Text
                    КУРС
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Под редакцией
А.Н.ТИХОНОВА, В.А.ИЛЬИНА,
А.Г.СВЕШНИКОВА
ВЫПУСК 2
ОСНОВЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ЧАСТЬ II
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2002


В. А. ИЛЬИН, Э. Г. ПОЗНЯК основы МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ЧАСТЬ II ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ Допущено Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика» МОСКВА ФИЗМАТЛИТ 2002
УДК 517 И 46 ББК 22.16 УЧЕБНИК УДОСТОЕН ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРЕМИИ СССР ЗА 1980 ГОД ИЛЬИН В. А., ПОЗНЯК Э. Г. Основы математического анализа: В 2^х ч. Часть II: Учеб.: Для вузов. - 4-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN 5-9221-0131-5 (Вып. 2) Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики» под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факуль- факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики Московского го- государственного университета. Книга включает теорию функциональных последо- последовательностей и рядов, кратных (в том числе несобственных), криволинейных и поверхностных интегралов, интегралов, зависящих от параметров, теорию рядов и интегралов Фурье. 3-е издание — 1999 г. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Физика» и «Прикладная математика». Ил. 48. Учебное издание ИЛЬИН Владимир Александрович, ПОЗНЯК Эдуард Генрихович ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Часть II Серия «Курс высшей математики и математической физики» Редактор Д.А. Миртова Оригинал-макет: В.В. Затекин ЛР №071930 от 06.07.99 Подписано в печать 20.06.01. Формат 60x90/16. Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 29. Уч.-изд. л. 26,27. Тираж 5000 экз. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117864 Москва, Профсоюзная ул., 90 Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Ивановская областная типография» 153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6 ISBN 5-9221-0131-5 9785922 101318 ISBN 5-9221-0131-5 (Вып. 2) ISBN 5™9221™0134™Х © ФИЗМАТЛИТ, 1999, 2001, 2002
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к третьему изданию 11 Предисловие к первому изданию 11 Г л а в а 1. Функциональные последовательности и ряды . . 13 § 1. Равномерная сходимость 13 1. Понятие функциональной последовательности и функцио- функционального ряда A3). 2. Сходимость функциональной последо- последовательности в точке и на множестве A5). 3. Понятие рав- равномерной сходимости на множестве A6). 4. Критерий Ко- Копти A7). 5. Достаточные признаки равномерной сходимо- сходимости A9). 6. Почленный переход к пределу. Непрерывность суммы ряда и предельной функции последовательности B3). § 2. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов 27 1. Почленное интегрирование B7). 2. Почленное дифферен- дифференцирование B9). 3. Сходимость в среднем C4). § 3. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела 37 § 4. Степенные ряды 41 1. Степенной ряд и область его сходимости D1). 2. Непре- Непрерывность суммы степенного ряда D5). 3. Почленное интег- интегрирование и почленное дифференцирование степенного ря- да D5). § 5. Разложение функций в степенные ряды 47 1. Разложение функции в степенной ряд D7). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора D8). 3. Эле- Элементарные представления о функциях комплексной перемен- переменной E0). 4. Равномерное приближение непрерывной функ- функции многочленами (теорема Вейерштрасса) E2). Г л а в а 2. Двойные и п-кратные интегралы 57 § 1. Определение и существование двойного интеграла 58 1. Определение двойного интеграла для прямоугольника E8). 2. Существование двойного интеграла для прямоугольни- прямоугольника E9). 3. Определение и существование двойного интеграла для произвольной области F1). 4. Определение двойного ин- интеграла при помощи произвольных разбиений области F4). § 2. Основные свойства двойного интеграла 68 § 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному . 69 1. Случай прямоугольника F9). 2. Случай произвольной обла- области G1). § 4. Тройные и n-кратные интегралы 73 § 5. Замена переменных в n-кратном интеграле 77 Дополнение. О приближенном вычислении п-кратных интегралов 93
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Формулы численного интегрирования, оптимальные для классов функций (93). 2. О формулах численного интегриро- интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции (95). 3. Пример приближенного вычисления кратного интеграла (97). Г л а в а 3. Несобственные интегралы 98 § 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случай) 98 1. Понятие несобственного интеграла первого рода (98). 2. Кри- Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости A00). 3. Абсолют- Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов A02). 4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям A04). § 2. Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) 106 1. Понятие несобственного интеграла второго рода. Критерий Коши A06). 2. Заключительные замечания A07). § 3. Главное значение несобственного интеграла 109 § 4. Кратные несобственные интегралы 110 1. Понятие кратных несобственных интегралов A10). 2. Не- Несобственные интегралы от неотрицательных функций A11). 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функ- функций A14). 4. Главное значение кратных несобственных ин- интегралов A17). Г л а в а 4. Криволинейные интегралы 118 § 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл 118 § 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определенным интегралам 121 Г л а в а 5. Поверхностные интегралы 127 § 1. Понятие поверхности 127 1. Понятие поверхности A27). 2. Регулярная поверхность A28). 3. Задание поверхности с помощью векторных функций A31). 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Односто- Односторонние и двусторонние поверхности A33). 5. Вспомогатель- Вспомогательные леммы A34). § 2. Площадь поверхности 137 1. Понятие площади поверхности A37). 2. Квадрируемость гладких поверхностей A38). § 3. Поверхностные интегралы 142 1. Понятия поверхностных интегралов первого и второго ро- родов A42). 2. Существование поверхностных интегралов пер- первого и второго родов A43). 3. Поверхностные интегралы вто- второго рода, не зависящие от выбора декартовой системы ко- координат A47). Г л а в а 6. Основные операции теории поля 149 § 1. Преобразования базисов и координат. Инварианты 149 1. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и контравари- антные координаты векторов A49). 2. Преобразования базиса и координат A52). 3. Инварианты линейного оператора. Ди- Дивергенция и ротор линейного оператора A53). § 2. Основные понятия и операции, связанные со скалярным и векторным полем 156
ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Понятия скалярного и векторного поля A56). 2. Дифферен- Дифференцируемые скалярные поля. Градиент скалярного поля. Про- Производная по направлению A57). 3. Дифференцируемые век- векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Произ- Производная векторного поля по направлению A60). 4. Повторные операции теории поля A64). § 3. Выражение основных операций теории поля в криволиней- криволинейных координатах 165 1. Криволинейные координаты A65). 2. Выражение градиента и производной по направлению для скалярного поля в кри- криволинейных координатах A70). 3. Выражение дивергенции, ротора и производной по направлению для векторного поля в криволинейных координатах A72). 4. Выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах A74). 5. Выражение основных операций теории поля в цилиндриче- цилиндрической и сферической системах координат A74). Г л а в а 7. Формулы Грина, Стокса и Остроградского .... 176 § 1. Формула Грина 176 1. Формулировка основной теоремы A76). 2. Доказательство формулы Грина для специального класса областей A77). 3. Инвариантная запись формулы Грина A79). 4. Вспомога- Вспомогательные предложения A82). 5. Специальное разбиение обла- области D с кусочно-гладкой границей L A85). 6. Доказательство теоремы 7.1 A88). § 2. Формула Стокса 189 1. Формулировка основной теоремы A89). 2. Доказательство формулы Стокса для гладкой поверхности, однозначно про- проецирующейся на три координатные плоскости A90). 3. Ин- Инвариантная запись формулы Стокса A92) 4. Доказательство теоремы 7.3 A93). § 3. Формула Остроградского 195 1. Формулировка основной теоремы A95). 2. Доказательство формулы Остроградского для специального класса облас- областей A96). 3. Инвариантная запись формулы Остроградско- Остроградского A98). .... § 4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроград- Остроградского 200 1. Выражение площади плоской области через криволиней- криволинейный интеграл B00). 2. Выражение объема через поверхност- поверхностный интеграл 201). 3. Условия, при которых дифференциаль- дифференциальная форма Р(х, у) dx + Q(x, у) dy представляет собой полный дифференциал B01). 4. Потенциальные и соленоидальные векторные поля B06). Дополнение. Дифференциальные формы в евклидовом простран- пространстве 210 § 1. Знакопеременные полилинейные формы 210 1. Линейные формы B10). 2. Билинейные формы B11). 3. Полилинейные формы B11). 4. Знакопеременные полили- полилинейные формы B12). 5. Внешнее произведение знакоперемен- знакопеременных форм B12). 6. Свойства внешнегопроизведения знакопе- знакопеременных форм B15). 7. Базис в пространстве знакоперемен- знакопеременных форм B16).
ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Дифференциальные формы 217 1. Определения B17). 2. Внешний дифференциал B19). 3. Свойства внешнего дифференциала B19). § 3. Дифференцируемые отображения 221 1. Определение дифференцируемых отображений B21). 2. Свойства отображения ср* B22). § 4. Интегрирование дифференциальных форм 224 1. Определения B24). 2. Дифференцируемые цепи B25). 3. Формула Стокса B27). 4. Примеры B29). Г л а в а 8. Мера и интеграл Лебега 230 § 1.0 структуре открытых и замкнутых множеств 231 § 2. Измеримые множества 235 1. Внешняя мера множества и ее свойства B35). 2. Измеримые множества и их свойства B37). § 3. Измеримые функции 243 1. Понятие измеримой функции B43). 2. Свойства измери- измеримых функцийB45). 3. Арифметические операции над изме- измеримыми функциями B46). 4. Последовательности измеримых функций B48). § 4. Интеграл Лебега 251 1. Понятие интеграла Лебега от ограниченной функции B51). 2. Класс интегрируемых по Лебегу ограниченных функций B55). 3. Свойства интеграла Лебега от ограниченной функции B56). 4. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функ- функции и его свойства B59). 5. Интеграл Лебега от неограничен- неограниченной функции произвольного знака B63). 6. Предельный пе- переход под знаком интеграла Лебега B65). 7. Классы Лебега ЬР(Е) B70). 8. Заключительные замечания B73). Дополнение 1. Необходимое и достаточное условие интегрируемо- интегрируемости по Риману 273 Дополнение 2. Необходимое и достаточное условие интегрируемо- интегрируемости ограниченной функции по Лебегу 275 Г л а в а 9. Интегралы, зависящие от параметров 277 § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 277 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра B77). 2. Свой- Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемо- сти интегралов, зависящих от параметра B78) 3. Случай, ког- когда пределы интегрирования зависят от параметра B80). § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .... 282 1. Понятие несобственного интеграла первого рода, завися- зависящего от параметра. Понятие равномерной сходимости несоб- несобственного интеграла, зависящего от параметра B82). 2. Свой- Свойства непрерывности, интегрируемости и дифференцируемо- сти несобственных интегралов, зависящих от параметра B85). 3. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от па- параметра B89). § 3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов 290 § 4. Интегралы Эйлера 294
ОГЛАВЛЕНИЕ 9 1. Область сходимости интегралов Эйлера B94). 2. Непрерыв- Непрерывность интегралов Эйлера B95). 3. Некоторые свойства функ- функции Г(р) B96). 4. Некоторые свойства функции В(р, q) B98). 5. Связь между эйлеровыми интегралами B99). 6. Вычисле- Вычисление определенных интегралов с помощью эйлеровых интегра- интегралов C00). § 5. Формула Стирлинга 302 § 6. Кратные интегралы, зависящие от параметров 306 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от парамет- параметров C06). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметров C07). 3. Приложение к теории ньютонова по- потенциала C09). Г л а в а 10. Ряды и интеграл Фурье 311 § 1. Понятие об ортонормированных системах и об общем ряде Фурье 311 § 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы 320 § 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 323 1. Равномерное приближение непрерывной функции тригоно- тригонометрическими многочленами C23). 2. Доказательство замк- замкнутости тригонометрической системы C26). 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы C28). § 4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье . . . 329 1. Вводные замечания C29). 2. Простейшие условия абсо- абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ря- ряда Фурье C31). 3. Простейшие условия почленного диффе- дифференцирования тригонометрического ряда Фурье C33). § 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия схо- сходимости в данной точке 335 1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера C35) 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье C37). 3. Интегральный модуль непрерывности функции C39). 4. Принцип локализации C44). 5. Равномер- Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функ- функции из класса Гёльдера C46). 6. О сходимости тригономет- тригонометрического ряда Фурье кусочно-гёльдеровой функции C51). 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непре- непрерывной функции методом средних арифметических C55). 8. Заключительные замечания C57). § 6. Интеграл Фурье 358 1. Образ Фурье и его простейшие свойства C59). 2. Усло- Условия разложимости функции в интеграл Фурье C61). 3. По- Понятие о прямом и обратном преобразованиях Фурье C66). 4. Некоторые дополнительные свойства преобразования Фу- Фурье C68). § 7. Кратные тригонометрические ряды и интегралы Фурье . . 370 1. Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм C70). 2. Мо- Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции N пе- переменных C72). 3. Условия сходимости кратного тригоно- тригонометрического ряда Фурье C73). 4. О разложении функции в TV-кратный интеграл Фурье C76).
10 ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а в а 11. Гильбертово пространство 378 § 1. Пространство I2 378 1. Понятие пространства / C78). 2. Общий вид линейного функционала в I2 C81). 3. О слабой компактности ограничен- ограниченного по норме I2 множества C84). § 2. Пространство L2 388 1. Простейшие свойства пространства L2 C88). 2. Сепара- Сепарабельность пространства L2 C89). 3. Существование в L2 за- замкнутой ортонормированной системы, состоящей из счетного числа элементов C92). 4. Изоморфизм пространств L2 и I2 и следствия из него C94). § 3. Абстрактное гильбертово пространство 400 1. Понятие абстрактного гильбертова пространства D00). 2. Эквивалентность понятий полноты и замкнутости орто- ортонормированной системы в гильбертовом пространстве D02). § 4. Вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильбер- гильбертовом пространстве 406 1. Понятие линейного непрерывного оператора D06). 2. Поня- Понятие сопряженного оператора D08). 3. Понятие вполне непре- непрерывного оператора D12). 4. Существование собственных зна- значений у линейного вполне непрерывного самосопряженного оператора D14). 5. Основные свойства собственных значений и собственных элементов линейного вполне непрерывного са- самосопряженного оператора D18). Г л а в а 12. Основы теории кривых и поверхностей 421 § 1. Векторные функции 421 1. Понятие векторной функции D21). 2. Предельное значе- значение векторной функции. Непрерывность D22). 3. Производ- Производная векторной функции D23). 4. Дифференцируемость век- векторной функции D26). 5. Формула Тейлора для векторных функций D27). 6. Интегралы от векторных функций D28). § 2. Некоторые сведения из теории кривых 429 1. Регулярные кривые D29). 2. Касательная к кривой D29). 3. Соприкасающаяся плоскость кривой D30). 4 Кривизна кри- кривой D32). 5. Кручение кривой D34). 6. Формулы Френе. На- Натуральные уравнения кривой D36). § 3. Некоторые сведения из теории поверхностей 438 1. Первая квадратичная форма поверхности. Измерения на поверхности D38). 2. Вторая квадратичная форма поверх- поверхности D41). 3. Классификация точек регулярной поверхно- поверхности D41). 4. Кривизна кривой на поверхности D44). 5. Спе- Специальные линии на поверхности D45). 6. Формула Эйлера. Средняя и гауссова кривизна поверхности. Теорема Гаусса D49). Приложение. О вычислении значений функции по при- приближенно заданным коэффициентам Фурье 452 1. Задача о суммировании тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье D52). 2. Метод регуляризации для задачи о суммировании тригоно- тригонометрического ряда Фурье D54). 3. Заключительные замеча- замечания о значении метода регуляризации D59). Алфавитный указатель 460
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Вторая часть «Основ математического анализа» была изда- издана тиражом, меньшим, чем первая часть, и превратилась в еще большую библиографическую редкость. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга полно- полностью охватывает материал, входящий в программу второго го- года обучения студентов специальностей «физика» и «приклад- «прикладная математика», и, кроме того, содержит легко отделяемые от основного материала главы, посвященные теории меры и инте- интеграла Лебега, теории гильбертовых пространств и входящие в программу так называемого «анализа-3» университетских кур- курсов. Книга переиздается стереотипно с текста второго издания, учитывающего опыт чтения лекций не только на физическом факультете, но и на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета. Июнь 1998 г. В. А. Ильин ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В основу этой книги положены лекции, читавшиеся авторами в течение ряда лет в Московском государственном университете. Как и в первой части, авторы стремились к систематичности изложения и к выделению важнейших понятий и теорем. Кроме основного программного материала, книга содержит ряд дополнительных вопросов, играющих важную роль в раз- различных разделах современной математики и физики: теорию меры и интеграл Лебега, теорию гильбертовых пространств и линейных самосопряженных операторов в этих пространствах, вопросы регуляризации рядов Фурье, теорию дифференциаль- дифференциальных форм в евклидовых пространствах и др. Ряд разделов кур- курса изложен с большей общностью и при меньших, чем обычно, ограничениях. Сюда относятся, например, условия почленно- почленного дифференцирования и почленного интегрирования функци- функциональных последовательностей и рядов, теорема о замене пере- переменных в кратном интеграле, формулы Грина и Стокса, необхо- необходимые условия интегрируемости ограниченной функции по Ри- ману и по Лебегу.
12 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Как и в первой части, в книге рассмотрен ряд вопросов, свя- связанных с вычислительной математикой. В первую очередь сюда относятся дополнение к главе 2 о приближенном вычислении кратных интегралов и специальное приложение о вычислении значений функции по приближенно заданным коэффициентам Фурье (метод регуляризации А. Н. Тихонова). Материал данной книги вместе с первой частью полностью охватывает университетский курс математического анализа. Отметим, что всюду в тексте при обращении к первой ча- части мы называем ее «выпуском 1». Подчеркнем также, что при чтении этой книги глава 8 «Мера и интеграл Лебега», глава 11 «Гильбертово пространство» и все дополнения могут быть опу- опущены без ущерба для понимания остального текста книги. Авторы книги приносят глубокую благодарность А. Н. Тихо- Тихонову и А. Г. Свешникову за множество ценных советов и глубо- глубоких замечаний, Ш. А. Алимову, труд которого над этой книгой вышел за рамки редактирования, Л. Д. Кудрявцеву и С. А. Ло- Ломову за большое количество ценных замечаний, П. С. Моденову и Я. М. Жилейкину, предоставившим материалы по теории поля и приближенным методам вычисления кратных интегралов. Декабрь 1972 г. В. Ильин, Э. Позняк
ГЛАВА 1 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В этой главе будут изучены последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные на некотором фиксированном множестве. Такие последователь- последовательности и ряды широко используются для представления и при- приближенного вычисления функций. § 1. Равномерная сходимость 1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда. Если фиксировано некоторое мно- множество {х} г) и если каждому числу п из натурального ряда чисел 1, 2, ..., п, ... ставится в соответствие по определен- определенному закону некоторая функция /п(ж), заданная на множестве {ж}, то множество занумерованных функций /i(x), /2(ж), ... ..., fn(x), ... мы и будем называть функциональной по- последовательностью. Отдельные функции fn(x) будем называть членами или элементами рассматриваемой последовательности, а множест- множество {х} — областью определения этой последовательности. Для обозначения функциональной последовательности бу- будем использовать символ fn(x)- Формально написанную сумму ип(х) = ui(x) +и2(х) + ... +un(x) + ... A.1) п=1 бесконечного числа членов функциональной последовательно- последовательности ип(х) будем называть функциональным рядом. Члены ип(х) этого ряда представляют собой функции, опре- определенные на некотором множестве {х}. Указанное множество {х} называется при этом областью определения функционального ряда A.1). 1)Под {х} можно понимать, в частности, как множество точек прямой, так и множество точек х = (xi, Ж2, • • •, хш) евклидова пространства Ет.
14 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Как и для случая числового ряда, сумму первых п членов ряда A.1) называют n-й частичной суммой этого ряда. Подчеркнем, что изучение функциональных рядов совершен- совершенно эквивалентно изучению функциональных последовательнос- гаей, ибо каждому функциональному ряду A.1) однозначно со- соответствует функциональная последовательность S1(x),S2(x),...,Sn(x),... A.2) его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной по- последовательности A.2) однозначно соответствует функциональ- функциональный ряд A.1) с членами щ(х) = Si(x), ип(х) = Sn(x) - Sn-i(x) при п > 2, для которого последовательность A.2) является последователь- последовательностью частичных сумм. Приведем примеры функциональных последовательностей и рядов. 11 \ /2(Х) 1 - 1 х О 1.. н- 1/2 1 x Рис. 1.1 1/п 1 X Пример 1. Рассмотрим последовательность функций ()}, каждая из которых определена на сегменте 0 ^ ж ^ 1 и имеет вид 1 — пх при 0 ^ х < 1/п, ' A.3) U при 1/п < х ^ 1. На рис. 1.1 изображены графики функций Д(ж), /2 (ж) и ример 2. В качестве примера функционального ряда рассмотрим следующий ряд по степеням х: ¦¦ + ^- + ... A.4) к=1 2! Заметим, что (п+1)-я частичная сумма ряда A.4) отличается от разложения ех по формуле Маклорена только на величину остаточного члена Rn+i(x).
§ 1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 15 2. Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве. Предположим, что функциональная последовательность (или ряд) определены на множестве {х}. Фиксируем произвольную точку xq из множества {х} и рассмо- рассмотрим все члены последовательности (или ряда) в точке xq. При этом получим числовую последовательность (или ряд). Если указанная числовая последовательность (или ряд) схо- сходится, то говорят, что функциональная последовательность (или ряд) сходится в точке xq. Множество всех точек жо, в которых сходится данная функ- функциональная последовательность (или ряд), называется обла- областью сходимости этой последовательности (или ряда). В различных конкретных случаях область сходимости может либо совпадать с областью определения, либо составлять часть области определения, либо вообще являться пустым множеством. Соответствующие примеры читатель найдет ниже. Предположим, что функциональная последовательность {fn(x)} имеет в качестве области сходимости множество {х}. Совокупность пределов, взятых для всех значений х из множе- множества {ж}, образует вполне определенную функцию /(ж), также заданную на множестве {х}. Эту функцию называют предельной функцией по- последовательности {fn(x)}. Совершенно аналогично, если функциональный ряд A.1) схо- сходится на некотором множестве {ж}, то на этом множестве определена функция S(x), являющаяся .. . предельной функцией последовательно- * сти его частичных сумм и называемая I® суммой этого ряда. Последовательность A.3) из рассмо- рассмотренного выше примера 1 сходится на всем сегменте 0 ^ х ^ 1. В самом деле, /п@) = 1 для всех но- номеров п, т. е. в точке х = 0 последова- последовательность A.3) сходится к единице. Если же фиксировать любое х из по- полусегмента 0 < х ^ 1, то все /п(ж), начи- начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от ж), будут рав- равны нулю. Стало быть, в любой точке х полусегмента 0 < х ^ 1 последовательность A.3) сходится к нулю. Итак, последовательность A.3) сходится на всем сегменте О ^ х ^ 1 к предельной функции /(ж), имеющей вид 1 при х = О, О при 0 < х ^ 1. График этой предельной функции изображен на рис. 1.2 Э- 1 X Рис. 1.2
16 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Подчеркнем, что эта функция не является непрерывной на сегменте 0 ^ х ^ 1 (она разрывна в точке х = 0). Обратимся теперь к функциональному ряду A.4) из примера 2. Этот ряд сходится в любой точке х бесконечной прямой и его сумма равна ех. Доказательство можно найти в гл. 13 вып. 1 (см. пример 3 из п. 1 § 1 гл. 13) г) . 3. Понятие равномерной сходимости на множестве. Предположим, что последовательность fi(x), f2(x), ...,fn(x), ... A.5) сходится на множестве {х} к предельной функции f(x). Определение 1. Будем говорить, что последовательность A.5) сходится к функции f(x) равномерно на множе- множестве {ж}, если для любого е > 0 можно указать такой но- номер N(e), что при п ^ N(e) для всех х из множества {х} справедливо неравенство 2) |/пж-/(а;)|<е. A.6) Замечание 1. В этом определении весьма существенно то, что номер N зависит только от ? и не зависит от х. Таким образом, для любого е > 0 найдется универсальный номер N(e), начиная с которого неравенство A.6) справедливо сразу для всех х из множества {х}. Замечание 2. Из сходимости последовательности {fn(%)} на множестве {х} вовсе не вытекает равномерная схо- сходимость ее на этом множестве. Так, последовательность A.3) из рассмотренного выше примера 1 сходится на всем сегменте [0, 1] (это установлено выше). Докажем, что эта последовательность не сходится равно- равномерно на сегменте [0, 1]. Рассмотрим последовательность то- точек хп = 1/Bп) (п = 1, 2, ...), принадлежащих сегменту [0, 1]. В каждой из этих точек (т. е. для каждого номера п) справед- справедливы соотношения fn(xn) = 1/2, f(xn) = 0. Таким образом, для любого номера п т. е. при е ^ 1/2 неравенству A.6) нельзя удовлетворить сразу для всех точек х из сегмента [0, 1] ни при каком номере п. ^Впрочем, это доказательство сразу вытекает из формулы Маклорена для ех и из того, что остаточный член в этой формуле стремится к нулю для всех х. 2) Если под {х} понимать множество точек х = (xi, ..., хш) пространства Еш, то мы получим определение равномерной сходимости последователь- последовательности fn(x) = /п(ж1, Ж2, • • •, Хт) функций гп переменных.
§ 1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 17 Замечание 3. Отметим, что равномерная на множест- множестве {х} сходимость функциональной последовательности {fn{%)} к функции f(x) эквивалентна сходимости числовой последова- последовательности {бп}, члены еп которой представляют собой точные верхние грани функции |/п(ж) — f(x)\ на множестве {х}. Замечание 4. Из определения 1 непосредственно выте- вытекает, что если последовательность {fn(%)} равномерно сходится к f(x) на всем множестве {ж}, то {fn{x)} равномерно сходится к f(x) и на любой части множества {х}. Приведем теперь пример функциональной последовательно- последовательности, равномерно сходящейся на некотором множестве {х}. Рас- Рассмотрим все ту же последовательность A.3), но не на всем сег- сегменте [0, 1], а на сегменте [8, 1], где 8— фиксированное число из интервала 0 < 8 < 1. Для любого такого 8 найдется номер, начи- начиная с которого все элементы fn(x) равны нулю на сегменте [8, 1]. Так как предельная функция f(x) также равна нулю на сегмен- сегменте [8, 1], то на всем этом сегменте неравенство A.6) будет спра- справедливо для любого е > 0, начиная с указанного номера. Это доказывает равномерную сходимость последовательности A.3) на сегменте [8, 1]. Определение 2. Функциональный ряд называется рав- равномерно сходящимся на множестве {х} к сво- своей сумме S(x), если последовательность {Sn(x)} его частич- частичных сумм сходится равномерно на множестве {х} к предель- предельной функции S(x). Докажите сами, что функциональный ряд A.4) из рассмот- рассмотренного выше примера 2 сходится к своей сумме ех равномерно на каждом сегменте —г ^ х ^ г, где г — любое фиксированное положительное число х) . 4. Критерий Коши. Справедливы следующие две основ- основные теоремы. Теорема 1.1. Для того чтобы функциональная последова- последовательность {fn{%)j равномерно на множестве {х} сходилась к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся номер N{e) такой, что \fn+p(x) - fn(x)\ < г A.7) :)Для доказательства достаточно оценить остаточный член Rn+i{x) в формуле Маклорена для функции ех . Этот остаточный член, представляю- представляющий собой разность ех и (п + 1)-й частичной суммы ряда A.4), сразу для всех х из сегмента —г^х^г удовлетворяет неравенству (см. вып. 1, формулу (8.62)).
18 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 для всех п ^ N(e), всех натуральных р (р = 1, 2, ...) и всех х из множества {х}. Теорема 1.2. Для того чтобы функциональный ряд ) A.8) k = l равномерно на множестве {х} сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашелся номер N(e) такой, что п+р ^2 ик{х) < е A.9) к=п+1 для всех п ^ N(s), всех натуральных р и всех х из множест- множества {х}. Теорема 1.2 является следствием теоремы 1.1: достаточно за- заметить, что в левой части неравенства A.9) под знаком модуля стоит разность Sn+P(x) — Sn(x) частичных сумм ряда A.8). Доказательство теоремы 1.1. 1) Необходи- Необходимость. Пусть последовательность {fn(%)} сходится равномер- равномерно на множестве {х} к некоторой предельной функции f(x). Фиксируем произвольное е > 0. Для положительного числа е/2 найдется номер N такой, что для всех п ^ N и сразу для всех х из множества {х} \fn(x)-f(x)\<e/2. A.10) Если р — любое натуральное число, то для п ^ N и для всех х из множества {х} тем более справедливо неравенство \fn+P(x)-f(x)\<e/2. A.11) Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, то в силу A.10) и A.11) получим IWaO - fn(x)\ = \[fn+P(x) - /Or)] + [/Or) - fn(x)]\ < <\fn+p(x)-f(x)\ + \f(x)-fn(x)\<e (для всех n ^ N, всех натуральных р и всех х из множества {х}). Необходимость доказана. 2) Достаточность. Из неравенства A.7) и из критерия Коши для числовой последовательности вытекает сходимость последовательности {fn(%)} ПРИ любом фиксированном х из мно- множества {х} и существование предельной функции f(x). Так как неравенство A.7) справедливо для любого натураль- натурального р, то, осуществив в этом неравенстве предельный переход
§ 1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 19 при р —>• оо (см. вып. 1, теорему 3.13), получим, что для всех п ^ N и всех х из множества {х} справедливо неравенство В силу произвольности е > 0 достаточность доказана. 5. Достаточные признаки равномерной сходимости. В зависимости от удобства будем формулировать признаки равно- равномерной сходимости либо в терминах последовательностей, либо в терминах рядов х) . Для формулировки первого признака введем новое понятие. Определение. Последовательность функций {fn(x)} назы- называется равномерно ограниченной на множест- в е {ж}, если существует такое вещественное число А, что для всех х из множества {х} и для всех номеров п справедливо неравенство \fn(x)\ ^ А. Теорема 1.3 (признак Дирихле-Абеля). Пусть дан функциональный ряд оо / J ak\x) uk\x)- k=l Этот ряд сходится равномерно на множестве {ж}, если вы- выполнены следующие два условия: 1) последовательность Vk(x) является невозрастающей на множестве {х} и равномерно на этом множестве сходится к нулю] оо 2) ряд ^2 ик(х) имеет равномерно ограниченную на множе- к=1 стве {х} последовательность частичных сумм. Доказательство почти текстуально совпадает с доказатель- доказательством соответствующего признака сходимости числовых рядов (см. вып. 1, гл. 13, § 5, п. 2). Мы предлагаем читателю провести его самому. Пример 1. В качестве примера изучим вопрос о равно- равномерной сходимости ряда к=1 Так как последовательность {1/к} (для всех ж) не возрастает и равномерно стремится к нулю, то в силу признака Дирихле- Абеля ряд A.12) равномерно сходится на любом множестве, на ) В силу сказанного в п. 1 обе эти формулировки эквивалентны.
20 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 котором ряд оо A.13) k=l обладает равномерно ограниченной последовательностью час- частичных сумм. Вычислим и оценим n-ю частичную сумму Sn(x) ряда A.13). Суммируя тождество 2 sin - • sin кх = cos [к — - ) х — cos (к + -)х 2 V 2/ V 2/ по всем к от 1 до п, получим 2 sin - • Sn(x) = cos - — cos In + - )x. Отсюда ж / 1\ cos cos [n -\— b 2^. 2sin- 2 Стало быть, для всех номеров п справедливо неравенство \Sn(x)\ < —j^y A.14) Из неравенства A.14) очевидно, что последовательность {SV(x)} частичных сумм ряда A.13) равномерно ограничена на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек хт = 2тгга (га = = 0, ±1, ±2, ...), ибо на любом таком сегменте | sin(x/2)| имеет положительную точную нижнюю грань. Итак, мы доказали, что ряд A.12) сходится равномерно на любом сегменте, не содержащем точек хт = 2тгга, где га = = 0, ±1, ±2, ... Теорема 1.4 (признак Вейерштрасса). Если функцио- функциональный ряд определен на множестве {х} и если существует сходящийся оо числовой ряд ^2 ск такой, что для всех х из множества {х} и для любого номера к справедливо неравенство Ых)\<ск, A.16) то функциональный ряд A.15) сходится равномерно на множе- множестве {х}.
§ 1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 21 Краткая формулировка: функциональный ряд схо- сходится равномерно на данном множестве, если его можно мажо- мажорировать на этом множестве сходящимся числовым рядом. Доказательство. Согласно критерию Коши для число- оо вого ряда ^2 cki Для любого е > 0 найдется номер N(e) такой, к=1 что для всех п ^ N(e) и для любого натурального р справедливо неравенство п-\-р J2 с*<е- AЛ7) h=n+l Из неравенств A.16) и A.17) и из того, что модуль суммы не превосходит суммы модулей, получим k=n+l (для всех п ^ N(e), всех натуральных р и всех х из множест- множества {х}). Согласно критерию Коши функциональный ряд A.15) схо- сходится равномерно на множестве {х}. Теорема доказана. Пример 2. Ряд оо sin kx к=1 сходится равномерно на всей бесконечной прямой, ибо на всей прямой sin kx 1 оо а числовой ряд 2_\ —— ПРИ ^ > 0 сходится (см. вып. 1, гл. 13). к=1 Замечание 1. Признак Вейерштрасса не является необ- необходимым. В самом деле, выше установлено, что ряд A.12) сходится рав- равномерно на любом сегменте, не содержащем точек хт = 2тгт (га = 0, ±1, ±2, ...). В частности, ряд A.12) сходится равно- равномерно на сегменте [тг/2, Зтг/2]. Однако на указанном сегменте 7 (л 1 о\ I sin /сж| модуль /с-го члена ряда A.12) J имеет точную верхнюю к (X) грань, равную -, т. е. мажорирующий числовой ряд У^ - пред- предке ^—' к к=1 ставляет собой заведомо расходящийся гармонический ряд.
22 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Теорема 1.5 {признак Дини 1) ). Пусть последователь- последовательность {fn(x)} не убывает (или не возрастает) в каждой точ- точке сегмента [а, Ь] и сходится на этом сегменте к предельной функции f(x). Тогда, если все элементы последовательности fn(x) и предельная функция f(x) непрерывны на сегменте [а, Ь], то сходимость последовательности {fn{%)} является равно- равномерной на сегменте [а, Ь]. Доказательство. Ради определенности предположим, что последовательность {fn(x)} не убывает на сегменте [а, Ь\ (случай невозрастающей последовательности сводится к этому случаю помножением всех элементов последовательности на —1). Положим гп{х) = f(x) - fn(x). Последовательность {гп(х)} обладает следующими свойствами: 1) все гп(х) неотрицательны и непрерывны на сегменте [а, Ь]; 2) {гп(х)} является невозрастающей на сегменте [а, Ь]; 3) в каждой точке х сегмента [а, Ь] существует предел lira rn(x) = 0. п-юо Требуется доказать, что последовательность {гп(х)} сходит- сходится к нулю равномерно на сегменте [a, b]. Достаточно доказать, что для любого е > 0 найдется хоть один номер п такой, что Гп(%) < ? сразу для всех х из [a, b] (тогда в силу невозраста- невозрастания {гп(х)} неравенство rn(x) < e будет справедливо и для всех последующих номеров). Предположим, что для некоторого е > 0 не найдется ни одно- одного номера п такого, что гп(х) < е сразу для всех х из [a, b]. Тогда для любого номера п найдется точка хп из [a, b] такая, что гп{хп) > е. A.18) Из последовательности {хп} в силу теоремы Больцано-Вейер- штрасса можно выделить подпоследовательность {жП/с}, сходя- сходящуюся к некоторой точке xq сегмента [а, Ь] (см. вып. 1, гл. 3, § 4). Все функции гт(х) (при любом номере га) непрерывны в точке xq. Стало быть, для любого номера га lira rm{xnk) = гт(х0). A.19) С другой стороны, выбрав для любого фиксированного номе- номера га превосходящий его номер п^, мы получим (в силу невоз- невозрастания последовательности) г \хпк) ^ гпк\хпк) ) Улисс Дини — итальянский математик A845— 1918).
§ 1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 23 Сопоставляя последнее неравенство с A.18), будем иметь гт{хПк)^е A.20) (для любого фиксированного т и превосходящего его номе- номера Пк). Наконец, из сопоставления A.19) и A.20) получим Гт(хо) > е (для любого номера га). Последнее неравенство противоречит сходимости последова- последовательности {гп(х)} к нулю в точке xq. Полученное противоречие доказывает теорему. Замечание 2. В теореме Дини существенно условие м о- нотонности последовательности {fn(x)} на сегменте [а, 6], ибо немонотонная на [а, Ь] последовательность непрерывных на этом сегменте функций может сходиться в каждой точке сег- сегмента [а, Ь] к непрерывной на этом сегменте функции /(ж), но не сходиться к ней равномерно на [а, Ь]. Примером может служить последовательность функций /п(ж), равных s'mnx при 0 ^ х ^ тг/n и равных нулю при тг/п < х ^ тг (п = 1, 2,...). Эта последовательность сходится к f(x) = 0 в каждой точке [0, тг], но не сходится равномерно на [0, тг], ибо \fn(xn) — f(xn)\ = 1 при хп = тг/Bп) для всех номеров п. Замечание 3. Сформулируем теорему Дини в терминах рядов: если все члены ряда непрерывны и неотрицательны на сегменте [а, Ь] и сумма этого ряда также непрерывна на сег- сегменте [а, Ъ], то указанный ряд сходится к своей сумме равно- равномерно на сегменте [а, Ь]. Замечание 4. Теорема Дини и ее доказательство сохраняют силу, если в этой теореме вместо сегмента [а, Ь] взять любое ограниченное замкну- замкнутое множество {х}. Такое множество принято называть компактным. Пример 1. Последовательность {хп} сходится к нулю равномерно на сегменте 0, В самом деле, 1) для любого ж из 0, - эта последователь- последовательность сходится к нулю; 2) все функции хп и предельная функ- функция нуль непрерывны на 0, - ; 3) последовательность {хп} не возрастает на сегменте 0, Все условия теоремы Дини выполнены. 6. Почленный переход к пределу. Непрерывность суммы ряда и предельной функции последовательности. Рассмотрим произвольную точку а бесконечной прямой, и пусть {х} — произвольное множество, быть может, и не содержащее
24 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 точку а, но обладающее тем свойством, что в любой ?-окрестно- сти точки а содержатся точки этого множества 1) . Справедливо следующее утверждение. Теорема 1.6. Пусть функциональный ряд (X 1>*(я) A.15) k=i сходится равномерно на множестве {х} к сумме S(x). Пусть далее у всех членов этого ряда существует в точке а предель- предельное значение limuk(x) = bk. x—ta Тогда и функция S{x} имеет в точке а предельное значение, причем 1 (X) (X) lim S(x) = V lim щ(х) = V bk, A.21) xta L' xta L' x—ta ^—' x—ta к=1 к=1 т. е. символ предела (lim) и символ суммирования (S) можно переставлять местами (или, как говорят, к пределу можно переходить почленно). Доказательство. Прежде всего докажем, что число- (X вой ряд ^2 bk сходится. В силу критерия Коши, примененного k=i к функциональному ряду A.15), для любого е > 0 найдется но- номер N(e) такой, что \ип+1(х) + ип+2(х) Н \- ип+р(х)\ < е A.22) для всех п ^ ^V"(^)j всех натуральных р и всех х из множест- множества {х}. Переходя в неравенстве A.22) к пределу х —>• а 2) , получим (для всех п ^ N(e) и всех натуральных р). (X Стало быть, для числового ряда ^2 ^к выполнен критерий к=1 Коши и этот ряд сходится. (X Оценим теперь разность S(x) — ^2 Ьк для значений х из ма- к=1 (X лой окрестности точки а. Так как S(x) = ^ Uk(x) Для всех /с=1 х) Иными словами, точка а является предельной точкой {х}. 2) Такой предельный переход можно осуществить по какой-либо последо- последовательности точек {хш}, сходящейся к а.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 25 точек множества {ж}, то для любого номера п справедливо тож- тождество \—^ L /с=1 L/c=l к=1 J /с=п+1 /с=п+1 Из этого тождества для всех х из {х} получаем неравенство ОО ¦ A.23) fe СХОДИТ- k=l к=1 к=1 к=п+1 Фиксируем произвольное е > 0. Так как ряд /с=1 ся, а ряд A.15) сходится равномерно на множестве {ж}, то для фиксированного нами е найдется номер п такой, что для всех точек х из множества {х} к=п+1 оо Е- /с=п+1 A.24) Поскольку предел конечной суммы равен сумме пределов сла- слагаемых, то для фиксированного нами е > 0 и выбранного номе- номера п можно указать S > 0 такое, что A.25) к=1 к=1 для всех точек х множества {ж}, удовлетворяющих условию О < \х — а\ < 5. Вставляя A.24) и A.25) в правую часть A.23), мы оконча- окончательно получим, что к=1 < е для точек х множества {ж}, удовлетворяющих условию 0 < < \х — а\ < S. Тем самым доказано, что функция S(x) имеет в точке х = а предельное значение и справедливо равенство A.21). Теорема доказана. Сформулируем теорему 1.6 в терминах функциональных по- последовательностей. Если функциональная последовательность {fn{x)} сходит- сходится равномерно на множестве {х} к предельной функции f(x) и
26 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 если все элементы этой последовательности имеют в точке а предельное значение, то и предельная функция f(x) имеет в точке а предельное значение, причем lira/(ж) = lira ( lira fn(x)) = lira (lira fix)), т. е. символ lira предела последовательности и символ lira n—)>oo x—ta предельного значения функции можно переставлять местами (или, как говорят, к пределу при х —>> а можно переходить почленно). Замечание к теореме 1.6. Если в условиях теоремы 1.6 дополнительно потребовать, чтобы точка а принадлежала мно- множеству {х} и чтобы все члены и^(х) ряда A.15) были непре- непрерывны в точке а (или соответственно непрерывны в этой точке справа или слева), то и сумма S(x) ряда A.15) будет непрерыв- непрерывна в точке а (или соответственно непрерывна в точке а справа или слева). В самом деле, в этом случае Ъ^ = зд(а) и равенство A.21) принимает вид оо что и означает непрерывность функции S(x) в точке а (или, если стремление х к а одностороннее, то непрерывность S(x) в этой точке соответственно справа или слева). Применяя указанное замечание к каждой точке некоторого сегмента [a, b], мы придем к следующей основной теореме. Теорема 1.7. Если все члены функционального ряда (функ- (функциональной последовательности) непрерывны на сегменте [а, Ь] и если указанный ряд (указанная последовательность) сходит- сходится равномерно на сегменте [а, Ь] , то и сумма этого ряда (пре- (предельная функция этой последовательности) непрерывна на сег- сегменте [а, Ь]. Замечания к теореме 1.7. 1) В теореме 1.7 вместо сегмента [a, b] можно взять интервал, полусегмент, полупря- полупрямую, бесконечную прямую и вообще любое плотное в себе мно- множество {х}. 2) В теореме 1.7 существенно требование равно- равномерной сходимости, ибо неравномерно сходящаяся после- последовательность непрерывных функций может сходиться к раз- разрывной функции (см. пример A) из пп. 1-3 настоящего параг- параграфа). Заключительное замечание. Все теоремы этого па- параграфа справедливы для последовательностей функций, задан- заданных на множестве {х} пространства Ет.
§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 27 § 2. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов 1. Почленное интегрирование. Имеет место следующая основная теорема. Теорема 1.8. Если функциональная последовательность {fn(%)} сходится к предельной функции f(x) равномерно на сег- сегменте [а, Ъ] и если каждая функция fn(x) интегрируема на сег- сегменте [а, Ь] , то и предельная функция f(x) интегрируема на сегменте [а, Ь] , причем указанную последовательность можно интегрировать на сегменте [а, b] n о ч л енн о, т. е. предел ъ lim f fn(x)dx существует и равен f f(x) dx. а Доказательство. Фиксируем произвольноее > 0. В силу равномерной сходимости последовательности {fn{%)} к f(x) Для фиксированного е > 0 найдется номер N(e) такой, что при всех п ^ N(e) и при всех х из сегмента [а, Ь] справедливо неравенство \fn(x)-f(x)\<-^—y A.26) Если будет доказано, что предельная функция f(x) интегриру- интегрируема на сегменте [а, 6], то, используя известные оценки интегра- интегралов 1) и неравенство A.26), мы получим / fn(x)dx - / f(x)dx f[fn(x)-f(x)]dx b f Unix) - f(x)\dx b —-— Г dx = - <e 2F-a) I 2 (для всех п ^ N(e)). :) Имеются в виду следующие оценки интегралов, установленные в § 6 гл. 10 вып. 1: 1) если функция F(x) интегрируема на сегменте [а, Ь], то и функция |.Р(ж)| интегрируема на [а, Ь], причем fF(x)dx 2) если f(x) и g(x) обе интегрируемы на [a, b] и всюду на этом сегменте ъ ъ /О) ^ g(x), то / f(x) dx ^ f g(x) dx.
28 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Ь Тем самым будет доказано, что предел lira f fn(x) dx суще- b ствует и равен f f(x)dx, и нам остается доказать интегрируе- а мость функции f(x) на сегменте [a, b]. Подвергнув сегмент [а, Ь] разбиению при помощи произ- произвольных точек а = xq < xi < ... < хт = b на т частич- частичных сегментов [x^-i, х^\ (к = 1, 2, ..., га), договоримся обоз- обозначать символом u)k{f) (соответственно оо^{1п)) колебание на к-м частичном сегменте [ж&_1, хк] функции f(x) (соответст- (соответственно fn(x)) г) . Убедимся в том, что для любого е > 0 и любого к = = 1, 2, ..., га найдется достаточно большой номер п, для ко- которого справедливо неравенство ь>к(/)<ь>к(и) + Ш—v A-27) 2F — а) В самом деле, каковы бы ни были х' и х" из сегмента [x^-i, хь\, справедливо неравенство \f(x') - f(x")\ < \f(x') - fn(x')\ + \fn(x') - fn(x")\ + + \fn(x")-f(x")\. A.28) В силу равномерной сходимости {fn(x)} K f(x) Для любого е > 0 найдется номер п такой, что для всех ж из [a, b] будет спра- справедливо неравенство A.26). Таким образом, для этого номера п \f(x') - fn(x')\ + \fn(x") - f(x")\ < ^- и, стало быть, в силу A.28) |/(X') - f(X")\ < \fn(x) - fn(X")\ + -5-. о — a Из последнего неравенства и из произвольности точек х1 и х11 сразу ж:е вытекает справедливость для выбранного номера п неравенства A.27). Обозначим теперь для взятого нами произвольного разбие- разбиения сегмента [a, b] символами S и s верхнюю и нижнюю суммы функции /(ж), а символами Sn и sn верхнюю и нижнюю суммы функции fn(x). Умножая неравенство A.27) на длину к-ro частичного сег- сегмента Ах к и после этого суммируя его по всем fc = l,2, ...,га, мы получим неравенство S-s^Sn-sn + ?. A.29) 1) Напомним, что колебанием функции на данном сегменте называ- называется разность между точной верхней и точной нижней гранями этой функ- функции на данном сегменте.
§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 29 Неравенство A.29) установлено нами для произвольного раз- разбиения сегмента [а, Ь]. В силу интегрируемости функции fn(x) на сегменте [а, Ь] найдется разбиение этого сегмента, для кото- которого Sn — sn < е 1) и, стало быть, на основании A.29) S — s < 2e. Так как е — произвольное положительное число, то послед- последнее неравенство доказывает интегрируемость f(x) на сегменте [а, Ь] 2). Теорема доказана. Сформулируем теорему 1.8 в терминах функциональных ря- рядов: Если функциональный ряд A.15) сходится к своей сумме S(x) равномерно на сегменте [а, Ь] и если каждый член этого ряда щ(х) представляет собой функцию, интегрируемую на сегменте [а, Ь] , то и сумма S(x) интегрируема на сегменте [а, Ь] , причем указанный ряд можно интегрировать на сегмен- сегменте [а, b] n о ч л енн о, т. е. ряд k=ia b сходится и имеет своей суммой f S(x) dx. а Замечание. В учебниках по математическому анализу те- теорема 1.8, как правило, доказывается при более жестком предпо- предположении о том, что каждая функция fn(x) не только интегрируе- интегрируема, но и непрерывна на сегменте [а, Ь]. При этом дополнитель- дополнительном предположении приведенное выше доказательство упроща- упрощается, ибо для доказательства интегрируемости предельной функ- функции f(x) на сегменте [а, Ь] достаточно сослаться на теорему 1.7. 2. Почленное дифференцирование. Докажем следую- следующую основную теорему. Теорема 1.9. Пусть каждая функция fn(x) имеет на сег- сегменте [а, Ь] производную f'n{x) 3), причем последовательность производных {f'n(x)} сходится равномерно на сегменте [а, Ь] , :) В силу теоремы 10.1 из гл. 10 вып. 1. 2) В силу теоремы 10.1 из вып. 1 существование для произвольного е > 0 разбиения сегмента, для которого S — s < 2г является необходимым и доста- достаточным условием интегрируемости всякой ограниченной на данном сегменте функции. Ограниченность /(ж) на сегменте [а, Ь] сразу вытекает из неравенства A.26) и из ограниченности интегрируемой на сегменте [а, Ь] функции fn(x). 3)Под термином «функция f(x) имеет производную на сегменте [а, Ь]» здесь и ниже подразумевается существование производной f'(x) в любой внутренней точке [а, Ь], правой производной /' (а + 0) в точке а и левой производной / (Ъ — 0) в точке Ъ.
30 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 а сама последовательность {fn{%)} сходится хотя бы в одной точке xq сегмента [а, Ь]. Тогда последовательность {fn(x)} сходится к некоторой предельной функции f(x) равномерно на всем сегменте [а, Ь] , причем эту последовательность можно дифференцировать на сегменте [а, b] n о ч л енн о, т. е. всюду на сегменте [а, Ъ] предельная функция f(x) имеет производную /7(ж), являющуюся предельной функцией последовательности {№}¦ Доказательство. Сначала докажем, что последователь- последовательность {fn(x)} сходится равномерно на сегменте [а, Ь]. Из схо- сходимости числовой последовательности {/n(^o)} и из равномер- равномерной на [а, Ь] сходимости {f'n(x)} заключаем, что для произволь- произвольного е > 0 найдется номер N(e) такой, что § §, 1/п+рИ /п(*I < ^^у A-30) для всех п ^ N(e) всех натуральных р и (это относится ко вто- второму неравенству A.30)) всех х из [а, Ь]. Пусть х — произвольная точка сегмента [а, Ь]. Для функ- функции [/n_|_p(?) — fn(t)] при любых фиксированных пир выполнены на сегменте [жо, %] все условия теоремы Лагранжа (см. теорему 8.12 из вып. 1). По этой теореме между х и xq найдется точка ? такая, что Из последнего равенства и из неравенств A.30) с учетом того, что \х — хо\ ^ b — а, получим, что )-/п(ж)| <е (для любого х из [а, 6], любого п ^ N(e) и любого натураль- натурального р). Но это и означает, что последовательность {/п(ж)} равно- равномерно на сегменте [а, Ь] сходится к некоторой предельной функ- функции f(x) г) . Остается доказать, что в любой точке xq сегмента [а, Ь] предельная функция f(x) имеет производную и что эта произ- производная является предельной функцией последовательно- последовательности {fn(x)}. Фиксируем на сегменте [а, Ь] произвольную точку xq и по ней положительное число S такое, чтобы E-окрестность точ- точки xq целиком содержалась в [а, Ь] (в случае, если xq является ) В силу критерия Коши, т. е. теоремы 1.1.
§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 31 граничной точкой сегмента [а, Ь] под E-окрестностью точки жо мы будем подразумевать правую полуокрестность [а, а -\-6) точ- точки а или соответственно левую полуокрестность (Ь — 8, Ь] точки Ь). Обозначим символом {Ах} множество всех чисел Дж, удов- удовлетворяющих условию 0 < |Дж| < S при а < xq < 6, условию О < Ах < S при xq = а и условию —S < Ах < 0 при жо = 6, и докажем, что последовательность функций аргумента Ах (д ч = /П(х сходится равномерно на указанном множестве {Ах}. Для произвольного е > 0 в силу равномерной сходимости {f'n{x)} найдется номер N(e) такой, что 1/^)-Ш<? A-31) для всех х из [а, 6], всех п ^ Л/"(^) и всех натуральных р. Заметив это, фиксируем произвольное Ах из множества {Ах} и применим к функции [fn+p{t) — fn{t)] (при любых фиксирован- фиксированных п и р) на сегменте [жо, жо + Аж] теорему Лагранжа. По этой теореме найдется число в из интервала 0 < в < 1 такое, что (рп+р(Ах) -ipn(Ax) = - /та(жо + Аж)] - [/п+Р(жо) - /п(жо)] _ Ах 0 + вАх) - fn Из последнего равенства и из неравенства A.31), справедли- справедливого для всех точек х сегмента [а, 6], получим, что \(рп+р(Ах) - (рп(Ах)\ < е для любого Аж из {Аж}, любого п ^ N(e) и любого натураль- натурального р. Таким образом, последовательность {(рп(Ах)} сходится равномерно на множестве {Аж} (в силу критерия Коши). Но это позволяет применить к указанной последовательности в точке Аж = 0 теорему 1.6 о почленном предельном переходе. Соглас- Согласно теореме 1.6 1) функция /(so + Ах) - /(so) Ах являющаяся предельной функцией последовательности {(^п(Аж)}, :) Используется формулировка теоремы 1.6 в терминах функциональных последовательностей.
32 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 имеет при Ах —>• 0 предельное значение, причем /(so + Ах) - Дж->-0 Ах = lim lim (рп(Ах)\ = lim lim (рп(Ах)\ = Аж—)>() Ln—^oo J n—^oo 1_Дж—)>() J ( } Ax Это и доказывает, что производная функции f(x) в точке жо существует и равна lim f'n{x). Теорема доказана. Приведем формулировку теоремы 1.9 в терминах функцио- функциональных рядов. Если каждая функция и^(х) имеет производную на сегмен- оо те [а, Ъ] и если ряд из производных ^ ufk(x) сходится равно- k=i мерно на сегменте [а, Ъ], а сам ряд ^ щ(х) сходится хотя к=1 оо бы в одной точке сегмента [а, Ь], то ]?лд ^ зд(ж) сходится равномерно на всем сегменте [а, Ь] к некоторой сумме S(x), причем этот ряд можно дифференцировать на сегменте [а, Ъ] почленно, т. е. его сумма S(x) имеет на сегменте [а, Ь] ОО производную, являющуюся суммой ряда из производных ^ и'к(х). к=1 Замечание 1. Подчеркнем, что в теореме 1.9 предпола- предполагается лишь существование на сегменте [а, Ь] производной у каж- каждой функции fn(x). Ни ограниченность, ни тем более интегри- интегрируемость или непрерывность этой производной не требуется. Обычно в курсах математического анализа теорема 1.9 дока- доказывается при дополнительном предположении о непрерывности каждой производной f'n{x) на сегменте [а, Ь]. Замечание 2. Если в теореме 1.9 дополнительно потребо- потребовать непрерывности на сегменте [а, Ь] каждой производной f'n(x), то в силу теоремы 1.7 производная предельной функции f(x) бу- будет также непрерывна на сегменте [а, Ь]. Замечание 3. Для случая функций т переменных тео- теорема 1.9 принимает следующий вид: если каждая функция fn(%) — /п(^ъ •••? хт) имеет на ограниченном множестве {х} точек Ет частную производную -^- и если последовательность дхк < -^- > сходится равномерно на {х}, а сама последовательность
§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 33 {fn{%)} сходится в каждой точке множества {х}, то последова- последовательность {fn(x)} можно дифференцировать по переменной х^ на множестве {х} почленно. Из теоремы 1.9 вытекает следующее утверждение. Теорема 1.10. Если каждая функция fn(x) имеет перво- первообразную на сегменте [а, Ь] и если последовательность {fn(x)} сходится равномерно на сегменте [а, Ь] к предельной функции f(x), то и предельная функция f(x) имеет первообразную на сегменте [а, Ь]. Более того, если xq —любая точка [а, Ь] , то последовательность первообразных Фп(х) функций fn{x), удо- удовлетворяющих условию Фп(жо) = 0, сходится равномерно на сегменте [а, Ъ] к первообразной Ф(х) предельной функции f(x), удовлетворяющей условию Ф(#о) = 0. Доказательство. Достаточно заметить, что для по- последовательности первообразных Фп(х), удовлетворяющих усло- условию Фп(жо) = 0 выполнены все условия теоремы 1.9. Это обес- обеспечивает равномерную на [а, Ь] сходимость последовательности {Фп(х)} к предельной функции Ф(х), у которой в каждой точке [а, Ь] существует производная, равная предельной функции f(x) последовательности {fn(x)}. Замечание 4. Подчеркнем, что в теореме 1.10 не тре- требуется ни ограниченности, ни тем более интегрируемости функ- функций fn(x) на сегменте [а, Ъ]. Материал последних трех пунктов позволяет сделать следую- следующий важный вывод: равномерная сходимость не выводит из класса функций, имеющих предельное значение (теорема 1.6) из класса непрерывных функций (теорема 1.7), из класса интег- интегрируемых функций (теорема 1.8), из класса функций, имеющих первообразную (теорема 1.10) и (в случае равномерной сходимо- сходимости производных) из класса дифференцируемых функций (тео- (теорема 1.9). В заключение этого пункта приведем основанный на теореме 1.9 пример функции /(ж), производная f'(x) которой существует всюду на сегменте [0, 1], но является разрывной в каждой рациональной точке этого сегмента. Пусть с2 cos — при х ф 0, 0 при х = 0, так что функция // \ _ I sin —\- 2х • cos — при х ф 0, (р ух) — л х х ( 0 при х = 0 является разрывной при х = 0 и непрерывной во всех остальных точках. Занумеруем все рациональные точки сегмента [0, 1] в последовательность xi, X2, • • •, Xk, • • • (возможность этого доказана в п. 3 § 4 гл. 3 вып. 1) и 2 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II
34 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 положим Uk(x) = —(p(x — Xk)- Тогда каждая производная ик(х) = —<р'(х — к2 к2 — Хк) разрывна в одной точке Хк и непрерывна во всех остальных точках. Так как для всех х из сегмента [0, 1] I / м / \х - хк\2 . 1 | / / м . 1 + 2|ж - Хк\ . 3 \ик(х)\ ^ J] ^ К(ж)| ^ ^^ ^ ^ , К(ж)| ^ ^^ , оо оо то оба ряда ^ Uk(x) и ^ г4(ж) мажорируются сходящимся числовым ря- k=i k=i оо I дом 3 • ^ — и потому сходятся на сегменте [0, 1] равномерно. По теореме к = 1 ^ оо 1.9 сумма /(ж) ряда ^ Uk(x) имеет на сегменте [0, 1] производную /'(ж), к = 1 оо равную сумме ряда ^ ^4(ж) и имеющую разрыв в каждой точке Хк (к = fc=i = 1,2,...). 3. Сходимость в среднем. Предположим, что каждая функция fn(x) (п — 15 2, ...), а такж:е функция /(ж) интегри- интегрируемы на сегменте [а, Ь]. Тогда (как известно из гл. 10 вып. 1) и функция [fn(x) - f{x)f = fn{x) + f{x) - 2fn(x)f(x) такж:е является интегрируемой на сегменте [а, Ь]. Введем фундаментальное понятие сходимости в среднем. Определение 1. Говорят, что последовательность {fn{x)} сходится в среднем к функции f(x) на сегменте [а, Ь] если \imoj[fn(x)-f(x)]2dx = 0. Определение 2. Говорят, что функциональный ряд схо- сходится в среднем к функции S(x) на сегменте [а, Ь], если последовательность частичных сумм этого ряда сходится в среднем к S(x) на этом сегменте. Замечание. Из этих определений вытекает, что если по- последовательность (или ряд) сходится в среднем к f(x) на всем сегменте [а, 6], то эта последовательность (или ряд) сходится в среднем к f(x) и на любом сегменте [с, d], содержащемся в [а, Ь]. Выясним вопрос о связи между сходимостью в среднем и равномерной сходимостью последовательности. Докажем сначала, что если последовательность {fn(%)} схо- сходится к функции f(x) равномерно на сегменте [а, Ь], то {fn{x)} сходится к f(x) ив среднем на [а, Ь]. Фиксируем произвольное е > 0. Для положительного чис- ла \ Пп1 \ в СИЛУ равномерной сходимости найдется номер N
§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 35 такой, что \fn(x)-f(x)\< rZI A.32) у 2F — а) при всех х из [а, Ь] и всех п ^ N. В силу A.32) для всех п ^ N ь ь f[fn(x) - fix)}2 dx ^ —-— f dx = - < e, У LJnV ; J v л ^ 2(b-a) J 2 а а т. е. последовательность {/п(^)} сходится к f(x) на сегменте [а, 6] в среднем. Убедимся теперь в том, что сходимость последовательно- последовательности на некотором сегменте в среднем не влечет за собой не только равномерной на этом сегменте сходимости, но и схо- сходимости хотя бы в одной точке указанного сегмента. Рассмотрим последовательность сегментов Д, /2, ..., при- принадлежащих [0, 1] и имеющих следующий вид: Л = [0, 1], , /„=[1,1], ,. = Г 2^J ' Определим n-й член последовательности следующим обра- образом: „ / ч Г 1 на сегменте /п, v ; [0 в остальных точках [0, 1]. Построенная нами последовательность сходится в среднем к функции f(x) =0 на сегменте [0, 1]. В самом деле, }[fn(x) - О]2 dx=f Pn{x) dx = fdx = 0 1п In = длине сегмента 1п —>• 0 (при п —>• оо). Вместе с тем построенная нами последовательность не схо- сходится ни в одной точке сегмента [0, 1].
36 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 В самом деле, какую бы точку xq из сегмента [0, 1] мы ни фиксировали, среди как угодно больших номеров п найдутся как такие, для которых сегмент 1п содержит точку xq (для этих номеров fn(xo) = 1), так и такие, для которых сегмент 1п не со- содержит точку xq (для этих номеров fn(xo) = 0). Таким образом, последовательность {fn(xo} содержит бесконечно много членов, как равных единице, так и равных нулю, т. е. эта последователь- последовательность расходится. Оказывается, сходимость последовательности {fn(xo} к пре- предельной функции f(x) на сегменте [а, Ь] в среднем обеспечивает возможность почленного интегрирования этой последовательно- последовательности на указанном сегменте. Теорема 1.11. Если последовательность {fn(xo} сходит- сходится в среднем на сегменте [а, Ь] к функции /(ж), то эту после- последовательность можно почленно интегрировать на сегменте [а, 6], т. е. предел ь lira f fn(x) dx b существует и равен f f(x) dx. а Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма 1. Для любых интегрируемых на сегменте [a, b] функций f(x) и g(x) справедливо неравенство b / f(x)g(x)dx A.33) называемое неравенством Кош и-Б уняко в ского. Доказательство леммы 1. Рассмотрим следующий квадратный трехчлен относительно А: J[f(x)-Xg(x)]2dx = а b b b = f f2(x) dx-2Xf f(x)g(x) dx + \2 f g2(x) dx ^ 0. a a a Так как этот трехчлен неотрицателен, то он не имеет различ- различных вещественных корней. Но тогда его дискриминант неполо- неположителен, т. е. }f(x)g(x)dx) -}} Лемма доказана.
§ 3 РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ТЕОРЕМА АРЦЕЛА 37 Доказательство теоремы 1.11. Используя неравенство A.33) при g(x) = 1, будем иметь / fn(x) dx - f f (x) dx f[fn(x)-f(x)]dx }[Ш - /Or)]2 dx} dx = J(b - a)f[fn(x) - /Or)]2 dx -> 0 a a у а (при п —>> oo). Теорема доказана. § 3. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела Пусть каждая из функций fn(x) определена на некотором сегменте [a, b]. Определение. Последовательность функций {fn{%)} назы- называется равностепенно непрерывной на сег мен- т е [а, Ь], если для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что неравенство \fn(x')-fn(x")<e справедливо для всех номеров п и для всех точек х' и х" из сегмента [а, Ь], связанных неравенством \х'-х"\<6. Замечание 1. Непосредственно из этого определения вытекает, что если последовательность {fn(x)} равностепенно непрерывна на [а, 6], то и любая ее подпоследовательность рав- равностепенно непрерывна на [a, b]. Докажем следующее замечательное утверждение. Теорема 1.12 {теорема Арцела). Если последователь- последовательность функций {fn(x)} равностепенно непрерывна и равномер- равномерно ограничена на сегменте [а, Ь], то из этой последовательно- последовательности можно выделить подпоследовательность, равномерно схо- сходящуюся на сегменте [а, Ь]. Доказательство. Рассмотрим на сегменте [a, b] следую- следующую последовательность точек {хп}: в качестве х\ возьмем ту точку, которая делит сегмент [a, b] на две равные части, в ка- качестве Х2 и жз возьмем те две точки, которые вместе с х\ делят сегмент [a, b] на четыре равные части (рис. 1.3), в качестве х±, Ж5, Жб и ^7 , возьмем те четыре точки, которые вместе с х\, Х2 и жз делят сегмент [а, Ь] на восемь равных частей (рис. 1.3) и т. д. Построенная нами последовательность {хп} обладает сле- следующим свойством: какое бы S > 0 мы ни взяли, для
38 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 этого S найдется номер щ такой, что на любом принадлежа- принадлежащем [а, Ь] сегменте длины S лежит хотя бы один из элементов Приступим теперь к выделению из последовательности {fn(x)} равномерно на сегменте [а, Ь] сходящейся подпоследовательности. а Х4 Х2 Х5 Xi Хб Хз Ху Ь Рис. 1.3 Сначала рассмотрим последовательность {fn{%)} B точке х\. По- Получим ограниченную числовую последовательность {/n(^i)}, из которой на основании теоремы Больцано-Вейерштрасса (см. вып. 1, гл. 3, § 4) можно выделить сходящуюся подпоследова- подпоследовательность, которую мы обозначим так: Далее рассмотрим функциональную последовательность /и(ж), fn(x), ..., fin(x), ••• в точке #2- По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обо- обозначим так: /21(^2), /22(^2), • • •, f2n(x2), • • • Таким образом, функциональная последовательность /21 (Ж), /22(Ж), ...,/2п(я), -.. A.34) является сходящейся и в точке жх, и в точке х2. Далее рассматриваем функциональную последовательность A.34) в точке жз и выделяем из нее сходящуюся подпоследова- подпоследовательность Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим беско- бесконечное множество подпоследовательностей /и (ж), /Ыж), /13 (ж), ..., /in (ж), ... /21 (ж), /22 (ж), /23 (ж), ..., /2п(ж), ... /() /() /() /() /nl (ж), / п2 ( 1)Про последовательность, обладающую таким свойством, говорят, что она является всюду плотной на сегменте [а, Ь].
§ 3 РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ТЕОРЕМА АРЦЕЛА 39 причем подпоследовательность, стоящая в n-й строке, является сходящейся в каждой из точек жх, Ж2, • • • •> хп- Рассмотрим теперь так называемую «диагональную» после- последовательность Докажем, что эта последовательность равномерно сходит- сходится на сегменте [а, Ь]. Ради сокращения записи будем в дальнейшем обозначать эту диагональную последовательность (как и исходную последова- последовательность) символом (т. е. вместо сдвоенного индекса будем писать одинарный). Фик- Фиксируем произвольное е > 0. Так как диагональная последовательность является равно- равностепенно непрерывной на сегменте [а, 6], то для фиксированного е > 0 найдется S > 0 такое, что, каковы бы ни были две точки х и хт из сегмента [а, 6], связанные неравенством \х — хт\ < 5, для всех номеров п справедливо неравенство \fn{x)-fn{xm)\<e-. A.35) О Заметив это, разобьем сегмент [а, Ь] на конечное число отрезков длины, меньшей д. Из последовательности {хп} выберем конеч- конечное число по первых членов жх, ж2, • • •, хПо настолько большое, чтобы в каждом из упомянутых отрезков содержалась хотя бы одна из точек жх, Ж2, • • •, хПо. Очевидно, диагональная последовательность сходится в каж- каждой из точек жх, Ж2, • • •, хПо. Поэтому для фиксированного выше е > 0 найдется номер N такой, что \fn+P(Xm) - fn(Xm)\ < ?~ A-36) для всех п ^ 7V, всех натуральных р и всех т = 1, 2, ..., щ. Пусть теперь х — произвольная точка сегмента [а, Ь]. Эта точка обязательно лежит в одном из упомянутых выше от- отрезков длины, меньшей S. Поэтому для этой точки х найдется хоть одна точка хт (т — один из номеров, равных 1, 2, ..., по), удовлетворяющая условию |ж — хт\ < 6. В силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит суммы их модулей, можем записать ) - fn(x)\ + |/п+р(жш) - fn(X Второй член в правой части A.37) оценим с помощью нера- неравенства A.36), а для оценки первого и третьего членов в правой
40 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 части A.37) учтем, что \х — хт\ < E, и привлечем неравенство A.35), справедливое для любого номера п (а стало быть, и для любого п+р). Окончательно получим, что для произвольного е > 0 най- найдется номер N такой, что \fn+p{x) ~ fn(x)\ <e для всех п ^ 7V, всех натуральных р и любой точки х из [а, Ь]. Равномерная сходимость диагональной последовательности до- доказана. Теорема 1.12 доказана. Замечание 2. В теореме Арцела вместо равномерной ограниченности последовательности {fn(%)} на сегменте [а, Ь] достаточно потребовать ограниченности этой последовательно- последовательности хотя бы в одной точке этого сегмента. В самом деле, справедливо следующее утверждение: если последователь- последовательность {fn(x)} равностепенно непрерывна на сегменте [а, Ь] и ограничена хотя бы в одной точке х этого сегмента, то эта последовательность равномерно ограничена на сегменте [а, Ь]. Для доказательства этого утверждения заметим что по опреде- определению равностепенной непрерывности для е = 1 найдется S > 0 такое, что колебание любой функции fn(x) на любом сег- сегменте длины, не превышающей 5, не превосходит числа е = 1. Так как весь сегмент [а, Ь] можно покрыть конечным числом щ сегментов длины, не превышающей 5, то колебание любой функ- функции fn(x) на всем сегменте [а, Ь] не превосходит числа по- Но то- тогда из неравенства |/n(^o)| ^ А, выражающего ограниченность последовательности {fn(x)} B точке жо, вытекает неравенство \fn(x)\ ^ А + по, справедливое для любой точки х из сегмента [а, Ь] и выражающее равномерную ограниченность рассматри- рассматриваемой последовательности на этом сегменте. Замечание 3. Установим достаточный признак равностепенной непрерывности: если последователь- последовательность {fn(x)} состоит из дифференцируемых на сегменте [а, Ь] функций и если последовательность производных {f'n(x)} рав- равномерно ограничена на этом сегменте, то последовательность {fn{%)} равностепенно непрерывна на сегменте [а, Ь]. Для доказательства возьмем на сегменте [а, Ь] две произволь- произвольные точки х' и х" и запишем для функции fn(x) на сегменте [х1', х"] формулу Лагранжа (см. вып. 1, гл. 8, § 9). Согласно теореме Лагранжа на сегменте [х1\ х"] найдется точка ?п такая, что \fn(x')-fn(x")\=f^n)-\x'-x"\. A.38) Поскольку последовательность производных {f'n(x)} равномер- равномерно ограничена на сегменте [а, 6], найдется постоянная А такая,
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 41 что для всех номеров п справедливо неравенство 1Ш1а. A.39) Вставляя A.39) в A.38), получим \Ш)-Мх")\<А№-х'\ A-40) Фиксируем любое е > 0. Тогда, если взять 6 = е/А и привлечь A.40), то мы получим, что для всех номеров п и для всех х' и х" из [а, 6], связанных условием \х' — х"\ < 5, будет справедливо неравенство \fn(x') - fn(x")\ < е. Равностепенная непрерывность последовательности {fn(%)} до- доказана. о г sin nx \ В качестве примера рассмотрим последовательность < >. Эта по- I п J следовательность равностепенно непрерывна на любом сегменте [а, Ь], ибо на любом сегменте [а, Ь] последовательность из производных {cosnx} рав- равномерно ограничена. Замечание 4. Понятие равностепенной непрерывности можно формулировать не только по отношению к сегменту [а, 6], но и по отношению к интервалу, полусегменту, полупрямой, бес- бесконечной прямой и вообще по отношению к любому плотному в себе множеству г) . Кроме того, это понятие можно вводить не но отношению к последовательности функций, а по отношению к любому бесконечному множеству функций. § 4. Степенные ряды 1. Степенной ряд и область его сходимости. Степен- Степенным рядом называется функциональный ряд вида сю ао + ^ dkXk = ао + а\х + аъх2 + ... + апхп + ... , A-41) к=1 где ао, ai, U2-) ... , dn-) • • • —постоянные вещественные числа, на- называемые коэффициентами ряда A.41). Постараемся выяснить, как устроена область сходимости любого степенного ряда. Заметим, что всякий степенной ряд сходится в точке х = = 0, причем существуют степенные ряды, сходящиеся только в / ОО \ этой точке (например, ряд ^ к\ • хк\. v k=i J *) При этом теорема Арцела остается справедливой, если в ее формулиров- формулировке заменить сегмент [а, Ь] любым ограниченным замкнутым множеством.
42 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Составим с помощью коэффициентов ап ряда A.41) следую- следующую числовую последовательность: {VK\} (га = 1,2,...). A.42) Могут представиться два случая: 1) последовательность A.42) является неограниченной] 2) последовательность A.42) яв- является ограниченной. В случае 2) у последовательности A.42) существует конеч- конечный верхний предел (см. вып. 1, гл. 3, § 4, п. 3), который мы обо- обозначим через L. Подчеркнем, что указанный верхний предел L заведомо неотрицателен (ибо все элементы последовательно- последовательности A.42) неотрицательны, а стало быть, и любая предельная точка этой последовательности неотрицательна). Подводя итог, мы приходим к выводу, что могут предста- представиться следующие три случая: I) последовательность A.42) яв- является неограниченной; II) последовательность A.42) является ограниченной и имеет конечный верхний предел L > 0; III) по- последовательность A.42) является ограниченной и имеет верхний предел L = 0. Докажем теперь следующее замечательное утверждение. Теорема 1.13 (Коши-Адамара). I. Если последовательность A.42) не ограничена, то сте- степенной ряд A.41) сходится лишь при х = 0. П. Если последовательность A.42) ограничена и имеет верхний предел L > 0, то ряд A.41) абсолютно сходится для значений х, удовлетворяющих неравенству \х\ < 1/L, и расхо- расходится для значений х, удовлетворяющих неравенству х > 1/L. III. Если последовательность A.42) ограничена и ее верх- верхний предел L = 0, то ряд A.41) абсолютно сходится для всех значений х. Доказательство. I. Пусть последовательность A.42) не ограничена. Тогда при х ф 0 последовательность также не ограничена, т. е. у этой последовательности имеются члены со сколь угодно большими номерами п, удовлетворяющие неравенству У\апхп\ > 1 или \апхп\ > 1. Но это означает, что для ряда A.41) (при ж / 0 ) нарушено необходимое условие сходимости (см. вып. 1, гл. 13, § 1, п. 2), т. е ряд A.41) расходится при х ф 0 .
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 43 П. Пусть последовательность A.42) ограничена и ее верхний предел L > 0. Докажем, что ряд A.41) абсолютно сходится при |ж| < 1/L и расходится при |ж| > 1/L. а) Фиксируем сначала любое ж, удовлетворяющее неравен- неравенству |ж| < 1/L. Тогда найдется е > 0 такое, что |ж| < 1/{L + е). В силу свойств верхнего предела все элементы ^/|ап| , начиная с некоторого номера п, удовлетворяют неравенству Таким образом, начиная с указанного номера п, справедливо неравенство т. е. ряд A.41) абсолютно сходится по признаку Коши (см. вып. 1, гл. 13, § 2, п. 3). б) Фиксируем теперь любое ж, удовлетворяющее неравенству \х\ > 1/L. Тогда найдется е > 0 такое, что |ж| > 1/(L — е). По опре- определению верхнего предела из последовательности A.42) можно выделить подпоследовательность { n-\/|anJ} (к = 1, 2, ...), схо- сходящуюся к L. Но это означает, что, начиная с некоторого номера /с, спра- справедливо неравенство L — е < пу\апк | < L + е. Таким образом, начиная с указанного номера /с, справедливо неравенство L-s или Х | ^ J = 1. т. е. нарушено необходимое условие сходимости ряда A.41), и этот ряд расходится. III. Пусть последовательность A.42) ограничена и ее верхний предел L = 0. Докажем, что ряд A.41) абсолютно сходится при любом х. Фиксируем произвольное х ф 0 (при х = 0 ряд A.41) заве- заведомо абсолютно сходится). Поскольку верхний предел L = 0 и последовательность A.42) не может иметь отрицательных пре- предельных точек, число L = 0 является единственной предельной
44 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 точкой, а стало быть, является пределом этой последовательно- последовательности, т. е. последовательность A.42) является бесконечно малой. Но тогда для положительного числа 1/B|ж|) найдется номер, начиная с которого 1 ~2\х~'' Стало быть, начиная с указанного номера, = \х т. е. ряд A.41) абсолютно сходится по признаку Коши (см. вып. 1, гл. 13, § 2, п. 3). Теорема полностью доказана. Доказанная теорема непосредственно приводит к следующе- следующему фундаментальному утверждению. Теорема 1.14- Для каждого степенного ряда A.41), если он не является рядом, сходящимся лишь в точке х = 0, суще- существует положительное число R (возможно, равное бесконеч- бесконечности) такое, что этот ряд абсолютно сходится при \х\ < R и расходится при \х\ > R. Это число R называется радиусом сходимости рас- рассматриваемого степенного ряда, а интервал (—R, R) называется промежутком сходимости этого ряда. Для вычисления радиуса сходимости справедлива формула в случае, когда lira л/ ап = О, R = оо ). п—)>оо / Замечание 1. На концах промежутка сходимости, т. е. в точках х = — Rn х = R, степенной ряд может быть как сходя- сходящимся, так и расходящимся г) . оо Так для ряда 1 + ^ х радиус сходимости R равен единице, k=i промежуток сходимости имеет вид (—1, 1) и этот ряд расходится на концах указанного промежутка. Для ряда Y2 — промежуток сходимости тот же (—1, 1), но этот последний ряд сходится на обоих концах указанного про- промежутка. ) Отметим следующую теорему Абеля: если степенной ряд A.41) сходится при х = Я, то сумма его S(x) является непрерывной в точке R слева. Без ограничения общности можно считать, что R = 1, но в таком виде теорема Абеля (фактически утверждающая регулярность метода сум- суммирования Пуассона—Абеля) доказана в дополнении 3 к гл. 13 вып. 1.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 45 Замечание 2. Все результаты настоящего пункта спра- справедливы для ряда A.41), в котором вещественная переменная х заменена комплексной переменной z. Для такого ряда устанавливается существование положитель- положительного числа R такого, что ряд абсолютно сходится при \z\ < R и расходится при \z\ > R. Для вычисления R справедлива формула A.43). Число R называется радиусом сходимости, а область \z\ < R — кругом сходимости указанного степенного ряда. 2. Непрерывность суммы степенного ряда. Пусть сте- степенной ряд A.41) имеет радиус сходимости R > 0. Лемма 2. Каково бы ни было положительное число г, удо- удовлетворяющее условию г < R, ряд A.41) равномерно сходится на сегменте [—г, г], т. е. при \х\ ^ г. Доказательство. В силу теоремы 1.14 ряд A.41) абсо- абсолютно сходится при х = г, т. е. сходится ряд оо Но последний числовой ряд служит мажорантным для ряда A.41) при всех х из сегмента [—г, г]. На основании признака Вей- ерштрасса ряд A.41) сходится равномерно на сегменте [—г, г]. Лемма доказана. Следствие. В условиях леммы 2 сумма ряда A.41) явля- является функцией, непрерывной на сегменте [—г, г] (в силу теоре- теоремы 1.7). Теорема 1.15. Сумма степенного ряда внутри его проме- промежутка сходимости является непрерывной функцией. Доказательство. Пусть S(x) — сумма степенного ряда A.41), a R — его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри промежутка сходимости, т. е. такое, что |ж| < R. Всегда найдется число г такое, что |ж| < г < R. В силу следствия из леммы 2 функция S(x) непрерывна на сегменте [—г, г]. Стало быть, S(x) непрерывна и в точке х. Теорема доказана. 3. Почленное интегрирование и почленное дифферен- дифференцирование степенного ряда. Теорема 1.16. Если R > 0 —радиус сходимости степенно- степенного ряда A.41), ах удовлетворяет условию \х\ < R, то ряд A.41) можно почленно интегрировать на сегменте [0, х]. Получен- Полученный в результате почленного интегрирования ряд имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд. Доказательство. Для любого ж, удовлетворяющего ус- условию |ж| < i?, найдется г такое, что х\ < г < R. Согласно
46 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 лемме 2 ряд A.41) сходится равномерно на сегменте [—г, г], а стало быть, и на сегменте [0, х]. Но тогда в силу теоремы 1.8 этот ряд можно почленно интегрировать на сегменте [0, х]. В результате почленного интегрирования получится степен- степенной ряд радиус сходимости которого, согласно теореме 1.14, является ве- величиной, обратной верхнему пределу последовательности, A.44) Так как верхний предел последовательности A.44) тот же, что и у A.42) г), то теорема доказана. Теорема 1.17. Степенной ряд A.41) внутри его проме- промежутка сходимости можно дифференцировать почленно. Ряд, полученный почленным дифференцированием, имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд. Доказательство. Достаточно (в силу теоремы 1.9 и лем- леммы 2) доказать лишь второе утверждение теоремы. В результате почленного дифференцирования A.41) полу- получим ряд п~1 2 • х п • ап хп (п хп радиус сходимости R которого (согласно теореме 1.14) обратен верхнему пределу последовательности A.45) Так как последовательность A.45) имеет тот же верхний предел, что и A.42) 2), то теорема доказана. Следствие. Степенной ряд внутри его промежутка сходи- сходимости можно дифференцировать почленно сколько угодно раз. Ряд, полученный п-кратным почленным дифференцировани- дифференцированием исходного степенного ряда, имеет тот же радиус сходимос- сходимости, что и исходный ряд.
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 47 § 5. Разложение функций в степенные ряды 1. Разложение функции в степенной ряд. Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) на ин- интервале (-R, R) (на множестве {х}) может быть разложена в степенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к f(x) на указанном интервале (указанном множестве). Справедливы следующие утверждения. 1°. Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в степенной ряд на интервале (-R, R), необходимо, чтобы эта функция имела на указанном интервале непрерывные производ- производные любого порядка г) . В самом деле, степенной ряд внутри его промежутка сходи- сходимости, который во всяком случае содержит интервал (—R, R), можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные при этом ряды сходятся внутри того же проме- промежутка сходимости (теорема 1.17). Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным дифференцированием (в силу теоремы 1.15), представляют со- собой функции, непрерывные внутри указанного промежутка схо- сходимости, а стало быть, непрерывные на интервале (—R, R). 2°. Если функция f(x) может быть на интервале (-R, R) разложена в степенной ряд, то лишь единственным образом. В самом деле, пусть функция f(x) может быть разложена на интервале (—R, R) в степенной ряд A.41). Дифференцируя указанный ряд почленно п раз (что заведо- заведомо можно делать внутри интервала (—R, R)), получим /(п)(ж) =ап-п\ + an+i • (п + 1)\х + ... Отсюда при х = 0 найдем или ап = ^Р-. A-46) n! Таким образом, коэффициенты степенного ряда A.41), в ко- который может быть разложена функция f(x), однозначно опре- определяется формулой A.46). г) Отметим, что существуют функции, имеющие на интервале (-R, R) непрерывные производные любого порядка, но не разложимые на этом ин- интервале в степенной ряд. Примером такой функции может служить tfx\ = / е 1/х2 при х ф О, ТК) \ 0 при ж = 0.
48 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Предположим теперь, что функция f(x) имеет на интервале (—Д, Д) непрерывные производные любого порядка. Определение 2. Степенной ряд A.41), коэффициенты ко- которого определяются формулой A.46), называется рядом Тей- Тейлора функции f(x). Утверждение 2° приводит нас к следующему утверждению. 3°. Если функция f(x) может быть разложена на интер- интервале (—Д, R) в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора функции f(x). В заключение сформулируем следующее утверждение, непо- непосредственно вытекающее из § 14 гл. 8 вып. 1. 4°. Для того чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (—Д, Д) (на множестве {ж}), необ- необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Ма- клорена для этой функции стремился к нулю на указанном ин- интервале (указанном множестве). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора. В вып. 1 (см. п. 2 § 15 гл.8) доказано, что оста- остаточные члены в формуле Маклорена для функций ех , cos ж и sin ж стремятся к нулю на всей бесконечной прямой, а остаточ- остаточный член в формуле Маклорена для функции 1пA+ж) стремится к нулю на полусегменте — 1 < х ^ +1. В силу утверждения 4° из предыдущего пункта это приводит нас к следующим разложениям: 71 = 1 ОО п ^2п cos х = 1 + ч ^ ' п=1 сю тх = > -— ^^ Bп + 1)! п=0 Bп)! ' Bг~ оо х) = Первые три из этих разложений сходятся для всех значе- значений ж, а последнее — для значений х из полусегмента — 1 < х ^ 1. Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функ- функции A-\-х)а или на так называемом биномиальном ряде. Если f(x) = A+ж)а, то /Н(ж) = а(а - 1)(а - 2) ... (а - п + 1) • A + х)а~п.
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 49 Поэтому формула Маклорена с остаточным членом в форме Ко- ши имеет вид (см. вып. 1, гл. 8, § 14) к=\ A.47) где Rn+l{x) = хп+1 • а(а - 1) ... (а - (а ~ 1)(а - 2) ... (а - (б —некоторое число из интервала 0 < в < 1). Сначала убедимся в том, что при а > 0 всюду на интервале — 1 < ж < 1 остаточный член Rn+i(x) стремится к нулю (при п —>> оо). о JY 1-0 Vl В самом деле, все члены последовательности < > 1\1 + 6х/ ) всюду на указанном интервале не превосходят единицы; после- f (a-l)(a-2) ... (а-п)\ г -, довательность \ — > при любом фиксирован- ном а > 0 ограничена г) ; число аA-\-вх)а~1 определено при лю- любом фиксированном а > 0 и при любом х из интервала — 1 < х < +1; наконец, последовательность {жп+1} является бесконечно малой для любого х из интервала — 1 < ж < 1. Таким образом, в силу A.48) остаточный член Rn+i(x) стре- стремится к нулю для любого фиксированного а > 0 и любого х из интервала — 1 < х < 1. Стало быть, в силу A.47), при а > 0 всюду на интервале — 1 < ж < 1 справедливо разложение Докажем теперь, что при а > 0 рлд, стоящий в правой части A.49), равномерно сходится к функции A + х)а на замкнутом сегменте -1 <х < 1. 1) Все элементы этой последовательности по модулю ограничены числом а-1)(а-2) (а-Ы) г 1 —^, где [а\ —целая часть а. [а]\
50 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Всюду на указанном сегменте этот ряд мажорируется следующим числовым рядом: ОО | | | | ,, | k=l В силу признака Вейерштрасса для установления равномерной на сег- сегменте — 1 ^ х ^ 1 сходимости ряда, стоящего в правой части A.49), доста- достаточно доказать сходимость мажорирующего ряда A.50). Обозначим к-й член ряда A.50) символом рк. Тогда для всех достаточно больших к получим 1 рк к + 1 к + 1 Из формулы A.51) вытекает, что lim k(l-^-) = A + а)- lim ) A + а) lim 1 + а> 1, Рк ' fc-^oo к + 1 т. е. ряд A.50) сходится в силу признака Раабе (см. вып. 1, гл. 13, § 2, п. 5). Тем самым доказано, что при а, > 0 ряд, стоящий в правой части A.49), сходится равномерно на сегменте — 1 ^ х ^ 1. Остается доказать, что ука- указанный ряд сходится на сегменте -Цж^1 к функции A + х)а. В силу доказанного выше сумма указанного ряда S(x) и функция A + -\-х)а совпадают всюду на интервале — 1 < х < 1. Кроме того, обе функции S(x) и A + х)а непрерывны на сегменте — 1 ^ х ^ 1 (функция S(x) как сум- сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций; непрерывность функции A + х)а при а > 0 очевидна). Но тогда значения функций S(x) и A + х)а в точках х = — 1иж = 1 обязаны совпадать, т. е. ряд, стоящий в правой части A.49), равномерно сходится к A + х)а на замкнутом сегменте — 1 ^ х ^ 1. 3. Элементарные представления о функциях комп- комплексной переменной. Выше уже отмечалось, что на случай степенного ряда относительно комплексной переменной z ао + a\z переносятся теоремы 1 и 1.14 (о существовании и величине ра- радиуса сходимости). Ряды такого типа используются для опреде- определения функций комплексной переменной z. Функции ez , cos z и sin z комплексной переменной z опреде- определяются как суммы следующих рядов: 71 = 1 оо п=1 ОО Bп n=0 v
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 51 Легко проверить, что указанные три ряда абсолютно сходятся для всех значений z (их радиус сходимости R = оо). Установим теперь связь между функциями ez , cos z и sin z. Заменяя и формуле A.52) z на iz, получим + + Сопоставляя правую часть равенства A.55) с разложениями A.53) и A.54), придем к следующей замечательной формуле: elz = cos z + ismz. A.56) Формула A.56) играет фундаментальную роль в теории функ- функций комплексной переменной и называется формулой Эй- Эйлера. Полагая в формуле Эйлера переменную z равной сначала вещественному числу ж, а затем вещественному числу —ж, полу- получим следующие две формулы: егх = cos х + г sin ж, е~гх = cos х — г sin ж. Складывая и вычитая эти две формулы, мы получим формулы, выражающие cos ж и sin ж через показательную функцию: eix + e-ix COS X = , sin ж = 2г В заключение остановимся на определении логарифмической функции и = lnz комплексной переменной z. Эту функцию естественно определить как функцию, обратную показательной, т. е. из соотношения z = ew . По- Полагая w = и + iv, z = х + iy, поставим перед собой цель — выразить и и v через z = х + гу. Из соотношения z = х + гу = ew+™ = ew (cos г; + г sin г;) получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного числа (см. формулу G.6) из вып. 1), \z\ = л/х2 + у2 = ew, arg z = v — 2ттк, где А; = 0,=Ы,±2, ... Из последних равенств находим, что и = In |г| = In л/х2 + |/2, v = arg ^ + 2тгА; (jfe = О, =Ы, ±2, ...)
52 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 или окончательно In г = 1гф| +z(arg? + 27r?;), где А; = 0, ±1, ±2, ... A.58) Формула A.58) показывает, что логарифмическая функция в комплекс- комплексной области не является однозначной: ее мнимая часть для одного и того же значения z имеет бесчисленное множество значений, отвечающих раз- различным к = О, =Ы, d=2, ... Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место и при опре- определении в комплексной области обратных тригонометрических функций. 4. Равномерное приближение непрерывной функции многочленами (теорема Вейерштрасса). В этом пункте мы докажем фундаментальную теорему принадлежащую Вейер- штрассу и установленную им в 1895 г. Теорема 1.18 (теорема Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] то существует последова- последовательность многочленов {Рп(х)}, равномерно на сегменте [а, Ь] сходящаяся к /(ж), т. е. для любого е > 0 найдется многочлен Рп(х) с номером п, зависящим от е такой, что \Pn(x)-f(x)\<e сразу для всех х из сегмента [а, Ь]. Иными словами, непрерывную на сегменте [а, Ь] функцию f(x) можно равномерно на этом сегменте приблизить много- многочленом с наперед заданной точностью е. Доказательство. Не ограничивая общности, мы можем вместо сегмента [а, Ь] рассматривать сегмент [0, 1] 1) . Кроме того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции /(ж), обращающейся в нуль на концах сегмента [0, 1], т. е. удо- удовлетворяющей условиям /@) =0и/A)=0. В самом деле, если бы f(x) не удовлетворяла этим условиям, то, положив g(x) = f(x)-f(O)-x[f(l)-№], мы получили бы непрерывную на сегменте [0, 1] функцию g(x), удовлетворяющую условиям g@) =0ng(l)=0, и из возможно- возможности представления g(x) в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, что и f(x) пред- ставима в виде предела равномерно сходящейся последователь- последовательности многочленов (ибо разность f(x)—g(x) является многочле- многочленом первой степени). Итак, пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [0, 1] и удовлетворяет условиям /@) = 0, /A) = 0. Такую функцию 1) Поскольку один из этих сегментов преобразуется в другой линейной заменой х = (b — a)t + a.
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 53 f(x) мы можем продолжить на всю бесконечную прямую, поло- положив ее равной нулю за пределами сегмента [0, 1], и утверждать, что так продолженная функция является равномерно непрерыв- непрерывной на всей бесконечной прямой. Рассмотрим следующую конкретную последовательность неотрицательных многочленов степени 2п: Qn{x) = спA - х2)п (гс = 1, 2, ...), A.59) у каждого из которых постоянная сп выбрана так, что выпол- выполняется равенство f Qn(x)dx = l (n = l, 2, ...)• A.60) -i Не вычисляя точного значения постоянной сп, оценим ее сверху. Для этого заметим, что для любого номера п = 1, 2, ... и для всех х из сегмента [0, 1] справедливо неравенство 1) A-х2)п > 1-пх2. A.61) Применяя неравенство A.61) и учитывая, что 1/у/п ^ 1 при любом п ^ 1, будем иметь 1 1 J(l-x2)ndx = 2f -10 0 1'^ АЛЛ -nx2)dx = ^>^-. A.62) q 3 л/п л/п Из A.59), A.60) и A.62) заключаем, что для всех номеров п = 1, 2, ... справедлива следующая оценка сверху для посто- постоянной сп: сп < л/п. A.63) Из A.63) и A.59) вытекает, что при любом 6 > 0 для всех х из сегмента 6 ^ х ^ 1 справедливо неравенство 0 ^ QnO^K \М1 - <52)п. A.64) :) Это неравенство вытекает из того, что при любом п ^ 1 функция <^(ж) = = A — ж2)п — A — пх2) неотрицательна всюду на сегменте 0 ^ х ^ 1, ибо эта функция обращается в нуль при х = 0 и имеет всюду на указанном сегменте неотрицательную производную <р'(ж) = 2пх[1 — A — ж2O1].
54 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 Из A.64) следует, что при любом фиксированном 6 > 0 по- последовательность неотрицательных многочленов {Qn(x)} схо- сходится к нулю равномерно на сегменте 5 ^ х ^ 1 1) . Положим теперь для любого х из сегмента 0 ^ х ^ 1 Рп(х)= / f(x + t)Qn(t)dt A.65) -1 и убедимся в том, что для любого п = 1, 2, ... функция Рп(х) есть многочлен степени 2п, причем {Рп(ж)} и является искомой последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на сегменте 0 ^ х ^ 1 к функции f(x). Так как изучаемая функция f(x) равна нулю за пределами сегмента [0, 1], то для любого х из сегмента [0, 1] интеграл A.65) можно записать в виде 1-х Рп(х)= / f(x + t)Qn(t)dt. —х Заменяя в последнем интеграле переменную t на t — ж, мы придадим ему вид Pn(x) = ff(t)Qn(t-x)dt. A.66) о Из A.66) и A.59) ясно, что функция Рп(х) представляет со- собой многочлен степени 2п. Остается доказать, что последовательность {Рп(х)} сходится к f(x) равномерно на сегменте 0 ^ х ^ 1. Фиксируем произвольное е > 0. Для фиксированного ?, в си- силу равномерной непрерывности f(x) на всей бесконечной пря- прямой, найдется 6 > 0 такое, что 1/(я)-/0/)|<§ при \х-у\<8. A.67) Заметим еще, что так как f(x) непрерывна на сегменте [0, 1], то она и ограничена на этом сегменте, а стало быть, и всюду на бесконечной прямой. Это означает, что существует постоян- постоянная А такая, что для всех х \f(x)\ < A. A.68) ) В самом деле, достаточно доказать, что последовательность ап = = A — S2)n • л/п сходится к нулю, а это вытекает, например, из того, что поскольку lim \/а^ = A — S2) lim п1'^271' = A — S2) < 1, п—^оо п—^оо оо ряд ^2 ап сходится по признаку Коши (см. теорему 13.6 из вып. 1). 71 = 1
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 55 Используя A.60), A.64), A.67) и A.68) и учитывая неотри- неотрицательность Q(x), оценим разность Рп(х) — f(x). Для всех х из сегмента 0 ^ х ^ 1 будем иметь \Pn(x)-f(x)\= J[f(x + t)-f(x)]Qn(t)dt ^ -1 6 f(x + t)-f(x)\Qn(t)dt^2AfQn(t)dt -1 6 1 е- Г Qn(t) dt + 2A Г Qn(t) dt ^ 4Av^(l - S2) S2)n + -. -6 Для завершения доказательства теоремы заметим, что для всех достаточно больших номеров п справедливо неравенство ) < Следствие. Если не только сама функция /(ж), но и ее производные до некоторого порядка к включительно непрерыв- непрерывны на сегменте [0, 1] х) , то существует последовательность многочленов {Рп(х)} такая, что каждая из последовательно- последовательностей {Рп(х)}, {Р'п(х)}, ... , {Рп (х)} сходится равномерно на сегменте [0, 1] соответственно к f(x), f'(x), ... , f^k\x). В самом деле, не ограничивая общности, мы можем считать, что каждая из функций /(ж), /7(ж), ..., f^k\x) обращается в нуль при х = 0 и при х = 1 2) , а при таких условиях функцию f(x) можно продолжить на всю бесконечную прямую, полагая ее равной нулю вне [0, 1], так что продолженная функция и все ее производные до порядка к включительно окажутся равномерно непрерывными на всей бесконечной прямой. Но тогда, обозначая через Рп(х) тот же многочлен A.65), что и выше, и повторяя рассуждения, проведенные при доказатель- доказательстве теоремы 1.18, мы докажем, что каждая из разностей Рп(х) - f(x), Р'п{х) - f(x), ..., РР(х) - fW{x) является бесконечно малой, равномерной относительно х на сег- сегменте 0 ^ х ^ 1. Замечание 1. Изложенное нами доказательство легко обобщается на случай функции т переменных /(жх, #2, • • • ? жшM непрерывной в m-мерном кубе 0 ^ Х{ ^ 1 (г = 1, 2, ... , га). :) Конечно, вместо [0, 1] можно взять [а, Ь]. 2) Если бы /(ж) не удовлетворяла этим условиям, то мы нашли бы мно- многочлен Рк(х) степени 2к такой, что для функции g(x) = f(x) — Рк(х) эти условия были бы выполнены.
56 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1 В полной аналогии с теоремой 1.18 доказывается, что для такой функции /(жх? #2, • • • •> хт) существует равномерно сходя- сходящаяся к ней в m-мерном кубе последовательность многочленов от т переменных жх, #2? • • • , хт. Замечание 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 1.18 много- многочлены можно заменить функциями более общей природы, сохраняя при этом утверждение о возможности равномерного приближения такими функ- функциями любой непрерывной функции /. Договоримся называть произвольную совокупность А функций, опре- определенных на некотором множестве Е, алгеброй , если г) 1) / + g G А; 2) / ' g ? А, 3) а • / G А при произвольных f^Ang^An при любом вещественном а. Иными словами, алгебра есть совокупность функций, замкнутая отно- относительно сложения и умножения функций и умножения функций на веще- вещественные числа. Если для каждой точки х множества Е найдется некоторая функция g G А такая, что g{x) ф 0, то говорят, что алгебра А не исчезает ни в одной точке х множества Е. Говорят, что совокупность А функций, определенных на множестве Е, разделяет точки множества Е, если для любых двух различных точек х\ и ж2 этого множества найдется функция / из А такая, что f{x\) ф ф /ы. Имеет место следующее замечательное утверждение, называемое тео- теоремой Вейерштрасс а-С т о у н а 2). Пусть А —алгебра непрерывных на компактном 3) множестве Е функций, которая разделяет точки множества Е и не исчезает ни в од- одной точке этого множества. Тогда каждая непрерывная на множестве Е функция f(x) может быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности функций алгебры А. :) Напомним, что символ / G А означает принадлежность / к А. 2) М. Стоун — американский математик. 3) Напомним, что компактным называется замкнутое ограниченное мно- множество.
ГЛАВА 2 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В выпуске 1 были рассмотрены физические и геометрические задачи, приводящие к понятию однократного определенного ин- интеграла. Типичными задачами такого рода являются задача о вы- вычислении массы неоднородного стержня по известной линейной плотности этого стержня и задача о вычислении площади кри- криволинейной трапеции (т. е. площади, лежащей под графиком неотрицательной функции у = f(x) на сегменте [а, Ь]). Легко указать аналогичные «многомерные» задачи, приво- приводящие к понятию двойного или тройного интеграла. Так, задача о вычислении массы неоднородного тела Т по известной объемной плотности р(М) этого тела естественным образом приводит нас к понятию тройного интеграла. Для вычисления массы указанного тела Т разобьем его на достаточно малые участки Ti, Т2, ..., Тп. Приближенно можно считать объемную плотность р(М) каждого участка Тк посто- постоянной и равной р(Мк), где Мк— некоторая точка участка Тк. В таком случае масса каждого участка Тк будет приближенно равна р(Мк) • Vk, где vk — объем участка Т&. Приближенное значение массы всего тела Т будет равно сумме к=1 Точное значение массы естественно определить как предел указан- указанной суммы при неограниченном уменьшении 1) каждого участ- участка Tfc. Этот предел и может быть взят за определение тройного интеграла от функции р(Мк) по трехмерной области Т. Совершенно аналогично может быть рассмотрена геометри- геометрическая задача о вычислении объема так называемого криводон- •нечно, следует уточнить термин «неограниченное уменьшение».
58 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 z=f(x,y) Рис. 2.1 ного цилиндра (т. е. объема изображенного на рис. 2.1 тела, ле- лежащего под графиком неотрицательной функции z = /(ж, у) в некоторой двумерной области D). Эта зада- задача приводит к понятию двойного интеграла от функции /(ж, у) по двумерной области D. В настоящей главе излагается теория двойных, тройных и вообще n-кратных инте- интегралов. Для более эффективного использования аналогии с однократным интегралом мы сна- сначала введем понятие двойного интеграла для прямоугольника, а лишь затем введем двой- двойной интеграл по произвольной области как с помощью прямолинейного, так и с помощью совершенно произвольного разбиения этой области. § 1. Определение и существование двойного интеграла 1. Определение двойного интеграла для прямоуголь- прямоугольника. Пусть произвольная функция f(x,y) определена всюду на прямоугольнике R = [а ^ х ^ Ь] х [с ^ у ^ d] (рис. 2.2). Разобьем сегмент а ^ х ^ b на п частичных сегментов при помощи точек а = xq < х\ < Х2 < • • • < хп = 6, а сегмент с ^ у ^ d на р частичных сегментов при помощи точек с = уо < < У\ < V2 < • • • < Ур = d. Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ох и Оу (рис. 2.2), соответствует разбиение прямоугольника R на п • р частичных прямоугольников Rkl = [xk-i ^ х ^ хк] х [у1_г ^ у ^ yi] (к = 1, 2,..., п; / = 1, 2, ..., р). Ука- Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом Т. Всюду в дальнейшем в этой главе под термином «прямоугольник» мы бу- будем понимать прямоугольник со сторо- сторонами, параллельными координатным осям. На каждом частичном прямоуголь- прямоугольнике Rki выберем произвольную точку (?&, гц). Положив Ах^ = = Xk — ж/c-i, Ayi = у\ — yi-i, обозначим через AR^i площадь прямоугольника R^i- Очевидно, AR^i = АхkAyi. Определение 1. Число п V О = / / $vLki Vl) ' ^Rkl v^'l) k=l1=1 называется интегральной суммой функции f(x, у), У* d У1 УЬ-1 1/1 Хк-1 Рис. 2.2
§ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 59 соответствующей данному разбиению Т прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (?&, гц) на частичных прямоугольниках разбиения Т. Диагональ у/(Ах^J + (АугJ будем называть диаметром прямоугольника R^. Символом А обозначим наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников R^. Определение 2. Число I называется пределом ин- интегральных сумм B.1) при А —>> 0, если для любого по- положительного числа е можно указать такое положительное число S, что при А < 6 независимо от выбора точек (?&, щ) на частичных прямоугольниках R выполняется неравенство \а - 1 е. Определение 3. Функция /(ж, у) называется интег- интегрируемой {по Риману) на прямоугольнике i?, если су- существует конечный предел I интегральных сумм этой функ- функции при А —>• 0. Указанный предел I называется двойным интегра- интегралом от функции /(ж, у) по прямоугольнику R и обозначается одним из следующих символов: I = fff(x,y)dxdy = fff(M)da R R Замечание. Точно так же, как и для однократного опре- определенного интеграла (см. вып. 1, гл. 10, § 1), устанавливает- устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике R функция /(ж, у) является ограниченной на этом прямоугольнике. Это дает нам основание рассматривать в дальнейшем лишь ограниченные функции /(ж, у). 2. Существование двойного интеграла для прямо- прямоугольника. Теория Дарбу, развитая в гл. 10 вып. 1 для одно- однократного определенного интеграла, полностью переносится на случай двойного интеграла в прямоугольнике R. Ввиду полной аналогии мы ограничимся указанием общей схемы рассуждений. Пусть Мы и ты — точная верхняя и точная нижняя грани функции /(ж, у) на частичном прямоугольнике R^ . Составим для данного разбиения Т прямоугольника R две суммы: верхнюю И НИЖНЮЮ п V S = k=l1=1
60 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 Справедливы следующие утверждения (доказательства их полностью аналогичны доказательствам, приведенным в п. 2 § 2 гл. 10 вып. 1). 1°. Для любого фиксированного разбиения Т и любого е > 0 промежуточные точки (?&, гц) на частичных прямоугольниках Rki можно выбрать так, что интегральная сумма а будет удовлетворять неравенствам 0 ^ S — а ^ е. Точки (?&, гц) можно выбрать и таким образом, что ин- интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам 0 ^ ^ а — s < е. 2°. Если разбиение Т' прямоугольника R получено путем добавления новых прямых к прямым, производящим разбие- разбиение Т, то верхняя сумма S' разбиения Т' не больше верхней суммы S разбиения Т, а нижняя сумма s' разбиения Т' не мень- меньше нижней суммы s разбиения Т, т. е. s <: s', S' ^ S. 3°. Пусть Т1 и Т" —любые два разбиения прямоугольни- прямоугольника R. Тогда нижняя сумма одного из этих разбиений не превос- превосходит верхнюю сумму другого. Именно, если s1, S1 и s", S" — соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т1 и Т", то s' ^ S", s" ^ S'. 4°. Множество {S} верхних сумм данной функции f(x, у) для всевозможных разбиений прямоугольника R ограничено снизу. Множество {s} нижних сумм ограничено сверху. Таким образом, существуют числа 1 = inf{5}, / = sup{s}, называемые соответственно верхним и нижним ин- интегралами Дарбу (от функции f(x, у) по прямоуголь- прямоугольнику R). Легко убедиться, что / ^ /. 5°. Пусть разбиение Т1 прямоугольника R получено из раз- разбиения Т добавлением к последнему р новых прямых, и пусть s', S' и s, S — соответственно нижние и верхние суммы раз- разбиений Т1 и Т. Тогда для разностей S — S' и s' — s может быть получена оценка, зависящая от максимального диаметра А частично- частичного прямоугольника разбиения Т, числа р добавленных прямых, точных граней Мит функции f(x, у) на прямоугольнике R и от диаметра d прямоугольника R. Именно S-Sf ^ (M -m)-p- A-d, s' - s ^ (M - т) • р • А • d.
§ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 61 6°. Верхний и нижний интегралы Дарбу I и 1_ от функции f(x, у) по прямоугольнику R являются соответственно преде- пределами верхних и нижних сумм при А —>> 0 1) . Из свойств 1°-6° вытекает следующая основная теорема. Теорема 2.1. Для того чтобы ограниченная на прямоуголь- прямоугольнике R функция f(x, у) была интегрируема на этом прямо- прямоугольнике, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О нашлось такое разбиение Т прямоугольника R, для которого S -з<е. Как и в гл. 10 вып. 1, теорема 2.1 в соединении с теоремой о равномерной непрерывности функции позволяет выделить важ- важнейшие классы интегрируемых функций. Теорема 2.2. Любая непрерывная в прямоугольнике R функ- функция f(x, у) интегрируема на этом прямоугольнике. Определение 1. Назовем элементарной фигурой множество точек, представляющих собой сумму конечного чис- числа прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ох и Оу) 2) . Определение 2. Будем говорить, что функция f(x, у) об- обладает в прямоугольнике R (в произвольной замкнутой обла- области D) I-свойством, если: 1) f(x,y) ограничена в пря- прямоугольнике R (в области D); 2) для любого е > 0 найдется элементарная фигура, содержащая все точки и линии разрыва функции f(x, у) и имеющая площадь, меньшую е. Теорема 2.3. Если функция f(x, у) обладает в прямоуголь- прямоугольнике R I-свойством, то она интегрируема на этом прямо- прямоугольнике. Доказательство теорем 2.2 и 2.3 полностью аналогично до- доказательству теорем 10.3 и 10.4 из вып. 1. 3. Определение и существование двойного интеграла для произвольной области. Вп. 1§2гл. 11 вып. 1 были вве- введены понятия квадрируемости и площади плоской фигуры Q. Эти понятия без каких-либо изменений переносят- переносятся на случай произвольного ограниченного множества Q точек плоскости. 1) Понятие предела верхних или нижних сумм определяется в полной ана- аналогии с понятием предела интегральных сумм. Именно, число I называется пределом верхних сумм S при А —»¦ 0, если для любого е > 0 можно указать 6 > 0 такое, что \S — 1\ < е при А < 6. 2) Заметим, что сумма конечного числа совершенно произвольных прямо- прямоугольников (со сторонами, параллельными осям Ох и Оу) представима в виде суммы также конечного числа не имеющих общих внутренних то- точек прямоугольников (со сторонами, параллельными указанным осям). По- Поэтому в определении 1 можно брать прямоугольники, как имеющие общие внутренние точки, так и не имеющие их.
62 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 Во всех определениях и утверждениях указанного пункта вместо фигуры Q можно брать произвольное ограниченное мно- множество Q. В том же пункте было дано определение кривой (или грани- границы фигуры) площади нуль: Г называется кривой пло- площади нуль, если для любого е > 0 найдется многоугольник, содержащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую е. Отметим, что в этом определении термин «многоугольник» можно заменить термином «элементарная фигура». Это следует из того, что любая элементарная фигура является многоуголь- многоугольником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа ?, содержится в элементарной фигуре, имеющей площадь, мень- меньшую числа 8б 1) . Легко доказать следующее утверждение . Если Г имеет площадь нуль и если плоскость покрыта квад- квадратной сеткой с шагом /г, то для любого е > 0 найдется h > О такое, что сумма площадей всех имеющих общие точки с Г квадратов меньше е. В самом деле, для любого е > 0 можно фиксировать неко- некоторую элементарную фигуру Q, содержащую внутри себя Г и имеющую площадь, меньшую б/4. После этого остается заме- заметить, что при достаточно малом шаге квадратной сетки h все квадраты, имеющие общие с Г точки, содержатся в элементар- элементарной фигуре, получающейся заменой каждого прямоугольника Q вдвое большим прямоугольником с тем же центром. Подчеркнем, что класс кривых площади нуль весьма широк. Этому классу принадлежит, например, любая спрямляемая кри- кривая (см. теорему 11.3 вып. 1). Перейдем теперь к определению двойного интеграла для про- произвольной двумерной области D. Пусть D — замкнутая ограниченная область, граница Г ко- которой имеет площадь нуль, а /(ж, у) — произвольная функция, определенная и ограниченная в области D. Обозначим через R любой прямоугольник (со сторонами, параллельными координатным осям), содержащий область D (рис. 2.3). *) В самом деле: 1) многоугольник равен конечной сумме треугольников; 2) каждый треугольник равен сумме (или разности) двух прямоугольных тре- треугольников; 3) прямоугольный треугольник содержится в прямоугольнике, вдвое большем по площади; 4) любой прямоугольник равен сумме конечно- конечного числа квадратов и одного прямоугольника, отношение сторон которого заключено между 1 и 2; 5) любой квадрат содержится во вдвое большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям Ох и Оу; 6) любой прямоугольник с отношением сторон, заключенным между 1 и 2, может быть дополнен до квадрата и потому содержится во вчетверо большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям Ох и Оу.
§ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 63 Определим в прямоугольнике R следующую функцию: _ Г f(x, у) в точках области D, \ 0 в остальных точках R. Определение. Функцию /(ж, у) будем называть интег- интегрируемой в области D, если функция F(x, у) интегри- интегрируема в прямоугольнике R. При этом число / = // F(x, у) dx назовем двойным интег- R ралом от функции /(ж, у) по области Da обозначим символом I=fff(x,y)dxdy=fff(M)da. D D Замечание 1. Из этого опреде- определения сразу же вытекает, что интеграл ffl-dxdy равен площади области D. В Рис 2з D самом деле, подвергая соответствующий прямоугольник R все более мелким разбиениям, мы получим, что верхние суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содер- содержащих D, а нижние суммы — площадям элементарных фигур, содержащихся в D. Замечание 2. Пусть функция f(x,y) интегрируема в ограниченной квадрируемой области D, плоскость покрыта квадратной сеткой с шагом h, С\, С<2,-> ••• 5 Сп(/г) —квадраты казанной сетки, целиком содержащиеся в области D, ? Vk) —произвольная точка квадрата С&, т^ = inf/(ж, у) Ск (к = 1, 2, ... ,n(/i)). Тогда каждая из сумм n(h) n(h) ^2 /teb Vk) ' h2, ^2mk-h2 k=i k=i имеет предел при h —>> 0, равный ff f(x, y) dxdy. D Для доказательства достаточно заметить, что указанные сум- суммы отличаются от обычной интегральной суммы (соответствен- (соответственно от нижней суммы) функции /(ж, у) в области D только от- отсутствием слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г области D, причем сумма всех отсутствующих слага- слагаемых по модулю меньше произведения точной верхней грани М функции |/(ж, у)\ в области D на площадь S элементарной фи- фигуры, состоящей из квадратов, имеющих общие точки с Г. Со- Согласно доказанному выше утверждению S —>• 0 при h —>• 0.
64 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 В отношении данного нами определения естественно возни- возникает вопрос, зависит ли факт существования двойного интегра- интеграла и его величина / от 1) выбора на плоскости координатных осей Ох и Оу\ 2) выбора прямоугольника R, на котором мы определяем функцию F(x, у). В следующем пункте мы дадим другое определение интегри- интегрируемости функции f(x, у) и двойного интеграла, не зависящее ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольни- прямоугольника R, и докажем эквивалентность этого определения приведен- приведенному выше. Пока же мы укажем следующую основную теорему, почти непосредственно вытекающую из теоремы 2.3 и из данного выше определения. Теорема 2.4- Если функция f(x, у) обладает в области D I-свойством, то она интегрируема в области D. Доказательство. Для такой функции f(x, у) функция F(x, у), определенная формулой B.2), будет обладать /-свойст- /-свойством в прямоугольнике R. В самом деле, функция F(x, у) ограничена в прямоугольни- прямоугольнике R и все точки и линии разрыва этой функции либо совпадают с соответствующими разрывами f(x, у), либо лежат на грани- границе Г области D. Поскольку Г имеет площадь нуль, теорема до- доказана. Следствие 1. Если функция f(x, у) ограничена в облас- области D и имеет в этой области разрывы лишь на конечном чис- числе спрямляемых линий, то f(x, у) интегрируема в области D. Следствие 2. Если f(x, у) интегрируема в области D, а g(x, у) ограничена и совпадает с f(x, у) всюду в D, за исключе- исключением множества точек площади нуль, то и g(x, у) интегри- интегрируема в области D. 4. Определение двойного интеграла при помощи про- произвольных разбиений области. Выше мы определили двой- двойной интеграл, исходя из разбиения области прямыми линия- линиями на конечное число частичных прямоугольников. В этом пункте мы сформулируем другое определение двойного интеграла, осно- основанное на разбиении области D любыми кривыми площади нуль на конечное число частичных областей произвольного вида, и докажем, что это определение эквивалентно данному выше. Пусть D — замкнутая ограниченная область, имеющая гра- границу Г площади нуль. Разобьем область D при помощи конечно- конечного числа произвольных кривых площади нуль на конечное чис- число г (не обязательно связных!) замкнутых частичных областей DUD2, ..., Dr. Заметим, что каждая область Di квадрируема, ибо граница ее имеет площадь нуль (см. вып. 1, гл. 11, § 2) и обозначим символом ADi площадь области Di.
§ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 65 В каждой частичной области Di выберем произвольную точ- КУ Pi(€u Vi)- Определение 1. Число B.3) г=1 называется интегральной суммой функции }'(х, у), соответствующей данному разбиению области D на частич- частичные области Di и данному выбору промежуточных точек Pi в частичных областях. Назовем диаметром области Di точную верхнюю грань расстояний между двумя любыми точками этой области. Символом А обозначим наибольший из диаметров частичных областей Di, Z?2? • • • ? Dr. Определение 2. Число I называется пределом ин- интегральных сумм B.3) при А —>> 0, если для любого по- положительного числа е можно указать такое положительное число 5, что при А < 5 независимо от выбора точек Pi в час- частичных областях Di выполняется неравенство \а - 1 е. Определение 3 {общее определение интегрируемости). Функция /(ж, у) называется интегрируемой {по Р и м а н у) в области D, если существует конечный предел I интегральных сумм а этой функции при А —>> 0. Указанный предел называется двойным интегралом от функ- функции /(ж, у) по области D. Докажем следующую фундаментальную теорему. Теорема 2.5. Сформулированное общее определение интег- интегрируемости эквивалентно определению, данному в гг. 3. Доказательств о. Очевидно, что если функция /(ж, у) интегрируема, согласно общему определению интегрируемости, и ее двойной интеграл, согласно этому определению, равен /, то эта функция интегрируема и, согласно определению п. 3, имеет, согласно этому определению, тот же самый двойной интеграл /. Остается доказать, что если функция /(ж, у) интегрируема в области Z?, согласно определению п. 3, и / — двойной интег- интеграл от /(ж, у) по области D, согласно этому определению, то для функции /(ж, у) существует равный / предел интегральных сумм а при А —>• 0. Обозначим через Mi и fhi точную верхнюю и точную ниж- нижнюю грани функции /(ж, у) в частичной области D и введем в 3 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II
66 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 рассмотрение верхнюю и нижнюю суммы г г S = ^2 Mi- ADi и ?= г=1 г=1 Так как для любого разбиения ? ^ а ^ 5, то достаточно доказать, что обе суммы S и Устремятся к / при Требуется доказать, что для любого е > 0 найдется S > О такое, что каждая из сумм S и 5 отклоняется от / меньше чем на е как только А < 6. Фиксируем произвольное е > 0. Для этого е найдется раз- разбиение Т содержащего область D прямоугольника R на час- частичные прямоугольники Rfc такое, что для него S-s<?-. B.4) Обозначим через Mq точную верхнюю грань |/(ж, у)\ в обла- области D и заключим все отрезки прямых, производящих разбие- разбиение Т, и границу Г области D внутрь элементарной фигуры, площадь которой меньше числа ?/(AMq). Тогда заведомо существует положительная точная нижняя грань S расстояния между двумя точками, одна из ко- которых принадлежит границе указанной элементарной фигуры, а другая — отрезкам прямых, производящих разбиение Т, или границе Г области D 1) . Докажем, что для сумм S и ? любого разбиения области D, удовлетворяющего условию А < E, справедливы неравенства S<S+?-, B.5) s~e-<s. B.6) :) В самом деле, рассмотрим два множества: 1) множество {Р} всех точек границы указанной элементарной фигуры и 2) множество {Q} всех точек отрезков разбиения Т и границы Г области D. Оба множества {Р} и {Q} ограничены и замкнуты. Предположим, что точная нижняя грань 6 рас- расстояния р(Р, Q) равна нулю. Тогда найдутся две последовательности точек {Рп} и {Qn} такие, что р(Рп, Qn) —>- 0. Из указанных последовательностей в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящиеся под- подпоследовательности {Ркп } и {Qkn }, пределы Р и Q которых (в силу замкну- замкнутости) принадлежат соответственно {Р} и {Q}. Но тогда р(Р, Q) = 0, т. е. точки Р и Q совпадают, что невозможно, ибо множество {Q} лежит строго внутри элементарной фигуры и не имеет общих точек с {Р}. Полученное противоречие доказывает положительность S.
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 67 Ограничимся доказательством неравенства B.5), ибо неравен- неравенство B.6) доказывается аналогично. Удалим из суммы S все слагаемые Mi-ADi, соответствующие областям Di, каждая из которых не лежит целиком в одном частичном прямоугольнике разбиения Т. Все такие области Di принадлежат указанной выше элементарной фигуре, а поэтому общая сумма площадей таких областей меньше числа б/DМо). Стало быть, сумма всех удаленных слагаемых Mi-ADi, мень- меньше числа е/А. Таким образом, с ошибкой, не превышающей е/А, справед- справедливо равенство 5 = ^ М*-ДА, B.7) где штрих обозначает, что сумма распространена лишь на обла- области Di, целиком лежащие в соответствующих прямоугольни- прямоугольниках разбиения Т. Заменим теперь в правой части B.7) точные грани Mi в обла- областях Di, содержащихся в частичном прямоугольнике Rk, точной верхней гранью Мк в прямоугольнике Rk. Тогда получим B.8) где Ai?/c обозначает площадь области i?^, равной сумме всех областей D^, целиком содержащихся в прямоугольнике R^. Все области R^ — R^ принадлежат выбранной выше элемен- элементарной фигуре. Поэтому 4М0' и, стало быть, S-Y^Mk-^Rk к Таким образом, с ошибкой, не превышающей е/А, справедливо равенство ^2 мк ' ^Rk = S. B.9) к Сопоставляя справедливые с ошибкой, не превышающей е/А, ра- равенства B.7) и B.9) с неравенством B.8), мы получим неравен- неравенство B.5). Аналогично доказывается неравенство B.6).
68 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 Из B.5) и B.6) получим s-- <? ^ S < S+-. B.10) 2 2 v J Так как в силу B.4) каждая из сумм s и S отклоняется от / меньше чем на б/2, то каждая из сумм ? и S в силу B.10) от- отклоняется от / меньше чем на е. Теорема доказана. § 2. Основные свойства двойного интеграла Свойства двойного интеграла (и их вывод) вполне аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного инте- интеграла. Поэтому мы ограничимся формулировкой этих свойств. 1°. Аддитивность. Если функция /(ж, у) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутрен- внутренних точек области D\ и D2, то функция /(ж, у) интегрируема в каждой из областей D\ и D2, причем Я f(x> у) dx dv = Я f(x> у) dx dv + Я f(x> у) dx dy- D Dx D2 2°.Линейное свойство. Если функции /(ж, у) и g(x, у) интегрируемы в области D, а а и /3 — любые вещественные числа, то функция [а • /(ж, у) + /3 • g(x, у)] также интегрируе- интегрируема в области D, причем //[а • /(ж, у) + /3 • g(x, у)} dx dy = D = а///(ж, y)dxdy + f3 ff g(x, y)dxdy. D D 3°. Если функции /(ж, у) и g(x, у) интегрируемы в обла- области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D. 4°. Если /(ж, у) и g(x, у) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области /(ж, у) ^ §(ж, у), то Я/(^, y)dxdy ^ Я<?(ж' y)dxdy. D D 5°. Если /(ж, у) интегрируема в области D, то и функция |/(ж, у)| интегрируема в области D, причем Я/( ff f(x, y)dxdy. D (Конечно, из интегрируемости |/(ж, у)| в D не вытекает интег- интегрируемость /(ж, у) в D.)
§ 3 СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 69 6°. Теорема о среднем значении. Если обе функ- функции f(x,y)ng(x,y) интегрируемы в области D, функция g(x, у) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, М и т — точная верхняя и точная нижняя грани функции /(ж, у) в области D, то найдется число /i, удовлетворяющее неравенству т ^ \i ^ M и такое, что справедлива формула Я /(ж, y)g(x, y)dxdy = fjJffg(x, y)dxdy. B.11) Л D В частности, если функция /(ж, у) непрерывна в D, а об- область D связна, то в этой области найдется 1) такая точка (?, г/), что /i = /(?, г/), и формула B.11) принимает вид , y)dxdy. D D 7°. Важное геометрическое свойство, ff 1 • dxdy D равен площади области D. (Это свойство, как уже отмечалось выше, непосредственно вытекает из определения интегрируемо- интегрируемости, данного в п. 3 § 1.) § 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному Излагаемое в этом параграфе сведение двойного интеграла к повторному однократному является одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла. 1. Случай прямоугольника. Теорема 2.6. Пусть для функции /(ж, у) в прямоугольнике R = [а ^ х ^ Ь] х [с ^ у ^ d] существует двойной интеграл ///(ж, y)dxdy. R Пусть далее для каждого х из сегмента а ^ х ^ b суще- существует однократный интеграл I(x) = ff(x,y)dy. B.12) С Тогда существует повторный интеграл Ъ Ъ d / 1{х) dx = / dx f f(x, y) dy ) В силу теоремы 14.5 из вып. 1.
70 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 и справедливо равенство fff(x, y)dxdy = f dx}f(x, y)dy. B.13) R а с Доказательство. Как и в § 1, разобьем прямоуголь- прямоугольник R с помощью точек а = xq < х\ < Х2 < ... < хп = b и с = Уо < У\ < У2 < • • • < Ур = d на п • р частичных прямоуголь- прямоугольников = [Хк-1 <: X ^ Хк] X [yi_i ^У ^yi] = l, 2, ... ,n; / = 1, 2, ... ,р). Полож:им Аж^ = хк — ж/c-i, Ауг — У1 ~ У\-\ и обозначим через M^^ и 777,/^ точные грани функции /(ж, у) на частичном прямо- прямоугольнике Rki- Тогда всюду на этом прямоугольнике ты ^ f(x, у) ^ Мы. B.14) Положим в этом неравенстве х = ?& , где ?& — произвольная точка сегмента [x^-i, ж^], и после этого проинтегрируем B.14) по у в пределах от у\-\ до у\. Получим У1 ты АУ1^ / /(&, у) rfy ^ Мы • Ауг. B.15) 2/г—1 Суммируя B.15) по всем / от 1 до р и используя обозначение B.12), будем иметь р р Ауг. B.16) Далее умнож:им B.16) на Axj~ и просуммируем по всем А; от 1 до п. Получим feiii ki ki ii B.17) Пусть наибольший диаметр А частичных прямоугольников стремится к нулю. Тогда и наибольшая из длин Ах^ стремится к нулю. Обрамляющие члены в B.17), представляющие собой нижнюю и верхнюю суммы, стремятся при этом к двойному ин- интегралу // f(x, у) dx dy. R Стало быть, существует предел и среднего члена в B.17), равный тому же самому двойному интегралу. Но этот предел по
СВЕДЕНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 71 определению однократного интеграла равен ь ь d f I(x) dx = J dx f f(x, у) dy. а а с Тем самым доказано существование повторного интеграла и ра- равенство B.13). Теорема доказана. Замечание. В теореме 2.6 можно поменять хну ролями, т. е. можно предположить существование двойного интеграла и существование для любого у из сегмента с ^ у ^ d однократного интеграла K(y) = ff(x,y)dx. а Тогда теорема будет утверждать существование повторного ин- интеграла fK(y)dy = Jdyff(x,y)dx и равенство R d ь x, y)dxdy = f dyff(x, y)dx. B.18) 2. Случай произвольной области. Теорема 2.7. Пусть выполнены следующие условия: 1) об- область D ограничена, замкнута и такова, что любая прямая, параллельная оси Оу, пересека- у, ет границу этой области не бо- более чем в двух точках, ординаты У2 которых суть у\{х) и у2(х), где У\{х) ^ у2(х) (рис. 2.4); 2) функ- функция f(x, у) допускает существо- 2/1 вание двойного интеграла // f(x, y)dxdy D Рис. 2.4 и существование для любого х однократного интеграла 2/2 О) / f(x, y)dxdy. При этих условиях существует повторный интеграл х2 2/2 0) f dx f f(x, y)dxdy xi У1(х)
72 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 [х\ и Х2 — наименьшая и наибольшая абсциссы точек обла- области D) и справедливо равенство Х2 2/2 (ж) fff(x,y)dxdy=fdx / f(x,y)dy. B.19) D xi yi(x) Доказательство. Обозначим через R прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, содержащий область D, а через F(x, у)—функцию, совпадающую с /(ж, у) в точках области D и равную нулю в остальных точках R. Для функции F(x, у) в прямоугольнике R выполнены все условия теоремы 2.7, и, стало быть, справедлива формула B.13), которая (с учетом того, что F(x, у) равна нулю вне D и совпадает с /(ж, у) в D) пере- переходит в формулу B.19). Теорема дока- доказана. Замечание. В теореме 2.7 мож- можно поменять ролями х и у, т. е. мож- можно предположить, что выполнены сле- > дующие два условия: 1) область D та- с кова, что любая прямая, параллельная Рис. 2.5 оси Ох, пересекает границу этой обла- области не более чем в двух точках, абсцис- абсциссы которых суть х\(у) и #2(у), гДе хЛу) ^ Х2(у) (рис. 2.5); 2) функция f(x, у) допускает существование по области D двой- двойного интеграла и существование для любого у однократного ин- интеграла У1 1 (ж, y)dx. При выполнений этих двух условий существует повторный интеграл 2/2 / dy / /(ж, у) 2/1 (yi и у2 — наименьшая и наибольшая ординаты точек обла- области D) и справедливо равенство 2/2 fff(x,y)dxdy=fdy / f(x,y)dx. B.190 ?> 2/1 Пример. Пусть область D —круг ж2 + у2 ^ i?2 (рис. 2.6), a f(x, у) = x2(R2 — у2K/2. Любая прямая, параллельная оси
ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 73 Ох, пересекает границу D не более чем в двух точках, абсциссы которых суть х\ = — \/R2 — у2 и Х2 = л/R2 — у2 (см. рис. 2.6). Поэтому применяя формулу B.19'), получим JJf(x,y)dxdy = / dy D -R R -R x2 dx dy=2- у 3 105 -я Замечание 2.В случае, если область D не удовлетворяет требованиям теоремы 2.7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей О х Рис. 2.7 такого типа, не имеющих общих внутренних точек. Тогда интег- интеграл по области Z?, в силу свойства аддитивности (см. свойство 1° из § 2), равен сумме интегралов по соответствующим областям. Так, область Z?, изображенную на рис. 2.7, удается разбить на сумму трех областей Z?i, D2 и D%, к каждой из которых приме- применима или теорема 2.7 или замечание 1. § 4. Тройные и n-кратные интегралы Изложенная нами теория двойного интеграла без каких-либо осложнений и новых идей переносится на случай тройного и вообще n-к ратного интеграла. Остановимся на основных моментах теории n-кратного интеграла. Прежде всего договоримся считать, что объем п-мерного пря- прямоугольного параллелепипеда по определению равен произведе- произведению длин всех его ребер, выходящих из одной вершины.
74 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 Далее договоримся называть элементарным телом множес- множество точек n-мерного пространства, представляющее собой сум- сумму конечного числа n-мерных прямоугольных параллелепипе- параллелепипедов, не имеющих общих внутренних точек и имеющих ребра, параллельные осям координат. Объем любого элементарного тела нам известен и равен сум- сумме объемов составляющих его параллелепипедов. Пусть теперь D — произвольная ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве. Назовем нижним объ- объемом области D точную верхнюю грань V_ объемов всех со- содержащихся в D элементарных тел, а верхним объемом области D — точную нижнюю грань V объемов всех элементар- элементарных тел, содержащих область D. Легко убедиться в том, что V_ ^ V 1) . Область D называется кубируемой, если V_ = V. При этом число V = У_ = V называется п-м ерным объемом области D. В полной аналогии со случаем плоской области доказывается следующее утверждение. Для того чтобы п-мерная область D была кубируемой, необ- необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного чис- числа е нашлись два элементарных тела, одно из которых содер- содержит D, а другое содержится в D, разность объемов которых по модулю меньше числа е. Поверхностью (или многообразием) n-м ерно- го объема нуль договоримся называть замкнутое множе- множество, все точки которого принадлежат элементарному телу как угодно малого n-мерного объема. Очевидно, что n-мерная область D кубируема тогда и только тогда, когда граница этой области представляет собой многооб- многообразие n-мерного объема нуль. Сначала n-кратный интеграл от функции п переменных f(xi, #2, ••• •> %п) определяется в n-мерном прямоугольном па- параллелепипеде Й, ребра которого параллельны осям координат. С этой целью мы производим разбиение каждого из п ребер параллелепипеда R на конечное число частичных сегментов и таким путем получаем разбиение Т параллелепипеда R на ко- конечное число частичных n-мерных параллелепипедов 2) . Для указанного разбиения Т в полной аналогии со случаем п = 2 определяются интегральная, верхняя и нижняя суммы любой ограниченной функции f(x\, Ж2, • • • , хп). :) Неравенство V_ ^ V доказывается точно так же, как неравенство Р ^ Р в п. 1 § 2 гл. 11 вып. 1. 2) Можно сказать, что разбиение Т осуществляется с помощью конечного числа (п — 1)-мерных гиперплоскостей, параллельных координатным осям.
§ 4 ТРОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 75 n-кратный интеграл от функции /(жх, Ж2, ... , жп) по парал- параллелепипеду i? определяется как предел интегральных сумм при стремлении к нулю длины наибольшей из диагоналей частичных n-мерных параллелепипедов. Как и для случая п = 2, теория Дарбу устанавливает необ- необходимое и достаточное условие интегрируемости в следующей форме: для интегрируемости функции f в параллелепипеде R необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 нашлось раз- разбиение Т параллелепипеда R, для которого разность верхней и нижней сумм была меньше е. После этого легко определить n-кратный интеграл от функ- функции / по произвольной замкнутой ограниченной n-мерной обла- области ?), граница которой имеет n-мерный объем нуль. Этот интеграл определяется как интеграл по содержащему область D n-мерному прямоугольному параллелепипеду R (с ребрами, параллельными координатным осям) от функции F', совпадающей с / в области D и равной нулю вне D. Для обозначения n-кратного интеграла от функции /(жх, Ж2, • • • , хп) по области D естественно использовать символ // ... ff(xu ж2, • • • , хп) dxi dx2... dxn. B.20) D Однако для сокращения записи там, где это не будет вы- вызывать недоразумений, мы будем обозначать интеграл B.20) кратким символом ff(x)dx. B.200 D При краткой записи B.207) под символом х следует понимать точку х = (жх, Ж2, ... , хп) пространства Еп , под символом dx — произведение dx = dx\ dx2 ... dxn г) , а под знаком J — n-крат- D ный интеграл по n-мерной области D. Точно так же, как и для случая п = 2, доказывается интегри- интегрируемость по n-мерной области D любой функции /, обладающей в области D 1-е в о й с т в о м (т. е. ограниченной в области D функции, все точки разрыва которой принадлежат элементар- элементарному телу как угодно малого n-мерного объема). Вообще изме- изменение интегрируемой функции / на множестве точек п-мерного объема нуль не изменяет величины интеграла от этой функции. Для определения n-кратного интеграла можно использовать разбиение области D при помощи конечного числа произволь- произвольных многообразий объема нуль на конечное число частичных областей произвольной формы. В полной аналогии с теоремой 2.5 доказывается, что такое общее определение n-кратного ин- интеграла эквивалентно указанному выше определению. ) Это произведение обычно называют элементом объема в пространстве Еп.
76 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 В полной аналогии с теоремами 2.6 и 2.7 устанавливается формула повторного интегрирования для интег- интеграла B.20). Пусть п-мерная область Dn обладает тем свойством, что любая прямая, параллельная оси Ох\, пересекает ее границу не более чем в двух точках, проекции которых на ось Ох\ суть а(х2, ж3, ... , хп) и где а(х2, жз, ... , хп) ^ Ь(х2, ж3, ... , хп). Пусть далее функция f(x\, х2, ... , хп) допускает существо- существование п-кратного интеграла ff ... ff(xi, х2, ... , хп) dxi dx2... dxn Dn и существование для любых х2, жз, • • • , хп однократного интег- интеграла 1, х2, ... , xn)dxi. а(ж2,ж3, ...,жте) Тогда существует (п — 1)-кратный интеграл Ь(Х2,ХЗ, ...,Хп) ff ... f dx2dx3...dxn f f(xi, x2, ... no (n — 1)-мерной области Dn-\, являющейся проекцией Dn на координатную гиперплоскость Ох2хз ... хп и справедлива фор- формула повторного интегрирования ff ... ff{xi, x2, ... , хп) dxi dx2... dxn = Dn =ff ... fdx2dx3...dxn f f(xi, x2, ... , xn)dxi. B.21) Dn-i а(х2,хз,...,хп) Конечно, в сформулированном утверж:дении в роли х\ мож:ет выступать и любая из переменных х2, х3, ... , хп. Мы договоримся называть область D простой, если каж- каждая прямая, параллельная любой координатной оси, либо пере- пересекает ее границу не более чем в двух точках, либо имеет на этой границе целый отрезок. Для простой области формулу повторного интегрирования можно применять по любой из переменных х\, х2, ... , хп. Примером простой области может служить n-мерный пря- прямоугольный параллелепипед (ребра которого не обязательно па- параллельны координатным осям).
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 77 В заключение отметим, что для n-кратного интеграла оста- остаются справедливыми свойства 1°-7°, сформулированные в § 2 для случая двойного интеграла. В частности, JJ ... Jl • dx\ dx2 • • • dxn равен n-мерному объ- D ему V(D) области D. Кроме того, как и для случая п = 2, справедливо следующее утверждение. Пусть функция /(#i, х2, ••• , хп) интегрируема в ограни- ограниченной кубируемой области D. Пусть далее пространство Еп покрыто сеткой п-мерных кубов с ребром h; C\, С2, • • • , Сппл — те кубы указанной сетки, которые целиком содержатся в D; (Ci ? ^2 5 • • • -> in ) —произвольная точка куба С^\ т^ —точ- —точная нижняя грань функции f в кубе С& (к = 1, 2, ... , n(h)). Тогда суммы n[h) n[h) имеют предел при h —)> 0, равный ff ... ff(xu x2, • • • , ж § 5. Замена переменных в п-кратном интеграле Целью настоящего параграфа является обоснование форму- формулы замены переменных в n-кратном интеграле. Устанавливаемая формула является одним из важнейших средств вычисления n-кратного интеграла. Предположим, что функция /(yi, у2, • • • , Уп) допускает су- существование n-кратного интеграла / /(у) dy = ff... //(i/b i/2, ... , i/n) rfi/i di/2 ... rfyn B.22) по некоторой ограниченной замкнутой кубируемой области D в пространстве переменных yi, y2, • • • 5 Уп- Предположим далее, что от переменных yi, у2, ... , уп мы переходим к новым пере- переменным #1, #2, ... , жп, т. е. совершаем преобразование У2 =fa(xu ^2, ... , Жп), Уп =
78 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГГАЛЫ ГЛ. 2 Кратко преобразование B.23) будем обозначать символом у = ф(х), понимая под хну точки n-мерного пространства х = (жх, Ж2, ... , жп), у = (yi, у25 ••• j УпM а под символом ^ — совокупно- совокупности П фуНКЦИЙ ^х j ^2, • • • , Фп • Обозначим символом D' ту область в пространстве перемен- переменных жх, Ж2, • • • , хП1 которая при преобразовании B.23) перехо- переходит в D, т. е. положим, что D = ф(О') 1) . Мы докаж:ем, что если функции B.23) имеют в области D' непрерывные частные производные первого порядка и если яко- якобиан »У2»---»У") B.24) V{x) отличен в области D1 от нуля, то для интеграла B.22) справед- справедлива следующая формула замены переменных: Чу) V(x) dx. B.25) D D' В подробной записи формула B.25) имеет следующий вид: И ••• //(Уь У2, • • • , Уп) dyi dy2... dyn = ¦//¦¦¦/ X 2/2, ... dxn. B.257) Таким образом, мы докажем следующую основную теорему. Теорема 2.8. Если преобразование B.23) переводит область D1 в D и является взаимно однозначным и если функции B.23) имеют в области D' непрерывные частные производные пер- первого порядка и отличный от нуля якобиан B.24) 2) , то при условии существования интеграла B.22) справедлива формула замены переменных B.257). х) При этом мы предполагаем, что преобразование B.23) допускает обрат- обратное и что D' = ip~1(D). ) Заметим, что при выполнении условий теоремы 2.8 уравнения B.23) можно разрешить относительно xi, Х2, • • • , хп, причем полученное на этом пути обратное преобразование х = ф~1(у) будет в силу теоремы 14.2 из вып. 1 иметь в области D непрерывные частные производные первого по- порядка и отличный от нуля якобиан D(x)/D(y).
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 79 Доказательство теоремы 2.8 не является элементарным. Ос- Основная идея приводимого нами доказательства состоит в том, что мы сначала даем обоснование формулы B.25) для случая, когда преобразование B.23) является линейным, а затем сводим к этому случаю общее преобразование B.23). Ради удобства, мы будем подразделять доказательство тео- теоремы 2.8 на отдельные пункты. Доказательство теоремы 2.8. 1°. Лемма 1. Если преобразование z = ф(х) является су- суперпозицией (или, как обычно говорят, произведением) двух преобразований у = ф\(х) и z = ф2{у)-> то якобиан ——, V(x) взятый в любой точке х = [х\, #2, ••• , #п), равен произведе- z V(y) Viz) нию якобианов —— и —^, взятых соответственно в точках V(x) 2%)' 0/0 0 0 \ 0 /0 0 0 \ л 0 . /0\ х = [xi, х2, ... , хп) и у = [уъ у2, ... , уп), гдеу = ф1{х), т. е. V(x) V(y) V(x)' V ' У В подробной записи формула B.26) выглядит так: B 2&) 1, 2/2, • • • , Уп) T>(xi, Ж2, • • • , Xn) Доказательство леммы 1. Элемент, стоящий на пе- пересечении г-й строки и fc-ro столбца якобиана —— равен —^, причем указанная частная производная берется в точке х. По правилу дифференцирования сложной функции (см. § 7 гл. 14 вып. 1), этот элемент равен zi дуг dxk ^ дуг дхк причем в правой части B.27) все частные производные —— бе- дхк о dzi рутся в точке ж, а все частные производные ——в соответст- дуг вующей точке у = ф\ [х). Из справедливых при любых г = 1, 2, ... , п и к = 1, 2, ... , п равенств B.27) и из теоремы об определителе произведения двух матриц (см. вып. 4 «Линейная алгебра») непосредственно выте- вытекает формула B.26). Лемма 1 доказана.
80 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 2°. Прежде чем формулировать следующую лемму, напомним определение линейного преобразования координат. Линейным преобразованием называется преоб- преобразование вида У1 = а2\х\ + а22^2 + ... + а2пжп, (z.zoj в котором а^ (г = 1, 2, ... , п; А; = 1, 2, ... , п) суть произволь- произвольные постоянные числа. Кратко линейное преобразование B.28) мы будем обозначать символом у = Тж, понимая под ж и у точки х = (жх, Ж2, • • • , жп) и У = (уI? У^ч • • • ^ Уп) пространства Еп, а под Т —матрицу Т = = \\a>ik\\ (г = 1, 2, ... , п; А; = 1, 2, ... , п). Матрицу Т обычно называют матрицей линейного преобразования. Если определитель матрицы линейного преобразования det T отличен от нуля, то линейное преобразование у = Тх называет- называется невырожденным. Для такого преобразования в силу теоремы Крамера 1) уравнения B.28) можно разрешить отно- относительно жх, Ж2, • • • , хп и утверждать существование обратного преобразования х = Т-1у, которое также является линейным и невырожденным. Заметим еще, что для линейного преобразования B.28) яко- якобиан —±У1 совпадает с определителем матрицы Т указанного V(x) преобразования, т. е. ^ =detT. B.29) V(x) Основной целью настоящего пункта и следующих двух пунк- пунктов является доказательство того, что для произвольного линей- линейного невырожденного преобразования B.28) справедлива фор- формула замены переменной B.25). В силу соотношения B.29), до- достаточно доказать, что для любого линейного невырожденного преобразования у = Тх справедлива формула ff(y)dy= f f(Tx)\detT\dx B.30) D T~1D (при условии, что существует интеграл в левой части этой фор- формулы) . :) Теорему Крамера см. в вып. 4 «Линейная алгебра».
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 81 В настоящем пункте мы докажем, что формула B.30) спра- справедлива для двух специальных типов линейных преобразований: 1) линейного преобразования ТД заключающегося в том, что г-я координата умножается на вещественное число А ф 0, а все остальные координаты не изменяются !),и2) линейного пре- преобразования Tij, заключающегося в том, что к г-й координате добавляется j-я координата, а все координаты, кроме i-й, не из- изменяются 2) . Лемма 2. Если функция f(y) интегрируема в области D, то для каждого из преобразований Т^ и Тц справедлива форму- формула замены переменных B.30). Доказательство леммы 2. Обозначим через R п-мер- ный прямоугольный параллелепипед, содержащий область ?), а через F — функцию, равную / в области D и равную нулю в R — D. Достаточно доказать, что для каждого из преобразо- преобразований Т^ и Тц справедлива формула fF(y)dy= f f(Tx)\detT\dx, B.31) R T~1R в которой символом Т обозначено одно из преобразований Т^ или Т^. Элементарный подсчет показывает, что = l. B.32) Кроме того, очевидно, что если R — прямоугольный паралле- параллелепипед dk ^ Ук ^ bk (к = 1, 2, ... , п), то [TJK]~1R представляет собой прямоугольный параллелепипед Q>k ^ хк ^ Ьк при кфг, А г А' a [Tij]~1R представляет собой заведомо кубируемую область ак^хк^Ьк при кфг, _ <- . <r h. - :) Символически это преобразование можно записать так: (Ж1, Ж2, • • • , Хп) ->• (Ж1, . . . , Жг-1, АЖг, Жг + 1, . . . , ) Символически это преобразование мож:но записать так: Ol, Ж2, . . . , Жп) ->" Ol, • • • , Жг-1, Ж» + Ж? , Жг + 1, . . .
82 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 На основании формулы повторного интегрирования B.21) Ь\ Ь{-1 &г + 1 Ьп J F(y) dy=J...J J ... J dyi... %_i%+i ...dynx R a\ CLi-i cii+i CLn Ьг fF(yu... ,yn)dyi. B.35) x Применяя к однократному интегралу по переменной у{ фор- формулу замены переменной yi = Xxi для случая преобразования Т^ и yi = Х{ + ж^ для случая преобразования Т^- (см. § 7 гл. 10 вып. 1) мы получим: а) для случая преобразования Т^ ... , yn)dyi = (bi/X f F(yi, ... , уг-ь ЛжЬ Уг+ь • • • > Vn)^dxi при А > 0, ... , уг-ь ЛжЬ Уг+ь • • • > Уп)(-А) ^ при А < 0; B.36) б) для случая преобразования Тц = f B.37) Вставляя B.36) в B.35), еще раз применяя формулу повтор- повторного интегрирования B.21) и учитывая равенство yj~ = xj~ при к ^ г, вид B.33) области [T^A]-1i? и первое равенство B.32), мы получим формулу B.31) для случая преобразования Т^ . Аналогично, вставляя B.37) в B.35), применяя формулу по- повторного интегрирования и учитывая равенства у^ = х^ при к т^ г, вид B.34) области [Tij]~1R и второе равенство B.32), мы получим формулу B.31) для случая преобразования Тц. Лем- Лемма 2 доказана. 3°. Лемма 3. Всякое невырожденное линейное преобразо- преобразование Т предстпавимо в виде суперпозиции конечного числа ли- линейных преобразований типа Т^ и Тц.
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 83 Доказательство леммы 3. Прежде всего проверим, что линейное преобразование Т7, заключающееся в перестановке каких-либо двух координат, представимо в виде суперпозиции шести преобразований типа Т^ и Тц. В самом деле, пусть Т1 заключается в обмене местами i-й и j-й координат (остальные координаты при этом не изменяются). Тогда легко проверить, что 1) Г = ТГ1Т13ТГ1Т31ТГ1Т13. B.38) Заметим теперь, что совершенно произвольное линейное невы- невырожденное преобразование Т путем конечного числа перестано- перестановок двух строк и двух столбцов можно привести к линейному преобразованию B.28) с матрицей ||а^||, у которой отличны от нуля все так называемые главные миноры, т. е. все опре- определители «11 акк = 1,2, ...,п). B.39) Остается доказать, что последнее линейное преобразование представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразова- преобразований типа Тгх и Tij. Докажем это по индукции. Так как Ai = ац ^ 0, то с помощью преобразования Т^11 мы получим (ах, ж2, ... , хп) ->> (ацЖ1, ж2, ... , хп). Предположим теперь, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа Т^ и Т^ нам удалось привести исходную последовательность координат (жх, ж2, ... , хп) к виду ... + аккхк, хк+ъ ... , хп). B.40) Для завершения индукции достаточно доказать, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа Тх и Т^ можно привести последовательность координат B.40) к виду ••• , Хп). B.41) Сначала мы для каждого номера г, для которого отличен от нуля элемент o>i(k+i)i произведем последовательно пару пре- преобразований T^/c+1)T/c^(J+1) (для тех г, для которых а^д.+1) = 0, :) В самом деле, сохраняя при записи только г-ю и j-ю координаты, мы по- получим, произведя цепочку преобразований B.38): (жг, Xj) —>- {xi +Xj, Xj) —»¦ ->> (~Xi -Xj, Xj) ->> (-Xi -Xj, -Xi) ->> (-Xi -Xj, Xi) ->> (-Xj, Xi) ->> (Xj, Xi).
84 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 соответствующую пару преобразований не производим). Супер- Суперпозиция всех указанных пар преобразований приводит последо- последовательность B.40) к виду ... + ai(fc+i)?fc+i, • • • , akixi + ... • • • + Щк+1)%к+ъ хк+ъ хк+2, ... , хп). B.42) Далее заметим, что поскольку минор B.39) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель B.43) ki ... акк 0 ... 0 Но тогда найдутся такие вещественные числа Ai, ... , А&, i, что линейная комбинация строк определителя B.43) с эти- этими числами равна 1) а(/с+1)ь ••• ? а(к+\)к, a(/c+i)(/c+i)- B.44) Это означает, что если мы для каждого номера j = 1, 2, ... ... , к + 1, для которого Aj 7^ 0, произведем последовательно па- пару преобразований T^k_^_i^jT-J (для тех j, для которых Aj = 0, соответствующую пару преобразований не производим), то су- суперпозиция всех произведенных пар преобразований переведет последовательность B.42) в B.41). Тем самым индукция завер- завершена, и лемма 3 доказана. 4°. Лемма 4- Для произвольного линейного невырожден- невырожденного преобразования B.28) при условии существования интег- интеграла, стоящего в левой части B.30), справедлива формула за- замены переменных B.30). Для доказательства леммы 4 достаточно заметить, что фор- формула B.30) справедлива для каждого из преобразований типа Т^ и Tij (лемма 2) и что произвольное линейное невырожден- невырожденное преобразование B.28) представимо в виде суперпозиции ко- конечного числа преобразований типа Т^ и Т^ (лемма 3), причем при суперпозиции линейных преобразований происходит пере- перемножение соответствующих якобианов (лемма 1). Следствие из леммы 4- Если G — произвольная куби- руемая область в пространстве Еп, Т — произвольное невы- рожденное линейное преобразование, то п-мерный объем V(G) 1) Для доказательства этого достаточно добавить к матрице определителя B.43) строку B.44) и применить теорему о базисном миноре (см. вып. 4 «Линейная алгебра»).
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 85 области G и п-мерный объем V(TG) образа TG этой области связаны равенством V(TG) = \detT\-V(G). B.45) Для доказательства достаточно положить в равенстве B.30) / = 1, D = TG и учесть, что при этом T~lD = G. 5°. Переходим теперь к обоснованию формулы замены пе- переменных B.25) для совершенно произвольного преобразования у = ф(х), удовлетворяющего условиям теоремы 2.8. Следует подчеркнуть, что при выполнении условий теоремы 2.8 существуют оба интеграла, стоящие в левой и правой ча- частях B.25), так что нам следует доказать только равенство этих интегралов. Договоримся обозначать символом Jif(x) элементы матрицы Якоби —— (г = 1, 2, ... , п; j = 1, 2, ... , п), взятые в точке х = [ гр Л /у _ гр \ — V ^ X 5 <^2i ... , Ju n I. Саму матрицу Якоби ||Jij(^)|| будем обозначать символом Удобно ввести понятия нормы точки х = (жх, Ж2, ... ... , хп) и нормы матрицы А = \\aij\\ (*—15 2, ... , п; j=l, 2, ... ,п). Нормой точки х = (жх, Ж2, • • • , хп) назовем число, обозначаемое символом \\x\\ и равное max \xA. г=1,2,... ,п Нормой матрицы А= \\a>ij\\ назовем число, обозна- п чаемое символом \\A\\ и равное max 2^ aij г=1,2,...,п \_j=i Заметим, что при таком определении норм точки и матрицы из равенства у = Ах вытекает, что 1МКИ1-1И. B.46) Кроме того, легко проверить, что для единичной матрицы Е справедливо равенство \\E\\ = 1. В этом пункте мы докажем следующую лемму. Лемма 5. Если выполнены условия теоремы 2.8 г^ если С — п-мерный куб, принадлежащий области D', то п-мерные объ- объемы куба С и его образа ф(С) связаны неравенством B.47) Доказательство. Пусть С — п-мерный куб с центром в точке х = (жх, Ж2, ••• , хп) и с ребром 2s. Тогда куб С можно
86 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 определить неравенством \x-x\\ ^s. B.48) В силу формулы Тейлора для функции п переменных фг(х) (см. п. 3 § 5 гл. 14 вып. 1), найдется число в{ из интервала 0 < < 6i < 1 такое, что п Из последнего равенства и из соотношения B.46) заключаем, что ^ ТЛЯУ II Т / (г\\\ • Т 'Г /"9 4Q^ хес II Полагая у = ф(х), у = /0(ж)? получим из B.49) и B.48) Таким образом, при изменении точки х в пределах п-мер- ного куба С с ребром 2s образ у точки х не выходит за пределы п-мерного куба, ребро которого равно 2s • max || J()|| Отсюда сразу же вытекает кубируемость образа ф(О) любого кубируемого множества G 1) (в частности, кубируемость ф(С)) и вытекает неравенство B.47). Лемма 5 доказана. 6°. Лемма 6. Пусть выполнены условия теоремы 2.8 и пусть G — произвольное кубируемое подмножество D'. Тогда для п-мерного объема образа ф(О) множества G справедливо неравенство 2) У(Ф(О)) < / | det J^(x)\dx. B.50) G Доказательство леммы 6. Прежде всего докажем, что для любого невырожденного линейного преобразования Т и для любого п-мерного куба G, содержащегося в D , справедливо неравенство У(ф(С)) ^ \detT\- [max||T-1J^(x)||jn-l/(C). B.51) :) В самом деле, граница любого кубируемого множества G является мно- множеством п-мерного объема нуль, а такое множество, согласно доказанному утверждению, преобразуется в множество, n-мерный объем которого также равен нулю. 2) Сам факт кубируемости образа ф(О) вытекает из утверждения, дока- доказанного в предыдущей лемме.
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 87 В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого мно- множества G и для линейного преобразования Т~1 справедливо ра- равенство V(T~lG) = IdetT! -V(G). Таким образом, если G = ф(С), то г) У(ф(С)) = |detT| .У(Т-гф(С)). B.52) Правую часть B.52) оценим с помощью неравенства B.47), взяв B.47) не для преобразования ф, а для суперпозиции преоб- преобразований Т~1ф. Получим У(ф(С)) ^ |detT| • [тах||7г-1^(ж)||]П-1/(С). B.53) Учитывая, что матрица Якоби линейного преобразования совпадает с матрицей этого преобразования, мы в силу леммы 1 получим, что Но это и означает, что неравенство B.53) может быть пере- переписано в виде B.51). Тем самым неравенство B.51) доказано. Теперь для доказательства леммы 6 покроем пространство Еп сеткой n-мерных кубов с ребром /г, и пусть Ci, C2, ... ... , Cn(fy —те из этих кубов, которые целиком содержатся в G, а символ Gh обозначает сумму всех указанных кубов. Выбрав в каждом кубе Ci произвольную точку %{ запишем для него неравенство B.51), полагая при этом Т = J^(xi). По- Получим |det ^(а*)| • {max || [J^)] • ^(ж)||Г ¦ V(d). Суммируя последнее неравенство по всем номерам i от 1 до n(/i), получим B.54) Поскольку элементы матрицы Якоби J^(x) являются непре- непрерывными функциями точки х во всей области D' и тем более в G х) Мы учитываем при этом, что Т • Т х = Е, так что detT • detT x = 1.
88 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 и произведение [J^{x)]~l • J^(x) представляет собой единичную матрицу, норма которой равна единице, то Но тогда из утверждения, сформулированного в конце § 4 этой главы, следует, что предел при h —>> 0 всей правой части B.54) существует и равен / | det J^(x)\ dx. G Из того же утверждения следует, что lira Gh = G, так что /О в пределе при h —>• 0 мы получим из B.54) неравенство B.50). Лемма 6 доказана. 7°. Лемма 7. Пусть выполнены все условия теоремы 2.8 и, кроме того, дополнительно предполагается, что функция f(y) неотрицательна в области D. Тогда справедлива формула за- замены переменных B.25). Доказательство. Покроем пространство Еп сеткой n-мерных кубов с ребром /г, и пусть Ci, C2, ..., Сп^—те из этих кубов, которые целиком содержатся в области D. Пусть далее Gi = ф~1(С^. Записывая для каждой области Gi нера- неравенство B.50), будем иметь V{Ci) < / | det J^(x)\dx. B.55) Пусть теперь m^ — точная нижняя грань функции f(y) на кубе Ci (или, что то же самое, точная нижняя грань функции /[ф(х)] в Gi). Умножая обе части B.55) на rrii и суммируя по всем г от 1 до п(/г), будем иметь n(h) n(h) ^ mi I I det Jip(x)\dx. B.56) г=1 г=1 °i В силу утверждения, сформулированного в конце § 4 этой главы, левая часть B.56) имеет предел при h —>> 0, равный J f(y) dy. Поскольку сумма всех областей Gi содержится в D1 1) D и функция / неотрицательна, правая часть B.56) при любом h > 0 не превосходит интеграла D' n(h) :) В силу того, что ^ Ci содержится в D, D' = ф~1(Б), d =
§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 89 Таким образом, в пределе при h —>• 0 мы получим из B.56) неравенство ff(y)dy^ff[il>(x)].\detJi,(x)\dx. B.57) D D' В проведенных нами рассуждениях можно поменять ролями области ДиВ'и вместо функции f(y) в области D рассмотреть функцию g(x) = /[ф(х)] • | det J^(x)\ в области D'. При этом, ис- используя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух матриц, мы получим противоположное неравенство ] .\detJj,(x)\dx < Jf(y)dy. B.58) D' D Из B.57) и B.58) вытекает формула замены переменных B.25). Лемма 7 доказана. 8°. Нам остается завершить доказательство теоремы 2.8, т. е. избавиться от наложенного в лемме 7 дополнительного требова- требования неотрицательности функции f(y). Пусть f(y) — совершенно произвольная интегрируемая по об- области D функция, число М — точная верхняя грань функции у)| в области D 1) . В силу леммы 7 для каждой из неотрицательных функций fi(y) = М и /2B/) = М — f(y) справедлива формула замены переменных B.25). Но тогда из линейного свойства интеграла вытекает спра- справедливость формулы B.25) и для разности fi(y) — /2A/) = /(у)- Теорема 2.8 полностью доказана. Замечание 1. В условиях теоремы 2.8 можно допустить обращение в нуль якобиана B.24) на некотором принадлежа- принадлежащем D' множестве точек 5, имеющем n-мерный объем нуль. В самом деле, множество S лежит внутри элементарной фигу- фигуры С как угодно малой площади, причем, согласно доказанному выше, справедлива формула / f(y)dy= / Пф(х)}.\ det J4x)\dx. B.59) ip(D'-C) D'-C Осуществляя в формуле B.59) предельный переход по по- последовательности элементарных фигур {С&}, n-мерный объем V(Ck) которых стремится к нулю, мы убедимся в справедливо- справедливости формулы B.25) и для рассматриваемого случая. :) Напомним, что из интегрируемости f(y) в области D вытекает ограни- ограниченность f(y) в D и существование точных граней.
90 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 Замечание 2. Поскольку интеграл 1 = ff ...fl dyidy2... dyn D B.60) равен п-мерному объему V(D) области D, то величину dy\dy2 • • • ... dyn естественно назвать элементом объема в рассма- рассматриваемой декартовой системе координат Оу\у2 • • -Уп- С помощью преобразования B.23) мы переходим от декар- декартовых координат ух, у2, ... , уп к новым, вообще говоря, криво- криволинейным координатам жх, Ж2, • • • , хп. Поскольку при таком пе- переходе (согласно формуле замены переменных B.25)) интеграл B.60) преобразуется в '-//¦¦¦/I D 2/2, , X2, • • то величину U 2/2, ... , Уп) dx\ dx\ ... dxn . dxTi ж2, ... , xn) естественно назвать элементом объема в криволинейной системе координат х\Х2 ... хп. Стало быть, модуль якобиана характеризует «растяжение» (или «сжатие») объема при переходе от декартовых координат У\ч У2-> • • • -> Уп к криволинейным координатам жх, Ж2, • • • , хп. Подсчитаем элемент объема в сферических и цилиндриче- цилиндрических координатах. 1°. Для сферических координат (в трехмерном пространстве) х = г cos if sin 6, у = г sin if sin 6, 2 = г cos б (г ^ 0, тг, 0 ^ ср ^ 2тг). Якобиан имеет вид У(х, у, z) = V(r, if, в) cos cp sin в — г sin у? sin # r cos (^ cos б sin yp sin в cos б г cos if sin б 0 г sin ip cos б —г sin в = r2sin6>. Стало быть, элемент объема равен г2 sin б dr d6 dip. 2°. Для цилиндрических координат (в трехмерном простран- пространстве) х = г cos <р, Z = Z (г
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 91 Якобиан имеет вид cos(p —r simp О Р(ж, У, z) = V{r, ip, z) = г. О 0 ' Стало быть, элемент объема равен rdrdipdz. В частности, для полярных координат на плоскости элемент площади равен г dr dip. 3°. В n-мерном пространстве сферические координаты опре- определяются равенствами х) х\ = г sin#i sin #2 • • • sin0n_i, гс-1 Xm = Г COS#m_i Yl Sin^ При 777, = 2, 3, . . . , П — 1, xn = ni, в которых сферический радиус г и сферические углы 6\, 02, ... ... , #n_i изменяются в пределах г ^ 0, 0 ^ ^i < 2тг, 0 ^ бт ^ тг При 777 = 2, 3, . . . , 77 — 1. Мож:но убедиться, что в этом случае якобиан имеет вид п-1 Ж2, . . . , ХП) = гП-1 /с—1 Таким образом, элемент объема в n-мерных сферических коор- га-1 динатах равен rn~1dr П ъшк~1 OkdOk- k=i Примеры. 1. Вычислить объем тела, ограниченного по- поверхностью (x2+y2 + z2J = a3z, B.61) где а > 0. Тело симметрично относительно координатных плоскостей Oyz и Ож;г и расположено вверх от плоскости Оху. Стало быть, достаточно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом октанте. Переходя к сферическим координатам, приведем уравнение B.61) к виду г = ал/cos в. 1) Обратные формулы, выражающие n-мерные сферические координаты через декартовы, имеют вид / 9 i i 9 -л ^гп л %т + 1 г = \1х( + ... + xi, smem = , cos#m = , Гт + 1 Гщ + 1 где Тщ = \/х\ + ... + х2т (т = 1, 2, ... , п - 1).
92 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 Так как первый октант характеризуется неравенствами \ \ 2? \ г \ 2> то учитывая выражение для элемента объема в сферических координатах, получим, что искомый объем V равен тг/2 тг/2 f = 4 / dip f d6 f г о о Таким образом, тг/2 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (где Л>0, А; > 0, a > 0, Ь>0). Для вычисления этой площади удобно перейти к так назы- называемым обобщенным полярным координатам X = аГ COS G9, у = or sin ур Уравнение B.62) принимает вид г = - cos if + - sin <p, B.63) h к причем, поскольку левая часть B.63) неотрицательна, следует брать лишь такие значения <р, для которых правая часть B.63) является неотрицательной. Га? &2~ Умнож:ив и разделив правую часть B.63) на \ — + — и у ГЬ К определив сро из соотношений a/h Ъ/к sin<p0 = ' cos(^o= 7 мы приведем B.63) к виду '; + ^-sm(ip + fp0). B.63') Из условия неотрицательности правой части B.637) находим, что 0 ^ if + (ро ^ тг, т. е. — с^о ^ ^ ^ тг — ^о-
ДОПОЛНЕНИЕ 93 Учитывая, что якобиан —^ ' ' равен abr, мы получим для V(r, <p) искомой площади S следующее выражение: f abr dr = 0 abfa2 . 2 Заметим в заключение, что для вычисления ряда площадей удобен несколько более общий вид обобщенных полярных коор- координат х = ar cosa <p, у = br sina if. Легко убедиться, что для этих координат ^' у' = aabr со8а~г(р sin^ (p. ДОПОЛНЕНИЕ О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ п-КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Займемся вопросом о приближенном вычислении n-кратного интеграла JJ ... Jf(xi, X2, • • • , хп) dx\ dx2 • • • dxn B.64) по некоторой области Gn в пространстве Еп, причем сначала будем считать, что эта область представляет собой n-мерный куб. Предполагая существование интеграла B.64), будем рассматривать во- вопрос об оптимальных способах численного интегрирования. Этот вопрос имеет два аспекта: 1) построение формул численного ин- интегрирования, оптимальных на заданных классах функций] 2) построение формул численного интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции из заданного класса. Рассмотрим каждый из этих аспектов в отдельности. 1. Формулы численного интегрирования, оптимальные для классов функций. Пусть Gn—единичный n-мерный куб 0 ^ Xk ^ 1, к = 1, 2, ... , п. Будем говорить, что функция f(xi, ... , хп) принадлежит в кубе Gn классу D%(M) (соответственно классу Н%(М)), если при условии суще- существования всех фигурирующих ниже производных справедливы неравен- неравенства дх ... dxt"
94 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 в которых п /3 = 2^ ак ^ от, ак ^ an (соответственно ак ^ а). Будем называть кубатурной формулой выражение вида Н f / / ... / /(ж1, ... , хп) dx\ ... dxn = In(J) + Rn{J^ In), B.65) J J J Gn в котором tt / (к) (к)\ л При этом точки (ж^ , ... , Хп ) называются узлами, а числа Ск —в е- с а м и данной кубатурной формулы, а величина i?iv(/, In) — ее погреш- погрешностью. Нашей целью является построение кубатурных формул с оценкой по- погрешности, точной по порядку относительно малой величины 1/iV, где N — число узлов кубатурной формулы. Н. С. Бахваловым было показано :), что как на классах D"(M), так и на классах Н^{М) нельзя построить кубатурную формулу B.65) с оцен- оценкой погрешности Ддг(/, In) лучшей, чем С(а, п) • М • N~a, где С(а, п) — некоторая постоянная, зависящая от а и п. На классах Н^{М) указанная оценка достигается (по порядку относи- относительно 1/iV), если в качестве In взять произведение одномерных квадра- квадратурных формул, точных для алгебраических многочленов степени an — 1. Предполагая, что число узлов N равно N = тп, где т — целое, мы можем положить т т '"= Ц ••• Z) C*i ...Cknf(xkl,...,xkn), B.66) кг=1 кп=1 где {ж/е^, Cfc^}, i/ = 1, 2, ... , п, — узлы и веса одномерной квадратурной формулы, точной на алгебраических многочленах 2). Для погрешности кубатурной формулы с In , определяемым равенством B.66), справедлива асимптотическая (т. е. справедливая для доста- достаточно больших значений N) оценка Rn{J, In) и — , B.67) в которой Ci(a, п) —некоторая постоянная, зависящая от а и п. На классах Н^{М) также существует кубатурная формула, близкая по порядку величины погрешности к оптимальной. Таковой формулой :)H. С. Бахвалов. О приближенном вычислении кратных интегра- интегралов// Вестник МГУ: Серия математики, физики, астрономии. 1959. № 4. С. 3-18. ) Таковыми являются, например, так называемая формула Гаусса или формула Ньютона-Котеса (см., например, курс И. С. Березина и Н. П. Жидкова «Методы вычислений»).
ДОПОЛНЕНИЕ 95 является теоретико-числовая формула Н. М. Коробова х) 7 1 v^ ,Г fkai\ [кап\л , {ксц\ , (кап\ f . в которой ai, ... , an —целые числа — так называемые оптимальные коэф- коэффициенты по модулю JV, а та(х) —некоторые специальные многочлены сте- степени а + 1. Для погрешности кубатурной формулы с In, определяемым равенством B.68), справедлива оценка B.69) (С2(си, п) и /3 — постоянные, зависящие только от а и п). Оценка B.69) от- отличается от неулучшаемой по порядку оценки только множителем lrr N. Таким образом, на каждом из классов D%(M) и Н%(М) существуют достаточно хорошие кубатурные формулы. Разумеется, при практическом использовании этих формул следует учи- учитывать их достоинства и недостатки, выявляющиеся в конкретных ситуа- ситуациях. Так, следует помнить, что при вычислении интегралов с помощью формулы B.66) число узлов N не произвольно, а равно тпп. Например, для п = 10 и функции f(xi, ... , хп), примерно «одинаково» ведущей себя по всем направлениям, минимальным разумным числом узлов будет N = = 210 = 1024. При желании увеличить точность можно взять число узлов равным JVi = З10 = 59049, но это приведет к увеличению вычислительной работы почти в 60 раз. Следует также учитывать, что при «малом» и «среднем» числе узлов N погрешность кубатурной формулы, полученной с помощью B.66), может сильно отличаться от правой части B.67) ). С другой стороны, использование формулы B.66) более выгодно при вычислении больших серий интегралов, а также при вычислении интегра- интегралов от функций, содержащих выражения, зависящие от меньшего числа переменных чем п. Кубатурные формулы, полученные с помощью B.68), свободны от недо- недостатка, связанного с выбором числа узлов N. Эти формулы целесообразно использовать для недостаточно гладких функций / и при большом значе- значении числа переменных п (начиная с п = 10). Однако следует заметить, что для погрешности кубатурной формулы, полученной с помощью B.68), нельзя выделить главного члена, подобного тому, который стоит в правой части B.67). Это обстоятельство затрудняет как оценку погрешности при проведении вычислений, так и прогнозирование числа узлов JV, требуемого для достижения заданной точности. 2. О формулах численного интегрирования, оптимальных для каждой конкретной функции. Сразу же отметим, что вопрос о таких формулах является сложным и мало разработанным. :)H. M. Коробов. Теоретико-числовые методы в приближенном ана- анализе.— М.: Физматгиз. 1963. ) Так при использовании для B.66) квадратурной формулы Ньютона— Котеса правая часть B.67) близка к левой, начиная с N = (ап)п (например, при а = 1 и п = 10, начиная с N = 1010, а при использовании для B.66) формулы Гаусса правая часть B.67) близка к левой, начиная с N = (ап/2)п (т. е. при а = 1 и п = 10, начиная с N и 107 ). Таким образом, при постро- построении кубатурных формул с In, определяемых равенством B.66), формула Гаусса предпочтительнее формулы Ньютона-Котеса.
96 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 2 Начнем с уточнения постановки изучаемого вопроса. Предположим, что данная функция f(xi, X2, • • • , хп) принадлежит некоторому классу Ап и что задано множество способов численного интегрирования {pn} этой функции /. Будем искать в этом множестве такой способ численного интегрирова- интегрирования рдг, погрешность Ядг(/, Рдг) которого представляет собой точную ниж- нижнюю грань погрешностей Ядг(/, Pn) на множестве {pn} всех способов чис- численного интегрирования данной функции /. Иными словами, мы ищем наилучшую кубатурную формулу для дан- данной конкретной функции /, а не для всего класса Ап, которому принадле- принадлежит эта функция ). Возьмем в качестве класса Ап множество функций, бесконечно диф- дифференцируемых всюду в основном кубе Gn, за исключением, быть может, некоторой поверхности S размерности к < п, на которой эти функции мо- могут обращаться в бесконечность как 1/г2у , где гху—расстояние между точкой х = (ж1, Ж2, • • • , хп) и точкой на поверхности у = (г/i, г/2, ... , уп), а 7 < п — к — 1. Множество способов численного интегрирования {pn} определим сле- следующим образом. Для каждой кубатурной формулы ат, точной на алгебраических мно- многочленах степени т — 1, определим элемент рдг множества {pn} как куба- кубатурную формулу, получающуюся разбиением основного куба Gn на прямо- прямоугольные параллелепипеды и применением на каждом таком параллелепи- параллелепипеде формулы ат, с условием, чтобы общее число узлов во всем кубе Gn было равно N. Естественно ожидать, что узлы полученной таким способом кубатурной формулы будут распределены оптимально при условии, что погрешность на каждом параллелепипеде постоянна. В вычислительном центре МГУ были составлены стандартные програм- программы вычисления двойных и тройных интегралов, реализующие автоматиче- автоматическое дробление областей интегрирования. В основу этих программ была положена пара кубатурных формул аш и аШ1 при ггц > т. В качестве оценки погрешности формулы ат бралась величина р = = \o~rn — СГГп1 |. Если е — заданная точность вычислений, то при р ^ е (для всего основ- основного куба Gn) в качестве приближенного значения интеграла берется то, которое определяется формулой ami, а при р > е куб дробится на 2п ча- частей и для каждой из этих частей процесс повторяется сначала. Указанный метод дает хорошие результаты для вычисления двойных и тройных интегралов. Однако при увеличении числа измерений п приме- применение указанного метода наталкивается на существенные трудности, свя- связанные с тем, что при фиксированных т и mi с увеличением п сильно возрастает сложность ат и ат1, а при уменьшении т и тщ с ростом п сильно возрастает число дроблений. В заключение отметим, что при вычислении n-кратного интеграла не по n-мерному кубу Gn, а по произвольной области в пространстве Еп сле- следует сначала сделать преобразование, переводящее эту область в п-мерный куб. Кроме того, существуют кубатурные формулы для некоторых обла- областей специального вида (шар, сфера и т. д.) 2). ) Формула, наилучшая для класса функций, грубо говоря, является наи- наилучшей для самой «плохой» функции из этого класса. 2) Так кубатурные формулы на сфере изучались в работах советского ма- математика С. Л. Соболева и его учеников.
ДОПОЛНЕНИЕ 97 3. Пример приближенного вычисления кратного интеграла. Рассмотрим вопрос о вычислении четырехкратного интеграла F(R, L,H) = J rdr J pdp f Aф J[H + p2 + r2 - 2pr cos (<p - <ф)]~3/2 Aф 0 0 0 0 с некоторой точностью е для значений параметров R = 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25; 2,5; 2,75; 3; L = 0,8; Я = 1. Сделав замену переменных, отображающую область интегрирования в единичный куб, мы приведем этот интеграл к виду mi F(R, L, Н) = BтгJ • R2 ¦ L2 ////{Я2 + L2p> + Д2г2 - 0000 - 2LRprcos[27r((p-ifj)]}~s/2rpdpdrdifjd(p. Подынтегральная функция является гладкой. Поэтому естественно при- применить для вычислений этого интеграла кубатурную формулу, основанную на B.66). При этом по каждой из переменных г и р естественно взять фор- формулу Гаусса (одномерную формулу, точную на алгебраических многочле- многочленах), а по переменным ср и ф лучше взять формулу трапеций (см. вып. 1, гл. 12), ибо подынтегральная функция периодична по каждой их этих пере- переменных, а для периодических функций формула трапеций дает наилучшие результаты. Таким образом, мы получим F(R, L, Н) = /О 7? Г ч 2 mi m2 тз т4 ZTVlb-L/ \ v—> v—> v—> v—> -1 -1 ) TJ2T 52СС - 2RLxklxk2 cos^2tt 3 ~ 4)] (здесь {xkv, Cku) — узлы и веса соответствующей одномерной квадратурной формулы). Для выбора значений m, mi и т2, обеспечивающих требуемую точ- точность, проводят отладочные расчеты, последовательно увеличивая число узлов и сравнивая полученные результаты. 4 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II
ГЛАВА 3 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Введенные ранее понятия определенного интеграла (просто- (простого и кратного) не пригодны для неограниченной области инте- интегрирования и при неограниченности подынтегральной функции. В этой главе будет указано, каким образом можно обобщить понятие интеграла на эти два случая. § 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случай) В этом параграфе будет дано обобщение понятия определен- определенного интеграла для одномерной неограниченной связной области интегрирования. 1. Понятие несобственного интеграла первого рода. Одномерными связными неограниченными областями являются полупрямые а^ж<+оо,—оо<ж^6и бесконечная прямая —оо < х < +оо. Ради определенности рассмотрим полупрямую а ^ х < +оо. Всюду в этой главе, не оговаривая этого в дальнейшем особо, мы будем предполагать, что функция f(x) определена на полу- полупрямой а ^ х < +оо и для любого R^ а существует определен- R ный интеграл J f(x) dx, который мы обозначим символом F(R): а R F(R) = / f(x)dx. C.1) а Итак, при наших предположениях на полупрямой а ^ х < +оо задана функция F(R), определенная соотношением C.1). Ис- Исследуем вопрос о предельном значении функции F(R) при R —>• —>• +оо, т. е. вопрос о существовании предела R lim ff(x)dx. C.2) R^+oc a Для выражения C.2) мы будем использовать обозначение оо Jf(x)dx. C.3)
§ 1 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 99 В дальнейшем символ C.3) мы будем называть несобственным интегралом первого рода от функции f(x) по полупрямой а ^ х < +оо. Если существует предел C.2), то несобственный интеграл C.3) называется сходящимся. Если же этот предел не существу- существует, то несобственный интеграл C.3) называется расходящимся. Замечание 1. Рассмотрим несобственный интеграл C.3). Если b > а, то наряду с этим интегралом можно рассматривать оо интеграл f f(x)dx. Очевидно, из сходимости одного из указан- ь ных интегралов вытекает сходимость другого. При этом имеет место следующее равенство: оо Ь оо / f(x) dx = J f(x) dx + J f(x) dx. a a b Отметим, что расходимость одного из указанных несобственных интегралов влечет расходимость другого. Замечание 2. Если несобственный интеграл C.3) схо- сходится, то значение предела C.2) обозначается тем же символом C.3). Таким образом, в случае сходимости интеграла C.3) ис- используется равенство оо R / f(x) dx = Нтя^+оо / f(x) dx. а а Замечание 3. Аналогично несобственному интегралу C.3) Ь +оо определяются несобственные интегралы f f(x)dxn f f(x)dx. — оо —оо Первый из них символизирует операцию предельного перехода ь R" lira f f(x) dx, а второй — lira J f(x) dx. Пример. Рассмотрим на полупрямой а ^ х < оо (а > 0) функцию f(x) = 1/хр, р = const. Эта функция интегрируема на любом сегменте а ^ х ^ i?, причем /? 1 1 = —-^— ПРИ i9 Ф ^ In ж R R = In— при р = 1. а а R A ах Очевидно, при р > 1 предел lira Г — существует и равен , Я-)>оо а хр 1 — р а при р ^ 1 этот предел не существует. Следовательно, несоб- 4*
100 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 оо , ственный интеграл Г — сходится при р > 1 и расходится при а хР р ^ 1. Отметим, что при р > 1 оо f dx_ _ J хр ~ 1-р а 2. Критерий Коши сходимости несобственного интег- интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости. Вопрос о сходимости несобственного интеграла первого рода эквивалентен вопросу о существовании предельного значения R функции F(R) = ff(x)dx при R —>> +оо. Как известно г) , а для существования предельного значения функции F(R) при R —>> оо необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла сле- следующему условию Коши: для любого е > 0 можно указать такое А > 0, что для любых R' и Rn', превосходящих А, выполняется неравенство \F(R") - F(Rf)\ = / f(x) dx < e. R' Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.1 (критерий Коши сходимости несобст- несобственного интеграла). Для сходимости несобственного инте- интеграла C.3) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О можно было указать такое А > 0, что для любых R' и Rn\ превосходящих А, R f f(x) dx < е. R' Замечание. Отметим, что из сходимости несобственного интеграла не вытекает даже ограниченность подынтегральной (X) функции. Например, интеграл J f(x) dx, где функция равна ну- о лю для нецелых х и равна п при х = п (целое число), очевидно, сходится, хотя подынтегральная функция не ограничена. Поскольку критерий Коши мало удобен для практических применений, целесообразно указать различные достаточные при- признаки сходимости несобственных интегралов. В дальнейшем мы будем считать, что функция f(x) задана на полупрямой а ^ х < оо и для любого R ^ а существует R обычный интеграл J f(x) dx. *) См. вып. 1, гл. 8, § 1.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 101 Докажем следующую теорему. Теорема 3.2 (общий признак сравнения). Пусть на по- полупрямой а ^ х < оо \f(x)\^g(x). C.4) оо Тогда из сходимости интеграла f g(x) dx вытекает сходимость а оо интеграла f f(x) dx. а оо Доказательство. Пусть f g(x) dx сходится. Тогда, со- а гласно критерию Коши (см. теорему 3.1), для любого е > 0 най- найдется такое А > 0, что для любых R' > А и R" > А, выполняется неравенство f g(x)dx <e. C.5) R' Согласно известным неравенствам для интегралов и неравен- неравенству C.4) имеем R" R" R" J Vх) ах ^ J \J vx )\ ах ^ J ь\х) ах- R' R' R' Отсюда и из неравенства C.5) вытекает, что для любых R! и i?7/, больших А, справедливо неравенство R" f f(x) dx < е. R1 оо Следовательно, интеграл J f(x)dx сходится. а Теорема 3.3 (частный празнак сравнения). Пусть на полупрямой 0 < а ^ х < оо функция f(x) удовлетворяет соот- соотношению оо где с и р — постоянные, р > 1. Тогда интеграл f f(x)dx cxo- а дится. Если же существует такая постоянная с > 0, что на полупрямой 0 < а ^ х < оо справедливо соотношение f(x) ^ оо ^ —; в котором р ^ 1; то интеграл Г fix) dx расходится. х а Утверждение этой теоремы вытекает из теоремы 3.2 и приме- примера, рассмотренного в предыдущем пункте (достаточно положить g(x) = с/хр).
102 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 Следствие (частный признак сравнения в предель- предельной форме). Если при р > 1 существует конечное предельное оо значение lira \f(x)\xp = с, то интеграл Г f(x)dx сходится. Ж^+оо Ja Если же при р ^ 1 существует положительное предельное ОО значение lira f(x)xp = с > 0; то интеграл Г f(x)dx pacxo- Убедимся в справедливости первой части следствия. Для это- этого заметим, что из существования предела при х —>• +оо выте- вытекает ограниченность функции xp\f(x)\1 т. е. с некоторой посто- постоянной со > 0 выполняется неравенство После этого применяется первая часть теоремы 3.3. Спра- Справедливость второй части следствия вытекает из следующих рас- рассуждений. Так как с > 0, то можно указать столь малое е > 0, что с — е > 0. Этому е отвечает такое А > 0, что при х ^ А вы- выполняется неравенство с — е < f(x)xp (это неравенство следует из определения предела). Поэтому f(x) > и в этом случае действует вторая часть теоремы 3.3. 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Введем понятия абсолютной и условной сходи- сходимости несобственных интегралов. Пусть f(x) интегрируема по любому сегменту [a, R] г) . оо Определение 1. Несобственный интеграл ff(x)dx называ- а сю ется абсолютно сходящимся, если сходится f \f(x)\dx. а оо Определение 2. Несобственный интеграл f f(x)dx назы- а вается условно сходящимся, если он сходится, а ин- оо теграл f \f(x)\dx расходится. а Замечание. Положив в теореме 3.2 g(x) = |/(ж)|, мы по- получим, что из абсолютной сходимости несобственного интеграла вытекает его сходимость. Отметим, что теоремы 3.2 и 3.3 позволяют установить лишь абсолютную сходимость исследуемых несобственных интегралов. *) Тогда и функция |/(ж)| интегрируема по любому сегменту [a, R].
§ 1 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 103 Приведем еще один достаточный признак сходимости несобст- несобственных интегралов, пригодный и в случае условной сходимости. Теорема 3.4 (признак Дирихле-Абеля). Пусть функ- функции f(x) и g(x) определены на полупрямой а ^ х < оо. Пусть далее функция f(x) непрерывна на полупрямой а ^ х < оо и имеет на этой полупрямой ограниченную первообразную F (х) г) . Предположим еще, что функция g(x), монотонно не воз- возрастая на полупрямой а ^ х < оо, стремится к нулю при х —>> —>> +оо и имеет производную g'{x), непрерывную на полупря- полупрямой а ^ х < оо. При этих условиях сходится несобственный интеграл ^ ff(x)g(x)dx. C.6) а Доказательство. Воспользуемся критерием Коши схо- сходимости несобственных интегралов. Предварительно проведем R" интегрирование по частям интеграла / f(x)g(x)dx на произ- R' вольном сегменте [i?7, i?7/], R" > i?7, полупрямой a ^ x < oo. Получим R" f f(x)g(x)dx = F(x)g( X R' R" - f F(x)gf(x)dx. C.7) R' R' По условию теоремы F(x) ограничена: |-Р(ж)| ^ К. Так как g(x) не возрастает и стремится к нулю при х —>> +оо, то g(x) ^ 0, a gf(x) ^ 0. Таким образом, оценивая соотношение C.7), мы получим следующее неравенство: R" I f(x)g(x)dx R' R" K[g{R') + g{R")] + К f (-g'(x)) dx. R' 2Kg{R'). C.8) Так как интеграл в правой части этого неравенства равен g(Rf) -g(R"), то, очевидного R" f f(x)g(x)dx R' Используя это неравенство, нетрудно завершить доказатель- доказательство теоремы. Пусть е — произвольное положительное число. Так как g(x) —>• 0 при х —>• +оо, то по данному е можно выбрать А так, что при R' ^ А выполняется неравенство g(Rf) < e/BK). ) Это означает, что первообразная F(x), которую мож:но определить как х J f(t)dt, удовлетворяет для всех х ^ а неравенству \F(x)\ ^ К, где К — а постоянная.
104 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 Отсюда и из неравенства C.8) следует, что для любых R! и i?7/, больших А, выполняется неравенство R" / f(x)g(x)dx R' которое, согласно критерию Коши, гарантирует сходимость ин- интеграла C.6). Теорема доказана. Замечание. Требование дифференцируемости функции g(x) в теореме 3.4 является излишним. Теорема 3.4 может быть доказана в предположении одной лишь монотонности g(x) и стремления g(x) к нулю при х —>> +оо, для чего следует вос- воспользоваться второй формулой среднего значения (формулой Бонне). Пример 1. Рассмотрим интеграл оо / sin ж Xй dx (a > 0). C.9) Полагая f(x) = sin ж, g(x) = l/xa, легко убедиться, что для этого интеграла выполнены все условия теоремы 3.4. Поэтому интеграл C.9) сходится. оо Пример 2. Рассмотрим интеграл Френеля г) f sin ж2 dx. о Согласно замечанию 1 п. 1 этого параграфа из сходимости од- ОО ОО ного из интегралов / sin x2 dx и / sin x2 dx вытекает сходимость о 1 другого. Поэтому мы обратимся ко второму из этих интегралов. Имеем /sinx2 dx = / xsinx2- dx. J x l l Полагая f(x) = xsinx2 и g(x) = 1/ж, мы легко убедимся, что выполнены все условия теоремы 3.4 и поэтому интеграл Френеля сходится. 4. Замена переменных под знаком несобственного ин- интеграла и формула интегрирования по частям. В этом пункте мы сформулируем условия, при которых действуют фор- формулы замены переменных и интегрирования по частям для несоб- несобственных интегралов первого рода. Рассмотрим сначала вопрос о замене переменной под знаком несобственного интеграла. ) О. Ж. Френель — выдающийся французский физик A788-1827).
§ 1 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 105 Мы будем предполагать выполненными следующие условия: 1) функция f(x) непрерывна на полуоси а ^ х < оо; 2) полуось а ^ х < оо является множеством значений некоторой строго монотонной функции х = g(t), заданной на полуоси а ^ t < оо (или —oo<t^a)u имеющей на этой полуоси непрерывную производную; 3) g(a) = a. При этих условиях из сходимости одного из следующих несобственных интегралов: оо оо , а ч Jf(x)dx и ff(g(t))g'(t)dt(wK-ff(g(t))g'(t)dt) C.10) а а —оо вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов. Сформулированное утверждение устанавливается с помощью следующих рассуждений. Рассмотрим произвольный сегмент [a, R]. Этому сегменту отвечает, согласно строгой монотонности функции g(t), сегмент [а, р] (или [р, а]) оси t такой, что при изменении t на сегменте [а, р] значения функции х = g(t) заполняют сегмент [а, Д], при- причем g(p) = R. Таким образом, для указанных сегментов выпол- выполнены все условия п. 3 § 7 гл. 10 вып. 1 этого курса, при которых действует формула замены переменной под знаком определен- определенного интеграла. Поэтому имеет место равенство ff(x)dx = Jf(g(t))g'(t)dtLnn = -Jf(g(t))g'(t)dt). C.11) а а ч р ' В силу строгой монотонности функции х = g(t), R —)> оо при р —)> оо, и обратно, р —)> оо при i? —>> оо (или i? —>> оо при р —>> —оо и /9 —>• — оо при i? —>• оо). Поэтому из формулы C.11) вытекает справедливость сформулированного выше утверждения. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании по частям несобственных интегралов первого рода. Докажем следующее утверждение. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производ- производные на полупрямой а ^ х < оо и, кроме того, существует предельное значение lira u(x)v(x) = A. ж—)>оо При этих условиях из сходимости одного из интегралов оо оо fu(x)v'(x)dx и J v(x)u'(x) dx C.12) a a вытекает сходимость другого. Справедлива таксисе формула оо оо / u(x)v'(x) dx = A — u(a)v(a) — f v(x)u'(x) dx. C.13)
106 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 Для доказательства сформулированного утверждения рассмот- рассмотрим произвольный сегмент [a, R]. На этом сегменте действует обычная формула интегрирования по частям. Поэтому R R Г u(x)vf(x) dx = \u(x)v(x)]?' — Г v(x)uf(x) dx. a a Так как при R —>> oo выражение [u(x)v(x)]^ стремится к А — — u{d)v{d), то из последнего равенства следует одновременная схо- сходимость или расходимость интегралов C.12) и справедливость формулы C.13) в случае сходимости одного из интегралов C.12). § 2. Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) В этом параграфе будет дано обобщение понятия определен- определенного интеграла на случай неограниченных функций. 1. Понятие несобственного интеграла второго рода. Критерий Коши. Пусть на полусегменте [а, Ь) задана функ- функция f(x). Точку b мы будем называть особой, если функция не ограничена на полусегменте [а, 6), но ограничена на любом сег- сегменте [а, Ь — а], заключенном в полусегменте [а, Ь). Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция f(x) инте- интегрируема. При наших предположениях на полусегменте @, b — а] зада- задана функция аргумента а, определенная соотношением Ь-а F(a) = / f{x)dx. а Исследуем вопрос о правом предельном значении функции F(a) в точке а = 0, т. е. вопрос о существовании предела Ь-а lim / f(x)dx. C.14) CL При этом для выражения C.14) будем использовать обозначение ь ff(x)dx. C.15) а В дальнейшем символ C.15) будем называть несобственным ин- интегралом второго рода от функции f(x) по полусегменту [а, Ь). Если существует предел C.14), то несобственный интеграл C.15) называется сходящимся. Если же этот предел не существует, то несобственный интеграл называется расходящимся. Если несоб- несобственный интеграл C.15) сходится, то величина предела C.14)
§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 107 обозначается тем же символом C.15). Таким образом, в случае сходимости интеграла C.15) используется равенство Ъ Ь-а ff(x)dx= lira J f(x)dx. Замечание. Понятие несобственного интеграла второго рода легко переносится на случай, когда функция f(x) имеет конечное число особых точек. Пример. Рассмотрим на полусегменте [a, b) функцию 1/(Ь—х)р, р > 0. Ясно, что точка b является особой точкой для этой функции. Кроме того, очевидно, что эта функция интегри- интегрируема на любом сегменте [a, b — а], причем = ~ при рф\, b-a dx _ ) 1 - р (Ъ - х)р а | — 1пF — X Ь-а 1-р л Ъ — а л = 1п при р = 1. dx Очевидно, предел lira / существует и равен а^+0 и (Ь-х)Р при р < 1 и не существует при р ^ 1. Следовательно, рассмат- рассматриваемый несобственный интеграл сходится при р < 1 и расхо- расходится При ]9 ^ 1. Сформулируем критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго рода. При этом мы будем предполагать, что функция f(x) задана на полусегменте [а, Ь) и b — особая точка этой функции. Теорема 3.5 (критерий Коши). Для сходимости несоб- несобственного интеграла второго рода C.15) необходимо и доста- достаточно, чтобы для любого е > 0 можно было указать такое 6 > 0, что для любых а1 и а11\ удовлетворяющих условию 0 < а" < а1 < 6, выполнялось неравенство Ь-а" f f(x) dx < е. b-a1 Справедливость этой теоремы вытекает из того, что понятие сходимости интеграла по определению эквивалентно понятию существования предельного значения функции F(a), введенной в начале этого пункта. 2. Заключительные замечания. Мы не будем подробно развивать теорию несобственных интегралов второго рода. Это объясняется тем, что основные выводы и теоремы предыдущего параграфа без труда могут быть перенесены на случай интегра- интегралов второго рода. Поэтому мы ограничимся некоторыми заме- замечаниями.
108 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 1°. При некоторых ограничениях на подынтегральные функ- функции интегралы второго рода сводятся к интегралам первого ро- рода. Именно, пусть функция f(x) непрерывна на полусегменте [а, Ь) и b — особая точка этой функции. При этих условиях в Ь-а интеграле / f(x) dx мы можем произвести следующую замену а переменных: х = о — -, ах = —, < t < —. t' t2 ' 6 - а а В результате этой замены переменных мы получим равенство Ь-а 1/а f(x)dx= I /(b-i)idt. C.16) a l/ib-a) b Пусть интеграл f f(x)dx сходится. Это означает, что сущест- а 6—а вует предел lira J f(x)dx. Обращаясь к равенству C.16), мы а—)>+() а видим, что существует также и предел при 1/а —>> +оо выра- выражения в правой части C.16). Тем самым доказана сходимость несобственного интеграла первого рода оо / tJt2 У (Ь-а) Ь и равенство этого интеграла интегралу J f(x) dx. Очевидно, схо- а димость только что указанного несобственного интеграла перво- ъ го рода влечет сходимость интеграла J f(x) dx и равенство этих а интегралов. Итак, из сходимости одного из интегралов Ь сю J f(x)dx* l/(b-a) следует сходимость другого и равенство этих интегралов. 2°. Для несобственных интегралов второго рода легко дока- доказываются утверждения, аналогичные утверждениям п. 2 преды- предыдущего параграфа, которые можно объединить общим наимено- наименованием «признаки сравнения». Отметим, что во всех формули- формулировках функция f(x) рассматривается на полусегменте [а, 6), где Ь — особая точка функции.
§ 3 ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА 109 Частный признак сравнения будет иметь следующий вид. Если |/(ж)| ^ с(Ь — х)~р, где р < 1, то несобственный интег- интеграл C.15) сходится. Если же f(x) ^ с(Ь — х)~р, где с > 0 и р ^ 1, то несобственный интеграл C.15) расходится. Доказательство вытекает из общего признака сравнения и примера, рассмотрен- рассмотренного в предыдущем пункте. В полной аналогии с п. 3 предыдущего параграфа для несоб- несобственных интегралов второго рода формулируются правила ин- интегрирования путем замены переменной и интегрирования по частям. § 3. Главное значение несобственного интеграла Определение. Пусть функция f(x) определена на прямой —оо<х<оои интегрируема на каждом сегменте, принад- принадлежащем этой прямой. Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по К о их и, если существует предел R lira Г f(x)dx. Этот предел мы будем называть главным значением несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Коти и обозначать символом г) оо R V.p. / f(x)dx = Нтя^+оо / f(x)dx. -оо -R Пример 1. Найдем главное значение интеграла от sin ж. Поскольку, в силу нечетности sin ж, R оо f smxdx = 0, то V.p. J smxdx = 0. -R -оо Справедливо следующее утверждение. Если функция f(x) нечетна, то она интегрируема по Коши и главное значение интеграла от нее равняется нулю. Если функция f(x) четна, то она интегрируема по Коши тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл оо ff(x)dx. C.17) о Первая часть этого утверждения является очевидной. Для до- доказательства второй части достаточно воспользоваться равенством R R / f(x)dx = 2f f(x)dx, -R 0 :) V. р.—начальные буквы французских слов «Valeur principal», обозна- обозначающих «главное значение».
110 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 справедливым для любой четной функции, и определением схо- сходимости несобственного интеграла C.17). Понятие интегрируемости по Коши можно ввести и для несоб- несобственных интегралов второго рода в случае, когда особая точка является внутренней точкой сегмента, по которому производит- производится интегрирование. Определение. Пусть функция f(x) определена на сегмен- сегменте [а, Ъ], кроме, быть может, точки с, а < с < Ь, и интегри- интегрируема на любом сегменте, не содержащем с. Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по Коши, если существует предел (a ) f(x)dx) =V.p.ff(x)dx, / а а с+а называемый главным значением интеграла в смысле Коши. Пример 2. Функция не интегрируема на сегменте х — с [а, Ь], а < с < b в несобственном смысле, однако она интег- интегрируема по Коши. При этом Ь с—а Ь dx Л. I I dx . I dx \ -, b — с = lim / + / = In . х — с a^+0\J x — c J x — cj с —а a a c-\-a § 4. Кратные несобственные интегралы Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного ин- интеграла на случаи неограниченной области интегрирования и неограниченности подынтегральной функции. Напомним, что именно эти случаи исключались нами из рассмотрения при по- построении теории кратных интегралов. Отметим, что мы сформулируем понятие несобственного кратного интеграла так, что будут охвачены как случай неогра- неограниченной области интегрирования, так и случай неограниченной функции. 1. Понятие кратных несобственных интегралов. Пусть D — открытое множество 1) m-мерного евклидова пространст- пространства Ет. Символом D мы будем обозначать замыкание D, которое получается путем присоединения к D его границы. Нам пона- понадобится понятие последовательности {Dn} открытых множеств, монотонно исчерпывающих множество D. Будем говорить, что последовательность {Dn} открытых множеств монотонно исчерпывает множество D, если: 1) для *) Множество называется открытым, если оно состоит лишь из внутрен- внутренних точек. Открытое множество называют также областью.
§ 4 КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 111 любого п множество Dn содержится в Z?n+i; 2) объединение всех множеств Dn совпадает с множеством D 1) . Отметим, что каждое множество Dn последовательности {Dn} содержится в D. Пусть на открытом множестве D задана функция /(ж), х = — (жъ х2-> • • • -> хт)-) интегрируемая по Риману на любом замкну- замкнутом кубируемом подмножестве множества D. Будем рассмат- рассматривать всевозможные последовательности {Dn} открытых мно- множеств, монотонно исчерпывающих D и обладающих тем свойст- свойством, что замыкание Dn каждого множества Dn кубируемо (от- (отсюда, в частности, вытекает, что каждое из множеств Dn огра- ограничено). Если для любой такой последовательности {Dn} существу- существует предел числовой последовательности { / f(x)dx} и этот предел не зависит от выбора последовательности {Dn}, то этот предел называется несобственным интегралом от функ- функции f(x) no множеству D и обозначается одним из следующих символов: / f(x) dx, ff ... ff(xi, ж2, ..., xm) dx\ dx2... dxm. C.18) D D При этом несобственный интеграл C.18) называется сходя- сходящимся. Отметим, что символ C.18) используется и в случае, когда пределы указанных выше последовательностей не существуют. В этом случае интеграл C.18) называется расходящимся. 2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Докажем следующую теорему. Теорема 3.6. Для сходимости несобственного интеграла C.18) от неотрицательной в области D функции /(ж), необхо- необходимо и достаточно, чтобы хотя бы для одной последователь- последовательности кубируемых областей {Dn}, монотонно исчерпывающих область D, была ограниченной числовая последовательность ап= f f(x)dx. C.19) Доказательство. Необходимость условия теоремы оче- очевидна: последовательность C.19)—неубывающая (Dn содер- содержится в Dn+i и f(x) ^ 0), и поэтому необходимым условием ее :) Объединением всех множеств Dn называется множество D, содержащее все точки каждого из множеств Dn и такое, что каждая точка D принад- принадлежит по крайней мере одному из множеств Dn.
112 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 сходимости является ограниченность. Перейдем к доказатель- доказательству достаточности условий теоремы. Так как последователь- последовательность C.19) ограничена и не убывает, она сходится к некоторо- некоторому числу /. Остается доказать, что к этому же числу / сходится последовательность f ап= J f(x)dx, D'n где {D'n} — произвольная другая последовательность областей, монотонно исчерпывающих область D. Фиксируем любой номер п и рассмотрим область D'n. Найдется номер п\ такой, что Dn со- содержится в Dni l) . Поэтому а'п ^ агы ^ I- Отсюда следует, что последовательность {afn} сходится к некото- некоторому числу V ^ /. Меняя в наших рассуждениях последователь- последовательности о!п и ап, мы придем к неравенству / ^ V. Следовательно, V = /. Теорема доказана. Пример. Рассмотрим интеграл 1 = ffe-x2-y2dxdy, C.20) D взятый по всей плоскости. В качестве системы областей {D^}, монотонно исчерпывающих область D, возьмем следующую си- систему концентрических кругов Dn: х2 +у2 < п2, п = 1, 2, ... В каждом таком круге Dn перейдем к полярной системе коор- координат г, ср. Получим 2 2 27Г П 2 2 ап = ffe~x ~y dxdy = J J e~r r dr dip = тгA — е~п ). Dn оо Отсюда следует, что lira ап = тг. Согласно только что доказан- ной теореме интеграл C.20) сходится и равен тг. Отметим, что *) Допустим, что это не так. Тогда для любого целого к можно указать такую точку Мк области Dn, которая не принадлежит области D&. Из по- последовательности {Мк} можно (в силу замкнутости и ограниченности Dn) выделить сходящуюся к некоторой точке М Е Dn подпоследовательность. Точка М вместе с некоторой окрестностью принадлежит одному из мно- множеств Dkt. Но тогда этому же множеству Dkt и всем множествам Dk с большими номерами принадлежат точки Мк с как угодно большими номе- номерами. Но это противоречит выбору точек Мк.
§ 4 КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 113 интеграл C.20) может быть представлен в следующей форме г) : оо I=f e-x2 dx / е~У dy= / е~х dx 2 Из этого представления мы получаем значение интеграла, назы- называемого интегралом Пуассона: 2) ,2 J е х dx = — оо Докажем следующую теорему. Теорема 3.7 (общий признак сравнения). Пусть неот- неотрицательные функции f(x) и g(x) всюду в открытом множе- множестве D удовлетворяют условию fix) < g(x). Тогда из сходимости несобственного интеграла Jg(x)dx вы- D текает сходимость несобственного интеграла f f(x)dx. D Доказательство. Пусть {Dn} — последовательность об- областей, монотонно исчерпывающих область D. Из очевидных неравенств ап= J f(x) dx ^ J g(x) dx = Ьп следует, что ограниченность последовательности Ъп влечет огра- ограниченность последовательности ап. Отсюда и из теоремы 3.6 вы- вытекает справедливость сформулированной теоремы. Обычно при исследовании несобственных интегралов на схо- сходимость используются стандартные (эталонные) функции срав- сравнения, наиболее употребительной из которых является функция g(x) = \х\-р,р>0 3). Пример 1. Пусть а > 0, D — шар радиуса а с центром в начале координат, g(x) = |ж|~р. В качестве последовательности {Dn} областей, монотонно исчерпывающих D, возьмем систе- систему концентрических слоев Dn, образованных удалением из ша- шара D шаров радиуса 1/п с центром в начале координат. Вводя :) В возможности такого представления легко убедиться, если в качестве исчерпывающей системы областей взять систему увеличивающихся квадра- квадратов с центрами в начале координат и со сторонами, параллельными осям, а затем применить формулу повторного интегрирования по каждому такому квадрату. 2) С. Пуассон — француаский математик и физик A781-1840). 3) При этом считают |ж| = yjx\ + х\ + ... + х^.
114 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 сферическую систему координат (см. п. 3° § 5 гл. 2), получим а 2тг тг тг /га—1 \ ап = fg(x) dx = fr-P^'1 drfde1fde2 ...f( П sin*-1 ек)<Ют-1. ~Dn 1/n 0 0 0 \fc=l / Обозначая символом иот положительную величину 2тг тг тг /га—1 шт = / d6i / d92 ... / П sin* bk 0 0 0 \k=l j мы можем записать а п — (л Г r-p-\-rn-l r]r 1/гс Отсюда вытекает, что последовательность ап ограничена и, следовательно, сходится тогда и только тогда, когда р < га. В силу теоремы 3.6 несобственный интеграл от функции \х\~р в области D сходится при р < га и расходится при р ^ т. Пример 2. Пусть а > 0, D — внешность шара радиуса а с центром в начале координат, g(x) = \х\~р. В качестве после- последовательности {Dn} областей, монотонно исчерпывающих D, возьмем систему концентрических слоев Dn, состоящих из всех точек х Е Ет', удовлетворяющих условию а < |ж| < п. Вводя сферическую систему координат, получим ап / g(x) dx = LJmf г-р+т-1 dr. Dn a Из этого равенства и теоремы 3.6 вытекает, что несобствен- несобственный интеграл от функции \х\~р в указанной области D сходится при р > т и расходится при р ^ га. 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. В этом пункте мы выясним связь между сходимо- сходимостью и абсолютной сходимостью кратных несобственных инте- интегралов. При этом, как и в одномерном случае, несобственный интеграл f f(x)dx мы будем называть абсолютно сходящимся, D если сходится интеграл J |/(ж)| dx. Мы докажем, что из абсолют- D ной сходимости интеграла вытекает обычная сходимость. Наи- Наиболее удивительным является другое свойство кратных несоб- несобственных интегралов, не имеющее аналога в одномерном слу- случае и заключающееся в том, что из сходимости несобственного кратного интеграла вытекает его абсолютная сходимость. Ины- Иными словами, мы докажем, что для несобственных кратных ин- интегралов понятия сходимости и абсолютной сходимости эк- эквивалентны.
§ 4 КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 115 Прежде чем перейти к доказательствам этих свойств, сдела- сделаем несколько предварительных замечаний. Из определения несобственного интеграла следует, что если сходится несобственный интеграл по области D от каждой из функций /+(ж) и /_(ж), то сходятся интегралы от суммы или разности этих функций. Рассмотрим следующие две неотрицательные функции: j + V / г) 1 j — \ ) г) * V • / Указанные функции могут быть, очевидно, определены соотношениями f (ж), если f(x) ^ О, О, если f(x) < О, C.22) -/(ж), если /(ж) ^ О, О, если f(x) > 0. Отметим также следующие очевидные соотношения, вытекаю- вытекающие из определения функций /+(ж) и /_(ж): 0 < /+(ж) < |/(ж)|, 0 < /_(ж) < |/(ж)|, C.23) f(x) = f+(x)-f-(x). C.24) Перейдем теперь к доказательству указанных в начале этого пункта утверждений. Теорема 3.8. Из абсолютной сходимости кратного несоб- несобственного интеграла ff(x) dx следует его обычная сходимость. D Доказательство. Обратимся к только что введенным функциям /+(ж) и /_(ж). Из интегрируемости в собственном смысле функции f(x) по любой кубируемой подобласти области D вытекает интегрируемость по D функции |/(ж)|, а отсюда и из формул C.21) следует, что функции /+(ж) и f-(x) также ин- интегрируемы по любой такой подобласти. Используя сходимость интеграла f \f(x)\dx, только что указанное свойство функций D /+(ж) и /-(ж), неравенства C.23) и теорему 3.7, легко убедиться в сходимости несобственных интегралов J /+(ж) dx и f f-(x) dx. D D Отсюда и из соотношения C.24) следует сходимость интеграла J f(x) dx. Теорема доказана. D Докажем теперь обратную теорему. Теорема 3.9. Если кратный несобственный интеграл f f(x)dx сходится, то он сходится абсолютно. D
116 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 3 Доказательство. Допустим, что утверждение теоремы неверно. Тогда из теоремы 3.6 вытекает, что последовательность интегралов от |/(ж)| по любой монотонно исчерпывающей об- область последовательности областей {Dn} будет монотонно воз- возрастающей бесконечно большой последовательностью. Отсюда следует, что последовательность {Dn} можно выбрать так, что для любого п = 1, 2, ... выполняется неравенство _/ \f(x)\dx > 3_/ \f(x)\dx + 2n. C.25) Dn+1 Dn Обозначим через Рп множество Dn+i — Dn. Тогда из C.25) по- получим для любого п / \f(x)\dx > 2 / \f{x)\dx + 2n. C.26) Рп ~Dn Так как \f(x)\ = f+(x) + /_(ж), то _/ \f(x)\dx=J U(x)dx+J f-(x)dx. C.27) ±n * n * n Пусть из двух интегралов в правой части C.27) большим бу- будет первый. Тогда из соотношений C.26) и C.27) получим для любого п / f+(x)dx>2 / \f(x)\dx + n. C.28) Рп ~Dn Разобьем область Рп на конечное число областей Рщ так, чтобы нижняя сумма ^tti^Act^, функции /+(ж) для этого разбиения столь мало отличалась от интеграла по Рп от этой функции, что при замене в левой части C.28) интеграла указанной нижней суммой мы получим следующее неравенство: >J \f(x)\dx + n. C.29) Так как гп{ ^ 0, то в сумме s^Jrni^<Ji можно оставить лишь те ъ слагаемые, для которых mi > 0. Объединение соответствующих областей Рщ обозначим через Рп. В области Рп функция f(x) положительна, и поэтому в этой области f(x) = /+(ж). Следовательно, согласно C.29), получаем неравенство / f(x) dx> f \f(x)\dx + п. C.30) Pn Dn Обозначим через D* объединение Dn и Рп. Тогда, складывая неравенство C.30) с очевидным неравенством J f(x)dx>-J \f(x)\dx, Dn Dn
§ 4 КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 117 ПОЛУЧИМ j f(x)dx>n. C.31) К Очевидно, последовательность областей {D^} монотонно исчер- исчерпывает область D. Но тогда, согласно неравенству C.31), ин- интеграл f f(x)dx расходится. Так как по условию этот интеграл D сходится, то предположение, что утверждение теоремы неверно, не имеет места. Теорема доказана. 4. Главное значение кратных несобственных интегра- интегралов. Определение. Пусть функция f(x) определена при всех х Е Е Ет и интегрируема в каждом шаре Kr радиуса R с цент- центром в начале координат. Будем говорить, что функция f(x) интегрируема по Коши в Ет, если существует предел lira / f(x) dx. Этот предел мы будем называть главным з начени- е м несобственного интеграла от функции f(x) в смысле Ко- Коши и обозначать V. р. / f(x)dx= lira f f(x)dx. Ern R^°°KR Пример. Пусть / (х) в сферических координатах имеет вид f(x) = /i(r)g@i, 02, • • •, 0m-i), где функции hug непрерывны, причем П Sin*©* d0m_i=O. 0 0 0 \fc=l Тогда, очевидно, f(x) интегрируема по Коши и V.p. / f(x)dx = 0. Em В частности, при m = 2 функция двух переменных /(ж, у) = = /i(r) cos (^ интегрируема по Коши, и интеграл от нее в смысле главного значения равен нулю. В случае, когда функция f(x) имеет особенность в некото- некоторой точке xq области Z?, интеграл в смысле Коши вводится как V. р. / f(x) dx = Итд-юо / f(x) dx, D DR где Dr — множество, получаемое удалением из области D шара радиуса R с центром в точке xq.
ГЛАВА 4 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе мы перенесем понятие одномерного определен- определенного интеграла, взятого по прямолинейному отрезку, на слу- случай, когда областью интегрирования является отрезок некото- некоторой плоской или пространственной кривой. Такого рода интегралы называются криволинейными. В приложениях принято рассматривать криволинейные интег- интегралы двух родов (от выражений, имеющих скалярный и вектор- векторный смысл). В этой главе криволинейные интегралы первого и второго родов рассматриваются параллельно. § 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл Рассмотрим на плоскости Оху некоторую спрямляемую кри- кривую L, не имеющую точек самопересечения и участков самона- самоналегания. Предположим, что кривая определяется параметриче- параметрическими уравнениями x = <p(t), у = Ш (a^t^b), D.1) и сначала будем считать ее не замкнутой и ограниченной точ- точками А ж В. Предположим далее, что функция /(ж, у) | две функции Р(х, у) и Q(x, у) определены и непрерывны вдоль кривой L = АВ 1) . Разобьем сегмент а ^ t ^ b при помощи точек а = to < < t\ < ?2 < • • • < tn = b на п частичных сегментов [?&_]_, ?&] (fc = l, 2, ... , n). 1) Функция /(ж, у) называется непрерывной вдоль кривой L, если для любого е > 0 найдется S > 0 такое, что \f(xi, yi) — /(#2, 2/2)! < в для любых двух точек (xi, г/i) и (жг, 2/г) кривой L, удовлетворяющих усло- условию д/(ж1 — жгJ + (г/i — 2/гJ < ?• Фактически мы определили не непрерыв- непрерывность, а равномерную непрерывность функции /(ж, у) вдоль кривой L, но так как множество всех точек кривой L ограничено и замкнуто, то эти по- понятия совпадают.
1 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ 119 г/а О в=мп п-1 Так как каждому значению ?& соответствует на кривой L определенная точка Mk{xkl у к) с координатами хк = <p{tk), У к — = ip(tk), то при указанном разбиении сегмента а ^ t ^ b вся кривая L = = АВ распадается на п частичных дуг МОМЪ MiM2, ..., Mn_iMn (рис. 4.1). Выберем на каждой частичной дуге Мк-\Мк произвольную точку Nk{?k, Vk)i координаты &, щ которой отвечают некоторому значению Т& па- параметра ?, так что & = (р(гА;), % = = VKTfc)j причем t^-i ^ Tk ^tk. Договоримся обозначать симво- символом Д/д. длину fc-й частичной дуги М^_\М^ (к = 1, 2, ... , п). А=Мо Рис. 4.1 Составим сумму интегральную rik)-Alk. D.2) /с=1 Составим ные суммы две интеграль- к=1 п D.2') D.2") Назовем число / пределом интегральной суммы as (s = = 1, 2, 3) при стремлении к нулю наибольшей из длин AZ&, если для любого е > 0 найдется S > 0 такое, что \as — 1\ < е, как только наибольшая из длин AZ& меньше 5. Определения Если существует предел интегральной суммы ^[сгз] при стремлении к нулю наи- наибольшей из длин AZ/^ то этот предел называется криво- криволинейным интегралом второго рода и обозна- обозначается символом / P(x,y)dx\f Q(x,y)dy]. АВ 1лг> J Сумму существует предел интегральной суммы о\ при стремлении к нулю наиболь- наибольшей из длин Д/fc, то этот пре- предел называется криволи- криволинейным интегралом первого рода от функции /(ж, у) по кривой L и обозна- обозначается символом или ff(x,y)dl L J f(x,y)dl. АВ D.3) \ lAB y)dx+ y)dy АВ АВ
120 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 4 принято называть общим криволинейным интег- интегралом второго рода и обозначать символом / Р(х, у) dx + f Q(x, у) dy. АВ АВ D.3') смысл введенных нами кри- Пусть материальная точ- точка движется из А в В вдоль кривой L под действием силы F(x, у), имеющей компоненты Р(х, у) и Q(x, у). Для вычис- вычисления работы по такому пере- перемещению естественно разбить кривую L на малые участки и, считая, что на каждом участ- участке сила меняется мало, поло- положить работу на каждом участ- участке приближенно равной сумме произведений компонент силы, взятых в некоторых промежу- промежуточных точках, на компонен- компоненты вектора смещения. В та- таком случае полная работа по перемещению из А в В бу- будет приближенно равна сумме D.2') и D.2"). Точное значение этой работы естественно опре- определить как предел указанной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего участка. Таким образом, общий кри- криволинейный интеграл второ- второго рода D.37) дает работу по перемещению материаль- материальной точки из А в В вдоль кривой L под действием силы, имеющей компоненты Р(х, у) и Q(x, у). Замечание 1. Из вида сумм D.2), D.2') и D.2") очевид- очевидно, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от то- того, в каком направлении (от А к В или от В к А) пробегается кривая L, а для криволинейного интеграла второго рода изме- Выясним физический волинейных интегралов. Пусть вдоль кривой L рас- распределена масса с линейной плотностью f(x, у). Для вы- вычисления массы всей кривой естественно разбить эту кри- кривую на малые участки и, счи- считая, что на каждом участке плотность меняется мало, по- положить массу каждого участ- участка приближенно равной произ- произведению некоторого промежу- промежуточного значения плотности на длину этого участка. В таком случае масса всей кривой приближенно будет равна интегральной сумме D.2). Точное значение мас- массы естественно определить как предел суммы D.2) при стремлении к нулю длины наибольшего участка. Таким образом, криволи- криволинейный интеграл первого рода D.3) дает массу кривой, ли- линейная плотность вдоль ко- которой равна f(x, у).
§ 2 СУЩЕСТВОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 121 нение направления на кривой ведет к изменению знака, т. е. / Р(х, y)dx = - / Р(х, у) dx, / Q(x, у) dy = - f Q(x, y) dy. АВ ВА АВ ВА Замечание 2. Для пространственной кривой совершен- совершенно аналогично вводится криволинейный интеграл первого рода / f(x, у, z) dl и три криволинейных интеграла второго рода АВ / Р(х, у, z) dx, f Q(x, у, z) dy, f R(x, y, z) dz. АВ АВ АВ Сумму трех последних интегралов принято называть общим криволинейным интегралом второго рода и обозначать символом / Р(х, у, z) dx + Q(x, у, z) dy + R(x, у, z) dz. AB § 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определенным интегралам Договоримся называть кривую L гладкой, если функ- функции ip(t) и ip(t) из определяющих ее параметрических уравнений D.1) обладают на сегменте [а, Ь] непрерывными производными v/(*W(*) ')• Кривую L мы будем называть к у с о ч н о-г л а д к о й, если она непрерывна и распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представ- представляет собой гладкую кривую. В соответствии с договоренностью принятой еще в главах 15 и 16 вып. 1, мы будем называть особыми точками кривой L точ- точки, соответствующие тому значению параметра ?, для которого обе производные (ff(t) и ф1 (t) обращаются в нуль. Докажем, что если кривая L = АВ является гладкой и не со- содержит особых точек и если функции f(x, у), Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны вдоль этой кривой, то справедливы следующие фор- формулы, сводящие криволинейные интегралы к обычным опреде- определенным интегралам: АВ + Wit)]2 dt. D.4) АВ <f!{t)dt, D.4') 1)Под этим подразумевается, что производные <р'(t) и ф'(t) непрерывны в любой внутренней точке сегмента [а, Ь] и обладают конечными предель- предельными значениями в точке а справа и в точке Ъ слева.
122 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 4 fQ(x,y)dy=fQ[<p(t),№]x АВ а x^{t)dt, D.4") Одновременно будет доказано существование всех фигури- фигурирующих в этих формулах криволинейных интегралов. Прежде всего заметим, что определенные интегралы, сто- стоящие в правых частях формул D.4), D.47) и D.4"), заведомо существуют (ибо при сделанных нами предположениях подын- подынтегральные функции в каждом из этих интегралов непрерывны на сегменте а ^ ? ^ Ь). Для криволинейного интеграла второго рода мы будем вы- выводить только формулу D.4') (ибо вывод формулы D.4") совер- совершенно аналогичен). Как и в § 1, разобьем сегмент а ^ t ^ b при помощи точек а = to < t\ < ?2 < • • • < tn = b на п частичных сегментов и составим интегральные суммы D.2) и D.27). Учтем теперь, что с = / V№)? + Wit)]2 dt tk-1 / Это позволяет нам следующим образом переписать выраже- выражения для интегральных сумм D.2) и D.27): tk ¦¦ I tk-1 D.5) E ), ф(тк)} x / <f/(t)dt). D.50 fe-i J (Мы учли также, что ?k = (p(rk), щ = ф(тк), где rk — неко- некоторое значение параметра t, удовлетворяющее условию tk-\ ^ ^ тк ^ tk.) Обозначим теперь определенные интегралы, стоящие в пра- правых частях формул D.4) и D.47), соответственно через К\ и Къ- Разбивая сегмент а ^ t ^ b на сумму п частичных сегментов [tk-i, tk], мы можем следующим образом записать определен- определенные интегралы К\ и Къ'. п tk
СУЩЕСТВОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 123 Рассмотрим и оценим разности = Е -К2 = п +i D.60 х VV(*)]2 + [Ф'Ш2 dt- D-6) Так как функции х = cp(t) и у = ip(t) непрерывны на сегменте а ^ t ^ 6, а функции /(ж, у) иР(ж, у) непрерывны вдоль кривой L, то по теореме о непрерывности сложной функции (см. § 3 гл. 14 вып. 1) функции f[(p(t), ip(t)] и P[(p(t), ф{г)\ непрерывны на сегменте а ^ t ^ Ь. Заметим теперь, что при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг Д/д. стремится к нулю и наибольшая из разностей (?& — ?&_]_) 1) . Но отсюда следует, что для любого е > > 0 можно указать 6 > 0 такое, что при условии, что наибольшая из длин Д/д. меньше #, каждая из фигурных скобок в формулах D.6) и D.б7) меньше е. Стало быть, при условии, что наибольшая из длин Д/д. меньше E, мы получим для разностей D.6) и D.б7) следующие оценки: tk где / — длина кривой АВ. где 7W — максимальное значе- значение |^7(t)| на сегменте а ^ t ^ ^ 6. Подчеркнем, что при вы- выводе формулы D.47) нам требу- требуется лишь непрерывность (pf(t) и спрямляемость кривой L = = АВ (непрерывность i/jf(t) при этом не требуется). :) В самом деле, Alk = / у/[(р'(t)Yz' + [ф''(t)]2 dt. Так как функции (p'(t) и tk-i ф' (t) непрерывны на сегменте а ^ t ^ Ъ и не обращаются в нуль одновремен- одновременно, то функция \/[(p'(t)]2 + [^Ч^)]2 непрерывна и строго положительна на сегменте а ^ t ^ Ь. Поэтому и минимальное значение т последней функции на сегменте а ^ t ^ b положительно. Но тогда Д/& т. е. tfc -tfe_i ^ (l/m)Alk. tk J dt = m(tk—tk-i),
124 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 4 В силу произвольности е мы можем утверждать, что интег- интегральные суммы о\ и <72 имеют (при стремлении к нулю наи- наибольшей из длин Д/fc) пределы, соответственно равные К\ и К.2- Тем самым одновременно доказано существование криволиней- криволинейных интегралов, стоящих в левых частях формул D.4) и D.47), и справедливость указанных формул. Замечание 1. В случае кусочно-гладкой кривой L кри- криволинейные интегралы по этой кривой естественно определить как суммы соответствующих криволинейных интегралов по всем гладким кускам, составляющим кривую L. Таким образом, ра- равенства D.4), D.4') и D.4") оказываются справедливыми и для кусочно-гладкой кривой L. Эти равенства справедливы и в слу- случае, когда функции /(ж, у), Р(ж, у) и Q(x, у) являются не строго непрерывными, а лишь кусочно-непрерывными вдоль кривой L (т. е. когда кривая L распадается на конечное число не имею- имеющих общих внутренних точек кусков, вдоль каждого из которых указанные функции непрерывны). Замечание 2. Совершенно аналогичные результаты и формулы справедливы и для криволинейных интегралов, взя- взятых по пространственной кривой L = АВ, определяемой пара- параметрическими уравнениями Мы ограничимся лишь написанием формул Г f(x, у, z) dl = АВ / P(x, y, z) dx AB b f Q(x, y, z)dx = AB f R(x, y, z) dz = AB Замечание З. Выше мы установили, что криволинейный интеграл второго рода зависит от направления обхода кривой L = АВ. Поэтому следует принять особую договоренность о том, что мы понимаем под символом fP(x, y)dx + Q(x, y)dy D.7)
СУЩЕСТВОВАНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 125 О в случае, когда L — замкнутая кривая (т. е. в случае, когда точка В совпадает с точкой А). Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура L мы назовем положительным то направление обхода, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается по левую сторо- сторону по отношению к точке, совершающей обход г) . На рис. 4.2 положительное на- направление обхода изображено стрелками. Будем считать, что в интеграле D.7) по замкнутому контуру L этот контур всегда обходится в положитель- положительном направлении. Замечание 4. Легко показать, что криволинейные интегралы обладают те- теми же свойствами, что и обычные определенные интегралы (доказательства аналогичны изложенным в§5ибгл. 10 вып. 1). Впрочем, при более жестких предположениях указанные свойс- свойства сразу вытекают из формул D.4), D.4') и D.4"). Перечислим эти свойства применительно к криволинейным интегралам первого рода. 1°. Линейное свойство. Если для каждой из функ- функций f(x, у) и g(x, у) существует криволинейный интеграл по кривой АВ и если а и /3— любые постоянные, то для функции [af (х, у) -\- /3g(x, у)] также существует криволинейный интеграл по кривой АВ, причем Рис. 4.2 / [af (х, у) + АВ x, у)] dl = a / f(x, у) dl АВ /3 / g(x, у) dl. АВ 2°. Аддитивность. Если дуга АВ составлена из двух дуг АС и С В и если для функции /(ж, у) существует криволи- криволинейный интеграл по дуге АВ, то для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой из дуг АС и СВ, причем / f(x,y)dl= f f(x,y)dl+ f f(x,y)dl АВ АС СВ 3°. Оценка модуля интеграла. Если существует криволинейный интеграл по кривой АВ от функции f(x, у), то существует и криволинейный интеграл по кривой АВ от функ- функции \f(x, y)\, причем f(x,y) АВ \f(x,y)\dl АВ 1) Такое направление движения условно можно назвать «движением про- против часовой стрелки».
126 КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 4 4°. Формула среднего значения. Если функция /(ж, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется точка М* такая, что АВ где / — длина кривой АВ. Примеры. 1°. Вычислить массу эллипса L, определяемо- определяемого параметрическими уравнениями х = a cost, у = bs'mt @ ^ t ^ 2тг) при условии, что а > b > 0 и что линейная плотность распреде- распределения массы равна р = |у|. Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла первого рода f \y\dl. ь С помощью формулы D.4) получим 2тг / \у\ dl = b f | sint| лДх2 sin2 t + b2 cos2 t dt = l о 7Г 27Г = bf sinty a2 sin2 t+b2 cos2 t dt — bfsmtya2 sin2 t+62 cos2 t dt = о = -b] xja2 - (a2 -62)cos2t d(cost) + 27Г /" / ) ( ) ( + ), J V e / 7Г л/а2 - (a2 - b2) cos21 d(cos t) = где e = л/а2 — 62/а х) . 2°. Вычислить криволинейный интеграл второго рода I = f(x2- 2xy) dx + {у2 - 2ху) dy, L в котором L — парабола у = х2 при — 1 ^ х ^ 1. Указанную параболу можно рассматривать как кривую, задаваемую пара- параметрическими уравнениями т — t х — б, y = t2 (-UtO). Поэтому с помощью формул D.47) и D.47/) мы получим, что 1 1 1= J(?2-2?3)d?+ f(tA-2t3Jtdt = -A4/15). :) Напомним, что величину е в аналитической геометрии называют эксцентриситетом.
ГЛАВА 5 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрировании функций, заданных на поверхностях. В связи с этим предва- предварительно исследуется вопрос о понятии поверхности и понятии площади поверхности. § 1. Понятие поверхности 1. Понятие поверхности. Отображение / области г) G на плоскости на множество G* трехмерного евклидова простран- пространства называется гомеоморфным, если это отображение представляет собой взаимно однозначное соответствие между точками G и G*, при котором любой сходящейся последова- последовательности {Мп} точек из G соответствует сходящаяся после- последовательность {М^} точек из G* и каждой сходящейся после- последовательности точек {М*} из G* отвечает сходящаяся последо- последовательность {Мп} точек из G. Иными словами, гомеоморфное отображение области G на множество G* — это взаимно одно- однозначное и взаимно непрерывное отображение указанных мно- множеств. Мы будем говорить, что G* является образом G при гомеоморфном отображении /. Рассмотрим следующий пример. Пусть G — область на плос- плоскости Оху, (и, v) —координаты точек М этой области, z = = z(M) —непрерывная в G функция, G* — график этой функ- функции. Очевидно, отображение / области G на G*, задаваемое со- соотношениями х = и, у = v, z = z(u, v) является гомеоморфным отображением этой области на множе- множество G*. Введем понятие элементарной поверхности. Множество Ф точек трехмерного пространства называется элементарной поверхностью, если это множество *) Напомним, что областью называется множество, каждая точка которого является внутренней.
128 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 является образом открытого круга G при гомеоморфном ото- отображении G в пространство 1) . С помощью понятия элементарной поверхности вводится по- понятие так называемой простой поверхности. Предварительно введем понятие окрестности точки множе- множества Ф евклидова пространства Е3. Окрестностью точки М множества Ф называется общая часть множества Ф и пространственной окрестности точки М. Множество Ф точек пространства называется простой поверхностью, если это множество связно 2) и любая точка этого множества имеет окрестность, которая явля- является элементарной поверхностью. Отметим, что, элементарная поверхность является простой поверхностью, но простая поверхность, вообще говоря, не явля- является элементарной. Например, сфера —простая, но неэлементар- неэлементарная поверхность. Сформулируем понятие общей поверхности. Отображение / простой поверхности G назовем л о- кально-гомеоморфным, если у каждой точки G есть окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ. Множество Ф точек пространства называется общей поверхностью, если оно является образом простой поверх- поверхности при локально-гомеоморфном ее отображении в пространство. Замечание 1. Отметим, что окрестности точек на общей поверх- поверхности вводятся как образы окрестно- окрестностей точек той простой поверхности, образом которой является данная об- общая поверхность. Рис. 5.1 Замечание 2. Простая по- поверхность, очевидно, является по- поверхностью без самопересечений и без самоналеганий. Общая поверхность может иметь самопересечения и самоналегания. На- Например, изображенная на рис. 5.1 поверхность имеет самопере- самопересечения, но является локально-гомеоморфным образом цилин- цилиндрического пояса и поэтому является общей поверхностью. 2. Регулярная поверхность. Введем понятие регулярной (к раз дифференцируемой) поверхности. ) Мы рассматриваем трехмерное евклидово пространство, хотя можно рассматривать евклидово пространство любого числа измерений и говорить о двумерной поверхности в этом пространстве. ) Напомним, что множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, целиком состоящей из точек этого множества.
§ 1 ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 129 Поверхность Ф, точки которой имеют координаты z, у, z, называется регулярной (к раз дифференцируемой), если при некотором к ^ 1 у каждой точки Ф есть окрест- окрестность, допускающая к раз дифференцируемую параметризацию. Это означает, что каждая указанная выше окрестность предста- представляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементар- элементарной области G 1) в плоскости uv при помощи соотношений x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), E.1) в которых функции х(и, г>), у (и, г>), z(u, v) являются к раз диф- дифференцируемыми в области G. Если к = 1, то поверхность обычно называется гладкой. Мы будем также говорить, что с помощью соотношений E.1) в окрестности точки на поверхности вводится регулярная пара- параметризация с помощью параметров и ж v. Замечание 1. Если вся поверхность Ф представляет ото- отображение области G при помощи соотношений E.1), то мы будем говорить, что на Ф введена единая параметризация. Точка регулярной поверхности называется обыкновенной, ес- если существует такая регулярная параметризация некоторой ее окрестности, что в этой точке ранг матрицы А = (Ххи Iй Iй) E.2) равен двум. В противном случае точка поверхности называется особой. Область G на плоскости будем называть простой, если эта область представляет собой простую плоскую поверхность. Например, кольцо без границы является простой областью. Будем говорить, что функция f(u, v) принадлежит в G клас- классу Ск, если она к раз дифференцируема и все ее частные про- производные порядка к непрерывны в G. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. Пусть в простой области G на плоскости uv заданы функции х(и, v), y(u, v), z(u, v) класса Ck, k ^ 1, причем ранг матрицы E.2) равен двум во всех точках G. Тогда соотношения E.1) определяют в пространстве множество Ф, которое представляет собой регулярную, к раз дифференциру- дифференцируемую общую поверхность без особых точек. Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться в том, что с помощью соотношений E.1) осуществляется локаль- но-гомеоморфное отображение области G на множество Ф. 1) Область G на плоскости называется элементарной, если она явля- является образом открытого круга при гомеоморфном отображении этого круга на плоскость. 5 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II
130 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 Пусть Мо(ж(ь уо? zo) —любая фиксированная точка множест- множества Ф, отвечающая значениям (uq, vq) параметров (и, v) (рис. 5.2). По условию ранг матрицы А равен двум в точке (зд, vq). Пусть, ради определенности, в этой точке отличен от нуля определи- определитель %uv yyuv Iматрицы А. Поскольку указанный определитель яв- является якобианом S^i и отличен от нуля в точке (зд, функции х(и, v), у (и, v) имеют непрерывные частные производ- производные в области E, то по теореме о разрешимости системы функ- функциональных уравнений (см. теорему 15.2 вып. 1) найдется такая окрестность Н точки (жо, У о) на плоскости Оху, что в пределах этой окрестности существует единственное и к раз дифферен- дифференцируемое решение и = и(х,у), v = v(x,y) E.3) системы х(и, v) — х = 0, у(и, v) — у = 0. Из проведенных рассуждений вытекает, что некоторая окрест- окрестность Н точки (жо, Уо) представляет собой гомеоморфное ото- бражение некоторой окрестности G точки (зд, vq) с помощью соотношений х = х(и, v), у = у (и, v) (обратное отображение Н на G осуществляется с помощью соотношений E.3)). Подставляя выражения E.3) для и и v в соотношение z = = z(u, v), мы убедимся, что некоторая окрестность Ф точки Mq на множестве Ф является графиком к раз дифференциру- дифференцируемой функции z = z(u(x, у), г;(ж, у)) = z(x, у). Но это означает, что с помощью функции z(ж, у) осуществляется гомеоморфное отображение окрестности Н точки (жо, у о) плоскости Оху на
ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 131 указанную окрестность Ф точки Mq множества Ф. Очевидно, что окрестность G точки (зд, vq) гомеоморфно отображается на окрестность Ф точки Mq на множестве Ф 1) . Иными словами, Ф представляет собой образ G при локально-гомеоморфном ото- отображении в пространство и является поэтому общей поверхно- поверхностью. Теорема доказана. Замечание 2. В процессе доказательства теоремы мы установили, что у каждой точки Mq поверхности Ф без особых точек имеется окрестность Ф, однозначно проецирующаяся на одну из координатных плоскостей и являющаяся поэтому гра- графиком к раз дифференцируемой функции (в доказательстве те- теоремы этой функцией была функция z(x, у)). На рис. 5.2 указаны точки Mq и Щ, окрестности которых од- однозначно проецируются на плоскости Оху и Oxz соответственно. 3. Задание поверхности с помощью векторных функ- функций. Рассмотрим регулярную поверхность Ф. Эта поверхность представляет собой некоторое множество точек М пространства Ф Tv Линия v Линия и Рис. 5.3 с координатами (ж, у, z) (рис. 5.3). Обозначим через г(М) век- вектор, идущий из начала координат в точку М поверхности. Оче- Очевидно, г(М) представляет векторную функцию пере- переменной точки М поверхности 2) . Эта функция обычно называ- называется р а д и у с о м-в е к т о р о м поверхности Ф. Обратимся к той окрестности точки М, которая представля- представляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементарной ) Мы воспользовались здесь очевидным утверждением о том, что после- последовательное проведение гомеоморфных отображений дает в результате так- также гомеоморфное отображение. ) Векторную функцию можно рассматривать как совокупность трех ска- скалярных функций. Подробные сведения о векторных функциях даются в § 1 гл. 12. По мере надобности мы будем использовать эти сведения.
132 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 области G 1) при помощи соотношений E.1) (на рис. 5.3 эта окрестность обведена штриховой линией). Тогда, очевидно, ко- координаты х(и, г>), у (и, г>), z(u, v) точки М являются координа- координатами вектора г(М). Ясно, что в этой окрестности функция г(М) будет функцией переменных и и v: r(M) = г (и, v). При фикси- фиксированном значении переменной v конец радиуса-вектора г (и, v) описывает в рассматриваемой окрестности кривую, называемую линией и (или линией v = const). При фиксированном значении переменной и конец радиуса-вектора г (и, v) описывает линию v (линию и = const). Эти линии unv называются координатными линиями на поверхности Ф в рассматриваемой окрестности. Таким образом, в некоторой окрестности каждой точки по- поверхности Ф может быть введена система координатных ли- линий и ж v. Эта система координатных линий называется также Особая точка Линия особых точек Рис. 5.4 системой криволинейных координат на поверх- поверхности (точнее — в рассматриваемой окрестности). В § 1 гл. 12 указан геометрический смысл производных ги и гv векторной функции г (и, v). Эти векторы представляют собой векторы касательных к координатным линиям (см. рис. 5.3). С помощью векторов ги и rv можно уяснить геометрический смысл обыкновенной и особой точек регулярной поверхности. Напомним, что точка М поверхности называется обыкновен- обыкновенной, если в окрестности этой точки можно ввести такую пара- параметризацию с помощью уравнений E.1), что ранг матрицы А (см. соотношение E.2)) в этой точке равен 2. Так как строки ма- матрицы А состоят из координат векторов ги и rv и ранг А равен двум, указанные векторы линейно независимы. Итак, обыкно- обыкновенная точка характеризуется тем, что в окрестности этой точ- точки можно ввести такую параметризацию, что векторы ги и rv в точке М линейно независимы. 1) Область G на плоскости называется элементарной, если, она представ- представляет собой гомеоморфный образ открытого круга.
§ 1 ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 133 На рис. 5.3 точка М является обыкновенной точкой поверх- поверхности Ф. На рис. 5.4 изображены поверхности с особыми точками. 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Односторонние и двусторонние поверхности. Мы уже вве- ввели понятие касательной плоскости к поверхности, представляю- представляющей собой график дифференцируемой функции z = z(x, у) (см. п. 2 § 4 гл. 14 вып. 1). Напомним, что касательная плоскость в точке Mq определялась как плоскость, обладающая тем свой- свойством, что угол между этой плоскостью и секущей MqM(M— произвольная точка поверхности) стремится к нулю при стрем- стремлении М к Mq. Мы доказали, что если z(x, у) —дифференциру- —дифференцируемая в точке (жо, Уо) функция, то в точке Mq(xq, yo,z(xo, yo)) поверхности существует касательная плоскость. Убедимся, что в любой обыкновенной точке гладкой поверх- поверхности существует касательная плоскость. Для этого, очевидно, достаточно установить, что некоторая окрестность обыкновен- обыкновенной точки поверхности представляет собой график дифферен- дифференцируемой функции. Но в п. 2 этого параграфа (см. замечание указанного пункта) было доказано это свойство для любой обык- обыкновенной точки гладкой поверхности. Следовательно, в любой обыкновенной точке гладкой поверхности существует касатель- касательная плоскость. Замечание 1. Из определения касательной плоскости к поверхности Ф следует, что касательная прямая в точке Mq к любой гладкой линии х), расположенной на поверхности и про- проходящей через Мо, лежит в касательной плоскости к Ф в точке Mq. Так как векторы ги и rv являются касательными к лини- линиям и и v, проходящим через Mq, to эти векторы располагаются к касательной плоскости в точке Mq. Введем понятие нормали к поверхности Ф в точке Mq. Нормалью к поверхности Ф в точке Mq называется пря- прямая, проходящая через Mq и перпендикулярная к касательной плоскости в Mq .Вектором нормали к поверхности в точ- точке Mq будем называть любой ненулевой вектор, коллинеарный нормали в Mq. Пусть Mq — обыкновенная точка гладкой поверхности Ф и некоторая окрестность Ф этой точки определена с помощью та- такой векторной функции г (и, г>), что векторы ги и rv в точке Mq не коллинеарны. Тогда, очевидно, вектор N = [rurv] E.4) 1) Линия L называется гладкой, если она может быть задана с по- помощью векторной функции r(t) класса С1, для которой г'(t) ф 0 (более подробно см. § 2 гл. 12).
134 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 является вектором нормали к поверхности, а вектор п = рИА. E.5) \[гг]\ — единичным вектором нормали к поверхности. Замечание 2. Так как по условию поверхность является гладкой, то векторная функция N(u, v) и векторная функция п(и, г>), определенные соответственно с помощью соотношений E.4) и E.5), будут непрерывными. Таким образом, в некоторой окрестности каждой точки гладкой поверхности существует непрерывное векторное поле нормалей. Естественно возникает вопрос —на всякой ли гладкой по- поверхности в целом существует непрерывное векторное поле нор- нормалей? Оказывается, есть по- ¦ ¦ верхности, на которых не су- А ' »А# ществует в целом непрерывного векторного поля нормалей. При- мером такой поверхности мо- жет служить так называемый лист Мёбиуса г) , изображенный на рис. 5.5. (Эта поверхность получается из прямоугольника Рис ^ 5 ABB'Af путем склеивания сто- сторон АВ и AfBf таким образом, что при этом совпадают точки А и В', и точки А' и Б, см. рис. 5.5). Поверхности, на которых в целом существует непрерывное векторное поле нормалей, будем называть двусторонними. Поверхности, на которых в целом такого поля не существует, будем называть односторонними. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид — двусторонние поверхности, лист Мёбиуса — односторонняя по- поверхность. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь двусторонние поверхности. 5. Вспомогательные леммы. В этом пункте мы докажем некоторые нужные для дальнейшего утверждения. Лемма 1. Пусть Mq — обыкновенная точка гладкой поверх- поверхности Ф. Тогда некоторая окрестность точки Mq однозначно проецируется на касательную плоскость, проведенную в любой точке этой окрестности. Доказательство. Убедимся, что указанным в лемме свойством обладает, например, та окрестность Ф точки Mq, в пределах которой нормаль в любой точке составляет с нормалью А. Мёбиус — немецкий математик A790-1868).
§ 1 ПОНЯТИЕ ПОВЕРХНОСТИ 135 в Mq угол, меньший тг/4, и которая однозначно проецируется на некоторый круг в одной из координатных плоскостей (напри- (например, Оху) 1) . Отметим, во-первых, что нормали в любых двух точках Ф образуют угол, меньший тг/2. Далее, пусть Ф не обла- обладает указанным свойством. Тогда для некоторой точки М из Ф можно найти такие точки Р и Q из Ф, что хорда PQ параллельна нормали пм в М (рис. 5.6). Рассмо- Рассмотрим линию пересечения Ф с плос- плоскостью, параллельной Oz и проходя- проходящей через PQ. В силу выбора окрест- окрестности Ф часть PNQ этой линии лежит в Ф и представляет собой график дифференцируемой функции, заданной на отрезке, являющемся проекцией PQ на плоскость Оху. / По теореме Лагранжа касательная в некоторой точке N этой части парал- х лельна хорде PQ и, следовательно, параллельна нормали пм в М. Но Рис- 5-6 тогда нормаль в 7V, перпендикулярная упомянутой касательной, образует угол тг/2 с нормалью в М. Но этого не может быть, так как нормали в любых двух точках Ф (в том числе и в точках М и N) образуют угол, меньший тг/2. Полученное противоречие убеждает нас в справедливости леммы. Лемма доказана. Введем понятие полной поверхности. Поверхность Ф на- называется полной, если любая фундаментальная последователь- последовательность точек этой поверхности сходится к некоторой точке поверхности Ф. Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид — примеры полных поверхностей. Круг без границы, любое откры- открытое связное множество на сфере — неполные поверхности. Огра- Ограниченные полные поверхности и ограниченные замкнутые части полных поверхностей мы будем в дальнейшем называть ограни- ограниченными полными поверхностями. Будем говорить, что часть Ф имеет размеры меньше #, если эта часть помещается внутри некоторой сферы, диаметр кото- которой меньше S. ) Возможность выбора такой окрестности Ф вытекает из следующих со- соображений. В предыдущем пункте мы отметили (см. замечание 2), что в некоторой окрестности обыкновенной точки на поверхности существует непрерывное векторное поле нормалей. Поэтому в достаточно малой окрест- окрестности Mq нормали составляют с нормалью в Mq угол, меньший тг/4. Мы также установили, что некоторая окрестность Mq однозначно проецирует- проецируется на координатную плоскость. Очевидно, в этой окрестности есть часть, проецирующаяся на некоторый круг в координатной плоскости.
136 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 Справедлива следующая лемма. Лемма 2. Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная поверх- поверхность без особых точек. Существует такое 5 > О, что любая часть Ф, размеры которой меньше 5, однозначно проецирует- проецируется на касательную плоскость, проходящую через любую точку этой части. Доказательство. Допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда для любого 8п = 1/п, п = 1, 2, ... можно указать часть Фп поверхности Ф, размеры которой меньше 8п и которая не проецируется однозначно на касательную плоскость в неко- некоторой своей точке. Выберем в каждой части Фп точку Мп и вы- выделим из последовательности {Мп} подпоследовательность, схо- сходящуюся к некоторой точке Mq поверхности Ф х) . Рассмотрим окрестность точки Mq, удовлетворяющую условиям леммы 1. При достаточно большом п эта окрестность будет содержать каждую часть Фп. Но тогда эта часть должна проецироваться на касательную плоскость (в любой своей точке), а это проти- противоречит выбору частей Фп. Лемма доказана. Справедлива следующая лемма. Лемма 3. Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная поверх- поверхность без особых точек. Существует такое 5 > О, что любая часть Ф, размеры которой меньше 6, однозначно проецируется на одну из координатных плоскостей. Доказательство этой леммы проводится в полной аналогии с доказательством леммы 2. Лемма 4- Пусть Ф— гладкая, ограниченная, полная дву- двусторонняя поверхность без особых точек. Тогда для любого е > О можно указать такое S > 0, что для косинуса угла j между единичными векторами нормалей в любых двух точках произ- произвольной части Ф поверхности, размеры которой меньше 6, спра- справедливо представление cos 7 = 1 — ol<$>, E.6) где |аф| < е. Доказательство. Рассмотрим непрерывное на Ф век- векторное поле единичных нормалей п(М) (такое поле существу- существует, так как Ф двусторонняя поверхность). Векторная функция п является равномерно непрерывной, поскольку Ф — ограничен- ограниченная полная поверхность и поэтому представляет собой ограни- ограниченное замкнутое множество. Поэтому для любого е > 0 мож- можно указать такое S > 0, что для произвольных двух точек М\ и М.2 поверхности Ф, расстояние между которыми меньше 5, :) Так как Ф — ограниченная полная поверхность, то такую подпоследова- подпоследовательность выбрать можно.
§ 2 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 137 выполняется неравенство |n(M2)-n(Mi)| < л/2ё. E.7) Так как cost = 1 - -(п(М2) - n(Mi)J г), то, полагая a$ = i(n(M2)-n(M!)J и используя неравенство E.7), мы убедимся в справедливости соотношения E.6). Лемма доказана. § 2. Площадь поверхности 1. Понятие площади поверхности. Пусть Ф —ограничен- —ограниченная полная двусторонняя поверхность. Разобьем Ф кусочно-глад- кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф^, каждая из кото- которых однозначно проецируется на касательную плоскость, про- проходящую через любую точку этой части 2) . Обозначим через А максимальный из размеров частей Ф^, а через Oi — площадь про- проекции Ф^ на касательную плоскость в некоторой точке Mi части Ф^. Составим далее сумму ^аг всех указанных площадей. г Е г Сформулируем следующие определения. Определение 1. Число а называется пределом сумм О{ при А —>> 0, если для любого е > 0 можно указать такое 6 > 0, что для всех разбиений Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф^ для которых А < 8, независимо от выбора точек Mi на частях Ф^ выполняется неравенство: Oi — О е. I Определение 2. Если для поверхности Ф существует пре- предел о сумм ^2 аг пРи А ^ 0, то поверхность называется к в а д- г р up у е м ой, а число о называется площадью поверхности. ) Мы использовали следующие соотношения: n2(Mi) = 1, п2(М2) = 1, n(M2)n(Mi) = COS7, -(п(М2) - n(Mi)J = -(п2(М2) - 2n(M2)n(Mi) + n2(Mi)). 2) Возможность такого разбиения гарантируется леммой 2 предыдущего пункта.
138 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 Наша ближайшая задача состоит в выяснении достаточных условий квадрируемости поверхности. Мы докажем, что гладкие ограниченные полные двусторонние поверхности квадрируемы. Попутно мы укажем вычислительный аппарат, с помощью ко- которого можно вычислять площади поверхностей. На первый взгляд было бы естественно подойти к вопросу о площа- площади поверхности, используя аппроксимацию поверхности многогранниками. Однако этот путь не приводит к цели. Мы укажем пример, принадлежа- принадлежащий Шварцу х) и показывающий, что площади вписанных в гладкую по- поверхность многогранников могут неограниченно возрастать при увеличении числа граней и уменьшении их размеров. Пусть Ф — цилиндрический пояс (рис. 5.7). Разобьем Ф окружностя- окружностями, параллельными основаниям Ф, на п равных частей. Каждую из таких окружностей разделим на т равных частей так, как это указано на рис. 5.7. На этом же рисунке изображен многогранник Фпто, вписанный в Ф. При лю- любом фиксированном т площадь указанного многогранника Фпт, очевидно, превышает увеличенную в п раз площадь проекции этого многогранника на плоскость основания цилиндра. Так как эта проекция не зависит от п, то за счет увеличения п при любом фиксированном т площадь многогранника Фпт может быть сделана как угодно большой. 2. Квадрируемость гладких поверх- поверхностей. Докажем следующую теорему Теорема 5.2. Гладкая ограниченная пол- полная двусторонняя поверхность без особых точек квадрируема. Доказательство. Пусть на поверх- поверхности Ф может быть введена единая регуляр- регулярная параметризация. В этом случае радиус- вектор г(М) переменной точки Ф поверхно- Рис. 5.7 сти представляет собой функцию г(гл, г;) класса С1 2) , задан- заданную в некоторой замкнутой ограниченной области О плоскости переменных wav. Частные производные ги и rv функции г (и, v) представляют собой непрерывные векторные функции, не зави- зависящие от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве. Поэтому значение а интеграла // | [r*^ r*v] | dudv п не зависит от выбора декартовой системы координат в простран- пространстве. Мы докажем, что поверхность Ф квадрируема и ее площадь равна а. Пусть е — произвольное положительное число, фиксирован- фиксированное в дальнейших рассуждениях. Определим по этому е > 0 чис- число S > 0, исходя из следующих требований: 1) любая часть Ф^ 1)Г. А. Шварц — немецкий математик A843-1921). 2)Под этим следует понимать, что каждая компонента функции г (и, v] принадлежит классу С1.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 139 поверхности Ф, размеры которой меньше #, проецируется од- однозначно на касательную плоскость в любой точке части Ф^; 2) косинус угла 7 между единичными векторами нормалей в любых двух точках части Ф^ может быть представлен в виде cos 7=1 — E.9) где < е/а и <у.фг\ < 1. Возможность такого выбора 6 > О гарантируется леммами 2 и 4 п. 3 предыдущего параграфа. Рассмотрим произвольное разбиение Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф^, максимальный размер А которых не превышает 6. Так как на Ф существует единая пара- параметризация, то указанному разбиению Ф на части Ф^ отвечает разбиение области О на части Г^,. На каждой части Ф^ выберем произвольную точку Mi и обозначим через О{ площадь проек- проекции части Ф^ на касательную плоскость в М{. Для вычисления О{ поступим следующим образом. Выберем декартову систему ко- координат так, что ее начало совпадает с М^, ось Oz направлена по вектору нормали к поверхности в М^, а оси Ох и Оу расположе- расположены в упомянутой касательной плоскости. В указанной системе координат поверхность определяется параметрическими урав- уравнениями х = х\и, v\ у = у (и, v), z = z(u, v), а вектор [rwrv] имеет координаты {А, В, G}, где А = Уи Уу Zu Zy , в = Zu Zy %и Ху , С = %и Ху Уи Уу E.10) Отметим, что для точек части Ф^, ввиду выбора S и ориентации оси Oz, величина С положительна, С > 0. Отметим также, что косинус угла 7м между нормалью в точке М части Ф^ и осью Oz равен cos 7м = С \[rurv]\ E.11) Ясно, что угол 7м является углом между нормалями в точках М и Mi части Ф^, и поэтому для него справедливо представление E.9). Обратимся к интегралу ff\[rurv]\dudv, который, очевидно не зависит от выбора декартовых координат в пространстве. Ис- Используя положительность С и третью из формул E.10), получим // \[rurv]\dudv = // хи Уи %и Ху Уи Уу dudv. E.12) Применяя к интегралу в правой части E.12) первую формулу
140 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 среднего значения в обобщенной форме, получим // \[rurv]\dudv = хи Уи м V(x, у) (м) dudv, E.13) где М — некоторая точка части Так как 1 хи Уи Xv yv М cos 7м (см. 5.10) и E.11)), а V(x, у) х, v) dudv = G{1) , то из формулы E.13) и представления E.9) для cos 7м, найдем °i = III Ь"Л] \dudv - // аФ. | [rwrv] | di/ dv. E.14) Складывая равенства E.14) для всех частей Ф^ и учитывая, что Z) // I [rurv] I du dv = // I [rurv] \dudv = а, получим urv]\ dudv. E.15) Оценим последнее слагаемое в правой части E.15). Имеем ^2 Ц аф{\[гигу]\ du dv [rurv]\dudv < ~^2 \[rurv]\dudv = ^ -а = е. Отсюда и из равенства E.15) получим Е- г i - G < е. Таким образом, поверхность Ф квадрируема и ее площадь равна а Мы рассмотрели случай, когда на поверхности Ф может быть введена единая параметризация. В общем случае поверхность Ф 1) Мы использовали формулу для площади плоской области при перехо- переходе от координат (ж, у) к координатам (и, v) с помощью соотношений х = = х(и, v), у = у (и, v).
§ 3 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ 141 может быть разбита на конечное число частей, в каждой из ко- которых может быть введена единая параметризация 1) . После этого площадь поверхности можно определить как сумму пло- площадей указанных частей. Теорема доказана. Замечание 1. Пусть поверхность Ф кусочно-гладкая, т. е. составлена из конечного числа гладких ограниченных пол- полных двусторонних поверхностей. Очевидно, что поверхность Ф квадрируема — ее площадь может быть определена как сумма площадей составляющих ее поверхностей. Замечание 2. В процессе доказательства теоремы 5.2 мы установили, что если на поверхности Ф может быть вве- введена единая параметризация и областью задания радиуса-век- радиуса-вектора г (и, v) поверхности Ф является замкнутая ограниченная область О плоскости ш;, то площадь а поверхности может быть найдена по формуле G — И \[ru^v\\dudv. E.16) п Если х = х(и, г>), у = у(и, г>), z = z(u, v)—параметрические уравнения поверхности, то вектор [rwrv] имеет координаты {А, В, С}, определяемые соотношениями E.10). Поскольку ||Уи*у]| = лА42 + В2 + С2, то формула E.16) может быть за- записана в следующей форме: о = // V'А2 + В2 + С2 dudv. E.17) п Если воспользоваться обозначениями r\ = E, rurv = F, r\ = G и формулой \[гиГу}\ = Vrlrv - {rurvJ, то выражение E.16) для площади поверхности можно записать также в следующей форме: а = JJVEG-F2dudv. E.18) п Замечание 3. Площадь поверхности обладает свойством аддитивности: если поверхность Ф разбита кусочно-глад- кусочно-гладкой линией на не имеющие общих внутренних точек части Ф\ и <1>2, то площадь а поверхности Ф равна сумме о\ + G2 пло- площадей частей Ф\ и Ф2. Это свойство вытекает из представления площади с помощью интеграла и аддитивного свойства интеграла. :) Можно воспользоваться, например, леммой 3 п. 3 предыдущего пара- параграфа. Согласно этой лемме Ф можно разбить на конечное число частей, каждая из которых однозначно проецируется на некоторую координатную плоскость и тем самым является графиком дифференцируемой функции.
142 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 § 3. Поверхностные интегралы 1. Понятия поверхностных интегралов первого и вто- второго родов. Пусть Ф — гладкая, ограниченная полная двусто- двусторонняя поверхность. Пусть на Ф задана функция f(M) точки М поверхности Ф. Обозначим через п(М) непрерывное векторное поле единичных нормалей к Ф. Разобьем поверхность Ф кусочно-гладкими кривыми на ча- части Ф^ и на каждой такой части выберем произвольно точку М^. Введем следующие обозначения: А — максимальный размер ча- частей Ф^; О{— площадь Ф^; Х{, Y{, Z{— углы, которые составляет с осями координат вектор n(Mi). Составим следующие четыре суммы: ь E.19) 1{Фг, Ми Zi} = ? f(Mi) cos Zm, E.20) i 1{Фи Mi: Yi} = J2 f(Mi) cos Угог, E.21) i 1{Фг, Mu Xi} = Y,f Шг) cos Xiai. E.22) i Для каждой из этих сумм вводится понятие предела при А —>> 0. Мы сформулируем это понятие для сумм E.19). Для сумм E.20), E.21) и E.22) понятие предела формулируется аналогичным об- образом. Определение. Число I называется пределом сумм /{Фг, Mi} при А —)> 0, если для любого е > 0 можно указать такое S > 0, что для любых разбиений поверхности Ф кусочно- гладкими кривыми на конечное число частей Ф^, максимальный размер которых А меньше 5, независимо от выбора точек Mi на частях Ф^ выполняется неравенство |/{Ф;, Mi} -1\<е. Предел / сумм /{Фг, Мг-} при А —>> 0 называется поверх- поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности Ф и обозначается следующим образом: I = fff(M)da. E.23) Ф Если (ж, у, z) —координаты точки М на поверхности Ф, то для f(M) можно использовать обозначение /(ж, у, z). В этом случае формулу E.23) можно записать в виде I = fff(x,y,z)da. E.24) Ф
§ 3 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 143 Пределы сумм 1{Фи Mi, Zi}, 7{ФЬ Мь У^} и 7{ФЬ Mi, Хг] при А —>• 0 называются поверхностными интегралами второго рода от функции /(М) по поверхности Ф. Для этих интегралов соответственно используются обозначения // / (М) cos Z da, ff f(M) cos Y da, // / (M) cos X da Ф Ф Ф или обозначения, аналогичные обозначению E.24). Замечание 1. Из определения поверхностного интегра- интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к по- поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Замечание 2. Поверхностный интеграл второго рода зависит от выбора стороны поверхности: при изменении ори- ориентации векторного поля единичных нормалей на противопо- противоположную все три поверхностных интеграла второго рода меняют знак на противоположный. Это объясняется тем, что в каждой из сумм E.20), E.21) и E.22) значения f(Mi) и а{ не меняются при изменении ориентации, а значения косинусов углов, кото- которые составляет нормаль n(Mi) с осями координат, меняют знак на противоположный. Замечание 3. После выбора определенной стороны по- поверхности поверхностные интегралы второго рода могут, оче- очевидно, рассматриваться как поверхностные интегралы первого рода по поверхности Ф соответственно от функций /(М) cos Z(M), /(М) cos У(М), f(M)cosX(M). Действительно, после выбора определенной стороны поверхности cosZ, cosy, cosX предста- представляют собой функции точки М поверхности Ф. 2. Существование поверхностных интегралов перво- первого и второго родов. Пусть поверхность Ф удовлетворяет усло- условиям, сформулированным в начале п. 1 этого параграфа. Выбе- Выберем на Ф определенную сторону. Согласно замечанию 3 преды- предыдущего пункта после выбора определенной стороны поверхности Ф поверхностные интегралы второго рода могут рассматривать- рассматриваться как интегралы первого рода. Поэтому достаточные условия существования мы будем формулировать лишь для интегралов первого рода. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.3. Пусть на поверхности Ф можно ввести еди- единую параметризацию посредством функций x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), E.25) заданных в ограниченной замкнутой области О плоскости uv и принадлежащих классу С1 в этой области. Если функция
144 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 f(M) = /(ж, у, z) непрерывна на поверхности Ф г) , то поверх- поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхно- поверхности Ф существует и может быть вычислен по формуле I=fff(M)da=fff(x(u, v),y(u, v),z(u, v))VEG - F2 dudv 2). ф n E.26) Доказательство. Нам требуется доказать, что для любо- любого е > 0 можно указать такое 6 > О, что для любого разбиения Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф^, для которого А < E, независимо от выбора точек Mi на частях Ф^ будет выполняться неравенство - // f{x(u, v),y(u, v),z(u, v))VEG - F2dudv < е. E.27) Пусть е — любое фиксированное положительное число. Выберем по этому е > 0 число E* > 0 так, чтобы выполнялись следующие два условия: 1) для любых двух точек (щ, щ) и (щ, vi) области О, нахо- находящихся на расстоянии, меньшем E*, выполнялось неравенство E'28) где А — положительное число, превосходящее максимум функ- функции |/(М)|, а Р — площадь области О; 2) для любого разбиения О кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей О^, размер которых меньше E*, и для любого выбора точек (щ, Vi) в пределах каждой части О^ вы- выполнялось неравенство II f{x(u, v),y(u, v),z(u, v))\/EG-F2dudv <-, E.29) в котором о* — площади частей fti. :) Понятие непрерывности функции точки М, заданной на некотором множестве {М} в пространстве, сформулировано в п. 1 § 3 гл. 14 части 1. В рассматриваемом случае роль множества {М} играет поверхность Ф. 2) f(x(u, v), у (и, v), z(u, v)) — функция, полученная посредством суперпо- суперпозиции функций /(ж, у, z) и х = х(и, v), у = у (и, v), z = z(u, у). В силу теоремы о непрерывности сложной функции эта функция непрерывна в области Q.
§ 3 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 145 Возможность нужного выбора #* гарантируется свойством равномерной непрерывности непрерывной в ограниченной замк- замкнутой области О функции \/EG—F2 и свойством интегрируемос- интегрируемости непрерывной в области О функции f(x(u,v),y(u,v),z{u,v))x xVEG-F2. Определим по ?* > 0 число S > 0 так, чтобы любому раз- разбиению поверхности Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф^, размеры которых меньше ?, отвечало бы разби- разбиение области О на конечное число частей О^, размеры которых меньше д*. Возможность выбора такого S гарантируется тем, что поверхность Ф представляет собой гомеоморфное отображение области О, и поэтому каждому разбиению Ф кусочно-гладки- кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Ф^ отвечает разбиение О кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей О^. При этом если максимальный размер частей Ф^ стремится к нулю, то и максимальный размер частей О^ также стремится к нулю. Рассмотрим теперь разбиение Ф кусочно-гладкими кривы- кривыми на конечное число частей Ф^, максимальный размер кото- которых удовлетворяет неравенству А < ?, где S > 0 выбрано по ?* указанным выше образом. Составим для этого разбиения сумму /{Фг, М^}, воспользовавшись ее выражением E.19). Так как пло- площадь Gi части Ф^ равна // VEG — F2 dudv, то, обозначая коор- динаты точки Mi в части Ф^ через (х(щ, Vi), у(щ, Vi), г(щ, г^)), получим /(Фг, Мг)=^2/(х(щ, Vi),y{uu Vi),z{uu vt))JJVEG-F2dudv. i пг Используя теорему о среднем для интегралов в правой части последнего соотношения, мы можем, очевидно, следующим об- образом преобразовать это соотношение: , Mi}-fff(x(u, v),y(u, v),z(u, v))VEG-F2dudv = — / / т(т\11 7I 7/G/ 71) 7\1\ 7M i X п x \/EG - F2 du dv i,Vi)] a*. Из последнего равенства с помощью неравенств E.28) и E.29) мы легко получим неравенство E.27). Теорема доказана.
146 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 Замечание 1. Очевидно, что для вычисления поверхност- поверхностного интеграла второго рода ///(ж, у, z) cos Z da после выбора Ф определенной стороны поверхности Ф можно использовать сле- следующую формулу: ff f(x, у, z) cos Z da = Ф = // f{x(u, v), у(щ v), z(u, v))VEG-F2dudv. E.30) n Аналогичные формулы справедливы для двух других поверх- поверхностных интегралов второго рода. Замечание 2. Пусть поверхность Ф является графиком функции z = z(x, у), принадлежащей в области D своего зада- задания классу С1. Выберем на поверхности Ф ту сторону, для кото- которой единичный вектор нормали п(М) поверхности составляет с осью Oz острый угол. В этом случае cosZ = 1/л/1 + р2 + д2, где р = —, q = —. Пусть на поверхности Ф задана непрерывная дх ду функция R(x, у, z). Тогда, учитывая, что в качестве параметров и и v на поверхности берутся х и у (поверхность Ф определяет- определяется параметрическими уравнениями х = ж, у = у, z = z(x, у), и v'EG — F2 = у 1 -\-р2 + д2), мы можем переписать формулу E.30) следующим образом: ff R(x, у, z) cos Z da = ff R(x, y, z(x, y))y/l + p2 + q2 x Это замечание разъясняет следующее обозначение для по- поверхностного интеграла второго рода: // R(x, у, z) cos Z da = ff R(x, y, 2:) dx dy. E.31) Ф Ф Отметим, что обозначение E.31) используется и в случае, ког- когда Ф не является графиком функции z = z(x, у). Мы будем рассматривать поверхностные интегралы второго рода следующего вида: ff(P cos X + Q cos Y + R cos Z) da. Ф
§ 3 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 147 Такие интегралы мы будем обозначать также следующим обра- образом: ffPdydz + Qdzdx + R dx dy. Ф Замечание 3. Понятия поверхностных интегралов пер- первого и второго родов естественно распространяются на случай, когда поверхность Ф является кусочно-гладкой. Для таких по- поверхностей, очевидно, также справедлива доказанная в этом пункте теорема существования. 3. Поверхностные интегралы второго рода, не завися- зависящие от выбора декартовой системы координат. Из опреде- определения поверхностных интегралов первого и второго родов следу- следует, что интеграл первого рода не зависит от выбора декартовой системы координат в пространстве, тогда как интегралы второ- второго рода зависят от ее выбора, ибо при изменении системы коор- координат меняются значения косинусов углов, которые составляет нормаль п(М) с осями координат. В случае, когда на поверхности задана векторная функция, можно указать более общий подход к понятию поверхностного интеграла второго рода, позволяющий в определенном смысле говорить о независимости значения этого интеграла от выбора декартовой системы координат в пространстве. Итак, пусть на гладкой ограниченной полной двухсторонней поверхности Ф задана непрерывная векторная функция г(М). Выберем на Ф определенную сторону и обозначим через п(М) векторное поле единичных нормалей к Ф. Очевидно, скалярное произведение г(М)п(М) представляет собой непрерывную скалярную функцию, заданную на поверх- поверхности Ф и поэтому не зависящую от выбора декартовой системы координат в пространстве. Следовательно, поверхностный инте- интеграл первого рода от этой функции ffr(M)n(M)da Ф не зависит от выбора декартовой системы координат в простран- пространстве. Обратимся к координатной записи скалярного произведе- произведения г(М)п(М), считая при этом, что вектор г(М) имеет ко- координаты Р, Q, R. Так как координаты вектора п(М) равны cosX, cosy, cosZ, то r(M)n(M) = Р cos X + Q cos Y + R cos Z и поэтому // r(M)n(M) da = ff(P cos X + Q cos Y + Rcos Z) da. Ф Ф
148 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ. 5 Интеграл в правой части последнего равенства представляет со- собой сумму трех поверхностных интегралов второго рода и обыч- обычно называется общим поверхностным интегралом второго рода. Следовательно, интеграл ff r(M)n(M) da Ф также можно называть общим поверхностным интегралом вто- второго рода. Замечание 1. Если на поверхности Ф заданы три ска- скалярные функции Р, Q, i?, то интегралу ff (PcosX + QcosY + Ф + R cos Z) da можно придать инвариантный (не зависящий) от системы координат вид, считая Р, Q, R координатами некото- некоторой векторной функции г(М), заданной на поверхности, и за- записывая этот интеграл в форме ff r(M)n(M) da. Отметим, что Ф тем самым мы навязываем определенный закон преобразования подынтегрального выражения при переходе к новой декартовой системе координат. В этом случае мы получим новые координа- координаты вектора г(М), которые вычисляются по известным из ана- аналитической геометрии правилам. Однако такой инвариантный вид записи поверхностного интеграла очень удобен в различных при л ожениях. Замечание 2. Отметим, что общий поверхностный ин- интеграл второго рода ff r(M)n(M)da численно равен величине, Ф называемой в физике потоком вектора г(М) через поверхность Ф.
ГЛАВА 6 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ В этой главе рассматриваются скалярные и векторные поля. Исследуются основные операции теории поля. § 1. Преобразования базисов и координат. Инварианты 1. Взаимные базисы векторов. Ковариантные и кон- травариантные координаты векторов. Пусть г^, г=1, 2, 3, — базис векторов трехмерного пространства 1) (для плоскости ин- индекс г принимает значения 1 и 2). Базис гк, к = 1, 2, 3, называет- называется взаимным для базиса г^, если выполняются соотношения 2) f Л • 7 к ск J ' — ' ' h 194 fft 1 ^ * * \ 0, г ф к, ' 5^- v • у Символ <^ называется символом Кронекера 3) . Возникает вопрос о существовании и единственности взаим- взаимного базиса. Ответ на этот вопрос утвердительный: для данного базиса Vi существует единственный взаимный базис гк. Убедимся, например, что вектор г1 определяется единствен- единственным образом. Согласно F.1) этот вектор ортогонален векторам г2 и гз- Этим однозначно определяется линия действия векто- вектора Г\. Затем из условия г\г1 = 1 единственным образом опреде- определяется сам вектор г1. Аналогично однозначно строятся векто- векторы г2 и г3. Чтобы убедиться, что векторы г1, г2, г3 образуют базис, достаточно доказать, что ггг2г3 ф 0. Согласно теореме о произведении определителей Г\Г Г\Г = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1. F.2) :) Напомним, что векторы п, гг, Тз образуют базис, если они некомпла- некомпланарны, т. е. если их смешанное произведение г\ Г2 rз не равно нулю. ) Всюду в этой главе символом аЪ обозначается скалярное произведение векторов а и 6, символом abc — смешанное произведение векторов a, b и с, символом [ab] — векторное произведение векторов а и Ь. 3) Л. Кронекер — немецкий математик A823-1891).
150 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Так как г\Г2Гъ ф 0 (векторы п, Г2, гз образуют базис), то из соотношения F.2) вытекает, что и г1г2г3 ф 0. Замечание 1. Если базис Г{ ортонормированный, то вза- взаимный базис гк совпадает с данным базисом Г{. Легко убедиться, что векторы гк взаимного базиса в трех- трехмерном пространстве могут быть найдены с помощью соотно- соотношений rl = [г2гз] r2 = [r3ri] r3 = [rir2] ^ Г1Г2ГЗ' Г1Г2ГЗ' Г1Г2ГЗ Пусть т\, г —взаимные базисы, а х — произвольный вектор. Разлагая вектор х по базисным векторам, получим X = Х\Г + %2Г + Х%Г , X = X Г\ + X Г2 + X Г%. F.3) Числа жх, Ж2, жз называются ковариантными координатами вектора ж, а ж1, ж2, х3 — контравариантными координатами ж. Эти наименования будут разъяснены в следующем пункте. Для сокращения записи формул, в которых фигурируют од- однотипные слагаемые (примером таких формул могут служить соотношения F.3)), мы будем пользоваться в дальнейшем со- соглашением о суммировании, которое заключается в следующем. Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей. Если в этом выражении имеются два одинаковых буквенных индекса, из которых один верхний, а другой нижний, то считают, что по этим индексам производится суммирование: индексам последо- последовательно даются значения 1, 2, 3, а затем складываются полу- полученные слагаемые. Например, + х2г2 + х3г3, 8\ = б\ + 81 + #$, lxk = {gikxlxk) gikxlxk = {gikxlx V С помощью соглашения о суммировании формулы F.3) записы- записываются следующим компактным образом: х = Х{Гг', х = хгГ{. F.4) Замечание 2. Верхние и нижние одинаковые индексы, о которых говорилось в соглашении о суммировании, обычно на- называются индексами суммирования. Ясно, что индексы сумми- суммирования могут обозначаться любыми буквами; при этом выра- выражения, в которых они фигурируют, не изменяются. Например, Х{Г^ и x^rk представляет собой одно и то же выражение.
§ 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ. ИНВАРИАНТЫ 151 Замечание 3. Все рассуждения этого пункта относились к случаю трехмерного пространства. В двумерном случае бук- буквенные индексы принимают значения 1 и 2. Получим явное выражение ковариантных и контравариант- ных координат вектора. Для этого умножим скалярно первое из равенств F.4) на гк, а второе на гк. Учитывая затем соотноше- соотношения F.1), найдем xrk =Xi{r rk) =Xidk =xkl Итак, rp. — грГ. rpi — rp^ (a rC\ С помощью соотношений F.5) запишем формулы F.4) в сле- следующем виде: х = {xri)rl, х = (жгг)г^. F.6) Соотношения F.6) называются формулами Гиббса 1) . Обратим- Обратимся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов. С помощью формул F.6) получим гк = (гкг1)гг, rk = (rkri)r\ F.7) Введем обозначения ^ki /v»^/v»^ (ft q\ С помощью этих обозначений перепишем соотношения F.7) сле- следующим образом: к _ rrki _ % (п q\ * —ь 'г? 'к —ькг1 • vu<y/ Итак, для построения базиса гк по базису Г{ достаточно знать матрицу (gkl), а для построения базиса гк по базису г1 доста- достаточно знать матрицу (gki). Докажем, что эти матрицы взаимно обратны. Для доказательства умножим первое из равенств F.9) скалярно на г у Учитывая соотношения F.1), получим Ц 3 = к, \ 3 Ф к. Эти соотношения показывают, что матрицы (g ) и (gki) вза- взаимно обратны. Так как элементы обратной матрицы могут быть вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помо- помощью соотношений F.9) решается вопрос о построении взаимных базисов. :) Д. У. Гиббс — американский физик-теоретик A839-1903).
152 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 2. Преобразования базиса и координат. Пусть Г{ и гг, г = 1, 2, 3, —взаимные базисы, a 7Y и г1 —новые взаимные ба- базисы. Используя соглашение о суммировании, запишем формулы преобразования базисных векторов. Имеем: 1) формулы перехода от старого базиса Г{ к новому г# и формулы обратного перехода: 7Y = Ъ\,гг, гг = tfri4 г, г1 = 1, 2, 3; F.10) 2) формулы перехода от старого базиса г1 к новому г1 и формулы обратного перехода: ri;=bjV, г* = &*,/, г, г'= 1,2, 3. F.11) Так как преобразования F.10) взаимно обратны, то матрицы (Ъ\,) и (Ъ\ ) взаимно обратны. По аналогичным соображениям взаимно обратны и матрицы (Ъ\ ) и {Ь\,). Докаж:ем, что матрицы (Ъ\,) и (Ъ\,) совпадают. Тем самым бу- будет доказано совпадение матриц (Ъ\ ) и (Ъ\ ). Для доказательства умножим скалярно первое из равенств F.10) на гк, а второе из равенств F.11) на г#. Учитывая затем соотношения F.1), най- найдем Из этих соотношений получим Ь\, = тг,т\ F.12) Ъ\, = rvr\ F.13) Поскольку правые части соотношений F.12) и F.13) равны, то равны и левые. Иными словами, Ъ\, = 6^, а это и означает сов- совпадение матриц (Ъ\,) и (Ь\,). Отметим, что элементы Ъ\, матрицы (Ъ\,) могут быть вычислены по формулам F.12). Мы можем теперь утверждать, что для перехода от базиса г^, г1 к базису ?v, г1 достаточно знать лишь матрицу (Ъ\,) перехода от базиса Г{ к базису г# (матрица (Щ ) вычисляется по матрице Приведем полную сводку формул преобразований базисных векторов: ГгГщ'Ги Гг = ^Гг'; F.14) г1' = tfr\ rl = Ъ\,г1'.
§ 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ. ИНВАРИАНТЫ 153 Перейдем к выводу формул преобразования координат век- вектора при переходе к новому базису. Пусть xi' — ковариантные координаты х в базисе г у, г1 . То- Тогда, согласно F.5), имеем Ху = XV у. Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для 7Y из формул F.14), найдем xv = х (b\,Vi) = b\,{xvi) = b\,Xi. Итак, формулы преобразования ковариантных координат век- вектора при переходе к новому базису имеют вид xv = Ъ\,хг. F.14') Мы видим, что при переходе к новому базису ковариантные ко- координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы (Ъ\,) прямого перехода от старого базиса к новому. Это согласование преобразований и объясняет наименование «ковариантные 1) координаты вектора». Подставляя в правую часть соотношения х1 = xvl выражение для vl из F.14), получим после преобра- преобразований следующие формулы: х1' = п-х\ F.15) Мы видим, что при переходе к новому базису контравариантные координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы (Ъ\ ) обратного перехода от нового базиса к старому. Это несогласова- несогласование преобразований и объясняет термин «контравариантные 2) координаты вектора». 3. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор линейного оператора. Мы будем называть инвариан- инвариантами выражения, не зависящие от выбора базиса. Например, значение скалярной функции в данной точке представляет со- собой инвариант. Инвариантом является вектор-объект, не завися- зависящий от выбора базиса. Скалярное произведение векторов также представляет собой инвариант. В этом пункте мы познакомимся с некоторыми инвариан- инвариантами линейного оператора. Пусть А — произвольный линейный оператор, определенный на векторах трехмерного евклидова про- пространства (т. е. А(ах + (Зу) = аАх + (ЗАу для любых векторов :) Ковариантный — согласованно изменяющийся. •нтравариантный — противоположно изменяющийся. 2)Ко,
154 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 ж и у и любых вещественных чисел а и /3). Докажем, что выра- выражение г1Агг = ГъАг1 1) F.16) представляет собой инвариант. Нам нужно доказать, что при переходе к другому базису 7Y, г1 будет справедливо равенство г1Ап = г^Агг,. F.17) Пусть 7Y, г1 —новый базис и (Ь\,) —матрица перехода от базиса г^, г1 к базису 7Y, гг . Имеем П = Ь^7у, гг = Ъгк,гк'. Подставляя эти значения для Г{ и г1 в выражение ггАг{ получим fc/Ari/. F.18) Так как (Ьъ^Ьък,) = ^,, то из F.18) получаем гг Аг{ = 8гк,гк'Aril = r1' Ari>. Итак, равенство F.17) доказано, а следовательно, доказана и инвариантность выражения ггАг{. Инвариант гг Аг{ линейного оператора А мы будем назы- называть дивергенцией этого оператора и будем обозначать симво- символом divA. Таким образом, div А = г1Агг = пАг\ F.19) Замечание. В данном базисе г^, г1 линейный оператор может быть задан с помощью матрицы, называемой матрицей линейного оператора. Эта матрица представляет собой матри- матрицу коэффициентов а\ разложения векторов Ari по базису Г& (можно, конечно, рассматривать матрицу коэффициентов раз- разложения векторов Аг1 по базису гк): Ari = акгк; а{ = г^Аг{. F.20) Дивергенция матрицы А может быть выражена через элементы матрицы (ак). Именно div A = al = a{+al + al. F.21) :)В справедливости равенства ггАг{ = Г{Агг можно убедиться следую- следующим образом. Имеем, согласно F.9), гг = glkrk, r% = gur1. Поэтому, учиты- учитывая, что матрицы (gtk) и (gu) взаимно обратны и симметричны, получим гг An = gk1 kl к
§ 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАТ. ИНВАРИАНТЫ 155 Чтобы убедиться в справедливости формулы F.21), достаточно подставить выражение F.20) для Аг{ в выражение F.19) для дивергенции и воспользоваться соотношением ггг^ = 6гк. Докажем, что выражение [ггАг1] = [г1Агг] 1) F.22) также представляет собой инвариант. Нам нужно доказать, что при переходе к другому базису г у, г1 будет справедливо равен- равенство [пАг1] = [гг,Аг1>]. F.23) Пусть 7Y, г1 —новый базис и (Ъ\,) —матрица перехода от базиса Гг, г1 к базису 7Y, г1 . Имеем П = и-гг1, г1 = Ь{,гк''. Подставляя эти значения для Г{ и г1 в выражение [г^Агг], полу- получим [тгАтг] = (bfbl,) [гг,Агк'}. F.24) Так как f Ь\ Ьгк,) = 6гк, то из F.24) получаем Итак, равенство F.23) доказано, а следовательно, доказана и инвариантность выражения [г^Агг]. Инвариант [г^Агг] линейного оператора А мы будем назы- называть ротором этого оператора и обозначать символом rot А. Та- Таким образом, rot А = [ггАгг] = [ггАг1] + [г2Аг2] + [г3Аг3]. F.25) Укажем выражение для дивергенции и ротора линейного оператора А для случая ортонормированного базиса г, j, fc. Так как в этом случае взаимный базис совпадает с за- заданным, то, согласно формулам F.20), элементы а^- матрицы :)В справедливости равенства [т^Агг] = [ггАт^] можно убедиться сле- следующим образом. Имеем, согласно F.9), гг = glkrk, ri = gur1. Поэтому, используя взаимную обратность и симметричность матриц (gtk) и (gu), по- получим [rl An] = gikgu[rkArl] = Si[rkArl] = [rkArk] = [пАг%
156 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 оператора А могут быть найдены по формулам an = iAi, а\2 — iAj, «13 — iAk, Q>2i = jAi, a22 = jAj, а23 = jAk, F.26) аз1 = кАг, а%2 = kAj, азз = кАк (в отличие от общего случая, мы обозначили элементы матрицы оператора А символами аш\ вместо а™). Для дивергенции оператора А получим следующее выраже- выражение: з div А = ^ аи = ац + а22 + «зз = *Аг + jAj + fcAfc. F.27) г=1 Найдем выражение для ротора оператора А. Так как в случае ортонормированного базиса взаимные базисы совпадают, то из F.25) для rot А получаем rot А = [iAi] + [jAj] + [кАк]. F.28) Вычислим первое векторное произведение [iAi]. Поскольку Аг = = ацъ + a,2i3 + asik, то [iAi] = ац[И] + a2i[ij] + a3i[ifc] = -a3ij + а2\к. Совершенно аналогично получаются формулы \jAj] = a32* - а\2к, [кАк] = - С помощью полученных формул и соотношения F.28) для rot A найдем rot A = (a32 - a2s)i + (ai3 - asi)j + (^21 - ап)к. F.29) § 2. Основные понятия и операции, связанные со скалярным и векторным полем 1. Понятия скалярного и векторного поля. Пусть О — область на плоскости или в пространстве. Говорят, что в области О задано скалярное поле, если каж- каждой точке М из О ставится в соответствие по известному закону некоторое число и(М). Отметим, что понятия скалярного поля и функции, заданной в области О, совпадают. Обычно используется следующая тер- терминология: скалярное поле задается с помощью функции и(М). Понятие векторного поля вводится в полной аналогии с по- понятием скалярного поля: если каждой точке М области О ста- ставится в соответствие по известному закону некоторый век-
§ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 157 торр(М), то говорят, что в области О задано векторное поле. Мы будем использовать терминологию: векторное поле задает- задается с помощью векторной функции р(М). Поле температур внутри нагретого тела, поле плотности мас- массы— примеры скалярных полей. Поле скоростей установившего- установившегося потока жидкости, поле магнитной напряженности — примеры векторных полей. 2. Дифференцируемые скалярные поля. Градиент скалярного поля. Производная по направлению. Мы уже отметили, что понятия скалярного поля и(М) в области О и функции, заданной в этой области, совпадают. Поэтому мы мо- можем определить дифференцируемость скалярного поля как диф- ференцируемость функции, задающей это поле. Для удобства мы сформулируем понятие дифференцируемости поля, исполь- используя терминологию, несколько отличную от обычной. Будем называть линейной формой /(Аг) относи- относительно вектора Аг скалярное произведение этого вектора на некоторый, не зависящий от Аг вектор g. Будем также исполь- использовать обозначения: р = р(М, М') —расстояние между точками М и М7, Аг = ММ —вектор, соединяющий точки М и М7, Аи = и(М') — и(М) —приращение поля в точке М. Сформулируем следующее определение. Определение 1. Скалярное поле и(М) называется диф- дифференцируемым в точке М области О, если приращение поля Аи в точке М может быть представлено в следующей форме: Au = f(Ar) + o(p), F.30) где /(Аг) представляет собой линейную форму относительно вектора Аг. Соотношение F.30) мы будем называть условием дифферен- дифференцируемости поля и(М) в точке М. Замечание 1. Так как линейная форма /(Аг) представ- представляет собой скалярное произведение g • Аг, где g — не зависящий от Аг вектор, то условие F.30) дифференцируемости скаляр- скалярного поля и(М) в точке М может быть записано в следующем виде: Аи = g- Ar + о(р). F.31) Докажем, что если скалярное поле и(М) дифференцируемо в точке М, то представление F.30) (или F.31)) для приращения Аи этого поля в точке М единственно. Пусть Аи = g • Аг + oi(p) и Аи = h • Аг + о2(р) F.32)
158 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 — два представления приращения Аи в точке М. Из формул F.32) для Аг т^ 0 получаем соотношение (S~h)e = ^ F.33) Аг в котором е = — единичный вектор, а о(р) = 02(р) — °\{р)- |Аг| Так как = -^ —бесконечно малая величина при о —>• 0, то |Ar| р из F.33) следует, что (g — h)e = 0 для любого е, т. е. g = fo. Единственность представления F.30) доказана. Мы будем говорить, что скалярное поле и(М), заданное в области ft, дифференцируемо в этой области, если оно диффе- дифференцируемо в каждой точке области О. Определение 2. Градиентом в точке М дифферен- дифференцируемого в этой точке скалярного поля и(М) называется век- вектор g, определенный соотношением F.31). Обозначается градиент скалярного поля символом gradfi. Замечание 2. Сформулированное выше определение дифференцируемости скалярного поля удобно тем, что оно име- имеет инвариантный, не зависящий от выбора системы координат характер. Поэтому градиент скалярного поля представляет со- собой инвариант этого поля. Замечание 3. Отметим следующее важное обстоятель- обстоятельство: если скалярное поле и(М), заданное в области О, диф- дифференцируемо в этой области, то градиент gr&du этого поля определен в каждой точке О и, очевидно, представляет собой векторное поле, заданное в О. Замечание 4. Для скалярного поля вводится понятие поверхности уровня {линии уровня для плоского поля), кото- которая представляет собой множество точек, на котором значения поля и(М) одинаковы. Градиент поля в точке М ортогонален поверхности уровня в этой точке. Читатель легко убедится сам в справедливости этого замечания. Используя обозначение grad и для градиента скалярного по- поля, перепишем соотношение F.31) в следующей форме: Аи = grad и- Аг + о(р). F.34) Отметим, что слагаемое grad?/ • Аг обычно называется диф- дифференциалом du скалярного поля. Таким образом, du = grad?/ • Аг. F.35) Договоримся называть дифференциалом dr приращение Аг радиуса-вектора г = ОМ, Аг = ОМ — ОМ. Тогда форму- формула F.35) для дифференциала du скалярного поля может быть записана в виде du = grad?/ • dr. F.36)
§ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 159 Пусть в области О заданы два дифференцируемых поля и(М) и v(M). Справедливы следующие соотношения: grad(^ ± г;) = grad?/ ± grad?;, grad(m;) = и grad v + v grad гл, F.37) i w v grad 16 — и grad г; grad - = -^ —s V V2 (при г; т^ 0). Если F — дифференцируемая функция, то grad F(u) = F'(u) grad и. F.38) Вывод формул F.37) и F.38) однотипен. Для примера убе- убедимся в справедливости второй из формул F.37). Имеем, ис- используя формулу F.34) и непрерывность функции и(М), A(uv) = u{M')v{M') - u(M)v(M) = = u(Mf)Av + v(M)Au = = (u(M) grad?; + v(M) gradi^Ar + o(p). Из этих соотношений вытекает, что приращение A(uv) может быть представлено в форме F.31). Поэтому uv — дифференци- дифференцируемая функция и grad(m;) = i/grad'y + v gradiA. Вторая из фор- формул F.37) доказана. Введем понятие производной по направлению для скалярного поля. Пусть поле и(М) задано в области О, М — некоторая точка О, е — единичный вектор, указывающий направление в точке М. Пусть далее М' — любая точка из О, отличная от М и такая, что вектор ММ1 коллинеарен вектору е. Расстояние между М и М' обозначим через р. Если существует предел Л. Аи lim — р (Аи = и{М') —и(М)I то этот предел называется производной поля и в точке М по направлению е и обозначается символом —. Таким образом, де я д аи -.. Аи (Г О(Л\ т-= lim—. F.39) де р—)>0 р Справедливо следующее утверждение. Пусть поле и(М) дифференцируемо в точке М. Тогда про- производная — поля и в этой точке по любому направлению е де существует и может быть найдена по формуле — = grad?/ • е. F.40) де
160 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Докажем это утверждение. Пусть е — любое фиксированное направление и пусть точка М' берется так, что вектор А г = = ММ коллинеарен е. Ясно, что Аг = ре. Подставляя значение Аг в соотношение F.34), найдем Аи = (gididu • е)р + о(р). Отсюда получаем формулу ^ .e + ^. F.41) Р Из соотношений F.39) и F.41) вытекает формула F.40). Ут- Утверждение доказано. Найдем выражение градиента дифференцируемого скалярного поля, считая, что в пространстве выбран ортонормированный базис г, j, fc, с которым связана декартова прямоугольная система координат Oxyz. Так как gradи = i(gradи• г) +j(gradu-j) + ди ди ди ди ди ди то с помощью соотношения F.40) получим .ди , .ди х , ди рис. ел &ej; & С помощью выраж:ения F.40) для производной по направ- направлению получаем следующую наглядную картину распределения значений производных по направлению поля и(М) в плоской области О в данной точке М. Пусть grad?/ ^ 0 (если grad?/ = 0, ди то из F.40) вытекает, что — =0 для любого е). На векторе де grad?/ как диаметре (рис. 6.1) построим окружность С. Постро- Построим также окружность С*, равную С и касающуюся ее в точке М. Пусть е — произвольное направление. Проведем через М полу- полупрямую по направлению вектора е. Если эта полупрямая касает- касается окружностей С и С*, то — = 0 (вектор е ортогонален grad?/). де ди Если же эта полупрямая пересекает С или G* в точке 7V, то — де равно длине M7V, взятой со знаком +, когда N лежит на С, и со знаком —, когда N лежит на С*. Для поля в пространстве окружности С и С* должны быть заменены сферами. 3. Дифференцируемые векторные поля. Дивергенция и ротор векторного поля. Производная векторного поля по направлению. Пусть в области О трехмерного евклидона пространства задано векторное поле р(М). В дальнейшем будем использовать обозначения: Аг = ММ , Ар = р{М') — р(М).
§ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 161 Сформулируем следующее определение. Определение 3. Векторное поле р(М) называется диф- называется дифференцируемым в точке М области О, если прира- если приращение поля Ар в точке М может быть представлено в сле- следующей форме: Ар = АДг + о(|Дг|), F.42) где А —линейный оператор, не зависящий от Аг (не зависящий от выбора точки М'). Соотношение F.42) мы будем называть условием дифферен- цируемости поля р(М) в точке М. Докажем, что если векторное поле р(М) дифференцируемо в точке М, то представление F.42) для приращения Ар этого поля в точке М единственно. Пусть Ар = AAr + oi(|Ar|) и Ар = ВАг + о2(\Аг\) F.43) — два представления приращения Ар в точке М. Из формул F.43) при Аг ф 0 получаем соотношение в котором е = —единичный вектор, o(|Ar|) = Oi(|Ar|) — —О2(| Аг|). Так как —-—— — бесконечно малый вектор при Аг —>> |Аг| —>• 0, а е — произвольный единичный вектор, то из F.44) следу- следует, что (А — В)е = 0 для любого е, т. е. А = В. Единственность представления F.42) доказана. Будем говорить, что векторное поле р(М), заданное в обла- области О, дифференцируемо в этой области, если оно дифферен- дифференцируемо в каждой точке области О. Введем понятие производной по направлению для векторно- векторного поля р(М). Пусть поле р(М) задано в области О, М — некоторая точка О, е — единичный вектор, указывающий направление в точке М. Пусть далее М' — любая точка из О, отличная от М и такая, что вектор ММ коллинеарен вектору е. Расстояние между точка- точками М и М' обозначим через р. Если существует предел р (Ар = р(М') — р(М)), то этот предел называется производ- производной поля р(М) в точке М по направлению е и обозначается др символом -?-. де 6 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II
162 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Таким образом, * = lim^. F.45) де р^О р Справедливо следующее утверждение. Пусть поле р(М) диффе- дифференцируемо в точке М области О. Тогда производная — поляр де в этой точке по любому направлению е существует и может быть найдена по формуле ^ = Ае, F.46) де где А — линейный оператор, определенный соотношением F.42). Докажем это утверждение. Пусть е — любое фиксированное направление и пусть точка М1 берется так, что вектор А г = ре и |Аг| = р. Подставляя это значение Аг в соотношение F.42) и используя свойства линейного оператора, найдем Ар = рАе + о(р). Отсюда получаем формулу ^ = Ае + ^. F.47) Р Р Из соотношений F.45) и F.47) вытекает формула F.46). Утвер- Утверждение доказано. Пусть р(М) — дифференцируемое в точке М области О поле. Тогда Ар = ААг + о(|Аг|). Найдем матрицу линейного оператора А для случая орто- нормированного базиса г, j, к. Мы будем считать, что с этим ба- базисом связана декартова прямоугольная система коорди- координат Oxyz. Обозначим через Р, Q и R координаты векторного поля р(М) в базисе г, j, к. Очевидно, согласно формуле F.46), дР _ дР _ Aj дР _ дР _ А. дР _ дР _ Лк дъ ox oj ду ok dz Из этих формул и из соотношений F.26) для матрицы коэффици- коэффициентов линейного оператора в ортонормированном базисе г, j, к о следует, что матрица А рассматриваемого оператора А имеет вид F.48) Введем понятие дивергенции и ротора дифференцируемого в области О векторного поля р(МI т. е. такого поля, прира- /дР дх dQ дх dR \дх дР ду dQ ду dR dv дР\ dz ' dQ dz dR , dz)
§ 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПЕРАЦИИ 163 щение Ар которого в каждой точке М области О может быть представлено в виде Ар = ААг + о(|Дг|), причем оператор А, вообще говоря, меняется при переходе от одной точки области О к другой. Иными словами, оператор за- зависит от точки М и не зависит, конечно, от Аг. Назовем дивергенцией и ротором поля р(М) в точке М области О дивергенцию и ротор линейного оператора А. Таким образом, по определению divp = divA, rot p = rot A F.49) Замечание. При наших предположениях о дифференци- руемости поля р(М) в области О дивергенция divp и ротор rotp определены в каждой точке О. Поскольку эти объекты являют- являются инвариантами (не зависят от выбора базиса), то, очевидно, divp представляет собой скалярное поле, a rot p — векторное по- поле в области О. Найдем выражения дивергенции, ротора и производной по направлению для дифференцируемого векторного поля р(М), считая, что в пространстве выбран ортонормированный базис г, j, fc, с которым связана декартова прямоугольная система координат Oxyz. При этом, как и выше, будем считать, что поле р(М) имеет координаты Р, Q, R в базисе г, j, к. о Так как матрица А линейного оператора А определяется в рассматриваемом случае соотношением F.48) и по определению divp = divA, rotp = rot А (см. F.49)), то, согласно формулам F.27) и F.29), получим ,. дР . dQ . dR ,a гП\ divp= — + ^ + —, 6.50 ох ду oz (dR dQ\. , (дР dR\ . , (dQ дР Для вычисления производной векторного поля р(М) по направ- направлению е воспользуемся формулой F.46) и свойствами линейного оператора. Пусть е = icosa + j cos/3 + fecos7 г) • Тогда, согласно F.46), получим -Е = Ае = cos aAi + cos /3 Aj + cos 7 Ak = de = cos а -Ц- + cos /3 -Ц + cos 7 — = cos a — + cos /3 — + cos 7 —. ^г ^j 9fc ^ж ^|/ ^^ :)Так как е — единичный вектор, то его координаты имеют вид {cosa, cos/3, COS7}, где а, /3 и 7 — УГЛЬ15 которые составляет этот вектор с осями Ох, Оу и Oz соответственно.
164 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Таким образом, производная — может быть вычислена либо по де формуле ^? = Cosa^ + cos/3^ + cos7^, F.52) де дх ду dz либо, учитывая, что Р, Q, R — координаты р(М), по формуле др (дР . дР п , дР \ . . — = — cos а + — cos р + — cos 7 * + де \дх ду dz Ч fdQ , dQ Q , dQ \ . —- cos a + —- cos ^ + —- cos 7 Ь V дх ду dz J + cos a + V д ду , (dR . OR n , OR \, (r rO\ + — cos a + — cos /3 + — cos 7 fc. F.53) V <9ж ду dz / 4. Повторные операции теории поля. Будем считать, что в области О евклидова пространства Е^ заданы скалярное поле и(М) класса С2 г) и векторное поле р(М) класса С2. При этих предположениях grad и представляет собой диффе- дифференцируемое векторное поле в О, divp — дифференцируемое ска- скалярное поле, a rot p — дифференцируемое векторное поле. По- Поэтому возможны следующие повторные операции: rot grad и, div grad и, grad div p, div rot p, rot rot p. Докажем, что rot grad и = 0, div rot p = 0. F.54) Для доказательства вычислим rot grad и и div rot p в декарто- декартовой прямоугольной системе координат. Так как в этом случае -, ди ди ди , координаты grad?/ равны —, —, —, то на основании формулы дх ду dz F.51) получим , , ( д2и д2и \. , / д2и д2 rot grad?/ = ( h+ ( ( T^h+ ( \dydz dzdy/ \dzdx дх ду ду дх / Таким образом, первое из равенств F.54) справедливо для декар- декартовой системы координат. В силу инвариантности выражения rot grad?/, первое из равенств F.54) доказано. Перейдем к до- доказательству второго равенства F.54). Обратимся опять к де- декартовой системе координат. В этой системе, согласно F.51), *) Функция принадлежит классу Ск в области Q, если все ее частные про- производные порядка к непрерывны.
§ 3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 165 (dR dQ\ (дР dR\ векторное поле rot р имеет координаты — — —- , — — — , V ду dz / \ dz дх / ( — — — ), где Р, Q, R — координаты вектора р. Согласно F.50) V дх ду / дивергенция векторного поля rot p в декартовой прямоугольной системе координат равна сумме производных компонент этого поля по одноименным координатам. Таким образом, z дх / dz\ dx ду > Таким образом, второе из равенств F.54) справедливо для де- декартовой системы координат. В силу инвариантности выраже- выражения div rot р, второе из равенств F.54) справедливо в любой си- системе координат. Одной из основных повторных операций теории поля явля- является операция div grad?/. Кратко эту операцию обозначают Аи, причем символ А обычно называют оператором Лапласа г) . Та- Таким образом, Аи = div grad?/. F.55) Вычислим оператор Лапласа в декартовой прямоугольной системе координат. В такой системе векторное поле grad?/ име- ди ди ди глг (п ГГк\ ет координаты —, —, —. Обращаясь к выражению (о.50) для дх ду dz дивергенции векторного поля, получим л d2u . d2u . d2u (n гм А?/ = — + — + —. 6.56 dx2 dy2 dz2 Повторные операции grad div p и rot rot p связаны соотношением rot rot p = grad div p — Ар, F.57) где Ар представляет собой вектор, координаты которого в бази- базисе г, j, к равны АР, AQ, AR (P, Q, R — координаты векторного поля р в базисе г, j, к). В справедливости соотношения F.57) читатель легко убедится самостоятельно. § 3. Выражение основных операций теории поля в криволинейных координатах 1. Криволинейные координаты. Пусть О —область ев- евклидова пространства Е3', х, у, z — декартовы координаты в этом пространстве. Пусть далее, О —область евклидова пространства Е3; х1, х2, ж3 —декартовы координаты в Е3. 1)П. С. Лаплас — выдающийся французский астроном, математик и фи- физик A749-1827).
166 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Рассмотрим взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области О на область О, которое осуществляется посредством функций ж = ж ж , х , х у = у(х\ х2, х3), z = z(x\ х2, х3). F.58) С помощью указанного отображения в области О вводятся кри- криволинейные координаты ж1, ж2, х3. Смысл этого наименования легко уяснить из следующих рассуждений. Во-первых, каждой точке М(х, у, z) области О сопоставляются три числа ж1, ж2, ж3. Более точно, точка М определяется тройкой чисел ж1, ж2, ж3. Этим объясняется наименование «координаты» точки М для чисел ж1, ж2, ж3. Во-вторых, если в правых частях соотношений F.58) фиксированы две какие-либо координаты, например ж2 и ж3, то при переменном ж1 эти соотношения определяют в обла- области О некоторую линию, отличную, вообще говоря, от прямой. Эту линию естественно называть коор- координатной линией ж1, подчеркивая тем самым, что в точках указанной линии меняется лишь координата ж1. В полной аналогии определяются координатные линии ж2 и ж3. Вообще говоря, коорди- координатные линии ж1, ж2 и ж3 не будут пря- прямыми. Этим и объясняется термин «кри- «криволинейные координаты». Мы выяснили, что через каждую точку М области О проходят три коор- координатные линии ж1, ж2, ж3 (рис. 6.2). По- Построим в точке М базис г^, гг, естественным образом связанный с координатными линиями, проходящими через эту точку. При этом мы воспользуемся соотношениями F.58). Очевидно, про- производные —^-, ——, —^-, вычисленные в точке М, представляют дх1 дх1 дх1 собой координаты вектора касательной к линии ж1 в этой точке. Мы обозначим, этот вектор через г\. Аналогичным способом мы строим векторы Г2 и 2 3 ственно. Таким образом, касательных к линиям ж2 и ж3 соответ- соответ¦s = t*L,°V-,bLl к = 1,2,3. I Syrprv Syrprv Syrprv F.59) Для того чтобы векторы ri, Г2, гз образовали базис, нуж- нужно потребовать некомпланарности этих векторов. Достаточным условием для выполнения этого требования является, очевидно,
3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 167 условие необращения в нуль якобиана V(x, у, V(x\ x2 z) _ ,x3) дх ~dx^ дх дх2 дх дх3 ду дх1 ду дх2 ду дх3 dz dx1 dz dx2 dz dx3 ибо этот якобиан равен смешанному произведению векторов ri, ?, 7*3 • С помощью построенного базиса ri, Г2, тз стандартным образом строится взаимный базис г1, г2, г3. Итак, если в области О введены криволинейные координаты ж1, ж2, ж3, то с каждой точкой М этой области естественным обра- образом связываются базисные векторы и, гг. Рассмотрим примеры. 1°. Цилиндрическая система координат. Эта система коор- координат вводится с помощью соотношений ж = pcoscp, у = psintp, z = z. F.60) Таким образом, х1 = р, х2 = <р, ж3 = 2. Известно, что указанные координаты р, <р, z (или, что то же, ж1, ж2, ж3) изменяются в следующих пределах 1) : 0 ^ р ^ +оо, 0 ^ (р < 2тг, -оо < z < оо. Эти неравенства определяют в евклидовом пространстве коор- координатами р, у?, 2: (или ж1, ж2, ж3) бесконечную область О, J53 с изображенную на рис. 6.3. Мы можем, следовательно, рассмат- ривать введение цилиндрических координат в евклидовом про- пространстве Е3 как результат отображения области О простран- пространства Е3 в пространство Е3 с помощью формул F.60). ) См. вып. 3 «Аналитическая геометрия» настоящего курса.
168 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Очевидно, координатные линии р (или линии х1) представ- представляют собой прямые, проходящие через ось Oz, перпендикулярно этой оси, координатные линии ср (линии х2) — окружности с цент- центрами на оси Oz, плоскости которых параллельны плоскости Оху. Координатные линии z (линии ж3) —прямые, параллельные оси Oz (см. рис. 6.3). Найдем векторы ri, Г2, тз и г1, г2, г3. Имеем x ду d Г дх ду dz\ Г2 = I v v aji= гз = {^,^,|} = {0,0,1}. L dz dz dz) k J Подчеркнем, что выражения в фигурных скобках представ- представляют собой декартовы координаты базисных векторов ri, r2 и гз- Непосредственно можно убедиться, что базис ri, Г2, тз ортогональный. Для вычисления «взаимного базиса воспользу- воспользуемся формулами, приведенными в п. 1 § 1 этой главы. Имеем cos (p sin (p 0 p sin (p p cos (p 0 0 0 1 = Р, Поэтому [r2r3] = [r3ri] = [Г1Г2] = 1 _ [r2r3] 7*17*2^3 2 _ [^3^i] Г*1Г*2Т*з 3 [Г1Г2] 7* — : {pCOS : {— sin : {0, 0, -{cos, ^ p - {0, 0 (p, psinyp, 0}, <p, cos y?, 0}, y?, sinyp, 0}, 1 SlIKp, ^ COS ip ,1}. , O), Г1Г2Г3 2°. Сферическая, система координат. Эта система координат вводится с помощью соотношений х = р sin в cos <р, У = Р sin б sin <p, z = p cos б. F.61) Таким образом, х1 = р, х2 = (р, х3 = в. Известно, что указанные координаты р, <р, б (или, что то же, ж1, ж2, ж3) изменяются в следующих пределах: 0 ^ р < +оо, 0 ^ (р < 2тг, 0 ^ 6> ^ тг. F.62)
3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 169 Неравенства F.62) определяют в евклидовом пространстве Е3 с координатами р, ср, в (или ж1, ж2, х3) бесконечную область О, изображенную на рис. 6.4. Мы можем поэтому рассматривать введение сферических координат в евклидовом пространстве Е3 Линия ф Рис. 6.4 как результат отображения области О пространства Е3 в про- пространство Е3 с помощью формул F.61). Очевидно, координатные линии р (линии х1) представляют со- собой лучи, выходящие из начала координат; координатные линии (р (линии х2) — окружности с центрами на оси Oz, плоскости кото- которых параллельны плоскости Оху, координатные линии в (линии х3) —полуокружности, центры которых находятся в начале коор- координат и плоскости которых проходят через ось Oz (см. рис. 6.4). Найдем векторы ri, Г2, тз и г1, г2, г3. Имеем г\ = { sin в cos <p, sin в sin <p, cos в }, г2 = { —psin^sin^, psin#cos(^, 0 }, Непосредственно можно убедиться, что базис ri, Г2, гз ортого- ортогональный. Для вычисления взаимного базиса воспользуемся фор- формулами, приведенными в п. 1 § 1 этой главы. Имеем sin в cos (p sin в sin (^ cos в —psmOsincp psmOcoscp О р cos 6 cos cp = — р2 sin б, [г2гз]={ — р2 sin2 б cos у?, —p2sm20sm(p, — p2 []={ psinyp, pcos^, ]={ — pcosOsmOcosip, — pcosOsmOsiiup, }, 0 }, psm20 }.
170 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Поэтому г1 = \-Г2Гз* = { sin в cos <p, sin в sin <p, cos б }, Г2 = rir2r3 r3 = Г 1 sin if 1 cos if П \ I p sin 0' p sin 0 ' J ' = <^ -cos б cos <p, -cos б sin <p, —-sin б L L p p p J Г1Г2Г3 ^ p P p 3°. Ортогональная криволинейная система координат. Криволинейную систему координат мы будем называть орто- гоналъной, если в каждой точке области О базис г^, определя- определяемый равенством F.59), является ортогональным. Только что рассмотренные цилиндрическая и сферическая системы коорди- координат представляют собой примеры ортогональных криволиней- криволинейных координат. Получим выражение для векторов г1 взаимного базиса для случая ортогональной системы координат. Введем следующие обозначения: #! = |П|, #2 = |Г2|, #3 = |Г3|. Величины Hi, H2i H3 обычно называются коэффициентами или параметрами Ламе г) . Так как система координат ортогональная и тройка векторов ri, г2ч ?"з правая, то rir2r% = Я1Я2Я3, Ятт тт тт тт тт 2^3 , Г1\ ?12 112, Используя эти соотношения и формулы, выражающие векторы взаимного базиса через векторы Г{ (см. п. 1 § 1 этой главы), получим 1 1 2 1 з 1 г =щГи г =щГ2> г =щГ1' 2. Выражение градиента и производной по направ- направлению для скалярного поля в криволинейных коорди- координатах. Пусть в области О, в которой введены криволинейные координаты ж1, ж2, ж3, задано дифференцируемое скалярное по- поле и(М). При этих условиях gradi/ определен в каждой точке О и в каждой точке О по любому направлению е может быть вычислена производная —. Как градиент gradi/, так и произ- де водную по направлению в данной точке М мы будем относить к базису Г{, г1 в этой точке, построение которого описано в пре- предыдущем пункте. 1°. Выражение градиента скалярного поля в криволинейных координатах. После введения в области О криволинейных ко- 1)Г. Ламе — французский математик A795-1870).
§ 3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 171 ординат ж1, ж2, ж3 скалярное поле и будет, очевидно, функцией переменных ж1, ж2, ж3: и = ^(ж1, ж2, ж3). Эта функция может рассматриваться как результат суперпози- суперпозиции функции и(х, у, z) переменных ж, у, z и функций F.58). По- ди этому для вычисления производных — мы можем применить дхг ди правило дифференцирования сложной функции. Обозначая —: дхъ через щ, получим ди дх . ди ду . ди dz (п гп\ Щ = г + - + г. F.63) дхдхг дудхг dz дхг v J m ди ди ди л г • i 1ак как —, —, — — координаты вектора gr&du в оазисе г, j, &, дх ду dz связанном с системой Oxyz, а —, ——, —^- —координаты векто- дхг дхг дхг ра г^, то, очевидно, соотношение F.63) может быть переписано в следующей форме: щ = r^grad^. F.64) Используя формулы Гиббса (см. формулы F.6)) для вектора gradi/ и формулы F.64), получим Итак, градиент скалярного поля и в криволинейных координа- координатах выражается следующим образом: = ?)¦ <6-65) На практике часто встречается случай ортогональной криволи- криволинейной системы координат. В предыдущем пункте мы получили (см. п. 3° предыдущего пункта) выражение для векторов г1 вза- взаимного базиса для ортогональной системы. Используя эти вы- выражения и формулу F.65), найдем для gradi/ в ортогональных координатах следующую формулу: -, 1 ди . 1 ди . 1 ди (п пп\ ь Щдх1 Щдх2 Щдх2 v J Наряду с ортогональным базисом Г{ рассматривают ортонор- мированный базис е^ = ri/Hi. Легко видеть, что в базисе е^ выражение для gradi/ имеет вид -, 1 ди . 1 ди . 1 ди (п ГГ7\ gradi/ = -е\ + -в2 + ез- (о.о7) 2°. Выражение производной скалярного поля и(М) по на- направлению е в криволинейных координатах. Пусть ег — контра- вариантные координаты единичного вектора е в базисе г^, так что k е = екгк.
172 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 Для производной — мы получили в п. 2 § 2 этой главы следую- следующую формулу: ди л — = е • grad и де (см. формулу F.40)). Подставляя в эту формулу выражение для е в базисе Г{ и формулу F.65) для grad?/, получим g = (екгк)(щгг) = екщ(гкгг) = екщ5гк = ще\ Таким образом, производная скалярного поля и по направле- направлению е выражается в криволинейных координатах следующим образом: — = Ще • F.68) де 3. Выражение дивергенции, ротора и производной по направлению для векторного поля в криволинейных ко- координатах. Пусть в области О, в которой введены криволи- криволинейные координаты, задано дифференцируемое векторное поле р(М). При этих условиях дивергенция и ротор поля р опреде- определены в каждой точке области О, и в каждой точке О по любому направлению е может быть вычислена производная —. Дивер- де генцию, ротор и производную по направлению в данной точ- точке М мы будем относить к базису г^, г1 в этой точке. 1°. Выражение дивергенции векторного поля в криволиней- криволинейных координатах. После введения в области О криволинейных координат ж1, ж2, х3 векторное поле р будет, очевидно, функцией переменных ж1, ж2, х3: р = р{х1, х2, х3). Эта функция может рассматриваться как результат суперпози- суперпозиции функции р(ж, у, z) и функций F.58). Поэтому для вычисле- вычисления производных —?- мы можем применить правило дифферен- дх% д цирования сложной функции. Обозначая —— через р^ получим = дрд^^дрду_^дрд^ ,g 6gx 1 дхдх{ дудх{ dz дх{' \ ' ) Так как — = Аг, — = Aj, — = Ak, где А — линейный опе- дх ду dz ратор, определенный равенством Ар = ААг + о(|Аг|) (см. п. 3 § 2 этой главы), то из соотношений F.69) и свойств линейного оператора получим Pl = A(gLi + g-j + p-k) = Агг. F.70) \дхг дхг дхг J
§ 3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 173 По определению divp = div A = ггАг{. Поэтому, согласно фор- формуле F.70), в криволинейной системе координат дивергенция векторного поля р(М) может быть вычислена по формуле div р = ггрг Найдем выражение для дивергенции для случая ортогональной криволинейной системы координат. Используя выражение для векторов г1 взаимного базиса для ортогональных криволиней- криволинейных координат и формулу F.71), получим = ±р1Г1 + ±p2r2 + ±р3г3 (рг = 0). F.72) Формула F.72) записывается также и другим способом. Обозна- Обозначим через Р1 координаты поля р в ортонормированном базисе е{ = — г) . Тогда после ряда преобразований выражение F.72) Hi для divp примет следующий вид: 0(P2ff3ffi) д2 дх1 с 2°. Выражение ротора векторного поля в криволинейных ко- координатах. По определению rotp = rot A = [ггАг^]. Поэтому, согласно формуле F.70), получим , Г 7 1 / ОТ) \ / п >-7 Л\ rotp = [г Pi\ \pi = —— ). F.74) Найдем выражение ротора в ортогональной криволинейной си- системе координат. Используя выражение для векторов г1 взаим- взаимного базиса для ортогональной системы и формулу F.74), полу- получим н н н / я \ / ОТО \ /п i-7 r \ \Pi — —*- • @.75) V dxi J jp В ортонормированном базисе е^ = — ротор векторного поля р имеет координаты Г 1 Г<9(Р3Яз) _ а(Р2Я2I 1 p(P^i) _ <9(Р3Я3I IЯ2Я3 I дх2 дх3 Г Я3Я1 L дх3 дх1 Г F.76) дх1 дх2 3°. Выражение для производной векторного поля по направ- направлению в криволинейных координатах. Воспользуемся формулой ^ = Ае, F.46) де 1) В правой части этой формулы суммирование по индексу г не произво- производится.
174 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ГЛ. 6 полученной нами в п. 3 § 2 этой главы. Пусть е = eVj. Тогда из формулы F.46) и свойств линейного оператора получим — — е лтг. де Так как Аг{ = р^ где pi = —^, то для производной векторного поля р по направлению е получим следующее выражение: %¦ = егРг. F.77) де 4. Выражение оператора Лапласа в криволинейных ортогональных координатах. Мы определили оператор Ла- Лапласа Аи как повторную операцию divgradi/. Используя выра- выражения F.67) и F.73) для градиента и дивергенции в криволиней- криволинейных ортогональных координатах, мы получим выражение для оператора Лапласа. В рассматриваемом случае векторным полем р, дивергенцию которого нужно вычислить, является поле gr&du. Подставляя F.67) в F.73), получим Аи - 1 Г д /Я2Я3 ди\ д ГН3Н! ди\ д (UiU2 ди \1 U ~ H!H2H3 Idx1 \ Иг дх1) дх2\ Н2 дх2) дхЛ Я3 дх3)\' F.78) 5. Выражение основных операций теории поля в ци- цилиндрической и сферической системах координат. 1°. Цилиндрическая система координат. В силу результатов в 1° п. 1 § 3 параметры Ламе для цилиндрических координат имеют вид #! = 1, Я2 = р, #з = 1. В таком случае из формул F.67), F.73), F.76) и F.78) вытекают следующие равенства: ди 1 ди ди dp p dip dz 1 д ( ди\ . 1 д2и . д2и ( р— I + + • р др\ dp J p2 dip2 dz2 2°. Сферическая система координат. В этом случае пара- параметры Ламе имеют вид Н\ = 1, Н.2 = р sin 6, Н% = р.
§ 3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 175 Следовательно, ди . 1 ди . 1 ди divp = ^f (P2PP) 2 d + ер р sin 9 о9 1 /<9(sin 9Р^) дРв\ rotp= —-( v v) - —-)ep + psm9\ d9 dip / Сд + psin9 dip p dp J \p dp p d9 \p Аи = -1A (p^ 2 d У d p2 dp У dp) p2 sin9d9\ dO ) p2 sin2 9 dip2 В заключение этой главы приведем сводку формул, связы- связывающих операции взятия градиента, дивергенции и ротора с ал- алгебраическими операциями: 1°. grad(^ ± г;) = gradi/ =Ь grad^. 2°. grad(i/ • г;) = i/grad'y + v gradi/. ( ) V2 4°. div(p=b q) = divp± divq. 5°. div(^p) = pgr&du + i/divp. 6°. div[pq] = qrotp — prot q. 7°. rot[p ±q] = rotp =b rot q. 8°. rot(fip) = uiotp— [pgididu]. В справедливости этих формул читатель легко убедится са- самостоятельно . Заключительные замечания. В этой главе мы по- познакомились с основными операциями теории поля. При этом мы не опирались на какие-либо физические представления, по- поскольку нашей целью являлось построение математического ап- аппарата теории. В следующей главе мы получим ряд важных интегральных соотношений, связывающих некоторые операции теории поля. Эти соотношения позволят нам указать физиче- физическую интерпретацию понятий и операций, введенных в настоя- настоящей главе.
ГЛАВА 7 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО В этой главе мы получим важные формулы, играющие боль- большую роль в различных приложениях и, в частности, в теории поля. Эти формулы в определенном смысле представляют собой обобщения на многомерный случай формулы Ньютона—Лейбница для одномерных интегралов. § 1. Формула Грина г) 1. Формулировка основной теоремы. Пусть D — конеч- конечная, вообще говоря, многосвязная область на плоскости Оху с кусочно-гладкой границей L 2) . Область D с присоединенной границей L мы будем обозначать D. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 7.1. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерыв- непрерывны в D и имеют непрерывные частные производные первого порядка в D. Если существуют несобственные интегралы по области D от каждой из частных производных функций Р(х, у) и Q(x, у) 3) , то справедливо соотношение ^дх ду1 ~~* г ' ~"~*' ^X> D L называемое формулой Грина. При этом стоящий в пра- правой части G.1) интеграл представляет собой сумму интегра- интегралов по связным компонентам границы L, на которых указано такое направление обхода, при котором область D остается слева. :)Дж. Грин — английский математик A793-1841). ) Граница L называется кусочно-гладкой, если она составлена из конечно- конечного числа гладких кривых. Если граница L состоит из конечного числа замк- замкнутых кусочно-гладких кривых Li, то связную область D обычно называют многосвязной, а кривые Li называют связными компонентами границы. 3) Так как частные производные функций Р(ж, у) и Q(x, у) существуют лишь в открытой области D, то упомянутые интегралы являются несобст- несобственными. При дополнительном предположении о непрерывности указанных частных производных в D упомянутые интегралы переходят в собственные.
ФОРМУЛА ГРИНА 177 Мы докажем сначала формулу Грина для специального, но достаточно широкого класса областей. Затем мы установим ряд вспомогательных утверждений, которые понадобятся для дока- доказательства сформулированной теоремы. 2. Доказательство формулы Грина для специального класса областей. Пусть D — односвязная конечная область с кусочно-гладкой границей L. Будем считать, что каждая пря- прямая, параллельная любой координатной оси, пересекает грани- границу L не более чем в двух точках. Такие области будем называть областями типа К. По предположению, существуют несобственные интегралы от частных производных функций Р(ж, у) и Q(x, у). Это озна- означает, что для любой системы областей {Dn}5 монотонно исчер- исчерпывающих область D, справедливо, например, соотношение lim f[^-dxdy = ff^-dxdy n^JJ дх У JJ дх У У У2-< S/1 + - Dn D (аналогичные соотношения справедливы и для других частных производных функций Р(ж, у) и Q(x, у)). Опишем построение специальной системы областей {D^}, монотонно исчерпывающих область типа К. Эта система пона- понадобится нам при доказательстве формулы Грина для областей ука- указанного типа. Пусть сегмент [а, Ь] оси Ох представляет собой проекцию на эту ось области D (рис. 7.1). Про- Проведем через точки а и b прямые, параллельные оси Оу. Каждая из этих двух прямых пересекается с границей L лишь в одной точке. Эти две точки А ж В пересече- пересечения указанных прямых с грани- границей L разделяют L на две кривые L' и L , которые, очевидно, представляют собой графики непре- непрерывных и кусочно-дифференцируемых на сегменте [а, Ь] функ- функций у\{х) и У2{х) соответственно. Отметим (см. рис. 7.1), что Vi(x) ^ 2/2(ж) (равенство имеет место лишь при х = а и х = Ь). Гассмотрим далее последовательность сегментов [аП1 Ьп] та- таких, что а < ап < Ьп < 6, ап —>> а, Ьп —>> Ъ при п —>> оо. Пусть, кроме того, при любом п сегмент [ап, Ьп] содержится в сегменте [an+i, bn+i]. Выберем число еп > 0 так, чтобы графики L'n и L" функций у\{х) + еп и 2/2(ж) — еп были расположены в области D и не пересекались. О Рис. 7.1 ЬтаЬ х
178 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Границей области Dn является кривая, составленная из ли- линий L'n и L'h и отрезков вертикальных прямых, проходящих че- через точки ап и Ьп (см. рис. 7.1). Область Dn+i строится ана- аналогичным образом, только вместо сегмента [an, bn] берется сег- сегмент [an+i, ftn+iL a число ?n+i > 0 выбирается меньшим числа еп. Очевидно, что если еп —>> 0, то построенная система областей {Dn} монотонно исчерпывает область D. Докажем следующее утверждение. Теорема 7.2. Пусть в области D типа К функции Р(ж, у) uQ(x,y) удовлетворяют условиям теоремы 7.1. Тогда для этой области и для функций Р(ж, у) и Q(x, у) справедлива формула Грина. Доказательство. Достаточно убедиться в справедливо- справедливости равенств — dxdy = ф Q dy, — — dxdy = ф Р dx. G.2) дх J J J ду J D L D L Так как указанные равенства доказываются однотипно, мы про- проведем доказательство второго из них. Рассмотрим двойной ин- интеграл ffdP / / — dxdy. G.3) J_J ду Dn Для области Dn и для подынтегральной функции — в инте- ду грале G.3) выполняются все условия, при которых действует формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем / Г дР А А 1а Г дР А / / — dxdy = ах / — ау = J J ду J J ду Dn пп yi{x)+sn = f P{x, y2{x)-en)dx- fP(x, yi(x)+?n)dx G.4) an Левая часть соотношений G.4) при п —>> оо имеет предел, равный интегралу // —dxdy. В силу равномерной непрерывности JJ ду D _ функции Р(ж, у) в замкнутой области D, каждое из слагаемых в правой части G. 4) имеет при п —>> оо предел, равный для пер- ь ь вого слагаемого /Р(ж, у2{х)) dx и для второго /Р(ж, y\{x))dx. а а
ФОРМУЛА ГРИНА 179 Первый из этих двух интегралов представляет собой при ука- указанном на рис. 7.1 направлении обхода границы криволинейный интеграл - / Р(х, у) dx, L" а второй интеграл — криволинейный интеграл / Р(х, у) dx. V Мы видим, что правая часть соотношений G.4) при п —>> оо имеет предел, равный - / Р(х, y)dx. L Таким образом, вторая из формул G.2) доказана. Справедли- Справедливость первой из формул G.2) устанавливается аналогично (нуж- (нужно спроецировать D на ось Оу и повторить проведенные рассу- рассуждения). Теорема доказана. 3. Инвариантная запись формулы Грина. Пусть функ- функции Р(ж, у) и Q(x, у) удовлетворяют условиям теоремы 7.1 в ко- конечной связной области D с кусочно-гладкой границей L. Опре- Определим в области D = D + L векторное поле р, координаты ко- которого в данной декартовой прямоугольной системе координат равны Р(ж, у) и Q(x, у). Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р(ж, у) и Q(x, у), поле р будет непрерывным в обла- области D и непрерывно-дифференцируемым в D. Найдем ротор этого векторного поля. Используя выражение rotp в ортонор- мированном базисе г, j, fc, получим Из этого соотношения получим ^-— = kmtp. 7.5 дх ду Замечание 1. Перейдем в плоскости Оху к новому ор- тонормированному базису г7, j' и к новой декартовой системе координат Ох'у1\ связанной с этим базисом. Пусть векторное по- поле р имеет в этом новом базисе координаты Р и Q'. Очевидно, в новой системе координат функции Р' и Q' удовлетворяют усло- условиям теоремы 7.1. Кроме того, так как в новом базисе rotp = = —*- — )к, то V дх1 ду1 ) dQ' дР' , , ^ п\ ^- =krotp. 7.6 дх' ду'
180 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Так как скалярное произведение к rot р представляет собой ин- вариант, то из G.5) и G.6) следует, что выражение —- — — не дх ду меняет ни значения, ни формы при переходе к новому ортонор- мированному базису, т. е. также представляет собой инвариант. С помощью этого замечания мы можем сделать следующий важный вывод: интеграл, находящийся в левой части формулы Грина G.1), имеет инвариантный характер — его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Действительно, при таком преобразовании коорди- координат абсолютная величина якобиана преобразования равна еди- единице. Согласно же замечанию, подынтегральное выражение не меняет ни значения, ни формы. Обратимся теперь к интегралу G.7) находящемуся в правой части формулы Грина. Убедимся, что этот интеграл таксисе имеет инвариантный характер — его значение и форма не меняются при переходе к новой декарто- декартовой системе координат. Пусть t — единичный вектор касательной в точках грани- границы L, направление которого согласовано с направлением обхода на L, cos а и sin a — координаты вектора t. Выберем в качестве параметра на L длину дуги /, причем на каждой связной ком- компоненте границы возрастание параметра / согласовано с направ- направлением обхода на этой компоненте. При условиях, наложенных на L, функция t(l) будет кусочно-непрерывной. При сформули- сформулированных выше условиях векторное поле р будет непрерывным на!, а его координаты Р и Q представляют собой непрерывные функции от /. Заметим, что после выбора направления обхода и параметра на кривой L криволинейный интеграл второго рода G.7) преоб- преобразуется в криволинейный интеграл первого рода. При этом Р и Q вычисляются в точках L, a dx = cos a dl, dy = sin a dl. Таким образом, §Pdx + Qdy = §(Pcosa + Qsma)dl = §ptdl. G.8) L L L Соотношение G.8) показывает, что интеграл G.7) действитель- действительно имеет инвариантный характер: скалярное произведение pt — инвариант, параметризация с помощью длины дуги не связана с системой координат. Кроме того, в новой декартовой системе координат Ох1 у1 имеем pt dl = (Pf cos a + Q' sin a) dl = P' dx + Q' dy',
ФОРМУЛА ГРИНА 181 и поэтому Pdx + Qdy = Р' dx + Q1dy. Итак, мы убедились, что интеграл G.7) имеет инвариантный характер —его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат. Проведенные выше рассуждения позволяют придать форму- формуле Грина G.1) следующую инвариантную форму: ffkrotpda = § ptdl. G.9) D L При этом da означает элемент площади области D. Замечание 2. Обычно интеграл §ptdl L называют циркуляцией векторного поля р по кривой L. Из теоремы 7.2 и выводов этого пункта мы можем извлечь важное следствие. Следствие. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) удовлетво- удовлетворяют условиям теоремы 7.1 в конечной области D с кусоч- кусочно-гладкой границей L. Если область D мо- может быть разбита на конечное число обла- областей Dfr с кусочно-гладкими границами L& (рис. 7.2) и при этом каждая из D^ пред- представляет собой область типа К по отноше- отношению к некоторой декартовой системе коор- координат, то для области D и функций Р(х, у) и Q(x, у) справедлива формула Грина. Справедливость следствия вытекает из следующих рассуждений. Ясно, что формула Ри „ 2 Грина справедлива для каждой из областей Dfr. Это следует из инвариантного характера формулы и из те- теоремы 7.2 (в некоторой системе координат D& будет областью типа К). гг fffdQ дР\ , , Далее, очевидно, что сумма интегралов / / ( —=- — — 1 ахау JJ \дх dyJ Dk в левых частях формул Грина по областям D& представляет со- собой интеграл / / ( —— — —) dxdy. Сумма же криволинейных I I \ дх ду ) D интегралов § Р dx + Qdy в правых частях формул Грина по Lk границам L& областей D& даст интеграл §Рdx + Qdy, ибо ин- L тегралы по общим участкам границы областей D^ сократятся —
182 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 эти участки в соседних областях D^ обходятся в противополож- противоположных направлениях (для пояснения можно обратиться к рис. 7.2). Замечание 3. Произвольную конечную связную область D с кусочно-гладкой границей L нельзя, вообще говоря, разбить на конечное число областей D& указанного выше вида. Одна- Однако из каждой конечной области D с кусочно-гладкой границей можно удалить такую как угодно малую часть, что оставшаяся область может быть разбита нужным образом. При этом вклад в правую и левую части формулы Грина, отвечающий удаленной части области D, будет соответственно как угодно мал. Эта идея лежит в основе доказательства формулы Грина в общем случае. В следующем пункте мы докажем ряд вспомогательных пред- предложений, с помощью которых указанным способом будет уста- установлена формула Грина в общем случае. 4. Вспомогательные предложения. Пусть L — кусочно- гладкая плоская кривая без самопересечений, на которой в ка- качестве параметра выбрана длина дуги /. Окрестностью внутренней точки Р на кривой L мы бу- будем называть любое, не совпадающее со всей кривой L связное открытое множество точек этой кривой, содержащее точку Р. Для граничной точки L вводится понятие полуокрестности г) . Длину окрестности (или полуокрестности) бу- будем называть ее размером. Внутренняя точка Р кривой L разбивает каждую свою окрестность на две полуокрест- полуокрестности. Окрестность точки Р будем называть А-окрестностью, если каждая из полуокрестно- полуокрестностей имеет длину А. Лемма 1. Пусть L — гладкая конечная кривая без самопересечений, А и В — гранич- граничные точки этой кривой, L — связная часть кривой L, которая вместе со своими концами А и В целиком состоит из внутренних точек кривой L (рис. 7.3) 2) . Можно указать два таких положительных числа А и 5, что точная верхняя грань углов, которые составляют каса- касательные в точках Х-окрестности любой точки Р кривой L 3) 1)Если Р— граничная точка кривой L, a Q — любая ее другая точка, то множество всех точек кривой L, заключенных между Р и Q, включающее точку Р и не включающее точку Q, мы назовем полуокрестностью точки Р. 2) Кривая может быть и замкнутой. В этом случае L может совпадать с L. Если L — замкнутая кривая с одной угловой точкой, то L — любая замкну- замкнутая связная часть L, не содержащая эту угловую точку. 3) Окрестность точки кривой L рассматривается как окрестность этой точки на кривой L.
ФОРМУЛА ГРИНА 183 с касательной в точке Р меньше тг/8, а расстояния от точ- точки Р до точек кривой L, расположенных вне А-окрестности, не меньше 5 1) . Доказательство. Убедимся, что можно указать А > > 0, удовлетворяющее условиям леммы. Во-первых, отметим, что для любого а > 0 для каждой точки Р можно указать такую А-окрестность (А > 0), в пределах которой верхняя грань углов, которые составляют касательные в точках этой А-окрест- ности с касательной в точке Р меньше а. Это следует из непре- непрерывности касательных к кривой L. Речь идет об универсальном А, пригодном для всех точек кривой L. Допустим, что нет А > 0, удовлетворяющего условиям леммы. Тогда для любого Ап = 1/п на L найдутся такие точки Рп и Qni что длина дуги PnQn меньше Ап, а угол между касательными в этих точках не меньше фиксированного а < тг/8. Выделим из последовательности {Рп} подпоследовательность {РПк}, сходя- сходящуюся к точке Р кривой L. Очевидно, подпоследовательность {QnjA также сходится к Р. Рассмотрим ту А-окрестность точ- точки Р, в которой точная верхняя грань углов между касательны- касательными в точках окрестности и в точке Р меньше а/2. Ясно, что угол между касательными в любых двух точках указанной А-окрестности точки Р меньше а. При достаточно большом П&, точки РПк и Qnk попадут в выбранную А-окрест- А-окрестность точки Р, и поэтому угол между касательными в этих точ- точках должен быть меньше а, тогда как по выбору этих точек этот угол должен быть больше или равен а. Это противоречие опро- опровергает сделанное допущение о несуществовании А > 0, удовле- удовлетворяющего условиям леммы. Отметим, что требуемое А меньше каждой из дуг А А и ВВ. Докажем теперь, что можно указать S > 0, удовлетво- удовлетворяющее условиям леммы. Допустим, что нет S > 0, удовлетворяющего условиям лем- леммы. Тогда для любого 6п = 1/п можно указать на L такую точку Рп и на L такую точку Qn, что длина дуги PnQn больше или рав- равна А 2) , тогда как хорда PnQn имеет длину меньше 8п. Выделим из последовательности {Рп} подпоследовательность, сходящую- сходящуюся к точке Р кривой L и рассмотрим соответствующую подпо- подпоследовательность последовательности {Qn}- Из этой последней подпоследовательности выделим подпоследовательность {Qnk}i сходящуюся к точке Q кривой L. Ясно, что подпоследователь- :) Очевидно, Л ^ S. 2) Существование такого Л уже установлено в первой части доказатель- доказательства леммы.
184 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 ность {РПк} сходится к Р. Так как по выбору точек РПк и Qnk длина дуги PnkQnk больше или равна А, то и длина дуги PQ больше или равна А. Поскольку длины хорд РПкЯпк стремятся к нулю, то длина хорды PQ равна нулю, т. е. точка Р совпадает с точкой Q и является поэтому точкой самопересечения кривой L без самопересечений. Полученное противоречие подтверждает возможность выбора требуемого S > 0. Доказательство леммы завершено. Следствие 1. Пусть кривые L и L удовлетворяют усло- условиям леммы 1. Тогда можно указать такое число 2А, что лю- любая дуга кривой L длины меньше 2А однозначно проецируется на одну из координатных осей фиксированной декартовой пря- прямоугольной системы координат Оху. Действительно, возьмем в качестве А число, указанное в лем- лемме 1. Любая дуга кривой L длины меньше 2А содержится в А-окрестности некоторой точки Р кривой L. Касательная в точ- точке Р составляет с одной из осей Ох или О у угол, меньший или равный тг/4. Тогда, очевидно, касательная в любой точке рас- рассматриваемой дуги составляет с этой осью угол, меньший тг/2, и поэтому эта дуга однозначно проецируется на указанную ось (при неоднозначном проецировании были бы касательные, со- составляющие с указанной осью угол, равный тг/2). Следствие 2. Пусть кривые L и L удовлетворяют усло- условиям леммы 1. Тогда можно указать такое число 2А > 0, что любая дуга кривой L длины меньше 2А однозначно проециру- проецируется на обе координатные оси специально выбранной для этой дуги декартовой прямоугольной системы координат Оху. Возьмем в качестве А число указанное в лемме. Любая ду- дуга кривой L меньше 2А содержится в А-окрестности некоторой точки Р кривой L. Выберем декартову прямоугольную систе- систему координат так, чтобы касательная в Р с ее осями составляла угол 7Г/4. Тогда касательная в любой точке указанной дуги будет составлять с каждой из осей Ох и Оу угол, меньший тг/2, и по- поэтому эта дуга будет однозначно проецироваться на каждую из осей. Отметим, что малые изменения выбранной системы коор- координат не влияют на возможность однозначного проецирования дуги на обе координатные оси. Лемма 2. Пусть Q — квадрат, R — угол с вершиной в цен- центре Р квадрата Q и с раствором 2а < тг/4. Обозначим через Г часть границы квадрата Q, заключенную в угле R. Тогда угол между любой хордой линии Г {прямая, соединяющая две точ- точки Г) и биссектрисой угла R не меньше а. Ввиду элементарности не будем приводить доказательство этой леммы.
ФОРМУЛА ГРИНА 185 Лемма 3. Пусть Q — квадрат, L — гладкая кривая без са- самопересечений, выходящая из центра Р квадрата Q. Пусть точная верхняя грань углов, которые составляют касатель- касательные к L с полукасательной к L в точке Р, равна ~а < тг/8. Тогда L пересекает границу квадрата Q не более чем в одной точке. Доказательство. Построим угол R с раствором 2а, 2а < 2а < тг/4, биссектрисой которого является полукасатель- полукасательная к L в точке Р, а вершиной — центр Р квадрата. Обоз- Обозначим через Г часть границы квадрата Q, заключенную в уг- угле R. Очевидно, кривая L расположена внутри угла R (если бы L пересекала сторону угла R в точке, отличной от Р, то на- нашлась бы касательная, параллельная этой стороне и указанная касательная составляла бы с полукасательной к L в точке Р угол, равный а > а, что противоречит условию). Пусть L пе- пересекает Г в двух точках М и N. Тогда на L нашлась бы точ- точка, касательная в которой параллельна хорде MN и, согласно лемме 3, эта касательная составляла бы с полукасательной к L в Р угол не меньший а > а, а это противоречит условию. Лемма доказана. Следствие из лемм 1 и 3. Пусть кривые L и L удовле- удовлетворяют условиям леммы 1 и 5 > 0 — число, указанное в этой лемме. Тогда кривая L пересекает границу любого квадрата Q с центром в произвольной точке Р этой кривой и со стороной, меньшей у/25, не более чем в двух точках. Убедимся в справедливости следствия. Пусть Р — произволь- произвольная точка кривой L и А > 0 — число, указанное в лемме 1. Обратимся к А-окрестности точки Р. Обе граничные точки этой окрестности и часть L, расположенная вне А-окрестности, со- согласно лемме 1, лежат вне любого квадрата с центром в Р и со стороной, меньшей у/25. Поэтому рассматриваемая А-окрест- ность (и только она) пересекается с границей квадрата Q 1) . Так как каждая из полуокрестностей рассматриваемой А-окрест- А-окрестности точки Р удовлетворяет условиям леммы 3, то ясно, что А-окрестность пересечет границу квадрата Q не более чем в двух точках. 5. Специальное разбиение области D с кусочно-глад- кусочно-гладкой границей L. Пусть D — многосвязная конечная область, граница L которой состоит из конечного числа замкнутых ку- кусочно-гладких кривых; Pi, P2, ..., Рп — угловые точки грани цы L. Будем считать, что на плоскости выбрана декартова пря- прямоугольная система координат Оху. :) Здесь используется теорема Жордана, утверждающая, что если две точки непрерывной кривой L являются внутренней и внешней точками области Z), то L пересекает границу D.
186 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 У ) Мы укажем способ специального разбиения области D на подобласти. Такие разбиения понадобятся нам при доказатель- доказательстве теоремы 1. 1°. Убедимся, что для любого е > 0 можно так выбрать ква- квадраты Qi, (^2} ... , Qn c центрами в угловых точках границы L и со сторонами, параллельными осям Ох и Оу (рис. 7.4), что будут выполнены следующие условия: 1) Граница любого квадрата Qi с центром в Pi пересекается с каждой из двух ветвей границы L, исходящих из Pi г) ровно в одной точке (см. рис. 7.4). Указанные точки являются единствен- единственными общими точками границы квад- квадрата Qi с границей L. > 2) Сумма площадей квадратов Qi будет меньше е\ сумма длин частей гра- ис' ' ницы L, находящихся в квадратах Q^ также будет меньше е. Очевидно, при этом сумма периметров квадратов Qi не превышает Ае, где А — некоторая константа. Возможность указанного выше выбора квадратов Qi выте- вытекает из следующих рассуждений. Рассмотрим А-окрестности угловых точек, подчиненные тре- требованиям: 1. Эти А-окрестности не пересекаются. 2. Сумма длин всех А-окрестностей меньше е. 3. Точная верхняя грань углов, которые составляют каса- касательные каждой из полуокрестностей А-окрестности с соответ- соответствующей полукасательной в угловой точке меньше а < тг/8. Возможность выбора таких А-окрестностей угловых точек оче- очевидна. Отметим, что каждая из полуокрестностей выбранных А-окрестностей удовлетворяет условиям леммы 3. Поэтому каж- каждая из этих полуокрестностей пересекается не более чем в одной точке с границей любого квадрата с центром в соответствующей угловой точке. Для каждой угловой точки Pi определим число S > 0, равное точной нижней грани расстояний от Pi до части L, полученной удалением из L А-окрестности точки Pi. Обозначим S = min{#i, #2, • • • , 5п}. Ясно, что любой квад- квадрат Qi с центром в Р{, длина стороны которого меньше л/2$, удовлетворяет сформулированному выше условию 1), ибо при указанном выборе квадрата Q{ для каждой из полуокрестностей 1) Достаточно малая А-окрестность угловой точки Pi состоит из двух глад- гладких ветвей, исходящих из этой точки.
ФОРМУЛА ГРИНА 187 точки Pi выполнены условия леммы 4 и, кроме того, гранич- граничные точки полуокрестности лежат вне квадрата Qi (этим обес- обеспечивается единственность точки пересечения полуокрестности с границей квадрата). Ясно также, что за счет уменьшения сто- сторон квадратов можно добиться, чтобы сумма их площадей была меньше е. Очевидно, сумма длин частей границы L, находящих- находящихся в квадратах Q^ будет меньше е за счет специального выбора А-окрестностей угловых точек. Таким образом, условие 2) также выполняется при указанном выборе квадратов Qi. 2°. Удалим из L те части, которые находятся в квадратах Q. Оставшаяся после удаления часть L представляет собой на- набор гладких кривых Li без общих точек; при этом некоторые из Li представляют собой гладкие замкнутые кривые. Отметим, что каждая незамкнутая кривая Li состоит из внутренних точек гладкой кривой L^, граничными точками которой будут угловые точки L (см. рис. 7.4). Для каждой из кривых Li воспользуемся леммой 1 преды- предыдущего пункта. Пусть А^ и #* — числа, гарантированные для Li этой леммой. При этом число 5* мы подчиним еще одному тре- требованию— будем считать, что S* меньше нижней грани рассто- расстояний от точек Li до остальных кривых L&. Далее обозначим А = min{Ai, А2, ... , Ап} и 0 < 8* < min{J*, ?>!,..., ^vl> ^* < < v2J, где 5 — число, выбранное в 1°. Очевидно, А ^ #*. Разобьем каждую кривую Li на конечное число частей дли- длины меньше д*. Построим квадраты Qi, центры которых нахо- находятся в точках разбиения кривой L^, со сторонами длины #*, параллельными осям Ох и Оу. 3°. С помощью квадратов Qi и Qi построим требуемое раз- разбиение области D. 1) Удалим из D части, общие D и квадратам Q^ Оставшуюся часть D обозначим через D?i а границу D? — через L?. Грани- Граница L? состоит из кривых Li и отрезков прямых, параллельных координатным осям. 2) Обозначим через Qi общую часть квадрата Qi и области D?. Области Qi разбивают область D? на односвязные части Di l) , граница каждой из которых состоит из прямолинейных отрез- отрезков, параллельных координатным осям и, быть может, одного криволинейного отрезка, содержащегося в одной из кривых Li и имеющего длину меньше 5. Так как указанный криволинейный *) Область D называется односвязной, если любая кусочно-гладкая, неса- мопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в Z), ограничивает область, все точки которой принадлежат D.
188 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 отрезок проецируется однозначно на одну из координатных осей (длина каждого такого отрезка меньше #* < А, а в этом слу- случае, согласно следствию 1 из леммы 1, этот отрезок однозначно проецируется на одну из координатных осей), то, очевидно, любая область Di может быть разбита Dt прямыми, параллельными одной из коорди- координатных осей на конечное число частей D^, каждая из которых представляет собой ли- —> бо прямоугольник, либо криволинейную тра- трапецию 1) , быть может, выродившуюся в кри- Рис. 7.5 волинейный треугольник. На рис.7.5 показана одна из областей Di. Штриховыми ли- линиями показано разбиение Di на части D^. 6. Доказательство теоремы 7.1. Мы только что убеди- убедились, что после удаления из D частей, находящихся в квадра- квадратах Qi, получается область D? 2) с границей L?, которая может быть разбита на конечное число специального вида областей D^. Докажем, что для области D? справедлива формула Грина. Согласно следствию в п. 3 данного параграфа для этого доста- достаточно убедиться, что каждая из областей D^ по отношению к некоторой специально избранной декартовой системе координат будет областью типа К. Если Dk — прямоугольник, то требуемой системой является, например, система координат, одна из осей которой параллельна диагонали этого прямоугольника. Пусть D& является криволи- криволинейной трапецией или криволинейным треугольником. Из спо- способа построения областей D& следует, что кривая сторона гра- границы Dk удовлетворяет условиям леммы 1 п. 4 этого парагра- параграфа и поэтому, согласно следствию 2 из этой леммы, однозначно проецируется на обе координатные оси специально выбранной декартовой прямоугольной системы координат. Так как малые изменения выбора этой системы не нарушают указанного свой- свойства, то, очевидно, мы можем выбрать такую систему коорди- координат, на обе оси которой однозначно проецируются и прямолиней- прямолинейные части границы D&. По отношению к этой системе координат Dk будет областью типа К. Итак, для области D? справедлива :) Напомним, что криволинейной трапецией называется фигура, основа- основания которой параллельны одной из координатных осей, одна из боковых сторон параллельная другой координатной оси и на эту последнюю ось од- однозначно проецируется кривая боковая сторона трапеции. 2) Напомним, что квадраты Q{ выбираются по любому данному положи- положительному е так, чтобы сумма их площадей была меньше е и сумма длин частей границы L, расположенных в Q^ была также меньше е. Ясно, что при е —»¦ 0 области D? исчерпывают область D.
ФОРМУЛА СТОКСА 189 формула Грина 'dQ_dP_^dxdy= ([pdx + Qdy. G.10) Из способа построения областей D? следует, что при е —>> 0 левая и правая части формулы G.10) имеют соответственно пределы — — — ) dxdy и IP dx + Q dy. Теорема 7.1 доказана. к дх ay / J D L § 2. Формула Стокса г) 1. Формулировка основной теоремы. Пусть S — ограни- ограниченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с кусочно-гладкой границей Г 2) . Окрестностью поверхности S будем называть любое откры- открытое множество О, содержащее S. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 7.3. Пусть в некоторой окрестности поверхно- поверхности S функции Р(х, у, z\ Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют непрерывные частные, производные первого порядка. Тогда имеет место следующее соотношение: G.11) г называемое формулой Стокса. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы Г, на которых указано та- такое направление обхода, при котором, с учетом выбора стороны поверхности, поверхность S остается слева. Используя замечание 2п. 2 § Згл. 4 о форме записи поверх- поверхностных интегралов второго рода и обозначения X, Y, Z для углов, которые образуют нормаль к поверхности с осями ко- координат, можно переписать формулу Стокса G.11) следующим образом: dR dQ\ v . (дР dR\ ^ , (dQ дР\ „Л , —--JlJcosX+f—- —jcosy+(-^- —jcosZ rfa = dy dz J \dz dx J \dx dy J J = §Pdx + Qdy + Rdz. G.12) !)Дж. Г. Стоке — известный английский физик и математик A819-1903). тметим, что замкнутая поверхность не имеет границы. 2)о
190 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 В следующих пунктах мы докажем ряд предложений, ко- которые понадобятся нам для доказательства сформулированной теоремы. 2. Доказательство формулы Стокса для гладкой по- поверхности, однозначно проецирующейся на три коорди- координатные плоскости. Справедлива следующая теорема. Теорема 7.4- Пусть S — ограниченная, полная, гладкая, двусторонняя, односвязная поверхность с кусочно-гладкой гра- границей Г. Будем считать, что S однозначно проецируется на каждую из координатных плоскостей системы Oxyz. Пусть в некоторой окрестности S заданы функции Р, Q и R, непрерыв- непрерывные в этой окрестности и имеющие в ней непрерывные част- частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса G.11). Доказательство. Для доказательства обратимся к фор- форме G.12) записи формулы Стокса. При этом будем считать, что единичные векторы нормали образуют острые углы с осями ко- координат. Очевидно, теорема будет доказана, если будут доказаны ра- равенства /) p f) p \ I — cos Y — — cos Z )da = ф Рdx, dz dy J У г г dR v dR л Л л / о л — cos X — — cos У )da = ф К dz. ду дх ) J S Г Поскольку соотношения G.13) доказываются однотипно, ос- остановимся на доказательстве первого из них. Обозначим через / интеграл в левой части первого из ра- равенств G.13): Т Г Г (дР V дР гу\ 1 (п П/,ч / = / / — cos Y — — cos Z ) da. G.14) JJ \dz ду J s По условию поверхность S является гладкой и однозначно проецируется на плоскость Оху. Поэтому S представляет собой график дифференцируемой функции z = z(x, у). В этом слу- случае с учетом ориентации единичных нормалей к S cos Y и cos Z могут быть найдены по формулам cos Y = q =, cos Z = . =, G.15) dz dz = —, q= —. ox oy
ФОРМУЛА СТОКСА 191 му С помощью формул G.15) соотношение G.14) может быть переписано следующим образом: / = - [[(— + <?—) cos Z da. G.16) JJ \ду 4dzJ У J S Так как на поверхности S значения функции Р(ж, у, z) рав- равны Р(ж, у, 2:(ж, у)), то, используя правило дифференцирования сложной функции, получим — [Р(ж, у, z{x, у))\ = — + д—. Поэтому соотношение G.16) примет вид / = - // — [Р(х, у, z(x, y))]cosZda. G.17) I I ду s Пусть D — проекция на плоскость Оху поверхности *S, a L — проекция на эту плоскость границы Г этой поверхности. Очевид- Очевидно, поверхностный интеграл в правой части G.17) равен двойно- интегралу [Г ±[Р(х, у, ,(,, „))] ЛхЧу (см. замечание 2 и. 2 J J ду D § 3 гл. 5), и поэтому I = - у[Р(х, У, z(x, у))] dxdy. G.18) D Применяя к интегралу в правой части G.18) формулу Грина, получим // ^-[Р(х, У, Ах^ y))]dxdy = - ф Р(х, у, z(x, y))dx. G.19) J J ду J D L Пусть точка М(ж, у, z) кривой Г проецируется в точку N(x, у) кривой L. Тогда, очевидно, значение функции Р(ж, у, z) в точке М кривой Г совпадает со значением функции Р(ж, у, z(x, у)) в точ- точке N кривой L. Поэтому справедливо равенство § Р(х, у, z(x, у)) dx = § Р(х, у, z) dx. G.20) L Г Очевидно, из соотношений G.14), G.18)—G.20) вытекает пер- первое из равенств G.13). Доказательство второго и третьего из этих равенств проводится аналогично, только при этом нужно рассматривать проекции S на плоскости Oyz и Oxz соответ- соответственно. Теорема доказана.
192 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 3. Инвариантная запись формулы Стокса. Пусть функ- функции Р(ж, у, z\ Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны и имеют не- непрерывные частные производные первого порядка в некоторой окрестности О поверхности S. Определим в О векторное по- поле р, координаты которого в данной декартовой прямоуголь- прямоугольной системе координат равны Р, Q, R. Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р, Q, i?, поле р будет непрерывным и дифференцируемым в О. Найдем ротор этого поля. Исполь- Используя выражение для rotp в ортонормированном базисе г, j, fc, получим dR d Выберем на поверхности S определенную сторону, т. е. укажем на S непрерывное поле единичных нормалей п. Обращаясь к выражению G.21) для rotp и используя стандартное обозначе- обозначение cos X, cos У, cos Z для координат единичного вектора норма- нормали п к поверхности *S, получим fdR dQ\ v , fdP dR\ л, , n rot p = — — —- cos A + — — — cos Y + \ Fin cO J \ cO г)т J + (9Q_dP\cosZ G22) V дх ду J Из соотношения G.22) следует, что интеграл, стоящий в ле- левой части формулы Стокса G.12), может быть записан в виде ffniotpda. G.23) s Итак, находящийся в левой части формулы G.12) интеграл после выбора определенной стороны поверхности можно рас- рассматривать как поверхностный интеграл первого рода G.23) от функции nrotp, заданной на поверхности S. Так как скалярное произведение п rot p и элемент площади da поверхности S не за- зависят от выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве, то при переходе к новому ортонормированному базису г7, j', к' левая часть формулы G.12) не изменит своего значения и формы, т. е. эта левая часть инвариантна относи- относительно выбора декартовой прямоугольной системы координат в пространстве. Обратимся теперь к интегралу г находящемуся в правой части формулы Стокса. Убедимся, что этот интеграл также имеет инвариантный характер — его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе координат.
ФОРМУЛА СТОКСА 193 Пусть t — единичный вектор касательной в точках границы Г поверхности S, направление которого согласовано с направ- направлением обхода на Г; cos a, cos/3, cos7 — координаты вектора t. Выберем за параметр на Г длину дуги /, причем на каждой связ- связной компоненте границы возрастание параметра согласовано с направлением обхода на этой компоненте. При условиях, нало- наложенных на Г, функция t(l) будет кусочно-непрерывной. Так как поле р непрерывно на Г, то его координаты представляют собой на Г непрерывные функции от /. Заметим, что после выбора направления обхода и параметра на кривой Г криволинейный интеграл второго рода G.24) преобразуется в криволинейный интеграл первого рода. При этом Р, Q и R вычисляются в точ- точках Г, a dx = cosadl, dy = cos/3d/, dz = cos jdl. Таким образом, §P dx + Q dy + R dz = §(P cos a + Q cos /3 + R cos 7) dl = §pt dl. г г г G.25) Соотношения G.25) показывают, что интеграл G.24) действи- действительно имеет инвариантный характер: скалярное произведение pt — инвариант, параметризация с помощью длины дуги не свя- связана с системой координат. В новой декартовой системе координат Ox'y'z' имеем pt dl = (Pf cos a + Q' cos /3' + R1 cos j) dl = P' dx + Q' dy' + R1 dz. Поэтому Pdx + Qdy + Rdz = P' dx + Q' dy' + R'dz'. Отметим, что интеграл fptdl г обычно называется циркуляцией векторного поля р по кривой Г. Проведенные рассуждения позволяют придать формуле Сток- са G.11) (или G.12)) следующую инвариантную форму: // п rot p da = § pt dl. G.26) S Г 4. Доказательство теоремы 7.3. Докажем следующее вспомогательное утверждение. Лемма. Пусть S — ограниченная, полная, двусторонняя, гладкая поверхность с кусочно-гладкой границей Г 1) . Сущест- Существует такое 5 > 0, что любая связная часть поверхности S, размеры которой меньше S 2) , однозначно проецируется на :) Отметим, что замкнутая поверхность не имеет границы. ) Такая часть поверхности может быть расположена в сфере радиуса S. 7 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II
194 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 каждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы координат. Доказательство. Убедимся сначала, что некоторая окрестность каждой точки М такой поверхности однозначно про- проецируется на каждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы координат. Пусть пм — вектор единичной нормали поверхности в точ- точке М. Выберем декартову систему координат Oxyz так, чтобы вектор пм составлял острые углы с осями Ох, Оу и Oz. Тогда, очевидно, в этой системе координат определители Уи Уу Zu Zv i Zu Zv %u Xy i %u Xy Уи Уу отличны от нуля для значений иии, определяющих точку М, и в силу гладкости S отличны от нуля в некоторой окрестности точки (и, v) (эти определители пропорциональны координатам единичного вектора нормали к поверхности). Обращаясь к до- доказательству теоремы 5.1 и к замечанию к этой теореме (см. п. 2 § 1 гл. 5), мы убедимся, что некоторая окрестность точки одно- однозначно проецируется на каждую из координатных плоскостей выбранной системы координат Oxyz. Допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда для каж- каждого 5 = 1/п, п = 1, 2, ..., можно указать часть Sn поверхности S, размеры которой меньше S и которая не проецируется одно- однозначно на три координатные плоскости любой декартовой систе- системы координат. Выберем в каждой части Sn точку Мп, затем из последовательности {Мп} выберем подпоследовательность, схо- сходящуюся к некоторой точке М поверхности S. Рассмотрим ту окрестность точки М, которая однозначно проецируется на каж- каждую из координатных плоскостей некоторой декартовой системы координат Oxyz. Эта окрестность содержит одну из частей Sn, которая также будет однозначно проецироваться на три коор- координатные плоскости системы Oxyz. А это противоречит выбору частей Sn. Таким образом, предположение о несправедливости утверждения леммы ведет к противоречию. Лемма доказана. Перейдем теперь к доказательству теоремы 7.3. Разобьем S кусочно-гладкими кривыми на конечное число гладких частей Si, размер каждой из которых меньшие 6, указанного в только что доказанной лемме. При этом к числу кривых, разбивающих S, присоединим и ребра поверхности. Так как часть Si проециру- проецируется однозначно на три координатные плоскости некоторой де- декартовой системы координат, то в силу инвариантности фор- формулы Стокса (см. п. 3 этого параграфа) и выводов п. 2 этого параграфа формула Стокса верна для части Si. Просуммиру- Просуммируем теперь левые и правые части формул Стокса для частей Si. Очевидно, сумма левых частей этих формул представляет собой
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 195 двойной интеграл ffnrotpda, а в правой части будет стоять S сумма интегралов <f> ptdl по границам 1\ частей Si. Ясно, что гг интегралы по общим участкам границы частей Si сократятся, ибо эти участки обходятся в противопо- противоположных направлениях (для пояснения можно обратиться к рис. 7.6). Поэтому указанная выше сумма криволинейных интегралов равна криволинейному ин- интегралу по границе Г поверхности S. Из наших рассуждений вытекает справед- справедливость формулы // п rot pda = § ptdl, S Г Рис. 7.6 которая и является формулой Стокса. Теорема 7.3 доказана. § 3. Формула Остроградского 1. Формулировка основной теоремы. Пусть V — конеч- конечная, вообще говоря, многосвязная область в пространстве Oxyz с кусочно-гладкой границей S 1) . Область V с присоединенной границей будем обозначать через V. Справедлива следующая основная теорема. Теорема 7.5. Пусть функции Р(ж, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) непрерывны в V и имеют непрерывные частные про- производные первого порядка в V. Если существуют несобствен- несобственные интегралы по области V от каждой из частных производ- производных функций Р, Q и R, то справедливо соотношение дР dQ ду OR = // Р dy dz + Q dz dx + Rdx dy, s G.27) называемое формулой Остроградского. При этом стоящий в правой части интеграл представляет собой сумму интегралов по связным компонентам границы S, на которых выбрана внешняя по отношению к V сторона. *) Граница S называется кусочно-гладкой, если она составлена из конеч- конечного числа гладких поверхностей, примыкающих друг к другу по гладким кривым — ребрам поверхности. Если граница S состоит из конечного чис- числа замкнутых кусочно-гладких поверхностей S%, то S% называют связными компонентами S, а связную область V — многосвязной.
196 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 У Мы ограничимся доказательством формулы Остроградского лишь для специального класса областей. Отметим, что теорема 7.5 может быть доказана путем обоб- обобщения метода, который был использован в § 1 этой главы при доказательстве формулы Грина. 2. Доказательство формулы Остроградского для спе- специального класса областей. Односвязную конечную область V с кусочно-гладкой границей S будем называть областью ти- типа К, если каждая прямая, параллельная любой координатной оси, пересекает границу S области V не более чем в двух точках. Для области типа К будут использо- использованы специальные системы исчерпываю- исчерпывающих областей {1^п}. Опишем построение такого типа систем. Пусть область D на плоскости Оху представляет собой проекцию на эту плоскость области V. Через граничные точки области D проведем прямые, па- параллельные оси Oz. Каждая из этих пря- прямых пересекается с границей S области V лишь в одной точке. Множество этих точек разделяет S на две части S' и S" Рис. 7.7 (рис. 7.7), которые представляют собой графики непрерывных в D и кусочно-дифференцируемых в D функций zi(x, у) и Z2(ж, у). Отметим, что zi(x, у) ^ Z2(ж, у) (равенство имеет место лишь в точках границы области D). Рассмотрим произвольную последовательность областей {Dn}5 монотонно исчерпывающих область D. Пусть S'n и Sl[— графи- графики функций 2]. (ж, у) + еп и Z2 (ж, у) — ?п, заданных на Dn (число еп выбирается столь малым, чтобы поверхности S'n и S1^ не пе- пересекались). Границей области Vп является поверхность, составленная из поверхностей S'n и S'^ и части цилиндрической поверхности, с образующими, параллельными оси Oz. При этом направляю- направляющей цилиндрической поверхности служит граница области Dn. Область Vn+i строится аналогичным образом, только вместо области Dn берется область Dn+i и ?n+i выбирается меньше еп. Очевидно, что при еп —)> 0 система {Vn} монотонно исчерпывает область V. Докажем следующее утверждение. Теорема 7.6. Пусть в области V типа К функции Р(ж, у, z\ Q(x, у, z) и R(x, у, z) удовлетворяют условиям теоремы 7.5. Тогда для этой области и для функций Р, Q и R справедлива формула Остроградского.
§ 3 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 197 Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться в справедливости равенств Iff d-fx dxdydz = IIPdydz, V S = // Qdzdx, v s — dxdy dz = Rdx dy. dz JJ v s Так как эти равенства доказываются однотипно, мы прове- проведем доказательство для третьего из них. Рассмотрим тройной интеграл — dxdydz. G.29) dz Уп Для области Vп и для подынтегральной функции — в инте- dz грале G.29) выполняются все условия, при которых действует формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем z2(x,y)-en jjf fzdxdydz = Vn Dn zi(x,y)+en = ff R{x, y, z2(x, y)-en)dxdy - ff R(x, y, z\{x, y)+?n)dxdy. G.30) Левая часть соотношения G.30) при п —)> оо имеет предел, рав- равный / / / — dxdy dz.B силу равномерной непрерывности функ- JJJ dz V _ ции Д(ж, у, z) в замкнутой области V каждое из слагаемых в правой части G.30) имеет при п -Л оо предел, равный для перво- первого слагаемого ffR(x, у, z2(x, у)) dxdy и для второго слагаемого D —ffR(x, у, z\{x, у)) dxdy. Первый из только что указанных ин- D тегралов представляет собой при выборе внешней стороны по- поверхности S интеграл ffR(x, у, z) dx dy, а второй (с учетом сто- S" ящего перед ним знака «минус») интеграл ffR(x, у, z)dxdy. S'
198 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Итак, правая часть соотношений G.30) имеет при п —>• оо пре- предел, равный ffR(x, у, z)dxdy. Следовательно, третья из фор- s мул G.28) доказана. Доказательство первой и второй из формул G.28) проводит- проводится аналогично (нужно рассмотреть проекции V на плоскости Oyz и Oxz соответственно и повторить проведенные рассужде- рассуждения). Теорема доказана. 3. Инвариантная запись формулы Остроградского. Пусть функции Р, Q и R удовлетворяют условиям теоремы 7.5 в конечной связной области V с кусочно-гладкой границей S. Определим в V векторное поле р, координаты которого в дан- данной декартовой системе координат Oxyz равны Р, Q, R. Оче- Очевидно, при условиях, наложенных на эти функции, поле р будет непрерывным в V и дифференцируемым в V. Найдем дивергенцию поля р. Используя выражение для ди- дивергенции поля р в ортонормированном базисе г, j, fc, получим ,. дР . dQ . <9Я <7Ж <7?/ <7? Замечание. Перейдем к новой декартовой системе ко- координат в пространстве. Пусть г7, j', fc7 — ортонормированный базис, связанный с этой системой, а Р7, Q7, i?7 — координаты по- поля р в этом базисе. Очевидно, функции Р7, Q7, i?7 непрерывны в V и дифференцируемы в 1/ (эти функции представляют собой линейные комбинации функций Р, Q, R). Так как в новой системе координат ,. дР' dQ' . <9# divp= —- + ^- + —_, ох' ду' oz' то в силу инвариантности дивергенции справедливо равенство дР dQ dR _ дР' dQ' дЕ! дх ду dz ~ дх' ду1 dz' ' Таким образом, если Р, Q, R рассматривать как координа- дР , dQ , dR ты векторного поля р, то выражение — + —- + — не меняет дх ду dz ни значения, ни формы при переходе к новой декартовой прямо- прямоугольной системе координат, т. е. представляет собой инвариант. Мы можем поэтому сделать следующий важный вывод: ин- интеграл, находящийся в левой части формулы Остроградского G.27), имеет инвариантный характер —его значение и форма не меняются при переходе к новой декартовой системе коорди- координат. Действительно, при таком преобразовании координат абсо- абсолютное знамение якобиана преобразования равно единице. Со- Согласно же замечанию подынтегральное выражение не меняет ни значения, ни формы при таком преобразовании координат.
§ 3 ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО 199 Обратимся теперь к интегралу // Pdydz + Qdzdx + R dx dy, G.31) s находящемуся в правой части формулы Остроградского G.27). Убедимся, что этот интеграл также имеет инвариантный характер — его значение и форма подынтегрального выражения не меняются при переходе к новой декартовой системе коор- координат. Используя замечание 2п. 2§3гл. 5 о форме записи поверх- поверхностного интеграла второго рода и обозначения X, У, Z для углов, которые образует нормаль п к поверхности с осями коор- координат, можно переписать интеграл G.31) следующим образом: ff(P cos X + Q cos Y + R cos Z) da. G.32) s Подынтегральное выражение в интеграле G.32) представляет собой скалярное произведение пр, и поэтому интеграл G.32) (или, что то же, интеграл G.31)) может быть записан в сле- следующем инвариантном виде: ffnpda. s Отметим, что этот последний интеграл обычно называется по- потоком векторного поля р через поверхность S. Обращаясь к инвариантной форме записи интеграла G.31), мы видим, что в новой системе декартовых координат этот ин- интеграл имеет вид // Р1 dy1 dzf + Qf dzf dx1 + Rf dx1 dy1. s Проведенные в этом пункте рассуждения позволяют запи- записать формулу Остроградского G.27) в следующем инвариант- инвариантном виде: /// div pdv = // npda. G.33) v s В этой форме через dv обозначен элемент объема области V. Из теоремы 7.6 и выводов этого пункта мы можем извлечь важное следствие. Следствие. Пусть функции Р(х, у, z\ Q(x, у, z) и R(x, у, z) удовлетворяют условиям теоремы 7.5 в конечной об- области V с кусочно-гладкой границей S. Если область V может быть разбита на конечное число областей V& с кусочно-глад- кусочно-гладкими границами S& и при этом каждая из V& представляет собой область типа К по отношению к некоторой декартовой системе координат, то для области V и функций Р, Q и R справедлива формула Остроградского.
200 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Справедливость следствия вытекает из следующих рассуж- рассуждений. Ясно, что формула Остроградского справедлива для каждой из областей V&. Это следует из инвариантного харак- характера формулы и из теоремы 7.6 (в некоторой системе координат Vk будет областью типа К). Далее очевидно, что сумма интег- ffffdP , dQ , dR\ л л л „ , ралов / / / — + —- + — ахау az из левых частей формул JJJ \дх ду dzJ Остроградского для областей V& представляет собой интеграл (дР , dQ , dR\ iii^ — + —- + — dxdydz. Сумма же поверхностных ин- ^ дх ду dz J V тегралов ffPdydz + Qdzdx + R dx dy в правых частях фор- sk мул Остроградского по границам S& областей V& даст интеграл ffPdydz + Qdzdx + R dx dy, ибо интегралы по общим участ- s кам границы областей V& сократятся — эти участки в соседних областях Vk ориентированы противоположным образом. § 4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроградского 1. Выражение площади плоской области через кри- криволинейный интеграл. Пусть D — конечная плоская связная область с кусочно-гладкой границей L. Справедливо следующее утверждение. Площадь а области D может быть вычислена по формуле а = - Ф xdy -ydx, G.34) j L в которой криволинейный интеграл представляет собой сум- сумму интегралов по связным компонентам границы L, причем на каждой из этих компонент указано такое направление обхода, при котором область D остается слева. Для доказательства утверждения рассмотрим в D функции Р(х, у) = -у, Q(x, у) = х. Очевидно, эти функции удовлетворяют в D всем условиям, при которых справедлива формула Грина G.1). По этой форму- формуле имеем д(х) д(-у) дх ду j dxdy = Ф (—у) dx + (x) dy. D
§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 201 Двойной интеграл в последней формуле равен 2сг, а криволи- криволинейный интеграл равен <f> xdy — ydx. Таким образом, формула L G.34) доказана. 2. Выражение объема через поверхностный интеграл. Пусть V — конечная связная область в пространстве с кусочно- гладкой границей S. Справедливо следующее утверждение. Объем v области V может быть вычислен по формуле 1Г ЛГ С/ -И! х dy dz + у dz dx + z dx dy, G.35) в которой поверхностный интеграл представляет собой сум- сумму интегралов по связным компонентам границы S, причем на каждой из этих компонент выбрана внешняя по отношению к V сторона. Для доказательства утверждения рассмотрим в V функции Р{х, у, z) = х, Q(x, у, z) = у, R(x, у, z) = z. Очевидно, эти функции удовлетворяют условиям, при кото- которых справедлива формула Остроградского. По этой формуле имеем д[х) | д(у) + —— ) dxdydz = xdy dz + у dz dx + zdxdy. dx dy dz J J J V S Тройной интеграл в последней формуле равен За. Поэтому из последней формулы вытекает соотношение G.35). Утверждение доказано. 3. Условия, при которых дифференциальная форма Р(ж, у) dx + Q(x, у) dy представляет собой полный диф- дифференциал. В этом пункте мы укажем ряд условий, при выпол- выполнении которых дифференциальная форма Р(х, у) dx-\-Q(x, у) dy, заданная в связной области D представляет собой полный диф- дифференциал некоторой функции и(х, у). Докажем следующую теорему. Теорема 7.7. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерыв- непрерывны в области D. Тогда следующие три условия эквивалентны. 1. Для любой замкнутой (возможно самопересекающейся) кусочно-гладкой кривой L, расположенной в D, § Pdx + Qdy = 0. L 2. Для любых двух точек А и В области D значение интег- интеграла / Pdx-\-Qdy АВ
202 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 не зависит от кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей точки А и В и расположенной в D. 3. Дифференциальная форма Р(х, у) dx + Q(x, у) dy представ- представляет собой полный дифференциал. Иными словами, в D задана такая функция и(М) = щх, у), что du = Pdx + Qdy. G.36) В этом случае для любых точек А и В из области D и для произвольной кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей эти точки и расположенной в D, / Рdx + Q dy = и(В) - и(А). G.37) Таким образом, выполнение каждого из условий 1, 2, 3 необхо- необходимо и достаточно для выполнения каждого из двух остальных. Доказательство. Проведем доказательство по схеме: т. е. докажем, что из первого условия следует второе, из второ- второго— третье, из третьего — первое. Очевидно, что при этом будет доказана эквивалентность условий 1, 2, 3. Первый шаг: 1 ч 2. Пусть А л В — произвольные фиксированные точки области D, АС В и АС В —любые две кусочно-глад- кусочно-гладкие кривые, соединяющие указанные точки и расположенные в D (рис. 7.8). Объединение р rj g этих кривых представляет собой кусочно-глад- кусочно-гладкую (возможно самопересекающуюся) замкну- замкнутую кривую L = АС В + ВС' А, расположенную в D. Так как условие 1 предполагается выполненным, то § Pdx + Qdy = 0. L Из этого равенства, учитывая, что L = АС В + ВС1 А и что при изменении направления обхода криволинейный интеграл меняет знак, получим соотношение / Pdx + Qdy= / Pdx + Qdy. АСВ АС'В Следовательно, условие 2 выполняется.
4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 203 Второй шаг: 2 —>• 3. Пусть Mq — фиксированная точка, а М(ж, у) — произвольная точка области D, MqM — любая ку- кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки Mq и М и располо- расположенная в D. В силу условия 2 выражение и(М) = / Pdx + Qdy G.38) о 1 ^"-- ,---— М Г J ^^ "Л У X Рис- не зависит от кривой MqM и поэтому представляет собой функ- функцию, заданную в D. Докажем, что в каждой точке М облас- области D существуют частные производные ди ди — и — , причем дх ду р = Р(х,у), p = Q(x,y). G.39) дх ду Так как Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в D, то из последних соотношений следу- следует дифференцируемость функции и и равенство G.36). Тем самым будет до- доказан второй шаг 2 —)> 3. Доказательство существования частных производных функ- функции и(х, у) и равенств G.39) проводится одновременно. Дока- Докажем, например, существование — и первое из равенств G.39). дх Фиксируем точку М(ж, у). Придадим аргументу х настолько ма- малое приращение Аж, чтобы отрезок MN\ соединяющий точки М(ж, у) и N(x + Аж, у), располагался вВ !) (рис. 7.9). Имеем Аи = и(х + Аж, у) — и(х, у) = = / Pdx + Qdy- f Pdx + Qdy = f Pdx + Qdy. M0MN MN На отрезке MN величина у имеет постоянное значение, и поэто- поэтому J Qdy = 0. Следовательно, Wn х-\-Ах Аи= / Pdx= / P(t,y)dt. Wn x Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим Аи = Р(х + в Ах, у) Ах, 0 < в < 1, :)Так как D — область, т. е. множество, состоящее лишь из внутренних точек, то такой выбор Аж возможен.
204 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 откуда !/), О<0<1. Ах В силу непрерывности Р(ж, у), правая часть последнего ра- равенства имеет предел при Ах —>> 0, равный значению этой функ- функции в точке М(ж, у). Следовательно, и левая часть имеет тот же с) а предел, равный по определению частной производной —. Таким дх образом, существование частной производной и справедливость первого равенства G.39) доказана. Существование частной про- ди изводной — и справедливость второго равенства G.39) доказы- ду вается аналогично. Докажем теперь соотношение G.37). Пусть А и В — любые точки из D, АВ — произвольная кусочно-гладкая кривая, со- соединяющая эти точки и расположенная в D. Эта кривая опре- определяется параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t), а ^ ? ^ Ь. Используя правило вычисления криволинейных инте- интегралов, получим / Pdx + Qdy = J{P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)}dt = Тв ь = f u'tdt = u{x{b), y(b)) - u(x(a), y(a)) = u(B) - u(A). a Таким образом, формула G.37) доказана. Третий шаг: 3 —>• 1. Это утверждение следует из фор- формулы G.37). В самом деле, для замкнутой кривой L начальная точка совпадает с конечной, и поэтому по формуле G.37) имеем § Р dx + Q dy = и(А) — и(А) = 0. L Теорема доказана. Замечание. Мы отмечали, что условия 1, 2, 3 теоре- теоремы 7.7 равносильны, и поэтому, в частности, условие 3 предста- представляет собой необходимое и достаточное условие, при котором криволинейный интеграл J P dx + Q dy не зависит от выбора ь кривой L, соединяющей любые данные точки А и В области D. Для односвязных областей 1) мы укажем удобное для при- приложений необходимое и достаточное условие того, чтобы диффе- х) Напомним, что область D называется односвязной, если любая кусоч- кусочно-гладкая, несамопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в D, ограничивает область, все точки которой принадлежат D.
§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 205 ренциальная форма Р dx + Q dy была полным дифференциалом некоторой функции. Естественно, это условие будет необходимым и достаточным для независимости интеграла J P dx + Q dy от выбора кривой L, L соединяющей любые данные точки А ж В области D. Теорема 7.8. Пусть функции Р(х, у) и Q(x, у) и их част- частные производные непрерывны в о дно ев я з ной области D. Тогда каждое из трех условий 1; 2; 3 теоремы 7.7 эквивалент- эквивалентно следующему (четвертому) условию — = —^ в D. ду дх Доказательство. Применим схему: 2 Мы уже доказали утверждения 1 —>> 2 —>> 3. Докажем, что 3 —)> 4 и4ч1. Первый шаг: 3—L. Пусть в области D существует функ- функция и(х, у) такая, что du = Р dx+Q dy. Тогда — = Р, — = Q дх ду дР_ _ д_(ди\ _ д_(ди\ _ dQ_ ду ду\дх/ дх\ду/ дх Таким образом, условие 4 выполнено. Отметим, что для до- доказательства шага 3 —)> 4 не требуется условия односвязности области D. Второй шаг: 4 ч 1. Пусть выполнено условие 4. Тогда в каждой точке области D справедливо равенство % - f = О- G-40) дх ду Если L — расположенная в D замкнутая кусочно-гладкая кривая без самопересечений, ограничивающая область D* (об- (область D односвязна, и поэтому каждая точка области D* при- принадлежит D), то, применяя формулу Грина к области D* и ис- используя G.40), получим L D* В случае, когда L имеет конечное число точек самопересе- самопересечения и является ломаной с конечным числом звеньев, то для
206 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 D Рис. 7.10 нормаль к L в точке каждой петли L кривой L справедливо равенство § Р dx+Q dy = Z = 0, и поэтому для L справедливо равенство § Pdx + Qdy = 0. L Пусть L — произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая. Выберем для L число А > 0 так, как это указано в лемме 1. Ра- Разобьем L на части L& длины меньше А (к точкам разбиения относятся и угло- угловые точки кривой L, см. рис. 7.10). Со- Согласно упомянутой лемме касательные в концах Мк и Nk каждой части L^ составляют угол, меньший тг/8. Тогда, очевидно, для достаточно малого А кри- криволинейный треугольник M^N^Ck (этот треугольник заштрихован на рис. 7.10), в котором MfcCk составляет угол мень- меньший тг/8 с касательной в М&, a N^Ck — , целиком расположен вДи представляет собой замкнутую кусочно-гладкую кривую без самопересечений. Поэтому § Pdx + Qdy = 0. MkNkCk Отсюда следует, что криволинейный интеграл по дуге M^N^ равен криволинейному интегралу по ломаной M^CkN^: / Pdx + Qdy= f Pdx + Qdy. -—- MkNkCk MkNk Проводя аналогичные рассуждения для любой части L&, мы получим в результате расположенную в D замкнутую лома- ломаную L, для которой § Р dx + Q dy = § Р dx + Q dy. G.41) L L Выше мы отмечали, что дли замкнутой, расположенной в D ломаной L, интеграл § Р dx + Q dy = 0. Отсюда и из G.41) L получаем § Pdx + Qdy = 0. L Теорема доказана. 4. Потенциальные и соленоидальные векторные по- поля. Нами были ранее (см. п. 3 § 1, п. 3 § 2 и п. 3 § 3) введены
§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 207 понятия циркуляции и потока векторного поля. Напомним эти понятия. Пусть в некоторой области D задано непрерывное векторное поле р(М) = р(х, у, z). Определение 1. Циркуляцией векторного поля р по замк- замкнутой кусочно-гладкой кривой L, расположенной в области D, называется интеграл § ptdl, L в котором t — единичный вектор касательной к L, a dl — диф- дифференциал длины дуги кривой L. Определение 2. Потоком векторного поля р через ориен- ориентированную кусочно-гладкую поверхность S, расположенную в области D, называется интеграл ffpnda, s в котором п — единичный вектор нормали к поверхности S, указывающий ее ориентацию, a da — элемент площади поверх- поверхности S. Введем понятия потенциального и соленоидального вектор- векторного поля. Определение 3. Векторное поле р называется потен- потенциальным в области D, если циркуляция этого поля по лю- любой замкнутой кусочно-гладкой кривой, расположенной в обла- области D, равна нулю. Определение 4- Векторное поле р называется солено- ид а льни м в области D, если поток этого поля через лю- любую кусочно-гладкую несамопересекающуюся поверхность, рас- расположенную в D и представляющую собой границу некоторой ограниченной подобласти области D, равен нулю. Для непрерывно дифференцируемых векторных полей и спе- специального класса областей мы докажем теорему, содержащую необходимые и достаточные условия потенциальности поля. Предварительно мы введем понятие трехмерной поверхност- но-односвязной области. Трехмерная область D называется поверхностно-односвяз- ной, если для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой L, рас- пол оженной в D, можно указать такую ориентируемую кусочно- гладкую поверхность S, расположенную в D, границей которой является L. Отметим, что для упомянутой поверхности S спра- справедлива формула Стокса. Имеет место следующая теорема. Теорема 7.9. Пусть в поверхностно-односвязной области D задано непрерывно дифференцируемое векторное поле р = = {Р, Q, R}. Тогда эквивалентны следующие три условия:
208 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 1. Векторное поле р = р(М) является потенциальным. 2. В области D существует потенциальная функция и(М), т. е. такая функция, что р = gr&du, или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz. В этом случае для любых точек А и В из области D и для произвольной кусочно-гладкой кривой АВ, соединяющей эти точки и расположенной в D, = u(B)-u(A) (здесь t —единичный вектор касательной к кривой АВ, a dl — дифференциал дуги). 3. Векторное поле р = р(М) является безвихревым, т. е. rotp = 0 в D. Очевидно, условие 3 эквивалентно соотношениям дР_ _ dQ_ dQ_ _ dR (Ж _ дР_ ду дх ' dz ду дх dz Таким образом, каждое из условий 2 и 3 представляет собой необходимое и достаточное условие потенциальности диффе- дифференцируемого векторного поля р. Доказательство. Применим схему: Утверждения 1 —>• 2 и 2 —>• 3 справедливы без предположения поверхностной односвязности области D и доказываются в пол- полной аналогии с соответствующими утверждениями теорем 7.7 и 7.8. Докажем утверждение 3 —>• 1. Пусть L — замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположен- расположенная в D. По предположению, D — поверхностно-односвязная об- область. Поэтому в D существует такая кусочно-гладкая поверх- поверхность S, границей которой является L. По формуле Стокса G.26) имеем § ptdl = ffn rot p da. L D Отсюда и из условия rotp = 0 получаем §ptdl = 0, L т. е. поле р является потенциальным. Теорема доказана.
§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 209 В заключение этого пункта докажем теорему о необходимых и достаточных условиях соленоидальности векторного поля в так называемых объемно-односвязных областях. При этом про- пространственная область D называется объемно-односвязной, если любая замкнутая, кусочно-гладкая, несамопересекающаяся ори- ориентируемая поверхность, расположенная в D, является границей области, также расположенной в D. Теорема 7.10. Для того чтобы непрерывно дифференциру- дифференцируемое векторное поле р было соленоидальным в объемно-одно- объемно-односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках D выполнялось равенство divp = 0. Доказательство. 1) Необходимость. Пусть М — про- произвольная точка области D. Рассмотрим любую сферу S с цен- центром в М, целиком расположенную в D. Применяя к шару Ds с границей S формулу Остроградского G.33), получим /// div pdv = // up da. G.42) ds s Так как поле р является соленоидальным, то ffnpda = 0, и s поэтому, согласно G.42), JJJ div pdv = 0. Применяя к последне- DS му интегралу теорему о среднем, мы убедимся, что в некоторой точке шара Ds divp = 0. В силу произвольности этого шара и непрерывности поля р отсюда следует обращение в нуль divp в точке М. Таким образом, необходимость условий теоремы дока- доказана. 2) Достаточность. Пусть S — любая замкнутая, кусочно- гладкая, несамопересекающаяся, ориентируемая поверхность, расположенная в D. Так как D — объемно односвязная область, то S является границей области Ds, также расположенной в D. Применяя к Ds и векторному полю р формулу Остроградско- Остроградского G.33), получим соотношение G.42), из которого и из условия divp = 0 следует соотношение // npda = 0. s Так как S — произвольная замкнутая, кусочно-гладкая, несамо- несамопересекающаяся, ориентируемая поверхность, расположенная в О, то последнее равенство, согласно определению, означает соленоидальность поля р в D. Теорема доказана.
210 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 ДОПОЛНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Знакопеременные полилинейные формы 1. Линейные формы. Пусть V — произвольное n-мерное векторное пространство, элементы которого будем обозначать символами ?, т/, ... Предметом нашего изучения будут функции, сопоставляющие каждому эле- элементу ? G V некоторое вещественное число. Определение 1. Функция а(?) называется линейной формой, если для любых ? Е V, т/ ? V и любого вещественного числа А выполняются равенства 1) (С )(О() )(?) (?) Определение 2. Суммой двух линейных форм а и Ъ назовем линей- линейную форму с, которая каэюдому вектору ? Е V сопоставляет число Произведением линейной формы а на вещественное число А назовем линейную форму 6, которая каэюдому вектору ? Е V сопоставляет число Hi) = Аа(О. Таким образом, множество всех линейных форм образует векторное пространство, которое мы обозначим символом L(V) *). Найдем представ- представление линейной формы а в каком-либо базисе {е^}^=1. Пусть где числа ?г определяются однозначно. Если обозначить a,i = а(е^), то ис- искомое представление будет иметь вид Докажем, что размерность dimL(V) линейного пространства L(V) рав- равна п. Для этого достаточно указать какой-либо базис в L(V), содержащий точно п элементов, т. е. п линейных форм. Фиксируем произвольный базис {е/е} пространства V и рассмотрим следующие линейные формы: ek(i)=ik (k = l,2,...,n), где {^k} — коэффициенты разложения вектора ? по элементам базиса {ей}- Иначе говоря, линейная форма ек действует на элементы базиса {в{} по правилу к/ е Г 1 ПРИ i = е (еО = 5ik = | .ф к В таком случае в данном базисе {в{} линейная форма а имеет вид г) Пространство L(V) обозначают также символом V* и называют сопря- эюенным (или дуальным) к V.
ДОПОЛНЕНИЕ 211 т. е. линейные формы е1^), е2(?), ..., еп(?) образуют базис в Ну). Этот базис называют сопряженным (а также взаимным или дуальным) к бази- су {ei}. 2. Билинейные формы. Обозначим через V х V множество всех упорядоченных пар (?-,_, |2), гДе €i ^ ^Л ?2 ^ ^Л и рассмотрим функции а(?ъ €2M сопоставляющие каждому элементу из V х У (т. е. каждым двум элементам ^ G F и ^ G У) некоторое вещественное число. Определение. Функция a(?l5 ?2) называется билинейной фор- формой, если при каждом фиксированном значении одного аргумента она является линейной формой относительно другого аргумента. Иначе говоря, для любых векторов ?-,_, ?2, Vii 'П2 и любых вещественных чисел Ai, A2, /ii, /^2 выполняется равенство !, r/2) + /^a^, ?2) + /л/^а^, r/2). Множество всех билинейных форм легко превратить в линейное про- пространство, вводя в нем естественным образом операции сложения и умно- умножения на вещественное число. Полученное пространство билинейных форм обозначим символом L/2(V). Найдем представление билинейной формы а(^1, ?2) в каком-либо базисе п {вг}Г=1 пространства У. Пусть ?fc = ^ €кез> ^ = 15 2. Положим a(ei,ej) = = ajj и получим искомое представление Для того чтобы определить размерность пространства L2(V), образуем с помощью линейных форм ег(^), составляющих в L(V) базис, сопряж:енный к базису {е^}, следующие билинейные формы: ey«i,e2) = e<«i)ei«2). Тогда произвольная билинейная форма будет однозначно представимой в виде Это означает, что формы еи'(?15 ^2) образуют базис в L2(F) и, следо- следовательно, размерность L/2(V) равна п2. 3. Полилинейные формы. Пусть р — натуральное число. Обозначим символом Vp = V х V х ... х V множество всех упорядоченных наборов (€i? €2 5 • • • 5 €р) из Р векторов, каждый из которых принадлежит У, и рас- рассмотрим функции, сопоставляющие каждому такому набору некоторое ве- вещественное число. Определение. Функция a(?l5 ?2, ... , ?р) называется полилиней- полилинейной формой степени р (или р-ф о р м о й), если она является ли- линейной формой по каждому аргументу при фиксированных значениях ос- остальных. Вводя в множестве всех р-форм линейные операции, мы получим ли- линейное пространство, которое обозначим символом LP(V). Найдем представление произвольной полилинейной формы a(?l5 ?2, ... ... , ?р) в каком-либо базисе {е^}^=1 пространства V. Обозначим анг2...гр = а(вг15 вг2 , . . . , €ip).
212 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 п Тогда, если ?к = J2 Ckei, к = 1, 2, ... , р, то р р Если efc(?) есть базис в L(V), сопряженный к {е^}, то, очевидно, р-фор- мы образуют базис в LP(V) и, таким образом, LP(V) имеет размерность пр. 4. Знакопеременные полилинейные формы. Определение. Полилинейная форма а(^1, ^2, ... , ^р) называется знакопеременной, если при перестановке любых двух аргументов она меняет знак ) . Иначе говоря, a«i, *2> •••> 6> •••>*,•>•••> tP) = -o«i. «2, • • • , ?я • • • . &> • • • . ^)- Очевидно, множество всех полилинейных знакопеременных форм сте- степени р образует подпространство линейного пространства LP(V), которое мы обозначим символом AP(V) ). Элементы пространства AP(V) мы бу- будем обозначать символом ио = о;(?-,_, ^2? • • • ¦> iP)- Заметим, что если {е^} — произвольный базис в V и то числа и){г{2..лр меняют знак при перестановке двух индексов. Это выте- вытекает из того, что ип..лр =u)(eh, ... , eip). Естественно считать, что A\(V) = Li(V), a Aq(V) состоит из всех по- постоянных, т. е. совпадает с числовой прямой. 5. Внешнее произведение знакопеременных форм. Рассмотрим две знакопеременные формы ир Е AP(V) и uq E Aq(V). В этом пункте мы введем основную операцию в теории знакопеременных форм — операцию внешнего умноэюения. Пусть Рассмотрим следующую полилинейную форму а = Lp+q(V): adi, «a, • • • , ep+e) = wP«i, • • • , О • w*«p+i. • • • . ^Р+9)- G-43) Эта форма, вообще говоря, не является знакопеременной. Именно, при перестановке аргументов ?{ и ^, где 1 ^г^рир + 1 ^ j ^ р + д, форма G.43) может не изменить знака. Этим обстоятельством и вызвана необхо- необходимость введения внешнего произведения. Для того чтобы ввести внешнее произведение, нам понадобятся неко- некоторые факты из теории перестановок. ) Знакопеременные полилинейные формы называют также антисимметрическими, ко со симметрическими, косыми, внешними. 2) Это пространство обозначают также символом APV* и называют р-й внешней степенью пространства V*.
ДОПОЛНЕНИЕ 213 Напомним, что перестановкой чисел {1, 2, ... , т} называют функцию а = а (к), определенную на этих числах, и отображающую их взаимно однозначно на себя. Множество всех таких перестановок обозначается сим- символом Ет. Очевидно, существует всего т\ различных перестановок из Ет. Для двух перестановок а Е Ет и т Е Ет естественным образом определя- определяется суперпозиция ат Е Ет. Перестановка сг называется обратной к сг, если (т~1(т = сгсг = е, где s — тождественная перестановка (т. е. е(&) = к, /с = 1, 2, ... , га). Перестановка а называется транспозицией, если она переставляет два числа, оставляя другие на своем месте. Иначе говоря, существует пара чи- чисел i л j (I ^ i ^ т, 1 ^ j ^ m, i ф j) такая, что a(i) = j, a(j) = г и сг(к) = к для к ф i л к ф j. Очевидно, если а — транспозиция, то ст = а и а • а = е. Известно, что всякая перестановка а разлагается в суперпозицию транс- транспозиций, переставляющих числа с соседними номерами, причем четность числа транспозиций в таком разложении не зависит от его выбора и назы- называется четностью перестановки а. Введем следующее обозначение: Г 1, если перестановка а четна, sgn сг = < Ц —1, если перестановка а нечетна. Заметим, что форма а Е LP(V) принадлежит AP(V), если для любой перестановки а Е Ер Рассмотрим снова полилинейную форму G.43). Для любой перестанов- перестановки а Е Ер+q положим сга(? ? ) = а(? />>,...,?/ л) G.44) Нетрудно убедиться в том, что если т Е Ep+q и а Е Ep+q, то (та)а = = г (ста). Введем следующее определение. Определение. Внешним произведением формы иор Е AP(V) и формы uoq E Ag(V) называется форма uj E Ap+g(V), определяемая равен- равенством ~ та, G.45) г^е сумма берется по всем перестановкам а Е Ep+q, удовлетворяющим условию сгA) < сгB) < . . . < сг(р), сг(р + 1) < . . . < сг(р + q), G.46) а величина аа определяется равенствами G.43) и G.44). Внешнее произведение форм шр и шд обозначается символом и; = ujp A uoq. Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка а, удовлет- удовлетворяющая условию G.46). Предположим, что по некоторой дороге парал- параллельно движутся две колонны автомобилей, в первой из которых р, а во второй q машин. Через некоторое время дорога сужается и обе колонны на ходу перестраиваются в одну. При этом автомобили первой колонны за- занимают места где-то среди автомобилей второй, однако порядок следования автомобилей внутри каждой колонны сохраняется. В результате мы получаем перестановку, удовлетворяющую условию G.46). Легко видеть, что и обрат- обратно, всякая такая перестановка может быть реализована на нашей модели. Для того чтобы убедиться, что данное нами определение является кор- корректным, необходимо доказать, что uj = ujp A ujq E Ap+q(V). Очевидно, в доказательстве нуждается только знакопеременность формы ш.
214 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Покажем, что при перестановке двух аргументов ^ и ?^+i форма и меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что ш Е Ap-\-q(y). Пусть т Е Е Sp+g является такой перестановкой. Убедимся в том, что тио = —cj = (sgnr)a;. G.47) Из равенства G.45) получим ~V (та)а. Разобьем эту сумму на две: тио = ^ (sgn а)(та)а + ^ (sgncr)(rcr)a. G.48) сг сг К первой сумме отнесем те перестановки а, для которых либо а~ (г) ^ ^ р, ст~1(г + 1) ^ р либо сг-1(г) ^ р+ 1, ст~1(г + 1) ^ р+ 1. Для каждой такой перестановки (та)а = —аа. Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным, обозначим k = a~1(i), I = a~1(i-\-1), т. е. г = ст(А;), г + 1 = ст(/). Форма аа представляет собой произведение форм ир и шд, причем аргументами ир являются векто- векторы ?_м>м ?^о^ • • • , ?~^, а аргументами шд —векторы ?„/ ,п, ... , ?^^_l^. Если А; ^ р и / ^ р, то ^ = €o-(fc) и ^г+i = ^ст(г) являются аргументами формы шр, которая по условию знакопеременна. Следовательно, при пе- перестановке ?i и €г+и Ф°Рма ^P5 а значит и ста, меняет знак. Аналогично рассматривается случай, когда &^р+1и/^р+1. Итак, для первой суммы выполняется равенство \J (sgn а) (га)а = — \J (sgn a)aa. G.49) сг сг Ко второй сумме отнесем те перестановки а, для которых либо a~1(i) ^ ^ р, сг-1(г + 1) ^ р + 1 либо сг-1(г) ^ р + 1, сг-1(г + 1) ^ р. Покажем, что множество перестановок {а}, удовлетворяющих этому условию (а также, разумеется, условию G.46)), совпадает с множеством перестановок вида та, где а Е {а}. Обратимся к нашей модели с двумя колоннами автомобилей. Утверждение примет следующий очевидный вид. Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером к из пер- первой колонны окажется непосредственно перед автомобилем с номером / из второй колонны, то легко можно указать другое перестроение, в результа- результате которого эти автомобили поменяются местами, в то время как порядок движения остальных сохранится. Таким образом, поскольку sgn та = — sgn a У^ (sgnа)(та)а = — V^ (sgnта)(та)а = — V^ (sgna)aa. G.50) / > Подставляя G.49) и G.50) в G.48), мы получим G.47). Пример 1. Рассмотрим две линейные формы /(?) Е Ai(V) и g(?) E Е Ai(V). Внешним произведением будет являться билинейная форма / Л g = Пример 2. Пусть /(g) E Ai(F), g(^, ?2, ... ,gg) E Л(Ю- Внеш- Внешним произведением cj = / Л g будет д+1-форма, аргументы которой мы
ДОПОЛНЕНИЕ 215 обозначим через ?0, ?15 ... , ? : г=0 6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм. 1) Очевидным свойством внешнего произведения является линей- линейность: а) если ир Е AP(V), uoq Е ^.д(^), то для любого вещественного числа Л (Хир) Auoq =uop A (Acj9) = A(cjp Л uq); б) если cj? Е Ар(У), cj? Е АР(У) и cj« Е А, (У), то (ш{ + cjf) Л cj9 = ш{ Л cj9 + иор Л cj9. 2) Антикоммутативность. Если ujp E AP(V) и о;9 Е Ag(V), то ^Л^ = (-l)pquq Аир. Доказательство. Пусть ир Л uq = и = cj(g1? ?2, ... , ?p+q). Легко видеть, что uq Лир =cj(gp+1, gp+2, ... , gp+g, ?1? ... , gp). Убедимся в том, что перестановку (gp+1, ?р+2, ... , |р+д, g1? ... , ?р) можем получить из векторов (^15 ^2, ... , ?p+q) с помощью pq последовательных транспозиций. Вектор ?p+i можно передвинуть на первое место, исполь- используя р транспозиций. Затем с помощью такого же числа транспозиций пере- передвинем на второе место вектор ?р+2 и т- Д- Всего мы передвинем q векторов, используя каждый раз р транспозиций, т. е. число всех транспозиций равно pq. В таком случае антикоммутативность будет следовать из знакоперемен- ности внешнего произведения. 3) Ассоциативность. Если ир Е AP(V), uoq E Aq(V), uor E Ar(V), то (ир A uoq) Г\иог =иор Г\ (uq A uor). Доказательство. Пусть а Е Ep+q+r. Рассмотрим следующую ве- величину: G.51) Сумма G.51) будет равна (шр Aujq)Aujr, если вначале произвести сумми- суммирование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числа р + q +1, р + д + 2, ...,р + д + ги удовлетворяющим условию G.46), а затем про- просуммировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок первых р + q аргументов и порядок аргументов ?р+д+1, ... , ?p+q+r. Аналогично можно получить величину иор A (uoq Auor). Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам, удовлетворяющим условиям GA) <СГB) <...<G(р), сг(р + 1) < а(р + 2) < ... < а(р + q), G.52) сг(р + q + 1) < . . . < а(р + q + г).
216 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Для этого обратимся снова к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три колонны автомобилей, в первой из которых р, во второй д, а а третьей г машин. Один из способов перестро- перестроения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаются первая и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая и третья колонны, а к ним при- присоединяется первая. Очевидно, перестановка а, получаемая в результате любого из этих перестроений, удовлетворяет условию G.52) и, наоборот, любая перестановка, удовлетворяющая условию G.52), может быть получе- получена как с помощью первого, так и с помощью второго способа перестроения. Это и означает совпадение (оор Aooq) Аоог и оор A (ooq Аоог). Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматри- рассматривать любое конечное произведение cji Л CJ2 Л ... Л cjm, где uji G APi (V). Пример 1. Пусть ai(?), «2@, • • •, am(?) —линейные формы. Тогда а\ Ла2 Л ... Лага = ^(sgncr)cr[ai(?i), a2(?2)> • • • >am(?m)L G.53) а где суммирование производится по всем перестановкам а Е Sm. Равенство это легко проверяется с помощью индукции. Заметим, что если ввести матрицу {cn(^j)}, то равенство G.53) можно переписать в сле- следующем виде: (ai Л а2 Л ... Л атШг, ?2> • • • > О = det Ы^)}- G-54) 7. Базис в пространстве знакопеременных форм. Выберем ка- какой-либо базис {е;}™=1 в пространстве V и обозначим через {ег}™=1 сопря- сопряженный к нему базис в пространстве L(V). Напомним, что ег(?) есть линей- линейная форма, которая на элементах базиса {е^} принимает значение ег(е^) = = 6ij. В п. 3 мы показали, что всевозможные произведения en(?iK2(?2)...e^(?P) образуют базис в LP(V). Поскольку AP(V) С LP(V), то каждая знакопере- знакопеременная р-форма может быть разложена единственным образом в линейную комбинацию указанных произведений. Однако эти произведения не образу- образуют базиса в AP(V), поскольку они не являются знакопеременными р-форма- ми, т. е. не принадлежат AP(V). Тем не менее из них можно сконструировать с помощью внешнего умножения базис в AP(V). Теорема 7.11. Пусть {е^}^=1 —базис в пространстве V, {ег}^=1 — со- пряснсенный базис в пространстве L(V). Любая знакопеременная р-форма ио Е Ар (V) может быть представлена и притом единственным образом в виде ио = ^2 ^hi2---ipeh Aei2 Л ... Л еЧ G.55) 1^г1<...<гр^п Каждое слагаемое суммы в правой части G.55) представляет собой произведение постоянной 00{г{2..лр на знакопеременную р-форму епЛег2Л ... ... Aeip. Доказательство. В силу результатов п. 4 мы можем записать ^=E---X>H*2...*PeV2...e4 G.56) ii=l ip = l где числа cj^^...^ = cj(en, ег2, ... , егр) определены однозначно.
ДОПОЛНЕНИЕ 217 Так как форма cj(?15 ?2> • • • •> iP) знакопеременна, то для любой пере- перестановки а ? Yip Следовательно, CJV(l)VB)---V(P) = (8§ПСГ)^Нг2...^- G-^7) Сгруппируем слагаемые в сумме G.56), отличающиеся перестановкой индексов zi, Z2, ... , ip, и воспользуемся равенством G.57). Получим — V1 V1 Mi) Mp) — G.58) - | «—г | n<«2<---<*p В силу примера из п. 6 сумма, стоящая в квадратных скобках, есть еп Л е%2 Л ... Л еЪр. Теорема доказана. Следствие 1. Элементы еп Л е12 Л ... Л еЪр A ^ %\ < %2 < ... < гР ^ п) образуют базис в пространстве AP(V). Этот базис пуст для р > п и состоит из одного элемента, если р = п. Следствие 2. Размерность пространства AP(V) равна С^. В дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбранный базис ei, в2, ... , еп нами зафиксирован и линейные формы ег(?) будем обозна- обозначать символом ег(?) = ?г. Тогда любая форма uj E AP(V) примет вид Пример 1. где ?[ есть j-й коэффициент в разложении вектора ?ti по базису Пример 2. 1 2 ' § 2. Дифференциальные формы 1. Определения. Рассмотрим произвольную открытую область G n-мерного евклидова пространства Еп. Точки области G будем обозначать символами х = (ж1, ж2, .. . , жп), j/ = (у1, у2, ... , ?/п) и т. д. Определение. Дифференциальной формой степени р, определенной в области G, будем называть функцию <*;(#, ?15 ?2? •••? €р)? которая при каэюдом фиксированном х € G представляет собой знакопе- знакопеременную р-форму из Ар(Еп). Множество всех дифференциальных р-форм в области G обозначим через UP{G) = UP(G, En). Мы будем считать, что при фиксированных ?15 ... , ?р Е Еп р-форма ио представляет собой бесконечно дифференцируемую в G функцию. Используя
218 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 результаты § 1, мы можем каждую р-форму ш записать в виде G-60) Всюду в дальнейшем вектор ? будем обозначать символом dx = (dx1, dx2, ... , dxn), а векторы ?к —символами dkX = (dkX1, dkX2, ... , dkXn). В качестве базиса в Еп выберем векторы е/е = {0, 0, ... , 1, 0, ...,0}, где еди- единица стоит на к-м месте. Элементами сопряженного базиса будут функции ек(?) = ek(dx), определяемые равенствами ek(dx) = dxk. Тогда дифференциальная форма G.60) примет вид и(х, dix, ... , dpx) = ji1...ip dx%1 A ... Л dxlp. Пример 1. Дифференциальная О-форма — это любая функция, опре- определенная в области G (и, в силу наших предположений, бесконечно диффе- дифференцируемая в G). Пример 2. Дифференциальная 1-форма имеет вид п k=l В частности, когда п = 1, и(х, dx) = f(x)dx. Дифференциальную форму степени 1 называют также линейной дифференциальной формой. Пример 3. Дифференциальная 2-форма имеет вид X—"^ г к uuyx, d\x, d2x) = у uuik dx A dx . По определению dx1 = (е* Л ek){dix, d2x) = = e\d1x)ek(d2x) - ei(d2x)ek(d1x) = = dixld2xk - d2xldixk = В частности, при п = 2 получаем d\x% d\xk d2xl d2xk , d2x) = f(x) dix1 d\x2 d2xx d2x2 Определитель равен элементу площади, соответствующему векторам d\x и d2x. В случае, когда п = 3, обозначая и\2 = R, и2з = Р, CJ13 = —Q, получим Р Q = Pdx2 Л Л dxs + Яс^ж1 Л dx2 = d\x d\x d\xc d2xx d2x2 d2x3 Пример 4. Дифференциальная 3-форма в трехмерном пространстве имеет вид d\x d\x d\x d2xx d2x2 d2xs dsx1 dsx2 dsx3 Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам d\x, d2x. и(х, d\x, d2x, d^x) = f(x) dx1 A dx2 A dx3 = f(x)
ДОПОЛНЕНИЕ 219 2. Внешний дифференциал. Определение. Внешним дифференциалом р-линейной диф- дифференциальной формы ио Е QP(G) будем называть форму duo E Qp+i(G), определяемую соотношением duo = ^ duoi1...ip A dx11 А ... A dx%v, где du>h...ip =Y1 fc=i Таким образом, если ooh...ipdxh A...Adxip, TO n ri duo = Y У" ШН"Лр dxk Adx11 A...Adxlp. k = li!<...<ip U Пример 1. Дифференциал формы степени нуль (т. е. функции /(ж)) имеет вид к = 1 Пример 2. Вычислим дифференциал от линейной формы п оо = ио(х, dx) = 2_^uoi{x) dx1'. г = 1 Получим П П г\ / \ c/cj = duo(x, dix, d2x) = У^ У^ —-^- с/ж Л dx%. Так как dxk A dx1 = —dx1 A dxk и dxk A dxk = 0, то п ^ гг о k<i i<k h В частности, когда п = 2, получим для и) = Pdx1 + Qdx2 duj ^ дх ду 3. Свойства внешнего дифференциала. Непосредственно из опре- определения вытекают следующие свойства: 1) если ио\ Е QP(G), U02 Е QP(G), то d(uoi + U02) = c/cji + duo2] 2) если cj Е QP(G) и Л — вещественное число, то d(Xuo) = Ac/cj; 3) если ал Е fiPFr), cj2 E fig(Cr), то Л UO2) = C/CJ1 Л UO2 + ( — l)PCJi Л duO2-
220 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Докажем свойство 3). Пусть и = 22 uh---iP dx%1 A ... A dx%p. Введем следующее обозначение: дш уг-^ диЛ1т.Лр , ii А л л гю = > —dx А ... A dx p. дхк ix<<{ дхк Тогда duo можно записать в виде k=i Вспомним, что и = cji Л U2 = (—l)pqU2 А ил. Далее дш _ dull дш2 _ dull , ,pq ^^z дхк дхк дхк дхк дхк Тогда du = 2_^ dxk A —- = 2_^dxk A —- Л и2 + П гл + (—1) y_,dx А Л cji = duj\ Л CJ2 + (—1) duj2 А ш\. Поскольку duJ есть (q + 1)-форма, то duj2 А ал = (-l)p{q+1)uJi A duj2. Отсюда duo = dui A UJ2 + (—1)pcji Л duj2- Справедливо следующее ваэюное свойство дифференциала. Основное свойство внешнего дифференциала: d(duj) = 0. Доказательство. Предположим вначале, что ио есть форма степе- степени 0, т. е. ш(х) = f(x). Тогда d{df) =dY ^-dxl = УУ -^—dxk A dx1. hdx% hhdxkdx% Так как dxk A dx1 = —dx1 A dxk, это равенство можно переписать в виде d{df) = г<к откуда следует, что d(df) = 0. Пусть теперь и = ^^ Ui1...ipdx11 А ... Adxlp. ii<...<ip Тогда du = ^ ^2 dvh-ip ^dxh A ... A dxip. k = l ii<...<ip Заметим, что каждый член суммы представляет собой внешнее произве- произведение дифференциалов форм степени 0, именно, форм L)ilm..ip (ж), еп (с/ж), ... ..., etp (dx). Остается применить свойство 3) и воспользоваться тем, что для формы степени 0 основное свойство доказано.
ДОПОЛНЕНИЕ 221 § 3. Дифференцируемые отображения 1. Определение дифференцируемых отображений. Рассмотрим произвольную m-мерную область D евклидова пространства Ет и п-мер- ную область G С Еп. Точки области D будем обозначать символами t = = (t1, t2, ... , ?m), а точки области G символами x = (ж1, ж2, ... , хп). Будем говорить, что ср отображает DbG, если ч> = W\ ч>2> ••• > <рта}> где ipk(t) определены в области D, а векторы х с координатами хк = <?>fc(?) лежат в области G. Определим отображение (р*, которое переводит fip(G) в ?lp(D) для лю- любого р, 0 ^ р ^ п. При этом мы будем считать, что каждая компонента (рк (t) отображения (р является бесконечно дифференцируемой. Определение. Пусть ср — отображение D С Еш в G С Еп. Обозна- Обозначим через ср* отображение, которое для всех 0 ^ р ^ п действует из QP(G) в Qp(D) no следующему правилу: если где Пример 1. Пусть uj — форма степени 0, т. е. uj = f(x). Тогда ?>*(/)= /Ш)- Пример 2. Пусть ср отображает n-мерную область D С Еп в п-мер- ную область G С Еп, и пусть и — следующая п-форма: uj = dx1 A dx2 A ... Л dxn. Тогда г=1 j-ki л л Jj-^n = z2 Y.^t1---^t-dt л• • •лdi = = dt1 Л ... Л dtn ' Таким образом, ^(^x л dx2 л... л d^n) = ^^^rff1 л dt2 л... л ^Г. Замечание. Форму <р*(cj) называют дифференциальной формой, получающейся из формы ш при помощи замены переменных (р.
222 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 2. Свойства отображения ср*. Справедливы следующие свойства отображения ср*: 1. Если ал е fip(Cr), cj2 G fig(Cr), то <?>*(ал Л CJ2) = <р* (u)i) Л Доказательство. Пусть ил = 5Z au-ipWrfa;*1 Л...Лс/ж*р, П<...<гр cj2= ^ bkl...kq(x)dxkl A...Adxkq. кг<...<кд Тогда х dx'1 Л ... Л dxip Л dxfcl Л ... Л dxkq и, следовательно, ^*(ол Л и2) = ^2^2ai((p(t))bk((p(t))(p*(dxh) Л ... Л cp*(dxkq) = г к {1) Л ... Л (p*(dxip) Л [^6fc(^)^*(^fcl) Л ... Л if*(dxk = <р*(ил) Л (р*(и2). 2. Еслио; G ^р(Ст), то ср* (duo) = dip* (ил). Доказательство. Докажем вначале это равенство для р = 0, т. е. для ил = f(x). Получим Для произвольного р проведем доказательство по индукции. Пусть ил = = fh...ip(x)dxh А ... Л сЬЧ Тогда dcj = <//»!...»„ Л dx'1 Л ... Л dxip. По свой- свойству 1 и только что доказанному соотношению ip*(duj) = <p*{df) A <p*(dxH) A ... Л <р*(с/ж*р). С другой стороны, dip*(ил) = dip*[(fdxh A.^Adx^-1) Adxip] = = d[ip* (fdxh A ... Л dx**-1) A ip* (dxip)]. Далее в силу свойства 3 внешнего дифференциала dip* (ил) =dip*(fdx{l Л... Л с/ж**-1) A(p*(dxip) + + (-l)p~V(/tfo*1 Л... Л с/ж**) Лс/^*(с/ж**). Заметим, что ip* (dxlp) = dip* (хЪрЛ) в силу только что доказанного, а тогда по основному свойству внешнего дифференциала dip* (dxlp) = 0.
ДОПОЛНЕНИЕ 223 По предположению индукции, справедливому для р — 1, dif*{fdxil А ... Adxip-X) = (f*(df Adxh А ... Acfo^-1). В результате получим dip* (и) = ip*(df Adxh A ... Adx^-1) A(p*(dxip), а по свойству 1 dip* (и) = (p*(df Adxh А ... Adxip). Следующее важное свойство называют транзитивностью. 3. Рассмотрим открытые области U С Е\ V С Еш, VF С ?^п, точки которых соответственно и = (гг1, гб2, ... , и1), v = (г;1, v2, ... , vm), w = = (w1, w2, ... , г^п). Пусть 9? отображает U ^ V, & ф отображает V —»¦ W. Через ^ о <^ обозначим отображение, называемое композицией, которое дей- действует по правилу (<фо(р)(и) =ф[(р(и)]. Аналогично введем композицию (р*оф*, которая для любого р переводит UP(W) в UP(U), т. е. ((р*оф*)(и) = (р*[ф*(и)]. Справедливо следующее равенство: (фоСрУ =(р*оф*. Доказательство. Обозначим /3 = фо<р. Это означает, что /3 = = (/?1,/32, ...,/Г), где рк = ф\ч>\<р\ ...,vm). Проведем сначала доказательство для линейной формы dw С fii(W). Получим Далее Ho ( . ip*(dvj) = dip*(v3) = V ^-du\ и тогда l и равенство доказано. Отсюда следует справедливость свойства 3 для любой линейной формы. Далее доказательство проведем по индукции. Пусть cj = f(w) dwh A ... Л dwip e QP(W). Тогда =/3*(fdwil A.-.Adw^-1) A/3*(dwip) = = (lp*oф*)(fdwil A.-.Adw^-1) А ((р*оф*)^гп1р) = = ((p*oф*)(fdwil A ... Adwip) = ((р*оф*)(ш).
224 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 § 4. Интегрирование дифференциальных форм 1. Определения. Обозначим через 1т единичный куб в евклидовом пространстве Ет: 1т = {t е Еш, 0 ^ ё ^ 1, % = 1, 2, ... , т}. Под отображением ср куба 1Ш в n-мерную область G С ?^п мы будем понимать отображение в G некоторой области D С Ет, содержащей вну- внутри себя 1т. Аналогично дифференциальной р-формой ил, определенной в 1т, будем называть р-форму, определенную в некоторой области D С Еш, содержащей 1Ш. Определение 1. Интегралом от р-ф о р м ы uj = f(t) dt1 Adt2 A... A dtp, определенной в кубе 1Р, по кубу 1Р будем называть величину J u = J .../ ftyd^dt2 ...dtp. IP 0 0 Нашей ближайшей целью является определение интеграла от диффе- дифференциальной формы по любой поверхности. Естественно, что при этом сте- степень формы будет совпадать с размерностью поверхности. Под поверхно- поверхностью мы будем при этом понимать отображение единичного куба той же размерности (напомним, что понятие отображения включает в себя как область значений, так и закон соответствия). Впрочем, иногда мы будем называть поверхностью только лишь образ куба. Определение 2. Назовем т-мерным сингулярным кубом в пространстве Еп (т ^ п) дифференцируемое отобраэюение куба 1т в Еп. Таким образом, обозначая сингулярный куб через С, мы можем записать Г* Тгп ч ТТ171 О = (р: 1 —Ь hi . Мы будем говорить, что сингулярный куб С содержится в G С Еп, если <p(Im) С G. Теперь мы можем определить интеграл от любой р-формы ш ? ?lp(G) по любому р-мерному сингулярному кубу С С G. Определение 3. Интегралом от формы uj С QP(G) no син- сингулярному кубу С = (р: 1Р —»¦ Еп, содержащемуся в G, назовем величину Juj= J (p*(w). С IP Убедимся в том, что интеграл от р-формы uj по р-мерному сингулярно- сингулярному кубу С зависит лишь от образа (рAр), а не от закона соответствия (р. Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла от и по сингулярному кубу С. Пусть uj G QP(G) имеет вид uj = f(x)dx%1 А ... Л dxlp, тогда ^р* (ил) = = f[<f(t)](p* (dxh A ... Л dxip). В силу примера 2 к п. 1 § 3 [ \'"' dt1 Adt2 A...A dtp. Следовательно, Определение 4. Пусть Ci = (pi: Ip -> En и C2 = (f2: Ip ^ En - два сингулярных куба. Будем говорить, что С\ = Сг, если существует
ДОПОЛНЕНИЕ 225 взаимно однозначное отображение т куба 1Р на себя такое, что 2) Ясно, что если С\ = С2, то и С2 = Ci, так как обратное отображе- отображение г будет удовлетворять необходимым требованиям. Мы будем говорить, что С\ = — Сг, если в условии 2 функциональный определитель всюду меньше нуля (очевидно, при этом Сг = —С\). Иногда в этом случае говорят, что С\ и С2 отличаются ориентацией. Справедливо следующее утверждение: если С\ = Сг, шо / и = J и. Сг С2 Доказательство . Мы проведем доказательство для случая, когда uj = f(x)dx1 A dx2 A ... Л dxp. По определению h-I По условию существует отображение г куба 1Р на себя, удовлетворяю- удовлетворяющее условиям 1 и 2. Сделаем в интеграле замену переменной t = t(s), s ? /р. Получим = ip2[r(s)] = (pi(s), c2 IP Сг Аналогично можно показать, что если С\ = — Сг, то fu, = -fu>. Сг С2 2. Дифференцируемые цепи. Нам понадобятся поверхности, кото- которые распадаются на несколько кусков, каждый из которых является обра- образом некоторого m-мерного куба. Примером такой поверхности может слу- служить состоящая из двух окружностей граница кольца, лежащего на дву- двумерной плоскости. При этом мы будем различать ориентации этих окруж- окружностей. В связи с этим весьма полезным оказывается введение линейных комбинаций сингулярных кубов с вещественными коэффициентами. Определение 1. Будем называть р-м ерной цепью С произволь- произвольный набор {Ai, Л2, . . . , Afc, Ol, С/2, • • • , C/fc), где Xi — вещественные числа, а С% —р-мерные сингулярные кубы. При этом будем использовать обозначение Будем говорить, что С принадлежит G, если все d принадлежат G. Множество р-мерных цепей образует линейное пространство, если вве- ввести естественным образом операции сложения и умножения на веществен- вещественные числа. 8 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II
226 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Определение 2. Интегралом формы и п о р-м ерн о и це- цепи С, содержащейся в G, назовем величину Jcj = Ai J и + А2 /cj + ... + Afc $ и. С Сг С2 Ск Теперь мы можем определить границу произвольного сингулярного ку- куба. Для этого определим вначале границу единичного куба. Определение 3. Границей куба1р назовем (р — 1)-мерную цепь где /«(г) есть пересечение куба 1Р с гиперплоскостью хъ = а (а = 0,1). Для того чтобы это определение было корректным, необходимо разъяс- разъяснить, какой смысл мы вкладывали в утверждение о том, что /«(г) является (р — 1)-мерным сингулярным кубом. Построим каноническое отображение ср = ipf'р куба 1Р~1 на 1Р(г). Пусть s = (s1, s2, ... , sp-1) G 1 а, Положим если 1 ^ A; < г, если А; = г, если i ^k ^p. Очевидно, ф = (tp1, ф2, ^p) отображает взаимно однозначно J^ на Ip(i)- В частности, при а = 0 и г = р отображение (р является сужением на 1р(р — 1) тождественного отображения пространства Ер на себя. Определение 4- Границей р-мерного сингулярного куба С = (р : 1Р —>- i?™ назовем (р — 1)-мерную цепь ос = Таким образом, граница образа куба 1Р есть образ границы 1Р с есте- естественной ориентацией. Пример 1. Рассмотрим на плоскости квадрат / . Очевидно, этот квадрат мы можем рассматривать как сингулярный куб, взяв в качестве ср ф) 1\{0) Рис. 7.11 Рис. 7.12 тождественное отображение. На рис. 7.11 указана граница этого квадра- квадрата, причем направление стрелок совпадает с направлением возрастания па- параметра t , по которому производится интегрирование, в случае, если эта сторона квадрата входит в цепь д12 со знаком +, и направление стрелок является противоположным, если сторона берется со знаком —. Мы видим, что наше соглашение о знаках приводит к обычному обходу границы против часовой стрелки.
ДОПОЛНЕНИЕ 227 Пример 2. Рассмотрим сингулярный куб С = (р : I2 —»¦ Я2, где 9? имеет вид р1 = (а + Rt1) cos 2irt2, <р2 = (а + Rt1) sin 2тг?2. Легко видеть, что (f(I ) есть кольцо, граница которого образована ок- окру жностями радиусов а и a + R. Выясним, что является границей сингу- сингулярного куба С. Очевидно, <^(/оA)) есть окружность ip1 = acos27r?2, ip2 = asin27r?2. Далее, <^(/2A))—это окружность радиуса а -\- R. Наконец, <^(/оB)) и (рA2B)) —это отрезок ж2 = 0, а ^ ж1 ^ а + Я. На рис. 7.12 стрелками указано направление обхода границы дС, если обход границы д12 совершается против часовой стрелки. Поскольку (рA$B)) — (p(I2B)) = 0, мы можем считать, что ЭС7 = ^12A))-^оA)), что совпадает с обычным пониманием границы кольца. Выясним, каким образом связаны интегралы от формы и по границе куба С и формы <р*(и) по границе 1Р'. Утверэюдение. Пусть С = (р: 1Р —>- ?^?г — произвольный сингулярный куб, содержащийся в G, и пусть и G fip-i(G?). Справедливо равенство J и = J ip*(w). дС д1Р Доказательство. Очевидно, в силу определения интеграла по це- цепи достаточно доказать равенство Рассмотрим каноническое отображение <?> = ф^'р '. 1Р~1 —»¦ /«(О- определению В силу свойства 3 дифференцируемых отображений (см. п. 2 § 3) Таким образом, поскольку (y?o <^) (i^) 3. Формула Стокса. Основная теорема. Пусть С = <р : 1Р —>- ?^n — произвольный син- сингулярный куб, содержащийся в G, и пусть и Е fip_i(Gf). Справедлива формула Стокса Jdu= J и. с зс Докажем формулу Стокса сначала в следующем частном случае. Пусть uj —дифференциальная форма степени р — 1, определенная в 1Р. Тогда справедливо равенство / dw = J со. G.61) IP DIP
228 ФОРМУЛЫ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ. 7 Доказательство. Пусть и = f(t)dt2 A ... Л dtp. По определению \ UJ - \ UJ ). Вычислим следующий интеграл: / ш, где г = 1, 2, ... , р, а = О, 1. Рассмотрим каноническое отображение (р : J^ —>. I^(i). В силу резуль- результатов п. 1 этого параграфа По определению канонического отображения <р^'р якобиан имеет вид j _ [s , ...з , a, s , ... , s )_ _ ^ D^s1, s2, ... , sp-1) если г ф 1, и ?>(s\ s2, ... , sv~x) ~ 1 2 1 = ' если г = 1. Итак, отличными от нуля могут быть только интегралы по 1РA): = / /(!» s\ fi25 ••• » s1')^^ ... Ads?'1- - J f@, s\ ... , sP-^ds1 A...A ds?-1. По определению интеграла по кубу Ip~1 1 1 J u = J ... /[/A, s1, ... , s^) - /@, s1, ... , s^)] ds1ds2 ... ds^1 = dIP 0 0 11 1 f /... [Eld8°d81...dsp-1= f^lds° J J J ds° J ds° 0 0 0 С другой стороны, duo = dt A dt A ... Л dtp. dt1 Стало быть du = I —dt1 A ... Adtp. f ^dt1 A... Равенство G.61) доказано. Доказательство теоремы Стокса. По определению интегра- интеграла по сингулярному кубу J duo = J (p*(du). С IP В силу свойства 2 дифференцируемых отображений (см. п. 2 § 3) / (p*(du) = / dip*(и). ip ip
ДОПОЛНЕНИЕ 229 Далее воспользуемся уже доказанной формулой Стокса для куба 1Р / dip* (и) = / (р*(и). IP dIP Остается заметить, что по свойству интегралов по границе сингулярно- сингулярного куба (см. конец п. 2 настоящего параграфа) д1Р дС Теорема полностью доказана. 4. Примеры. 1. Рассмотрим случай р = 1. Одномерный сингулярный куб С в Еп — некоторая кривая, концы которой обозначим через а и Ъ. Формула Стокса приобретает вид fdf= J f = f(b) - f(a). С дС В частности, когда п = 1, получаем формулу Ньютона—Лейбница }f'(x)dx = f(b)-f(a). а 2. Пусть теперь р = 2. Двумерный сингулярный куб С — это двумерная поверхность, форма uj E Qi имеет вид п и = ^cjfc dxk. k=l Используя пример 2 п. 2 § 2, получим k<i dx* dx^J J дС K = 1 Если n = 2, то, обозначая uj = P dx1 + Q dx2, получим формулу Грина: С дС Если п = 3, то получим обычную формулу Стокса. 3. Пусть р = п. Тогда и Е ?ln-i имеет вид п uj = ^S^uJkdx1 A ... Л dxk~x A dxk+1 A ... Л с/жп. Далее duj = V V — ^ Л dx1 Л ... Л dxn= Vl-l)^1 — dx1 A dx2 A ... Л dxn. fc = l г = 1 ^Х к = 1 В частности, при п = 3 и = Pdx2 Adxs -Qdx1 Adxs + Rdx1 Adx2, ^дх1 дх2 д и мы получаем формулу Остроградского.
ГЛАВА 8 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В гл. 10 вып. 1 и в гл. 2 настоящего выпуска был изучен инте- интеграл Римана от функции одной и соответственно п переменных. Понятие интеграла Римана охватывало класс функций, либо строго непрерывных в рассматриваемой области, либо близких к непрерывным (множество точек разрыва которых имеет равный нулю n-мерный объем). Этого понятия оказывается недостаточ- недостаточно в ряде фундаментальных разделов современной математики (в теории обобщенных функций, в современной теории уравне- уравнений с частными производными и в других). В настоящей главе излагается теория более общего интегра- интеграла — так называемого интеграла Лебега1), для чего пред- предварительно развивается теория меры и так называемых изме- измеримых функций (являющихся широким обобщением непре- непрерывных функций). Основная идея интеграла Лебега, отличающая его от интег- интеграла Римана, заключается в том, что при составлении лебе- говской интегральной суммы точки объединяются в отдельные слагаемые не по принципу близости этих точек в области ин- интегрирования (как это было в римановой интегральной сумме), а по принципу близости в этих точках значений интегрируемой функции. Эта идея и позволяет распространить понятие интег- интеграла на весьма широкий класс функций. Следует отметить, что многие математические теории, до- допускающие понимание интеграла в смысле Римана, принимают более законченный характер при использовании интеграла Лебе- Лебега. Примером такой теории может служить теория рядов Фурье, излагаемая с пониманием интеграла в смысле Римана в гл. 10 и с привлечением интеграла Лебега в гл. 11. Все изложение в настоящей главе ведется для случая одной переменной, но без каких-либо затруднений переносится на слу- случай любого числа п переменных (соответствующее замечание сделано в конце главы). Анри Лебег — французский математик A875-1941).
§ 1 О СТРУКТУРЕ ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ 231 § 1. О структуре открытых и замкнутых множеств Будем рассматривать произвольное множество Е точек бес- бесконечной прямой (—оо, оо). Назовем дополнением множества Е множество, обозначаемое символом СЕ и равное совокупности тех точек бесконечной прямой (—оо, оо), которые не принадлежат множе- множеству Е. Если назвать разностью множеств А ж В совокупность тех точек множества А, которые не принадлежат множеству Б, и обозначить разность множеств А ж В символом А \ В, то до- дополнение СЕ множества Е можно представить в виде СЕ = (-оо, оо) \Е. Напомним некоторые определения, введенные еще в вып. 1. 1°. Точка х называется внутренней точкой множе- множества Е, если найдется некоторая окрестность точки х (т. е. ин- интервал, содержащий эту точку), целиком принадлежащая мно- множеству Е. В дальнейшем произвольную окрестность точки х мы будем обозначать символом v(x). 2°. Точка х называется предельной точкой множе- множества Е, если в любой окрестности v(x) точки х найдется хотя бы одна точка х1 множества Е, отличная от х. 3°. Множество G называется открытым, если все точки этого множества являются внутренними. 4°. Множество F называется замкнутым, если оно со- содержит все свои предельные точки 1) . Совокупность всех предельных точек произвольного множе- множества Е договоримся обозначать символом ?/, а сумму, или объединение двух множеств А и В будем обозначать сим- символом А + В или A U В 2). Договоримся далее называть з а- мыканием произвольного множества Е множество, обозна- обозначаемое символом Е и равное сумме Е + Е1. Очевидно, что для любого замкнутого множества F справед- справедливо равенство F = F. Совокупность всех внутренних точек произвольного множе- множества Е будем обозначать символом intE 3) . ) В частности, множество, не имеющее предельных точек, замкнуто (ибо пустое множество содержится в любом множестве). 2)Суммой или объединением множеств А л В называется мно- множество С, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В 3) Символ int образован от французского слова interieur (внутренняя часть).
232 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 Очевидно, что для любого открытого множества G справед- справедливо равенство int G = G, Для совершенно произвольного множества Е множество int Е является открытым, а множество ?7 —замкнутым. Замечание. Можно показать, что intE является суммой всех содержащихся в Е открытых множеств, а Е является пе- пересечением 1) всех содержащих Е замкнутых множеств. Таким образом, intЕ является наибольшим содержащимся в Е открытым множеством, а Е является наименьшим содер- содержащим Е замкнутым множеством. Остановимся на простейших свойствах открытых и замкну- замкнутых множеств. 1°. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто. Доказательство. Любая точка х множества CF не при- принадлежит F и (в силу замкнутости F) не принадлежит множе- множеству F' предельных точек F. Но это означает, что некоторая окрестность v(x) точки х не принадлежит F и поэтому принад- принадлежит CF. 2°. Если множество G открыто, то его дополнение CG замкнуто. Доказательство. Любая предельная точка х множест- множества CG заведомо принадлежит этому множеству, ибо в против- противном случае х принадлежала бы G, а поскольку G — открытое множество, то и некоторая окрестность v(x) точки х принадле- принадлежала бы Сине принадлежала бы CG, т. е. точка х не являлась бы предельной точкой CG. 3°. Сумма любого числа открытых множеств является открытым множеством. Доказательство. Пусть множество Е представляет со- собой сумму какого угодно числа открытых множеств Ga (ин- (индекс а, вообще говоря, не является номером), и пусть ж — произ- произвольная точка Е. Тогда (по определению суммы множеств) х принадлежит хотя бы одному из множеств Ga, и поскольку каж- каждое множество Ga является открытым, то найдется некоторая окрестность v(x) точки ж, также принадлежащая указанному множеству Gai а стало быть, и множеству Е. 4°. Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством. Доказательство. Пусть множество Е является пересе- пересечением открытых множеств G\, G2, ... , Gni и пусть х — любая точка Е. Тогда для любого к (к = 1, 2, ... , п) точка х принад- ]Пересечением множеств Ал В называется множество точек, при- принадлежащих и А, и В.
§ 1 О СТРУКТУРЕ ОТКРЫТЫХ И ЗАМКНУТЫХ МНОЖЕСТВ 233 лежит Gr/c, и потому найдется некоторая окрестность v^(x) = = (х — ?&, х + ?&), ?& > 0, точки ж, также принадлежащая G^. Если б = min{?i, ?2, ... , ?п}, то окрестность v(x) = (ж —?, х-\-е) точки х принадлежит всем Gk и вследствие этого принадлежит Е. 5°. Пересечение любого числа замкнутых множеств явля- является замкнутым множеством. Доказательство. Пусть множество Е представляет со- собой пересечение какого угодно числа замкнутых множеств Fa (индекс а, вообще говоря, не является номером). Заметим, что дополнение СЕ представляет собой сумму всех дополнений CFa, каждое из которых, согласно 1°, представляет собой открытое множество. Согласно 3° множество СЕ является открытым, а поэтому на основании 2° множество Е является замкнутым. 6°. Сумма конечного числа замкнутых множеств являет- является замкнутым множеством. Доказательство. Пусть Е представляет собой сумму замкнутых множеств F\, F2, ... , Fn. Тогда СЕ представляет со- собой пересечение множеств CF\, CF2 -,•••-, CFn, каждое из кото- которых в силу 1° является открытым. Согласно 4° множество СЕ является открытым, а поэтому на основании 2° множество Е является замкнутым. 7°. Если множество F замкнуто, а множество G откры- открыто, то множество F \ G замкнуто, а множество G \ F от- открыто. Доказательство. Достаточно заметить, что множест- множество F \ G является пересечением замкнутых множеств F и CG, а множество G \ F является пересечением открытых множеств GhCF. С помощью установленных свойств докажем теорему о струк- структуре произвольного открытого множества точек бесконечной пря- прямой. Договоримся всюду ниже в этой главе называть интер- интервалом любое связное открытое множество точек бесконеч- бесконечной прямой (не обязательно ограниченное). Иными словами, ин- интервал—это либо открытый отрезок а < х < 6, либо одна из открытых полупрямых а < х < оо или — оо < х < 6, либо вся бесконечная прямая — оо < х < оо. Теорема 8.1. Любое открытое множество точек беско- бесконечной прямой представляет собой сумму конечного или счет- счетного 1) числа попарно непересекающихся интервалов. х) Напомним, что счетным называется бесконечное множество, эле- элементы которого можно перенумеровать, т. е. поставить во взаимно одно- однозначное соответствие с натуральным рядом чисел 1, 2, 3, ... (см. вып. 1, гл. 3, § 4, п. 6).
234 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 Доказательство. Пусть G — любое открытое множест- множество, а х — произвольная фиксированная точка G. Так как G яв- является открытым, то найдется некоторая содержащаяся в G окрестность v(x) точки х. Сумму всех содержащихся в G окрест- окрестностей v(x) данной фиксированной точки х обозначим через 1(х). Докажем, что 1{х) представляет собой интервал. Обозначим через а точную нижнюю грань множества всех точек 1{х) (в случае, если множество всех точек 1{х) не огра- ограничено снизу, мы положим а = — оо), а через Ъ точную верх- верхнюю грань множества всех точек 1{х) (в случае, если множество всех точек 1{х) не ограничено сверху, мы положим Ъ = оо). До- Достаточно доказать, что произвольная точка у интервала (а, Ь) принадлежит 1{х). Пусть у — произвольная точка (а, Ь). Ради определенности будем считать, что а < у < х (случай х < у < b рассматривается совершенно аналогично). По определению точ- точной нижней грани найдется принадлежащая 1(х) точка у' такая, что а ^ у' < у. Но это означает, что найдется некоторая окрест- окрестность v(x) фиксированной нами точки ж, содержащая точку у'. В силу неравенства у' < у < х эта же окрестность v(x) содер- содержит и точку у. Отсюда следует, что и 1(х) содержит у, и доказа- доказательство того, что 1(х) —интервал, завершено. Можно сказать, что 1(х) представляет собой наибольший интервал, содер- содержащий точку х и содержащийся в G. Убедимся теперь в том, что если интервалы 1{х\) и 1{х2) построены для двух различных фиксированных точек х\ и Х2 множества G, то эти интервалы либо не имеют общих точек, либо совпадают между собой. В самом деле, если бы интер- интервалы 1{х\) и 1{х2) содержали общую точку ж, то они оба содер- содержались бы в 1(х) и потому совпадали бы. Построив для каждой точки х свой интервал 1{хI мы отбе- отберем теперь интервалы, не содержащие общих точек (т. е. попар- попарно непересекающиеся). Каждый такой интервал содержит хотя бы одну рациональную точку (это известно из гл. 2 вып. 1). По- Поскольку множество всех рациональных точек счетно (см. вып. 1, гл. 3, § 4, п. 6), то число всех попарно непересекающихся ин- интервалов 1(х) не более чем счетно. Так как сумма всех таких интервалов составляет множество G, то теорема доказана. Следствие. Всякое замкнутое множество точек бесконеч- бесконечной прямой получается удалением из бесконечной прямой конеч- конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.
§ 2 ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 235 § 2. Измеримые множества 1. Внешняя мера множества и ее свойства. Вся изла- излагаемая в этом параграфе теория принадлежит А. Лебегу. Отправ- Отправным пунктом этой теории является привлечение в качестве основ- основного (исходного) множества интервала А = (а, 6), длина или ме- мера которого считается известной и равной числу |А| = b — a > 0. Пусть Е— произвольное множество на числовой прямой. Покрытием S = S(E) множества Е назовем всякую ко- конечную или счетную систему интервалов {Дп}, сумма которых содержит множество Е. Сумму длин всех интервалов {Ап}, со- составляющих покрытие S = S{E), обозначим символом a(S). Итак, П Определение. Внешней мерой множества Е назы- называется точная нижняя грань <j(S) на множестве всех покры- покрытий S = S(E) множества Е. Внешнюю меру множества Е будем обозначать симво- символом \Е\*. Итак, по определению \Е\* = inf a(S). S(E) Очевидно, внешняя мера любого интервала совпадает с длиной этого интервала. Выясним основные свойства внешней меры. 1°. Если множествоЕ\ содержится в Е2 1), то \Е\\*^ 1^21*- Для доказательства достаточно заметить, что любое покры- покрытие Е2 является одновременно покрытием и Е\. 2°. Если множество Е представляет собой сумму конеч- конечного или счетного числа множеств {Е^} (символически Е = (X) = U Ek), то к=1 оо к=1 Доказательство. Фиксируем произвольное е > 0. По определению меры \Е^\* как точной нижней грани, для каждо- каждого номера к найдется покрытие Sk(E^) множества Е^ системой интервалов {А^} (п = 1, 2, ...) такое, что + ^- (8-2) к=1 1) Символически тот факт, что множество Е\ содержится в Еъ, обознача- обозначается так: Е\ С Е2.
236 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 Обозначим через S покрытие всего Е, объединяющее все по- покрытия Sk (к = 1, 2, ...) и состоящее из всех интервалов {Д^} (к = 1, 2, ... ; п = 1, 2, ...). Так как S является покрытием Е, оо оо то \Е\* < <t(S), но <t(S) = ? ? |Д*|. /с=1п=1 Из последних двух соотношений и из (8.2) получим к=1 к=1 Неравенство (8.1) доказано. Договоримся называть расстоянием между множествами Ei и Е2 точную нижнюю грань расстояний между двумя точками множеств Ei и Е2 соответственно. Будем обозначать расстояние между множествами Ei и Е2 символом p(Ei, E2). 3°. Если р(Еъ Е2) > 0, то \Ei\jE2\* = |^i|* + \E2\*. Доказательство. Полож:им 6 = -p(Ei, Е2). Для про- извольного е > 0 и выбранного нами 6 > 0 найдется покрытие S'(.E) множества Е = Ei\^jE2 такое, что cr(S) ^ \Е\* + ? и длина каждого интервала покрытия |АП| меньше S г) . Очевидно, что интервалы Ап, покрывающие точки Ei, не содержат точек Е2 и, наоборот, интервалы, покрывающие точки E2i не содержат точек Ei. Иными словами, взятое нами покрытие S(E) распа- распадается на сумму двух покрытий S(E) = Si(Ei) + S2{E2), первое из которых Si покрывает Ei, а второе S2 покрывает Е2. Итак, мы получаем, что 5i(?7i) + 52(?72) ^ \Е\*+е. Отсюда следует, что |Si|* + |i?2|* ^ |S|*+? и, стало быть (в силу произвольности б), \Ei\* + \Е2\* ^ \Е\*. Так как на основании свойства 2° справедливо и обратное неравенство \Е\* ^ \Ei\* + + \Е2\*, то \Е\* = \Ei\* + |S2|*. Свойство 3° доказано. В частности, свойство 3° справедливо, если Ei и Е2 ограни- ограничены, замкнуты и не содержат общих точек. ) Это вытекает из того, что для произвольных е > Ои^ > 0 суще- существует покрытие S(E) множества Е такое, что cr(S) < \Е\* + е и |Ате| < 8 (для каждого интервала Ап покрытия S). Чтобы убедиться в этом, доста- достаточно, взяв покрытие S', для которого cr(Sf) < \Е\* -\—, разделить каж- дый интервал покрытия S' на интервалы длины, меньшей 6, и концы этих последних интервалов покрыть интервалами, общая сумма длин которых меньше е/2.
§ 2 ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 237 4°. Для произвольного множества Е и произвольного чис- числа е > 0 найдется открытое множество G, содержащее Е и такое, что |G|* ^ |-Б|* +е. Доказательство. Достаточно взять в качестве G сумму всех интервалов, составляющих покрытие S(E) множества Е, для которого cr(S) ^ \Е\* + е. 2. Измеримые множества и их свойства. Определение 1.МножествоЕ называется измеримым, если для любого положительного числа е найдется открытое множество G, содержащее Е и такое, что внешняя мера раз- разности G\E меньше е. Внешнюю меру измеримого множества Е назовем мерой этого множества и обозначим символом \Е\. Из этого определения следует, что мера множества Е равна нулю тогда и только тогда, когда равна нулю внешняя мера этого множества. Докажем ряд утверждений, выясняющих основные свойства измеримых множеств. Теорема 8.2. Всякое открытое множество измеримо, при- причем мера его равна сумме длин составляющих его попарно не пересекающихся интервалов. Доказательство очевидно (достаточно в определении изме- измеримости взять G = Е и заметить, что точная нижняя грань cr(S) достигается на покрытии S, совпадающем с разбиением Е на сумму попарно непересекающихся интервалов). Теорема 8.3. Сумма конечного или счетного числа изме- измеримых множеств является измеримым множеством. оо Доказательство. Пусть Е = |J Еп, причем каждое Еп измеримо. Фиксируем произвольное е > 0. Для каждого множе- множества Еп найдется содержащее его открытое множество Gn такое, что \Gn\En\* <e-2~n. (8.3) оо Положив G = IJ Gn, заметим, что множество Е содержится в G п=1 (X) и что разность G \ Е содержится в сумме |J (Gn \ Еп). Но то- п=1 гда из свойства 2° внешней меры (см. предыдущий пункт) и из неравенства D.3) получим оо оо \g \e\*^y, iG" \ E"\* <е Е 2~п =е- п=1 п=1 Теорема доказана.
238 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 Теорема 8.4- Всякое замкнутое множество F измеримо. Доказательство. Проведем доказательство в два шага. 1°. Сначала предположим, что множество F ограничено. Фиксируем произвольное е > 0. Согласно свойству 4° внешней меры (см. предыдущий пункт) найдется открытое множество G, содержащее F и такое, что |G|* ^ \F\* + e. (8.4) Согласно свойству 7° из § 1 множество G\F является открытым. Поэтому, согласно теореме 8.1, множество G \ F представимо в оо виде суммы G \ F = |J Ап попарно не пересекающихся интер- п=1 валов Ап. Теорема будет доказана, если мы установим, что |An|^?. (8.5) 71 = 1 Для каждого интервала А = (а, Ь) и для каждого числа а из интервала 0 < а < договоримся обозначать символом Аа интервал Аа = (а + а, Ь — а), а символом Аа сегмент Аа = = [а + а, b — а]. Если же а ^ , то Аа будет обозначать пу- пустое множество, для которого \Аа\ = 0. Для каждого номера п Ё Q положим Ж? = U Д?. Очевидно, что |Ё^|* = Q |А^|. Множе- _ /с=1 /с=1 ство??^, согласно свойству 6° из § 1, является замкнутым. Так как это множество не имеет общих точек с замкнутым множес- множеством F, то (в силу свойства 3° внешней меры) ffi + F\* = ffi\* + \F\*. (8.6) С другой стороны, поскольку множество Еп + F (при лю- любом а > 0 и для всех номеров п) содержится в G, то (в силу свойства 1° внешней меры) \K + F\* < \G\*. (8.7) Из (8.4), (8.6) и (8.7) получим, что 177^1* | I 771* ^ I 771* i ^ (Q Q\ (для всех а > 0 и всех номеров п). Так как множество F огра- ограничено и его внешняя мера \F\* < оо, из (8.8) получим, что \К\* <? (8.9) (для всех а > 0 и всех номеров п). Переходя в (8.9) к преде- пределу сначала при а —>• 0 + 0, а затем при п —>• оо, мы получим
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 239 неравенство (8.5). Тем самым для случая ограниченного множе- множества F теорема доказана. 2°. Если замкнутое множество F, вообще говоря, не является оо ограниченным, то мы представим F в виде суммы F = |J Fni n=l где Fn —пересечение замкнутых множеств F и [—п, п]. Согласно доказанному в первом шаге каждое Fn измеримо (ибо оно зам- замкнуто и ограничено), а поэтому в силу теоремы 8.3 измеримо и множество F. Теорема полностью доказана. Теорема 8.5. Если множество Е измеримо, то и его до- дополнение СЕ измеримо. Доказательство. По определению измеримости множе- множества Е для любого номера п найдется содержащее Е открытое множество Gni для которого \Gn\E п 5.10) Пусть Fn = CGn. Поскольку СЕ\ \ СЕ% = Е% \ Е\ для любых множеств Е\ и Е2 (проверьте это сами), то CE\CGn = Gn\E и, стало быть, СЕ \ Fn = Gn \ E. Из последнего равенства следует, что для любого номера п CE\\J FkcGn\E. к=1 3.11) (Напоминаем, что запись Е\ С i?2, означает, что Е\ принадле- принадлежит Е2.) Из (8.11) и из свойства 1° внешней меры получим, что для любого номера п оо СЕ\ U Fk k=i а из последнего неравенства и из (8.10) получим, что оо CE\[JFk к=1 (для любого номера п). Но это означает, что внешняя мера, а оо стало быть, и мера множества Eq = CE\ |J Fk равна нулю, т. е. к=1 оо множество СЕ равно сумме измеримых множеств Eq и (J i*fc /с=1 (последнее множ:ество измеримо в силу теорем 8.4 и 8.3). Теоре- Теорема доказана.
240 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 Следствие. Для того чтобы множество Е было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительно- положительного числа е нашлось замкнутое множество F, содержащееся в Е и такое, что внешняя мера разности E\F меньше е. Доказательство. Измеримость множества Е эквива- эквивалентна измеримости СЕ (теорема 8.5), т. е. эквивалентна тре- требованию, чтобы для любого е > 0 нашлось открытое множест- множество G, содержащее СЕ и такое, что \G \ СЕ\* < е. Но указанное требование (в силу тождества СЕ\ \ СЕ2 = Е2 \ Е\) эквива- эквивалентно требованию, чтобы для любого е > 0 нашлось замкнутое множество F = CG, содержащееся в?и такое, что \E\F\* = = \CF \ CE\* = \G\ CE\* < е. Следствие доказано. Замечание 1. Содержащееся в только что доказанном следствии условие измеримости может быть принято за новое определение измеримости, эквивалентное определению, сфор- сформулированному в начале этого пункта. Теорема 8.6. Пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством. Доказательство. Будем обозначать пересечение мно- ОО ОО жеств Е\, Е?2, ••• символом (~) Еп. В силу тождества (~) Еп = г ОО -. П — \ П — \ = С MJ СЕп (проверьте это тождество сами) доказываемая Ln=l -1 теорема сразу вытекает из теорем 8.3 и 8.5. Теорема 8.7. Разность двух измеримых множеств явля- является измеримым множеством. Доказательство вытекает из тождества А \ В = = А[}(СВ) и из теорем 8.5 и 8.6. Переходим теперь к доказательству основной теоремы тео- теории меры. Теорема 8.8. Мера суммы конечного или счетного числа попарно непересекающихся измеримых множеств равна сумме мер этих множеств. (X) Доказательство. Пусть Е = |J En, причем множест- п=1 ва Еп измеримы и попарно не пересекаются. Рассмотрим отдель- отдельно два случая. 1) Сначала предположим, что все Еп ограничены. За- Заметим, что для случая, когда все Еп замкнуты и их —конеч- —конечное число, доказываемая теорема сразу вытекает из свойства 3° внешней меры (см. п. 1 этого параграфа). Пусть теперь Еп — произвольные ограниченные попарно не- непересекающиеся множества. В силу следствия из теоремы 8.5 для любого е > 0 и для каж- каждого номера п найдется замкнутое множество Fn, содержащееся
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 241 в Еп и такое, что 1) \Еп \ Fn\ < —. Так как все множества z Fn ограничены, замкнуты и попарно не пересекаются, то для любого конечного га в силу сделанного выше замечания (8.12) С другой стороны, из равенства Еп = (Еп \ Fn) IJ^n вытекает (в силу свойства 2° внешней меры), что \Еп\ ^ \Еп \Fn\ + \Fn\ < < \Fn + —, так что 2п 5.13) п=1 п=1 (для любого конечного га). Из (8.12) и (8.13) заключаем, что для любого конечного т т П = 1 U Fn п=\ ?. (8.14) Учтем теперь, что сумма всех множеств Fn содержится в Е. Отсюда следует, что для любого номера га U п=1 так что (в силу (8.14)) для любого номера га т ^2\Еп\ ^ \Е\+е. (* п=1 Переходя в (8.15) к пределу при га —>• оо, мы получим, что п=1 и, стало быть, на основании произвольности е > О сю 1.16) п=1 1) Так как измеримость всех фигурирующих в доказательстве множеств нами уже установлена, то мы можем всюду вместо верхней меры писать просто меру.
242 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 оо Теперь остается заметить, что из равенства суммы |J Еп мно- 71 = 1 жеству В и из свойства 2° внешней меры вытекает обратное неравенство п=1 Из неравенств (8.16) и (8.17) вытекает утверждение доказывае- доказываемой теоремы (для случая ограниченных множеств Еп). 2) Пусть теперь множества Еп не являются, вооб- вообще говоря, ограниченными. Тогда мы обозначим сим- символом Е\ ограниченное множество Е\ = Enf](k — 1 ^ \х\ < к) (напомним, что знак (~) означает пересечение). (X (X Из равенства Е = |J |J E% и из рассмотренного выше слу- 71 = 1 fc = l чая следует, что (X) (X) (X i^i = ЕЕ i^i = E i^i- п=1к=1 п=1 Теорема полностью доказана. Замечание 2. Фундаментальное свойство меры, уста- устанавливаемое теоремой 8.8, называется а-аддитивностью меры. Для того чтобы сформулировать еще одно свойство меры, введем новое понятие. Определение 2. Назовем множество Е множеством типа G$, если Е представимо в виде пересечения счетного числа открытых множеств Gn, и множеством ти- п a Fa, если Е представимо в виде суммы счетного числа зам- замкнутых множеств Fn. Теорема 8.9. Если множество Е измеримо, то найдутся множество Е\ типа Fa, содержащееся в Е, и множество Е2 типа Gj, содержащее Е, для которых \Е\\ = \Е\ = lE^I- Доказательство. В силу измеримости Е и следствия из теоремы 8.5 для любого номера п найдутся открытое множество Gn, содержащее Е, и замкнутое множество Fni содержащееся в Е, такие, что \Fn\<±, \Gn\E\<±. (8.18) П П (X (X Положим Е\ = U fn, ?2 = П Gn- Так как для любого номера п п=1 п=1 E\E!CE\Fn, E2\EcGn\E,
§ 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 243 то в силу (8.18) и свойства 1° внешней меры В силу произвольности номера п отсюда следует, что \E\E±\ = О и \E2\E\ = 0. Теорема доказана. Замечание 3. Отметим, что существуют неизмери- неизмеримые множества. Для их построения достаточно принять во внимание, что на единичной окружности существует счетное число попарно непересекающихся и конгруэнтных х) друг дру- другу множеств, объединение которых равно множеству всех точек этой окружности. Таковыми являются множество Eq всех точек окружности, любые две из которых нельзя совместить друг с другом поворотом на угол п • а, где п — любое целое, а а — фик- фиксированное иррациональное число, и все множества Еп, которые получаются из Eq поворотом на угол п • а. Если бы Eq было измеримо, то были бы измеримы и все множества Еп, при- причем \Еп\ = \Eq\ для всех целых п. Но тогда в силу теоремы 8.8 ОО мы получили бы, что 2тг = ^2 \En\i ч™ невозможно ни при п= — оо каком значении Еп. § 3. Измеримые функции 1. Понятие измеримой функции. Договоримся называть расширенной числовой прямой обычную числовую пря- прямую —оо < х < оо с добавлением двух новых элементов — оо и +оо. Для распространения арифметических операций на рас- расширенную числовую прямую договоримся считать, что а+(+оо) = = +оо, а + (—оо) = —оо (для любого конечного а); (+оо) + + (+оо) = +оо, (—оо) + (—оо) = —оо; (+оо) — а = +оо, (—оо) — — а = —оо (для любого конечного а), (+оо) — (—оо) = +оо, —оо — (+оо) = —оо; а • (+оо) = +оо при а > 0, 0 • (+оо) = 0, ах х(+оо) = —оо при а < 0; (+оо) • (+оо) = +оо, (+оо) • (—оо) = = —оо, (—оо) • (—оо) = +оо, 0 • (—оо) = 0, а • (—оо) = —оо при а > 0, а • (—оо) = +оо при а < 0; —— = (=Ьоо) • - при любом а конечном а т^ 0, = 0 при любом конечном а. ± оо Неопределенными остаются только следующие операции: (+оо) + (—оо), (+оо) — (+оо), (—оо) — (—оо), ——. ± оо :) Под термином «конгруэнтные» в данном случае нужно понимать мно- множества, одно из которых может быть совмещено с другим посредством по- поворота в плоскости окружности на некоторый угол.
244 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 Всюду в дальнейшем в этой главе мы будем рассматривать функции, определенные на измеримых множествах обыч- обычной числовой прямой и принимающие значения, принадлежа- принадлежащие расширенной числовой прямой. Примером такой функции может служить !—оо при х < —1, О при -1 ^ х ^ 1, +оо при х > 1. Договоримся всюду в дальнейшем обозначать символом Е [/ удовлетворяет условию А] множество всех принадлежащих Е значений ж, для которых f(x) удовлетворяет условию А. Например, E[f ^ а] — множество тех принадлежащих Е зна- значений ж, для которых f(x) ^ а. Определение. Функция /(ж), определенная на измеримом множестве Е, называется измеримой на этом множе- множестве, если для любого вещественного числа а множество E[f ^ а] измеримо. Теорема 8.10. Для измеримости функции f(x) на множе- множестве Е необходимо и достаточно, чтобы одно из следующих трех множеств E[f>a], E[f<a], E[f^a] (8.19) было измеримо при любом вещественном а. Доказательство. 1) Из определения измеримости функ- функции f(x) из элементарных соотношений 71 = 1 и из теорем 8.3 и 8.6 вытекает, что измеримость (при любом ве- вещественном а) множества E[f > а] является необходимым и дос- достаточным условием измеримости функции f(x) на множестве Е. 2) Из соотношения Е [/ < а] = Е \ Е [/ ^ а] и из теорем 8.3 и 8.7 вытекает, что измеримость (при любом вещественном а) множества Е [f < а] является необходимым и достаточным усло- условием измеримости функции f(x) на множестве Е. 3) Наконец, из соотношения Е [/ ^ а] = Е \ Е [/ > а], из тех же теорем 8.3 и 8.7 и из доказанного в 1) вытекает, что измери- измеримость (при любом вещественном а) множества Е [/ ^ а] являет- является необходимым и достаточным условием измеримости функции f(x) на множестве Е. Теорема доказана.
§ 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 245 Замечание. В силу теоремы 8.10 измеримость (при лю- любом вещественном а) любого из трех множеств (8.19) можно принять за новое определение измеримости функции f(x) на множестве Е, эквивалентное определению, сформулированному выше. 2. Свойства измеримых функций. 1°. Если функция f(x) измерима на множестве Е, то она измерима и на любой измеримой части Е\ множества Е. Доказательство непосредственно вытекает из тождества E\[f > а] = Е\ Р| Е [/ > а] и из теоремы 8.6. 2°. Если множество Е представляет собой конечную или счетную сумму измеримых множеств Еп и если функция f(x) измерима на каждом множестве Еп, то f(x) измерима и на множестве Е. Доказательство непосредственно вытекает из тождества ОО Е [/ ^ а] = U En[f ^ а] и из теоремы 8.3. п=1 3°. Любая функция f(x) измерима на множестве Е меры нуль. В самом деле, любое подмножество множества меры нуль измеримо и имеет меру нуль. Определение 1. Две определенные на измеримом множе- множестве Е функции f(x) и g(x) называются эквивалент- эквивалентными на этом множестве, если множество Е [/ ф g] име- имеет меру нуль. Для обозначения эквивалентных (на множестве Е) функций f(x) и g(x) часто используют символику f ~ g 4°. Если функции f(x) и g(x) эквивалентны на множестве Е и функция f(x) измерима на Е, то и функция g(x) измерима на Е. Доказательство. Положим Eq = E[f ф g], E\ = E\Eq. Так как на Е\ функция g{x) совпадает с /(ж), то (в силу свой- свойства 1°) g(x) измерима на Е\. Согласно свойству 3° g(x) изме- измерима и на ??0) а поэтому, согласно свойству 2°, g(x) измерима и на Е. Определение 2. Мы будем говорить, что некоторое свой- свойство А справедливо почти всюду на множестве Е, если множество точек Е, на котором это свойство несправед- несправедливо, имеет меру нуль. Следствие из свойства 4° • Если функция f(x) непре- непрерывна почти всюду на измеримом множестве Е, то f(x) из- измерима на Е. Доказательство. Заметим сначала, что если функция f(x) непрерывна на замкнутом множестве F, то f(x) измерима
246 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ. 8 на F', ибо множество F [/ ^ а] при любом вещественном а за- замкнуто, а стало быть, и измеримо. Предположим, что f(x) не- непрерывна на произвольном измеримом множестве Е почти всю- всюду и обозначим через R подмножество всех точек разрыва /(ж), имеющее меру нуль. В силу свойств 2° и 3° достаточно доказать измеримость f(x) на множестве Е\ = Е \ R. Согласно теореме 8.9 найдется мно- множество Е2 типа Fa (см. п. 2 § 2), содержащееся в Si и такое, что \Е2\ = \Е\\ = \Е\. В силу тех же свойств 2° и 3° достаточно доказать, что f(x) измерима на множестве Е%. Но Е% (как мно- множество типа Fa) представимо в виде счетной суммы замкнутых множеств Fni на каждом из которых f(x) непрерывна и потому (в силу сделанного выше замечания) измерима. А тогда в силу свойства 2° функция f(x) измерима на Еъ. Замечание. Подчеркнем, что непрерывность функ- функции f(x) почти всюду на множестве Е следует отличать от эк- эквивалентности f(x) на множестве Е непрерывной функции. Так функция Дирихле f(x) = 1, если х рационально, и f(x) = 0, ес- если х иррационально, не является непрерывной ни в одной точке сегмента [0, 1] (см. гл. 4 вып. 1), однако эта функция эквива- эквивалентна на сегменте [0, 1] непрерывной функции g(x) = 0, ибо f(x) ф g(x) только на множестве всех рациональных точек сег- сегмента [0, 1], которое счетно и потому имеет меру нуль 1) . 3. Арифметические операции над измеримыми функ- функциями. Прежде всего докажем следующую лемму. Лемма 1. 1) Если функция f(x) измерима на множест- множестве Е, то и функция \f(x)\ измерима на этом множестве. 2) Ес- Если f(x) измерима на множестве Е, а С—любая постоянная, то каждая из функций f(x) + CuC-f(x) измерима на мно- множестве Е. 3) Если f(x) и g(x) измеримы на множестве Е, то множество Е [/ > g] измеримо. Доказательство. 1) Достаточно учесть, что для любого неотрицательного а и привлечь теорему 8.3. Если же а < 0, то E[\f\ > а] совпадает с Е и также измеримо. 2) Достаточно для любого вещественного а воспользоваться :) Тот факт, что счетное множество точек имеет меру, равную нулю, вы- вытекает из теоремы 8.8 и из того, что мера множества, состоящего из одной точки, равна нулю.
§ 3 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ 247 соотношениями Е Г/ > -] при С > О, Я [/ ^ -] при С> 0. Если же С = 0, то С • f(x) = 0 и также измерима. 3) Пусть {г^} — все рациональные точки бесконечной прямой (—оо, оо). Достаточно учесть, что оо Е [/ > g] = U № [/ > г/с] П E\g < Ы), к=1 и воспользоваться теоремами 8.3 и 8.6. Лемма доказана. Опираясь на лемму 1 докажем следующую теорему. Теорема 8.11. Если функции f(x) и g(x) принимают на множестве Е конечные значения и измеримы на этом множес- множестве, то каждая из функций }'(х) — g(x), f(x)+g(x), f(x)-g(x) и f(x)/g(x) (для частного f(x)/g(x) дополнительно требуется, чтобы все значения g(x) были отличны от нуля) измерима на множестве Е. Доказательство. 1) Для доказательства измеримости разности f(x) — g(x) достаточно заметить, что для любого ве- вещественного а множество Е [/ — g > а] совпадает с измеримым (в силу леммы 1) множеством E[f > g + a]. 2) Для доказательства измеримости суммы f(x)-\-g(x) доста- достаточно учесть, что f + g = f — (—g) и что функция g(x) измерима согласно лемме 1. 3) Чтобы доказать измеримость произведения двух измери- измеримых функций, убедимся сначала, что квадрат измеримой функ- функции является измеримой функцией. В самом деле, если а <