 г.
1909 г. «Философия и занимательное в ал- 1949 г.
гебре» Мэри Буль 318 1950 г.
1910-1913 гг. «Основания 1950 г.
математики» 320 1950 г.
1912 г. Теорема о волосатом шаре 322 1952 г.
1913 г. Теорема о бесконечных 1957 г.
обезьянах 324
1916 г. Гипотеза Бибербаха 326 1958 г.
1916 г. Теорема Джонсона 328 1958 г.
1918 г. Размерность Хаусдорфа 330
1919 г. Константа Бруна 332 1958 г.
1920 г. Гугол 334 1959 г.
1920 г. Ожерелье Антуана 336 1960 г.
1921 г. Теория идеалов Эмми Нётер 338 1960 г.
1921г. Затерявшиеся 1963 г.
в гиперпространстве 340 1963 г.
1922 г. Геодезический купол 342 1963 г.
1924 г. Рогатая сфера Александера 344
1924 г. Парадокс Банаха-Тарского 346 1965 г.
1925 г. Квадрирование 1965 г.
прямоугольника 348 1 966 г.
1925 г. Парадокс «Гранд-отеля»
Гильберта 350 1967 г.
1926 г. Губка Менгера 352 1967 г.
1927 г. Дифференциальный 1968 г.
анализатор 354 1969 г.
1928 г. Теория Рамсея 356
1931г. Теорема Гёделя о неполноте 358 1970 г.
1933 г. Число Чамперноуна 360
1935 г. Бурбаки: тайное общество 362 1971 г.
1936 г. Филдсовская премия 364
1936 г. Машины Тьюринга 366 1972 г.
1936 г. Замощение Фодерберга 368
1937 г. Гипотеза Коллатца 370 1973 г.
1938 г. Окружности Форда 372 1973 г.
1938 г. Создание рандомизирующих 1974 г.
устройств 374 1974 г.
1939 г. Парадокс дней рождения 376
1940 г. Последовательно описанные 1974 г.
многоугольники 378 1974 г.
Геке 380
Стратегия игры в «Свинью» 382
ЭНИАК 384
Метод середины квадрата
фон Неймана 386
Код Грея 388
Теория информации 390
Арифмометр «Curta» 392
Многогранник Часара 394
Равновесие Нэша 396
Парадокс береговой линии 398
Дилемма заключенного 400
Клеточные автоматы 402
«Математические развлечения»
Мартина Гарднера 404
Гипотеза Гильбрайта 406
Как вывернуть сферу
наизнанку? 408
Бильярд в Платоновых телах 410
Внешние бильярды 412
Парадокс Ньюкома 414
Числа Серпинского 416
Хаос и эффект бабочки 418
Скатерть Улама 420
Неразрешимость
континуум-гипотезы 422
«Суперяйцо» Пита Хейна 424
Нечеткая логика 426
Головоломка «Мгновенное
умопомешательство» 428
Программа Ленглендса 430
Игра «Почки и побеги» 432
Теория катастроф 434
Задача об освещенности
комнаты 436
Дональд Кнут
и игра «Быки и коровы» 438
Эрдёш и его опыт математического
сотрудничества 440
НР-35: первый научный
карманный калькулятор 442
Мозаика Пенроуза 444
Теорема о картинной галерее 446
Кубик Рубика 448
Число «Омега» Грегори
Чейтина 450
Сюрреальные числа 452
Узлы Перко 454
538 СОДЕРЖАНИЕ

1975 г.
1975 г.
1977 г.
1977 г.
1979 г.
1979 г.
1980 г.
1981 г.
1982 г.
1984 г.
1985 г.
1985 г.
1985 г.
1986 г.
1988 г.
1988 г.
1989 г.
Фракталы 456
Константа Фейгенбаума 458
Криптография с открытым
ключом 460
Многогранник Силаши 462
Аттрактор Икеды 464
Спидроны 466
Множество Мандельброта 468
Группа-Монстр 470
Треугольник в шаре 472
Полиномы Джонса 474
Многообразие Уикса 476
Гипотеза Андрики 478
abc-гипотеза
(Гипотеза Эстерле-Массера) 480
Аудиоактивная
последовательность 482
Программа «Mathematica» 484
Закон Мерфи и узлы 486
Кривая бабочки 488
1996 г.
1999 г
1999 г.
1999 г.
1999 г.
2001 г.
2002 г.
2002 г.
2005 г.
2007 г.
2007 г.
2007 г.
Энциклопедия целочисленных
последовательностей 490
. Головоломка «Вечность» 492
Совершенный магический тессе-
ракт 494
Парадокс Паррондо 496
Поиски холиэдра 498
Задача о складывании
простыни 500
Решение игры «Овари» 502
NP-полнота игры «Тетрис» 504
Телесериал «4исла» 506
Решение игры в шашки 508
В поисках группы Ли Е8 510
Математическая гипотеза
Вселенной 512
Примечания и список дополнительной
литературы 514
Указатель 529
Правообладатели изображений 534
СОДЕРЖАНИЕ 539

(.
> Г., "'ι. ..) «Ι ι» ,
') ■'■(■)
(
; )
.ι(
• г.)
.
...)
(
,\ - г
(
'ст '·" ice. ('
; (' . j e
С-'!) ■(
■( :)
"- С
С
• .)
(. )
,Г,.)
».( ) - "
.
ст
• ег
с
и " г1з:
ie ..
j
II