Предисловие редакторов русского перевода
Библиографический список
Дополнительный список литературы
Содержание “Principia Mathematica”
Предисловие к третьему тому
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ
*251. Ординальные числа
*252. Сегменты вполне упорядоченных серий
*253. Отношения между сечениями вполне упорядоченных серий
*254. Больше и меньше среди вполне упорядоченных серий
*255. Больше и меньше среди ординальных чисел
*256. Серии ординалов
*257. Трансфинитные родовые отношения
*258. Теорема Цермело
*259. Индуктивно определенные корреляции
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ
*261. Конечные и бесконечные серии
*262. Финитные ординалы
*263. Прогрессии
*264. Производные вполне упорядоченных серий
*265. Серии алефов
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ
*271. Срединные классы в сериях
*272. Подобие расположения
*273. Рациональные серии
*274. О серии финитных подклассов серии
*275. Непрерывные серии
*276. О серии бесконечных подклассов серии
ЧАСТЬ VI. КОЛИЧЕСТВА
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ
*301. Степени отношений, определенные численно
*302. О взаимно простых числах
*303. Пропорции
*304. Серии пропорций
*305. Умножение простых пропорций
*306. Сложение простых пропорций
*307. Обобщенные пропорции
*308. Сложение обобщенных пропорций
*309. Умножение обобщенных пропорций
*310. Серии действительных чисел
*311. Сложение согласованных вещественных чисел
*312. Алгебраическое сложение вещественных чисел
*313. Умножение вещественных чисел
*314. Действительные числа как отношения
ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА
*331. Связные семейства
*332. Представитель отношения в семействе
*333. Открытые семейства
*334. Сериальные семейства
*335. Инициальные семейства
*336. Серии векторов
*337. Кратные и доли векторов
ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ
*351. Делимые семейства
*352. Рациональные кратные данного вектора
*353. Рациональные семейства
*354. Рациональные решетки
*356. Измерение вещественными числами
*359. Теоремы существования для вектор-семейств
ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА
*371. Серии векторов
*372. Целые части серий векторов
*373. Делители тождества
*374. Главные доли
*375. Главные пропорции
Указатель определений
Text
                    


ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
PRINCIPIA MATHEMATICA BY ALFRED NORTH WHITEHEAD, Sc.D., F.R.S. FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE, PROFESSOR OF PHILOSOPHY IN HARVARD UNIVERSITY, AND SOMETIME PROFESSOR OF APPLIED MATHEMATICS IN THE IMPERIAL COLLEGE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY AND BERTRAND RUSSELL, M.A., F.R.S. LATE LECTURER AND LATE FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE VOLUME III SECOND EDITION CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS 1927
АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД БЕРТРАН РАССЕЛ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В трех томах Том III Перевод со второго английского издания Ю.Н. Радаева, А.В. Ершова, Р.А. Ревинского, И.С. Фролова Под редакцией доктора физико-математических наук, профессора Г.П. Ярового; доктора физико-математических наук, профессора Ю.Н. Радаева ИЗДАТЕЛЬСТВО “САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 2006
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК 517.11 ББК 22.12 К 13 Уайтхед А., Рассел Б. К 13 Основания математики: в 3 т. Т. III / А. Уайтхед, Б. Рассел; пер. с англ.; под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во “Самарский универ- ситет”, 2006. 460 с. ISBN 5-86465-359-4 (общ.) ISBN 5-86465-362-4 (т. Ill) Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела “ Principia Mathematical занимает уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое английское издание вышло в свет в 1910-1913 гг. в трех томах, составлявших вместе почти 2000 страниц. “Principia Mathematical по праву считается одним из самых ярких сочинений по осно- ваниям математики и в широком смысле — выдающимся вкладом в интеллектуальную сферу прошедшего столетия. Не будет преувеличением сказать, что по прошествии почти целого столетия с момента первого издания этой монографии интерес к ней не ослабевает, и “Principia Mathematical до сих пор продолжает оказывать весьма су- щественное влияние на развитие математики и логики. Третий том этой монографии выходит в свет в рамках перспективного проекта, реализуемого Самарским государ- ственным университетом, по полному переводу на русский язык и комментированию указанного сочинения с целью приобщения всего научного сообщества к этому выда- ющемуся образцу творческой мысли. Перевод первого тома был выполнен в 2004 г., второго —в 2005 г. Предполагается, что современный перевод на русский язык “Prin- cipia Mathematical восполнит также существующий пробел в литературе по матема- тической логике и основаниям математики. Работа А. Уайтхеда и Б. Рассела, являясь фундаментальным руководством, несомненно принадлежит к числу лучших книг всей мировой литературы по основаниям математики, из которой можно извлечь основные каноны преподавания математической логики, теории формальных систем и теории множеств. УДК 517.11 ББК 22.12 ISBN 5-86465-359-4 (общ.) ISBN 5-86465-362-4 (т.Ш) © Cambridge University Press, 1927 © Радаев Ю.Н., Ершов А.В., РевинскийР.А., Фролов И.С., перевод на русский язык, 2006 © Самарский государственный университет, 2006 © Изд-во “Самарский университет”, оформление, 2006
Содержание Предисловие редакторов русского перевода 9 Библиографический список 13 Дополнительный список литературы 14 Содержание “Principia Mathematica” 18 Предисловие к третьему тому 25 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ 27 * 250. Элементарные свойства вполне упорядоченных серий........ 31 * 251. Ординальные числа....................................... 43 * 252. Сегменты вполне упорядоченных серий..................... 50 * 253. Отношения между сечениями вполне упорядоченных серий ... 54 * 254. Больше и меньше среди вполне упорядоченных серий........ 64 * 255. Больше и меньше среди ординальных чисел................. 75 * 256. Серии ординалов......................................... 88 * 257. Трансфинитные родовые отношения......................... 95 * 258. Теорема Цермело.........................................109 * 259. Индуктивно определенные корреляции......................114 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ 119 * 260. О финитных интервалах в серии...........................120 * 261. Конечные и бесконечные серии............................128 * 262. Финитные ординалы.......................................139 * 263. Прогрессии..............................................149 * 264. Производные вполне упорядоченных серий..................160 * 265. Серии алефов............................................171 А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
6 СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 181 * 270. Компактные серии....................................182 * 271. Срединные классы в сериях...........................187 * 272. Подобие расположения ...............................192 * 273. Рациональные серии..................................199 * 274. О серии финитных подклассов серии...................206 * 275. Непрерывные серии ..................................216 * 276. О серии бесконечных подклассов серии................219 ЧАСТЬ VI. КОЛИЧЕСТВА 227 Введение к части VI ........................................229 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ 231 * 300. Положительные и отрицательные целые числа и числовые отношения...................................................233 * 301. Степени отношений, определенные численно............241 * 302. О взаимно простых числах............................247 * 303. Пропорции...........................................255 * 304. Серии пропорций.....................................270 * 305. Умножение простых пропорций.........................275 * 306. Сложение простых пропорций..........................280 * 307. Обобщенные пропорции................................286 * 308. Сложение обобщенных пропорций ......................288 * 309. Умножение обобщенных пропорций......................296 * 310. Серии действительных чисел..........................301 * 311. Сложение согласованных вещественных чисел...........304 * 312. Алгебраическое сложение вещественных чисел..........310 * 313. Умножение вещественных чисел........................315 * 314. Действительные числа как отношения..................317 ГЛАВА 2. ВЕКТОР-СЕМЕЙСТВА 321 * 330. Элементарные свойства вектор-семейств...............331 * 331. Связные семейства...................................339 * 332. Представитель отношения в семействе.................345 * 333. Открытые семейства..................................353 * 334. Сериальные семейства................................359 * 335. Инициальные семейства...............................365 * 336. Серии векторов......................................368 * 337. Кратные и доли векторов.............................376 ГЛАВА 3. ИЗМЕРЕНИЯ 379 * 350. Пропорции элементов семейства.......................384 * 351. Делимые семейства...................................389 * 352. Рациональные кратные данного вектора ...............393 * 353. Рациональные семейства..............................400 * 354. Рациональные решетки................................404 * 356. Измерение вещественными числами ....................409 * 359. Теоремы существования для вектор-семейств...........418 Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ 7 ГЛАВА 4. ЦИКЛИЧЕСКИЕ СЕМЕЙСТВА 423 * 370. Элементарные свойства циклических семейств........428 * 371. Серии векторов....................................431 * 372. Целые части серий векторов........................434 * 373. Делители тождества................................438 * 374. Главные доли......................................446 * 375. Главные пропорции.................................448 Указатель определений 453 А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА Настоящая книга представляет собой перевод на русский язык завер- шающего третьего тома известной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела “ Principia Mathematical. Перевод первого и второго томов был выполнен соответственно в 2004 и 2005 гг., а их издание было осуществлено изда- тельством “Самарский университет” в 2005 и 2006 гг.1 Вряд ли нужно еще раз говорить о поистине необъятном материале, свя- занном с проблемами оснований математики. Когда мы приступали к реа- лизации проекта по полному переводу на русский язык “ Principia Mathe- matical, нам казалось, что в наше время задача книги такого типа состоит в том, чтобы показать историю развития научных идей, располагающих- ся в основе всего математического знания, напомнить читателю некоторые из забытых проблем, а все еще актуальные — рассмотреть под несколько необычным углом зрения, опираясь на интеллектуальный ресурс того сто- летия, которое минуло с момента написания книги. Вряд ли необходимо говорить также о том, нужно ли было при перево- де сохранять архаичную терминологию и обозначения или переизложить все на современном математическо-логическом языке. В этом вопросе мы отступили от компромиссного решения: оригинальная терминология и си- стема обозначений “ Principia Mathematical воспроизводятся в точном со- ответствии с первоисточником на протяжении всех 194-х параграфов, со- 2 ставляющих это трехтомное сочинение . * 2 хСм.: Основания математики: в 3 т. Т. I / А. Уайтхед, Б. Рассел; пер. с англ.; под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во “Самарский университет”, 2005. 722 с.; Они же. Основания математики: в 3 т. Т. II / пер. с англ.; под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во “Самарский университет”, 2006. 738 с. 2Ясно, что терминология и символика “ Principia Mathematical представляют также существенный интерес для историков науки.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА Работа А. Уайтхеда и Б. Рассела, являясь фундаментальным руковод- ством, несомненно принадлежит к числу лучших книг всей мировой на- учной литературы по основаниям математики, из которой можно извлечь основные каноны преподавания математической логики, теории формаль- ных систем и теории множеств. Это трехтомное сочинение оказало большое влияние на развитие всей математической культуры. Мы уверены в том, что яркая книга А. Уайтхеда и Б. Рассела после издания на русском языке приобретет еще большее число поклонников, которые при ее чтении будут испытывать восхищение от синтеза идей философии, логики и математики, пронизывающего весь этот труд. При переводе были исправлены замеченные опечатки и неточности, ча- ще всего без всяких особых указаний на это. Для удобства мы поместили сразу за этим предисловием библиографический список по математической логике и основаниям математики, затем — подробное содержание всех трех томов “Principia Mathematical, а также (в конце этого тома) указатель определений, помещенный А. Уайтхедом и Б. Расселом в первый том. Коллектив переводчиков и редакторов отчетливо осознавал, что в про- цессе многолетней работы над переводом и научным редактированием важ- но сохранить первоначальные подходы и принципы, определяющие содер- жание нового прочтения на русском языке “ Principia Mathematical. Работа распределилась между переводчиками следующим образом: Ю.Н. Радаевым переведены: все вводные разделы первого тома; гл. 2 части I (*9-*14); гл. 3 части III (*118-*126); гл. 1, 2 части IV (*150-*166); гл. 2, 3 части V (*210-*234); гл. 5, 6 части V (*260-*276); И.С. Фроловым переведены: гл. 1 части I (*1-*5); гл. 3-5 части I (*20-*43); гл. 1-5 части II (*50-*97); приложения 1-3 к первому тому; гл. 2-4 части VI *330-*375; А.В. Ершовым переведены: гл. 1, 2 части III (*100-*117); гл. 3, 4 ча- сти IV (*170-*186); гл. 1 части V (*200-*208); гл. 4 части V (*250-*259); Р.А. Ревинским переведены: гл. 1 части VI (*300-*314). Подготовка перевода к изданию осуществлялась средствами издатель- ской системы ЬМёХ2е, для чего И.С. Фроловым были специально разра- ботаны соответствующие коды, существенно облегчившие технологический цикл подготовки рукописи перевода к напечатанию. На редакторах перевода лежала нелегкая задача обеспечения единого стиля изложения и выработки адекватной терминологии, вписывающейся в современные представления об основаниях математики, сохраняя при этом стиль, присущий оригиналу. Ясно, что необходимо было также обес- печить преемственность в условиях, когда различные разделы книги пере- водились специалистами из разных областей математики. Насколько мы справились с этой задачей, судить читателям книги. Мы надеемся, что выход в свет третьего тома книги А. Уайтхеда и Б. Рассела на русском языке будет так же, как и издание перевода двух Principia Mathematica III
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 11 предшествующих томов, с удовлетворением воспринят всеми, кто интересу- ется ролью математики в современном научном поиске и основаниями са- мого математического знания, глубочайший анализ которых был дан в си- стеме “Principia Mathematical. Редакторы перевода и коллектив перевод- чиков с признательностью примут пожелания, предложения и критические замечания читателей, относящиеся ко всем трем томам русского перевода. Мы надеемся также, что выход в свет третьего тома книги А. Уайтхеда и Б. Рассела окажет заметное влияние на различные стороны развития ма- тематической логики, теории множеств и исследования по основаниям ма- тематики, в частности, воздействуя на характер преподавания указанных наук в классических российских университетах. Г. Яровой, Ю. Радаев Самара, апрель 2006 г. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

Библиографический список [1] Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994. 396 с. [2] Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. М.: Изд-во иностр, лит., 1947. 304 с. [3] Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. 492 с. [4] Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисле- ния и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. 560 с. [5] Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказа- тельств. М.: Наука, 1982. 656 с. [6] Гладкий А.В. Математическая логика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 1998. 479 с. [7] Гудстейн Р.Л. Математическая логика. М.: Изд-во иностр, лит., 1961. 164 с. [8] Гудстейн Р.Л. Рекурсивный математический анализ. М.: Наука, 1970. 472 с. [9] Карри X. Основания математической логики. М.: Мир, 1969. 568 с. [10] Клини С.К. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр, лит., 1957. 526 с. [11] Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973. 480 с. [12] Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Введение в математическую логику. М.: Изд-во МГУ, 1982. 120 с. [13] Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. Дополни- тельные главы. М.: Изд-во МГУ, 1984. 120 с.3 [14] Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с. 3Эта работа, вместе с предыдущей, недавно была издана в форме книги, входя- щей в серию “Классический университетский учебник”, основанную в 2002 г. и по- священную 250-летию Московского государственного университета: Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М.: Едиториал УРСС, 2004. 240 с. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
14 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ [15] Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир, 1968. 128 с. [16] Математическая теория логического вывода: Сб. переводов. М.: Наука, 1967. 352 с. [17] Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971. 320 с. [18] Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Физматлит, 1959. 400 с. [19] Столл Р.Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просве- щение, 1968. 232 с. [20] Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и тео- рия множеств. М.: Прогресс, 1965. 368 с. [21] Смальян Р. Теория формальных систем. М.: Наука, 1981. 208 с. [22] Такеути Г. Теория доказательств. М.: Мир, 1978. 416 с. [23] Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Гос. изд-во иностр, лит-ры, 1948. 326 с. [24] Успенский В.А. Лекции о вычислимых функциях. М.: Физматгиз, 1960. 492 с. [25] Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. 112 с. [26] Успенский В.А. Машина Поста. М.: Наука, 1988. 96 с. [27] Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966. 556 с. [28] Черч А. Введение в математическую логику. Т. I. М.: Изд-во иностр, лит., 1960. 488 с. [29] Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975. 528 с. [30] Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры ло- гики и классы Поста. М.: Наука, 1966. 120 с. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Философская энциклопедия. Т. I-V. (гл. ред. Ф.В. Константинов). М: Советская энциклопедия. Т. I, 1960; Т. II, 1962; Т. III, 1964; Т. IV, 1967; Т. V, 1970. См. статьи: Аксиома (т. I, с. 31, 32); Алгебра логи- ки (т. I, с. 33-38); Алгоритм (т. I, с. 38-42); Бесконечная индукция (т. I, с. 153, 154); Буль (т. I, с. 199, 200); Вывод (т. I, с. 307-310); Высказывание (т. I, с. 312, 313); Гедель (т. I, с. 338); Гливенко (т. I, с. 374, 375); Дедукция (т. I, с. 440, 441); Джевонс (т. I, с. 469, 470); Principia Mathematica III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 15 Жегалкин (т. II, с. 126, 127); Изоморфизм (т. II, с. 246-249); Интер- претация (т. II, с. 296, 297); Интуиционизм (т. II, с. 300-302); Исчис- ление (т. II, с. 387-390); Категорическое суждение (т. II, с. 476); Кате- горичность системы аксиом (т. II, с. 476); Квантификация предиката (т. II, с. 485, 486); Квантор (т. II, с. 486, 487); Конструктивное направ- ление (в математической логике) (т. III, с. 50, 51); Лейбниц (т. III, с. 161-165); Логика высказываний (т. III, с. 205-209); Логическая ис- тинность (т. III, с. 230, 231); Логическая семантика (т. III, с. 231, 232); Логический синтаксис (т. III, с. 241); Логическое исчисление (т. III, с. 246); Математическая индукция (т. III, с. 338-340); Математическая логика (т. III, с. 340-342); Метод аксиоматический (т. III, с. 416-418); Многозначная логика (т. III, с. 472-474); Модальная логика (т. III, с. 475-478); Натуральное исчисление (т. III, с. 560, 561); Независи- мость (т. IV, с. 16); Неполная индукция (т. IV, с. 55, 56); Непроти- воречивость (т. IV, с. 59-61); Неразрешимая формула (т. IV, с. 61, 62); Отрицание (т. IV, с. 186-188); Пеано (т. IV, с. 229); Пирс (т. IV, с. 255-257); Полнота (т. IV, с. 302); Полнота функциональная (т. IV, с. 303, 304); Полнота дедуктивная (т. IV, с. 351); Понятие (т. IV, с. 311-318); Порецкий (т. IV, с. 321); Посылка (т. IV, с. 327); Правила вывода (т. IV, с. 330); Правило замены равного равным (т. IV, с. 330, 331); Предваренная форма (т. IV, с. 350); Предикат (т. IV, с. 303, 304); Предикатов исчисление (т. IV, с. 351-356); Принцип замещения (т. IV, с. 366); Принцип исключенного третьего (т. IV, с. 367, 368); Равенство (т. IV, с. 445, 446); Разрешения проблемы (т. IV, с. 459, 460); Рассел (т. IV, с. 467, 468); Рекурсивные функции и предикаты (т. IV, с. 487-489); Секвенций исчисление (т. IV, с. 573); Семантика (т. IV, с. 576); Семиотика (т. IV, с. 577, 578); Синтаксис (т. V, с. 15); Суждение (т. V, с. 159-162); Схема аксиом (т. V, с. 170); Тавтология (т. V, с. 177, 178); Теорема (т. V, с. 203, 204); Теорема о дедукции (т. V, с. 204); Типов теория (т. V, с. 233, 234); Тождества закон (т. V, с. 237); Тождества проблема (т. V, с. 237); Тождественная истинность (т. V, с. 237, 238); Тождество (т. V, с. 238-241); Умозаключение (т. V, с. 276); Формальная логика (т. V, с. 392, 393); Формальная система (т. V, с. 393); Фреге (т. V, с. 409, 410). 2. Математическая энциклопедия. Т. I-V. (гл. ред. акад. И.М. Виногра- дов). М: Советская энциклопедия. Т. I, 1977; Т. II, 1979; Т. III, 1982; Т. IV, 1984; Т. V, 1985. См. статьи: Аксиом схема (т. I, 102, 103); Ак- сиоматический метод (т. I, 109-113); Алгебра логики (т. I, 123-129); Алгоритм (т. I, 202-206); Алгоритмическая проблема (т. I, 214-218); Антиномия (т. I, 292-296); Арифметика формальная (т. I, 319-321); Бесконечная индукция (т. I, 434, 435); Булевы функции (т. I, 553, 554); Вывод (т. I, 779, 780); Вывода правило (т. I, 779); Выводимое правило (т. I, 781); Вычислимая функция (т. I, 818-821); Геделя тео- рема о неполноте (т. I, 909, 910); Геделя теорема о полноте (т. I, 910, 911); Дедукции теорема (т. II, 65, 66); Индивидная константа (т. II, А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
16 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 555); Индивидная переменная (т. II, 555, 556); Индуктивное определе- ние (т. II, 556, 557); Индукции аксиома (т. II, 558); Карнапа правило (т. II, 728, 729); Квантор (т. II, 837); Логико-математические исчис- ления (т. III, 411-415); Логическая аксиома (т. III, 415); Логическая операция (т. III, 416); Логическая формула (т. III, 416); Логические исчисления (т. III, 416-420); Логический закон (т. III, 420); Логиче- ское следствие (т. III, 420); Математическая логика (т. III, 568-574); Многозначная логика (т. III, 713-720); Модус поненс (т. III, 790, 791); Наименьшего числа оператор (т. III, 875, 876); Нормальный алгорифм (т. III, 1072, 1073); Общезначимость (т. III, 1147); Общерекурсивная функция (т. III, 1147); Пеано аксиомы (т. IV, 227, 228); Перечислимое множество (т. IV, 265); Пирса стрелка (т. IV, 287, 288); Предварен- ная формула (т. IV, 555, 556); Предикат (т. IV, 576, 577); Предикат- ная переменная (т. IV, 577); Предикатный символ (т. IV, 577); Пре- дикатов исчисление (т. IV, 577-580); Примитивная рекурсия (т. IV, 636); Примитивно рекурсивная функция (т. IV, 636, 637); Пропозици- ональная связка (т. IV, 698); Пропозициональная форма (т. IV, 698); Пропозициональная формула (т. IV, 698); Пропозициональное исчис- ление (т. IV, 699, 700); Противоречие (т. IV, 720, 721); Разрешения проблема (т. IV, 850); Разрешимое множество (т. IV, 852); Разреши- мый предикат (т. IV, 852); Рекурсивная функция (т. IV, 960, 961); Рекурсивный предикат (т. IV, 962); Рекурсия (т. IV, 962-965); Семан- тика (т. IV, НЮ); Синтаксис (т. IV, 1181, 1182); Суждение (т. V, 269); Терм (т. V, 338); Типов теория (т. V, 351-353); Тьюринга маши- на (т. V, 456-458); Формальная система (т. V, 639, 640); Формальный язык (т. V, 636-638); Черча тезис (т. V, 855); Шеффера штрих (т. V, 894); 3. Кондаков И.И. Логический словарь—справочник. М.: Наука, 1976. 720 с. См. статьи: Аксиомы арифметики (23, 24); Аксиомы исчисле- ния высказываний (24); Аксиомы Пеано для натуральных чисел (24); Алгоритм (30-32); Вывод (101, 102); Исчисление (220); Исчисление высказываний (221-227); Исчисление предикатов (228-231); Кванти- фикация предиката (242, 243); Кванторные правила (243); Кванторы (243, 244); Лейбниц (278, 279); Математическая индукция (333); Ма- тематическая логика (333, 341); Машины Тьюринга (345, 346); Modus ponendo tollens (361); Modus ponens (361, 362); Modus tollendo ponens (362); Modus tollens (362); Натурального вывода система (374, 375); Натуральное число (375, 376); Непротиворечивость (385); Общезна- чимая формула исчисления предикатов (399); Общезначимость (399); Омега-непротиворечивая теория (405); Основные законы логики вы- сказываний и предикатов (416); Парадокс (431-433); Пеано (436, 437); Полная индукция (453, 454); Полнота системы аксиом (454); Пра- вило подстановки (470); Предикат (473); Пропозициональная форма (482); Пропозициональные связки (483, 484); “Principia Mathematica” (500, 501); Равенство (504); Рассел (512); Свободная переменная (524); Principia Mathematica III
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 17 Связанная переменная (524); Силлогизм (528-533); Символика мате- матической логики (534-540); Система аксиом Пеано (545); Система аксиом Фреге (545, 546); Стрелка Пирса (571); Таблица истинности (584, 585); Тавтология (585-587); Теорема (588, 589); Теорема дедук- ции (589); Терм (594); Формальная система (651); Формула (652, 653); Фреге (654); Штрих Шеффера (672, 673). 4. Рейтинг А. Интуиционизм. Введение. М.: Мир, 1965. 200 с. 5. Гильберт Д. Основания геометрии. М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. 492 с. 6. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с. 7. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. 152 с. 8. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М.: Сов. радио, 1980. 128 с. 9. Мартин-Леф П. Очерки по конструктивной математике. М.: Мир, 1975. 136 с. 10. Математическая теория логического вывода: Сб. переводов. М.: Нау- ка, 1967. 352 с. 11. Новиков П.С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. М.: Наука, 1977. 328 с. 12. Редже Т. Этюды о вселенной. М.: Мир, 1985. 191 с. См. статью: Курт Гедель (С. 176-180). 13. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств. М.: Прогресс, 1965. 368 с. 14. Смальян Р. Теория формальных систем. М.: Наука, 1981. 208 с. 15. Фейс Р. Модальная логика. М.: Наука, 1974. 520 с. 16. Хофштадтер Д. ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда. Самара: Издательский Дом “Бахрах-М”, 2001. 752 с.4 17. Хофштадтер Д., Деннетт Д. ГЛАЗ РАЗУМА. Самара: Издательский Дом “Бахрах-М”, 2003. 432 с. 4Это одна из культовых книг XX-го столетия. Мировой интеллектуальный бестсел- лер и Библия кибернетической эпохи, переведенная на 17 языков мира. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
18 СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA Содержание “Principia Mathematica” Том I Алфавитный список предложений, обозначаемых специальными именами Введение Предварительные сведения о понятиях и обозначениях Теория логических типов Неполные символы Часть I. Математическая логика Глава I. Теория вывода * 1. Базовые понятия и предложения * 2. Непосредственные следствия из базовых предложений * 3. Логическое произведение двух высказываний * 4. Эквивалентность и формальные правила * 5. Смешанные предложения Глава II. Теория кажущихся переменных * 9. Распространение теории вывода от низших к высшим типам предложений * 10. Теория предложений, содержащих одну кажущуюся переменную * 11. Теория двух кажущихся переменных * 12. Иерархия типов и аксиома сводимости * 13. Тождество * 14. Описания Глава III. Классы и отношения * 20. Общая теория классов * 21. Общая теория отношений * 22. Исчисление классов * 23. Исчисление отношений * 24. Универсальный класс, нуль-класс и существование классов * 25. Универсальное отношение, нулевое отношение и существование отношений Глава IV. Логика отношений * 30. Дескриптивные функции * 31. Обращение отношений * 32. Референты и релятивы данного терма относительно данного отношения * 33. Области, обратные области и поля отношений * 34. Относительное произведение двух отношений * 35. Отношения с ограничениями областей и обратных областей * 36. Отношения с ограничениями полей * 37. Множественные дескриптивные функции * 38. Отношения и классы, производные от двойной дескриптивной функции Глава V. Произведения и суммы классов * 40. Произведения и суммы классов классов * 41. Произведение и сумма класса отношений * 42. Различные предложения * 43. Отношения относительного произведения к его сомножителям Часть II. Пролегомены к арифметике кардиналов Глава I. Единичные классы и пары Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA 19 * 50. Тождество и различие как отношения * 51. Единичные классы * 52. Кардинальное число 1 * 53. Различные предложения о единичных классах * 54. Кардинальные пары * 55. Ординальные пары * 56. Ординальное число 2Г Глава II. Подклассы, подотношения и относительные типы * 60. Подклассы данного класса * 61. Подотношения данного отношения * 62. Отношение принадлежности классу * 63. Относительные типы классов * 64. Относительные типы отношений * 65. О типовом определении многозначных символов Глава III. Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные отношения * 70. Отношения, классы референтов и релятивов которых принадлежат заданным классам * 71. Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные отношения * 72. Различные предложения, касающиеся одно-многозначных, много-однозначных и одно-однозначных отношений * 73. Подобие классов * 74. Одно-многозначные и много-однозначные отношения с ограниченными полями Глава IV. Выборки * 80. Элементарные свойства выборок * 81. Выборки из много-однозначных отношений * 82. Выборки из относительных произведений * 83. Выборки из классов классов * 84. Классы взаимно исключающих классов * 85. Различные предложения * 88. Условия существования выборок Глава V. Индуктивные отношения * 90. Об отношении предшествования * 91. О степенях отношения * 92. Степени одно-многозначных и много-однозначных отношений * 93. Индуктивный анализ поля отношения * 94. О степенях относительных произведений * 95. Об эквифакторных отношениях * 96. О потомстве терма * 97. Разбиение поля отношения на семейства Указатель определений Том II Предварительные формальные соглашения Часть III. Арифметика кардиналов Глава I. Определение и логические свойства кардинальных чисел * 100. Определение и элементарные свойства кардинальных чисел * 101. О 0, 1 и 2 * 102. О кардинальных числах заданных типов А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
* 103. Однородные кардиналы * 104. Восходящие кардиналы * 105. Нисходящие кардиналы * 106. Кардиналы относительных типов Глава II. Сложение, умножение и возведение в степень * 110. Арифметическая сумма двух классов и двух кардиналов * 111. Двойное подобие * 112. Арифметическая сумма класса классов * 113. Об арифметическом произведении двух классов или двух кардиналов * 114. Арифметическое произведение класса классов * 115. Мультипликативные классы и арифметические классы * 116. Экспоненциация * 117. Больше и меньше Общее замечание о кардинальных корреляторах Глава III. Конечное и бесконечное * 118. Арифметическая подстановка и униформные формальные числа * 119. Вычитание * 120. Индуктивные кардиналы * 121. Интервалы * 122. Прогрессии * 123. Ко * 124. Рефлексивные классы и кардиналы * 125. Аксиома бесконечности * 126. О типово не-определенных индуктивных кардиналах Часть IV. Арифметика отношений Глава I. Подобие ординалов и реляционные числа * 150. Внутреннее преобразование отношения * 151. Подобие ординалов * 152. Определение и элементарные свойства реляционных чисел * 153. Реляционные числа 0г, 2Г и * 154. Реляционные числа предписанных типов * 155. Однородные реляционные числа Глава II. Сложение отношений и произведение двух отношений * 160. Сумма двух отношений * 161. Добавление терма к отношению * 162. Сумма отношений одного поля * 163. Отношения взаимно исключающих отношений * 164. Двойное сходство * 165. Отношения отношений пар * 166. Произведение двух отношений Глава III. Принцип первых разностей, умножение и возведение в степень отношений * 170. Об отношении первых разностей среди подклассов данного класса * 171. Принцип первых разностей (продолжение) * 172. Произведение отношений одного поля * 173. Произведение отношений одного поля (продолжение) * 174. Закон ассоциативности реляционного умножения * 176. Экспоненциация * 177. Предложения, связывающие Pdf с произведениями и степенями Глава IV. Арифметика реляционных чисел Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA 21 * 180. Сумма двух реляционных чисел * 181. О прибавлении единицы к реляционному числу * 182. Об отделенных отношениях * 183. Сумма реляционных чисел одного поля * 184. Произведение двух реляционных чисел * 185. Произведение реляционных чисел одного поля * 186. Степени реляционных чисел Часть V. Серии Глава I. Общая теория серий * 200. Отношения, содержащиеся в различии * 201. Транзитивные отношения * 202. Связные отношения * 204. Элементарные свойства серий * 205. Точки максимума и минимума * 206. Секвентные точки * 207. Границы * 208. Корреляция серий Глава II. О сечениях, сегментах, промежутках и производных * 210. О серии классов, образованных отношением включения * 211. О сечениях и сегментах * 212. Серии сегментов * 213. Отношения сечений * 214. Дедекиндовы отношения * 215. Промежутки * 216. Производные * 217. О сегментах сумм и обращений Глава III. О сходимости и пределах функций * 230. О сходимости * 231. Предельные сечения и предельная осцилляция функции * 232. Об осцилляции функции, когда аргумент стремится к данному пределу * 233. О пределах функций * 234. Непрерывность функций Том III Часть V. Серии Глава IV. Вполне упорядоченные серии * 250. Элементарные свойства вполне упорядоченных серий * 251. Ординальные числа * 252. Сегменты вполне упорядоченных серий * 253. Отношения между сечениями вполне упорядоченных серий * 254. Больше и меньше среди вполне упорядоченных серий * 255. Больше и меньше среди ординальных чисел * 256. Серии ординалов * 257. Трансфинитные родовые отношения * 258. Теорема Цермело * 259. Индуктивно определенные корреляции Глава V. Конечные и бесконечные серии и ординалы * 260. О финитных интервалах в серии * 261. Конечные и бесконечные серии А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
22 СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA * 262. Финитные ординалы * 263. Прогрессии * 264. Производные вполне упорядоченных серий * 265. Серии алефов Глава VI. Компактные серии, рациональные серии и непрерывные серии * 270. Компактные серии * 271. Срединные классы в сериях * 272. Подобие расположения * 273. Рациональные серии * 274. О серии финитных подклассов серии * 275. Непрерывные серии * 276. О серии бесконечных подклассов серии Часть VI. Количества Глава I. Обобщения чисел * 300. Положительные и отрицательные целые числа и числовые отношения * 301. Степени отношений, определенные численно * 302. О взаимно простых числах * 303. Пропорции * 304. Серии пропорций * 305. Умножение простых пропорций * 306. Сложение простых пропорций * 307. Обобщенные пропорции * 308. Сложение обобщенных пропорций * 309. Умножение обобщенных пропорций * 310. Серии действительных чисел * 311. Сложение согласованных вещественных чисел * 312. Алгебраическое сложение вещественных чисел * 313. Умножение вещественных чисел * 314. Действительные числа как отношения Глава II. Вектор-семейства * 330. Элементарные свойства вектор-семейств * 331. Связные семейства * 332. Представитель отношения в семействе * 333. Открытые семейства * 334. Сериальные семейства * 335. Инициальные семейства * 336. Серии векторов * 337. Кратные и доли векторов Глава III. Измерения * 350. Пропорции элементов семейства * 351. Делимые семейства * 352. Рациональные кратные данного вектора * 353. Рациональные семейства * 354. Рациональные решетки * 356. Измерение вещественными числами * 359. Теоремы существования для вектор-семейств Глава IV. Циклические семейства * 370. Элементарные свойства циклических семейств * 371. Серии векторов * 372. Целые части серий векторов Principia Mathematica III
СОДЕРЖАНИЕ “PRINCIPIA MATHEMATICA 23 * 373. Делители тождества * 374. Главные доли * 375. Главные пропорции А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ТОМУ В настоящем томе продолжается изложение теории серий, начатое во втором томе, а затем следует теория измерений. Мы нашли необходи- мым зарезервировать отдельный заключительный том для изложения гео- метрии 5. В теории вполне упорядоченных серий и теории компактных серий мы следовали Кантору, исключая теорему Цермело (*257-8), а также те слу- чаи, когда работа Кантора неявно допускала аксиому умножения. Поэтому имеющееся там нововведение — в основном негативного плана, т.е. в плане исключения упомянутых случаев. В частности, аксиома умножения требу- ется во всех известных доказательствах фундаментального предложения о том, что предел прогрессии ординалов второго класса (т.е. примени- мых к сериям, чьи поля имеют Ко термов) есть ординал второго класса (ср. *265). Вследствие этого обстоятельства весьма внушительная часть об- щепризнанной теории трансфинитных ординалов должна рассматриваться как сомнительная. С другой стороны, часть VI, посвященная теории пропорций и изме- рений, является новой, хотя она и представляет собой развитие метода, появившегося в V книге Евклида и продолженного Бурали-Форти6. Сре- ди других положений нашего исследования количеств, к которым мы хо- тели бы привлечь внимание, мы можем упомянуть следующие. (1) Мы рассматриваем количества в обобщенном смысле как “векторы” и поэтому мы рассматриваем пропорции как имеющие место между отношениями. 5 Заключительный четвертый том “ Principia Mathematical так и не был напи- сан. — Прим. ред. 6 Ср.: G. Peano. Formal airе, I. (1895), рр. 28-57.
26 ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ТОМУ (2) Гипотеза о том, что векторы, затрагиваемые в каком-либо контексте, образуют группу, всегда выделявшаяся в подобного рода исследованиях, перемещается нами в весьма подчиненное положение, будучи иногда во- обще неверифицируемой, а иногда — следствием других, более продуктив- ных гипотез. (3) Мы развили теорию пропорций и вещественных чисел, которая первична по отношению к нашей теории измерений и еще не яв- ляется чисто арифметической, т.е. не исследует пропорции просто как па- ры целых чисел, а как отношения между действительными количествами, такими как два расстояния или два промежутка времени. (4) В нашей теории “вектор-семейств”, которые представляют собой семейства такого вида, к которым применима некоторая форма измерения, мы смогли раз- вить весьма большую часть их свойств перед тем, как мы вводим числа; поэтому теория измерения проистекает из комбинации двух других теорий: чистой арифметики пропорций и вещественных чисел без ссылок на век- торы и чистой теории векторов без ссылок на пропорции и вещественные числа. (5) Имея в виду геометрические приложения, мы посвятили спе- циальную главу циклическим семействам, таким как углы на плоскости с вершиной в заданной точке. Теория измерения, развиваемая в части VI, потребуется в следующем томе для введения в геометрию координат. Мы должны поблагодарить наших друзей за их доброжелательность и указания на ошибки и опечатки в этом и предыдущих томах, отмеченные в соответствующем списке7. A.N.W. B.R. 15 февраля 1913 г. 7 См.: Errata. — Прим, перев. Principia Mathematica III
ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ Краткое содержание главы 4 “Вполне упорядоченная” серия есть серия такая, что каждый экзистен- циональный класс, содержащийся в ней, имеет первый терм, или, что при- водит к тому же самому, есть серия такая, что каждый класс, который име- ет последователей, имеет секвент. Мы будем называть отношение, вообще говоря, вполне упорядоченным, если каждый экзистенциональный класс, содержащийся в его поле, имеет один или более минимумов. Тогда вполне упорядоченная серия представляет собой серию, которая является вполне упорядоченным отношением. Вполне упорядоченная серия обладает многими важными свойствами, не присущими всем сериям. Вполне упорядоченная серия является Деде- киндовой, исключая лишь то обстоятельство, что она может не иметь по- следнего терма; т.е. каждое сечение, имеющее последний терм, является Дедекиндовым. Вполне упорядоченная серия, не являющаяся нулевой, име- ет первый терм, а каждый терм серии (исключая последний, если тако- вой найдется) имеет непосредственного последователя. Очень важным свой- ством вполне упорядоченных серий является то, что они подчиняются рас- ширенной форме математической индукции, которую мы будем называть “трансфинитной индукцией”, а именно следующему положению: Если о есть класс такой, что секвент (если таковой найдется) некоторого класса, содержащегося в о и в серии, является элементом о, то вся серия содержит- ся в о (В дальнейшем будет видно, что А содержится в о, и, следователь- но, на основании *206-14 ‘Рявляется элементом о). Это отличается от обычной математической индукции тем обстоятельством, что вместо того, чтобы иметь дело с последователями единственного терма, она имеет дело
28 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ с последователями классов. Вполне аналогичное свойство, которое имеет место для всех вполне упорядоченных отношений, независимо от того, яв- ляются они сериальными или нет, заключается в следующем: Если о есть класс такой, что всякий раз, когда с о, где х есть какой-либо элемент С‘Р, а х сам по себе принадлежит о, то С‘Рсо. Если Р является вполне упорядоченным, то это свойство имеет место для всех о-элементов; и об- ратно, если это свойство имеет место для всех о-элементов, то Р является вполне упорядоченным. Следовательно, это свойство эквивалентно вполне упорядоченности. Если Р является вполне упорядоченной серией, то min/> выбирает по од- ному терму из каждого элемента С1ех‘С‘Р. Следовательно, С‘Р, который представляет собой minp“Clex‘C‘P, является элементом мультипликатив- ного класса С1ех‘С‘Р; следовательно, мультипликативный класс С1ех‘ёРсуществует, и поэтому мультипликативный класс некоторого класса, содер- жащегося в С1ех‘С‘Р, существует (на основании *88-22). Следовательно, ес- ли j‘к может быть вполне упорядочено, и А~ек, то мультипликативный класс к существует; и если каждый класс может быть вполне упорядочен, то имеет место аксиома умножения. Обращение последнего предложения также имеет место, как было доказано Цермело (ср. *258). Другая важная группа свойств вполне упорядоченных серий вытекает из предложения *208-41 и последующих. Две ординально подобных вполне упорядоченных серии могут быть скоррелированы лишь одним способом; и ни одно собственное сечение вполне упорядоченной серии не является орди- нально подобным всей серии. (“Собственное” сечение представляет собой именно сечение, а не все целое.) Из единственности коррелятора двух подобных вполне упорядоченных серий следует, что можно избежать всех применений аксиомы умножения в *164, если поля рассматриваемых отношений состоят из вполне упорядо- ченных серий. Т.е., принимая *164-45, которое является фундаментальным предложением в данном вопросе, мы имеем без допущения аксиомы умно- жения P,Qe Rel2 excl. э : g! Р smor Q П RT smor . = . P smor smor Q, всякий раз, когда ёРи C‘Q состоят из вполне упорядоченных серий. Сле- довательно, при такой гипотезе аксиома умножения исчезает из гипотез всех следствий *164-45. Ординальные числа (*251) определяются как реляционные числа вполне упорядоченных серий. (Это определение согласуется со своим применени- ем: в противном случае не существовало бы особых возражений против определения “ординальных чисел” как реляционных чисел серий вообще. Реляционные числа серий будут называться сериальными числами.) Сум- мы ординального числа ординальных чисел представляют собой ординаль- ные числа, однако произведения ординального числа ординальных чисел не являются, вообще говоря, ординальными числами. Произведение орди- нального числа сериальных чисел представляет собой сериальное число, а произведение ординального числа (не нуля) ординальных чисел, отличных от нуля, не есть нуль, т.е. произведение ординальных чисел, в котором чис- Principia Mathematica III
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 4 29 ло сомножителей есть ординальное число, не равно нулю, если ни один из сомножителей не равен нулю. (Для отношений, вообще говоря, соответству- ющее предложение требует аксиомы умножения.) Если v есть ординальное число, а ц —какое-либо сериальное число, то p,exprv (т.е. jjlv, как это могло быть естественным образом названо) является сериальным числом; однако если ц> 1, то p,exprv не является ординальным числом, если v бесконечно. Теория сечений и сегментов (*252, *253) значительно упрощается для вполне упорядоченных серий, благодаря тому факту, что каждое собствен- ное сечение имеет секвент. Собственные сечения тождественны собствен- ным сегментам, и оба они тождественны Серия сечений есть Серия сегментов представляет собой 5 Р или в зависимости от того, существует или нет последний терм С‘Р. Се- рия секциональных отношений есть Р [ ’ Р [ Q‘P-+> Р; ее область есть Р , а ее поле есть Р i‘P. Если хеС‘Р, то Р[~Р‘х нико- гда не будет подобно Р. Теория больше и меньше для вполне упорядоченных серий и ординаль- ных чисел развивается в *254 и *255. Кантор доказал с помощью сегмен- тов, что из любых двух различных ординальных чисел одно должно быть больше. Это доказывается путем демонстрации того, что из любых двух вполне упорядоченных серий, которые не являются подобными, одна долж- на быть подобна сегменту другой. Мы определяем ординальное число а как меньшее чем другое число (3, если могут быть найдены такие серии Р и 2, что Р есть элемент a, Q есть элемент р, и Р подобно некоторому от- ношению, содержащемуся в 2, но не самому Q. Может быть доказано, что все ординалы, меньшие, чем Nr‘2? принадлежат каждый по отдельности собственным сегментам Q. Следовательно, сказать, что ординальное число Р меньше, чем ординальное число 2? эквивалентно тому, чтобы сказать, что существует собственный сегмент 2, которому Р подобно. Когда две серии обладают одним и тем же ординалом, то они также обладают одним и тем же кардиналом, в силу *151-18, однако обратное не имеет места. Когда кардинальное число одной серии больше, чем карди- нальное число другой серии, то таково же и ординальное число. Когда два класса могут быть вполне упорядочены, то любое такое упорядочивание сделает первый класс подобным части второго класса, или второй класс подобным части первого класса, в силу свойств сегментов вполне упорядо- ченных серий. Следовательно, из двух различных кардиналов, каждый из которых применим к классам, которые могут быть вполне упорядочены, один должен быть больше — свойство, которое не может быть доказано для кардиналов в общем. В *256 мы имеем дело с сериями ординалов в порядке возрастания вели- чины. Мы показываем, что эти серии являются вполне упорядоченными, и что серия всех ординалов данного типа имеет ординальное число, которое больше, чем любой ординал данного типа. В этом заключается разрешение парадокса Бурали-Форти, касающегося наибольшего ординала: не найдется А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
30 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ наибольшего ординала ни в каком одном типе, и ординалы более высоких типов превосходят все ординалы данного типа. В параграфах *257, *258 и *259 мы имеем дело с “трансфинитной ин- дукцией” и ее применениями, из которых наиболее важным является тео- рема Цермело, а именно * 258-34. h ц ~ е 1 . э : S е€д‘С1ех‘ц . = . (gP). PeQ . С'Р = у,. S = min/> [ Clех‘ц где Q есть класс вполне упорядоченных серий. Это предложение приводит к следующему: * 258-36. h : p,eC“QU 1 . = . 3! ед‘С1ех‘ц Т.е. класс может быть вполне упорядочен или является единичным классом тогда и только тогда, когда может быть сделана выборка из его экзистенционального подкласса. Следовательно, мы приходим к * 258-37. h : Mult ах. = . C“Z U 1 = Cis Т.е. аксиома умножения эквивалентна предположению о том, что каж- дый класс может быть вполне упорядочен или состоит из одного един- ственного элемента. Для доказательства теоремы Цермело используется расширение до трансфинитной индукции понятий из *90 и *91, которые разъясняются в *257. Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 31 *250. Элементарные свойства вполне упорядоченных серий Краткое содержание *250. Отношение называется “вполне упорядоченным”, когда каждый экзи- стенциональный подкласс его поля имеет один или более минимумов. Вполне упорядоченная серия определяется как вполне упорядоченное отно- шение, которое является серией. Мы будем обозначать класс вполне упо- рядоченных отношений посредством “Bord”, что является аббревиатурой для “bene ordinata” или “bien ordonnee”. Класс вполне упорядоченных се- рий будет обозначаться посредством Q. Поэтому нашими определениями являются Bord = Р (С1 ех‘ёРс G‘min/>) Df, Q = Ser A Bord Df. На вполне упорядоченные отношения, отличные от серий, мы будем редко ссылаться после настоящего параграфа. С помощью применения определения “Bord” к единичному классу яв- ствует, что вполне упорядоченное отношение должно содержаться в раз- личии (*250-104). Вполне упорядоченное отношение есть отношение, чьи экзистенциональные верхние сечения все имеют минимумы (*250-102). Сле- довательно, на основании *211-17 *250-103. h : Р € Bord . = . Рро е Bord Следовательно, на основании *250-104, *250-105. h : Р е Bord . э . Рро G J Посредством рассмотрения пар может быть показано (*250-11), что вполне упорядоченное отношение, в котором ни один класс не имеет более одного минимума, является связным; следовательно, на основании *204-16 и *250-105, оно является серией. Поэтому мы имеем *250-125. h : Р е Q . = . Е !! minP“Cl ех‘ёРТ.е. вполне упорядоченная серия представляет собой отношение такое, что каждый экзистенциональный подкласс его поля имеет единственный минимум. Это могло бы быть принято в качестве определения Q. На основании определения Q мы имеем *250-121. h PeQ . = : Ре Ser: а с С‘Р. g! а . эа . Е ! min/»‘а : = : Ре Ser : g! а А С‘Р. эа . Е ! min/ot Применяя это к С‘Р, мы имеем *250-13. h : Р е Q - i‘A . э . Е ! ‘РМы также имеем *250-141. HPeQ.o.P faeQ *250-17. h Р, Q е Q - i‘A . э : Р smor Q . = . Р [ G‘P smor Q [ CTQ Это предложение с самого начала оправдывает вычитание 1 и полезно в теории сегментов вполне упорядоченных серий. Далее мы имеем (*250-2—243) важную группу предложений о Pi, когда PeQ. Наиболее полезным из них является *250-21. h : Р е Q . z>. D‘P = D‘Pj А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
32 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ Т.е. во вполне упорядоченной серии каждый терм, исключая последний (если таковой существует), имеет непосредственного последователя. (Вооб- ще говоря, не найдется случая, что каждый терм, исключая первый, имеет непосредственного предшественника.) Другим важным предложением явля- ется * 250-242. Ь:РеП.э.Р = Р1 U Р{ | Р Следующая группа предложений (*250-3—362) касается “трансфинитной индукции”. Мы имеем * 250-33. h . Q = connex А Р {а с ёРАо. эа. seq/ot со: эо . С‘Р} Т.е. вполне упорядоченная серия представляет собой связное отношение Р такое, что все поле Р содержится в каждом классе о, который таков, что секвент (если существует) каждого подкласса ёРА о является элемен- том о. * 250-35. h . Bord = Р{хеС'Р .^‘хс о. . хе о: эо . ёРс о} Т.е. вполне упорядоченное отношение представляет собой отношение Р, чье поле содержится в каждом классе о, который содержит каждый эле- мент С‘Р, чьи предшественники все содержатся в о. Мы можем сказать, что свойство является “трансфинитно наследуемым” в Р, если оно принад- лежит секвентам всех классов, составленных из элементов С‘Р, которые обладают указанным свойством. В силу *250-33, если Р является вполне упорядоченным, то каждый трансфинитно наследуемое свойство принадле- жит каждому элементу С‘Р, и обратно. Следующая группа предложений (*250-4—44) касается А и пар. Мы до- казываем, что AeQ (*250-4) и что х^у . э. xJ,yeQ (*250-41). Предложения *250-5—54 касаются выборок. Мы имеем * 250-5. h : PeQ . э . minP [ Cl ех‘ёРеед‘Cl ех‘С‘Р. i‘C‘P = Prod‘Cl ех‘ёРоткуда * 250-51. h : ае C“Q . э . 3! ед‘С1 ех‘а Заметим, что C“Q есть класс тех классов, которые могут быть вполне упорядочены. Из *250-51 мы выводим * 250-54. h : C“Q U 1 = Cis . . Mult ax Обратное утверждение, которое представляет собой теорему Цермело, доказывается в *258. Предложения *250-6—67 касаются следствий *208. Мы показываем, что две вполне упорядоченных серии не могут иметь более одного коррелятора (*250-6); что если Р является вполне упорядоченной серией, а Р содержится в собственном сечении Р, то Р [ Р не является подобным Р (*250-65); и что если Р является вполне упорядоченным отношением, а а —каким-либо классом таким, что существуют термы в С‘Р, которые следуют позже, чем любой элемент аАС‘Р, то Р не является подобным Р[а (*250-67). *250-01. Bord = Р (Cl ех‘ёРс Q‘minp) Df *250-02. Q = Ser A Bord Df Df *250-1. h : P e Bord . = . Cl ex‘C‘P c CTminp *250-101. h PeBord . = : 3! а A C‘P . эа . 3! min/a [(*250-01)] [*250-1 . *205-15] Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 33 *250102. h : Р е Bord . = . sect Р - i‘A с Q‘minp Доказательство. h . *250-1 . э h : Р е Bord . э . sect‘£ - i‘A с Q‘minp (1) h . *205-19 . э h . miii (Ppo)‘a = min (Рро)‘Р*“а [*205-68] = minp‘P*“ot (2) h . *90-331 . *211-13 . э h : я! а A C‘P. э. P* “a esect‘P - i‘A (3) h . (3). э h sect‘P- i‘A c G‘minp . э : 3! а О C‘P. эа . я! minp‘(P*“a). [(2)] эа.а^ййпр(рро)‘а- [*205-26] эа . a ’• min/a: [*250-101] э: PeBord (4) F . (1). (4) . э h . Prop * 250-103. F : PeBord . = . Ppo eBord [*250-102 . *211-17] * 250-104. F.BordcRTJ Доказательство. F . *250-1 . э F : PeBord . xeC‘P. э . xemin/i‘x. [*205-194] э . ~ (xPx): э F. Prop * 250-105. F : P e Bord . э . P^ G J [*250-103-104] * 250-11. F :: Pe connex. э PeBord . = :3!a A C‘P. эа . E ! min/a : = : a с C‘P . а! a . эа . E ! min/>‘a [*250-1-101 . *205-32] * 250-111. F P e Bord . э: Pe connex . = . minp e 1 —> Cis Доказательство. F . *250-1 . *71-1 . э F :: PeBord . minP e 1 —» Cis . z>x,y eC‘P. э : (i‘xU i‘y) - P“(i‘xU i‘y) e 1 : [*54-4] э : i‘x U i‘y - P“(i‘x U i‘y) = Cx. V . i‘x U i‘y - P“(i‘x U i‘y) = Су (1) F . (1) . э F PeBord . min/> e 1 —> Cis . x,y eC‘P . x . э : yeP‘ ‘(l‘x U i‘y). V . x e P“(i‘x U L‘y): [*250-104] z>: xPy . V . yPx (2) F . (2). *202-103 . z>F : Pe Bord . minP e 1 —> Cis . □. Pe connex (3) F . (3). *205-31 . э F. Prop * 250-112. h:P econnex A Bord . = . E !! minp“Cl ex‘C‘P Доказательство. h. *250-1-111 .э h : P e connex A Bord . = . min/> e 1 —> Cis . Cl ex‘C‘P c Q‘min/>. [*71-16] = . E !! minp“G‘minp . Cl ex‘C‘P c Q‘min/>. [*205-15-16] = . E !! minP“Cl ex‘C‘P: э h . Prop *250-113. h . connex A Bord = Q Доказательство. h . *204-1 . (*250-02). э h . Q c connex A Bord (1) h . *250-105 . э h : P e connex A Bord . э . P e connex . Ppo G J . [*204-16] z>.PeSer (2) F . (2). (*250-02). э h : Peconnex A Bord . э . PeQ (3) h . (1). (3). э h . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
34 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *250-12. h : Р е Q. = . Р е Ser A Bord [(*250-02)] *250-121. h PeQ. = : Ре Ser : а с С‘Р. g! а . эа . Е ! min/a : = : Ре Ser : g! а А С‘Р. эа . Е ! min/a [*250-12-11] *250-122. h PeQ. = : Ре Ser : g! C‘P A pi4p“(a A C‘P). эа . E ! seq/a Доказательство. I- . *206-13 . *250-121 . э h :: PeQ . э : PeSer : g! C‘P AjP“(a A C‘P). эа . E ! seqp‘a (1) h . *204-62 . э h : PeSer. g! a A C‘P. э . g! C‘P A p‘^"p‘^“(aAC‘P). [*40-62] э . g! C‘P A p‘?*“{C‘P A A C‘P)} (2) L . (2). *10-1 . э h PeSer : g! C‘P A p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a : э : g! a A C‘P. эа . E ! seqp‘{C‘P A p‘7^“(a A C‘P)}. [*206-131-54] Da.E!minP‘a: [*250-121] э: PeQ (3) h . (1). (3). э h . Prop *250-123. h PeQ - i‘A . = : PeSer : g! jP“(a A C‘P). эа . E ! seqp‘a Доказательство. I- . *250-122 . э h PeSer : g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a : э.PeQ (1) h . *40-6 . *24-52 . э h g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a : э . E ! seq/A . [*206-18] э.д!Р (2) h . *250-122 . *40-62 . э h PeQ . э : PeSer : g! a A C‘P . g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a (3) h . *206-14 . э h : a A C'P-A . э . seqp‘a =1!‘P [*205-12] = EmP‘C‘P (4) I- . *33-24 . *250-121 . э h : P e Q - i‘A . э . E ! min/CP (5) h . (4). (5). э h : P e Q - i‘A . a A C‘P = A . э . E ! seq/a (6) h.(3).(6).D h PeQ - i‘A . э : PeSer : g! p‘^“(a A C‘P). эа . E ! seq/a (7) h.(l).(2).(7).Dh.Prop *250-124. h : P e Q . = . P e Ser . sect‘P - i‘C‘P c Q‘seqp Доказательство. h . *250-122 . *211-703 . э h : P e Q. э . P e Ser . sect‘P - i‘C‘P c CTseqp (1) h . *211-7 . э h P e Ser . sect‘P - i‘C‘P c Q‘seq/>. э : P esect‘P - i‘A . эр . E ! seqp^C'P - P). [*211-723] эр.Е!тт/Р: [*250-102-12] o:PeQ (2) F.(l).(2).oh.Prop *250-125. h : PeQ . = . E !! min/>“Clex‘C‘P [*250-112-113] Приведенное выше предложение могло бы быть доказано независимо от *250-112-113 следующим образом: Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 35 (а) Если Е !! minp“Clех‘С‘Р, то хеС'Р. э . Е I min^Tx, откуда хеС'Р. э. ~ (хРх), откуда Рg J. (Ь) Если Е !! minp“Cl ех‘С‘Р, то х,уеёР. х /у . э . Е I min/>‘(i‘xU i‘y), откуда следует, что хРу . ~ (уРх). V . уРх. ~ (хРу). Следовательно, Р е соппех . Р2 G J. (с) Если Е I! тт/‘С1 ех‘С‘Р, то хРу. yPz. э . Е I min/>‘(i‘x U i‘y U i‘z), откуда хРу. yPz . э. ~ (zPx), и на основании Р2 g J (что только что было доказано) хРу. yPz .x^z. Следовательно, поскольку Ресоппех на основании (Ь), мы должны иметь zPy • yPz. э . xPz, т.е. Р е trans. Следовательно, Е !! minp“Cl ех‘С‘Р. э . Ре Ser . Следовательно, приведенное выше предложение становится очевидным. *250-126. h : PeQ . Е I max/ot. ~ Е ! seq/ot. э . В1 Ре cl. ‘Р= max/а Доказательство. h . *250-123 . Transp . э h: Нр . э . ~ 31 jP“(a А С‘Р). [*205-65] э . ~ 31 jP‘max/a. [*33-4] э . maxp‘a ~ е D‘P. [*93-103] э . шах/а е"3‘Р. [*202-52] э . maxp‘a = В‘Р: э h . Prop *250-13. h : Р е Q - i‘A . э . Е ! ‘РДоказательство. h. *33-24. э h : Нр . э . 31 С‘Р. [*250-121] D.E!min/C‘P. [*205-12] э . Е I В'Р: э h . Prop *250-131. h :. PeQ . э : 3 IP . = . Е I ‘РДоказательство. I-. *93-102 . *33-24 . э h : Е I В‘Р. э . 3 IP (1) h.(l). *250-13. эЬ. Prop *250-14. h : Р е Bord . э . ИГР с Bord Доказательство. I-. *250-1 . (*205-26). э h : Ре Bord . Q G Р . э . Cl ех‘ёРс G‘minp . minp [ Cl ех‘С‘2 G min^ . (1) [*60-42 . *35-64] э . Cl ex‘C‘2 c Cl ex‘C‘P. Q‘minp A Cl ex‘C‘2 c Q‘min^ (2) h . (1). (2). *22-44-621 . э h : P e Bord . Q g P. э . Cl ex‘C‘6 c CTmin^ . [*250-1] э . Q e Bord : э h . Prop *250-141. F:PeQ.D.P[aeQ [*250-14 . *204-4] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
36 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *250-142. h : Р е Bord . э . ИГР A connex с Q Доказательство. h . *250-14 . э h : Нр . э . Ш‘Р A connex с Bord A connex [*250-113] cQ: oh. Prop *250-15. h : PeQ . E ! B'P. э . PeDed Доказательство. h . *250-101 . эН. Нр . э : 3! a A C‘P. эа . 3! min/a (1) h . *206-14 . oh:. Нр . э : a A C‘P = A . эа . 3! ргёЙ/а (2) h . (1). (2). э h : Нр . э . (a). з! (min/a U pfe£/a). [*214-1] d. PeDed. [*214-14] □ . PcDed : э h . Prop *250151. F:PeQ.xeCTP.D.P [A‘x€Ded Доказательство. F. *250-141. oF:Hp.D.P [А'хеЯ (1) F. *205-41 . э F:Нр.э ."3‘Cnv‘(P [A‘x) = ma^/A'x [*205-197] =i‘x. [*53-3] э . E ! B‘Cnv‘(P [ A‘x) (2) F.(1). (2). *250-15 . z> F. Prop *250-152. F . Q c semi Ded [*214-7 . *250-124] *250-16. F : eQ.. g! a П C'P. э .^‘minp'a = p‘^“(aCl C'P) [*205-65 . *250-121] *250-17. h P, QeQ - i‘A . э : Psmor Q . = . P [ Q‘Psmor Q [ CT (2 [*204-47 . *250-13] Это предложение полезно в связи с серией сегментных отношений во вполне упорядоченной серии, так как серия собственных сегментных от- ношений во вполне упорядоченной серии представляет собой (как будет доказано позднее) р [’I*; р [ стр, и является ординально подобной Р [Q‘P. Следовательно, на основании при- веденного выше предложения две вполне упорядоченные серии, которые не являются нулевыми, являются ординально подобными тогда и только тогда, когда серии их сегментных отношений являются ординально подоб- ными. *250-2. h : Р е Bord . z>. D‘P = D‘(P - P2) Доказательство. h . *33-4 . э h: xeD‘P. =. 3! ^‘x (1) h . *250-1 . *205-16 . oh:. PeBord . э : 3! ^‘x. = . 3! min/^~‘x. [*205-251] =.xeD‘(P-P2) (2) h . (1). (2). э h . Prop *250-21. h : P e Q . э . D‘P = D‘Pi [*201-63 . *250-2] В силу этого предложения каждый терм вполне упорядоченной серии (исключая последний, если таковой найдется) имеет непосредственного по- следователя. Principia Mathematica III
♦250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 37 *250-22. h : Р е Ser A Ded . D‘P = D‘Pi . э . Р е Q - i‘A Доказательство. h . *214-101 . э h : Нр . ~ Е ! шах/а. э . Е ! seq/a (1) h . *206-45 . oh: Нр . max/a е D‘P. э . Е ! seqp‘ma£/a . [*206-46] o.E!seq/a (2) h . (1). (2). э h Нр . э : ~ (шах/a = В‘Р). эа . Е ! seq/a : [*93-118] э : ~ (В‘Реа). эа . Е ! seq/a : [*202-511 . *214-5] э: а! р‘^“(а | РС'Р). эа . Е ! seq/a: [*250-123] э: PeQ-i‘A:.dF. Prop *250-23. F : P e Q. E ! B‘P. = . P e Ser П Ded. D‘P = D‘Pi Доказательство. h . *250-22 . *214-5 . э h : PeSer П Ded. D‘P = D‘Pi . э . PeQ. E ! B‘P (1) h . *250-15-21 . э h : P e Q. E ! B‘P. э . P e Ser A Ded . D‘P = D‘Pi (2) h . (1). (2) . э F . Prop *250-24. h : P eQ . E ! B'P. = . P e Ser A Ded . D‘P = D‘Pi Доказательство. h . *201-1 . *13-12 .oh:. Нр . x P2 z • э : yPx .z>.yP2z:y = x.z>.yP2zi [Transp] э : ~ (у P2 z) • э . ~ (yPx) .y/x: [*201-63. *202-103] ^-.yPxz.^.xPy (1) h . (1). *201-63 . э h : Hp . x P2 z. zP\y. э . xPy . э . x, у e D‘P (2) h . *250-21 . э h : Нр . x, у e D‘P. xPy. э . (gz). yP\Z • [*201-63] э. (gz). yPz. zP\y. [*34-1] z>.x(P2\Px)y (3) h . (2). (3). э h . Prop *250-241. F:PeQ.D.Pi |P2 = (Q‘Pi)1 P [Доказательство аналогично *250-24] *250-242. Ь:РеП.э.Р = Р1йР1|Р Доказательство. h . *201-63 . э h :: Нр . э хРу. = : хРуу. V . х Р2 у: [*250-21] = : хР\у. V . (gz). xP\z .хР2 у: [*250-241] = : хР}у. V . (gz). xP\z • zPy:: э h . Prop *250-243. h : P e Q . э . P [ CTPi = (СГР01 (Pi U P | Pi) [Доказательство аналогично *250-242] Следующие предложения имеют дело с расширенной формой матема- тической индукции, которая является характерной для вполне упорядочен- ных серий. *250-3. h Р е Bord : а с ёРА о. эа . seqp‘a со: э . ёРс о Доказательство. h . *250-101 . э h : РеBord . g! С'Р- о. э . g! min/>‘(C‘P- о). [*250-14] э . (дх). хеёР- о ."^‘хс о. [*206-4 . *250-104] э . (дх). хеёР- о ."?‘хс о. xseqp ("?‘х). [*13-295] э . (дх, а). а ="?‘х . а с ёРА о. хе seqp‘a - о. [*10-24] э . (да). а с ёРА о. д! seq/a - о (1) h . (1). Transp . э h . Prop А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
38 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *250-301. h : Peconnex . ~ g! min/i. а = ёР- Р“х . а с а. э . secret с а Доказательство. h . *205-122 . *202-501 . э h : Нр . э . оср‘”?“х . [*40-76] э.тср‘?“о (1) h . *206-134 . э h : Нр . xseqp а . э .^‘х с - р‘^“а [*40-16] c-p‘jP“o [(!)] с-т. [*37-462] э . х~ еР“т . [*206-18 . Нр] z>. х е о: э h . Prop *250-31. h :: Peconnex :. а с ёРАо.эа. seq/>‘ot со:эа. ёРсо:.э.РеО Доказательство. I-. *250-301 . э h Peconnex . g! ёРАх . ~g! min/x . 0 = С‘Р- Р“т. э : аса. эа . seq/ot с о: g! С‘Р- о (1) h.(l). *10-28. э h Peconnex: (gx). g! С‘РПт . ~g! miii/x : э : (go): а с о. эа . seq/а с о: g! ёР- о (2) h. (2). Transp . э h :: Р е connex аса. эа . seqp‘ot со: эа . ёРсо:, э : g! ёРА х . эт. g! min/x : [*250-101] э: PeBord (3) h. (3). *250-113. oh. Prop *250-32. h Peconnex . э :: PeBord . = :. а с C‘P Ao. эа • seqp‘ot с о: эа . C‘P с о [*250-3-31] *250-33. h . Q = connex AP{асC‘P Ao. эа. seq/>‘aco: эо . C‘P} [*250-32-113] *250-34. h :. PeBord : хе C‘P .^‘хсо.эл.хео:э. C‘P с 0 Доказательство. h . *250-11 . э h : PeBord . g! C‘P - о. э . g! min/>‘(C‘P-o). [*205-14] э.(дх).хеС‘Р-о.'?‘хсо (1) h . (1). Transp . э h . Prop *250-341. h :: xeC‘P."?‘xco .эх.хео:эо. C‘Pс о :. э . PeBord Доказательство. h . *205-122 . *37-462 . э h : g! C‘P A x . ~ g! min/x . о = C‘P- P“x . xeC‘P .^‘xc о. э . x~eP“x.g!C‘P-o. [Нр] э. xeo. g! C‘P- о (1) h . (1). *10-28 . э h :. (gx). g! C‘P A x . ~ g! min/x . э : (go): x e C‘P.‘x с о. эх . x e о: g! C‘P - 0 (2) h . (2). Transp . э h :. Нр . э : g! C‘P Ax. эг. g! min/x : [*250-101] э : PeBord :. э h . Prop Principia Mathematica III
♦250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 39 *250-35. к . Bord = Р [хеСР .?‘хс о. эх . хео : эо . СР а о] [*250-34-341] *250-36. k:.PeQ:Xco.g!Xd СР. эх . seq/X со:э.Р“осо Доказательство. к . *250-121 .эк:Ре£1.д!Р“о-о.э.Е! min/(P“a - о) (1) k . *205-14 . *37-46 . э k : х = min/>‘(P“o- о). э . g! о п"?‘х .^‘хП (Р"о - о) = А . [*24-311] э. д! о П~?‘х .~?‘х- ос - Р“о (2) к. (2). *202-501 . э k : Ре Ser. х = min/>‘(P“o - о). э . g! о п"?‘х ."?‘х - ос И С'Р). [*40-16] э . g! о П^?‘х .>х- о с п"?‘х). [*40-61] э."?‘х-осР“(оА?‘х) (3) к . (3). э к : Нр (3). э ,^‘хс(о П~?‘х) U Р“(о п"?‘х). [*206-171] э . х = seqp‘(on^‘x). [(2)] □,д!ой^‘х.оп'?‘хсо.~ {seq/(o П^‘х)со). [*10-24 э . (gX). X с о. g! X П СР. ~ (seq/X с о) (4) к. (4). Transp . э к : Нр . э . ~ Е ! minp‘(P“o - о). [(1). Transp] э . Р“о - о = А: э к . Prop *250-361. к:.РеО.Р1“аса:Хса.д!(ХпС‘Р).эх.Птах/>‘Хсо:э.Р“аса Доказательство. к . *206-46-43 .эк: Нр . X с о. Е ! тахр‘Х. э . seqp‘X =~&\‘тахр‘Х. [Нр] э.seq/>‘Xc0 (1) к . *207-4 .эк: Нр . X с о . g! (X П СР). ~ Е ! тах/Х . э . seq/X = limax/X. [Нр] => . seq/Xco (2) к . (1). (2). э к :. Нр . э : X с о. g! (X П СР). эх . seq/X с о : [*250-36] э:Р“осо:. эк . Prop *250-362. к :. Ре О. Pj “ос о: Хс о. g! ХП СР. эх . limiiip‘X с о: э. Р“осо [*250-361 £.*121-26] *250-4. F.AeQ Доказательство. к . *60-33 . э к . Cl ех‘С‘А с G‘min (А) к . (1). *250-1 . э к . A е Bord к . (2). *204-24 .эк. Prop (1) (2) *250-41. к:х^у.э.х|уеО Доказательство. к . *60-39 . э к . Cl ех‘С‘(* 1 у) = l‘l‘x U i‘Су U l‘(l‘x U i‘y) (1) к . *205-18 . эк: Нр . Р = х X у. э . minp‘i‘x = х. minp‘i‘y = у (2) к . *205-181 . эк: Нр (2). э . minp‘(L‘* U t‘y) = х к . (1). (2). (3) . э к : Нр (2). э . Cl ех‘С‘(х 1 у) с (Tminp . (3) [*250-1] э . хХу еBord к . (4). *204-25 .эк. Prop (4) А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
40 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *250-42. F : РеQ- i‘A. z>. Е ! 2Р . 2Р = Р,‘‘Р.~?‘2Р = СВ'Р. Р \j^2P = А Доказательство. F . *121-13 . z> h : х = 2р . н . х= Р] ‘‘РF. *250-13. э F : Нр. z>. Е ! В‘Р. [*250-21 . *204-7] э.Е lPi‘B‘P F. (1). (2). э F: Нр. э. Е ! 2Р. 2Р = ‘‘Р[*204-71] z>.?‘2P = i‘B‘P [*200-35] z>.P[>2/> = A F . (3). (4). (5). э F. Prop *250-43. F.0r = Qn6“0 (1) (2) (3) (4) (5) Доказательство. h . *56-104 . d h : Pe0r. = : (gx,y) .х?у.Р = х[у: [*250-4 .*33-241] = .PeQ.C‘P = A. [*71-37 . *54-1] н . PeQn (?“0: э F . Prop *250-44. F.2r = Qn^“2 Доказательство. I-. *56-11 . э h : Pe2r. = : (gx,y) .x^y.P = x\,y: [*250-41] =.PeQ: (gx,y) .x/y.P = x[y. [*56-11-38] B.PeQDd“2.PnP = A: [*204-14] в . PeQCl C“2F . Prop *250-5. F : P e П. э . minP [ Cl ex‘C‘P e ед‘Cl ex‘C‘P. i‘C‘P = Prod'Cl ex‘C‘P [*205-33 . *250-1 . *115-17] Это предложение имеет существенную важность, поскольку оно дает теорему существования для выборок из любого класса экзистенциональ- ных классов, чья сумма может быть вполне упорядочена (ср. с *250-53 ниже). Заметим, что “aeC“Q” означает “а является классом, который мо- жет быть вполне упорядочен”. *250-51. h : aeC“Q . э . g! ед‘С1ех‘а [*250-5] *250-52. h : а е C“Q . р с а . э . э! ед‘С1 ех‘0 [*88-22-2 . *250-51] *250-53. h : 5‘KeC“Q. А ~ ек. э . 3! ед‘к Доказательство. h . *60-23-57 . э h : Нр . э . к с С1 ех‘.у‘к. [*88-22 . *250-51] э . д! ед‘к: э h . Prop *250-54. h : C“Q U 1 = Cis . э . Mult ax Доказательство. h . *250-53 . *83-4 .oh:. Нр . z> : A ~ ек. эк . g! ед‘к: [*88-37] z> : Mult ах э k . Prop Приведенное выше предложение утверждает, что если каждый класс, который не является единичным, представляет собой поле некоторой вполне упорядоченной серии, то аксиома умножения имеет место. Пред- ложение, обратное этому, было доказано Цермело (ср. с *258-47). *250-6. h : Р, QeQ.. Psmor Q . э . Рsmor Qе 1 [*208-41 . *250-12-1] Это предложение очень полезно, поскольку оно позволяет нам, когда даны две подобных серии подобных вполне упорядоченных серий, выбрать корреляторы всех пар без привлечения аксиомы умножения. Т.е. задав Principia Mathematica III
*250. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 41 Р, 2 е Rel2 excl .SeP smor Q.Sg smor, если NeC'Q,, то коррелятором S'N и N будет t‘(SW) smor TV, если S'N, NeCl. Это позволяет нам обойтись без аксиомы умножения в гипотезе *164-44 и его следствий всякий раз, когда рассматриваемые отношения имеют поля, элементами которых являются вполне упорядоченные серии. *250-61. h : PeQ . э . Psmor Р = i‘(7 [С‘Р) [*208-42] *250-62. h: Р е Bord. 5 e cror‘P. э . ~ (gx). (5 ‘x) Px [*208-43] *250-63. k : P e Q П Cnv“Q. э . ИГР П Nr‘P = i‘P [*208-45] Это предложение будет полезно в демонстрации того, что конечная се- рия не является подобной никакой собственной части самой себя и пред- ставляет собой вполне упорядоченную серию, чье обращение также явля- ется вполне упорядоченным. *250-64. F: PeBord. 5 ecror‘P. э . С‘РП p‘^‘D‘5 =Д [*208-46] В силу этого предложения часть вполне упорядоченной серии может быть подобна всей серии, лишь если указанная часть простирается до кон- ца серии. Поэтому, например, никакое собственное сечение вполне упоря- доченной серии не может быть подобным всей серии. *250-65. h : Р е Q. а е sect‘P - СС'Р. 0 с а . э . ~ {Р smor Р [ 0} Доказательство. F. *40-16. э F : Нр. э. р‘*Р“С'(Р I а) с р‘<Р‘С'(Р [ Р) (1) F . *211-133 . э F : Нр. а ~ е 1 . =>. а = С‘(Р [ а). [*211-703] э.а!р‘^“С‘(Р [а). [(1)] =.a!p‘W‘(P[P) (2) I-. (2). *40-6-62 . z> I-: Нр. а ~ е 1 . а !Р. э . a! С‘Р П р‘Х“С‘(Р [ 0). [*208-47] э. ~ {Р smor (Р [ Р)} (3) F. *211-1 . *24-13 . э F: Р = А. э . sect'P-i‘C‘P = А (4) F . (4). Transp . z> F : Нр. z>. a IP (5) F . *200-35 . *250-104 . => F : Hp. a !P • a e 1. =>. ~ (P smor (P [ 0)} (6) F . (3). (5). (6). э F . Prop *250-651. F:PeQ.z>.Nr‘PnP [“(sect‘P-i‘C‘P) = A [*250-65] *250-652. F : Pe Bord. Q cP. a! C‘PП . э . ~ (Psmor Q) [*208-47] *250-653. F: P e Bord . 3! C‘PCi р‘^“(а П C‘P). z>. ~ (Psmor P [ a) Доказательство. F.*37-41 .z>F.C‘(P[a)caHC‘P. [*40-16] :>Кр'1>'\аПС‘Р)ср11>“С‘(Р [a) (1) F . (1). э F : Hp. =>. а! C'P П p‘^“C‘(P [ a). [*250-652] => • ~ { smor (P [ a)): z> h . Prop *250-66. h : P e Q . a e sect‘P . P smor (P [ a). . a = C‘P [*250-65 . Transp] *250-67. F : Pe£l. xeC'P. =>. ~ {Psmor (P [7*‘x)} Доказательство. h . *211-302 . э I-: Hp . d .~?‘xEsect‘P (1) F. *200-52. эННр.з.А^СТ’ (2) F . (1). (2). *250-65 . э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
42 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *250-7. h PeQ. = : хеС'Р .dx.P [^*‘xeQ : Ре Ser Доказательство. h. *250-141 .эЬ:.РеП.э:хеС‘Р.эх.Р [TVxeQ (1) h. *250-121 . э h xeC‘P . z>x . P [U‘xeO : = : xeC‘P . g! а A C‘(P ["?*‘x). Dxa . E ! min(P [^*‘x)‘a: [*202-55] э : хеСГР A a . =>хл . E ! min (P [7*‘x)‘a : [*205-27] Dx,a . E ! min/a : [*10-23] э : 3! СГР A a . z>a . E ! min/a (2) h . *205-18 . *202-52 . z> h : P e Ser . a =frp. э . E ! minP‘a (3) h . (2) . (3). э h x e C‘P . dx . P ‘x e Q : P e Ser : z> : g! a A C‘P. эа . E ! min/a : [*250-121] d:PeQ (4) h . (1) . (4) . z> h . Prop Это предложение используется в доказательстве того, что серия орди- налов в порядке возрастания величины является вполне упорядоченной (*256-3). Сначала мы доказываем, что если PeQ, то ординалы вплоть до и включая Nr‘P являются вполне упорядоченными; следовательно, на ос- новании приведенного выше предложения вся серия ординалов является вполне упорядоченной. Principia Mathematica III
*251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 43 * 251. Ординальные числа Краткое содержание *251. Термин “ординальные числа” обычно ограничивается реляционными числами вполне упорядоченных серий, и мы будем придерживаться этой точки зрения в дальнейшем. Реляционные числа серии, вообще говоря, обычно называются “порядковыми типами”8. Поэтому а есть порядковый тип, если а е Nr “Ser, и а есть ординальное число, если aeNr“Q. В на- стоящем параграфе мы рассмотрим несколько простых свойств ординаль- ных чисел, а также сумм, произведений и степеней вполне упорядоченных серий. Мы полагаем NO = Nr“Q Df, где “NO” означает “ordinal number”9. Мы доказываем в этом параграфе, что любое отношение, подоб- ное вполне упорядоченному отношению, является вполне упорядоченным (*251-11), и, следовательно, любое отношение, подобное вполне упорядочен- ной серии, является вполне упорядоченной серией (*251-111). Мы доказы- ваем * 251-132-142. h : aeNO . = . а + i еNO . = . 1 + aeNO *251-15-16. k.Or,2reNO * 251-24. h : а, Р е NO . э . а + Р е NO Мы доказываем, что если Р есть вполне упорядоченная серия взаимно исключающих вполне упорядоченных серий, то Е‘Р есть вполне упорядо- ченная серия (*251-21); что если Р есть вполне упорядоченная серия серий, то ГГР есть серия (*251-3); что если'Р есть серия, a Q — вполне упорядочен- ная серия, то PQ и Рехр Q есть серии (*251-42); что если Р и Q есть вполне упорядоченные серии, то таково же и PxQ (*251-55), и, следовательно, произведение двух ординальных чисел есть ординальное число (*251-56). В силу единственности коррелятора двух вполне упорядоченных серий мы имеем * 251-61. h Р, Q е Rel2 excl. C'P с Q . э : Э! (Р smof Q) П RT smor . = . Р smor smor Q откуда без привлечения аксиомы умножения * 251-621. к : С'Р аСЪ.^ЦР smor Q) П R1‘ smor . э. Е Nr‘P = Е Nr‘2 • П Nr‘P = П Nr 'Q *251-65. h : а е NO - i‘A . Р е NR. Р е р . ёРс а . э . Е Nr‘P = р х а. П Nr‘P = а expr р Наконец, мы имеем предложения (*251-7-71), показывающие, что суще- ствование экзистенционального Q в пределах произвольного типа эквива- лентно существованию 2Г в пределах указанного типа, и, следовательно, имеет место для каждого типа однородных отношений, за исключением 8 Мы также будем говорить о них как о “сериальных числах”. 9 Ordinal number — ординальное число (англ.). В современной математической литера- туре употребляется также термин порядковое число. — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
44 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ (возможно, насколько наши примитивные предложения могут продемон- стрировать) типа отношений индивидов к индивидам. *25101. NO = Nr“Q Df *2511. F : aeNO . = . (gP). PeQ.. a = Nr‘P *25111. F: P e Bord . P smor Q. э. Q e Bord [(*251-01)] Доказательство. F . *205-8 . *250-1 . *37-431 . э F PeBord. 5 ePsmor Q. э : a cC‘P. g! a. Da . g! ming‘5“a: [*37-63-431] э : 0 eS “‘Cl ex‘C‘P. g! 0. эр . g! irnn^p: [*71-491] э : 0 e Clex‘5“C‘P. эр . g! min^'P: [*151-11-131 .*37-25] э : 0eClex‘C‘6. Dp . g! inm^'P: [*250-1] э : 0eBord:. э F . Prop *251-111. F : PeQ. Psmor Q. э . 0eQ *251-12. F : PeBord. э . Nr‘PcBord *251-121. F:PeQ.o.Nr‘PcQ *251-122. F : a e NO . э. a c Q *251-13. F: PeBord. z~eC‘P [*251-11 . *204-21] [*251-11] [*251-111] [*251-121-1] P 4* z e Bord Доказательство. F . *205-83 . *250-1 . э F: Hp. g! C‘P A a. э . g! min (P 4+ z)‘a (1) F . *205-831 . э F : Hp. C‘(P4+ z) A a = i‘z. э . g! min (P 4+ z)‘a (2) F . *161-14 . э F :. Hp. g! C‘(P 4» z) A a. э: g! C‘P A a. V . C‘P A a = A . g! i‘z A a: [*161-14] D.g!C‘PAa.v.C‘(P-az)Aa = i‘z (3) F.(1).(2).(3).d ? F Hp .0:3! C‘(P-H z) Ааэа.д! min (Р-н z)‘a (4) F . (4). *250-101 . z> F : P e Bord . z ~ e C'P. d . P 4* z e Bord (5) h . *250-14-104 . *200-41 . э F : P 4» z e Bord . э . P e Bord . z ~ e C'P (6) F . (5). (6). d F . Prop *251-131. F:PeQ.z~eC‘P. = .P4»zeQ [*204-51 .*251-13] *251-132. F : oieNO . = . a + 1 eNO Доказательство. F. *251-111 . *181-12 . э F : PeQ . = . | Ax ; i; PeQ . [*181-11 . (*181-01). *251-131] = . Р4» xeQ . [*181-3 .*251-1] = . Nr‘P+i eNO (1) F. (1). *251-1 . d F . Prop *251-14. F : P e Bord . z ~ e C'P. = .z + Pe Bord Доказательство. F . *205-832 . *161-12 . z> F :. Hp . d : z ~ e a . . min (z 4- P)'a = min/a : [*250-101] э : g! (aП C'P).z~ca. . g! min(z4P)‘a (1) F . *205-833 . *161-12 . э FiHp.zEa.alP.D.g! inm (z 4- P)'a (2) F.(1).(2).d Principia Mathematica III
*251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 45 I-:. Нр.з!Р.э:д!аО C‘(z я- Р). эа . 3! min‘a: [*250-101] 2>:гЯ-РеВоМ (3) F . *161-201 . *250-4 . э F: Р = A . z>.гя-PeBord (4) F . (3). (4). F : Pe Bord . z ~eC'P. э. z я-PeBord (5) F . *250-14-104 . *200-41 . z> F : z я- P e Bord. z>. P e Bord. z ~ e C‘P (6) F . (5). (6). z> F . Prop *251-141. F : P e Q. z ~ e C‘P. в . z я- P e Q [*204-51 . *251-14] *251-142. F : a e NO. = . 1 + a e NO [Док-во аналогично *251-132] *251-15. F.OreNO [*250-4 . *153-11] *251-16. F.2reNO [*250-41 . *153-211] *251-17. F : x/у. x z-у ф z . z>. x J, y-н ze Q [*251-131 . *250-41] *251-171. F . 2r + i e NO [*251-16-132] *251-2. F : P e Rel2 excl Cl Bord. C‘P c Bord . э . Z‘P e Bord Доказательство. F . *162-23 . => F : 3! a П C‘Z‘P. э. 31 a П F“C'P. [*37-264] D.a!C?nF“a (1) F . *37-36 . *33-5 . => F: Qe F“a. z>. 3! a П C‘Q (2) F.(l). (2). *250-101 . z> F Hp. r>: 3! anCTP. z>. (30). 0minpF“a .3! min^/a. [*205-85] z>. 3! mm(S‘P)‘a (3) F . (3). *250-101 . э F . Prop *250-21. F :Pe Rel2 excl nQ.C‘PcQ.o.S‘PeQ [*204-52 . *251-2] *251-211. F : Nr‘P e NO . Nr“C‘P cNO.3.1 Nr‘P e NO Доказательство. F. *182-16-162. z> F : Нр. э. Nr‘J > PeNO . J ’ PeRel2 excl (1) F . *182-05-11 . *151-65 . => F : Hp. z>. Nr“C‘iiPcNO (2) F . (1). (2). *251-122 . эF :Hp. z>. i’PeRel2exclПО.СфРсО. [*251-21] z>.S‘pPeQ. [*251-1 .(*183-01)] z>. SNr'PeNO : z> F . Prop *251-22. F : P, 0 eBord. C‘P ПС‘0 = A. z>.P^F0e Bord Доказательство. F . *162-3 . *163-42 . э F : Нр . ~ (Р = Л. 0 = Л). э . P J. Q e Bord . C‘(P IQ) a Bord. P i Q e Rel2 excl S‘(Pi0 = P*0. [*251-2] o.P^FQeBord (1) F. *160-21 . *250-4 . z> F : P = A . 0 = Л. э. P4 0eBord (2) F . (1). (2). э F . Prop *251-23. F:P, 0eQ.C‘PnC‘0 = A.z>.P^0eQ [*205-5 . *251-22] *251-24. F : a, PeNO . э. a + PeNO Доказательство. F. *251-111 .*180-12-11 .=> F:P, 0eQ.o.| (An C‘0); i; PeQ. (An C‘P)i; i’0eQ. C'l (Л П C‘Q); i; P П С‘(Л П C‘P) X ’ i ’ 0 = A. [*251-23 . (*181-01)] э . P + 0 e Q. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
46 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ [*180-3 .*251-1] =>. Nr‘P + Nr‘0eNO (1) F. (1). *251-1 . z> F. Prop *251-25. F:P40eQ. = .P, 0eQ.C‘PnC‘0 = A Доказательство. F.*204-5. =>F:P40eQ.=>.P,0eSer.C‘PnC‘0 = A (1) F . (1). *205-84 . z>F:.P40efl.z>:g! C‘Pn a. эа . g! minp‘a: [*250-11] э: PeBord (2) F . (1). *205-841 . z> F :. P4 0eQ. э : g! a - C‘P D C‘(P 4 0). эа . g! inm^ ‘(a - C‘P): [*160-14 . (1)] z>: g! a 0 C‘Q. 2>a . g! min^Xa - C‘P). [*205-15.(1)] эа.g! mint'd: [*250-101] z>:0eBord (3) F . (1). (2). (3). э F : P4 Qe£l. z>. P, QeSl. С‘РП ClQ = A (4) F. (4). *251-23. z>F. Prop *251-26. F : a, ₽eNO - i‘A. = . a 4 |3eNO - i‘A [*251-25] *251-3. F:PeQ.C‘PcSer.3.n‘PeSer [*204-57. *250-1] *251-31. F:E !!“ёР.э.Р [C‘PeFA‘C‘P Доказательство. F . *71-571 . z> F : Hp . э. fi f C‘Pe 1 -> Cis. (T(B [C‘P) = C‘P (1) F. *93-103. z>F. Bg F (2) F . (1). (2). *80-14 . z> F . Prop *251-32. F : E !! C“C‘P. g!P. э . В [ C'P = ВТГР Доказательство. F . *172-162 . z> F : Hp. z> .^‘ITP = рд‘ёР[*82-21] = i‘(B f C'P): z> F . Prop *251-33. F : C'P a Q - i‘A. g! P. =>. g 1 П‘Р. В f C'P = 5‘П‘Р [*250-13 . *251-32] *251-34. F : P e Rel2 excl. C‘P c Q - i‘A. z>. g! ед‘C“C‘P Доказательство. F . *251-33 . *173-16 . э F : Hp . g! P. э . g !Prod‘P. [*173-161] z>. g! Prod‘C“C‘P [*115-1] 2>. g! ед‘ѓёР(1) F . *83-15 . z> F : P = A. э. g! ед‘ѓёР(2) F . (1). (2). z> F . Prop *251-35. F :: P e Q. z>:. a Pc) 3 . = : a, P e СГС‘Р: (gz) .zea-p.an>z = pn>z Доказательство. h . *170-2 . э h a, peСГС‘Р: (gz). zea. a A^‘z = p A^‘z: d . a PC] 0 (1) h . *170-23-1 . *250-121 . э h :: Hp . э aPci p . э : a, 0 ed‘C‘P: (gz). zea-0. aA?‘z = P A^?‘z (2) h . (1) . (2) . z> h . Prop *251-351. Р::РбО.э:.аР1ср. = : a, p e C1‘C‘P: (gz). z e p - a. а П "p'z = p П "P‘z [*251-35 . *170-101] Principia Mathematica III
*251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 47 *251-36. F: Ре О.. z>. Рс| eSer Доказательство. F . *170-17 . z> F . Рс| с J (1) F . *251-35 . э F :: Нр . э:. а Рс, Р. Р Рс| у. э : (gz, H’).zea-p.H'ep-y.a Cl"?‘z. Р n"?‘w = у Fi~P‘w (2) F . *201-14 . э I-Hp .геа-р.и'еР-у.аП^‘г = рС1?‘г.рС1^‘и' = уП?‘и’.э: zPw. z>. ze a - у. a Ci"?‘z = у Ci~?‘z (3) F . *201-14 . э F Hp (3). э: wPz. э . wea - у. a Ci~?‘w = yCl"?‘w (4) F . (2). (3). (4). *202-104 . *251-35 . z> F :. Hp. э : a Pcl p. P Pcl у. z>. а Рс1 у (5) F . *250-121 . => F : Hp. a, p e C1‘C‘P. a p . z>. (gz). z = minp‘{(a - P) U (P - a)). [*205-14] z>. (gz). z e {(a - P) U (P - a)). a n~?‘z - P Ct~?‘z. [*251-35] z>.a(PclUPc,)P (6) F . (1). (5). (6). z> F . Prop *251-361. F : P e Q. э . Plc e Ser *251-37. F:PeQ.=>.Pci = Pdf *251-371. F : P e Q. z>. Plc = Pdf [*251-36. *170-101] [*251-35 . *171-2] [*251-37 . *170-101 . *171-101] *251-4. F: PeRel3 arithm CiBord. C‘Pc Bord. C‘E‘Pc Bord. э .S‘L‘PeBord Доказательство. F . *251-2 . F: Hp. z>. E‘P e Rel2 excl П Bord. C‘L‘P c Bord. [*251-2] z>. S‘L‘Pe Bord: z> F . Prop * 251-41. F: P e Rel3 arithm П О. C‘PcO. СТР с Q. □ . ETPef) [*204-54 . *251-4] * 251-42. F:PeSer. 0eQ. =>. Pe, (Pexp £>) eSer [*204-59 . *250-1] * 251-43. F: a e NR. a c Ser. P e NO . z>. (a expr P) e NR. (a expr P) c Ser [*186-13 . *251-42] * 251-44. F : aeNO - i‘0r. PeNO - i‘0r. z>. aexpr P ± 0r Доказательство. F . *165-27 . э F : Hp. Pea. QeP. э . P J,; geQ- i‘A. C‘P|; <2cQ-i‘A . [*251-33. *176-1] z>.g!(Pexp0) ’’ (1) F. (1). *186-13 . sF.Prop *251-5. h : з! P. Q e Bord . z>. P J,» Q e Bord [*165-25. *251-11] *251-51. [*165-25 . *204-21 . *251-5] *251 52. h : P e Bord . э . C'P X ; Q c Bord [*165-26. *251-12] *251-53. F:PE(l.D.C‘PpeEQ [*165-26 . *204-22 . *251-52] *251 54. h : P, Q e Bord . d . P x Q e Bord Доказательство. F . *165-25 . *251-5-52 . => F : Hp. g! Q . э . Q J,’ P e Rel2 excl О Bord. C'Q J, > P c Bord . [*251-2 . *166-1] э . P x (2 e Bord ’ (1) F . *166-13 . *250-4 .DF:2 = A.3.Px2e Bord (2) F . (1). (2). э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
48 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ * 251-55. [*251-4 . *204-55] * 251-56. h : а, 0 е NO . э . а х 0 е NO [*184-13 . *251-55-1] * 251-6. h : Р, QeRcI2 excl. ёРcQ. 5 еРsmor Q A RT smor . H = M(aA).AEC‘C.k = (SW) smor А} i f p, e Ед ‘p,. e P smor smor Q Доказательство. h . *250-6 . *251-111 . z> h : Hp . э . p, c 1 . [*83-43] D . I [р,ЕЕд‘р,. (1) [*164-43] э. iT^EPsmor smor 2 (2) h . (1) . (2). z> h . Prop * 251-61. h :. P, Q e Rel2 excl. C‘P c Q . э : 3! (P smor Q) A R1‘ smor . =. P smor smor Q Доказательство. h . *251-6 . э h: Hp . a! (P smor Q) A R1‘ smor . d . Psmor smor Q (1) h . (1) . *164-17 .oh. Prop *251-62. h : Hp *251-61 . a' Psmor Q A R1‘ smor . э . E‘P smor E‘2.1ГР smor WQ . E Nr‘P = E Nr‘2 • П Nr‘P = П Nr‘2 Доказательство. h. *164-151 .*251-61 . э h : Hp . э . ГР smor Z'Q (1) h . *172-44 . *251-61 . э h : Hp . э . H‘Psmor WQ (2) h. (1). *183-13 . э h:Hp.э.E Nr‘P = E Nr‘2 (3) F. (2). *185-1 . э h : Hp . э . П Nr‘P = П Nr‘2 (4) F. (1). (2). (3). (4). oF.Prop В приведенном выше предложении гипотеза “ Р, Q е Rel2 excl” не явля- ется необходимой для ENr‘P = ENr‘2 и nNr‘P = nNr‘2, как явствует из *183-14 и *185-12. Поэтому мы имеем *251-621. F : ёРс Q . g! (Р smor Q) A RT smor . z>. Е Nr‘P = Е Nr‘2 • П Nr‘P = П Nr‘£ Доказательство. F . *151-65 . *182-05-162 . z> F . р ёРе (р Р) smor Р A R1‘ smor (1) F. (1). *151-162 . э F : Нр . z>. а!’{(I Р) smor ( J 5 Q) A R1‘ smor (2) F. (1). *251-111 . *182-16 . z> h : Hp. z>. C‘p P c Q. p P, J: G e Rel2 excl (3) F. (2). (3). *251-62. *185-12. = F. Prop *251-63. F : aeNO - i‘A . 0eNR . PeRel2 excl. Pe0. C‘Pc a . э . E‘P e0 x a. E Nr‘P = 0 x a Доказательство. h . *164-47 . *165-27-21 . э F : Hp . Q e a . a / 0r. э . Q p P e 0 . C4 Q p P c a . P, Q p P e Rel2 excl. [*164-47] э . а! (Q p P) smor P A R1‘ smor . P, Q J ’ Pe Rel2 excl. [*251-61] d . (Q I; P) smor smor P. [*164-151 .*166-1] d.(Px0 smorE‘P. [*184-13] э.Е‘Ре0хо (1) h . (1) . z> h : Hp . a 0r. d . E‘P e 0 X a (2) Principia Mathematica III
♦251. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА 49 F. *162-42 . Transp. э F: Нр. а - 0г. э. Е'Р = А. [*184-16] э.Е'Рерха (3) 1-.(2).(3).эЬ:Нр.э.ГРе₽ха (4) [*183-13] э.Е№‘Р = рха (5) F . (4). (5). э I-. Prop *251-64. I-: Hp *251-63 . э . П‘Ре(аехрг p). П Nr‘P = aexpr p [Доказательство аналогично *251-63] *251-65. F : aeNO - i‘A . p eNR. РеP. C‘Pc a. э. E Nr'P = P X a. П Nr'P = a expr p Доказательство. F . *182-16 . *183-231 . э F : Hp. Qea. э . £»PeRel2 excl. J5 PeNr'P. C'J ’ Pc Nr'Q • (1) [*251-63] o.SNr‘pP = Nr‘P5<Nr‘2. [*183-14] э . ENr‘P= Nr'P x Nr'<2 [*152-45] = pxa (2) I-. (2). *10-23 . э F : Hp. э .SNr‘P = P X a (3) I-. (1). *251-64 . => F: Hp. Q e a. =>. П Nr'p P = (Nr'0 expr (Nr'P). [*185-1-12] => . П Nr'P = (Nr‘0 expr (Nr'P) [*152-45] =aexprP (4) F. (4). *10-23 . э F : Hp. э . П Nr‘P = a expr p (5) F. (3). (5). э F. Prop В силу приведенного выше предложения обычные отношения сложения к умножению и умножения к экспоненциации, когда все слагаемые или все сомножители равны, могут быть установлены без привлечения акси- омы умножения при условии, что слагаемые или сомножители являются ординальными числами. *251-7. F : з! Q - i‘A П Гоо'а. s . а! 2Г О foo'a. s . з! 2 П r‘a. 5 . з! 2а Доказательство. F . *64-55 . z>F : 3! Q-i‘A ОГоо'а. s . (эР). PeQ-i'A. С'РсГо'а (1) F . *200-12 . z> F : PeQ - i‘A. э. (зх,у). x,yeC‘P .x^y. [*153-201 . *55-3] 3.3!2rnRl‘P (2) F . (1). (2). =>F : 3! Q-i'A П Гоо'а. =>. (3P). C'Pc Го'а. 3! 2, CiRl'P. [*33-265] э.(зе).(2е2г.С‘2сГо‘а. [*64-55] э.з!2гп Гро'а (3) F . *251-16-122 . э F : 3! 2, П Гоо'а • =>. э! Q - i‘A П Гоо'а (4) F. (3). (4). э F : 3! Q-i‘A n Too a. s . 3! 2r П Гоо'а (5) F . *64-55 . э F : 3! 2r П Too a. s . (зх,у). x/y. x,y ero'a. [*63-62] = . (зх, у). x / у. i‘x U i‘y е Г'а. [*54-26] =.3! 2 О Г'а (6) F. (5). (6). (*65-01). э F. Prop *251-71. F . 3! Q- i‘AПfoo'Cls. 3! Q- i‘A Пroo'Rel [*251-7 . *101-42-43] A.H. Уайтхед, В. Рассел
50 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *252. Сегменты вполне упорядоченных серий Краткое содержание *252. Свойства сечений и сегментов значительно упрощаются в случае вполне упорядоченных серий, благодаря тому факту, что каждое собственное се- чение имеет секвент, откуда следует, что класс собственных сечений есть и он также является классом собственных сегментов. Следова- тельно, серия собственных сечений или собственных сегментов есть серия "?»Р (*252-37). Серия всех сечений есть » Р 4» ёР(*252-38); следователь- но (*252-381), Nr\‘P* = Nr‘P + 1 . Наиболее полезными предложениями этого параграфа (помимо приве- денного выше) являются: *252-12. F:PeQ.o. sect‘P - ГёР= D‘Pe - i‘C‘P ="?“С‘Р. sect‘P =~?“С‘РU i‘C‘P *25217. I-: PeQ.- i‘A. =>. sect'P- i‘A =?“CTP U CC‘P *252171. I-: PeQ. э. sect'P- i‘A - i‘C‘P='?“a‘P *252-372. I-P e Q. э: <;‘P e Q: E ! B‘P. э. Nr\‘P = Nr‘P: ~ E ! B'P. =>. Nr\‘P = Nr‘P + i * 252-4. F : P e Q . X c sect‘P. g! X. э . p‘X e X * 252-1. F : PeQ. aesect‘P - i‘C‘P . z>. E ! seq/>‘a [*250-124] * 252-11. F:PeQ.э. sect‘P- CClP = sect‘P П G‘seq/> Доказательство. F . *206-18-2 . => F . C‘P ~ e CTseqp (1) F . (1). *252-1 . э F . Prop * 252-12. F:PgQ.d. sect‘P - i‘C‘P = D‘P£ - VC'P =~?“C‘P. sect‘P =~?“C‘P U CC‘P Доказательство. b. *211-24 . *252-11 . => I-: Hp. aesect'P- CC'P. =>. aeD‘P£ (1) h. *211-15. z> h : Hp. a eD‘P£ - CC‘P. z> . aesect'P - CC^P (2) F.(l).(2). F : Hp. z>. sect‘P - i‘C‘P = D‘Pe - i‘C‘P (3) b. *211-302 .*252-11 . Dt-:Hp.D.sect‘P-i‘C‘P="?“C‘P (4) F. (3). (4). *211-16 . э F . Prop Имея дело с сечениями и сегментами вполне упорядоченных серий, необходимо отличать серии с последним термом от серий, которые по- следнего терма не имеют. Если серия не имеет последнего терма, то С'Р = ГёР, так что C‘PeD‘Pe. Однако если серия имеет последний терм, то C‘P~eD‘Pe; в этом случае D‘Pe=~?“C‘P. Поэтому D‘Pe представляет собой либо ~?“С‘Р, либо sect‘P, в соответствии с тем, существует ли по- следний терм или нет. В любом из двух случаев sect‘P =~?“ёРU l‘C‘P, как уже было доказано в *252-12. Principia Mathematica III
*252. СЕГМЕНТЫ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 51 *25213. I-: Р е Q. Е ! В'Р. =>. sect'P - i‘C‘P = D‘Pe ="?“С‘Р. sect‘P = D‘Pe и CC'P =~ft''C'P и CC'P Доказательство. F. *250-21 . *211-36 . э F: Hp. =>. sect‘P - D‘Pe = CC'P. [*24-492 . *211-15] => .secCP -CC'P = D‘Pe (1) [*252-12] =~?"C'P (2) F. (1). (2). *211-26. =>F. Prop *252-14. I-: P e Q. ~ E ! B'P. =>. sect'P = D‘Pe = 7*"C'P U CC'P [*250-21 .*211-361 .*252-12] *252-15. F:PeQ.э. D'Pt ="?“D‘PU i‘D‘P Доказательство. F. *252-13 . э I-: Hp . E ! B'P. э. D‘Pe =7* “D‘P U C^'B'P [*202-524] =‘?“D‘PUi‘D‘P (1) I-. *252-14 . э F: Hp . ~ E ! B'P. => . D‘Pe =7*“D‘P U i‘D‘P (2) F . (1). (2). э F . Prop *252-16. F : PeQ - 2r. э. D‘Pe = sect‘(P [ D‘P) Доказательство. F. *204-271 . эF : Hp. э . D‘P~e 1 . [*202-55] э.С‘(Р [D‘P) = D‘P. [*250-141 . *252-12] э . sect‘(P ID‘P) = P [D‘/“D‘PU i‘D‘P [*37-42-421] = 7*“D‘PUi‘D‘P [*252-15] = D‘Pe: э F. Prop *252-17. F : P e Q - i‘A. э . secCP - i‘A =‘?“Q‘P U CC'P Доказательство. F. *252-12 . => F : Hp. э. secCP - i‘A = (?"C'P - i‘A) U CC'P [*33-41] = "?“Q‘P U i‘C‘P: э F . Prop *252-171. F : PeQ.э . sect‘P - i‘A - i‘C‘P = '?“Q‘P Доказательство. F . *252-12 . z> F : Hp. э . (secCP - CC'P) - i‘A =~?"C'P - i‘A [*33-41] = >‘Q‘P: => F . Prop *252-3. F:PeQ.o.D4‘a='?“C‘P [*212-171 . *252-12] *252-31. F:PeQ.a!P.D.C‘?‘P*=?“C‘PUi‘C‘P [*212-172 . *252-12] *252-311. F:PeQ.a!P.o.a\‘P*='?“a‘PUi‘C‘P [*212-171 . *252-15] *252-32. F:PeQ.=>.D4‘P='?“D‘P [*212-132 . *252-15] *252-33. F:PeQ-i‘A.o.C4‘P='?“D‘PUi‘D‘P [*212-133 . *252-15] *252-34. F : PeQ. E ! B'P. =>. С'д'Р =~?"С'Р Доказательство. F. *202-524 . э F : Hp. э ."?‘B‘P = D‘P. [*252-33] =>.C\‘P='?“C‘P:=>F .Prop *252-35. F : PeQ - i‘A. ~ E ! B'P. =>. С'<;'Р = ~?"С'Р U CC'P [*212-133 . *252-14] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
52 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *252-36. Доказательство. F. *212-252-34 . => F: Нр. э? Р = (g'P) [ (С'д'Р) [*36-33] = : э h . Prop *252-37. F:P€Q.=>.(<P) [(-i'C'P)=?iP Доказательство. I-. *36-3 . => F. (g'P) t (- i'C'P) = (g'P) t (C VP - i'C'P) [*212-133-134] = (s‘P) [ (D‘Pe - i'C'P) (1) F . (1). *252-12 . э F: Hp. э . VP) [ (- CC‘P) = ($‘P) [ (?“C‘P) [*212-25] =7*! P: э F . Prop *252-371. I-: PeQ. ~ E ! B'P. =>. ?'P = ‘? i Р-н C'P Доказательство. F . *212-25 . *252-32 . э F : Hp. z>."? > P = (?‘P) [ (D\‘P) (1) F. *212-133. э F: Hp. g! P. э . C‘P = B'CnvVP (2) F. *252-32. э h : Hp. d.D VP =7*“C‘P. [*200-12 . *204-34] =>. D‘«;‘P -el (3) F.(1). (2). (3). *204-461 . э I-: Hp. g! P. .7*5 P -h C‘P = <P (4) I-. *212-134 . *161-2 . =>1-:Нр.Р = Л.э.<;‘Р = Л.7*;Р-нёР= Л (5) F. (4) . (5) . э F . Prop *252-372. I-:. P e Q. =>: ?'P e Q: E ! B'P. =>. Nr VP = Nr‘P: ~E!B‘P.z>.NrVP = Nr‘P+ 1 Доказательство. F . *252-63 . *204-35 . z> F: Hp. E ! B‘P. z>. <;'P smor P. [*251-111 .*152-321] z>. cj'PeQ. Nr‘<j‘P = Nr'P (1) F. *252-371 . *204-35 . *200-52 . F:Hp.~E!B'P.=>.NrVP = Nr‘P+i. (2) [*251-132] o.<j‘PeQ (3) F . (1). (2). (3). э F . Prop *252-38. F:PeQ.z> VP*=7*;P-hC'P Доказательство. F. *252-12. *212-24 . э F :: Hp . э:. a (g‘P*) P. = : a, [3 e~?“C'P U i'C'P . a c p. a P: [*37-6 . *200-52] = : (Я-*,у) • x,y eC‘P. a P =~?'y . V . (gx). xeC'P. a ="?‘x. P = C'P: [*204-33-34] = : (gx,y). xPy. a="?‘x. p =~P'y. v . (gx). xeC'P. a =~P'x. P = C'P: [*150-5-22] = : a (? 5 P) p. V . a e C‘? 5 P. P = C'P: [*161-11] =: a (?> Р-н C'P) p:: э F. Prop *252-381. F:PeQ.D.<j‘P*eQ. Nr‘<;‘P* = Nr'P + 1 [*252-38 .*200-52 .*251-131] Principia Mathematica III
♦252. СЕГМЕНТЫ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 53 *252-4. h : Р е Q. к с sect‘P . а! к . э . 6 к Доказательство. h . *211-44-1 . э h : Нр . Р = Л . э . к = i‘A . [*53-01] э.р‘кек (1) К *212-172 . эННр.э!Р.э.ксС‘<^* -S’-X. [*252-381]. *250-121 э. Е ! min ($‘Р*)‘Х. [*210-222 .*211-67-66] э.р‘ХеХ (2) h . (1) . (2) . э h . Prop *252-41. I-: PeQ. . к c sect‘P. а • • э . 5‘ХеХ [Доказательство аналогично *252-4] *252-42. hPeQ. (Cnv\‘P*)i “о с о : к с о. а! X П . эх . s‘(X П е о: э . (Cnv‘^‘P*)“oc о [*250-361 . *252-381 . *212-322] *252-43. F PeQ. (Cnv‘^‘P*)i “о с о: к с о. а! к П СЧ‘Р* • =>х . р‘(Х П СЧ‘Р*) 6 о: э . «Р*)“о с о Доказательство. h . *212-181 . э h . (Cnv\‘Р*) smor (s‘P*) (1) h . (1). *252-381 . э h : Hp . э . Cnv^P* e Q (2) h . (2). *212-34 . *250-362 .oh. Prop A.H. Уайтхед, В. Рассел
54 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *253. Отношения между сечениями вполне упорядоченных серий Краткое содержание *253. В настоящем параграфе мы рассмотрим свойства отношения Рд (опреде- ленного в *213), когда PeQ. Отношение Рд обладает огромной важностью в этом случае, благодаря тому факту (который будет доказан в дальней- шем), что Nr“D‘P? представляет собой класс всех ординалов, меньших, чем Nr‘P, и что если Р и Q есть две вполне упорядоченные серии, то ли- бо Р подобна некоторому элементу C'Q^, либо Q подобна элементу С‘Р^ откуда следует, что из любых двух неравных ординалов один должен быть больше. Настоящий параграф состоит из элементарных свойств Р?, когда PeQ. Интересные свойства, связанные с отношениями больше и меньше, будут рассмотрены в следующем параграфе. Наиболее полезными предложениями настоящего параграфа являются следующие: *25313. l-:PeQ.=>.D‘Ps = /> [“'?“а‘Р = Р *25318. I-: Р е Q. =>. C‘PS с Р (“7*“СГР U СР. С‘Р^ с Q Вместо С'Р<; а Р U i'P мы будем иметь равенство, если не будет Р = А (*253-15). *253-2. I-: Р е Q - 2r. э. Nr‘P? = Nr‘(P [ Q‘P) + 1 Случай, когда Pe2r, должен быть исключен, поскольку тогда Р [СГР = А. *253-21. HPgQ.d. i + Nr‘P9 = Nr‘P + 1 Это предложение учитывает, что Nr4/^ = Nr‘P, когда Р конечно, однако, когда Р бесконечно, оно подразумевает Nr‘P? = Nr‘P + i (ср. с *261-38). *253-22. HPgQ.zj.P^ [D‘/\ smorP [СТР *253 24. H.PgQ.d.P^cQ *253-4. h : PeQ. - i‘A . э . C‘P? = Q {(gP). P= Q + R . V . (gx). P = Q + x) *253-421. h : P e Q . Q e D‘P<;. э . ~ (Q smor P) *253-44. F : a, P c NO - i‘A . P 0r. э . a + P ,4 a Это предложение подчеркивает отличие между ординалами и карди- налами. Ординал всегда увеличивается посредством добавления чего-либо в конец, в то время как этого не происходит (часто, если не всегда) с кар- диналом, если он является рефлексивным и большим, чем то, что добавля- ется. Приведенное выше предложение перестает быть истинным, если мы добавляем Р в начало, а не в конец: Р + a = а будет истинным, если а яв- ляется бесконечным и со х р не больше, чем а. (По поводу определения со ср. с *263.) *253-45. Ь : а е NO - i‘A - i‘A - i‘0r. z>. а + i / а К этому предложению применяются подобные же замечания, что и к *253-44. *253-46. h : Р е Q . Q, R е С'Р^ . Q smor R. э . Q = R Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ серий 55 Т.е. нет двух различных сечений вполне упорядоченной серии, которые являются подобными. Из *253-46 следует, что серия ординалов собственных сечений вполне упорядоченной серии Р подобна серии собственных сечений, и, следователь- но, на основании *253-22, подобна серии Р с пропущенным первым термом (*253-463). Далее мы имеем группу предложений (*253-5—574) об условиях, при ко- торых Nr‘Pg = Nr‘P, и условиях, при которых Nr‘P? = Nr‘P 4- j. В действи- тельности первое имеет место, когда Р конечно, а последнее — когда Р бес- конечно. Однако различие между конечным и бесконечным не будет вво- диться до следующей главы. В настоящем параграфе мы доказываем, что (предполагая PeQ) Nr‘P? - Nt‘P^ если G‘Pi = СТР. Е ! В‘Р, и что если это не так, то Nr^ = Nr‘P + i (*253-56). Это доказывается путем использования Pi в качестве коррелятора. (Pi как коррелятор передвигает каждый терм на одну позицию вниз, исключая первый терм, который просто исчезает.) Если PgQ, то мы имеем Pi;P = P[D‘P (*253-5); следовательно, мы дока- зываем Р [ G‘Pi smor Р [ D‘P (*253-502), и, следовательно, если G‘Pi=G‘P, то мы получаем Р [ G‘P smor Р [ D‘P (*253-503). Следовательно, на основа- нии *253-2 (с особым рассмотрением случая, когда Ре2г) мы имеем два предложения *253-51. h : Р е Q. G‘Pi = СТР. Е ! В‘Р. э . Nr^ = Nr‘P *253-511. h : PeQ. GlP{ = СГР. ~ E ! B‘P. z>. Nr‘P? = Nr‘P + i. Nr‘P t G‘P = Nr‘P Однако если найдется такой терм, скажем х, принадлежащий G‘P-G‘Pi, то, применяя Pi в качестве коррелятора для предшественни- ков х, мы обнаружим, что в этом случае Р smor P[G‘P. Следовательно, на основании *253-3, Nr‘P? = Nr‘P4- 1. Гипотеза G‘Pi=G‘P.E!B‘P означает, что существует последний терм и каждый другой терм имеет непосредственного последователя. Это экви- валентно, как будет доказано позднее, и что является очевидным, предпо- ложению о том, что Р является конечным, но не нулевым. Из приведенных выше предложений непосредственно вытекает, что *253-573. h:.PeQ.D:G‘Pi =G‘P.E!B‘P. = . i4-Nr‘P#Nr‘P В дальнейшем будет видно, что конечные ординалы, отличные от 0г, есть те ординалы, которые увеличиваются путем добавления 1 в начало. Мы также имеем *253-574. h:.PeQ-i‘A.z>:G‘Pi=a‘P.E!5‘P. = . 14-Nr‘P = Nr‘P = Nr‘P4-i Из этого предложения следует, что конечными ординалами являются те ординалы, для которых сложение с 1 коммутативно. *253-1. h PgQ . э : QP^ R . = . (ga,P).a,pe>‘CTPUi‘C‘P.3!P-a.(2=P [a.7? = P[p Доказательство. I-. *213 1 . *252 17 . :>l-Hp .g! Р.э : . (ga, 0). a, 0e7“G‘PU i‘C‘P. g! 0 - a. 2 = P \a.R = P £0 (1) A.H. Уайтхед, В. Рассел
56 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ F . *33-241 . э I-Р = А . э :~?“(1‘Р U i‘C‘P = i‘A: [*24-53] э : ~ (да, |3). а, Pe^“Q‘PU СС‘Р. д! р - а: [*213-3] э: QP<;R. = . (да, р). а, Р e~?“G‘P U СёР. д! р - а. Q = Р [a.R = Р [р (2) h . (1) . (2) . D h . Prop *253 11. h :: PeQ . э Q R . = : (3*,y) • xeQ‘P. xPy. Q = P .R = P . V . (Эх).хеа‘Р. Q = P l~?‘x.R = P Доказательство. F.*33-152. oF:a = C‘P.pe^“G‘PUi‘C‘P.D.~g!p-a (1) F. *200-52 . (1). э F : Hp. ae>‘CTP. p = C‘P. э . g! P - a (2) I-. (1). (2). *253-1 . э I-:: Hp . =>Q P^R . = : (да, P). a, P e?“Q‘P .g!p-a.<2 = P[a.P = P[:p.V. (ga,P).a€^“Q‘P.p = C‘P. Q = P [a.R = P [p: [*37-6 . *36-33] =: (gx, y). x,yeQ‘P. g!^‘y-~?'x. Q = P [^‘x. R = P ["?‘y. v . (gx).xeQ‘P. Q-P t~P‘x.R = P: [*211-61 .*210-1] = : (gx,y) • .x,yeQ‘P.'?‘xc?‘y . Q = P [~?'x.R = P . V . (gx).xed‘P.Q = P t~P*x.R = P: [*204-33-34] =: (дх,у). x, у e СГР. xPy. Q = P ^‘x. R = P ["?>. V . (gx).xea‘P.e=P[7^‘x.P = P (2) F. (3). *33-14. =>F. Prop *253-12. F:PeQ.P~e2r.3.P? = (P[;'?;p[a‘P) 4»P Доказательство. F. *204-272 . эF : Hp. э . Q‘P~ e 1. [*202-55 . *213-151] э. P t“>‘a‘P = C‘P [ 5? 5 P [ Q‘P (1) F.(l). *253-11 .dF::HP.d:. QP<;R. = : Q(P [;? ’ P [СГР)R .V • QeC'(P ?P [Q‘P). R= P: [*161-11] = : Q ((P [ 5 P t Q‘P) 4» P) P:: z> F . Prop *252-121. F:PeQ.D.P~eC‘P [!?’P [Q‘P Доказательство. F . *200-52 . э F : Hp. э. C'P ~ e?“(TP. [*36-25] э . P ~ e C‘P [> P [ Q‘P: z> F . Prop *253-13. F:PeQ.D.D‘P9 = P [“'?“a*P=P [“?“C‘P Доказательство. F . *213-141 . *252 -171 . => F: Hp. =>. D‘P9 = P [“^“G'P (1) F . *37-22 . *250-13 . => F : Hp .g! P. э. P f“'?“C‘P= P [“7*“Q‘Pu i‘P [^‘5‘P [*33-41 . Transp] =P [“^“Q'Pui'A (2) F. *250-42 . э F : Hp. g! P. э . AeP [“7*“(ГР (3) F . (2). (3). => F : Hp. g! P. э. P [‘^“C'P = P [“>‘CPP (4) Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ серий 57 Ь . *33-241 . э h : Р = А. э . Р [“^“ёР= А . Р [“?“Q‘P = А (5) F. (4). (5) .эННр.э.Р [“>‘ёР= Р [“7*“(ГР (6) F . (1) . (6) . э F . Prop *253-14. HPeQ.r». Q‘P? = (P t“?“Q‘PUi‘P)-i‘A = (P [“>‘C‘PU i‘P) - i‘A Доказательство. b. *213-162 .эННр.э. Q‘P? = P [“sect1 P - i‘A [*252-12. *36-33] = (P[“7*“C‘PUi‘P)-i‘A (1) [*253-13] =(P[“'?“a‘PUi‘P)-i‘A (2) F . (1). (2). э F . Prop *253-15. F:PeQ-i‘A.D.C‘P? = P [“?“Q‘PUi‘P=P [‘^“C'PUCP [*253-13-14] *253-16. l-:PeQ-i‘A.D.B‘P? = A.B‘P? = P [*213-155-158 . *250-13] *253-17. h:PeQ.э.РД D‘P? = P [ 5 P [ СГР Доказательство. I-. *253-11 . => I-:: Hp . э (2P9P. = : 2(P [ ! P [ Q‘P)P. V . geP [‘^“Q'P. P = P [*253-121] э 2 (P? [ D‘P?) R. = . Q (P [ Й* 5 P [ СГР) R:: => h. Prop *253-18. h:PeQ.D.C‘P?cP [“^“Q‘PUi‘P.C‘P? cQ Доказательство. I- . *253-11 . => I-:: Hp. z>Q e C‘P? . э : (3x) . xe G'PQ = P \J*'x .V . Q = P: [*37-6] =>:2eP[“‘?“a‘PUi‘P (1) h . (1). *250-141 . z>h : Hp . э . C‘P9 cQ (2) h . (1). (2). э F . Prop *253-181. I-: P e Q. =>. C‘P? c Q‘P? U CP [*253-18-13] *253-2. Ь: P e Q - 2r. э. Nr‘P? = Nr‘(P [ G‘P) + i Доказательство. I- . *253-12-121 . э Ь : Hp . э. Nr‘Ps = Nr‘P [ P [ Q‘P + 1 [*213-151 . *252-171] =Nr‘?5P[a‘P+i [*204-34] = Nr‘(P [ Q‘P) + 1: э F . Prop *253-21. h:PeQ.D.i+Nr‘Ps = Nr‘P+i Доказательство. F. *253-2 . z> F : Hp . P~e2r. d . i +Nr‘/\ = i + Nr‘(P [ СГР) + 1 [*204-46-272] = Nr‘P+i (1) F . *213-32 . э F :: P e 2r. э . i + Nr‘/\ = i + 2r [*161-211] =2r+i [Hp] =Nr‘P+l (2) F . (1). (2). э F . Prop Было бы ошибочным выводить из приведенного выше предложения то, что Nr‘/\ = Nr‘P, поскольку сложение ординалов, вообще говоря, не является коммутативным. Когда PgQ, то Nr‘P<; = Nr‘P имеет место, ко- гда С'Р конечен, но не наоборот. Когда С'Р не является конечным, то i + Nr‘P? = Nr‘P?, так что Nr= Nr‘P + i; однако Nr‘P^Nr‘P+i. А.Н. Уайтхед, В. Рассел
58 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *253 22. h:PeQ.=>.P? [D7\ smorР [СТР [*253-17 . *213-151 . *252-171 . *204-34] *253-23. hР е Q. э : Nr‘P = Nr‘£>. = . Nr‘P? = Nr‘Q? : P smor Q. - . P? smor Q^ Доказательство. I-. *181-33 . => I-: Nr‘P = Nr‘2. =. Nr‘P + 1 = Nr‘<? + i (1) I-. (1). *253-21 . э I-Hp . =>: Nr‘P = Nr‘£>. =. i + Nr‘P? = i + Nr‘g? . [*181-33] = . Nr‘P? = Nr‘<2? э h . Prop *253-24. l-:PeQ.o.P?eQ Доказательство. h. *253-2 .*250-141 .*251-132 .=>H Hp . P ~ e2r. =>. Nr‘P? eNO (1) h. *213-32 . *251-16 . э h : P e 2r. э. Nr‘P? e NO (2) h.(l).(2). э h: Hp. э . Nr‘Ps eNO . [*251-122] d . P? eQ: э I-. Prop *253-25. I-:. P, QeQ, - i‘A. э: P9 [ D‘P? smor Q$ [ D‘<29 . = . Psmor Q [*253-22 . *250-17] *253-3. 1-:РеО.э.??‘Р=Р f“?“Q‘P = P [“‘?“C‘P = D‘P9 [*213-243 . *253-13] *253-31. Ь:.РеО.э:еР?Р. = .РеР [“~?“C‘PueP. QeR Доказательство. h . *213-245 . *253-13 . э |-:.Нр.э:еР?Р. = .РеС‘Р? .QeR [“^“С‘Р. [*33-24 . *213-3] = .PeC‘P? . g! P. QeR [“ihc'R. [*253-15] = .ReP [‘^“CTUi'P.giP. QeR [“7?“C‘P (1) I- . *37-29 . *33-24 . э I-: QeR . э. g! R: (2) [*13-12] =>H QeR [“^“C‘P .P = P. z>. g! P (3) K(2)^. эЬ:РеР[“?“С‘Р.э.д!Р (4) h.(3).(4). => I- :ReP [‘^‘CTU i‘P. QeR [“7?“C‘P. =>. g! P (5) h . (1) . (5) . z> h . Prop *253-32. Ь:РеО.РеО.РеС‘Р?.э.‘??.э.'??‘Р = Р f“^“C‘P = D‘P? [*213-246 . *253-13] *253-33. I-:. PeQ.. э : Q(P^ [ D‘P?)P. = . ReP t“~?“ClP. QeR [“^“C‘P [*213-247. *253-13] Если а есть какое-либо ординальное число, и Pea, то ординальные чис- ла отношений между сечениями Р есть такие ординалы, которые могут быть сделаны равными а посредством сложения, т.е. все ординалы Р та- кие, что, для каждого подходящего у, a = р + у. (Здесь у должен быть ор- диналом или 1.) Далее, в силу *250-67, никакой элемент не является подобным Р; следовательно, если а есть ординал, и a = Р + у, где у # 0г, то а р. (Заметим, что а у не следует из Р 0r. a = р + у.) Эти и другие предложения такого рода, которые являются важными в теории ордина- лов, сейчас и будут доказаны. Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ серий 59 *253-4. h : Р е Q - i‘A. э . C‘PS = Q {(3Я). Р = Q + R. V . (ах). Р = Q 4* х) [*213-41 . *250-13] *253-401. HPeQ.D. Р UCP=Q {(3Я). Р = 64Я. V . (ах). Р = Q + х) Доказательство. Ь. *253-4-15 . э I-: Нр. 3! Р. э . я[“?“С‘яи1‘Р = е((аЯ).р = е^я.у.(а-^)-^ = е^4 (1) h.*37-29. =>I-:P = A.d.P[“7*“C‘PUi‘P = i‘A (2) I-. *160-14 . *33-241 .эН:.Р = А.э:Р = 2^Я. = .2 = А.Я = А: [*10-281] э:(аЯ).Р=£ИЯ.5.(2 = А (3) h . *161-13 . *33-241 .э1-:.Р = А.э:Р=е-нх. = .е = А: [*10-24-23] D:(ax).P=2-bx.s.2 = А (4) |-.(3).(4).э1-::Р = А.э:.(аЯ).Р=е^Я.У.(ах).Р=е-нх:в.С = А. [(2)] =.2eP[“'?“C‘PUi‘P (5) F . (1). (5). э h . Prop *253-402. h:PeQ-t‘A.D. о‘р?=ё{(эя).я/А.р=е*я.у.(ах).р=е-их} Доказательство. h . *253-16-4 . э I-:: Нр . э Q е D‘P? . = : Q * Р: (3Я). Р = Q 4-Я . V . (ах) . Р = Q 4* х (1) I-. *161-14 . *200-41 . э F : Нр. Р = б 4+ х. э . х е С‘Р. х ~ е С‘2. [*13-14] э.б^Р (2) h . *160-21 . э h : б Р. Р = б^Я . э . а1-Я (3) I-. *160-14 . *200-4 . э h : Нр . Р = б 4Я. а! я . э . а! С‘Р П С‘Я. ~ а! С‘б п С‘Я. [*13-14] э.Р^б (4) Ь-(3).(4).э Н:Нр.э:.б/Р:(аЯ).Р=б*Я: = -(аЯ).Я#А.Р=б*Я (5) h . (1). (2). (5). э Ь :: Нр. э б е D‘PS . s : (3Я). Я/А . Р= б^Я. V . (ах) .P-Q-^x"^>\-. Prop *253-41. 1-:.РеО.беС‘Р?.э: (аа). а eNO . Nr‘P = Nr‘6 + а. V . Nr‘P = Nr‘6 + i Доказательство. l-.*213-3 .эН.Нр. d:P# A: [*253-4] э:(аЯ).Р=б*Я. V.(ax).P=6-*x: [*211-283 . *200-41] э : (3Я). P = Q4-R. C‘Q ПC'R = А. V . (Зх) .P = 6-bx.x~eC‘Q: [*180-32 . *181-32] э : (3Я). Nr‘P = Nr‘6 + Nr‘P. V . Nr‘P = Nr‘6 + 1: [*251-26] э : (aa). a e NO . Nr‘P = Nr‘6 + a. V . Nr‘P = Nr‘6 + 1 э h . Prop *253-42. F : PeQ. э . Nr‘PO D‘P? = A [*250-651 . *213-141] *253-421. F:PeQ.6eD‘P?.3.~(6smorP) [*253-42] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
60 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *253-43. F Ре£1. х,у е Q'P. э : Р ["?‘xsmor Р \~Р'у . =. х = у Доказательство. I-. *253-11 . э F : Нр . хРу . э . (Р f?‘x) Ps (Р [>у) . [*213-245] э.Р [>xeD‘(P [*253-421] э . ~ {(P smor (P (1) Аналогично F : Hp .уРх. э . ~ {(P smor (P (2) F.(l).(2). F Hp . э : (P smor (P . э . ~ (xPy). ~ (yPx). [*202-103] э. x = y (3) I-. (3). *151-13 . э F. Prop *253-431. l-:P^eeQ.a!e.o. Nr'P / Nr‘(P * Q) Доказательство. F. *253-402 .эЬ-.Нр.э. PeD‘(P^Q\ (1) F . (1). *253-421 . э F. Prop *253-432. 1-:Р-нхе£1.а!Р.э. Nr'P # Nr‘(P -и x) [*253-402-421] *253-44. F : a, p e NO - i‘A .p^0r.o.a + p^a Доказательство. F. *251-1 . *155-34 . э F : Hp. э . (а P, Q) • P, Q e Q • a = Nor ‘P. p = Nor ‘ Q. а! Q • [*180-3] 3.(a^.2)-^eeQ.a = Nor‘P.p = Nor‘e.a!e.a + p = Nr‘(P+C) (1) I- . *180-12 . *253-431 . (*180-01). э F:P,2eQ.a!2-=>. Nr‘(P + Q) # Nr'P. [*155-16] D.Nr‘(P+2)^Nor‘P (2) h.(l).(2).o F : Hp. D . (ap, 2) - p, 2 e o. a = Nor‘P. P = Nor‘2. a + P Nor‘P. [*13-195] □ . a + p/ a : э F . Prop * 253-45. F : a e NO - i‘A - i‘A - i‘0r. э . a + 1 ± a [Док-во аналогично *253-55, используя *253-432 вместо *253-431] * 253-46. F:PeQ. Q.ReC'P^. gsmorP-o. Q = R Доказательство. F . *253-421-16 . э F : Hp . Q = P . э . R = Q (1) F. *253-16 . э F : Hp . Q^P.R^P.zi. 6,PeD‘P?. [*253-13] D . (ах,Д . x.yeQ'P. Q = P [>x. P = P . [*253-43. Hp] э . 2 = R (2) F . (1). (2). э F . Prop * 253-461. F : PeQ. э . Nr [ C‘P?e 1-> 1 Доказательство. F . *253-46 . э F: Hp . Q,R e C‘P?. Nr‘2 = Nr'P. э . Q = R: э F . Prop *253-462. F : PeQ. э . Nr (P [)^ f d'Pe 1 -> 1. Nr ’ P p"? ’ P [Q‘Psmor P [ (TP [*253-43] * 253-463. F:PeQ.3. Nr; (Ps [ D‘P?) smor P? [ D‘PS. Nr 5 (Ps [ D'P) smor P [ Q'P [*253-462-17-22] Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 61 *253-47. HPeQ-ГА.э. Nr“C‘P? = d {(ар). а + р = Nr‘P. V . а + j = Nr‘P} [*253-4] *253-471. F : PeQ . э . Nr“(D‘P? U ГР) = а {(gp) . а + p = Nr‘P. V . а + 1 = Nr‘P) [*253-401-13] Следующие предложения касаются доказательства того, что Nr‘Pg пред- ставляет собой либо Nr‘P, либо Nr‘P+i. Это доказывается путем исполь- зования Pi в качестве коррелятора. Используемые методы предваряют об- суждение конечных и бесконечных серий; на самом деле, когда Р конечно, то Nr‘P? = Nr‘P, а когда Р бесконечно, то Nr‘P? = Nr‘P+ 1. Однако на дан- ном этапе важно знать, что Nr‘P? больше либо равно Nr‘P, поэтому здесь и приведены эти предложения. *253-5. h : PeQ . э . Р] ; Р = Р [D‘P Доказательство. I-. *201-63 . *25-411 . э h :: Нр . э Р = Рх U Р2 [*150-11) э х(Р1 > Р) . xPxw . н : (дУ, z) : хРху :yPxz . V .у Р2 z: wPxz : [*204-7] =: (gz). xPxw. wP\z V . (gy, z). xPxy .yP2z- wP\Z.: [*250-21-24] = : xP\W. weD'P. V . (gy). xP\y. у, we D‘P. yPw: [*33-14 .*34-1] =:x(P, UP] |P)w.weD‘P: [*33-14 . *250-242] = : x, weD'P. xPw:: э I-. Prop *253-501. F:P€Q.o.P1;p = P[a‘P1 Доказательство. I-. *250-242 . э I-: Hp. э . P, ‘’P = PX ' P\ UPj |P, |P [*71-191 . *204-7] = i [ G‘Pi U (G‘Pj) 1 P. [*150-1 . *50-65] э . P, ; P = (G'P,) 1 Pi U (Q'P01 P | Pi [*250-243] = P [ СТР] : э h . Prop *253-502. I-: P e П. э . P [ G‘Pi smor P [ D‘P Доказательство. I-. *253-5 . *150-36 . э I-: Hp. э . P [ D‘P = Pi ’ (P [ Q'P,) h . *151-21 . *204-7 . z> H Hp. э . Pi 5 (P £ CPPi) smor P [ Q‘P, h . (1). (2). э I-. Prop (1) (2) *253-503. F : PeQ. Q‘P] = G‘P. э . P [ G'Psmor P [ D‘P [*253-502] Это предложение показывает, что если Р представляет собой вполне упорядоченную серию, в которой каждый терм, за исключением первого, имеет непосредственного предшественника, то серия, полученная путем ис- ключения последнего терма (если таковой существует), подобна серии, по- лученной путем исключения первого терма. Обратное также имеет место, как будет показано позднее. Гипотеза PeQ.CTPi = СТР эквивалентна гипо- тезе, что Р является конечным или представляет собой прогрессию. (Здесь прогрессия совсем не то, что было определено как “Prog” в *121, а то, что Кантор называет со; т.е. если R е Prog, то Рро является прогрессией в нашем настоящем понимании.) *253-51. h : Р е Q . CTPi = СТР. Е ! В‘Р. э . Nr‘Pg = Nr‘P Доказательство. F . *253-2 . э h : Нр . Р ~ е 2Г. э . Nr‘P? = Nr‘(P [ СТР) + i [*253-503] =Nr‘(P [D‘P)+ i [*204-461-272] =Nr‘P (1) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
62 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ F . *213-32 . э F : Ре2г. э . Nr‘P? = Nr'P (2) F. (1). (2). э F . Prop *253-511. I-: P e Q. d'P, = d'P. ~ E ! B‘P. э . Nr‘P? = Nr'P + 1. Nr'P ] d'P = Nr'P Доказательство. F. *93-103 . *202-52 . э F. Prop . э . P [ D'P = P. [*253-503] э . Nr'P [d'P = Nr'P. (1) [*253-2] э. Nr‘Ps = Nr'P + i (2) F . (1). (2). э F . Prop *253-52. F : P e Q. x = minP‘(d‘P - d'Pi). э . d'PnXxcd'Pi .Pi“'?‘x=Xx.Pi“7*‘x=X‘x-i‘B‘P Доказательство. F. *205-14. э F : Hp . э . Q‘PO?‘xc Q'P] (1) F . *250 -242 . э F : Hp. э .^'x =?, ‘x U Pi “>x [*33-41. Hp] = Pi“~?‘x. (2) [*72-501. *204-7] э. Р{“~?‘х=~?‘хП d'Pi (3) F. (1). DhHp.D.a‘Pn?‘x = a‘Pn?‘xnG‘P| [*121-305] = d‘P1Ci>x (4) F . (3). (4). z> F: Hp. э. Pj “"?‘x=~?‘xn d'P [*33-15. *202-52] =X‘x-i‘B‘P (5) h.(1). (2) . (5). э h . Prop *253-521. FrPed.xed'P-d'P, . э .Xx, d'P ~ e 1 Доказательство. F.*201-66. oF-.Ped.X'xel .D.xed'P] (1) F . (1). Transp . э F : Hp. э .X'x ~ e 1 (2) F. *201-662. э F : Hp. э . d‘P~ e 1 (3) F . (2). (3). э F . Prop *253-522. F : PeQ. x = minP‘(d‘P - СГР,). 5 = Pj [‘Xx UI [ X'x. э . S’’ (P [ d'P) = P Доказательство. F . *34-25-26 . *50-5-51 . э F: Hp. э . S (P [d'P) = (Pj [7‘x)5 P [ d'PU(z f X'x)! PU (Pi Г>х)|Р|/[Х‘хи/гХ‘х|РГ?‘х1 Pi [*50-6-61 . *150-36. *35-452] =(P, [^'x)PU P [ H'xU P, f^'xIPfX'xU H'x] P [^‘xIPi [*74-141 . *253-52 . *200-381]= (P, [7*‘x) ’> P U P [ H'xU^'x] Pj | P [ K'x [*250-242 . Hp] [*150-36] [*253-5-52] [*35-413 . *200-381] [*202-101] = (P, [>x);PUP [M‘xU>x1 P\K'x = (P} iP) [Pi“>xUP [H‘xU>x1 P [X'x =P ]"?‘x U P [ X ‘x u"?‘x 1 P [ X ‘x =P [ ("?‘xU X'x) -P: э h . Prop Principia Mathematica III
*253. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЕЧЕНИЯМИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 63 *253-53. h : Р е Q . х = иппР\(ГР - CTPi). э . Pi ГX‘xe{Psmof (P[Q‘P)} Доказательство. F . *204-7 . *200-381 . z>F : Нр. э . Р\ [?‘хй7 f Х‘хе 1-> 1 (1) I- . *253-52 . *50-5-52 . э ннр.э.ач?! [>хй/ rK‘x) = ("?‘x-i‘B‘P)uX‘x [*202-101] = С'Р-СВ'Р [*93-1оз] = а1р [*202-55 . *253-521 ] = С\Р [ СТР) (2) F . *253-522 . э F : Нр. э . (Pi ["?‘хй/ [Н‘х)5(Р [<ГР) = Р (3) F. (1). (2). (3). *151-11 . э F. Prop *253-54. F : PeQ. g! (TP-(TPi. э . PsmorP [ G‘P Доказательство. I-. *250-121 . э F : Нр. э . Е ! minP‘(a‘P - Q‘Pi) (1) F. (1). *253-53 . э F. Prop *253-55. F : PeQ. g! Q‘P-Q‘P] . э . Nr‘Ps = Nr‘P + j Доказательство. F . *253-521 . *204-272 . э F : Hp. э . P ~ e 2r (1) F . (1). *253-54-2 . э F . Prop *253-56. FPeQ. э : Q‘Pi = (ГР. E ! B‘P. э . Nr‘P? = Nr‘P: ~ (CTPi = G‘P. E ! B‘P). э . Nr‘Ps = Nr‘P + i [*253-51-511-55] *253-57. F:PeQ.Q‘Pi = Q‘P. E ! B‘P. э . i +Nr‘P = Nr‘P+ i. i + .Nr‘P#Nr‘P Доказательство. F . *253-51 . э F : Hp. э . Nr‘P? = Nr‘P. [*253-21] э . i + Nr‘P = Nr‘P + i (1) [*253-45] э. i+Nr‘P^Nr‘P (2) F . (1). (2). э F . Prop *253-571. F : P e Q. ~ (П'Р, = (ГР. E ! B‘P). z>. i + Nr‘P = Nr‘P Доказательство. F . *253-56 . э F : Hp. э . Nr‘P? = Nr‘P + 1 . [*253-21] D.i+Nr‘P+i=Nr‘P+i. [*181-33] э . i + Nr‘P = Nr‘P: э F . Prop *253-272. F : P e Q - i‘A. ~ (CTPi = (ГР. E ! B‘P). э. 1 + Nr‘P # Nr‘P + 1 [*253-571-45] *253-573. F:.Pen.z>:(TPi = СТР. E ! B‘P. = . i+Nr‘P#Nr‘P [*253-57-571] *253-574. F:. PeQ - i‘A. э: СТР, = G‘P. E! B‘P. =. i + Nr‘P = Nr‘P = Nr‘P + i [*253-57-572] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
64 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ * 254. Больше и меньше среди вполне упорядоченных серий Краткое содержание *254. В настоящем параграфе мы должны доказать, что из любых двух вполне упорядоченных серий одна должна быть подобна отношению между сечениями другой. Из этого следует, что из двух неравных ординалов один должен быть больше. Предложениями настоящего параграфа мы обязаны Кантору 10. Наша процедура заключается в следующем. Мы определяем отношение “RPsmQ”, означающее “R представляет собой собственное сечение Р и яв- ляется подобным 2”, т.е. R Psm Q • = . Я е D‘Pg .R smor Q. В силу *253-46, если Р, geQ, то Psmel—> Cis (*254-22) и Psm Г D‘2? е 1 —> 1 (*254-222). Поэтому если 5 есть какое-либо собственное сечение Q, которое подобно некоторому собственному сечению Р^ то собственное сечение Р, которому оно подобно, есть Psn/S- Легко доказать, что Psm ’ 2? t D‘2<; представляет собой сечение Р; и что если D^cG^sm, т.е. если каждое собственное сечение Р подобно некоторому собственному сечению 2, т0 мы будем иметь (*254-261) Р? [D P(j = Psm’ Qq [ D 2? • Отсюда следует (*254-27), что если кроме того D‘2<; <= G‘Psm, то мы будем иметь Р? [D‘P? smor 2? ID‘2<j, т.е. на основании *253-25 Р smor 2 (*254-31). Потому (А) если каждое собственное сечение Р подобно некоторому соб- ственному сечению Q и обратно, то Р подобно Q. Рассмотрим далее случай, в котором каждое собственное сечение Р подобно собственному сечению Q (т.е. с G‘2sm), но не наоборот, так что з! D‘2? - G‘Psm’ Легко доказать, что при этой гипотезе, если 5 eD‘2<?- CTPsm, то D‘P?cQ‘5sm (*254-32). Однако если 5 есть минимум (в порядке 2<?) класса D‘2<; _ G‘Psm, то D‘5?cQ‘Psm. Следовательно, на ос- новании (А) 5 smorP (*254-321). Поэтому (В) если каждое собственное сечение Р подобно собственному се- чению 2, но не наоборот, то Р подобно собственному сечению Q (*254-33). Из (В) с помощью транспозиции мы находим, что если каждое соб- ственное сечение Р подобно некоторому собственному сечению 2, но само Р не подобно никакому собственному сечению 2, то каждое собственное сечение Q подобно некоторому собственному сечению Р, откуда на основа- нии (А) Р подобна 2 (*254-34). Следовательно, если найдутся собственные сечения Р, которые не подобны никакому собственному сечению 2? то наи- меньшее из таких сечений (скажем Р') должно быть подобно Q, поскольку 10 Math. Annalen, Vol. 49. Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 65 оно само не является подобным никакому собственному сечению 2, однако все его собственные сечения подобны собственным сечениям Q. Следова- тельно, (С) если найдутся собственные сечения Р, не подобные никакому собственному сечению Q, тогда найдется такое собственное сечение Р, ко- торое подобно 2, т.е. h : Р, Q е Q. а! D‘P? - G‘2sm . э . Q е G‘Psm (*254 35). Поэтому либо (1) g! D ‘ Р? - G ‘2sm, в этом случае QеG‘Psm, либо (2) g! D‘2? - G‘Psm, в этом случае PeG‘2sm5 либо (3) D‘P?cG‘2sm и D'Qs с G‘Psm, в этом случае на основании (A) Р smor 2- Поэтому (D) если Р и Q есть две каких-либо вполне упорядоченных серии, то либо они по- добны, либо одна из них подобна собственному сечению другой (*254-37). Далее мы переходим к определению одной вполне упорядоченной серии Р, как меньшей чем другая вполне упорядоченная серия 2, если Р подобна некоторой части 2, но не б, т.е. мы полагаем less = PQ {Р, 2 е Q. я! Q n Nr‘P • ~ (р smor б)) Df • (Заметим, что мы имеем R1‘2 в этом определении, а не D‘2?) Из (D) следует при условии, что Р и 2 есть вполне упорядоченные се- рии, что если Р и 2 не подобны, то одна должна быть меньше, чем другая (*254-4). Также из *250-65 следует, что если Р подобна собственному се- чению 2? то б нв может быть меньше, чем Р (*254-181). Следовательно, Р меньше, чем 2, тогда и только тогда, когда Р подобна некоторому соб- ственному сечению 2, т.е. Рless 2 • = • Л 2 е Q. Р е G‘2sm (*254-41). Следовательно, если каждая из двух вполне упорядоченных серий подобна части другой, то эти две серии подобны (*254-45); а в любом другом случае одна из них подобна некоторому собственному сечению другой. Из приведенных выше результатов мы без труда получаем следующие предложения, которые полезны в ординальной теории конечного и беско- нечного. * 254-51. h : Р less Q . = . Р, Q е Q . R1‘P A Nr‘ Q = А Т.е. одна вполне упорядоченная серия меньше, чем другая, тогда и толь- ко тогда, когда никакая ее часть не является подобной другой. * 254-52. F:PeQ.а с С‘Р. Я! ёРАр‘^“а . э . Р [ а lessP Т.е. любая часть вполне упорядоченной серии, которая заканчивается вблизи конца, меньше, чем вся серия. * 254-55. l-:.eiessP.s:P,eeQ:(gP).Psmor6.PGP.g! С‘Р П р'*Р“С‘К Т.е. одна вполне упорядоченная серия меньше, чем другая, тогда и толь- ко тогда, когда она подобна некоторой части другой, которая заканчива- ется вблизи конца. *254-01. less = Pg {Р, QeQ. g! R1‘6 П Nr‘P. ~ (Psmor 0} Df *254-02. Psm = (D‘Ps)1 smor Df *254-1. I-: Pless Q. = . P, QeQ.. g! Rl‘<2 П Nr‘P. ~ (Psmor Q) [(*254-01)] *254-101. I-: P, QeQ. Pg 6. ~ (Psmor 0. э . PlessQ [*254-1] *254-11. h : PPsm (2. = .ReD‘P? .Psmor 6 [(*254-02)] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
66 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *254-111. F.'?sm‘2 = D‘/>?nNr‘2 [*254-11] *254-12. I-: eeCTPsm . = . g! D‘P? nNr‘6 [*245-111] *254-121. I-. D‘P? c CTPsin [*254-12 . *152-3] *254-13. F P smor P'. Q smor Q’. э : Pless Q . = . P' less Q' [*151-15 .*152-321 .*254-1] *254-14. I-: 5 e D‘2? . T ePsmoiQ .i.T’St D‘P? П Nr‘5 Доказательство. F. *213-141 . э F : Hp . э . (gP). pesect‘2 - i‘A - i‘C‘2.5 = 2 [ P F . *150-37 . э F : Hp . S = Q [ P. э . T i 5 = (T 5 Q) [ T“P (1) [*151-11] =Р[ÓР(2) F . *212-7 . э F : Hp . pesect‘2 • • 7’“Pesect‘P (3) F . *37-43 . э F: Hp . P e sect‘2 _ i‘A. э . g! T“p (4) F. *150-22 . DF:Hp.7’“P = C‘P.o.7’“P = T“C‘2: [*72-481] э F : Hp. T“P = C‘P. P e sect‘2 • => • P = C‘Q: [Transp] э F: Hp. P e sect‘2 _ i‘C‘2 • ° • ^“P / (5) F . (3). (4). (5). э F: Hp. P e sect‘2 - i‘A - CC'Q . э . T“Pesect‘P - i‘A - t‘C‘P (6) F. (1). (2). (6). э F : Hp . э . (ga). aesect‘P- i‘A - i‘C‘P. T »5 = P [ a . [*213-141] 3.7”-5eD‘Ps (7) F. *151-21 . э F : Hp. э. (T ; S) smor 5 (8) F . (7). (8). э F . Prop *254141. F : Psmor Q . э . D‘2? c CTPsm • D‘Pg c CT(2sm Доказательство. F . *254-12-14 . э F Hp . э : 5 e . э . 5 e CTPsm (1) F . (1). *151-14 . э F . Prop *254-142. F : R e C‘P? . э . P? G Psm Доказательство. F . *213-241 . э F : Hp . э . D‘P? c D‘P? (1) F.(l). *254-11 . э F . Prop *254-143. F : Q e CTPsm . э . C‘2. c G‘Psm Доказательство. F . *254-12 . э F : Hp . э . (gP). R e D‘P?. R smor Q . [*254-141] э . (3P). R e D‘P? . D‘0. a (TPsm . [*254-142] э . c CTPsm . [*213-16 . Hp] э . Q [“(sect‘2 - i‘A) c CTPsm • [*213-1] э . c CPPsm : э F . Prop *254-144. F : P = A . э . Psm = A [*213-3 . *254-11] *254-15. I-:. Qpo G J. g !^‘P. P^ G J. э : Q e G‘Psm . = . C‘2? c CTPsm Доказательство. F. *254-143. DF:e«a?sm.D.C‘esca?!m (1) F . *213-142 . *211-26 . э F :. Hp. g! б. э : 2 e C‘2? : [*22-441] D:C‘2?ca‘Psm.3.2€a‘Psm (2) F. *211-18. э F : Hp. э . g!sect‘Pn 1 . [*200-35] э . AeP ]“(sect‘P-i‘A). [*213-16] D.AeD‘P?. Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 67 [*254-121] o.AeG‘Psm (3) F . (2). (3). э h Нр. э : с G‘Psm . э . Q е G‘Psm (4) F . (1). (4). э I-. Prop *254-16. I-2smor Q'. э :4n‘2=4n‘2': 2eG‘Psm • = • Q eG‘Psm Доказательство. F . *254-111 . *152-321 . э F Hp . э :^sm‘Q =Un‘2' = (1) [*i3-i2] [*33-41] D:2eG‘Psm. = .2'eG‘Psin (2) F . (1). (2). э F . Prop *254-161. F : P smor P'. э . G‘Psm = CTPsm Доказательство. F. *254-114 . э F : T ePsmor P'. S eD‘P's П Nr‘2. э . Г > 5 eD‘P? П Nr‘2: [*254-12] э F : T e P smor P'. Q e G‘P'srn .=>.Q e G‘Psm : [*151-12] z> F : P smor P'. э. G‘P'sm c G‘Psm (1) F. (1). *151-14 . э F : P smor P'. э . CTPsni c G‘P'sm (2) F. (1). (2). э F . Prop *254-162. F Psmor P'. Q smor Q'. э : QeC‘Psm . = . Q’ eG‘P'sm [*254-16-161] *254-163. F: P e G‘2sm. э . G Psm c G 2sm Доказательство. F. *254-12 .dF: Hp.z>.(gS). PernorS .5eD‘2?. [*254-161-142] э . (3S). G‘Psm = G‘5sm . G‘5sm c G‘2sm . [*13-195] э . G‘Psm c G‘2sm : э F . Prop *254-164. F: DeP? c G‘2sm. э . D‘P? = Psm“(D‘2? ПG‘Psm) = Psm“D‘2? Доказательство. F . *254-11 . э F: Hp.PeD‘P? . э . (35). 5 eD‘2? .Psmor5 . [*254-11] z>.(aS).SeD‘2?.PPsmS . [*37-1] э .PePsm D‘2? (1) F. *254-11 . э F . Psm“D‘2? c D‘P? (2) F . (1). (2). э F : Hp. э . D‘PS = Psm“D‘2? [*37-26] = Psm“(D‘2s П G‘Psm): э F . Prop *254-17. F:PeQ. QeD‘P?. Rd Q.=>.~ (Psmor P) Доказательство. F . *204-21 .oF:PcQ.PgP.P smor P. э .Re Ser. [*204-41] э.Р = Р[ёР(1) F . *250-63 . Transp. э F : PeQ. P smor P. P = P [ C‘P. э . ~ (ga). a esect‘P - СС‘Р. C‘R a a. [*211-133-44] э . ~ (a2) • Q e P [“(sect‘P - i‘C‘P). P G Q. [*213-141] o.~(32)-2eD‘P?.PG2 (2) F . (1). (2). э F : P e Q. P smor P. P G P. э. ~ (3 Q). Q e D‘P? . P G Q (3) F . (3). Transp. э F. Prop *254-18. F : 2eD‘Ps . э. ~ (Pless 2) [*254-17-1] *254-181. F : 2eG‘Psm . э . ~ (Pless 2) Доказательство. F. *254-18-12 . э F : Hp. э . (3P) .Psmor Q. ~ (PtessR). A.H. Уайтхед, Б. Рассел
68 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ [*254-13] э . ~ (Pless Q): э I-. Prop *254-182. F : Р е О.. Q е D‘P? . э . Q less Р [*254-101 . *253-421-18] *254-2. F : PeQ. 2е G‘Psm . э . 2lessР Доказательство. I-. *254-11 . э F: Нр. э . (gP). PeD‘P? . Я smor Q. [*254-182] э. (а Я). Я less Р. Я smor 2- [*254-13] э . Q less Р: э F . Prop *254-21. I- :PeQ. <2ea‘Psm .Яс б.ЯеП.э .PlessP Доказательство. I-. *254-12 . э F : Hp. э . (aS, T). S eD‘P? . T eS smor Q. [*151-21 . *150-31] э . (aS, T). S e D‘P? . T e S smor Q. T ?Я smor Я. T ’Я G S . [*254-17] э . (a T). T ; Я smor Я. T ? Я G P. ~ (T 5 Я smor P). [*151-17] э . (aT) • T; Я smor Я. T ’ Я G P. ~ (R smor P). [*254-1] э . PlessP: э F . Prop *254-22. F : PeQ. э . Psm e 1 —> Cis Доказательство. F . *254-11 . dF :.PPsm Q.S Psm Q.z>:R,S eD‘Ps.PsmorS : [*253-46] D:PeQ.D.P=S (1) F. (1). Comm. э F. Prop *254-221. F : PeQ. э . a‘Psm cQ Доказательство. F . *254-12 . *253-13 . э F : Hp. Q e a‘Psm • э . (аЯ, a). Я = P [ a. Я smor Q . [*250-141 . *251-111] э . QeQ: э F. Prop *254-222. F:P,eeQ.z>.Psm [D'^el -> 1 Доказательство. F . *254-11 . э F :. Я (Psm [ D‘2S) S . Я (Psm [ D‘2?) S'. э : S,S' eD‘2? . Яsmor S . Яsmor S': [*253-46] z>:2eQ.D.S =S' (1) F . (1). Comm. z> F : Hp. э . Psm f D‘2? e Cis -> 1 (2) F . (2). *254-22 . э F . Prop *254-223. F . Cnv‘(Psm [ D‘6?) = gsm Г D‘P? Доказательство. F . *254-11 . d F : Я (Psm [ D‘g?)S . = . PeD‘P? . S eD‘2? . Я smor S . [*151-14] s.S eD‘6?.PeD‘P? .S smorR. [*254-11] =.S(2sm f D‘Р?)Я: э F . Prop *254-224. F:2eQ.E!Psra‘S .SeD‘e?.D.S = 2sm‘Psm‘S Доказательство. F . *254-223 . э F :. Hp. э : S esm (Psm‘S). = . (Psm‘S) Psm S (1) F . (1). *30-32 . *254-22 . э F . Prop *254-23. F:PeQ.2ea‘Psm.D.Psm‘2 = i‘(D‘P?nNr‘0 [*254-22-111] *254-24. F : P, Qe Q. Я e D‘P? П d‘6sm . S e RPR П D‘P; . э. S e Q‘2srn Доказательство. F . *213-24 . э F : Hp. э . S e D‘R? . [*254-143 . Hp] э .S ed'gsm : э F. Prop Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 69 *254-241. F:.PeQ.2,PeC‘P? . э:PeQ‘esm . = .PeD‘2? Доказательство. F.*254-121 .oF:7?eD‘2?.o.7?ea‘esm (1) F . *254-142 . э F : Нр. QeC'R^ . э . &т g Psm (2) F. *253-42. oF:PeQ.=>.P~ea‘Psm (3) F.(2).(3). oh:Hp.2eC‘7?s.o.7?~ea‘esm (4) F. (4). Transp. (3). э F : Hp. R e Q‘6sm • э. Q ~ e C'R^ .Q±R. [*213-245] ^.-(QP^.Q/R. [*213-153 . Hp] ^.RP^Q. [*213-245] 3./?eD‘2s (5) F . (1). (5). э F. Prop *254-242. F : geQ. TePsmor 6. S eD‘2? . э. T > S = Psm'S Доказательство. F . *254-14 . z>F : Hp. э. T >S eD‘P? nNr‘S . [*254-11] z>.(T’S)PsmS . [*254-22 . *251-111] э. T ? 5 = Psm‘S : => F . Prop *254-243. F : (2eQ. 5 eD‘g? . T ePsmor S . S' Qq S . z>. T >S = Psm‘S' Доказательство. F . *213-245 . *253-18 .z>F:Hp.=>.SeQ.S'e D‘S? . [*254-242] э. T; S'= Psm‘S': F . Prop *254-244. F : P, geQ. S eD‘6S П Q‘Psm . Te(Psm‘S) smorS .S'Q^S .z>. T’S=Psm‘S .T’S' = Psm‘S' .(T’S')P.(T’S) Доказательство. F. *254-243 . эF : Hp.P = Psm‘S . э. T >S'=Psm‘S' (1) F.*253-11. э F : Hp (1). э .PeD‘P? . (3) [*254-142] o.PsmGPsm (3) F . (1). (3). *254-22 . э F : Hp (1). э . T’S‘= Psm‘S' (4) F. *151-11. =>F:Hp(l) .=>.R = T’S. (5) [(2)] o.T^eD'P, (6) F. (1). (5). *254-11 . э F : Hp (1). э . T ’ S'eD‘(P > S) (7) F . (6). (7). *213-244 . z> F : Hp (1). z>. (T! S') P^ (T 5 5) (8) F.(5). oF:Hp.o.T;S=Psm‘S (9) F . (9). (4). (8). э F . Prop *254-245. F: P, QeQ.. S eD‘2? Г) Q‘Psm . S' Q^S . э. (Psm‘S') P? (Psm‘S) Доказательство. F. *254-22-11 . э F : Hp. э. (Psm‘S) smorS (1) F . (1). *254-244 . э F . Prop *254-25. F:. P, QeQ.. S, S' e D‘Q? П Q‘Psm . э : S' S . = . (Psm‘S') P.; (Psm‘S) Доказательство. F . *254-245 . э F :. Hp. э: S' S . э. (Psm‘S') P? (Psm‘5) (1) I /. \ Psm S' > Pstn $ > P. Q ( s', S7, Q^P'^ Ь Hp . Э : (Psm 5 ) P(^ (Psm 5) . D . (2sm Psm S ) G? (Gsm Psm S) . [*254-224] (2) F . (1). (2). э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
70 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *254-26. к : Р, QeQ. э. Q. [ (D‘C? Г>Q‘Psm) = £sm 5(Ps [ D‘P?) Доказательство. к . *254-25 . э к :: Hp. э S' {Qq [ (D‘6S П Q‘Psm)} 5 . s: S, S' e D ‘ П Q‘Psm . (Psm ‘S') Ps (Psm ‘5): [*254-22] s : S, S' e D‘Q? : (gfl, R') .RPsmS.R' Psm S'. R' Ps R: [*254-223] s : (Д/?, R').S QsmR. S’ Qsm R' .R,R'e D‘P? .R'P^R: [*150-11] a : S' {fem ; (Ps t D‘P?)) 5 :: э к . Prop *254-261. к : P, Q e Q. D‘2? c Q‘Psm . э. & [ D‘g? = (2sm 5 (P? [ D‘PS) [*254-26] *254-27. к : P, 2 e Q. D‘Pg c ai2sm • D‘G? c Q‘Psm . э . Gsm [C‘(P? [D‘P?)e(2? [D‘2?) smor (Ps [D‘P?) Доказательство. к . *254-222 . э к : Hp. э. Qsm [C‘(P? [D‘P?)el -* 1 (1) k. *37-41. эк : Hp. э. C‘(PS [D‘P?)cQ‘2sm (2) к . (1). (2). *254-261 . *151-22 .эк. Prop В силу приведенного выше предложения мы имеем, когда его гипотеза реализуется, (2? smor (Pq [D‘P?), откуда на основании *253-25 Q smor P, Это предложение представляет собой обращение *254-141. В приведенном выше предложении мы берем Qsm f С‘(Р<Д D‘Pq) в ка- честве коррелятора, а не Qsm Г D‘P?, для того, чтобы не делать исключе- ний для случая, в котором Ре2г. Так как если Ре2г, то D‘P?el, однако Р? [D‘Pq = A. Поэтому Qsm f D‘Pq в этом случае не является коррелятором. Следующие предложения, вплоть до конца настоящего параграфа, яв- ляются важными и дают основания теории неравенства между вполне упо- рядоченными сериями и между ординалами. *254-31. F : Р, Q в Q . D‘P? с Q‘Qsm . D‘Q? с CTPsm . э . Р smor Q Доказательство. k. *254-27. эк Нр . э : (Р? [ D‘P?) smor (Q? [ D‘Q?) : [*253-25] o:a!P.g!Q.o.P smor Q (1) к. *254-144 .эк : Hp . P = A . э . D‘Q? = A . [*213-302] o.Q=A. [*153-101] э . P smor Q (2) Аналогично к : Hp . Q = A . э . P smor Q (3) к.(1).(2).(3). э F. Prop *254-311. F : Р, Q е Q . э : D‘P? с Q‘Qsm . D‘Q? с Q‘Psm . = . Р smor Q [*254-31-141] *254-32. F : P, Q e Q. D‘Q? a G‘Qsm . S e D‘Q? - Q‘Psm . э . D‘P? a Q‘Ssm Доказательство. F . *254-24 . э h : Hp . P, S' e D‘Q? . S' G R. R e Q‘Psm . э . S' e Q‘Psm (1) I-. (1). Transp . э F : Hp . R eD‘Q? П G‘Psm . э . ~ (S G P). [*213-21] D.Pg?S. Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 71 [*254-22-11 . *213-245] э. (Psm‘Я) 8тогЯ.ЯеО‘5?. [*254-12] D.(Psm‘tf)ECT5sm (2) h . (2). *37-61 . э F : Нр . э . Psm“(D‘(2? A Q‘Psm) a CTSsm . [*254-164] э . D‘P? с CTSsm : э F. Prop *254-321. Ь : Р, Q е Q. D‘Pq с a‘2sm . 5 = min (2?)‘(D‘2? - Q‘Psm). э . S smor P Доказательство. F . *205-14 .э F: Hp .э .^‘5 c Q‘Psm . [*213-246] o.D^aCTPsm (1) F . *254-32 .oh: Hp . э . D‘Pq c G‘Ssm (2) F.(l). (2). *254-31 . э F . Prop *254-33. h : P, 2 e Q . D‘P? c Q‘esm . a! D‘2? - Q‘Psm . э . P e Q‘2sm Доказательство. F . *253-24 . э F : Hp . э . E ! min (2Д‘(D‘2? - CTPsm) • [*254-321] э . (a5). 5 e D‘2q . S smor P. [*254-11] э . PEQ‘2sm : э h . Prop *254-34. h:P, QeQ.P-e G‘2sm • ТУР^ c Q‘2sm • => • Psmor Q Доказательство. F . *254-33 . Transp . э F : Hp . э . D‘2q c G‘Psm . D‘P? c G‘2sm • [*254-31] э . P smor Q : э F . Prop *254-35. F : P, 2 e Q . a ’ D‘6? - CTPsm . э . P e G‘2sm Доказательство. F . *254-24 . Transp. э F : Hp. э . E ! min (2?)‘(D‘2? “ G‘PSm) • [*205-14] э. (3S). S e D‘24 - CTPsm .^‘S c Q‘Psm . [*213-246] э. (aS). S e D‘GS - Q‘Psm . D‘S? c Q‘Psm . [*254-34] э. (aS).S eD‘2? .S smorP. [*254-11] э. PeQ‘6sm : э h . Prop *254-36. h : P, geQ. 3! D‘2? - Q‘PSm . э. C‘Pq c Q‘2sm [*254-35-143] *254-37. F P, Q e Q. э: P smor Q. V . P e Q‘6sm . V . Q e Q‘Psm Доказательство. F. *254-31 . z>F :Hp. D‘P? cQ‘esm . cQ‘Psm .э .Psmor Q (1) F . *254-35 . э F : Hp. a! D‘2q - a‘Psm . э . Ped‘esm (2) F . *254-35 . э F : Hp. a! D‘P? - CPCsm • • GeCTPsm (3) F.(l).(2).(3).=>F.Prop Это предложение является наиболее важным предложением об отноше- ниях двух вполне упорядоченных серий к сегментам друг друга. Оно по- казывает, что из двух вполне упорядоченных серий, которые не являются подобными, одна должна быть подобна сегменту другой. *254-4. F Р, Q е Q. э: Рless Q. V . Р smor Q. V . Q less Р Доказательство. F. *254-2. э F : Нр. Ре Q‘esm . э. Pless Q (1) F. *254-2. э F : Нр. Qe Q‘Psm . э. glessP (2) F . *254-37 . э F : Нр. Р ~ е a‘2sm • Q ~ е a‘Psm . э . Psmor Q (3) F . (1). (2). (3). э F. Prop А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
72 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *254-401. h:.P,QeQ. э : less ‘Р = less ‘Q . = . Р smor Q Доказательство. b . *254-1 . э b : Нр . less*‘Р = less*42 . z>. ~ (Pless Q). ~ (2lessР). [*254-4] э. Psmor 2 (1) b . *254-13 . э b : Нр . Psmor Q . э . less*‘Р = less*42 (2) b . (1). (2). э b . Prop *254-41. h : Pless Q . = . P, QeQ . Pe Q42sm • = . 2^Q. Pe Q42sm Доказательство. b. *254-2 . oh:2eQ.PeQ42sm.^.Pless2 (1) b. *254-181 . Dh:2eQ4Psm.o.~(Pless2) (2) b . *253-421 . э b: QeCl . PeD‘2? • PsmorP . э . ~ (Psmor 2) • [*254-11] э b : 2eQ . PeQ‘Psm . э . ~ (Psmor Q) (3) b. (2). (3). *254-4 . э b : 2eQ. PeQ4Psm . э . Pless Q (4) b . (1). (4). э b : p less Q . = . Q e Q . P e Q4 2sm • [*254-1] = . P, 2 e Q . P e Q42sm : э b. Prop *254-42. b . less g J. less2 g less Доказательство. b . *254-1 . э b : P less Q. э . ~ (P smor Q). [*151-13] =>.P#2 (1) b . *254-163 . э b : PeG42sm • Q4Psm . э . 5 eQ42sm [*254-41 ] э b : R less Q. S less R . э . S less Q (2) b . (1). (2). э b . Prop Отношение “ less ” не в состоянии сгенерировать серию, поскольку не является связным, при этом две подобные вполне упорядоченные серии ни больше, ни меньше друг друга. С другой стороны, отношение Nr ; less является сериальным, так как две подобные вполне упорядоченные серии вносят один и тот же терм в поле Nr» less, и поэтому связность не нару- шается. Отношение Nr ; less будет рассмотрено в следующем параграфе. *254-43. b: 2eQ-L4A.o.A less2 [*254-1 . *250-4 . *152-11] *254-431. b . G4 less = Q - l4A . C4 less c Q Доказательство. b . *254-43 . э b : Q e Q - l4A . э . A less Q (1) b . *254-1 . *25-13 . эЬ:2 = Л.э.2~еСГ less (2) b. *254-1. ob.C4less cQ (3) b . (3). (2). Transp . э b . Q4 less cQ - l4A (4) b . (1). (4). Transp . э b . Q4 less = Q - l‘A (5) b . (3). (5). э b . Prop Для того чтобы получить С4 less =Q, нам необходимо, как явствует из (1) в приведенном выше доказательстве, g!Q-i4A. В силу *251-7 это требует g! 2. На основании *101-42-43 это имеет место, если поле “less” определенно как принадлежащее класс-типу или реляционному типу. Если, однако, поле “ less ” определено как составленное из индивидов, то прими- тивные предложения, принимаемые в настоящей работе, не позволяют нам доказать g! 2, и, следовательно, доказать g! less. Principia Mathematica III
*254. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 73 Следует заметить, что “ less”, как “sm” и “ smor”, является значимым, когда не является однородным; однако “C‘less” является значимым лишь для однородных типовых детерминаций “ less ”, поскольку лишь однород- ные отношения имеют поля. *254-432. F : а! 2а . = . а! less A foo<ct Т *оо‘а • = • а • ~ А Доказательство. к. *251-7 . э к : а! 2а . =. а! Q - i‘A А гОо‘а. (1) [*254-43] . (32). QeO - l‘A АГоо‘а• A lessg. [*55-37] э. (3 2) • A less 2. A J, 2 G Гоо‘а Т ?оо‘а . [*55-3] э. з! less АГоо‘а| <оо‘« (2) к. *35-103 . эк : 3! less AZoo‘«T ?оо‘а- э • (Э^> Q) • /’less2 • Л2е?оо‘а- [*254-431] э. 3! Q - i‘A А Гоо‘а. 1(1)] => • 3! 2а (3) F. (1). (2). (3). э F . Prop *254-433. F . а! less П too ‘Cis f Too‘Cis . a! less h Zoo‘Rel f Too‘Rel [*254-432 . *101-42-43] *254-434. F : a! less . =. C‘ less = Q . = . less = A Доказательство. F . *250-4 . *33-24 . э F : C‘ less = Q . э . 3! less (1) F . *93-102 . *33-24 . э F : Bl less = A . э . a! less (2) F . *254-43 . э F : Q e Q - l‘ A . э. A less Q (3) F.(3). э F : a! Q - i‘A . э . A e D ‘ less . [*254-431] o.A = B‘less (4) F . (4). *254-431 . э F : a• ~ l‘A . э . C‘less =Q (5) F . (1). (2). (4). (5). э F . Prop *254-44. F :PtC1 less . э. C‘ less = less* U Nr‘P U less*‘P Доказательство. F. *254-13. э F : Hp . э . Nr‘P c C‘less (1) F . (1). *33-152 . э F : Hp . э . less‘P U Nr‘P U less‘P c C‘ less (2) F . *254-1 . э F . C‘ less c Q. [*254-4] э F :. Pe C‘ less . э : QeC‘ less . э . Q e less*‘P U Nr‘P U less ‘P (3) F . (2). (3). z> F . Prop *254-45. F : P, 2 eQ . a! R1‘P A Nr‘Q . a! R1‘G A Nr‘P. э. Psmor Q Доказательство. F . *254-42 . э F: Pless Q . э . ~ (QlessP) (1) F . *254-1 . э F : P, QeQ . a • R1‘C A Nr‘P. ~ (Psmor Q). э . Pless Q . [(1)] . ~ (QlessP). [*254-1 .Transp] э. ~ a! R1‘Rn Nr‘Q (2) F . (2). Transp . э F . Prop Это предложение является аналогом теоремы Шредера—Бернштейна для ординалов. *254-46. F : Р less Q . = . Р, Q е Q . а! R1‘G A Nr‘P. ~ а! R1‘P A Nr‘Q Доказательство. F. *152-11 . *61-34. э А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
74 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ F : Р, Q е Q. g! R1‘2 A Nr‘P. ~ g! R1‘P A Nr‘2. э . Р, Q е Q. g! R1‘ Q A Nr ‘Р. ~ (Р smor Q). [*2544] э. Pless Q (1) F . *2544-45 . Transp. э F: Pless 2. э . Р, QeQ. g! R1‘2 ANr‘P. ~ g! R1‘P A Nr‘2 (2) F. (1). (2). э F. Prop *254-47. I-: P e Q. э . P? = less [ C‘P? Доказательство. F. *213-245 .oF:.Hp. э:РР? 2-= -^eD‘2q. 2eC‘P?. [*254-121] o.PeCI‘2sm. [*254-41] э. Pless 2 (1) F. *254481 . Transp. э F: Hp. Q, R e C‘P? . R less Q. э . Q ~ e CTPsm • [*254-121] o.e~eD‘R? (2) F. (2). *213-25 . *254-42 . э F : Hp. Q, R e C‘Pg . R less Q. z>. R e D‘2? . [*213-245] z>.PPs2 (3) F. (1). (3). э F . Prop *254-5. F:.P, geQ.o: R1‘P A Nr‘2 = A. a . g! R1‘2 ANr‘P. ~ (Psmor Q). a .PlessQ Доказательство. F.*254-46. э F : Hp. R1‘P ANr‘2 = A. э. ~ (glessP) (1) F. *61-34 .*15241 . э F : Psmor 2. э . Pe R1‘P A Nr‘2 (2) F . (2). Ttansp. э F : R1‘P ANr‘2 = A. э . ~ (Psmor 2) (3) F.(l). (3) .*254-4 . э F : Hp. R1‘P A Nr‘2 = A. э. Pless 2 (4) F.*254-46. z>F:Pless2-=>.Rl‘PANr‘2 = A (5) F . (4). (5). эF :.Hp .э :R1‘PANr‘2 = A. a .PlessQ [*2544] a . g! R1‘2 ANr‘P. ~ (Psmor 2) :• 3 F . Prop *254-51. F:Pless2- = -P. 2e^-Rl‘PnNr‘2 = A [*254-54] *254-52. F:PeQ.acC‘P.g! C‘P A p‘J? “a. z>. P [ a lessP Доказательство. F. *250-141 . эF : Hp. э . P [aeQ (1) F. *250-653 . э F : Hp. э . ~ (P [ a smor P) (2) F. (1). (2). *254-101 .oF. Prop *254-53. \--.P,QeQ.Qc.P .g! C'P C\p‘<P“X‘Q. э. Q\essP Доказательство. b . *250-652 . э Ь : Hp . э . ~ (Q smor P) (1) b. (1) .*254-101 . ob.Prop *254-54. F : P, QeQ. Psmor Q. Pg P. g! C‘PC\p'^'C'R. . QiessP [*254-5343] *254-55. F:.21essP.a:P,2€Q:(gP).Psmor2-PGP.g! C‘P 0 p‘"P“C‘R Доказательство. b . *254-41 . эb QlessP . э : P, QeQ: (g/?) .Psmor Q . PeD‘P? : [*21348] э : P, 2e^: (Я^) •^smor 2 • Rg P. g! C‘PAp‘^“C‘P (1) F . (1). *254-54 . э F . Prop Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 75 *255. Больше и меньше среди ординальных чисел Краткое содержание *255. Если Р и Q вполне упорядоченные серии, то мы говорим, что Nr‘P меньше, чем Nr‘2, если Р меньше, чем Q. Поэтому если р, и v ординаль- ные числа, то мы говорим, что р меньше, чем v, если существуют вполне упорядоченные серии Р, Q такие, что p = Nr‘P и v = Nr‘2, а Р меньше, чем Q. Для того чтобы исключить случай, когда в пределах рассматрива- емого типа мы имеем Nr‘P = A или Nr‘2 = А, мы предполагаем p = Nor‘P и v = Nor‘2. Поэтому мы полагаем ц <• v. = . (gP, Q). р = Nor‘P. v = Nor‘2 . Pless 2, т.е. мы полагаем < = Nor’less Df. Для того чтобы вести речь о Nr‘P (где тип “Nr” остается неопределенным) как о большем или меньшем, чем Nr‘2, мы полагаем р <• Nr‘P. = . р <• Nor‘P Df, Nr‘P < ц. = . Nor‘P < ц Df. Трактовка типов продолжается mutatis mutandis, как в *117, к которому, вместе с Предварительными формальными соглашениями тома II, читатель отсылается для разъяснений. В силу *254-46 и *117-1 существует тесная аналогия между кардиналь- ным и ординальным неравенством. Т.е. большинство свойств кардиналь- ного неравенства имеет точные аналоги для ординального неравенства, и эти аналоги имеют аналогичные доказательства. (В настоящем параграфе, когда предложение аналогично предложению с той же самой десятичной частью в *117 и имеет аналогичное доказательство, мы будем опускать доказательство.) Однако ординальное неравенство имеет достаточно мно- го свойств, которые не имеют аналогов для кардинального неравенства. Главным из них, от которого зависит большинство остальных, является *255-112. h :. щ veN0O . э : р, <• v . V . р = smor “v . V . v <- р где “NqO” означает “однородные ординалы”, т.е. NOaNqR. Мы имеем так- же, что часто является важным, *255-17. Ь : Nr‘P > Nr‘2 • = • Q less P. = .P, QeQ.Qe CTPsm . = .P,2eQ.3’D‘P?nNr‘2 так что *255-171. h :. PeQ . э : ц < Nr‘P. = . peNr“D‘P? - Г A и в более общем виде *255-172. H.PeQ.o: р < Nr‘P. = . (да). а с С‘Р. д! С‘РП . р, = Nr‘P [ а . д! р, Как и в кардиналах, р больше, чем v, если (и только если) р представ- ляет собой сумму v и некоторого ординала, отличного от нуля, включая i, исключая случай, когда v = 0r (*255-33). Однако для истинности указанно- го предложения необходимо, чтобы добавок шел после v, но не перед ним; т.е. v + Ш > v, если (П^0г (*255-32-321), однако (D + v часто равно v. Если а, Р и у есть ординалы, и а > 0, то мы будем иметь А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
76 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ у + а > у + р (*255-561), а х 0 > 0, если а 0г. р 0г *255-571, аху>0ху? если Y^Or (*255-58), ух0>у, если y имеет вид 5 + i (*255-573), уха>ух0, если у имеет вид 6+1 (*255-582). Из приведенных выше предложений следует, что если а, р и у являются ординалами, то у + а = у + Р- э*а-Р (*255-565, где Р может подставляться вместо smor “Р всякий раз, когда поз- воляет значимость; ср. с замечанием к *120-51), что дает единственность вычитания из конца (вычитание из начала не обладает единственностью); аху = Рхув;:>*а = Р, если у/0г (*255-59), что дает единственность деления на конечный множитель; Yxa = Y)<P*;:>*a = P, если Y = Y+i (*255-591), что дает единственность деления на начальный множитель вида 5 + i. Мы не имеем, вообще говоря, a, Р, у е NqO . а < 0 . э . а ехрг у < р ехрг у, поскольку аехргу и PexPrY не являются, вообще говоря, ординальными числами, так как серии, имеющие эти числа, не являются, вообще го- воря, упорядоченными. Поэтому теория ординального неравенства имеет лишь ограниченное применение к экспоненциации. Мы не можем полно- ценно иметь дело с этим предметом, пока мы не рассмотрели конечные и бесконечные серии. Если а является ординалом, то С “а является соответствующим карди- налом, т.е. кардинальным числом термов в серии, ординальным числом которой является а. Поэтому кардинальные числа классов, которые могут быть вполне упорядочены, представляют собой C“‘NO, т.е. *255-7. h . Nc“C“Q = C‘“NO Очевидно, что *255-71. Ь : Pless Q . э . Nc‘C‘P Nc‘C‘2 откуда на основании *254-4 *255-73. Н.Р, QeQ.o: Nc‘C‘P < Nc‘C‘G. V . Nc‘C‘P = Nc‘C‘G • V . Nc‘C‘P > Nc‘C‘2 откуда также *255-74. Ь a, 0 eC‘“NO -i‘A.o:a^0.V.a>0 Поэтому если два класса могут быть вполне упорядочены, то либо они имеют один и тот же кардинал, либо кардинал одного из них меньше, чем кардинал другого. Мы имеем *255-75. Ь : Р, Q е Q. Nc‘C‘P с Nc‘C‘ Q .z>.P less Q или, что приводит к тому же самому, *255-76. Ь : a, 0eNO . С“а с С“0 . э . а <• 0 Обращение этого предложения имеет место лишь для конечных орди- налов. Если а бесконечный ординал, то a + 1 всегда существует и является большим, чем а, однако C“a = C“(a+i). (Существование a+i выводится Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 77 из существования а посредством выбора элемента а и перемещения его первого терма в конец. Результатом является серия, чье число есть а+ 1, в силу *253-503-54.) * 255-01. < = Nor;less Df * 255-02. > = Cnv‘< Df * 255-03. N0O = NO П N0R Df Таким образом “NoO” означает “однородные ординалы”. В силу *155-34-22, это означает то же самое, что и “ординалы, отличные от А”. Однако не совсем правильным является полагать NqO = NO-i‘A, так как если “NO” справа выводится из восходящего Nr, то он не будет содержать все ординалы в пределах типа, к которому он нас переносит, а только те ординалы, которые не являются слишком большими, чтобы быть вы- веденными из более низких типов, с которых начинается “Nr”. Поэтому в указанном случае NoO будет более широким классом, чем NO - l‘A. Если, однако, “Nr”, из которого выводится “NO” справа, является однородным или нисходящим, то мы будем иметь N0O = NO - i‘A . * 255-04. < U smor € С N0O Df Это определение приводит к обычному пониманию “меньше чем, ли- бо равно”. Мы хотим, чтобы отношение “меньше чем, либо равно” имело место лишь между числами рассматриваемого вида (кардиналами или ор- диналами), а также мы хотим, чтобы “равенство” имело место между дву- мя числами, которые представляют собой не более чем различные типовые детерминации данного числа, при условии что ни одна из этих типовых детерминаций не является А. Т.е. если ц является ординалом, который не является А, то smor “ц считается равным ц в пределах каждого типа, в пределах которого он не является А. Поэтому если v= smor “щ т.е. если v = smor/m то мы будет считать v равным ц, если оба являются ордина- лами и ни один не является А, т.е. в силу *155-34-22, если щ veN0O. Это приводит нас к приведенному выше определению. * 255-05. ^ = Cnv‘^ Df * 255-06. ц < Nr‘P. = . ц < Nor‘P Df По поводу этого определения ср. замечания к *117-02. * 255-07. Nr‘P < ц . = . Nor‘P < ц Df Следующие предложения (вплоть до *255-108) просто переутверждают приведенные выше определения. * 255-1. F : ц < v . = . (gP, Q). ц = Nor‘P. v = Nor‘Q . Pless Q * 255-101. F : ц < Nr‘Q . = . Ц < Nor‘2 * 255-102. F : Nr‘P < v . = . Nor‘P < v * 255-103. H|i>v. = .v<n * 255-104. Ь ц v . = : ц < v . V . ц, v e NqO . ц = smor “v * 255-105. F v . = : v ц : = : v ц. V . ц, veN0O . |i = smor “v [*255-104 . (*255-05). *155-44] * 255-106. F : Nr‘P <• Nr‘Q . = . Nor‘P <• Nor‘2 [*255-101-102] *255-107. F : Nr‘P Nr‘2 . = . Nor‘P Nor‘2 A.H. Уайтхед, Б. Рассел
78 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *255108. FNr'P Nr‘2 • = : Nor‘P < Nor‘2. V . Nr'P = Nr‘2. Pe Q [*255-107-104 . *155-16 . *152-53] *255-11. F : p < v. =. (gP, Q). P, Q e Q. p = Nor‘P. v = Nor‘2. a !Rl‘QnNr‘P.-g !Rl‘PnNr‘Q [*255-1 . *254-46] *255-111. F: p> v. = . (gP, 0. P, 2eQ. н = Nor‘P. v = Nor‘2. g !Rl‘PnNr‘Q.-g !Rl‘QnNr‘P [*255-11-103] Это предложение в точности аналогично *117-1, исключая добавление Р, Q е Q. Следовательно, исключая случай, когда это добавление является релевантным, аналоги предложений *117 доказываются аналогичным об- разом. В дальнейшем такие аналоги будут даваться без доказательств и будут иметь ту же самую десятичную часть, что и соответствующие пред- ложения в *117. Там, где приводятся доказательства, не существует ана- логов в *117 либо метод доказательства не является аналогичным. *255-112. F р, veNoO . э: р< v. V . р = smor “v. V . v < р Доказательство. F. *255-1 .*254-4 .эН.Нр.э: p<v.V.v<p.V. (gP, Q). Р, Qe£l. р = Nor'P . v = Nor‘2 .Psmor Q: [*155-4 .*152-321] z>:p<v.V.v<-p.V. (gP, 2) • P = Nor‘P. Nr'P = Nr‘2 • Nr‘2 = smor “v: [*155-16] z>:p<v.V.v<p.V. (gP, 2) • P-= Nor‘P. Nr‘P = Nr‘2 • Nr‘2 = smor “v: [*13-17] o:p<v.V.v<p.v.p = smor “v:. э F . Prop *255-113. F :. P, 2 e Q. э : Nr'P <• Nr‘2 • V . Nr'P = Nr‘2 • V . Nr‘2 < Nr'P Доказательство. F . *255-112-106 . э F :. Hp. э : Nr'P < Nr‘2 • V . Nor'P = smor “Nor‘2 • V • Nr‘2 < Nr'P: [*155-4-16] э : Nr'P < Nr‘2 . V . Nr'P = Nr‘2 • V . Nr‘2 < Nr'P:. э F. Prop *255-114. F :. p, veNoO .o:p^v.v.v<p:p^v.v.v>p [♦255-112-104-105-103] *255-115. F :. P, Qe Q. z>: Nr'P s? Nr‘2. V . Nr‘2 < Nr'P: Nr'P gs Nr‘2 • v . Nr‘2 > Nr'P [*255-113-108] *255-12. F:.p>v.s:p,veN0O: Pep. Qev. =>pq . g! Rl‘PnNr‘2 • ~ g! R1‘26iNr‘P *255-121. F:.p>v. = :p,veNqO : P e p. z>P . (g 2) • 2 e v • Я! R1‘P C Nr‘2. ~ g! R1‘2 n Nr'P *255-13. F: Nr'P> Nr‘2. н . P, 2eQ. g! Rl'PClNr‘2 • ~ Я! R1‘2CNr'P *255-131. F : Nr'P > Nr‘2 • = • Nr'P Nr‘2 • Nr'P / Nr‘2 [*255-13 . *254-45] *255-14. F : p > v. a . (gP, Q). P, QeQ. p = Nor‘P. v = Nor‘2 • Nr‘2 > Nr‘2 *255-141. F:p>v.a.p^v.p0 smor “v [*255-131-14] *255-15. F : p > v. s . p, veNqO . g! 5‘Rl“pCl smor “v. ~ g! s‘Rl“vCl smor “p *255-16. F :. p, veN0O . э: p > v. s . smor “p > v. = . p > smor “v. = . smor “p > smor “v Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 79 *25517. I-: Nr'P> Nr‘2. г . QlessP. = .P, Qett.QeG‘Psm . = .P, 2еП. 3! D‘P? ПNr‘2 Доказательство. I-. *255-13 . *254-46 . э F: Nr'P > Nr‘2. = • 2 less P. (1) [*254-41] = . P,Qeil. Qe(l‘Psm . (2) [*254-12] =.P,2eQ.3!D‘P? nNr‘2 (3) F. (1). (2). (3). э F . Prop *255-171. F :. PeQ. z>: p. <• Nr'P. = . pe Nr“D‘P? - i‘A Доказательство. F . *255-14 . z> F :. Hp. z>: p <• Nr'P. = . (з2). p = N0r‘2. Nr‘2 <• Nr'P. [*255-17] a. (32) . p = Nor‘2 • 2eQ. 3! D‘PS П Nr‘2 • [*152-1] H.(32,P).p = N0r‘2-2eQ.2smorA.PeD‘P?. [*152-35 . *155-16] s . (3P). p = Nr'P . P e Q. P e D‘P? . 3! p. [*253-18 . *37-6] = . peNr“D‘Ps - i‘A :. э F . Prop *255-172. Fz.PeQ.o: p< Nr'P. в . (3a). ас C'P. 3! C'Pn р‘^“а. р = Nr'P [а. 3! р Доказательство. F . *211-703 . *213-141 . э F:2eD‘P?.o.(3a).acC‘P.3! С'РПp'^'a. 2 = Р ta (1) F . (1). *255-171 .э F: Нр .р < Nr'P. э . (3a). a с C'P. 3! С‘РПр‘^“а. р = Nr'P [а. 3! р (2) F . *250-653 . *254-47 . э F : Нр. а с ёР.3! С'РПр‘?“а. э. Р [ a lessP. [*255-17] э. Nr'P [а<Nr'P (3) F . (2). (3). z> F . Prop *255-173. F:.PeQ.z>: Nr‘2<Nr'P. = . (3a). a cC'P.3! C'Pnp‘^“a. 2smor (P [a) Доказательство. F. *255-172-102 . *155-22 . э FHp. z>: Nr‘2 < Nr‘P. н. (3 a). a c C'P. 3! C‘PПp‘X‘‘a. Nor‘2 = Nr'P [ a. [*152-35 . *155-22] =. (3a). ac C'P. 3! C‘Pnp‘5°“a. 2smor (P [a): oF. Prop *255-174. F : Nr‘2 < Nr‘P. = . P e Q. Nr‘2 eNr“D‘PS Доказательство. F . *255-171-102-13 . э FNr‘2 <Nr‘P. = : PeD. Nor‘2eNr“D‘P?-t‘A : [*37-6 . *155-22] в : P e Q: (3P). R e D‘PS . Nor‘2 = Nr'P: [*155-16] = : Pe Q: (3P). P e D‘P? . Nr‘2 = Nr'P: [*37-6] = : PeQ. Nr‘2 eNr“D‘Ps :. э F . Prop *255-175. F : Nr‘2 Nr'P. = . P e Q. Nr‘2 e Nr“(D‘Ps U i‘P) [*255-174-108] *255-176. F :. 3! P. z>: Nr‘2 «s Nr'P. = . PeQ . Nr‘2 eNr‘C‘Ps [*213-158 . *255-175] *255-21. F : Nr'P < Nr‘2 • = • P, 2 e • Rl'P П Nr‘2 = A [*254-51 . *255-17] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
80 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ Это предложение не имеет аналога для кардиналов, так как зависит от *254-4. В кардиналах, из Cl‘aANc‘P = A не следует s!Cl‘PANc‘a, так что Nc‘a может быть ни меньшим, ни равным, ни большим, чем Nc‘p. *255-211. F :. Р, 2 е Q. э: 3! R1‘P A Nr‘2.3! R1‘2 A Nr‘P. = . Nr‘P = Nr‘2 [*254-45] Это предложение представляет собой ординальный аналог теоремы Шредера—Бернштейна. Если Р и Q серии, которые могут не быть вполне упорядоченными, то это предложение является недействительным. Поэто- му, например, серия рациональных чисел сходна с серией собственных пра- вильных дробей, которая является частью серии рациональных чисел > 0 и 0, и эта последняя серия является частью серии рациональных чисел, однако она не подобна серии рациональных чисел, поскольку имеет послед- ний терм, которого серия рациональных чисел не имеет. *255-22. h : Р, 2 е Q . я! R1‘P A Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘2 *255-221. h Nr‘P Nr‘2 • = ' P, Q e ft : (3P) -R^P.R smor Q *255-222. h:2cP.P,2eQ.D. Nr‘P Nr‘2 *255-23. h : Nr‘P Nr‘2 • Nr‘£ Nr‘P . = . P, Q e Q . Nr‘P = Nr‘2 *255-24. h : p v . = . (3P, Q). p, = Nor‘P . v = Nor‘Q . Nr‘P Nr‘2 *255-241. h : p, v. = . (3P, Q). p, = Nor‘P . v = Nor‘2 . P, 2 ft • 3! Ш‘Р A Nr‘Q *255-242. h p, veNO . э : p,v . = . (3P, Q). Pep. Qev . 3! R1‘P A Nr‘2 *255-243. h:.p^v. = : (3P, 2): Л 2^ft • H = Nor‘P. v = Nor‘2 : (3P)• P G P .Psmor Q *255-244. h p, v eN0O . d : p^v. = . smor “p v . = . p smor“v. = . smor“p,^ smor “v *255-25. h : p, v . v p,. = . p,, veNoO . smor“p,= smor “v *255-27. h : Nr‘P < Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘2 • Nr‘P / Nr‘2 *255-18. h : Nr‘P > Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘Q . ~ (Nr‘0 g> Nr‘P). = . P, 2 e ft. ~ (Nr‘2 Nr‘P) [*255-13-22-21] *255-281. Hp>v. = .pg>v.~(vg>p). = .p,ve N0O . ~ (v p) [*255-114] *255-19. h : Nr‘P < Nr‘2 • = • Nr‘P Nr‘2 • ~ (Nr‘2 Nr‘P). = . P, 2 c ft. ~ (Nr‘2 Nr‘P) [*255-115] *255-291. Hp<v. = .p^v.~(v^p). = .p,ve N0O . ~ (v p) [*255-114] В следующем предложении мы используем аббревиатуру, которая оправ- дывается своим удобством, а именно мы полагаем (3(D). (DeNO U l‘i . Nr‘P = Nr‘2 + GJ вместо (3aj).ajeNO.Nr‘P = Nr‘2 + GJ-v.Nr‘P = Nr‘2+ i • В силу *51-239 два этих выражения были бы эквивалентны, если бы i имел бы какой-либо независимый смысл; однако в связи с тем, что i является значимым лишь в качестве слагаемого, *51-239 не может быть применено. Мы принимаем, однако, следующие определения: *255-298. (30J).aJeKUL‘i ./(ц + Ш). = : (3(D).Шек./(р + Ш). V ./(ц+ i) Df *255-299. CDекUl‘1 . . /(p + CD). = : CDек. ./(p + CD):/(p,+ i) Df Эти определения позволяют нам утверждать много предложений, в ко- торые входит i, как если i был бы ординальным числом. Principia Mathematica III
»255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 81 *255-3. F Nr'P Nr‘<2. = : P, <2 е Q: (gGJ). GJ е NO U i'i . Nr'P = Nr'g + GJ Доказательство. F . *255-175 . *253-471 . э b:.Nr‘P^Nr‘e. = :PeQ:(aaj).Nr‘e + GJ = Nr‘P. V.Nr‘6+ i =Nr‘P: [*251-132-26] = : PeQ: (gro). Nr‘(2, GJ eNO . Nr'6 + GJ = Nr'P. V . Nr‘6 e NO. Nr‘2+i= Nr'P: [*251-1-111] = : P, Q eQ: (gtO). GJ e NO . Nr‘2 + ® = Nr'P. V . Nr‘2+ 1 =Nr‘P: [(*255-298)] = : P, Q eQ: (gaj). GJeNO U t'i . Nr'P = Nr‘2 + gj :. э F . Prop *255-31. F:. p^ v. = : p, veNoO : (gGJ). GJ eNO Ui‘i.p = v + GJ [*255-3-14] *255-32. F v, GJ e N0O .3:v + GJ->v.s.G>^0r Доказательство. F. *253-44. z>F:Hp.(U/Or.z>.v+i/v (1) F.*255-31. z>F:Hp.z>. v + GJ^v (2) F . (1). (2). *255-141 . эF : Hp. gj/0r. э . v +to>v (3) F . *255-141 . э F : Hp .v + GJ>'V.o.v + GJ / smor “v. |*180-6] o.GJ^Or (4) F . (3). (4). z> F . Prop *255-321. F :. v eN0O .o:v^0r. = .v+i>v Доказательство. F.*253-45. z>F:Hp.v#0r.^.v+i/v (1) F.*255-31. z>F:Hp.z>.v+i^v (2) F . (1). (2). *255-141 . э F : Hp. v 0r. э. v + i > v (3) F . *255-141 . э F : Hp .v+i>v.o.v+i / smor “v. [*161-2] D.v/0r (4) F . (3). (4). э F . Prop *255-33. F:.p>v. = : p, v e NoO : (gro). GJ e NO - i‘0r .p = v + GJ.V.v^Or.p = v+ i Доказательство. F . *255-31 . э F :. p> v. =: p, veN0O: (goj). GJ eNO .p = v + GJ.p>v.v.p = v+ i.p>v: [*255-32-321] = : p, v e N0O: (gGJ). gj e NO - i‘0r .p = v + tn.V.v^Or.p = v+ i:.z>F. Prop * 255-4. F:p^v.v^GJ.D.p^GJ * 255-41. F:p^v.v^ro.z>.p^OJ * 255-42. F : ~ (p > p) . ~ (p < p) * 255-43. F: p v. ~ (p GJ). э . ~ (v GJ) * 255-431. F:p^v.roeN00.~(p^GJ).o.a>>v [*255-43-114] * 255-44. F : v GJ. ~ (p gj) . э . ~ (p v) * 255-441. F: GJ. peN0O . ~ (p^ GJ). э . v> p [*255-44-114] * 255-45. F:p^v.v>GJ.o.p>GJ *255-46. F:p>v.v^GJ.o.p>GJ *255-47. F:p>v.v->G>.z».p>G> *255-471. F:p<v.v<G>.D.p<G> A.H. Уайтхед, Б. Рассел
82 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *255-482. F : р v. = . р, v е NqO . ~ (v > р) *255-483. F : р v. в . р, v е N0O . ~ (v < р) *255-5. F:peN0O.s.p^0r Доказательство. F . *255-31 . эF р^ 0r. s : ре NqO: (g(D). (DeNO U i‘j. p = 0r + <D: [*180-61] = : peNgO:. z> F . Prop *255-51. F : peN0O - i‘0r. н . p> 0r [*255-141-5 . *153-15] *255-52. F:PeQ-i‘A. = .Nr‘P^2r Доказательство. F . *250-13 . э F : PeQ-i‘A. э. E ! B‘P. [*93-101] э.(зу).(В‘Р)Ру.В‘Р/у. [*56-11 . *55-3] э.(ау).(В‘Р)4уе2гПШ‘Р. [*13-195] o.g!2rnRl‘P. [*255-22] 3.Nr‘P^2r (1) F . *255-22 . э F : Nr‘P gs 2r. э . P e Q. 3! 2r П R1‘P. [*61-361] o.PeQ-t? A (2) F . (1). (2). z> F . Prop *255-53. F:peN0O-i‘0r. = .p^2r [*255-52] *255-54. F 2r p. - : p - 0r. V . p = 1r Доказательство. F . *255-53 . Transp. *255-281 .z>F:2r>p. = .p = 0 (1) F . (1). *255-105 . э F . Prop *255-55. F : p > 2r. s . p e NqO - i‘0r - i‘2r Доказательство. F . *255-54 . Transp. *255-281 . э F : p > 2r. = . p e NqO . p 0r. p / 2r: z> F . Prop *255-56. F : R e Q. Nr‘P > Nr‘2 • =>. Nr‘P + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2 Доказательство. F . *255-3 . э F Hp. э: P, Q, R efi: (g(D). (D e NO U t‘i . Nr‘P = Nr‘2 + ® = [*180-56] э: P, Q,ReQ: (g(D). (DeNO U i‘i . Nr‘P + Nr‘P = (Nr‘P + Nr‘2) + 03: [*255-31 . *251-26] z>: Nr‘A + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2 :• => F. Prop *255-561. F : yeN0O . a> P. э . у + a> y+p [*255-56] *255-562. F : ReQ. Nr‘PNr‘2 • • Nr‘P + Nr‘PNr‘P + Nr‘2 Доказательство. F . *180-3 . э F : Nr‘P = Nr‘2 • • Nr‘P + Nr‘P = Nr‘P + Nr‘2 (1) F . (1). *255-108-56 . э F Hp. э: Nr‘P + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2 • V . Nr‘P + Nr‘P = Nr‘P + Nr‘2: [*255-108] э: Nr‘P + Nr‘P Nr‘P + Nr‘2 =• => F . Prop *255-563. F:YeN0O.a^p.z>.Y + a^Y + P [*255-562] Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 83 *255-564. F : Р, Q,R е Q . Nr‘Я + Nr‘P = Nr‘Я + Nr‘2 . э . Nr‘P = Nr‘2 Доказательство. F . *255-42 . э F : Hp . э . ~ (Nr‘P + Nr‘P > Nr‘P + Nr‘2). [*255-56 . Transp] э . ~ (Nr‘P > Nr‘2) (1) Аналогично F : Hp . d . ~ (Nr‘2 > Nr‘P) (2) F. (1). (2). *255-113. dF. Prop Это предложение устанавливает единственность вычитания из конца. Благодаря тому факту, что ординальное сложение не является коммута- тивным, мы должны отличать “вычитание из конца” от “вычитания из начала”. Они могут быть названы терминальным и инициальным вычи- танием соответственно. Поэтому, на основании приведенного выше предло- жения, терминальное вычитание среди ординалов обладает единственно- стью. Это не имеет места, вообще говоря, для инициального вычитания среди ординалов. * 255-565. F : а, р . у eNoO . у + а = у + Р . э . а = smor “Р [*255-564] Приведенное выше предложение все еще остается истинным, если мы полагаем а = Р вместо а = smor “Р в заключении, однако в этом случае оно является значимым, лишь когда а и Р принадлежат одному типу, в то время как в приведенной выше форме оно свободно от этого ограничения. *255-57. F : Р, Q е Q - i‘A . э . Q less (Р х 2) • Nr‘2 < Nr‘P х Nr‘2 Доказательство. F . *250-13 . э F : Нр . э . Е ! ‘Р. (1) [*165-251] э. 2 smor Q ЦВ‘Р) (2) F. (1). *166-1 . oF:Hp.=>.2i(B‘P)cPx2 (3) F . (1). *93-101 . э F : Нр . э . (з’х). (В‘Р) Рх (4) F . *166-113 . э F: (В‘Р) Рх. R е C‘Q\ (В'Р). у eC‘Q . э . R(P х Q) (у | х) (5) F . (5). (4). *33-24 . *166-12 . *113-106 . э F:.Hp.o:(ax,y):PeC‘2HB‘P).^.P(Px2)(yix):y4x€C‘(Px2) (6) F . (2). (3). (6). z> F : Нр. э . Ql(B‘P) smor Q. Ql(B'P)<zPx Q.g! C‘(P X Q) Cip'frxQ^C'Q l(B‘P). [*254-54] z>. Q less (P x Q) ’ ’ (7) F. (7). *255-17. dH Prop * 255-571. F : a, 0 e N0O - t‘0r. э . 0 < a x 0 [*255-57] * 255-572. I-: P, Q e Q - i‘A. E ! B‘P. э . P less (P x Q). Nr‘P < NrlP x Nr‘Q Доказательство. I-. *250-13 . э I-: Hp. э. E ! B‘Q. (1) [*166-111] z>.(B‘2)pPcPx Q (2) I-. *151-64 . (1). э F : Hp. э. (B‘015 P smor P (3) F . *202-511 . э F :. Hp. z>: B‘Pep‘^“D‘P: [*166-111] o:xeD‘P.yea‘e.3.{(B‘0U)(Px2){yJ.(B‘-P)) (4) F . *202-511 . э F :. Hp. z>: B‘Qe p‘~&‘(I‘Q: [*166-111] z>:x = B‘P.yea‘e.o.{(B‘0],x}(Px0{yJ,(B‘P)) (5) F . (4). (5). э F :. Hp. э: x e C‘P. у e G‘<2. э. |(B‘01 x) (P x Q) {y | (B‘P)}: [*150-22] z>: M eC‘(B‘(2) I; P - У e CT<2 • => • M (P x Q) {y | (B‘P)): [Hp. *33-24. *166-111] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
84 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ э : (a TV) : NeC'(P х Q) -.MeC'(B'Q) Г Р ,^м . М (Р х Q)N (6) F. (2). (3). (6). *254-54 . э F : Hp . э . Pless (P x Q) (7) F. (7). *255-17. dF. Prop *255-573. F a, PeNoO - i‘0r: (ay). у eNO - i‘0r Ui‘i.a = y+ i:i>.a<axp Доказательство. F . *204-483 . э F : Hp . э . (aP, Q) • a = Nor‘P . p = Nor‘6 . a! B'P (1) F.(l). *255-572. dF. Prop *255-58. Hye N0O - i‘0r .a>p.z>.axy>pxy Доказательство. F . *255-31 . э F :. Hp . э : (a®) • GJ eNO - i‘0r .a = P + OJ.V.p = 0r.a = p+ i (1) F . *184-35 . d F : a = p + CD. э . a x у = (P x y) + (co x y) (2) F. *184-16. z> F : Hp. CD 0r. z>. CD x у 0r (3) F . (2). (3). *255-32 . э F : Hp. CD e NO - i‘0r .a = p + CD.D.axy.>pxy (4) F . *184-41 . dF: Hp .a = p+ i.i>.axy = (Pxy) + y. [*255-32] D.axy>pxy (5) F . (1). (4). (5). э F . Prop *255-581. F:PeQ.E!B‘P. glessP.D. P x QlessP x R . Nr‘P x Nr‘Q < Nr‘P x Nr‘P Доказательство. F. *254-55. oHHp.D.CaS). S smor 0. S G P. g! C'R C\p'*R“C‘S (1) F . *166-11 . э F G P . э . P X S G P X P (2) F . *166-23 . э F : S smor Q . о . P x S smor PxR (3) F . *202-524 . *40-53 . z> F:. Hp . zeC‘P . weC'S .yeC'R Пp'<R''C'S . э : zP (B'P). V .z = B'P : wRy : [*166-113] э : (w П) (P x R) {y X (B'P)] (4) F . (4). *166-111 . э F Hp ,yeC‘P. э : А/еС‘(Рх5).эм.Л/(РхР){уНВ‘Л} (5) F.(5). *10-28 . э F Hp. g! C'R П . э : (gN): N eC'(P x P): MeC^P x 5). . M (P x R) N (6) F. (2). (3). (6). э F Hp . 5 smor Q. S G R. g! C‘R Г) р‘5Óё5 . э: (PxS) smor (PxQ).PxS GPxP.g! C\P x R) f}p'FxR“C‘(P x S): [*254-54] o.PxglessPxP (7) F . (1). (7). z> F : Hp. z>. P x QlessP x P (8) F . (8). *255-17 . э F . Prop *255-582. F aeN0O : (g6). 6eNO - i‘0r U i‘i. a = 6 + j :р<у:э. axp<axy [*255-581 . *204-483] *255-59. F : a, p,у eNqO .y/ 0r. axy = pxy. э . a = smor “P Доказательство. F . *255-58 . Transp . z> F : Hp . z>. ~ (a > p). ~ (a< p). [*255-112] э . a = smor “p : э F . Prop Это предложение устанавливает единственность терминального деле- ния, т.е. деления на конечный множитель. Инициальное деление (т.е. де- ление на начальный множитель) обладает единственностью, только если делитель имеет вид 6 + 1. Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 85 *255-591. F : а, р,yeN0O: (дб). 5eNO - i‘0r U i‘i. а = 6 + i: ахр = аху:э.р = smor “у [*255-582-112] *255-6. I-: Nr‘P > Nr‘2. э . i + Nr‘P > i + Nr‘2 Доказательство. I-. *255-33 . э FHp. э : (g(D). (DeNO - i‘0r. Nr‘P = Nr‘2 + CD. V. Nr‘P / 0r. Nr‘P = Nr‘2 + i: [*181-55] э: (geo). CD e NO - i‘0r. i + Nr‘P = (1 + Nr‘2) + co. v . Nr‘P/Or. i + Nr‘P = (1 + Nr‘2) + 1 : [*255-33] э: i + Nr‘P > i + Nr‘2 :• F • Prop *255-601. F : Nr‘P > Nr‘2 • = • i + Nr‘P > i + Nr‘2 Доказательство. F. *255-6 *255-103. э I-: Nr‘P < Nr‘2 • э . i + Nr‘P < i + Nr‘2 (i) I- . (1). *255-108 . э F: Nr‘P «5 Nr‘2 • э . i + Nr‘P 1 + Nr‘2 (2) F . (2). Transp. *251-142 . э F: 1 +Nr‘P, i + Nr‘2 e NO. ~(i +Nr‘Ps<i + Nr‘2). =>• Nr‘P,Nr‘2eNO.~(Nr‘P^Nr‘2) (3) F . (3). *255-281 . э F : i + Nr‘P > i + Nr‘2 • => • Nr‘P > Nr‘2 (4) F . (4). *255-6 . э F . Prop *255-61. F : 2, R e О. Nr‘P = Nr‘2 + Nr‘P . CTPi = (ГР . E ! BlR. э . Nr‘P+ 1 >Nr‘2+ i Доказательство. F . *253-57 . э F : Hp. э. Nr‘P + 1 = Nr‘2 + i + Nr‘P. [*255-32] э. Nr‘P+i > Nr‘2 + i: F . Prop *255-62. F : Q, R e Q. Nr‘P = Nr‘2 + Nr‘P. Nr‘P / 0r. ~ (Q‘Pi = Q‘P . E ! B‘P). z>. Nr‘P > Nr‘2 + 1 • Nr‘P + 1 > Nr‘2 + i Доказательство. F . *253-571 . э F : Hp. э. Nr‘P = Nr‘2 + 1 + Nr‘P. [*255-32] z>.Nr‘P>Nr‘2+i • (1) [*255-321] . Nr‘P+i > Nr‘2 + i (2) F . (1). (2). э F. Prop *255-63. F: Nr‘P > Nr‘2 • = • Nr‘P + i > Nr‘2 + 1 Доказательство. F . *255-33 . э F :. Hp. z>: (gP). Nr‘P ± 0r. Nr‘P = Nr‘2 + Nr‘P. V . Nr‘2 0r. Nr‘P = Nr‘2 + i : [*255-62-321] э: Nr‘P + i > Nr‘2 + i э F . Prop *255-64. F : Nr‘P > Nr‘2 • = Nr‘P + i > Nr‘2 + 1 Доказательство. F. *255-63-103 . oF:Nr‘P<Nr‘2.=>.Nr‘P+i <Nr‘2+1 (1) F. *181-31. oF:Nr‘P = Nr‘2-o.Nr‘P+i=Nr‘2+i (2) F . (1). (2). *255-113 . F : P, Q e Q. ~ (Nr‘O > Nr‘2) • э • Nr‘P+ i s<Nr‘2+ i • [*255-483] z>. ~ (Nr‘P + i > Nr‘2+1) (3) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
86 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ F . *251 132 . э I-: ~ (Р, Q eQ). э . ~ (Nr'P + i, Nr‘2 + i e NR). [*255-12] э . ~ (Nr'P + i > Nr‘2 + i) (4) F.(3).(4). z> F : ~ (Nr‘P> Nr‘2) . э . ~ (Nr'P + i > Nr‘2 + i) (5) F.(5). *255-63 . z> F . Prop *255-65. F p e NqO - i‘0r .D:v>p.s.v^p + i Доказательство. F. *255-3 . z> F:. v > p. z>: (g(D). (De NO - i‘0r .v = p + <D.V.v = p+i (1) F . *255-53-31 . э F Hp. (De NO - i‘0r. v- p + (D. э : (gp). peNO Ui‘i.v = p + 2 + p: [*181-56] э: (gp). peNO Ui‘i.v = p+i + i+ p: [(*255-298)] z>:v = p+ i + i.V.v = p+ i + i + i.V. (gp). p e NO - i‘0r. v = p + 1 + 1 + p: [*255-33] D:v>p+i (2) F.(l).(2). oF:v>p.o.v^p+i (3) F . *255-45-321 . э F : Hp. v i .o.v>p (4) F . (3). (4). z> F . Prop Следующие предложения касаются отношений ординалов к соответству- ющим кардиналам, т.е. к кардиналам полей вполне упорядоченных серий, имеющих данные ординалы. Если Р является вполне упорядоченной сери- ей, чей ординал есть а, то С“а = Nc'C'P, так что С“а представляет собой кардинал, чьи элементы могут быть вполне упорядочены. Такие кардина- лы обладают следующим свойством: из любых двух неравных кардиналов один должен быть больше. Если кардинальное число одной серии больше, чем кардинальное число другой, то таково же и ординальное число; однако обратное не имеет места, исключая конечные числа. *255-7. F.Nc“C“Q = C‘“NO [*152-1 . (*251-01)] *255-701. F . Nc“C“Q - i‘A = C“‘(NO - t'A) = C“‘NO - t'A [*255-7 . *37-45] *255-71. F : Pless Q. z>. Nc‘C‘P 5$ Nc‘C‘2 Доказательство. F. *254-1 . z>F : Hp. z>. g! R1‘2HNr'P. [*154-1] э . g! СГС'бnNr'C'P. [*117-22] э. Nc'C'P < Nc‘C‘2: z> F . Prop *255-711. F . Nr'P «5 Nr‘2. z>. Nc'C'P < Nc‘C‘2 [Доказательство аналогично *255-71, используя *255-22] *255-72. F:a«50.z>.C“a^C“0 Доказательство. F . *255-24 . z> F : Hp. z>. (gP, Q). a = Nor‘P. 0 = Nor‘2. Nr'P Nr‘2 • [*255-711] э. (gP, Q). a = Nor‘P. 0 = Nor‘2 • Nc'C'P Nc‘C‘2 • [*152-7] . C“a C“0: z> F . Prop *255-73. F:. P, 2eQ.o: Nc'C'P < Nc‘C‘2 • V . Nc'C'P = Nc'C‘2 • V . Nc'C'P > Nc‘C‘2 Доказательство. F . *255-711 . э F : Hp. Nr'P Nr‘2 • => • Nc'C'P < Nc‘C‘2 (1) F. *255-71. oF:Hp.Nr‘2<Nr'P. z>.Nc‘C‘2<Nc'C'P (2) F. (1). (2). *255-115. oF. Prop Principia Mathematica III
*255. БОЛЬШЕ И МЕНЬШЕ СРЕДИ ОРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 87 *255-74. F а, Р е C“‘NO - i‘A . э : а р. V . а > Р Доказательство. F . *255-701 . э F : Нр. э. а, р еC“‘(NO - t‘A). [*155-34] э. (gP, 0. Р, 0eQ. а = C“Nor‘P. р = C“Nor‘2. [*152-7] э. (аЛ 0. Р, <2eQ. а = Noc‘C‘P. Р = Nqc‘C‘6 (1) I- . *255-73 . *117-106-107-108 . э F Р, Q eQ. э: Noc‘C‘P < Noc‘C‘2. V . Noc‘C‘P > Noc‘C‘<2 (2) F . (1). (2). э|-. Prop *255-75. F: P, Qe Q. Nc‘C‘P c Nc‘C‘2. z>. P less Q Доказательство. F . *117-291 . э F : Hp. э. ~ (Nc‘C‘2 < Nc‘C‘P). [*255-711 . Transp] э. ~ (Nr‘2 Nr‘P). [*255-29] э. Nr'P< Nr'Q. [*255-17] э. Pless Q: э F . Prop *255-76. F : a, PeNO. C“a с C“P. э . a < P [*255-75 . *152-7] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
*256. Серии ординалов Краткое содержание *256. В настоящем параграфе мы должны рассмотреть серии ординалов в по- рядке возрастания величины. Предложения, касающиеся этого вопроса, тре- буют особого внимания, поскольку именно в связи с ним возникает пара- докс Бурали-Форти 11. Этого парадокса, как будет показано в настоящем параграфе, можно избежать, используя теорию типов. Однако, прежде чем обсуждать указанный парадокс, мы разъясним различные предложения, которые не вызывают трудностей. Для удобства обозначения мы будем использовать в настоящем пара- графе символ М для отношения (Эта буква выбрана как начальная в слове “minor”.) Поэтому “аМР” означает, что а и Р являются ординала- ми, из который а меньше, чем р. л!‘р будет классом ординалов, меньших, чем р, М\ ‘Р будет Р+ i, a МСР, когда существует, будет таким, что либо ‘Р + i = Р, либо Р = 2r. М\ ‘Р = 0г. Поэтому представляет собой класс ординалов, имеющих непосредственных предшественников, а "Й‘Mi—класс ординалов, не имеющих непосредственных предшественников. Мы имеем (*256-12) h а МР . = : а, р eNqO : (gy). ye NO - i‘0r U l‘1 . p = а + у, т.е. один ординал меньше, чем другой, когда нечто, отличное от нуля, мо- жет добавлено к первому из них для того, чтобы сделать его равным вто- рому; *25611. F :РеП.э.л1‘№‘Р = Nr“D‘Ps Т.е. числа, меньшие, чем числа Р, представляют собой числа собствен- ных сегментов Р. Кроме того, если PeQ, то М [ jtf‘Nr‘P = Nor; (Ps [ D‘PS). Nor r D‘P? e 1 -* 1 (*256-2-201), так что (*256-202) серия ординалов, меньших чем ординал Р, подобна се- рии собственных сегментов Р, т.е. подобна Р [П‘Р (в силу *253-22). Следо- вательно (*256-22), каждое сечение М является вполне упорядоченным, и поэтому М является вполне упорядоченным (*256-3), т.е. ординалы в по- рядке возрастания величины формируют вполне упорядоченную серию. Преследуя цели настоящего параграфа оказывается удобным вклю- чить 15 (ср. с *153) в серию ординалов; поэтому мы получаем # = Мй0ЛЬй(1‘ШСГМ Dft[*256]. Воздействие этого определения заключается в простом включении в серию М между 0г и 2Г. Тогда мы имеем (*256-42) NrW= i + Nr‘M. Если PeQ, то Р [ СТР (как мы только что видели) подобно собственному сегменту М, так что если мы опускаем упоминание о типах, то получаем h:PeQ.o.Nr‘P [G‘P<Nr‘M. 11 “Una questione sui numeri transfiniti”, Rendiconti del circolo matematico di Palermo, Vol. xi. (1897). Principia Mathematica III
*256. СЕРИИ ОРДИНАЛОВ 89 Следовательно, Nr‘P, которое представляет собой i+Nr‘P[Q‘P, меньше, чем 1 4-Nr*A/ (на основании *255-63), т.е. меньше, чем А. Следовательно, h : PeCl. э . Nr‘P < NrW. Тем не менее AeQ, так что могло бы показаться, будто бы Nr‘A долж- но быть меньше самого себя, что невозможно на основании *255-42. Сле- довательно, мы приходим к парадоксу Бурали-Форти, который касается ординального числа всех ординалов. Формулировка парадокса, данная самим Бурали-Форти, которая не- сколько отличается от приведенной выше, может быть подытожена сле- дующим образом. Предполагая а, р 6 NoO .э:а<р.У.а = р.а>р, (А) мы будем иметь а е NoO . э. а < а + i. Однако а е NoO . э . а Nr‘A. Следовательно, Nr‘А < Nr ‘А 4- i . Nr‘A 4-1 Nr W, что невозможно. Заключение, сделанное Бурали-Форти, состоит в том, что приведенное выше предложение (А) является ложным. Мы не можем, од- нако, утверждать этого, в виду доказательства Кантора, воспроизведенно- го выше (*255-112, зависящее от *254-4). Поэтому разрешение парадокса должно быть найдено иначе. В соответствии с формулировкой Бурали-Форти указанного парадок- са следует заметить, что “а<-а4-1” имеет место, только если g!a4-i, т.е. если (gP). Ре а. С'Рф V. Это всегда будет иметь место, если а суще- ствует и является бесконечным, поскольку в этом случае, если Ре а, то Р [ СТР 4» В'Реа 4-1. Однако если а конечен, то этот метод неприемлем, так как Р [ П‘Р4* В‘Реа. Поэтому если общее число сущностей в универсуме (какого-либо одного типа) является конечным, то “a<a4-i” не выполняется, когда C“a = i‘V, что является критически важным для доказательства Бурали-Форти. Сле- довательно, в том виде, в котором оно проводится, его доказательство яв- ляется применимым, только если мы принимаем аксиому бесконечности; оно могло бы поэтому рассматриваться как reductio ad absurdum 12, исхо- дя из аксиомы бесконечности, т.е. как демонстрация того, что общее число сущностей какого-либо одного типа является конечным. Для того чтобы разъяснить, что указанный парадокс не зависит от ак- сиомы бесконечности, мы сформулировали его выше в виде, не зависящем от этой аксиомы. Указанный парадокс, наиболее просто сформулирован- ный, заключается в следующем: Ординальное число серии ординалов, на- чиная от 0г (включая ls), до любого ординала а есть a 4- i; следовательно a 4- i существует и поэтому > а. Однако ординал а подобен сегменту серии 12 Reductio ad absurdum — приведение к противоречию (лат.) — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
90 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ ординалов, состоящей из предшественников а, и поэтому меньше, чем ор- динальное число всех ординалов. Следовательно, ординальное число всех ординалов больше, чем каждый ординал, и поэтому больше самого себя, что является нелепым; более того, хотя оно и является наибольшим из всех ординалов, оно может быть увеличено путем сложения с 1, что сно- ва является нелепым. Для того чтобы разрешить приведенный выше парадокс, необходимо лишь явно указать типы. В предложении PeQ. э . PlessА\ (В) от которого зависит парадокс, отношение “ less ” не является однородным. 2V принадлежит тому же самому типу, что и М, что определяется как Nr; less, где C‘less = Q. Поэтому Nr‘PeCW. Поэтому вхождение У в (В) на самом деле должно быть A^UfNor'P, т.е. У[/‘РР, т.е. N(P,P\ в соот- ветствии с определением *65-12. Поэтому мы имеем * 256 53. h : PeQ . э . PlessN [ f Nor‘P однако это не позволяет вывести [fNor‘Pless[PNor‘P, что требовалось бы для выявления парадокса. Правильным заключением при подстановке вместо N [PNqt'P эквивалентной формы N(P,P) является (Р, Р) less {N (Р, Р), N (Р, Р)} или, в более общем виде, * 256-56. h. (ДЦ k) less {N [ (Р Гоо‘к)} Поэтому в пределах более высоких типов располагаются ординалы, большие, чем любые другие ординалы в пределах более низких типов. Это обстоятельство дало основание для возникновения рассматриваемого пара- докса, как и соответствующий факт в кардинальной арифметике явился основанием для парадокса наибольшего кардинала. * 256 01. М = < * 256-02. ^ = MUOД hU(i‘l5)TCTM * 256-1. h . М е Ser . ClM с N0O Доказательство. Dft [*256] Dft [*256] Ь. *255-42 . z> h . Mg J (1) 1-. *255-471. э h . M e trans (2) 1-. *255-12 . oh.C‘McN00 (3) h. (3). *255-112 . *155-43 . э h . M e connex (4) I-. (1). (2). (3). (4). э I-. Prop Приведенное выше предложение предполагает, что М является однород- ным, поскольку в противном случае “С‘М” не является значимым. Однако М является значимым даже тогда, когда не является однородным. Поэто- му условия значимости в приведенном выше предложении накладывают ограничение на Л/, которое не всегда накладывается на М. Principia Mathematica III
*256. СЕРИИ ОРДИНАЛОВ 91 *256101. h : а! М . э . С‘М = N0O . 0r = В‘М: N0O - i‘0r = СГМ Доказательство. F . *200-12 . *256-1 . э F . C'M ~ e 1 (1) F . (1). *51-4 . z> F : а! M. э. а! C'M - i‘0r. [*256-1] o.a!N00-i‘0r (2) F.*255-51. oF:MeN00-i‘Or.s.OrA/n (3) F.(3). э F : N0O - i‘0r c Q'Af. 0r ~ed‘Af (4) F.(2).(3). z>F:a!M.z>.OreD‘A/ (5) F . (2). *256-1 . э F . (ГМ a N0O - i‘0r F . (4). (5). (6). э F. Prop (6) Гипотеза д!Л/ не будет выполняться в пределах самого низкого типа, для которого М является значимым, если универсум содержит лишь один индивид. При любых других условиях а! М должно иметь место. *256102. h : а! N0O - i‘0r. э . а! М Доказательство. h . *256-101 . z> I-: Нр . э . а! (1) h . (1). *33-245 . э F . Prop *25611. F:PeQ.3.AF‘Nr‘P = Nr“D‘P<; [*225-174] *256-12. I-:. aM₽. = : a, 0eNoO : (ay). у c NO - Г0г .p = a + y.V.a/Or.p = a + y [*255-33] *256-2. F: P e £1. э. M [ (Й* ‘Nr'P) = Nor 5 P? . M [ (Sl'Nr'P) = Nor: (P? [ D‘P0 Доказательство. F . *256-101. э F : Hp. РеОг. э. M [ A)*‘Nr‘P = A . M [ (Al'Nr'P) = A (1) F. *213-3. DF:Hp.PeOr.3.Nor’Ps = A.Nor?(Ps [D‘PS) = A (2) F . *256-11 . *213-158 . э F : Hp. P~ e0r. э. ‘Nr'P = Nr“C‘P? (3) F . (3). *255-17 . э F:. Hp . P ~e0r. z>: a {M [ (j^*‘Nr‘P)) 0. =. (a Q, R). a = Nor‘e. 0 = Nor‘P. Q, R e C'P^ . Q less Я. [*254-47] = . (3Q, R). a = Nor'e. 0 = Nor‘P .QP^R. [*254-47] =.a(Nor;P?)0 (4) Аналогично F:.Hp.P~eOr.o:a(Af [(A?'Nr‘P)}0.в.a{Nor;(P? [D‘P?)}0 (5) F . (1). (2). (4). (5). э F. Prop *256-201. F:Pen.o.N0r [D‘P?e(Af [(^‘Nr'P)) smor (P? [D‘P?). Nor [ C‘P? e {M [ (aL‘Ni‘P)} smor P? [*253-461 . *256-2] *256-202. F : P e Q. э. Nr‘{M [ (l^'Nr'P)} = Nr‘(Ps [ D‘P?) = Nr‘(P [ d'P) [*256-201 . *253-22] *256-203. F : PeQ. э . Nr‘(Af [ (A^'Nr'P)} = Nr‘P? [*256-201] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
92 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *256-204. F : а е N0O - i‘2r. э. i + Nr‘(A/ [ л!‘а) = а Доказательство. F. *255-101. *256-202 . э F Р е Q. а = Nor‘P. э: Nr‘(Af [ Й‘а) = Nr‘(P [ (ГР): [*204-46-272] э: Р ~ е 2Г. э . j + Nr‘(А/ [ Й‘а) = Nr‘P:. э F. Prop *256-21. F : peNO.Pep.э. л!‘р = Nr“D‘P? *256-211. F : р e NO - i‘0r. P e p. э. Ж ‘p = Nr“C‘P? *256-22. F:peNO.o.A/[Ж‘реО [*256-11] [*213-158. *256-21] Доказательство. F . *256-203 . э F : Hp. P e p. э. Nr‘(Л/ [ Й*‘p) = Nr‘P? . [*253-24] э.М[Ж‘реО F.(l).oF:p/A.o.A/[ Al* ‘p e Q h . (2). *250-4 . э h . Prop *256-221. F : p e NO. э. M [ л!‘р e Q [*256-202] *256-3. F . M e Q [*256-22-1 . *250-7] *256-31. F : a! M. э. 2r = 2M = Л?ГОГ Доказательство. F . *255-51-53 . э F:Hp.э. Й‘0г = i‘2r U Й‘2Г. [*205-196 . *256-1 ] z>. 2r = minw ‘X?‘0r [*206-42 . *201-63] =Mi‘0r [*250-42 . *256-101] = 2M : э F . Prop (1) (2) Для каждого конечного v мы будем иметь vr=vMl где vr будет опреде- ляться как ординал, соответствующий v, т.е. как Qnd“v. (Это единственный ординал, когда v конечен; в противном случае это сум- ма класса ординалов.) Этот предмет будет рассматриваться в следующей главе. *256-32. F а М, р. = : а, р е N0O :a/0r.p = a+ i.V.a = 0r.a = 2r Доказательство. F . *256-65 . э F : a е NqO - i‘0r. э . X/‘a = i‘(a + i) U Kf‘(a + j). [*205-196] э . a + i = ттм‘А7‘а. [*206-42. *201-63] э.а+1=МГа (1) F.(1). *256-31 . э F. Prop *256-4. F.lj-eNO Доказательство. F. *153-36. DFrPeh .D.C'Pel. [*200-12. *250-12 э.Я-еО (1) F. (1). *251-122 . э F : aeNO . э. aП I, = A (2) F . (2). *153-34 . э F . Prop *256-41. F . N = Af U 0r | U (i‘b) T Q‘Af [(*256-02)] *256-411. F :. a N p. = : a = 0r. P e i‘ 1, U Q‘A4. V . a = 1 j. p e O.‘M. V . a, p e СГМ. a M p [*256-41] Principia Mathematica III
*256. СЕРИИ ОРДИНАЛОВ 93 *256-412. \-:M=A.z>.N = 0rlls.Ne2r [*256-41] *256-413. F:A/ = 0r|2r.=>.A = 0r J. h йОД2ги lr|2r.Aei +2r [*256-41 .*161-211] *256-414. F:Q‘A/~el .z>.N = Or J. 1S4A/ [СТА/ Доказательство. F . *204-46 . *256-101 . э F : Hp. g! Л/. э . N = 0r + M [Q'M 00Д 1, U(i‘L)T C\M [Q‘A/) [*161-101] = 0r| 1, U (i‘0r U i‘l,)T С‘(А/ [Q‘Af)UA/ [Q‘M [*160-1] =Or|lj4Af [СГЛ/ F . (1). *256-412 . э F . Prop *256-42. F:g!A/.o.Ar‘A= 1+Nr‘A/ Доказательство. F . *256-414 . э F : Hp. Q‘Af ~ e 1. э. Nr‘N = 2r + Nr‘(Af [ G.lM) [*181-57] = 1 + i + Nr‘(Af t СГМ) [*204-46] =i+Nr‘M (1) F . (1). *256-41.3 . z> F. Prop *256-43. F:AeQ-i‘A [*256-412-42] *256-44. F:.PeQ.o:P [ Q‘PlessAf. e . PlessA. g! Л/ Доказательство. F . *255-17-601 . э F :. Hp. z>: P [ CTPless M. = . i + Nr‘P [ (TP < i + Nr‘A/ (1) F. *256-412-42 . z> F : P = Л. э. PlessA (2) F.*255-51. dF:.P = A.o:P [Q'PlessAf . = .д!Л/ (3) F . (2). (3). z> F :. P = Л. э: P [ G'PlessAf. = . PlessA. g’M (4) F . *200-35 . *255-51 . эF :. G‘Pe 1. э: P [ (TPlessAf. = . g! M (5) F. *256-42. z> F :. Hp . CTPe 1 . z>. PlessN (6) F. (5). (6). э F :. Hp . Q‘P e 1. э: P [ Q‘Pless M. =. g! M. PlessN (7) F . *204-46 . э F :. Hp. g! P. Q‘P~e 1 .э: i +Nr‘P [(TP = Nr‘P: [(1)] э: P [ 0‘PlessAf. а . Nr‘P< i + Nr‘Af. [*256-101-42] s. Nr‘P<NrW. g! Л/ (8) F . (4). (7). (8). z> F . Prop Мы используем приведенное выше предложение, чтобы показать, что каждое вполне упорядоченное отношение Р того типа, с которого мы на- чинаем, меньше, чем N, где N имеет место между ординалами того типа, к которому принадлежит Nor'P. Это предложение заключает в себе то, чем становится парадокс Бурали-Форти, когда принимаются в расчет типы. *256-5. F:g!M. PeQ. э. Nor > (Р? [D‘P?)eD‘(Af tr‘Nor‘P)s Доказательство. F . *256-2 . *253-13 . э F : Нр . э. Nor > (Р? [ D‘P?) е D‘Af? (1) F . (1). *150-22 . э F : Нр. э. Nor“D‘P? с Го‘ С‘Л/? . [*213-141] э. N0r‘Per0‘. [*63-53] =>.ro‘C‘Afs = fN0r‘P (2) F . (1). (2). э F . Prop *256-51. F : Р е Q. э. Nor; (Р? [ D‘P?) smor Р [ Q‘P [*253-463] *256-52. F : g! Af. PeQ. э. Р [ Q'PlessAf [ r‘Nor‘P [*256-5-51 . *254-182] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
94 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *256-53. h:PeQ.D.PlessA4PNor‘P Доказательство. h. *256-44-52 .Dh:Hp.a!M.D.PlessN [PNor‘P (1) h . *256-102 . э h : Hp . M = A . э . P = A . [*246-43] d. PlessN (2) h . (1). (2). э h . Prop *256-54. h : P e Q . э . Nr (Р)‘(ЛЧ r‘Nor‘P) = A Доказательство. h . *256-53 . oh Hp . э : Q e f P. ~ {Q smor N [ f Nor‘P}: [*152-11] э: РРПNr‘(A ^‘Nor‘P) = A: [(*65-04)] э : Nr (PY(N [ PNor‘P) - A э h . Prop *256 55. HPeQ.o. Nr (P)‘(N t PNor‘P) = Nr (P)‘(N [ r‘r‘P) = Nr (P)‘{N (P, P)) = л Доказательство. F . *155-12 . э F . PeNor‘P. [*63-105] oF.Per0‘N0r‘P. [*63-53] э F . fz‘P = PNor‘P (1) 1-. (1). э F. Nr (P)‘(N t r‘Nor‘P) = Nr (P)‘(N [ t't'P) (2) [(*65-12)] =Nr(P)‘{N(P,P)) (3) F. (2). (3). *256-54 . э F. Prop *256-56. F . (N [ X) less {N [ (Г‘Гоо‘Х)} Доказательство. F . *256-43-53 . э F. (N [ X) less {N [ (t‘Nor‘N [ X)} (1) F.*155-12. oF.N [XeNor‘N [X. [*63-105] uF.N [Xero‘NorW [X. [*63-53] 3F.17W[X = r‘NorW[X (2) F.*64-16. э F . N tXez‘(z0‘ X T r0‘ X). [(*64-01)] z>F.N [Xe/oo'X (3) F.(2).(3). э F . z‘loo‘X = r‘Nor‘N [ X (4) h . (1) . (4) . z> h . Prop Если пренебречь типами, то приведенное выше предложение выглядит как N less A, что невозможно, и вызывает парадокс Бурали-Форти. Однако в форме, доказанной выше, указанный парадокс исчез, а вместо этого мы имеем предложение о том, что в пределах более высоких типов возможно суще- ствование более длинных серий, чем в пределах более низких типов. Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 95 *257. Трансфинитные родовые отношения Краткое содержание *257. В этом параграфе мы рассматриваем расширение понятий R* и Rpo. Это расширение требует двух отношений, R и Q. Наиболее простым образом оно сначала разъясняется с помощью определения “трансфинитного потом- ства” терма х в силу R и Q; этот класс представляет собой расширение ^*‘х. Этот класс образуется следующим образом. Предположим, что ха- рактер отношения Q более-менее сериален, и что R есть много-однозначное отношение, содержащееся в Q. Тогда трансфинитное потомство х в силу R и Q образуется следующим образом: Начиная от х, мы продвигаемся вниз по потомству х в силу R (т.е. ^*‘х) так далеко, как сможем; если весь класс fr*‘x имеет границу в силу Q, то мы начинаем заново с этой грани- цы, которая включается в трансфинитное потомство х в силу R и Q\ если эта граница есть у, то мы опускаемся по 5Г*‘у, и включаем границу этого класса в силу Q и т.д. до тех пор, пока мы все еще имеем либо термы, принадлежащие D‘7?, либо классы, принадлежащие GUtg. Все термы, по- лучаемые таким образом, составляют трансфинитное потомство х в силу R и Q, которое мы будем обозначать 13 посредством (R *Q)‘x. Для того чтобы получить символьное определение данного класса, на- зовем класс о “трансфинитно наследственным”, когда не только /Но с о, как в ординальном наследственном классе, но также, когда мы берем неко- торый экзистенциональный подкласс ц класса odC‘Q, если ц имеет гра- ницу в силу Q, эта граница будет элементом о. Поэтому о будет таким, что /^-последователь любого элемента о принадлежит о, и Q-граница лю- бого экзистенционального подкласса oCiC'Q принадлежит о (пока они су- ществуют). Т.е. Л“асо и цсо. g! pnC‘Q. При использова- нии понятия производной класса в силу Q, введенного в *216, условие цсо.д! pdC‘Q. эи. сводится к б^/осо в силу *216-1. Следова- тельно, о является трансфинитно наследственным в силу R и Q, если К“о U с о . Теперь мы можем определить трансфинитное потомство х в силу R и Q как все элементы C‘Q, которые принадлежат каждому трансфинитно наследственному классу, которому принадлежит х, т.е. мы полагаем (R *Q)‘x = C'QQy {хео. R“o U ^‘о с о. эо . у ео} Df. Тогда аналогом /?* является ху {у е (R *Q)‘x}. Это отношение, однако, явля- ется менее важным, чем аналог /?ро, ограниченный к потомству х. Этим аналогом при предположении, что Q транзитивно, будет Q \(R*Q\x. Для него мы вводим два обозначения Qrx и Q (R, х), последнее из которых бо- лее удобно, когда либо /?, либо х заменяются более сложным выражением. Поэтому мы полагаем Qrx = Q№x) = QI(R*QYx Df. 13 Это смысловое значение R *Q не связано со смыслом, временно приписанным этому символу в *95. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
96 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ Если Q является вполне упорядоченной серией, и Q = Q\, то Qrx есть просто серия 2, начинающаяся с х, и (R *2)‘х = ^‘х = <Q‘x U i‘x, если хеС‘2- Поэтому в этом случае, если х = В‘2, то Qrx = Q. Однако важность Qrx заключается в таких случаях, когда Q не является полностью сери- альным, но становится таковым, когда ограничивается к (7?*2)‘х. В этих случаях Q в приложениях практически всегда будет логическим включе- нием, объединенным с различием, или обращением этого; т.е. оно будет либо ар (а с р. а / |3), либо MN (MdN.M.^N), либо обращением одного из них. В случае dp (а с р. а Р) мы имеем Itg = 5 Г (- G‘maxg). tig = р [ (М G‘ming), как будет доказано в *258. В настоящем параграфе мы рассмотрим доказательство того, что при определенных условиях Qrxe£1. Доказательство следует строкам второго доказательства14 теоремы Цермело о том, что если существует выборка из всех экзистенциональных подклассов данного класса, то данный класс может быть вполне упорядочен. Перед тем как перейти к рассмотрению данного вопроса, необходимо доказать несколько простейших свойств (/? *2)‘х. Они даются в предложе- ниях, предшествующих *257-2. Мы имеем *257-11. h : хе о. R“o U 6q‘o с о . э . (Я *2)‘хс о Таким образом, для того чтобы доказать, что (/? *2)‘х содержится в классе о, мы должны доказать (1), что х принадлежит о (2), Я-после- дователи элементов о являются элементами о, т.е. о является наследствен- ным в силу 7?, (3) что производная о в силу Q содержится в о, т.е. если ц является каким-либо экзистенциональным подклассом оПС‘2, который имеет 2-границу, то эта граница является элементом о. *257-111. К.(/?*2)‘хсС‘2 *257-12. h : хеС‘2. = • хе(/? *2)‘х *257-123. НЯа 2-^-Я‘‘(Я*2)‘*<=(Я*2)‘х Т.е. если Rd Q, то (R*QYx является наследственным в силу R. Гипотеза RdQ требуется для большинства свойств (7?*2)‘х. *257125. F : R G Q .xeC'Q .d.Z‘xc(R *Q)‘x Поэтому если хеС‘2, то /^-потомство х содержится в (R*QYx. *257-13. h : ц с (Я *QYx.g!ц.э .ltg‘p с (R *Q)'x *257-14. z Rd Q . . (R *Q\x с&х Таким образом, (R*QYx полностью содержится в 2-потомстве х. 14 “Neuer Beweis fur die Moglichkeit einer Wohlordnung”, Math. Annalen, LXV. p. 107 (1907). Первое его доказательство, которое было несколько более сложным, было опубли- ковано в Math. Annalen, LIX. р. 514 (1904) Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 97 Следующие предложения (*257-2—36) касаются доказательства Qrxe£1 с подходящей гипотезой. Этой гипотезой является QeRTJ n trans . R eRPQ И Cis —» 1 . Itg f Cl ex‘(R *Q)'xe 1 —» Cis . Мы предполагаем для начала только часть этой гипотезы, а именно Q е RT J П trans . R е R1‘ Q n Cis —» 1. Таким образом, для доказательства 2^xeSer мы должны доказать только Qrx е connex, т.е. у 6 (А *б)‘х. э . (R *2)‘х с Q‘y, или, что приводит к тому же самому, (/?*б)‘хср‘е“(^*0‘х. Предположим oi = (R *2)‘хП p‘Q“(R *б)‘х. Тогда любой элемент oi может быть назван “связным термом”, поскольку он связан посредством Q или Q с каждым другим термом (/?*2)‘х. (Связ- ное отношение представляет собой отношение, чье поле полностью состоит из связных термов.) Мы хотим доказать, что Oi является трансфинитно на- следственным классом и, следовательно, равным (R *0‘х. Мы делаем это не напрямую, а посредством объединения Oi с другим классом 02, опреде- ленным следующим образом. Рассмотрим элементы z класса (R *0‘х такие, что их последователи в Qrx состоят из R'z и его последователей в Qrx, т.е. положим т = (R *0)‘хП z = (Qrx)*'R'z\ В дальнейшем будет замечено, что даже когда Q транзитивно, Q* и (£>яЛ)* все еще остаются полезными. В этом случае (Qrx)* = Qrx О/ Г C'Qrx, так что ‘z состоит из R‘z и его последователей в Qrx. Затем мы рассмат- риваем класс 02, состоящий из тех термов у, чьи предшественники все яв- ляются элементами т, т.е. мы полагаем 02 = (R *QYxПу {zQy .ze(R *Q)‘x. =>z. <2Kx‘R‘zl . Наконец мы полагаем о = О1П02, т.е. О = (R *2)‘хCl p'Q“{R *QYxr\y{zQy .ze(R *2)‘х. эг. = (qRx)*‘R'x} . Причина этого процесса заключается в том, что легче доказать, что о яв- ляется трансфинитно наследственным классом, чем доказать это напрямую для 01; а результат следует непосредственно для 0Ь когда он уже доказан для о. Мы должны далее доказать Я“осо. 6q‘0C0. Первый шаг заключается в доказательстве у е а. э . %)Rx‘y = и CR‘y. Это доказывается посредством трансфинитной индукции, путем демонстра- ции того, что *Q*‘R‘y представляет собой трансфинитно наследственный класс, откуда следует, на основании гипотезы, (R *QYx = (Qrx}* ‘у U ^Rxy. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
98 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ Доказательство того, что 1^‘у U 1§*7Гу является трансфинитно наслед- ственным классом, проводится следующим образом. Если то R‘z€<Q*‘Ry. Если z = y, то R‘z = R‘y. Если zel^/y, то, так как на основании гипотезы = {Qrx)* мы имеем т.е. R'ze&y. Следовательно, z е (R *Q)'x О ($* 'у U *Q* 'R‘y) • э • $‘zе"2* ‘у U £)*‘R'y- Далее мы должны доказать |! с (/? *б)‘х П (2*У U <2* ‘Я‘у) . а! р . э .Itе‘р с"3*у U £>* ‘Ry. Если я!рА2*7Гу, то It^pс Q*‘Ry. Если рс^*‘у.уер, то уета^/р иТС0‘р = А. Если р с^‘у, то мы имеем у ер‘£7“р, откуда wltg р. э . ~ (yQw), откуда, поскольку у на основании гипотезы является связным термом, w Q* у. Следовательно, в любом случае Tte‘p cl^/y U £)*‘Я‘у. Следовательно, "(5*‘у U ‘/?‘у является наследственным и поэтому содержит (/?*б)‘х; и, та- ким образом, %>кх‘у = (<2кх)*'К‘у~- Это предложение показывает, что R у является элементом 02- На основа- нии гипотезы это имеет место для всех предшественников у, и мы должны теперь показать (1), что это также имеет место для у (2), что у является единственным предшественником R‘y, который не предшествует у. Это пер- вый шаг в направлении доказательства того, что о является трансфинитно наследственным. Из того, что сейчас было доказано, непосредственно следует, что ес- ли yen, то R‘y (если он существует) является связным термом. Так как на основании гипотезы, (R*Q)'xc~@*‘yut)‘y, откуда, на основании только что доказанного, (R *Q)‘х a~&Ry U £)*‘Я‘у, откуда следует, что R‘y является связным термом. Следовательно, R‘yeo. Следовательно, R“о с о. Остается доказать 6(/0 с о. Так же как было доказано путем доказательства t?‘y ="(5*‘/?‘у, так и fy/aco доказывается путем доказательства p‘^’“pc^“'ltQ‘p, при условии рсо.а!р.~а!ша^‘р; а это доказывается путем демонстрации того, что 2“pUQ/‘lt£)‘p является трансфинитно наследственным классом. Principia Mathematica III
257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 99 Для того чтобы показать, что 2“|i U является трансфинитно наследственным классом, если ц с о. 3! ц . ~ 3! та£з‘ц, мы замечаем, что на основании гипотезы ze . э • = (Qrx)*R‘z • э . g! Следовательно, 7?‘ze (2ял)*“|а; и, следовательно, поскольку на основании ги- потезы R6zcQrx“P- Следовательно, Я‘‘{(2*Я)‘хА 0‘ц} с(2 *Я)‘хА 2“ц. Также очевидно, что fl‘‘0‘4tG‘pc &‘4tG‘p. Следовательно, полагая р = (2 *R)‘x А (2“ц и Q* “lt0‘p), мы имеем Я“рср. Теперь мы должны доказать SG‘pcp, т.е. а с р . 3! а. ~ 3! ma^ ‘a.D.lt^acp. Если ас2“р,, то очевидно (поскольку ц полностью состоит из связных термов), что seq^‘a с ult(2‘|x. С другой стороны, если 3! a A 0“Ть^‘ц, то а А 2“ц, если он существует, не влияет на значение границы а, которая является границей a A Qk“ltg‘p,, которая, очевидно, содержится в Следовательно, S^/pcp. Сле- довательно, ц является трансфинитно наследственным, и мы имеем цсо.3! ц. - 3! та^з‘ц. э . (/?*g)‘xc g“pU 0“TtG‘p. В этом месте необходимо предположить Itq f Cl ех‘(Д *0‘с е 1 —> Cis . При подобном предположении мы имеем, на основании только что дока- занного, ц с о . э! ц . з! lt2 V. э . (Я *2)‘х с 2‘ ‘ц U £)* ‘Itq‘ц . э . (7? *0‘х c“3‘ltG‘p U £)*‘lt2‘p • Следовательно, lt^‘p является связным термом. Следовательно, Se‘ocp‘2“(tf*2)‘x. Дополнительно мы требуем лишь Нс a. а! р.. 3 !lte‘p. э : zQ lte‘р. z e (R *G)‘x. эг. %)Rx‘z = (Qrx)* ‘R‘z. Теперь, на основании только что доказанного, zQ lt^‘p. = . z е 2“ц; и на ос- новании определения о, поскольку ц с о, мы имеем Z € Q“n . э. *Qrx'z = fej* ‘Л‘2. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
100 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ Следовательно, мы приходим к 5^‘осо. Поскольку мы уже доказали Й“осо, то о является наследственным, и (R *б)‘хсо, т.е. У е(R *Q)‘x :э,:уеp‘Q“(R *Q)'x ‘.zQRxy.z>z. QRxz = (qRx)*‘R'z, т.е. QRx e connex: z e D‘QRx. эг. %)Rx‘z = (qRx)*'R'z. Следовательно, бяхб8ег. Следовательно, также непосредственный последо- ватель каждого терма z в D‘2/?x есть R'z, так что Чтобы показать, что 2^xeQ, мы замечаем, что каждый класс, содер- жащийся в D'QRx, имеет секвент, а именно seq(2/?x)‘A = х, а с XYQRx . Я! та^‘а . э . seq (2ял)‘а = /Гшах^а, а с WQRx . я! а . ~ я! ma^‘a . э. seq (QRxYa = ltG‘a, откуда а с WQRx . эа . Е ! seq (QRx)‘a, которое показывает, что 2/?xeQ. Первая производная QRx есть 6q‘(Q*P)‘x, а ее последний терм, если таковой найдется, есть Г{(2 *Р)‘х - D‘P}, т.е. lt(/{((2 *Р)‘х A D‘P}. Гипотеза, требуемая для 2/?xeQ, совпадает с таковой для (2/?xeSer, а именно QeRTJ A trans. R eRl‘2 A Cis -> 1 . lt@ [ Cl ex\R *QVxe 1 —> Cis . Для того чтобы QRx могла отличаться от нуля, мы требуем дополни- тельно xeD'R. Следующая группа предложений (*257-5—56) предназначена для доказа- тельства того, что при объединении приведенной выше гипотезы с xeD‘P QRx является единственным значением Р, удовлетворяющим следующим условиям: (1) Р транзитивно. (2) ёРсодержится в (R*QYx. (3) Если z есть некоторый элемент D‘P, то R‘z является его непосред- ственным последователем. (4) Если а есть некоторый экзистенциональный класс, содержащийся в ёРи не имеющий максимума, то lt^‘a является его Р-границей. Это предложение является существенным для того, что может быть на- звано “трансфинитными индуктивными определениями”, т.е. определения- ми серии посредством определения последователя каждого терма и после- дователя каждого класса, не имеющего максимума. Следующий пример может это пояснить. Предположим, R явля- ется много-однозначным отношением классов к индивидам; предполо- жим, мы начинаем с некоторого класса а и продвигаемся к a U i‘P‘a, a U i‘P‘a U i‘P‘(a U i‘P‘a) и т.д. В конце этой серии мы помещаем ее сумму, т.е. ее границу в силу отношения (с A J); пусть эта сумма будет р. Затем мы продолжаем с Р U i‘P‘P и т.д. настолько, насколько возможно. Серия за- канчивается суммой, которая не является элементом D‘P, если такая сумма Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 101 существует. Очевидно, что эта серия единственным образом детерминирует- ся посредством приведенной выше схемы образования; упомянутые выше предложения дают символьное выражение процесса, описанного словами “и т.д. настолько, насколько возможно”. *257 01. (R *Q\x = C'QCiy {хео . Я“оU б(/ос о. эа .у ео} Df *257 02. QRx = (2 (Я, х) = (И (Я *0‘х Df *2571. F :.у e(R *Q)‘x . = :y eC'Q : хе о. R“<3 U dG‘o с о. эа . у e о [(*257-01)] *257-101. Н:уб(Я*0‘х. = :.убС‘(2:. хео.Я“асо:рсо.д!рА C‘Q . эи . Tt ‘р, с о: эа .у ео [*257-1 .*216-1] *257-102. F :: у е (R *0‘х . = у е C‘Q хе о. ^“оса: р с о. д! р A C‘Q. ~ д! ma£g‘p. эи . seq@‘p са:эо.уеа [*257-1 .*216-1] *257-11. F : хео. Я“о U 5(/о с о. э . (Я *0‘х с о [*257-1] Практически во всех доказательствах предложений, касающихся (Я*0‘х, используется это предложение. *257-111. F . (R *0‘х с С‘2 [*257-1] *257-12. F : хе С‘£. = . хе (Я *0‘х [*257-1] *257-121. F : R G Q . у е (R *Q)‘x . э . <R‘y с (Я *0‘х Доказательство. F . *257-1 . э F :. Нр . yRz .э:хе о. Я“о U 5^‘о с о. эа . у е о : yRz . ze C'Q : [*37-1] э : zeC'Q : xeo.Я“оz>о. 5g‘оco. эа . zeo: [*257-1] э : z e (Я *0‘x:. э F. Prop *257-122. НЯсн е.рс(Я*0‘х.э.Я“рс(Я*0‘х [*257-121] *257-123. Ь:Яс е.э.Я“(Я*0‘хс(Я*е)‘х [*257-122] *257-124. h : Я G Q . э . Я* “(Я *0‘х с (Я *0‘х [*257-123] *257125. 1-:Лс е.хеС‘е.=>.^*‘хс(Л*0‘х [*257 12 124] *257126. F : R g Q. х е D'R. ~ (xRx). э . (R *Q)‘x ~ е 0 U 1 [*257-125] *257-13. F : р с (Я *0‘х. g! р . э .Tt^‘p с (Я *0‘х Доказательство. F . *257-101 . *10-1 . *22-1 . э F :: р с (Я *0‘х. э :. xeo./?“oco:vco.g!vAC‘(2.Dv .Itg‘v с о: э . р, с о (1) F . (1). Fact. э F :: Нр . э :. хе о. Я“о с о: v с о. g! v A C'Q. z>v . lt^‘v с о: э . р с о . g! р (2) F . *10 1 .*257-111 . э F:.vco.g!vA C‘Q . dv . It q ‘v с о : э : Hp . p с о. у lt@ p. э . у e о (3) F . (2). (3). э F :: Hp. у Itg p. э :. xeo.i?“oco:vco.g!vA C'Q . ov . lt^‘v с о: э . у e о (4) F . (4). *10-11-21 . *257-101 . э F : Hp . у lt@ p . э . у e (Я *0‘p: э F . Prop *257-131. F . 6q\R *0‘x с (Я *0‘x [*257-13 . *216-1] *257-132. F : к c Cl ех‘(Я *0‘x. э . lt0“K с (Я *0‘x [*257-13] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
102 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *25714. h : R G Q . э . (R *Q)‘x с Q*x Доказательство. h . *90-163 . э h : Нр . э . Л“^‘хс ^‘х (1) h . *206-15 . э h : |1 с <2*‘х. zlte |i. g! ц. э . zep‘(2“p . g! ц . p, c ^‘x. [*40-61 . *90-163] э . ze 2“p. $“p c £*‘x. [*22-46] d.Z6^‘x. (2) h . (1). (2). *257-11 . э h : Hp . xeC'Q . э . (7? *0‘xc t?*‘x (3) h . *37-261-29 . *60-33 . (*216-01). э h : Hp . э . R“(- C‘Q) = A . bQ\- C‘0 = A (4) h. (4). *257-11 . э h : Hp . x ~ 6 C'Q . э . (R *0‘x c - C‘Q . [*257-111] d.(7?*0‘x = A (5) h . (3). (5) . э h . Prop *257-141. h : R G Q. э . ^“C‘2 U 5G‘C‘2 c C‘<2 [*216-111 . *37-201-16] *257-142. h : R G Q. xe C‘Q . э . (R *Q)‘x = y {xeo . 7?“o U 6^‘oc о. эа . у eo} Доказательство. h . *257-141 . dF: Hp . э . у {хе о. R“o U 6G‘o с о . эа . у 6 о} с C‘Q (1) h . (1). *257-1 .oh. Prop *257-15. h :у e (R *0‘x .ze(R *Q)ly .z>.ze(R *0‘x Доказательство. h. *257-1 .эН.Я“ои6(/(1са.э:хбо.э.уеа:уб(1.э.2бо: [Syll] D:X€O.D.Z6O (1) h.(1). *257-1 .oh. Prop *257-16. h : x e C‘Q - D‘7? . э . (R *0‘x = i‘x Доказательство. h. *257-12. э h : Hp . э . xe (7? *0‘x (1) h . *37-261-29 . э h : Hp . э . 7?“i‘x = A (2) h . *205-18 . z> h : Hp . ~ 3! maig‘i‘x. z>. xQx. [*206-42] э. seq^Yx = A (3) h . (3). *216-101 .oh: Hp . э . 6g‘l‘x = A (4) h . (2) . (4) . э h : Hp . э . R“Cx U 6e‘i‘xci‘x. [*257-11] d.(7?*0‘xci‘x (5) h . (1) . (5) . э h . Prop Теперь мы начинаем доказательство (завершаемое в *257-34) того, что при определенных условиях 0xeQ. Сначала мы доказываем, что класс о, введенный в *257-2, является трансфинитно наследственным, и это требует предварительного доказательства того, что если у со, то класс (2/?J* ‘у и (Qrx)* ‘R ‘у является трансфинитно наследственным. Это доказы- вается посредством *257-2-21. Гипотеза *257-2 не полностью используется в *257-2, однако вводится в связи с тем, что требуется в группе предло- жений, в которой указанное предложение является первым. *257-2. h Q е Ш‘ J A trans. R е Rl‘e A Cis -> 1. Principia Mathematica III
•257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 103 О = (R *Q)‘xn p‘Q‘‘(R*Q)‘xПу {z Qrxу. зг. <QRxz = IQr^'R'z} э: у е о. z е С&З*‘у и (<2кх)*‘Я'у • zeD‘R. з. R‘z e(QRx)*‘у U (qRx)*'R‘y Доказательство. I-. *90-163 . *37-62 . *257-123 . з F:.RG0.E!R‘x.3:ze (Qrx)* ‘R‘y.=>.Rlze (Qrx)* ‘R‘y (1) I-. *30-37 . з I-: E ! R‘z . z = у. з. R‘z = R‘y (2) F . *201-18 . *91-52 . *32-182 . з I-: Hp. у e о. z e^Rxy • э. Sj?x‘z = (g/?x)* ‘R‘z. у e <Qrxz • [*13-13] э.уе(бях)*‘Л‘г. [*32-182] 3.R‘ze(a^*‘y (3) I-. (1). (2). (3). *71-161 . => F . Prop *257-21. F: Hp *257-2 . у e о. p c (Qrx)*‘y U (Qrx)* ‘R'y. g! p. з. Itg'pc &‘y U %)*'R'y Доказательство. F . *201-14-15 . *206-134 . з F:Hp.g!pn (2*‘R‘y.3.'ite‘pcti*‘R‘y (1) I-. *205-38 . з F : Hp. pc (5*‘y .yep. з .yema^‘p,. [*207-11] 3.1te‘p = A (2) F. *40-55 . *206-143 . з I-: pc"$‘y. wltg p. з.у ep‘<2“p. w~e <2“p‘(2“p. [*37-1] o.~(y2w) (3) F . *257-13. з F :. Hp (3). Hp . з : yQw . V . w у: [(3)] з : w & у) (4) I-. (1). (2). (4). з F . Prop *257-211. F : Hp *257-2 .у eo. з . (R *Q)‘x c(QRx}*‘y U {Qrx)*‘R'y Доказательство. h . *257-14 . э h : Hp . э . (1) К (1). *257-2-21-11 . oh. Prop *257-22. I-: Hp *257-2 . у e о. з . IqRx)*‘R‘y = (Qrx)* ‘R‘y. (Qrx}* ‘y =~&RxR'y Доказательство. F . *257-211 . з h : Hp. з. feZ)*'R‘y = (R *0‘x - ‘у [Hp] ____ ^^RX‘y (1) Аналогично F: Hp. з. (Qrx}*'y =~^RXR‘y (2) h . (1) . (2) . э h . Prop Необходимо понимать, что ^2яД*‘Я‘у = Л, если ~Е!^‘у. *257-23. h : Нр *257-2 . э.Г‘осо Доказательство. h . *257-22 . э h Нр . у 6 о П D‘tf . э : zQ R'y . эг. ^Rx'z = IQrx)* ‘R'z (1) h . *257-22-211 . э h : Hp . у e о A D‘R . э . (R ^QYx^^Ry U ^)* ‘R‘y (2) h . (1). (2). э h : Hp . у € о A D‘7?. э . R'y co: dL Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
104 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ Приведенное выше предложение является первым этапом в доказатель- стве того, что о является трансфинитно наследственным. Второй этап ана- логично первому требует предварительного доказательства того, что если р является экзистенциональным подклассом о, не имеющим максимума, то является трансфинитно наследственным классом. Доказательство основы- вается на *257-24-241-242. *257-243. h : Нр *257-2 .рсо.д!р,.~а! fna^/p. э . Я“(2я/‘р с Доказательство. h . *91-52 . *201-18 . о h : Нр. zeQRx“\jl . *QRxz = (<2ях)* . [*37-46 . *13-12] э . а! IqRx)* ‘R‘z А р. [*37-46] э. R'zetM* “р (1) h . *205-123 . э h : Нр . э . р с 2Лх“р (2) h . (1). (2). э h : Нр . z € QRx ‘р . э . R‘z е : => h. Prop *257-241. h : Нр *257-24 . о. Я“{2я?‘ри “ItG‘и)с <= (2/?х)*“^с‘Н Доказательство. h . *90-164 . э h :Rg Q . о . R“(QRx)* “Tte‘p c (2/?x)* “Tt^p (1) h. (1). *257-24 .oh. Prop *257-242. h : Hp *257-24 . p = 2ях“ри (б/?х)*“"Йе‘Р- • acp.gla.~g! ma^‘a. э . ltg‘acp Доказательство. h . *206-15 . dF: Hp . 3! p Ap‘^“a . wltg a . э . а! p- (1) h . *201-521 . э h : Hp . p с о. э . p -"3‘w c (5*‘vv (2) h . (1). (2). э h : Hp (1). э . g! p, A tVw (3) h . *205-123 . dF: Hp . э . p,c 2“p (4) h.(3).(4). эЬ:Нр(1).э.>гб2Лл“р (5) h . *206-24 . DF:Hp.pc2“a.ac2“p.D .Tt^a =ltg‘p (6) h . *206-15 . э h : Hp . g! a A (QRx)* “TtQ‘p. о .ItG‘a c (QRx)* “Tt^p, (7) h. (5). (6). (7). э h . Prop *257-243. h : Hp *257-24 . о . (R *Q)‘x = QRx“\iU p‘^x“p [*40-53 . *205-123] *257-25. h : Hp *257-2 . э . (R *Q\x = (2/?x“p U (6/?x)*“Ttg‘p Доказательство. h. *257-242. oh :Hp.D.5G‘{(2/?x“pU(2/?x)*“'ltG‘p}c2/?x“pU(2/?x)*“ltGtp (1) h . (1). *257-241 .oh. Prop *257-251. h : Hp *257-24 . о . (Q^)*"^‘p, = ‘pi Доказательство. h . *257-25-243 . о h : Hp . о . 2Лл“р U (2/?x)*“ItG‘p = 2/?x“p U p‘^x“p. [*200-53 . *24-481] э . ((2/?x)*‘‘Tt(/H = р‘£?Лх“р: э h . Prop Principia Mathematica III
*257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 105 *257-252. h : Нр *257-24 . д! р‘^Лл.“ц. э. <2Лх“ц = p‘^RX“ltG‘p. glltG‘p Доказательство. I-. *257-251. *37-29 . э h : Нр . э . g !ltG‘p (1) [*200-53 .*40-62] D.p‘^Sx“lt(?‘pc(7?*2)‘x-(g/;x)*“Tte“Tte‘p [*257-251] с(Я*0‘х-р‘5кх“ц [Нр. *10-57 . *257-243] с Qrx“h (2) F. *201-51. *40-67 . z>h : Нр. э. Qrx“p с (3) I-. (1). (2). (3). э F . Prop Для того чтобы завершить доказательство того, что о является наслед- ственным классом, мы должны ввести дополнительную гипотезу kg f С1ех‘(Я *2)‘хе 1 —» Cis . С помощью этой гипотезы последний этап доказательства обеспечивается следующим предложением. *257-26. F : Нр *257-2 . ltG f Cl ех‘(Я *0‘хе 1 -> Cis. э . 6G‘o с о Доказательство. F . *257-251-252 .z>F:.Hp.|ico.g!|i . g! TtG‘p,. э : (R *Q)‘x = ~&Rx‘ltG‘р. U (Qrx)*‘\Iq‘\i .^RX‘ltG‘p - QRx“\l : [Нр]э: ltG‘p.ep‘Q“(R *Q)‘x:y C/fxltG‘p.. z>y . %)Rx'y = ^Qrx)*‘R‘j: [Hp]z>: ltG‘peo:. э F . Prop *257-261. I-: Hp *257-26 . э . (R *Q)‘x=(J [*257-11-23-26] *257-27. I-: Q e R1‘J n trans. 7? e R1‘Q П Cis —> 1 . ltG [ Cl ex‘(7? *6)‘xe 1 —> Cis. d . QRx e Ser. QRx = (RIQ*) t (R *Q)‘x Доказательство. I-. *257-261 . э I-: Hp. э. (R *Q)‘x c p‘Q“(R *Q)‘x П у (z QRx у. z>.. "QRxz = (QRx)* ‘R‘z} (1) F. (1). э F :: Hp . z>:. QRx e connexz e D‘Qrx .z>z:zQRxw .=w .zR\ (QRx)*w •• [*5-23. *4-71 .*257-121] э:. Qrxeconnex:. z QRxw. =z,w . zeT)‘QRx. zR\ Qk w.weC‘QRx:. [*36-13 . *257-121]d QRx e connex. QRx = (R | Q*) [ (R *Q\x:: э F . Prop Таким образом, мы доказали, что QRx является серией. Не требуется ни- какой дополнительной гипотезы, чтобы доказать, что она является вполне упорядоченной, как мы сейчас покажем. *257-28. F : Нр *257-27 . ц с (R *Q\x. э! ц. та^/ц = А. g! . э . Р‘&ях“Н=(!2лх)*“^с‘Р- Ойх“р = р‘'Зйх“Ь1с‘М' [*257-251-27] *257-281. I-: Нр *257-28 . Е ! ltG‘p. э . P‘Srx“M-=: (Q«x)*“ltG‘p. Окх“М-=’3Лх‘11е‘р. [*257-28] *257-29. I-: Hp *257-27 . xe XTR. э . C‘QRx = (R *Q)‘x. B'QRx = x Доказательство. h . *257-27-126 . *202-55 . э h : Hp . э . = (R *0‘x (1) h . *257-14 . oh: Hp . э . (R *Q\x - i‘x c t2Rx‘x (2) F . (1). (2). э F . Prop *257-291. F : Hp *257-27 . x ~ e D‘fl . э . QRx = A [*257-16 . *200-35] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
106 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *257-3. h : Нр *257-27 . э . WQRx = D‘P П (R *Q\x Доказательство. h . *257-27 . э h Нр . у e(R *Q\x. э: g! <Q‘y. = . g! *Q*‘iVy . [*257-141] = . E ! R'yэ h . Prop *257-31. h : Hp *257-27 . p c (R *QYx. g! p. ~ g! ma^p,. g! . э . seq (2/гД‘ц = Ite ‘p, [*257-28] *257-32. h : Hp *257-27 . p c (R *QYx. g! ma^‘p. g! р‘<5ях“р. э . seq (G/?x)‘p = fl‘max (2/?J‘p Доказательство. h . *257-3 . oh: Hp . □ . pc П‘Р . [*257-27 . Transp] э . ()*‘max(2/?x)‘p =^Tmax (2/?x)‘p: э h . Prop *257-33. h : Hp *257-27 . p, c (R *O‘x. g! p . g! p‘^x“p. z>. E ! seq (2/?x)‘p [*257-31-32] Приведенное выше предложение вместе с *257-27 показывает, что серия QRx является вполне упорядоченной в силу *250-123. *257-34. h : Нр *257-27 . э . QRx е Q Доказательство. F. *257-291. z>HHp.x~eD‘P.z>. QRxeQ (1) h . *257-29 . *206-14 .oh: Hp . xeD‘P . э . seq^/A = x (2) h . (2). *257-33 . э FHp. xe TTR .z>:\ic(R *Q\x. g! р‘<2Лх“ц. . E ! seq (2йх)‘р.: [*257-29 . *206-131] э: g! p‘<2j?x“(H П ClQRx). . E ! seq (2/?х)‘ц: [*250-123 . *257-27] э : QRx e Q (3) F . (1). (3). э F . Prop *257-35. F : Hp *257-27. d. R t(R *Q)‘x=(QRx)1 .R [ (Я *0)‘xe 1-> 1 Доказательство. F . *257-32 . э F Hp. э : у e D‘QRx . э . seq (QRx)li‘y = R'y (1) F . (1). *206-43 . *204-7 . z> F . Prop *257-36. F:Hp *257-27. xeD‘tf.z>. C‘QRx - (R *C)‘x. Q‘QRx - (R *Q)‘x - i‘x. B'QRx = x .~§‘QRx = (R *Q)lx - D‘7? [*257-29-3] Следующие предложения показывают, что отношение Р, которое удо- влетворяет гипотезе *257-5, тождественно с QRx, т.е. показывают, что эта гипотеза достаточна для детерминации Р. *257-5. h : Нр *257-27 . Р е trans . ёРс (R *Q)‘x. Р - Р2 = R ДР *Q\x. ltP f Cl ex‘(P *0‘i = ltQ f Cl ex‘(P *0‘x. э . P g J. C'P = (P *0‘i Приведенная выше гипотеза не вся является необходимой для настояще- го предложения, однако необходима для группы предложений, в которой это предложение является первым. Доказательство. h . *37-41 . э h Нр . э : D‘(P - Р2) = Р“(Р *0‘х П (Р *0‘х [*257-36] =(P*0‘xnD‘P (1) Principia Mathematica III
«257. ТРАНСФИНИТНЫЕ РОДОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 107 F . *32-14 . z> F : Нр . э .Itр‘{(Л *Q\x П D7f] =lte 1{(R *ОУхГ}ТУР} [*257-36] =(R*Q)‘x-WR (2) I-. (1). (2). э I-: Hp . э. (R *0‘xc C‘P. [Hp] э.(Я*2)‘х = ёР(3) F.(3). z>F:Hp.z>:xeD‘P.D.xP-P2(7?‘x). [*34-5. Transp] э. ~ (xPx) (4) F . (3). (4). э F . Prop *257-51. F:Hp *257-5 .d.C‘P=X‘x Доказательство. h. *257-123 .*90-16 .эННр.э.гХ‘хсХ‘х (1) h . *90-13 . э h : Hp . z>. lt^“Cl ex‘M‘x = ltp“Cl ex‘X‘x . [*90-163 . *40-61] э . lt0“Clex‘X‘xc (2) h . (1). (2) . э1-:Нр.э.(Р*0‘хсХл (3) h . (3). *257-5 . э h . Prop Для того чтобы доказать P=Qrx, мы сначала доказываем PeQ. Дока- зательство проводится, как и для Qrx, даже несколько проще. Оно схема- тично набросано ниже, так как весьма сходно с доказательством для Qrx. *257-52. h : Нр *257-5 . о = ёРА р‘ГёРAy (zPy. dz . *P‘z = <Р*‘К‘г). э . Р“оа о Доказательство. F . *34-5 . Transp . *201-18 . э h Pi = R [ (P *Q)‘x .ye p‘P“C‘P. z> : zP (R'y). э . ~ (yPz) :zP*y. э .zP (R'y): [Hp] z>:zP(R‘y). = .zP*y (1) Как и в *257-2-21, используя Itp [ Cl ех‘(Р *0‘х = lt@ [ Cl ех‘(Р *0% мы доказываем h : Нр .у е о A D‘P . р = ?Vy U Х‘Р‘у . э . Р“р с р . 5е‘р с р . э . (Р *0‘i=7*‘yU Х‘Р‘у (2) F. (1). (2). э h : Нр . у е о A D‘P . э . jP‘y = %‘Р‘у (3) h . (1). (3) . э h : Нр . у е о A D‘P . э . Р‘у е о : э h . Prop *257-521. h : Нр *257-52 .|лсо.з!|л.~а! таЗ/ц . э . (Р *0‘х = P“p,U P*“Ttp‘|i [Доказательство аналогично *257-5, проходит те же этапы] *257 53. F Нр *257-5 . э: Р е Ser: z е ТУР. =>z. *P'z = К 'R‘z [Доказательство аналогично *257-27] *257-54. h :. Нр *257-5 . э . PeQ [Доказательство аналогично *257-34] *257-55. h : Нр *257-5 . о = у (7^‘у = (5Лл‘у). э . Р“ос о Доказательство. F . *257-53 . z> F : Нр. у е С‘Р. э. = С1Р - % ‘R‘y [*257-53] =С1Р-%‘у [*257-53] =X‘yUi> (1) F.(l). z>F:Hp.yea.D.'?‘«‘y='2ffx‘yUt‘y [*257-22] =-$R/R‘y:z>\- . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
108 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *257-551. I-: Нр *257-55 . э . 5е‘о с о Доказательство. Ь. *257-53 . э F: Нр. рс о. g! р. z = ltg‘p. э .~P‘z - ((/? *б)‘хП р) U Р“р [Нр] = {(R *б)‘х П р} U бях“р [*257-27] =^‘z:dF . Prop *257-56. h : Нр *257-5 . э . Р = QRx Доказательство. Ь. *257-51-54 . э F: Нр. э ."?‘х = Л . [*257-36] э.7*‘х=<5Л/х (1) I-. (1). *257-55-551 э F Нр . э: у е С'Р. z>y .~?‘у =~^Rx‘уh . Prop Это доказывает, что условия гипотезы *257-5 достаточны для детерми- нации Р. Principia Mathematica III
*258. ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО 109 *258. Теорема Цермело Краткое содержание *258. В этом параграфе мы сначала покажем применимость предложений *257 к случаю, когда Q того параграфа заменяется логическим включе- нием, объединенным с различием, т.е. одним из следующих четырех отно- шений: а р (а с р . а # 0), а 0 (0 с а . а 0), MN(NgM Если мы полагаем Q = а 0 (а с р . а / Р), и если к есть некоторый класс классов, то 5‘к есть максимум к в силу Q, если ?кек, и секвент к в силу Q, если ?к~ек (*258-1-11); аналогично р‘к есть минимум к, если р‘кек, и прецедент к, если р‘к~ек (*258-101-111). Следовательно, каждый класс классов имеет единственный максимум или единственный секвент в силу б, и каждый класс классов имеет единствен- ный минимум или единственный прецедент (*258-12); более того, мы имеем Itg = s [ (- Q‘maxg). tig = р [ (- Q‘ming) (*258-13-131). Следовательно, Itg, tig e 1 —> Cis (*258-14), a Q и Q поэтому удовлетво- ряют наиболее взыскательной части гипотезы *257-27. Кроме того, Q и Q являются Дедекиндовыми отношениями (*258-14). (Они не являются сери- ями, так как не являются связными.) В точности такой же аргумент применяется к MN (М G N). М N. Сле- довательно, если Q есть одно из приведенных выше четырех отноше- ний, и если R есть много-однозначное отношение, содержащееся в Q, то из *257-34 следует, что Q с полем, ограниченным к трансфинитному потом- ству какого-либо терма, есть вполне упорядоченная серия. Если мы бе- рем 2 = а0(ас0.а^0) и берем некоторый начальный терм а, то наша се- рия переходит к непрерывно большим классам, переходя к границе посред- ством взятия логической суммы, т.е. если к есть некоторый экзистенцио- нальный подкласс потомства а, то 5‘к = Итах^‘к = Итах(б/?а)‘к (*258-21-22), где С/?а имеет смысл, определенный в *257. Этот процесс заканчивается на П (7? *2)‘х}, если D‘R О (R *Q\x не имеет максимума; в против- ном случае он заканчивается на /^-последователе этого максимума, кото- рый представляет собой maxg‘{C‘/? О (Я *2)‘х). Если, с другой стороны, мы берем в качестве Q обращение указанного выше, то мы переходим к непре- рывно меньшим классам, а граница любой группы классов к, не имеющих последнего терма, есть р‘к. В этом случае, если, начиная с а, каждый эк- зистенциональный подкласс а принадлежит D‘/?, то процесс сокращения не может остановиться возле А. Это и есть тот самый процесс, применяемый в теореме Цермело. Мы имеем класс ц, предполагая, что он не является единичным, и селективное отношение S для экзистенционального подклас- са ц, т.е. отношение 5, для которого S еед‘С1ех‘ц. Тогда отношение R есть отношение а к a -1‘5 ‘а, т.е. отношение экзистенционального подкласса ц к классу, полученному путем отбрасывания его S-представителя. Поэтому А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
по ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ есть вполне упорядоченная серия, которая начинается с ц и заканчива- ется А. Опуская заключительный А, 5 выбирает представителя из каждого элемента поля 2ди, и серия этих представителей, т.е. S ’ Qr^ подобна Qr^ с опущенным заключительным А. Более того, каждый элемент ц встреча- ется среди этих представителей, так как если х есть некоторый элемент ц, то пусть к будет классом тех элементов С‘2ди, элементом которых явля- ется х. (Такие классы существуют, так как и хер). Тогда хер‘к, и, на основании сказанного ранее, р‘к является элементом C'Qr^. Следова- тельно, на основании определения к р‘кек, и поэтому р‘к = тах^‘к. Однако никакой класс, меньший, чем р‘к, не может принадлежать к, и поэтому р‘к-1‘5‘р‘к не является элементом к, и тогда х не является элементом р'к -1‘5 ‘р‘к. Следовательно, х = 5‘р‘к, и поэтому х встречается среди пред- ставителей элементов C'Qr^, что и предполагалось доказать. (Приведенное выше представляет собой сокращенное изложение символьного доказатель- ства, данного ниже в *258-301). Следовательно, поле S 5 Qr^ есть ц, и поэто- му существует вполне упорядоченная серия, имеющая ц в качестве своего поля, при условии, что Ед‘С1ех‘р не является нулевым (*258-32). Это и есть теорема Цермело. Обращение теоремы Цермело уже было доказано (*250-51). Следова- тельно, предположение о том, что может быть сделана выборка из всех экзистенциональных подклассов ц, эквивалентно предположению, что ц мо- жет быть вполне упорядочен или является единичным классом, т.е. *258-36. h : цеС“П U 1 . = . g! ед‘С1 ех‘ц Кроме того, на основании *88-33, аксиома умножения эквивалентна предположению, что все классы за исключением единичного могут быть вполне упорядочены, т.е. *258-37. h : Mult ах . = . C“Q U 1 = Cis Кроме того, в силу *255-73, аксиома умножения подразумевает, что из двух неравных экзистенциональных кардиналов один должен быть больше, т.е. *258-39. h :: Mult ах . э щ v е NoC .o:p,^v.V.p,>v *258-1. h:.2 = dtp(acp.a^P).D: s‘K6K . э . $‘к = гпах^к Доказательство. h . *205-101 . э h :: Нр . э у шах^ к. = :убк:абк.эа.~(уса.у^а): [Transp] = : уе к: а ек. а у . эа . ~ (у с а) (1) h . (1). *10-1 .oh:: Нр . s‘kек.э:. у maxg к. = : у е к: а е к. а у. эа . ~ (у с а): $‘к # у . э . ~ (у с $‘к): [*40-13] = : у ек: а ек. а /у. эа . ~ (у с а): $‘к = у : [Transp . *40-13] = : у е к . $‘к = у : [Нр] = : s'К = у :: э h . Prop *258-101. h : Нр *258-1 . р'ке к. э . р‘к = min^K [Доказательство аналогично *258-1] *258-11. h : Нр *258-1 . $‘к ~ е к. э . seqg‘K = s‘k Доказательство. h . *40-53 . э h : Нр . э . р‘2“к = у (а е к. эа . а су. а у) Principia Mathematica III
*258. ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО 111 [Нр. *40-151 . *10-29] =у(5‘ксу) (1) F . *40-1 . *22-42-46 . э I-. 5‘к = р'у (5‘к с у) (2) h. (2). *258-101 . э h : Нр . э . 5‘к = min^y (5‘к с у) [(1)] = seq^‘K: э h. Prop *258-111. h:Hp *258-1 . р‘к~ gk . э . ргес0‘к = р‘к [Доказательство аналогично *258-11] *258-12. h Нр *258-1 . э : Е ! тах^‘к. V . Е ! seqg‘K: Е ! min^K. V . Е ! ргес0‘к [*258-1-101-11-111] *258-13. h : Нр *258-1 . э . Itg = s f (- Q‘max^) Доказательство. h . *258-1 . Transp . э h : Hp . - g! та^‘к. э . 5‘к ~ e к . [*258-11] э . П^‘к = 5‘к : э h . Prop * 258-131. h : Hp *258-1 . э . tl6 = p f (- CTmin^) [Доказательство аналогично *258-13] * 258-14. h : Hp *258-1 . э . Q, Q g Ded . lt0, tl6 g 1 Cis [*258-12-13-131] * 258-2. h : Hp *258-1 ./?GRl‘2n Cls-> 1. э . QRa eQ Доказательство. h . *258-14 . э h : Hp . э . Hp *257-27 (1) h. (1) .*257-34 .oh. Prop *258-201. h: 2 = ap(Pca.a#P)./?GRr2nCls-^ 1 .э. [Доказательство аналогично *258-2] *258-202. h: Q = MN (M G N . M N). ReRYQC\C\s1 .э. Qrxe£1 *258-203. h: Q = MN(NgM .M ±N) .ReRVQnC\s^> 1 .э. QRXe£l *258-21. H : Hp *258-2 . к c (R *2)‘a . э . 5‘к = limax^K Доказательство. h . *258-13 .oh: Hp . ~ g! та^‘к. э . 5‘к = ltg‘K (1) h . *258-2 . э h Hp . g! та^‘к. э : (gy) :y gk : qgk . эа . a су: [*40-151] э : s‘kgk : [*258-1] э : 5‘к = тах^к (2) h . (1) . (2). э h . Prop *258-211. h : Hp *258-201 . к c (R *2)‘a . э . р‘к = Птах^‘к *258-22. H : Нр *258-2 . a g D‘7?. к c (R *Qya . g! к. э . 5‘к = Итах (С/?а)‘к Доказательство. h . *258-21 . э h : Нр . 5‘к ~ g к. э . 5‘к = It^K. [*257-13] э . 5‘kg (R *2)‘a . [*210-233] э . 5‘к = Птах (Сяа)‘к: э h. Prop *258-221. F : Нр *258-201 . a gD7? . к с (/? *0‘а . э . р‘к = limax (Сяа)‘к *258-23. И : Нр *258-2 . a g D'R . э . QRa g Ded . s‘(R *Q)‘a = B‘2/?a [*258-2-22 .*250-23 .*205-121] *258-231. h : Hp *258-201 . acD‘fl . э . QRa eDed . p‘(R *Q)‘a = BkQRa A.H. Уайтхед, Б. Рассел
112 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *258-24. h : Нр *258-2 . э . (R *£>)‘а = (3 (аса. R“v с а. s“Cl ех‘о с а. эа . Ре а) Доказательство. F. *258-1-13 .*257-1 .э h : Нр . э . (R *2)‘а с [3 (а go . R“o с о. $“С1 ех‘о с о. эа . 0 со) (1) h . *257-123 . э h : Нр . э . R“(R *£)‘а с (R *0‘а (2) h . *258-22 . э F : Нр. ц с (Я *б)‘а. 3! р,. э . g (Я *0‘а (3) F. *257-12. эННр.э.ае(Я*е)‘а (4) F. (2). (3). (4). э I-Нр: аео. /?“осо. s“Clex‘oc о. эо . 0ео: э . 0е(7? *Q)‘x (5) F . (1). (5). э F. Prop *258-241. I-: Hp *258-201. э . (Я *Q)‘a = 0(аео.Я“осо. р“С1ех‘ос о. э0.0eo) *258-242. I-: Hp *258-202 . э . (Я *О)'Х= Y (Xe a.R“oc о. i“Clex‘oc о. z>0. Уео) *258-243. F : Hp *258-203 . э . (R *Q)‘X = Y(Xea,R“aco . р“С1ех‘ос о. эо . Уео) *258-3. F:2 = 6tP(Pca.a^P).5 еед‘С1ех‘р. R = a p (a e Cl ех‘ц. В = a - i‘S ‘a). э . QR]l e Q. S > QRv, smor 2S|i [ ( -i‘A) Доказательство. F . *80-14 . э F: Hp. э .Яс 2 .ЯеСк—»1. Б‘Я = Clex'p. С‘Я = СГц (1) F. (1). *258-201 . э F : Hp. э . QRfl eQ F.*257-35 . =>F:Hp.z>..K[C‘a^el->l. (2) [(l).Hp] э.5 [С‘2Лие^1 (3) F. *257-14. э F : Hp. э . С‘бйи с СГц (4) F . *80-14 . э F: Hp. э . Q‘5 = Cl ex‘p (5) F . (3). (4). (5). э F : Hp. э . 5 s 2яц smor QRil [ (- i‘A) F . (2). (6). э F. Prop (6) *258-301. h : Hp *258-3 . x g ц . к = C'Qr^ П Vx. э . x = S 4р‘к Доказательство. h . *258-36 . э h : Hp . э . (x g С‘2/?и . [Hp] Э . а! к h . (1). *258-241 .oh: Hp . э . р'ке (R *2)‘ц. (1) [*257-36] э.p'keC'Qr^ (2) 1-. *40-1 . э h : Hp . э . x g р'к h . (2). (3). э h : Hp . э . р'к g к . (3) [*258-101] э . р'к = тах^‘к F . (4). э h : Hp . э . (р'к - CS 'р'к) ~ g к. (4) [*257-121 . Hp] э . x ~ g (р'к - CS ‘р‘к) h . (3). (5). э h : Hp . э . xin CS 'p': э h . Prop (5) *258-31. F : Hp *258-3 . p ~ e 1. э . C‘S ’ QR}1 = ц Доказательство. I-. *80-14 . э F: Hp . z>. Q‘5 = Cl ex‘p. [*150-36 . *257-14] э. S ’ еЯ|1 = S 5 еЯ1Л (- i‘A). С‘2Я|Х t (- i‘A) c Q‘5 . [*150-22] z>.C‘S ’QRil = S“C‘QR]l [(-i‘A). [*202-54 . *257-125] э . C‘S > QRfl = S “(C‘QRfl - i‘A) (1) Principia Mathematica III
*258. ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО 113 F . *83-21 . э F : Нр. z>. 5 “у‘бйИ с р (2) к . *258-241-301 . э F : Нр. х е р. э. х е S “{(R *£)‘р - i‘A}. [*257-36] oxe5“(C‘eS(l-i‘A) (3) F.(2).(3).oF:Hp.o.S“(C‘GK(l-i‘A) = p (4) F. (1). (4). э к . Prop *258-32. F:p~el. g! ед‘С1 ех‘р • =>. peC“Q [*258-3-31] Это и есть теорема Цермело. *258-321. F : Нр *258-3 . р QRv, а. =>. 5 ‘р ~ е а Доказательство. F . *250-242 . э F :. Нр. э: а = (G^), ‘Р. V. (G/^i ‘р QR]i а: [*257-35 . Нр] э: а с р -1‘5 ‘рэ F . Prop *258-33. F: Нр *258-3 . р ~ е 1. P = S > QRv.. э . 5 = min/> [ Cl ех‘р Доказательство. F. *80-14. э F: Нр. а с р. д! а. э . 5 ‘аеа (1) F. *258-321 . эI-: Нр (1). хеа. э . ~ (gP). Р а. х = 5‘р. [*150-4. Нр] э.~(хР5‘а) (2) F. (1). (2). *205-1. э F : Нр (1). э . S ‘а min/> а. [*258-3] э. S ‘а = min/>‘a: э F. Prop *258-34. F:.p~el.z>: S еед‘С1ех‘р. s . (gP) .PeQ. ClP = \i. S = minp [ Clex‘p [*250-5 . *258-33] *258-35. F : peC“Q. s . p~e 1. g! ед‘С1ех‘р [*200-12 . *250-51 . *258-32] *258-36. F : peC“QU 1. e . g! ед‘С1 ex‘p [*258-35 . *60-37 . *83-901] *258-37. I-: Mult ax. = . C“Q U 1 = Cis [*258-36 . *88-33] *258-38. F :. Mult ax. э: Nc‘a c Nc‘p . V . Nc‘a = Nc‘P. V . Nc‘a э Nc‘P [*255-73 . *258-37 . *117-54-55] *258-39. F :: Mult ax. э:. p, veNoC . э : p v. V . p > v [*258-38] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
114 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *259. Индуктивно определенные корреляции Краткое содержание *259. В теории вполне упорядоченных отношений мы часто имели возмож- ность определять отношение (которое, вообще говоря, по свой природе яв- ляется корреляцией) посредством следующего процесса: Возьмем отноше- ние 5, пусть W‘S есть отношение (обычно пара), которое является функ- цией S. Положим Aw'S =S U W'S. Тогда, начиная с А, мы формируем серии А, Аи?А, Аи?Аи?А, и т.д., каждая из которых содержит всех своих предшественников. Мы переходим к границе посредством взятия суммы всех этих отношений, т.е. ‘А; затем мы переходим к Aw‘s‘(Aw)*‘A, и т.д. настолько, насколько возможно. Сумма всех полученных таким образом отношений есть функция W, и это часто оказывается важным. В качестве примера мы можем рассмотреть корреляцию двух вполне упорядоченных отношений Р и 2, с которой мы имеем дело в *259-2—25 ниже. В этом случае мы полагаем W = XT {X = seq/D‘T i seqG‘CTT}. Следовательно, W‘A = Aw‘A = B‘P IB‘Q= 1F|\Q, Ащ‘Ащ‘К = lp J, \q U 2Р J, 2q, И т.д. Продвигаясь таким образом, мы можем продолжать, пока хотя бы одна из двух серий Р, Q не будет исчерпана. Таким образом, мы получим новое доказательство того, что из любых двух вполне упорядоченных серий одна должна быть подобна сечению другой. Для удобства положим временно А = §Т (5 G T.S /Т) Dft. В таком случае мы имеем А е R1‘ J О trans . Aw е RTA О Cis 1, что является частью гипотезы *257-27 и последующих предложений. Оставшаяся часть этой гипотезы следует по аналогии из *258-14. Мы полагаем Wa = s\Aw*AYA Df. Тогда И<4 коррелирует всю Р с частью или со всей 2, или наоборот. Это доказывается в *259-25 ниже. Для других значений W мы получаем другие результаты, часто полез- ные; например, мы будем иметь возможность использовать методы этого параграфа в *273, который имеет дело с сериями, подобными сериям ра- циональных чисел. В настоящим параграфе сначала даются некоторые элементарные свой- ства (Aw*А)‘А и Wx для общего отношения W, рассматривая которые мы предполагаем лишь, что W‘S никогда не содержится в S, т.е. W О (G) = А Principia Mathematica III
*259. ИНДУКТИВНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ 115 (исключая *259-121-13, где мы также предполагаем Wei —>Cls). Далее мы переходим к особому рассмотрению случая, в котором W = XT {X = seq/DT J, seqG‘QT}, как разъяснено выше. * 259-01. A = ST(S gT.S / Т) Dft[*259] * 259-02. AW = ST (T = S UW‘S) Dft[*259] * 259-03. WA = si(Aw*A\A Df В следующих предложениях, которые следуют из предложений *258, существенно иметь Aw G а. Для этого мы требуем, чтобы QlS, когда суще- ствует, не содержалось в S. В дальнейшем будет замечено, что в соответ- ствии с приведенным выше определением A*=St(S gT). Следовательно, вместо использования “с” в качестве отношения, которое неудобно для обозначения, мы будем использовать А*. Поэтому условие, которое мы хотим наложить на W, заключается в том, чтобы никогда не иметь (W'S) A* S. Это обеспечивается с помощью W А А* = А, что соответственно появляется в качестве гипотезы в следующих предло- жениях. * 259-1. h : A gR1‘J A trans . кд g 1 —> Cis : W h А* - А . э . Aw е ИГА A Cis —> 1 . А (Ащ, A) gQ Доказательство. Как и в *258-14 h . кд g 1Cis (1) h. *201-18 . эН.Нр.э:ЛЛУ5 .o.-(MgS) (2) h . (2). (*259-02). э h Hp . э : SAWT . =>. 5 GT . S ±T . [(*259-01)] Э.5АТ (3) h . (1). (3). *258-202 .oh. Prop В следующем предложении обозначение A (Aw, А) представляет собой обозначение, определенное в *257-02, принятое в связи с тем, что Aw неудобно использовать в качестве суффикса. *259-11. НЕ! W‘A . W А А* = А . э . Мд = B‘Cnv‘A (Aw, A). s“Cl‘(Aw * A)‘A c (Aw * A)‘A Доказательство. I- . *258-242 . *259-1 . эР : Hp Дс (Aw *А)‘Л . э . (Aw * A)‘A (1) H (1). э h : Hp . э . g (Aw * A)‘A (2) h. *41-13 . э h : Hp. T g(Aw * A)‘A - 1‘1Уд .э.ТАИ^д (3) h . (1) . (2) . (3) . э h . Prop * 259-111. h IV A A* = A . 5, T g (Aw * A)‘A . э : S G T . V . T G S [*259-l . *257-36] * 259-12. I-: S g D‘Aw . = . E ! S [(*259-02)] * 259-121. h : We 1 Cis. э . D‘Aw = CTW [*259-12] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
116 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *259-122. F : IV А А* = А. xWAy. X = (Aw * A)‘Anf {- (хТу)}. d. х (W‘s‘X) у Доказательство. F. *259-11 . эЬ:Нр.э.ГХе(Аи,*А)‘А. (1) [Нр] э.я'ХеХ (2) I-. (1). (2). *257-3 . э F : Нр. э. s‘X е D‘AW . [*259-12] d.E!W‘s‘X (3) I-. (3). э F: Нр. э . (s‘X) A (Ajy‘s‘X). [*257-121] D.Atv‘s‘Xe(Alv*A)‘A-X. [Hp] D.x(Aw‘j‘X)y (4) F . (2). (4). э F : Hp. э . ~ (x (s‘X) y]. x(At/s‘X)y. [(*259-02)] d . x(lV‘s‘X)y: э F. Prop *259-13. F : W A A* = A . W e 1 -»Cis. э . WA = j‘W“(Aw * A)‘A Доказательство. F . *259-122 . э F : Hp. d. WA G s‘iy“(Aw * A)‘A (1) F . *257-123 . э F : Hp. э . j‘lPl(Aw * A)‘A G WA (2) F . (1). (2). d F . Prop *259-14. F IV A A* = A: 5 e (A^ * A)‘A A 1 —» Cis A G‘W. d$ . W‘5 e 1 -> Cis. Q‘5 A Q‘W‘5 = A : э . WA e 1 -> Cis Доказательство. F. *71-24 . (*259-02). э FHp. э: S e(Aw)‘А A 1 —> Cis. d . AW‘S e(Aw * A)‘A A 1 -»Cis (1) F. *259-111 . dF:. Hp. S, Te(Aw *A)‘A. d :S g T. V. TcS (2) F. (2). dF :Hp .Xc(A|v * A)‘A. x(i‘X)z .y(5‘X)z. э. (gT) . Tek.xTz .yTz (3) F. (3). э F: Hp. Xc (A|y * A)‘A Al—» Cis. x(s‘X)z .y (s‘X)z • э. x = y (4) F. (4). d F: Hp. Xс(A^ * A)‘A A 1 —»Cis. d . s‘Xe 1 —> Cis (5) F. (1). (5). *258-242 . э F: Hp. d . (Aw * A)‘A c 1 -» Cis. [*259-11] d. WA e 1 -> Cis :dF. Prop * 259-141. F:. WhA* = A:S e(Aw * A)‘An Cis-> 1 АСГ1У.э$ . IV‘5 e Cis —> 1. D‘5 A D‘W‘5 = A : d . WA e Cis -»1 [Доказательство аналогично *259-14] * 259-15. F W A A* = A: S e(Alv * A)‘A A 1 -> 1 aQ‘IV.ds . IV‘5 e 1 -* 1. D‘5 A D‘W‘S = A. Q‘S A CTW‘5 = A : d . WA e 1 -> 1 [*259-14-141] Следующее предложение является леммой для *273-23. * 259-16. F:. WAA* = А : Г e(Aw * А)‘А А . Р [DT^T’Qdt . Р[(А^‘Т) = (Аи,‘7’);е:э: Р [ D‘WA = WA ’ Q: T e (Aw * A)‘A. or . P [ D‘T = T ’ Q Доказательство. F . *259-11 . d F Hp. Xc (A^ * A)‘A . d : x (P [ D‘ j‘X)y. s . (g T). T e X. x (P ] D‘T)у (1) F . (1). d F Hp . X c (Aw * A)‘A: Tin X. Dr . P [ D‘T = T ’ Q: э : x(PtD‘s‘X)y.s.(aT).reX.x(nM2)y. [*259-111] =(a5,T).5,TeX.x(5 ie|f)y. Principia Mathematica III
‘259. ИНДУКТИВНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ 117 [*i50-i] = x((j‘X);2}y (2) к. (2) .*258-242 .эк:Нр. Те(Aw*Ay\.z>.P [D‘7 = T'Q (3) к . (3). *259-11 . эк. Prop Два следующих предложения являются леммами для *273-22-212. *259-17. к:. Ж Л А* = А: S е (А^ * А)‘А О СПУ. э5 . Q‘5 OCTW‘5 = А:э.О f(Alv*A)‘Ael -> 1 Доказательство. к . *250-242 . *257-35 . *259-1 . э к :. Нр . 5, Те(А|у * А)‘А. 5 ?T.z>:Aw‘S gT .V .Aw‘TtS : [(*259-02)] э: CTW‘S а (ГТ. V . Q‘IV‘7 с Q‘5 : [Нр] э : Q‘5 / ОТ:. э к . Prop *259-171. к:. W Л А* = А: S е (Aw * А)‘А Л Q‘IV. э5 . D'S nD‘lV‘5 =A:o.D f (Aw * А)‘Ае 1-И [Доказательство аналогично *259-17] *259-13. к : W Л А* = А. IV е 1 -> Cis. э . WA = ?W“(Aw * А)‘A Доказательство. к . *72-182 . э к :. Нр . э : Т е Q‘IV. э . W'T е 1 -> 1 (1) к.*206-2. э к :. Нр . э : Т eQ‘lV. э . D‘7 Л D‘VV‘7 = А. 0‘7 Л Q‘IV‘7 = А (2) к . (1). (2). (3). *259-15 .эк. Prop *259-21. к : Нр *259-2 . g2 С J . э . WA ? Qg Р. D‘IVA с С‘Р. Q‘WA с C'Q Доказательство. к. *206-133 . эк : Нр. 7eQ'IV. э . (W‘7) > g = А (1) к . *206-21 . э к: Нр (1). э. seqe‘Q‘7 ~ е Q“Q‘T . [*37-461] э.(1Р‘7)|217 = А (2) к. *206-18. э к : Нр (1). э. D‘Aiv <= С'Р (3) к . (3). *41-43 . *258-242 . э к : Нр. э . D‘!VA с ёР(4) Аналогично к : Нр . э . G‘IVA с С‘б (5) к . (4). *41-43 . *206-132 . с к : Нр (1). Т е (Aw * А)‘А. э . seqe‘D‘7 е р1<Р“1УТ . [*40-16] э . seq^‘D‘7еp‘<P“T“T^‘seqQ‘(TT . [*40-67] э . (7“’^‘seqe‘G‘7) ? i‘seq/D‘7 G Р (6) к. (1). (2). (6). эк: Нр (1). 7e(Ajv * А)‘А. 7 ’ £)g Р. э . (Ajy‘7) > Qg Р (7) к . *259-111 . э к:: к с (Ац, * А)‘А. х {(i‘X) > Q\ у. э:. (д7). 7еХ. х(7 > 2)у:. [*11-62 . *10-23] э:. 7еХ. э?-. 7 > 2g Р: э . хРу (8) к. (8). Comm. э к :. X с (Ajy * АУА: Т е).. . Т Q <1 Р: . (У!) ’ QG.P к . (7). (9). *258-242 . э к :. Нр. э : 7 е (Aw * А)‘А. э . 7 5 Q G Р: [*259-11] э:№а52сР к . (10). (4). (5). э к . Prop *259-211. к : Нр *259-2 . Р2 G J. э . IVA 5 Р G Q [Доказательство аналогично *259-21] *259-22. к : Нр *259-2 . Peconnex. э. D“(Aw * А)‘А с sect'P Доказательство. к . *211-22 . э к : Нр. 7 е Q‘IV. D‘7 еsecVP. э . D‘Ajv‘7 е secVP (1) к. *211-63 .эк: D“Xc secVP. э . D‘i‘Xesect‘P (2) к. (1). (2). *258-242 .эк. Prop А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
118 ГЛАВА 4. ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ СЕРИИ *259-221. I-: Нр *259-2 . бесоппех. э . D“(Ajy * А)‘А с sect‘2 *259-222. F : Нр *259-2 . Р е Ser. Е ! B'P. Q2 G J. Т е (Aw * А)‘А. э. Т •> Q е С‘Р^ [*259-21-22 . *213-161] *259-223. I-: Нр *259-2 . Q е Ser. Е ! B‘Q. Р2 G J. Т е (Aw * А)‘А. э. t i Q е С‘2? *259-23. F : Нр *259-2 . Р, Q е Ser П Q‘B. Т е (Aw * А)‘Л. э . (3М, N) .МеС‘Р<; .NeC'Qs . ТеМ smor N {*259-2-21-222-223} *259-24. F : Нр *259-2 . Р, Q е Q. э: D‘WA = С'Р. V . СТWA = C'Q Доказательство. F. *206-18. э F : Нр . Р = А. э . IVA = A (1) F . *206-18 . z> И : Нр. Q = Л. э . WA = Л (2) F . (1). (2). о I-Нр : Р = А. V . Q = Л: э: D‘WA = С‘Р. V . d‘WA = C'Q (3) F . *259-11. *257-36 . z> F : Нр. 3! Т5. а! 2 •=>• ^VA ~ e D'A^ . [*259-12] э. ~ (Е ! seq/D‘WA . Е ! seqe‘CTIVA) (4) Ь. (4). *252-1 . *259-22-221 . э b:.Hp.a!P.a!P.a!e-3:D‘lVA=C‘P.V .Q‘Wa=C‘2 (5) F. (3). (5). э F . Prop *259-25. F : Hp *259-24 . z>: (aP) • Pesect‘(?. WA ePsmor (Q [₽). V. (act). a e sect'P. WA e (P [ a) smor Q [*259-23-24] Приведенное выше дает новое доказательство *254-37, которое утвер- ждает, что если Р и Q вполне упорядоченные серии, то одна должна быть подобна сечению другой. В силу *259-25 (которое было доказано без ис- пользования предложений параграфа *254), WA представляет собой корре- лятор, который соотносит всю первую серию с частью или всей второй серией. В дальнейшем будет замечено, что отношения (А|у*А)‘Л являются клас- сом корреляторов сечений Р с сечениями Q при условии Р, Q е Q - i‘A; т.е. F:Hp*259-2 .Р, QeQ-i‘A.o. (Aiv * А)‘А = t {(аМ, N). Me С‘Р<;. Ne C‘Q<;. Т е Мsmor N}. Principia Mathematica III
ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ Краткое содержание главы 5 В настоящей главе мы сначала будем касаться различия конечного и бесконечного в применении к сериям и ординалам. Затем мы установим отличительные свойства конечных ординалов и рассмотрим наименьший из бесконечных ординалов, а именно со — ординальное число прогрессии. Наконец, мы кратко рассмотрим некоторые специальные ординалы и серию кардиналов, применимую к вполне упорядоченным бесконечным сериям, а именно серию “алефов”, как они называются вслед за Кантором. При рассмотрении конечного и бесконечного в применении к сериям мы имеем постоянную потребность в отношении (Pi)po, где Р представляет собой генерирующее отношение серии. Мы имеем х (Pi) роУ. = . Р(х н у) е Cis induct - t‘A, т.е. “х(Р1)роу” имеет место тогда и только тогда, когда найдется конечное число посредников между х и у. Когда Р является финитным, мы имеем Р = (Р1)ро, но мы можем это иметь и когда Р не является финитным. Бесконечные серии, для которых это положение имеет место, представляют собой про- грессии, их обращения (которые мы будем называть регрессиями) и серии, состоящие из регрессии, за которой следует прогрессия, примерами кото- рых будут отрицательные и положительные конечные целые числа в по- рядке величины.
120 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ * 260. О финитных интервалах в серии Краткое содержание *260. В настоящем параграфе мы касаемся отношения, которое имеет место между х и у, когда интервал Р(хну) является индуктивным классом, от- личным от А, или когда интервал Р(хну) представляет собой индуктив- ный класс, по меньшей мере, из двух термов. Это отношение имеет место, если х и у находятся в каком-либо отношении из класса fin‘P (определен- ного в *121). Мы будем называть это отношение Pfn- Таким образом, мы полагаем Pfn = j‘fin‘P Df. В таком случае xPfny имеет место, когда xPvy, где v — индуктивный кар- динал, отличный от 0 (*260-1). Это отношение переносит нас от х к любо- му более позднему терму, которого можно достичь, не переходя к преде- лу. Однако, если в интервале Р (х7 ч у) найдется какой-либо терм, который не обладает непосредственным предшественником, т.е. какой-либо элемент C'P -CTPi, то тогда мы не будем иметь хР^у. Таким образом, Pfn огра- ничивает нас термами, которые находятся на конечном расстоянии от на- шей начальной точки. В дальнейшем мы обнаружим, что если Р eQ, то необходимым условием для финитности Р является P = Pfn. Это условие не будет достаточным, так как оно не исключает прогрессий, однако лишь прогрессии являются теми бесконечными сериями, которые оно допускает, а прогрессии исключаются допущением Е ! В‘Р. Несмотря на то, что Pfn, вообще говоря, не представляет собой сери- альное отношение, когда Р или Рро являются сериальными, оно становится сериальным, когда ограничено потомством или прародителями, или семей- ством любого терма в силу самого указанного отношения (*260-32-4). Когда серия Р вполне упорядочена, то вся серия может быть разделена на со- ставляющие серии, каждая из которых является семейством любого одно- го из ее элементов в силу отношения (исключая тот случай, когда Р обладает последним термом, который не имеет непосредственного предше- ственника, и в этом случае этот последний терм должен быть пропущен). (Ср. *264.) Каждая из указанных серий (за исключением, возможно, по- следней) есть прогрессия, а последняя — либо финитна, либо является про- грессией. Следовательно, каждая бесконечная вполне упорядоченная серия состоит из серии прогрессий, за которой следует финитная петля (которая может быть нулевой); следовательно, кардинал поля бесконечной вполне упорядоченной серии кратен No- Эти результаты будут доказаны позже; сейчас мы в большей степени озабочены доказательством того, что семей- ство любого терма в силу Pfn является серией, генерирующее отношение которой представляет собой Pfn со своим полем, ограниченным к указан- ному семейству15. 15 Заметим, что при переводе мы используем обороты вида ограниченное на ... и огра- ниченное к ... как эквиваленты друг друга. — Прим. ред. Principia Mathematica III
*260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ 121 В настоящем параграфе мы главным образом касаемся отношений Pfn к Р\. Мы имеем * 260-27. H:PpoeSer.D.Pfn = (Pi)po Это предложение будет использоваться весьма часто на протяжении всей этой главы. Без какой бы то ни было гипотезы мы имеем * 260-12. h.PfnGPpo Мы также имеем * 260-15. h.Pfn = (Ppo)fn Следовательно, какие бы свойства Pfn ни вытекали из гипотезы о том, что Р является серией, они будут вытекать из более слабой гипотезы, что Рро представляет собой серию. Если Рро является серией, то Pfn содержится в различии и является транзитивным (*260-202), но, вообще говоря, не является связным. При сравнении Pfn и (Pi)po мы постоянно нуждаемся в предложении * 260-22. h : Рро еSer . z>. (Р0 j = Р} . Р} е 1 -> 1 . (Pi)po G J От *260-3 и до конца параграфа мы имеем дело с результатом ограни- чения поля к предкам, потомству или семейству некоторого элемента его поля. Мы имеем * 260-33. h : Рро eSer . xeD‘Pi . Pi -R . э . Pfn [ (l X U К X) = (Же X) j Рро — {(Же X) j P) p0 — {P f (Ж>° P° *260-34. I-: Hp *260-33. э . (Pfn [ (i‘x U 5?fn‘x)J i = (fr* ‘x) 1 R = R [ ^‘x *260-01. Pfn = j‘fin‘P Df *260-1. h : xPfny . = . (gv). veNC induct - t‘0 . xPv у [*121-121. (*260-01)] *260-11. h : xPfny . = . P (x H y) e Cis induct - 0 - 1 Доказательство. h. *260-1. *121-11. z> h : x Pfh у. = . (gv). v e NC induct - i‘0. P (x н у) e v +c 1. [*120-472] = . (дц). pieNC induct - t‘0 - t‘l . P (хну)eц . [*120-2] = . P (x н у) e Cis induct - 0 - 1 : d h . Prop *260-12. h.PfnGPpo Доказательство. h . *121-321. *117-511. z> h : v eNC induct - t‘0 . z>. Pv GPpo (1) h . (1) . *260-1. d h . Prop *260-13. h : x Pfh у. э . P(x н у), P(x н y) e Cis induct - t‘A Доказательство. h . *260-12 . *121-21-22 . z> h : Hp . z>. P(x н у), P(x H y) e - t‘A (1) h . *91-54 . (*121-011-012-013). э h . P(x H y) c P (x H y). P(x 4 y) c P (x H y) . [*120-481. *260-11] d h : Hp . d . Р(хну), Р(хну) e Cis induct (2) h . (1) . (2) . d h . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
122 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *260-131. h Рро G J . э : xPfny . = . Р(х н у) е Cis induct - t‘A . = . Р(х ч у) е Cis induct - i‘A Доказательство. h . *121-22 . э h : P(x H y) e Cis induct - i‘A. z> . x Ppo у. (1) [*121-242 . *91-54] z>. P (x н у) = P(x ну) U t‘y [*120-251] z>. P (x H y) e Cis induct (2) h.(1). *121-242 . z> h : Hp . Hp (1). э . x,y еР(хнy). x/y . [*52-41] =>.P(xHy)~eOUl (3) h. (2). (3). *260-11. э h : Hp . Hp (1). э . xPfnу (4) Аналогично h : Hp . P(x чу) 6 Cis induct. э . x Pfn у (5) h . (4). (5). *260-13 .oh. Prop * 260-14. h : Pe (Cis —* 1) U (1 —> Cis). Ppo G J . э . Pfn = Ppo Доказательство. h . *121-52 . э F : Hp . d . s‘finid‘P - P* . [(*260-01)] D.Pfn = P*-P0 [*121-302] =P*-Z[C‘P [*91-541] = Рро : d h . Prop * 260-15. h . Pfn = (Ppo)fn [*260-1. *121-254] * 260-16. h.(P)ftl = Pfn [*260-1. *121-26] * 260-17. h : Pp0 e Ser . x Pp0 у. э . P (x н у) = C‘{Ppo [ P (x H y)}. x = B‘{Ppo IP (x н j)}. j = B‘Cnv‘{Pp0 [ P (x н y)} Доказательство. h . *121-242 . dF: Hp . d . x,y eP (xH y). x у . (1) [*52-41] э.Р(хну)~е! . [*202-55] э.С‘{Рро £Р(хну)} = Р(хну) (2) h . *91-542 . э F Hp . э : zeP(xH}’) . z / x. □ . x{Ppo [ P (xH j)} z : [(1). *205-35] D:x = min{Ppo [P(xhj))‘P(xhj): [(2). *205-12] э : x = B‘{Pp0 [ P (x H y)} (3) Аналогично h : Hp . d . у = B‘Cnv‘{Ppo [ P(xH y)} (4) h . (2). (3). (4). z> h . Prop Следующие предложения касаются доказательства того, что если Рро eSer, то Pfn = (Pi)po и Pv = (Pi)v. Заметим, что “х(Р])роу” означает, что мы можем перейти от х к у с помощью конечного числа шагов от одного терма к следующему, так что серия не содержит предельных точек меж- ду х и у. Отношение “x(Pi)vy” означает, что могут быть найдены v-Д промежуточных термов Z1, Z2, Z3 > • • • Zy-C 1» причем каждый из них находится в отношении Pi к своему соседу, таких, что xP]Zi и zv_c]Piy. Таким образом, мы должны доказать, что при условии, что Рро —серия, это происходит тогда и только тогда, когда число термов в интервале Р(хну) есть v+Д. * 260-2. h : Рро е connex. хР*у. yP*z. э . Р (х н z) = Р (х н у) U Р (у н z) Доказательство. h . *201-14-15 . z> h: Нр .э.Р(хну)сР(хнг).Р(унг)сР(хнг) (1) F . *202-13-103 . э F Нр . xP*w. э : wP*y . V . yP*w (2) F. (2). *121-103. э Principia Mathematica III
*260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ 123 I-Нр . w е Р (х н z)• э : хР*w. wP*y. V . yP*w . wP*z: [*121-103] o:weP(xHy)UP(yHz) (3) F . (1). (3). э F . Prop *260-201. F : Ppo e connex . э . Pfn e trans Доказательство. F . *260-12 . d F : xPfny. yPfnz . э . xP*y. yP*z (1) F . (1). *260-2 . э h : Hp . xPfny. yPfnz. э . P (x н z) = P (x н y) U P (у н z). (2) [*260-11. *120-71] z>. P (x н z) e Cis induct (3) F. *60-32-371. dF: a eOu 1 .pea. э.р eOU 1 : [Transp] эЬ:р-б0и1.рса.э.а-е0и1 (4) F. (2). *260-11. э F : Hp . xPfny. yPfnz. э . P (x н y) ~ e 0 U 1 . P (x н у) с P (x н z) • [(4)] z>. P(xh z) ~ eOu 1 (5) F. (3). (5). *260-11. z> F : Hp . xPfny. yPfnz . э . xPfnz: э F . Prop *260-202. F: Ppo e Ser . z> . Pfn e R1‘ J О trans Доказательство. F . *260-12 . э F : Ppo G J. э . Pfn G J (1) F . (1). *260-201. э F . Prop Вообще говоря, мы не будем иметь Рро e Ser . э . Pfn e Ser, потому что Pfn, вообще говоря, не связно. Pfn лишь соотносит два терма, которые находят- ся на каком-либо конечном расстоянии один от другого, и, следовательно, разделяет Рро на некоторое число взаимно исключающих частей. Мы будем иметь лишь Pfn е Ser, когда каждый интервал в серии является финитным. *260-21. F: Рро е Ser . хР*у. yP\z . э . Р (х н z) - Р (х н у) U Cz Доказательство. F . *121-304 . э F . Нр . э . Р (у н z) = i‘y U Cz (1) F . *121-242 . э F : Hp . э .yeP(xHy) (2) F . *260-2 . □ F : Hp . э . P (x н z) = P (x н у) U P (у н z) [(1). (2)] = P (x H y) U i‘z : z> F . Prop *260-22. F : Ppo e Ser . э . (PD! = Л . Л e 1 1. (Pj)p0 G J Доказательство. (-.*121-254. эНА^Рро)! (1) 1-. (1). *204-7. э 1-: Hp. z>. Pjel —> 1 (2) (-.*121-305. z> h : Hp . =>. P| gP. [*91-59] —’ • (Pl) po G Ppo • [*204-1] D.(Pi)poGj (3) l-.(l).(2).(3) . *121-31. эН Prop *260-23. F : Ppo e Ser . v e NC induct. э . (Pi) v e 1 —» 1 [*121-342. *260-22] *260-24. F : P^ eSer . veNC induct. х(Р1\у. x(Pi)v+jz . э .yP\Z Доказательство. F . *121-35 . *260-22 . z> F : Hp . э . x {(P0 v | PJ z. [*34-1] э . (gw). x(Pi)yW. wPiz. [*260-23 . Hp] d . yP\z : oF.Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
124 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ * 260-25. F : Р?о е Ser .R-P\ . xR*y. э . Р (х н у) = R (х н у) Доказательство. F . *260-24 . э F: Нр . v е NC induct. xRvy. xRv+c}Z. P (x н у) = R (x н у). э . yRz. P (x н у) = Я (x н у). [*260-21] э . P (x н z) = R (x н y) U i‘z [*260-2. *121-371-304] =/?(xHz) (1) F . (1). d F Hp . v eNC induct: xRvy . . P (xHy) = R (хну): d : xRv+ciz. эг. P (x н z) = R (x н z) (2) F . *121-301-22-242 . z> F : Hp . xRQy. z>. P (x H y) = t‘x = /?(хну) (3) F . (2). (3). Induct. d F Hp . d : v e NC induct. xR^y. э . P (x H y) - R (x H y): [*121-12] d : S efinid‘P . xSy . э . Р(хну) = R (хну) : [*121-52 . *260-22] э : xR*y . d . P (x Hy) = R (хну)d F . Prop В приведенном выше предложении “Induct” отсылает нас к *120-13. “ф^” в *120-13 заменяется на xR^y. z>y . Р (х н у) = R (х н у). Таким образом, (2) в приведенном выше доказательстве есть (когда v за- меняется на £ е NC induct. . э . ф (§ +с 1), а (3) есть фО. Следовательно, на основании *120-13, мы имеем а е NC induct. э . фа, т.е. veNC induct. э : xRvy . z>y . R (х Н у), что является заключением, выведенным в данном выше доказательстве. Всякий раз, когда “Induct” дается в качестве ссылки, он указывает на такой процесс, как приведенный выше, основывающийся на использо- вании *120-13 или *120-11. * 260-251. F: Рро eSer. D.(Pi)poGPfn Доказательство. F . *260-25 . э F : Нр . R = Рх . хЯроу . э . Р (х н у) = R (х н у). (1) [*121-45 . *260-22] э . Р (х н у) е Cis induct (2) F . *121-242 . (1). *260-22 . э F : Нр (1). э . х,у еР(хну). х^у. [*52-41] э. Р(хну) ~e0U 1 (3) F . (2). (3). э F : Нр . x(Pi)poy. э . Р (х н у) е Cis induct - 0 - 1 . [*260-11] э . xPfny: э F. Prop * 260-26. F Ppo e Ser . R = P\ . хЯ*у. d : xPvy . = . xRvy Доказательство. F . *260-25 . э F Hp . э : P (x н у) = R (x H y): [*121-11] d : xPvy . = . xRvy :.dF. Prop * 260-261. F : Pp0 e Ser . veNC induct - i‘0. xPvy. xPv+ciz. э .yP\z Доказательство. 1-. *121-11. э F : Hp. э . . Nc‘P (xny) = v+cl . Nc?(xhz) = v +c2 . (1) [*120-32] э. (2) F. (1). *120-428 . э F : Hp. э . Nc‘P (x н z) > Nc‘P(xHy). [*117-222. Transp] Z>.~{P(xHz)c Р(хну)). [*121-103. *201-14-15] Э . ~ (zP*y). (3) Principia Mathematica III
*260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ 125 [*202-103] э.уРрог. [*202-171] э.Р(хнг) = Р(хну)иР(у-1г). [*120-41. (1). (3)]э. Р(у -I z)e 1 . [*121-242.(2)] э.Р(унг)е2. [*121-11] э .yPxz: э I-. Prop * 260-27. F : Ppo e Ser. э . Pfn = (Pj) p0 Доказательство. I-. *260-261. э F: Hp . v eNC induct -1‘0. xPvy. xPv+ciz • x(Pi)pOz • э . yP{z. x(Pi)poy. [*91-511] D.xCPOpoZ (1) F . (1). э F :. Hp. v e NC induct -1‘0: xPvy. . x(P1)po^: э : xPv+ciz. эг .x(Pi)poZ (2) F . *91-502 . z> F : xPxy. э. x(Pj)p0 у (3) F . (2). (3). *120-47. э F :. Hp . э : v eNC induct - i‘O. z>v . Pv с(Р()ро: [*260-1] D:PfnG(P1)po (4) F . (4). *260-251. э F . Prop *260-28. F : P^ eSer. veNC induct - i‘O. э. Pv = (Pj)v = (Pfn)v Доказательство. F. *260-26. DF:.Hp.o:x(PI)poy.xPvy. = .x(P1)p0yx(Pi)vy (1) F . *260-1. э F : Hp. xPvy. э . xPfny. 1*260-27] э-ДР^у (2) F. *121-321. DFsHp.xtPjV.D.xfPi)^ (3) F. (1). (2). (3). э F :. Hp. z>: xPvy. s . x(Px\y (4) F. *121-254. oF.(P1)v = {(P1)p0}v. [*260-27] э F : Hp. э . (P!) v = (Pft,) v (5) F . (4). (5). э F . Prop Вообще говоря, указанное выше предложение не имеет места, когда v = 0, так как, если Р представляет собой компактную серию, то Р, = А, так что (Р])о=А, но (Pi)o = /fC‘P. * 260-29. F : Рро е Ser. xPfny. э . Р (х н у) = Рх (х н у) = Pfn (х н у) Доказательство. F . *260-27-25 . э F : Нр. э . Р (х н у) = Р, (хну) [*121-253. *260-27] = Pfc(xHy): z> F . Prop Следующие предложения касаются главным образом результата ограни- чения поля Pfn к потомству одного единственного терма. * 260-3. F : Рр0 е Ser. э. О‘РЬ = D‘Pf . Q‘Pfn = Q‘Pf. C‘Pf„ = C‘P, [*260-27. *91-504] * 260-31. F : PpoeSer. xeD'Pf . э . C‘{Pfn I (i‘xU ^fn‘x)) = (Pf)*‘x = i‘xU ^‘x Доказательство. F . *260-27. э F : Hp. □. i‘xU ^fn‘x = i‘xU (Pf)po‘x [*96-14] =(P?h‘x (1) F . *260-3. z> F: Hp. э . g! ^~fn‘x [*36-13] э . (gy). x {Pfn t (i‘x U ‘x)J у (2) F . *36-13 . z> F :y e 5ffn‘x. э. x{Pfn [ (i‘xll ^fn‘x))y. [*10-24] z>. (gz) • z(Pfn [(i‘xukfn‘x))y (3) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
126 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ F . (2). (3). э F : Нр . э . i‘xU ^fn‘xc С‘{Лп t (i‘xU Hn‘x)}. [*37-41] z>. l‘xU ^fn‘x = C‘{Pfn [ (i‘xU ^fn‘x)} (4) h . (1) . (4). z> h . Prop * 260-32. H . Ppo e Ser . э . Pfn t (i‘x U frfn'x) = Ppo t (I‘x U ^fn‘x). Pfn [ (i‘x U £fn‘x) e Ser Доказательство. F . *260-12. 3 F . Pfn t (I‘xu K‘x) GPpo t (i‘xU frfn‘x) (1) I- . *260-3. *200-35 . з I-: Hp . x~eD‘Pi. з . Pfn [(i‘xU ^fn‘x) = A = Ppo [(CxU^'x) (2) F. *201-521. *260-27.3 F:Hp.xeD‘P| .D.Pfn [(i‘xU^’fn‘x) = (P1)po [:{Pi)*‘x. [*202-14 . *160-22] з. Pfn [ (t‘xU ^fn‘x) e connex. [*260-202] з . Pfn [ (i‘x U frfn *x) e Ser. (3) [(1). *260-31. *204-41] з. Pfn [(i‘xU^fn‘x) = Ppo [(i‘xU^fn‘x) (4) F. (1). (3). (4). з I-. Prop *260-33. h : Ppo e Ser . xeD‘Pi . P] =R . d . Pfn [ (l XU x) = (^R* x) ] 7?po = {(Ж: x) ] /?} po = {/? [ (Ho x)} po Доказательство. h . *260-27-31. э h : Hp . э . Pfn [ (i‘xU Hh‘x) = Яро t H‘x [*96-16. *91-602] =(5Г*‘х)1Яро (1) [*96-13] ={(^‘x)]P}po (2) [*96-2. *260-22] = {Я [ (%o ‘x)) po (3) F. (1) . (2). (3). 3F.Prop *260-34. h : Hp *260-33. з . (Pfn [ (i‘xU frfn‘x)) i = (K‘x)] R = R f frpo‘x Доказательство. F . *260-33 . *121-254. з F : Hp. з. {Pfn [ (i‘x U £fn‘x)} i - {(^‘x)1 P)i = (P f ^p0‘x}i (1) F . (1). *121-31. *260-22 . з F. Prop Следующие предложения касаются результата ограничения поля Pfh к одному единственному семейству. *260-4. h : Рро e Ser . э . Pfn [ Pfn‘xeSer . C‘(Pfn [ Pfn ‘x) = Pfn ‘x = (Pj) * ‘x. Pfn ‘x ~ e 1 Доказательство. F . *260-27. *97-17. з F : Hp . з . Pfn‘x= (Pi)po [ (P,)*‘x. [*202-15. *260-22] з . Pfn [ Pfn‘xeconnex. [*260-202 . *204-42] з . Pfn [ pfn‘x e Ser (1) F . *97-18. з F . C‘(Pfti I Pfn‘*) = Pfn‘x (2) F . (2). *260-202 . *200-12 . з F : Hp . з. Pf„‘x~ e 1 (3) F . *260-27. *97-17. з F : Hp. з . Pfn‘x = (Pj)*‘x (4) F.(l).(2).(3).(4).3F.Prop Principia Mathematica III
=260. О ФИНИТНЫХ ИНТЕРВАЛАХ В СЕРИИ 127 *260-41. F : Рро е Ser . R = Р\ . э . Pfn [Pfh‘x = Ppo [ Я*‘х = (Я*‘х) 1 Яро=Яро ГЯ*‘х Доказательство. F . *260-27. *97-17 . z> F : Нр . э . Pfn [ Pfn‘х = Яр0 [ Я* ‘х (1) F . *97-13 . э F: Нр. yeR^x. yRpoZ. э. гсЯро“'Й*4хи Яро“Жс‘х. [*92-311. *260-22] э . геЖ‘хи Ж=‘х. [*97-13. *36-13] э.у(Яро 0*‘x)z (2) F . *35-21-441. z> h . Яро [ Я* ‘х G (Я* ‘х) ] Я^ (3) F . (2). (3). э F : Нр . э . Яро [ Я*‘х = (Я*‘х) ] Яро (4) Аналогично F : Нр . э . Яро [ Я*‘х = Яро [ Я*‘х (5) F . (1). (4). (5). э F . Prop *260-42. F : Нр *260-41. э . Pfh [ pfn‘х = (Я*‘х 1 Я) ро = (Я [ Я*‘х) ро Доказательство. F. *92-32 . *260-22 . э F: Нр. э . R“R* ‘х с R* ‘х. [*96-111] э. (R*‘x) 1 Rpo = ((R*‘x) ] R]po (1) Аналогично F : Hp. d . Rpo f R* ‘x = {R f R* ‘x} po (2) I- . (1). (2). *260-41 . э F. Prop *260-43. F: Ppo e Ser. => . (Pfn [ Pfn‘x} i = Pi [ Pfn‘x = (Pfn‘x) 1 Pi = Pi [ (Pfn ‘x) Доказательство. F . *260-42 . *121-254. э F : Hp. R = P] . э . {Pfn [ Pfn'x] i = {(R*‘x) 1 R} i [*121-31. *260-22] =(R*‘x)1R [*97-17. *260-27] = (Pfh‘x) 1 P, (1) Аналогично F : Hp. э. {Pfn [ Pfn‘x) i = Pi f Pfh'x (2) F . (1). (2). *35-11. э F: Hp. э . {Pfn I Pfn‘x) i = f Pfn‘x (3) F . (1). (2). (3). э F . Prop Заметим, что две серии Pfn [Pfn‘^ и Pfn [Pfn‘y либо тождественны, либо не имеют общих термов в своих полях. Это проистекает непосредственно из *97-16, поскольку поля двух рассматриваемых серий представляют собой (Pi)*'x и (Pi)*‘y. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
128 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ * 261. Конечные и бесконечные серии Краткое содержание *261. В этом параграфе мы определяем конечные и бесконечные серии, и мы показываем, что в части, касающейся вполне упорядоченных серий, най- дется только один вид финитности, т.е. нет различия, которое существу- ет в кардиналах, между “индуктивным” и “нерефлексивным”. Мы также даем различные эквивалентные формы отличия конечных серий от беско- нечных и некоторые из простых свойств каждой. Предложения этого па- раграфа многочисленны и важны. Мы определяем бесконечную серию как серию, чье поле представляет собой рефлексивный класс, а конечную серию как серию, которая не яв- ляется бесконечной. Таким образом, мы полагаем Ser infin = Ser О С' ‘Cis refl Df, Q infin - Q П C“Cls refl Df, Ser fin = Ser - Ser infin Df, Q fin = Q - Q infin Df. Для начала мы также полагаем, Q induct = Q П C “Cis induct Df, однако на протяжении этого параграфа мы доказываем *261-42. h . Q fin = Q induct так что символ “Q induct” не требуется после настоящего параграфа. После некоторых предварительных предложений мы переходим (*261-2 и далее) к различным критериям конечности и бесконечности. Мы имеем *261-25. h PeSer . z>: С‘Ре Cis induct - ГА . = . P = Pfn . E ! B‘P. E ! B‘P Условие P = Pfn гарантирует, что каждый интервал является финитным, однако это все еще оставляет возможность для нашей серии быть прогрес- сией или ее обращением, или обращением прогрессии, за которой следует прогрессия (типа отрицательных и положительных конечных целых чисел в порядке величины). Третья из этих возможностей исключается посред- ством либо Е ! В‘Р, либо Е ! В‘Р; вторая — исключается посредством Е ! В‘Р, а первая — Е ! В‘Р. Мы имеем * 261-212. h РеП. э : CTPi = СГР. = . Р = (Р0рО . = . Р = Pfn “G‘Pi =Q‘P” означает, что каждый терм, за исключением первого, име- ет непосредственного предшественника. Мы имеем * 261-26. h : Р е Ser . а с С‘Р. з! а . а е Cis induct. э . Е ! minp‘a. Е ! шахр‘а и * 261-27. h Р е Ser : а с С‘Р. 3! а . эа . Е ! minp‘a . Е ! шахр‘а: э . Р = Pfn . ёРе Cis induct откуда мы получаем * 261-28. F :: Ре Ser . z> a с С‘Р. з! a. эа . Е ! miiip‘a. Е ! maxp‘a: = . С'Ре Cis induct Т.е. серия, чье поле является индуктивным, представляет собой серию, в которой каждый экзистенциональный подкласс поля обладает и миниму- мом, и максимумом. Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ 129 Из приведенного выше вместе с индуктивным доказательством того, что каждый индуктивный класс, который не является единичным клас- сом, представляет собой поле некоторой серии, мы получаем *261-29. F . Cis induct - 1 U ѓР{Ре Ser: а с С‘Р. д! а . эа . Е ! niin/а. Е ! max/a} = 1 UC“(QACnv“Q) Приведенные выше предложения интересны тем, что дают альтернатив- ный метод исследования индуктивных классов. Вместо принятых в *120 определений мы могли бы принять приведенное выше предложение в ка- честве определения индуктивных классов, полагая NC induct = Nc“Cls induct Df. Мы должны были бы, таким образом, полностью избежать использования математической индукции в определениях; следовательно, если подобное уклонение было бы желательным в каком-либо случае, то оно обеспечи- валось бы оперированием с сериями перед введением различия конечного и бесконечного, а затем — определением индуктивных классов в качестве полей серий, которые вполне упорядочены как в прямом направлении, так и в обратном. Индуктивные свойства таких классов могли бы быть затем выведены из *261-27, вместе с *260-27, в силу которых мы имеем PeQ A Cnv“Q . э . Р. = (РОро, откуда, на основании *91-62, F:: PeQ A Cnv“Q . э хРу . = : Р\ “ц с ц. Р\ ‘хе ц . . у е ц . В силу этого предложения, если у является полем вполне упорядоченной серии Р, чье обращение является вполне упорядоченным, то тогда какое- либо свойство, которое унаследовано в силу Pi, принадлежит всем после- дователям х (где хе у), если оно принадлежит непосредственному последо- вателю х. Как следствие, вытекает математическая индукция. Из приведенного выше мы сразу же получаем * 261-31. F Р е Ser . э : ёРе Cis induct. = . Р, Р е Q Т.е. серии, чьи поля являются индуктивными, представляют собой то же самое, что и индуктивные вполне упорядоченные серии, и представляют собой в точности то же самое, что и вполне упорядоченные серии, чьи обращения являются вполне упорядоченными. Следовательно, мы также получаем * 261-33. F : Р, Q eQ . Q gP. э . QeQ induct Т.е. нисходящая вполне упорядоченная серия термов, выбранных из вполне упорядоченной серии, должна быть финитной. Это предложение, которым мы обязаны Кантору, использовалось им во многих доказатель- ствах. Мы имеем * 261-35. F Р е Q . э : ёРе Cis induct - ь‘Л . = . CTPi = СТР. E ! B‘P В *253-51 и последующих предложениях мы уже имели гипотезу G‘Pi = G‘P. Е ! В‘Р, которая сейчас превращается в эквивалентную гипоте- зу о том, что наша серия является финитной и не нулевой. Таким образом, мы имеем * 261-36. F Р е Q . э : ёРе Cis induct - i‘A . = . Nr‘P ± i+ Nr‘P A.H. Уайтхед, Б. Рассел
130 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *261-4 и следующие предложения касаются доказательства того, что вполне упорядоченная серия, которая не является индуктивной, всегда со- держит прогрессии, а также вывода следствий из этого предложения. Мы имеем *261-4. F : РеQ - Q induct. э . {{Р\\'В‘Р} ] Р\ е. Prog Приведенное выше предложение очень важно по многим причинам. Од- ним из его наиболее важных следствий является то, что если Р представ- ляет собой вполне упорядоченную серию, которая не является индуктив- ной, то ее поле содержит один из No и по этой причине представляет со- бой рефлексивный класс (*261-43). Следовательно, класс, который может быть вполне упорядочен, является или индуктивным, или рефлексивным (*261-43), а вполне упорядоченная серия или индуктивна, или бесконечна в соответствии с данными выше определениями (*261-41). Следовательно, там, где речь идет о вполне упорядоченных сериях, два пути определения конечного и бесконечного (а именно таковые в *120 и *124) дают экви- валентные результаты. Это не может (насколько известно) быть доказано для классов вообще без предположения аксиомы умножения. Из вышеупомянутых предложений следует, что бесконечная вполне упо- рядоченная серия есть серия, в которой Pi, ограниченное к потомству ‘Рв силу Pi, представляет собой прогрессию в смысле *122 (*261-44), и что любой класс, содержащийся во вполне упорядоченной серии, является или индуктивным, или рефлексивным (*261-46). Данный параграф заканчивается некоторыми предложениями арифме- тики ординалов. Мы доказываем, что PQ является вполне упорядоченной, если Р вполне упорядочена и Q представляет собой финитную вполне упо- рядоченную серию (*261-62); что если R — финитная вполне упорядоченная серия, и Р меньше, чем Q (в смысле *254), то тогда PR меньше, чем 2я; и что финитная вполне упорядоченная серия меньше, чем бесконечная вполне упорядоченная серия (*261-65). *261-01. Ser infin = Ser А С “Cis refl Df *261-02. Q infin = Q A C“Cls refl Df *261-02. Ser fin = Ser - Ser infin Df *261-04. Qfin = Q-Qinfin Df *261-05. Q induct = Q A C“Cls induct Df *261-1. F : PeSer infin . = .PeSer . C‘Pe Cis refl [(*261-01)] *261-11. F : P e Q infin. =. P e Q. C‘P e Cis refl [(*261-02)] *261-12. F : P e Ser infin . = . P e Ser - Ser infin . = . P e Ser . C‘P ~ e Cis refl [(*261-03)] *261-13. F : PeQ fin. = . PeQ-Q infin . = . PeQ . C‘P~e Cis refl [(*261-04)] *261-14. F : P e Q induct. = . P e Q. C‘P e Cis induct [(*261-05)] *261-15. F : PeSer infin . Psmor Q. э . Qe Ser infin Доказательство. F . *261-1. э F : Hp . □. Pe Ser . C‘P e Cis refl. P smor Q. [*204-21. *151-18] э . Q e Ser. C'P e Cis refl . C‘P sm C‘Q . Principia Mathematica III
=261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ 131 [*124-18]э . (JeSer . C‘QeC\s refl . [*261’1] э . Q е Ser infin: э F. Prop *261-151. F : P e Ser infin . э . Nr‘P c Ser infin [*261-15] *261-152. F : P e Ser infin . = . Nor‘P c Ser infin. = . g! Nor‘P A Ser infin [a261-15. *155-13] *261-153. F : P e Ser infin. = . (g Q). P smor Q. Q e Ser infin [*261-15. *155-13] *26116. F : PeCI infin . Psmor Q . э . Q eQ infin [Док-во, как *261-15, исп. *261-11. *251-111. *151-18 . *124-18] *261-161. F : P e Cl infin. э . Nr‘P c Q infin [*261-16] *261-162. F : P e Cl infin . = . Nor‘P c Q infin . = . g! Nor‘P A Ser infin [*261-161. *155-12] *261-163. F : P e Q infin . = . (g Q). P smor Q. Q e Cl infin [*261-16 . *15-13] *261-17. F : P e Ser fin . P smor Q . э . Q e Ser fin [*261-15 . Transp] *261-171. F : P e Ser fin. э . Nr‘P c Ser fin [*261-17] *261-172. F : P e Ser fin. = . Nor‘P c Ser fin . = . g! Nor‘P A Ser fin [*261-171 .*155-12] *261-173. F : P e Ser fin . = . (g Q). P smor Q. Q e Ser fin [*261-17 . *151-13] *261-18. F : P e Q fin . P smor Q . э . Q e Q fin [*261-16 . Transp] *261-181. F : PeQfin . э . Nr‘PcQfin [*261-18] *261-182. F : P e Q fin . = . Nor‘P c Q fin . = . g! Nor‘P A Q fin [*261-181. *155-12] *261-183. F : P e Q fin . = . (g Q). P smor Q . Q e Cl fin [*261-18 . *151-13] *26119. F : P e Cl induct. P smor Q . d . Q e Cl induct [Док-во, как в *261-16, используя *120-214 вместо *124-18] *261-191. F : PeCI induct. э . Nr‘Pc Q induct [*261-19] *261-192. F : Р е Cl induct. = . Nor‘P c Q induct. = . g! Nor‘P A Q induct [*261-191. *155-12] *261 193. F : PeCI induct. = . (g(2). Psmor Q . Q eCI induct [*261-19. *151-13] *261-2. F : Ppo e connex. (B‘P) Pfh (B‘P). э . C‘P e Cis induct Доказательство. F . *202-181. э F : Hp . э . C'P = P (B‘P н B‘P). [*260-11. Hp] э . C‘Pe Cis induct: э F . Prop *261-21. F : P e connex . P = Pfn . E ! B‘P . E ! B‘P. э . C‘P e Cis induct Доказательство. F . *202-103 . *93-101. э F : Hp . э . (B‘P) P (B‘P). [Hp] D.(B‘P)Pfn(B‘P). [*261-2] э . C‘P e Cis induct: э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
132 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *261-211. к : PeSer. э. (Крх) с G‘P- G'Pj Доказательство. к. *91-511. *121-305. э к :. Нр . э : у е 1?‘х П (^i)po‘x. yPyz . э . z е *P'z П (fri^c/x: [Transp] э: z е^‘х- (^[^‘x.yPiz. э .у е- ^‘х- (К\ю‘х (1) к . *91-502 . э к :. z е *Р'х - (hi)po‘x. э : z е *Р'х - <Р\'х: [*201-63] э:Нр.э. xP2z (2) к . *201-63 .эк: Нр . xP2z . yP\Z . э. ~ (уРх) .у^х. [*202-103] э. хРу к. (2). (3). э к : Нр . ze ^‘х-(?Д]/х .yPiz . э .у е ^‘х. [(1)] э.уе?"‘х-(?5^‘х. [*201-63] э.уе'?‘гп(^‘х-(^‘х}. [*205-14] э . г ~ е mni/{^‘x - (£*i)po‘x} (4) к . (4). Transp . э к : Нр . г е тт/Д^'х - (К)^‘х). э. ~ (gy). yPtz: э к . Prop *261-212. H.PeQ^G'Pj =G‘P.s.P = (P1)po. = .P = Pf„ Доказательство. к. *121-305. эк ^р.эДРОроСР (1) к . (1). э к : Нр . Р + (Pi)po . э . (Зх,у). хРу. ~ {x(Pi)роу). [*32-18] э.(3х).3!^‘х-(Х)^‘х. [*250-121] э . (Зх). Е ! min/^'x- (?Н?х}. [*261-211] э.3!СГР-а‘Р, (2) к.(2) .1¥ап8р.эк:Нр.а‘Р=а‘Р1 .э.Р = (Р1)ро (3) к. *91-504. эк:Р = (Р])ро.э.а‘Р = а‘Р| (4) к.(3).(4). эк:Р = (Р1)ро.э:а‘Р1=а‘Р. = .Р = (Р1)ро. [*260-27] = . Р = Pfn :. э к . Prop *261-22. к : Р е Ser. C'P е Cis induct. э . Р = Р^ . D'P = D‘P, . G‘P = G‘Pi Доказательство. к . *260-12. *201-18. э к: Нр. э . Pfn cP (1) к . *121-242. эк: Нр. хРу. э . х, у е Р (х н у). х / у. [*52-41] э. Р(хну) ~ еО U1 (2) к . *120-481. э к: Нр. э. Р(хну) е Cis induct (3) к . (2). (3). *260-11. э к : Нр. хРу. э . х Pfn у (4) к . (1). (4). э к : Нр. э . Р = Pf„ . (5) [*260-3] э. D‘P = D‘Pi . G‘P = C'P, (6) к . (5). (6). э к . Prop *261-23. к : PeSer. G‘Pi. ~Е ! В‘Р. 3! Р. э . C'PeClsrefl Доказательство. к.*91-52.эк.Л“(^‘х = (^‘х (1) к . *91-54 . *260-2 . э к : Нр . хе С'Р. э . (К)?х = t'x U (j’l^'x. х ~ е (Ь])р0‘х (2) к. *9311. эк : Нр. э. D‘P, =С‘Р. (3) [*90-18] эДХрхсО'Р! (4) Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ 133 I-. *260-22 . э I-: Нр. э . Pl € 1 -» 1 (5) h . (1). (2). (4). (5). *73-21. *91-74. э hНр . э : хеС'Р. э . (Ь1>‘хsm(bj^'x. (?i)^‘xg(X)*‘^ • а’.(?^‘х-(?^‘х. [*124-16] э. (hi)»‘хе Cis refl (6) I-. (6). (3). (4). э Ь: Нр. э. а! Cis refl П С1‘С‘Р. [*124-141] э . С'Р е Cis refl: z> h . Prop *261-24. h : P e Ser. C'P e Cis induct - t‘A . э . E ! B'P. E ! B'P Доказательство. I-. *261-22 . э I-: Hp. э . D‘P = D‘P] . [*261-23. Transp] z>. E ! B'P (1) K(l)£. D Ь: Hp. э . E ! B'P (2) b. (1). (2). э h. Prop * 261-25. F PeSer . э : C‘Pe Cis induct - i‘A . = . P = Pfh • E ! B'P. E ! B'P [*261-22-24-21] Когда P = Pfn .E ! B'P . ~ E ! B'P , P — прогрессия; когда P = P^ .E ! B'P. ~ E ! B'P, P — регрессия (т.е. обращение прогрессии); и когда Р = Pfh . ~ Е ! В‘Р. ~ Е ! В‘Р, Р представляет собой сумму регрессии и прогрессии. Эти предложения бу- дут доказаны в следующем параграфе. * 261-26. F : PeSer . а с СР. д! а. а е Cis induct. э . Е ! min/a. Е ! max/a Доказательство. F . *205-17 . э F : Нр . a е 1 . э . Е ! min/>‘a. Е ! max/a (1) F . *202-55 . э F : Нр . а ~ е 1. э . а = С‘(Р [ а). [*261-24] э . Е ! В'(Р [ а). Е ! B‘Cnv‘(P t а). [*205-42] э . Е ! min/>‘a. Е ! max/>‘a (2) F . (1). (2). э F . Prop * 261-27. F Р е Ser : а с СР. 3! а . эа . Е ! min/a . Е ! тах/а : э . Р = Pfn . СР е Cis induct Доказательство. F . *250-121. э F : Нр . э . PeQ . [*250-21] ^.D‘P = D‘P] . [*260-3] z>.D‘P = D‘Pfn (1) F . (1). э F : Hp.xPfny .yeD‘P. э .eD‘Pfn . xPfny . [*260-201] э .y ePfn“^fn‘x. [*260-12. *201-18] o.yeP“^fn‘x. [*205-111] э .y / max/>‘?jfn‘x (2) h . (1). (2). Transp.□!: Hp . xeD‘P. э . maxp‘^fh‘x = B'P (3) b. *250-121-13. э I-: Hp. a 'P • => • E ! B'P. [(3)] o.(B‘P)Pfn(B‘P). [*260-11] э . P (B'P H B'P) e Cis induct. [*202-181] о . C'P e Cis induct (4) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
134 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ F . *120-212 . D F : Р = А . э . СР 6 Cis induct (5) I-. (4). (5). oh: Hp . d . CP e Cis induct. (6) [*261-22] z>.P = Pfn (7) F . (6). (7). э F . Prop *261-28. F::PcSer.z>:. a a CP. 3! a . эа . E ! min/a . E ! max/a: = . CPe Cis induct [*261-26-27] *261-281. F : ye Cis induct zj . у cC“Ser Доказательство. Ь. *204-24. э F. AcC“Ser (1) b. *52-22. э F . A U Cxe 1 (2) b. *52-22. z> F : x = у . d . i‘x U i‘y c 1 (3) b. *204-25. э F : x^y . z> . i‘xU i‘y cC“Ser (4) H(3).(4). [*52-1] э F . i‘x U i‘y c 1 U C“Ser . 3F:ycl.3.yUi‘y€lU C“Ser (5) 1-. *51-2. э F : у c C‘ ‘Ser . у с у . э . у U i‘y c C‘ ‘Ser (6) b . *204-51. *161-14 , , z> F : у cC“Ser .g!y.y~cy.z>.yU i‘y cC“Ser (7) M6).(7). z> F : у c C“Ser . 3! у . z> . у U i‘y c C“Ser (8) b.(2).(5).(8). э F : у c 1 U C“Ser . с. у U i‘y e‘U C“Ser (9) F. (1). (9). *120-26 . э F : ye Cis induct.э.yc1U C“Ser : э F. Prop *261-29. F . Cis induct = 1 U C“P (P e Ser : a cC‘P. 3! a . эа . E ! min/a . max/a) = 1 U C“(Q A Cnv“Q) Доказательство. F . *261-281. □ F :.y € Cis induct - . э : (3P): P c Ser . у = C‘P: [*261-28] э : (gP): Pc Ser : a a CP. g! a . эа . E ! min/a . E ! max/a : у = C‘P: [*37-6] э: у c C“P {P e Ser : a c CP. 3! a . эа . E ! min/a . E ! maxp‘a} (1) F . *261-28 . z> F PcSer : a a CP . 3! a . эа . E ! min/>‘a. E ! max/>‘a : у = CP: zj . у c Cis induct [*37-6] z> F : у cC“P(PcSer : a a C‘P . 3! a . эа . E ! min/a . E ! max/a). z> . у c Cis induct (2) F . *120-213 ,dF . 1 c Cis induct (3) h . (1). (2). (3). э F . Cis induct = C“P {Pc Ser : a a C‘P. 3! a . эа . E ! min/a . E ! max/a) [*250-121] = C“(Q A Cnv“Q). z> F. Prop Четыре следующих предложения являются непосредственными след- ствиями уже доказанных предложений. * 261-3. F:: PcSer .z>:. ёРс Cis induct. = : Р с Q : a с С‘Р. g! a . эа . Е ! шах/>‘а [*261-28. *250-121] * 261-31. F Р с Ser . э : СР с Cis induct. = . Р, Р с Q [*261-3 . *250-121] * 261-32. F . Ser A C“Cls induct = Q induct = Q A Cnv“Q [*261-14] Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ 135 Принимая в расчет это предложение, мы не вводим обозначения “Ser induct” для “Ser А С“Cis induct”, потому что серия, чье поле индук- тивно, является вполне упорядоченной серией, и поэтому обозначение “Q induct” дает все, что необходимо. *261-33. F: Р, QeCl. QaP , QcQ induct Доказательство. I- . *204-2 . э F: Hp . э . Q e Ser . Q clP . [*250-14] э . Q e Ser A Bord . [*250-12] [*261-32] э . Q eQ induct: d F . Prop Это предложение (которым мы обязаны Кантору) имеет большое значе- ние в теории вполне упорядоченных серий. Оно показывает, что сколь ни была бы велика вполне упорядоченная серия, любая нисходящая вполне упорядоченная серия, содержащаяся в ней, должна быть финитной. {Нис- ходящая серия в заданной серии является серией, содержащейся в обра- щении заданной серии.) * 261-34. h : Р е Q . G‘Pi = G‘P. Е ! В'Р . э . ёРе Cis induct Доказательство. F . *250-23 . *214-12 . э F :. Нр . а с С'Р . э : Е ! шах/а . V . Е ! seqp‘a (1) F . *206-181. э F : Нр . а с С'Р. g! а. Е ! seq/a . э . seqp‘a е Q'P^ . [*204-7] э . Е ! Р\ ‘seqp‘a . [*206-451] э.Е’.шах/а (2) F . (1). (2). э F :. Нр . э : а с С'Р. g! а . эа . Е ! шах/а : [*261-3] э : С'Р е Cis induct:. э F. Prop * 261-35. F P e Q . э : C'P e Cis induct - i‘A . = . G‘Pi = d'P. E ! B'P [*261-22-24-34] Заметим, что “G‘Pi = G‘P. E! B'P” встречается в виде гипотезы в *253-51 и некоторых последующих предложениях. Таким образом, эта гипотеза является эквивалентной гипотезе о том, что поле Р представляет собой индуктивный экзистенциональный класс. Отсюда следует, что ес- ли Р является индуктивной вполне упорядоченной серией, то Nr‘Pg = Nr‘P, в то время как если Р представляет собой вполне упорядоченную серию, которая не является индуктивной, то Nr‘Pq = Nr‘P+1; а также, что *261-36. F РеQ . э : С'Ре Cis induct - i‘A . = . Nr‘P ± i+Nr? [*253-573. *261-35] * 261-37. F P e Q . э : C'Pe Cis induct. =. U Nr‘P = Nr‘P+i [*253-574 . *261-35 . *161-2-201] * 261-38. F P e Q . э : C'P e Cis induct - i‘A . э . Nr‘Pq = Nr‘P : C'P ~ e Cis induct - i‘A . э . Nr‘Pq = Nr‘P+1 [*253-56. *261-35] * 261-4. F : PeQ - Q induct. э . {(p\\'B'P} ] P\ 6 Prog Доказательство. F. *204-7. z>F:Hp.P = Pi.z>.Pel-И (1) F . *120-212 . z> F Hp . z>: g!P: A.H. Уайтхед, Б. Рассел
136 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ [*250-13] э:Е!В‘Р: [*250-21] з:Я = Р, .э.В‘РеО“Я (2) Ь.*260-22.эЬ:Нр.P = Pi .3.Pp0Gj (3) I-. *93-103. *202-52 . э h:PeQ.P = P] . g! ^*‘B‘P-D‘P. э. В‘РеЖ=‘В‘Р. [*93-101. *91-54] э . (В‘Р) Rpo (В‘Рс). [*260-27] э . (В‘Р) Р(п (В‘Р). [*261-2] э. С‘Ре Cis induct (4) h . (4). Transp . э Ь : Нр. R = Р\ ‘В'Р с D‘P. [*250-21] D.fr*‘B‘PcD‘P (5) Ь.(1).(2).(3).(5).эН:Нр.Р = Р1.э. Rе 1 -» 1. BlPеD‘P. ~ {(В‘Р)Рро (В‘Р)}. К 1В'РcD'R. [*122-52] з . (Ж. ‘В‘Р) 1 Р е Prog: з Ь. Prop *261-401. Н: Р е Q - Q induct. з. а! Ко Л СГС'Р. ёР€ Cis refl Доказательство. h. *261-4. *123-1. з I-: Нр. з . D‘{(KVВ‘Р\ ] Р, € Ко (1) F. *121-305. з I-: Нр. з. D‘{(^B‘P) ] Р, с ёР(2) Ь . (1). (2). э F: Нр. э . а! Ко Л СГС‘Р. [*124-15] з.С‘Ре Cis refl (4) Ь. (3). (4). з h . Prop *261-41. Ь . Q - Q induct = Q infin (*261-401. *261-11. *124-271] *261-42. F . Q fin = Q induct [*261-41. Transp. *124-271] С этого момента и далее мы будем использовать “Qfin” как более пред- почтительное, чем “Q induct”. *261-43. F . C“Q с Cis induct U Cis refl [*261-401-14] *261-431. F : PeQ - i‘A . з . {(^ГВ‘РЦР1=Р1 \<Rfn'B'P=Pf [(iWPulifn'B'P) = (i‘P‘Pufrfn‘B‘P)1 Pi Доказательство. F. *250-13-21. з F : Hp . з . B'PeD'P] . (1) [*260-31] □.i‘B‘PuK‘B‘/’=(^5‘P (2) I-. (1). *260-27. з F : Hp.з. 5Tfn‘B‘P = (XpB'P • [*260-34] з . Pt [ ‘B‘P = {(?O/B‘P} 1 Pj (3) [(2)] =(i‘B‘PU^fn‘B‘P)]P1 (4) I-. (3). (4). *35-11. э h : Hp . э . {(?TVB‘P) 1 Pi = Pi [ (i‘B‘P U frf/B'P) (5) h . (3). (4). (5). э F . Prop *261-44. h:.PeQ.o:Pi [ frfn‘5‘Pe Prog. = . PeQ infin Доказательство. I-. *123-1. э Ь : Рэ Q. Pi f ^tn‘B‘PeProg. э . 3! Ko Л C1‘C‘P. [*124-15] o.C'Pe Cis refl. [*261-1] d. PeQ infin (1) F. *261-4-431-41.31-: PdQ infin. d. Pt [ ^„‘B'PeProg (2) F . (1). (2). э F . Prop Principia Mathematica III
*261. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ 137 *261-45. F.Qinfin = QnP(Pi [^П‘В‘РeProg) [*261-44] *261-46. F: Р е Q. з . Cl'C'P с Cis induct U Cis refl Доказательство. F . *250-141. *202-55 . з F : Нр . а с С'Р. а ~ е 1 . з . Р [ а е Q. а = С'(Р [ а). [*261-43] з. а е Cis induct U Cis refl (1) F. *120-213. з F: ae 1 . з . ae Cis induct (2) F . (1). (2). з F . Prop *261-47. I-PeQ. acC'P. з : a e Cis induct. в . a ~eCls refl [*261-46. *124-271] *261-6. F :. PeQ. C'P c Q. Nc'C'P = v .z>P . П'Рe Q: v e Nc induct -i‘0 -1‘ 1: з: QeCl. C'QcQ . Nc'C'Q- v +Д . 3g . H‘2cQ Доказательство. F. *204-272.3 I- :Nc‘D‘2 = 1 . geSer. з . Qe2r. [*56-112] =>.C'Qe2 (1) F. (1). Transp . з F: Qe£l. C'Q c Q. Nc‘C‘2 = v +Д . veNCinduct - i‘0 - i'I. з . D'Q~e 1 (2) I-. *261-24. з F : Hp (2). з. E ! B'Q. [(2). *204-461] z>.Q=QlD‘Q+B'$. [*172-32] з . П‘2 smor П'(2 [ D'2) xB'Q (3) I-. *110-63 . з I-: Hp (2) . з . Nc‘D‘2+cl =v +J . [*120-311] 3.Nc‘D‘2 = v (4) F.(4). з F :. Hp(2): PeQ. C'PcQ. Nc‘C‘P = v . 3f . H'PeQ: з . n‘(2[D‘2)eQ. [(3). *251-55] з.П'беО. (5) F. (5). Exp . з FHp .3:2eQ.C‘2aQ. Nc‘C‘2 = v +C1 . э. П‘2еПз F. Prop *261-61. F : PeQfin. C'PcQ. з . H'PeQ Доказательство. F . *261-6. з I-:: ф-v. =v : PeQ. C'P cQ. Nc'C'P = v. 3/>. H'PeQз veNC induct - i'O- i'I . з : фу. з . ф (v +cl) (1) F. *200-12. з F.~ (a P). PeQ. C'PcQ. Nc'C'P = 1. [*0-53] з F : Hp (1). з . ф1 (2) I- . *172-13 . *250-4. з F: Hp (1). з . ф0 (3) h. *172-23. *251-55.3 F:. У 0Z. P,ZeQ. з : П‘(У |Z),H‘(Z J, P)eQ: [*55-54 . *204-13] з : PeSer. C'P = iTU i'Z. з. H'PeQ (4) F . (4). *54-101. з F : Hp(l). з. ф2 (5) F. (2). (3). (5). з F :. Hp (1). з: ф0: ve i'O U i‘l. фу. з . ф (v +cl) (6) F. (1). (6). з F :. Hp(l). з: veNCinduct. фу. 3V . ф(у +cl): ф0: [*120-13] з: aeNC induct. за . фа (7) F . (7). *13-191. з F : PeQ. C‘PcQ. Nc'C'PeNCinduct. зР. H'PeQ : [*261-14-42] з F : PeQ fin. C'P c Q. зР . H'PeQ: з F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
138 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *261-62. l-:PeQ.!2€Qfin.3.PeeQ Доказательство. F. *251-51. э1-:Нр.а!Р.э.РДееО Ь. *165-26. э Ь : Нр. э . C'PpQ с Q Н. (1). *165-25 . *261-18 . э Ь : Нр. g !Р. э ’ РД2 е Q fin Ь . (1). (2). (3). *261-61. э I-: Нр . а !Р. э . ri‘PJ.’2 е Я. [*176-181-182] э.РйеЯ Ь. *76-151. *250-4. эНР = Л.э.РееЯ (1) (2) (3) (4) (5) I-. (4). (5). э h. Prop *261-63. I-: Е ! B'R. Р G Q. x e C‘Q П р‘%)“С'Р. э. (i‘x) T C‘Re C'Q* П p‘(j*“C‘P* Доказательство. b. *116-12 . э I-: Hp. э . (i‘x) T C‘R e (C'Q f С‘Я)д‘С‘Я. [*176-14] =>.(/‘x)T C'ReC'Q" (1) I-. *116-12 . *93-11. э I-:. Hp. S e (C‘P f C'R)^C‘R. T = (i‘x) ? C‘P. э : (5 ‘B‘P) Q (T'B'R): ~ (gy). yR (B*R) : [*10-53] э : (5 ‘B‘P) Q (T‘B'R): yR (B‘R) .yfB‘R.z>y.S‘y=T‘y. [al76-19. (1)] э : 5 (2я) T (2) h. (2). *176-16. э Ь :. Hp . э: 5 e C‘PR . э . 5 (£>*) {(i‘x) T C‘P) (3) h . (1). (3). э h . Prop *261-64. b: R e Q fin - i‘A . Pless Q. э . PKless Доказательство. b. *254-55 . э I-: Hp. э . (gP'). P' smor P. P' gQ. g! C‘Q П p^^C'P'. [a261-63. *250-13] э . (gP'). P' smor P. P' g Q. g! C'Q^ П р‘^“С‘(Р'/ • [al76-35-22] э . (gM). M smor PR . M G . g! C'Q* П р'^"С'М. [*254-55 . *261-62] э . PR less «2я : э h . Prop *261-65. F : PeQinfin . QeQfin . э . QlessP Доказательство. h . *261-11-14-42 . э F : Hp . э . C‘P e Cis refl . C‘2 e Cis induct. [*124-26] э . Nc‘C‘P> Nc‘C‘2. [*255-75] э . QlessP:dF. Prop Principia Mathematica III
♦262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ 139 *262. Финитные ординалы Краткое содержание *262. Финитные ординалы определяются как ординалы финитных вполне упо- рядоченных серий; бесконечные ординалы определяются как ординалы бес- конечных вполне упорядоченных серий. В силу *261-42, финитные ордина- лы являются таковыми, чьи элементы имеют поля, которые являются ин- дуктивными, а также такими ординалами, чьи элементы обладают полями, которые не являются рефлексивными. Финитные ординалы обладают теми же формальными свойствами, которыми обладают кардиналы, но которы- ми все реляционные числа и ординалы не обладают, т.е. их суммы и про- изведения коммутативны, а закон дистрибутивности имеет место в форме ц х (v + (D) = (ц х v) + (ц х (D), так же, как и в форме (V 4- (D) X Ц = (V X Ц) 4- (Ш X Ц), которая была доказана в общем в *184-35. Отличительные свойства финитных ординалов быстрее всего устанавли- ваются посредством их соответствия с индуктивными кардиналами. В об- щем две вполне упорядоченные серии, чьи поля обладают теми же самыми кардиналами, необязательно ординально подобны, однако когда кардиналы указанных полей являются индуктивными, то две серии должны быть ор- динально подобными. Следовательно, ординал финитной вполне упорядо- ченной серии детерминируется кардиналом поля указанной серии. В общем мы полагаем цг = Оп£“р, Df. Результат состоит в том, что если ц предствляет собой индуктивный карди- нал, то является ординалом всех тех серий, чьи поля имеют ц элементов. Таким образом, имеется одно-однозначное соответствие индуктивных кар- диналов и финитных ординалов; и в силу этого соответствия, формальные свойства финитных ординалов могут быть выведены из таких же свойств индуктивных кардиналов. В дальнейшем будет отмечено, что в соответствии с уже данными опре- делениями h.Or = QnC“A на основании *250-43, h.2r = QnC“2 на основании *250-44. Следовательно, обозначения 0г, 2Г являются частными случаями общего обозначения цг. Однако, в силу *200-12, согласно определению цг, мы имеем F. 1Г = А, так что 1г не находит своего места в серии финитных ординалов. В этом параграфе мы даем определения NO fin = Nor“Qfm Df, NO infin = Nor‘ infin Df, |Аг = ОпС“ц Df. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
140 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ В дальнейшем будет отмечено, что ради удобства мы определили NO fin и NO infin так, чтобы исключить А. Приведенное определение в основном полезно тогда, когда ц является индуктивным кардиналом. Параграф начинается с разных элементарных предложений, частич- но включающих приведенные определения, частично касающихся цг. Мы имеем *26212. h : Рецг. = . PeQ. С‘Рец * 26218. F : p,eNC . g! . э . Ц = С“Цг Это предложение не требует того, чтобы было реляционным числом. Если ц является рефлексивным кардиналом, то не представляет собой реляционного числа, кроме случая, когда оно есть нуль, потому что серия различных реляционных чисел может быть составлена с заданным карди- нальным числом термов. Когда ц является кардиналом, то “д!рт” означа- ет, что классы, обладающие ц термами, могут быть вполне упорядочены. * 26219. hц, pieNC . g! . э : ц = v. = . = vr Таким образом, отношение ц к является одно-однозначным, пока ц представляет собой кардинальное число класса, который может быть вполне упорядочен. Далее мы доказываем, что если ц — индуктивный кардинал, отличный от А или 1, то является финитным ординалом, и что каждый финитный ординал имеет форму с подходящим ц. Мы имеем * 262-21. h : pieNCinduct - i‘A - i‘l . э . g! * 262-24. h : pieNC induct - t‘A - i‘l. э . eNO fin Мы доказываем это посредством доказательства по индукции того, что две серии подобны, если их поля являются индуктивными и подобными. * 262-26. h : aeNO fin . = . (дц). p.eNoC induct - i‘l. а = Следовательно, мы легко получаем свойства финитных ординалов из свойств соответствующих кардиналов. Допуская, что ц, v представляют со- бой индуктивные кардиналы, отличные от 1, мы имеем * 262-33. + уг = (ц +cv) г * 262-35. + i = (ц+с1)г, если ц^О, * 262-43. х vr - (ц +cv) г * 262-53. expr vr = (p,v)r, если v 0. * 262-7. ц > v . = . цг-> vr Следовательно, если а, р, у являются финитными ординалами, * 262-6. а + Р = Р + а * 262-61. ахр = рха * 262-62. а х (Р + у) = (а + Р) + (а х у) *262-63. (а х Р) ехрг у = (а ехрг у) х (Р ехрг у) Таким образом, арифметика финитных ординалов подчиняется тем же самым формальным законам, как и арифметика индуктивных кардиналов. *262-01. NO fin = Nor“Q fin *262-02. NO infin = Nor“Q infin *262-03. цг = QAC“n Df Df Df Principia Mathematica III
*262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ 141 * 2621. F : aeNOfin . = . (gP). PeQfin. a = Nor‘P [(*262-01)] * 262-11. F : aeNOinfin. = . (gP). PeQinfin. a = Nor‘P [(*262-02)] * 262-111. I-a e NO fin. н : a e N0O :a^i+a.V.a = Or: =: a e NO :a^i+a.V.a = 0, Доказательство. I- . *262-1. э F aeNOfin. н : aeNoO : (gP). PeQfin. a = Nr'P: [*261-36] = : a e N0O : (gP): Nr'P ± i + Nr'P. V . P - A : a = Nr'P: [(*255-03)] s : a e N0O : a / i + a. V . a = 0r: (1) [*180-4. *155-5] = : a e NO : a / j + a. V . a = 0r (2) F . (1). (2). o F . Prop * 262-112. F: a e NO infin. =. a e NqO - i‘0r. 1 + a = a [*262-111. Transp. *261-13] * 262-12. F : Pepr . = . PeQ. C'Pep [(*262-03)] * 262-13. F :Nr‘PeNOfin . = . PeQfin. s . PeQ. C'Pe Cis induct Доказательство. F . *262-1 . o F: Nr'P e NO fin. s . (gQ). Q e Q fin. Nr'P = Nor‘2 . [*152-35 . *155-13] s . (gQ). 6 e Q fin. P smor Q. [*261-183] =.PeQfin. (1) [*261-42-14] a. PeQ. C'Pe Cis induct (2) F . (1). (2). э F . Prop * 262-14. F : Nr'P e NO infin. = . P e Q infin . = . P e Q. C'P e Cis refl [Доказательство, как в *262-13] * 262-15. F aeNoO . э : aeNO fin. s. C“aeNC induct Доказательство. F. *262-13. *120-21 .o F: Nor‘P e NO fin. s . P e Q. Nqc'C'P e NC induct (1) F.(l). *251-1. o F :. Nor'P e NO . э : Nor'P e NO fin . = . Noc'C'P e NC induct. [*152-7] =. C“Nor‘PeNC induct (2) F . (2). *155-2 . э F . Prop * 262-16. F :. aeNqO . о: aeNO infin. = . C“a~ eNC induct. = . C“aeNC refl [Доказательство, как в *262-15] * 262-17. F : PeQ. о . Pe(Nc'C'P)r Доказательство. F . *100-3 . э F . C'PeNc'C'P (1) F . (1). *262-12. z> F . Prop * 262-18. F : peNC. g! pr. o. p = C“pr Доказательство. F. *262-12. oF.C“prcp (1) F. *262-12. э F : aep. Pepr. э . a, C'Pe p (2) F . (2). *100-5 . □ F : Hp. aep. Pepr. э . asmC'P. [*731] o.(gS).Sel -> 1 . a = D'S . C‘P = G'S . [*151-1. *150-23] о . (gS). S’Psmor P. C'S’P = a. [*251-111. *262-12] э . (gS). 5>PeQ. C'S>P = a. [*262-12 . Hp] о . (gS). S’Pe pr. C‘S’P = a. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
142 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ [*37-6]э. а е С“рг (3) к . (3). *10-23. э к : Нр. э. рсС“рг (4) к . (1). (4). эк. Prop *262-19. к :. р, v е NC. g! рг. э : р = v. = рг = vr Доказательство. к . *262-12 . э к : р = v. э . рг = vr (1) к . *262-18 .эк: Нр. pr = vr. э . р = C“vr [*262-18] =v (2) к. (1). (2). э к . Prop *262-2. к . Cis induct - 1 - C“(Q0 Cnv“Q) Доказательство. к . *261-29 . э к . Cis induct - 1 = C“(Q П Cnv“Q) - 1 [*200-12] = C“(Q О Cnv“Q). э к . Prop *262-21. к : peNC induct - i‘A - i'I . э . g! pr Доказательство. к . *120-2 . *100-43 .эк: Hp. э . (да). аер. aeClsinduct. а ~ е 1. [*262-2] э . (да, Р). а ер,. PeQ. ёР= а. [*262-12] э . д! рг: э к . Prop *262-211. к : aeClsinduct - i‘A. э.д! (Nc‘a)r ПГоо'а Доказательство. к . *262-21. *103-12. э к : Нр. э. д! (Noc‘a) r. а е Noc‘a. [*262-12] э . (дР). Р е (Nc‘a)г. C'P е Noc‘a. a еNoc‘a. [*63-13] э. (дР). Р е (Nc‘a)r. ёРе Ра. [*64-24] э. (дР). Р е (Nc‘a)г. Р е Р(а ? а). [*64-11] э. д! (Nc‘a)r П too'a: э к. Prop *262-212. Hp^O.p# 1 .Ре(р+с1)г.э.Р [СГРер,. Доказательство. к.*262-12. эк:Нр.э.С‘Рер+с1 .PeQ. (1) [*110-4] 3.peNC-i‘A (2) к . *93-103 . *250-13 . э к: Нр. э. (ГР = i‘5‘P U (ГР .В‘Р~е П‘Р. [*110-63] d.Nc‘C‘P = Nc‘CI‘P+c1 . [(1). (2)] э. р+с1 = Nc‘Q‘P+cl. [*120-311.(1)] z>.p = Nc‘(TP.PeQ. [*202-55 . *250-141] э. р = Nc‘C‘(P [ (ГР). Р [ (ГР е Q. [*262-12 . *100-3 . (2)] э. Р [ (ГР е рг: э к . Prop *262-213. к:. р/0.р/1:Р, 0epr. . Р smor Q: э: Р, Q е (р +с 1) г. эле . Р smor Q Доказательство. к. *262-212-12. *120-124.э к : Нр. Р, £е(р +с1)г. э . Р ] (ГР, Q [ (Г(2е pr. Р, QeQ - i‘A. [*11-1 .Нр] D.P[Q‘Psmor(2 ta‘C.P,(2e^-i‘A. [*250-17] э. Р smor Q: э к . Prop Principia Mathematica III
*262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ 143 *262 22. h: pi е NC induct. Р, Q е цг. о . Р smor Q Доказательство. 1-. *153 101. *262-12 . э F : P, Q e Or. э. P smor Q (1) F. *200-12. o h . lr = A . [*10-53] о h : P, Qe 1г. о . Psmor Q (2) F. *153-202. oh : P, Qe2Г. о . Psmor Q (3) F. (2). (3). *2-02 . oh:, p = 0 . V . p = 1 : p, F . (4). *262-213 . z . P smor Q: о : P, Q e (pt +cl) r. op(g . P smor Q । (4) F:.P, Qenr.z>P,Q. Psmor 2 : о : P, (?e(pi+cl)r. oPq .Psmor Q (5) F. (5). (1). Induct .oh. Prop *262-23. I-Р, Q е Q fin . о : С'Р sm CQ. = . Р smor Q Доказательство. h. *262-17-13. о h : Hp . C'P sm C'Q. о . P, 2e(Nc‘C‘P)r. Nc4C‘PeNC induct. [*262-22] o. Psmor 2 (1) h.(1) . *151-18 .oh. Prop Приведенное выше представляет собой фундаментальное предложение в теории финитных ординалов, поскольку оно позволяет нам свести отно- шения между финитными ординалами к отношениям между соответству- ющими кардиналами. *262-24. h : ц е NC induct - РА - i‘ 1 . о . е NO fin Доказательство. h. *262-21. oh:Hp.o.g!pr (1) h . *262-22 . oh: Hp . P e рг. о . pr c Nr‘P (2) h . *262-12 . *151-18 . о h : P о pr. о . Nr‘P c pr (3) h . (2). (3). о h : Hp . P e pr. о . pr = Nr‘P (4) h . (1). (4). о h : Hp . о . pr e NR - PA h . *262-12 . oh: Hp . P e pr. о . C'P e Cis induct. (5) [*262-13. (4). (5)] o.p,reNOfin h . (1) . (6). о h . Prop (6) *262-241. h:. p eNC induct. PeQ. э : = Nr‘P. = . p = Nc4C4P Доказательство. h . *100-3 . oh: Hp . p = Nc4C4P. о . C'P e p . [*262-12] э.Рецг. [*152-45. *262-24] о. pr = Nr‘P (1) h . *152-3 . *262-18 . о h : Hp . pr = Nr‘P. о . p = C“Nr‘P [*152-7] o.p = Nc‘C4P (2) h . (1). (2). о h . Prop *262-25. h: (gp). peNC induct - i‘l - i‘A . a = pr. = . aeNO fin Доказательство. h. *262-1-13.0 h : aeNO fin . о . (gP). PeQfin. a = Nr‘P. Nc‘C4PeNC induct. [*262-241] о . (л P). P e Q fin . a = Nr‘P. (Nc‘C‘P) r = Nr4P. Nc‘C4PeNC induct. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
144 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ [*13-172]о . (3Р). а = (Nc‘C4P) r. Nc'C'P е NC induct. [*200-12 . *262-1. *155-13] о . (зр). peNC induct - i‘l - i‘A . а = pr (1) h. *264-24 .oh: (3ц). peNC induct - i‘l - i‘A. а = pr. о . а c NO fin (2) h . (1) . (2). о h . Prop *262-26. h : oeNO fin. =. (зр). peNqCinduct -1‘. а = pr [*262-25. *103-13-34] *262-27. h: а, P e NO fin . о . a + p e NO fin Доказательство. h . *180-21. oh: Hp .Pea . Qe p . о . P+Qea. + p (1) h. *251-24. о h : Hp . о . a + PeNO (2) h . *180-111. о h : Hp (1). о . Nc‘C4(P+G) = Nc4(C‘P+C40 [*110-3] = Nc4C4P+c Nc‘C‘2 (3) h . *262-13. о h : Hp (1). о . Nc‘C‘P, Nc‘C‘2 e NC induct. [*120-45] о . Nc‘C‘P+c Nc‘C‘2 e NC induct (4) h.(1). (2). *155-26. *251-122. о h : Hp (1). о . P+Q e Q. a 4- p = N0r4(P+G) (5) h . (3). (4). oh: Hp (1). о . C‘(P+2) e Cis induct (6) h . (5). (6). *262-1. *261-42 . о h : Hp (1). о . a 4- P e NO fin (7) h . *262-1. *155-13 о h : Hp.о.3!a•3!P (8) h . (7). (8). о h . Prop *262-271. h : a, peNO fin . о . a x peNO fin [Док-во, как в *262-27, исп. *184-12 . *166-12 . *251-55 . *120-5] *262-272. h : a, р е NO fin . о . a expr p e NO fin [Док-во, как в *262-27, исп. *186-1. *176-14 . *261-62 . *120-52] *262-31. h : р, v е NC . о . рг + vr с (р 4-cv) г Доказательство. h. *180-2. о h : Z е pr + vr. = : (3Р, Q). рг = Nor‘P . vr = Nor‘2 . Z smor (P+Q): (1) [*180-111. *151-18] о : (зР, Q). pr = Nor‘P. vr = Nor‘2. C‘Z sm (C‘P4-C‘2) : [*155-12] о : (зР, 2). Pevr. Qevr. C‘Z sm (C‘P4-C‘2) : [*262-12] о : (3P, 2) • C‘P e p. C‘2 e v . C‘Z sm (C‘P4-C‘2) : [*110-21] о : Hp . о . C‘Ze p 4-cv (2) h. (1). *262-12. *155-12. о h : Z e pr + vr. о . (3P, Q). P, Q e Q. Z smor (P+Q). [*251-25. *180-11-12. (*180-01)] o.ZeQ (3) h . (2). (3). *262-13 .oh:. Hp . о : Z e pr + vr. о . Z e (p 4-cv) r:. о h . Prop *262-32. h : p, veNC induct. PEpr. Qevr • о . P+Qe\ir + vr Доказательство. h . *200-12 . *262-12 .oh: Hp . о . p, ve - i‘l - i‘A . [*262-24] o.pr,vrENO. [*180-21] о . P+Q e pr 4- vr: о h . Prop *262-33. h : p, v e NC induct -1‘ 1 . о . pr + vr = (p 4-cv) r Доказательство. h . *262-12 . oh :. p = A . V . v = A: о : pr = A. V . vr = A : [*180-4] o:pr + vr = A (1) Principia Mathematica III
♦262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ 145 F . *110’4 . эН. p, = A.V.v = A:D.p, +cv - A . [*262-12] э.(ц+су)г = Л (2) F . *262-32 . э F : Hp . P e . Q e vr. э . P+Q E\ir + vr. (3) [*180-42 . *152-45] э . |ir + vr = Nr‘(P+0 (4) F. (3). *262-31. э F : Hp (3). э . P+Q e (p +cv) r. [*120-45 . *262-24] э . P+Q e (p, +cv) r. (p, +cv) r e NR. [*152-45] э. (p+cv)r = Nr‘(P+0 (5) F. (4). (5). *10-23 . *262-21. э F : Hp. 3! p. 3! v . э . pr + vr = (p, +cv) r (6) F . (1). (2). (6). э F . Prop Приведенное выше предложение все еще имеет место (как мы докажем сейчас), когда один из р и v равен 1, по не оба. Когда оба из них равны 1, то pr + vr = А, в то время как (р +cv) г = 2Г. *262-34. F : р е NC - i‘0. э . pr + i с (р +cv) г Доказательство. F . *181-2 .oF:.Zepr+i. = : (зДх). pr = N0r4P. Z smor (P-Fx) (1) F . *181-6 . *152-7. э F : э !P. э . Nc‘C‘(P -Fx) = Nc‘C4P +c 1 (2) К(1).(2).э F Hp. э: Zepr + i. э. (gP). - Nor‘P. Nc‘C‘Z = Nc‘C‘P+cl. [*262-241-12] э. (gP). pir = Nor‘P. Nc‘C‘Z = pi +C1. [*100-3] z>.C‘Zep+cl (3) F. (1). *262-12 . *155-12 . э F : Ze pir + i. э . (gP). PeQ. pir = Nor‘P. [*251-1-132] o.pir+ieNO. [*251-122] d.ZeQ (4) F. (3). (4). *262-12 Hp. э: Zepir + i. э . Ze(pi+Cl)r:. э F . Prop *262-341. F : peNC induct. Pepir. э. P-t+xeptr + i Доказательство. F . *200-12 . *262-12 . z> F: Hp. z> . pi e -i‘ 1 - i‘A. [*262-24] d.mNO. [*181-21] э . P-kxe pir 4- i: э F . Prop *262-35. F : pieNC induct -1‘0 - i‘l . э . p.r + i = (pi +cl)r Доказательство. F . *262-12 . z>F:pi = A.z>.pir = A. [*181-4] D.pir+ 1=A (1) F. *110-4. z> F : pi = A . э. pi +C1 — A. [*262-12] 3.(pi+cl)r = A (2) F . *262-341. z> F : Hp. Pepir. z>. Р-Fxepi,-+ 1 . (3) [*181-42 . *152-45] э . pir + i = Nr‘(P-kx) (4) F•(3). *262-34. э F : Hp. Pepir. э . P4+xe(pi+cl)r. [*120-45 . *262-24] э. P -Fx e (p +c 1) r. (pi +c 1) r e NR. [*152-45] =>.(pi+cl)r. = Nr‘(P-t»x) (5) F.(4). (5). oF:Hp.g! pir. o.pir+ i =(pi+cl)r: [*262-21] DF:Hp.g!pi.z>.pir+i =(pi+cl)r (6) F . (1). (2). (6). э F . Prop *262-36. F : p. e NC induct - i‘0 - i‘ 1 . z>. i + pir — (1 +c pi) r [Док-во, как в *262-35, посредством аналогов *262-34-341] А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
146 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *262-41. h : ц, v еNC . э . цх vr с(ц +cv) [Доказательство, как в *262-32, используя *184-1-5. *113-21] *262-42. h : ц, veNC induct. Рецг. Qevr. о . PxQe^ xv. [Доказательство, как в *262-32, используя *184-12] *262-43. h : ц, veNC induct - i‘l . о . цг х vr = (ц +cv)r [Док-во, как в *262-33, исп. *184-11. *113-204 . *184-15 . *120-5] *262-51. h : ц е NC . v е NC induct. о . цг expr vr с (nv) г Доказательство. h . *186-5 . о I-: цг, vr е NqR . v 0. R е цг expr vr. о . C‘R е (С“Цг)с"Vr (1) h . *186-11. о I-: R е цг expr vr. о . а! цг. 3! vr h. (1). (2). *262-18 .oh: Hp . v 0. R e цг expr vr. о. C'R e |iv h . *262-12 . о h . цг c Q . [(2). *251-1. *186-11] о h : Re цг expr vr. о . цг eNO h . *262-24 . oh: Hp . v 1 . vЛ . о . vr eNOfin h . (2). (4). (5). *261-62 .oh: Hp . v 1 . R e цг expr vr. о . R e Q h . (2). *200-12 . о h : R e цг expr vr. о . v 1 h . (3). (6). (7). о h :. Hp . о : R e цг expr vr. о . R e Q . C'R e . [*262-12] o.Pe(p,v)r (2) (3) (4) (5) (6) (7) *262-52. h : ц, veNC induct. Pe цг. Q evr. о . (Рехр2) е(цг expr vr) Доказательство. h . *200-12 . *262-12 .oh: Hp . о . ц, ve - i‘l - i‘A . *262-53. h : ц, v e NC induct - i‘ 1 . v / 0. о . expr vr = (p,v) r Доказательство. h . *262-12 . *186-11. oh:.p = A.V.v = A:o.pir expr vr = A h . *116-204 . *262-12 .oh:.p, = A.V.v = A:o. Qiv) r = A h . *262-52 .oh: Hp . P e цг. Q e vr. о . (Рехр Q) e (цг expr vr). [*186-13 . *152-45] о . Nr‘(Pexp2) = цг expr a h . (3). *262-51. о h : Hp (3). о . (Рехр Q) e (p,v) r h . (5). *120-52 . о h : Hp (3). о . piv e NC induct h.(5). oh:Hp(3).og!(p,v)r. [*200-12 . *262-12] o.pi'V 1 h . (6). (7). *262-24 . о h : Hp . о . (nv)r eNO o . Nr‘(Pexp0 = expr v. Э h : Hp (3). э. (Рехрб)e(pv)r z> h: Hp (3). z>. p.v e NC induct эННр (3).эд!(ц.у)г. (3) (4) (5) (6) I- . (5). (8). *152-45 . э k : Hp(3). э . NrXPexpg) = (pv)r. 1(4)] э.цг expr vr = (pv)r (9) i-. (9). *262-21. эк:Нр.д!ц.д!у.э.|хг expr vr = (pv)r (10) k.(l).(2).(10).ol-.Prop Сейчас мы находимся в положении, позволяющем установить свойство коммутативности сложения и умножения финитных ординалов. Это осу- ществляется посредством *262-33 и *262-43. Principia Mathematica III
*262. ФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ 147 *262-6. h : ct, р е NO fin.o.a+p=p+a Доказательство. h . *262-26. о h : Hp . о . (gpt, v). pi, veNC induct - Pl . a = |ir. p = vr. [*13-12] о . (дц, v). ц, veNCinduct - i‘l. a + p = p,r + vr. ct = . p = vr. [*262-33] о . (gpi,v). ц, veNCinduct - i‘l. a + p = (p, +cv)r. a = . p = vr. [*110-51] о . (gp, v). p, veNC induct - Pl . a + p = (v +cp)r. a = pr. p = vr. [*262-33] о . (gp, v) • H, veNC induct - Pl . a + p - vr + pr. a = pr. p = vr. [*13-22] z>.a + p = p + a:z>h. Prop *262-63. h : a, p, у e NO fin. э . (a x P) expr у = (a exPr Y) x (P expr y) Доказательство. I-. *262-26 . о h : Hp . э . (gp, v, (D). p, v, (DeNC induct - Pl . a = pr. p - vr. у = (Dr (1) h . *262-43 . о h : p, v, (D e NC induct - P1 . о . (цг x vr) expr (Dr = (p xcv) r expr (Dr (2) h . *113-602 . oh : p = 0. v = 0 . о. p xcv / 1 (3) h. *117-631. oh : ц, veNC-P0-Pl .o. pi xcv# 1 (4) h . (3). (4). oh:Hp(2).o.pxcv^ 1 (5) h . *120-5 . о h : Hp (2). о . p xcveNC induct (6) h . (5). (6). *262-53 .oh: Hp (2). GJ 0r. о . (p xcv) r expr (Dr = {(pxcv)ro} r [*116-55] =(Hroxcvro)r (7) h . *117-652 . о h : Hp (7). p 0r. о . pro p xc(D . [*117-631] о. pro / 1 (8) h . *116-311. о h : Hp (7). p = 0r. о . pro / 1 (9) h.(8).(9). о h : Hp (7). о . p® / 1 (10) Аналогично h : Hp (7). о . v® 1 (11) h . (10). (11). *120-52 . *262-43 . о h : Hp (7). о . (proxcvro) r = (pi®) r x (v®) r [*262-53] =(pr expr(Dr)x(vr expr(Dr) (12) h . (2). (7). (12). э h : Hp (7). о . (pr x vr) expr (Dr = (pr expr ajr) x (vr expr (Dr) (13) h . (1). (13). *262-19 . о h : Hp . у 0r. о . (a x p) expr у = (a expr у) x (P expr y) (14) h. *186-2. *184-16. о h : Hp . у = 0r. о . (a x P) expr у = 0r. (a expr у) x (P expr y) = 0r (15) h . (14) . (15) .oh. Prop * 262-64. h : a e NO fin . о . a + i = 1 + a Доказательство. h . *262-35-36-26. *110-51 .oh:Hp.a/0r.o.a+i = i+ a (1) h . *161-2-201. о h : a = 0r. о . a 4- 1 = 0r. i + a = 0r (2) h . (1) . (2) . о h . Prop * 262-65. h : a, p e NO fin . P 0r. о . a x (p + i) = (a x p) + a Доказательство. h . *262-61 .oh: Hp . о . a x (p + i) = (p + i) x a [*184-41] = (P x a) + a [*262-61] = (a x p) 4-a : о h . Prop * 262-66. h : a, PeNO fin. P0r. о . ax (1 + P) = a + (ax P) [Доказательство, как в *262-65] А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
148 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ * 262-7. I-ц, v е NC induct - i‘ 1 . о : р, > v . = . p,r •> vr Доказательство. h . *262-21. *117-12 .oh: Hp . pi > v . о . a! pr. a! vr. [*262-18] о. pi = С‘4цг. v = С4Ч. (1) [*255-76 . *262-24] о . цг <• vr (2) h . *120-441 .oh: Hp . ~ (p > v). о . p < v (3) F. (1). э h : Hp. ц < v. э. p-r <• vr (4) h . *262-21 .oh: Hp . p, - sm“v. о . (gP). p = Nqc4C‘P . p = sm“v. [*103-4] о . (3P). pi = Noc‘C‘P. v = Nc‘C‘P. [*262-241] о . (gP). pir = N0r4P. vr = Nr‘P. [*155-4] о . pr = smor “v (5) h. (4). (5). *117-104 . о h : Hp. pi < v . о . pir <• vr (6) h . (3). (6). *255-483 . о h : Hp. ~ (pi > v). о . ~ (pir •> vr) (7) h . (2). (7). о h . Prop * 262-71. h : a e NO fin- i‘0r. о . (aP). 0 e NO fin - i‘0r U i‘ 1 . a = p + 1 Доказательство. h . *262-11. *261-24 . о h : Hp . о . 3! a П CT(B I Cnv) (1) h . (1). *204-483 . (*181-04) .oh. Prop * 262-8. h : a, peNO . y^NO fin . a <• p . о . a expr у <• P expr у [*261-64] *262-81. h : a, PcNqO . y^NO fin. a expr y = P expr Y • ° • a = smof “P Доказательство. h . *262-8 . Transp . *255-42 . о h : Hp . о . ~ (a <• P). ~ (a > P). [*255-112] о . a = smor “P : о h . Prop * 262-82. h : a e NO fin. P e NO infin . о . a <• p [*261-65] * 262-83. h : a e NqO - i‘0r. p, у e NO fin . p <• у . о . a expr P <• expr у Доказательство. h . *255-33 . о h :. Hp. о : (а®). Ш e NO - i‘0r .Y = P + a5.V.p^0r.Y = P+ l (1) h . *254-51. о h : Q gP . о . ~ (PlessQ) (2) h . (2). *255-1. о h : y = P + (П. о . ~ (y <• (D) (3) h . (3). *262-82 . Transp .oh:Hp.Y = P + GJ.o.(De NO fin (4) h . *186-14 . о h : Hp (4). (D 0r. p 0r. о . a expr у = (a expr P) x (a expr И) (5) h . *262-71-272 . оh : Hp(5). о . (g6). 6eNR-i40r U i4i. a expr p = 6+ i. [(5). (4). *255-573] о. a expr y > a expr p (6) h . *255-51 .oh: Hp (4). CD 0r. P = 0r. о . a expr у •> a expr P (7) h . *186-22 .oh: Hp .p^0r.Y = P+ i«=>«a expr у = (a expr p) x p . [*262-71. *255-573] о . a expr y> a expr p (8) h . (1). (6). (7). (8). о h : Hp . о . a expr у •> a expr p : о h . Prop * 262-84. h : P e Q - i‘A. Q, R e Q fin. (Hess/?. о . P^ lessP* [*262-83] Principia Mathematica III
♦263. ПРОГРЕСИИ 149 *263. Прогрессии Краткое содержание *263. Если R представляет собой прогрессию в смысле, определенном в *122, т.е. одно-однозначное отношение, чье поле является потомством своего пер- вого терма, то тогда /?ро представляет собой сериальное отношение, а серия, порожденная Рро, имеет тип, который Кантор называет о), т.е. наименьшая из бесконечных серий. Легко доказать, что все прогрессии ординально по- добны, и что если существуют все индуктивные кардиналы, то серия ин- дуктивных кардиналов в порядке величины имеет тип о). Таким образом, о) представляет собой ординальное число, которое не является нулем, если имеет место аксиома бесконечности. Большинство свойств о) без труда выводятся из соответствующих свойств “Prog”, которые были доказаны в *122. Определение есть a) = P{(3P).PeProg.P = Ppo} Df. Аксиома бесконечности влечет, что отношение “меньшего к большему” со своим полем, ограниченным к индуктивным кардиналам, является эле- ментом о, или, что приводит к тому же самому, однако проще доказывает- ся, что {(NC induct) 1 (+с1)}ро является элементом о) (*263-12). Таким обра- зом, аксиома бесконечности для типа х влечет существование о) в пределах типа Р3‘х (*263-132); вообще говоря, существование о) в пределах любого типа отношений эквивалентно существованию Ко в пределах типа их полей (*263-131), потому что Ko = D“u) = C“a) (*263-101). Опираясь на то обстоятельство, что в прогрессии R (в смысле *122) все термы — значения v^, где каждый индуктивный кардинал входит в ви- де значения v (что было доказано в *122), мы легко выводим, что если и есть прогрессии, то они являются сериями, ординально подобными серии индуктивных кардиналов (*263-131). Следовательно, и “Prog”, и о) пред- ставляют собой реляционные числа (*263-162-19). Кроме того, на основании *122-21-23, о состоит из вполне упорядоченных серий (*263-11). Следова- тельно, о является ординальным числом (*263-2). Затем мы доказываем, что прогрессии представляют собой бесконечные серии (*263-23), и что серия, содержащаяся в прогрессии, финитна, если она обладает максимумом (*263-27), и является прогрессией, если она не имеет максимума (*263-26). Отсюда следует, что, допуская существование прогрессий или аксиому бесконечности, о) есть наименьший ординал, кото- рый больше, чем все финитные ординалы (*263-31-32). С этим связано то обстоятельство, что предшественники любого терма в прогрессии являются индуктивным классом (*263-412). *263-44-48 дает разные формулы для со, каждая из которых могла бы быть принята в качестве определения. Мы имеем *263-44. h . о) = Q - i‘A П Р (CTPj = СТР. ~ Е ! В‘Р) Т.е. прогрессии являются экзистенциональными вполне упорядоченны- ми сериями, в которых каждый терм, за исключением первого, обладает непосредственным предшественником, и нет последнего терма. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
150 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *263-46. h.u) = Qn?(E!B‘P1 . ~ Е ! В'Р) Т.е. прогрессии представляют собой вполне упорядоченные серии, в ко- торых есть только один терм, обладающий непосредственным последова- телем, и нет последнего терма. *263-47. h.u) = QnP{ac C'P. эа : ae Cis induct. = . 3! C'P О р‘Х“а} Т.е. прогрессия является вполне упорядоченной серией, в которой лю- бой подкласс а останавливает вблизи некоторой точки серии, если а —ин- дуктивный класс, а не наоборот. Это предложение будет полезно в следу- ющей главе. * 263-49. h . Q fin U a) = Q П Р (СГ^ = (ГР) = Q П Р (Р = Pfn) Т.е. финитные вполне упорядоченные серии и прогрессии вместе пред- ставляют собой те вполне упорядоченные серии, в которых каждый терм, исключая первый, обладает непосредственным предшественником, и явля- ются также таковыми, в которых каждый интервал является индуктивным классом. Из *263-45 следует, что если Р представляет собой бесконечную вполне упорядоченную серию, то Р, ограниченная к термам, расположенным на конечном расстоянии от В‘Р, является прогрессией, т.е. * 263-5. h: PeQinfin. э. Р f Следовательно, отсюда сразу же следует, что бесконечный ординал яв- ляется, по меньшей мере, настолько же большим, как о), и поэтому беско- нечные ординалы, отличные от со, больше, чем о), т.е. * 263-54. h : a е NO infin - i‘a). э . a •> a) Оставшиеся предложения этого параграфа посвящены доказательству о) х 2r = а) (*263-63) и a) х а = о), если а финитен и не является нулевым (*263-66). Это случай совсем не тот, когда 2гхо) = о) или а х о) = со. Кантор изменил свои определения умножения в отношении порядка со- множителей. Первоначально он принял точно такое же правило, какое при- няли и мы, однако в последующих работах он изменил правило, так что то, что мы называем 2Г х о), он называет о) х 2Г, и наоборот. Таким обра- зом, с определениями, принятыми в его последующих работах, 2Г хо) = 0), однако a) х 2Г о). Мы возвратились к его более ранней практике по раз- ным причинам, однако в основном, чтобы иметь №‘П‘(Р X Q) = Nr‘P х Nr‘6 (ср. *172). Какое бы правило мы ни приняли, всегда найдутся некоторые неудобства, так что вопрос в отношении их не представляет большой важ- ности. *263-01. a) = P{(aP).PeProg.P-Ppo} Df *263-02. N = fiv {^eNC induct. v = (ц +cl) П r0‘P-l Dft [*263] Приведенное выше временное определение N точно такое же, как в *123. *263-1. F : Р е о). = . (дЯ). R е Prog. Р = R^ [(*263-01)] *263-101. h . No = D“u) = C“u) [*123-1. *122-141. *91-504] Principia Mathematica III
*263. ПРОГРЕСИИ 151 * 26311. F.tocQ Доказательство. F . *122-23 141. *263 1. э F : Р е о). а с С‘Р. g! а . э. g! min/a (1) F.(l). *250-125. dF. Prop * 263-12. h : Infin ax. э . Np0 6 со [*123-25 . *263-1] * 263-13. F : g! No (x). = . g! co П ?1 ‘x Доказательство. F . *263-101. (*65-02). э F : g! No (x). = . (gP). P e co . C‘P e ffx. [*64-57. *63-5] = . (gP). P e co. P e r11 ‘x: э F . Prop * 263-131. F: g! (No) a . = . g! о) П Zoo‘a [Доказательство, как в *263-13] * 263-132. F : Infin ax (x). = . g! co П ^З‘х. Доказательство. F . *125-23 . *263-13 . э F : Infin ax (x). н . g! (о О r11 ‘r2‘x. [(*64-011-014)] = . g! co П r33‘x: э F. Prop Это предложение утверждает, что если число отдельных индивидов того же самого типа, как х, не является индуктивным числом, то тогда найдется прогрессия, чьи термы имеют тип Г2‘х. Эта прогрессия будет прогрессией индуктивных кардиналов, которые применимы к классам, чьи термы того же самого типа, что и х. * 263-14. F:PeProg.P = Ppo.z>.P = Pfn=Pfn .P = Pi Доказательство. h. *121-254. эННр.э. Pi =Pi . [*121-31. *122-1-16] э.Р, =R. (1) [Hp] Э.(Р1)ро = Р. [*260-27. *263-11] э . Pfn = P • (2) [*260-15. Hp] Pfn = P (3) b. (1). (2). (3). эЬ. Prop *263-141. F : Р е со . э . Рх е Prog. Р = (Pi) fn = (Pi) ро Доказательство. F . *263-1. э F : Нр . э . (дР). R е Prog . Р = Рро . [*263-14] э . (дР) .PeProg. Pj =Р. P = Pfn . Р = Рро . [*13-195] э . Pi e Prog . Р = (Pi)fn = (Pi)po : э F . Prop Приведенное выше предложение показывает, что каждый интервал Р(хну) в прогрессии является индуктивным классом. *263-142. F : R, S е Prog . Рро = 5ро . э . Р = S Доказательство. F.*263-14.z>F:Hp.o.P = (Spo)i [*263-14] =S : э F . Prop *263-143. F:P, Qeco.Pj = Q} .z>.P = Q Доказательство. F.*263-l.oF:Hp.o.(gP,5).P,5eProg.P = Pp0.e = 5p0.Pi =Gi • [*263-14] э . (gP, 5). P, 5 e Prog . P = R^ . Q = Spo . R = Px . S = Qx . Px = Qx . [*13-17] o.(gP,S).P,SeProg.P = Ppo.G = Spo..P = S . [*1317] d.P=Q:dF. Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
152 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *263-15. h : Р е Prog .S = xv {v еNC induct. x = (v +cl)я) Доказательство. 1-. *123-3. з F: Hp. з. S e 1 -> 1 . D'S = D'P. CPS = NC induct (1) 1-. *123-21. з F.NC induct = C'N (2) F*110-56-643. k : Hp . (ц +cl) N (v +cl). з. v +C1 = ц +c2 F. (3). sF:.Hp. з : x(S 'N)y. = . (др). peNC induct. x = (p. +Д)/? .y = (p +c2)r . [*121-332-131] = . (gp). p e NC induct. (B'R) R^x. (B'R) (Pp | R) у. (3) [*122-341. *121-342] = . xRy 1-. (1). (2). (4). з F. Prop *263-151. 1-: R e Prog. з . R smor N [*263-15] *263-152. F :ReProg. gsmorR. з .£)eProg [*123-32] *263-16. F:ReProg. з.Prog = Nr‘R = Nr‘N [*263-151-152] *263-161. F : a 1 Prog. о. Prog = NrW [*263-16] *263-162. F . Prog e NR [*263-161. *154-242] *263-17. F:Pew.3.a) = Nr‘P = NrWpo Доказательство. F . *263-1. з F:Hp.з. (aP) • R e Prog. P = Pp0 . [*263-151] з. (aP) .Psmor N. P = Rp<>. (3) [*151-56] з . P smor Npo . (1) [*152-321] 3.Nr‘P = Nr‘Npo F . *151-59. з F: P e co. Q smor P. з . Qi smor Pi . (2) [*263-141-152] з. (he Prog F. *150-83. з F : Peco. S smor P. з. (Gi)Po = S5 (Pi)po [*263-141] =s;p (3) [*151-11] =e (4) F. (3). (4). *263-1. з F: Pew. <2 smor P. з. Qeu) (5) F.(l). зF :P, Qeco.з .Psmor Q (6) F. (5). (6). з F : Pe co. з. co = Nr'P F . (7). (2). з F . Prop *263-18. F : 3! . з. co = Nr'Npo [*263-17] *263-19. F.coeNR [*263-18. *154-242] *263-2. F. coeNO [*263-19-11. *256-54] *263-22. F : Pe co. з. СГРc D'P. ~ E ! B'P. E ! B'P [*122-141. *263-1 .*122-11] *263-23. F. co cQ infin Доказательство. (7) F . *261-35 . Transp . *263-11-22.3F : Peco . 3 . C'P ~ e Cis induct - i‘A (1) F . *263-22.3 F : P e co. 3. a! C'P F . (1). (2). 3 F: P e co. 3 . C'P ~ e Cis induct. [*261-14-41. *263-11] 3 . PeQinfin : 3F . Prop *263-24. F:a!co.3.coeNOinfin [*262-14. *263-17-23] *263-26. F : P e co. a 1« П C'P. ~ E ! maxp'a. 3 . P [ a e co Доказательство. F . *263-1. *205-123.3 (2) Principia Mathematica III
*263. ПРОГРЕСИИ 153 h : Нр . э . (дЯ). Re Prog . Р = Яро .д!аП С‘Я. а П C'R сЯро“а. [*122-442-45] э . (дЯ). Я е Prog . Р = Яро . Р [ а - (Я [ а )2 е Prog . Р [ а = {Р [а - (Р [а)2}ро • [*263-1] э. Р [ ас со: з F. Prop * 263-27. F: Р е со . Е ! тах/>‘а. з. Р [ а е Я fin Доказательство. F . *122-43 . *263-1. з F: Нр. з. afl C'Pе Cis induct. [*37-41. *120-481] з. С‘(Р [ а) е Cis induct (1) F. *263-11. *250-141. з F : Нр. з. Р [ а е Q (2) F. (1). (2). *261-14-42. з F . Prop * 263-28. F : Peco . з . Ser П Rl'Pc co U Яйп [*204-421. *263-26-27] * 263-29. F : Peco. geQfin. з . QlessP [*261-65. *263-23] * 263-3. F: P e co . з . less'P = Я fin Доказательство. F . *254-1. *263-17. з F: Peco . QlessP. з . g! Nr'Qn R1‘P. 6~eco. Qe£l. [*263-17] з . (дЛ). R e Nr‘£> n R1‘P. R ~ e co. [*263-28] з. (gR). ReNr‘en Я fin. [*261-183] o.geflfin (1) F.(l). *263-29.3F. Prop * 263-31. F :. g! co. з : a<- co . = . aeNO fin Доказательство. F . *255-17. *263-17. з F :. Peco. з: Nr‘(?<- co. = . <2lessP. [*263-3] s.geQfin. [*262-13] = . Nr'QeNO fin: [*152-4] з: aeNR. a <• co . = . aeNR. aeNO fin: [*255-12. *262-1. *152-4] з: a < co. н . a e NO fin:. з F. Prop * 263-32. F:. Infin ах. з : a < co. = . aeNO fin [*263-31-12] * 263-33. F: a <• co . з. a e NO fin Доказательство. F . *255-1. *155-13. з F : Hp. з. g! co F.(1).*263-31.3F.Prop *263-34. F . 1 + co = co Доказательство. F . *262-112. *263-24. э h : Hp . з! a). z>. i + cd = cd (1) F. *181-4. F . (1). (2). з F . Prop oh:a) = A.o.i+U) = A (2) *263-35. F : aeNO fin. з . a i + co = co Доказательство. F. *180-61. *263-18. oh:g!cD.o.Ori+CD = CD (1) F. *180-4. oh:cD = A.o.Ori+CD = A (2) F.(l).(2). z> h . 0r i + CD = CD (3) F. *181-57. *263-34. oh.2r + CD=i-i-CD [*263-34] = CD (4) A. H. Уайтхед , Б. Рассел
154 ГЛАВА 5, КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ F . *262-36 . э F: jieNC induct - i‘O- i‘l . э . (p, +cl)r + a) = p,r + i + a) [*263-34. *181-58] =pr + u) (5) F . (5). э F : peNC induct - i‘O - i‘l . pr + а) = о). э . (p +cl)r + a) = co (6) F . (4). (6). Induct. э h : p e NC induct - i‘O - i‘ 1 . э . pr + co = (0 (7) F . (3). (7). э h : p e NC induct - i‘ 1 . э . pr + co = a): [*262-26] э F : a e NO fin.o.a + o) = a):z>F. Prop * 263-4. F : P e a). э . D‘/\ c Q fin . Nr“D‘P? Доказательство. F . *254-182 .or: Hp . э . D‘P? c less‘P. [*263-3] D.D?qcQfin: (1) F . *263-31. z> F Hp . э : a <• Nr‘P. = . a e NO fin : [*256-11] э : aeNr“D‘P? . = . aeNO fin (2) F . (1). (2). э F . Prop * 263-401. F : P e co . a e sect‘P - i‘A - i‘C‘P. э . E ! max/a Доказательство. F . *250-65 . э F : Hp . э . P £ a ~ e Nr ‘P. [*263-17] o.P[a~ea). [*263-26 . Transp] э. E ! max/a : э F. Prop *263-402. F : Pea). э . sect‘P- i‘A - i‘C‘P =?*“C‘P Доказательство. F . *205-131-22. *263-401. э F : Hp . a esect‘P - i‘A - i‘C‘P. z>. a U P“a =^*‘maxp‘a U i‘maxp‘a . [*211-1. *91-54] z>. a =~?*‘maxp‘a . [*205-111] z>. ae P*“C‘P (1) b. *211-3-13. э F .~Р*“ёРc sect‘P (2) F. *90-12. oF.A“C‘Pc-l‘A (3) F. *205-197. d F : Hp . xe C'P. э. E ! maxp A ‘x. [*263-22] э.А'х^С'Р (4) F.(2).(3).(4) . э F: Hp. э . A“C‘Pcsect‘P- i‘A - i‘C‘P (5) F . (1). (5). э F . Prop *263-41. F:Peco.o.Ps [D‘PS = P[’A;P Доказательство. F . *21311141151. э I-Hp. э: Q(P<; [ D‘P?)P. = . (ga, P). a, p esect'P- i‘A - i‘C‘P. a с P . a / p. (2 = P [ a: Я = P [ p. [*263-402] в. (gx,y).x,yeClP. A‘xcA'y. A‘x/A‘y-Q = P [ A'x. Я = P [A'y • [*200-391] = (gx.y) .x,yeC‘P. A'xcA'y .x/y. Q-P [А‘х.Я = Р [ A‘у • [*204-32. *90-12] = • (Я-*,?) • Xp* У •x + У • A ‘x C A ‘y. Q = P [ A‘x. R = P [ A‘y. [*201-14-15] = .(gx,y).xP*y.x/y.e = P [А‘х.Я = Р [A‘y. Principia Mathematica III
♦263. ПРОГРЕСИИ 155 [*201-18] =. (дх,у). xPy. Q = Р [Л ‘х. R = Р [Л 'у. [*150-1] =. Q(Р pA’P)R 3F. Prop *263-411. I-: Реш. з. C“D‘P? =A“d‘PU ГЛ Доказательство. I-. *213-141. *263-402. з F:Нр.з. C“D‘P? = ѓР[“А “С'Р [*93-103] = ѓР[“A“d‘PurC‘P [А'В'Р [*201-521. *202-55] = A“d‘PU CC'P 0*'В'Р [*201-521. *200-35]='?* “d'P U ГЛ: 3F . Prop *263-412. F: Peco. з ."?‘х,"?* ‘хе Cis induct • Доказательство. h . *205-197. э h : Нр .хеС'Р. э . Е ! тахр‘"?*‘х. [*263-27. *202-55. *120-213] з. Л ‘х е Cis induct. (1) [*120-481] з ."?*‘хе Cis induct (2) F . (1). (2). з F . Prop *263-42. F : Pe co. з. sgm'P = A J. (C'P) Доказательство. F . *212-21. *211-12. з F:. Hp. 3: a (sgm‘P) p . = . a = P“a. p = P“p. a c p . a p (1) F. (1) .*211-1. *205-123.3 F: Hp. a (sgm'P) p . з . a, p e sect'P. ~ E! maxp'a. ~ E ! maxp'P. [*263-401] з.а, реГЛиГС'Р (2) F. (1). (2). з F : Hp. a (sgm'P) p. з . a = Л. p = C'P (3) F. *37-29 . з F : a = A. з . a = P“a (4) F. *263-22 . з F : Hp. P = C'P. з. p = P“p (5) F. (1). (4). (5). з F: Hp. a = Л. P = C'P .з.а (sgm'P) p (6) F . (3). (6). з F. Prop *263-43. F : P e co . з . G'Pi = d'P Доказательство. F. *263-141. з F : Hp. з . Q'P = d‘(Pi)po [*91-504] = Q'P, : з F . Prop *263-431. F : P eQ - i'A. d'Pi = Q'P. ~ E ! B'P. з . P e co Доказательство. F . *261-35 . Transp. з F : Hp . з. P e 12 infin . [*261-44] 3.P] [K'B'PeProg. [*261-212] з. Pi [ "P'B'P e Prog. [*202-524] з. Pie Prog. (1) F. *261-212. з F: Hp. з. P = (P,)po (2) F. (1). (2). *263-1.3F. Prop *263-44. F.co = 12-i‘AnP(a‘Pi =d‘P.~E!B‘P) [*263-43-22-431] *263-45. F . co = 12n P(p= Pfn. ~ E ! B'P) [*261-212 . *263-44] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
156 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *263-46. F. со = Q П Р(Е ! B‘Pj . ~ Е ! В‘Р) Доказательство. I-. *121-305. *93-101. з I-: Р е Q. ~ Е ! В'Р. G‘Pi # СГР. з. 3! G‘P - CTPi . СГР = D‘P - СВ'Р. [*250-21] з.3!D‘P] -G'P, -i‘B‘P. [*93-101] э.э!Т}‘Р1-i‘B‘P I-. *121-305. *250-21. 3 F : P e Q - ГА . з . B‘P e^‘P, F.(l).(2). 3F:PeQ.~E!B‘P.G‘Pl ^G‘P.3.^‘P| ~el . [*53-3] э.~Е!В‘П1 F . (3)Transp. з F : PeQ. E ! B‘Pj . ~ E ! B‘P. 3 . G‘P| = G‘P. [*263-44] з.Ресо I-. *250-21. *263-44. з F: Peco. з .^‘Р} =~§'P. [*250-13] з. E! B'P\ F.(5). *263-44 з F : P e co. з. E 1 B‘Pj . ~ E ! B'P F. (4). (6). з F. Prop *263-47. F . co = Qn P{ac C‘P. за : a e Cis induct. = . 3! C‘PC1 p‘^“a) Доказательство. F . *254-52.3 F : Peco . a c C'P. 3! C‘Pn p'*P"a. 3 . (P [ a) lessP. [*263-3] 3. P [ a e Q fin. [*261-42-14] з . C‘(P I a) e Cis induct. [♦202-55. *120-213] 3 . a e Cis induct F . *261-26.3 F: Peco. a c C'P. a e Cis induct. 3! a. з. E ! max/a. [*263-22] 3.3! X‘max/a. [*205-65. *40-69] 3.3! C‘P(~}p'<P"a F.(l). (2). *40-2.3 F Peco. acC‘P . 3: aeClsinduct. = .^-C'PPi p'*P"a F. *40-2. *120-212.3 F :: PeQ:. ac C‘P. 3a : aeClsinduct. = . 3! C'PC\ p'*P"a.:. з. [j!P F . (4). *200-51.3 F : Hp (4). з . C'P ~ e Cis induct F. *250-16.3 F : Hp (4) .3! G‘P- G‘P] . 3 .^‘minp‘(G‘P- G‘Pi)e Cis induct. 3. E ! maxp‘"?‘minp‘(G‘P- G‘Pi). 3. minp‘(G‘P - G‘P]) e G‘Pi 3 F : Hp(4). 3. G‘Pi =G‘P E!B‘P 3 F: Hp (4) • 3. P e co (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) [*261-26] [*205-252] I-. (6). Transp. F. (5). (7). *261-34. эЬ: Нр(4). з. F . (4). (7). (8). F. (3). (9). э F. Prop *263-48. F. го = Qn Р(ас С‘Р. за : а Cis refl. =. 3! С‘РП р‘Х“а) [*263-47. *261-47] *263-49. F.QfinUco = QnP(G‘Pi = G‘P) = QCiP(P = Pfn) Доказательство. I-. *261-22. *263-44. з F : PeQfin U со. з . СТР] = (ГР I-. *261-34. *263-44.з F:PeQ. СТР, = G‘P. з. PeQfin U со Principia Mathematica III
♦263. ПРОГРЕСИИ 157 F. (1). (2). зF . QfinUсо = QnP(G‘P] = Q'P) [*261-212] = QnP(P = Pfn). 3F . Prop *263-491. F:PeQfinUco.3.P=(Pi)po.P0 = (Pi)0 Доказательство. F . *263-49. *261-212 . з F : Hp. з . P = (POpo (1) [*91-602 . *121-103] з.Р(хну) = Р] (хну). [*121-11] з.Ро = (Р1)о (2) F. (1). (2). з F . Prop *263-5. F: P e 12 infin. з. P [ (CB'P U 5?fn‘B‘P) e co Доказательство. F.*261-45. з F: Hp. з. Pi [ ?Tfn‘B‘P6Prog (1) F . *260-33-27. э F: Hp. э. (Pi [ frfn‘B‘P)po = Pfn [ (c'B'P U ^'B'P) [*260-32] = PI (c'B'P U К‘B'P) (2) F. (1). (2). *263-1. з F. Prop * 263-51. h : PeQinfin . э . i‘B?U ^fn‘B‘PeD‘(Pe hl) • iWuSfcWcQ’sgm? Доказательство. F . *263-5-22 . з F: Hp. з. ~ E ! maxP‘(i‘B‘P U frfn‘B‘P) (1) F . *260-11 о F: Hp. у e СГР- I^B'P .xeRfn'B‘P. з. P (B'P H y) ~ e Cis induct. P (B'P н x) б Cis induct. [*120-49] з. Nc'P (B'P H y) > Nc'P (B'P H x). [*117-222. Transp] з. ~ (yPx) (2) F . (2). Transp. з F: Hp. з. P“^fn‘B‘Pc^‘PU ^fn‘B‘P (3) F . (3). *93-101. з F: Hp . з. P“(i‘B‘P c 5?fo‘B‘P) c c'B'PU ^fn‘B‘P (4) F . (1). (4). *211-41. з F: Hp. з. c'B'PU frfn‘B'PcD‘(Pe П I) (5) [*212-152] з. i‘B‘PU ^fn‘B‘PeQ‘sgm‘P (6) h . (5) . (6). э h . Prop * 263-52. h : PeQ infin - о). э . (gx). хе СГР. ^fn‘B‘P U i‘B‘P=?‘x Доказательство. h . *263-49 . Transp .oh: Hp . э . 3! СГР - CTPi . [*260-27] 3.a!(rP-5?fn‘B‘P. [*250-121] 3. E ! minp‘(CI‘P - frfn'B'P). [*263-51. *206-25. *211-726] з. (gx). хеСГР. ^‘В'Ри i‘B‘P =‘?‘x: э h . Prop * 263-53. h : PeQinfin - о). э . Nr‘P->о Доказательство. F . *253-13. *263-52 . з F: Hp. з . P [ (frfn‘B‘P U i‘B‘P) e Q‘P? [*263-5] з.д Icon D'P.; [*255-17. *263-18] 3. Nr‘P-> co : з F . Prop Приведенное выше предложение показывает, что о представляет собой наименьший из бесконечных ординалов. Иначе тот же самый факт выра- жается посредством следующего предложения. * 263-54. h : a eNO infin - i‘(0 . э . а-> со [*263-53] А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
158 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ * 263-55. h:Peu).o./\eu) + i . $‘Р е о) + i Доказательство. F . *253-511. *263-44 . э F : Hp . э. P? e co + i (1) F . *252-372 . *263-44 . э F : Hp . э . <P e cd + i (2) F . (1). (2). э F . Prop Следующие предложения являются леммами для доказательства о)х2г = о) (*263-63). * 263-6. F :: РeSer . х±у . М = Рх (хХу) . э :. RMXS . = : (дм). ueC'P .R = xlu.S =у [и .V . (gu, v). uP\v .R-y [u.S = xX v Доказательство. F . *166-111. э F :. Hp . uPv .R = x[u:S = xX v.V.S =y X v: э . RM (у l й). (у I и) MS . [*201-63. *204-55] :d.~(RMxS) (1) Аналогично F Hp . uPv .R = ylu.S = y X v.э.~ (RMXS) (2) F. *166-111 .э F : Hp . uPw. wPv. R = y I и . S = x X v. э . RM (x X w). (x X w) MS . [*201-63. *204-55] o.~(PM,5) (3) F . (1). (2). (3). Transp . *166-111. z> F Hp . RM]S . э : (gu) .R = x[u.S =y X w . ueC'P. V . (gw,v). uP\v .R-y Хм .5 = x X v (4) F . *166-111. dF: Hp .R = x[u.S =y [u. RM (xX v). э . SM (xX v) (5) F . *166-111. э F:. Hp . R = x X и . S -y I и . RM (у X w). z>: w = v. V . uPv: [*166-111] o:yXv = 5 . V.5M(yXv) (6) F. *166-111. э F : Hp . R-y X и . S = x X v. uP\v. RM (у X w). э . SM (у X w) (7) F . *166-111. z> F :. Hp . R = y I и . S = x[v. uPxv . RM (xXw).d: xXw = 5 . V.SM(xXw) (8) F . (5). (6). (7). (8). э F Hp . и e C'P. R = x [u . S = y [u.V . uP\ v. R-y I и . S = x X v: z>. RM^S (9) F . (4). (9). э F . Prop * 263-61. F:PeSer.x#y.M = Px(xXy).z>.a‘M! =y X“C‘PUxX“CTPi [*263-6] * 263-62. F:Peo).x^y.o.Px(xXy)eu) Доказательство. F . *263-61-43. z> F : Hp . z>. СГ{Рх (x X y)} i = у ГСР U x X“<TP [*166-111] =СГ{Рх(хХу)} (1) F. *251-55. oF:Hp.o.Px(xXy)cQ (2) F. *166-14. э F : Hp . z>. Px (xXy) e-i‘A (3) h . *166-16. *263-22 . о h: Hp. э ,7l‘Cnv‘{Px (x J,y)) = A (4) I-. (1). (2). (3). (4). *263-44. d F : Hp. э . Px (x J, у) e co: э F. Prop *263-63. F . co x 2r = co Доказательство. F . *263-62-17. э F : Peco. Qe2r. о. Nr‘(Pxg) = co (1) F. *184-13. *263-17.3F: Peco. бе2г.з. Nr‘(Px0 = cox2r (2) F.(l).(2). 3F:g!co.a!2r.3.cox2r = co (3) Principia Mathematica III
*263. ПРОГРЕСИИ 159 I-. *184-11 .3F:w = A.3.iox2r = A 1-. *123-14 . *263-101 .3F:g!a>.3.g!2. [*262-21] з.д!2г F. (3). (4). (5). з F . Prop (4) (5) Следующие предложения являются леммами для доказательства *263-66. *263-64. 1-: Р, Q е Ser . х е С‘Р. zQ\w. М = PxQ. э . (z X х) М\ (w | х) Доказательство. 1- . *166-111. э h : Нр . э . (z J, х) М (w Хх) 1- . *166-111. э h Нр . (z J, х) М (и Ху) . э : хРу. V . х = у. zQu : [*204-71] э : хРу .V.x = y.u = w.V.x = y. wQy: (1) [*166-111] э : (w Хх) A/(u Ху) • V . (wX х) = (u Ху) (2) h . (2). *204-55 . э h : Hp (2). э . ~ {(и Ху) M (w X x)} h . (1). (3). *201-63 . oh. Prop (3) *263-641. FzP.geSer. z = B'Q .w = B‘Q. xP}y. M = PxQ ,^> .QA x) Mx (wj,y) Доказательство. F. *166-111. з F: Hp. з . (z 1 x)M (w J,y) F. *166-111. з FHp. (z J. x) (и J. v). з: xPv: (1) [*204-71] 3:v = y.V.yPv F. (2). *166-111.3 F :. Hp. (z J. x) M (и 1 v). з: и J. v = w J,у. V . (w J. у) M (u J, v): (2) [*204-55] з:~(Ш v)Af OO)} F . (1). (3). *201-63. з F . Prop *263-642. \--.P,QeSer .M = PxQ.z>.(C‘PxQ‘QQa<J‘M} [*263-64] (3) *263-643. F : P, Q e Ser. E ! BlQ. E ! B‘Q. M = PxQ. з. (B'Q) J.“a‘P, [*263-64] *263-65. F : Peш. £)e£2fin — i‘A. з . PxQea> Доказательство. c G‘A/i F . *251-55 . з F: Hp. з. PxQeQ. (1) F . *166-14. з F: Hp. з . PxQ e - i‘A F . *263-642-643. *261-24 . з F : Hp. з . (C‘Px (TQQ U (B‘Q) J“a‘Pi c G'(PixQQ i . [*263-49] 3.(C7’xa‘e)U(B‘eH“a‘Pca‘(Px(2)1. [*166-12-16] з. C\PxQ)-~S‘(PxQ) c a‘(Px0! . (2) [*93-101. *201-63] з. Q‘(PxQ) = Q‘(Px01 (3) F . *166-16. *263-22 . з F : Hp. з ,^‘Cnv‘(PxQ) = A (4) h. (1). (2). (3). (4). *263-44 .oh. Prop *263-66. h : aeNOfin - i‘0r. э . cd x a = cd [*263-65] Доказательство проводится, как и в *263-63. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
160 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ * 264. Производные вполне упорядоченных серий Краткое содержание *264. Основная цель данного параграфа — показать то, что каждая бесконеч- ная вполне упорядоченная серия является суммой серии прогрессий, за ко- торой следует финитная петля 16, которая может быть нулевой. С этой це- лью мы продолжаем изложение следующим образом: если х —какой-либо элемент С‘Р, то он должен принадлежать семейству в силу Р\ некото- рого элемента C‘P-G‘Pi, за исключением х = ‘Ри ‘Р~е(Х‘Р\. Допус- кая, что мы имеем либо ~Е!В‘Р, либо B‘PeG‘Pi, и далее предполагая, что Р является бесконечной вполне упорядоченной серией, отличной от прогрессии, получаем, что каждый элемент ёРпринадлежит семейству в силу Р\ некоторого элемента C‘V‘P, поскольку, на основании *216-611, C‘V‘P = D‘Pi - G‘Pi при предполагаемых условиях (*264-15). Р, ограничен- ное к любому одному семейству в силу Pi, представляет собой прогрессию, если указанное семейство не включает В‘Р; а если оно включает В‘Р, то она является финитной. Поэтому вытекают наши предложения. Важным следствием приведенного выше предложения является то, что каждый кардинал, который не индуктивен и применим к классам, которые могут быть вполне упрядочены, кратен Ко (*264-48). Для выполнения указанных задач в этом параграфе нам нужно обозна- чение для серии серий, каждая из которых состоит из семейства некото- рого элемента С‘Ч‘Р. Вследствие этого мы полагаем Ррг = Р[’^Р Dft [*264]. Здесь “рг” подразумевает “progression” 17. Когда PeQ infin-со, то Ррг пред- ставляет собой серию прогрессий (возможно, заканчивающуюся финитной петлей), чья сумма есть Р (или P[D‘P в одном из случаев). Перед ис- пользованием этого определения необходимы некоторые предварительные рассмотрения. V‘P является серией предельных точек Р, включая В‘Р. Для того чтобы V‘P могла существовать, должна быть, по меньшей мере, од- на предельная точка, кроме В‘Р. Теперь предельные точки серии пред- ставляют собой C‘P-G‘Pi, т.е. предельные точки, отличные от В‘Р, есть G‘P-G‘Pi (*216-21). Следовательно, когда существует БРи существует G‘P-G‘Pi, то V‘P существует. Следовательно, на основании *263-49, *264-13. h Ре Q . э : э !V‘P. = . Ре Q infin - со Т.е. вполне упорядоченная серия, чья производная существует, представ- ляет собой серию, которая является бесконечной и не является прогресси- ей. Подобным образом мы имеем * 264-14. h : Р е Q infin - со . э . C‘V‘P = ёР- G^ и * 264-12. h : PeQ. э . G‘V‘P = G‘P- G‘Pi 16 В оригинале — finite tag. — Прим, nepee. 17 progression — прогрессия (англ.). — Прим, nepee. Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 161 Далее мы переходим (*264-2—261) к изучению потомства терма х в си- лу отношения Pi, т.е. серии Р [(Pi)/*- Мы показываем, что если эта се- рия обладает последним термом, то она является финитной (*264-21) и заканчивается В'Р (*264-2), в то время как если она не имеет последнего терма, то если xeC‘Pi, т.е. если х имеет или непосредственного последова- теля, или непосредственного предшественника, то серия является прогрес- сией (*264-22). Следовательно, мы имеем *264-23. h Р е Q . х е C‘V‘P A C‘Pi . э : Е ! max/>‘(P]Vx• = • х = B‘Cnv‘V‘P. Е ! ‘РБолее того, если xeC‘Pi, то прародители х в силу Pi должны закан- чиваться элементом производной от Р, т.е. *264-233. h : PeQinfin - cd . xeC‘Pi . э . minp‘(Prj£‘xeC‘V‘P Мы, таким образом, приходим к результату, что если Р обладает по- следним термом, то также и V‘P (*264-24), и если х —какой-либо элемент производной, кроме последнего, то серия Р [ {Р\\‘х представляет собой про- грессию (*264-25), в то время как если х является последним термом про- изводной, и серия Р обладает последним термом, тогда Р [ {Р\\кх финит- на (*264-252). Более того, предположение о том, что Р заканчивается эле- ментом производной, эквивалентно предположению о том, что Р заканчи- вается термом, который не обладает непосредственным предшественником (*264-26). Затем мы переходим (*264-3—403) к рассмотрению отношения Ррг, опре- деленного выше. Если мы возьмем какой-либо терм у вполне упорядочен- ной серии, то найдется некоторый терм х, принадлежащий C‘P-G‘Pi, та- кой, что семейство у в силу Pi представляет собой потомство х. Это выте- кает из *264-233, указанного выше. Таким образом, мы можем разделить поле Р на взаимно исключающие промежутки, каждый из которых явля- ется потомством некоторого элемента C‘P-G‘Pi в силу Р\. Серия серий, полученная таким образом, представляет собой Ррг. Имеется один исключи- тельный случай, когда серия заканчиваются термом, не обладающим непо- средственным предшественником, так как в таком случае потомство этого терма в силу Pi является нулевым, и поэтому Ррг пропускает этот терм. Иначе, мы будем иметь Е‘Ррг - Р\ т.е. мы имеем *264-39. I-: Р е Q infin - cd . ~ (‘Ре C‘V‘P). э . S‘Ppr = Р *264-391. h : Р eQ . В‘РеC‘V‘P. э . L‘Ppr = Р [D‘P Более того, мы имеем *264-36. h : Р е Q . э . Ррг smor V‘P. Ppr с Rel2 excl Из того, что было доказано ранее, мы знаем, что, предполагая PeQ, мы имеем D‘Pprc(D (*264-401); если Р не обладает последним термом, то С‘Ррг с со; если Р является бесконечной и обладает последним термом, то В‘Ррг является финитной, и если последний терм Р принадлежит C‘V‘P, то В‘Ррг = Л. Следовательно, используя *251-63, которое гарантирует нам то, что в силу *264-36, приведенного выше, если C‘Ppr с со, L‘Ppr являются кратными со, то мы находим (*264-44), что каждая вполне упорядоченная А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
162 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ серия имеет ординальное число вида (а х со) + р, где аир могут быть лю- быми ординалами, включая 0г или i (полагая при этом i х а = а, чтобы избежать исключительных случаев). Приведенный выше анализ приводит к тому, что опускаются исключительные случаи, которые требуют специ- ального исследования и делают доказательство длинным; однако в конце получается приведенный выше простой результат. Поскольку кратное Ко не возрастает из-за добавления индуктивного кар- динала, то следует (*264-44), что кардинальное число поля бесконечной вполне упорядоченной серии всегда является кратным Ко (*264-47). Следо- вательно, если все классы могут быть вполне упорядочены, то все кардина- лы, которые не являются индуктивными, представляют собой кратные Ко- В силу теоремы Цермело, получается точно такой же результат, если ак- сиома умножения истинна. *264-01. Ррг = Р [ ’^P7S’V‘P Dft[*264] *264-11. h :. PeQ . э : Ц! sgm‘P. = . PeQinfin Доказательство. h. *263-51. (1) h . *212-152 . *211-41. z> h : PeQ. g! sgm‘P. э . 3! sect/P- i‘A - G‘maxp . [*261-28. Transp] э. PeQ infin (2) h . (1) . (2) . э h . Prop *264-12. h : P e Q . э . CTV‘P = СГР - СГР] Доказательство. h . *216-61. э h : Hp . Ц!Р . z>. G‘V‘P = G‘P- G‘Pj (1) h . *216-612 . *33-241. э h : P = A . э . G‘V‘P = A . G‘P - CTPi = A (2) h . (1) . (2) . э h . Prop *264-13. h :. PeQ . э : a!V‘P. = . PeQinfin - cd Доказательство. h. *264-12. э h Hp . э : g!V‘P. н.д’.СГР-СГР! . [*263-49] = . P e Q infin - cd : h . Prop *264-14. h : P e Q infin - cd . z>. C‘V‘P = C‘P - CTPi [*264-13 . *216-611] *26415. I-P € Q infin - co : ~ E ! B‘P. V . B‘P e Q‘Pi: э . WP =~3‘Pi Доказательство. I-. *264 14. *93 103. => I-: Hp. ~ E ! B‘P. о. C‘V‘P = Q‘P - (TP, . C‘P = D‘P. [*93-101. *250-21] э . C‘V‘P=^‘Pi (1) b. *93-101. oh:P‘PeQ‘Pi .3.C‘P-Q‘Pi cD‘P (2) I-. (2). *264-14. э H Hp. B‘P e (TP, .=>. C‘V‘P = D‘P - Q‘P, [*93-101. *250-21] =^‘Pi (3) h . (1) . (3) . э h . Prop *264-2. h : PeQ. E ! max/^PiV*• • тах/>‘£р^‘х = B'P Доказательство. h . *206-42-46 . э h : Hp . э . seq/(P]V*= ‘maxp‘(PiVx • [*90-16] э . seq/^PiV* c {P\\'x. Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 163 [*206-2] э . seqp^Pj V* = А . [*250-126]э . maxp‘(Pi)ic‘x = В‘Р: э F. Prop *264-21. F : РеQ . Е ! тах/>‘£Р1)*?х. э . Р [ {P\)Sxе Q fin. Р (х н В‘Р) е Cis induct Доказательство. F . *200-35 . э F : Нр . = i‘x. э . Р £ = А (1) F . *260-27 . э F : Нр . (Р\\'х^ Гх. э . xPfn max/^PiVx. [*260-11] э . Р {хн maxp‘(PiVx} е Cis induct (2) [*205-2] э.С‘Р[^‘хе Cis induct (3) F . (1). (2). (3). *264-2 . э F . Prop *264-22. F:PeQ.~ E! max/>‘(Pi>‘x• xeC‘Pi . э . P [ (Pi>‘xea) Доказательство. b. *260-32-34-27. э b : Hp. =>. (P [ fox ‘x}, = ‘x} 1 Pi. (1) [*122-52] э. {P t (тфхИ e Prog (2) b . (1). *260-33. эЬ:Нр.э[{Р]^‘х}1]ро = Р](р^‘х (3) b. (2). (3). *263-1 . э b. Prop * 264-221. b : P e Q.. x (V‘P)y. э . P (x - y) ~ e Cis induct Доказательство. F . *207-34 . *216-6 . э F : Hp . э . xP2y. = ltP‘7*>. [*207-25] э . xP2y. у = ltP‘(^‘x A>y). [*207-13] э . xP2y. ~ E ! maxp‘(jP‘x n"?‘y). [*261-26] э . ^‘x A~?‘y ~ e Cis induct: э F . Prop * 264-222. F : P e Q . ^‘x e Cis induct. э . x ~ e D‘V‘P [*264-221. Transp] *264-223. F : P e Q . P (x - y) ~ e Cis induct .0.3! G‘V‘P A P(x ч у) Доказательство. F . *261-3 . э F : Hp. э . (да). аcP(x-y). 3! а. ~E ! max/а . [*250-122] э . (да) .асР(х-у).д!а.Е! ltF‘a. [*206-213] э . (да) .асР(х-у).д!а. кР‘аеР(хчу). [*206-181] э. 3! D‘ltP‘A СГР А Р(х чу). [*216-602] э . з! CTV‘P П Р(х ч у): э F . Prop * 264-224. F : Р е Q . х = B‘Cnv‘V‘P. Е ! ‘Р. э . ^‘х е Cis induct Доказательство. F . *264-223 . Transp . э F : Нр . э . Р (х - В‘Р) е Cis induct: э F . Prop *264-225. F PeQ . xeC‘Pi . э : E ! max/>‘(PiVx. = . (Pi VxeCls induct [*264-21-22] * 264-23. F P e Q . x e C‘V‘P A C‘Pi . z>: E ! maxp‘(PiVx. = . x = B‘Cnv‘V‘P. E ! B‘P Доказательство. F . *264-2 . э F : Hp. E ! max/^PiVx. э . E ! B‘P (1) F . *264-21 222 . э F : Hp (1). э . x ~ e D‘V‘P. [*93-103] o.x = B‘Cnv‘V‘P (2) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
164 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ Ь. *264-224. э I-: Нр. х = B'Cnv'V'P. Е ! В'Р. э. *Р'х е Cis induct. [*120-481-251] =>.£р])?хе Cis induct. [*90-12 . Hp. *261-26]=>. E ! maxF‘{P0?x (3) b . (1). (2). (3). => h . Prop *264-231. F:PeQ.xeC‘V‘P-C‘P] . э . x= B‘Cnv‘V‘P = B'P Доказательство. h . *250-21. э F: Hp .=>.x~eD'P. [*93-103] z>.x=B‘P. (1) [*216-6] =>.x~eD‘V‘P. [*93-103] =>.x=B‘Cnv‘V‘P (2) F. (1). (2). эЬ.Prop *264-232. F :. PeQ. xeC'V'P. э: (PiУхе Cis induct. = . x = B'Cnv'V'P. E ! B'P Это предложение отличается от *264-23 тем, что не предполагается хе С'Р]. Если В'Р не обладает непосредственным предшественником, то C'PeC'V'P-С'Р], так что В'Р удовлетворяет гипотезе *264-232, но не удо- влетворяет гипотезе *264-23. Доказательство. F. *90-13. э F : Нр . (Р] У ‘х = А. э . х ~ е С'Р]. [*264-231] э . х = B'Cnv'V'P. Е ! В'Р (1) I-. *120-212 . э F : Нр (1). э. fp^'xe Cis induct (2) I-. *264-225 . э h Hp . 3! (P\\'x. э : (Pi^^eCls induct. = . E ! maxp‘(Pi V* • [*264-23] = .x = B‘Cnv‘V‘P.E!B‘P (3) h . (1). (2). (3). o h . Prop *264-233. h : PeQinfin - cn . хе C'P\ . э . minp‘(P^‘xe C‘V‘P Доказательство. h. *250-121. о F : Hp . о . E ! min/(P7)*‘x (1) h . *90-172 . dF: Hp . у (Pi)* x. zP\y . э . ze(Pi)t‘x n~?‘y. [*205-14] э ,y 54minp‘(Pj)£‘x (2) h. (2). Transp . э h : Hp . у - minp‘(7^‘x. э . у ~ e G‘Pj . [*264-14] z>.yeC‘V‘P (3) h . (1). (3). э h . Prop *264-24. h : P e Q infin . E ! B'P . э . E ! B‘Cnv‘V‘P Доказательство. h . *264-12 . o F : Hp . B‘P ~ e C‘Pi . o . B'P e C‘V‘P. [*216-6] o.B‘P = B‘Cnv‘V‘P (1) h . *264-233 . *263-22 . э h : Hp . B‘P e C‘PX . э . min/(P7£‘B‘P e C‘V‘P (2) I- . *205-55 .oh: Hp (2). x - minp‘(Pi^‘^‘P • => • B'P - тз^Р'{Р\\'х. [*264-23.(2)] D.x = B‘Cnv‘V‘P (3) h . (1) . (3) . э h . Prop Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 165 *264-25. F:PeQ.xeD‘V‘P.o.P[^P[J‘xeco Доказательство. F. *264-232 . *250-21. э F: Нр. э . (РгУх ~ е Cis induct. xeD'P] . [*264-225] э . ~ Е 1 maxp'^Pi^'x. xeD'P] . [*264-22] э . Р [ (Р\\'хесо: э F. Prop * 264-251. F: PeQ.. ~ Е ! B'P .xeC'V'P. э . Р [ ^Р^'хе со Доказательство. F. *250-21. =>F:Hp.=>. xeD'P]. [*264-23. Нр] =>. ~ Е ! maxp‘(Pi)t‘x. хе D'P] . [*264-22] э. Р [ (р^'хесо: э F . Prop * 264-252. F: Ре Q. Е ! В'Р. х = B'Cnv'V'P. э. Р [ [Ру ‘х е Q fin Доказательство. F . *264-23. э F: Нр . х е С'Р\. э. Е ! тахр‘(Р1)«‘х. [*264-21] э.Р [^TVxeQfin (1) F.*90-14. z>F:x~eC‘P| .э.Р [th)?x=A (2) F . (1). (2). э F . Prop *264-26. F :. РеQ. э: В'Ре C'V'P. = . Е ! В'Р. В'Р ~ е СГР] Доказательство. F. *14-21. =>F:B‘PeC‘V‘P.=>.E!B‘P (1) F . *264-12 . э F : Нр. В'Ре y'V'P. э. В'Р ~ е СГР] (2) F . *264-12 . э F : Нр. В'Р ~ е СГР]. э . В'Р е C'V'P (3) F . (1). (2). (3). э F . Prop *264-261. F:. PeQ. э : ~ (В'РеC'V'P) . = .С'Р = С'РХ Доказательство. F . *264-26. => F :: Нр. э:. ~ (В'Р е C'V'P). =: ~ Е ! В'Р. V . В'Р е СГР]: [*202-52] s:~§‘Pc(I‘Pj : [*250-21] s:C‘PcC‘Pi: [*121-322] = : C'P = C'P] :: z> F . Prop * 264-3. F:ePprP. = .(ax,y).x(V‘P)y.e = P[(p^‘x.P = P[(p^‘y [(*264-01)] *264-31. F:.PeSer .z>-.QPprR . =. (ax,y).x,yeC‘P-a‘P] . xPy. Q- P [{РхУх. R- P ({Pi\'y 1*207-35 . *264-3. *216-6] *264-32. F.C‘Ppr = P[“fo>“C‘V‘P [*150-22. (*264-01)] *264-321. F : P e Ser. x e C'V‘P. э. ‘x ~ e 1 Доказательство. F. *216-611. э F : Hp. э . xeC'P-Q‘P] (1) F.*90-14. =>F:x~eC‘P] .=>.^PrVx = A (2) F. *121-305. => F : Hp. xeD'P] . э. g! (P])»‘x- i‘x. [*90-12] =>.fo)?x~el (3) h . (1) . (2) . (3) . э h . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
166 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *264-33. I-: PcSer. z>. C“C‘Ppr = ^YV‘C‘V‘P [*264-321. *202-55. *264-32] *264-34. F:PcQ.x,ycC‘P.P [(p^‘x=P [(р^>.э.х = у Доказательство. 1-. *264-321. *202-55. => 1-: Hp. э . (P^‘x = (P^> (1) 1-. (1). *90-12 . э h : Hp . x e C‘Pi . э . x (Pi)* у . у (Pi)* x. [*260-22. *91-541] э. x = y (2) 1-. *250-21. э h : Hp . x ~ e C‘Pi . э . x = B‘P (3) 1-. (1). *90-12-14 . z> h : Hp . x ~ e C‘Pi . z>. у ~ e C‘Pi . [*250-21] э .y = B‘P (4) F.(3).(4). э к : Hp . x ~ e C‘Pi . э . x - у (5) Ь.(2).(5).э1-.Г >rop *264-341. h : PeSer . x,yeC‘V‘P. x (Pi)* у. э . x = у Доказательство. h . *216-611. э h : Hp . э . у ~ e G‘Pi . [*91-504] o.^{x(Pi)poy}. [*91-54] э . x = у: d h . Prop *264-35. h : Pe Ser . x,у e . g! {Р\\‘х П {Р\\‘у. э . x = у Доказательство. I- . *96-302 .oh: Hp . э : x(Pi)* у . V .у (Pi)* x: [*264-341] э : x = y э h . Prop *264-36. h : P e Q . э . Ppr smor V‘P. Ppr e Rel2 excl [*264-34-35] Следующие предложения подводят к *264-39-391. *264-37. h : Р е Q infin - cd . э . s‘C‘Ppr = Pfn Доказательство. h . *264-32 . э h Hp . э : x(5‘C‘Ppr)y. = . (ga). a eC‘V‘P . x,y e(PiV‘« • xPy . [*260-32-27] = . (ga). a eC‘V‘P. x,y e (p^‘a . xPfny. [*264-233-35] = . (ga). a = minp‘(Pi)£‘x = minp a (Pi^‘y. xPfny. [*13-195] = . min/CP^x = min/(Pi)£‘y. xPfny (1) h . *260-27 . э I-: Hp . xPfny. э . (P^ ‘x c (Р^‘у. [*205-5] э . minp ‘(Pi ‘x = minp ‘(Pi ‘У (2) h . (1). (2). э h Hp . э : x(s‘C‘Ppr)y. = . xPfny э h . Prop *264-371. b : PcSer. a (V‘P) b.z>. a?‘b Доказательство. h. *216-6. э h : Hp . э . ае~?'Ь (1) h . *204-71. э h : Hp . xPb . xPxy. ~ (yPZ?). э . у = b . [*33-14] D./?eG‘Pi (2) h . (2). Transp . *216-611. oh:. Hp . э : xPb . xP\y. z>. yPb (3) h . (1). (3). *90-112 .oh:. Hp. э : a (Pi)* x. э . xPb э h . Prop Principia Mathematica III
264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 167 *264-372. F : Р е Ser. =>. F; Ppr cP - Pf„ Доказательство. F . *264-3-321. *202-55 . э F Нр. э: х (F> Рр) у . = .($a,b) .a (V‘P) b. х е (Pi\'a. у е (Р\УЬ. (1) [*264-371] =>. хРу (2) F . *264-35 . э F: Нр .а(^‘Р)Ь.хе(Р\\1а.уе(Р\\‘Ь. э .у ~e(Pi)c‘a. [*90-17] э.у~е(рГ£‘х. [*260-27] D.~(xPfny) h . (1). (2) . (3) . э h : Нр . э . F’ Ppr d Р - Pfn : э h . Prop (3) *264-373. h : Р е Q . ~ (В‘Ре C‘V‘P). э . Р - Pfn gF; Ppr Доказательство. h . *264-261-233 . *263-49 . э h : Нр . х(Р- Pfn) у . э . minp‘(Pi^‘x» minp‘(PJ^‘y eC‘V‘P (1) h . *96-301. э F Hp . minp‘(Pi)^‘x = minp‘(P^‘y . э : x(Pi)* у. V .у (Pi)* x: [*260-27] э : x = у. V . xP^y. V . yPfnx (2) h. (2). Transp . э h : Hp (1). э . minp‘(Pi^‘x Ф minp‘(Pi)i‘y (3) h. (1). *264-371. э h : Hp . minP‘(Pi‘yPminp‘(Pi‘x. э .yPx (4) h . (4). Transp . d 1- : Hp (1). d . ~ {minP‘(Pi ‘yPminp ‘(Pi ‘x} (5) h . (3). (5). э h : Hp(l). э . minp‘(Pi‘xPminp‘(Pi‘y (6) F . (1). (6). э F : Нр(1). э . (да,b). a (V‘P)b. хе(Р\\‘а .ye(Pi)*‘b. [*264-3-321. *202-55] э. х (F’ Ррг) у: э F. Prop *264-38. h:PeQ.~(B‘PeC‘V‘P).=>.F;ppr = P-Pfn [*264-372-373] *264-381. F : Р е Q. ‘Ре C‘V‘P. э . F> Ppr = Р [ D‘P - Pfn Доказательство. F. *264-33. э F : Нр. z>. 5‘C“C‘Ppr с C‘Pi . [*264-26. *42-2] z>. ‘Р~ eC‘F; Ррг. [*264-372] 3.F;pprGP[D‘P-Pfn (1) F. *250-21. э F : Hp. x(P [ D‘P- Pfn)у • => • x,yeC‘Pf . [*264-233. *263-49] э. minP‘(P0*‘x, minP‘(P^‘y e C‘V‘P (2) Отсюда, как в доказательстве *264-373, F : Нр. х(Р t D‘P-Pfn)y. =>. x(F! Ppr)y (3) F . (1). (3). z> F. Prop *264-39. F: P e Q infin - ю. ~ (B‘P e C‘V‘P). =>. E‘Ppr = P [*264-37-38 . *260-12 . *162-1] *264-391. F: Pe П. B‘P eC‘V'P. =>. E‘Ppr = P [ D‘P Доказательство. F . *264-13. => F : Hp. э . P e Q infin - io (1) F . *260-27. э F : Hp. э. Pfn = Pfn [ C‘Pi [*264-26] =Pfn [D‘P (2) F . (1). (2). *264-37. *260-12 . э F : Hp. =>. PC‘Ppr = Pfn gP [ D‘P (3) F . (3). *264-381. э F . Prop *264-4. F:PeQ.~E!B‘P .э.С‘Рргссо [*264-251-32] А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
168 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *264-401. F : PeQ. =>. D‘Ppr сю Доказательство. I-. *151-5 . *264-34. э F : Нр. э . D‘Ppr = Р [“^X“D‘V‘P (1) F.(1). *264-25 . э F. Prop *264-402. F: Р е Q infin. E ! B'P. э . B‘Ppr e Q fin Доказательство. I-. *264-24. э F: Hp. э . E 1 B‘Cnv‘V‘P. [*151-5. *264-34] э. B‘Ppr = P [ fo)?B‘Cnv‘V‘P. [*264-252] э . B‘PpreQ fin: э F . Prop *264-403. F : P e Q. B'P e C'V'P. э. B‘Ppr = A Доказательство. F . *264-26-231. э F: Hp. э. B'P ~ e C'Pj . B'P = B‘Cnv‘V‘P. [*90-14] o.^‘B‘Cnv‘V‘P = A. [*151-5. *264-34] э. B'Ppi = A: э F. Prop Следующие предложения касаются различных возникающих случаев. Их конечный результат выражается в *264-44. *264-41. F : Р е Q infin - со. ~ Е ! В'Р. э. Nr‘P = Nr‘V‘P х со Доказательство. F. *264-36-4. э F : Нр. z>. Ppr е Rel2 excl П Nr‘V‘P. C‘Ppr с со. [*251-63] э . S‘PpreNr‘V‘Px со. [*264-39] э . PeNr‘V‘Pх со: э F . Prop *264-42. F: Ре Q. В'Р ~ е C'V'P. V‘P е 2Г. э . Nr‘P = со + Nr‘B‘Ppr Доказательство. F . *264-36. э F : Нр. =>. Ррг = (В‘Ррг) | (В‘Ррг). [*162-3. *264-39-13] z>. Р = В‘Ррг 4 В'Рр,. [*264-36-401] э. Nr‘P = со + В‘Ррг: э F . Prop *264-421. F:PeQ.B‘PeC‘V‘P. V‘Pe2r. э. Nr‘P = со + i Доказательство. F . *264-36 . э F : Нр. э . Ppr = (B‘Ppr) j (B‘Ppr). [*162-3 . *264-391-13] э . P [ D‘P = B‘Ppr 1 B'Ppr [*264-403 . *160-21] = B'PpI. [*264-401] 2>.P[D‘Peco. [*204-461] z>.Peco+l:z>F. Prop *264-422. F: P e Q infin - co. B'P ~ e C'V'P .V‘P~e2r.z>. Nr‘P = {Nr‘(V‘P) t (D'V'P) X co) + Nr‘B‘Ppr Доказательство. F . *264-36. *204-272 . э F : Hp. э . D‘Ppr ~ e 1. [*204-461. *264-24-36] z>. Ppr = Ppr [ D‘Ppr +• B‘Pp[. [*162-43. *264-39] э.Р = Е‘(РРг [ D‘Ppr)4B‘Ppr (1) F . *264-36-401. *251-63. э F: Hp. э. Nr‘E‘(Ppr [ D‘Ppr) = Nr‘(V‘P) [ (D'V'P) x co (2) F. (1). (2). *264-36. э F . Prop Principia Mathematica III
*264. ПРОИЗВОДНЫЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫХ СЕРИЙ 169 *264-423. I-: Р е Q. В'Р е C‘V‘P .V'P~e2r.z>. Nr'P = {Nr'(V'P) [ (D'V'P) x co} + i Доказательство. Как в *264-422, F : Hp. э . Ppr = Ppr [ D‘Ppr -H P'Ppr. [*162-43 . *264-391] э . P [ D'P = S‘(Ppr [ D‘Ppr) * B‘Ppi [*264-403] =L‘(Ppr [D'Ppr) (1) F . *264-36-401. *251-63 . э F:Hp.э. Nr‘S‘(Ppr [ D‘Ppr) - Nr'(V'P) [ (D'V'P) X co (2) F . *204-461. э F : Hp. э . Nr'P = Nr‘(P ] D'P) + 1 (3) F. (1). (2). (3). dF .Prop *264-429. 1 x a = a Df Это определение предназначено только для того, чтобы позволить нам включить 1 наряду с ординалами в общие формулы. *264-44. F : PeQ. э . (ga,Р). aeNO U i‘i. Ре NO fin U i'I. Nr'P = (ax co) + p Доказательство. F . *160-22. *166-13. z> F : P e Q fin. э . Nr'P = (0r x co) + Nr'P (1) F.*160-21, э F : P = co. э . Nr‘P = (i X co) + 0r (2) F . *264-41. *160-21. э F : PeQinfin - co. ~ E! B‘P. э . (ga). aeNO . Nr'P = (a x co) + 0r (3) F . *264-42-402 , э F : PeQ. B'P ~ eC'V'P. V‘Pe2r.D.(gP). PeNO fin, Nr‘P = (i X co)+ p (4) F.*264-421. э F : PeQ. 5‘PeC‘V‘P. V‘Pe2r. э . Nr‘P= (i x co) + i (5) F. *264-422-402. z> F : PeQ infin - co . B'P ~ e C'V'P. V'P ~ e 2r. z>. (ga, P). a e NO . P e NO fin. Nr'P = (a x co) + p (6) F . *264-423 . z> F : PeQ. B'PeC^'P .V‘P~e2r.z>. (ga). aeNO. Nr‘P= (ax co) + i (7) F . (1). (2). (3). (4). (5). (6). (7). э F . Prop Следующие предложения позволяют применять приведенные выше ре- зультаты к кардинальному числу поля вполне упорядоченной серии. *264-45. F : Ре Q. V'Pе 2Г. э . Nc'C'P = Ко Доказательство. F , *264-42-402 , *180-71. *152-7, э F : Нр. В‘Р~ eC'N'P. э. (gp). peNC induct. Nc‘C‘P = C“co+Cv. [*263-101. *123-41] э. Nc'C'P = Ko (1) F . *264-421. *181-62 . э F : Hp . BlPe CVP. э . Nc'C'P = C“co +C1 [*263-101. *123-4] =K0 (2) F . (1). (2). э F . Prop *264-451. F : Pe Q infin - co. ~ E ! B'P. э , Nc'C'P = Nc‘C‘V‘PxcK0 Доказательство. F, *264-41, *184-5 , э F : Hp. z>. Nc'C'P = Nc‘C‘V‘PxcC“co [*263-101] = Nc‘C‘V‘PxcN0 : oF.Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
170 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *264-452. F : Ре Q infin - со. V‘P ~ е 2r. В'Р ~ € C'V'P. з . Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0 Доказательство. F. *264-422 . *184-5 . *180-71. з F:Нр.з. (gp). peNC induct. Nc‘C‘P = (Nc‘D‘V‘PxtNo) +cp (1) F . *123-43 . *117-62 . з F: Hp. p eNC induct. з . p < Nc‘D‘V‘PxcNo . [*117-561] з . (Nc‘D‘V‘P+t.K0) +cp «С (Nc‘D‘V‘PxcN0) +c (Nc‘D‘V‘PxcN0) [*123-421. *113-43] < Nc‘D‘V‘PxcN0 (2) F . (1). (2). *117-6-25 . з F: Hp . з . Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0 : з F . Prop *264-453. F : P e Q infin - co. E ! B'P. V‘P ~ e 2r. з. Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0 Доказательство. Как в *264-452, F . *264-423. з F : Hp . B'Pe C‘V‘P. з. Nc‘C‘P = Nc‘D‘V‘PxcN0 (1) F . (1). *264-452 . з F. Prop *264-46. F : P e Q infin - co. з . Nc‘C‘P = Nc‘C‘V‘PxcN0 Доказательство. F . *123-421. *264-45. з F : Hp . V‘Pe 2r. з . Nc‘C‘P = Nc‘C‘V‘PxcX0 (1) F . *264-453 . з F : Hp . E ! B‘f>. V‘P ~ e 2r. Nc‘C‘V‘P = p +C1. з. Nc‘C‘P = p xcN0 [*123-421. *113-43] (p xcN0) +c (p xcN0) (2) F. *117-571-6.3 F:Hp.з.p xcK0 C (p +c 1) xcK0 . (p +c1) xcK0 < (p xcN0) +c (p xcN0) (3) F. (2). (3). з F: Hp. з. Nc‘C‘P = (p +cl) xcK0 [Hp] = Nc‘C‘V‘PxcX0 (4) F . (1). (4). *264-451. з F. Prop *264-47. F: PeQ infin. 3.(ap).peNC-i‘O.Nc‘C‘P=pxcNo [*264-46] *264-48. F : aeC“Q - Cis induct. з. Nc‘aeD‘(xcNo) [*264-47] Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ 171 * 265. Серии алефов Краткое содержание *265. В настоящем параграфе мы ограничимся наиболее простыми свойства- ми рассматриваемых ординалов и кардиналов. Самые важные предложе- ния, подлежащие доказательству, есть экзистенциональные теоремы. Все они зависят от аксиомы бесконечности; кроме того, по мере того как рас- сматриваемые числа становятся больше, экзистенциональные теоремы тре- буют более высоких типов. В силу определения в *262, (Ко)г представляет собой класс вполне упо- рядоченных серий, чьи поля обладают Ко термами. Это не ординальное число, а логическая сумма определенного класса ординальных чисел, а именно Nr“(Ko)r- а>1 является наименьшим ординалом, чье поле обладает более чем Ко термами. Тем не менее, мы не принимаем это в качестве определения (Dj: мы определяем иц как класс отношений Р таких, что отношения, меньшие, чем Р (в смысле *254), являются такими вполне упорядоченными сериями, которые финитны или обладают Ко термами в своих полях, т.е. (Di = Р {Iess‘P = (Ко) г U Q fin} Df. На основании *254-401, непосредственно следует, что если Pecoi, то Р является вполне упорядоченной серией и <jl>i представляет собой ее ординальное число (*265-11). Следовательно, (Щ есть ординальное число (*265-12), хотя мы и нуждаемся в аксиоме бесконечности, чтобы показать, что «1 существует. Допуская аксиому бесконечности, экзистенциональная теорема для оц выводится из серии ординалов, которые являются финитными или принад- лежат серии из Ко термов. Для удобства обозначений мы временно опре- деляем эту серию как N; таким образом, N = (<•) С {NO fin U Nr“(^о) г) Dft [*265]. Оказывается удобным временно записывать М для таким образом, М = <• Dft *265. Легко доказать, что если Ко существует, то N представляет собой ац (*265-25). Следовательно, мы получаем экзистенциональную теорему для 0)1 в каждой из двух форм: * 265-27. Ь : з! Ко П f а . э . з! 0)1 А г117оо‘а * 265-28. h : Infin ах (л). э . g! оц А ?1 ‘Р3 ‘л Легко доказать, что оц больше, чем ординальное число любой серии из Ко термов (*265-3), и что если o)i существует, то лК)1 = NO fin U Nr“(Ко) г (*265-35), т.е. ординалы, меньшие, чем оц, есть такие ординалы, которые применя- ются к сериям из Ко термов или из конечного числа термов. Мы определяем Ki как C“o)i, т.е. как класс тех классов, которые могут быть упорядочены в серию, чье ординальное число есть (Ор Из *152-71 сле- А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
172 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ дует, что таким образом определенное Nj является кардинальным числом (*265-33), и что если No существует, то Ni>N0 (*265-34). В точности аналогичным образом мы можем положить о)2 = Р {iess‘P = (Ni)r U (No)г U Qfin} Df, К2 = С “(1)2 Df. Теоремы, подобные приведенным выше, могут быть доказаны для о>2 и N2 подобными же методами. Мы можем перейти к cov и Nv, где v — любое ординальное число. Однако наши методы доказательства экзистен- циональных теорем не работают, если v не является финитным, поскольку на каждой стадии экзистенциональная теорема доказывается в пределах бо- лее высокого типа, а мы отдаем себе отчет во всяком отсутствии смысла приписывать тип, чей порядок не финитен. Легко доказать, что сумма двух ординалов, которые меньше, чем ац, яв- ляется меньшей, чем (Ор Многое из принимаемой теории (Ко)г и а)> зависит от предложения о том, что предел любой прогрессии ординалов, меньших, чем о>1, является меньшим, чем оц, так что в серии N каждая прогрес- сия обладает пределом в пределах серии. Это предложение — или в любом случае предлагаемое его доказательство — зависит от аксиомы умножения. Доказательство, в общих чертах, следующее: Легко доказать, что ординал, который обладает Ко предшественниками, должен быть элементом Nr“(Ko)r, т.е. должен быть, на языке Кантора, ор- диналом второго класса. Рассмотрим любую прогрессию Р, содержащуюся в N, т.е. рассмотрим серию cq, 012, ...av,... возрастающих ординалов вто- рого класса. Интервал между двумя любыми последовательными термами этой серии является или финитным, или обладает Ко термами. Следова- тельно, N^C'P, т.е. класс ординалов, предшествующих пределу нашей се- рии, представляет собой сумму Ко классов, каждый из которых финитен или обладает Ко термами. Затем выдвигается положение о том, что, по- скольку KoXcNo = Ko, весь класс N“C‘P должен состоять из Ко термов. Это заключение, за исключением особых случаев, требует аксиому умножения, так как оно зависит от *113-32, т.е. h Mult ах . z>: ц, veNC . кеv П ClехсГц . э . 5‘ке ц xcv. Отсюда следует, что за исключением тех, кто не отвергает аксиому умножения, не может рассматриваться как доказанное утверждение о том, что (Di не является пределом прогрессии меньших ординалов. Вместе с этим многое из общепризнанной теории ординалов второго класса ста- новится сомнительным. Например, Кантор переходит к определению сово- купности ординалов второго класса как пределов серий таких ординалов. Вероятнее всего, что касается всех ординалов, которые он определил та- ким образом, доказательство того, что они принадлежат второму классу, может быть обнаружено посредством упорядочивания финитных целых чи- сел в серию определенного типа. Однако просто того факта, что они пред- ставляют собой пределы прогрессий чисел второго класса, самого по себе не достаточно, чтобы доказать, что они —второго класса. Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ 173 В качестве другого примера мы можем упомянуть весьма интересную работу Хаусдорфа18, которая во многом основывается на предложении о том, что терм, который является пределом a>i, выбранной из заданной серии, не может быть пределом со, выбранной из той же самой серии. Это предложение представляет собой следствие предложения о том, что o)i не является пределом прогрессии меньших ординалов и должно из-за это- го рассматриваться как сомнительное. Хаусдорф строит посредством этого много примечательных серий, например, компактные серии, в которых нет прогрессии или нет регрессии, обладающей пределом. Существование таких серий выглядит, однако, как нерешенный вопрос, если не предполагается аксиома умножения. Не выглядит невозможным то, что доказательство, не зависящее от ак- сиомы умножения, может быть обнаружено для предложения о том, что а>1 не является пределом прогрессии; однако пока такое доказательство не будет найдено, указанное предложение не может рассматриваться без ого- ворок. *26501. on =P{less‘P = (N0)rUQfin} Df *26502. Ni=C“o)i Df *265-03. o)2 = P {less‘P = (ND r U (No) r U Q fin} Df * 265-04. N2 = C“o)2 Df И т.д. * 265-05. M = < Dft[*265] Это определение возобновляется из *256. * 265-06. N = M HNOfinUNr“(N0)r} Dft[*265] Экзистенциональная теорема для o)i выводится из N, поскольку если Ко существует, то 2Veo)i. * 265-1. F Ре o)i . = : QlessP . =q . QeQ . C'Q e Cis induct U No [(*265-01)] * 265-11. F : Peo)i . z>. 0)i = Nr‘P .PeQ Доказательство. F . *265-1. z> F : Hp . э . A lessP. [*254-1] D.PeQ (1) F . *254-401. (1). (*265-01). э F : Hp . Q e 0)i . z>. Q smor P (2) F . *254-401. (1). (*265-01). э F : Hp . Q smor P . z>. = (No) r U Q fin . [(*265-01)] э.2ео)1 (3) F . (1). (2). (3). z> F . Prop * 265-12. F . oi e NO [*265-11. *256-54] * 265-13. F : a e NO infin . э . M [ e a Доказательство. I- . *256-202 . z> F : P e Q infin. z>. Nr‘Af [ (A?‘Nr‘P) = Nr‘(P [ d‘P) [*262-112] = Nr‘P (1) F. (1). *262-11. э F. Prop 18 Untersuchungen uber Ordnungstypen. Berichte der mathematisch-physischen Klasse der Koniglich Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Feb. 1906 and Feb. 1907. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
174 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *265-2. I-. aw = NO fin - i‘0r U Nr “(No) r = ХГ‘Ог [*255-51] *265-21. h : я! No . a e NO fin U Nr“(K0) r. э. M [ л!‘а lessN. a M (Nr W). a c less W Доказательство. F. *253-13 . *265-2. z> F : Hp . a e NO fin U Nr“(N0) r э . M [ Й‘а e D‘N? . [*254-182] э. M [ Й‘а lessN (1) I-. (1). *265-13 . э F : Hp. aeNr“(No)r. э . aAf(NrW) (2) F . (2). *263-31-101. э F : Hp. a e NO fin. z>. a Мы . ыМ (Nr‘N). [*256-1] z>.aM(Nr‘N) (3) F . (2). (3). э F : Hp. aeNOfin U Nr“(No)r • э • aA/(Nr‘N). (4) [*255-17] D.aclessW (5) F . (1). (4). (5). z> F . Prop * 265-22. F:g! No • э . QfinU (No)r clessW [*265-21] * 265-23. F: PeD‘N? . z>. (ga). aeNOfinU Nr“(N0)r. P = M [ л!‘а. Nr‘P = a [*265-2. *253-13. *265-13. *262-7. *120-429] * 265-24. F : PeD'N^ . z> . PeQfinU(N0)r [*265-23] * 265-25. F :g! No . э . Neo)] Доказательство. F . *254-41-12 . э F: PlessN. . (g Q). Q e D . P smor Q. [*265-24. *261-18 . *151-18] z>. PeQfinU (N0)r (1) F. (1) .*265-22. z>F:Hp.z>. less‘N = Q fin U(N0)r. [*265-1] э . NetO] : э F . Prop * 265-26. F:aeKo. э .Nor;(less [^“Cl‘a)e(Oi .Nor’(less [d“Cl‘a) = N Доказательство. F . *254-431. *150-37. z> F.Nor’(less [C“Cl‘a) = (NorHess) [ Nor“(Q A C“Cl‘a) (1) F . *123-16. э F : aeN0 . z>. Nor“(Q A C“Cl‘a) c NO fin UNor“(No)r (2) F . *123-14. *262-18-21. э F : aeNo . peNC induct - i‘l. э . g! pr A d“Cl‘a: [*262-25] э F: aeNo . veNOfin. z>. g! v AC“Cl‘a. [*152-45] z>.veNor“C“Cl‘a (3) F . *152-7. z> F : Pe(N0)r. a eN0 . э. aeC“Nor‘P. [*60-34] =>.Nr‘PeNor“C“Cl‘a (4) F . (3). (4). э F : a e No . э . NO fin U Nr“(N0) r c Nor“«?‘Cl‘a A Q) (5) F . (2). (5). э F : a e No . z>. NO fin U Nr“(N0) r = Nor“(C“Cl‘a A Q) (6) F . (1). (6). (*255-01. *265-05-06). э F : a e No . э . Nor; (less [ 6“Cl‘a) = N. [*265-25] э. Nor’(less [ <?“Cl‘a)ecoi : э F. Prop * 265-27. F : g! Nq A r‘a. э . g! CO] AZn‘roo‘a Доказательство. h . *64-55 . z> h : P e f a . C'P c p . z>. P e too'a (1) h . (1). z> h : Pefa . э . б“С1‘Р c fa/a . [*155-12 . *63-5] э . Nor“6“Crp c ffa/a . [*64-57] z>. Nor’(less [ £‘СГр)€Ги ‘/oo‘« (2) h . (2). *265-26 . э h . Prop Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ 175 *265-28. F : Infin ах (х). э . g! соi А ?1 ‘Г33 ‘х Доказательство. F . *123-37. z> F : Нр . z>. g! No A t't3 ‘х. [*265-27] o.gloh ГПп7оо‘Г3‘х. [*64-312] э . з! (Di A Z11733‘х: э F . Prop Предложения, касающиеся и о)2, и в общем Nv и cov, где v пред- ставляет собой индуктивный кардинал, доказываются в точности так же, как доказываются приведенные выше предложения. Насколько нам извест- но, не найдется, однако, никакого доказательства существования алефов и омег19 с бесконечными суффиксами вследствие того факта, что тип воз- растает с каждой последующей экзистенциопальной теоремой, и что бес- конечные типы кажутся бессмысленными. *265-3. F : а е Nr“(N0) г • =>. а <-o)i [*265-22-25] *26531. F:a!N0.z>.Ni ^Ко Доказательство. F. *265-25. z>F:Hp.D.CWeKi (1) F. *265-2. э F . NO fin - i‘0r с C'N (2) F . *262-19-21. *123-27 . z> F : Нр . э . NO fin - i‘0r e Ko (3) F . (2). (3). z> F : Hp . z>. Nc‘CW No (4) F . (1). (4). z> F . Prop *265-32. F : g! Ko . . No / Ki . No A Nj = A Доказательство. F . *265-3 . э F : P e Q . C'P e No . э . P ~ e o)i . [(*265-02)] э.ёР~еК0! (1) F . (1). *262-18 . (*265-02). z> F . No П K01 = A . э F . Prop *265-33. F . Ki e NC [*152-71. *265-12] *265-34. F : g! Ko . э . Ki >N0 [*265-31-32-33 . *255-74] *265-35. F: g! co, .z>.aK)i = NO fin U Nr “(No) r Доказательство. F. *265-3. *263-31. z> F : Hp . э . NO fin U Nr“(K0)r cAI'ioi (1) F. *265-11. z> F : Рею, . Nr‘2eAl‘a)i . z>. 2 lessP. [*265-1] э. Nr'OeNO find Nr“(N0)r (2) F . (1). (2). э F . Prop *265-351. F:Peo)j . = .g!o)i . Nr“D‘P? = NO fin U Nr“(K0)r Доказательство. F. *256-11. *265-35. z> F : g! o)i . Nr“D‘P? = NO fin A Nr“(No)r. = . g! cdj . A?‘Nr‘P = aI‘o>i . [*256-1. *204-34] = . Pe0)1 : z> F . Prop *265-352. F : Peo)j . d . Nr“D‘P? = л!‘о)1 [*265-35-351] 19 Алеф — кардинальное число, омега — порядковое число. — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
176 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ *265-36. I-: a, PeNr“(N0)r. =>. а + peNr“(N0)r Доказательство. F . *180-71. э F : Нр . э . С“(а + р) = С“а +сѓР[*262-12] =Ко+сКо [*123-421] = N0. [*262-12] z>. а + Р 6 Nr “(No) г: z> F . Prop *265-361. F . а, р е NO fin U Nr“(N0) г. э . а + р е NO fin U Nr“(N0) r [Док-во, как в *265-36, используя *120-45 и *123-41] *265-4. F : Ре 0)1 .ас C'P. Р*“а е Cis induct U No . z>. 3! р‘^“а Доказательство. F . *265-1. z> F : Нр . z>. (Р [ Р*“а) lessP. [*254-51] э.Р*“а^С‘Р. [*202-504] э . з! р‘^“а : z> F. Prop *265-401. F : Ре а>1 .ас С‘Р. Р“а е Cis induct U No . z>. 3! р‘^“а Доказательство. F . *205-131. z> F : Hp . z>. P*“a = P“a U пйр‘а . [*205-3 . *120-251. *123-4] э . P*“ae Cis induct U No . [*265-4] z>. 3! p‘?“a : э F. Prop *265-41. b : Peo)i . э .~?“C‘PcNo U Cis induct .T*“C‘PcNo U Cis induct Доказательство. F . *254-182 . э F :. Hp . z>: леС‘Р. э . (P lessP. [*265-1] z> ,?‘xe No U Cis induct (1) F . (1). *120-251. *123-4 . z> F :. Hp . э : x e C'P. z>. ‘x e No U Cis induct (2) F . (1). (2). э F . Prop *265-42. F : P e 0)i . э . G‘P c D‘P Доказательство. F . *265-4-41. э F : Hp . xeG'P .03! p'<P''i'x. [*53-01-31] z>. xeD'P : d F. Prop *265-43. F : Peo)i . xeC'P . z>. P [ K‘^eo). E ! ltp‘^fh‘x Доказательство. F . *264-2 . *265-42 . z> F : Hp . z>. ~ E ! maxp‘?Tfh‘x. (1) [*264-22] z>.P[^fn‘x€<D (2) F. (2). *265-41. *123-421. э F:Hp.э. • [*265-401] [(1). *250-123] z>.E!ltp‘5?f„‘x (3) F. (2). (3). z> F. Prop *265-431. F : P e coj . Q G.P. x e C‘Q. ^‘x c frfn ‘x. э . g! p‘^“C‘Q Доказательство. F . *265-43 . z> F : Hp . z>. C'Q c7Htp‘JTfn‘;r: z> F . Prop Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ 177 *265-44. F : Pewj . хеС'Р. э . Р [ X^'xecoi Доказательство. F. *253-13 . э F: Нр. э. D‘(P [ X ‘х)? = Я ((gy). хР*у. Я - Р [ Р(х н у)) (1) F . *254101. э I-: Нр . хР*у. э Nr‘P [ Р(х Н y)<j Nr‘P [~?‘у. [*265-352] z>.Nr‘P [Р(хку)еЙ‘<й1 (2) F . *265-352 . э F : Нр. э . Nr'P f?‘xejil'a)i (3) F. (3). *265-361-35 . z> F : Hp. аелЬо)! . z>. Nr‘P [?‘x + aeAl'wi . [*265-351] z>. (gy). Nr'P [?‘x + а = Nr'P f?‘y. [*253-47-11] z>. (gy) • xP*y. Nr'P [7*‘x + а = Nr'P f?‘y. [*204-45] z>. (gy). xP*y. Nr'P [”?‘x + a = Nr'P ["?‘x + Nr'P [ P(xl-y). [*255-564] э . (gy). xP*y. а = Nr‘P [ P(x H y). [(1)] z>.aeNr“D‘(P[X‘x)? (4) F . (2). (4). э F: Hp. э . Nr“D‘(P [ X‘x)? = M'wi . [*265-35-351] э . P [ % ‘x e co,: z> F . Prop *265-441. F : P e Ser. Q, R e а» О Rl'P. R G Q. z>. P'‘C‘R = P“C‘Q. Q‘‘C‘R = C‘Q Доказательство. F . *263-27. Transp . z> F : Hp. э. ~ E ! тах^'С'Я. [*205-123] [*37-2] э.С‘Яс2“С‘Я. э.ГёЯсР“2“С‘Я (1) [*37-15-2] cP“C‘2 (2) F . *263-47. Transp . [(1). *202-51] . э F : Hp. э . p‘^“C'R = A . Э.С‘(2 = (2“С‘Я. (3) [*201-5. Hp] [(2)] э.ГёесГёЯ. э.Р“С‘Я = Гёе (4) F . (3). (4). z> F . Prop *265-45. F Pea)] . Qg.P : xeC‘Q. . a1- ^F'x- ^fn‘x: Qeu). S =xy{x€C‘Q.y = mmQ‘(%)‘x-<RfD‘x)}.R = S [ э . Яро a). Яро G Q. P C Rpe — P C Q Доказательство. F. *32-181 .=>F:Hp.z>.S g£>. (1) [*91-59. *201-18] э.ЯроС(2 (2) F . *263-11. z> F Hp. z>: xe.C‘Q. эЛ . E ! 5‘x: [*71-571] э : 5 e Cis —> 1 . C‘2 c D‘5 : [(1)] z>:5 eCis—> 1 . Q'S cD'S : [*122-51. *96-21] D.-PeProg: [*263-1] э:Яроесо (3) F . (2). (3). *265-441. э F : Hp. z>. Р“С‘Я = P“C‘Q (4) F . (2). (3). (4). э F . Prop *265-451. F Hp *265-45. э : xe C‘R. z>. P (x н ЯГх) e Ko Доказательство. F . *265-45. *263-14 . z> F Hp. z>: хеС'Я. z>. Я]‘х = S‘x. [Hp] э .Я1‘хе?‘х- ^fn'x. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
178 ГЛАВА 5. КОНЕЧНЫЕ И БЕСКОНЕЧНЫЕ СЕРИИ И ОРДИНАЛЫ [*260-131]ю . Р (х н R\‘х) ~ е Cis induct (1) F . *265-41. э F:. Hp . z>: x e C‘R . э . P (x I- R\ ‘x) e No U Cis induct (2) F . (1). (2). э F . Prop *265-452. F : Hp *265-45 . g! P (x н Rx ‘x) А P (x н j?i‘y) . z>. x = у Доказательство. F . *201-18 . э F Нр . z>: хР (R\ ‘у). уР (R\ ‘х): [*14-21] э : х,уЕёР. xP(R\‘y) .yP(R\‘x): [*204-41. *265-45] z>: xR^ (Ri‘у) . у Rpo (R{ ‘x): [*204-71] id : x = у . V . xFpoy : у = x. V . yRpQx: [*4-41] э : x = у . V . xFpoy . yFpox: [*204-13 . *265-45] z>: х = у z> F . Prop *265-453. F : Нр *265-45 . к = a {(gx). х е C'R . а = Р (х н Rx ‘х)}. z>. к e No П Cl excl‘N0 . 5‘к = F‘‘С‘Я А А ‘‘C‘R [*265-451-452] *265-454. И Нр *265-453 : KeNo A Cl excl‘No . . 5‘к е No : э . F‘ ‘C‘R А А “ёРе No [*265-453] *265-46. F Реа>1 . Qeco A R1‘F: xeC'Q . z>x. g! <2‘х- $Tfn‘x: к eNo A Cl excl‘No . эк . 5‘ке No : э . F“C‘Qe No [*265-41-454. *123-421] *265-461. F: Нр *265-46. э . g! p‘*P“C‘Q [*265-46-401] *265-47. F:. Fecoi . Qe со A RTF: keNq A ClexcFNo . эк • s‘kcNo : z>. g!p‘?“C‘(2 [*265-461-431] *265-48. F:. kcNq A Clexcl‘No . z>K . 5‘к e No : z>: P E CD! . Q E co A R1‘F. z>. E ! ltP‘C‘2 [*265-47. *250-123] *265-481. F : Mult ax . z>. Hp *265-48 [*113-32 . *123-52] *265-49. F Mult ax.oiPecoi.QecoA R1‘F. z>. E ! lt/C‘2 [*265-48-481] Это предложение показывает, что, принимая аксиому умножения, лю- бая прогрессия ординалов второго класса (т.е. состоящая из серий, обла- дающих No термами) имеет предел второго класса, потому что Necoi. *265-5. F : Fecoi . Qe со . C‘Q с C‘F. ~ Е ! maxp‘C‘2 • R = ху [xeC'Q.y- min^‘(A‘x А <2‘x)}. S -R [ ^R^B'Q . z>. S pQ E . S pQ G. P • P C S pQ — P C Q Доказательство. F. *205-11. z> F : Hp . z>./? gP ./? gQ . (1) [*201-18] ^.Spo^P.SpoGQ (2) F.*205-197. э F : Hp . xeC‘2 . ^с‘хс"?*‘х. э . x = maxp‘5k‘x (3) F . *263-412 . *261-26 . z> F : Hp. x e Q‘G. z>. E ! maxp'^'x (4) F . (3). (4). *205-193 . z> F : Hp. x e C‘Q. & ‘x с A ‘x. э . E ! maxP‘C‘Q (5) F . (5). Transp . э F Hp. z>: xeC‘Q. э . g! ^.‘x-. [*91-542 . *202-103] z>. g! ^‘хП *P'x. [*250-121] э.Е!Я‘х (6) F . (1). (6). *12-51. э F : Hp. э. S e Prog. [*263-1] o.Spoeio (7) F . (2). (7). *265-441. z> F: Hp. э. = P“C'Q (8) F . (2). (7). (8). = F. Prop Principia Mathematica III
*265. СЕРИИ АЛЕФОВ 179 *265-51. h : Нр *265-48 . Р е (Oi . а е Ко А СГС'Р. ~ Е ! max/а. э . Е ! It/a Доказательство. h . *265-5 . э h : Нр. э . (gS). S е со A RTP. P“C‘S = a (1) h . (1). *265-48 .oh. Prop Следующие предложения вытекают без труда. *265-52. h Нр *265-48 . Р е (Oi . э : а П С‘Р е Ко U Cis induct. =. g! С‘Р П р^“(а п С‘Р) [*265-51-41] *265-53. h :: Нр *265-48 . э Р е (Oi . = : РеО.: a A C‘PeNo U Cis induct. эа. 3! С'Р А р‘^“(а А С'Р) *265-54. h : Р е (Oi . э . G‘V‘P с ltP“C“((o A RTP) [*265-5] Т.е. каждая предельная точка в (Oi является пределом прогрессии, ко- торая есть то, что (следуя Хаусдорфу) может быть для удобства названо как (о-предел. *265-55. h : Ре(Oi . э . G'V'P = lt/‘C“((o А RTP) [*265-54 . *216-602] Это предложение, подобно *265-48, не утверждает того, что каждая про- грессия в Р обладает пределом, и по этой причине оно не требует гипотезы *265-48. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ Краткое содержание главы 6. Компактная серия представляет собой серию, в которой между двумя любыми термами найдется терм, т.е. для которой РсР2, где Р является генерирующим отношением. Мы можем назвать любое отношение Р ком- пактным, когда PgP2; тогда транзитивное компактное отношение будет отношением, для которого Р = Р2. Следовательно, сериальное отношение Р является компактным всякий раз, когда Р-Р2. Компактные серии вообще имеют определенные свойства, некоторые из которых уже были доказаны; однако большинство наиболее интересных предложений по этому поводу появляется при добавлении некоторого другого условия, кроме компакт- ности. Таким образом, серии, обладающие Дедекиндовой непрерывностью, которые имеют много важных свойств, являются компактными и Дедекин- довыми. Рациональные серии (т.е. такие, как ординально подобные серии всех рациональных чисел, положительных и отрицательных, или, что эк- вивалентно, серии рациональных правильных дробей) определяются как компактные без начала или конца и состоящие из Ко термов. К тому же такие серии имеют много важных свойств. Непрерывная серия (в Канторо- вом смысле) представляет собой Дедекиндову серию, содержащую рацио- нальную серию таким образом, что найдутся термы указанных рациональ- ных серий между любыми двумя термами заданной серии. Эта разновид- ность компактных серий также обладает многими важными свойствами. Она состоит из всех серий, ординально подобных серии вещественных чи- сел, включая 0 и оо.
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 182 * 270. Компактные серии Краткое содержание *270. Предложения настоящего параграфа являются по большей части или очевидными, или повторениями ранее доказанных предложений. Последние повторяются здесь для удобства ссылок. Мы полагаем comp = Р(PgР2) Df, так что класс компактных серий есть Ser П comp. Мы имеем *27011. h Ре comp . = : xPy. эх>,. д! ^'хоГР'у * 70-34. h : Р е trans П comp . э . <;'Р = sgm‘P Предложение $‘Р* sgm‘P*, которое было доказано в *212, представляет собой частный случай приведенного выше. * 270-41. h : Р е Ser П comp . z> . Nr‘P с Ser П comp Т.е. серия, которая подобна компактной серии, является компактной се- рией. * 270-56. h : Р е Ser. Q е Q. ~ Е ! В'Р. ~ Е ! B'Q . э . PQ е Ser П comp Это предложение дает нам средства конструирования компактных се- рий различных типов, таких как соехргсо, со ехрг (Щ, и т.д. * 270-01. comp = Р (Pg Р2) Df Здесь “сотр” представляет собой аббревиатуру для “compact.” “Ком- пактные” серии являются точно такими же, как серии, которые Кантор называет “uberall dicht”. * 270-1. h : Ре comp . = . РсР2 [(*270-01)] * 270-11. h Р e comp . = : xPy . . g! *P'x cTP'y [*270-1] * 270-12. h : Pecomp . = . Pecomp [*270-11] * 270-13. h : P e trans A comp . = . P = P2 [*270-1. *201-1] * 270-14. h : P e Ser A comp . =. Pe RT J A connex . P = P2 . = . P e Ser . P = P2 [*270-13] * 270-15. h : P e Ser A comp . = . P e Ser . Pi = A [*201-65 . *270-14] * 270-2. h : Pecomp . z>. ~g! [*205-25 . *270-1] * 270-201. h : Pecomp . z>. ~ 3! minp‘G‘P. ~g! ma£/>‘D‘P Доказательство. h . *37-25 . z> h . mm/СГР = P“D‘P - (P2)“D‘P (1) h . (1). *270-1. z> h : Hp . э . miiip‘G‘P = A (2) Аналогично h : Hp . э . ma^p‘D‘P - A (3) h . (2) . (3) . э h . Prop * 270-202. h : Pecomp . э . ~g! min/>“a . ~g! тЙ/>‘Р“а [Док-во, как в *270-201] * 270-203. h : Р е comp . э . ~ g! seq/Px [*206-42 . *270-1] *270-204. h : Р е Ser A comp . Е ! seqp‘a . э . ~ Е ! тах/>‘а [*206-451. *270-15] Principia Mathematica III
*270. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ 183 *270-205. h : Р е Ser П comp . э . lt/> = seq^ [*207-1. *270-204] *270-21. F : РеR1‘J Ci comp . ле С‘Р. э. xltp (~?‘х) [*207-31. *270-1] *270-211. F: P e R1‘ J Cl comp . э. D‘lt/> = C‘P [*270-21] Таким образом, если отношение является компактным и содержится в различии, то каждый элемент его поля является предельной точкой. *270-212. h: Р е connex. D‘ltp = C'P. э . P e comp Доказательство. h . *207-34. э h : Hp . э . C'P c - G‘(P - ^2) • [*33-251] z>.G\P-P2) = A. [*270-1] э . P 6 comp : э h . Prop *270-22. h : P e connex. D‘lt/> = C'P. э .Pe comp [*270-211-212. *207-18] *270-23. h : P e comp - i‘A . э . P ~ e Bord Доказательство. I-. *270-201. э h : Hp. э . (ga). a c C'P. g! a. ~ g! min/a. [*250-101] э . P ~ e Bord : э F . Prop *270-24. h : P e Ser П comp - i‘A . э . C'P ~ e Cis induct Доказательство. h. *270-23. эННр.э.Р-eQ. [*261-31] э . C'P ~ e Cis induct: э h . Prop *270-3. I-: PeSer ncomp. э . sect‘P- D‘Pe = P*"C'P [*211-351. *270-15] *270-31. h : P e trans A comp . . . D'Pe = D'(Pe A I) [*211-51. *270-14] *270-32. F: Petrans A comp. z> ."?‘xeD‘(Pc A/) [*211-452. *270-1] *270-321. F :^“C‘P c D‘(Pe A/). z>. Pc comp [*211’541. *270-1] *270-322. F: Pe trans. э :^“C‘PcD‘(Pe Cl Г). = . Pc comp [*211-32-321] *270-33. h :. P e Ser . z> : P e comp . = . Q‘maxp A Q‘seqp = A [*211-551. *270-14] *270-34. h : П 6 trans A comp. э . q'P = sgm‘P [*270-31. (*212-01-02)] *270-35. h :. P e trans A connex A comp . z>: P e Ded . = . G‘maxp = - G‘seqp [*214-4. *270-13] *270-351. h :. P e Ser . z>: P e comp A Ded . = . Q‘max/> = - G‘seqp [*214-41. *270-13] Серия, которая является компактной и Дедекиндовой, представляет со- бой серию, которая обладает Дедекиндовой непрерывностью. Таким обра- зом, приведенное выше предложение устанавливает, что серия, которая об- ладает Дедекиндовой непрерывностью, является серией такой, что каждый класс обладает или максимумом, или секвентом, но ни тем и другим од- новременно. *270-352. h : Р е Ser A comp A Ded. а е sect‘P. э . limax/а = limm/(C‘P - а) [*214-42] *270-36. h : Р е R1‘J A comp . э . ЬР'С'Р = (ГР .V'P = P [*216-2. *270-211. (*216-05)] А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 184 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ *270-4. h : Р е comp . э . Nr‘P с comp Доказательство. F. *201-2. е Psmor Q.z>.(S'Q)2=S‘^Q1 .P = S'Q F. (1). *270-1. з F: Pecomp. S e P smor Q. з. S’Qci’Q2 . [*150-31] 3.S ’S’QqS ’S’Q2. [*151-252] з. Q(zQ2 : з F . Prop *270-401. F : Pecomp . s . Nor'Pccomp *270-41. F : P e Ser A comp. з. Nr'P c Ser A comp *270-411. F : A e Ser A comp. =. Nor'P c Ser A comp *270-42. F : P ecomp . з. P [ A'x, P [A'xecomp [*270-4. *155-12] [*270-4. *204-22] [*270-41. *155-12] Доказательство. F . *270-11 .□ F : Hp.y,ze *P*‘x.yPz. o. (gnj.yPw. wPz. [*90-16] 3.(gw). we*P*‘x .yPw .wPz F . (1). *270-11. з F : Hp. з. P [ A'xecomp Аналогично F : Hp. з . P [ A ‘x e comp F. (2). (3). з F. Prop *270-5. F : P, Q e Ser A comp. C'P A C‘0 = A. ~ (E ! R'P. E ! R‘0. з. (1) (2) (3) P 4- Q e Ser A comp Доказательство. F. *160-51. з F : Hp. з. (P4 Q)2= P2UQ2U D'P T C‘2 0 C'P T G‘Q [*93-103.Hp] = P2 Ug’-iJC‘PTC‘2 (1) F.(l).*270-1. з F : Hp. з. P4 2 g(P4 <J)2 (2) F. (2). *204-5 . з F . Prop *270-51. F : P e Ser A comp . C'P c Ser A comp. P e Rel2 excl. з. E'P e Ser A comp Доказательство. F. *204-52. з F : Hp. з . E'PeSer (1) F. *162-1.3 F . (S'P)2 = (i'C'P)2 U (p;p)2 U (i'C'P) | (F’P) U (F’P) | (i'C'P) (2) F . *270-1. о F : Hp. x (i'C'P)у. з. (g®. Q e C‘P. xQ2y. [*41-13] 3.x(i‘C‘P)2y (3) F . *270-1. з F : Hp. x(F’P)y. з. x (F’P2)y. 1*163-12. *201-2] з. x (F’P)2y (4) F . (2). (3). (4). *162-1. з F : Hp. з. E'P g(E‘P)2 (5) F . (1). (5). з F. Prop Гипотеза в *270-51 првышает то, что требуется для заключения, которое требует вместо Ре comp лишь того, что не найдется двух последователь- ных отношений в С'Р, из которых первое обладает последним термом, а второе — первым термом. Это доказывается в следующем предложении. *270-52. F: Р е Ser A Rel2 excl. C'P с Ser A comp. B“P\“(ClP A Cnv“D‘B) = A . з . Е'Р е Ser A comp Доказательство. F . *270-1. *163-12. з F : Нр. з. s‘C‘P G(s‘C‘P)2 (1) F . *201-63. з F : Hp. з. F<P = F’Pj U F’P2 (2) F.*93-103. з F :. Hp . 0PiR. з: D‘2 = C‘(2. V . Q'R = C'R (3) Principia Mathematica III
*270. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ 185 F . (3). э F Нр . х (F’P\) у. z>: (3<2>^) • xeD‘2 .yeC'R. V . xeC'Q .у eQ'P: QP\R: [*3313-131-17] э: (aG.^,z): xQz.zeC'Q .yeC'R. V . xeC'Q. zeC'R. zRy: QP\R: [*150-52. *201-63] z>: x {(s'C'P) | (F4>)} y.V.x {(F'P) | (ГС‘Р)} у: [*162-1] z>-.x(Y‘P)2y (4) I-. *163-12 . *201-2. z> I-: Hp . z>. F’P2 = (F'P)2 (5) F. (2). (5). *162-1. э h : Hp. э . F4> <z(b'P)2 (6) F. (1). (6). *162-1. э F : Hp. э. L'P G (E'P)2 (7) F. (4). (7). *204-52. э F. Prop *270-521. F P e Ser Ci Rel2 excl. C'P c Ser Cl comp: C'PCl Cnv“Q‘R = Л. V . C'PCi Q‘B = A : э . Z'Pe Ser Ci comp [*270-52] *270-53. F: P e Ser. Q e Ser Cl comp. ~ (E ! B'Q. E ! B'Q). э. PxQ €. Ser О comp Доказательство. F. *166-1. oF.Pxe = E‘(2pP (1) F . *165-21. э F . Ql’P e Rel2 excl (2) F . *165-25. *204-21. э F : Hp . g IP. =>. Qi’P e Ser (3) F. *165-26. *270-4. э F : Hp. z>. C'P^P c Ser Cl comp (4) F . *151-5 . *165-26 . z> F : Hp. ~ E ! B'Q. э . C'QtfPC\G.'B=X (5) F . *151-5 . *165-26. z> F : Hp. ~ E ! B'Q. z>. C'Q^P Cl Cnv“(TB = Л (6) F . (1). (2). (3). (4). (5). (6). *270-521. z> F : Hp. g!P. э. PxgeSer Cl comp (7) F . *166-13. э F : P = A. э. PxQe Ser Cl comp (8) F . (7). (8). э F . Prop *270-54. F: P e Ser Cl comp. ~ E ! B'P. x ~ e C'P. z>.Р-н xe Ser Cl comp Доказательство. F . *204-51. э F : Hp . э . Р-н xeSer (1) F.*161-1. э F : Hp. э . (Р-нx)2 = P2 U D'Pf t'x [*93-103] = P2 U C'P f i‘x (2) F. (2). *270-1. э F : Hp. э . Р-н xg(P-h x)2 (3) F. (1). (3). z> F. Prop *270-541. F : P e Ser Cl comp. ~ E ! B'P. x ~ e C'P. э.г + Ре Ser Ci comp [Док-во, как в *270-54] *270-55. F : P e Q. C'P c Ser. ~ E ! B'P. C'P Cl Cnv“Q‘B = Л . э . H'PeSer Ci comp Доказательство. F. *251-3.z>F:Hp.=>.H'PeSer (1) F . *250-21. *93-103. э F: Hp. Q e C'P. M e F&'C'P. => . (gx). (M'Pi ‘Q) (Pi ‘Q) x (2) F . *200-43. э F : Hp (2). (M'Pi ‘Q)(Pi'Q)x.L = M\ (- i‘P) ‘Q) 0 x J, (P} 'Q).z>.M (H'P) L (3) F . *200-43. э F : Hp(3).Ae Гд'С'Р. (Л/‘0 (2 (A‘0.M \~?'Q = N \~P'Q.zi .L(WP)N (4) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 186 I-. (2). (3). (4). э I-: Нр. M,NeF^C‘P .QeC‘P. (Л/‘0 Q (N‘Q). М \~?‘Q = N \~?‘Q. э. (аЛ).Л/(П‘Р)£.£(П‘Р)М (5) I-. (5). *200-43. z> I-: Нр. z>. П‘Р с (П‘Р)2 (6) h . (1) . (6) . э h . Prop *270-56. h : P e Ser . Q e Q. ~ E ! B‘P. ~ E ! B‘Q. э . PQ e Ser A comp Доказательство. h . *176-151. э h : P = A . э . PQ 6 Ser A comp (1) h. *176-181-182. oh.P^smor (2) h . *165-25 . *251-121. э h : Hp . a !P. э . РЩ2 e Q (3) h . *165-26 . *204-21. э h : Hp . э . C'Pl’Q a Ser (4) h . *165-25 . *151-5 . э h : Hp . a !P. э ’ ~ E ! B'Cnv'P^Q (5) h . *165-26 . *151-5 . z> h : Hp . э . С‘РЩ2 A Cnv“CTB = A (6) h . (3). (4). (5). (6). *270-55 . э h : Hp .’a !P. z>. П‘РГQ e Ser A comp . [(2). *270-41] э. PQ e Ser A comp (7) h . (1). (7). э h . Prop Посредством приведенного выше предложения компактные серии мо- гут быть произведены, взяв серии таких типов, как coexprco, u)expr(Oi, u)i ехрг со, и т.д. Любая степень a expr Р состоит из компактных серий, ес- ли р является ординалом, не имеющим непосредственного предшественни- ка, и а есть какое-либо сериальное число, не обладающее непосредствен- ным предшественником (т.е. не образованным добавлением 1 к сериально- му числу). Principia Mathematica III
♦271. СРЕДИННЫЕ КЛАССЫ В СЕРИЯХ 187 * 271. Срединные классы в сериях Краткое содержание *271. Мы будем называть класс а “срединным” классом в Р, если асС? и найдется элемент из а между любыми двумя термами, из которых один находится в отношении Р к другому. В таком случае мы имеем zPy .z>x,y. (gz). z e a. xPz - zPy, т.е. PGPfa|P. Таким образом, P не может содержать никакой срединный класс, кроме случая, когда Р является компактным. Обратно, если Р компактно, то ёРпредставляет собой срединный класс. Следовательно, отношения, содержа- щие срединные классы, представляют собой те же отношения, что и ком- пактные. Срединные классы являются важными тем, что имеют дело с ра- циональными и непрерывными сериями: рациональные числа представля- ют собой срединный класс в серии вещественных чисел, а серии, которые Кантор называет непрерывными, характеризуются тем, что помимо того, что они Дедекиндовы, они содержат срединный класс, образующий серию того же самого типа, как рациональные числа. Если Р является компакт- ной серией, то класс "?“П‘Р есть срединный класс в серии <^Р (*271-31). Этот факт используется в доказательстве того, что серия сегментов раци- ональной серии представляет собой непрерывную серию. Наше определение есть med = аР (a с С‘Р. Р аР Г а | Р) Df. Таким образом, med‘P будут срединными классами Р, и “PeQ‘nied” означает, что найдутся срединные классы Р. Мы имеем G‘med = comp (*271-18); также * 271-15. h : a med Р. z> . Р, Р [ а е comp * 271-16. h : (а n С‘Р) med Р. = . (а П D‘P) med Р. = . (а П Q‘P) med Р. = . (а П D‘P П Q‘P) med Р Если Р есть серия, и асС‘Р, то а —срединный класс тогда и только тогда, когда его производная есть О‘Р, т.е. * 271-2. I-Pe Ser . а с С‘Р. э : a med Р. = . Q‘P = 6/>‘а Важным предложением является * 271-39. h : Р, Q е Ser П Ded . a med Р. Р med Q . (Р [ a) smor (Q [ Р). z> . Р smor Q Т.е. если Р и Q являются Дедекиндовыми сериями, и а, р есть средин- ные классы Р и Q соответственно, тогда, если Р [ а и Q [ Р подобны, то Р и Q также подобны. Это предложение доказывается, показывая, что Р подобна серии сегментов Р [а с коррелятором lt/>, чья обратная область ограничена (*271-37). Другое весьма важное предложение есть * 271-4. h : 5 е Р smor Q . Р med Q . э . (S “Р) med Р Т.е. коррелятор Р с Q соотносит срединные классы со срединными клас- сами. Два предложения, приведенные выше, используются в *275-3-31, ко- торые доказывают то, что две серии, которые являются непрерывными А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 188 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ (в Канторовом смысле), подобны, и что серия, подобная непрерывной се- рии, непрерывна. * 27101. med = aP(ac:C‘P.PGP fa|P) Df * 271-1. h а med Р . = :ааС'Р. PgP [ а | Р : = : а с С‘Р: хРу. ол? . д! аП [(*271-01)] * 271-11. h : amedP. = . amedP [*271-1] * 271-13. h : a med P. (3 с C'P. о . (a U 0) med P [*271-1] * 271-14. h : a med P.O. C‘P £ a med (P [ a) Доказательство. h. *271-1. о h:. a med P. о : x, у e a. xPy. ox>y . (gz). z 6 a. xPz. zPy • [*35-102] z>Xty . z e a. x (P t a) z - z (P t a) у: [*35-102 . *271-1] о : C‘P [ a med (P [ a)о h . Prop *271-15. h : a med P. о . P, P [ a e comp Доказательство. h. *271-1. oHHp.o.PcP2. [*270-1] э . P e comp (1) h . (1). *271-14 . о h : Hp . о . P [accomp (2) h . (1). (2). о h . Prop *271-16. h: (a A C'P) medP. = . (a A D‘P)medP. = . (a A Q‘P)medP. = . (a П D‘P П Q‘P) med P Доказательство. h. *271-1. *33-15. о h :. (a П C'P) med P. = : xPy . oXJ,. g! a A D‘P П *P'x oTP'y: [*271-1] =: (a П D‘P) med P (1) h . *271-1. *33-151. о I-: (a П C'P) med P. = . (a П СГР) med P (2) h . *271-1. *33-15-151. о I-:. (a П C'P) med P. = : xPy . ox>y . g! a П D‘P П Q‘P П *P'x C\~P'y : [*271-1] E:(aAD?AO‘P)medP (3) h.(l).(2).(3).ol-.Prop *271-17. h : Pecomp . о . C'P, D‘P, Q‘Peme(l‘P Доказательство. h . *35-452 . *270-1. о h : Pecomp . о . P gP [ СГР | P. [*271-1] о.а‘Ретё2‘Р. (1) [*271-13] о.С‘РбтёЭ‘Р. (2) [*271-16] o.D‘PEme2‘P (3) h.(l).(2).(3).oh.Prop *271-18. h . CTmed = comp [*271-15-17] *271-2. I-:. P e Ser. a c C'P. о : a med P. = . СГР = 6F‘a [*216-13 . *271-1] Principia Mathematica III
*271. СРЕДИННЫЕ КЛАССЫ В СЕРИЯХ 189 *271-3. F: PeRlVCl trans. amedP. э .”?“amed (<;‘P) Доказательство. I-. *271-15 . *270-34. э F : Hp . э. <j‘P = sgm‘P. [*212-11] э. <j‘P = P? (p, y e D‘(Pa П /). а! y - P) F.(1). *211-12. э F: Hp. p (g‘P) у. э. а! Y - P • ^“Y = Y • ^“P = P • (1) [*37-1] [*271-1] [*201-12] [*32-18] [(1). *270-322] F . (2). *271-1. э F . Prop o.(ax,y).xeY-p.xPY.yeY. z> . (ax,y,z) • xey- p. xPz.zPy .zea.yey. э • (3^>Y,z). xey- p. xPz. zPy. zea. yey. ~ (yPz). э . (az). zea. a!^‘z-P • a’Y ~^‘z • D . (az). z e a. p (ч‘Р) (>z). (?‘z) (<;‘P) у (2) *271-31. F : PeRlV Cl trans Ci comp. э .^“G‘Pmed(<;‘P) [*271-3-17] Следующие предложения подводят к предложению *271-37. F : A e Ser П Ded . a med Р. э . Itp [ С\\Р [ а) е Р smor {<;‘(Р [ а)} откуда, если а — срединный класс Р, то Р подобна серии сегментов Р [а. Это предложение используется в доказательстве того, что каждая непре- рывная серия подобна серии сегментов рациональной серии. *271-32. F : Р eSer. R = Р [ а. р е D‘Pe. Е ! It/P . э . Р = ГР= a O^'lt/P Доказательство. F . *205-9. э F : Hp. a Cl C'P ~ e 1. э. та£д‘Р = тгЙ/> (a Cl P) [*37-413. *211-11] =ma£p‘P [*207-13] =A F . (1). *200-35. э F : Hp. э . mal/P = A. (1) [*211-42-12] э.р = Я“Р F . *207-231. э F : Hp. z>. P“P =>lt/>‘P. (2) [*37-413] z>.P“P = an'?‘lt/>‘P F . (2). (3). э F . Prop (3) *271-321. F : Р е Ser . Р = Р [ а. э . ltP U D‘PA е 1 -> 1 Доказательство. I-. *271-32 . э F: Нр . Р, у еЭ‘Рд . It/P = lt/у . э . Р = у : э F . Prop *271-322. F : Ре Ser. R = P [a.o.ltp '^RdP Доказательство. F . *212-23 . oF Hp . э : x (ltP '^R)y . = . (Я P. Y) • P, Y e О‘/?д • P c Y • P + У • x = ltP ‘P . у = lt/> ‘у. [*207-231] э . (aP, Y) • P, YeD‘Ra . p с у. P / у .?‘x = P“P .~P‘y = P“y. [*37-2. *271-321] э .~Р'хс?'у .x±y. [*204-33] э . xPyz> F . Prop *271-33. F : Petrans. amedP. э .~?‘x = P“(a~P‘x) Доказательство. F . *201-501. э F : Hp. z>. P“>x c>x. [*37-2] э.Р“(аП>х)с'?‘х (1) F . *271-1. э F Hp . э :yPx. э . (gz) • yPz. zea. zPx. [*37-1] э .yeP“(aCi?‘x) (2) F . (1). (2). э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 190 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ * 271-331. Ь : Нр *271-33. R = Р [ а. э. а = 7?“(а Доказательство. F . *271-33 . о F: Нр. о. а п"?‘х = а П Р“(а п"?‘х) [*37-413] =R“(a : о F. Prop * 271-332. F : PeSer . a med P .xeC'P. о . x = lt/>‘(a n"?‘x) Доказательство. F . *271-331. о F : Hp. о . a n^‘x c P“(a n>x). [*205-123] o.maV(an"?‘x) = A (1) F . (1). *271-33 . о I-: Hp. о . xeC'P .~^x = P“(a n"?‘x). ~ E ! max/(a n"?‘x). [*207-521] о . x = ltp‘(a CiT^x): о F. Prop * 271-34. F : P e Ser. a med P. о . P = Itp ><;‘(P [ a) Доказательство. F . *271-331. *211-11. о F : Hp . P = P [ a. о . a n>xe D‘PA (1) F . *204-33 . о F : Hp . xPy. о. a n^‘x c a (2) F . *271-332 . о F: Hp. xPy . о. x = ltp‘(a н"?‘х). у = lt/>‘(a . (3) [*204-1] э . a П~?‘хт4 a n"?‘y (4) F . (1). (2). (4). *212-23 . о F :. Hp . R = P £ a . о : xPy . о . (a n"?‘x) «Р) (a n"?‘y) (5) F . (3). (5). о F :. Hp . о : xPy. о . x {/rP;‘(P £ a)} у (6) F. (6). *271-322. о F. Prop *271-35. F : a med P.O. D‘(P t а)д c - Q‘maxp Доказательство. F. *037-413. *211-11. о F :. ₽ e D‘(P £ а)д . о : (gp). p = a П P“(p П a): (1) [*37-1] о : (g p). x e p . ox . (gy). у e p П a . xPy (2) F. (2). *271-1. о F :. Hp . P e D‘(P [ а)д . о : (gp): x e P . ox . (gy, z). xPz .zea.zPy.yepAa. [(1)] ox . (gz). xPz. zeP . [*37-1] ox.xeP“p (3) F . (3). *205-123 . о F : Hp . P e D‘(P [ а)д . о . mal/p = A : о F . Prop * 271-36. F : P e Ded . a med P. о . D‘(P [ а)д c CTltP [*271-35 . *214-101] * 271-37. F : P e Ser П Ded . a med P. о . Itp Г С?(Р [ a) e P smor {<(P [ a)} [*271-321-34-36. *151-22] * 271-38. F : P e Ser П Ded . a med P. о . P smor {<;\P [ a)} [*271-37] * 271-39. F : P, Q e Ser П Ded. a med P. a med P. p med Q. ((P [ a) smor 2 [ P). о . P smor Q Доказательство. F . *212-72 . о F : Hp. о . {<;\Р [ a)} smor {?‘(P [ P)} (1) F . *271-38 . о F : Hp. о . P smor {^(P [ a)}. Q smor {<; (Q £ P)} (2) F . (1). (2). о F . Prop Principia Mathematica III
*271. СРЕДИННЫЕ КЛАССЫ В СЕРИЯХ 191 Это предложение используется при доказательстве того, что все непре- рывные серии подобны, посредством того факта, что такие серии содер- жат рациональные серии как срединные, и что все рациональные серии подобны. * 271-4. h : S е Р smor Q р med Q. э . (S “P) med P Доказательство. b . *35-354 . *74-14 .эР:Нр.э.2[Р|5=е|5[5“р. [*150-1] [*151-11] b. *72-6. [*150-1] F . (2). *271-1. [*151-11.(1)] [*271-1] o.s?(er₽)=(s5e)rs“₽. э. (№<е гр» i(5’G)=(p f5“₽)ip эк:Нр.э.(еГр)|5|5=0Г₽. э.{5;(2 Г₽)1(5’0 = 5 |2 Г₽|0|5} эк:Нр.э.5|е|5с(5;(ег₽)}|(5;0. э.Рс(Р[5“Р)|Р. э . (S “Р) med Р: э Ь . Prop (1) (2) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 192 * 272. Подобие расположения Краткое содержание *272. Если Р, Q —два сериальных отношения, и Т является коррелятором, который соотносит некоторые термы С'Р с некоторыми термами С‘2, то мы говорим, что два терма х и у, из которых х принадлежит С‘Р, а у принадлежит С‘0, имеют подобные расположения в силу Г, если у появ- ляется позже, чем корреляты всех элементов D‘T, за которыми следует х, и у предшествует коррелятам всех элементов D‘T, которым предшеству- ет х. Это понятие является полезным для индуктивных определений кор- реляций. Если мы начинаем с коррелирования каких-либо двух термов xi, yi и берем другой терм Х2, следующий (скажем) за xi, то терм у2, об- ладающий подобием расположения в силу Xi X У1, должен следовать за yj. Положим, что мы выбираем хз между xi и х^. Тогда терм уз, обладающий подобием расположения в силу xi 1у2 0x2 1у2, должен находиться между yi и у2‘, и так далее. Корреляция Т, построенная указанным способом, будет такой, что T’gcP. Т’Peg. Если С'Р и СQ целиком могут быть получе- ны посредством достаточно далекого продолжения указанного построения, то Т, в конце концов, станет коррелятором Р и Q. Это является принци- пом Канторова доказательства того, что любые два терма рациональной серии подобны. Как правило, когда понятие подобия расположения полезно, отношение Т будет одно-однозначным, однако это не предполагается в определении. Мы пишем “xTpQy” для “х и у, обладающих подобными расположениями в Р и Q соответственно в силу Т”, или, как мы выражаем это более ко- ротко, “P-положение х является Т-подобным g-положению у.” Определение есть Tpq = ху {хе С'Р .yeC'Q. D'Tп'/'хсГ^у. D'T П frxc Т"%)'у . ОТГИ'хс?» Df. Это определение устанавливает, что предшественники х, которые обладают Г-коррелятами, являются коррелируемыми с предшественниками у, после- дователи х, которые обладают Т-коррелятами, коррелируются с последова- телями у, и если сам х обладает Т-коррелятом, то у будет Т-коррелятом х. Когда Т представляет собой много-однозначное отношение, определение становится несколько более простым. В таком случае мы имеем *27213. h :: Т € Cis -> 1 . э xTPQy . = : хе С'Р .yeC'Q: хе D'T С\~?'х. эг. T'zQy : zeD'T П *Р'х .T>z.yQ T'z : xeD'T . э .у- Т'х Мы имеем * 27216. h.(DT)j TpqClT Т.е. терм, который обладает коррелятом, не может обладать подобием расположения ни с каким термом, исключая лишь терм, с которым он скоррелирован. Элемент C'PnD'T будет обладать подобием расположения со своим коррелятом (полагая Т eCis—> 1), если Р [D‘T czT’g. Т"С'Р cC'Q (*27248). Principia Mathematica III
*272. ПОДОБИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ 193 При обычных обстоятельствах терм, который не является элементом D‘T, не может обладать подобием расположения ни с каким элементом П‘Т (*272-2). Когда Т много-однозначно и его область содержится в С‘Р, а Р и Q — серии, и х не обладает Т-коррелятом, мы имеем (*272-21) х TPQy. = : хеС‘Р. у eClQ :zeWT П^‘х. =z. T'zQy, т.е. в этом случае х и у обладают подобием расположения, если пред- шественники х, которые обладают коррелятами, являются термами, чьи корреляты предшествуют у. В этом случае, если хеС‘Р, то мы имеем (*272-212) = C'Q П у (D‘T П>х = Т'^'у) = С‘С Пу (D‘T П *Р‘х = Т“£‘у). Далее мы исследуем условие для C'P = D'Tpq, т.е. условие, требующееся для того, чтобы каждый элемент С'Р мог обладать подобием расположения с некоторым элементом C'Q. Достаточным условием является Р, 2 е Ser . Q е comp . TeCls -+ 1 . D‘T e Cis induct. P [ D‘T gT;2 . g!2. r‘C‘PcD‘enCTe, как доказывается в *272-34. Далее мы рассматриваем обратимость Tpq, т.е. условие того, что обра- щение Tpq должно быть (T)qp. Достаточным условием является Р, Q е Ser. Т е 1 -> 1. D‘T с СР. ПТ с CQ (*272-42). Наконец, мы имеем два предложения о добавлении другой пары xj,y к Т. С вышеупомянутой гипотезой *272-42, если xTpQy и T’gcP, полагая W=TUxly, мы будем иметь (*272-51), так что гипотеза, которую мы имели для Т, все еще имеет место для W. Предложения этого параграфа по своей природе являются леммами для Канторового доказательства того, что любые две рациональные сериии по- добны, что дается в *273. *272 01. TPQ = ху {х е С‘Р. у е C'Q. D‘T п"?‘х с Г“<5‘у.( D‘7’n?‘‘xcT“5’‘y.D‘Tni‘xc'?‘y Df *2721. h : xTpQy. = .xeC'P .yeC'Q.D'T . D‘T П *P‘x c T“&y. D‘T П i‘x c 7*‘y [(*272-01)] *27211. h:xeC‘P.z>. Tpq‘x = C‘Q П p‘^“‘T'“(D‘T П?‘х) П p'Q"'T"(D'T П £"‘x) n p‘T”“(D‘r n i‘x) Доказательство. I-. *272-1. z> H Hp. z>. 7pe‘x = C‘(?ny {z^DT n"?‘x. эг. zTpq Qy •.zeV'TP'p'x. z>, TPQ Qy:} z e D‘T П i‘x. . zTy\ [*40-51-53] = C'Q П П^‘х) П П *P'x) П p‘^“(D‘T П i‘x): э I-. Prop *272-111. НхеСТ.э. ^Tpq'x = C'Q Пр'{<2'"*Г"(ХУТ П^‘х) U e‘“7“(D7П ^'x) U F“(D‘TП i‘x)} [*272-11. *40-18] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 194 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ * 27212. к :: xTpQy. = хеС'Р .yeC'Q :.zeD‘T. эг: zPx. э. z TpQy". zPx.z>.zTpQQy:z = x.z>.zTy [*272-1] * 272-13. к:: TeCls-> 1 . эxTPQy. =: xeC'P .y eC'Q: zeD'T ClP‘x.z>z. t'zQy :zCD'T П *P'x .z>z.yQ t'z: xeDT. э .у = t'x [*272-12. *71-701] * 272-131. к : TeCls —> 1. xeC‘P. э. TPQ'x = C'Q П p‘{&t‘'~?'x (J^'t'^'x U ^“(DT П i‘x)} [*272-111. *71-613] * 272-14. k:xeCT-DT. э. TPQ'x = C'Q П p‘0‘“^“(DT D?‘x) Cl Л <P'x) [*272-111. *40-18] * 272-141. HxeCT-DT.o. TPQ'x = C‘6 П у (DT 0>x c T'^'y. DT П X‘x c T“^‘y) [*272-1] * 272-15. HTeCls-H.xeCT-DT.o. iTpQlx = C'QC\ р'&'Г'^'хП p'^'t'^'x [*272-131. *40-18] * 272-16. k.(DT)1 TpQc.T Доказательство. F . *272 12 . dF: xeDT . x^TpQy. э . xTy: э F. Prop * 272161. F:TeCls—* 1 . P [ D‘T gT'Q . э . (D‘T) ] 7>e = C‘P1 T\C'Q Доказательство. F . *150-41. э F : Hp. z e D‘T . zPx. xTy. э . T'zQy (1) F . *150-41. э F : Hp. z e D‘T . xPz. xTy. э . yQ t'z (2) F . (1). (2). *272-13 . э F : Hp. xTy . x e C'P . у e C'Q. э . x TPQ у (3) F . (3). *272-16 . э F . Prop * 272-17. F : T e Cis -> 1 . P [ DT G Г Q. D'T c C'P. Q‘T c C'Q. э . T = (D‘T)1 TPq [*272-161] Гипотеза *272-17 удовлетворяется во всех важных случаях применения Tpq- * 272-171. h:Hp*272-17.xeD‘T.z>.T'Pe‘x=i‘T‘x [*272-17] * 272-18. I-: T € Cis -> 1. P [ D‘T G T>Q. T“C'P c C'Q .xeC'Pn D‘T. э. fpQ'x = T'x Доказательство. h . *150-41. э I-Hp . э: z e DT D>x. =>z. (t'z) Q (t'x) (1) h . *150-41. э Ь Hp . э: z6DT Л *P'x. oz. (t'x) Q(t'z) (2) k. *37-61. okzHp.o.f^eC'e (3) k. (1). (2). (3). *272-13. э k : Hp. э. x TPQ (t'x) (4) k.*272-13.эк:Нр.хТ/>еу.э.у = Т‘х (5) F . (4). (5). э F . Prop Principia Mathematica III
*272. ПОДОБИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ 195 *272-2. F: TeCls-» 1. DT с С‘Р. Peconnex. <2 G J. х ~ е DT. э . Гpq‘x C\G.‘T = A Доказательство. F .*272-13. z>F : Hp. xTPQy. zeD'T n?‘x .z> .t'zty (1) F . *272-13. F : Hp. x TPQу. zeDT П t>'x. э . T'z ty (2) F . (1). (2). э F : Hp. xTPQy. zeD'T. э . t'zty: э F. Prop *272-201. I-: T e Cis -»1. D‘T с C'P. P € connex. g! D'TPQ - DT. =. QTcC‘2 Доказательство. F . *202-104. э I-:. Hp . zeDT. xTPQy. x~eDT. z>: zPx. V . Pz: [*272-13] ^-.T'zQy.y -yQ(T'z)-. [*33-132] э : T'zeC'Q:. э F. Prop *272-21. HzTeCls—> 1 . DT с C'P. P, geSer. x~eDT:. x TPQy. в : xeC'P .yeC'Q: zeDT n"?‘x. =z. T'zQy Доказательство. F. *272-21. э F ;. Hp ,zeD‘T.xTPQy.z>:x/z.ytt‘z: [*204-3. *272-201] э: xPz. = • ~ (zPx): yQ (T'z) . = .- {(T'z) Qy} (1) F . (1). *272-13 . э F Hp. э:: x TPQ у. = :. x e C'P. у e C'Q:. z e DT. z>z: zPx. э. T'zQy: ~ (zPx). z>. ~ (T'z) Qy (2) F . (2). э F :: Hp. z>:. xTPQy. в : xeC'P. yeC'Q : ze DT . zPx. =z. T'zQy:: э F. Prop *272-211. F :: *272-21. э :. x TPQ у. в : xeC'P. у eC'Qt zeDT О *P'x. =z .yQ (t'z} [Док-во, как в *272-21] *272-212. F : Hp *272-21. x e C'P. z> . Ypq'x = C'Q Пу (DT П t>'x = T'^'y) = C'Q C\y (D'T П <P'x = T"*Q‘y) [*272-21-211] *272-22. F : TeCis —> 1. P, Qetrans. xTPqу .z, weD'T . xeP (z-w) .z>. yeQ(T'z-T'w) Доказательство. F . *272-13. □ F : Hp. э . t'zQy .yQT'w: z> F . Prop *272-221. F : T e Cis -> 1. P, Q e trans. g! DT/>e Л P (z - w). э . (t'z) Q (t'w) [*272-22] z.weDT *272-23. F :. TeCls—> 1. P, <2 e trans: z (P [ DT) w. z>z,w . g! DTpe П P(z - w): э . P [ DT gT’Q Доказательство. F. *272-13 . э F :. Hp. э : z (P [ DT) w. э. (t 'z) Q (t'w). [*150-41] z>. z (T'Q) w:. z> F . Prop *272-24. F: DT OC‘P = A. o.TP(2 = C‘PfC‘e (*272-1] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 196 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ *272-3. F: TeCls-» 1.5 GT .^.TpqGSpq Доказательство. F . *272-13 . э F:. Нр . xTpQy. э : ze D‘T . zPx. э . t'zQy : [*72-9] d:zeD‘S .zPx.^.S'zQy (1) Similarly I-Hp . xTPQy. э : zeD‘5 . xPz • э . yQS ‘z (2) I-. *272-13 . э F:. Hp . xTpQy . э : zeD‘T . z = x .т> .t'z = y: [*72-9] o:zeD‘5 .z = x.o.5‘z = y (3) F. (1). (2). (3). *272-13 . э F: Hp . x TPQy . э . xSpgy: э F . Prop Следующие предложения подводят к *272-34. *272-31. F: Р, Q е Ser. Т е Cis -> 1. х ~ е D‘T . z = max/>‘(D‘T п7*‘х). w - mmp‘(D‘T Г) *P'x). P [ D'T GT‘;2 • э . ‘Тpq‘x = Q(T'z - T'w) Доказательство. F . *205-21. э F : Hp. и e D‘T 'x - i‘z. э . uPz • [*150-41. Hp] D.rugrz (1) F . (1). dF : Hp .yeQ(t'z- t'w). ueD'T э . t'uQy (2) Similarly F : Hp . у e Q (t'z - t'w). и eD'T П 1?'x .z>.yQ t'u (3) F . (2). (3). *272-13 . э F : Hp .y e Q(T'z - t'w) .z>.xTPQy (4) F . *272-22 . э F:Hp.э. *TPQ'x c Q (t'z - t'w) (5) F . (4). (5). э F . Prop *272-32. F : Л 0е Ser . T € Cis —> 1 ,D‘TcA. P [ D'T gT'Q . z = maxp‘D‘T .*TPQ'x= ^Q't'z Доказательство. F . *272-13 . э F :: Hp . э :. xTPQy . = : ueD'T . dm . t'uQy (1) F . *205-21. э F : Hp. и e D'T - i‘z. э . uPz • [*150-41. Hp] ^.t'uQt'z (2) F . (2). э F :. Hp . у e<Q't'z • => : ueD'T . . t'uQy : [(1)1 ^xTPQy (3) F.(l). dF : Hp. xTPQy .d .t'zQy (4) F . (3). (4). э F . Prop *272-321. F : P, Q e Ser . T e Cis 1 . D'T c "p'x. P [ D'TCd^Q . w = minp‘D‘T . э . *TpQ'x = ~&t'w [Доказательство, как в *272-32] *272-33. F : Л 0 e Ser . Q e comp. T e Cis —* 1 . D‘T e Cis induct. P C D'T gT’Q . э . (P"D'T П P"D'T) - D'T c D'TPQ Доказательство. F. *261-26. э h : Hp . a! . э. E ! max/(D‘T (1) I-. *261-26. эI-:Hp.a 1 D‘TП^'х.э.Е !minP‘(DTП"р‘х) (2) b. *205-11-111.0 F : Hp. x ~ e D‘T. z - [*150-41] [*270-11] [*272-31] = max/>‘(D‘T Ci^‘x). w = min/>‘(D‘T П *P‘x). о. zPw. z>.t‘zQT‘w. =>•3! Q(T‘z-T‘w). =>-a!5>e‘x (3) Principia Mathematica III
*272. ПОДОБИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ 197 К(1).(2).(3).э F : Нр. х~ eDT . g! DT П^‘х. g! DT О *P‘x. э. xeDTpg : э F. Prop *272-331. I-: *272-33 . g !Q. T“C‘P c D'Q. z>. C'P П p‘F“D‘T c DTPe Доказательство. I-. *261-26 . э h : Hp . g! DT П C'P. э . E ! max/DT (1) h . *272-32 . э h : Hp . xe p'*P''D'T . z = max/DT . э . *TPq'x = *Q't'z . [*33-4] o.g!^e‘x (2) F . (1). (2). э F: Hp. xep'*P''Y)‘T . g! DT Cl C'P. э . xeWTPQ (3) I-. *35-85 . *272-24 . z> F : Hp. DT Cl C'P = A. э . C'P c D‘7>e (4) h . (3). (4) . э h . Prop * 272-332. F: Hp *272-33. g !Q. T"C'P c C'Q. э. C'P П p'~?"D'T c DTPe [Доказательство, как в *272-331] * 272-34. F : Hp *272-33 . g !Q. T"C'P c D'Q П d'Q .z>.C'P = Y)'TPQ [*272-33-331-332-18. *202-505] Следующие предложения являются леммами для *272-42. * 272-4. F:P,<2eSer.Te^ 1 .Y)‘T сС'Р .d'T cC'Q. x ~ e DT . x TPQ у. э . у (T) QPx Доказательство. F. *272-21. э F Hp . э : xeCT. у eC'Q: zed'T erf'x .sz .T'zQy: [*72-243] э: x e CP .yeC'Q: (T'w) Px.=w.we d'T . wQy : [*272-21] э : у (t) QPxэ h. Prop *272-41. I-: P, Q e Ser . T e 1 ->. DT c C'P. CTc C'Q . x e DT . x TPQ у . э. у (t) QPx Доказательство. h . *272-13 . э h :: Hp . э x e C'P . у = t'x : zeDT . э,. T'zQy '.ztD'T П *P'x. dz . yQ(t'z) [*204-3] э xeC'P .y = t'x: zeWT oTfi'x .t>z . t'zQy: zeDT- Cx-~?'x. э2. t'z + y • ~ {(T‘z) Qy] [Transp] э xeC'P.y = t'x zeD'T - i‘x . эг : zPx . = . (T'z) Qy [*204-1] э xeC'P .y = t'x:. zeD'T . : zPx. = . (t'z) Qy [*72-243] z>x e C'P. у = t'x(T'w) Px.t>z.we d'T . wQy [*71-362] э у e C'Q . x = T'y (T'w) Px . =z. w e d'T . wQy [*14-21. *33-43] э у eC'Q. x= T'y wed'T . t>w : (T'w) Px . = . wQy [*204-3] э :.yeC'Q. x= T'ywe d'T C\~&y. . T'wPx : we d'T П &y .Эц, .xP (T'w) [*272-13] э у (t) QPx:: э h . Prop *272-42. h:P,2eSer.Tel 1 . DT <zC'P. d'T aC'Q. э . (t) QP = tPQ Доказательство. I- . *272-4-41. эР:Нр.э.ТреЕ(Т)еР (1) b.(1)l2y^.3F:Hp.o.Cnv‘(T)e/>GTPe (2) h . (1). (2). э h . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 198 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ *27243. I-:P, CeSerncomp-i'A.Tel -> 1 .DTcD'Pnd?. ат с D‘(2 П Q‘e. Р [ DT = T'Q. D‘T е Cis induct. z>. DTPe = CT.aTpC = C‘e Доказательство. F . *272-34 . z> F : Hp . z>. DT/>e = C‘P (1) F . *150-36 . э F . T'Q = T'Q t QT. T >P = t 'P [ DT (2) F.(2). F:Hp.z>.P [DT = r;<2 [QT. [*151-25] D.etaT = 7,T]DT [(2)] =T’P (3) F. *120-214. э F : Hp. э . ОТ e Cis induct (4) F. (3). (4). *272-34. z> F : Hp. э . C'Q = D‘(f) QP [*272-42] = Q'Tpq (5) F . (1). (5). э F . Prop *272-5. F : P, geSer. TeCis —> 1 .WTaC'P.xTpQy.PQaP.J. {TCxlyY'QG-P Доказательство. F . *150-75. э F : Hp. z>. (Г 0 x O) 'Q = T'Q U T'^'y J i'x U i‘x f Г‘&у (1) F . *272-212 . э F : Hp. x ~ e DT . z>. T'^'y c?‘x. T“<Q'y c *P'x (2) F.(l).(2). эР:Нр.х~еОТ.э.(ТихХу);есР (3) F.*272-16. oF:xeDT.o.TUxiy = T (4) F . (3). (4). z> F . Prop *272-51. F : P, geSer. Те 1 -> 1 . DTcCT. OTcCQ. xTPQy.P [D‘T = T'Q. IV = T Cxly .^.PIWW^’W'Q Доказательство. F. *272-5. z>F:Hp.z>. W;ecP (1) F. *272-42. z> F:Hp.3. у (t)QPx (2) F . *150-36. *151-26 . z> F : Hp. э. t 'P = Q [ ОТ (3) F . (2). (3). *272-5. oF:Hp.o. I¥Tg<2 (4) F . (1). (4). *150-36 . z> F: Hp. э. W'Q gP [ D‘IV. VV' (P ] D‘W) GQ. [*151-26] o.P]D‘W=W;<2:z>F.Prop Principia Mathematica III
*273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 199 *273. Рациональные серии Краткое содержание *273. “Рациональная серия” представляет собой серию, ординально подобную серии всех положительных и отрицательных чисел в порядке величины, или, что является эквивалентным, серию, ординально подобную серии всех рациональных правильных дробей (0 исключается). Тем не менее указан- ная характеристика рациональных серий не является наиболее удобной для определения. Следуя Кантору, мы определяем рациональную серию как серию, которая является компактной, не обладает началом или концом и имеет Ко термов в своем поле. Таким образом, поле рациональной серии может быть упорядочено в прогрессию, и что является источником тех специальных свойств, которые отличают рациональные серии от других компактных серий. Рациональные правильные дроби могут быть упорядочены в прогрессию многими способами, например следующим образом: Если две дроби (в сво- их наинизших термах) обладают одним и тем же знаменателем, то возьмем дробь с меньшим числителем первой; если они имеют разные знаменате- ли, то возьмем первой дробь с меньшим знаменателем. Таким образом, мы получаем серию 1 1 2 1 3 1 2 3 4 1 2’3’3’4’4’5’5’5’5’6’ ”” Эта серия является прогрессией и содержит все рациональные правильные дроби. Обратно, натуральные числа могут буть упорядочены в рациональную серию. Возьмем, например, следующий способ упорядочения: Выразим чис- ла в диадической системе исчисления, так что каждое число приобретает форму 12^(Иек), где к представляет собой финитный класс целых чисел. Отношение рас- сматриваемого числа к к является одно-однозначным. Упорядочим различ- ные к-элементы посредством принципа первых разностей, т.е. образуем се- рию Мс\ [ (Cis induct - i‘A), где М — отношение “меньше чем” между финит- ными целыми числами. Получившаяся серия является рациональной сери- ей; таким образом, целые числа упорядочены в рациональную серию в силу их корреляции с классами к. Это упорядочение ставит все нечетные числа перед всеми четными числами, все числа вида 4v + 2 перед всеми числами вида 4v, и так далее. Если два числа выражены в двоичной системе ис- числения, то их относительное положение в серии детерминируется первой цифрой (начиная справа), которая не будет одной и той же для двух чи- сел: число, для которого рассматриваемая цифра является 1, предшествует числу, для которого она есть 0. Два основных предложения, касающиеся рациональных серий, есть (1), что любые две рациональные серии являются ординально подобными; (2), что если R представляет собой прогрессию, то ее финитные экзистенци- ональные подклассы, упорядоченные с помощью принципа первых разно- А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 200 стей, образуют рациональную серию. Второе из этих предложений дока- зывается с помощью (а) того, что финитные экзистенциональные подклас- сы, упорядоченные с помощью первых разностей, образуют компактную серию; (Ь), что финитные экзистенциональные подклассы, упорядоченные последними разностями, образуют прогрессию. С помощью этих средств для любой заданной прогрессии мы можем установить отношение, которое упорядочивает ее термы в рациональную серию. Так как Т представляет собой коррелятор нашей прогрессии R с прогрессией R]C [ (Cis induct - i‘A), то T’ Pci [ (Cis induct - i‘A) является рациональной серией, чье поле есть C‘R. Следовательно, рацио- нальные серии существуют в пределах любого типа, в котором существуют прогрессии. Упорядочение финитных подклассов прогрессии, приводящее к экзи- стенциопальной теореме для рациональных серий, будет рассматриваться в следующем параграфе. В настоящем параграфе мы будем касаться дока- зательства того, что любые две рациональные серии являются ординально подобными. Доказательством подобия любых двух рациональных серий мы обяза- ны Кантору. Оно является длинным и достаточно сложным; кратко оно разворачивается следующим образом. Пусть Р, Q будут двумя рациональными сериями, а Р, 5 — двумя про- грессиями, чьи поля есть ёРи ClQ соответственно. Построим серию кор- реляций частей Р с частями Q по следующему плану: Начнем с А, и если Т представляет собой какую-либо корреляцию, то пусть следующей будет TUseq/DT 1 min5‘^/^‘seq/DT. Тогда сумма всех корреляций, порождаемых от А на основании этого за- кона перехода, будет корреляцией Р с Q. В дальнейшем будет видно, что если мы положим W = XT (X = seq/D‘T | mins ‘^e'seq/DTJ, то отношение, которое, как мы предполагаем, будет коррелятором Р с Q, является WA в смысле, определенном в *259. Таким образом, мы должны доказать WA е 1 1. СПУд = C‘Q.P=WA 'Q. Мд е 1 1 вытекает непосредственно из *259-15. Р [ D‘Wx = ;<2 вытекает непосредственно из *259-16 и *272-51. Таким образом, остается доказать D‘Wa = C‘P.G‘Wa = C‘6. D‘Wa = C‘P легко доказывается. По индукции, если Т является од- ним из серии частичных корреляторов, то D‘T е Cis induct, и вслед- ствие этого E!seq/?‘DT, на основании *263-47, а на основании *272-34, C‘P = D‘T/>q; следовательно, g! V^^/seq^DT, и поэтому, на основании *250-121, Е ! пнц$‘^rpQ‘seq/?‘D‘T. Следовательно, Т обладает последовате- лем, который коррелирует seq/?‘D‘T с шщ$‘V^^/seq^D‘Г. Следовательно, Principia Mathematica III
*273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 201 рассматриваемый последователь в R каждого элемента С‘Я, который об- ладает коррелятом, имеет коррелят; следовательно, по индукции, каждый элемент CR (т.е. С‘Р) обладает коррелятом. Следовательно, D'W& = СР. Доказательство того, что G'Wa = CQ является более сложным. Как и прежде, пусть Т будет одним из серии частичных корреляторов. Мы долж- ны доказать, что найдется коррелятор, который имеет seq/?‘Q‘T в своей обратной области; когда это доказано, результат получается по индукции. Чтобы доказать это, положим х = min/Y />Q‘seqs ‘Q‘T. х существует, в силу *272-43. Также, поскольку D‘Wx = СР, из *259-13 сле- дует, что найдется частичный коррелятор U такой, что х = seq/?‘D‘t/. Затем мы должны доказать, что seq5 ‘Q‘T = пнщ 'IJpq'x. Положим y = seqs‘G‘T. Тогда 1>'у cQT. Следовательно, на основании *272-2,1>'у ntjPQ'x = А. Таким образом, если xUpQy, то у = пищ 'XJpq'x. Что- бы доказать xUpQy, заметим, что Т g и . Upq a. TPQ . Р С D'U = WQ. Мы имеем ueD'U . э . ~ (и Tpq у), на основании *272-2. Следовательно, по- средством определения Tpq мы имеем, если ueD'U, то (gz). z е D‘T . zPu . ~ (T'zQy). V . (gz). z e D‘T . uPz. ~ (yQ t'z). В первом случае мы имеем (gz). z е D'T . zPu . - (zPx), потому что xTpQy. Следовательно, поскольку x^z, так как x~eD‘T, то (gz). z е D'T . zPu . xPz. Подобным образом, во втором случае (gz). z е D‘T . uPz. zPx. Второй случай несовместим с хРи, а первый —с иРх. Следовательно, хРи . э . (gz). z е D'T . xPz. zPu : иРх. э . (gz). z e D'T . uPz . zPx. Однако, поскольку xTpQy, xPz-^ -yQ(f'z) . э .yQ(U'z), так как TGt/, и поскольку Р [ D'U = CQ, zPu.z>. (U'z) Q (U'u). Следовательно, хРи . э -yQ(U'u) и аналогично иРх. э . (t/‘и) Qy. Следова- тельно, xUpQy. Следовательно, у = пищ '<Upq'x, и поэтому у принадлежит обратной области следующего после U коррелятора. Следовательно, каж- дый терм CQ принадлежит обратной области некоторого коррелятора, и поэтому принадлежит П‘Мд. Следовательно, Мд коррелирует Р с Q, а Р и Q являются ординально подобными. *273-01. т| = Ser A comp А б“Ко A P(D'P - Q‘P) Df Следуя Кантору, мы используем ц для обозначения класса рациональ- ных серий. *273-02. Rspq'T = Т U seq/?‘D‘T J, пищ '*ГpQ'sec^'D'T Dft[*273] *273-03. (RS)pq = (RSPq^'A Dft[*273] *27304. TRSPq = s‘(RS)pq Dft[*273] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 202 В дальнейшем будет показано, что Trspq будет коррелятором Р с Q, когда Р и Q представляют собой рациональные серии, a R и 5 являются прогрессиями, чьи поля есть СР и C'Q соответственно. * 273-1. h:PeT]. = .PeSern comp . ёРе Ко . D‘P = СГР [(*273-01)] * 273-11. h Рет] . = : РeSer П comp .D‘P = СГР: (gP). Pew . C'P = C'R [*273-1. *263-101] * 273-2. k : W = Xt {X = seq^'DT | mins ‘^e'seq/DTJ. э. Rspq - Aw • (RS)pq c (Aw *A)‘A. Trspq g 1¥л . Trspq e (Aw *A)‘A [*257-125. *258-242. (*273-02-03-04 . *259-02-03)] Здесь восстанавливаются временные определения *259. Второе из приведенных выше включений могло быть заменено на ра- венство, однако это не является необходимым для целей доказательства. * 273-21. к : Нр *273-2 . э. D‘W4 с C‘R. СТс C‘S Доказательство. к . *259-13. э к : Нр.э. D‘WA = s‘D“l¥“(Aw *А)‘Л (1) к. *206-18. эк:Нр.еО‘№.э.О‘ХсС7? (2) k.(l).(2). э к : Hp. э. D‘Wa c C‘R (3) Аналогично к : Hp. c C‘S (4) к. (3). (4). э к. Prop * 273-211. к : Нр *273-2. Ге G‘W. э . DT Ci D‘WT = Л [*206-2] * 273-212. к : Нр *273-2. э. е Cis -> 1. D f (Aw *А)‘А е 1 -И [*273-211. *259-141-171] * 273-22. к : Нр *273-2 . ёР- C'R. Р е connex. Q G J. э. WA е 1 ->• 1. Q [ (А»- *А)‘Ае 1 -> 1 Доказательство. к . *273-211-212-21. *206-2. (*259-03). э к :. Нр • э : Te(Aw *A)‘An G‘W. э. Т eCis—»1. DT сС‘Р. seq^'DT ~eDT. [*272-2] 3.min$‘5>e‘seqR‘DT~eGT (1) к. (1). э к Нр. э: Т е (Aw *А)‘А П G‘W. эг . GT Г) G‘WT = Л: [*259-14-17] э: е 1—»Cis • G f (Aw *А) е 1—> 1 (2) к. (2). *273-212 .эк. Prop * 273-23. к: Нр *273-2 . Р, Q е Ser. C'P = C'R. C‘Q = C'S . Т е (Aw *А)‘А. э . Р tD‘T = T’Q Доказательство. к . *272-51. *273-21. э к : Нр. Т е СТW. э. Р ] D‘A wT = (AW'T) (1) к . (1). *259-16 .эк. Prop * 273-24. к : Т е (RS)PQ . э . DT, GT е Cis induct Доказательство. к . *120-251. э к :. Нр. э: Т е D‘Aw . DT е Cis induct. э . D‘AwT е Cis induct: [*90-112] э : A (Aw)* T. э. DT e Cis induct: 1*273-2 . (*273-03)] э : Te(RS )PQ . э . DTe Cis induct (1) АналогичнЬ:. Hp. э : T e (RS)pq . э . GT e Cis induct (2) к . (1). (2). э к. Prop Principia Mathematica III
.273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 203 * 273-25. \--.P,Qei}.C‘P = C‘R.C‘Q = C‘S .Т e(RS)PQ . . D‘TPq = C'P .<1'TPq = C'Q Доказательство. I- . *273-1. э I-: Hp. э. P, Qe Ser П comp. C'P = D'P = G‘P. C'Q = D'Q = CL'Q (1) I-. *273-1. *263-44. э I-: Hp. э . a !P. a !Q (2) I-. (1). (2). *273-22-23-24. *272-43 . => h . Prop *273-26. P, Qex]. R,S еш. C'P = C'R. C‘Q = C‘S . э: T e(RS)PQ . z>. E ! seq«‘D‘T. E ! mips ‘*ГFQ'seqjCD'T Доказательство. I- . *273-21. *263-47. *273-24. z> Ь : Hp. Te(RS)PQ . =>. a! C'R A p'fr'D'T . [*250-122] z>.E!seqp‘D‘T (1) b. (1). *273-25 . э I-: Hp. э . a! ^ec'seq/DT. [*250-121. *272-1] z>. E! mips ‘FpG‘seqp‘D‘T (2) F. (1). (2). э F . Prop *273-27. F : Hp *273-2 . Hp *273-26 . э. (RS)PQ c Q‘IV. (RS)PQ c D‘AW [*273-26] *273-271. F : Hp *273-26 . Te (RS)PQ . э. seq/DT e D'TRSPQ Доказательство. I-. *273-2 . э F : Hp. Hp*273-26. э. Те(RS)PQ A D‘AW . э. AW'Te(RS)PQ (1) F . *273-2. э I-: Hp. Hp *273-2 . Te (RS)PQ . E ! AW'T. э. seqjfDTe D‘AW‘T (2) I-. (1). (2). *273-27. э I-: Hp. Hp *273-2. z>. AW'Tc(RS)Pq . seqp'DTeD'Aw'T. [*273-2 . (*273-04)] э . seqp‘D‘T e D'TRsPq : э F. Prop *273-272. I-: Hp *273-26 . э . D''(RS)PQ =~1"C'R Доказательство. F . *206-401. э F : Hp . T e (RS)pq . D‘T =7?‘x. xeC‘R . э . x = seq^‘D‘T . [*204-71. *250-21] z>. D'RSPQ'T = 1'R ,‘x (1) *250-13. ol-:Hp.z>.D‘A=l?‘B7? (2) F. (1). (2) .*90-131 .ob:.Hp.3:T(PspG)*A.o.D‘Te^“C‘7?: [(*273-03)] z>-.'D"(RS)pqc.'^.‘'C‘R (3) I-. (1). (*273-03). э b:.Hp.=>:xeC‘7?."^‘xeD“(P5)pe.3.^‘Pi‘xeD“(P5)pe (4) b.(2). oh:Hp.z>.'i‘B‘/?eD“(P5')pe (5) h . (4). (5). *90-112 . э I-:. Hp. => -.xe(Rx\‘B'R. => .~^'xe'D“(RS)PQ (6) I-. *263-43 . *250-21. э h : Hp. э. C'R = C'RX . B'R = B'R\ (7) I-. (6). (7). *263-141. *122-1-141. э I-:. Hp. э : xeC'R. э .^‘xeV>"(RS)PQ (8) F . (3). (8). э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 204 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ *273-28. F : Нр *273-26 . э . TRSPQ е 1 -И . D'Trspq = С'Р.Р = Trspq'Q Доказательство. H. *273-2-22 . D h : Hp. z>. TRSPQ e 1 -»1 (1) 1-. *273-272 . э F:Hp.э. VTrspq = s'R “C‘R [*263-22] h. *273-2-23 = CR . dF : Hp . э . P [ WTRSPq = Trspq'Q . (2) [(2)] F.(l).(2). Э . P = Trspq'Q (3). э F . Prop (3) Для того чтобы доказать TRsPq с Psmor Q, остается доказать G'Trspq = C'Q. ЛИШЬ *273-3. HHp *273-2 . T, U e (Aw *A)‘A. э : D'T c D'U . = .TdU Доказательство. 1-. *33-263. эк:Тс1/ .=>.D‘TcD‘l/ (1) k. *259-111. эк:.Нр.э:ТсС/ .V . [7 gT (2) 1-. *33-263. э h : t/GT . D‘T c D‘t/. =>. D‘T = D‘T (3) F. (3). *273-212 . z> k : Hp. U GT . D'T c D'U. э . T = U (4) h.(2).(4). э b : Hp. D'T c D'U. =>. T G U (5) F . (1). (5). э F . Prop *273-31. k: Hp *273-26. T e (RS)PQ . у e C'S - СГТ.l>'y a D'T. э . (gx, U).x = min/}1"? PQ'y. U e (RS)PQ . х = зедя‘В‘С7 Доказательство. h . *273-25. *250-121. э F: Нр. э. (gx). х = min/Tp^y (1) I-. *273-272 . э k : Нр. х = . э. (gU). U е(RS)PQ . D‘l/ =~ft‘x. [*206-401] э . (g(7). . х = seqRlD‘[/ (2) F . (1). (2). э F . Prop *273-32. F : Hp *273-31. x- ттл‘"?PQ‘y -U e(RS)Pq . x = seq^‘D‘t/ . э . *UPQy. T Q.U Доказательство. H . *205-14 . эН :. Нр . uRx. э : ~ (иТPq у): [*272-13] э: (gz): z е D'T: zPu. ~ (J'zQy). V .uPz.~(yQt‘z) (1) 1-. *272-2-42 . эЬ : Нр. э. x~eD‘T. (2) [*273-272] ^.D'Tci'x (3) К *273-272. э 1-: Нр. э .^‘х = D‘[/ (4) Ь . (3). (4). *273-3. э Н: Нр. э. Т G U (5) 1-. (1). *272-13 . э F Нр . uRx. э : (gz): z е D‘T : zPu . ~ (zPx). V . uPz -~(xPz) (6) F . *204-1. э F Hp . э : uPx. zPu . э . zPx: xPu . uPz . э . xPz (7) F . (6). (7). (4). э F Hp . и eD‘t/ . э : иРх. э . (gz). zeDT . uPz • ~ (xPz): хРи . э . (gz). z e D‘T . zPu . ~ (zPx): [(2)] э : иРх. э . (gz). z e D‘T . uPz . zPx: хРи . э . (gz). z e D‘T . zPu . xPz (8) F. *272-13. *273-23. э F : Hp . и e D‘U . z e D‘T . uPz. zPx. э . (С7‘и) Q (U'z). (T‘z) Qy . [(5)] o.(t/‘u)ey (9) Principia Mathematica III
*273. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 205 Similarly F : Нр. ueD‘t/ . zeD‘T . zPu . xPz. э . uQ(U'u) (10) F . (8). (9). (10). э F Hp . и eD'U . э : uPx. э . (U'u) Qy: xPu . э -yQ(U'u) (11) F . (11). *272-13 . э F : Hp . э . xUPQ у (12) F. (5). (12) . э F. Prop *273-33. F : Hp *273-32 . э . у - тщ$ 'XIpq'x . x(RSpQ‘U)y Доказательство. I- . *273-32. => I-: Hp. э .~^y a G‘U. [*272-2-42] 3.^>nt7/>e‘x = A (1) I-. (1). *273-32 . *205-14 . э h : Hp. э . у = mips ‘t/pg'x (2) F. (2). (*273-02). oF:Hp.o.x(/?5pe‘t/)y:oF.Prop *273-34. F:Hp *273-31 .э.уеОТад Доказательство. F . *273-31-33 . э F : Hp . э . (aU). U e (RS)PQ . у e G'Rsqp'U . [*90-16 . (*273-03)] э . (a W). W e (RS )PQ . у e CT W. [(*273-04)] э . у e G.'TRSpq : э F . Prop *273-35. F : Hp *273-26 . э . <X'TRSpq = C'Q Доказательство. F . *273-34 . э F : Hp .yeC'S . 3^‘y cG'TRspq • • yeG.'TRSpq (1) F . (1). *250-34 . э F . Prop * 273-36. F : Hp *273-26 . э . TRSPQ e P smor Q [*273-28-35] * 273-4. F : P, Qet] . э . Psmor Q Доказательство. F . *273-11. z> F : Hp. э . (gP, 5). R, S e u). C'P = C'R. C'Q = C'S . [*273-36] э . (gP, S). TRspq e P smor Q : э F . Prop * 273-41. F : Per]. Psmor Q . э . Qerj Доказательство. F . *270-41. э F : Hp . э . Q П comp (1) F . *151-18 . *123-321. э F : Hp. э . C'Q e Ko (2) F. *151-5. э F : Hp. э . D‘g = G‘6 (3) F . (1). (2). (3). *273-1. э F . Prop *273-42. F : Per). э . rj = Nr‘P [*273-4-41] *273-43. F.rjeNR [*273-42 . *256-54] Следующие предложения легко доказываются: F : Q e Ser П C“N0 . P e T]. z>. QxP e rj, откуда F : a eNRn CPSer . C"a = Ko . э . a x rj = rj; и F : Рет]. geSer П C“N0 • xeC'P. э .xl^QeNr'Q П Rl‘(6xP). gxPer], откуда, вследствие того обстоятельства, что все rj-элементы подобны, F : Р е т|. QeSer П (?“Ко • э • Я • Nr‘g П RPP. Таким образом, г| содержит серии всех порядковых типов, составленные из Ко термов. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 206 *274. О серии финитных подклассов серии Краткое содержание *274. В настоящем параграфе мы будем касаться построения рациональной серии, состоящей из финитных экзистенциональных подклассов прогрес- сии. Когда финитные подклассы прогрессии (исключая А) упорядочива- ются с помощью принципа первых разностей, результатом является ра- циональная серия. Когда они упорядочиваются с помощью принципа по- следних разностей, результатом является прогрессия. Эти два предложе- ния вместе с последующими экзистенциональными теоремами доказывают- ся в настоящем параграфе. Мы определяем “Рл” как Рс\ с его полем, ограниченным к экзистенцио- нальным классам. (По поводу определения Pci, см. *170-01.) В этом парагра- фе мы будем главным образом касаться Рп, где Рео), однако оно обладает интересными свойствами и во многих других случаях. Наше определение есть Рт) = Pci [ (Cis induct - i‘A) Df. В этом параграфе мы будем касаться не только Рп, но также РС] [ (Cis induct - i‘A), что есть Cnv‘(P)rr Таким образом, если мы полага- ем Р = б, то гипотеза о том, что PeQ, как она используется при изуче- нии РС] [ (Cis induct - i‘A), эквивалентна гипотезе о том, что geQ, как она используется при изучении Cnv‘6n, т.е. Таким образом, изучение Pci и Pic с полями, ограниченными к индуктивным экзистенциональным клас- сам, может заменяться изучением Рп в двух случаях, когда (1) PeQ, когда (2) PeQ. Второй случай проще и рассматривается первым. Тем не менее, сначала мы имеем группу предложений, которые допускают лишь то, что Р является серией. Поскольку индуктивный экзистенциональный класс в серии должен об- ладать максимумом и минимумом, мы имеем *274 12. F :: Р е Ser . z>:. а Рл ₽ . = : а, р е Cl induct‘C‘P - i‘A : (gz). z е а - Р . а = р Мы имеем *274-17. F : С'Р ~ е 1 . э . C‘Pn = Cl induct‘C‘P - i‘A Всякий раз, когда Р представляет собой серию, Рл является серией (*274-18). Если Р обладает последним термом, то класс, состоящий лишь из этого последнего терма, является последним термом Рл; если Р не обла- дает последним термом, то Рл не имеет последнего терма (*274-191). Если ёРпредставляет собой индуктивный экзистенциональный класс, то пер- вым термом Рп является ёР(*274-194); если нет, то Р не обладает первым термом (*274-195). Следовательно, если Р не обладает последним термом, то Рл не обладает первым или последним термом, и мы имеем D‘Pn = П‘РЛ (*274-196). Поэтому из характеристик, применяемых при определении ц, мы имеем PneSer всякий раз, когда PeSer, и DtPT1 = Q‘PT1 всякий раз, ко- гда ~ Е ! В'Р. Далее мы доказываем Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 207 *274-22. HPeQ.o.P^eQ которое, в силу того, что было сказано выше, эквивалентно Р е Q. э . Рс1 £ (Cis induct - i‘A) е Q, т.е.: Принцип последних разностей, примененный к индуктивным экзистен- циональным подклассам любой вполне упорядоченной серии, дает вполне упорядоченную серию. Чтобы доказать *274-22, поскольку мы уже знаем, что Рп является се- рией, мы должны доказать лишь то, что каждый экзистенциональный под- класс из С'Р обладает максимумом в силу Рл. Это доказывается следую- щим образом. Пусть к будет любым экзистенциональным подклассом Clinduct‘C‘P-i‘A. Рассмотрим минимумы всех элементов к: все эти минимумы существуют, потому что к составлен из индуктивных классов. Затем, в силу природы принципа первых разностей, элементы к, кото- рые обладают идущим позже минимумом, появляются позже, чем те, которые обладают идущим ранее минимумом. Следовательно, если мы рассматриваем min/>“K, то классы, чей минимум есть максимум minp“K (который существует, потому что PeQ), появляются позже, чем любые другие элементы к. Положим xi = maxp‘minp“K. Ki = к A min/xi. Таким образом, Ki состоит из тех элементов к, которые обладают наиболь- шим минимумом, и элементы Ki появляются позже, чем любые другие эле- менты к. Подобным образом появляющиеся позже всего элементы Ki будут такими, что будут обладать наибольшим вторым термом, т.е. если мы от- бросим (общий) первый терм из каждого элемента К], и если является результирующим классом классов, то мы должны применить к kj в точ- ности тот же самый процесс, который мы уже применили к к. Таким об- разом, мы приходим к тому, чтобы положить %1 = тахр‘тш/>“к. Kj = к A min/xi . kj = (- i‘xi)“ki, %2= maxp‘minp“ki . Кг = Х2 А ттр‘х2 • ^2 = (_ i‘x2)“K2, и т.д. Серия xi, Х2,... есть восходящая серия в Р и поэтому является фи- нитной на основании *261-33. Поэтому она обладает последним термом, скажем Ху. Тогда класс i‘xi U i‘x2 U ... U i‘xv является элементом к и видно, что он является его максимумом. Следовательно, каждый экзистенциональ- ный подкласс к из С‘РЛ обладает максимумом, и поэтому PneQ. Для того чтобы представить символически приведенный выше процесс, мы полагаем Рт‘к = maxp‘minp“K Dft, 7р‘к = (- i‘Pw‘k)“(k А тшр‘Рш‘к) - i‘A Dft, МР‘к = Рт‘‘{ТрУк Dft. Тогда Рт‘к является тем, что мы называем xi, а Тр'к есть то, что мы называем Aq, (Тр\"к представляет собой класс к, a М, А.2, • • «^v-i и А/р‘к есть класс Х1,Х2,хз,.. .xv. Таким образом, то, что мы должны доказать, есть Мр'к = max (Рл)‘к, что доказывается в *274-215. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 208 Далее мы доказываем *274-25. НРесо.э.Р^ео) С этой целью мы используем *263-44, а именно о) = Q - i‘A П Р (CTPi = СГР. ~ Е ! В‘Р). Таким образом, остается доказать только ~ Е! В‘РП следует из *274-195, a D‘(/\)i = D‘Pn доказывается без затрудне- ний; как следствие, вытекает наше предложение. Из *274-25-17, заменяя Р на Р, мы получаем *274-26. F : Р е о). э . Р]С [ (Cis induct - i‘A) е о). C‘Plc t (Cis induct - i‘A) = Cl induct‘C‘P - i‘A откуда непосредственно вытекает, что *274-27. F : а е Ко . э . Cl induct‘а е Ко . Cl induct‘а - i‘A е Ко Т.е. класс из Ко термов содержит Ко индуктивных подклассов. Сейчас мы должны доказать *274-33. F : Р е со . z> . Рл е ц В силу *274-17-27, мы имеем С‘РП еК0; и на основании *274-18, P^eSer. Таким образом, остается доказать только то, что Рл e comp. D‘Pn = G‘Pn. Второе из них вытекает непосредственно из *274-196. Что касается Рлесотр, если аРлр, то a U р е Cis induct, и потому д! рс<Р‘‘(а U р); однако, если хер ‘Х“(а U Р), то мы имеем а Рл (Р U i‘x). (Р и i‘x) Рл Р; следовательно, РлеРп2. Этим завершается доказательство того, что Р^етр Рассматриваемое предложение имеет место не только тогда, когда Рео), но и если Р является какой-либо серией, которая не обладает последним термом и чье поле имеет Ко термов (*274-32). В заключение мы имеем дело с существованием ц (*274-4—-46). Если Ре о), то Р подобна Pci [ (Cis induct - i‘A), на основании *274-6; и если Т есть их коррелятор, то Т;РЛ представляет собой элемент т|, поле которо- го есть ёР(*274-4). Следовательно, существование ц в пределах любого типа эквивалентно существованию о) в пределах того же типа (*274-41). Следовательно, нам осталось просто применить предыдущие предложения о существовании о). *274-01. Рл = РС1 t (Cis induct - i‘A) Df *274-02. Рт‘к = тах/>‘тшр“к Dft [*274] *274-03. 7>‘к = (- 1‘Рт‘к)“(кП тт/Рт‘к) - i‘A Dft [*274] *274-04. МР‘к = Рт“^ТА‘к Dft[*274] *274-1. F : а Рл p . = . a, p e Cis induct‘C‘P - i‘A . 3! a - p P“(p - a) [*170-1. (*274-01)] *274-11. F : PeSer . a e Cl induct‘C‘P - t‘A . э . E ! min/a . E ! max/a [*261-26] Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 209 *274111. F: Р е Ser. ~ Е ! В'Р. а е Cl induct'C'P. э . 3! р'*Р"а Доказательство. I-. *274-11. э F : Нр . g! а. э . max/а eD‘P. [*205-65] э.з!р‘^“а (1) F. (1). *40-2. э F. Prop *274-12. FuPeSero:. аРл Р . = : а, PeCIinduct'C'P- t'A: (32). zea- р. аCi"?‘z = р o7‘z Доказательство. I- . *170-2 . э I-a, PeCI induct 'С ‘Р- t'A : (3г). zea - Р. a O^‘z = Р Cl^'z: э. а Рп р (1) F . *274-11. э F : Нр. a Pn Р. э. Е ! minP‘(a - р - Р“(р - а)). [*170-23. *205-192] э. (3г). zea - р. a n>z = Р (2) F . (1). (2). э F . Prop *274-13. F. Р1с [ (Cis induct - t'A) = Cnv'(P)n [*170-101. (*274-01)] *274-14. I-:: PeSer. z>:. a {Pic [ (Cis induct - t'A)) P. = : a, p e Cl induct'C'P - t'A: (32). ze P - a. а Л *P'z = P Cl *P'z [*274-12-13] *274-15. Ь: a, P e Cl induct‘C‘P -t‘A.pca.p#a.3.aPnp [*170-16. *274-1] *274-151. F : aeCl induct'C'P-l.xe а. э. a Pn (t'x) [*274-15] *274-16. h : 3 !Pn . s . C‘P~ eOU 1 Доказательство. F. *274-1. эF : з!Рл . э . 3! C'P (1) F. *274-151. z>F:C‘P~eOUl .э.з!Рл (2) I-. *60-38. э F : C'P e 1. з. ~ (ga, P). a, P e Cl'C'P - t'A. 3! a - P . [*274-1] з.Рп=А (3) F . (1). (2). (3). 3 F . Prop *274-17. F : C'P ~ e 1. 3 . C'P^ = Cl induct'C'P - t'A Доказательство. F. *274-151 .3F. Cl induct 'C'P- t'A - 1 cD'Pn (1) F . *274-151. 3 F : x e C'P. C'P f t'x. з. t'x e G'P^ (2) F.(2). 3F : Hp. з. СГС'РЛ IcQ'P, (3) F . (1). (3). з F : Hp. з . Cl induct'C'P — t'A c C'Pn (4) F . (4). *274-1. з F . Prop *274-171. F : P2 G J. xPy. з. (t'x) Pn (t'y) [*274-1] *274-18. F : PeSer. з. Pn eSer Доказательство. F. *201-14.3 F :. Hp .zea-p.wep-y.a cT?'z = pCi”?‘z.pci~?'w = yCi"?‘w.3: zPw. з. ze a — у. a Ci"?‘z = y Ci~^‘z (1) F . *201-14. э F :. Hp (1). э: wPz. э . wea-y. aCi"?‘w = y Ci^'w (2) F . (1). (2). *202-103. *274-12 . z> F : Hp. a Pn P . P Pn у. э. a Pn у (3) F. *274-11.э F : Hp. a, P e Cl induct'C'P - t'A . a / P. э . (зг) • z = minP‘{(a - P) U (P - a)) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 210 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ [*205-14] э. (gz). ze(a - 0) и (0 - а). a C\~P‘z = 0 n"?‘z. [*274-12] (4) F . (3). (4). *170-17. э F . Prop *274-19. F: P econnex. P2gJ.o.^‘P4 = i“^‘P Доказательство. F. *274-151. э F. Cl induct‘C‘P- 1 c D‘Pn (1) F. *274-17. oFzHp.o.r'D'PcD'P,, (2) F . (1). (2). *274-17. э F: Hp . э .~§‘P^ c i“^‘P (3) F . *202-524. э F : Hp. xeS'P. 0eCl induct‘C‘P- i‘A. x~e0.э. xeP“(0 - i‘x) (4) Ь • (4) • => F : Hp. xe^'f*. э. ~ (g0). 0eClinduct‘C‘P- i‘A . g! i‘x- 0 - P“(0- i‘x). [*274-1] э. i‘x ~ e D‘P4 (5) F . (5). *274-17. э F : Hp. э. i“^‘P cll‘Pn (6) F . (3). (6). э F . Prop *274-191. F :. Peconnex. P2 G J. э: E ! B'P. э . B‘F\ = С B'P: ~E!B‘P .э.^‘Рп = А [*274-19] *274-192. F:.Peconnex. Р2с/.э:Е!В‘Р. = .Е!В‘РТ) [*274-191] *274-193. F.^‘Pn = i‘C‘Pn(Cisinduct-i‘A- 1) Доказательство. F. *274-15-1. э F : C‘Pe Cis induct - i‘A - 1. э . С‘Ре^‘Рл (1) F . *274-16-17. э F : C'P ~ e (Cis induct - i‘A - 1). э . C'P ~ e C'P^ (2) F . *274-15 . э F : ae Cl induct‘C‘P- i‘A. xeC'P- a. э . (a U i‘x) Pn a (3) F.(3). э F . Cl induct‘C‘P - l‘A - i‘C‘P c G‘Pn (4) F . (4). Transp. *274-1. э F .^‘Pn c (Clinduct‘C‘P - i‘A) П CC'P (5) F . (5). *274-16. э F.^‘Pnc (Cis induct - i‘A - l)m‘C‘P (6) F . (1). (2). (6). э F. Prop *274-194. F : C'P e Cis induct - i‘A - 1. э . B'P^ = C'P [*274-193] *274-195. F : C'P ~e Cis induct. э.^‘Рп = A [*274-193] *274-196. F : P e Ser. ~ E ! B'P. э. D‘Pn = G‘P4 Доказательство. F. *274-192. э F : Hp. э .^‘Pn = A (1) F . *274-195-16. *261-24. э F : Hp. э .~S‘P4 = A (2) F . (1). (2). э F. Prop Следующие предложения дают доказательство того, что PeQ.o.P^eQ (*274-22). *274-2. F : PeQ. к с С‘РЛ . д! к. э. Е ! Рт‘к. Рт ‘к emin/'K [*274-1-11. *250-121. (*274-02)] *274-201. F : 0 е ТР'к. =. (да). а е к. min/a = Рт‘к. 0 = а - СРт‘к. д! 0 [(*274-03)] *274-202. F : Е ! Рт'к. э. Е ! ТР'к [(*274-03). *14-21] Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 211 *274-203. F Нр *274-2 . э : 7р‘к = А . = . кА minp‘Pm‘K = l‘l‘Pw‘k Доказательство. I-. *274-2-202 . э F :: Нр . э ТР‘к = Л . =: ~ (да, (5). аек. min/a = Рт‘к. 0 = а - i‘Pw‘k. д! (5: [*13-191] =:аек А min/P^K. эа . а - l‘Pw‘k = Л : [*274-2] = :а ек A minp‘Pm‘K. =а . а = t‘Pm‘K:: э F . Prop *274-204. F: к с С‘Рл . к (7>)* X. э. С‘Рл Доказательство. I-. *120-481. *274-201. э I-: к с Cis induct. Е ! ТУк. э . ТУк с Cis induct (1) I-. *274-201. э F : к с С1‘С‘Р. Е ! ТУк. э . ТУк с С1‘ёР- i‘A (2) Ь . (1) - (2). *274-16 . э F : С‘Рл . Е ! ТУк. э . ТУк с С‘Рл (3) I-. (3). Induct. э F . Prop *274-205. F : Ре Ser . Е ! Pyfyk .^.(Pm X) Р (РУТук) Доказательство. F . *274-201. *205-21. э I-: Нр. РеТуК. э . р с (1) F . *205-11. (*274-02). э F : Нр. э . PmtP4е з1ТР‘\ (2) F . (1) . (2) . э F . Prop *274-206. I-: Hp *274-205 . к (7»* X. э. (Рт‘к) Р (Pytyk) Доказательство. I-. *14-21. (*274-02). э F : Е ! РУТРк. э . Е ! Рук (1) I-. (1). Induct. э I-: Нр . э . Е ! РУк (2) F. (2). *274-205 . Induct. э F . Prop *274-207. F : PeQ. к(ТР)* X. РУХ = maxp ‘МР ‘к. э . ~Е ! Pyfyk. fyk = A Доказательство. I-. *274-205 . Transp . э I-: Нр . э . ~ Е ! Pytyk. [*274-204-2 . Transp] э .tyk = Л: э F. Prop *274-208. F PeQ . кс С‘Рл . д! к. э : Ае(тРУк: (дХ). к(7»* X. X A minP‘Pm‘X = iTPm‘X. fyk = Л Доказательство. F . *250-121. э F: Нр . э . Е ! тах>‘Мр‘к (1) F . (1). *274-207-203-204 . э F . Prop *274-21. F: 0 е ТУк. э . 0 U i‘Pm‘Kе к [*274-201] *274-211. F : к(7/>)* X. 0 еХ. э . 0 U P„i“77> (к н Х)ек Доказательство. I-. *274-21. э I-Нр : 0 е к . эр . 0 U Рт“ТР (к н X) е к: э : yetyk.z>y .уи РУ'ТР(к н7>‘к)ек (1) I-. *274-21. (1). Induct. э F . Prop *274-212. I-: PeQ. ксС‘Рл . д! к. э . МУкек Доказательство. F . *274-208-211. э I-: Нр . э . (дк). к(7»* k. tyk = Л . СРУкек. СРУк U РУ'ТР (к н X) ек. [*121-103] э . (дХ). РУ‘ТР (к н X) е к. Рт“ТР (к н X) = РУ‘^‘к: э h . Prop А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 212 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ *274-213. I-: PeSer . к с С‘РЛ ,аек.к(7»* X П МРк с а . э . а - ("? ‘Рт ‘X А А//к) е К Доказательство. I-. *274-201 .э1-:Нр.к = к.э.а - ("?‘Р^‘Х А М/к) = а . [*13-12] э.а-(?‘Рт‘ХАЛ/Р‘к)ек (1) I-. *274-206 . э F Нр : Рек.?‘Рт‘Х А Л/р‘кс Р . эр . Р - (?‘Р„Д П Л/Р‘к)ек: э : Рек.Т^Д/Г/Х А Af/кс Р . э АМр‘ксР . Д/Хер. (Р - (P‘Pm‘\ А А//к)) е X. Рт‘Х е {р - (Р‘Рт^ А М/к)}. [*274-201] э . {р - (Т^ДЛ А А//к) - 1‘РЛ) е ТР^. [*274-206] э . {р - (??ЛД А Л//к)) е ТР‘\ (2) I- . (1). (2). Induct. э F . Prop *274-214. F:PeQ. к с С‘РЛ .аек - l‘A//k . э . а Рл (Л//к) Доказательство. F . *274-212 . э h Нр . э : Л//ке Cis induct: (1) [*170-16] э : Л/р‘кс а . э . а Рл (Л/Р‘к) (2) h . *274-11. (1). э h : Нр. g! МР‘к - а . э . Е ! min/(M/>‘K - а). [*205-14 . (*274-04)] э . (дХ). к(ТР)* X. РтЧ ~е а П МР'кс а. [*274-213] э . (дХ). к (Тр)* X. Рт‘Х ~ е а. а - (>Рт'Х П МР'к) е X. ^‘Рт‘ХпЛ/р‘кса. [*274-201] э . (gX,z). к(7»* X. z = minp‘{a- С?‘Рт'Хп Л/р‘к)}. zP (Рт‘Х).^'Рт'ХпМр‘кса. [*31-18] э . (gz). zea - МР‘к. . [*170-11] э.аРп(Л/р‘к) (3) F. (2). (3). э F. Prop *274-215. F : PeQ. ксС‘РЛ . g! к. э. Л/р‘= max(Рп)‘к [*274-212-214] *274-22. F:PeQ.o.P4eQ Доказательство. I-. *274-215. э F : Нр. э . Е !! max (Р„)“С1 ех‘С‘Рл . [*250-125] э . Pn е Q: э I-. Prop Следующие предложения составляют доказательство того, что РеО.э.Ряе<п (*274-25). *274-221. I-: е Ser. X'maxp'a е Cis induct. a е Cl induct'C'P - i‘A — i‘"3‘P. P = (a - t'maxp'a) U X'maxp'a. э . a Рч p Доказательство. F . *205-55 . э I-: Hp. B'Pea. э . g! a - i‘maxp‘a (1) F . *202-511. эF : Hp. B‘P~ea. э . B'PeX'maxp'a (2) F.*93-101. oFiHp.-ElB'P.D.gl^'maxp'a (3) F.(l).(2).(3).oF:Hp.D.g!p (4) F . *120-481-71. =>F:Hp.D. 0eClsinduct (5) F . *205-21. *200-361. э F : Hp. э . p n"?‘maxp‘a - a n"?‘maxp‘a (6) Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 213 F . (4). (5). (6). э F : Нр. э . а, Р е Cl induct‘C‘P - i‘A . max/а е а - (5. а П^‘тахр‘а = (5 П^‘тахр‘а. [*274-12] э . а Рл р : э F . Prop *274-222. F : Нр *274-221. а Рл у . max/а с у. э . Р Рл у Доказательство. I-. *274-12 . э F:Нр.э. (gz).zca- у . z # max/a. a n^‘z = yA?‘z. [*201-14. *205-21. Hp] э. (дг). ге 0 - у. 0 П?‘г = у п"?‘г. [*274-12] э . Р Рл у: э F . Prop *274-223. F : Нр *274-221. а Рл у . maxP‘a ~су.у^р.э.рРлу Доказательство. F . *274-12 . z> F:. Нр . э : (gz).zea-у - t‘max/>‘a . a n"?‘z = у O^‘z . V . a n~?‘maxp‘a = у Ci"?‘maxp‘a (1) I-. *201-14 . *205-21. э I-Hp: (gz).zca-у - i‘max/a. a O~?‘z = у A^‘z: э . P Рл у (2) I-. *205-21. dF : Hp . a n^‘maxp‘a = у n^‘max/a . э . a - i‘maxp‘a = у n"?‘maxp‘a (3) F . *202-101. dF : Hp . э . у c"?‘max/aU X‘max/a (4) F . (3). (4). эF Hp . an^‘maxp‘a = у n"?‘max/>‘a .□ :ycp: [*170-16 . (*274-01)] э : у # P . э . p Рл у (5) F. (1). (2). (5). э F . Prop * 274-224. F : Hp *274-221 .аРлу.р/у.э.рРлу [*274-222-223] * 274-23. F : Hp *274-221. э . a (Рл) j p [*274-221-224 . *204-72] * 274-25. F : Pecu . э . Рл e co Доказательство. F . *274-22-16 . э F : Hp . э . Рл б Q - i‘A (1) F . *274-191-17. э F : Hp . бВ‘Рл . э . a e Cl induct‘C‘P - t‘A - i‘ll‘P (2) F . *263-412 . *274-11. э F : Hp . a с Cl induct‘C‘P - i‘A . э . ^‘max/a e Cis induct (3) F . (2). (3). *274-23 . э F : Hp . a б D‘Pn . э . a б D‘(Pn) i (4) F.(l). (4). *274-195. *121-323. э F : Hp . э . Рл с Q - i‘A. D‘Pn = D‘(Pn) j . ~ E ! В‘РЛ . [*263-44] □ . Рп co): э F . Prop * 274-26. F : P с о . э . Pic [ (Cis induct - t‘A) e a) C‘Plc [ (Cis induct4- l‘A) = Cl induct‘C‘P - i‘A Доказательство. F . *274-13 . э F : Q = P. э . P\c [ (Cis induct - i‘A) = (5Л (1) F . *274-25 .oF:P6(D.e = P.D. (2) F . *274-17 .oF:Pca).e = P.o. С‘(2Л = Cl induct‘C‘P - l‘A (3) F . (1). (2). (3). э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 214 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ *274-27. F : аеКо . э . Cl induct‘а е No . Cl induct‘а - с‘АеКо Доказательство. I- . *263-101. э I-: Нр . э . (gP). Р е со . а = СР. [*274-26] э . (дМ). М е со . Cl induct‘а - i‘A = С‘М. [*263-101] э . Clinduct‘a-с‘АеКо . (1) [*123-4] э . Cl induct‘а е No (2) F . (1). (2). э F . Prop Следующие предложения составляют доказательство того, что Ре (а . э . Рл ет] (*274-33). *274-3. F : Ре Ser . Рл (5. хЕр'<Р“(а U р). э . а Рл (р U i‘x) . (Р U с‘х) Рл Р Доказательство. F . *200-53 . э F : Нр .zea. э . р n^‘z = (РU i‘x) n^‘z (1) F . *200-5 . z> F : Нр . z е ct - р . z>. z с a - (Р U i‘x) (2) F . (1). (2). *274-12 . э F : Hp . э . a Рл (p и i‘x) (3) F . *200-5 . *170-16 . э F : Hp . э . (P U i‘x) Рл p (4) F . (3). (4). э F . Prop *274-31. F: P e Ser . ~ E ! B'P. z>. Рл e Ser П comp Доказательство. F . *274-1. *120-71. dF : aPn p . э . a U pe Cis induct - i‘A (1) F . ()1. *274-11. э F : Hp . a Рл p . э . E ! max/(a U P). [*93-103] э . g! ^max/>‘(a U P). [*205-67] 2>. а! p‘X“(a U ₽). [*274-3] э. a/>,2 ₽ (2) F . (2). *274-18 . э F . Prop *274-32. F : P e Ser П б“К0 . ~ E ! B‘P. э . Рц e r] Доказательство. F . *274-31. э F : Hp . э . Рл eSerO comp (1) F . *274-196 . э F : Hp . э . D‘Pn = О‘РЛ (2) F . *274-27-17. э F : Hp . э . С‘РЛ e No (3) F . (1). (2). (3). *273-1. э F . Prop *274-33. F:Peco.z>.Pner| [*274-32. *263-101-11-22] Это предложение является основным предложением настоящего пара- графа. *274-34. F : а е Ко . э . т] П £?\С1 induct‘a - i‘A) Доказательство. F . *263-101. э F : Нр . э . (gP). Р е со . СР = a . [*274-33-17] э . (дМ). Мех\ . C‘M = Cl induct‘a - i‘A : э F . Prop Следующие предложения касаются экзистенциональных теорем для т|. Все они следуют из *274-33. *274-4. F : Ре со . Т = i‘P smor {Pic [ (Cis induct - i‘A)). э . Т;РЛ ет] П £*‘ёРДоказательство. F . *274-26-17. э F : Нр . э . ОТ = С‘РЛ (1) F . (1). *151-11-131. э F : Нр . э . ЛРл smor Рл . СТ’РЛ = СР. [*274-33 . *273-41] э . ЛРл е т]. СТ?РЛ = СР: э F . Prop Principia Mathematica III
*274. О СЕРИИ ФИНИТНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 215 *274-41. h : а! со ГП‘Р . = . з! т] ГП‘Р Доказательство. I-. *274-4 . э F : Q е о) A f Р. э . (3/?). R е т]. C'R = C'Q . [*64-24] э . а! т] A t'Р I-. *273-11. э F : R е т] А ГР. э . (aQ). Q е со . C'Q = C'R. [*64-24] э . а! (О Г) t'Р F . (1). (2). э F . Prop *274-42. НаеКо-э-а^П^'а [*274-4-26. *263-17. *250-6. *263-101] *274-43. Н. Ко = С“Л [*273-1. *274-42] *274-44. F : а! Ко Пг‘а. =. а! Л п,оо‘а [*263-131. *274-41] *274-45. (-:а!К0(л). = .а!лПГн‘х [*263-13. *274-41] *274-46. F: Infill ах (х). = . а! л П?3‘х [*263-132 . *274-41] (1) (2) А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 216 * 275. Непрерывные серии Краткое содержание *275. Определением непрерывности, данным в этом параграфе, мы обязаны Кантору. Отличное и неэквивалентное определение было дано Дедекиндом: серия, которая является непрерывной в Канторовом смысле, является так- же непрерывной в Дедекиндовом смысле, однако обратное неверно. Канто- рово определение имеет то преимущество (среди других), что две серии, ко- торые являются непрерывными в его смысле, ординально подобны, что не является необходимым в случае с сериями, которые непрерывны в смысле Дедекинда. Дедекиндово определение “непрерывных серий” есть, на нашем языке, “серии, которые компактны и Дедекиндовы”. Определение Кантора (после определенного количества упрощений) есть “серии, которые являют- ся Дедекиндовыми и содержат Ко в качестве срединного класса”. В случае вещественных чисел рациональные числа представляют собой срединный класс такого вида. Эквивалентным определением к приведенному выше есть то, что непре- рывная серия представляет собой серию, чья обратная область является производной от содержащейся в ней рациональной серии (*275-13). Следуя Кантору, мы будем использовать 0 для обозначения класса непрерывных серий. В том, что следует далее, мы сначала доказываем то, что серия сег- ментов рациональной серии есть непрерывная серия, т.е. * 275-21. НРец.э.^РеО Содержащийся Ко представляет собой Рассматриваемое предло- жение следует сразу же из *271-31. О его важности см. замечания к *275-21 ниже. Из этого предложения следует, что если ц существует в пределах ка- кого-либо типа, то 0 существует в пределах следующего типа (*275-22), откуда существование 0 в пределах достаточно высоких типов следует из аксиомы бесконечности (*275-25). Для доказательства того, что любые две непрерывные серии подобны,, мы используем *271-39. На основании определения, если Р и Q являются непрерывными, то они содержат соответственно два срединных класса а и р таких, что Р [ а и 2 [ Р являются рациональными сериями. Следователь- но, на основании *273-4, Р С a smor Q [ (5, и поэтому Р smor Q, на основании *271-39. Также очевидно, что Р е 0 . Р smor Q . э . Q е 0. Следовательно, *275-32. F : Ре0 . э . 0 = Nr‘P и * 275-33. F.OeNR *275-01. 0 = SernDednmed“Ko Df *275-1. F : Р е 0 . = . Р е Ser П Ded . я! Ко П £КёЗ‘Р [(*275-01)] *275-11. F P e 0 . = : Pe Ser П Ded : (ga). a e Ko . S/a = СГР. a c C‘P [*275-1. *271-2] Principia Mathematica III
275. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 217 *27512. I-:: Рев . =:. PeSer ПDed (да): аеК0 : хРу. . д! а П (х-у): а с С'Р [*275-1. *271-1] *275-13. F :. Р е 0 . г : Р е Ser П Ded: (дР).Я GP.Я eq . бр'С'Я = Q'P Доказательство. I- . *273-1. *271-2. э F : PeSer D Ded .RclP . Я eq. 6р‘С‘Я = Q‘P. э . C'R eKo • С'ЯетёЗ'Р. [*275-1] э.РеО (1) I-. *271-16 . э F : a med P. 0 = а 0 D'P D (ГР. э. 0 med P. (2) *271-15 э.Р[0есотр (3) I-. *123-17. э F: Hp (2). P e Ser. а e Ko П Cl'C'P. z>. 0 e Ko П Cl'C'P (4) F. *271-1. эF : 0med P. э. P“0 = D'P.P“0 = d'P (5) F . (5). *37-41. (2). э F : Hp (2). э . D‘(P [ 0) = 0. d‘(P [ 0) = 0 (6) F . (3). (4). (6). *273-1. э F : Hp (4). э. P [ 0 e q (7) F . (2). *271-2 . э F : Hp (4). э . 6P‘C‘(P [ 0) = d'P (8) F . (7). (8). *275-1 .z>F;Pe0.z>.(g0).P[0eq. 6P‘C'(P [ 0) = d'P (9) F . (1). (9). э F . Prop *275-14. F.0 = Cnv“0 Доказательство. F. *214-14 . *271-11. э F : PeSer D Ded . a eKo Cl meJ'P. = . PeSer DDed. aeKo DтёЗ'Р (1) F . (1). *275-1.oF.Prop *275-2. F : Peq . э . g'PeSer П Ded. “C'Pe Ko .7*“С‘РетёЗ‘$‘Р Доказательство. F. *214-33. э 1-: Нр . э . ^Р е Ser A Ded (1) F. *204-35. э I-: Нр . э C'P. [*273-1. *123-321] z>. 7* “C'P еК0 (2) F . *271-31. *273-1 . z> F : Нр. z> .^“C'Pemed'tj'P (3) F.(1). (2). (3).э 1-. Prop *275-21. I-: Рец . э . ^‘PeO [*275-2-1] Это предложение имеет большое значение, особенно в теории веществен- ных чисел. Мы определим вещественные числа как сегменты серий рацио- нальных чисел для того, чтобы быть уверенными в их существовании. Та- ким образом, если Р представляет собой серию рациональных чисел, то <;‘Р, которая может быть взята как серия вещественных чисел, является непре- рывной. Если Р — серия рациональных правильных дробей, исключая О, то ^Р есть серия вещественных правильных дробей вместе с 0 и 1: эта серия является непрерывной в силу указанного выше предложения. Приведенное выше предложение является также полезным тем, что поз- воляет нам вывести существование 0 из существования ц и, следовательно, из существования Ко и, следовательно, из аксиомы бесконечности. Тем не менее требуется повышение типа для экзистенциональных теорем, которые даны в следующих предложениях. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 218 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ *275-22. h : 3! т] П Гоо‘а . э . 3! 0 П Г11 ‘а Доказательство. h . *64-55 . э F : 3! г] П fa/a . э . (3Р). Р е т|. С'Р с /о‘а. [*63-371] э . (3Р). Рет]. C'Pet'a . [*275-21] э.(з0. бет].С‘бсРа. [*64-57] э . з! 0 CU11 ‘х: э F . Prop * 275-23. I-: 3! Ко ПРа . э . 3! 0 П?1 ‘а [*274-44 . *275-22] * 275-24. I-: з! Ко (х). э . з! 0 П t22'x [*275-23 . *64-31-312 . (*65-02)] * 275-25. F : Infin ax (х). э . 3! 0 П t^'x Доказательство. h . *123-37 . э I-: Нр . э . 3! Ко (?‘х). [*275-24] э.зЮпг^х. [*64-312] э . з! 0 П t^'x: э h . Prop * 275-3. I-: Р, Q е 0 . э . Р smor Q Доказательство. I-. *275-13 . э F Нр . э : Р, Q е Ser О Ded : (3Р, 5). R. 5 ег]. R cz'P. 5 с Q . C'R е ine3‘P. CS е тёЭ‘<2 • [*204-41] э : Р, QeSer П Ded : (3 а, Р). a med Р. Р med Q . Р [ а, Q [ (3 с Т|: [*273-4] э : Р, Q с Ser П Ded : (3 а, Р). а med Р . Р med Q. (Р [ а) smor ((ИР): [*271-39] э : Р smor Q э F . Prop *275-31. I- :Pe0. Psmor Q. э. QeQ Доказательство. h . *271-4 . э F : Psmor Q . 3! Ко О med‘P. э . 3! Ко A med‘2 (1) h . *204-21. *214-6 . э h : Р е Ser О Ded . Р smor Q. э . Q е Ser О Ded (2) h. (1). (2) .*275-1. dF. Prop *275-32. h : P g 0 . э . 0 = Nr‘P [*275-3-31] *275-33. F . 0 e NR [*275-32 . *256-54] Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 219 *276. О серии бесконечных подклассов серии Краткое содержание *276. Предмет настоящего параграфа связан с 9 точно так же, как предмет *274 связан с т]. В этом параграфе мы будем рассматривать упорядочива- ние всех бесконечных подклассов серии (вместе с А) на основании прин- ципа первых разностей, т.е. отношение Рс1 t (- Cis induct U i‘A), где P — заданная серия. Это отношение мы будем называть Pq. Оно со- стоит из Pci с полем, ограниченным к термам, не принадлежащим С‘РП (*276-12). Оно будет (при определенном предположении) содержать часть, подобную Рл, а именно Pci со своим полем, ограниченным к дополнени- ям финитных подклассов С‘Р. Следовательно, если Ре со, то Pg будет со- держать элемент ц, чье поле составляется из дополнений элементов С‘РП (*276-2). Поле указанного элемента ц будет срединным классом Pg. Мы най- дем также, что he Ser, если PeQ (*276-14), и что Pg е Ded, если PeQ infin (*276-4). Следовательно, *276-41. h : Ресо . э . Р0 е9 Также, поскольку Ре со . э . СГС‘Ре2к° и поскольку С‘РпеКо, то мы бу- дем иметь C‘Pge2s° (*276-42). Этот результат является важным, так как он дает предложение *276-43. Ь.С“0 = 2К° Доказательство того, что Pg является Дедекиндовой, если Р бесконеч- ная вполне упорядоченная серия, в некоторой степени сложнее. Мы продол- жаем, доказывая, что каждый подкласс С‘Pg обладает нижней границей или минимумом. В этом доказательстве мы замечаем, во-первых, что ёР= В‘Р0 . А = В‘Рд (*276-121). Следовательно, ёРявляется нижней границей нулевого класса, а А есть минимум l‘A; также, если к —какой-либо экзистенциональный подкласс С‘Pg, отличный от l‘A, то мы имеем limin (Pg)‘к = limin (Pg)‘(к - l‘A) . Следовательно, если мы можем доказать к с С‘Р0 .э!к.А~ек.эк.Е! limin (Рд)‘к, (А) то мы будем иметь Cl ех‘С‘Рд с CTlimin (Рд), откуда, на основании *214-12-14, мы будем иметь Pg е Ded. Таким об- разом, мы должны доказать (А), т.е. к с D‘Pg . g! к. эк . Е ! limin (Рд)‘к, что является *276-39. Для доказательства этого предложения рассмотрим minp‘(5‘K -р‘к). Он существует, за исключением случая, когда ке 1; это пер- вый терм, который принадлежит некоторым элементам к и не принадле- жит остальным. Эти элементы к, которым он принадлежит, предшествуют (в порядке Pg) тем, которым он не принадлежит. Назовем те элементы к, которым он принадлежит, Гр‘к, так что Тр = кХ. {к - кП еЧптрЧ^к- р‘к)}. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 220 Положим также Рш‘к = minp‘(s‘K-р‘к) Dft, так что мы можем положить Тр‘к = кА Рт‘к Dft. Тогда, если мы положим А = кХ(Х с к. к / к), то 7}> и А удовлетворяют ги- потезе *258, и мы имеем А(7>, K)eQ. Серия А(Тр, к) переходит к все меньшим и меньшим подклассам к, из которых какой-нибудь один, скажем к, состоит из термов, которые появля- ются ранее (в порядке, установленным Ре), чем любые другие подклассы к, не принадлежащие X. На основании *258-231, серия А (Гр, к) обладает кон- цом, а именно р\ТР *АУК. Если он не нулевой, то он должен состоять из единственного терма, ко- торый будет минимумом к (*27б-33). Однако если он нулевой, то мы про- должаем следующим образом. Положим рн‘к = 5‘у {(gX). Xе (Тр *А)‘к. у = р‘Х п"?‘Рш‘Х} Dft. Тогда Рц‘к будет нижней границей к. Во-первых, мы легко доказываем, что так как р‘(Тр *А)‘к = А, если Хе(7р *А)‘к- l‘A, то РШ‘Х и 7р‘Х оба существуют (*276-341). Следовательно, каждый эле- мент к обладает предшественниками в к, и к не имеет минимума. Во-вто- рых, мы показываем, что X {А (Тр, к)} и . а! и. э . (РШ‘Х) Р (Рт^) (*276-34-342), и что аеХ. э . р‘ХП^‘РШ‘Х = а П^‘РШ‘Х (*276-353). Следовательно, мы находим, что X {А (Тр, к)) ц. ае р. э . р‘Х п7*‘Рш‘Х = n7*‘Pm‘X = а П^‘РШ‘Х. э . р‘К гГ?‘Рт‘Ъ.с . (р‘ц п'?‘Рт‘ц. откуда следует, что Хе(Тр *А)‘к- l‘A . э . р‘Хп^‘Рш‘Х = Ри‘кП^‘Рш‘Х, откуда, на основании того, что утверждалось выше, X е (Тр *А)‘к. А е X. э . а П?‘Pm‘X = Pti ‘к П‘Рш‘X (*276-354). С другой стороны, если аек, то произведением всех элементов (Тр *А)‘к, которым принадлежит а, является элемент (Тр*А)‘к, которому принадле- жит а, однако, если мы обозначаем это произведение X, то Рш4Х~еа (по- тому что, если Рш‘Хеа, то аеТр‘Х, что противоречит определению X). Сле- довательно, мы имеем а е к. э . (Pti ‘к) Pq а (*276-36). Остается доказать только (Рц‘к) Pq р. э . (а а). а е к. а Р0 ₽ (*276-37). На основании указанной гипотезы и определения Р0‘к, мы имеем (az,X). Хе(Тр *А)‘к. z€p‘Xn7*‘Pm‘X- р. Рц‘кпА = Р n"?‘z. Поскольку это затрагивает Е!РШ‘Х, то затрагивается Х/А, следовательно, на основании того, что было изложено выше, затрагивается (az,X,а). Хе(Тр *А)‘к. аеХ. zea П^‘РШ‘Х- р. Ptl‘K n"?‘z = Р n7*‘z. Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 221 Следовательно, мы получаем Р с Л1‘к П^‘РШ‘Х, и Рн‘к П^‘РШ‘Х = a n"?‘Pw‘X, откуда pn^‘zcA. Следовательно, на основании *170-11, мы имеем аР0р. Это завершает доказательство того, что Pti‘K = tl (Р0)‘к (*276-38). Следо- вательно, объединяя два случая, мы находим, что к обладает минимумом, если д! р\Тр *А)‘к, и нижней границей, если ~ а! р'(Тр *А)‘к. Следователь- но, Е! limin(P0)‘K в каждом из двух случаев (*276-39). Этим заканчивается доказательство того, что Ре е Ded, если Р е Q infin. *276-01. PQ = Рс1 [ (- Cis induct U i‘A) Df *276-02. A = dp (P c a . p / a) Dft [*276] *276-03. Pm'\ = min/>‘(s‘X“ P^) Dft [*276] *276-04. ТР = Хр{ц = ХПегРАП‘Х} Dft [*276] *276-05. Рн‘к = s‘y {(gX). Xe(7> *A)‘k - l‘A . у = p‘X n"?‘Pm‘X} Dft [*276] *276-1. h : a P0 p. = . a, p e (C1‘C‘P - Cis induct) U i‘A . g! a - p - P“(P - a) [*170-1. (*276-01)] *276-11. h : PeQ . э a Pg p . = : a, Ре(СГС‘Р- Cis induct) U i‘A : (Яг). zea- p. a n>z = pn7*‘z [*251-35. (*276-01)] *276-12. h : C‘P ~ e 1. z>. Pe = Pci [ (-C‘Pn) [*274-17. *276-1. *170-1] *276-121. h : C'P ~ e Cis induct. z>. B'Pe = A. B'Pq = C'P. C'Pe = (CVC'P - Cis induct) U i‘A [*170-31-32-38. (*276-01)] *276-122. l-:C‘P~€OUl.z>.C‘PnuC‘P0 = Cl‘C‘P [*276-121. *274-17] *276-123. I-: C'P ~ e Cis induct. =. я! P0 [*276-1-121] *276-13. b : C'P ~ e 0 U 1. э. Nc‘C'P^+c Nc‘C‘P0 = 2Nc‘c /> [*276-122. *116-72] *276-14. F : PeQ. э . Pq eSer [*251-36. (*276-01)] *276-2. h : Peco . э . (C‘P -)“(C1 induct 'C'P - i‘A) eKg О med‘Pg Доказательство. h . *24-492 . dF. (C'P -)“(C1 induct 'C'P - l‘A) sm (Cl induct 'C'P - l‘A) (1) h . (1). *274-27. э h : Hp . э . (C'P -)“(C1 induct‘C'P - l‘A) e Ko (2) h . *200-361. *263-47 . э h : Hp .aPgP.zea-p.a (V?'z = P . у = (a Ci"?*‘z) U ^‘minp^a П *P'z). э . minp‘(a П *P'z) e a - у . a n"?‘minp‘(a П ?‘z) = у n"?‘minp‘(a П *P'z). zey - p . у C\~?'z = a n"?‘z = P (V?'z. у ~ e Cis induct. [*276-11] Э . a Pg у . у Pg p (3) h . *263-47 . z> h : Hp (3). э . C'P -ye Cis induct (4) h.(3). (4). *27б-11.э h : Hp . a Pg P . э . (gy). C'P -ye Cis induct. a Pg у . у Pg P (5) h . *120-71. Transp . э h : Hp . a e Cl induct‘C‘P - l‘A . э . (C'P Cis induct (6) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 222 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ к . (6). *276-121. э к:Нр.э. (С'Р -)“(С1 induct‘C‘P - i‘A) с C'Pq (7) к.(2). (5). *271-1. (7). э к. Prop Следующие предложения составляют доказательство PeQinfin. э. Pq eDed (*276-4). *276-3. к :.E! Pm‘X.э •.аеТр'Х .= . aeX. Pm‘Xea: Pm‘X = minp‘(5‘X- p‘X) [(*276-03-04)] *276-301. к : P e Q А с Cl'C'P - i‘A A ~ e 0 U 1. э. E ! Pm‘X. E ! T/X Доказательство. к. *40-12-13. э к :. p'\ = s'\. э: a, Pel. эад . a = 0 (1) к . (1). Transp. *40-23 .эк: Hp. э . g! s‘k - р'к. [*250-121] э. E! minp‘(s‘K - р'к): эк. Prop *276-302. к:Е!Рт‘Х.э.Рт‘ХерТр‘Х-р‘А [*276-3] *276-303. к . 7> GA . (7»po gA Доказательство. к . *276-3. эНрТ/А.э.рсХ (1) к. *276-302. эк:р?>Х.э.р#Х (2) к. (1). (2). *201-18. эк. Prop *276-304. к: р (А (Тр, к)[ X. э . р с X. р'Х с р'р. р / X. р'У. / р‘р [*276-302-303] *276-305. к. А (Тр, к) е Q [*258-201. *276-303] *276-31. к:Ре Q.g! X Ас С1‘С‘Р- i‘A А ~ еD‘7> . э. Хе 1. i‘X = p‘X = t‘X [*276-301. Transp] *276-32. к :. PeQ А~еОU 1 AcD‘P0 . э : Рт‘Хер‘Тр‘Х-р‘Х:аеХ. эа . аП"?‘Рт‘Х = p‘XCi~?‘Pm‘X Доказательство. к. *276-301. э к: Нр. э. Е ! 7>‘Х. Е ! Рт‘Х. (1) [*276-302] э.Рт‘Хер‘ТР‘Х-р‘Х (2) к . (1). *276-3. э к : Нр. э .'?‘Рт‘Х П 5‘Х =^‘Рт‘Х П р‘Х (3) к . (2). (3). э к . Prop *276-321. к: Нр *276-32 . а е ?>‘Х. р е X - 7>‘Х. э. а Р0 Р Доказательство. к . *276-3-32. э к : Нр. э. Pm‘Xea - Р. а П^‘Рт‘Х = р n^TVX. [*276-11] э. аР0 Р: эк . Prop *276-322. к : Нр *276-32 . ре (Гр *А)‘Х .аер.реХ-р.э.аР0р Доказательство. к . *40-23. э к :. р с (ТР *АУк .д!р:рер.аер.реХ-р. эи>а,в. а Р0 Р: э : а е р'р. р е X р'р. эа,р . а Р0 р (1) к. (1). *276-321. *258-241 .эк. Prop *276-33. к : Нр *276-32. g! р'(ТР *А)‘Х. э . l‘p‘(TP *А) = min (Р0)‘Х Доказательство. к . *276-31. *258-231. э к: Нр. э. р'(ТР *АУк е 1 (1) к. (1). *276-332. эк:Нр.аеХ-р‘(Тр*А)‘Х.э.{Г(Гр*А)‘Х}Р0а (2) к . (1). (2). э к . Prop *276-331. к : Нр *276-32 . g! р'(ТР *А)‘Х. э . Е ! min (Р0)‘Х [*276-33] Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 223 *276-34. к: Нр *276-32 . р ТР к. р е D‘TP . э. (Рт‘к) Р (Ртср) Доказательство. к. *276-3. эк:Нр.э. Рт'\ = шт/>‘($‘к-р‘к) (1) к . *276-3-304. э к : Нр. э . Рт‘р е (s‘X - р‘к) (2) к . *276-302 . э к:Нр.э. Рт‘кр‘р. Рт‘р ~ €р‘р. [*13-12] э.Рт‘к#Рт‘р к . (1). (2). (3). э к. Prop *276-341. к :. Нр *276-32 . р‘(ТР *А)‘к = А. э: Рт“(ТР *А)‘кс Р“Рт“{ТР *AYK. Рт“(ТР *А)‘к~ е Cis induct: pe (ТР *А)‘- i‘A . Эц . Е ! Тр'р. Е ! Рт‘р Доказательство. к . *258-231. *276-301. э к:. Нр. э: ре(7> *А)‘к - i‘p‘(TP *А)‘к. э . Е ! 7>‘р. Е ! Рт‘р: [*276-34. Нр] э : ре(Т/> *А)‘к. Е ! Рт‘р. э. (Рт‘р) Р(Рт‘7/>‘р) (1) к . (1). *261-26. Transp .эк. Prop *276-342. к: Нр *276-341. к {А (ТР, к)} р. Е ! Рт‘р. э. (Рт‘к) Р(Рт‘р) Доказательство. к. *276-3. э к :: Нр : р с (ТР *А)‘к. g! р . g! р‘р: э :. Pm‘p‘p е s‘p‘p - р'р'Р:. [*40-1-11] э :. (да). а е р'р. Рт‘р‘Р е а: (да). а е р‘р . Рт‘р'р ~ е а:. [*40-1. *11-26] э :. кер . эх: (да). Рт‘р'реа: (да). аек. Рт‘р‘р ~еа:. [*40-1-11] э :. кер. эх . Рт‘р‘р (5‘к-р‘к) (1) к . (1). *276-302 . э к :. Нр (1) . э : Тр'к е р . к е р . эх . Рт‘к е р‘2>‘к. Рт‘р‘р ~ ер‘7>‘к: [*13-12] э:Тр‘кер.кер.эх.Рт‘к/Рт‘р‘р (2) к. (1). (2). *276-3. э к : Нр (1). Тр‘к е р. ке р . э . (Рт‘к) Р (Рт‘р‘р) (3) к . (3). *276-34. *258-241 .эк. Prop *276-35. к:. Р е 12. к с D‘Pe . д! к. р'(ТР *А)‘к = А. э: ке(Тр *А)‘к- i‘A. э . Pm‘ke p‘77>‘k Ci~?‘Pm‘7'/>‘k Доказательство. к . *276-341. э к : Нр. к е (ТР *А)‘к - i‘A . э . Е ! 7>‘к. [*276-302-34] э. Pm‘k е p‘fP‘X ПрРт'ТРЪ э к . Prop *276-351. к : Нр *276-35 . э. Рт“(7> *А)‘к с Р„‘к Доказательство. к. *276-3. эк.~Е!Рт‘А (1) к . *276-35 . (*276-05). э к : Нр. ке(7> *А)‘к- i‘A . э. Pm‘kePtl‘K (2) к . (1). (2). э к . Prop *276-352. к : Нр *276-35 . э . Pti‘K ~ е Cis induct [*276-351-341] *276-353. к : Нр *276-35 . к е (ТР *А)‘к. к (А (ТР, к)) ц. а е ц. э. р‘к n”^‘Pm‘k = р‘р Г}~^‘Рт'\ = а (~]~Р'Рт'к Доказательство. к.*276-304. эННр.э.аек (1) к. *276-35-31. Transp. э к : Нр. э . Е ! Pm‘k. к ~ е 0 U 1 (2) к. (1). (2). *276-32. эк:Нр.э.р‘кГ)‘?‘Рт‘к = аГ)'?‘Рт‘к (3) к . (3). э к:. Нр. э: Рер. эр . аГ)"?‘Рт‘к = р П^‘Рт‘к (4) А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ 224 И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ h . (4). э h : Нр . э. а А^‘РШ‘Х = n"?‘Pm‘X (5) F . (3). (5). э F . Prop *276-354. h : Нр *276-35 Ле(ТР *А)‘к. а е X. э . Р0‘к Ci^‘Pm‘X = р‘Х = а А?‘РШ‘Х Доказательство. h . *276-353 . э h : Нр . g! р . X {А (ТР, к)} р . э . п7*‘Рш‘Х = р‘Х П>РШ‘Х. [*22-47] э . (р‘ц п"?‘Рш4ц) с р‘Х п"?4Рш‘Х (1) h . *276-353 . э h: Нр . р {А (Тр, к)} X. э . = р‘Х п"?‘Рш4ц [*276-342] cp‘Xn>Pm‘X (2) h . (1). (2). *276-305 . э h : Нр . це(Тр *А)‘к - l‘A . э . (р‘ц п"?‘Рш‘ц) П?‘РШ‘Х ср‘Х п"?‘Рш‘Х (3) h . (3). *276-32 . (*276-05). э h. Prop *276-355. h : Нр *276-35 . аек. э . (дХ). Хе(Тр *А)‘к. аеХ. Рт‘Х~ еа Доказательство. h . *40-1. э hНр . э : (дХ). Хе (Тр *А)‘к. а ~ еХ: [*276-305] э : (gX): X е (Тр *А)‘к. а ~ е X: ц {А (Тр, к)} X. эх . а е ц (1) h . *40-1. э h ц {А (Тр, к)} X. эх . а е ц: X = р‘А(Тр,к^‘Х: э . а е X (2) h . (1). (2). Transp . э h : Нр . э . (gX, ц). ц, Xе (Тр *А)‘к . X = Тр‘ц. а е ц. а ~ еX. [*276-3] э . (др). це(Тр *А)‘к. аец . Рт‘ц~ еа: э h . Prop *276-36. h : Нр *276-35 . ае к. э . (Pti‘K) Pq а Доказательство. h. *276-351-355-354. э h : Нр . э . (дХ). Хе(Тр *А)‘к. Рш‘ХеР0‘к - а . Р0‘к Ci7*‘Pw‘X = а п"?‘Рш‘Х. [*276-352] э . (Л1‘к) Pq а : э h . Prop *276-361. h : Нр *276-35. э. к с ^‘Ри‘к [*276-36] *276-37. h : Нр *276-35. (Рй‘к)Р0 р. э . (да). а е к. а Р0 Р Доказательство. h . *276-11. э h : Нр. э . (gz). z е Р0‘к - |3. Рц‘к o’?1: = р П*?‘г. [(*276-05)] э . (gz, к). к е (ТР *А)‘к. z ер1Х Г)7*‘Рт‘к - р . Ptl‘K n?‘z = Р n?‘z. [*276-354] э . (gz,X, а). Хе(Тр *А)‘к .аеХ.геа-р. "?‘z c^‘Pm‘X. а П>РШ‘Х = р П?‘Рт‘Х. [Fact. *276-304] э . (gz, а).аек.геа-р.р П?‘г с а. [*170-11] э . (да). аек . аРдР : э h . Prop *276-38. h:PeQ.KcD‘Pe-31 к- Р\Тр *А)‘к = А . э . Ри‘к = tl (Ре)‘к [*276-361-37] *276-381. h : Р е Q. к с D‘Pe • Я! к • Р\ТР *А)‘к = А . э . Е ! tl (Р0)‘к [*276-38] *276-39. h : Р е Q. к с D‘P0 . д! к. э . Е ! limin (Р0)‘к [*276-331-381] В следующем предложении единственная причина того, почему Р долж- на быть бесконечной, состоит в том, чтобы Р0 могло существовать; так как “Ded” было так определено, чтобы исключить А. Principia Mathematica III
*276. О СЕРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ПОДКЛАССОВ СЕРИИ 225 * 276-4. h : PeQinfin . э . Pq еDed Доказательство. h . *276-121. *207-3. *205-18 . э h : Нр . э . limin/A = С‘Р. limin/i/A = А (1) h . *206-7 . э h : Нр . к с С‘Р$ . А е к . к / l‘A . э . ргё£(Р0)‘к = ргё£(Ре)‘(к-1‘А) (2) И . *205-192. э И: Нр (2). э. min (Р0)‘к = min (Ре)‘(к - i‘A) (3) h . (2). (3). эк: Нр (2). э . limin (Ре)‘к = limin (Ре)‘(к - i‘A). [*276-39] э. Е! limin (Ре)‘к (4) h . (1). (4). *276-39 . э hНр. э : к с С‘Ре . эк . Е 1 limin (Р0)‘к: [*214-12-14] э : Ре е Ded э F . Prop * 276-41. НРесо.э.РееО [*276-2-4-14. *275-1] * 276-42. И : Рею. э. C'Pe е2к° Доказательство. h . *276-13 . *274-27 . э h : Нр. э . Nc‘C‘P0 +СКО = 2N° (1) h . *276-2 . э h : Нр . э . (ар). Nc‘C‘P0 = ц +СК0 . [*123-421] э. Nc‘C‘P0 +CNO = Nc‘C‘P0 (2) h . (1) . (2). э h . Prop *276 43. h.C“9 = 2N° Доказательство. h . *276-42-41. э h : a! co . э . a! C“0 П 2So. [*100-42 . *275-33 . *152-71] э . C“9 = 2S° (1) h . *275-11. *263-101. dF:cd = A.d.0 = A (2) h . *263-101. *116-204 . э h : со = A . э . 2K° = A (3) F . (2). (3). э h : со = A . э . C“9 = 2n° (4) h . (1) . (4). э h . Prop Доказанные в этом параграфе предложения могут быть до некоторой степени обобщены. Также мы можем доказать h . 9 = (со ехрг со) 4-1. С этой целью сначала мы доказываем, что если Р, Q являются вполне упорядоченными сериями, то Р@ является Дедекиндовой (за исключением того, что если ~Е!В‘Р, то Р@ не обладает последним термом); т.е. мы доказываем Р, QeQ. э : k с С‘Ре . а! X. . Е ! limin (Ре)‘к. С этой целью, допуская к с ёЮ . а • К положим 6m‘k = min^‘y(5‘k‘y ~e9U 1), = к П М [M'Qm'X = min/FiCQz/X}, А - к|1(|л < к.ц / к), (Р2)‘Х=s'N ((ар). и 6 (Тр *А)‘К. n = (PV) • Затем мы можем показать поэтапно, аналогично тому, что было в доказа- тельстве Р0 е Ded, что мы имеем а ! р\Тр *А)‘Х. э . Vp'tTp *АУк = min (Ре)‘Х, ! р\Тр *А)‘Х. э . (Р0‘Х = ргес (Ре)‘к, откуда в каждом из случаев Е ! limin (Pe)‘k. Следовательно, мы имеем А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 6. КОМПАКТНЫЕ СЕРИИ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕРИИ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЕРИИ 226 h:P,GeQ.E!B‘P.D.PeEDed, HP, (2eQ.~E!B‘P.Z~eC'PQ . э . Ре-к ZeDed. Поэтому мы имеем h . (со expr со) + i с Ded . Сейчас мы должны доказать 0 € (со expr со) + 1 . э . 3! Ко A me3‘(Z С этой целью будет достаточно доказать, что Р е Q. э . з! Ко П med‘(Pp). Рассматриваемый Ко будет классом тех элементов С\Рр), в которых от определенной точки и далее коррелят каждого элемента С'Р есть В'Р. Мы имеем М (Рр) N . = . Л/, N е (С‘Р Т С‘Р)Д 'СР : (Rx).xeClP.M \~P‘x = N \~Р‘х .(M'x) P(N‘x). Рассмотрим сейчас отношение L = M [А‘лйу1Р]‘хи(1‘В‘Р)Т Wi‘x, где (M'Pi'x) Ру. Тогда М (Рр) L. L (Рр) N. Также L имеет коррелятом В'Р для каждого терма после Р\'х. Следовательно, оно детерминируется коррелятами тер- мов вплоть до Р\ 'х и включая Р\ 'х. Таким образом, полагая z = Pi ‘х, мы должны рассмотреть класс отношений H = X{(az).zea‘P.X6 1 —»Cis. СГХ =^‘A‘z. D‘X с С'Р). Если Хец, то XU(7‘B‘P)f ^‘maxp'Q'X является элементом С‘Рр. Поэтому мы должны показать лишь то, что цеКо. Для того чтобы показать, что ре Ко, мы замечаем, что если Хер, то D‘X и СГХ оба являются индуктивными классами; следовательно, каждый из них обладает максимумом. Пусть X и X' будут двумя элементами ц, и положим х = maxp‘D‘X. х7 = maxp‘D‘X'. у = maxp‘G‘X. у' = maxp‘G‘X'. Если х = |Л/> и у = vp, то положим х+ру = (ц +cv) р. Расположим X перед X', ес- ли (х+ру) Р (хЧру'), или если х+ру = х?+ру' .уРу'. Однако, если х+ру = х'+ру' и у = у', т.е. если х = х'.у = у', то возьмем непосредственных предшествен- ников х, у, х!, у' в D‘X, G‘X, D‘X', G‘X' соответственно и применим к ним те же самые испытания, и т.д., пока мы не придем к отличию. Следуя этим путем, мы получим упорядочение с помощью последних разностей (в слег- ка расширенном понимании), и легко показать, что это упорядочение есть элемент со. Следовательно, цеКо. Следовательно, класс v = Y {(3*) • X е ц. у = X U (СВ'Р) Т ?‘maxp‘G‘X} есть Ко, а мы уже показали, что это срединный класс С'Рр. Следовательно, h : Р е со . э . з! Ко П тёЗ‘(Рр). Тот же самый класс будет срединным классом Рр -hZ, если Z~eC'Pp. Сле- довательно, HPeco.Z~eC‘Pp.o.3!K0G ' (Рр -н Z). Следовательно, на основании того, что было доказано ранее, Н Ре со . Z ~ еС‘Рр . э . (Рр-h Z) е 9, т.е. h . (со expr со) + i = 0. Principia Mathematica III
ЧАСТЬ VI. КОЛИЧЕСТВА

ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ VI Цель данной части состоит в том, чтобы объяснить те виды примене- ния чисел, которые могут быть названы измерением. С этой целью мы должны, прежде всего, рассмотреть обобщения числа. Те числа, с которы- ми мы до этого имели дело, были исключительно целыми (кардинальными или ординальными); соответственно в главе 1 мы рассматриваем положи- тельные и отрицательные целые числа, пропорции и действительные числа. (Комплексные числа рассматриваются позднее в геометрии, так как они не образуют однородную серию.) В главе 2 мы имеем дело с тем, что может быть названо “видами” количества: таким образом, например, массы, расстояния в простран- стве, скорости — каждые из них образуют один вид количества. Мы рас- сматриваем каждый “вид” количества, как то, что мы можем назвать “вектор-семейство”, т.е. класс одно-однозначных отношений, все из кото- рых обладают одной и той же обратной областью и обладают областью, содержащейся в их обратной области. В случае расстояний в простран- стве применимость такой точки зрения является очевидной; в случае масс эта точка зрения становится применимой посредством рассмотрения, на- пример, одного грамма как + одного грамма, т.е. как отношения массы т к массе т', когда т превосходит т' на один грамм. То, что обычно на- зывают просто одним граммом, будет являться массой, которая находится в отношении плюс один грамм к нулевой массе. Причины рассматривать количества как векторы будут объяснены в главе 2. Различные виды век- тор-семейств будут рассмотрены в дальнейшем с объектом для получения семейств, чьи элементы измеримы либо посредством пропорций, либо по- средством действительных чисел. Глава 3 посвящена измерению, т.е. исследованию пропорций, или отно- шениям, выраженным посредством действительных чисел, между элемента- ми вектор-семейства. Семейство векторов измеримо, если оно содержит эле- мент Т (единицу) такой, что любой другой элемент 5 находится к Г в отно-
230 КОЛИЧЕСТВА шении, которое является либо пропорцией, либо действительным числом. В дальнейшем будет показано, что определенные типы вектор-семейств из- меримы в этом смысле, и измерение определено так, что обладает теми математическими свойствами, которые мы от него ожидаем. Глава 4 касается циклических семейств векторов, таких как углы или эллиптические линии. Теория измерения в применении к подобному роду семейств обладает специальными чертами из-за того обстоятельства, что любое число полных поворотов может быть добавлено к вектору, не из- меняя его самого. Таким образом, нет единственной пропорции двух век- торов, но существует много пропорций, среди которых мы выбираем одну как главную пропорцию. Principia Mathematica III
ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ Краткое содержание главы 1 В настоящей главе мы сначала определяем серию положительных и от- рицательных целых чисел. Если ц является кардиналом, то соответствую- щие положительные и отрицательные целые числа являются отношения- ми +сц и -сц или скорее (+сц) [ (NC induct - l‘A) и (-сц) [ (NC induct - i‘A). (В дальнейшем будет отмечено, что положительное целое число не следует путать с соответствующим целыми числам без знака, так как первое из них является отношением, а второе — классом классов.) Далее мы переходим к численно-определяемым степеням отношений, т.е. к Rv, где v —индуктив- ный кардинал. Мы уже определили R2 и Я3, но для определения понятия пропорции важно определить Rv в общем случае. Если 7? е 1 —» 1 . J?po G J, то мы будем иметь RV=RV, а если 7?eSer, то мы будем иметь (7?i)v = 7?v. Однако эти равенства не имеют места в общем случае, и, в частности, ес- ли Rd и v^O, то RV = R, но RV = A. После параграфа, посвященного вза- имно простым числам, мы переходим к определению не имеющих знака пропорций, откуда переходим к умножению и сложению пропорций без зна- ка, затем —к отрицательным пропорциям, откуда переходим к обобщенно- му сложению и умножению, которые включают отрицательные пропорции. (В случае пропорций, пропорции без знака тождественны положительным пропорциям. Это оказывается возможным, поскольку пропорции без знака, в отличие от не имеющих знака целых чисел, уже являются отношениями.) Затем мы переходим к определению положительных и отрицательных ве- щественных чисел, а также к их сложению и умножению. На каждом этапе мы доказываем законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутив- ности и все то, что может показаться необходимым для тех специальных типов сложения и умножения, которые являются предметом рассмотрения.
232 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ Большие трудности в этой главе порождаются экзистенциональными теоремами и вопросом типов. Затруднения исчезают, если принимается ак- сиома бесконечности, но, по-видимому, совсем неприемлемо создавать тео- рию (скажем) 2/3 в зависимости от предположения, что число объектов во Вселенной не является конечным. Когда требуется аксиома бесконечности, это всегда явно формулирует- ся в гипотезе, так что наши предложения так, как они формулируются, остаются истинными, даже если аксиома бесконечности является ложной. Principia Mathematica III
*300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 233 *300. Положительные и отрицательные целые числа и числовые отношения Краткое содержание *300. В этом параграфе мы вводим три определения. Сначала мы определя- ем “ (/” как отношение, которое имеет место между p,+cv и ц всякий раз, когда ц и v являются экзистенциональными индуктивными кардиналами одного и того же типа hv/0, a p,+cv существует в пределах этого типа. Таким образом, U представляет собой отношение “больше чем”, ограни- ченное к экзистенциональным индуктивным кардиналам одного и того же типа. Определение есть: *300 01. U = (+с1)ро t (NC induct - i‘A) Df Далее, если ц является индуктивным кардиналом, который существу- ет в пределах рассматриваемого типа, то и есть соответствующие положительные и отрицательные целые числа, где обладает смыслом, определенным в *121. В дальнейшем будет отмечено, что ОС/цц, так что существует, когда ц существует в пределах рассматриваемого типа. Мы до- казываем (*300-15), что U является серией и (*300-14) что его поле состо- ит из всех экзистенциональных индуктивных кардиналов рассматриваемого типа, его область состоит из всех его полей, исключая 0, а его обратная об- ласть—из всех его полей, кроме наибольшего (если таковое имеется). Если имеет место аксиома бесконечности, то C4J состоит из всех индуктивных кардиналов. В дальнейшем будет замечено, что U упорядочивает индуктивные кар- диналы в нисходящем порядке относительно их величин. Причина для вы- бора именно такого порядка, вместо обратного ему, заключается в том, что U меньше востребовано в своем применении как серия, чем как отно- шение, приводящее к функиональным отношениям U^. Как было объяснено в конце главы 4 части I, есть существенное отличие между функциональны- ми и сериальными отношениями, а это приводит там, где одно отношение (или его дериваты) предполагается задействовать в обоих применениях, к определенному столкновению с соображениями удобства в разрезе того смыслового аспекта, в котором предполагается брать это отношение. Рас- сматриваемое как упорядочивающее целые числа в серию, U естественно определялось бы как упорядочивающее их в восходящем по величине по- рядке, как это было сделано с “А” в *123. Однако, рассматриваемые как функциональные отношения, более удобно и более естественно принимать (скажем) +С1 как исходное отношение, а -с1 —как его обращение. Таким образом, мы хотим ц U\ v, когда p, = v+cl, т.е. мы желаем U\ 1 v = v +с 1, а это требует такого определения U, которое было дано выше. Мы доказываем в этом параграфе (*300-23), что U является вполне упо- рядоченным и (*300-21-22) либо конечным, либо прогрессией. Мы также доказываем, что если ц является каким-либо типово не-определенным ин- дуктивным кардиналом, то ц и ц+с1 будут принадлежать C‘f7, если U берется в пределах достаточно высокого типа. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
234 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ Другие два определения в этом параграфе определяют два класса от- ношений, которые являются жизненно важными в теории пропорции. Мы определяем числовые отношения, называемые “Rel num”, как одно-одно- значные отношения, степени которых содержатся в различии, т.е. мы по- лагаем *300 02. Rel num = (1 -> 1) П R (Pot‘Я с R1‘ J) Df Поэтому мы имеем (*300-3) h : R е Rel num. = . R e 1 —> 1 . Rpo G J. Следует помнить, что гипотеза R е (Cis —> 1) U (1 —» Cis). Яро G J играла ве- личайшую роль в *121 и во всех более поздних построениях, которые за- висели от *121. Когда оба R и R удовлетворяют этой гипотезе, мы имеем R е Rel num и наоборот. Мы доказываем (*300-44), что если о является от- личным от нуля индуктивным кардиналом и Р является серией, то тогда Ро является числовым отношением так же, как и Ра. Если Р есть вполне упо- рядоченная серия, не имеющая конца, то finid‘P (т.е. класс отношений Ра) представляет собой то, что (в главе 2) мы будем называть вектор-семей- ством: Ра — вектор, который переносит терм на о шагов вдоль серии. Для того чтобы мы были в состоянии иметь дело с нулем, мы вынужде- ны рассматривать применение пропорций не только к таким отношениям, как числовые в данном выше смысле, но также и к отношениям, содер- жащимся в тождестве, потому что отношение, заключенное в тождестве, может трактоваться как нулевой вектор, так что (например), если Р пред- ставляет собой серию, то I [С'Р будет находиться в нулевой пропорции к Ро, если о является индуктивным кардиналом, отличным от нуля. Поэтому мы вводим класс “Rel num id”, состоящий из числовых отно- шений, вместе с такими, которые содержатся в тождестве; они могут быть названы числовыми отношениями или отношениями тождества. Они мо- гут быть определены как одно-однозначные отношения, степени которых, отличные от Ro, содержатся в различии, так как если Rd, то не суще- ствует других степеней, кроме Rq. Таким образом, мы полагаем *300-03. Rel num id = (1 -> 1) П R (Potid7? - i‘/?0 c R1‘ J) Df и затем мы доказываем *300-33. h . Rel num id = R17 U Rel num Для использования пропорции важно знать, при каких обстоятельствах существует числовое отношение R такое, что Ro является ненулевым отно- шением. Мы доказываем (*300-45), что если о является индуктивным кар- диналом, а Р является серией о+с1 термов, то (В'Р) Ро (В'Р). Мы также доказываем (*300-44), что если Р является серией и R = Pi, то PO = RO и R представляет собой числовое отношение. Следовательно, на основании *262-211, если о/0иа есть класс о+Д термов, то найдется числовое от- ношение R, поле которого того же самого типа, как и а, и для которого Ro существует. Вспоминая *300-14 (цитированное выше), это предложение есть: *300-46. F : ос d'U -1‘0. э . (gP, R). Р е (о +с 1) г. R = Pi . R е Rel num . t'C'R = t0'o. (B'R) Ro (B'R) Principia Mathematica III
*300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 235 Обратно, мы имеем (*300-47) F : R е Rel num. g! Ro . э . о е NC ind . 3! (о +с 1) П t'C'R . о П t'C'R е G‘U, где “NCinduct” обладает смыслом, который был ранее определен в *126, т.е. “оeNCinduct” означает, что о есть типово не-определенный кардинал. Параграф заканчивается предложениями, доказывающими (*300-52), что является числовым отношением, что (*300-57) Й! (^) v А (t7n) и . э . £ xcv е С‘U . £ хл = т| хс р,, и аналогичными теоремами. *300-01. U = (+с 1) ро t (NC induct - i‘A) Df *300-02. Rel num = (1 —»1) A/? (Pot7? c R1‘J) Df Df *300-03. Relnumid = (1 —» 1) n^(Potid‘7? - l‘7?0 c R1‘J) Df Df *300-1. F : pL7v. =. p, (+cl)po v. p,, v e NC induct - i‘A [(*300-01)] *300-11. F:.p,L7v. = : p,, v e NC induct - i‘A: (gX). X e NC induct - i‘0. p, = v +Д: = : NC induct - l‘A : (gX). X 0 . p, = v +CX: = : p,, v e NC induct - 1A : (gX). X e NC - i‘0 . p. = v +CX [*300-1. *120-42-428-462-452 . *110-4] *300-12. F : p,t7v . = . p,, v e NC induct - i‘A . v < p,. = . p,, v e NC induct. v < p,. =. p, e NC induct. v < p, [*300-11. *117-3 . *120-42 . *117-26 . *110-6 . *117-15 . *120-48] *300-13. F.L/gJ [*300-12. *117-42] *300-14. F . C'U = NC induct - l‘A . D‘t7 = NC induct - i‘A - l‘0 . CT£7 = NC induct Av(g!v +cl) = v(v +C1 eNCinduct - i‘L) . B‘t7 = 0 [*300-12 . *117-511. *120-122 . *101-241. *120-429-422] *300-15. F . U e Ser [*300-13 . *120-441] *300-16. F: a e Cis induct. э . Noc‘a e C'U A t2ia . Noc‘a e C\U [ f2‘a) Доказательство. F . *120-21. э F: Hp . d . Noc‘a e NC induct (1) F . *103-13 . э F . Noc‘a A (2) F . *103-11. э F. Noc‘aer2‘a (3) F. (1). (2). (3). *300-14. dF. Prop *300-17. F : p,eNCind . э . (ga). p, AfaeC‘t/ . p.eC‘(L7 [r2‘a) Доказательство. F . *126-1. □ F : Hp. э . (ga). aeCis induct. p, = Nc‘a. g! p,. [*103-34] э . (ga). a e Cis induct. p, A f a = Noc‘a (1) F . (1). *300-16 . э F : Hp. э . (ga). p A fa e C‘U . (2) [*65-13] э . (ga). p,eC‘L7 . p, c f a. [*63-5] э . (ga). peC‘U . per2‘a (3) F . (2). (3). э F . Prop *300-18. F : peNCind. d. (go). 2Ц eC\U [ r2‘a). (p +cl) A f aeC'U . p,e (T(U [*126-13-15. *300-17-14] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
236 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ *300181. F : peNC ind . р П tlaeC‘U . d . 2й П t2<aeC'U . (p +cl) П P'aeC'U . p О t2iaE(TU [*126-23. *300-14] * 300-2. F : Infin ax . э . U - Apo Здесь N обладает смыслом, определенным в *263-02. Доказательство. F . *300-1. *125-1. э F:. Нр . э : pUv . = . р, veNC ind . р (+с1)Ро v. [*120-1. *91-574] = . v (+с 1 )* 0 . р (+с1)ро v. [*96-13] =.ц{(+с1)ГёЖ‘0}роУ. [(*263-02 . *120-01)] = . v р: э F . Prop * 300-21. F : Infin ax. э . U e w [*300-2 . *263-12] * 300-22. F : ~ Infin ax. э . U e Q induct Доказательство. F . *125-16-24 . Transp . э F : Hp . э . C'U e Cis induct (1) F.(1). *300-15 . *261-32 . э F . Prop * 300-23. F . U e Q [*300-21-22] * 300-231. F : pi£7iv . = . p, veNC ind - i‘A . p = v +C1 . = . peNC ind - l‘A . p = v +C1 . = . peNC ind - l‘A - l‘0 . v = p -C1 . = . v e NC ind - i‘A . v = p -c 1 Доказательство. F. *300-15-12. *201-63. z> F :. pt/iv . = : p, veNC induct - i‘A . v < p : ~ (gk) . v < X. X < p : [*120-429] = : p, v e NC induct - i‘A . v < p : v +C1 > p . p > v +C1 : [*117-25] = : p, veNC induct - i‘A . p = v +C1 (1) F. (1). *120-422-424-423 . э F. Prop * 300-232. F : p e NC induct. d . = (+cH) t (NC induct - t‘A). = (-cp) t (NC induct - i‘A) По поводу определения £7И см. *121-02. Доказательство. F . *121-302 . *300-15 . э F : pt/0o . . оeC'U . р = о. [*300-14 . *110-6] = . р, oeNC induct - l‘A . р = о+с0 (1) F . *260-22-28 . *121-332 . э F : С7Ц = (+сР) t (NC induct - l‘A) . э . С/ц+с1 = (+с1 р) [ (NC induct - i‘A) | U\ [*300-231] = (+ср) t (NC induct - i‘A) | (+cl) [ (NC induct - l‘A) [*120-45-452] = {+c (p +cl)} [ (NC induct - l‘A) (2) F . (1). (2). Induct. d F . Prop * 300-24. F : peNC induct. d . D‘L7p =7Vp = NC induct П v (v p) [*300-232. *117-31. *120-45] * 300-25. F : peNC induct. d = £/‘p = NC induct П v (v < p) = U (0H p) [*300-232-24-12] * 300-26. F : p e C'U . = . р£7и0 . = . Я!ЦД (C‘L/) [*300-232-14 . *110-6] Здесь p в “£7И” — более высокого типа, чем р в “реС‘£7”, потому что интервал U (0 н р) состоит из членов, каждый из которых такого же типа, как и р. Principia Mathematica III
»300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 237 * 300-3. F : R е Rel num . = .Rel-»l.RpoGJ.^.Rel-»l. Pot'R с R1‘J [(*300-02)] * 300-31. F : R e Rel num id. s . R e 1 —> 1 . Potid'R - i‘Ro c R1V [(*300-03)] * 300311. \--.RgJ .s.R0 = R. = .R = I\C‘R Доказательство. F.*201-13-18. dF:.Rg/. z> : xeC'R. э . 5Г*‘хпХ‘х = i‘x (1) F. (1). *121-11. э F: R с/. э . I f C'R gR0 . [*121-3] z>.R0 = /K‘R. [*79-92] =>.R0 = R = I\C'R (2) F. *121-3. z>F:R0=R.d.Rg/ (3) F . (2). (3). э F . Prop * 300-312. F : R с /. э . Potid'R = CR = CR0 [*300-311. *50-72 . Induct] * 300-313. F : R e Rel num id. z> . R* - Ro G J [*300-31. *91-55] * 300-32. F: R e Rel num id. z> . Ro = 1 f C'R Доказательство. F . *91-35. э F . I f C‘R e Potid'R - R1 ex‘J F . (1). *300-31. z> F . Prop * 300-321. F : R e Rel num id. R + Ro . э . R c J. g !R [*300-31] * 300-322. F: R G J. э . Rpo П Ro = A Доказательство. F. *121-3. э F : xRpoy • x # .у. э . ~ (xRoy) (1) F . *50-24. э F :. Hp. d : ~ (xRx): (2) [*91-57] э :xRpoX. э . x(Rpo |R)x. [*121-103.(2)] э . R(xHx)/ i‘x. 1*121-11] d.~(xRox) (3) F . (1). (3). э F . Prop * 300-323. F : R e Rel num id. R / Rq . э . Rpo G.J Доказательство. F . *300-321-322. э F : Hp . э. Rpo П Ro = A. [*300-32] z>. Rpo ПI f C'R = A : э F . Prop * 300-324. F :. R e Rel num id. : R с/. V . Re Rel num Доказательство. F . *300-311-323. э F :. Hp . э : R с/. V . Rpo G J (1) F . *300-32 . э F : R e Rel num id. Rpo G J. э . Potid'R — i‘Rq = Pot'R (2) F . (2). *300-31. э F : R e Rel num id. Rpo G J. =>. Pot‘R c R1‘J (3) F . (1). (3). *300-3 . э F . Prop * 300-325. F : R с /. d . R e Rel num id Доказательство. F . *300-312 . э F : Hp. z>. Potid'R - i‘R0 = A (1) F . (1). *300-31. э F . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
238 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ *300-326. F : R е Rel num. э. R е Rel num id Доказательство. F . *121-3 . *30-3 . d F: Hp . э . Rq ~ e Pot‘P F . *121-302 . *300-3 . э F : Hp. d . Po = I [ C'R F. (1). (2). *91-35 . d h : Hp . э . Potid‘P - l‘P0 = Pot‘P F . (3). *300-3-31 . э F. Prop (1) (2) (3) *300 33. F . Rel num id = R17 U Rel num [*300-324-325-326] *30034. F . A e Rel num [*300-3 . *72-1] *3004. F . Rel num = Cnv“Rel num [*300-3 . *91-521] *30041. *300 42. F . Rel num id = Cnv“Rel num id [*300-31. *91-521] F : R e Rel num. э . Pot‘P c Rel num Доказательство. F . *91-6. *96-102 . э F : R e Rel num. P e Pot‘7?. d . P e 1 —> 1 . Pot'R c RT J [*300-3] э . P e Rel num: э F . Prop *300-43. F : R e Rel num id. d . Potid‘7? c Rel num id Доказательство. F . *300-325-312 . d F : R G/ . э . Potid‘7? c Rel num id (1) F. *300-325. э F . Z [ C‘PeRel numid (2) F. (2). *300-42-326 . d F : R e Rel num . d . Potid‘7? c Rel num id (3) F . (1). (3). *300-33 . э F . Prop *300-44. F :. P e Ser . о e NC induct. d : Po, Po e Rel num id : о # 0 . d . Po = (Pi )o . Po, Po e Rel num Доказательство. b. *121-302 . *300-32 5 . э F : Hp . a = 0. э . Po, Pa e Rel num id (1) h. *260-28. DF:Hp.o#0.D.Pa = (Pi)a (2) 1-. *300-3. *260-22 d F :. Hp . э : Pi e Rel num : [*121-5. *300-42] э : о Ф 0. d . (Pi)a e Rel num. [(2). *300-4] э . Po, Pa e Rel num (3) h . (1). (2). (3). э F , , Prop *300-45. F:о e NC induct. P e (о +cl)r. э . (B‘P) Po (B'P) По поводу определения (o+cl)r см. *262-03. Доказательство. F. *262-12. d F : Hp . э . PeQ . C‘Peо +C1 . [*202-181. *261-24] э . (B'P) Po (B'P): э F. Prop *300-46. F : oeG'U - i‘0 . э . (gP, R). P e (o +c 1) r • R = Pi • R e Rel num . t'C'R = t0'o. (B'R) Ro (B'R) Доказательство. F . *300-14 . э F : Hp . d . (ga). ae Cis induct. t'a = Iq'o . a e о +C1 . [*262-211] э . (gP). Pe (о +cl)r. t'C'P = t0'o. [*300-45] э . (ЭР). P e (a +c 1) r. t'C'P = t0'o. (B'P) Po (B'P). [*300-44 . *261-22] э . (gP,P). P e (a +cl) r. R = P{ . R e Rel num . t'C'R = t0'o. (B'R) Ro (B'R): э F. Prop Principia Mathematica III
*300. ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА И ЧИСЛОВЫЕ ОТНОШЕНИЯ 239 *300-47. R е Rel num . 3 IRO . э . aeNCinduct. 3! (0 +с1) A t'C'R . о A t'C'R eG'U Доказательство. h . *121-11.oh: Нр . э . (зх,у). R (хну) е о +С1 . [*121-46] о . 0+с1 eNCinduct .3! (0 +с1) A t'C'R . [*120-422 . *300-14] о . 0eNC induct. 3! (0 +с1) А ГС‘Я . 0 A t'C'R е (TU : о h . Prop *300-48. h : Я cZ . v 0 . о . Яу = А Доказательство. h . *300-312-311. *91-55. о h : Я cZ. о . Я* = Z [ С‘Я (1) h. (1). *121-103 . э h : Я gZ. э . Я (x Hy) = C'R A Cx A i‘y (2) h . (2). *121-11. о h :. Я gZ . о : xRvy . = . C'R A i‘x A i‘y ev +C1 . [*117-222] o.v+cl ^Nc4‘x. [*117-54. *120-124] o.v+cl = 1. [*110-641. *120-311] э . v = 0 (3) h. (3). Transp . d F . Prop *300-481. h: Я e Rel num id . v 0 . о . (Яо)у = A . (Яу)о сЯо Доказательство. h . *300-32-48 . о h : Hp. о . (Яо)о = A (1) h . *300-43-32 . о h : Hp . о. (Яу)0 = Z [ C'RV . [*121-322. *300-32] э. (Яу)0 сЯ0 (2) h . (1) . (2). o h . Prop *300-49. h: Я e Rel num . A ~ e PotT?. о . C'R ~ e Cis induct Доказательство. h . *121-5 .oh.Hp . □ : veNCinduct. о . 3\RV . [*121-11] э . 3! (v +cl) A Cl'C'R:. о h. Prop *300-491. h : (3Я). Я e Rel num . A ~ e PotT?. о . Infin ax [*300-49] *300-5. h . U} e Rel num [*300-15-44] *300-51. h . t/0 e Rel num id [*300-15-44] *300-511. h.Z/o = (Z/1)o [*300-21-22 . *263-491] *300-52. h: ц e NC induct - i‘0 . о . e Rel num [*300-15-44] *300-53. h . (xcl) f C'U e Rel num id [*300-325 . *113-621] *300-54. h : Infin ax. p.eD‘£7 - i‘l . о . (хсц) [ D‘ZZ eRel num Доказательство. h. *120-51. о h : Hp . о . (хсц) [ D‘f7 e 1 —> 1 (1) h . *126-51. *113-621. э h :. Hp . э : p {(xcp) [ D'U] 0 . о . p >0 : [*117-47-42] э:{(хсИ) [D‘Z/}poGj (2) h.(l). (2). *300-3. oh. Prop *300-55. h : 3 !Яр А Яо . э . 3! (p +cl) A t'C'R . p = 0 [*121-11. *120-31] *300-551. h : 3 !Яр A Ro . = . 3 !Яр . p = 0 [*300-55] *300-552. h : Я e Rel num . d . (Я^)v сЯ^ Доказательство. h . *121-36 . oh: Hp . veNC induct - i‘0 . э . (Я^)у =R^Xcv (1) h . *300-481. о h : Hp . £ = 0 . v ф 0 . о . (Я^) v = A ' (2) h . *300-32-311. *113-602 . o h : Hp . § = 0 . v = 0 . о . (Я^) v = RlXcV (3) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
240 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ h . *300-481. *113-602 .эННр.£/0.у = 0.э. (^) v c^XcV (4) h . *300-47 . э h : Hp . ~ (£, v e NC induct). э . (^) v = A (5) F . (1). (2). (3). (4). (5). ol-. Prop *300-56. h : R e Rel num . g! (R%) v H (7?n) и. d . | xcv = r| xc ц . xcv) A f C'R e CT U Доказательство. h . *300-552 .oh: Hp . э . g!/?£XcV (1) h.(l). *300-55. oh. Prop *300-57. h : g! (t/^)v A . э . § xcveC'U. | xcv = r| xc(i Доказательство. h . *300-5-511-56-552 . э h : Hp . э . § xcv = т] xc ц . g ! tf|XfV (1) h.(l). *300-26. oh. Prop На основании *300-56 мы имеем, с приведенной выше гипотезой, xcv) A t'C'U e(TU. Но здесь U в (TU принадлежит более высокому типу, чем U в (£xcv) A t'C'U или в гипотезе. В пределах типа U в гипотезе, мы имеем ^xcveC‘t/, но необязательно ^xcveQ‘t/. *300-571. h:.^,veD‘t/.D:g!(t/0v A(t/n)H. = .§xcveC‘t/.^xcv = T]XcH Доказательство. h . *300-26 . э h : § xcv e C‘U . £ xcv = т] xcц . z>. (£ xcv) {U^ A и) 0 (1) h.*121-36. эЬ:Нр.Нр(1).И/0.у/0.э.^ХсУ = (^)у.^ХсИ = (^)ц (2) h . *300-32 . э h : Hp . Hp (1). v = 0 . э . v = I f СЩ . [*300-26] D.0{(t/^)v}0 (3) Аналогично h : Hp . Hp (1). ц = 0 . э . 0 {(t/n) Д 0 (4) F . (1). (2). (3). (4). (5). э h : Hp . Hp (1). э . g! (^)v П (1/п)и (6) F. (6) .*300-57. зН Prop *300-572. F:.£eD‘I/ . э : g! (t/^)v . =.^xcveC‘t/ [*300-571^-] Principia Mathematica III
301. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЧИСЛЕННО 241 *301. Степени отношений, определенные численно Краткое содержание *301. В этом параграфе мы должы представить степени отношения Я, т.е. различные элементы Potid‘7?, имеющие форму R°, где о является индуктив- ным кардиналом. Мы уже имели R2 = R | R и R3 = R2 | R. То, что нам нужно, представляет собой определение, которое мы дадим впоследствии до+Д = R°\R R° является функцией от R и о; поэтому мы должны представить R° в форме 5‘о, где 5 будет функцией от R. Т.е. мы должны определить отношение 5 как отношение R° к о, и 5 должно быть таким, что если оно имеет место между R° и о, то оно имеет место между Ro+ci и о+с1. Таким образом, мы можем выбрать 5 как сумму пар таких, что если одна пара есть Я°Хо, то следующая есть (R° |Я) X (о+с1), т.е. таких, что если одна пара есть 2Хо, то следующая есть (Q |Я) 1 (о +с1). В результате (С|/?)На+с1) = {(1^)11(-с1)}‘(СХа). Следовательно, поскольку мы хотим иметь Я0 = I [ C‘R, то наш класс пар есть Л/[А/{(|Я) || (-с1)}* {(/[ С‘Я) X 0}]. Называя этот класс num (Я), мы поэтому можем положить R° = {s‘num (Я)}‘о Df. Если мы полагаем (|Я) || (-с1) = RP, то приведенные выше определения есть num (R) = (Rp)*> {(/ [ С‘Я) X 0} Dft, R° = {s‘num (Я)}‘о Df. Однако приведенное выше определение Rp требует некоторой модифика- ции перед тем, как оно может рассматриваться как вполне корректное. С данным выше определением мы имеем RP\Qlo) = (Q\R)l(o+cl)- (1) Поскольку num (R) определяется посредством (Яр)*, и поскольку определе- ние 7?* включает гипотезу Я“цсц, отсюда следует, что если num (Я) зна- чимо, то отношение -с1, которое появляется в определении Rp, должно быть однородным, так что в (1) о и о+с1 должны быть одного и того же типа. Следовательно, о, даже будучи типово неопределенным, не мо- жет быть типово не-определенным; поэтому, если аксиома бесконечности не является истинной, то мы рано или поздно достигнем о = А, продвига- ясь по возрастанию индуктивных кардиналов. В таком случае мы будем иметь R°~cl X (0-с1) 6 num (R). (Я°“с1 | Я) X A е num (Я), (Я°“с1 | Я | Я) X A е num (Я), и т.д. Тогда, если (например) Я является циклическим 20 отношением, таким как 20 Мы употребляем термины циклическое отношение и замкнутое отношение как эк- вивалентные. — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
242 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ отношение угла в многоугольнике к следующему за рассматриваемым углу, то мы не будем иметь до-J = Ro-C\ । R Ro-Cl । R = Ro-Cl | R | R Следовательно, 5‘num (R) не будет одно-многозначным, a R° не будет суще- ствовать. Следовательно, желательно ограничить о кардиналами, которые существуют в пределах некоторого предписанного типа, т.е. заменить -С1 на (-с1) [ (NC induct - i‘A), т.е. на й\. Таким образом, мы полагаем RP = (\ R)\\Ui Dft. Но даже это определение не является совсем полным, потому что тип U не предписан. Это приводит к некоторому различию в том, как предпи- сывается тип [/, так как если мы принимаем в качестве типа C'U более низкий тип, чем Noc‘r‘7?, то мы можем обнаружить, что наши числа ста- новятся А, прежде чем мы перестали получать новые степени R. Например, предположим, что имеется всего четыре индивида, и что они есть а, х, у, z. Запишем х X (а, у,...) для xXaUxXyU.... Затем рассмотрим отношение /? = х! (я,у)йя!у Uy 1(х, z). В таком случае R2 = х l(x,y,z) U а X (х, z) Uy X (а,у), R3 = х X (а, у, х, z) 0 а X (а, у) 0 у 1 (х, у, z), R* = х 1 (у, х, z, a) U а X (у, х, z) 0 у j (а, у, х, z), R5 = х X (а, х, у, z) 0 а X (а, х, у, z) 0 у X (а, х, у, z). После этого R5 = R5 | R = R5 | R2 = etc. Однако, вплоть до R5, каждая степень R отлична от всех своих предшественников. Если мы возь- мем fC'U = r‘Noc‘r‘C‘7?, то C'U состоит только из чисел 0, 1, 2, 3, 4, что поэтому не является адекватным, чтобы иметь дело с R5. Следо- вательно, тип, в пределах которого мы выбираем U, должен быть до- статочно высоким и должен возрастать с возрастанием типа R. Сле- довательно, мы берем C'U в пределах типа fNoc‘f/?, т.е. в пределах типа Р‘Я. Это обеспечивается написанием U [t3iR вместо U в опре- делении Rp. Следовательно, окончательные определения для R° есть: *301-01. iev = (|7?) II (t/1 t Р‘7?) Dft [*301] *301-02. num (R) = (Rp)*' [(I f C'R) X (0 A fi'R)} Dft [*301] *301-03. R° = (5‘num (Я)}‘о Df Два временных определения *301-01-02 распространяются только на на- стоящий параграф. С данными выше определениями мы имеем * 301-16. h:peC‘t/nP‘/?. = .E!^ * 301-2. h.fl° = Z \C'R.R} =R * 301-21. h:vea‘Z/nP‘/?.D./?v+cl =RV\R * 301-23. h : p +cv e C‘U A t3 'R . э . Rv+‘v = R» \RV = Rv \R* * 301-26. h : P e Potid‘fl. = . (л о). P = R° Т.е. степени R представляют собой различные отношения R°. Это пред- ложение могло бы не быть универсально истинным, если бы мы взяли U в пределах более низкого типа. *301-3. \--.RczI .aeC'Unt^R.^.R0 =R = R0 = I \C'R Principia Mathematica III
•301. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЧИСЛЕННО 243 Мы требуем степеней отношений при оперировании с пропорциями, а не finid'R, в основном ради приведенных выше предложений. Так как мы имеем Яс/. о/О. э .Ra = А, то Ro не дает того, что требуется, если R<zl. С другой стороны (*301'41), если ЛеRelnum, то мы имеем Ra=R„, если oeC'U Пр'Я. Таким образом, в применении к числовым отношениям Ro всегда может заменять R°. Мы имеем, каким бы ни было R, *301-504. I-: ц, v е C'U CiP'C'R. v + 0. э . (R“)v = R^ Значение этого параграфа проявится далее в связи с пропорциями. *301-01. Яу = (|Я)||(&1 Dft [*301] *301-02. num (Я) = (Яр)*' {(/ f С'Я) | (0 П г2‘Я)} Dft [*301] *301-03. Я0 = {s'num (Я))'о Df *301-1. I-: о е С‘(С [ Р'Я). э . RP‘(Q J, о) = (Q | Я) | {(о +с1) П ?'Я} [*55-61. (*301-01)] *301-101. I-: oeQ‘(t/ [?‘Я). э . oeQ't/П/3‘Я. s . оеQ‘t7 . ос^‘Я [*63-5] *301-102. h: оe Q‘(t/ [ ?'Я). э. (gX). Хе Cis induct . g! - X. Я е r0‘X. о = Noc‘X [*301-14. *103-11] *301-103. I-: oeO‘(t/ [ г3‘Я). э . (gX). Хе Cis induct. g! - X .ЯеХ. a = Nqc'X [*301-102. *73-71-72] *301-104. I-: ae Q‘(t/ [ г3'Я). э . (о +cl) П ?‘Я eNC induct - t'A [*301-101. *300-14] *301-105. I-: oeQ‘(t/ [ Р‘Я). э. (gX). Xe Cis induct .ЯеХ. o+cl = Nqc'X [*301-105] *301-106. I-: oe Q‘(U [ t3‘R). э . (gX). Xe Cis induct. ЯеГо'Х. a +C1 = Nqc'X [*301-104] *301-107. h:oea‘(t/ [Р'Я). z>. oeNCind .Яеi'(o+cl) [*301-106. *126-1] *301-11. h : oeG‘(t7 (Р‘Я). э. E !Яр‘(бi°) [*301-1] *301-12. h : Me num (Я). э. (gP, a). Pe Potid'R. oe C‘U Cit3‘R . M = P fa [*95-22] *301-13. F : P J, 0 e num (Я). z>. P = 7 [С'Я Доказательство. I-. *90-31. (*301-02). э I-: P J. ц e num (Я) -1‘{(7 [ С'Я) 10}. z>. (P | И) {(Яр)* | Яр} {(/ Г C‘R) 10). [*30-33 . *301-1] э. (P | р.) (Яр)* (Я 11). [*95-22] э.ц1/*1. [*300-24] э.р.^0 (1) h . (1). Transp . э I-. Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
244 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ *30114. F:PXp,2Xpenum(P).D.P=(2 Доказательство. F . *120-124 . *90-31. э F:{5 |(Н+С1)}(ЛД* {(/ ГС‘/?)}.э. {5 X (р +с1)} {Яр | (ЯД*) {(/ [ С‘Я) X 0} (1) I-. (1). (*301-02). *301-12. *300-14 . э F :S X (р +с1)епит(Я). э .S 1 (р +с1)еЯр“пит(Я). д! р+с1. [*301-1] э . (gP, v). Р X v е num (Я). 5 X (Ц +Д) = (РI Я) X (v +с1). g! р +С1 . [*55-202. *120-311] э.(дР).РХрепшп(Я).5Х(р+с1) = (Р|Я)Х(р+с1) (2) I-. (2). э I-Р X р, Q X Р € num (Я). . Р = Q: э : 5 X (Р +J), Т X (р +с1) е num (Я). э5,г .S =Т (3) F. (3). *301-12-13. Induct. э F. Prop *301-141. F. G'i'num (Я) = C'U nt3 ‘Я Доказательство. F . *301-1. э F : ое Q‘L/n г3‘Я. oeG's'num (Я). э. (о+с1)е Q‘i‘num (Я) (1) F. (1). *300-14. Induct. э F. Prop *301-15. F. Рпшп(Я)е1->Cls Доказательство. F . *301-14. z> F : M, N e num (Я). g! d‘M П (TN .z>.M = N (1) F . (1). *72-32. э F . Prop *301-16. F : peC‘[7П?‘Я. в . E !Яи [*301-141-15. (*301-03)] *301-2. F .Я0 = /[С‘Я.Я1 =Я [*301-13-16-1. (*301-03)] *301-201. F : v e C‘ U П t3 'R. э . (Я'1 X v) e num (Я) Доказательство. F . *301-16. (*301-03). э F : Hp . z> . Rv {Pnum (Я)} v. [*41-11] э . (gM). JWenum (Я). Я'’Л/v. [*301-12] э . (gM, P, о). M e num (Я). M = P X о. RTMn . [*55-13] э . (Pv X v) e num (Я): э F . Prop *301-21. F : ve Q‘t/ ПГ3‘Я. э . Pv+cl =PV|P Доказательство. F . *301-1-201. э F : Hp. э . Pv+fl X (v +cl), (Pv |Я) X (v +cl) enum (Я). [*301-14] э. Pv+'> = Pv | Я: э F . Prop *301-22. F : E ! Rv . э. Rv ePotid^ [*301-201-12 16] *301-23. F : p+cVeC'L/nPT?. э .Rv+‘v = R* |Я* = RV | Я^ [*301-21. Induct] *301-24. F о e NC induct: p о. v < p. . Яи / Rv : э . P {(ан) • H о • p = e° +d Доказательство. F . *120-442 . э F : Hp .p<o.v^o.Pl‘ = Pv.z>.p = v (1) F . (1). *73-14. *301-15. => F : Hp. э . Nc‘P {(др). p о. P = Яи) = Nc‘|l (p o) (2) F . (2). *120-57. э F . Prop Principia Mathematica III
•301. СТЕПЕНИ ОТНОШЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ЧИСЛЕННО 245 *301-241. I-: Нр *301-24. э. о О t2 ‘R е G'(U [t3‘R).R°+‘' = R°\R [*301-24-104-21] *301-242. F:oeC‘C/Cir3‘P.p<0.v<p.Ptx = Pv.D.Po|P = Po-^+‘v^ Доказательство. I-. *120-412-416. o F: Hp. о . о = (o-cp) +cp • [*301-23] э.Р°=Р°-^|Р^. [Hp.*301-21] D.P°|P = Po-cp|Pv+^ [а301-23] = . Ргор *301-25. F:(go).P = Po.D.(gr).P|P = Pt [*301-16-241-242] *301-26. F : PePotid'P. = . (go). Р = R° Доказательство. I-. *301-25-2 . Induct. о F : P e PotidtR . z>. (go). P = R° (1) F.(l). *301-22. oF. Prop * 301-3. : Rd. a eC'U (~U3'R. z>. R° = R = Ro = I \ C'R [*300-312. *301-16-26] * 301-31. F:Pg7.u/0.d.Po=A [*300-48] Приведенные выше предложения являются в точности такими же, как и *300-48, однако повторяются здесь, чтобы показать отношения Ro и R°. *301-32. F :.Рg7. g!P. э: g!P0 . = . о = 0 [*300-311. *301-31] * 301-4. F : Re Rel num. a eC'U Cl t3‘R. о . Ra = Ra Доказательство. F. *301-2. *121-302. dF:HP.d.Ro = R° 1 F . *301-21. *121-332 . z> F :. Hp . о e Q‘I7 Ci Z3‘P. o : Po = P° . z>. Po+cl = Po+cl (2) F . (1). (2). Induct. э F . Prop *301-41. F : R, S e Rel num. g !РИ Cl Pv . d . p = v. g! (p +cl) Ci t'C'R [*301-4-16. *300-55] *301-5. F : p xc v eC'U Cn3‘P. p / 0. v / 0. о . (P»*)v = P^v Доказательство. F.*117-62-32 э F : Hp. о. p, veC'U Cl t3'R (1) F . (1). *301-16-2 . э F : Hp. э . (P**)1 = P^1 (2) F. *301-23. o F : v+C1 eC‘t/Cl r3‘P. o . (P^)v+fl = (Ри)у |РИ (3) F . (3). *301-23. о F : (p xcv) +cp e C'U Cl t3'R. (R*)v = R^v . o . (P^)v+J = p^)*^ (4) F. (4). *113-671. o F :. (R*)v = R^x‘v . o : p xc (v +cl) e C'U Ci t3‘R. о . (Р^1 = р^б-М) (5) F. *117-571-32 . o F : p xc (v +cl) eC'U Cl t3'R . о. p xcveC'U Cl t3'R (6) F . (5). (6). z> F :. p xcveC'U Ci t3'R. э. (R*y = R^v : o : p xc (v +cl)eC‘t/ Ci t3'R. э . (P^1 =pnxc(v+ci) (7j F . (1). (2). (7). Induct. o F . Prop *301-501. F:p = 0.veC‘L7Or3‘P.D.(P»*)v=P^v [*301-2-3] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
246 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ *301-502. I-: (х, veCU Cit2'C'R. э. [ixcveC'U Cit3‘R. (pxcv) Г) P'ReC'U Доказательство. F . *300-14. *120-5. э F: Hp. g! (p xcv) Г) t2'R. э. (pxcv) Г) t2'ReC'U (1) I-. *300-14. эF: Hp. z>. (ga,|3). aep. |3ev. a, 0ef‘C‘7?. [*113-251] э. (ga, |3). a xc |3ep xcv . a, |ЗеГС‘Я. [*113-17. *64-61] =>.(ga,p).axcpe(p.xcv)nr27? (2) F.(1). (2). *65-13. э F . Prop *301-503. F : veNC induct, v П t'C'ReC' U [ (?‘С‘Я). э . v nt2 ‘ReC‘(U [P'R) Доказательство. F. *300-14. э F: Hp. z> . (ga). aevn t'C'R. [*106-2] э. (gx,a). |x“aev 0 t2lR (1) F . (1). *300-14. э F . Prop *301-504. F : p, v e C‘U П t2 ‘C'R. v / 0. э . (7?>*)v = R^v [*301-5-501-502-503] *301-505. F:.|eD‘L7. э :g! {(+Л) tC'U}v .s .^xcveC'U Доказательство. F . *120-452. э F: g! {(+Л) [ C‘L/)V . = . g! ((+Л) [ C‘U}V . В e C‘U. [*300-232] =.g!(t/i=)v.£eC‘t7 (1) F . (1). *300-52 . *301-4 . z> F :.Hp. э:g! {(+c^) [C‘t7)v . s. g!(t/^)v . ^eC‘17 . [*300-572] = .§xcveC‘l/:. oF . Prop *301-51. F:.£,T]6D‘L/.z>:g! {(+<£) [ C‘[/)v h ((+c •>])[ C W • = • § xcv e C‘ U. £ xcv = T] xc p Доказательство. F . *301-505. *300-232 . *301-4 . э F :. Hp. э: g! {(+c£) [ C'L/f П {(+c n) [ C'U}» . =. g !(L/5)V П (С7Л)И. [*300-571] = . £ xcv e C'U. xcv - T] xc p:. э F . Prop *301-52. F : v e D‘U П t3 ‘R. э. (xc p)v = xc (pv) Доказательство. F. *301-2 . *113-204. *116-204-321. э F . (xcp)> = xc (p1) (1) F. *301-21. э F : v e Q'U П t3'R. э. (xcp)v+^ = (xc p)v | (xc p) (2) F . (2). э F : veQ't/ П t3‘R. (xcp)v = xc (pv). э . (xcp)v+^ = xc (pv) |(xcp) [*116-52-321] =xc(pv+‘1) (3) h . (1) . (3) . Induct .oh. Prop Principia Mathematica III
'302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ 247 * 302. О взаимно простых числах Краткое содержание *302. Настоящий параграф является лишь предварительным для определения и обсуждения пропорций. Мы желаем, разумеется, дать такое определение пропорции, которое будет гарантировать, что p/v = (ц хст)/( v хст). Следо- вательно, при определении ц/v в пределах любого заданного типа мы не можем требовать того, что сами ц и v должны существовать в пределах указанного типа, за исключением лишь той ситуации, когда если p/о яв- ляется той же самой пропорцией в своих наинизших термах21, то р и о должны существовать в пределах указанного типа. Следовательно, если мы не допускаем аксиому бесконечности, то необходимо иметь дело с вза- имно простыми числами перед определением пропорций. Теория взаимно простых чисел касается типово не-определенных ин- дуктивных кардиналов (NCind). В дальнейшем будет замечено, что мы имеем три различных вида индуктивных кардиналов, а именно NCind, NCinduct и С1 U. NCind состоит из типово не-определенных кардиналов, NC induct состоит из всех кардиналов некоторого одного типа, и C‘U со- стоит из всех экзистенционалъных кардиналов некоторого одного типа. Если имеет место аксиома бесконечности, то мы имеем С‘ U = NC induct и NС ind = sm“NC induct. Однако ни одно из них не является истинным, если аксиома бесконечности не имеет места. В дальнейшем будет обнару- жено, что там, где мы требуем типовую определенность кардиналов, то мы требуем именно C‘U или С‘[/, или G‘t/, а не NС induct; другими сло- вами, мы почти всегда хотим исключить Л и лишь иногда — наибольший экзистенциональный кардинал рассматриваемого типа, или исключить 0. Таким образом, “NCinduct” будет редко встречаться в том, что следует далее. Случаи, в которых встречаются C'U или D‘t/, или (TU. могут быть двух видов: (1) там, где мы доказываем типово определенные экзистенци- ональные теоремы, (2) там, где мы касаемся серий, как, например, в *300, где мы рассматривали серии экзистенциональных кардиналов, или в *304 ниже, где мы будем рассматривать серии пропорций. Всякий раз, когда речь идет о серии, мы должны иметь типовую определенность, потому что определение “PeSer” включает в себя С‘Р, и поэтому только однород- ное отношение может быть сериальным. Это представляет собой частный случай той ситуации, что, когда мы требуем числа в качестве кажущих- ся переменных (как, например, в теории вещественных чисел), типовая определенность становится существенной. Многие предложения, содержа- щие гипотезу “peNCind” (где ц является реальной переменной), не допус- кают превращения ц в кажущуюся переменную, потому что это требует того, чтобы ц была фиксирована в пределах одного типа, а наше исходное 21 В оригинале —in its lowest terms. Речь идет о сокращении пропорции и ее представ- лении в несократимой форме, когда, разумеется, и числитель, и знаменатель — наимень- шие из возможных. — Прим. ред. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
248 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ предложение, возможно, требует того, чтобы тип, в пределах которого ц фиксировано, был функцией ц. Например, *300-17 гласит h : p.6NCind . э . (да). р,еС‘(£/ |72‘а). Если мы фиксируем тип ц, мы тем самым также фиксируем тип а, а предложение становится ложным, если аксиома бесконечности не явля- ется истинной. На самом деле указанное предложение требует того, что чем больше становится ц, тем более высоким должен становиться тип а. “NCind” не является строго корректным понятием, а примитивное пред- ложение *9-13 неприменимо без ограничения лишь теми предложениями, в которых оно встречается. Мы уже ввели указанное предложение, пото- му что оно в огромной степени упрощает выражение многих предложений, а также потому что оказывается легко избежать ошибок, к которым оно могло бы привести, если не принимать во внимание того, что оно пред- ставляет собой лишь уступку ради удобства. В дальнейшем будет обнаружено, что когда мы не касаемся экзистен- циональных теорем или чисел, выступающих в качестве кажущихся пере- менных, “NCind” почти всегда представляет собой необходимое понятие. Это применимо ко всем случаям, в которых мы касаемся только сложения, умножения, вычитания и деления; это применимо к пропорциям, исклю- чая, когда пропорции рассматриваются как образующие серию или когда мы исследуем их существование. Что касается применения “NCind” в ка- честве кажущейся переменной, есть различие между “всеми значениями” и “некоторым значением”. Если мы имеем “реNCind”, то “(эр)” чаще всего будет легитимным, в то время как “(р)” —нет. Причина этого заключается в том, что если мы фиксируем один типово не-определенный кардинал, то окажется возможным приписать один определенный тип, в пределах кото- рого он существует; например, есть по меньшей мере два класса четырех классов классов, шестнадцать классов классов классов, и так далее. Одна- ко если мы формулируем утверждение обо “всех” типово не-определенных индуктивных кардиналах, то оно не будет истинным, если не найдется типа такого, что наше утверждение имеет место относительно всех индуктивных кардиналов в пределах указанного типа. В силу *300-17, если мы имеем “peNCind”, то мы можем заменить его посредством “peC‘t/”, если мы можем взять U в пределах такого высокого типа, как мы пожелаем, либо если, принимая в расчет оставшуюся часть нашего предложения, р не может быть больше, чем некоторый предписан- ный индуктивный кардинал, пока гипотеза нашего предложения является истинной. Приведенные выше замечания позволят читателю проверить примене- ния типово не-определенных индуктивных кардиналов в качестве кажущих- ся переменных, и переход от предложений, касающихся NCind, к предло- жениям, касающимся C4J. Мы определяем р как простое по отношению к о, когда оба они являют- ся типово не-определенными кардиналами, а 1 является их единственным общим множителем, т.е. мы полагаем * 302-01. Ргш - ро {р, о в NC ind : р = § хст . о = ц хст . Df Principia Mathematica III
*302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ 249 В этом определении J;, т], т могут быть выбраны как типово не-опре- деленные кардиналы, потому что, когда р = хст . о = т] хст, то мы должны иметь ^^р.т]^о.т^р.т^о, так что т], т не могут возрастать неогра- ниченно (при заданных р и о), пока гипотеза остается истинной. Мы определяем “(р, о) Ргтт (щ v)” как имеющее смысл, что р является простым по отношению к о, что т не нуль и р = р хст. у = охст, т.е. p/о есть ц/у в своих наинизших термах, и т есть наивысший общий множитель р, и v. Рассматриваемое определение есть: * 30202. (р, о) Ргтт (ц, у). = . р Ргт о .те NC ind - t‘0. р, = р хст . у = охст Df Затем мы также полагаем * 302-03. (р, о) Ргт (ц, у). = . (дт). (р, о) Ргтт (р., у) Df Здесь снова нет никаких возражений против того, чтобы т была ка- жущейся переменной, потому что т не должна превосходить ц и у. “(р, о) Ргт (р,, у)” гарантирует, что p/о есть ц/у в своих наинизших термах. В этом параграфе мы также определяем наинизшее общее кратное и наивысший общий множитель22. Наше определение “Ргт” оформляется так, что каждый индуктивный кардинал является простым по отношению к 1 (*302-12), и что 1 являет- ся единственным числом, простым по отношению к самому себе (*302-13), а также является единственным числом, простым по отношению к нулю (*302-14). После нескольких предварительных предложений мы приходим к ре- зультату о том, что если р и у оба не нули, и и т| также оба не нули, то существование пары р, о, которая является простой по отношению и к ц, у, и к т|, эквивалентно р хст| = у хс^, т.е. * 302-34. F р, у, т] е NC ind . ~ (р = у = 0). ~ (£ = т] = 0). э : Ц Х<Л] = v хЛ • = • (ЗР- о) • (р, О) Ргт (|х, v). (р, о) Ргт (|, 1]) Мы также имеем * 302-36. I-: р, у eNC ind . ~ (р = у = 0). = . (gp,o). (р, о) Ргт (р,у) * 302-38. h : (р, о) Ргт (р, у) . (^, ф Ргт (р, у) . э . р = ^ . о = г] Т.е. есть только один путь сокращения дроби к ее наинизшим термам. Мы также доказываем (*302-15), что если р, у представляют собой типо- во не-определенные кардиналы, которые оба существуют в пределах типа X (т.е. цх,УхбС‘£7), то тогда (р, о) Ргт (р, у) . = . (р, о) Ргт (рх, ух). Это позволяет нам тогда, когда мы пожелаем, подставлять типово опреде- ленные кардиналы вместо типово не-определенных р и у. * 302-01. Ргт = рб {р, oeNC ind : р = | хст . о = т] хст . э^лт.т=1} Df * 302-02. (р, о) Ргтт (р, у). = . р Ргт о . т е NC ind - i/0. р = р хст . у = охст Df Здесь р, у предполагаются типово не-определенными точно так же, как и р хст и охст. Таким образом, если в пределах какого-то одного типа р хст и охст оба являются нулевыми, то это не оправдывает нас при написании 22 В оригинале — the lowest common multiple и the highest common factor. Здесь при пе- реводе мы следуем терминологии оригинала. Соответствующие русскоязычные термины: наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. — Прим. ред. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
250 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ (р, о) Ргтт (А, Л), потому что не найдется других типов, в пределах которых р хст и охст не являются нулями. По этому поводу ср. *126. *302-03. (р, о) Prm (р, v). = . (дт). (р, о) PrmT (р, v) Df *302 04. hcf (р, v) = (i т) ((др, о). (р, о) PrmT (р, v)) Df *302-05. 1cm (р, v) = (ф {(др, о, т). (р, о) PrmT (р, v). § = р хс о хст) Df *302-1. 1-р Prm о. = : р, о е NC ind: р = § хст. о = т] хст. . т = 1 [(*302-01)] *302 11. 1-: рPrm©. = . oPrmp [*302-1] *302 12. h : р Prm 1. = . р е NC ind [*302-1. *117-631-61] *302-13. 1-: р Prm р. := . р = 1 Доказательство. I-. *302-12 . э F : р = 1 . э . р Prm р (1) I- . *302-1. э F :. р Ргт р . э : р = 1хср . z> . р = 1 : [*113-621] э:р=1 (2) F . (1). (2). э F . Prop *302-14. F : ОРгтц. = . ц = 1 Доказательство. F.*302-12. z>F:p= 1 . э.ОРгтц (1) F . *302-1. z> F ОРгт ц. э : 0 = 0хсц. ц = 1хсц. э . ц = 1 : [*113-601-621] э:ц=1 (2) F . (1). (2). э F . Prop *302-15. F ц, veNCind . vx eC‘U . э : (p, o) Prm (p, v). = . (p, о) Prm (цх, vx) Доказательство. F. *126-101. *300-14. z> F :. Hp . э : p Prm о. т e NC ind - i‘0. p = p xcx . v = oxct . = . p Prm p . т e NC ind - i‘0. цх = p xct . vx = охст (1) F . (1). (*302-02-03). z> F. Prop *302-2. F : |i, v e C‘£7 . ~ (ц = v = 0). к = f {(gp, о). p, = p xct . v = oxct} . z>. E ! max (£7)‘к. max(£7)‘kcD‘£7 Доказательство. F . *113-621. dF : Hp . □. 1 6K (1) F . *117-62 . *113-602 . Transp . э F :. Hp . т e к. z>: т p . V . г v (2) F . (1). (2). *300-21-22 . *261-26 . *300-26 . z> F . Prop В приведенном выше предложении мы пишем “max(£7)‘к”, а не “min(£7)‘к”, потому что поскольку U упорядочивает натуральные числа в порядке убывания, то “min(£7)‘к” представляет собой наибольшее чис- ло, которое является элементом к, и поэтому оказывается более понятным вести речь об этом числе как о “max (£7)‘к”. *302-21. F : Нр *302-2 . т = max (£7)‘к. ц = р хст. v = охст . э . (р, о) PrmT (щ v) Доказательство. F . *13-12 . э F : Нр. р = р'хст'. о = о'хст'.э. |1 = р'хст'хст . v = о'хст'хст . Principia Mathematica III
*302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ 251 [*113-602 . Transp . Нр] z> . т'хст # 0. т'хст < т . [*120-511. *117-62] э.т'=1 (1) F.(1). *302-1. d h : Нр . z>. р Prm о (2) F. (2). *302-2 . (*302-02). z> F. Prop *302-22. F ц, v e NC ind . ~ (p = v = 0). э : (gp, o, x). (p, o) PrmT (p, v): (Яр,о). (p, o) Prm (p, v) ♦302-23. F : ц, v e D'U . z> : (gp, о): p, оe D'U . |ixco = vxcp : T] e D'U . ц xct| = v xc£. p . т] о Доказательство. F. *300-23. *113-27. z> F : Hp . k = D'U П p {(go). p xco = vxc.p). о . E ! min (1/)‘к (1) F . (1). *300-12 . o F :. Hp . z>: (gp,o): p, oeD'U . p xco = v xcp : T] e D'U . p хст] = у xc£ . z>^ . p (2) F. *120-51.o F : Hp. p, oeD‘£7 . p xco = у xcp . p xci] = vx^. о . p xcr| - oxc^ (3) F . *117-571. о F : Hp (3). rj eD'U. p . о . £ xco p xco (4) F . *126-51. о F : Hp (4). o> т]. о . p xco> p xct] (5) F . (4). (5). о F :. Hp (4). о : о > rj. о . xco > p xcr|: [Transp] о : £ xc о = p хст]. о . r| о (6) F. (2). (3). (6). о F . Prop ♦302-24. F :. p, у, p, о e NC ind - i‘O . p xc о = v xc p : p xcT] = v xc^. r| e D'U . О£>л .1;^р.т]>о:о.р Prm о Доказательство. F . *302-1. о F : p, oeD'U . ~ (pPrmo). о . (Д£,трт). т # 1. p = ?xcx . o = т| xcx [*113-203-602 . *120-511. *117-62] э • (Я?» т) • т 6 ~ L‘1 • £ < Р • Л <а • Р = £ хст • ° = Л хст (!) F . *120-51. о F : ц, v, р, oeD'U . рхсо = у хср . р = хсх . о = т] хсх . о . Р М = у xci (2) F . (1). (2). о F : ц, у, р, oeD'U. р хсо = у хср . ~ (р Prmо). о . П) • И хсП = v т] с D‘U . < р . т] <о (3) F . (3). Transp . *300-17. о F . Prop *302-25. F : р, £ е D‘U . о . (да, р). а е СU. р < §. р = (а х&) +ср Доказательство. F . *117-62 . *120-428 . о F : Нр . о . р < (р +с1) Х& (1) F . (1). *300-23 . о F : Нр . о . Е ! min (t/)‘d {а е CU . р < (а +Д) хс§}. [*120-414-416] о . (да). а е CU . р < (а +с1) хс^. р а хс§. [*117-31. *20-452] о . (а, р). а, р е CU . р < (а +Д) хс§. р = (а хс§) +ср . [*113-671] о . (Эа, р). а, р е C'U . р < (а хс® . р = (а х<£) +ср . [*120-442 . *117-561. Transp] о . (да, р). а е C'U. Р < . р = (а хс^) +ср : о F . Prop *302-26. F : Нр *302-24 . о . (р, о) Prm (ц, у) Доказательство. F . *302-25 . э F : Нр . э . (да, р, у, 6). ц = (а хср) +ср . у = (у хсо) +с& . Р < р . 8<о (1) А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
252 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ F. *113-43. э F : ц = (а хс р) +ср . v = (у хсо) +с& . Р < р . 6<о. р хс о = v хс р . э . (а хс рхс о) +с (р хс о) = (у хс рхс о) +с (6хс р). р < р . 6<о. (2) [*117-31. *120-452. *113-671] э . а хсрхсо< (у +Д) хсрхсо< (а +Д) хсрхсо. [*126-51] z>. а < у +С1. у < а +Д . [*120-429-442 . *117-25] э . а = у (3) I-. (2). (3). *120-41. э Н : Нр (2). э . р хго = 6хс.р . р < р . 6<о. [Нр] э. р = 0.6 = 0 (4) F . (3). (4). э F : Нр (2). э . р = а хс р . v = а хс о (5) F. (1). (5). *302-24. oF. Prop *302-27. F : р, v, р, о, т] e NC ind - l‘0 . р хс о = v хс р . р хст] = v хсЪ,. z> . £ хс о = Т] хс р Доказательство. I-. *113-27 . э F: Нр . э. § xcvxco = т] хсрхсо [Нр] =T]X(.vxcp. [*126-41] э. хса = т] хср : э I-. Prop * 302-28. F : Нр *302-24 . т] б NC ind - l‘0 . р хст] = v хс^ . э . (р, о) Ргт (£, п) [*302-26-27 . *300-17] * 302-29. F : Нр *302-28 . Ргт Т].э.^ = р.г| = о Доказательство. F. *302-28-1. э F :. Нр . э : (да) . ^ = а хср . т] = а хсо: ^ = а хср . т] = а хсо. =>а . а = 1 : [*14-122] z>: § = 1хср . г| = 1хсоэ F . Prop * 302-3. F : р, v, т] e NC ind -1‘0. р хст] = v хс^ . z> . (ЯР, о). (р, о) Ргт (р, v). (р, о) Ргт (£, Т]) Доказательство. F . *302-23-24 . э F :. Нр . э : (зр,о): р Ргт о. р, оeNC ind - i‘0. р хсо = v хср : а, р б D‘U . р хср = v хса. эа,р . а р . р о: [*302-26-28] э : (зр, о). (р, о) Ргт (р, v). (р, о) Ргт (§, г|):. о F . Prop ♦ 302-31. F : (р, о) Ргт (р, v). р Ргт v.z>.p = p.v = o Доказательство. F. *302-1. (*302-02-03). э F :. Нр . э : (зт). р = р хст . v = охст : р = р хст . v = охст . эт. т = 1 : [*14-122] э . ц = р хс1 . v = о хс1 :. э F . Prop * 302-32. F : | Ргт т|. ц Prm v . xcv = т] хс ц. э . = ц. т] = v Доказательство. F . *302-3-31. э F : Нр . э . (зр, о). р Prm o.^ = p.[i = p.T] = o.v = o:oF. Prop * 302-33. F :. ц, v, т] e NC ind - l‘0 . z>: ц XCT| = v xc£. = . (ap, 0). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (£, t]) Доказательство. F . Id . (*302-02-03). d F : (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (^, т]). э . (Ят»т') • т, т' eD‘t/. |i = р хст . v = охст . | = р хст'. т] = охст'. Principia Mathematica III
*302. О ВЗАИМНО ПРОСТЫХ ЧИСЛАХ 253 [*113-27] о . (ат,т'). р xcv = р хсохстхст' = v (1) h . (1). *302-3 .oh. Prop *302-34. I-pi, v, т| e NC ind . ~ (p = v = 0). ~ (§ = T] = 0). о : p xcT] = v xc£. = . (gp, o). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (£, t]) Доказательство. h. *113-602. oh :Hp.p, = 0.v/0. о.£ = 0.т]#0 (1) h . *113-602-621. о h:p = 0.v^0.^ = 0.r]^0.o.p = 0xcv . v = 1 xcv. £ = 0xct]. rj = 1 xct]. [*302-14] о . (0, 1) Prm (pi, v). (0,1) Prm t]) (2) h . (1). (2). о h : Hp. p, = 0 . v / 0. о . (3 p, o). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm t]) (3) Аналогично h:Hp.v = 0.p^0.o. (a p, o). (p, o) Prm (p, v). (p, o) Prm (£, T]) (4) h. (3). (4). *302-33 .oh. Prop *302-35. h :. p,, v e NC ind . ~ (p = v = 0). p Prm о. о : pxco = vxcp . = . (p, о) Prm (p, v) [*302-34-14-31] ♦302-36. h : p, v e NC ind . ~ (p = v = 0). = . (p, o). (p, o) Prm (p, v) Доказательство. h . *302-14 .oh:, (p, o) Prm (p, v). о : p, о e NC ind . ~ (p = о = 0): (ат). т e NC ind - i‘0 . p = p xcx . v = oxct : [*120-5 . *113-602] о : p, v 6 NC ind . ~ (p = v = 0) (1) h.(l). *302-22. oh. Prop *302-37. h : (p, o) Prm (p, v). = . p, v e NC ind . ~ (p = 0 . v = 0). p Prm о. p xc о = v xc p [*302-35-36] *302-38. h : (p, o) Prm (p, v). (^, T]) Prm (p, v). о . p = J;. о = r| Доказательство. h . *302-37 . о h : Hp . о . p Prm о. | Prm r|.pxco = vxcp.p xcr| = v xc^. ~(p = 0.v = 0) (1) h . (1). *302-14 . *113-602 . о h : Hp . p = 0. о . p = 0. J; = 0. о = 1. i| = 1 (2) h . (1). *302-14 . *113-602 . о h : Hp . v = 0. о . p = 1. J; = 1. a = 0. r| = 0 (3) h . *302-27 .oh: Hp .p^O.v^O.o.p xcT] = oxc^ . [(1). *302-32] о . p = £. о = T] (4) h . (2) . (3). (4) . о h . Prop ♦302-39. h : (p, o) Prm (p, v). о . p p . v о Доказательство. h . *302-23-36 . о h :. p, v e D'U . о : (ЯР» °) : (p, o) Prm (pi, v): t] e D‘t7 . p xct] = v xc£ . о^,л . £ p . т] о: [*113-27] о : (ар, о). (р, о) Prm (pi, v). р р . v о: [*302-38] о : (р, о) Prm (р, v). о . р р . v о (1) h . *302-37-14 . о h : ц = 0 . (р, о) Prm (ц, v). о . v / 0. р = 0. а = 1 (2) Аналогично h : v = 0 . (р, о) Prm (pi, v). о . р, 0 . р = 1 . о = 0 (3) h . (2). (3). о h :. (р, о) Prm (pi, v): ц = 0 . V . v = 0 : о . ц р . v о (4) h . (1). (4). *302-36 . *300-17 .oh. Prop А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
254 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ *302-4. F : ц, у е NC ind . ~ (ц = у = 0). э . Е ! hcf (ц, у) Доказательство. F . *302-22 . э F : Нр . э . (зр, о, т). (р, о) PrmT (ц, у) (1) I- . *302-38. (*302-02-03). э I-: (р, о) Ргтт (|i, v). (£, Т|) Ргто (ц, v). э . р = £ . о = Т]. ц = р хст . ц = £ xc(D . [*126-41] э.т = (П (2) F . (1). (2). (*302-04). э F . Prop * 302-41. F : |i, v e NC ind . ~ (p = v = 0). z> . E ! 1cm (p, v) [*302-4] * 302-42. F : |i, v e NC ind . ~ (|i = v = 0). э . hcf (p, v) xc 1cm (p, v) = p xcv Доказательство. F . *302-4-41. (*302-04-05). э F : Hp. z>. (ЗР, о,т). |i = р хст . v = охст . hcf (ц, у) = т. 1cm (ц, у) = р хсохст . [*113-27 . *116-34] э . (зр, о,т). ц хсу = р хсохст2 . hcf (|i, у) хс 1cm (ц, v) = р хс охст2 : э F . Prop * 302-43. F : (р, о) Prm (р, у) . z>. р хс hcf (ц, у) = р . охс hcf (ц, у) = у [*302-4. (*302-02-04)] * 302-44. F : (р, о) Prm (ц, у). э . р хсу = 1cm (ц, у) = охс ц [*302-41. (*302-02-05)] ♦ 302-45. F : (р, о) Prm (ц, у) . т| е NC ind . ~ (^ = т] = 0). ц хст] = у хс^ . э . 1cm (5, т]) = р хс§ = охст| Доказательство. F . *302-37 . э F : Нр . э . (р, о) Prm (§, т]) (1) F . (1). *302-44 . э F . Prop Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ 255 *303. Пропорции Краткое содержание *303. В этом параграфе мы даем определение и элементарные свойства про- порции ц/v. Большинство из важных применений пропорций относится к числовым отношениям или отношениям тождества, т.е. к отношениям, ко- торые могут, в определенном смысле, называться векторами. Пренебрегая в данный момент отношениями тождества, рассмотрим числовые отноше- ния, а для того чтобы закрепить наши понятия, рассмотрим расстояния на прямой. Расстояние на прямой представляет собой одно-однозначное от- ношение, чья обратная область (и его область также) является целой пря- мой. Если мы называем два таких расстояния, как R и S, то мы можем сказать, что они находятся в пропорции p/v, если, начиная от некоторой точки х, v повторений R приводит нас к той же самой точке у, которую мы достигли бы с помощью ц повторений 5, т.е. если xRvy. х5иу. Таким образом, R п S будут находиться в пропорции p/v, если Однако для того чтобы быть уверенными в том, что p/v = p/o, если (р, о) Prm (ц, v), необходимо, вообще говоря, подставить а!Я°А5р вместо (В ука- занном выше случае расстояний на прямой эти два выражения эквивалент- ны.) Таким образом, будем говорить, что R находится в пропорции p/v к 5, если (др, о). (р, о) Prm (ц, v). 3 IR° h 5P. Если мы применяем данное выше определение к отношениям тожде- ства, то мы обнаруживаем, что если R<zl .S al, то R находится в пропор- ции p/v к 5, при условии т.е. при условии д!С‘/?АС‘5. Такого рода использование требуется для того, чтобы иметь дело с нулевыми ко- личествами и нулевыми пропорциями. Таким образом, мы приходим к следующему определению пропорций: *303-01. н/v = RS {(ар. о). (р, о) Prm (ц, v). g !7?°n5P) Df Данное определение, как оно есть, требует оправдания в двух аспектах: (1) обычно мы думаем о пропорциях, как о применяющихся к величинам, отличным от отношений, (2) обычно нам не следует включать в качестве примеров пропорции некоторые случаи, включенные в данное выше опре- деление. Сейчас указанные два аспекта должны быть рассмотрены. (1) При применении нашей теории к (скажем) пропорции двух масс, мы замечаем, что понятие количества (скажем, массы) в любом примене- нии зависит от сравнения различных количеств. “Векторное количество” /?, которое соотносит количество т\ с количеством т2, представляет со- бой отношение, возникающее из существования некоторого определенного физического процесса добавления, посредством которого тело массы т\ бу- дет трансформироваться в другое тело массы m2. Таким образом, о таких шагов, обозначаемых посредством представляет собой добавление мас- сы о{т2-т\). Аналогично, если 5 представляет собой отношение между М2 и Л/], которое возникает при добавлении, превращающем тело массы М\ в другое тело массы Л/2, то тогда 5Р символизирует добавление массы р(Л/2-Л/1). Тогда д!Я°П5р подразумевает, что найдется пара масс т и т' таких, что mRam’ и mSpm'. Другими словами, если мы возьмем тело А А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
256 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ массы т и трансформируем его так, чтобы превратить его в другую массу ш+о(ш2 - ?И1), то мы получим тело точно такой же массы т', как если бы мы перешли к преобразованию А в тело массы т+ р (М2 - Mi). Следователь- но, о(/И2 - Ш1) = р (М2 - MJ; т.е. (m2 - т})/(М2 - Mi) = p/о. Однако в рамках нашей символической системы добавление m2 - т\ представляется вектор- ным количеством Я, а добавление М2 - Mi — векторным количеством 5; так что в нашей символике R находится к 5 в пропорции р к о. Таким образом, сказать, что нечто обладает ц единицами количества, означает, что, принимая U для того, чтобы представить единичное век- торное количество, соотносит нулевое количество—независимо от того, чтобы это значило по отношению к указанному роду количества, — с ко- личеством, которым обладает рассматриваемое нечто. Для этого метода, символизирующего понятия количества, может быть заявлено, что (а) он всегда представляет собой возможный метод действия, какая бы точка зрения на представление первичных принципов ни была бы принята, и (р) он прямо представляет следующий принцип “Нет ни одного количества никакого вида без сравнения различных количеств того же вида”. К тому же, аналогично нашему толкованию кардинальных и ординаль- ных чисел, мы можем определить некоторое определенное количество неко- торого вида, скажем какое-либо определенное количество массы, как про- сто класс всех “тел равной массы” с некоторым заданным телом. Нулевая масса будет классом всех тел нулевой массы; и если не найдется ни од- ного тела с такими свойствами, которыми должно обладать тело нулевой массы, то этот класс сводится к Л в пределах подходящего типа. Таким образом, применение нашей символической системы к конкрет- ным случаям требует существования определенного испытания “равенства количества” различных сущностей и детерминированного процесса “добав- ления количества”. Формальные свойства, которыми должен обладать про- цесс добавления, обсуждаются в параграфах, касающихся векторных се- мейств. (2) Уже показав к настоящему времени, что случаи, явно исключен- ные нашим определением пропорции, могут быть включены, мы должны показать, что не причиняется никакого вреда из-за включения случаев, которые при естественном положении дел были бы исключены. Для того чтобы рассматриваемая пропорция могла согласовываться с тем, что мы от нее ожидаем, необходимо,. чтобы указанные два отношения R и S, чью пропорцию мы рассматриваем, имели ту же самую обратную область. Ина- че мы получаем такие случаи, как следующие: Пусть Р, Q есть две серии, и предположим23, что B'P-B'Q^ 5p = 6g, 11F = 9g, 13p = 25g, но указанные P и Q не имеют никаких других общих термов. Тогда мы будем иметь, если R = Р\ .S = Qi, (B‘P)R45p.(B‘P)S55p, откуда следует, что R находится к 5 в пропорции 5/4, т.е. мы име- 23 По поводу обозначения ср. *121. — Прим, перев. Principia Mathematica III
*303. ПРОПОРЦИИ 257 ем R (5/4) S. Однако мы будем также иметь R (8/10) 5 и R (24/12) S, т.е. R (4/5) 5 и R (2/1)5. Таким образом, наше определение не делает различные пропорции несовместными. Но в практических применениях, когда R и S заключены в одно векторное семейство, различные пропорции действитель- но становятся несовместными, как будет доказано в дальнейшем, в начале главы 3. И пока мы не касаемся применений, которые составляют измере- ние, важным для нашего определения пропорции является то, что должно давать обычные арифметические свойства, в особенности фундаментальное свойство ц/у = р/о. = . ц хс о = v хс р, которое доказывается, с нашим определением, в *303-39. Таким образом, любое дальнейшее ограничение определения составило бы ненужное услож- нение. В силу нашего определения ц/у, ц/у = Л, если ц и у оба не являют- ся индуктивными кардиналами или если ц = у = 0 (*303-11-14). Мы имеем (*303-13) F . ц/v = Cnv‘(v / ц), т.е. обращение пропорции является взаимным. Если ц = 0 и 7?(ц/у)5, то R должно обладать общей частью с тождеством (которое мы можем выразить посредством формулировки того, что R пред- ставляет собой нулевой вектор), а 5 может быть любым числовым отно- шением или отношением тождества, чья область имеет элемент, который находится в отношении R к самому себе (*303-15). Таким образом, если у, о являются индуктивными кардиналами, отличными от 0, то 0/у = 0/о. Общее значение пропорций, числитель которой представляет собой 0, яв- ляется нулевой пропорцией, которую мы называем 0q (где указывает на “quantity”24). Рассматриваемое определение 0q есть *303-02. 0^ = s‘0/‘‘NC induct Df Подобным образом, если ц и р представляют собой индуктивные кар- диналы, отличные от нуля, то мы имеем ц/0 = р/0. Общее значение таких пропорций мы называем ooq, полагая *303-03. ooq = $70“NC induct Df Свойства пропорций требуют различных экзистенциональных теорем, а при установлении экзистенциональных теорем, без предположения аксиомы бесконечности, вопрос о типах требует существенных предосторожностей. Мы имеем *303-211. I-: (р, о) Prm (ц, у) . о. ц/у = р/о так что существование ц/у не зависит от ц и у, однако зависит от р и о, где p/о есть ц/у в своих наинизших термах. Мы можем, вследствие этого, при рассмотрении экзистенциональных теорем ограничить самих себя, в первую очередь, простыми пропорциями. Чтобы доказать существование (p/о) [t'R, когда рРгто, мы берем два отношения R и S, оба содержащиеся в тождестве. Они находятся в пропор- ции p/о при условии, что их поля имеют общий элемент и Е ! R° . Е ! 5Р. На основании *301-16 это требует р, oeC‘(U [t3iR). Таким образом, мы имеем *303-25. F р Prm 0.0:3! (р/о) [ t‘R . = . р, о с C\U [t3 ‘R). = . р (Л), о (1?) е С‘U 24 quantity (англ.) — количество. — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
258 ГЛАВА 1. ОБОБЩЕНИЯ ЧИСЕЛ Однако эта экзистенциональная теорема, которая получается, полагая R и S содержащимися в тождестве, не так часто используется на практи- ке: то, что требуется, представляет собой существование пропорции между числовыми отношениями. С этой целью, допуская р о и о О, пусть X есть класс такого типа, что Nc‘fX^p+cl. (Такой класс может быть всегда найден в пределах некоторого типа на основании *300-18.) Тогда мы имеем рхб(Г£7 и можем построить серию Q такую, что C'Q принадлежит тому же самому типу, что и X и Nc‘C‘2 = p+cl. (Это доказывается в *262-211.) Затем мы можем выбрать из Q серию Р, обладающую тем же самым на