/
Author: Ито Ю. Мураками Ю. Хасебэ Н. Юуки Р. Тоя М. Того К. Мията Х.
Tags: механика физика инженерия теория упругости механика разрушений
ISBN: 5-03-002493-Х
Year: 1990
Text
СПРАВОЧНИК
ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ
ИНТЕНСИВНОСТИ
НАПРЯЖЕНИЙ
Под редакцией Ю. МУРАКАМИ
2
ИЗДАТЕЛЬСТВО .МИР*
Stress intensity
factors handbook
(In 2 Volumes)
Editor-in-Chief
Y. Murakami
The Society of Materials Science, Japan
Co-editors
S. Aoki N. Hasebe Y. Itoh
H. Miyata N. Miyazaki H. Terada
K. Tohgo M. Toya R. Yuuki
Volume 2
Pergamon Press
Oxford • New York ¦ Beijing ¦ Frankfurt
Sao Paulo • Sydney • Tokyo • Toronto
СПРАВОЧНИК
ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ
ИНТЕНСИВНОСТИ
НАПРЯЖЕНИЙ
В 2-х томах
Том 2
Под ред. Ю. Мураками
Перевод с английского
В. Э. Наумова
под редакцией
Р. В. Гольдштейна и Н. А. Махутова
Москва «Мир» 1990
ББК 22.25
С74
УДК 531/534 + 519.6
Авторы: Ито Ю., Мураками Ю., Хасебэ Н., Юуки Р., Тоя М.,
Того К., Мията X., Терада X., Миядзаки Н., Аоки С.
Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений:
С74 В 2-х томах. Т. 2: Пер. с англ./Под ред. Ю. Мураками. — М.:
Мир, 1990. — 1016 с, ил.
ISBN 5-03-002493-Х
Справочник подготовлен коллективом японских специалистов в области математиче-
математических методов теории упругости и механики разрушения. Он содержит 17 глав, охватываю-
охватывающих различные классы задач о трещинах — в пластинах, оболочках, массивных элементах,
сварных швах, кусочно-однородных телах. Результаты представлены в форме, удобной для
пользователя: простые аппроксимационные формулы, таблицы, графики; приводятся
краткие теоретические сведения.
Для механиков, инженеров, конструкторов, работающих в области прочности мате-
материалов и конструкций.
С i603040000-443 33-90 ББК 22.25
041@1) — 90
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-002493-Х (русск.) © 1987 Pergamon Books LTD
ISBN 5-03-002491-3 © перевод на русский язык,
ISBN 0-08-034809-2 (англ.) В. Э. Наумов, 1990
ОГЛАВЛЕНИЕ
Список обозначений 480
ГЛАВА 9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ И
ВНУТРЕННИЕ ТРЕЩИНЫ 481
9.1. Внешняя кольцевая трещина или бесконечный ряд пе-
периодически расположенных внешних кольцевых трещин в
растягиваемом цилиндрическом стержне 481
9.2. Кольцевая трещина, выходящая на поверхность кольце-
кольцевого выреза в растягиваемом цилиндрическом стержне .. 483
9.3. Внешняя поверхностная кольцевая трещина в трубе при
растяжении 486
9.4. Цилиндрический стержень с дискообразной трещиной 487
9.5. Полуэллиптическая поверхностная трещина в длинном
стержне при растяжении 487
9.6. Полуэллиптическая поверхностная трещина в изгибае-
изгибаемом стержне 489
9.7. Стержень кругового сечения с полуэллиптической по-
поверхностной трещиной 491
9.8. Поверхностная трещина в длинном изгибаемом стерж-
стержне 496
9.9. Дискообразная трещина в неограниченном простран-
пространстве под действием растягивающей нагрузки 497
9.10. Дискообразная трещина под действием равных и про-
противоположно направленных сосредоточенных сил 498
9.11. Дискообразная трещина под действием нагрузки, рав-
равномерно распределенной по круговым областям поверхно-
поверхностей трещины 498
9.12. Дискообразная трещина под действием нагрузки,рав-
нагрузки,равномерно распределенной по концентрической окружности 499
9.13. Дискообразная трещина под действием сосредоточен-
сосредоточенных сил, приложенных в точке оси симметрии трещины 500
9.14. Дискообразная трещина под действием равных по ве-
величине и противоположно направленных сил, приложенных
в точках оси симметрии трещины 501
9.15. Дискообразная трещина под действием неравных по
величине и противоположно направленных сил, приложен-
приложенных в точках оси симметрии трещины 503
9.16. Дискообразная трещина под действием двух пар сосре-
сосредоточенных радиальных сил, приложенных к верхней и ниж-
нижней поверхностям трещины 505
9.17. Дискообразная трещина под действием двух пар сосре-
сосредоточенных окружных сил, приложенных к верхней и ниж-
нижней поверхностям трещины 506
9.18. Дискообразная трещина под действием двух пар сосре-
сосредоточенных нормальных сил, приложенных к верхней и
нижней поверхностям трещины 507
я? •<"«>.
453
9.19. Дискообразная трещина под действием равномерных
радиальных сдвиговых усилий, приложенных по круговой
области 507
9.20. Дискообразная трещина под действием радиального
сдвига 508
9.21. Дискообразная трещина под действием скручивающих
моментов 509
9.22. Эллиптическая трещина в пространстве под действием
растягивающей нагрузки 509
9.23. Эллиптическая трещина в пространстве под действием
сдвигающей нагрузки 511
9.24. Эллиптическая трещина в пространстве под действием
изгибающей нагрузки 514
9.25. Полуэллиптическая поверхностная трещина в пласти-
пластине конечной высоты н ширины 515
9.26. Полуэллиптическая поверхностная трещина в пласти-
пластине под действием растягивающей и изгибающей нагрузок 518
9.27. Внутренние эллиптические трещины, поверхностные
полуэллиптические трещины и трещины в форме четверти
эллипса в пластинах конечной высоты и ширины под дей-
действием растягивающей нагрузки 525
9.28. Полуэллиптическая поверхностная трещина в пласти-
пластине конечной высоты и ширины под действием изгибающего
момента 535
9.29. Весовая функция для полуэллиптической поверхност-
поверхностной трещины в пластине конечной высоты и ширины при
основных типах распределения напряжений 537
9.30. Весовая функция для угловой поверхностной трещины
в форме четверти эллипса в пластине конечной высоты и
ширины при основных типах распределения напряжений 539
9.31. Бесконечная пластина с парой полуэллиптических по-
поверхностных трещин под действием растягивающей нагруз-
нагрузки 541
9.32. Внутренняя эллиптическая трещина вблизи свободной
поверхности бесконечной пластины под действием растяги-
растягивающей нагрузки 543
9.33. Полуэллиптическая трещина вблизи ребра в четверти
пространства и пластине под действием растягивающей на-
нагрузки 548
9.34. Полуэллиптическая поверхностная трещина, отходя-
отходящая от цилиндрической полости, находящейся под дей-
действием внутреннего давления 549
9.35. Полуэллиптическая поверхностная трещина на внут-
внутренней полости толстостенного цилиндра под действием
внутреннего давления (поверхности трещины испытывают
давление) 552
9.36. Внутренние и внешние полуэллиптические поверхност-
поверхностные трещины в цилиндрических сосудах 554
454
у
у
|« "Р
у
эХТ"—
•
у
У
¦»|
1-.Л
9.37. Цилиндрическая оболочка, содержащая окружную или
осевую несквозную трещину 561
9.38. Цилиндрическая оболочка с защемленным торцом под
действием внутреннего давления, содержащая осевую не-
несквозную или сквозную трещину 568
9.39. Угловая поверхностная трещина во вращающемся дис-
диске 582
9.40. Трещины в горловине реакторного сосуда давления 587
9.41. Внутренняя эллиптическая трещина вблизи цилиндри-
цилиндрической полости в ее меридиональной плоскости под действи-
действием растягивающих нагрузок 590
9.42. Полуэллиптическая трещина во впадине выреза [141] 593
9.43. Полуэллиптическая трещина в вершине выреза ком-
компактного образца 594
9.44. Окружная трещина, отходящая от отверстия в стенке
трубы под действием растягивающей и изгибающей нагру-
нагрузок 596
9.45. Прямоугольная трещина в пространстве под действи-
действием растягивающей нагрузки 597
9.46. Прямоугольная трещина, перпендикулярная границе
полупространства под действием растягивающей нагрузки 598
9.47. Прямоугольная трещина, перпендикулярная границе
полупространства под действием постоянного и распреде-
распределенного по линейному закону давления, приложенного к по-
поверхностям трещины 599
9.48. Две прямоугольные трещины в пространстве под дей-
действием равномерно распределенного давления, приложен-
приложенного к поверхностям трещин 603
9.49. Поверхностная трещина произвольной формы в полу-
полупространстве (тип I) 605
9.50. Наклонная поверхностная трещина произвольной фор-
формы (типы I, II и III) 609
9.51. Наклонная сквозная трещина в пластине 613
9.52. Краевая трапециевидная трещина в пластине 615
9.53. Две эллиптические трещины в пространстве под дей-
действием растягивающей нагрузки 617
9.54. Две компланарные эллиптические трещины под дей-
действием растягивающей нагрузки 619
9.55. Две одинаковые полуэллиптические поверхностные
трещины под действием растягивающей нагрузки 623
9.56. Две неодинаковые полуэллиптические поверхностные
трещины, перпендикулярные границе полупространства,
под действием растягивающей и изгибающей нагрузок ... 628
9.57. Поверхностные трещины произвольной формы в пла-
пластинах и оболочках 633
9.58. Периодическая система полуэллиптических поверх-
поверхностных трещин, перпендикулярных границе полупростран-
fN f> 1*4
-а-Г
К/
455
ства, под действием нормальной растягивающей нагрузки
на бесконечности 637
9.59. Окружная кольцевая трещина, отходящая от эллипсо-
эллипсоидальной полости 639
9.60. Эллиптическая трещина, искривленная по цилиндриче-
цилиндрической поверхности, при растяжениии и сдвиге 640
9.61. Внешняя кольцевая экваториальная трещина в шаре 643
9.62. Кольцевая трещина в неограниченном пространстве
под действием растягивающей нагрузки 644
9.63. Кольцевая трещина в пространстве под действием из-
изгибающей нагрузки 645
9.64. Кольцевая трещина в пространстве под действием
скручивающей нагрузки 646
9.65. Дискообразная трещина под действием изгибающей
нагрузки с частичным налеганием поверхностей трещины 647
9.66. Внешняя эллиптическая трещина в пространстве .... 650
9.67. Внешняя трещина произвольной формы в простран-
пространстве 653
9.68. Распределение коэффициентов интенсивности напря-
напряжений для сквозной трещины в пластине 653
9.69. Эллиптическая трещина в трансверсально изотропном
пространстве под действием растягивающей и сдвиговой
нагрузок 655
9.70. Полуэллиптическая трещина, отходящая от поверх-
поверхности двух полупространств с различными упругими
свойствами 659
Литература 660
ГЛАВА 10. ТРЕЩИНЫ СМЕШАННОГО ТИПА И ТИПА III 675
10.1. Прямоугольная пластина с центральной наклонной
трещиной под действием равномерно распределенных одно-
одноосных растягивающих усилий 675
10.2. Прямоугольная пластина с внецентренной наклонной
трещиной под действием равномерно распределенных рас-
растягивающих усилий 677
10.3. Прямоугольная пластина с центральной наклонной
трещиной под действием растягивающих усилий, распреде-
распределенных по параболическому закону 678
10.4. Прямоугольная пластина с краевой наклонной трещи-
трещиной под действием равномерно распределенных одноосных
растягивающих усилий 679
10.5. Прямоугольная пластина с краевой наклонной трещи-
трещиной под действием равномерного изгибающего момента 680
10.6. Круговой диск с центральной наклонной трещиной под
действием сжимающей нагрузки 681
I U I I
МММ
» » I
J_L_L
ТТТ
456
10.7. Крестообразный образец с центральной наклонной
трещиной при двухосном растяжениии 683
10.8. Образец с центральной трещиной для нагружения сме-
смешанного типа 683
10.9. Образец с краевой трещиной для нагружения смешан-
смешанного типа 686
10.10. Прямоугольная пластина с центральной трещиной
под действием сдвиговой нагрузки 687
10.11. Прямоугольная пластина с краевой трещиной под
действием сдвиговой нагрузки 688
10.12. Прямоугольный компактный образец с двумя крае-
краевыми надрезами для испытаний на сдвиг 689
10.13. Дисковый образец с центральной трещиной для на-
гружений типа II 690
10.14. Дисковый образец с краевой трещиной для нагруже-
ний типа II 691
10.15. Прямоугольная пластина с краевой трещиной под
действием четырехточечной сдвиговой нагрузки 692
10.16. Прямоугольная пластина с центральной трещиной
под действием четырехточечной сдвиговой нагрузки 694
10.17. Прямоугольная пластина с двумя краевыми трещина-
трещинами под действием четырехточечной сдвиговой нагрузки .. 695
10.18. Прямоугольная пластина с эксцентрично расположен-
расположенной трещиной под действием четырехточечной сдвиговой
нагрузки 696
10.19. Образец крестообразного сварного соединения с цент-
центральной трещиной под действием четырехточечной сдвиго-
сдвиговой нагрузки 697
10.20. Балка с трещиной под действием сосредоточенной си-
силы 698
10.21. Балка с трещиной под действием равномерно распре-
распределенной нагрузки 699
10.22. Полоса с центральной трещиной под действием рав-
равномерно распределенных по берегам трещины усилий про-
продольного сдвига 700
10.23. Полоса с двумя краевыми трещинами под действием
равномерно распределенных по берегам трещины усилий
продольного сдвига 701
10.24. Полоса с краевой трещиной под действием равномер-
равномерно распределенных по берегам трещины усилий продольно-
продольного сдвига 702
10.25. Полоса с краевой трещиной под действием приложен-
приложенных к берегам трещины сосредоточенных усилий продоль-
продольного сдвига 703
10.26. Полоса с уступом и трещиной под действием растя-
растягивающей нагрузки 704
10.27. Полоса с уступом и трещиной под действием изгиба-
изгибающего момента 705
10.28. Ортотропная полоса с трещиной под действием дав-
давления, равномерно распределенного по берегам трещины 707
457
_j
-Ш—¦——в
-O-
¦а
10.29. Ортотропная полоса с трещиной под действием сдви-
сдвиговых усилий, равномерно распределенных по берегам тре-
трещины 709
10.30. Полоса с трещиной, параллельной краям, под дей-
действием равномерного сдвигового смещения 712
10.31. Полоса с полубесконечной трещиной под действием
сосредоточенных усилий продольного сдвига, приложенных
к берегам трещины 713
10.32. Полоса с полубесконечной трещиной под действием
усилий продольного сдвига, распределенных по участку бе-
берегов трещин 714
10.33. Полоса с полубесконечной трещиной при смещениях
продольного сдвига на краях 715
10.34. Полоса с краевой трещиной под действием сосредото-
сосредоточенных усилий продольного сдвига, приложенных к берегам
трещины 715
10.35. Полосы с центральной трещиной, одной или двумя
краевыми трещинами под действием равномерно распреде-
распределенных усилий продольного сдвига 716
10.36. Стержень круглого сечения с краевой радиальной тре-
трещиной под действием скручивающего или изгибающего
моментов 717
10.37. Стержень прямоугольного сечения с двумя краевыми
трещинами под действием скручивающего момента 718
10.38. Стержень прямоугольного сечения с краевой трещи-
трещиной под действием скручивающего момента 720
10.39. Стержень круглого сечения с радиальными краевыми
трещинами под действием скручивающего момента 722
10.40. Стержень, имеющий сечение в виде сектора кругового
кольца, с радиальной краевой трещиной под действием
скручивающего момента 724
10.41. Стержень, имеющий сечение в виде сектора кругового
кольца, с окружной краевой трещиной под действием скру-
скручивающего момента 726
10.42. Прямоугольная пластина с полукруговой поверх-
поверхностной трещиной под действием равномерного сдвигового
смещения 728
10.43. Прямоугольная пластина с угловой трещиной в виде
четверти круга под действием равномерного сдвигового
смещения 729
10.44. Прямоугольная пластина с краевой трещиной под
действием нагружения продольным сдвигом 730
Литература 731
ГЛАВА И. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ О
ТРЕЩИНАХ , 736
11.1. Равномерный поток тепла на берегах трещины в плос-
плоскости 736
11.2. Равномерно нагретая плоскость с жестким тонким
включением 736
'///л:!,л?////////////
е
о
"§
е
е
е
е
о
'•О
е
е
е
е
о
че
е
е
е
Л f
II Я iS
•
, -. ¦
и
я
к ^
458
11.3. Равномерно нагретая плоскость с упругим тонким
включением 737
11.4. Равномерный поток тепла, возмущенный теплоизоли-
теплоизолированной трещиной 738
11.5. Равномерный поток тепла, возмущенный жестким [_ t '_ _ t _i
тонким включением 738 /
11.6. Равномерный поток тепла, возмущенный упругим теп-
лопроводящим тонким включением 739
11.7. Равномерный поток тепла в полуплоскости, возму-
возмущенный трещиной 741
11.8. Равномерный поток тепла в полуплоскости, возму-
возмущенный трещиной, берега которой поддерживаются при по-
постоянной температуре 742
11.9. Трещина в полуплоскости, нагреваемой по части гра-
границы 743
11.10. Равномерный поток тепла в полуплоскости, возму-
возмущенный жестким тонким включением 745
11.11. Равномерный поток тепла на берегах трещины, рас-
расположенной вблизи кругового отверстия в плоскости 746
11.12. Равномерный поток тепла на берегах трещины, рас-
расположенной вблизи другой трещины 747
11.13. Равномерный поток тепла в плоскости, возмущенный
двумя теплоизолированными трещинами 749
11.14. Нагретая прямоугольная пластина с трещиной 750
11.15. Нагретая прямоугольная пластина с тонким
включением 752
11.16. Нагретая ортотропная прямоугольная пластина с
центральной трещиной 753
11.17. Равномерный поток тепла в ортотропной прямоу-
прямоугольной пластине, возмущенный центральной трещиной . 755
11.18. Нагретая ортотропная прямоугольная пластина с
внецентренной трещиной 757
11.19. Равномерный поток тепла в ортотропной прямоу-
прямоугольной пластине, возмущенный" внецентренной трещиной 759
11.20. Нагретая ортотропная прямоугольная пластина с на-
наклонной трещиной 762
11.21. Равномерный поток тепла в ортотропной прямоу-
прямоугольной пластине, возмущенный наклонной трещиной .... 765
11.22. Равномерное распределение температуры по поверх-
поверхности дискообразной трещины 767
11.23. Равномерное распределение температуры по концент-
концентрической круговой площадке на поверхности дискообразной
трещины 768
11.24. Равномерное распределение температуры по кольце-
кольцевой области поверхности дискообразной трещины 768
459
- \
ъ> -
[-
"L.x.J
N
11.25. Равномерный поток тепла на поверхности дискоо-
дискообразной трещины 769
11.26. Равномерный поток тепла на концентрической круго-
круговой площадке поверхности дискообразной трещины 769
11.27. Равномерный поток тепла на кольцевой области по-
поверхности дискообразной трещины 770
11.28. Равномерный поток тепла, возмущенный дискоо-
дискообразной трещиной 770
11.29. Равномерное распределение температуры по поверх-
поверхностям двух компланарных дискообразных трещин 771
11.30. Равномерный поток тепла, возмущенный двумя ком-
компланарными дискообразными трещинами 772
11.31. Равномерное распределение температуры по кольце-
кольцевой области поверхности внешней дискообразной трещины 774
11.32. Сосредоточенное приложение температуры вдоль
окружности на поверхности внешней дискообразной трещи-
трещины 774
11.33. Осесимметричное распределение температуры на по-
поверхности внешней дискообразной трещины 775
11.34. Равномерный поток тепла на кольцевой области по-
поверхности внешней дискообразной трещины 775
11.35. Осесимметричный поток тепла на поверхности внеш-
внешней дискообразной трещины 776
11.36. Неосесимметричный поток тепла на поверхности
внешней дискообразной трещины 777
11.37. Равномерное распределение температуры по поверх-
поверхности дискообразной трещины, параллельной границе полу-
полупространства 777
11.38. Равномерный поток тепла в полупространстве, воз-
возмущенный дискообразной трещиной, параллельной границе
полупространства 779
11.39. Равномерное распределение температуры по поверх-
поверхности дискообразной трещины в шаре 780
11.40. Равномерное распределение температуры по поверх-
поверхности дискообразной трещины в круговом цилиндре 782
11.41. Круговой цилиндр с окружной поверхностной трещи-
трещиной под действием равномерного потока тепла 783
11.42. Круговой полый цилиндр с кольцевой трещиной на
внутренней поверхности под действием равномерного пото-
потока тепла 784
11.43. Равномерное распределение температуры по поверх-
поверхности эллиптической трещины 785
11.44. Равномерный поток тепла на поверхности эллиптиче-
эллиптической трещины 786
11.45. Сосредоточенное приложение температуры в двух
противолежащих точках поверхностей полубесконечной
трещины в пространстве 788
11.46. Сосредоточенный поток тепла, приложенный в двух
противолежащих точках поверхностей полубесконечной
трещины в пространстве 789
11.47. Сосредоточенный поток тепла, приложенный в точке
верхней поверхности полубесконечной трещины в полупро-
полупространстве 790
460
0т
жи„.
11.48. Равномерное приложение температуры по прямоу-
прямоугольным областям на поверхностях полубесконечной тре-
трещины в пространстве 791
11.49. Равномерный поток тепла, приложенный по прямоу-
прямоугольной области верхней поверхности полубесконечной тре-
трещины в пространстве 792
Литература 793
ГЛАВА 12. ТРЕЩИНЫ В УСЛОВИЯХ КОНТАКТНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 799
12.1. Трещина, отходящая от вершины входящего угла .. 799
12.2. Расклинивание полуполосы с краевой трещиной тон-
тонким гладким клином 800
12.3. Расклинивание жестким клином упругого клина с вхо-
входящим углом и трещиной на биссектрисе 803
12.4. Внешняя трещина в плоскости, симметрично раскли-
расклиниваемая двумя жесткими тонкими клиньями 807
12.5. Дискообразная трещина с гладким жестким диско-
дискообразным вкладышем 810
12.6. Дискообразная трещина в трансверсально изотропной
среде с вытянутым сфероидальным жестким вкладышем 812
12.7. Подкрепленная полуплоскость с трещиной при растя-
растяжении вдоль границы 813
12.8. Краевая трещина на поверхности раздела в клеевом со-
соединении внахлест 820
12.9. Трещина, параллельная границе полуплоскости, нахо-
находящейся под действием движущейся сосредоточенной на-
нагрузки 822
12.10. Полукруговая поверхностная трещина в полупро-
полупространстве в условиях герцевского контакта качения и сколь-
скольжения 824
12.11. Дискообразная трещина, параллельная поверхности
полупространства, в условиях герцевского контакта качения
и скольжения 828
12.12. Эллиптическая трещина, параллельная поверхности
полупространства, в условиях герцевского контакта качения
и скольжения 831
12.13. Полукруговая поверхностная трещина в полупро-
полупространстве в условиях герцевского контакта качения и сколь-
скольжения 835
12.14. Наклонная полукруговая поверхностная трещина в
полупространстве, находящемся в условиях контакта каче-
качения и скольжения с упругим шаром 841
Литература 850
ГЛАВА 13. ТРЕЩИНЫ В СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЯХ 852
13.1. Соединения внахлестку под действием сдвига 852
13.2. Соединение посредством точечной сварки под действи-
действием сдвига 853
13.3. Крестообразное соединение посредством точечной
сварки 855 •'
'—•»<»¦«,,»
461
13.4. Двойное соединение посредством точечной сварки под
действием сдвига 855
13.5. Крестообразное сварное соединение с трещинами ... 856
13.6. Соединения внахлестку и внахлестку со смешением 857 ,^
13.7. Внешняя эллиптическая трещина в пространстве ... 858 *~
13.8. Внешняя трещина произвольной формы в простран-
пространстве 860
Литература 863
ГЛАВА 14. ТРЕЩИНЫ В ПОЛЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕ-
НАПРЯЖЕНИЙ ИЛИ МАГНИТНОМ ПОЛЕ 864
14.1. Симметричная трещина, перпендикулярная сварному
шву (сварное соединение двух полубесконечных пластин) 864
14.2. Трещина, несимметрично расположенная перпендику-
перпендикулярно сварному шву 867
14.3. Коллинеарные трещины, расположенные перпендику-
перпендикулярно периодической системе сварных швов 868
14.4. Полуэллиптическая поверхностная трещина, располо-
расположенная перпендикулярно сварному шву 869
14.5. Трещина, отходящая от отверстия, подвергнутого хо-
холодной пластической обработке 870
14.6. Краевая трещина в кольцевом сегменте под действием
остаточных сварочных напряжений 871
14.7. Периодическая система параллельных трещин в маг-
магнитном поле 872
14.8. Две коллинеарные трещины в мягком ферромагнит-
ферромагнитном упругом теле 873
14.9. Дискообразная трещина в магнитном поле 874
14.10. Трещина в неограниченной мягкой ферромагнитной
среде под действием нормально падающих продольных
волн 875
14.11. Дискообразная трещина в осевом магнитном поле
под действием нормально падающих волн сжатия 877
Литература 878
ГЛАВА 15. ЗАДАЧИ ИЗГИБА ПЛАСТИН С ТРЕЩИНАМИ 881
15.0. Компоненты напряжений вблизи фронта трещины.. 881
15.1. Бесконечная пластина с трещиной под действием изги-
изгибающего момента (классическая теория) 882
МГ'.
"»*•;
C/H-O.I
А
<Р>.
462
15.2. Бесконечная пластина с трещиной под действием кру-
крутящего момента (классическая теория) 883
15.3. Бесконечная пластина с трещиной под действием пере-
перерезывающих сил (классическая теория) 883
15.4. Бесконечная пластина с произвольно ориентированной
трещиной под действием изгибающего момента (классичес-
(классическая теория) 884
15.5. Бесконечная пластина с произвольно ориентированной
трещиной под действием перерезывающих сил (классиче-
(классическая теория) 884
15.6. Бесконечная пластина с парой наклонных трещин под
действием изгибающего момента в плоскости симметрии
(классическая теория) 885
15.7. Бесконечная пластина с парой наклонных трещин под
действием изгибающего момента в плоскости, перпендику-
лярной оси симметрии (классическая теория) 886
15.8. Бесконечная пластина с радиальными трещинами под
действием изгибающих моментов (классическая теория) 887
15.9. Бесконечная пластина с системой одинаковых коллине-
арных трещин под действием изгибающего момента (клас-
(классическая теория) 888
5.10. Бесконечная пластина с системой одинаковых парал-
параллельных трещин под действием изгибающего момента
(классическая теория) 890
15.11. Бесконечная пластина с двумя равными параллельны-
ми смещенными относительно друг друга трещинами под
действием изгибающего момента (классическая теория) .. 892
15.12. Бесконечная пластина с системой параллельных сме-
смещенных относительно друг друга трещин под действием из-
изгибающего момента (классическая теория) 893
15.13. Полоса с двумя противолежащими краевыми трещи-
трещинами под действием изгибающего момента (классическая
теория) 895
15.14. Полоса с двумя противолежащими краевыми трещи-
трещинами под действием крутящего момента (классическая тео-
теория) 896
15.15. Трещина, отходящая от треугольного выреза на краю
полубесконечной пластины, находящейся под действием из-
гибающего момента (классическая теория) 897
15.16. Бесконечная пластина с трещиной, имеющей ответ-
ответвления на противоположных концах, под действием изгиба-
ющего момента. Случай 1 (классическая теория) 901
15.17. Бесконечная пластина с трещиной, имеющей ответ-
вления на противоположных концах, под действием изгиба-
изгибающего момента. Случай 2 (классическая теория) 903
15.18. Бесконечная пластина с трещиной, имеющей ответ-
ответвления на противоположных концах, под действием крутя-
крутящих моментов. Случай 3 (классическая теория) 905
15.19. Трещины на линии соединения полуполосы и полубе-
полубесконечной пластины, подверженного изгибу из плоскости
(классическая теория) 907
-«—4—«—I
i -ЯЗШ-1
в I 9 I в I t
—¦•
. 1
||
и
n
1
1
«—
f
<>
Д
зг
•fll
1
463
15.20. Трещины на линии соединения полуполосы и полубе-
полубесконечной пластины, подверженного кручению из плоскос-
плоскости (классическая теория) 909
15.21. Трещины на линии соединения полуполосы и полубе-
полубесконечной пластины, подверженной равномерному изгибу
из плоскости (классическая теория) 910
15.22. Трещины на линии соединения полуполосы и полубе-
полубесконечной пластины, подверженной равномерному круче-
кручению из плоскости (классическая теория) 912
15.23. Полоса с уступом и трещиной под действием изгиба-
изгибающего момента (классическая теория) 913
15.24. Полоса с уступом и трещиной под действием крутя-
крутящего момента (классическая теория) 916
15.25. Трещина, отходящая от скошенного уступа в полубе-
полубесконечной пластине, находящейся под действием изгибаю-
изгибающего момента (классическая теория) 918
15.26. Бесконечная пластина с трещиной под действием из-
изгибающего момента (теория Рейсснера) 920
15.27. Бесконечная пластина с трещиной под действием кру-
крутящего момента (теория Рейсснера) 991
15.28. Бесконечная пластина с произвольно ориентирован-
ориентированной трещиной под действием изгибающего момента (теория
Рейсснера) 922
15.29. Бесконечная пластина с произвольно ориентирован-
ориентированной трещиной под действием крутящего момента (теория
Рейсснера) 922 п
15.30. Полубесконечная пластина с трещиной под действием 1
изгибающего момента (теория Рейсснера) 923 I — ¦
15.31. Полоса с центральной трещиной под действием изги- *
бающего момента (теория Рейсснера) 924
15.32. Бесконечная пластина с двумя равными коллинеарны-
ми трещинами под действием крутящего момента (теория
Рейсснера) 925
15.33. Бесконечна пластина с двумя равными параллельны-
параллельными трещинами под действием крутящего момента (теория
Рейсснера) 928
15.34. Бесконечная пластина с периодической системой кол-
линеарных трещин под действием изгибающего момента
(теория Рейсснера) 930
15.35. Бесконечная пластина с периодической системой па-
параллельных трещин под действием изгибающего момента
(теория Рейсснера) 931
15.36. Бесконечная пластина с периодической системой па-
параллельных трещин под действием крутящего момента (те-
(теория Рейсснера) 932
15.37. Бесконечная пластина с круговым отверстием и тре-
трещиной под действием изгибающего момента (теория Рейсс-
Рейсснера) 937
J-,
-И
464
15.38. Полоса с двумя противолежащими краевыми трещи-
трещинами под действием изгибающего момента (теория Рейссне- *
ра) 935
Литература 935 J,
ГЛАВА 16. ТРЕЩИНЫ В ОБОЛОЧКАХ 938
16.0. Компоненты напряжений в окрестности фронта
трещины 938
16.1. Цилиндрическая оболочка с осевой трещиной под дей-
действием мембранных усилий (классическая теория) 940
16.2. Цилиндрическая оболочка с осевой трещиной под дей-
действием изгибающих моментов (классическая теория) 942
16.3. Цилиндрическая оболочка с осевой трещиной под дей-
действием скручивающих моментов (классическая теория) ... 943
16.4. Цилиндрическая оболочка с окружающей трещиной ,
под действием мембранных усилий (классическая теория) 944
16.5. Цилиндрическая оболочка с окружной трещиной под
действием скручивающих моментов (классическая теория) 945
16.6. Цилиндрическая оболочка с произвольно ориентиро-
ориентированной трещиной под действием внутреннего давления
(классическая теория) 947
16.7. Цилиндрическая оболочка с двумя коллинеарными осе-
осевыми трещинами под действием внутреннего давления
(классическая теория) 949
16.8. Сферическая оболочка с трещиной под действием мем-
мембранных усилий (классическая теория) 950 »
16.9. Сферическая оболочка с трещиной под действием изги-
изгибающего момента (классическая теория) 951
16.10. Цилиндрическая оболочка с осевой трещиной под дей-
действием мембранных усилий (теория оболочек с учетом де-
деформаций сдвига) 953
16.11. Цилиндрическая оболочка с окружной трещиной под
действием мембранных усилий (теория оболочек с учетом
деформаций сдвига) 954
16.12. Цилиндрическая оболочка с окружной трещиной под
действием изгибающих моментов (теория оболочек с уче-
учетом деформаций сдвига) 956
16.13. Цилиндрическая оболочка с осевой трещиной и одним
закрепленным торцом под действием внутреннего давления
(теория оболочек с учетом деформаций сдвига) 957
16.14. Цилиндрическая оболочка с произвольно ориентиро-
ориентированной трещиной (теория оболочек с учетом деформаций
сдвига] 959
16.15. Сферическая оболочка с трещиной под действием
мембранных усилий (теория оболочек с учетом деформаций
сдвига) 963
16.16. Сферическая оболочка с трещиной под действием из-
изгибающего момента (теория оболочек с учетом деформаций
сдвига) 965
Литература 966
L
Г
Я 1
465
ГЛАВА 17. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ О ТРЕЩИНАХ 969
Обозначения 969
17.1. Полубесконечная трещина под действием ударной на-
нагрузки 970
17.2. Полубесконечная трещина под действием сосредото-
сосредоточенной ударной нагрузки, приложенной к берегам трещины 970
17.3. Трещина конечной длины в плоскости под действием
ударной нагрузки 971
17.4. Трещина конечной длины вблизи края полуплоскости
под действием динамической нагрузки 972
17.5. Трещина в полосе под действием ударной нагрузки 973
17.6. Трещина конечной длины в слоистом композите под
действием динамической нагрузки 974
17.7. Трещина на поверхности раздела материалов с различ-
различными упругими свойствами под действием динамической
нагрузки 975
17.8. Трещина конечной длины под действием гармониче-
гармонической волны напряжений 976
17.9. Две коллинеарные трещины под действием ударной
нагрузки 977
17.10. Две коллинеарные трещины под действием гармони-
гармонической волны 978
17.11. Две параллельные трещины под действием ударной
сдвиговой нагрузки 980
17.12. Две параллельные трещины под действием гармони-
гармонической волны напряжений 981
17.13. Дискообразная трещина под действием ударной на-
нагрузки 983
17.14. Дискообразная трещина под действием гармониче-
гармонической волны напряжений 984
17.15. Дискообразная трещина в цилиндре под действием
растягивающей ударной нагрузки 985
17.16. Окружная трещина на внутренней стенке толстостен-
толстостенного цилиндра под действием скручивающей ударной на-
нагрузки 986
17.17. Дискообразная трещина в слоистом композите под
действием ударной нагрузки 987
17.18. Дискообразная трещина на поверхности раздела ма-
материалов с различными упругими свойствами под действи-
действием скручивающей ударной нагрузки 988
17.19. Кольцевая трещина под действием ударной нагрузки 989
..t t t t t t
\ 1
Д
k h
^^^ r
L
К-мга \
Иная I
Tantml i
466
17.20. Прямоугольная трещина под действием ударной на-
нагрузки 990
17.21. Прямоугольная трещина под действием гармониче-
гармонической волны напряжения 991
17.22. Изгибаемый образец с надрезом под действием дина-
динамической нагрузки 991
17.23. Полубесконечная движущаяся трещина 992
17.24. Распространение трещины конечной длины в плос-
плоскости 993
17.25. Движущаяся трещина в образце, имеющем вид двух-
консольной балки 994
17.26. Распространение трещины конечной длины в теле ко-
конечных размеров 995
Литература 996
ПРИЛОЖЕНИЕ. Полные эллиптические интегралы пер-
первого и второго рода 1007
/_Z
Jttttttttt
шипи
R
467
Краткое содержание т. 1
От редакторов перевода 5
Предисловие Киецугу Одзи 8
Предисловие Акио Оцуки 10
Предисловие редактора 11
Список обозначений 46
ГЛАВА 1. ОБРАЗЦЫ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ ПО ОПРЕДЕЛЕ-
ОПРЕДЕЛЕНИЮ ТРЕЩИНОСТОЙКОСТИ В МЕХАНИКЕ РАЗРУШЕ-
РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ 47
1.1. Полоса с центральной поперечной трещиной при одно-
одноосном растяжении 47
1.2. Полоса с двумя симметричными краевыми трещинами
при одноосном растяжении 49
1.3. Полоса с краевой поперечной трещиной при одноосном
растяжении 51
1.4. Полоса конечной длины с поперечной краевой трещи-
трещиной при чистом изгибе 52
1.5. Полоса конечной длины с поперечной краевой трещи-
трещиной при трехточечном изгибе 54
1.6. Полоса конечной длины с поперечной краевой трещи-
трещиной при четырехточечном изгибе 56
1.7. Прямоугольный компактный образец с краевой трещи-
трещиной на внецентренное растяжение 57
1.8. Дисковый компактный образец с краевой трещиной на
внецентренное растяжение 59
1.9. Прямоугольный компактный образец с краевой трещи-
трещиной, нагружаемый клином 61
1.10. Модифицированный прямоугольный компактный об-
образец с краевой трещиной, нагружаемый клином 63
1.11. Прямоугольный образец с симметричной краевой тре-
трещиной при нагружении клином на линии трещины 64
1.12. Образец С-образной формы с симметричной краевой
трещиной на внецентренное растяжение 67
1.13. Образец в виде двухконсольной балки (ДКБ-образец) 68
1.14. Образец в виде трапецеидальной двухконсольной
балки 70
1.15. Цилиндрический образец с поверхностной кольцевой
трещиной при растяжении 71
1.16. Прямоугольная полоса с симметричной поверхност-
поверхностной полуэллиптической трещиной при растяжении или из-
изгибе 73
1.17. Прямоугольная пластина с поверхностной трещиной
при кручении 75
1.18. Брус или цилиндр с шевронным надрезом под действи-
действием однородной нагрузки 76
1.19. Балка с шевронным надрезом при четырехточечном
изгибе 79
Литература 80
468
ГЛАВА 2. ПЛАСТИНА КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ С ДВУМЕР-
ДВУМЕРНЫМИ ТРЕЩИНАМИ 88
2.1. Полоса с центральной поперечной трещиной при изгибе 88
2.2. Прямоугольная пластина с центральной трещиной при
действии на ее берегах сосредоточенных нормальных растя-
растягивающих сил 89
2.3. Прямоугольная пластина с центральной трещиной при
действии на внешнем контуре сосредоточенных нормаль-
нормальных растягивающих сил 90
2.4. Прямоугольная пластина с центральной трещиной при
действии на внешнем контуре сосредоточенных продольных
сжимающих сил 91
2.5. Прямоугольная пластина с центральной трещиной при
равномерном растяжении или смещении краев 92
2.6. Пластины различной формы с центральной трещиной
при растяжении 95
2.7. Полоса с поперечной центральной трещиной и защем-
защемленными краями при растяжениии 97
2.8. Полоса с эксцентрично расположенной поперечной тре-
трещиной при растяжении 98
2.9. Прямоугольная пластина с эксцентрично расположен-
расположенной трещиной при равномерном растяжении по нормали к
линии трещины 99
2.10. Полоса с центральной продольной трещиной, нагру-
нагруженной сосредоточенными нормальными растягивающими
силами в центре 100
2.11. Полоса с шарнирно закрепленными краями и цент-
центральной продольной трещиной, нагруженной сосредоточен-
сосредоточенными нормальными растягивающими силами в центре .. 101
2.12. Полоса с защемленными краями и центральной про-
продольной трещиной, нагруженной сосредоточенными нор-
нормальными растягивающими силами в центре 102
2.13. Полоса с центральной продольной трещиной при
действии равномерного растяжения на внешнем контуре
или равномерного внутреннего давления 103
2.14. Полоса с центральной продольной трещиной при рав-
равномерном смещении защемленных краев по нормали к ли-
линии трещины 104
2.15. Полоса с центральной продольной трещиной при рав-
равномерном смещении краев по нормали к линии трещины без
сдвиговых напряжений 105
2.16. Полоса с двумя симметричными краевыми трещинами
при чистом изгибе 105
2.17. Прямоугольная пластина с краевой трещиной на линии
симметрии при равномерном растяжении по нормали к ли-
линии трещины 106
2.18. Полоса с полубесконечной центральной трещиной при
постоянном смещении защемленных граней по нормали к
линии трещины 108
2.19. Полоса с полубесконечной центральной трещиной при
постоянном смещении граней по нормали к линии трещины
без сдвиговых напряжений 108
2.20. Прямоугольная пластина с краевой трещиной на линии
469
симметрии при смещении защемленных боковых граней по
нормали к линии трещины 109
2.21. Ортотропная полоса с эксцентрично расположенной
поперечной трещиной при произвольном нагружении 110
Литература 113
ГЛАВА 3. ТРЕЩИНЫ В ПОЛУПЛОСКОСТИ 116
3.1. Полуплоскость с поперечной краевой трещиной, нагру-
нагруженной сосредоточенной силой в точке выхода на поверх-
поверхность 116
3.2. Полуплоскость с поперечной краевой трещиной, нагру-
нагруженной сосредоточенными силами на берегах 116
3.3. Полуплоскость с тюперечной краевой трещиной с ча-
частично нагруженными берегами 117
3.4. Полуплоскость с поперечной краевой трещиной под
действием линейно меняющейся нагрузки на берегах 117
3.5. Полуплоскость с поперечной краевой трещиной под
действием нелинейно распределенной нагрузки на берегах 118
3.6. Равномерное растяжение с двумя поперечными краевы-
краевыми трещинами неравной длины 118
3.7. Равномерное растяжение полуплоскости с периодиче-
периодической системой поперечных краевых трещин одинаковой дли-
длины 119
3.8. Равномерное растяжение полуплоскости с бесконечной
периодической системой поперечных краевых трещин 120
3.9. Равномерное растяжение полуплоскости с наклонной
краевой трещиной 121
3.10. Равномерное растяжение полуплоскости с краевой тре-
трещиной в виде двухзвенной ломаной 122
3.11. Равномерное растяжение полуплоскости с двумя па-
параллельными наклонными краевыми трещинами неравной
длины 122
3.12. Равномерное растяжение полуплоскости с двумя на-
наклонными краевыми трещинами, выходящими из одной
точки 123
3.13. Равномерное растяжение полуплоскости с краевой вет-
ветвящейся трещиной с равными ветвями 124
3.14. Равномерное растяжение полуплоскости с краевой зиг-
зигзагообразной трещиной с равными звеньями 125
3.15. Равномерное растяжение полуплоскости с треуголь-
треугольным краевым вырезом, из вершины которого исходит пер-
перпендикулярная краю трещина 126
3.16. Равномерное растяжение полуплоскости с треуголь-
треугольным краевым вырезом, из вершины которого исходит на-
наклонная трещина 128
3.17. Равномерное растяжение полуплоскости с прямоуголь-
прямоугольным вырезом, из вершины которого исходит перпендику-
перпендикулярная краю трещина 128
3.18. Равномерное растяжение полуплоскости с прямоуголь-
прямоугольным краевым вырезом, из вершины которого исходит на-
наклонная трещина 130
3.19. Равномерное растяжение полуплоскости с наклонной
ступенькой, из вершины которой исходит перпендикулярная
краю трещина 130
470
3.20. Симметричные краевые трещины на линии сцепления
полуплоскости с полубесконечной полосой 132
3.21. Краевая трещина на линии сцепления полуплоскости
с полубесконечной полосой 134
3.22. Равномерное растяжение полуплоскости с поперечной
краевой трещиной и ребром жесткости 136
3.23. Полуплоскость с поперечной краевой трещиной и реб-
ребром жесткости при его вращении вокруг своего центра .. 138
3.24. Полуплоскость с поперечной краевой трещиной и реб-
ребром жескости, нагруженным вертикальной сосредоточен-
сосредоточенной силой 140
3.25. Полуплоскость с поперечной краевой трещиной и реб-
ребром жесткости, нагруженным сдвигающей силой 142
3.26. Равномерное растяжение полуплоскости с поперечной
краевой трещиной и упругой накладкой 144
3.27. Равномерное растяжение полуплоскости с поперечной
краевой трещиной и двумя симметрично расположенными
упругими накладками 145
3.28. Растяжение полуплоскости с поперечной краевой тре-
трещиной и параллельным краю упругим включением 146
3.29. Равномерное растяжение полуплоскости с поперечной
краевой трещиной и расположенным на продолжении тре-
трещины эллиптическим отверстием 147
3.30. Равномерное растяжение полуплоскости с наклонной
краевой трещиной и перпендикулярной границе внутренней
трещиной 148
3.31. Равномерное растяжение полуплоскости с перпендику-
перпендикулярной границе трещиной перед полукруглым краевым вы-
вырезом 149
3.32. Полуплоскость с параллельной границе внутренней
трещиной, нагруженной постоянным давлением 149
3.33. Равномерное растяжение полуплоскости с перпендику-
перпендикулярной границе внутренней трещиной 150
3.34. Равномерное растяжение полуплоскости с периодиче-
периодической системой перпендикулярных границе внутренних тре-
трещин равной длины 151
3.35. Равномерное растяжение полуплоскости с упругой на-
накладкой и перпендикулярной границе внутренней трещиной 152
3.36. Равномерное растяжение полуплоскости с защемлен-
защемленным краем и перпендикулярной ему внутренней трещиной 153
3.37. Полуплоскость со свободным краем и перпендикуляр-
перпендикулярной краю внутренней полубесконечной трещиной 154
3.38. Полупространство с краевым полуцилиндрическим
вырезом и перпендикулярной границе внутренней трещиной
при продольном сдвиге 155
3.39. Полупространство с краевым полуэллиптическим в се-
сечении вырезом и перпендикулярной границе внутренней тре-
трещиной при продольном сдвиге 156
3.40. Полупространство с краевым приблизительно треу-
треугольным в сечении вырезом и перпендикулярной границе
внутренней трещиной при продольном сдвиге 157
3.41. Полупространство с периодической системой краевых
полуэллиптических в сечении вырезов и перпендикулярной
границе внутренней трещиной при продольном сдвиге .... 158
Литература 159
471
ГЛАВА 4. ТРЕЩИНЫ В ПЛОСКОСТИ 162
4.1. Равномерное растяжение плоскости с одиночной трещи-
трещиной по нормали к линии трещины 162
4.2. Равномерное растяжение плоскости с одиночной на-
наклонной трещиной 162
4.3. Плоскость с трещиной под действием приложенной на
бесконечности полиномиальной нагрузки 163
4.4. Пространство с трещиной в виде полосы при нагруже-
нии сосредоточенными силами и моментами: общие выра-
выражения для К\, Кц, Km 163
4.5. Модель Дагдейла 164
4.6. Две полубесконечные коллинеарные трещины, нагру-
нагруженные на бесконечности 165
4.7. Равномерное растяжение плоскости с двумя равными
коллинеарными трещинами по нормали к линии трещин 166
4.8. Равномерное растяжение плоскости с тремя равными
коллинеарными трещинами по нормали к линии трещин 167
4.9. Равномерное растяжение плоскости с двумя коллинеар-
коллинеарными трещинами различной длины по нормали к линии тре-
трещин 168
4.10. Равномерное растяжение плоскости с бесконечной пе-
периодической системой коллинеарных трещин равной длины
по нормали к линии трещин 169
4.11. Равномерное растяжение плоскости с бесконечной пе-
периодической системой параллельных трещин равной длины
по нормали к линиям трещин 170
4.12. Равномерное растяжение плоскости с двумя парал-
параллельными трещинами равной длины по нормали к линиям
трещин 171
4.13. Равномерное растяжение плоскости с тремя парал-
параллельными трещинами равной длины по нормали к линиям
трещин 172
4.14. Равномерное растяжение плоскости с двоякопериоди-
ческой прямоугольной системой трещин равной длины по
нормали к линиям трещин 173
4.15. Равномерное растяжение плоскости с двумя парал-
параллельными сдвинутыми трещинами равной длины по норма-
нормали к линиям трещин 174
4.16. Пластина с бесконечной периодической системой кол-
линеарных трещин равной длины при продольном сдвиге 175
4.17. Пластина с бесконечной периодической системой па-
параллельных трещин равной длины при продольном сдвиге 175
4.18. Внутренняя трещина, перпендикулярная линии соеди-
соединения двух полуплоскостей с разными свойствами, при рас-
растяжении вдоль линии соединения 176
4.19. Растяжение пластины, состоящей из бесконечной сис-
системы двух видов полос, с периодической системой коллине-
коллинеарных трещин равной длины по нормали к линии трещин 177
4.20. Растяжение периодически подкрепленной пластины с
бесконечной системой коллинеарных трещин равной длины
по нормали к линии трещин 178
4.21. Равномерное растяжение полосы с центральной попе-
поперечной трещиной 179
472
4.22. Равномерное растяжение полосы с эксцентрично рас-
расположенной поперечной трещиной 180
4.23. Равномерное растяжение полосы с произвольно ориен-
ориентированной внутренней трещиной 182
4.24. Растяжение полосы с подкрепленными гранями и цент-
центральной поперечной трещиной 184
4.25. Растяжение крестообразно скрепленных пластин раз-
различной жесткости и толщины с крестообразной трещиной 186
Литература 188
ГЛАВА 5. ТРЕЩИНЫ ВБЛИЗИ КОНЦЕНТРАТОРОВ НА-
НАПРЯЖЕНИЙ (ДВУМЕРНЫЙ СЛУЧАЙ) 191
5.1. Двухосное растяжение плоскости с круговым отверсти-
отверстием и двумя симметрично расположенными радиальными
трещинами, выходящими на его контур 191
5.2. Растяжение плоскости с круговым отверстием и ради-
радиальной трещиной, выходящей на его контур 192
5.3. Трещины, выходящие на контур эллиптического от-
отверстия или выреза, при растяжении 194
5.4. Равномерное растяжение плоскости с эллиптическим
отверстием и двумя симметрично расположенными трещи-
трещинами, выходящими на его контур, по нормали к линии
трещин 197
5.5. Равномерное растяжение плоскости с эллиптическим
отверстием и двумя трещинами разной длины, выходящи-
выходящими на его контур, по нормали к линии трещин 202
5.6. Равномерное растяжение плоскости с эллиптическим
отверстием и произвольно ориентированной трещиной, вы-
выходящей на его контур 204
5.7. Равномерное растяжение плоскости с эллиптическим
отверстием и произвольно ориентированными трещинами,
выходящими на его контур" 205
5.8. Плоскость с круговым отверстием и двумя симметрич-
симметрично расположенными радиальными трещинами, выходящи-
выходящими на его контур, под действием внутреннего давления . 208
5.9. Равномерное растяжение плоскости с квадратным или
треугольным отверстием и трещинами, выходящими из его
вершин 209
5.10. Плоскость с ромбическим отверстием и трещиной, вы-
выходящей из его вершины 211
5.11. Симметрично расположенные радиальные трещины,
выходящие на контур отверстия для нагружения через
шпильки 215
5.12. Равномерное растяжение плоскости с двумя круговы-
круговыми отверстиями равного радиуса и внутренней трещиной,
симметрично расположенной на линии их центров 218
5.13. Равномерное растяжение плоскости с двумя круговы-
круговыми отверстиями равного радиуса и внутренней трещиной,
перпендикулярной их линии центров 219
5.14. Равномерное растяжение плоскости с двумя жесткими
круговыми включениями равного радиуса и внутренней тре-
трещиной, симметрично расположенной на линии их центров 220
5.15. Плоскость с круговым отверстием и радиальной внут-
внутренней трещиной, расположенной вблизи этого отверстия 221
473
5.16. Трещины, выходящие на контур эллиптического от-
отверстия или выреза, при продольном сдвиге 222
5.17. Пространство с эллиптическим отверстием и внутрен-
внутренней или краевой симметрично расположенной трещиной при
продольном сдвиге 223
5.18. Трещина вблизи эллиптического отверстия или выреза
при равномерном растяжении 224
5.19. Равномерное растяжение прямоугольной пластины с
центральным круговым или эллиптическим отверстием и
двумя симметрично расположенными радиальными трещи-
трещинами, выходящими на его контур 225
5.20. Равномерное растяжение симметричной прямоуголь-
прямоугольной пластины с краевыми вырезами и выходящими на их
контур трещинами 229
5.21. Трещина под действием внутреннего давления, распо-
расположенная на линии симметрии вблизи клинообразного вы-
выреза или жесткого включения 231
Литература 233
ГЛАВА 6. ТРЕЩИНЫ В КРУГОВОЙ ПЛАСТИНЕ ИЛИ
ЦИЛИНДРЕ 236
6.1. Круговое кольцо с внутренней краевой радиальной тре-
трещиной под действием растяжения на внешней границе или
внутреннего давления 236
6.2. Толстостенный цилиндр с одной или двумя внутренни-
внутренними или внешними краевыми радиальными трещинами под
действием полиномиальной нагрузки на берегах 237
6.3. Внутренняя трещина в толстостенном цилиндре под
действием внутреннего давления 264
6.4. Вращающийся диск с внутренней трещиной 247
6.5. Вращающееся круговое кольцо с двумя симметричными
внутренними краевыми радиальными трещинами 252
6.6. Вращающийся диск с угловой несквозной трещиной..
6.7. Круговое кольцо с двумя внутренними краевыми ради-
радиальными трещинами под действием сосредоточенных сжи-
сжимающих сил на внешнем контуре 258
6.8. Эллиптическая пластина с центральной внутренней тре-
трещиной при сжатии сосредоточенными силами на внешнем
контуре 260
6.9. Эллиптическая пластина с центральной внутренней тре-
трещиной при растяжении сосредоточенными силами на внеш-
внешнем контуре 261
Литература 262
ГЛАВА 7. НЕПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ТРЕЩИНЫ В ПЛОСКОСТИ 264
7.1. Трещина в виде двухзвенной ломаной 264
7.2. Трещина в виде трехзвенной ломаной, симметричная
относительно своего центра 272
7.3. Одноосное растяжение плоскости с трещиной, имею-
имеющей бесконечно малое ответвление 277
7.4. Трещина с симметричными ответвлениями 280
7.5. Двоякосимметричная трещина с ответвлениями 288
7.6. Трещина с несимметричными ответвлениями 292
474
7.7. Трещины, выходящие на контур эллиптического отвер-
отверстия 299
7.8. Звездообразная трещина и радиальные трещины 304
7.9. Дугообразная трещина 308
7.10. S-Образная трещина при двухосном растяжении 310
7.10. S-образная трещина при двухосном растяжении
7.11. Слабоискривленная трещина , 312
Литература 314
ГЛАВА 8. ТРЕЩИНЫ В НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛАХ 319
8.0. Введение 319
8.1. Трещина на границе раздела двух полуплоскостей с раз-
различными упругими свойствами при растяжении и сдвиге 323
8.2. Трещина на границе раздела двух полуплоскостей с раз-
различными упругими свойствами при продольном сдвиге .. 324
8.3. Трещина на границе раздела двух полуплоскостей с раз-
различными упругими свойствами под действием равных про-
противоположно направленных сил на ее берегах 325
8.4. Бесконечная периодическая система коллинеарных тре-
трещин равной длины на границе раздела двух полуплоскостей
с различными упругими свойствами при растяжении и сдви-
сдвиге 325
8.5. Две полубесконечные коллинеарные трещины на грани-
границе раздела двух полуплоскостей с различными упругими
свойствами под действием сосредоточенных растягиваю-
растягивающей Р и сдвиговой Q сил на бесконечности 328
8.6. Трещина на границе раздела двух пластин с различными
упругими свойствами при изгибе 328
8.7. Трещина на границе раздела двух пластин с различными
упругими свойствами под действием пары сосредоточенных
моментов 330
8.8. Бесконечная периодическая система коллинеарных тре-
трещин равной длины на границе раздела двух пластин с раз-
различными упругими свойствами при изгибе 331
8.9. Краевая трещина на границе раздела двух пластин с раз-
различными упругими свойствами под действием сосредото-
сосредоточенных нормальных или сдвиговых сил в начале трещины 333
8.10. Внутренняя трещина, параллельная границе раздела
двух полуплоскостей с различными упругими свойствами,
при растяжении 335
8.11. Внутренняя трещина, параллельная границе раздела
двух полуплоскостей с различными упругими свойствами,
при сдвиге 337
8.12. Внутренняя трещина, перпендикулярная границе раз-
раздела двух полуплоскостей с различными упругими свойства-
свойствами, при растяжении вдоль границы 338
8.13. Внутренняя наклонная трещина, выходящая на грани-
границу раздела двух полуплоскостей с различными упругими
свойствами, при растяжении вдоль границы 340
8.14. Внутренняя наклонная трещина вблизи границы разде-
раздела двух полуплоскостей с различными упругими свойствами
при растяжении вдоль границы 341
8.15. Внутренняя трещина, пересекающая под прямым уг-
475
лом границу раздела двух полуплоскостей с различными
упругими свойствами, при растяжении вдоль границы .... 343
8.16. Внутренняя трещина, пересекающая под прямым уг-
углом границу раздела двух полуплоскостей с различными
упругими свойствами, при сдвиге 344
8.17. Внутренняя трещина с изломом на границе раздела
двух полуплоскостей с различными упругими свойствами
при растяжении вдоль границы 345
8.18. Внутренняя трещина с изломом на границе раздела
двух полуплоскостей с различными упругими свойствами
при сдвиге 346
8.19. Трещина в виде двухзвенной ломаной, одно звено ко-
которой расположено на границе раздела двух полуплоскостей
с различными упругими свойствами, при растяжении вдоль
границы 347
8.20. Трещина в виде двухзвенной ломаной, одно звено ко-
которой расположено на границе раздела двух полуплоскостей
с различными упругими свойствами, при растяжении по
нормали к границе 350
8.21. Трещина в виде двухзвенной ломаной, одно звено ко-
которой расположено на границе раздела двух полуплоскостей
с различными упругими свойствами, при сдвиге 352
8.22. Две параллельные трещины равной длины, одна из ко-
которых расположена на границе раздела двух полуплоско-
полуплоскостей с различными упругими свойствами, или зигзагооб-
зигзагообразная трещина, участок которой расположен на границе
раздела двух полуплоскостей с различными упругими
свойствами, при растяжении 354
8.23. Три параллельные трещины равной длины, две из ко-
которых симметрично расположены относительно границы
раздела двух полуплоскостей с различными упругими
свойствами, а одна находится на границе, при растяжении 355
8.24. Три параллельные трещины равной длины, две из ко-
которых симметрично расположены относительно границы
раздела двух полуплоскостей с различными упругими
свойствами, а одна находится на границе, при сдвиге .... 356
8.25. Центральная поперечная трещина в полосе, скреплен-
скрепленной с двумя полуплоскостями из материала с другими упру-
упругими свойствами, под действием равномерного внутреннего
давления 358
8.26. Центральная поперечная трещина в полосе, скреплен-
скрепленной с двумя полуплоскостями из материала с другими упру-
упругими свойствами, под действием равномерного сдвига на
берегах 359
8.27. Центральная поперечная трещина в полосе, скреплен-
скрепленной с двумя полуплоскостями из материала с другими упру-
упругими; представление с помощью параметров Дундурса ... 361
8.28. Центральная поперечная трещина в слое, скрепленном
с двумя полупространствами из материала с другими упру-
упругими свойствами, при продольном сдвиге 363
8.29. Центральная поперечная трещина в слое, скрепленном
с двумя полупространствами из материала с другими
свойствами, под действием равномерных внутренних нор-
нормальных сил 364
476
8.30. Центральная поперечная трещина, полностью пересе-
пересекающая слой, скрепленный с двумя полупространствами из
материала с другими свойствами, при продольном сдвиге
на бесконечности 366
8.31. Центральная продольная трещина в полосе, скреплен-
скрепленной с двумя полупространствами из материала с другими
свойствами, под действием равномерных внутренних нор-
нормальных напряжений 367
8.32. Центральная продольная трещина в полосе, скреплен-
скрепленной с двумя полупространствами из материала с другими
свойствами, под действием равномерных внутренних сдви-
сдвиговых напряжений 369
8.33. Центральная продольная трещина в слое, скрепленном
с двумя полупространствами из материала с другими
свойствами, под действием продольных сдвиговых напря-
напряжений 370
8.34. Трещина на границе раздела упругой полосы и полу-
полуплоскости с другими упругими свойствами под действием
внутренних нормальных напряжений 371
8.35. Краевая поперечная трещина в полуплоскости со сло-
слоистым включением в виде полосы из материала с другими
упругими свойствами при растяжении вдоль границы 372
8.36. Сквозная трещина в трехслойной пластине с наружны-
наружными слоями с одинаковыми упругими свойствами и толщи-
толщиной 373
8.37. Центральная трещина, выходящая на границу кругово-
кругового включения в плоскости из материала с другими свойства-
свойствами, при равномерном растяжении 377
8.38. Центральная трещина в круговом включении при рас-
растяжении 378
8.39. Трещина, расположенная на диаметре кругового вклю-
включения в плоскости с другими упругими свойствами, при рас-
растяжении 379
8.40. Одна или две симметрично расположенные в плоскос-
плоскости вне кругового включения трещины, выходящие на его
границу, при равномерном растяжении по нормали к линии
трещины 380
8.41. Одна или две симметрично расположенные вне круго-
кругового включения трещины, выходящие на его границу, при
равномерном растяжении вдоль линии трещины или тре-
трещин 382
8.42. Одна или две симметрично расположенные в плоскос-
плоскости вне кругового включения трещины, выходящие на его
границу, при равномерном сдвиге в плоскости 383
8.43. Радиальная внутренняя трещина вблизи кругового
включения в плоскости с другими упругими свойствами при
одноосном или двухосном растяжении 385
8.44. Диаметральная трещина, пересекающая круговое
включение в плоскости с другими упругими свойствами, при
растяжении 387
8.45. Трещина в армированном волокнами композите при
продольном сдвиге 388
8.46. Дугообразная трещина на границе кругового включе-
477
ния в плоскости с другими упругими свойствами при равно-
равномерном растяжении 390
8.47. Дугообразная трещина на границе кругового цилин-
цилиндрического включения в пространстве с другими упругими
свойствами при продольном сдвиге 394
8.48. Дугообразная трещина на границе эллиптического
жесткого включения в плоскости с другими упругими
свойствами при растяжении 394
8.49. Т-образная трещина на границе эллиптического (в пла-
плане) цилиндрического включения в пространстве с другими
упругими свойствами при продольном сдвиге 398
8.50. Две дугообразные трещины на границе кругового
включения в плоскости с другими упругими свойствами . 400
8.51. Дискообразная трещина на поверхности раздела двух
полупространств с различными упругими свойствами при
равномерном растяжении 405
8.52. Дискообразная трещина на средней плоскости слоя,
скрепленного с полупространствами из материала с други-
другими упругими свойствами, под действием равномерных внут-
внутренних нормальных напряжений 406
8.53. Дискообразная трещина на средней плоскости слоя,
скрепленного с двумя слоями из материала с другими
свойствами, при кручении 408
8.54. Дискообразная трещина, соосная с цилиндрическим
включением в пространстве с другими упругими свойства-
свойствами, под действием равномерных внутренних нормальных
напряжений 409
8.55. Дискообразная трещина, соосная с цилиндрическим
включением в пространстве с другими упругими свойства-
свойствами, при кручении 411
8.56. Пространство с дискообразной эллиптической трещи-
трещиной, центр которой совпадает с концом большей оси эллип-
эллипсоидального включения из материала с другими упругими
свойствами, при одноосном растяжении 412
8.57. Центральная круговая трещина в сферическом включе-
включении, расположенном в пространстве с другими упругими
свойствами, под действием равномерных внутренних нор-
нормальных напряжений 413
8.58. Центральная круговая трещина в сферическом включе-
включении, расположенном в пространстве с другими упругими
свойствами, при равномерном растяжении на бесконечнос-
бесконечности 414
8.59. Термические напряжения в составных телах с разреза-
разрезами на границе раздела сред 415
8.60. Термические напряжения вблизи бесконечной периоди-
периодической системы центральных поперечных трещин равной
длины в полосе, скрепленной с двумя полуплоскостями с
другими свойствами 418
8.61. Термические напряжения вокруг дискообразной тре-
трещины, расположенной на границе раздела двух сред с раз-
различными свойствами и возмущающей однородный
тепловой поток 421
8.62. Термические напряжения вокруг внешней осесиммет-
478
ричной трещины на границе раздела двух сред с различными
свойствами 423
8.63. Отрыв тонкой балки, скрепленной с жесткой подлож-
подложкой 425
8.64. Отрыв тонкой пластины, скрепленной с жестким осно-
основанием, сосредоточенной силой или внутренним давлением 426
8.65. Образец для определения трещиностойкости при сдви-
сдвиге в соединениях внахлест 427
8.66. Образец для определения трещиностойкости при сдви-
сдвиге в соединениях внахлест
8.67. Перпендикулярная к границе раздела трещина в изо-
изотропной полуплоскости, скрепленной с анизотропной по-
полуплоскостью 429
8.68. Перпендикулярная границе раздела трещина в анизот-
анизотропной полуплоскости, скрепленной с изотропной полуп-
полуплоскостью 432
8.69. Полуэллиптическая трещина, выходящая на границу
раздела двух сред 435
Литература 436
479
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Е модуль Юнга
Е' приведенный модуль Юнга, равный Е в случае обоб-
обобщенного плоского напряженного состояния; ?7A - у)
в случае плоской деформации
G, fi модуль сдвига
/ скорость высвобождения энергии деформации
/0 в задачах о трещине в неоднородных телах - скорость
высвобождения энергии деформации в случае однородного
тела
К = К. - </Сп комплексный коэффициент интенсивности напряжений
Kj . коэффициент интенсивности напряжений в вершине А
трещины вида I
/т *• ^т а безразмерный коэффициент интенсивности напряжений в
X ( А X , А
вершине F трещины вида I
/С коэффициент интенсивности напряжений в вершине
трещины вида I в случае нагружения А
/1Д, FJA безразмерный коэффициент интенсивности напряжений
в вершине трещины вида I в случае нагружения А
М изгибающий момент
Р сосредоточенная растягивающая или сжимающая сила
Q сосредоточенная сдвиговая сила
5 сосредоточенные силы антиплоского сдвига
3 - 4у плоская деформация
C - р)/A +v) обобщенное плоское напряженное состояние
к = ¦
A, t толщина
v коэффициент Пуассона
or напряжение
б раскрытие берегов трещины
р плотность
ы угловая скорость вращения
МКЭ метод конечных элементов
МГЭ метод граничных элементов
СИУ метод сингулярных интегральных уравнений
480
9. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ И
ВНУТРЕННИЕ ТРЕЩИНЫ
9.1. ВНЕШНЯЯ КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА ИЛИ БЕСКОНЕЧНЫЙ
РЯД ПЕРИОДИЧЕСКИ РАСПОЛОЖЕННЫХ ВНЕШНИХ
КОЛЬЦЕВЫХ ТРЕЩИН В РАСТЯГИВАЕМОМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ [/; 2-9]
d . .с.
Метод объемных сил [1], погрешность менее 0.1%.
л-4
oV
пс
I
<г Vndc/D
п
(см. [2]),
F'i
+ IА + | А2 - 0.363 А3 + 0.731 А4) х
А =
2c/D
Рис. 9.1. Безразмерный коэффициен
0 интенсивности напряжений в
зависимости от 2с/D.
481
11-1280
Таблица 9.1. Значения FT
2c/D
0.02
0.03
0.05
0.1
0.2
0.3
1/3
0.4
0.5
0.6
2/3
0.7
0.8
0.9
v=0.0
1.136
1.144
1.158
1.193
1.277
1.408
1.466
1.614
1.948
2.522
3.162
3.622
6.246
16.67
Fi
v=0.3
1.133
.139
.150
.180
.261
.393
.452
.602
.940
2.516
3.158
3.618
6.243
16.67
Fllc/h-»O
2c/D
Рис. 9.2. Эффект взаимовлияния бесконечного ряда внешних кольцевы
трещин в растягиваемом цилиндрическом стержне (у = 0.3).
Таблица 9.2. Значения F% для бесконечного ряда периодически
расположенных внешних кольцевых трещин (v = 0.3)
\гс/о
0.0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.0
1.122
0.872
0.726
0.625
0.558
0.2
1.261
1.176
1.027
0.906
0.821
F|
1/3
1.452
1.439
1.335
1.212
1.113
0.5
1.940
1.942
1.917
1.839
1.746
2/3
3.158
3.092
0.0
1.000
0.778
0.647
0.558
0.498
F|/F
0.2
1.000
0.933
0.814
0.719
0.651
1/3
1.000
0.991
0.919
O.B35
0.767
0.5
1.000
1.001
0.988
0.948
0.900
г/з
1.000
0.979
482
9.2. КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА, ВЫХОДЯЩАЯ НА ПОВЕРХНОСТЬ
КОЛЬЦЕВОГО ВЫРЕЗА В РАСТЯГИВАЕМОМ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СТЕРЖНЕ [10; 1]
Метод конечных элементов [10], погрешность менее 2-3%.
Определение безразмерного коэффициента интенсивности напряжений:
*ч Л, с Л.
г _ I Ki _ * с _ J
1.1215o«r0v ш
* I »
о-пАGТ7)
где а - коэффициент концентрации напряжений на вырезе.
Таблица 9.3. Значения /^ для
цилиндрического стержня с внешней
кольцевой трещиной при t = 0 (v = 0.3)
2c/D
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
[10]
1.17
1.23
1.37
1.59
1.96
2.59
3.69
[1]
1.180
1.261
1.393
1.602
1.940
2.516
3.618
Таблица 9.4. Типы цилиндрических
стержней с вырезами
Тип
N1
N2
N3
N4
L/0
1.5
d/D
0.8
0.6
d/p
16.0
8.0
12.0
3.0*
t/p
2.0
1.0
4.0
1.0
483
Таблица 9.5. Значения Fj для кольцевой трещины, выходящей
на поверхность кольцевого выреза в цилиндрическом стержне
с/р
0.15
0.2
0.225
0.3
0.375
0.4
0.45
0.5
0.525
0.6
0.675
0.7
0.8
0.9
1.0
N1
3.71
3.26
2.90
2.75
2.58
2.47
2.38
2.32
2.25
N2
2.91
2.62
2.38
2.29
2.24
2.20
2.17
2.16
2.18
N3
6.60
5.85
5.23
4.97
4.68
4.49
4.34
4.25
4.15
N4
4.39
4.22
4.11
4.17
4.23
4.41
4.68
5.14
_
Таблица 9.6. Сравнение значений
поверхность выреза, и значений F
стержне без выреза
^ для трещины, выходящей на
для трещины в цилиндрическом
0.20
0.22
0.23
0.24
0.25
0.26
0.27
0.28
0.29
0.30
0.32
0.34
0.36
0.38
0.40
t"U
1
1
1
Fr
23
.37
.59
N1
d/p-16
C/p
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
t/p-2
Ft
1.12
1.18
1.18
1.23
1.24
1.26
1.27
1.29
1.30
N2
d/p«8
t/p-1
c/p F*
— -
— ¦
— -
0.2
-
0.3
— -
0.4
-
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.19
1.26
1.27
1.32 <
1.37 '
1.41
1.44
1.49
1.54
„iiticl
0.42
0.43
0.44
0.45
0.46
0.47
0.48
0.49
0.50
0.52
0.55
0.58
0.61
0.64
0.67
t-0
FI
1.67
1.76
1.90
1.96
2.05
2.23
2.42
2.69
2.96
3.37
N3
d/p»12 t/p-4
c/p F*
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
.
¦
¦
¦
¦
.44
.55
.58
.66
.69
.73
.77
.82
.85
N4
d/p»3
c/p
—
0.15
0.225
—
0.3
0.375
0.45
0.525
0.6
0.675
t/p-1
1.59
1.81
1.97
2.18
2.36
2.59
2.87
3.27
484
0.5
V =
о
•
1 1
0.3
N1
N2
N3
N4
¦
Fi
. 1
К1
* 1.1215аов/йГ
i i i i I
0.5 с/р
Рис. 9.3. Коэффициент
интенсивности напряжений F'
для четырех стержней с вырезами.
4.0 г
1.0
F!
0.5
N2 N4
7*: трещина + вырез
Fj: длина трещины - t + С
0.5
с/р
1.0
2c/D
Рис.
и Fj
9.4. Сравнение коэффициентов интенсивности напряжений
для эквивалентной трещины.
Рис. 9.5. Коэффициенты интенсивности напряжений Fz для трещины
длиной t + с и Fj для трещины, выходящей на поверхность выреза.
485
9.3. ВНЕШНЯЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА
В ТРУБЕ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ [//]
t f t t с
zt
D
]
r
d/L=l.0
v =0.3
Метод конечных элементов [11].
Приближенная формула (c/t ? 0.9)
F = AQ + AtX + АгХ2 + Л3А3 + Л4А4 , А = c/t ,
Ло = 1.2114378, Лх = -1.6577755, Аг = 11.743555,
Л3 = -16.672913, АА = 9.7708125.
4.0
3.0
2.0
1.0
D/d
——¦
¦1.1
/
0.4 0.8
c/t
Рис. 9. в. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от глубины трещины.
486
9.4. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ С ДИСКООБРАЗНОЙ
ТРЕЩИНОЙ [5; 4, 12-14]
м т
ч-:
а:
Асимптотический метод [5], погрешность 1%.
i L р м #2 + а
'c/R
па ,
F_ = | A + h - |A2) + 0.268A3, A = ? ,
= F 2TaVc/R
111 т я(/?4 - а4)
* + 0.038X9).
9.5. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА
В ДЛИННОМ СТЕРЖНЕ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ [/5; 16]
t ¦ t о
у.
п
ц
I *
487
Метод объемных сил [15], погрешность менее 1%.
/Cj. - коэффициент интенсивности напряжений в самой глубокой точке (
фронта полуэллиптической трещины.
j = K/iar/пГ ).
Кi lp-нв ~ коэффициент интенсивности напряжений Кг для
полуэллиптической поверхностной трещины в полупространстве.
Таблица 9.7. Значения FT
0. 0.125 0.250 0.375 0.500
Ь/а-1
0.0 0.636 0.641 0.656 0.683 0.723
0.3 0.660 0.665 0.683 0.714 0.758
Ь/а-0.5 0.3 0.884 0.890 0.920 0.976 1.064
Таблица 9.8. Значения /^
^\
ЧЬ/»
а/г\
0
0.
0.
25
50
0
1.
1.
0.
.25
022
003
996
0
0.
0.
0.
.50
884
890
920
0
0.
0.
0.
.75
759
780
840
1
0.
0.
0.
.00
660
683
758
0.0 0.2 0.4 и 0.6
0.0 0.25 0.5 0.75 . 1.0
0.9
Рис. 9.7. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
Ь/г.
Рис. 9.8. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
Ь/а.
488
30 4.0
|
Рис. 9.9. Коэффициент интенсивности
напряжений в зависимости от а/Ь.
9.6. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА
В ИЗГИБАЕМОМ СТЕРЖНЕ [17; 15, 18-20]
С
(а) Рассматриваемая задача (Ь) Соответствующая плоская задача
Приближенное решение [17], погрешность около 10% (b/d * 0.25).
nd
3 "
При условии b/d = c/W и равенстве номинальных напряжений при
растяжении и изгибе принимается предположение
/й жЛ
1.3 „ А1.2
1.3 Л1.2
A)
где /С? з - коэффициент интенсивности напряжений для
полуэллиптической поверхностной трещины в стержне при изгибе;
489
ftj 3 - коэффициент интенсивности напряжений для полуэллиптической
поверхностной трещины в стержне при растяжении; /С? 2 - коэффициент
интенсивности напряжений для плоской задачи о краевой трещине в
полосе при изгибе; /С* 2 - коэффициент интенсивности напряжений
для плоской задачи о краевой трещине в полосе при растяжении.
Коэффициенты /Г? о и /CJ - определяются формулами [18, 191:
/С* = o-i'/яГ F? _ , А =
1,2 О 1,2
_ = 1.121 - 1.199А + 4.775А2 - 1.628А3 - 7.035А4 +
,2
+ 13.27А5, B)
_ = 1.12 - 0.231А + 10.55А2 - 21.72А3 + 30.39А4. C)
,2
Коэффициент /Cj 3 для коэффициента Пуассона v = 0.3 определяется
методом наименьших квадратов с использованием результатов [15, 20]:
*Ь - 'о7^" 4.3' Л - 7Г • Э = I •
F] з = A122 - 0.2300 - 0.901/32 + О.94903 - 0.280Э*)х
хA.0 + 0.157А - 0.634А2 + 4.590А3 - 6.628А4). D)
E-T _I_t2. E)
1.3 pi
1,2
490
Таблица 9.9. Значения
3
для полуэллиптической трещины
0.000
0.010
о.ого
0.030
0.040
0.050
0.060
0.070
0.080
0.090
0.100
0.110
0.120
0.130
0.140
0.150
0.160
0.170
0.180
0.190
0.200
о.гю
0.220
0.230
0.240
0.250
0.000
1.123
1.116
1.108
1.098
1.088
1.077
1.066
1.055
1.045
1.034
1.024
1.014
1.005
0.996
0.9В7
0.979
0.970
0.962
0.953
0.944
0.935
0.925
0.913
0.901
0.887
0.871
0.100
1.092
1.085
1.077
1.068
1.0S8
1.047
1.037
1.026
1.016
1.005
0.996
0.986
0.977
0.968
0.960
0.952
0.943
0.935
0.927
0.918
0.909
0.899
0.888
0.876
0.862
0.В47
0.200
1.048
1.041
1.034
1.025
1.015
1.005
0.995
0.985
0.975
0.965
0.956
0.947
0.938
0.929
0.921
0.913
0.906
0.898
0.890
0.881
0.872
0.863
0.852
0.841
0.828
0.813
0.3О0
0.996
0.990
0.982
0.974
0.965
0.955
0.946
0.936
0.927
0.917
0.908
0.900
0.891
0.883
0.876
0.868
0.861
0.853
0.846
0.838
0.829
0.820
0.810
0.799
0.787
0.773
0.400
0.940
0.934
0.927
0.919
0.911
0.902
0.893
0.884
0.875
0.866
0.857
0.849
0.841
0.834
0.827
0.819
0.812
0.805
0.798
0.791
0.783
0.774
0.765
0.754
0.743
0.729
0.500
0.884
0.878
0.871
0.864
0.856
0.848
0.839
0.830
0.822
0.814
0.806
0.798
0.791
0.784
0.777
0.770
0.764
0.757
0.750
0.743
0.736
0.728
0.719
0.709
0.698
0.686
0.600
0.829
0.824
0.818
0.811
0.803
0.795
0.787
0.779
0.771
0.763
0.756
0.749
0.742
0.735
0.729
0.723
0.716
0.710
0.704
0.697
0.690
0.683
0.674
0.665
0.655
0.643
0.700
0.778
0.774
0.768
0.761
0.754
0.747
0.739
0.732
0.724
0.717
0.710
0.703
0.697
0.690
0.684
0.678
0.673
0.667
0.661
0.655
0.648
0.641
0.633
0.625
0.615
0.604
0.800
0.733
0.729
0.723
0.717
0.710
0.703
0.696
0.689
0.682
0.675
0.669
0.662
0.656
0.650
0.645
0.639
0.634
0.628
0.622
0.617
0.610
0.604
0.596
0.588
0.579
0.569
0.900
0.694
0.690
0.684
0.678
0.672
0.666
0.659
0.652
0.64S
0.639
0.613
0.627
0.621
0.615
0.610
0.605
0.600
0.594
0.589
0.584
0.578
0.571
0.564
0.557
0.548
0.538
1.000
0.661
0.656
0.651
0.646
0.640
0.634
0.627
0.621
0.614
0.608
0.602
0.597
0.591
0.586
0.581
0.576
0.571
0.566
0.561
0.556
0.S50
0.544
0.537
0.530
0.522
0.513
9.7. СТЕРЖЕНЬ КРУГОВОГО СЕЧЕНИЯ С ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ
ПОВЕРХНОСТНОЙ ТРЕЩИНОЙ [21; 15]
Геометрия полуэллиптической
поверхностной трещины
Г
г
1
2s 2а
(а) Стержень кругового сечения с полуэллиптической
поверхностной трещиной при равномерном растяжении
491
«0=
4M
I-I
2г
(b) Стержень кругового сечения с полуэллиптической
поверхностной трещиной под действием изгибающего
момента
(С) Стержень кругового сечения с полуэллиптической
поверхностной трещиной под действием остаточных
напряжений
С/г?0.46 : о/а, -0.83
0.4б?С/г^1.0 " о/*-23.24(С/г)'-50.90(е/гJ
+32.07(С/г)-5.42
I—I
(d) Стержень кругового сечения с полуэллиптической
поверхностной трещиной, отходящей от окружного
выреза, при равномерном растяжении
492
Метод функций влияния на основе метода конечных элементов [21].
или
где величины s и Ь показаны на рисунках.
(а) Стержень кругового сечения с полуэллиптической поверхностной
трещиной под действием равномерной растягивающей нагрузки.
Таблица 9.10. Значения Fx при растяжении (в точках А и С)
0.2
0.4
0.6
1.0
/г
\,
А
С
А
С
А
С
А
С
0.1
0.520
0.114
0.594
0.315
0.637
0.525
0.646
0.717
0.2
0.599
0.200
0.634
0.353
0.668
0.565
0.674
0.792
0.4
0.760
0.358
0.755
0.498
0.751
0.649
0.723
0.880
0.6
0.993
0.587
0.959
0.685
0.913
0.840
0.809
1.067
0.8
1.357
0.946
1.288
1.040
1.191
1.116
0.952
1.387
1.0
.970
.525
.855
1.646
.639
.648
1.213
1.982
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Ь/г
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Ф/Фвах
Рис. 9.10. Безразмерный коэффициент интенсивности напряжений
в точке А растягиваемого стержня.
Рис. 9.11. Распределения коэффициентов интенсивности
напряжений вдоль фронта трещины.
493
(b) Стержень кругового сечения с полуэллиптической поверхности!
трещиной под действием изгибающего момента.
Таблица 9.11. Значения F при изгибе F = 0°) в точках А и С
Ь/а
0.2
0.4
0.6
1.0
/г
А
С
А
С
А
С
А
С
0.1
0.489
0.107
0.558
0.305
0.599
0.511
0.604
0.702
0.2
0.523
0.172
0.554
0.321
0.582
0.529
0.582
0.755
0.4
0.567
0.254
0.564
0.384
0.558
0.537
0.526
0.779
0.6
0.629
0.349
0.608
0.440
0.576
0.591
0.491
0.849
0.8
0.731
0.477
0.695
0.560
0.638
0.657
0.482
0.961
1.0
0.910
0.657
0.858
0.751
0.754
0.825
0.523
1.173
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
Ф/Фтах
-1.0
-1.0 -0.5
Рис. 9.12. Распределения коэффициентов интенсивности
напряжений вдоль фронта трещины.
Рис. 9.13. Коэффициенты интенсивности напряжений при
косом изгибе стержня.
494
-0.5
-1.0
-1.0 -0.5
0 0.5 1.0
Ф/Фшах
Рис. 9.14. Коэффициенты интенсивности напряжений при
косом изгибе стержня.
(с) Стержень кругового сечения с полуэллиптической поверхност
трещиной под действием остаточных напряжений.
1 .0
0.5
-0.5
ь
О 1
F
/г=Ь/а=
Г
-о—(
'I " К
0.6
К
л
1 о^.
/Ь/г=Ь/а=0.2
I
У
ч
-1.0 -0.5 0 0.5 1.0
Ф/Фшах
Рис. 9.15. Распределения коэффициентов интенсивности
напряжений вдоль фронта трещины.
495
(d) Стержень кругового сечения с полуэллиптической поверхностной
трещиной, отходящей от окружного выреза, под действием равномерной
растягивающей нагрузки.
Рис. 9.16. Распределения коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль фронта
трещины.
h
2.0
1.5
1.0 ,
0.5
0
• |.0.2
| - 0.2
Ft - Kl
N
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Ф/Фшах
9.8. ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА В ДЛИННОМ ИЗГИБАЕМОМ
СТЕРЖНЕ [16; 19, 22]
Метод конечных элементов [16].
где <гь - максимальное осевое напряжение от изгиба на поверхности
стержня.
496
З.Ог
0.0 0.2 0.4 0.6 b 0.8 1.0
Рис. 9.17. Коэффициент интенсивности напряжений для
поверхностной трещины.
9.9. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРВЦИНА В НЕОГРАНИЧЕННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ
НАГРУЗКИ [23]
Функция напряжений [23], точное решение.
497
я-то
о* - приложенная на бесконечности равномерно распределенная нагрузка,
направленная вдоль оси z\ a - радиус дискообразной трещины.
Л/2
tfj = 2о(а/пI", Ки = К1и = 0.
9.10. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНЫХ И
ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ
СИЛ [23]
Функция напряжений [23], точное решение.
Р - сосредоточенная сила, приложенная к поверхности трещины в начале
координат; а - радиус дискообразной трещины.
j = Р(па)
,-3/2
ки = к1и = о.
9.11. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НАГРУЗКИ.
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО КРУГОВЫМ
ОБЛАСТЯМ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТРЕЩИНЫ [23]
Функция напряжений [23], точное решение.
о* - равномерно распределенные усилия, приложенные по концентрическим
круговым областям к поверхностям трещины; b - радиус области
498
нагружения; а - радиус дискообразной трещины.
*«-ИМ {*-[»-&]] }•
9.12. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НАГРУЗКИ,
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ПО КОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ
ОКРУЖНОСТИ [23]
8(г - с) - обобщенная дельта-функция
Дирака
Функция напряжений [23], точное решение.
Р - нагрузка, приложенная к поверхностям трещины по концентрическим
окружностям; с - радиус концентрических окружностей, по которым
приложена нагрузка; о - радиус дискообразной трещины; 8(г - е) -
дельта-функция Дирака.
г = Р(па)-3/2[\ - (с/а)гТ1/2,
- 0 .
499
32*
9.13. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРНЦИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В
ТОЧКЕ ОСИ СИММЕТРИИ ТРЕЩИНЫ [24, 25]
Функция напряжений [24, 25], точное решение.
Р - сосредоточенная сила, действующая вдоль оси дг, Q -
сосредоточенная сила, действующая вдоль оси у, R - сосредоточенная
сила, действующая вдоль оси г, Ь - расстояние от поверхности трещины
до точки приложения сил; а - радиус дискообразной трещины; а = Ь/а;
(а, в) - полярные координаты точки фронта трещины.
Случай действия только силы Р
К = Р cose ГA _ 2y)farcct _ _a_| _ 2a J
1 4я3/2A - y)a3/2 L L e 1 + a2J A + a2JJ
1 - w)(l - 2p)a|arcctga -
Р cose
4я3/2A - y)B - i?)a
к A - 2i>)P sine Го о„ „_,.+„»» . a
лттт = - * -/9—' 575- lo - da arcctga + =•
in 4я3/2B - v)a3/z I 1 + a2
500
Случай действия только силы Q
В выражениях для предыдущего случая следует заменить Р на Q, cos6 на
sind и sin0 на cos8.
Случай действия только силы R
4тг3/2A - р)о3/2 1 + а2
~V + l Л2-»'
К
ii
зТг
4тг3/2A - y)a
Г " 2 "
4 + a2
A + a2)
KIU = 0.
9.14. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНЫХ
ПО ВЕЛИЧИНЕ И ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ
СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В ТОЧКАХ ОСИ СИММЕТРИИ
ТРЕЩИНЫ [25, 26; 27]
501
Функция напряжений [25, 26], точное решение.
Р - сосредоточенная сила, действующая вдоль оси х; Q
сосредоточенная сила, действующая вдоль оси у, R - сосредоточенная
сила, действующая вдоль оси г, Ь - расстояние от поверхности трещины
до точек приложения сил; а - радиус дискообразной трещины; а = Ь/а\
(а, 6) - полярные координаты точки фронта трещины.
Случай действия только силы Р
Кг = О,
/Стт = ч/2 Р cose зТг I3*1 - "К1 - 2p)afarcctga -
11 2тг3/2A - Р)B - p)a3/2 I I
2тг3/2A - Р)B - p)a
1 + or J 1 + or •¦ 1 + a'
к - A - 2v)P sine fo 4/v „„.„+„„ ^ a 1
лттт = - J—x-75—' 5-75" I1* ~ J* arcctga + =¦ .
in 2я3/2B - p)a3/2 L 1 + a2 J
Случай действия только силы Q
В выражениях для предыдущего случая следует заменить Р на Q, cos9 на
sine, sine на cos6.
Случай действия только силы R
о2
if _ R 1 \л _ „ . (* 1
1 я3/2A - u)a3/2 1 + a2 t 1 + a2J
Ки = Кт = 0.
502
9.15.
ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕРАВНЫХ
ПО ВЕЛИЧИНЕ И ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫХ
СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В ТОЧКАХ ОСИ СИММЕТРИИ
ТРЕЩИНЫ [25]
Функция напряжений [25], точное решение.
В точке (О, О, Ь)
Ру - сосредоточенная сила, действующая вдоль оси х\ Qx
сосредоточенная сила, действующая вдоль оси у, /?г - сосредоточенная
сила, действующая вдоль оси z, Ь - расстояние от плоскости трещины
до верхней точки приложения сил.
В точке @, 0, -с)
Р2 - сосредоточенная сила, действующая вдоль оси дг, Q2 -
сосредоточенная сила, действующая вдоль оси у; /?„ - сосредоточенная
сила, действующая вдоль оси г; с - расстояние от плоскости трещины
до нижней точки приложения сил; а - радиус дискообразной трещины;
а = Ь/а, Э = с/а; (а, в) - полярные координаты точки фронта трещины.
503
Случай приложения сил Р1 и Р2
A
1 + <x2J 1 + а2 L 1 +
-^ Г2A - и2) - й^21? 111 ,
1 + Э L 1 + Э ¦'•'¦•
A3;22t;)sine э/2 Kf3 -За e г
4л3/2B - у)а3/2 L Н 1 + a2
Р2C - ЗЭ arcctgp + ^
Случай приложения сил Q: и
В выражениях для предыдущего случая следует заменить Я и Я, на Q. и
Q2, cos9 на sine и sinG на cos6.
504
Случай приложения сил Rx и R,
i = » з/2 зТг fo
1 2ir3/2(l - i?)a3/2 L
" v
1 + a2
1+
K.
ii
- v)a3/2lг
— 2 - arcctga] -
1 + <x J
A
—6-5- - arcct03i - 2P
9.16. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВУХ
ПАР СОСРЕДОТОЧЕННЫХ РАДИАЛЬНЫХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ К
ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ПОВЕРХНОСТЯМ ТРЕЩИНЫ [25]
Функция напряжений [25], точное решение.
Q - пара сосредоточенных радиальных сил, приложенных к поверхности
трещины; (b, a), (b, -ос) - полярные координаты точек приложения сил
к поверхностям трещины; (а, 6) - полярные координаты точки фронта
трещины, rQ = b/a.
Кг = О,
К
и
1/2
00
+ 2V [1 + nv + A - v - nv)r* ]^~1cosna cosnGj-,
n=l
505
к
111 (яаK/2B - v) ^
V [1 - A
cosna sin/гв.
9.17. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВУХ ПАР
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ОКРУЖНЫХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ
К ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ПОВЕРХНОСТЯМ ТРЕЩИНЫ [25]
Функция напряжений [25], точное решение.
R - пара сосредоточенных окружных сил, приложенных к поверхностям
трещины;F, а), (Ь, -а) - полярные координаты точек приложения сил
к поверхностям трещины;(а, 8) - полярные координаты точки фронта
трещины, rQ = Ь/а.
Кг =0,
К
(iraK/2B - р
со
V [1 - nv + A +
п=1
к
4/?
111 " (яаK/2B - v)(\ - г2I/2
V [1 - A + n)v + A + nv)r^t]r^~1sinna sinnB.
n=l
506
9.18. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВУХ ПАР
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ НОРМАЛЬНЫХ СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ
К ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ПОВЕРХНОСТЯМ ТРЕЩИНЫ [28]
Функция напряжений [28], точное решение.
Р - пара сосредоточенных нормальных сил, приложенных к поверхностям
трещины; F, а), (Ь, -а) - полярные координаты точек приложения сил
к поверхностям трещины;(а, 0) - полярные координаты точки фронта
трещины, г = Ь/а.
*I -
2Р
л/г
00
+ 2\ r!J cosna cos«ej,
n=l
Кп =
9.19. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНЫХ
РАДИАЛЬНЫХ СДВИГОВЫХ УСИЛИЙ, ПРИЛОЖЕННЫХ ПО
КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ [25]
507
Функция напряжений [25], точное решение.
т - радиальные касательные напряжения, приложенные к поверхности
трещины по круговой области; Ь - радиус концентрической области
нагружения, о - радиус дискообразной трещины.
9.20. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАДИАЛЬНОГО СДВИГА [24]
Функция напряжений [24], точное решение.
т - радиальные касательные напряжения, приложенные к верхней и нижней
поверхностям трещины в противоположных направлениях; а - радиус
дискообразной трещины.
= 0.
508
9.21. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВАЮЩИХ МОМЕНТОВ [29; 25]
Функция напряжений [29], точное решение.
т - окружные касательные напряжения т/л = х(т/а), приложенные к
поверхностям трещины; Т ~ скручивающий результирующий момент
(Г = тгга3/2); а - радиус дискообразной трещины.
,1/2
/Ст
4т (а
3~
(S)
о/
9.22. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА В ПРОСТРАНСТВЕ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [30]
о
Функция напряжений [30], точное решение.
.Л. 2Л
/4) tre J *
509
1 + (a/6Jtg29
Для a s b:
Для а < b:
л.
E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода*
= A - Ьг/агI/г.
х = A - аг/Ьг)и2, Щк) = (Ь/а)Щх),
1.0
0.9
1...
S
0.6
0.S
0.4
0.3
о.г
0.1
К/
tmm _к=
У.
*-——
кг
•/(>->
^•/Ь-0.5
i/ь-о.г
^/Ь-0.1
e=аrctg|i;b/а)tgЭ]
IS* 30° 45* 60° 75* 90°
в
Рис. 9.18. Распределения безразмерных коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль фронта трещины.
Таблица 9.12. Значения Кг/((гУ nb ) (р = 0.3)
а/Ь 6*
0.1
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
10.0
0
0.3112
0.4257
0.5839
О:6366
0.5839
0.4257
0.3112
15
0.3060
0.4187
0.5764
0.6366
0.6112
0.5410
0.5173
30
0.2899
0.3975
0.5543
0.6366
0.6716
0.6925
0.7011
45
0.2624
0.3615
0.5191
0.6366
0.7342
0.8084
0.8297
60
0.2217
0.3097
0.4749
0.6366
0.7840
0.8888
0.9167
75
0.1636
0.2419
0.4322
0.6366
0.8152
0.9362
0.9675
90
0.0984
0.1904
0.4129
0.6366
0.8257
0.9519
0.9843
См. приложение. - Прим. ред.
510
9.23. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА В ПРОСТРАНСТВЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СДВИГАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [31]
У/С
/ г.
-¦ X
Функция напряжений [31], точное решение.
Для а > Ь:
К = (nab)
11
1/2
sing
vk'2)E(k) -
k = A - 62/a2I/2, k' = b/a
Для а < b:
*„ -
1/2
т sing
- v)E(k) +
a' sin^g +
k = A - a2/62I/2, *' = a/6
Для a - fe:
sing
B - v)Vn
Щк) и E(k) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода
соответственно.
511
1.0
o.a
o.s
о.э
0.2
t
1
/
//
/ /
V
/ /
/
У
^-—¦
/
У
/
.—¦—
v-0.3
[« - • cot •
e=arctg[(b/a)tgpi
0 15' Э0* «• И* 75* JO*
В
Рис. 9.19. Распределения безразмерных коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль фронта трещины.
Для а > Ь:
з -,1/2
К - A*1 Г* х
A - V)k Т COS0
l/4
= A - Ьг/агI/г. k' = 6/a .
Для а < b:
*ттт = (*«*)
1/2
-A - U)ft T2COS<3
ife = A - аг/ЬгI/г, k' = a/6 .
Для а = b:
К
- v) cosg
in
B -
512
(«.у»
6=arctgKb/a)tgfl
vO.3
(x > a cos I
y-btim
0.9
0.»
Во.*
0.S
0.4
0.]
о.г
0.1
—-^
—-^ а/ь-0.5
\
л
¦г
\
ч
\
N
^\
1
\
N
\
\
\
\
\\
Рис. 9.20. Распределения безразмерных коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль фронта трещины.
Таблица 9.13. Значения /Сп/т(/я6 ) (У = 0.3)
Таблица
а/Ь б*
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
0
0
0
0
0
0
4. Значения
а/b В*
0.2
0.5
1.0
2.0
5.0
0.
0.
0.
0.
0.
0
0
0
0
0
к,
0
9211
7429
5243
3135
1365
15
.0310 0.
.0984 0.
.1938 0.
.3132 0.
.4439 0.
15
0.9047
0.7269
0.5064
0.2892
0.1037
30
0630 0
1976 0
3745 0
5506 0
6700 0
Р ' »
па )
30
0.8544
0.6776
0.4540
0.2360
0.0727
45
.0980 0.
.2984 0.
.5296 0.
.7123 0.
.8116 0.
60
1401 0.
3995 0.
6486 0.
8170 0.
9041 0.
(v = 0.3)
45
0.7670
0.5908
0.3707
0.1763
0.0508
60
0.6332
0.4567
0.2621
0.1167
0.0327
75
2001 0.
4896 0.
7234 0.
8763 0.
9573 0.
75
0.4195
0.2597
0.1357
0.0581
0.0161
90
2632
5306
7490
8956
9747
90
0
0
0
0
0
1М0
513
9.24. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА В ПРОСТРАНСТВЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [32]
°z = ку У
(а)
Функция напряжений [32], погрешность менее 1%.
1.0
0.5
Постоянное давление р„
B)
(Ь)
C) Изгиб вокруг оси X
D) Изгиб вокруг оси у
2/т.
4/Зп
0.5
Ь/а
1.0
Рис. 9.21. Сравнение коэффициентов интенсивности
напряжений для случаев нагружения берегов трещины
постоянным давлением и изгибными напряжениями.
514
9.25. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА
В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ И ШИРИНЫ [33]
Метод конечных элементов [33], погрешность 3%.
М =
К
F =
К
Для а г Ь:
ov nb
k = A - Ьг/агI/2.
^ = A - аг/ЬгI/г.
Для а < Ь:
- полный эллиптический интеграл второго рода.
-b/t
0.2 "°-
a =
b
1
1
т "га1
1
—9 P
=8==8
i
0.25
0.5
0.75
1.0
515
Рис. 9.22. Распределение
коэффициентов интенсивности
напряжений вдоль фронта
трещины.
Рис. 9.23. Распределение коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль фронта трещины.
0.8
0.4
b/t = 0.8
0.25 0.5 0.75 1.0
Рис. 9.24. Распределение коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль фронта трещины.
516
Таблица 9.15. Значения М и F при растяжении (v = 0.3)
Ь/а
0
0
0
1
2
2
4
6
0
0
2ФЛ
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.875
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.875
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
С.625
0.75
0.875
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.875
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.875
1.0
0.2
0.617
0.650
0.754
0.882
0.990
1.072
1.128
1.161
1.173
0.767
0.781
0.842
0.923
0.998
1.058
1.103
1.129
1.138
0.916
0.919
0.942
0.982
1.024
1.059
.087
.104
.110
.174
.145
.105
.082
.067
.058
.053
.050
.049
0.821
0.794
0.740
0.692
0.646
0.599
0.552
0.512
0.495
"Б/Т
b/t
0.4
0.724
0.775
0.883
1.009
1.122
1.222
1.297
1.344
1.359
0.896
0.902
0.946
1.010
1.075
1.136
1.184
1.214
1.225
1.015
1.004
1.009
1.033
1.062
1.093
1.121
1.139
1.145
1.229
1.206
1.157
1.126
1.104
1.088
1.075
1.066
1.062
0.848
0.818
0.759
0.708
0.659
0.609
0.560
0.519
0.501
0.6
0.899
0.953
1.080
1.237
1.384
1.501
1.581
1.627
1.642
1.080
1.075
1.113
1.179
1.247
1.302
1.341
1.363
1.370
1.172
1.149
1.142
1.160
1.182
1.202
1.218
1.227
1.230
1.355
1.321
1.256
1.214
1.181
1.153
1.129
1.113
1.107
0.866
0.833
0.771
0.716
0.664
0.610
0.560
0.519
0.501
0.8
1.190
1.217
1.345
1.504
1.657
1.759
1.824
1.846
1.851
1.318
1.285
1.297
1.327
1.374
1.408
1.437
1.446
1.447
1.353
1.304
1.265
1.240
1.243
1.245
1.260
1.264
1.264
1.464
1.410
1.314
1.234
1.193
1.150
1.134
1.118
1.112
0.876
0.839
0.775
0.717
0.661
0.607
0.554
0.513
0.496
0.2
0.587
0.619
0.718
0.840
0.942
1.020
1.074
1.105
1.117
0.667
0.679
0.732
0.802
0.867
0.919
0.959
0.981
0.989
0.718
0.720
0.738
0.769
0.802
0.830
0.852
0.865
0.870
0.747
0.729
0.703
0.689
0.679
0.674
0.670
0.668
0.668
0.959
0.927
0.864
0.808
0.754
0.699
0.645
0.598
0.578
К/оЛГ
b/t
0.4
0.689
0.738
0.841
0.960
1.068
1.163
1.235
1.279
1.294
0.779
0.784
0.822
0.878
0.934
0.987
1.029
1.055
1.065
0.795
0.787
0.791
0.809
0.832
0.855
0.878
0.892
0.897
0.782
0.768
0.737
0.717
0.703
0.693
0.684
0.679
0.676
0.6
0.856
0.907
1.028
1.178
1.317
1.429
1.505
1.549
1.563
0.939
0.934
0.967
1.025
1.084
1.131
1.165
1.184
1.191
0.913
0.900
'0.895
0.909
0.926
0.942
0.954
0.961
0.964
0.863
0.841
0.800
0.773
0.752
0.734
0.719
0.709
0.705
К/о Л?
0.990
0.955
0.886
0.827
0.770
0.711
0.654
0.606
0.585
1.011
0.973
0.900
0.836
0.775
0.712
0.654
0.606
0.585
0.8
1.133
1.158
1.280
1.432
1.677
1.674
1.736
1.757
1.762
1.145
1.117
1.127
1.153
1.194
1.224
1.249
1.257
1.257
1.060
1.022
0.991
0.972
0.974
0.975
0.987
0.990
0.990
0.932
0.898
0.837
0.786
0.759
0.732
0.722
0.712
0.708
1.023
0.980
0.905
0.837
0.772
0.709
0.647
0.599
0.579
517
9.26. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА
В ПЛАСТИНЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ
И ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗОК [34; 30, 33, 35-61]
Задняя поверхность
Передняя поверхность
Сечение Н - И
д = Ь/а, А = b/t
Метод объемных сил [34], погрешность менее 1% для наиболее глубокой
точки фронта трещины.
Рис. 9.25. Напряжения на бесконечности.
Определение безразмерных коэффициентов интенсивности напряжений
Растяжение
А1)
VI,C
К
(Т)
I.D
о-т/тт6 Л/a /E(ft)
518
К
(Т)
I , С
К
(Т)
I.D
nb
- полный эллиптический интеграл второго рода.
Эмпирическая формула, основанная на численных результатах:
F™ = 1.1362 - 0.3927м - 0.345м2 + 0.2623м3 +
+ А(-0.2179 + 0.2354м + 0.3773/i2 - 0.4189д3) +
+ Л2E.0486 - 16.7939ц + 19.986/12 - 8.0212Д3) +
+ Л3(-2.6383 + 8.6007Д - 9.6332ц2 + 3.5118ц3)
(у = 0.3, 0.125 ^М 10, Л * 0.6).
(а)
Чистый изгиб
К.
(В)
nb V b/a /E(k)
К
(В)
I.C
К
(В)
<rBvnb
В
Эмпирическая формула, основанная на численных результатах:
FlcB) = 1.1359 - 0.3929м - 0.3440м2 + 0.2613м3 +
+ А(-1.5184 + 0.4178м + 0.7846м2 - 0.6329м3) +
+ А2D.3721 - 13.9152м + 16.2550м2 - 6.4894м3) +
+ А3(-3.9502 + 12.5334м - 14.6137м2 + 5.8110м3)
(у = 0.3, 0.125 S(is 1.0, А ? 0.6).
519
(Ь)
Таблица 9.16. Значения М^) и М™ при равномерном растяжении
(v = 0.3) (звездочкой отмечены значения, полученные по формуле
(а), в скобках приведены результаты [33])
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.122 1.187 1.361 1.643 2.071 2.728 3.787
1.108
1.107*
1.102
1.100*
1.097
1.094*
1.080
1.082*
1.071
1.073*
1.062
1.061*
1.051
1.047*
1.035
1.037*
1.121
1.120*
1.188
1.189*
1.108* 1.158*
A.173)
1.102
1.099*
1.138
1.140*
1.305
1.303*
1.239
1.243*
1.204
1.209*
1.083* 1.104*
A.138)
1.073
1.074*
1.063*
1.052
1.051*
1.088
1.088*
1.075*
A.110)
1.060
1.061*
1.037 1.041
1.037* 1.042*
A.049)
143
140*
1.076
1.079*
1.051
1.050*
1.456
1.452*
A.
1
1
A
1,
1,
1.117
1.113*
1.097
1.094* 1
A.
1
1
1
1.
A
354*
359)
.294
.301*
.190*
.225)
156
147*
121*
145)
096
102*
063
061*
062)
1.631
1.626* 1.813*
1.474
1.485* 1.626*
A.642)
1.395 1.494
1.408* 1.525*
1.255
1.249*
1.201
1.187*
1.159
1.153*
1.119
1.129*
1.076
1.073*
1.313*
A.370)
1.240
1.232*
2.005* 2.189*
1.771* 1.910*
A.851)
1.644* 1.759*
1.379* 1.444*
A.447)
1.279* 1.327*
1.187*
A.230)
1.138
1.160* 1.193* 1.228*
1.087
1.085*
A.107)
1.225* 1.264*
A.264)
1.094* 1.110*
A.112)
1.17
1.17
1.18
A.174)
1.20
A.
23
229)
1.27
1.32
A.355)
A.464)
Таблица 9.17. Значения М и F для полуэллиптических
поверхностей трещины в полупространстве при растяжении
"с
г(Т)
Ь
а
0
0.125
0.25
0.5
0.75
1.00
0
0.125
0.25
0.5
0.75
1.00
0
1.122
1.086
1.058
1.022
1.006
0.999
1.122
1.061
0.986
0.844
0.728
0.636
0.2
1.122
1.101
1.081
1.048
1.028
1.016
1.122
1.076
1.008
0.866
0.744
0.647
V
0.3
1.122
1.108
1.097
1.071
1.051
1.035
1.122
1.083
1.023
0.885
0.761
0.659
0.4
1.122
1.116
1.117
1.103
1.082
1.064
1.122
1.091
1.042
0.911
0.784
0.678
520
Рис. 9.26. Зависимости f?t) от b/t.
0.5
О 0.5
Рис. 9.27. Зависимости f? от b/t.
521
Ь
Г
1.0
СО
со
и
522
О5
СО
О5
523
t
2a
Jb
0.2 ОЛ 0.6 0.8
[371
Рис. 9.32.
Таблица 9.18. Изменение F (|3) вдоль фронта трещины
(a/W ? 0.2, h/W = \, v = 0.3)
b
a
0.25
0.50
0.75
1.00
Ь
T
0
0.3
0.5
0.6
0
0.3
0.5
0.6
0
0.3
0.5
0.6
0
0.3
0.5
0.6
10
0.594
0.649
0.76
0.83
0.682
0.721
0.806
0.861
0.707
0.732
0.788
0.825
0.701
0.715
0.752
0.776
30
0.769
0.837
0.97
1.05
0.737
0.775
0.852
0.899
0.708
0.729
0.773
0.800
0.675
0.687
0.713
0.729
P°
50
0.912
0.994
1.15
1.24
0.813
0.851
0.923
0.964
0.730
0.749
0.785
0.806
0.662
0.673
0.692
0.703
70
0.998
1.090
1.26
1.35
0.865
0.904
0.972
1.006
0.750
0.768
0.800
0.815
0.656
0.666
0.682
0.688
90
1.026
1.123
1.30
1.39
0.883
0.922
0.989
1.020
0.758
0.776
0.806
0.819
0.655
0.664
0.678
0.684
524
0°
30
Рис. 9.33. Распределение коэффициентов интенсивности напряжен*
вдоль фронта трещины.
9.27. ВНУТРЕННИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРЕЩИНЫ,
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ТРЕЩИНЫ И ТРЕЩИНЫ В ФОРМЕ ЧЕТВЕРТИ
ЭЛЛИПСА В ПЛАСТИНАХ КОНЕЧНОЙ
ВЫСОТЫ И ШИРИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [62; 33, 63-72]
Метод конечных элементов [62], погрешность менее 5%.
525
A)
(а) Ь/а<1
Рис. 9.34. Система координат, использованная для определения
параметрического угла.
ЩЛ) a [I + 1.464(ft/aI-8S]1/2 (A/a * 1),
з [1 + 1.464(а/6I65]1/2 (Ь/а > 1).
Bа)
BЬ)
Рис. 9.35. Внутренняя трещина.
р [Ь Ь а
C)
Пределы применимости: 0
Необходимые условия:
b/t < 1.25F/a + 0.6)
1
оо, a/UJ' < 0.5, -п ? ф ^ п.
при 0 ^ Ь/а s 0.2,
при 0.2 ^ Ь/а ? оо,
D)
526
E)
Мх = 1 при b/a s 1,
М = va/b при b/a > 1,
М2 = 0.05[0.11 +
М = 0.29[0.23 +
g = 1 -
+ 46/a) cos0,
= [F/aJ cos20 + sin20]1/4 при ft/a * I,
Ь = [(a/ЬJ sin20 + cos20]1/4 при ft/a > 1,
F)
G)
(8)
(9)
A0)
f . Г5еСГКа
w L l2W
(H)
I 2a —J
Рис. 9.36. Поверхностная трещина.
К цу Ub
Л1 = E(k)
а
A2)
Пределы применимости: 0 s Ь/а s 2, a/W < 0.5, 0
Необходимые условия: те же, что в D).
527
тт.
A3)
= 1.13 - 0.09b/a
при Ь/а ? 1,
A4)
а/Ь A + 0.04a/b) при Ь/а > 1,
-1
М- = -0.54 + 0.89@.2 + b/а)'1 при Ь/а * 1,
AL = 0.2(а/6L
A5)
при Ь/а > 1,
)
Л* = 0.5 - @.65 + Ь/а)'1- + 14A
О
AL = -0.11(а/6L
при Ь/а ? 1,
при Ь/а > 1,
A6)
g = 1 + [0.1 + 0.35F//J]A - si
g = 1 + [0.1
при b/a s 1,1
при fe/a > 1,
A7)
!ф = см. A0), fw = см. A1).
Рис 9.37. Угловая трещина. \— а —I
E(/t) Fc
[a ' J •
Пределы применимости: 0.2 ^ Ь/а s 2, 6/f < 1,
Q s ф < ir/2, a/W < 0.2.
т
A8)
Fc =
528
A9)
= 1.08 - 0.036/а
при b/a s 1,
а/Ь A.08 - 0.03а/6) при Ь/а > 1,
М = -0.44 + 1.06@.3 + Ь/а)
= 0.375(а/6J
-1
при b/a s 1,|
при Ь/а > 1,
B0)
B1)
М3 = -0.5 + 0.256/а + 14.8A - Ь/аI5 при Ь/а s 1,|
при Ь/а > 1,
B2)
[0.08
- sin0K
[0.08 + 0.4(а/02]A - sin0K
B3)
1 + [0.08 + 0.15F/02]A - cos0K
при b/a ? 1,
[0.08 + 0.15(а/7J]A - cos0K при b/a > 1,
B4)
/0 = см. A0).
2W -
f
f
т
2t
J
U-2R-]
Рис. 9.38. Трещина, выходящая на поверхность отверстия.
529
34—1280
р [Ь Ь R R а А
Fsb[a • 7 ' Т • у • ~ • Ф\-
Пределы применимости: 0.2 ? Ь/а s 2, b/t < 1, 0.5 ? R/t s 2,
(R + a)/W < 0.5, -тс/2 * ф s я/2.
= 1
при b/a s 1,
М = va/b при b/a > 1,
М2 = 0.05[0.11 +
М3 = 0.29[0.23 +
g2 = A - 0.15А + 3.46А2 - 4.47А3 + 3.52А4)A + 0.08А2),
А = [1 + (a/R) cos(O.90)]~\
!ф = см. A0),
л = 1
n = 2
для одной трещины,
для двух симметрично расположенных трещин.
B5)
B6)
B7)
B8)
B9)
C0)
C1)
C2)
C3)
Рис. 9.39. Угловая трещина, выходящая
на поверхность отверстия.
530
/
1
2W
Г
Ь
t
\
\
1
т
t
1
E(k)
b
7
• 7 •
R
T
R а
W ' W
Пределы применимости: 0.2 ^ b/a ? 2, b/t < 1, 0.5 ? R/t
(/? + a)/W < 0.5, 0 ? ф ? ir/2,
1,
= 1.13 - 0.096/a
при b/a ^ 1,
a/6 A + 0.04a/6) при b/a > 1,
= -0.54 + 0.89@.2 + b/a)
-l
при b/a s 1,
при b/a > 1,
0.5 - @.65 + b/a)'1 + 14A - 6/aJ4
= -0.1Ц
= 1 + [0.1 + 0.
= 1 + [0.1 + 0.35(a
при b/a :? 1,
при b/a > 1,
при b/a s 1,"
при b/a > 1,,
24-l
= A - 0.15A + З^бА* - 4.47AJ +3.52A*)A + 0.13AT ,
A = [1 + (a/R)
0.046/a)[l + 0.1A - cos0J][O.8
=A.13 - 0.
при b/a ? 1,
0.1A - cos0J][O.8 + 0.2(b/t)UA]
при b/a > 1,
= см. A0), /w = см. C3).
531
C4)
C5)
C6)
C7)
C8)
C9)
D0)
D1)
D2)
D3)
34*
§
о
ч
и
>,
К
е(
•^
Щ
ч
!*,
X
<*,
к
X
X
а>
Э"
са
X
со
о
»
VI
ч
3-
X
X
X
О)
к
о
м
а.
X
о.
с
<и
X
X
о
СО
ч
СО
2 ~
? Э^
ООООООООО
О »— -О Ю О С) «
O^-CO<— СО СМ С
О СО f) Ч- L
Р*» СО СТ»
о о о
f— i— CM
1
^^^ ^^^ ^О ^^^ р^™ C^J t^^ СП ^^Э СМ С
О О О О О »— ¦— ¦— .— ООООООООО
) СО
is
CMNWNNr
O"i СИ CO 00 Г"** Г»> f"«»
•—00000000
OJ^lCCM
>Л Ч" О \D г— КО г— СО СГ»
CTtCftCTvCOCOr^l^^OVO
ООООООООО
ООООО^— -—^--— ООООООООО ООООООООО
- СМ СМ СМ СЧ1
INJ CMi— ¦— г— ¦— .— I— С\1
<z> о о о
СО СО f"» Г*-
о о о о
о
ft
о
о
о
Со
о
сч) ¦— г*, го сп m
о
to
о
612
о
,_
ю
о
590
о
m
ко
о
.597
oirrvM м.— ел «a- a> n со ст> a^
см r^ 1— m чэ.— r^iamyjN ол
OOi— ¦— ¦— 1— OOOOO'— >—
(МО О О СЛ
OOC
OOOOOr— — r— t— OOOOO--
ooooooooo
oooooooo-— oooooooo^— oooooaoor-
OOOOOOOO-—
ггрен
X
са
к
Ш
X
к.
X
Л)
[жен!
н
о
<я
а.
X
о.
X
о>
X
X
1 °
II
п
з а
х •
X
х
о» о
2|
Й S wi
а н Vl
= =^
ю ч ч
2SS
r-^^.^- 000OO0>—«—"— OOOOOOOOO
0000000.—t—
ooooooooo
CO Ul CVJ * CO r- iflf-O mOf-kOUiVCnOCO
NOr-i-CMDOM* 'StN.NOO^'WCVJirjkn
^f LO ^ Г^* ^^ CO O1^ Cf^ C^ ^^ t^ t^> ^o f11^ f*s» CO CO CO ^D tX* ^0 *X^ ^J tffc \?) \q ^q
ooooooooo ooooooooo ooooooooo
ooooooooo
COfCOiO^)VDN
W C\J О 1С CVJ N N CO f4
СОСОСОГчГЧ1АфШ1Л
ООООСЭОООО
^^¦* СП ^^~ ^ ^^ I ^i t ^^ ^^н ^^^ C^J C^D С^ С^5 ^^^ К^^ СП РО ^
Г^.Р^СОО*»СГ»«— СМ СМ ГО О О О О О О О г
OOOOOi-^r— f— г- f— .— f— r-.— .— p— f
» in Г-». «СП СП Г^«. 4J- CO С
h 1П VO Г-» CO СП О О С
чо»—
WO
слачсода^осоосмго
00^000*—¦— »—
ООООООООО
О О О О О О <-^ г-^ г-^ О О О О О О г
О>— mOCOmt—СОГ>. СОЮШЭ^Гчч-ч-сОГч ^ovD^O^DWDvnin^D^D
тгОЧ-ЛПОт^СО РОЬПг— COin«^iT>r*-CO СОСОСОСОСОСОСОСОСО
^" 1П VO Г*- СО О% CTi CTt СП VD \D Г-v Г^. 00 О^ СП СП СЛ СП CTi СГ> СП СП СП СТ> СП СП
ООООООООО ООООООООО ООООООООО
>.— OOOOOOOOi— ОООООООО»—
OOOOOOOOCD
ooooooooo
СЛ П Ю CO N СП Ф П О
oocomMNMom
r^. rs» ко да ко in in in ^~
ooooooooo
532
Таблица 9.21. Значения F и F/E(k) для центральной трещины,
выходящей на поверхность отверстия в пластине, при растяжении
((# + a)/W * 0.2, h/W > 1.6, v = 0.3)
(a) R/t = l
Ь/1
0.2
0.4
1.0
2.0
2ф/и
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
(Kl/oAF)E(k)
0
С
с
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
;
2
1
2
2
2
2
2
2
2
i
2
0.2
.641
.692
.836
.011
.196
.405
.651
.905
.179
.288
.834
.030
.076
.202
.376
.578
.804
.040
.238
.396
.376
.844
.267
.276
.301
.343
.404
.481
.566
.620
.622
.468
.950
.944
.931
.897
.840
.763
.669
.580
.498
1.426
.313
.042
b/t
0.5
0.607
0.662
0
.775
0.905
1
1
1
1
1
2
1
С
С
1
1
1
1
1
1
с
2
1
1
1
1
2
с
;
;
.032
.178
.362
.583
.885
.121
.958
.872
.912
.007
.131
.275
.452
.667
.891
.141
.255
.923
.806
.818
.851
.905
.980
.079
.206
.321
.415
.370
.957
.606
.600
.582
.553
.514
.468
.434
.404
.387
.321
.082
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
2
0
3.8
.593
.643
.771
.919
.094
.293
.528
.765
.050
.336
.329
.840
0.872
0
.959
1.074
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.234
.426
.668
.914
.201
.411
.224
.615
.619
.630
.646
.730
.85?
.049
.250
.452
.512
.203
.394
.389
.377
.357
.333
.313
.310
.313
.332
.294
.077
0
0
0
0
1
1
1
1
2
2
1
0
0
1
1
1
1
1
]
г
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
ч
D.2
.610 С
.659 С
.796 С
/о/Л"
b/t
0.5
.578 С
.630 С
.738 С
.962 0.905 С
.139 С
.337
.572 1
.813
.074
.178 2
.746
.895 С
.935 С
.045 (
.196 Г
.371
.568
.773
.945
.082
.065
.603
.443
.449
.465
.492
.530
.579
.634
.668
.669
.571
.241
к
.270
.255
.215
.149
.059
.949
.845
.749
.665
.533
.217
1.982 1
.121 1
.297 1
.507 1
.794 1
.019 2
.864 2
. 758 С
1.793 С
1.875 С
.983 С
.108 1
.262 1
.449
.643
.861
.960 2
.671
.150
.157
.178
.213
.261
.324
.404
.478
1.537
.509
.246
/оЛа"
1.875
1.868
1.847
1.813
1.768
1.714
1.674
1.639
1.620
1.543
1.263
0.8
.564
.612
.734
.875
.041
.231
.455
.680
.951
.224
.217
.730
.758
.833
.933
.072
.239
.450
.663
.913
.095
.933
.028
.031
.038
.048
.101
.179
.304
.432
.561
.599
.402
.628
.622
1.608
1.585
1.557
1.533
1.530
1.533
1.555
1.511
1.258
533
Таблица 9.21
(b) R/t-1
(продолжение)
Ь/а
0.2
0.4
1.0
2.0
2*/.
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.833
0.917
0.958
1.0
(К
0.2
0.800
0.864
1.046
1.272
1.508
1.766
2.041
2.279
2.474
2.439
1.791
1.290
1.346
1.498
1.704
1.932
2.165
2.378
2.516
2.564
2.417
1.776
2.620
2.626
2.642
2.667
2.700
2.732
2.753
2.733
2.643
2.409
1.862
2.136
2.121
2.075
2.000
.899
.777
.659
.552
.456
.325
.041
b/t
0.5
0.680
0.743
0.877 (
1.037
1.206
1.410
1.662
1.932
2.238
2.375
1.947
1.058
1.107
1.227
1.384
1.568
1.785
2.026
2.237
2.418
2.416
1.894
2.188
2.199
2.232
2.280
2.341
2.410 ,
2.483 <
2.527
2.521 i
2.381 <
1.888 i
1.922
1.911
1.879
1.826
1.756
1.671
1.593
1.522
1.463
1.360
1.088
(к)
0.8
J.634
J.690
).832
.002
.213
.469
.787
М09
'.463
'.699
S. 380
).972
.010
.118
.263
.470
.722
!.031
г.319
'.595
!. 705
>.258
.990
.996
!. 009
г. 026
'.121
!.246
!.437
!. 599
!.716
'.662
М92
.712
.704
.681
.643
.594
.541
.499
.461
.434
.351
.089
К
0.2
0.762
0.822 (
0.996 (
1.211
1.436
1.681
1.943
2.169
2.355
2.322
1.705
1.121
1.170
1.302
1.481
1.679
1.881
2.067
2.186
2.228
2.100
1.543
1.668
.672
.682
.698
.719
.739
.753
.740
.683
.534
1.185
2.494
2.477
2.423
2.335
2.217
2.075
.937
.812
.700
.547
.216
b/t
0.5
J.647
).7O7
J.835
).987
.148
.342
.582
.839
МЗО
г. 261
.853
J.919
3.962
.066
.203
.363
.551
.761
.944
!.101
г.loo
.646
.393
.400
.421
.451
.490
.534
.581
.609
.605
.516
.202
?. 244
!. 231
г.194
г.132
г.050
.951
.860
.777
.708
.588
.270
0.8
0.604
0.657
0.792
0.954
1.155
1.398
1.701
2.008
2.345
2.569
2.266
0.845
0.878
0.972
1.098
1.277
1.496
1.765
2.015
2.255
2.351
1.962
1.267
1.271
1.279
1.290
1.350
1.430
1.551
1.655
1.729
1.695
1.395
1.999
1.990
1.963
1.919
1.861
1.799
1.750
1.706
1.674
1.578
1.272
534
9.28. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА
В ПЛАСТИНЕ КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ И ШИРИНЫ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА [75]
1 /^"ТЖТь 1
-2а
ЗМ
Метод конечных элементов [73], погрешность менее 5%.
CL
• а > W
Пределы применимости: 0 < b/t ^ 1.0, 0 s Ь/t < 1.0, 0 s ф < л,
(b/a s 1),
F=
= 1.13 -
-l
M2 = -0.54 + 0.89@.2 + b/a)~\
M = 0.5 - @.65 + b/af1 + 14A -
g = 1 + [0.1 + 0.35F//J](l - sin^J,
535
A)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
+ sin20]1/4, (8)
lI/2 -nl/2
H = H1 + (H2- Нг) sinp<t> , A0)
р = 0.2 + J + 0.6 Щ, (И)
A2)
2 ^ G2(b/tf, A3)
Gx = -1.22 - 0.126/a, A4)
G_ = 0.55 - 1.05(ft/aH-78 + О.ЩЬ/аI-5. A5)
536
9.29. ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ
ПОВЕРХНОСТНОЙ ТРЕЩИНЫ В ПЛАСТИНЕ
КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ И ШИРИНЫ ПРИ ОСНОВНЫХ
ТИПАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ [74]
Основные типы распределения напряжений
Метод конечных элементов [74], погрешность несколько процентов.
Условия нагружения
= (А?
Основные типы распределения напряжений
= 1.0, & С2.
A)
B)
537
Определение коэффициентов интенсивности напряжений
= АК3 + ВК2
м =
DKQ,
C)
D)
ф =
Е(*), k = A - Ьг/агI/г
(Ь/а)Щк'), *'=
- аг/ЬгI/г
при b s а,
при b > а.
E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода.
Таблица 9.22. Значения весовой функции М для точки А (ф = я/2)
и точки С (ф = 0). (а) Равномерное распределение напряжений ст.;
(Ь) линейное распределение напряжений о* ?; (с) квадратичное
распределение напряжений Cg^2; (d) кубическое распределение
напряжений <rQ€?
(а)
о.
0.
О.
'•
О.
О.
О.
Ь/а
3
4
6
0
А
С
А
С
А
А
С
(с)
Ь/а
а
4
е
0
А
С
А
С
А
С
А
С
0.
1.
0.
1.
0.
1.
0.
1.
1.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
3
1 63
683
1 1 9
8 1 0
090
984
047
1 4 6
3
309
447
364
69Э
336
693
1 70
843
b/t
0. 4
1.37 1
0. 668
1.318
0.911
1.14 3
1.036
1.093
1.330
b/t
0. 4
0. 400
0. 609
0.310
0. 660
0. 387
0. 737
0.189
0.879
0. 6
1.861
0.863
1.327
1.060
1. 308
1.193
1.106
1.318
0. 6
0. 639
0. 830
0. 369
0. 726
0.386
0. 823
0. 200
0. 934
0.
1 .
1 .
1 .
1 .
1 .
1 .
1 .
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1 .
8
787
20 1
Э7Я
320
228
388
1 07
44 1
8
684
798
373
874
277
927
1 83
0 I 1
(Ь)
0.
0.
0.
1.
0.
0.
0.
1.
b/a
э А
С
4 А
С
8 А
С
о А
С
(d)
Ь/а
з А
С
4 А
С
8 А
С
о А
С
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
2
490
602
438
878
303
796
304
980
3
228
406
1 88
63 1
1 88
8 1 8
1 1 7
766
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
1 .
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
b/t
4
8 1 0
878
4 90
760
4 1 8
840
330
0 1 0
0. 8
0. 798
0.718
0. 563
0. 860
0.4 87
0.980
0.343
1.080
b/t
4
3 00
489
229
879
1 87
847
1 34
788
0. 6
0.412
0. 683
0. 277
0. 64 1
0.213
0. 727
0.143
0. 832
0. 8
0. 883
0. 946
0. 878
1 . 039
0.449
1.091
0. 327
1.174
0. 8
0.448
0. 898
0. 278
0. 7.63
0. 202
0.814
0.127
0. 89G
538
9.30. ВЕСОВАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ УГЛОВОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ
ТРЕЩИНЫ В ФОРМЕ ЧЕТВЕРТИ ЭЛЛИПСА В ПЛАСТИНЕ
КОНЕЧНОЙ ВЫСОТЫ И ШИРИНЫ ПРИ ОСНОВНЫХ
ТИПАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ [75]
4=1-у/Ь, ч= 1-х/а
Метод конечных элементов [75], погрешность несколько процентов.
Условие нагружения
V) =
п=0
I
п=1
A)
€ = 1 - у/Ь, т) = 1 - х/а.
Основные типы распределения напряжений
ote 1»)/<г0 = 1.0, е f, с3, ч. ч2, т?-
Определение коэффициентов интенсивности напряжений
3 3
К, = f ЛП^СП + У Вп/Сп,
1 nfc-o n n n=i п п
B)
C)
D)
539
ф = -
E(k), k = A - Ьг/агI/г
при Ъ ? а,
при Ь > а.
E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода.
{Ь/аЩк'), к' = A - аг/Ь2I/г
Таблица 9.23. Значения весовой функции М для точек А и С.
(а) Равномерное распределение напряжений с ; (Ь) линейное
распределение напряжений с ?; (с) квадратичное распределение
напряжений <г ? ; (d) кубическое распределение напряжений а ? ;
(е) линейное распределение напряжений (гд (f) квадратичное
распределение напряжений о ; (g) кубическое распределение
напряжений (г тK
(а)
Ь/а
0. 2 Д
С
0. 4 А
С
о. в А
С
1. о А
С
2. 0 А
С
b/t
0. 2
1.211
0.64 2
1.213
0. 899
1.234
1.060
1.262
1.262
1.363
1.696
0. 4
1.449
0.76 3
1.341
1.019
1.313
1.160
1.336
1.363
1.336
1.706
0. 6
1.866
0. 194
1.670
1.209
1.482
1.367
1.432
1.610
1.440
1 . 846
0. 8
2.327
1.398
1 .'8 93
1.663
1.736
1 . 630
1.619
1 . 7 16
1.622
1 . 9 6 3
(Ь)
Ь/а
0. 2 Д
С
0. 4 А
С
о. 6 А
С
• о А
С
2. 0 А
С
b/t
0 2
0. 603
0.554
0.483
0.7 52
0.4 29
0.8 83
0. 380
1.036
0.316
1.465
0. 4
0.64 1
0.64 0
0.534
0.836
0.480
094 1
0.4 30
1.130
0.316
1.462
0. 6
0.8 92
0. 806
0.684
0.964
0.6 87
1.094
0.4 69
1.230
0. 367
1.567
0. 8
1 . IBS
1.090
0.876
1.216
0.727
1.282
0. 589
1.377
0.411
1 . В40
с)
Ь/а
о. 2 А
С
0. 4 Д
С
о. 6 А
С
1. о а
С
2. 0 А
С
b/t
0. 2
0.313
0.493
0.274
0.657
0. 244
0.7 69
0.2 09
0.934
0.160
1.309
0. 4
0.416
0. 563
0.33 1
0.724
0.268
0.813
0.24 6
0.983
0. 16 8
1.301
0. 6
0.600
0.693
0.447
0.820
0.369
0.933
0.292
1.060
0.199
1.386
0. 8
0.817
0.913
0.585
1.016
0.469
1.080
0.3 60
1.17 6
0.228
1.441
(«О
Ь/а
0. 2 А
С
0. 4 д
С
о. е а
С
i.o A
С
2. 0 д
С
b/t
0. 2
0. 226
0.446
0.189
0.588
0.166
0.687
0.139
0.839
0.107
1.19 1
0. 4
03 10
0.507
0.239
0. 644
0.206
0.7 22
0.172
08 7 7
0.115
1.18 2
0. 6
0.456
0.617
0.336
0.721
0.27 1
0.8 22
0.210
0.94 1
0.137
1.253
0. 8
0.795
0.626
0! 442
0.882
0.34 6
0. 944
0.260
1.036
0. 1 S8
1.297
540
(е)
Ь/а
0. 2
0. 4
0. в
1 . 0
2. 0
А
С
А
1
А
С
А
С
А
С
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0. 2
.097
0 8 1
.06 8
.19 1
.063
.273
обз
.3 80
. ш
.6 07
0
1
0
1
0
1
0
1
0
b/t
0. 4
2 6 6
.152
.14 2
.263
.10 5
3 3 5
13 0
.430
1 1 9
в 1 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
о. в
.666
.262
.293
.391
.218
.467
.17 3
.537
1 9 3
В 97
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
о. в
.906
.514
.6 33
воз
.402
.629
.307
.668
.250
.762
If)
b/a
0. 2
0. 4
0. в
1 . 0
2. 0
А
С
А
С
А
С
А
С
А
С
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0. 2
.011
.034
. 967
.09 1
.947
.14 1
.934
.209
.9 94
.352
1
0
,
0
0
0
0
0
0
0
b/t
0. 4
.13 1
.086
.014
.147
. 973
.19 1
. 913
. 216
.982
.36 2
0
1 .
0.
1 .
0.
1.
0.
1.
0.
,.
0.
. в
373
1 S3
1 26
242
058
287
0 1 6
327
0 3 8
4 20
0
1
0
,
0
,
0
,
0
0. в
. 6S5
.337
.318
.39 3
. 204
. 407
.12 1
. 422
.08 2
.47 1
(9)
Ь/а
0. 2 А
С
0. » д
С
0. 6 Д
С
1. о А
С
2. 0 Д
С
b/t
0. 2
0.94!
0.022
0.88 9
0.069
0.86 1
0 03 3
0.833
0 13 9
0. 89 1
0.24 6
0. 4
1.037
0.06 1
0.919
0. 10 4
0.876
0 . 13 4
0.877
0.172
0 8 8 3
0.354
0. 6
1.238
0. 124
1.007
0. 17 9
0.945
0.209
0.906
0.236
0.9 27
0.300
0 . 8
1.482
0.2 Б 3
1.170
0.296
1.088
0.3 04
0.99 3
0.312
0.963
0.34 2
9.31. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПАРОЙ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТНЫХ ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [76]
н-н
541
Метод объемных сил [76], погрешность менее 1%.
К
, F
К
I.A
I.A
FT . = A.1844 - 0.1426А + 0.1943Л2) +
1, А
+ (-0.6323 + 0.3346А - 0.5066А2)ц
2ч..2
+ @.1570 - 0.2011А + 0.3225*^, д = b/a, A = b/d
(v = 0.3, 0.25 s д < 1.0, 0 ? А ? 0.5).
1.4 -
b/d=O
' 0
U 2а —1
.6
0.5
^0.3
' b/d-K)
1
-j t
b I
f
=0.3
v=0.3
Рис. 9.40. Зависимость Fr от b/a.
Рис. 9.41. Зависимость Z7 от
1, А
542
I
0.75
0.70
0.65
- v=0.3
b/a=0.75
b/a=1.0
30"
60°„ 90°
Таблица 9.24. Значения FT . (v = 0.3)
1, A
0
0.25
0.5
0.6
0.75
1.0
i 0
1.122
1.022
0.883
_
0.761
0.660
0.15
_
1.018
0.882
_
0.760
0.659
0.3
1.115
1.007
0.877
_
0.757
0.657
0
1.
0.
.4
132
_
—
825
_
-
0.5
1.169
1.010
0.876
_
0.757
0.658
0.6
1.236
1.030
0.886
_
0.762
0.661
0.7
1.353
0.911
_
0.777
0.670
Рис. 9.42. Распределения безразмерных
коэффициентов интенсивности
напряжений вдоль фронта трещины.
9.32. ВНУТРЕННЯЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА ВБЛИЗИ
СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ БЕСКОНЕЧНОЙ
ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ
НАГРУЗКИ [77; 56]
Задняя поверхность
Передняя поверхность
Сечение Н - Н
Метод объемных сил [77], погрешность менее 1%.
К
I, A
aVnb /Ф
К
I, A
(г/nb /Ф
/С,
i ,в
B/тг)(г/ягГ
543
Г E(k), k = A - Ьг/агI/г
Ф = -
ч1/2
при Ь ? а,
при 6 > а.
- полный эллиптический интеграл второго рода.
Таблица 9.25. Значения Л4Д и Л*в для внутренней эллиптической
трещины в полупространстве (e/W = 16, v = 0.3)
b/dx
b/a
0
0.125
0.2
0.25
0.5
1.0
0.5
MA
1.091
1.076
1.065
1.058
1.035
1.016
MB
1.054
1.041
1.034
1.029
1.015
1.006
0.625
MA
1.168
1.146
1.128
1.118
1.077
1.038
MB
1.084
1.067
1.056
1.049
1.027
1.012
0.8
MA
1.388
1.352
1.314
1.293
1.211
1.119
MB
1.146
1.117
1.100
1.089
1.050
1.020
Рис. 9.43. Значения коэффициента интенсивности напряжений в
точке А .
544
1.0
Рис. 9.44. Значения коэффициента интенсивности напряжений
в точке А .
Таблица 9.26. Значения Мд для внутренней эллиптической трещины в
середине толщины пластины (e/W = 0, v = 0.3)
\. b/d
0
0.125
0.25
0.5
0.75
1.0
0.1
1.006
1.002
1.001
1.000
1.000
1.000
0.3
1.058
1.034
1.021
1.010
1.006
1.004
0.5
1.187
1.124
1.088
1.050
1.032
1.022
0.6
1.303
1.207
1.153
1.093
1.060
1.041
0.7
1.488
1.335
1.253
1.157
1.105
1.075
0.8
1.816
1.550
1.420
1.269
1.187
1.137
35—1280
545
Рис. 9.45. Коэффициент
интенсивности напряжений
для элиптической трещины.
0.8
0.6
Рис. 9.46. Коэффициент интенсивности напряжений для эллиптической
трещины в средней части толщины пластины.
546
o Рис. 9.47. Зависимость F. от Ь/а.
А
ч^~ ТТ ^^
i Г*тЛ—4--+—,—,-_н-
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
0.5
e/d
Рис. 9.48. Влияние эксцентриситета расположения трещины на
коэффициенты интенсивности напряжений.
Рис. 9.49. Влияние эксцентриситета расположения трещины на
коэффициенты интенсивности напряжений.
1.0
547
35*
1.15
Рис. 9.50. Влияние эксцентриситета
расположения трещины на коэффициенты
интенсивности напряжений.
1.00
9.33. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА ВБЛИЗИ РЕБРА
В ЧЕТВЕРТЬПРОСТРАНСТВЕ И ПЛАСТИНЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [78]
Левая
боковая
поверхность
Боковая
поверхность
¦Игт
j Правая
~Ч боковая
поверхность
Передняя поверхность
Сечение / - /
(а)
Передняя поверхность
Сечение 1-1
(Ь)
548
Метод объемных сил [78], погрешность несколько процентов.
0.8 i—
* d ->4*-d ¦•
1.0
180°
0.5
——<
a/d
« 0
V
b/a
>—
- V I
~ ^T /
* 0
5
.7
• 0
= 0
(a)
(b)
(a
*5
.3
.5
I
— (b) 1
Ль)
V
i
90°
180°
Рис. 9.51. Влияние боковых поверхностей на коэффициенты
интенсивности напряжений для полукруглой трещины.
Рис. 9.52. Влияние боковых поверхностей на коэффициенты
интенсивности напряжений для полуэллиптической трещины.
9.34. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА,
ОТХОДЯЩАЯ ОТ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ,
НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ [79; 80]
l-i
549
Метод объемных сил [79], погрешность менее 1%.
*II
pv ub
(поверхности трещины испытывают давление),
pv Kb
II
пЬ
(поверхности трещины не испытывают давления).
Здесь /С. и /С - коэффициенты интенсивности напряжений в наиболее
глубокой точке С фронта полуэллиптической трещины.
0.0
b/r»0.0
r«0.2
0.5
b/a
Рис. 9.53. Зависимости Fr от Ь/а. Рис. 9.54. Зависимости F и F
от Ь/а.
550
Таблица 9.27. Значения /71 и F для наклонной трещины, выходящей
на внутреннюю поверхность цилиндрической полости (поверхности
трещины подвержены действию давления, v = 0.3)
Ь/г
0.2
0.5
Ь/а\
1.0
0.5
0.25
0.0
1.0
0.5
0.25
0.0
1.0
0.5
0.25
0.0
1.0
0.5
0.25
0.0
0*
1.202
1.588
1.817
1.989
1.113
1.454
1.652
1.806
0.946
1.214
1.365
1.481
0.811
1.029
1.146
1.226
F,
15*
1.154
1.530.
1.750
1.915
1.079
1.414
1.605
1.753
0.929
1.193
1.341
1.453
0.804
1.018
1.134
1.212
30°
1.020
1.373
1.567
1.703
0.984
1.301
1.476
1.594
0.885
1.138
1.276
1.372
0.78S
0.991
1.101
1.172
45*
0.827
1.137
1.300
1.378
0.826
1.102
1.244
1.342
0.808
1.038
1.161
1.238
0.754
0.947
1.046
1.107
15*
0.229
0.242
0.252
0.279
0.187
0.199
0.208
0.231
0.116
0.128
0.135
0.149
0.067
0.078
0.084
0.090
Fn
30'
0.421
0.448
0.467
0.506
0.349
0.370
0.386
0.428
0.223
0.244
0.258
0.284
0.131
0.151
0.161
0.174
45*
0.552
0.570
0.608
0.636
0.461
0.490
0.499
0.558
0.313
0.340
0.354
0.392
0.187
0.209
0.214
0.249
Таблица 9.28. Значения F. и F для наклонной трещины, выходящей
на внутреннюю поверхность цилиндрической полости (поверхности
трещины свободны от действия давления, v = 0.3)
Ь/г
0
0
0
1
1
2
5
0
\о
Ь/а\
1.0
0.5
0.25
1.0
0.5
0.25
1.0
0.5
0.25
1.0
0.5
0.25
0°
0.560
0.744
0.843
0.484
0.639
0.729
0.336
0.443
0.504
0.214
0.286
0.326
F
15'
0.497
0.660
0.757
0.436
0.576
0.657
0.312
0.411
0.467
0.204
0.271
0.308
*
I
30»
0.309
0.409
0.468
0.293
0.381
0.433
0.240
0.308
0.348
0.174
0.225
0.254
45°
0.096
0.101
0.104
0.111
0.130
0.139
15*
0.304
0
0
0
0
0
О
0
0
0
.354
.373
.255
.299
.317
.166
.199
.212
.098
0.121
0
.130
30°
0.591
0.700
0.741
0.506
0.602
0.639
0.341
0.412
0.439
0.205
0.253
0.271
45»
0.552
0.680
0.735
0.341
0.424
0.461
551
9.35. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА
НА ВНУТРЕННЕЙ ПОЛОСТИ ТОЛСТОСТЕННОГО
ЦИЛИНДРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО
ДАВЛЕНИЯ (ПОВЕРХНОСТИ ТРЕЩИНЫ
ИСПЫТЫВАЮТ ДАВЛЕНИЕ) [81, 82-84]
и
Метод граничных интегральных уравнений [81], погрешность менее 2%.
Таблица 9.29. Значения /^ (R2/Rl = 2, Ь/а = 0.8)
ь/w е°
15
30
45
60
75
0.2
о.з
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.550
1.492
1.477
1.490
1.523
1.623
546
473
450
480
511
1.607
1.532
1.469
1.447
1.460
1.480
1.582
.515
.455
.432
.463
.457
1.526
1.528
1.481
1.468
1.473
1.470
1.520
1.613
1.573
1.551
1.582
1.576
1.536
Таблица 9.30. Значения Fx (R2/Rt = 3, b/a = 0.8)
90
1.617 1.604 1.588 1.565 1.565 1.604 1.782
.707
.684
.677
.703
.727
.669
b/W 6°
15
30
45
60
75
90
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1.208
1.123
1.067
1.062
1.087
1.118
1.216
1.197
1.112
1.055
1.051
1.075
1.094
1.187
1.189
1.110
1.055
1.048
1.070
1.091
1.168
1.183
1.101
1.038
1.034
1.052
1.050
1.115
1.187
1.124
1.074
1.058
1.072
1.062
1.090
1.245
.188
.147
.126
.107
.132
.139
1.374
1.271
1.246
1.227
1.213
1.209
1.238
552
1.8
15° 30° 45° 60° 75" 90
Рис. 9.55. Распределения значений Fj вдоль фронта трещины.
1.4
1.3
Fi
1.2
1.1
1.0
"Г
а
ц
ь/
—
W=0.2.
W=0.5
.—
У
Ь/се
/
- Л
0° 15° 30° 45° 60е 75° 90°
е
Рис. 9.56. Распределения значений /^ вдоль фронта трещины.
L
R2/Ri
1
/а = 0.8
О 0.2 0.4 0.6 0 8
b/W
Рис. 9.57. Значения Fx в наиболее глубокой точке фронта
трещины.
553
9.36. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ТРЕЩИНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
СОСУДАХ [85, 86; 33, 45, 74, 87-95]
(А) Внутренние поверхностные трещины
_1
(В) Внешние поверхностные трещины
Метод конечных элементов [85, 86], погрешность менее 10%.
Коэффициент интенсивности напряжений для случая одной трещины
примерно на 4% меньше, чем для случая двух трещин.
Распределения напряжений, приложенных к поверхностям трещин
o-j = {г/Ь)\ A)
У = 0, 1, 2, 3;
B)
554
С - коэффициенты влияния, соответствующие /*-му распределению
напряжений (см. табл. 9.31-9.34); Q - квадратный корень из полного
эллиптического интеграла второго рода, определяемый приближенной
формулой
Q = 1 + 1.464(ft/aI>e8.
Случай А. Внутренние поверхностные трещины
[85]
t
Та
пьл
иг
ь t
Т ' 7?
C)
р - внутреннее давление, pR/t - среднее окружное напряжение,
F. - корректировочный коэффициент:
Ло
к -
ч -
(В выражении D) учитывается действие внутреннего давления на
пове!
[85].
поверхности трещины.) Значения G. приведены в табл. 9.31 и 9.32
J
186]
2а
к
ь r
T • Т
E)
F =
F)
i1 = 1.13 - 0.096/a, M2 = -0.54 + 0.89@.2 + b/a)
Mo = 0.5 - @.65 + b/af1 + 14A -
-1
g = 1 + [0.1 + 0.35(fc/7J](l - si
555
=¦ [sin20 + F/aJcos20]1/4,
L =
c
n + R h1/2
0.5
(В выражении F) учитывается действие внутреннего давления на
поверхность трещин.)
Случай В. Наружные поверхностные трещины
к ?RfnbY F [b Ь t
Значения G приведены в табл. 9.33 и 9.34.
556
О —
О О»
NO
(•^ ^^Ч i^^ ^^J Ч^ '^* ^^ ^^1 ^^^ ^** ^^% 00 ^™ ГЧ ^*^
ооооо ооооо ооооо
N-OOQ NinimON о — 'HVjv-ч О О in 7<n
_:_:,-:_:—: ооооо ооооо ооооо
— О О О О ~ nt^ior. О—'nvjw-j О О г4 Ч| vt
; ; ; оооос* ооооо
219
_ __ _ п
ооооо
О -V О О Q
— —• г*1 VI «о
ООООО
оо
оо
оо оо Оч
ООО
vo — г- г- »»t
rO400»^*N
^ ПЛрв1
О ,О — ri ТГ
do ——-^ ооооо ооооо ооооо
Г4* ^Э чО ОО Г^| *о 4D ГЧ ОО ГЧ ^> Г** чО ^"^ ^^ ^т ^ *^ ЧЭ **•
Г4* ^* ^^ ^^ Г^- ГЧ ^Г ^Г С? Г4* ^Г &* *^1 *^ ГЧ ГЧ 4J ЧЭ '^ чу
Г^ ОО ^^^ ^^Э с tf ¦>¦« f4 Ч^ ^-^^ Ч^ Г{ 1 ^^J ГЧ Ч^ ^^% ^^^ е д ^шт t^^ ^^
ооо — — ооооо ооооо ооооо
&\ ^Т ОО ОО ГЧ **> 4f ^^ ^^ <^ 4f ^f ^— <^ -** чО Г^ ^^ ГЧ ^h
•^ ГЧ *о f**** ОО с*Ч ^^ ^D ОО С^ *^ ^^ ^4 *Л ^Э ?Г? ^Э ^^ *Т ^^
— — — — — ооооо ооооо ооооо
О»паз\
г-, ст; — *
ob —
П rn %o о О оо vt о г-оо г- гч тг ^ «о vo
ч* ""riwlr^r*: о — гч^»п о о_ — »*> ^г
-^ ооооо ооооо ооооо
Чэ Г~ О» О •"• О г^ ^ ^О *О О О М ^ <о О О — ¦** ^
ооо' — — ооооо ооооо ооооо
ооо— ооо—
X
о
557
о
в
с
в
ч
т
олу
в
се
^_^
ю
о
и
at
N
Ok
ч
X
>Э
их
в
в
к
в
§
3
в
V
в
Э"
в
¦е-
¦в'
m
ч
X
о
X
о.
V
а
о
с
*
X
рен
еч ™
2 s
ей 3
II
О
0.4
<Q
оо
0.5
0.2
0.8
О
во
К
X
Тип
нагруже!
316
180
088
099
10S
ООО
сч *гу Г-» — о
— oooS
0.924
0.932
1.056
1.157
1.193
RoSSK
г- оо <* О О
ооо — —
SRSSS
ffS — 5°
ОО —— —
чб i~* o^ о о
ооо ——
ооо —
зоне
0}
а
OOr-,*,OOtO
0.214 0
0.371 0
0.550 0
0.680 0
0.726 0
0.194
0.356
0.538
0.667
0.713
0.263
0.356
0.540
0.740
0.828
ооооо
123
243
438
603
666
ооооо
ооооо
— ооео оо*о
ооооо
0^0.00 4,
ооооо
© *ч т*. ч
ооо —
as to"
<и —
X
q;
О — n«n«o
0.082 0
0.159 0
0.338 0
0.519 0
0.594 0
r~ *r\ r*^ — ао
ООООО
0.109
0.150
0.304
0.513
0.614
ООООО
ооооо
108
154
330
571
692
ооооо
Т* СМ4 .О
О — гч *» VI
ООООО
п»>«« —
ОЭГЧ«1
ООООО
*ri »Л
ООО —
чное
2
0^.0-Л
ООЙ5>О
0.043 0
0.079 0
0.221 0
0.419 0
0.515 0
0.037
0.075
0.217
0.416
0.511
О. МЧ ОО — О*
•^ Г— ОО ON О
ООООО
0.036
0.057
0.173
0.358
0.454
021
044
160
345
439
ооооо
1Б112
028 0
050 0
168 0
361 0
460 0
ооооо
О<Ч«1ОЧ>
оо^ЯО?
оооро
ооо —
ое
s *-*
558
OS >
о
•w
0.2
ю
-О
ОО
V>
ОО
«л
г*
ОО
0.5
ы
"]>
1 ИП
эужения
наг
f* ОО ^ »Л 00
— о о о о
ОО «/-I f^ _ irt
Г- ГЧ IW -* ч©
о
ОО ПОО — *О
Г- ОО Оч О О
ооо ——
«5оо°Й
— — — гЧ ГЧ
оо ———
ГЧ О <ЛМ Г*
\О f^- О* -¦ —
ооо« —
ооо —
о.
о о
ш
?
ОО ГЧ Г- — О
ddcicid
ооооо
ооооо
» « «Л ^ ОО
OOOscom
ооооо
ооооо
Я№8
ооооо
й?^ст!о
оооо —
ооооо
ооооо
«о »л
Огч«пг-О
« (^*
X
— оо ^ m —
ооооо
ss?as
ооооо
ооооо
СТ» #•¦> О» — V»
ГЧ Г- Г< ГО «Ч
ооооо
Г- ГЧ S ОО Ю
ооооо
з!я?§
ооооо
053
110
290
504
600
ооооо
023
076
240
434
521
ооооо
0Я«?о
ооо-
1
:2
ооооо
53ЯЯ =
ооооо
oS?;?«
ооооо
OMNQV1
ооооо
Зо2К§
ооооо
022
046
163
349
444
ооооо
ооооо
Г* *% Г~ Г^ ОО
ооооо
ооооо
ооо —
S
0) m
Куб
559
*
о
а
у
X
н
с
X
ч
ч
о
с
к
§
к
X
X
к
X
•ициенты
%
Я)
о
со
о»
ев
s
л
н
ю
<N
О
II
Of
*1
СО
'§"
X
ч
X
X
и
о
поверхн
X
3
а>
X
СО
X
3
X
X
3
о.
О
b/a 0.2
ео
о
»п
D.2 0
оо
00
О
*п
О
С*
О
Тип
нагружения
163 U
088 1.
049 1.
034 1.1
030 1 .С
So — оо гч
О* _ г— — S
793 0.
828 1.
967 1.
072 1.
109 1.
786 1.1
952 1.3
278 1.8
541 2.3
640 2.5
оо —
NNNVN
ооо ——
о IN «о Р о
OS О —
о.
X *'*"'*
ей
S.
оо с = =
о = с = с
о о о о с
о о о с о
ооос с
О *N — О «^
ооосс
ооо — —
88825
ооооо
ооо —
X "~^.
¦S C9
в) —>
X
X
о о с о о
эоо = =
ооооо
г-% оо ^ to *л
ооосо
gdOjOO>~
ооооо
О — «ч ^ *о
ооооо
?о51^ —
ооооо
ооооо
ооо —
1
X ^
„...
ооооо
о г^ о оо *"¦»
f^ ff- — ~- Г*
ооооо
2«oor-ij
ооооо
ооооо
025 0.0
050 0.0
177 0.2
383 0.4
488 0.5
010 0
032 0
148 0
337 0
434 0
о Я »о г- о
ооо —
о ^
QJ t*>
X "
<о
560
9.37. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА. СОДЕРЖАЩАЯ ОКРУЖНУЮ
ИЛИ ОСЕВУЮ НЕСКВОЗНУЮ ТРЕЩИНУ [94; 96-102]
(А) Окружная трещина
¦Хг(у)
(В) Осевая трещина
Модель пружин Раиса и Леви [94], погрешность менее 10%.
К - коэффициент интенсивности напряжений для оболочки, К
коэффициент интенсивности напряжений для соответствующей двумерной
трещины в плоской пластине.
N
- ь
- ъ
A)
B)
Nm и Мю - приложенные на бесконечности нормальные мембранные усилия
и изгибающий момент.
uiT A.1216 + 6.5200?2 - 12.3877?* + 89.0554^
-188.6080С8 + 207.3870^10 - 32.0524?12),
gb(t) = /л^ A.1202 - 1.8872^ + 18.0143^2 - 87.3851С3 +
241.9124С4 - 319.9402?5 + 168.0105^) (см. [96]).
561
36—1280
* а
о я
х я
Э- ¦ v
о
ё
о а N
S О <U
! ^11
S? !? РЭ
о § я а
v СУ 33 ^
\ *Ч4 >~f СО
«Eel
К S
I
«О
2 ™ >•
СО й^ ***
2. 3. §
t; щ м
о ш о.
5 g s
г а^ 0Q .__ **
<и а; 5
9 * « 3
I s S3
се
S
.с
II
-о
CD
II
!
а
я
.с
см
я
я
JZ
и
ш
я
:м
я
С
О»
о
710
о
579
о
5
О
СП
о
СИ
о
m
00
о
s
о
СП
о
712
о
581
о
го
О
О*
О
СП
о
in
со
о
S
о
in
о
СП
о
711
о
560
о
ГО
о
СП
о
СП
о
<^-
со
о
СП
о
ш
г*
о
со
о
709
о
578
о
СП
о
СП
о
см
со
о
о
г—
о
703
о
570
о
о
СП
о
СО
о
(П
,_
8
о
692
о
СП
о
СП
о
о
см
753
о
621
о
СП
о
со
о
о
SS
о
СП
о
о
to
624
о
со
о
о
со
.с
о
II
-С
о
II
140
о
065
о
017
о
см
о
о
1
to
о
ГО
о
CD
см
о
132
о
143
о
.066
о
019
о
о
о
о
№
О
to
о
см
о
135
о
1Л
с;
145
о
.069
о
021
о
О
о
1
СП
о
Р--
о
ГО
см
о
137
о
in
г*.
о
146
о
.071
о
023
о
су.
о
р^
о
ГО
см
о
о
148
о
.074
о
027
о
to
о
о
см
см
о
tn
г—
148
О
.075
о
сп
о
о
о
см
132
о
.072
о
СП
о
ГО
о
О
106
о
to
о
о
to
068
о
to
о
о
со
SZ
о
If
-о
см
о
и
JZ
«
IZ
см
•о
и
со
JC
ГМ
ID
¦
ГО
о
741
о
627
о
о
о
?
о
930
о
ГО
со
о
со
о
rs.
ГО
о
742
о
628
о
в
in
о
961
о
930
о
ГО
Si
о
р^
со
о
о
ГО
о
742
о
628
о
СИ
о
m
о
961
о
930
о
см
S
о
to
со
о
in
pv.
о
to
ГО
о
741
о
626
о
096
о
626
о
о
г
о
о
ГО
РО
о
736
о
620
о
959
о
926
о
ю
со
о
Г"*
СМ
о
727
о
956
о
922
о
о
см
S
»*-
о
670
о
939
о
893
о
о
Я
о
916 1
о
о
to
to
о
893 ,
о
о
со
-С
00
о
II
.а
о
II
to
см
о
149
о
104
о
ГО
О
О
582
о
451
о
ГО
ГО
о
ш
см
о
о
ел
см
о
151
о
901
о
о
о
583
о
454
о
ГО
ГО
о
9
СМ
о
in
о
о
см
см
о
152
о
107
о
ю
о
о
585 ,
о
455
о
ГО
о
о
см
о
о
см
о
154
о
109
о
585
о
tn
m
а
я
о
о
—
ГО
см
о
157
О
112
о
583 |
о
453
о
ГО
О
in
,—
см
о
158
о
577
о
448
о
о
см
•
см
о
158
о
532 1
О
S
о
о
о
476
о
о
to
см
о
428
о
о
со
562
со
p.
OS
a
[бли
сО
о
а.
•9-
чке
-С
О
II
XI
X
о
11
XI
х:
о
I)
X
СМ
о
и'
XI
со
w
•Л
ЧГ
.с
см
ш
-С
и
00
*
чг
ю
см
«О
п
¦*'
СО
•в
.с
н
«в
х:
см
•о
и
¦С
СП
II
•О
х:
см
ID
И
819
о
710
о
579
о
3
о
959
о
926
о
1Л
Гч.
00
о
¦в-
а
о
со
о
о
СМ
<?>
О
Гч
1П
о
Ю
сп
о
930
о
883
о
ГЧ
СО
о
814
о
703
о
569
о
СП
ЧГ
о
957
о
923
о
о
со
о
Гч
Гч.
о
о
го
со
о
Гч
о
СП
о
о
о
о
00
СП
о
879
о
о
со
о
in
о
809
о
696
о
559
о
со
о
956 j
о
921
о
00
о
ст.
Гч
о
m
Гч
о
СП
со
о
СД
см
Гч
о
о
о
чг
о
гл
m
о
ю
см
сг.
о
875
о
со
о
ш
о
803
о
687
о
547
о
954
о
917
о
о
00
о
о
со
о
см
Гч
о
о
о
о
Гч,
1П
о
го
СП
о
870
о
о
_
789
о
666
о
522
о
! 0S6
о
909
о
Гч,
СО
о
m
—
см
со
о
Г4
о
m
Гч
in
о
го
ш
о
из
СП
о
858
о
1Л
,_
772
о
643
о
945
о
900
О
О
см
со
Гч
о
m
«о
о
on
чг
о
о
о
СМ
702
о
557
О
! 026
О
859
о
о
гг.
г-
О
го
Но
о
см
о
о
Г-»
со
о
о
640
о
894 ;
о
о
ю
14.
ю
о
см
о
о
о
10
592
о
871
о
о
со
«0
о
о
о
со
х:
•
о
II
X)
X
*¦ ,
о
tl
XI
00
о
II
_о
х:
КО
о
X)
140
о
065
о
017
о
см
о
о
1
526
о
373
о
СМ
О
СМ
о
VO
см
о
СП
о
о
о
ГО
о
о
со
ш
о
о
336
о
m
см
О
136
о
062
о
о
о
ГО
о
о
518 :
О
364
О
о
см
о
in
гм
о
in
о
п
см
о
Гч
о
о
о
го
о
о
ш
о
чг
•в-
о
330
о
о
см
о
in
о
133
о
090
о
014
о
го
о
о
о
356
о
см
см
о
СП
о
in
о
о
см
о
in
чг
о
о
о
ГО
о
о
о
ш
о
со
го
о
324
о
1С
см
о
ГЧ,
о
129
о
057
о
013
о
502
о
347
о
чг
см
о
о
—
Гч,
см
о
го
?
о
о
о
m
о
о
318
о
о
120
о
053
о
см
о
о
481
о
326
о
Гч
ел
о
m
—
о
см
о
о
о
о
о
*п
чг
m
о
Ч"
о
305
о
in
,—
112
о
i
о
460
о
30G
о
о
см
«г
о
о
см
ш
о
со
о
о
гм
089
о
042
о
382
о
244
о
о
ЧГ
Гч.
*~
о
го
о
о
о
о
о
078
о
327
о
о
00
о
см
о
о
ю
070
о
289
о
о
со
го
о
СП
о
о
со
36*
563
X О
о
X *•
V ~
се
уэл
.с
о
и
XI
CvJ
11
-
«г
0
ГМ
т
с
m
¦
¦
•
¦
-<
СП
о
о
о
579
о
—
«чГ
о
6S6
о
из
о
о
S
о
ГО
см
о
00
о
590
о
«л
о
960
о
г-»
О
со
о
о
со
о
о
см
о
ГО
см
о
59 В
о
in
о
о
о
<*
о
г
о
ЧГ
СО
о
m
г*.
О
ГО
о
а*
ГМ
о
606
о
961
о
о
о
ГО
ОО
о
о
—
о
о
о
621
о
962
о
см
О
со
о
1Л
см
о
о
963
о
»
о
о
см
го
ЧГ
о
о
о
о
о
о
•чГ
со
см
о
956
о
о
to
см
о
951
о
о
со
.с
о
tl
" .а
о
II
S
о
1Л
о
о
017
о
см
о
to
см
о
ГО
о
со
ГО
см
о
см
ГО
"—
о
о
со
чТ
о
см
Г-
о
о
022
о
я
о
-о
ио
ГО
о
?
о
о
см
о
ГО
чГ
о
trt
о
(Л
о
СП
о
о
027
о
го
о
о
-0
о
СП
о
S
см
о
m
о
1Л
о
го
«—
о
1Л
0D
о
о
034
о
го
1Л
о
(Л
S
о
см
см
о
о
—
о
СП
о
о
о
о
047
о
о
о
(Л
см
о
m
СП
см
о
m
—
г*.
as
о
U1
о
1Л
00
о
см
о
о
см
см
го
см
о
со
о
о
SO
о
о
чГ
го
см
о
S
о
о
to
г*.
см
о
го
«о
о
о
со
X
X
ч
X
о
:рхно
о
с
ихней
со
о
X
Q.
Cd
3
«1
X
ЙСТВИ
V
п
>
о
*z^
см
1
II
з- s
о со а.
н х в
о
н
см
о
И
.о
1
с
щ
с
ш
т
я
с
X)
¦
•*
С
е
я
837
о
н,
о
627
О
о
1Л
о
961
о
930
о
883
о
г*
00
о
841
о
748
о
635
о
от
1Л
о
962
о
932
О
886
о
я
00
о
1Л
о
844
о
752
о
642
о
г-.
a
о
963
о
933
о
S
о
00
о
1Л
о
847
о
757
о
649
о
963
о
934
о
068
о
о
853
о
766
о
663
о
964
о
936
о
894
о
m
г-
857
о
773
о
965
о
938
о
о
см
860
о
775
о
964
о
935
о
о
ЧГ
848
о
959
о
о
to
834
о
954
о
о
00
-С
о
н
.с
о
-О
216
о
149
о
104
о
ГО
Ё
о
582
о
451
о
336
о
о
223
о
154
О
108
о
ю
о
о
06S
о
461
О
346
о
и>
о
m
о
622
о
159
о
пг
о
о
S
о
597
о
468
о
355
о
2
О
R
о
235
о
165
о
118
о
604
о
477
о
364
о
о
250
о
178
о
130
О
619
о
494
о
384
о
in
г-
264
о
192
о
631
о
509
о
о
см
299
о
225
о
651
о
532
О
О
303
о
641
о
о
to
294
о
ггэ
о
о
со
564
глубокой
ч
о
наиб
со
о
к/к
Значения
•
X
Табл
«
S
>»
5
?
ибол
я
ю
„ с
НИН
еи
у
я
S
со
.42.
о>
1
1
ещины
о.
о
осев
=Х
О
гичес
полуэллип'
я
1
Т0ЧК1
2
s
s
трещ
гвой
о
о
>s
.§
ичес
ЛИП
>.
ч
о
с
я
X
о
•в"
чке
g
болочки
о
о
1С
ричес
ct
Я
S
цил
оверхности
шей
<и
X
СО
се
X
ЛОЧК
О
кой с
ичес
о.
с[
X
К
ч
X
и
о
8-
ш
о
ней
<ц
1
оо
я
X
¦агрузки
бром/
а=
<и
as
ной
равномер
s
0)
СТВИ
ПОД
а/
«га
<ъ
35
о
а»
о
(«
<и
2
а
«о
3
СО
ого
о.
^
a;
о
a:
«
а
о.
нем
и
и
«
CD
«
по.
JZ
^
о
11
_О
_с
о
11
.О
¦г
S
¦
«а
ем
«в
*
0
II
щ
JO
чг
•а
м
f
•в
619
е
о
о
в»
о
о
в»
•л
о
&
о
•Л
00
о
S
о"
о
815
о
«о
о
СП
1Л
о
О
958
о
О
СМ
со
о
СП
сг>
d
кЛ
О
813
о
СМ
о
во
(Л
о
о
о
957
о
см
О
8
00
о
•о
о«
о
0.7
811
о
Ch
СЬ
«О
О
кЛ
(Л
о
956
о
CU
О
>л
CD
О
1.0
807
о
*о
о
о
«л
о
955
о
—
о
864
о
1.5
805
о
to
о
954
о
—
о
о
797
о
о
096
о
—
о
4.0
788
о
946
о
о
777
о
942
о
8.0
х:
о
и
.а
.с
о
п
140
о
1Л
О
о
о
о
см
о
о
526
о
СП
о
я
см
о
СП
d
о
139
о
%
о
о
о
см
о
521
о
36(
о
«п
гм
О
СП
см
о
кЛ
о
138
О
S
о
00
о
о
о
о
518
о
to
СП
о
СП
см
о
m
см
%п
о
138
о
«л
«о
о
о
Oh
о
о
516
о
to
СП
о
о
СП
см
о
о
Ml
о
№
о
о
024
о
513
о
«о
СП
о
СМ
о
1.5
145
о
<»»
о
о
CIS
о
СП
о
2.0
161
о
S
о
515
о
СП
о
о
164
о
507
о
6.0
161
о
495
о
о
СО
-С
о
II
-С
о
II
5
*
.с
••г
•в
-С
1
1
9
а
JZ
т
?
ш
т
с
¦
•а
837
о
741
о
/29
о
0.507
961
о
930
о
о
0.817
о
834
о
737
о
621
о
0.501
960
о
929
о
о
о
1 0.813
0.5
832
о
734
о
СО
о
0.498
960
о
927
о
ао
о
1 0.810
0.75
830
о
732
о
615
о
696
о
926
о
о
1.0
827
о
728
о
611
о
896
о
924
о
о
1.5
825
о
725
о
957
о
226
о
2.0
в* — о*
СО Ш 8
о о е
718
о
*^ о «о
1/1 к/1 ЧГ
о о о
916
о
* в a
о
о
и
.а
216
о
149
о
104
о
0.073
582
о
451
о
«о
о
0.245
о
215
о
148
о
104
о
0.074
578
о
447
о
о
1 0.243
0.5
215
о
149
о
105
о
0.075
576
о
445
о
331
о
1 0.243
0.75
215
о
150
о
107
о
574
о
443
о
-
о
е
CS4
О
153
о
112
о
572
о
444
о
«*»
о
1.5
221
о
158
о
57,
О
444
о
о
«м
237
о
177
е
570 |
о
451
о
о
ГЧ D1
а о
en р-
о о
о е
ч> со
565
Таблица 9.43. Распределение значений K/KQ вдоль фронта
полуэллиптической окружной трещины на внешней и внутренней
поверхностях цилиндрической оболочки (А2 = 2, а = 4Л, Ь = 0.4Л,
v = 0.3)
ТГ
1.0
0.894
0.789
0.684
0.578
0.473
0.367
0.263
Трещина на внешней
поверхности
мембранная
нагрузка
0.727
0.7)9
0.694
0.655
0.604
0.544
0.477
0.406
изгибающий
момент
0.692
0.689
0.680
0.665
0.643
0.618
0.583
0.538
Трещина на внутренней
поверхности
мембранная
нагрузка
0.685
0.678
0.658
0.625
0.580
0.527
0.465
0.399
изгибающий
момент
0.643
0.641
0.637
0.628
0.615
0.597
0.569
0.529
Таблица 9.44. Распределение значений K/KQ вдоль фронта
полуэллиптической осевой трещины на внешней и внутренней
поверхностях цилиндрической оболочки (v = 0.3)
т
1.0
0.894
0.789
0.684
0.S78
0.473
0.367
0.263
Треи
на внутренне!
a=h.Ri=10h,b-0.2h
растяж.
0.812
0.807
0.792
0.766
0.730
0.685
0.628
0.5S9
изгиб
0.799
0.797
0.792
0.782
O.76S
0.739
0.700
0.642
дина
i поверхности
a«4h.Rj=10h.b=0.8h
растяж.
0.161
0.160
0.157
0.153
0.147
0.138
0.126
0.114
изгиб
0.078
0.082
0.094
0.109
0.124
0.139
0.149
0.154
Трещина
на внешней
поверхности
a-4h,b-0.4h,Ai-2
растяж.
0.773
0.764
0.736
0.693
0.637
0.572
0.500
0.426
изгиб
0.747
0.743
0.731
0.710
0.683
0.652
0.612
0.562
566
1.0h-
0.5 -
Ro
a/h = 8
• Ь/h =0.6
v = 0.3
R;
ь —
^^
I
Й
/ //
/n/
i
i
Z^g. ¦
0.5
Ri/Ro
1.0
Рис. 9.58. Сравнение случаев полуэллиптической и кольцевой
трещин (Кп = 4.035сг
К = 0.582/Сп,
а = 8Л, о-о -
равномерное осевое напряжение). (А) Внешняя полуэллиптическая
трещина; (В) внутренняя полуэллиптическая трещина; (С) внешняя
кольцевая трещина; (D) внутренняя кольцевая трещина; см. [97].
Ri/Ro
Рис. 9.59. Сравнение случая внутренней осевой поверхностной
трещины (штриховые линии) и соответствующего решения задачи
о плоской деформации для кольца (сплошные линии, см. [98]).
567
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
h/Ri
1
=0.1; b/a
i i i
Г
1
i
Ь/h = С
. •*
b/h
N
a
.8
= 0.2
0.5
1.0
Рис. 9.60. Сравнение результатов, полученных в рамках модели
пружин Раиса и Леви (штриховые линии), с конечно-элементным
решением (сплошные линии, см. [99]) для цилиндра с внутренней
полуэллиптической осевой трещиной, находящегося под действием
внутреннего давления (F = K/[(pRVh)vnb/Q ], Q - квадрат
полного эллиптического интеграла второго рода).
9.38. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ЗАЩЕМЛЕННЫМ ТОРЦОМ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ,
СОДЕРЖАЩАЯ ОСЕВУЮ НЕСКВОЗНУЮ ИЛИ СКВОЗНУЮ
ТРЕЩИНУ [93; 94, 96, 99]
b
V-
2a
г
d
e
///^
с
568
Модель пружин Раиса и Леви [93].
А. Осевая сквозная трещина: Кг(х2, х )
Мембранная составляющая нормированного коэффициента интенсивности
напряжений
.
Изгибающая составляющая нормированного коэффициента интенсивности
напряжений
R - внутренний радиус цилиндрической оболочки.
569
се
в
0)
X
Я
X
•е-
•в-
ко;
8
в
в
се
и ров
S
а.
о
в
к
се
a
я
к
:тав/
3
о
CJ
а:
о.
а»
^«
45.
о»
s
ё
я
н
и
2
X
X
о.
н
евой
и
о
о
X
СО
О
PQ
о
ДЛЯ
а
1*,
*
X
а>
¦J;
К
О.
с
се
X
сти
она
X
и
1
в
X
со"
О
И
>w
V
о
о
>х
о
и
V
f\
<=(
X
ч
X
я
" п ~ 2
isle
> о - «
00 tN ВО I
f» Г- ГЧ ~-
m О IN №
О О О гч
N н О ••
m w 1л м
?55 =
sss;
5 5 2!
f* ГЧ V\ <Л
* п (N А
ГЧ f» f»
«IS
1618
" » n a
«339
XSPj
5 5 51
SIM
570
я
X
X
Я"
X
•е-
•е-
m
о
2
о
ван
миро
о.
о
X
се
а
Q
к
ч
са
со
О
в
3
СО
9.46.
S
ё
са
Н
о
О)
X
о.
X
X
X
я
са
3
X
X
if
О.
«
О
осев
^х
о
ГО
i
о
к
с^
Ч,
=Х
X
X
№
О.
С
СО
X
НОСТИ
ю
X
о
X
X
X
т
о
и
2.
0>
V
о
к
^о
о
о о о о
>¦ О gt n
4Э « 00 О
р -: -г *
о о о о
<П |Л N О
о — — ч;
о о о о
= 2 I §
о о о 6
SSS3
О О ^ W
о о о о
о о о о
о о о о
Ч «1 <> О
3S3S
о о о о
¦ s з:
о о о о
•С О I- i-r
) ее — <
IN»
SS 2D
О О О О
SSS2
о о о о
А ф m ф
Я 3
ill?
§112
dddd
I I I
"Is5
^- О О р-;
О О О О
о о d d
I I I
SSI
!2S?
О О О О
SSSR
о о о
I I I I
sssi
571
2.0
0.5 а/с 1.0
Рис. 9.61. Мембранная составляющая нормированного коэффициента
интенсивности напряжений в кольцевых точках сквозной осевой
трещины.
В. Полуэллиптическая несквозная трещина
К(х2) = Kt(x2) + Къ(х2),
Kt(xz) = Ft(x )К0 , Къ(хг) = Fb(x )К0 , х = (х2 + с)/а.
t ь
Точка х = 0 - наиболее глубокая точка фронта полуэллиптической
трещины.
Kt(x2), Къ(хг) -
составляющие коэффициента интенсивности напряжений
от действия растягивающей и изгибающей нагрузок
соответственно в точке х2.
572
F (x ), F (x ) - составляющие нормированного коэффициента
интенсивности напряжений от действия растягивающей
и изгибающей нагрузок соответственно в точке х2.
/С , /С_ - коэффициенты интенсивности напряжений для соответствующей
* b двумерной трещины, найденные из решения задачи о плоской
деформации полосы с краевой трещиной в случае действия
мембранных напряжений а = pQ/?i// или изгибающего момента
t - 12.3877^* + 89.0554^ -
- 188.6080^ + 207.3870?10 - 32.0524С12),
gb(O = /гоГA.1202 - 1.8872^ + 18.0143С2 - 87.3851?3 +
+ 241.9124^ - 319.9402С5 + 168.0105^) (см. [96]).
573
Таблица 9.47. Нормированный коэффициент интенсивности напряжений
для полуэллиптической осевой трещины на внешней и внутренней
поверхностях цилиндрической оболочки (V = 0.3)
R/t-5
Трещина
a/t
1
2
3
0
с/а
1
i.i
1.5
2
10
1
1.1
1.5
2
10
1
1.1
1.5
2
10
1
1.1
1.5
2
10
Трещина
1
2
3
0
1
1.1
1.5
2
10
1
1.1
1.5
2
10
1
1.1
1.5
2
10
1
1.1
1.5
2
10
на внешней поверхности
ь=о.;
F,«>>
0.304
0.331
0.446
0.585
0.918
0.629
0.680
0.856
0.979
0.993
0.880
0.926
1.040
1.050
1.020
1.060
1.060
1.060
1.070
1.070
2t
FA@)
-0.0679
-0.490
0.0160
0.0639
-0.0018
0:0671
0.0778
0.0895
0.0641
Э.ООО
0.0906
0.0859
0.0489
0.0107
0.000
-0.0020
-00009
0.0001
0.000
0.000
на внутренней
0.299
0.325
0.437
0.572
0.898
0.612
0.662
0.833
0.952
0.968
0.857
0.902
1.010
1.030
1.000
1.050
1.050
1.060
1.060
1.060
0.670
0.0482
-0.0157
-0.0625
0.0018
-0.0651
-0.0756
-0.0869
-0.0621
0.000
-0.0876
-0.0832
-0.0475
-0.0105
0.000
-0.0018
0.0009
0.000
0.000
0.000
b=0.4t
Fj(O)
0.185
0.202
0.277
0.368
0.588
0.444
0.484
0.621
0.718
0.737
0.673
0.713
0.812
0.835
0.817
0.935
0.935
0.941
0.944
0.952
FA@)
-0.367
-0.0276
0.0064
0.0338
-0.0011
0.0382
0.0459
0.0580
0.0441
0.000
0.0605
0.0590
0.0373
0.0099
0.000
-0.0014
-0.0008
0.000
0.000
0.000
поверхности
0.177
0.193
0.262
0.346
0.551
0.410
0.445
0.567
0.656
0.676
0.613
0.649
0.739
0.762
0.750
0.896
0.898
0.906
0.911
0.920
0.0351
0.0263
-0.0059
-0.0311
0.0010
-0.417
-0.0411
-0.0517
-0.0392
0.000
-0.0532
-0.0521
-0.0331
-0.0088
0.000
0.0008
0.0005
0.000
0.000
0.000
b=0.6t
F,<o>
-0.08951
0.0984
0.137
0.183
0.295
0.246
0.270
0.355
0.415
0.430
0.410
0.439
0.511
0.532
0.523
0.705
0.707
0.714
0.720
0.732
0.0849
0.0928
0.127
0.168
0.270
0.216
0.236
0.305
0.355
0.370
0.347
0.369
0.427
0.445
0.442
0.628
0.632
0.644
0.652
0.664
Fi«>)
-0.0108
-0.0087
0.0009
0.0099
-0.0004
0.0132
0.0168
0.0248
0.0206
0.000
0.0273
0.0279
0.0206
0.0067
0.000
-0.0005
-0.0004
0.000
0.000
0.000
0.0099
0.0080
-0.0006
-0.0082
0.0003
-0.0097
-0.01281
-0.0190
-0.0157
0.000
-0.0202
-0.0208
-0.0156
-0.0052
0.000
-0.0003
0.000
0.000
0.000
0.000
b=0.8t
F,«>>
0.0273
0.0300
0.0417
0.0559
0.0898
0.0818
0.0905
0.121
0.143
0.147
0.150
0.162
0.193
0.202
0.148
0.338
0.339
0.344
0.348
0.357
0.0265
0.0290
0.0399
0.0529
0.0844
0.0728
0.0797
0.104
0.121
0.126
0.123
0.132
0.154
0.161
0.160
0.269
0.272
0.281
0.186
0.294
F6<o>
0.0009
0.0003
-0.0008
-0.0009
0.000
0.0000
0.0007
0.0030
0.0033
0.000
0.0041
0.0048
0.0051
0.0022
0.000
0.0002
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.0010
-0.0005
0.0008
0.0014
0.000
0.0011
0.0006
-0.0009
-0.0015
0.000
-0.0013
-0.0020
-0.0028
-0.0014
0.000
-0.0005
-0.0002
0.000
0.000
0.000
574
Таблица 9.47 (продолжение)
R/t-10
Трещина
1 1
l.i
1.5
2
10
2 1
l.i
1.5
2
10
3 1
1.1
1.5
2
10
0 1
1.1
1.5
2
10
Трещина
1 1
l.i
1.5
2
10
2 1
1.1
1.5
2
10
3 1
1.1
1.5
2
10
0 1
1.1
1.5
2
10
на внешней поверхности
0.217
0.233
0.304
0.400
0.885
0.431
0.470
0.628
0.784
0.938
0.648
0.699
0.866
0.972
0.969
1.030
1.030
1.010
1.010
1.020
-0.132
-0.116
-0.0535
0.0052
-0.0013
0.0057
0.0234
0.0721
0.873
0.0002
0.0738
0.0822
0.0853
0.0547
0.000
-0.0003
-0.0032
-0.0013
0.0G02
0.000
на внутренней
0.215
0.230
0.301
0.395
0.872
0.424
0.463
0.616
0.768
0.920
0.635
0.685
0.848
0.952
0.950
1.020
1.010
1.000
1.010
1.100
0.131
0.114
0.0529
-0.0052
0.0012
-0.0054
-0.0229
-0.0707
-0.855
-0.0002
-0.0721
-0.0804
-0.0834
-0.0535
0.000
0.0005
0.0029
0.0013
-0.0001
0.000
0.130
0.141
0.187
0.248
0.559
0.300
0.330
0.448
0.566
0.687
0.489
0.531
0.670
0.760
0.765
0.921
0.916
0.908
0.911
0.917
-0.677
-0.0605
-0.0299
0.0016
-0.0006
0.0006
0.0117
0.0447
0.0574
0.0001
0.0472
0.0541
0.0607
0.0412
0.000
0.0016
-0.0012
-0.0012
0.000
0.000
поверхности
0.127
0.137
0.181
0.239
0.536
0.286
0.313
0.421
0.530
0.644
0.457
0.49S
0.622
0.705
0.713
0.876
0.874
0.871
0.875
0.882
0.0659
0.0587
0.0287
-0.0015
0.0006
0.000
-0.0106
-0.0415
-0.529
0.000
-0.0430
-0.0494
-0.0553
-0.0375
0.000
-0.0023
0.0003
0.0010
0.000
0.000
0.0624
0.0676
0.0907
0.121
0.276
0.161
0.178
0.247
0.316
0.389
0.287
0.315
0.408
0.468
0.290
0.705
0.704
0.703
0.706
0.716
0.0607
0.0655
0.08721
0.116
0.261
0.149
0.164
0.223
0.283
0.348
0.255
0.277
0.353
0.405
0.414
0.616
0.619
0.624
0.631
0.642
-0.01821
-0.0168
-0.0093
-0.0001
-0.0002
-0.0012
0.0030
0.0174
0.0244
0.000
0.019S
0.0234
0.02481
0.0220
0.000
0.0038
0.0012
-0.0008
0.000
0.000
0.0171
0.0158
0.0085
0.0001
0.0002
0.0018
-0.0021
-0.0145
-0.0202
0.000
-0.0154
-0.0187
-0.0238
-0.0175
0.000
-0.0038
-0.О018
0.0005
0.000
0.000
0.01891
0.0205
0.0274
0.0366
0.0829
0.0515
0.0571
0.0800
0.103
0.127
0.0982
0.109
0.144
0.167
0.170
0.337
0.339
0.340
0.343
0.350
0.0187
0.0201
0.0268
0.0355
0.07%
0.0482
0.0531
0.0727
0.0925
0.113
0.0863
0.0944
0.121
0.140
0.143
0.260
0.263
0.269
0.273
0.281
0.0027
0.0021
0.0005
-0.004
0.000
-0.0008
-0.0006
о.оои
0.0026
.0.000
'0.0019
0.0027
0.0053
0.0047
0.000
0.0029
0.0016
-0.0002
0.000
0.000
-0.0029
-0.0023
-0.0006
0.0004
0.000
0.0011
0.0009
-0.0002
-0.0011
0.000
-0.0003
-0.0010
-0.0028
-0.0027
0.000
-0.0022
-0.0015
0.000
0.000
0.000
575
Таблица 9.47 (продолжение)
R/t-25
Трещина
1 1
1.1
и
2
10
2 1
1.1
13
2
10
3 1
1.1
1.5
2
10
0 1
1.1
1.5
2
10
Трещина
1 1
м
1.5
2
10
2 1
1.1
13
2
10
3 1
1.1
13
2
10
0 1
1.1
13
2
10
на внешней поверхности
0.161
0.168
0.204
0.255
0.853
0.274
0.297
0.397
0.524
0.908
0.411
0.449
0.601
0.757
0.936
1.000
1.020
1.010
0.991
0.990
-0.201
-0.189
-0.140
-0.0860
0.0403
-0.0909
-0.0721
-0.0053
0.0488
-0.0032
-0.0045
0.0140
0.0669
0.0879
0.0002
0.0474
0.345
0.0016
-0.0035
0.000
на внутренней
0.160
0.168
0.203
0.253
0.847
0.272
0.294
0.394
0.518
0.898
0.407
0.444
0.594
0.747
0.925
0.991
1.000
1.000
0.982
0.981
0.200
0.189
0.140
0.0855
-0.0400
0.0904
0.0716
0.0053
-0.0483
0.0032
0.0046
-0.0137
-0.0661
-0.0867
-0.0002
-0.0467
-0.0341
-0.0017
0.0034
0.000
0.0957
0.101
0.124
0.157
0.534
0.188
0.205
0.280
0.372
0.656
0.306
0.336
0.458
0.582
0.729
0.894
0.908
0.915
0.898
0.899
-0.102
-0.972
-0.0747
-0.0469
0.0225
-0.0574
-0.0466
-ОЮ054
0.0306
-0.0022
-0.0057
0.0069
0.0454
0.0628
0.0001
0.0420
0.0317
0.0031
-0.0028
0.000
поверхности
0.0948
0.0998
0.122
0.154
0.523
0.185
0.201
0.272
0.360
0.632
0.296
0.324
0.438
0.555
0.696
0.849
0.864
0.874
0.860
0.862
0.101
0.9060
0.0734
0.0459
-0.0218
0.0563
0.0456
0.0052
-0.0293
0.0021
0.0060
-0.0062
-0.0431
-0.0593
-0.0001
-0.0392
-0.0296
-0.0032
0.0026
0.000
0.0456
0.0482
0.0598
0.0759
0.261
0.0991
0.109
0.150
0.202
0.362
0.174
0.193
0.268
0.345
0.439
0.675
0.691
0.708
0.698
0.701
0.0451
0.0476
0.0588
0.0743
0.253
0.0960
0.105
0.143
0.191
0.339
0.164
0.180
0.247
0.316
0.401
0.592
0.606
0.625
0.620
0.626
-0.0265
-0.0260
-0.0214
-0.0140
0.0069
-0.0219
-0.0185
-0.0031
0.0119
-0.0009
-0.0039
0.0015
0.0202
0.0303
0.000
0.0299
0.0239
0.0043
-0.0017
0.000
0.0257
0.0252
0.0206
0.0133
-0.0065
0.0211
0.0176
0.0030
-0.0107
0.0008
0.0042
-0.0009
-0.0177
-0.0263
0.000
-0.0245
-0.0199
-0.0040
0.0013
0.000
0.0138
0.0146
0.0180
0.0228
0.0776
0.0312
0.0342
0.0473
0.0637
0.114
0.0568
0.0631
0.0887
0.116
0.148
0.306
0.317
0.332
0.329
0.332
0.0138
0.0145
0.0178
0.0225
0.0304
0.0332
0.0453
0.0603
0.107
0.0534
0.0589
0.0810
0.104
0.133
0.239
0.248
0.261
0.261
0.266
0.0045
0.0040
0.0023
0.0012
-0.0005
-0.0012
-0.0013
-0.0007
0.0006
0.000
-0.0011
-0.0005
0.0024
0.0047
0.000
0.0108
0.0094
0.0028
-0.0004
0.000
-0.0047
-0.0041
-0.0025
-0.0014
0.0010
0.0011
0.0007
-0.0003
0.000
0.0013
-0.0008
-0.0015
-0.0031
0.000
-0.0069
-0.0062
-0.0021
0.0002
0.000
576
Таблица 9.47 (продолжение)
R/t-lOO
Трещина
1 1
l.i
и
2
10
2 1
1.1
1.3
2
10
3 1
1.1
1.5
2
10
0 1
1.1
1.5
2
10
Трещина
1 1
1.1
1.5
2
10
2 1
l.i
и
2
10
3 1
1.1
1.5
2
10
0 1
1.1
и
2
10
на внешней поверхности
0.130
0.132
0.144
0.160
0.582
0.172
0.180
0.217
0.271
0.906
0.224
0.240
0.310
0.406
0.943
0.689
0.740
0.901
0.992
0.975
-0.273
-0.267
-0.239
-0.204
0.0702
-0.217
-0.204
-0.151
-0.0921
0.0431
-0.153
-0.136
-0.0689
-0.0047
0.0009
0.0828
0.0891
0.0835
0.0477
0.000
на внутренней
0.130
0.132
0.144
0.160
0.581
0.172
0.179
0.217
0.271
0.902
0.224
0.239
0.309
0.404
0.938
0.684
0.734
0.894
0.985
0.969
0.273
0.267
0.239
0.204
-0.0700
0.217
0.204
0.150
0.0918
-0.0429
0.153
0.136
0.0687
0.0047
-0.0009
-0.0821
-0.0884
-0.0829
-0.0473
0.000
0.0768
0.0788
0.0871
0.0982
0.362
0.117
0.123
0.152
0.191
0.647
0.165
0.178
0.234
0.308
0.725
0.609
С.655
0.805
0.891
0.880
-0.138
-0.136
-0.126
-0.109
0.0386
-0.134
-0.127
-0.0972
-0.0607
0.0288
-0.105
-0.0944
-0.0501
-0.0046
0.0007
0.0678
0.0739 .
0.0722
0.0426
0.000
поверхности
0.0767
0.0787
0.0869
0.0979
0.359
0.116
0.123
0.150
0.189
0.638
0.164
0.176
0.230
д.зоз
0.711
0.591
0.635
0.779
0.863
0.854
0.137
0.136
0.126
0.109
-0.0382
0.133
0.126
0.0963
0.0599
-0.0283
0.104
0.0934
0.0493
0.0045
-0.0007
-0.0691
-0.0711
-0.0695
-0.0410
0.000
0.0365
0.0376
0.0419
0.0474
0.176
0.0610
0.0646
0.0804
0.102
0.351
0.0923
0.0999
0.133
0.178
0.424
0.441
0.479
0.599
0.670
0.667
0.0365
0.0375
0.0418
0.0472
0.174
0.0605
0.0640
0.0793
0.100
0.342
0.0908
0.0981
0.130
0.172
0.408
0.409
0.442
0.549
0.614
0.614
-0.0355
-0.0360
-0.0353
-0.0316
0.0116
-0.0493
-0.0479
-0.0385
-0.0248
0.0121
-0.0458
-0.0420
-0.0238
-0.0029
0.0004
0.0414
0.0464
0.0493
0.0308
0.000
0.0353
0.0359
0.0350
0.0313
-0.0113
0.0486
0.0471
0.0367
0.0241
-0.0115
0.0448
0.0410
0.0229
0.0028
-0.0004
-0.0370
-0.0416
-0.0440
-0.0275
0.000
0.111
0.0114
0.0126
0.0142
0.0521
0.0191
0.0202
0.0251
0.0318
0.109
0.0296
0.0321
0.0429
0.0573
0.138
0.178
0.196
0.254
0.288
0.289
0.0111
0.0114
0.0126
0.0142
0.0517
0.0190
0.0201
0.0248
0.0313
0.106
0.0291
0.0315
0.0417
0.0553
0.132
0.156
0.170
0.216
0.244
0.247
0.0063
0.0058
0.0044
0.0034
-0.0010
-0.0016
-0.0020
-0.0023
-0.0018
0.0010
-0.0049
-0.0048
-0.0033
-0.0007
0.000
0.0108
0.0128
0.0160
0.0Ш
0.000
-0.0064
-0.0058
-0.0044
-0.0035
0.0011
0.0014
0.0018
0.0021
0.0016
-0.0008
0.0046
0.0045
0.0030
0.0006
0.000
-0.0081
-0.0098
-0.0121
-0.0084
0.000
280
577
Таблица 9.47 (продолжение)
R/t=200
Трещина
1 1
l.i
1.5
2
10
2 1
1.1
1.5
2
10
3 1
1.1
1.5
2
10
10 1
1.1
1.5
2
10
Трещина
1 1
1.1
1.5
2
10
2 1
1.1
1.5
2
10
3 1
1.1
1.5
2
10
10 1
1.1
1.5
2
10
на внешней поверхности
0.124
0.126
0.133
0.142
0.426
0.152
0.156
0.177
0.209
0.797
0.183
0.192
0.234
0.295
0.942
0.5041
0.549
0.719
0.873
0.972
-0.297
-0.293
-0.273
-0.247
0.0261
-0.263
-0.253
-0.212
-0.162
0.0801
-0.216
-0.202
-0.144
-0.0821
0.0364
-0.0314
0.0482
0.0876
0.0880
0.000
на внутренней
0.124
0.126
0.132
0.142
0.425
0.151
0.156
0.177
0.209
0.795
0.183
0.191
0.233
0.294
0.939
0.502
0.546
0.715
0.868
0.967
0.297
0.293
0.273
0.247
-0.0261
0.263
0.253
0.211
0.162
-0.0799
0.216
0.202
0.144
0.0819
-0.0363
0.0312
-0.0479
-0.0871
-0.0876
0.000
0.0734
0.0749
0.0802
0.0867
0.264
0.103
0.107
0.124
0.147
0.568
0.134
0.142
0.176
0.223
0.721
0.444
0.485
0.639
0.780
0.874
-0.150
-0.149
-0.144
-0.132
0.0143
-0.162
-0.158
-0.136
-0.106
0.0532
-0.148
-0.139
-0.103
-0.0596
0.0266
0.0242
• 0.0387
0.0744
0.0767
0.000
поверхности
0.0734
0.0748
0.0801
0.0866
0.263
0.103
0.107
0.123
0.146
0.563
0.134
0.141
0.174
0.221
0.713
0.436
0.475
0.625
0.762
0.855
0.149
0.149
0.143
0.132
-0.0142
0.162
0.157
0.135
0.105
-0.0527
0.147
0.139
0.102
0.0589
-0.0262
-0.0233
-0.0376
-0.0725
-0.0746
0.000
0.0349
0.0357
0.0385
0.0418
0.128
0.0535
0.0558
0.0654
0.0783
0.306
0.0747
0.0794
0.0998
0.128
0.420
0.318
0.349
0.468
0.577
0.652
0.0349
0.0357
0.0385
0.0417
0.127
0.0533
0.0556
0.0650
0.0777
0.302
0.0741
0.786
0.0985
0.126
0.410
0.303
0.332
0.441
0.542
0.614
-0.0385
-0.0395
-0.0401
-0.0380
0.0043
-0.0595
-0.0591
-0.0533
-0.0426
0.0221
-0.0637
-0.0614
-0.0474
-0.0284
0.0129
0.0131
0.0227
0.0486
0.0525
0.000
0.0384
0.0394
0.0400
0.0378
-0.0042
0.0591
0.0587
0.0527
0.0420
-0.0215
0.0629
0.0605
0.0465
0.0276
-0.0124
-0.0118
-0.0210
-0.0451
-0.0484
0.000
0.0106
0.0108
0.0116
0.0126
0.0380
0.0168
0.0175
0.204
0.0243
0.0948
0.0239
0.0254
0.0320
0.0410
0.135
0.124
0.137
0.190
0.238
0.273
0.0106
0.0108
0.0116
0.0126
0.0378
0.0167
0.0174
0.0203
0.0242
0.0934
0.0237
0.0252
0.0315
0.0403
0.132
0.114
0.126
0.170
0.212
0.243
0.0069
0.0064
-0.0227
0.0041
-0.0004
-0.0018
-0.0023
-0.0031
-0.0028
0.0017
-0.0065
-0.0067
-0.0060
-0.0039
0.0019
0.0026
0.0054
0.0142
0.0168
0.000
-0.0069
-0.0064
0.0051
-0.0042
0.0004
0.0017
0.0022
0.0029
0.0027
-0.0015
0.0063
0.0065
0.0057
0.0036
-0.0017
-0.0018
-0.0043
-0.0118
-0.0137
0.000
578
Таблица 9.48. Распределения нормированных коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль фронта полуэллиптической осевой
трещины на внешней и внутренней поверхностях цилиндрической
оболочки (х" = (х2 + с)/а, R/t = 10, a/t = 1, с/а = 1.1)
b/t
X*
0.929
0.828
0.688
0.516
0.319
0.108
0
-0.108
-0.319
-0.516
-0.688
-0.828
-0.929
0.929
0.828
0.688
0.516
0.319
0.108
0
-0.108
-0.319
-0.516
- 0.688
-0.828
-0.929
0.2
h
Трещина
0.0882
0.106
0.127
0.153
0.183
0.216
0.233
0.248
0.275
0.293
0.298
0.288
0.258
Трещина
0.0886
0.106
0.127
0.152
0.182
0.214
0.230
0.246
0.273
0.291
0.297
0.286
0.257
F*
0.4
F/
h
0.6
F^
на внешней поверхности
-0.247
-0.247
-0.231
-0.203
-0.169
-0.133
-0.116
-0.0990
-0.0687
-0.0433
-0.0231
-0.0085
0.0004
0.0615
0.0685
0.0806
0.0958
0.113
0.131
0.141
0.149
0.164
0.175
0.179
0.176
0.167
на внутренней
0.247
0.246
0.230
0.202
0.167
0.132
0.114
0.0980
0.0680
0.0428
0.0229
0.0084
0.0004
0.0619
0.0683
0.0796
0.0941
0.110
0.128
0.137
0.145
0.160
0.171
0.175
0.173
0.165
-0.170
-0.145
-0.122
-0.102
-0.0837
-0.0676
-0.0605
-0.0539
-0.0420
-0.0316
-0.0224
-0.0147
-0.0089
0.0310
0.0339
0.0394
0.0467
0.0556
0.0635
0.0676,
0.0716
0.0785
0.0829
0.0846
0.0840
0.0818
поверхности
0.169
0.144
0.121
0.100
0.0818
0.0658
0.0587
0.0522
0.0407
0.0306
0.0217
0.0142
0.0085
0.0310
0.0334
0.0386
0.0454
0.0533
0.0615
0.0655
0.0694
0.0761
0.0806
0.0821
0.0817
0.0796
Н
-0.0799
-0.0590
-0.0442
-0.0318
-0.0229
-0.0181
-0.0168
-0.0161
-0.0153
-0.0144
-0.0126
-0.0103
-0.0082
0.0794
0.0582
0.0431
0.0306
0.0217
0.0170
0.0158
0.0151
0.0144
0.0136
0.0119
0.0097
0.0077
0.8
Ft
0.0095
0.0106
0.0128
0.0148
0.0168
0.0193
0.0205
0.0216
0.0236
0.0257
0.0267
0,0259
0.0251
0,0094
0.0104
0.0124
0.0144
0.0164
0.0189
0.0201
0.0212
0.0231
0.0251
0.0260
0.0251
0.0242
F*
-0.0212
-0.0128
-0.0055
-0.0005
0.0019
0.0026
0.0021
0.0012
-0.0010
-0.0026
-0.0034
-0.0034
-0.0031
0.0210
0.0125
0.0052
0.0003
-0.0022
-0.0028
-0.0023
-0.0013
0.0008
0.0024
O.QO32
0.0032
0.0029
Таблица 9.49. Распределения нормированных коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль фронта полуэллиптической осевой
трещины на внешней поверхности цилиндрической оболочки
(/ = (х0 + с)/a, R/t = 10, a/t = 1)
b/t
0.2
ft
х* Трещина
0.929
0.828
0.688
0.516
0.319
0.108
0
-0.108
-0.319
-0.516
-0.688
-0.828
-0.929
0.161
0.202
0.245
0.291
0.337
0.381
0.400
0.418
0.443
0.454
0.446
0.419
0.369
Fa
0.4
F/
h
на внешней поверхности,
-0.0858
-0.0813
-0.0668
-0.0469
-0.0252
-0.0044
0.0052
0.0141
0.0292
0.0404
0.0476
0.0503
0.0480
0.124
0.143
0.165
0.190
0.214
0.238
0.248
0.258
0.272
0.278
0.277
0.266
0.249
-0.0555
-0.0456
-0.0338
-0.0222
-0.0117
-0.0025
0.0016
0.0055
0.0126
0.0190
0.0247
0.0294
0.0327
0.6
Ff
с/а
0.0688
0.0755
0.0845
0.0951
0.106
0.117
0.121
0.126
0.132
0.135
0.134
0.131
0.126
ч
= 2
-0.0252
-0.0180
-0.0116
-0.0062
-0.0028
-0.0008
-0.0001
0.00О6
0.0025
0.0052
0.0085
0.0119
0.0153
0.8
0.0226
0.0246
0.0277
0.0302
0.0324
0.0352
0.0366
0.0378
0.0399
0.0421
0.0429
0.0411
0.03%
Ч
-0.0067
-0.0038
-0.0012
0.0002
0.0005
0.000
-0.0004
-0.0007
-0.0008
-0.0003
0.0009
0.0026
0.0041
579
37*
Таблица 9.49 (продолжение)
b/t
02
ft
Грещина на
0.929
0.828
0.688
0.516
0.319
0.108
0
-0.108
-0.319
-0.516
-0.688
-0.828
-0.929
0.592
0.693
0.770
0.827
0.865
0.883
0.885
0.881
0.860
0.820
0.762
0.684
0.583
0.4
h
внутренней поверхности,
0.0022
0.0020
0.0013
0.0006
-0.0002
-0.0009
-0.0013
-0.0016
-0.0020
-0.0024
-0.0026
-0.0024
-0.0013
0.429
0.468
0.503
0.531
0.549
0.558
0.559
0.558
0.547
0.527
0.498
0.463
0.424
0.0013
0.0010
0.0006
0.0002
-0.0002
-0.0005
-0.0006
-0.0008
-0.0010
-0.0013
-0.0015
-0.0016
-0.0017
0.6
с/а
0.230
0.241
0.253
0.265
0.273
0.276
0.276
0.276
0.272
0.263
0.251
0.239
0.227
- ТО
0.0005
0.0003
0.0001
0.000
-0.001
-0.0002
-0.0002
-0.0002
-0.0003
-0.0004
-0.0006
-0.0007
-0.0009
0.8
ft
0.0742
0.0774
0.0821
0.0832
0.0825
0.0828
0.0829
0.0827
0.0822
0.0827
0.0815
0.0768
0.0736
н
0.0001
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.0002
-0.0002
Таблица 9.50. Распределения нормированных коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль линии фронта полуэллиптической
осевой трещины на внутренней поверхности цилиндрической оболочки
(х* = (х + с)/a, R/t = 10, с/а = 1.1)
b/t
X*
0.929
0.828
0.688
0.516
0.319
0.108
0
-0.108
-0.319
-0.516
-0.688
-0.828
-0.929
0.929
0.828
0.688
0.516
0.319
0.108
0
-0.108
-0.319
-0.516
-0.688
-0.828
-0.929
0.2
ft
Трещина
0.104
0.159
0.244
0.362
0.498
0.629
0.685
0.731
0.787
0.794
0.755
0.676
0.559
Трещина
0.226
0.431
0.688
0.894
0.996
1.020
1.010
1.010
0.965
0.898
0.805
0.688
0.549
h
0.4
ft
на внутренней
0.174
0.143
0.0829
0.0169
-0.0373
-0.0711
-0.0804
-0.0850
-0.0840
-0.0745
-0.0619
-0.0488
-0.0364
0.0842
0.126
0.191
0.275
0.369
0.458
0.495
0.526
0.563
0.566
0.538
0.483
0.409
на внутренней
0.0164
-0.0519
-0.0791
-0.0547
-0.0187
0.000
0.0029
0.0033
0.0018
0.0006
-0.0003
0.0001
0.0001
0.176
0.334
0.544
0.726
0.835
0.874
0.874
0.867
0.822
0.744
0.643
0.526
0.407
h
0.6
ft
поверхности,
0.123
0.0912
0.0476
0.0069
-0.0242
-0.0436
-0.0494
-0.0529
-0.0547
-0.0517
-0.0466
-0.0401
-0.0326
0.0571
0.0811
0.117
0.162
0.212
0.258
0.277
0.293
0.313
0.316
0.302
0.277
0.243
поверхности,
0.0091
-0.0411
-0.0584
-0.0410
-0.0163
-0.0024
0.0003
0.0012
0.0011
0.0005
-0.0006
0.0005
0.0004
0.123
0.226
0.366
0.494
0.579
0.616
0.619
0.615
0.581
0.518
0.438
0.350
0.266
F*
a/t - 3
0.0633
0.0414
00187
0.0007
-0.0104
-0.0166
-0.0187
-0.0205
-0.0233
-0.0250
-0.0254
-0.0241
-0.0217
a/t - 10
0.0023
-0.0254
-0.0332
-0.0235
-0.0110
-0.0037
-0.0018
-0.0008
0.000
0.000
-0.0006
0.0004
0.0004
0.8
ft
0.0236
0.0317
0.0439
0.0581
0.0729
0.0879
0.0944
0.0993
0.106
0.109
0.107
0.0989
0.0894
0.0598
0.103
0.160
0.212
0.244
0.260
0.263
0.261
0.249
0.227
0.195
0.157
0.120
ft
0.0191
0.0106
0.0031
-0.0006
-6.0014
-0.0010
-0.0010
-0.0014
-0.0033
-0.0053
-0.0070
-0.0080
-0.0081
-0.0005
-0.0094
-0.0105
-0.0071
-0.0039
-0.0021
-0.0015
-0.0010
-0.0005
-0.0003
-0.0004
0.000
0.000
580
1.0
Рис. 9.62. Нормированный коэффициент интенсивности напряжений
в наиболее глубокой точке фронта внешней поверхностной
полуэллиптической трещины.
(D)
-1
Рис. 9.63. Распределения нормированных коэффициентов
интенсивности напряжений вдоль фронта несквозной
полуэллиптической поверхностной трещины. (А) Внешняя
трещина, a/t - 1, с/а = 1.1; (В) внутренняя трещина,
a/t = 1, с/а = 1.1; (С) внутренняя трещина, a/t = 3,
с/а = 1.1; (D) внешняя трещина, a/t = 1, с/а = 10.
581
9.39. УГЛОВАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА ВО ВРАЩАЮЩЕМСЯ
ДИСКЕ [103; 104]
Метод граничных интегральных уравнений [103], погрешность менее 5%.
А
Ь=- *I-
<rQv nb
B/1г)<г0/ пЬ
1 ((rn/E(k))(nb/aI/2(a2sinze + Ь2соь2в)
= A -
г, v = 0.3.
- полный эллиптический интеграл второго рода, р - плотность,
d> - угловая скорость.
582
1.0
0.9
L0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
-
R /R _g
- t/R1 = 2
b/a = 0.25
i i
¦ D
i i
1
n 0
—6 ¦ к
a/t
Ш 0.25
О 0 5
Д 0.75
i i
0° 10° 20° 30е 40% 50е 60° 70е 80° 90°
Рис. 9.64. Распределения значений F. вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины.
1.0
0.9
Г0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
R2/R1 = Б
t/Ri=2
Ь/а =0.5
a/t
В 0.25
О 0.5
& 0.25
0е 10° 20° 30° 40" 50° 60" 70е 80° 90°
Рис. 9.65. Распределения значений Fz вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины.
583
0.4
0.3
0.2
0.1
b/a = 0.75
a/t
H 0.25
О 0.5
д 0.75
0° 10° 20° 30° 40е 50* 60" 70е 80е
О
Рис. 9.66. Распределения значений Fz вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины.
1.0
0.9
0.8
Х0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
90"
-
t/R! =4
b/a=0.25
«ч— "
о • A
a/t —
D 0.25
. 0 0.5
д 0.75
0° 10° 20° 30° 40° 50е. 60° 70° 80е 90°
и
Рис. 9.67. Распределения значений Fz вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины.
584
0.8
0.7
[0.6
0.5f^
0.4
0.3
0.2
0.1
-
ь~—.& ,
R2/Ri = B
- t/R1=4
b/a = 0.5
i i
¦ i
*
a/t
В 0.25
о 0.5
Д 0.75
0е 10° 20° 30° 40° 50° 60° 70° 80е 90е
Рис. 9.68. Распределения значений F вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины.
1.0
0.9
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-
-
~—О——о О
а. ? *
R2/Ri = 6
" t/R, =4
Ь/а = 0.75
-
. -в
—о— ——1.
a/t
? 0.25
О 0 5
д 0.75
i i
0е 10е 20° 30°
40° е 50е 60е
70°
80е 90е
Рис. 9.69. Распределения значений Fj вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины.
585
10° 20° 30° 40°„ 50° 60° 70° 80° 90°
Рис. 9.70. Распределения значений Fj вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины [104].
1.0
0.9
F-
0.8
0.7
0.6
0.5
" a/t
о 0.5
»0.75
R2/R1 = 8
t/Ri-2
b/a = 0.75
10° 20° 30е 10° g 50° 60° 70° 80° 90°
Рис. 9.71. Распределения значений F** вдоль фронта
четвертьэллиптической угловой трещины [104].
586
9.40. ТРЕЩИНЫ В ГОРЛОВИНЕ РЕАКТОРА СОСУДА ДАВЛЕНИЯ
[105; 106-118]
Сосуд
Фронт трещины
Горловина
Внутреннее давление р
Метод фотоупругости [105].
Кх =
18.0 мм
12.2мм
Рис. 9.72. Геометрические параметры толстостенного сосуда:
внутренний радиус 43.2 мм, толщина стенки 18.0 мм,
номинальный радиус горловины г^ = 18.6 мм, толщина стенки
горловины 12.2 мм.
587
\
о _ оо
о
ГО
о
c\j
О О О1* Г^
¦ • СП
*t ^ г— ш
г— г- f— О
v?> \О 00 1Л
in iX **
о
<— ^О СЛ OJ
1Л Ю ГО ¦
i i ?
I
х
@
о
s
Я
S
о.
a.
u
I
588
< <- (VI Ol
I ID Г» r— f—
•—t • • • CO
•-Ч ЧО ГО CM
—. t— i— г- О
о
2
s
X
s
s
2
S
X
3
X
X
s
X
о
X
I
3
s
a.
о
f- CO
ё
j i
s
ю
=:
S
о.
с
IRHHSOI/'dOJ ИИ<]Х9ИИИЭ
\ А К.—Ч
X
s
|
S
589
30
FI
20
10
a/T=0.15-
a/T=0.53
a/T=0.81
a/T=0.57
Тонкостенный сосуд
к-t
Фронт трещины
—f Стенка
tn сосуда
J.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
a"
Рис. 9.77. Распределения коэффициентов интенсивности напряжений
в горловине тонкостенной модели сосуда.
9.41. ВНУТРЕННЯЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА ВБЛИЗИ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ЕЕ МЕРИДИОНАЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩИХ
НАГРУЗОК [119; 56, 120]
а = а / с , b = Б / с , d = d / с
Метод граничных интегральных уравнений [119], погрешность менее 1%.
Гsi
ф = arctg
ьс,
- I - ±-
а
590
а = | . b = I ,
с с
с
— »
с
М - коэффициент усиления интенсивности напряжений, E(k) - полный
эллиптический интеграл второго рода.
Условия нагружения
(I)
(И)
<У = (Г
(Г = <Т
(растягивающие напряжения на бесконечности),
(III) or = p (постоянное давление на стенки цилиндрической
полости).
1.06
1.04
1.02
1.00
0.00 0.05 0.10 0.15
г.г
2.0
(
1.8
1.6 i
с
1.4
@
/
/
@
0]
—о—__,
• 7,0)
1-°
• б, 0)
(и,Л) =@.7, 0.2)
//@.6,0.3)
//@.7,0.1)
Г~ 1
@.6,0.2)
д
,@.6, 1)\
i
i
^ = c/d
X=b/d
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Ь/а
Рис. 9.78. Значения М для постоянного давления PQ на поверхностях
трещины (сг = р0).
Рис. 9.79. Значения М в точке А (условие нагружения I).
591
0.0
Рис. 9.80. Значения М в точках А и В (у = 1/3, условие
нагружения I).
n n ¦
0.1 i
0.2 j
0.3 i
0.4
n.fi
a [56]
1
i
[.-¦О—O-j-O
1
1
1
1
L..o—ot-o 1
I
1
ui
@.6,0)
'@.6,0.2)
' @.7,0)
,@.7,0Л)\
',@.6,0.3)\
f,@.8,'0) \
/@.7,0.2) ]
o-i
i 1
i 1
@.8,0.1)
J 1
0.0 0.2
.4 0.6 0.8 1.0
b/a
Рис. 9.81. Значения М в точке А
(условие нагружения II).
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
(у,Х)=@.8,0.1)
1@.7,0.2)
; @.8,0)
,@.6,0.3)
@.7, Ь)
@.7,0.1)
,1@.6,0)
0.0 0.2
0.4
0.6 0.8
Б/а
1.0
Рис. 9.82. Значения М в точке А
(условие нагружения III).
592
9.42. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА ВО ВПАДИНЕ ВЫРЕЗА [121]
Приближенный анализ [121], погрешность 10%.
В Т0ЧКе
2
Кп = (г/пЬ FlT(X), \ = Ь/а,
FIT(A) = 1.122 - 0.230А - 0.901А2 + 0.949А3 - 0.280А4
= «г2 - о-х
F.JX) = 0.443 - 0.310Л - 0.104А2 + 0.206А3 - 0.061А4.
IB
593
38-1280
с -
Здесь о*2 - максимальное напряжение во впадине выреза, а
максимальное напряжение в точке, соответствующей наиболее глубокой
точке фронта полуэллиптической трещины, когда трещина отсутствует.
9.43. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА В ВЕРШИНЕ ВЫРЕЗА
КОМПАКТНОГО ОБРАЗЦА [121]
н2
г
г
)
t
Ф2Р
X
W
Полуэллиптическая трещина,
выходящая на поверхность
выреза и лежащая
в плоскости XZ
Hi=6l мм
Hj-28 mm
W -51 мм
L -63.5 мм
t -25.5 мм
В -12.5 мм
Приближенный анализ [121], погрешность 10%.
I ,D
I.D
1/2
{С1 = 3.212,
Сг = 8.087;
0.25
1.25).
594
If '-О
j
О
r; 0.8
1.2 г
05
Ь/р-0.15
K.t<Jno
0 0.2 0.4 0.6 0.8 b/t 1.0
b/a>0
O.I
Рис. 9.83. Коэффициент интенсивности напряжений в наиболее
глубокой точке D фронта полуэллиптической трещины.
Рис. 9.84. Коэффициент интенсивности напряжений в наиболее
глубокой точке D фронта полуэллиптической трещины.
Таблица 9.51. Значения F D в наиболее глубокой точке фронта
полуэллиптической трещины
0.0
0.1
о.г
0.3
0.4
o.s
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
о.
1.122
1.091
1.047
0.995
0.939
0.883
0.828
0.778
0.733
0.693
0.660
0.05
1.054
1.023
0.980
0.930
0.877
0.823
0.771
0.723
0.680
0.643
0.611
0.10
0.986
0.955
0.913
0.865
0.814
0.763
0.714
0.668
0.628
0.593
0.563
0.15
0.918
0.887
0.846
0.800
0.752
0.703
0.657
0.614
0.575
0.542
0.514
0.20
0.850
0.819
0.780
0.735
0.689
0.643
0.599
0.559
0.523
0.492
0.466
38*
595
9.44. ОКРУЖНАЯ ТРЕЩИНА. ОТХОДЯЩАЯ ОТ ОТВЕРСТИЯ
В СТЕНКЕ ТРУБЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ
И ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗОК [122]
— R-
R/t = 7.5, R/r = 3
Метод конечных элементов [122].
К = F(a)arQV па
F(a) - нормированный коэффициент интенсивности напряжений;
постоянное давление, приложенное
номинальные изгибающие напряжения.
о* - постоянное давление, приложенное к берегам трещины или
Рис. 9.85. Нормированный коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений
для равномерно распределенной
внешней растягивающей нагрузки
и равномерно распределенного
давления, приложенного к
поверхностям трещины.
596
F(a)
a/2r J
Рис. 9.86. Нормированный коэффициент интенсивности напряжений
при действии внешнего чисто изгибающего момента в сравнении
с результатами для краевой трещины в полуплоскости, нагруженной
теми же распределениями напряжений.
9.45. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРЕЩИНА В ПРОСТРАНСТВЕ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ
[123, 78; 124-126]
1
Метод объемных сил [123, 78], погрешность менее 1%.
597
1.0
Г1,А
0.9
Э.8
0.7
Ч.А
1 2Ь
-2a
0.5
1.0
Рис. 9.87. Коэффициент интенсивности напряжений в точке А.
9.46. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРЕЩИНА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ГРАНИЦЕ
ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ
НАГРУЗКИ [127; 126, 128]
1 J J х Свободная поверхность
Метод объемных сил [123], погрешность менее 1%.
598
прямоугольная трещина
-О- эллиптическая трещина
прямоугольная трещина
-¦О- эллиптическая трещина
0.2 0.4 0.6 0.8
0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 9.88. Коэффициент интенсивности напряжений в точке А .
Рис. 9.89. Коэффициент интенсивности напряжений в точке Л„.
9.47. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРЕЩИНА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ ГРАНИЦЕ
ПОЛУПРОСТРАНСТВА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОСТОЯННОГО И
РАСПРЕДЕЛЕННОГО ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ ДАВЛЕНИЯ,
ПРИЛОЖЕННОГО К ПОВЕРХНОСТЯМ ТРЕЩИНЫ
[128; 126, 127]
Свободная поверхность
Метод интегральных уравнений [128], ожидаемая погрешность меньше
нескольких процентов.
В(=В/С) =1/9, v=0.25.
а-:С
-1.0
1.5-
1.0
0.5-
1.388(двумерное решение)
1.091 (двумерное
решение)
1.5.
1.0
0.5
1.146 (двумерное решение)
/, 1.054 (двумерное
'/ решение)
9.0
Рис. 9.90. Значения К, при действии равномерно распределенного
давления на поверхности трещины (с - интенсивность равномерно
распределенного давления), (а) Распределения Кг вдоль бокового
края трещины; (Ь) распределения Кг вдоль верхнего края трещины;
(с) распределения /( вдоль нижнего края трещины.
600
-1.0
/FC
c3'2
= 0.25, h(=H/C) =2.25,
2/7,
-1/3 -1/9 0 1/9 1/3 , 2/3
5
-2/3
1.0-
0.5-
0.2099(двумерное решение
1.0
0.5
ч).1934(двумерное решение
0 для пространства)
Рис. 9.91. Значения Кг при действии линейного по ?
распределения давлений на поверхности трещины.
(a) Распределения Кг вдоль бокового края трещины;
(b) распределения К, вдоль верхнего края трещины;
(c) распределения К, вдоль нижнего края трещины.
601
С=1 С = 3
-, h*(=H/§) = 2.2
= 0.25, о,В/о0 =5/17, а = В
-1.54
-1.0
1.0
2.0.
1.5
\
1.0--А \ + \
0.5
1 3*6
1.0-
0.5-
Рис. 9.92. Значения /С при действии линейного по ?
распределения давлений на поверхности трещины для
различных значений С. (а) Распределения Кх вдоль бокового
края трещины; (Ь) распределения Кг вдоль верхнего края трещин)
(с) распределения Л. вдоль нижнего края трещины.
602
9.48. ДВЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ТРЕЩИНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО ДАВЛЕНИЯ,
ПРИЛОЖЕННОГО К ПОВЕРХНОСТЯМ ТРЕЩИН [129]
-1
2с
О а
2с
Две прямоугольные трещины
в плоскости ху B = 0)
Метод интегральных уравнений [129].
К = FpQVn ,
р - постоянное равномерно распределенное давление, приложе
поверхностям трещин.
К = F pQvnc , F = F/Vc .
603
0.8 -
0.6 -
0.4 -
0.2 -
0.0
•
1
а-0
0
0
0
.1
.3
.5
.7
1
Ь
1
3.0 5.0 7.0
b
9.0
Рис. 9.93. Зависимости F. от b.
А
0.8
0.6 -
0.4
0.2 ~
0.0
3.0
а=0.1
0.3
0.5
0.7
b_
J L
5.0 7.0 9.0
Рис. 9.94. Зависимости FB от Ь.
В
604
0.9г
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Ь=10.0
b= 5.0
b= 4.0
Ь= 3.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4 -
0.3
Ь= 3.0
Ь= 4.0
Ь= 5.0
Ь=10.0
I I
Рис. 9.95. Зависимости F от а.
0-1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Рис. 9.96. Зависимости FD от а.
В
9.49. ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ В
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ (ТИП I) [126, 130; 131, 132]
Метод объемных сил [126, 130], погрешность численных результатов -
несколько процентов, погрешность приближенных выражений (а) и (Ь) -
менее 10%.
605
/С - максимальное значение коэффициента интенсивности напряжений
вдоль фронта трещины; 5 - площадь трещины; <г - растягивающее
напряжение на бесконечности.
Чтах
= 0.629<rnn1/2S1/4 для v = 0.0,
К1юах = 0.650(ro7r1/2S1/4 для v = 0.3.
(а)
(Ь)
(а) с = а
(Ь) Ь=0.4а, с = а (с) Ь=а, с = а
Рис. 9.97. Треугольные и пятиугольные поверхностные трещины
(коэффициент интенсивности напряжений см. в табл. 9.52).
Таблица 9.52. Значения F и максимального коэффициента
интенсивности напряжений ^
IBCmax
вдоль фронта трещины ВС, v = 0,
(а) b=0
(b) b=0.4a
@ b=a
FIA
0.493
0.745
0.857
FIBC-max
0.618
0.705
0.735
v=0.45
0.5
Рис. 9.98. Распределения /L вдоль фронта
квадратной трещины (х - расстояние
от свободной поверхности).
см
0
ш
2а
Свободная
поверхность
0.5
х2
/2а 1.0
606
2а
2а
(а)
(«О
(с)
Рис. 9.99. Поверхностные трещины различных форм,
(а) Сектор круга: S = OR2 - aR cos6; (b) треугольник:
S = ab; (с) прямоугольник: 5 = 2ab; (d) полуэллипс:
S = nab/2.
Таблица 9.53. Численные результаты и ошибки приближенной
формулы (Ь) для различных трещин (v = 0.3)
Рис.
(а)
(Ь)
(с)
(d)
b/R
0.25
0.5
0.75
Ь/2а
1/2Л
0.5
Л/2
2/3
1.0
1.5
0 25
0.5
0.855
0.779
0.765
0.541
0.639
0.692
0.907
0.992
1.09
Kl«./Oo/Sb
0.872
0.710
Ошибка формулы
4.9
4.5
1.0
4.7
1.7
7.8
-8.4
-7.3
-6.7
-2.1
2.5
1.0 |-
0.0
1/2 2.0
Рис. 9.100. Корреляция межд;
К1тх и /Т (v = 0.0).
607
2r-
Глубокая
трещина,
S = 10a2
KlTOX-o.65o<%arv4sv'1; •"¦<>.з
Рис. 9.101. Корреляция между К
I max
(v = 0.3).
(I)
(П)
10c
S=10c2
1Ш.
(Ш)
2c
i
2c
S=10c2
Рис. 9.102. Простое правило для оценки величины v S для
трещин неправильной формы и очень узких трещин. Длинные мелк
и узкие глубокие трещины, показанные на фрагментах (II) к
(III) соответственно, должны ограничиваться длинами 10 с и 5с
для оценки эффективной площади трещины (см. также [131]).
608
9.50. НАКЛОННАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА ПРОИЗВОЛЬНОЙ
ФОРМЫ (ТИПЫ I, II И III) [133; 134-136]
ао
Метод объемных сил [133], погрешность численных результатов
несколько процентов, погрешность приближенного выражения (а) - менее
15%.
Ко - максимальное значение коэффициента интенсивности напряжений
вдоль фронта трещины, которое определяет интенсивность окружных
напряжений ога в полярных координатах (г, 6) с началом в вершине
трещины; 5 - площадь проекции трещины на плоскость,
перпендикулярную направлению действия максимальных напряжений; о*. -
растягивающее напряжение на бесконечности.
(а)
609
39-1280
Рис. 9.103. Коэффициенты интенсивности напряжений для наклонных
полуэллиптических трещин.
Таблица 9.54. Наклонные
полукруговые трещины, а = Ь,
v = 0.3
0
15
30
45
F
0.
0.
0.
I,A
748
703
569
0.360
FII^
0
-0.035
-0.058
-0.058
F
0
0
0
0
ЩА
.100
.206
.296
Fl.B
0.666
0.632
0.538
0.401
0
0
I.B
132
0.247
0
319
Таблица 9.55. Наклонные
полукруговые трещины, а = Ь,
v = 0
0
15
30
45
0.713
0
0
0
673
553
362
F
0
-0
-0
-0
И.А
.041
.074
.089
0
0.
0.
0.
ЦА
118
247
360
Fy,
0.640
0.606
0.512
0.379
Fiy,
0
0.121
0.222
0.281
I П I
У/
а 0
t °t t
1 lo * i
Рис. 9.104. Наклонная прямоугольная Рис. 9.105. Наклонная треугольная
трещина. трещина.
Таблица 9.56. Прямоугольная трещина (Ь = а); Ко = Cam 1/2s1/4
5 = 2ab cos/3 (звездочкой обозначены максимальные значения, %)
f
0
15
30
45
FI,A FH> Р1ЦА
0.845 0 0
0.789 -0.0415 0.124
0.625 -0.0674 0.256
0.374 -0.0680 0.369
СА
0.710*
0.672*
0.554
0.359
flfl РЦВ
0.763 0
0.726 0.149
0.622 0.280
0.475 0.369
св
0.642
0.652
0.671*
0.677*
Таблица 9.57. Прямоугольная трещина (Ь = 2а); Ко = C<m1/zS1/A
(звездочкой обозначены максимальные значения, %)
0
15
30
45
ЦА
fii;a
1.06 О О
0.992 -0.0533 0.164
0.805 -0.0900 0.318
0.544 -0.104 0.418
0.747*
0.710*
0.605*
0.441
0.794 О
0.749 0.181
0.626 0.321
0.460 0.382
0.561
0.577
0.594
0.572*
Таблица 9.58. Треугольная трещина; #0max = Corr1/2S1/4
0
15
30
45
Imax
Umax
III max
0.659 0 0
0.627 0.0757 0.0735
0.516 0.167 0.157
0.310 0.274 0.231
0.659
0.646
0.608
0.563
Таблица 9.59. Наклонная полуэллиптическая трещина
b/a=2/3,v=0.3 b/a=0.5,u=0.3
0
15
30
45
t
/
1
F
0
0
780
742
0.629
0.475
о
1
г.
\
с
t
А
1
FH.B
0
0.134
0.255
0.322
«*
У
Р°
0
15
30
45
t
X*
\
1
0.872
0
0
0
\
/
827
697
523
f
м
/
1
о
FI]|B
0
0.144
0.277
0.349
\
У
\
Рис. 9.106. Два типа наклонных полуэллиптических поверхностных
трещин (плоскость ху совпадает со свободной поверхностью
полупространства.
611
Таблица 9.60. Полукруговые трещины, наклонные в различных
направлениях; С = /C0/(oti1/2S1/4) (звездочкой обозначены
максимальные значения)
0
15
30
45
Трещина (а)
0.668*
0.636*
0.538
0.364
СВ
0.590
0.604
0.621*
0.614*
Трещина (Ь)
СА
0.668*
0.689*
0.700*
0.646*
св
0.590
0.560
0.462
0.324
О
¦ ¦ ¦
1
(а)
СП ,
у ¦:;¦.¦¦
а о
Щ
a = 5bcosB . Sp» 10b2cos2S (Ь)
Рис. 9.107. (а) Оценки эквивалентной площади трещины для
наклонной двумерной краевой трещины; (Ь) проекция краевой
трещины на плоскость yz и эквивалентная прямоугольная
трещина.
Таблица 9.61. Наклонная краевая трещина; С =
0
15
30
45
1.121 0
1.068 0.174
0.920 0.306
0.705 0.364
0.630
0.642
0.664
0.612
612
0.8,
3.5
J
о
Форма трещины
а квадратная
» прямоугольная
о полукруговая (а)
о полуэллиптическая {а/Ь = 2)
в полуэллиптическая (а/Ь = 1.5)
д треугольная
• полукруговая (Ь)
15°
30° 45°
Р
60°
Рис. 9.108. Зависимость между /Сдтах и площадью проекции
трещины.
9.51. НАКЛОННАЯ СКВОЗНАЯ ТРЕЩИНА В ПЛАСТИНЕ
[137; 138, 139]
Г'
L
:в -
y'j Трещина °°
Метод фотоупругости и метод конечных элементов [137], погрешно
менее 10%.
II г
0V
па
ш
Приближенные формулы
613
2.0
. R
2a/W
=0.5
В/а
=2.0
V
Fi
мкэ
0.3
о
•
0.45
Л
А
ФОТО
0.45
о
¦
Приближенная
формула
Аналитическое значение
Рис. 9.109. Зависимости
от угла наклона K.
\ И fIII
Таблица 9.62. Значения F и F в зависимости от угла
наклона Э
тт/8 тг/4
О
Л
D
•
¦
1
1
1
.201
.264
.280
0
0
0
1.038
1.210
0.361
0.350
0.651
0.697
0.703
0.536
0.530
0.545
Рис. 9.110. Влияние коэффициента
Пуассона на значение К.
614
к Ft ( плоское напряженное
*Q_\_ гпптгюиьчл \
(плоское напряженное
состояние)
-0.5
-1.0
-0.5
Z/(B/2)
Рис. 9.111. Распределения значений FJf F^ и
фронта трещины по толщине пластины.
вдоль
9.52. КРАЕВАЯ ТРАПЕЦИЕВИДНАЯ ТРЕЩИНА В ПЛАСТИНЕ
[53; 19]
Трещина
tf-P/Wt
L = 300 мм
W = 60mm
t = 5мм
¦f
•..I."
615
Эксперименты по определению трещиностойкости (Кт ) эпоксидной смолы
[55], погрешность 10%.
^ , A = a/W,
F(\) = A.99 - 0.41А + 18.7А2 - 38.48А3 + 53.85А4)я/2
(см. [19]).
Таблица 9.63 показывает, что использование величин а или
(ах + а2)/2 в качестве эффективных длин трещины не приводит к
консервативной оценке /Cj.
Таблица 9.63. Сравнение измеренных и предсказанных критических
значений нагрузки
a
30°
30*
30е
45*
45"
45е
а
(fli+ei)/2
«t
«i
(в,+в,)/2
at
"t
Of
«I
(a,+<zt)/2
"t
«i
(e,+ot)/2
"i
«i
(*,+«t)/2
X-a/W
0.352
0.279
0.206
0.354
0.281
0.208
0.302
0.229
0.155
0.303
0.261
0.220
0.231
0.198
0.165
0.302
0.263
0.224
F(X)
1.87
1.59
1.39
1.88
1.60
1.39
1.67
1.45
1.28
1.67
1.54
1.42
1.45
1.37
1.30
1.67
1.54
1.43
Критическая нагрузка
P, кгс
предска-
предсказанная
105
139
186
103
137
183
126
167
230
127
148
176
166
189
218
127
148
172
измеренная
107
125
146
126
166
131
616
9.53. ДВЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРЕЩИНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ
[56, 140; 141]
1
2b
л 2
С
В'
•
А
j°
\
1
Метод объемных сил [56; 140], погрешность менее 1%.
Коэффициент интенсивности напряжений в точке В
к — \л у* fib
Л1,в - мв~ЕЩ-
М - коэффициент усиления интенсивности напряжений в точке В;
pop
E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода (к = 1 - b /а ).
(г - растягивающее напряжение на бесконечности.
Таблица 9.64. Численные значения AL [56]
a n^
о о *
0.0 м
0.125
0.25
0.5
1.0
0.5
1.05
A.048)
1.040
1.028
1.016
1.007
0.625
1.10
A.094)
1.082
1.063
1.038
1.018
0.8
1.26
A.23)
1.218
1.181
1.126
1.068
Экстраполированные значения.
Двумерное решение [141].
617
I
X
о
о
я
А Ю
Н ' '
о
О О
33 ^
о ¦*
« II
с<3
со *<
d s
^ се
• д
i i
О. ь
618
9.54. ДВЕ КОМПЛАНАРНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ТРЕЩИНЫ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [1Щ
02(d2,e2,f2)
2а2—f Трещина B)
Метод объемных сил [140], погрешность менее 1%.
Эмпирическая формула для случая двух одинаковых эллиптических
компланарных трещин, центры которых лежат на общей нормали,
совпадающей с направлением действия растягивающей нагрузки:
в
= 0.6843 - 0.0727ц - 0.4530ц2 + 0.2899ц3 +
+ 5@.2027 - 0.2254м + 0.5482ц2 - 0.3233ц3) +
+ 52(-0.0473 + 0.1200ц - 0.3186ц2 + 0.1722ц3) +
+ 53@.0038 - 0.0156ц + 0.0414ц2 - 0.0215ц3),
A)
ц = b/а, б = f/2b.
Пределы применимости: 0 ^ ц ^ 1.0, 0.25 ? 5 s 5.0.
614
Таблица 9.65. Значения FT в точках А и В для двух смещенных
относительно друг друга трещин (звездочкой обозначены значения,
вычисленные по формуле A))
Ь/а
f/2b
0.25
0.5
0.75
1.0
1.5
2.0
5.0
0.25
0.393
0.421
0.435
0.443
0.451
0.455
0.464
FI.B
0.687
0.684*
0.723
0.722*
0.756
0.755*
0.787
0.786*
0.838
0.835*
0.872
0.872*
0.925
0.923*
0.5
FI,A
0.464
0.500
0.522
0.537
0.556
0.566
0.582
FI,B
0.613
0.615*
0.650
0.653*
0.683
0.687*
0.714
0.716*
0.763
0.761*
0.790
0.792*
0.822
0.825*
0.75
FI,A
0.488
0.525
0.553
0.573
0.598
0.611
0.625
FI,B
0.548
0.545*
0.585
0.585*
0.619
0.618*
0.648
0.645*
0.685
0.683*
0.703
0.704*
0.722
0.720*
1.0
FI,A
0.494
0.532
0.562
0.585
0.612
0.624
0.636
FI,B
0.494
0.495*
0.532
0.532*
0.562
0.562*
0.585
0.585*
0.612
0.614*
0.624
0.624*
0.636
0.636*
1.0
I,В
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
KI В
(v»0.3)
/г
и
'v/
-/
Ь/а-0
-*-* 0
^^
0
0
b/a
,—¦—
.25
.5
.75
=1.0
f/2b_*oo
.—-—^—.
о
—••*}
i i
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
±
2b
Рис. 9.114. Значения FJ в точке В для двух компланарных
одинаковых эллиптических трещин, расположенных одна под
другой.
620
0.2 r-
П,В
1,В
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
Рис. 9.115. Значения Fu в точке В для двух компланарных
одинаковых эллиптических трещин, расположенных одна под
другой в направлении действия растягивающей нагрузки.
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
^Ч
ь.
а
f
2b
\
\
0.5
= 0.5
1
. К1
"o/iH
( v = 0.3)
1
e/2b=b5_,
/л/ао
/ 0.15
1
-90" -45°
45° 90°
Рис. 9.116. Значения Fx для смещенных относительно друг
друга компланарных трещин.
621
p-arctg(^)
0.5
-90° -45
Рис. 9.117. Значения Fj для смещенных относительно друг
друга компланарных трещин.
0.9 г-
-90° -45
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
Ь/а = 1.0
2.0
1
ч
"="В
F,
(
1
f/2b = 1.0
.Ki.b
С.В а /тгН
v = 0.3 )
0.5
1.0 1.5
е
2Ь
Рис. 9.118. Значения F для смещенных относительно друг
друга компланарных трещин.
Рис. 9.119. Влияние смещения компланарных трещин на коэффициент
интенсивности напряжений в точке В.
622
0.9 г
f/2b=0.5
0.9 г
FI.B
0.8
0.7
0.6
0.5 -
0.4
_
Fi.b
- (v
b.
a "
4
=
= 0
0.
1
в
о /тП>
.3)
5
¦—o—
Г
1
e/2b
¦
X
X,
3 e/2b=0
t
oo
"o^
0.
—¦ —
.5
.5
——
8
0^
¦в
0.5 1.0 1.5 2.0
2b_
f
Рис. 9.120. Влияние смещения компланарных трещин на коэффициент
интенсивности напряжений в точке С.
Рис. 9.121. Влияние расстояния между трещинами в направлении
растяжения на коэффициент интенсивности напряжений в точке В.
9.55. ДВЕ ОДИНАКОВЫЕ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ТРЕЩИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [142, 123; 68, 78]
t I f
У",
Метод объемных сил [142, 123], погрешность менее 1%.
К, 4 = F.<rnvna в точке А,
I,A A 0
в точке В (v = 0),
в точке С.
Таблица 9.66. Значения F.
b/a X
0.25
0.5
1
2
4
8
0
0.2977
0.5072
0.7281
0.8765
0.9537
0.9833
1.000
0.5
0.2985
0.5113
0.7413
0.9033
0.9220
1.028
1.048
0.667
0.3009
0.5209
0.7667
0.9460
1.046
1.089
1.113
0.8
0.3067
0.5422
0.8165
1.023
1.146
1.202
1.229
0.9
0.3203
0.5863
0.9115
1.169
1.337
1.420
1.454
t ! t°
1.5
а
А
d
а
Рис. 9.122. Зависимость FA от А.
624
лл Ч > Y
Л\\> \ \
Л
CO—I
if
-*
i!
CVJ
1
1—L—^
J
1
L1 1
if
1
1
о
!и—i—с
i>
0.25
-
-
о
m
s
s
и
ш
ев
en
еч
^*
«35
О
о.
\
ч
<
\ \
-
¦о
•в
¦о
•*.
н
о
л
8
1СИМ
3. Зав?
еч
Рис. 9
*?
S
X
си
се
сг>
9.67.
Таблица
о
СО
о
J.667
О
о
А
2987
5136
7523
9307
038
087
117
О О О О г- т— *—
2985
5118
7454
9150
013
056
081
о оо о — — —
2982
5110
7389
9009
9917
030
052
О О О О О •— г—
2979
5085
7334
8889
9738
009
028
о о о о о ¦— •—
2977
5072
7281
3765
9537
9838
000
о о о о о о —
1Л
см in
О о г- см ^J- со 8
625
¦
IX)
CM
О
II
fO
.Q
t
i [
i
d
ti
1-4
1
t !
1 О '
о
,—
M L-<
" v
<v
я
<
i
i
!
1
,1 1 1 1 1
о
о
о
2
S
X
n
се
го
«о
(N
03
О
л
о
о
S
X
о
п
О)
к
X
X
о>
со
го
оо
со
о»
I
1
ев
en
О
CO
о
0.667
i_T>
о
о
—7
/о
/-^
/ "°
0.9959
0.8612
0.6566
0.9931
0.8558
0.6503
0.9907
0.8510
0.6447
0.9889
0.8471
0.6401
0.9876
0.8441
0.6352
1.П
М1ЛО
a> CD •—
626
о
о
s
s
о
S
CQ
СО
ГО
<3
-о
о
к
X
X
аимовлия
со
CQ
ОСТИ
X
J3
с;
<и
(-
X
IX
со
X
СО
CU
X
трация
о
2
ч
ч
S
в
00
CN
О5
S
О.
Е-
>,
в промеж
S
Есл
X
S
СО
X
S
а
о.
X
аковым
X
X
13
о
к
S
с(
>ч
си
г
X
X
*:
СО
рещина т
i-
реть:
Е-
К
О
<и
СО
о>
S
О
е
.инами
а>
Си
>>
CQ
С(
>-.
си
S
пренебре
о
X
о
S
к
X
X
я
m
о
S
X
СО
ктом в;
си
•е-
-©¦
О
S-
CQ*
меро
со
СО
Си
627
40*
9.56. ДВЕ НЕОДИНАКОВЫЕ ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ТРЕЩИНЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
ГРАНИЦЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАСТЯГИВАЮЩЕЙ И ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗОК
[143; 68, 142, 144]
Плоскость XX- совпадает со свободной
поверхностью полупространства
Метод объемных сил [143], погрешность менее 1%.
v = 0, <r - напряжение на бесконечности.
628
a, / b,
Рис. 9.130. Зависимость Fz от а^
Таблица 9.69. Значения F. и FT „ ; у - коэффициент взаимовлияния,
'1 2
определяемый как отношение безразмерного коэффициента интенсивности
напряжений к соответствующему коэффициенту интенсивности для одной
трещины под действием такой же нагрузки
V»!
1.0
2.0
4.0
8.0
(")
ч
0.738
0.921
1.024
1.075
A.100)
\
1.04
1.06
1.08
1.09
A.100)
ч
0.816
1.048
1.175
1.230
A.284)
ч
1.15
1.20
1.24
1.25
A.284)
629
s
s
CO
X
X
o
(X
f-
s
s
2
и
о
о
s
се
со
s
x
4 .
§ §
ce S
со т
03 «
yl X
« 3
. x
У i
ных
азлич
и.
трещин
X
СО
о ^
полу]
ные [1
яние двух
ечены дан
я s
§ s
5 .^<
. Взаш
ЗД0ЧК01
О си
Г-» CQ
Таблица 9.
размеров (а
CJ
со
Ll.
/
L_
та
тз
Ю 43 СО ГО
CNJ 1— О CD
00 СП ^- СО CNJ
<3" ГО ГО CNJ CNJ
СО «3" LD СО ГО
-a- cnj I— о о
О О |— ГО
о о о о о
О О <— ГО
О CD О О О
¦— CNJ СО СМ
О О О О CNJ
СП О СО IX)
СП «а- СО L-O
о о о о
047
986
952
911
865*
¦— о о о о
¦к
Г^- CNJ 17\ LO CNJ
•— о о о о
ГО ГО ГО ^ LO
ооэоо
CD О '— iX) CNJ
о о о о о
О *Э" КО О U-)
1— .— СМ Г-^ <О
о о о о о
LO
CM Lf)
|— CM lD О
О О О О f—
0.25
о <х>
|— О
ГО 1— LT) LT>
CNJ 1— i— i—
ГО CD IT) LO
CNJ i— О О
о о
о о о
О г— LO
о о о о
•— ** Ut
О О О г—
СП 1—
СП Г-«.
( iX) 43 1
о о
Г^ ГО .— г-
со со со со
о о о о
*
<— СО СО lO
о о о о
КО Г-. СП
<Х> 'Х> 4) 1
о о о
OO^Lf)
о о о о
ON00N
1— 1— ГО 1—
о о о о
m
CM UT> О
о о о <—
о
1.03
СП iX) СО
о о о
СП ГО <J-
о о о
_,_. ,_
о
о о
о <э-
о о о
^- 00
о о о
655
CD
?
ГО LD Г^
Г~* lT> «XI
о о о
773
731
739*
о о о
¦X) СО
го го
КО 4) 1
о о
О СМ СП
о о о
о о г^
¦— СМ 1X1
о о о
LT) О
о о-—
о
630
, , I .... I
= 16, а2/а2 = 0.25,
V«o - Ь
Рис. 9.132. Безразмерные коэффициенты
интенсивности напряжений для задачи,
показанной на рис. 9.131.
е = 0.25.
Рис. 9.133. Небольшая трещина вблизи двумерной трещины.
Таблица 9.71
а.
ч
0.994
X
-
ч
0.994
\
-
ч
6.20 хЮ'2
-
F
0
1
*А2
.897
х
.26
F
1
1
^2
.087
X
.53
ч
0.856
1.35
, Ьг
Рис. 9.134. Две полуэллиптические трещины с различными
геометрическими параметрами.
631
Таблица 9.72
0.25
0.5
0.857
0.996
0.925
1.000
Таблица 9.73
Ь/а
0
0.25
0.5
1.0
2.0
4.0
8.0
16.0
@.0)
0.244
0.411
0.600
0.764
0.874
0.940
0.971
FC
@.443) [144]
0.362
0.284
0.174
7.43 xlO'2
1.82 xlO'2
3.27 xlO'2
6.98x10""
Двумерная краевая
трещина [142]
Рис. 9.135. Безразмерные коэффициенты интенсивности напряжений
для полуэллиптической трещины при изгибе.
Таблица 9.74
Ь/а
0.25
0.5
1.0
=2a/d
0.5
0.667
0.8
0.9
0.5
0.667
0.8
0.9
0.5
0.667
0.3
0.9
FA
0.244
0.246
0.249
0.257
0.414
0.420
0.433
0.460
0.609
0.625
0.659
0.720
fb ¦
0.244
0.244
0.244
0.244
0.412
0.413
0.414
0.415
0.603
0.607
0.611
0.616
Fc
0.362
0.364
0.365
0.367
0.236
0.289
0.292
0.296
0.176
0.130
0.184
0.188
632
Ь/а>1.0
4
0.25
-О D О-
к
_L I I , . , , I
1.0
Рис. 9.136. Пара полуэллиптических трещин при изгибе.
Рис. 9.137. Полуэллиптическая трещина
при чистом изгибе.
Безразмерный коэффициент интенсивности
напряжений при чистом изгибе
Fx в = 0.449 при Ь/а = 1.0.
9.57. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ТРЕЩИНЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
В ПЛАСТИНАХ И ОБОЛОЧКАХ [145; 126, 130, 133, 142, 143, 146]
г»
2а
Случай А
2а
Случай С
Случай В
Условие нагружения:
на бесконечности приложено
растягивающее напряжение (Хп
633
Метод конечных элементов и модель пружин Раиса и Леви [145*].
К. - коэфициент интенсивности напряжений, рассчитанный по модели
пружин;
Кд - коэффициент интенсивности напряжений, определенный согласно
рекомендациям ASME (ASME Code Section XI), в соответствии с
которыми пара трещин интепретируется как одна полуэллиптическая
трещина глубиной Ь и шириной Dа + d);
с - напряжение на бесконечности.
2а
Определение угла ф
Случай А
1. 5
1.0
D
N
0.5
0.0
ASME Code (d = 0.25a)
с
ASME
Ь/а =0.6, b/t =0.8
I
О d =0.25а
D d =0.5а
Д d=a
Одна трещина
0.5
1.0
2ф/тт
1.5
Рис. 9.138. Значения /Cj для пары разделенных трещин.
* Перепечатано с разрешения ASTM из STP 868,
Society for Testing and Materials.
American
634
2.0
1.5
1.0
0.5
b/a =0.2 О
b/a =0.4 Д
b/a =0.6 О -
d =0.25а
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
b/t
Рис. 9.139 (а).
ь
t
L
/a = 0.2
/a =0.4
/a = 0.6
d = 0.
О
Д
u
5a
0.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
ь/t Рис. 9.141 (с).
635
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
b/t
Рис. 9.140 (b).
t
t
/a = 0.2
/a = 0.4
/a = 0.6
d = a
О
D
/
Случай В
з.о
2.0
о8
1.0
I
? пап а пап й п е©
b/a =0.6 о d =0.25a
b/t = 0.8 D d =0.5a
Л d =a
— одна трещина
0.0
0.5 1.0
2* /n
1.5
Рис. 9.142. Значение Кг для пары перекрывающихся трещи
Случай С
boOOoooo.oooooji
0.5
ASME Code
О метод пружин Раиса
и Леви —
Ь/а =0.6, b/t =0.4
0.0
0.2
0.4 0.6
(х+а) /а
0.8 1.0
Рис. 9.143 (а).
636
1.5
1.0
0.5
О ° 1
о оо оо
ь,,'
-а о а
О О О О С
шса и Ле
= 0.6, b/t
'ode
°°оо,
ВИ
= 0.4
0.0
0.2
0.4 0.6
(х + а) /а
0.8
Рис. 9.144 (Ь).
9.58. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕААА ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ПОВЕРХНОСТНЫХ ТРЕЩИН, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ
ГРАНИЦЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА, ПОД ДЕЙСТВИЕМ
НОРМАЛЬНОЙ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ НА
БЕСКОНЕЧНОСТИ [147, 78; 148]
1.0
Г
2,
L
И-
.J
У.Ч
У.П
-а а
Сечение 1-1
Метод объемных сил [147, 78], погрешность менее 1%.
/С. . - коэффициент интенсивности напряжений в наиболее глубокой
точке фронта полуэллиптической трещины:
637
0.5
0.4
b/a + O
. Две трещины
[148]
' ^5^5sl Периодическая
-Дискообразные трещины ~~<gj система трещ!
трещин
0.5
1.0
Рис. 9.145. Коэффициенты интенсивности напряжений для двух
компланарных полуэллиптических поверхностных трещин и периодическо]
системы полуэллиптических поверхностных трещин при растяжении.
1.0
v = 0.3
2.0
4.0
Рис. 9.146. Зависимость /С от расстояния между трещинами
периодической системы.
638
9.59. ОКРУЖНАЯ КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА, ОТХОДЯЩАЯ ОТ
ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПОЛОСТИ [149; 150]
I l-l I
I l-l I
Метод объемных сил [149].
Fi =
F'i =
°
00
а - коэффициент концентрации напряжений для эллипсоидальной полости
без трещины.
10|
D.5
ь±_
\
У) -
¦->—
-4
¦
о b = 0.5a, p=0.25a, ot=3.132
Д b = a, P = a, ct= 27/14
? Ь = 2а, р=4а, ot = 1.380
i i i
I i i
0.S
1.0
Рис. 9.147. Безразмерный коэффициент интенсивности напряжений.
639
i ¦
b=0.5a, p=0.25a
b=a, p=a \
b=2a, p=4a
<Wit(a+X)
0.5
X/a
1.0
Рис. 9.148. Значения F1/B/n) для случая, когда длина большой
полуоси эллипсоида а фиксирована.
Таблица 9.75. Значения F (и = 0)
х/а
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.3
1.0
Ь=0.5а
0.575
0.644
0.672
0.671
0.664
0.663
0.661
Ь=а
0.432
0.545
0.640
0.691
0.696
0.697
0.694
Ь=2а
_
0.427
0.539
0.637
0.677
0.697
0.707
Таблица 9.76. Значения F'[ (v = 0 и 0.3)
л/р
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Ь=
v=0.0
_
—
2.64
2.13
1.84
1.65
1.51
Ю.5а
v=0.3
_
_
2.73
2.18
1.87
1.66
1.51
Ь=
v=0.0
1.93
1.81
1.57
1.29
1.14
1.05
0.982
а
v=0.3
2.08
1.88
1.61
1.30
1.14
1.05
0.980
Ь=2а
v=0.0
1.32
1.19
1.04
0.913
0.847
0.806
0.779
v=0.3
1.36
1.21
1.05
0.913
0.846
0.805
0.778
640
9.60. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА, ИСКРИВЛЕННАЯ ПО
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ, ПРИ
РАСТЯЖЕНИИ И СДВИГЕ [151]
x,,z
t 2b
Проекция области трещины
на плоскость ХлХп
-а
Метод граничных интегральных уравнений [151].
Условие нагружения I: о* = т- -
Условие нагружения II:
<г = <г-
хз
641
0.0
"" 0.8
Lj_
0.6
0.4
0.2
0.0
FIII.A
FII,B
i
i
i
1
——!
a/b-»
"A.;fs
1ШГТ~:
ML
Л-—
—С—.
="— —.-
——
15°
30°
45° 60°
e
Рис. 9.149. Распределения коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль фронта трещины: условие нагружения I.
Рис. 9.150. Значения FJX1 в точке А и F-.-. в точке В
в зависимости от угла 8: условие нагружения I.
И 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
6 = 60°
• a/b = 1
= 1.5
= 3
si
0° 30° 60° 90°
Рис. 9.151. Значения Fu в точке В и F в точке А
в зависимости от отношения Ъ/а: условие нагружения I.
Рис. 9.152. Распределения коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль фронта трещины: условие нагружения II.
642
1.0 —
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
——
1,А
1 ~ 1
| /
11 =1.5
i
1
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
п п
с
1,А
FU,A
7^
/ =15°
11 = 45~°
// = 60°
15"
30°
45°
60°
0.0 0.2 0.4 0.6 0
8 1.0
Ь/а
Рис. 9.153. Значения F^ и Fn в точке А в зависимости
от угла в: условие нагружения II.
Рис. 9.154. Значения Ft и F _ в точке А в зависимости от
отношения Ъ/а: условие нагружения II.
9.61. ВНЕШНЯЯ КОЛЬЦЕВАЯ ЭКВАТОРИАЛЬНАЯ ТРЕЩИНА
В ШАРЕ [152]
Преобразование Ханкеля [152].
Fi =
643
Рис. 9.155. Зависимость /^ от с (диаметр шара равен единице).
9.62. КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [/55; 154-156]
t t "t t
\ I g\ I
Метод объемных сил [153], погрешность менее 1%.
644
2.0 с-
t t t f t t
Рис. 9.156. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений.
9.63. КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА В ПРОСТРАНСТВЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [157]
ат= кх
645
Функция напряжений [157], погрешность менее 1%.
Рис. 9.157. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости
от отношения радиусов.
9.64. КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА В ПРОСТРАНСТВЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СРУЧИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [/55]
.с.
ti)(a ®п ~ Угол закручивания
i ° на единицу длины
вдоль оси Z
G - модуль сдвига
Функция напряжений [158], погрешность менее 1%.
0.5
ч '
4/Зи
s
/
/
/
/
/
/
/
/
t
1
1
1
\
0.5
1.0
Рис. 9.158. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости
от отношения внутреннего и внешнего радиусов.
646
9.65. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕЙ
НАГРУЗКИ С ЧАСТИЧНЫМ НАЛЕГАНИЕМ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ТРЕЩИНЫ [159; 28]
Метод объемных сил [159], погрешность менее 1%.
Fz = Кг/(<гУпа ).
Рис. 9.159. Часть области дискообразной трещины, в которой
поверхности трещины не налегают друг на друга, при изгибе.
1.0
—о— с учетом налегания поверхностей
аналитическое решение [^ без учета налегания
Г поверхностей
Нейтральная ось
Рис. 9.160. Распределение значений Fz вдоль фронта
дискообразной трещины при изгибе.
647
0.6,-
Нейтральная ось
с учетом налегания поверхностей
1 без учета налегания
решение I
J поверхностей
-1.0 -0.5
0.5 1.0
d/a
1.5
Рис. 9.161. Влияние положения нейтральной оси на значения F
для дискообразной трещины при изгибе.
9.66. ВНЕШНЯЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА В ПРОСТРАНСТВЕ
[160]
Функция напряжений [160], точное решение.
(а) Случай растягивающей нагрузки Р, действующей перпендикулярно
плоскости сцепления (тип I):
Коэффициент интенсивности напряжений для точек фронта внешней
эллиптической трещины
2паЬ
[sin2/3 + ^
-1/4
648
Р - растягивающая нагрузка, приложенная в области сцепления.
Сравнение значений Кг для двух эллиптических внешних трещин
одинакового большого радиуса а и различных меньших радиусов Ь и Ь'.
в ь
ь * ь1
- Рис. 9.162.
Коэффициент интенсивности напряжений в точке А
2nab
Р - растягивающая нагрузка, <r = P/(nab).
Коэффициент интенсивности напряжений в точке А':
к -
л1,а' "
па 1
2nab'
Р' - растягивающая нагрузка, о*' = P'/(nab'). Заметим, что если
or = or', то /Ст . = /Ст ./, несмотря на то что Ь ф Ь'.
649
(b) Случай сдвиговой нагрузки Q, действующей вдоль большой оси
трещины (типы II и III):
*„ - -
,„
**(•¦¦* * 4
(с) Случай одинаковой нагрузки R, действующей вдоль меньшей оси
трещины (типы II и III):
11
2nab
2
ar
111
2ла6 а
+ Л" соз2ЭГ3/4
9.67. ВНЕШНЯЯ ТРЕЩИНА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ [161]
контур внешней трещины + эквивалентный эллипс,
касающийся контура трещины в точке А с тем
же радиусом кривизны
Численный анализ с использованием функции Грина для полупространства
[161], погрешность менее 1%.
650
Приближенное выражение для коэффициента интенсивности напряжений в
произвольной точке границы области сцепления (погрешность менее 3%)
кт
1
A)
B)
%А i
or = P/S ,
P - растягивающая нагрузка; S - площадь области сцепления;
а - большая полуось эквивалентного эллипса; b - меньшая полуось
эквивалентного эллипса.
р = Ьг/а,
C)
S = nab.
D)
Из соотношений C) и D) следует
1.0
0.8
0.7
F^ : пространственная задача
FI0 : двумерная задача
I I
0-1-1 1
16 8 4
0.5
а/Ь
Рис. 9.163. Прямоугольная внешняя трещина.
651
1.0
E)
I
Четверть области
сцепления
Ось симметрии
Рис. 9.164. К определению коэффициента интенсивности напряжений
в скругленном угле А внешней квадратной трещины. Оценки ошибки
формулы A): 0.39% при р/а = 0.1 и 1.17% при р/а = 0.5.
Рис. 9.165. Оценка ошибки формулы A) для скругленных углов
А, В, С и D внешней квадратной трещины: А (-0.76% при
р/а = 0.1); В A.61% при р/а = 0.3); С A.45% при р/а = 0.5);
D B.38% при р4/а = 0.7).
у
ь
Четверть области 'Л
сцепления
Ось симметрии
Рис. 9.166. К определению коэффициента интенсивности напряжений
в скругленном угле А внешней прямоугольной трещины. Ошибка формулы
A) равна 2.86% при Ь/а = 2, р/а = 0.5.
Рис. 9.167. Ошибка формулы A) для скругленного угла внешней
трещины в форме равностороннего треугольника со стороной
а равна -1.46% при р/а = 0.25.
652
9.68. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ИНТЕНСИВНОСТИ
НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ СКВОЗНОЙ ТРЕЩИНЫ В ПЛАСТИНЕ
[139; 130, 162-169]
Суперпозиция аналитического решения и решения по методу конечных
элементов [139], погрешность менее 1%.
Выражения для коэффициентов интенсивности напряжений
(а) Бесконечная пластина
<г/ па .
(Ь) Компактный образец для испытаний на растяжение
К = F Pi2W + а)
1 t(W - aK/z '
A)
/(j2) - коэффициент интенсивности напряжений для соответствующей
двумерной задачи:
/(B) = PBW + а) п 347 - 0.534(а/В7 - 0.5) +
1 t(W - аK/2
+ \A7\{a/W - 0.5J + 5.176(а/Г - 0.5K],
B)
М = К1тх /К\ = 1 + и[0.07 + 0.64У - @.15 + 0A7v)(a/W - 0.5) -
- @.96 + 0.36i>)(a/W - 0.5J]. C)
653
Рассматриваемая
область
t - толщина!
i I
Рис. 9.168. Сквозная трещина в бесконечной пластине.
0.0
-1.0
-10 10-10 10 -10 * 10
4-> i
«3 I
v=0.3
двумерное решение
Рис. 9.169. Влияние толщины на распределение коэффициентов
интенсивности напряжений для сквозной трещины в бесконечной
пластине. Штриховая линия соответствует двумерному решению.
<
d
p
p
a
h»0.6W
hi=0.275W
D=0.25W
d=0.25W
t - толщина
t-W/2
W
Рис. 9.170. Компактный образец для испытаний на растяжение.
654
2.0
1.0
—
=^
/ [162]
Численные
a/W=0.5
. v=0.45
/ 0.3
// °
результаты
i i
1.1
z/(t/2)
1.0
1.0
v=0.45
v=0.3
формула C)
о о численные результаты
i i i I I i i
0.5
0.7
a/W
Рис. 9.171. Распределения коэффициентов интенсивности напряжений
для компактного образца.
Рис. 9.172. Коэффициенты усиления интенсивности напряжений
в сравнении с двумерным решением.
9.69. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА В ТРАНСВЕРСАЛЬНО
ИЗОТРОПНОМ ПРОСТРАНСТВЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАСТЯГИВАЮЩЕЙ И СДВИГОВОЙ НАГРУЗОК
[ПО; 171-174]
Контур трещины
(Х>У) = (а COS0, b
Условие нагружения на бесконечности:
(a) txz = т, (Ь) т = т, (с) <rz = <г
655
Обобщение метода Ирвина [170], точное решение.
Е, Е2, Vy i>2> G2 - пять независимых упругих постоянных.
, = _Е Н - ?2 Г -
1 2A + Vj) • " ~ ~Е~ ' х ~
1 +
- S/T)]
2 2 - S/T)}/kz,
k2 = 1 - У2,
К(&) и Е(Л) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода
соответствен но.
При Ь -> а (дискообразная трещина):
Е@) = я/2, /?х - Я2 = } [l + Щ.
При 6 -» 0 (двумерная трещина):
Щ1) = 1, /?х = S/Г, Rz = 1.
Коэффициенты интенсивности напряжений
для условия нагружения (а)
XII
656
Vn
,3/2
COS0
xVa R2(sin*<l> + 2
для условия нагружения (b)
Vn
,3/2
xVa
COS0
+ 2Tcos
,1/2
sin0
s .
TVS /?1(sin2^+ y2cos20I/4 T
для условия нагружения (с)
5_ = («Г) 1/2
Сплошные линии:
1.5
1
КП
-1
-1.5
V
V
/
1
тт/2
Зтт/2 2тг
Штриховые линии:
z 3
Оси трещины Оси тела
1.5
1
КШ
-1
-1.5
V
г
Зп/2 г-н
Рис. 9.173. Дискообразная трещина при условии нагружения (а).
Модули упругости: Е^/Е = 2, G2/? = 1, ух = 0, у2 = 0.4.
Сплошные линии соответствуют случаю, когда хг - плоскость
изотропии, ху - плоскость трещины. Штриховые линии соответствуют
случаю, когда плоскость изотропии компланарна плоскости трещины
(плоскости ху).
657
42-1280
1.5
1
ll
-1
-1.5
f
\
к
J
0 tt/2
it 3h/2. 2u
1.5
т/К
-1
-1.5
\\
\\
\
/
f
0 tt/2 it 3tt/2 2ir
Рис. 9.174. Дискообразная трещина при условии нагружения (Ь).
Модули упругости: Е2/Е = 2, й^/Е = 1, 1^ = 0, v2 = 0.4.
т/г
Зтг/2
Рис. 9.175. Дискообразная трещина в условиях нагружения (с).
Модули упругости: Е2/Е = 2, G2/E = \, vx = 0, у2 = 0.4.
658
9.70. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА, ОТХОДЯЩАЯ ОТ
ПОВЕРХНОСТИ ДВУХ ПОЛУПРОСТРАНСТВ С
РАЗЛИЧНЫМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ
[175; 125, 126, 143, 176]
Материал 2 (Д , V )
Поверхность раздела
(плоскость (X, Z))
Плоская трещина
(в плоскости (X, у))
Материал 1 (Д., V ) lb
Д^ Д2 - модули сдвига
V., У„ - коэффициенты Пуассона
Метод объемных сил [175].
о* - постоянное давление на поверхности трещины.
Рис. 9.176. Распределения
коэффициентов интенсивности
напряжений вдоль фронта
полукруговой и полуэллиптической
трещин.
659
42'
ЛИТЕРАТУРА
1. Nisitani H., Noda N. On the tension of a cylindrical bar having
an infinite row of circumferential cracks. - Trans. JSME, 1984,
50, No 453, p. 847-854.
2. JSME Mechanical Engineers' Handbook. A. Fundamentals. A4:
Strength of Materials, 1984, p. 107.
3. Bueckner H.F. Discussion of the paper by P.C. Paris and G.C.Sih
"Stress analysis of cracks". - In: Fracture Toughness Testing
and its Applications. - ASTM STP 381, 1965, p. 82.
4. Yamamoto Y., Sumi Y. Stress intensity factors in a cracked
axisymmetric body calculated by the finite element method. - J.
Soc. Naval Architects of Japan, 1973, 133, p. 179-187.
5. Benthern J.P., Koiter W.T. Asymptotic approximations to crack
problems. - In: Mechanics of Fracture. Vol. 1. Methods of
Analysis and Solutions of Crack Problems (Sih G.C., ed.). -
Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1973, p. 131-178.
6. Murakami Y., Nisitani H. Stress .intensity factor for
circumferentially cracked round bar in tension. - Trans. JSME,
1975, 41, No. 342, p. 360-369.
7. Atsumi A., Shindo Y. Singular stresses in a transversely
isotropic circular cylinder with circumferential edge crack. -
Int. J. Engng. Sci., 1979, 17, p. 1229-1236.
8. Harris D.O. Stress intensity factors for hollow
circumferentially notched round bars. - Trans. ASME, Ser. D,
J. Basic Engng., 1967, 89, p. 49-54.
9. Yamamoto Y., Sumi Y. Stress intensity factors of a twisted
round bar with a circumferential crack. - Int. J. Fract., 1974,
10, p. 269-271.
10. Murakami Y., Okazaki Y. A simple procedure for the accurate
determination of stress intensity factors by finite element
method. - 2nd Report. Stress intensity factors for a round bar
with a circumferential crack at notch root. - Trans. JSME,
1976, 42, No. 364, p. 3679-3687.
11. Grebner H. Finite element calculation of stress intensity
factors for complete circumferential surface cracks at the
outer wall of a pipe. - Int. J. Fract., 1985, 27, p. R99-R102.
12. Sneddon I.N., Tait R.J. The effect of a penny-shaped crack on
the distribution of stress in a long circular cylinder. - Int.
J. Engng. Sci., 1963, 1, p. 391-409.
13. Sneddon I.N., Welch J.T. A note on the distribution of stresses
660
in a cylinder containing a penny-shaped crack. - Int. J.
Engng. Sci., 1963, 1, p. 411-419.
14. Sneddon I.N. Transform solutions of crack problems in the
theory of elasticity. - Z. angew. Math, und Mech., 1969, 49,
p. 15-23.
15. Nisitani H., Chen D.H. Stress intensity factor for a
semi-elliptic surface crack in a shaft under tension. - Trans.
JSME, 1984, 50, No. 453, p. 1077-1082.
16. Kiuchi A., Aoki M., Kobayashi M., Ikeda K. Evalution of
brittle fracture strength of surface notched round bar. - J.
Iron and Steel Inst. Japan, 1982, 68, No. 13, p. 1830-1838.
17. Murakami Y., Tsuru H. Stress-intensity factor equations for a
semi-elliptical surface crack in a shaft under bending.
Stress Intensity Factors Handbook, Soc. Mater. Sci. Japan,
1986.
18. Nisitani H., Mori K. Influence of supporting conditions on
stress intensity factors for single-edge-cracked specimens
under bending. - Technology Reports of Kyushu Univ., 1985, 58,
No. 5, p. 751-755.
19. Brown W.F. (Jr.), Srawley J.E. Plane strain crack toughness
testing of high strength metallic materials. - ASTM STP 410,
1966.
20. Isida M., Noguchi H. Tension and bending of plates with a
semi-elliptical surface crack. - Trans. JSME, 1982, 48, No. 429,
p. 607-619.
21. Shiratori M., Miyoshi Т., Sakai Y., Zhang G.R. Analysis of
stress intensity factors for surface cracks subjected to
arbitrarily distributed surface stresses. - 3rd Report.
Analysis and application of influence coefficients for round
bar with a semi-elliptical surface crack. - Trans. JSME,
Ser. A, 1987, 57, No. 488, p. 779-785.
22. Shah R.C., Kobayashi A.S. Stress intensity factor for an
elliptical crack approaching the surface of a plate in bending.
- ASTM STP 513, 1971, p. 3-21.
23. Sneddon I.N. The distribution of stress in the neighbourhood of
a crack in an elastic solid. - Proc. Roy. Soc. London, Ser. A,
1946, 187, p. 229-260.
24. Collins W.D. Some axially symmetric stress distributions in
elastic solids containing penny-shaped cracks, I. Cracks in an
infinite solid and a thick plate. - Proc. Roy. Soc. London,
Ser. A, 1962, 266, p. 359-386.
661
25. Kassir M.K,, Sih G.C. Three-Dimensional Crack Problems.
Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1975.
26. Barenblatt G.I. The mathematical theory of equilibrium
in brittle fracture. - Advances in Applied Mechanics. Vol. 7. -
New York: Academic Press, 1962, p. 55-129.
27. Sneddon I.N., Tweed J. The stress intensity factor for a
penny-shaped crack in an elastic body under the action of
symmetric body forces. - Int. J. Fract. Mech., 1967, 3,
p. 291-299.
28. Smith F.W., Kobayashi A.S., Emery A.F. Stress intensity factors
for penny-shaped cracks. Part 1. Infinite solid. - Trans. ASME,
Ser. E, J. Appl. Mech., 1967, 34, No. 4, p. 947-952.
29. Sneddon I.N., Lowengrub M. Crack Problems in the Classical
Theory of Elasticity. - New York: Wiley, 1970, p. 158-160.
30. Irwin G. R. Crack-extension force for a part-through crack in a
plate. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1962, 29,
p. 651-654.
31. Kassir M.K-, Sih G.C. Three-dimensional stress distribution
around an elliptical crack under arbitrary loadings. - Trans.
ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1966, 33, p. 601-611.
32. Shibuya T. Some mixed boundary value problems for an infinite
solid containing a flat elliptical crack. - Trans. JSME, 1976,
42, No. 364, p. 3718-3725.
33. Raju I.S., Newman J.C. (Jr.). Stress-intensity factors for a
wide range of semi-elliptical surface cracks in
finite-thickness plates. - Engng. Fract. Mech., 1979, 11, No.
4, p. 817-829.
34. Isida M., Noguchi H., Yoshida T. Tension and bending of finite
thickness plate with a semi-elliptical surface crack. - Int. J.
Fract., 1984, 26, p. 157-188.
35. Paris P.C., Sih G.C. Stress analysis of cracks. - In: Fracture
Toughness Testing and its Applications. - ASTM STP 381, 1965,
p. 30-83.
36. Smith F.W. Structural Development Research Memorandum 17.
Boeing Airplane Co., 1966.
37. Kobayashi A.S., Moss W.L. Stress intensity magnification
factors for surface-flawed tension plate and notched round
tension bar. - In: Proc. 2nd Int. Conf. Fract., 1969, p.
31-40.
38. Masters J.N., Haese W.P., Finger R.W. Investigation of deep
flaws in thick walled tanks. - NASA CR-72606, 1969.
662
39. Anderson R.B., Holms A.G., Orange T.W. Stress intersity
magnification for deep surface cracks in sheets and plates. -
NASA TN D-6054, 1970.
40. Shah R.C., Kobayashi A.S. Stress intensity factors for an
elliptical crack approaching the surface of a semi-infinite
solid. - Int. J. Fract., 1973, 9, p. 133-146.
41. Rice J.R., Levy N. The part-through surface crack in an elastic
plate. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1972, 39, p.
185-194.
42. Newman J.C. (Jr.) Fracture analysis of surface- and
through-cracked sheets and plate. - Engng. Fract. Mech., 1973,
5, p. 667-689.
43. Smith F.W., Sorensen D.R. Mixed mode stress intensity factors
for semi-elliptical surface cracks. - NASA CR-134684, 1974.
44. Kobayashi A.S. Crack opening displacement in a surface flawed
plate subjected to tension or plate bending. - In: Proc. 2nd
Int. Conf. Mech. Behav. Mater., Boston, Mass., 1976, p.
1073-1077.
45. Newman J.C. (Jr.), Raju I.S. Analyses of surface cracks in
finite plates under tension and bending loads. - NASA TP-1578,
1979.
46. Smith F.W., Alavi M.J. - Proc. 1st Int. Conf. on Pressure
Vessel Technol., Delft, ASME, 1969, p. 783-800.
47. Miyamoto H., Miyoshi T. Analysis of stress intensity factor for
surface-flawed tension plate. - In: Proc. Symp. High Speed
Computing of Elastic Struct, (ed. by B.F. de Venbke), IUTAM,
1970, p. 137-155.
48. Miyata H., Kusumoto S. A method of evaluation of the
three-dimensional stress intensity factor using the finite
element method. - Trans. JSME, 1977, 43, No. 367, p. 816-824.
49. Miyamoto H., Kashima K. Three-dimensional stress analysis of a
cracked rotating disk. - Trans. JSME, 1977, 43, No. 370, p.
2046-2054.
50. Murakami Y., Okazaki Y. A simple procedure for the accurate
determination of stress intensity factors by finite element
method. - 3rd Report. Stress intensity factors for a
semi-elliptical crack in a finite plate.-Trans. JSME, 1977, 43,
No. 376, p. 4397-4408.
51. Yagawa G., Ichimiya M., Ando Y. Two- and three-dimensional
analysis of stress intensity factors based on discretization
663
error in finite elements. - In: Proc. 1st Int. Conf. Numerical
Methods in Fract. Mech. (A.R. Luxmore and D.R. Owen, eds.),
1978, p. 249-267.
52. Nishioka Т., Yagawa G., Ogura N. The finite element analysis
of stress intensity factors for semi-circular surface cracks. -
Trans. JSME, 1979, 45, No. 395, p. 717-725.
53. Parks D.M. The inelastic line-spring: Estimates of
elastic-plastic fracture mechanics parameters for
surface-cracks plates and shells. - Trans. ASME, Ser. J, J.
Pressure Vessel Technol., 1981, 103, p. 246-254.
54. Watanabe K., Hisada Т., Hirano Y., Kitagawa H. Photoelastic
analysis of three-dimensional crack problems by newly-developed
method presenting accurate solution. - 3rd Report. Analysis of
semi-elliptical cracks and general consideration on the
results. - Trans. JSME, 1980, 46, No. 404, p. 396-403.
55. Murakami Y., Harada S., Endo Т., Harada Y., Yagi Y.
Application of brittle fracture of epoxy resin to experimental
/(-value evaluation. - J. Soc. Mater. Sci. Japan, 1982, 31, No.
344, p. 515-519.
56. Nisitani H., Murakami Y. Stress intensity factors of an
elliptical crack or a semi-elliptical crack subjected to
tension. - Int. J. Fract., 1974, 10, No. 3, p. 353-368.
57. Hellen Т.К., Blackburn W.S. The calculation of stress
intensity factors in two and three dimensions using finite
elements. - In: Computational Fracture Mechanics, ASME, 1975,
p. 103-120.
58. Hayashi K-, Abe H. Stress intensity factors for a
semi-elliptical cracks in the surface of a semi-infinite
solid. - Int. J. Fract., 1980, 16, No. 3, p. 275-285.
59. Kitagawa H., Yuuki R., Kisu H., Kawabata H. The analysis of
stress intensity factor of surface crack by boundary element
method. - Analysis of typical surface crack models. - Trans.
JSME, Ser. A, 1984, 50, No. 450, p. 129-138.
60. Kisu H., Yuuki R., Kitagawa H. The analysis of stress intensity
factor for surface crack by boundary element method. - 2nd
Report. The accurate methods to determine the stress intensity
factor. - Trans. JSME, Ser. A, 1985, 51, No. 463, p. 660-669.
61. Experimental Techniques in Fracture Mechanics. Vol. 1,2 (ed. by
A.S. Kobayashi). Published jointly by the Iowa State University
Press and Soc. for Experimental Stress Analysis, 1973.
664
62. Newman J.C (Jr.), Raju I.S. Stress intensity factor equations
for crack in three-dimensional finite bodies. - NASA Technical
Memorandum 83200, 1981, p. 1-49.
63. Raju I.S., Newman J.S. (Jr.) Stress intensity factors for two
symmetric corner cracks. - In: Fracture Mechanics (ed. by C.W.
Smith), ASTM STP 677, 1979, p. 411-430.
64. Kullgren Т.Е., Smith F.W., Ganong G.P. Quarter-elliptical
cracks emanating from holes in plates. - Trans. ASME, J. Engng.
Mater, and Technol., 1978, 100, p. 144-149.
65. Kullgren Т.Е., Smith F.W. Part-elliptical cracks emanating from
open and loaded holes in plates. - Trans. ASME, J. Engng.
Mater, and Technol., 1979, 101, p. 12-17.
66. Grandt A.F. (Jr.), Kullgren Т.Е. Stress intensity factors for
corner cracked holes under general loading conditions. - Trans.
ASME, J. Engng. Mater, and Technol., 1981, 103, p. 171-176.
67. Grandt A.F. (Jr.). Crack face pressure loading of
semi-elliptical cracks located along the bore of a hole.
Engng. Fract. Mech., 1981, 14, No. 4, p. 843-852.
68. Heath B.J., Grandt A.F. (Jr.). Stress intensity factors for
coalescing and single corner flaws along a hole bore in a
plate. - Engng. Fract. Mech., 1984, 19, No. 4, p. 665-673.
69. Nishioka Т., Atluri S.N. Integrity analyses of surface-flawed
aircraft attachment lugs: A new, inexpensive, 3-D alternating
method. - In: AIAA/ASME/ASCE/AHS 23rd Structures, Structural
Dynamics and Materials Conf. Part I: Structures and Materials,
New Orleans, 1982, p. 287-300.
70. Nishioka Т., Atluri S.N. An alternating method for analysis of
surface-flawed aircraft structural components. - AIAA Journal,
1983, 21, No. 5, p. 749-757.
71. Schijve J. Comparison between empirical and calculated stress
intensity factors of hole edge cracks. - Engng. Fract. Mech.,
1985, 22, No. 1, p. 49-58.
72. Bhandari S.K., Barrachin В., Picou J.L Part-circular cracks at
various openings under complex loading conditions. - Trans.
ASME, Ser. J, J. Pressure Vessel Technol., 1979, 101, p.
271-275.
73. Newman J.C. (Jr.), Raju I.S. An empirical stress intensity
factor equation for the surface crack. - Engng. Fract. Mech.,
1981, 15, No. 1-2, p. 185-192.
74. Shiratori M., Miyoshi Т., Tanikawa K. Analysis of stress
665
intensity factors for surface cracks subjected to arbitrarily
distributed surface stresses. - 2nd Report. Analysis and
application of influence coefficients for flat plates with a
semi-elliptical surface crack. - Trans. JSME, 1986, 52, No.
474, p. 390-398.
75. Shiratori M., Miyoshi T. Analysis of stress intensity factors
for surface cracks subjected to arbitrarily distributed surface
stresses. - Analysis and application of data base of influence
coefficient К .. - In: Proc. 3rd Conf. Fract. Mech., Soc.
Mater. Sci. Japan, 1985, p. 82-86.
76. Isida M., Yoshida Т., Noguchi H. Tension of a plate with a pair
of semi-elliptical surface cracks. - Trans. JSME, 1983, 49, No.
448, p. 1572-1580.
77. Isida M., Noguchi H. Tension of a plate containing an embedded
elliptical crack. - Engng. Fract. Mech., 1984, 20, No. 3, p.
387-408.
78. Yoshida T. Effects of boundaries on stress intensity factors.
Ph. D. Thesis, Kyushu University, Fukuoka, Japan, 1984.
79. Nisitani H., Chen D.H. Stress intensity factors for a
semi-elliptic surface crack emanating from the inside of an
infinitely thick cylinder subjected to internal pressure.
Trans. JSME, 1984, 50, No. 455, p. 1376-1382.
80. Nishimura A., Aoki S., Sakata M. Stress intensity factor for a
semi-elliptical crack in an internally pressurized cylinder.
Trans. JSME, 1977, 43, No. 373, p. 3192-3199.
81. Tan C.L., Fenner R.T. Stress- intensity factors for
semi-elliptical surface cracks in pressurized cylinders using
the boundary integral equation method. - Int. J. Fract., 1980,
16, No. 3, p. 233-245.
82. Underwood J. H. Stress intensity factors for internally
pressurized thick-walled cylinders, Stress analysis and growth
of cracks. - In: Proc. Nation. Symp. on Fracture Mechanics,
1971, Part 1, ASTM STP 513, 1972, p. 59-70.
83. Nishimura A., Aoki S., Sakata M. Stress intensity factor for a
semi-elliptical crack in a internally pressurized cylinder.
In: Proc. 3rd Int. Conf. on Pressure Vessel Technology, Part
II, Tokyo, 1977, p. 517-526.
84. Kobayashi A.S., Polvanich N., Emery A.F., Love W.J. Inner
and outer cracks in internally pressurized cylinders. - Trans.
ASME, Ser. J, J. Pressure Vessel Technol., 1977, 99, p. 83-89.
666
85. Raju I.S., Newman J.C. (Jr.). Stress-intensity factors for
internal and external surface cracks in cylindrical vessels.
Trans. ASME, Ser. J, J. Pressure Vessel Technol., 1982, 104, p.
293-298.
86. Newman J.C. (Jr.), Raju I.S. Stress-intensity factors for
internal surface cracks in cylindrical pressure vessels.
Trans. ASME, Ser. J, J. Pressure Vessel Technol., 1980, 102, p.
342-346.
87. Atluri S.N., Kathiresan K- Outer and inner surface flaws in
thick-walled pressure vessels. - In: Trans. 4th Int. Conf.
Struct. Mech. in Reactor Technology, San Francisco, 1977.
88. McGowan J.J., Raymund M. Stress intensity factor solutions for
internal longitudinal semi-elliptical surface flaws in a
cylinder under arbitrary loadings. - In: Fracture Mechanics,
ASTM STP 677, 1979, p. 365-380.
89. Heliot J., Labbens R.C., Pellissier-Tanon A. Semi-elliptical
cracks in the meridional plane of a cylinder subjected to
stress gradients. - In: Fracture Mechanics, ASTM STP 677,
1979, p. 341-364.
90. Shah R.C. Stress intensity factors for through and part-through
cracks originating at fastener holes. - In: Mechanics of Cracks
Growth, ASTM STP 590, 1976, p. 429-459.
91. Atluri S. N.. Kathiresan K. 3D analyses of surface flaws in
thick-walled reactor pressure vessels using displacement-hybrid
finite element method. - Nucl. Engng. and Des., 1979, 51, p.
163-176.
92. Raju I.S., Newman J.S. (Jr.). Improved stress-intensity factors
for semi-elliptical surface cracks in finite-thickness plate.
NASA TM X-72825, 1977.
93. Yashi O.S., Erdogan F. A pressurized cylindrical shell with a
fixed end which contains an axial part-through or through
crack. - Int. J. Fract., 1985, 28, No. 3, p. 161-187.
94. Delale F., Erdogan F. Application of the line-spring model to a
cylindrical shell containing a circumferential or axial
part-through crack. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech.,
1982, 49, p. 97-102.
95. Miyazaki N., Watanabe Т., Yagawa G. Calculation of stress
intensity factors of surface cracks in complex structures:
Application of efficient computer program EPAS-J1. - Nucl.
Engng. and Des., 1981, 68, p. 71-85.
667
96. Кауа А. С, Erdogan F. Stress intensity factors and COD in an
orthotropic strip. - Int. J. Fract., 1980, 16, p. 171-190.
97. Nied H.F. A hollow cylinder with an axisymmetric internal
surface crack under nonaxisymmetric arbitrary loading. - Ph. D.
Dissertation, Lehigh University, June 1981.
98. Delale F., Erdogan F. Stress intensity factors in a hollow
cylinder containing a radial crack. - Int. J. Fract., 1982,
20, p. 251-265.
99. Newman J.C. (Jr.), Raju I.S. Stress intensity factors for
internal surface cracks in cylindrical pressure vessels. - NASA
Technical Memorandum 80073, July 1979.
100. Newman J.C. (Jr.). A review and assessment of the
stress-intensity factors for surface cracks. - NASA, Technical
Memorandum 78805, Nov. 1978.
101. Atluri S.N., Kathiresan K-, Kobayashi A.S., Nakagaki M. Inner
surface cracks in an internally pressurized cylinder analyzed
by a three-dimensional displacement-hybrid finfte element
method. - In: Proc. 3rd Int. Conf. on Pressure Vessel
Technology, Part III, 1977, ASME, New York, p. 527-533.
102. Miyazaki N.. Watanabe Т., Yagawa G. Calculation of stress
intensity factors of surface cracks in complex structures:
Application of efficient computer program EPAS-J1. - In: Proc.
6th Int. Conf. on Struct. Mech. in Reactor Technol., Paris,
1981, G10/1.
103. Jia Z.H., Tan C.L. Stress intensity factors for corner cracks
in rotating disks. - Int. J. Fract., 1985, 28, p. R57-R62.
104. Tan C.L. Boundary integral equation stress analysis of a
rotating disk with a corner crack. - J. Strain Anal., 1983, 18,
No. 4, p. 231-237.
105. Smith C.W., Peters W.H., Jolles M.I. Stress intensity factors
for reactor vessel nozzle cracks. - Trans. ASME, Ser. J, J.
Pressure Vessel Technol., 1978, 100, p. 141-149.
106. Mohamed M.A., Schroeder J. Stress intensity factor for corner
cracks of pressurized tees. - Trans. ASME, Ser. J, J. Pressure
Vessel Technol., 1980, 102, p. 121-123.
107. Atluri S.N., Kathiresan K.. Influence of flaw shapes on stress
intensity factors for pressure vessel surface flaws and nozzle
corner cracks. - Trans. ASME, Ser. J, J. Pressure Vessel
Technol., 1980, 102, p. 278-286.
108. Pereira M., Turner C. The computation of stress intensity
668
factors in cracked thick-walled cylinders and T-junctions
using a standard finite element program. - In: Conf. on
Tolerance of Flaws in Pressurized Components. Institute of
Mechanical Engineers, London, 1978, C94/78.
109. Rashid Y., Gilman J. Three dimensional analysis of reactor
pressure vessel nozzles. - In: 1st Int. Conf. on Struct. Mech.
in Reactor Technol., Berlin, 1974, G2/6.
110. Reynen J. Analysis of cracked pressure vessel nozzles by finite
element. - In: 3rd Int. Conf. on Struct. Mech. in Reactor
Technol., London, 1975, G5/1.
111. Derby R. Shape factors for nozzle-corner cracks. - Exp.
Mech., 1972, 12, p. 580-584.
112. Ruiz C. Stress intensity factors for nozzle corner cracks.
Strain, 1973, 9, p. 7-9.
113. Mohamed M., Schroeder J. Stress intensity factor solution for
crotch corner cracks of tee-intersections of cylindrical
shells. - Int. J. Fract., 1978, 14, p. 605-621.
114. Kobayashi A.S., Polvanich NL, Emery A.E., Love W. J. Corner
crack at a nozzle. - In: Proc. 3rd Int. Conf. Pressure Vessel
Technology. Part II: Materials and Fabrication, ASME, Tokyo,
1977, p. 507-516.
115. Broekhoven M.J.G. Computation of stress intensity factors for
nozzle corner cracks by various finite element procedures
(summary). - In: 3rd Int. Conf. on Struct. Mech. in Reactor
Technol., London, 1975, G4/6.
116. Kobayashi A.S., Emery A.F., Love W.J., Antipas A. A procedure
for estimating the stress intensity factor of a flattened
surface crack at a nozzle corner. - Trans. ASME, Ser. J, J.
Pressure Vessel Technol., 1979, 101, p. 181-183.
117. Kobayashi A.S., Emery A.F., Love W.J. Antipas A. Embedded
elliptical crack at a corner. - Trans. ASME, Ser. J, J.
Pressure Vessel Technol., 1978, 100, p. 28-33.
118. Schmit W., Bartholome G., Grostad A., Miksch M. Calculation of
stress intensity factors for cracks in nozzles. - Int. J.
Fract., 1976, 12, No. 3, p. 381-390.
119. Abe H., Hayashi K-, Takahashi S. Stress intensity factors for
an embedded elliptical crack near a cylindrical cavity. -
Trans. JSME, 1985, 51, No. 465, p. 1350-1358.
120. Isida M. On the determination of stress intensity factors for
some common structural problems. - Engng. Fract. Mech., 1970,
2. p. 61-79.
669
121. Murakami Y., Tsuru H., Sakamoto K. Stress intensity factors for
small surface cracks at the site of stress concentrations. - J.
Soc. Mater. Sci. Japan, 1986, 35, No. 396, p. 998-1003.
122. Mattheck С, Morawietz P., Munz D. Calculation of the stress
intensity factor of a circumferential crack in a tube
originating from a hole under axial tensile and bending loads.
- Engng. Fract. Mech., 1985, 22, No. 4, p. 645-650.
123. Isida M., Yoshida Т., Noguchi H. - Prelim. Proc. Japan Soc.
Mech. Engng. and Japan Soc. Precision Engng., Mie District,
1982, No. 823-3, p. 15-17.
124. Kassir M. K. Stress-intensity factor for a three-dimensional
rectangular crack. - Trans. ASME, Ser. J, J. Appl. Mech.,
1981, 48, No. 2, p. 309-312.
125. Mastrojannis E.N., Keer L.M., Мига Т. Stress intensity factor
for plane crack under normal pressure. - Int. J. Fract., 1979,
15, p. 247-258.
126. Murakami Y., Nemat-Nasser S. Growth and stability of
interacting surface flaws of arbitrary shape. - Engng. Fract.
Mech., 1983, 17, No. 3, p. 193-210.
127. Isida M., Noguchi H., Yoshida Т., Tokumoto A. Stress intensity
factors for embedded and surface cracks in a semi-infinite and
thick plates under tension. - In: Proc. 2nd Symp. Fract.
Mech., Soc. Mater. Sci Japan, 1983, p. 159-163.
128. Abe H., Hayashi K,, Enokida Y. Stress intensity factors for a
rectangular crack in a semi-infinite solid. - Trans. JSME,
1982, 48, No. 425, p. 29-34.
129. Singh B.M., Danyluk H.T. Stress intensity factors for two
rectangular cracks in three-dimensions. - Engng. Fract. Mech.,
1985, 22, No. 3, p. 475-483.
130. Murakami Y., Isida M. Analysis of an arbitrarily shaped surface
crack and stress field at crack front near surface. - Trans.
JSME, Ser. A, 1985, 51, No. 464, p. 1050-1056.
131. Murakami Y., Endo M. Effects of hardness and crack geometry on
AKthof small cracks emanating from small defects. - In : Int.
Symp. on the Behavior of Short Fatigue Cracks, University of
Sheffield, 25-28 Sept., 1985.
132. Bui H.D. An integral equations method for solving the problem
of a plane crack of arbitrary shape. - J. Mech. and Phys.
Solids, 1977, 25, p. 29-39.
133. Murakami Y. Analysis of stress intensity factors of modes I, II
670
and III for inclined surface cracks of arbitrary shape.
Engng. Fract. Mech., 1985, 22, No. 1, p. 101-114.
134. Murakami Y., Isida M. Analysis of mixed mode stress intensity
factors for arbitrarily shaped inclined surface cracks.
Trans. JSME, Ser. A, 1984, 50, No. 455, p. 1359-1366.
135. Isida M., Tokumoto A., Noguchi H., Yoshida T. An inclined
semi-elliptical surface cracks in a semi-infinite body under
tension. - In: Prelim. Proc. 36th Annual Meeting of Japan Soc.
Mech. Engng., Kyushu, 1938, No. 838-1, p. 4-6.
136. Nisitani H. Stress intensity factor for the tension of a
semi-infinite plate having an oblique or bent edge crack.
Trans. JSME, Ser. A, 1975, 48, No. 344, p. 1103-1109.
137. Yoshioka S., Miyazaki M., Watanabe K.., Kitagawa H., Hirano Y.
Stress intensity factors for a three-dimensional slant
through-crack at the center of a plate. Results by photo
elasticity and finite element method. - Prelim. Proc. JSME,
1983, No. 830-2, p. 175-177.
138. Watanabe K., Hirano Y., Yoshioka S. Photo elasticity analysis
of the state of restriction in the vicinity of crack front
through the plate thickness. - Prelim. Proc. JSME, 1981, No.
814-8, p. 54-56.
139. Sumi Y., Yamamoto Y. Three-dimensional analysis of stress
intensity factors in through crack problems. - Trans. JSME,
1978, 44, No. 378, p. 413-422.
140. Isida M., Hirota K., Noguchi H., Yoshida T. Two parallel cracks
in an infinite solid subjected to tension. - Int. J. Fract.,
1985, 27, p. 31-48.
141. Isida M. Analysis of stress intensity factors for plates
containing random array of cracks. - Bull. JSME, 1970, 13, No.
59, p. 635-642.
142. Murakami Y., Nisitani H. Stress intensity factors for
interacting two equal semi-elliptical surface cracks in
tension. - Trans. JSME, Ser. A, 1981, 47, No. 415-, p. 295-303.
143. Murakami Y., Nemat-Nasser S. Interacting dissimilar
semi-elliptical surface flaws under tension and bending.
Engng. Fract. Mech., 1982, 16, No. 3, p. 373-386.
144. Bueckner H.F. Field singularities and related integral
representations. - In: Mechanics of Fracture. Vol. 1. Methods
of Analysis and Solutions of Crack Problems (G.C. Sih, ed.). -
Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1973, p. 239-314.
671
145. Miyoshi Т., Shiratori M., Tanabe О. Stress intensity Factors
for surface cracks with arbitrary shapes in plates and shells.
- ASTM STP 868, 1985, p. 521-534.
146. ASME Boiler and Pressure Vessel Code. Section XI. Rules for
Inservice Inspection of Nuclear Power Plant Components, 1970.
147. Isida M., Yoshida Т., Hirota K. - Prelim. Proc. JSME. 36th
Annual Meeting, Kyushu, 1983, No. 838-1, p. 1-3.
148. Nisitani H., Murakami Y. Interaction of elasto-plastic cracks
subjected to a uniform tensile stress in an infinite or a
semi-infinite plate. - In: Proc. Int. Conf. Mech. Behav.
Mater. Vol. I, 1971, p. 346-356.
149. Murakami Y., Norikura Т., Yasuda T. Stress intensity factors
for a penny-shaped crack emanating from an ellipsoidal cavity.
- Trans. JSME, 1982, 48, No. 436, p. 1558-1565.
150. Green D.J. Stress intensity factor estimates for annular
cracks at spherical voids. - J. Amer. Ceram. Soc, 1980, 63,
No. 5, p. 342-344.
151. Abe H., Hayashi K., Kiko M. Stress intensity factors for a
cylindrically curved elliptical crack. - Trans. JSME, Ser. A,
1984, 50, No. 455, p. 1367-1375.
152. Atsumi A., Shindo Y. Axially symmetrical stress problem of an
elastic sphere with peripheral edge crack. - Trans. JSME, 1981,
47, No. 422, p. 1006-1011.
153. Nisitani H., Murakami Y. Stress intensity factors for a
toroidal crack. - In: Proc. 50th Annual Meeting JSME, 1972,
No. 720-10, p. 25-28.
154. Shibuya Т., Nakahara I., Koizumi T. Axisymmetric stresses in an
infinite elastic solid containing a flat annular crack under
internal pressure. - Trans. JSME, 1974, 40, No. 339, p.
2986-2996.
155. Moss L.W., Kobayashi A.S. Approximate analysis of axisymmetric
problems in fracture mechanics with application to a flat
toroidal crack. - Int. J. Fract. Mech., 1971, 7, No. 1,
p. 89-99.
156. Сметанин В. И. Задача о растяжении упругого полупространства,
содержащего плоскую кольцевую щель. - ПММ, 1968, т. 32, вып. 3,
с. 458-462.
157. Нага Т., Shibuya Т., Koizumi Т., Nakahara I. The asymmetric
distribution of stress in an elastic solid containing a flat
annular crack under bending. - Trans. JSME, 1978, 44, No.
379, p. 771-777.
672
158. Shibuya Т., Koizumi Т., Nakahara I. The axisymmetric stress
distribution in an infinite elastic solid containing a flat
annular crack under torsion. - Trans. JSME, 1975, 41, No.
352, p. 3391-3398.
159. Isida M., Tsuru H., Noguchi H. New method of analysis of three
dimensional crack problems. - Mem. Fac. Engng. Kyushu Univ.,
1983, 43, No. 4, p. 317-334.
160. Kassir M.K., Sih G.C. External elliptical crack in elastic
solid. - Int. J. Fract. Mech., 1968, 4, No. 4, p. 347-356.
161. Murakami Y. Two semi-infinite solids bonded by a bond of
arbitrary shape subjected to tensile load. - In: Stress
Intensity Factors Handbook, Soc. Mater. Sci. Japan, 1986.
162. Srawley J. E., Gross B. Stress intensity factors for bend and
compact specimens. - Engng. Fract. Mech., 1972, 4, No 3, p.
587-589.
163. Hartranft R.J., Sih G.C. The use of eigenfunction expansions in
the general solution of three-dimensional crack problems. - J.
Math, and Mech., 1969, 19, No. 2, p. 123-138.
164. Benthem J.P. State of stress at vertex of a quarter-infinite
crack in a half-space. - Int. J. Solids and Structures, 1977,
13, p. 479-492.
165. Bazant Z.P. Three-dimensional harmonic functions near
termination or intersection of gradient singularity lines:
a general numerical method. - Int. J. Engng. Sci., 1974, 12, p.
221-243.
166. Bazant Z. P., Estenssoro L. F. Surface singularity and crack
propagation. - Int. J. Solids and Structures, 1979, 15, p.
405-426.
167. Folias E.S. Method of solution of a class of three-dimensional
elastostatic problems under mode I loading. - Int. J. Fract.,
1980, 16, No. 4, p. 335-348.
168. Fujitani Y. Analysis of the stress singular solution in the
three-dimensional surface crack problem by Rayleigh- Ritz
method. - Res. Rep. Fac. Engng., Hiroshima Univ., 1980,
28, No. 2, p. 129-137.
169. Yagawa G., Ichimiya M., Ando Y. Determination of stress
intensity factor based on discretization error in finite
element method. - Trans. JSME, 1978, 44, No. 379, p. 743-755.
170. Hoenig A. The behavior of a flat elliptical crack in an
673
43-1280
anisotropic elastic body. - Int. J. Solids and Structures,
1978, 14, p. 925-934.
171. Shield R.T. Notes on problems in hexagonal aerolotropic
materials. - Proc. Cambridge Philos. Soc, 1951, 47, p. 401-409.
172. Kassir M.K., Sih G.C Three-dimensional stress around
elliptical cracks in transversely isotropic solids. - Engng.
Fract. Mech., 1968, 1, p. 327-345.
173. Willis J.R. The stress field around an elliptical crack in
an anisotropic medium. - Int. J. Engng. Sci., 1968, 6, p.
253-263.
174. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. - Martinus Nijhoff
Publishers, 1982.
175. Lee J.C., Keer L.M. Study of a three-dimensional crack
terminating at an interface. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl.
Mech., 1986, 53, p. 311-316.
176. Erdogan F., Aksogan O. Bonded half-planes containing an
arbitrarily oriented crack. - Int. J. Solids and Structures,
1976, 10, p. 569-585.
674
10. ТРЕЩИНЫ СМЕШАННОГО ТИПА И ТИПА 111
10.1. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ
НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОДНООСНЫХ РАСТЯГИВАЮЩИХ
УСИЛИЙ [/, 2; 3-7]
t
г'
1
f
2W
I
f '
I
0
C\!
0
Модифицированный метод конформных отображений с использованием
коллокации [1], погрешность менее 0.5%; метод граничной коллокации
[2].
па ,
Ки = Fuav па .
675
43*
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
т
i
¦
—
¦
¦
и
.-—
——"
— —
— —
[1]
[2]
_
-
У-
/
22.5°
/
^—¦
67.5
7
/
-
= 0°
15°
30°
45°"
60°-
75°
0.2 0.4 0.6 0.8
а/Н
0.8
0.6
t
I
0.4
0.2
¦
у
——
—
"¦*¦*
===
-67.5°
-22.5°
15°
••
5°
0 0.2 0.4 0.6 0.8
a/W
Рис. 10.1. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости
от угла наклона трещины 9 и длины трещины a/W [1, 2].
Таблица 10.1. Значения F и F [1]
a/W
Fl
Fn
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
15°
0.9391
0.9577
0.9904
1.0402
1.1128
1.2183
1.378
1.653
0.2502
0.2510
0.2527
0.2560
0.2619
0.2725
0.290
0.307
30°
0.7557
0.7730
0.8025
0.8456
0.9046
0.984
1.091
1.245
0.4339
0.4367
0.4417
0.4497
0.4617
0.480
0.508
0.550
e
45°
0.5046
0.5181
0.5406
0.5719
0.6119
0.6611
0.721
0.795
0.5018
0.5072
0.5162
0.5290
0.5458
0.5674
0.595
0.630
60°
0.2527
0.2605
0.2730
0.2896
0.3099
0.3332
0.359
0.388
0.4352
0.4417
0.4521
0.4660
0.4827
0.5022
0.524
0.549
75°
0.0678
0.0701
0.0736
0.0783
0.0837
0.0896
0.0957
0.102
0.2516
0.2560
0.2631
0.2721
0.2825
0.2939
0.3060
0.319
676
10.2. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ВНЕЦЕНТРЕННОЙ
НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ РАСТЯГИВАЮЩИХ УСИЛИЙ [5; 3, 4]
t
«
I
J e
1
M
2W
1
f
A
y\
i
a
CVJ
a
Теория непрерывно распределенных дислокаций [5], погрешность менее
а = ^т A0v тга , /С = F ov тга (для вершины трещины А),
, A i.tA 1X, А Л1 f A
/Сх в = Fj в<г/па , /Сп в
Bo
па (для вершины трещины В).
.8, e/W = O
W 0.4, e/W«0.5
a/W=0.16, e/W«0.8
Рис. 10.2. Коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины А.
677
2.0
1.6
Я 1.2
ю
.«'0.8
0.4
a/W=0.8, e/W = 0
a/ll = 0.4|, e/W=0.5
a/W = 0.16, e/W = 0.8
Рис. 10.3. Коэффициенты интенсивности напряжений в вершине трещины В.
10.3. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ
НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАСТЯГИВАЮЩИХ УСИЛИЙ, РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО
ПАРАБОЛИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ [2]
Метод граничной коллокации [2].
па ,
678
0.8
0.7
0.6
• 0.5
0.4
0.3
0.2
1
1
\
\
\
\ \
\^
Fix
a/W = O
6 = 4
25
0 0.8 1.6 2.4 3.2
H/W
Рис. 10.4. Коэффициенты интенсивности напряжений.
10.4. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С КРАЕВОЙ
НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОДНООСНЫХ
РАСТЯГИВАЮЩИХ УСИЛИЙ [8, 9; 3, 4, 10, И]
Модифицированный метод конформных отображений с использованием
коллокации [8]; метод граничной коллокации [9].
Ки = Fnov па .
679
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
•
-
— —
-^—¦—¦
//.
. '
1
/
' .30°
¦^22.5°
0.2 0.4 0.6 0.8
a/W
1.0
0.8
0.6
I
i
0.4
0.2
¦
—
е«зо°
//,45°
-22.5"
^^60°
0.2
0.4 0.6 0.8
a/U
Рис. 10.5. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
угла наклона трещины в и длины трещины a/W [8, 9].
10.5. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С КРАЕВОЙ
НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАВНОМЕРНОГО ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА [9]
Метод граничной коллокации [9].
к = р
6М
tw2
и
т
С - толщина).
680
1.6
1 Л
1 9
1.0
0.8
0.6
i
Hi = 1
•
-1
у
у
___—¦
5
/
/у
8 =
' у
/
0°
22.5°
45°
0.4
0.3
0.2
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
а/Ы
¦
—
-
6 = 45°
22.5°
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
a/W
Рис. 10.6. Коэффициент интенсивности напряжений К, в зависимости от
угла наклона трещины в и длины трещины a/W.
Рис. 10.7. Коэффициент интенсивности напряжений К1Т в зависимости
от угла наклона трещины G и длины трещины a/W.
10.6. КРУГОВОЙ ДИСК С ЦЕНТРАЛЬНОЙ НАКЛОННОЙ
ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СЖИМАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ
[12; 11, 13, 14]
Теория непрерывно распределенных дислокаций [12], погрешность менее
681
Ki= Fi Ш
па (t - толщина).
2.0
1.0
-1.0
-2.0
-3.0 -
-4.0
-
1
' .
-_
—— ,
—-~-^
1 ¦
__--—
1——.
^^
.
—
.——
JL
2
7л
16
0
л
16 —
л
8
Зл
16
л
4
5л
16
Зт[
8
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
a/R
3.0
2.0 -
1.0
_
-
—
_ -—¦
,
_—
г-—==:
Зл тг
/1б It
—-z*
^—-
0
¦^
/16
^
"\
тт
/"
л
4
тт
Тб
Зп
8
7л
16
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
a/R
Рис. 10.8. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависим
угла наклона трещины б и длины трещины a/R.
682
Таблица 10.2. Значения F и F для кругового диска с центрально
наклонной трещиной под действием сжимающей нагрузки
a/R
Fi
FlI
166/тт
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.1
1.015
0.856
0.406
-0.260
-t.035
-1.798
-2.436
-2.858
-3.005
0.000
0.783
1.441
1.871
2.010
1.843
1.401
0.755
0.000
0.2
1.060
0.880
0.378
-0.339
-1.139
-1.892
-2.499
-2.888
-3.022
0.000
0.840
1.523
1.938
2.035
1.827
1.365
0.727
0.000
0.3
1.136
0.914
0.320
-0.478
-1.306
-2.038
-2.596
-2.940
-3.056
0.000
0.940
1.662
2.042
2.069
1.798
1.311
0.688
0.000
0.4
1.243
0.950
0.214
-0.681
-1.528
-2.224
-2.723
-3.018
-3.115
0.000
1.098
1.859
2.169
2.100
1.761
1.249
0.644
0.000
0.5
1.387
0.970
0.030
-0.946
-1.784
-2.446
-2.885
-3.127
-3.208
0.000
1.340
2.113
2.300
2.132
1.728
1.188
0.604
0.000
0.6
1.578
0.937
-0.277
-1.239
-2.048
-2.735
-3.097
-3.275
-3.361
0.000
1.714
2.410
2.409
2.200
1.729
1.128
0.580
0.000
10.7. КРЕСТООБРАЗНЫЙ ОБРАЗЕЦ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ
НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПРИ ДВУХОСНОМ
РАСТЯЖЕНИИ [/5; 16-18]
t ¦ t t t
L/W= 2
H/W= 1.5
r/W= 1
Illlh
Модифицированный метод конформных отображений с использованием
коллокации [15], погрешность менее 1%.
683
Коэффициенты интенсивности напряжений /( и /С при двухосном
растяжении:
г = F (8)er/ire
*тт = >W9)°-/™ + FTTv(8Wira ,
= FIy(n/2 - в),
= -FUy(n/2 - в).
где сг и с - напряжения, действующие в направлениях х и у.
1.5
1.0
0.5 —
-0.5
•
У
л
M* 1.0
8
2
Ч
Л
V
Рис. 10.9. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
длины a/W и угла трещины 0.
684
10.8. ОБРАЗЕЦ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ДЛЯ НАГРУЖЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА [19]
Приспособление для нагружения смешанного типа
Л-!
УЗ
/ - толщина
Образец с центральной трещиной
Метод конечных элементов [19], погрешность 2-3%.
= F
i ШТ
= F
u
685
и.а
0.4
0.2
п
\
ч
~».
¦—•-
-
г""
,—'—
у'
у
-г-
= 90°
15°
30°
15°
7.5°
0.2 0.4 0.6
a/W
1.0
0 8
Л fi
0.4
0.2
п
"^
<
¦
г-'
/9
у
= 0°
7.5°"
5°
30°
45°
50°_
0.2 0.4 0.6
a/W
Рис. 10.10. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
угла ориентации нагрузки 0 и длины трещины a/W.
10.9. ОБРАЗЕЦ С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
ДЛЯ НАГРУЖЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА [20; 21]
Приспособление для нагружения
смешанного типа
0.15W
0.85W
0.6W
Образец с центральной трещиной
Метод конечных элементов [20].
Ki = Fi Wt
К
и
р /
Wt V па
- толщина).
686
-1
a/W =
-=^;
<j
^
0.7
0.65—
-0.6
'0.5 ^
К
\
0 ?„ ^ t, p
Рис. 10.11. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
угла ориентации нагрузки 9 и длины трещины a/W.
10.10. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ
ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СДВИГОВОЙ
НАГРУЗКИ [22; 7]
H/W =2.8
t - толщина
Р - постоянная сдвиговая
нагрузка
687
Метод конечных элементов [22], погрешность 2%.
= 1.50 + 0.569а - 6.282а2 + 25.01а3 - 38.157а4 + 21.013а5
(/ - толщина, Р - сдвиговая нагрузка).
t- ¦
—
3.0
2.0
1.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
а/W
Рис. 10.12. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.11. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С КРАЕВОЙ
ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СДВИГОВОЙ
НАГРУЗКИ [22; 7]
H/W = 2.8
/ - толщина
Р - постоянная сдвиговая
нагрузка
688
Метод конечных элементов [22], погрешность 2%.
SL ,
= й. ,
Fn(a) = 4.886а - 11.383а2 + 28.198а3 - 38.563а4 + 20.555а5.
3.0
2.0
1.0
n
/
/
/
'0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 10.13. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.12. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ КОМПАКТНЫЙ ОБРАЗЕЦ
С ДВУМЯ КРАЕВЫМИ НАДРЕЗАМИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ
НА СДВИГ [23, 24; 25-27]
-Ф-
Метод граничной коллокации [23]; метод конечных элементов [24].
Р /—"
/Сп = F:i -gjj v а (В - толщина).
689
44-1280
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
О
1
—-
¦
H/W-
А
.401 (
.267
И
.134-
-
23]
24]
I I I
H/W =
———
12 у*
^*—
__—¦^
у
Г1/3
/6
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
a/U
Рис. 10.14. Коэффициент интенсивности напряжений [23, 24].
Таблица 10.3. Значения F для прямоугольного компактного образца с
двумя надрезами [24]
H/W
a/W
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
1/2
1.20
1.26
1.30
1.32
1.33
1.45
1.64
1.98
1/3
1.10
0.99
0.95
0.95
0.96
1.00
1.15
1.30
1/6
1.07
0.90
0.76
0.65
0.55
0.54
0.58
0.65
10.13. ДИСКОВЫЙ ОБРАЗЕЦ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ
ТРЕЩИНОЙ ДЛЯ НАГРУЖЕНИЙ ТИПА II [28; 29]
R/W = 6.33
г/Н= 1.33
t - толщина
690
Метод конечных элементов [28], погрешность 3-4%.
Кп = Fu(a, 3) т0 /тга , rQ =
b_
W '
^C) = 1.466 - 3.4393 + 9.03432,
gz(P) = -2.775 + 20.493 - 42.10/32,
gjp) = 3.539 - 19.423 + 40.4432,
0.3 ? a s 0.475, 0.133 ^ 3 ? 0.267, / - толщина.
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
_-—-
I»
b/W<
0.267
0.233
^0.200
0.133
0.3
0.4
0.5
a/W
Рис. 10.15. Коэффициент
интенсивности напряжений в
зависимости от a/W и b/W.
10.14. ДИСКОВЫЙ ОБРАЗЕЦ С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
ДЛЯ НАГРУЖЕНИЙ ТИПА II [28; 29]
R/W = р.33
r/W = 1.33
t - толщина
691
Метод конечных элементов [28], погрешность 3-4%.
Ки = Fu(a, Э)то/шГ , т0 = ^ , а = ? , 0 = у = 0.2 ,
Fu(a, /3) = 1614 - 3.494а + 7.073а2 - 5.945а3 + 1.904а4,
Э = 0.2, 0.6 s а ? 1.12, t -толщина.
1.3
1.2
1.1
1.0
0.9
b/W
0.2
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2
a/W
Рис. 10.16. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/W.
10. IS. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С КРАЕВОЙ
ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ
СДВИГОВОЙ НАГРУЗКИ [30; 31-33]
2L
S/W-3
H/W = 0.5
h/W = 0.25
Q _ Н
692
Метод конечных элементов [30], погрешность 2-3% для 0.167 ^ a/W
? 0.833.
Ки =
т0 =
/v
а =
a
W ¦
Для B/t = 1
Fx = 0.6504 - 2.5807а + 3.9471а2 - 2.1689а3,
Fn = -0.2915 + 6.3229а - 9.1199а2 + 6.0570а3.
Для B/t = 2
Ft = 0.2581 - 0.8023а + 1.1784а2 - 0.8113а3,
Fu = - 0.1S38 + 5.9907а - 9.8887а2 + 7.2098а3.
Для B/t = 5
Fz = 0.1291 - 0.3777а + 0.3934а2 - 0.2708а3,
Fu = -0.0578 + 5.9238а - 11.1416а2 + 8.5595а3.
Для B/t = оо
Fi = 00> Fu = 01664 + 5.0399а - 10.9941а2 + 9.2524а3
0.5
Рис. 10.17. Коэффициент
т интенсивности напряжений в
зависимости от B/t и a/W.
693
10.16. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ
ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ
СДВИГОВОЙ НАГРУЗКИ [31]
2L
S/W = 6
H/W= 1
t - толщина
9 = _У_
р s-н
Метод конечных элементов [31], погрешность 1-2% для 0.167 ? a/W ?
< 0.833.
= FiTo/ na '
= Fп V па • то =
- толщина).
2 2
2.0
1.8
1 6
1.4
0
-0.2
• -
¦==
у
/
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 10.18. Коэффициенты интенсивности напряжений.
644
10.17. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ДВУМЯ
КРАЕВЫМИ ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ СДВИГОВОЙ НАГРУЗКИ [<?/]
1
2L
S/W = 6
H/W= 1
t - толщина
Метод конечных элементов [31], погрешность 1-2% для 167 ^ a/W ^
s 0.833.
то =
1.5
- 1.0
0.5
у
/
f
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 10.19. Коэффициенты интенсивности напряжений.
10.18. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ЭКСЦЕНТРИЧНО
РАСПОЛОЖЕННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ СДВИГОВОЙ НАГРУЗКИ [31]
S/W = 6
Н/Н= 1
t - толщина
Co/W-1/З
Метод конечных элементов [31], погрешность 1-2% для 0.167 s a/W
? 0.833.
Ki = FiT</па '
' zo = P'
1.8
1.6
-4
-t
- 1.4
-0 2
P
с 1^4
1 2W "
-o-
t
-
FlI.^
1
Xf
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
c/W
Рис. 10.20. Коэффициенты интенсивности напряжений; буквы R и L
относятся к соответствующим вершинам трещины.
696
10.19. ОБРАЗЕЦ КРЕСТООБРАЗНОГО СВАРНОГО
СОЕДИНЕНИЯ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ ЧЕТЫРЕХТОЧЕЧНОЙ СДВИГОВОЙ
НАГРУЗКИ [34]
1,
о
s
* 1
1
в M
К M
Г
S
2L
m
Н/В = 0.72, 5/В = 4.32, W/B = 0.98,
Ь/В = 0.48, с/В = 0.8, Q/P = H/(S - Н).
Метод конечных элементов [34 ], погрешность менее 3% для
0.22 s a/W ? 0.53.
A"IR = Firtqv па , KUR = FUHrQV па (для вершины трещины /?),
= F1Lx0/ira , KUh
где т0 = (Я - Q)/BW0-
(Упа (Для вершины трещины
Из работы, представленной на Международную конференцию "Int.
Conf. and Exposition on Fatigue, Corrosion Cracking, Fracture
Mechanics and Failure Analysis" и опубликованной ASM (Dec. 1985),
Salt Lake City.
697
- 0.5
Рис. 10.21. Коэффициенты
интенсивности напряжений.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-0.5
-1.0
10.20. 5АЛКА с ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ [35; 36, 37]
CM
—
3
' \
j /
1
*
'I'
L f
Метод конечных элементов [35], погрешность менее 5%.
To =
5
W
jjfa, Э) = ^ 2
x0) = 0.3680 - 0.0717C + 0.0045/32,
2O) = 0.5450 + 0.49003 - 0.0209Э2,
2 < Э < 8, 0.1 ^ a ^ 0.8, t - толщина.
3.0
2.0
1.0
1
к-"
L ¦ 1
i
>——
-—*
_ ¦
i 1
S/W
г-
^—
>
1
= 8.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.2 0.4 0.6
a/S
0.8 1.0
Рис. 10.22. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.21. БАЛКА С ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ [35; 36]
ЗС
к \
W/2>
111
Т- а
L
L
I
\
\
р - интенсивность распределенной нагрузки
t - толщина
Метод конечных элементов [35], погрешность менее 5%.
Г
W
a(C) = 0.1635 - 0.01473|3 + 6.696-10C2 - 9.514-10C3,
2O) = 0.8797 + 0.33260|3 - 9.054«10C2 + 1.167-10C3-
O) = -1.396 - 0.2900C + 7.341-10~3Э2 - 9.763«10~5|33.
699
3.0
2.0
1.0
/,
/
i
S
—-•—
r*
—•—
L/W.
' .
'
—•-
40
20
12
8
^\
4
^
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/L
Рис. 10.23. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.22. ПОЛОСА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
ПО БЕРЕГАМ ТРЕЩИНЫ УСИЛИЙ ПРОДОЛЬНОГО
СДВИГА* [38; 39, 40]
©JJ®
life
1
3
CM
T T
Функция напряжений Вестергарда [38], точное решение.
Трещина типа III. - Прим. ред.
700
2.0
1.8
1.4
1.2
1.0
0.8
¦
¦
¦
1
/
[(о)
/
Таблица 10.4. Значения
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
а
а
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fill
1.004
1.017
1.040
1.075
1.128
1.208
1.336
1.565
2.113
Рис. 10.24. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.23. ПОЛОСА С ДВУМЯ КРАЕВЫМИ ТРЕЩИНАМИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
ПО БЕРЕГАМ ТРЕЩИНЫ УСИЛИЙ ПРОДОЛЬНОГО
СДВИГА [38; 39, 40]
©Ч1>©
©ш©
ё
Щ
©fm®
©fin©
Функция напряжений Вестергарда [38], точное решение.
F (а) = Г 2-
rniw [па
a -
701
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
-
-
-
-
-
-
1
У
/
Лиг
1
1
(а)
Таблица 10.5. Значения F (а)
а
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fin
1.004
1.017
1.040
1.075
1.128
1.208
1.336
1.565
2.113
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 10.25. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.24. ПОЛОСА С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО БЕРЕГАМ
ТРЕЩИНЫ УСИЛИЙ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА [40]
\
©ш©
©фф
©) Ь©
®<J И© \
I
Комплексная функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля
[40], точное решение.
Кт = W na '
W ¦
702
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
П Я
-
—
/
/
/
Таблица 10.6. Значения F (ос)
а
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fill
1.004
1.017
1.040
1.075
1.128
1.208
1.336
1.565
2.113
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
а
Рис. 10.26. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.25. ПОЛОСА С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПРИЛОЖЕННЫХ К БЕРЕГАМ ТРЕЩИНЫ
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ УСИЛИЙ ПРОДОЛЬНОГО
СДВИГА [40~\
Комплексная функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля
[40], точное решение.
К
ги
па ,
1 /?
Г тга у „ а
= { ifmra J • а = W ¦
703
2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
•
¦
FlI
ito/
/
1
Таблица 10.7. Значения F (а)
a
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fill
1.008
1.034
1.079
1.149
1.253
1.408
1.649
2.068
3.025
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
а
Рис. 10.27. Коэффициент интенсивности напряжений.
10.26. ПОЛОСА С УСТУПОМ И ТРЕЩИНОЙ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ НАГРУЗКИ [41]
лэ
t - толщина
Рациональная отображающая функция и теория функций комплексной
переменной [41].
is _
Д. —
1
п
1/2
т
х t(W9 - о)
1E»
15
" F
n
i/z
11 t(W9 - аI5 '
704
1.2
1.0
0.8
f
0.6
0.4
0.2
w,/w2
/
I
/-1.0
¦ 2.0~
/
У
/
1.122^
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W2
Рис. 10.28. Коэффициент интенсивности напряжений.
Таблица 10.8. Значения F
действием растягивающей нагрузки
и F для полосы с уступом и трещин
и,/ы2
a/W2
0.05
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.0
Fl
0.236
0.321
0.438
0.532
0.621
0.706
0.790
0.873
0.956
1.039
1.122
4/3
Fi
0.261
0.341
0.447
0.533
0.621
0.704
0.790
0.874
0.957
1.039
1.122
2.0
Fi
0.271
0.346
0.447
0.536
0.620
0.709
0.789
0.877
0.956
1.039
1.122
4.0
Fi
0.271
0.347
0.447
0.536
0.622
0.706
0.790
0.873
0.956
1.039
1.122
во
Fi FtI
0.286 0.008
0.350 0.002
0.449 0.002
0.538 0.002
0.623 0.001
0.707 0.000
0.791 0.000
0.874 0.000
0.957 0.000
1.039 0.000
1.122 0.000
10.27. ПОЛОСА С УСТУПОМ И ТРЕЩИНОЙ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА [41]
t - толщина
"С
У
45-1280
705
Рациональная отображающая функция и теория функций комплексной
переменной [41].
- a)
1.5
= F.
6MV и
II
- a)
1.5"
W,/к
г
2 = 2.0-
•4/3
- во
0.374
0.4
0.3
0.2
0.1
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W2
Рис. 10.29. Коэффициент
интенсивности напряжений /С
0.06
0.04
0.02 —
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 10.30. Коэффициент
интенсивности напряжений
Таблица 10.9. Значения Fj и Fj для полосы с уступом и трещиной под
действием изгибающего момента
W1/W2
a/W2
0.05
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
1.0
Fl
0.222
0.283
0.338
0.360
0.371
0.374
0.375
0.375
0.374
0.374
0.374
4/3
Fl
0.296
0.326
0.355
0.367
0.373
0.375
0.375
0.375
0.374
0.374
0.374
Fii
0.047
0.037
0.023
0.014
0.008
0.004
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
2.
Fi
0.307
0.333
0.357
0.368
0.372
0.374
0.375
0.374
0.374
0.374
0.374
0
Fn
0.063
0.051
0.033
0.020
0.011
0.006
0.002
0.001
0.000
0.000
0.000
4
Fl
0.308
0.333
0.357
0.367
0.372
0.374
0.374
0.374
0.373
0.373
0.374
.0
Fii
0.067
0.054
0.035
0.021
0.012
0.006
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
00
Fi
0.307
0.333
0.357
0.367
0.372
0.374
0.375
0.374
0.374
0.374
0.374
Fii
0.067
0.054
0.035
0.021
0.012
0.006
0.002
0.001
0.000
0.000
0.000
706
10.28. ОРТОТРОПНАЯ ПОЛОСА С ТРЕЩИНОЙ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ ДАВЛЕНИЯ, РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННОГО ПО БЕРЕГАМ ТРЕЩИНЫ [42]
а22 =
см
\
012 =
а'
о J*2
Метод сингулярных интегральных уравнений [42].
В задаче о плоском напряженном состоянии
.1/4
б =
11
:22
12
-и F - -У F F »
В задаче о плоской деформации
к-1
F F
С11С22
,1/2
Г ? ? 11/2
[ у 13 31' ^ 1 23 32; J
V =
+ V V ) 1
51 О1) Q 1 / I
l\ v )
Л
1/2
707
45»
14
12
10
iT 6
4
— ортотропная к = 1.2895
полоса «• 1.1175
— изотропная к=1
полоса 6»f1
Н/а = 0.75 Fta=Ft.
\ч
FII,A
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Н,/Н
¦ \
¦ \
\
1
1
Hi =Н2
к-1.2895
0.5 1.0
«Н/а
1.5
Рис. 10.31. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости
от Н/Н.
Рис. 10.32. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
5Н/а.
ю
и
V
V
V
S
,— к«
2, «=1/2
,к = & = \
к^« = « = 2
/
*¦
—
:
1 2
Н/а
\ г6
\^
-1/3
г'1
к3
" ¦
—¦—
н,=н2
к-1
=====
8 10
Н/а
Рис. 10.33. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
к, 5 и Н/а.
Рис. 10.34. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
5 и Н/а.
708
10
й 6
иГ 4
•
¦
I,A= Fl,B
v-
V/i
/ U / L
/ \ '
FII,A
= 0
= 1
г.;
.4,
.0.
ll,
— —
6Н
6Н
/а
/а
Pj-- р
в
= 0.
= 0.
I.B-
35
35
12
16
•Г 4
I
Л
ч
н,/<
1
= Н2/а
к = 2
- п.
= 0.35
2 4 6
S
8 10
Рис. 10.35. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
Я/Я, дН/а и к.
Рис. 10.36. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от 5.
10.29. ОРТОТРОПНАЯ ПОЛОСА С ТРЕЩИНОЙ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ СДВИГОВЫХ УСИЛИЙ, РАВНОМЕРНО
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО БЕРЕГАМ ТРЕЩИНЫ [42]
<
см
1
А
2а
т
з:
1 ¦ t
\ ^ 1
/ Vis
a22 =012 =0
Метод сингулярных интегральных уравнений [42].
, /Си = FuWna .
В задаче о плоском напряженном состоянии
¦[
,1/4
709
В задаче о плоской деформации
1 - v v
1/4
32
22
к 1 Г ,. ЕпЕгг 1
2 l^1 -yi3y3iHi -3уз2) J
1/2
12
'22
2 + V1ZVZZ
*7i
[ЕЕ 11/г
V ~ WaiHi -р2зуз2^ J '
У =
Р2ЭР31>
.1/2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Н,/Н
¦
1
\
-—
Н1-Н2
к - 1.2895
•
0.5 1.0
«Н/а
1.5
Рис. 10.37. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
Н /Н. Сплошные линии соответствуют ортотропной полосе (к = 1.2895,
5 = 1.1175), штриховые линии - изотропной полосе (к = 1, 5 = 1).
Рис. 10.38. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
8Н/а.
710
\
V
ч
.к »
<
2, &•
Н, =1
1/2
6 = 1
с = 5 =
¦-"
2 = Н
— —^
1 2
Н/а
1
1
•1/3
xi
—
н,-
к-
- —
н2
1
2 4 6
Н/а
8 10
Рис. 10.39. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
к, 5 и Н/а.
Рис. 10.40. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
5 и Н/а.
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
:
\
\
Н,/г
———
= Н2/а
к = 2
- —
»0.35
8 10
Рис. 10.41. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
Н/Н, 5Н/а и к.
Рис. 10.42. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от 3.
711
10.30. ПОЛОСА С ТРЕЩИНОЙ, ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ КРАЯМ,
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО СДВИГОВОГО
СМЕЩЕНИЯ [43]
2а
'///Л 'У-Г///////////А
///////////'III//////
Метод преобразования Фурье [43].
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
3 4
Н/а
Таблица 10.10. Значения F
и
Рис. 10.43. Коэффициент интенсивности
напряжений в зависимости от коэффициента
Пуассона v и отношения Н/а.
••и
Н/а
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.2
1.6
2.0
3.0
4.0
5.0
7.0
10.0
v«0
0.157
0.269
0.361
0.440
0.507
0.564
0.613
0.655
0.691
0.723
.0.774
0.844
0.888
0.943
0.966
0.978
0.988
0.994
v=1/3
0.179
0.303
0.402
0.483
0.548
0.600
0.644
0.679
0.710
0.736
0.779
0.842
0.883
0.938
0.963
0.975
0.987
0.994
v«1/2
0.193
0.324
0.426
0.506
0.569
0.618
0.657
0.689
0.715
0.738
0.777
0.836
0.876
0.933
0.959
0.973
0.986
0.993
712
10.31. ПОЛОСА С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ УСИЛИЙ
ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА, ПРИЛОЖЕННЫХ К БЕРЕГАМ
ТРЕЩИНЫ [44]
sc
»
b
Комплексная функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля [44],
точное решение.
1/2
*ш - S[ пБ )
1/2
при Я . « .
1/2
1/2
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
/
1
1
1
1
0 1.0 2,0 3.0 4.0 5.0
Ь/Н
Рис. 10.44. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от Ь/Н.
713
10.32. ПОЛОСА С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ УСИЛИЙ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА,
РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПО УЧАСТКУ БЕРЕГОВ ТРЕЩИН [44]
1999!
Ь
(
Комплексная функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля [44],
точное решение.
К
ш
f 26 11/2
Ui"J *
П - ехр(-тс6/ЯI
1/2"|
Т7г\
Кт = 2те [ " ] при Я ^ » .
2.0
1.0
у
0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
Ь/Н
Рис. 10.45. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от Ь/Н.
714
10.33. ПОЛОСА С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПРИ СМЕЩЕНИЯХ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА НА КРАЯХ [44]
Комплексная функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля [44],
точное решение.
KUI = GhB/HI/2 (G - модуль сдвига).
10.34. ПОЛОСА С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СОСРЕДОТОЧЕННЫХ УСИЛИЙ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА,
ПРИЛОЖЕННЫХ К БЕРЕГАМ ТРЕЩИНЫ [44]
[
Комплексная функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля [44],
точное решение.
KU1 = Fm(a.
Fm(a. Э) =
, a = ? , 0 = g
m
К
111 ir(a2 - d2I'2
па , если W » a.
715
Таблица 10.11. Значения F Jot, |3)
in4
а
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0.0
2.544
.845
1.572
.450
.414
.450
1.572
.845
2.544
0.2
2.596
1.880
1.600
1.473
1.432
1.464
1.583
1.851
2.547
0.4
2.772
2.002
1.696
1.550
1.495
1.514
1.620
1.875
2.557
0.6
3.171
2.279
1.914
1.730
1.644
1.634
1.712
1.937
2.586
0.8
4.218
3.010
2.498
2.218
2.058
1.984
1.996
2.147
2.702
Рис. 10.46. Коэффициент
интенсивности напряжений
в зависимости от а.
10.35. ПОЛОСЫ С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ,
ОДНОЙ ИЛИ ДВУМЯ КРАЕВЫМИ ТРЕЩИНАМИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
УСИЛИЙ ПРОДОЛЬНОГО СДВИГА [38, 40; 39]
©
О
о
0
0
©
0
О
©
UQ
©
©
©
©
0
0
U0
©
©
0
I
CNJ
V -:
А ¦
ф
ф
ф
фи
ф
ф
ф
ф
ф
Фи
ф
ф
ф
ф
ф
Фи
ф
ф
ф
716
Функция напряжений Вестергарда [38], точное решение; комплексная
функция напряжений и отображение Шварца-Кристоффеля [40], точное
решение.
a = f
2.0
1.8
1.6
H 1.4
1.2
1.0
¦
¦
•
-
-
1
У
/
1
Таблица 10.12. Значения F (a.)
IIP
a
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fill
1.004
.017
.040
.075
.128
.208
.336
1.565
2.113
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a
Рис. 10.47. Коэффициенты
интенсивности напряжений
в зависимости от а.
10.36. СТЕРЖЕНЬ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ С КРАЕВОЙ
РАДИАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВАЮЩЕГО ИЛИ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТОВ [45]
Методы теории функций комплексного переменного [45], точное решение.
В случае кручения
1— = -0.969274
111 5(9я2 - 64) а
5/2
1П
В случае изгиба
З2/27Г f 12 + lit; ^ 0.824927 + 0.928043i;
К
111
v)
W
3/2
-1-у A.375776 + 1.354244»)
(у - коэффициент Пуассона).
10.37. СТЕРЖЕНЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ С
ДВУМЯ КРАЕВЫМИ ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВАЮЩЕГО МОМЕНТА [46]
а
Т
г \
2W
а
Я
Метод продолжения гармонической функции и метод податливости [46].
Т
W W
2.5 ¦
6С
50
40
30
20
10
Рис. 10.48. Коэффициент интенсивности
напряжений в зависимости от a/W.
/
—-—-
H/W =
/
У
"
,/
/
0.5
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
718
л
*—* 2
/
/
/
/н/w
¦ 1.0
2.0
-
\
0.5
0.4
.0.3
\,г
0.1
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
а/Н
/
н/
/
/-5
\ "Ч
10
\
N.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 10.49. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/W.
Рис. 10.50. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/W.
Таблица 10.13. Значения F(a/W, H/W) для стержня прямоугольного
сечения с двумя краевыми трещинами при кручении
H/W
a/W
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.2
15.167
18.404
20.206
21.599
22.894
24.221
25.641
27.228
28.997
31.002
33.291
35.919
38.939
42.369
46.114
49.649
51.951
50.420
0.5
3.5426
4.6061
5.3436
5.9542
6.5083
7.0463
7.5863
8.1527
8.7543
9.3861
10.045
10.714
11.356
11.903
12.249
12.238
11.663
10.226
1.0
1.3858
1.8334
2.1690
2.4474
2.6970
2.9316
3.1547
3.3674
3.5718
3.7641
3.9345
4.0729
4.1641
4.1900
4.1208
3.9267
3.5776
3.0163
2.0
0.61301
0.79714
0.93640
1.0489
1.1439
1.2253
1.2952
1.3S39
1.4010
1.4348
1.4545
1.4574
1.4396
1.3979
1.3285
1.2260
1.0830
0.88685
5.0
0.23460
0.28260
0.32088
0.35134
0.37510
0.39305
0.40599
0.41417
0.41776
0.41676
0.41110
0.40047
0.38488
0.36387
0.33650
0.30212
0.25952
0.20711
10.0
0.13067
0.14580
0.15832
0.16831
0.17596
0.18144
0.18474
0.18594
0.18512
0.18237
0.17767
0.17088
0.16200
0.15093
0.13764
0.12202
0.10382
0.082669
719
10.38. СТЕРЖЕНЬ ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВЮЩЕГО МОМЕНТА [46; 47]
Метод продолжения гармонической функции и метод податливости [46].
К
П1
W ' W J WZ.5 ¦
60
50
~ 40
^30
20
10
—¦
/
/
'h2/w
0.25
н,=н2
—\
\
= 0.1
\
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
/
/
^—
н2
/w =
—.
0.
1
>
.0
s
4
Я,-
\
\
\
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 10.51. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/W.
Рис. 10.52. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/W.
720
0.5
0.4
i 0.3
0.2
0.1
/
/
I
H2/W =
5.0
= 2.5
\
\
\
\
\|
\
Sv
4
\
\
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
W = H, + H2
H2/W«0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 10.53. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/W.
Рис. 10.54. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/W.
Таблица 10.14. Значения F(a/W, H2/W) для стержня прямоугольного
сечения с краевой трещиной при кручении (// = Н )
(H, • Н2)
а/Ы
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.7S
0.80
0.85
0.90
0.10
17.355
20.044
21.395
22.483
23.687
25.070
26.560
28.236
30.135
32.303
34.790
37.651
40.924
44.573
48.306
51.316
51.445
45.199
0.20
6.0942
7.5775
8.4240
9.0906
9.7208
10.371
11.074
11.847
12.694
13.614
14.589
15.572
16.466
17.710
17.237
16.485
14.481
11.017
0.25
4.4347
5.6166
6.3455
6.9182
7.4473
7.9792
8.5357
9.tO81
9.7291
10.387
11.093
11.597
12.020
12.165
11.861
10.942
9.2492
6.7580
0.50
1.0
1.7945 0.78944
2.3603
2.7460
3.0531
3.3178
3.5539
3.7658
3.9507
4.1004
4.2018
4.2381
4.1898
3.7648
3.3628
2.8350 (
2.1976
1.4870
.0337
.1989
.3274
.4134
.4856
.5250
.5460
.5154
.4546
.3689
.2539
.1115
).94758
).76357
).56626
5.36796
2.5
0.28278
0.35231
0.39894
0.42930
0.44759
0.45659
0.45626
0.44863
0.43409
0.38593
0.35337
0.31570
0.27364
0.22829
0.18042
0.13146
0.083846
5.0
0.14626
0.17062
0.18746
0.19801
0.20369
0.20503
0.20273
0.19722
0.18887
0.17795
0.16475
0.14948
0.13243
0.11394
0.094326
0.074009
0.0S3634
0.034092
46-1280
721
Таблица 10.15. Значения F(a/W, H /W) для стержня прямоугольного
сечения с краевой трещиной при кручении (W = И^ + Н2)
H2/W
H1+H2)
a/W
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
0.80
0.85
0.90
0.10
0.84847
.0932
.2556
.3782
.4733
.5463
.5998
.6345
.6501
.6454
.6184
.5569
.4878
.3778
.2337
.0524
0.83282
0.57933
0.20
1.3027
1.6779
1.9157
2.0941
2.2350
2.3487
2.4379
2.5022
2.5388
2.5433
2.5102
2.4335
2.3070
2.1254
1.8855
1.5878
1.2353
0.84206
0.30
1.5869
2.0667
2.3803
2.6191
2.8155
2.9783
3.1182
3.2334
3.3121
3.3492
3.3376
3.2590
3.1028
2.8679
2.5463
2.1410
1.6596
1.1238
0.40
1.7459
2.2909
2.6541
2.9415
3.1886
3.4044
3.5948
3.7573
3.8845
3.9646
3.9828
3.9261
3.7693
3.4994
3.1194
2.6279
2.0369
0.50
1.7945
2.3603
2.7460
3.0531
3.3178
3.5539
3.7658
3.9507
4.1004
4.2018
4.2381
4.1898
4.0377
3.7648
3.3628
2.8350
2.1976
1.4870
10.39. СТЕРЖЕНЬ КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ С РАДИАЛЬНЫМИ
КРАЕВЫМИ ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВАЮЩЕГО МОМЕНТА [48]
N - число трешин
е = 2tt/N
Техника конформных отображений, метод продолжения гармонической
функции и метод податливости [48].
= F[N' ?' ?) -цг
722
1.4
1.2
1.0
П Q
и .о
0.6
0.4
0.2
N» 1
t/r
J
k
V
1.4
1.2
-« 1-0
.0.8
2 0.6
U.
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/t
№2
t/r
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/t
Рис. 10.55. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
Рис. 10.56. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
1.4
1.2
*^*
•a
• 0.8
s-
~%,
ж.6
0.4
0.2
N = 3
/
t/r
1.4
1.2
1.0
0.8
0.4
0.2
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/t
N = 4
/
г//
t/r=1
у
ft
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/t
Рис. Ю.о7. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
Рис. 10.58. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
723
Таблица 10.16. Значения F(N, t/r, a/t) для стержня круглого сечения
с радиальными краевыми трещинами при кручении
a/t
N
N
N
N
= 1
- 2
• 3
> 4
t/r
1
2
5
1
2
5
1
2
5
1
2
5
0.1
0.3103
0.3168
0.3345
0.2771
0.2928
0.3172
0.2676
0.2868
0.3140
0.2636
0.2847
0.3132
0.2
0.3889
0.4071
0.4370
0.3743
0.4015
0.4389
0.3717
0.4028
0.4445
0.3715
0.4052
0.4500
0.3
0.4595
0.4831
0.5192
0.4546
0.4892
0.5378
0.4566
0.4985
0.5565
0.4602
0.5077
0.5731
0.4
0.5267
0.5517
0.5908
0.5287
0.5695
0.6299
0.5360
0.5897
0.6678
0.5445
0.6092
0.7013
0.5
0.5966
0.6193
0.6576
0.6042
0.6495
0.7208
0.6174
0.6834
0.7836
0.6322
0.7165
0.8397
0.6
0.6778
0.6932
0.7247
0.6891
0.7351
0.8119
0.7082
0.7838
0.9012
0.7300
0.8331
0.9819
0.7
0.7865
0.7857
0.7993
0.7971
0.8346
0.9005
0.8208
0.8955
1.0071
0.8489
0.9600
1.1031
0.8
0.9674
0.9282
0.8987
0.9625
0.9697
0.9826
0.9854
1.0307
1.0731
1.0164
1.1005
1.1521
0.9
1.4318
1.2510
1.0950
1.3284
1.2317
1.0752
1.3257
1.2562
1.0715
1.3454
1.2982
1.0712
10.40. СТЕРЖЕНЬ, ИМЕЮЩИЙ СЕЧЕНИЕ В ВИДЕ
СЕКТОРА КРУГОВОГО КОЛЬЦА, С РАДИАЛЬНОЙ
КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВАЮЩЕГО МОМЕНТА [49]
Техника конформных отображений, метод продолжения гармонической
функции и метод податливости [49].
Т< 7
724
10
- 6
» 4
/
/
\ -
*" '
0.5
0?Г"-
вчг/8
5
\
\
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/t
/
/
/
/
/
^-
~-
\t/r =
\
\
0.2^
9 = ?/4
5
\
\
\
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/t
Рис. 10.59. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
Рис. 10.60. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
1.4
1.2
1.0
;о.8
щО.6
0.4
0.2
/
/
/
/
/
^-—
t/r
\
\
к
\
9=и/2
\
\
\
V
\
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.6
0.5
- 0.4
^ 0.3
0.2
0.1
/
/
/
*
t/r
¦\
\
X
>
9=?
\
N
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/t
Рис. 10.61. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
Рис. 10.62. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от a/t.
725
Таблица 10.17. Значения F(Q, t/r, a/t) для стержня, имеющего сечение
в виде сектора кругового кольца, с радиальной краевой трещиной
при кручении
a/t
t/r
в = тг/8 0.2
0.5
1
г
5
6-1/4 0.2
0.5
1
2
5
8 = 71/2 1
2
5
в = 7Г 1
2
5
0.1
0.4155
1.0115
1.8904
3.3428
5.9331
0.2080
0.4498
0.7976
1.2966
2.1046
0.3635
0.5590
0.8436
0.1892
0.2695
0.3814
0.2
0.5123
1.3140
2.4844
4.3364
7.5279
0.2332
0.5571
1.0282
1.7003
2.7467
0.4410
0.7065
1.0895
0.2076
0.3134
0.4635
0.3
0.546S
1.4958
2.8942
5.0171
8.5230
0.2406
0.6069
1.1518
1.9677
3.1861
0.4787
0.7912
1.2492
0.2133
0.3357
0.5133
0.4
0.5428
1.5776
3.1717
5.4857
9.0181
0.2329
0.6128
1.2234
2.1354
3.4692
0.4842
0.6270
1.3462
0.2079
0.3386
0.5358
0.5
0.4957
1.5661
3.2990
5.7003
8.9065
0.2092
0.5791
1.2107
2.1889
3.5520
0.4599
0.8151
1.3745
0.1918
0.3232
0.5318
0.6
0.4364
1.4474
3.2088
5.5682
8.1318
0.1771
0.5115
1.1142
2.0917
3.3695
0.4077
0.7513
1.3179
0.1653
0.2895
0.4985
0.7
0.3392
1.2049
2.8276
4.9909
6.7759
0.1307
0.4081
0.9285
1.8109
2.8868
0.3291
0.6314
1.1579
0.1300
0.2375
0.4324
0.8
0.2308
0.8495
2.1225
3.8977
5.0244
0.0874
0.2756
0.6588
1.3401
2.1339
0.2267
0.4553
0.8832
0.0858
0.1674
0.3293
0.9
0.1009
3.4170
1.1324
2.2472
2.8521
0.0240
0.1301
0.3272
0.7061
1.1654
0.1082
0.2313
0.4900
0.0329
0.0826
0.1823
10.41. СТЕРЖЕНЬ, ИМЕЮЩИЙ СЕЧЕНИЕ В ВИДЕ
СЕКТОРА КРУГОВОГО КОЛЬЦА, С ОКРУЖНОЙ
КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВАЮЩЕГО МОМЕНТА [49]
Техника конформных отображений, метод продолжения гармонической
функции и метод податливости [49].
К
П1
*' Г' V Q J ,2.5 •
726
2.0
1.6
1.2
«Г 0.8
0.4
е = тг/41
't/r = U
¦'/
0.5/
J.
— /
= 0.1
^\
\
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
в, /в
t/r= 1
/
A
0.9
0.5
~~ ч i
0
—i i.
t-0.1
.0.3V
\
л
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
e,/e
Рис. 10.63. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
в/в.
Рис. 10.64. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
в/в.
1.2
1.0
CD
~г о.8
CD
¦*->
\ 0.6
и
4J
? 0.4
ti-
0.2
5
t-0.1
0.5/
0
—
.3
к
N
2.0
„ 1.6
1.2
0.8
0.4
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
е,/е
е = тг/2
' t/r = 1
к
0.9\
.^
= 0 1
07^\
\
\
\
V
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
е,/е
Рис. 10.65. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
в/в.
Рис. 10.66. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
в/в.
727
Таблица 10.18. Значения F(9, t/r, s/t, Q^/Q) для стержня, имеющего
сечение в виде сектора кругового кольца, с окружной краевой
трещиной при кручении
в|/е
е-»/4
t/г-0.5
в-тг/4
t/r-1
«•»/2
t/r-0.5
е-тг/2
t/r- 1
s/t
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0.1
0.3
0.5
0.7
0.9
0.1
0.4549
0.8515
1.0023
0.8901
0.4850
0.8454
1.6181
1.8756
1.6592
0.8940
0.2262
0.3957
0.4621
0.4179
0.2465
0.3680
0.6786
0.8109
0.7368
0.4152
0.2
0.5654
1.0412
1.2371
1.0928
0.6141
1.0679
2.0425
2.4260
2.1177
1.1482
0.2607
0.4530
0.5264
0.4760
0.2878
0.4478
0.8167
0.9802
0.8895
0.5213
0.3
0.6298
1.1859
1.4243
1.2347
0.6359
1.2063
2.3559
2.8301
2.4017
1.2920
0.2769
0.4996
0.5888
0.5214
0.3058
0.4934
0.9269
1.1214
0.9970
0.5779
0.4
0.6721
1.3279
1.6292
1.3677
0.7284
1.2947
2.6265
3.1857
2.5901
1.3597
0.2893
0.5528
0.6651
0.5728
0.318:
0.5247
1.0410
1.2805
1.0997
0.6104
0.5
0.6989
1.4746
1.8535
1.4890
0.7487
1.3371
2.8466
3.4660
2.6666
1.3554
0.3008
0.6162
0.7626
0.6329
0.3290
0.5480
1.1655
1.4684
1.2023
0.6283
0.6
0.7071
1.5995
2.0729
1.5730
0.7425
1.3254
2.9445
3.5815
2.5829
1.2716
0.3116
0.6918
0.8886
0.7028
0.3389
0.5621
1.2928
1.6722
1.2864
0.6277
0.7
0.6841
1.6467
2.1887
1.5582
0.6947
1.2348
2.8071
3.3702
2.2722
1.0972
0.3196
0.7756
1.0402
0.7737
0.3434
0.5577
1.3830
1.8321
1.3030
0.5953
0.8
0.6033
1.4902
2.0056
1.3351
0.5841
1.0269
2.2936
2.6759
1.6988
0.8180
0.3140
0.8280
1.1624
0.7992
0.3297
0.5135
1.3335
1.7737
1.1542
0.5055
0.9
0.4155
0.9688
1.2786
0.8107
0.3609
0.6420
1.3262
1.4782
0.8966
0.4335
0.2609
0.6972
0.9903
0.6287
0.2539
0.3792
0.9445
1.2120
0.7251
0.3157
10.42. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С ПОЛУКРУГОВОЙ
ПОВЕРХНОСТНОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАВНОМЕРНОГО СДВИГОВОГО СМЕЩЕНИЯ [50]
W/t= 1
H/t = 1
a/t = 0.4
Метод конечных элементов [50], погрешность 10%.
а/п (т0 - среднее сдвиговое напряжение).
1 .Э
1.0
м
м
м
j? 0.5
U-
0
-0.5
' /
К
и
i/.
' W/t
H/t
L
'/¦
—О—п
= 0.4
= 1
= 1
I
\
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2Ф/1Г
Рис. 10.67. Распределение коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль фронта полукруговой поверхностной трещины.
10.43. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С УГЛОВОЙ
ТРЕЩИНОЙ В ВИДЕ ЧЕТВЕРТИ КРУГА ПОД
ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО СДВИГОВОГО
СМЕЩЕНИЯ [50]
Uo = 0
W/t = 1
H/t= 1
a/t = 0.4
Метод конечных элементов [50], погрешность 10%.
а/и •
а/п '
/С1П = /rIII2TQv а/п (т0 - среднее сдвиговое напряжение).
729
1.5 -
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.5
Рис. 10.68. Распределение коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль фронта угловой поверхностной трещины, имеющей форму четверти
круга.
10.44. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С КРАЕВОЙ
ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НАГРУЖЕНИЯ
ПРОДОЛЬНЫМ СДВИГОМ [50; 51]
V
Нагружение продольным сдвигом при четырехточечном
изгибе образца с краевой трещиной
730
w0 . "о = vo = 0
1
1
/ /
^ а
/
И
/\
i
w
¦К
У
/ /
х
7
Прямоугольная пластина с краевой трещиной
в условиях смещения продольного сдвига
(центральная часть образца)
Метод конечных элементов [50], погрешность 10%.
ro =
(т - среднее сдвиговое напряжение).
3.0
. 2.0
1.0
B/W = С
^^
. вл
S
Fill
л/
= 0
\
) 2
a/V
H'l
1
s
\
\
>v
--
0.5
0.5.
X
у
4.0
3.0
2.0
1.0
1
J
H/W
B/W
= 0.5
= 0.1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2Z/B
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 10.69. Распределение коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль берега краевой трещины в прямоугольной пластине при нагружении
продольным сдвигом.
Рис. 10.70. Коэффициент интенсивности напряжений в срединной плос-
плоскости Кттти в зависимости от a/W.
I i in
731
ЛИТЕРАТУРА
1. Kitagawa H., Yuuki R. Analysis of arbirarily shaped crack in a
finite plate using conformal mapping. 1st Report. Construction
of analysis procedure and its applicability. - Trans. JSME,
1977, 43, No. 376, p. 4354-4362.
2. Wilson W.K. Numerical method for determining stress intensity
factors of an interior crack in a finite plate. - Trans. ASME,
Ser. D, J. Basic Engng., 1971, 93, p. 685-690.
3. Murakami Y. Numerical method for stress intensity factors of a
crack in the arbitrarily shaped plate. - Trans. JSME, 1977, 43,
No. 370, p. 2022-2031.
4. Murakami Y. Application of the body force method to the
calculation of stress intensity factors for a crack in the
arbitrarily shaped plate. - Engng. Fract. Mech., 1978, 10, p.
497-513.
5. Tamate. O., Iwasaka N. Tensile stress field of strip with an
eccentric straight crack. - Trans. JSME, 1976, 42, No. 356, p.
1054-1060.
6. Wang S.S., Yau J.F., Corten H.T. A mixed-mode crack analysis of
rectilinear anisotropic solids using conservation laws of
elasticity - Int. J. Fract., 1980, 16, No. 3, p. 247-259.
7. Chow C.L., Lau K.J. A conic-section simulation analysis of
two-dimensional fracture problems using the finite element
method. - Int. J. Fract., 1976, 12, No. 5, p. 669-684.
8. Bowie O.L. Solutions of plane crack problems by mapping
technique. - In: Mechanics of Fracture. Vol. 1. Methods of
Analysis and Solutions of Crack Problems (G.C. Sih, ed.). -
Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1973, p. 1-55.
9. Wilson W.K. Research Report 69-1E7-FMECH-R1, Westinghouse
Research Laboratories, Pittsburgh, 1969.
10. Murakami Y. A simple procedure for the accurate determination of
stress intensity factors by finite element method. - Trans. JSME, 1976,
42, No. 360, p. 2305-2315.
11. Murakami Y. A simple procedure for the accurate determination of
stress intensity factors by finite element method. - Engng.
Fract. Mech., 1976, 8, p. 643-655.
12. Atkinson C, Smelser R.E., Sanchez J. Combined mode fracture via
the cracked Brazilian disk test. - Int. J. Fract., 1982, 18, No.
4, p. 279-291.
13. Awaji H., Sato S. Combined mode fracture toughness measurement
732
by the disk test. - Trans. ASME, J. Engng. Mater, and Technol.,
1978, 100. p. 175-182.
14. Isida M. Arbitrary loading problems of doubly symmetric regions
containing a central crack. - Engng. Fract. Mech., 1975, 7, p.
505-514.
15. Kitagawa H., Yuuki R., Tohgo K. Fatigue crack growth
characteristics of mixed mode cracks. - Trans. JSME, Ser. A,
1981, 47, No. 424, p. 1283-1292.
16. Kitagawa H., Yuuki R., Tohgo K., Kakuta Y. Fracture mechanics
approach to the fatigue crack growth on high strength steel
plate under in-plane biaxial loads. - Trans. JSME, Ser. A,
1979, 45, No. 395, p. 707-716.
17. Kitagawa H., Yuuki R., Tohgo K. Fracture mechanics approach to
the fatigue crack growth under in-plane biaxial loads. 2nd
Report. Analysis of stress intensity factors for a crack in
the cruciform specimen. - Monthly J. Inst. Ind. Sci., Univ. Tokyo, 1978,
30, No. 10, p. 395-398.
18. Kitagawa H., Yuuki R., Tohgo K., Tanabe M. A/C-dependency of
fatigue growth of single and mixed mode cracks under biaxial
stress. - ASTM STP 853, 1985, p. 164-183.
19. Otsuka A., Tohgo K-, Matsuyama H. Fatigue crack initiation and
growth in aluminum alloys 2017-T3 and 7075-T6 under mixed
mode loading. - Preprint of the 3rd Fracture Mechanics Symp.,
Soc. Mater. Sci., Japan, 1985, p. 46-50.
20. Richard H.A., Benitz K. A loading device for the creation of
mixed mode in fracture mechanics. - Int. J. Fract., 1983, 22,
No. 2, p. R55-R58.
21. Richard H.A. A new compact shear specimen. - Int. J. Fract.,
1981, 17, No. 5, p. R105-R107.
22. Ichikawa M., Takamatsu T. Fracture toughness test for the thin
plate under mode II loading. - Trans. JSME, Ser. A, 1985, 51,
No. 464, p. 1115-1121.
23. Jones D.L., Chisholm D.B. An investigation of the edge-sliding
mode in fracture mechanics. - Engng. Fract. Mech., 1975, 7, p.
261-270.
24. Hoyniak D., Conway J.C. Finite element analysis of the compact
shear speciment. - Engng. Frac. Mech., 1979, 12, p. 301-306.
25. Pook L.P., Greenan A.F. Fatigue crack growth threshold in mild
steel under combined loading. - ASTM STP 677, 1979, p. 23-35.
26. Wat kins J. Fracture toughness test for soil-cement samples in
733
mode II. - Int. J. Fract., 1983, 23, No. 4, p. R135-R138.
27. Buzzard R.J., Gross В., Srawley J.E. Mode II fatigue crack
growth speciment development. - NASA Technical Memorandum 83722,
1984.
28. Banks-Sills L, Arcan M., Gabay H. A mode II fracture speciment
-Finite element analysis. - Engng. Fract. Mech., 1984, 19, No. 4,
p. 739-750.
29. Banks-Sills L., Arcan M., Bortman Y. A mixed mode fracture
specimen for mode II dominant deformation. - Engng. Fract. Mech.,
1984, 20, No. 1, p. 145-157.
30. Otsuka A., Tohgo K-, Kiba Т., Yamada S. Mode II fatigue crack
growth characteristics and mechanism in aluminum alloy
7N01-T4 weldments under mode II loading. - In: Advances in
Fracture Research. Proc. 6th Int. Conf. on Fract. (ICF 6), New
Delhi, 4-10 Dec, 1984. Vol. 3. - Oxford: Pergamon, 1984, p.
1671-1678.
31. Otsuka A., Miyata Т., Tohgo K., Yamada S., Kiba T. Investigation
of mode II fatigue characteristics of aluminum alloy weldments
using four-point-shear loading test technique. - Preprint of the
16th Fatigue Symp., Soc. Mater. Sci., Japan, 1982, p.26-30.
32. Wang K.J-, Hsu C.L., Kao H. Calculation of stress intensity
factors for combined mode bend specimens. - In: Advances in
Research on the Strength and Fracture of Materials: Proc. 4th
Int. Conf. on Fracture (ICF4), Waterloo, June 1977. Vol. 4. -
N.Y.: Pergamon, 1977, p. 123-133.
33. Hua G., Brown M.W., Miller K.J. Mixed-mode fatigue thresholds. -
Fatigue Engng. Mater, and Struct., 1982, 5, No. 1, p. 1-17.
34. Otsuka A., Tohgo K., Skjolstrup C.E. Fatigue crack growth in
high strength aluminum alloy weldments under mode II loading.
- In: The Mechanism of Fracture. Proc. of Int. Conf. and
Exposition on Fatugue, Corrosion Cracking, Fracture Mechanics
and Failure Analysis, 2-6 Dec. 1985, Salt Lake City. (V.S.
Goel, ed.). Amer. Soc. for Metals, p. 265-275.
35. Barrett J.D., Foschi R.O. Mode II stress-intensity factors for
cracked wood beams. - Engng. Fract. Mech., 1977, 9, p. 371-378.
36. Pook L.P. Approximate stress intensity factors obtained from
simple plate bending theory. - Engng. Fract. Mech., 1979, 12,
No. 4, p. 505-522.
37. Raju K.R. On the sliding mode stress intensity factors for a
three-point bend /CIT specimen and mode II fracture toughness. -
734
Int. J. Fract., 1981, 17, No. 6, p. R193-R197.
38. Irwin G.R. Analysis of stresses and strains near the end of a
crack traversing a plate. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech.,
1957, 24, p. 361-364.
39. Paris P.C., Sih G.C. Stress analysis of cracks. - ASTM STP 381,
1965, p. 30-83.
40. Sih G.C. External cracks under longitudinal shear. - J. Franklin
Inst., 1965, 280, No. 2, p. 139-149.
41. Hasebe N.. Matsuura S., Kondo N. Stress analysis of a strip with
a step and a crack. - Engng. Fract. Mech., 1984, 20, No. 3, p.
447-462.
42. Cinar A., Erdogan F. The crack and welding problem for an
orthotropic strip. - Int. J. Fract., 1983, 23, No. 2, p. 83-102.
43. Fichter W.B. The shear-stress intensity factor for a centrally
cracked stiff-flanged shear web. - Int. J. Fract., 1976, 12, No.
2, p. 265-271.
44. Sih G.C., Chen E.P. Moving cracks in a finite strip under tearing
action. - J. Franklin Inst., 1970, 290, No. 1, p. 25-35.
45. Sih G.C. Strength of stress singularities at crack tips for
flexural and torsional problems. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl.
Mech., 1963, 30, p. 419-425.
46. Chen Yi-Zhou Solutions of torsion crack problems of a
rectangular bar by harmonic function continuation technique.
Engng. Fract. Mech., 1980, 13, p. 193-212.
47. Westmann R.A., Yang W.H. Stress analysis of cracked rectangular
beams. - Trans. ASME, Ser. E, Appl. mech., 1967, 34, p. 693-701.
48. Chen Yi-Zhou, Chen Yi-Heng. Third stress intensity factors of
torsion crack bar with ring sections. - Engng. Fract. Mech.,
1983, 17, No. 1, p. 87-94.
49. Chen Yi-Zhou, Chen Yi-Heng. Elastic analysis of crack problems
of a bar with ring segment sections. - Int. J. Fract., 1983, 22,
p. 3-14.
50. Tohgo K... Otsuka A., Yuuki R. Fatigue crack growth of a mixed
mode three-dimensional crack. - 1st Report, Analysis of Stress
Intensity Factors of Mixed Mode Three-dimensional Cracks Based
on the /-integral Concept. - Trans. JSME, Ser. A, 1986, 52, No.
476, p. 909-918.
51. Otsuka A., Tohgo K., Yoshida T. Fatigue crack growth in aluminum
alloy plate under out-of-plane shear loading. - Preprint of
Japan Soc. Strength and Fract. Mater., 1985, p. 38-41.
735
11. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТИ О ТРЕЩИНАХ
11.1. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА БЕРЕГАХ
ТРЕЩИНЫ В ПЛОСКОСТИ [/; 2, 3]
Берега трещины поддерживаются при одной
и той же постоянной температуре
. Т - градиент температур
в направлении оси у
tu1—¦¦— )
а -4— а —1
Метод комплексной переменной [1], точное решение
Та
1/2
A + k) n1
(a - коэффициент температурного расширения,
к - коэффициент теплопроводности).
11.2. РАВНОМЕРНО НАГРЕТАЯ ПЛОСКОСТЬ С ЖЕСТКИМ
ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ [4]
Т - постоянная разность температур
между включением и плоскостью
|— а -4— а —I
Теплоизолированное жесткое включение
в плоскости
Метод непрерывно распределенных дислокаций [4], точное решение.
л/г.
. L\ „1/6 C-'/V 1 /О
736
11.3. РАВНОМЕРНО НАГРЕТАЯ ПЛОСКОСТЬ С УПРУГИМ
ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ [5]
f////////l/i>///V/i
Т - постоянная разность температур
между включением и плоскостью
¦ X
I. х:
Упругое теплопроводящее включение в плоскости
(плоская деформация)
Метод непрерывного распределения дислокаций [5"].
,1/2
№ 5, А),
»-?=-'
4У)A
2A -р)A
I = °'
A - 2p)pIc|A + р,
А =
Индексом (с) отмечены величины, относящиеся к теплопроводящему тон-
тонкому включению.
1.0
0.8
0.6
Г. 0.4
0.2
\
ч
\
д=о
6=0
v=0.3
\
\
]
Рис. 11.1. Коэффициент интенсивности
°-5 '-о °-5 ° напряжений в случае, когда тепло
1/в не передается в тонкое включение.
47-1280
737
11.4. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ВОЗМУЩЕННЫЙ
ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОЙ ТРЕЩИНОЙ [6; 1, 3, 7-9]
\-.Ч 1
'//
Q - невозмущенный градиент
температур
Метод комплексной переменной [6], точное решение.
11.5. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ВОЗМУЩЕННЫЙ
ЖЕСТКИМ ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ [4; 9]
k. '-J-. -4
Q - невозмущенный
градиент температур
' ' ' ' f *'*
Теплоизолированное жесткое
включение в плоскости
Метод непрерывного распределения дислокаций [4], точное решена
(B точке А)<
д
п1/гЕ'а
К
a3/2
и,в
Qa3/2sin^ (в точке В).
738
11.6. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ВОЗМУЩЕННЫЙ
УПРУГИМ ТЕПЛОПРОВОДЯЩИМ ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ [5; 10]
V- /\- \ Л
Q - невозмущенный
градиент температур
Упругое теплопроводящее
включение в плоскости
(плоская деформация)
Метод непрерывного распределения дислокаций [5Ш].
г1/2
4C S-
. ft 5, A),
l,B
А
A> K
U,B
C - 4u)(l + v)H{c)h
8 = Г7
48A -
C-
, А =
2A -
- vZlc))Ea3
Индексом (с) отмечены величины, относящиеся к теплопроводящему тон-
тонкому включению.
739
47»
3.0
F,
2.0
1.0
-1.0
-г.о
"——
— _
0.5
2.0
10.0
Л
t
^.
..
т^
,
* =
V =
- 0 5
= 2.0
0.0
0.3
3.0
2.0
1.0
-1.0
-2.0
-3.0
Л=10.0
^0
\
В = 0.5
5 = 0.0 .
v - 0.3
Ч
\\
\\\
о -
0.5 1.0 0.5
1/В
0.5 1.0 0.5
Рис. 11.2. Коэффициент интенсивности напряжений F (Л, Э, О, А).
Рис. 11.3. Коэффициент интенсивности напряжений F (Л, Э. 0. Д)-
11 A
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1
\
\
\
0 0.5 1.0 0.5 0
Рис. 11.4. Коэффициент интенсивности напряжений Fu
740
11.7. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ПОЛУПЛОСКОСТИ,
ВОЗМУЩЕННЫЙ ТРЕЩИНОЙ [11; 12]
Q - невозмущенный
градиент температур
Метод непрерывного распределения дислокаций [11].
I.B
II,А
П,В
0.25
Ft
0.20
0.15
0.10
0.05
3)
Э)
1, Э)
= rf/a.
1
\^
А
в
В--15-
/у-зоо
/у/
-75°
=====
=====
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 б.0
Рис. 11.5. Коэффициент интенсивности напряжений
А и В.
), Э) в точках
741
1.0
Рис. 11.6. Коэффициент интенсивности
напряжений F^iV, Э) в точках А и В.
-1.0
-2.0
-3.0
\ \
¦±в
т
1.0 2.0 3.0 4.0
11.8. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ПОЛУПЛОСКОСТИ,
ВОЗМУЩЕННЫЙ ТРЕЩИНОЙ, БЕРЕГА КОТОРОЙ
ПОДДЕРЖИВАЮТСЯ ПРИ ПОСТОЯННОЙ ТЕМПЕРАТУРЕ [13]
у •
Берега трещины поддерживаются
при постоянной температуре
Q - невозмущенный
градиент температур
Метод непрерывного распределения дислокаций [13].
Е'
1/г
cfFiJ-n, Э),
= d/a.
742
0.4
0.3
0.2
0.1
1.0 2.0 3.0 4.0
л <¦! >
75°.-75°
и
6=0°
"^^60°
ы
ш
В=-15°
Л-30»
.//-45° .
у,-бо°
=====
—
5.0
Рис. 11.7. Коэффициент
интенсивности напряжений
Рис. 11.8. Коэффициент
интенсивности напряжений
11.9. ТРЕЩИНА В ПОЛУПЛОСКОСТИ, НАГРЕВАЕМОЙ
ПО ЧАСТИ ГРАНИЦЫ [14]
Q - дТ/ду - равномерный
поток тепла
х
743
Метод непрерывного распределения дислокаций [14].
*
i.a
^FiJV' Э. Г, 5),
*П.А 27Г1/2К-
f = rfg/a, у = ft/a, 5 = d^/a.
(г), Э, У. 5),
1.0 2.0 3.0 4.0
Рис. 11.9. Коэффициент интенсивности напряжений F (т), Э, У. 0).
I, A
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
1 1
1 1
1 1
1 1
\ 1
1 1
В- 0°
,-60-
*»
1
Y-1.0
6
•0.5
¦0
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
П ( " -г )
Рис. 11.10. Коэффициент интенсивности напряжений F A), Э. У. 0)-
11, А
744
11.10. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ПОЛУПЛОСКОСТИ,
ВОЗМУЩЕННЫЙ ЖЕСТКИМ ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ [/5]
Теплоизолированное жесткое
включение в плоскости
Q - невозмущенный градиент
температур
Метод непрерывного распределения дислокаций [15].
F
1/г
1,А
- k)E'ocn1/z
IT
= d/a.
1.25
1.0
0.75
0.5
0.25
/
i
Г
в-о°
"" -45°
_ -60*
60°
-75°
75°
//-30*
30*
45е
к-1.8
1.0 2.0 3.0 4.0
п (' т )
Рис. 11.11. Коэффициент интенсивности напряжений Fj д(т),
745
Рис. 11.12. Коэффициент
интенсивности напряжений
FUJV, Э).
4.0
2.0
-2.0
-4.0
-30°/
\в«90°
бо^^Г;
0°
-6ov^;
/_>СйПо
/
;=—=
1
к-1.8
1.0 2.0 3.0 4.0
n(-|)
11.11. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА БЕРЕГАХ
ТРЕЩИНЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ ВБЛИЗИ КРУГОВОГО
ОТВЕРСТИЯ В ПЛОСКОСТИ [16; 17]
Q = дТ/ду' - равномерный
поток тепла
Метод непрерывного распределения дислокаций [16].
к ?/а1п2 п„1/гР ,„ о „л
_ Е'а\п2 пЛ/2
= d/a, у =
746
0.4
0.2
-0.4
-0.6
1
iV x.
\ \
,/
/
B = 30°
-/^бО0
/
/i50°
I
5-1.0
-0.2—»o
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
n(=f>
Рис. 11.13. Коэффициент интенсивности напряжений F (т), Э, 1.0).
Рис. 11.14. Коэффициент интенсивности напряжений F (г>, Э. 1-0).
11.12. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА БЕРЕГАХ
ТРЕЩИНЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ ВБЛИЗИ ДРУГОЙ
ТРЕЩИНЫ [18]
Q = дТ/ду - равномерный
поток тепла
Метод непрерывного распределения дислокаций [18].
I.B
= ?'а1п2 Qfli/2
4п1/гк
FIA(T), |3, у, 5)
FI>B(i}, Э. 7, 5)
II,А
II,В
Е'а\п2
4л1/2к
FIIA(T), Э. У. 5)
в
(т), Э, У. 5)
7) = d/а, у = с/а.
141
1.25
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
Рис. 11.15. Коэффициент интенсивности напряжений /^(т), Э. 1-0, 0)
в точках А и В.
0.3
Fir
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
ш
>^60°
Ач 90°
в=зо°
//
^-—"
— А
-- в —
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
Рис. 11.16. Коэффициент интенсивности напряжений ^11(т7, &, 1.0, 0)
в точках А и В.
748
11.13. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ПЛОСКОСТИ,
ВОЗМУЩЕННЫЙ ДВУМЯ ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННЫМИ
ТРЕЩИНАМИ [19; 20]
Q
Q - невозмущенный
градиент температур
Метод непрерывного распределения дислокаций [19].
I.A
I.B
Е'ССП1/2 Qfl3/2
К
II,А
Е'а.и1/г
Qa
п, в
г? = d/a, у = с/а.
Fj A(U P, У, 5)
Fj BG>, C, 3% 5)
TT p(T), Э. У,
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.2
B=90°
60° \
.60°
,45°
,30°
Д
в
—¦
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Рис. 11.17. Коэффициент интенсивности
напряжений FJt), Э, 1.0, 0) в точках
А В
А и В.
749
О 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
Рис. 11.18. Коэффициент интенсивности напряжений
в точках А и В.
), Э. 10. 0)
11.14. НАГРЕТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА
С ТРЕЩИНОЙ [21 ; 22, 23]
Граничные условия 1
T=Ti |x|<a, у=±0
Т=Т2 (|х|-Ь, |у|<с
|<Ь, |у|=с
b=W/2, c=L/2
Граничные условия 2
g-=0 |x|<a, у=±0
|Ь- 0 |х|=Ь, |у|<с
Т=±Т2 |х|<Ь, у=±с
b=W/2, c=L/2
Модифицированный метод конформных отображений с использованием
коллокации [21*], погрешность менее 0.1%.
Опубликовано с разрешения "North-Holland Physics Publishing",
Amsterdam.
750
Граничные условия 1
/Cj = Ea(T2 - TJ
7) = 2a/W, C = L/W.
Граничные условия 2
Л. = 0, Ajj =
7) = 2о/Г, Э = L/W.
^(т>, Э), Ки = О,
0.6
Fx.Fi
0.5 —
0.4
0.3
0.2
0.1
6=1
v»0..
Плос
дефо
}
кая
рмация
П (п.В)
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Рис. 11.19. Коэффициенты интенсивности напряжений F (т),
751
11.15. НАГРЕТАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА
С ЖЕСТКИМ ТОНКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ [24"]
I
А////Ь
X
/Т2
Плоская деформация
Метод комплексной переменной [24*], погрешность менее 0.1%.
\(v, Э). Ku = о,
т; = 2a/W, p = L/W.
0.20
0.16
0.12
иГ 0.08
0.04
Рис. 11.20. Коэффициент
интенсивности напряжений F (т),
^-
^-
L ¦
v « 0.
"
3
Плоская
деформация
1
0.1 0.2 0
3 0.4 0.5 0.6
Опубликовано с разрешения "Hemisphere Publishing Corporation".
752
11.16. НАГРЕТАЯ ОРТОТРОПНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПЛАСТИНА С
ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ [25; 2]
=-у—»
и
т2
Плоское напряженное
состояние
Метод комплексной переменной [25].
I On 2 1
/2,
\(ч 3.
7) = 2a/W, р = L/W,
N - условный номер материала (N = I, .
... V).
Таблица 11.1. Константы материалов
Материал
I
I
Ш
N
V
Упругие постоянные
Sn
/Sn
1
1
1
1
1
Sl2
/Sii
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
s22
/Sn
1
1
0.5
1
1
Sec
/Sn
2.6
5.2
2.6
2.6
2.6
Коэффициен -
ты температ.
расширения
an
/ац
1
1
1
1
1
Oi2
/an
1
1
1
0.5
1
Коэффициенты
теплопроводности
Kll
A^n
1
1
1
1
1
K22
All
1
1
1
1
0.5
Si2—vx/Ex—v
a22«ay, Кц'
S22»1/Ey, Stt=1/Gxy
48-1280
753
0.4
0.3
0.2 >.
0.1
^^
i
в =
ш
——
IV
\
0.5
—
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
B- 1.0
I
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Рис. 11.21. Коэффициент интенсивности напряжений F (Г), C,
Рис. 11.22. Коэффициент интенсивности напряжений /^(т), C,
0.6
0.5
0.4
о.з
0.2
0.1
в • 2.0
/
/
'
_——-
.——¦
¦
¦
—
¦
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Рис. 11.23. Коэффициент интенсивности напряжений /^(т), 3,
754
11.17. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ОРТОТРОПНОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ, ВОЗМУЩЕННЫЙ
ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ [25]
Я. if1
Эх
1J ш
-То
Плоское
напряженное
состояние
Метод комплексной переменной [25].
т? =
- условный номер материала
= I, .... V).
Таблица 11.2. Константы материалов
Материал
I
I
Ш
№
V
Упругие
?и
/Sn
1
1
1
1
1
Sl2
/Sn
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
постоянные
S22
/Sn
1
1
0.5
1
1
Set
/Si i
2.6
5.2
2.6
2.6
2.6
Коэфф.
темп.
расширения
<*ii
/an
1
1
1
1
1
Ctl2
/an
1
1
1
0.5
1
Коэффициенты
теплопро-
теплопроводности
ки
An
1
1
1
1
1
/Kll
1
1
1
1
0.5
Sii«1/EXf Si2=-vx/Ex*-Vy/Ey, S22=1/Ey.
48*
755
0.2
0.1
0
В = 0.5
Ж*
%У
У//
УА
У/\у
Уу^
0.2
0.1
6 = 1.0
УГУ
//
V/
(У
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Рис. 11.24. Коэффициент интенсивности напряжений Flz(T}, |3, N).
Рис. 11.25. Коэффициент интенсивности напряжений /г11(т), Э, N).
0.2
0.1
С?
6 = 2.0
?=---~
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
•»<¦?>
Рис. 11.26. Коэффициент интенсивности напряжений /rII(i7. Э. N)
756
11.18. НАГРЕТАЯ ОРТОТРОПНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ
ПЛАСТИНА С ВНЕЦЕНТРЕННОЙ ТРЕЩИНОЙ [25]
А
U-UJ
Т2
Плоское
напряженное
состояние
Метод комплексной переменной [26].
I.A
I.B
1/2
liB(t),
, у, N)
= 2a/W\
- условный номер материала (N = I, ..., V).
Таблица 11.3. Константы материалов
Материал
I
Я
Ш
Л
V
Упругие
S,,
/Sn
1
1
1
1
1
Sl2
/Si!
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
постоянные
S22
/Sn
1
1
0.5
1
1
Ли
2.6
5.2
2.6
2.6
2.6
Коэффиц.
темп.
расширения
an
/»п
1
1
1
1
1
Oil 2
Mi
1
1
1
0.5
1
Коэффициенты
тепло-
теплопроводности
Kll
/Kn
1
1
1
1
1
<22
/Kll
1
- 1
1
1
0.5
Sn=1/Ex, Si2=-vx/Ex=-Vy/Ey, S22=1/Ey, S66=1/GXy
an «ax. oi22=ay, Kn=Kx> K22=Ky
757
0.4
0.3
0.2
0.1
ш
— FI,A
— Fi,B
V
п
iv
Т)-0.3
p-i.o
j/i
——~
==
[ /l
—-^
\
0.2 0.4
T 7
0.6
0.4
0.2
—
FI,A
fi,b
ft
Ji-1.0
•Jf =0.3
. _j
—¦-.
0 0.2 0.4 0.6
i 2a v
Рис. 11.27. Коэффициент интенсивности напряжений /-^(т), Э, у, Л')
в точках /1 и В.
Рис. 11.28. Коэффициент интенсивности напряжений FAt), |3, у, iV)
в точках А и В.
0.5
[
0.4
0.3
0.2
0.1
0
. FI,A
1=0 V
/\
' I
, -~ "
V E
4-HI-
J--J
V
ш
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
— - p = 2.0
f. = 0.5
T(=0.3
0.1
0.5 1
5 10
Рис. 11.29. Коэффициент интенсивности напряжений F (т), C, у. Л
в точках А и В.
Рис. 11.30. Коэффициент интенсивности напряжений F a(tj, C, у.
758
2.4
2.0
1.5
1.0
0.5
— 6 = 2.0
В - 0.5
T\- 0.3
Y » 0 <i
0.2^'
/
II
II
II
Ij
/1 1
0.1
0.5 1 5 10
«22/0-11
Рис. 11.31. Коэффициент интенсивности напряжений F (Т), /3. у,
Рис. 11.32. Коэффициент интенсивности напряжений F (т>, Э, у,
11.19. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ОРТОТРОПНОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ, ВОЗМУЩЕННЫЙ
ВНЕЦЕНТРЕННОЙ ТРЕЩИНОЙ [26]
1
ЭХ
il = о
ЭХ
Плоское
напряженное
состояние
Метод комплексной переменной [26].
759
II,А
II,В
аи 2То
11
3/2
Э, У,
V = 2a/W, Э = L/W,
- условный номер материала (N = I, ..., V).
Таблица 11.4. Константы материалов
Материал
I
I
Ш
V
V
Упругие постоянные
Ли
1
1
1
1
1
Si 1
Ли
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
s22
Ли
1
1
0.5
1
1
Stt
Ли
2.6
5.2
2.6
2.6
2.6
Коэффиц.
темп.
расширения
аи
1
1
1
1
1
аи
/ац
1
1
1
0.5
1
Коэффициенты
тепло-
теплопроводности
¦СИ
/К11
1
1
1
1
1
К22
/К11
1
1
1
1
0.5
Sn-1/Ex. S12— vx/Ex—vy/Ey, S22-1/Ey, Stt-1/Gxy
0.4
0.08
0.06
0.04
0.02
FB,A П=
— Fn.B P'
{
V
i
,¦ —
— —
¦0.3
¦1.0
U. J
0.2
0.1
0
. j»-
-^
1.0
V I
i
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.2 0.4
0.6
Рис. 11.33. Коэффициент интенсивности напряжений РХ1(Т), Э. К, N)
в точках А и В.
Рис. 11.34. Коэффициент интенсивности напряжений ^G), C, У, jV)
в точках А к В.
760
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
—#У
V/
Л'.
ч-
,*¦
,*'
0.3,
¦ —- —
^ — —
•
V"'
/г
V"
\
-\--\
V
3
—— _-
0.4
0.3-
0.2
0.1
—
- в
-в
0.3
' 2.
= 0.
0
5
Y =
0
0
'У'
0.4
i
и/
i
0.1
0.5 1
Рис. 11.35. Коэффициент интенсивности напряжений F'II(f), Э, У,
в точках А и В.
Рис. 11.36. Коэффициент интенсивности напряжений F (т), Э, у,
111 A
5 10
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
¦ч
"-¦*. ^
^"^^ чч
Y=oJ4
~-^,^^ с
В = 2.
- ¦ В - 0.
П=о.з
0.2
3
5
0
0.1
0.5 1
5 10
Рис. 11.37. Коэффициент интенсивности напряжений F (т), Э. У. Ю-
Рис. 11.38. Коэффициент интенсивности напряжений F (т), Э, у, Л/)-
X X | А
761
11.20. НАГРЕТАЯ ОРТОТРОПНАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ
ПЛАСТИНА С НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ [26]
V
, ь
Плоское
напряженное
состояние
Метод комплексной переменной [26].
Кг
а.
1/2
г), /3, z, Д, N),
К
а
11
II.А
11
= 2a/W,
1/2
Э. У. А,
Расчеты проведены для случая у = 0; Af - условный номер материа
(N = I, .... V).
Таблица 11.5. Константы материалов
Материал
I
I
Ш
N
V
Упругие постоянные
Si,
/Sn
Si 2
/Sn
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
S22
/Six
1
1
0.5
1
1
scc
/Sn
2.6
5.2
2.6
2.6
2.6
Коэффиц.
темп.
расширения
Oil
Mi
1
1
1
1
1
012
/<»u
1
1
1
0.5
1
Коэффициенты
тепло-
теплопроводности
"и
/KX1
1
1
1
1
1
K22
All
1
1
1
1
0.5
Si2"-vx/Ex»-vy/Ey,
S««>1/GXy
762
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
—--Ч
..
7J= 0.3
«ч_
ч
ж
ч
— В = 2.
6 = 1.
Ч
.Л
—1- —
0
0
if; ,'
hi Hi i
0.06
FTT
0.04
0.02
0
-0.01
TJ=C
/
ш
).3
/
/
/,'
/ / /
/ /
/ /
v/
w
1
I I
у
Ш
V'
V
/
Li'\
«ч
¦ В =
- 6 =
\\
4-\
\
\
2.0
1.0
\
\
\*
0"
30" 60°
А
90°
30° 60°
А
90е
Рис. 11.39. Коэффициенты интенсивности напряжений FT . и FTT ..
•l-i" II, A
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
fi-Z
/
РП,А
30"
W
Ш
V IV
г
0.10
0.05
0.5
Ft
0.4
0.3
0.2
0.1
0
— Fl,A
— FD.A ^—
/
Tl=0.3
д=зо°
Ш
I
V I
/
v v
—j-
0.10
0.05
0
-0.05
-0.10
0.2
0.4
!lf )
0.6
0.5 1
Рис. 11.40. Коэффициенты интенсивности напряжений F и F .
X у А X X у А
Рис. 11.41. Коэффициенты интенсивности напряжений F и F .
763
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
В = 2.
tf:
''-—-ц.
0
5
= 60
Mo"
—
T} = 0.3
^^
40 60
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
0.1
0.5 1
5 10
Рис. 11.42. Коэффициенты интенсивности напряжений F и F
i., Л X X t A
1.4
1.0
0.5
\\ — e
20 40
- 2.0
= 0.5
40
60
60
71 = 0.3
0.1
0.1
0.5 1
5 10
Рис. 11.43. Коэффициенты интенсивности напряжений FT . и F .
X f А X X у А
Рис. 11.44. Коэффициент интенсивности напряжений Fz д.
764
11.21. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ОРТОТРОПНОЙ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЕ, ВОЗМУЩЕННЫЙ
НАКЛОННОЙ ТРЕЩИНОЙ [26]
•5с "
V
\
Плоское
напряженное
состояние
-т„
Метод комплексной переменной [26].
I.B
«и 2Го
Fltlfyu Р, у, A, N)
F1B(t), Э, У, А, АО
II,А
II,В
2То
3/2
/="„ А(т), Э, у, А,
fIIB(U Э, У, А,
7) = 2a/W,
у = 2e/W.
Расчеты проведены для случая у = 0; N - условный номер материала
(N = I V).
Таблица 11.6. Константы материалов
Материал
I
I
Ш
IV
V
Упругие
Sn
/Sn
1
1
1
1
1
/Sn
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
-0.3
постоянные
/Sn
1
1
0.5
1
1
See
/Sn
2.6
5.2
2.6
2.6
2.6
Коэффиц.
темп.
расши
Oil
/an
1
1
1
1
1
>ения
(«1 2
1
1
1
0.5
1
Коэффициенты
тепло-
теплопроводности
Kll
/<1X
кгг
Mil
1
1
1
1
0.5
S12—vx/Ex«-vy/Ey, S22-1/Ey, St«-1/Gxy
765
FI
0.01
0
0.005
._?""¦
--К."*"
E5
V
-¦?
-<-
w
w
.ж
—
4. Fl
Й
pa*
6 = 2.
6 = 0.
>A
0
5
Л=0.3
0.2
0.08 °-15
0.06
0.04
0.02
0.1
0.05
-0.05
— 8 = 2.
6 = 0.
FJ,A
0 Д
5
И** у
= 30°
A
Ж '
Ш ;
il/N
30° 60°
Д
90"
0.2
0.4 0.6
Рис. 11.45. Коэффициенты интенсивности напряжений /•" и F
Рис. 11.46. Коэффициенты интенсивности напряжений F и F
11 A J. 1; А
0.35
0.08
0.06
0.04
0.02
\
III
FI,A
Fir, A
tfs,
п=о.з
л=зов
V
V
i' 'w
Ш
I
w
V
к
Ш
0.02
-0.005
Рис. 11.47. Коэффициенты интенсивности напряжений F к F .
Рис. 11.48. Коэффициенты интенсивности напряжений F и F .
766
0.18
0.12
0.06
0
0.0?
В - 2.0
8 - 0.5
Fn,A
—
40 20
60
¦^
tj=0.3
Д°= О
20^
У
У
Fl,A
0.03
-0.01
0.1
0.5 1
5 10
Рис. 11.49. Коэффициенты интенсивности напряжений F и Fu д.
Рис. 11.50. Коэффициенты интенсивности напряжений F и Т7 .
11.22. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ [27; 28-30]
Т - постоянная температура
В каждой точке поверхности
трещины поддерживается
постоянная температура
Интегральное преобразование Ханкеля [27], точное решение.
Еа
1 7Г1/2A - V)
Та
1/г
= *in = О-
767
11.23. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО КОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ КРУГОВОЙ ПЛОЩАДКЕ
НА ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ [27]
Т - постоянная
температура
Интегральное преобразование Ханкеля [27], точное решение.
^ *1/2A -v) IV " :
^(т)) = 1 - A - тJI/2, и = fc/a.
= ^хх, = 0.
11.24. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ
ТРЕЩИНЫ [27]
Т - постоянная
температура
Интегральное преобразование Ханкеля [27], точное решение.
к _ Ясс TF / ч ^ ^ _ ..
3/2 lriAlt' Лц ЛП1 '
1 - v)a
= A - тJ)'1/2, т) = 6/а.
768
11.25. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА ПОВЕРХНОСТИ
ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ [27; 28]
Q = дТ/dz -
равномерный поток тепла
Интегральное преобразование Ханкеля [27], точное решение.
к
Еап
1/г
i = 4A - v)
к
11.26. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА КОНЦЕНТРИЧЕСКОЙ
КРУГОВОЙ ПЛОЩАДКЕ ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ
ТРЕЩИНЫ [27; 30]
Q = дТ/dz - равномерный
поток тепла
Интегральное преобразование Ханкеля [27], точное решение.
/^(Т)) = тJ, 7) = Ь/а.
769
49-1280
11.27. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА КОЛЬЦЕВОЙ
ОБЛАСТИ ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ [27]
Q = дТ/дг-
равномерный поток тепла
Интегральное преобразование Ханкеля [27], точное решение.
= 1 -
7) = Ь/а.
11.28. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ВОЗМУЩЕННЫЙ
ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНОЙ [31; 10, 30]
Q - невозмущенный градиент
температур
I I М I I I 1 I I
Интегральное преобразование Ханкеля [31], точное решение.
'т = ^ттт = 0, /Стт = л/о
?ос
Зп1/':A - и)
770
Qa
3/2
11.29. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ПОВЕРХНОСТЯМ ДВУХ КОМПЛАНАРНЫХ
ДИСКООБРАЗНЫХ ТРЕЩИН [32; 33]
Т - постоянная температура
В каждой точке поверхностей
трещин поддерживается одна и
та же постоянная температура
Интегральное преобразование Ханкеля [32], решение для случая
а/Ь < 1.
*I =
?а
.1/2,
- v)
= 1 + 0.3183т) - 0.1013тJ - 0.3391тK - 0.0102тL,
11 1Г3/2A - V)
Fn(T)) = - 1 + 0.3183т? + 0.2320тJ - 0.0208тK - 0.1765тL,
771
49*
2.0
1.0
0
-2.0
0.01
F,(n)
Мл)
0.1
<¦?>
1.0
Таблица 11.7. Коэффициенты
интенсивности напряжений
п
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Fi(n)
1.00
1.00
1.00
1.01
1.01
1.01
1.02
1.02
1.02
FD(n)
-0.99
-0.99
-0.99
-0.98
-0.98
-0.98
-0.97
-0.97
-0.96
n
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fi(n)
1.03
1.05
1.07
1.08
1.09
1.07
1.05
1.01
0.95
Fl(n)
-0.96
-0.92
-0.88
-0.84
-0.79
-0.75
-0.71
-0.67
-0.65
Рис. 11.51. Коэффициенты
интенсивности напряжений
и Fn(T}).
11.30. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ВОЗМУЩЕННЫЙ
ДВУМЯ КОМПЛАНАРНЫМИ ДИСКООБРАЗНЫМИ
ТРЕЩИНАМИ [32; 33]
z Q - невозмущенный градиент
| | | j | | | температур
I t t ! I M
Интегральное преобразование Ханкеля [32],
случая а/b < 1.
решение для
"l 3ir3/2(l - v)
772
V2), Т) = a/b,
Еа.
Qa3/2Fu(-n),
l - v)
= 1 - 0.31831т) + 0.12202тK - 0.01689тД
«
ш
3.0
2.0
1.0
-1.0
pi
(n)
¦в.
0.01
0.1
1.0
Рис. 11.52. Коэффициенты интенсивности напряжений
и F
(
Таблица 11.8. Коэффициенты интенсивности напряжений
п
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
о.оч
0.09
Fi(n)
-0.0000
-0.0003
-0.0008
-0.0015
-0.0024
-0.0035
-0.0048
-0.0063
-0.0080
Fn(n)
0.9968
0.9936
0.9904
0.9872
0.9841
0.9809
0.9777
0.9745
0.9714
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fn(n)
-0.0099
-0.0384
-0.0819
-0.1344
-0.1875
-0.2304
-0.2499
-0.2304
-0.1539
0.9682
0.9372
0.9076
0.8800
0.8550
0.8331
0.8149
0.8009
0.7913
773
11.31. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО КОЛЬЦЕВОЙ ОБЛАСТИ ПОВЕРХНОСТИ ВНЕШНЕЙ
ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ [31]
Т - постоянная температура
В каждой точке заштрихованной
кольцевой области поддерживается
одна и та же постоянная температура
z-z.-z.z.--z -у
Интегральное преобразование Ханкеля [34], точное решение.
v _ Ей т~1/2г /~л
1 A - UOTJ
?j(Tl) = (т, - 1I/2, т/ = Ь/а,
Ки =
11.32. СОСРЕДОТОЧЕННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ВДОЛЬ ОКРУЖНОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ВНЕШНЕЙ
ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ [34; 35]
Т - сосредоточенная температура
Интегральное преобразование Ханкеля [34], точное решение.
Ta~U2Fr
774
/2
Fz(y)) = тХП2 - 1)/2. т? = с/а
Ки = KUI = 0.
11.33. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
НА ПОВЕРХНОСТИ ВНЕШНЕЙ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ [34]
Т(г) - осесимметричное распределение температур
В каждой точке поверхностей внешней
трещины поддерживается одна и та же
постоянная температура
Интегральное преобразование Ханкеля [34], точное решение.
к =
1 ~
юг T(r)rdr
i
г
- v)a1/z i(r2 -azI/z '
ки = кш - о.
В частном случае, когда T(r) = TQ(r/a)~n, n > 2, имеем
, Г(л) - гамма-функция.
ЕаТ0а1/2Г[(п -
2A - v)l(n/2)
11.34. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА КОЛЬЦЕВОЙ
ОБЛАСТИ ПОВЕРХНОСТИ ВНЕШНЕЙ ДИСКООБРАЗНОЙ
ТРЕЩИНЫ [36; 37]
Q = дТ/дг -
равномерный поток тепла
115
Интегральное преобразование Ханкеля [36], точное решение.
чп
nv
Еа Qa"%M,
- v)
- 1I/2, т) = Ь/а.
11.35. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА
ПОВЕРХНОСТИ ВНЕШНЕЙ ДИСКООБРАЗНОЙ
ТРЕЩИНЫ [36]
Q(r) = dT/dz - осесимметричное
распределение потока тепла
Интегральное преобразование Ханкеля [36], точное решение.
J
Г(г, г) = J sh(s)J0(rs)e~szds,
В частном случае, когда Q(r) = QQ(r/a)~n, n > 2, имеем
,3/2 1 Т\(п - 1)/21
vli 2(Т - V) " п -
, Г(л) - гамма-функция.
776
11.36. НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА
ПОВЕРХНОСТИ ВНЕШНЕЙ ДИСКООБРАЗНОЙ
ТРЕЩИНЫ [38]
Q(r) = ехр(/п8)-
неосесимметричное
распределение потока тепла
Интегральное преобразование Ханкеля [38], точное решение.
Еа
J
Кг = -
B - р)*1
J А1-|п|(Л2 _
1/2
тг/г in{2 - v)
аиг j Л1-|п|(А2 _ iI'^2Q(A)dA.
11.37. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ,
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ГРАНИЦЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА [39; 40]
Поверхность нулевой
температуры
- постоянная температура
х
Интегральное преобразование Ханкеля [39], решение справедливо толь
для малых значений отношения a/h.
Ill
Случай поверхности полупространства, свободной от напряжений
VJ тс1/2A -v) lK>" ' л>
\(f}) = 1 - 0.6366т) - 0.2026тJ + 0.9435тK - 0.1725тL - 1.3598тM,
F (у) = - 0.1592тJ - 0.0507тK + 0.4613тL - 0.0980тM - 0.6393тN,
и
Случай жестко защемленной поверхности полупространства
Еа
'I я1/2( 1-17) J Л '
^(Т)) = 1 + 0.1273т) + 0.0405тJ - 0.4929тK - 0.0974тL + 0.6091тM
/Стт =
Еа
= - 0.0106тJ - 0.0034тK + 0.2316тL + 0.0412тM,
Таблица 11.9. Коэффициенты интенсивности напряжений в случае
свободной от напряжений поверхности полупространства
Fg(n)
1.05 1.10 1.20 1.30 1.667 2.50 5.00
0.5065 0.5173 0.5377 0.5577 0.6131 0.7550 0.8714
-0.0522 -0.0505 -0.0472 -0.0441 -0.0347 -0.0205 -0.0061
778
11.38. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ,
ВОЗМУЩЕННЫЙ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНОЙ,
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ГРАНИЦЕ ПОЛУПРОСТРАНСТВА [39]
Поверхность нулевой
температуры
tttlttt
Q - невозмущенный градиент
температур
Интегральное преобразование Ханкеля [39], решение справедливо толь
для малых отношений a/h.
Случай поверхности полупространства, свободной от напряжений
к- _ Еа.Пп3/г
1 Зтг1/2A - v)
Qa г (Т)), т» = т ,
l h
FJi)) = - 0.4774тJ + 0.7958т;4 - 0.2280тM,
11 ~ Зтс1/2A - v)
Qa3/2FUW,
Fh(t») = 1 - 0.2653т»3 + 0.4828т»5.
Случай жестко защемленной поверхности полупространства
Ft* ч/Р п
К = —¦ =^ Qa F (т»), т» = т ,
^(т») = - 0.2228т»2 - 0.1804т»4 + 0.8789т»5,
1С — ал,
11 " Зтг1/2A - у)
Qa^Fjjrt),
Fn(T») = 1 - 0.0531т»3 - 0.1425т»5.
779
Рис. 11.53. Коэффициент
интенсивности напряжений F'(Т)).
1.1
0.9
0.7
0.5
\ Жестко защемленная поверхнс
2.0
Рис. 11.54. Коэффициент
интенсивности напряжений -F (tj).
2.0
4.0
б.0
Жестко защемленная поверхность
11.39. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ В ШАРЕ [41]
Поверхность шара
(нулевая температура)
постоянная температура
780
Интегральное преобразование Ханкеля [41*], решение справедливо
только для а/Ь < 0.5.
Случай гладкой поверхности шара
" ЕЛ Ta1/ZF (т))
- v) *
т> = §
X(T)) = 1 + 0.3183т) + 0.2027т/2 - 1.1967т}3 - 0.4242тL -
- 0.0930тM + 1.2538тN + 0.6565тO,
Случай поверхности шара, свободной от напряжений
'-I-
1 тг1/2A - v)
Fj(T)) = 1 - 0.6366т) - 0.4053ТJ + 2.0163тK - 0.6773тL
- 3.8523тM + 4.1687тN + 3.2741тO,
Кп = К1П = 0.
1.0
0.4
0.2
ч
,—¦
ч
г
"-—
>>^Гладкая поверх»
^
Ч,
\
S,
S
оверхность, \
от напряжений
ч
\
\
\
1
Таблица 11.10. Коэффициент
интенсивности напряжений F (
для 0.6 < а/Ь < 0.9
ч(»а/Ь)
0.6
0.7.
0.8
0.9
Гладкая
поверхность
1.020572
0.939028
0.855497
0.779861
Поверхность,
свободная
от напряжений
0.802736
0.612071
0.483286
0.054194
о о.г о.4 о.б о.8 ко Рис. 11.55. Коэффициент
п ( -1) интенсивности напряжений F (
Опубликовано с разрешения "Birkhaeuser-Verlag AG", Базель,
Швейцария.
781
11.40. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ ДИСКООБРАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ
В КРУГОВОМ ЦИЛИНДРЕ [42; 43]
U.-I
постоянная температура
В каждой точке поверхности
трещины поддерживается одна
и та же постоянная температура
2Ь
Интегральные преобразования Ханкеля и Фурье [42].
Случай гладкой поверхности цилиндра
Кг =
Еа.
A - v)
Га1/2/ут)), 7) = % ,
= 1 - 0.5543т) - 0.3073тJ + 0.3313тK - 0.2398тL -
- 0.0679тM + 0.0945тN - 0.1032тO - 0.0178т)8 + 0.0159т)9,
Рис. 11.56. Коэффициент
интенсивности напряжений FJ
1 .U
0.8
0.6
0.4
0.2
N
ч
N
\
\
\
\
\
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
782
Таблица 11.11. Коэффициенты интенсивности напряжений.
п(-|)
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
0.450
0.500
0.550
0.600
0.650
0.700
0.750
0.800
0.850
0.900
0.950
Fi(a)
0.971
0.941
0.910
0.879
0.846
0.812
0.778
0.743
0.707
0.670
0.632
0.593
0.551
0.508
0.461
0.411
0.356
0.295
0.227
11.41.
КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР С ОКРУЖНОЙ ПОВЕРХНОСТНОЙ
ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО
ПОТОКА ТЕПЛА [44]
1 » V ''
С" I., 11 О
2Ь
Q - невозмущенный
градиент температур
Интегральные преобразования Ханкеля и Фурье [44 ].
*»¦
Еа
3A - v)n
Опубликовано с разрешения "Hemisphere Publishing Corporation".
783
40
30
20
?¦ ю
v«0.3
/
I
1
1
/
Рис. 11.57. Коэффициент интенсивности °
напряжений F^f)).
0.5
1.0
11.42. КРУГОВОЙ ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР С КОЛЬЦЕВОЙ
ТРЕЩИНОЙ НА ВНУТРЕННЕЙ ПОВЕРХНОСТИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНОГО ПОТОКА ТЕПЛА [45; 46]
2Ь
Q - невозмущенный
градиент температур
Интегральные преобразования Ханкеля и Фурье [45].
784
2.0
в 1.0
1
/
П-1.5/
/
/
2.0
^*~—
у
h
ь
n*d
1.0
2.0
3.0
Рис. 11.58. Коэффициент интенсивности напряжений F (т\, 3)-
11.43. РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТРЕЩИНЫ [47; 48, 49]
Т - постоянная температура
В каждой точке поверхности
поддерживается одна и та
же постоянная температура
Эллипсоидальная гармоническая функция [47], точное решение
при а > Ь.
T-H7
Е(е) - полный эллиптический интеграл второго рода,
е = [1 - (b/af]1/z.
785
50-1280
a
0.5
0 15° 30° 45° 60" 75° 90°
Ф
Рис. 11.59. Нормированный коэффициент интенсивности напряжений.
11.44. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА НА
ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ТРЕЩИНЫ [47; 37, 48]
Q = dT/dz-
равномерный поток тепла
Эллипсоидальная гармоническая функция [47], точное решение.
= О,
кт
Еп
1/2
2A + V)
786
к.
_ 2?тг1/2A - v) Q
a)Fz ~ (a/b)F1]sin<l> cos0
in
(агв1пгф+ b2cos20I/4
ф = arc\g(ay/bx),
- с,с,
с г - г с
г = „°„3 „х„2
2 С4СЭ - С5С2
1 + у
1 - v
С. = т——-тг
1 I - V л .2
С2 =
Ь2 а2 - б2
(а2 + 62)К(е) - 2д2Е(е)
a2 -ft2
+ (fl
;2a2E(e)
l ;2
-Lj- [Е(в) - К(е) + (Q + fe 2К(<
- 6" L а2 -
- 2a2E(g)
J
Л (вд' ('
- Е(е) +
+ (a
- 2a2E(g)
K(e), E(e) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода
соответственно, е = [1 - F/оJ]1/2.#
787
2.0
1.5
1.0
0.5
1
у
у
х Ф У
—Л
/
1
f
a/b
А
2
= 1
15° 30° 45° 60° 75° 90
0 15° 30° 45° 60° 75° 90°
Ф
Рис. 11.60. Нормированный коэффициент интенсивности напряжений.
Рис. 11.61. Нормированный коэффициент интенсивности напряжений.
11.45. СОСРЕДОТОЧЕННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ В ДВУХ
ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ ТОЧКАХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОИ ТРЕЩИНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ [37]
сосредоточенная
температура
Интегральное преобразование Фурье-Канторовича-Лебедева [37], точное
решение.
- v)n
= 0,
Fx(z/a) =
788
1.0
0.5
0
у
(
/
\
\
-4.0
-2.0
0
z/a
2.0
4.0
Рис. 11.62. Коэффициент интенсивности напряжений F (z/a).
11.46. СОСРЕДОТОЧЕННЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ПРИЛОЖЕННЫЙ
В ДВУХ ПРОТИВОЛЕЖАЩИХ ТОЧКАХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ [37]
' сосредоточенный
поток тепла
Интегральное преобразование Фурье-Канторовича-Лебедева [37], точн
решение.
Еа
,1/2
1 23/2A - v)n>
F^z/a) = {!+[! + (г/аJ]1
= О,
[1
-1-1/2
789
2.0
1.5
1.0
0.5
л
ч
"-—
-4.0
-г.о
о
г/з
2.0
4.0
Рис. 11.63. Коэффициент интенсивности напряжений F (г/а).
11.47. СОСРЕДОТОЧЕННЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ПРИЛОЖЕННЫЙ
В ТОЧКЕ ВЕРХНЕЙ ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ
ТРЕЩИНЫ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ [50]
/-Q = dt/dy-iy
/ сосредоточенный
Интегральное преобразование Фурье-Канторовича-Лебедева [50], т<
решение.
(г/а),
К, = 0, Ки = 2?(X
1 п B - v)n
Fu(z/a) = [1 + (г/а)г]~\
111 B - v)n
F..Jz/а) = (г/а)[\
in
790
-0.5
у
/
/
/
/
/
/
/
\
\
г
1
1
0
-4.0 -2.0
0
г/а
2.0
4.0
Рис. 11.64. Коэффициент интенсивности напряжений F (г/а) и
FJU(z/a).
11.48. РАВНОМЕРНОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ
ПО ПРЯМОУГОЛЬНЫМ ОБЛАСТЯМ НА ПОВЕРХНОСТЯХ
ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНЫ В ПРОСТРАНСТВЕ [37; 51]
Интегральное преобразование Фурье-Канторовича-Лебедева [37], точн
решение.
Еа
1 2A - v)n3/z
z' = z/a, Э = b/a.
). Kxl =
= 0,
\l/2.
*г{г\ p) = (|г'|
- sign(|2'| -
л/г,
791
, = z'/(\z'\ + 1), С2 = г'/(\г'\ - 1),
А (С) = 2BСI/2 Arctgfil + In i-i-
1 *-SJ 1 +
С - BC)
С + BC)
1/2
/2
2Arctg[BC)
1/2
2Arctg[B<I/2 - 1].
11.49. РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК ТЕПЛА, ПРИЛОЖЕННЫЙ
ПО ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ ВЕРХНЕЙ
ПОВЕРХНОСТИ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ТРЕЩИНЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ [50]
7
-Q = дТ/ду - равномерный
поток тепла
Интегральное преобразование Фурье-Канторовича-Лебедева [50], тот
решение.
Кг = 0,
з/2
)
К
3B - v)n
- sign(|z| -6) ||z| - 6i3/2//t[
ol/2
]]¦
in
3B - у)л
- sign(|2| - 6) [оэ/2 ln(a2
792
HJs) - s
H2(s) ~ 2
ЛИТЕРАТУРА
3/2 3 Arf»frr
л . ._ ArCXg
nl/6
1 r
2 *¦
S\
J '
BsI/2
\ - s ' 21
BsI/2
tg 1 - s '
3 ,nl+ BsI/2 + ,
1/2 A + 52I/2
1. Sih G.C. On the singular character of thermal stresses near a
crack tip. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1962, 29, p.
587-589.
2. Hata T. Thermoelastic problem for a Griffith crack in a plate
with temperature-dependent properties under a linear temperature
distribution. - J. Therm. Stresses, 1979, 2, p. 353-366.
3. Konishi Y., Atsumi A. The linear thermoelastic problem of
uniform heat flow disturbed by a two-dimensional crack in a
strip. - Int. J. Engng. Sci., 1973, 11, p. 1-7.
4. Sekine H. Thermal stress problem for a ribbon-like inclusion. -
Lett. Appl. and Engng. Sci., 1977, 5, p. 51-61.
5. Sekine H., Mura T. Thermal stresses around an elastic
ribbon-like inclusion with good thermal conductivity. - J.
Therm. Stresses, 1979, 2, p. 475-489.
6. Florence A.L, Goodier J.N. Thermal stresses due to disturbance
of uniform heat flow by an insulated ovaloid hole. - Trans ASME,
Ser. E, J. Appl. Mech., 1960, 27, p. 635-639.
7. Bapu Rao M.N. Thermal stresses around an insulated crack in an
infinite plate subjected to a uniform heat flow. - Int. J.
Fract., 1976, 12, p. 777-779.
8. Itoh Y., Nagata K., Fukakura J., Mori T. Proportional
extrapolation techniques for determining stress intensity
factors. - The 3rd German-Japanese Joint Seminar of Research of
Structural Strength and Problems in Nuclear Engineering,
1985, II-2-4, Stuttgart.
9. Koizumi Т., Takakuda K-, Shibuya Т., Nishizawa T. An infinite
plate with a flaw and subjected to uniform heat flow. - J.
Therm. Stresses, 1979, 2, p. 341-351.
10. Barber J.R. Steady-state thermal stresses caused by an
imperfectly conducting penny-shaped crack in an elastic solid. -
J. Therm. Stresses, 1980, 3, p. 77-83.
793
11. Sekine H. Thermal stresses near tips of an insulated line crack
in a semi-infinite medium under uniform heat. flow. - Engng.
Fract. Mech., 1977, 9, p. 499-507.
12. Tweed J., Lowe S. The thermoelastic problem for a half-plane
with an internal line crack. - Int. J. Engng. Sci., 1979, 17,
p. 357-363.
13. Sekine H. Thermal stress singularities at tips of a crack in a
semi-infinite medium under uniform heat flow. - Engng. Fract.
Mech., 1975, 7, p. 713-729.
14. Sekine H. Crack problem for a semi-infinite solid with heated
bounding surface. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1977,
44, No. 4, p. 637-642.
15. Sekine H. Thermal stresses around a ribbon-like inclusion in
semi-infinite medium under uniform heat flow. - J. Elasticity,
1978, 8, No. 1, p. 81-95.
16. Sekine H. Influence of an insulated circular hole on thermal
stress singularities at tips of a crack. - Int. J. Fract., 1977,
13, No. 2, p. 133-149.
17. Herrmann K... Kummerling R. A crack-thermal stress problem in a
doubly connected solid. - Arch. Mech. Stosow., 1976, 28, No. 2,
p. 171-188.
18. Sekine H. Thermoelastic interference between two neighboring
cracks (Cracks cooled at prescribed temperatures). - Trans.
JSME, 1979, 45, No. 397, p. 1051-1057.
19. Sekine H. Thermoelastic interference between two neighboring
cracks (Insulated cracks). - Trans. JSME, 45, No. 397, p.
1058-1063.
20. Hasebe N., Tamai K... Nakamura T. Analysis of kinked crack under
uniform heat flow. - J. Engng. Mech., 1986, 112, No. 1, p.
31-42.
21. Sumi N.. Katayama T. Thermal stress singularities at tips of a
Griffith crack in a rectangular plate. - Nucl. Engng. and
Design, 1980, 60, p. 389-394.
22. Emmel E., Stamm H. Calculation of stress intensity factors of
thermally loaded cracks using the finite element method. - Int.
J. Pressure Vessels and Piping, 1985, 19, p. 1-17.
23. Hellen Т.К., Cesari F. On the solution of the center cracked
plate with a quadratic thermal gradient. - Engng. Fract. Mech.,
1979, 12, p. 469-478.
24. Sumi N. Thermal stresses in a finite rectangular plate with a
794
rigid ribbonlike inclusion. - J. Therm. Stress., 1981, 4, p.
83-90.
25. Sumi N. Steady thermal stresses in an orthotropic rectangular
plate with a crack. - Trans. JSME, 1982, 48, No. 431, p.
904-910.
26. Nakanishi H., Tani S., Suzuki M., Sumi N. Orthotropic
rectangular plates with an eccentric crack and an inclined
crack in steady state temperature fields. - Trans. JSME, 1985,
51, No. 469, p. 2094-2102.
27. Olesiak Z., Sneddon I.N. The distribution of thermal stress in
an infinite elastic solid containing a penny-shaped crack.
Arch. Ration. Mech. and Analysis, 1959, 4, p. 238-254.
28. Wnuk M.P. Enlargement of a thermally driven penny-shaped crack:
Stability considerations. - J. Therm. Stresses, 1980, 3, p.
409-426.
29. Deutsch E. The distribution of axisymmetric thermal stress in
an infinite elastic medium containing a penny-shaped crack.
Int. J. Engng. Sci., 1965, 3, p. 485-490.
30. Olesiak Z. Plastic zone due to thermal stress in an infinite
solid containing a penny-shaped crack. - Int. J. Engng. Sci.,
1968, 6, p. 113-125.
31. Florence A.L., Goodier J.N. The linear thermoelastic problem of
uniform heat flow disturbed by a penny-shaped crack. - Int. J.
Engng. Sci., 1963, 1, p. 533-540.
32. Kassir M.K,, Bregman A.M. Thermal stress in a solid containing
parallel circular cracks. - Appl. Sci. Res., 1971, 25, p.
262-280.
33. Fu W.S. Thermal stresses in an elastic solid weakened by two
complanar circular cracks. - Int. J. Engng. Sci., 1973, 11, p.
317-330.
34. Kassir M.K-, Sih G.C. Thermal stresses in a solid weakened by an
external circular crack. - Int. J. Solids and Structures, 1969,
5, p. 351-367.
35. Srivastav R.P., Lee D. Axisymmetric external crack problems for
media with cylindrical cavities. - Int. J. Engng. Sci., 1972,
10, p. 217-232.
36. Kassir M.K. Size of thermal plastic zones around external
cracks. - Int. J. Fract. Mech., 1969, 5, No. 3, p. 167-177.
37. Kassir M.K., Sih G.C. Three-dimensional Crack Problems.
Mechanics of Fracture. Vol. 2 (G.C. Sih, ed.). - Leyden:
795
Noordhoff Int. Pubi., 1975.
38. Rubenfeld L. Non-axisymmetric stress termoelastic distribution in
a solid containing an external crack. - Int. J. Engng. Sci.,
1970, 8, p. 499-509.
39. Srivastava K.N., Palaiya R.M. The distribution of thermal stress
in a semi-infinite elastic solid containing a penny-shaped
crack. - Int. J. Engng. Sci., 1969, 7, p. 641-666.
40. Mori Y., Shindo Y., Atsumi A. Thermal stresses in a slab
containing an annular crack. - Lett. Appl. and Engng. Sci.,
1980, 18, p. 1161-1172.
41. Srivastava K.N., Dwivedi J.P. Thermal stresses in an elastic
sphere containing a penny-shaped crack. - J. Appl. Math, and
Phys., 1970, 21, p. 864-886.
42. Das B.R. Thermal stresses in a long cylinder containing a
penny-shaped crack. - Int. J. Engng. Sci., 1968, 6, p. 497-516.
43. Das B.R. A note on thermal stresses in a long cylinder
containing penny-shaped crack. - Int. J. Engng. Sci., 1969, 7,
p. 667-676.
44. Atsumi A., Mori Y., Shindo Y. Thermal stresses in a circular
cylinder with a circumferential edge crack under uniform heat
flow. - J. Therm. Stresses, 1979, 2, p. 425-436.
45. Takahashi H., Shindo Y., Atsumi A. Linear thermo-elastic problem
of a circular cylinder with a internal circumferential crack.
Trans. JSME, 1981, 47, No. 414, p. 196-202.
46. Nied H.F., Erdogan F. Transient * thermal stress problem for a
circumferentially cracked hollow cylinder. - J. Therm. Stresses,
1983, 6, p. 1-14.
47. Kassir M.K., Sih G.C. Three-dimensional thermoelastic problems
of planes of discontinuities or cracks in solids. - Developments
in Theoretical and Applied Mechanics (W.A. Shaw, ed.). Vol. 3,
Pergamon Press, 1967, p. 117-146.
48. Kassir M.K- On the distribution of thermal stresses around
an elliptical crack in an infinite solid. - Int. J. Engng. Sci.,
1969, 7, p. 769-784.
49. Kassir M.K. Thermal crack propagation. - Trans. ASME, Ser. D, J.
Basic Engng., 1971, 93, No. 4, p. 643-648.
50. Kassir M. K. Stress-intensity factors for an insulated half-plane
crack. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1976, 43, p.
107-111.
796
51. Koizumi Т., Niwa H. The quasi-static thermal stresses in a
elastic half-plane with an edge crack. - Trans. JSME, 1977, 43,
No. 366, p. 442-447.
ПРИЛОЖЕНИЕ 11—1
Неустановившиеся задачи о температурных напряжениях
1. Koizumi Т., Niwa H. The quasi-static thermal stresses in an
elastic half-plane with an edge crack. - Trans. JSME, 1977, 43,
No. 366, p. 442-447.
2. Nied H.F., Erdogan F. Transient thermal stress problem for a
circumferentially cracked hollow cylinder. - J. Therm. Stresses,
1983, 6, No. 1, p. 1-14.
3. Grebner H., Strathmeier U. Stress intensity factors for
longitudinal semi-elliptical surface cracks in a pipe under
ttoermal loading. - Engng. Fract. Mech., 1985, 21, No. 2, p.
383-389.
4. Yagawa G., Ichimiya M., Ando Y. Theoretical and experimental
analysis of initiation of fracture from surface cracks subjected
to thermal shock. Application of /(-value analysis based on
discretization error. - Trans. JSME, 1979, 45, No. 395, p.
734-742.
5. Shiratori M., Miyoshi Т., Tanikawa K. Analysis of stress
intensity factors for surface cracks subjected to
arbitrarily distributed surface stresses. - Trans. JSME, 1985,
51, No. 467, p. 1828-1835.
6. Shiratori M., Miyoshi Т., Tanikawa K. Analysis of stress
intensity factors for surface cracks subjected to arbitrarily
distributed surface stresses. 2nd Report. Analysis and
application of influence coefficients for flat plates with a
semi-elliptical surface crack. - Preprint of Trans. JSME, No.
85-0204 A.
7. Emery A.F., Walker G.E. (Jr.), Williams J.A. A Green's function
for the stress-intensity factors of edge cracks and its
application to thermal stresses. - Trans. ASME, Ser. D, J. Basic
Engng., 1969, 91, No. 4, p. 618-624.
8. Emery A.F., Neighbors P.K., Kobayashi A.S., Love W.J. Stress
intensity factors in edge-cracked plates subjected to transient
797
thermal singularities. - Trans. ASME, Ser.J, L. Pres. Vessel
Technol., 1977, 99, No. 1, p. 100-105.
9. Emer A.F. Stress-intensity factors for thermal stresses in
thick hollow cylinders. - Trans. ASME, Ser. D, J. Basic
Engng., 1966, 88, No. 1, p. 45-52.
10. Sumi Y. On the growth pattern of thermally induced brittle
cracks singular stresses near a peripheral edge crack in a
spherical cavity. - Trans. JSME, 1982, 18, No. 429, p. 620-626.
11. Marsh D. J. A thermal shock fatigue study of type 304 and 316
stainless steels. - Fatigue and Fract. Engng. Mater, and
Struct., 1981, 4, No. 1, p. 179-195.
12. Abe H., Sekine H., Shibuya Y. Thermoelastic evaluation of a
two-dimensional crack for extraction of geothermal energy.
Trans. JSME, 1982, 48, No. 431, p. 899-903.
13. Abe H., Sekine H., Shibuya Y. Extension of a crack-like
reservoir for extraction of geothermal energy. A case where
the inlet and outlet are not located at the border of the
crack-like reservoir. - Trans. JSME, 1983, 49, No. 446, p.
1300-1305.
14. Shibuya Y., Sekine H., Takahashi Y., Abe H. Extension of
multiple geothermal cracks during extraction of heat. - Trans.
JSME, 1985, 51, No. 464, p. 1066-1072.
15. Emmel E., Stamm H. Calculation of stress intensity factors of
thermally loaded cracks using the finite element method. - Int.
J. Pressure Vessels and Piping., 1985, 19, p. 1-17.
16. Noda N., Matsunaga Y., Nyuko H. Transient thermal stress in an
infinite elastic solid with an external circular crack. - Trans.
JSME, 1986, 52, No. 473, p. 174-179.
798
12. ТРЕЩИНЫ В УСЛОВИЯХ КОНТАКТНОГО
ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
12.1. ТРЕЩИНА, ОТХОДЯЩАЯ ОТ ВЕРШИНЫ ВХОДЯЩЕГО УГЛА [У]
Метод интегральных уравнений [1].
К = F<rJ~cT.
-г.
180°
Рис. 12.1. Коэффициент интенсивности напряжений F.
799
Таблица 12.1. Коэффициент интенсивности напряжений F для трещины,
отходящей от вершины входящего угла, нагруженного усилиями 5(г) =
= т (= о), Щг) = 0, p(r) = -or
•о -
60
75
90
105
120
135
150
165
179.95
0.0
1.5928
1.3805
1.1207
1.0117
0.9491
0.9167
0.9027
0.8984
0.8979
2.0
-0.4977
0.0206
0.3662
0.6860
0.9968
1.2585
1.4373
1.5312
1.5580
4.0
-0.6073
-0.1818
0.1805
0.6121
1.0902
1.5162
1.8127
1.9682
2.0121
lit
6.0
-0.5966
-0.2337
0.1111
0.5981
1.1878
1.7348
2.1211
2.3240
2.3811
8.0
-0.5799
-0.2521
0.0755
0.6006
1.2789
1.9266
2.3890
2.6320
2.7001
10.0
-0.5615
-0.2590
0.0530
0.6090
1.3629
2.0991
2.6290
2.9075
2.9853
Таблица 12.2. Коэффициент интенсивности напряжений F для трещины,
отходящей от вершины входящего угла, нагруженного усилиями S(r) =
= т ( = (У), Щг) = -<г, р(г) = 0
•о
60
75
90
105
120
135
150
165
179.95
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
2.0
-2.0906
-1.2879
-0.7544
-0.3257
0.0476
0.3418
0.5346
0.6328
0.6601
1 /а
4.0
-2.2000
-1.4903
-0.9402
-0.3996
0.1411
0.5955
0.9100
1.0697
1.1142
6.0
-2.1894
-1.5423
-1.0096
-0.4136
0.2386
0.8181
1.2184
1.4256
1.4832
8.0
-2.1707
-1.5606
-1.0453
-0.4111
0.3298
1.0099
1.4863
1.7336
1.8022
10.0
-2.1453
-1.5676
-1.0669
-0.4027
0.4138
1.1824
1.7263
2.0090
2.0873
12.2. РАСКЛИНИВАНИЕ ПОЛУПОЛОСЫ С КРАЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
ТОНКИМ ГЛАДКИМ КЛИНОМ [2]
2h
800
Аналитический метод [2 ].
Случай тупоконечного клина постоянной толщины
К = FPya/h3/z, Ру = /<г0,
где arQ - среднее контактное давление.
Таблица 12.3. Коэффициент интенсивности
напряжений F
a/h
a/h
1.0
1.0
1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
l/h
0.1
0.2
0.3
0.37
0.1
0.1
0.1
1.60
1.86
2.13
2.35
0.494
0.209
0.107
F
5.928
5.983
6.051
6.149
4.670
4.272
4.055
Рис. 12.2. Коэффициент интенсивности
напряжений F.
Случай клина с острием постоянного наклона
4 да
A + к)Л
1/2
к = 3 - 4у
(ц - модуль сдвига),
в случае плоской деформации,
к = C - и)/A + у) в случае обобщенного плоского
напряженного состояния,
В работе [2] решение задачи о расклинивании полуполосы с кра-
краевой трещиной получается из решения задачи для полосы с тремя
трещинами (см. нижний рисунок на стр. 800) предельным переходом
при ii •» Л и с ¦> 0. - Прим. ред.
801
51-1280
xlO-2
Рис. 12.3. Коэффициент интенсивности напряжений в полуполосе,
расклиниваемой жестким клином с острием постоянного наклона /
E - раскрытие трещины в точке х = 0).
К = FPa/h3/2.
1-
f0=o.oi
тупоконечный
клин
г/И=0.1
3 4
a/h
Рис. 12.4. Коэффициент интенсивности напряжений в полуполосе,
расклиниваемой жестким клином с острием постоянного наклона (fQ
= 0.01).
802
Таблица 12.4. Коэффициент интенсивности напряжений F в случае тонко-
тонкого клина с постоянным углом раствора (Р = 2Р sin (arctg / ) =
a/h
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
0;05
0.1
0.15
0.2
0.4
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
f0
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.04
0.01
0.01
0.01
0.01
xlO
0.597
1.078
1.458
1.735
2.166
4.314
2.838
5.791
9.962
15.33
d+ic)Py
4/<h
xlO
1.31
2.53
3.57
4.38
5.84
1.01
2.31
2.12
1.94
1.79
A+K)PO
4ph
xlO
2.62
5.05
7.14
8.77
11.7
80.8
4.62
4.23
3.88
3.58
F
5.918
5.926
5.943
5.950
6.065
5.926
4.597
4.150
3.912
3.715
12.3.
РАСКЛИНИВАНИЕ ЖЕСТКИМ КЛИНОМ УПРУГОГО
КЛИНА С ВХОДЯЩИМ УГЛОМ И ТРЕЩИНОЙ
НА БИССЕКТРИСЕ [3]
Аналитический метод [3].
/С. . = F. . P/(nv2a ) = F' P/(uv a ) (для вершины трещины С),
(О
(СГ
(для вершины трещины D),
Р = PQl.
803
s о
180°
150"
1200
Рис. 12.5. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
угла 60.
Рис. 12.6. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
размера штампа.
804
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
,„-1800
" —-—-
165»
150»
2a=d
t=d
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 12.7. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
коэффициента трения Т).
1.0
0.8-
0.6-
¦* I
0.4
0.2 -
0.5
0.4
-0.3
0.2
-0.1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
--d
¦ с
—-^^
F{D)
v
gSEJ_
J
/
/ do =
/ 2a =
= 0.3
= 0.5
,=165° .
у
R
=R3R .
Рис. 12.8. Коэффициент интенсивности напряжений в вершине трещины
при расклинивании упругого клина с входящим углом затупленным
жестким клином.
805
Таблица 12.5. Коэффициент интенсивности напряжений для внутренней
трещины в случае упругого клина с входящим углом, расклиниваемого
жестким трапециевидным клином (v = 0.3, Т) = 0.2 и 0.5)
*0
1500
1500
1500
1500
165°
1650
165°
165°
150°
150°
150°
165°
1650
1650
ill
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
3.
3.
3.
3.
3.
3.
(d+2)/J
3.
3.
3.
3.
3.
3.
3.
3.
5.
5.
5.
5.
5.
5.
I ill
1.
1.01
1.001
0.
1.
1.01
1.001
0.
1.
1.01
1.001
1.
1.01
1.001
Bа+е)/г
2.
1.01
1.001
1.
2.
1.01
1.001
1.
2.
1.01
1.001
2.
1.01
1.001
4 '
K'(c)
0.1249
1.2239
2.9296
0.1774
1.6319
3.8886
0.1106
0.8750
2.0836
0.1548
1.1486
2.7282
¦0.2
K'@)
0.0913
0.2595
2.2927
0.3846
0.1285
0.3598
0.4035
0.5251
0.0837
0.2087
0.2323
0.1186
0.2816
0.3123
7-0
K'(C)
0.0796
0.7520
1.8088
0.1570
1.3898
3.3126
0.0660
0.5493
1.3119
0.1344
0.9852
2.3407
.5
K'@]
0.0613
0.1576
0.1780
0.2350
0.1152
0.3113
0.3485
0.4523
0.0508
0.1261
0.1409
0.1038
0.2424
0.2687
Таблица 12.6. Коэффициент интенсивности напряжений для трещины,
отходящей от вершины упругого клина с входящим углом, расклиниваемо-
расклиниваемого жестким трапециевидным клином (v = 0.3, d/l = 1.0, c/l = 0.0)
ч
0
0
0
0
0
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
'0
1200
1500
1650
172.50
180°
1200
150°
1650
172.50
1800
1200
1500
1650
172.5°
1800
F(D)
0.1133
0.6876
0.8123
0.8391
0.8472
-0.1703
0.5439
0.7426
0.8030
0.8419
-0.5834
0.3323
0.6396
0.7495
0.8340
806
Таблица 12.7. Коэффициент интенсивности напряжений для трещины,
отходящей от вершины упругого клина с входящим углом, расклиниваемо-
расклиниваемого трапециевидным жестким клином (р = 0.3, d/l = 1.0, с/1 = 0.0,
9П = 150°, 7) = 0.0, 0.2 и 0.5)
ад
0.001
0.1
0.2
0.5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
0.0
0.8698
0.8803
0.8522
0.7767
0.6876
0.5803
0.5145
0.4683
0.4332
0.4053
0.3824
0.3630
0.3464
0.3319
F"(»)
ч
0.2
0.6950
0.6975
0.6729
0.6118
0.5439
0.4647
0.4163
0.3818
0.3553
0.3340
0.3162
0.3011
0.2880
0.2765
0.5
0.4430
0.4336
0.4134
0.3712
0.3323
0.2930
0.2697
0.2525
0.2387
0.2270
0.2170
0.2082
0.2004
0.1934
Таблица 12.8. Коэффициент интенсивности напряжений для трещины,
отходящей от вершины упругого клина с входящим углом, расклиниваемо-
углом, расклиниваемого жестким трапециевидным затупленным клином (у = 0.3, 7) = 0.5, 9Q =
= 165°, dQ = R, 2a = R, I = R; ц - модуль сдвига)
(do-d)/R
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.05
0.02
2tH
1+KP
Т/Г1Г
0.5990
0.4225
0.2710
0.1460
0.0515
0.0186
0.0048
I-2R
K(D)
0.5941
0.5909
0.5878
0.5847
0.5818
0.5803
0.5796
гы
1+KP
rrn,
0.7108
0.5134
0.3366
0.1851
0.0764
0.0246
0.0066
I«3R
K(D)
0.6670
0.6604
0.6547
0.6494
0.6440
0.6415
0.6399
12.4. ВНЕШНЯЯ ТРЕЩИНА В ПЛОСКОСТИ, СИММЕТРИЧНО
РАСКЛИНИВАЕМАЯ ДВУМЯ ЖЕСТКИМИ ТОНКИМИ КЛИНЬЯМИ [4]
Тонкие клинья вызывают нормальные смещения берегов
трещины в условиях гладкого контакта, равные
"у = /(*). a s \х\ ? с
807
Аналитический метод [4].
Случай клиньев постоянной толщины f(x) = 2Л
]ich
К =
- v
|1/2
(д - модуль сдвига).
Случай клиньев с закругленными кромками f(x) = 1 - Ь/х
F = const, а < Ь < с):
*• т
ё к») - чад
() E(ft) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода
соответственно; k2 = (с2 - аг)/с2.
К = F т-^-у Vila . F = (а/у/о^Л)г (а = с/а, у = ft/a).
0.25
0.20-
0.15-
0.10-
0.05 -
Рис. 12.9. Коэффициент
интенсивности напряжений для
внешней трещины, симметрично
расклиниваемой двумя 0
затупленными жесткими клиньями.
808
Таблица 12.9. Коэффициент интенсивности напряжений для внешней
трещины, расклиниваемой симметрично двумя жесткими тонкими клиньями
постоянной трещины
т
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
1.1
0.0240
0.0480
0.0720
0.0960
0.1200
0.1440
0.1680
0.1920
0.2160
0.2400
1.6
0.0128
0.0256
0.0384
0.0512
0.0641
0.0769
0.0897
0.1025
0.1153
0.1281
а
2.1
0.0114
0.0227
0.0341
0.0455
0.0569
0.0682
0.0976
0.0910
0.1023
0.1137
2.6
0.0108
0.0217
0.0325
0.0433
0.0542
0.0650
0.0758
0.0867
0.0975
0.1083
3.1
0.0106
0.0211
0.0317
0.0423
0.0528
0.0634
0.0740
0.0845
0.0951
0.1056
F =
1/2
Таблица 12.10. Коэффициент интенсивности напряжений для внешней
трещины, симметрично расклиниваемой двумя жесткими тонкими
затупленными клиньями постоянной толщины (f(x) = 1 - Ь/х)
Л
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
3.654
3.459
3.263
3.068
2.873
2.678
2.483
2.287
2.092
1.897
1.702
1.6
1.638
1.653
1.667
1.682
1.696
1.711
1.725
1.740
1.754
1.769
1.783
2.1
1.295
1.324
1.353
1.383
1.412
1.441
1.470
1.499
1.528
1.558
1.587
а.
2.6
1.133
1.163
1.193
1.223
1.253
1.283
1.313
1.343
1.373
1.402
1.432
3.1
1.034
1.062
1.090
1.119
1.147
1.775
1.203
1.231
1.259
1.287
1.316
3.6
0.966
0.992
1.018
1.043
1.069
1.095
1.121
1.147
1.173
1.199
1.225
809
.0
2.0
3.0
4.0
Рис. 12.10. Коэффициент интенсивности напряжений для внешней трещины,
симметрично расклиниваемой двумя жесткими клиньями (f(x) = 1 - b/x).
12.5. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА С ГЛАДКИМ ЖЕСТКИМ
ДИСКООБРАЗНЫМ ВКЛАДЫШЕМ [5]
} Жесткий дискообразный
вкладыш
¦ l2h \
Дискообразная
\ трещина
Гладкий контакт
810
Аналитический метод [5].
К = F
_uh
7ГA - v)a
1/2
(fi. - модуль сдвига),
1.4
1.2
F
1.0
0.8-
0.6-
0.4-
0.2 -
/
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 12.11. Коэффициент интенсивности напряжений.
Таблица 12.11. Коэффициент интенсивности напряжений для диско-
дискообразной трещины
л
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
F
0.1037
0.1589
0.2170
0.2786
0.3443
0.4149
0.4912
0.5742
0.6651
811
12.6. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА В ТРАНСВЕРСАЛЬНО
ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ С ВЫТЯНУТЫМ СФЕРОИДАЛЬНЫМ
ЖЕСТКИМ ВКЛАДЫШЕМ [6]
I - радиус области контакта
Аналитический метод [6].
г = 4А (a/R) G(l/a)
1/2
Л
Л2С33>
°"гг =
°8z =
(СДДЛ2 - СП)(С33А2 - СД4) + (С13
44
= 0.
Это уравнение имеет два корня Ах и А2; R - радиус жесткого вкладыша
сфероидальной формы.
Рис. 12.12. Безразмерный
коэффициент интенсивности
напряжений G(l/a).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
812
XJ
10
5
R/a
/
//
///
ль
/12.5
0.0
0.01
0.02
i/a
Рис. 12.13. Нормированный
коэффициент интенсивности
напряжений.
12.7. ПОДКРЕПЛЕННАЯ ПОЛУПЛОСКОСТЬ С ТРЕЩИНОЙ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ ВДОЛЬ ГРАНИЦЫ [7]
2а
7 о
, ч)
- р
Метод сингулярных интегральных уравнений [7].
<1 = 3 - 4vv к2 = 3 - 4у2 в случае плоской деформации,
Kj = C - Уа)/A + р1), к2 = C - 1>2)/A + ^2) в случае плоского
напряженного состояния,
Л =
= FT(rf)p^7i~, /CT(c) = FAc)pfTcT,
/еп(с) = Fu(c)p/uT,
813
Ки(-2а) = Fu(-2a)p/lT, K[(d) =
Ки@) = F^
I = (d - c)/2a.
K'u(d) =
Рис. 12.14. Изменение коэффициента интенсивности напряжений в
вершине краевой трещины типа I в полуплоскости с одним подкреплением
в зависимости от глубины трещины.
Таблица 12.12. Коэффициент интенсивности напряжений в случае одного
подкрепления и краевой трещины (с = 0)
d/
0.
0.
0.
1
'a
.1
,25
,5
0
0.
0.
0.
0.
.2
441
393
308
152
0.
0.
0.
0.
(-2a
i
1
369
335
269
138
)
10
0.169
0.161
0.138
0.081
2
1
1
1
0.2
.670
.959
.687
.591
F
2
1
1
1
2
1
.434
.877
.667
.589
1
1
1
1
10
.838
.667
.606
.586
0.2
-0.380
-0.184
-0.071
-0.010
F,,(d)
i
1
-0.300
-0.149
-0.055
-0.008
-0
-0
-0
-0
10
.095
.039
.015
.002
814
2.5
2.0
•j
1 _ ^
i i , 1 ,
2a
^ v_— ¦ .
1
d '
——»_-—
—^
1.586 =•
1.5
d/a
Рис. 12.15. Изменение коэффициента интенсивности напряжений в
вершине краевой трещины типа I в полуплоскости с двумя подкреплени-
подкреплениями в зависимости от глубины трещины.
Таблица 12.13. Коэффициенты интенсивности напряжений в случае двух
симметричных подкреплений и краевой трещины (с = 0)
d/a
0.
0.
0.
1
.1
.25
.5
0
0.
0.
0.
0.
.2
469
402
308
152
Fx,(-2a]
i
1
0.386
0.341
0.269
0.138
\
0
0
0
0
10
.171
.162
.139
.081
0
4.
2.
1.
1.
.2
014
351
792
601
Fj
l
1
3.
2.
1.
1.
(d)
443
183
750
597
2
1
1
1
10
.110
.753
.632
.587
815
-1.2
Рис. 12.16. Изменение коэффициентов интенсивности сдвиговых на-
напряжений на краях подкрепления в зависимости от расположения трещины
s = (d + с)/2а, I = 1 (внутренняя трещина).
Таблица 12.14. Изменения коэффициентов интенсивности сдвиговых
напряжений в зависимости от положения трещины s , / = 1 (внутренняя
трещина)
so
1.
1.
2
3
5
1
5
0.2
0.519
0.605
0.602
0.541
0.487
Fn(-2a)
г
1
0.406
0.488
0.494
0.447
0.401
4
0.237
0.305
0.321
0.296
0.264
0.2
-1.074
-0.642
-0.546
-0.493
-0.474
-0
-0
-0
-0
-0
,«»
г
1
.918
.521
.442
.402
.389
4
-0.633
-0.325
-0.279
-0.260
-0.255
816
0 4
F
0
-0.4
-0.8
.1 •>
FIl(-2a)
1 1
i *
O?2\
0.2
1
4
\
\
0.2 0.4 , 0.6 0.8
1.0
Рис. 12.17. Изменение коэффициентов интенсивности напряжений в зави-
зависимости от длины трещины / (s = 1).
Таблица 12.15. Изменения коэффициентов интенсивности сдвиговых
напряжений в зависимости от длины трещины I (s = 1)
I
0.
0.
0.
0.
0.
1
25
5
75
9
0.2
0.472
0.478
0.496
0.510
0.494
Рц(-2а;
i
1
0.388
0.391
0.402
0.406
0.387
1
4
0.
0.
0.
0.
0.
254
255
256
248
228
0.2
-0.473
-0.486
-0.543
-0.700
-1.015
Fn@)
i
1
-0.389
-0.399
-0.445
-0.580
-0.867
-0
-0
-0
-0
-0
4
.255
.260
.286
.375
.598
52-1280
817
Рис. 12.18. Изменение коэффициентов интенсивности напряжений в вер-
вершинах трещины s = cns = db зависимости от положения трещины s0,
/ = 1 (внутренняя трещина).
818
Таблица 12.16. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений в
вершинах трещины s = cus = dB зависимости от положения трещины
sQ, I = 1 (внутренняя трещина)
so
1.1
1.5
2.0
3.0
5.0
so
1.1
1.5
2.0
3.0
5.0
0.2
1.535
1.055
1.010
1.011
1.008
0.2
1.092
1.034
1.023
1.015
1.008
Fj(c)
l
1
1.550
1.088
1.030
1.017
1.009
Ff{d)
l
1
1.116
1.048
1.030
1.017
1.008
4
1.592
1.140
1.059
1.025
1.010
4
1.155
1.071
1.041
1.021
1.009
0.2
-0.077
0.042
0.051
0.029
0.008
0.2
0.075
0.052
0.035
0.016
0.005
Fn(c)
;
1
-0.045
0.035
0.039
0.022
0.006
г
1
0.062
0.040
0.026
0.012
0.004
4
-0.001
0.021
0.024
0.011
0.003
4
0.040
0.022
0.014
0.006
0.002
-0.1-
Рис. 12.19. Изменение коэффициентов интенсивности напряжений в вер-
вершинах трещины в зависимости от длины трещины /, sQ = 1 (внутренняя
трещина).
819
52*
Таблица 12.17. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений в
вершинах трещины в зависимости от длины трещины /, s = 1 (внутренняя
трещина)
I
0.
2
Fj(c)
i
1
4
0
.2
FH(e)
a
1
4
0.1
0.25
0.5
0.75
0.9
0.913
0.919
0.965
1.130
1.500
0.935
0.943
0.993
1.160
1.512
0.967
0.979
1.037
1.212
1.549
0.035
0.033
0.023
-0.008
-0.083
0.027
0.026
0.020
0.001
-0.050
0.015
0.014
0.014
0.010
-0.004
0.2
0.2
0.1
0.25
O.S
0.70
0.9
0.919
0.932
0.966
1.021
1.080
0.940
0.952
0.987
1.044
1.105
0.970
0.982
1.018
1.081
1.145
0.039
0.042
0.050
0.062
0.073
0.030
0.032
0.039
0.050
0.061
12.8.
КРАЕВАЯ ТРЕЩИНА НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
В КЛЕЕВОМ СОЕДИНЕНИИ ВНАХЛЕСТ [8]
Метод конечных элементов [8].
Расчеты выполнены при следующих численных значениях параметров:
6 = 45°, L = 0.5 дюйм, tj= t3 = 0.05 дюйм, t2 = 0.005 дюйм,
а = 2.5*2 = 0.0125 дюйм A дюйм = 0.0254 м, 1 psi = 1 фунт/дюйм2
= 6.8948 кПа).
820
o.ooit
10
1000
Е,/Е.
1/с2
Рис. 12.20. Коэффициенты интенсивности напряжений для краевой тре-
трещины на поверхности раздела клеевого соединения в зависимости от
отношения модулей упругости материала склеиваемых деталей и клея.
1.2
1.0
0.8
0.6
0.2
0.0
Е2-0.5х10б фунт/дюйм2
Е3-10х10б фунт/дюйм2
V2-0.35, V3-0.33
10
100
1000
Е,/Е
1/L2
Рис. 12.21. Влияние свойств клеевого слоя на коэффициенты интенсив-
интенсивности напряжений для трещины на поверхности раздела в клеевом соеди-
соединении.
821
о:
S
0.2
0.1
0.05
0.01
0.005
0.01
s0Л4
J-0.12
Я
>0.10
X
•E2»0.5xl0 фунт/дюйм2
E1=E3=10xl06 фунт/дюйм2
Vj.Vj.o.33
E2-0. 5хЮб фунт/ дюйм2
0.05 0.1
0.5
0.00,
I фунт/дюйм2
0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
a/L
Рис. 12.22. Влияние толщины клеевого слоя t2 на коэффициенты интен-
интенсивности напряжений в вершине трещины.
Рис. 12.23. Коэффициенты интенсивности напряжений для трещины на по-
поверхности раздела в клеевом соединении.
12.9. ТРЕЩИНА, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ГРАНИЦЕ ПОЛУПЛОСКОСТИ,
НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДВИЖУЩЕЙСЯ
СОСРЕДОТОЧЕННОЙ НАГРУЗКИ [9]
)
(т
h
1
L 1
t
j
x
L
1 Ha
Направление распространения
трещины —
I.
Метод функции Грина [9].
*тт = /\Т2/У(тг//Г),
II
К. - коэффициент интенсивности напряжений в передней вершине трещины;
К- - коэффициент интенсивности напряжений в задней вершине трещины.
822
Поле напряжений в полуплоскости под действием сосредоточенной нор-
нормальной и касательной сил
2Я
1 + fx/h _
[1 + (x/hJ]2 ' 2X
0.2
0.1
,= 0.0
-0.1
-0.2
IP (x/h)(\
тгл п +
\^--i/ о.з'5
\ X 0.0
+ fx/h)
(x/hJ]2
-
-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5
x/h
Рис. 12.24. Коэффициент интенсивности напряжений в случае короткой
трещины (L/h = 0.25) для различных значений коэффициента трения д
берегов трещины (штриховые линии соответствуют д = 0).
0.2
0.1
„г о.о
-0.1
-0.2
[ ЛЪ
¦ i i i i
i ¦ i i >
-6 -5-4-3-2-10123456
x/h
Рис. 12.25. Коэффициент интенсивности напряжений в точках xL и хт в
зависимости от положения точки приложения нагрузки (трение по бере-
берегам трещины отсутствует (L = ЗА)).
823
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
- ^=0.5
L - 3h S\
¦¦ 1 \
- 1
1 1 1 I 1
w
-
-
-
-
¦
.6 .5 -4 -3 -2 -1 0 12 3 4 5 6
x/h
Рис. 12.26. Коэффициент интенсивности напряжений в точках х. и х
при наличии трения берегов трещины.
12.10. ПОЛУКРУГОВАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА В
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В УСЛОВИЯХ ГЕРЦЕВСКОГО
КОНТАКТА КАЧЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ [10; 11-16]
Р(х)
-X, X1
а - радиус полукруговой трещины,
С - полуширина области линейного герцевского контакта,
а - угол наклона трещины,
Г, в - полярные координаты с началом в точке фронта трещины,
Э - угловое расстояние точки фронта трещины
от наиболее глубокой точки фронта
Метод объемных сил [10].
р(х) =
, q(x) = fp{x),
f - коэффициент трения скольжения.
па ,
824
na
pr(z ) = p(e) - постоянное давление жидкости, приложенное к
поверхностям трещины:
р(е) = роA - ег/сгI/г; р(е) = 0 при \е/с\ > 1, v = 0.3.
0.2
0
-0.2
-
?o.i^;
f-0.3
-1
4
•/с
0
У/
/ ¦
s
'/ 1 Г"
¦
«/С
0.2
: о
¦
-0.2
f-0.3-7'
-2 -1/ / 0
f-0 /
f-0.1
е/с
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0.2-
а/с-1.0 ч /
a/c-0.5 ^N'
N
е/с
iT °^^™
-0.2-
-2 -1 0
a/c-l.O^^^
-a/c-0.5V\/
a/c-0.2 '
S^;' i г
Xa/c-0.1
е/с
Рис. 12.27. Коэффициенты интенсивности напряжений для вертикальной
трещины (штриховые линии соответствуют отсутствию давления смазки).
Рис. 12.28. Влияние размера трещины на коэффициенты интенсивности
напряжений в случае вертикальной трещины.
825
-0.8-
0.2
-0.2-
- f-о'.з /\J
e/c
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0.4
0.2
0.0
-0.2
f=0.1
e/c
Л
/ /*
-? -^
'"--¦^X—a/c«1.0 .
^^Д^а/с^О.5
^ДVVa/c«0.1
о i 2—
e/c
Рис. 12.29. Коэффициенты интенсивности напряжений для наклонной тре-
трещины.
Рис. 12.30. Влияние размера трещины на коэффициенты интенсивности
напряжений в случае наклонной трещины (штриховые линии соответст-
соответствуют отсутствию давления смазки).
826
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2 -
-0.4
-0.6
-0.8
¦
а.
f =
-2
= 45°
= -0.1
-1
R
\
! \>%
\ \
\^
\
0
4
»
¦
t
\
\
\
у
\
\
\
\
4
-''
/a/c-
• 1
\ .
v •
\
w
~i!
1.0
2
/
/
^-a/c«0.
^a/c-0.
1
5
¦
Рис. 12.31. Влияние размера тещины на коэффициенты интенсивности на-
напряжений в случае наклонной трещины (штриховые линии соответствуют
отсутствию давления смазки).
0.02
0.01
-0.01
Рис. 12.32. Изменение Fz вдоль
фронта трещины.
-0.02 .
Рис. 12.33. Изменение fj вдоль
фронта трещины.
827
12.11. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТИ
ПОЛУПРОСТРАНСТВА, В УСЛОВИЯХ ГЕРЦЕВСКОГО
КОНТАКТА КАЧЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ [16; 10-15]
р(х)
Метод объемных сил [16].
Герцевский контакт ,
а - радиус дискообразной
трещины
р(х) = роA -
2, q(x) = fp(x);
f - коэффициент трения между контактирующими берегами трещины.
/Vf-1.0
а/с ш 0.5
d/с* о.5
/с «0.5
-0.2
Рис. 12.34. Изменение коэффициентов интенсивности напряжений в точке
А за цикл качения-скольжения.
828
Таблица 12.18. Изменения коэффициентов интенсивности напряжен
в точке А за цикл качения-скольжения (а/с = 0.5, d/c = 0.5,
/с = 05)
(a) Fx
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
(Ь) F
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
0.0
0.0005
0.0010
0.0018
0.0034
0.0041
0.0040
0.0028
0.0020
0.0013
0.0003
0
0
0
0
0
-0.0006
-0.002'»
-0.0028
-0.0035
-0.0042
-0.0038
-0.0030
-0.0016
-0.0009
-0.0005
0.0
0.0058
0.0111
0.0186
0.0335
0.0446
0.0561
0.0640
0.0649
0.0624
0.0426
0.0079
0
0
0
-0.0001
-0.0016
-0.0063
-0.0103
-0.0157
-0.0319
-0.0648
-0.0707
-0.0419
-0.0224
-0.0102
0.1
0.0002
0.0006
0.0013
0.0026
0.0033
0.0032
0.0021
0.0015
0.0009
0.0002
0
0
0
0
-0.0001
-0.0008
-0.0025
-0.0034
-0.0042
-0.0051
-0.0046
-0.0037
-0.0021
-0.0013
-0.0007
0.1
0.0023
0.0059
0.0116
0.0238
0.0334
0.0434
0.0507
0.0519
0.0501
0.0328
0.0030
0
0
0
-0.0001
-0.0022
-0.0083
-0.0132
-0.0198
-0.0403
-0.0788
-0.0845
-0.0529
-0.0302
-0.0152
f
0.5
0.0012
0.0023
0.0033
0.0038
0.0031
0.0013
0.0001
0.0001
0
0
0
0
0
0
-0.0004
-0.0022
-0.0050
-0.0064
-0.0076
-0.0086
-0.0079
-0.0066
-0.0О42
-0.0028
-0.0017
f
0.5
-0.0129
-0.0168
-0.0189
-0.0169
-0.0129
-0.0064
-0.0019
-0.0028
-0.0044
-0.0013
0
0
0
0
-0.0011
-0.0065
-0.0191
-0.0292
-0.0426
-0.0918
-0.1347
-0.1398
-0.0967
-0.0616
-0.0350
1.0
0.0030
0.0064
0.0112
0.0194
0.0233
0.0254
0.0228
0.0184
0.0117
0
0
0
0
-0.0004
-0.0020
-0.0052
-0.0091
-0.0108
-0.0120
-0.0129
-0.0120
-0.0102
-0.0068
-0.0047
-0.0030
1.0
-0.0322
-0.0463
-0.0605
-0.0773
-0.0828
-0.0820
-0.0722
-0.0630
-0.0507
-0.0176
0
0
0
-0.0011
-0.0061
-0.0193
-0.0463
-0.0690
-0.1007
-0.1624
-0.2046
-0.2088
-0.1514
-0.1008
-0.0598
829
0.04
0.02
а/с =0.5
d/c =0.5
fc= о-ь
f-1.0 / \
7 Y
/' f°°d "
-3 -2-10123
e/c
0.2
0.1
f-1.0
_--f=0.5
^-f=0.1
,^-f-O.O.-^
/ "^
/ __„
Л-3 -2-10123
e/c
Рис. 12.35. Изменение коэффициентов интенсивности напряжений в точке
В за цикл качения-скольжения.
Таблица 12.19. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений в
точке В за цикл качения-скольжения (а/с - 0.5, d/c = 0.5, / = 0.5)
(a)
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
0.0
-0.0005
-0.0009
-0.0016
-0.0030
-0.0038
-0.0042
-0.0035
-0.0028
-0.0020
-0.0006
0
0
0
0
0
0.0003
0.0013
0.0020
0.0028
0.0040
0.0041
0.0034
0.0018
0.0010
0.0005
0.1
-0.0002
-0.0005
-0.0011
-0.0022
-0.0030
-0.0033
-0.0027
-0.0021
-0.0015
-0.0004
0
0
0
0
0
0.0004
0.0016
0.0025
0.0035
0.0049
0.0050
0.0041
0.0024
0.0014
0.0008
f
0.5
0.0041
0.0060
0.0040
0.0014
0.0004
-0.0001
-0.0002
-0.0001
-0.0001
0
0
0
0
0
0.0002
0.0012
0.0036
0.0051
0.0065
0.0084
0.0084
0.0072
0.0046
0.0031
0.0018
1.0
0.0111
0.0212
0.0333
0.0285
0.0169
0.0099
0.0045
0.0025
0.0012
0.0001
0
0
0
0.0002
0.0011
0.0036
0.0073
0.0092
0.0109
0.0128
0.0126
0.0111
0.0075
0.0051
0.0031
830
Таблица
(Ь) 1
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
12.19 (продолжение)
0.0
-0.0102
-0.0224
-0.0419
-0.0707
-0.0648
-0.0319
-0.0157
-0.0103
-0.С063
-0.0016
-0.0001
0
0
0
0.0079
0.0426
0.0624
0.0649
0.0640
0.0561
0.0447
0.0335
0.0186
0.0111
0.0058
f
0.1
-0.0053
-0.0145
-0.0310
-0.0569
-0.0508
-0.0239
-0.0117
-0.0077
-0.СО47
-0.0010
0
0
0
0
0.0138
0.0527
0.0751
0.0781
0.0773
0.0688
0.0559
0.0432
0.0256
0.0162
0.0093
0.5
0.0160
0.0191
0.0137
-0.0021
-0.0013
-0.0011
-0.0007
-0.0004
-0.0002
0
0
0
0
0.0013
0.0445
0.0972
0.1277
0.1325
0.1319
0.1198
0.1009
0.0819
0.0536
0.0369
0.0233
1.0
0.0434
0.0644
0.0811
0.0767
0.0406
0.0191
0.0081
0.0048
0.0024
0.0002
0
0
0.0033
0.0387
0.0982
0.1611
0.1980
0.2034
0.2016
0.1837
0.1571
0.1302
0.0885
0.0628
0.0408
12.12. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА, ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТИ
ПОЛУПРОСТРАНСТВА, В УСЛОВИЯХ ГЕРЦЕВСКОГО
КОНТАКТА КАЧЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ [/3; 10-12, 14-16]
Р(х)
Метод объемных сил [13].
= рЛ\ - х?/сгI/2, q(x) = fp(x);
«i = Vo/lta • *n = Fn"o/ira •
831
0.02
0.0
-0.02
-0.04
^ ' ''
-3
a/b = 0.5
a/c = 1.0
d/c=0.25
fo=0.5
0 12 3
e/c
-0.1
-0.2
Рис. 12.36. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений в
точке А от е/с.
Таблица 12.20. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений в
точке А от е/с (а/Ь = 0.5, а/с = 1.0, d/c = 0.5, / = 0.5)
(a) fx
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
0.0
0.0014
0.0033
0.0078
0.0140
0.0156
0.0159
0.0155
0.0146
0.0134
0.0091
0.0040
0.0005
0.0003
-0.0020
-0.0049
-0.0084
-0.0155
-0.0128
-0.0142
-0.0161
-0.0173
-0.0157
-0.0069
-0.0030
-0.0013
0.1
0.0001
0.0010
0.0042
0.0087
0.0101
0.0105
0.0099
0.0094
0.0063
0.0027
0.0002
-0.0004
-0.0027
-0.0066
-0.0112
-0.0153
-0.0173
-0.0172
-0.0190
-0.0220
-0.0233
-0.0213
-0.0103
-0.0053
-0.0026
f
0.3
-0.0015
-0.0014
-0.0003
0.0019
0.0027
0.0032
0.0035
0.0035
0.0034
0.0020
0.0008
0
-0.0010
-0.0048
-0.0110
-0.0178
-0.0238
-0.0268
-0.0291
-0.0337
-0.0358
-0.0327
-0.0173
-0.0097
-0.0053
0.5
-0.0030
-0.0034
-0.0025
0.0006
0.0024
0.0042
0.0054
0.0060
0.0058
0.0052
0.0019
-0.0001
-0.0022
-0.0079
-0.0164
-0.0257
-0.0342
-0.0379
-0.0416
-0.0476
-0.0793
-0.0442
-0.0242
-0.0141
-0.0079
832
Таблица
(Ь) в,
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
12.20
0.0
0.0021
0.0044
0.0087
0.0164
0.0207
0.0250
0.0305
0.0334
0.0368
0.0427
0.0467
0.0433
0.0125
-0.0013
-0.0032
-0.0060
-0.0093
-0.0110
-0.0130
-0.0175
-0.0242
-0.0327
-0.0581
-0.0209
-0.0065
(продолжение)
0.1
-0.0005
0.0005
0.0034
0.0082
0.0113
0.0143
0.0186
0.0208
0.0237
0.0287
0.0332
0.0311
0.0063
-0.0017
-0.0043
-0.0081
-0.0124
-0.0149
-0.0175
-0.0241
-0.0326
-0.0450
-0.0750
-0.0310
-0.0117
f
0.3
-0.0062
-0.0086
-0.0096
-0.0092
-0.0085
-0.0073
-0.0051
-0.0035
-0.0016
0.0029
0.0077
0.0108
-0.0006
-0.0030
-0.0074
-0.0132
-0.0197
-0.0235
-0.0272
-0.0373
-0.0517
-0.0695
-0.1088
-0.0511
-0.0220
0.5
-0.0120
-0.0181
-0.0239
-0.0284
-0.0298
-0.0305
-0.0300
-0.0287
-0.0272
-0.0217
-0.0128
-0.0001
-0.0014
-0.0051
-0.0112
-0.0195
-0.0289
-0.0340
-0.0401
-0.0554
-0.0759
-0.1050
-0.1426
-0.0712
-0.0323
0.04
„ 0.02
а/Ь = 0.5
а/с =1.0
d/c = 0.25
fc=0.5
-0.02
0.1
0.0
-0.1
f-0.5 v
¦
f-0.0
-3 -2
-1
О
е/с
12 3
Рис. 12.37. Зависимости
коэффициентов интенсивности
напряжений.
833
53-1280
Таблица 12.21. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжен)
точке В от е/с (а/b = 0.5, а/с = 1.0, d/c = 0.25, fc = 0.5)
(а)
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9 .
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
FI
0.0
-0.0013
-0.0030
-0.0069
-0.0157
-0.0173
-0.0161
-0.0142
-0.0128
-0.0115
-0.0084
-0.0049
-0.0020
-0.0003
0.0005
0.0040
0.0091
0.0134
0.0146
0.0155
0.0159
0.0156
0.0140
0.0078
0.0033
0.0014
0.1
0.0001
-0.0008
-0.0034
-0.0100
-0.0113
-0.0105
-0.0095
-0.0085
-0.0079
-0.0057
-0.0034
-0.0012
-0.0003
0.0009
0.0056
0.0121
0.0176
0.0194
0.0206
0.0216
0.0210
0.0193
0.0114
0.0056
0.0027
f
0.3
0.0054
0.0072
0.0061
0.0020
0.0005
-0.0003
-0.0011
-0.0014
-0.0015
-0.0015
-0.0009
-0.0004
-0.0002
0.0023
0.0099
0.0197
0.0271
0.0297
0.0314
0.0330
0.0328
0.0300
0.0186
0.0102
0.0054
0.5
0.0112
0.0212
0.0235
0.0184
0.0144
0.0108
0.0073
0.0056
0.0042
0.0018
0.0004
-0.0001
0.0002
0.0047
0.0155
0.0284
0.0383
0.0415
0.0439
0.0461
0.0454
0.0413
0.0258
0.0148
0.0081
(ь)
е/с
3.0
2.4
2.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.9
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.9
-1.0
-1.2
-1.4
-1.6
-2.0
-2.4
-3.0
0.0
-0.0065
-0.0209
-0.0581
-0.0327
-0.0242
-0.0175
-0.0130
-0.0110
-0.0093
-0.0060
-0.0032
-0.0013
0.0125
0.0433
0.0467
0.0427
0.0368
0.0334
0.0305
0.0250
0.0207
0.0164
0.0087
0.0044
0.0021
0.1
-0.0014
-0.0108
-0.0412
-0.0209
-0.0159
-0.0113
-0.0087
-0.0073
-0.0064
-0.0041
-0.0022
-0.0008
0.0198
0.0555
0.0612
0.0570
0.0500
0.0462
0.0426
0.0360
0.0301
0.0245
0.0143
0.0821
0.0457
f
0.3
0.0088
0.0085
-0.0083
-0.0031
-0.0022
-0.0017
-0.0016
-0.0015
-0.0015
-0.0011
-0.0006
-0.0002
0.0403
0.0832
0.0923
0.0873
0.0777
0.0725
0.0672
0.0578
0.0494
0.0409
0.0255
0.0159
0.0096
0.5
0.0190
0.0290
0.0165
0.0074
0.0050
0.0035
0.0024
0.0018
0.0014
0.0006
0.0002
0.0093
0.0644
0.1142
0.1254
0.1193
0.1070
0.1000
0.0934
0.0809
0.0692
0.0577
0.0366
0.0236
0.0146
834
12.13. ПОЛУКРУГОВАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА В
ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ В УСЛОВИЯХ ГЕРЦЕВСКОГО
КОНТАКТА КАЧЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ [15; 10-14, 16]
z- г*
Метод объемных сил [15].
р{х) = роA - //с2I'2, q(x) = fp(x);
p (z ) = p(e)(l - z /a) - изменяющееся по линейному закону
давление жидкости, приложенное к поверхностям трещины;
р(е) = р A - е2/сгI/г, р(е) = 0 при \е/с\ > 1.
835
0.2-
0.0
-0.4
-0.6
0L=45e
f = -0.1
a/c*O.
a/c=O
h
05^
\
\
4
\
\
\
N
\
4
У
)
'
=|)f
, f~
I
h
V*
/
7
/ •
4a/c
4 a/c
=2
«1
«0
0
0
5
-3
-2
-1
0
e/c
Рис. 12.38. Изменения
коэффициентов интенсивности
напряжений для наклонной
трещины.
Таблица 12.22. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений
от е/с для наклонной трещины (а = 45°, f = -0.1, р. = р (г ))
(а)
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
0.05
0.0122
0.0179
0.0232
0.0273
0.0226
-0.0956
-0.2339
-0.3965
-0.4965
-0.5604
-0.5964
-0.6074
-0.5927
-0.5478
-0.4606
-0.3910
-0.3279
-0.0647
-0.0387
-0.0249
-0.0150
0.1
0.0110
0.0150
0.0175
0.0169
0.0088
-0.0080
-0.1582
-0.3435
-0.4560
-0.5289
-0.5727
-0.5912
-0.5849
-0.5510
-0.4820
-0.4303
-0.4146
-0.0975
-0.0489
-0.0290
-0.0165
а/с
0.5
0.0037
0.0006
-0.0042
-0.0096
-0.0137
0.1141
0.1108
0.0109
-0.1320
-0.2594
-0.3586
-0.4321
-0.4839
-0.5179
-0.5409
-0-5547
-0.6469
-0.4426
-0.2140
-0.0836
-0.0328
1.0
-0.0117
-0.0056
-0.0095
-0.0121
-0.0134
0.1337
0.1636
0.1525
0.0906
-0.0003
-0.1036
-0.2058
-0.2998
-0.3849
-0.4679
-0.5181
-0.6551
-0.5576
-0.4080
-0.2067
-0.0670
2.0
-0.0044
-0.0071
-0.0084
•0.0088
-0.0086
0.1489
0.1944
0.2273
0.2194
0.1857
0.1328
0.0644
-0.0174
-0.1125
-0.2272
-0.3018
-0.4711
-0.4564
-0.4247
-0.3453
-0.1726
836
Таблица 12.22 (продолжение)
е/с
(b)
FII
0.
05
0.
1
а/с
0.5
1
.0
2
.0
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
0.0107
0.0158
0.0205
0.0239
0.0088
0.0942
0.1187
0.1336
0.1355
0.1308
0.1212
0.1073
0.0890
0.0658
0.0354
0.0152
-0.0134
-0.0521
-0.0325
-0.0212
-0.0129
0.0097
0.0133
0.0153
0.0133
-0.0077
0.0559
0.1107
0.1394
0.1461
0.1442
0.1368
0.1248
0.1085
0.0873
0.0593
0.0401
0.0178
-0.0678
-0.0391
-0.0241
-0.0140
0.0027
-0.0020
-0.0110
-0.0242
-0.0408
-0.0756
-0.0430
0.0626
0.1459
0.1904
0.2117
0.2196
0.2183
0.2090
0.1905
0.1769
0.1812
0.0251
-0.0639
-0.0480
-0.0236
-0.0134
-0.0121
-0.0225
-0.0331
-0.0429
-0.0913
-0.0864
-0.0345
0.0420
0.1202
0.1851
0.2314
0.2602
0.2745
0.2767
0.2752
0.2984
0.1876
0.0533
-0.0402
-0.0345
-0.0097
-0.0183
-0.0255
-0.0311
-0.0354
-0.0905
-0.0985
-0.0850
-0.0490
-0.0000
0.0557
0.1137
0.1697
0.2208
0.2663
0.2893
0.3417
0.2979
0.2250
0.1068
-0.0140
„Г -0.2 -
-0.4-
-0.6-
е/с
и.ч
0.2
п п
п ?
-
а/с-2
/
/
У
ft
г'
/ >
а/с-0.05
^a/c-l.O
/>а/с-0.5 -
^а/с-0Л
-3
-2 -1
О
е/с
Рис. 12.39. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений
наклонной трещины.
837
Таблица 12.23. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжен!
от е/с для наклонной трещины (а = 45°, f = 0.1, pf = />f(z ))
(a) f,
e/c
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-Q.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
e/c
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
0.05
-0.0228
-0.0228
-0.0336
-0.0494
-0.0820
-0.1683
-0.2627
-0.3577
-0.4050
-0.4257
-0.4263
-0.4092
-0.3741
-0.3184
-0.2349
-0.1178
-0.1491
0.0296
0.0256
0.0192
0.0128
0» Fn
0.05
-0.0207
-0.0207
-0.0312
-0.0478
-0.0987
-0.0329
-0.0089
0.0196
0.0413
0.0594
0.0747
0.0877
0.0980
0.1051
0.1070
0.1034
0.0868
0.0228
0.0206
0.0159
0.0108
0.1
-0.0148
-0.0242
-0.0361
-0.0530
-0.0789
-0.0809
-0.1951
-0.3149
-0.3749
-0.4046
-0.4129
-0.4032
-0.3763
-0.3311
-0.2646
-0.2235
-0.2332
0.0074
0.0195
0.0169
0.0120
0.1
-0.0136
-0.0228
-0.0355
-0.0560
-0.1042
-0.0543
-0.0063
0.0302
0.0538
0.0728
0.0888
0.1020
0.1126
0.1196
0.1207
0.1154
0.1022
0.0067
0.0144
0.0133
0.0098
a/c
0.5
-0.0177
-0.0284
-0.0392
-0.0487
-0.0549
0.0761
0.0802
0.0031
-0.1080
-0.2007
-0.2675
-0.3132
-0.3428
-0.3611
-0.3763
-0.3911
-0.4880
-0.3047
-0.1120
-0.0211
0.0018
a/c
0.5
-0.0192
-0.0343
-0.0532
-0.0757
-0.1004
-0.1372
-0.1055
-0.0014
0.0818
0.1316
0.1631
0.1845
0.1986
0.2056
0.2029
0.1963
0.2057
0.0567
-0.0236
-0.0121
0.0005
1.0
-0.0183
-0.0266
-0.0325
-0.0360
-0.0372
0.1117
0.1456
0.1457
0.0983
0.0246
-0.0592
-0.1413
-0.2164
-0.2853
-0.3566
-0.4031
-0.5386
-0.4444
-0.3045
-0.1280
-0.0239
1.0
-0.0233
-0.0395
-0.0558
-0.0710
-0.0842
-0.1330
-0.1276
-0.0738
0.0049
0.0851
0.1524
0.2025
0.2369
0.2579
0.2674
0.2692
0.2950
0.1885
0.0626
-0.0187
-0.0124
2.0
-0.0161
-0.0197
-0.0210
-0.0211
-0.0204
0.1378
0.1854
0.2239
0.2228
0.1969
0.1523
0.0925
0.0193
-0.0675
-0.1746
-0.2460
-0.4126
-0.3953
-0.3607
-0.2799
-0.1194
2.0
-0.0259
-0.0385
-0.0482
-0.0554
-0.0607
-0.1154
-0.1229
-0.1073
-0.0688
-0.0172
0.0411
0.1012
0.1591
0.2115
0.2577
0.2808
0.3328
0.2881
0.2150
0.1013
-0.0059
838
0.1
0.0
-0.2
-0.4
Pf - Pf (z*} ^.. •
a/cO.5 ""^K
a/c=0.1 -""\.
1 i
..^
/ а = П°
/ f=0.1
-3
-0.2-
-2
-1
0
е/с
-3 -2
Рис. 12.40. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений для
вертикальной трещины.
Таблица 12.24. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений
от е/с для вертикальной трещины (а = 0°, f = 0.1, р = р Аг ))
е/с
3.00
2.00
1.50
1.20
1.00
0.90
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
-0.90
-1.00
-1.20
-1.50
-2.00
-3.00
0.1
FI
0.0176
0.0222
0.0212
0.0037
-0.0737
-0.0539
-0.1057
-0.2003
-0.2704
-0.3204
-0.3529
-0.3684
-0.3657
-0.3409
-0.2855
-0.2456
-0.2602
-0.1351
-0.0797
-0.0490
-0.0281
FII
-0.0005
-0.0009
-0.0008
0.0041
0.0766
0.0577
0.0217
-0.0218
-0.0477
-0.0653
-0.0777
-0.0867
-0.0934
-0.0997
-0.1109
-0.2141
-0.1191
-0.0202
-0.0064
-0.0024
-0.0008
a/c
0.
FI
-0.0031
-0.0267
-0.0666
-0.1142
-0.1523
-0.0705
-0.0547
-0.0578
-0.0778
-0.0999
-0.1180
-0.1297
-0.1356
-0.1395
-0.1536
-0.1741
-0.2569
-0.2119
-0.1510
-0.0923
-0.0474
5
FII
0.0011
0.0091
0.0332
0.0827
0.1494
0.1574
0.1438
0.0962
0.0443
-0.0040
-0.0486
-0.0911
-0.1329
-0.1746
-0.2098
-0.2169
-0.2029
-0.1239
-0.0602
-0.0238
-0.0073
1
FI
-0.0246
-0.0621
-0.0980
-0.1228
-0.1368
-0.0415
-0.0102
0.0217
0.0337
0.0348
0.0290
0.0179
0.0010
-0.0249
-0.0675
-0.1026
-0.1999
-0.1858
-0.1588
-0.1159
-0.0652
.0
FII
0.0091
0.0352
0.0779
0.1249
0.1663
0.1714
0.1633
0.1283
0.0799
0.0258
-0.0298
-0.0847
-0.1366
-0.1817
-0.2129
-0.2188
-0.2118
-0.1653
-0.1106
-0.0574
-0.0201
839
ct=0e pf=pf(z*)
f=0.3
Рис. 12.41. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений для
вертикальной трещины.
Таблица 12.25. Зависимости коэффициентов интенсивности напряжений
от е/с для вертикальной трещины (а = 0°, / = 0.3, р = р (г ))
е/с
3.00
2.00
1.50
1.20
1.00
0.90
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-0.20
-0.40
-0.60
-0.80
-0.90
-1.00
-1.20
-1.50
-2.00
-3.00
0.1
Fl
0.0633
0.0934
0.1221
0.1425
0.1128
0.1378
0.0740
-0.0596
-0.1751
-0.2724
-0.3529
-0.4164
-0.4610
-0.4815
-0.4653
-0.4373
-0.4467
-0.2740
-0.1806
-0.1201
-0.0738
FII
-0.0018
-0.0041
-0.0079
-0.0120
0.0342
-0.0088
-0.0675
-0.1432
-0.1889
-0.2172
-0.2332
-0.2387
-0.2346
-0.2211
-0.2001
-0.1906
-0.1616
-0.0363
-0.0135
-0.0057
-0.0021
a/c
0.
FI
0.0412
0.0390
0.0178
-0.166
-0.476
0.0332
0.0441
0.0241
-0.0199
-0.0701
-0.1180
-0.1596
-0.1935
-0.2213
-0.2524
-0.2778
-0.3616
-0.3095
-0.2354
-0.1580
-0.0917
5
FII
-0.0051
-0.0055
0.0062
0.0415
0.0960
0.0978
0.0779
0.0178
-0.0443
-0.0991
-0.1459
-0.1861
-0.2215
-0.2530
-0.2757
-0.2764
-0.2564
-0.1651
-0.0871
-0.0384
-0.0135
1
FI
0.0160
-0.0083
-0.0376
-0.0598
-0.0737
0.0197
0.0472
0.0683
0.0665
0.0517
0.0290
0.0010
-0.0318
-0.0715
-0.1249
-0.1637
-0.2630
-0.2488
-0.2194
-0.1696
-0.1057
.0
FII
-0.0020
0.0131
0.0452
0.0845
0.1209
0.1240
0.1138
0.0748
0.0232
-0.0331
-0.0895
-0.1436
-0.1933
-0.2352
-0.2624
-0.2662
-0.2572
-0.2057
-0.1433
-0.0796
-0.0312
840
0.2
0.0
-0.2 -
-0.4-
-0.6
-0.8
. А
а/сж0.1—1
i
«. = 45° \
f=-0.3 \
Pf=PfU*) у
у А~а/с*1.0 -
-3 -2 -1
0 12 3
е/с
0.4
0.0
-0.2
^ V-a/c-1.0 .
\,v
v<"a/c.o.l
0.2-
иГ 0.0
-0.2-
-3 -2 -1
0
e/c
-3 -2
Рис. 12.42. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений вслед-
вследствие смещения области контакта.
Рис. 12.43. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений вслед-
вследствие смещения области контакта.
12.14. НАКЛОННАЯ ПОЛУКРУГОВАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ
ТРЕЩИНА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ. НАХОДЯЩЕМСЯ
В УСЛОВИЯХ КОНТАКТА КАЧЕНИЯ И СКОЛЬЖЕНИЯ
С УПРУГИМ ШАРОМ [14; 10-13, 15, 16]
р(х,у)
Метод объемных сил [14].
841
2, q(x) = fp(x);
pfB ) = p(e, y)(\ - z /a) - изменяющееся по линейному закону
давление жидкости, приложенное к поверхностям трещины;
Р(в. У) = Ро[1 - (е2 + уг)/с2]1/г, р(е, у) = 0 при |е| > с.
-0.2
Рис. 12.44. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений в
зависимости от е/с (пунктирные линии соответствуют отсутствию гид-
гидравлического давления смазки).
842
Таблица 12.26. Зависимости коэффициента интенсивности напряжений F
от е/с (а = 45°, а/с = 0.5): (а) в отсутствие гидравлического
давления смазки; (Ь) при наличии гидравлического давления смазки
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
(Ь)
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
-0.3
0.011
0.01968
0.02761
0.03403
0.03935
0.01749
-0.04189
-0.2186
-0.4199
-0.5924
-0.7208
-0.8055
-0.8482
-0.8471
-0.7944
-0.7413
-0.6543
-0.4384
-0.1966
-0.06139
-0.01596
-0.3
0.011
0.01968
0.02761
0.03403
0.03935.
0.1595
0.1695
0.0716
-0.08465
-0.2329
-0.3535
-0.446
-0.513
-0.5569
-0.583
-0.5992
-0.6543
-0.4384
-0.1966
-0.06139
-0.01596
f
0.0
0.002572
0.003486
0.003331
0.002625
0.02952
-0.01731
-0.06859
-0.217
-0.3774
-0.5052
-0.5922
-0.6423
-0.6586
-0.6411
-0.5847
-0.5362
-0.4609
-0.2812
-0.09589
-0.01497
0.0006599
f
0.0
0.002572
0.003486
0.003331
0.002625
0.002952
0.1247
0.1428
0.07322
-0.04218
-0.1457
-0.225
-0.2828
-0.3234
-0.3509
-0.3733
-0.3942
-0.4609
-0.2812
-0.09589
-0.01497
0.0006599
0.3
-0.005854
-0.01271
-0.02095
-0.02878
-0.03345
-0.05211
-0.09528
-0.2153
-0.3349
-0.418
-0.4637
-0.4791
-0.469
-0.4351
-0.375
-0.3312
-0.2676
-0.1239
0.004801
0.03146
0.01728
0.3
-0.005854
-0.01271
-0.02095
-0.02878
-0.03345
0.08993
0.1161
0.07485
0.0002924
-0.05846
-0.09644
-0.1196
-0.1338
-0.1449
-0.1636
-0.1981
-0.2676
-0.1239
0.004801
0.03146
0.01728
843
Таблица 12.27. Зависимости коэффициента интенсивности напряжений
FTT от е/с (а = 45°, а/с = 0.5): (а) в отсутствие гидравлического
давления смазки; (Ь) при наличии гидравлического давления смазки
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
СЬ)
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
-0.3
0.01028
0.01862
0.02566
0.02926
0.02831
0.04939
0.1032
0.242
0.3516
0.4105
0.4336
0.4323
0.4117
0.3722
0.3087
0.2619
0.1912
0.03886
-0.0455
-0.02986
-0.01007
-0.3
0.01028
0.01862
0.02566
0.02926
0.02831
-0.003232
0.02446
0.1336
0.2263
0.2762
0.2964
0.298
0.2864
0.2638
0.223
0.2093
0.1912
0.03886
-0.0455
-0.01986
-0.01007
f
0.0
0.001486
0.0001216
-0.004891
-0.01461
-0.02875
-0.0129
0.03791
0.1713
0.2771
0.3391
0.3721
0.3854
0.3823
0.3617
0.3165
0.2774
0.2119
0.06728
-0.009944
-0.004163
0.00131
f
0.0
0.001486
0.0001216
-0.004891
-0.01461
-0.02875
-0.06552
-0.04084
0.06293
0.1519
0.2048
0.2349
0.2511
0.2571
0.2533
0.2377
0.2247
0.2119
0.06728
-0.009944
-0.004163
0.00131
0.3
-0.00731
-0.01838
-0.03544
-0.05847
-0.08581
-0.07519
-0.02739
0.1006
0.2026
0.2677
0.3106
0.3386
0.3529
0.3512
0.3242
0.2928
0.2326
0.0957
0.02611
0.02153
0.01269
0.3
-0.00731
-0.01838
-0.03544
-0.05847
-0.08581
-0.1278
-0.1061
-0.007765
0.07737
0.1334
0.1734
0.2042
0.2277
0.2428
0.2454
0.2402
0.2326
0.0957
0.02611
0.02153
0.01269
844
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6-
-0.8-
а/с
- <* =
f =
•0.1 f/
if
\
45°
-0.1
1 1
Cv
\V-N
\
\x
, V
ч
..-¦•¦¦
a/c-0
7/>
Т//а/с
X^\a/<
.5
-2.0
-1.0 .
-
0.6
0.4
0.2
-2 -1
0
е/с
-0.2
-а/с-1.0
Рис. 12.45. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений для раз-
различных размеров трещины (пунктирные линии соответствуют отсутствию
гидравлического давления смазки).
Таблица 12.28. Зависимости коэффициента интенсивности напряжений
F от е/с (а = 45°,/ = -0.1): (а) в отсутствие гидравлического
давления смазки; (Ь) при наличии гидравлического давления смазки
(а)
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
0.1
0.008609
0.01817
0.02983
0.0412
0.04643
-0.1233
-0.3281
-0.5785
-0.7275
-0.8188
-0.8666
-0.8755
-0.8451
-0.7689
-0.6284
-0.518
-0.3414
-0.03898
-0.00593
0.0003065
0.001018
0.5
0.00538
0.008883
0.01143
0.01309
0.01509
-0.00571
-0.05969
-0.2175
-0.3915
-0.5343
-0.6351
-0.6967
-0.7218
-0.7098
-0.6546
-0.6046
-0.5254
-0.3336
-0.1294
-0.03044
-0.004879
а/с
1.0
0.003174
0.004372
0.005213
0.006188
0.007595
0.002767
-0.01366
-0.07351
-0.1581
-0.2551
-0.3515
-0.434
-0.4936
-0.524
-0.5183
-0.4991
-0.4669
-0.3845
-0.2599
-0.1045
-0.01871
2.0
0.001384
0.001778
0.002269
0.002874
0.003539
0.002805
-0.001285
-0.0175
-0.04177
-0.07211
-0.1057
-0.1403
-0.1732
-0.201
-0.22
-0.2248
-0.2257
-0.2208
-0.2051
-0.1595
-0.0622
845
Таблица
(b)
е/с
-3.0'
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
12.28 (продолжение)
0.1
0.008609
0.01817
0.02983
0.0412
0.04643
0.03947
-0.1037
-0.2789
-0.3841
-0.4517
-0.4919
-0.5085
-0.5018
-0.4693
-0.4039
-0.3552
-0.3414
-0.03898
-0.00593
0.0003065
0.001018
0.5
0.00538
0.008883
0.01143
0.01309
0.01509
0.1363
0.1517
0.07268
-0.05634
-0.1748
-0.2678
-0.3372
-0.3866
-0.4196
-0.4432
-0.4625
-0.5254
-0.3336
-0.1294
-0.03044
-0.004879
а/с
1.0
0.003174
0.004372
0.005213
0.006188
0.007595
0.09664
0.1474
0.1779
0.146
0.07679
-0.01093
-0.1021
-0.1896
-0.2726
-0.3572
-0.4053
-0.4669
-0.3845
-0.2599
-0.1045
-0.01871
2.0
0.001384
0.001778
0.002269
0.002874
0.003539
0.0558
0.09522
0.1438
0.1624
0.1559
0.1304
0.08769
0.031
-0.03971
-0.1235
-0.1718
-0.2257
-0.2208
-0.2051
-0.1595
-0.0622
Таблица 12.29. Зависимости коэффициента интенсивности напряжений
F от е/с (а = 45°, f = -0.1): (а) в отсутствие гидравлического
давления смазки; (Ь) при наличии гидравлического давления смазки
(а")
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
0.1
0.007502
0.01581
0.02575
0.03424
0.02506
0.1543
0.2385
0.3047
0.3342
0.346
0.3446
0.3315
0.3066
0.2677
0.2081
0.1628
0.07363
-0.01931
-0.002817
0.0008381
0.001005
а/с
0.5
0.004417
0.006288
0.005292
1.412Е-05
-0.00973
0.007862
0.05968
0.1948
0.3019
0.3629
0.3926
0.4011
0.3921
0.3652
0.3139
0.2722
0.205
0.05781
-0.02196
-0.01273
-0.001484
1.0
0.001952
0.0007238
-0.002618
-0.007352
-0.01256
-0.009021
0.006958
0.06784
0.1499
0.2329
0.3009
0.3457
0.366
0.3611
0.3275
0.2975
0.2564
0.165
0.05802
-0.009764
-0.007112
2.0
-0.0002843
-0.002277
-0.004545
-0.006612
-0.008347
-0.007711
-0.003625
0.01355
0.03993
0.07285
0.1084
0.1429
0.1723
0.1928
0.2001
0.1976
0.1904
0.1683
0.1284
0.06252
5.928Е-05
846
Таблица
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
12.29 (продолжение)
0.1
0.007502
0.01581
0.02575
0.03424
0.02506
0.09336
0.1545
0.1925
0.2057
0.2086
0.2043
0.1941
0.1781
0.1556
0.1241
0.1019
0.07363
-0.01931
-0.002817
0.0008381
0.001005
0.5
0.004417
0.006288
0.005292
1.412Е-05
-0.00973
-0.04476
-0.01907
0.08649
0.1767
0.2286
0.2554
0.2667
0.2669
0.2568
0.2351
0.2196
0.205
0.05781
-0.02196
-0.01273
-0.001484
а/с
1.0
0.001952
0.0007238
-0.002618
-0.007352
-0.01256
-0.04183
-0.05124
-0.02494
0.3712
0.1096
0.1743
0.2224
0.2532
0.2683
0.2693
0.2646
0.2564
0.165
0.05802
-0.009764
-0.007112
2.0
-0.0002843
-0.002277
-0.004545
-0.006612
-0.008347
-0.02498
-0.03594
-0.04225
-0.03173
-0.007801
0.02466
0.06224
0.1007
0,137
0.1?78
0.1804
0.1904
0.1683
0.1284
0.06252
5.928Е-05
0.2
0.0
-0.2-
-0.4-
-0.6-
-0.8-
-1.0
АЛ
a/c«0.1 "X\
rt =45°
ч a/c«0.5
tw-r -
vCv:// a/c»2.0
'•4_if a/c=1.0 "
S /
0.6
0.4 -
- 0.2
LJU
0.0
-3 -2
-1
0
е/с
a/c=
i
0.5 -~^fj
/;*
a/c-2.0
1
¦¦¦ —¦ т т
^1ЪЛ а/с»1.0
\ '
a/c*0.1
-2 -1
О
е/с
Рис. 12.46. Изменения коэффициентов интенсивности напряжений для раз-
различных размеров трещины (пунктирные линии соответствуют отсутствию
гидравлического давления смазки).
847
Таблица 12.30. Зависимости коэффициента интенсивности напряжений
Fz от е/с (ос = 45°, f = 0.1): (а) в отсутствие гидравлического
давления смазки; (Ь) при наличии гидравлического давления смазки
(а)
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
(Ь)
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
0.1
0.001336
0.001987
0.0011
-0.00413
-0.01872
-0.1757
-0.347
-0.5367
-0.638
-0.691
-0.7082
-0.6938
-0.6475
-0.5648
-0.4316
-0.3342
-0.1854
0.03754
0.03404
0.02048
0.009366
ил
0.001336
0.001987
0.0011
-0.00413
-0.01872
-0.01297
-0.1225
-0.2371
-0.2947
-0.324
-0.3336
-0.3267
-0.3042
-0.2652
-0.2072
-0.1714
-0.1854
0.03754
0.03404
0.02048
0.009366
а/с
0.5
-0.0002369
-0.001911
-0.004763
-0.007843
-0.007843
-0.00918
-0.07748
-0.2164
-0.3632
-0.4761
-0.5494
-0.5879
-0.5954
-0.5724
-0.5148
-0.4679
-0.3965
-0.2287
-0.06232
0.0005094
0.006199
1.0
-0.0009324
-0.002412
-0.003658
-0.00406
-0.003362
-0.007846
-0.02252
-0.07541
-0.1495
-0.2336
-0.3152
-0.3825
-0.4282
-0.4477
-0.4359
-0.416
-0.3848
-0.3079
-0.1948
-0.06316
-0.003665
а/с
0.5
-0.0002369
-0.001911
-0.004763
-0.007843
-0.00918
0.1131
0.1339
0.07377
-0.02802
-0.1166
-0.1821
-0.2284
-0.2602
-0.2822
-0.3034
-0.3258
-0.3965
-0.2287
-0.06232
0.0005094
0.006199
1.0
-0.0009324
-0.002412
-0.003658
-0.00406
-0.003362
0.08603
0.1386
0.176
0.1545
0.09832
0.02541
-0.05059
-0.1242
-0.1963
-0.2749
-0.3221
-0.3848
-0.3079
-0.1948
-0.06316
-0.003665
2.0
-0.0009255
-0.001305
-0.001177
-0.0006885
1.952Е-05
-0.0005726
-0.00414
-0.01835
-0.03962
-0.06626
-0.09577
-0.1261
-0.1548
-0.1789
-0.1949
-0.1985
-0.1986
-0.1926
-0.1758
-0.1307
-0.04302
Z.0
-0.0009255
-0.001305
-0.001177
-0.0006885
1.952Е-05
0.05242
0.09237
0.1429
0.1645
0.1618
0.1404
0.1019
0.04933
-0.01765
-0.09837
-0.1456
-0.1986
-0.1926
-0.1758
-0.1307
-0.04302
848
Таблица 12.31. Зависимости коэффициента интенсивности напряжений
F. от е/с (а = 45°, / = 0.1): (а) в отсутствие гидравлического
давления смазки; (Ь) при наличии гидравлического давления смазки
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
(Ь)
е/с
-3.0
-2.0
-1.5
-1.2
-1.0
-0.9
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
0.9
1.0
1.2
1.5
2.0
3.0
0.1
0.0009135
0.0007766
-0.001842
-0.0117
-0.04972
0.06421
0.1399
0.2096
0.252
0.2804
0.2982
0.3062
0.3039
0.2891
0.2544
0.2209
0.139
0.03338
0.02805
0.01716
0.00796
0.1
0.0009135
0.0007766
-0.001842
-0.0117
-0.04972
0.003314
0.05586
0.09751
0.1235
0.143
0.158
0.1688
0.1754
0.177
0.1704
0.16
0.139
0.03338
0.02805
0.01716
0.00796
0.5
-0.001446
-0.006045
-0.01507
-0.02923
-0.04777
0.03366
0.01615
0.1477
0.2523
0.3153
0.3516
0.3698
0.3725
0.3582
0.319
0.2825
0.2188
0.07675
0.02074
0.04403
0.005105
0.5
-0.001446
-0.006045
-0.01507
-0.02923
-0.04777
-0.08628
-0.06261
0.03936
0.127
0.181
0.2144
0.2355
0.2473
0.2498
0.2403
0.2299
0.2188
0.07675
0.002074
0.004403
0.005105
а/с
1.0
-0.00298
-0.008572
•0.01634
-0.0251
-0.03371
-0.0315
-0.01614
0.04473
0.1274
0.2109
0.2796
0.3262
0.3494
0.3485
0.3191
0.291
0.2513
0.1625
0.0625
0.0002402
0.0002994
а/с
1.0
-0.00298
-0.008572
-0.01634
-0.0251
-0.03371
-0.06431
-0.07434
-0.04806
0.01459
0.08762
0.1531
0.2028
0.2366
0.2557
0.2609
0.2582
0.2513
0.1625
0.06125
0.0002402
0.0002994
2.0
-0.003703
-0.007691
-0.01151
-0.01472
-0.0173
-0.01691
-0.01289
0.004737
0.03212
0.06629
0.1031
0.1388
0.169
0.1898
0.197
0.1942
0.1865
0.1635
0.1231
0.05911
0.002452
2.0
-0.003703
-0.007691
-0.01151
-0.01472
-0.0173
-0.03418
-0.04521
-0.05106
-0.03955
-0.01436
0.01941
0.05813
0.09737
0.134
0.1647
0.1769
0.1865
0.1635
0.1231
0.05911
0.002452
54-1280
849
ЛИТЕРАТУРА
1. Keer L.M., Mendelsohn D.A., Achenbach J.D. Crack at the apex of
a loaded notch. - Int. J. Solids and Structures, 1977, 13,
p. 615-623.
2. Erdogan F., Terada H. Wedge loading of a semi-infinite strip
with an edge crack. - Int. J. Fract., 1978, 14, p. 399-415.
3. Erdogan F., Civelek M.B. Stress intensity factors in a cracked
infinite elastic wedge loaded by a rigid punch.
NASA-CR-157136, 1978.
4. Maiti M., Paramguru R. Stress distribution due to an external
crack opened by two rigid inclusions. - Engng. Fract. Mech.,
1980, 13, p. 767-773.
5. Selvadurai A.P.S., Singh B.M. On the expansion of a penny-shaped
crack by a rigid circular disc inclusion. - Int. J. Fract.,
1984, 25, p. 69-77.
6. Tsai Y.M. Indentation of a penny-shaped crack by an oblate
spheroidal rigid inclusion in a transversely isotropic medium.
Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1984, 51, p. 811-815.
7. Delale F., Erdogan F. The crack problem for a half plane
stiffened by elastic cover plates. - Int. J. Solids and
Structures, 1982, 18, No. 5, p. 381-395.
8. Wang S.S., Yau J.F. Interface cracks in adhesively bonded
lap-shear joints. - Int. J. Fract., 1982, 19, p. 295-309.
9. Hearle A.D., Johnson K.L. Mode II stress intensity factors for a
crack parallel to the surface of an elastic half-space subjected
to a moving point load. - J. Mech. and Phys. Solids, 1985, 33,
No. 1, p. 61-81.
10. Murakami Y., Kaneta M., Yatsuzuka H. Analysis of surface crack
propagation in lubricated rolling contact. - ASLE Trans., 1985,
28, No. 1, p. 60-68.
11. Kaneta M., Yatsuzuka H., Murakami Y. Mechanism of crack growth
in lubricated rolling/sliding contact. - ASLE Trans., 1985, 28,
No. 3, p. 407-414.
12. Kaneta M., Murakami Y., Yatsuzuka H. Fracture mechanics
considerations of Way's hypothesis on crack growth in lubricated
rolling/sliding contact. - J. Japan Soc. Lubrication Engng.,
1985, 30, No. 10, p. 739-744.
13. Kaneta M., Murakami Y., Okazaki T. Mechanism of opening/closure
850
of a subsurface crack due to a moving Hertzian loading. - 12th
Leeds-Lyon Symp. on Tribology, Sept. 3-6, 1985.
14. Kaneta M., Suetugu M., Murakami Y. Analysis of surface cracking
in lubricated rolling/sliding spherical contact. - Trans. JSME,
1984, 51, No. 468, p. 2167-2173.
15. Kaneta M., Murakami Y., Yatsuzuka H. Propagation of surface
crack in rolling line-contact. - Proc. JSLE Int. Tribology
Conf., July 8-10, 1985, Tokyo.
16. Kaneta M., Murakami Y., Okazaki T. Growth mechanism of
subsurface crack due to Hertzian contact. - Trans. ASME, J.
Tribol., 1986, 108, p. 134-139.
851
13. ТРЕЩИНЫ В СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЯХ
13.1. СОЕДИНЕНИЯ ВНАХЛЕСТКУ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СДВИГА [/, 2]
Зона сварки
W -» оо (плоская деформация)
2Ь'
Аппарат интегральных уравнений Фредгольма [1].
1/2
,1/2
„ _ [3A -,»2)СП1/2
К - [2ftt J '
Q - приложенная нагрузка на единицу ширины пластин.
1.2
11.0
0.8
0.6
0.4
о.г
1.4
а
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
к к
Рис. 13.1. Коэффициенты интенсивности напряжений.
852
Аппроксимация приведенных выше выражений [2 ].
Fz(a/b, >к) = &(a/bf, Fu(a/b, к) = 2/тг + &
Таблица 13.1. Значения 3 и у в приведенных выше выражениях
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
FI
P
0.770
0.687
0.639
0.614
0.S76
0.558
У
0.397
0.394
0.375
0.352
0.344
0.331
Fn
p
0.365
0.285
0.230
0.186
0.149
0.142
У
0.710
0.744
0.776
0.812
0.868
0.843
13.2. СОЕДИНЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ТОЧЕЧНОЙ
СВАРКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СДВИГА [2-4]
Сварное пятно
(диаметр 2а)
2Ь
W -> оо (плоская деформация)
Аппроксимация [2 , 3].
В точке контура трещины А
Ki A = Qa/2O.341(a/6H397 = т/па 0.605(а/7>)с
Опубликовано с разрешения "National Engineering Laboratory,
UK Department of Trade and Industry".
853
ii,a 0.162(a/6H-710] =
= т/ла [0.5 + O.287(a/6H-710].
В точке контура трещины С
Здесь Q = T(ira2), к = [3A - v2)Q/BbE)]1/2.
60
Зажим
170
40
~1
20
„,, i 1
t
¦-i
\
\ Сварное г
(диаметр
W
60
Зажим
1ЯТНО
2a - 5 мм)
}
Метод конечных элементов [4], погрешность менее 10%.
Таблица 13.2. Влияние толщин пластин t^ и t2 на коэффициент
интенсивности напряжений в точке А в случае действия сдвиговой
нагрузки на соединяемые точечной сваркой пластины Bа = 5 мм,
W = 40 мм)
t,-tj, МП
0.8-0.8
1.0-1.0
1.2-1.2
1.5-1.5
2.0-2.0
0.8-1.2
Kja^/P
0.217
0.190
0.171
0.149
0.118
0.236
Кпа^/Р
0.462
0.420
0.390
0.357
0.314
0.474
Таблица 13.3. Влияние ширины пластин W на коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений в точке А в случае действия сдвиговой нагрузки на
соединяемые точечной сваркой пластины Bа = 5 мм, t
мм)
и, т
30
40
60
80
Kjafc/P
0.241
0.190
0.138
0.112
К„.*/Р
0.412
0.420
0.394
0.392
854
13.3. КРЕСТООБРАЗНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ
ТОЧЕЧНОЙ СВАРКИ [4]
16-ФП
Сварное пятно
(диаметр 5 мм)
S
Метод конечных элементов [4], погрешность менее 10%.
Таблица 13.4. Коэффициенты интенсивности напряжений для кресто-
крестообразного соединения, полученного точечной сваркой (диаметр сварного
пятна 2а = 5 мм, t и / - толщины пластин)
tl-t2,MM
0.8-0.8
1.2-1.2
1.5-1.5
2.0-2.0
0.8-1.2
Kja%/P
4.87
2.75
1.96
1.19
4.33
Кца3Л/Р
0.75
0.40
0.29
0.18
1.68
13.4. ДВОЙНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ТОЧЕЧНОЙ
СВАРКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СДВИГА [5]
Р/2—С
Р/2 -«-С
170
40
\Сварное пятно диаметром 5 мм
Э—Р
855
Метод конечных элементов [5], погрешность менее 10%.
Таблица 13.5. Коэффициенты интенсивности напряжений для двойного со-
соединения, полученного точечной сваркой, под действием сдвиговой
нагрузки (диаметр сварного пятна 2а = 5 мм, t и t - толщины
пластин)
tx -t2,i*i
1.0-1.0
1.2-1.2
1.4-1.4
1.6-1.6
1.2 -0.8
КА, мм
Кха3'2/Р
0.0158
0.0245
0.0328
0.0427
0.0293
Кпа3/2/Р
-0.1553
-0.1478
-0.1415
-0.1368
-0.1273
К^, мм
Kia3/2/P
-0.0115
-0.0190
-0.0269
-0.0364
-0.0233
у . 3/2 , р
Кд а / Р
-0.1320
-0.1265
-0.1217
-0.1186
-0.1107
13.5. КРЕСТООБРАЗНОЕ СВАРНОЕ СОЕДИНЕНИЕ
С ТРЕЩИНАМИ [6, 7; 8, 9]
Метод конечных элементов [6], погрешность менее 5%.
Рис. 13.2. Коэффициенты интенсивности
напряжений G^/7^ = 1.0).
2.0
1.5
1.0
О.Ь
о
-п ч
MM*0
IHIIo
s/
0.5 '
o/ira /
/L
1.0
T:= 1.0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
l7
Метод конечных элементов [7], погрешность менее 5%.
856
F =
Рис. 13.3. Коэффициент интенсивности напряжений F: (а) растяжение;
(Ь) изгиб.
13.6. СОЕДИНЕНИЯ ВНАХЛЕСТКУ И ВНАХЛЕСТКУ
СО СМЕЩЕНИЕМ [10]
L
h
2а
В /
h
к
« L т
(а) Соединение внахлестку, (L - la)/h = 4
(Ь) Соединение внахлестку со смещением
857
Метод объемных сил [10], погрешность менее 2%.
mr
где Ь - ширина пластин.
Таблица 13.6. Коэффициенты интенсивности напряжений для соединения
внахлестку
2a/h
Fi
F«
-0
-0
0.5
.196
.106
1
-0.
-0.
.0
243
142
2.0
-0.279
-0.203
Таблица 13.7. Коэффициенты интенсивности напряжений для соединения
внахлестку со смещением
2a/h
FV
F«,-
Fm
F»,e
0.5
-5.9xlO
З.бхЮ'2
-6.8x10"'
З.ОхЮ'2
1.0
-8.0x10 ~2
5.1X10
-8.0xl0-2
-8.7хЮ-э
2.0
-0.114
7.2xW2
-8.8xlO
-9.7xlOM
13.7. ВНЕШНЯЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТРЕЩИНА
В ПРОСТРАНСТВЕ* [11]
В разд. 13.7 повторяется разд. 9.66. - Прим. ред.
858
Функция напряжений [11], точное решение.
(а) Случай растягивающей нагрузки, действующей перпендикулярно плос-
плоскости трещины (тип I)
Выражение для коэффициента интенсивности напряжений на фронте эллип-
эллиптической трещины
*. -
-1/4
где Р - растягивающая нагрузка.
Сравнение значений Кг для двух эллиптических областей сцепления с
одинаковой большей полуосью а и различными меньшими полуосями b и Ь',
в ь
Рис. 13.4.
Коэффициент интенсивности напряжений в точке А
К
PV па 1_- __
i.a = ЧпаЬ = 2е" па '
где Р - растягивающая нагрузка, <r = P/(nab).
Коэффициент интенсивности напряжений в точке А'
к -
859
где Р' - растягивающая нагрузка, <х' = P'/(nab'). Если <т = <х', то
Кг А = /Cj А/, несмотря на то что Ь * Ь'.
(Ь) Случай сдвиговой нагрузки, действующей вдоль большей оси (типы
II и III)
*„ -
-3/4
-3/4
(с) Случай сдвиговой нагрузки, действующей вдоль меньшей оси (типы
II и III)
VIII
2иаЬ
-3/4
13.8. ВНЕШНЯЯ ТРЕЩИНА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ* [12]
Сплошная линия - граница области сцепления.
Штриховая линия - эквивалентный эллипс,
касающийся области сцепления в точке А и
имеющий в А тот же радиус кривизны.
Численный анализ, основанный на применении функции Грина для полу-
полупространства [12], погрешность менее 1%.
В разд. 13.8 повторяется разд. 9.67. - Прим. ред.
860
Приближенное выражение для /( в произвольной точке контура трещины
(погрешность менее 3%):
A)
B)
or = P/S.
Р - растягивающая нагрузка, 5 - площадь области сцепления,
а - большая полуось эквивалентного эллипса, Ь - меньшая полуось
эквивалентного эллипса.
р = Ьг/а,
S = nab.
Из соотношений C) и D) следует
а = [S/(n2p)]
1/3
C)
D)
E)
1.0
0.9
0.8 —
0.7
1
1
\
_ \
1 1
V
\
2/и (Ь - <°)
У
I
oil
16 8
1
4
0.5
a/b
1.0
Рис. 13.5. Прямоугольная область сцепления (Fj д соответствует пря-
прямоугольной пространственной области сцепления, a F - полосовой
двумерной области сцепления).
861
у
а
s
I
Ъъ
Четверть области
сцепления
-а
Ось симметрии
Рис. 13.6. Коэффициент интенсивности напряжений в скругленной угло-
угловой точке А квадратной области сцепления. Оценка ошибки выра-
выражения A): 0.39% при р/а = 0.1; 1.17% при р/а = 0.5.
Рис. 13.7. Оценка ошибки выражения A) для скругления угловых точек
А, В, С и D квадратной области сцепления: -0.76% при р./а = 0.1
(точка А); 1.61% при р2/а = 0.3 (точка В); 1.45% при р^/а = 0.5
(точка С); 2.38% при р^/а = 0.7 (точка D).
о
Четверть области
сцепления
0' а
Ось симметрии
Рис. 13.8. Коэффициент интенсивности напряжений в скругленной угло-
угловой точке А прямоугольной области сцепления. Оценка ошибки выраже-
выражения A): 2.86% при b/а = 2, р/а = 0.5.
Рис. 13.9. Оценка ошибки выражения A) (-1.46% при р/а = 0.25) для
угловой точки области сцепления, имеющей форму равностороннего
треугольника со скругленными углами.
862
ЛИТЕРАТУРА
1. Chang D.J., Muki R. Stress distribution in a lap joint under
tension-Shear. - Int. J. Solids and Structures, 1974, 10, p.
503-517.
2. Pook L.P. Approximate stress intensity factors for spot and
similar welds. - National Engng. Laboratory, Report 588, 1975,
East Kilbride, Glasgow, Scotland.
3. Pook L.P. Fracture mechanics analysis of fatigue behaviors of
spot welds. - Int. J. Fract., 1975, 11, p. 173-176.
4. Yuuki R., Ohira Т., Nakatsukasa H., Li W. Fracture mechanics
analysis and evaluation of the fatigue strength of spot welded
joints. - Trans. JSME, 1985, 51, No. 467, p. 1772-1779.
5. Yuuki R., Ohira Т., Kishi N.. Mori N. Fracture mechanics
evaluation of the fatigue strength of spot welded joints and
structure. - JSAE Papers No. 852096, 1985, p. 501-506.
6. Usami S., Kusumoto S. Fatigue strength at root of cruciform, tee
and lap joints Ast Report). - Trans. Japan Welding Society,
1978, 9, p. 1-10.
7. Hijikata A., Yoshioka S., Inoue A. A study of fatigue limit at
root of cruciform welded joint. - Trans. Japan Society for
Strength and Fracture of Materials, 1980, 15, p. 1-10.
8. Maddox S.J. An analysis of fatugue cracks in fillet welded
joints. - Int. J. Fract., 1975, 11, p. 221-242.
9. Norikura Т., Murakami Y. Analysis of two-dimensional mixed
boundary condition problems by body force method and the
application to crack problems. - Trans. JSME, 1983, 49, No. 443,
p. 818-827.
10. Murakami Y. Some problems of welded joints from a view point of
the stress intensity factors. - Preprint of JSME, No. 800-10,
1980, p. 170-177.
11. Kassir M.K., Sih G.C. External elliptical crack in elastic
solid. - Int. J. Fract., 1968, 4, No. 4, p. 347-356.
12. Murakami Y. Two semi-infinite solids bonded by a bond of
arbitrary shape subjected to tensile load. - Stress
Intensity Factors Handbook, Soc. Materials Science, Japan, 1986.
863
14. ТРЕЩИНЫ В ПОЛЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
ИЛИ МАГНИТНОМ ПОЛЕ
14.1. СИММЕТРИЧНАЯ ТРЕЩИНА, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ
СВАРНОМУ ШВУ (СВАРНОЕ СОЕДИНЕНИЕ ДВУХ
ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ ПЛАСТИН) [Л 3; 2, 4]
1.0
-0.5 -
° экспериментальные данные [2]
Метод функции Грина [1], погрешность менее 0.1% для принятой функции
распределения остаточных напряжений.
/Сг = аг У па F(A), А = а/с.
Принятая функция распределения остаточных напряжений
<гу = о-оехр[-0.5(*/СJ][1 - (х/сJ],
где <rQ - максимальное растягивающее напряжение при х = 0, с - значе-
значение координаты х, при которой кривая распределения остаточных напря-
напряжений пересекает ось х, 2а - длина трещины.
864
1.0
F(A)
o.s
-0.5
\
\
•
l :
—
-
эис. 14.1. Коэффициент интенсивности напряжений для симметричной
грещины, перпендикулярной сварному шву, в поле остаточных напряжений,
вызванных сваркой [1].
о экспериментальные данные [2]
х/с
-0.5-
Летод функции Грина [3], точное решение для принятой функции распре-
;еления остаточных напряжений.
Кг = <rQ/na F(\), \ = а/с.
1ринятая функция распределения остаточных напряжений
F{\) = {[A + Л4) - Л2]A +
)бозначения см. в разд. 14.1).
865
-1280
1.0
0.5
-0.5
1
kl
i :
1 а/с 4
Рис. 14.2. Коэффициент интенсивности напряжений для симметричной
трещины, перпендикулярной сварному шву, в поле остаточных напряжений,
вызванных сваркой [3].
Таблица 14.1. Значения коэффициента интенсивности напряжений для
симметричной трещины, перпендикулярной сварному шву
Х=а/с
0
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
D]
1.0000
0.9925
0.9704
0.8858
0.7584
0.6051
0.4446
0.2936
0.1646
0.0641
-0.0065
-0.0499
-0.0771
-0.0555
-0.0327
-0.0190
F(A)
[3]
1.0000
0.9950
0.9794
0.9118
0.7888
0.6231
0.4551
0.3192
0.2228
0.1579
0.1145
0.0851
0.0445
0.0260
0.0164
0.0110
866
14.2. ТРЕЩИНА, НЕСИММЕТРИЧНО РАСПОЛОЖЕННАЯ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО СВАРНОМУ ШВУ [5]
Метод функции Грина [5], погрешность менее 0.1% для принятой функции
распределения остаточных напряжений.
= °о
= а/с-
Принятая функция распределения остаточных напряжений
о- = <roexp[-0.5(*/cJ][l - (x/cfl
1.0
«О
I
ь_
«S
?
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
^ч/=0
/> \
./¦
х
\\
\V1
хч
-F-a
F+a
J=L/c
ч ^
X 4
Рис. 14.3. Коэффициент интенсивности напряжений для трещины,
несимметрично расположенной перпендикулярно сварному шву, в поле
остаточных напряжений, вызванных сваркой.
867
55»
14.3. КОЛЛИНЕАРНЫЕ ТРЕЩИНЫ. РАСПОЛОЖЕННЫЕ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЕ СВАРНЫХ ШВОВ [6]
Численный метод весовых функций [6], погрешность менее 0.1% для при-
принятой функции распределения остаточных напряжений.
/Cj = Pt/na F(a/b).
Принятая функция распределения остаточных напряжений
р(х) = pQcos(nx/b) или р(х) = pQcosBnx/b).
--•1.0
p(x)-p,;COSB*X/b)
Рис. 14.4. Коэффициент интенсивности напряжений для коллинеарных
трещин, перпендикулярных периодической системе сварных швов, в поле
остаточных напряжений.
868
14.4. ПОЛУЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА,
РАСПОЛОЖЕННАЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО СВАРНОМУ
ШВУ [7]
С/Ъ - 0.2
С/Л = 0-2
«А }4
Трещина
Метод конечных элементов [7].
Кх = <T0(na/QI/2F, Q = [E(k)f, k2 = 1 - (a/cf,
E(k) - полный эллиптический интеграл второго рода. Функция распре-
распределения остаточных напряжений, постоянная по координате у @ i x ? с):
<г/ого = 3(х - сK - (9/2)(х/сJ + 1.
-0.5,
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 14.5. Распределение коэффициентов интенсивности напряжений
вдоль фронта полуэллиптической трещины в поле остаточных напряжений,
вызванных сваркой.
869
14.5. ТРЕЩИНА, ОТХОДЯЩАЯ ОТ ОТВЕРСТИЯ,
ПОДВЕРГНУТОГО ХОЛОДНОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ [«; 9]
D - диаметр исходного отверстия
D - диаметр отверстия после
экспандирования
Геометрия (симметрия относительно оси у): D = 5.08 мм, W = 10Д
Я = 12.5Д е = 1.75Д толщина t = 6.35 мм; материал Ti-6Al-6V-2Sn,
Е = НО ГПа, предел текучести <г = 103 МПа.
Метод конечных элементов [8 ].
/CR - коэффициент интенсивности остаточных напряжений, обусловленных
холодной пластической обработкой; i - относительное увеличение диа-
диаметра отверстия в результате обработки (i = [(Z) - ?>)/D]-100).
500
Рис. 14.6. Остаточные напряжения,
вызванные холодной пластической
обработкой; ? - расстояние от края
отверстия.
-500
-1000
/"//'
/ / // 2
/#"
I!
I III D=5.08 "
ull A
.-1.7Б
1 1 1 1
i
4
3 4
F, мм
Опубликовано с разрешения "American Institute of Aeronautics and
Astronautics".
870
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
4/(e-D/2)
Рис. 14.7. Коэффициент интенсивности остаточных напряжений (влияние
экспандирования в радиальном направлении).
14.6. КРАЕВАЯ ТРЕЩИНА В КОЛЬЦЕВОМ СЕГМЕНТЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОСТАТОЧНЫХ СВАРОЧНЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ [6; 10-14]
Ро
н=~
Профиль распределения
остаточных напряжений
Численный метод весовых функций [6], погрешность менее 0.1% для при-
принятой функции распределения.
К = р/ па F(\), A = a/(R2 - RJ.
871
Принятая функция распределения остаточных напряжений
Р(У) =
[и -
1.2
1.0
2 0.8
u-
0.6
0.4
0.2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
X
Рис. 14.8. Коэффициент интенсивности остаточных напряжений для коль-
кольцевого сегмента с трещиной.
14.7. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ТРЕЩИН В МАГНИТНОМ ПОЛЕ [/5; 16, 17]
V
\
Ч Rg/R^Z.S
\
Метод сингулярных интегральных уравнений [15].
*1 = PO
№ ~
2A
- магнитная проницаемость, % - магнитная восприимчивость,
В - магнитная индукция.
872
в 3 10
Рис. 14.9. Влияние магнитного поля на коэффициент интенсивности
напряжений; Ь = В (ц ц) , д - постоянная Ламе.
14.8. ДВЕ КОЛЛИНЕАРНЫЕ ТРЕЩИНЫ В МЯГКОМ
ФЕРРОМАГНИТНОМ УПРУГОМ ТЕЛЕ [18; 19, 20]
Метод интегральных уравнений [18].
О a
0
х(х -
+ %)Ч
д0 - магнитная проницаемость, % - магнитная восприимчивость,
BQ - магнитная индукция.
Коэффициент интенсивности напряжений для одной трещины в неогра-
неограниченной мягкой ферромагнитной среде получается при / -» оо, а -» 0 из
рассмотренного выше случая:
1,ь
Г ° а + уд '
873
где а = 2A + xf, /3 = 2A - i>) + E - 6v)x,
у = 1 - 2u - 2A - P)%, 5 =
ц, - постоянная Ламе, v - коэффициент Пуассона.
.1.5
1.0
0.5
-ьс=о.о
- 0.003
- 0.005
г/ь=1. о
v=0.25
1.5
1.0
0.5
\ -
\
\\
1/Ь=1.0
-ьс=
—
V
X
0.0
0.003
п nnR
= 0.25
-104
N
0.5 1.0
а/Ь
0.5 i/b 1.0
Рис. 14.10. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений Z7 от
а/Ь для 1/Ь = 1.0.
Рис. 14.11. Зависимость коэффициента интенсивности напряжений F от
а/Ь для 1/Ь = 1.0.
14.9. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА В АААГНИТНОМ
ПОЛЕ [21]
874
Метод интегральных уравнений [21].
К =
1
VF P _ _
' °
д0 - магнитная проницаемость, х - магнитная восприимчивость,
В - магнитная индукция.
2.0 —
Fi,a
1.8
1.6
1.4
•1.2
1.0
V
=П 94
X =104
/
/
1
1
Ьсх10
-3
Рис. 14.12. Влияние магнитного поля на коэффициент интенсивности \
-1/2
пряжений /Cji bc = 50(д0д)" , ц - постоянная Ламе.
14.10. ТРЕЩИНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ МЯГКОЙ
ФЕРРОАААГНИТНОЙ СРЕДЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
НОРМАЛЬНО ПАДАЮЩИХ ПРОДОЛЬНЫХ
ВОЛН [22; 23, 24]
t-t;
Падающие волны
'\*\
875
Метод интегральных уравнений [22].
», Ъ Во), ро = -1Цр/сг)\,
ф0 - амплитуда падающей волны, ji - постоянная Ламе,
v - коэффициент Пуассона, % - магнитная восприимчивость,
BQ - магнитная индукция, bc = BQ(nQii)~1/z, p - круговая частота,
сг - скорость волн сдвига (сг = (д/рI/2, р - плотность),
Р = ар/с2, д0 - магнитная проницаемость.
1.5
F
1.0
0.5
0.3
л
/ \
У // •
/1
У /
S *
\
\
V
К
~ - ——
v =0.3
А
~О
=0.003
х=ю4
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Рис. 14.13. Влияние магнитного поля на зависимость нормированного
динамического коэффициента интенсивности напряжений от Р.
5.0
Рис. 14.14. Влияние коэффициента Пуассона на зависимость нормирован-
нормированного динамического коэффициента интенсивности напряжений от Р.
876
14.11. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА В ОСЕВОМ
МАГНИТНОМ ПОЛЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
НОРМАЛЬНО ПАДАЮЩИХ ВОЛН СЖАТИЯ [25; 26]
Падающая
волна сжатия
Метод интегральных уравнений [25].
п
-v)
У - коэффициент Пуассона, (X, А - постоянные Ламе,
HQ - напряженность магнитного поля, h = Н (ц */
(ц
цо - магнитная проницаемость, р - круговая частота, Р = ар/сг
р - плотность, uQ - амплитуда падающих волн сжатия,
cL - скорость волн сжатия, cL = [(Л + 2д)/р]1/2,
1/2
- скорость волн сдвига, ст = (д/р)
1/2
2.0
1.0
д
V
v -0.25
hc'0.0
«0.5
•
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Рис. 14.15. Влияние магнитного поля на нормированный динамический
коэффициент интенсивности напряжений.
877
ЛИТЕРАТУРА
1. Тегаф Н. An analysis of the stress intensity factor of a craci
perpendicular to the welding bead. - Engng. Fract. Mech., 1976,
8, p. 441-444.
2. Kanazawa Т., Oba H., Susei S. The effect of welding residual
stress upon brittle fracture propagation. Report II. - J. Soc.
Naval Arch. Japan, 1961, 110, p. 359-368.
3. Tada H., Paris P.C. The stress intensity factor of a crack
perpendicular to the welding bead. - Int. J. Fract., 1983, 21,
p. 279-284.
4. Kanazawa Т., Oba H., Machida S. The effect of welding residual
stress on brittle fracture propagation. - J. Soc. Naval Arch.
Japan, 1960, 109, p. 359-369.
5. Terada H., Nakajima T. Analysis of stress intensity factor of a
crack approaching welding bead. - Int. J. Fract., 1985, 27, p.
83-90.
6. Parker A.P. Stress .intensity factors, crack profiles and fatigue
crack growth rates in residual stress fields. - ASTM STP 776,
1982, p. 13-31.
7. Shiratori M., Miyoshi Т., Tanikawa K. Analysis of stress
intensity factor of a surface crack subjected to arbitrary
distributed loading. 2nd Report. - Trans. JSME, Ser. A, 1986, 52,
p. 390-398.
8. Armen H., Levy A., Eidinoff H.L. Elastic-plastic behavior of
cold-worked holes. - J. Aircraft, 1984, 21, No. 3, p. 193-201.
9. Nied H.F., Erdogan F. The elasticity problem for a thick-walled
cylinder containing a circumferential crack. - Int. J. Fract.,
1983, 22, No. 4, p. 277-301.
10. Parker A.P., Andrasic C.P. Weight functions for cracked, curved
beams. - In: Numerical Methods in Fracture Mechanics. Proc. 2nd
Int. Conf., Swansea, 1980, p. 67-82.
11. Cheng W., Finnie I. A method for measurement axisymmetric axial
residual stresses in circumferentially welded thin-walled
cylinders. - Trans. ASME, J. Engng. Mater, and Technol., 1985,
107, p. 181-185.
12. Cheng W., Finnie I. On the prediction of stress intensity factors
for axisymmetric cracks in thin-walled cylinders from plane
878
strain solutions. - Trans. ASME, J. Engng. Mater, and Technol.,
1985, 107, p. 227-234.
13. Cheng W., Finnie I. Measurement of residual hoop stresses in
cylinders using the compliance method. - Trans. ASME, J. Engng.
Mater, and Technol., 1986, 108, No. 2, p. 87-92.
14. Cheng W., Finnie I. Determination of stress intensity factors
for partial penetration axial cracks in thin-walled cylinders.
- Trans. ASME, J. Engng. Mater, and Technol., 1986, 108, No. 2,
p. 83-86.
15. Shindo Y. Two-dimensional problem of magnetoelastic material
with parallel periodic cracks. - Trans. JSME, Ser. A, 1981, 47,
No. 421, p. 936-940.
16. Shindo Y. The linear magnetoelastic problem for a soft
ferromagnetic elastic solid with a finite crack. - Trans. ASME,
Ser. E, J. Appl. Mech., 1977, 44, p. 47-50.
17. Shindo Y. Magnetoelastic solid with parallel periodic coplanar
cracks. - Trans. JSME, Ser. A, 1981, 47, No. 421, p. 941-948.
18. Shindo Y. The linear magnetoelastic problem of two coplanar
Griffith cracks in a soft ferromagnetic elastic strip. - Trans.
ASME, J. Appl. Mech., 1982, 49, p. 69-74.
19. Shindo Y. Singular stress in a soft ferromagnetic elastic solid
with two coplanar Griffith cracks. - Int. J. Solids and
Structures, 1980, 16, p. 537-543.
20. Shindo Y. Singular stresses in a soft ferromagnetic elastic
solid with a flat annular crack. - Acta Mech., 1983, 48, No.
3-4, p. 147-155.
21. Shindo Y. Magnetoelastic interaction of a soft ferromagnetic
elastic solid with a penny-shaped crack in a constant axial
magnetic field. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1978, 45,
No. 2, p. 291-296.
22. Shindo Y. Dynamic singular stresses for a Griffith crack in a
soft ferromagnetic elastic solid subjected to a uniform magnetic
field. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1983, 50,
p. 50-56.
23. Shindo Y. Diffraction of incidental magnetoelastic waves in a
ferromagnetic elastic solid with a finite Griffith crack.
Trans. JSME, 1979, 45, No. 391, p. 273-280.
24. Shindo Y. Inplane problem of diffraction of harmonic
879
magnetoelastic waves in a ferromagnetic elastic solid with a
finite Griffith crack. - Trans. JSME, Ser. A, 1979, 45, No. 393,
p. 498-504.
25. Shindo Y. Diffraction of normal compression waves by a
penny-shaped crack in the presence of an axial magnetic field. -
Int. J. Engng. Sci., 1979, 17, p. 651-658.
26. Shindo Y. Sudden twisting of an infinite elastic conductor with
a penny-shaped crack in a constant axial magnetic field. - Z.
angew. Math, und Mech., 1982, 62, p. 599-607.
880
15. ЗАДАЧИ ИЗГИБА ПЛАСТИН С ТРЕЩИНАМИ
15.0. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИЙ ВБЛИЗИ
ФРОНТА ТРЕЩИНЫ
Срединная плоскость
Напряжения в элементе пластины
в окрестности фронта трещины
Классическая теория пластин
Ccos2 + cosir)
Ccos
# sinf],
(sin2 "
Br)
1/2
COS2
56-1280
881
где
Теория пластин Рейсснера
9Г Q О Q"^
14 ¦ " • ОС/ I
i:U5jj 1 - Sing Sin—2" -
Br
sinf [2 + cosf coS3|
cos2
sin2
]•
Br)
1/2
sin|
z) = -^172 C0S2 sin2 C0S4
Br)
1/2 COS2
cos§ |1
[l -
.„б .:„39
т (г, в, z) = — , ._
xz BrI/2
Br)
cos2 •
15.1. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/; 2]
882
Метод комплексной переменной [1], точное решение.
к* = <гУ~сГ, к". = О, с. = Ш/Р.
10 с. D
15.2. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/]
Метод комплексной переменной [1], точное решение.
к\ = О, ft" = тУ~а~, х = 6Я/*2.
15.3. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ
под действием перерезывающих сил
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/]
Метод комплексной переменной [1], точное решение.
3/2.
/га = 0, k2 = 8TaJ/Vf, т = Q/t.
883
56*
15.4. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПРОИЗВОЛЬНО
ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/]
м
Метод комплексной переменной [1], точное решение.
k* - о*. sinza-va, k* = v. since-cosa-va, a. = 6Af/f2
ID 2 D D
15.5. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПРОИЗВОЛЬНО
ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ПЕРЕРЕЗЫВАЮЩИХ СИЛ (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/]
Метод комплексной переменной [1], точное решение.
** = 8ту cosa- a3/z/t, ft* = 8т sina-a3/2/*, т = Q/t.
884
15.6. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПАРОЙ НАКЛОННЫХ
ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО
МОМЕНТА В ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [3, 4]
м
Метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана [3, 4], по-
погрешность менее 1%.
(t - толщина пластины).
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
FA
—-Fe
V = 0.3
SS==
— ¦-
«.= 0°
40*
50"
60е
70°
80°
0.0 o.i 0.4 0.6 0.8 to Рис. 15.1. Коэффициенты интенсивност
/ напряжений.
885
15.7. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПАРОЙ НАКЛОННЫХ
ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
В ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ОСИ СИММЕТРИИ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [3, 4]
м
\ !
Метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана [3, 4], по-
погрешность менее 1%.
(t - толщина пластины).
1,0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
ra=30"
v=0.3
¦
80°
70*
60°
50"
40°
30°
20°
10°
Л
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2a/d
Рис. 15.2. Коэффициенты интенсивности напряжений.
886
15.8. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С РАДИАЛЬНЫМИ
ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩИХ
МОМЕНТОВ (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [3, 4]
м
м
м
N - число трещин
М
Метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана [3, 4], по-
погрешность менее 1%.
(t - толщина пластины).
1.4
1.3
1.1
1.0
v = 0.3
FA
FB
J
/
/ у
/
3"
"а
У
0.0 0.2 0.4 0.6
a/d
0.8 to Рис. 15.3. Коэффициенты
интенсивности напряжений.
887
15.9. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С СИСТЕМОЙ
ОДИНАКОВЫХ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТРЕЩИН
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [3, 4]
М
м
N - число трещин
Метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана [3, 4], по-
погрешность менее 1%.
(t - толщина пластины).
1.12
1.02
1.0507
Рис. 15.4. Значения коэффициентов интенсивности напряжений в зависи-
зависимости от местоположения трещины в системе одинаковых коллинеарных
трещин в пластине под действием изгибающего момента Bа/d = 0.5).
Значения, показанные штрихпунктирными линиями, соответствуют бес-
бесконечному числу трещин.
888
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
2a/d
Рис. 15.5. Коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах
внутренней трещины и внешних вершинах крайних трещин в пластине
под действием изгибающего момента.
Fa
FB
Ш
15\i
N=ooA
/y,
Hi
III
II 1S
//з
Г-'2
Таблица 15.1. Значения F для вершин внутренней трещины, А = la/d
11
13
15
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0013 1
1.0057 1
1.0138 1
1.0272 1
1.0480 1
1.0804
1.1333
1.2289
1.4539
.0025 1
.0103 1
.0241 1
.0453 1
.0766 1
.1232 1
.1956 1
.3214 1
.6068 1
.0028 1
.0117 1
.0274 1
.0517 1
.0880 1
.1423 1
.2278 1
.3782 1
.7218 1
0031 1
0129 1
0302 1
0569 1
0966 1
1560 1
2491 1
4126 1
7860 1
0034
0140
0329
0621
1056
1707
2735
4551
8767
.0036 1
.0147 1
.0344 1
.0650 1
.1106 1
.1791 1
.2873 1
.4793 1
.9280 1
:ооз7 1
.0151 1
.0354 1
.0669 1
.1138 1
.1844 1
.2962 1
.4949 1
.9579 1
0038
0154
0361
0682
1161
1881
3024
5058
9811
.0038 1
1.0156 1
.0366 1
1.0691 1
1.1177 1
1.1909 1
1.3069 1
1.5137 1
1.9982 2
,00414
.01698
.03983
.07533
.12838
.20847
.33601
.56497
.11331
Таблица 15.2. Значения FQ для наружных вершин крайних трещин,
А = 2a/d
11
13
15
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0012
1.0046
1.0102
1.0179
1.0280
1.0409
1.0579
1.0811
1.1174
1.0015
1.0058
1.0130
1.0230
1.0363
.0538
.0772
.1103
.1644
.0016
.0064
.0142
.0253
.0402
.0600
.0866
.1249
.1887
1.0017 1
1.0067 1
1.0150 1
1.0267 1
1.0425 1
1.0635 1
1.0921 1
1.1335 1
1.2035 1
.0018 1.0018
.0071 1.0072
.0158 1.0162
.0282 1.0290
.0449 1.0463
.0674 1.0695
.0982 1.1015
.1432 1.1484
.2206 1.2298
1.0019 1.0019
1.0074 1.0074
1.0164 1.0166
1.0294 1.0298
1.0471 1.0477
1.0708 1.0717
1.1035 1.1049
1.1516 1.1538
1.2351 1.2390
1.0019 1.0020
1.0075 1.0079
1.0168 1.0176
1.0300 1.0316
1.0481 1.0507
1.0724 1.0766
1.1059 1.1124
1.1554 1.1658
1.2418 1.2601
889
15.10. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С СИСТЕМОЙ
ОДИНАКОВЫХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТРЕЩИН
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [3, 4]
ж
-
d
—
А
d
1
—i
d
N -
число трещин
м
t
Метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана [3, 4], по-
погрешность менее 1%.
(t - толщина пластины).
0.88
0.86
!*- 0.925
1 I
Рис. 15.6. Значения коэффициентов интенсивности напряжений в зависи-
зависимости от местоположения трещины в системе одинаковых параллельных
трещин в пластине под действием изгибающего момента {2a/d = 0.9,
v = 0.3). Значения, показанные штрихпунктирными линиями, соответст-
соответствуют бесконечному числу трещин.
890
1.00
0.0 O.Z 0.4 0.6 0.8 1.0
0.88
Рис. 15.7. Коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах внут-
внутренней и внешних трещин в пластине под действием изгибающего момента.
Таблица 15.3. Значения FA для вершин внутренней трещины, v = 0.3,
Л = 2a/d
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2
0.9993
0.9971
0.9937
0.9889
0.9831
0.9764
0.9690
0.9612
0.953
3
0.9986
0.9943
0.9873
0.9779
0.9664
0.9531
0.9386
0.9232
0.908
4
0.9984
0.9936
0.9858
0.9752
0.9623
0.9475
0.9314
0.9143
0.897
5
0.9982
0.9929
0.9842
0.9726
0.9583
0.9420
0.9242
0.9055
0.887
7
0.9980
0.9923
0.9829
0.9702
0.9547
0.9371
0.9179
0.8977
0.877
9
0.9980
0.9919
0.9821
0.9689
0.9528
0.9344
0.9144
0.8934
0.872
И
0.9979
0.9917
0.9816
0.9680
0.9515
0.9326
0.9121
0.8906
0.869
13
0.9979
0.9915
0.9812
0.9674
0.9506
0.9314
0.9106
0.8887
0.867
15
0.9978
0.9914
0.9810
0.9670
0.9499
0.9305
0.9094
0.8872
0.865
0.9976
0.9907
0.9793
0.9641
0.9457
0.9247
0.9019
0.8780
0.8540
Таблица 15.4. Значения F для вершин крайних трещин, v = 0.3,
Л = 2a/d
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2
0.9993
0.9971
0.9937
0.9889
0.9831
0.9764
0.9690
0.9612
0.953
3
0.9991
0.9964
0.9921
0.9862
0.9790
0.9708
0.9617
0.9521
0.942
4
0.9990
0.9961
0.9914
0.9850
0.9772
0.9683
0.9585
0.9481
0.938
5
0.9990
0.9959
0.9910
0.9844
0.9762
0.9669
0.9567
0.9459
0.935
7
0.9989
0.9958
0.9906
0.9836
0.9751
0.9654
0.9547
0.9434
0.932
9
0.9989
0.9957
0.9904
0.9832
0.9745
0.9646
0.9536
0.9421
0.930
.11
0.9989
0.9956
0.9902
0.9830
0.9742
0.9641
0.9530
0.9413
0.929
13
0.9989
0.9955
0.9901
0.9828
0.9739
0.9637
0.9525
0.9407
0.929
15
0.9989
0.9955
0.9901
0.9827
0.9737
0.9635
0.9522
0.9403
0.928
0.9988
0.9953
0.9896
0.9819
0.9726
0.9618
0.9501
0.9377
0.925
891
15.11. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ДВУМЯ РАВНЫМИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СМЕЩЕННЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДРУГ
ДРУГА ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО
МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [3, 4]
м
11
Метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана [3, 4], по-
погрешность менее 1%.
(t - толщина пластины).
1.8
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
о.о о.г о.4 о.в о.8 1.о
га/6
Рис. 15.8. Коэффициент интенсивности напряжений во внутренних
вершинах двух параллельных смещенных относительно друг друга трещин
в пластине под действием изгибающего момента.
V=0.3
¦ ¦ -
e/f=0
Ч
1/
-~~—~7.
892
Таблица 15.5. Значения FA для внутренних вершин двух параллельных
смещенных относительно друг друга трещин, образующих угол а с
осью системы, в зависимости от A (v = 0.3, А = 2а/d)
0.1
о.г
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0°
.0013
.0057
.0138
.0272
.0480
.0804
.1333
.2289
.4539
10°
1.0012
1.0050
1.0121
1.0231
1.0394
1.0623
1.0929
1.1288
1.154
20е
1.0008
1.0033
.0076
.0134
.0204
1.0270
1.0307
1.0271
.012
30"
1.0003
1.0012
1.0023
1.0028
1.0020
0.9986
0.9912
0.9791
0.962
40°
0.9999
0.9993
0.9978
0.9948
0.9898
0.9824
0.9723
0.9595
0.945
45е
0.9997
0.9985
0.9961
0.9921
0.9862
0.9780
0.9677
0.9553
0.940
50°
0.9995
0.9979
0.9949
0.9903
0.9838
0.9754
0.9652
0.9534
0.940
60е
0.9993
0.9973
0.9937
0.9885
0.9817
0.9735
0.9640
0.9533
0.941
70е
0.9993
0.9971
0.9934
0.9882
0.9817
0.9740
0.9652
0.9555
0.945
80"
0.9993
0.9971
0.9935
0.9885
0.9824
0.9751
0.9670
0.9583
0.950
90°
0.9993
0.9971
0.9937
0.9889
0.9831
0.9764
0.9690
0.9612
0.953
15.12. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С СИСТЕМОЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СМЕЩЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО
ДРУГ ДРУГА ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ) [3, 4]
м
11
м
N - число трещин
Метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана [3, 4],
погрешность менее 1%.
(t - толщина пластины).
893
Таблица 15.6. Значения F для вершин внутренней трещины из системы
параллельных смещенных относительно друг друга трещин, образующих
угол а с осью системы, в зависимости от А (у = 0.3, N = а,
А = 2а/d).
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0е
1.0041
1.0170
1.0398
1.0753
1.1284
1.2085
1.3360
1.5650
2.1133
10°
.0037
.0152
.0354
.0661
1.1101
.1720
.2580
1.3735
1.5065
20°
.0026
.0106
.0241
.0431
.0676
.0965
.1269
.1537
.1706
30°
.0012
1.0046
1.0098
.0162
1.0225
1.0271
.0283
1.0244
.0148
40°
0.9997
0.9988
0.9968
0.9932
0.9872
0.9784
0.9663
0.9510
0.9326
45°
0.9991
0.9964
0.9916
0.9843
0.9743
0.9615
0.9459
0.9276
0.9070
50°
0.9986
0.9944
0.9874
0.9774
0.9645
0.9488
0.9307
0.9105
0.8885
60°
0.9980
0.9919
0.9820
0.9687
0.9523
0.9334
0.9124
0.8899
0.8664
70°
0.9977
0.9908
0.9798
0.9651
0.9472
0.9268
0.9046
0.8811
0.8570
80°
0.9976
0.9906
0.9793
0.9642
0.9458
0.9249
0.9022
0.8784
0.8541
90°
0.9976
0.9907
0.9793
0.9641
0.9457
0.9247
0.9019
0.8779
0.8535
Таблица 15.7. Значения F'k для вершин внутренней трещины из системы
параллельных смещенных относительно друг друга трещин, образующих с
осью системы угол a (v = 0.3, А = 2a/d)
хЧ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
2
0.0008
0.0003
0.0076
0.0139
0.0220
0.0315
0.0416
0.0511
0.060
3
0.0015
0.0061
0.0137
0.0243
0.0376
0.0528
0.0689
0.0847
0.099
4
0.0017
0.0069
0.0155
0.0275
0.0425
0.0599
0.0785
0.0970
0.114
5
0.0019
0.0076
0.0171
0.0302
0.0467
0.0656
0.0859
0.1062
0.125
6
0.0020
0.0079
0.0178
0.0316
0.0488
0.0687
0.0900
0.1114
0.132
7
0.0021
0.0083
0.0186
0.0328
0.0507
0.0713
0.0934
0.1157
0.137
9
0.0022
0.0086
0.0194
0.0343
0.0529
0.0745
0.0977
0.1210
0.144
с
0.0025
0.0100
0.0224
0.0395
0.0609
0.0857
0.1126
0.1399
0.167
2.0
1.8
1.6
1.2
1.0
0.8
v-0.3
N=oo
W
лу
- ¦'
з-
_L5
¦Ц^5-
0.0
0.2
0.4 0.6
2a/d
0.8
1.0
Рис. 15.9. Коэффициент интенсивности напряжений в вершинах внутрен
ней трещины из системы параллельных смещенных относительно друг
друга трещин в пластине.
1.00
0.98
of 0.96
0.94
0.92
0.90
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 15.10. Коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах внутрен-
внутренней и крайних трещин из системы параллельных смещенных относительно
друг друга на угол 45° трещин в пластине.
15.13. ПОЛОСА С ДВУМЯ ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ КРАЕВЫМИ
ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО
МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [5, 6]
м
> ¦
я
я
1
1
м
\ I
Метод комплексной переменной с использованием рациональной
отображающей функции [5].
, <rb = 6M/tz
(t - толщина пластины).
895
v = 0
/
/
/
2/*
Таблица 15.8. Значения
в зависимости от a/W
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/W
Рис. 15.11. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
a/W.
a/W
0.500
0.490
0.470
0.450
0.400
0.350
0.300
0.250
0.200
0.150
0.100
0.050
0.040
0.030
0.010
v=0.0
г/т,
0.637
0.636
0.635
0.627
0.613
0.593
0.566
0.530
0.480
0.411
0.304
0.274
0.237
0.147
v=0.25
2/w
0.637
0.636
0.634
0.627
0.613
0.593
0.565
0.529
0.478
0.409
0.302
0.273
0.236
0.145
v=0.5
2/ir
0.637
0.636
0.634
0.626
0.612
0.592
0.565
0.528
0.477
0.408
0.301
0.272
0.236
0.144
15.14. ПОЛОСА С ДВУМЯ ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ
КРАЕВЫМИ ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [5,
-{
1
<
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобра-
отображающей функции [5].
kl = F-TW/va, т = 6H/tz (t - толщина пластины).
2 с.
896
v=0
/
/
2/ir
Таблица 15.9. Значения F
в зависимости a/W
0.7
0.6
0.5
0.4
1д_
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/W
Рис. 15.12. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
a/W.
a/W
0.500
0.490
0.470
0.450
0.400
0.350
0.300
0.250
0.200
0.150
0.100
0.050
0.040
0.030
0.010
v=0.0
2/тг
0.637
0.636
0.634
0.627
0.613
0.593
0.566
0.530
0.480
0.410
0.304
0.275
0.241
0.140
v=0.25
2/тг
0.637
0.636
0.634
0.626
0.613
0.593
0.565
0.528
0.478
0.408
0.302
0.273
0.240
0.139
v=0.5
2/тг
0.637
0.636
0.634
0.626
0.612
0.592
0.565
0.528
0.477
0.407
0.301
0.272
0.239
0.138
15.15. ТРЕЩИНА, ОТХОДЯЩАЯ ОТ ТРЕУГОЛЬНОГО
ВЫРЕЗА НА КРАЮ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ,
НАХОДЯЩЕЙСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО
МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [7]
у
м
\
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобра-
отображающей функции [7], погрешность приближенного выражения около 1%.
k* = F <т (а + Ь)иг, <rb = 6M/tz (t - толщина пластины).
897
57-1280
1.1
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
20° 40° 60°
f/
/
80°
И*
100°
120° 140°
Is- '
1.0107
¦
-
-
(a) V = 0.0'
0.0
1.0
2.0
a/b
3.0
4.0
1.1
«=oe
1.0
0.9
0.8
0.7
0-6
0.0
.20° 40° 60°
¦
80°
<100°
120° 140°
1.0019
¦
¦
-
WV.0.B-
1.0
2.0
a/b
3.0
4.0
Рис. 15.13. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
а/Ь,
Приближенное выражение
Fx = CDb1/2(a + b)~1/2, A)
где С - коэффициент (см. табл. 15.11),
B)
В случае длинной трещины F. = 1.0107 при и = 0 и F = 1.0019 при
v = 0.5.
898
Таблица 15.10. Коэффициенты а , а , а и показатели степени п , /г,
в выражении B)
а
о
н
>
m
ai/H
аг/М
а,/М
п2
в!/М
а2/М
as/H
20°
-0.460
0.039
0.852
3.761
-3.485
-0.466
0.050
0.829
2.989
-2.687
40°
-0.415
0.083
0.985
2.022
-1.848
-0.428
0.107
0.934
1.607
-1.383
60°
-0.365
0.136
1.086
1.022
-0.937
-0.385
0.172
1.015
0.867
-0.712
80°
-0.310
0.203
1.208
0.597
-0.612
-0.338
0.250
1.115
0.545
-0.472
90°
-0.282
0.243
1.176
0.227
-0.206
-0.312
0.294
1.105
0.251
-0.182
100°
-0.253
0.288
1.231
0.218
-0.230
-0.286
0.343
1.154
0.252
-0.195
120°
-0.194
0.401
1.267
0.077
-0.109
-0.227
0.457
1.212
0.118
-0.103
140°
-0.133
0.548
1.254
0.013
-0.046
-0.162
0.598
1.237
0.039
-0.053
Таблица 15.11. Значения F , определенные с использованием рациональной
отображающей функции и на основе приближенного выражения, относитель-
относительные погрешности этих значений и значения коэффициента С в выражении A)
а
0
20'
(a) v=0.0
а/Ь
О
0.044
0.078
' 0.199
0.428
0.609
Fl
A)
1.0107
0.9543
0.9712
0.9928
1.0039
1.0068
Формула A)
B)
0.9518
0.9652
0.9888
0.9980
Погрешность
(*)
%
-0.27
-0.62
-0.40
-0.59
1
1
1
1
С
.35
.34
.32
.29
Погрешность
%
4.07
1.80
0.68
0.39
40°
0.060
0.103
0.250
0.515
0.722
0.9049
0.9363
0.9755
0.9963
1.0034
0.9029
0.9288
0.9759
0.9933
-0.22
-0.81
0.04
-0.30
1.30
1.29
1.28
1.25
3
1
0
.61
.45
.73
60°
80°
90°
100°
120°
0.084
0.139
0.319
0.634
0.875
0.120
0.420
0.803
1.090
1.300
0.064
0.146
0.230
0.917
1.465
0.081
0.278
0.577
1.060
1.414
0.126
0.286
0.845
1.492
2.291
0.8641
0.9077
0.9645
0.9932
1.0007
0.8340
0.9556
0.9900
0.9990
1.0025
0.7137
0.8238
0.8801
0.9891
1.0022
0.6982
0.8760
0.9516
0.9863
0.9983
0.6772
0.8163
0.9536
0.9898
1.0026
0.8603
0.9058
0.9668
0.9924
0.8355
0.9594
0.9944
0.9984
0.7120
0.8252
0.8841
0.9904
0.6982
0.8780
0.9535
0.9937
0.6754
0.8129
0.9556
0.9910
-0.44
-0.20
0.23
-0.08
0.18
0.40
0.45
-0.06
-0.24
0.17
0.45
0.13
0.00
0.22
0.20
0.75
-0.26
-0.42
0.21
0.12
1.25
1.25
1.24
1.22
1.21
1.20
1.19
1.18
1.18
1.18
1.18
1.17
1.16
1.16
1.15
1.15
1.11
1.11
1.11
1.11
1.76
1.00
5.77
2.09
1.17
0.82
2.18
0.85
6.21
2.47
1.24
2.11
0.81
140°
0.261
0.746
1.393
2.360
3.041
0.7179
0.8956
0.9645
0.9936
1.0012
0.7169
0.8958
0.9636
0.9896
0.9924
-0.14
0.02
-0.09
-0.40
-0.87
1.08
1.08
1.08
1.08
1.08
4
1
0
.79
.72
.95
(*)
899
Таблица 15.11 (продолжение)
(Ь) V = 0.5
a/b
Fl
0)
Формула
B)
A)
Погрешность
(*)
Погрешность
(**)
1.0019
20°
40°
60°
80°
90°
0.044
0.078
0.199
0.428
0.609
0.060
0.103
0.250
0.515
0.722
0.084
0.139
0.319
0.634
0.875
0.120
0.420
0.803
1.090
1.300
0.064
0.146
0.230
0.917
1.465
0.9554
0.9695
0.9874
0.9967
0.9991
0.9148
0.9414
0.9753
0.9921
0.9967
0.8814
0.9185
0.9657
0.9889
0.9948
0.8565
0.9593
0.9869
0.9938
0.9964
0.7470
0.8476
0.8964
0.9863
0.9962
0.9562
0.9681
0.9911
0.9948
0.9177
0.9404
0.9770
0.9954
0.8805
0.9140
0.9694
0.9875
0.8585
0.9621
0.9886
0.9952
0.7461
0.8464
0.8975
0.9777
0.09
-0.14
0.39
-0.19
0.32
-0.11
0.17
0.33
-0.11
-0.49
0.38
-0.14
0.24
0.29
0.17
0.14
-0.12
-0.14
0.12
-0.87
1.36
1.35
1.33
1.29
1.32
1.31
1.29
1.26
1.27
1.26
1.25
1.22
1.23
1.21
1.19
1.18
1.20
1.20
1.20
1.18
3.34
1.47
0.52
0.28
2.73
0.99
0.52
1.31
0.71
4.44
1.52
0.82
0.55
1.58
0.57
0.081
0.278
100° 0.577
1.060
1.414
0.126
0.286
120° 0.845
1.492
2.291
0.261
0.746
140° 1.393
2.360
3.041
0.7357
0.8930
0.9565
0.9860
0.9934
0.7151
0.8402
0.9582
0.9869
0.9966
0.7463
0.9080
0.9652
0.9898
0.9955
0.7347
0.8974
0.9652
0.9875
0.7122
0.8389
0.9592
0.9925
0.7443
0.9097
0.9705
0.9946
0.9987
-0.14
0.49
0.90
0.15
-0.41
-0.15
0.11
0.57
-0.26
0.18
0.55
0.48
0.32
.18
.18
1.17
1.16
1.13
.13
1.12
1.12
.09
1.09
1.09
1.09
.09
4.75
1.61
0.86
4.56
1.52
0.53
3.80
1.22
0.64
, (**) [1.0019-О)]/(П
900
15.16. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ,
ИМЕЮЩЕЙ ОТВЕТВЛЕНИЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
КОНЦАХ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО
МОМЕНТА. СЛУЧАЙ 1 (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [8]
I
М
I
е/2а<0.00005
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобра-
отображающей функции [8].
(t - толщина пластины).
0.9
0.6
о.з
о.о
-о.з
-0.6
-0.9
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
Ь/а а/Ь
Рис. 15.14. Коэффициенты интенсивности напряжений (случай 1) в
зависимости от Ь/а или а/Ь.
1
:
v=0.2
-
5
Fl
F2
•
'150°
120°
90°
150°_
""*90в
"Хго°
1
-
-
¦
•
0.6
0.3
0.0
-0.3
Л fi
-о.ч
1
-
:-—
•
ill
р=150
Г
v=0.25
—
120°
90°
.ш
1?0°
1
¦—«в
1
¦
¦
901
Таблица 15.12. Значения F
и F2 в зависимости от Ь/а или а/Ь
а=90°
b/a
1 a/b
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
v=0.0
F, F2
-0.050 -0.868
-0.025 -0.855
-0.006 -0.819
0.017 -0.758
0.037 -0.651
0.043 -0.568
0.044 -0.499
0.043 -0.442
0.039 -0.385
0.032 -0.313
0.020 -0.225
0.006 -0.120
0.0 0.0
v=0.25
F, F2
-0.037 -0.827
-0.019 -0.816
-0.006 -0.782
0.010 -0.725
0.024 -0.625
0.029 -0.547
0.029 -0.483
0.028 -0.430
0.026 -0.376
0.021 -0.308
0.013 -0.223
0.004 -0.120
0.0 0.0
v=0.5
F, F2
-0.025 -0.793
-0.012 -0.783
-0.005 -0.751
0.005 -0.698
0.014 -0.604
0.017 -0.531
0.018 -0.470
0.017 -0.420
0.016 -0.369
0.013 -0.304
0.008 -0.221
0.002 -0.120
0.0 0.0
л
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.3
0.6
0.4
0.2
0.0
v=0
Fl
0.418
0.423
0.430
0.427
0.414
0.399
0.384
0.372
0.358
0.341
0.317
0.287
0.250
.0
F2
-0.876
-0.856
-0.831
-0.790
-0.732
-0.689
-0.657
-0.631
-0.606
-0.575
-0.537
-0.490
-0.433
120°
v»0.25
Fl
0.425
0.426
0.429
0.423
0.406
0.390
0.376
0.364
0.352
0.335
0.313
0.285
0.250
F2
-0.842
-0.825
-0.804
-0.768
-0.715
-0.676
-0.624
-0.623
-0.599
-0.570
-0.535
-0.489
-0.433
V"
Fl
0.432
0.429
0.429
0.419
0.400
0.384
0.370
0.358
0.346
0.331
0.310
0.284
0.250
0.5
F2
-0.813
-0.799
-0.781
-0.749
-0.701
-0.666
-0.638
-0.616
-0.594
-0.567
-0.532
-0.488
-0.433
re
jQ
<O
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
v=0.0
Fl
0.832
0.835
0.834
0.831
0.822
0.814
0.807
0.802
0.796
0.789
0.779
0.767
0.750
F2
-0.548
-0.539
-0.528
-0.514
-0.497
-0.486
-0.479
-0.473
-U.46b
-0.462
-0.454
-0.445
-0.433
а
V
Fl
0.834
0.836
0.834
0.829
0.820
0.812
0.805
0.800
U./94
0.787
0.778
0.766
0.750
= 150°
=0.25
F2
'-0.528
-0.522
-0.513
-0.503
-0.489
-0.480
-0.474
-0.469
-0.465
-0.459
-0.452
-0.444
-0.433
V
Fl
0.836
0.836
0.834
0.828
0.818
0.810
0.803
0.798
0./93
0.786
0.777
0.766
0.750
=0.5
F2
-0.511
-0.507
-0.501
-0.493
-0.482
-0.475
-0.469
-0.465
-0.461
-0.457
-0.451
-0.443
-0.433
902
15.17. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ.
ИМЕЮЩЕЙ ОТВЕТВЛЕНИЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
КОНЦАХ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО
МОМЕНТА. СЛУЧАЙ 2 (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [8]
?/2а<0.00005
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [8].
(/ - толщина пластины).
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.
v=0.
— F2
А
-
15
т
а=90°
. '
120°
.
120°,
"Т50°
90°
-
, =
—
1 \50J
¦
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
b/a
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
¦
*—-
— -
.25
и-——¦
¦
a-9?
120°
120°
150°
90°
,
и 150
i —
— -
¦
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
a/b
Рис. 15.15. Коэффициенты интенсивности напряжений (случай 2) в
зависимости от Ъ/а или а/Ь.
903
Таблица 15.13. Значения F,
и F2 в зависимости от Ь/а или а/Ь
«о
.а
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
v=0.0
Fl
0.130
0.208
0.287
0.390
0.513
0.591
0.647
0.689
0.730
0.779
0.839
0.912
1.0
F2
-0.004
-0.004
-0.007
-0.008
-0.010
-0.012
-0.012
-0.013
-0.013
-0.013
-0.012
-0.008
0.0
а=
90»
v=0.25
Fl
0.130
0.207
0.286
0.389
0.513
0.590
0.646
0.689
0.730
0.778
0.838
0.912
1.0
F2
-0.003
-0.003
-0.005
-0.006
-0.007
-0.008
-0.009
-0.009
-0.009
-0.009
-0.009
-0.006
0.0
v-
Fl
0.130
0.207
0.285
0.389
0.512
0.590
0.647
0.689
0.730
0.779
0.839
0.912
1.0
0.5
F2
-0.002
-0.001
-0.003
-0.004
-0.004
-0.005
-0.006
-0.006
-0.666
-0.006
-0.005
-0.004
0.0
а
]q
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
v=0
Fl
0.096
0.150
0.208
0.283
0.374
0.431
0.472
0.503
0.533
0.569
0.615
0.673
0.750
.0
F2
0.054
0.085
0.118
0.161
0.213
0.247
0.270
0.288
0.306
0.327
0.353
0.387
0.433
a=
20°
v=0.25
Fl
0.096
0.150
0.208
0.283
0.374
0.432
0.473
0.504
0.534
6.570
0.616
0.674
0.750
F2
0.055
0.085
0.119
0.162
0.214
0.248
0.271
0.290
0.307
0.328
0.354
0.388
0.433
u=(
Fl
0.096
0.150
0.208
0.283
0.375
0.432
0.473
0.505
0.535
0.571
0.617
0.675
0.750
).5
F2
0.055
0.086
0.119
0.162
0.215
0.249
0.272
0.291
0.308
0.329
0.355
0.389
0.433
o=150°
.a
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 Я
0.6
0.4
0.2
0.0
v=0
Fl
0.032
0.049
0.068
0.093
0.123
0.142
0.155
0.166
0.176
0.188
0.203
0.233
0.250
.0
F2
0.055
0.086
0.119
0.162
0.214
0.247
0.271
0.289
0.306
0.327
0.353
0.387
0.433
v=0
Fl
0.032
0.049
0.068
0.093
0.123
0.142
0.156
0.166
0.176
0.188
0.203
0.223
0.250
.25
F2
0.055
0.086
0.119
0.162
0.214
0.247
0.271
0.289
0.307
0.328
0.354
0.387
0.433
v=0
Fl
0.032
0.049
0.069
0.093
0.123
0.143
0.156
0.167
0.177
0.189
0.204
0.223
0.250
.5
F2
0.055
0.086
0.119
0.162
0.214
0.247
0.271
0.289
0.307
0.328
0.354
0.387
0.433
904
15.18. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ,
ИМЕЮЩЕЙ ОТВЕТВЛЕНИЯ НА ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ
КОНЦАХ, ПОД ДЕЙСТВИЕМ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ.
СЛУЧАЙ 3 (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [8}
t
е/га< 0.00005
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [8].
г, k*2 = F2x(a
, х = 6H/tz
(t - толщина пластины).
905
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
b/a а/Ь
Рис. 15.16. Коэффициенты интенсивности напряжений (случай 3]
зависимости от Ь/а или а/Ь.
F
-
/
1
*
ч
F2
—¦ —
v-0.25
'
=3=
o-90^
,
90°
— -
¦
•
•
— "¦"¦*
-
•—•
150°
jso:
120°
1.0
0.8
0.6
0.4
0 2
n n
-0 4
-П fi
-0.8
¦ v0.25
•
-
» m
¦*¦
-
¦ -
a»90"
120Д.
Fl
F2
150°
150°
-^
-
y.
¦
Таблица 15.14. Значения /^ и F2 в зависимости от b/a или а/Ь
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
v-0
Fl
-0.619
-0.622
-0.603
-0.573
-0.516
-0.469
-0.429
-0.394
-0.356
-0.305
-0.233
-0.130
0.0
.0
F2
0.071
0.164
0.267
0.395
0.544
0.632
0.692
0.734
0.772
0.814
0.862
0.919
1.0
v-0
Fl
-0.665
-0.656
-0.633
-0.598
-0.532
-0.479
-0.434
-0.396
-0.356
-0.302
-0.228
-0.126
0.0
.25
F2
0.091
0.177
0.274
0.394
0.535
0.620
0.678
0.721
0.759
0.804
0.855
0.917
1.0
v»0
Fl
-0.687
-0.685
-0.659
-0.619
-0.546
-0.488
-0.440
-0.399
-0.356
-0.300
-0.224
-0.124
0.0
.5
F2
0.108
0.188
0.279
0.392
0.526
0.609
0.667
0.709
0.749
0.795
0.849
0.915
1.0
906
Таблица 15.14 (продолжение)
а*120°
т
2?
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Fl
-0.714
-0.746
-0.781
-0.817
-0.852
-0.868
-0.876
-0.880
-0.883
-0.885
-0.884
-0.879
-0.866
0,0
F2
-0.382
-0.306
-0.228
-0.125
0.001
0.080
0.136
0.179
0.220
0.269
0.328
0.402
0.500
v=0
Fl
-0.747
-0.776
-0.806
-0.836
-0.865
-0.877
-0.882
-0.885
-0.886
-0.887
-0.884
-0.878
-0.866
.25
F2
-0.371
-0.299
-0.225
-0.126
-0.004
0.074
0.130
0.172
0.214
0.263
0.324
0.400
0.500
v«0
F!
-0.776
-0.801
-0.828
-0.854
-0.877
-0.885
•0.889
-0.890
-0.890
-0.888
-0.885
-0.878
-0.866
.5
F2
-0.362
-0.294
-0.224
-0.128
-0.008
0.069
0.124
0.167
0.208
0.258
0.320
0.398
0.500
a-150°
b/a
0.02
0.05
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
v=0.0
F, F2
-0.475 -0.817
-0.515 -0.793
-0.554 -0.766
-0.604 -0.731
-0.660 -0.687
-0.695 -0.659
-0.718 -0.638
-0.736 -0.622
-0.753 -0.607
-0.773 -0.589
-0.797 -0.567
-0.827 -0.538
-0.866 -0.500
v>0.25
F, F,
-0.495 -0.814
-0.532 -0.792
-0.568 -0.766
-0.615 -0.731
-0.668 -0.688
-0.700 -0.660
-0.723 -0.640
-0.740 -0.624
-0.756 -0.609
-0.775 -0.591
-0.798 -0.568
-0.827 -0.539
-0.866 -0.500
v-0.5
,F, F2
-0.512 -0.812
-0.546 -0.790
-0.580 -0.765
-0.624 -0.732
-0.675 -0.690
-0.705 -0.662
-0.727 -0.641
-0.743 -0.626
-0.759 -0.611
-0.777 -0.592
-0.800 -0.569
-0.828 -0.540
-0.866 -0.500
15.19. ТРЕЩИНЫ НА ЛИНИИ СОЕДИНЕНИЯ ПОЛУПОЛОСЫ
И ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ, ПОДВЕРЖЕННОГО
ИЗГИБУ ИЗ ПЛОСКОСТИ (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [5]
м
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [5].
907
*i =
(t - толщинаI.
Таблица 15.15. Значения F. и
F в зависимости от a/W
a/W
0.500
0.494
0.478
0.444
0.400
0.354
0.308
0.256
0.202
0.148
0.094
0.048
0.038
0.023
0.014
v"C
Fl
г/т
0.637
0.636
0.635
0.632
0.626
0.617
0.604
0.585
0.559
0.520
0.466
0.447
0.413
0.383
.0
F2
0.4)
-0.003
-0.011
-0.027
-0.048
-0.068
-0.089
-0.112
-0.134
-0.154
-0.172
-0.181
-0.182
-0.182
-0.176
V
Fl
2/ir
0.637
0.636
0.635
0.632
0.625
0.617
0.603
0.584
0.556
0.516
0.461
0.441
0.406
0.375
•0.25
Г2
0.0
-0.002
-0.006
-0.016
-0.028
-0.041
-0.053
-0.067
-0.080
-0.092
-0.104
-0.110
-0.112
-0.111
-0.106
v-0
Fl
2/ir
0.637
0.636
0.635
0.632
0.625
0.616
0.602
0.583
0.555
0.514
0.458
0.438
0.402
0.370
.5
F2
0.0
-0.001
-0.003
-0.009
-0.015
-0.022
-0.029
-0.037
-0.044
-0.051
-0.058
-0.061
-0.062
-0.063
-0.059
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.
У
/
f
Fl^
—— v=0.0
v=0.5
^^
1
———
— —
2/it
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/W
Рис. 15.17. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимое
a/W.
908
15.20. ТРЕЩИНЫ НА ЛИНИИ СОЕДИНЕНИЯ ПОЛУПОЛОСЫ
И ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ, ПОДВЕРЖЕННОГО
КРУЧЕНИЮ ИЗ ПЛОСКОСТИ (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [5]
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [5].
= F
а, т = 6H/t2
(t - толщина).
Таблица 15.16. Значения F,
и F в зависимости от a/W
a/W
0.500
0.494
0.478
0.444
0.400
0.354
0.308
0.256
0.202
0.148
0.094
0.048
0.038
0.023
0.014
v«0
Fl
0.0
-0.001
-0.005
-0.012
-0.021
-0.030
-0.040
-0.050
-0.061
-0.072
-0.081
-0.089
-0.091
-0.092
-0.094
.0
F2
2/ir
0.637
0.636
0.635
0.632
0.626
0.617
0.603
0.585
0.558
0.518
0.464
0.445
0.410
0.378
v»0
Fl
0.0
-0.001
-0.004
-0.009
-0.016
-0.023
-0.031
-0.039
-0.047
-0.055
-0.062
-0.068
-0.069
-0.070
-0.072
.25
F2
2/u
0.637
0.636
0.635
0.631
0.625
0.617
0.603
0.584
0.556
0.516
0.460
0.441
0.406
0.373
v=0
Fl
0.0
-0.001
-0.002
-0.006
-0.011
-0.016
-0.021
-0.026
-0.032
-0.037
-0.042
-0.046
-0.046
-0.047
-0.049
.5
F2
2/*
0.637
0.636
0.635
0.631
0.625
0.616
0.602
0.583
0.555
0.514
0.458
0.438
0.402
0.369
909
Рис. 15.18. Коэффициенты интенсивности
напряжений в зависимости от a/W.
0.7
0.6
0.5
0.4
и.
г- 0.3
0.2
0.1
0.0
/
F2—
v=0.0
v=0.5
^_
.—•—
2/тг
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/W
15.21. ТРЕЩИНЫ НА ЛИНИИ СОЕДИНЕНИЯ ПОЛУПОЛОСЫ
И ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ
РАВНОМЕРНОМУ ИЗГИБУ ИЗ ПЛОСКОСТИ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [5]
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [5].
*; -
Hi
(/ - толщина).
910
Таблица 15.17. Значения F. и
F в зависимости от a/W
a/W
0.500
0.494
0.478
0.444
0.400
0.354
0.308
0.256
0.202
0.148
0.094
0.048
0.038
0.023
0.014
Fl
0.0
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.001
-0.001
-0.002
-0.004
-0.006
-0.011
-0.012
-0.015
-0.017
0.0
F2
0.25
0.250
0.250
0.250
0.249
0.247
0.245
0.241
0.236
0.228
0.217
0.199
0.193
0.180
0.169
v=0.25
Fl
0.0
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.001
-0.001
-0.003
-0.005
-0.008
-0.009
-0.011
-0.013
F2
0.25
0.250
0.250
0.250
0.249
0.247
0.245
0.242
0.237
0.230
0.219
0.202
0.196
0.183
0.171
v=0
Fl
0.0
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.001
-0.002
-0.003
-0.005
-0.006
-0.007
-0.009
.5
F2
0.25
0.250
0.250
0.250
0.249
0.248
0.246
0.243
0.238
0.231
0.221
0.204
0.197
0.185
0.173
0.3
0.2
0.1
>-
—— v=0.0
v=0.5
0.25
0.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/W
Рис. 15.19. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимс
a/W.
911
15.22.
ТРЕЩИНЫ НА ЛИНИИ СОЕДИНЕНИЯ ПОЛУПОЛОСЫ
И ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЫ, ПОДВЕРЖЕННОЙ
РАВНОМЕРНОМУ КРУЧЕНИЮ ИЗ ПЛОСКОСТИ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [5]
нт
¦»
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [5].
С = FJ3 + и)т/^Г, т = 6H/tz
(t - толщина).
Таблица 15.18. Значения F. и
F2 в зависимости от a/W
a/W
0.500
0.494
0.478
0.444
0.400
0.354
0.308
0.256
0.202
0.148
0.094
0.048
0.038
0.023
0.014
Fl
0.25
0.250
0.250
0.250
0.249
0.247
0.245
0.242
0.237
0.229
0.218
0.200
0.194
0.182
0.169
0.0
F2
0.0
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.001
-0.002
-0.003
-0.005
-0.010
-0.016
-0.019
-0.023
-0.025
v=0
Fl
0.25
0.250
0.250
0.250
0.249
0.248
0.245
0.242
0.238
0.231
0.220
0.202
0.196
0.184
0.171
.25
F2
0.0
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.001
-0.002
-0.003
-0.006
-0.011
-0.012
-0.015
-0.015
v=0
Fl
0.25
0.250
0.250
0.250
0.249
0.248
0.246
0.243
0.238
0.231
0.221
0.204
0.197
0.185
0.173
.5
F2
0.0
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.000
-0.001
-0.001
-0.002
-0.004
-0.006
-0.007
-0.009
-0.009
912
0.3
0.2
/
(
v=0.0
v=0.5
0.25
0.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/W
Рис. 15.20. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/W.
15.23. ПОЛОСА С УСТУПОМ И ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [9]
MWj/W,
1
1
м
1
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [9].
k\ =
г, k\ =
(/ - толщина полосы).
913
58-1280
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
4.0
7
1
•
i
»
\
Y
/ 4/3
>1.0
1
2.0
1
^^
v=0.25
i
0.644
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W2
Рис. 15.21. Коэффициент интенсивности напряжений F в зависимости
a/W2.
0.06.
0.04
0.02
0.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 15.22. Коэффициент интенсивности напряжений F в зависимости
914
о
s
о
о
s
х
о
S
ей
СО
т
s
К
О)
3"
со
00
О>
я
X
ю
се
8
О
о
СМ
ГО
о
эс
эГ
1П
о
1Л
CVJ
о
о
о
II
in
о
CVJ
о
о
о
v=0.0 0.25 0.5
m
о
1Л
см
о
о
о
о
in
C4J
о
о
о
II
>
•^.
<о
С0<— r-f4rON4Jrv«tP4CTl
OvOCJinOOOr-OJfOrnfO
ооооооооооо
.— ^^fOiOiOOON'— **
.— к?>СМЮСООСМСОгО^-<а-
«ej-^-minmvQ^^O^O^O'O
ооооооооооо
oooovocnj,— \o*?>^-aOi—
i— t— го ^о ел.— см го «* ^j- ix>
ооооооооооо
¦—ч^ 1Л ГО О О ^Г ^J" О СЛ
о in r-in со о-¦—см го го
^-5Т 1Л Ю1Л Ю Ю U3 ЧЭ U)
ооооооооо о
со^ОсОиэгогог^сОго ^>
о in ^-m ao о •—см го «а-
ооооооооо о
СО »-СМ О Гч СО И ГО (П ^~
O(O(M'C00ONriM in
^-^ 1Л 1Л Л l?> >О Ю i?) VO
о о о о. о о о о о о
№ПШО|— ^-.— ГО «— ГО СТ>
Г^ПО^-r^CTii— СМГОГОГО
ГО«Г^*1П1П1Г>ЧОчОиЭ<О^С
ооооооооооо
1— 1Л>— СЧ1ГО^О*!-Ю1ПГ-<.*3"
СОГООч*-Г^СП<— СМГОГО-еЗ-
C0^-if>^ninvr>vO\O\0VO^O
ооооооооооо
«*ао*гюг*.Ососм<—чз-,—
СО ГО О ^-t>. О |— ГО^""*1П
со^гттт^оючоиэ^ою
ооооооооооо
^¦C\lr^.|^.4j-rO«eJ"OOiX>CT»
roatvo.— inooocNjrororo
ГОГО"еГи11Г>1Лиэ^Г>«Г»Ю«Э
ооооооооооо
r0r04*ininun^0\0v0v0k0
ооооооооооо
r^.kOi— CMO4C0f— NOliilr-
m <p n cvj in oO '— c\jco^-u">
ооооооооооо
r-OONNirtdi— СЧ1ГОГО
ооооооооооо
С\1Г0^-^-1П1Л1ПЮ*ОЮ1О
OOOCDOOOOOOO
«OI4(\ii— C\J »— О <— r»Uli—
#-- о <— ao го г*, о м rt <t in
csjro^-^-inin^^<o^o*o
ооооооооооо
moooooooooo
О •— CNJ ГО ^- 1Л ^O 1— C0CT*O
OOOOOOOOOOr—
о
S
о
о
г
S
о
S
«
<Я
(О
S
00
о
см
W5
(б
S
смст>«а-0"»1псмооюсосмо
t'a'tt ^^% t д i ^ t"i ^^J е^Э С^ ^^^ ^^^ ^^J
сэоооооооооо
OOcO^-iOO^cvllOi— ЮСОО
in in <*¦ го см см г— «— ооо
оооооооо о оо
о* о ооооооооо
а\г— г* ^- f— оф<л<- то
0»СЛГ*Ч>1Я*(М1-г-00
ооооооооооо
ооооооооооо
) ГО «—
ооооооооо
I— VO СО •— 1П О\ ГО 00 ^*
1Л^ТОП(Уг-г-00
ооооооооо
ооооооооо
*О<Т»г^иЭ^^^1Л1П
С0г-.ЧО1Пча-ГОСМ.— О
О О1 О О О О О О О
ооооооооо
8
1— ф 1Л СЧ1 О Гч
ф 1Л СЧ1 О Гч Ш fl I^О
о о о о 5.О о о о о о
ооооооооооо
CT»inOOrOCOCMOr-fOf—О
ооооооооооо
^-О0соосмтсосмю>— о
VOUl4T^-POCvii— .— ООО
ооооооооооо
ооооооооооо
CMt— CO МП «С ГО CVJ г-О О
г-.— ООООООООО
ооооооооооо
ооооооооооо
csjOiflfioeoineojoo
CMCsJi— i— #— О О О О О О
оооооооооосэ
ооооооооооо
ооооооооооо
ООООООООООг—
58*
915
15.24. ПОЛОСА С УСТУПОМ И ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [9]
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [9].
' т =
(t - толщина пластины).
0.С8
0.06
ьГ 0-04
0.02
0.0
/3
i
о
гл
¦is.
v=0.25
-
-
-
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
а/Ы2
Г. 0
1.4
1.2
1.0
см 0 8
0.6
0.4
0.2
Wi/Wi»
1,0 V
/
У
у
-
1
i
Ч4/3
1
v=0.25
i
1
*¦ =
¦
-
-
-
1.287
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W2
Рис. 15.23. Коэффициент интенсивности напряжений F в зависимости от
a/W2.
Рис. 15.24. Коэффициент интенсивности напряжений F2 в зависимости от
916
о
S
о
о
S
X
о
и
СО
СП
t-t ем
№
S
S
CD
Я
CO
lO
s
Ю
я
г «— см *n со го с
Kооооt
ооооооооооо
г— СО »™~ СЛ СЛ СЧ1 <П (Л 1Л г— О
eoiuiAncNjs'vji-oooo
ооооооооооо
оооооо'ооооо
О ^ \О '— Гч. СО О СО
^ со см см г— r-.— о
оооооооо
ОООООООО
ООСЛГШОГ^СОСТ*
lOTj-fOCMCsJ»— п-О
оооооооо
оооооооо
rVOSfOMCMri
оооооооо
оооооооо
J Г— I— О
Гч| Ю О 10 CM O"l I— ШГОСМО
CO CM CM i— #— О О О О О О
ооооооооооо
ооооооооооо
о сэ сэ
CD О О
ооооооооооо
ооооооооооо
ооооооооооо
оо
ооооооооооо
¦— 4fr^.C4JCTlP^.UirOC4ji— О
сосч1<— ¦— ОООО^О^
ооооооооооо
ооооооооооо
.— I— i— in r— GO Ю "d" C4J .— CD
чЗ-roOJt— — ОООООО
CDOOOOOOOCCDO
оооосэоооооо
OOOOOOOOOOi—
о
S
г
X
о
S
ю
СО
01
s
«3
I
8
о
о
см
СО
сэ
in
CD
in
CM
о
о
о
II
CD*
in
CM
о
о
о
v=0.0 0.25 0.5
in
о
in
CM
CD
О
CD
It
in
CD
in
CM
О
CD
CD
II
-x.
ra
in ^^ см in r** in со ro r%. lo o^
?ОСЛО"— <— CM CM t\J CM c\J M
MCVtf СМГЧ1— ^-ЮГЧСО 00
COW Oi— i— CMCMCMCNJCMCJ
CO СП О f— ^- CM CM CM CM CM ГО
^— CO •— lO О О СП О г— СП
оосоОиэосмт^о г-»
СО СП О <— г— СМ СМ СМ СМ СМ
со oi CD ^ »— см см см см см
^— OJ^CVjrvr- ^-Г^СО CD
CO СП О •— ^- CM CM CM CM CO
^ $ ^^^ СП ^Q ^i^ ^^У C^4 *^^ ^C^ ^^? ^^^
NtOOlOr-i— CM CM CM CM CM
NCOOOi-'-NNtMNN
NCOOOr-NN(MCVJ(Sjro
<^ Г^% СП CD r— i~ CM CM CM CM CM
N rs ф in « CNJ CO CO «О г- СП
«* <л со ел о г— г— см см см см
d-<?CO№Oi— г— СМ СЧ| СМ СМ
437 0
612 0
824 0
966 0
069 1
147 1
205 1
247 1
277 1
294 1.
303 1
1ЛОООООООООО
ооооооооооо
917
15.25. ТРЕЩИНА, ОТХОДЯЩАЯ ОТ СКОШЕННОГО УСТУПА
В ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ, НАХОДЯЩЕЙСЯ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [10]
-О
м
I
Метод комплексной переменной с использованием рациональной отобража-
отображающей функции [10].
'b =
(t ~ толщина пластины).
1.2
1.0
? 0.8
Г 0.6
0.4
0 2
0.0
•
-
¦
60°
f/
¦
1
90°
>
Fla
— Fih
1
v=0.25
(b/a)
(a/b)
L
gb°
60°.
-
-
-
-
1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Ь/а или а/Ь
Рис. 15.25. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
Ь/а или а/6.
918
-0.02
-0.04
-0.06
v=0.25
90° ~~
30°
60°
30"!
а=90°
/60° •
F2a ^
— F2b(a/b)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
b/a или a/b
Рис. 15.26. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
Ь/а или а/Ь.
Таблица 15.23. Значения F
или а/Ь
la,
F,. и
1Ь
Fo. в зависимости от
2Ь
=30"
b/a
0.119
0.194
0.278
0.372
0.476
0.594
0.728
0.883
1.066
а/Ь
0.938
0.776
0.517
0.250
0.114
0.001
V
Fla
0.507
0.616
0.709
0.794
0.877
0.958
1.039
1.123
1.212
Flb
1.174
1.154
1.117
1.068
1.038
1.011
=0.0
F2a
-0.047
-0.049
-0.049
-0.048
-0.046
-0.045
-0.044
-0.042
-0.039
F2b
-0.038
-0.032
-0.022
-0.011
-0.005
0.000
v«0
Fla
0.514
0.621
0.713
0.797
0.879
0.958
1.038
1.121
1.209
Flb
1.170
1.150
1.112
1.063
1.032
1.005
.25
F2a
-0.032
-0.033
-0.033
-0.032
-0.031
-0.030
-0.030
-0.028
-0.027
F2b
-0.026
-0.022
-0.015
-0.007
-0.003
0.000
v-0.5
Fla
0.521
0.627
0.718
0.801
0.881
0.960
1.039
1.120
1.208
Flb
1.169
1.148
1.109
1.059
1.029
1.002
F2a
-0.019
-0.020
-0.020
-0.019
-0.018
-0.018
-0.018
-0.017
-0.016
F2b
-0.016
-0.013
-0.009
-0.004
-0.002
0.000
a=60°
b/a
0.044
0.079
0.120
0.168
0.292
0.467
0.585
0.734
0.976
a/b
0.927
0.749
0.518
0.349
0.139
0.000
v=0
Fla
0.452
0.534
0.602
0.665
0.789
0.919
0.992
1.075
1.193
Flb
1.193
1.164
1.123
1.090
1.044
1.010
.0
F2a
-0.076
-0.073
-0.070
-0.066
-0.058
-0.052
-0.048
-0.044
-0.039
F2b
-0.036
-0.030
-0.021
-0.015
-0.006
0.000
u=0
Fla
0.455
0.535
0.603
0.665
0.788
0.916
0.988
1.070
1.187
Flb
1.187
1.158
1.117
1.084
1.038
1.005
.25
F2a
-0.051
-0.048
-0.047
-0.044
-0.039
-0.035
-0.032
-0.029
-0.026
F2b
-0.024
-0.020
-0.014
-0.010
-0.004
0.000
Fla
0.459
0.538
0.604
0.666
0.787
0.915
0.986
1.068
1.184
Flb
1.184
1.155
1.114
1.081
1.035
1.002
0.5
F2a
-0.031
-0.029
-0.028
-0.026
-0.023
-0.021
-0.019
-0.017
-0.016
F2b
-0.014
-0.012
-0.009
-0.006
-0.002
0.000
919
Таблица 15
Ь/а
0.008
0.031
0.066
0.105
0.202
0.401
0.606
0.794
1.001
a/b
0.802
0.605
0.413
0.196
0.116
0.000
23 (продолжение)
v=0.0
Fla
0.380
0.486
0.566
0.627
0.737
0.891
1.015
1.113
1.209
Flb
1.176
1.141
1.104
1.057
1.039
1.011
F2a
-0.086
-0.080
-0.074
-0.068
-0.059
-0.050
-0.044
-0.040
-0.037
F2b
-0.031
-0.024
-0.017
-0.008
-0.005
-0.000
a-90°
v-0.25
Fla
0.376
0.483
0.563
0.624
0.732
0.886
1.009
1.107
1.203
Fla
1-169
1.134
1.097
1.051
1.033
1.005
F2a
-0.056
-0.052
-0.049
-0.045
-0.039
-0.033
-0.029
-0.027
-0.025
F2b
-0.020
-0.016
-0.011
-0.006
-0.003
-0.000
vO
Fla
0.374
0.481
0.561
0.621
0.730
0.883
1.006
1.103
1.199
Flb
1.166
1.131
1.094
1.048
1.030
1.002
.5
F2a
-0.032
-0.031
-0.029
-0.026
-0.023
-0.020
-0.017
-0.016
-0.015
F2b
-0.012
-0.010
-0.007
-0.003
-0.002
-0.000
15.26.
БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [//; 12-22]
Метод сингулярных интегральных уравнений [11], погрешность около 1%.
/г = F.cr.V а , <т = \2Mz/t2.
lib Ь
Рис. 15.27. Коэффициент интенсивности °-°
напряжений в зависимости от t/av 10 .
920
0.0
0.5 l.o
t/аЛТГ
1.5
15.27. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
(ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [19; 11, 23]
Метод интегральных уравнений [19], погрешность около 1%.
12Я , т _ /10 Я 3(Г - 4гг)
з г' т ~ JT + TJ7
t
2{:
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-
л
¦/
1
-v=0.5
{ 0.25
- 0.0
1
-
¦
-
1
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
t/a/TO
Рис. 15.28. Коэффициент
интенсивности напряжений
в зависимости от t/av 10
0.20
0.15
ь- 0.10
0.05
[л
1
-
^<\
-v=0.5
- 0.25
- 0.0
1
*—.
-
¦
-
Рис. 15.29. Коэффициент
n nni i i ¦ i i i i i i i ~i—1 интенсивности напряжений
0.0 0.25 0.5 0.75 1.0 1.25 1.5
t/avfo" в зависимости от t/av 10
921
15.28. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПРОИЗВОЛЬНО
ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [//; 19]
Метод сингулярных интегральных уравнений [11], погрешность около 1%.
1.А
a sin2a,
а = k2 в
а sina cosa>
k3 д = -k3 B = F3tv a sina cosa,
_ _ 12М _ _ _ / ю м г
°ь " ^з" z' т - A + v)f
- 4z2)
F. - см. рис. 15.27; Fo - см. рис. 15.28; F. - см. рис. 15.29.
1 ь О
15.29. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПРОИЗВОЛЬНО
ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [//]
Метод сингулярных интегральных уравнений [11], погрешность около 1%.
*1.А = *1.В
922
„ _ 12Я ,
10 Я 3(f2 - 4*2)
- см. рис. 15.27; F2 - см. рис. 15.28; F3 - см. рис. 15.29.
15.30. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [24]
I
Метод сингулярных интегральных уравнений [24], погрешность около 1%.
k
1, А А Ь ' Л,В В Ь
(t - толщина пластины).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 15.30. Коэффициенты
интенсивности напряжений
в зависимости от a/W.
923
1.2
1.0
0.8
0.6
t/a/TCJ
. —
—
-
¦
¦O.I1
FA
1
3.0 >
1
Ш
1
I
1-
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
1.2
1.1 -
1.0
0.9
0.8
0.7
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/аЛТУ
1 1 '
a/W=0.8
F,
/
'У
У
FB
-:>
i
v=0.5
^'-':
•*^-l/3
'*^0.0
v-0.5
"'¦—из
"^0.0
i
Рис. 15.31. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/W.
Рис. 15.32. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости -от
t/аУю.
15.31. ПОЛОСА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [25]
\'
га
м
Метод сингулярных интегральных уравнений [25], погрешность менее 1%.
12М
k, = F.ar.V a , сг. = ' z (t - толщина полосы).
1 ID D а 3
924
4.ft
- 2.
0.0 0.2 0.4 0J5 0.8 1.0
t/аЛТГ
3.5
3.0
2.5
uT 2.0
1.5
1.0
0.5
v=l/3
——*"
— -
t/a
-**
I
«ттм.о
/
J
у
/
0.1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/W
Рис. 15.33. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
t/аУ \0 .
Рис. 15.34. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/W.
15.32. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ДВУМЯ
РАВНЫМИ КОЛЛИНЕАРНЫМИ ТРЕЩИНАМИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА
(ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [26]
Метод сингулярных интегральных уравнений [26], погрешность менее 1%.
925
' к
г,в
*з.а
ff -
b .3
_ __/ю я ж -
г 2Г
- толщина пластины).
1.50
1.25
1.00
0.75
0.50
J
t/a/l(
)=1.0
v=0.5
1/3
0.0
J
F1,A
—/i.b
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/2d
1.50
1.25
1.00
0.75
0.50
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/2d
Рис. 15.35. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/2d.
Рис. 15.36. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/2d.
1.6
1.4
1.2
ьГ 1.0
0.8
0.6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/аЛО
Рис. 15.37. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
-
/
¦ s—
?'
1
v=0.5
¦*
— —'
a/2d=
———
— —
1
0.450
0.425
—
^о".45О
, ~-;
sSSes
-0.475
F1,A.
F1,.B
926
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
' F2,A
"— F2,B
-
"t/a/Ti
===
-
't/аЛТ
-
i=] .0
=0.2
v-0.5.
TOY
v=0.5 ^
1
-
-
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
a/2d
*
-
-
¦
У
v=0.5
J
///
V
1
I
1
0.450
f2!b'
i
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/a/TO
Рис. 15.38. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/2d.
Рис. 15.39. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
//а/То".
0.20
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Рис. 15.40. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/2d.
927
15.33. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ДВУМЯ РАВНЫМИ
ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [26]
Метод сингулярных интегральных уравнений [26], погрешность менее 1%.
1 л
1, А
л а sin2oc + F.jT.v a cos2a,
, D = F,.a.v a sin2a - F.jr.J a cos2a,
1,В 11 D 12 D
k2 A
k2 В
*3,А '31
k = F
3,В 31
12Я
xva sin2a + F-д/а cos2a,
t* a sin2a - F^jzv a cos2a,
- 4г2)
(/ - толщина пластины).
928
ь- 0.6
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
¦
-
/
/
v=0.5
Fl2.
a/
a/
d=0.5j
*"b0
~гл
d=2.0
—-—
— —
-
. ¦
•
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/a/TTJ
Рис. 15.41. Коэффициенты F12 и F22 в зависимости от a/d.
Рис. 15.42. Коэффициенты F и F в зависимости от t/av 10 .
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.0
•
/аЛП=(
*
^=
1/3'
0.5
1^3^.
V/
Л t/a/TXJ=l <^f
т-
-
•
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
a/d
п я
П 7
0.6
0.4
0
0 1.
1
—--^v-0.5
А
7) г
0.0
^аЛ
"- .
0 3.
a/d
——
0 4.
U 5.
Рис. 15.43. Коэффициент F__ в зависимости от a/d.
Рис. 15.44. Коэффициент F' в зависимости от
929
59-1280
0.20
0.15 -
0.10
0.05
0.0
—
-v=0.5
V3
0.0
F2i
r?
/^
/a/TO-1
/a/TO=0
¦ 0—~
tfa-Jw
V
= 0.3
v=0.5
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.0 1.0 '2.0 3.0 4.0 5.0
a/d
v=0.5
/
, '
^^
a/
^—
—.—'
d^O^O
0.5
—-—
2.0
^——
*—
^——
,
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/a/ПГ
Рис. 15.45. Коэффициенты F и Т7 в зависимости от a/d.
Рис. 15.46. Коэффициент F в зависимости от t/av 10 .
0.20
0.15
0.10
0.05
Рис. 15.47. Коэффициенты F и Т7
в зависимости от t/av 10 .
0.0
1 1 1
F21
Fji
/
It.
a/d-2.
v=0.5
)
—n.o
0.5
^—-
-,
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/аЛП
15.34. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМОЙ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [27]
930
Метод сингулярных интегральных уравнений [27], погрешность менее 1%.
°ь =
12М
z {t - толщина пластины).
3.0
2.8
2.6
2.4
ьГ 2.2
2.0
1.8
1.6
1.4
*/
0
a/d=0.95
'3
0
им »
0.90
— ¦
0.85'
1
¦VMM
1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/a/ПТ
3.0
2.5
uT 2.0
l r
1 П
0.5
1
v=l/3
t/a/TO=1.0
0.1.
—
- —
i
-"
1
1
/
/
1
/
f
¦ (
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/d
Рис. 15.48. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
Рис. 15.49. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
15.35. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [25]
I
м
d d d d
¦«
M
I
Метод сингулярных интегральных уравнений [28], погрешность менее 1%.
*i =
\2М
г (t - толщина пластины).
931
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
3.5
0.4
JJh 1
К
/л
.0
г
ч
¦
t/аЛТН.0
- t/a/T5=0.1
Ч
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/d
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
1 •
1/3
0.0
....
1
a/d
*0.2S-
0.50
0.75
1.00
i
|
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
t/a/TO
Рис. 15.50. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
Рис. 15.51. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
10 .
15.36. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
СИСТЕМОЙ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ТРЕЩИН ПОД ДЕЙСТВИЕМ
КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [28]
Метод сингулярных интегральных уравнений [28], погрешность менее 1%.
= F3
_ _
4 Л IT О / j2 Д 2 \
/ ojj— ^z / (/ - толщина пластины).
1 2Г
932
0.1
0.0
-0.1
-0.2 -
-0.3
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
a/d
Рис. 15.52. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
Рис. 15.53. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
-
1
\
1/3
о.с
\
t/аЛи
ч
-0.1
0.3
1.0
-
¦в
15.37. БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛАСТИНА С КРУГОВЫМ
ОТВЕРСТИЕМ И ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [29]
м
Метод сингулярных интегральных уравнений [29], погрешность менее 1%.
a • *
i.b
а •
\ш
{t - толщина пластины).
933
2.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Рис. 15.54. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
Рис. 15.55. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.8
1.6
v=l/3 , t/d/TTJ-O.I
F
uf° 1.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.8
Рис. 15.56. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
Рис. 15.57. Коэффициенты интенсивности напряжений в зависимости от
a/d.
934
15.38. ПОЛОСА С ДВУМЯ ПРОТИВОЛЕЖАЩИМИ КРАЕВЫМИ
ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА
(ТЕОРИЯ РЕЙССНЕРА) [30]
м
I
см
и
СЧ1
«а
1
.а
C4J
Метод интегральных уравнений [30].
= F'o-'тЛГ,
d
z, <r' = &t.b/c (t - толщина полосы).
l.Oi-
0.0
v=0.3
b=10t
-|3.o Таблица 15.24. Значения F в зависимости
Рис. 15.58. Коэффициенты
интенсивности напряжений
в зависимости от с/Ь.
2.5
2.0
1.5
1.0
1.0
от c/b (v = 0.3)
c/b
*0
0.01
0.05
0.1
0.2
0.3
0.4
8:1
0.7
0.8
0.9
0.95
0.98
0.99
-1.0
b=10t
-»¦ ОО
8.7889
3.4762
2.2893
.5754
.3082
.1693
.0878
1.0396
1.0157
1.0170
1.0694
.1666
.3466
.4589
-1.5869
b=6t
- оо
2.4567
1.6656
1.3690
1.2171
1.1130
1.0800
1.0583
1.0665
1.1369
1.2645
1.4383
-1.5869
b=2t
-?¦ ОО
2.7957
1.9357
1.5802
1.3922
1.2849
1.2266
1.2069
1.2320
1.3501
1.4798
1.5452
-1.5869
ЛИТЕРАТУРА
1. Sih G.C., Paris P.C, Erdogan F. Crack-tip, stress-intensity
factors for plane extension and plate bending problems.
Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1962, 29, p. 309-312.
2. Williams M.L. The bending stress distribution at the base of
stationary crack. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl. Mech., 1961,
28, p. 78-82.
935
3. Isida M. Bending of plate containing arbitrary array of cracks.
- Trans. JSME, 1977, 43, No. 367, p. 825-837.
4. Isida M. Interaction of arbitrary array of cracks in wide plates
under classical bending. - In: Mechanics of Fracture (G.C. Sih,
ed.). Vol. 3. Plates and Shells with Cracks. - Leyden: Noordhoff
Int. Publ., 1977, p. 1-43.
5. Hasebe N.. Takemura M. Cracks occurring at a joint of a strip
and a semi-infinite plate under ouf-of-plane load. - Theoretical
and Applied Mechanics, 1981, 29, p. 145-156.
6. Hasebe N. Bending of strip with semielliptic notches or cracks.
- J. Engng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs., 1978, 104,
p. 1433-1450.
7. Hasebe N., Iida J. A crack originating from a triangular notch
on a rim of a semi-infinite plate under transverse bending. -
Engng. Fract. Mech., 1979, 11, p. 645-652.
8. Hasebe N., Inohara S. Stress intensity factors at a
bilaterally-bent crack in the bending problem of thin plate. -
Engng. Fract. Mech., 1981, 14, p. 607-616.
9. Hasebe N., Matsuura S., Kondo N. Stress analysis of a strip with
a step and a crack. - Engng. Fract. Mech., 1984, 20, p.447-462.
10. Hasebe N., Ueda M. A crack originating from an annular corner of
a semi-infinite plate with a step. - Trans. JSME, 1980, 46, No.
409, p. 985-989.
11. Tamate O. A theory of dislocations in the plate under flexure
with application to crack problems. - Technol. Reports of the
Tohoku Univ., 1975, 40, p. 67-88.
12. Knowles J.K., Wang N.M. On the bending of an elastic plate
containing a crack. - J. Math. Phys., 1960, 39, p. 223-236.
13. Wang N.M. Effects of plate thickness on the bending of an
elastic plate containing a crack. - J. Math. Phys., 1968, 47, p.
371-390.
14. Sih G.C. Bending of a cracked plate with arbitrary stress
distribution across the thickness. - Trans. ASME, J. Engng.
Ind., 1970, 92, No. 2, p. 350-356.
15. Sih. G.C. A review of the three-dimensional stress problem for a
cracked plate. - Int. J. Fract. Mech., 1971, 7, p. 39-61.
16. Millinix B.R., Smith C.W. Distribution of local stresses across
the thickness of cracked plates under bending fields. - Int. J.
Fract., 1974, 10, p. 337-352.
17. Hartranft R.J., Sih G.C. Effect of plate thickness on the
936
bending stress distribution around through cracks. - J. Math.
Phys., 1968, 47, p. 276-291.
18. Barsoum R.S. A degenerate solid element for linear fracture
analysis of plate bending and general shells. - Int. J. Numer.
Meth. Engng., 1976, 10, p. 551-564.
19. Sih G.C. Strain energy density theory applied to plate bending
problems. - In: Mechanics of Fracture. (G.C. Sih, ed.). Vol. 3.
Plates and Shells with Cracks. - Leyden: Noordhoff Int. Publ.,
1977, p. XVII-XLVIII.
20. Hartranft R.J. Improved approximate theories of the bending and
extension of flat plates. - In: Mechanics of Fracture. (G.C.
Sih, ed.) Vol. 3 Plates and Shells with Cracks. - Leyden:
Noordhoff Int. Publ., 1977, p. 45-83.
21. Yagawa G., Nishioka T. Finite element analysis of stress
intensity factors for plane extension and plate bending
problems. - Int. J. Numer. Meth. Engng., 1979, 14, p. 727-740.
22. Wahba N.N. On the use of singular displacement finite elements
for cracked plate in bending. - Int. J. Fract., 1985, 27, p.
3-30.
23. Wang N.M. Twisting of an elastic plate containing a crack. -
Int. J. Fract. Mech., 1970, 6, p. 367-378.
24. Tamate O. Plain bending of a semi-infinite elastic plate
containing a line crack. - Trans. JSME, 1976, 42, No. 354, p.
367-376.
25. Tamate O. Out-of-plane bending of a centrally cracked strip. -
Trans. JSME, 1977, 43, No. 371, p. 2459-2465.
26. Tamate O. Two arbitrarily oriented cracks in an elastic plate
under pure twist. - Trans. JSME, 1976, 42, No. 360, p.
2325-2334.
27. Tamate O. Periodic collinear cracks in an elastic plate under
plain bending. - Trans. JSME, 1978, 44, No. 379, p. 785-789.
28. Tamate O. An infinite row of parallel cracks in an elastic plate
under flexure. - Trans. JSME, 1977, 43, No. 376, p. 4363-4371.
29. Tamate O. Elastic interaction of a circular hole and a
line crack in a plate under flexure. - Trans. JSME, 1978, 44,
No. 383, p. 2200-2208.
30. Boduroglu H., Erdogan F. Internal and edge cracks in a plate of
finite width under bending. - Trans. ASME, Ser. E, J. Appl.
Mech., 1983, 50, p. 621-629.
937
16. ТРЕЩИНЫ В ОБОЛОЧКАХ
16.0. КОМПОНЕНТЫ НАПРЯЖЕНИИ В ОКРЕСТНОСТИ
ФРОНТА ТРЕЩИНЫ
Фронт трещины
Срединная поверхность
Напряжения в элементе оболочки в окрестности фронта трещины
Классическая теория оболочек
(А) Симметричное нагружение (тип I)
Мембранные напряжения
S Si"
1П
Изгибные напряжения
= - T7F 5777 3cos5 +
' в>
938
Ф HI
HI ¦
(Zr)
z Г 59
г Г„.-„59 . 7 + v -9
(В) Кососимметричное нагружеиие (тип II)
Мембранные напряжения
i"
Br)
1/2 Sing COSg
^cos^ll
fl -
n sin-n- .
Изгибные напряжения
ot(r, в, г) =
2 2
Br)
i/2
sin2
2ДГ
где fx = C
- у)-
Теория оболочек с учетом деформаций сдвига
(А) Симметричное нагружение (тип I)
COS2 f1 " sin2
939
1
ary(r, в, z) =
г. б. г) = ТГ-1
os| [
cos| [l + sin
in|
C0S2 sin2
(В) Кососимметричное нагружение (тип II)
Чг' в. г) - - ^Й s5n2 (
B + C0S
in °0S
Br)
1/2
в'
COS2
" sin2
(С) Нагружение поперечными сдвиговыми усилиями (тип III)
sin
yz
(г, в, г) =
Bг)
1/2
СО:
lS2
16.1. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОСЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕМБРАННЫХ УСИЛИЙ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/; 2-8]
Метод сингулярных интегральных уравнений [1].
k\ =
1 [<1-р
П2A - и2'
940
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
\i=l/3
у
/
/
/
/
/
-
-
2 4 6 8
X
0.08
0.04
0.0
-0.04
-0.08
-0.12
/
/
\
\
v-1/З
-
\
\-
2 4
X
Рис. 16.1. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений в зависи-
зависимости от А.
Рис 16.2. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений в зависимос-
зависимости от А.
Таблица 16.1.
(у = 1/3)
Значения коэффициентов интенсивности напряжений
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.25
3.50
3.75
4.00
4.25
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
1.0096
1.0371
1.0795
1.1344
1.1993
1.2723
1.3519
1.4367
1.5256
1.6177
1.7122
1.8085
1.9060
2.0045
2.1035
2.2276
2.3519
2.4761
2.5999
2.7232
2.8459
3.0895
3.3303
3.5681
3.8029
4.0347
4.2637
4.4895
0.00410
0.01124
0.01902
0.02659
0.03359
0.03985
0.04529
0.04990
0.05368
0.05664
0.05883
0.06018
0.06090
0.06083
0.06014
0.05832
0.05549
0.05172
0.04700
0.04154
0.03512
0.02012
0.00234
-0.02222
-0.04130
-0.06622
-0.09350
-0.12279
941
16.2. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОСЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/; 4, 6]
2а
А
Сквозная
трещина^
я /
Метод сингулярных интегральных уравнений [1].
Ч.A
1/2
b t2
. П2A - u2n1/4a
л ~ Г/э
{RtI/Z
0.3
0.2
0.1
0.0
/
v=l/3
¦
¦
1.0
0.9
¦°u.0.8
0.7
0.6
\
¦
\
\
v=l/3
-
Рис. 16.3. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от X.
Рис. 16.4. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
942
Таблица 16.2. Значения коэффициентов интенсивности
(V = 1/3)
напряжений
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3 25
3.50
3.75
4.00
4.25
4.50
5.00
5.50
6.00
6.50
7.00
7.50
8.00
0.006161
0.01695
0.02897
0.04107
0.05283
0.06406
0.07473
0.08482
0.09435
0.1033
0.1118
0.1198
0.1273
0.1344
0.1410
0.1488
0.1551
0.1628
0.1691
0.1750
0.1803
0.1903
0.2005
0.2068
0.2137
0.2200
0.2255
0.2306
0.99816
0.99340
0.98660
0.97846
0.96946
0.95986
0.94993
0.93976
0.92956
0.91936
0.90923
0.89926
0.88940
0.87970
0.87023
0.85863
0.84740
0.83643
0.82440
0.81542
0.80539
0.78616
0.76832
0.75079
0.73446
0.71879
0.7080
0.6897
16.3. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОСЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СКРУЧИВАЮЩИХ МОМЕНТОВ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [6; 9]
Метод сингулярных интегральных уравнений [6*].
= Г12A - u2)l1/4g
1/2
""Опубликовано с разрешения «Норс-Холланд Физике Паблишиш
Амстердам.
943
9.0
7.0
5.0
3.0
1.0
¦
-
/
/
\>=l/3
I/
1
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
¦
/
1/3
i
/
/
/.
-
¦
0 2 4 6 8 10
X
0 2 4 6 8 10
Л
Рис. 16.5. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от Л.
Рис. 16.6. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
16.4. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОКРУЖАЮЩЕЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕМБРАННЫХ УСИЛИЙ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [10; 4, 6, 8, И, 12]
Метод сингулярных интегральных уравнений [10].
km. = F^cr AT,
1 Ш
= Fb<rVa,
Ю
?
».-?
_ П2A - v<
(Rt)
1/Z
944
2.5
2.0
1.5
1.0
/
/
/
v*l/3
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
•
¦
\
S
v=O/3
-
\
s
4 6
X
10
4 б
X
Рис. 16.7. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от А.
Рис. 16.8. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
Таблица 16.3. Значения коэффициентов интенсивности напряжений
(У = 1/3)
X
0
2
3
4
5
6
7
8
9 .
10 ,
Fm
.0
.0439
.1496
.2847
.4290
.5715
.7069
.8339
.9530
2.0657
'.1712
102xFb
0
1.9851
2.6240
2.6633
1.6377
-1.1083
-6.0770
-13.411
-22.870
-33.952
-46.062
16.5. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОКРУЖНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ СКРУЧИВАЮЩИХ МОМЕНТОВ
(КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [10; б, 9]
ю
945
60-1280
Метод сингулярных интегральных уравнений [10].
*; =
= Г12И - t?2I1/4a
1/2
2.5
2.0
1.5
1.0
1
/
v=l/3
4 6
Л
10
4.0
2.0
0.0
-2.0
¦ /
/
\
V
v=l/3.
¦
4 6
X
10
Рис. 16.9. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от А.
Рис. 16.10. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
Таблица 16.4. Значения коэффициентов интенсивности напряжений
(V = 1/3)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
1.0
1.0440
1.1496
1.2847
1.4291
1.5714
1.7068
1.8338
1.9S29
2.1714
0
1.5930
2.9339
1.1360
0.3703
-0.1830
-0.4778
-1.0644
-1.1555
-1.4616
946
16.6. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ПРОИЗВОЛЬНО
ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ (КЛАССИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ) [13; 9]
Метод разложений в ряд по функциям Матье и модифицированным
функциям Матье [13].
IT, kb. = F<r
m 1 1 m
сГ,
*ь = 3 4- v р
_ Г12A - vc
(8/?/)
1/2
2.4
1.8
V 1-2
0.6
0.0
1 1
1 1
1 1
v=0.3
.2
.0
)!б
3.4
D.2
D.0 (пластина).
30°
60°
90"
Рис. 16.11. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от а.
947
60*
0.9
0.6
0.3
0.0
w^ e'Q.6
е=о.г
^6=0, (пластин
' 4. 6=1.2
?\e=i.o \
1 ¦
v-0.3
\ :
0*
30° 60°
a
90°
Рис. 16.12. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от а.
Рис. 16.13. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от а.
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-
6=1
.2
v=0.3
•
30"
60°
90°
Рис. 16.14. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от а.
948
16.7. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ДВУМЯ КОЛЛИНЕАРНЫМИ
ОСЕВЫМИ ТРЕЩИНАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНУТРЕННЕГО
ДАВЛЕНИЯ (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [14]
Сквозная трещина
Сквозная трещина
Метод сингулярных интегральных уравнений [14].
Л™ = F*cr ЛГ, k\ = Fb<r У~сГ, or = 2%, А = Г12^ ~ v
1 m in, m t {Rt)
1/2
0.8
1
¦
¦
•
-
_b
ho
X=3
2
1
1
v=l/3
¦
0.6 -
0.2
0.0
-0.2
5.0
4.0
3.0 -
2.0
1.0
•
—
¦
2
1
о
«ем-
v=l/3
i
//3
я
—r\
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/c
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
a/c
Рис. 16.15. Коэффициенты интенсивности изгибных напряжений (F*^ - для
внутренней вершины трещины, F - для внешней вершины) в зависимос-
зависимости от а/с.
Рис. 16.16. Коэффициенты интенсивности мембранных напряжений (F^ -
для внутренней вершины трещины, F"?- для внешней вершины) в
зависимости от а/с.
949
16.8. СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
МЕМБРАННЫХ УСИЛИЙ (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ)
[/; 4, 6, 15]
Метод сингулярных интегральных уравнений [1].
\ =
k™ = F™ar / a , k° =
1 m x [A - v
^^N^ л = Г12A - u
3+17
4.0
Fm
3.0
2.0
1.0
v=l/3
У
1
/
/
у-
f
•
2 A 4
0.2
0.1
0.0
v=l/3
у
/
1
i
' >v
-
2 4
X
Рис. 16.17. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений в
зависимости от А.
Рис. 16.18. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от Л.
950
Таблица 16.5. Значения коэффициентов интенсивности
(V = 1/3)
напряжений
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.25
3.50
3.75
4.00
4.25
4.50
5.00
5.50
1.0112
1.0422
1.0887
1.1479
1.2174
1.2956
1.3812
1.4731
1.5706
1.6729
1.7795
1.8899
2.0038
2.1208
2.2408
2.3947
2.5526
2.7143
2.8796
3.0485
3.2208
3.5750
3.9446
0.00611
0.01693
0.02919
0.04186
0.05448
0.06685
0.07886
0.09045
0.10155
0.11216
0.12223
0.13172
0.14058
0.14879
0.15630
0.16463
0.17172
0.17751
0.18194
0.18483
0.18644
0.18493
0.17802
16.9. СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ТРЕЩИНОЙ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ) [/; 4, 6]
Метод сингулярных интегральных уравнений [1].
1/2
_ Ш ъ _ Г12П - P
(Rt)
951
0.2
0.1
0.0
v=l/3
/
/
1
I
1.2
u. 1.1
1.0
v=l/3
/
Рис. 16.19. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от А.
Рис. 16.20. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
Таблица 16.6. Значения коэффициентов интенсивности
(V = 1/3)
\ Fm Fb
напряжений
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.25
3.50
3.75
4.00
4.25
4.50
5.00
5.50
0.00842
0.02249
0.03749
0.05202
0.06557
0.07799
0.08935
0.09964
0.10895
0.11740
0.12519
0.13228
0.13876
0.14475
0.15030
0.15668
0.16260
0.1681
0.1732
0.1780
0.1826
0.1905
0.2000
1.0020
1.0070
1.0137
.0211
.0287
1.0364
1.0439
1.0512
.0583
.0652
.0718
.0783
.0845
.0905
.0964
.1035
.1103
.1170
.1233
.1297
.1357
.1470
1.1580
952
16.10. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОСЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕМБРАННЫХ УСИЛИЙ (ТЕОРИЯ
ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА) [16; 17, 18]
Метод сингулярных интегральных уравнений [16].
_ N x _ П2A - t>2I1/4a
" 7
(Rt)
1/2
1.0,
0.4
0.0
u. -0.4
-0.8
-1.2
\a/t
a/t>5
\
\
v=0.3
•
a/t=10
<¦
0 2 4 6
A
8 10
Рис. 16.21. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от Л.
Рис. 16.22. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
953
Таблица 16.7. Значения коэффициентов интенсивности
(У = 0.3)
напряжений
F
a/t*l
a/t-2
a/t-5
a/t-10
0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
\
0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
10.0
1.000
1.061
1.233
a/t-1
0.000
0.060
0.124
1.000
1.058
1.208
1.420
1.668
Fb
a/t*2
0.000
0.057
0.121
0.160
0.175
1.000
1.057
1.200
1.398
1.625
2.122
2.634
3.146
a/t-5
0.000
0.055
0.119
0.164
0.185
0.166
0.076
-0.070
1.000
1.057
1.199
1.394
1.618
2.105
2.603
3.096
3.580
4.515
a/t-10
0.000
0.054
0.120
0.167
0.194
0.189
0.116
-0.014
-0.187
-0.634
-1.183
16.11.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОКРУЖНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ МЕМБРАННЫХ УСИЛИЙ (ТЕОРИЯ
ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА) [19; 16, 18]
Метод сингулярных интегральных уравнений [19*].
Aj(O) =
N
1
Г. Aj(//2) - Aj(O) =
л ~
Г12A - v")V/%a
Л/2
Опубликовано с разрешения «Quart. Appl. Math.», Brown Uni
Providence, USA.
954
2.5
2.0
1.5
1.0,
0.5
У
5
У
v=l/3.
a/t=io"
у
•
¦
О 2 4 б 8 10
X
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
о г
1.5 >
\
5
6
v-1/З
a/t=10'
/
1С
Рис. 16.23. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от Л.
Рис. 16.24. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
Таблица 16.8. Значения коэффициентов интенсивности
(V = 1/3)
напряжений
F
a/t-0.5 a/t-1
a/t»2
a/t«5 a/t-10
0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
10.0
1.000
1.015
1
1
1
.000
.013
.055
1.000
1.012
1.050
1.108
1.179
1.000
1.012
1.048
1.103
1.169
1.317
1.467
1.610
.000
.012
.048
1.102
.168
1.314
.462
1.604
.735
1.970
2.181
a/t«0.5 a/t«l
a/t-2 a/t*5
a/t-10
0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
10.0
0.000
0.048
0
0
0
.000
.044
.093
0.000
0.043
0.092
0.114
0.107
0.000
0.041
0.092
0.119
0.119
0.057
-0.042
-0.143
0.000
0.041
0.092
0.123
0.125
0.071
-0.024
-0.126
-0.220
-0.374
-0.493
955
16.12. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОКРУЖНОЙ ТРЕЩИНОЙ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ (ТЕОРИЯ
ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА) [19; 16]
Метод сингулярных интегральных уравнений [19*].
_ Г12A - u2
~
(Rt)
1 /Л
1/2
0.U5
0.04
a/t=
0.03
0.02
a/t=0
0.01
o.on
j
¦J
1
ft
j
a/t=2
va/t=5
v=l/3_
•
a/t=10
•
¦
0 2 4 6 8 10
Л
Рис. 16.25. Коэффициент интенсив-
интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от Л.
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
a/t=l
л
¦
a/t=2
У
\
ч
a/t=5
1
v=l/3
a/t=10
4 6
X
8 10
Рис. 16.26. Коэффициент интен-
интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
Перепечатано с разрешения "Quart. Appl. Math.", Brown. Univ.,
USA.
956
Таблица 16.9. Значения коэффициентов интенсивности
(V = 1/3)
напряжений
F
a/t=0.5 a/t-1
a/W
a/t»5
a/t=10
0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
10.0
0.000
0.016
0
0
0
.000
.014
.030
0.000
0.012
0.027
0.037
0.042
0.000
0.010
0.024
0.034
0.039
0.041
0.039
0.035
0.000
0.010
0.022
0.032
0.037
0.040
0.037
0.034
0.031
0.027
0.025
a/t=0.5 a/t-1
a/t=2
a/t-5
a/t=10
0
0.5
1.0
1.5
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
10.0
0.782
0.
0.
0.
752
718
646
0.704
0.676
0.613
0.542
0.481
0.667
0.644
0.590
0.526
0.466
0.376
0.322
0.288
0.652
0.631
0.581
0.520
0.463
0.373
0.317
0.281
0.256
0.225
0.204
16.13.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ОСЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ
И ОДНИМ ЗАКРЕПЛЕННЫМ ТОРЦОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ (ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА) [20]
Метод сингулярных интегральных уравнений [20].
р - внутреннее давление,
R. - внутренний радиус цилиндрической оболочки.
957
0.0
Рис. 16.27. Коэффициенты интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от а/с.
Таблица 16.10. Значения коэффициентов интенсивности мембранных
напряжений (у = 0.3)
R/t
5
10
25
100
200
a/t
1
2
3
10
1
2
3
10
1
2
3
10
1
2
3
10
1
2
3
10
с/а 1
2.933
5.574
9.164
43.555
2.128
3.728
5.658
25.183
1.622
2.423
3.397
13.151
1.345
1.598
1.956
5.563
1.293
1.431
1.633
3.864
1.1
0.151
0.284
0.490
2.853.
0.119
0.181
0.277
1.627
0.102
0.128
0.165
0.860
0.093
0.100
0.111
0.269
0.092
0.096
0.101
0.184
1.5
0.346
0.839
1.500
4.703
0.235
0.477
0.840
3.467
0.172
0.275
0.424
2.218
0.140
0.169
0.213
0.839
0.134
0.150
0.173
0.507
2
0.572
1.340
2.015
4.912
0.364
0.814
1.338
3.605
0.236
0.448
0.728
2.480
0.167
0.232
0.325
1.336
0.154
0.190
0.241
0.874
10
1 .286
1 .645
2.067
а. 923
1.168
1.331
1.589
3.620
1.063
1.147
1.259
2.469
0.685
1.045
1.107
1.542
0.496
0.885
1.058
1.308
1
0.535
1.082
1.583
4.422
0.355
0.713
1.067
3.139
0.232
0.43-1
0.650
2.031
0.159
0.229
0.321
1.049
0.146
0.184
0.238
0.745
1.1
0.575
1.158
1.687
4.605
0.380
0.765
1.142
3.314
0.247
0.463
0.697
2.160
0.166
0.242
0.343
1.126
0.150
0.193
0.253
0.801
1.5
0.734
1.425
1.985
4.850
0.483
0.967
1.402
3.551
0.303
0.590
0.882
2.429
0.188
0.296
0.434
1.380
0.165
0.227
0.311
1.007
2
0.915
1.613
2.081
4.929
0,611
1.167
1.573
3.602
0.373
0.743
1.074
2.466
0.215
0.367
0.548
1.536
0.182
0.272
0.388
1.199
10
1.284
1.645
2.067
4.953
1.158
1.332
1.588
3.620
1.081
1.142
1.260
2.469
0.744
1.063
1.097
1.542
0.546
0.937
1.070
1.308
958
Таблица 16.11. Значения коэффициентов интенсивности изгибных
напряжений (v = 0.3)
R/t
5
10
25
100
200
a/t
1
2
3
10
1
2
3
10
1
2
3
10
1
2
3
10
1
2
3
10
с/а 1
-20.927
-14.250
-11.925
-6.839
-23.086
-13.258
-9.971
-5.995
-25.930
-12.693
-8.235
-4.065
-28.812
-12.677
-7.162
-1.933
-29.841
-12,761
-6.911
-1.418
1.1
-0.312
-0.183
-0.196
-0.284
-0.316
-0.170
-0.167
-0.221
-0.326
-0.165
-0.144
-0.194
-0.339
-0.171
-0.140
-0.134
-0.342
-0.175
-0.144
-0.115
1.5
-0.085
0.069
0.178
-0.582
-0.134
-0.019
0.077
0.025
-0.180
-0.091
-0.027
0.256
-0.227
-0.160
-0.116
0.104
-0.242
-0.184
-0.148
0.018
2
0.030
0.220
0.266
-0.869
-0.051
0.116
0.223
-0.144
-0.130
0.000
0.098
0.210
-0.210
-о.па
-0.052
0.243
-0.236
-0.160
-0.106
0.153
10
0.115
0.185
0.188
-0.935
0.080
0.147
0.183
-0.199
0,086
0.090
0.138
0.148
0.069
0.081
0.071
0.197
0.019
0.081
0.077
0.163
1
0.051
0.151
0.180
-0.491
-0.014
0.095
0.143
-0.029
-0.092
0.023
0.079
0.159
-0.179
-0.082
-0.023
0.134
-0.209
-0.127
-0.073
0.091
1.1
0.061
0.160
0.189
-0.693
-0,007
0.103
0.153
-0.046
-0.086
0.029
0,087
0.172
-0.178
-0.079
-0.018
0.147
-0.209
-0.125
-0.070
0.101
1.5
0.100
0.196
0.220
-0.808
0.029
0.138
0.191
-0.111
-0.057
0.063
0.123
0.199
-0.164
-0.052
0.020
0.234
-0,202
-0.108
-0.047
0.145
2
0.136
0.211
0.220
-0.920
0.069
0.167
0.208
-0.181
-0.021
0.098
0.154
0.174
-0.142
-0.022
0.048
0.235
-0,187
-0.082
-0.013
0.180
10
0.115
0.185
0.189
-0.933
0.076
0.146
0.183
-0.199
0.073
0.090
0.137
0.148
0.077
0.070
0.066
0.198
0.036
0.082
0.066
0.163
16.14. ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ПРОИЗВОЛЬНО
ОРИЕНТИРОВАННОЙ ТРЕЩИНОЙ (ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА) [21]
Сквозная
трещинах
Метод сингулярных интегральных уравнений [21].
Аэ@) = /\,// a (/ = т, b, s, t, v),
ar = N../t - мембранное напряжение, о\ = 6M /tz - напряжение от
m 1
959
изгиба, <т = N /t - напряжение сдвига в плоскости, <г = 6М,_/г
S л. с, t 12
напряжение от кручения, <г = C/2)У /< - напряжение поперечного
сдвига.
N'п - мембранное усилие, Afn - изгибающий момент,
Л^12 - сдвиговое усилие в плоскости, М12 - скручивающий момент,
V - перерезывающая сила.
Случай А. К берегам трещины приложены равномерные мембранные
усилия N .
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
/
и
.0 0
v=0.3
а=45°
а/1
05 0
У
— —
10 0.
/
_2 __
1
15 0.,
3.0,
2.6
2.2
1.8
1.4
1.С
v=0.3
• t/R=l/5
•
•
/
•
-
1 1
t/R
30° 60°
а
90°
Рис. 16.28. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от t/R.
Рис. 16.29. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от а.
Таблица 16.12. Значения коэффициентов интенсивности напряжений для
цилиндрической оболочки с произвольно ориентированной трещиной под
действием равномерных мембранных усилий Nu (a = 45°, v = 0.3)
\a/t 1 2 3 5 10
1/5
1/10
F 1/15
nm 1/25
1/50
1/100
1/200
1/5
1/10
r 1/15
Fbm 1/25
1/50
1/100
1/200
1.097
.049
1.033
.020
1.010
1.005
.002
0.084
0.058
0.046
0.032
0.020
0.012
0.007
1.302
1.167
1.116
1.072
1.037
1.019
1.010
0.122
0.108
0.093
0.073
0.049
0.031
0.019
1.544
.321
1.230
.148
1.079
1.041
.021
D.100
D.126
3.121
Э.104
D.076
3.051
D.O33
2.030
1.665
1.501
1.341
1.194
1.106
1.056
-0.069
0.079
0.118
0.132
0.117
0.089
0.062
3.486
2.516
2.199
1.886
1.563
1.337
1.192
-0.761
-0.299
-0.125
0.023
0.120
0.139
0.120
960
Таблица 16. f 2 (продолжение)
ю
1/5
1/10
г V15
Fsra 1/25
1/50
1/100
1/200
1/5
1/10
р 1/15
Ftm 1/25
1/50
1/100
1/200
1/5
1/10
р 1/15
Fvra 1/25
1/50
1/100
1/200
-0.036
-0.018
-0.012
-0.007
-0.004
-0.002
-0.001
0.012
0.010
0.008
0.006
0.004
0.003
0.002
-0.051
-0.026
-0.018
-0.011
-0.005
-0.003
-0.001
-0.108
-0.060
-0.041
-0.025
-0.013
-0.007
-0.003
-0.029
-0.008
-0.002
0.002
0.003
0.003
0.002
-0.139
-0.070
-0.047
-0.029
-0.015
¦0.008
-0.004
-0.190
-0.113
-0.081
-0.052
-0.028
-0.014
-0.007
-0.119
-0.053
-0.031
-0.015
-0.004
0.000
0.001
-0.261
-0.131
-0.088
-0.053
-0.028
-0.014
-0.008
-0.333
-0.227
-0.173
-0.119
-0.068
-0.037
-0.019
-0.432
-0.219
-0.144
-0.082
-0.036
-0.015
-0.006
-0.609
-0.302
-0.201
-0.121
-0.062
-0.032
-0.017
-0.517
-0.424
-0.365
-0.289
-0.192
-0.117
-0.067
-4.232
-1.853
-1.244
-0.757
-0.379
-0.186
-0.090
-2.630
-1.117
-0.736
-0.441
-0.221
-0.111
-0 .056
Случай В. К берегам трещины приложен равномерный изгибающий
момент М .
0.8
0.6
0.2
¦
¦
¦
^^
">
v=0.3
а=45°
a/t=l
——_
-——
— —
^3_
10 .
¦
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20
t/R
0.8,
0.7
0.6
I
I
0.5
0.4
0.3
v=0.3
*.t/R=l/5
—
-
-
у
У
a/t=l -
—
30° 60° 90°
a
Рис. 16.30. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от t/R.
Рис. 16.31. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от а.
961
61-1280
Случай С. К берегам трещины приложены равномерные сдвиговые
усилия N .
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
v=0.3
а=45°
¦
•
/
/
a/
у1
3^
t=ip/
•
0.0 0.05 0.10 0.15 0. 0
t/R
1.6
1.5
1 .4
u. 1.3
1.2
1.1
1 .0
¦
-
v=0.3
t/R=l/5
\
1 1
¦
,a/t=5
1 .
30° а 60°
90°
Рис. 16.32. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от t/R.
Рис. 16.33. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от а.
Случай D. К берегам трещины приложен равномерный скручивающий
момент М .
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
¦
-
v=0.3
а=45°
a/t=l
2
10
-
-
¦
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20
t/R
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
•
v=0.3
• t/R=l/i
•
t 1
a/t=l
3
5
-
•
¦
•
¦
i i
30° 60"
о
90
Рис. 16.34. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от t/R.
Рис. 16.35. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от а.
962
Случай Е. К берегам трещины приложены равномерные перерезывающие
усилия V .
7.0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
|\a/t=l
1
ЛЧ
0
_. 2
\
\
v=0.3
а=45°
1
0.0 0.05 0.10 0.15 0.20
t/R
4.0
3.0
2.0
1.0
0.0
v=0.3
- t/R=l/5
jl ¦
У
a/t=3
1
30° 60°
а
90°
Рис. 16.36. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости
от t/R.
Рис. 16.37. Коэффициент интенсивности напряжений в зависимости от а.
16.15. СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ТРЕЩИНОЙ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ МЕМБРАННЫХ УСИЛИЙ (ТЕОРИЯ ОБОЛОЧЕК
С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА) [22; 16, 23]
Метод сингулярных интегральных уравнений [22].
963
m
X _ П2П - vz)I/ia
4.0
3.0
2.0
1.0
a/t-1
a/t-O.iN
гД=2
/
v=l/3
a/t=5 Л
a/t=10 ¦
-
2
X
0.2
0.0
-0.2
-0.4
-0.6
-O.f
a/tiO.5,
¦
) I
^%
a/t-2
2
X
\
\
3
vi/3
a/t-10 .
v
\
A
a/t=5 \
4
Рис. 16.38. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от Л.
Рис. 16.39. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
Таблица 16.13. Значения коэффициентов интенсивности напряжений
(у = 1/3)
a/t=0.5 a/t"l
a/t=2
a/t=5
a/t»10
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
X
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
1.000
1.021
1.094
a/t»0.5
0.000
0.041
0.095
1.000
1.019
1.076
1.173
1.305
a/t=l
0.000
0.037
0.090
0.133
0.157
1.000
1.019
1.071
1.156
1.268
1.556
1.918
h
FD
a/t-2
0.000
0.035
0.086
0.130
0.158
0.155
0.077
1.000
1.018
1.069
1.150
1.255
1.519
1.841
2.208
2.615
3.058
3.539
a/t»5
0.000
0.034
0.084
0.130
0.162
0.174
0.117
-0.010
-0.206
-0.471
-0.807
1.000
1.018
1.069
1.149
1.252
1.512
1.828
2.186
2.579
3.004
3.460
a/fl0
0.000
0.033
0.084
0.130
0.165
0.187
0.142
0.031
-0.146
-0.390
-0.701
964
16.16. СФЕРИЧЕСКАЯ ОБОЛОЧКА С ТРЕЩИНОЙ ПОД
ДЕЙСТВИЕМ ИЗГИБАЮЩЕГО МОМЕНТА (ТЕОРИЯ
ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ ДЕФОРМАЦИЙ СДВИГА)
[22; 16, 23]
Метод сингулярных интегральных уравнений [22].
°"ь =
6Af , _ Г12A - v'
(Rt)
1/2
0.8
0.6
0.4
П 7
a/t-10
•
t-1
V »/t«
^>,
v-1/3 ,
¦
•
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00,
v=l/3
i/t'Z
V
2
X
Рис. 16.40. Коэффициент интенсивности изгибных напряжений
в зависимости от А.
Рис. 16.41. Коэффициент интенсивности мембранных напряжений
в зависимости от А.
965
Таблица 16.14. Значения коэффициентов интенсивности напряжений
(у = 1/3)
X
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
Л
0
0.25
0.50
0.75
1.00
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
a/t=0.5
0.000
0.013
0.032
a/f=0.5
0.808
0.772
a/t=l
0.000
0.011
0.028
0.044
0.058
a/t»l
0.752
0.740
0.709
0.670
0.630
a/t=2
0.000
0.010
0.024
0.039
0.052
0.071
0.083
Fb
a/f2
0.704
0.694
0.669
0.635
0.598
0.526
0.465
a/t=5
0.000
0.008
0.021
0.034
0.046
0.064
0.076
0.084
0.089
0.092
0.094
a/t-5
0.667
0.659
0.638
0.609
0.577
0.511
0.451
0.401
0.360
0.327
0.300
a/t=10
0.000
0.008
0.020
0.032
0.043
0.061
0.073
0.081
0.086
0.089
0.091
a/f 10
0.652
0.645
0.626
0.599
0.569
0.506
0.448
0.399
0.359
0.325
0.297
ЛИТЕРАТУРА
1. Erdogan F., Kjbler J.J. Cylindrical and spherical shells with
cracks. - Int. J. Fract. Mech., 1969, 5, p. 229-237.
2. Folias E.S. An axial crack in a pressurized cylindrical shell. -
Int. J. Fract. Mech., 1965, 1, p. 104-113.
3. Copley L.G., Sanders J.L. (Jr.). A longitudinal crack in a
cylindrical shell under internal pressure. - Int. J. Fract.
Mech., 1969, 5, p. 117-131.
4. Folias E.S. On the effect of initial curvature on cracked flat
sheets. - Int. J. Fract. Mech., 1969, 5, p. 327-346.
5. Murthy M.V.V., Rao К-Р-, Rao A.K. Stresses around an axial crack
in a pressurized cylindrical shell. - Int. J. Fract.
Mech., 1972, 8, p. 287-297.
6. Erdogan F., Ratwani M. Fracture of cylindrical and spherical
shells containing a crack. - Nucl. Engng. and Design., 1972, 20,
p. 265-286.
7. Ando Y., Yagawa G., Okabayashi K. The application of the finite
966
element method to the analysis of fracture of cylindrical shell.
- In: Proc. 2nd Int. Conf. on Struct. Mech. in Reactor Technol.,
1973, Paper G5/4.
8. Murthy M.V.V., Rao K-R, Rao A.K- On the stress problem of large
elliptical cutouts and cracks in circular cylindrical shells.
Int. J. Solids and Structures, 1974, 10, p. 1243-1269.
9. Lakshminarayana H.V., Murthy M.V.V. On stresses around an
arbitrarily oriented crack in a cylindrical shell. - Int.
J. Fract., 1976, 12, p. 547-566.
10. Erdogan F., Ratwani M. A circumferential crack in a cylindrical
shell under torsion. - Int. J. Fract. Mech., 1972, 8, p. 87-95.
11. Folias E.S. A circumferential crack in a pressurized cylindrical
shell. - Int. J. Fract. Mech., 1967, 3, p. 1-11.
12. Duncan-Fama M.E., Sanders J.L. (Jr.). A circumferential crack in
a cylindrical shell under tension. - Int. J. Fract. Mech., 1972,
8, p. 15-20.
13. Lakshminarayana H.V., Murthy M.V.V., Srinath L.S. On an
analytical-numerical procedure for the analysis of cylindrical
shells with arbitrarily oriented cracks. - Int. J. Fract.,
1982, 19, p. 257-275.
14. Erdogan F., Ratwani M. A note on the interference of two
collinear cracks in a cylindrical shell. - Int. J. Fract., 1974,
10, p. 463-465.
15. Folias E.S. A finite line crack in a pressurized spherical
shell. - Int. J. Fract. Mech., 1965, 1, p. 20-46.
16. Delale F., Erdogan F. The crack problem in a specially
orthotropic shell with double curvature. - Engng. Fract. Mech.,
1983, 18, p. 529-544.
17. Krenk S. Influence of transverse shear on an axial crack in a
cylindrical shell. - Int. J. Fract., 1978, 14, p. 123-143.
18. Barsoum R.S., Loomis R.W., Stewart B.D. Analysis of through
cracks in cylindrical shells by the quarter-point elements.
Int. J. Fract., 1979, 15, p. 259-280.
19. Delale F., Erdogan F. Transverse shear effect in a
circumferentially cracked cylindrical shell. - Quart. Appl.
Math., 1979, 37, p. 239-258.
20. Yashi O.S., Erdogan F. A pressurized cylindrical shell with a
fixed end which contains an axial part-through or through crack.
- Int. J. Fract., 1985, 28, p. 161-187.
21. Yahsi O.S., Erdogan F. A cylindrical shell with an arbitrarily
967
oriented crack. - Int. J. Solids and Structures, 1983, 19, p.
955-972.
22. Delale F., Erdogan F. Effect of transverse shear and material
orthotropy in a cracked spherical cap. - Int. J. Solids and
Structures, 1979, 15, p. 907-926.
23. Sih G.C., Hagendorf H.C. On cracks in shells with shear
deformation. - In: Mechanics of Fracture (G.C. Sih, ed.). Vol. 3. Plates
and Shells with Cracks. - Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1977,
p. 201-229.
968
17. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ О ТРЕЩИНАХ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
¦ 1/2
-р—eJ = [рA + v)(i - v)\ ~ СКОРОСТЬ продольных волн,
М1/2 ,- Е -.1/2
= 2рП—+ v) ~ СКОРОСТЬ поперечных волн,
с - скорость волн Рэлея, А, д - постоянные Ламе,
w - угловая частота падающих волн, <г , т , т - амплитуды падающих
Р- , SV- , SH-волн соответственно, Я( ) - единичная функция
Хевисайда, t - время, v - скорость распространения трещины.
0.9
0.7
0.6
5 0.5
ОС.
0.2
0.1
0
CR/
/
f
0
•s
к;
:i
i
/с
1
N
/
/
0
2 0
V
j
\
/
\
3 0
1
4
/
\
0.96
Л OR
0.94
0.93
0.92
О
0 91 *"i*
о
0.89
U.BO
0
5
Рис. 17.1. Отношения скоростей cR/c2, cR/cx и с^/с^ в зависимости
от коэффициента Пуассона [1] (опубликовано с разрешения
"Seismological Society of America").
969
17.1. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [2; 3-11]
TsO jb о cb tb (Ь
°У "°1Н^) (плоская деформация)
Тух * "Т2Н(*) (плоская деформация)
ту2
(антиплоская деформация)
при
, х<0
Метод преобразования Лапласа [2], точное решение.
'2 с„ j
1/2 С
1/2
17.2. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СОСРЕДОТОЧЕННОЙ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ,
ПРИЛОЖЕННОЙ К БЕРЕГАМ ТРЕЩИНЫ [12; 13-15]
»х \ F(t)=F0H(t)
Метод преобразования Лапласа [12], точное решение.
r\il/2
K(t) = F1(c
970
о
-1
-2
-3
Плоская деформация
\|
\
v=l/4
1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
Cit/1
Рис. 17.2. Зависимость нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от времени.
17.3. ТРЕЩИНА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ В ПЛОСКОСТИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ
[16, 17; 2, 18-25]
= -<J,H(t)
Метод преобразования Лапласа [16, 17], точное решение.
па
Kz(t) =
K3(t) =
1.4
1.2
„ 1.0
: o.8
: o.6
Рис. 17.3. Зависимости нормированных °-'
коэффициентов интенсивности °-<
напряжений от времени. _
971
1
/,
f
(плоская
хефо|
//
У/
нация)
УЛ
f Рз
Fi
^,
( плоская
v-1/4
я)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
cit/Ba)
17.4. ТРЕЩИНА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ ВБЛИЗИ
КРАЯ ПОЛУПЛОСКОСТИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ [26; 27-34]
Л t t t t t
°yy
при
O, |x|<a
Метод преобразования Лапласа [26].
па ,
1.5
1.0
0.5
/
/
1
/
f
-^
~a/h
Плос
i
0.8
«0.2-
V*
кая i
i
Щ
^0
).25
ефор»
.7
5
«ЦИЯ
1.
в—
1
4.0 8.0
Cit/a
12.0
1.5
0.5
>
/
¦^
-a/h
Плос
i
\
= 0.2"
v=0
кая д
i
— —
25
ефоры
—
ация
1
4.0
8.0
cit/a
12.0
Рис. 17.4. Зависимости нормированных коэффициентов интенсивности
напряжений от времени.
972
17.5. ТРЕЩИНА В ПОЛОСЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [35; 36, 37]
2h _.
Метод преобразования Лапласа [35].
°уу "
при у=0, |х| <а
па
ю.о
Рис. 17.5. Зависимость нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от времени. Штрихпунктирные линии -
результаты для статического случая, штриховые - результаты [16, 17]
для случая бесконечной пластины.
973
17.6. ТРЕЩИНА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ В СЛОИСТОМ
КОМПОЗИТЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДИНАМИЧЕСКОЙ
НАГРУЗКИ [38; 39]
/ M2.V2.P2
' Pl.Vi.pl
(У
?
) < 23 > *
/ >
)
х при у=0, |х| <а
Метод преобразования Лапласа [38].
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
i
г
/оТг
1.0
,=0.1
L a/h
=1.0.
vi=v2=0.29
P1=P2
ToT"
Плоская
деформация
—
_ —
4.0 8.0
c2it/a
Рис. 17.6. Зависимости нормированных коэффициентов интенсивности
напряжений от времени.
974
17.7. ТРЕЩИНА НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА МАТЕРИАЛОВ
С РАЗЛИЧНЫМИ УПРУГИМИ СВОЙСТВАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ [40; 41-44]
Метод преобразования Фурье [40].
' C21 =
Л/2
« 1.0
-(а) pi"p2 , Уг/Ui
1 A i I i
0.4 0.8 1.2
аи/с21
1.6
1.2
1.0
0.8
. Ыг/Vi1
-
- (Ь) р
1.00 -х|
г з.оо -у
5.00 -'
1=Р2 . U2
|
/Ui > 1
1
0.4 0.8 1.2 1.6
аш/с21
Рис. 17.7. Зависимость нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от нормированного волнового числа.
975
17.8. ТРЕЩИНА КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ [45*; 24, 46-49]
> f- волна
~> SV-волна
^ SH-волна
У+й |
| 2а "] Х
1 °У *
1
) Туг"
\ при
/ У-0.
-a,exp(-1a)t
-T2exp(-fut]
-T3exp(-iut)
х|<а
Метод преобразования Фурье [45].
= F_(acd/c_)T-/ira .
г' з
у
> I
(v-0
Fi (P-волна)
4n
полня )\
.25)
» 1
J(SH-ВОЛ!
\
• *
a
1.3
,1.2
1.0
0 0.4 0.8 1.2 1.6
au/cj
Рис. 17.8. Зависимости нормированных коэффициентов интенсивности
напряжений от нормированного волнового числа для обобщенного
плоского напряженного состояния.
Опубликовано с разрешения "Quart. Appl. Math.", Brown Univ.,
Providence, USA.
976
17.9. ДВЕ КОЛЛИНЕАРНЫЕ ТРЕЩИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [50, 51]
о о о о о о
Метод преобразования Лапласа [50, 51].
Случай растягивающей ударной нагрузки
при
V = -T3H(t>
У'О, а<|х|<Ь
1/2
х. 1.0
0.5
у
У Плоская
L деформация
1
Г1,ь
»/b=O.Z
(а,
5.0
2dt/(b-a)
10.0
Рис. 17.9. Зависимости нормированных коэффициентов интенсивности
напряжений от времени; (а) растягивающая ударная нагрузка [50].
Случай сдвиговой ударной нагрузки
па ,
жа .
Рис. 17.9 (продолжение).
(Ь) Сдвиговая ударная нагрузка [51].
1.5
1.0
/
|(Ь\
/
0.33
0
1
а/Ь=0.20
У
.43
— F3,a
F3,b
1
2 4
c2t/a
17.10. ДВЕ КОЛЛИНЕАРНЫЕ ТРЕЩИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ [52; 53-56]
Р- волна
SV-волна
SH-волна
тух
-T3exp(ia)t)
при
у=0, а<|х|<Ь
Метод интегральных уравнений, погрешность 1%.
Случай Р-волны
Рис. 17.10. Зависимости нормированных
коэффициентов интенсивности напряжений
от нормированного волнового числа; (а) Р-волна.
2.5
л 2.0
:-i.5
1.0
о
Плоская деформация
v=0.25
(а)
0.5 1.0 1.5
978
Случай SV-волны
2.0
ra- 1.0
Плоская деформация
v=0.25 I
(b)
0.5 1.0 1.5
aw/c2
Рис. 17.10 (продолжение), (b) SV-волна.
Случай SH-волны
0.5 1.0
aw/c2
Рис. 17.10 (продолжение), (с)
979
62*
17.11. ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТРЕЩИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
УДАРНОЙ СДВИГОВОЙ НАГРУЗКИ [5/]
Метод интегральных уравнений [51], погрешность 1%.
)
Рис. 17.11. Зависимости нормированного коэффициента интенсивн<
напряжений от времени.
980
17.12. ДВЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ТРЕЩИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ [52]
Р-волна
SV-волна
SH-волна
Метод интегральных уравнений [52], погрешность 1%.
Случай Р-волны
6.0
CM
u.
о
4.0
.2.0
v-0.25
- Плоская
деформация
1.5
Рис. 17.12. Зависимости нормированных коэффициентов интенсивно
напряжений от нормированного волнового числа; (а) Р-волна.
981
Случай SV-волны
Рис. 17.12 (продолжение), (b) SV-волна.
Случай SH-волны
0.5 1.0 1.0 2.0
a .
4.0
h=a
^ ¦"
/V.C
Уз, А
(с)
Рис. 17.12 (продолжение), (с) SH-волна.
982
0.5 1.0 1.5
аш/с2
17.13. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [3; 57, 58]
Метод преобразования Лапласа [2].
Случай растягивающей ударной нагрузки
Kx(czt/a)
К
st
1 .25
1 .00
0.75
0.50
0.25
/
/
^—¦
.29
(a)
г.о
4.0
c2t/a
6.0
8.0
Рис. 17.13. Зависимости нормированных коэффициентов интенсивно
напряжений от времени; (а) растягивающая ударная нагрузка.
983
Случай скручивающей
нагрузки
K3(czt/a)
F* к?
Kf} = >iT / а/п .
ударной
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
Рис. 17.13 (продолжение).
(Ь) Скручивающая ударная нагрузка.
у
[
1
— -
(Ь)
2.0
4.0
c2t/a
17.14. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЙ [47; 59-61]
Р- волна
Волна скручивающей нагрузки
Tz6=
при
2=0, r<a
Метод преобразования Ханкеля [47].
Случай Р-волны
\К1{(оа/с1)\
Fi =
= 20-jV а/п ;
6.0
8.0
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
Рис. 17.14. Зависимости нормированных
коэффициентов интенсивности напряжений °-
от нормированного волнового числа; о
(а) Р-волна.
1 «
/
X
* «
•о.ю—'
П 94 *
о.зз—'
1
• \ '
\
й
\^
(а)
> <
0.5 1.0
ша/ci
1.5
984
Случай волны скручивающей нагрузки
К
st
1.5
1.4
1.3
j: 1.2
1.1
1.0
0.9
v-0.
(b)
|*
25
I
n
\
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
Рис. 17.14 (продолжение). (Ь) Волна скручивающей нагрузки.
17.15. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА В ЦИЛИНДРЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАСТЯГИВАЮЩЕЙ УДАРНОЙ
НАГРУЗКИ [62]
2 = -o,H(t)
при z=0, r< а
Метод преобразования Лапласа [62].
985
63-1280
Рис. 17.15. Зависимости нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от времени.
Таблица 17.1. Значения нормированных статического и максимального
динамических коэффициентов интенсивности напряжений (У =
= К3./ [B/тг)(Г v па ], К3. - статический коэффициент интенсивности
напряжений)
а/Ь
0.1
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
1.002 1.005 1.013 1.025 1.072 1.125 1.259 1.479 2.002
1-211 Т-211 1<212 1>2г2 1-245 Т-317 1-451 1>913 2-073
17.16. ОКРУЖНАЯ ТРЕЩИНА НА ВНУТРЕННЕЙ СТЕНКЕ
ТОЛСТОСТЕННОГО ЦИЛИНДРА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
СКРУЧИВАЮЩЕЙ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [63; 64]
-«?=
4=1
<Tfe>«
Метод преобразования Лапласа [63].
КМ) = FAcJ/a)TnVna .
3V 2
T=~T°TFc" H(t)
при с < г < а+с
z=0
986
1.0
0.5
{b-(a+c)}/a =0.05
_^H
\
(a
) c/(a+c)
= 0.5
1.0
0.5
-{b-(a+c)}/a ¦ 0.05,
Mr'
(
(b)
;
c/(a+c) =
0.7
1 2
c2t/a
1 2
c2t/a
Рис. 17.16. Зависимости нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от времени.
17.17. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА В СЛОИСТОМ КОМПОЗИТЕ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [55; 66]
f t f f f -f
при 2=0, r< a
Метод преобразования Лапласа [65].
па ,
987
63»
0.4
2.4
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
2.0 4.0 6.0 8.0 10..0
c2tt/a
/
у
Mi=0.1
\>2=0.29
P2
4
a/t>=
1
.0 ¦
H
0.5 ^
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
c2,t/a
Рис. 17.17. Зависимости нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от времени.
17.18. ДИСКООБРАЗНАЯ ТРЕЩИНА НА ПОВЕРХНОСТИ
РАЗДЕЛА МАТЕРИАЛОВ С РАЗЛИЧНЫМИ УПРУГИМИ
СВОЙСТВАМИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СКРУЧИВАЮЩЕЙ
УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [67; 68-70]
= A0r(t+z/c2,)x
xH(t+2/C21),
где
Рг.Рг
Метод преобразования Лапласа [67].
Л
Т0 =
2ц ц с
\22
Л/2
988
1.5
1.0
0.5
О 10 20 30 40
c2jt/a
Рис. 17.18. Зависимости нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от времени.
17.19. КОЛЬЦЕВАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [71; 70, 72]
fij/ui- 2.0
\
f
1.0
Pa/
Pi.0
ММ!
У при z=0, a< r< b
Метод преобразования Лапласа [71].
989
1.0
3.0 3.6
Рис. 17.19. Зависимости нормированных коэффициентов интенсивности
напряжений от времени: (а) на внутреннем фронте трещины; (Ь) на
наружном фронте трещины.
17.20. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
УДАРНОЙ НАГРУЗКИ [73; 74-77]
f f f t t t t U
z
z
Z
z
при
, |y|<a
Метод преобразования Лапласа [73].
Рис. 17.20. Зависимости нормированного
коэффициента интенсивности
напряжений от времени.
1.0
0.5
/
1
1.0 2.0 3.0 4.0
c2t/a
990
17.21. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ТРЕЩИНА ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ГАРМОНИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ НАПРЯЖЕНИЯ [78; 79, 80]
Р- волна
L
-ь/
7
7
а'1' = -a-j exp (iwt)
при z=0, |х| < Ь, |у| <а
Метод преобразования Фурье [78].
*!<*>¦
1.0
0.5
х/а=
^^
а=Ь
v=0.2
¦ i i i
>^0.5 X
.833^4
1 1 1 1
к.
1 1 1 1
0.5 1.0
с2ша/с,
1.5
Рис. 17.21. Зависимости нормированного коэффициента интенсивно<
напряжений от нормированного волнового числа.
17.22. ИЗГИБАЕМЫЙ ОБРАЗЕЦ С НАДРЕЗОМ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ [81; 82-88]
F(t)
в
*—»
1
3
\
991
Приближенный метод с использованием теории балок [81].
S
К = F(t)S 0
1/2
= За1/2Г1.99 - аA - а)B.15 - 3.93а + 2.7а2I
2A + 2а)A -а)
3/2
а =
7) - первый корень следующего уравнения:
^l 2S . (Л
(а), / = BW3/12,
D =
F(a) = Г a J E.455 - 20.61a + 55.92a2 - 101.9a3 +
+ 103.5a4 - 42.8a5) при S/W = 4.
17.23. ПОЛУБЕСКОНЕЧНАЯ ДВИЖУЩАЯСЯ ТРЕЩИНА
[89, 90; 47, 91-104]
t ! t ¦ ,
1 a(t)
< >
aJ
V
X
Нагрузка не зависит
от времени
\ I ¦ *
992
Метод преобразования Лапласа [89, 90], точное решение.
v) = *г(о)*Ja
1/2 a(t)
.Г
P(X)
о [a(t) - x]
1/2
Ax,
p(x) - распределение нормальных усилий, которые формируются при
движении вершины трещины на отрезке 0 ? х ? a(t) (трещина распро-
распространяется вдоль оси х от х = 0 до х = a(t) под действием нагрузки
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
v/cR
Рис. 17.22. Зависимости k^ от нормированной скорости распространения
трещины.
17.24. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИНЫ КОНЕЧНОЙ
ДЛИНЫ В ПЛОСКОСТИ [105, 106; 107-117]
-
-
-
_Пло(
i
N
1
v-T
:кая дефорк
. 1 •
\
1ЭЦИЯ
t \
t t t t t t-
Нагрузка не зависит
от времени
a(t)=vt, t>0
(плоская деформация)
| { \ \ \ \
993
Метод преобразования Лапласа [105, 106], точное решение.
tf, v) = F1(»)(r1
/ = 1, 2),
) - полные эллиптические интегралы первого и второго рода
соответственно.
1.0
"- 0.5
vl/3
Плоская'
деформация
0.5
v/ct
1.0
Рис. 17.23. Зависимости нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от нормированной скорости распространения трещины.
17.25. ДВИЖУЩАЯСЯ ТРЕЩИНА В ОБРАЗЦЕ, ИМЕЮЩЕМ
ВИД ДВУХКОНСОЛЬНОЙ БАЛКИ [118; 119-122]
a(t)
994
Приближенный метод с использованием теории балок [118].
,1/2
lt v) = Г i—QAjL
i( ' ' L 1 _ У2 A(v
G(t, v) =
A(v) =
A(v)
(v/c2J{\ -
- (v/c2J]1/z - [2 - (v/c2J]2}
w - вертикальное смещение точек, лежащих на центральной оси балки,
являющееся решением системы дифференциальных уравнений (при v = 1/4):
О XS) U
дх'
ВТ
ф - угол поворота центральной оси балки под действием изгибающего
момента.
17.26. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИНЫ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
В ТЕЛЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ [126; 91, 124-134]
\\
\
\
\
|
t
t
2W
и.
I
o(t)
tt
1
1
•er,H{t
HI
1
)
<]—ж
r
2W=104mm
21=40 mm
2aQ=24MM
v=0.286
р=2.45-103кг/м3
ц=29.4ГН/м*
(плоская деформация)
Метод конечных элементов [123].
jit, v) = F^t, v)or/naQ.
995
3.0
2.0
1.0
Аналитическое
решение [91]
Рис. 17.24. Зависимости нормированного коэффициента интенсивности
напряжений от времени. Для сравнения показано решение для случая
стационарной трещины (v = 0 м/с).
ЛИТЕРАТУРА
1. Knopoff L. On Rayleigh wave velocities. - Bull. Seismol. Soc.
Amer., 1952, 42, p. 307-308.
2. Chen E.P., Sih G.C. Transient response of cracks to impact
loads. - In: Mechanics of Fracture. (G.C. Sih, ed.). Vol. 4.
Elastodynamic Crack Problems. - Leyden: Noordhoff Int. Publ.,
1977, p. 1-58.
3. Maue A.W. Die Entspannungswelle bei plotzlichem Einschnitt
eines gespannten elastischen Korpers. - Z angew. Math, und
Mech., 1954, 34, p. 1-12.
4. Harris J.G. Diffracton by a crack of a cylindrical
longitudinal pulse. - Z. angew. Math, und Phys., 1980, 31, p.
367-383.
5. Nilsson F. A path-independent integral for transient crack
problems. - Int. J. Solids and Structures, 1973, 9,
p. 1107-1115.
6. Maue A.W. Die Beugung elastischer Wellen an der Halbebene. -
Z. angew. Math, und Mech., 1953, 33, p. 1-10.
7. Brock L.M. The dynamic stress intensity factor due to
arbitrary screw dislocation motion. - Trans. ASME, J. Appl.
Mech., 1983, 50, p. 383-389.
8. Achenbach J.D., Gautesen A.K. Elastodynamic stress intensity
factors for a semi-infinite crack under 3-D loading. - Trans.
ASME, J. Appl. Mech., 1977, 44, p. 243-249.
996
9. Kuo M.K., Achenbach J.D. Perturbation method to analyze the
elastodynamic field near a kinked crack. - Int. J. Solids and
Structures, 1985, 21, p. 273-278.
10. Achenbach J.D., Kuo M.K., Dempsey J.P. Mode 3 and mixed mode
1-2 crack kinking under stress-wave loading. - Int. J. Solids
and Structures, 1984, 20, p. 395-410.
11. Achenbach J.D., Kuo M.K. Conditions for crack kinking under
stress-wave loading. - Engng. Fract. Mech., 1985, 22, p.
165-180.
12. Freund L.B., Rice J.R. On the determination of elastodynamic
crack tip stress fields. - Int. J. Solids and Structures,
1974, 10, p. 411-417.
13. Freund L.B. The stress intensity factor due to normal impact
loading of the faces of a crack. - Int. J. Engng. Sci., 1974,
12, p. 179-189.
14. Rose LR.F. On the response to point forces suddenly applied
to a semi-infinite crack. - J. Elasticity, 1977, 7, p.
411-417.
15. Brock L.B. Shear and normal impact loadings on one face of a
narrow slit. - Int. J. Solids and Structures, 1982, 18, p.
467-477.
16. Thau S.A., Lu Т.Н. Transient stress intensity factors for a
finite crack in an elastic solid caused by a dilatational
wave. - Int. J. Solids and Structures, 1971, 7, p. 731-750.
17. Thau S.A., Lu Т.Н. Diffraction of transient horizontal shear
waves by a finite crack and a finite rigid ribbon. - Int.
J. Engng. Sci., 1970, 8, p. 857-874.
18. Sih G.C., Ravera R.S., Embley G.T. Impact response of a finite
crack in plane extension. - Int. J. Solids and Structures,
1972, 8, p. 977-993.
19. Nuismer R.J.(Jr.), Achenbach J.D. Dynamically induced
fracture. - J. Mech. and Phys. Solids, 1972, 20, p. 203-222.
20. Achenbach J.D. Brittle and ductile extension of a finite crack
by a horizontally polarized shear wave. - Int. J. Engng. Sci.,
1970, 8, p. 947-966.
21. Achenbach J.D., Nuismer R. Fracture generated by a
dilatational wave. - Int. J. Fract. Mech., 1971, 7, p. 77-88.
22. Kassir M.K., Bandyopadhyay К.К. Impact response of a cracked
orthotropic medium. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1983, 50,
p. 630-636.
997
23. Itou S. Three-dimensional wave propagation in a cracked
elastic solid. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1978, 45, p.
807-811.
24. Shindo Y. Dynamic singular stresses for a Griffith crack in a
soft ferromagnetic elastic solid subjected to a uniform
magnetic field. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1983, 50, p.
50-56.
25. Shindo Y. The plane problem of diffraction of transient
magneto-elastic waves by a finite crack located in a para- or
diamagnetic elastic conductor. - Trans. JSME, 1979, 45, p.
273-280.
26. Itou S. Transient response of a finite crack in a half plane
under impact load. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1981, 48, p.
534-538.
27. Achenbach J.D., Brind R.J. Scattering of surface waves by a
sub-surface crack. - J. Sound and Vibration, 1981, 76, p.
43-56.
28. Keer L.M., Lin W., Achenbach J.D. Response effects for a crack
near a free surface. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1984, 51,
p. 65-70.
29. Achenbach J.D., Brind R.J. Elastodynamic stress-intensity
factors for a crack near a free surface. - Trans. ASME, J.
Appl. Mech., 1981, 48, p. 539-542.
30. Hanzawa H., Kishida M., Asano M. Dynamic interference between
a crack and a plane boundary. SH-wave. - Trans. JSME, Ser.
A, 1980, 46, p. 1081-1088.
31. Datta S.K, Diffraction of SH-waves by an edge crack. - Trans.
ASME, J. Appl. Mech., 1979, 46, p. 101-106.
32. Achenbach J.D., Keer L.M., Mendelson D.A. Elastodynamic
analysis of an edge crack. - Trans. ASME, J. Appl. Mech.,
1980, 47, p. 551-556.
33. Stone S.F., Ghosh M.L., Mai A.K. Diffraction of antiplane
shear waves by an edge crack. - Trans. ASME, J. Appl. Mech.,
1980, 47, p. 359-362.
34. Kundu Т., Mai A.K. Diffraction of elastic waves by a surface
crack on a plate. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1981, 48, p.
570-576.
35. Itou S. Transient response of a finite crack in a strip with
stress-free edges. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1980, 47, p.
801-805.
998
36. Chen E.P. Sudden appearance of a crack in a stretched finite
strip. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1978, 45, p. 277-280.
37. Chen E.P. Impact response of a finite strip under anti-plane
shear. - Engng. Fract. Mech., 1977, 9, p. 719-724.
38. Sih G.C., Chen E.P. Normal and shear impact of layered
composite with a crack: dynamic stress intensification.
Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1980, 47, p. 351-358.
39. Chen E.P. Impact response of a layered composite containing a
crack. - J. Acoust. Soc. Amer., 1977, 61, p. 727-730.
40. Loeber J.F., Sih G.C. Transmission of anti-plane shear waves
past an interface crack in dissimilar media. - Engng. Fract.
Mech., 1973, 5, p. 699-725.
41. Brock L.M. Combined fracture and delamination: a simplified
example. - J. Mech. and Phys. Solids, 1977, 25, p. 1-10.
42. Kuo A.-Y. Transient stress intensity factors of an interfacial
crack between two dissimilar anisotropic half-spaces. Part 1.
Orthotropic materials. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1984,
51, p. 71-76.
43. Srivastava KN., Palaiya R.M., Karanhia D.S. Interaction of
antiplane shear waves by a Griffith crack at the interface of
two bonded dissimilar elastic half-spaces. - Int. J. Fract.,
1980, 16, p. 349-358.
44. Takei M., Shindo Y., Atsumi A. Diffraction of transient
horizontal shear waves by a finite crack at the interface of
two bonded dissimilar elastic solids. - Engng. Fract. Mech.,
1982, 16, p. 799-807.
45. Sih G.C, Loeber J.F. Wave propagation in an elastic solid
with a line of discontinuity or finite crack. - Quart. Appl.
Math., 1969, 27, p. 193-213.
46. Loeber J.F., Sih G.C, Diffraction of anti-plane shear waves
by a finite crack. - J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 44, p.
90-98.
47. Chen E.P., Sih G.C. Scattering waves about stationary and
moving cracks. - In: Mechanics of Fracture (G.C. Sih, ed.).
Vol. 4. Elastodynamic Crack Problems. - Leyden: Noordhoff Int.
Publ., 1977, p. 119-212.
48. Shindo Y. The plane problem of diffraction of harmonic
magneto-elastic waves by a finite crack located in a
para- or diamagnetic elastic conductor. - Trans. JSME, Ser. A,
1979, 45, p. 498 - 504.
999
49. Ryan R.L, Mall S. Interaction of a P-wave with a laterally
stiffened slot. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1983, 50, p.
63-66.
50. Itou S. Transient analysis of stress waves around two coplanar
Griffith cracks under impact load. - Engng. Fract. Mech.,
1980, 13, p. 349-356.
51. Takakuda K., Takizawa Y., Koizumi Т., Shibuya T. Dynamic
interactions between cracks. Diffraction of SH-waves being
incident on Griffith cracks in an infinite body. - Trans.
JSME, Ser. A, 1984, 50, p. 799-804.
52. Takakuda K. Scattering of plane harmonic waves - by cracks. -
Trans. JSME, Ser. A, 1982, 48, p. 1014-1020.
53. Itou S. Dynamic stress concentration around two coplanar
Griffith cracks in an infinite elastic medium. - Trans. ASME,
J. Appl. Mech., 1978, 45, p. 803-806.
54. Jain D.L., Kanwal R.P. Diffraction of elastic waves by two
coplanar Griffith cracks in an infinite elastic mediun. - Int.
J. Solids and Structures, 1972, 8, p. 961-975.
55. Hussain M.A., Pu S.L. Dynamic stress intensity factor for an
unbounded plate having collinear cracks. - Engng. Fract.
Mech., 1972, 4, p. 865-876.
56. Itou S. Diffraction of an antiplane shear wave by Griffith
cracks in an infinite elastic medium. - Int. J. Solids and
Structures, 1980, 16, p. 1147-1153.
57. Sih G.C., Embley G.T. Sudden twisting of a penny-shaped crack.
- Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1972, 39, p. 395-400.
58. Shindo Y. Sudden twisting of an infinite elastic conductor
with a penny-shaped crack in a constant axial magnetic field.
- Z. angew. Math.und Mech., 1982, 62, p. 599-607.
59. Sih G.C., Loeber J.F. Normal compression and radial
shear waves scattering at a penny-shaped crack in an elastic
solid. - J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 46, p. 711-721.
60. Sih G.C., Loeber J.F. Torsional vibration of an elastic solid
containing a penny-shaped crack. - J. Acoust. Soc. Amer.,
1968, 44, p. 1237-1245.
61. Mai A.K. Interaction of elastic waves with a penny-shaped
crack. - Int. J. Engng. Sci., 1970, 8, p. 381-388.
62. Chen E.P. Elastodynamic response of a penny-shaped crack in a
cylinder of finite radius. - Int. J. Engng. Sci., 1979, 17, p.
379-385.
1000
63. Mikata K-, Shindo Y., Atsumi A. The torsional impact response
of a thick-walled cylinder with a circumferential edge crack.
- Trans. JSME, Ser. A, 1986, 52, p. 519-524.
64. Atsumi A., Shindo Y. Torsional impact response in an infinite
cylinder with a circumferential edge crack. - Trans. ASME, J.
Appl. Mech., 1982, 49, p. 531-535.
65. Sih G.C., Chen E.P. Axisymmetric elastodynamic response from
normal and radial impact of layered composites with embedded
penny-shaped crack. - Int. J. Solids and Structures, 1980, 16,
p. 1093-1107.
66. Chen E.P. Transient elastodynamic response of a circular crack
in a thick plate under torsion. - J. Pressure Vessel
Technology, 1979, 101, p. 207-209.
67. Ueda S., Shindo Y., Atsumi A. Torsional impact response of a
penny-shaped crack lying on a bi material interface. - Engng.
Fract. Mech., 1983, 18, p. 1059-1066.
68. Ueda S., Shindo Y., Atsumi A. Torsional impact response of two
parallel penny-shaped interface cracks in a layered
composites. - Trans. JSME, Ser. A, 1984, 50, p. 863-868.
69. Ueda S. Dynamic interaction of two parallel penny-shaped
cracks in a layered composite under the incidence of torsional
impact wave. - Trans. JSME, Ser. A, 1986, 52, No. 482, p.
2451-2458.
70. Himeno Т., Shindo Y. Diffraction of torsional waves by a flat
annular crack at the interface of two bonded dissimilar
elastic solids. - Trans. JSME, Ser. A, 1982, 48, p. 1602-1609.
71. Shindo Y. Axisymmetric elastodynamic response of a flat
annular crack to normal impact waves. - Engng. Fract. Mech.,
1984, 19, p. 837-848.
72. Shindo Y. Diffraction of torsional waves by a flat annular
crack in an infinite elastic medium. - Trans. ASME, J. Appl.
Mech., 1979, 46, p. 827-831.
73. Itou S. Transient analysis of stress waves around a
rectangular crack under impact load. - Trans. ASME, J. Appl.
Mech., 1980, 47, p. 958-959.
74. Itou S. Dynamic stress intensity factors around a
rectangular crack in an infinite plate under impact load.
Engng. Fract. Mech., 1983, 18, p. 145-153.
75. Itou S. Dynamic stress intensity factors around a
rectangular crack in a half-space under impact load. - Z.
angew. Math, und Mech., 1982, 62, p. 301-311.
1001
64-1280
76. Itou S. Transient analysis of stress waves around two
rectangular cracks under impact load. - Engng. Fract. Mech.,
1981, 14, p. 685-695.
77. Itou S. Dynamic stress intensity factors around four
rectangular cracks in an infinite elastic medium under impact
load. - Engng. Fract. Mech., 1982, 16, p. 247-256.
78. Itou S. Dynamic stress concentration around a rectangular
crack in an infinite elastic medium. - Z. angew. Math, und
Mech., 1980, 60, p. 317-322.
79. Itou S. Dynamic stress concentration around two rectangular
cracks in an infinite elastic medium. - Trans. JSME, Ser. A,
1980, 46, p. 575-583.
80. Itou S. Dynamic stress concentration around four rectangular
cracks in an infinite elastic medium. - Trans. JSME, Ser. A,
1981, 47, p. 492-500.
81. Kishimoto K.., Aoki S., Sakata M. Simple formula for dynamic
stress intensity factor of pre-cracked Charpy specimen.
Engng. Fract. Mech., 1980, 13, p. 501-508.
82. Japanese Soc. Mech. Engrs. Testing method of elastic-plastic
fracture toughness /lc. - JSME-S001, 1981, p. 19.
83. Kishimoto K-, Kuroda M., Aoki S., Sakata M. Simple formulas
for dynamis fracture mechanics parameters of elastic
and viscoelastic three-point bend specimens based on
Timoshenko's beam theory. - In: Advances in Fracture
Research. Proc. 6th Int. Conf. Fract. (ICF 6), New Dehli,
4-10 Dec, 1984, Vol. 5. - Oxford: Pergamon, 1984, p.
3177-3184.
84. Nisitani H., Mori K-, Noguchi H. An analysis of
single-edge-cracked specimens under three- or four-point
bending by the body force doublet method. - Trans. JSME, Ser.
A, 1986, 52, No. 474, p. 539-543.
85. Peuser T. Dynamic analysis of impact test specimens. - In:
Proc. Int. Conf. on Application of Fracture Mechanics to
Materials and Structures, 1983, p. 455-465.
86. Aberson J.A., Anderson J.M., King W.W. Dynamic analysis of
cracked structures using singularity finite elements. - In:
Mechanics of Fracture (G.C. Sih, ed.). Vol. 4. Elastodynamic
Crack Problems. - Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1977, p.
249-294.
87. Shibahara M., Matsui Y. Dynamic response of the beam with a
1002
crack subjected to four-point impact bending. - Trans. JSME,
Ser. A, 1985, 51, p. 1571-1577.
88. Embley G.T., Sih G.C Sudden appearance of a crack in a bent
plate. - Int. J. Solids and Structures, 1973, 9, p. 1349-1359.
89. Freund L.B. Crack propagation in an elastic solid subjected to
general loading. I. Constant rate of extension. - J. Mech. and
Phys. Solids, 1972, 20, p. 129-140.
90. Freund L.B. Crack propagation in an elastic solid subjected to
general loading. II. Non-uniform rate of extension. - J. Mech.
and Phys. Solids, 1972, 20, p. 141-152.
91. Freund LB. Crack propagation in an elastic solid subjected
to general loading. III. Stress waves loading. - J. Mech.
and Phys. Solids, 1973, 21, p. 47-61.
92. Freund L.B. Crack propagation in an elastic solid subjected to
general loading. IV. Obliquely incident stress pulse. - J.
Mech. and Phys. Solids, 1974, 22, p. 137-146.
93. Craggs J.W. On the propagation of a crack in an
elastic-brittle materials. - J. Mech. and Phys. Solids, 1960,
8, p. 66-75.
94. McClintock F.A., Sukhatme S.P. Travelling crack in elastic
materials under longitudinal shear. - J. Mech. and Phys.
Solids, 1960, 8, p. 187-193.
95. Baker B.R. Dynamic stresses created by a moving crack. -
Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1962, 29, p. 449-458.
96. Eshelby J.D. The elastic field of a crack extending
non-uniformly under general anti-plane loading. - J. Mech. and
Phys. Solids, 1969, 17, p. 177-199.
97. Костров Б. В. Неустановившееся распространение трещины
продольного сдвига. - ПММ, 1966, 30, вып. 6, с. 1042-1049.
98. Kostrov B.V. On the crack propagation with variable velocity.
- Int. J. Fract., 1975, 11, p. 47-56.
99. Nilsson F.L Steady crack propagation followed by non-steady
growth. Mode I solution. - Int. J. Solids and Structures,
1977, 13, p. 1133-1139.
100. Nilsson F.L. Steady mode III crack propagation followed by
non-steady growth. - Int. J. Solids and Structures, 1977, 13,
p. 543-548.
101. Achenbach J.D., Bazant Z.P. Elastodynamic near-tip stress and
displacement fields for rapidly propagating cracks in
orthotropic materials. - Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1975,
42, p. 183-189.
1003
102. Achenbach J.D., Bazant Z.P., Khetan R.P. Elastodynamic
near-tip fields for a rapidly propagating interface crack. -
Int. J. Engng. Sci., 1976, 14, p. 797-809.
103. Atkinson C. Dynamic crack problems in dissimilar media. - In:
Mechanics of Fracture (G.C. Sih, ed.). Vol. 4. Elastodynamic
Crack Problems. - Leyden: Noordhoff Int. Publ., 1977, p.
213-248.
104. Shindo Y. Diffraction of transient horizontal shear waves by a
running crack. - Engng. Fract. Mech., 1979, 11, p. 499-505.
105. 'Broberg KB. The propagation of a brittle crack. - Arkiv fys.,
1960, 18, p. 159-192.
106. Sih G.C Dynamic aspects of crack propagation. - In: Inelastic
Behavior of Solids. (M.F. Kanninen, W.F. Adler, A.R.
Rosenfield, R.I. Jaffee, eds.). - McGraw-Hill, 1970, p.
607-639.
107. Aoki S., Kishimoto K., Sakata M. Dynamic problem of expanding
crack under concentrated load. - Engng. Fract. Mech., 1979,
11, p. 469-474.
108. Афанасьев Е.Ф., Черепанов Г. П. Некоторые динамические проблемы
теории упругости. - ППМ, 1973, 37, вып. 4, с. 618-639.
109. Achenbach J.D., Brock LM. Rapid extension a crack. - J.
Elasticity, 1971, 1, p. 51-63.
110. Sih G.C., Chen E.P. Cracks moving at constant velocity and
acceleration. - In: Mechanics of Fracture (G.C. Sih, ed.).
Vol. 4. Elastodynamic Crack Problems. - Leyden: Noordhoff Int.
Publ., 1977, p. 59-117.
111. Atkinson С A simple model of relaxed expanding crack. - Arkiv
fys., 1967, 35, p. 469-474.
112. Embley G.T., Sih G.C. Plastic flow around an expanding crack.
- Engng. Fract. Mech., 1972, 4, p. 431-442.
113. Rose L.R.F. On the initial motion of a Griffith crack. - Int.
J. Fract., 1976, 12, p. 829-841.
114. Tsai Y.M. Propagation of a brittle crack at constant and
accelerating speeds. - Int. J. Solids and Structures, 1973, 9,
p. 625-642.
115. Kim K.S. Dynamic propagation of a finite crack. - Int. J.
Solids and Structures, 1979, 15, p. 685-699.
116. Костров Б. В. Осесимметричная задача о распространении трещины
нормального разрыва. - ПММ, 1964, 28, вып. 4, с. 644-652.
117. Tsai Y.M. Exact stress distribution, crack shape and energy
1004
for a running penny-shaped crack in an infinite elastic
solid. - Int. J. Fract., 1973, 9, p. 157-169.
118. Gehelen P.C., Popelar C.H., Kanninen M.F. Modeling of dynamic
crack propagation. I. Validity of one-dimensional analysis.
Int. J. Fract., 1979, 15, p. 281-294.
119. Kalthoff J.F., Beinat J., Winkler S. Measurements of dynamic
stress intensity factors for fast running and arresting
cracks in double-cantilever-beam specimens. - In: Fast
Fracture and Crack Arrest (G.T. Hahn, M.F. Kanninen, eds.),
ASTM STP 627, 1977, p. 161-176.
120. Freund LB. A one-dimensional dynamic crack propagation model.
- Proc. SIAM-AMS, 1979, 12, p. 21-37.
121. Kobayashi A.S. Dynamic fracture analysis by dynamic finite
element method. Generation and propagation analysis. - In
Nonlinear and Dynamic Fracture Mechanics. (N. Perrone S.N.
Atluri, eds.), ASME (Applied Mechanics Division), 1979, p.
19-36.
122. Nishioka Т., Atluri S.N. Finite element simulation of fast
fracture in steel DCB specimen. - Engng. Fract. Mech., 1982,
16, p. 157-175.
123. Atluri S.N., Nishioka Т., Nakagaki M. Numerical modeling of
dynamic and nonlinear crack propagation in finite bodies by
moving singular elements. - In: Nonlinear and Dynamic Fracture
Mechanics (N. Perrone, S.N. Atluri, ed). ASME (Applied
Mechanics Division), 1979, p. 37-66.
124. Aoki S., Kishimoto K., Kondo H., Sakata M. Elastodynamic
analysis of crack by finite element method using singular
element. - Int. J. Fract., 1978, 14, p. 59-68.
125. Anderson J.M., King W.W. Singularity-element simulation of
crack propagation. - In: Fast fracture and Crack Arrest. (G.T.
Hahn, M.F. Kanninen, eds.), ASTM STP 627, 1977, p. 123-134.
126. Kobayashi A.S., Mall S., Urabe Y., Emery A.F. A numerical
dynamic fracture analysis of the three wedge-loaded DCB
specimens. - In: Numerical Methods in Fracture Mechanics
(A.R. Luxmoore, D.R.J. Owen, eds.), Swansea, 1978, p. 673-684.
127. Mulluck J.F., King W.W. Fast fracture simulated by
conventional finite elements: a comparison of two
energy-release algorithms. - In: Crack Arrest Methodology and
Applications (G.T. Hahn, M.F. Kanninen, eds.), ASTM STP 711,
1980, p. 38-53.
1005
128. Rydholm G., Fredricksson В., Nilsson F. Numerical
investigations of rapid crack propagation. - In: Numerical
Methods in Fracture Mechanics. (A.R. Luxmoore, D.R.J. Owen,
eds.), Swansea, 1978, p. 660-672.
129. Yagawa G., Sakai Y., Ando Y. Analysis of rapidly propagating
crack using finite elements. - In: Fast Fracture and Crack
Arrest (G.T. Hahn, M.F. Kanninen, eds.), ASTM STP 627, 1977,
p. 109-122.
130. Nakamura Т., Shih C.F., Freund LB. Computational methods
based on an energy integral in dynamic fracture. - Int. J.
Fract., 1985, 27, p. 229-243.
131. Atluri S.N., Nishioka T. Numerical studies in dynamic fracture
mechanics. - Int. J. Fract., 1985, 27, p.245-261.
132. Kishimoto K-, Suzuki M., Aoki S., Sakata M. Finite element
analysis of dynamic stress intensity factor of rapidly
propagating crack using /-integral. - Trans. JSME, Ser. A,
1986, 52, p. 440-448.
133. Nishioka Т., Atluri S.N. A numerical study of the use of path
independent integrals in elasto-dynamic crack propagation.
Engng. Fract. Mech., 1983, 18, p. 23-33.
134. Wada H., Takagi Y., (Nishimura T. A trial for obtaining stress
intensity factor by FEM and its application to dynamic
problem. - Trans. JSME, Ser. A, 1981, 47, p. 501-511.
1006
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
Я/2
S A - jfe2sin2e)~1/2rfe,
Л/2
X A - Ifsirfe^dB.
о
9
* si
К(к)
Е(к)
К(к)
0.000
о.оог
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
0.016
0.018
о.ого
о.огг
0.024
0.026 1
0.028
0.030
0.032 1
0.034
0.036
0.038
0.040 1
0.042 1
0.044
0.046 1
0.048 1
0.050
0.052 1
0.054 1
0.056 1
0.058 1
0.060 1
0.062 :
0.064 1
0.066 1
0.068 1
0.070 1
0.072 '
0.074 1
0.076 1
0.078
0.080 1
0.082
0.084 1
0.086 1
0.088
0.090
0.092
0.094
0.096
0.098
1.57080
1.57158
1.57237
1.57316
1.57395
1.57475
1.57554
L.57634
1.57714
1.57794
1.57874
1.57954
1.58035
1.58116
1.58197
.58278
1.58359
1.58441
1.58523
1.58605
.58687
1.58769
1.58852
.58934
.59017
1.59100
.59184
.59267
1.59351
1.59435
1.59519
.59603
1.59688
.59772
1.59857
.59942
.60028
1.60113
1.60199
1.60285
1.60371
1.60457
1.60544
1.60631
1.60718
1.60805
1.60892
1.60980
1.61068
1.61156
1.57080
1.57001
1.56922
1.56844
1.56765
1.56686
1.56607
1.56528
1.56449
1.56370
1.56291
1.56212
1.56133
1.56054
1.55974
1.55895
1.55815
1.55736
1.55656
1.55577
1.55497
1.55417
1.55337
1.55257
1.55177
1.55097
1.55017
1.54937
1.54857
1.54777
1.54696
1.54616
1.54535
1.54455
1.5437*
1.54294
1.54213
1.54132
1.54051
1.53970
1.53889
1.53808
1.53727
1.53646
1.53565
1.53483
1.53402
1.53321
1.53239
1.53157
0.100
о.юг
0.104
0.106
0.108
0.110
0.112
0.114
0.116
0.118
0.120
0.122
0.124
0.126
0.128
0.130
0.132
0.134
0.136
0.138
0.140
0.142
0.144
0.146
0.148
0.150
0.152
0.154
0.156
0.158
0.160
0.162
0.164
0.166
0.168
0.170
0.172
0.174
0.176
0.178
0.180
0.182
0.184
0.186
0.188
0.190
0.192
0.194
0.196
0.198
1.61244
1.61333
1.61421
1.61510
1.61600
1.61689
1.61779
1.61868
1.61958
1.62049
1.62139
1.6'ггзо
1.62321
1.62412
1.62504
1.62595
1.62687
1.62780
1.62872
1.62965
1.63058
1.63151
1.63244
1.63338
1.63432
1.63526
1.63620
1.63715
1.63810
1.63905
1.64000
1.64096
1.64191
1.64288
1.64384
1.64481
1.64578
1.64675
1.64772
1.64870
1.64968
1.65066
1.65165
1.65263
1.65362
1.65462
1.65561
1.6S661
1.65761
1.65862
1.53076
1.52994
1.52912
1.52830
1.52748
1.52667
1.52584
1.52502
1.52420
1.52338
1.52256
1.52173
1.52091
1.52008
1.51926
1.51843
1.51760
1.51677
1.51594
1.51511
1.51428
1.51345
1.51262
1.51179
1.51096
1.51012
1.50929
1.50845
1.50762
1.50678
1.50594
1.50510
1.50426
1.50342
1.50258
1.50174
1.50090
1.50006
1.49922
1.49837
1.49753
1.49668
1.49583
1.49499
1.49414
1.49329
1.49244
1.49159
1.49074
1.48989
1007
К(к)
Е(к)
Е(к)
о.гоо
о.гог
0.204
0.206
0.208
0.210
0.212
0.214
0.216
0.Z18
0.220
о.ггг
0.224
0.226
0.228
0.230
0.232
0.234
0.236
0.238
0.240
0.242
0.244
0.246
0.248
0.250
0.252
0.254
0.256
0.258
0.260
0.262
0.264
0.266
0.268
0.270
0.272
0.274
0.276
0.278
0.280
0.282
0.284
0.286
0.288
0.290
0.292
0.294
0.296
0.298
0.400
0.402
0.404
0.406
0.408
0.410
0.412
0.414
0.416
0.418
0.420
0.422
0.424
0.426
0.428
1.65962
1.66063
1.66165
1.66266
1.66368
1.66470
1.66572
1.66675
1.66778
1.66881
1.66985
1.67089
1.67193
1.67298
1.67402
1.67507
1.67613
1.67718
1.67824
1.67931
1.68037
1.68144
1.68251
1.68359
1.68467 :
1.68575
1.68684 1
1.68792 1
1.68902 1
1.69011
1.69121 1
1.69231
1.69341
1.69452 1
1.69563
1.69675 1
1.69787 1
1.69899
1.70011 1
1.70124 1
1.70237 1
1.70351 1
1.70465
1.70579 ]
1.70694 1
1.70809 1
1.70924 1
1.71040 1
1.71156 1
1.71272 1
1.77752 1
1.77891 1
1.78030 1
1.78170 1
1.78311 1
1.78452
1.78593
1.78736
1.78878 1
1.79021
1.79165
1.79309
1.79454
1.79599
1.79745
1.48904
1.48818
1.48733
1.48647
1.48562
1.48476
1.48390
1.48305
1.48219
1.48133
1.48047
1.47961
1.47874
1.47788
L.47702
1.47615
L.47529
1.47442
1.47355
1.47269
1.47182
1.47095
1.47008
1.46921
1.46833
L.46746
1.46659
1.46571
L.46484
1.46396
1.46309
1.46221
1.46133
1.46045
1.45957
1.45869
L.45781
1.45692
1.45604
L.45515
1.45427
1.45338
1.45249
1.45161
1.45072
1.44983
1.44894
.44804
1.44715
1.44626
.39939
.39845
.39750
L.396S5
1.39560
1.39465
1.39370
1.39275
1.39179
1.39084
1.38988
1.38893
1.38797
1.38701
1.38605
0.300
0.302
0.304
0.306
0.308
0.310
0.312
0.314
0.316
0.318
0.320
0.322
0.324
0.326
0.328
0.330
0.332
0.334
0.336
0.338
0.340
0.342
0.344
0.346
0.348
0.350
0.352
0.354
0.3S6
0.358
0.360
0.362
0.364
0.366
0.368
0.370
0.372
0.374
0.376
0.378
0.380
0.382
0.384
0.386
0.388
0.390
0.392
0.394
0.396
0.398
0.500
0.502
0.504
0.506
0.508
0.510
0.512
0.514
0.516
0.518
0.520
0.522
0.524
0.526
0.528
1.71389
1.71506
1.71624
1.71742
1.71860
1.71978
1.72098
1.72217
1.72337
1.72457
1.72578
1.72699
1.72820
1.72942
1.73064
1.73186
1.73309
1.73433
1.73557
1.73681
1.73806
1.73931
1.74056
1.74182
1.74308
1.74435
1.74562
1.74690
1.74818
1.74946
1.7SO75
1.75205
1.75335
1.75465
1.75596
1.75727
1.75859
1.75991
1.76123
1.76256
1.76390
1.76524
1.76658
1.76793
1.76929
1.77065
1.77201
1.77338
1.77476
1.77613
1.85407
1.85577
1.85748
1.85919
1.86091
1.86264
1.86438
1.86612
1.86787
1.86963
1.87140
1.87318
1.87496
1.87675
1.87855
1.44536
1.44447
1,44357
1.44267
1.44178
1.44088
1.43998
1.43907
1.43817
1.43727
1.43637
1.43546
1.43456
1.43365
1.43274
1.43183
1.43092
1.43001
1.42910
1.42819
1.42727
1.42636
1.42544
1.42453
1.42361
1.42269
1.42177
1.42085
1.41993
1.41901
1.41808
1.41716
1.41623
1.41531
1.41438
1.41345
1.41252
1.41159
1.41066
1.40972
1.40879
1.40786
1.40692
1.40598
1.40504
1.40411
1.40316
1.40222
1.40128
1.40034
1.35064
1.34964
1.34863
1.34762
1.34661
1.34559
1.34458
1.34356
1.34254
1.34153
1.34051
1.33948
1.33846
1.33744
1.33641
1008
К(к)
E(k)
K(k)
E(k)
0.430
0.432
0.434
0.436
0.438
0.440
0.442
0.444
0.446
0.448
0.4S0
0.452
0.454
0.456
0.458
0.460
0.462
0.464
0.466
0.468
0.470
0.472
0.474
0.476
0.478
0.480
0.482
0.484
0.486
0.488
0.490
0.492
0.494
0.496
0.498
0.600
0.602
0.604
0.606
0.608
0.610
0.612
0.614
0.616
0.618
0.620
0.622
0.624
0.626
0.628
0.630
0.632
0.634
0.636
0.638
0.640
0.642
0.644
0.646
0.648
0.650
0.652 .
0.654
0.656
0.658
1.79892
1.80039
1.80186
1.80335
1.B0483
1.80633
1.80783
1.80933
1.81084
1.81236
1.81388
1.81541
1.81695
1.81849
1.82004
1.82159
1.82315
1.82472
1.82629
1.82787
1.82946
1.83105
1.83265
1.83426
1.83587
1.83749
1.83912
1.84075
1.84239
1.84404
1.84569
1.84736
1.84902
1.85070
1.85238
1.94957
1.95173
1.95391
1.95610
1.95831 1
1.96052
1.96275
1.96499
1.96724
1.96951
L.97178 ]
1.97407 1
1.97638 1
L.97870 1
I.98103 1
L.98337 1
1.98573 1
L 98810 1
1.99049 1
1.99289 1
1.99530 1
1.99773 1
!.00018 1
'.00264 1
г. 005U 1
г.оо7бо 1
г.oioio 1
'.01262 1
'.01516 1
!.01771 1
1.38509
1.38412
1.38316
1.38219
1.38123
1.38026
1.37929
1.37832
1.37735
1.37638
1.37540
1.37443
1.37345
1.37247
1.37149
1.37051
1.36953
1.36855
1.36757
1.36658
1.36560
1.36461
1.36362
1.36263
1.361С4
1.36064
1.35965
1.35866
1.35766
1.35666
1.35566
1.35466
1.35366
1.35265
1.35165
1.29843
1.29734
I.29625
L.29516
L.29407
1.29298
1.29188
L.29079
1.28969
1.28859
1.28748
I.28638
L.28527
1.28416
1.28305
.28194
.28083
.27971
.27859
.27747
.27635
.27523
.27410
.27297
1.27184
.27071
1.26957
1.26844
.26730
1.26616
0.530
0.532
0.534
0.536
0.538
0.540
0.542
0.544
0.546
0.S48
0.550
0.552
0.554
0.556
0.558
0.S60
0.562
0.564
0.566
0.S68
0.570
0.572
0.574
0.576
0.578
0.580
0.582
0.584
0.586
0.588
0.590
0.592
Of. 594
0.596
0.598
0.700
0.702
0.704
0.706
0.708
0.710
0.712
0.714
0.716
0.718
0.720
0.722
0.724
0.726
0.728
0.730
0.752
0.734
0.736
0.738
0.740
0.742
0.744
0.746
0.748
0.750
0.752
0.754
0.756
0.758
1.88036
1.88218
1.88400
1.88584
1.88768
1.88953
1.89139
1.89326
1.89514
1.89703
1.89892
1.90083
1.90275
1.90467
1.90660
1.90855
1.91050
1.91246
1.91444
1.91642
1.91841
1.92041
1.92243 1
1.92445 '
1.92648
1.92853
1.93058
1.93265
1.93472 1
1.93681 1
1.93891 1
1.94102 1
1.94314 1
1.94527 1
1.94741 1
2.07536
2.07832
2.08130 1
2.08430
2.08733 1
2.09037
2.09344
2*09653
2.09965 1
2.10279
2.10595
2.10913
2.11235
2.11558
2.11884
2.12213
2.12545 1
2.12879 1
2.13215 1
2.13555 1
2.13897 1
2.14242 1
2.14590 1
2.14941 1
2.15295 1
2.15652 1
2.16011 1
2.16374 1
2.16741 1
2.17110 1
1.33538
1.33435
1.33332
1.33229
1.33126
1.33022
1.32919
1.32815
1.32711
1.32607
1.32502
1.32398
1.32293
1.32189
1.32084
1.31979
1.31874
1.31768
1.31663
1.31557
1.31451
1.31345
1.31239
1.31132
1.31026
1.30919
1.30812
1.30705
1.30598
1.30491
1.30383
.30275
1.30168
.30059
.29951
1.24167
1.24048
1.23928
1.23809
1.23689
1.23568
1.23448
1.23327
1.23206
1.23085
1.22963
1.22841
1.22719
1.22597
1.22474
1.22351
1.22228
1.22104
1.21981
1.21856
.21732
.21607
1.21482
.213S7
.21232
.21106
.20979
.20853
.20726
.20599
1009
Е(к)
К(к)
Е(к)
0.660
0.662
0.664
0.666
0.668
0.670
6.672
0.674
0.676
0.678
0.680
0.682
0.684
0.686
0.688
0.690
0.692
0.694
0.696
0.698
0.800
0.802
0.804
0.806
0.808
0.810
0.812
0.814
0.816
0.818
0.820
0.822
0.824
0.826
0.828
0.830
0.832
0.834
0.836
0.838
0.840
0.842
0.844
0.846
0.848
0.850
0.852
0.854
0.856
0.858
0.860
0.862
0.864
0.866
0.868
0.870
0.872
0.874
0.876
0.878
0.880
0.882
0.884
0.886
0.888
2.02028
2.02286
2.02546
2.02808
2.03072
2.03337
2.03604
2.03873
2.04143
2.04415
2.04689
2.04965
2.05243
2.05523'
2.05805
2.06088
2.06374
2.06661
2.06951
2.07243
2.25721
2.26177
2.26639
2.27106
2.27578
2.28055
2.28537
2.29025
2.29519
2.30018
2.30523
2.31034
2.31551
2.32075
2.32605
2.33141
2.33684
2.34234
2.34791
2.35355
2.35926
2.36505
2.37092
2.37687
2.38290
2.38902
2.39522
2.40151
2.40789
2.41436
2.42093
2.42760
2.43438
2.44125
2.44824
2.45534
2.46255
2.46988
2.47734
2.48492
2.49264
2.50048
2.50847
2.51661
2.52489
1.26501
1.26387
1.26272
1.26157
1.26042
1.25926
1.25811
1.2569S
1.25579
1.25462
1.25346
1.25229
1.25112
1.24995
1.24877
1.24759
1.24641
1.24523
1.24405
1.24286
1.17849
1.17714
1.17579
1.17443
1.17306
1.17170
1.17033
1.16895
1.16757
1.16619
1.16480
1.16341
1.16201
1.16061
1.15920
1.15779
1.15637
1.15495
1.15352
1.15209
1.15066
1.14921
1.14777
1.14632
1.14486
1.14340
1.14193
1.14045
1.13897
1.13749
1.13600
1.13450
1.13300
1.13149
1.12997
1.12845
1.12692
1.12539
1.12385
1.12230
1.12074
1.11918
1.11761
1.11603
1.11445
0.760
0.762
0.764
0.766
0.768
0.770
0.772
0.774
0.776
0.778
0.780
0.782
0.784
0.786
0.788
0.790
0.792
0.794
0.796
0.798
0.900
0.902
0.904
0.906
0.908
0.910
0.912
0.914
0.916
0.918
0.920
0.922
0.924
0.926
0.928
0.930
0.932
0.934
0.936
0.938
0.940
0.942
0.944
0.946
0.'948
0.950
0.952
0.954
0.956
0.958
0.960
0.962
0.964
0.V6*
0.96в
0.970
0.972
0.974
0.976
0.978
0.980
0.982
0.984
0.986
0.988
2.17483
2.17859
2.18238
2.18621
2.19007
2.19397
2.19791
2.20188
2.20589
2.20994
2.21402
2.21815
2.22232
2.22652
2.23077
2.23507
2.23940
2.24379
2.24821
2.25269
2.57809
2.58760
2.59732
2.60724
2.61739
2.62777
2.63840
2.64927
2.66042
2.67184
2.68355
2.69557
2.70792
2.72060
2.73365
2.74707
2.76090
2.77515
2.78986
2.80505
2.82075
2.83700
2.85384
2.87131
2.88946
2.90834
2.92801
2.948S4
2.97001
2.99250
3.01611
3.04097
3.06720
3.09496
3.12445
3.15587
3.18951
3.22569
3.26482
3.30742
3.35414
3.40587
3.46378
3.S2953
3.60556
1.20471
1.20344
1.20215
1.20087
1.19958
1.19829
1.19700
1.19570
1.19440
1.19309
1.19178
1.19047
1.18915
1.18783
1.18651
1.18518
1.18385
'.18252
1.18118
1.17984
1.10477
1.10313
1.10148
1.09982
1.09816
1.09648
1.09479
1.09309
1.09138
1.08967
1.08794
1.08620
1.08445
1.08268
1.08091
1.07912
1.07732
1.07551
1.07368
1.07184
1.06999
1.06812
1.06623
1.06433
1.06241
1.06047
1.05852
1.05655
1.05455
1.05254
1.05050
1.04844
1.04636
1.04425
1.04211
1.03995
1.03775
1.03552
1.03325
1.03094
1.02859
1.02620
1.02375
1.02123
1.01865
1010
к2
К(к)
Е(к)
К(к)
Е(к)
0.890 2.53333 1.11286
0.892 2.5*19* 1.11126
0.89* 2.55071 1.10965
0.896 2.55965 1.10803
0.898 2.56878 1.106*1
0.V90 3.69563 1.01599
0.992 3.80607 1.01323
0.99* 3.9*872 1.01035
0.996 4.15018 1.00730
0.998 *.*953* 1.00*00
1.000
1.00000
Определение полного эллиптического интеграла второго рода:
= J A - kzsin26)de, k * \.
Примеры. Интеграл Е(?), используемый при рассмотрении эллиптической
трещины.
"»1/2
При а ? Ь k = 1 - -М
I- a -*
При а < b, вводя преобразование
л Ьг{. а2] „ fl ^
- о" ~ Тг\ ° ~ 5 '
получим
h
где
1/2
Приближенное выражение [1]:
1.65-, 1/2
J
г г. -.1.65-, 1/2
E{k) * Ф(к) = 11 + 1.464 [^ I J при Ь/а * 1,
г Г/,-, 1.65-, 1/2
Е<&) « Ф(Л) = 11 + 1.464[g] I при Ь/а > 1.
Сравнение между Е(?) и Ф(/г) приводится на нижеследующих рисунке
и таблице.
1011
1.6
Е(Ю
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.0
0.5
1.0
Рис. А1. Зависимость Е'(Аг) от Ь/а.
а
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Е(к)
Е(к)
1.0000
1.0160
1.0505
1.0965
1.1507
1.2111
1.2763
1.3456
1.4181
1.4933
1.5708
Ф(к)
•(И
1.0000
1.0163
1.0502
.0958
.1501
1.2110
1.2768
.3464
4188
.4935
.5697
1012
ЛИТЕРАТУРА
1. Merkle JiG. A review of some of the existing stress intensity
factor solutions for part-through surface crack.
ORNL-TM-3983, Oak Ridge National Laboratory, Jan. 1973.
1013
Справочное издание
СПРАВОЧНИК ПО КОЭФФИЦИЕНТАМ
ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ
В 2-х томах. Т. 2
Под ред. Юкитаки Мураками
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В.И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А.С. Попов
Ст. научный редактор П.Я. Корсоюцкая
Художники В.А. Медников, B.C. Александрова, Н.С. Гурджи
Художественный редактор В.И. Шаповалов
Технический редактор В.Н. Ефросимова
Корректор Е.В. Морозова
ИБ № 7917
Подписано к печати 5.07.90. Формат 70 х 100 У\ь. Бумага офсетная № 1. Гарнитура тайме.
Печать офсетная. Объем 17,75 бум. л. Усл. печ. л. 46,15. Усл. кр.-отт. 92,30. Уч.-изд. л. 26,99.
Изд. № 1/8091. Тираж 2500 экз. Зак.ШО. Цена 2 р. 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по печати. Оригинал-макет подготовлен Т.Ю. Дехтяревой
и Л.А. Королевой на персональном компьютере и отпечатан на лазерном принтере в издательстве «Мир».
129820, ГСП, Москва И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Можайский полиграфкомбинат В/О «Совэкспорткнига» Государственного комитета СССР по печати.
143200, Можайск, ул. Мира, 93.