/
Author: Морозов Е.М. Матвиенко Ю.Г. Левин В.А.
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел механика сопротивление материалов прикладная механика механика деформируемых тел теория упругости
ISBN: 5-9221-0514-0
Year: 2004
Text
В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
Избранные нелинейные
задачи механики разрушения
УДК ool ff Издание осуществлено при поддержке
ББК 22.251 ь» срри Российского фонда фундаментальных
Л 36 ~~ JJ ~~ исследований по проекту 03-01-14028д
Левин В. А., Морозов Е. М., Матвиенко Ю. Г. Избран-
Избранные нелинейные задачи механики разрушения. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 408 с. - ISBN 5-9221-0514-0.
Охвачен широкий круг вопросов механики разрушения, начиная с мик-
микромеханизмов деформации и разрушения кристаллической решетки, инже-
инженерных подходов к задачам механики разрушения и заканчивая матема-
математическим анализом образования, слияния и развития дефектов материала.
Рассмотрены физика и механика микроразрушения, включая образование
и рост микротрещин разных видов. Даны основные положения и методы
линейной и нелинейной механики разрушения вместе с соответствующи-
соответствующими критериями разрушения. Уделено внимание избранным специальным
проблемам механики разрушения, включая механизмы деформирования и
разрушения полимеров. Подробно представлены математические методы ре-
решения плоских задач теории упругости при конечных деформациях в усло-
условиях физической и геометрической нелинейности. Даны многочисленные
примеры расчета перераспределения полей напряжений и деформаций при
разных вариантах поэтапного многоступенчатого нагружения многосвязных
областей.
Для научных работников, инженеров, преподавателей, аспирантов и сту-
студентов старших курсов, занимающихся проблемами механики сплошной сре-
среды, механики разрушения и расчетов элементов конструкций, ослабленных
трещинами или иными концентраторами напряжений.
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
© В. А. Левин, Е. М. Морозов,
ISBN 5-9221-0514-0 Ю.Г. Матвиенко, 2004
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 8
Глава 1. Физические основы микроразрушений твердых тел 17
1.1. Теоретическая прочность твердых тел на отрыв и сдвиг ... 17
1.2. Виды дефектов в кристаллической решетке 23
1.3. Механизмы и критерий образования дислокационных микро-
микротрещин 31
1.4. Микромеханика и критерии роста усталостных трещин ... 35
1.5. Эволюция повреждений и рост трещин 58
1.6. Механизмы деформирования и разрушения эластомеров ... 67
Глава 2. Механика разрушения тел с трещинами 73
2.1. Критерии разрушения и соответствующие этапы деформиро-
деформирования 73
2.2. Сводка некоторых критериев прочности 77
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещи-
трещины и критерии применимости линейной механики разрушения 84
2.4. Пластическое течение у вершины трещины и критерии нели-
нелинейной механики разрушения 124
2.5. Экспериментальное определение характеристик трещино-
стойкости 148
2.6. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения 168
2.7. Расчет допустимых размеров трещины в корпусе ВВЭР ... 174
Глава 3. Специальные вопросы механики разрушения . . . 181
3.1. Траектории трещин как геодезические линии 181
3.2. Вариационный принцип как критерий разрушения 190
3.3. О расчете диаграмм разрушения 194
Оглавление
3.4. Применение вариационного принципа к решению задач тео-
теории трещин в упруго-вязких средах 200
3.5. Приближенный метод расчета энергетического интеграла для
тел с вырезами и трещинами 207
3.6. Критерий осреднения 212
3.7. Сопоставление надрезов при расчете локальной прочности . 218
3.8. Оценка конструкционной прочности по критериям трещино-
стойкости 223
3.9. Определение коэффициента интенсивности напряжений для
сквозных трещин в цилиндрических оболочках с помощью
весовых функций, полученных методом голографической ин-
интерферометрии 226
3.10. Метод разгрузки в экспериментальной механике разрушения 234
3.11. Об устойчивости тонколистового образца с трещиной при
растяжении 244
3.12. Рост трещины при нестабильном хрупком разрушении . . . 247
Глава 4. Разрушение при конечных деформациях и их на-
наложении 253
4.1. Проблемы и подходы 253
4.2. Постановка задач прочности в рамках механики деформиру-
деформируемого твердого тела 256
4.3. Основные понятия и определения нелинейной теории упру-
упругости и элементы нелинейной теории вязкоупругости 277
4.4. Основные соотношения теории многократного наложения
больших деформаций (для упругих и вязкоупругих тел) . . . 294
4.5. О «физическом разрезе», привнесенном в предварительно на-
нагруженное упругое тело 322
4.6. О варианте задачи прочности для эластомеров 325
4.7. Подход к решению задачи о возникновении в упругом теле
включения 330
4.8. Образование (возникновение) упругого кругового включения
в теле с конечными деформациями 333
Глава 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
и их наложении 335
5.1. Общий подход к задаче о вязком росте трещин в предвари-
предварительно нагруженном теле (при конечных деформациях) . . . 335
5.2. Модельные задачи 345
Оглавление 5
5.3. Трещиноватость у носика привносимого в тело концентратора
напряжений 367
5.4. Вязкий рост трещин при давлении, прикладываемом к их
берегам в процессе нагружения 370
5.5. Развитие трещины в вязкоупругом теле, имеющем конечные
деформации 373
5.6. Нелокальный критерий разрушения. Конечные деформации 381
Список литературы 385
ПРЕДИСЛОВИЕ
Известно, что механика разрушения использует разные точки зре-
зрения на непростой процесс разрушения, взирая на него с позиций и
физики строения вещества, и механики континуума, и инженерно-
инженерного расчета. Попытки соединить воедино разные предметы и мето-
методы исследования приводили к многотомным справочникам, аналогам
энциклопедий. Примером тому служат известные семитомное и че-
четырехтомное издания соответственно под редакцией Дж. Либовица и
В.В. Панасюка.
Данная книга задумывалась авторами несколько лет тому назад
как концентрированное изложение подходов и некоторых результатов
механики разрушения, рассматриваемой в рамках механики дефор-
деформируемого твердого тела для конечных деформаций, в том числе и
для случая дискретно изменяющихся в процессе нагружения границ
и граничных условий [120, 127]. То есть авторы хотели показать на
конкретных примерах, а значит и обратить внимание читателя на
возможность с помощью компьютерного моделирования рассматри-
рассматривать задачи прочности при конечных деформациях. Причем, когда
повреждения и микроповреждения возникают в уже нагруженном
теле, имеющем немалые деформации, когда необходимо учитывать
изменение полей деформаций и напряжений и не применим принцип
суперпозиции. Авторы рассматривают такие модели, когда возникно-
возникновение основного повреждения ведет к возникновению дополнитель-
дополнительных концентраторов напряжений (например, раскрытию микропор).
То есть анализируются задачи, когда в теле до нагружения нет повре-
повреждений, а они возникают в нем в процессе нагружения. Что важно,
например, для задач мониторинга. Получение этих результатов стало
возможным благодаря созданию и разработке теории многократного
наложения больших деформаций.
Авторы, как и планировали, построили книгу по принципу от про-
простого к сложного и постарались избавить читателя от необходимости
обращаться к дополнительной литературе при чтении. При конкрет-
конкретной работе над книгой авторы решили увеличив объем книги и сосре-
сосредоточить свое внимание на нелинейных проблемах теории прочности,
стараясь не отойти значительно от первоначального замысла, и собра-
собрали под одной обложкой основные сведения о деформировании и разру-
Предисловие 7
шении твердых тел, начиная со специфики микродеформирования и
заканчивая большими деформациями для тел из упругого или вязко-
упругого материала. Сложность изложения растет с увеличением но-
номера главы. Хотелось бы, согласно первоначальному замыслу, чтобы
любознательный читатель, независимо от уровня своих специальных
знаний, нашел в книге доступные для своего понимания разделы, раз-
разжигающие любопытство и инициирующие дальнейшие самостоятель-
самостоятельные исследования. Хотя весь материал, включенный в книгу, неодно-
неоднократно подробно обсуждался авторами в процессе работы над книгой,
мы сознаем трудности на пути создания такой книги в силу много-
многогранности проблемы разрушения, неизбежность недостатков, хотя бы
в виде фрагментарности изложения, и с благодарностью воспримем
возникшие замечания, как по содержанию книги, так и по возмож-
возможным опечаткам. Эти замечания можно направлять по адресу: 117797,
Москва, Профсоюзная ул., д. 90, Издательство «Физматлит», либо по
электронной почте: vladimirlevin@mtu-net.ru, valev@nv.math.msu.su,
evgeny-morozov@mtu-net.ru, matvienko7@yahoo.com.
Авторы выражают свою благодарность группе молодых исследо-
исследователей Е.В. Рыбалке, И.А. Мишину, С.А. Кузьмичу, И.В. Никифоро-
Никифорову за помощь при подготовке графического материала рукописи книги
и проведения некоторых расчетов для глав 4 и 5.
Москва, МГУ, МИФИ
ВВЕДЕНИЕ
Создание любых изделий и сооружений неизбежно соприкасается
с вопросом о величине их несущей способности, превышение которой
часто именуется нарушением прочности. Известно несколько видов
нарушения прочности, это — потеря устойчивости, чрезмерная де-
деформация, усталость, износ, негативное воздействие внешней среды
и пр. Среди этих видов нас интересует разрушение материалов и
конструкций, которое может возникать в результате разных внешних
и внутренних воздействий (механических и иных). Сразу отметим,
что разрушение материалов и разрушение конструкций — разные
явления, не всегда взаимосвязанные.
Экспериментальное определение прочности по моменту разрыва
образцов целенаправленно стали проводить в XIX веке в связи с ро-
ростом технического прогресса, выражавшемся, прежде всего, в разви-
развитии сети железных дорог и стрелкового оружия. Однако предельные
значения величин, отражающих свойства прочности приходятся на
момент разрушения, которое в то время полагалось именно момен-
моментом, т. е. точкой на диаграмме деформирования. Понимание того,
что разрушение это процесс, текущий во времени, пришло не сразу
и не сразу была осознана необходимость его изучения, ссылаясь на
то, что этот процесс нельзя допускать и что для этого существует
система коэффициентов запаса прочности. Строение излома, особенно
после работ Веллера, изучавшего явление усталости, явно указывало
на протяженность разрушения во времени [73, 261]. Этому также
способствовало изучение Вальнером фрактографических признаков
на поверхности излома хрупкого разрушения. Однако разглядыва-
разглядывание поверхности излома еще не создавало науки о разрушении, по-
поскольку отсутствовали механические и физические обоснования это-
этого явления и методология его исследования. В 1907 году появилось
решение К. Вигхардта плоской задачи в действительных переменных
о нагружении упругой плоскости с острым угловым вырезом [386].
Были получены асимптотические формулы для напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния в окрестности конца выреза и, естественно,
у автора возник вопрос о сущности сингулярности решения и о его
физической трактовке. Практически результат этого обсуждения вы-
вылился в критерий разрушения, устраняющий появляющуюся беско-
Введение
нечность напряжения посредством его осреднения на некотором про-
пространственном отрезке перед острой кромкой выреза с последующим
сопоставлением полученного осредненного напряжения с характери-
характеристикой прочности ненадрезанного материала, т. е. гладкого образца.
Очевидная плодотворность этой идеи ускользнула от внимания со-
современников. Позднее эта идея неоднократно переоткрывалась ря-
рядом авторов, в частности Г. Нейбером и В.В. Новожиловым [188-190,
350]. Привлекли внимание научной общественности только работы
А.А. Гриффитса, появившиеся в 1920 и 1924 годах [311, 313, 314].
В этих работах развивался энергетический критерий разрушения на
основе первого закона термодинамики — энергия, необходимая на
создание новой поверхности тела (трещины), черпается из энергии
деформации напряженного тела. Им была исследована прочность
плоскости при двухосном напряженном состоянии с большим чис-
числом, правда невзаимодействующих, трещин. Получена предельная
огибающая в пространстве главных напряжений для расчета разру-
разрушающих напряжений при разных длинах трещин. Энергетический
критерий разрушения характерен отсутствием внимания к локаль-
локальным явлениям, происходящим вблизи вершины трещины, поскольку
операции производятся с величинами энергий, относящимся к телу
в целом. Вместе с тем Гриффите занимался также и анализом яв-
явлений деформирования и разрыва в окрестности вершины трещины
на уровне межатомных расстояний и получил для своей модельной
задачи практически тот же результат, что и при операциях с гло-
глобальными величинами энергий [314]. Нельзя сказать, что и эти ра-
работы были сразу востребованы, понадобилось время и большое чис-
число хрупких разрушений ответственных сооружений и конструкций,
для их развития с целью практического использования. Это стало
возможным после дополнения 1947 г. И.Л. Шимелевичем (ЦКТИ),
Е. Орованом и Дж.Р. Ирвиным поверхностного натяжения твердого
тела работой пластической деформации у вершины трещины [321,
353]. С инженерной точки зрения полагалось, что, поскольку удельная
работа пластической деформации у вершины трещины много больше
поверхностного натяжения (удельной поверхностной энергии), то по-
последней пренебрегали. Однако затем выяснилось, что удельная работа
пластической деформации (вязкость разрушения) является функци-
функцией удельной поверхностной энергии, что позволило учесть эффекты
окружающей среды [306]. Однако задолго до этого в 1920-х годах
А.Ф. Иоффе, растягивая кристаллы поваренной соли, показал, что
удаление поверхностных слоев растворением их в проточной воде
существенно повышает прочность кристалла, приближая ее к теоре-
теоретической [85]. Этим была продемонстрирована роль поверхностных
трещин в инициировании хрупкого разрушения, происходящего в ре-
результате последующего роста магистральных трещин, разделяющих
тело на части. В наше время эта идея получила практическое приме-
10 Введение
нение для продления ресурса сложных технических систем, например,
роторов паровых и газовых турбин. Он же обосновал понятие крити-
критической температуры хрупкости, отделяющей на температурной шкале
области хрупкого и вязкого разрушения, понятие, которое до практи-
практической реализации довел Н.Н. Давиденков [61, 62]. Несколько позднее
И.В. Обреимов показал возможность использования энергетического
критерия Гриффитса для определения параметров разрушения при
отщеплении клином тонкого слоя с поверхности кристалла слюды,
что привело к способу определения поверхностной энергии твердого
тела [352].
Работами А.К. Дымова, а затем Н.Н. Давиденкова и Я.Б. Фрид-
Фридмана была показана зависимость вида разрушения от напряженного
состояния [62, 71, 261].
Появление теории дислокаций в 30-х годах (и вообще дефектов
кристаллических тел) объяснило физические причины не только пла-
пластического деформирования, но и разрушения. Прообразом трещины
послужило расхождение атомных плоскостей под экстраплоскостью
краевой дислокации.
Применение теории функций комплексного переменного к реше-
решению плоских задач по существу сняло вопрос о напряженно-деформи-
напряженно-деформированном состоянии плоских тел с трещинами. Получило известность
решение Х.М. Вестергарда о растяжении плоскости с периодически
расположенными трещинами вдоль действительной оси [388]. В 40-х
годах Р.А. Заком получено решение на основе концепции Гриффитса
о критическом состоянии пространства с дисковидной трещиной [364].
Несколько позднее И.Н. Снеддон получил асимптотическое решение
о напряженно-деформированном состоянии в ближайшей окрестности
фронта трещины [377]. Примерно в это же время Н.Ф. Мотт на осно-
основе баланса энергий получил формулу для скорости роста трещины
в закритической стадии, после достижения растягивающей нагруз-
нагрузкой критического значения по Гриффитсу [345]. В начале 50-х годов
Е.Х. Иоффе получила распределение напряженно-деформированном
состояния в окрестности вершины трещины, движущейся с заданной
скоростью [396]. Пятидесятые годы и начало шестидесятых характер-
характерны появлением обозримого числа работ, посвященных принципиаль-
принципиальным вопросам механики разрушения. Я.И. Френкель рассматривал
устойчивость и необратимость трещины Гриффитса, Ф.К. Рослер и
др. — образование конических трещин при вдавливании в тело инден-
тора, X. Шардин, Грегс, Дж.П. Берри, К.Б. Броберг и др. — скорость
роста трещины и сопутствующие эффекты [259, 294, 298, 362, 365].
А.К. Хедом предпринята попытка смоделировать поэтапный, скач-
скачкообразный рост усталостных трещин [317]. Критериальное условие
Ф.А. Макклинтока состояло в предположении, что рост трещины на-
начинается при достижении деформацией критического значения на
некотором расстоянии перед вершиной трещины [340]. В 1957 году
Введение 11
М.Л. Вильяме решил задачу, аналогичную задаче Вигхарда [390]. В
1958 году Ирвин использовал коэффициент при корневой особенности
напряженного состояния у вершины трещины в качестве критери-
критериальной величины (силовой критерий разрушения) и одновременно
показал эквивалентность силового и энергетического критериев [321].
Собственно, после этих работ Ирвина стало возможным говорить о
постепенном внедрении положений механики разрушения (появление
этого термина тоже связано с именем Ирвина) в практику инженер-
инженерных расчетов. Особое значение при этом имела организация и работа
Между народного конгресса по механике разрушения, периодически
собирающегося с 1964 каждые четыре года в разных странах мира, а
также выпуск специализированных периодических изданий по меха-
механике разрушения.
Примерно в эти же годы появились работы М.Я. Леонова, В.В. Па-
насюка, П.М. Витвицкого, С.Я. Яремы, посвященные деформацион-
деформационному критерию разрушения [36, 128, 160, 195, 196]. Рассматривалось
отдирание одной атомной плоскости от другой с аппроксимацией ре-
реальной диаграммы межатомного усилия ее трапецивидным аналогом.
Введено предположение, что рост раскрытой щели наступит, если
расстояние между противоположными точками на берегах щели на
границе области действия межатомных сил достигает предельной
величины. Эта схема математически аналогична предположению
о наличии тонкой пластической зоны вместо области действия
межатомных сил. Та же задача была решена Д.С. Дагдейлом и
А.А. Уэллсом [309, 387]. Подобная постановка задачи развивалась
Г.И. Баренблаттом, с большим числом изящно решенных задач,
однако предположение о малости области действия межатомных
сил сводило все результаты к уже известному критерию Ирвина
[39]. Вообще, все критерии, построенные на величинах, относящихся
к малой окрестности вершины трещины, неизбежно сводятся к
критерию Ирвина [39]. Аналогично обстоит дело и с критериями
нелинейной механики разрушения — все критериальные соотноше-
соотношения, предложенные в разное время разными авторами, вытекающие
из соображений относящихся к ближайшей окрестности вершины
трещины (раскрытие, углы, радиусы, характеристические расстояния
и к ним имеющие отношение напряжения и деформации [268]), дают
близкие результаты, во всяком случае разброс экспериментальных
данных соизмерим с разбросом расчетных.
С середины 60-х годов появляются работы, посвященные изучению
поведения трещин с помощью конфигурационной силы, введенной
Эшелби в 1951 году и влияющей на особенность упругого поля [281].
Соответствующее выражение имеет вид интеграла, взятого по конту-
контуру, проведенному вокруг вершины трещины, названного впоследствие
интегралом Черепанова—Раиса. Причем этот интеграл инвариантен по
отношению к форме и размерам контура. Кроме того, этот интеграл
12 Введение
является коэффициентом при особенности полей напряжений и де-
деформаций в упругопластической области у вершины трещины. Это
обстоятельство позволило использовать его в качестве критериаль-
критериальной величины в записи критерия разрушения. Плодотворность этого
аппарата выразилась в возможности решения разнообразного круга
задач и в применении к оценке свойств трещиностойкости материалов.
Получали развитие работы по изучению кинетических аспектов
роста трещин в телах разной реологии [9, 17, 20, 75, 76, 217, 243].
В 70-х годах появляются двухпараметрические критерии разру-
разрушения, в которых с одной стороны учитываются критерии механики
разрушения, а с другой критерии разрушения (или возникновение
пластического коллапса) гладкого образца [114, 139, 307, 368, 374].
Иначе говоря, одним условием объединены локальные и глобальные
критерии прочности. Среди них назовем критерии на основе докумен-
документа R6 и на основе предела трещиностойкости [182, 359].
Параллельно развиваются методы оценки трещиностойкости на
стадии распространения трещины при циклическом нагружении [157,
284]. Повсеместное распространение находит степенная зависимость
П.Р. Париса для скорости роста трещины в функции размаха ко-
коэффициента интенсивности напряжений. Здесь же отметим, что в
последние два десятилетия наблюдается пристальный интерес к про-
проблеме коротких усталостных трещин в связи с анализом долговечно-
долговечности материалов на ранних стадиях повреждений [35, 399]. Импульсом
к инициированию этого направления механики усталостных трещин
послужили работы К. Миллера с сотрудниками по теоретическому
и экспериментальному исследованию закономерностей распростране-
распространения микроструктурно и физически коротких трещин, учитывающих
микроструктуру реальных материалов [342, 348, 372].
Случай больших (высокоэластичных) деформаций для гипотети-
гипотетически бесструктурного тела по существу нуждается не во вновь со-
создаваемых критериях, а в выборе (и возможно в их обобщении) среди
известных в применении к конкретно поставленным задачам [249,
272]. Например, можно мыслить аналог вязкого разрушения в виде
возникновения, роста и последующего слияния полостей (пор) на
продолжении большой оси исходного овального отверстия. Условия
возникновения пор можно заимствовать из традиционных критериев
прочности — ограниченности эквивалентных напряжений (условных
или истинных) или ограниченности деформаций (кратностей) или
ограниченности удельной энергии деформации. Перемычки между
порами, вытягиваясь, уподобляются растягиваемому образцу и раз-
разрываются с образованием шейки. В итоге образуется ямочная по-
поверхность излома, если допустить необратимость процесса после раз-
разрушения. Расширение полости с образованием новой ее поверхности
может также обосновываться энергетическими критериями или де-
деформационным критерием Н.Ф. Морозова о предельных взаимных уг-
Введение 13
л ах поворота элементов структуры, имитируемых моментной теорией
упругости [183]. Возможна переформулировка этого критерия в тер-
терминах сдвиговых деформаций. Наконец, не лишена смысла попытка
описания структуры материала континуальными средствами, посред-
посредством, например, скаляра повреждаемости Качанова—Работнова [94,
212, 215].
Разработка новых материалов может оказаться сопряженной с
необходимостью разработки и соответствующих критериев разруше-
разрушения. Структура композиционных материалов помогает подсказать
формулировку критерия разрушения, который может иметь форму,
непосредственно связанную с конструкцией армировки или с данной
структурой, в частности, иерархическую, структурно-блочную. Запу-
Запутанность и разнообразие молекулярного строения реальных полимеров
(эластомеры — резина, полиуретан и др., термопласты — полиамид,
полиэтилен, полипропилен, политетрафторэтилен и др.) не позволяют
должным образом описать процесс разрушения и сформулировать
физически обоснованный (детерминированный) критерий разруше-
разрушения. В дополнение к этому добавим, что даже для вполне регуляр-
регулярной структуры разброс экспериментальных результатов в 20 % ма-
мало кого удивляет. Поэтому в ходу феноменологические зависимости
типа уравнений Е.Ф. Понселе, С.Н. Журкова и Г.М. Бартенева для
расчета времени до разрушения, происходящего в результате кинети-
кинетических процессов накопления повреждений, распределенных в объеме
тела.
Поэтому в главах 4 и 5 впервые сделана попытка дать относи-
относительно системное изложение материала (в основном основанная на
работах авторов) для вязкого роста трещины в случае конечных
деформаций, в том числе и для предварительно нагруженных тел
из упругого или вязкоупругого материала [120, 121, 124]. При этом
следует также помнить, что обычно под критерием разрушения в ме-
механике разрушения понимают критерии страгивания трещины или на-
начала быстрого неустойчивого роста уже имеющейся трещины. Однако
немаловажный вопрос образования трещины требует самостоятель-
самостоятельного изучения, разумеется с привлечением представления о реальном
строении материала.
Разработка основ классической механики разрушения и появле-
появление прикладных задач, связанных с созданием сложных технических
систем в атомной энергетике, ракетно-космическом комплексе, нефте-
газо-химии и др., привели к формированию новых направлений иссле-
исследований в механике трещин, к которым можно отнести коррозионно-
механическое разрушение, механику катастрофических разрушений,
механику контактного разрушения, микроструктурную механику раз-
разрушения, аналитическое и численное моделирование распространения
трещин при наличии связанных физико-механических полей и многие
другие.
14 Введение
Практическая потребность в расчетах прочности на основе по-
положений механики разрушения стимулировала разработку методи-
методических нормативных (руководящих) документов, регламентирующих
методы и средства измерения характеристик трещиностойкости в раз-
разных условиях нагружения [48, 156—158]. В настоящее время практи-
практически ни один проект, ни одно сопровождение эксплуатации сложных
технических систем, ни одна экспертиза аварийных ситуаций не об-
обходятся без применения аппарата механики разрушения.
Попутно не вредно обсудить вопрос о так называемых константах
материала, термине, широко употребляемом в механике сплошной
среды. Константы или постоянные материала действительно суще-
существуют, пока материал рассматривается на уровне кристаллической
решетки. Чем больше по масштабной шкале (укрупняя объем) мы
уходим от параметров решетки, тем менее константы остаются та-
таковыми. Для уяснения степени постоянства укажем на введенное
Я.Б. Фридманом деление механических свойств на докритические,
критические и закритические [261]. Все они в равной мере относятся к
трем, последовательно возникающим и параллельно идущим вплоть
до полного разрушения, видам деформации — упругой, пластической
и разрушения. Докритические определяются по допуску на величину
данного вида деформации или на появление нового, и это на стадии
возрастающей несущей способности. Например, условный предел те-
текучести определяется по допуску на величину появившегося на фоне
упругой деформации, нового вида деформации — пластической. До-
Докритические характеристики можно считать постоянными материала.
На стадии упругой деформации модули упругости и коэффициент
Пуассона — докритические характеристики и, следовательно, посто-
постоянные материала. Но, например, критическое напряжение Эйлера
сжатого упругого стержня есть механическая характеристика, отра-
отражающая свойства упругости в момент потери устойчивости и, как и
положено критической характеристике, зависит не только от докрити-
ческих характеристик, но и от формы и размеров стержня и условий
закрепления. Аналогично предел прочности (временное сопротивле-
сопротивление) является критической характеристикой, поскольку шейкообразо-
вание представляет собой смену форм равновесия и сопровождается
прекращением роста несущей способности. Естественно, что предел
прочности должен зависеть и зависит от размеров, формы образца и
схемы приложения нагрузки. Но привычка считать предел прочнос-
прочности постоянной материала (естественно, имеется в виду неизменность
условий нагружения, скорости, температуры, среды и т. п.) есть ре-
результат стандартизации метода его определения. Изменив габариты,
форму сечения, взяв, наконец, вообще реальную конструкционную
деталь, получим сильно различающиеся значения пределов прочнос-
прочности, что и должно быть для критической характеристики. Поэтому
неудивительно, что при разрушении реальной детали напряжение в
Введение 15
опасной точке обычно не совпадает с пределом прочности материала,
определенном на стандартных образцах. То же и на стадии разру-
разрушения. Поэтому важно представить себе, к какому виду относится
данная константа материала. Закритические механические характе-
характеристики практически отсутствуют в таком качестве, поскольку они
еще более зависят от вида и особенностей конструкции, в частности
от запаса упругой энергии как в самой детали (конструкции), так и
в нагружающем устройстве. Например, закритическая стадия разру-
разрушения существенно зависит от типа нагружения: гидравлическое или
пневматическое.
Кроме того, даже докритические механические свойства зависят
от объема, в котором они проявляются. Например, тот же предел
текучести далеко не совпадает со стандартной величиной, если его
пытаться определять в малых объемах деформирования, в областях
высокого градиента напряженно-деформированного состояния. Кста-
Кстати, градиент напряженного состояния также существенно влияет на
характер распространения разрушения в виде трещины. При отсут-
отсутствии градиента, т. е. при идеально равномерных по объему напряже-
напряжениях и прочности, разделение тела на части происходит практически
мгновенно, в то время как при наличии градиента (что типично для
конструкционных элементов) трещина может пытаться расти доволь-
довольно долго, что, вообще говоря, представляется благоприятным обсто-
обстоятельством. Наконец заметим, что прочность детали пропорциональ-
пропорциональна прочности материала лишь до определенного значения предела
прочности, выше которого прочность детали не повышается, а па-
падает. Это обстоятельство хорошо известно конструкторам и входит
в понятие конструкционной проч-
прочности, введенное в свое время
СВ. Серенсеном [231]. Под этим
термином понимают явление, при
котором прочность конструкции
неоднозначно связана с механи-
механическими свойствами материала, в / \ .'
частности с его прочностью, и q T Т ПИ
для предсказания деформационно-
деформационного и прочностного поведения кон- _> л о
Рис. 1. Зависимость воспринимав-
струкции служат интуиция и на- мой новой информации от подво.
бор эмпирических правил. Все это димой
означает, что определение напря-
напряженно-деформированного состояния совместно с некоторым набором
«постоянных материала» еще не дает уверенности в том, что рассчи-
рассчитываемая деталь на практике будет вести себя именно так.
В завершение нашего введения немного отвлечемся. Посмотрим,
как человек воспринимает новые для себя знания. Для этого построим
график (рис. 1). По оси абсцисс отложим передаваемую человеку ин-
16 Введение
формацию (в некоторых единицах), а по оси ординат воспринимаемую
и осознаваемую им информацию как новую. Справа на оси абсцисс от
точки Т\ воспринимаемая информация равна нулю, поскольку чело-
человек ее не понимает; имеющихся у него знаний (их объем обозначен
точкой Ti) недостаточно для восприятия этой информации. Слева от
точки 7\ информация не воспринимается как новая, поскольку чело-
человек ее уже знает. Информация воспринимается в ближайшей окрест-
окрестности точки Т\. Эта точка называется тезаурусом. Таким образом,
обучение (приобретение опыта) приводит к перемещению тезауруса
вправо вдоль оси абсцисс в сторону все большего (и сложного по
структуре) объема знаний и навыков, которыми владеет человек. Это
показано штриховой линией с тезаурусом Т2, который больше Т\.
Увеличение своего тезауруса человек достигает не только в процессе
стандартного обучения, а вообще в результате тренировки своего ума,
будь то чтение, интеллектуальная игра или разгадывание голово-
головоломок. Тренировка и здесь, как в любом виде спорта, необходима.
Поэтому, мы надеемся, что присущая данной книге фрагментарность
не должна смущать читателя и если его тезаурус хоть чуть сдвинется
вправо, то задача авторов будет выполнена.
Г л а в а 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
МИКРОРАЗРУШЕНИЙ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
1.1. Теоретическая прочность твердых тел на отрыв
и сдвиг
Анализ процессов разрушения материалов на микроуровне пред-
предполагает использование методов исследования, основанных на физи-
физическом металловедении и физике прочности. При этом модели физики
и механики микроразрушений позволяют связать модели сплошных
сред и прочность твердых тел с параметрами и дефектами строения
кристаллической решетки, а также с микроструктурными особенно-
особенностями твердых тел [37, 73, 74, 148, 161, 165, 266]. В этой главе мы
отошли от механики сплошной бесструктурной среды и рассматрива-
рассматриваем реальные материалы с учетом их атомарного строения.
1.1.1. Виды связи в твердых телах. С точки зрения физи-
физиков существование и прочность твердого тела обусловлены наличием
между структурными частицами сил взаимодействия, действующих
на достаточно малых расстояниях. Такими частицами могут быть
атомы, ионы или молекулы. Прочность твердого тела обеспечивается
силами притяжения между частицами. Для возникновения устойчи-
устойчивой структуры твердого тела необходимо, чтобы между отдельными
частицами возникали не только силы притяжения, но и силы оттал-
отталкивания, препятствующие беспредельному сближению частиц и их
полному слиянию.
Не останавливаясь на особенностях природы сил взаимодействия,
отметим следующие виды связи частиц в твердых телах: связь
Ван-дер-Ваальса, ионная связь, ковалентная связь, металлическая
связь и водородная связь [37, 74]. Наиболее универсальной являет-
является связь Ван-дер-Ваальса. Она возникает во всех без исключения
случаях. Вместе с тем это наиболее слабая связь с энергией поряд-
порядка 104 Дж/моль, характерной для мало устойчивых и легко лету-
летучих структур с низкими точками плавления. Ионная связь явля-
является типичной химической связью, широко распространенной среди
неорганических соединений. К таким соединениям относятся интер-
интерметаллические соединения, например, карбиды и нитриды, а также
окислы металлов, сульфиды и другие полярные соединения [278].
Энергия ионной связи составляет ~ 106 Дж/моль, что характерно для
соединений с высокой точкой плавления. В некоторых металлах и
во многих интерметаллических соединениях встречается ковалентная
связь с энергией ~ 106 Дж/моль. Металлическая связь, возникающая
18
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
в результате обобществления валентных электронов, характерна для
типичных металлов и многих интерметаллических соединений. Энер-
Энергия этой связи сопоставима с энергией ковалентной связи. Водородная
связь является относительно слабой связью. В реальных твердых
телах, как правило, имеет место сочетание двух и более видов связи,
одна из которых является определяющей для структуры и свойств
твердого тела.
1.1.2. Теоретическая прочность деформируемого твердого
тела на отрыв. Независимо от вида сил, возникающих при сбли-
сближении частиц, общий характер их остается одинаковым (рис. 1.1):
Рис. 1.1. Изменение силы взаимодействия между атомами
на относительно больших расстояниях появляются силы притяже-
притяжения, быстро увеличивающиеся с уменьшением расстояния г между
частицами (кривая 2); на малых расстояниях возникают силы от-
отталкивания, которые с уменьшением г увеличиваются значительно
быстрее, чем силы притяжения (кривая 3) [37, 73, 74]. При этом сила
взаимодействия частиц (кривая 1) равняется алгебраической сумме
силы притяжения и силы отталкивания. На расстоянии г = uq силы
отталкивания уравновешивают силы притяжения и результирующая
сила взаимодействия обращается в нуль, а энергия взаимодействия до-
достигает минимального значения Щ. Поэтому состояние частиц, сбли-
сближенных на расстояние ао, является состоянием устойчивого равнове-
равновесия, вследствие чего частицы, предоставленные самим себе, должны
выстраиваться в строгом порядке на расстоянии ао друг от друга,
образуя тело с правильной внутренней структурой — кристалл. Ча-
Частицы кристалла не могут свободно покидать свои положения рав-
равновесия, так как при удалении от этих положений энергия частиц
увеличивается и появляются силы, стремящиеся вернуть их в поло-
1.1. Теоретическая прочность твердых тел на отрыв и сдвиг 19
жения равновесия. Единственной доступной формой движения для
них является беспорядочное колебание около положений равновесия.
Приложенная к совершенному металлическому кристаллу внеш-
внешняя растягивающая сила вызовет деформацию удлинения, т. е. увели-
увеличение межатомных расстояний. В результате исходные механическое
равновесие между атомами нарушается, и равнодействующая сила
становится отличной от нуля. Чтобы оторвать атомы друг от друга,
нужно преодолеть максимум силы сцепления, который характеризует
Рис. 1.2. Аппроксимация силы межатомной связи (равнодействующая 1)
теоретическую прочность атеор на отрыв. Сила межатомной связи
при отдалении атомов друг от друга на расстояние х изменяется по
кривой, которую можно аппроксимировать простым синусоидальным
законом, характеризующимся величиной полупериода Л/2 (рис. 1.2)
Jтеор к
(Л/2) У
Продифференцировав уравнение A.1.1) по ж, получим наклон кри-
кривой (отсчет х от точки равновесия)
da
dx
COS
/2тгж\
A.1.2)
Для случая незначительного смещения атомов, т. е. в начале кри-
кривой cos Bтгж/Л) ~ 1, тогда наклон кривой в этой области (при х —>> 0)
становится равным
da _ 2патеор
dx А
A.1.3)
По аналогии с законом Гука для сплошной среды, наклон кривой
может определяться как
Е =
(х/а0)'
A.1.4)
где ао — равновесное расстояние между атомами, x/uq — относи-
относительная деформация (по определению). После дифференцирования
2*
20 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
уравнения A.1.4) по х получаем
? = -• A.1.5)
ах ао
Решая совместно уравнения A.1.3) и A.1.5), приходим к полезному
соотношению, вытекающему из объединения моделей атомарного и
континуального тела „
^ Z7T(JTeop /-. -j ^\
ао А
Работа, затрачиваемая на преодоление сил сцепления атомов при
их раз движении, равна заштрихованной на рис. 1.2 площади
Л/2
А= crTeopSnW -^J dx = сгтеор -. A-1-7)
о
При хрупком или, иначе, упругом разрушении при отсутствии
пластического течения в кристалле образуются новые поверхности,
энергия которых может быть измерена энергией, необходимой для
образования единицы площади новой поверхности кристалла при уда-
удалении атомов друг от друга в области поверхности разрыва. При
этом образуются незанятые межатомные связи в направлении нор-
нормали к поверхности. При этом предполагается, что ни на что другое
энергия при этом не расходуется и иных искажений решетки, кроме
рассмотренной, нет. Таким образом, приравнивая работу разрушения
на единицу площади A.1.7) к удельной поверхностной энергии 2^
и учитывая соотношение A.1.6), получим теоретическую прочность
совершенного, т. е. бездефектного, кристалла:
A.1.8)
Более точный учет усилий и смещений для расчета 7 дает следую-
следующее приближенное соотношение для оценки теоретической прочности
твердого тела: F
атеор « ^. A.1.9)
В табл. 1.1 приведены примеры соотношения между расчетной
величиной теоретической прочности для некоторых твердых тел и
их реальной прочностью [74]. Оценка теоретической прочности вы-
выполнена по формуле A.1.9), предполагающей преодоление сил связи
между атомами при одновременном отрыве по всему сечению тела с
привлечением гипотезы об отсутствии дефектов решетки в этих телах.
В реальном теле силы связи преодолеваются не одновременно в си-
силу наличия местных дефектов. Разрушение происходит в результате
возникновения в зонах дефектов трещин и их распространении по
сечению тела с разделением его на части. Предположение о суще-
существенной роли дефектов в разрушении твердых тел имеет экспери-
экспериментальное и теоретическое подтверждение [37, 73, 74, 266]. Таким
1.1. Теоретическая прочность твердых тел на отрыв и сдвиг 21
Таблица 1.1
Сравнение теоретической и реальной прочности твердых тел
Материал
Усы А12О3
Усы железа
Высокоуглеродистая рояльная
проволока
Борные волокна
Стекло
NaCl
Реальная
прочность, МПа
1,54 х 104
1,3 х 104
2,5 х 103
2,4 х 103
1,1 х 102
1,0 х 102
^"теор / ^"реал
3,3
2,3
5,6
14,5
66
40
образом, снижение реальной прочности твердых тел в сравнении с их
теоретической (идеализированной) прочностью во многом обусловле-
обусловлено наличием в них дефектов, например, дефектов строения кристал-
кристаллической решетки.
1.1.3. Теоретическая прочность кристаллов на сдвиг. Дру-
Другим примером существования дефектов кристаллической решетки
служит различие между теоретической и реальной прочностью кри-
кристалла на сдвиг.
Основным механизмом пластического течения кристаллов являет-
является сдвигообразование. Из рис. 1.3 видна разница между упругой де-
Рис. 1.3. Схематическое изображение упругой (а) и пластической [б) де-
деформации
формацией и пластической при одинаковой ее количественной оценке
в виде угла сдвига. В первом случае окружение каждого атома сосед-
соседними не нарушено (и поэтому упругая деформация обратима), а во
втором — атомы поменяли своих соседей [240]. Рассмотрим сдвиг од-
одной атомной плоскости (верхней) относительно другой (нижней). Для
того чтобы произвести синхронный сдвиг верхней части совершенно-
совершенного кристаллического тела, т. е. не имеющего дефектов, относительно
нижней, необходимо приложить к этому телу сдвиговые напряжения,
22
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
равные теоретическим ттеор, впервые количественно определенные
Я.И. Френкелем [259]. Предположим, что в рамках простой кубиче-
кубической решетки расстояние между атомами в направлении скольжения
\\J V2
напряжения ,
Сдвиговые
" 'У
гл
Л
V
Перемещения
Рис. 1.4. Сдвиговые напряжения как функция перемещения атомов
равно bo, а в направлении, перпендикулярном к плоскости скольже-
скольжения, равно uq (рис. 1.4). Тогда под действием сдвига атом 2 переходит
из положения х = А через состояние х = В в положение х = С. При
этом остальные атомы синхронно перемещаются на одинаковые рас-
расстояния. Допустим, что атомы нижнего ряда 1', 2;, ... связаны друг
с другом и находятся в состоянии покоя. Для атома 2 в положении
х = А и х = В напряжение г, необходимое для сдвига, нулевое. В
положение х = В атом 2 находится в состоянии неустойчивого равно-
равновесия. При переходе атома из положения х = А в положение х = В
необходимо приложить сдвиговое напряжение. Напряжение сдвига в
направлении оси х будет функцией периода смещения атома bo. Это
напряжение можно (как и ранее, A.1.1)) записать в виде синусоидаль-
синусоидальной функции
T = TTeopsin(-^), A.1.10)
где ттеОр — максимальное сдвиговое напряжение, т. е. амплитуда сдви-
сдвиговых напряжений, при которых происходит переход атома в сле-
следующее положение равновесия. При малых перемещениях сдвига х
равенство A.1.10) приближается к следующей зависимости:
/2тгж\
Ч~Г7'
A.1.11)
Эта зависимость ассоциируется с законом Гука для сплошной сре-
среды с модулем сдвига G:
Gx
A.1.12)
1.2. Виды дефектов в кристаллической решетке
23
где отношение х/а$ можно трактовать как угловую деформацию. Из
соотношений A.1.11) и A.1.12) при ag ~ fro получаем теоретические
сдвиговые напряжения, при котором атомные связи между соседни-
соседними атомами пересоединяются одновременно (тем самым происходит
сдвиг верхней плоскости на одно межатомное расстояние):
ттеор = |L A.1.13)
Сравнение в рамках рассмотренной модели теоретической проч-
прочности кристаллов на сдвиг и реальной прочности (табл. 1.2) пока-
показывает, что реальная прочность кристаллов ориентировочно на 3
Таблица 1.2
Сравнение теоретической и реальной прочности твердых тел
на сдвиг
Материал
Медь
Серебро
Никель
Магний
Цинк
Теоретическая прочность, МПа
6,4 х 103
4,5 х 103
11,0 х 103
3,0 х 103
4,8 х 103
^"теор / 7"реал
6,4 х 103
7,5 х 103
1,9 х 103
3,6 х 103
5,1 х 103
порядка меньше теоретически вычисленной прочности совершенных
кристаллов. Это свидетельствует о том, что сдвиг в кристаллах про-
происходит не посредством жесткого смещения атомных плоскостей друг
относительно друга, а с помощью механизма, при котором в каждый
момент имеет место смещение относительно малого количества ато-
атомов. Это привело к развитию дислокационной теории пластического
течения кристаллов. Дислокация как дефект строения кристалличе-
кристаллической решетки так же, как и точечный дефект приводит к снижению
прочности реальных кристаллических тел.
1.2. Виды дефектов в кристаллической решетке
Строение реальных кристаллов существенно отличается от стро-
строения идеальных кристаллов наличием различного вида дефектов.
Дефекты кристаллической решетки играют очень важную роль в
формировании и протекании процессов деформации и разрушения
твердых тел. Дефекты в кристаллах подразделяют на точечные, од-
одно-, двух- и трехмерные [37, 73, 74, 279].
Кристаллическая решетка. Для описания совершенного внутрен-
внутреннего строения кристаллов используют понятие (модель) кристалли-
24
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
ческой решетки. Различают трансляционные решетки Бравэ и решет-
решетки с базисом.
С геометрической точки зрения правильное периодически по-
повторяющееся размещение атомов в кристалле можно описать с
помощью операции параллельного поступательного перемещения,
иначе — трансляции. Например на рис. 1.5, а изображена решетка,
полученная трансляцией атома вдоль трех осей. Положение любого
Рис. 1.5. Трансляционная решетка (а) и элементарная ячейка (б) крис-
кристалла
атома (например, D) в такой решетке определяется вектором
г = ma + nb + рс, A.2.1)
где векторы а, Ь, с называются векторами трансляции, а их числен-
численные величины (модули) — периодами трансляции. Решетка, постро-
построенная посредством параллельного переноса (трансляции) какого-либо
атома по трем направлениям, называется трансляционной решеткой
или решеткой Бравэ. Наименьший параллелепипед, построенный на
трех векторах трансляции, называют элементарной ячейкой кристал-
кристалла (рис. 1.5, б). Все элементарные ячейки решетки имеют одинаковые
форму и объем, следовательно ячейки лишены индивидуальных осо-
особенностей. Вершины ячеек, в которых располагаются атомы, назы-
называют узлами решетки.
1.2. Виды дефектов в кристаллической решетке
25
Подрешетка 2
Элементарные ячейки, содержащие атомы только в вершинах,
называют простыми или примитивными. В большинстве случаев эле-
элементарные ячейки содержат атомы
не только в вершинах, но и в дру-
других точках. Такие ячейки называют
сложными. Наиболее распростра-
распространенными являются: базоцентриро-
ванные, объемноцентрированные и
гранецентрированные.
Не всякую решетку можно полу-
получить трансляцией лишь одного узла.
Существуют решетки общего типа
с базисом. В качестве примера на
рис. 1.6 рассмотрена двухмерная ре-
решетка с базисом общего типа. Та-
Такие решетки можно представить в
виде двух вставленных одна в дру-
другую решеток Бравэ 1, 2, каждая
из которых определяется трансля-
трансляционными векторами а и Ь. Смеще-
0
<
b
a/
О1 а
> <
Подрешетка 1
Рис. 1.6. Двухмерная решетка с
базисом
1
2
• —
/
3
ние решеток друг относительно друга описывается дополнительным
вектором А, называемым базисным. Решетку с базисом можно по-
построить с помощью трансляций аналогично решеткам Бравэ, только
при этом надо транслировать не один узел, а
несколько узлов, т. е. базис, задаваемый сово-
совокупностью базисных векторов.
Точечные дефекты. Распределение энергии
между атомами твердого тела является весь-
весьма неравномерным. При любой температуре в
кристалле имеются атомы, энергия которых во
много раз больше или меньше среднего зна-
значения, соответствующего закону равномерного
распределения ее по степеням свободы. Атомы с
достаточно большой энергией могут преодолеть
потенциальный барьер, созданный соседними
атомами, и перейти в новое окружение (новую
ячейку). Такие атомы приобретают способность
как бы «испаряться» из узлов решетки и «кон-
«конденсироваться» во внутренних ее полостях — в
междоузлиях (рис. 1.7, а). Это приводит к воз-
2
4
3
t
Рис. 1.7. Дефекты по
Френкелю (а) и по
Шоттки (б)
никновению вакантного узла (вакансии) и атома в междоузлии (дис-
(дислоцированного атома). Такие дефекты решетки называют дефектами
по Френкелю [73, 259]. Как атомы в междоузлии, так и вакансии
не остаются локализованными в одном месте и диффундируют в
решетке.
26 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
Кроме внутреннего испарения возможно частичное или полное
испарение атомов с поверхности кристалла, сопровождаемое образо-
образованием вакансии в поверхностном слое кристалла (рис. 1.7,5). При
замещении вакансии внутренним атомом она втягивается внутрь кри-
кристалла и диффундирует по его объему. Этим вакансиям уже нель-
нельзя сопоставить дислоцированные атомы, так как их образование не
сопровождается одновременным внедрением атомов в междоузлия.
Такие вакансии называют дефектами по Шоттки [73, 279].
Процесс образования дефектов по Френкелю и по Шоттки имеет
термофлуктационный характер, т. е. максимумы флуктуации тем-
температуры позволяют атомам преодолевать энергетические барьеры.
Энергия образования дефектов по Френкелю приблизительно равна
сумме энергий образования вакансии и внедрения [259, 260].
Примеси являются одним из наиболее важных и распространен-
распространенных дефектов решетки реальных кристаллов. Современные спосо-
способы очистки металлических материалов не позволяют получать абсо-
абсолютно чистые материалы, содержание примесей в наиболее чистых
материалах составляет ~ 10~9 % [73]. Примеси могут находиться в
кристалле в растворенном состоянии или в виде включений. Процесс
растворения заключается во внедрении примесных атомов в проме-
промежутки между атомами кристалла или замещении части атомов в уз-
узлах решетки. В первом случае твердый раствор называют раствором
внедрения, во втором случае — раствором замещения.
Дефекты типа вакансий и внедренных атомов называются точеч-
точечными. Точечные дефекты типа вакансий образуются в металлах в
результате резкого охлаждения (закалки). Вакансии могут образовы-
образовываться также в процессе пластической деформации, т. е. в процессе
движения дислокаций. Кроме того, вакансии и атомы внедрения мо-
могут образовываться и в результате нейтронного облучения кристал-
кристаллов. При этом упругое столкновение движущейся частицы с атомом
облучаемого вещества смещает последний из равновесного положения
в решетке, что и приводит к образованию межузельного атома и
вакансии (френкелевской пары) [76].
Одномерные дефекты. К одномерным дефектам строения кристал-
кристаллической решетки относятся дислокации. Типичным представителем
искажений такого класса (линейного дефекта) является краевая дис-
дислокация. Краевая дислокация представляет собой искажение решетки
в окрестности края полуплоскости атомов, оборванной плоскости, на-
называемой экстраплоскостью (значок «_1_» на рис. 1.8), возникающей в
кристаллической решетке по тем или иным причинам. Если полуплос-
полуплоскость расположена в верхней части решетки, линейная дислокация
считается положительной, если же в нижней части решетки, дисло-
дислокация считается отрицательной. Длина краевой дислокации может в
тысячи раз превышать модули векторов трансляции, т. е. параметры
решетки (перпендикулярно плоскости рис. 1.8). Дислокацию можно
1.2. Виды дефектов в кристаллической решетке
27
представить также как границу зоны сдвига одной части кристалла
относительно другой. Дислокация характеризуется вектором Бюргер-
са b (вектор сдвига), указываю-
указывающим направление указанного сдви-
сдвига атомных плоскостей.
Определить этот вектор мож-
можно с помощью контура Бюргер-
са. В совершенной решетке кри-
кристалла (нижний контур на рис. 1.8)
такой контур оказывается замкну-
замкнутым прямоугольником; в случае на-
наличия краевой дислокации внут-
внутри контура (верхний контур на
рис. 1.8) он имеет разрыв, вели-
величина и направление которого оп-
определяют вектор Бюргерса дисло-
дислокации. Дислокация движется (под
действием механических напряже-
напряжений) в плоскости скольжения, кото-
b
0
rrxt
X
Рис. 1.8. Краевая дислокация
рая касательна к линии дислокации и перпендикулярна экстраплос-
экстраплоскости. Вектор Бюргерса краевой дислокации параллелен направле-
направлению скольжения дислокации, перпендикулярен линии дислокации и
равен межатомному расстоянию в направлении скольжения. Краевая
дислокация обозначается символом, в котором вертикальная риска
указывает, с какой стороны плоскости скольжения (горизонтальная
риска) находится экстраплоскость. Например, символ «_L» показыва-
показывает, что экстраплоскость находится сверху (см. рис. 1.8).
Вокруг линии дислокации возникает область упругого искажения
решетки. Приведем без вывода напряжения, вызываемые краевой
дислокацией. Расположим экстраплоскость дислокации параллель-
параллельно оси у и предположим, что плоскость xz совпадает с плоскостью
сдвига, а вектор Бюргерса — с осью х (рис. 1.8). Тогда компоненты
напряжений (в рамках теории малых деформаций и линейного зако-
закона Гука) в произвольной точке (ж, у) можно записать в следующем
виде:
_ Go у{ох + у )
2тгA — v) [х2 + у2J
°уу ~ 2тгA - I/)
Gb у{х2-у2)
Gb
х{х2-у2)
Tyz = Txz = 0.
A.2.2)
28
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
Поле напряжений у краевой дислокации соответствует двухосному
в условиях плоской деформации. Напряжения уменьшаются обратно
пропорционально четвертой степени расстояния от ядра дислокации.
Другой разновидностью дислокаций является винтовая дислока-
дислокация (рис. 1.9). Она возникает при сдвиге частей кристалла по обе сто-
Рис. 1.9. Винтовая дислокация (пунктиром показана граница зоны сдвига)
роны неполного разреза, сделанного в совершенном кристалле, друг
относительно друга на одно межатомное расстояние в направлении,
параллельном краю разреза. В отличие от краевой в винтовой дисло-
дислокации отсутствует экстраплоскость, а вектор Бюргерса коллинеарен
линии дислокации.
Исследуем поле напряжений в случае винтовой дислокации. Пусть
направления сдвига и дислокации совпадают с осью z, а плоскость
скольжения — с координатной плоскостью xz. По осям ж, у переме-
перемещения и = v = 0, а по оси z — равно w и будет функцией положения
точки (ж,у). Записывая перемещение w в полярных координатах че-
через вектор Бюргерса и координаты рассматриваемой точки, а также
используя уравнения теории упругости, можно показать, что компо-
компоненты напряжений, за исключением tqz, равны нулю. Следовательно,
поле напряжений у винтовой дислокации содержит касательную ком-
компоненту вдоль линии дислокации (оси винта):
2тгг
A-2-3)
Упругое поле напряжений вокруг винтовой дислокации представляет
собой чистый сдвиг и спадает как 1/г по мере удаления от дислока-
дислокации. Для плоской задачи теории упругости напряжения в декартовой
системе координат имеют вид
. _ G6 у
у
2 '
Gb _
2тг х2
A.2.4)
1.2. Виды дефектов в кристаллической решетке
29
Заметим, что напряжения, вызванные дислокацией, пропорцио-
пропорциональны величине Gb, т.е. зависят от модуля сдвига материала и век-
вектора Бюргерса.
Дислокации в кристаллах редко бывают чисто краевыми или чисто
винтовыми. Криволинейные дислокации имеют, как правило, смешан-
смешанный характер. Дислокационная линия не может оборваться внутри
кристалла, а либо выходит на свободную поверхность, образовав на
ней ступеньку, либо замыкается на себя, образуя петлю (рис. 1.10).
Рис. 1.10. Возможные конфигурации дислокаций: 1 — дислокация выходит
на поверхность; 2 — петля дислокации; 3 — точки разветвления дислокации,
буквами обозначены дислокационные узлы
Если одиночная линия дислокации в своем движении (скольжении)
полностью пересекает кристалл, то на поверхности кристалла обра-
образуется ступенька, которая по сути указывает на сдвиг одной части
кристалла относительно другой (т. е. происходит элементарный акт
пластической деформации). При этом решетка оказалась идеальной
(только вблизи плоскости скольжения атомы поменяли соседей) и,
следовательно, произошедшая деформация необратима. Разные виды
движения дислокаций разного типа дают в сумме макроскопические
деформации сдвига и растяжения-сжатия.
Реальные кристаллы всегда содержат дислокации. Минимальная
их плотность 102—103 см~2. Термообработанный материал содержит
107—108 см~2, а сильно пластически деформированный в результате
технологической обработки (например холодная деформация прокат-
прокаткой до 30 %) или на заключительной стадии деформирования мате-
материала перед его разрушением — до 1011-1012 см~2 дислокаций. Плот-
Плотность дислокаций определяется как длина дислокационных линий в
единице объема материала, или рассчитывается как число дислока-
дислокационных линий, пересекающих произвольно выбранную единичную
поверхность. Появление дислокаций в кристаллических телах можно
объяснить следующими причинами [74]:
— в процессе роста кристалла, т. е. при переходе материала из
жидкого состояния в кристаллическое, часть избыточных вакансий
30
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
запирается внутри кристалла, образуя плоские дискообразные поло-
полости толщиной в один атом. В результате захлопывания достигшего
критического размера диска образуются краевые дислокации.
— при соединении двух кристаллографических атомных плоско-
плоскостей в процессе затвердевания металла образуются дислокационные
малоугловые границы.
— при резком охлаждении расплавленного металла часть атомов
занимает нестабильное положение, при дальнейшем росте кристалла
могут образовываться дислокации.
— энергетически облегчается присутствие дислокаций при нали-
наличии в кристалле примесных атомов.
— дислокации генерируются внутри кристалла в процессе самого
сдвигообразования под действием внешней силы, приложенной к кри-
кристаллу.
В результате движения дислокаций и выхода их на поверхность
кристалла образуются макрополосы скольжения. Пластическая де-
деформация представляет собой результат движения большого числа
дислокаций с выходом их на поверхность тела. Пластическое дефор-
деформирование может происходить и по механизму двойникования, схема
\ /
\/ у
\ >
\
\
\
/
/
/
/ (
\ >
\
\
\
/
/
/
/ 1
\ '
\
\
\
/
/
/
\
\
\
/
/
/
\
\
\
/
/
/
» >
\
V
\
/ J
/
/ /
\
\
\
. <
\
\
\
/
/ /
/
/
\
\
\
/
а б
Рис. 1.11. Схема двух типов пластической деформации: а — трансляцион-
трансляционное скольжение; б — двойникование
которого показана на рис. 1.11. Перестройка решетки при двойнико-
вании происходит скачком, с переходом через неустойчивое состояние.
На настоящее время известны также и иные механизмы пластиче-
пластической деформации кристалла, которых мы здесь не касаемся.
Двухмерные дефекты. Прежде всего, реальные кристаллы имеют
мозаичную структуру. Они построены из блоков правильного строе-
строения, расположенных лишь приблизительно параллельно друг другу.
Размеры блоков колеблются от 10~6м до 10~8м, величина углов
между ними — от нескольких секунд до десятков минут. Поэтому кри-
кристаллическая решетка в местах соприкосновения блоков искажена по
сравнению с решеткой идеального кристалла. Еще большее искажение
наблюдается у границ зерен поликристалла, так как ориентация зерен
друг относительно друга может отличаться на десятки градусов. Эти
виды дефектов относятся к двухмерным (плоским) дефектам.
1.3. Механизмы и критерий образования микротрещин
31
Трехмерные дефекты. Трехмерными дефектами кристаллическо-
кристаллического строения твердых тел являются включения, поры, остроконечные
полости типа трещин и др.
1
Рис. 1.12. Дефекты строения кристаллической решетки
Схематическое изображение дефектов кристаллической решетки
дано на рис. 1.12. Здесь обозначено: 1 — вакансия; 2 — межузельные
атомы; 3 — замененный примесный атом; 4 — внедренный примес-
примесный атом; 5 — краевая дислокация; 6 — малоугловая граница; 7 —
моноатомный слой примесных атомов; 8 — болыпеугловая грани-
граница [118].
1.3. Механизмы и критерий образования
дислокационных микротрещин
В процессе движения дислокаций возможно возникновение ситуа-
ситуаций, приводящих к такому расхождению между атомными плоскостя-
плоскостями, при котором между ними утрачивается силовое взаимодействие.
Такие клиновидные и щелеобразные пустоты можно трактовать как
32
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
микротрещины, с размерами порядка характерных размеров решетки.
Подобные микротрещины в сравнении с дислокационными искаже-
искажениями решетки молено трактовать как разрушение следующего, более
крупного масштабного уровня.
Известен ряд механизмов образования дислокационных микро-
микротрещин. На основе модели твердого тела в виде скопления атомов,
расположенных в узлах воображаемой решетки, эти механизмы, в
основном, предусматривают блокирование продвижения дислокации
некоторым препятствием, например, границей зерна или включением.
Если дислокации в какой-то плоскости скольжения останавливаются
перед достаточно мощным препятствием, то образуется скопление
дислокаций, вызывающее высокую концентрацию напряжений у пре-
препятствия. Это приводит к зарождению дислокационной микротрещи-
микротрещины. Рассмотрим некоторые из возможных дислокационных механиз-
механизмов образования трещин [37, 74, 83, 84, 240].
Модель Зинера-Стро-Петча. Зарождение трещин по этому меха-
механизму происходит в результате заблокирования краевых дислокаций у
препятствий, подобных границам кристаллических зерен, и создания
высокой концентрации растягивающих напряжений в головных участ-
участках заблокированных полос скольжения. Анализ величины растяги-
растягивающих напряжений у конца полосы скольжения показал, что мак-
максимальные растягивающие напряжения направлены под углом 110° к
плоскости скольжения (рис. 1.13, а).
Рис. 1.13. Дислокационные модели Зинера-Стро-Петча (а) и Коттрел-
ла (б)
Модель Коттрелла. В этой модели рассматривается пересечение
двух плоскостей скольжения в ОЦК-металлах (объемноцентрирован-
ная кубическая решетка), в которых активно генерируются дислока-
дислокации, скапливающиеся на линии пересечения плоскостей (рис. 1.13, б").
Два скопления краевых дислокаций в пересекающихся плоскостях,
встречаясь, тормозятся друг на друге. Головные дислокации скоп-
1.3. Механизмы и критерий образования микротрещин
33
лений сливаются, образуя новую дислокацию с вектором Бюргерса,
перпендикулярным к биссектрисе угла между скоплениями. Эта дис-
дислокация становится сидячей (т.е. неподвижной), образуя барьер для
движения других дислокаций в скоплениях. Присоединение к этой
новой дислокации других из обоих скоплений образует микротрещину
в результате возникающей при этом высокой концентрации напря-
напряжений. В ГЦК-металлах (гранецентрированная кубическая решетка)
подобные дислокационные реакции нестабильны.
Модель Баллафа-Гилмана. Модель иллюстрирует безбарьерные
механизмы образования трещин. Микротрещина образуется внутри
плоскости скольжения (рис. 1.14) в резуль-
результате скопления дислокаций у препятствия
типа границ зерен.
Модель Орована-Стро. Эта безбарьер-
безбарьерная модель основана на рассмотрении обра-
образования микротрещины в плоскости сколь-
скольжения, связанной с образованием рядов
дислокаций в результате полигонизации,
т. е. в результате образования дислокаци-
дислокационных стенок из краевых дислокаций, вы-
выстроенных в вертикальные ряды и приво-
приводящих к делению кристалла на субзерна
(рис. 1.12,6).
Рассмотренные выше модели объединя-
объединяет общее для них критериальное условие в
виде достижения максимальным локальным
напряжением предельного напряжения, необходимого для образова-
образования микротрещины.
Критерий зарождения и роста микротрещин. Локальное растя-
растягивающее напряжение у первой остановленной дислокации, иначе, в
голове ряда (скопления) краевых дислокаций, можно определить на
основе уравнения [37]
A.3.1)
где 2d — ширина полосы скольжения или расстояние между полосами
скольжения (также эта величина может соответствовать диаметру
кристаллического зерна, а именно, 10~3-10~1 см), х — расстояние
полосы до головы скопления дислокаций, г — приложенное сдвиговое
напряжение в плоскости скольжения, Т{ — напряжение сопротивле-
сопротивления движению дислокаций (напряжение внутреннего трения). Если
локальное напряжение достигает теоретической прочности кристал-
кристаллического тела сгтеор, определяемой согласно уравнению A.1.8), то
возникают условия для образования дислокационной микротрещины.
Следовательно, критерий зарождения микротрещины имеет следую-
Рис. 1.14. Дислокацион-
Дислокационная модель разрушения
Баллафа-Гилмана
3 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
34
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
щий вид [73]:
A.3.2)
Число положительных или отрицательных дислокаций в плоском
скоплении у препятствия молено выразить приближенной формулой
bE • v^.~,
Принимая дополнительное условие х « ад, из совместного решения
уравнений A.3.2) и A.3.3) получаем условие, необходимое для образо-
образования микротрещины по дислокационно-
дислокационному механизму:
(г - П)пЪ = 27- A-3.4)
Анализ приведенных условий образова-
образования дислокационной микротрещины поз-
позволяет заключить следующее. Локальные
растягивающие напряжения в голове ря-
ряда дислокаций образуются в основном за
счет касательных напряжений т и никак
не связаны с растягивающим напряжени-
напряжением, т. е. только сдвиговые напряжения яв-
являются критериальными для зарождения
микротрещины. Это заключение подтвер-
подтверждается экспериментально [73].
Рассмотрим основные принципы рас-
расчета напряжений, необходимых для рас-
распространения клиновидных трещин по
рассмотренным выше дислокационным
механизмам. Клиновидные трещины
(рис. 1.13) можно представить как одну
однородную большую дислокацию с век-
вектором Бюргерса пЪ. Модель образования
такой клиновидной трещины в условиях плоской деформации при
растяжении напряжением а приведена на рис. 1.15.
Энергия кристалла радиусом R при наличии трещины определя-
определяется соотношением вида [1,3]
2 7 2 /~i / о D \ (л ,Д/ 2 | 2\/2
—- \ + 47/ -^ — пЪстп1 sin в,
A.3.5)
Рис. 1.15. Модель зарожде-
зарождения дислокационной мик-
микротрещины
W =
4тгA -
где п — число дислокаций, необходимых для образования трещины;
сгп и rs — компоненты нормальных и касательных напряжений в плос-
плоскости трещины соответственно; в — угол между плоскостью скольже-
скольжения и трещиной. В формуле A.3.5) первое слагаемое отражает упру-
упругую энергию краевой дислокации; второе — поверхностную энергию
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 35
трещины; третье — энергию упругой деформации кристаллического
тела с трещиной; четвертое — работу внешних сил по увеличению
объема трещины при ее раскрытии. Анализируя условия равновесной
трещины
^=0, A.3.6)
можно получить следующий критерий роста трещины:
-ansm0] =47. A.3.7)
Отметим, что на распространение дислокационной трещины влияют
не только касательные напряжения, но и нормальная к плоскости
трещины компонента напряжений.
Общее уравнение A.3.7) для модели Стро (а также модели Кот-
трелла) можно записать в виде
апЪ « 27. A.3.8)
Используя приближенную формулу A.3.3) и полагая напряжение тре-
трения незначительной величиной для условий растяжения а = 2т, по-
получаем уравнение для оценки напряжений а:
A.3.9)
Как видим, эта формула аналогична известной формуле Гриффитса.
Перейдем теперь к анализу условий распространения микротре-
микротрещины при циклическом нагружении.
1.4. Микромеханика и критерии роста усталостных
трещин
Прогнозирование усталостной долговечности материалов и кон-
конструкций основано как на экспериментальных исследованиях, так и
на модельных представлениях о реализуемых процессах повреждения
и разрушения материала в условиях циклического нагружения. Для
оценки усталостной долговечности существуют различные модели,
направленные главным образом на анализ следующих процессов по-
повреждения и разрушения:
— зарождение и развитие возникающих трещин в зонах конструк-
конструкционных концентраторов напряжений;
— развитие искусственно созданных коротких усталостных тре-
трещин;
— распространение длинных (значительно превышающих струк-
структурные параметры материала) усталостных трещин.
3*
36 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
Расчетные модели отдельных стадий роста усталостных трещин
достаточно хорошо отработаны и могут быть использованы при ана-
анализе усталостной долговечности конструкций при заданных размерах
исходной трещины [98, 153, 161, 250, 291]. Существующие модели
зарождения усталостных трещин в зонах концентрации напряжений
позволяют прогнозировать долговечность до появления короткой тре-
трещины [159]. Причем под зарождением трещины обычно понимают
образование трещины, размер которой превышает несколько разме-
размеров зерен. Большинство моделей, рассматривающих распространение
коротких усталостных трещин, не учитывает преодоление вершиной
трещины микроструктурных барьеров (границ двойникования и зе-
зерен, включений и др.) или лишь качественно описывает процесс мик-
микроразрушения [45].
В данном пункте обсуждены модели и уравнения распростране-
распространения повреждений (в виде микроструктурно и физически коротких
трещин), а также микромеханика процессов повреждения материала
у вершины усталостной трещины.
1.4.1. Иерархия усталостных трещин. Различный масштаб
протяженности как исходных трещин в твердых телах, так и пласти-
пластических зон приводят к необходимости рассмотрения микро и макро-
макропроцессов накопления и развития повреждений для описания различ-
различных аспектов усталостного разрушения. Различные представления о
процессах, протекающих на микро- и макроуровнях, а также различ-
различные подходы и методы, используемые для описания этих процессов,
обусловливают определенное иерархическое построение трещин, кото-
которое конкретизирует и в определенной мере упрощает анализ развития
трещин в каждом звене иерархии.
В качестве одного из параметров построения иерархии трещин,
обозначенном Д, целесообразно принять протяженность трещины /
по отношению к размерам структурных составляющих d и деталей В
[67]. По параметру Д трещины можно разделить на три группы:
К первой группе I — 1 принадлежат микроструктурно короткие трещи-
ны. Протяженность их не превышает размера одного или нескольких
характерных структурных элементов б/, например, размеров зерен.
Микроструктурно короткие трещины наблюдаются лишь в отдельных
ослабленных локальных зонах (структурных элементах), в которых
из-за пониженных механических свойств или микроструктурных де-
дефектов происходит накопление односторонних пластических дефор-
деформаций растяжения или сжатия. В связи с малыми размерами таких
трещин их развитие определяется пластическим деформированием
структурного элемента. При приближении микроструктурных тре-
трещин к границам зерен их скорость снижается [145, 162, 342, 348]. Если
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 37
трещина достигает границы соседнего зерна, которое не охвачено пла-
пластическим течением, то она может остановиться.
Вторая группа l-j-J трещин включает в себя физически короткие
трещины. Размеры их больше характерного элемента микрострук-
микроструктуры df, но заметно ниже характерных размеров детали В. Разме-
Размеры физически коротких трещин обычно больше нескольких зерен.
Такие трещины образуются в результате развития и объединения
нескольких микроструктурно коротких трещин. Развитие физически
коротких трещин уже не связано с накоплением пластических де-
деформаций отдельными ослабленными структурными элементами, а
определяется локальными процессами деформирования и поврежде-
повреждения, протекающими в вершине трещины. Анализ кинетики таких
трещин чрезвычайно важен при прогнозировании усталостного раз-
разрушения гладких образцов. При этом предел выносливости гладких
образцов можно рассматривать как предельный уровень напряжений
(деформаций), при котором физически короткие трещины не будут
развиваться.
Третья группа ( — ) — макротрещины, протяженность которых со-
соизмерима с характерными размерами деталей. К этой группе трещин
следует отнести многие технологические дефекты и эксплуатацион-
эксплуатационные повреждения типа трещин. В инженерных расчетах долговеч-
долговечности начало усталостного роста трещины, как правило, связывают
с трещиной размером 0,5-1 мм. Поэтому при инженерных решениях
проблем усталости в рамках иерархии 1\ обычно ограничиваются ана-
анализом поведения макротрещин.
При наличии трещин, протяженность которых заметно выше по
сравнению с размерами характерных элементов микроструктуры, ма-
материал рассматривают как континуум, а для описания развития та-
таких трещин используют аппарат механики деформируемой сплошной
среды. При разработке моделей и соотношений для количественно-
количественного описания кинетики роста усталостных макротрещин используют
идеализированные осредненные характеристики материала. При этом
полученные соотношения являются обычно полуэмпирическими и со-
содержат постоянные, которые не связаны в явном виде с основными
характеристиками материала и определяются экспериментально.
Кинетику роста трещин, протяженность которых сопоставима с
размерами характерных элементов микроструктуры, необходимо рас-
рассматривать в микромасштабе. Развитие трещин в таком масштабе
является дискретным и зависит от свойств отдельных фрагментов
микроструктуры, а статистическая природа усталостного разруше-
разрушения проявляется особенно ярко. В этих условиях понятия сплош-
сплошности среды и ее однородности, а также аппарат механики сплош-
сплошной среды могут оказаться неприемлемыми. Для описания кинетики
таких трещин привлекают микромодели усталостного разрушения,
38 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
развиваемые на основе походов микроструктурной механики. Одна-
Однако из-за значительных сложностей явлений усталости, протекающих
на микроструктурном уровне, микроскопические модели разрушения
(например, вакансионые и дислокационные воззрения на формиро-
формирование и развитие несплошностей) дают лишь качественную картину
усталостного разрушения, хотя необходимость таких подходов оче-
очевидна как для изучения природы усталости, так и для определения
металловедческих методов улучшения характеристик сопротивления
усталостному разрушению.
Как уже отмечалось, при нагружении тела с трещиной в ее вер-
вершине образуется пластическая зона, протяженность которой опреде-
определяется уровнем номинальных или местных напряжений, протяженно-
протяженностью трещины, пластическими свойствами материала и рядом других
факторов. Размер пластической зоны по отношению к длине трещины
и характерным размерам тела имеет важное значение в механике
разрушения, определяя методы анализа напряженного состояния и
степень развитости пластических деформаций в вершине трещины,
а, следовательно, и характер разрушения (хрупкий или вязкий). По-
Поэтому в качестве второго параметра 1^ построения иерархии трещин
может быть выбрана протяженность пластической зоны в вершине
трещины dp по отношению к длине трещины / и характерному раз-
размеру детали В. По параметру /2 трещины можно разделить на три
группы:
Первая группа 1-г) трещин связана с развитием маломасштабного
пластического течения материала (dp <C I и dp <C В). На практике
такая ситуация наблюдается, когда имеются макродефекты, а уровень
напряжений не превышает 0,5-0,6 от предела текучести материала.
В зависимости от протяженности начальной трещины и уровня на-
напряжений долговечность здесь может составлять от 104 до 107 цик-
циклов и выше. Развитие трещин в этом случае описывается методами
линейной механики разрушения, которые формулируются на осно-
основе представлений об упругом поведении твердого тела во всем его
объеме.
Ко второй группе (-j- ) трещин относятся трещины, протяжен-
V / / ni
ность которых сопоставима с размером пластической зоны, но су-
существенно меньше размеров детали (dp ж I и dp <C В). Эти условия
реализуются в случае, если уровень местных напряжений в зоне кон-
концентратора напряжений превышает предел текучести материала или
при высоких номинальных напряжениях, но ниже предела текучести,
и в коротких трещинах. В зависимости от протяженности начальной
трещины и уровня напряжений долговечность здесь может составлять
от 103 до 106 циклов. Для описания развития усталостных трещин
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 39
в указанных условиях используются методы нелинейной механики
разрушения, развиваемые на основе решений задач об упругопла-
стическом деформировании материала в окрестности вершины тре-
трещины.
Продолжим далее тему роста микроструктурно и физически ко-
коротких трещин усталости.
1.4.2. Кинетика микроструктурно и физически коротких
усталостных трещин. В рамках модели Хобсона-Брауна [318, 343]
скорость распространения микроструктурно короткой трещины в
зерне металла может быть представлена уравнением
-^L=AAe"(d-l), A.4.3)
основанным на обобщении результатов экспериментальных исследова-
исследований гладких цилиндрических образцов из среднеуглеродистой стали в
условиях циклического растяжения—сжатия. Здесь / — длина трещи-
трещины, А и а — постоянные материала, As — размах приложенных де-
деформаций. Скорость роста микроструктурно короткой трещины дли-
длиной / становится равной нулю при достижении ею микроструктурного
барьера d. Параметр d характеризует расстояние между микрострук-
микроструктурными барьерами, в качестве которых могут выступать границы
зерен, и представляет собой микроструктурный порог усталости. Сле-
Следовательно на стадии распространения микроструктурно короткой
трещины (стадия I) этот порог зависит только от микроструктуры
материала.
Поскольку поверхность образцов и элементов конструкции содер-
содержит различные острые микроконцентраторы напряжений (границы
зерен, включения, поверхностные микроцарапины и др.) предполага-
предполагается, что микроструктурно короткая трещина инициируется от них и
распространяется с первого цикла нагружения независимо от размаха
приложенных деформаций (напряжений). Однако в зависимости от
величины приложенных напряжений эта трещина останавливается у
барьера или преодолевает его.
За стадией роста микроструктурно коротой трещины следует ста-
стадия развития физически короткой трещины (стадия II), плоскость
которой ориентирована перпендикулярно главному напряжению. Ско-
Скорость ее роста определяется уравнением вида
^ = BAe?l - Dth, A.4.4)
где В и /3 — постоянные материала, а параметр Dth характеризует по-
порог усталости для стадии роста физически короткой трещины. Таким
образом для коротких усталостных трещин существуют два порога
усталости, определяемые равенством нулю скоростей роста трещин в
уравнениях A.4.3) и A.4.4). Первое пороговое условие зависит только
40 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
от микроструктуры материала, а второе — как от длины трещины, так
и от размаха деформаций. Зависимость A.4.4) должна быть ограни-
ограничена по деформациям, соответствующим пределу выносливости. Сле-
Следовательно минимальная деформация, равная пределу выносливости
материала Sr, и дает максимальный размер 1ц нераспространяющей-
ся трещины. Поэтому, если деформация выше предела выносливости,
то микроструктурно короткая трещина, преодолев барьеры, достигает
стадии роста физически короткой трещины. В этом случае барьеры
уже не могут остановить процесс распространения трещины до пол-
полного разрушения образца.
По мере увеличения размеров физически короткой трещины ста-
становятся справедливыми подходы и модели линейной механики раз-
разрушения. Стадия распространения физически коротких трещин пе-
переходит в заключительную стадию развития длинных трещин. Раз-
Разнообразие существующих моделей и расчетных уравнений скорос-
скорости роста трещины для этой стадии [160] позволяет прогнозировать
кинетику трещины. Моменты перехода распространения трещин из
одной стадии в другую определяются равенством скоростей по соот-
соответствующим уравнениям. Следует отметить, что в зависимости от
величины приложенных деформаций та или иная стадия распростра-
распространения усталостной трещины может и не наступить. Например, при
деформациях ниже предела выносливости трещина будет остановлена
микроструктурными барьерами. В то же время при очень больших
деформациях окончательное (полное) разрушение образца с короткой
трещиной может произойти, не достигнув, например, стадии роста
длинных трещин.
Дальнейший анализ закономерностей развития микроструктурно
и физически коротких трещин [145] выявил, что размер нераспро-
страняющейся трещины Irb среднеуглеродистой стали в зависимости
от вида нагружения более чем в 4 раза превосходит размер мик-
микроструктурного порога усталости (ферритного зерна d). Поэтому в
модели постулировано существование двух типов микроструктурных
барьеров — слабых и сильных. Наличие их может быть обусловлено
текстурой металлов, связанной с кристалографической ориентацией,
размерами и формой зерен, размерами и особенностями распределе-
распределения вторичных фаз и включений. Так, для исследованной среднеуг-
среднеуглеродистой стали в качестве слабых барьеров могут быть приняты
границы ферритных зерен, а в качестве сильных — границы перлит-
перлитных зерен. Максимальное расстояние, на которое распространяется
трещина до полной остановки у главного (сильного) микроструктур-
микроструктурного барьера при размахе деформаций, равном пределу выносливо-
выносливости, является главным пороговым микроструктурным барьером для
стадии I роста коротких трещин (рис. 1.16). Для достижения главного
микроструктурного барьера трещина будет распространяться скачко-
скачкообразно, преодолевая слабые барьеры при приближении ее вершины
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 41
dl/dN
Стадия I
Стадия II
d0 tth
ttT d2 D
I
Рис. 1.16. Модель распространения микроструктурно (стадия I) и физичес-
физически (стадия II) коротких трещин
к границе слабого микроструктурного барьера. При этом скорость ее
роста должна определяться уравнением A.4.3). Следовательно мож-
можно принять, что микроструктурный параметр d в уравнении A.4.3)
является дискретным параметром, отражающим расстояние между
слабыми и сильными микроструктурными барьерами. В то же время
максимальное значение d определяется главным микроструктурным
барьером.
Рост микроструктурно короткой трещины инициируется в наи-
наибольшем зерне размером do [342]. Именно в нем будет наблюдаться
наибольшая скорость роста трещины в соответствии с уравнени-
уравнением A.4.3). Таким образом для m-го скачка трещины микроструктур-
микроструктурный параметр d = dm можно представить в следующем виде:
= do + 2m<ia, dm < D,
A.4.5)
где D — расстояние между главными микроструктурными барьерами;
da — средний размер зерна. Предполагается, что т-й скачок тре-
трещины через слабые микроструктурные барьеры происходит при до-
достижении трещиной размера, равного 0,95 dm [395] и сопровождается
изменением микроструктурного параметра с величины с/т до dm+i.
Момент перехода стадии роста микроструктурно короткой трещины
(стадия I) к стадии физически короткой трещины (стадия II) опреде-
42 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
ляется равенством скоростей роста трещин, представленных уравне-
уравнениями A.4.3) и A.4.4)
AAea(dm - kr) = BAe^ltr - Dth A.4.6)
и соответствует размеру трещины ltr- Количество скачков т до до-
достижения трещиной размера ltr зависит как от расстояния между сла-
слабыми микроструктурными барьерами, так и от размаха приложенных
деформаций.
В модели предполагается, что трещина преодолевает барьеры обе-
обеими вершинами одновременно и распространяется в нечетном числе
зерен. Существует и другая точка зрения: трещина преодолевает сла-
слабый барьер лишь одной вершиной и переходит последовательно из
одного зерна в другое. Установить истинность той или иной модели
весьма проблематично в силу экспериментальных сложностей.
Кроме того в рассматриваемой модели учитывается один геомет-
геометрический параметр (длина или глубина) микроструктурно короткой
трещины, инициированной с поверхности, и не учитываются ориента-
ориентация плоскости трещины и ее кинетика в связи с анизотропией свойств
материала. В этой связи представляются перспективными исследо-
исследования, связанные с моделированием как микроструктуры металлов,
так и кинетики роста трещин, а также использование нейронных се-
сетей для статистического моделирования роста коротких усталостных
трещин.
Уравнения A.4.3) и A.4.4) роста микроструктурно и физически
коротких трещин при одноосном растяжении—сжатии позволяют про-
прогнозировать скорость роста коротких трещин для случая сложно-
сложного напряженного состояния [337]. Преобразование уравнений может
быть основано на переходе от сложного напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния к эквивалентному одноосному состоянию посредством
соответствующих критериев. При совместном нагружении растяже-
растяжением-кручением уравнения A.4.3) и A.4.4) могут быть переписаны в
терминах компонентов размаха сдвиговых деформаций для заданно-
го соотношения размахов сдвиговой и осевой деформации Л = —— в
следующем виде:
^L=AeqAr(d-l), A.4.7)
^=BeqA^l-Dth. A.4.8)
Предполагается, что пороговый параметр Dth — постоянная матери-
материала, а новые коэффициенты Aeq и Beq зависят как от параметров
уравнений A.4.3) и A.4.4) роста коротких трещин при одноосном
нагружении, отношения сдвиговой и осевой деформаций при комби-
комбинированном нагружении, так и от использованного критерия эквива-
эквивалентных деформаций.
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 43
В рамках критерия максимального касательного напряжения
Треска
(?1 )"/2, A.4.9)
Beq —
а по критерию Рэнкина
kV2 in/3
+ — , A.4.11)
2л J
где г> — упругопластический коэффициент Пуассона.
Приведем некоторые результаты анализа модели распространения
коротких усталостных трещин на I и II стадиях в условиях цикли-
циклического кручения цилиндрических образцов из среднеуглеродистой
стали [145, 337]. Поскольку микроструктурно короткая трещина рас-
постраняется по сдвиговому механизму, то привлечение критерия
Треска достаточно обоснованно при переходе от уравнения скорос-
скорости роста трещины на стадии I при одноосном растяжении—сжатии к
уравнению скорости роста микроструктурно короткой трещины при
сложном напряженном состоянии. На стадии II роста физически ко-
коротких трещин критерий Треска коррелирует с экспериментальными
результатами, полученными Занг [399] для области высоких значе-
значений размаха деформаций. Использование критерия Рэнкина пред-
предпочтительно для режимов нагружения с низким уровнем размаха
деформаций. Согласно уравнению A.4.8) скорость роста трещин на
стадии II зависит от длины трещины и размаха деформаций, а сле-
следовательно справедливость области использования критерия Рэнки-
Рэнкина может быть проанализирована из пороговых условий dl/dN = О
(рис. 1.17). Экспериментальные точки лежат между расчетными по-
пороговыми линиями, соответствующими критериям Треска и Рэнкина.
Следовательно для корректного использования уравнения A.4.8) в
широком диапазоне размахов сдвиговых деформаций А7 необходима
модификация рассмотренных критериев эквивалентных состояний че-
через соответствующие пороговые условия.
Линия, соответствующая модифицированным пороговым услови-
условиям, формируется двумя реперными точками. Первая точка определя-
определяется критерием Рэнкина при размахе деформаций, равных пределу
выносливости, вторая — пересечением пороговой линии, построенной
с использованием критерия Треска, с экспериментальной линией. Та-
Таким образом показатель степени f3eq и константа Beq в модифициро-
модифицированном уравнении скорости роста физически коротких трещин A.4.8)
при кручении определяются с помощью уточненной пороговой линии
уравнениями вида
kh^lthq = const> BeqA^eqlR = Dth, A.4.12)
44 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
0,001
1 10 100
Длина трещины, мкм
1000
Рис. 1.17. Пороговые условия для роста физически коротких трещин при
циклическом кручении цилиндрических образцов из среднеуглеродистой
стали: 1 — расчет по критерию Рэнкина; 2 — расчет по критерию Треска;
3 — экспериментальная зависимость [399]
где Ajth и Ifh — пороговый размах сдвиговой деформации и дли-
длина пороговой трещины соответственно. Результаты прогнозирования
скорости роста микроструктурно коротких трещин с использованием
критерия эквивалентных состояний Треска и физически коротких
трещин на основе модифицированного уравнения A.4.8) коррелируют
с экспериментальными данными, полученными Занг (рис. 1.18).
С использованием выделенных реперных точек для условий цик-
циклического кручения перейдем к установлению модифицированного
уравнения скорости роста физически коротких трещин при совмест-
совместном нагружении растяжением-кручением. Очевидно, что предел вы-
выносливости для комбинированного нагружения отличается от соот-
соответствующих пределов выносливости при циклическом кручении или
растяжении и может быть получен экспериментально, а также рас-
рассчитан следующим образом.
Воспользуемся подходом, основанным на понятии Г-плоскости [26]
и предполагающим, что долговечность определяется максимальной
сдвиговой 7тах и нормальной гп деформациями на плоскости мак-
максимального сдвига. Линии постоянной долговечности на Г-плоскости
описываются эллиптическим уравнением
/A/2O.
V 9
A.4.13)
где g, h и j — функции долговечности. В рассматриваемом случае
функции долговечности соответствуют пределу выносливости, а ве-
величина j при двухосном нагружении может быть принята равной 2
для пластичных материалов. Максимальная сдвиговая и нормальная
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 45
Ю3 I, мкм 104
Рис. 1.18. Распространение микроструктурно и физически коротких тре-
трещин при циклическом кручении цилиндрических образцов из среднеугле-
родистой стали (А7 = 0,79%): сплошные линии — расчет по уравнениям
A.4.5) и A.4.7); пунктирные — расчет по уравнению A.4.8); точки — экспе-
экспериментальные данные [399]
деформации могут быть представлены следующими формулами:
A.4.14)
A.4.15)
где А7я = АДёд для комбинированного нагружения. Функции д и h
могут быть получены из уравнения A.4.13) с использованием преде-
пределов выносливости при кручении А7я и растяжении As л. Например
для комбинированного циклического нагружения среднеуглеродистой
стали при Л = 1,5 получаем д = 3,45 • 10~3 и h = 2,22 • 10~3. Таким
образом, с помощью расчетов по формулам A.4.13)—A.4.15) можно
оценить предел выносливости материала при комбинированном на-
гружении.
Рассчитав линии пороговых усилий по уравнению A.4.8) на основе
критериев эквивалентных состояний по Треска A.4.10) и Рэнкину
A.4.11) и используя соответствующие реперные точки с учетом уста-
установленного предела выносливости (рис. 1.19), для комбинированного
циклического нагружения по уравнениям A.4.12) оцениваем модифи-
модифицированные параметры уравнения скорости роста физически корот-
46
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
0,001
1 10 100
Длина трещины, мкм
1000
Рис. 1.19. Пороговые условия для роста физически коротких трещин при
циклическом растяжении-кручении (Л = 1,5) цилиндрических образцов из
среднеуглеродистой стали: 1 — расчет по критерию Рэнкина; 2 — расчет по
критерию Треска; 3 — модифицированная зависимость
ких трещин. При этом предполагается, что величина Цн — постоян-
постоянная в условиях как кручения, так и комбинированного нагружения
(см. рис. 1.17 и 1.19).
Предложенная модель и модифицированные уравнения для ста-
стадий I и II роста коротких усталостных трещин позволяют прогнози-
прогнозировать долговечность гладких образцов в условиях комбинированно-
комбинированного нагружения. Общая долговечность определяется суммированием
долговечностей, соответствующих рассматриваемым стадиям распро-
распространения трещины. Долговечность Nj на стадии I получаем инте-
интегрированием уравнения A.4.7) в пределах между Iq (равной 1 мкм)
и ltr. При этом по формуле A.4.5) учитывается колличество скачков
трещины, обусловленных преодолением микроструктурных барьеров.
Интегрирование уравнения A.4.8) распространения физически корот-
короткой трещины в пределах между ltr и предельной длиной трещины /с
позволяет оценить долговечность Njj на второй стадии роста корот-
короткой трещины. Размер трещины /^г, соответствующий переходу трещи-
трещины от стадии I к стадии II, определяется с помощью уравнения A.4.6).
Приведем некоторые результаты расчетов по предложенной моде-
модели распространения коротких усталостных трещин для цилиндриче-
цилиндрических образцов из среднеуглеродистой стали. Оценка долговечности
в условиях циклического кручения при А7 = 0,62 % дает расчетную
величину Nc = Nj + Njj = 860 циклов нагружения, а эксперименталь-
экспериментально наблюдаемая долговечность Nc = 690 циклов [300]. С другой сто-
стороны, использование экспериментально полученных одинаковых дол-
долговечностей при циклических кручении и растяжении-сжатии [395]
при заданных размахах деформаций позволяет по формулам A.4.13)—
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 47
A.4.15) рассчитать эквивалентный режим при комбинированном на-
гружении. Для расчетных режимов комбинированного нагружения
при Л = 1.5 в рамках предложенной модели определена долговеч-
долговечность гладких образцов. Полученные результаты приведены ниже в
табл. 1.3.
Таблица 1.3
Прогнозирование долговечности гладких образцов из среднеуг-
леродистой стали
Растяжение [394]
Ае,%
0,55
0,77
1,3
Nc
3,5 • 105
1,3 • 105
2,4 • 104
Кручение [394]
А7%
1,0
1,4
2,4
Nc
3,5 • 105
1,7-105
2,4 • 104
Растяжение-кручение
А7%
0,65
0,89
1,5
Nc
3,7-105
1,0 • 105
3,3 • 104
Удовлетворительное соответствие расчетных долговечностей под-
подтверждает корректность моделей и уравнений скорости роста корот-
коротких трещин. В идеальном случае расчетные долговечности должны
были бы совпасть с экспериментальными, так как эквивалентность
комбинированного и одноосных режимов нагружения была установ-
установлена с использованием линии постоянной долговечности на Г-плос-
кости. Кроме того, анализ расчетных значений долговечности при
указанном комбинированном нагружении позволил сделать вывод об
уменьшении относительной долговечности при увеличении раз-
Nu
маха деформаций.
Отметим перспективные направления исследования закономерно-
закономерностей распространения микроструктурно и физически коротких тре-
трещин:
— переход к трехмерной модели роста микроструктурно и физиче-
физически коротких трещин в связи с текстурой и анизотропией материала;
— статистическое моделирование микроструктуры и распростра-
распространения коротких трещин;
— анализ влияния вида комбинированного нагружения на кинети-
кинетику повреждений;
— создание модели распространения коррозионно-усталостных ко-
коротких трещин;
— учет масштабного фактора и геометрии деталей при прогнози-
прогнозировании их долговечности на основе модели роста микроструктурно
и физически коротких трещин;
— учет особенностей механического поведения циклически упроч-
упрочняющихся, разупрочняющихся и стабилизирующихся материалов в
условиях малоциклового нагружения;
48
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
— анализ ускоренного развития короткой трещины на заключи-
заключительной стадии ее распространения.
Теперь перейдем к анализу микроструктурного механизма разви-
развития трещины и ее закономерностей в связи со строением излома.
1.4.3. Физико-механическая модель роста усталостной тре-
трещины. Одной из наиболее универсальных закономерностей кинетики
усталостных трещин в металлических материалах является то, что,
начиная с некоторого уровня нагружения, рост трещины приобре-
приобретает равномерный, устойчивый характер, а поверхность разрушения
располагается перпендикулярно оси максимальной главной дефор-
деформации и на ней появляется периодический мезорельеф (усталост-
(усталостные бороздки) с периодом S (шагом бороздок). Как показано на
1 мкм
Рис. 1.20. Усталостные бороздки (а) (никелевый сплав ЭИ 698, справа —
масштаб в мкм, «<^=» — направление роста трещины) и субмикрокристал-
субмикрокристаллическая структура в монокристалле меди под усталостной бороздкой (б)
[323] (сечение вдоль бороздки, D — предохраняющий слой, S — структура
подповерхностного слоя)
рис. 1.20, а, бороздки ортогональны направлению роста трещины. По-
Поскольку поверхность разрушения имеет высокоупорядоченную струк-
структуру, не связанную с исходной структурой материала, она, очевидно,
отражает деформационную структуру перед фронтом трещины, со-
соответствующую состоянию предразрушения. Так как материал перед
фронтом усталостной трещины подвергается локализованной много-
многократной интенсивной деформации при всестороннем сжатии со сторо-
стороны окружающего слабодеформированного материала, т. е. находится
в условиях, увеличивающих запас пластичности и способствующих
развитию деформационных структур [27, 221], то естественно пред-
предположить, что перед разрушением достигается предельное структур-
структурное состояние материала. Как показано в [221], это состояние имеет
универсальный характер для различных металлов и сплавов и за-
заключается в следующем: образуется высокоупорядоченная двухуров-
двухуровневая фрагментированная деформационная структура, состоящая из
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 49
свободных от дислокаций субмикрокристаллических фрагментов, на
фоне которых вдоль оси максимальной главной деформации распо-
располагаются протяженные (достигающие сотен микрон) болыпеугловые
границы разориентации — так называемые ножевые границы (НГ)
[221]. Последние являются мощными источниками дальнодействую-
щих напряжений упругости, что приводит к расслоению материала
вдоль этих границ [221]. Наличие такой структуры перед фронтом
усталостной трещины подтверждается результатами исследований, в
которых под поверхностью разрушения или перед вершиной трещи-
трещины были обнаружены субмикрокристаллическая структура [323, 363]
(рис. 1.20, б) и протяженные полосы, параллельные бороздкам [251,
252]. Можно предположить, что образованию усталостной бороздки
соответствует цикл разрушения, происходящий следующим образом
Рис. 1.21. Схема механизма разрушения структурированного материала
перед фронтом трещины
[52, 53] (рис. 1.21): сначала структурированный материал перед фрон-
фронтом трещины (рис. 1.21, а, б) расслаивается вдоль ножевых границ
(первичное разрушение) (рис. 1.21, в), а затем происходит разрыв пе-
перемычки между расслоением и фронтом трещины (вторичное разру-
разрушение) (рис. 1.21, г). В этом случае поверхность разрушения, состо-
состоящая из бороздок (остатков разорванных перемычек), располагается
перпендикулярно ножевым границам, т. е. направлению максималь-
максимальной главной деформации перед фронтом трещины, а приращение
длины трещины в цикле разрушения равно расстоянию от фронта
трещины до очага первичного разрушения, которое, в свою очередь,
равно шагу бороздок.
Поскольку экспериментально установлено, что при определенных
условиях циклы разрушения и нагружения при формировании уста-
усталостных бороздок совпадают (одна бороздка соответствует одному
4 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
50
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
циклу и наоборот), вычисление указанного расстояния определяет
скорость роста трещины (в мкм/цикл). Вследствие расслоения вдоль
ножевых границ вершина трещины преобретает Т-образную форму
(см. рис. 1.21), что снимает проблему сингулярности напряжений уп-
упругости перед фронтом идеальной трещины и позволяет сформули-
сформулировать физически содержательный критерий первичного разрушения
на основании «первого принципа» — условия разрыва межатомных
связей (поскольку их когерентный разрыв в процессе расслоения
вдоль ножевых границ переводит элементарное разрушение с атом-
атомного уровня на масштабный уровень ножевых границ, т. е. на мезо-
уровень, на котором и рассматривается механизм разрушения).
Модель возникновения первичного разрушения представляет со-
собой условие появления очага первичного разрушения в цикле нагру-
жения и состоит из модели трещины, модели материала в локальном
сильнодеформированном объеме перед фронтом трещины и критерия
разрушения. Рассмотрим модель роста трещины усталости, предло-
предложенную Н.В. Тумановым [251, 252].
После поперечного расслоения материала перед фронтом трещины
и разрыва перемычки формируется трещина с Т-образной вершиной
х2
0,6
0,4
0,2
0 0
г
\
'0,0
I
I
0,5
I
V
I
1,0
6
1
-
4
1
1,5 X2
Рис. 1.22. Распределение напряжений перед Т-образной вершиной трещи-
трещины [268]
(см. рис. 1.21). В качестве ее математической модели рассмотрим
полубесконечную идеальную трещину с Т-образной вершиной в од-
однородном изотропном упругом теле в поле одноосного растяжения
вдоль оси а?1, перпендикулярной плоскости трещины Х2Х% (рис. 1.21,
1.22, а). Симметричное расслоение глубиной L у вершины основной
трещины лежит в плоскости xix%. Деформация — плоская, фронт
трещины — прямолинейный, ось х% параллельна фронту трещины,
оси х\ и ж2 образуют подвижную прямоугольную систему координат
с началом, расположенным на пересечении плоскостей расслоения и
основной трещины. Оси х\ и ж2 — главные оси локального напряжен-
напряженного состояния у фронта трещины в плоскости х\ = 0. Распределение
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 51
в этой плоскости главных напряжений crfxt (г = 1, 2) вдоль оси ж2
аГ = Щ^, A.4.16)
где Fi{x2) — функции, приведенные на рис. 1.22, ж 2 — расстояние
от вершины трещины, отнесенное к величине L, К — коэффициент
интенсивности напряжений без учета Т-образной вершины трещи-
трещины [316]. Как ВИДНО, -Fornax ~ 0,19 При Х2 ~ 2.
К началу цикла нагружения материал в области предразрушения
перед фронтом трещины находится в предельном структурном состо-
состоянии, которое создается предшествующей многократной интенсивной
пластической деформацией. Такому состоянию соответствует идеаль-
идеальная (свободная от решеточных дислокаций) двухуровневая слоистая
субмикрокристаллическая структура, слои которой, состоящие из
равноосных бездефектных фрагментов, разделяются протяженными
ножевыми границами (болыпеугловыми границами разориентации де-
деформационного происхождения), расположенными вдоль оси х\ мак-
максимальной главной деформации у вершины трещины параллельно ее
фронту. Ножевые границы являются внутренними концентраторами
напряжений, причем максимумы напряжений располагаются вблизи
от ножевых границ в теле фрагментов (такое распределение деформа-
деформаций вблизи границ зерен деформационного происхождения установле-
установлено в [30]). Этот предварительно напряженный материал подвергается
в цикле нагружения приращению напряжений вплоть до появления
очага хрупкого разрушения. В качестве математической модели та-
такого материала (в интервале времени от начала цикла нагружения
до зарождения первичного разрушения) рассмотрим однородную и
изотропную по упругим свойствам среду со стационарными полями
внутренних напряжений вдоль ножевых границ.
Рассмотрим часть от нулевого цикла нагружения (R = 0), на про-
протяжении которой коэффициент интенсивности напряжений возраста-
возрастает по закону K(t) от Кт{п = К@) = 0 до К* — величины коэффици-
коэффициента интенсивности напряжений, соответствующей зарождению пер-
первичного разрушения. Предположим, что разрушение происходит под
действием а2, а его очаг располагается в плоскости х\ = 0. Условием
такого разрушения является
ae2xt{x2,t) + сг\п\х2) = <ттеор, A.4.17)
где <у™1 — внутренние растягивающие напряжения вблизи ножевых
границ в плоскости х\ = 0 (зависимостью а1^ от координаты х%
пренебрегаем), сгтеОр — предельная (теоретическая) прочность мате-
материала на отрыв (прочность межатомных связей). Запишем A.4.17) в
виде
alxt(x2,t)=a(x2)aTeop, A.4.18)
4*
52 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
а?*
где а = 1 —, асгтеор — условная (эффективная) предельная проч-
0"теор
ность, уменьшенная за счет растягивающих внутренних напряжений
вблизи ножевых границ. Считая, что до появления очага первично-
первичного разрушения форма вершины трещины не изменяется, из A.4.16)
и A.4.18) имеем
Р2кАК
Jтеор1
A.4.19)
где
Kit)
к =
• Координата х очага первичного разру-
2
нтения (пронормированная по величине L) является точкой максиму-
Рис. 1.23. Приращение длины трещины и формирование бороздки
ма функции
(рисл-23)
. Расстояние Л от фронта трещины до этого очага
\ = x;l; A.4.20)
где L* определяется из A.4.19) при Р2 = Р2 max- В случае равнонапря-
женных нож:евых границ {сгг2Пг{х2) = со, &о = 1 — я'о/о'теор) первичное
разрушение произойдет вдоль ножевой границы, ближайшей к коор-
координате Х2 = 2 (соответствующей сг^ах)' и уравнение A.4.19) примет
вид 0,19 кАК _
откуда
где ft* = ——. Принимая атеор = 0,1 Е (см. п. 1.1.2) из A.4.20) получим
= 2L* =7,2
V Е
A.4.21)
где 7 = —• Из соображений размерности следует, что 7 не зависит
от АК (в противном случае размерности правой и левой частей
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 53
равенства A.4.21) не совпадают). Если 7 ~ 1 (т-е- отношение зна-
значения коэффициента интенсивности напряжений, соответствующего
зарождению первичного разрушения, к размаху коэффициента ин-
интенсивности напряжений приблизительно равно отношению величины
напряжения о"!25*, при котором достигается уровень теоретической
прочности сгтеор в очаге разрушения, к сгтеор), то
Л
'(
A.4.22)
V Е ) '
Как видно, в этом случае теоретическое расстояние от фронта трещи-
трещины до очага первичного разрушения близко к шагу бороздок (Л ж S).
Точность оценки A.4.22), основанной на континуальном представле-
представлении структурированной среды перед фронтом трещины, зависит еще
и от того, насколько величина Л больше характерного размера d эле-
элементов структуры, т. е. она возрастает с увеличением АК (посколь-
(поскольку d с ростом АК не увеличивается [152, 323]).
В соответствии с предложенной моделью каждая усталостная
бороздка представляет собой остаток двухмерной шейки, образо-
образовавшийся после пластичного разрыва своеобразного мезообразца —
перемычки между расслоением и Т-образным фронтом трещины
(см. рис. 1.23). В процессе развития и разрушения этой шейки внутри
нее формируются вторичные расслоения вдоль внутренних ножевых
границ, возникают внутренние шейки (рис. 1.23,6"), которые дефор-
деформируются и разрушаются (рис. 1.23 в) по механизму зернограничного
скольжения — доминирующему механизму сверхпластической дефор-
деформации субмикрокристаллических материалов [343] (действию кото-
которого способствует релаксация внутренних напряжений в результате
расслоений). Расслоения (как основные, так и вторичные) и силь-
нодеформированные остатки разорванных перемычек между ними
(усталостные бороздки) хорошо видны на рис. 1.24 и 1.25. Последний,
кроме того, демонстрирует фрактальный характер бороздок (инвари-
а б
Рис. 1.24. Профиль и поверхность усталостных бороздок, титановый сплав
ВТ-18У (внизу справа — масштаб в мкм)
54 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
Рис. 1.25. Поверхность усталостных бороздок при разном увеличении: а —
хЮОО; б — Х4000 (титановый сплав ВТ-18У)
антность их геометрических особенностей при изменении масштаба)
[257]: внутри вторичных бороздок, расположенных на вершине основ-
основных (первичных) бороздок, при большом увеличении видны расслое-
расслоения и бороздки следующего масштабного уровня (рис. 1.2Ъб). Это
свидетельствует о самоподобии процессов, происходящих на различ-
различных этапах деформации и разрушения перемычки между основным
расслоением и фронтом трещины. Минимальное расстояние между
внутренними расслоениями, как и минимальный шаг Sm[n основных
бороздок, определяется размером зерна d субмикрокристаллического
материала на фронте трещины. Справедливость этого положения под-
подтверждается одновременным уменьшением Sm[n и d с ростом частоты
нагружения [152].
Приведем результаты исследования усталостной трещины, распро-
распространявшейся в процессе циклических испытаний в ступице диска
осевого комперессора от начальной поверхностной полуэллиптиче-
полуэллиптической трещины, очаг которой находится на поверхности шлицевого
паза (рис. 1.26) (материал диска — титановый сплав ВТ-18У, темпе-
температура испытаний t = 450° С) [252]. Проведено 4000 циклов нагруже-
нагружения; длительность каждого цикла 3 мин (в том числе выдержка на
максимальном режиме 2 мин). Испытания прерывались после первых
1000 циклов и далее через каждые 500 последующих циклов. Следы
всех остановок видны на поверхности излома в виде макролиний
(см. рис. 1.26, б^). Почти вся поверхность разрушения при цикличе-
циклических испытаниях покрыта усталостными бороздками с шагом, изме-
изменяющимся от 0,5—1 мкм (сразу после первой линии на рис. 1.26, б)
до 15—20 мкм (перед восьмой линией). Общее число бороздок вдоль
выбранного направления, а также их число между макролиниями со-
соответствует общему числу циклов нагружения и числу циклов между
остановками (подсчеты проводились вдоль направлений, показанных
на рис. 1.26, б стрелками). Это является еще одним подтверждени-
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 55
45°
Очаг разрушения
Рис. 1.26. Поверхность разрушения ступицы диска компрессора (а) и схема
макролиний, указывающих положение фронта трещины при остановках
испытаний (б) A-я линия соответствует началу циклических испытаний, а
2-8 линии — семи остановкам; участок излома после 8-й линии образовался
при вскрытии трещины после окончания циклических испытаний)
ем того, что каждая усталостная бороздка образуется за один цикл
нагружения, и каждый цикл нагружения приводит к формированию
одной усталостной бороздки.
Средний шаг усталостных бороздок S в окрестности первых пяти
эллиптических макролиний, измеренный вдоль малой оси эллипсов
(с центром в очаге разрушения), приведен в табл. 1.4. Там же указаны
размеры большой а и малой Ъ полуоси эллипсов и значения размаха
коэффициента интенсивности напряжений в вершинах малой оси, рас-
рассчитанные для эллиптической трещины по формуле [29]
АК =
(тг/8)
где А = 1,12 для поверхностной трещины (линии 1-3) и А = 1,2 для
угловой трещины (линии 4, 5), Аа = amax — amin, amax = 420 МПа
и amin = 50 МПа — максимальные и минимальные (в цикле нагру-
нагружения) номинальные напряжения (коэффициент асимметрии в цик-
цикле нагружения R ~ 0,1). В рассматриваемой области величину Аа
можно считать постоянной и не учитывать влияние близости фронта
трещины к свободной поверхности ступицы (это влияние начинает
сказываться только вблизи шестой макролинии). В табл. 1.4 приве-
приведены также значения приращения длины трещины Л в цикле нагру-
нагружения, вычисленные по формуле A.4.22) с учетом 30%-го снижения
модуля упругости титана при t = 450° С [255]. Как видно на рис. 1.23,
величины Л и S почти совпадают. Тогда, изменив в A.4.22) Л на ?,
имеем ,—
A.4.23)
56
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
Таблица 1.4
Результаты измерений усталостных бороздок
Номер
усталостной
линии
1
2
3
4
5
Длина полуосей
эллипсов, мм
а
2,8
3,8
4,3
4,9
6,0
В
2,5
3,4
3,85
4,4
5,35
АК, МПа^м
24
28
30
34
37,5
Л, мкм
0,67
0,92
1,07
1,36
1,65
S, мкм
0,7
0,95
1,1
1,5
1,7
и перед восьмой линией (см. рис. 1.26) при S = 15—20 мкм из фор-
формулы A.4.23) получим АК « 120-140 МПа^/м, что вдвое выше
вязкости разрушения Kjc. Это подтверждает чрезвычайную эф-
эффективность механизма периодического распространения-разрыва,
обеспечивающего такой характер разрушения, при котором в каждом
цикле нагружения поперечные мезорасслоения тормозят рост тре-
трещины. В результате живучесть конструкций (работоспособность при
наличии трещины) значительно повышается.
Причиной устойчивого роста усталостных трещин является вы-
высокоэнергоемкий механизм разрушения (т. е. обеспечивающий мини-
минимальное распространение трещины в магистральном направлении при
максимальных затратах энергии) — механизм периодического рас-
распространения-разрыва, который реализуется при следующих усло-
условиях:
— перед фронтом трещины формируется развитая фрагментиро-
ванная деформационная структура с перенапряженными болыпеуг-
ловыми границами разориентации деформационного происхождения
(ножевыми границами), параллельными оси х\ максимальной главной
деформации локального упругонапряженного состояния перед фрон-
фронтов трещины;
— в результате расслоения вдоль ножевых границ образуется Т-об-
разная вершина трещины, что приводит к резкому снижению перед
фронтом трещины напряжений <ri, действующих по нормали к плос-
плоскости трещины;
— распространение трещины управляется напряжениями g<i перед
фронтом трещины, направленными параллельно плоскости трещины
перпендикулярно ее фронту и ножевым границам. Цикл разрушения
совпадает с циклом нагружения и состоит из хрупкого первичного
разрушения под действием g<i (расслоение вдоль ножевых границ
на расстоянии Л от фронта трещины) и последующего пластичного
1.4- Микромеханика и критерии роста усталостных трещин 57
вторичного разрушения (разрыва перемычки между расслоением и
фронтом трещины).
Переход к устойчивому росту усталостных трещин на II участке
диаграммы усталостного разрушения является результатом измене-
изменения механизма разрушения: механизм периодического распростра-
распространения—разрыва приходит на смену низкоэнергоемкому сколу. Таким
образом, высокоупорядоченные деформационные структуры могут
повышать запас не только пластичности (создавая условия для про-
продолжения пластической деформации [74]), но и живучести, обуславли-
обуславливая реализацию высокоэнергоемкого механизма разрушения, который
задерживает распространение усталостной трещины и придает ему
устойчивый характер.
Микрорельеф излома представляет собой реликтовую структу-
структуру, которая образуется после разрушения в соответствии с меха-
механизмом периодического распространения-разрыва сильнодеформиро-
ванного материала перед фронтом трещины, достигающего перед
разрушением своего предельного структурного состояния. Микроре-
Микрорельеф состоит из чередующихся зон первичного и вторичного раз-
разрушений — впадин и вершин усталостных бороздок (остатков разо-
разорванных перемычек между расслоением и Т-образной вершиной
трещины). Распространение трещины за цикл разрушения равно рас-
расстоянию Л от фронта трещины до очага первичного разрушения и,
одновременно, расстоянию между впадинами бороздок (шагу бороз-
борозду, мкм
1,5
1,0
8
\
8
о
S
' 20 25 30 35 40
Рис. 1.27. Сравнение расчетного приращения длины трещины в цикле на-
гружения Л (белым) с экспериментальным шагом бороздок S (черным)
док) S, т.е. Л = S (рис. 1.27). Морфологическое разнообразие уста-
усталостных бороздок обусловлено асимметрией Т-образной вершины тре-
трещины.
При совпадении циклов разрушения и нагружения координата Л
очага первичного разрушения соответствует скорости роста трещи-
58 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
ны V (приращению ее длины за цикл нагружения). Простейший
вариант математической модели возникновения первичного разруше-
разрушения приводит к формуле A.4.22), которая согласуется с эксперимен-
экспериментальными данными при коэффициенте асимметрии цикла нагруже-
нагружения R ж 0.
Рассмотрим теперь некоторые модели роста трещин с позиций
концепции повреждаемости континуального тела.
1.5. Эволюция повреждений и рост трещин
Концепция повреждаемости материала была предложена Л.М. Ка-
чановым [94] и Ю.Н. Работновым [212] для описания кинетики по-
повреждений в условиях ползучести. Гибкость предложенной концеп-
концепции позволила использовать ее в различных вариантах при анализе
самых разнообразных процессов накопления повреждений [21, 347,
358, 391]. Параметр сплошности ф (или поврежденности uj = 1 — ф)
в рассматриваемой концепции не имеет однозначного физического
толкования. Для одних процессов деформирования и разрушения из-
изменение ф означает появление трещин и пор или их развитие, для
других — изменение механических или физических свойств материа-
материала, для третьих — и то и другое. Но все эти интерпретации объединяет
то, что сплошность ф отражает состояние материала при его дефор-
деформировании и разрушении.
Описание эволюционных явлений в различных областях знания
дает междисциплинарная область науки — синергетика [264], изу-
изучающая макроскопическое поведение и эволюцию систем. Полагают,
что системы состоят из многих подсистем самой различной природы.
Именно взаимодействие подсистем и их самоорганизация при измене-
изменении внешних условий приводят к качественным изменениям поведе-
поведения систем в макроскопических масштабах. Эволюционные системы
могут претерпевать как непрерывные, так и дискретные переходы.
Примером дискретного перехода в механике может служить хорошо
известное явление потери устойчивости упругих систем: на опреде-
определенном этапе деформирования изменение нагрузки вызывает каче-
качественные изменения макроскопического поведения системы. В связи
с изучением процессов разрушения сосредоточим внимание на непре-
непрерывных переходах, общности математического аппарата и принципов
эволюционного подхода.
Общие положения. В эволюционном подходе главная роль при-
принадлежит динамике (эволюции) систем во времени т, которой мож-
можно управлять путем изменения действующих на системы внешних
факторов (управляющих параметров <;). Для описания таких систем
используют переменные состояния q\, q^, ..., qn, которые соответ-
соответствуют большому числу подсистем и объединены в вектор состояния
1.5. Эволюция повреждений и рост трещин 59
Основное уравнение состояния эволюционных систем таково [264]:
q = F(?,q,V,x,r), A.5.1)
где х — пространственные координаты, V — оператор ( —, —, — ).
Предположим, что F не зависит явно от времени, т. е. рассматри-
рассматриваемая система автономна. Тогда, пренебрегая зависимостью от про-
пространственных координат, уравнение A.5.1) преобразуем в нелинейное
эволюционное уравнение:
q = F(?,q(r)). A.5.2)
Для практических приложений эволюционного подхода важен адек-
адекватный выбор параметров состояния q исследуемой системы и управ-
управляющих параметров <^ на основе изучения и анализа поведения систе-
системы под воздействием внешних факторов.
Применим методологию эволюционного подхода к процессам де-
деформирования и разрушения материала [146]. Под автономностью бу-
будем понимать отсутствие старения материала и других аналогичных
временных явлений при деформировании. Кроме того, будем пола-
полагать, что механизмы и процессы разрушения материала не изменя-
изменяются в течение рассматриваемого периода времени, т. е. стационарны.
Повреждениями тела (материала) считаем разрыхление, образование
пор и микротрещин, их рост, а также другие изменения механических
и физических свойств материала при воздействии внешних факторов.
В эволюционной системе «тело-повреждения» накопление поврежде-
повреждений (состояние системы) будем характеризовать интерпретируемым
как сплошность скаляром 0 ^ ф ^ 1, являющимся единственной пе-
переменной состояния q = ф. К управляющим параметрам <; следует
отнести те, которые отражают условия нагружения тела: тензоры де-
деформаций и напряжений, температуру, внешнюю среду и другие пере-
переменные, существенные для процесса накопления повреждений. Учет
всех управляющих параметров в эволюционном уравнении A.5.2)
представляет весьма сложную задачу. В то же время важно, чтобы
управляющие параметры деформирования и разрушения могли быть
найдены из достаточно простых экспериментов. Примем следующий
постулат: в основе процессов деформирования и разрушения материа-
материалов (функционирования системы «тело-повреждения») лежат общие
закономерности A.5.2) накопления повреждений, которые в простей-
простейшем случае могут быть записаны в виде
где А > 0, п ^ 0 — постоянные материала (системы «материал—сре-
«материал—среда») для исследуемого процесса разрушения. Описание поведения сис-
системы «тело-повреждения» в виде эволюционной зависимости A.5.3)
следует рассматривать как первое и простейшее приближение к реаль-
60 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
но существующей и достаточно сложной кинетике повреждений тела.
Эволюционное уравнение может уточняться и усложняться по мере
познания и уяснения физической сущности исследуемых процессов
разрушения, особенно когда механизмы разрушения изменяются во
времени. В последнем случае эволюционный подход должен быть до-
дополнен фундаментальными принципами и законами термодинамики,
механики и физики твердого тела. В любом случае эволюционное
уравнение должно отражать историю накопления повреждений тела.
В исходном состоянии тела при отсутствии повреждений г = 0
и ф = 1. В процессе накопления повреждений в теле сплошность ф
убывает со временем т, достигая критического уровня фс в момент тс:
/V dr. A.5.4)
= 1 ( + )
о
При неизменном во времени управляющем параметре ^ получаем вы-
выражение для критического времени
Тогда уравнение A.5.3) с учетом выражения A.5.5) можно предста-
представить в виде
^^1 = -fr-^"), A.5.6)
dr тс
откуда следует принцип линейного суммирования повреждений в ин-
интегральной форме (при соблюдении граничных условий для ф):
/
о
— = 1. A.5.7)
Отметим, что принцип линейного суммирования повреждений
A.5.7) в параметрах времени может быть представлен также в па-
параметрах числа циклов нагружения, деформации и т. п. Например,
для циклического нагружения левая часть уравнения A.5.3) может
быть представлена в виде
Aф _ ( йф\ fdN\
~dr~ ~ \~dNJ ' \~dr~)'
Сохраняя форму записи эволюционного уравнения A.5.3) и включая
величину dN/dr = const в постоянную А, можно получить принцип
линейного суммирования повреждений в виде
YdN _
J Nc ~
о
где Nc — критическое число циклов нагружения до разрушения.
1.5. Эволюция повреждений и рост трещин
61
Исследуем влияние управляющего параметра $ в процессах де-
деформирования и разрушения материала на критическое время. Бу-
Будем считать, что критические повреждения достигаются за некоторое
нормированное время г* < тс, т. е. параметр состояния примет кри-
критическое значение фс при критическом управляющем параметре <^с:
V?+n = 1 - АA + п)#т*. A.5.8)
Приравнивая правые части выражений A.5.4) и A.5.8), приходим к
эволюционному соотношению
A.5.9)
которое с учетом <^ = const принимает окончательный вид
A.5.10)
Полученное эволюционное соотношение позволяет оценивать кри-
критическое время тс до достижения телом предельного состояния при
заданном управляющем параметре с в исследуемом процессе дефор-
деформирования или разрушения.
Отметим монотонный рост тс с увеличением критического управ-
управляющего параметра <^с (при <^ = const) или с уменьшением действую-
действующего параметра <; (при <^с = const) (рис. 1.28). Значение тс/т* возрас-
возрастет*
1
/
/
/
2
/
1
z
Уз
о
б Сс/С
Рис. 1.28. Влияние управляющего параметра на критическое время при
разных показателях степени п: 1 — 6, 2 — 4, 3 — 1,4 — 0,5
тает тем интенсивнее, чем больше показатель п. Проиллюстрируем
применение установленных эволюционных соотношений к различным
процессам деформирования и разрушения.
62 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
Усталостное изнашивание. Усталостные повреждения при кон-
контактном взаимодействии твердых тел в результате повторного де-
деформирования поверхностных слоев сводятся к изменению свойств
этих слоев, разрыхлению материала и образованию микротрещин.
Рентгеновский анализ структурных изменений поверхностей трения
показал [262], что важная роль в процессе усталостного изнашивания
принадлежит остаточной деформации в поверхностном слое матери-
материала. Поэтому примем в качестве основного управляющего парамет-
параметра с, определяющего степень усталостного повреждения, остаточную
интенсивность деформации ет в поверхностном слое при внешнем
трении за время тс. Тогда эволюционное соотношение A.5.10) при-
приобретает вид [1401
STNlJn=ec, A.5.11)
совпадая по своей структуре с экспериментально установленным
уравнением фрикционной усталости для стали 45 при п = 2,5 и ес =
= 0,06 [348]. Здесь ес — критическая интенсивность деформации ма-
материала при внешнем трении, Nc = тс/т* — число циклов нагружения
до разрушения поверхностного слоя.
Зарождение и рост усталостной трещины. Накопление повре-
повреждений перед вершиной трещины (или конструкционного концен-
концентратора напряжений) при циклическом нагружении состоит из двух
стадий: инкубационной стадии накопления повреждений до момента
страгивания (зарождения) трещины усталости и стадии накопления
повреждений в процессе роста трещины. В области пригодности ли-
линейной механики разрушения коэффициент интенсивности напряже-
напряжений полностью контролирует процесс страгивания и распространения
усталостной трещины [142, 284, 355]. В этом случае основным управ-
управляющим параметром <^ целесообразно считать максимальное значе-
значение (или размах) коэффициента i^max- Тогда значение <^с переходит
в предельный коэффициент интенсивности напряжений, соответст-
соответствующий 7V* циклам нагружения. Для условий страгивания трещины
под предельным коэффициентом интенсивности напряжений следует
понимать коэффициент в момент инициирования трещины {Kic), a
для условий спонтанного разрушения образца — вязкость разруше-
разрушения Кс. Переходя в соотношении A.5.10) от времени к числу циклов
нагружения 7V, получаем соотношение для оценки долговечности до
страгивания трещины при циклическом нагружении тела с исходной
трещиной:
Nic = N4^P^) . A.5.12)
В общем случае параметр 7V*, по-видимому, может отличаться от 1/4
цикла нагружения и зависеть от режима нагружения (мягкий или
жесткий).
Рассмотрим рост усталостной трещины. Учитывая функциональ-
функциональную связь ф с длиной трещины /, представим уравнение A.5.3) в
1.5. Эволюция повреждений и рост трещин 63
Будем считать, что момент достижения функцией ф критического
значения фс в вершине усталостной трещины соответствует ее скачку
на величину А/^ = h — h-i. Разделяя переменные в уравнении A.5.13)
и учитывая граничные условия, приходим к уравнению
к
ф\+п = 1 - А{1 + п) f ^p dl. A.5.14)
Поскольку под скоростью роста усталостной трещины V понимают
некоторую осредненную во времени величину, сглаживающую дис-
дискретность этого процесса, то разумно принять независимость V и
коэффициента интенсивности напряжений от / в пределах интегри-
интегрирования от U-\ до 1{. Интегрируя слагаемое в правой части выраже-
выражения A.5.14), получаем следующее соотношение:
ф1+п = 1-АA + п) Л™™^ц A.5.15)
Заметим, что критическое значение фс может быть достигнуто и
за N* циклов нагружения при критическом управляющем парамет-
параметре сс. Приравняв правые части уравнений A.5.15) и A.5.8) и перейдя
от т к N будем иметь выражение для скорости роста усталостной
трещины , jv- ^п
*/Amax\ A.5.16)
Введя обозначение
С=У-, A.5.17)
Sc
получим известное эмпирическое соотношение Париса
V = СКп
v w ± v max.
В представленной записи соотношений A.5.16) и A.5.17) парамет-
параметры яс и V* пока не определены. Однако, как легко заметить, они
взаимозависимы в том смысле, что для заданной диаграммы усталост-
усталостного разрушения (С = const) различным задаваемым значениям яс
будут соответствовать вполне определенные значения V* и наоборот.
Остановимся на некоторых возможных подходах к выбору парамет-
параметров яс и V*.
На основе анализа многочисленных экспериментальных данных
С.Я. Ярема [283] предложил модифицированное уравнение Париса
V = Ю-7(^^)П м/цикл, A.5.18)
64
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
согласно которому в качестве <^с принято значение максимального ко-
коэффициента интенсивности напряжений цикла нагружения при ско-
скорости роста трещины У* = 10~7 м/цикл. Н.М. Гринберг [52] связыва-
связывает параметр V* с дискретным скачком трещины на величину среднего
зерна субструктуры Л, формирующейся в вершине усталостной тре-
трещины. При этом параметру <^с отвечает коэффициент интенсивности
напряжений, выраженный через модуль упругости, вектор Бюргерса,
параметр пластической зоны и размер Л. Согласно концепции автомо-
автомодельного роста усталостной трещины [81], величина У* соответствует
пороговой микроскопической скорости роста усталостной трещины
(шагу бороздок) при <; = K\q. Принимая в качестве <^с вязкость разру-
разрушения Кс, из уравнения A.5.16) как частный случай при п = 4, Кт-1П =
= 0 и У* = [3/2 получаем степенное уравнение Г.П. Черепанова [268]
^ п I ^max -**-min _j "i -***с ^тах \
Параметр C имеет размерность длины и характеризует прирост длины
трещины при циклическом нагружении. Расчет по уравнению A.5.16)
при <^с = Кс согласуется с результатами эксперимента (рис. 1.29), при-
0,8
0,6
0,4
0 2
' 1
1
с/у
-Л
э°
О /2
) /
1С
Г7
F, м/цикл
Рис. 1.29. Диаграмма усталостного разрушения стали 300: 1 — расчет по
уравнению A.5.16) при <;с = Кс, v* = 4,38 • 10~6 м/цикл, п = 2,51; 2 — расчет
по уравнению Г.П. Черепанова. Точками обозначены результаты экспери-
эксперимента
веденными в работе [268]. При этом из выражения A.5.16) следует
критерий линейной механики разрушения при однократном статиче-
статическом нагружении тела с трещиной Ктах = Кс.
Коррозионное растрескивание. Оставаясь в рамках линейной ме-
механики разрушения, примем в качестве параметра $ начальный коэф-
коэффициент интенсивности напряжений К/о, при котором начинается
1.5. Эволюция повреждений и рост трещин 65
коррозионное растрескивание материала. Тогда эволюционное соот-
соотношение A.5.10) можно представить в виде
Куогс = (KjO)n т* = const. A.5.19)
Здесь тс — время до начала коррозионного растрескивания при задан-
заданном коэффициенте Х/о, т* — некоторое эталонное (фиксированное)
время до начала разрушения при i^|0, n — постоянная для данной
системы «материал-среда». Формула A.5.19) хорошо описывает ши-
широко известную эмпирическую закономерность [220, 273] (с уменьше-
уменьшеКЛ
ю
но
Кг.
Т*
Рис. 1.30. Зависимость от времени до начала коррозионного растрескива-
растрескивания коэффициента Кю
нием К/о время до разрушения увеличивается) (рис. 1.30) и позволяет
прогнозировать (при экспериментально определенных п и const для
данной системы «материал-среда») долговечность тс при заданном
уровне К/о- Кроме того, из анализа соотношения A.5.19) следует
ответ на вопрос о существовании и возможности эмпирического опре-
определения физического порогового коэффициента Kjscc в условиях кор-
коррозионного растрескивания. (Вопрос о существовании физического
порогового коэффициента K.th имеет место и в механике усталостного
разрушения.) По-видимому, из эксперимента можно установить лишь
условное значение Kiscc при заданной базе испытаний rscc (например,
согласно ГОСТ 9.903-81 rscc = 40 суток).
Для анализа закономерностей коррозионно-механического разру-
разрушения материалов и деталей наряду с Kjscc целесообразно знать и
кинетические диаграммы коррозионного растрескивания в виде за-
зависимостей скорости роста трещины от коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений Ki. Аналогично рассмотренному росту усталостной
трещины, учитывая соотношение A.5.19), нетрудно показать, что ки-
кинетическую диаграмму растрескивания можно описать следующим
выражением:
dl Ah
Здесь Vo = —-, А/^ — длина скачка коррозионной трещины.
5 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
66
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
Для учета ветвления коррозионной трещины в формуле A.5.20)
вместо Kj имеет смысл использовать Kjeff. Формула A.5.20) удо-
удовлетворительно описывает результаты экспериментального исследо-
dl/dr, м/с
1(Г4
Рис. 1.31. Кинетическая диаграмма растрескивания стали 50Х (отпуск при
200° С) в дистиллированной воде (точками обозначены экспериментальные
результаты при разных начальных коэффициентах интенсивности напря-
напряжений [220])
вания докритического роста трещины в стали при воздействии ди-
дистиллированной воды [220] (рис. 1.31) и позволяет объяснить наблю-
наблюдаемую неоднозначность кинетической диаграммы растрескивания.
При повышении Kjq увеличивается Vo за счет уменьшения времени
до начала коррозионного растрескивания, поскольку Kforc = const.
Возможно, одновременно увеличивается длина скачка трещины А/^
и, как следствие, выход кривой роста трещины на пологий участок
диаграммы растрескивания достигается при более высоких скорос-
скоростях dl/dr.
В ряде случаев на кинетической диаграмме растрескивания появ-
появляется участок, скорость dl/dr на котором не изменяется с ростом Kj.
В рамках данной модели такую тенденцию можно объяснить сле-
следующим образом: на участке стабильности происходит уменьшение
длины скачка трещины А/^, нивелирующее рост коэффициента Kj
в результате увеличения длины коррозионной трещины. Такой ин-
интерпретации соответствуют данные фрактографических исследова-
исследований [220]: обнаружено увеличение числа вторичных трещин перед
вершиной магистральной трещины в зоне предразрушения по мере
роста Kj в пределах участка стабильности. Увеличение же числа
вторичных трещин, по-видимому, способствует более частым скачкам
трещины.
Использование концепции повреждаемости и эволюционных пред-
представлений в задачах механики разрушения позволяет оценить сдвиг
критической температуры хрупкости вследствие коррозионных, ра-
1.6. Механизмы деформирования и разрушения эластомеров 67
диационных и циклических повреждений материала [141] и учесть
особенности предельного состояния тела с короткой трещиной в рам-
рамках двухпараметрического критерия разрушения [139].
1.6. Механизмы деформирования и разрушения
эластомеров
Эластомеры относятся к полимерам, находящимся в высокоэла-
высокоэластическом состоянии, и значительно отличаются от металлических
материалов как по строению, так и механизмам деформирования и
разрушения. Для эластомеров в высокоэластичном состоянии харак-
характерна способность к макроболыпим деформациям, в то время как для
металлических материалов большая деформация всегда необратима.
Попутно заметим, что большие деформации сопровождаются сущест-
существенным изменением геометрии тела. Так, например, на рис. 1.32 пока-
¦кр
5 -¦¦
Рис. 1.32. Результат больших деформаций в окрестности поверхностного
надреза при кручении
зана боковая поверхность цилиндрического образца диаметром 25 мм
из сплава АМц. На поверхность образца напечатана делительная
сетка со стороной ячейки 0,5 мм, и сделан трещиноподобный надрез
длиной 3 мм, глубиной 1 мм и раскрытием 0,3 мм. Образец подвер-
подвергается действию крутящего момента. Надрез исходно ориентирован
вдоль поверхности действия максимальных растягивающих деформа-
деформаций (а). В процессе пластического кручения на угол сдвига 350° над-
надрез переместился в плоскость действия максимальных касательных
напряжений (б). Цифрами обозначены номера линий сетки в зоне
надреза [261]. Однако вернемся к полимерам. Высокоэластическое
5*
68
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
320
1240
состояние полимеров возможно при температуре выше температуры
стеклования, но ниже температуры текучести (в смысле перехода в
жидкотекучее состояние).
Эластомеры в качестве конструкционного материала появились
сравнительно недавно и этому способствовали с одной стороны по-
потребности промышленности, а с другой — научные и технологичес-
технологические достижения в области химии
высокомолекулярных веществ
[63, 66, 72]. К эластомерам отно-
относятся материалы, проявляющие
высокоэластическое поведение,
такие, как каучуки, резины, тер-
моэластопласты, полиуретан и
др. Под высокоэластическим по-
поведением понимают способность
сильно упруго деформировать-
деформироваться под действием сравнительно
небольших внешних напряжений
и восстанавливать свою форму
после снятия нагрузки. Обрати-
Обратимые упругие деформации эласто-
эластомеров могут достигать несколь-
нескольких сотен процентов, а величина
модуля упругости не превышает
10 МПа. Типичная диаграмма
В160
80
0
--
у
1
/
1
1
0 100 200 300 400 500 600 700
Удлинение, %
Рис. 1.33. Типичная диаграмма рас-
растяжения резины
растяжения резины приведена на
рис. 1.33. Кроме того, эластомеры относительно несжимаемы. Это
свойство обусловлено тем, что деформация эластомеров не связана
с изменением расстояния между атомами, а, следовательно, и с
изменением плотности материала.
Эластомеры, как и другие полимерные материалы, представля-
представляют собой длинные гибкие цепеобразные молекулы, связанные меж-
между собой случайными поперечными связями (сшивками). В качестве
примера представим цепную молекулу полиамида-6 в невытянутом
состоянии с произвольно выделенными сегментами (рис. 1.34) [92]. На
обведенной вставке рисунка показано основное звено цепной молеку-
молекулы. Относительное положение атомов и часть объема, занятая ими в
цепи, проиллюстрирована моделью Стюарта для сегмента полиамида
(рис. 1.35).
Отдельные части длинных молекул способны образовывать нежест-
нежесткую молекулярную сетку и обладают высокой подвижностью и гиб-
гибкостью, вызванной в основном броуновским движением с созданием
большого числа конфигураций посредством вращения вокруг одиноч-
одиночных валентных связей главной оси. Проиллюстрировать вращение
атомов основной цепи при сохранении валентного угла (угла меж:-
1.6. Механизмы деформирования и разрушения эластомеров 69
Схематическая
направленность
связей
Молекула
-Расстояние
;; между концами цепи
Сегмент
Рис. 1.34. Гибкая линейная цепная молекула полиамида-6
Рис. 1.35. Сегмент цепи полиамида-6: длина распрямленного сегмента со-
составляет 1,97 нм, поперечное сечение — 0,176 нм2
ду одиночными валентными связями) молено на простейшей пара-
парафиновой или полиэтиленовой молекулярной цепи (СН2)П (рис. 1.36),
[249]. Предполагается, что каждая связь С—С допускает свободное
движение, т.е. связь С2С3 вращается вокруг оси С1С2, а связь С3С4
вращается вокруг оси С2С3. Если число связей велико, цепь бу-
будет принимать неправильную изогнутую форму, как это изображе-
изображено на рис. 1.34. При растяжении цепи выпрямляются и возникают
стягивающие силы, определяющие в первую очередь уменьшение
70
Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
энтропии. Связь между приложенными усилиями и деформациями
имеет нелинейный характер.
Число сегментов в макроскопических частях эластомера доста-
достаточно велико, поэтому эластомеры можно рассматривать как мак-
макроскопически однородную систему.
Для изучения свойств систем из боль-
большого числа частиц эффективно ис-
использовать подходы термодинамики
и статистической физики. Описание
поведения эластомера с этих пози-
позиций основано на том, что реализу-
реализуемость его микроскопического состо-
состояния носит вероятностный характер.
Наиболее вероятными микросостояни-
микросостояниями являются состояния термодина-
термодинамического равновесия. Вероятностное
поведение эластомера, как и всякой
термодинамической системы, отлича-
отличает его от детерминированного поведе-
поведения, рассматриваемого в классической
механике. Покажем, что в термодина-
термодинамическом смысле физическая природа упругости эластомеров отли-
отличается от традиционных материалов, например, металлов, и связана
прежде всего с изменением энтропии, а не внутренней энергии твер-
твердого тела [63, 72, 249].
В отсутствие внешних сил молекулярные компоненты колеблют-
колеблются относительно своих наиболее стабильных положений равновесия.
Действие внешних сил вызывает смещение молекулярной цепи из по-
положения равновесия и появление противодействующих сил. Пренебре-
Пренебрегая возможными необратимыми процессами разрушения эластомера,
запишем первое начало термодинамики для молекулярной цепи:
Рис. 1.36. Вращение атомов во-
вокруг связей в парафиновой мо-
молекуле
dU =
dA,
A.6.1)
где dU — приращение внутренней энергии эластомера за счет подве-
подведенной к нему теплоты dQ и работы внешних сил dА. Кроме того,
из первого закона термодинамики для обратимого процесса дефор-
деформирования следует выражение для приращения энтропии dS за счет
подведенной к эластомеру теплоты при температуре Т:
= TdS.
Полагая работу внешних сил
dA = fdl
A.6.2)
A.6.3)
и подставляя соотношения A.6.2) и A.6.3) в выражение A.6.1), по-
получаем следующее уравнение термодинамики обратимого процесса
1.6. Механизмы деформирования и разрушения эластомеров 71
деформирования эластомера:
A.6.4)
где dl — удлинение молекулярной цепи эластомера в результате дейст-
действия силы /. Из последнего уравнения следует, что при изотермичес-
изотермическом (Т = const) деформировании эластомера справедливо следующее
уравнение:
Уравнения A.6.5) позволяет получить силу /, действующую между
концами цепи:
, (dU\ T(dS\ nf?Rx
1Ы)Т) (L66)
Таким образом сила / зависит от изменения внутренней энергии и
энтропии, вызванной изменением расстояния между концами моле-
молекулярной цепи. Однако Трелоар [249], анализируя результаты опы-
опытов Джи по растяжению резины из натурального каучука, пришел
к выводу, что изменение внутренней энергии имеет второстепенное
значение и равно нулю при изотермическом растяжении эластомеров
(в частности резины) до деформации 100 % при постоянном объеме.
Следовательно, энтропийная природа упругого поведения деформи-
деформируемых эластомеров принципиально отличает их от металлических
материалов, упругое поведение которых имеет энергетическую приро-
природу, обусловленную изменением внутренней энергии при деформирова-
деформировании. В то же время, в области больших деформаций при растяжении
наблюдают специфические различия эластомеров в изменении внут-
внутренней энергии между ними [249]. Возможно, эти различия возникают
в результате действия сил между частично вытянутыми молекулами,
приводящие к местным изменениям структуры эластомера.
Отмеченные выше процессы деформирования эластомеров яв-
являются геометрически обратимыми, но не энергетически. Некоторая
часть энергии, затрачиваемая на деформирование, рассеивается в ре-
результате действия механизмов диссипации энергии [65]. К основным
механизмам диссипации энергии можно отнести следующие: внутрен-
внутреннее трение, возникающее при изменении местоположения молекуляр-
молекулярных цепей и скольжения сегментов относительно друг друга; обра-
образование регулярными молекулами микрокристаллических ансамблей
при деформировании эластомера и их разрушение, сопровождаемое
диссипацией энергии при дальнейшем деформировании; разрушение
структуры эластомера. Последний механизм диссипации энергии ха-
характерен для наполненного эластомера, представляющего собой двух-
двухфазную систему. Жесткие частицы наполнителя прочно слипаются
с примыкающими к ним молекулами. При деформировании такого
эластомера происходит разрушение связи в цепи частиц при срав-
72 Гл. 1. Физические основы микроразрушений твердых тел
нительно малых деформациях и связи молекулярная цепь-частица
наполнителя при больших деформациях.
Вообще говоря, процесс разрушения эластомеров представляет со-
собой весьма непростое явление. Это обусловлено, главным образом,
тем, что реальные эластомеры являются сложными микрокомпози-
микрокомпозитами, основой которых являются хаотически переплетенные молеку-
молекулярные цепи, сшитые в трехмерные сетки [272]. Молекулярные це-
цепи имеют различную длину и жесткость, что позволяет говорить о
слабой регулярности структуры эластомеров. Кроме того, эластоме-
эластомеры обычно содержат наполнители, т. е. некоторые добавки, напри-
например, к каучуку. Частицы наполнителя, имеющие различные формы и
размеры, также распределены неравномерно. Таким образом, много-
многочисленность и неопределенность отмеченных структурных факторов
эластомеров не позволяет на сегодня создать общую теорию разру-
разрушения эластомеров. Поэтому существуют различные модели разру-
разрушения эластомеров, основанные на различных механизмах [89, 302].
Один из механизмов разрушения обусловлен образованием и ростом
микротрещин в виде полостей в напряженной матрице в результате
неоднородного распределения деформаций в наполненном или нена-
полненном эластомере. Другой механизм связан с кооперативным раз-
разрывом взаимосвязанных высоконагруженных звеньев молекулярных
цепей в частосетчатых и наполненных эластомерах и т. п. Так, или,
иначе, основные механизмы разрушения эластомеров предполагают
возникновение повышенной концентрации напряжений в местах обра-
образования микродефектов с последующим образованием микротрещин,
их распространением, формированием и развитием макротрещины
(трещины-лидера), приводящим к окончательному разрушению эла-
эластомера. При этом трещина будет распространяться, если скорость
накопления упругой энергии превысит скорость диссипации энер-
энергии [302].
Проблема создания законченной теории разрушения эластомеров
значительно осложняется еще и тем, что эластомеры недостаточно
хорошо аппроксимируются континуумом [302], основные положения
нелинейной теории упругости перестают быть справедливыми задолго
до разрушения [272]. В связи с вышесказанным актуальным стано-
становится описание закономерностей роста трещин и пор в эластомере,
анализ напряженно-деформированного состояния у вершины трещи-
трещины и в окрестности микропор и формулировка критерия разрушения
эластомеров в связи с образованием трещин и полостей.
Г л а в а 2
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ ТЕЛ
С ТРЕЩИНАМИ
2.1. Критерии разрушения и соответствующие этапы
деформирования
Критерии разрушения составляют основу научного знания, назы-
называемого механикой разрушения. Формулировка этих критериев ба-
базируется на отчетливых (но модельных) представлениях физики и
механики процесса образования новой поверхности тела. Углубление в
физику явления приводит к отдалению исследования от практических
приложений, и наоборот, опора на феноменологию отдаляет иссле-
исследования от природы разрушения, превращая разрушаемый объем в
черный ящик.
Это досадное обстоятельство не отражается, однако, на вполне
плодотворном энтузиазме разных групп исследователей в выясне-
выяснении причин разрушения и создании методов оценки свойств мате-
материала и методов расчета конструкций из него изготовленных. К
сказанному примешивается то обстоятельство, что создаваемые мо-
модели разрушения, как правило, концентрируют свое внимание на
определенном, но одном уровне явления, в то время, как явле-
явление разрушения представляет собой иерархический процесс (каж-
(каждый уровень которого имеет свою геометрическую и масштабную
структуру), при котором одновременно происходят деградирующие
процессы. Отсюда, собственно, и следует упомянутое выше проти-
противопоставление методов исследования. Возможно, возникновение по-
последующих иерархических уровней явления разрушения, происходят
в связи с нарастанием величины глобальной деформации (измеряе-
(измеряемой по перемещениям точек на поверхности тела). Принадлежность
модели разрушения тому или иному уровню происходящего явле-
явления позволяет оценить границы применения соответствующего кри-
критерия, совместно, конечно, с сопоставлением результатов расчета по
данному критерию с другими. Сопоставление результатов расчета с
экспериментом требует тщательного анализа во избежание скороспе-
скороспелых и неправильных выводов. Ориентировочно критерии разруше-
разрушения можно разбить по степени локальности анализа — микрострук-
микроструктурная механика и физика дефектов (описывает главным образом,
процесс зарождения трещин), затем промежуточная область между
микро и макро подходами, так называемые короткие трещины, ко-
которые имеют свою специфику развития и, наконец, магистральные
74 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
трещины, исследуемые обычно методами механики сплошной среды
(описанию подлежат главным образом стадии распространения тре-
трещины) .
Давая общую характеристику критериев разрушения, отметим,
что если в качестве критериальной величины взять локальный пара-
параметр у вершины трещины (упругое раскрытие на малом расстоянии
от вершины трещины, радиус кривизны вершины трещины, дефор-
деформацию у вершины трещины, угол раскрытия, малую область разру-
разрушаемого материала с реакцией материала и т.п.), то все они дадут
один и тот же конечный результат (после их применения) именно
в силу локальности анализируемой области [39]. Подобные критерии
составляют предмет линейной механики разрушения. Вообще, термин
линейная механика разрушения относится к задачам о трещинах, по-
поставленным в рамках линейной (линеаризованной) теории упругости.
Наоборот, привлечение к анализу свойств пластичности материала
приводит к потерям однозначных оценок, сопряженных с большим
разнообразием моделей предельного состояния и разрушения. Крите-
Критерии, построенные на этой основе, отвечают критериальным величи-
величинам интегрального толка, необратимо накапливающимся в ближней
и дальней окрестностях трещины. В силу большого разнообразия
возможных эффектов, в сравнении с критериями линейной механики
разрушения, критерии нелинейной механики разрушения показывают
большой разброс результатов не только между собой, но и с экспе-
экспериментом. С этой точки зрения, имея в виду прикладные расчеты
сложных технических систем, целесообразнее и надежнее (и спокой-
спокойнее для конструктора) критериальные соотношения, основанные на
модельных представлениях, заменить прямыми натурными или полу-
полунатурными экспериментами.
Прослеживая историю развития науки о прочности материалов и
элементов конструкций можно обратить внимание на некоторое соот-
соответствие между этапами аналитически-расчетного познания явления
деформирования твердых тел и этапами деформирования гладкого
образца при его растяжении. В самом деле, начала учения о проч-
прочности связаны с исследованиями упругих воздействий, сопротивление
которым определялось экспериментально и при этом полагалось, что
этим сопротивлением и заканчивается упругое деформирование одно-
одного из контактирующих тел с ограничением соответствующих нагру-
нагрузок. Процесс разрушения не выявлялся; вместо него фиксировалась
точка завершения стадии упругого деформирования. Нечто анало-
аналогичное мы наблюдаем и в линейной механике разрушения, в которой
критериальная основа (в энергетической постановке Гриффитса или в
силовой Ирвина) исходит не из процесса, а из состояния, предельного
состояния равновесия, которое и ограничивает действующие на тело
с трещиной нагрузки, оставляя само тело упругим вплоть до этого
состояния.
2.1. Критерии разрушения и этапы деформирования 75
Дальнейшее развитие наших представлений о механическом пове-
поведении твердого тела связано с пониманием, что пластическое течение
влечет за собой достаточно емкий резерв прочности конструкции,
особенно если она многократно статически неопределима. В этих слу-
случаях, как известно, снижение числа наложенных связей в связи с на-
наступлением течения, с соответствующим увеличением числа степеней
свободы, не приводит к немедленному нарушению несущей способ-
способности, наоборот, способность материала к неограниченному пласти-
пластическому течению воспринимается как благоприятный фактор, повы-
повышающий несущую способность конструкции в целом.
Аналогично, пластическое деформирование в ближайшей окрест-
окрестности вершины трещины, а также и вдалеке, приводит к критериям,
опирающимся на это пластическое течение, что позволяет на разру-
разрушение (в континуальном аспекте) смотреть как на процесс, отража-
отражающийся внешне в развитии трещины. В связи с этим мы наблюдаем
замещение «точечных» критериев нелинейной механики разрушения
(типа 5 = 5С, J = Jic и т.п.) на «процессуальные», яркое выражение
которых мы видим в понятии R-кривых [29]. Имеют место также и
промежуточные критерии типа модуля разрыва, исходящие из про-
производных по длине трещины, что, по сути, в некоторой мере оце-
оценивает J^-кривую. Полезная роль R-кривых состоит в их схожести
с обычной диаграммой деформации гладкого образца, позволяющей
оценивать не только «ординаты» этих графиков, но и «абсциссы»
характерных точек на них. Эти абсциссы отражают в одном случае
пластичность материала, в другом — способность к длительному про-
процессу разрушения, т. е. росту трещины (имеется в виду однократное
статическое нагружение), способность к «немгновенности» разруше-
разрушения, а это создает возможность перераспределения нагрузок «внут-
«внутри» конструкции и, следовательно, возможность продолжать держать
внешнюю нагрузку. А это, как уже указывалось, достаточно важно
для определенного класса статически неопределимых конструкций, в
частности, в авиационных конструкциях, где, собственно, R-кривые
для тонкостенных листовых образцов и используют в практических
приложениях [299].
Вместе с тем, упругое (хрупкое) и пластическое (вязкое) разруше-
разрушения не исчерпывают возможные виды разрушения. Различия в усло-
условиях нагружения, напряженно-деформированного состояния и дру-
других причин обуславливают, вообще говоря, смешанное разрушение,
с заранее непредсказуемой степенью хрупкости (кристалличности) и
вязкости (волокнистости) в изломе. Это приводит к неопределенности
результатов расчетов по критериям, описывающим только хрупкое
или только вязкое разрушения. Поэтому в практике расчетов находят
применение так называемые двухпараметрические критерии разру-
разрушения, обычный вид которых состоит из двух слагаемых, каждое из
которых описывает свой вид разрушения, а поскольку они записаны в
76 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
безразмерном виде, то их сумма в критический момент достигает еди-
единицы. Наиболее ранними представителями таких критериев являются
диаграммы трещиностойкости, построенные по пределу трещиностой-
кости /с или по критерию R6 [168, 359].
Аналог подобных двухпараметрических критериев разрушения
можно видеть в диаграмме механического состояния Я.Б. Фридмана
для гладких (без трещины) образцов или деталей [261]. Действи-
Действительно, эта диаграмма указывает вид разрушения в зависимости от
напряженного состояния наиболее опасного, обычно малого, объема
детали. То же определяется и по диаграмме трещиностойкости /с — рс
для детали с трещиной, но в зависимости от длины трещины (эту
же развертку перехода от одного вида разрушения к другому можно
получить, изменяя не длину трещины, а температуру детали [34]).
Таким образом, эволюция процесса деформирования классическо-
классического гладкого образца с приложенной нагрузкой в определенном смысле
совпадает с эволюцией наших представлений о критериях предельных
состояний и процессов и с этой точки зрения появление работы Гриф-
фитса вполне закономерно. Однако, работа Гриффитса, так же как и
более ранняя работа Вигхарда [386], поначалу имели чисто академи-
академический интерес, поскольку инженерные знания на тот период времени
пребывали в области упругих деформаций и только еще подбирались
к расчетам по предельному состоянию. И только после определенного
уровня овладения упругопластическим анализом и его применением
к расчету предельных состояний оказалось возможным постепенное
осознание и внедрение расчетов уже по стадии разрушения и по досто-
достоинству оценить работы Гриффитса с точки зрения их практической
реализации [311].
Основополагающая работа Гриффитса, хотя и находилась вне его
основных научных и инженерных интересов, оказалась весьма плодо-
плодотворной. Она инициировала интерес к исследованию структуры мате-
материала в поисках пресловутых «трещин Гриффитса», ответственных за
малую техническую прочность материала сравнительно с теоретиче-
теоретической. Не исключено, что в открытии дислокаций Тейлором, Орованом
и Поляни работы Гриффитса сыграли определенную роль. Возник
интерес также и к другим сопутствующим проблемам — устойчивости
тела с трещиной, скорости ее роста до и после критического состоя-
состояния, трансформация полученных результатов в связи с пластическим
течением у вершины трещины и другие проблемы. Все они находили
своих исследователей.
Период времени от появления работ Гриффитса до заметного
внедрения в инженерную практику критериев разрушения и харак-
характеристик трещиностойкости характерен созданием теоретической ос-
основы, позволяющей ответить на многие вопросы прикладного ха-
характера. На настоящее время наши знания вполне достаточны для
всесторонней оценки несущей способности конструкций и их ресурса.
2.2. Сводка некоторых критериев прочности
77
Надо полагать, что дальнейшее развитие науки о разрушении в основ-
основном будет идти в русле изучения экзотических материалов, усложнен-
усложненных условий нагружения, специализированных критериев нарушения
прочности, немеханических и быстропротекающих взаимодействий,
компьютерного объединения экспериментально-теоретического ком-
комплекса расчетов на прочность и долговечность.
2.2. Сводка некоторых критериев прочности
Как известно, критерии наступления предельных, в оговаривае-
оговариваемом смысле, состояний можно подразделить на те, которые опре-
определяют наступление предельного состояния в точке тела (классиче-
(классические гипотезы прочности) и исчерпание несущей способности сечения
(объема) тела. В определенных случаях необходимо и достаточно
знать реакцию конструкции (в виде, допустим, перемещений) на
внешние механические (физические) воздействия. В телах с трещино-
подобными дефектами начало их возможного роста устанавливается
на основе критериальных соотношений механики разрушения. На на-
настоящее время известно много критериев прочности, базирующихся
на разных исходных положениях. Вполне общее представление о них
дает приводимая здесь сводка основных критериев для тел без трещин
(табл. 2.1, [46, 103, 161]) и с трещинами (табл. 2.2).
Таблица 2.1
Условия предельного состояния материалов
Год
1638,
1684
1680
1773
1882
1885
1904
1931
[282]
Гипотезы
*1 ^ О*, \
б! = ?к, СТх-У (<Т2 + СГ3) ^ О~1
Tmax ^ Tfc, |<7i - <Т3 ^ (j\
°1 Х<?2 ^ О%, Х= ^
И^полн ^ WK
и)ф ^ г^фк, ai ^ о~1 или (сг?)
(<7i - сг2J + (сг2 - а3J + (сг3 - <TiJ +
+ ra(cri + сг2 + сг3J + n((Ti + ст2 + сг3) ^ /,
гдс m _ 6(твJ - 2о»о^ _ 6гв(аГ -<)
2 аЬ аЬ иЬ иЬ
= 6rs
Автор
Г. Галилей,
Г.В. Лейбниц
М. Сен-Венан
Ш.А. Кулон
Ш.А. Кулон,
О. Мор
Е. Бельтрами
Р. Мизес,
М.Т. Губер
Ю.И. Ягн
78
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Таблица 2.1 (продолжение)
Год
Гипотезы
Автор
- G3J
1940
[25]
G2+G3),
А.И. Боткин
где Gi =
'b ub
тсьж + *:
+ of
1946
[261]
I # Tmax .
?тах = ^fc Срез При >
отрыв при
Я.Б. Фридман
1948
сг2 + сгз)/3
Д. Друккер,
В. Прагер
1953
[163]
y/((Ti — G2J + (<72 — G3J +
_сж_Р
Tb ab
f'
+ о-,
+СГ2 +СГ3)
И.Н. Миролю-
бов
СГэкв = -у I I a(Gl + G2) +
1955
[89]
сг2)
- <г2J + ст\ + сг2
К.Н. Кан,
Ю.С. Перву-
где
«=4^4, ь =
x(i-x)
,сж
b
1959
[227]
В.П. Сдобырев
1976
Г.С. Писаренко,
А.А. Лебедев
1978
[106]
Sk и сг^ ^ Gт хрупкое,
Si = ?fc вязкое
Л.А. Копель-
ман
+ A - 77)(сп - G2)
1981
[97]
где 77 = ^^^—, A = lip -
2 - л/3
^ = ab/TBi / = (СП + СГ2 + СГз) ,
прочности при кручении
Б.И. Ковальчук
— предел
2.2. Сводка некоторых критериев прочности
79
Таблица 2.1 {окончание)
Год
1999
[10]
1999
[90]
2000
[79]
2000
[132]
Гипотезы
A + X) х
X \/ O~i ~\~ &2 ~1~ ^3 ~1~ 2/9т (G1G2 ~Ь 00 Н~ 00"l) Н~
+ 3A - х)сго/2 ^ сг^, рт ^ -0,5
77 S'
-?- + ^ = 1, 0,8 < 77 < 2, г?= —
г/о eip стг
2<Т2 — G\ — <Тз
01 - сгз
2^-2,2,2 7 / i i \
GЭКВ <^ и\ ~т О2 * ^3 — fier ^СГхсГ2 ~г ^72^3 ~г С'3^'1/?
2 /с 2/с
^' Q? A - fcor) B + feor) ' " 2-feor
Автор
В.П. Багмутов,
Е.П. Богданов
А.В. Карасев
М.Н. Захаров
В.А. Мань-
ковский,
В.Т. Сапунов
Таблица 2.2
Условия предельного состояния при наличии трещин
Год
1907
[386]
1921
[313]
1957
[340]
1957
[321]
1959-
1963
[195,
309]
1963
[387]
Гипотезы
D
— / о~у(х) dx ^ сто
0
G ^ Gic (или Go)
7тах \х = Хс ^ Ik,
х — расстояние от вершины трещины
К ^ К1с (или Кс)
6<:SC, 5 = f{e/eT)
( 1
" - 2(?т/?J-1' " ^J'
2ve?1 [ е/ет, е>ет
Автор
К. Вигхард
А.А. Гриффите
Ф. Макклинток
Дж.Р. Ирвин
М.Я. Леонов,
В.В. Панасюк,
П.М. Вит-
вицкий,
А.А. Уэллс,
Д.С. Дагдейл
А.А. Уэллс
80
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Таблица 2.2 (продолжение)
Год
1967
[268]
1971
[304]
1971
[168]
1971
[113]
1973
[153]
1975
[307]
1979
[382]
1982
[99]
1984
[183]
1986
[196]
Гипотезы
J ^ Jlc (ИЛИ Jc)
Г С1(е/етJ, е/ет<к,
J ИЛИ 0 = <
[с2 {е/ет) + сз, е/ет > к
К ^ /с, /с = (Я>с ИЛИ /cmax)^/1 ~ W^b)9
(Ус (GТ\^-пI^п) К^
~а~\а~) ~ а7'
где ifM = (Тс^/ттрс, (J — напряжение на расстоя-
расстоянии рс перед вершиной трещины, п — пока-
показатель упрочнения. При разрушении а = сгс,
К» = К1с
м? <: м?С,
( ( К \р
(—) , сгг < сгт,
) ( ' ai ^ ат
{ V ат ' V ат '
где р = B + к) 1 A + N), к = -0,5 A - N) х
X [1 - (<7г/<7т)]
^^,c^Dbsec(^))-1/2
J^ Jc,
7 _ J \?т^ L 2 VeT/ J eT
1 2,5 JT(^-0,2), ^>1,2
v \St / &T
i^Jp — усредненный по длине трещины коэф-
коэффициент концентрации деформаций перед над-
надрезом
max Acj =
= max [ио (ж0 + %', Уо + у') -и (хо,уо)] ^ Acjc,
где и — поворот субзерен, х2 + у2 = /2, / —
параметр моментной теории упругости
(?LJ'+(-!)• = !
Автор
Дж. Райе,
Г.П. Черепанов
F.M. Burdekin,
M.G. Dawes
Е.М. Морозов
А.Я. Кра-
совский,
Г.С. Писаренко
Н.А. Махутов
А.Р. Даулинг,
Ч.А. Таунли
СЕ. Terner
А.Г. Козлов
Н.Ф. Морозов
В.В. Панасюк,
А.А. Андрейкив
2.2. Сводка некоторых критериев прочности
81
Таблица 2.2 (окончание)
Год
1986
[139]
1988
1997
[289,
397]
1989
[289,
301]
1989
[185]
1991
[368,
398]
2002
[124]
Гипотезы
г / а ч 1/JV-i 1 + 7V s а, \ 1/JV
•^4-А© ] ' Л=1-©
J ^ Jc, Jc = A -=- 1,12)ёеСГг7г//Е,
1 1 Х
ес = m ,
ет1 1 — w
JE (Si у Si Q
тг/сг^ V ет / st
JtE2 =1,12(?'), 0,8^ ?' ^5
UeT/(9-L-5), -L>1
V 8 V st ' ^т
Kr = (l-0,14L^)[0,3 + 0,7exp(-0,65L^)],
j ^ j max
Kr = 0, Lr > L^ax,
L?iax = 0,5(GT+Gb)/GT
t d
max / <it / ai(t,x)dx ^ crcd2/c
t-d/c 0
\ гт '
V T
jdv 1К (a, (e),t) dt <: KCTV,
0 0
Kc, T, V — параметры задачи
Автор
Ю.Г. Матвиен-
Матвиенко
А.Г. Козлов,
В.В. Москвичев
Japan Welding
Eng. Soc, WES
2805-1997
A.G. Miller,
R.A. Ainsworth
Н.Ф. Морозов,
Ю.В. Петров
K.H. Schwalbe,
A. Cornec
B.A. Левин,
E.M. Морозов
Можно заметить, что большинство критериальных величин вы-
выражаются через напряжения, хотя, вообще говоря, первичным сле-
следует признать удлинение (деформацию), а реакцию материала на это
удлинение в виде усилия (напряжения) — вторичным (следствие).
Действительно, сила связи при удалении одного атома от другого,
начиная с некоторого расстояния, уменьшается и предельное расхож-
расхождение атомов следует ограничивать расстоянием, а не усилием.
К тому же, как уже отмечалось выше, внешнее воздействие на тело
подразделяется на податливое и жесткое. Обычно жесткое и подат-
податливое нагружение сопутствует малому и большому (соответственно)
запасу упругой энергии нагружающего устройства. Различие отра-
6 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
82 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Рис. 2.1. Разрушение алюминиевого листа при его вытягивании: а — гид-
гидравлическое нагружение; б — пневматическое
жается на закритической стадии разрушения, наглядно продемон-
продемонстрированной на рис. 2.1. Алюминиевый лист закрывает цилиндри-
цилиндрическую емкость, в которой создается давление, выпучивающее лист.
Слева нагружение водой (жесткое), справа — воздухом (податливое).
При жестком нагружении появившаяся трещина сразу снимает дав-
давление, а при податливом запасенная энергия нагружения полностью
рвет лист. Итак, различие в величинах упругой энергии нагужения
существенно и, прежде всего, отражается на закритической стадии
разрушения (т.е. на последствиях). Этим и надо руководствоваться
при выборе между силовым и деформационным критериями. Кроме
того, небольшие изменения напряжения (при обычной диаграмме де-
деформирования) вызывают большие изменения деформации, что так-
также свидетельствует о предпочтительности деформационных критери-
критериев силовым. Приведенный перечень критериальных условий (табл. 2.1
и 2.2), разумеется, ни в коей мере не претендует на полноту. Из-
Известное обилие критериев отражает сумму определяющих факторов,
каждый из которых вполне удачно в своих пределах описывает мо-
момент наступления предельного состояния. Однако пределы примени-
применимости (как и условия нагружения) зачастую скрыты от внимания
исследователей. Вот пример1). Прочность цилиндрического образца
с кольцевым надрезом из аустенитной стали 08X18Н9Т (вязкой даже
при гелиевой температуре) при статическом растяжении при пони-
пониженной температуре оказалась ниже, чем гладкого образца (с тем
же нетто-сечением). Сделан вывод — хрупкое состояние. Однако при
охлаждении в области концентратора в силу высокой скорости дефор-
деформации у надреза (при обычной умеренной общей скорости деформи-
г) Из практики проф. В.Т. Алымова.
2.2. Сводка некоторых критериев прочности
83
рования) происходит локальный разогрев (чему способствует умень-
уменьшение теплоемкости со снижением температуры испытания), замед-
замедляющий образование мартенсита. Последний обеспечивает повыше-
повышение прочности гладкого образца со снижением температуры (эффект
обусловлен тем, что локальная область вовсе и не охлаждается).
Прочность у надреза должна была бы расти, но этого не получается
из-за затруднений с образованием мартенсита. Возникает внешний
эффект хрупкости, хотя состояние материала всюду вязкое. Если
же нагружать образец медленно, так, чтобы скорость деформации
у надреза была малой (достаточной для изотермичности), то уровень
прочности соответствует температуре испытания и пластичность ока-
оказывается достаточной, чтобы «съесть» неоднородность напряженно-
" -уь
'•-. «¦¦,v-*vra.^-.-'.-ri.--; ¦. ¦; :
: *¦"',¦• '"-.- . ^!
Рис. 2.2. Трещины в рельсе: а — поперек; б — вдоль рельса
6*
84 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
деформированного состояния, и прочность образца с надрезом будет
выше (из-за объемности напряженно-деформированного состояния)
прочности гладкого образца. Вообще наличие неравновесной структу-
структуры, (например, в результате неравномерной термообработки) может
приводить к неожиданным и неприятным изменениям свойств мате-
материала в результате эффектов, провоцируемых напряженно-деформи-
напряженно-деформированным состоянием.
И в заключение еще немного о критериях прочности и разрушения.
На рис. 2.2 показано поперечное сечение железнодорожного рельса с
трещиной. В одном случае трещина располагается в плоскости сече-
сечения (рис. 2.2, а), а в другом перпендикулярно ему (в вертикальной и
горизонтальной плоскостях вдоль рельса, рис. 2.2, б). Что за причина
столь резкого различия в расположении трещин? Если трещина, вся
как есть, заранее известна, то специалисты по механике сплошной
среды, привлекая высокую математику, обнаружат, на основе «точ-
«точных» решений, много тонких нюансов деформирования в окрестности
этих трещин. Однако задача специалистов по прочности состоит в
получении ответов на вопросы где, какая, когда и почему возникает
трещина (и как она затем развивается). Каким же опытом и интуици-
интуицией должен обладать инженер, чтобы на уровне предвидения ответить
на эти вопросы или хотя бы установить для реального рельса, когда
разрушение будет по схемам а или б (рис. 2.2I)?
2.3. Напряженно-деформированное состояние
у вершины трещины и критерии применимости
линейной механики разрушения
Методы теории упругости и пластичности позволяют решать за-
задачи о напряженно-деформированном состоянии тел с трещинами-
разрезами, когда в получаемые решения размер разреза входит в виде
параметра. При этом отсутствует функциональная связь внешних на-
напряжений (усилий) с размером разреза. Для установления такой связи
к решению задачи необходимо добавить дополнительное условие —
критерий разрушения. Критерий разрушения позволяет установить
внешние напряжения, при которых разрез переходит в трещину, т. е.
начнет распространяться. При этом состояние тела называется крити-
критическим или предельным. Таким образом, критерий разрушения уста-
устанавливает условие достижения телом критического состояния, свя-
связывая функциональной зависимостью критические (разрушающие)
напряжения с размером трещины.
Формулировка критериев разрушения может быть основана как на
локальных подходах, связанных с анализом критического состояния
г) «Дайте мне посмотреть на этого человека». С. Есенин. Пугачев.
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 85
локальных областей у вершины трещины, так и глобальных подходах,
предусматривающих анализ критического состояния тела в целом.
Традиционные расчеты прочности элементов конструкций и со-
сооружений ведут в предположении, что они лишены трещин или по-
подобных им дефектов. При этом свойства материала в конструкции
тождественны свойствам материала, определенным на образцах стан-
стандартными методами. В то же время нередки случаи, особенно для
крупногабаритных конструкций сложного очертания, когда в про-
процессе изготовления конструкции вводятся начальные деформации и
возникают трещины на том или ином технологическом этапе. Кроме
того трещины могут возникнуть в процессе эксплуатации, особенно в
зонах повышенных напряжений и деформаций, из-за периодической
во времени переменности нагрузки, агрессивного характера окружаю-
окружающей среды и других, не заложенных в расчет, факторов, повышающих
склонность конструкции к хрупкому состоянию.
Во всех этих случаях возникает необходимость провести расчет на
прочность с учетом трещины с целью ответа на вопросы, на которые
традиционный расчет не в состоянии дать ответы. Такими вопросами
могут быть: каковы критические (т. е. разрушающие) размеры трещи-
трещины (при данной нагрузке) и какие размеры можно допустить, на какой
срок, каковы при этом окажутся коэффициенты запасов по прочности
и долговечности.
Такие вопросы, безусловно, возникают при фактическом обнару-
обнаружении трещин, но их можно поставить и авансом, гипотетически
вводя в опасном месте конструкции трещину (особенно в недоступном
для визуального или иного контроля), и заранее, с помощью расче-
расчета, установить механические свойства трещиностойкости материала
и условия, препятствующие к распространению этой гипотетической
трещины.
Таким образом, расчет с учетом наличия трещин ведут на основе
критериев механики разрушения [29, 31, 91, 94, 109, 153, 160, 216].
Однако сначала рассмотрим задачу теории упругости о напряженно-
деформированном состоянии в ближайшей окрестности вершины тре-
трещины.
2.2.1. Локальные поля в окрестности клиновидного над-
надреза/трещины. Решение Уильямса. Приведем классическое ре-
решение двумерной задачи теории упругости методом разложения в
степенные ряды [64]. Рассмотрим задачу о пластине, ограниченной
двумя пересекающимися плоскими гранями, так что исследуемая об-
область представляет собой бесконечный двугранный угол 2а (рис. 2.3).
Пластина находится в условиях плоского напряженного состояния
или плоской деформации. При отсутствии объемных внешних сил
уравнения равновесия тождественно удовлетворяются с помощью со-
соотношений
д X д д (I дХ
(^), B.3.1)
86
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Рис. 2.3. Растяжение плоскости с острым угловым вырезом
где а$, аг, тг$ — компоненты тензора напряжений в полярной системе
координат, х — функция напряжений Эри. Для пластины из линейно-
упругого материала функция напряжений Эри удовлетворяет бигар-
моническому уравнению
АДХ = 0, B.3.2)
в котором оператор Лапласа А в полярных координатах имеет вид
дг2
дг г2 дв2 '
В случае приведенных на рис. 2.2 граничных условий справедливы
следующие соотношения:
ав = Тгв = 0, 0 = ±а. B.3.3)
Решение согласно Уильямсу [390] ищется в форме произведения
X = rx+1f@). B.3.4)
Подстановки выражения B.3.4) в уравнение B.3.2) с учетом гранич-
граничных условий B.3.3) приводят к уравнениям, позволяющим определить
постоянную Л и функцию /:
^ + 2(Л2 + 1) ^ + (Л2 - IJ/ = 0; B.3.5)
/ = Ц = 0, в = ±а. B.3.6)
Общее решение уравнения B.3.5), которое необходимо подставить в
условие B.3.6), имеет вид
= d cos[(A - 1H] + С2 sin[(A - 1N]
+ С3 cos[(A
С a sin[(A
B.3.7)
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 87
Подстановка этого выражения в условия B.3.6) приводит к однород-
однородной системе уравнений для коэффициентов Ci, C2, С3, С4. Выражение
B.3.7) содержит симметричную часть (первое и третье слагаемые) и
антисимметричную часть (второе и четвертое слагаемые). Указанным
частям соответствуют следующие системы уравнений:
cos [(А - 1) a] cos [(А + 1) а] ] \СЛ _ Го]
(А - 1) sin [(А - 1) а] (А + 1) sin [(А + 1) а]\ ' \С3\ ~ 0 '
B 3 8)
sin [(А - 1) a] sin [(А + 1) а] 1 \С2] _ Го]
(А - 1) cos [(А - 1) а] (А + 1) cos [(А + 1) а]\ ' [С4\ ~ [о] '
Нетривиальное решение этих уравнений существует лишь при усло-
условии равенства нулю детерминантов, что приводит к характеристиче-
характеристическим уравнениям для собственного значения Л:
Л sin 2а + sin 2Ха = О, -Л sin 2а + sin 2Ха = 0. B.3.9)
Для того чтобы двугранный угол моделировал трещину, устремим
величину а к п. Тогда оба уравнения B.3.9) совпадают и имеют вид
sin27rA = 0. B.3.10)
Действительные корни этого уравнения равны
\=\п, B.3.11)
где п — целое число. Ниже показано, что для п ^ 0 решение имеет
недопустимую особенность. Для всех остальных собственных значе-
значений Л = - п, п = 1, 2, 3, ... из B.3.8) получается соотношение между
А
постоянными Cin и Сзп или C<in и С^п
п — 2
Т) —I— *?
/'О Q 1 О^
/-ч /-ч /-7 ^ /^ О/1Я
^Зп — —^Irn Wn — ~~77 ^2п5 П — Z, 4, О, . . . ,
77/ ~Г Z
и для функции напряжения имеем следующее выражение:
х= х: г1+-/я[с1п(' п-:
п + 2
— sin -
cos
53 r1+n/2\cln[cos^j^e-cos^r^e}
n=2,4,...
• "Т4л1|, B.3.13)
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
в котором слагаемые, содержащие коэффициенты Cin, соответству-
соответствуют симметричной деформации трещины (тип I), С^п соответствуют
антисимметричной деформации (тип II) по отношению к лучу в = 0.
Напряжения получаем подстановкой выражения B.3.13) в фор-
формулы B.3.1). Ниже приведены напряжения, соответствующие значе-
значению п = 1, которые имеют особенность вида г/2 в точке г = 0 и,
следовательно, становятся преобладающими в окрестности вершины
трещины:
тип I
Си -1/2/г 0 Зв
Ь COS - - COS — j + . . . ,
..., B.3.14)
're 4
ТИП II
= ^ r-1'2 (-3 sin \ - 3 sin ^) + ..., B.3.15)
После нахож:дения напряж:ений радиальное перемещение иг и переме-
перемещение щ определяются посредством интегрирования кинематических
зависимостей
диг иг 1 див 1 диг due ив
^г г г дв г дв or r
При этом деформации вычисляются через напряжения по закону
Гука:
Еег = аг - vgq, Eeq = ав - var, G^rQ = 1 , ч 7 = rr<9,
^ (^1 ~г l^J
Г = A — v) ar —
Здесь первая группа формул соответствует плоскому напряженно-
напряженному состоянию, вторая — плоской деформации. Указанные преобразо-
преобразования приводят к следующим выражениям:
тип I
B.3.16)
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 89
тип II
' [-B«-l)8m-+3emTj+...,
С21 1/2 Г /о
4G1"' [-B«-Tj
в которых упругая постоянная Мусхелишвили
для плоского напряженного состояния,
— Ату для плоской деформации.
Особый интерес представляют напряжения перед трещиной и пе-
перемещения на поверхности трещины. Введя замену постоянных в виде
B.3.18)
выпишем доминирующие в окрестности вершины трещины слагаемые
в полученных решениях:
тип I, Х2 = О,
сг21 = тгв @ = 0)= /J при хх ^ О,
I B.3.20)
и± = -иг(в = ±тг) = ±?^К11А— при Х1^0.
2Gr у 2тг
Скалярные коэффициенты Ki и Кц представляют собой количе-
количественную меру особенностей и называются коэффициентами интен-
интенсивности напряжений. Эти коэффициенты полностью характеризуют
упругие поля в окрестности вершины трещины, поскольку в осталь-
остальной области распределение напряжений и деформаций определено из
решения задачи в целом. Можно показать, что даже при наличии
объемных сил и при нагружении поверхности трещины поверхност-
поверхностными нагрузками конечной интенсивности решение вблизи вершины
трещины будет иметь ту же структуру.
Заметим также, что установленные сингулярности получены в
рамках теории малых деформаций и не реализуются на практике.
Они представляют собой лишь следствие используемого математи-
математического аппарата [166], и их существование указывает, в сущности,
только на то, что градиенты перемещений вблизи вершины трещины
90 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
весьма велики. Включив последнее положение в теорию, молено по-
получить более точное описание поля в окрестности вершины трещины,
при котором значения напряжений конечны, хотя и очень велики. В
действительности непосредственно у вершины трещины развивается
пластическое течение, охватывающее определенную зону вокруг вер-
вершины трещины. Размеры этой зоны могут влиять на выбор критерия
разрушения (критерий начала распространения трещины).
2.3.2. Линейная механика разрушения. Трещина представ-
представляет собой самый острый концентратор напряжений. С уменьшением
радиуса кривизны в вершине надреза концентрация напряжений воз-
возрастает. Одновременно предполагаем, что материал пока не проявля-
проявляет свои пластические свойства. Поскольку радиус кривизны вершины
трещины весьма мал и не определен, то и напряжения в малой об-
области в непосредственной близости к вершине трещины могут быть
большими и не определенными количественно.
Вместе с тем, если рассматривать напряженную зону вне малой
окрестности вершины трещины (диаметром более 10 диаметров зерна
для более уверенного применения модели однородного континуума),
то на основании решений задач теории упругости оказывается, что
компоненты напряжений crij представлены так называемыми асимп-
асимптотическими формулами в виде
?ц(в). B.3.21)
В этих формулах г, в — полярные координаты точки с полюсом в вер-
вершине трещины; /^ (в) — известные функции, принимающие значение
единицы или нуля при в = 0; К — коэффициент интенсивности напря-
напряжений, не зависящий от координат г и #, его размерность: сил а/длина
в степени 3/2.
Из формулы B.3.21) следует, что при г —>> 0 напряжения <Jij —>> оо,
т. е. напряжения в вершине трещины имеют особенность вида 1/\/г.
Коэффициент при этой особенности — коэффициент интенсивности
напряжений К — характеризует величину напряжений в целом во
всей области, в которой справедливы формулы B.3.21). Характер же
распределения напряжений в этой области в зависимости от г и в
один и тот же для тел любой формы и любой схемы нагружения. По-
Поэтому для характеристики напряженно-деформированного состояния
в области справедливости асимптотических формул B.3.21) вполне
достаточно знания коэффициента К\ этот коэффициент (как след-
следствие решения линейной теории упругости)прямо пропорционален па-
параметру приложенных к телу нагрузок и зависит от размеров тела, в
частности, от размеров трещины. Рост нагрузки приводит к пропор-
пропорциональному росту К, что в свою очередь означает рост напряжений
(рис. 2.4). Основываясь на этом, Ирвин в 1957 г. предложил силовой
критерий разрушения в виде
К ^ Кс. B.3.22)
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 91
Рис. 2.4. Эпюры напряжений о~у перед вершиной трещины типа I для раз-
разных значений К
Неравенство означает безопасное состояние — отсутствие роста тре-
трещины; равенство означает наступление предельного (критического)
состояния равновесия, при котором трещина получает возможность
распространения.
Слева в выражении B.3.22) стоит коэффициент интенсивности
напряжений if, который следует знать в виде функции нагрузки,
размеров детали и трещины, а справа он же, но определенный из
опыта и играющий роль механической характеристики материала,
оценивающей его трещиностойкость, т. е. сопротивление материала
росту в нем трещины1). Величина Кс — критический коэффициент
интенсивности напряжений для плоского образца данной толщины t
г) Понятие трещиностойкости стоит в одном ряду с такими понятиями
механики материалов, как пластичность, прочность, ползучесть и т. п. Эти
понятия отражают явления, происходящие с материалом, и реакцию мате-
материала на внешнее воздействие. Мера количественной оценки этой реакции
может быть измерена разными величинами. Например, для тела с тре-
трещиной характеристики трещиностойкости можно оценивать критическим
коэффициентом интенсивности напряжений, критическим раскрытием вер-
вершины трещины, удельной работой разрушения, критическим значением
«джей»-интеграла, процентом волокна в изломе, критической температу-
температурой хрупкости, ударной вязкостью образца с трещиной и др.
92 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
(более кратко — «вязкость разрушения», или просто трещиностой-
кость) — определяется из эксперимента. (Подробнее о методах экспе-
экспериментального получения статических характеристик трещиностой-
кости см. п. 2.5)
Пример. Имеется деталь в виде полосы шириной Ъ = 200 мм и
толщиной t = 2 мм. В средней части полосы обнаружена сквозная
трещина длиной 21 = 20 мм. Известно, что полоса работает на растя-
растяжение; материал полосы — алюминиевый сплав Д16 (условный предел
текучести о"о,2 = 220 МПа, характеристика трещиностойкости Кс =
= 30 МПа • м1/2). Найдем критическое напряжение сгс, при котором
трещина начнет распространяться, приводя к полному разрушению
полосы.
Из справочника [237] находим формулу для коэффициента К, а
именно
К = <rV7rlY(l/b). B.3.23)
Здесь а — приложенное к полосе растягивающее напряжение; / — по-
полудлина трещины. Поскольку ширина полосы в десять раз превышает
длину трещины, то поправочный коэффициент Y(l/b) « 1. При этом
формула B.3.23) переходит в формулу для растянутой плоскости,
которая имеет вид .—
К = ау/тг1. B.3.24)
Подставляя это выражение в критериальное условие B.3.22), получа-
получаем уравнение
acV7d = Kc или crcvVl0 • 10~3 = 30 МПа • м1/2.
Отсюда искомое критическое напряжение оказывается равным
ас = 169 МПа.
Видим, что разрушающее напряжение полосы с такой трещиной
меньше предела текучести. Итак, на поставленный вопрос получен
ответ.
Поинтересуемся теперь критической длиной трещины в случае, ко-
когда полоса растянута расчетным напряжением а = 0,5 ао,2 = НО МПа
(т.е. а = сго,2/^о,2 ПРИ коэффициенте запаса по пределу текучести
п02 = 2). Условие разрушения B.2.22) позволяет записать
или
Отсюда критическая длина трещины, приводящая к полному раз-
разрушению полосы, равна 2/с = 56 мм. Она оказалась больше, чем в
первой части примера, поскольку действующее напряжение 110 МПа
меньше, чем 169 МПа.
Таким образом, если теперь предположить, что полоса растянута
расчетным напряжением 110 МПа и в этой полосе есть трещина дли-
длиной 20 мм, то коэффициент запаса по разрушающему напряжению
оказывается равным пс = сгс/сг = 169/110 = 1,5 вместо двух по преде-
пределу текучести.
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 93
2.3.3. Типы смещений берегов трещины и принцип су-
суперпозиции. В общем случае действия произвольной нагрузки на
тело с трещиной поверхности этой трещины смещаются относительно
II III
Рис. 2.5. Три типа смещений берегов трещины
друг друга. На основании принципа суперпозиции линейной теории
упругости это смещение можно представить в виде суммы трех типов
смещений (рис. 2.5):
тип I — трещина отрыва или нормального разрыва (скачка) сме-
смещений. Точки поверхности трещины смещаются в направлении, пер-
перпендикулярном к поверхности трещины;
тип II — трещина поперечного сдвига. Точки поверхности трещины
смещаются поперек передней кромки трещины (фронта трещины);
тип III — трещина продольного сдвига. Точки поверхности трещи-
трещины смещаются вдоль передней кромки трещины (фронта трещины).
Классификация трещин на эти три типа полезна не только по
соображениям удобства аналитического (или численного) решения, но
также и потому, что материал по-разному сопротивляется развитию
трещин этих трех типов. Поэтому тип трещин обычно указан нижним
индексом у коэффициентов интенсивности напряжений, а именно: Ki,
Кц, К т. И их предельные (критические) значения, найденные экс-
экспериментально на соответствующих образцах, обозначены: К/с, Кцс,
Во многих случаях для решения задач о трещинах удобно вос-
воспользоваться принципом суперпозиции линейной теории упругости,
позволяющим сложную систему нагрузок представить в виде суммы
более простых. Задачи о трещинах целесообразно приводить к зада-
задачам, в которых нагрузка действует только на поверхность трещины.
На рис. 2.6 показан пример такого приведения. Элементы упругого
решения исходной задачи 1 равны сумме элементов решения задач 2
и 3. Задача 2 не имеет особенностей решения в точках, соответствую-
соответствующих концам разреза. Поэтому на закономерности поведения трещины
будут оказывать влияние только элементы упругого решения, соот-
соответствующие задаче 3, в которой нагрузка приложена к поверхности
разреза. При этом нагрузка статически самоуравновешена.
94
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
W
L
Р—Ь-
Рис. 2.6. Представление решения задачи для тела с трещиной в виде суммы
решений для тела без трещины и тела с нагрузкой на поверхности трещины:
1 yx
1 yx
Рис. 2.7. Представление нагрузки на поверхности трещины согласно зада-
задачи 3 на рис. 2.6 в виде суммы нагрузок
Если теперь нагрузку, действующую на поверхность трещины,
разбить на сумму симметричных (тип I) и обратно симметричных
(тип II), то будем иметь для них элементарные виды деформации
краев трещины по одному из указанных выше типов (рис. 2.7).
Отметим, что при больших деформациях четкость обсуждаемого
разделения трещин по типам, как и принцип суперпозиции, могут
быть утрачены.
2.3.4. Напряженное состояние в окрестности конца разре-
разреза. В упругодеформированном теле с трещиной напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние определяют обычным для теории упругости
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 95
образом (аналитически или численно). При этом вершина трещины
(или ее кромка-фронт в пространственной постановке) оказывается
особой точкой — напряжения при приближении к вершине неогра-
неограниченно растут. На малых, сравнительно с длиной трещины, расстоя-
расстояниях в окрестности вершины трещины напряженно-деформированное
состояние описывается асимптотическими формулами, которые уже
обсуждались в п. 2.1.1. Область справедливости этих формул при —
—тг ^ 0 ^ тг ориентировочно такова: 10р<г<0,1/(р — радиус кривиз-
кривизны закругленной из-за деформации вершины трещины; / — полудлина
Рис. 2.8. Компоненты напряжений и система координат в вершине трещины
трещины) (рис. 2.8). Пластическое деформирование во внимание не
принято.
Выпишем асимптотические формулы (см. также 2.3.14) для ком-
компонент напряженного состояния около вершины трещины типа I.
В декартовых координатах
°х\ Ki 0 Л . О . 3 Л
> = . cos - ( 1 =р sin - sin -в],
Gy) V2^ 2 V 2 2 7'
. в 0 3
sin - cos - cos - <
2тгг III
5 cos- -cos -
I I
o Q к 3
3 cos - + cos - i
2 2
B.3.25)
В полярных координатах
а г =
ггв =
Для определения перемещений воспользуемся законом Гука:
ди 1 г / , м
?х = ~дх = Ё ^х ~ У^у + Gz^
B.3.26)
(sin ^+sin !<!>).
96 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Если рассматривать плоскую деформацию, то
sz = 0 и az = i/(ax + сг^).
Подставив в ди/дх напряжения и проинтегрировав, найдем
~ О Л Л , . 2
6! , _ .х B-3-27)
(G — модуль упругости при сдвиге).
В случае плоского напряженного состояния az = 0 и в формулах
для перемещений величины A — 2v) и A — ту) следует заменить соот-
l-i/ 1
ветственно на и .
1 + z/ 1 + z/
В формулах B.3.25)-B.3.27) появляется коэффициент К/, назы-
называемый, как уже указывалось, коэффициентом интенсивности напря-
напряжений, зависящий от формы и размеров тела, схемы нагружения и не
зависящий от координат г и в. Этот коэффициент оценивает значения
компонент напряжений и линейно связан с внешней нагрузкой.
По определению коэффициент интенсивности напряжений около
вершины трещины вычисляют по формуле
Ki = limV27rr ау (г, 0) при 0 = 0, г ->> оо. B.3.28)
Асимптотические формулы в окрестности конца трещины типа II:
в декартовых координатах
sin - ^2 + cos - cos - 6),
V27rr
л/2тгг
в полярных координатах
sin - cos - cos - (9, B.3.29)
2 2 2
0 Л . 0 . 3 Л
cos -II — sin - sin - в );
^ V z Z J
Кц ( г • 0 , о • 3 /Д
сгг = — ( —5 sin - + о sin -01,
4у 2тгг V 2 2 у
/ 6> , о 3 „\
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 97
асимптотические выражения перемещений
о • 2 0\
-2u-Sm 2)'
B.3.31)
По приведенным формулам молено вычислять главные напряжения,
их траектории, максимальные касательные напряжения и другие ве-
величины, обычно вычисляемые в связи с оценкой прочности материа-
материала. Некоторые из перечисленных характеристик показаны на рис. 2.9-
2.17. Наибольшее главное напряжение — в точках в = =Ьтг/2, причем
<7i(tt/2) - <т2Gг/2) = o-i(O) = G2 @).
Функции 0"i@) и о(й) — четные.
На рис. 2.15 показано, что максимум энергии оказывается при в =
= ±arccos(l/3) = 70,5° и на одну треть выше значения энергии при
(9 = 0°.
1,0
0,5
°'°0 45 90 135 6>,°
Рис. 2.9. Зависимость главных напряжений вблизи вершины трещины типа
I от полярного угла в
у/1
1,3
Л
0,9\
0,8 \
°'5\ \ I
sO,3\\\ /f//^l,2\
У
—-^
1,05|
/
°0 1 2 3 х/1
Рис. 2.10. Линия равных главных напряжений сг\ для трещины типа I
7 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
98
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Рис. 2.11. Главные напряжения при фиксированных значениях угла в вбли-
вблизи вершины трещины типа I. Напряжение для масштаба <то = К/
(го < 0
Рис. 2.12. Траектории главных напряжений в малой окрестности вершины
трещины типа I
Асимптотические формулы для напряжений и перемещений тре-
трещины типа III (антиплоская задача) имеют вид
Кп1
Km . в
rxz = 7== sin-,
/27ГГ
cos-,
r\
Km /2r .
B.3.32)
и = v = 0.
Из формул B.3.25) видно, что на продолжении трещины впереди
ее конца (при у = в = 0) напряжения сгу и сгх равны между собой
и являются главными. Это позволяет полагать, что при плоском
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 99
У/1
-^ 0,9
\0,з\
0,6 0,8^
V 1,3
ш
о
1
х/1
Рис. 2.13. Линии равных <тЭКв = o~i — o~2 по третьей теории прочности для
трещины типа I
Рис. 2.14. Линии равных <тЭКв по энергетической теории прочности для
трещины типа I
напряженном состоянии пластическое скольжение будет происходить
под углом 45° к плоскости трещины и лицевой поверхности пластинки
(так как ттах = сгу/2 будет именно в этой площадке). При растяжении
плоского тонкого образца с краевой трещиной происходит утонение
образца на продолжении трещины (рис. 2.18). При плоской дефор-
деформации cfz = v{cfx + cf у) = 2v а у и возникающее объемное растяжение
имеет меньшее по величине ттах, чем при плоском напряженном
состоянии. Поэтому пластическое скольжение затруднено, а размер
пластической зоны (при прочих равных условиях) меньше, чем при
плоском напряженном состоянии. При этом иногда говорят, что стес-
стеснение поперечной деформации препятствует развитию пластического
7*
100
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
1,4
0,2
\
\
\
\
\
\
\
о
45
90 135
Рис. 2.15. Зависимость удельной энергии формоизменения а^ от угла в на
фиксированном расстоянии от вершины трещины го (тип I)
-1
45
90
135 0,°
Рис. 2.16. Зависимость главных напряжений вблизи трещины типа II от
угла 0. Функции сг\@) и (Т2@) — нечетные
1.4
0,2
\
Ч ,
/
/
/
/
/
о
45
90
135
Рис. 2.17. Зависимость удельной энергии формоизменения а^
аргумента для трещины типа II
от углового
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 101
а б
Рис. 2.18. Пластическая зона в нетто-сечении при плоском напряженном
состоянии: а — площадка максимальных касательных напряжений; б —
шейкообразование (утонение) в нетто-сечении в результате пластических
сдвигов
Рис. 2.19. Пластическая зона в нетто-сечении при плоской деформации: а —
площадки с максимальными касательными напряжениями; б — утяжка на
тыльной поверхности в результате пластических сдвигов
102
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
течения. При растяжении плоского толстого образца происходит его
утяжка на тыльной поверхности (рис. 2.19).
Для трещин отрыва, т. е. типа I, максимальное напряжение gq
будет при в = 0, т. е. на продолжении трещины, а максимальное ау
будет при в = 60° и на 30 % превышает значение gq при в = 0. Однако
трещина, начиная распространяться, движется в направлении 0 = 0.
Это можно объяснить тем, что хотя направление (максимального) на-
напряжения Gy и перпендикулярно к плоскости трещины, точки с таким
Gy лежат не на продолжении трещины, а смещены в стороны. Если
от сгтах и возникают надрывы материала, то они располагаются так,
60°
Рис. 2.20. Схема образования вторичных трещин от максимальных напря-
напряжений av
как указано на рис. 2.20. Если такое происходит, то рост магистраль-
магистральной трещины сопровождается повреждением материала в ближайшей
окрестности трещины по обе стороны от ее берегов.
Из приведенных асимптотических формул следует, что при умень-
уменьшении расстояния от конца трещины напряжения неограниченно рас-
растут и при г = 0 напряжения равны «бесконечности». Однако ясно, что
задолго до «бесконечности» перестает быть справедливым закон Гука
и вступают в силу нелинейные зависимости между напряжениями и
деформациями, развивается интенсивная пластическая деформация,
а сами напряжения в конечном итоге оказываются ограниченными.
Но не только в этом причина ограниченности напряжений. Даже в
идеально упругом теле, когда линейный закон Гука справедлив для
малых объемов непосредственно у поверхности разреза, при точном
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 103
решении задачи теории упругости напряжения также будут ограни-
ограниченными по величине.
В математическом решении, из которого затем получены асимпто-
асимптотические формулы для напряжений, граничные условия относились
не к деформированной поверхности разреза, а к исходной на оси х.
Кроме того, у конца трещины в результате деформации возникают
значительные изменения углов наклона свободных поверхностей, т. е.
деформации соизмеримы с единицей. Для точной постановки задачи
теории упругости требуется учет больших деформаций и соблюдение
граничных условий на текущей поверхности разреза, т. е. на той, ко-
которая получается при деформации тела внешними нагрузками. При
этом задача становится нелинейной и довольно сложной. Образую-
Образующийся в конце разреза малый, но конечный радиус кривизны воз-
возрастает с ростом величины внешних нагрузок и обеспечивает огра-
ограниченные (хотя и большие) напряжения (см. здесь гл. 4). Наконец,
имитация трещины тонким математическим разрезом или тонким
эллиптическим вырезом также вносит различие в напряженное со-
состояние в малой окрестности в вершине трещины [183].
При наличии в конце разреза малого радиуса кривизны р напря-
напряжения имеют следующий вид [321]:
для трещин типа I
0 . 3
B.3.33)
sm - sm - и I =p cos ~
0 0 3 n p . 3
sm - cos - cos - в - — sm -
2?rr L 2 2 2 2r 2
для трещин типа II
Ки \ . о ( е з л , p . з j
ax = —= - sin - I 2 + cos - cos - 0 1 + — sin - 0 ,
л/2тгг L 2 V 2 2/2r 2J
Ки Г . 0 в 3 a p . 3 Л
sm - cos - cos -6 —— sm - в ,
L 2i 2 2 2t 2 J
ay =
и Л . в . 3 Л р 3
cos - 1 — sm - sm - в — -?- cos - i
/2тгг L 2 V 2 2 J 2r 2
для трещин типа III
. в KIIT 0
Sm о ' TVz = -7^= COS -.
Для трещин типа III начальный радиус кривизны в вершине тре-
трещины не отражается на напряженном состоянии.
В приведенных формулах начало полярных координат располо-
расположено так, что г ^ р/2 (р > 0). Для трещин типа I на самом конце
разреза при # = 0 и г = р/2 будет одноосное растяжение конечным
104
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
напряжением ау:
(Ух = тху = 0,
B.3.34)
Для больших г (г ^> р) из приведенных формул следуют формулы
B.3.25) и B.3.29).
Таким образом, в рассматриваемом идеально упругом теле с тре-
трещиной можно выделить три области (рис. 2.21).
К
Рис. 2.21. Три области идеально упругого тела с трещиной: 1 — обычное
решение теории упругости; 2 — асимптотическое решение; 3 — точное (де-
(детальное) решение
В области 1 напряженное состояние определяется из решения
обычной задачи теории упругости в целом для тела с трещиной.
В области 2 напряженное состояние можно получить из напряжен-
напряженного состояния области 1 при малых (для области 1) расстояниях от
конца разреза. Поскольку при этом область изменения независимых
переменных (в данном случае г — радиус от конца разреза) сосре-
сосредоточена в небольшом интервале, появляется возможность выделить
преобладающие члены из общего выражения для напряженного со-
состояния. По этой причине полученное решение называют асимптоти-
асимптотическим.
В области 3 напряженное состояние нельзя получить из асимпто-
асимптотического решения, но, как уже указывалось, задачу следует решать в
точной математической обстановке. Из полученного решения находят
напряженное состояние в области 2 в качестве асимптотического на
больших (для области 3) расстояниях. Таким образом, напряженное
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 105
состояние в области 2 является асимптотическим как со стороны
области 1, так и со стороны области 3. Можно решать физическую
задачу о механизме разрыва материала в малой области 3. Внешняя
нагрузка «проникнет» в это решение из краевых условий на гра-
границе второй и третьей областей через коэффициент интенсивности
напряжений. Получаем, что этот коэффициент контролирует процесс
образования новой поверхности тела в вершине трещины.
В действительности, в конце разреза возникает пластическая зона
разной формы и размеров в зависимости от свойств материала и
условий нагружения. Если эта зона мала, то сохраняется деление тела
на три области, причем третьей, самой маленькой областью, будет
пластическая. С ростом нагрузки (если трещина не распространя-
распространяется или распространяется, но медленно) пластическая зона растет,
и ее размеры могут стать настолько большими, что вторая область
(с асимптотическим решением, характеризуемым коэффициентом ин-
интенсивности напряжений К) исчезнет. В таком случае закономерности
поведения тела с трещиной зависят от степени развития пластических
деформаций у конца трещины, внутри пластической зоны.
Из предыдущего ясна большая роль коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений в механике развития трещин. Из асимптотических
формул B.2.25)-B.2.32) следует, что напряжения, перемещения и де-
деформации зависят от геометрии и размеров тела, длины трещины и
схемы приложения внешних нагрузок и их величины только через
коэффициент интенсивности напряжений. Значения (интенсивность)
напряжений у вершины трещины прямо пропорциональны коэффи-
коэффициенту К в асимптотических формулах, и вместо расчета самих
напряжений часто бывает достаточно оперировать только этим ко-
коэффициентом (формально, коэффициент интенсивности напряжений
равен напряжению на расстоянии «единица длины деленная на 2тг»
от вершины трещины). Можно предвидеть, что критерии разрушения
могут включать в свою формулировку коэффициенты интенсивности
напряжений, и поэтому методы отыскания этого коэффициента за-
занимают видное место в механике развития магистральных трещин.
Основное определение коэффициента интенсивности напряже-
напряжений Kj представлено формулой B.3.28) для трещины типа I. Для
трещин остальных типов подобные формулы для Кц и Кщ имеют
аналогичный вид.
Далее изложим несколько приближенных методов расчета коэф-
коэффициента К.
2.3.5. Расчет коэффициента интенсивности напряжений
по коэффициенту концентрации напряжений. Между указан-
указанными в названии пункта коэффициентами существует принципиаль-
принципиальная разница (вспомним, например, их размерности). Однако воз-
возможен предельный переход, устанавливающий связь между этими
коэффициентами. Действительно, если имеется надрез с конечным
106
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
радиусом кривизны р, то сгтах = аасг^ош^ и с уменьшением радиуса
сгтах растет. При стремлении р к нулю надрез переходит в трещино-
подобный дефект, и сгтах стремится к асимптотическому значению на-
напряжения для трещин. Тогда для трещины типа I из формулы B.2.34)
можно записать [321]
Ki = lim -
р—>0 Z
= lim -
р^-0 Z
B.3.35)
Например, при растяжении плоскости с эллиптическим вырезом по
Нейберу имеем аа = 1 + 2у/7Д>, где / — большая полуось эллипса.
Подставляя аа в формулу B.3.35), получаем точное значение К
для растянутой плоскости с одиночной трещиной:
Ki = lim -
р—^о 2
Располагая из справочной литературы графиками зависимости аа
от параметров задачи, можно получить экстраполяцией коэффициен-
коэффициенты интенсивности напряжений.
2.3.6. Использование решения частной задачи теории уп-
упругости для расчета коэффициента интенсивности напряже-
напряжений. Для определения коэффициентов интенсивности напряжений
можно использовать любые методы решения задачи теории упру-
упругости.
У\
Рис. 2.22. Плоскость с сосредоточенной силой, приложенной к одному из
берегов трещины
Приведем без вывода результаты аналитического расчета коэффи-
коэффициентов Kj и КЦ для плоскости с одиночной трещиной, нагруженной,
как показано на рис. 2.22. В этом случае имеем [268]
к- 1
B.3.36)
Этот результат позволяет получить решение для любой схемы на-
гружения плоскости с одной трещиной, используя принцип суперпо-
суперпозиции.
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 107
Рис. 2.23. Трещина отрыва (а) и поперечного сдвига (б)
Из рис. 2.22 и 2.23 следует: Ру = ау dx, Рх = rxy dx, Ь = х. Причем
эти элементарные силы приложены к обоим берегам трещины (поэто-
(поэтому множитель 2 в формулах B.3.36) сокращается). Используя форму-
формулы B.3.36) отдельно для сил Ру и
сил Рх (согласно рис. 2.23), запишем
(\х\
B.3.37)
Отсюда можно сделать вывод, что
для нагрузки, самоуравновешенной
на поверхности трещины, коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений не
зависит от упругих постоянных ма-
материала.
Пример. Рассмотрим сжатие
диска радиусом R и толщиной t
сосредоточенными силами Р вдоль
диаметра (рис. 2.24). Трещина дли-
длиной 2/ наклонена под углом /3 к ли-
Рис. 2.24. Сжатый диск с наклон-
наклонной трещиной
нии нагружения. Полярная система координат г, в имеет полюс в
центре диска, и угол в отсчитывается от линии нагружения. Решение
задачи теории упругости для сжатого диска без трещины таково:
2Р
RsinO
-2Rrcosв
Rsm6
_ 2Р nR-rcosO)(Rcos6-r) (R + г cos в)(Rcos в + г)
~ ^t Ш I (R2+r2 -2Rr cos вJ (Д2+г2 + 2Д<9J
108
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Подставив эти напряжения при в = C в формулы B.3.37), получим
коэффициенты интенсивности напряжений I и II типов:
(Уд
Поправочные функции Yj(/3) и Уц(/3) показаны на рис. 2.25 для
трех значений 1/R. Область положительных К/, раскрывающих тре-
У
п
-1
-3
-4
Л.
0,3х
\
\
Yi
\0,2
0,4
/
0,2
Уп
,-0,3
30
60
90
и Кц сж:атого
Рис. 2.25. Корректирующие функции в формулах для
диска с трещиной
щину, располож:ена при 0 < /3 < 30°, а максимум коэффициента Кц —
диапазоне /3 = 40 + 45°.
Применение аналитических методов решения в деталях сложной
формы становится затруднительным, и на первый план выступают
различные варианты приближенного и численного решений задач
теории упругости для расчета коэффициента К (см., например [199,
233]).
В расчетах часто записывают формулу для К в виде
в которой сомножитель а\Гк\ представляет собой коэффициент интен-
интенсивности напряжений растянутой плоскости с одиночной трещиной 2/,
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 109
a Y(l) — так называемая if-тарировка или поправочный множитель,
учитывающий конкретный вид тела с трещиной и схемы нагружения.
Так, например, при растяжении напряжением а полосы шириной 2Ъ
с центральной трещиной длиной 21 поправочный множитель (Ирвин,
1958 г. [321])
_ /26 , тг/
или (Феддерсен, 1966 г. [310])
К-тарировку Ирвина (формулу тангенса) можно использовать и
для полосы с двумя симметричными краевыми трещинами (каждая
длиной I) и для полосы шириной Ъ с одной краевой трещиной (дли-
(длиной /). В последнем случае при 1/Ъ —>• 0 множитель Y(l) —>• 1,12.
В наиболее глубокой точке поверхностной полуэллиптической тре-
трещины коэффициент интенсивности напряжений можно вычислять по
формуле [160]
К = rj(apMp + GqMq) y/nl/Q,
где rj — коэффициент, учитывающий концентрацию напряжений;
<jp, <jq — составляющие напряж:ений растяжения и изгиба; I — глубина
трещины; корректирующие сомножители
Мр = 1 + 0,12 (l - ^), Mq = l- 0,64 р
Q = 1 + 1,46 (//2сI'65;
здесь с — полудлина трещины на поверхности стенки; h — длина
зоны, в пределах которой составляющая изгибных напряжений по-
положительна.
Формула справедлива при / $J 0,251 и l/c $J 2/3 (t — толщина
стенки изделия).
При расчете зон, где отсутствует концентрация напряжений, rj =
= 1.
Для зон перехода жесткостей (соединения фланцев с цилиндриче-
цилиндрической частью корпуса, переходные поверхности и др.) коэффициент rj
определяют по формулам:
при 0 < t/R2 ^5 rj = 1 + (аа - 1)°'71,8/(*/Д2);
при t/R2 > 5 rj = 1 + (аа - lH'79/(V#2J.
При rj > аа принимают rj = aa.
Для зон отверстий (присоединения патрубков, штуцеров, труб)
коэффициент rj определяют по формулам
при tjRx ^0,8 г]= [1 + 5(ао- - 1) ехр(-0,8 /
при t/R1 > 0,8 г) = [1 + 2К -
110 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Здесь Ri — радиус отверстия; R2 — радиус кривизны концентра-
концентратора в рассчитываемом сечении; аа — теоретический коэффициент
концентрации (допускается равным аа при растяжении).
Составляющие напряжений растяжения и изгиба
=\1
-J adx,
t
где а — распределение напряжений (кольцевых или осевых) в расчет-
расчетном сечении стенки; <Jma,x = сг на растянутой поверхности стенки.
2.3.7. Метод сечений для приближенного определения ко-
коэффициента интенсивности напряжений. Рассмотрим плоское
тело, содержащее трещину и нагруженное в своей плоскости. Выде-
Выделим воображаемым сечением (которое может быть ломаным) часть
тела таким образом, чтобы это сечение проходило через конец тре-
трещины. Далее записываем условия равновесия внешних и внутренних
сил, действующих на оставшуюся часть тела. Дополнительное усилие,
возникающее у конца трещины в результате концентрации напряже-
а
ний, равно J ад dr, где величину а можно определить из условия, что
о
напряжение а о при г = а равно номинальному напряжению. Условие
равновесия сводится к тому, что усилие, не передающееся через линию
трещины, компенсируется усилием от концентрации напряжений у
вершины трещины.
Пример 1. Задача Гриффитса — бесконечная пластина с тре-
трещиной растягивается равномерно распределенным напряжением а в
направлении, перпендикулярном к линии трещины.
Усилие, не передающееся через линию трещины, равно 2а1 B/ —
длина трещины), а возросшее напряжение у концов трещины создает
а
дополнительное усилие, равное 2 J а о dr. Размер а находим из условия
о
cfq (г = а) = а, т. е. К/^/Ъга = а, откуда
Ы
Условие равновесия имеет вид
а
2сг/ - 2 Г ав dr = 0.
о
Подставив сюда cfq = —= и проинтегрировав находим коэффи-
л/2тгг
циент интенсивности напряжений К = <тл/тг/. Этот результат совпа-
совпадает с точным B.3.24).
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 111
Пример 2. Трещина в растянутой пластинке расположена под
углом 90° — а к направлению растяжения (рис. 2.26). В этом случае
tilt!!
Рис. 2.26. Растянутая плоскость с наклонной трещиной (штриховой линией
показаны напряжения, возникающие на верхней грани выделенного элемен-
элемента в сплошном теле; сплошными линиями — на нижнем берегу трещины)
для описания напряженного состояния около конца тещины необхо-
необходимы два коэффициента: Kj и Кц. Проводим сечение в направлении
трещины. В этом сечении номинальные напряжения ап = a cos2 a,
rnt = а cos а • sin а. Сумма проекций усилий на нормаль к сечению
дает уравнение (ап = ау, rnt = тху)
2anl - 2 Г с
о в =
где по-прежнему а = iff/Bтгсг2). Сумма проекций усилий на направ-
направление сечения дает уравнение
а'
2rntl - 2 Г rr9dr = 0, тгв =
о
где а! = iff7/B7rr2t).
Из первого уравнения равновесия получаем Ki = a cos2 ал/тг1, из
второго Кц = a cos a • sina\/vrL Этот результат совпадает с ранее
полученным для диска при 1/R —>- 0, 90 — а = /3 л а = Р/(Ш).
Недостаток метода в том, что он не позволяет оценить погрешнос-
погрешности решения (при отсутствии точного решения для сравнения).
Учитывая возрастающую потребность современной техники в
оценке прочности тел с трещинами, следует признать, что сложные
112 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
методы математической теории трещин, равно как и существующие
пакеты прикладных программ для ЭВМ, должны быть дополнены
пусть менее точными, но зато более простыми приемами вычислений,
в которых пониженная точность расчета компенсируется очень малой
трудоемкостью.
2.3.8. Устойчивые и неустойчивые состояния тела с тре-
трещиной. Тело с трещиной находится в состоянии механического рав-
равновесия, когда в любом элементе объема тела (как и для всего тела в
целом) соблюдаются условия равновесия. Это означает, что нагрузка
постоянна, нет движения элементов объема, следовательно нет рас-
распространения трещины (трещина неподвижна). Для того чтобы тре-
трещина стала распространяться, необходимо либо увеличить внешнюю
нагрузку, либо (при постоянной нагрузке) снизить работу разрушения
материала. С медленным ростом нагрузки трещина медленно рас-
растет. Малому приращению нагрузки соответствует малое приращение
длины трещины, и, следовательно, рост нагрузки сопровождается
соответствующим ростом длины трещины. Такое состояние тела с
трещиной называется устойчивым (иногда квазистатическим или до-
критическим) ростом трещины (или трещину называют устойчивой).
Для устойчивости трещины соблюдается условие dP/dl > 0, т. е. в
предельном состоянии равновесия (при соблюдении критериев разру-
разрушения) нагрузка является возрастающей функцией длины трещины.
Неустойчивой называют трещину, когда в некотором объеме, окру-
окружающем трещину, нарушаются условия механического равновесия.
При этом трещина распространяется и это распространение может
происходить при постоянной нагрузке. В предельном состоянии рав-
равновесия для неустойчивой трещины соблюдается условие dP/dl < О,
т. е. для остановки трещины надо успеть снизить нагрузку. Однако
скорость трещины в закритическом состоянии настолько велика, что
при испытании образцов на испытательных машинах успеть снять
нагрузку до полного разрушения образца практически не удается
(поскольку машина обладает некоторой податливостью). Кроме того,
даже при полностью удаленной внешней нагрузке трещина может
расти от наличия упругой энергии в самом образце, так как для того,
чтобы разгрузить образец полностью во всех его точках, требуется
известное время.
2.3.9. Энергетический критерий Гриффитса. Обратимся те-
теперь к энергетическому критерию разрушения, предложенному Ала-
Аланом Гриффитсом. Появившиеся в 1921 и 1924 годах работы Гриф-
Гриффитса по теории трещин считаются основополагающими, которые
открыли путь для теоретических исследований в области механиче-
механического разрушения [313, 314]. Исходным толчком для этой работы, по-
видимому, послужило известное несоответствие между теоретической
прочностью межатомных связей и наблюдаемой экспериментально.
Напомним, что теоретическая прочность на сдвиг одной атомной
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 113
плоскости по другой (теоретический предел текучести) равна тт =
= С/2тг (или, по другим, более точным оценкам, тт = G/30), т.е.
достаточно велика (см. гл. 1).
Такое большое расхождение по Гриффитсу объяснялось наличием
мелких трещин в однородном материале, приводящих к большой кон-
концентрации напряжений в упругом состоянии. При этом составляется
баланс энергий — необходимой для разрушения и имеющейся потен-
потенциальной энергии деформации, которая может быть израсходована на
разрушение. Энергетический метод Гриффитса позволяет отвлечь-
отвлечься от детального анализа механизма разрыва межатомных связей в
конце трещины и записать феноменологическое соотношение между
внешними и внутренними параметрами задачи в критический момент.
В качестве примера решена «задача Гриффитса», которая ставится
следующим образом.
Дана неограниченная плоскость, ослабленная одиночной прямоли-
прямолинейной трещиной (в виде предельно тон-
тонкой эллиптической полости) т/ = 0, |ж| ^ /. Т 1 1 1 Т
Плоскость растягивается равномерным на
бесконечности напряжением а в направ-
направлении оси у (перпендикулярно линии тре- *==
щины) (рис. 2.27).
Предполагается, что растяжение в на- 11111
правлении линии трещины (вдоль оси х) * * * * *
не оказывает влияния на условия рас-
распространения трещины. Требуется уста- ^ис- 2-2^- Растяжение плос-
новить, при каком значении внешнего кости с °ДИ™°Й трещи"
напряжения а трещина данной длины 2/ н и
станет неустойчивой, т. е. начнет быстро распространяться при по-
постоянной внешней нагрузке.
Поверхностная энергия этого тела, связанная с наличием трещи-
трещины, равна
г = 47г,
где 7 ~~ удельное поверхностное натяжение, вводимое для твердого
тела по аналогии с таким же понятием для жидкости. Величину 7
Гриффите определял известными физическими методами для распла-
расплава исследуемого материала (силикатное стекло) при разных темпера-
температурах. Экстраполируя затем полученные значения 7 на температуру
плавления данного материала, определялось 7 твердого тела. Потен-
Потенциальная энергия деформации пластинки без трещины больше потен-
потенциальной энергии пластинки с трещиной, поскольку вокруг трещины
существует зона уменьшенных напряжений (так как на свободных
поверхностях трещины напряжения равны нулю).
Предполагается, что точки приложения внешних сил не смещают-
смещаются с ростом трещины и, следовательно, работа внешних сил при этом
равна нулю.
8 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
114 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
В результате наличия трещины потенциальная энергия пластинки
уменьшается на величину
AW = We
>ез разреза vv с разрезом
Е
Последний результат получен из решения Инглиса A912 г.) о рас-
растяжении плоскости с эллиптическим отверстием, которое становится
узкой щелью (разрезом) при устремлении отношения полуосей эллип-
эллипса к нулю [186]. Большая полуось эллиптического выреза становится
полудлиной трещины I.
При этом напряжения на линии разреза будут:
при х > I (г = х — I)
Г х/1 I = К / г\/ Л\~1/2
°х aiy/(x/lJ-l J V2^\ l)\ 21J
x/l к Л г\Л r\-V2 B.3.38)
Gy = a J{x/iy-l = 7Ш V + l) V + 21J
при x < I
<jx = —a, <jy = 0, rxy = 0.
Здесь К = ал/тг! — коэффициент интенсивности напряжений.
Вдоль оси у (при х = 0) имеем
Если пластинка с разрезом находится в поле равномерного двух-
двухосного растяжения, то
х/1
при х > I ах = <Jy = сг— 7 =:
" /7 /7\9 -Г
При X < I <7Х = (Ту = 0.
Если пластина с разрезом нагружена равномерным давлением р,
распределенным по поверхности разреза, то
При X > I <JX = <7У = р\ — ;
При X < I <7Х = (Ту = —р.
Перемещения точек на поверхности разреза (при х < I) во всех
этих трех случаях равны между собой (при а = р), а именно:
B.3.39)
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 115
в случае плоского напряженного состояния
v =
Отсюда видно, что поверхность разреза в результате деформации
принимает форму эллипса
1 + ус
где 6* = а ——— /. Для плоского напряженного состояния 6* = 2al/E.
Дополнительно покажем, что уменьшение энергии деформации
можно получить из следующих ориентировочных соображений. Пусть
присутствие трещины приводит к снижению напряжений вокруг нее
до нуля в области, ограниченной эллипсом с полуосями / (на линии
трещины) и 21 (поперек трещины). Эта эллиптическая область пло-
площадью 2тг/2 вытянута в направлении приложенного напряжения, и
без трещины напряженное состояние одноосное с удельной энергией
деформации о /2Е. Выделившаяся от присутствия трещины энергия
равна 2 272
- • ж1 ¦ 21 = -^-,
что совпадает с величиной AVF, полученной Гриффитсом.
Это же выражение получим, если посчитаем, что изменение энер-
энергии деформации из-за присутствия в плоскости трещины равно работе
сил, действующих на трещину (согласно принципу суперпозиции) на
перемещениях берегов трещины от этих же сил. Именно,
AW = 2 -pvdx = р • — yl2 — х2 dx = ———.
-/ -/
Гриффите предложил для решения поставленной задачи энер-
энергетическую формулировку критерия разрушения на основе закона
сохранения энергии: трещина начнет распространяться, когда при
вариации длины трещины E1 > 0) приращение поверхностной энергии
компенсируется соответствующим выделением потенциальной энер-
энергии деформации:
5Т + 5W = 0, B.3.40)
где
5Т = 4 D7/) 51 = 47E/, 5W = 4 (-^J-)SI = -^?Л SI.
Запишем вариации энергий в виде
5Т = GIc5S, 5W = G5S,
где 5S — вариация площади трещины (для плоского тела толщиной
0W
t величина 5S = Ш), G =
поток энергии в вершину трещины
116 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
или, так называемая, трещинодвижущая сила, Gjc — характеристика
трещиностойкости материала. Тогда энергетический критерий разру-
разрушения запишется в форме
G ^ GIc. B.3.41)
Здесь принято, что работа внешних сил равна нулю, а тело с
трещиной идеально упругое (т. е.без пластических деформаций) во
всех своих точках. Левая часть равенства B.3.40) представляет прира-
приращение внутренней энергии тела. Приращение поверхностной энергии
имеет знак плюс, так как на эту величину внутренняя энергия тела
увеличилась. Приращение потенциальной энергии деформации имеет
знак минус, так как эта доля внутренней энергии выделяется телом
(вследствие релаксации, т. е. уменьшения напряжений в связи с появ-
появлением новых, свободных от нагрузок, поверхностей тела).
Условие B.3.40) перепишется в виде уравнения:
Откуда имеем формулу Гриффитса для критического напряжения
B.3.42)
Это напряжение записано для плоского напряженного состояния.
Случай плоской деформации формально может быть получен из плос-
плоского напряженного состояния путем увеличения модуля упругости Е
до величины E/(l — z/2), т. е. для плоской деформации
B-з-4з)
Напряжение B.3.42) или B.3.43) является разрушающим и отражает
критическое (предельное) состояние равновесия тела с трещиной. В
том, что критическое состояние равновесия является неустойчивым,
убеждаемся по отрицательным знакам —— и второй производной
ттл1 7Г (ТС1 7
внутренней энергии и = 47/ по длине / — параметру, харак-
Е
теризующему отклонение системы от равновесного положения:
d2U
~W ~ E '
Формулы B.3.42), B.3.43) определяют критическое напряжение,
при котором происходит самопроизвольный (без дополнительной ра-
работы внешних сил) рост имеющейся в теле трещины длиной 2/. Гра-
Графическое изображение связи ас и I (критическая диаграмма разруше-
разрушения) приведено на рис. 2.28. Характер потери устойчивости отвечает
случаю отсутствия любых форм равновесия при напряжении выше
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 117
I
«ение трещины
О 1 = 1С I
Длина трещины
Рис. 2.28. Критическая диаграмма раз-
разрушения в задаче Гриффитса
О 10
Рис. 2.29. Медленный докрити-
ческий рост трещины
критического, а закритическое состояние представляет собой движе-
движение трещины.
Этой теорией не учитывается медленный докритический рост тре-
трещины, который наблюдается экспериментально. В действительности
быстрый рост трещины наступает не внезапно, а после предваритель-
предварительного медленного устойчивого роста так, как показано на рис. 2.29.
Докритический рост трещины может быть объяснен, если принять
во внимание наличие пластической зоны перед концом трещины. При
этом в удельную работу разрушения включается работа пластических
деформаций вокруг вершины трещины и тогда суммарная удель-
удельная работа разрушения оказывается функцией длины трещины, что
и предопределяет возникновение докритической стадии роста тре-
трещины.
Из формулы Гриффитса следует, что
а\Д = const.
Эксперименты, проведенные Гриффитсом по разрушению стек-
стеклянных колб с нарезанными трещинами разной длины, показали
хорошее соответствие этой формуле. Видно, что постоянная в этом
уравнении не что иное, как коэффициент интенсивности напряжений.
Теория Гриффитса имеет большое значение, так как она:
объясняет уменьшение реальной прочности материала сравнитель-
сравнительно с теоретической;
показывает, что хрупкая прочность может быть выражена через
физические и механические свойства материала;
показывает, что максимальная разрушающая нагрузка достига-
достигается не при всякой начальной трещине, а только после достижения
трещиной некоторых критических размеров.
Из последнего пункта следует, что могут существовать безопасные
(неразвивающиеся) трещины, которые перейдут в опасные (развиваю-
118 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
щиеся) при соответствующем изменении внутренних (старение мате-
материала, его наводороживание, охрупчивание при облучении) и внешних
(рост нагрузки, переменность и динамичность нагрузки, охлаждение)
условий.
Поэтому принципиально возможно по критическим значениям
длины трещины и внешней нагрузки, вводя соответствующий запас на
наличие трещины, установить допуск на размер трещин и тем самым
иметь критерий для разумного отбраковывания изделий.
Наконец из физики твердого тела и из опыта изготовления и
эксплуатации инженерных сооружений известно, что, независимо от
нашего желания, разрушение материала и конструкций на той или
иной стадии развития (микроскопической, макроскопической) при-
присутствует, если и не с самого начала эксплуатации, то во всяком
случае спустя некоторое время. Но, как ясно из третьего пункта пе-
перечисленных выше научных результатов теории Гриффитса, наличие
трещин не обязательно немедленно выводит конструкцию из строя.
Это благоприятное обстоятельство и служит развитию механики раз-
разрушения как науки, конечной практической целью которой должно
быть создание надежных методов защиты конструкции от хрупкого
разрушения.
Долгое время теория Гриффитса имела академический интерес,
привлекая внимание отдельных исследователей только для ее моди-
модификации на основе некоторых критических замечаний. Однако суще-
существенных изменений, которые оставили бы заметный след, сделано
не было, и основные представления Гриффитса изменений не пре-
претерпевали. Положение начало кардинально меняться после того как
было установлено, что теория Гриффитса формально может быть
распространена на так называемое квазихрупкое разрушение. В этом
случае макроскопически разрушение носит хрупкий характер, но в
малых объемах, прилегающих к поверхности трещины, имеет место
интенсивная пластическая деформация. Работа, затраченная на пла-
пластическую деформацию этих объемов, отнесенная к единице площади
трещины, много больше (на 2—3 порядка), чем удельное поверхностное
натяжение Гриффитса. Эта удельная работа разрушения называется
вязкостью разрушения и отражает способность материала сопротив-
сопротивляться росту трещины. Заменяя в формуле Гриффитса удельное по-
поверхностное натяжение на удельную работу разрушения, получаем
распространение идеи Гриффитса на реально хрупкое разрушение.
А это уже означает, что теория Гриффитса приобретает прикладной
характер. Сильным толчком к практическому применению теории
Гриффитса послужили многочисленные катастрофы различных ин-
инженерных сооружений по причине хрупкого разрушения, имевшие
место в 40-х и 50-х годах. Среди таких катастроф можно назвать
хрупкие разрушения танкеров типа «Либерти» (более тысячи случаев
в сороковых годах), самолетов «Комета» фирмы Де Хевиленд и ра-
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 119
кеты «Полярис» (пятидесятые годы), газгольдеров, трубопроводов,
мостов и т. п.
Распространение теории Гриффитса на квазихрупкое разрушение
посредством увеличения удельного поверхностного натяжения на ве-
величину удельной работы пластической деформации тонкого поверх-
поверхностного слоя трещины было сделано Орованом и Ирвиным в 1947—
1952 годах [321, 353]. К сказанному добавим, что удельная работа
пластической деформации (она же работа разрушения Gc), так же
как и поверхностная энергия 7, зависит от межатомного взаимодей-
взаимодействия, что позволяет сделать вывод о наличии связи между ними, т. е.
Gc — 1р — f{l)i или более конкретно, 7р = Анп (Ann — постоянные).
Это соотношение позволяет оценить влияние окружающей среды на
процесс разрушения [306 ].
В последние годы термин квазихрупкое разрушение стал употреб-
употребляться для обозначения разрушений тел с трещинами в таком диа-
диапазоне температур (и длин трещин), в котором разрушающее напря-
напряжение выше предела текучести, но ниже предела прочности гладкого
стандартного образца.
2.3.10. Эквивалентность силового критерия энергетиче-
энергетическому. Понятие интенсивности освобождающейся упругой энергии
при увеличении поверхности трещины на величину dS или потока
упругой энергии в вершину трещины было введено Ирвиным [321]
как лтт
G = -g, B.3.44)
где П — потенциальная энергия системы (П = W — А).
Из предыдущих рассуждений в рамках концепции Гриффитса сле-
следует, что при распространении трещины интенсивность освобождаю-
освобождающейся энергии переходит в поверхностную энергию вновь образован-
образованных поверхностей трещины, т. е.
G = GC(=27). B.3.45)
Поток упругой энергии можно рассчитать следующим образом. Сде-
Сделаем мысленный разрез в напряженном теле по линии продолжения
трещины. Для сохранения всех элементов упругого решения в неиз-
неизменном виде приложим к поверхностям разреза те же напряжения ау,
которые возникают перед вершиной трещины (рис. 2.30). При рас-
распространении разреза на единицу длины, поверхности мысленного
разреза удаляются друг от друга на 2иу. При этом совершается работа
сил (jy dx на перемещениях иу, которая равна потоку энергии G
1
G = — / ау2иу dx.
о
Воспользуемся асимптотическими формулами B.3.25) и B.3.27)
для напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины
120
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
У.
X
-
v(xfi]
0 ^^У
1
X
Рис. 2.30. Окрестность вершины трещины до (а) и после (б") ее продвиже-
продвижения на единицу длины
I типа при в = 0 для ау и при в = тг для иу
Jy
К
7Ш'
и,, =
Е
После подстановки этих формул в выражение для G получаем
соотношения
G = (плоская деформация),
Е
G = — (плоское напряженное состояние).
Е
B.3.46)
Таким образом рассмотренный подход и полученные соотноше-
соотношения B.3.46) позволяют установить эквивалентность силового кри-
критерия разрушения Ирвина энергетическому критерию разрушения
Гриффитса:
Е
(плоская деформация),
B.3.47)
Gc = -=7- (плоское напряженное состояние).
Е
Величина Kjc называется вязкостью разрушения (трещиностой-
костью) и определяет способность твердого тела сопротивляться
развитию трещин при механических и других воздействиях.
В общем случае (при комбинированном нагружении твердого те-
тела и при распространении трещины вдоль ее исходного положения)
поток упругой энергии в вершину трещины в условиях плоской де-
деформации определяется аналогичным образом:
G =
+
К\и = G/ + G
u
. B-3.48)
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 121
2.3.11. Критерий разрушения при смешанном нагруже-
нии. Экспериментально установлено, что сопротивление материала
распространению трещины разное при разных видах нагружения.
Соответственно этому различают и три характеристики трещиностой-
кости вместе с соответствующими критериями разрушения, а именно
К 1С, Кн ^ К11С и К1и ^ KIIIC.
B.3.49)
Это в случае, когда нагружение по каждому из типов /, // и ///
производится независимо и порознь. Если же имеет место сложное
(смешанное) нагружение, при котором одновременно Ki ф 0, Кц ф
Ф О, Кш ф 0, то в пространстве коэффициентов К/, Кц, Кщ мож-
можно представить предельную поверхность, которая по осям координат
отсекает характеристики материала К/с, Кцс, Кщс и охватывает
начало координат. Уравнение этой предельной поверхности
F (К/, Кц, Кщ) = 0 B.3.50)
можно записать так
Ki
П.
Кпс
Здесь а,/5,7 — эмпирические постоянные материала, оценивающие
вклад каждого вида деформации в процесс разрушения. Точки внутри
поверхности B.3.51) отражают безопасное состояние, точки на поверх-
поверхности означают наступление предельного, критического состояния,
при котором наступает разруше-
разрушение посредством роста трещины.
Отсутствие экспериментальных
данных по показателям а, /3, 7
можно возместить предположени-
предположением, что область допустимых со-
состояний ограничена тремя плоско-
плоскостями Ki = Кic, Кц = Кцс и
Кш = К те и имеет прямоуголь-
прямоугольную форму. Это означает незави-
хо
Щ
Шс
Рис. 2.31. Предельная поверхность
в пространстве коэффициентов ин-
интенсивности напряжений
симость условия разрушения для
каждого типа трещин от одновре-
одновременного наличия остальных двух
типов трещин. Такая возможность
в определенных случаях и для определенных материалов допустима
и подтверждена экспериментально на растянутых призматических
образцах с наклонной краевой трещиной. Образец при этом дефор-
деформируется по типам / и /// [274-276]. Более подробно такое условие
разрушения в локальных объемах на фронте трещины выглядит сле-
следующим образом (рис. 2.31):
122 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
разрушение отрывом —
Kic Кис K
разрушение поперечным сдвигом —
Kic Кцс Kic
разрушение продольным сдвигом —
Kic Кцс Ki
Заметим, что эти соотношения молено использовать при темпера-
температуре ниже температуры хладоломкости (температуры хрупко-вязкого
перехода, отделяющей на температурной шкале области хрупкого и
вязкого состояний), устанавливаемой по виду излома с помощью со-
соотношений KjmaxKjjc = KjjmaxKjc и KjmaxKmc = Kinma,*Kic-
Представим еще один критерий разрушения для плоской задачи
при КHi = 0.
Критерий плотности энергии деформации основан на коэффици-
коэффициенте плотности энергии деформации (см., например, [265])
S = ацК] + 2а12К1К11 + а22К2ц, B.3.52)
где
ац = A + cos 9){н — cos 1
а12 = [2cos6>- {к- l)]si
а22 = [(x
в — угловая координата точки у вершины трещины, к = 3 — 4i/ — для
плоской деформации, к = C — ^)/A + v) — для плоского напряжен-
напряженного состояния, v — коэффициент Пуассона, /i — модуль упругости
при сдвиге.
Это следует из плотности энергии деформации перед вершиной
трещины на некотором расстоянии г, вычисленной по асимптотиче-
асимптотическим формулам B.3.25)—B.3.31), поскольку напряжение и деформа-
деформация имеют корневую особенность вида 1/\/г. Таким образом плот-
плотность энергии деформации можно записать в виде
где величина S названа коэффициентом плотности деформации.
Коэффициент S зависит от упругих свойств материала, от угла в
через коэффициенты а^ и представляет собой объемную плотность
энергии деформации, определенную в точках окружности единичного
радиуса вокруг вершины трещины.
2.3. Напряженно-деформированное состояние у вершины трещины 123
Критерий разрушения изотропного материала состоит из двух
условий.
Трещина растет в том направлении (вдоль радиуса от вершины),
в котором величина S принимает стационарное значение, т. е.
дв
= 0 при 0 = 00.
Трещина начинает распространяться в направлении, определяе-
определяемом п. 1, когда величина S достигает критического значения, т.е.
В частности, при разрушении плоского образца с трещиной пу-
путем отрыва имеем #0 = 0, Кц = 0, Kj = К/с, и величина Sc оказы-
оказывается связанной с вязкостью разрушения Kic соотношением Sc =
()
2.3.12. Формула податливости Ирвина. Пусть при упругом
нагружении плоского тела толщиной t трещина подросла на длину dl.
На диаграмме деформирования «сила Р-смещение v» начало продви-
P+dP
Р
О АР (X+dX)(P+dP) V
Рис. 2.32. Диаграмма деформирования упругого образца с трещиной
жения трещины соответствует точке с координатами (Р, г>), а конец —
(Р + dp, v + dv) (рис. 2.32). При разгрузке из этих двух точек прямые
линии идут в начало координат, а площадь треугольника между ними
представляет собой выделенную упругую энергию, равную работе,
затраченной на продвижение трещины. Если обозначить выделенную
упругую энергию на единицу площади трещины через G, то
0 0
1 Р АР
P + dP (A + d\) • (Р + dP)
Gtdl = ±
= -2P2dX.
124 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Здесь принято, что v = АР, где А — коэффициент податливости
(перемещение от единичной силы). При этом
v + dv = (A + dA)-(P + dP).
Учитывая, что d\ = — dl, получаем формулу податливости
ш
Эту формулу применяют, например, для определения соответствую-
соответствующего коэффициента интенсивности напряжений по известным соот-
соотношениям:
для плоского напряженного состояния
bG = К ; (z.o.54)
для плоской деформации
EG=A- v2)K2.
Помимо этого ясно, что, поскольку рост трещины обусловлен ба-
балансом энергий — выделяющейся и затраченной на этот рост — то
можно сформулировать энергетический критерий разрушения, восхо-
восходящий к Гриффитсу, в таком виде
G ^ Gc. B.3.55)
Здесь G — приток энергии в вершину трещины; Gc — удельная
(на единицу площади) работа разрушения, иначе, вязкость разру-
разрушения.
При G < Gc трещина не растет, при G = Gc трещина получает
возможность распространяться.
Принимая во внимание равенства B.3.54), можно сказать, что
силовой B.3.22) и энергетический B.3.55) критерии разрушения эк-
эквивалентны.
2.4. Пластическое течение у вершины трещины
и критерии нелинейной механики разрушения
2.4.1. Распределение напряжений в упругопластической
зоне у вершины трещины. Приближенную оценку размеров пла-
пластической зоны перед вершиной трещины можно получить из кри-
критерия пластичности, подставив в него решение упругой задачи для
рассматриваемого тела.
Асимптотические формулы, например, для трещины типа I
B.3.25) позволяют получить выражения для главных напряжений:
К 0 (л . . в
cos - 1 ± sin -
/2w 2
2.4- Пластическое течение у вершины трещины
125
~К Й
о"з = v{pi + сгз) = 2i/ : cos - (плоская деформация),
у2тгг 2
аз = 0 (плоское напряженное состояние).
Подставив эти главные напряжения в критерий пластичности Ми-
зеса (энергетическая теория формоизменения):
((Л - а2J + (а2 - сг3J + (сг3 - елJ = 2al2, B.4.2)
найдем уравнение границы пластической зоны в полярной системе
координат (рис. 2.33, а). Аналогичные вычисления для трещин типа II
0,5
0,5
Рис. 2.33. Форма пластических зон по критерию Мизеса для трещины ти-
типа I (а), типа II (б) и типа III (в): 1 — плоская деформация; 2 — плоское
напряженное состояние
и III приводят к уравнениям границ пластических зон, форма кото-
которых показана на рис. 2.33, б, в (единица длины по обеим осям равна
7rry/(K/<jQ^2J-) fy — расстояние от вершины трещины до точки на
границе пластической зоны).
В результате пластического течения вокруг вершины трещины
возникает рост деформаций с одновременным падением напряжений.
126
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
При этом, исходя из условий равновесия, размеры пластической об-
области естественно будут больше определенных подстановкой упругого
решения в известные условия пластичности. Это можно учесть соот-
соответствующим уменьшением предела текучести в виде сгэфф = А ао, 2
при Л < 1. Следовательно молено полагать [49, 50], что форма пласти-
пластической зоны определяется соотношением (на базе критерия пластич-
пластичности Мизеса)
° Асг B.4.3)
где <Ji — интенсивность напряжений в окрестности вершины трещины,
а Л есть функция координат точек. Однако для приближенных оценок
можно считать, что Л = const, причем 0,8 < Л < 1 в зависимости от
вида диаграммы деформирования <Ji = <Ji(?i).
Реальная форма пластической зоны зависит от многих факторов и
поэтому только в общих чертах повторяет аналитические или числен-
Рис. 2.34. Форма пластической зоны для трещины типа I (показатель
упрочнения п = 0,05)
ные решения. Например на рис. 2.34 показан результат уточненного
решения для границы пластических зон трещины типа I в растягива-
растягиваемой плоскости.
Радиальное и угловое распределения напряжений и деформаций,
в отличие от упругого, внутри пластической зоны разное. Хорошая
аппроксимация напряженного состояния а\-' (в первом приближении)
в пластической зоне может быть получена из выражения
B.4.4)
2.4- Пластическое течение у вершины трещины
127
в котором <7ij — компоненты напряженного состояния упругого при-
приближения; Es — секущий модуль диаграммы деформирования <тДб^).
Основываясь на соотношении Нейбера для коэффициентов кон-
концентрации напряжений и деформаций в пластической области, мож-
можно, зная напряжения, найти и деформации, поскольку их компонент-
компонентное произведение можно считать постоянным.
Например, ау • Еу = ау и т.д., где ау = сгу/сг0,2, ?у = ?у/?о,2,
50 2 = aQ^/E'i верхний индекс (р) означает принадлежность соответ-
соответствующей величины к пластической области.
При растяжении плоского образца данной толщины в областях
пересечения фронтом трещины лицевых поверхностей образца имеет
место плоское напряженное состояние и соответствующие форма и
размеры пластической зоны. В срединной части образца и фронта
трещины возникает стеснение деформации вдоль фронта и условия
деформирования приближаются к плоской деформации (трехосное
растяжение) с соответствующими формой и размерами пластической
зоны. Пластическая зона приобретает форму катушки. Из этого так-
также следует тенденция трещины начинать и продолжать расти с се-
середины толщины образца (эффект туннелирования), опережая края
трещины, примыкающие к лицевым сторонам образца. Рост толщины
образца приводит к изменению соотношений между объемами пла-
Рис. 2.35. Форма пластической зоны у фронта краевой трещины
стических областей у лицевых поверхностях образца и его середине
(рис. 2.35). Это, в свою очередь, приводит к зависимости вязкости
разрушения от толщины образца в согласии со следующей ориенти-
128
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
ровочной оценкой
Gct = GIC(t - 2ry)
• 2r
y.
Здесь предполагается, что центральная часть образца шириной
(t — 2гу) разрушается отрывом с удельной работой разрушения G/c, а
по краям образуются так называемые губы среза, в которых материал
разрушается по типу продольного сдвига с удельной работой разру-
разрушения Giuc (высота и глубина губ среза равна радиусу пластической
зоны 2
по Ирвину (см. B.4.6))). Видно, что с ростом толщины образца вяз-
вязкость разрушения Gc и Kq асимптотически стремятся к вязкости
разрушения в условиях максимального стеснения пластических де-
деформаций Gjc и Kic (рис. 2.36). Это обстоятельство ограничивает
снизу толщину образца для получения достоверного значения Kjc B
эксперименте. При этом согласно ГОСТ 25.506-86 толщина должна
быть больше 2,5iffc/cr^.
к1с
О t
Рис. 2.36. Зависимость вязкости разрушения от толщины образца. Сверху:
поперечные сечения образцов, где видны губы среза вблизи свободных
поверхностей образцов и прямой излом в центральных областях излома
Представим диаграмму деформирования материала через интен-
интенсивность пластической деформации Siv в виде
где Ann — постоянные материала, с^ — интенсивность напряжений.
Тогда компоненты напряжений и деформаций в пластической зоне
перед вершиной трещины согласно [320, 360] имеют вид (так называе-
называемое HRR- решение)
п/A+п)
\ • • )
2.4- Пластическое течение у вершины трещины
129
где J — инвариантный энергетический интеграл (см. пункт 2.4.3); 1п —
функция показателя упрочнения п (рис. 2.37).
4
6
4
2
О
О 1/15 1/12 1/9 1/6 1/3 п
Рис. 2.37. Зависимость параметра 1п от показателя упрочнения п: 1 —
плоская деформация; 2 — плоское напряженное состояние
—
— -—
2
к
1,5
1,0
0,5
0,0,
к
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0,
га = 1/3
\\
'о
0
тг/2
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
/
71 = 1/3
—
о
X
п=1/13
тг/2
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0.
'о
тг/2
/
п = 1/13
тг/2
Рис. 2.38. Эпюры безразмерных напряжений и деформаций в пластической
зоне у вершины трещины при растяжении при плоской деформации
9 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
130
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
к
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1.0,
_ \
Лт \
п = 1/3
о
тг/2
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2(
/
«=1/3
\\фтг
О
тг/2
к
1,0
0,5
0,0
-0,5
/Чгв
п = 1/13
Лт
V
5 о
тг/2
о
Рис. 2.39. Эпюры безразмерных напряжений и деформаций при плоском
напряженном состоянии
Величина J-интеграла отражает некоторую среднюю характери-
характеристику поля напряжений и деформаций внутри пластической зоны у
вершины трещины. Функции fij{9) и (fijF) угловой координаты в
приведены на рис. 2.38 и 2.39.
2.4.2. Пластическая поправка Ирвина. В металлических ма-
материалах перед вершиной трещины неизбежно возникает пластиче-
пластическая зона. При действии напряжений, малых сравнительно с пределом
текучести, наличием пластической зоны можно пренебречь и строить
все соотношения на основе теории упругости материала. При этом
справедливы все соотношения п. 2.3, приведенные выше. Если дей-
действующие номинальные напряжения приближаются к пределу теку-
текучести, то наличие пластической зоны следует учитывать. Для этого
можно по-прежнему использовать все соотношения, вытекающие из
теории упругости, но длину трещины увеличивают для сглаживания
эффектов, возникающих от пластической зоны, что позволяет по-
прежнему не принимать во внимание ее наличие.
Приблизительно радиус круговой пластической зоны гу находят
из условия равенства асимптотического напряжения ау = К/л/2тгг
2.4- Пластическое течение у вершины трещины
131
Рис. 2.40. Эпюры напряжений и деформаций перед вершиной трещины: 1 —
упругое асимптотическое решение; 2 — упругое решение вне пластической
зоны; 3 — напряжения в пластической зоне; 4 — деформации в пластичес-
пластической зоне
пределу текучести материала ао,2 (рис. 2.40). Отсюда
- J_
Гу~ 2тг
К
B.4.6)
Соответственно диаметр пластической зоны равен d = 2г^.
Этот результат следует из рис. 2.40 и уравнения равновесия (пло-
(площади А и В равны между собой)
' у
1
К
Отсюда находим, что Л = гу и, следовательно, если принять длину
трещины равной I -\- гу, то поле напряжений у вершины эффективной
трещины описывается асимптотическими формулами упругости.
Пластическая зона как бы сдвигает область асимптотического рас-
распределения напряжений на расстояние гу. Поэтому, если длину тре-
трещины фиктивно увеличить на гу, появляется возможность использо-
использовать все ранее полученные выражения и критерии линейной механики
разрушения (рис. 2.41).
Итак, пластическая поправка Ирвина состоит в замене реальной
длины трещины / на эффективную длину
B.4.7)
где if — поправочный коэффициент.
9*
132
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Рис. 2.41. Схема пластической зоны по Ирвину и раскрытия вершины тре-
трещины. Для распределений напряжений: линия 1 — К = a\fid\ линия 2 —
К =
С учетом этих формул и B.2.24) находим
. . rv . . 1 К2
J0,2
2
B.4.
При плоской деформации вследствие малости пластической зоны
поправку можно не вводить. Это видно из того, что при плоской
деформации (при которой перед трещиной а\ = <72, а а^ = 2isai) на
основании критерия Мизеса B.4.2) напряжение в пластической зоне
1
превышает предел текучести в
раз. При коэффициенте Пуас-
Пуассона v = 1/3 в формулу B.4.6) следует подставить Зао,2 и РЗДиус
пластической зоны при плоской деформации оказывается в 9 раз
меньше радиуса при плоском напряженном состоянии.
Возможны также и другие формулы для коэффициента <??, исходя-
исходящие из других расчетов длины пластической зоны. Например, исходя
из модели тонкой пластической зоны при плоском напряженном со-
состоянии [9], найдем ip = - A + secGrcr/2ao,2))-
Эту поправку используют и при обработке данных эксперимента
для определения характеристики трещиностойкости Кс и при расчете
элементов конструкций.
Пример. Определить остаточную прочность цилиндрического со-
сосуда, работающего на внутреннее давление. В стенке сосуда обнару-
обнаружена сквозная трещина длиной 18 мм. Сосуд имеет средний диаметр
d = 0,92 м, толщина стенки t = 9 мм. Предварительно с целью опреде-
определения трещиностойкости из материала сосуда с пределом текучести
сго52 = 340 МПа проведены испытания на растяжение плоского образ-
2.4- Пластическое течение у вершины трещины 133
ца шириной Ъ = 100 мм с центральной сквозной трещиной длиной
21 = 30 мм. Разрушающее напряжение получено ас = 160 МПа.
Сначала по данным испытания образца находим вязкость разру-
разрушения Кс по формуле
ъг —
Здесь Yi = YiBb/l) — корректирующий множитель.
Пока в качестве первого приближения находим У/ ' и соответст-
соответственно К[ ' без пластической поправки. Отношение 2Ь/1 = 30/100 =
= 0,33. По ГОСТ 25.506-85 (с. 20, табл. 1) имеем Yi@,33) = 0,77. Сле-
Следовательно вязкость разрушения
= acVbY1 = 160\/T00 • 0,77 = 1232 Н/мм3/2.
Находим диаметр пластической зоны
о К% 12322 . л о
2гу = —Ц- = ——г = 4,18 мм.
7TCTQ2 7Г3402
Теперь находим отношение 2//Ъ с учетом пластической поправки
2/эфф _ 2A5 + 2,09) _
Ъ ~ 100 " '
По этому отношению находим уточненный поправочный множи-
множитель Yi@,34) = 0,785, и более правильное значение вязкости разруше-
разрушения станет
Кс = acVbY1 = 160\/Т00 • 0,785 = 1256 Н/мм3/2.
Теперь перейдем к расчету сосуда с помощью силового крите-
критерия B.3.22). Поскольку отношение диаметра сосуда к толщине стенки
велико (около ста), то можно пренебречь кривизной стенки и исполь-
использовать формулу B.3.24) для коэффициента К. Тогда из условия К =
= Кс найдем остаточную прочность <ус, учитывая в выражении К
пластическую поправку.
Итак, уточненный диаметр пластической зоны
о. Кс 1256 . о.
тг3402
Критериальное условие сгу/тг(/ + гу) = Кс или асутг(9
1256, откуда разрушающее окружное напряжение
ас = ,1256_ = 212 МПа.
134 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Остаточная прочность в виде разрушающего внутреннего давле-
давления рс = —— = 4,15 МПа, что составляет 0,625 (= 212/340) от пре-
предельной прочности по пределу текучести.
2.4.3. Критерий разрушения при наличии пластических
зон у трещин. При относительно высоких уровнях приложенных на-
нагрузок и достаточной пластичности материалов в сечении с трещиной
возникают большие пластические зоны, соизмеримые с остаточным
(нетто) сечением детали. В этих случаях модели линейной механики
разрушения неприменимы из-за отсутствия области с асимптотиче-
асимптотическим распределением напряжений по формулам B.3.25)—B.3.32).
Необходимые для расчета параметры задачи и критериальные
условия нелинейной механики разрушения основаны на наличии пла-
пластической зоны и учитывают пластические свойства материала.
В линейной механике разрушения по сути только один критерий
разрушения B.3.22); в нелинейной механике разрушения подобных
критериев несколько; выбор между ними в значительной мере субъек-
субъективен и опирается главным образом на имеющиеся расчетные и экс-
экспериментальные возможности.
Перечислим несколько основных критериев разрушения.
Исторически первым появился критерий разрушения в виде плас-
пластического раскрытия 5 вершины трещины [195]
S ^ 5С. B.4.9)
Это означает, что трещина начнет распространяться, когда расстоя-
расстояние между двумя противолежащими точками 5 = 2v (х = /, у = 0) на
противоположных берегах трещины у ее вершины достигнет предель-
предельного значения. При этом пластическое течение у вершины трещины
приводит к ее затуплению и расхождению берегов трещины один от
другого на величину S у вершины. Один из методов эксперименталь-
экспериментального определения пластического раскрытия трещины 5С (трактуемой,
как характеристика материала, оценивающая его трещиностойкость)
состоит в доведении до разрушения балки на двух опорах с изгибаю-
изгибающей силой посередине пролета (трехточечный изгиб). На растянутой
стороне балки имеются, предварительно выращенные, две одинако-
одинаковые, рядом расположенные трещины. Полное разрушение происходит
по одной из них, а на оставшейся трещине оказывается возможным
замерить остаточное (пластическое) критическое раскрытие 5 = 5С,
которое образовалось в качестве разрушающего значения нагружаю-
нагружающего усилия.
Раскрытие S (с левой стороны условия B.4.9)) должно быть пред-
представлено для данной формы тела и схемы нагружения через нагрузку,
размеры детали и трещины. Справа в условии B.4.9) стоит критиче-
критическое раскрытие трещины, находимое экспериментально.
Для иллюстрации рассмотрим задачу Гриффитса о растяжении
напряжением а плоскости с одиночной трещиной длиной 21. Полагаем,
2.4- Пластическое течение у вершины трещины 135
что у концов трещины возникают пластические зоны в виде отрезков
конечной длины. На основании модели трещины с тонкой пластиче-
1 I 1 Г! I
Рис. 2.42. Растянутая плоскость с трещиной с тонкими пластическими зо-
зонами
ской зоной с использованием принципа суперпозиции для растянутой
плоскости получено [193] (рис. 2.42)
о = —=- lnsec . B.4.10)
7гЕ 2Gо,2
Длина пластической зоны d = а — I определяется условием
I тгсг
- = cos
а 2<то,2
Подставив аналитическое решение для раскрытия B.4.10) в кри-
критериальное условие B.4.9), получаем зависимость разрушающего на-
напряжения от длины трещины:
(Ус = -сто,2 arccosexpl — ). B.4.11)
Устремляя длину трещины к нулю, получаем конечное значение проч-
прочности материала плоскости, а именно ас = ао,2- Большие длины тре-
трещин (что можно оценить по малости ас сравнительно с сго,2) сводят
зависимость B.4.11) к формуле
(Ус =
которая совпадает с формулой Гриффитса при плоском напряженном
состоянии при
vO,2Sc = GC = K2JE.
В применении к упругопластическим деформациям у края трещи-
трещины эта формула получена Уэллсом [387], а для случая расщепления
атомных плоскостей аппроксимация ниспадающего участка межатом-
межатомного силового взаимодействия прямоугольником привела Леонова и
Панасюка [128, 195, 196] к аналогичному выражению сгтеор5к = 27
(^теор — теоретическая прочность на отрыв, 5К — критическое рас-
раскрытие трещины).
136 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Наибольшее распространение получил энергетический критерий
в виде
J < Jic, B-4.12)
в котором инвариантный энергетический интеграл J (или просто
J-интеграл) может быть вычислен по одной из двух общих формул:
J = / (W dy — cfijTii -^- J ds + / aaijSij — dxdy B.4.13)
Здесь Г — контур интегрирования, окружающий вершину трещины;
А — область внутри контура Г; W = J <Jij deij — плотность энергии
деформации, связь между напряжением crij и деформацией Sij может
быть нелинейной; щ — внешняя нормаль к контуру Г; а^щ = Tj —
нагрузка на контуре Г с внешней стороны области, охватываемой Г;
Uj — перемещение точек на Г; а — коэффициент линейного тем-
температурного расширения; Sij = 1 при i = j n Sij = 0 при г ф j —
символ Кронекера; Т = Т(ж, у) — температура; П — потенциальная
энергия системы (которая может быть представлена через площади
на диаграмме деформирования); t — толщина плоского образца; / —
длина трещины; ось х направлена вдоль трещины. Равенство B.4.13)
можно пояснить следующим образом. Запишем вариацию (в связи с
вариацией длины трещины в плоском теле) потенциальной энергии
области Л, мысленно вырезанной линией Г, начинающейся в точке на
нижнем и заканчивающейся на верхнем берегу трещины
= SW-5A= ГГ ^
Г
[(-Ti^- ds) 51 = JSl,
т. е. получим зависимость B.4.13). Учитывая далее, что согласно пер-
первому закону термодинамики ST + SW = 5А или 5Г = 5А — SW = —5IL
(Л1 < 0), получаем зависимость B.4.14).
Таким образом, величина J- интеграл а равна разности потенци-
потенциальной энергии системы при малом приращении площади трещины,
отнесенной к этой площади (сравните с формулой B.3.44).
Справа в условии B.4.12) стоит J/c, экспериментально определяе-
определяемая предельная величина J-интеграла, называемая упругопластиче-
ской вязкостью разрушения.
В линейно-упругом состоянии существует зависимость
A - p2)K2Ic = EJIc. B.4.15)
2.4- Пластическое течение у вершины трещины 137
Кроме того, J-интеграл связан с раскрытием в вершине трещины:
Jjc = т*сго,2^с5 B.4.16)
где эмпирический коэффициент т* зависит от степени упрочнения
материала и схемы нагружения образца и располагается в диапазоне
1 ^ т* ^ 3.
Иногда расчеты по критерию B.4.12) заменяют расчетами по кри-
критерию B.3.22), в котором вязкость разрушения Кс вычисляют по
формуле B.4.15).
Этот прием условен, но позволяет воспользоваться эксперимен-
экспериментально определяемой величиной Jc и большим набором справочных
данных о коэффициентах интенсивности напряжений К.
Различие в обозначениях Jjc и Jc ориентировочно соответствует
различию между Kjc и Кс.
Энергетический J-интеграл B.4.13) был предложен независимо
Г.П. Черепановым A967) и Дж. Райсом A968) в качестве параметра
разрушения для нелинейно упругого тела с трещиной при плоской
деформации. В рамках деформационной теории пластичности при
отсутствии разгрузки, концепция J-интеграла оказывается справед-
справедлива при упругопластическом поведении твердого тела. Характерной
особенностью энергетического интеграла является его независимость
в плоской задаче от контура интегрирования, охватывающего верши-
вершину трещины. Кроме того, для линейно или нелинейно упругого тела
J-интеграл эквивалентен интенсивности освобождающейся энергии с
ростом трещины в квазистатических условиях.
2.4.4. Контурная инвариантность J-интеграла. Продемон-
Продемонстрируем независимость J-интеграла
J = j (wdy-Ti^- ds^j B.4.17)
г
от контура интегрирования. В этой формуле Г — произвольный кон-
контур, охватывающий вершину трещины.
Рассмотрим теперь замкнутый контур интегрирования, не содер-
содержащий внутри себя особенностей упругого поля напряжений. Преоб-
Преобразуем интеграл по контуру в интеграл по области А, охватываемой
контуром Г:
Лд\? д ( ди
Оценим первое слагаемое в полученном выражении
dW_ _ _^ _ j_
дх ~ dSij дх ~ ^ дх '
138
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
В рамках теории малых деформаций
0W
дх
_1 \_д_ (дщ\ _д_ (диЛ] _ д (диЛ
~ 2 aij [дх, \дх ) + дхг\ дх )\ ~ aij dXj \дх)'
поскольку aij = aji. Условие равновесия
приводит к выражению
д
ди
дх
_ _д_ (диЛ
) ~ aij дх, \дх)'
которое идентично второму слагаемому в выражении B.4.18). Полу-
Получаем равенство нулю подинтегрального выражения в B.4.18). Таким
образом, J = 0 для любого замкнутого контура, проведенного в нели-
нелинейно упругом напряженном плоском теле.
Рассмотрим теперь два произвольных контура Fi и Г2, охватываю-
охватывающих вершину трещины и соединенных линиями Г3 и Г4 вдоль берегов
Рис. 2.43. Контуры интегрирования Г, охватывающие вершину трещины
трещины (рис. 2.43). Для получившегося замкнутого контура
J = Jx + J2 + J3 + J4 = 0.
На берегах трещины, свободных от нагрузок, Т{ = dy = 0. Следо-
Следовательно, Js = J4 = 0 и, изменив знак при изменении направления
интегрирования на одном из контуров, получаем J\ = J2. Таким об-
образом, произвольный контур, начинающийся на нижней поверхности
трещины, заканчивающийся на верхней и охватывающий вершину
трещины, дает одинаковое значение J. Следовательно, энергетиче-
энергетический J-интеграл не зависит от контура интегрирования.
2.4.5. J-интеграл как интенсивность освобождающейся
упругой энергии. Рассмотрим двухмерное тело единичной толщи-
толщины с трещиной, ограниченное контуром Г'. Запишем выражение для
2.4- Пластическое течение у вершины трещины 139
потенциальной энергии тела
П= fwdA- fluids,
А' Г'
где А' — площадь тела. Изменение потенциальной энергии тела при
варьировании длины трещины
Ш _ Г dV^dA_ [T.du±d
dl J dl J dl
A' r'
Полагая систему координат, связанной с вершиной виртуально
распространяющейся трещины, получаем dxjdl = — 1 и
dl dl dl dx dl dx'
Теперь изменение потенциальной энергии перепишем в виде
ш _ г fdw_ _ dw\ dA_ I
dl ~ J V dl dx J J
A' V
Далее запишем
dW_ _ dV^d?ij_ _
dl ~ dSij dl ~ ^ dXj V dl
С учетом этих соотношений и принципа виртуальных работ
f d (dui >
получаем
dU frr dui , f dW , ,
-7Г = Ti—-ds- / —— dA.
dl J dx J dx
Преобразуем интеграл по области в интеграл по ее границе соглас-
согласно теореме Гаусса-Грина:
/^^)/. B.4.19,
Таким образом, контурный интеграл эквивалентен интенсивности
освобождающейся энергии для упругого твердого тела. При нали-
наличии развитых пластических деформаций J-интеграл в соответствие
с формулой B.4.19) трактуется не как поток упругой энергии, а как
разность энергии двух твердых тел с незначительно различающимися
размерами трещин, отнесенную к разности длин этих трещин.
2.4.6. HRR-сингулярность у вершины трещины. Хатчинсон
A968) [320], Райе и Розенгрен A968) [360] показали, что J-интеграл
служит коэффициентом при сингулярных членах в выражениях для
140
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
компонентов напряжений и деформаций в окрестности вершины тре-
трещины:
J
— ) ац[Ъ,п), |
B.4.20)
для твердых тел, диаграмма деформирования которых аппроксими-
аппроксимирована степенной зависимостью типа Рамберга-Осгудаг)
— = а [ — ) ,
?о V его /
B.4.21)
где ?о = яо/Е) напрялсение его обычно принимается равным пределу
текучести, а — безразмерная константа, п — показатель деформаци-
деформационного упрочнения. В формулах B.4.20) 1п — функция показателя
п и вида напряженного состояния, сг^- и eij — безразмерные функ-
функции угла в и показателя п. Соотношения B.4.20) часто называют
HRR-сингулярностью (по первым буквам фамилий авторов).
HRR-сингулярность не учитывает эффекты больших пластиче-
пластических деформаций и пластическое притупление вершины трещины,
следствием этого является неограниченность напряжений у вершины
трещины при г —> 0. Расчет поля напряжений у вершины трещины
методом конечных элементов в рамках теории больших деформаций
и конечных геометрических изменений формы вершины трещины
в результате пластического притупления выявляет пик напряжений
при x<jq/J ~ 1 (рис. 2.44). Это расстояние соответствует удвоенному
п=10
— Анализ больших деформаций
HRR-Сингулярность
Рис. 2.44. Результаты МКЭ расчета напряжений у вершины трещины с
учетом больших деформаций
г) Аналогичные соотношения B.4.5) записаны для другой аппроксима-
аппроксимации диаграммы деформирования.
2.4- Пластическое течение у вершины трещины 141
раскрытию в вершине трещины 25. Тем не менее, вне указанной зоны
больших деформаций J-интеграл характеризует поле напряжений и,
следовательно, его критическое значение может быть принято в ка-
качестве критериальной характеристики, контролирующей начало раз-
разрушения.
2.4.7. Взаимосвязь J-интеграла и раскрытия в вершине
трещины. Компоненты перемещений у вершины трещины в рамках
HRR-решения можно записать в виде
EJ W(+i)
B.4.22)
где щ — безразмерная функция угла О
и показателя деформационного упрочне-
упрочнения п. Представим раскрытие в вершине
трещины как отрезок прямой, соединя-
соединяющий точки пересечения линий, прове-
проведенных из вершины трещины, с берегами
трещины (рис. 2.45). Эти линии образуют
между собой угол 90°. При этом предпо- '
лагается, что деформирование материала
в окрестности вершины трещины проис- Рис' 2М' Определение рас-
^ крытия в вершине трещины
ходат таким образом, что указанные точ- на оаюве нкк.решения
ки берегов трещины смещаются на вели-
величину их, т.е. наблюдается пластическое притупление вершины тре-
трещины, так называемый кажущийся рост трещины [290].
Тогда выражение для раскрытия в вершине трещины принимает
следующий вид (при г = г* и в = тг):
- = Uy(r*, 7Г) = Г* - Ux(r*, 7Г).
Отсюда, учитывая B.4.22), находим г*:
1^ / мп+1/n J
()]+/
г ={-^) [их (тг,п) + иу (тг,п)]+ j
Полагая S = 2^(г*,тг), получаем взаимосвязь раскрытия в вер-
вершине трещины и J-интеграла
ао5 = anJ, B.4.23)
где ап — безразмерная константа, равная
( CYCTn Л 1/п
2пу (тг, п) \ -=- [йх (тг, п) + йу (тг, п)] \
ап = ЬБ J . B.4.24)
Величина ап существенно зависит от показателя деформационного
упрочнения (рис. 2.46). В случае плоского напряженного состояния
142
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Y
Плоскостное
напряженное состояние
6=аг
iJ/O'q
ао/Е:
,0,008
,0,004
^0,002
-0,001
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
ап
0,8
0,6
0,4
0,2
°'0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 \/п
Рис. 2.46. Влияние показателя деформационного упрочнения на связь меж-
между J-интегралом и раскрытием 6 по формуле B.4.23)
ап = 1 для неупрочняющегося материала (п —>• ос), что согласуется
с моделью узкой пластической зоны у вершины трещины в тонкой
пластине.
В этом случае считаем пластическую зону отрезком длины d перед
вершиной трещины вдоль оси х. Вычисляя J-интеграл против часовой
стрелки по контуру Г, совпадающему с нижней и верхней сторонами
этого отрезка, имеем
V
Пл
оская
lecfiQpiv
1ЕЦИЯ
ao/R
.0,008
0,004
;о,оо2
¦0,001
i+d
J=
l + d
l + d l +
= — / aodv — /
= — 2ctq (v(l + d) — v(l)) = 2<j$v = <jq5.
2.4- Пластическое течение у вершины трещины 143
Здесь v(l + d) = 0, v(l) = 5/2, cfq — напряжение вдоль границы
пластической зоны.
Раскрытие в вершине трещины на основе модели Леонова-Пана-
сюка—Дагдейла можно взять в виде
г (К + 1)oqI т 7ГСГ
о = — In sec .
irG 2сг0
Тогда энергетический интеграл примет вид
т (к + 1)СГО/ , 7ГСГ
J = -^ In sec .
тг/ 2сг0
Учтя, что в упругой задаче Гриффитса при плоской деформации
J — G — ^ ^ ~ v ^ — П<7 ^ A — v2)
находим отнопгение энергетического интеграла при пластическом те-
течении у вершины трещины к его значению в упругом случае
— = 5" In sec
Je (K(T у
J-интеграл растет с ростом напряжения, стремясь к бесконечности
при а = его- В этих условиях и длина d тонкой пластической зоны
также стремится к бесконечности согласно формуле Дагдейла
/ 7ГСГ
= COS
l + d 2cr0
2.4.8. Критерий разрушения. Свойство инвариантности J-ин-
теграла и его способность оценивать сингулярное поле напряжений и
деформаций позволяют сформулировать критерий разрушения:
J = J/c, B.4.25)
т. е. трещина начинает распространяться, когда J-интеграл достигает
предельного значения J/c. В случае хрупкого разрушения, как было
выше показано, J-интеграл равен интенсивности освобождающейся
энергии и, следовательно, J/c = Gic. Из этого следует зависимость
JIc=(l^-lKl. B.4.26)
В случае развитого пластического течения у вершины трещины соот-
соотношение B.4.26) становится несправедливым. Однако именно в этом
случае рассматриваемый критерий оказывается наиболее эффектив-
эффективным в практических приложениях.
Экспериментальное определение критериальной характеристики
твердого тела J/c может быть основано на экспериментальном ана-
анализе напряженно-деформированного состояния у вершины трещины
144
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
(например, с помощью метода делительных сеток, малобазных тен-
зодатчиков, метода муара с использованием деформационной тео-
теории пластичности) с последующим интегрированием по выбранному
контуру в соответствие с формулой B.4.17). При этом используется
свойство инвариантности контурного интеграла. Другой метод экс-
экспериментального определения J/c предполагает использование диа-
диаграммы деформирования образца с трещиной на основе соотноше-
соотношения B.4.19).
Отметим, что значительные преимущества концепции энергети-
энергетического J-интеграла по сравнению с концепцией коэффициента ин-
интенсивности напряжений обусловлены менее жесткими требованиями
к размерам образца для достоверного определения J/c. При этом в
случае маломасштабного течения у вершины трещины допускается
расчет вязкости разрушения Kjc по формуле B.4.26).
2.4.9. Некоторые методы расчета J-интеграла. Использова-
Использование критерия B.4.25) предполагает наличие расчетных формул для J,
куда в качестве параметров должны входить приложенное к телу
напряжение, размер трещины, геометрия тела и особенности схемы
нагружения. Для расчета J-интеграла привлекают как численные,
так и приближенные аналитические методы, используя рассмотрен-
рассмотренные свойства контурного J-интеграла, например, свойство инвариант-
инвариантности. Рассмотрим некоторые приближенные методы расчета J (см.
также п. 3.5) [177].
Метод сечений в упругопластической механике разрушения. Ана-
Аналогично механике разрушения упругих тел метод сечений (см. п. 2.3.7)
позволяет получить приближенные решения и в задачах нелинейной
механики трещин. Запишем урав-
нение равновесия в задаче о рас-
растяжении плоскости с трещиной
длины 21 в виде
dx =
B.4.27)
О
R
Размер зоны справедливости
HRR-сингулярности напряжений
у вершины трещины R (рис. 2.47)
определяется условием равенства
сингулярных напряжений ау на
линии продолжения трещины
(г = х) номинальным напряже-
напряжениям а. Это условие и формула
B.4.20) приводят к оценке характеристического размера R при г = R
Рис. 2.47. Распределение напряже-
напряжений перед вершиной трещины
R =
2.4- Пластическое течение у вершины трещины
145
Теперь, подставляя напряжения ау по формуле B.4.20) и величину R
в уравнение равновесия B.4.27), получаем
(То
B.4.29)
где Л„ = /„/[*„((),п)]<»+1>.
Отметим, что характеристический размер зоны HRR-сингулярнос-
HRR-сингулярности напряжений у вершины трещины может быть представлен с учетом
соотношений B.4.28) и B.4.29) в следующем виде:
R =
1
B.4.30)
При этом размер зоны сингулярности линейно связан с длиной тре-
трещины и слабо зависит от показателя деформационного упрочнения.
В случае упругого тела соотношение B.4.30) дает известное решение
линейно упругой механики разрушения R = 1/2.
Приближенная формула B.4.29) может быть также переписана в
терминах коэффициента интенсивности напряжений. Для неограни-
неограниченной плоскости с трещиной при растяжении К = сгутг/, и форму-
формула B.4.29) принимает следующий вид:
_ АпаеопКп+1 B 4 ЗП
В твердых телах в пластичном состоянии наблюдаются медленный
устойчивый рост трещины, выражающийся в увеличении параметров
механики разрушения с ростом трещины, например, коэффициента
интенсивности напряжений, раскрытия в вершине трещины, J-интег-
рала. Докритический рост трещины принято отражать с помощью так
называемой ^-кривой [29]. На рис. 2.48 изображена кривая сопротив-
сопротивления росту трещины — J^-кривая. Кривая сопротивления материала
Jr
LlJR/ Ul
Страгивание
трещины
Притупление
трещины
Прирост трещины
Рис. 2.48. «/д-кривая сопротивления медленному росту трещины
10 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
146 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
росту трещины описывает медленный докритический рост трещины
и является весьма информативной, отображающей различные стадии
процесса разрушения. Например, величина J/c отображается (репер-
ной) точкой на этой кривой и соответствует началу быстрого роста
трещины.
Сопротивление материала устойчивому росту трещины характери-
характеризуется наклоном ^-кривой, который при данном приросте трещины
количественно оценивается модулем разрыва
где индекс R обозначает величину J-интеграла в той точке кривой
сопротивления росту трещины, где взята производная. Полагают, что
модуль разрыва Тц — постоянная материала при заданной темпера-
температуре и скорости нагружения.
Переход трещины от устойчивого к неустойчивому росту во мно-
многом зависит от податливости системы. Неустойчивое состояние тре-
трещины при мягком податливом нагружении (фиксированная нагрузка)
наступает при меньшем приросте трещины, чем в условиях жесткого
нагружения (фиксированное перемещение). Трещинодвижущую силу
в теле с трещиной (аналогично свойству материала B.4.32)) представ-
представляют через так называемый приложенный или действующий модуль
разрыва (свойство конструкции)
Предварительно J-интеграл в функции длины трещины должен быть
вычислен для элемента конструкции. Заданное извне смещение Ат
представим в виде суммы смещений детали и нагружающего устрой-
устройства, включенных последовательно, вдоль линии действия приложен-
ной нагрузки: Дт = Д + АР,
где А — перемещение точек тела от приложенной нагрузки, Л —
податливость нагружающего устройства. Выражение (dJ/dl)A имеет
следующий вид [290]:
dJ\ _(dJ\ (dJ\ (дА\
Это соотношение получается совместным решением следующих
двух:
При мягком нагружении Л = оо и, следовательно, из приведенной
выше формулы получаем
dJ_\ _ fdJ_
) AT ~
а при жестком нагружении имеем Л = 0 и Ат = А.
2.4- Пластическое течение у вершины трещины
147
Условие устойчивого распространения трещины может быть запи-
записано в виде следующего критерия:
J = Jr, Tapp ^ TR. B.4.34)
Неустойчивое распространение трещины имеет место при
J = Jr, Tapp > TR B.4.35)
и иллюстрируется рис. 2.49.
Неустойчивость
при мягком
нагружении
Размер трещины
Рис. 2.49. Определение длины трещины в момент ее перехода от медленного
роста к быстрому самопроизвольному
Пример. Дана растягиваемая деталь из стали 12Х18Н9Т в форме
полосы шириной Ъ = 100 мм и толщиной t = 1,5 мм. Разрушающее на-
напряжение оказалось равным ас = 375 МПа, что на 10 % выше предела
текучести, но ниже временного сопротивления аь = 620 МПа. Другие
механические свойства ctq,2 = 340 МПа, Jc = 480 МПа • мм (найден
экспериментально, методом сеток [149]), уравнение диаграммы дефор-
деформирования при одноосном растяжении (а = а*?т) за пределом теку-
текучести а = 770?0'2, т.е. а* = 770 МПа, m = 0, 2. Найдем критическую
длину краевой трещины /с, в результате которой произошло снижение
разрушающего напряжения.
Воспользуемся критерием в форме B.4.12). Для расчета J-интег-
J-интеграла воспользуемся формулой C.5.16) главы 3
J
2К2 / а \ i1-™)
A + т)<т* \aj
B.4.36)
Предположив, что ширина полосы много больше длины трещины,
возьмем коэффициент интенсивности напряжений для краевой тре-
трещины в полуплоскости
К = 1,12ол/тг/. B.4.37)
Подставив в условие B.4.12) известные величины (с учетом формул
B.4.36) и B.4.37)), получаем уравнение относительно критической
10*
148
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
длины трещины:
2 • 1.122 • 3752тг/с /375\4 _
A + 0,2)-770 V7707 ~
Отсюда находим /с = 7,3 мм. Таким образом, разрушение произо-
произошло квазихрупким образом, при разрушающем напряжении выше
предела текучести, но ниже временного сопротивления из-за трещины
длиной около 7 мм.
2.5. Экспериментальное определение характеристик
трещиностойкости
2.5.1. Механические свойства, оценивающие сопротивле-
сопротивление материала росту трещины. Характеристики трещиностой-
трещиностойкости оценивают сопротивление материала распространению в нем
трещины [209]. Они определяются на образцах, содержащих заранее
созданные трещины усталости согласно ГОСТ 25.506-85. Наиболее
распространенные типы образцов показаны на рис. 2.50—2.52.
1—i
СМ
см
т—1
сз
см
2
0dH9
2 отв.
л.
(\
\\
(\
Т
~щ
J
J
hJs12
/„ *
ТипЗ
1—1
-?
см
см
I | |
< ° >
г !
/
/
Ь
>
Rz20,
V (vO
А-А
90о±^М
уш
V//////A
V//////A
'Ш,
fel2^
Схема нагружения
Рис. 2.50. Плоский образец на внецентренное растяжение (компактный об-
образец): Ъ = 2t- Ъг = 1,25 6; Я = 1,2 6; 2а = 0,55 Ъ; d = 0,25 6; /0 = @,45 -г- 0,55N;
/ ^ 0,06 6; h= @,35^-0,5N
.5. Определение характеристик трещиностойкости
149
Rz20,
Схема нагружения
Рис. 2.51. Образец с краевой трещиной на трехточечный изгиб: L — рас-
расстояние между опорами; 6 = 2?; /о = @,45 -=- 0,55N; I ^ 0,06 6; L = 46; L\ =
= 46 + 0,5 b;h= @,35 -=- 0,5N; толщина t ^ 10 мм
Схема нагружения
Рис. 2.52. Плоский образец с краевой трещиной на растяжение. Тип 5: L —
расстояние между частями образца, служащими для крепления в захватах;
6^ 6?; L ^ 26; /i = 0,16
При выращивании усталостных трещин следует ограничивать эф-
эффекты наклепа (т. е. предварительной остаточной деформации) и
повреждения металла вокруг вершины трещины. С этой целью мак-
максимальное напряжение цикла не должно превышать О,5ао525 а реко-
150
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
мендуемое число циклов нагружения при выращивании усталостной
трещины не меньше 5 • 104.
Во время испытаний на надрез устанавливают двухконсольные
датчики смещений тензорезисторного типа по ГОСТ 25.506-85.
Нагружение до полного разрушения этих образцов ведут на лю-
любой машине для механических испытаний. При этом записывается
диаграмма «сила Р-смещение v». Смещение v измеряется вдоль ли-
линии действия силы Р между точками на противоположных берегах
надреза. Характерные виды этих диаграмм приведены на рис. 2.53.
Тип II
Vnc Vq
VWRWf
>рс VQ VC
17 ИЛИ /
Рис. 2.53. Диаграмма деформирования:
tga30 = 0,7 tg a (AG = 0,3 АЕ)
= 0,95tgа (АВ = 0,05 АЕ);
разрушение образца происходит в точке С диаграмм типов I—III и в
точке F диаграммы типа IV. На этих диаграммах точка С отвеча-
отвечает максимальному усилию Рс; точка D отражает возможный скачок
2.5. Определение характеристик трещиностойкости
151
трещины, что приводит к локальному максимуму в точке D; точка Q
получается пересечением диаграммы с «пятипроцентной секущей» —
линией О В из начала координат под углом «5, тангенс которого на 5 %
меньше тангенса линии начального упругого нагружения ОА. После
разрушения на изломе определяют длину усталостной трещины по
результатам трех измерений в виде средней арифметической — одно
Рис. 2.54. Схема измерения длины исходной усталостной трещины: I =
= - (Zi + Ь + h)\ 1 — граница надреза; 2 — контур усталостной трещины;
о
3 — статический долом
измерение в центре и два остальных на равных расстояниях от центра
и боковых поверхностей (рис. 2.54).
По диаграмме P-v определяют нагрузки Pq,Pd и Рс. Далее для
расчета вспомогательного коэффициента Kq определяют силу Pq.
Для диаграммы типа I принимают Pq = Рс, типа II Pq = Pp, для
диаграмм типов III и IV силу Pq определяют в точке пересечения
диаграммы с прямой ОВ. Зная силу Pq, находят вспомогательный
коэффициент Kq по формуле (Л = Z/6, t — толщина образца)
Р ^/ЛЧ B.5.1)
где для образца типа 3 при 0,45 Ъ ^ I $J 0,55 Ъ корректирующий фактор
равен Y = Y3 = 13,74 A - 3,38Л + 5,572 Л2).
152 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Для образца типа 4
где при 0,45 Ъ ^ / ^ 0,55 Ъ
Y4 = 3,494 A - 3,396 Л + 5,839Л2).
В случаях, когда требуется рассчитать коэффициент для большего
диапозона длин трещин @ < А ^ 0,6), используют уточненные фор-
формулы:
для образца типа 4
К = ^^ У4(А), У4 = 1-93 - 3.07Л + 14,53 Л2 - 25,11 Л3 + 25,8 Л4;
для образца типа 5
К = ^1у5(Л), У5 = 1,99-0,41 Л+ 18,7Л2-38,48Л3+ 53,85 Л4.
to
На диаграмме P-v так же, как и на обычной диаграмме деформа-
деформации а—?, молено отметить характерные точки. Таких точек две — Q
и С (см. рис. 2.53), они характеризуются соответствующими силами
Pq и Рс. Для точки Q вычисляют вспомогательный коэффициент Kq
по формулам B.5.1) для коэффициента К соответствующего образца
подстановкой в эти формулы силы Pq (и других размеров, в част-
частности, длины трещины, измеренной по излому после полного разру-
разрушения) .
Величину Kq считают равной вязкости разрушения Х/с, если вы-
выполняется условие малости пластической зоны у вершины трещины
(условия достоверности определения Kjc). Эти условия таковы:
либо одновременно
Рс < 1,1 PQ, t > 2,5 (KQ/a0,2J, fc = ^ • 100 % ^ 1,5 %,
B.5.2)
либо
Pc^ 1,1 Pq И Vc^
Достоверность определения Kic растет с ростом толщины образца.
Если условия достоверности не удается удовлетворить, то в качестве
результата фиксируется величина Kq.
Для этой лее точки определяют коэффициент Kq t (аналог услов-
условного предела текучести cq^)-, но только для разрушающих напряже-
напряжений в нетто-сечении меньших 0,8 ао,2- Коэффициент Kqt вычисляют
по формулам для К с подстановкой силы Pq и эффективной длины
трещины /эфф = / + г у по формуле B.4.7).
2.5. Определение характеристик трещиностойкости 153
В точке С по силе Рс вычисляют условный (аналог временного
сопротивления аь) предельный коэффициент интенсивности напря-
напряжений К* (его же называют пределом трещиностойкости, причем в
данном случае для фиксированной длины трещины 1/Ъ = 0,5 согласно
рис. 2.50, 2.51). Если же разрушающее нетто-напряжение оказалось
ниже 0,8 его, 2? т0 определяют критический коэффициент интенсивно-
интенсивности напряжений Кс (который также есть одно из значений предела
трещиностойкости /с).
Предельное пластическое раскрытие 5С в вершине трещины (см.
п. 2.4.3) определяют для точки С диаграммы по полученному значе-
значению пластического раскрытия vpc в месте установки датчика смеще-
смещения. Для образцов типов 3, 4 и 5
где rj — коэффициент вращения одной половины образца относитель-
относительно другой. Обычно rj = 0,5.
Для точки С вычисляют также упругопластическую вязкость раз-
разрушения Jc (или Jjc) по размеру площади Арс пластической части
диаграммы разрушения (ограничена линией диаграммы до точки С
и линией упругой разгрузки из точки С) по формуле
Jc=i^TO2 + ^_i. B.5.4)
для первых трех типов диаграмм разрушения (см. рис. 2.53). Здесь
корректирующие коэффициенты к и $ разные для разных типов об-
образцов. Для образца типа 3
типа 4 <д = 2, к = 1.
Первое слагаемое в формуле B.5.4) обусловлено вкладом в ве-
величину J от упругого деформирования (см. формулу B.4.15)), а
второе слагаемое следует из учета работы пластической деформа-
деформации, отражаемой площадью диаграммы деформирования (см. фор-
мулу B.4.14)).
При диаграмме разрушения типа IV (см. рис. 2.53) обычно наблю-
наблюдается докритический рост трещины. Этот рост на изломе фиксиру-
фиксируется либо тепловым окрашиванием, либо циклическим нагружением.
Испытывают серию образцов, на которых определяют по форму-
формуле B.5.4) промежуточные значения Ji (с соответствующими прира-
приращениями длины трещины) и строят график J — А1 (рис. 2.55). Точ-
Точка пересечения этого графика с линией пластического затупления
(определяемой уравнением J = (сго,2 + о~ь)А1) дает искомую величину
154
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Рис. 2.55. Схема выделения работы пластической деформации (а) и зави-
зависимость текущей упругопластической вязкости разрушения от приращения
длины трещины (б)
упругопластической вязкости разрушения Jc. Пластическое течение в
вершине трещины приводит к кажущемуся росту трещины А/ (типа
шейкообразования или утяжки), которое учитывается приведенным в
скобках уравнением прямой. Если на изломе образцов (при значитель-
значительных А/) наблюдается тоннелирование (рост трещины внутри образ-
образца), то вычисляют длину фронта трещины S и площадь приращения
трещины AF по формулам
S = 4v/(A/3 - А/J +
AF = tAl,
где А/3 — приращение длины трещины в середине образца; А/ — сред-
среднее из пяти измерений на равных промежутках по толщине образца.
Упругопластическая вязкость разрушения при этом будет
Е
(К
¦*\2
Л ¦
B.5.5)
При достаточно малой пластической зоне Jc принимают равным J/c.
Это устанавливают по условию достоверности определения величи-
величины J/c, состоящем в том, чтобы толщина образца t превышала значе-
значение /3 . Причем /3 = 200 для материалов с ctq 2/vb < 0,6 и /3 =
СО,2 + &Ъ '
= — 375(ctq,2/^6) + 425 для сг^^/^ъ ^ ОД Ясно, что для получения Jjc
следует испытать образцы большей толщины. Характеристика трещи-
ностойкости Jic с большим основанием, чем Jc, может использоваться
в формулах типа B.4.26).
Помимо рассмотренных характеристик трещиностойкости матери-
материала определяют предел трещиностойкости /с. Для этого испытывают
серию образцов (обычно это типы 1, 4 или 5) с разными длинами
трещин. Например, 1/Ъ = 0,1, 0,2, 0,3 и так до 0,6. Испытывают до
разрушения также образец и без трещины. Во всех испытаниях фик-
2.5. Определение характеристик трещиностойкости
155
сируют максимальную разрушающую силу Рс и по излому исходную
длину усталостной трещины. Затем по этим данным и по соответ-
соответствующей формуле для коэффициента К находят К*. Поскольку по
стандартизованной методике К* находится только при одном зна-
значении длины трещины A/Ъ = 0,5) и, кроме того, при коротких тре-
трещинах вероятность вязкого разрушения и полностью пластического
течения в объеме образца возрастает, то для полученных предельных
коэффициентов интенсивности напряжений введено понятие предела
трещиностойкости. Результаты эксперимента представляют в виде:
1/Ъ, ... 0 0,05 0,1 0,2 0,3 0,5
сгс, МПа, ... 0 550 490 400 290 150
/с, МПауЧ ... 0 70 88 99 96 80
Здесь приведены конкретные результаты для низколегированной
низкоуглеродистой конструкционной стали 09Г2 при изгибе образцов
типа 4.
Желательна форма представления результатов испытания в виде
диаграммы трещиностойкости в координатах /с — ас (или /с — /).
Такая диаграмма (рис. 2.56) построена по вышеприведенным экс-
экспериментальным данным. Все особенности сопротивления матери-
материала развитию трещины (вместе с сопутствующим сопротивлением
пластическому деформиро-
деформированию) при любых длинах
трещин отражены на этой
диаграмме. Через экспери-
экспериментальные точки можно
провести линию и выразить
ее в виде уравнения, что
удобно для расчета. Эта ли-
линия (предельных состояний)
отделяет область допусти-
допустимых состояний (внутри) от
недопустимых.
Состояние образца внутри полученной области определяется дву-
двумя величинами — коэффициентом интенсивности напряжений К и
параметром нагрузки (или напряжением) а (т. е. координатами точки
на диаграмме трещиностойкости). Эта точка по условию неразруше-
неразрушения не должна доходить до границы области (до предела трещино-
трещиностойкости) .
2.5.2. Выбор коэффициента запаса прочности по пределу
трещиностойкости. Запасы прочности призваны дать колличестве-
ную меру безопасности конструкции. В общем виде коэффициенты за-
запасов прочности (или долговечности) представляют собой числа, ко-
которые показывают, во сколько раз следует увеличить нагрузку (длину
80
40
\
\
200
400 аа МПа
Рис. 2.56. Диаграмма трещиностойкости
156
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
трещины, число циклов), чтобы наступило предельное (недопустимое
состояние). При этом все прочие параметры задачи сохраняются неиз-
неизменными.
Обычно коэффициенты запаса назначают согласно накопленному
опыту в данной области техники. Поскольку методы расчета элемен-
элементов конструкций на трещиностойкость сформировались сравнительно
недавно, то накопленного опыта по численным значениям коэффи-
коэффициентов запаса недостаточно [31, 156]. В связи с этим здесь более
подробно рассмотрен метод установления коэффициентов запаса на
трещиностойкость.
Предельное состояние может определяться разными критериями.
В нашем случае предельное состояние определим пределом трещино-
стойкости /с. Обычно расчет ведут по напряжениям.
При помощи традиционного метода расчета по напряжениям уста-
устанавливают опасные сечения и опасную точку с расчетным напряже-
напряжением ар. Далее определяют коэффициент запаса прочности п по аь
(или сго52)- Для этого используют
ту или иную гипотезу прочности,
в зависимости от состояния детали
(хрупкое или пластичное). Предпо-
Предположим, что в опасной точке возник-
возникла трещина. Если при данном ар
она достигнет критической длины
/с, то произойдет разрушение, т. е.
такую трещину допускать нельзя.
Однако в конструкции могут появ-
появляться трещины. При наличии тре-
трещины длиной /о номинальное разру-
разрушающее напряжение будет меньше
аь (или даже 00,2) и равно ас
(рис. 2.57). Запас прочности по =
= ас/а при этом станет меньше за-
запаса п, и если задать степень паде-
падения запаса п (~ 20%), то это может
быть условием для определения до-
а следовательно, и запаса по пределу
0
Рис. 2.57. Зависимость разрушаю-
разрушающих напряжений от длины тре-
трещины: 1 — сгс = сг^/а
= сгь/п = ас/'по
пустимой длины трещины
трещиностойкости т с помощью расчетного уравнения [168, 182]
к
т'
B.5.6)
Из этого уравнения при данном п получим критическую длину тре-
трещины /с, полагая т = 1, и допустимую длину трещины Iq при т > 1.
Коэффициент т может быть также назван коэффициентом запаса на
длину трещины, поскольку по нему определяется допустимая длина
трещины.
.5. Определение характеристик трещиностойкости 157
IJm-
О 10
Рис. 2.58. Схема графоаналитического расчета на прочность с учетом тре-
трещин
На рис. 2.58 приведены зависимости коэффициента интенсивности
напряжений в функции длины трещины (tt,i = 1 < 77,2 < 77,3) и предела
трещиностойкости (mi = 1 < 777,2 < тз)- Используя эти зависимости,
можно найти критическую длину 1С (при п = П2,га = 1)и допустимую
ДЛИНу ТреЩИНЫ /q (при 77, = 77*2, 777, = 777,3 )•
Горизонтальные линии на рис. 2.58 отражают равенство B.5.6).
Для определения величины uq введем коэффициент снижения
прочности а = аъ/(Jci гДе °~с — критическое напряжение при наличии
трещины допускаемой длины Iq (см. рис. 2.57). При разрушающем на-
напряжении, равном сгс, допустимая длина трещины становится крити-
критической, поэтому запасы прочности будут п = а, 777, = 1. Коэффициент
интенсивности напряжений К обратно пропорционален числу п (п =
= аъ/а), поэтому линия О А (рис. 2.59) есть зависимость К от 1/п при
К
71 = 1
О 10 10 1/а 1 1/п
Рис. 2.59. Схема определения коэффициента снижения прочности а
неизменной длине трещины, в частности, при / = /0 = const. Отсюда
следует показанный на рис. 2.59 графический прием для установле-
установления коэффициента а. Очевидно, что аь/а = ас = аьпо/п. Отсюда
158 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
получаем искомый запас прочности по критическому напряжению
п0 = ^ (п0 ^ га). B.5.7)
По значениям пипо молено определить относительное снижение за-
запаса прочности /3 (в %) при появлении в детали трещины допустимой
длины /0:
= п^по . 10()
п
Для выбора m можно рекомендовать следующее [43]. Разрушаю-
Разрушающее напряжение не должно быть ниже предела текучести, чтобы
допустимая длина трещины находилась в диапозоне квазихрупкого
разрушения1), следовательно, граничное число т = то, удовлетво-
удовлетворяющее условию ар = ат при / = /0, можно найти из уравнения,
определяющего допустимую длину трещины
к( j \ _ 1с(сгР/(ть)
Критическое условие на границе хрупкого и квазихрупкого состо-
состояний следующее:
К((гт,10) = Ic(aT/ab).
Разделив первое выражение на второе и учитывая, что К прямо
пропорционально напряжению, получим
ат mlс (егт/егь)'
Поделив обе части равенства на сг^, запишем
^?Щ B.5.8
Полученное значение m = uiq служит ориентиром при нахождении
запаса прочности по пределу трещиностойкости. Если m > mo, то
допустимая длина трещины настолько мала, что разрушение будет
квазихрупким (или даже вязким). Если m < mo, то разрушение при
наличии трещины допустимой длины будет хрупким (при данной
температуре нагружения и определенных механических свойствах).
Определим область значений фактического запаса прочности uq
и запаса по пределу трещиностойкости m при фиксированных зна-
значениях обычного запаса прочности п и предела трещиностойкости,
выраженного функцией [168, 172]
= KcJl-(a/ab)q. B.5.9)
г) Случай, когда разрушающее напряжение находится между предела-
пределами текучести и прочности.
2.5. Определение характеристик трещиностойкости
159
В рассматриваемом случае при заданном числе п критическая длина
трещины определяется так:
Допустимую длину трещины находим из уравнения
Y(lo) =
Кс
С другой стороны, эта допустимая длина трещины /0 является
критической, если п = а, и, следовательно, удовлетворяет также урав-
уравнению
Из последних двух соотношений находим искомую связь между
величинами n, т и по = п/а:
% = ?^0- B-5-10)
Кривые, построенные по этой зависимости при q = 2, приведены на
рис. 2.60. Малое уменьшение запаса прочности достигается вслед-
вследствие больших запасов на трещину.
щ
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1/т
Рис. 2.60. Зависимость коэффициента запаса по критическому напряже-
напряжению по (при наличии трещины) от коэффициента запаса по пределу тре-
трещиностойкости т
Иногда целесообразно уменьшение запаса прочности п. Так, для
я = 2 условие по = 0,9 п будет реализовано при т = 5,2, а условие
по = 0,8 п достигается при т = 2,3.
п = 3
2,5
2,0
1,5
\
^\
160 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Можно также не задаваясь величиной т определять допускаемую
длину трещины, исходя из докритического роста трещины /с — /0 (при
этом коэффициент т определяется величиной lc — Iq). Запас на до-
критический рост необходим при длительном статическом нагруже-
нии, в агрессивных средах, при эффектах ползучести и замедленного
разрушения, коррозии под напряжением, циклическом нагружении. В
этих случаях расчет на однократное нагружение должен дополняться
расчетом на долговечность, т. е. расчетом времени или числа циклов
нагружения до достижения трещиной критических размеров.
Значительный интерес представляет определение таких значе-
значений т, при которых деталь с трещиной оказывается в области
нечувствительности к трещине (при этом п = по, а = 1, разруше-
разрушение пластическое). На примере испытания низкоуглеродистой стали
при комнатной температуре можно показать возможность появления
области нечувствительности материала к трещине и определить по-
пороговые значения т [43]. При т < п прочность тела с трещиной
снижается, а при т ^ п прочность тела не зависит от длины трещины
(при условии, что она меньше или равна допускаемой согласно рас-
расчету). Таким образом получен ответ на вопрос о допускаемой длине
трещины при пластическом разрушении без потери несущей способно-
способности. Следует, однако, не забывать о возможности изменения условий
нагружения, приводящих к охрупчиванию. В этом случае желательно
проводить обычный расчет по Ирвину с введением вязкости разруше-
разрушения Kjc. Допустимая длина трещины, полученная из пластического
расчета, должна быть меньше критической, следующей из условия
к = к1с.
Заметим, что коэффициенты запаса по трещиностойкости будут
иметь разные численные значения при использовании разных крите-
критериальных подходов механики разрушения [94, 98].
2.5.3. Расчеты на трещиностойкость. В случаях, когда есть
основания считать возможное разрушение хрупким, расчет ведут по
критерию разрушения B.3.22) К ^ Кс, предполагая при этом спра-
справедливость положений линейной механики разрушения. Вычисление
стоящего слева коэффициента интенсивности напряжений К при со-
современном развитии вычислительных методов и техники и наличии
справочников, как правило, не вызывает затруднений. Гораздо труд-
труднее экспериментальное определение правой части критерия B.3.22), а
именно критического коэффициента интенсивности напряжений Кс,
называемого иногда вязкостью разрушения. Сопротивление матери-
материала росту трещины во многом определяется затратами энергии на
пластическое деформирование объема материала или возможное из-
изменение его свойств в ближайшей окрестности вершины трещины. А
величина и распределение пластических деформаций, форма и раз-
размеры пластически продеформированных областей как вдоль фронта
трещины, так и в удалении от него существенно зависят от многих
2.5. Определение характеристик трещиностойкости 161
условий нагружения и размеров рассматриваемого объекта и образ-
образца, служащего для определения характеристики трещиностойкости.
Поэтому постановке эксперимента по определению значений Кс (или,
что в некотором смысле более просто, Kjc) следует уделять много вни-
внимания, проводя эксперимент с ориентацией на данную конструкцию.
Определив из критерия разрушения критическую длину (или по-
полудлину) трещины /с при известной расчетной нагрузке на элемент
конструкции, следует найти величину, на которую трещина увели-
увеличится в докритическом состоянии вследствие различных причин.
От исходной длины /о трещина медленно может расти в результа-
результате коррозионно или адсорбционно активного воздействия окружаю-
окружающей среды, циклического нагружения в рабочем режиме или смены
этих режимов. Этот медленный докритический рост трещины (см.
п. 2.4.9) следует учитывать при назначении коэффициентов запасов
по длине трещины, при этом полученную из расчетов критическую
длину трещины /с делят на коэффициент запаса с целью получения
допустимой длины трещины /доп- Для того чтобы трещина не достиг-
достигла критической длины, рассчитанный докритический рост трещины
AС — ^доп) должен быть меньше возможной обнаруживаемой разности
/с — /о 5 гДе ^о — исходная длина терщины, определяемая методами
дефектоскопии или постулируемая на основании предварительных
перегрузочных1) испытаний конструкции.
Критерий разрушения вида B.3.22) справедлив для любой кон-
конструкции при разрушающем напряжении ниже предела текучести.
Для конструкций более частного вида этот критерий может специ-
специально уточняться. Приведем пример такого уточнения.
2.5.4. Критерий начала быстрого распространения трещи-
трещины в циллиндрических сосудах давления и трубопроводах.
Эксперименты, проведенные на различных сосудах, указали на три
категории сосудов, различающихся критериями разрушения.
1. Сосуды из сплавов низкой (предел прочности аь ~ 300—500 МПа)
и средней прочности (аъ ~ 400-700 МПа). Предполагается, что эти со-
сосуды с промежуточной толщиной стенки, т. е. отношение внутреннего
радиуса к толщине стенки R/t = 5 -г- 50; длина трещины относитель-
относительно велика, т.е. (Kc/aQ^J/I < 7. В этом случае из критерия Ирвина
критическое окружное напряжение равно
B.5.11)
ivi у лир
где
М = 1 + 1,61
г) Вид испытаний конструкции нагрузкой, превышающей рабочую (при-
(примерно на 20%). При этом возникает уверенность в отсутствии трещин
критических размеров при испытательной нагрузке.
11 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
162 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
и if — поправочные коэффициенты соответственно на геометрию со-
сосуда и пластическую зону (см. п. 2.5.2); поправка на пластичность (р
выведена на основании модели трещины с тонкой пластической зо-
зоной:
2 , TrlVl СГ$С /Л г 1Л\
(р = —г mcoscc;, ио = . B.5.12)
UJZ 2G/
При высоких разрушающих напряжениях поправочный коэффициент
не может быть выражен только через коэффициент интенсивности
напряжений, как это следует из формулы B.3.6), поскольку пласти-
пластическая область перед трещиной становится большой. В этом случае,
воспользовавшись моделью трещины Леонова—Панасюка—Витвицко-
го—Дагдейла [см., например, B.3.10)], можно записать раскрытие тре-
трещины в виде [196]
8/ т 7ГG G 7Г/ / 7ГG \ , о ^^ & ^
г 8/ л 7ГG G 7Г/ / 7ГG \ , 2
о = — (Tfln cos = —— In sec
ТгТР. J О/Т , ТР. /Г - V О/Т - /
ТГЕ J 2G/ Е<7/ \2(TfJ 2G/
Кроме того, известно, что
К2 = EG = E(Tf6.
Исключая из полученных выражений раскрытие 5, находим
Поправочный коэффициент оказался зависящим от уровня прило-
приложенного напряжения.
Принятое в этих формулах усредненное напряжение в пластиче-
пластической зоне <jf располагается между условным пределом текучести сто,2
и пределом прочности аъ- Соответственно и поправка на пластиче-
пластическую зону располагается в пределах
(P\crf=ao,2 < ? < (P\crf=ab-
Поэтому возможен расчет критического окружного напряжения
<jqc одновременно для крайних значений <7f, равных ао,2 и аъ-
Область действия критерия B.5.11) распространяется на трубо-
трубопроводы и сосуды давления при температурах ниже критической.
2. Сосуды из высокопрочных сплавов {аъ ~ 800-1200 МПа) с ко-
короткими трещинами. В этом случае по-прежнему
R/t = b^r 50,
относительная длина трещины (Кс/ао^J/I > 7. При этом критерий
разрушения имеет вид
авс = af/M. B.5.13)
Здесь предполагается, что Маос ^ 0,9 сг/ и (р ^ 2.
2.5. Определение характеристик трещиностойкости 163
В большинстве случаев принимают <jf = 0,5 (ао,2 + 0"ь)> хотя и
возможны варианты, например, типа gj = 1,04 ctq,2 + 70 (МПа) для
сталей низкой и средней прочности [31].
Этот критерий можно использовать для стальных трубопроводов
и сосудов давления, разрушающихся путем среза (с косым изломом).
3. Тонкостенные сосуды из сплавов низкой и средней прочнос-
прочности. Отношение радиуса к толщине стенки R/t > 50, относительная
длина трещины велика, т.е. (Kc/gq^J/I < 7- Критерий разрушения
по-прежнему имеет вид B.4.11), но поправочный коэффициент на
геометрию сосуда теперь равен [265]
1 + 1,611, E0thЛ.)] . B.5.14)
Подобный критерий может быть использован, например, для тонко-
тонкостенных емкостей ракетного топлива.
Из приведенных формул следует, что сопротивление разрушению
сосуда можно повысить увеличением его,2 и &ъ ПРИ коротких трещинах
и увеличением Кс при длинных трещинах.
Существует понятие предела трещиностойкости /с [7]. Эту харак-
характеристику обычно получают в виде диаграммы трещиностойкости в
координатах /с — ас (или 1С — Р, где Р — параметр нагрузки). Удобно
введение относительных безразмерных координат вида Ic/Kjc (или
4Дстах) где /Стах — наибольшее значение /с в данном эксперименте),
сгс/аь (или Рт, где Рт — параметр нагрузки в предельном по теории
пластичности состоянии). Каждое значение /с на этой диаграмме по-
получено при разрушении образца по формуле для коэффициента К
при данной длине трещины. Для получения диаграммы испытывают
серию образцов с длиной трещины от нуля до 0,8 ширины образца в
сечении с трещиной.
Область внутри диаграммы — допустимые состояния, точки на
границе этой области (или вне ее) отражают недопустимые состоя-
состояния тела с трещиной. Поскольку результаты испытаний образцов по
многим причинам (частично обсужденными во введении) не совпада-
совпадают с результатами испытаний элементов конструкций, рекомендуется
испытывать на предел трещиностойкости /с образцы, имитирующие
(в главных чертах) элемент конструкции. Возможно введение кор-
корректирующего сомножителя, конструкционного фактора ф, который
позволит по /с образца получить /;?ет данной детали посредством
пересчета [42]
/Дет = ф1с. B.5.15)
В этом случае расчетное уравнение на прочность имеет вид
К ^ ф1с. B.5.16)
Преимущество этого метода расчета состоит в доступности получения
левой части этого критерия разрушения и в автоматически появляю-
11*
164
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
щейся возможности учета как хрупкого, промежуточного, так и вязко-
вязкого состояний. При отсутствии трещины (или при коротких трещинах)
из этого критерия получают нагрузку, соответствующую предельной
при полностью вязком разрушении.
Пример. Рассмотрим возможность расчета балок из квадратных
пустотелых замкнутых профилей на основе конструкционного преде-
предела трещиностойкости /JeT.
На рис. 2.61 показана экспериментально полученная диаграмма
трещиностойкости /с при изгибе образца D00x100x7 мм) из стали 09Г2
[43, 44].
Рис. 2.61. Диаграмма трещиностойко-
трещиностойкости плоского образца с краевой трещи-
трещиной при изгибе
Рис. 2.62. Поперечное сечение
коробчатого профиля с тре-
трещиной
Сопоставим результаты эксперимента и расчета для гнутых за-
замкнутых коробчатых сварных профилей полого квадратного сечения
(рис. 2.62) размерами 80x80x7 мм и 140x140x7 мм.
Остаточные напряжения от сварки удалены отжигом при темпе-
температуре 900° С.
Профили из малоуглеродистой низколегированной строительной
стали 09Г2 с симметричной трещиной разной длины / на растянутой
полке (элемент профиля параллельный нейтральной оси) испытывали
на изгиб.
Для представления результатов эксперимента в виде зависимос-
зависимости 1^ет от относительной длины трещины отнесем длину трещины /
к ширине 6, в качестве которой возмем ЗП/4, где П — периметр
сечения профиля. Коэффициент 3/4 выбран для исключения сжа-
сжатой полки. Экспериментальные конструкционные предельные кривые
трещиностойкости /;?ет для профилей приведены на рис. 2.63 (сплош-
(сплошные линии).
2.5. Определение характеристик трещиностойкости 165
/Дет, МПа-м1^ 1?2 1,8 0,0 0,6 1,2 1,8 0,0 0,6 1,2 1/Ь
120
80
40
у
у
0,0 0,2 0,4 0,6 0,0 0,2 0,4 0,6 0,0 0,2 0,4
1/Ь
Рис. 2.63. Диаграммы трещиностойкости /;?ет профилей разных размеров:
а — 80x80x7 мм; б — 110x110x7 мм; в — 140x140x7 мм (длина трещины на
верхней шкале отнесена к ширине полки, на нижней — к расчетной ширине
ЗП/4)
Согласно формуле B.5.12) конструкционный предел трещиностой-
трещиностойкости /;?ет можно определить, умножив предел трещиностойкости об-
образца 1С (см. рис. 2.61) на конструкционный фактор ф [42, 171].
Примем на основании экспериментов, что
П
B.5.17)
Значения /;?ет вычисленные по формуле B.5.15) с учетом этих дан-
данных, отличаются от экспериментальных /;?ет не более, чем на 15 %
(штриховые линии на рис. 2.63).
Приведем расчет на прочность коробчатого профиля размерами
95x95x7 мм (см. рис. 2.62).
Определим номинальное напряжение разрушения при изгибе бал-
балки со сквозной усталостной трещиной длиной 60 мм на растянутой
стороне.
Предел трещиностойкости образца /с определен при Ъ = 100 мм
(см. рис. 2.61), а ширина детали ЬАет = ЗП/4 = 285 мм. Относительная
длина трещины в детали 1/Ьдет = 60/285 = 0,21. Для этой длины по
рис. 2.61 находим /с = 97 МПа • м1/2.
Конструкционный фактор находим по формуле B.5.17):
Следовательно, конструкционный предел трещиностойкости про-
профиля
/Дет = ф1с = 0,98 • 97 = 95 МПа • м1/2.
Теперь можно подсчитать брутто-напряжение разрушения (макси-
(максимальное при изгибе, т.е. в растянутой полке), учитывая по формуле
B.5.16):
/?ет 95
(Ус. =
/^06-2,22
= 175 МПа.
166
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Коэффициент формы для профиля определен методом податли-
податливости (рис. 2.64).
0,0 ОД 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 1/Ь
Рис. 2.64. Коэффициент формы для трехточечного изгиба балки коробча-
коробчатого профиля с симметричной трещиной на растянутой стороне
Таким образом, метод расчета по пределу трегциностойкости удо-
удобен тем, что позволяет экспериментально определять характеристи-
характеристики трещиностойкости (при любом характере разрушения) по макси-
максимальной силе, выдерживаемой деталью с трещиной, по формулам
для коэффициента интенсивности напряжений и эту характеристику
считать границей области допустимых состояний детали с трещиной.
Диаграмму трещиностойкости удобно аппроксимировать кривой
по уравнению вида /С//Стах = fi&cl&b), которое можно записать по
относительно небольшому числу экспериментальных точек. В част-
частности
h = /стах\Л-(сгс/сгЬ)9, B.5.18)
или (первоначальная версия документа R6 (см. п. 2.2))
Ic.=.
^lnSeCV2,//
-1/2
B.5.19)
Сюда входят эмпирические величины, такие, как показатель степени q
(примерно равный 2-4); временное сопротивление сгъ\ характеристика
трещиностойкости (вязкость разрушения) К/с; деформирующее на-
напряжение <jf (см. формулу B.5.13)), которое может быть принято
равным одному из диапазона между ctq,2 и &ъ-> либо рассчитано как
предельное на основе теории пластичности (при образовании пласти-
пластического шарнира); максимальное значение /с = /стах среди всех /с,
полученных в испытанном диапозоне длин трещин.
Предел трещиностойкости относится к так называемым двух-
параметрическим критериям разрушения. Действительно, форму-
формулу B.5.18) можно переписать в виде более наглядного соотношения
= l, B-5.20)
которое показывает долю участия каждого отдельного «моно»-крите-
«моно»-критерия (а именно а ^ аь и К ^ /стах) при их совместном использовании.
2.5. Определение характеристик трещиностойкости 167
2.5.5. Расчетно-экспериментальное обоснование запасов
прочности. Для вновь проектируемых машин и конструкций расче-
расчеты прочности проводят применительно ко всему спектру эксплуата-
эксплуатационных режимов нагружения, включая предпусковые и периодиче-
периодические испытания, пуски—остановы, регулирование рабочих параметров
и срабатывание систем аварийной защиты.
Для надлежащего обоснования прочности, ресурса (срока служ-
службы до наступления предельного состояния) и трещиностойкости тре-
требуется комплекс расчетов напряженно-деформированного состояния
несущих элементов, включающих определение номинальных а^ и
максимальных сг^ах напряжений, амплитуд этих напряжений, макси-
максимальных Т^ах и минимальных T^in температур эксплуатации, чисел
циклов N3 и времени тэ эксплуатации. Эти расчеты для сложных
многоэлементных узлов дополняют испытаниями моделей из оптиче-
оптически активных (фотоупругость) и низкомодульных материалов и из со-
соответствующих конструкционных материалов. Испытания проводят
при имитации эксплуатационных режимов нагружения, а номиналь-
номинальные и локальные (в зонах концентрации) напряжения, деформации,
температуры измеряют тензорезисторами, оптически активными и
хрупкими тензочувствительными покрытиями, методами муара, го-
голографии, термовидения [91, 160, 216].
Для подтверждения критериальных характеристик прочности,
ресурса и трещиностойкости проводят комплекс аттестационных
испытаний на стандартных, унифицированных или специальных
лабораторных образцах. В тех случаях, когда создаются новые и
ответственные конструкции проводят испытания моделей с доведени-
доведением их до предельного состояния — развития недопустимой деформа-
деформации, вязкое или хрупкое разрушение, образования и развития трещин.
При этом широко используют методы и средства дефектоскопии —
ультразвуковой, рентгеновской, оптической, акустической и акусто-
эмиссионой, электромагнитной, термовизионной, голографической.
По результатам указанных испытаний решают две важные прак-
практические задачи: обоснование принятых расчетных схем, расчетных
случаев, предельных состояний и запасов прочности; переход на но-
новые, обычно пониженные, запасы прочности.
В последнем случае предельно низкие запасы прочности обосно-
обосновывают полномасштабными испытаниями в условиях, приближенных
к штатным — по конструкторско-технологическим решениям и по
представительному спектру эксплуатационных воздействий. Однако
и при проведении таких испытаний запасы по местным напряжениям
и деформациям рекомендуется иметь не ниже 1,15-1,25, а по ресур-
ресурсу — не ниже 3-5. Все это регламентируется отраслевыми нормами и
правилами.
На стадии эксплуатации машин и конструкций с учетом изменения
состояния несущих элементов (механические свойства и дефектность)
168 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
и накопления эксплуатационных повреждений проводят испытания
образцов — свидетелей, отдельных узлов или целых изделий, опреде-
определяют остаточную прочность, ресурс и трещиностойкость. Продлить
ресурс безопасной эксплуатации молено с использованием всех запа-
запасов — по номинальным напряжениям, местным напряжениям и де-
деформациям, трещиностойкости, времени и числу циклов.
2.6. Кинетическая диаграмма усталостного
разрушения
В механике усталостного разрушения на стадии роста магистраль-
магистральной трещины при циклическом нагружении параметром разрушения,
характеризующим напряженно-деформированное состояние у верши-
вершины трещины в упругом теле и контролирующим закономерности ее
роста, служит коэффициент интенсивности напряжений К вместе
с коэффициентом асимметрии цикла нагружения R = Кт[п/Ктах.
Максимальное и минимальное напряжения цикла нагружения опреде-
определяют и соответствующие коэффициенты интенсивности напряжений,
а именно, Я"тах = сгтах\/тг/^ и Кт[п = ат[пл/тг1 Y. Параметр механики
разрушения К учитывает величину и способ приложения нагрузки,
форму и размеры образца и трещины. Следовательно, для анализа
закономерностей усталостного трещины вполне достаточно использо-
использовать зависимость ее поцикловой скорости dl/dN от размаха
АК = Ктах - Kmin = A - R)Kmax
(или максимального значения Ктах) коэффициента интенсивности
напряжений
— = V = f(Kmax, Kmin/^max, С, m), B.6.1)
где / — длина распространяющейся усталостной трещины, N — коли-
количество циклов нагружения, С и m — эмпирические константы. Обзор
формул вида B.6.1) можно найти в работе [160].
Графическое представление зависимости скорости роста усталост-
усталостной трещины от параметра разрушения называется кинетической
диаграммой усталостного разрушения. Параметрами кривой скорости
роста усталостной трещины, по которым ее можно воспроизвести,
являются характеристики циклической трещиностойкости, количест-
количественно выражающие сопротивление материала росту трещины в раз-
разных диапазонах его скоростей.
Кинетическая диаграмма, полученная в результате основных ис-
испытаний образцов с трещиной, является базовой. Типичная диаграм-
диаграмма (рис. 2.65), построенная в логарифмической шкале по обеим осям,
ограничивается пороговым Kth (или AKth) коэффициентом интен-
интенсивности напряжений, ниже которого трещина не растет и крити-
критическим Kfc (или AKfc) коэффициентом интенсивности напряжений
.6. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения
169
Рис. 2.65. Кинетическая диаграмма усталостного роста трещины
цикла, при достижении которого наступает долом образца. Обыч-
Обычно, в результате усталостного повреждения материала, циклическая
вязкость разрушения Kfc меньше статической. Пороговый коэф-
коэффициент интенсивности напряжений К.-ьн на практике определяют
вплоть до базисной скорости роста усталостной трещины Vth-> равной
10~10 м/цикл. При скорости трещины меньше этой базисной пола-
полагают, что трещина не растет. Условно диаграмму усталостного на-
гружения можно представить в виде участков: среднего участка 2,
аппроксимируемого прямой (участок Париса), и крайних криволиней-
криволинейных участков низких — обычно меньше 10~8 м/цикл (участок 1) и
высоких — обычно больше 10~6 м/цикл (участок 3) скоростей роста
усталостной трещины. Методы экспериментального определения ки-
кинетической диаграммы усталостного роста трещины и определения
соответствующих характеристик циклической трещиностойкости ре-
регламентированы методическими рекомендациями [158, 159].
Аналитическую зависимость B.6.1) можно представить с помощью
различных элементарных и специальных функций, которые хорошо
описывают диаграмму усталостного разрушения в диапазоне Kth ^
^ i^/max ^ Kfc. Средний участок диаграммы удобно аппроксимиро-
аппроксимировать уравнением
v = v* И??1 =Wt^t) > B-6.2)
ТУ~*
КАК*
170 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
где К* (АК*), т — параметры аппроксимации, V* = 10~7 м/цикл.
Формулу B.6.2) часто представляют в виде формулы Париса
v = СК™^ = С'АКШ, B.6.3)
которая не очень удобна тем, что размерность коэффициентов СиС"
зависит от показателя га.
Скорость роста усталостных трещин зависит от многих факто-
факторов. Среди этих факторов молено отметить следующие: механические
(амплитуда напряжений, асимметрия цикла нагружения, частота),
металлургические (микроструктура, наличие включений, характер
легирования), физико-химические (температура, среда, облучение) и
геометрические размеры тела [283, 284, 323]. Тем не менее, кинети-
кинетические диаграммы усталостного разрушения имеют большое прак-
практическое значение. С их помощью устанавливают характеристики
циклической трещиностойкости, на их основании выбирают материал
конструкций и оптимизируют технологию изготовления материалов;
оценивают условия эксплуатации, безопасный ресурс и живучесть
поврежденных трещинами конструкций; анализируют причины раз-
разрушения конструкций [160, 286, 287].
Расчет циклической долговечности конструкций при наличии рас-
распространяющихся усталостных трещин, т. е. количество циклов N
до полного разрушения, рассчитывают посредством интегрирования
уравнения для скорости роста трещины по длине трещины
1с
= J
где Iq и lc — начальная и критическая длина трещины, соответст-
соответственно. В частности для среднеамплитудного участка, интегрирование
уравнения B.6.3) дает следующее выражение для долговечности:
(m - 2)СМ/Дсг [l(™-2)/2 - z(m-2)/2_|' B.6.5)
при т = 2,
Здесь М — поправочная функция на геометрию тела и форму трещи-
трещины в обобщенном соотношении для размаха коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений вида
АК = Аал/М
(т.е., если К = os/idY, то М = тгУ2), Да = crmax — аш[п — размах
приложенного напряжения за один цикл. Долговечность на стадии
.6. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения 171
I, мм
00,035 ОД 0,35 1,0 3,5
10™
10"
#
2.
д.
«г
У
-
.у.
'Z
•
* * т
I-
1 /А
•
1,25 1,45 1,65 1,85
Рис. 2.66. Экспериментальное и расчетное рассеяние скорости роста тре-
трещины возле концентратора напряжений
зарождения трещины здесь не принята во внимание, так как N = 0
при / = /о- В работе [159] приведены экспериментальные и расчетные
скорости развития трещин —— для стали Х18Н9 (комнатная темпе-
температура) при а = 285 МПа для серии из 10 образцов с долговечностью
103 циклов по уравнению Формэна (рис. 2.66, линия 1).
v =
ААКВ
dN (l-R)KIc-AK'
B.6.7)
где А ж В — параметры; R — коэффициент асимметрии, принят рав-
равным нулю; Kic — критическое значение коэффициента интенсивности
напряжений, которое по результатам эксперимента условно принято
100 МПа • у/м (по данным работы [160] значение Кю для стали Х18Н9
при 20° С равно 120 МПа • у/м).
Для трещин длиной менее 1 мм наблюдалось увеличение разброса
данных и повышенное значение экспериментальных скоростей роста
трещин по сравнению с расчетным по Формену. Там же, т. е. в работе
[159], приведены результаты расчета скоростей роста трещин малой
длины с использованием предела трещиностойкости /с [137, 168] по
формуле
v = CAI™.
172 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
Предел трещиностойкости представлен в виде
где Кс — критический коэффициент интенсивности напряжений при
1/Ъ = 0,5 (как правило, при этом К с = /стах); &с — критическое на-
напряжение, обычно определяемое экспериментально, в данном случае
определялось по методике, изложенной в работе [135]; &ъ — предел
прочности. Этот расчет представлен на рис. 2.66 линиями 2 и 3 для
q = 4 и q = 2, соответственно). Отсюда следует, что использование ве-
величины 1С вместо Кс позволяет лучше описать повышенную скорость
роста трещин малой длины.
Приведем также одну из многих известных формул, целиком опи-
описывающую диаграмму усталостного разрушения по рис. 2.65. Обычно
скорость роста трещины плавно и монотонно повышается с ростом
размаха коэффициента интенсивности напряжения; при максималь-
максимальном коэффициенте интенсивности напряжений ниже порогового ско-
скорость равна нулю, в меру приближения его к критической величине
неограниченно возрастает, а в области средних амплитуд она должна
описываться степенной зависимостью B.6.2).
Экспериментально полученные диаграммы усталостного разруше-
разрушения материалов хорошо описываются зависимостью (при Km-in = R =
Kth) , B.6.8)
r )
/С — Amax/
характеризующей процесс роста трещины четырьмя параметрами:
Kth, Kfc, vq и р. Поскольку, в отличие от Kth и -К/с? величины vq
и C не имеют четкого физического смысла, будет, по-видимому, более
удобным характеризовать их уже привычными величинами m и С
из формулы B.6.3), с которыми их связывает определенная зависи-
зависимость [286, 287]. В табл. 2.3 приведены параметры уравнения B.6.8),
найденные из условия минимума среднего квадратичного отклонения
логарифмов расчетных и экспериментальных скоростей роста трещи-
трещины для исследуемых материалов. В ней же подсчитан любопытный
параметр А.
Из табл. 2.3 видно, что для всех материалов (за исключением ста-
стали 65Г в хрупком низкоотпущенном состоянии) комплекс
остается практически постоянным, точнее, изменяется на =Ь2 % от сво-
своего среднего значения 1,61. Показатель степени /3 для рассмотренных
материалов (кроме низкоотпущенной стали 65Г) колеблется в преде-
пределах ±5 % от среднего значения 1,66, что не идет ни в какое сравнение
с изменением показателя степени m уравнения Париса B.6.3).
2.6. Кинетическая диаграмма усталостного разрушения
173
Таблица 2.3
Характеристики циклической трещиностойкости [287]
Материал
Сплав В16Т
Сплав В95АТ1
Сплав В95АТ2
Сплав В95АТЗ
Сплав 01420Т
Сталь 08кп
Сталь 6 5 Г,
нормализация
Сталь 65Г,
закалка + отпуск
580° С
Сталь 65Г,
закалка + отпуск
340° С
Сталь 6 5 Г,
закалка + отпуск
180° С
Сталь 03Х12АГ19
Сталь А533В1
v0 • Ю4,
мм/цикл
4,10
4,11
4,08
4,20
8,80
8,90
7,26
7,31
9,38
9,43
1,90
1,90
10,8
10,8
9,55
9,56
2,42
2,41
3,54
4,16
4,30
8,40
8,50
Kth,
кг/мм3/2
12,1
12,1
10,2
10,1
8,50
8,48
6,50
6,49
7,35
7,34
25,1
25,1
24,0
24,0
20,5
20,5
23,4
23,5
16,3
17,6
17,7
25,1
25,0
кг/мм3/2
112
112
86,0
86,5
100
100
127
127
155
155
224
224
419
418
392
392
156
156
98
303
304
354
355
Р
1,70
1,68
1,65
1,69
1,63
1,65
1,55
1,57
1,53
1,56
1,69
1,69
1,61
1,59
1,56
1,58
1,77
1,73
1,91
1,58
1,59
1,60
1,62
А
1,63
1,61
1,57
1,61
1,59
1,61
1,59
1,61
1,58
1,61
1,61
1,61
1,63
1,61
1,61
1,61
1,65
1,61
1,76
1,60
1,61
1,59
1,61
Диаграммы усталостного разрушения всех рассмотренных мате-
материалов, построенные в координатах
практически сливаются в одну линию (рис. 2.67). При этом все они сим-
симметричны относительно начала координат. Постоянство комплекса А
174
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
-4
\
1
J
-0,75 0,00 0,75
Рис. 2.67. Диаграмма усталостного роста трещины в безразмерных коорди-
координатах: 1 — сталь 65Г после закалки и отпуска при 180° С; 2 — диаграммы
всех остальных материалов, приведенных в табл. 2.3
дает возможность сократить число независимых параметров в урав-
уравнении B.6.8) до трех, по крайней мере для определенного класса
материалов, а также избежать, например, экспериментального опре-
определения пороговой величины К^, занимающего весьма много вре-
времени.
2.7. Расчет допустимых размеров трещины в корпусе
ВВЭР
Изложим на примере поднаплавочной полуэллиптической трещи-
трещины в обечайке корпуса ВВЭР методику расчетного обоснования допу-
допустимых размеров трещин [1].
Расчетное обоснование размеров трещин, при которых возможна
эксплуатация ВВЭР, является одной из наиболее актуальных про-
проблем. Трещины, обнаруживаемые при изготовлении корпуса, либо
устраняют, либо считают допустимыми в зависимости от их размеров.
Граница между допустимыми и не допустимыми размерами должна
быть определена на основании анализа прочностной надежности экс-
эксплуатации корпуса за проектный ресурс, что возможно при использо-
использовании закономерностей механики разрушения.
2.7. Расчет допустимых размеров трещины в корпусе В В ЭР 175
Трещина находится в основном металле обечайки в зоне сплавле-
сплавления с антикоррозионной наплавкой и ориентирована вдоль оси кор-
корпуса так, что раскрывается под действием окружных напряжений.
Отношение глубины трещины / к ее длине 2с на границе сплавления
= 192,5
Рис. 2.68. Схема расположения дефекта в обечайке корпуса: R, t — радиус
и толщина обечайки
составляет одну треть (рис. 2.68). Предположим, что с ростом трещи-
трещины это отношение сохраняется.
Материал обечайки — корпусная сталь 15Х2НМФА [33] со следую-
следующими механическими свойствами: условный предел текучести ао,2 =
= 490 МПа; предел прочности аь = 608 МПа; удлинение S = 15 %;
сужение ф = 55 %; зависимость модуля упругости Е и коэффициента
линейного расширения а от температуры:
г,°с
20
100
200
300
400
?-10-5,МПа
2,14
2,10
2,05
1,98
1,90
а-106, °С
—
10,8
11,6
12,2
12,9
Определим сдвиги критической температуры хрупкости этой ста-
стали за проектный ресурс 40 лет: в результате старения материала
АТС = 5° С, циклического повреждения АТдг = 0° С и нейтронного об-
облучения АТф = 92° С (аф = 23° С • нейтр.~1/3 • см/3); критическая
температура хрупкости стали в исходном состоянии Тк0 = —25° С,
температурный запас АТ3 = 30° С [33].
Изменение вязкости разрушения при отрыве К\с от приведенной
температуры Тпр = Т — Х& показано на рис. 2.69. К механическим
176
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
150
100
50
—60
-20
20
Рис. 2.69. Зависимость вязкости разрушения К\с стали 15Х2НМФА от при-
приведенной температуры
свойствам стали 15Х2НМФА относятся также и коэффициенты фор-
формулы Париса, описывающей увеличение глубины усталостной трещи-
трещины с ростом числа циклов нагружения,
ш = САКП>
которые имеют следующие значения:
С = 9,3 х 1(Г13 (м/цикл)A/МПау/^)п;
B.7.1)
п = 2,75.
При расчете предполагают неизменность этих коэффициентов (N —
число циклов; А К = Ктах — Кт[п — размах коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений К за цикл).
За время эксплуатации корпус реактора находится в различных
режимах, каждый из которых характеризуется протяженностью во
времени, внутренним давлением и распределением температуры по
толщине стенки. В качестве расчетного, среди кратковременных, вы-
выберем режим гидроиспытания (с максимальным внутренним давле-
давлением 25 МПа). В дальнейшем предполагаем линейный закон рас-
распределения напряжений по толщине стенки. Максимальные сгтах и
минимальные crmin окружные напряжения, возникающие на линии
сплавления и на наружной поверхности корпуса, составляют соот-
соответственно 263,7 и 272 МПа.
Указанные выше сдвиги критической температуры хрупкости ис-
используют для определения приведенной температуры
Т — Т — Т
-'-Up -1- -*-К5
B.7.2)
где Т — температура эксплуатации; Тк — критическая температура
хрупкости, определенная с учетом сдвигов температуры:
Тк = Тк0 + АТС
ДТф + ДТ3
B.7.3)
2.7. Расчет допустимых размеров трещины в корпусе В В ЭР 177
Изложим общую схему расчета допустимой глубины трещины /д. Сна-
Сначала при статическом действии нагрузки в заданном режиме находим
критическую глубину трещины /с. Затем, используя коэффициент
запаса т (см. п. 2.5.2), найдем допустимую глубину трещины /о при
статическом нагружении. Далее, считая эту глубину предельной для
циклического нагружения, вычислим начальную глубину трещины /д,
принимаемую за искомую допустимую.
Для статического расчета на прочность воспользуемся концепцией
предела трещиностойкости /с, согласно которой расчетное уравнение
имеет вид
К = 1с/т, B.7.4)
где т — коэффициент запаса по пределу трещиностойкости. При т =
= 1 по уравнению B.6.4) рассчитывают критическую длину (глубину)
трещины, при т>1 — допустимую.
Коэффициент интенсивности напряжений для наиболее глубокой
точки полуэллиптической трещины (на конце малой полуоси) в обе-
обечайке корпуса ВВЭР:
— нагружение внутренним давлением [351]
К = ay/<irl/QF[l/Bc), l/t], B.7.5)
где
), l/t] = 0,97/с[Мх + M2(l/tJ + M3(l/t)%
Мг = 1,13 - 0,18 [//Bc)], M2 = -0,54 + 0,44 [0,1 + //Bc)],
M3 = 0,5 - @,65 + l/c)-1 + 14A - //cJ4,
/c = 1,152 - 0,005 y/TJt, Q = 1 + 4,593 [//Bc)]1'65,
(a — окружное напряжение при номинальном давлении);
— нагружение внутренним давлением и линейно распределенными
окружными напряжениями а(х) от перепада температуры по стен-
стенке [33]
К = (cjpF + aqMq)^7rl/Q, B.7.6)
где
h = t/2,
= l/t / a(x) dx = 0,5 (crmax + crmin),
о
Эти формулы определяют К для открытых трещин (т. е. выхо-
выходящих на свободную поверхность). Наплавка затрудняет раскрытие
трещины, что приводит к уменьшению коэффициента интенсивности
12 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
178
Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
напряжений, которое можно учесть при помощи коэффициента 1,7
согласно работе [32].
Коэффициент интенсивности напряжений определяем по форму-
формуле B.6.5) при окружном напряжении а = 272 МПа.
Предел трещиностойкости аппроксимируем формулой [172]
- (a/abL.
B.7.7)
Для расчета К\с (см. рис. 2.69) следует знать температуру стенки
обечайки в месте расположения вершины трещины. Температура за-
заливаемой воды при первом гидроиспытании 60° С, а при последую-
последующих 100° С.
Для использования формулы B.7.7) необходимо знать К\с и аь при
заданных температуре и флюенсе (количественная мера облучения).
Приведенную температуру определяем на начало и конец работы в
данном режиме по формулам B.7.2) и B.7.3), вязкость разрушения —
из рис. 2.69.
Получаем на начало работы Тпр = 60 + 25 — 5 — 30 = 50° С, К\с =
= 150 МПау^; на конец работы через 40 лет Гпр = 100 + 25 - 5 - 92 -
- 30 = -2° С, К1с = 80 МПау^-
Предел текучести и предел прочности, известные для исходного
состояния, за 40 лет в результате облучения повышаются на 30 %.
Примем, что за время работы реактора механические характеристики
изменяются линейно:
К1с
= К1с - [К1с - К[
аь(т) =
- <ть]т/40,
где верхний индекс 40 относится к значениям спустя 40 лет после
начала эксплуатации; т — время, год.
0,8
0,6
0,4
Г» 9
\
2О
10
20
30 т, год
Рис. 2.70. Зависимость критической глубины трещины от времени эксплу-
эксплуатации при гидроиспытании
Таким образом, уравнение B.7.4) при m = 1 позволяет получить
критическую глубину трещины на каждый момент времени эксплу-
эксплуатации реактора, которая представлена на рис. 2.70. Для расчетных
2.7. Расчет допустимых размеров трещины в корпусе В В ЭР 179
режимов критическая глубина трещины 1С уменьшается со временем.
В средней части времени эксплуатации уравнение B.7.4) не имеет
решения, что означает переход поверхностной трещины в сквозную.
Отсутствие критических несквозных трещин приводит к появлению
течи содержимого сосуда задолго до полного разрушения, которое
произойдет при росте сквозной трещины до критической величины.
Критическую длину сквозной трещины не рассчитывали, поэтому
сплошные линии продолжены пунктиром. Видно, что более опасным
(с точки зрения глубины критической трещины) оказываются начало
и конец эксплуатации.
Таблица 2.4
Результаты расчета коэффициентов запаса и глубины трещины
Режим
Гидроиспытание
Момент
эксплуатации
Начало
Через 40 лет
/с, мм
Критических
несквозных
трещин нет
85
Шо
—
3,2
/о, мм
—
11
/д, мм
—
9
На рис. 2.71 приведены критические диаграммы на начало и конец
эксплуатации, построенные по уравнению B.7.4) при т = 1. Значками
на рассчитанных диаграммах разрушения отмечены точки, соответ-
соответствующие критическим глубинам трещины при времени т = 0 и т = 40
лет (см. рис. 2.70).
Для определения допустимой дли- 1>0
ны трещины 10 надо установить
приемлемые значения коэффициентов 0?8
запаса тп. Определим коэффициент
777 = 777о ИЗ уСЛОВИЙ, ЧТО I = Iq, а КрИ- 0,6
тическое напряжение равно пределу
текучести [172], т. е. 0,4
0,2
\
ч2
— _
- —
0,0 0,2 О54 0,6 0,8 1,0
(Г Ll -(G0,2MLJ
Рис. 2.71. Критическая диаг-
диаграмма разрушения: 1 — нача-
начало эксплуатации; 2 — через 40
лет
¦ - (<T0,2/<TbL
Разрушение при наличии трещины с
длиной / = /0 будет хрупким при m <
< 777,0 и КВаЗИХруПКИМ При 777 > 777о. По
уравнению B.7.4) находим допустимые глубины трещин Iq при m =
= 777о и статическом нагружении на начало работы и через 40 лет.
Теперь найдем допустимую длину трещины с учетом цикличе-
циклического изменения нагрузки. Скорость роста трещины определяется
12*
180 Гл. 2. Механика разрушения тел с трещинами
формулой Париса B.7.1). Для дальнейшего расчета необходимо знать
историю нагружения корпуса реактора. Для примера возьмем, что
история циклического нагружения корпуса представляет собой сум-
сумму семи основных последовательностей, внутри которых происходит
смена рабочих режимов реактора. Обозначим каждую последователь-
последовательность индексом j. Тогда число режимов в каждой последовательности
будет Mj. Каждая последовательность повторяется Nj циклов. Смена
режимов сопровождается ростом трещины на значения
Ah = li-li.1 =
которое означает, что коэффициент интенсивности напряжений рас-
растет от режима к режиму. Если это условие не выполняется, то А1{ = 0.
Следовательно за 40 лет работы реактора глубина трещины воз-
возрастет на
7 , Njtin Mj
Д/40 = /40 - /д = ^ ^ ^ С [ДВД_!)]П , B.7.8)
j = l { fc = l ^ г=1 ^к 'Э
где /д — начальная (искомая) глубина трещины; пдг = 10 — принятый
коэффициент запаса по числу циклов Nj. Здесь в качестве предельной
глубины трещины /40 принимаем Iq. Подбором из уравнения B.7.8)
находим искомые допустимые глубины трещины /д (см. табл. 2.4).
Следовательно, за окончательную допустимую глубину трещины при-
принимаем /д = 9 мм.
Таким образом, рассмотренная методика расчета позволяет при-
приближенно обосновать размеры допустимых трещиноподобных дефек-
дефектов при эксплуатации корпуса реактора.
Глава 3
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ МЕХАНИКИ
РАЗРУШЕНИЯ
Здесь представлен некоторый, возможно субъективный, набор за-
задач механики разрушения, которые характерны тем, что с одной
стороны, они представляют собой самостоятельный интерес и даже
имеют конкретное применение, а с другой, нуждаются в дальнейшей
проработке и развитии. И этот, последний, признак послужил для нас
стимулом для включения той или иной задачи в эту главу. Соответст-
Соответственно не каждый пункт логически вытекает из предыдущего.
3.1. Траектории трещин как геодезические линии
Наблюдения над формами трещин и изломов изделий в условиях
службы и при механических испытаниях образцов наводят на мысль,
что траектория трещины (линия, вдоль которой трещина распростра-
распространяется) подчиняется определенному закону, а именно, траектория тре-
трещины, видимая на поверхности тела, совпадает с обобщенной геодези-
геодезической линией, а поверхность излома, находящегося внутри тела — с
обобщенной минимальной поверхностью. Под трещиной, видимой на
поверхности тела, понимается сквозная трещина в тонкой оболочке,
которая может быть плоской, а также трещина, представляющая со-
собой след от пересечения поверхности излома с поверхностью тела.
Напомним, что геодезическая линия имеет наименьшее расстояние
между двумя точками, лежащими на поверхности. Натянутая нить,
соединяющая эти две точки, совпадает с геодезической линией и на-
находится в состоянии устойчивого равновесия: потенциальная энергия
этой нити минимальна. Согласно принципу Герца при отсутствии
внешних сил траектория движущейся по поверхности точки совпадает
с геодезической линией. Эти свойства находятся в согласии с предпо-
предположением, что путь трещины определяется наименьшими затратами
энергии на разрушение.
Уравнение геодезической линии имеет вид
SJ± = О, Л = Г ^Е + 2Fvr + G{v'J du, C.1.1)
где E, F, G — коэффициенты первой квадратичной формы поверх-
поверхности тела:
(д\2 (д\(дг\ (дг
дг\2 (дг
182 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
г — радиус-вектор точки поверхности тела, описываемой уравнени-
уравнением г = г(щу), и, v — криволинейные координаты точки на поверх-
поверхности.
Однако траектория трещины не может определяться только фор-
формой поверхности тела. Она зависит также и от напряженного со-
состояния (помимо возможного влияния и других факторов, которые
здесь не приняты во внимание). Положим, что элемент длины тре-
трещины определяется произведением линейного элемента поверхности
на некоторую функцию Ф, зависящую от напряженного состояния
в окрестности данного линейного элемента. В соответствии с этим
уравнение траектории трещины получаем из условия, что функцио-
функционал [175, 181]
J =
2
= Г Ф(щ у)л/Е + 2Fv' + G{v'J du C.1.2)
принимает минимальное значение, т. е.
5J = 0. C.1.3)
Для хрупкого разрушения по аналогии с первой и второй гипотезами
прочности полагаем, что функция Ф(г/, у) пропорциональна нормаль-
нормальному наибольшему напряжению или наибольшей линейной дефор-
деформации для тела без трещины, находящегося под действием той же
системы внешних нагрузок. Другими словами, траектория трещины
представляет собой геодезическую линию в неэвклидовом пространст-
пространстве, метрика которого определяется так:
ds2 = Ф2(щу) (Edu2 + 2Fdudv + Gdv2).
Уравнение Эйлера—Лагранжа для вариационной задачи C.1.2)
и C.1.3) имеет вид
дМ d дМ
= и,
C.1.4)
a uivi „
ди dv dv'
М = Ф(и, v)\/E + 2Fvf + GV2.
В частном случае однородного напряженного состояния Ф(и,у) =
= const и путь трещины совпадает с обыкновенной геодезической
линией. Такие разрушения наблюдаются в виде винтовых линий на
поверхности цилиндра при кручении, трещины по дугам больших
кругов в сферических, равномерно нагруженных, хрупких оболочках.
Приведем решение нескольких задач.
Конический вал при кручении. Конический вал нагружен на кон-
концах постоянным крутящим моментом М. Принимаем, что
3.1. Траектории трещин как геодезические линии 183
где к — постоянная (в дальнейшем отбрасываем). Функционал C.1.2)
принимает вид
2М / y/l + u2v12 sin2 в ,
J = —г^— / - du.
7Tsm3e J и3
u±
Здесь и, v — криволинейные координаты на конической поверх-
поверхности, и — радиус, измеряемый от вершины конуса, v — угол между
двумя образующими, 0 — полови-
половина угла при вершине конуса.
Уравнение C.1.4) вариацион-
вариационной задачи C.1.3) имеет вид
v sin2 в
= С.
u\/l + u2v'2 sin2 в
Его решение дает уравнение
траектории трещины:
и = г^пл/si
где щ — постоянная. Разруше-
Разрушение при кручении сдвоенного ко-
конического образца из плексигласа
показывает на поверхности пет-
петлеобразную линию, хорошо удо-
удовлетворяющую этому уравнению
(рис. 3.1) [235].
Плоскость с круговым отвер-
отверстием. По контуру отверстия ра-
радиуса а действует постоянное дав-
давление р. Здесь
пп2 Рис. 3.1. Излом конического образ-
[и, V) = о"! = 2 —-. ца при кручении
Начало координат ж, у помещено в центр круга. Условие мини-
минимальности функционала C.1.3)
х2 + у2
приводит к уравнению Эйлера-Лагранжа
которому удовлетворяет частное решение у = Сх, т. е. трещины в этом
случае располагаются вдоль прямых, проходящих через центр круга.
Радиальные трещины такого типа наблюдаются на опыте (рис. 3.2).
184
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Рис. 3.2. Пластинка из оргстекла с радиальными трещинами, возникающи-
возникающими от внутреннего давления по краю центрального отверстия при ударе
пули по нормали к плоскости пластины
Полуплоскость, нагруженная сосредоточенной силой. Начало ко-
координат помещено в точку приложения силы Р, ось х совпадает с
линией действия силы. Положим, что Ф(ж,у) пропорциональна наи-
наибольшей деформации. Тогда
,, ч 2Р х
ф()
где v — коэффициент Пуассона, Е — модуль упругости. Решение
вариационной задачи
Х2
, С 2vP х
J ~^Ё х2 +
сводится к решению уравнения
У
(ж2 + у2)х
1 -|- 11
Одно из решений у = 0, т. е. трещина растет по прямой вдоль линии
действия силы. На рис. 3.3 показан плоский опертый по краям клин
из оргстекла с трещиной, образовавшейся при ударе сверху. От точки
удара идет трещина вертикально вдоль линии действия силы и вни-
внизу поворачивается перпендикулярно границе клиновидной области.
Другое решение х2 + у2 = R2 справедливо для растягивающей силы
приложенной в вершине клина. Опыт показывает трещину в форме
дуги окружности при симметричном растяжении клина (рис. 3.4).
3.1. Траектории трещин как геодезические линии
185
Рис. 3.3. Трещина в образце из стекла, возникающая при ударе по верхнему
торцу
Рис. 3.4. Трещина при растяжении клиновидного образца из оргстекла
Несимметричное нагружение клина дает, соответственно, и несиммет-
несимметричную траекторию трещины (рис. 3.5).
186
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Условие ортогональности. Конец трещины может оканчиваться
либо на другой трещине, либо на свободной поверхности оболочки
или пластины. Из условия минималь-
минимальности C.1.3) и C.1.4) и условия транс-
трансверсальности
дТ
-7Г
ov
М
,дМ\ дТ дМ
~ v 1ГГ ) ~ IT" 1ГГ =
ov' ) ди ov'
следует условие ортогональности гео-
геодезической линии к линии на грани-
границе интервала, т. е. трещины к границе
тела:
дТ I дТ_ _ E + Fv'
ди I dv ~ F + Gv'
где М — интегрируемое выралсение в
функционале, T{u,v) = 0 — уравнение
линии, ограничивающей распростра-
распространение трещины. На этой линии дол-
должен лежать конец траектории.
Итак, если Ф = Ф(и,у), то трещина
должна подходить под прямым углом
к встретившейся на ее пути другой
трещине или к свободной поверхности
тела. Это подтверждается на практике. На рис. 3.6 показаны траекто-
траектории трещин от воздействия сосредоточенной силы на край четверти
плоскости. При разных расстояниях точки приложения силы от угла
пластины форма траекторий одинакова, и во всех случаях трещина
Г
Рис. 3.5. Трещина в клиновид-
клиновидном образце из текстолита
Рис. 3.6. Трещины в пластинах из оргстекла, возникающие при ударах по
верхней кромке. Показаны четыре пластинки, положенные одна на другую
3.1. Траектории трещин как геодезические линии 187
подходит к свободному боковому краю под прямым углом. В случаях,
когда Ф зависит от производных, условие ортогональности не соблю-
соблюдается.
Трещинообразование на свободной поверхности. При равномерном
двухосном растяжении поверхности однородного и изотропного полу-
полупространства, согласно теории Гриффитса, вокруг каждой образую-
образующейся прямой трещины длиной / возникает ненапряженная область
с площадью примерно тг/2/4. Отсюда следует, что трещины должны
располагаться на определенном расстоянии одна от другой и что в
силу симметрии сетка трещин должна состоять из правильных мно-
многоугольников и заполнять всю поверхность так, чтобы напряжения
равномерно снижались на всей поверхности полупространства [181].
Из возможных систем геодезических линий реализуется та, кото-
которая удовлетворяет условию наименьшей длины периметра при охвате
наибольшей, возможной по условиям разрушения, площади. Плос-
Плоскость можно равномерно заполнить правильными многоугольниками.
Ad
При заполнении ими плоскости без зазоров имеем — п = 2d(n — 2)
т
2п
или т = , где п — число сторон многоугольника, т — возмож-
п — 2
ное число сторон, сходящихся в одной точке. Поскольку т может
быть только целым, то п должно быть равно 3, 4, 6 (треугольни-
(треугольники, прямоугольники и шестиугольники). При равной глубине трещин
их работа разрушения на единицу длины периметра трещины мини-
минимальна для правильного шестиугольника. Подобные фигуры разру-
разрушения наблюдаются, например, на поверхности высыхающей земли и
т.п. (рис. 3.7). Однако остаточные напряжения (иногда неправильно
Рис. 3.7. Трещины на поверхности усохшей земли в виде звездочек с углом
120° в точке образования трещин
188
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Рис. 3.8. Трещина в пластине с остаточными напряжениями
называемые внутренними) внешне могут исказить это предположе-
предположение. На рис. 3.8 виден эффект «полного внутреннего отражения»
трещины от зон сжатия вдоль краев стеклянной пластины. В пластине
с остаточными (самоуравновешенными в объеме тела) напряжениями
трещина, распространяясь в растянутой зоне «отражалась» от сжа-
сжатых зон и вернулась в точку начала своего движения. Фрактографи-
ческие признаки на изломе детали указывают на наличие оптимизи-
оптимизирующего начала в виде упомянутого сочетания наименьших затрат на
разрушение с наибольшим выделением упругой энергии. На рис. 3.9,
Рис. 3.9. Усталостный излом шейки стального вала
3.1. Траектории трещин как геодезические линии
189
Рис. 3.10. Усталостный излом картера авиадвигателя
Рис. 3.11. Усталостный излом шестерни
3.10 и 3.11 виден фронт трещины в виде поразительной правильности
дуг окружности, охватывающих наибольшую площадь поверхности
излома, пропорциональную выделяющейся энергии.
Правильность формы фронта излома наводит на мысль о возмож-
возможности постановки вариационных задач, один из вариантов которых
предложен в следующем пункте.
190 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
3.2. Вариационный принцип как критерий
разрушения
Положим, что распространение трещины представляет собой один
из видов механического движения ее вершины, трактуемой как ква-
квазичастица «крекон» в двумерной задаче [174]. Тогда для изучения
разрушения возможно использовать общий принцип механики такой,
как принцип Гамильтона-Остроградского
J5Ldt = 0, C.2.1)
to
где ti—to — фиксированный интервал времени, 5L — изохронная ва-
вариация функции Лагранжа, t — время.
Положим, что Лагранжиан есть разность энергий, затрачиваемой
на разрушение и имеющейся в теле (подводимой к вершине трещины
из окружающего объема тела), т.е.
W
L = f B7 - Тт) ds (i = 1, 2, 3), C.2.2)
/о
где 7 — поверхностная энергия единицы площади, Т{ — распределен-
распределенная по поверхности трещины нагрузка, взятая (на основании прин-
принципа суперпозиции и с обратным знаком) из решения для тела без
трещины, т.е. Т^ = —aijUj, <Jij — тензор напряжений в теле без тре-
трещины, щ — вектор смещений на поверхностях трещины, вызванный
нагрузкой Ti, rij — единичный вектор внешней нормали к поверхности
трещины, l(t) и /о — текущий и начальный параметр длины трещины,
ds — элемент длины трещины.
Для квазистатических плоских задач уравнения C.2.1) и C.2.2)
примут вид
- TiUi) dx = 0. C.2.3)
Покажем, что уравнение C.2.3) может быть получено и из несколько
иных соображений. Запишем закон сохранения энергии в виде
5Г + 5W = 5 А, C.2.4)
где левая сторона — вариация внутренней энергии тела, представлен-
представленной через работу образования новой поверхности тела Г и упругую
энергию деформации W, в связи с вариацией площади трещины, а
3.2. Вариационный принцип как критерий разрушения 191
справа — работа внешних сил на перемещениях вследствие вариа-
вариации площади трещины. Приводя с помощью принципа суперпози-
суперпозиции внешнюю нагрузку к нагрузке, распределенной по поверхности
трещины, молено записать теорему Клапейрона 6А = 25W, и тогда
уравнение в вариациях C.2.4) примет вид
Принимая, что работа разрушения пропорциональна площади по-
поверхности излома, запишем
/+ I-
Полученное выражение в более компактной записи совпадает с урав-
уравнением C.2.3).
Рассмотрим задачу Гриффитса при двух различных предположе-
предположениях.
Трещина Гриффитса. Исследуем бесконечную плоскость с прямо-
прямолинейной трещиной вдоль оси х при у = 0, \х\ < I. Плоскость на-
нагружена в направлении оси у напряжением ау, равным р вдалеке от
трещины. В этом случае имеем
Т\ = Тз = О, Т2 = р, U2 = U2 (
Подставив эти величины в уравнение C.2.2) получаем
L = L(l,p) = 27/ - —— (/0 = 0). C.2.6)
Предположим, что вариация длин трещины происходит при р = const.
Тогда вариационный принцип
примет вид
2^Е = р2тг1. C.2.7)
Отсюда получаем известный критерий Гриффитса о начале неустой-
неустойчивого распространения трещины. Отметим, что уравнение C.2.7)
может быть переписано в виде критерия Ирвина (см. B.3.47))
GCE = К2 (Кс =
Кроме того, уравнение C.2.3) дает
192 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
(или Gc — G = 0), откуда заключаем, что приток энергии в вершину
трещины
l
G = fTi^-dx. C.2.8)
о
Модифицированная трещина Гриффитса. Исследуем теперь более
общий случай, когда при варьировании длины трещины одновременно
изменяется и приложенная нагрузка р. В этом случае имеем [173]
оь =—- + -- — id/, C.2.9)
V dl dp dl J
где р = p(l) подлежит определению. Учитывая уравнение C.2.6), по-
получаем
dL тгр21 дЬ тгрР fqoim
Из вариационного принципа 5L = 0, с учетом C.2.9) и C.2.10) следует
2^2 C.2.11)
Это дифференциальное уравнение имеет следующее решение, удовле-
удовлетворяющее краевому условию I = Iq при р = 0:
C.2.12)
7Г I
Введем безразмерные обозначения
I
Уравнение докритического роста трещины C.2.12), в безразмер-
безразмерных обозначениях перепишется в виде
C.2.13)
Рис. 3.12 отражает поведение р* от /* Функция р*(/*) имеет максимум
при /* = 2 и р* = 1/2, т. е.
= 2/0, P = Pc = \^jL. C.2.14)
Этот максимум дает критическую нагрузку по Гриффитсу при длине
трещины, равной удвоенной начальной. При 1</*<2 величина р* рас-
растет от 0 до 1/2 и затем падает, стремясь к нулю при стремлении /*
к бесконечности. Теория предсказывает медленный устойчивый до-
критический рост трещины (при удвоенном подрастании начальной)
3.2. Вариационный принцип как критерий разрушения 193
Рис. 3.12. Докритическая диаграмма разрушения упругого тела по уравне-
уравнению 3.2.13
перед достижением критического состояния по Гриффитсу. Экспе-
Эксперимент показывает, что практически всегда наблюдается докритиче-
ский рост трещины, который описывается с помощью так называемых
R-кривых. Уравнение C.2.13) выведено в предположении упругого
состояния тела и 7 = const. Однако в силу развития пластической
зоны в окрестности вершины трещины 7 = 7@ и тогда диаграмма
докритического роста трещины, или в ином выражении R-кривая (так
называют зависимость какого-либо параметра механики разрушения
от А/ = / — /о )> отражает свойства материала при растяжении данного
образца (обычно это плоский тонколистовой образец с симметричной
сквозной трещиной).
Усталостный рост микротрещины. Принимая во внимание, что
К = pyfid уравнение C.2.11) можно переписать в виде [345]
р dl
C.2.15)
Запишем это уравнение для дисковидной микротрещины радиуса R,
расположенной в пространстве, подвергнутом растяжению на беско-
~R
нечности напряжением р (задача Зака). В этом случае К = 2р\ — и
у 7Г
уравнение C.2.15) станет
4
dp
C.2.16)
При монотонном нагружении и в предположении 7 = const (при этом
= A — v2)Kfc ), решение уравнения C.2.16) будет
Р = К1с
R
C.2.17)
с учетом краевого условия R = Ro при р = 0.
Устойчивый докритический рост микротрещины наступает от ра-
радиуса R = Rq до радиуса Д = 2i?o, при котором критическая нагрузка
13 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
194 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
совпадает с формулой Зака [364]
Рассмотрим циклическое нагружение. Уравнение C.2.16) справедливо
только при росте р. Если р уменьшается, то в силу необратимости
трещины ее радиус R не изменяется на этой части цикла. Уравне-
Уравнение C.2.16) целесообразно переписать в виде
pR2 C 2 19)
которое можно решать численно в течение каждого цикла нагруже-
ния для изучения роста дисковидной микротрещины при усталости.
Более адекватное описание роста трещины при усталости конкрет-
конкретного материала возможно, если в уравнение C.2.16) ввести экспери-
экспериментально определяемую функцию Кс = KC(R) = ^2E^(R) (называ-
(называемую i^R-кривой).
3.3. О расчете диаграмм разрушения
Функциональная зависимость между внешней нагрузкой и длиной
магистральной трещины в плоском образце, называемая диаграм-
диаграммой разрушения, отражает способность материала сопротивляться
распространению трещины, служит оценочной характеристикой при
выборе материала и является основанием для проведения расчетов
деталей конструкций.
Диаграммы разрушения определяются экспериментально с по-
помощью аппаратуры, записывающей длину трещины [135]. Диаграм-
Диаграммы разрушения могут быть получены расчетным путем на основа-
основании принятой модели разрушения, в формулировку которой входит
небольшое число экспериментально определяемых характеристик ма-
материала [174, 178].
Рассмотрим один из возможных методов расчета и сопоставим его
результаты с экспериментом.
Запишем еще раз энергетический критерий C.2.3) для одиночной
прямолинейной трещины (у = 0, |ж| ^ I):
I
f
C.3.1)
Здесь Оу = &у(х) — напряжение от заданной нагрузки, возни-
возникающее на оси х в теле без трещины. Это напряжение входит в
уравнение C.3.1) с обратным знаком. Перемещение точек поверхнос-
поверхности разреза v = v(x,l) возникает в направлении оси у от действия
3.3. О расчете диаграмм разрушения 195
раскрывающего трещину напряжения <уу в области у = О, \х\ $J /.
Поверхностная плотность энергии разрушения равна 7 (для одного
берега трещины). Операция варьирования предполагает дифферен-
дифференцирование интеграла по длине трещины, которая входит не только
как параметр в подъинтегральное выражение, но и в верхний предел.
С учетом этого из выражения
^ f B7 - <ry{x)v(x, /)) dx 51 = О
о
получаем соотношение
27 - <ry{l)v(l,l) - J*y ^ dx = 0. C.3.2)
о
dv
Если в этом уравнении считать v{l,l) ф 0, а производную — опре-
01
делять из упругого решения, то получим возможность приближен-
приближенно отразить существование пластической зоны в вершине трещины.
Напомним, что условие малости концевой пластической зоны лежит
в основе концепции «квазихрупкого» разрушения Орована—Ирвина,
которое позволяет в упругом решении Гриффитса заменить поверх-
поверхностную энергию твердого тела на удельную работу пластической
деформации в малой окрестности вершины трещины.
Таким образом, условие C.3.1) служит для расчета:
а) критической диаграммы разрушения при
6; = §isl>
и б) докритической диаграммы разрушения при
д д др\
( д д др\ Я1
\ dl dp dl J
где р — параметр внешней нагрузки (сту(х) = pf(x)).
Положим, что у вершины трещины справедлив степенной закон
деформирования а ~ еп. Тогда
[?ydy~ а1/™ Г dy = a^nk
(к — размерный коэффициент, А — элемент длины). Выражение
C.3.2) станет
13*
196 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Принимая теперь во внимание, что при / —>• 0 напряжение сгу
(предел прочности материала), находим, что
Учтем также, что (см. формулу C.2.7))
dv 7 К2
о
Теперь уравнение C.3.2) примет вид
27[l-(^)A+n)/1-^=0.
Здесь показатель степени целесообразнее заменить на эм-
п
пирическую величину q. Из некоторых экспериментов следует, что
q = 2 -i- 4. Поделив последнее уравнение на 27, можно записать урав-
уравнение C.3.2) в привычном виде двухпараметрического критерия:
Величину 2^/Е для практических расчетов лучше заменить на макси-
максимальный (в серии испытаний образцов с разными длинами трещин)
критический коэффициент интенсивности напряжений KCYna^.
Итак, для случая а)
для случая б)
ifgmax /о о г\
В безразмерном виде уравнения C.3.4) и C.3.5) соответственно имеют
вид (здесь <Jy(x) = const = p, q = 2):
критическая диаграмма разрушения (диаграмма остаточной проч-
прочности) :
1 - Л2 - Kl = 0, C.3.6)
докритическая диаграмма разрушения:
Ж = 2 ¦ 77"~? ***—' C-3-7)
3.3. О расчете диаграмм разрушения 197
где Кс — критический коэффициент интенсивности напряжений, и
безразмерные величины Л= —, ( = -, А о = — , с = тг —^.
Эти уравнения учитывают форму тела и схему нагружения по-
посредством коэффициента интенсивности напряжений К.
Остановимся более подробно на технике получения уравнения
C.3.5). В уравнение C.3.1) входит выражение (с учетом последующих
преобразований)
/ /
dv , /jx /,ч К1 Г
С/1 .С/
Поскольку дифференцирование по / частное, то зависимость ау и v
от р (которое в докритическом состоянии р = рA)) не учитывается.
Соответственно, при интегрировании полученного соотношения по /
зависимость р (/) также не принимается во внимание (так сказать,
«частное интегрирование»). Тогда
J
ayvdx = f^dl + ^jal (I) dl.
О
Теперь дифференцируем по р:
I
д Г , 2 Г Т.дК „ 2qj Г q_! д(ту{1) „
— ayv dx = — К —- dl + -Y / a? i74 ; d/
dp J v EJ dp aqb J у dp
о
и приходим к уравнению C.3.5).
Приведем результаты сопоставления расчета с экспериментом.
Для растяжения полосы шириной 2Ъ с центральной трещиной дли-
длиной 21 имеем (/3 = Ъ/с) [237]
Ко = тгАу | [l + 0,59б(|J + 0,48l(|L]. C.3.8)
Критические диаграммы разрушения, построенные по уравнению
C.3.6) с учетом выражения C.3.8), показаны на рис. 3.13 сплош-
сплошными линиями. Вычисления проводились для плоских образцов из
алюминиевых сплавов Д16Т-1, кривая 1 (аъ = 44,6 кг/мм , Е =
= 7 • 103 кг/мм2, Кс = 252кг/мм3/2) размером 600 х 200 х 1,4 мм3 и
ВАД-23, кривая 2 (аь = 49,7 кг/мм2, Е = 7,3 • 103 кг/мм2, Кс =
= 125 кг/мм ' ) размером 300 х 100 х 1,8 мм3. Там же нанесены экспе-
экспериментальные точки — каждая точка соответствует одному образцу.
Пунктирной линией показана критическая диаграмма для плоско-
плоскости, полученная для сплава Д16Т-1 по энергетическому критерию с
198
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
60
40
V
• 1
о2
•
20
°0 20 40 1, мм
Рис. 3.13. Критические диаграммы разрушения: 1 — Д16Т-1; 2 — В АД-23
учетом тонкой пластической зоны перед концом трещины [174]. Для
В АД-23 решения для полосы и плоскости практически совпадают.
Основной эффект от введения предположения, что v(l,l) ф 0 со-
состоит в том, что стремление длины трещины к нулю не приводит к
бесконечной величине прочности тела (как из уравнения Гриффитса),
а к конечной величине, равной прочности материала без трещины.
40
30
20
10
0 4 8 12 1, мм
Рис. 3.14. Докритические диаграммы разрушения сплава ВАД-23
На рис. 3.14 приведено сравнение докритический диаграмм раз-
разрушения, полученных из эксперимента и построенных по уравне-
уравнению C.3.7) для сплава ВАД-23, сплошные линии — эксперименталь-
экспериментальные, пунктирные — расчетные.
\
\
\
\
\
h
г.
у^^
3.3. О расчете диаграмм разрушения
199
—^
1
i
J
Уравнение C.3.5) или C.3.7) позволяет также вычислить рост дли-
длины трещины с числом циклов N при повторно-переменной нагрузке.
С этой целью строится семейство интегральных кривых рA) уравне-
уравнения C.3.5), параметрами которого служит исходная длина трещины.
Каждому циклу нагружения, когда параметр нагрузки меняется в
пределах от pmin до Ртах? соответствует приращение длины трещи-
трещины А/, определяемое по интегральной кривой р{1) [174]. Долговеч-
Долговечность по числу циклов определяется условием dp/dl = 0, т. е. расчет
заканчивается в момент, когда длина трещины достигнет критическо-
критического значения при pmin < р < ртах.
I, мм
25
1 2 3 Ж, 103 цикл.
Рис. 3.15. Увеличение длины трещины с ростом числа циклов для трех
разных сплавов
На рис. 3.15 показаны результаты расчета и эксперимента при
повторно-статическом нагружении для листовых образцов прежних
размеров из Д16Т-1 и САП (аь = 32,5 кг/мм2, Е = 7 • 103 кг/мм2, Кс =
= 245 кг/мм3/2) и листовых образцов, вырезанных в направлении про-
прокатки размером 300 х 100 х 1,5 мм3 из титанового сплава ВТ-14 (аь =
= 130 кг/мм2, Е = 11,5 • 103 кг/мм2, Кс = 200 кг/мм3/2). Начальная
длина трещины в алюминиевых образцах 2/q = 12 мм, максимальное
напряжение циклартах = 16 кг/мм2, коэффициент асимметрии цикла
г = 0,2, частота 200 цикл./мин. Для титанового сплава 2/q = 10 мм,
Ртах = 26 кг/мм2, г = 0,2. Сплошные линии — расчет, пунктирные —
результат эксперимента, 1-Д16Т-1, 2-ВТ14, 3-САП.
При расчете кривых 1-N учитывалось частичное уменьшение
длины трещины при разгрузке. Этот экспериментально известный
эффект [173], по-видимому, вызывается остаточными сжимающи-
сжимающими напряжениями, возникающими при снятии нагрузки, в области
пластической деформации у конца трещины. Закрытие трещины учи-
учитывалось коэффициентом а, который вводился следующим образом:
liJrl =li~\- аД/, где li+i — длина трещины перед г + 1 циклом, а А/ —
приращение длины трещины на г-м цикле. Подбором установлено, что
коэффициент а меняется в зависимости от числа циклов по закону,
200
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
о-104
20
10
1 2 3 Ж, 103 цикл.
Рис. 3.16. Коэффициент уменьшения подрастания длины трещины с ро-
ростом числа циклов для трех разных сплавов
представленному на рис. 3.16 (обозначения те лее, что и на рис. 3.15).
Эту зависимость можно считать характерной для данного материала
и ее предлагается использовать при расчете долговечности элементов
конструкций, форма которых отличается от формы образца.
^
У1
У2
/3
3.4. Применение вариационного принципа к решению
задач теории трещин в упруго-вязких средах
Рассмотрим возможность использования энергетического крите-
критерия роста трещины в интегральной формулировке [173, 174] для ре-
решения задач о трещинах в линейных упруго-вязких средах. Решение
основано на принципе Вольтерра, справедливость которого для моно-
монотонно растущих трещин показана в работе [88].
В качестве примера исследуем растяжение плоскости с одиночной
прямолинейной трещиной у = 0, |ж| ^ / и пространства с дисковидной
(круглой в плане) трещиной радиуса /. Нагрузка направлена вдоль
оси т/, перпендикулярно поверхности трещины.
3.4.1. Трещина без пластической зоны. Пусть среда линейно
упруго-вязкая во всех своих точках и пластической деформации у
краев трещины не возникает. Тогда для идеально хрупкого разру-
разрушения согласно работам [110, 270] медленный докритический рост
трещины при постоянных внешних нагрузках отсутствует. Критиче-
Критическое состояние (начало быстрого роста трещины) наступает спустя
некоторое время t* после приложения нагрузки. Причем, чем больше
величина приложенной нагрузки, тем меньше время хрупкого раз-
разрушения t* [93]. Интегральный вариационный принцип для упругого
3-4- Применение вариационного принципа к решению задач 201
тела в применении к задаче о растяжении плоскости с трещиной имеет
вид [175] (см. п. 3.2)
5JB7-pv)dx = 0 (*=f <«), C-4.1)
о
где / — полудлина трещины; 7 = const — поверхностная плотность
энергии разрушения; р — заданное растягивающее напряжение; v —
перемещение вдоль оси у на поверхности трещины в результате рас-
растяжения тела напряжением р.
В рассматриваемом случае для плоского напряженного состояния
имеем [213]
1! = ±-\^ + JK(t
V =
Ь'о Г
о
причем Е~^ — линейный временной оператор с ядром ползучести
K(t - т) [8].
Решение уравнения C.4.1) относительно р (после предварительно-
предварительного интегрирования по ж и варьирования по /) приводит к следующей
зависимости:
t*
1+ [ K(t* -r)d
= 1-/г(Г-т)*г. C.4.2)
Здесь T(t — т) — ядро релаксации; рд = W — критическое напря-
жение по Гриффитсу с мгновенным модулем упругости Eq.
Для растяжения пространства с круглой в плане трещиной (при
?) = г> = 0,5) из формулы C.4.1) получаем соотношение, аналогич-
аналогичное C.4.2),
t*
f
^f = l-Jr(t*-r)dr, C.4.3)
/ тгЕо7 о
где ps — \ ^7i 2^7 ~~ кРитическое напряжение по Заку.
Из уравнений C.4.2) и C.4.3) находим время хрупкого разруше-
разрушения для каждого значения внешней нагрузки. Задержку разрушения
здесь можно трактовать как время снижения критического напряже-
напряжения, соответствующего заданной длине трещины, за счет уменьшения
модуля упругости. При этом с течением времени происходит также
раскрытие трещины (без увеличения ее длины).
202 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Уравнения, аналогичные уравнениям C.4.2) и C.4.3), получены в
работах [392, 393]. Отметим, что решение задач о предельном рав-
равновесии линейных упруго-вязких тел с трещинами в обсуждаемой
постановке можно получить из упругого решения для предельной
(критической) нагрузки простой заменой упругих характеристик ма-
материала соответствующими временными операторами.
Известно, что для описания упруго-вязких деформаций некоторых
материалов пригодна теория упруго-наследственных сред с дробно-
экспоненциальными ядрами. Воспользовавшись этим, представим вы-
выражение C.4.2) в виде [215, 218]
-) = 1 - | {1 - ехр[-^(ГI+а]}. C.4.4)
Здесь о; = A + аI+а; а,/3,х ~ параметры, характеризующие реоло-
реологические свойства материала.
Выпишем для некоторых материалов зависимость времени t* от
приложенного к телу напряжения, следующую из формулы C.4.4).
При этом учтем, что для параметров /3 и х справедливы соотноше-
соотношения [218]
р = т1~а, х=ЕоЕоЕоот1-а,
где Ео, Eqq — мгновенный и установившийся модули упругости; Т —
время релаксации.
В результате получим [218]:
для тела Максвелла
(^J = еХр(-|); C.4.5)
для меди при t = 165° С
'—) = l-0,58Jl-exp[-0,697(X) ' 1); C.4.6)
\Рд / К L W/JJ
для стали (С = 0,35 %) при * = 454° С
(-)' = 1 - 0,85l{l - ехр[-0,697(^)°'3] }; C.4.7)
для термореактивного полимера
(—) = 1 - 0,434Jl - exp[-0,707 (%) ' 1 ). C.4.8)
\Рд / I. L V-//JJ
Соотношения C.4.5)-C.4.8) графически представлены на рис. 3.17,
где кривая 1 соответствует телу Максвелла, 2 — стали, 3 — меди,
4 — полимеру. Как видим, для реальных материалов, в отличие от
тела Максвелла, существует такое значение нагрузки, ниже которого
3-4- Применение вариационного принципа к решению задач 203
\
ч
2"^
4
/
/
хз
Р1Р9
0,8
0,4
°'-4 -2024 6
ln(t*/T)
Рис. 3.17. Зависимость приложенной нагрузки (длительная прочность) для
разных материалов от времени до разрушения
трещина не раскрывается со временем и критическое состояние не
наступает. Это напряжение можно определить из уравнения C.4.4)
при ?* —>> ос.
В работе [110] для описания критического состояния равновесия
упруго-вязких тел с трещинами из глобального энергетического кри-
критерия Гриффитса получено локальное условие разрушения, вклю-
включающее только мгновенные реологические характеристики. Из этого
следует, что в зависимости от приложенной нагрузки трещина либо
не развивается (t* = oo), либо быстро растет сразу же по приложении
нагрузки (t* = 0). Случай 0 < t* < ос отсутствует. Такой результат
получен из линеаризованной задачи, в которой напряжения, дефор-
деформации и их градиенты имеют особенность у конца трещины. В этом
случае естественна зависимость критерия разрушения только от мгно-
мгновенных характеристик, так как любой малой скорости конца трещины
отвечают бесконечные скорости деформации у конца.
Однако, при использовании локального энергетического критерия
(в котором объем, выделяемый вокруг конца трещины, сколь угодно
мал) следует решать асимптотическую задачу в более точной, нели-
нелинейной постановке, удовлетворяя граничным условиям на деформиро-
деформированной поверхности конца разреза [166]. При этом сингулярность ре-
решения задачи теории упругости пропадает, напряжения и градиенты
у закругленного в результате деформации края трещины ограничены.
Например, из работы [315] имеем
К
Здесь начало полярных координат г, в находится в центре кривиз-
кривизны конца разреза. На конце трещины г=-,# = 0и сгу = , ах = 0.
Заметим также, что с течением времени радиус кривизны конца
трещины р растет, а напряжение ау и градиент —— падают. Скорость
204 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
нагружения материала перед трещиной связана со скоростью движе-
движения конца трещины через градиент напряжения &у = ——— /. Отсюда,
в противоположность выводам работы [110], видно, что всегда суще-
существует возможность распространения трещины через некоторое вре-
время после приложения нагрузки, так как локальный энергетический
критерий будет содержать функцию времени. При этом отсутствует
разница в результатах, следующих из локальной и нелокальной форм
записи энергетического критерия. Таким образом, существует ?*, для
которого 0 ^ t* ^ ос.
Критерий разрушения в интегральной форме C.4.1) удобен для
использования, так как не требует детального анализа напряжений у
конца трещины, даст нужный результат для разности упругой энер-
энергии при малом квазистатическом приращении длины трещины и, тем
самым, эффекты, приводящие к началу роста трещины, учитываются
автоматически.
3.4.2. Трещина с пластической зоной. Пусть трещина рас-
распространяется в линейной упруго-вязкой среде при наличии тонкой
пластической зоны перед краем трещины. Эту пластическую зону
заменяем в дальнейшем дополнительным разрезом, на поверхности
которого действуют напряжения <70.
Интегральный вариационный принцип для упругопластического
тела в применении к задаче о растяжении плоскости с трещиной
можно записать в виде [180],
25t-fi-S\ fpvdx+ Г (ao+p)vdx\ =0, C.4.9)
\ j j j
о i
где (a-l) — протяженность пластической зоны перед краем трещины;
остальные обозначения и понятия прежние, за исключением операции
варьирования.
Работа разрушения здесь зависит от времени и, следовательно,
перед быстрым лавинным ростом трещины будет ее медленный докри-
тический рост, / = /(?), в отличие от случая, рассмотренного в п. 3.4.1.
Для определения функции / = l(t) в условии C.4.9) варьируем время,
?1
Перемещения на поверхности трещины и дополнительного разреза
будут [196]
v(x) = — ^-1[(ж
7Г
3-4- Применение вариационного принципа к решению задач 205
Плотность работы разрушения в данной задаче определяется рабо-
работой пластической деформации на единицу вновь образующейся пло-
площади. При вычислении 7 принимаем, что перемещение vq{x) точек
границы пластической зоны удовлетворяет условию 2v(l) = 5k, где
5k — разрушающее смещение; v(l) — перемещение в корне пласти-
пластической зоны [196]. В таком случае имеем
27
['
С+ / К(г-т)((т)
"И
2 \ \ Г 1*1 C.4.10)
Л* = - arccos^- C+ / K(t-r)C(r)dr\ l
Л 1 Ъ 1 ~ Q 1 1
I С ОСГо О~о
Л* — предельная нагрузка по J^-теории для упруго-вязкой среды.
Дальнейшее преобразование уравнения C.4.9) приводит к следую-
следующему соотношению:
Ф(Л) I k(t-r)C2(r)dr
С = \ °—t -• C.4.11)
Ф(Л*)[с+ f K{t-r)ar)dr\ -Ф(Л)С
L о J
Уравнение C.4.11) позволяет рассчитать зависимость длины тре-
трещины и скорость движения ее концов от времени при постоянной на-
нагрузке. Долговечность тела с трещиной t** определяется временем, за
которое скорость движения концов трещины достигает бесконечности.
Этот момент времени соответствует критическому состоянию — тре-
трещина подрастает до длины, при которой заданная нагрузка является
критической в упруго-вязкой среде (окружающей трещину вместе с
пластической зоной) с модулем упругости, равным мгновенному.
Запишем асимптотическое решение уравнения C.4.11) для малых
значений времени (начальная стадия распространения трещины):
s-su ¦ **, ч- 2 Ф(А.)_Ф(А).
где q — начальная скорость распространения трещины, которая за-
зависит от величины нагрузки, начальной длины трещины и свойств
материала.
Поскольку решение уравнения C.4.11) представляет известные
трудности, в качестве некоторого приближения можно использовать
решение, получаемое в предположении, что плотность энергии раз-
разрушения является постоянной величиной 7 = ~- В этом случае
206
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
уравнение C.4.9) будет
4(JQ
ф^ж
= 0.
Решение уравнения C.4.12) имеет более простой вид:
C.4.12)
Ф(А)^у^-т)С»йт-
^=1 1 - Ф(А)С ' У°-^О>
Степень различия в решениях по уравнениям C.4.11) и C.4.13)
проиллюстрируем на примере тела Максвелла. Рост трещины с те-
течением времени для тела Максвелла изображен на рис. 3.18. Зависи-
С
Л = 0,4
i
Р
1
/
i
/7
•"А = 0,3
О 4 8 t/T
Рис. 3.18. Зависимость длины трещины от времени при разных значениях
приложенной нагрузки
мость, следующая из уравнения C.4.11), показана сплошной линией,
а из C.4.13) — штриховой.
В задаче о растяжении пространства с дисковидной трещиной
радиуса / и тонкой пластической зоной I ^ г ^ а для определения
закона подрастания трещины со временем получаем
K(t-r)C3(r) dr +К@)С
C.4.14)
Здесь Ф]_(А) =
1 — А2
в упруго-вязкой среде находится из уравнения
, а критическая нагрузка А* по ^-теории
- (А*J =
(А*J =
3.5. Приближенный метод расчета энергетического интеграла 207
Соотношение C.4.14) определяет радиус трещины как функцию
времени. В качестве некоторого приближения так лее, как и в задаче
о растяжении плоскости с трещиной, можно рекомендовать решение,
получаемое в предположении, что плотность энергии разрушения
постоянна.
3.5. Приближенный метод расчета энергетического
интеграла для тел с вырезами и трещинами
Дальнейший прогресс в развитии прикладной механики разруше-
разрушения во многом обусловлен совершенствованием не только критериев
предельного состояния тел с трещинами, но и расчетных методов
механики разрушения. Применение численных методов в задачах ме-
механики разрушения позволяет анализировать концентрацию напря-
напряжений и деформаций в зонах практически любых концентраторов
напряжений при упругом и упругопластическом деформировании ма-
материалов. Однако получаемые при этом решения отнюдь не универ-
универсальны и их распространение на тела иной геометрии и из других
материалов достаточно трудоемко, а порою и проблематично. Число
аналитических решений для оценки концентрации напряжений при
упругопластическом деформировании материала в зоне концентра-
концентрации в телах различной геометрии ограничено. Поэтому разработка
приближенных методов расчета тел с концентраторами напряжений
при упругопластическом деформировании вполне актуальна [151].
Уместно вспомнить, что впервые анализ концентрации напряже-
напряжений в окрестности угловой точки (для плоскости с клиновидным вы-
вырезом) провел К. Вигхардт [386] посредством осреднения сингуляр-
сингулярных напряжений на некотором симметрично расположенном отрезке
перед вершиной угловой трещины, предвосхитив идеи Г. Нейбера и
В.В. Новожилова [189, 190]. В итоге им был получен критерий раз-
разрушения, включающий в себя в качестве характеристики материала
наряду с предельным напряжением еще и длину отрезка осредне-
осреднения (причем эти характеристики введены в задачу теории упругос-
упругости из дополнительных соображений). Однако помимо чисто силовых
критериев, подобных критерию К. Вигхардта, успешно применяются
энергетические критерии разрушения, основанные, в частности, на
концепции энергетического J-интеграла Эшелби—Черепанова—Раиса.
Далее остановимся на получении приближенных формул расчета кон-
концентрации напряжений и деформаций для тел с вырезами и трещи-
трещинами на базе энергетического интеграла.
3.5.1. Напряженное тело с вырезом. Вырез длиной 2/ об-
образован параллельными плоскостями, гладко сопряженными по-
поверхностью вершины выреза. Вершина выреза представляет собой
полуокружность радиуса р (рис. 3.19). Для оценки концентрации
208
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Рис. 3.19. Геометрия выреза
деформаций и напряжений применим энергетический интеграл Эшел-
би—Черепанова—Раиса. После сведения пути интегрирования к кон-
контуру вершины выреза, свободного от напряжений, выражение для
J-интеграла принимает простой вид:
тг/2
J= Г W\в)р cos в dO.
C.5.1)
-тг/2
Здесь W@) — удельная работа деформации; в — угловая координата
точки на контуре выреза в полярной системе координат с полюсом
в центре окружности выреза. Использование в выражении C.5.1)
удельной работы деформации у контура вершины выреза в виде
C.5.2)
C.5.3)
позволяет представить J-интеграл следующим образом:
Отсюда получают точные значения коэффициентов интенсивности
напряжений К для типичных случаев растяжения и изгиба [263].
Вычислим входящую в соотношение C.5.3) удельную работу де-
деформации VFmax на поверхности вершины выреза при в = 0
J
О ?Т
<Т*
l+ra
. + m
_
l+ra\
)
C.5.4)
При этом обобщенная диаграмма деформирования при растяжении
аппроксимирована зависимостями
а = Eg, <j < <jt,
m ^
C-5.5)
3.5. Приближенный метод расчета энергетического интеграла 209
в которых а* = -^-, т — показатель деформационного упрочнения
¦г-, 1 СГт
материала, Е — модуль упругости,ат — предел текучести, ?Т = —.
hi
Учитывая уравнение C.5.4), из формулы C.5.3) получаем
7Г \(ТТ СГ» / 1+m .l+
Это выражение позволяет найти максимальную интенсивность де-
деформаций и напряжений у вершины выреза по радиусу кривизны, ме-
механическим характеристикам и энергетическому J-интегралу (опре-
(определенному экспериментальным или расчетным путем).
Выразим правую часть формулы C.5.6) через коэффициенты кон-
концентрации деформаций и напряжений у вершины выреза:
Ке = ^^, Ка = ^^, C.5.7)
е а
здесь е и а — номинальные деформации и напряжения в ослаблен-
ослабленном или неослабленном вырезом сечении в зависимости от приня-
принятого определения. Полагая зависимости C.5.5) справедливыми как
для локальных, так и для номинальных напряжений и деформаций
и учитывая соотношение C.5.7), преобразуем выражение C.5.6) к
виду
КеКа \е) V aT^
C.5.8)
При этом считаем, что в зоне концентрации деформирование проис-
происходит всегда в пластической области, а номинальное напряжение а
может быть не только ниже, но и выше предела текучести.
Для исключения из формул C.5.8) произведения К?Ка воспользу-
воспользуемся приближенным соотношением Нейбера при упругопластическом
деформировании материала в зоне концентрации напряжений1)
^ф- = 1, C.5.9)
здесь аа — теоретический коэффициент концентрации напряжений.
г) Для получения более точного решения задачи о концентрации на-
напряжений (деформаций) у вершины выреза представляется возможным
ввести в правую часть соотношения Нейбера вместо единицы поправочную
функцию F = F(aa,o",Tn). Такое решение рассмотрено [177] на примере
поправочной функции Н.А. Махутова
14 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
210
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
На начальном этапе упругопластической деформации у вершины
выреза при — < а < 1 (а = <j/<jt)
OL
При дальнейшем деформировании а ^ 1, и теперь соотношения C.5.8)
можно записать следующим образом:
f) m]}- t3-5-11)
Представим себе характер изменения J-интеграла с изменением
входящих в него параметров (рис. 3.20). Для этого воспользуемся от-
А
'3
А
,15
1,
/У
//
//
/j
3
2
1
0
0,2 0,4 0,6 0,8
Рис. 3.20. Энергетический интеграл для тела с вырезом в зависимости от
напряжения: сплошные линии — аа = 1,5; пунктирные — аа = 3
носительной величиной J/Je, где Je = а а2 соответствует упругой
деформации у вершины выреза (а < 1/аа). Тогда при — < а < 1
Ot-o-
C.5.12)
а при а
(=\A-™)/т
1 — Ш
C.5.13)
Видно, что J-интеграл растет с повышением напряжений а, а также
способности материала пластически деформироваться (т. е. с паде-
падением показателя т) и почти не изменяется из-за увеличения коэф-
коэффициента аа. При а ^ — энергетический интеграл J = Je. В ин-
тервале напряжений — < о < 1 значение J практически постоянно
3.5. Приближенный метод расчета энергетического интеграла 211
(и не сильно отличается от Je), существенно возрастать оно начинает
лишь после превышения номинальным напряжением предела теку-
текучести.
3.5.2. Нагруженное тело с трещиной. Здесь трещину будем
трактовать как тонкий вырез. В пределе при р —)> 0 вырез переходит в
трещину, и из соотношений C.5.10) и C.5.11) следует выражение для
J- интеграл а в случае тела с трещиноподобным вырезом:
1/«<т < ° < 1»
C.5.14)
Выразим lim pa1 через коэффициент интенсивности напряжений К
р—>0
посредством известного соотношения
К = lim i (тгрI/2**^. C.5.15)
Тогда получаем
2 л:2
0<а< 1,
C.5.16)
Обратим внимание, что диапазон изменения номинального напря-
напряжения начинается с нуля A/аа —>- 0 при аа —>- оо). Следовательно
упругого состояния у вершины трещины нет при любом значении а
(что для реального материала естественно). Поэтому обычно записы-
записываемая формула (и вводимая всюду для упругого тела)
J = Je = К1 IE
будет идеализированной и условно справедливой при неравенстве о ^
^ 1/аа.
Характер изменения величины J/Je для тела с трещиной ана-
аналогичен изменению энергетического интеграла для тела с вырезом
(рис. 3.21): отношение J/Je увеличивается с уменьшением упрочнения
и ростом приложенных напряжений. Однако в данном случае (в от-
отличии от тела с вырезом) при а/ат < 1
J/Je = —*— = const C.5.17)
для материала с фиксированным показателем т. Тем самым подтвер-
подтверждена возможность рассчитывать J-интеграл в упругопластическом
состоянии по известным if-тарировке и упругопластическим свойст-
свойствам материала.
14*
212
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
J/Jt
2-
о,
l^m = G,2
3^т = 0,8
/
———- ¦
2
3
0,0 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 а/ат
Рис. 3.21. Зависимость энергетического интеграла для тела с трещиной от
приложенного напряжения
Заметим, что полученные формулы для J-интеграла молено при-
привести к виду, соответствующему формулам для J-проектной кривой
С. Тернера [382]. Более того, предложенные формулы C.5.16) учи-
учитывают не только геометрические особенности тела с трещиной при
помощи К-тарировочной функции У, но и в явном виде (в отличие
от формул Тернера) упрочнение материала посредством показателя
деформационного упрочнения m
JE
(ФтJ,
(фтI+т,
г/гт
е/ет
1.
C.5.18)
Из последних соотношений нетрудно составить выражение для
J-проектной кривой, учитывая связь J-интеграла с раскрытием в
вершине трещины 5.
Таким образом, полученные формулы позволяют более широко
использовать концепцию энергетического интеграла как при экспери-
экспериментальной оценке трещиностойкости материалов, так и в расчетах
на прочность деталей машин и элементов конструкций, поскольку
оказалось, что для определения J-интеграла достаточно знать коэф-
коэффициент интенсивности напряжений, приложенную нагрузку, длину
трещины и механические свойства материала (Е, а* и т).
3.6. Критерий осреднения
Еще в 1907 году К. Вигхард, проводя решение задачи теории упру-
упругости для плоскости, содержащей острый угловой вырез, занялся об-
обсуждением поведения решения в особых точках [386]. Для устранения
бесконечностей он пришел к выводу о необходимости осреднения рез-
резко возрастающего напряжения перед вершиной выреза (трещины) на
3.6. Критерий осреднения 213
протяжении отрезка некоторой длины с последующим сопоставлени-
сопоставлением полученного усредненного напряжения с предельной прочностью
материала.
Аналогичная мысль была высказана также Нейбером в связи с
высокой концентрацией у надрезов. Причем осреднение связывалось
с пластическим течением материала, происходящим в пределах «пла-
«пластической частицы Нейбера» [188]. К подобному критерию пришел
В.В. Новожилов, рассматривая детали деформирования реального
материала у вершины трещины [189]. Аналогичный критерий позднее
встречается также и у других исследователей, утверждая тем самым
плодотворность такого подхода. В итоге критерий осреднения имеет
вид
d
- I (Tydx ^ сг0, C.6.1)
о
где d — характеристическая дистанция осреднения перед вершиной
надреза или трещины, ао — предельное напряжение материала, подле-
подлежащее независимому определению. Эти величины могут трактовать-
трактоваться как механические свойства материала. При этом, придерживаясь
точки зрения об иерархической многоуровневой природе процесса раз-
разрушения, можно полагать, что величины d и а о будут иметь разные
значения при анализе процесса на разных масштабных уровнях. Усло-
Условие C.6.1) предполагает, что распространение трещины происходит
дискретно, скачками длиной с/, и это действительно наблюдается в
эксперименте, в частности, подтверждается резким изменением уско-
ускорения роста трещины [201].
Возможно обобщение критерия C.6.1) на временные (динамиче-
(динамические) процессы посредством введения не только пространственного
элемента разрушения с/, но и некоторой элементарной протяженности
процесса разрушения во времени Т. Это означает, что для разрушения
структурного элемента длиной d должен быть создан достаточный
импульс силы. Критерий разрушения записывается в виде
/Г А^1
d<; I <jy{<;,x)dx ^ ——, C.6.2)
max
t-d/c 0
где Gy(t,x) — главное нормальное напряжение на отрезке с/, d/c —
элементарное время между разрушениями двух соседних элемен-
элементов с/, с — скорость продольных упругих волн [184, 185, 202]. Им-
Импульсный критерий интенсивно развивается Петербургской школой
Н.Ф. Морозова. На основании критерия C.6.2) можно полагать нали-
наличие «квантов» разрушения — пространственного и временного [185].
Критерии осреднения удобны тем, что их можно применять не
только к трещинам, но и к надрезам разного вида с любой кривизной
214 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
в вершине. Покажем, что условие C.6.1) приводит к двухпараметри-
ческому критерию разрушения на основе понятия предела трещино-
стойкости.
Смысл двухпараметрических критериев разрушения состоит в
объединении одним выражением локальных критериальных парамет-
параметров (у вершины трещины) и глобальных (без учета концентрации).
Запишем точное решение для напряжения на продолжении трещины
(N
л- I пп
C.6.3)
которое (в отличие от асимптотического ау = К/ у 2тг(ж — I)) справед-
справедливо при х ^> /. Подставив это напряжение C.6.3) в критериальное
условие C.6.1) находим
/° C.6.4)
Получена зависимость разрушающего напряжения ас от длины
трещины (т. е. уравнение диаграммы остаточной прочности) для рас-
растянутой плоскости с трещиной (задача Гриффитса). Видно, что в
отличие от формулы Гриффитса разрушающее напряжение ограни-
ограничено при стремлении длины трещины к нулю. Воспользуемся далее
асимптотической формулой для напряжения ау в условии C.6.1), а
именно ., ,
1-\-а
= dx = an.
Отсюда получаем
/Л (^J C.6.5)
его
Исключая из уравнения C.6.4) длину характеристического отрез-
отрезка с/, находим уравнение диаграммы остаточной прочности, выражен-
выраженное через предельный коэффициент интенсивности напряжений
с
-пред
Исключим затем отсюда величину d с помощью выражения C.6.5).
Тогда получаем уравнение
(-J+ #" = !• C-6-6)
\СГ0/ А пред
Здесь величина сг^тг/ есть коэффициент интенсивности напряжений
(в квадрате) при разрушении, называемый пределом трещиностой-
кости /с, который меньше if пред, поскольку теперь прочность тела
3.6. Критерий осреднения 215
зависит от суммы локального и глобального критериев, которая на
момент разрушения равна единице. Тогда условие C.6.6) может быть
переписано в следующем виде [168]:
(То
Здесь введен эмпирический показатель степени q в первом слагаемом;
его представляет собой разрушающее напряжение образца (или испы-
испытуемой детали) без трещины (его можно положить равным пределу
прочности гладкого образца); /с — предел трещиностойкости — пред-
представляет собой коэффициент интенсивности напряжений при разру-
разрушении, находимый экспериментально на серии образцов с разными
длинами трещин; /стах — он же, но наибольший среди всех в данном
эксперименте. При разрушении напряжение (или параметр нагрузки)
равно разрушающему, т.е. а = сгс, коэффициент интенсивности на-
напряжений равен пределу трещиностойкости, т.е. К = /с, а сумма в
левой части C.6.7) равна единицы.
Можно предложить схожий критерий для трехмерной задачи,
исходящий из следующих соображений. Допустим в какой-то точке
фронта (контура) трещины коэффициент интенсивности напряжений
достигает максимальной величины и сопоставляется со своим пре-
предельным значением. При их равенстве эта точка (в момент начала
распространения трещины) должна сдвинуться, но ведь в соседних
точках коэффициент К пока еще меньше предельного, а одна точка
на фронте трещины передвинуться не в состоянии. Фронт трещи-
трещины, начав передвигаться, должен сдвинуться сразу группой точек,
т. е. отрезком конечной длины. Отсюда логично вытекает критерий
осреднения коэффициента интенсивности напряжений на некотором
элементе длины S вдоль фронта трещины [176]:
s
? / K{s)ds^KIc. C.6.8)
о
Здесь коэффициент интенсивности напряжений представлен в виде
функции положения точки на границе области, занятой трещиной.
Длина отрезка осреднения представляет собой дополнительную неиз-
неизвестную, можно лишь полагать, что она зависит от градиента коэф-
коэффициента К вдоль фронта трещины. Следует обдумать возможность
объединения критерия C.6.8) с C.6.1) и C.6.2).
Наши расчеты для поверхностной полуэллиптической трещины
в неравномерно нагруженной автосцепке железнодорожных вагонов
показали, что осреднение коэффициента К вдоль всего периметра по-
полуэллиптической трещины дало более удовлетворительный результат,
чем расчет несущей способности по Ктах в наиболее глубокой точке
трещины [176]. Сравнение производилось по величине силы на момент
разрушения автосцепки с трещиной.
216
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Метод сечений предполагает, что картина распределения рабочих
(номинальных) напряжений ап в плоскости распространения трещи-
трещины известна. Номинальные напряжения сгн, найденные в работе [109]
экспериментально, действуют перпендикулярно к поверхности трещи-
трещины, раскрывая ее.
Для натурных деталей типичными оказываются поверхностные
трещины, форму которой для удобства расчетов принимают полуэл-
Рис. 3.22. Схема поверхностной полуэллиптической трещины
липтической. В дальнейшем расчет производится именно для такого
случая; координатная система и обозначения показаны на рис. 3.22.
В соответствии с методом сечений составляем условие равнове-
равновесия — усилие Ртр, передававшееся ранее через площадь, занятую
теперь трещиной, уравновешивается усилием Ркц, создаваемым кон-
концентрацией напряжений az у вершины трещины:
Ртр = Ркц. C.6.9)
Причем
РтР
= J crH dF,
Ркц = у <Jz dF,
где FTp — площадь трещины, FTp = 0,5 тгс/;
концентрации напряжений,
— площадь зоны
oz — асимптотическое напряжение в окрестности фронта трещины,
az = , (ось z перпендикулярна плоскости трещины); сгн — но-
номинальное напряжение в области трещины, определяемое для безде-
бездефектной детали, сгн = сгнG*, <р)\ г* — полярная координата г = г* точек
фронта трещины,
о / cos <р
К = I -
sin2 <p
) ¦•
V с2 ' Р
7*i = г — г*; г* < 7*i $J r* + а. Размер зоны концентрации а определя-
определяется условием
О"н,ср
К
/2тга
3.6. Критерий осреднения 217
и, также как и искомый коэффициент К, принят постоянным вдоль
фронта трещины.
Силу Ртр удобно представить в виде сгн,Ср^тР, получая среднее по
фронту трещины номинальное напряжение в виде
т -J_ f п-
7н,ср — rp / ан
-^тр J
ClF
с помощью численного интегрирования.
Силу Ркц получаем интегрируя асимптотическое напряжение по
области концентрации, т. е.
тг/2 г*+а тг/2
*+ /
л f Krdr ^KVa f fa
dip / = —^- / (-
^ /тга
где K(fc) — полный эллиптический интеграл 1-го рода, к — 1 — (с/1) ,
,р
Условие равновесия C.6.9) приводит к биквадратному уравнению
относительно коэффициента интенсивности напряжений К; решение
этого уравнения дает
К = сгн,сру -р + vV + q. C.6.10)
Здесь
^2^ FTpK(k)
Р=——2 i~^' g
/ — наибольшая глубина полу эллиптической трещины, 2 с — длина
трещины на поверхности детали.
Эта формула позволяет рассчитать коэффициент интенсивности
напряжений для натурной детали сложной формы с полуэллиптиче-
полуэллиптической поверхностной трещиной.
Формула C.6.10) универсальна, т.е. справедлива для любой де-
детали, только при определении aR^cp следует сначала найти, а затем
интегрировать по площади трещины поле напряжений сгн конкретной
рассчитываемой детали.
Напомним, что эта формула дает средний по фронту трещины
коэффициент Kj (с попутным определением длины зоны концентра-
концентрации а и с допущением о ее постоянстве вдоль фронта трещины).
Далее из критерия разрушения Ирвина К = К\с рассчитывалась
разрушающая нагрузка Ррас для автосцепок железнодорожных ва-
вагонов. Однако для этого надо знать вязкость разрушения Kjc. По-
Поскольку расчет производился индивидуально для каждой автосцепки
218
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
1
А А
А /
/
1
f
/
А
/
О 0,5 1
2,5
со своими размерами трещин и со своей историей нагружения, то
вязкость разрушения определялась для каждой автосцепки также
индивидуально. Для чего из многих деталей с разным возрастом,
охватывающим весь диапазон срока службы, вырезались образцы,
которые испытывались на растяже-
растяжение. При этом была установлена за-
зависимость предела текучести от сро-
срока службы. После чего определялись
сдвиг критической температуры (см.
также п. 2.7) в зависимости от цикли-
циклического повреждения и далее вязкость
разрушения Kjc для конкретной де-
детали по зависимостям, приведенным в
[153].
Каждая автосцепка была испыта-
испытана [109] до разрушения с определением
разрушающей силы РОпыт и размеров
исходной трещины 1). Испытания про-
проводили в температурном диапазоне,
обеспечивающем хрупкое разрушение
(об этом можно было судить по виду
диаграммы «сила — смещение точки
приложения силы» и по виду излома). Результаты расчетов и опытов,
приведенные на рис. 3.23 в координатах расчетное Ррас и опытное
Ропыт значения разрушающих нагрузок, указывают на удовлетвори-
удовлетворительное их совпадение.
Таким образом, при наличии подробной информации о напряже-
напряжениях в зоне распространения трещины и характеристиках трещино-
стойкости метод сечений вместе с методом усреднения коэффициен-
коэффициентов интенсивности напряжений позволяет оценить прочность деталей
с трещинами с достаточной точностью. Расхождение расчета и опы-
опыта составляет менее 20 %, что вполне приемлемо для инженерного
расчета.
1,5
„МН
Рис. 3.23. Сопоставление рас-
расчетных и экспериментальных
разрушающих нагрузок
3.7. Сопоставление надрезов при расчете локальной
прочности
Надрезы разной геометрической конфигурации практически все-
всегда являются неотъемлемой частью любой детали машины или со-
сооружения. Концентрация компонентов напряженно-деформированно-
напряженно-деформированного состояния всегда являлась предметом внимания исследователей,
г) Эти трещины были обнаружены в автосцепках при очередном еже-
ежегодном осмотре, и автосцепки были сняты с дальнейшей эксплуатации.
ttttttu , ttttttt
S.I. Сопоставление надрезов при расчете локальной прочности 219
поскольку именно эти локализованные места и определяют области
инициации трещин при любых условиях нагружения и, соответствен-
соответственно, требуют применения к ним гипотез прочности разного вида.
Обычно в задачах о концентрации напряжений рассматриваются
надрезы с конечным радиусом кривизны. Однако существуют также
надрезы типа точек возврата с ну-
нулевым радиусом кривизны и, сле-
следовательно, с бесконечной концен-
концентрацией напряжений наподобие той,
что известна для трещины. В свя-
связи с этим здесь рассмотрено четы-
четыре типа основных геометрических
форм надрезов — по два с нулевым
и ненулевым радиусом кривизны р
при вершине надрезов и по два с ну-
нулевым и ненулевым углом ф между
противолежащими прямыми сторо-
сторонами надрезов (рис. 3.24).
Эти четыре типа надрезов до-
допускают взаимные предельные пе-
переходы одного вида надреза в дру-
другой, поэтому представляет интерес
возможность аналогичных транс-
трансформаций и для условий прочности.
Итак, задача состоит в описа-
описании и анализе напряженного состоя-
состояния в вершине надреза (трещины) и
в формулировке условий локальной
прочности при статической нагрузке. Для этого следует сравнить по-
поля напряжений в вершине надреза (трещины) и отыскать возможные
предельные переходы от одного надреза к другому с целью расшире-
расширения области справедливости критериев прочности для охвата надре-
надрезов разных видов [179].
Рассмотрение четырех типов надрезов начнем с углового надреза
с нулевым радиусом кривизны (см. рис. 3.24, а). Подобные надрезы
встречаются в сварных соединениях. Для описания напряженного
состояния у вершины острого надреза воспользуемся следующим ре-
решением [390]:
C.7.1)
ттттттт
ттттттт
Рис. 3.24. Схемы основных форм
надрезов
Ка
где показатель сингулярности а, полученный в результате аппрокси-
аппроксимации численных расчетов, является функцией угла ф, определяю-
определяющего раскрытие острого надреза [59, 60]:
а = 0,5 - 0,089 (ф/к) + 0,442 (ф/тгJ - 0,853 (^/тг)
C.7.2)
220
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Параметр аналогичный обычному коэффициенту интенсивности на-
напряжений Ка = а(тг1)а/A/Ь,ф,а) подлежит определению. Однако по-
поскольку этот параметр зависит от а, его экспериментальное опреде-
определение как характеристики трещиностойкости нецелесообразно из-за
невозможности сопоставления результатов испытаний образцов раз-
разных геометрий, т. е. с разными углами ф. Учитывая необходимость
дальнейших исследований прочности образца с острым надрезом,
имеет смысл перейти к образцу с эквивалентной трещиной (при
одинаковых разрушающих нагрузках образцов) и оценить прочность
известными для образцов с трещинами (см. рис. 3.24, б) методами.
Приведем некоторые приемы для определения длины эквивалент-
эквивалентной трещины. Сравним напряженные состояния по средним напря-
Рис. 3.25. Поля напряжений у вершины острого надреза (а) и трещины {б)
жениям вблизи острого надреза и трещины (см. п. 3.6)), вводя в
рассмотрение величину D как некоторое расстояние перед вершиной,
характерное для данного материала (рис. 3.25).
Запишем условия прочности согласно C.6.1):
для надреза
D
Ka dx Ka , Л
^ {76)
1 f
~D J
для трещины
D
? J
Kdx
2К
-а)
сг0.
C.7.4)
Поскольку предельное напряж:ение его есть величина постоянная для
данного материала, условие эквивалентности образцов с надрезом и
с трещиной запишем в форме равенства условий C.7.3) и C.7.4).
Принимая, что для вырезов с нулевым радиусом при вершине, как
и для трещины, величина D — постоянная материала, а К = а^/тг1э,
S.I. Сопоставление надрезов при расчете локальной прочности 221
окончательно получим
8тгA - а)
Легко видеть, что при а = 0,5 (ф = 0°) это соотношение переходит в
известную формулу / = К2/тга2.
Для определения длины эквивалентной трещины можно восполь-
воспользоваться также эмпирическим соотношением [78]
/э = 2al AЭ ^ /), C.7.6)
однако в этом случае вводится и эквивалентная ширина образца Ьэ =
= (Ь/1IЭ так, чтобы сечение нетто оставалось неизменным.
В соотношении C.7.5) величина D может иметь порядок диаметра
зерна или, быть может, отождествлена с пластической частицей Ней-
бера.
Таким образом возможен предельный переход lim Ka = К от уг-
углового надреза с нулевым радиусом кривизны к острой трещине с
целью описания напряженного состояния для его использования в
условиях прочности. Анализ прочности ведется известными методами
механики разрушения посредством замены острого надреза трещиной
эквивалентной длины, например, по критерию КAЭ) ^ Kjc. Отметим,
что величина а по формуле C.7.2) не отклоняется от значения 0,5
более, чем на 5 % при угле ф не превосходящем 77°. Если такой точ-
точности достаточно для определения характеристик трещиностойкости,
то эквивалентная длина трещины равна глубине надреза.
Перейдем к рассмотрению разреза (трещины) с ненулевым ради-
радиусом кривизны (см. рис. 3.24, в). Напряженное состояние при г ^ р/2
в данном случае описывается соотношением [315]
C.7.7)
где первое слагаемое определяет поле напряжений при р = 0, а второе
при р > 0. На поверхности г = р/2 имеем
откуда следует известная формула Ирвина [315]
К = - lim y^^max {Ф = 0).
Тем самым определена задача о расчете коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений К для образца с трещиной с конечным и малым
радиусом кривизны р, допускающая предельный (при р —>> 0) переход
222
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
к острой трещине. В связи с этим укажем, что существует экспери-
экспериментально наблюдаемый радиус кривизны тупой трещины, меньше
которого вязкость разрушения сохраняется постоянной [195].
Применение критерия C.6.1) с распределением напряжения по
C.7.7) дает
C.7.9)
/р)
р/2
Сопоставляя полученное выражение с первым соотношением
C.6.5) или C.7.4), приходим к выводу, что характеристический
отрезок оказался переменной величиной, и для трещины величи-
величина D превышает соответствующую величину для тупой трещины
(с закругленным концом) на расстояние р/2 от начала координат до
закругленного конца трещины, т. е.
?> = ?>! + (р/2).
Для образцов с надрезом, имеющим конечный радиус кривизны,
максимальное напряжение в вершине надреза зависит от этого ра-
Рис. 3.26. Иллюстрация зависимости характеристического отрезка Di от
градиента напряжений при его = const
диуса (рис. 3.26). Представив напряжение перед вырезом одной из
известных аппроксимаций (/3 — коэффициент порядка 4-1-8), запишем
условие прочности
Di D
dJ ау Ух)ах~ Di J
C.7.10)
3.8. Оценка конструкционной прочности
223
Эквивалентность (в смысле прочности) образцов с трещиной и
разрезами разной кривизны запишем в виде
у/2К
C.7.11)
Здесь К — коэффициент интенсивности напряжений эквивалентной
по прочности трещины. Характеристическая дистанция Di, как и
ожидалось, оказалась зависящей от радиуса кривизны надреза:
А =ф* (<ах_Л C.7.12)
р 2сг0 V о~0 )
Представленные соображения могут помочь определению характери-
характеристик трещиностойкости на образцах не с трещинами, а с надрезами
конечных радиусов кривизны, а также при расчете жестких соедине-
соединений со смещением кромок.
R/b'
3.8. Оценка конструкционной прочности
по критериям трещиностойкости
Развитие науки и техники отражается на методах расчета на проч-
прочность. Появляются новые критерии, нелинейные соотношения между
параметрами явления, возникают новые модели явления. В таких слу-
случаях не будет лишним проведение пред-
предварительных оценок прочности кон-
конструкций.
Начнем с определений. Критерием
прочности назовем суждение, связыва-
связывающее в виде неравенства выходные па-
параметры (или функции) детали с их
предельными значениями [137]. Выход-
Выходные параметры или функции детали
устанавливаются расчетом, а их пре-
предельные значения экспериментом (на
основе той же модели, которая служи-
служила и для расчета) дополнительными со-
соображениями, почерпнутыми из опыта
эксплуатации аналогичной детали (про-
(прототипа). Процедура расчета на прочность представляет собой рас-
четно-экспериментальный комплекс, в котором теоретическая (рас-
(расчетная) часть представлена на равных правах с экспериментальной.
Причем, вообще говоря, не должно быть отдано предпочтение теоре-
теоретической части перед экспериментальной и наоборот.
Для ориентировки при выборе расчетной модели может оказать
пользу диаграмма состояния материала в конструкции для однократ-
однократного статического нагружения при данной температуре (рис. 3.27)
III
I
II
IV
Рис. 3.27. Диаграмма состоя-
состояния материала в конструкции
224 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
[138]. На этой диаграмме по оси абсцисс отложено отношение интен-
интенсивности напряжений &i, возникающих в расчетной точке детали от
приложенных нагрузок, к наибольшему главному напряжению g\.
Это отношение отражает номинальное напряженное состояние в се-
сечении возможного дефекта. Точка на этой оси с координатой сго^/^ь
отделяет хрупкое состояние от пластического в отсутствие трещины.
Предполагаем теперь, что в рассматриваемой расчетной точке дета-
детали находится трещина, для которой известен коэффициент интен-
интенсивности напряжений К. По оси ординат отложим величину R/b =
= (K/aJb~1, пропорциональную относительной длине пластической
зоны перед вершиной трещины. Здесь Ъ — характерный линейный
размер детали в направлении трещины (ширина), но, как вариант,
возможна не ширина, а толщина детали. На этой оси отмечаем точку
а с координатой (Kjc/aQ^J/b, отделяющей хрупкое состояние от пла-
пластического. Здесь его,2 — предел текучести, но для оценок возможно
вместо него ввести и предел прочности аъ-
Координаты точек этой диаграммы отражают глобальное и ло-
локальное напряженные состояния, а сама диаграмма в определенной
мере аналогична диаграмме трещиностойкости, описываемой двухпа-
раметрическими критериями разрушения.
На полученной диаграмме можно выделить четыре области.
Область I — хрупкое состояние. Здесь величины R/b и <У{/(Т\ та-
таковы, что хрупкость наступает вследствие трехосности напряженного
состояния, малой пластической зоны перед вершиной трещины.
Область II — пластическое состояние. Оно возникает вследствие
разноименного напряженного состояния, большой пластической зоны
в нетто-сечении.
Области III и IV — переходные состояния. Значения R/b и (Ji/di
таковы, что возможно как хрупкое, так и пластическое состояния.
Уменьшение температуры, увеличение скорости деформирования
и другие охрупчивающие факторы приводят к расширению области I.
Если отображающая точка состояния конструкции с координатами
((К/аJ /b, (Ti/cFi) окажется в области I, то расчет следует вести мето-
методами линейной механики разрушения, если в области II, то предельное
состояние определяется пластическим течением, если в областях III
или IV, то приходится привлекать нелинейную механику разрушения.
Разумеется, границы этих областей в достаточной мере условны.
Из приведенной диаграммы видно, что, несмотря на появление ха-
характеристик трещиностойкости, ведущая роль механических свойств,
определенных на гладких образцах (аъ^а^^) по-прежнему сохраняет-
сохраняется. Предел прочности аъ и предел текучести ао,2 вместе с характе-
характеристиками трещиностойкости на равных входят в оценку состояния
конструкции.
Особенность переходных областей III и IV состоит в том, что здесь
может быть как хрупкое, квазихрупкое, так и пластическое состояние
3.8. Оценка конструкционной прочности 225
в зависимости от различия в условиях эксплуатации и нагружения.
Поэтому желателен критерий равно пригодный для обоих крайних со-
состояний. Этому удовлетворяет диаграмма трещиностойкости на осно-
основе предела трещиностойкости /с [172]. Аналогом этой диаграммы слу-
служит двухкритериальный метод расчета согласно документу R6 [307].
Рассмотрим еще одну возможность оценки прочности детали с
трещиной. Разновидностью двухпараметрических критериев разру-
разрушения можно считать следующий подход. При деформировании те-
тела с надрезом обычно опасное состояние при хрупком разрушении
оценивают с помощью теоретических коэффициентов концентрации
напряжений аа, а именно ас ^ —-. Увеличение остроты надреза
приводит к падению разрушающих напряжений ас вплоть до зна-
значения, определяемого из условия Ирвина К = if/c, т.е. до вели-
величины ас = (/ означает глубину надреза или трещины).
Дальнейшее уменьшение радиуса кривизны р надреза, приводящее
к увеличению коэффициента аа, не отражается на разрушающем
напряжении, поскольку надрез, начиная с некоторого минимального
радиуса кривизны ведет себя как
трещина. Соответствующая зави-
зависимость разрушающих напряжений 0
от аа показана линией 1 на рис. 3.28
[242]. В качестве предельного на-
напряжения гладкого образца может „
выступать предел прочности аъ- с
Подобная нечувствительность ма-
материала к трещине находит свое
объяснение в наличии пластическо- 1 а<г
го течения в вершине трещины, ко-
которое все равно затупляет вершину Рис. 3.28. Чувствительность ма-
до того острой трещины. В связи териала к надрезу и трещине
с этим вместо Kjc допустимо вести
дальнейшую оценку по величине Кс, а предельное напряжение ctq при-
принять равным <7ъ- При этом теоретический коэффициент аа возможно
заменить на коэффициент концентрации Ка в упругопластической
области у вершины надреза. На рис. 3.28 линия 1 проведена согласно
уравнению сгс/ао = 1/ск<т? линия 2 — по уравнению ас = Kc/(\/ttIY).
Возможно объединение этих двух расчетных соотношений одним [242]
„. а° \ Кс Л 1 \ /ой1\
ОС = •" ^W7/74 I l ) ' C.8.1J
Обе крайние ситуации следуют из этого представления. При аа = 1
(гладкий образец) имеем обычное уравнение ас = аъ/аа, а при аа —>•
ТС
—>- оо (образец с трещиной) ас = —=— . Уравнение C.8.1) объеди-
15 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
226
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
няет оба этих ттррдр.ттьттых гттучая, соответствующая линия 3 показана
на рис. 3.28. Возможно переписать урав-
уравнение C.8.1) в виде
аа • (а < ас) , К < Кс ,л ч ^ л
сто J^co
C.8.2)
(левая сторона неравенства равна еди-
единице при а = ас и К = Кс, Kcq = ctq x
х л/тг/У), которое более наглядно пока-
показывает аналогию с двухпараметрически-
ми критериями разрушения.
В заключении еще раз отметим, что
нарушение прочности цилиндрического
или плоского образца (рис. 3.29, а) мо-
может происходить не только путем разру-
разрушения (хрупкого или иного) в сечении
шейки (рис. 3.29, в), но и так, как показано на рис. 3.29, б. Проис-
Происходит исчерпание пластичности материала (если мера пластичности
достаточна для этого, т. е. достижимо 100 %-ое сужение шейки) с
уменьшением сечения до нуля. При этом разрушения, как такового,
нет, а есть нарушение прочности в виде деформации.
Рис. 3.29. Образование шей-
шейки (а) и виды нарушения
прочности (б, в)
3.9. Определение коэффициента интенсивности
напряжений для сквозных трещин в цилиндрических
оболочках с помощью весовых функций, полученных
методом голографической интерферометрии
Наличие сквозных трещин в тонкостенных оболочечных элемен-
элементах конструкций является одной из причин выхода их из строя. В
настоящее время наиболее распространенным параметром механики
разрушения, используемым для оценки прочности оболочки с трещи-
трещиной, является коэффициент интенсивности напряжений.
Некоторые аналитические выражения коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений для типичных трещин в оболочках могут быть взя-
взяты из опубликованной литературы и справочников [160, 209, 237].
Однако, при расположении трещин в нерегулярных зонах — вблизи
отверстий, патрубков или жестких фланцев — задача определения ко-
коэффициентов интенсивности напряжений существенно усложняется и
для ее решения в этом случае используют либо численные, либо экс-
экспериментальные методы. В основе последних методов лежит расчет
или измерение полей перемещений в окрестности трещин.
В этой связи большие возможности открываются при использова-
использовании когерентно-оптических методов для измерения полей перемеще-
3.9. Определение коэффициента интенсивности напряжений 227
ний, таких как голографическая и спекл-интерферометрия [193, 253,
308, 389]. На основе этих методов предложены различные подходы
определения коэффициента интенсивности напряжений, основанные,
как правило, на асимптотических решениях [303, 375]. Основная про-
проблема при применении асимптотических формул состоит в низкой
точности измерения перемещений вблизи вершины трещины, в то
время как в точках на ее берегах вдали от ее вершины могут быть
получены вполне достоверные данные.
Здесь рассмотрен метод определения коэффициента интенсивнос-
интенсивности напряжений с помощью весовых функций, которые определяются
по измеренным перемещениям берегов трещины с помощью интер-
интерферометра, использующего отражательные голограммы. Получены
весовые функции для цилиндрической оболочки с трещиной при на-
гружении ее растягивающими и крутящими усилиями. Дано сравне-
сравнение коэффициентов интенсивности напряжений Kj и Кц, найденных
экспериментально с известными аналитическими зависимостями.
3.9.1. Весовые функции. В основе рассматриваемого подхода
определения коэффициента интенсивности напряжений лежит энерге-
энергетический критерий разрушения [175], который в интегральной форме
имеет вид (см. п. 3.3):
'/'
C.9.1)
где 7 — удельная работа разрушения; pi = —а^п^ где <Jij — тензор
напряжений от заданной внешней нагрузки в теле без трещины в
точках на линии трещины с нормалью rij; щ — компонента перемеще-
перемещения только от нагрузки pi на линии берегов трещины, / — полудлина
трещины в симметричной постановке задачи. В общем случае роста
трещины поток упругой энергии G в ее вершину может быть выражен
с помощью следующей формулы [169]:
G = *-^ К] + ^ Kb + -±- К*П =
2 ц L 2 ц и 2fi 1П
1+ Г
= \ /(-"«К ^ dx + \ Ji-a^nj *?- dx. C.9.2)
о о
Запишем более подробно приток энергии в вершину трещины для
плоской задачи согласно уравнения C.9.1) и C.9.2):
1+ г
C.9.3)
В этом выражении интегралы берутся по верхнему (индекс «+») и по
нижнему (индекс « —») берегам трещины; индексы / и //отражают
15*
228 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
соответственно отрыв и поперечный сдвиг берегов трещины; Е —
модуль упругости материала при плоском напряженном состоянии и
соответственно Е/A — v2) при плоской деформации (у — коэффи-
коэффициент Пуассона).
Рассмотрим тело с одной трещиной и две системы нагрузок (отме-
(отметим их верхними индексами 1 и 2 в скобках). Приложим к берегам тре-
трещины сначала нагрузку р\ , а потом р\ '. Приток энергии в вершину
трещины будет определяться, с одной стороны, через коэффициенты
интенсивности напряжений:
G = Gj + Gn = I [(ltf> + К?J + (K$ + K?/f], C.9.4)
а с другой — через интегралы по поверхности трещины:
dx
ax
di +Pi di +ZPi d
, 1 f ( (l) duf] B) duf (i) du\a) \
dx-
Последние слагаемые в подынтегральных выражениях обусловле-
обусловлены работой «постоянных» сил р\ dx на перемещениях щ , вызван-
вызванных силами р\ 'dx. Каждый из коэффициентов К^' (k, j = 1, 2) в
формуле C.9.4) возникает от одной (и «своей») системы нагрузок р^7 .
Приравнивая между собой правые части выражений C.9.4) и
C.9.5), произведя сокращения, получаем связь между коэффициента-
коэффициентами интенсивности напряжений от отдельного действия нагрузок (ле-
(левая сторона равенства C.9.6)) в том случае, когда эти нагрузки при-
приложены одновременно (что видно по правой части равенства C.9.6)):
1+ г
Е J l dl J l dl
о о
Полученное выражение можно трактовать как условие взаимодей-
взаимодействия трещины с собой. Кроме того, видно, что формула C.9.6) соот-
соответствует методу весовых функций.
Поскольку обозначения нагрузок равноправны, а левая часть фор-
формулы C.9.6) при переобозначении остается прежней, то отсюда сле-
следует равенство (аналог теоремы Бетти)
dx' C'9-7)
A) Я*42) , [ B)
Tdx = Jp
m
3.9. Определение коэффициента интенсивности напряжений 229
Из уравнения C.9.6) при симметричном (Кц = 0) нагружении полу-
получаем
^jd^dX, C.9.8)
где Ki — искомый коэффициент интенсивности напряжений, вызван-
вызванный от заданной нагрузкой (ту(х) на поверхности трещины, Kjq и
vq — известные коэффициент интенсивности напряжений и смещения
берегов трещины от известной же и простой, эталонной (тарировоч-
ной) нагрузки, распределенной по поверхности трещины. Причем, для
тарировочной нагрузки и данной геометрии тела и трещины, величина
заранее вычислена и зачастую табулирована и названа весовой функ-
функцией [302]. Для получения коэффициента интенсивности напряже-
напряжений Kj осталось только проинтегрировать по области, занятой тре-
трещиной, напряжение (ту(х), умноженное на весовую функцию h(x,l).
Рассмотрим теперь две трещины /i и 1ч, на каждую из которых
A) B)
действуют самоуравновешенные нагрузки р\ ' и q\ , соответственно.
Пусть сначала к трещине 1\ прикладывается нагрузка р\ , а потом
к трещине l<i своя нагрузка q\ . Тогда приток энергии в вершину
трещины li будет описан выражением C.9.5), в котором р\ — ком-
компоненты тензора напряжений в точках на линии трещины 1\ для тела
только с одной трещиной 1ч с нагрузкой q\'; щ' — перемещение на
поверхности трещины /i от действия на нее нагрузки р\ , а щ —
перемещение точек на трещине 1\ от действия на нее р\ ' (при этом
трещина 1^ не нагружена).
Сопоставив уравнение C.9.5) с уравнением C.9.4) и учитывая фор-
формулу C.9.3), получим условие взаимодействия двух трещин в виде
уравнения C.9.6). В нем все коэффициенты интенсивности напряже-
7 7-Л1) A)
нии определены для трещины 1\ , причем К^ только от нагрузки р\
на трещине /i, а коэффициент К^. — только от нагрузки q\ на
трещине 1^ (при ненагруженной 1\).
Подобные соотношения могут принести пользу при численном рас-
расчете тел с не одной трещиной.
3.9.2. Экспериментальное определение весовых функций.
Итак, в общем случае метод весовых функций позволяет определять
величину коэффициента интенсивности напряжений для любого вы-
выбранного распределения напряжений в неразрушенном элементе, если
известно раскрытие берегов трещины иг(х,1) и коэффициент интен-
интенсивности напряжений Кг в тарировочном варианте нагружения, для
230 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
которого распределение напряжений аг(х) известно [303, 305]:
о
где Н = Е для плоского напряженного состояния иЯ = Е/{1 — /i2)
для плоской деформации. Выражение
, / ,ч Н диг
^х^ = Ж-дГ
является весовой функцией, учитывающей коэффициент интенсивно-
интенсивности напряжений для базовых (тарировочных) условий нагружения.
Рассматривая базовые нагружения оболочки с окружной сквозной
трещиной, выражение C.9.3) можно представить в следующем виде:
1+ г
K2=*f (-<*>+ ^fdx+ff (-vrfnj °§- dx. C.9.10)
о о
Для случая растяжения оболочки равномерным напряжением ах фор-
формула C.9.10) принимает вид
\
C.9.11)
Поскольку при раскрытии трещины ^-компонента имеет разные знаки
на берегах трещины, то подынтегральная разность (и+ — и~) в выра-
жении C.9.11) всегда положительна. Аналогично из формулы C.9.11)
можно вывести коэффициент интенсивности напряжений при нагру-
жении оболочки крутящим моментом:
\
C.9.12)
Интегрирование в формулах C.9.11) и C.9.12) проводится по поло-
половине длины трещины, а приращение длины трещины с каждого конца
равно dl.
Для экспериментального получения весовой функции по переме-
перемещениям точек берегов трещины применяют метод дискретного диф-
дифференцирования с равными шагами. В этом случае исходными дан-
данными для каждой точки берега трещины являлись три значения
^-компоненты перемещения при трех различных длинах трещины при
растяжении оболочки. Выражение производной для вычисления ве-
весовой функции по измеренным перемещениям запишется следующим
3.9. Определение коэффициента интенсивности напряжений 231
ди _ -Зиг
образом:
где А/ — приращение длины трещины с одного края, a ui, U2 и
и% — перемещения рассматриваемой точки при длинах трещины 2/,
21 + 2Д/, 2/ + 4А/. Аналогичное выражение использовано при круче-
кручении заменой компоненты перемещения мнаи.
Эксперименты проводились на образце в виде цилиндрической
тонкостенной оболочки, изготовленной из алюминиевого сплава Д16Т,
основные размеры которой равны: L = 100 мм, 2R = 60 мм и t =
= 1,5 мм [4, 6]. Окружная сквозная трещина моделировалась про-
прорезью, изготовленной в центре оболочки электроискровым методом
тонким фольговым электродом. Толщина прорези составляла 0,3 мм
при начальной длине в окружном направлении 21 = 24 мм. Геометри-
Геометрический параметр Л, характеризующий относительную кривизну обо-
оболочки с трещиной, определяется выражением [160]
где v — коэффициент Пуассона.
Образец статически нагружен растягивающим усилием Р = 100 кг
в одном случае, а также крутящим моментом М = 1,24 Нм в другом.
Три компоненты перемещений измерялись с помощью гологра-
фического интерферометра на основе отражательных голограмм по
методике, изложенной в [13].
Экспериментально полученные компоненты перемещений: осе-
осевой — и, окружной — v и радиальной — w для обоих берегов и трех
значений длины трещины представлены на рис. 3.30, а, б и в при
растяжении и на рис. 3.31, а, б и в при кручении соответственно,
^-компонента является максимальной для растяжения, а г>-ком-
понента — для кручения. На рис. 3.32, а и б приведены весовые
функции для обоих берегов трещины при растяжении и кручении
соответственно, полученные с помощью формул C.9.11) и C.9.12).
Сравним коэффициенты интенсивности напряжений Kf и Kfj,
полученные на основе весовых функций с использованием гологра-
фического метода с решениями по формуле [160]
KfII = aoVl(FT-Fb), C.9.15)
где Fm и Fb определяются, исходя из вида нагружения и геометри-
геометрического параметра Л C.9.14). Приведем теоретические и эксперимен-
экспериментальные значения коэффициентов интенсивности напряжений — Kj
для растяжения, Кц для кручения:
Kf = 0,5547 МПа • м1/2, Kj = 0,5109 МПа • м1/2,
Kfj = 0,2067 МПа • м1/2, KjT = 0,2110 МПа • м1/2.
232
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
/
и
Л
л
'А
>\
.—д—^
.
н
1-
2+
1+
Ч
Л
2"
щмжм
6
5
4
а з.
2
1
Лб -12 -8 -4 О
V, МКМ
1,5
1,0
0,5
6 0,0
-0,5
-0,5
-1,0'
~ -16 -12 -8 -4
W, МКМ
8 12 ж, мм
'2+
1
J
А
л
3+
8 12 ж, мм
в 2
А
АА
0]
f
к
.2+
К
1
-16 -12 -8 -4 О
8 12 ж, мм
Рис. 3.30. Компоненты перемещений и, v и w при растяжении (а, 5, в
соответственно): Г и 1+ — для нижнего и верхнего берегов при длине
трещины 24 мм; 2~ и 2 — при 26 мм; 3~ и 3 при 32 мм
3.9. Определение коэффициента интенсивности напряжений 233
щ мкм
0,6
0,4
0,2
-0,4
-16 -12 -8-4 0 4 8 12 ж,мм
г
/
п
ft
brjl
3+
Л
N431
с
-4 0 4 8 12 ж,мм
-16 -12 -8-4 0 4 8 12 ж,мм
Рис. 3.31. То же, что и на рис. 3.30, но при кручении
234
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
0,3,
0,2
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
0,2
o,i
0,0
-0,1
-0,2
—0,3*1
-0,4
-0,5
-12 -i
-4
-4
1+
8 ж, мм
\
/
у
А
\
\
!
А
I
/-
с
V
\
ч
о
8 ж, мм
Рис. 3.32. Весовые функции оболочки с окружной трещиной при растя-
растяжении (а) и кручении (б): 1~ — для нижнего берега трещины; 1+ — для
верхнего
Отклонения результатов эксперимента от теоретических значений
составили 14 % для растяжения и 9 % для кручения.
3.10. Метод разгрузки в экспериментальной механике
разрушения
Теоретическое выявление новых механических характеристик ма-
материала (на основе критериев разрушения) типично для механики
разрушения. Практически все они экспериментально определяются
на образцах с предварительно созданной (усталостной) трещиной и
оценивают сопротивление материала страгиванию и распространению
ЗЛО. Метод разгрузки в экспериментальной механике разрушения 235
магистральной трещины, в том числе и на фоне больших пластиче-
пластических деформаций.
В этой связи перед экспериментаторами встают задачи нахожде-
нахождения оптимальных способов установления нужных характеристик ма-
материала. Эти способы опираются на аналитические расчеты для соот-
соответствующих параметров (например, .?f-тарировка для коэффициента
интенсивности напряжений, формулы для раскрытия трещины, J-ин-
J-интеграл и т.п.). Однако в эксперименте не обойтись и без специфиче-
специфических приемов исследования. Среди них наибольшее распространение
получила диаграмма «нагрузка — Р-смещение /», используемая для
оценки таких механических характеристик, как Кс, Kjc, 5C, Jjc. По-
Подобная диаграмма (диаграмма разрушения) устанавливает реакцию
тела с трещиной на силовое воздействие [68, 196].
Диаграммы разрушения замечательны тем, что любой параметр,
оценивающий стадию разрушения, может быть выражен по опреде-
определенному правилу через координаты какой-либо характерной точки
диаграммы. Однако, помимо разработки методов построения таких
диаграмм, возникает необходимость разделения эффектов, вносимых
пластической деформацией и ростом трещины. Оба эти процесса
при нагружении могут происходить одновременно и нередко оказы-
оказывать одинаковое воздействие на показания измерительного прибо-
прибора (например, раскрытие трещины, измеренное датчиком смещения,
представляет собой сумму смещений от пластической деформации и
роста трещины) [69].
В основу разделения эффектов можно положить свойство обрати-
обратимости упругих деформаций и необратимости пластических (а также
незалечиваемость трещины) при разгрузке образца. Известный ме-
метод разгрузки [136] в сочетании с методом податливости (см. гл. 2)
всегда позволит отделить обратимые процессы от необратимых.
Заметим, что метод разгрузки применим когда промежуточная
разгрузка (снятие силы с образца) и последующая нагрузка не изме-
изменяют вида диаграммы разрушения (аналогично известному свойству
обычной диаграммы деформации при растяжении гладкого образца).
Кроме того, следует допустить, что наличие распределенной в нетто-
сечении пластической деформации не приводит к изменению упругой
податливости образца. Оба эти положения были проверены экспе-
экспериментально, при этом обнаружено, что промежуточные разгрузки
не отражаются на общей конфигурации диаграммы разрушения, а
податливость компактного образца при внецентренном растяжении с
одним боковым надрезом (радиус в вершине 1 мм) не меняется вплоть
до неупругого смещения точек приложения сил, равного 4 мм [136].
Приведем конкретные примеры определения механических харак-
характеристик методом разгрузки.
Критическое раскрытие 5С в вершине трещины. Исследование
пластической зоны у вершины трещины привело к характеристике ма-
236 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
териала, называемой критическим раскрытием трещины в вершине и
обозначаемой символом 5С. Оно представляет собой расстояние между
двумя точками, симметрично расположенными на противоположных
поверхностях трещины непосредственно у затупившегося в процессе
деформации конца трещины в результате пластического течения в ее
окрестности (см. гл. 2). Величина пластического раскрытия вершины
трещины растет с увеличением внешней нагрузки, поддерживающей
трещину в раскрытом состоянии. Причем рост раскрытия трещины
при монотонном возрастании нагрузки происходит как до начала дви-
движения трещины, так и в последующий этап деформации, когда тре-
трещина устойчиво распространяется вплоть до достижения нагрузкой
максимального значения. В данном случае измеряемой характеристи-
характеристикой должна быть величина пластического раскрытия в момент начала
движения трещины [196]. Эта характеристика оценивает локальную
пластичность материала в вершине неподвижной трещины перед на-
началом ее роста [69].
Предполагается, что с помощью критического раскрытия трещины
можно оценить способность материала тормозить трещину, распола-
располагая тем самым различные материалы (или их состояния) в ряды, а
также производить расчеты предельного состояния равновесия тел с
трещиной [69]. Численное выражение критического раскрытия трещи-
трещины снимается с экспериментальной диаграммы «нагрузка — Р-смеще-
Р-смещение /» (см. гл. 2). Смещение / обычно измеряется на малой базе меж-
между точками, находящимися по разные стороны трещины и несколько
отстоящими от ее конца. Раскрытие 5 в вершине трещины при этом
вычисляют из геометрических соображений, допуская жесткий по-
поворот половинок образца, разделенных трещиной [68]. Если на этой
диаграмме имеется скачок, то критическое раскрытие трещины опре-
определяют в момент скачка. Когда на диаграмме «нагрузка—смещение»
скачка нет, установить момент страгивания трещины (который соот-
соответствует «критическому» 1) раскрытию трещины) весьма сложно. В
этом случае часто оценивают величину раскрытия при максимальной
нагрузке Eтах). Следует, однако, заметить, что раскрытие при макси-
максимальной нагрузке может оказаться большим в результате увеличения
длины трещины, что к свойствам пластичности материала не имеет
отношения.
Добавочная величина раскрытия за счет медленного роста трещи-
трещины до максимальной нагрузки зависит от законов распространения
трещины, которые могут не соответствовать закономерностям пласти-
г) В работе [69] уже отмечалась двойственная природа 6С — в зависи-
зависимости от условий ее экспериментального определения оно может быть как
критическим (при наличии скачка трещины), так и докритическим (при от-
отсутствии такового). Понятие докритических, критических и закритических
механических характеристик введено в работе [261].
ЗЛО. Метод разгрузки в экспериментальной механике разрушения 237
ческого течения в окрестности вершины неподвижной трещины [170].
Тем самым нарушается точность определения характеристики, что
может привести к неправильным выводам. Важность установления на
обсуждаемой диаграмме точки начала движения трещины, служащей
для оценки критического раскрытия трещины, очевидна.
Первый способ. Предлагается достаточно простой и надежный ме-
метод установления точки диаграммы, соответствующий началу роста
трещины. Суть предложения — в неодинаковой податливости образ-
образцов с разной длиной трещин. Представим себе образец с трещиной,
подвергнутый монотонно возрастающему нагружению. На первой ста-
стадии его растяжения повсеместно совершается упругая (макро) де-
деформация без роста трещины. Участок диаграммы, соответствующий
первой стадии, с целью увеличения точности последующих опера-
операций, желательно иметь в виде вертикальной линии. Для этого на
экране или двухкоординатном самописце по оси ординат фиксируют
внешнюю силу, а по оси абсцисс — разность смещений, т. е. взаимное
смещение двух точек, между которыми располагается трещина, и
взаимное смещение двух точек вдалеке от трещины. Тогда в упругом
состоянии образца сигналы датчиков всегда можно подобрать так,
чтобы на начальном участке линия диаграммы шла вдоль оси ординат
(разность смещений равна нулю).
По мере роста пластической зоны у конца трещины в смещение
по обе стороны от трещины будет поступать вклад от пластическо-
пластического раскрытия и линия диаграммы начнет отклоняться от вертикали
fc Л h
f-f(P)
Рис. 3.33. Диаграмма разрушения с промежуточными разгрузками. Вер-
Вертикальные линии разгрузки до точки В — трещина не растет, наклонные
линии разгрузки за точкой В — трещина растет
(рис. 3.33). На этом, втором, этапе деформации образца, длина трещи-
трещины по-прежнему не меняется и поэтому, если не учитывать изменение
податливости образца от наличия пластической зоны (что возможно
на основании экспериментальных наблюдений), разгрузка будет идти
по вертикальным линиям, параллельным линии первого этапа.
238
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Точка В на диаграмме (рис. 3.33) соответствует началу движения
трещины. Абсцисса этой точки /с служит для определения искомого
критического раскрытия трещины. За точкой В длина трещины боль-
больше начальной, следовательно, при разгрузке линия диаграммы уже не
будет вертикальной. Чем больше длина трещины, тем меньший угол
с осью абсцисс будет составлять линия разгрузки. Таким образом,
точку В можно найти по началу изменения податливости образца при
разгрузке. Изменение податливости образца, связанное с изменени-
изменением длины трещины, можно рассчитать. Как известно (см. п. 2.3.12),
интенсивность освобождающейся упругой энергии выражается через
параметры задачи следующим образом [321]:
2t dV
= АР.
C.10.1)
Здесь К — коэффициент интенсивности напряжений, Л — податли-
податливость образца с трещиной, / — смещение1) точек приложения внеш-
внешних сил Р, Е — модуль упругости, t — толщина образца.
Из приведенных равенств
2* f K2 J7
C.10.2)
По этой формуле можно построить графическую зависимость по-
податливости Л от длины трещины / для данного образца (рис. 3.34). Тот
же график можно построить и по результатам непосредственного из-
М
h
I
Рис. 3.34. Зависимость податливости образца с трещиной от длины тре-
трещины. Приращение податливости AAi позволяет установить приращение
длины трещины A/i = h — /о
г) Фактически смещение измеряется между другими точками (напри-
(например, пинцетным датчиком в начале надреза). Однако имеющееся различие
в податливости настолько незначительно, что им обычно пренебрегают. В
частности, смещение, измеряемое вдоль линии действия силы (на образце
при внецентренном растяжении), считается равным смещению точек при-
приложения сил.
ЗЛО. Метод разгрузки в экспериментальной механике разрушения 239
мерения податливости на образце. Последний путь предпочтительнее,
поскольку значения податливости, измеряемые между различными
точками образца, также могут оказаться разными (хотя и взаимно
прямо пропорциональными).
Методически техника нахождения точки В сводится к следую-
следующему. При записи диаграммы Р -=-(/ — f(P)) производим ряд раз-
разгрузок через определенные интервалы шкалы оси абсцисс на задан-
заданную величину силы (скажем, на 50% от текущей силы). Измеряем
изменение податливости AAi и АЛ2 на тех двух линиях разгрузки,
которые заметно отклоняются от вертикали. Затем на графике Л(/)
от значения Л = Л (/о) откладываем приращения податливостей AAi и
АА2- Разности длин трещины (/2 — /i) на рис. 3.34 отвечает прираще-
приращение смещения (/2 — /i) на рис. 3.33. Предполагая равномерный рост
трещины, определяем абсциссу /с точки В из пропорции
/2-/l h "/='
ИЛИ
/с = h - г^т & ~ Л)- C-10-3)
h — п
Найдя величину fc = f~ 1{Рв), соответствующую началу роста
трещины, находим обычным способом и критическое раскрытие 8С.
Второй способ. Ведем испытание образца с записью диаграммы
P-f и с несколькими разгрузками (около 10), которые можно произ-
производить и в области за Ртах-
Для каждой линии разгрузки определяем податливость: Aq, Ai,
А2, ... Значение Aq соответствует податливости образца с исходной
длиной трещины /о (и, следовательно, углу наклона начальной прямой
линии упругого поведения образца).
Каждому смещению / можно приписать некоторую податли-
податливость А, обусловленную длиной трещины. Действительно, по предва-
предварительно построенному графику А(/) (рис. 3.34) нетрудно установить
длину трещины (/о^ъЬ? • • •)> отвечающую соответствующим значе-
значениям А. Таким образом, каждой податливости можно приписать опре-
определенную длину трещины, а, следовательно, и приращение длины
Ali = li — 10 (г = 1, 2, ...). Из диаграммы «приращение длины трещи-
трещины А/ — смещение /» (рис. 3.35) видно, что при малом смещении /
приращения трещины нет, стало быть, раскрытие происходит без рос-
роста трещины. При смещении выше /с трещина растет. Поэтому вели-
величина смещения /с, отвечающая началу движения трещины, находится
на пересечении кривой разгрузки с осью абсцисс / (где А/ = 0). По
смещению /с обычным пересчетом можно оценить параметр 5С. На-
Напомним, что согласно определению 5С есть пластическое раскрытие,
и поэтому из величины / следует исключать упругую составляющую
240
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Рис. 3.35. Приращение длины трещины в функции смещения. Точки на
графике соответствуют линиям разгрузки на диаграмме P—f
(т. е. на диаграмме P-f снимать их не в виде координаты точки
диаграммы, а в точке пересечения линии разгрузки с осью абсцисс).
Энергетические характеристики. Известно, что на образование
новой поверхности тела, т. е. на распространение трещины, необходи-
необходимо затратить определенную работу. Эти затраты можно покрыть за
счет изменения упругой энергии тела при релаксации напряжений с
ростом трещины. Отсюда следует известное понятие потока упругой
энергии G в вершину трещины (см. п. 2.3.10). Равенство этого потока
работе разрушения в критический момент дает при разрушении от-
отрывом позволяет определить вязкость разрушения Gjc-
Помимо этого получил распространение инвариантный интеграл
Черепанова-Райса
J=-I^. C.10.4)
Здесь U — полная энергия системы, т. е. U = W — A (W — работа
деформации, А — работа внешних сил). Следовательно
U = -А\
где А* — дополнительная работа.
Поясним еще раз происхождение формулы C.10.4). В связи с ма-
малым приращением длины трещины на А/ выделенная упругая энергия
Раскладывая в ряд Тейлора второе слагаемое правой части этого
соотношения и удерживая только члены ряда до А/ в первой степени,
находим, что
Однако по определению приток энергии в вершину трещины при
приращении ее площади на tAl равен
GtAl = AW,
3.10. Метод разгрузки в экспериментальной механике разрушения 241
откуда и получаем формулу
1 dW
которая совпадает с формулой C.10.4) как при жестком, так и при
податливом (с изменением знака) нагружении.
Рассмотрим способы определения энергетических характеристик
методом разгрузки.
Инвариантный интеграл. В последнее время J-интеграл нашел
применение для оценки вязкости разрушения Gic [293]. По своему
физическому смыслу J-интеграл есть разность полных энергий двух
идентичных тел, незначительно отличающихся лишь площадью тре-
трещины, отнесенная к разности этих площадей (см. гл. 2). Если разру-
разрушение при монотонном нагружении происходит отрывом, то в момент
начала движения вершины трещины J = G = Gic вне зависимости от
наличия или отсутствия больших пластических областей и деформа-
деформаций и последующего характера разрушения [293].
Вновь, как и при определении 5С, производим разгрузки с уста-
установлением податливости Л для каждой линии разгрузки. Каждой
Рис. 3.36. Диаграмма разрушения (а) и зависимость работы деформации
А = Ау + Ап, дополнительной работы А* и работы внешней силы Р/ от
длины трещины (б)
разгрузке поставим в соответствие площадь А под диаграммой Р—
f до этой точки (рис. 3.36, а).
Смещение / должно измеряться между точками приложения
внешних сил, однако его можно измерять и на поверхностях разреза,
но вдоль линии действия сил.
Каждому значению Л, согласно рис. 3.34, отвечает некоторая дли-
длина трещины, следовательно, можно графически изобразить зависи-
зависимость А-1 (рис. 3.36, б). Измерение податливости методом разгрузки
позволяет отсекать процессы до и после начала движения трещины.
Поэтому по рис. 3.36, б оказывается возможным установить работу А,
16 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
242 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
при которой начнется рост трещины, по точке пересечения соответ-
соответствующей кривой с осью ординат (при А/ = 0, / = /о)- Здесь лее име-
имеется кривая, отражающая механическую работу Pf как функцию / и,
наконец, кривая дополнительной работы А* = Pf — A.
Практически, пользуясь диаграммой Р—/, J-интеграл определяют
по формуле
1 dA
111'
справедливой при условии, что / = const [265]. Поскольку в данном
случае / = var, мы исходим из более общей формулы
1 dU _ I dA*
~ lit ~ l~dT'
В момент начала движения трещины J = Gjc. Следовательно, при
отрывном характере начального участка излома G/c = arctga, где
а — угол между осью абсцисс и касательной к линии А*-1 в точке
ее пересечения с осью ординат А*.
Определенный смысл и толкование (здесь не обсуждаемые) может
иметь график Аи-1, где Аи — необратимая (поглощенная) работа
деформации (см. рис. 3.36, а).
Изложенный метод определения J/c = G/c не требует испытания
серии образцов с разными исходными длинами трещин, как это пред-
предлагалось в работе [293]. Достаточно испытать один образец, чтобы
получить одно значение вязкости разрушения.
Вместе с тем следует указать на немаловажное, на наш взгляд, об-
обстоятельство. В основе критерия начала движения трещины, который
определяет, будет ли оно действительным или нет, лежит виртуальное
продвижение вершины трещины. Оно будет действительным, если
для такого продвижения поток упругой энергии в вершину трещины
„ dA*
окажется достаточным. Ьсли же отношение —— велико, но доля ее
tdl
упругой составляющей вполне ничтожна (например, для жесткопла-
стического тела она равна нулю), то действительного продвижения
трещины не будет. Здесь возникает сомнение относительно право-
dA*
мерности использования —— в качестве критерия разрушения, уста-
устанавливающего и определяющего момент начала движения трещины.
Следовательно, достоверность найденной этим способом вязкости Gjc
на сильно пластически деформированном материале также вызывает
сомнение. Движение трещины начнется лишь тогда, когда для этого
будут предпосылки в виде достаточного потока упругой энергии из
упругопластически деформированного тела. Отсюда также следует,
что, например, для жесткой л астического тела невозможно распро-
распространение трещины по механизму линейной механики разрушения.
Поток упругой энергии в вершину трещины. Метод разгрузки
позволяет найти именно ту часть упругой потенциальной энергии
Вл
в>
ЗЛО. Метод разгрузки в экспериментальной механике разрушения 243
деформации, которая по необходимости затрачивается на разрушение
при начальном (в момент старта) продвижении вершины трещины.
Рассмотрим два состояния одного об-
образца на различных стадиях нагру-
жения (точки В\ и В^ на рис. 3.37).
Эти два состояния отличаются одно от
другого (помимо прочего) тем, что в
момент разгрузки выделяется неоди-
неодинаковое количество упругой энергии.
Площадь трещины в этих двух состоя-
состояниях тоже разная. Если затем разность
упругих энергий (выделяющихся при
разгрузке от точек В\ и B<i) поделить
на разность соответствующих этим же
точкам площадей трещины, то полу-
получим искомый поток упругой энергии.
Можно прибегнуть к следующему
построению. Все линии разгрузки из
точек B<i, В3, ... сместить влево до
/2 /
Рис. 3.37. Схема к вычисле-
вычислению потока упругой энергии в
вершину трещины при значи-
значительной пластической дефор-
деформации образца
совпадения их на оси абсцисс в точке пересечения с нею линии раз-
разгрузки из точки В\. В этом случае получим веер линий разгрузок,
выходящих из одной точки оси абсцисс. На рис. 3.37 показано такое
совмещение линий разгрузок только для двух точек В\ и В2. Раз-
Разность площадей для двух соседних точек разгрузки составляет АА =
= - P(f2 — /i)- Приращение длины трещины А/ = -тт-тту (заметим, что
2 ил/ш
dX/dl есть функция длины трещины). Податливость в среднем равна
АЛ = . Поскольку для упругих деформаций А* = А, формула
1 АА
C.10.4) для J-интеграла приобретает вид J = ———. Подставив сюда
все найденные величины (и учитывая формулу C.10.1)), получим
J=^^ = Gic C.10.5)
Таким образом, вычисления разности упругих энергии по разности
площадей диаграмм при разгрузке показывают, что в этом случае J =
= Gic независимо от степени предшествующей деформации. Этот вы-
вывод вполне естественен, если вспомнить, что поток энергии в вершину
трещины полностью обусловлен образованием новых поверхностей и
принципиально связан со свойством упругости.
Вместе с тем, если поток упругой энергии не зависит от степени
пластической деформации, а затраты энергии на разделение матери-
материала зависят, то равенство между этими двумя видами энергии (на
основании критерия разрушения) достигается за счет изменения ско-
скорости распространения трещины.
16*
244
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
H=4h
t t \ t t
3.11. Об устойчивости тонколистового образца
с трещиной при растяжении
В связи с возрастающим применением тонколистовых материа-
материалов с высоким уровнем прочности становится необходимой оценка их
надежности в эксплуатационных условиях. Такой мерой надежности
служит величина вязкости разрушения, получаемая при испытании
на растяжение образцов с предварительно созданной трещиной [158].
При растяжении плоского образца с центральной трещиной мо-
может быть потеряна устойчивость плоской формы равновесия образца.
Потеря устойчивости выражается в выпучивании части поверхности
образца, прилегающей к трещине, что хо-
хорошо заметно при эксперименте с образца-
образцами, изготовленными из достаточно тонких
листов [56].
Устойчивость при растяжении мембра-
мембраны с отверстием рассматривалась в работе
[271], однако ввиду сложности этого ме-
метода нами здесь рассмотрено приближен-
приближенное решение указанной задачи, которое
используется для выбора размера образ-
образца при исследовании вязкости разруше-
разрушения тонколистового материала без потери
устойчивости образца.
Возьмем прямоугольную пластинку
с центральной трещиной, растягивае-
растягиваемую напряжением а в своей плоскости
(рис. 3.38). Для определения напряженно-
напряженного состояния рассмотрим верхнюю поло-
половину пластинки над трещиной. Граничные
условия на линии трещины: ау = 0 при
М М
Рис. 3.38. Растянутая пла-
пластинка с трещиной
где I — по-
х\ < /, v = 0 при /
лудлина трещины, Ъ — полуширина пла-
пластинки, v — смещение точки в направлении оси у. Однако, имея в
виду приближенность последующего решения, заменяем смешанную
задачу теории упругости более простой — нагрузку на линии трещины
находим из условия равновесия и считаем ее равномерно распределен-
распределенной на участках вне трещины [47].
Таким образом приходим к плоской задаче о балке-стенке1) со
следующими граничными условиями:
ау = а при у = /г, <jy = ba/(b — I) при у = —/г, /
г) Термин, принятый в строительной механике для балок, высота кото-
которых имеет порядок длины.
3.11. Об устойчивости тонколистового образца с трещиной 245
а у = 0 при у = —/г, |ж| < /, ах = О при ж = ±6,
тху = О при г/ = ±/г, ж = ±Ь,
где h — четверть высоты пластинки (см. рис. 3.38). Используя метод,
изложенный в работе [208], получаем компоненты напряженного со-
состояния в рассматриваемой пластинке:
Зау(Ъ2 - х2I . . , . , ^
(У =^^г~ при 1^\х ^ Ъ,
C.11.1)
3*у(Ъ2-х2) . '
= ^з ПРИ F
-Syh2)l 26-/1 7
/ +о^ /^ ПрИ 1
2F-Z)J
-3h2y 1
1
2J
За х
Решение по методу, развитому в работе [208], точно удовлетворяет
граничным условиям и приближенно — уравнению совместности де-
деформаций.
Найдем критическое напряжение акр, которое удерживает рас-
рассматриваемую пластинку в изогнутом состоянии. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение устойчивости пластинки в линейной постановке имеет
вид [38]
L(w) = — V4w - crxw,xx -<jyW,yy -2тхуи>,ху = 0, C.11.4)
v
Et3
где D = — —; t — толщина пластинки; Е, \± — модуль упругости
и коэффициент Пуассона, V4 — бигармонический оператор; w(x,y) —
прогиб пластинки; запятой отмечены частные производные по соот-
соответствующим переменным.
Для определения акр из уравнения C.11.4) используем метод Га-
леркина, т. е.
ГГ L(w)wdxdy = 0, C.11.5)
s
где S — область выпучивания. Задаемся уравнением поверхности вы-
выпучивания в виде
w(x,y) = -Aj-cos7^- при \х\ < /, -h<y<0. C.11.6)
it Ah
В остальных точках w = 0.
246
Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
Подставив выражения C.11.1)—C.11.4) и C.11.6) в условие C.11.5),
находим критическое напряжение, отвечающее заданной форме
C.11.6) потери устойчивости:
4 2 7 2
а*р = 9A-м2)/2[Зтг2-(тг2-2)/2]' C.11.7)
где сг*р = сгкр/?, ?* = t/b, ft* = ft/6, Z* = //6.
Зависимость критического напряжения согласно C.11.7) для неко-
некоторых значений /* и t* представлена на рис. 3.39, где параметр ft* =
= 2,5, /i = 0,3.
15
<)-103
12
\
11
\
I3
U
\
\
V
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 I*
Рис. 3.39. Зависимость критического напряжения от длины трещины: /г* =
= 2,5; линии 1-4 для ?* = 0,01, 0,014, 0,02 и 0,03 соответственно
Отметим, что поверхность выпучивания C.11.5) близко соответ-
соответствует экспериментальной, что было установлено с помощью слепков с
поверхности выпученного образца, выполненных расплавленным пла-
пластилином. В то же время наблюдаемый размер области выпучивания в
направлении оси у по одну сторону от трещины обычно не превышает
удвоенной длины трещины при достаточно длинном образце. Поэтому
при 2h/b > 5 в формуле C.11.7) можно принимать /г* = 2,5.
Приведем результаты экспериментального исследования явления
потери устойчивости тонких плоских образцов с трещинами при рас-
растяжении [47]. Испытания проводили на образцах из стали ВНС-9 тол-
толщиной 0,105 и шириной 15 мм (?* = 0,014, /г* = 2,5). Была заготовлена
серия образцов с /* =0,2, 0,4, 0,6, 0,8 по три образца на точку.
Процесс выпучивания пластины с трещиной происходил посте-
постепенно, начиная с некоторого значения нагрузки. Дальнейшее увели-
увеличение нагрузки приводило к постепенному увеличению выпученной
области вплоть до полного разрушения образца. Отмечалась нагруз-
3.12. Рост трещины при нестабильном хрупком разрушении 247
ка, соответствующая началу выхода кромок трещины из плоскости
пластинки. Экспериментальные точки для критического напряжения,
соответствующего тому же моменту, легли на расчетную кривую 2 на
рис. 3.39. Для образца с /* = 0,2 потери устойчивости не наблюдалось
вплоть до разрушения.
Таким образом, как видно из сопоставления экспериментальных
точек с теоретическими кривыми, формула C.11.7) дает удовлетво-
удовлетворительное для практики выражение критического напряжения.
Приведем теперь экспериментальные данные о влиянии потери
устойчивости на прочность образца с трещиной при растяжении. Ис-
Испытаны две партии одинаковых образцов толщиной 0,1 и шириной
30 мм (t* = 0,007) с трещиной длиной 15 мм G* = 0,5) из стали ВНС-9.
На образцах постоянно наблюдалось значительное выпучивание до
разрушения. Одну партию испытывали в смазанных пластинах, ко-
которые не позволяли кромкам трещины выходить из плоскости образца
и в то же время не оказывали какого-либо влияния на сопротивление
разрушению. Принимается, что в данном случае потери устойчиво-
устойчивости не происходит, и разрушение идет при плоском напряженном
состоянии. В этой партии образцов оценивали прочность (нетто) об-
образца с трещиной без потери устойчивости, которая оказалась равной
76 кг/мм2.
Вторую партию образцов испытывали без ограничивающих пла-
пластин. В этом случае прочность образца с трещиной при наличии
потери устойчивости равна 70,5 кг/мм2 (в обоих случаях приведены
средние числовые данные по 10 образцам).
Потеря устойчивости при растяжении приводит к понижению
прочности указанных образцов с трещиной примерно на 7%.
3.12. Рост трещины при нестабильном хрупком
разрушении
Создание моделей, критериев и методов анализа катастрофическо-
катастрофического разрушения становится одним из главных направлений фундамен-
фундаментальных и прикладных исследований в области анализа и обоснова-
обоснования безопасности поврежденных конструкций [154]. Естественно, что
для анализа механизмов катастрофических разрушений необходимо
привлекать подходы динамической механики разрушения. Именно ди-
динамическая механика разрушения позволяет рассматривать задачи,
связанные с определением напряженно-деформированного состояния
у вершины стационарной и нестационарной трещины при воздействии
гармонических и ударных нагрузок, формулировать критерии старта,
распространения и остановки трещины, а также исследовать законо-
закономерности развития нестационарных трещин. Для решения указанных
задач используют аналитические методы в рамках идеализированных
248 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
моделей динамического разрушения, численные и экспериментальные
методы динамической механики разрушения.
Идеализированные модели разрушения и результаты аналитиче-
аналитических решений применительно к прикладным задачам динамической
механики разрушения имеют ряд недостатков и не всегда корректны.
Тем не менее, идеализированная модель может быть успешно исполь-
использована с привлечением некоторых экспериментальных характеристик
процесса разрушения. Поэтому в динамической механике разрушения
особое значение приобретает разработка смешанных аналитико-экспе-
аналитико-экспериментальных подходов [198].
В данном пункте остановимся на исследования явления катастро-
катастрофического разрушения, связанного с моментом перехода трещины от
стабильного (устойчивого) роста к нестабильному (неустойчивому)
при квазистатическом нагружении и дальнейшим нестабильным раз-
развитием трещины в закритическом состоянии. Анализ известных экс-
экспериментальных данных [198] позволяет представить кинетику тре-
трещины при квазистатическом нагружении следующим образом. При
некотором напряжении трещина длиной Iq начинает стабильно рас-
распространяться. Скорость трещины медленно увеличивается и кон-
контролируется внешними напряжениями. После стабильного роста тре-
трещины на величину Als механизм разрушения изменяется. Скорость
трещины скачкообразно возрастает в тысячи раз, достигается крити-
критическое состояние тела с трещиной. Затем при неизменном критиче-
критическом напряжении сгс трещина переходит в состояние нестабильного
(неконтролируемого) роста и скорость ее развития v увеличивается
уже не столь интенсивно.
Безусловно, механизмы и параметры разрушения в области транс-
трансстабильного состояния трещины (области перехода от стабильного к
нестабильному росту трещины в пределах приращения длины трещи-
трещины на Alts) существенны для понимания физических и механических
аспектов разрушения при развитии трещины. Вместе с тем, инфор-
информация об указанной области часто противоречива, а момент скачко-
скачкообразного возрастания скорости трещины v до значения начальной
скорости нестабильного роста трещины vq не установлен [198]. По-
видимому это связано с весьма малым размером области трансста-
трансстабильного состояния Alts, с неопределенностью импульса и координат
вершины трещины, а также энергетического состояния трещины и
времени ее пребывания в данном состоянии в области скачкообраз-
скачкообразного развития трещины. Такое представление о развитии трещины в
области трансстабильного состояния напоминает известные явления
квантовой механики, математическая трактовка которых дана в виде
соотношений неопределенностей. В связи с изложенным для анали-
анализа трансстабильного состояния трещины целесообразно привлечение
микромеханики и «квантовой» [201] механики разрушения, а также
постановка уникальных экспериментов.
3.12. Рост трещины при нестабильном хрупком разрушении 249
Здесь лее, оставаясь в рамках механики сплошной среды, ограни-
ограничимся рассмотрением кинетики трещины в виде модели (рис. 3.40)
и будем полагать, что трещина попадает в область трансстабиль-
трансстабильного состояния (для которой принято Alts = 0) со скоростью i7s, a
выходит из нее с начальной скоростью нестабильного развития vq
[336]. Следует также отметить, что стабильный рост трещины может
вообще отсутствовать. Таким обра-
образом, в рамках предлагаемой модели
в момент начала нестабильного роста
трещины ее начальная скорость рав-
равна г>о-
Запишем энергетический баланс
для двумерной задачи Гриффитса
при нестабильном (лавинообразном)
развитии прямолинейной трещины в
виде
2Е2
Е
— j = const.
C.12.1)
AL
Рис. 3.40. Схема распростране-
распространения трещины при квазистатиче-
квазистатическом нагружении
Кинетическая энергия частиц
среды (первое слагаемое в энерге-
энергетическом балансе), перемещающихся
при распространении трещины, дана
в трактовке Мотта [346].
Во втором слагаемом учтена разница между удельной энергией
поверхностных напряжений rj и удельной поверхностной энергией 7
среды согласно термодинамической трактовке Гиббса. При этом энер-
энергия поверхностных напряжений включает в себя работу, необходимую
не только для образования новых поверхностей, но и для деформации
(расширения) поверхности. Воспользуемся связью между параметра-
параметрами rj и 7
rj = >y + d'y/de, C.12.2)
удачно привлеченной к анализу поверхностной энергии раздела фаз в
металлах [164]. Из соотношения C.12.2) следует, что энергия поверх-
поверхностных напряжений равна поверхностной энергии лишь при d^jde =
= 0, т. е. в условиях независимости положения атомов от деформа-
деформации е. Такое состояние для металлов характерно вблизи температу-
температуры плавления. При обычных температурах d^f/ds имеет отрицатель-
отрицательное значение, что соответствует наличию сжимающих напряжений
в поверхностном слое. Базируясь на модельных представлениях о
кристаллическом твердом теле и учитывая характер взаимодействия
атомов, можно показать [164], что
ту = 7A -(Тс/<гь),
C.12.3)
250 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
где <7ь — предел прочности твердого тела. Такое представление о вели-
величинах rj и 7 приводит к формулировке двухпараметрического крите-
критерия квазистатической механики разрушения, позволяющего анализи-
анализировать критическое состояние тела с трещиной в широком диапазоне
длин трещин (включая нулевую) и условий разрушения [150, 155].
Обратимся вновь к энергетическому балансу C.12.1) и перепишем
его для критического состояния тела с трещиной при I = 1с в виде
! 0 + 47 A - ааЫ - Щ^ = 0, C.12.4)
полагая в рамках предложенной модели в качестве граничного усло-
условия v = vq при I = 1С.
Для определения скорости нестабильного развития трещины v
определим константу (const) в исходном уравнении C.12.1) с учетом
соотношений C.12.3) и C.12.4) и с граничными условием v = vq при
l = lc
const = C/o = ^_^g^, C.12.5)
kpl2v2o~c (ZkctcIc kplcVoac\j тпт^/2 тгсг^/^ kptcv^cr2^
2E2 V Ё ?2 ) W = ~~Ё 2?2 '
C.12.6)
из которого получаем скорость нестабильного развития трещины
v = {с2т A - Zc/02 + vl (lc/l) B - 1с/1)}1'\ C.12.7)
где сш = BтгЕ/ (кр)) ' — максимальная скорость трещины в среде.
Естественно оказалось, что скорость v располагается в диапазоне
между начальной скоростью нестабильного роста трещины vq и мак-
максимальной сш и зависит от относительной длины трещины 1/1с.
Определим константы и параметры процесса нестабильного рас-
распространения трещины, входящие в соотношения для удельной по-
поверхностной энергии 7 и скорости развития трещины.
Оценка максимальной скорости трещины в среде может быть осно-
основана на экспериментальном или теоретическом анализе. В частности,
Мотт, исходя из теории размерностей, оценил максимальную скорость
трещины как сш = 0,38 со, где со = (Е/рI/2 — скорость продольных
упругих волн в среде [298]. Однако в большинстве моделей в качест-
качестве теоретической верхней границы для скорости движения трещины
принимают скорость распространения поверхностных волн Рэлея cr.
Скорость cr зависит от коэффициента Пуассона v и скорости распро-
распространения поперечных волн С2 = {Е/[2A + z/)/)]}1/2. Например, для
стали с v = 0,25 имеем cr = 0,919 с^.
Для оценки начальной скорости нестабильного роста трещины vq
можно поступить следующим образом. Компенсируем некоторые
недостатки идеализированной модели нестабильного развития тре-
трещины привлечением результатов экспериментальных исследований,
3.12. Рост трещины при нестабильном хрупком разрушении 251
приведенных в монографии [198] и устанавливающих постоянство
отношения средней скорости нестабильного развития трещины (v)
к критическому напряжению ас- Распространяя эту эмпирическую
закономерность на отношение v^j ас-, можно записать
v0 = х<гс- C.12.8)
Эмпирический коэффициент х зависит от свойств среды. Таким
образом процедура определения начальной скорости vq нестабильного
развития трещины длиной 1с сводится к экспериментальному уста-
установлению коэффициента х и оценке критических напряжений ас на
основе выбранного критерия квазистатической механики разрушения.
В рамках рассматриваемой модели напряжения ас можно определить
при v —>> 0 посредством двухпараметрического критерия разрушения
[150] (см. гл. 2).
Приведем результаты расчета скорости нестабильного роста тре-
трещины v для высокопрочной стали ВНС-9 (механические свойства
стали: аъ = 2650 МПа; х — 058 м/(с • МПа) [198]). В качестве макси-
максимальной скорости трещины принята скорость волн Рэлея ст = сд,
которая для стали составляет ~ 3000 м/с.
Скорость нестабильного развития трещины и характер ее измене-
изменения по мере продвижения в значительной мере определяется началь-
начальной скоростью vq (рис. 3.41), которая согласно выражению C.12.8)
V/CR
0,8
0,6
0,4
0,2
У
1
1
/2
— —
_ -
Рис. 3.41. Зависимость скорости нестабильного развития трещины от ее
длины: 1 — ^о = ^oi; 2 — vo = г>02
зависит от критических напряжений. Учитывая однозначную связь
критических напряжений с критическим размером трещины, мож-
можно заключить, что существенное влияние на кинетику трещины при
нестабильном разрушении оказывает длина критической трещины 1с
(критическое напряжение ас)- Причем для коротких трещин (высо-
252 Гл. 3. Специальные вопросы механики разрушения
кие критические напряжения и, следовательно, высокая начальная
скорость нестабильного роста трещины vq) изменения скорости v/cr
менее интенсивно, чем для длинных трещин (низкие значения г>о), и в
большей степени определяется вторым слагаемым в формуле C.12.7).
В случае длинных трещин наблюдается существенное увеличение их
скорости на начальном этапе нестабильного развития, что обуслов-
обусловлено большим влиянием первого слагаемого в формуле C.12.7) на
значение v.
В заключение отметим, что изложенный аналитико-эксперимен-
аналитико-экспериментальный подход позволяет оценивать удельную поверхностную энер-
энергию и скорость трещины при нестабильном ее развитии с учетом
перехода от стабильного к нестабильному состоянию. Нестабильный
рост трещины начинается со скоростью, меньшей максимальной ско-
скорости трещины в среде. Удельная поверхностная энергия и кинети-
кинетика трещины в условиях нестабильного разрушения зависит как от
максимальной скорости трещины в среде, так и от начальной скорос-
скорости г>о нестабильного роста трещины. Значение скорости vq в немалой
степени определяется критической длиной трещины (критическими
напряжениями).
Г л а в а 4
РАЗРУШЕНИЕ ПРИ КОНЕЧНЫХ
ДЕФОРМАЦИЯХ И ИХ НАЛОЖЕНИИ
4.1. Проблемы и подходы
Как уже отмечалось ранее (гл. 1 и 2), ряд ответственных элементов
конструкций энергетических (в частности, атомных) установок, ра-
работающих в условиях нестационарного термосилового нагружения —
сосуды давления, трубопроводы и др., могут приобретать в процессе
нагружения дополнительные повреждения, инициирующие процессы
образования и роста трещин. Решение задачи построения адекватных
математических моделей этих процессов с разработкой пакетов при-
прикладных программ позволяет (как и при решении других задач меха-
механики) теоретически определять несущую способность упомянутых из-
изделий, что удешевляет проектирование и повышает их безопасность,
и этой проблеме посвящено много работ [91, 98, 153, 156, 160].
Однако, несмотря на имеющиеся результаты [112, 187, 199, 204,
224, 299, 319, 349], ее решения для случая конечных деформаций пока
нет. Это во многом объясняется чрезвычайной сложностью поведения
материала в зоне предразрушения: в окрестности вершины трещи-
трещины вследствие значительных деформаций накапливаются дефекты
структуры, которые в процессе эволюции деформирования, роста на-
нагрузок, циклов и времени, сливаясь, образуют поры и микротрещины.
Традиционные модели механики разрушения не учитывают появ-
появления в процессе нагружения пор и микротрещин, вследствие чего
моделирование кинетики трещин их методами невозможно. Извест-
Известны модели, в которых изменение механического поведения материа-
материала в окрестности вершины трещины описывается с помощью введе-
введения функции повреждения (типа Качанова-Работнова) [93, 94, 212].
Этим моделям, к сожалению, присущ общий недостаток феномено-
феноменологических подходов: получение надежных предсказуемых результа-
результатов возможно только на основе обширной и соответственно трудо-
трудоемкой экспериментальной программы. И кроме того, они опираются
на использование линейной теории упругости, но линейная теория
упругости, основанная на допущении о малости деформации, име-
имеет в этих задачах в качестве решения напряжения и деформации,
неограниченно возрастающие при приближении к особой точке, т. е.
отнюдь не являющиеся малыми. Тем самым линейная теория вступает
в противоречие сама с собой [183, 230, 234, 268, 400].
Один из альтернативных подходов состоит в явном учете дефек-
дефектов материала: считать, что окрестность вершины трещины содер-
254 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
жит несплошности конечного объема — поры и бесконечно малого
объема — микротрещины. Их взаимодействие с основной трещиной
(макротрещиной) определяет ее удлинение (т.е. рост), при котором
происходит образование, рост, слияние дефектов друг с другом и с
вершиной трещины. Для данного подхода характерно сочетание по-
понятий и методов как традиционной технологической механики разру-
разрушения, так и микромеханики разрушения.
Использование данного подхода практически полезно в задачах,
связанных с повышением безопасности технически важных (уникаль-
(уникальных) элементов конструкций или сооружений в целом, особенно на
этапе их эксплуатации. Например, когда проводится непрерывный
или периодический мониторинг объекта, позволяющий выявлять по-
появление новых повреждений1) как в процессе эксплуатации, так и
дополнительных воздействий. Проведение расчетов на этом этапе поз-
позволяет получить новый, более точный прогноз по надежности [159,
187].
Кроме того, следует отметить, что такой подход представляет со-
собой сравнительно новое направление в механике разрушения, вслед-
вследствие сложности постановки краевых задач и, кроме того, для полу-
получения решения конкретных задач необходимо применение достаточно
передовых компьютерных технологий [120, 127, 331, 334]. В настоящее
время для малых деформаций имеется значительное число публи-
публикаций, в которых предлагается расчетная схема задач такого типа.
В этих публикациях постулируются конституционные соотношения
материала и критерии, управляющие возникновением и ростом де-
дефектов [5, 41, 158, 160, 216, 233]. При постановке таких задач те или
иные факторы не учитываются или учитывают не полно.
Следует отметить, что один такой фактор, без сомнения опреде-
определяющий ход процесса деформирования, — это величина деформаций
в окрестности вершины трещины. Практически все известные модели
деформирования окрестности вершины трещины, возникающей (раз-
(развивающейся) в уже нагруженном теле с конечными деформациями,
предполагают малые деформации. Но и эксперименты [135], и теоре-
теоретические расчеты [120, 232, 268, 270], показывают, что деформации
в окрестности вершины трещины в этом случае всегда велики, и
поэтому учет конечности деформаций необходим.
Другой аспект проблемы определения величины деформаций в
окрестности вершины трещины заключается в схематизации трещины
в рамках механики сплошной среды. Традиционное, предложенное
еще Гриффитсом представление ее как разреза в сплошной среде,
не имеющего ширины (математического разреза), кромки которого
не нагружены, приводит в сочетании с линеаризованной задачей тео-
г) Новых концентраторов напряжений — трещин, включений. Послед-
Последние могут возникать в теле и из-за фазового перехода.
4-1. Проблемы и подходы 255
рии упругости к бесконечным значениям напряжений и деформаций
в вершине трещины [166]. Это не создает неразрешимых проблем в
макромеханике разрушения (классической механике разрушения), но
при учете взаимодействия вершины трещины с микродефектами ма-
материала необходимо детальное описание напряженно-деформирован-
напряженно-деформированного состояния. Еще более сложна ситуация, когда тело до развития
трещины уже обладает конечными деформациями [120, 127, 330], и
в этом случае гриффитсова расчетная схема трещины неприемлема.
Таковы две основных проблемы, которые в этой и следующей главе
частично исследуются, решаются и позволяют рассмотреть и решить
новые задачи:
— о вязком росте трещины с учетом поврежденности материала
при конечных деформациях;
— об образовании физического разреза, в том числе, привнесенном
в тело;
— об изменении упругих свойств материала, вызванных превыше-
превышением уровня напряжений (задача о «фазовых переходах»).
Как уже отмечалось, это достигается в основном за счет исполь-
использования теории многократного наложения больших деформаций [120,
127, 331], которая дает подход к описанию поэтапного деформиро-
деформирования тел, позволяет учесть порядок приложения к телу внешних
нагрузок, порядок возникновения (в том числе раскрытия) микропор
при больших деформациях [120, 124].
Еще раз отметим, что использование теории многократного нало-
наложения больших деформаций1) в задаче о вязком росте трещины [120,
127, 329] дает возможность получить описание процесса раскрытия
микропор с последующим их поглощением основной трещиной, когда
на каждом этапе (раскрытия, поглощения микропор) в теле вблизи
вершины трещины накапливаются дополнительные конечные дефор-
деформации, которые накладываются на уже имеющиеся в теле.
В задаче об образовании физического разреза применение теории
многократного наложения больших деформаций позволяет избежать
бесконечных значений напряжений в вершине трещины. А также по-
поставить и решить эту задачу для случая, когда трещина (поврежде-
г) Специально подчеркнем, что используемый термин «наложение боль-
больших деформаций» не следует понимать как (математическую) суперпози-
суперпозицию деформаций (так как в этом случае нагрузки, деформации только «фи-
«физически накладываются»). Если в рамках малых деформации возможна
суперпозиция деформаций, т. е. когда параметры напряженно-деформиро-
напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внешнего воздействия на тело опре-
определяется как сложение параметров напряженно-деформированного состоя-
состояния тела от каждого воздействия на тело, то при конечности деформаций
это не так [120]. Именно поэтому постановка и решение задачи, в которой в
процессе нагружения дискретно изменяются границы и граничные условия
(задача о поэтапном нагруженни тела), достаточно сложны.
256 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
ние) возникает (образовывается) в предварительно нагруженном теле.
Из-за наличия в нем больших начальных деформаций «толщина»
привнесенного в тело повреждения, принявшего в конечном состоя-
состоянии, например, форму узкой щели, в момент образования может быть
настолько меньше характерного размера повреждения («длины»), что
можно говорить о разрыве «сил сцепления» по всей длине повреж-
повреждения.
Ниже в основном используются известные критерии прочности и
их модификации, большинство из которых приведено в гл. 2, кроме
«нелокальных» (гл. 5, п. 5.6) для случая конечных деформаций [124].
Как и говорилось во введении, авторы стараются излагать мате-
материал так, чтобы читателю не нужно было при чтении для восприятия
материала обращаться к дополнительной литературе.
Поэтому в данной главе в начале приведены в справочном вариан-
варианте основные понятия и соотношения нелинейной теории упругости и
элементы нелинейной теории вязкоу пру гости (причем читатель, зна-
знакомый с книгами Л.И. Седова [228] и А.И. Лурье [131], естественно,
может пропустить этот раздел). А затем изложены основные соотно-
соотношения теории многократного наложения больших деформаций [120],
причем для удобства чтения в более расширенном, чем справочный
формат, изложении.
Но прежде более подробно приведем для случая конечных дефор-
деформаций постановку задач прочности в рамках механики деформируе-
деформируемого твердого тела (в основном основанную на результатах работ [120,
122, 127, 327]).
4.2. Постановка задач прочности в рамках механики
деформируемого твердого тела
При постановке задач прочности следует определиться, в рамках
какой модели рассматривается задача. Если в рамках механики де-
деформируемого твердого тела, то следует учитывать гипотезу сплош-
сплошности. В этом случае следует понимать, что описание зарождения и
развития трещины в рамках механики деформируемого твердого тела
возможно только в предположении, что это повреждение (трещина)
либо существовало в ненагруженном теле, либо было привнесено в
тело при нагружении, например, изменением связности области за-
занимаемой телом. То есть необходимо задать новые дополнительные
граничные условия на новой граничной поверхности. Кроме того, в
рамках этой модели понятие трещина (повреждение) и микротрещина
(микроповреждение) неразличимы. Это просто концентраторы напря-
напряжений в теле. Естественно, что если необходим (или возможен) учет
их взаимовлияния и взаимодействия, то надо учитывать их размеры,
так же как и их расположение по отношению к граничной поверхности
тела. Кроме того, в рамках механики деформируемого твердого тела
4-2. Постановка задач прочности 257
не может быть задана и исследована структура материала тела — это
задача материаловедения.
И, наконец, под термином «трещина» понимается концентратор
напряжений, который начинает при выполнении некоторого крите-
критерия «принудительно» изменять свою форму («расти», «раскрывать-
«раскрываться»), а значит и принудительно изменять и напряженно-деформиро-
напряженно-деформированное состояние уже нагруженного тела. Причем в ряде случаев
(при учете конечности деформаций) эти изменения напряженно-
деформированного состояния ранее нагруженного тела требуется
определять. Новая форма этого концентратора определяется из кри-
критерия. Когда критерием она не предусмотрена, ее задает исследова-
исследователь, если не предполагает лавинообразный рост трещины (т. е. вы-
выполнен критерий — произошло разрушение). Например, это может
быть форма основной трещины после «поглощения» ею вторичной
трещины при использовании модели вязкого роста трещины (п. 4.2.4).
Теория прочности предполагает задание модели и критерия (или
критериев) начала зарождения трещины, ее роста1). Причем в ка-
качестве критерия используются величина или комбинации величин,
измеряемых экспериментально. В критерий могут входить и парамет-
параметры концентратора напряжений, например его характерный размер,
которые сравниваются с соответствующими им расчетными. Если за-
задача рассматривается в рамках механики деформируемого твердого
тела, то момент начала роста имеющейся в теле трещины опреде-
определяется превышением соответствующей критериальной величины. По-
Поэтому необходимо знать в числе других граничных условий и форму
граничной поверхности трещины либо в ненагруженном состоянии
тела (в терминах нелинейной теории упругости — начальном), либо
в момент выполнения критерия — конечном. Это необходимо для
определения напряженно-деформируемого состояния тела, парамет-
параметры которого входят в расчетную часть критерия.
Повторим, что под моделью трещины в рамках механики деформи-
деформируемого твердого тела обычно понимается (задается исследователем):
— форма трещины, обычно в ненагруженном теле;
— модель (механизм) «принудительного» изменения формы тре-
трещины, в том числе и с добавлением или снятием внешних усилий,
например сил сцепления [14, 128, 160, 166, 268], действующих по
поверхности или части поверхности трещины. Отметим, что в рам-
рамках механики деформируемого твердого тела при решении задачи об
определении напряженно-деформированного состояния тела следует
учитывать момент приложения этих сил. Например, их приложение
возможно либо с момента приложения всех внешних нагрузок, либо
г) Сразу отметим, что не рассматривается подход, когда выполнение
критерия прочности (превышение некоторой критериальной величины)
сразу приводит к неработоспособности элемента конструкции.
17 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
258 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
с определенного, заданного исследователем, момента. В этом случае
при конечности деформаций надо решать задачу в рамках (с по-
помощью) теории многократного наложения больших деформаций.
Допущения, связанные с малостью деформаций. Предположение
малости деформации (например, при использовании линейной тео-
теории упругости) означает, что возможна суперпозиция деформаций,
т. е. что параметры напряженно-деформированного состояния тела от
суммарного внешнего воздействия на тело определяются как сумма
параметров напряженно-деформированного состояния тела от каж-
каждого воздействия на него. А это позволяет сделать существенные
упрощения в постановке задачи. Используя такой подход, мы можем
не учитывать при постановке задачи:
— есть ли в теле трещина (повреждение) до начала нагружения
(рис. 4.1), или она образуется (возникает) в процессе деформирования
в момент выполнения соответствующего критерия (рис. 4.2). На этих
Рис. 4.1. Нагружения для случая, когда повреждение (трещина) существу-
существует в ненагруженном теле: а — ненагруженное тело с трещиной; б — нагру-
нагруженное тело
Рис. 4.2. Нагружения для случая, когда трещина возникает в процессе
деформирования в момент выполнения соответствующего критерия: а —
ненагруженное тело без трещины, точки Аи В — носики будущей трещины;
б — нагруженное тело с трещиной
рисунках и рис. 4.3-4.5 точки Аи В — носики трещины, Р — внешние
силы приложенные к телу;
4-2. Постановка задач прочности
259
— момент приложения или снятия дополнительных сил (например,
в носике трещины сил сцепления q). На рис. 4.3 приведен случай, ког-
¦ / / / /
,// ft
А/г//в
Рис. 4.3. Нагружения для случая, когда силы к носику трещины приклады-
прикладываются в момент выполнения соответствующего критерия прочности: а —
ненагруженное тело с трещиной; б — нагруженное тело
р/ / / /
// ft
ytfB
f ft
ytfB
Рис. 4.4. Силы приложены к
носику трещины до нагруже-
нагружения
Рис. 4.5. Нагруженное тело
да силы q прикладываются в момент выполнения соответствующего
критерия, а на рис. 4.4 и 4.5 силы действуют как до, так и после
приложения внешних усилий Р\
— изменение формы трещины при нагружении (в рамках малых
деформации она обычно моделируется математическим разрезом).
Конечные деформации. При необходимости учета конечности де-
деформаций следует детализировать постановку задачи. То есть на-
надо четко указать1): момент нагружения тела, в который возникла
трещина (повреждение), момент, в который известна форма трещины
и, если используется модель с приложением (снятием) по поверхнос-
поверхности трещины внешних усилий, момент приложения этих усилий. Рас-
Рассмотрим это более подробно. Вначале приведем возможные варианты
задачи в зависимости от перечисленных выше факторов.
1. Момент образования трещины.
г) Не рассматривая пока как модель возникновения (зарождения, рас-
раскрытия), так и возможность дальнейшего роста трещины.
17*
260 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
1.1. Трещина (повреждение) существует в ненагруженном теле
(рис. 4.6).
р/ / / /
Рис. 4.6. Нагружение, при котором повреждение (трещина) существует в
ненагруженном теле
1.2. Трещина привносится в тело в процессе нагружения (рис. 4.7).
Р/ / / /
/ / / /
Рис. 4.7. Нагружение, при котором повреждение (трещина) привносится в
нагруженное тело: а — ненагруженное тело; б — момент привнесение в тело
повреждения; в — момент выполнения критерия прочности
1.3. Трещина (повреждение) образуется (возникает) в теле после
выполнения соответствующего критерия (рис. 4.8). В этом случае на-
надо в рамках механики деформируемого твердого тела указать непро-
непротиворечивую модель образования трещины.
2. Момент нагружения, в котором известна форма трещины. Здесь
можно выделить следующие основные случаи.
4-2. Постановка задач прочности 261
р/ / / /
Рис. 4.8. Нагружение, при котором трещина возникает в теле в момент
выполнения соответствующего критерия прочности
2.1. Форма повреждения (трещины) известна в начальный момент
(в ненагруженном теле).
2.2. Форма повреждения (трещины) известна в момент образова-
образования, привнесения повреждения извне в уже нагруженное тело.
2.3. Форма трещины известна после раскрытия, т. е. в момент
выполнения соответствующего критерия. Этот случай учитывает и
вариант возникновения трещины в нагруженном теле.
3. Если мы используем модель с приложением (снятием) в неко-
некоторый момент к поверхности трещины внешних усилий (возможно
изменяющихся в процессе нагруженияI) и рассматриваем задачу в
рамках механики деформируемого твердого тела, то можно выделить
следующие случаи.
3.1. Силы действуют с момента начала нагружения.
3.2. Силы приложены (сняты) с момента раскрытия трещины, т. е.
после выполнения соответствующего критерия 2).
Кроме того силы могут быть как неизменны в процессе нагру-
нагружения, так и изменяться. Так как деформации конечные, то надо
четко заранее определить, что понимается под термином «неизменны»
(по величине, направлению, направлению к изменяющейся граничной
поверхности и т.д. [131, 228]).
Прежде чем привести некоторые варианты постановки задач в за-
зависимости от выполнения тех или иных условий, перечисленных выше
пп. 1-3 3), укажем на разные подходы к заданию (или определению)
формы трещины до выполнения критерия прочности.
Возможные подходы к заданию {определению) формы трещины
до выполнения критерия прочности. При решении задачи в рамках
механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях,
г) Здесь силы сцепления также следует рассматривать как внешние.
2) В этом случае в рамках механики деформируемого твердого тела ре-
решается задача о нагруженном теле с немалыми деформациями к которому
прикладываются дополнительные внешние воздействия.
3) Причем некоторые из них не могут быть по тем или иным причинам
использованы в задачах о трещинах.
262 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
как уже отмечалось, форма повреждения (трещины) предполагается
известной либо в ненагруженном теле, либо в момент привнесения в
тело повреждения, либо в момент выполнения критерия прочности.
И эту форму, если она не задана критерием, задает исследователь.
В случае решения задачи при конечных деформациях возможны два
основных подхода. Первый — моделировать повреждение, имеющее-
имеющееся в ненагруженном теле или привносимое в предварительно нагру-
нагруженное тело с помощью математического разреза1), и использовать
соответствующие аппроксимации. При втором подходе все граничные
условия считаются заданными на границе в конечном состоянии, т. е.
форма трещины задается в момент выполнения критерия прочнос-
прочности (до начала «принудительного роста трещины»). Форма трещины
в момент выполнения критерия прочности аппроксимируется узкой
щелью. Ясно, что в этом случае форма повреждения (трещины) в
ненагруженном теле является одним из результатов решения задачи.
Данный подход для имеющегося в ненагруженном теле повреждения
описан достаточно подробно, например в [268]. А в [120, 121, 127]
такой подход был распространен и на случай, когда повреждение
привносится в предварительно нагруженное тело.
Отметим, что когда повреждение образуется в предварительно
нагруженном теле2) и принимает в конечном состоянии форму уз-
узкой щели, то из-за наличия в теле больших начальных деформаций
«толщина» привнесенного в тело повреждения в момент образования
может быть настолько меньше характерного размера повреждения
(«длины»), что можно говорить о разрыве «сил сцепления» 3) по всей
длине повреждения4), т.е. говорить об образовании «физического
разреза» 5). Постановка задачи в рамках второго подхода позволяет
учесть этот случай.
Приведем теперь постановки задач в зависимости от выполнения
тех или иных условий, перечисленных выше пп. 1-3 6).
) Отметим, что на практике (хотя это и «материаловедческое рас-
рассуждение») повреждение (трещина) даже в начальном (ненагруженном)
состоянии имеет конечную толщину, соизмеримую хотя бы с межатомным
расстоянием. И носик трещины также «закруглен» хотя бы на этот размер.
) Его возникновение ведет к появлению в теле (рассматриваемом как
сплошная среда) новых больших деформаций и напряжений, которые на-
накладываются на уже имеющиеся в теле большие деформации и напря-
напряжения.
3) С точки зрения физической модели, например, в рамках кинетичес-
кинетической теории разрушения [204, 268].
4) Подразумеваем, что в абсолютных величинах «толщина» узкой щели
соизмерима с межатомным расстоянием.
5) Будем считать это определением термина «физический разрез».
6) Причем некоторые из них не могут быть по тем или иным причинам
использованы в задачах о трещинах.
4-2. Постановка задач прочности 263
Сразу отметим, что в задачах о концентрации напряжений, в ко-
которых учитывается конечность деформаций, редко удается получить
точное решение, не всегда молено получить и приближенное анали-
аналитическое решение. Обычно для нахождения приближенного аналити-
аналитического решения используют метод Синьорини, метод последователь-
последовательных приближений, метод малого параметра и т.д., когда на каждом
шаге (для каждого приближения) находят аналитическое решение.
Поэтому, если такое решение есть, то исследователь может сразу
выяснить, при каком уровне внешних нагрузок (что и является прак-
практически всегда целью решения задачи прочности), будет выполнен
некоторый, заранее выбранный критерий прочности, определяющий,
например, возможность начала роста трещины. Если такого реше-
решения нет, то исследователь, использующий численные методы, должен
подобрать (неоднократно решая задачу) соответствующий уровень
нагрузок.
Для удобства чтения ниже будем указывать в скобках номер клас-
классификации. Например, форма трещины известна в начальный момент,
т.е. в ненагруженном теле (п. 2.1).
4.2.1. Трещина в ненагруженном теле (п. 1.1). Вначале рас-
рассмотрим модель, неиспользующую приложение сил к поверхности
трещины.
В этом случае следует определить (принять), в какой момент на-
гружения (в каком состоянии) известна форма трещины:
— в начальный момент (в ненагруженном теле) (п. 2.1);
— после раскрытия трещины (в момент выполнения соответствую-
соответствующего критерия, т.е. в конечном состоянии) (п. 2.3).
Приведем постановку задачи для каждого варианта.
Первый вариант. Форма трещины известна в ненагруженном теле,
т.е. в начальном состоянии (п. 2.1, рис. 4.6). Повторим этот рисунок
для данного случая, рис. 4.9.
Рис. 4.9. Нагружение, при котором форма повреждения известна в нена-
ненагруженном теле
Пусть в теле, находящемся в начальном состоянии, есть концен-
концентратор напряжений заданной формы (например, математический или
264 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
физический разрез1)), далее к этому телу прикладываются внеш-
внешние усилия. Под их влиянием тело деформируется, изменяется и
форма граничной поверхности концентратора напряжений2). Если
был выполнен некоторый (заранее выбранный) критерий прочности
(превышена соответствующая критериальная величина), то возможно
начало роста трещины.
Второй вариант. Форма трещины известна (задана исследовате-
исследователем) «после ее раскрытия» (в момент выполнения соответствующего
критерия), т.е. в конечном состоянии (п. 2.3, рис. 4.6). Повторим этот
рисунок для данного случая, рис. 4.10.
/ / /
Рис. 4.10. Нагружение, при котором трещина существует в ненагруженном
теле, но форма трещины известна после раскрытия трещины
Приведем постановку задачи для данного случая. Пусть в теле,
находящемся в ненапряженном состоянии, есть концентратор напря-
напряжений произвольной (неизвестной) формы, далее к этому телу при-
прикладываются внешние усилия. Под их влиянием тело деформируется,
изменяется и форма граничной поверхности, принимая заранее задан-
заданную форму. Решением данной задачи, как и предыдущей, является
определение уровня внешних нагрузок, при котором будет выполнен
некоторый (заранее выбранный) критерий прочности3), определяю-
определяющий возможность «раскрытия» или «роста» трещины. А это значит,
что вычислительные проблемы аналогичны указанным выше.
Отметим, что одним из результатов решения этой задачи является
форма повреждения в ненагруженном теле, для которой при задан-
заданном исследователем нагружении возможно «раскрытие» или «рост»
трещины.
г) Напомним, что под термином физический разрез понимаем узкую
щель, отношение ширины которой к длине таково, что если перейти к
абсолютным величинам ширина соизмерима с межатомным размером.
2) Результат решения задачи позволяет определить и форму границы
трещины в момент начала ее роста.
3) Здесь и далее мы подразумеваем, что была превышена некоторая
критериальная величина.
4-2. Постановка задач прочности 265
Теперь рассмотрим модель, в которой к граничной поверхности
(«берегам») трещины приложены внешние силы (например, «силы
сцепления» 1).
В этом случае следует определить (принять), в какой момент на-
гружения (в каком состоянии) известна форма трещины и как из-
изменяются внешние силы (например, «силы сцепления») в процессе
нагружения.
Приведем некоторые варианты и им соответствующие постановки
задачи.
— Форма трещины (повреждения) известна в начальный момент
(в ненагруженном теле) (п. 2.1), внешние усилия приложены к гра-
граничной поверхности трещины (повреждения) с момента начала на-
нагружения (п. 3.1) и эти усилия неизменны2). Постановка задачи в
этом случае следующая: пусть в теле, находящемся в ненапряженном
состоянии, есть концентратор напряжений заданной формы, далее
к этому телу прикладываются внешние усилия, в том числе и к
граничной поверхности концентратора напряжений. Под их влияни-
влиянием тело деформируется, изменяется и форма граничной поверхности
концентратора напряжений. Если был выполнен некоторый (заранее
выбранный) критерий прочности, т. е. превышена соответствующая
критериальная величина, то, возможно, начало роста трещины.
Еще раз отметим, что в задачах о концентрации напряжений, в ко-
которых учитывается конечность деформаций, редко удается получить
точное решение, не всегда удается найти и приближенное аналити-
аналитическое решение. Поэтому в нашем случае, если такое решение есть,
когда форма повреждения известна в начальном состоянии, можно
сразу выяснить, при каком уровне внешних нагрузок будет выполнен
некоторый (заранее выбранный) критерий прочности.
— Форма трещины (повреждения) известна в начальный момент,
рис. 4.11 (в ненагруженном теле) (п. 2.1), внешние усилия приложе-
приложены к граничной поверхности трещины с начала нагружения (п. 3.1),
рис. 4.11, а, и эти усилия снимаются в момент выполнения некоторого
(заранее выбранного) критерия прочности, рис. 4.11, б.
Постановка задачи в этом случае следующая: пусть в теле, нахо-
находящемся в начальном состоянии, есть концентратор напряжений за-
заданной формы, далее к этому телу прикладываются внешние усилия,
в том числе и к граничной поверхности концентратора напряжений.
Под их влиянием тело деформируется. Если был выполнен некоторый
критерий прочности, эти усилия, приложенные к граничной поверх-
В рамках механики деформируемого твердого тела силы «сцепле-
«сцепления» — это внешние силы.
2
Напомним, что так как деформации конечные надо четко определить
заранее, что понимается под термином «неизменны» (по величине, направ-
направлению, направлению к изменяющейся граничной поверхности и т.д. [131,
228]).
266 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Рис. 4.11. Форма трещины известна в ненагруженном теле, внешние усилия
приложены к граничной поверхности трещины с начала нагружения до
момента выполнения критерия прочности: а — до выполнения критерия
прочности; б — после выполнения критерия прочности
ности концентратора напряжений, снимаются, что приводит к возник-
возникновению в теле конечных (соизмеримых вблизи трещины с уже имею-
имеющимися конечными деформациями) дополнительных деформаций и
напряжений, которые накладываются на начальные1). А это значит,
в частности, что необходимо продолжение решения данной задачи
уже в рамках теории многократного наложения больших деформаций
[120] с целью определения напряженно-деформированного состояния
тела после его нагружения в два этапа. Второй этап — это снятие
усилий, действующих по поверхности концентратора напряжений. Та-
Такое решение нужно для проверки возможности выполнения критерия
прочности (превышения соответствующей критериальной величины).
4.2.2. Концентратор напряжений (трещина) привносится
в тело в процессе нагружения (эксплуатации) (п. 1.2). В этом
случае следует определить (принять), в какой момент нагружения
(в каком состоянии) известна форма трещины.
Рассмотрим некоторые варианты постановки задачи в этом случае.
Возможны два варианта. Первый — форма трещины известна в мо-
момент образования (в первом промежуточном состоянии2), и второй —
после образования и выполнения критерия прочности (во втором про-
промежуточном состоянии). Кроме того предполагается, что дальнейшее
нагружение не происходит.
Постановка задачи следующая.
Первый вариант. Форма трещины известна в момент образования,
т. е. в первом промежуточном состоянии (рис. 4.7, повторим его здесь
для нашего случая, рис. 4.12).
Пусть в теле, находящемся в начальном состоянии, рис. 4.12, а, под
воздействием внешних нагрузок возникли напряжения и соответствую-
соответствующие им большие деформации. Тело перешло в первое промежуточное
) «Физически накладываются».
2) В терминах теории многократного наложения больших деформаций.
4-2. Постановка задач прочности 267
р/ / / /
Рис. 4.12. Повреждение привносится в нагруженное тело: а — ненагружен-
ное тело; б — момент привнесения в тело повреждения заданной формы;
в — момент выполнения критерия прочности
состояние, рис. 4.12, б. В этом состоянии в теле мысленно намечается
замкнутая, заранее заданная поверхность (будущая граница концен-
концентратора напряжений). Часть тела, ограниченная этой поверхностью,
удаляется (причем под удалением, например, можно понимать «от-
«откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой»
части тела таким образом, что она не взаимодействует с остав-
оставшейся частью тела), а ее действие на оставшуюся часть заменяется
по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по
этой поверхности. Эти силы, перешедшие в разряд внешних, «мгно-
«мгновенно» уменьшаются до нуля. Под термином «мгновенно» не надо по-
понимать, что данное приложение (снятие) нагрузки приводит к дефор-
деформированию тела в динамическом режиме. В результате в окрестности
граничной поверхности возникают большие деформации, которые на-
накладываются на большие начальные деформации, уже имеющиеся в
теле. Меняется и форма образованной граничной поверхности. Тело
переходит в следующее второе промежуточное состояние, рис. 4.12, в.
Если при этом был выполнен критерий прочности, то возможно на-
начало роста трещины и «принудительный» переход тела в следующее
состояние из-за «принудительного» изменения формы концентратора
напряжений. Если соответствующая критериальная величина не была
превышена, то решение задачи позволяет выяснить, при каком уровне
внешних нагрузок будет выполнен критерий прочности, определяю-
определяющий, например, возможность начала роста трещины.
268 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Второй вариант. Во многом внешне этот вариант по постановке
совпадает с первым (поэтому читатель может пропустить при чтении
эту постановку). Его отличие от первого варианта в том, что форма
концентратора не известна в момент образования, а считается задан-
заданной после образования и выполнения критерия прочности (во втором
промежуточном состоянии). Предполагается, что дальнейшее нагру-
жение не происходит. Одним из результатов решения является опре-
определение формы концентратора напряжений в момент образования,
приведшего, в частности, к выполнению критерия прочности.
Пусть в теле, находящемся в ненапряженном состоянии, под воз-
воздействием внешних нагрузок возникли напряжения и соответствую-
соответствующие им большие деформации. Тело перешло в первое промежуточное
состояние. В этом состоянии в теле мысленно намечается замкнутая
(пока неизвестная) поверхность, часть тела, ограниченная этой по-
поверхностью, удаляется, а ее действие на оставшуюся часть заменяется
по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными
по этой поверхности. Далее эти силы, перешедшие в разряд внеш-
внешних, «мгновенно» уменьшаются до нуля. В результате в окрестности
граничной поверхности возникают большие деформации, которые на-
накладываются на большие начальные деформации, уже имеющиеся в
теле. Изменяется и форма образованной граничной поверхности, при-
принимая заранее заданную форму. Тело переходит в следующее второе
промежу точное состояние.
Так как считается, что при этом был выполнен некоторый (зара-
(заранее выбранный) критерий прочности, то решение задачи позволяет
выяснить, при каком уровне внешних нагрузок будет превышена соот-
соответствующая критериальная величина. Также решение задачи позво-
позволяет определить форму концентратора напряжений (в момент обра-
образования), при которой происходит выполнение критерия прочности.
Комбинируя выше приведенные постановки задачи с постановками
задач для случая приложения (снятия) нагрузок к граничной по-
поверхности («берегам») трещины, можно получить такие постановки
и для нашего случая, когда концентратор напряжений (трещина)
привносится в предварительно нагруженное тело. Они достаточно
громоздки, поэтому приведем один из вариантов.
Форма концентратора напряжений задана в момент образования,
внешние усилия приложены к граничной поверхности трещины (по-
(повреждения) с момента образования, и эти усилия снимаются в момент
выполнения критерия прочности.
Постановка задачи в этом случае следующая: пусть в теле, на-
находящемся в начальном состоянии (рис. 4.13, а), под воздействием
внешних нагрузок возникли напряжения и соответствующие им боль-
большие деформации. Тело перешло в первое промежу точное состояние
(рис. 4.13, б). В этом состоянии в теле мысленно намечается замкну-
замкнутая, заранее заданная поверхность (будущая граница концентратора
4-2. Постановка задач прочности 269
р/ / / / р/ / / /
Рис. 4.13. Повреждение привносится в нагруженное тело. Внешние усилия
приложены к граничной поверхности повреждения с момента его образова-
образования и снимаются в момент выполнения критерия прочности: а — ненагру-
женное тело (начальное состояние); б — первое промежуточное состояние;
в — конечное состояние
напряжений). Часть тела, ограниченная этой поверхностью, удаля-
удаляется, а ее действие на оставшуюся часть заменяется по принципу
освобождаемое™ от связей силами, распределенными по этой по-
поверхности. Повторим здесь, что под удалением, например, можно
понимать «откол» одной части от другой или изменение свойств
«удаляемой» части тела таким образом, что она не взаимодейст-
взаимодействует с оставшейся частью тела. Такое действие не изменит на-
напряженно-деформированное состояние оставшейся части тела. Силы,
приложенные к граничной поверхности, «мгновенно» изменяются до
заданного уровня внешних нагрузок, причем на части поверхности
они могут быть равны нулю. Здесь и далее под термином «мгновен-
«мгновенно изменяем» не следует понимать, что данное приложение (снятие)
нагрузок приводит к деформированию тела в динамическом режиме
[116, 120]. В результате в окрестности граничной поверхности воз-
возникают большие деформации, которые накладываются на большие
начальные деформации, уже имеющиеся в теле. Меняется и форма
образованной граничной поверхности. Тело переходит в следующее
второе промежуточное состояние.
Если при этом был выполнен заранее выбранный критерий проч-
прочности (превышена соответствующая критериальная величина), то
происходит «мгновенное» снятие (уменьшение до нуля) нагрузок, дей-
действующих по поверхности концентратора напряжений (рис. 4.13, в).
Тело переходит в следующее состояние. Изменяются и формы концен-
концентратора напряжений. Если после этого критерий прочности снова был
выполнен (превышена соответствующая критериальная величина), то
исследователь должен задать дальнейшую модель роста трещины в
рамках механики деформируемого твердого тела.
4.2.3. Трещина возникает в теле в момент выполнения
критерия прочности (вариант модели зарождения трещины
в рамках механики деформируемого твердого тела). Более
сложным для непротиворечивой формулировки задачи в рамках ме-
270 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
ханики деформируемого твердого тела является случай, когда концен-
концентратор напряжений (трещина, повреждение) возникает (зарождается)
в теле в момент выполнения заранее выбранного критерия прочности.
Следует учитывать, что в материаловедении существует несколько
теорий зарождения трещины. Ниже мы будем использовать две.
Первая. При достижении в некоторой области критического напря-
напряжения (или иной критериальной величины) происходит разрыв сил
сцепления (например, возможно нарушение структуры материала).
Вторая применима для материалов, обладающих кристалличе-
кристаллической решеткой. При достижении в некоторой области «критического
напряжения» происходит постепенное вытеснение части атомов на
место вакансий вне этой области.
Для первой модели, на наш взгляд, основной проблемой является
моделирование при конечных деформациях наличия некоторых из-
изменяющихся при нагружении сил «сцепления» и их «разрыв» при
выполнении критерия прочности (превышения соответствующей кри-
критериальной величины).
Предлагается следующий подход (рис. 4.14). Моделировать «раз-
«разрыв сил сцепления» (используемый при материаловедческом подходе)
в момент и в месте выполнения критерия прочности в рамках механи-
механики деформируемого твердого тела с помощью удаления части облас-
области, занимаемой телом1). Форму граничной поверхности, удаляемой
части тела (нового «принудительно образованного» концентратора
напряжений) выбирает исследователь, если она не задана в крите-
критерии. Эта форма может быть задана, как в момент образования, так
и после образования. Так как процедура образования повреждения
происходит в нагруженном теле, имеющем не малые деформации, то
это две разные задачи. Например, для плоской задачи форма повре-
повреждения может задаваться в момент образования как математический
или физический разрез, а после образования — как узкая щель. При-
Причем ориентация разреза или щели задается в критерии прочности.
Форму трещины (щели) в момент образования или после «рас-
«раскрытия» можно задавать, например, как область, в которой уровень
деформаций (напряжений) меньше на а% критериальной величины,
т. е. «по изолинии той или иной характеристики напряженно-дефор-
напряженно-деформированного состояния тела в момент „принудительного" образования
трещины».
Укрупненная постановка задачи2) в рамках этого подхода сле-
следующая. Пусть в теле, находящемся в начальном состоянии, под воз-
) Принудительного удаления, привнося в тело новый концентратор на-
напряжений извне. Повторим, что под удалением можно понимать, например,
«откол» одной части от другой или изменение свойств «удаляемой» части
тела таким образом, что она не взаимодействует с оставшейся частью тела.
2) Используется терминология теории многократного наложения боль-
больших деформаций.
4-2. Постановка задач прочности
271
Область выполнен:
критерия
/ / / /
/ / / /
д
Рис. 4.14. Ненагруженное тело (а); после нагружения в теле образовалась
область, в которой выполнен критерий прочности (б"); «материаловедче-
ский подход», действуют силы сцепления (в); моделируем «разрыв сил
сцепления» в момент и в области выполнения критерия прочности с по-
помощью удаления части области, занимаемой телом (г); форма трещины в
момент выполнения критерия прочности (определяется из решения задачи
или задается исследователем) (д)
действием внешних нагрузок возникли напряжения и соответствую-
соответствующие им большие деформации. Тело перешло в первое промежуточное
состояние. В этом состоянии в теле мысленно намечается замкнутая
поверхность (будущая граница нового концентратора напряжений),
и часть тела, ограниченная этой поверхностью, удаляется, а ее дей-
действие на оставшуюся часть заменяется по принципу освобождаемости
от связей силами, распределенными по этой поверхности. Эти силы,
перешедшие в разряд внешних, «мгновенно» уменьшаются до нуля,
под термином «мгновенно» не надо понимать, что данное приложение
нагрузки приводит к деформированию тела в динамическом режиме.
В результате в окрестности граничной поверхности возникают боль-
большие деформации и напряжения, которые накладываются на большие
272 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
начальные деформации, уже имеющиеся в теле. Еще раз обратим
внимание, что «физически накладываются». Если в рамках малых де-
деформаций возможна суперпозиция деформаций, т. е. когда параметры
напряженно-деформированного состояния тела от суммарного внеш-
внешнего воздействия на тело определяются как сложение параметров на-
напряженно-деформированного состояния тела от каждого воздействия
на тело, то при конечности деформаций это не так [120]. Меняется и
форма образованной граничной поверхности. Тело переходит в сле-
следующее, в нашем случае, конечное состояние. Отметим, что если в
рамках принятого подхода будет необходимо «принудительное» обра-
образование еще одного концентратора напряжений, то данная процедура
может быть повторена. Кроме того, модель можно при необходимости
усложнить, считая, что вновь образованная граничная поверхность не
свободна от нагрузки, а к ней в момент образования (или после) были
приложены внешние усилия.
И, наконец, отметим, что, используя такой подход, можно описать
рост трещины, включая и вязкий рост трещины.
Вторая модель применима для материалов, обладающих кристал-
кристаллической решеткой. В данной модели предполагается, что при дости-
достижении в некоторой области «критического напряжения» (превышение
соответствующей критериальной величины) происходит постепенное
вытеснение части атомов на место вакансий вне этой области. В этом
случае можно считать, что возникает область, в которой материал
обладает другими свойствами, в том числе и другой плотностью. Если
процесс продолжается, то из области вытесняются все атомы на места
вакансий вне указанной области (плотность материала уменьшает-
уменьшается до нуля) и происходит образование трещины 1). Описание этого
процесса с позиций механики деформируемого твердого тела может
быть следующим — при превышении в некоторой области соответ-
соответствующей критериальной величины возникает упругое включение2)
(рис. 4.15, а). Если форма включения и механические свойства мате-
материала включения не заданы в критерии, то их задает исследователь.
Форму включения в момент образования можно задавать, напри-
например, как область, в которой уровень напряжений (деформаций) мень-
меньше на Ъ % критериальной величины, то есть «по изолинии той или
иной характеристики напряженно деформированного состояния тела
в момент „принудительного" образования в нем включения».
Далее решается задача о теле с включением, возникшем в теле, уже
имеющим большие начальные деформациями. Если снова происходит
г) Авторы благодарят проф. Д.М. Левина за обсуждение «материало-
ведческой» части данного подхода.
2) Естественно, что механические свойства материала включения от-
отличны от свойств материала тела, мы полагаем, что плотность материала
включения на Ъ % меньше плотности материала тела.
4-2. Постановка задач прочности 273
'бласть выполнения
критерия
'бласть выполнения/
критерия
Рис. 4.15. После превышения критериальной величины возникло включе-
включение (а); момент возникновения включения с новыми свойствами (б"); момент
образования полости (в)
превышение в некоторой области соответствующей критериальной
величины, то считается, что возникает упругое включение с новыми
свойствами, причем область, где образовалось новое включение, мо-
может содержать все предыдущее включение или его часть (рис. 4.15, б).
При этом полагаем, что плотность материала нового включения на с %
меньше плотности материала предыдущего включения. Величины Ъ %
и с % задаются в критерии.
Далее решается задача о теле с двумя включениями и т.д., либо
до остановки процесса, либо до образования на последнем этапе не
включения, а полости (рис. 4.15, в).
Постановка задачи1) в рамках этого подхода следующая. Пусть
в теле, находящемся в ненапряженном состоянии, под воздействием
внешних нагрузок возникли напряжения и соответствующие им боль-
большие деформации. Тело перешло в первое промежуточное состояние.
В этом состоянии в теле мысленно намечается замкнутая поверхность
(будущая граница включения). Внутри части тела, ограниченной этой
поверхностью, скачкообразно меняются механические свойства мате-
материала, предполагается, что это не приводит к динамическим эффек-
эффектам. В результате внутри образовавшегося включения и в оставшейся
части тела возникают большие деформации (по крайней мере, вблизи
г) По прежнему используется терминология теории многократного на-
наложения больших деформаций [120].
18 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
274 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
вновь образованного включения), которые накладываются на боль-
большие начальные деформации, уже имеющиеся в теле. Тело переходит
в конечное состояние. Возможны различные варианты модели обра-
образования включения. Например, мысленно удаляем часть тела, огра-
ограниченную намеченной поверхностью, а ее действие на оставшуюся
часть тела заменяем по принципу освобождаемости от связей силами,
распределенными по этой поверхности. Затем полость, образованную
удалением части тела, заполняем материалом с другими свойствами.
Далее силы, действующие по границе тела, образованной удалением
его части (перешедшие в разряд внешних), квазистатически умень-
уменьшаются до нуля. Это вызывает возникновение больших деформаций
и напряжений, которые накладываются на большие уже имеющиеся
в теле деформации и напряжения.
Возможен и другой вариант модели, когда включение полностью
повторяет форму удаленной части тела, только тогда, когда по по-
поверхности включения действуют силы. Далее силы, действующие как
по границе тела, образованной удалением его части, так и по границе
включения квазистатически уменьшаются до нуля.
Если в рамках принятого подхода будет необходимо «принудитель-
«принудительное» образование еще одного включения, то данная процедура может
быть повторена.
И, наконец, отметим, что зарождение трещины в материале тела
сопровождается сложными физико-химическими процессами, приво-
приводящими на начальном этапе зарождения трещины к возникновению в
теле различно ориентированных (случайным образом) микротрещин,
которые затем «сливаются» в макротрещину. Предложенный выше
подход опускает это рассмотрение. Это является как его недостат-
недостатком — с точки зрения описания физико-химических процессов, про-
происходящих в материале тела в момент зарождения трещины (но это
изучают другие науки, например, материаловедение), так и достоин-
достоинством — так как позволяет решать задачи для конечных деформаций,
используя только математический аппарат механики деформируемо-
деформируемого твердого тела (в частности теории многократного наложений боль-
больших деформаций). В заключении отметим, что возможно построение
модели по предложенной методике и для системы одновременно или
последовательно возникающих микротрещин и их последующего сли-
слияния в макротрещину с использованием, например, модели вязкого
роста трещины. Но это значительно усложнит решение конкретных
задач, и, вероятно, может быть полезно, когда исследователю необ-
необходимо описать такой процесс в рамках механики деформируемого
твердого тела.
4.2.4. Вариант модели вязкого роста трещины. Модель вяз-
вязкого роста трещины предполагает последовательное поглощение ос-
основной трещиной вторичных трещин (или микропор), как уже суще-
существующих в теле, так и раскрывающихся в процессе нагружения. Для
4-2. Постановка задач прочности 275
ряда случаев экспериментально показано, например в [91, 295], что
процесс вязкого роста трещины происходит именно так, то есть, что
при вязком разрушении поры образуются не одновременно, а последо-
последовательно на всем протяжении процесса деформирования материала.
Происходит последовательное возникновение новых микроконцентра-
микроконцентраторов напряжений, причем вначале они могут быть и поверхностными
[191]. Как уже отмечалось при рассмотрении задач, при малых дефор-
деформациях можно не учитывать изменение формы трещины и изменения
граничных условий и считать «все заданным в начальном состоянии».
Решение в этом случае сводится к анализу взаимодействия несколь-
нескольких концентраторов напряжений, моделируемых с помощью матема-
математических разрезов, причем допускается сложение полей напряжений
и деформаций. При конечных деформациях это не так1).
Для описания процесса вязкого роста трещины в рамках механики
деформируемого твердого тела при конечных деформациях можно
использовать модели предыдущего пункта и с их помощью описы-
описывать «принудительное» образование вторичных трещин и «раскры-
«раскрытие» микропор. Если в некоторой точке (или в области), находящей-
находящейся между двумя концентраторами напряжений выполнен критерий
прочности (превышена соответствующая критериальная величина),
то происходит «разрыв перемычки», и это моделируется как слияние
большего концентратора с меньшим.
Форма нового «принудительно» возникшего концентратора напря-
напряжений задается заранее (в критерии). После возникновения нового
концентратора напряжений необходимо повторно определить пара-
параметры напряженно-деформированного состояния тела. Отметим, что
возможно рассмотрение и более подробной модели, в которой пред-
предполагается что при превышении некоторой критериальной величины
происходит только раскрытие на перемычке новой микропоры. В этом
случае после раскрытия новой микропоры проводится повторный ана-
анализ напряженно-деформированного состояния тела.
Предложенная модель учитывает как разрывы перемычек между
основной и вторичной трещинами, так и раскрытие микропор с после-
последующим их поглощением основной трещиной, когда на каждом этапе
данного процесса в теле (вблизи носика трещины) накапливаются
дополнительные конечные деформации, которые накладываются на
уже имеющиеся в теле конечные деформации.
Для решения подобного рода задач удобно, а порой и необходимо
использовать теорию многократного наложения больших деформа-
деформаций. Ее использование в задаче о вязком росте трещины дает возмож-
возможность получить описание процесса, учитывающего образование новых
) Притом возможен и случай, когда основная трещина привносится в
предварительно нагруженное тело в процессе его эксплуатации. И может
быть необходим прогноз поведения элемента конструкции.
18*
276 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
трещин, «раскрытие» микропор с последующим их «поглощением»
основной трещиной, когда на каждом этапе (раскрытия, поглощения
микропор) в теле вблизи вершины трещины накапливаются допол-
дополнительные конечные деформации, которые накладываются на уже
имеющиеся в теле.
На рис. 4.16 приведен модельный пример для плоской задачи для
случая, когда оба повреждения (основная и вторичная трещины) мо-
t t t
t
t
t
с
ч~-—
1 I I
1
1
Рис. 4.16, a. a\ и п2 — большие полуоси эллиптических узких щелей (опи-
(описывающих основную и вторичную трещину) в момент их образования, с —
расстояния между их центрами в момент образования вторичной трещины
делируются после их последовательного «принудительного» образо-
образования («раскрытия») с помощью узких эллиптических щелей [120,
121, 127] (рис. 4.16, а).
Отметим, что в зависимости от принятой исследователем фор-
формы основной трещины после поглощения ею вторичной, «рост» тре-
трещины может как остановиться, так и продолжиться. Например, на
t
t
t
t
С
ч-~—
,._—¦—¦
,«2,
«3
>
1
\
\
Рис. 4.16,5. Вариант модели, в которой форма основной трещины после
поглощения ею вторичной — эллипс с малой главной полуосью, равной
главной полуоси основной трещины до поглощения ею вторичной
рис. 4.16, 6 приведена форма основной трещины после поглощения
ею вторичной. Это эллипс с малой главной полуосью равной главной
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 277
полуоси основной трещины до поглощения ею вторичной (в отли-
отличие от рис. 4.16, а на рис. 4.16, б и рис. 4.16, в черточки над буквами
указывают, что размеры повреждений изменились). На рис. 4.16, в
t t
--^
t
,>-r"-~~"— """"""-^
a2
_—_—,
t
Рис. 4.16, в. Вариант модели, в которой форма основной трещины после
поглощения ею вторичной — эллипс с малой главной полуосью, равной
главной полуоси вторичной трещины до поглощения этой трещины основ-
основной трещиной
приведена форма основной трещины после поглощения ею вторичной.
Но в данном случае это эллипс с малой главной полуосью равной
главной полуоси вторичной трещины до поглощения этой трещины
основной трещиной1). Ясно, что если рост трещины продолжится,
то во втором случае это более вероятно. Более подробно это бу-
будет обсуждено при рассмотрении результатов решения конкретных
задач.
4.3. Основные понятия и определения нелинейной
теории упругости и элементы нелинейной теории
вязкоу пру гости 2)
4.3.1. Основные термины и обозначения.
г — радиус-вектор частицы в начальном состоянии;
R — радиус-вектор частицы в текущем состоянии;
?г — материальные («вмороженные» [120, 228]) координаты час-
частицы;
хг — пространственные координаты частицы;
г) Рассматриваем такое соотношение главных полуосей для рис. 4.16,6 и
рис. 4.16, в как модельный расчетный пример, не обязательно реализуемый
на практике.
2) Справочный формат.
Е = - (/ - Ф • Ф*) = - (Vu + uV -Vu- uV) — тензор дефор-
А А
278 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
ei — базисные векторы системы отсчета;
О дг с,
3i = —— — оазисные векторы в начальном состоянии;
OR
3i = -—- — базисные векторы в текущем состоянии;
и = R — г — вектор перемещений;
? ° д г, id
V = э —- и V = э т—- — операторы градиента в координатах на-
начального и текущего состояния соответственно;
/ — единичный тензор;
о о
ф = Vi? = (Vr) = (/ + Vu) = (/-Vi^) — аффинор дефор-
деформаций;
о i i о о о о
Е = - (Ф • Ф* — /) = - (Vi? + i^V + Vu • uS7) — тензор деформаций
Грина;
Е =
А
маций Альманзи;
о
С = Ф-Ф* =/ + 2Е — мера деформаций Коши-Грина;
F = Ф* • Ф = (/ - 2Е) — мера деформаций Фингера;
а — ускорение в текущем состоянии;
/ — вектор массовых сил в текущем состоянии;
Ро — плотность частицы в начальном состоянии;
р = A -\- А)~ ро — плотность частицы в текущем состоянии;
А = det Ф — 1 — относительное изменение объема;
а — тензор истинных напряжений (тензор Коши);
^Р = A + А)Ф*~1 • а — первый тензор напряжений Пиолы;
о
Е = A + А)Ф*~1 -сг-Ф — второй тензор напряжений Пиолы-
Кирхгофа;
av _ ф*-1 . а . ^-1 _ энергетический тензор напряжений;
: — знак двойной скалярной свертки;
* — знак транспонирования.
4.3.2. Кинематика. Подход Лагранжа фиксирует координаты
частиц (?1,?2,?3) в некоторый момент времени ?о> который обычно
называют начальным, и все величины, характеризующие движение
среды, рассматривают как функцию этих координат (называемых
также материальными или «вмороженными» [131, 228] координата-
координатами). Набор чисел (?1,?2,?3) однозначно определяет частицу среды.
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 279
Подход Эйлера рассматривает все величины как функцию координат
частиц в текущий момент времени — пространственных координат
(ж1, ж2, ж3). Подход Лагранжа называют также материальным, а под-
подход Эйлера — пространственным.
Пусть г — радиус-вектор, характеризующий положение некоторой
частицы М в начальный момент времени (в начальном состоянии), а
R — радиус-вектор этой же частицы в произвольный момент времени t
(в текущем состоянии). Зависимость
R = R(r,t) или я*=жЧ?\С2,С3,*), * = 1,2,3, D.3.2.1)
описывает движение сплошной среды. Эта зависимость считается
непрерывной и взаимнооднозначной в области У, занимаемой телом,
в любой момент времени t. В силу взаимной однозначности зависи-
зависимости D.3.2.1) можно записать:
С = С{х\х2, ж3, t), г = 1, 2, 3. D.3.2.2)
Любое движение деформируемого твердого тела можно предста-
представить как суперпозицию жесткого движения и деформации. Движение
называется жестким, если оно описывается зависимостью [131]
R = Ro + (г - г0) • О, D.3.2.3)
где О — ортогональный тензор, один и тот же для всех частиц сре-
среды, а го и Rq — радиус-векторы некоторой фиксированной частицы
среды в начальном и текущем состояниях. При жестком движении
расстояние между любыми двумя частицами среды не изменяется.
Под деформацией понимают такое движение сплошной среды, при
котором изменяются расстояния между ее частицами.
Часто нет необходимости рассматривать движение (деформацию)
тела как процесс. Достаточно различать начальное (недеформирован-
ное) и текущее (деформированное) состояние тела. В таких случаях
текущее состояние будем называть конечным.
Векторы основного базиса в начальном состоянии определяются
обычным образом [117, 120, 131, 228]:
°эг = |1. D.3.2.4)
Эти векторы направлены по касательным к соответствующим ко-
координатным осям.
Векторы взаимного базиса в начальном состоянии обозначаются
через э\ Для них, как известно, справедливы соотношения [117, 131,
228]
3i-sj =5i:j. D.3.2.5)
280 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Векторы б{ основного базиса пространственной системы коорди-
координат х1 (базиса системы отсчета) можно определить и по формуле
е{ = |^. D.3.2.6)
Соответствующие векторы взаимного базиса будем обозначать
через ег. Для них справедливы соотношения е^ • е3 = 5ij. Если
(ж1, ж2, ж3) — прямоугольная декартова система координат, то ег =
— ег [г — 1, z, о).
Часто считают (хотя это и не обязательно), что в начальном состо-
состоянии (в момент времени to) материальная система координат совпада-
совпадает с пространственной, т. е. в качестве материальных координат каж-
каждой частицы выбирают ее пространственные координаты в начальном
состоянии. В этом случае э^ = е^ и ^(ж1, ж2, ж3, to) = хг (г = 1, 2, 3).
Такой подход удобен при решении задач, в которых форма тела и
граничные условия заданы в начальном состоянии.
Если рассматривать движение среды с точки зрения неподвижного
наблюдателя, то координатные линии системы координат (?г,?2,?3)
будут деформироваться вместе со средой. Используя терминологию
[228, 229], можно говорить, что они как бы «вморожены» в среду.
Даже если в начальном состоянии они были выбраны прямыми, в
следующие моменты времени они, вообще говоря, будут искривлен-
искривленными, как показано на рис. 4.17 (на этом рисунке рассмотрен случай,
Текущее
состояние
М
С1
Начальное
состояние
е
Рис. 4.17. Координатные линии материальных координат
текущем состояниях
в начальном и
когда в начальном состоянии материальные координаты совпадают
с пространственными и являются прямоугольными декартовыми ко-
координатами) . Вместе с координатными линиями при движении среды
будут изменять свое направление и векторы основного базиса системы
координат ?г, направленные по касательным к этим линиям. В даль-
дальнейшем будем называть их векторами основного базиса в текущем
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 281
состоянии, или векторами «вмороженного» базиса. Они определяются
следующим образом [131, 228]:
эг = |р. D.3.2.7)
Векторы взаимного базиса в текущем состоянии обозначаются че-
через э\ Для них справедливы соотношения
3i-sj =6ij. D.3.2.8)
Очевидно, они также будут менять свое направление при движении
среды.
При решении задач, в которых форма тела и граничные условия
известны в текущем (конечном) состоянии, удобно считать, что ма-
материальные координаты совпадают с пространственными в конечном
состоянии. В этом случае э^ = е^ (г = 1, 2, 3).
Обозначим через М и М' две бесконечно близкие частицы среды.
Пусть вектор dr соединяет эти частицы в начальном состоянии, а
вектор dR — в текущем состоянии. Тогда с учетом D.3.2.4), D.3.2.7)
можно записать
dr = W ^ = * ^' dR=W d^ = 3i d^' D-3-2-9)
Л. о о-
Умножив скалярно первое из этих соотношении на э-7, а второе
на э-7, можно с учетом D.3.2.5), D.3.2.8) получить
dg = lj • dr = sj • dR. D.3.2.10)
Рассмотрим некоторую скалярную величину (р (?1, ^2, ^3). Диффе-
Дифференциал d(p, характеризующий приращение этой величины при пере-
переходе из частицы М в частицу М;, с учетом D.3.2.10) может быть
представлен в виде [131]
Ьудем называть вектор э ——- градиентом скаляра (р в координатах
i д(Р
начального состояния, а вектор э -^- — градиентом (р в координатах
текущего состояния. Используются следующие обозначения:
V* = g'f?, VV = s'^. D.3.2.12)
Согласно D.3.2.12) мож:но определить оператор градиента в коор-
о
динатах начального состояния V и оператор градиента в координатах
текущего состояния V следующим образом [120, 131, 228]:
V = §' ^, V = з' А D.3.2.13)
282 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Используя введенные обозначения, можно переписать D.3.2.11) в
виде 0
d(p = Vip • dr = Vip • dR. D.3.2.14)
Поскольку векторы dr и dR в D.3.2.14) произвольны и не зави-
о
сят от базиса, то операторы V и V инвариантны, т. е. не зависят
от выбора координатного базиса начального и текущего состояния
соответственно.
С учетом сказанного выше ясно, что если материальные коорди-
о
наты совпадают с пространственными в начальном состоянии, то V =
* д т^
= е -г—-. -Ьсли же материальные координаты совпадают с пространст-
охг
венными в конечном состоянии, то V = е1 —г.
о дх'
Операторы V и V могут быть применены не только к скалярным,
но и к векторным или тензорным величинам [131, 228].
Рассмотрим тензор
Ф = уД = §*р=§^. D.3.2.15)
Следуя терминологии работ [120, 122], будем называть тензор Ф
аффинором деформаций. Это тензор известен в литературе также
под названиями тензора дисторсии, градиента вектора места [131],
градиента движения [120]. Поскольку зависимость D.3.2.1) взаимно
однозначна, то det Ф ф 0.
Как следует из D.3.2.3), при жестком движении
Ф = 0. D.3.2.16)
Легко убедиться в том, что аффинор деформаций и тензор
Ф = Vr = э* ^- = э% D.3.2.17)
взаимно обратны. Действительно,
"Г ^ 07 <1° 07 С 0 °70
ф • ф = э Эг ' Э Э ' = Э Oi Э ¦ = Э Э{ = /
здесь / — единичный тензор. Итак,
Ф = Ф, т.е. Vi^=(Vr). D.3.2.18)
Из D.3.2.9), D.3.2.10), D.3.2.15) следует
dR = Sid? = э^э* • dr = Ф* • dr = dr • Ф. D.3.2.19)
Обозначим через ds и dS длины векторов dr и dR соответственно.
Тогда ds2 = dr • dr, dS2 = dR • dR, и с учетом D.3.2.19) можно записать
dS2 = dr • Ф • Ф* • dr = dr • G • dr. D.3.2.20)
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 283
Тензор
С = Ф-Ф* D.3.2.21)
в правой части D.3.2.20) называется мерой деформации Коши-Грина
[131].
Из D.3.2.21), D.3.2.16) следует, что при жестком движении G =
= О • О* = /. Следовательно, тензор G при любом жестком движении
будет одним и тем же. Вместе с тем, как видно из D.3.2.16), аффинор
деформации зависит от жесткого движения и поэтому не может быть
использован в качестве меры деформации.
Очевидно, тензор G симметричен, т.е. G = G*. Легко убедиться
также в том, что этот тензор является положительным [131]. Дейст-
Действительно, пусть Ъ — произвольный ненулевой вектор. Тогда квадра-
квадратичная форма
Ъ • G • Ъ = Ъ • Ф • Ф* • Ь = (Ф* • Ъ) • (Ф* • Ъ)
всегда положительна, поскольку представляет собой квадрат длины
вектора Ф* • Ъ (этот вектор ненулевой, так как тензор Ф неособенный).
В качестве тензорных характеристик деформации могут быть ис-
использованы и функции тензора G, например, тензор Gxl2 или тензор
о
деформаций Грина Е, определяемый следующим образом [131]:
Е = | (G - I) = | (Ф • Ф* - /). D.3.2.22)
о
При жестком движении Е = 0.
Обозначим через
u = R-r D.3.2.23)
вектор перемещений из начального в текущее состояние. Из D.3.2.23),
D.3.2.15) и D.3.2.18) следует, что
Ф = Vr + Vu = I + Viz, Ф = (/ + Viz). D.3.2.24)
Подстановка полученного выражения D.3.2.24) в формулу
D.3.2.22) позволяет получить представление тензора деформаций
Грина через градиент вектора перемещений в координатах начального
состояния: о i о о о о
Е = i (Viz + uV + Vu • izV), D.3.2.25)
о о
здесь uV = (Vu)*.
Пусть, как и ранее, вектор dr соединяет две бесконечно близкие
частицы среды М и М' в начальном состоянии, а вектор dR соединяет
эти же частицы в текущем состоянии. Выразим длину ds вектора dr
через вектор dR. Для этого запишем тождество D.3.2.19) в виде
dr = Ф*-: .dR = dR-4>-\
284 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Тогда
ds2 = dr-dr = dR- Ф • Ф* -dR = dR-g-dR. D.3.2.26)
Здесь тензор
0 = ф-1.ф*-1 D.3.2.27)
называется мерой деформации Альманзи [131]. Этот тензор является
положительным и симметричным. При жестком движении g = I.
В качестве тензорных характеристик деформации могут быть ис-
использованы и функции тензора д. К их числу относятся [131] тензор-
тензорная мера Фингера
F = д'1 = Ф* Ф D.3.2.28)
и тензор деформации Альманзи
Е = \ (I - д) = \ (I - Ф-1 • Ф*-1) . D.3.2.29)
Из D.3.2.22) и D.3.2.29) следует, что
Е = Ф-1 -Е-Ф*-1. D.3.2.29а)
Используя формулы D.3.2.17), D.3.2.23), D.3.2.29), можно выразить
тензор Ф = Ф, аффинор деформации Ф и тензор деформаций Аль-
Альманзи Е через градиент вектора перемещений в координатах текущего
состояния:
<S> = VR-Vu = I-Vu, D.3.2.30)
Ф = ф-1 = (/ - V^), D.3.2.31)
Е = i (Viz + uV - Vu • uV), D.3.2.32)
здесь wV = (Vu)*.
В завершение данного пункта приведем некоторые формулы:
3j = lj ¦ Ф,
§,=э,.Ф-1.
э* = Ф-э*, э-'^ф-1-^. D.3.2.33)
Используя D.3.2.33), мож:но получить:
D.3.2.34)
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 285
Пусть dv — некоторый элементарный объем, выделенный в среде
в начальном состоянии, и пусть при движении среды он переходит в
элементарный объем dV. Тогда [131]
^ = 1 + A = det^, D.3.2.35)
dv
здесь А — относительное изменение объема. Материал, для которого
А = О, называется несжимаемым.
Элементарная ориентированная площадка поверхности, как из-
известно, характеризуется площадью и вектором единичной нормали.
Пусть в начальном состоянии задана элементарная ориентированная
площадка, площадь которой равна б/о, а п — вектор единичной нор-
нормали к ней. Пусть при движении среды эта площадка переходит в
площадку, площадь которой равна бЮ, с вектором единичной норма-
нормали N. Тогда [131]
NdO = A + А) Ф-1 • ndo. D.3.2.36)
4.3.3. Уравнения движения и граничные условия. Напря-
Напряженное состояние в точке тела в текущем состоянии характеризуется
тензором истинных напряжений а (тензором напряжений Коши) [131,
228]. Если тензор истинных напряжений известен, то вектор напря-
напряжений на площадке с внешней нормалью JV, заданной в текущем
состоянии, может быть определен по формуле
В классической механике сплошных сред, не учитывающей мо-
ментных напряжений, тензор истинных напряжений симметричен.
Уравнения движения в координатах текущего состояния имеют
вид
V • а + pf = pa, D.3.3.1)
где / — вектор массовых сил в текущем состоянии, р — плотность
частицы тела в этом состоянии, а — ускорение.
Отметим, что при условии сохранения массы элементарных объ-
объемов, плотность р связана с плотностью частицы тела в начальном
состоянии ро соотношением
р=A + А)-1р0. D.3.3.2)
Пренебрегая динамическими эффектами, т. е. рассматривая зада-
задачи в статической или квазистатической постановке, из уравнений дви-
движения получают уравнения равновесия
V-a + p/ = 0. D.3.3.3)
Если на границе Г тела в текущем состоянии задана следящая
нагрузка — давление Р, то граничные условия могут быть записаны
286 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
в виде
N- a|r = -P7V, D.3.3.4)
где N — нормаль к Г.
При решении задач может возникнуть необходимость записать
уравнение равновесия и граничные условия в координатах начального
состояния. Уравнение равновесия в координатах начального состоя-
состояния имеет вид [131]
0. D.3.3.5)
Здесь ^Р — первый (несимметричный) тензор напряжений Пио-
лы [131]
<Р= A + Д) Ф* • <т. D.3.3.6)
Граничные условия D.3.3.4) в координатах начального состояния
могут быть приведены к виду
п • ЭД7 = -Р A + Д) п • Ф*. D.3.3.7)
Здесь 7 — граница тела в начальном состоянии, которая в текущем
состоянии переходит в границу Г; п — нормаль к 7-
Применяются и другие определения тензоров напряжений. Второй
о
тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа Е определяется следующим об-
образом:
S = <р • ф-1 = A + Д) Ф* • а • Ф. D.3.3.8)
Этот тензор симметричен, поэтому его в ряде случаев более удобно
использовать, чем первый тензор напряжений Пиолы.
Уравнения равновесия D.3.3.5) и граничные условия D.3.3.7) с
учетом D.3.3.8) можно переписать в виде
У-(?.ф)+ро/ = 0, D.3.3.9)
п • Е|7 = -Р A + Д) п • Ф* • Ф. D.3.3.10)
Энергетический тензор напряжений av определяется по формуле
av = A + Д) Е = Ф*-1 • а • Ф-1. D.3.3.11)
о
Тензоры ^3, Е и ау применяются в качестве вспомогательных ве-
величин при постановке и решении задач.
4.3.4. Определяющие соотношения. В механике деформиру-
деформируемого твердого тела под термином определяющие (иногда физиче-
физические, конституционные) соотношения понимают зависимость между
напряжениями и деформациями. Например, это может быть зависи-
зависимость между каким-либо из тензоров напряжений, рассмотренных в
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 287
предыдущем пункте, и тензором деформации или тензорной мерой де-
деформации, которые соответствуют данному тензору напряжений [131,
228]. Эта зависимость описывает механические свойства материала.
Определяющие соотношения могут быть заданы либо в виде обычной
тензорной функции, либо в виде функционала, в который могут вхо-
входить, например, дифференциальные или интегральные операторы по
времени.
Далее как при постановке, так и при решении конкретных задач
рассматриваются только хорошо известные определяющие соотноше-
соотношения (для изотропных материалов), используемые при решении задач
большим числом авторов [2, 3, 5, 15, 51, 55, 82, 101, 120, 122, 127, 131,
205, 215, 223, 228, 249, 295, 349, 357, 385].
Для упругого материала предполагается наличие потенциала. Ес-
Если задан потенциал Л, то соответствующие ему определяющие соот-
соотношения могут быть записаны в базисе начального состояния в виде
[120, 131, 228, 229]
Е = ^ D.3.4.1)
дЕ
для упругого сжимаемого материала или в виде
о о яд
^ D.3.4.2)
для упругого несжимаемого материала.
В базисе текущего состояния для изотропного упругого материала
эти формулы могут быть записаны следующим образом:
а = A + Д)-1^-(^-2Е), D.3.4.3)
F) А
а = -Р1+^-A-2Е), D.3.4.4)
Формула D.3.4.3) справедлива для сжимаемого, а D.3.4.4) — для
несжимаемого упругого материала.
Для изотропного упругого материала потенциал А является функ-
функцией инвариантов соответствующего тензора деформаций [131]. При-
Примером является потенциал Мурнагана [131]. Для потенциала Мур-
нагана определяющие соотношения, записанные в базисе начального
состояния, имеют вид
S = Л(Е : /)/ + 2GE + ЗС3(Е : 1J1 + С4[(ЕJ : /]/ +
+ 2С4(Е : /)Е + ЗС5(ЕJ. D.3.4.5)
о
Напомним, что Е = A + Д) Ф* -сг-Ф — второй тензор напря-
напряжений Пиолы—Кирхгофа.
288 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
При постановке и решении задач в пространстве конечного со-
состояния необходимо иметь запись этих соотношений в пространстве
этого состояния. Если же определяющие соотношения заданы в про-
пространстве начального состояния (в общем виде для изотропного ма-
материала)
О пО п00п00
Е = ao(Ek)I + ai(Efc)E + a2(Efe)E2, D.3.4.5а)
о °
здесь di — функции алгебраических инвариантов тензора Е (напри-
0 о о
мер, ai(Efc) = 2G + 2С4Е1), Е& — алгебраические инварианты тензо-
о
ра Е:
о о 7 о 7 о о о
Ек = (Е)к : /, (Е)к = Е • Е • .. ¦ Е (к = 1, 2, 3), D.3.4.56)
к раз
то для записи соотношений для тензора Е молено использовать толь-
только «геометрические» преобразования. Домножая D.3.4.5а) слева на
о
Ф*-\ справа на Ф, и, учитывая D.3.2.29а) Е = Ф • Е • Ф*,
D.3.2.29) Е = i (/ - Ф-1 • Ф*-1), получим
A + A)-V = ao(Efc)(J - 2Е)-1 + аг(Ек) (/ - 2Е) • Е • (/ - 2Е) +
+ а2(Ек)[A - 2Е)-1 • Е]2 • (/ - 2Е). D.3.4.5в)
о °
Переход от аДЕ^) к ац (Е) наиболее просто получить, используя соот-
соотношение D.3.2.29).
Данную процедуру получения записи определяющих соотношений
при задании D.3.4.5) молено назвать процедурой «неэнергетического
перехода» [120, 122].
Численные значения упругих констант для конкретных нелиней-
нелинейно-упругих сжимаемых материалов (в частности, констант в потен-
потенциале Мурнагана) читатель может найти, например, в [126, 131]. Зна-
Значения констант в потенциале Мурнагана для некоторых материалов
приведены в табл. 4.1 (данные взяты из [126, 131]1)).
Примерами несжимаемых упругих материалов являются материа-
материалы типа My ни. Для потенциала My ни [131] определяющие соотноше-
соотношения имеют вид:
а = | [A + p)F + A - /З)^-1] - pi. D.3.4.6)
г) В [131] даны значения констант ui, 1/2, ^3, связанных с константами
Сз, С4, Сб, используемыми в данной книге, соотношениями Сз = ^i/6, C4 =
= ^2, Съ = 4г/з/3.
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 289
Таблица 4.1
Значения упругих констант в потенциале Мурнагана для некоторых мате-
материалов (в единицах 1011 Па)
Материал
Сталь Rex 535
Сталь Hecla 37
Сталь 35 ХГСА
Бронза Бр Б2
Медь
Магний
Молибден
Вольфрам
Оргстекло
Л
1,09
1,11
1Д
1,042
1,07
0,259
1,57
0,75
0,39
G
0,818
0,821
0,804
0,49
0,477
0,166
1Д
0,73
0,186
С3
-0,29
-0,6
-0,32
-0,67
-0,93
-0,109
-0,085
-0,36
-0,013
с4
-2,4
-2,82
-2,3
-1,7
1,72
-0,574
-2,83
-1,43
-0,07
с5
-2,25
-2,36
-2,68
-0,8
-5,31
-0,56
-1,24
-1,66
0,063
Ссылка
[376]
[376]
[241]
[241]
[370]
[376]
[376]
[376]
[57]
131]
Соотношение D.3.4.6) молено также записать в форме [120, 126,
° = f {(I + /3)F + A -
: I)F - F2}} - pi.
D.3.4.7)
Частным случаем потенциала Муни (при /3 = 1) является потен-
потенциал Трелоара [120, 131]
а = fiF-pI. D.3.4.8)
Усложненный вариант
<т = ц[A+Р) F1'2 + A - р) F-1'2} - Р1, D.3.4.9)
который может быть записан в виде
<т = ц{A + 0) F1/2 + A - /3) [(F1/2 : I)F^2 - F}} - pi. D.3.4.10)
Частным случаем потенциала D.3.4.9) (при /3 = 1) является потен-
потенциал Бартенева-Хазановича [15]
-pi. D.3.4.11)
Как указано в [131], потенциалы D.3.4.7)-D.3.4.11) могут быть
использованы при описании упругих свойств резиноподобных мате-
материалов. Отметим, что для описания механического поведения резин
используется также ряд более сложных упругих потенциалов [28, 40,
120, 126, 131].
Если требуется ставить и решать задачу в пространстве начально-
начального состояния при задании соотношений D.3.4.7)-D.3.4.11), использо-
19 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
290 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
вание процедуры «неэнергетического перехода» дает [120, 328] необ-
необходимое представление. Например, для материала Трелоара
о о о
Е = -рA - 2Е)-1 + /i(/ - 2E)-\
а для материала Бартенева—Хазановича
Е = -рA - 2Е)-1 + 2/хф-1 - (/ - 2Ф - Е ¦ Ф)-1/2 . ф-i.
При решении задач вязкоупругости мы будем использовать опре-
определяющее соотношение, предложенное в работе [2] для несжимаемых
вязкоупругих материалов:
[±1]-pG-1, D.3.4.12)
где Д — интегральный оператор вида
]i<p(t) = fjL0 \ч> (t)-jl(t-r)<p (r) dr\,
0 D.3.4.13)
/io, A, a, /3 — константы.
Для полидиенэпоксиуретана эти константы имеют следующие зна-
значения [2]: /10 = 19,8 МПа, А = 0,013с~а, а = 0,016, /3 = 0,00017с-1.
Отметим, что при А = 0 (т. е. при отсутствии вязкости) соотноше-
соотношения D.3.4.12), D.3.4.13) сводятся к определяющему соотношению для
материала Трелоара D.3.4.8).
Соотношения D.3.4.12), D.3.4.13) были использованы при решении
задач в работах [8, 120, 126].
4.3.5. Постановка задач о концентрации напряжений при
больших деформациях. Одним из важных классов задач прочнос-
прочности, рассматриваемых в рамках нелинейной упругости и вязкоупру-
вязкоупругости, являются задачи о концентрации напряжений. Если рассмат-
рассматривать эти задачи в статической (для вязкоупругих материалов —
квазистатической) постановке, т. е. без учета динамических эффектов,
можно выделить два класса таких задач [120, 126, 131].
1. Дано упругое или вязкоупругое тело известной формы, воз-
возможно, содержащее отверстия (концентраторы напряжений). К те-
телу прикладываются заданные нагрузки, после чего оно приходит
в новое положение равновесия. Требуется определить напряженно-
деформированное состояние тела в этом положении равновесия и, в
частности, форму границы тела (для вязкоупругих тел эта форма
будет в общем случае меняться со временем).
2. Дано упругое тело (возможно, содержащее отверстия), перво-
первоначальная форма которого неизвестна. К телу прикладываются за-
заданные нагрузки, после чего оно приходит в положение равновесия
и принимает в этом положении некоторую заранее заданную форму.
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 291
Требуется определить напряженно-деформированное состояние тела
в положении равновесия и, в частности, первоначальную форму гра-
границы тела1). Задачи этого класса относятся к числу обратных.
Возможны и другие варианты постановки задач, например, когда
на границе тела или на ее части заданы перемещения.
Естественно ставить и решать задачи, относящиеся к рассмотрен-
рассмотренным двум классам, в координатах того состояния, в котором задана
форма тела: задачи первого класса — в координатах начального состо-
состояния, а задачи второго класса — в координатах текущего 2) состояния.
В противном случае это будут задачи с неизвестной границей, которые
значительно более сложны для решения.
В заключение этого пункта приведем два примера постановки за-
задачи. В первом примере задача ставится в координатах начального
состояния для тела, механические характеристики которого опреде-
определяются потенциалом Мурнагана. Тело содержит отверстия, на грани-
границах которых задано давление Р. Считается, что тело бесконечно и на
бесконечности заданы (известны) истинные напряжения а°°.
Математическая постановка задачи в перемещениях в этом случае
включает уравнение равновесия
V-(S •*)+/*)/ = О,
граничные условия на контурах отверстий
п ¦ Е|7 = -Р A + Д) п ¦ Ф* • Ф,
условия на бесконечности (граничные)
(J = G ,
определяющие соотношения
0 0 0 0 0
S = А(Е : /)/ + 2GE + ЗС3(Е : /J/ + С4[(Е)
2
о
зависимость между тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа Е и тен-
тензором истинных напряжений а
S = (l + A)**-1^-*
г) Такие задачи можно сформулировать и для вязкоупругих тел, ко-
которые должны принять заданную форму в заранее определенный момент
времени т после приложения нагрузки. Отметим, что в этом случае наряду
с начальным и текущим состояниями тела естественно рассмотреть проме-
промежуточное состояние (в момент времени г) и решать задачу в рамках теории
наложения больших деформаций, которая будет изложена далее.
2) Поскольку задачи статические, текущее состояние является ко-
конечным.
19*
292 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
и геометрические соотношения
Е(ФФ7),
Во втором примере задача ставится в координатах конечного со-
состояния для тела, механические характеристики которого описыва-
описываются потенциалом Муни. Как и в первом примере, считается, что
тело бесконечно и содержит отверстия, на границах которых задано
давление Р, а на бесконечности заданы истинные напряжения а°°.
Математическая постановка задачи в перемещениях в этом случае
включает уравнение равновесия
V • а + pf = О,
уравнение несжимаемости
д = о,
граничные условия на контурах отверстий
N- а\г = -PN,
условия на бесконечности
определяющие соотношения
и геометрические соотношения
4.3.6. Плоская деформация и плосконапряженное состоя-
состояние. Далее (гл. 5) рассмотрение конкретных задач прочности будет
проводиться для плоского случая. Поэтому остановимся на этом чуть
подробнее.
Задача механики деформируемого твердого тела называется плос-
плоской, если в некоторой декартовой системе координат (ж1,Ж2?#з) де-
деформации и напряжения в теле не зависят от координаты х%. К
плоским задачам относятся задачи о плоской деформации и плоско-
плосконапряженном состоянии [224, 230].
В случае плоской деформации перемещения в направлении, пер-
перпендикулярном к плоскости Х\Х2, отсутствуют, т.е. и% = 0. Можно
показать, что если материал изотропен и компоненты п\жи2 вектора
перемещений не зависят от жз, а г^з = 0, то деформации и напряжения
в теле не будут зависеть от жз- При этом компоненты <ji3 и а2з тензора
истинных напряжений будут равны нулю, а компонента сгзз — отлична
от нуля.
Состояние плоской деформации реализуется, например, в теле,
имеющем форму цилиндра, образующие боковой поверхности которо-
которого нормальны к основаниям, если вектор перемещений каждой части-
частицы параллелен основаниям [230]. При этом к образующим цилиндра
4-3. Основные понятия и определения нелинейной теории упругости 293
должны быть приложены нормальные напряжения, необходимые для
поддержания деформации плоской. Сечение цилиндра плоскостью,
параллельной основаниям, может быть произвольным. Если тело со-
содержит отверстия, то это сечение будет многосвязной областью.
Рассматривают также обобщенную плоскую деформацию, когда
щ = u\(xi,X2), U2 = ^2(^1,^2)? ^з = (А — 1)^з, где Л — заданная
константа, не зависящая от координат. Случай Л = 1 соответствует
плоской деформации.
В случае плосконапряженного состояния азз = 0з = ^23 = 0.
Обычно для плосконапряженного состояния полагают также, что ком-
компоненты тензора напряжений а не зависят от х%. Задачи о плоско-
плосконапряженном состоянии возникают, например, при расчете тонких
пластин при определенных видах нагружения [224, 230]. Под тонкой
пластиной, как известно, подразумевают цилиндр, высота которого
мала по сравнению с размерами основания. Плоскость, параллель-
параллельную основаниям и находящуюся посередине между ними, называют
средней (или срединной) плоскостью пластины. Систему координат
выбирают так, чтобы оси х\ и х<2 лежали в этой плоскости.
Плосконапряженное состояние приближенно реализуется в тонкой
пластине, если основания пластины свободны от нагрузок, а поверх-
поверхностные силы, приложенные к боковой поверхности, параллельны
средней плоскости пластины и распределены симметрично относи-
относительно этой плоскости. В этом случае в постановку задачи входят
осредненные по толщине пластины величины. Обоснование допусти-
допустимости такого осреднения при больших деформациях подробно рас-
рассмотрено в [230].
Отметим, что существуют определенные особенности постановки
задач о плосконапряженном состоянии при больших деформациях.
Связаны они с тем, что при плосконапряженном состоянии толщина
пластины меняется в общем случае неравномерно в результате де-
деформации, поэтому нормаль к основанию пластины отклоняется от
направления нормали к средней плоскости пластины даже в случае,
если первоначально пластина была равномерной по толщине. Для
оценки того, насколько точно модель плосконапряженного состояния
отражает напряженно-деформированное состояние тонких пластин
при больших деформациях, может быть применен, например, следую-
следующий подход. Рассмотрим на средней плоскости пластины окрестность
некоторой точки, такую, что радиус этой окрестности соизмерим с
толщиной пластины. Если в пределах этой окрестности относительное
изменение толщины пластины мало, то отклонением нормали к осно-
основанию пластины можно пренебречь и считать, что азз = 0. Если же в
пределах указанной окрестности относительное изменение толщины
пластины достаточно велико, то отклонение нормали к основаниям
пластины приведет к значительному отклонению от нуля этой ком-
компоненты тензора напряжений. Например, учет этого эффекта будет
294 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
существенным, если минимальный радиус кривизны концентратора
напряжений соизмерим по порядку величин с толщиной пластины,
и деформации конечны. Это обстоятельство может быть важно для
узких щелей и, в особенности, для трещин и может служить контроль-
контрольным примером при решении конкретных задач, особенно в смысле
оценки точности получаемых результатов 1).
4.4. Основные соотношения теории многократного
наложения больших деформаций (для упругих
и вязкоупругих тел)
4.4.1. Основные термины и обозначения теории много-
многократного наложения больших деформаций.
п
г — радиус-вектор частицы в n-м состоянии;
?г — лагранжевы «вмороженные» координаты частицы;
Э{ — базисные векторы в n-м состоянии;
знак (индекс) над символом, кроме знака над э и г, указывает
номер состояния, в координатном базисе которого вычисляется дан-
данная величина (причем индекс 0 соответствует начальному состоянию,
индекс N — конечному);
ип = г — г — вектор перемещений, характеризующий переход из
предыдущего (п — 1)-го состояния в последующее n-е состояние;
— градиент;
Р q / P q х-1
z2 ^ип = \1 - /2 ^ип) — аффинор дефор-
V = э1 — ( ) — градиент;
n=q-\-l 4 n=q-\-l
маций;
m i
Eg,p = - (Фт)Р • Ф^?р — Фт,д • "&m,q) ~ тензор деформаций, описы-
описывающий изменение деформаций при переходе тела из состояния q в
состояние р и отнесенный к координатному базису m-го состояния;
Gq:P = Фд5р • Ф* р — тензорная мера деформаций, описывающая
изменение деформаций при переходе тела из состояния q в состояние р
и соответствующая мере Грина (Go,i — тензорная мера Грина);
FQiP = Ф* р • Фд5р — тензорная мера деформаций, описывающая
изменение деформаций при переходе тела из состояния q в состояние р
и соответствующая мере Фингера (Род — тензорная мера Фингера);
г) Поэтому при разработке пакетов прикладных программ для задач
подобного типа желательно предусмотреть такую процедуру контроля (точ-
(точности и пригодности получаемых результатов).
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 295
Рт fn — плотность и массовая сила в n-м состоянии;
Дш,п — относительное изменение объема при переходе из т-ro в
п-е состояние;
°"о,п — тензор истинных напряжений, описывающий накопленные
в теле напряжения при переходе из начального в п-е состояние (при
п = 1 — тензор Коши);
п
Е0?п = A + До,п) сго,п — тензор обобщенных (полных для n-го со-
состояния) напряжений, определенный в координатном базисе n-го со-
состояния;
т
^о,п — тензор обобщенных (полных для n-го состояния) напряже-
напряжений, определенный в координатном базисе произвольного пг-го состо-
т п
яния: Е0,п = Ф*,т • ?о,п • Ъщш;
т т т
Лдр = Хо,р — TiQ^q — тензор обобщенных дополнительных напря-
напряжений, определенный в координатном базисе произвольного т-го со-
состояния;
к
Гп — граница тела в n-м состоянии в координатах к-го состояния;
к к
Nn — нормаль к Гп.
В табл. 4.2 приведены величины, характеризующие напряженно-
деформированное состояние при отсутствии наложения, и соответ-
соответствующие им величины при многократном наложении больших де-
деформаций. В этой таблице п — номер текущего состояния.
Таблица 4.2
Соответствие между величинами, характеризующими напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние при многократном наложении больших деформаций
и без него
Без наложения
При наложении
Ф
G
Go,n
F
Fo,n
0
Е
0
Ео,п
Е
п
Ео,п
А
А0,п
а
СО,п
0
Е
0
Ео,п
Отметим, что тензоры Ео,п и Х)о?п при т ф 0 и т ф п, а также
т т
тензоры Ер?п и Yip^n при рфОлрфппе имеют аналогов в «обычной»
нелинейной теории упругости.
4.4.2. Кинематика деформаций.
Векторные базисы. Будем различать N состояний тела [120, 122,
329, 331]:
начальное или естественное (ненапряженное) состояние, когда в
теле отсутствуют напряжения и деформации;
296 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
ЭД
Рис. 4.18. Схема перехода из (п — 1)-го в п-е и (п + 1)-е состояние
(N — 2) промежуточных состояний, в которые поочередно перехо-
переходит тело под влиянием внешних воздействий или из-за вязко-упру-
вязко-упругих процессов, происходящих в нем; при этом в теле накапливаются
(возникают) большие дополнительные деформации и напряжения,
которые накладываются на уже имеющиеся большие деформации и
напряжения;
конечное или текущее состояние, в которое тело переходит после
приложения к нему в заранее заданном порядке всех нагрузок, а в
случае вязкоупругих тел и к заданному моменту времени.
Под внешними нагрузками в дальнейшем понимается
— приложение массовых сил,
— приложение или удаление нагрузки, как по существующим гра-
границам областей, так и по вновь полученным после удаления или
добавления частей тела.
Так как процессы, происходящие в теле, являются упругими или
вязкоупругими, то существуют векторы перемещений ип(?к,?) из
предыдущего (п — 1)-го состояния в последующее n-е; здесь ? означа-
означают лагранжевы координаты частиц тела, приписанные частицам тела
в одном из состояний, t — время, an — номер состояния, в котором
находится частица. Радиус-векторы одной и той же частицы в каждом
состоянии обозначим через г(? , ?), в случае п = 0 г = г(? ).
Очевидно, что п п-i /, „ о ,ч
ип = г - г , D.4.2.1)
откуда п
nr = qT+ ^ иш. D.4.2.2)
m=q-\-l
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 297
Базисные векторы в каждом из состояний определяются следую-
следующим образом: п
p=q+l
Если при дифференцировании в D.4.2.3) векторов ир = uJp3j ис-
т
пользовать оазис э^, то получим
D.4.2.4)
q=n+l
Здесь и далее индекс над символом, кроме э^ иг, указывает номер
состояния, в координатном базисе которого вычисляется (или к ко-
которому относится) данная величина (причем индекс 0 соответствует
начальному состоянию, индекс N — конечному).
Отметим, что если переход из начального в первое промежуточное
состояние не зависит от времени, т. е. и\ = и\ (?fe), то все равно входя-
т
щие в D.4.2.4) ковариантные производные Viu{ (при т > 1) зависят
от времени через посредство символов Кристофеля [120, 131, 228].
Из D.4.2.4) следует, что базисные векторы в одном из состояний
можно задавать произвольно, а базисные векторы остальных GV — 1)
состояний определяются однозначно с помощью производных от пе-
перемещений.
Кроме лагранжевой системы координат, может быть введена сис-
система отсчета в общем случае с криволинейными координатами rf,
относительно которой рассматриваем движение частиц тела. Коор-
Координаты, занимаемые частицей в каждом из состояний, обозначим
через rf\ „. . .
rf = ti[?k,uJm(?p,t)] = fn(t ,t). D.4.2.5)
Координаты rf, занимаемые частицей в произвольный момент вре-
времени, можно принять в качестве лагранжевых. Уравнения D.4.2.5)
могут быть разрешены относительно ? в любой момент времени t =
€т = [/?а(т1,т)]-1, D.4.2.6)
т. е. между лагранжевыми координатами и координатами системы
отсчета существует в любой момент времени взаимно однозначное
соответствие; следовательно, в силу D.4.2.5) существует взаимно од-
однозначное соответствие и между координатами rf (п = 0, 1, ..., N)
системы отсчета, занимаемыми частицей в каждом из N состояний.
298 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
В силу вышеизложенного в дальнейшем все характеристики
напряженно-деформированного состояния можно в соответствии с
типом решаемой задачи считать зависящими либо от лагранжевых
координат и времени, либо от координат системы отсчета и времени.
Базисные векторы системы отсчета е^ в каждом из состояний по
определению вычисляются следующим образом:
дт]г
Базисные векторы системы отсчета е^ связаны с векторами э,,-
соотношениями . п.
е?- = —— Эо, э7- = -1- а. D.4.2.8)
Аффиноры деформаций. Соответствие меж:ду значениями dr, dr, ...
..., dr, ..., dr одного и того же элемента в разных состояниях уста-
устанавливается с помощью аффиноров деформаций:
dr = d r • '
dr = dr • Фо+1 • Фо+о • ... • Фю = dr • М/о „ (р >
Ф», т.е.
D.4.2.10)
Фд,р = э%, dr = dr-^ql. D.4.2.11)
Аффиноры деформации Фо,р могут быть представлены, как это
следует из D.4.2.5)-D.4.2.8), и как функции координат системы от-
отсчета. Аффиноры деформаций через градиенты векторов перемеще-
перемещений представляются с учетом D.4.2.3), D.4.2.4) и D.4.2.9)-D.4.2.11)
следующим образом:
р-1 р
Фр_1>р = Фр = / + V ир = (I - Vup)'1, D.4.2.12)
) D.4.2.13)
n=q+l
Отметим такж:е, что выражение для Фд,р мож:ет быть записано не
только в пространствах р-то и g-го состояний, но и любых других.
Тензоры деформаций. Ведем в рассмотрение тензоры деформаций.
В общем виде полуразность квадратов одного и того же элемента
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 299
частицы при ее последовательном переходе из q-ro в р-е состояние
определяется следующим образом:
d
... = dr -EqiP-dr, D.4.2.14)
причем из равенств D.4.2.14) и D.4.2.9)-D.4.2.11) следует, что
т 1
Ея,р = 2 (*-.? ' Фш)Р " Ф»,, • Ф^,,) (m<g, m<p), D.4.2.15)
| ,р ^Д ^ (g < m < p), D.4.2.16)
е9)Р = ± (*;Л • ф;:-1 - ф9";™ • *;«) («< ™, ? < «)• D.4.2.17)
Здесь Едр — тензор деформаций, характеризующий переход из
g-го в р-е состояние и определенный в координатном базисе т-го
состояния. В дальнейшем тензоры Ео,лг будем называть тензорами
полных деформаций, тензоры Еод — начальных деформаций, а тен-
тензоры Em?n (m ^ 0, п ^ 1, m < n) — соответствующих дополнительных
деформаций.
Учитывая, что Ф~? = Фр?д толсдества D.4.2.16), D.4.2.17) запишем
следующим образом:
Еър = \ (Фт>р • ^р - Фт>д • Ф^5д). D.4.2.18)
Из D.4.2.14)-D.4.2.17) или D.4.2.18) следует, что тензоры Ед?р,
определяемые в пространствах различных состояний, связаны так:
Ед>р = Фт,п.Ед>р.Ф^п. D.4.2.19)
Кроме того, из D.4.2.18) вытекает, что
ТП ТП ТП
Eq,p = EqJ + E/iP (q<f< p), D.4.2.20)
P
Ея,р= X) E"-1»"- D.4.2.21)
n=q+l
m
Таким образом, тензор полных деформаций Ео5дг, определенный
в пространстве m-го состояния, равен сумме тензора начальных де-
m m
формаций Еод и тензоров дополнительных деформаций En_i?n (n =
= 2, 3, ..., N). Из равенств D.4.2.19) следует, что ковариантные ком-
компоненты тензоров деформаций Ед?р, вычисляемые в различных коор-
координатных базисах эг, одинаковые.
300 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
В заключение этого пункта приведем выражения для тензоров
0 п
Ео,п и Ео,п? которые будут часто использоваться в дальнейшем:
Ео,„ = \ (*о,п • %,п - I), D.4.2.22)
Е0)„ = \ (I - Ф0"Д • Ф;-1). D.4.2.23)
Эти выражения являются очевидными частными случаями фор-
формул D.4.2.15), D.4.2.17) соответственно.
Представление тензоров деформаций через градиенты смещений.
Используя тождества D.4.2.13), D.4.2.15)-D.4.2.17), представим тен-
тензоры деформаций Eg?p через градиенты смещений:
[р р р
—^ 771 771 ^—^ ^—^ 771 771
U = q-\-l n = 77l+l J =771+1
(m<q<p), D.4.2.24)
n=ra+l ,7=771+1 ^
[P P
771 771
n=q-\-l n=ra+l j =7
m
Z Z ^uUjV\ (q<m<p), D.4.2.25)
n=q+lj=q+l I
[p mm
771 771
n=g+l
mm -i
- 22 22 ^un-UjV\ (q<p<m). D.4.2.26)
n=q+lj=q+l -I
771
Представление тензора деформаций Едр через градиенты сме-
смещений достаточно громоздко (соотношения D.4.2.24)—D.4.2.26)),
поэтому при постановке и решении задач может оказаться бо-
более удобным непосредственное использование формул D.4.2.13),
D.4.2.15)-D.4.2.17), из которых соотношения D.4.2.24)-D.4.2.26)
были выведены.
Приведем в качестве примера представление тензоров деформа-
2 2 2 2 2 2
ций Еод, Ei?2, Eq,2, Е2,з? Ei?3, Ео,з через соответствующие градиенты
смещений:
2 1 2 22 22 22 2
Ео,1 = - (Vizi +iaiV- Vtfci -tfciV - V^2 • iziV - Vizi • n2V), D.4.2.27)
2 i 2 2 2 2
(V + V V V) D.4.2.28)
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 301
i 2 2 2222 22
0,2 = - (V^i + Vu2 + игV + u2V + (V^i + Vi*2) • КV + i*2V)) =
= E0,i+Ei,2, D.4.2.29)
Е2,з = \ {^u3 + ti3V + V^3 • U3V), D.4.2.30)
2^2 22 22 2
E1?3 = - (Vu2 + u2V + Vu3 + u3V - Vu2 • u2V
D.4.2.31)
21
Е0,з = X
22 222222
- (Vizi + Vi^2)(^iV + u2V)] = E0,i + Ei,3 = E0,2 + E2,3 =
= E0,i+El52 + E2,3. D.4.2.32)
Соотношения D.4.2.27)-D.4.2.29) соответствуют однократному
наложению деформаций. Подчеркнутое выражение в соотношении
D.4.2.27) совпадает по структуре с представлением тензора Альманзи,
а соотношения D.4.2.28), D.4.2.30) — с представлением тензоров Аль-
Альманзи и Грина в базисе, отсчитываемом от метрики предварительно
напряженного состояния.
Из соотношений D.4.2.24)-D.4.2.26) следует, что во всех случа-
т
ях, кроме m = p, m = qis.p = q-\-l, тензоры Ед?р параметрически
т
зависят не только от градиентов ит, но и от \7ип (га ф п), и это
вызывает дополнительные трудности при постановке и решении задач
в координатных базисах «более поздних» состояний, так как тензоры
«более ранних» состояний, определяемые в базисах «более поздних»
состояний, зависят и от градиентов векторов смещений, описывающих
переход частицы в «более поздние» состояния. Для нашего примера
(соотношение D.4.2.27))
2 2 2 2 2 2
Другие тензорные характеристики деформаций. В дальнейшем
для описания деформации, накопленной при переходе из k-то в п-е
состояние, будут использоваться также тензоры
Gk,n = *fe>n • Ф?>п = I + 2Efc,n, D.4.2.33)
Fktn = Ф?)П • Ф*,п = G - 2Ек,п)~1- D.4.2.34)
При отсутствии наложения деформаций тензор G = Сод совпадает
с тензорной мерой деформаций Коши-Грина D.3.2.21), а тензор F =
= Fq5i совпадает с тензорной мерой деформаций Фингера D.3.2.28).
302 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Изменение элементарного объема и элементарной площадки при
деформации. Приведем соотношения для изменения элементарного
объема при деформации [120, 131]:
п
Щ^ = 1 + Am,n = det Фт>п. D.4.2.35)
dV
Используя формулу связи между инвариантами тензора [131], со-
соотношение D.4.2.35) можно записать в виде:
1 + Am,n = i (Ф? - 3^2 + 2Ф3), D.4.2.36)
где Ф* = Ф*>>п : I.
Из D.4.2.36) и D.4.2.13) следуют выражения для относительного
объемного расширения через градиенты векторов перемещения [120,
131]:
п 1 п 1 п п
1 + An,n+i = 1 + V • ип+1 + - (V • ип+1) - - V?in+i : V?xn+i +
in in n n i
g (V • un+1f - - (V • ?in+i)V?in+i : Vun+1 + -
D.4.2.37)
, n+l i n+1
1 = l- V -u + {V uJ
n+l i n+1
+ -{V -un+1)
l n+l n+l i n+l
- - V wn+i : V un+1 - - ( V • wn+i) +
1 П+1 П+1 П+1 1 П+1
+ 2 ( V • u»+i) V Vi • V ^n+i - з ( V г^п+1K : /. D.4.2.38)
Для нахождения объемного расширения может быть также ис-
использована формула [120, 126]
1 + Am,n = A + Ат,р) A + Др>п). D.4.2.39)
Приведем соотношение, связывающее площади элементарной ори-
ориентированной площадки в различных состояниях:
dSn = A + Afe,n) (N ¦ G^j, • Nf'2 dSk, D.4.2.40)
где dSn — площадь элементарной площадки в п-м состоянии; dSk —
к
площадь элементарной площадки в к-м состоянии; N — вектор еди-
единичной нормали к элементарной площадке в к-м состоянии.
п
Вектор единичной нормали к площадке в n-м состоянии N может
быть определен по формуле [120, 131]
N = {N • G^n • Л0~1/2Ф^ • N. D.4.2.41)
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 303
Соотношения D.4.2.40) и D.4.2.41) используются для записи гра-
граничных условий в координатах различных состояний [120, 126]. Часто
оказывается полезным и соотношение
V = Ъщк • V, D.4.2.42)
связывающее операторы градиента, определенные в различных ба-
базисах.
4.4.3. Представление определяющих соотношений для
упругого и несжимаемого вязкоупругого материала в про-
пространствах различных состояний.
Тензоры истинных и обобщенных напряжений (начальных, до-
дополнительных, полных). Обозначим тензор истинных напряжений
n-го состояния (т. е. напряжений, накопленных в теле при его переходе
из начального в n-е состояние и рассчитанных на единицу площади
этого состояния) обычным образом [120]:
Элементарная работа истинных напряжений вычисляется по фор-
формуле [120, 122]
<1А$1 = -Ъо,п:Уо,п<И, D.4.3.1)
где
Ёо,п = A + До,п)?о,п, D.4.3.2)
п-1
A + Д0)„) = JJ A + Am,m+i), D.4.3.3)
га=0
A + До,п) — кратность изменения объема частицы при ее переходе из
начального в n-е состояние (в дальнейшем при решении конкретных
задач используется именно кратность изменения объема); Am5m+i —
относительное изменение объема частицы при ее переходе из m-го в
п
(т + 1)-е состояние; Х)о,п — тензор обобщенных напряжений.
п п
Тензор Х)о,п совпадает с тензором истинных напряжений ao,n B
N
случае несжимаемого материала. При п = N тензор Х)о,лг будем назы-
п
вать тензором полных обобщенных напряжений (и вообще Х)о?п можно
рассматривать как тензор полных обобщенных напряжений для п-го
состояния).
Для изотропных материалов тождество D.4.3.1) приводится к
виду
dA$l = -Е0>п • (/ - Ж^пУ1 : Д),п = -Е0>п : dtfo,n, D.4.3.4)
где п л п
Но,„ = ~ 1п(/ - 2Е0)„). D.4.3.5)
304 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Из D.4.3.4) следует, что в случае рассмотрения тел из упругого
п п п
изотропного материала тензоры Ео,п • (I — ^о,п)~1 и ^о,п являют-
являются потенциальными. Обозначим потенциал напряжений через Ап =
п п п п п п
= Ап{Ек) = Ап(Нк) (здесь Efe = E0,nfe и Нк = #0>nfe (к = 1, 2, ...) -
п п
инварианты тензоров деформаций Ео,п и ^о,п, соответственно), тогда
^о,п - п • [J- ~ ^^o,nj - п • D.4.d.b)
^Ео,п дНо^п
Из соотношений A.1.11) и D.4.3.4) с учетом тождеств A.1.20),
A.1.41) можно получить следующее определение тензоров обобщен-
m
ных напряжений ?о,п> определяемых в координатных базисах раз-
различных состояний:
m n
^о,п = Ф;>т • S0,n • Ф„,т. D.4.3.7)
Из равенств D.4.3.7) и A.1.10) вытекает следующая связь между
тензорами обобщенных напряжений Ео,п (являющимися полными для
n-го состояния):
Ео,п = КТя1 ¦ Кп ¦ Фр,?- D.4.3.8)
Из соотношений D.4.3.8) видно, что контравариантные компонен-
m
ты тензоров Х)о,п (m = 0> • • • •> N) совпадают. Отметим, что тензоры
о
Ео5п такж:е являются потенциальными, так как выражение D.4.3.4)
может быть преобразовано к виду
г-\ ° °
W = -Ео,„ : dE0>n,
о
о о дАп(Е
к)
дАп(Ек)
а значит, существует потенциал ЛП(Е&) такой, что Е0,п = —^—-, где
0 0 0
Efe = E0,nfe — инварианты тензора Е0,п (например, алгебраические).
о
Если задан потенциал Ain(Ek), то может быть определен потен-
0 0п
циал A2n(Ek), и наоборот, так как инварианты тензоров Ео,п и Ео,п
связаны обычными соотношениями типа [120, 131, 228].
Тензоры обобщенных дополнительных напряжений введем сле-
следующим образом [120, 122]:
т т т
Е,,р = Е0,р - Ео,,. D.4.3.9)
Учитывая соотношения D.4.3.8), получим следующую связь меж-
между тензорами обобщенных дополнительных напряжений Sg5p, опреде-
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 305
ленными в пространствах различных состояний
т п
^р = ^ш,п ¦ ^р ¦ С (q<p)- D.4.3.10)
Последнее тождество является общим для всех значений n, m, р, q.
п
Тензоры Еод будем называть тензорами начальных обобщенных на-
напряжений, определяемыми в координатном базисе п-го состояния1).
Сжимаемый материал. Теперь рассмотрим случай, если задан не
п п О 0
потенциал, а зависимость Хо?п = /2(Ео,п) или ^o,n = /i(Eo,n)- Запись
определяющих соотношений в этом случае осуществляется с помощью
стандартной процедуры неэнергетического перехода [120]. Пусть, на-
например, задана зависимость
?0)П = ao(Ek)I + ?i(Efc)E0,n + a2(Efe)(E0,nJ. D.4.3.11)
Домножив ее слева на ^o,n> a справа на Фо,п и используя тожде-
тождества типа D.4.2.18), D.4.19): '
Е0,п = Фо,п • Ёо,„ • Ф2.п» %,п • фо,п = (I ~ 2Е0,п)-1,
получим
2о,„ = ao(Efe)(/ - 2Е0,„)-1+ oi(Efc)(/ - 2ЕОгП)~1 ¦ Е0,п ¦ (I - 2Eo,n)-4
+ a2(Efc)[G - 2Е0,„)-1 • E0,n]2 • (I - 2E,,,,,)-1. D.4.3.12)
0
Если в качестве инвариантов тензора Ео,п в зависимости D.4.3.11)
использовать его алгебраические инварианты, то, применяя соотно-
0 п q 0 п п
шения, описывающие связь Е& и Е&, мож:но заменить аДЕ^) на а^(Е&).
Кроме того, используя известное представление
(/ - гЕо.п)-1 = A - 2Ji + 4J2 - 8J3) х
х [A - 2Ji + 4J2)J + B - 4Ji)E0,n + 4(E0>nJ], D.4.3.13)
где n n n
()
Ji(E) = Ex, J2(E) = I (E? - E2) , J3(E) = i BE3 - 3EiE2 + E?),
) В дальнейшем в основном ограничимся рассмотрением изотропных
тел. И, как уже отмечалось выше, в этой книге не предполагаются новые
определяющие соотношения, а используются только предложенные ранее
(другими авторами), при этом их достоинства и недостатки не обсуж-
обсуждаются.
20 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
306 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
п п п
Е = Ео,п? Efe = Eo,n/c, Ji = Jи и теорему Гамильтона-Кэли, соотноше-
соотношения D.4.3.12) приводим к виду
п п п п п п п
?o,n = bo{Ek)I + 6i(Efc)E + 62(Efe)E2. D.4.3.14)
Более сложным является получение зависимости для тензоров
т
Ео,п, если заданы зависимости для тензоров обобщенных напряжений
0 ' п
?о,п или ^о,п? определенных в координатном базисе начального или
n-го состояния соответственно.
т
Получим определяющие соотношения для тензора Х)о,п обобщен-
обобщенных напряжений (полных для n-го состояния), определенного в ко-
координатном базисе m-го (произвольного) состояния, вначале для слу-
0
чая, когда задана зависимость D.4.3.11) для тензора 5]o,n5 a затем для
п
случая, когда задана зависимость D.4.3.14) для тензора Ео,п- Итак,
пусть задано следующее определяющее соотношение
?о,„ = ao(Ek)I + a!(Efe)Eo,n + a2(Ek)(E^nJ. D.4.3.15)
Домнож:ая его слева на ^o,m> а спРава на ^о,т и5 учитывая тож:-
дества D.4.2.18), D.4.2.19), D.4.3.7), получим
п 0 т т т
+ ai(Efc)(/ - 2Е0,™) • Ео,„ • (I - гЕо^) +
г, 0 т т т
+ a2(Ek)[(I - 2E0,m)-1 • E0,n]2 • (/ - 2E0,m)-1. D.4.3.16)
Чтобы привести соотношение D.4.3.16) к окончательному виду,
необходимо воспользоваться формулой D.4.3.13), а также заменить
О т
инварианты тензора Е0,п на совместные инварианты тензоров Е0?п и
т
Ео?т. Для этого воспользуемся тождеством D.4.2.18)
0 т
Е(),п = ^0,т ' Ео,п ' ^0,т'
Скалярно свернув его, получим
Е! = (I - 2Е0,™) : Е0)„, D.4.3.17)
о о
здесь Ei — первый алгебраический инвариант тензора Ео?п.
Далее, учитывая равенство D.4.3.13), соотношение D.4.3.17) мож-
можно записать так
О Ш/ ч т т mm
) + а2Е0,то : Ео,„ + a^\m : Ео,„, D.4.3.18)
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 307
771/ ч
где Oi{ = аДЕ^ ) — функции алгебраических инвариантов тензора
га
деформаций Ео,т.
Поступая аналогично изложенному, можно найти представление
о
для второго и третьего инварианта тензора Ео,п через совместные
тп га
инварианты тензоров Ео?т и Ео,п:
0 от( } О771 771 771 771
771 771 771 771 771 771
аз(Ео,га) • Ео,п : (Ео,т) • ^о,п + 2aia2Eo,m : (Ео,п) +
mm m m m m
>тJ : (Е0,„J + 2а2а3Е0,т • Е0,п : (Е0,тоJ • Е0,П) D.4.3.19)
0 / \ 771/ ч mm mm
Tpv^v т r?^~^' I m (~^? Th1 \ • In1 In1 I
-f- CK3[^H/05rnJ ' ^O,nJ • 4-^0,771,1 ' -^0,п ~r
7П m rn m m
+ 3a1a2Eo?m : (Eo,n) + 3aia2Eo,n : (Eo,m ' Eo,n) +
771 771 771 771
+ 3a2a2(E0,m • Ео,„) : [(E0,mJ • Е0,„]2 +
mm m m
+ За2аз(Е0,т • E0,n) : (E0?m) • E0,n +
771 771 771 771
+ 3a3a2(E0,mJ : (Е0,„K + 3aia§(E0)inL : (E0,nK +
771 771 771 771
+ 6aia2a3E0,m • E0,n : (E0,mJ • (E0,nJ. D.4.3.20)
771/ ч 771/ ч
В формулах D.4.3.17)-D.4.3.20) E^m; и E^n; — алгебраические ин-
771 771
варианты тензоров деформаций E0?m и Е0?п соответственно.
Таким образом, получили запись определяющих соотношений для
тензора обобщенных полных (для п-го состояния) напряжений, опре-
771
деленного в пространстве произвольного m-го состояния Ео,п? если
заданы определяющие соотношения D.4.3.11) для тензора обобщен-
обобщенных полных (для п-го состояния) напряжений, определенного в про-
0
странстве начального состояния Х)о,п-
Пусть теперь задана зависимость для тензора обобщенных полных
(для п-го состояния) напряжений, определенного в пространстве п-го
состояния
п п п п п п
?о,п = ao(Efc)/ + ai(Efe)E0,n + a2(Efe)(E0,nJ, D.4.3.21)
и снова требуется получить определяющие соотношения для тензора
га
обобщенных напряжений Ео,п? определенного в координатном базисе
m-го состояния.
20*
308 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Домножая соотношение D.4.3.21) слева на Ф^^, а справа на Ф^п
и, воспользовавшись тождествами D.4.2.18), D.4.2.19), D.4.3.7), по-
получим
т п п т
Ео,„ = ao(Efe)(/ + 2Em,n)-1 +
+ Si(Efc)(/ + 2Е™,,,)-1 • Ео,„ • (/ + 27Ет,п)-1 +
n т n т
+ a2(Efe)[(/ + 2ЕТО)П)-1 • Е0)П]2 • (/ + 2Ет,п)~1, D.4.3.22)
П П
здесь для простоты записи принято, что E0,nfe = Е^.
п п
Представление инвариантов Е& тензора деформаций Е0,п получа-
получаем аналогично D.4.3.18)-D.4.3.20). Оно имеет следующий вид:
Ei = АЕ^ + /32ЕТО)П : Е0)П + /33{Ет,пJ : Ео,„, D.4.3.23)
п т, ч т т т т
Е2 = /3fE?> + /322Em,n • Ео,„ : Em,n • Е0)П +
т т т т mm
+ /332(Em,nJ • Е0)П : (Em>nJ • Е0)П + 2/31/32ЕТО)П : (Е0,„J +
т т т т т т
,пJ : (Е0,„J + 2/32/33Ет,п • Ео,„ : (Ет,„J • Ео,„, D.4.3.24)
п т( ч mm mm
Е3 = ^E^n) + /323(Em,n • Е0)ПJ : Em,n • Е0)П +
т т т т
+ Рз [(Ет,п) ' Е0,п] : (Ет?п) • Е0,п + S
т тп m m тп m тп
+ 3/3i/32Eo,n : (Em?n • E0,n) + 3/32^3(Em?n • E0?n) : [(Em?n) • E0,n] +
m m m m m m
+ 3/32/?3(Em,n • Е0,„J : [(Em,nJ • Ео,„] + 3^/32(Em,nL : (E0,nK +
mm m m m m
+ 3/ад2(Ет)ПJ : (E0,nK + GfcfofoEn,» ¦ Ео,„ : (Em,nJ • (E0,nJ,
D.4.3.25)
m
здесь Pi = Ci(Eimink) — функции алгебраических инвариантов тензора
m
дополнительных деформаций Em?n, определяемого в координатном
базисе 771-го состояния. Функции f3i являются коэффициентами в раз-
разложении
тп m m
(I + 2Em,n) = fal + /32Em,n + /33(Em,nJ. D.4.3.26)
Таким образом, получили представления законов состояний для
тензора обобщенных (полных для n-го состояния) напряжений, опре-
m
деленного в координатном базисе произвольного m-го состояния Х)о,П5
п п 0 0
если заданы зависимости Е0,п = /(Е0,п) или Е0,п = /(Е0,п).
Следует отметить, что никаких ограничений на значение m не
накладывалось, т. е. значение m может быть как меньше значения п,
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 309
так и больше. Изменяются лишь щ и /%, входящие как коэффициен-
коэффициенты в разложения типа D.4.3.17). Из соотношения D.4.3.22)-D.4.3.25)
т
следует, что в этом случае тензор Е0,п обобщенных (полных для п-го
состояния) напряжений, определенный в координатном базисе произ-
произвольного т-го состояния, зависит не только от тензора деформаций
т т
Ео?п, но и от тензора дополнительных деформаций Em?n. Последнее
т
означает, в частности, что если п < т, то Ео,п параметрически зави-
зависят не только от градиентов векторов смещений г/i, ..., ип, но и от
градиентов векторов wn+i, ..., иш, и это вызывает дополнительные
трудности при постановке и решении задач в координатных базисах
«более поздних» состояний, так как тензоры обобщенных напряжений
т
?о,п Для «более ранних» состояний, определяемые в базисе «более
позднего» (m-го) состояния, зависят и от градиентов векторов смеще-
смещений, описывающих переход частицы в «более позднее» состояние. Но
такая постановка бывает вынужденной, если, например, граничные
условия заданы в «более позднем» состоянии.
Теперь осталось получить соотношения для ?о,п5 если задана зави-
т
симость для Х)о?п. Это требуется в тех случаях, когда задачу наиболее
удобно формулировать и решать в координатном базисе р-го состоя-
состояния, а определяющие соотношения заданы в координатном базисе т-
го состояния. Следует отметить, что, естественно, наибольшая труд-
трудность заключается не в получении этой зависимости в координатном
базисе того или иного состояния, а в формулировке определяющих
т
соотношений для тензора Х)о?а {сх. ф ть) (но это не является в данном
случае нашей задачей). В этом случае можно поступить следующим
m
образом: вначале получить соотношения для Х)о,п> используя проце-
процедуру, изложенную выше, затем постулировать эти соотношения для
о
?о,см и Уже потом получить зависимость для тензора обобщенных
m
напряжений ?о?а? используя ту же процедуру. А зависимость для
р m
тензора So,n? если задана зависимость для Х)о,п:
m m mm mm
?o,n = bol+ 6iE0,n+ ME0,nJ, D.4.3.27)
получается обычным образом с помощью процедуры неэнергетиче-
неэнергетического перехода. Домножаем зависимость D.4.3.27) слева на Ф^?р, а
справа на Фт?р {^ш]р = ^р,т) и> учитывая тождество типа D.4.3.27),
D.4.2.19), получаем
р т р т р р р
?о,п = ЬоA - 2Ет,р) + ЬгA - 2Ет,РГ1 • Е0>п • (I - 2Ет,р) +
т Р Л Р Р
+ Ъ2[A - 2Ет,р) • Е0,„]2 • (/ - 2Ет,РГ1. D.4.3.28)
310 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
т т т р
Замена hi = 6^(Eo5n, ) на скалярный коэффициент 6^ являющийся
р р
функцией совместных инвариантов тензоров Еш?р и Е0?п, осуществля-
осуществляется аналогично вышеизложенному (см. D.4.3.17)-D.4.3.26)). Опре-
Определяющие соотношения для тензоров дополнительных обобщенных
напряжений получаются с помощью принятого соотношения D.4.3.9):
Таким образом, мы получили определяющие соотношения для тен-
тензоров обобщенных напряжений в координатных базисах всех состоя-
состояний (если заданы определяющие соотношения в координатном базисе
одного произвольного состояния).
Несжимаемый материал. Как известно, определяющие соотноше-
соотношения для несжимаемого материала имеют следующий вид:
?о,п = Е0>п = Po,nI + aiE0,n + а2(ё0,пJ, D.4.3.29)
где ро,п — множитель Лагранжа, определяемый из уравнений крае-
краевой задачи с учетом условий несжимаемости [120] (которые в общем
случае представляют систему N уравнений)
До,» = 0, D.4.3.30)
п п
ai = ai(Efc) — функции двух первых инвариантов Е0,п, конкретный
вид которых определяется видом удельной потенциальной энергии
несжимаемого упругого тела. Для получения определяющих соотно-
т
шений для тензора Х)о,п обобщенных (полных для n-го состояния)
напряжений, определенного в координатном базисе произвольного
m-го состояния, при задании конкретного вида потенциальной энер-
энергии или определяющих соотношений для тензора ?o,n = ao,n будем
использовать, как и раньше, процедуру неэнергетического перехода
(естественно, возможно использование данной процедуры и при за-
k
дании определяющих соотношений для тензора Е0?п при любом к).
Рассмотрим это на конкретных примерах.
Вначале для тела Трелоара [16, 131]. В этом случае определяющие
соотношения для сго,п имеют следующий вид:
2о,п = Хю,„ = Ро,п1 + А„, D.4.3.31)
где
К,п = *S,n ' фо,п = (/ - 2Е0,п)-1. D.4.3.32)
1 1
При п = 1 тензор Fq,i = F — мера Фингера [131], а Еод — тензор
деформаций Альманзи.
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 311
Применяя процедуру неэнергетического перехода, получим
?о,п-Ро,п(/ + 2о;Ет)П) +/i(/-2E0>m) , D.4.3.33)
а = sign(m — п).
Отметим, что при т > п меняется порядок нижних индексов в
т т
записи Em?n, входящем в первое слагаемое (т.е. формально Em?n =
т
= -En,m).
При использовании потенциала Бартенева—Хазановича [16, 120]
соотношение D.4.3.29) запишется так
?о,п = S0>n = Po,nI + 2ii(I - 2Е0,„)-1/2, D.4.3.34)
m
а определяющие соотношения для тензора Ео,п примут в этом случае
следующий вид:
п) +
• (/ - 2Ф-1П • Ео,„ • Ф^)/2 • Ф-|П, D.4.3.35)
здесь по-прелснему а = sign(m — п).
Если использовать потенциал Муни [131], соотношения D.4.3.29)
имеют вид
?о,п = ?о,„ =Po,nI + 2[(Ci +C2Fo>ni)^o,n - C2(F0,nJ], D.4.3.36)
и, следовательно, определяющие соотношения для тензора Х)о,п запи-
запишутся следующим образом:
т т т
?o,n = Po,n(I + 2aEm,n)-1 + ai(/ - 2E0,m) +
+ a2(/ - 2E0,m)-1 • (/ + 2aEm,n)-1 • (/ - 2E0,m)-\ D.4.3.37)
где
m
oi = 2Gi + 2C2(/ - 2Фт,п • E0,m • Ф^Г1 : /, a2 = -2C2.
Если использовать потенциал [131]
A = /i[(l + /3)(Ai + Л2 + Лз - 3) + A - /?)(A^ + X^1 + A3-1 - 3)],
D.4.3.38)
где Xi — главные кратности удлинения, то определяющие соотноше-
соотношения для тензора истинных напряжений запишутся следующим об-
образом:
2о,„ = Ро,п1 + МA + т - 2Ё0,п)-1/2 - цA - 0){1 - 2Е0>пI/2,
312 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
и, значит, определяющие соотношения для тензора обобщенных на-
нага
пряжений Е0?п будут
п ' (I ~ 2Ф^„ • Е0,„ • Ф^Г1/2 • Ф^!„ -
^п ¦ (I - 2*-]п ¦ Ео,„ • Ф^I/2 • *-]п. D.4.3.39)
В соотношениях D.4.3.31)-D.4.3.39) /i, Ci, C2, /5 — скалярные
механические параметры материала.
Отметим в заключение, что при решении задач наложения боль-
больших деформаций для тел из несжимаемого материала необходимо
записать все N условий D.4.3.30) в пространстве одного состояния.
Для этого можно использовать тождества
<tet(*oj.) = A + Ло,пГ\ D.4.3.40)
det*m,n = (l + Am,n), D.4.3.41)
а также тождества D.4.2.18), D.4.2.19).
Например, для случая нагружения тела в два этапа (N = 2, т = 1)
условия D.4.3.40), D.4.3.41) примут вид [120]
A + ДодГ1 = 1 - V • «1 - |v«i : «iV + \ (V • miJ -
- \ (V • игK + \ (V • Ul)(Vui : «iV) - i
1 I 1 1^1
i,2) = 1 + V • u2 - - Vu2 : u2V + - (V • u2J +
+ I (V • м2K - | (V • H2)(V«2 : M2V) + | [(Vm2J : «2V],
Несжимаемый вязкоупругий материал. Учитывая громоздкость
определяющих соотношений для тел из вязкоупругого материала,
га
рассмотрим получение этих соотношений для тензора Ео,п обобщен-
обобщенных (полных для n-го состояния) напряжений, определенного в ко-
координатном базисе произвольного m-го состояния, для случая, когда
они заданы следующим образом [2, 8, 120]:
- I GiGoj.) +po,nGo,J.» D.4.3.42)
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 313
ГД6 г-1 - ф*-1 vi/-1
G0,n - W0,n ' W0,n>
О
(напомним, что при п = 1 тензор Еод — энергетический тензор на-
напряжений, Go,i — тензор меры Коши-Грина); Gi = Go,n : 1\ Ро,п —
скаляр (множитель Лагранжа, определяемый из уравнений краевой
задачи с учетом условий несжимаемости); Д — оператор релаксации:
= /i0 lp(t) ~fl(t- тМт^т]. D.4.3.43)
Соотношения D.4.3.42) получены [2] на основании эксперимен-
экспериментальных исследований, проведенных при конечных деформациях для
ядер ползучести и релаксации ряда полимерных и резиноподобных
материалов (например, материала, выполненного на основе полидие-
нэпоксиуретана).
Используя процедуру неэнергетического перехода, получим СЛе-
дующие определяющие соотношения для тензора ?о,п обобщенных
(полных для п-го состояния) напряжений, определенного в коорди-
координатном базисе произвольного m-го состояния:
\ G*C (J + 2E)-1 Ф"
771
-Po,n(I + 2Em>n(t))-1. D.4.3.44)
Таким образом, в этом пункте мы рассмотрели процедуру для
записи определяющих соотношений для тензора обобщенных напря-
т
жений Е0?п в координатах любого состояния, если заранее заданы
определяющие соотношения для тензора обобщенных напряжений в
координатном базисе одного из состояний (для тел из вязкоупругого
материала, как правило, начального (ненапряженного) состоянияI).
Отметим еще раз, что тензоры дополнительных напряжений опре-
определяются следующим образом:
т т т
^q,P = ?0,р - ^o,q- D.4.3.45)
АЛЛ. Уравнения движения и граничные условия.
Уравнения движения. При выводе уравнений движения (равнове-
(равновесия) в координатном базисе произвольного m-го состояния для ча-
частицы, находящейся в п-м состоянии, т. е. обладающей полными (для
п-го состояния) напряжениями, используем то, что представление
уравнения движения для этой частицы в координатном базисе п-го
г) Определяющие соотношения для различных типов вязкоупругих ма-
материалов приведены, например, в [2, 7, 8, 116, 120, 210, 357].
314 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
состояния Э{ имеет следующий вид
п п п п
V • сго,п + PnFn = Рпап, D.4.4.1)
где ао,п — тензор соответствующих полных истинных напряжений;
рп, г п, ап — плотность, массовая сила и ускорение частицы в п-м
состоянии (отнесенные к n-му состоянию).
Используя тождества A.1.10), A.1.11), A.1.22), D.4.2.18),
D.4.2.19), A.2.2), A.2.3), A.2.7) и введя обозначения
т п
г п — г п 4/mn, dn — dn • 4/rnn, ^4.4.4.ZJ
уравнение движения D.4.4.1) можно преобразовать в общем случае к
виду
т т т т mm
V • Е0>п - E0,n • Vln(l + Д0>п) + E0,n : |
m m m m
~ (V • ^n) ' *m,n ' Eo,n + FnPrn(l + A0,m) = anpm(l + A0,m).
D.4.4.3)
Здесь учтено также, что
Pg = A + Л9,р)Рр (Q <P)-
Уравнение D.4.4.3) мож:но называть, следуя терминологии работ
т
[120], уравнением движения (статики) для тензора Х)о?п обобщенных
(полных для n-го состояния) напряж:ений, определенного в коорди-
координатном базисе произвольного m-го состояния.
Для получения уравнений движения (статики) для тензоров обоб-
т
щенных дополнительных напряжений Y,q p используем тождество
D.4.3.45)
т т
Заменяя в уравнении D.4.4.3) последовательно пнарид, получим
т т т
V • ?о,р - ?о,Р • VIn(l
т т т т
- (V • Ф„"р) • *™,р • ?о,Р + FpPm(l + Д0>т) = арРт{1 + Д0,то),
D.4.4.4)
т т т т mm
V • E0>g - S0,9 • Vln(l + Д0>д) !
т т т т mm
т т
>д)
m m
m m m m
~ (V • Ъ*^) • Ф^,д • S0,g + FqPm{l + A0,m) = agpm(l + A0,m).
D.4.4.5)
Затем, вычитая из уравнения D.4.4.4) уравнение D.4.4.5), получим
уравнение движения (статики) для тензора обобщенных дополнитель-
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 315
ных напряжений Х^:
т т т т mm
V • Х^р - Х^р • V 1пA + А0,д) - Х0,р • V
т. т. т ГП
т т
т т mm
+ (Fp - Fq)Pm{l + A0,m) = (ap - aq)Pm{l + A0>m). D.4.4.6)
Учитывая некоторую громоздкость представления в общем виде
уравнений движения (статики) D.4.4.3)-D.4.4.6), приведем в качестве
примера запись этих уравнений в пространствах первого промежу-
промежуточного, второго промежу точного и конечного состояний для случая
нагружения тела в три этапа. Положив вначале га = 1 и п = 1, 2, 3,
из уравнения движения (статики) D.4.4.3) получим следующие урав-
111
нения равновесия для тензоров Ход, Xq,25 Хо,з в координатном базисе
первого промежу точного состояния:
liii 1
V • ХОд - ХОд • Vln(l + АОд) + F1p1(l + АОд) = О,
liii 11
V • Х0,2 — Х0?2 • Vln(l + А0,2) + Xq,2 : (V^i52) • ФГ2 ""
- (V • Ф^1) • ф1,2 • Х0,2 + F2pi{l + АОд) = О,
1111 11
V • Х0,з - Х0,з • Vln(l + Ао,з) + Хо,з : (V^i,3) • Ф^з ~
- (V • Ф^1) ' ф1,з • ^о,з + ^3pi(l + АОд) = 0.
Полож:ив в уравнении D.4.4.3) га = 2 и п = 1, 2, 3, получим урав-
2 2 2
нения равновесия для тензоров Ход, Xq,25 Хо,з в координатном базисе
второго промежу точного состояния:
2
V
2
V
2
2
• Хо,з
2
2
V-
2
-So
д.
2
So
,3 •
2
V
,2
2
V
ln(l +
2
~~ Хо,2
1пA +
Ao,iL
2
-(V-
•Vln(l
Ао,з) -i
2
2
-So,
! :
)•
3 :
2
(Х^Ф
^* — 1
2
(УФ2
2
• so,i
2/92A
,з)-«
'1,2-
2
+ FlP2(
+ А0,2)
1 + Ао
,2)
= о,
- (V • Щ^1) • ^2,з • ^о,з + ^зр2A + А0>2) = 0.
316 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Наконец, положив в уравнении D.4.4.3) m = 3 и п = 1, 2, 3, полу-
3 3 2
чим уравнения равновесия для тензоров ПОд, ^о,2, ^о,з в координат-
координатном базисе конечного состояния:
о о о О 3 3
V • Под - Под • Vln(l + ДОд) + Под : (V*]J) • *i,3 -
3 3 3
- (V • Ф1>3) • Ф^з1 ' ^о,1 + FlP3(l + Д0>3) = 0,
3 3 3 3 3 3
V • П0,2 - По,2 • Vln(l + Д0,2) + П0,2 : (V^253) • ^2,з -
3 3 3
— (V • Ф? з) ' ^2 з ' ^о,2 + ^2РзA + Ао,з) = 0,
3 3 3 3 3
V • По5з — По?з " v ш(Д -|- До,з) ~Ь -г зРз(Д ~Ь До,з) ~~ ^*
Граничные условия. Сформулируем теперь представление гранич-
т
ных условий для тензора По,п обобщенных (полных для n-го со-
состояния) напряж:ений, определенного в координатном базисе произ-
произвольного m-го состояния. Как и при выводе уравнений движения,
используем тот факт, что граничные условия для тензора истинных
напряжении сго,га> записанные в координатном оазисе m-го состояния,
имеют обычный вид
?-?o™ = PLm), D.4.4.7)
здесь п — нормаль; Рут J — вектор истинных напряжении на площад-
п
т rn, m,
ке do = п|ао|. При выводе представления граничных условии для
q
тензора По?т обобщенных (полных для m-го состояния) напряжений,
определенного в координатном базисе произвольного g-го состояния,
мы используем тождества
П0,ш = A + Д0,т)^0,т, D.4.4.8)
d!o = A + Д0,т)с$ • Ф^' D.4.4.9)
771 Q 1
do = A + Aq^do • Ф*^. D.4.4.10)
В тождествах D.4.4.9), D.4.4.10) do, do, ..., do — векторные зна-
значения одной и той же элементарной площадки в начальном, проме-
промежуточных и конечном состояниях.
Учитывая тождества D.4.4.9), D.4.4.10), преобразуем выраже-
выражение D.4.4.7) к виду
™-Ho,m = Q(tT\ D.4.4.11)
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 317
где q
Qq = A + A0,gj —— Fm '^m,g- D.4.4.12)
n |do| n
Для записи граничных условий для тензоров обобщенных допол-
т
нительных напряжений Sa,/3 воспользуемся соотношением D.4.3.45):
т т т
Ъа,р = Е0)/3 - ?0,а (а < /3).
Подставляя в D.4.4.11) вместо т последовательно C и а, имеем
n-S0,/3 = Q(/), D.4.4.13)
п-1!о,а = ^а). D.4.4.14)
Вычитая из выражения D.4.4.13) выражение D.4.4.14), получим
Чп-к,, = Ь(Р-Ь(:]=Ь(^\ D.4.4.15)
П П П
где
Л(°Э) Л С3) i М°1 («) Л М 4 4 16)
D.4.4.1b)
В соотношениях D.4.4.13)-D.4.4.16) Ргг — вектор истинных внеш-
п
них усилий в г-м состоянии, прилож:енных к единице граничной по-
поверхности.
Как и раньше, учитывая некоторую громоздкость в общем виде
представления граничных условий D.4.4.11), D.4.4.15), приведем в
качестве примера запись этих условий для случая нагружения тела
в три этапа. Вначале, положив q = 1 и т = 1,2,3, из граничных
условий D.4.4.11), D.4.4.12) получим следующее представление гра-
111
ничных условий для тензоров Под, So,2? ^о,з в координатном базисе
первого промежуточного состояния:
), А-Е0,з=дA3),
где
Q?> = A + Дод) l4 PB2) ' «1,2, &S) = A + Аод) 4 Р(з3) • *i
I do
\do\
Положив теперь в граничных условиях D.4.4.11), D.4.4.12) q = 2
и m = 1, 2, 3, получим представление граничных условий для тензо-
2 2 2
ров Еод, 5]о,25 ^о,з в координатном базисе второго промежуточного
318 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
состояния:
где
п • Еод = Q2 ? ^ '
= A + А0J)^РA1).Ф1-1,
\do\ n
2 - _Л(з)
ЦР2 5
' ^2,3-
И, наконец, положив в граничных условиях D.4.4.11), D.4.4.12)
g = 3 и m = 1, 2, 3, получим представление граничных условий для
ззз
тензоров ЕОд, ^о,2, ^о,з в координатном базисе конечного состояния:
h?\ B) C)
где
з /
Д ^ \do\
\do\
Теперь молено перейти к постановке граничных задач теории мно-
многократного наложения больших деформаций в телах из упругого и
вязкоупругого материала, в частности, задач, в которых при нагруже-
нии неоднократно изменяется связность области, занимаемой телом.
4.4.5. О постановке граничных задач многократного на-
наложения больших деформаций в телах из упругого и вяз-
вязкоупругого материала. Уравнения равновесия D.4.4.3), D.4.4.6),
граничные условия D.4.4.11) и D.4.4.15), определяющие соотношения
типа D.4.3.6), D.4.3.11), D.4.3.27), D.4.3.29) или D.4.3.42), D.4.3.44),
D.4.3.45) с учетом кинематических соотношений D.4.2.19), D.4.2.24)-
D.4.2.26) и формул типа D.4.3.9), D.4.3.10) представляют замкнутую
систему уравнений в перемещениях при задании на границе напря-
напряжений.
При решении задач данного типа уравнение границы может быть
задано в пространствах различных состояний; может быть задано и
изменение (в том числе и дискретное) формы границы или граничных
условий при нагружении. Кроме того, изменение формы границы
может быть задано как многократное изменение при нагружении тела
связности области, им занимаемой, что особенно интересно в задачах
прочности, например, в задаче о вязком росте трещины.
Действительно, пусть некоторое тело перешло из начального в
первое промежуточное состояние и приобрело большие начальные
деформации. Затем в теле мысленно намечаем некоторую замкнутую
поверхность и удаляем часть тела, ограниченную этой поверхностью.
Действие удаленной части тела на оставшуюся часть заменяем (по
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 319
принципу освобождаемое™ от связей) силами, распределенными по
этой поверхности. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних,
«мгновенно» изменяем на большую величину, например, уменьшаем
до нуля (под термином «мгновенно изменяем» не следует понимать,
что данное приложение (снятие) нагрузок приводит к деформирова-
деформированию тела в динамическом режиме [116, 120]). Тело, приобретая (теряя)
большие дополнительные деформации и напряжения (по крайней ме-
мере в окрестности вновь образованной граничной поверхности), пере-
переходит во второе промежуточное состояние. Такое нагружение можно
продолжить и дальше. Причем для тела из вязкоупругого материала
будет иметь значение, в какие моменты времени образуются после-
последующие отверстия, так как если разность гп — тп-\ (где тп — момент
образования отверстия) недостаточна для развития в теле больших
вязкоупругих деформаций, то следует рассматривать процесс мно-
многократного наложения малых вязкоупругих деформаций на большие
упругие.
Отметим, что в задачах такого типа форма границы всех об-
образуемых концентраторов напряжений и граничные условия могут
быть заданы (известны) либо в одном и том же состоянии, либо в
различных состояниях. И это, естественно, обуславливает математи-
математическую постановку задачи. Ряд конкретных случаев, позволяющих,
например, ставить и решать в случае конечных деформаций задачи о
вязком росте трещин в упругом или вязкоупругом теле, мы достаточ-
достаточно подробно рассмотрим далее. Здесь для наглядности рассмотрим
наиболее «простой» случай, когда форма границы известна (задана)
в одном из состояний, и нагружение тела происходит в два этапа. В
этом случае возможны следующие варианты постановки задачи.
Если задана форма границы в начальном состоянии, то после при-
приложения начальных усилий определяем поле начальных деформаций
и форму границы в первом промежуточном состоянии. Далее, прикла-
прикладывая дополнительные внешние усилия в заданный момент времени
(для вязкоупругого тела), определяем поля больших дополнительных
деформаций и форму границы в конечном состоянии. Система урав-
уравнений равновесия D.4.4.3) с граничными условиями D.4.4.11) в этом
случае запишется следующим образом 1):
0 0
V • Еод
0
- ?o,i
0
1 + Аод)
0
-(V
0
n
0
' ?o,i
0
= Qo >
n
) • *o"j -
^ 1 _ 771 n
JQ 1 T РО-Г 1 ^5
D.4.5.1)
D.4.5.2)
г) Приводимые ниже соотношения в несколько ином виде были получе-
получены Г.С. Тарасьевым.
320 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
оооо оо
V • Е0,2 - ?0,2 ' Vln(l + Д0,2) + Е0,2 : (УФ0,2) • Фо~,2 -
0 0 0
- (V • Ф^1) • Ф2>2 • ^о,2 + Ро^2 = 0, D.4.5.3)
о о о ,9ч
n-E0,2 = Q(o). D.4.5.4)
п
Видим, что независимо от того, в каком состоянии заданы опреде-
определяющие соотношения, уравнения равновесия D.4.5.1) с граничными
условиями D.4.5.2) зависят только от градиентов вектора izi, а это
значит, что наша система уравнений D.4.5.1)—D.4.5.4) «распадается».
При задании формы границы в первом промежуточном состоянии
ранее рассмотренный алгоритм решения сохранится. То есть: после
приложения начальных усилий определяем поле начальных дефор-
деформаций и форму границы в начальном состоянии (если это требуется).
Далее, прикладывая дополнительные внешние усилия в заданный мо-
момент времени (для вязкоупругого тела), определяем поля больших до-
дополнительных деформаций и форму границы в конечном состоянии.
Система уравнений равновесия D.4.4.3) с граничными условия-
условиями D.4.4.11) в этом случае запишется так:
liii 1
V-E0,i -Ео>1 • Vln(l + A0,i) + Fipi(l + ДОд) = 0, D.4.5.5)
п • ЕОд = A + Дод^Л D.4.5.6)
п
1111 11
V • Е0,2 - ?0,2 ' Vln(l + Д0,2) + Е0,2 : (V^i,2) • Ф^ -
- (V • Ф^г1) ' ф1,2 • ^о,2 + F2pi(l + Дод) = 0, D.4.5.7)
гс-Е0,2 = Qi2). D.4.5.8)
п
Видим, что и в этом случае, независимо от того, в каком состоянии
заданы определяющие соотношения, уравнения равновесия D.4.5.5) с
граничными условиями D.4.5.6) зависят только от градиентов век-
вектора ixi, а это значит, что наша система уравнений D.4.5.5)—D.4.5.8)
«распадается». Отметим, что кроме этих случаев постановки задач,
системы уравнений равновесия D.4.4.3) не «распадаются». Это видно
уже и из рассматриваемого нами третьего случая.
При задании формы границы в конечном состоянии ранее рассмот-
рассмотренный алгоритм решения не подходит, так как система уравнений
равновесия D.4.4.3) с граничными условиями D.4.4.11) в этом случае
примет вид
V • Ео,1 - Ео,1 • Vln(l + ДОд) + Ео,1 : ^
- [(V • Ф1>2) • Ф^Ч ' ?o,i + FlP2(l + Д0,2) = 0, D.4.5.9)
4-4- Соотношения теории многократного наложения деформаций 321
п-^о,1=Я1п\ D.4.5.10)
V • 20,2 - ?о,2 • V 1пA + А0,2) + Р2^2 = 0, D.4.5.11)
п-Ео,2 = A + Ао,2)Рп, D.4.5.12)
здесь Qi. ' = A + До,2) —[^ Рп ' ^Г,2- -^ примере для наглядности вме-
\do\
сто индекса «2» над символом использован индекс «^», а также учте-
учтено, как и раньше, что
Pl = A + Al,2)p2, po = A + Д0,1)Р1 = A + ^0,2)^2,
A + Д0>2) = A + A0,i) A + Ai,2), ^o,2 = Фод • *i,2-
Видим, что в этом случае, независимо от того, в каком состоянии
заданы определяющие соотношения, уравнения равновесия D.4.5.9)
с граничными условиями D.4.5.10) зависят не только от градиентов
векторов izi, но и от градиентов вектора г^, а это значит, что наша
система уравнений D.4.5.9)-D.4.5.12) не «распадается».
Из этого, в частности, следует, что стандартные пакеты для реше-
решения задач нелинейной теории упругости и вязкоупругости не подходят
для решения задач такого типа, далее в случае нагружения тела в два
этапа (однократного наложения больших деформаций).
Отметим также, что в общем случае при задании формы границы
в одном из промежуточных состояний (n-м состоянии) при п > 1 реше-
решение задачи наталкивается на значительные (как и в последнем при-
примере) трудности, так как определяющие соотношения для тензоров
т
обобщенных напряжений Х)о?п типа D.4.3.22) или D.4.3.44), уравнения
движения (или равновесия) D.4.4.3) и граничные условия D.4.4.11),
т
сформулированные для тензора 5]о,п> зависят от аффиноров дефор-
деформации Фт?п, а это значит, что система уравнений D.4.4.3) не «распа-
«распадается».
Наибольшие трудности указанного характера возникают при ре-
решении задач в координатах конечного состояния. Но постановка и
решение задач в этом состоянии порой необходимы, например, для
случая последовательного образования концентраторов напряжений
в предварительно напряженном теле с большими начальными де-
деформациями, когда требуется, чтобы в конечном состоянии (или в
заданный момент времени для тела из вязкоупругого материала) все
концентраторы имели заданную форму, т. е. необходимо определить
форму каждого концентратора в момент его образования.
Как уже отмечалось, в рамках данной теории возможно рассмот-
рассмотрение задач, в которых граничные условия задаются в различных
состояниях. Например, в задаче о последовательном образовании
концентраторов напряжений в предварительно напряженном теле с
21 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
322 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
большими начальными деформациями, форма каждого концентрато-
концентратора напряжений может быть задана сразу после его образования или
(подчеркнем, что это другая задача) в момент образования. Возможно
задание граничных условий и в перемещениях в координатах любого
из состояний или задание смешанных граничных условий1).
И в заключении еще раз отметим существенный момент, связан-
связанный с решением конкретных задач. Из приведенных вариантов поста-
постановки задачи видна важная особенность задач теории многократного
наложения больших деформаций: для того, чтобы найти решение
задачи для n-го состояния в координатах k-го состояния, необходимо
знать векторы перемещений щ, г^, • • • •> и^ из начального в первое, из
первого во второе, ..., из (к — 1)-го в к-е состояние (или, по крайней
мере, сумму этих векторов), причем эти векторы (или их сумма)
должны быть известны, как функция радиус вектора г.
В связи с этим решение задач теории многократного наложения
больших деформаций более сложно, чем решение «обычных» задач
нелинейной упругости или вязкоупругости при больших деформа-
деформациях, и не может быть найдено с помощью «стандартных» пакетов
прикладных программ, при разработке которых не учитывается ука-
указанная особенность (т. е. не учитывается возможность решения не
одного, а нескольких векторных уравнений равновесия).
4.5. О «физическом разрезе», привнесенном
в предварительно нагруженное упругое тело
Как уже отмечалось, одной из основных компонент решения зада-
задачи теории разрушения является определение напряжений у вершины
трещины. Существуют два подхода к решению этой задачи, когда
необходим учет конечности деформаций [5, 120, 121, 204, 216, 230,
268, 269]. Первый, когда считается, что в теле есть математический
разрез и используется соответствующая аппроксимация, например в
[5, 216, 230, 268]. При этом подходе во многом используется мате-
математический аппарат, разработанный для случая малых деформаций.
И второй подход, рассмотренный еще, например в [268], когда все
граничные условия считаются заданными на границе трещины в ко-
конечном состоянии. Следующим шагом в изучении этой проблемы яв-
является решение задачи о трещине, которая возникает в предваритель-
предварительно нагруженном теле, и ее возникновение ведет к появлению в теле
1) Отметим (хотя это и не используется в данной книге), что полученные
соотношения могут быть использованы при решении задач устойчивости,
когда потеря устойчивости может происходить на любом этапе нагружения.
Ясно, что момент потери устойчивости зависит от того, в каком порядке
задана последовательность изменения границ и граничных условий. А в
сочетании с задачей прочности и от выбранного критерия прочности.
4-5. О «физическом разрезе», привнесенном в упругое тело 323
(рассматриваемом как сплошная среда) новых больших деформаций
и напряжений, которые накладываются1) на уже имеющиеся в теле
большие деформации и напряжения. Причем из-за наличия в теле
больших начальных деформаций, «толщина» привнесенного в тело
повреждения, принявшего в конечном состоянии, например, форму
узкой щели, в момент образования может быть значительно меньше
характерного размера повреждения («длины»). Причем в ряде случа-
случаев настолько меньше, что можно говорить о разрыве «сил сцепления»
с точки зрения физической микромолекулярной модели [121, 268] по
всей длине повреждения (т. е. говорить об образовании «физического
разреза» [120, 121]).
В инженерной практике такая проблема возникает, например:
— при кавитации (внезапном образование полостей) в изделиях из
резины [295, 319]. Это явление может быть вызвано как приложением
внешних растягивающих нагрузок, так и другими причинами, напри-
например, испарением содержащейся в резине влаги под действием высоких
температур или термодеструкцией. Отметим, что термодеструкция
может быть причиной образования пор и в других материалах [319].
— при возникновении субмикротрещин при нагружении полимер-
полимерных материалов [217, 243]. Там же отмечено, что, несмотря на очень
малые размеры субмикротрещин (порядка 10~7-10~8 м), их можно
рассматривать как концентраторы напряжений, в определенной сте-
степени подобные макроскопическим полостям. Правомерность такого
подхода подтверждается, в частности, тем, что он позволяет объяс-
объяснить ряд эффектов, возникающих при разрушении тонких полимер-
полимерных пленок и волокон [15, 17, 267].
Рассмотрим данную задачу для плоского случая в рамках теории
многократного наложения больших деформаций [120]. Укрупненная
постановка задачи приведена в п. 4.4.5. Повторим ее здесь еще раз.
Пусть в нелинейно-упругом теле, находящемся в начальном состоя-
состоянии, под воздействием внешних усилий возникли большие плоские
статические деформации и напряжения. Тело перешло в первое про-
промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается за-
замкнутая поверхность, и часть тела, ограниченная этой поверхностью,
удаляется, а ее действие на оставшуюся часть заменяется по принципу
освобождаемое™ от связей силами, распределенными по этой поверх-
поверхности. Далее эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатиче-
ски (например, изотермически) уменьшаются до нуля. Это вызывает
возникновение больших (по крайней мере, в окрестности граничной
поверхности) деформаций и напряжений, которые накладываются на
большие уже имеющиеся в теле (начальные) деформации и напряже-
напряжения. Тело перешло в конечное состояние. Естественно, изменилась и
форма образованной граничной поверхности (форма контура повре-
) «Физически накладываются»
21*
324 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
ждения), причем в нашем случае, она считается заданной (известной)
в конечном состоянии.
Основные соотношения, описывающие постановку задачи для ма-
материала Трелоара, следующие. Уравнения равновесия и граничные
условия (они уже были приведены ранее D.4.5.9)—D.4.5.12), повторим
их здесь):
V • Ео,1 - E0,i • Vln(l + A0,i) + Йод ^
- [(V • Ф1>2) • Ф^1] • ?од + FlP2(l + А0,2) = 0, D.4.5.9)
n.E0,i=Qi1), D.4.5.10)
V • Е0,2 - §о,2 • V In A + Д0>2) + P2F2 = 0, D.4.5.11)
п-Ео,2 = A + Ао,2)Рп, D.4.5.12)
Определяющие соотношения можно получить из соотношений
D.4.3.30), D.4.3.31), D.4.3.33) при т = 1, п = 2. Кинематические мож-
можно получить из соотношений D.4.2.22), D.4.2.24)-D.4.2.26).
Приведем теперь некоторые результаты решения задачи (в выше
указанной постановке) о привнесении в предварительно нагруженное
тело из материала Трелоара D.4.3.31) повреждения, принявшего в
конечном состоянии форму узкой щели с осями а и Ъ. Для случая
начального одноосного растяжения 0"одп = 0> аод22 = ^,0060415 /х при
а/Ъ = 248 (коэффициенты конформного отображения С\ = 0,988, Сз =
= —0,004) имеем h = 0,21 • 10~5/. Здесь h — максимальное расстояние
между берегами повреждения (трещины) в момент его образования в
предварительно нагруженном теле, а / — длина (характерный размер
повреждения) в момент образования повреждения (трещины). При
этом в носике повреждения его,2^ = 1,28/i. Отметим, что, например,
при / = 0,3 мм, можно говорить о надмолекулярном размере /г, а
значит и о возможном (принудительном) разрыве «сил сцепления»
по всей длине / повреждения, а не об удалении части материала. То
есть из-за наличия в теле больших начальных деформаций h «тол-
«толщина» привнесенного в предварительно нагруженное тело поврежде-
повреждения, принявшего в конечном состоянии форму узкой щели, в момент
образования настолько меньше характерного размера повреждения /
(«длины»), что можно говорить о разрыве «сил сцепления» по всей
длине повреждения. То есть говорить об образовании «физического
разреза» или разреза «конечной толщины» [120,121] (например, в
смысле флуктуационной модели в кинетической теории разрушения
[121,268]).
Следует отметить, что при наличии давления, соизмеримого с
аод22' в микРопоРе после ее образования h будет еще меньше, на-
например, для того же случая при р/аод22 ~ 10~3 (p/fi = 0,00000663)
h = 0,13 -Ю-7/.
4-6. О варианте задачи прочности для эластомеров 325
4.6. О варианте задачи прочности для эластомеров
При рассмотрении задач прочности для эластомеров (резинопо-
добных материалов) следует учитывать «специфику» структуры эла-
эластомеров. Обычно при расчетах считают, что эластомеры — это
упругие материалы, способные выдерживать (испытывать) большие
обратимые деформации, не учитывая, с одной стороны, неоднородную
структуру большинства эластомеров, которая может изменяться в
процессе деформирования, а с другой их вязкоупругие свойства.
При решении конкретных задач при конечных деформациях счи-
считается, что эластомер однородный изотропный материал. Это свя-
связано в основном с имеющимся у исследователя для решения задачи
математическим (программным) обеспечением. Но реальные эласто-
эластомеры это сложные микрокомпозиты1). Основой эластомера являют-
являются хаотически переплетенные цепи (макромолекулы), сшитые (после
процесса вулканизации) в трехмерные сетки. Причем макромолекулы
имеют различные длины и жесткости. В процессе деформирования
макромолекулы образуют надмолекулярные и надсегментные2) обра-
образования, которые могут самопроизвольно неожиданно разрушаться в
процессе деформирования, могут образовываться зоны кристаллиза-
кристаллизации. То есть структура эластомера и слабо регулярна, и изменяется
в процессе деформирования. И хотя исследование структуры мате-
материала не является задачей механики деформируемого твердого тела,
но, используя подробный материаловедческий анализ [15, 17, 18, 65],
можно делать некоторые предположения о приближенных моделях
для описания деформирования и разрушения эластомеров в рамках
механики деформируемого твердого тела.
Одной из таких моделей может быть следующая: пусть тело из
однородного изотропного нелинейно-упругого (или вязкоупругого)
материала под воздействием внешних усилий приобрело начальные
немалые неоднородные деформации. Вначале будем считать, что ма-
материал тела нелинейно-упругий.
Предположим, что под действием этих внешних усилий в этом
теле образовалась область (или образовались области), внутри ко-
которой превышен некоторый уровень напряжений (в дальнейшем мы
предположим, что это приведет к изменению механических свойств
материала в данной области). Будем называть эту область областью v:
/fo) > к, D.6.1)
здесь / — функция <jj инвариантов тензора полных истинных напря-
напряжений а, к — константа, определяющая свойства материала.
г) А иногда и макрокомпозиты с эластомерной матрицей.
2) При вулканизации образуются «сшивки», которые разделяют моле-
молекулярные цепи на неравные (произвольные) части.
326 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Для наглядности в качестве модельной задачи будем использо-
использовать плоскую задачу многократного наложения больших деформаций
(подробно рассмотренную в [17, 120] и в п. 4.4.5). В рамках этого
упрощения рассмотрим задачу об образовании в теле с большими
начальными деформациями двух близко расположенных узких эллип-
эллиптических отверстий или включений. Предположим, что в результате
их образования в теле возникла область v (случай 1, рис. 4.19) или
возникли несколько областей v (случай 2, рис. 4.20), где f((Jj) > k.
Рис. 4.19. Случай 1
Если, например в D.6.1),
Рис. 4.20. Случай 2
= cti - а2 или
D.6.2)
то области v (случай 2, рис. 4.20), где выполняется условие D.6.1),
находятся около вершин концентраторов напряжений. Здесь и далее
по-прежнему <jj — главные значения тензора полных истинных на-
напряжений а.
Если же, например в D.6.1),
= a
сг2)
D.6.3)
то область v (случай 1, рис. 4.19), где выполняется условие D.6.1), мо-
может находиться по середине. В условии D.6.3) а скалярный параметр,
0 < а < 1.
Предположим, что в области г>, где выполняется условие D.6.1),
механические свойства материала изменились, но материал по-
прежнему остается упругим. В этом случае можно считать, что у
нас возникает новая (макро) задача о концентрации напряжений.
Задача, в которой в предварительно нагруженном теле после обра-
4-6. О варианте задачи прочности для эластомеров 327
зования двух эллиптических отверстий возник новый концентратор
напряжений (случай 1, рис. 4.19) или возникли два новых концен-
концентратора напряжений (случай 2, рис. 4.20). Образование в теле новых
концентраторов привело к возникновению в нем новых больших до-
дополнительных деформаций, которые накладываются (под этим тер-
термином, как и раньше, понимаем «физически накладываются») на уже
имеющиеся в теле большие деформации. Решая задачу, мы получим,
в частности, уточненную область г>, где выполняется условие D.6.1).
В ряде случаев эта область может развиваться на всю область между
начальными концентраторами напряжений.
Можно предположить, что в области v происходит зарождение но-
новых микрообластей (например, зон кристаллизации) с новыми свойст-
свойствами (рис. 4.21). Мы не будем обсуждать природу зарождения этих
новых микрообластей. Отметим, что, зная их свойства и описывая эти
микрообласти, как, например, узкие
эллиптические упругие включения, t t t t t
используя методику, изложенную в | | | | | F2
работе [120], можно рассчитать эф-
эффективные свойства материала в об-
области v. Причем, вероятно, можно
так же предположить, что плотность
распределения новых микрообластей
пропорциональна f(<jj).
Отметим, что при решении задачи
об образовании нового концентратора
напряжений в уже нагруженном те- I I I I \ р2
ле, в котором есть области г>, заме- т т т т т
на свойств материала этих областей
на эффективные не всегда позволяет Рис. 4.21. Область v с микро-
учесть изменение напряжений в об- областями с новыми свойствами
ласти v. Это связано с тем, что вблизи материала
микрообластей (например, зон кри-
кристаллизации) образование нового концентратора напряжений ведет
к значительному (в разы) увеличению уровня напряжений. А это
важно в задачах разрушения. И так же отметим, что надо учиты-
учитывать и случаи, когда новый концентратор напряжений частично при
образовании поглощает микрообласть.
Возможна и другая более сложная модель, когда кроме образо-
образования новых микрообластей (рис. 4.21) происходит образование (рас-
(раскрытие) микропор в области г>1, где выполняется условие
/fa) >ku h>k D.6.4)
(данный случай приведен на рис. 4.22), или условие (рис. 4.23)
fi(<Tj)>k1. D.6.5)
328 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Р2
Р2
Область v
\ Область v i
Рис. 4.22. Область v — область,
в которой происходит образо-
образование микрообластей с новыми
свойствами материала; область
vi — область, в которой проис-
происходит раскрытие (образование)
микропор
Рис. 4.23. Область v — область,
в которой происходит образо-
образование микрообластей с новыми
свойствами материала; область
г>1 — область, в которой проис-
происходит раскрытие (образование)
микропор
Причем в случае D.6.5) область v\ может не полностью содержать-
содержаться в области v.
При решении макрозадачи можно предположить, что изменения
свойств материала в областях v\ обратимо, например, происходит
залечивание микропор.
Отметим также, что материал образовавшегося включения может
быть и не упругим.
Пусть теперь материал тела является вязкоупругим. И пусть в
некоторый момент времени t\ выполняется условие D.6.1) в следую-
следующей форме
f{(Tj(h)) > k, D.6.6)
здесь по-прежнему / — функция инвариантов тензора полных ис-
истинных напряжений <т(?), к — константа (определяющая свойства
материала).
В предположении, что в области г>, где выполняется в момент
времени t\ условие D.6.6), механические свойства материала изме-
изменились, и что в этой области в момент времени t\ образовались мик-
микровключения (или эти микровключения начали с момента времени t\
по некоторому закону последовательно образовываться), возможны
следующие два основных варианта задачи.
1. Если предполагаем, что материал микровключений также яв-
является вязкоупругим, но с другими свойствами, то возникает задача
об вязкоупругих включениях, образовавшихся в предварительно на-
нагруженном вязкоупругом теле.
4-6. О варианте задачи прочности для эластомеров
329
2. Если же предполагаем, что материал микровключений является
упругим, то возникает задача об упругих (в предельном случае жест-
жестких) включениях, образовавшихся в предварительно нагруженном
вязкоупругом теле.
И в том и другом случаях для решения задачи надо использовать
теорию многократного наложения больших деформаций.
Можно, как и в упругой задаче, предположить, что при выпол-
выполнении условия D.6.6) в виде fi&jfo)) >fci в области v\ в момент
времени ^2 раскрылись (возникли) микропоры или эти микропоры
начали с момента времени t^ по некоторому закону последовательно
раскрываться.
Как и в упругом случае, после решения задачи происходит уточ-
уточнение области v или v\.
Возможны различные варианта последовательности образования
и расположения областей v и v\. На рис. 4.24 и 4.25 представлены
некоторые из них.
На рис. 4.24 приведен случай, когда вначале возникает область г>,
затем г>1, а потом за счет эффекта релаксации происходит уменьшение
области г>1 (залечивание микропор).
На рис. 4.25 приведен случай, когда вначале возникает область г>,
затем г>1, а потом области v и v\ увеличиваются.
Рис. 4.24. Вариант предполагаю-
предполагающий залечивание микропор (умень-
(уменьшение области vi)
Рис. 4.25. Вариант предполагаю-
предполагающий рост областей v и v\
При решении конкретных задач, вероятно, наиболее удобным, как
и в упругом случае, будет использование для описания механических
свойств материала его эффективных характеристик (в уже образо-
образовавшихся областях v и (или) vi). И как в упругом случае, при реше-
решении задачи об образовании нового концентратора напряжений в уже
нагруженном теле, в котором есть области v или г>1, замена свойств
330 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
на эффективные не всегда позволяет учесть изменение напряжений в
областях v и v\. Это связано, как уже отмечалось, с тем, что вблизи
микрообластей (например, зон кристаллизации или микропор) обра-
образование нового концентратора напряжений ведет к значительному
(в разы) увеличению уровня напряжений. Возможны и случаи, когда
новый концентратор напряжений частично при своем образовании
поглощает микрообласть.
И, наконец, отметим, что и для упругого материала возможно
залечивание микропор.
4.7. Подход к решению задачи о возникновении
в упругом теле включения
Хотя рассмотренные выше задачи о прочности эластомеров, из-
изменении их свойств в процессе нагружения полностью описываются с
помощью аппарата теории многократного наложения больших дефор-
деформаций, решать конкретные задачи данного типа крайне сложно. Од-
Одним из подходов может быть следующий. Считать, что микровключе-
микровключения (области, в которых изменились свойства материала) возникают
мгновенно, но их возникновение не вызывает динамических эффектов
[116, 120]. Считать, что раскрытие (возникновение) микропор также
происходит мгновенно в смысле [120, 127]. Тогда постановка задачи
может быть следующая. Пусть в нелинейно-упругом теле, находя-
находящемся в начальном состоянии, под воздействием внешних нагрузок
возникли большие деформации и напряжения. Тело перешло в первое
промежуточное состояние. Далее в этом теле мысленно намечается,
по принятому исследователем предположению, несколько замкнутых
поверхностей (будущие границы включений). Внутри частей тела,
ограниченных этими поверхностями, скачкообразно меняются меха-
механические свойства материала. В результате внутри образовавшихся
включений и в некоторой их окрестности возникают большие дефор-
деформации, которые накладываются на большие начальные деформации,
уже имеющиеся в теле. Тело переходит во второе промежу точное
состояние. Изменяется и форма граничной поверхности включения.
Причем форму включений можно либо наметить в первом промежу-
промежуточном состоянии, либо считать заданной во втором промежуточном
состоянии (это две разные задачи). Затем данная процедура может
повториться при образовании новой группы включений.
Наряду с уже образованными в теле включениями в нем могут
возникать и микропоры (полости). Образование микропор при нали-
наличии давления внутри микропоры моделируется следующим образом
[120]. В некотором состоянии в теле мысленно намечается замкнутая
поверхность (будущая граница микропоры), и часть тела, ограни-
ограниченная этой поверхностью, удаляется, а ее действие на оставшуюся
часть заменяется по принципу освобождаемости от связей силами,
4-7. Подход к решению задачи о возникновении включения 331
распределенными по этой поверхности. Такое действие не изменит на-
напряженно-деформированное состояние оставшейся части тела. Далее
эти силы, перешедшие в разряд внешних, квазистатически изменя-
изменяются. Новая величина этих сил определяется давлением, заданным
на образующейся поверхности. В результате в окрестности граничной
поверхности возникают большие деформации и напряжения, которые
накладываются на большие деформации и напряжения, уже имеющи-
имеющиеся в теле. Тело переходит в следующее состояние. Изменяется форма
образованной граничной поверхности, причем можно либо наметить
ее в момент образования, либо считать ее заданной в следующем
состоянии (аналогична постановка задачи и для группы микропор
возникающих одновременно).
Математическая постановка задач теории многократного наложе-
наложения больших деформаций достаточно подробно рассмотрена в пункте
о теории многократного наложения больших деформаций.
На границе образовавшегося включения могут быть заданы раз-
разные варианты граничных условий, например, равенство напряжений
и равенство перемещений включения и матрицы.
Точное аналитическое решение задачи для одиночного эллипсои-
эллипсоидального включения при малых деформациях подробно рассмотрено
в [186, 281]. Для решения задач при конечных деформациях могут
быть применены приближенные методы: метод малого параметра,
метод последовательных приближений [119, 120, 125, 127, 373, 380]
или метод Ньютона-Канторовича [120, 127]. При решении задач о
плоской деформации линеаризованная задача может быть решена с
использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили
[104, 105, 186].
Практический интерес представляет численная реализация реше-
решения данной задачи с учетом эффектов взаимовлияния включений.
Существует несколько подходов к численному решению задачи. Од-
Одним из наиболее распространенных при малых деформациях является
итерационный метод расчета напряженно-деформированного состоя-
состояния в ансамблях включений.
Итерационный метод, основная идея которого была, по-видимому,
впервые высказана Смолуховским и развита Факсеном, предназначен
для решения задач в области малых деформаций [226]. Одним из
его достоинств является то, что реализация главной идеи алгоритма
не зависит от вида записи полей напряжений; важно только, чтобы
можно было бы отдельно учитывать вклад от каждого включения
упругой системы. В основном этот алгоритм аналогичен алгоритму
Шварца, рассмотренному в [127, 186] для плоских задач о концентра-
концентрации напряжений в теле с несколькими отверстиями.
Общая схема этого алгоритма следующая. Пусть все включения,
имеющиеся в теле, являются упругими, причем на границе контакта
с бесконечной матрицей выполняются условия полного прилипания.
332 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
Обозначим через щ1', Х^ вектор перемещений и тензор напряжений
для г-го возмущения объекта в «матрице», вычисленных на п-й ите-
итерации, а через и?, Tf — перемещения и напряжения непосредствен-
непосредственно в г-м включении. Тензор напряжений Т в любой точке матрицы
представляется суммой тензоров напряжений однородного поля Т^ и
возмущений Ti от каждого включения:
N
причем каждое слагаемое удовлетворяет уравнению равновесия мате-
материала.
Аналогично в виде суммы представляются векторы перемещений:
N
к ¦>
II — ?/ —I— у II •
i=l
Для начала итерационного процесса используем нулевые значения
@) Л гп@) Л м (п) rriM
для всех возмущении: и\ = 0, 1? = U. Меж:ду величинами и\ , 1>
выполняется связь , ч , ч
где
L(u|n)) = 0,
а Л, /i — коэффициенты Ламе «матрицы».
Каждая гг-я итерация состоит из N шагов. На первом шаге в ка-
качестве возмущений от второго, третьего, ..., TV-го включений исполь-
(п —1) Ы — 1) Ы — 1)
зуются поля перемещении и напряж:ении ик2 ,и\ ,••••>им и
min—l) min—l) min—l) -i^
12 5^з ? • • • 11 n • J- раничные условия на поверхности первого
включения Si записываются в виде
ns ' (^оо + Т[п) + Г2(п1} + ... + Г^1}) = ns • Tf,
где п^ — внешняя нормаль к рассматриваемой поверхности.
тт » (п)
Из приведенных граничных условии находим неизвестные и\ ,
11 и iz1? i1 .
На втором шаге в качестве возмущений от первого, третьего, чет-
четвертого, ..., TV-го включений используем поля перемещений и на-
(п) (п — 1) (п — 1) т(п) гп{п — 1) т{п — 1) -ту
пряжении и\ \и\ ,..., uyN ' и i \ , i 3 ? • • • ? -^дг • Граничные
условия на поверхности второго включения S2 записываются в виде
(п) , (п) , (п-1) . . (п-1) р
^оо +^1+^2+^3 + • • • + UyN J = U2 ,
ns • (Too + 7\(п) + Т2(п) + Т3(п-1} + ... + Т^-1}) = п5 • If.
4-8. Образование упругого кругового включения в теле 333
Из приведенных граничных условий находим неизвестные щ1 ,
Т2 и г^2, Т|\ Последующие шаги п-й итерации выполняются ана-
аналогично, пока не будут найдены возмущения щ1 , Х^ от всех вклю-
включений.
Подход, рассмотренный выиге для малых деформаций, может быть
применен при решении линеаризованной задачи на каждом шаге ме-
метода малого параметра или Ньютона-Канторовича в случае, если
задача решается при конечных деформациях. Для плоских задач рас-
расчеты могут быть выполнены с помощью специализированной системы
аналитических вычислений на ЭВМ [127]. С использованием автор-
авторского специализированного программного комплекса для аналитиче-
аналитических вычислений на ЭВМ «Наложение» (на базе «Mathematica 5.1»),
удалось получить приближенное решение в аналитической форме за-
задачи об образовании (возникновении) упругого включения в предва-
предварительно нагруженном теле.
4.8. Образование (возникновение) упругого кругового
включения в теле с конечными деформациями
Задача решается в следующей постановке (которая является част-
частным случаем постановки, приведенной в п. 4.7, и может быть про-
пропущена при чтении). Пусть в нелинейно-упругом бесконечно протя-
протяженном теле, находящемся в начальном (ненапряженном) состоянии,
под воздействием внешних нагрузок возникли большие статические
деформации. Тело перешло в первое промежуточное состояние. Далее
в этом теле мысленно намечается замкнутая поверхность (будущая
граница включения). Внутри части тела, ограниченной этой поверх-
поверхностью, скачкообразно меняются механические свойства материала,
предполагается, что это не приводит к динамическим эффектам. В
результате внутри образовавшегося включения и в оставшейся части
тела возникают большие деформации и напряжения, которые накла-
накладываются на большие начальные деформации и напряжения, уже
имеющиеся в теле. Тело переходит в конечное состояние.
Модель образования включения может быть, например, следую-
следующая. Мысленно удаляем часть тела, ограниченную намеченной по-
поверхностью, а ее действие на оставшуюся часть тела заменяем
по принципу освобождаемости от связей силами, распределенными по
этой поверхности. Ясно, что такое действие не изменит напряженно-
деформированное состояние оставшейся части тела. Затем полость,
образованную удалением части тела, заполняем упругим материалом
с другими свойствами. Далее силы, действующие по границе тела, об-
образованной удалением его части (перешедшие в разряд внешних), ква-
зистатически (например, изотермически) уменьшаются до нуля. Это
вызывает возникновение больших (по крайней мере, в окрестности
334 Гл. 4- Разрушение при конечных деформациях и их налоэюении
включения) деформаций и напряжений, которые накладываются на
большие уже имеющиеся в теле (начальные) деформации и напряже-
напряжения. Тело перешло в конечное состояние.
Возможен и другой вариант (вариант 2) модели, когда включе-
включение полностью повторяет форму удаленной части тела, но только,
когда по поверхности включения действуют силы, например, про-
противоположные силам, действующим по вновь образованной границе
тела. Далее силы, действующие как по границе тела, образованной
удалением его части, так и по границе включения, квазистатически
уменьшаются до нуля.
При решении конкретных задач предполагается, что на границе
тела (матрицы) и образованного включения заданы условия типа
прилипания.
При решении задачи используется материал Мурнагана D.3.4.5).
Для решения использовался авторский специализированный про-
программный комплекс для аналитических вычислений на ЭВМ «Нало-
«Наложение» на базе «Mathematica 5.1», использующий методы [120, 127]
и позволяющий получать приближенное решение в аналитической
форме. По мнению авторов резуль-
0,501 ^^ 1 1 1—| таты решения задач такого типа
могут использоваться для описания
напряженно-деформированного со-
состояния тел при фазовых переходах
второго рода при конечных дефор-
деформациях.
Приведем результаты решения
плоской задачи (в выше указанной
постановке вариант 2) об образо-
образовании в предварительно нагружен-
нагруженном бесконечно протяженном теле
(механические свойства материала
которого описываются потенциалом
Мурнагана) кругового в момент образования включения. Механиче-
Механические свойства материала включения также описываются потенциалом
Мурнагана B). Вычислено два первых приближения. На рис. 4.26 для
случая начального одноосного растяжения при
| 0,48
30,44
0,40,
\
\
x/RB
Рис. 4.26. Распределение полных
истинных напряжений для вклю-
включения И МатрИЦЫ <Т0,2п/Стмат
мат = 0,186, С3 мат = -0,013, С4мат = -0,07, С5мат = 0,063,
Лвкл = 1,07,
??Вкл — 0,477, Сзвкл — —0,93, С4вкл — 1O2, Сбвкл — —5,31,
= о,
= 0,3
приведено распределение полных истинных напряжений для включе-
включения И МатрИЦЫ <7о,2п/С?мат.
Г л а в а 5
ВЯЗКИЙ РОСТ ТРЕЩИН ПРИ КОНЕЧНЫХ
ДЕФОРМАЦИЯХ И ИХ НАЛОЖЕНИИ
5.1. Общий подход к задаче о вязком росте трещин
в предварительно нагруженном теле (при конечных
деформациях)
Модели вязкого разрушения материалов, состоящие в образовании
пор с последующим их ростом до полного слияния, для малых дефор-
деформаций достаточно подробно разработаны. При моделировании этого
явления считается, что разрушение происходит, когда напряжение
в перемычке между порами достигает некоторого критического зна-
значения. Следует отметить, что экспериментально показано, например
[91], что при вязком разрушении поры образуются не одновременно,
а последовательно на всем протяжении процесса деформирования
материала. То есть происходит последовательное образование (воз-
(возникновение) новых микроконцентраторов напряжений. Описания та-
такого процесса при конечных деформациях дает теория многократно-
многократного наложения больших деформаций. Отметим также, что некоторые
подходы к моделированию на ЭВМ вязкого разрушения при малых
деформациях рассмотрены достаточно давно, например в [194], где
использованы методы имитационного моделирования, и в [111, 112].
Вязкий рост трещины для малых деформаций, когда трещина
моделируется узкой щелью ненулевой толщины, причем радиус кри-
кривизны такой щели в ее вершине отличен от нуля и может изменяться
в процессе роста трещины, рассмотрен достаточно подробно в [20, 22,
23, 296]. Такой подход, по мнению авторов этих публикаций, позволяет
более адекватно по сравнению с классической моделью описать осо-
особенности распространения трещин при квазистатическом и цикличе-
циклическом нагружении. На рост трещины в рамках данной модели оказыва-
оказывает влияние накопление микроповреждений вблизи фронта трещины.
Учет микроповреждений в [20, 22] осуществляется путем введения в
модель скалярного параметра — меры микроповреждений, заданной
в каждой точке среды.
Использование в задаче о вязком росте трещины теории много-
многократного наложения больших деформаций [120] дает возможность
получить описание процесса раскрытия микропор с последующим их
поглощением основной трещиной. Причем получить такое описание и
для случая, когда на каждом этапе раскрытия или поглощения микро-
пор в теле вблизи вершины трещины накапливаются дополнительные
336 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
конечные деформации, которые накладываются на уже имеющиеся
в теле.
Общий подход (алгоритм решения) Ч к проблеме во многом
внешне аналогичен подходу, используемому для малых деформаций,
когда считается, что тело содержит микроповреждения до нагру-
жения.
1. Выбирается один из критериев прочности (разрушения) — об-
образования микропоры, например2):
1.1. Силовой по напряжениям (схема образования разрыв, рис. 5.1)
<j\ — первое главное истинное напряжение, aoi — выбранный (опре-
(определенный) из эксперимента параметр. На рис. 5.1 и других рисунках
этого пункта Ъ — «длина» раскрывающейся микропоры, Ъ^ — длина
/ / /л
/ / /ft
Рис. 5.1. Раскрытие микропоры при <п ^ <toi
имеющегося в теле повреждения, pi, p2 — внешние усилия, приложен-
приложенные к телу.
1.2. Силовой критерий по напряжениям (схема образования —
сдвиг, рис. 5.2)
ai (г = 1, 3) — главные значения тензора истинных напряжений, ао2 —
выбранный (определенный) из эксперимента параметр.
) Такой стиль изложения выбран, так как это первое относительно
системное изложение материала для случая, когда рассматривается вязкий
рост трещины в предварительно нагруженном теле при конечных дефор-
деформациях.
2) Ниже, не претендуя на общность и не обсуждая оптимальность ис-
использования того или иного критерия, приводятся варианты использования
хорошо известных критериев теории прочности (многие из которых приве-
приведены в предыдущих главах книги).
5.1. Общий подход к задаче о вязком росте трещин
337
/ /й
Л
Рис. 5.2. Раскрытие микропоры при а\ — аз ^ сгО2
1.3. Силовой «нелокальный» критерий (схема образования — раз-
разрыв, рис. 5.3)
+ 1/26
сгл dx <
-1/26
<j\ — первое главное истинное напряжение, по-прежнему Ъ — «длина»
микропоры, ось х — перпендикулярна а\ тах (в плоскости деформиро-
деформирования), егоз — выбранный (определенный) из эксперимента параметр.
Рис. 5.3. Раскрытие микропоры при использовании нелокального критерия
Аналог данного критерия рассмотрен в гл. 3, п. 3.6.
1.4. Деформационный критерий
Ai < Ао,
Ai — максимальное относительное удлинение, Ао — выбранный (опре-
(определенный) из эксперимента параметр.
1.5. Смешанные критерии, например,
+ (
-Q2
СГ05,
здесь сгоб — выбранный (определенный) из эксперимента параметр.
22 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
338
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
1.6. «Энергетические критерии». В качестве такого критерия мож-
можно использовать, например, как просто энергетический критерий
W < Wo,
где Wo — выбранный (определенный) из эксперимента параметр, так
и критерий типа
D <С Do
где S — площадь под кривой. На рис. 5.4 приведена диаграмма ст\-е\
(или ai-Ai), Sq — выбранный (опре-
(определенный) из эксперимента параметр.
Последний критерий можно рас-
рассматривать и как деформационный.
2. Затем выбирается из п. 1 один
из критериев образования (раскры-
(раскрытия) «новой микропоры».
При решении конкретных задач
будет считаться, что моменты образо-
образования и раскрытия «новой микропо-
микропоры» совпадают.
3. Выбирается один из критериев
прочности (разрушения) — разрыва
перемычки между основной трещиной и вторичной трещиной или «но-
«новой микропорой». Отметим, что эти критерии во многом совпадают с
критериями, приведенными в п. 1, например1):
3.1. Силовой критерий по напряжениям (схема образования раз-
разрыв), совпадающий с критерием п. 1.1 (рис. 5.5):
Рис. 5.4. Диаграмма а\—е\ (или
а\ — максимальное первое главное истинное напряжение, aoi — вы-
выбранный (определенный) из эксперимента параметр.
3.2. Силовой «нелокальный» критерий (схема образования раз-
разрыв), несколько отличающийся от критерия п. 1.3 (рис. 5.6):
в
(Т\ dx <
(Т\ — первое главное истинное напряжение, АВ = d — «расстояние»
между основной трещиной и вторичным повреждением или «новой
микропорой», ось х перпендикулярна первому главному направлению
тензора истинных напряжений (в плоскости деформирования), егоз —
выбранный (определенный) из эксперимента параметр.
г) С учетом п. 4.3, конкретизирующим модель в той ее части, где рас-
рассматривается, при каком расстоянии между трещиной и «новой микропо-
микропорой» происходит поглощение («разрыв перемычки») трещиной микропоры.
5.1. Общий подход к задаче о вязком росте трещин 339
Pi
Рис. 5.5. Разрыв перемычки АВ при а\ ^ crOi
Рис. 5.6. Разрыв перемычки АВ при использовании нелокального силового
критерия
3.3. «Энергетические критерии», совпадающие с критериями п. 1.6,
которые, вероятно, наиболее приемлемы для случая «небольшого рас-
расстояния» между основной и вторичной трещинами (например, при
расстоянии менее «длины» микропоры, которая может образоваться).
Использование критерия этого типа позволяет, как и использование
«нелокального» критерия, избежать при моделировании процесса вяз-
вязкого роста трещины «разрыва перемычки» в малых объемах при
наличии «острого пика» (т. е. при выполнении одного из локальных
критериев). В качестве такого критерия можно использовать, напри-
например, как просто энергетический критерий
W < Wo,
где Wq — выбранный (определенный) из эксперимента параметр, так
и, вероятно, критерий типа
где S — площадь под кривой на рис. 5.4, So — выбранный (определен-
(определенный) из эксперимента параметр
Последний критерий можно рассматривать и как деформацион-
деформационный критерий.
22*
340 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
4. Принимаются условия:
4.1. О геометрических параметрах «новой микропоры» (возмож-
(возможно, и вероятно, наиболее логично моделировать вновь раскрывшуюся
микропору в виде «физического разреза», п. 4.5).
4.2. Об ориентации «новой микропоры». При решении конкретных
задач будем считать, что направление главной оси «новой микропо-
микропоры» совпадает с первым главным направлением тензора истинных
напряжений в центре микропоры для критериев 1.1—1.3, 1.5, а для
деформационного критерия типа 1.4 с первым главным направлением
тензора деформаций Альманзи или Ai.
4.3. О том, при каком расстоянии между трещиной и «новой
микропорой» происходит поглощение трещиной «новой микропоры»
(«разрыв перемычки»). Ниже будет предполагаться (при разработке
алгоритма решения конкретных задач), что
4.3.1) слияние происходит в момент, когда критериальная величи-
величина превышена, не зависимо от расстояния между трещиной и микро-
микропорой;
4.3.2) либо, что слияние («разрыв перемычки») происходит, если
это расстояние меньше или равно «длине» микропоры.
4.4. При каком расстоянии между трещинами происходит их сли-
слияние, т. е. поглощение большей (основной) трещиной меньшей. Здесь
также будет предполагаться, что слияние происходит,
4.4.1) либо, если это расстояние меньше или равно «длине» мик-
микропоры;
4.4.2) либо, когда критериальная величина превышена, независимо
от расстояния между трещинами.
4.5. О геометрических параметрах носика трещины (повреждения)
сразу после поглощения ею «новой микропоры». Возможны следую-
следующие основные варианты:
4.5.1. Носик трещины (повреждения) повторяет в момент погло-
поглощения форму «новой микропоры». Причем
4.5.1.1) либо в момент образования (возникновения) «новой мик-
микропоры», рис. 5.7;
4.5.1.2) либо после раскрытия «новой микропоры», рис. 5.8.
Отметим, что условия п. 4.5.1.1 и п. 4.5.1.2 приводят к двум раз-
разным задачам, отличающимся в терминах теории многократного нало-
наложения больших деформаций состоянием, в котором заданы гранич-
граничные условия.
4.5.2. Носик основной трещины после поглощения «новой микро-
микропоры» в следующем состоянии принимает заранее заданную форму,
рис. 5.9 (или форма всей трещины задается в этом состоянии, напри-
например в виде узкого эллипса, прямоугольника «с закругленными уг-
углами» или вытянутого параллелограмма «с закругленными углами»,
рис. 5.10).
5.1. Общий подход к задаче о вязком росте трещин 341
Микроопора
Рис. 5.7. Вариант, когда носик трещины повторяет форму носика «новой
микропоры» в момент ее образования
/ /ft
Рис. 5.8. Вариант, когда носик трещины повторяет форму носика «новой
микропоры» после ее раскрытия
Pi
/ / /ft
Рис. 5.9. Вариант, когда носик трещины после поглощения «новой микро-
микропоры» в следующем состоянии принимает заранее заданную форму
4.6. О геометрических параметрах носика основной трещины в
момент слияния с другим повреждением (рис. 5.11, на рисунке дано
положение до «слияния») и о форме вновь образовавшегося повре-
повреждения. Возможны следующие основные варианты.
342 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
/ / /Р2
Рис. 5.10. Вариант, когда форма всей трещины задается в момент поглоще-
поглощения ею «новой микропоры»
/ /
/ / /ft
Рис. 5.11. До начала слияния повреждений
4.6.1. Носик основной трещины повторяет в момент поглоще-
поглощения форму носика поглощаемой вторичной трещины (повреждения).
Причем
4.6.1.1) либо в момент поглощения повреждения, рис. 5.12;
/ / /ft
Рис. 5.12. Носик основной трещины повторяет в момент поглощения форму
носика поглощаемой вторичной трещины
4.6.1.2) либо после поглощения, рис. 5.13.
5.1. Общий подход к задаче о вязком росте трещин 343
Рис. 5.13. Носик основной трещины повторяет после поглощения форму
носика поглощаемой вторичной трещины
Подчеркнем, что условия п. 4.6.1.1 и п. 4.6.1.2 приводят к двум
разным задачам, отличающимся в терминах теории многократного
наложения больших деформаций состоянием в котором заданы гра-
граничные условия.
4.6.2. Форма основной трещины после слияния имеет «выступы»,
рис. 5.14, или не имеет «выступов» после слияния, рис. 5.15.
Pi
Рис. 5.14. Форма основной трещины после слияния имеет «выступы»
/ /ft
/ /ft
Рис. 5.15. Форма основной трещины после слияния не имеет «выступов»
344
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
Отметим, что молено рассматривать задание этих условий как в
момент слияния трещин, так в следующем состоянии.
4.7. О геометрических параметрах «новой микропоры» после слия-
слияния с другой (ранее возникшей) «новой микропорой», причем и тогда,
когда микропоры моделируются различным образом, например с по-
помощью «физического разреза» и круговой микропоры.
5. Решается задача о трещине или системе трещин (повреждений).
Здесь молено выделить два основных случая.
5.1. Первый случай, когда задача решается для уже имеющейся в
теле системы трещин (рис. 5.16).
Рис. 5.16. Задача об уже имеющейся в теле системе трещин
В этом случае с использованием критерия прочности п. 1 опреде-
определяется место раскрытия «новой микропоры» (рис. 5.17). Затем реша-
решается задача для системы трещин, включающей и «новую микропору».
Р2
Рис. 5.17. Результат решения задачи об уже имеющейся в теле системе
трещин, показано место раскрытия «новой микропоры»
Эта схема может использоваться и далее до поглощения основной
трещиной (повреждения) остальных (вторичных) трещин и «новых
микропор» или слиянии нескольких основных трещин с поглощением
«новых микропор».
5.2. Модельные задачи
345
Рис. 5.18. Задача о системе трещин, привносимых в уже нагруженное тело.
Цифры указывают последовательность привнесения повреждения
5.2. И второй случай, когда решается задача о системе трещин
(повреждений), привносимых в уже нагруженное тело (рис. 5.18). При
таком варианте нагружения следует на каждом этапе нагружения
проверять выполнение критерия прочности п. 1. Потому что, как мо-
момент появления «новой микропоры», так и ее место и ориентация
зависят от последовательности привнесения повреждений. Причем
заранее следует принять решение, будут ли привноситься извне новые
повреждения, если да, то изменится ли их порядок привнесения и
будет ли он зависеть от того, раскрываются ли «новые микропоры»
или нет. Потому что, во-первых, и без продолжения привнесения в
тело новых повреждений возможно поглощение основной трещиной
остальных трещин и «новых микропор» или слияние нескольких ос-
основных трещин с поглощением «новых микропор». И, во-вторых, от
последовательности привнесения в тело новых повреждений зависит,
каким образом и в каком направлении будет (если будет) происходить
поглощение основной трещиной остальных трещин.
5.2. Модельные задачи
Проиллюстрируем вышесказанное, рассмотрев результаты реше-
решения нескольких плоских модельных задач о взаимодействии и вза-
взаимовлиянии концентраторов напряжений (причем один из концен-
концентраторов напряжений меньше остальных) последовательно или одно-
одновременно образующихся в предварительно нагруженном бесконечно
протяженном упругом теле, имеющем к этому моменту не малые
однородные начальные деформации. И обратим внимание на то, как
влияет последовательность образования концентраторов напряжений,
их форма, расстояние между ними в момент образования на распре-
распределение полей напряжений.
5.2.1. Задача о двух последовательно образованных эллип-
эллиптических отверстиях. Задача рассматривается для случая плоско-
плоского напряженного состояния. Вначале в предварительно нагруженном
346
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
= 0, а
=
д1 0, аод2 о = 0>1аО теле из материала Трелоара образуется
большее эллиптическое (в момент своего образования) отверстие mi =
= 0,7, mi = («i —bi)/(ai + &i), ai и &i - большая и малая полу-
полуоси эллипса. А затем на расстоянии между центрами h (в момент
образования второго отверстия) образуется малое (эллиптическое в
момент своего образования) отверстие (микропора) т<2 = 0,5, &2/&1 =
= 0,1. На рис. 5.19-5.23 приведены результаты расчетов. Здесь и далее
на большинстве рисунков, чтобы не загромождать их при обозначении
полных истинных напряжений сняты индексы 0, п и не указывается,
-0,035
0,004
0,082
0,121
0,160
0,199
0,238
0,277
Мах =0,27723
Min=-0,03499
1,85
2,20
Рис. 5.19. Развитие трещины от но- Рис. 5.20. Развитие трещины от но-
носика малого отверстия (микропоры). сика малого отверстия (микропоры).
Поле распределения <п для случая Поле распределения <Т2 для случая
при h = 2 при h = 2
°'001
°'138
о,275
0,411
0,548
0,684
0,821
0,958
1,094
Мах =1,09417
..Mia = 0,00147
2,45
3,30
Рис. 5.21. Развитие трещины от носика большего отверстия (основной тре-
трещины) Поле распределения <п — (Т2 для случая при h = 2,95
5.2. Модельные задачи
347
1,60
Число шагов 8
К окраски = 0,5
Of
0,-
0,'
-о,
2,45 3,30
Шаг = 0,13737
Мах = 1,09775
Min = ^0,00123
Число шагов 8
К окраски = 0,5
2,45 3,30
Шаг = 0,13737
Мах = 1,09775
Min =-0,00123
А
-0,ь
¦ -0,001
8 одзб
В 0,274
1 0,411
" 0,548
0,686
0,823
0,960
1,098
Мах = 1,09775
Min = -0,00123
1,60
2,45
3,30
Рис. 5.22. Развитие трещины от носика большего отверстия (основной тре-
трещины) Поле распределения g\ для случая при h = 2,95
(Гц
0,12
0,08
0,04
0,00
ft
\
-—-
J
0,9
0,7
0,5
0,3
\
1
1
\
/
N
-
i
/
1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 х
1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 х
Рис. 5.23. График изменения компонент тензора полных истинных напря-
напряжений от ж. N — линейное, / — нелинейное решение
348
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
что во всех случаях величины этих напряжений отнесены для сжимае-
сжимаемых материалов кС, а не сжимаемых — к /i. Кроме того на рисунках и
в тексте считается, что линейные размеры отнесены к характерному
размеру большего повреждения, например к R. При всех расчетах,
если это не оговорено, полагаем R = 1. В частности видим, что при
h = 2 (рис. 5.19, 5.20), развитие трещины при использовании критерия
0"i < 0"oi или (У\ — (J2 < ^02 будет происходить от носика малого отверс-
отверстия (микропоры), а при h = 2,95 (рис. 5.21-5.23) развитие трещины
будет происходить от носика большего отверстия (основной трещи-
трещины). Это связано с уменьшением влияния поля напряжений большего
отверстия основной трещины на малое отверстие из-за увеличения
расстояния между большим и малым отверстием и тем, что m<i < тп\.
Кроме того, из этих рисунков видно, что учет нелинейных эффектов
рис. 5.23 (а и б) дает поправку до 35-40%.
На рис. 5.24 приведены результаты решения той же задачи, поз-
позволяющие рассмотреть влияние изменения размеров отверстий на
4,5
4,0
3,5
3,0
2,5
f
«—---
t t
в
[
t
в
A
0,2 0,4 0,6 0,8 62/&i
Линейное решение
4,51^..
4,0
3,5
3,0
2,5
-----
-^
_ в
А
—__
^^
t t \p
^Ра°
1 1 \
0,2 0,4 0,6 0,8 Ъ2/Ъг
Нелинейное решение
Рис. 5.24. Зависимость концентрации напряжений в вершинах отверстий
от размера малого отверстия для случая последовательного образования
отверстий
уровень напряжений в вершинах для случая, когда расстояние между
ближайшими вершинами отверстий равно малой полуоси большего
отверстия, а эксцентриситеты эллипсов фиксированы. Из рис. 5.24
ВИДНО, ЧТО При р//1 = 0,15, CLi/bi = Й2/&2 = 85 ml = m2 = 0,777,
(#2 — х\— а\— a,2)/bi = 1, х\ = у\ = у2 = 0 напряжения в вершине
большего отверстия во всем диапазоне изменения b^lb\ меньше на-
напряжений в вершине меньшего отверстия, что естественно при данном
расстоянии между центрами отверстий в момент образования «после-
«последующего» отверстия1), причем по мере увеличения меньшего отверс-
) Другой случай приведен в п. 5.2.5.
5.2. Модельные задачи
349
тия напряжения в его вершине уменьшаются, а напряжения в вершине
большего отверстия возрастают. Сравнивая линейное (по теории нало-
наложения малых деформаций на большие) и нелинейное (по теории на-
наложения больших деформаций на большие) решения, можно видеть,
что поправка от учета нелинейности в вершине большего отверстия
положительна, а в вершине меньшего — отрицательна. Отметим так-
также, что в случае одинаковых размеров отверстий напряжения в их
вершинах в линейном решении существенно различаются.
Результаты рассмотренной задачи в частности показывают, что
при построении модели вязкого роста следует очень внимательно
подходить к моделированию микропор с помощью узкой щели. Так
как небольшое изменение радиуса кривизны (например, т для узкой
эллиптической щели), расстояния от центра (рис. 5.19-5.23) раскры-
раскрывающейся микропоры до носика основной трещины, размера микропо-
микропоры (рис. 5.24) может значительно изменить картину результатов ком-
компьютерного моделирования вязкого роста трещины. Последнее важно
в задачах мониторинга.
5.2.2. Задача о трех последовательно образованных эл-
эллиптических отверстиях. Рассматривается «продолжение» первой
части предыдущей задачи. После образования второго отверстия в
теле образуется третье эллиптиче-
эллиптическое (в момент своего образования)
отверстие с т^ = 0,7, аз = а± (напом-
(напомним, что а\ размер полуоси первого
эллиптического отверстия в момент
его образования). Расстояние между
центрами малого и третьего отверс-
отверстий (в момент образования этого от-
отверстия) h = 2 и a3-L&2 (рис. 5.25).
Напомним, что результаты реше-
решения предыдущей задачи для данного
случая приведены на рис. 5.19, 5.20, и
что развитие трещины в этом случае
происходит от носика микропоры.
На рис. 5.26—5.31 приведены неко-
некоторые результаты расчетов.
Видим, что основным результа-
результатом образования третьего концентра-
концентратора напряжений явилось то, что те-
теперь возможное развитие трещины
при данном h будет происходить от носика большего (первого) отверс-
отверстия. Одна из причин этого — изменение, как положения, так и формы
малого отверстия после образования третьего отверстия, рис. 5.26.
То, что наиболее опасной точкой в этом случае является носик боль-
большего отверстия хорошо видно как из рис. 5.27 — графиков измене-
t t t t t-
1
\
J К
—->v
в
«2
III!)
Р2
Рис. 5.25. Расположение отверс-
отверстий в момент их образования
в задаче о трех последователь-
последовательно образованных эллиптических
(в момент образования) отверс-
отверстиях
350
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
-0,08
2,0
Рис. 5.26. Форма малого отверстия в момент образования и после образо-
образования третьего концентратора напряжений
^22 011 + ^22
0,9
0,6
0,3
1
^2 = 0\
од/-\
/0,2 \
1
J
\^
\Ч
... 0,7 \
1,6
1,8
2,0
2,2
0,9
0,6
0,3
0,0
Ч 1,6
Z2=0\
V
0,1 \
1
у \
\
Рис. 5.27. Графики изменения сго,з22 и
значений Ж2
1,8 2,0 2,2 Ч
+ 0"о,з22 от Ж1 Для разных
1,95
0,197
1-0,019
10,159
¦0,337
-0,516
0,694
0,872
1,051
1,229
(Мах = 1,22876
1 = ^0,19733
2,70
{JX-CJ2
.0,000
10.153
,305
0,458
1,95
0.915
LC367
I Max =1,21982
fin =0,00045
2570
Рис. 5.28. Поле распределения
СГ1 + G2
Рис. 5.29. Поле распределения
<J\ — G2
ния вдоль оси х\ для разных значений х<2 сго,з22 и ао,зп +^0,322'
так и рис. 5.28—5.30 (показывающие поля распределений различных
комбинаций главных значений тензора полных истинных напряжений
о"о5з)- На рис. 5.31 приведено поле распределения К = о§^ + сго,з2 ~~
5.2. Модельные задачи
351
V 0.024
1 0,1.32
S 0.288
0.444
0.600
0.756
0,911
1.067
1,223
Max 1,22295
Miu = -0,02353 n
1,0-
0,2-'
и -0,281
I -0,215
* ^0,148
-0,082
-0,016
0,051
0,117
0,184
0,250
Ма,х =0,25000
Min = -0,28125
1,95
2,70
1,95
2,70
Рис. 5.30. Поле распределения а\
Рис. 5.31. Поле распределения
= ^0,3! + ^0,32 "" (^0,3! + СГ0,32)
К =
5.2.3. Задача о влиянии трех последовательно образуемых
одинаковых круговых (в момент своего образования) концен-
концентраторов напряжений на микроповреждение. Данной задачей
попробуем проиллюстрировать (на модельном примере), необходи-
необходимость учета последовательности образования концентраторов напря-
напряжений в предварительно нагруженном теле, включая момент раскры-
раскрытия микропоры 1).
Рассмотрим задачу о влиянии трех последовательно образуемых
одинаковых круговых (радиуса R) в момент образования концент-
концентраторов напряжений на отверстие радиу-
радиуса Ri = Д/10, возникшее (образованное)
в теле с большими начальными дефор-
деформациями. Все результаты решения при-
приведем для случая начального одноосного
растяжения сгОд11 = 0, cro,i22 = p, p/fi =
= 0,2, когда центры концентраторов на-
напряжений находятся в момент их образо-
образования на расстоянии h = 1,3 R от центра
малого отверстия (х = 0,4 Д, у = 0). При
этом угол между линиями, соединяю-
соединяющими центр малого отверстия с центра-
центрами предыдущего и образуемого в момент
образования последнего составляет 120°
(рис. 5.32, на рисунке отверстия прону-
пронумерованы в порядке их образования).
Кроме того, сравним результаты решения этой задачи с некоторы-
некоторыми результатами решения двух других задач при тех же исходных
Рис. 5.32. Расположение от-
отверстий
г) Для случая, когда расстояние между центрами отверстий (концен-
(концентраторов напряжений, привносимых в тело) заданы в момент образования
«последующего» концентратора напряжений
352
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
параметрах (будем их для удобства называть второй и третьей зада-
задачами) .
Вторая задача — когда малое отверстие образуется последним, а
порядок образования больших отверстий совпадает с порядком их об-
образования в первой задаче. Третья задача — когда в предварительно
нагруженном теле все отверстия образуются одновременно.
Ясно, что это три разные задачи, так как, например, точки центров
отверстий в этих задачах «смещаются» во «вмороженных» (лагран-
жевых, материальных [120, 228]) координатах друг относительно дру-
друга, и сами эти точки не совпадают. Различными во «вмороженных»
координатах являются и формы отверстий. Соответственно различ-
различными становятся и граничные условия на вновь образованных грани-
границах (контурах отверстий). Также ясно, что и напряжения, распреде-
распределенные по вновь образуемому контуру до его образования, во всех
задачах являются различными (чтобы не загромождать текст при
рассмотрении и сравнении результатов решения, не будем это допол-
дополнительно подчеркивать). И естественно, что результаты решения этих
задач различны.
На рис. 5.33 приведена форма контура малого отверстия в конеч-
конечном состоянии для первой и второй задач. Здесь и до конца этого
0,6
0,0
-0,6
' 3
( {
\ \
ч /
J/
0,0
-0,6
-1,2
3 4
б
Рис. 5.33. Форма контура малого отверстия, находящегося в поле действия
трех больших: а — малое отверстие образуется первым; б — малое отверстие
образуется последним. Линейное @) и нелинейное A) решение
пункта на рисунках, где есть сравнения результатов, штриховая ли-
линия соответствует решению задачи теории многократного наложения
больших деформаций, а сплошная линия соответствует результату
решения задачи о наложении малых деформаций на имеющиеся боль-
большие. Сравнивая результаты, видим, что в первой задаче (рис. 5.33, а)
малое отверстие значительно смещается относительно своего перво-
первоначального положения под влиянием трех больших отверстий, обра-
образованных после него. Это можно объяснить тем, что в этом случае
малое отверстие образуется первым, а затем подвергается, находясь
5.2. Модельные задачи
353
на месте «пересечения действия полей» напряжений, воздействию
последовательно образуемых больших близкорасположенных отверс-
отверстий. А во второй задаче малое отверстие намечается и образуется
последним. Отметим также, что поле напряжений малого отверстия
на расстоянии порядка 12Ri практически незаметно (см. рис. 5.40),
а это значит, что в первой задаче образование малого отверстия не
влияет на «вмороженные» координаты центров больших отверстий,
они практически совпадают с координатами центров во второй за-
задаче.
Несимметричность контура малого отверстия относительно оси х
на рис. 5.33, а (результат решения первой задачи) объясняется несим-
несимметричностью центров («вмороженных» координат центров) второго
и третьего большого отверстия относительно оси х.
На рис. 5.34 и ранее рассмотренном рис. 5.33, а приведены резуль-
результаты решения задач об образовании одного кругового в момент об-
у/Щ
-1,2,
-1
-2
г
I
Sy
\ \
1 \
1 1
Рис. 5.34. Форма контура малого отверстия, изолированного (а) или на-
находящегося в поле действия одного (б) или двух (в) больших отверстий.
Линейное @) и нелинейное A) решение
разования отверстия и о последовательном образовании двух, трех
и четырех круговых в момент их образования отверстий (последова-
(последовательность образования отверстий, как в первой задаче) при одина-
одинаковом начальном одноосном растяжении (p/fi = 0,2), показывающие,
как последовательно изменяется контур малого отверстия от момен-
момента его образования до момента образования последнего отверстия.
Отметим, что для задачи об изолированном отверстии (рис. 5.34, а)
при данном начальном нагружении практически нет различия между
линейным и нелинейным решениями, т. е. между решениями в рамках
наложения малых деформаций на имеющиеся большие и в рамках
теории многократного наложения больших деформаций.
23 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
354
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
При последовательном образовании трех отверстий форма конту-
контура малого отверстия изменятся значительно (рис. 5.34, в). Это объяс-
объясняется растягивающими напряжениями, возникающими в результате
образования больших отверстий (это видно из рис. 5.37, 5.38).
На рис. 5.35—5.39 показано распределение напряжений сго,П1 + сго,п2
и сго,щ {п — номер конечного состояния) для первой задачи в случае
четырех, трех и двух последовательно образованных отверстий, а на
= 0,85,
3 x/R
-0,02,/i = 0,055
Рис. 5.35. Распределение а\ + (Т2 и <п при последовательном образовании
четырех отверстий
0,241
0,363
0,645
0,618
* = 0,84, -=^ = -0,13, h = 0,061
I-0,222
0,545
0,791
0,615
0,010
0,119
0,056
0,000
0,424
= -0,01, h = 0,055
Рис. 5.36. Распределение g\ + a2 и <п при последовательном образовании
четырех отверстий. Крупный план
5.2. Модельные задачи
355
рис. 5.40 — для случая изолированного малого отверстия. Из рисун-
рисунков видны изменения этих полей, вызываемые возникновением новых
концентраторов напряжений.
На этих рисунках каждая черная или белая полоса соответствует
определенному диапазону изменения рассматриваемой величины, а
серым цветом закрашены области, занятые самими отверстиями. На
^ = 1,00, ^^ = -0,40, h = 0,088
/X /X
0 3 я/Д
^^ = 1,00, ^^ = -0,02, h = 0,063
Рис. 5.37. Распределение g\ + сг2 и g\ при последовательном образовании
трех отверстий
-1
Cmax
0,802
0,427
-0,846
-0,249
0,579
-0,10
•0,243
•0,170
= 1,00, ^^ = -0,35, h = 0,08
= 1,00,
™0,823
•0,196
¦0,059
0,129
0,002
0,0G3
¦0,067
= -0,01, h = 0,064
Рис. 5.38. Распределение g\ + сг2 и g\ при последовательном образовании
трех отверстий. Крупный план
23*
356 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
рисунках используются следующие обозначения: crmax//i и crmin//i, —
соответственно максимальное и минимальное значение рассматривае-
рассматриваемой величины в области, показанной на рисунке; h — разность между
y/R
1 x/R
= 1,01, -^ = -0,20, h = 0,076
/л
y/R
'0,068
Cmax
i x/R
= 0,98, °^- = -0,01, h = 0,062
Рис. 5.39. Распределение о\ + (Т2 и <j\ при последовательном образовании
двух отверстий. Крупный план
y/R
¦0,194
¦0,098
-0,150
¦0,595
•0,430
¦0,246
x/R
Ста:
= 0,60, ^^ = -0,18, h = 0,044
/2 fl
-1
^max
= 0,87, °^ = -0,14, h = 0,063
/л \i
Рис. 5.40. Распределение <j\ + сг2 при Рис. 5.41. Распределение <j\ + сг2
образовании одного отверстия. Круп- при одновременном образовании
ный план четырех отверстий
5.2. Модельные задачи
357
максимальным и минимальным значениями рассматриваемой вели-
величины в пределах одной черной или белой полосы. Для наглядности
справа от рисунков приведены значения рассматриваемых величин в
отдельных точках, указанных горизонтальными линиями.
На рис. 5.35, 5.41 приведены поля распределения суммы главных
напряжений ао,П1 + ао,п2 Для первой и третьей задачи (в предвари-
предварительно нагруженном теле все отверстия образуются одновременно).
На рис. 5.36 для первой задачи показаны соответствующие поля на-
напряжений «крупным планом» (вблизи концентраторов напряжений).
Из этих рисунков видно, что, во-первых, поля распределения напря-
напряжений различны.
Такое различие наиболее заметно вблизи второго и третьего от-
отверстий. Это видно и из рис. 5.42, на котором приведены эпюры истин-
™^ЕЗ
0,59^
I
i
i
I
— 1
i
i
I
\
1
\°
. \
---^
,62
Рис. 5.42. Эпюры истинных напряжений на контуре третьего отверстия
при последовательном (а) и одновременном {б) образовании четырех от-
отверстий
ных контурных напряжений, также показывающие различия, причем
как при решении задачи в рамках теории многократного наложения
больших деформаций, так и теории наложения малых деформаций на
имеющиеся большие. Во-вторых, что естественно, поля напряжений
co,5i + сго,52 несимметричны относительно оси у = 0.
И, в-третьих, расположение больших отверстий различно (а зна-
значит, и расстояния между ними различаются). Как уже отмечалось,
это связано с несовпадением как «вмороженных» координат центров
отверстий, так и «вмороженных» координат их граничных конту-
контуров.
Приведем в заключение некоторые результаты решения первой
задачи для случая, когда центр первого большого отверстия в момент
образования сдвинут на угол C относительно оси х (рис. 5.43—5.46).
И, кроме того, отметим также, что сравнение результатов решения
задачи для /5 = 0, [3 = 120° и C = 240° (а это три разные задачи, так
как последовательность образования больших отверстий различна)
показывает, что в точке максимальной концентрации тангенциальные
358 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
напряжения а^ на контуре первого отверстия в этих трех случаях
заметно различаются. Так
' '
'
-0,071
0,131
0,552
0,407
-0,195
0,707
0,458
0,402
О 3 x/R
— = 0,81, ^^ = -0,27, h = 0,067
- = 0,60, -^^ = -0,18, h = 0,044
Рис. 5.43. Распределение <л + а2 при последовательном образовании четы-
четырех отверстий, C = 15°. Справа — крупный план
y/R
-l
Cmax
V
= 0,86, ^^ = -0,01, /i = 0,055
/X /X
Рис. 5.44. Распределение сг\ и эпюры истинных напряжений на контуре
первого отверстия при последовательном образовании четырех отверстий,
5.2. Модельные задачи
359
Рис. 5.45. Эпюры истинных напряжений на контуре первого отверстия при
различных /3
у/Щ 1^
'0,28 0,33 0,38 x/R
C=15°
У/Я
0,04
0,04
If/
ч
x \ \
/I
У
0,3
0,4 x/R
/3=30°
Рис. 5.46. Форма контура первого отверстия при различных /3
5.2.4. Задача о последовательном образовании поврежде-
повреждений в теле из материала Мурнагана. Рассмотрим взаимодей-
взаимодействие двух больших одинаковых отверстий с малым, когда большие
оси больших отверстий лежат на одной прямой, большая ось малого
отверстия параллельна им, а центр меньшего отверстия «движется»
параллельно его большой оси, причем сначала образуется одно из
больших отверстий, затем — малое и в последнюю очередь — еще
одно большое отверстие. Как и раньше, форма каждого отверстия и
его центр задаются в момент образования этого отверстия. Данная
задача позволяет моделировать случай, когда в нагруженном теле
из-за образования концентратора напряжений происходит раскры-
раскрытие микропоры (микродефекта, вторичной трещины), а последующее
образования второго концентратора напряжений может привести к
360
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
разрыву перемычки между первым концентратором напряжений и
микропорой.
На рис. 5.47 представлены полные истинные тангенциальные на-
напряжения в вершине первого (большого) отверстия (точка А), в вер-
0,4
0,3
0,2
0,0,
в.
D
/ft
t \p
—>
3 4 5
Линейное решение
0,4
0,3
0,2
n n
"B
t
t t i
¦¦p
с
D
3 4 5
Нелинейное решение
Рис. 5.47. Взаимодействие двух больших эллиптических отверстий с одним
малым. Зависимость контурных напряжений в вершинах отверстий от абс-
абсциссы центра малого отверстия
шинах второго (малого) отверстия (точки В и С) и в вершинах
третьего (большого) отверстия (точка D) в зависимости от рассто-
расстояния х\ между меньшими осями первых двух эллипсов для случая
ai/bi = а2/Ь2 = а3/63 = 5, тх = т2 = ш3 = 0,666, Ь2/Ъ1 = 1/3, Ь3 =
= fei, #1=2/1=0, ж§/Ь1 = 12, 2/з = 0^ 2/2/^1 = ^^ (а*5 ^ ~~ большая
и малая полуоси г-го эллипса соответственно; а^, у^ — координаты
центра г-го отверстия; отверстия нумеруются в порядке их образо-
образования). Расчеты выполнены при X/G = 2,24, Cs/G = —1,96, C4/G =
= 3,61, C5/G = —11,13 [127, 131] для одноосного начального растяже-
растяжения (jp/G = 0,03).
Из рисунка видно, в частности, что в линейном решении (реше-
(решении по теории наложения малых деформаций на большие) наиболее
опасной с точки зрения разрушения при x^/bi < 3,6 является вер-
вершина D третьего отверстия, а при х2/Ъ\ > 3,6 — вершина С второго
отверстия. В нелинейном же решении (по теории наложения больших
деформаций на большие) наиболее опасной при х2/Ъ\ < 3,5 является
вершина А первого отверстия, а при х2/Ъ\ > 3,5 — вершина С второго
отверстия. Таким образом, при x\jh\ < 3,6 в линейном и нелинейном
решении наиболее опасными с точки зрения разрушения являются
различные вершины для одного и того же расположения отверстий.
Из данного рисунка видно также, что в нелинейном решении в нашем
5.2. Модельные задачи 361
случае величина напряжений уменьшается на 45-50 % по сравнению
с линейным.
5.2.5. Задача о взаимовлиянии близкорасположенных по-
поры и микродефекта. Рассмотрим эту задачу как модельную для
двух близкорасположенных отверстий, характерные размеры кото-
которых существенно различаются (в 10 раз и более), и когда расстояние
между краями отверстий сравнимо с характерным размером малого
отверстия. В этом случае существенным оказывается не только влия-
влияние большого отверстия на распределение напряжений вблизи малого,
но и влияние малого отверстия на распределение напряжений вблизи
большого. Вначале рассмотрим случай, когда оба отверстия образу-
образуются (одновременно или последовательно) в предварительно нагру-
нагруженном теле, механические свойства которого описываются потен-
потенциалом Мурнагана с константами X/G = 2,1, Cs/G = —0,07, C4/G =
= —0,38, C$/G = 0,34. Будем считать, что большое отверстие прини-
принимает в момент своего образования круговую форму, малое отверстие
в момент своего образования является круговым или эллиптическим,
и центры обоих отверстий расположены на оси х.
Используются следующие обозначения для геометрических харак-
характеристик отверстий в моменты образования: R — радиус большого
отверстия, г — радиус малого отверстия, если оно является кругом, а
и Ь — большая и малая полуоси малого отверстия, если оно является
эллипсом, if — угол наклона большой оси малого отверстия к оси ж,
5 — расстояние между центрами отверстий. На всех рисунках жирная
сплошная линия обозначает контур отверстия, более тонкая сплошная
линия соответствует результатам решения линеаризованной задачи
(нулевому приближению), пунктирная линия — решению с учетом не-
нелинейных эффектов. Числа на рисунках показывают значения напря-
напряжений в лежащих на оси х точках контуров, отнесенные к модулю G.
На рис. 5.48 даны результаты решения задачи о последовательном
образовании двух круговых отверстий для случая R/r = 10, 5/г =
= 12,5 при одноосном начальном нагружении q/G = 0,15 в направле-
направлении оси у.
Из рисунка можно видеть, во-первых, что максимальные напря-
напряжения на контуре малого отверстия существенно (примерно в два
раза) больше, чем максимальные напряжения на контуре большого
отверстия. Во-вторых, максимальные напряжения на контуре боль-
большого отверстия достигаются не в точке, лежащей на оси х и наибо-
наиболее близкой к малому отверстию, а на некотором удалении от этой
точки. Эти максимальные напряжения примерно на 20 % превышают
максимальное значение напряжений для случая, когда взаимовлияние
отверстий не учитывается. В точке, лежащей на оси ж, имеет место
локальный минимум напряжений, причем для решения с учетом нели-
нелинейных эффектов этот минимум для данного материала оказывается
более слабо выраженным.
362 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
4 4 4
0,52 0,45
0,43 0,57
1,27 0,98
Рис. 5.48. Эпюры контурных напряжений на контурах отверстий в случае
кругового малого отверстия при R/r = 10, S/r = 12,5 для одноосного нагру-
жения (а — эпюры на половине контура большого отверстия, б — они же
крупным планом вблизи малого отверстия, в — эпюры на половине контура
малого отверстия)
На рис. 5.49 приведены результаты решения аналогичной задачи
для случая R/r = 50, S/r = 53. Нагружение то же, что и для преды-
предыдущей задачи. И в этом случае проявляются эффекты, которые были
отмечены выше, но они более сильно выражены.
На рис. 5.50 приведены результаты решения задачи об одновремен-
одновременном образовании большого кругового отверстия радиуса R и малого
эллиптического отверстия с полуосями а и 6, большая ось которого
лежит на оси х (т. е. (р = 0), для случая а/Ъ = 4, R/b = 41,67, S/b = 50
при одноосном начальном нагружении q = 0,15 G в направлении оси у.
Можно видеть, что качественно характер распределения напряжений
на контуре большого отверстия тот же, что и для задач, рассмотрен-
рассмотренных на рис. 5.48 и 5.49.
На рис. 5.51, 5.52 приведены результаты решения задачи, анало-
аналогичной рассмотренной на рис. 5.50, но для случая, когда большая
ось эллипса образует угол (р = 45° с положительным направлением
оси х. На рис. 5.51 представлены эпюры для одноосного начального
нагружения q/G = 0,15, а на рис. 5.52 — для всестороннего начального
5.2. Модельные задачи
363
0,52 0,45
0,39 0,54
1,76 1,22
1,08 1,55
Рис. 5.49. Эпюры контурных напряжений на контурах отверстий в случае
кругового малого отверстия при R/r = 50, S/r = 53 для одноосного нагру-
жения (а — эпюры на половине контура большого отверстия, б — они же
крупным планом вблизи малого отверстия, в — эпюры на половине контура
малого отверстия)
од
7,16 3,22
2,65 5,32
0,52 0,45
0,42 0,57
ОД
Рис. 5.50. Эпюры контурных напряжений на контурах отверстий в случае
эллиптического малого отверстия при а/Ъ = 4, R/b = 41,67, S/b = 50, (f =
= 0 для одноосного нагружения (а — эпюры на половине контура малого
отверстия, б — эпюры на половине контура большого отверстия, в — они
же крупным планом вблизи малого отверстия)
нагружения q/G = 0,15. Следует отметить, что контурные напряже-
напряжения на контуре большого отверстия имеют локальный минимум в той
части этого контура, которая наиболее близка к малому отверстию.
364 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
\ + 4
!?,' од
Большое отверстие
Малое отверстие
Рис. 5.51. Эпюры контурных напряжений на контурах отверстий в случае
эллиптического малого отверстия при а/Ъ = 4, R/b = 41,67, S/b = 50, (f =
= 45° для одноосного нагружения
од
4 + +
+ 1 +
{ K..Jf
/ /
0,1
Большое отверстие
Малое отверстие
Рис. 5.52. Эпюры контурных напряжений на контурах отверстий в случае
эллиптического малого отверстия при а/b = 4, R/b = 41,67, S/b = 50, (f =
= 45° для всестороннего нагружения
Приведенные результаты позволяют сделать вывод о том, что на-
наличие малого отверстия вблизи большого ведет к заметному измене-
изменению напряжений на той части контура большого отверстия, которая
находится вблизи малого, причем положение точки максимума на-
напряжений на контуре большого отверстия смещается по сравнению
со случаем, когда взаимодействие отверстий не учитывается.
И приведем также результаты решения задачи для случая, когда
оба отверстия образуются одновременно в предварительно нагружен-
нагруженном теле из материала Муни, когда большое отверстие принимает в
момент образования круговую форму, а малое отверстие круговую
или эллиптическую. Все расчеты выполнены при /3 = 1.
Следует отметить, что при плоской деформации решение данной
задачи не зависит от значения константы /3, за исключением напряже-
напряжений, действующих в направлении, перпендикулярном к плоскости де-
5.2. Модельные задачи
365
формации, поэтому приведенные результаты имеют место при любом
значении этой константы. Как и раньше, используются следующие
обозначения для геометрических характеристик отверстий в моменты
образования: R — радиус большого отверстия, г — радиус малого
отверстия, если оно является кругом, а и Ъ — большая и малая
полуоси малого отверстия, если оно является эллипсом, (р — угол
наклона большой оси малого отверстия к оси ж, 5Х и 5У — координаты
центра малого отверстия (считается, что центр большого отверстия в
момент образования совпадает с началом координат). Как и раньше,
на всех рисунках жирная сплошная линия обозначает контур отверс-
отверстия, более тонкая сплошная линия соответствует результатам реше-
решения линеаризованной задачи (нулевому приближению), пунктирная
линия — решению с учетом нелинейных эффектов. На тех рисунках,
где показаны эпюры контурных напряжений, горизонтальные отрезки
с числами над ними указывают масштаб по напряжениям в долях мо-
модуля /i. Также на этих рисунках для наглядности указаны отнесенные
к модулю fi численные значения напряжений для линеаризованной
задачи в некоторых точках контуров отверстий: для круговых отверс-
отверстий — в точках, лежащих на оси ж, а для эллиптических отверстий —
в вершинах эллипсов.
На рис. 5.53 представлены результаты решения задачи об образо-
образовании двух круговых отверстий для случая R/r = 50, 5х/г = 53, 5У = 0
при одноосном начальном нагружении q = 0,3 /i в направлении оси у.
Большое отверстие 0,78
Малое отверстие 2,3
Рис. 5.53. Эпюры контурных напряжений на контурах отверстий в случае
кругового малого отверстия при R/r = 50
Из рисунка можно видеть, во-первых, что максимальные напря-
напряжения на контуре малого отверстия существенно (более чем в два
раза) больше, чем максимальные напряжения на контуре большого
отверстия. Во-вторых, максимальные напряжения на контуре боль-
большого отверстия достигаются не в точке, лежащей на оси х и наиболее
близкой к малому отверстию, а на некотором удалении от этой точки.
На рис. 5.54 приведены результаты решения задачи об одновремен-
одновременном образовании большого кругового отверстия радиуса R и малого
эллиптического отверстия с полуосями а и 6, большая ось которого
параллельна оси х (т. е. (р = 0), для случая а/Ъ = 4, R/b = 41,67, 5x/b =
366 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
+ 4 4
Л \
°'90 ^-О^
од
I /1
!
12
13
4,7
Рис. 5.54. Результаты расчетов для случая малого эллиптического отверс-
отверстия, большая ось которого параллельна оси х: а — эпюры контурных
напряжений на контуре большого отверстия; б — форма контура малого
отверстия в момент образования и в конечном состоянии; в — эпюры кон-
контурных напряжений на контуре малого отверстия
= 52,08, 5у/Ь = 8,33 при одноосном начальном нагружении q = 0,3 fi в
направлении оси у. Можно видеть, что и в этом случае напряжения
на контуре большого отверстия имеют локальный минимум вблизи
той его точки, которая наиболее близка к малому отверстию.
+ + $
4)-
i + +
4—^2,9
_Afl
1
Большое отверстие
Малое отверстие
Рис. 5.55. Эпюры контурных напряжений на контурах отверстий в слу-
случае эллиптического малого отверстия, большая ось которого образует угол
(р = 45° с осью х
На рис. 5.55 приведены результаты решения задачи, аналогичной
рассмотренной на рис. 5.54, но для случая, когда центр эллипса лежит
на оси ж, а большая ось эллипса образует угол (р = 45° с положите ль-
5.3. Трещиноватость у носика привносимого в тело концентратора 367
ным направлением оси ж, при а/Ъ = 4, R/b = 41,67, Sx/b = 50, 5У = 0
для одноосного начального нагружения q = 0,3 /i.
Следует отметить, что для всех рассмотренных задач появляется
локальный минимум контурных напряжений в той части контура
большого отверстия, которая наиболее близка к малому отверстию.
Эти результаты полезны и при рассмотрении проблемы трещинова-
тости у носика привносимого в тело концентратора напряжений.
5.3. Трещиноватость у носика привносимого в тело
концентратора напряжений
Как и раньше мы не будем обсуждать механизм образования у но-
носика трещины микропор и других микродефектов, так как это на наш
взгляд задача материаловедения. Рассмотрим просто ряд модельных
задач (достаточно не тривиальных при конечных деформациях), ко-
которые можно сформулировать и решить в рамках теории многократ-
многократного наложения больших деформаций, используя ранее изложенный
алгоритм рассмотрения задач прочности. Отметим, что результаты
решения этих задач дают некоторое качественное предварительное
представление о напряженно-деформированном состоянии вблизи но-
носика трещины (в рамках принятой модели) в случае возникновения
эффекта трещиноватости.
Итак, в рамках теории многократного наложения больших дефор-
деформаций можно рассмотрим два типа модельных задач:
Первый. О различной последовательности образования (в том чис-
числе и принудительном) микроповреждений различной формы вблизи
носика основного повреждения (трещиныI).
В качестве приближенного модельного примера рассмотрим зада-
задачу о последовательном образовании трех круговых (одного большого
и двух малых) отверстий в теле из материала Мурнагана.
Приведем результаты решения задачи о взаимовлиянии одного
большого отверстия радиуса R\ (будем считать, что центр его распо-
расположен в начале координат, т. е. х\ = у\ = 0) и двух малых, одинаковых
по размеру (R2 = -Кз) и расположенных «симметрично» относительно
оси х {х\ = х\ = R\ + 5, У2 = — 2/3 = У°)- Здесь Ri^R2^R^— радиусы от-
отверстий в момент их образования, а х\ и у\ — координаты центра г-го
отверстия в момент его образования. Исследуем зависимость напря-
напряженно-деформированного состояния от изменения S (т. е. когда малые
отверстия «движутся» относительно большого параллельно оси х) в
случае начального одноосного растяжения 0"о,1ц =0? ao,i22 = P' ^а
рис. 5.56 показана зависимость максимальных полных истинных кон-
г) Отметим, что в зависимости от последовательности образования этих
микроповрежений, рост основной трещины (алгоритм п. 6) может происхо-
происходить различным образом.
368
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
0,19
0,17-
0,15
l/
/ t
1
(_
t fp
1 \ 1
1
Линейное решение
Нелинейное решение
Рис. 5.56. Три круговых отверстия. Зависимость максимальных напряже-
напряжений на контурах отверстий от абсциссы второго отверстия. Одноосное на-
начальное растяжение. Материал Мурнагана
турных напряжений для каждого отверстия от 5 для случая R1/R2 =
= 2, yc/R2 = 2 при p/G = 0,05. Механические свойства материала
описываются потенциалом Мурнагана при X/G = 2,24, Cs/G = —1,96,
C4/G = 3,61, C5/G = -11/13 [127, 131]. На этом рисунке и двух по-
последующих числа 1—3 на графиках являются номерами отверстий в
порядке их образования.
Как следует из рисунков, учет нелинейных эффектов в этом случае
делает «опасным» до 5/R2 < 2 не третье, как в линейном случае, а
второе отверстие.
Теперь рассмотрим случай, когда расстояние между центром боль-
большого отверстия в момент его образования и центрами малых от-
отверстий в момент их образования фиксировано, а угол а наклона
прямой, соединяющей центр большого отверстия с центрами малых
в момент их образования, меняется (малые отверстия «вращаются»
вокруг большого). На рис. 5.57 показана зависимость максимальных
по модулю полных истинных контурных напряжений |сго,4^| Для
каждого отверстия от угла а для случая R1/R2 = 3, R2 = ^з, х\ =
= г/1 = 0, X2/R2 = X3/R2 = 5 cos a, 1/2/R2 = —I/3/R2 = 5 sin а. Мате-
Материал тела и начальное нагружение такие же, как и в предыдущей
задаче. Сравнивая приведенные на рис. 5.57 результаты решения за-
задачи, полученные с помощью теории наложения больших деформа-
деформаций (нелинейное решение) с результатами, полученными по теории
наложения малых деформаций на большие (линейное решение), ви-
видим, что в линейном и нелинейном решениях при а < 65° наиболее
опасными с точки зрения прочности будут различные точки: если
в линейном решении при таких значениях угла а наиболее опасной
будет точка третьего отверстия, то в нелинейном решении — второго.
5.3. Трещиноватость у носика привносимого в тело концентратора 369
0,15
0,05
У
к.
3®
30 60 а
Линейное решение
30 60 а
Нелинейное решение
Рис. 5.57. Три круговых отверстия. Зависимость максимальных напряже-
напряжений на контурах отверстий от угла а. Большое отверстие образуется раньше
Это объясняется, вероятно, тем, что при решении задачи в рамках
теории наложения больших деформаций на большие мы учитываем
изменение положения третьего отверстия в момент его образования.
При а > 65°, как видно из рисунка, наиболее опасной как в линейном,
так и в нелинейном решениях будет точка первого отверстия.
a \/G
ерши
I
0,15
0,05
3^
X
30 60 a
Линейное решение
0,15
0,05
/
5 ¦¦"
+ 1
Ы)аГ
\
30 60 а
Нелинейное решение
Рис. 5.58. Три круговых отверстия. Зависимость максимальных напряже-
напряжений на контурах отверстий от угла а. Большое отверстие образуется позже
малых
На рис. 5.58 приведена аналогичная зависимость для случая, когда
сначала образуются малые отверстия, а потом — большое (располо-
(расположение отверстий, свойства материала и начальные нагрузки те же,
что и на рис. 5.57). Отметим, что это две разные задачи.
24 В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
370 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
Сравнивая рис. 5.57 и 5.58 для нелинейного случая, видим, что
«опасные» точки не изменяются, но уменьшается на 15 % величина
максимальных напряжений ао,4^ на контуре первого малого отверс-
отверстия. Это объясняется тем достаточно очевидным фактом, что поля
малых отверстий значительно меньше влияют на положение цен-
центра большого отверстия в момент его образования во второй задаче
(рис. 5.58), чем поле большого отверстия влияет на положение цен-
центров малых отверстий в первой задаче (рис. 5.57).
И второй случай. Об образовании нескольких основных повре-
повреждений (трещин) причем одновременно или последовательно в том
или ином порядке таким образом, что микроповреждения различной
формы находятся вблизи носика основных трещины.
Здесь модельными задачами могут быть ранее рассмотренные за-
задачи п. 5.2: задачи 5.2.2 (задача о трех последовательно образованных
эллиптических отверстиях), 5.2.3 (задача о влиянии трех последо-
последовательно образуемых одинаковых круговых (в момент своего обра-
образования) концентраторов напряжений на микроповреждение) и 5.2.4
(задача о последовательном образовании трех эллиптических (в мо-
момент своего образования) отверстиях в теле из материала Мурнагана).
5.4. Вязкий рост трещин при давлении,
прикладываемом к их берегам в процессе нагружения
Алгоритм решения этой задачи аналогичен раннее изложенному,
за исключением необходимости учитывать давление, приложенное к
берегам как основных трещин, так и «новых микропор». Причем ве-
величина давления определяет, каким образом и в каком направлении
будет происходить поглощение основной трещиной остальных трещин
и микропор или слияние нескольких основных трещин с поглоще-
поглощением микропор. Отметим, что при моделировании повреждения в
момент его образования с помощью «физического разреза» (п. 4.5.)
за счет давления, приложенного в момент образования разреза к его
берегам, отношение «длины» к «ширине» разреза может значительно
увеличиться (на порядок) в момент образования разреза. Напомним,
что для рассмотренного ранее случая (п. 4.5.): материал Трелоара,
начальное одноосное растяжение 0"одп = 0> аод22 = 0>0060415/х, ПРИ
а/Ъ = 248 (коэффициенты конформного отображения С\ = 0,988, Сз =
= —0,004) имеем h = 0,21 • 10~5/. Здесь h — максимальное расстоя-
расстояние между берегами повреждения в момент его образования в пред-
предварительно нагруженном теле, / — длина (характерный размер по-
повреждения) в момент образования повреждения. При этом в носике
повреждения 0"o,2w = 1,28/i. При наличии давления p/cr^i ~ 10~3
(p/fi = 0,0000000663), приложенного к берегам повреждения («физи-
(«физического разреза») имеем hi = 0,13 • 10~7/, то есть h/h\ ж 162.
5.4- Вязкий рост трещин при давлении
371
-0,08
3,0
Рис. 5.59. Контур малого отверстия в момент и после образования (пунк-
(пунктирная линия)
В качестве модельного примера рассмотрим результаты решения
задачи п. 5.2.1 (задача о двух последовательно образованных эллип-
эллиптических отверстиях), для случая, когда к берегам второго (малого)
отверстия прикладывается в момент образования этого отверстия дав-
давление.
Задача рассматривается для следующего случая: в начале в пред-
предварительно нагруженном (^дд = 0, 0"од2 2 = 0,1/i) теле из мате-
материала Трелоара образуется большее эллиптическое (в момент своего
образования) отверстие mi = 0,7, mi = a± — &i/(ai + &i), &i и Ъ\ —
большая и малая полуоси эллипса. А затем на расстоянии между цен-
центрами h (в момент образования второго отверстия) образуется малое
(эллиптическое в момент своего образования) отверстие (микропора)
777,2 = 0,5, 62/fri =0,1. В момент образования этого отверстия к его
берегам прикладывается давление р = 0,1 /х.
Видим из рис. 5.60-5.63, на которых приведены поля распределе-
распределений criO3//i, (alQ3 + cr2o3)//i, (о-10}3 -a20i3)/^K (как и ранее для про-
простоты на рисунках использованы обозначения а±, а<2, g\ + g<2 , g\ — СГ2),
что в этом случае при h = 2,95, развитие трещины будет происходить
от носика малого отверстия (микропоры). Тогда как при отсутст-
Рис. 5.60. Поле распределения g\ + сг2
24*
372
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
-0,5
1,50
0,51
0,0-
-0,5 Н—
1,50
Рис. 5.61. Поле распределения
-0,081
| 0,104
" 0,289
0,473
0,658
0,843
1,028
1,213
Мах = 1,39754
=-0,08098
- а2
0,001
0Д88
2,35
Рис. 5.62. Поле распределения сг\ — сг2
0,562
0,749
0,936
1,123
1,310
Мах =1,49661
Min=0,00103
К
Ш -0,941
I ^0,758
" -0,575
-0,392
-0,209
-0,026
0,157
0,340
Мах =0,52265
Рис. 5.63. Поле распределения К = crO;3i + сго,з2 — (^o,3i + сго,з2J
5.5. Развитие трещины в вязкоупругом теле 373
вии давления при h = 2,95 развитие трещины происходит от носика
большего (первого) отверстия (основной трещины), рис. 5.21-5.23, хо-
хотя контур малого отверстия в этом случае «более пологий», рис. 5.59.
5.5. Развитие трещины в вязкоупругом теле,
имеющем конечные деформации
При рассмотрении этой задачи, как и любых задач прочности,
требуется, во-первых, выбрать критерий1) и, во-вторых, модель роста
трещины. При выборе модели следует учитывать, что в вязкоупругом
материале может происходить как изменение формы концентратора
напряжений (трещины, повреждения), так и напряженно-деформи-
напряженно-деформированного состояния всего тела без изменения внешних воздействий
(благодаря вязкоупругим процессам, происходящим в материале те-
тела). Выбрав критерий, будем считать, что «новая микропора» рас-
раскрывается2) в том месте, где этот критерий превышен и в момент
времени tni, когда этот критерий превышен. Как и раньше будем
считать, что мы имеем дело с повреждениями (трещинами), радиус
кривизны которых в их вершине отличен от нуля.
Как и в упругом случае, при решении конкретных задач будем
считать, что слияние основной трещины с повреждением («разрыв
перемычки») происходит в момент времени tni, когда расстояние меж-
между основной трещиной и вторичным повреждением меньше или равно
«длине» микропоры или происходит сразу в момент времени tn{, как
только превышен предел прочности. Отметим, что возможно приня-
принятие и других условий, особенно если главные оси основной трещины и
повреждения (второй основной трещины, вторичной трещины, «новой
микропорой») не лежат на одной прямой. Рассмотрим три модельные
задачи.
Одной из модельных задач о взаимодействии и взаимовлиянии
двух концентраторов напряжений, иллюстрирующих влияние вре-
времени (вязкоупругих процессов происходящих в материале тела), на
изменение «опасной точки» может быть плоская задача о взаимо-
взаимовлияние и взаимодействие двух узких эллиптических щелей, после-
последовательно возникающих в предварительно нагруженном теле2*).
Рассмотрим взаимодействие двух последовательно образованных от-
отверстий, каждое из которых принимает в момент его образования
форму узкого эллипса, в случае, когда второе отверстие по размерам
значительно меньше первого, а большие оси эллипсов параллельны
г) Ряд новых нелокальных критериев будет рассмотрен в последнем
пункте этой главы.
2) Рассматривается случай, когда раскрытие микропоры возможно.
3) Для облегчения чтения мы не будем разбивать пункт на подпункты,
а начало каждой задачи выделим курсивом.
374
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
(данная задача похожа на задачу п. 5.2.1). Расчеты проведены для
случая одноосного начального растяжения (<то,1п = О, ^0,122/^° =
= 0,03). Для вязкоупругого материала
= /i0 <p(i) - I
- r)(p(r) dr ,
l(t) = Aexp(-crt)t7~\ 7 = 0,016, a = 0,000155 a7.
Большие оси эллипсов в момент образования считаются парал-
параллельными оси х (т. е. перпендикулярными к направлению начальной
нагрузки).
Для описания расположения и размеров отверстий используются
следующие обозначения: ai, a 2 — большие полуоси эллипсов в момент
образования отверстий; &i, 62 — малые полуоси; ж?, у? — координаты
намеченного центра г-го отверстия в момент его образования (считает-
(считается, что центр первого отверстия в этом состоянии совпадает с началом
координат, т. е. х\ = у\ = 0). Все результаты расчетов приведены для
случая ai/bi = 8, «2/^2 = 4, 62/^1 = 0,7, 2/2/^1 = ^? ari = 0,001, t^Jt-y =
= 2, через т\ и Г2 обозначены моменты образования отверстия.
На рис. 5.64 и 5.65 приведена форма отверстий в различные момен-
моменты времени для двух вариантов расположения второго отверстия: при
Рис. 5.64. Форма первого отверстия в различные моменты времени при
различных х2
vlh
vlh
!
I
1
1 /
3,6
6,1
x/bj.
6,4
9,4
Рис. 5.65. Форма второго отверстия в различные моменты времени при
различных х2
5.5. Развитие трещины в вязкоупругом теле
375
x\jh\ = 6,6 и при x\jh\ = 9,4. Как видно из этих рисунков, при дефор-
деформировании происходит расширение отверстия в направлении малой
оси, возрастающее со временем; при этом перемещения, вызванные
упругим деформированием, относительно невелики по сравнению с
дальнейшими перемещениями, вызванными протеканием вязкоупру-
гих процессов в материале тела. Видно также, что форма отверстий
становится асимметричной, что объясняется их взаимовлиянием.
0,03
0,02
0,01
0,00
X
/
\ \ \v
\ \ \
1,000
1,012
х/ а
0,28
0,20
0,12
1
\
\
\
\
\
\
\
\
0
\
\
t \p
ч
1,000
1,012 х/а
Рис. 5.66. Распределение напряжения вдоль оси х в окрестности вершины А
первого отверстия в момент времени t = Зть Линейное @) и нелинейное A)
решение
Результаты решения задачи для случая x^/bi = 9,4 приведены на
рис. 5.66 и 5.67. На рис. 5.66 представлено распределение напряжений
вдоль оси х в окрестности вершины А
первого отверстия в момент времени
t = 3ti (положение этой вершины ука-
указано на рисунке). Через а на рисун-
рисунке обозначена абсцисса этой вершины
в момент образования второго отверс-
отверстия. Как видно из рисунка, поправка от
учета нелинейных эффектов в этой вер-
вершине составляет в данном случае око-
около 40 % в сторону увеличения напря-
напряжений.
На рис. 5.67 показано изменение во
времени компоненты сго,з22 тензора пол-
полных истинных напряжений в вершинах
С и D второго отверстия. Как видно
из рисунка, сго,з22 убывает со време-
временем, причем скорость изменения этой
компоненты со временем уменьшается.
0,355
0,335
0,315
2,00
2,25
Рис. 5.67. Зависимость напря-
напряжения СГ22 в вершинах второго
отверстия от времени
376
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
Уменьшение напряжений можно объяснить тем, что при деформиро-
деформировании отверстия происходит растяжение его в направлении малой оси
(это видно из рис. 5.65) и уменьшение
кривизны в вершинах.
Наконец, на рис. 5.68, 5.69 пока-
показано изменение напряжений в верши-
вершинах отверстий в зависимости от абс-
абсциссы х\ центра второго отверстия.
На рис. 5.68 приведено линейное реше-
решение, а на рис. 5.69 — нелинейное ре-
решение в различные моменты времени.
Сравнивая результаты, приведенные на
рис. 5.68 и 5.69, видим не только коли-
количественные, но и некоторые качествен-
качественные различия, связанные с изменением
положения точки, в которой достигает-
достигается максимальная во всем теле концен-
концентрация напряжений (будем считать эту
точку наиболее опасной с точки зрения
возможного разрушения). Как видно из
рис. 5.68, для линейного решения при
x\jb\ < 5 «наиболее опасной» является
вершина первого отверстия — точка В,
а при x\jh\ > 5 «наиболее опасны» вершины второго отверстия —
точки С (при 5 < x%/bi < 11) и D (при x\jb\ > 11).
2,25
4/h
Рис. 5.68. Зависимость кон-
контурных напряжений в вер-
вершинах отверстий от абсциссы
Х2 центра второго отверстия.
Линейное решение t = т^
0,3
0,2
0,1
0,0
/
в
/
/с
у
у
/Ь
/
t=T2
t t
^-4—
\ \
х I
А
12 xi/b1
0,3
0,2
0,1
0,0
/
в
/
/с
/
у
/
/
/
/
/
/о
/
/
/
г2)М=1
t
t
—-
\
\p
\
A
I
9 12 х1/Ьг
Рис. 5.69. Зависимость контурных напряжений в вершинах отверстий от
абсциссы Х2 центра второго отверстия. Нелинейное решение в различные
моменты времени
5.5. Развитие трещины в вязкоупругом теле 377
Учет нелинейных эффектов ведет к заметному (до 40 %) возрас-
возрастанию расчетных напряжений в вершинах первого отверстия в мо-
момент образования второго отверстия (при t = Т2), в то время как в
вершинах второго отверстия поправка от учета нелинейности в этот
момент времени незначительна. В результате, как видно из рис. 5.69,
для нелинейного решения в момент времени t = т2 вершины первого
отверстия оказываются «наиболее опасными» в более широком диа-
диапазоне изменения х\, чем для линейного решения. При x^/bi < 7 и
10 < x\jb\ < 11 «наиболее опасной» является точка В, при 7 < x\jb\ <
< 10 — точка С, при 11 < x\jh\ < 12,5 — точка D и при x\jb\ > 12,5 —
точка А. Со временем, как видно из рис. 5.69, напряжения в вершинах
второго отверстия уменьшаются (к моменту времени t = 3ti примерно
на 10%), в то время как напряжения в вершинах первого отверстия
при t > т2 меняются незначительно. В результате в момент времени
t = 3ti «наиболее опасными» с точки зрения возможного разрушения
оказываются вершины первого отверстия: при x\jh\ < 10,5 — точка В,
а при x%/bi > 10,5 — точка А.
В качестве второй модельной задачи рассмотрим задачу о взаи-
взаимовлиянии двух последовательно возникающих отверстий, когда к
контуру каждого отверстия в момент его образования (возникно-
(возникновения) приложено давление. Рассмотрим взаимодействие двух после-
последовательно образованных отверстий, каждое из которых принимает
в момент его образования форму узкого эллипса, когда размеры этих
эллипсов одинаковы, а их большие оси параллельны. Расчеты про-
проведены для случая плоской деформации при одноосном начальном
растяжении (<то,1п = 0, °~0А22 — V^ V — 0,04/i0)- К контуру каждо-
каждого отверстия в момент его образования прикладывается постоянное
давление q = 0,02/ig- Считается, что напряжения на бесконечности
также не меняются со временем. Параметры материала те же, что и
в предыдущей задаче. Большие оси эллипсов в момент образования
считаются параллельными оси х (т. е. перпендикулярными к направ-
направлению начальной нагрузки).
Для описания расположения и размеров отверстий используются
следующие обозначения: ai, a2 — большие полуоси эллипсов в момент
образования отверстий; &]_, 62 — малые полуоси; ж?, у? — координаты
намеченного центра г-го отверстия в момент его образования (считает-
(считается, что центр первого отверстия в этом состоянии совпадает с началом
координат, т. е. х\ = у\ = 0). Через т\ и т^ обозначены моменты обра-
образования отверстий. Все результаты расчетов приведены для случая
ai/fei = a2/b2 = 4, bi = b2 = Ь, y2jb = 4, olt\ = 0,001, t2/ti = 2. Схема
взаимного расположения отверстий и нагружения тела показана на
рис. 5.70.
Рассмотрим сначала влияние взаимного расположения отверстий
на изменение их формы со временем. На рис. 5.71, 5.72 приведена фор-
форма отверстий в различные моменты времени для нескольких значений
378
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
I \ \p
Рис. 5.70. Схема взаимного рас-
расположения отверстий и нагру-
жения тела для задачи о после-
последовательном образовании двух
эллиптических отверстий
Отверстие 1
абсциссы центра второго отверстия.
Как видно из этих рисунков, при де-
деформировании происходит расшире-
расширение второго отверстия в направлении
малой оси, возрастающее со време-
временем; при этом перемещения, вызван-
вызванные упругим деформированием, от-
относительно невелики по сравнению
с дальнейшими перемещениями, вы-
вызванными протеканием вязкоупругих
процессов в материале тела. Пер-
Первое отверстие до образования второ-
второго также расширяется в направлении
малой оси, но затем его деформи-
деформирование приобретает более сложный
характер и существенно зависит от
положения второго отверстия. Вид-
Видно также, что форма отверстий ста-
становится асимметричной, что объяс-
объясняется их взаимовлиянием.
Отверстие 1
У/Ь
о А
| Исходный
-4
0
х$/Ъ=0
Отверстие 2
х/Ь
Отверстие 2
у/ь
4
2
-4
{***^~~ ! ^^^
Ох^_ .ИСХОДНЫЙ ^У
i
)
-4
0
х$/Ь=0
х/Ь
Рис. 5.71. Форма отверстий в различные моменты времени при х\ = 0 и
х% = 46. Нелинейное решение
Эпюры полных истинных напряжений на контурах отверстий
в различные моменты времени для случая х\ = 46 приведены на
рис. 5.73. Следует отметить, что в случае решения задачи в линеари-
5.5. Развитие трещины в вязкоупругом теле
379
у/ь
0
-2
{
t/Ti=3 Отверстие 1
г- — | \ -
*"¦*¦*———___L ____——"""
)
-4
t/ri=S Отверстие 1
x/b
v/ь
Отверстие 2 t/ri=S
I^'
У/Ь
Отверстие 2 t/ri=S
i"^"""*"""" /2 i 1Л """¦""¦^^
Рис. 5.72. Форма отверстий в различные моменты времени при Ж2 = 66 и
#2 = 86. Нелинейное решение
Отверстие 1
Отверстие 2
Рис. 5.73. Эпюры напряжений на контурах отверстий в различные моменты
времени при х\ = 46. Нелинейное решение
зованной постановке в промежутки времени между образованием от-
отверстий имеет место чистая ползучесть, а изменение напряжений про-
происходит только в моменты образования отверстий [122, 127]. В случае
же решения задачи с учетом нелинейных эффектов напряжения из-
изменяются со временем и в промежутки времени между образованием
отверстий, а также после образования второго отверстия.
И, наконец, рассмотрим третью модельную задачу — задачу об
образовании трехлучевой звезды. На рис. 5.74-5.76 приведены неко-
некоторые результаты решения задачи для отверстия, имеющего в момент
образования форму трехлучевой звезды, одна из вершин которой л е-
380
Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
0,9
0,5
1,000
\ \^,oi
Линейное
у/а
1,003
1,006 х/ а
0,8
0,4
0,0
к/2
ХС 1,01
^^
Исходный
-0,2
0,2
0,6 х/а
Рис. 5.74. Зависимость величины
сго,222 от х ПРИ 2/ = 0 в различные
моменты времени для отверстия в
форме трехлучевой звезды
у/а
0,1
0,0
-од
'0,6
Рис. 5.75. Форма контура отверстия,
имеющего в момент образования фор-
форму трехлучевой звезды, в различ-
различные моменты времени. Нелинейное
решение
Исхо
t/Tl=l
дныи
1,01
2//а
0,0
-од
Исхо
/
дный
1,01
0,7 0,8 0,9
Нелинейное решение
0,6 0,7 0,8 0,9 х/а
Линейное решение
Рис. 5.76. Форма контура отверстия, имеющего в момент образования фор-
форму трехлучевой звезды, в различные моменты времени. Крупный план
жит на оси х. Отображающая функция задана в виде
*>(?) =
11711 V 2^ 30 s 48 s 792 s
здесь а — расстояние от центра звезды до любой ее вершины. Расче-
Расчеты выполнены для случая плосконапряженного состояния при ат\ =
= 0,001. Начальное нагружение одноосное: ctq in =0, crol22//iO =
= 0,025.
5.6. Нелокальный критерий разрушения. Конечные деформации 381
На рис. 5.74 приведено распределение компоненты со,222 тенз°-
ра истинных напряжений вдоль оси х вблизи вершины отверстия,
лежащей на оси х (в этой вершине концентрация напряжений мак-
максимальна), в различные моменты времени. Более тонкая линия на
рисунке соответствует линейному решению, для которого, как и в
предыдущем случае, напряжения не меняются со временем после об-
образования отверстия. Из рисунка видно, в частности, что величина
сго,222 возрастает со временем на всем приведенном отрезке оси ж, и
поправка от учета нелинейности составляет при t = 4ti около 38 % в
вершине отверстия.
На рис. 5.75 приведена форма контура отверстия в различные
моменты при решении задачи в нелинейной постановке (показана
половина контура).
На рис. 5.76 показана крупным планом форма части контура вбли-
вблизи вершины отверстия, лежащей на оси ж, в различные моменты
времени. На этом рисунке приведены результаты, как для линей-
линейного, так и для нелинейного решения. Можно видеть, в частности,
что смещение вершины отверстия в направлении, противоположном
направлению оси ж, в нелинейном случае значительно меньше.
Видим, что со временем существенно изменяется радиус кривиз-
кривизны носика концентратора, что и приводит к необходимости введения
осредняющего по времени критерия прочности.
5.6. Нелокальный критерий разрушения. Конечные
деформации
Теория многократного наложения больших деформаций позволяет
проводить в теле из вязкоупругого материала анализ роста трещины
при конечных деформациях на основе последовательного поглоще-
поглощения основной трещиной микропор и вторичных трещин. Для этого
необходим критерий разрыва перемычки между основной трещиной
и ею поглощаемой вторичной трещиной или микропорой, а также
критерий образования (раскрытия) микропор в процессе деформи-
деформирования. Следует отметить, что при конечных деформациях модели
вязкого роста трещины в телах из вязкоупругого материала ранее не
рассматривались.
Один из вариантов таких критериев, а именно «осредняющих»
критериев, был введен в [124] и рассматривается в этом пункте. Во-
Вообще говоря, критерии разрушения в виде осреднения критериальной
величины, как по пространству, так и по времени (но не для конечных
деформаций и тел из вязкоупругого материала) известны, в том числе
описывались и в гл. 2 и 3 (например, п. 3.6) и в работах [185, 188, 189],
но предлагаемые здесь варианты с ними не совпадают.
По нашему мнению в вязкоупругих телах (особенно при конечных
деформациях) необходимо учитывать историю деформирования тела,
382 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
предшествующую моменту начала разрыва перемычки или раскры-
раскрытию микропоры в интервале времени 0 ^ t ^ Т. Поэтому в работе
[124] был предложен следующий критерий
Kdr ^ К01Т, E.6.1)
здесь К = К{а{) — заданная функция сг^, если используется силовой
критерий. Возможно задание и деформационного критерия, тогда
К = К (ei) или К = K(\i), (Ti(xj,t) (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3) — глав-
главные значения тензора истинных напряжений (тензора Коши), Xj —
пространственные координаты, t — время, Kqi — выбранный (опреде-
(определенный) из эксперимента параметр материала, Т — момент времени,
в который проводится анализ прочности.
Критерий E.6.1) можно использовать для определения момента
времени Т, в который, согласно данному критерию, наступает начало
разрыва перемычки (или раскрытия микропоры), или просто в виде
критерия разрыва перемычки (или раскрытия микропоры).
Повторим здесь, что согласно критерию E.6.1) разрыв наступает
при достижении предельного значения осредненной критериальной
величины за некоторый интересующий нас и назначаемый нами ко-
конечный промежуток времени Т (вбирающий в себя историю нагруже-
ния). Среди всех анализируемых моментов времени t $J T, равенство
в условии E.6.1) соблюдается только в момент разрыва перемычки
или раскрытия (образования) микропоры при t = Т.
Положив К{а{) = а\ критерий E.6.1) примет вид
< crOiT, E.6.2)
о
здесь 0"oi — выбранный (определенный) из эксперимента параметр
материала.
Кроме того, по нашему мнению, в вязкоупругих телах (особен-
(особенно при конечных деформациях) раскрытие (образование) микропо-
микропоры происходит не тогда, когда в некоторой точке превышен предел
прочности, а когда по всей длине (диаметру) микропоры превышен
«суммарный» (интегральный) уровень предела прочности, а в центре
этой (будущей) микропоры этот предел достигает своего максимума,
что и определяет место положения этого центра. Поэтому критерий
E.6.2), как критерий раскрытия микропоры в нагруженном теле (для
плоской задачи) предлагается обобщить и использовать в следующем
в виде
1/26 Т
I dx j GXdr < a02TD, E.6.3)
-1/26 О
5.6. Нелокальный критерий разрушения. Конечные деформации 383
здесь D — «длина» микропоры, ctq2 — выбранный (определенный) из
эксперимента параметр материала.
При решении конкретных задач такого типа, вероятно, следует
выбирать центр будущей микропоры в точке, находящейся на рас-
расстоянии более 0,5 D от носика основной трещины, где а± достигает
наибольшего значения.
Применение критерия E.6.2), как критерия разрыва перемычки
между основной трещиной и вторичной трещиной или микропорой
(плоская задача), позволяет записать его следующим образом
в т
I dx Г
GXdr ^ а03ТЪ, E.6.4)
здесь А В = Ъ — «расстояние» между основной трещиной и вторичной
трещиной или микропорой, ось х перпендикулярна первому главному
направлению тензора истинных напряжений (в плоскости деформиро-
деформирования), егоз — выбранный (определенный) из эксперимента параметр
материала.
Отметим, что критерии E.6.3) и E.6.4) имеют разные масштабные
уровни, обычно Ъ^> D.
Критерии E.6.3) и E.6.4) с учетом критерия E.6.1) имеют следую-
следующий вид
1/26 Т
Г dx [ Kdr^K02TD, E.6.5)
-1/26 0
В Т
Kdr ^ К03ТЪ. E.6.6)
fdxf,
И, наконец, отметим, что в общем случае критерий E.6.5) — критерий
раскрытия микропоры — можно также записать следующим образом
Vc T
dV I Kdr ^ K02TVc, E.6.7)
о о
где по прежнему К = K(<7i), K02 — выбранный (определенный) из
эксперимента параметр, Vc — средний объем микропоры.
Таким образом, раскрытие (образование) микропоры происходит,
когда по всему объему микропоры Vc превышен «суммарный» (ин-
(интегральный) уровень предела прочности, а в центре этой (будущей)
микропоры этот предел достигает своего максимума (что и определя-
определяет выбор места положения этого центра при конкретных расчетах).
Физический смысл предложенных критериев осреднения можно
умозрительно обосновать тем, что тело не может быть разрушено ме-
384 Гл. 5. Вязкий рост трещин при конечных деформациях
ханическим полем (внешним воздействием) в одной точке, поскольку
соседние точки неизбежно должны быть вовлечены в процесс раз-
разрушения. Это вовлечение растянуто как во времени, так и по про-
пространству в силу неравномерности воздействия механического поля
(в том числе и благодаря вязкоупругим процессам, происходящих в
материале тела).
В заключении отметим, что при решении конкретной задачи о раз-
разрыве перемычки между основной и вторичной трещинами (моделиру-
(моделируемыми с помощью узких эллиптических щелей) в теле из вязкоупруго-
го материала (со свойствами, как и в предыдущем п. 5.5) для случая
11 22
= 0,1, t\ = 0,1, ?2 = 0,15, ?тек = 0,3 получаем «смягчение» критерия
Стах/О,3 = 1,3.
Одной из целей написания этой книги было обратить внимание
читателя на возможность с помощью компьютерного моделирования
рассматривать задачи прочности при конечных деформациях. При-
Причем, когда повреждения и микроповреждения возникают в уже на-
нагруженном теле, имеющем не малые деформации. Учитывать изме-
изменение полей деформаций и напряжений, когда не применим принцип
суперпозиции. Рассматривать такие модели, когда возникновение ос-
основного повреждения ведет к возникновению дополнительных кон-
концентраторов напряжений (например, раскрытию микропор). То есть
рассматривать задачи, когда в теле до нагружения нет повреждений,
а они возникают в нем в процессе нагружения. Что важно, например,
для задач мониторинга. А значит более точно описывать реальные
процессы. Получение этих результатов стало возможно благодаря
созданию и разработке теории многократного наложения больших
деформаций [120, 122, 125, 127].
Список литературы
1. Аверин СИ., Матвиенко Ю.Г., Морозов Е.М. Расчет допустимых раз-
размеров трещины в корпусе ВВЭР // Атомная энергия.— 1987.— Т. 62,
№6.—С. 379-382.
2. Адамов А. А., Матвеенко В. П., Тру фанов Н.А., Шардаков И.Н. Ме-
Методы прикладной вязкоу пру гости.— Екатеринбург: УрО РАН, 2003.—
412 с.
3. Адкинс Дою. Большие упругие деформации / Механика. Сб. перево-
переводов.— М.: Мир, 1957.- С. 10-67.
4. Акимкин С.А., Балалов В.В., Кадайлов В.В., Никишков Г.П., Пич-
ков С.Н., Щепинов В.П. Определение коэффициентов интенсивности
напряжений на моделях из низкомодульных материалов с помощью
экспериментально-аналитического подхода / Экспериментальные ис-
исследования напряжений в конструкциях.— М.: Наука, 1992. С. 97-104.
5. Алтури С. и др. Вычислительные методы в механике разрушения.—
М.: Мир, 1990. 392с.
6. Анпилов А.В., Балалов В.В., Морозов Е.М., Щепинов В.П. Определе-
Определение коэффициентов интенсивности напряжений для сквозных трещин
в цилиндрических оболочках с помощью весовых функций, получен-
полученных методом голографической интерферометрии // Заводская лабора-
лаборатория.— 1998.- №2.- С. 50-54.
7. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Расчет строительных конструкций с уче-
учетом ползучести.— М.: Стройиздат, 1988.— 255 с.
8. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих
вязко-упругопластических тел.— М.: Наука, 1987.— 172 с.
9. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н. Степанова Л.В. Нелинейная механика
разрушения. Самара: Изд-во Самарского университета, 2001.— 632 с.
10. Багмутов В.П., Богданов Е.П. Моделирование взаимодействия анизо-
анизотропных зерен и критических состояний в поликристалле // Тез. Докл.
Первого междисциплинарного семинара: Фракталы и прикладная си-
синергетика.- М.: РАН, РФФИ.- 1999. С. 121-123.
11. Бакиев А.В., Зайнулин Р. С, Гумеров К.М. Напряженное состояние
в окрестности острых концентраторов напряжений конструкционных
элементов газо-нефтехимического оборудования // Известия вузов.
Нефть и газ.- 1988.- №8.- С. 85-88.
12. Бакши О.А., Зайцев Н.Л., Гумеров К.М. Напряженное состояние и
сопротивление хрупкому разрушению упругонеоднородных стыковых
соединений // ФХММ.— 1987.— №2.- С. 37-42.
386 Список литературы
13. Балалов В.В., Писарев B.C., Щепинов В.П., Яковлев В.В. Гологра-
фические интерференционные измерения полей перемещений и их ис-
использование для определения напряжений // Оптика и спектроско-
спектроскопия.— 1990.- Т. 68, №1.— С. 134-138.
14. Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, об-
образующихся при хрупком разрушении // Прикл. матем. и технич.
физика.— 1961.— №6.— С. 1110-1119.
15. Бартенев P.M. Прочность и механизм разрушения полимеров.— М.:
Химия, 1984.— 280 с.
16. Бартенев P.M., Хазанович Т.Н. О законе высокоэластичных дефор-
деформаций сеточных полимеров // Высокомолекулярные соединения.—
I960.-Т. 2, №1.- С. 2028.
17. Бартенев P.M., Шерматов Д., Бартенева А.Г. Влияние масштабного
фактора на механизм разрушения и долговечность полимеров в твер-
твердом состоянии // Высокомолекулярные соединения.— 1998.— V. А40,
№9.—С. 1465-1473.
18. Берлин А.А., Шутов Ф.А. Химия и технология газонаполненных вы-
сокополимеров.— М.: Наука, 1980.— 504 с.
19. Берри Док.. Разрушение стеклообразных полимеров // Разрушение.—
М.: Мир, 1976.— Т. 7, ч. 2.- С. 8-65.
20. Болотин В.В. О распространении усталостных трещин в линейных
вязкоупругих средах // Известия АН. Механика твердого тела.—
1998.-№4.- С. 117-127.
21. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций.— М.:
Машиностроение, 1984.— 312 с.
22. Болотин В.В. Распространение усталостных трещин как случай-
случайный процесс // Известия АН. Механика твердого тела.— 1993.— №4.—
С. 174-183.
23. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций.— М.: Машинострое-
Машиностроение, 1990.— 448 с.
24. Ботвина Л.Р. Кинетика разрушения конструкционных материалов.—
М.: Наука, 1989.-230 с.
25. Боткин А.И. О прочности сыпучих и хрупких материалов // Изв.
ВНИИ Гидротехники, 1940.— Т. 26.— С. 205-236.
26. Браун М. Усталость при сложном напряженном состоянии // В кн.:
Усталость материалов при высокой температуре. / Пер. с англ. под
ред. Р.П. Скелтона.— М.: Металлургия, 1988.— С. 83-113.
27. Бридснсмен П. Исследование больших пластических деформаций и
разрыва.— М.: ИЛ, 1955.— 444 с.
28. Бровко Г.Л., Ткаченко Л.В. Некоторые определяющие эксперименты
для моделей нелинейно-упругих тел при конечных деформациях //
Вестник МГУ сер. Математика, механика.— 1993.— №4.— С. 45—49.
29. Броек Д. Основы механики разрушения.— М.: Высшая школа, 1980.—
368 с.
30. Валиев Р.З., Исламгалиев Р.К. Физика металлов, и металловедение.—
1999. Т.87. №3.- С. 46-52.
Список литературы 387
31. Васильченко Г. С, Кошелев П.Ф. Практическое применение механики
разрушения для оценки прочности конструкций.— М.: Наука, 1974.—
148 с.
32. Васильченко Г. С, Манукян К.М., Морозов Е.М. и др. Анализ коэф-
коэффициентов интенсивности напряжений в корпусе реактора при аварий-
аварийных режимах // Проблемы прочности, 1984, №3, с. 25-28.
33. Васильченко Г. С, Ривкин Е.Ю. Опыт расчетов на прочность с ис-
использованием характеристик механики разрушения // Унификация
методов испытаний металлов на трещиностойкость. Вып. 2.— М.: Изд-
во стандартов, 1982.— С. 64-72.
34. Васютин А.Н. Опыт определения предела трещиностойкости матери-
материала для расчета разрушающего напряжения // Там же.— С. 59-64.
35. Васютин А.Н., Maxymoe Н.А., Морозов Е.М. Об энергетическом кри-
критерии разрушения тел с физически короткими трещинами // Физ.-хим.
механика материалов.— 1991.— Т. 27. №4.— С. 81-85.
36. Витвицкий П.М., Леонов М.Я. О разрушении пластинок со щелью //
Прикладная механика.— 1961.— №5.
37. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов.— М.:
Металлургия, 1984.— 280 с.
38. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.— М.: Наука,
1967.
39. Галин Л.А., Фридман Я.В., Черепанов Г.П., Морозов Е.М., Пар-
тон В.З. Об условии в конце трещины // Докл. АН СССР.— 1969.—
Т. 187. №4.- С. 754-757.
40. Гамлицкий Ю.А., Мудрук В.И., Швачич М.В. Упругий потенциал
наполненных резин. Теория и эксперимент // Труды XI симпозиума
«Проблемы шин и резинокордных композитов».— М.: ГУП НИИ шин-
шинной пром-ти, 2000.— Т. 1.— С. 162-183.
41. Георгиев М.Н. Вязкость малоуглеродистых сталей.— М.: Металлур-
Металлургия, 1973.—224 с.
42. Георгиев М.Н. Использование характеристик трещиностойкости для
обоснования выбора материалов и расчета на прочность // Унифика-
Унификация методов испытания материалов на трещиностойкость. Вып. 2.—
М.: Изд-во стандартов, 1982.— С. 76-81.
43. Георгиев М.Н., Морозов Е.М. Предел трещиностойкости и расчет на
прочность в пластическом состоянии // Проблемы прочности, 1979.
№7.—С. 45-48.
44. Георгиев М.Н. Пукнатиноустойчивост на железопътните релси. Со-
София: Изд-во Ателие, 1999.— 266 с.
45. Гилман Дэю.Дэю. Скол, пластичность и вязкость кристаллов / Атом-
Атомный механизм разрушения.— М.: Металлургиздат, 1963.— С. 220-253.
46. Гольденблат Н.Н., Копнов В.А. Критерии прочности и пластичности
конструкционных материалов.— М.: Машиностроение, 1968.— 192 с.
47. Гольцев В.Ю., Морозов Е.М., Недошивин П.Е. Об устойчивости при
растяжении пластины // Заводская лаборатория, 1969. №1.
25*
388 Список литературы
48. ГОСТ 25.506-85. Методы механических испытаний металлов. Опре-
Определение характеристик трещиностойкости (вязкости разрушения) при
статическом нагружении.— М.: Изд-во стандартов, 1985.— 61 с.
49. Греков М.А. О пластических зонах у вершины трещины при плоской
деформации // Физико-химическая механика материалов.— 1978.—
№5.— С. 75-78.
50. Греков М.А. Поле напряжений в области пластических деформаций
около трещины // Деформация сплошных сред и управление движе-
движением: Вопросы мех. и процессов управления. Л.: Изд. ЛГУ.— 1984.
Вып. 6.- С. 59-74.
51. Грин А., Адкинс Дэю. Большие упругие деформации и нелинейная
механика сплошной среды.— М.: Мир, 1955.— 445 с.
52. Гринберг Н.М., Сердюк В.А., Малинкина Т.И. Структура и усталост-
усталостная прочность магниевых сплавов.— М.: Металлургия, 1991.— 153 с.
53. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых
превращений.— М.: Наука, 1990.— 310 с.
54. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Физика в мире полимеров. Библиотека
«Квант». Вып. 74.— М.: Наука, 1989.— 208 с.
55. Гузъ А.Н. Механика хрупкого разрушения материалов с начальными
напряжениями.— Киев: Наукова думка, 1983.— 296 с.
56. Гузь А.Н., Дышель Л.Ш., Кулиев ГГ., Милованова О.Б. Разрушение и
устойчивость тонких тел с трещинами.— Киев: Наукова думка, 1981.—
184 с.
57. Гузь А.Н., Махорт Ф.Г., Гуща О.И., Лебедев В. К. К теории распро-
распространения волн в упругом изотропном теле с начальными деформаци-
деформациями // Прикладная механика.— Т. 6, №12.— С. 42-49.
58. Гуль В.Е. Прочность полимеров.— М.-Л.: Химия, 1964.— 228 с.
59. Гумеров К.М., Бакши О.А., Зайцев Н.Л. и др. Исследование напряже-
напряжений и деформаций в сварных соединениях с V-образными концентра-
концентраторами // Сб.: Применение математических методов и ЭВМ в сварке.
Л., 1987. С. 73-77.
60. Гумеров К.М., Колесов А.В. Методы определения коэффициентов ин-
интенсивности напряжений в окрестности V-образных концентраторов //
Заводская лаборатория. 1989. №6.— С. 81-84.
61. Давиденков Н.Н. Динамические испытания маталлов. Изд. 2-е.— М.:
ОНТИ, 1936. 395 с.
62. Давиденков Н.Н. Проблема удара в металловедении.— М.-Л.: Изд-во
АН СССР. ОТН, 1938.- 116 с.
63. Дак Э. Пластмассы и резины / Пер. с англ. под ред. СБ. Ратнера.—
М.: Мир, 1976.— 148 с.
64. Демидов СП. Теория упругости.— М.: Высшая школа, 1979.— 432 с.
65. Дэюент А.Н. Разрушение эластомеров // Разрушение. Под ред.
Г. Либовица.— М.: Мир, 1976.— Т. 7. Часть П.— С. 66-103.
66. Дмитриенко Ю.И. Механика композиционных материалов при высо-
высоких температурах.— М.: Машиностроение, 1997.— 368 с.
67. Домоэюиров Л.И., Махутов Н.А. Иерархия трещин в механике цикли-
циклического разрушения // Механика твердого тела.— 1999.— №5. 17-26.
Список литературы 389
68. Дроздовский Б.А., Морозов Е.М. Методы оценки вязкости разруше-
разрушения // Заводская лаборатория, 1976. №8.— С. 995-1004.
69. Дроздовский Б.А., Морозов Е.М. О двух механических характеристи-
характеристиках, оценивающих сопротивление разрушению // Заводская лаборато-
лаборатория.— 1971.- №1.- С. 78-89.
70. Дубникова И.Л., Ошмян В.Г. Влияние размера включений на меж-
межфазное расслоение и предел текучести наполненных пластичных по-
полимеров // Высокомолекулярные соединения.— 1998.— Т. А40, №9.—
С. 1481-1492.
71. Дымов А.К. Сопротивление материалов.— 1933.
72. Дырда В.И. Прочность и разрушение эластомерных конструкций в
экстремальных условиях.— Киев: Наукова думка, 1988.— 232 с.
73. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов /
Пер. с японского.— Киев: Наукова думка, 1978.— 352 с.
74. Епифанов Г.И. Физика твердого тела.— М.: Высшая школа, 1977.—
278 с.
75. Журков С.Н. Кинетическая концепция прочности твердых тел // Вест-
Вестник АН СССР. 1968. №3.— С. 46-527.
76. Журков С.Н. Кинетические концепции прочности твердых тел // Изв.
АН СССР Сер. неорганические материалы. 1967.Т.З. №10.— С. 1767-
1771.
77. Зайнулин Р. С, Гумеров А.Г., Морозов Е.М., Галюк В.Х. Гидравли-
Гидравлические испытания действующих нефтепроводов.— М.: Недра, 1990.—
224 с.
78. Зайнулин Р. С. Несущая способность сварных сосудов с острыми по-
поверхностными дефектами // Сварочное производство.— 1981.— №3.—
С. 5-7.
79. Захаров М.Н., Лукьянов В.А. Прочность сосудов и трубопроводов с
дефектами стенок в нефтегазовых производствах.— М.: Нефть и газ,
2000.- 216 с.
80. Згаевский В.Э., Паталжан С.А., Ивин В.В. Высокоэластические
свойства структурно-неоднородных полимерных сеток // Высокомо-
Высокомолекулярные соединения. 1981. Т. АХХШ, №11.— С. 2532-2536.
81. Иванова B.C. Механика и синергетика усталостного разрушения //
Физико-химическая механика материалов.— 1986.— № 1.— С. 62—68.
82. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-
вязкоу пру гости.— М.: Наука.— 1970.— 280 с.
83. Инденбом В.Л., Орлов А.Н. Проблема разрушения в физике прочнос-
прочности // Проблемы прочности.— 1970.— №12.— С. 3-22.
84. Инденбом В.Л., Орлов А.Н. Физическая теория пластичности и проч-
прочности // Успехи физич. наук.— 1962.— Т. 76. №3.— С. 557-591.
85. Иоффе А.Ф., Кирпичева М.В., Левитская М.А. Деформация и проч-
прочность кристаллов // Журнал русского физико-химического общества.
Часть физическая. Вып. 56. 1924.— С. 489-503.
86. Каминский А.А. Механика разрушения вязко-упругих тел.— Киев:
Наукова думка, 1980.— 160 с.
390 Список литературы
87. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных
и композитных материалов с трещинами / Неклассические проблемы
механики разрушения. В 4-х томах.— Киев: Наукова думка, 1992.—
248 с.
88. Каминский А.А., Рущицкий Я. Я. О применимости принципа Воль-
терра при исследовании движения трещин в наследственно-упругих
средах // Прикладная механика.— 1969. Т.— V. Вып. 4.
89. Кан К.Н., Первушин Ю.С Выбор критерия прочности для жест-
жестких термореактивных пластмасс // Механика полимеров, 1966. №4.—
С.543-549.
90. Карасев А.В. Элементы обобщенного подхода к разрушению пластиче-
пластических материалов // Проблемы анализа и синтеза механизмов и машин:
Межвуз. сб. трудов. Новосибирск.— 1997.— С. 76-83.
91. Карзов Г.П., Марголин Б.З., Швецова В.А. Физико-механическое
моделирование процессов разрушения.— СПб.: Политехника, 1993.—
391с.
92. Кауш Г. Разрушение полимеров /Пер с англ. под ред. СБ. Ратнера.—
М.: Мир, 1981.—440 с.
93. Качанов Л.М. К кинетике роста трещин // Прикл. матем. и мех.—
1961.-Т. XXV, №3.
94. Качанов Л.М. Основы механики разрушения.— М.: Наука, 1974.—
312 с.
95. Качанов Л.М. Теория ползучести.— М.: Физматлит, 1960.— 456 с.
96. Клоизнер СМ. Нелинейная задача для пластинки, ослабленной
неодинаковыми отверстиями // Механика твердого тела. Киев, 1970.
Вып. 20.—С. 130-135.
97. Ковалъчук Б.И. О критерии предельного состояния некоторых корпус-
корпусных сталей в условиях сложного напряженного состояния при комнат-
комнатных и повышенных температурах // Проблемы прочности, 1981. №5.—
С. 10-15.
98. Когаев В.П., Махутов Н.А., Гусенков А.П. Расчеты деталей машин
и конструкций на прочность и долговечность: Справочник.— М.: Ма-
Машиностроение, 1985.— 224 с.
99. Козлов А.Г. Оценка прочности элементов строительных металличе-
металлических конструкций с применением критериев механики разрушения //
Сб.: Металлические конструкции для работы в суровых климати-
климатических условиях. Красноярск: Красноярский Промстройниипроект,
1982.- С. 26-37.
100. Койфман Ю.И. Плоские нелинейные задачи упругого равновесия мно-
многосвязных тел // Прикладная механика.— 1970.— №2.— С. 58-65.
101. Койфман Ю.И., Ланглейбен А.Ш. Напряженно-деформированное со-
состояние пластины с двумя равными отверстиями при высокоэластич-
высокоэластичных деформациях // Механика полимеров. 967.— №2.— С. 318-320.
102. Колесов А.В., Гумеров К.М. Прочность упруго неоднородных соедине-
соединений с концентраторами V-образного типа // Сб.: Вопросы сварочного
производства. Челябинск: ЧПИ.— 1989.— С. 19-25.
Список литературы 391
103. Коллинз Дж. Повреждение материалов в конструкциях.— М.: Мир,
1984.-624 с.
104. Колосов Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного
переменного к плоской задаче математической теории упругости.—
Юрьев, 1909.
105. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругос-
упругости.- М.-Л.: ОНТИ, 1935. 224с.
106. Копельман Л. А. Сопротивляемость сварных узлов хрупкому разру-
разрушению. Л.: Машиностроение, 1978.— 232 с.
107. Корпев В.М., Тихомиров Ю.В. О критерии хрупкого разрушения тел с
трещиной при наличии дефекта атомной решетки // Изв. РАН. МТТ.—
1994.-№2. С. 185-193.
108. Космодамиапскпй А. С. Плоская задача теории упругости для пластин
с отверстиями, вырезами и выступами.— Киев: Вища школа, 1975.—
228 с.
109. Костенко Н.А. Прогнозирование надежности транспортных машин.—
М.: Машиностроение, 1989.— 240 с.
110. Костров Б.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Механика хрупкого
разрушения // Изв. АН СССР. Механика твердого тела.— 1969.—
№3.—С. 112-125.
111. Красников Л.М. Кинетика накопления дефектов при одноосном растя-
растяжении // Механика композитных материалов.— 1983.— №6.— С. 1016-
1022.
112. Красников Л.М. Об учете слияния микротрещин в статистической
кинетической модели разрушения при одноосном растяжении матери-
материала // Механика композитных материалов.— 1983.— №1.— С. 52-60.
113. Красовский А.Я. Хрупкость металлов при низких температурах.—
Киев: Наукова думка, 1980. 340с.
114. Красовский А.Я., Махутов Н.А., Орыняк И.В., Тороп В.М. О двух-
критериальном подходе к оценке предельной несущей способности
тела с трещиной // Проблемы машиностроения и автоматизации.—
1992.- №4-5.- С. 92-100.
115. Красулин Ю.Л., Баринов СМ., Иванов B.C. Структура и разрушение
материалов из порошков тугоплавких соединений.— М.: Наука, 1985.—
149 с.
116. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоу пру гости. М: Мир, 1974.—
338 с.
117. Кутилин Л.М. Теория конечных деформаций.— М: Гостехиздат,
1947.- 275 с.
118. Лахтин Ю.М. Основы металловедения.— М.: Металлургия, 1988.—
320 с.
119. Левин В.А. К использованию метода последовательных приближений
в задачах наложения конечных деформаций // Прикладная механи-
механика.- 1987.-Т. 23. №5.
120. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих
и вязкоупругих телах.— М.: Наука. Физматлит, 1999.— 224 с.
392 Список литературы
121. Левин В.А. О «физическом разрезе» привнесенном в предварительно
нагруженное упругое тело. Конечные деформации // Доклады РАН.—
2001.-Т. 343, №5.
122. Левин В. А. О концентрации напряжений вблизи отверстия, образо-
образованного в предварительно напряженном теле из вязко упругого мате-
материала // Доклады АН СССР.— 1988.— Т. 299, №5.
123. Левин В.А., Лохин В.В., Зингерман К.М. Рост узкой щели, образован-
образованной в предварительно нагруженном нелинейно-упругом теле. Анализ
с помощью теории многократного наложения больших деформаций //
Доклады РАН.— 1995.— Т. 343. №6.- С. 764-766.
124. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конеч-
Конечные деформации // Доклады РАН.— 2002.— Т. 346, №1.— С. 62—67.
125. Левин В.А., Тарасъев Г.С. Наложение больших упругих деформаций
в пространстве конечных состояний // Доклады АН СССР.— 1980.—
Т. 215, №1.
126. Левин В.А., Зингерман К.М. О влиянии малых дефектов на концен-
концентрацию напряжений около отверстия, образованного в предварительно
нагруженном упругом теле, при конечных деформациях // Доклады
РАН.— 2002.— Т. 386. №4.
127. Левин В.А., Зингерман К.М. Плоские задачи многократного наложе-
наложения больших деформаций. Методы решения.— М.: Физматлит, 2002.
272с.
128. Леонов М.Я. Механика деформаций и разрушения. Фрунзе: Ильм,
1981.- 236 с.
129. Лихачев В.А., Малинин В.Г. Структурно-аналитическая теория проч-
прочности.— СПб.: Наука, 1993.— 471 с.
130. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от несколь-
нескольких тензорных аргументов // Прикл. матем. и мех.— 1963.— Т. 27.
Вып. 3.
131. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости.— М.: Наука, 1980.— 512 с.
132. Маньковский В.А., Сапунов В. Т. Концепция повреждений и критерий
пластичности и прочности для изотропных материалов // Заводская
лаборатория. Диагностика материаллов.— 2000.— №6.— С. 40-45.
133. Маньковский В.А., Сапунов В.Т. Критерий кратковременной, дли-
длительной усталостной прочности конструкционных материалов при
сложном напряженном состоянии // Заводская лаборатория. Диагно-
Диагностика материалов.— 2001.— №4.— С. 53-57.
134. Маньковский В.А., Сапунов В.Т., Бурдейный А.А. Критерий крат-
кратковременной, длительной и усталостной прочности конструкционных
материалов при сложном напряженном состоянии // Заводская лабо-
лаборатория. Диагностика материлов.— 2001. №4.— С. 53-57.
135. Маркочев В.М. Экспериментальные методы исследования процессов
разрушения.— М.: МИФИ, 1982.— 94 с.
136. Маркочев В.М., Морозов Е.М. Метод разгрузки в экспериментальной
механике разрушения // Физ.-хим. механика материалов.— 1978.—
№1.— С. 12-22.
Список литературы 393
137. Маркочев В.М., Морозов Е.М. Предел трещиностойкости в системе
критериев прочности тел с трещинами // Сб.: Исследование хрупкой
прочности строительных металлических конструкций. Труды ЦНИИ
Проектстальконструкция.— М.: Изд. ЦНИИНСК, 1982.— С. 102-112.
138. Маркочев В.М., Морозов Е.М. Условия целесообразности определе-
определения вязкости разрушения // Заводская лаборатория.— 1980.— №3.—
С. 258-261.
139. Матвиенко Ю.Г. Двухпараметрический критерий разрушения в связи
с упрочнением материала // Заводская лаборатория.— 1986.— №9.—
С. 60-62.
140. Матвиенко Ю.Г. Кинетика повреждений при контактной усталости //
Физико-химическая механика материалов.— 1987.— №3.— С. 66-68.
141. Матвиенко Ю.Г. Коррозионные повреждения материала и изменение
критической температуры хрупкости // Физико-химическая механика
материалов.— 1988.— №3.— С. 7-12.
142. Матвиенко Ю.Г, Морозов Е.М. Взаимосвязь критериев нелинейной
механики разрушения // Физико-химическая механика материалов.—
1989.-№2.- С. 3-10.
143. Матвиенко Ю.Г. Детерминированный анализ безопасности, живуче-
живучести и остаточного ресурса по критериям механики трещин // Завод-
Заводская лаборатория. 1997. №6.— С. 52-58.
144. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии трещиностойкости в проблемах
безопасности и живучести // Проблемы машиностроения и надежно-
надежности машин.— 2001.— №5.— С. 117-126.
145. Матвиенко Ю.Г. Некоторые аспекты механики микроструктурно и
физически коротких трещин // Заводская лаборатория.— 1998.— Т. 64.
№10.- С. 41-46.
146. Матвиенко Ю.Г. Повреждаемость и синергетические представления
в задачах механики разрушения // Физико-химическая механика ма-
материалов.— 1990.- № 1.- С. 31-37.
147. Матвиенко Ю.Г. Рост трещины при нестабильном хрупком разруше-
разрушении // Физико-химическая механика материалов.— 1996.— №6.—
148. Матвиенко Ю.Г. Физика и механика разрушения твердых тел.— М.:
Эдиториал УРСС, 2000.— 76 с.
149. Матвиенко Ю.Г, Гольцев В.Ю. Контурный J-интеграл в пластиче-
пластической области // Проблемы прочности.— 1982.— №11.— С.
150. Матвиенко Ю.Г, Морозов Е.М. Двухпараметрические критерии раз-
разрушения на основе энергетических представлений // Заводская лабо-
лаборатория.— 1990.- № 12.— С. 79-83.
151. Матвиенко Ю.Г, Морозов Е.М. Приближенный метод расчета энер-
энергетического интеграла для тел с вырезами и трещинами // Физ.-хим.
механика материалов. 1994. №3.— С. 82-87.
152. Матохнюк Л.Е., Яковлева Т.Ю. Проблемы прочности. №1.— 1988.—
С. 21-31.
153. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет
элементов конструкций на прочность.— М.: Машиностроение, 1981.—
272 с.
394 Список литературы
154. Махутов Н.А., Матвиенко Ю.Г. Подходы механики разрушения в
концепции инженерной безопасности // Физ.-хим. механика матери-
материалов.- 1996.- №2.- С. 35-42.
155. Махутов Н.А., Матвиенко Ю.Г. Теория Гриффитса и развитие кри-
критериев механики разрушения // Физ.-хим. механика материалов.—
1993.-№3.-С. 140-145.
156. Методика определения допускаемых дефектов в металле оборудования
и трубопроводов во время эксплуатации АЭС. М-02-91.— М., 1991.
157. Методические указания. Методы механических испытаний металлов.
Определение характеристик трещиностойкости при циклическом на-
гружении.— М.: ИМАШ РАН, 1993.— 53 с.
158. Механика катастроф. Определение характеристик трещиностойко-
трещиностойкости конструкционных материалов. Методические рекомендации.— М.:
ФЦНТП ПП «Безопасность», МИБ СТС, Ассоциация КОДАС. Т. 1.—
1995.- 360 с; Т. 2.- 2001.- 254 с.
159. Механика малоциклового нагружения / Под ред. Н.А. Махутова,
А.Н. Романова.— М.: Наука, 1986.— 264 с.
160. Механика разрушения и прочность материалов / Справочное пособие
под ред. В.В. Панасюка. В 4-х томах.— Киев: Наукова думка, 1988-
1990.— Т. 1. Основы механики разрушения.— 488 с.— Т. 2. Коэффи-
Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами.— 620 с.—
Т. 3. Характеристики кратковременной трещиностойкости материалов
и методы их наблюдения.— 436 с.— Т. 4. Усталость и циклическая
трещиностойкость конструкционных материалов.— 680 с.
161. Механические свойства конструкционных материалов при сложном
напряженном состоянии. Справочник / А.А. Лебедев, Б.И. Ковальчук,
Ф.Ф. Гигиняк, В.П. Ламашевский.— Киев: Наукова думка, 1983.—
367 с.
162. Миллер К. Ползучесть и разрушение / Пер. с англ.— М.: Металлургия,
1986.- 120 с.
163. Миролюбов И.Н. К вопросу об обобщении теории прочности октаэд-
рических касательных напряжений на хрупкие материалы / Труды.
Ленинградского технологического ин-та.— 1953. Вып. 2.— С. 42-52.
164. Миссол В. Поверхностная энергия раздела фаз в металлах / Пер. с
польского под ред. Ю.Н. Тарана.— М.: Металлургия, 1978.— 176 с.
165. Мороз Л.С. Механика и физика деформаций и разрушения материа-
материалов. Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1984.— 224 с.
166. Морозов Е.М. О соответствии между энергетическим критерием раз-
разрушения и математическим моделированием явлений деформации в
конце разрезов-трещин // Прикл. мат. и мех.— 1970.— Т. 34, №4.
167. Морозов Е.М. Возможно ли отыскание траектории трещины сразу в
целом? // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого
твердого тела. Труды научн. школы акад. В.В. Новожилова. Вып. 1.—
СПб: Изд-во СПбГУ, 1998.- С. 198-212.
168. Морозов Е.М. Концепция предела трещиностойкости // Заводская ла-
лаборатория. Диагностика материалов.— 1997.— №12.— С. 42-46.
Список литературы 395
169. Морозов Е.М. Коэффициенты интенсивности напряжений для взаимо-
взаимодействующих трещин./ Сб.: Пластичность, прочность и сопротивление
разрушению материалов и элементов ядерных энергетических устано-
установок.— М.: Энергоатомиздат, 1989.— С. 21-23.
170. Морозов Е.М. Об одном обобщении ^-теории трещин // Прикладная
механика.— 1970.— №4.— С. 128-131.
171. Морозов Е.М. Понятие предела трещиностойкости и возможности его
использования при расчетах на прочность / Сб.: Унификация методов
испытаний металлов на трещиностойкость. Вып. 2 (Стандартизация
расчетов и испытаний на прочность).— М.: Изд. Стандартов, 1982.—
С.51-54.
172. Морозов Е.М. Предел трещиностойкости в нелинейной механике раз-
разрушения // В кн.: Современные проблемы механики и авиации.— М.:
Машиностроение, 1982.— С. 203-215.
173. Морозов Е.М. Распространение трещин в упругопластическом и на-
наследственно упругом теле // Механика деформируемых тел и кон-
конструкций.— М.: Машиностроение, 1975.— С. 304-312.
174. Морозов Е.М. Энергетическое условие роста трещин в упругопласти-
ческих телах // Докл. АН СССР.- 1969.— Т. 187. № 1. С. 57-60.
175. Морозов Е.М. Вариационный принцип в механике разрушения // ДАН
СССР.- 1969.— Т. 184. №6,
176. Морозов Е.М., Костенко П. В. Метод сечений для расчета натурных
деталей с трещинами // Заводская лаборатория. Диагностика матери-
лов.— 1999.— №7.— С. 31-34.
177. Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Расчет энергетического интеграла
для тел в вырезами и трещинами // Вопросы долговременной проч-
прочности энергетического оборудования. Вып. 246 // Тр. ЦКТИ. Л.: НПО
ЦКТИ, 1988.—С. 67-73.
178. Морозов Е.М., Сапунов В. Т. О расчете диаграмм разрушения // При-
кл. матем. и техн. Физика.— 1972. Т.8. №6. С. 33-38.
179. Морозов Е.М., Сапунов В. Т. Сопоставление надрезов при расчете
локальной прочности // Заводская лаборатория.— 1996. — № 2.— С. 45-
48.
180. Морозов Е.М., Сапунов В. Т. Развитие трещин в упруго-пластическом
теле // Сб.: Деформация и разрушение при термических и механиче-
механических воздействиях. Выл. 3.— М.: Атомиздат, 1969.
181. Морозов Е.М., Фридман Я.Б. Траектории трещин хрупкого разруше-
разрушения как геодезические линии на поверхности тела // ДАН СССР.—
1961.- Т. 133, №1.- С. 87-90.
182. Морозов Е.М., Георгиев М.Н., Матвиенко Ю.Г. Предел трещиностой-
трещиностойкости как характеристика прочности материала и несущей способно-
способности металлических конструкций при наличии трещин // Journal of
the technical university at Plovdiv. Technical sciences.— V. 7. Plovdiv,
Bulgaria.— 2001.- P. 9-29.
183. Морозов Н.Ф. Математические вопросы механики трещин.— М.: Нау-
Наука, 1984.256с.
396 Список литературы
184. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В., Уткин А. А. Об импульсной трактовке
динамического инициирования роста трещины // Вопросы долговре-
долговременной прочности энергетического оборудования. Вып. 246 // Труды
ЦКТИ. Л.: НПО ЦКТИ, 1988.- С. 80-84.
185. Морозов Н.Ф., Петров Ю.В. О концепции структурного времени в
теории динамического разрушения хрупких материалов // Доклады
РАН.— 1992.— Т. 324. №5.- С. 964-967.
186. Мусхелишвили П.П. Некоторые основные задачи математической тео-
теории упругости.— М.: Наука, 1966.— 707 с.
187. Мясников. В.П. Математическое моделирование аварийного блока
АЭС— М.: Машиностроение, 1987. 240с.
188. Нейбер Г. Концентрация напряжений / Пер. с нем. под ред.
А.И. Лурье.— М.: Гостехиздат, 1947.— 204 с.
189. Новоэюилов В. В. К основам теории равновесных трещин в хрупких
телах // Прикл. матем. и мех.— 1969. Т.ЗЗ. №5. С. 797-812.
190. Новоэюилов В. В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой
прочности // Прикл. матем. и мех.— 1969.— Т. 33, №2.— С. 212-222.
191. Новоэюилов В.В., Кадашевич Ю.И. Микронапряжения в конструкци-
конструкционных материалах. Л.: Машиностроение, 1990. 222 с
192. Нормы расчета на прочность оборудования и трубопроводов атомных
энергетических установок: Правила и нормы в атомной энергетике.—
М.: Энергоатомихдат, 1989.— 525 с.
193. Овчинников А.В., Садгаров Ю.В., Горлинский Р.П. Определение ко-
коэффициентов интенсивности напряжений с помощью голографичес-
ких интерферограмм // Физ.-хим. механика материалов.— 1983.—
№2.-С. 59-63.
194. Овчинский А.С, Гусев Ю.С. Моделирование на ЭВМ процессов роста
и слияния микродефектов в структурно-неоднородных материалах //
Механика композитных материалов.— 1982.— №4.— С. 585-592.
195. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов.—
Киев: Наукова думка, 1990.— 545 с.
196. Панасюк В.В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.—
Киев: Наукова думка, 1968.— 246 с.
197. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацишин А.П. Распределение напря-
напряжений вблизи трещины в пластинках и оболочках.— Киев: Наукова
Думка, 1976.
198. Партон В.З., Борисковский В.Г. Динамика хрупкого разрушения.—
М.: Машиностроение, 1988.— 240 с.
199. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разруше-
разрушения.— М.: Наука, 1985.— 503 с.
200. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел.
Курс лекций.— СПб.: Профессия, 2002.— 320 с.
201. Петров Ю.В. Квантовая макромеханика динамического разрушения
твердых тел. Препринт №139.— СПб.: Институт проблем машинове-
машиноведения РАН, 1996.— 51 с.
Список литературы 397
202. Петров Ю.В., Уткин А. А. О зависимости динамической прочности
от скорости нагружения // Физ.-хим. механика материалов.— 1989.—
№2.—С. 38-42.
203. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность матери-
материалов при сложном напряженном состоянии.— Киев: Наукова думка,
1976.-416 с.
204. Плювинаж, Г. Механика упругопластического разрушения / Пер. с
франц. под ред. Е.М. Морозова.— М.: Мир, 1993.— 450 с.
205. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов.— М.: Изд-во
МГУ, 1984. 336 с.
206. Победря Б.Е. О моделях повреждаемости реономных сред // Изв. АН.
Механика твердого тела.— 1998.— №4.— С. 128-148.
207. Победря Б.Е. Эволюционная деструкция в механике композитов //
Изв. АН. Механика твердого тела.— 1997.— №2.— С. 27-31.
208. Пратусевич Я.А. Вариационные методы в строительной механике.—
М.: Гостехиздат, 1948.
209. Прикладные вопросы вязкости разрушения. / Пер. с англ. под ред.
Б.А. Дроздовского.— М.: Мир, 1968.— 552 с.
210. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве.
Справочное пособие под ред. Д.П. Федюкина.— М.: Химия, 1986.—
240 с.
211. Прочность материалов и элементов конструкций в экстремальных
условиях. В 2-х т. / Под ред. Г.С. Писаренко.— Киев: Наукова думка,
1981.- Т. 1.- 531 с; Т. 2.- 796 с.
212. Работное Ю.Н. Введение в механику разрушения.— М.: Наука,
1987.-80 с.
213. Работное Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.—
М.: Наука, 1977.-384 с.
214. Работное Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Нау-
Наука, 1979.-744 с.
215. Работное Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.— М.: Наука,
1966.- 752 с.
216. Разрушение. В 7-х т. Под ред. Г. Либовица.— М.: Мир, 1973-1975.
217. Регель Н.Б., Слуцкер А.П., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа
прочности твердых тел.— М.: Наука, 1974.— 560 с.
218. Розовский М.И. О некоторых особенностях упруго-наследственных
сред // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение.— 1961.— №2.
219. Ромалис Н.В., Тамуэю В. П. Распространение магистральной трещины
в теле с распределенными микротрещинами // Механика композитных
материалов.— 1983.— №6.— С. 1001-1009.
220. Романив О.Н., Никифорчин Г.Н. Механика коррозионного разруше-
разрушения конструкционных сплавов.— М.: Металлургия, 1986.— 294 с.
221. Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение метал-
металлов.— М.: Металлургия, 1986.— 224 с.
222. Савин Г.Н., Койфман Ю.И. Общая нелинейная теория упругости (об-
(обзор) // Прикладная механика.— 1970.— №12.— С. 3-26.
398 Список литературы
223. Савин Г.Н., Космодамианский А.С, Гузъ А.Н. Концентрация напря-
напряжений возле отверстий // Прикладная механика.— 1967.— №10.—
С. 23-38.
224. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий.— Киев: На-
укова думка, 1968.— 887 с.
225. Саррак В.И. Хрупкое разрушение металлов // Успехи физич. наук.—
1959.- Т. 67. Вып. 2.- С. 339-361.
226. Свистков А.Л., Евлампиева СЕ. Итерационный метод расчета
напряженно-деформированного состояния в ансамблях включений //
Структурные механизмы формирования механических свойств зерни-
зернистых полимерных композитов. Екатеринбург, 1997.— С. 171-203.
227. Сдобырев В.П. Критерий длительной прочности для некоторых жа-
жаропрочных сплавов при сложном напряженном состоянии // Изв. АН
СССР, ОТН.- 1959.- №6.- С. 95-99.
228. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды.— М.: Госфиз-
Госфизмат, 1962.— 284 с.
229. Седов Л.И. Механика сплошной среды.— Т. 1.— М.: Наука, 1994. 528с.
230. Седов Л.И. Механика сплошной среды.— Т. 2.— М.: Наука, 1994.—
560 с.
231. Серенсен СВ. Избранные труды. В 3-х томах.— Киев: Наукова думка,
1985.— Т. 1. Прочность материалов и элементов конструкций при ста-
статическом нагружении. 256 с; Т. 2. Усталость материалов и элементов
конструкций.— 256 с; Т.З. Квазистатическое и усталостное разруше-
разрушение материалов и элементов конструкций.— 232 с.
232. Си Г., Либовиц Г. Математическая теория хрупкого разрушения //
Разрушение. Т.2.— М.: Мир, 1975.— С. 83-203.
233. Сиратори М., Миеси Т., Мацусита X. Вычислительная механика раз-
разрушения / Пер. с японск. под ред. Е.М. Морозова.— М.: Мир, 1986.
334 с.
234. Слепян Л.И. Механика трещин. 2-е изд. Л.: Судостроение, 1990.—
296 с.
235. Солнцев С.С, Морозов Е.М. Разрушение стекла.— М.: Машинострое-
Машиностроение, 1978. 152 с.
236. Софронова P.M. Введение в синергетику.— М.: МИФИ, 2000.— 136 с.
237. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений. В 2-х то-
томах. Пер. с англ. / Под ред. Ю. Мураками.— М.: Мир, 1990.
238. Статистические закономерности малоциклового разрушения / Под
ред. Н.А. Махутова.— М.: Наука, 1989.— 252 с.
239. Стащук Н.Г. Задачи механики упругих тел с трещиноподобными де-
дефектами.— Киев: Наукова думка, 1993.— 360 с.
240. Струнин Б.М. Дислокационные представления о деформации и
разрушении кристаллических тел // См. в [253].— Т. 1, гл. 13.— С. 415-
470.
241. Субботин Е.К., Секоян С.С. Об определении барической зависимости
скоростей распространения упругих волн в твердых телах по результа-
результатам ультразвуковых измерений при одноосном нагружении образцов //
Список литературы 399
Сборник трудов I Всесоюзного совещания по физике и технике высо-
высоких давлений.— Донецк, 1973.
242. Сукнев СВ. Учет концентрации напряжений при оценке локаль-
локальной прочности // Заводская лаборатория. Диагностика материалов.—
1999.- №1.- С. 31-34.
243. Тамуэю В.Г., Куксенко B.C. Микромеханика разрушения полимерных
материалов. Рига: Зинатне , 1978.— 294 с.
244. Тарасьев Г.С, Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около
полостей в несжимаемом материале // Концентрация напряжений.
Вып. 1. Киев, 1965.— С. 251.
245. Терентъев В.Ф. Циклическая прочность металлических материалов.
Уфа: Изд-во УГНТУ, 2001.- 105 с.
246. Тимошенко СП. История науки о сопротивлении материалов с крат-
краткими сведениями из истории теории упругости в теории сооружений /
Пер. с англ. под ред.А.Н. Матинского.— М.: Гостехиздат, 1957.— 536 с.
247. Томпсон М. Дефекты и радиационные повреждения в металлах.— М.:
Мир, 1971.
248. Томсон Р. Физика разрушения // Атомистика разрушения.— М.: Мир,
1987.- С. 104-144.
249. Трелоар Л. Физика упругости каучука / Пер с англ. под ред.
Е.В. Кувшинского.— М.: ИЛ, 1953.— 240 с.
250. Трощенко В.Т., Покровский В.В., Прокопенко А.В. Трещиностой-
кость металлов при циклическом нагружении.— Киев: Наукова думка,
1987.- 252 с.
251. Туманов Н.В. Физические основы структурной модели усталостных
трещин. Сообщ. 1 // Труды IV Международного семинара им.
В.А. Лихачева: Современные проблемы прочности. Старая Русса,
2000.- С. 217-222.
252. Туманов Н.В., Черкасова С.А. Морфологические особенности уста-
усталостных бороздок. Сообщ. 2. Там же.— С. 223-228.
253. Тырин В. П. Применение голографической интерферометрии для опре-
определения коэффициентов интенсивности напряжений // Заводская ла-
лаборатория.— 1990.— Т. 56.- С. 155-158.
254. Уэллс А.А. Сб. переводов «Механика». Вып. 3.— М.: ВИНИТИ,
1972.- С. 95-112.
255. Физические величины. Справочник под ред. И.С. Григорьева и
Е.С.Мейлихова.— М.: Энергоатомиздат, 1991. 232с.
256. Финкель В.М. Физические основы торможения разрушения.— М.: Ме-
Металлургия, 1977. 360 с.
257. Фракталы в физике. Сб. статей.— М.: Мир, 1988.— 670 с.
258. Френкель Я.И. // Журнал русск. физ-хим. общ-ва. Часть физичес-
физическая.— 1924.- Т. 56.- С. 505.
259. Френкель Я.И. Введение в теорию металлов.— М.: ГИТТЛ, 1950.
260. Фридель Ж. Дислокации.— М.: Мир, 1967.— 645 с.
261. Фридман Я.Б. Механические свойства материалов. В 2-х томах.— М.:
Машиностроение, 1974.— Т. 1.— 472 с; Т. 2.— 368 с.
400 Список литературы
262. Фролов К. В. Методы совершенствования машин и современные проб-
проблемы машиноведения.— М.: Машиностроение, 1984.— 224 с.
263. Хаэюинский Г.М. Расчет концентраторов при упругопластическом де-
деформировании // Расчеты на прочность. Вып. 24.— М.: Машиностро-
Машиностроение, 1983.—С. 102-112.
264. Хакен Г. Синергетика: Иерархии неустойчивостей в самоорганизую-
самоорганизующихся системах и устройствах.— М.: Мир, 1985.— 423 с.
265. Хеллан К. Введение в механику разрушения / Пер. с англ. под ред.
Е.М. Морозова.— М.: Мир, 1988.— 364 с.
266. Херцберг. Р.В. Деформация и механика разрушения конструкционных
материалов / Пер. с англ.— М.: Металлургия, 1989.— 576 с.
267. Цой Б., Карташов Э.М., Шевелев В.В., Валишин А. А. Разрушение
тонких полимерных пленок и волокон.— М.: Химия, 1997.— 344 с.
268. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения.— М.: Наука, 1974.—
640 с.
269. Черепанов Г.П. Современные проблемы механики разрушения //
Проблемы прочности.— 1987.— №8. С. 3-13.
270. Черепанов Г.П. О развитии трещин в вязких телах // Изв. АН СССР.
Механика твердого тела.— 1969.— № 1.
271. Черепанов Г.П. О выпучивании мембран с отверстиями при растяже-
растяжении // Прикл. матем. и механика.— 1963.— Т. 27. Вып. 2.— С. 275.
272. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную тео-
теорию трещин.— М.: Наука, 1996.— 288 с.
273. Чечулин Б.В., Хесин Ю.Д. Циклическая и коррозионная прочность
титановых сплавов.— М: Металлургия, 1987.— 228 с.
274. Чиэюик А.А. О диморфизме нарушения в локальных объемах тел
с трещинами // Физико-химическая механика материалов.— 1979.—
№2.—С. 5-10.
275. Чиэюик А.А. О локальных критериях разрушения при наличии тре-
трещин в условиях сложного напряженного состояния / Энергомашино-
Энергомашиностроение.— 1975.— №10.— С. 31-34.
276. Чиэюик А.А. Трещиностойкость материалов энергомашиностроения
в условиях продольного сдвига // Новые методы оценки служебных
свойств материалов и сварных соединений энергетического оборудо-
оборудования // Тр. ЦКТИ.— 1980. Вып. 177.— С. 3-17.
277. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.— М.:
Наука, 1977.—400 с.
278. Штремель М.А. Прочность сплавов. В 2-х частях.— М.: МИСИС.
Часть 1. Дефекты решетки.— 1999.— 384 с; Часть 2. Деформация.—
1997.- 527 с.
279. Шубников А.В., Флинт Е.Е., Бокий Г.Г. Основы кристаллографии.—
М.: Изд-во АН СССР, 1940.
280. Эйрих Ф.Р., Смит Т. Л. Молекулярно-механические аспекты изотер-
изотермического разрушения эластомеров // Разрушение. Под ред. Г. Либо-
вица.- М.: Мир, 1976.— Т. 7. Часть П.— С. 104-390.
281. Эшелби Дэю. Континуальная теория дислокаций / Пер. с англ. под
ред. Б.Я. Любова.— М.: ИЛ, 1963.— 247 с.
Список литературы 401
282. Ягн Ю.И. Новые методы расчета на прочность // Вестник инженеров
и техников, 1931. №6.— С. 237-244.
283. Ярема С. Я. О корреляции параметров уравнения Париса и харак-
характеристиках циклической трещиностойкости материалов // Проблемы
прочности.— 1981.— №9.— С. 20-28.
284. Ярема С.Я. Об основах и некоторых проблемах механики усталостно-
усталостного разрушения // Физико-химическая механика материалов.— 1987.—
№5.— С. 17-29.
285. Ярема С.Я. К. Вигхардт и его работа «О раскалывании и разрыва-
разрывании твердых тел» // Физ.-хим. механика материалов.— 1994.— №4.—
С. 88-104.
286. Ярема С.Я., Микитишин СИ. // Физ.-хим. механика материалов.—
1975.-№6.- С. 47-54.
287. Ярема С.Я., Осташ О.П., Рычик В.П., Белецкий В.М., Зборомирс-
кий А.И., Полутранко И.Б., Беляев В.Н., Марголин Г.С. // Физ.-хим.
механика материалов.— 1977.— №1.— С. 46-51.
288. Abeyaratne R., Triantafyllidis N. An Investigation of Localization in
Porous Elastic Material Using Homogenization Theory // Trans. ASME.
Journal of Applied Mechanics.— V. 51.— P. 481-486.
289. Ainsworth R.A., Bannister A.C., Zerbst U. An overview of the European
flaw assessment procedure and its validation // Int. J. Pressure Vessels and
Piping.- 2000.- V. 77.- P. 869-876.
290. Anderson T.L. Fracture Mechanics: Fundamentals and Applications.—
Boca Raton: CRC Press, 1991.— 794 p.
291. ASME boiler and pressure vessel code. Section XI, division 1, article A-
3000.- N.Y.: ASME, 1983.
292. Barenblatt G.I. On a model of small fatigue cracks // Eng. Fract. Mech.—
1987.- V. 28, №5/6.- P. 623-626.
293. Begley J.A., Landes J.D. J-integral as a fracture criteria // Nat. Symp.
Fracture Mech., ASTM STP 514. Part. II.- 1972.— P. 1-20.
294. Berry J.P. Some kinetic consideration of the Griffith criterion for fracture.
Pt. I, II // J. Mech. and Phys. Solids.- I960.— V. 8, №3.- P. 194-216.
295. Biwa S. Nonlinear analysis of particle cavitations and matrix yielding
under equitriaxial stress // Trans. ASME. J. Appl. Mech.— 1999.— V. 66,
№3.-P. 780-785.
296. Bolotin V.V., Lebedev V.I. Analytical model of fatigue crack growth re-
retardation due to overloading // International Journal of Solids and Struc-
Structures.- 1996.- №9.- P. 1229-1242.
297. Bowles C.Q., Broek D. // Int. J. Fracture Mech.— 1969.— V. 5, №4.—
P. 350-352; 1972.— V. 8, №1.— P. 75-85.
298. Broberg K.B. The propagation of a brittle crack // Arkiv for Fysik.—
I960.- Bd. 18, H. 10.— P. 159-192.
299. Broek D. The practical use of fracture mechanics.— Dordrecht: Kluver
Acad. Publ., 1989.-522 p.
300. Brown M.W., Miller K.J., Fernando U.S., Yates J.R., Suker D.K. Aspects
of multiaxial fatigue crack propagation. / In: Fourth Int. Conf. On Biaxial-
Multiaxial Fatigue.- Paris: ESIS publ., 1994.— V. 1.— P. 3-16.
26 B.A. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко
402 Список литературы
301. Budden P.J., Sharpies J.K., Bowling A.R. The R6 procedure: resent de-
developments and comparison with alternative approaches // Int. J. Pressure
Vessels and Piping.- 2000.— V. 77.- P. 895-903.
302. Bueche A.M., Berry J.P. The mechanisms of polymer fracture // In.:
Fracture: Proc. Oo Intern. Conf. on the Atomic Mechanics of Fracture.
Swampscott, Massachusetts. April.— 1959.— N.Y.: Johuwaley & Sons.
303. Bueckner H.F. Weight functions for the notched bar // Z. Angew. Math.
Und Mech.— 1971.- Bd. 51, H. 2.- S. 97-109.
304. Burdekin F.M., Dawes M.G. Practical use of linear elastic and yielding
fracture mechanics with particular reference to pressure vessels / Inst. of
Mech. Engineering Conf., London, 1971.— P. 28-37.
305. Chiang F., Harish T. Three-dimensional crack tip deformation: on exper-
experimental study and comparison to HRR field. / Int. J. Fracture, 1988.—
V. 36.—P. 243-257.
306. Dahl J.M. The strength of materials at aggressive medium / Trans.
Strength Problems of Deformed Bodies.— СПб: Изд. СПб АН по про-
проблемам прочности, 1997.— Т. 1.— С. 61-68.
307. Bowling A.R., Townley C.H.A. The effect of defects on structural failures:
a two-criteria approach // Int. Journ. Press. Vessels and Piping.— 1975.—
V. 3, №2.-P. 77-107.
308. Dudderar Т., Gorman H. A study of effective crack length using holo-
holographic interferometry // Exp Mech.— 1976.— V. 16.— P. 300-304.
309. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. and Phys.
Solids.- I960.- V. 8, №2.— P. 100-108.
310. Fedderson C.E. Discussions // ASTM STP 410.- 1967.- P. 77-79.
311. Gilman J.J. Alan Arnold Griffith, An Appreciation / Fracture: A Topical
Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. by G.P. Cherepanov.— Mel-
Melbourne: Krieger Publ. Corp., 1998.
312. Green A.E., Rivlin R.S., Shield R.T. General theory of small elastic de-
deformations superimposed on finite elastic deformations // Proc. Roy. Soc.
London.— 1951.- V. A211.— P. 128-154.
313. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids // Phil. Trans.
Roy. Soc. Ser. A.— 1920. V.221.— P. 163-198.
314. Griffith A.A. The theory of rupture // In: Proc. 1st. Congr. Appl. Mech.
Delft, 1924.— P. 55-63.
315. Greager M., Paris P. С Elastyc field equations for blunt cracks with refer-
reference to stress corrosion cracking, // Int. J. Fract. Mech.— 1967.— V. 3, № 4.
316. He M.Y., Heredia F.E., Wissuchek D.J. et al. // Acta Mettall. Mater.—
1993.- V. 41, №4.- P. 1223-1228.
317. Head A.K. The growth of fatigue cracks // Phil. Mag.— 1953.— V. 44.
Ser. 7, №356.-P. 925-938.
318. Hobson P.D., Brown M.W., de los Rios E.R. Two phases of short crack
in a medium carbon steel. / In: The Behavior of Short Fatigue Cracks /
Ed. K.J. Miller and E.R. de los Rios.— London: Mechanical Engineering
Publications, 1986.— P. 441-459.
319. Horgan CO., Poligone D.A. Cavitations in nonlinearly elastic solids: Re-
Review // Appl. Mech. Reviews.— 1995.— V. 48, №8.— P. 471-485.
Список литературы 403
320. Hutchinson J. W. Singular behavior at the end of a tensile crack in a
hardening materials // J. Mech. Phys. Solids.— 1968.— V. 16.— P. 13-
31 and 337-347.
321. Irwin G.R. Fracture / Handbuck der Physik. Bd. 6.— Berlin: Springer-
Verlag, 1958.— S. 551-590.
322. Kachanov M., Tsukrov /., Shafiro B. Effective Properties of Solids with
Randomly Located Defects // In: Probabilities and Materials / Ed. by
D. Breusse. Kluwere Publ., 1994.— P. 225-240.
323. Klesnil M., Lukas P. Fatigue of Metallic Materials.— Amsterdam: Elsevier,
1992.-270 p.
324. Kumar V., German M.D., Shih C.F. An Engineering Approach for Elastic-
Plastic Fracture Analysis // EPRI-Report NP-1931.— Palo Alto: EPRI,
1981.
325. Lavit I.M. Conception of cohesive forces in nonlinear fracture mechanics //
Proceedings of the Eleventh Biennial European Conference on Fracture
ECF 11, Poitiers, Futuroscope, France, September 3-6, 1996.— War ley,
U.K.: EMAS, 1996.
326. Levin V., Kachanov M., Lokhin V., Zingerman K. Effective response of
porous materials undergoing large deformations // 19-th Int. Congr. Theor.
and Appl. Mech.: Abstr. Kyoto.— 1996.— P. 262.
327. Levin V.A. Repeatedly Superimposed Large Elastic Deformations // In-
International J. of Fracture.— 1996.— P. 79.
328. Levin V.A. Repeatedly superimposed large deformation in elastic and
viscoelastic solids // 19-th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech.: Abstr.
Kyoto.- 1996.-P. 320.
329. Levin V.A. Theory of Repeated Superposition of Large Deformations.
Elastic and Viscoelastic Bodies // Intern. J. Solids a. Structures.— 1998.—
V. 35, №20.- P. 2585-2600.
330. Levin V.A., Lokhin V.V., Zingerman K.M. Effective Elastic Properties of
Porous Materials With Randomly Disposed Pores. Finite Deformation //
Trans. ASME. J. Appl. Mech.- 2000. V. 67, №4.- P. 667-670.
331. Levin V.A., Zingerman K.M. Interaction and Microfracturing Pattern for
Successive Origination (Introduction) of Pores in Elastic Bodies: Finite
Deformation // Trans. ASME. J. Appl. Mech.— 1998.— V. 65, №2.—
P. 431-435.
332. Levitas V.I. Large Deformation of Materials with Complex Rheological
Properties at Normal and High Pressure.— N.Y.: Nova Science Publ.—
1996.-374 p.
333. Levitas V.I. Thermomechanical theory of martensitic phase transforma-
transformations in inelastic materials // Int. J. Solids and Structures.— 1998.— V. 35,
№9-10.-P. 889-940.
334. Levitas V.I., Stein E. Simple micromechanical model of thermoelastic
martensitic transformations // Mech. Res. Commun., 1997.— V. 24, №3.—
P. 309-318.
335. Matvienko Yu.G. Approximate solutions for strain hardening solid // In:
Recent Advances in Fracture / Ed. R.K. Mahidhara. TMS publ.— 1997.—
P. 307-313.
26*
404 Список литературы
336. Matvienko Yu.G. The propagation of short and long cracks at an unstable
brittle fracture // Int. J. Fract.— 1995.— V. 70.— P. R45-R49.
337. Matvienko Yu.G., Brown M.W., Miller K.J. Modelling threshold
conditions for cracks under tension/torsion loading / Ed. E. Macha,
W. Bedkowski and T. Lagoda.— Oxford: Elsevier, 1999.— P. 3-12.
338. Matvienko Yu.G., Makhutov N.A. Strength and survivability analysis in
engineering safety for structures damaged by cracks // Int. J. Vessels and
Piping.— 1999.- V. 76.— P. 441-444.
339. Matvienko Yu.G., Morozov E.M. Some problems in linear and non-linear
fracture mechanics // Engineering Fracture Mechanics.— 1987.— V. 62.—
P. 127-138.
340. McClintock F.A. Ductile fracture instability in shear // J. Appl. Mech.
1958.- V. 25.- P. 581-588.
341. McMeeking R.M., Parks D.M. On criteria for J-dominance of crack tip
fields in large-scale yielding / In: ASTM STP 668.— 1979.- P. 175-194.
342. Miller K.J. Materials science perspective of metal fatigue resistance //
Materials Science and Technology.— 1993. V. 9, №6.— P. 453-462.
343. Mishra R.S., Bieler T.R., Mukhetjee A.K. // Acta Metall. Mater.— 1995.
V. 43, №3.—P. 877-891.
344. Moony M.A. Theory of large elastic deformation // Journal of Applied
Physics.— 1940.— №11.- P. 582-592.
345. Morozov E.M. Some Heuristic Models of Propageting Cracks // FRAC-
FRACTURE; A Topical Encyclopedia of Current Knowledge. Ed. by G.P. Che-
repanov.— Melbourn: Grieger Publ. Сотр., 1998.— P. 440-449.
346. Mott N.F. Fracture of metals, theoretical consideration // Engineering.
1948.-V. 16.-P. 16.
347. Murakami S. Mechanical modeling of material damage // Trans. ASME.
J. Appl. Mech.— 1988.- V. 55. June.- P. 280-286.
348. Navarro A., de los Rios E.R. A model for short fatigue crack propagation
with an interpretation of the short-long crack transition // Fatigue Fract.
Engng Mater. Struct.— 1987. V. 10.— P. 169-186.
349. Nemat-Nasser S., Hori M. Void Collapse and Void Growth in Crystalline
Solids // J. Appl. Phys.- 1987.- V. 62, №7.- P. 2746-2757.
350. Neuber H. Uber die Berucksichtigung der Spannungskonzentration bei
Festigkeitsberechnungen // Konstruction. — 1968.— V. 20.— S. 245-251.
351. Newman J., Rajn I. Stress intensity factors for internal surface cracks in
cylindrical pressure vessels // Trans. ASME. J. of Pressure Vessel Technol-
Technology.- 1980.- V. 102, №5.— P. 342-346.
352. Obreimoff J. W. The splitting strength of mica // Proc. Of the Royal
Society of London. Ser. A. Vol. CXXVIL— 1930.— №804.— P. 290-297.
353. Orowan E.O. In: Trans. Inst. Eng. Shipbuild. Scotland.— 1945.— V. 89.—
P. 165.
354. Paas M.H.J., Schreurs P.J.G, Brekelmans W.A.M. A continuum approach
to brittle and fatigue damage: theory and numerical procedures // Interna-
International Journal of Solids and Structures.— 1993.— V. 30, №4.— P. 579-599.
355. Paris P.C., Gomez M.P., Anderson W.E. A rational analytic theory of
fatigue // The trend in engineering.— 1961.— V. 13, №1.— P. 9-14.
Список литературы 405
356. Pisarenko G.S., Krasovsky A.J. Analysis of kinetics of quasi-brittle frac-
fracture of crystalline materials // Proc. Int. Conf. Mech. Behav. Mater. Kyoto,
1971.- 1972.- V. 1.- P. 421-232.
357. Ponte Castaneda P., Zaidman M. Constitutive models for porous materials
with evolving microstructure // J. Mech. a. Phys. Solids.— 1994.— V. 42,
№9.—P. 1459-1497.
358. Propelar C.H., Hoagland R.G. On the nature of crack propagation and
arrest in a damaging material // Eng. Fract. Mech.— 1986.— V. 23, № 1.—
P. 131-144.
359. R6, Assessment of the integrity of structures containing defects. British
Energy Generation Report R/H/R6, Revision 3, including updates.— 1999.
360. Rice J.R., Rosengren G.F. Plane strain deformation near a crack tip in a
power law hardening materials // J. Mech. Phys. Solids.— 1968.— V. 16.—
P. 1-12.
361. Rivlin R.S. Large elastic deformations of isotropic materials // Philos.
Trans. Roy. Soc— London, 1948.— A240.- P. 459-508.
362. Roesler F.C. Brittle fracture near equilibrium // Proc. Phys. Soc, Sec. B.
1956.- V. 69. Pt. 10, №442.— P. 981-992.
363. Roven H.J., Nes E. Acta Metall. Mater.— 1991.— V. 39, №8.— P. 1735-
1754.
364. Sack R.A. Extension of Griffith theory of rupture of three dimension //
Proc. Phys. Soc— 1946.- V. 58.— P. 729-736.
365. Schardin H. Photogr. et cinematogr. ultra-rapides. Paris: Dunod, 1956.—
P. 301.
366. Schraad M. W., Triantafyllidis N.I. Scale effects in media with periodic and
nearly periodic microstructures. Part I. Macroscopic properties // Trans.
ASME. Journal of Applied Mechanics.— 1997.— V. 64, №4.- P. 751-762.
367. Schraad M.W., Triantafyllidis N.I. Scale effects in media with periodic
and nearly periodic microstructures. Part II. Failure mechanisms // Trans.
ASME. Journal of Applied Mechanics.— 1997.— V. 64, №4.- P. 763-771.
368. Schwalbe K.H., Zerbst U. et al. The Engineering Treatment Model for
assessing the significance of crack-like defects in engineering structures,
comprising the versions ETM 97/1 and ETM/2 (EFAM ETM 97). GKSS-
Forschungszentrum Report GKSS 98/E/6.— 1998.
369. Schwalbe K.H., Zerbst U. The Engineering Treatment Model // Int. J.
Pressure Vessels and Piping.— 2000.- V. 77.— P. 895-918.
370. Seeger A., Buck O. Die experimental^ der elastischen Konstanten hoherer
Ordnung // Z. Naturforsch.— I960.- V. 15a.— S. 1056-1067.
371. Shih C.F., Hutchinson J. W. Fully plastic solutions and large-scale yielding
estimates for plane stress crack problems // ASME J. Engineering Mate-
Materials Technology.- 1976.— V. 98.- P. 289-295.
372. Short Fatigue Cracks. ESIS Publication 13 / Ed. K.J. Miller and E.R. de
los Rios.— London: МЕР Institution Mechanical Engineers, 1992.
373. Signorini A. Transformation termoelastiche finite // Ann. Mat. Pur. Appl.
1949.- V. 30, №4.- P. 1-72.
406 Список литературы
374. SINTAR, Structural Integrity Assessment Procedure for European Indus-
Industry. Project BE95-1426. Final Procedure, British Steel Report, Rother-
ham.— 1999.
375. Smith C, Post. D., Epstein J. Algorithms and restrictions in the appli-
application of optical methods to the shell intensity factor determination //
Theor. Appl. Fract. Mech.— 1981.— V. 2.— P. 81-89.
376. Smith R.T., Stern R., Stephens R.W. Third-order elastic moduli of poly-
cristallne metals from ultrasonic measurements // J. Acoust. Soc. Amer.—
1966.- V. 40, №5.- P. 1002-1008.
377. Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighborhood of a crack in
an elastic solid // Proc. Roy. Soc. Ser.A.— 1946.— V. 187.— P. 229-260.
378. Soete W. An experimental approach to fracture initiation in structural
steels / Fracture, ICF 4.- 1977.- P. 775-804.
379. Soete W. The wide plate test and the gross strain criterion / Fracture
toughness testing. London.— 1982.
380. Stoppelli F. Sulla sviluppabilita in serie di potense di purmametro delle
equazioni dell' Elastatica isoterma // Rendironti dell' Acad. di Scienze.
Fiz. e. Mat. Delia Soc. Naz. di Scienze.— 1955.— V. 22, №4.— P. 427-467.
381. Tsukrov /., Kachanov M. Stress concentrations and microfracturing pat-
patterns in a brittle-elastic solid with interacting pores of diverse shapes //
Intern. J. Solids and Structures.— 1997.— V. 34, №22.— P. 2887-2904.
382. Turner C.E. A J-based engineering usage of fracture mechanics // ICF 5,
Cannes.— 1981.- V. 3.- P. 1-22.
383. Turner C.E. On post-yield fracture mechanics. / Ed. D.G. Latzko. Applied
Science Publisher, 1979.
384. Vasyutin A.N. Fracture mechanics of physically short cracks // Fatigue
and Fracture Engng Mater, and Struct.— 1992.— V. 15, № 2.— P. 203-212.
385. Watanabe O. Variational Principles of Elastoplasticity in Finite Deforma-
Deformation // JSME Intern. J.- 1990. Ser. I.- V. 33, №4.— P. 480-489.
386. Weighardt K. Uber Spalter und Zerressen elastischer Korper // Zeitsehr.
Fur Math. Und Phys.— 1907.— Bd. 55,№l/2.- S. 60-103.
387. Wells A. A. Application of fracture mechanics at and beyond general yield-
yielding // Brit. Yielding J.— 1963.— V. 10, №11.- P. 563-570.
388. Westergaard H.M. Bearing pressures and cracks // J. Appl. Mech.—
1939.- V. 6, №2.— P. A49-A53.
389. Will P., Totzauer W., Michel B. Analysis of surface cracks by hologra-
holography // Theor. Appl. Fract. Mech.- 1988.- V. 9.- P. 33-38.
390. Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary
crack // Journ. Appl. Mech.— 1957.- V. 24, №1.- P. 109-114.
391. Wnuk M.P., Kriz R.D. CDM model of damage accumulation in laminated
composites // Int. J. Fract.— 1985.— V. 28, №3.— P. 121-138.
392. Wnuk M.P. Effects of time and plasticity of fracture // Brit. J. Appl.
Physics.— 1969.— Ser. 2. V. 2.
393. Wnuk M.P., Knauss W.G. Delayed fracture in viscoelastic plastic solids //
Int. J. Solids and Struct.- 1970.— V. 6, №7.
394. Wolock /., Kies J.A., Newman S.B. Fracture phenomena in polymers /
In.: Fracture: Proc. Intern. Conf. on the Atomic Mechanics of Fracture.
Список литературы 407
Swampscott, Massachusetts. April.— 1959.— N.Y.: J. Waley & Sons. (Рус.
пер. Атомный механизм разрушения.— М.: Металлургиздат, 1963.)
395. Yates J.R., Grabowski L. Fatigue life assessment using a short crack growth
model / In: Fatigue'90. Birmingham: MCER— 1990.— V. 4.— P. 2369-
2376.
396. Yoffe E.H. The moving Griffith crack // Phil. Mag.- 1951.- V. 42,
Pt. 2.—P. 739-750.
397. Zerbst U., Ainsworth R.A., Schwalbe K.H. Basic principles of analytical
few assessment methods // Int. Journ. of Pressure Vessels and Piping.—
2000.- V. 77.- P. 855-867.
398. Zerbst U., Hamman R., Wohlschlegel A. Application of the European flaw
assessment procedure SINTAR to pipes // Int. J. Pressure Vessels and
Piping. 2000.- V. 77.- P. 697-702.
399. Zhang W. Short fatigue crack behavior under different loading systems //
Ph.D. Thesis. University of Sheffield. UK.— 1991.
400. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic
Bodies.— Berlin: Springer, 1997.
Научное издание
ЛЕВИН Владимир Анатольевич
МОРОЗОВ Евгений Михайлович
МАТВИЕНКО Юрий Григорьевич
ИЗБРАННЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: Д.В. Горбачев
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 15.06.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 25,5. Уч.-изд. л. 28. Тираж: 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6