Предисловие редакторов русского перевода
Предварительные формальные соглашения
ЧАСТЬ III. АРИФМЕТИКА КАРДИНАЛОВ
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
101. О 0, 1 и 2
102. О кардинальных числах заданных типов
103. Однородные кардиналы
104. Восходящие кардиналы
105. Нисходящие кардиналы
106. Кардиналы относительных типов
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ
111. Двойное подобие
112. Арифметическая сумма класса классов
113. Об арифметическом произведении двух классов или двух кардиналов
114. Арифметическое произведение класса классов
115. Мультипликативные классы и арифметические классы
116. Экспоненциация
117. Больше и меньше
Общее замечание о кардинальных корреляторах
ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ
119. Вычитание
120. Индуктивные кардиналы
121. Интервалы
122. Прогрессии
123. X_0
124. Рефлексивные классы и кардиналы
125. Аксиома бесконечности
126. О типово не-определенных индуктивных кардиналах
ЧАСТЬ IV. АРИФМЕТИКА ОТНОШЕНИЙ
ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА
151. Подобие ординалов
152. Определение и элементарные свойства реляционных чисел
153. Реляционные числа 0_r, 2_r и 1_s
154. Реляционные числа предписанных типов
155. Однородные реляционные числа
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ
161. Добавление терма к отношению
162. Сумма отношений одного поля
163. Отношения взаимно исключающих отношений
164. Двойное сходство
165. Отношения отношений пар
166. Произведение двух отношений
ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ
172. Произведение отношений одного поля
174. Закон ассоциативности реляционного умножения
176. Экспоненциация
177. Предложения, связывающие P_df с произведениями и степенями
ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ
181. О прибавлении единицы к реляционному числу
182. Об отделенных отношениях
183. Сумма реляционных чисел одного поля
184. Произведение двух реляционных чисел
185. Произведение реляционных чисел одного поля
186. Степени реляционных чисел
ЧАСТЬ V. СЕРИИ
201. Транзитивные отношения
202. Связные отношения
204. Элементарные свойства серий
205. Точки максимума и минимума
206. Секвентные точки
207. Границы
208. Корреляция серий
ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ И ПРОИЗВОДНЫХ
211. О сечениях и сегментах
212. Серии сегментов
213. Отношения сечений
214. Дедекиндовы отношения
215. Промежутки
216. Производные
217. О сегментах сумм и обращений
ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ
231. Предельные сечения и предельная осцилляция функции
232. Об осцилляции функции, когда аргумент стремится к данному пределу
233. О пределах функций
234. Непрерывность функций
УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Text
                    но
Вда
ШЩШ
ШВшиИ
ЗЯШйЯШМвИ
itllllMBIIliltBi
' 1




ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
PRINCIPIA MATHEMATICA BY ALFRED NORTH WHITEHEAD, SC.D, F.R.S. FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE, PROFESSOR OF PHILOSOPHY IN HARVARD UNIVERSITY, AND SOMETIME PROFESSOR OF APPLIED MATHEMATICS IN THE IMPERIAL COLLEGE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY AND BERTRAND RUSSELL, M.A., F.R.S. LATE LECTURER AND LATE FELLOW OF TRINITY COLLEGE, CAMBRIDGE VOLUME II SECOND EDITION CAMBRIDGE AT THE UNIVERSITY PRESS 1927
АЛЬФРЕД Н. УАЙТХЕД БЕРТРАН РАССЕЛ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В трех томах Том II Перевод со второго английского издания Ю.Н. Радаева, А.В. Ершова Под редакцией доктора физико-математических наук, профессора Г.П. Ярового; доктора физико-математических наук, профессора Ю.Н. Радаева ИЗДАТЕЛЬСТВО “САМАРСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ” 2006
1 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Самарского государственного университета САМАРСКИЙ __I ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УДК 517.11 ББК 22.12 К 13 Уайтхед А., Рассел Б. К 13 Основания математики: в 3 т. Т. II / А. Уайтхед, Б. Рассел; пер. с англ.; под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во ’’Самарский универ- ситет”, 2006. 738 с. ISBN 5-86465-359-4 (общ.) ISBN 5-86465-361-6 (т.П) Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела 11 Principia Mathematical1 занимает уникальное место в мировой математической литературе. Ее первое английское издание вышло в свет в 1910-1913 гг. в трех томах, составлявших вместе почти 2000 страниц. 11 Principia Mathematica” по праву считается одним из самых ярких сочинений по осно- ваниям математики и в широком смысле — выдающимся вкладом в интеллектуальную сферу прошедшего столетия. Не будет преувеличением сказать, что по прошествии почти целого столетия с момента первого издания этой монографии интерес к ней не ослабевает, и 11 Principia Mathematica11 до сих пор продолжает оказывать весьма су- щественное влияние на развитие математики и логики. Второй том этой монографии выходит в свет в рамках перспективного проекта, реализуемого Самарским государ- ственным университетом, по полному переводу на русский язык и комментированию указанного сочинения с целью приобщения всего научного сообщества к этому выда- ющемуся образцу творческой мысли. Перевод первого тома был выполнен в 2004 г. Предполагается, что современный перевод на русский язык 11 Principia Mathematical1 восполнит также существующий пробел в литературе по математической логике и ос- нованиям математики. Работа А. Уайтхеда и Б. Рассела представляет собой независимое и энциклопедическое для своего времени исследование всех важнейших аспектов ос- нований математики. Высокие научные и методические достоинства книги позволяют рассматривать ее не только как монографию, но и как ценное учебное пособие, кото- рое можно рекомендовать для начального изучения математической логики и теории множеств. УДК 517.11 ББК 22.12 ISBN 5-86465-359-4 (общ.) ISBN 5-86465-361-6 (т.П) © Cambridge University Press, 1927 © Радаев Ю.Н., Ершов А.В., перевод на русский язык, 2005 © Самарский государственный университет, 2006 © Изд-во ’’Самарский университет”, оформление, 2006
Содержание Предисловие редакторов русского перевода........................... 9 Предварительные формальные соглашения............................. 25 ЧАСТЬ III. АРИФМЕТИКА КАРДИНАЛОВ 53 Введение к части III.............................................. 55 ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 57 * 100. Определение и элементарные свойства кардинальных чисел ... 67 * 101. О 0, 1 и 2................................................ 72 * 102. О кардинальных числах заданных типов...................... 77 * 103. Однородные кардиналы...................................... 88 * 104. Восходящие кардиналы...................................... 94 * 105. Нисходящие кардиналы......................................102 * 106. Кардиналы относительных типов.............................109 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ 115 * 110. Арифметическая сумма двух классов и двух кардиналов.125 * 111. Двойное подобие...........................................136 * 112. Арифметическая сумма класса классов.......................144 * 113. Об арифметическом произведении двух классов или двух кардиналов...............................................151 * 114. Арифметическое произведение класса классов................167 * 115. Мультипликативные классы и арифметические классы..........177 * 116. Экспоненциация............................................184 * 117. Больше и меньше...........................................208 Общее замечание о кардинальных корреляторах.................220 ГЛАВА 3. КОНЕЧНОЕ И БЕСКОНЕЧНОЕ 223 * 118. Арифметическая подстановка и униформные формальные числа 230 * 119. Вычитание.................................................237 * 120. Индуктивные кардиналы.....................................243 ♦ 121. Интервалы.................................................266 * 122. Прогрессии................................................283 * 123. Ко........................................................296 * 124. Рефлексивные классы и кардиналы...........................304 * 125. Аксиома бесконечности.....................................314 * 126. О типово не-определенных индуктивных кардиналах...........317 А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
6 СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЬ IV. АРИФМЕТИКА ОТНОШЕНИЙ 323 Введение к части IV ......................................325 ГЛАВА 1. ПОДОБИЕ ОРДИНАЛОВ И РЕЛЯЦИОННЫЕ ЧИСЛА 327 * 150. Внутреннее преобразование отношения ...............331 * 151. Подобие ординалов..................................342 * 152. Определение и элементарные свойства реляционных чисел .... 351 * 153. Реляционные числа 0г, 2Г и 15 .....................355 * 154. Реляционные числа предписанных типов...............359 * 155. Однородные реляционные числа ......................364 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ ОТНОШЕНИЙ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ОТНОШЕНИЙ 367 * 160. Сумма двух отношений...............................371 * 161. Добавление терма к отношению.......................376 * 162. Сумма отношений одного поля........................380 * 163. Отношения взаимно исключающих отношений............386 * 164. Двойное сходство...................................392 * 165. Отношения отношений пар............................400 * 166. Произведение двух отношений........................408 ГЛАВА 3. ПРИНЦИП ПЕРВЫХ РАЗНОСТЕЙ, УМНОЖЕНИЕ И ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ОТНОШЕНИЙ 415 * 170. Об отношении первых разностей среди подклассов данного класса............................................423 * 171. Принцип первых разностей (продолжение).............433 * 172. Произведение отношений одного поля.................437 * 173. Произведение отношений одного поля (продолжение) ..450 * 174. Закон ассоциативности реляционного умножения.......453 * 176. Экспоненциация.....................................462 * 177. Предложения, связывающие Pdf с произведениями и степенями . 473 ГЛАВА 4. АРИФМЕТИКА РЕЛЯЦИОННЫХ ЧИСЕЛ 475 * 180. Сумма двух реляционных чисел ......................479 * 181. О прибавлении единицы к реляционному числу.........483 * 182. Об отделенных отношениях...........................488 * 183. Сумма реляционных чисел одного поля................495 * 184. Произведение двух реляционных чисел................499 * 185. Произведение реляционных чисел одного поля ........502 * 186. Степени реляционных чисел..........................503 Principia Mathematica II
СОДЕРЖАНИЕ 7 ЧАСТЬ V. СЕРИИ 507 ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ СЕРИЙ 513 * 200. Отношения, содержащиеся в различии ................515 * 201. Транзитивные отношения.............................521 * 202. Связные отношения..................................528 * 204. Элементарные свойства серий........................540 * 205. Точки максимума и минимума.........................551 * 206. Секвентные точки...................................566 * 207. Границы............................................580 * 208. Корреляция серий...................................589 ГЛАВА 2. О СЕЧЕНИЯХ, СЕГМЕНТАХ, ПРОМЕЖУТКАХ И ПРОИЗВОДНЫХ 595 * 210. О серии классов, образованных отношением включения.599 * 211. О сечениях и сегментах.............................607 * 212. Серии сегментов....................................629 * 213. Отношения сечений .................................643 * 214. Дедекиндовы отношения..............................656 * 215. Промежутки.........................................662 * 216. Производные........................................669 * 217. О сегментах сумм и обращений.......................677 ГЛАВА 3. О СХОДИМОСТИ И ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ 681 * 230. О сходимости.......................................687 * 231. Предельные сечения и предельная осцилляция функции.693 * 232. Об осцилляции функции, когда аргумент стремится к данному пределу..................................................701 * 233. О пределах функций ................................708 * 234. Непрерывность функций..............................715 УКАЗАТЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ 731 А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА То see a World in a Grain of Sand And a Heaven in a Wild Flower, Hold Infinity in the palm of your hand And Eternity in a hour. (W. Blake. Auguries of Innocence)1 Настоящая книга представляет собой перевод на русский язык второго тома известной трехтомной монографии А. Уайтхеда и Б. Рассела ”Principia Mathematical. Перевод первого тома был выполнен в 2004 г., а его изда- ние было осуществлено издательством ’’Самарский университет” в 2005 г.2 Второй том, как и первый, выходит в свет в рамках перспективного проек- та, реализуемого Самарским государственным университетом, по полному переводу на русский язык и комментированию указанного сочинения с це- лью приобщения всего научного сообщества к этому выдающемуся образцу творческой мысли и восполнения существующего пробела в русскоязычной литературе по математической логике и основаниям математики. Издание русского перевода заключительного третьего тома предполагается осуще- ствить в 2006 г.3 Перевод второго тома выполнен со второго английского издания, вы- шедшего в 1927 г.4 гТот же принцип эстетики У. Блейка в переводе С.Я. Маршака: В одном мгновенье видеть вечность, Огромный мир — в зерне песка, В единой горсти — бесконечность И небо в чашечке цветка. 2См.: Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: в 3 т. Т. I. Пер. с англ.; под ред. Г.П. Ярового, Ю.Н. Радаева. Самара: Изд-во ’’Самарский университет”, 2005. 722 с. 3 А. Уайтхед и Б. Рассел планировали написание четвертого тома, посвященного гео- метрии. Эта работа так и не была завершена. 4Первое издание второго тома "Principia Mathematical’ вышло в свет в 1912 г.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА О значении монументального сочинения А. Уайтхеда и Б. Рассела и о его роли в развитии идей и методов математической логики уже говори- лось в нашем предисловии к русскому изданию первого тома5. Здесь мы лишь заметим, что „Principia Mathematica” задумывалась авторами как реа- лизация логистического тезиса о том, что все специальные математические термины определимы в рамках логического словаря, а для доказательства любых математических теорем не требуется никаких аксиом, кроме логи- ческих, и никаких правил умозаключений, кроме тех, что приняты в фор- мальной логике. Выполняя перевод оригинального материала такого значительного объ- ема, написанного более ста лет назад, мы столкнулись с проблемой полной и ясной передачи тех мыслей, которые авторы „Principia Mathematica” стре- мились донести до читателя. Преследуя эту цель, при работе над вторым томом мы сделали все от нас зависящее для того, чтобы перевод как можно точнее соответствовал оригиналу: не подверглась никакому изменению сим- волика и математическая терминология оригинала; не нарушена нумерация предложений формально-логической системы А. Уайтхеда и Б. Рассела; пол- ностью сохранены все вспомогательные разделы второго тома; в значитель- ной степени оставлен без изменения присущий авторам стиль изложения, передача которого часто требовала нарушений современных норм орфогра- фии и синтаксиса русского языка. Трехтомная монография А. Уайтхеда и Б. Рассела представляет собой независимое и энциклопедическое для своего времени исследование всех важнейших аспектов оснований математики в рамках созданной ими фор- мально-логической системы. Высокие научные и методические достоинства книги А. Уайтхеда и Б. Рассела позволяют рассматривать ее не только как монографию, но и как ценное учебное пособие, которое можно рекомендо- вать для начального изучения математической логики и теории множеств. В этой связи обратим внимание на многочисленные повторения при изло- жении. Мы не совсем уверены в том, что А. Уайтхеду и Б. Расселу уда- лось соблюсти здесь надлежащие пропорции. Многие читатели, возможно, предпочли бы повторения постоянным внутренним ссылкам. Так или ина- че обязанность следовать духу и букве оригинала проявилась и в форме отмеченных повторений. I Альфред Норт Уайтхед родился 15 февраля 1861 г. в семье англиканско- го священника и главного преподавателя школы в Рамсгейте близ Кентер- бери. Он получил блестящее домашнее образование, в совершенстве знал латынь и греческий, но особые способности проявлял к математике. По- ступив в 1880 г. в Тринити-колледж Кембриджа, А. Уайтхед через четыре года вошел в состав элитного общества ’’Апостолы”. Он становится членом 5См. также нашу статью: Яровой Г.П., Радаев Ю.Н. О новом прочтении ’’Основа- ний математики” А. Уайтхеда и Б. Рассела // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2004. №4(34). С. 5-19. Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 11 математического сообщества колледжа. Диссертация Уайтхеда была посвя- щена математическим аспектам электромагнитной теории Джеймса Клерка Максвелла, в прошлом — преподавателя того же Тринити-колледжа. Физи- ческая суть этой теории, не укладывающаяся в механистическую картину мира Ньютона, воспитанника того же колледжа, подвигла молодого учено- го к размышлениям над принципиальными сторонами бытия, а скрупулез- ное изучение математических символизмов, использованных в ’’Трактате об электричестве и магнетизме” Максвелла, привлекло его к основаниям математической логики и математики в целом6. Академическая карьера Уайтхеда была успешной. В 1910 г. он становит- ся деканом в Лондонском университете, затем — профессором в Имперском колледже науки и техники в Кенсингтоне, в 1924 г. возглавляет кафедру философии в Гарварде. Уайтхед много преподает, выполняет ряд пионерских работ в области алгебры. В 1898 г. в свет выходит его академический труд —”A Treatise on Universal Algebra”7 (’’Курс общей алгебры”). Затем Уайтхед, под влия- нием итальянского математика Джузеппе Пеано, работает над применени- ем математической логики для обоснования арифметики. Вместе со своим бывшим студентом Бертраном Расселом ученый приступает к работе над ” Principia Mathematica”, пытаясь найти в логике и ’’сверхчеловеческой силе формальных исчислений” первооснову математики. Напряженная духовная жизнь Альфреда Норта Уайтхеда не сводится только к алгебре и логико-математическим формализмам. Он совершает резкий поворот в своем отношении к религии. Сначала от англиканства к англокатолицизму в версии кардинала Ньюмена. Затем, и надолго, до начала Первой мировой войны, — к агностицизму. Научное выражение поиски первооснов сущего находят в книге ”Оп Mathematical Concepts of the Material World”8 (’’Математические концеп- ции материального мира”, 1906 г.). Для своего времени эта работа бы- ла поистине революционной. Уайтхед рассматривает ньютонову концепцию мироздания как состоящую из трех взаимоисключающих классов сущно- стей-точек пространства, частиц материи и моментов времени. Противо- положностью ей Уайтхед считал концепцию относительности пространства, принадлежащую Лейбницу. Именно последней Уайтхед и пытался придать математическую форму. Механика Ньютона предполагала независимую от нее геометрию. Но для этого пространство должно было стать независи- мой самостоятельной сущностью, что представляется довольно странным. Сегодня такие рассуждения тривиальны, но в 1905 г. монизм космологии был революционен. ”Из этой гипотезы, — писал Уайтхед, — с крайней про- стотой могли бы вытекать все законы электромагнетизма и тяготения. Эта 6История науки в который раз подтверждает тезис о влиянии таких выдающихся работ, как ’’Трактат об электричестве и магнетизме” Максвелла, на области науки, столь от них отдаленные. 7Whitehead A.N. A Treatise on Universal Algebra. Cambridge: Cambridge University Press, 1898. 8Whitehead A.N. On Mathematical Concepts of the Material World. London: Dulau, 1906. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
12 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА концепция допускает лишь один класс сущностей, образующих Вселенную. И свойства ’’пространства”, и физические процессы ”в пространстве” стано- вятся свойствами этого единого ряда сущностей. Законы физики не предпо- лагали бы геометрии, но создали бы ее”. Почти что прообраз общей теории относительности. Но именно прообраз. Сам Уайтхед никогда не претендо- вал на лавры Эйнштейна. И полагал, что лучи звезд не распространяют- ся по прямым-геодезическим в искривленном пространстве Эйнштейна, но движутся по кривым в пространстве Евклида. В наше время эти теории уже опровергнуты. Но это нисколько не умаляет заслуг Уайтхеда. Исключительно интересен главный труд Уайтхеда —’’Process and Rea- lity” (’’Процесс и реальность”, 1929 г.) —опыт построения метафизики, в ос- нове которой лежит чисто математическое понятие события. Определив events как пространственно-временные происшествия, occasions, Уайтхедом была нарисована связная картина Мироздания, в котором процессы, состо- ящие из событий, определенных одними и определяющими другие события, сливаются в Природу, состоящую из процессов. Процессов, в общем-то, таких же, о которых нам докладывает Диспетчер задач, понятных ком- пьютерно-ориентированному разуму9. Подход Уайтхеда дает возможность оперировать метафизикой как инструментом. Уникальным инструментом, позволяющим объединить различные пути познания реальности — матема- тический, естественнонаучный, философский, богословский, поэтический10. Для социологических взглядов Уайтхеда всегда было характерно при- знание идей как главных движущих сил общества и абсолютизация роли личности в технократическом духе. Последнюю лекцию Уайтхед прочитал в 1941 г. за шесть лет до смерти. Тема лекции была —’’Бессмертие”. Современная математика немыслима без трехтомного десятилетнего труда Уайтхеда и Рассела ”Principle, Mathematics. Его можно критиковать и за изощренную символику, и за излишнюю подробность формальных до- казательств. Но без этой работы вряд ли произошел бы прорыв в обла- сти символьных вычислений и обработки информации и были бы созданы компьютеры — признак уже другой цивилизации, в которую вступило че- ловечество в XX веке. ”Principia Mathematical — первая серьезная попытка проникнуть в величайшую тайну: каким образом человеческое мышление может само себя постичь и как далеко продвинуться, опираясь на ’’сверх- человеческую силу формальных исчислений”11. 9Различные точки зрения на проблему искусственного разума с большим литера- турным мастерством обсуждаются в |5]. В этой книге читатель, помимо всего прочего, найдет известную статью А.М. Тьюринга ’’Вычислительные машины и разум”. 10 И за это Уайтхеда, так до конца жизни и не вернувшегося в лоно ни одной из конфессиональных церквей, постоянно упоминают современные богословы. 11 Современный взгляд на эту проблематику имеется в [4]. Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 13 II Одно из центральных понятий второго тома "Principia Mathematical есть понятие бесконечного12. Натуральный ряд доставляет нам первичное бесконечное множество. Натуральные числа употребляются для двух основ- ных целей: для счета и для упорядочивания. Пересчитывая множество, мы каждому его элементу ставим в соответствие символ (цифру). Упорядочи- вая множество, мы занумеровываем его элементы, например, в порядке возрастания присвоенных номеров. В рамках современного математическо- го знания применяются обе указанные точки зрения. Их последователь- ное развитие приводит к понятию соответственно кардинальных и орди- нальных чисел. Хотя натуральные числа изучались математиками древнего мира, а аксиоматический подход развивается уже два тысячелетия, фор- мально-аксиоматический метод в теории натуральных чисел был применен только в конце XIX столетия Р. Дедекиндом и Дж. Пеано. Представление о конечном и бесконечном становится существенным уже в логике предикатов. При интерпретации формализма логики предикатов приходится оперировать с индивидными областями. Ясно, что выполни- мость той или иной логической формулы инвариантна относительно вза- имно-однозначных отображений одной индивидной области на другую, по- скольку индивиды фигурируют в формулах лишь в качестве переменных субъектов. Следовательно, единственной существенной характеристикой ин- дивидной области является число составляющих ее индивидов. В логике предикатов без труда могут быть сконструированы простые формулы (или системы формул), выполнимые лишь на бесконечном множестве индиви- дов, и возникает вопрос о существовании бесконечных индивидных обла- стей. Достаточно, например, взять систему из следующих трех формул: (х)~Я(х,х), (Р (х, y).R(y,z)^R (х, z)), (А) Сх)(ЯУ)Я (х,у). Эта система невыполнима ни в одной конечной индивидной области независимо от выбора предиката R(x,y). Действительно, возьмем какой- либо индивид а. На основании третьей формулы заключаем, что должен существовать индивид b такой, что R(a,b). Согласно первой формуле b от- личен от а. Далее для b должен найтись индивид с такой, что R(b,c). Со- гласно второй формуле имеем /?(а,с), и в соответствии с первой формулой с отличен от а и Ь, Для с снова должен найтись индивид для которо- го R(c,d), и кроме того R(a,d) и R(b,d), поэтому d отличен от а, b и с. Этот процесс никогда не оборвется, и поэтому приведенная система фор- мул в конечной индивидной области выполнена быть не может. 12 Точнее, понятие конечного и бесконечного множества. Большинство математиков предпочитают рассматривать понятия конечности и бесконечности как интуитивно яс- ные и приемлемые в качестве фундаментальных неопределяемых понятий. Так, те множества, для которых (по крайней мере в принципе) возможно явное перечисление элементов при наличии достаточного ресурса времени и места, разумно называть ко- нечными. Невозможность в принципе явного перечисления всех элементов множества указывает на его бесконечность. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
14 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА В качестве еще одного примера можно рассмотреть систему формул (3*)(?) ~ 5 (у, х), (x)(y)(w)(v) (S (х, u).S (у, и). S (v, х) э S (у, у)), (В) (х)(ау)5 (х,у), которая также невыполнима ни в одной конечной индивидной области, ни при каком выборе предиката S(x,y). Наконец отметим систему логических формул, также обладающую рас- сматриваемым свойством: (х) ~ А (х, х), W(Hy)U) (А (*> У) • (А (z, х) э A (z, у))). Эта система формул не может быть выполнена ни в какой конечной ин- дивидной области подстановкой вместо А какого-либо предиката. Каждая из систем логических формул (А) и (В) выполнима, если в ка- честве индивидной области взять бесконечный натуральный ряд, в каче- стве предиката /?(х,у) — отношение “х меньше у”, а в качестве предиката S(х,у) — отношение “у непосредственно следует за х”. Приведенные модели для систем логических формул (А) и (В) относительны в том плане, что гарантируют их непротиворечивость относительно формальной арифмети- ки, т.е. лишь при условии, что бесконечный натуральный ряд существует как готовая совокупность. Аксиома бесконечности в любой формальной системе, типичным при- мером которой является ^Principia Mathematics^ обеспечивает существова- ние бесконечного множества индивидов. Любая синтаксически правильно построенная формула формального исчисления может считаться аксиомой бесконечности, если она выполнима по меньшей мере в одной бесконечной индивидной области, но не выполнима ни в какой конечной индивидной области. Ясно, что предпочтительнее та аксиома бесконечности, которая, исключая конечные индивидные области, не накладывала бы значительных дополнительных ограничений на интерпретацию формального исчисления. Ряд из возможных аксиом бесконечности перечисляется, например, в [6, с. 328-331]. При этом оказывается, что не существует самой слабой аксио- мы бесконечности. Здесь мы обратим внимание на следующую неформаль- но заданную аксиому бесконечности, восходящую к Веберу: существует от- ношение, которое задает на множестве индивидов порядок без последнего элемента. Согласно Дедекинду13, система каких-либо объектов (мы говорим ин- дивидная область) называется бесконечной, если она допускает взаимно- однозначное отображение на какую-либо собственную (т.е. содержащую не все элементы этой системы) подсистему. 13Дедекинд является одним из самых выдающихся основоположников логического и философского анализа оснований математики. Две его статьи “Stetigkeit und Irrationale Zahlen” (1872 г.) и “Was Sind und was Sollen die Zahlen?” (1887 г.) оказали значительное влияние на исследования в области принципов математики. Имеется русский перевод второй из указанных статей: Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат // Изв. физ.-мат. общества Казанского университета. 1906. Т. 15. С. 25-104. Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 15 Аксиома бесконечности Дедекинда: существует множество, взаимно- однозначно отобразимое в свою собственную часть14. Существование бесконечной (в смысле Дедекинда) индивидной области, в свою очередь, если следовать подходу Д. Гильберта15, эквивалентно тре- бованию выполнимости некоторой системы формул, выразимых средствами исчисления предикатов с равенством. Действительно, указанному отобра- жению соответствует бинарный предикат “у является образом х”, который мы обозначим Р(х,у). Для того чтобы предикат Р(х,у) соответствовал вза- имно-однозначному отображению индивидной области на собственную под- область, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял системе следу- ющих четырех формул16: (хХЯУ)Р (*,?), (Rx)(y)~P(x,y), (Р у). P(x9z) у = z), (x)(y)(z) (Р (х, z). Р (у, z) э х = у). Первая из них утверждает, что для всякого элемента индивидной об- ласти имеется образ, вторая —что, по крайней мере, один элемент не яв- ляется образом, третья утверждает, что прямое отображение однозначно, а четвертая — что однозначно обратное отображение. Под предикатом Р(х,у) можно понимать отношение непосредственного следования “у непосредственно следует за х”, выразимое с помощью знака равенства и дополнительного функционального символа S: Sx = y. Тогда имеем следующую систему четырех формул: М(ЭУ) (Sx = y), (Rx)(y)~(Sy = х), (x)(y)(z) (Sx = y .Sx = z^y = z), W(y)(z) (Sx = z. Sy = z э x = y). Заметим, что не существует непротиворечивой системы аксиом, содер- жащей только унарные предикаты, и такой, чтобы из нее вытекала беско- 14 В системе "Principia Mathematical' такого рода множества называются рефлексив- ными. 15Д. Гильберт впервые в отчетливой форме уточнил, что понятие существования тождественно логической непротиворечивости, приписав тем самым ясное и точное содержание термину существование. В рамках математики понятию “существование” долгое время не давалось вообще никаких определений, а его содержание считалось интуитивно понятным, хотя формулировки математических теорем и их доказатель- ства изобилуют указанным термином. Трактовка Д. Гильберта существования того или иного объекта содержательно означает, что этот объект существует как идея, не про- тиворечащая принятой системе аксиом. Ясно, что при таком подходе нельзя вести речь ни о его идентификации, ни о его конструировании. Не вдаваясь далее в дис- куссию по этому вопросу, еще раз сформулируем гильбертовский тезис: существова- ние=логическая непротиворечивость. 16Этот подход, в частности, применяется в известной монографии Д. Гильберта и П. Бернайса "Основания математики" (см.: [1, с. 261-350]). Ясно, что в том виде, в котором он использовался, указанный подход позволяет дать доказательство толь- ко непротиворечивости существования рефлексивной индивидной области, а не само ее существование. Следовательно, аксиома бесконечности Infin а-х формальной системы "Principia Mathematica" сильнее, чем просто констатация непротиворечивости существо- вания рефлексивного множества. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
16 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА нечность характеризуемой ею индивидной области17. Иными словами, по- средством аксиоматики, использующей лишь одноместные предикаты-свой- ства, невозможно отличить конечное множество от бесконечного. Послед- нее означает, что бесконечное множество нельзя отличить от конечного, если делать высказывания только о свойствах его элементов, а не об от- ношениях между ними. Поэтому бесконечный натуральный ряд определим лишь в терминах как минимум бинарных предикатов. Обоснование существования бесконечного множества через выполни- мость приведенной выше системы логических формул подразумевает опе- рирование со знаком равенства, поэтому при таком подходе первичными (по отношению к бесконечности) оказываются понятия тождества и разли- чия. Первая и третья формулы указанной системы оказываются выводимы- ми из аксиом равенства. Бинарный предикат равенства (или предикат тож- дества), как известно, удовлетворяет следующим двум аксиомам: (х) (х = х), (х)(у) (х = у э (Р (х) э Р (у))). Первая из них формализует закон тождества, а вторая — принцип заме- ны равного равным. Во второй аксиоме Р —переменный предикатный сим- вол. Тождество (и соответствующий знак =) играет в языке математики особую роль, а предикат тождества имеет особый статус в логике. Мы остановимся подробнее на формально-логическом понятии тождества, заме- тив, что полное доказательство непротиворечивости существования рефлек- сивной индивидной области, основанное на доказательстве невозможности дать вывод формулы 0^0 средствами исчисления предикатов, дополнен- ного аксиомами х = х, х = уэ(Р (х)эР(у)), ~(х<х), X<y.y<ZOX<Z, х < Sx, 5x^0, Sx-Sy эх = у, имеется в [1, с. 261-305]. Ряд свойств тождества был указан еще Аристотелем18. Лейбниц (prin- cipium identitatis indiscerniblium) дал содержательное определение тожде- ства, опираясь на его фундаментальное свойство: два индивида тождествен- ны, если они обладают одинаковыми свойствами19. 17См., например: Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. С. 168-172. 18 Интересная деталь: свойства тождества были использованы Декартом для обос- нования знаменитого тезиса “я мыслю, следовательно, я существую”. На основании свойств тождества предложение “я мыслю” логически эквивалентно предложению “существует х такой, что х тождественен мне и х мыслит”. Откуда выводится предло- жение “существует х такой, что х тождественен мне”, т.е. “я существую”. Таким обра- зом, тезис Декарта “я мыслю, следовательно, я существую” не может быть подвергнут сомнению, если руководствоваться формально-логическими свойствами тождества. 19 Ясно, что переменный предикатный символ Р не может указывать на абсолютно Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 17 Равенство20, которое в обычном языке выражается речевым оборотом вида 11 х представляет собой тот же самый объект, что и у”, лишь внешне напоминает предикат с двумя субъектами. Употребление речевых оборо- тов “тот же самый”, “тождественный с” не может быть заменено более простыми и составляет основу нашей способности проводить рассуждения с целью получения нового знания. Рассматриваемый оборот речи на самом деле не вполне точно выражает сущность тождества. Буквальное его пони- мание приводит к заключению о тривиальности тождества: если говорится, что два объекта тождественны, то перед нами не два объекта, а один; ес- ли же объект всего один, то утверждение о тождественности его самому себе есть тривиальный факт. Нетривиальный смысл тождества проявляет- ся лишь тогда, когда мы отождествляем два различных описания объекта, приобретая при этом новое нетривиальное знание о нем. По содержанию равенство первично и должно предшествовать опреде- лению какого бы то ни было предиката, поскольку без понятия тождества нет возможности различать элементы индивидной области. Именно поэто- му тождество (и его антипод различие) есть основной предикат, возмож- но, располагающийся вне рамок логики. Кроме всего прочего, понятие тождества тесно связано с представле- нием о количестве. С помощью знака равенства без труда выражаются условия количества элементов индивидной области. Так, логическая фор- мула (х)(у) (х = у) выражает высказывание о том, что в индивидной области имеется лишь один элемент. Аналогично формула (x)(y)(z) (x = yV x = zvy = z) устанавливает, что в индивидной области имеется самое большее два эле- мента, а формула (Я*)(ЯУ) (*/?) при содержательном ее понимании говорит нам о том, что их имеется по меньшей мере два. Очевидно, что с введением знака равенства существенно возрастают изобразительные возможности формальных систем. Сам Дедекинд полагал, что сумел доказать существование бесконечных множеств. Он рассматривает множество Т всех ‘объектов мысли’ и дока- зывает его рефлексивность следующим образом. Если t есть произвольный элемент Т, то мысль “t есть объект мысли” также является элементом Т, причем, очевидно, отличным от t. Следовательно, совокупность всех мыс- лей вида “Г есть объект мысли” определяет собственное подмножество То множества Т. Элементом Т, не принадлежащим То, выступает любой объ- ект мысли, не обладающий свойством “есть объект мысли”, например сам все свойства, поскольку в формулировке Лейбница явно различаются два элемента индивидной области. Чтобы не вступать в противоречие с принципом индивидуали- зации (два элемента произвольного множества различимы между собой), предикат Р дрпжеп заключаться в некоторый интервал отождествления. 20 Это не совсем удачный термин с количественным подтекстом. В системе "Principia Mathematica" соответствующий термин identity переводится как тождество. Тожде- ственность двух объектов указывавается знаком равенства. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
18 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА Дедекинд. Взаимно-однозначное соответствие между Т и То устанавлива- ется соотнесением каждому t из Т элемента То, выражающего “г есть объ- ект мысли”. Таким образом, множество Т рефлексивно. Ясно, что доказа- тельство Дедекинда не может считаться приемлемым. Множество такого вида, как Т, сравнимо по конструкции с множеством всех множеств, т.е. с недопустимо широким множеством, снятие запрета на которые, как было указано Расселом, приводит к антиномиям. Понятия конечного и бесконечного, сформулированные, следуя Дедекин- ду, могут быть подвергнуты критике с позиций релятивизма. Если пони- мать конечность как “неэквивалентность21 никакому своему собственному подмножеству”, то конечность некоторого множества зависит от определен- ных отображений или от совокупности его подмножеств, а это уже опре- деляется изобразительными возможностями формальной системы, моделью которой должно выступать рассматриваемое множество: более богатая вы- разительными средствами система может превратить конечное множество в счетно-бесконечное22. Из конечного или бесконечного числа индивидов состоит универсум — это, по-видимому, такой вопрос, на который может быть дан ответ лишь на основании данных физики, хотя сама аксиома бесконечности системы "Principia Mathematical' сформулирована исключительно в логических тер- минах23. Уайтхед и Рассел, очевидно, понимали это, поэтому при прочте- нии "Principia Mathematical' следует отдавать себе отчет в том, что те пред- ложения Т, вывод которых требует аксиомы бесконечности Infin ах, сами по себе в системе "Principia Mathematical' не доказуемы, а доказуема лишь импликация Infin ах э Т. Аналогичная тревожная ситуация сложилась в системе "Principia Mathema- tical’ в связи с аксиомой выбора, или — как называется в этой системе один из ее вариантов — мультипликативной аксиомой Mult ах. Интуитивное понимание того, что такое логическая истинность, не позволило Уайтхеду и Расселу принять ни- какое удовлетворительное, с их точки зрения, заключение ни об истинности, ни о ложности мультипликативной аксиомы. Опасаясь, что впоследствии может об- наружиться ложность Mult ах, они довольствовались тем, что и здесь для пред- 21В смысле невозможности взаимно-однозначного соответствия. 22Незаметный переход конечности в бесконечную счетность является ярким приме- ром релятивизма и “достаточным основанием” для интуиционистского лозунга о том, что формально-аксиоматические подходы никогда не позволяют добраться до подлин- ной сути дела, оставляя все смутным и относительным. Чтобы дать возможность читателю правильно оценить ситуацию, заметим, что фундаментальные теоретико-мно- жественные понятия “счетное” и “несчетное” также оказываются (в рамках аксиома- тической теории множеств) относительными: каждое несчетное множество оказывается счетным в системе более высокого уровня. 23 Решительные возражения против включения в предмет логики каких бы то ни было допущений о существовании (конечного или бесконечного числа) индивидов по- этому вполне понятны и вполне приемлемы. В свое время были разработаны фор- мально-логические системы, базирующиеся на, так называемых, координатных языках, не затрагиваемые неприятной проблематикой, связанной с неясным статусом индивид- ной области. Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 19 ложений Г, вывод которых требует аксиомы умножения Mult ах, сами по себе Т в системе ”Principia Mathematical не доказуемы, а доказуема лишь импликация Mult ах э Т. Противоположная точка зрения на проблематику бесконечного выска- зывалась Д.Гильбертом и П.Бернайсом в ” Основаниях математики”24: “Вопрос о существовании какого-либо бесконечного многообразия не мо- жет быть разрешен посредством указания каких-либо внематематических объектов, а должен решаться внутри самой математики. Бесконечное ко- личество индивидов предъявить невозможно в принципе; поэтому беско- нечность индивидной области как таковой может выявиться лишь в ее структуре, т.е. в тех отношениях, которые имеются между ее элементами. Другими словами, мы должны будем показать, что индивидная область удовлетворяет определенным формальным соотношениям. Следовательно, существование бесконечной индивидной области нельзя представить себе иначе, кроме как через выполнимость определенных логических формул”. Ясно, что доказательство выполнимости через указание модели приводит к порочному кругу: существование бесконечной индивидной области следу- ет из выполнимости как раз таких систем логических формул, моделями для которых являются предикаты, заданные на бесконечных индивидных областях. Выход за пределы порочного круга мыслился как замена тезиса о выполнимости на тезис о непротиворечивости системы логических фор- мул, заведомо невыполнимых ни в одной конечной индивидной области. Доказательство же непротиворечивости предполагалось (так как это бы- ло ими явно намечено программой ” Оснований математики”) реализовать формальным указанием хотя бы одной невыводимой средствами формаль- ной арифметики формулы или обоснованием невозможности получить вы- вод какой-либо формулы и ее отрицания25. III Проблематике конечного и бесконечного целиком посвящена третья гла- ва части III. А. Уайтхед и Б. Рассел явно различают два различных пути, следуя которым можно определить конечное и бесконечное: первый связан с разделением на индуктивное и неиндуктивное, а второй —на рефлексив- ное и нерефлексивное. Эти два пути, вообще говоря, приводят к неэквива- лентным определениям конечного и бесконечного. Если принимать аксио- му умножения Mult ах, то можно доказать эквивалентность этих подходов. С точки зрения авторов ” Principia Mathematica” нет достаточной причины для того, чтобы рассматривать один из указанных путей как дающий более точно, чем другой, то, что обычно подразумевается словами “конечный” и “бесконечный”. Индуктивный класс в системе А. Уайтхеда и Б. Рассела есть класс, ко- торого можно достичь от А последовательными добавлениями одного эле- 24См.: [2, с. 38-44]. 25Этот путь Д. Гильберт и П. Бернайс называли доказательствами невозможности. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
20 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА мента. Одно из точных определений индуктивного класса в символике „Principia Mathematical имеет следующий вид: h :: р е Cis induct. = т] е ц. .T]Ui‘ye|x:Aep:oH.pep. Далее оказывается, что целый ряд свойств кардинальных чисел индук- тивных классов не может быть установлен без предположения о том, что кардинальное число индуктивного класса отлично от нуля. Это положение выдвигается в качестве “аксиомы бесконечности”: Infin ах. = : а е NC induct. эа . 3! а Df. Второе определение конечного и бесконечного признается А. Уайтхедом и Б. Расселом практически не столь важным как определение посредством индукции. Согласно этому определению, класс называется рефлексивным, когда он содержит собственную часть, подобную самому себе, т.е. в сим- волике „Principia Mathematical Cis refl = a {(^R). R e 1 -> 1 . D‘fl = a. СГЯ c a (TR ± a} Df. В системе „Principia Mathematical удается доказать целый ряд поло- жений о том, как соотносятся между собой индуктивные, неиндуктивные, рефлексивные и нерефлексивные классы: “Мы обнаруживаем, что индук- тивные классы и кардиналы нерефлексивны, а рефлексивные классы и кар- диналы неиндуктивны. Мы также обнаруживаем, что рефлексивные кар- диналы есть таковые, равные или большие, чем Ко, в то время как ин- дуктивные кардиналы меньше, чем Ко- Принимая аксиому умножения, мы можем показать, что каждый кардинал равен, больше или меньше, чем Ко, откуда следует, что каждый кардинал либо рефлексивен, либо индуктивен, тем самым отождествляя два определения конечного и бесконечного. Од- нако пока мы воздерживаемся от принятия аксиомы умножения или ad hoc некоторой специальной аксиомы, сохраняется возможность (насколько известно), что могут быть кардиналы, которые не больше, не равны и не меньше, чем Ко- Такие кардиналы, если они существуют, не являются ни индуктивными, ни рефлексивными; они бесконечны, если мы определяем бесконечность с помощью отрицания индукции, но конечны, если мы опре- деляем бесконечность с помощью рефлексивности. Возможно, дальнейшее исследование либо докажет, либо опровергнет существование подобных кар- диналов; в настоящее время их существование должно оставаться откры- тым вопросом, за исключением тех, кто рассматривает аксиому умножения как самоочевидную истину.” При переводе были исправлены замеченные опечатки и неточности ча- ще всего без всяких особых указаний на это. Для удобства мы приводим сразу же за этим предисловием содержание всех трех томов „Principia Mathematica„, а также (в конце этого тома) указатель определений, поме- щенный А. Уайтхедом и Б. Расселом в первый том. Мы благодарим Р.А. Ревинского за помощь при подготовке рукописи второго тома к печати. Мы надеемся, что выход в свет второго тома книги А. Уайтхеда и Б. Рассела на русском языке будет так же, как и издание перевода пер- вого тома, с удовлетворением воспринято всеми, кто интересуется ролью Principia Mathematica II
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА 21 математики в современной науке и основаниями самого математическо- го знания, анализ которых в столь виртуозной форме был дан в систе- ме ” Principia Mathematica”. Редакторы перевода и коллектив переводчиков с признательностью примут пожелания, предложения и критические заме- чания читателей, относящиеся к первым двум томам русского перевода. Г. Яровой, Ю. Радаев Самара, август 2005 г. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

Библиографический список [1] Гильберт Д, Бернайс П. Основания математики. Логические исчисле- ния и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. 560 с. [2] Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказа- тельств. М.: Наука, 1982. 656 с. [3] Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М.: Просвещение, 1967. 560 с. [4] Хофштадтер Д. ГЕДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: эта бесконечная гирлянда. Са- мара: Издательский Дом ’’Бахрах-М”, 2001. 752 с. [5] Хофштадтер Д, Деннетт Д. ГЛАЗ РАЗУМА. Самара: Издательский Дом ”Бахрах-М”, 2003. 432 с. [6] Черч А. Введение в математическую логику. Т. I. М.: Изд-во иностр, лит., 1960. 488 с. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
24 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРОВ РУССКОГО ПЕРЕВОДА Содержание ’’Principia Mathematica” Том I Введение Предварительные сведения о понятиях и обозначениях Теория логических типов Неполные символы Часть I. Математическая логика Глава I. Теория вывода Глава II. Теория кажущихся переменных Глава III. Классы и отношения Глава IV. Логика отношений Глава V. Произведения и суммы классов Часть II. Пролегомены к арифметике кардиналов Глава I. Единичные классы и пары Глава II. Подклассы, подотношения и относительные типы Глава III. Одно-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные отношения Глава IV. Выборки Глава V. Индуктивные отношения Том II Предварительные формальные соглашения Часть III. Арифметика кардиналов Глава I. Определение и логические свойства кардинальных чисел Глава II. Сложение, умножение и возведение в степень Глава III. Конечное и бесконечное Часть IV. Арифметика отношений Глава I. Подобие ординалов и реляционные числа Глава II. Сложение отношений и произведение двух отношений Глава III. Принцип первых разностей, умножение и возведение в степень отношений Глава IV. Арифметика реляционных чисел Часть V. Серии Глава I. Общая теория серий Глава II. О сечениях, сегментах, промежутках и производных Глава III. О сходимости и пределах функций Том III Часть V. Серии Глава IV. Вполне упорядоченные серии Глава V. Конечные и бесконечные серии и ординалы Глава VI. Компактные серии, рациональные серии и непрерывные серии Часть VI. Количества Глава I. Обобщения чисел Глава II. Вектор-семейства Глава III. Измерения Глава IV. Циклические семейства Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ Целью следующих ниже замечаний является сведение воедино в одном осуждении различных объяснений, которые требуются для применения теории типов к арифметике кардинальных чисел. Удобно объединить эти замечания, так как в противном случае их разбросанность по различным параграфам части III сделает затруднительной оценку их общего влияния. Но. несмотря на то, что мы разместили данные замечания в начале книги, их лучше читать одновременно с текстом части III, по крайней мере, с той его частью, которая содержит объяснения определений. Начальная часть дальнейшего изложения представляет собой не более чем резюме предыду- щих разъяснений; и только в следующих частях дается применение к ариф- метике кардинальных чисел. I. Общие замечания о типах Три различных вида типовой неопределенности встречаются в наших предложениях, касаясь (1) функциональной иерархии, (2) пропозициональной иерархии, (3) экстенсиональной иерархии. Релевантность этого должна быть рассмотрена отдельно. Мы часто говорим так, как будто бы тип, представленный строчными латинскими буквами, не составлялся из функций. Это, однако, совместимо со всем тем, о чем мы должны сказать как о составленном из функций.
26 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ В дальнейшем будет отмечено, что для заданного числа индивидов ничто в наших аксиомах не позволяет определить, сколько имеется предикатив- ных функций от индивидов, т.е. их число не является функцией числа ин- дивидов: мы знаем только, что число этих функций 2Nc Indiv, где “Indiv” обозначает класс индивидов. На практике мы продолжаем рассмотрение экстенсиональной иерархии после первых параграфов настоящей книги. Если бы мы начали с индиви- дов, то результатом этого стало бы полное исключение функций из нашей иерархии; если бы мы начали с функций заданного типа, то все функции другого типа были бы исключены. Таким образом, новая экстенсиональная иерархия, полностью исключающая любую другую, начинается с каждого типа функции. Когда мы просто говорим о единственной в своем роде экстенсиональной иерархии, то мы подразумеваем именно ту, которая на- чинается с индивидов. Следует заметить, что когда мы имеем утверждение некоторой пропо- зициональной функции, скажем “l-.фх”, то переменная х должна иметь определенный тип, т.е. мы лишь утверждаем, что фх истинна, каким бы ни была х в пределах некоторого определенного типа. Поэтому, например, утверждение “ h . х = х” не утверждает ничего кроме того, что данное утвер- ждение имеет место для любой переменной х заданного типа. Верно также и то, что символьно в точности такое же утверждение имеет место для других типов, но различные типы не могут быть введены под один и тот же знак утверждаемости, так как никакая переменная не может выйти за пределы своего типа. Процесс устранения неопределенности типов переменных начался в *8 и *9, где мы предприняли первые шаги в рассмотрении пропозициональ- ной иерархии. До *8 и *9 наши переменные представляли собой элемен- тарные предложения, т.е. предложения, не содержащие кажущихся пере- менных. Следовательно, единственные функции, которые встречались, это матрицы, появляющиеся в свою очередь только через свои значения. До- пущение, принятое нами при переходе от главы 1 к главе 2 (часть I), та- ково, что если “Ь.ур”, где р — элементарное предложение, то мы можем вместо р подставить “ф ! (x,y,z,..где ф есть любая матрица. Таким об- разом вместо “h . fp”, содержащего одну переменную р заданного типа, име- ем “h . f {ф ! (х,у, z,...)}”, где содержится несколько переменных различных типов (любое конечное число переменных и типов допустимо). Данное до- пущение включает несколько довольно сложных моментов. Следует пом- нить, что ни одно значение ф не содержит ф как конституенту, и, следо- вательно, ф не является конституентой fp, даже если р есть значение ф. Итак, выше мы перешли от утверждения, не содержащего функций в ви- де конституент, к утверждению, содержащему одну или больше функций в качестве конституент. Утверждение “ F. fp” касается любого элементарно- го предложения, в то время как “I-./{ф ! (х,у, z,...)}” касается любого из определенного набора элементарных высказываний, а именно любого из тех, которые являются значениями ф. Разные типы функций дают различные способы отбора элементарных высказываний. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 27 Предположив или доказав “h. fp”, где р — элементарное (а значит не вызывающее неопределенности типа) предложение, мы поэтому утвержда- ем, что Н./{ф!(х,у, z,...)}, где типы аргументов и их число вполне произвольны, за исключением то- го, что они должны принадлежать функциональной иерархии, включаю- щей индивиды. (Допущение, что высказывания есть неполные символы, исключает возможность того, что аргументы ф есть предложения.) Необ- ходимо отметить тот факт, что мы, таким образом, получили некоторое утверждение, которое может содержать любое конечное число переменных, обладающих неограниченной типовой неопределенностью, из утверждения, содержащего лишь одну переменную совершенно определенного типа. Все это предполагается заранее, до того как мы перейдем к пропозициональной иерархии. Заметим, что все элементарные высказывания являются значениями предикативных функций от одного индивида, т.е. функций вида ф! х, где х — индивид. Поэтому не нужно допускать, что элементарные предложения формируют какой-то тип; мы можем заменить р на “ ф! х” в утверждении “Ь-Ур”. В этом случае высказывания как переменные полностью исчезают. При распространении соглашений, касающихся элементарных высказы- ваний, с целью формального применения к предложениям первого порядка мы вынуждены снова принять примитивное предложение *1-11 (*1-1 нико- гда не используется), т.е. если “Н.фх” и “Н . фхэ ух”, то “h.yx”, что есть практически *9-12. Это утверждалось в *1-11 для любого случая, когда фх и ух — элементарные высказывания. Уже здесь присутствует неопределен- ность типа, обусловленная тем фактом, что х не обязана быть индивидом, а могла бы быть функцией любого порядка. Например, мы могли бы вос- пользоваться предложением *1-11, чтобы перейти от “Кф!я” и “Ь.ф!яэф!6” к “Кф!6”, где ф заменяет х из *1-11, а ф! я, ф! b заменяют фх и ух. Итак, предло- жение *1-11 еще до его распространения в *9 уже формулирует новое при- митивное предложение для каждого нового типа рассматриваемых функ- ций. Новизна *9 как раз и заключается в том, что мы разрешаем ф и у включать одну кажущуюся переменную. Она может принадлежать любо- му функциональному типу (включая Indiv); таким образом, мы получаем другой набор символьно идентичных примитивных предложений. При пе- реходе, как указано в конце *9, к более чем одной кажущейся переменной, мы вводим новую группу примитивных предложений с каждой дополни- тельной кажущейся переменной. Подобные замечания применяются к другим примитивным предложени- ям *9. Легитимным такой процесс делает как раз то, что нет ничего в трак- товке функций степени л, что предполагало бы заранее функции более вы- сокого порядка. Мы можем иметь дело с новыми типами функций по мере их появления без необходимости принимать во внимание тот факт, что су- ществуют последующие типы. Из символьной аналогии мы “усматриваем”, А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
28 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ что такой процесс может повторяться бесконечно. Такая возможность ос- новывается на двух положениях: (1) Новая интерпретация на каждом шаге наших постоянных —V, ~, !, (х)., (ах). (2) Новое допущение, символьно неизменное, о примитивных предложе- ниях, которые были найдены достаточными на ранней стадии исследова- ния, — возможность избежать изменений символической системы из-за но- вой интерпретации постоянных. Приведенные выше замечания применяются к аксиоме сводимости так же, как и к другим примитивным предложениям. Если на некотором эта- пе мы захотим иметь дело с классом, определяемым функцией 30000-го типа, то мы будем вынуждены повторить наши аргументы и допуще- ния 30000 раз. Но пока все еще нет необходимости говорить об иерар- хии в целом или предполагать, что утверждения26 могут быть сделаны о “всех типах”. Сейчас мы подошли к экстенсиональной иерархии. Она начинается с некоторого положения в функциональной иерархии. Мы обычно пола- гаем, что она начинается с индивидов, но любая другая отправная точка в равной степени легитимна. Что касается типов функций (включая Indiv), с которых мы начинаем, то все более высокие типы27 функций исключе- ны из экстенсиональной иерархии, и также исключены все более низкие типы28 (если они существуют). Здесь возникают некоторые сложности. По- ложим, мы начали с Indiv. Тогда, если ф! z есть некоторая предикативная функция индивидов, z (ф ! z) = ф ! z . Но если мы принимаем теорию из *20, то, как указано во Введении ко второму изданию29, тождественность функ- ции и класса не обладает обычными свойствами тождества; фактически, несмотря на то, что каждая функция тождественна некоторому классу и наоборот, число функций, скорее всего, больше числа классов. Это связано с тем фактом, что, возможно, z (ф ! z) = у • 2. z (ф ! z) = х • 2 без у! z = х • 2. В экстенсиональной иерархии мы доказываем распространение от клас- сов к классам классов и т.д. без новых примитивных предложений (*20, *21). Задействованными оказываются лишь те примитивные предложения, которые касаются функциональной иерархии. Из всех этих различных видов распространения мы “видим”, что все, что могло бы быть доказано для низших типов, неважно функциональных или экстенсиональных, может также быть доказано для высших типов30. Следовательно, мы принимаем, что нет необходимости знать типы наших переменных, хотя они должны быть всегда заключены в пределах некото- рого одного определенного типа. Хотя все, что может быть доказано для низших типов, может также быть доказано для высших типов, обратное не имеет места. В первом то- 26 В оригинале — statement. — Прим, перев. 27 В оригинале — higher types. — Прим, перев. 28 В оригинале — lower types. — Прим, перев. 29 См. первый том "Principia Mathematica". — Прим. ред. 30 Ср. со с. 30 для более точной формулировки этого принципа. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 29 ме встречаются лишь два предложения, которые могут быть доказаны для высших, но не для низших типов. Эти предложения есть g !2 и g ! 2Г. Они могут быть доказаны для любого типа, исключая тип индивидов. Следует заметить, что мы не утверждаем, что все, что истинно для низших типов, истинно для высших типов, мы лишь утверждаем, что все, что может быть доказано для низших типов, может быть доказано для высших ти- пов. Если, например, Nc‘Indiv = v, то это предложение ложно для любого более высокого типа; однако предложение Nc‘Indiv = v есть одно из тех, ко- торые не могут быть доказаны логически; в действительности оно устанав- ливается лишь посредством перечисления, а не посредством логики. Поэто- му среди предложений, которые могут быть доказаны логически, найдутся некоторые, которые могут быть доказаны для более высоких типов, и не найдется ни одного, которое может быть доказано для низших типов. Предложения, которые могут быть доказаны в пределах некоторых ти- пов, а не в пределах других типов, все являются либо все зависят от эк- зистенциональных теорем для кардиналов. Мы можем доказать 3 ! О, а ! 1 универсально; а ! 2 исключительно для Indiv; а ! 3, а • 4 исключительно для Indiv, CFIndiv, RITndiv; и т.д. В точности такие же замечания обычно применимы к функциональной иерархии. В обоих случаях возможность доказательства этих предложений зависит от аксиомы сводимости и определения тождества. Предположим, что существует только один индивид х. Тогда у = х, у / х представляют со- бой две различные функции, которые на основании аксиомы сводимости эквивалентны двум различным предикативным функциям. Следовательно, существуют, по крайней мере, две предикативные функции от х, и, по край- ней мере, два класса ь‘х, Ах. Этот аргумент недействителен как для клас- сов, так и для функций, если мы либо отрицаем аксиому сводимости, либо предполагаем, что могут существовать два различных индивида, которые согласуются по всем их предикатам, а это не согласуется с определением тождества. Данная выше формулировка, что то, что может быть доказано для низ- ших типов, может быть доказано для высших типов, требует некоторых ограничений или, скорее, более точного выражения. Взяв Indiv в качестве примитивного понятия, положим К1 = Cl'Indiv Df, KI2 = С1‘К1 Df, и т.д. Затем рассмотрим предложение Nc‘Kl = Л. Мы можем доказать Nc‘Kl П f Indiv = Л. э ! Nc‘Kl П f К1. э ! Nc‘Kl П ГК12 . и т.д. Таким образом, Nc‘Kl = A может быть доказано в пределах самого низкого типа, для которого оно значимо, и опровергнуто в пределах любого дру- гого. Однако этого затруднения удастся избежать, если Indiv замещается переменной а, а К1— С17о‘а. Тогда мы имеем Nc‘C17o‘anfa = A, и это имеет место, каким бы ни был тип а. Поэтому для того чтобы наш принцип о низших и высших типах мог быть справедливым, необходимо, А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
30 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ чтобы любое отношение, которое возможно между двумя типами, встреча- ющимися в предложении, было бы сохранено; когда один постоянный тип определен в терминах другого (как, например, К1 и Indiv), то определение должно быть восстановлено, перед тем как тип подвергнется изменению, так что, когда изменяется один тип, то изменяется и другой. С этой ого- воркой наш принцип о низших и высших типах имеет место. Учитывая оговоренное выше, истинность нашего утверждения ясна, так как мы показали, что все те примитивные предложения, которые (записан- ные в символах) имеют место для низшего типа, встречающегося в наших рассуждениях, имеют место также для последующих типов; поэтому все наши символьные доказательства могут быть повторены без изменений. Важность этого покоится на том обстоятельстве, что когда мы доказали предложение для самого низкого значимого типа, то мы “видим”, что оно имеет место для любого другого присвоенного значимого типа. Следова- тельно, каждое предложение, которое доказывается без упоминания типа, может трактоваться как доказанное для самого низшего значимого типа и по аналогии распространяется на любой другой значимый тип. Посредством аналогичных рассмотрений мы “усматриваем”, что пред- ложение, которое может быть доказано для некоторого типа, отличного от самого низкого значимого типа, должно иметь место для любого типа, нисходящего от него. Например, предположим, что мы можем доказать предложение (такое как д!2) для типа К1 (где Kl = Cl‘Indiv); просто, за- писывая CFIndiv для К1, мы имеем предложение, которое доказывается об Indiv, а именно д! 2 n f CFIndiv, и здесь на основании того, что было ска- зано перед этим, Indiv может быть замещен любым более высоким типом. Таким образом, имея типово неопределенное отношение R такое, что если т есть тип, то R*x есть тип (С1 или <R являются подобными отноше- ниями), мы “усматриваем”, что если мы можем доказать <|)(/?Tndiv), то мы можем также доказать ф(/?‘т), где т есть любой тип, а ф составляет- ся из типово неопределенных символов. Аналогично, если мы мы можем доказать ф (Indiv, R‘Indiv), то мы можем доказать ф(т,/?‘т), где т есть лю- бой тип. Однако, вообще говоря, мы не можем доказать ф (Indiv,/?‘т) или ф (т, R‘Indiv), и они в действительности могут оказаться не истинными. На- пример, мы имеем g! Nc (Kl)‘Indiv. ~ g! Nc (К1)‘К12. Итак, говоря с большей общностью, когда предложение, содержащее несколько неопределенностей, может быть доказано для типов 2?‘Indiv, S ‘Indiv, ..., но не для более низких типов, то оно рассматривается как функция от Indiv, и в таком случае становится истинным для любого типа; т.е. по данному ф (/Tlndiv, S ‘Indiv,...) мы будем также иметь ф(/?‘т,5‘т,...), где т есть произвольный тип. При этом все доказуемые предложения преж- де всего об Indiv и представленные так остаются истинными, если любой другой тип подставляется вместо Indiv. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 31 Когда предложение, содержащее типово неопределенные символы, мо- жет быть доказано как истинное в пределах низшего значимого типа, и мы можем “увидеть”, что в символьной форме то же самое доказатель- ство имеет место в пределах любого другого предписанного типа, то мы говорим, что это предложение обладает “неизменной истинностью”31. (До- пуская некоторую вольность, мы можем также сказать, что оно “истинно во всех типах”.) Когда предложение, содержащее типово неопределенные символы, может быть доказано как ложное в пределах низшего значи- мого типа, и мы можем “увидеть”, что оно ложно в пределах любого другого предписанного типа, то мы говорим, что это предложение обла- дает “неизменной ложностью”. Говорят, что любое другое предложение, содержащее типово неопределенные символы, “флуктуирует”, или обла- дает “флуктуирующим истинностным значением”, в противоположность “неизменному истинностному значению”, которым обладают предложения либо неизменно истинные, либо неизменно ложные. В том, что далее следует, неопределенности, связанные с пропозицио- нальной иерархией, будут игнорироваться, поскольку они никогда не приво- дят к флуктуирующим предложениям. Поэтому дизъюнкция и отрицание, и производные от них не получат явной типовой детерминации, а лишь ти- повую детерминацию, возникающую в результате приписывания типов от иных встречающихся типово неопределенных символов. Удобно называть символьную форму пропозициональной функции про- сто “символьной формой”. Поэтому если символьная форма содержит сим- волы неопределенного типа, то она представляет различные пропозицио- нальные функции в соответствии с тем, как порознь регламентированы типы ее неопределенных символов. Указанная регламентация всегда огра- ничивается необходимостью сохранения смысла. Совершенно очевидно, что понятия “неизменного истинностного значения” и “флуктуирующего истин- ностного значения” в действительности применимы к символьным формам, а не предложениям или пропозициональным функциям. Неопределенность типа может существовать лишь в процессе детерминирования смысла. Ко- гда смысл уже приписан символьной форме и пропозициональной функ- ции, полученной из нее, неопределенность типа исчезает. “Утверждать символьную форму”— утверждать каждую из пропозици- ональных функций, образующихся для набора возможных типовых детер- минаций, которые где-нибудь перечисляются. В действительности мы пере- числили весьма ограниченное число типов, начиная от такового для инди- видов, и мы “увидели”, что этот процесс может быть неограниченно про- должен по аналогии. Форма всегда утверждается, пока перечисление не закончено; этого достаточно для всех целей, поскольку по существу невоз- можно использовать тип, не достижимый последовательным перечислением от низших типов. Трудности, которые возникают в арифметике кардиналов в связи с неопределенностями типа символов, являются только такими, которые 31 В оригинале — permanent truth. — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
32 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ происходят от использования символа sm или символа Nc, который есть ыЙ. Для указанного символа может оказаться так, что класс в пределах одного типа не имеет подобного ему в пределах некоторого более низко- го типа (ср. *102-72-73). Все ошибочные рассуждения в арифметике карди- нальных или ординальных чисел, связанные с типами, за исключением тех, которые вызваны просто отсутствием смысла в символике, возникают по этой причине, другими словами, благодаря тому обстоятельству, что в пре- делах некоторых типов g! Nc‘a истинно, а в пределах других типов 3! Nc‘a может оказаться не истинным. Заблуждение состоит в пренебрежении этой последней возможностью невыполнения g!Nc‘a для ограниченного числа типов, т.е. в принятии “флуктуирующей” формы g!Nc‘a так, как если бы она обладала “неизменным” истинностным значением. Однако флуктуирующая форма часто обладает тем, что здесь назы- вается термином “устойчивое” истинностное значение, важным настолько, насколько важно и неизменное истинностное значение других форм. На- пример, предвосхищая наши определения в элементарной арифметике, рас- смотрим 2+сЗ = 5. Не существует абстрактного логического доказательства того, что найдутся два индивида; положим, что 2 и 3 относятся к классам индивидов, 5 — к классу достаточно высокого типа, тогда с указанными де- терминациями 2+сЗ = 5 доказано быть не может. Однако 2+сЗ = 5 обладает устойчивым истинностным значением, поскольку оно может быть доказа- но всегда, когда все типы достаточно высоки. В этом случае тот факт, что наш эмпирический пересчет индивидов (по крайней мере “относительных” индивидов повседневной жизни) вышел за возможности логического дока- зательства, делает полностью несущественной флуктуацию истинностного значения указанной формы. Чтобы точно выразить эту идею, необходимо иметь соглашение отно- сительно порядка, в котором располагаются типы символов в символьной форме. Правило, которое мы принимаем, заключается в том, что типы реальных переменных назначаются первыми, а затем —типы постоянных символов. Типы кажущихся переменных, если таковые имеются, в таком случае будут полностью детерминированными. Символическая форма обладает устойчивым истинностным значением, если после любого приписывания типов реальным переменным типы мо- гут быть приписаны постоянным символам так, что истинностное значе- ние предложения, полученного таким образом, в точности совпадает с ис- тинностным значением любого предложения, полученного посредством его модификации, заключающейся в приписывании более высоких типов неко- торым или всем постоянным символам. Это истинностное значение и есть устойчивое истинностное значение. II. Формальные числа Соглашения о приписывании типов, которые мы примем ниже, на прак- тике ограничивают нашу интерпретацию символьных форм типами, в пре- делах которых формы обладают устойчивыми истинностными значения- Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 33 ми. Указанное предположение о том, что истинностные значения являют- ся устойчивыми, никогда не входит в рассуждения. Однако мы судим об устойчивости истинностного значения, когда любой метод повышения ти- пов постоянных символов на одну ступень оставляет его неизменным. На практике флуктуирующие истинностные значения включаются в на- ше рассмотрение лишь через ограниченное число символов, называемых “ формальными числами ”. Формальные числа могут быть “постоянными” или “функциональ- ными”. Постоянное формальное число есть любой постоянный символ, для которого имеется постоянная а такая, что каким бы типом ни детермини- ровался этот постоянный символ, в пределах этого типа он тождественен Nc‘a. Другими словами, если о есть постоянный символ, то о является фор- мальным числом при условии, что “истина” есть неизменное истинностное значение a = Nc‘a для некоторого постоянного а. Функциональные формальные числа определяются посредством пере- числения; они есть Nc‘a, ENc‘k, IINc‘k, sm“p, p+cv, p-cv, pxcv, pv, где в каждом формальном числе встречающиеся в нем символы а, к, ц, v называются аргументами функциональной формы, даже когда они явля- ются сложными символами. Аргумент Nc‘(a+p) есть a+р, ц +с (v +С(П) — ц и v+с05, 1+с2—1 и 2. Таким образом, постоянными формальными числами являются О, 1, 2, Ко, 1+с2, 2хсК0, 22. Номера предложений, на основе которых формулируется это утвержде- ние, есть *101 11-21-32 . *123-36 . *110-42 . *113-23 . *116-23. Функциональными формальными числами являются Nc‘(a+P), p.+c(v+c(D), (р, +с v) хсо), (p+cv)ro. В дальнейшем будет замечено, что, например, 1+с2 есть одновременно и постоянное, и функциональное формальное число, так что эти два класса не являются взаимно исключающими. В действительности они обладают неограниченным числом общих элементов. Все формальные числа, за исключением sm“p и p-cv, являются эле- ментами NC без каких-либо гипотез [ср. *100-41-01-52 . *110-42 . *112-101. *113-23 . *114-1. *116-23, замечание к *119-12, и *120-411]. Функциональное формальное число состоит из двух частей, именно из аргумента или аргументов и постоянной “формы”. Аргумент функциональ- ного формального числа может быть сложным символом, и может быть постоянной или переменной. Поэтому р +с v есть аргумент (р, +с v) +с р, а также (p.+cv)xcl, (p+cv)p; 2+сЗ есть аргумент (2+сЗ)хс1. Постоянная фор- ма образуется из других символов, являющихся постоянными. Два вхожде- ния функциональных формальных чисел есть вхождения одного и того же формального числа, если аргументы и постоянные формы символьно тож- дественны. Поэтому два вхождения Nc‘a являются вхождениями одного и А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
34 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ того же формального числа, даже если они детерминированы в пределах различных типов; однако Nc‘a и Nc‘P являются различными формальными числами. Точно так же ц1 и рхс1 есть различные формальные числа, так как различны их “формы”, хотя аргументы р и 1 те же самые и (в преде- лах того же самого типа) обозначаемая ими сущность та же самая. Таким образом, различие между формальными числами зависит от символики, а не от обозначаемой ими сущности, и при их рассмотрении именно сим- вольная аналогия, а не денотат должны приниматься в расчет. Например, два различных вхождения одного и того же формального числа не будут обозначать одну и ту же сущность, если в указанных двух вхождениях неопределенность в типе различным образом детерминирована. Функциональные формальные числа разделяются на три множества: (i) первичное множество, состоящее из форм Nc‘a, ENc‘k, HNc‘k, (ii) мно- жество аргументов, состоящее только из sm“p, (iii) арифметическое мно- жество, состоящее из p+cv, pxcv, pv и p-cv. Функциональное формальное число обладает самое большее двумя ар- гументами. Однако аргумент функционального формального числа сам мо- жет быть функциональным формальным числом и может соответственно обладать либо одним, либо двумя аргументами, которые, в свою очередь, могут быть функциональными формальными числами и т.д. Все множество аргументов и аргументов аргументов, полученное таким образом, называ- ется множеством компонент исходного формального числа. Поэтому ц, v, р и p.+cv являются компонентами (ц +с v) +с р; ц, v, и sm“p, являются ком- понентами v+csm“p,; ц, а, и Nc‘a являются компонентами p,+cNc‘a. Два аргумента (p-+cv)4-cp есть p.+cv и р, аргументами v+csm“p, являются v и sm“p., аргументами p,+cNc‘a будут ц и Nc‘a. Сложение, умножение, экспоненциация и вычитание будут называться арифметическими операциями; в p.+cv, p,xcv, p.v, p-cvo ц и v будет гово- риться как о подвергнутых указанным операциям. Арифметические ком- поненты арифметического формального числа (т.е. формального числа, принадлежащего арифметическому множеству) состоят из тех его компо- нент, которые не появляются среди компонент компоненты, не принадле- жащей арифметическому множеству. Поэтому ц, v, р, p,+cv есть ариф- метические компоненты (ц +с v) +с р; v и sm“p, есть арифметические ком- поненты v+csm“p., а ц таковой не является; ц и Nc‘a есть арифметиче- ские компоненты p.+cNc‘a, а а таковой не является; ц и sm“(v+cp) есть арифметические компоненты ц +с sm“(v +с р), но v+cp и v и р являются компонентами sm“(v+cp) и поэтому не есть арифметические компонен- ты ц+с sm“(v+с р). Только арифметические формальные числа обладают арифметическими компонентами. Формальное число из арифметического множества, не имеющее ком- понент, которые являются формальными числами из множества аргумен- тов, называется чисто арифметическим формальным числом. Например, H+c(v+cP) и p,+cNc‘a чисты, а ц +с sm“(v +с р) и ц +с sm“Nc‘a — нет. Имеется много типов, появляющихся при рассмотрении формальных чи- сел. Например, в Nc‘a имеется тип Nc‘a и тип а; в p,+cv имеется тип p,+cv, Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 35 тип ц, тип v; и т.д. для более сложных формальных чисел. Тип формально- го числа как целого в любом вхождении называется его действительным типом. Это тип сущности, которую оно в таком случае представляет. Другие типы, встречающиеся в формальном числе в любом вхождении, называются его подчиненными типами. Действительные типы для различных формальных чисел не указыва- ются в символике, как говорилось выше. Они могут быть указаны относи- тельно типа пременной записывая Nc(^)‘a, sm^“p, (p.+cv)£,(Hxcv)^ (Hvh> (p,-cv)^ на основании обозначения *65. Даже когда действительный тип сложного формального числа, такого как ц +с (v +C(D), установлен (так что мы имеем {p.+c(v+c(D)}^), смысл символа полностью еще не детерминирован, так как тип v+c(D остается неопределенным. Однако из *100-511. *110-23 . *113-26 . *119-61-62 следует, что, пока компоненты не являются нулевыми, для значения фор- мального числа все равно, каковы подчиненные типы. Мы можем поэтому сделать формальное число определенным, как толь- ко его действительный тип определен, заручившись тем, что его компонен- ты не являются нулевыми. Это достигается посредством соглашения IIТ (см. ниже) вместе с определениями *110-03-04 . *113-04-05 . *116-03-04. Когда подчиненные типы согласованы в соответствии с этими определени- ями и соглашениями, то о них будет говориться как о нормально согласо- ванных. Для того чтобы сформулировать соглашение ИТ, требуется определе- ние того, что здесь называется достаточностью действительного типа формального числа32. Общее понятие достаточности весьма просто, имен- но, для заданных подчиненных типов о действительный тип о должен быть достаточно высоким с тем, чтобы дать нам возможность логически дока- зать g! о тогда, когда такое доказательство возможно для не слишком низ- ких типов. Например, все типы, исключая самый низкий, для которого оно имеет смысл, достаточны для постоянного формального числа 2. Однако затруднительно сформулировать смысл достаточности с точностью, пригод- ной для всех формальных чисел. К счастью, определение самого низкого типа, которое соответствует этому общему понятию, не существенно для наших целей. Будет достаточно определить как достаточные некоторые ти- пы, которые определенно обладают этим свойством. Метод определения, который мы принимаем, состоит в замещении фор- мального числа о другим формальным числом о', так связанным с о, что при одном и том же действительном типе для каждого из них мы можем доказать g! о'. э g! о всегда, когда о не эквивалентно Л ни в каком ти- пе. Если о функционально, то нам необходимо рассматривать лишь его аргумент или два его аргумента, и мы можем пропустить при рассмотре- нии другие компоненты; затем мы замещаем указанные аргументы други- ми так, чтобы о' обладало требуемым свойством. Таким образом: 32 В оригинале — adequacy of the actual type. — Прим, перев. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
36 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ (i) Действительные типы Nc‘a, ENc‘k, IINc‘k и sm“p, достаточны, когда мы можем логически доказать g!Nc7o‘a, g!ENc‘Zo‘K, а!ПМс70‘к и a!sm‘7o‘p» (ii) Действительные типы p+cv, p-cv, pxcv и pv достаточны, когда мы можем логически доказать 3 ! N0c7i ‘р, +с Noc7i ‘v, а ! Noc7i V ~с0 А ГОЧ 3 !Noc7i‘pxcNoc7i‘v, и а’ Noc7i‘pN°c‘n‘v. В дальнейшем будет отмечено, что £о‘к и Го‘Н являются наибольши- ми классами 33 того же типа, что и соответственно а, к и р, и что Noc7i ‘р и Noc7i‘v — наибольшие кардинальные числа34 того же типа, что и соот- ветственно р и v. Эти определения имеют место, даже когда некоторые из а, к, р, V —сложные символы. Оставшиеся формальные чила, которые не являются функциональны- ми, должны, конечно же, быть постоянными. Здесь возникает трудность, заключающаяся в том, что если о есть такое формальное число, а Ко вхо- дит в его символику, то мы не имеем логического метода разрешения ис- тинности или ложности э! Ко в пределах какого-либо типа. Однако мы за- мещаем Ко на a!Noc7i‘Ko, являющееся наибольшим существующим карди- налом того же самого типа, что Ко в указанном вхождении. Таким образом: (iii) Если о есть формальное число, которое не является функциональ- ным, то достаточный действительный тип о есть тип, для которого мы в состоянии логически доказать a*0'? где выводится из о посредством замещения любого вхождения Ко в о на g!Noc7i‘Ko. Соответственно, если Ко не входит в о, то достаточный тип есть любой действительный тип, для которого мы можем логически доказать а •а- В случае первичной группы и группы аргументов мы подставили подхо- дящего типа V вместо каждой из переменных. Когда действительный тип достаточен, мы имеем (a).a!Nc‘a, (к).Еа^с‘к, (к).Па!Ыс‘к, (p)a’-sm“p. В случае арифметической группы и (за исключением p-cv) мы под- ставили вместо каждого из аргументов наибольшее кардинальное число35, которое может быть получено в пределах того типа, к которому относит- ся аргумент, а именно 3!Nqc‘V для V подходящего типа. Соответственно мы убеждаемся (за исключением p-cv), что для всех других значений ар- гументов, которые есть экзистенциональные кардинальные числа36, фор- мальное число не является нулевым. В дальнейшем будет отмечено, что нормальная согласованность касает- ся лишь подчиненных типов. Например, *110-03 гарантирует, что в Nc‘a+C р действительный тип Nc‘a достаточен, а *110-23 показывает, что любой до- статочный действительный тип Nc‘a будет таким же. Однако ничего не говорится о действительном типе Nc‘a+C р. Мы даем следующее определе- ние: Когда подчиненные типы формального числа нормально согласованы, 33 В оригинале — the greatest classes. — Прим, перев. 34 В оригинале — the greatest cardinal number. — Прим, перев. 35 В оригинале — the largest cardinal number. — Прим, перев. 36 В оригинале — existent cardinal numbers. — Прим, перев. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 37 а действительный тип достаточен, то о типах формального числа говорит- ся как об арифметически согласованных. Мы замечаем, что для первичного множества арифметическая согласо- ванность типов означает то же самое, что достаточное согласование дей- ствительного типа. Если аргументы формального числа из арифметическо- го множества есть простые символы, то оба понятия приводят к одному и тому же. В случае переменных формальных чисел из первичного множества, со- гласно *117-22-32 следует, что когда их типы арифметически согласованы, то они не равны Л ни для каких значений переменных. Так же и в случае тех переменных формальных чисел, которые от- носятся к чисто арифметической группе (за исключением p,-cv), из *100-4-52-42 . *113-23. *116-23 следует, что, действуя, начав с самых крайних компонент, достижимых посредством последовательного анализа, и выше, для всех значений указанных крайних компонент, которые являются эле- ментами NC - i‘A, они могут быть сведены к случаю формальных чисел первичной группы; и что поэтому они не равны Л, когда их типы ариф- метически согласованы. Например, ц, v, р, о в р, +с {v +с (р +со)} есть те самые последние компоненты; пусть они являются экзистенциональными кардинальными числами. Следовательно, когда типы арифметически со- гласованы, то действительный тип р +со достаточен, а р +со есть экзистен- циональный кардинал; мы можем поэтому подставить Nc‘a вместо него. Посредством тех же самых рассуждений мы можем подставить Nqc‘P вме- сто v+cNoc‘a, и Ыос‘у вместо p+cNoc‘p. Определенное стандартное арифметическое согласование типов для лю- бого формального числа может быть найдено всегда, делая каждое исполь- зование sm, не важно явное или скрытое в Nc или в некотором другом сим- воле, однородным. Доказательства, применяющиеся к любому арифметиче- скому согласованию типов, начинаются с рассмотрения этого стандартно- го типа, а затем на основании *104-21. *106-21-211-212-213 совершается рас- пространение на прилежащие более высокие классические и относительные типы. Мы затем “усматриваем”, что аналогичной символикой это распро- странение всегда может быть формально обосновано на каждом этапе так, что мы имеем дело с устойчивым истинностным значением. Для некото- рых постоянных формальных чисел может быть обнаружен более низкий экзистенциональный тип, чем тот, который указывается этим методом. III. Классификация вхождений формальных чисел Символическая форма любого из следующих видов [ср. *117-01-04-05-06] p.>v, p,<v, называется арифметическим неравенством. Эти формы возникают только тогда, когда мы сравниваем кардиналь- ные числа в отношении быть “больше чем” или “меньше чем”. Было бы естественным включить равенства среди арифметических неравенств. Од- нако их использование даже между кардинальными числами не является А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
38 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ исключительно арифметическим, и удобно рассматривать их отдельно под другим заголовком в процессе наших предварительных исследований. В арифметических неравенствах, таких как написанные выше, р, и v или любые другие символы, замещающие ц и v, называются противопо- ложными сторонами неравенства, а ц или v — стороной неравенства. Символьные формы вида о = к и о # к, где о или к есть формальное чис- ло, будут называться равенствами37 и не-равенствами38 соответственно; пик называются противоположными сторонами равенства или не-равен- ства, а каждое из них есть просто сторона равенства или не-равенства. Когда мы достигнем исключительно арифметической точки зрения, бу- дет удобно свести вместе равенства, не-равенства и арифметические нера- венства в единую символьную форму. Их раздельное рассмотрение здесь диктуется спецификой исследований тех исключений, которые возникают из-за отсутствия экзистенциональных теорем для низких типов. В этой свя- зи нет никакой необходимости рассматривать арифметические неравенства. Способы, посредством которых о может входить в символьную форму, именуются, как следует ниже: Вхождение о в sm“o называется аргументным вхождением; Вхождение о в качестве аргумента арифметического формального числа (которое может быть компонентом другого формального числа) или в ка- честве одной из сторон арифметического неравенства называется арифме- тическим вхождением; Вхождение о в качестве одной из сторон равенства называется экваци- ональным вхождением; Вхождение о в называется атрибутивным вхождением; Любое другое вхождение о называется логическим вхождением. Тако- вым также является о = Л. Очевидно, что пара противоположных сторон равенства или не-равен- ства должна иметь один и тот же тип. Более того, если о есть формальное число и *20-18 применяется так, чтобы дать Ь о = к. =>: /(о). = /(к), то эквациональное вхождение о должно быть того же типа, что и вхожде- ние о в /(о), иначе вывод ошибочен. В соответствии с этим подстановка в арифметические формулы может быть предпринята, лишь когда согла- шения по отношениям неопределенных типов гарантируют это тождество. Этот вопрос рассматривается позднее в данных предварительных формаль- ных соглашениях, а результат появляется в тексте как *118-01. В этом месте полезны некоторые примеры; на них мы будем потом ссы- латься в связи с соглашениями, ограничивающими неопределенности типа. *100-35. h а! Nc‘a . V . g! Nc‘P : э : Nc‘a = Nc‘P . = . aeNc‘P . = . peNc‘a . = . asmp Здесь формальными числами являются Nc‘a и Nc‘P, каждое из кото- рых имеет три вхождения. Первое вхождение Nc‘a логическое, второе — эквациональное, а третье — атрибутивное. 37 В оригинале — equations. — Прим, перев. 38 В оригинале — inequations. — Прим, перев. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 39 *100-42. (в доказательстве) h : р,, v e NC . g! р, П v. э . (а, Р). р, = Nc‘a . v = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P Здесь лишь Nc‘a и Nc‘P есть формальные числа; все их вхождения эквациональны. *100-44. (в доказательстве) h : peNC . g! Nc‘a . ae p. э . (gP). p = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P Здесь лишь Nc‘a и Nc‘P есть формальные числа; первое вхождение Nc‘a логическое, второе — эквациональное; оба вхождения Nc‘P эквациональны. *100-511. h : g! Nc‘P . э . sm“Nc‘P = Nc‘P Здесь формальными числами являются Nc‘P и sm“Nc‘p. Первое вхожде- ние Nc‘P логическое, второе — аргументное, третье — эквациональное; един- ственное вхождение sm“Nc‘P эквациональное. *100-521. I-: peNC . g! sm“p . э . sm“sm“p= р Здесь лишь sm“p и sm“sm“p являются формальными числами; sm“p имеет два вхождения, первое вхождение логическое, второе — аргументное; sm“sm“p имеет одно вхождение, которое является эквациональным. *101-28. (в выводе) I-: y€sm“l . = . (ga). etc 1 . ysm a Здесь формальными числами являются 1 и sm“l. Первое вхождение 1 аргументное, второе — атрибутивное; единственное вхождение sm“l атрибу- тивное. *101-38. h : g! 2 . э . scCl‘ ‘2 = 0 U 1 U 2 Здесь 0, 1 и 2 есть формальные числа, и все их вхождения являются логическими. *110-54. I-. (Nc‘a+C Nc‘P) +с Nc‘y = Nc‘(a + Р + Y) Здесь формальными числами являются Nc‘a, Nc‘P, Nc‘(a + P + Y)> Nc‘a+cNc‘P, (Nc‘a+C Nc‘P) +c Nc‘y. Единственные вхождения Nc‘(« + P + Y) и (Nc‘a+C Nc‘P) +c Nc‘y эквацио- нальны, и они должны быть одного и того же типа, поскольку они —про- тивоположные стороны одного равенства. Вхождения других формальных чисел появляются как арифметические компоненты более сложных ариф- метических формальных чисел и в силу этого являются арифметическими. *116-63. I-. pvx<ro = (pv)ro Здесь v xc(D, p,v, pvx^ и (p,v)ro есть формальные числа. Каждое формаль- ное число входит лишь один раз. Вхождения v и pv арифметические, а вхождения остальных чисел — эквациональные. *117-108. I-: Nc‘a Nc‘P . = : Nc‘a > Nc‘P . V . Nc‘a = Nc‘P Формальные числа есть Nc‘a и Nc‘P, каждое из них имеет три вхож- дения. Первые два вхождения каждого из них арифметические, а послед- ние — эквациональные. *120-53. (в выводе). I-: Р = у+с6 g! Р . э . a₽ = aYxca6 Здесь формальными числами являются у+<А a^, aY, a6, aYxca6. Каждое формальное число имеет одно вхождение. Вхождения у+<А и aYxca6 эквациональные, а вхождения aY и а6 арифметические. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
40 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ *120-53. (в выводе). F : а? = aY . (3 = у+с6 . д! . э . aY = aYxca6 Здесь формальными числами являются a^, aY, a6, aYxca6, у+с6. Пер- вое вхождение эквациональное, его второе вхождение логическое; пер- вые два вхождения aY эквациональные, его третье вхождение арифметиче- ское; единственное вхождение а6 арифметическое; единственные вхождения aYxca6 и y+c& эквациональные. IV. Соглашения IT и ПТ Говорят, что два вхождения формального числа одного и того же дей- ствительного типа связаны одно с другим . Выбор типов для формальных чисел, когда они не сделаны определен- ными в терминах переменных посредством обозначений *65, ограничива- ется следующими соглашениями, которые позволяют нам обходиться без замысловатостей, произведенных определением типов. IT. Все логические вхождения одного и того же формального числа принадлежат одному и тому же типу; аргументные вхождения связы- ваются с логическими и атрибутивными вхождениями; если не имеет- ся аргументных вхождений, то эквациональные вхождения связываются с логическими вхождениями. Это правило применяется лишь до такой степени, до какой позволяет смысл, к тем типам, которые остаются неопределенными после приписы- вания типов реальным переменным. В дальнейшем будет отмечено, что если не имеется аргументных или логических вхождений формального числа, то IT никак не применяется к назначению типов вхождениям в форме указанного формального числа. Идентификация типов в аргументных и атрибутивных вхождениях на основании IТ необходимо исполняется, чтобы обеспечить использова- ние эквивалентности Y€sm“a. = . (да) .аео.узша, где а есть формальное число. Без упомянутого соглашения применение здесь *37-1 было бы ошибочным. Лишь один из наших примеров, к кото- рому применяется эта часть соглашения, есть *101-28 (доказательство), где оно обеспечивает то, что два вхождения 1 имеют один и тот же тип. Это касается также символики в доказательстве *100-521. На практике будет обнаружено, что это соглашение соотносит типы вхождений так же, как это естественно делалось бы любым, кто вообще не думает ни о каких соглашениях. Чтобы посмотреть, как это соглаше- ние работает, мы пройдем через те примеры, которые уже были приведены выше. В *100-35 IT указывает на то, что логические и эквациональные вхождения Nc‘a имеют один и тот же тип, и так же для Nc‘(3. “Смысл” обеспечивает то, что эквациональные типы Nc‘a и Nc‘(3 одинаковы. 39 В оригинале — be bound to each other. — Прим, перев. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 41 Поэтому эти четыре вхождения все в пределах одного типа, который не обязательно относится к типам атрибутивных вхождений Nc‘a и Nc‘(3. Поэтому, используя обозначение из *65-04, чтобы гарантировать типовую определенность, *110-35 будет иметь смысл |-:.a!Nc(£)‘a. V.a!Nc@‘₽:D: Nc(^)‘a = Nc(£)‘|3 . = . aeNc(a)‘|3. = . (3eNc(|3)‘a. =. asm(3. Типы этих атрибутивных вхождений устанавливаются “смысловой” необходимостью. В доказательстве *100-42, поскольку все вхождения формальных чисел эквациональны, IT не дает никаких ограничений типов. В доказательстве *100-44 IT гарантирует то, что два вхождения Nc‘a имеют один и тот же тип. Мы также замечаем, что первое вхождение Nc‘|3 в действительности (ср. *65-04) есть Nc(a)‘[3, поскольку имеется вхождение “аец” и потому “смысл” требует такого отношения типов; второе вхожде- ние Nc‘P в пределах типа вхождений Nc‘a. В *100-44 IT указывает на то, что логические и аргументные вхожде- ния обладают одним и тем же типом. В *100-521 IT указывает на то, что два вхождения sm“p, обладают одним и тем же типом. В *101-28 оба вхож- дения 1 имеют один и тот же тип. В *101-38 IT указывает на то, что все вхождения 2 должны иметь один и тот же тип. Соглашение IT никоим образом не ограничивает типы ни в *110-54, ни в *116-63, ни в *117-108. В первом примере из доказательства *120-53 соглашение IT не приме- няется. Во втором примере из доказательства *120-53 соглашение IТ указывает на то, что два вхождения будут одного и того же типа; “смысловая” необходимость гарантирует, что первое вхождение aY также будет указанно- го типа. Эта же необходимость обеспечивает, что у+с6 будет того же типа, что и р; она также гарантирует, что в “aY = aYxca6” первое вхождение aY и вхождение aYxca6 будут иметь общий тип, который иначе не распуты- вается40; точно так же ничего нельзя решить по отношению к типам aY и а6 в aYxca6. Здесь мы приходим к соглашениям, охватывающим арифметические по- нятия. Термин “арифметический” используется для обозначения исследо- ваний, в которых интерес располагается в сравнении формальных чисел по отношению к равенству или неравенству, исключая отдельные случаи (когда бы они ни были исключительными) из-за отсутствия экзистенцио- нальности в низких типах. Арифметическая точка зрения, которую мы при- нимаем позднее при исследовании отношения и количества, а также в этой книге в *117 и *126 и некоторых более ранних предложениях, должна бы быть отметена как не представляющая интереса во всем исследовании точ- ных способов, в которых отсутствие экзистенциональных теорем имеет зна- чение для истинности предложений, концентрируя поэтому внимание ис- ключительно на устойчивых истинностных значениях. Однако логическое 40 В оригинале — which is otherwise unfettered. — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
42 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ исследование обладает своим собственным неотъемлемым интересом сре- ди принципов, затрагивающих этот предмет. Однако ясно, что он должен быть ограничен рассмотрением теорем, интересных чисто логически. На практике на указанное изгнание неинтересных случаев отсутствия арифме- тических теорем, даже среди логических исследований первой части этой книги, оказывает влияние гарантия того, что все арифметические вхож- дения формальных чисел имеют их действительный тип достаточным. Что касается формальных чисел первичной группы, т.е. Nc‘a, SNc‘k, IINc‘k, арифметическое согласование типов формально гарантируется в рамках символической системы посредством определений *110-03-04 для сложения, *113-04-05 для умножения, *116-03-04 для экспоненциации, *117-02-03 для арифметических неравенств и *119-02-03 для вычитания. Мы сохраняем символьные разработки, которые возникали бы при рас- пространении похожих определений на остальные формальные числа по- средством следующего соглашения: ПТ. Когда бы ни встретилось формальное число а, если оно было бы замещено Nc‘a так, что действительный тип Nc‘a согласно определению должен был бы быть достаточным, то действительный тип а является достаточным. Например, в H+c(v+cod), если v+cod было бы замещено Nc‘a, тогда на основании *110-04 действительный тип Nc‘a достаточен. Следователь- но, на основании IIТ действительный тип v +cgj будет достаточным: соот- ветственно, пока v и го есть простые переменные и являются элементами NC - i‘A, мы всегда можем предполагать g! (v +ccd) для типа вхождения V +Ссп В Ц +с (v +CGJ). Существенно заметить, что пока аргумент аргументного формального числа или аргументы арифметического формального числа арифметиче- ски согласованы, все равно, какие точные типы выбраны. Для аргумент- ных формальных чисел это следует из *102-862-87-88, для сложения — из *110-25, для умножения —из *113-26, для экспоненциации — из *116-26, для вычитания —из *119-61-62. Поэтому (вспоминая также *100-511) в преде- лах любого определенного типа формальное число обладает одним опреде- ленным смыслом при условии, что любое подчиненное формальное число, которое входит в его символику, экзистенционально детерминируется. Со- глашение IIТ всегда указывает нам на то, чтобы взять этот определенный смысл для любого чисто арифметического формального числа. Это соглашение не определяет полностью смысл арифметического формального числа, не являющегося чисто арифметическим. Например, ц +с (v +с р) есть чисто арифметическое формальное число, когда типы ц, v, р детерминированы; соглашение IIТ указывает, что тип (v +с р) достато- чен. Но ц +с sm“(v +с р) есть арифметическое формальное число, не явля- ющееся чисто арифметическим, и соглашение ПТ указывает, что тип об- ласти sm достаточен и не затрагивает тип (v +с р). Таким образом, нетруд- но видеть, что ПТ гарантирует достаточность действительных типов всех арифметических компонент любого арифметического формального числа, Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 43 но не затрагивает действительный тип формального числа, которое вхо- дит в качестве аргумента аргументного формального числа. В этом случае соглашение ИТ будет привязывать действительный тип этого вхождения аргумента к любому логическому или атрибутивному вхождению того же самого формального числа. Например, если 3! v +с р и ц +с sm“(v +с р) вхо- дят в одну и ту же форму, то эти два вхождения v +с р должны иметь один и тот же действительный тип. На практике аргументные формальные числа полезны в качестве компонент арифметических формальных чисел для одной цели — избежать автоматического согласования типов, указыва- емого ПТ. Смысл IIТ лучше всего разъясняется на примерах. Среди наших преды- дущих примеров нам необходимо рассмотреть лишь те, в которых встре- чаются арифметические формальные числа. В *110-54 принятое соглашение или определения нацеливают нас на адекватное детерминирование типов Nc‘a и Nc‘(3 при формировании Nc‘a+cNc‘P, а также на адекватное детерминирование Nc‘a+cNc‘P и Nc‘y при формировании (Nc‘a+C Nc‘0) +с Nc‘y. Это соглашение не применяется к типам (Nc‘a+C Nc‘0)+с Nc‘y и Nc‘(a+P+Y)« Эти типы должны быть иден- тичны для того, чтобы гарантировать смысл. В *116-63 принятое соглашение указывает нам на адекватное согласо- вание типов v +C(D и pv; оно не затрагивает типов рЛ+сГО и (p-v)ro, которые должны быть идентичны, чтобы гарантировать смысл. Если мы произве- дем замещение ц, v, (D формальными числами, например, 2, No и 1, то мы получим “I-. 2s°Xcl = (2s0)1”. Соглашение сейчас указывает нам, что 1 адек- ватно детерминируется. Так случилось, что для этого достаточен любой тип, поскольку 3! 1 может быть доказано в пределах любого типа. Тогда достаточными типами для NqXc1 и 2S° будут типы, для которых мы можем доказать 3! (Noc‘Zi ‘No) хс1 и 3! 2^°С71 <s°. Таким образом, если т есть тип No в обоих случаях, то достаточный тип для NqXc1 есть т, а для 2S° — СГт. В *117-108 мы находим арифметические вхождения в арифметические неравенства. Поэтому ПТ указывает нам принять первые два вхождения Nc‘a и первые два вхождения Nc‘P с достаточными действительными ти- пами. Тип Nc‘a и Nc‘P в Nc‘a = Nc‘P им не затрагивается. Очевидно, что соглашения IT и ПТ недостаточны, чтобы гарантировать истинность это- го предложения. Существенно, что в равенстве тип адекватно согласуется для обоих формальных чисел. На деле здесь используется общее ариф- метическое соглашение о том, что типы эквациональных, так же как и арифметических вхождений, согласуются арифметически. V. Некоторые важные принципы Принцип арифметической подстановки. В *120-53 применение ПТ тре- бует рассмотрения всего вопроса об арифметической подстановке. Рассмот- рим первый из двух примеров. Мы имеем F : Р = Y+Cd . э! Р . =>. ap = a7xca6. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
44 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ Ясно, что если мы не можем практически непосредственно перейти от “Р = у+с6 . аР = а^” к “аР = ауХс6” на основании *20-18, то теория типов сде- лает арифметику практически невозможной. Трудность возникает от при- менения ПТ. Положим, что мы приписываем типы сначала нашим сво- бодным переменным. Затем произвольно могут быть назначены типы а, Р, у, 6, и нет никакой необходимой связи между ними, возникающей при требовании сохранения смысла. Поэтому Р может быть в пределах типа, который недостаточен для у+с6. Предположим, что это как раз тот слу- чай. Эквациональное использование у+с6 имеет тот же самый тип, что и Р, и на основании ПТ арифметическое использование у+с6 в аУХсЬ нахо- дится в пределах достаточного типа. Ввиду этого рассуждение, основанное на *20-18, посредством которого оправдывается подстановка, ошибочно; два вхождения у+с6 на деле относятся к совершенно различным вещам. Для того чтобы обобщить разрешение этого затруднения, удобно опреде- лить термин “арифметическое равенство”. Арифметическое равенство есть равенство между чисто арифметическими формальными числами, чьи дей- ствительные типы оба детерминируются адекватно. Тогда очевидно, что из а = т./(т), где а и т есть формальные числа и т арифметически входит в Дт), мы не можем вывести До), если равенство о = т не является ариф- метическим, так как иначе т в равенстве не может быть отождествлено с т в Дт). Когда мы имеем “Р = т./(т)”, где т есть формальное число, а р —чис- ло определенного типа, и желаем перейти к “/(Р)” или от “Р = т./(Р)” — к Дт), имея арифметическое вхождение т в Дт), то тип Р может быть недостаточен для типа т. Соответственно, т в р = т не может быть отож- дествлено с т в Дт). Тип т в равенстве должен быть освобожден от зави- симости от типа р. Соответственно, указанный переход легитимен, лишь когда мы вместо того, что дается выше, можем написать “Р+с0 = т . f (т)” или “Р+сО = т./(Р)”, где в обоих случаях равенство является арифметическим. Сейчас все сим- волы подчиняются одним и тем же правилам. Если указанная модификация может быть сделана без изменения истин- ностного значения утверждаемого предложения, то подстановка легитимна, иначе — нет. Очевидно, что в вышеизложенном непосредственный переход осуществ- ляется либо к-, либо от /(р+с0)- Однако нетрудно видеть, что, имея ариф- метическое вхождение Р+с0, мы всегда имеем /(Р).^./(Р+сО). Для того чтобы это доказать, мы должны доказать лишь а+<? (Р+<?0) — схч-сО, ахс (Р+сО) = ахс0, (а+с0)р = аР, ар+с° - и а > р+с0. = . а > Р . = . а+с0 > р. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 45 Доказательство первого из этих предложений разворачивается следую- щим образом: F. *110-4. э I-p~eNC. V. 0 = Л: z>. р+сО = Л. а+с0 = Л . [* 110-4] z>. а+с (р+с0) = Л - а+ср (1) I-. *110-4. э I-а ~ е NC . V . а = Л: э. а+с (0+сО) = Л - а+ср (2) F. *110-6 . э I-а, р е NC - i‘A. э. а+с (р+с0) = а+с sm‘‘0 = а+с₽ (3) F. (1) • (2). (3). э Ь: а+с (₽+с0) = а+с₽ В приведенном доказательстве переход к (3) легитимен, так как, на ос- новании гипотезы, р есть детерминация sm“(3 в пределах достаточного типа. Аналогичные доказательства имеют место для других предложений, ис- пользуя при этом *113-204, *116-204, *117-12 и *103-13. Мы должны также рассмотреть условия, при которых мы можем перей- ти от “Р = т” к “Р+сО = т”, где последнее равенство арифметическое. Дру- гими словами, используя *65-01, мы требуем гипотезу, необходимую для Э!тТ1.р = т^.э.р+с0 = тТ1. Мы имеем h. *20-18. э : р = -ц . э . Р+с0 = т^+с0 (1) F . *110-35 . э : а! . а! . э . т^+с0 = Tn+c0 (2) h.(l).(2). э а*• Я-• э : Р • э • Р+с() = Тт1+с0 (3) ь • (3). э а! Р а! • => : Р = . D . р+с0 = ТП+СО (4) В (4) вхождения Р+с0 и тп+с0, которые находятся в пределах одного и того же типа, могут быть выбраны в пределах любого желаемого типа. Следовательно, мы выводим h . (4). *110-6 . э а! ₽ Я! • э : Р = • э • (Р+^О)^ = smf ‘тл . [*100-511] э.(р+с0)£ = Т£ Следовательно, а • Р есть необходимое условие. Так как £ может иметь любой тип, то мы также можем выбрать его в пределах любого экзистенци- онального типа т. Поэтому, применяя ПТ к арифметическому вхождению т в /(т), мы имеем, где т есть формальное число, а р —число в пределах определенного типа, Ь:а’Р.Р = т./(т).э./(Р), Ь:а’р.Р = т./(Р).э./(т), F : а! а. а = т . f (т). =>. f (а). В последнем предложении на основании IIТ равенство о = т арифме- тическое. Эти уравнения сводятся вместе в *118-01. Эти три фундаментальные теоремы заключают принцип арифмети- ческой подстановки. Гипотеза а • Р в действительности недостаточна по сравнению с обычными условиями; обычно молчаливо предполагается PeNC-i/A. На деле, если не принимать peNC, то Р = т необходимо ока- зывается ложным. Принцип отождествления типов. Положим, что мы доказали “ h : Нр . э . фа” и “ I-: ф (а^). э . р”, где а есть формальное число, чье вхождение в “ I-: Нр . э . фа” находится в пределах полностью неопре- деленного типа, а а^ есть то же самое формальное число с типом, А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
46 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ соотносящимся с типом £ на основании *65-01. Тогда, поскольку тип а в “ННр.э.фа” не определен, то мы можем написать “I-: Нр. э. ф(о^)”, откуда вывести ‘Т . р”. Этот принцип гласит: Полностью неопределенный тип в утверждаемой символьной форме может быть отождествлен с любым неопределенным ти- пом в той же самой символьной форме или, иначе, в любой другой утвер- ждаемой символьной форме. Например, в доказательстве *100-42, рассмотренном выше, поскольку входит з! р, A v, то первые вхождения Nc‘a и Nc‘(3 имеют один и тот же тип, и так же для их вторых вхождений в Nc‘a = Nc‘(3. Однако указан- ные два типа не детерминируются нашими соглашениями так, чтобы об- ладать необходимой связью. В действительности, тип в Nc‘a = Nc‘(3 абсо- лютно произволен. Соответственно, он может быть отождествлен с дру- гим типом, и поэтому переход к следующей строке доказательства, именно к “F : Нр . э . р = v”, оправдан. В случае арифметических равенств важно заметить, что мы имеем I-. *100-321-33 . э h а! Nc Й)‘а. z>: Nc (£)‘а = Nc (£)‘Р. э . Nc‘a = Nc‘p. Следовательно, если а и т являются формальным числами, то F 3! О£ . э : О£ = . э . о = т . Поэтому, если мы имеем “ F : Нр . а! э • о = т” и “ I-: Нр'. 0^=^ . э. р”, то мы можем вывести из первого предложения “I-: Нр . а’ ° • э • ат)=хп”’ а из него и из второго предложения — “ I-: Нр'. Нр . а! о. э . р”, так что общий принцип отождествления может быть применен, когда ф(а) в первом пред- ложении есть арифметическое равенство. Например, в приведенном выше примере, *100-44 (доказательство), I-: peNC . а! Nc‘a .а€ц.э.аР«Ц = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘0, равенство Nc‘a = Nc‘p является арифметическим. Соответственно, оправда- но утверждение пропозициональной функции I-: pcNC . а! Nc‘a. ае р. э . аР • И = Nc (a)‘P . Nc (a)‘a = Nc (a)‘P, где Nc(a)‘p в p = Nc(a)‘p предполагалось смысловой необходимостью. Поэтому имеется вывод I-: р е NC . а • Nc‘a. а е р. э . Nc (a)‘a = р. z>. Nc (a) = ц . Это доказательство теряет значение, когда на р смотрят как на перемен- ную необходимо одного и того же типа на всем его протяжении. В таком случае указанное предложение сводится к I-: р е NC . z>: а е р . = . Nc (a)‘a = р. Однако если р представляет собой формальное число, необходимо яв- ляющееся элементом NC, то предложение в действительности есть F : а! Nc‘a . э : а е р . = . Nc‘a = р . С этим предположением мы должны иметь в первой строке доказатель- ства “I-: 3 - Nc‘a. Nc‘a. = р. э . а ер,” хотя “р” одна и та же переменная, строка формально корректна в той форме, в какой она находится в тексте. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 47 Распознавание частных случаев. Важно отметить те условия, при ко- торых фо распознается как частный случай ф£, где £ есть реальная пере- менная, а о —формальное число. Сначала мы должны подставить aAZo‘? вместо а, где бы оно ни встретилось в фо, и получить ф(оСН(/^)- Затем мы можем обнаружить, что, применяя наши соглашения, мы можем заместить это посредством фо. Например, мы имеем *100-42. I-: ц, v е NC .д!цАу.э.р, = у Полагая Nc‘aAro‘H вместо ц, мы получаем I-Nc‘a А veNC . д! (Nc‘a А /о‘ц)n v • э • Nc‘a А = v (1) I-. (1). *100-41 . э I-: veNC д! Nc‘a A/o^v.d. Nc‘a А = v (2) Теперь на основании IT, даже когда v является формальным числом, тождественность типов двух вхождений Nc‘a в h : v eNC . д! Nc‘a A v . э . Nc‘a = v . гарантируется в равной мере. Таким образом, это частный случай *100-42. Вообще, такие определения могут быть даны без всякого явного формального утверждения. Неопределенность NC. Из типовой неопределенности Nc следует, что NC также типово неопределен (ср. *100-02 и *103-02). Следовательно, “peNC.veNC” в соответствии с нашими методами интерпретации ц и v не обязательно должны быть одного и того же типа. Мы всегда будем ин- терпретировать “ц, veNC” как замещение “peNC. veNC” и поэтому как не обязательно распознающее типы р, и v. Аналогично для NqC, NC induct, NC ind. Например, *110-402. I-: щ v e NqC . э . g! (p +c v) A f f (p, f v) Здесь ц и v не обязательно имеют один и тот же тип. С другой стороны, *110-41. h : щ v е N0C . Гц = Г v . э . g! (ц +с v) А Гр Здесь отождествление типов р и v требует гипотезы “fp = fv”. VI. Соглашения АТ и InfinТ Общее арифметическое соглашение. Соглашения IT и IIТ применяются всегда, однако следующее соглашение сперва не используется. Это соглаше- ние ограничивает сохраняющуюся неопределенность типа, отбрасывая те исключительные случаи низких типов из-за отсутствия экзистенциональ- ных теорем. Указанное соглашение будет упоминаться как АТ. АТ. Все равенства, содержащие чисто арифметические формальные числа, предполагаются арифметическими. Мы видели, что из арифметического равенства может быть выведено аналогичное равенство в пределах любого другого типа. Поэтому с АТ все равенства между формальными числами так детерминированы по ти- пу, что выводима их истинность в пределах “любого типа”. Таким об- разом, в нескольких первоначальных предложениях, где вводится А Т, это обстоятельство отмечается посредством утверждения, что равенства имеют место “в пределах любого типа”. Этими предложениями являются *103-16, *110-71-72. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
48 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ Эффект от применения АТ к другим предложениям из *100 состоит в том, чтобы сделать некоторые из гипотез (обычно логические формы, утверждающие существование) необязательными, а также ограничить круг этих предложений. Возьмем, например, *100-35. I-Я! Nc‘a. V . 3! Nc‘(3 : э : Nc‘a = Nc‘0 . = . a e Nc‘0. = . (3 e Nc‘a. = . a sm (3 Если мы применим к нему АТ, то мы можем записать Nc‘a = Nc‘(3 . = . aeNc‘(3 . = . (3 eNc‘a. = . a sm (3. Эквациональные вхождения Nc‘a и Nc‘(3 на основании AT и ПТ будут с достаточными действительными типами. Однако, если а есть меньший класс в пределах высокого типа, то достаточный действительный тип для Nc‘a будет высоким типом, в то время как g!Nc‘a, возможно, имеет ме- сто в пределах низкого типа. Поэтому с АТ ради простоты мы избегаем утверждения минимальности гипотез, необходимых для наших предложе- ний. При этом не затрагивается ни одна другая формулировка предложе- ний в *100. АТ не затрагивает ни одну формулировку предложений в *101, хотя оно и должно чрезмерно ограничивать область *101-34. В *110 АТ должно чрезмерно ограничивать область таких предложений, как *110-22-23-24-25-251-252-3-31-32-331-34-35-351-44-51-54, а также многих других, не изменяя их формулировки. Нет ни одного пред- ложения в *110, чью формулировку оно бы изменило. АТ уже применяет- ся к *110-71-72; если удалить АТ из указанных предложений, то 3!Nc‘a должно быть добавлено в качестве гипотезы к ним обоим. Влияние АТ на *113 и *116 полностью аналогично таковому на *110; ни в одном из этих параграфов нет ни одного предложения, к которому АТ применяет- ся в тексте. Что касается *117, то АТ применяется на всем его протяжении, так что все предложения имеют форму, подходящую для последующих иссле- дований с чисто арифметических позиций. Ради логических исследований важно проанализировать влияние АТ на представление предложений, осо- бенно в связи с *120. Во-первых, АТ может влиять лишь на предложе- ния, в которых встречаются равенства или не-равенства, а среди таких предложений оно не влияет на представление таких предложений, в кото- рых обе части равенств не являются формальными числами, так что после применения АТ равенства не являются арифметическими. Эти предложе- ния есть *117-104-14-24-241-243-31-551. Они характеризуются присутствием единственной буквы на одной из сторон любого входящего равенства и мо- гут распознаваться с первого взгляда. Предложения, включающие арифме- тические равенства, чье представление не изменяется при удалении АТ, есть *117-21-54-592. Предложения, включающие не-равенства, чье представ- ление не изменяется при удалении АТ, есть *117-26-27. Наконец, пред- ложения из *117, чье представление изменяется при удалении АТ, есть ♦117-108-211-23-25-3. В *118 и *119 АТ не используется. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 49 В *120, который посвящен тем свойствам индуктивных кардиналов, которые представляют логический интерес, АТ вообще не используется. Ни одно из предложений *117-108-211-23-25-3 не упоминается в *120 за ис- ключением *117-25 в доказательстве *120-435 в таком употреблении, ко- гда АТ нерелевантно. Применение АТ в *120 упростило бы гипотезы в *120-31-41-451-53-55 и ограничило бы область указанных предложений. Еще одно соглашение, которое мы будем называть “Infin Т”, требуется в определенных предложениях, где гипотезы подразумевают наличие ти- пов, в пределах которых каждый индуктивный кардинал существует, т.е. в пределах которых V не есть индуктивный класс. Среди таких гипотез Infin ах, g! Prog, э! Ко (или типово определенные формы этих гипотез) или /?eProg, или аеКо- Когда встречаются подобные гипотезы, мы будем пола- гать, что NC induct является всякий раз, когда это позволяет значимость, детерминированным в пределах такого типа, в котором каждый индуктив- ный кардинал существует, т.е. в котором имеет место аксиома бесконечно- сти (ср. *120-03-04). Формулировка этого соглашения следующая: Infin Т. Когда гипотеза предложения подразумевает, что найдется тип, в пределах которого каждый индуктивный кардинал существует, то каждое вхождение “NC induct” в это предложение предполагается взя- тым (если позволяют условия значимости) в пределах достаточно высо- кого типа, чтобы гарантировать существование каждого индуктивного кардинала. Отметим, что это соглашение было бы ненужным, если бы мы ограничи- ли себя одной экзистенциональной иерархией, так как в пределах любой одной такой иерархии все типы либо индуктивны, либо не индуктивны, так что если каждый индуктивный кардинал существует в пределах од- ного типа иерархии, то в точности то же самое имеет место для любого другого типа в этой иерархии. Однако когда мы больше не ограничиваем себя одной экстенсиональной иерархией, то указанный результат может не получаться. Например, это возможно в том случае, когда число индиви- дов индуктивно, а число предикативных функций индивидов не индуктив- но; во всяком случае не может быть выдвинуто никакого логического обос- нования против указанной возможности, которая может быть отвергнута лишь на основе эмпирических соображений, если вообще это может быть сделано. Способ использования этого соглашения может быть проиллюстрирован с помощью доказательства *122-33. Во второй строке этого доказательства мы показываем, что гипотеза влечет Е ! vR . э . Е ! (v+J)fl, (1) где на основании *121-04 vR = Rv-XBiR Df и посредством *121-02 Rv = ху {Noc7?(x Ну) = v+cl} Df. В дальнейшем будет видно, что эти определения не достаточны для того, чтобы детерминировать тип v. Следовательно, в (1) v слева, возмож- но, не имеет тот же самый тип, что v+cl справа. Применение *120-473 А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
50 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ в следующей строке доказательства *122-33 требует, чтобы v слева и v+J справа имели один и тот же тип. Это требует, чтобы v не было бы взято в пределах типа, в котором мы имеем g! v. v +С1 = А. Следовательно, чтобы применить *120-473, мы должны выбрать тип, в пределах которого все ин- дуктивные кардиналы существуют. Поскольку “fleProg” входит в гипотезу, то мы знаем, что все индуктивные кардиналы существуют в пределах ти- па С'R. Однако нет никакой необходимости ограничивать себя типом С‘7?, поскольку любой другой тип, в пределах которого все индуктивные кар- диналы существуют, в равной мере будет гарантировать справедливость доказательства. Таким образом, соглашение Infin Т гарантирует требуемое ограничение и не более того. Соглашение InfinТ часто релевантно, когда “Infinах” входит в гипоте- зу без какой-либо типовой детерминации. Всякий раз, когда это так, если “NCinduct” входит в предложение таким образом, что его тип остается неопределенным настолько, насколько это позволяется условиями значимо- сти, то оно принимается в пределах типа, для которого все его элементы существуют. VII. Заключительное действующее правило арифметики Сейчас (как только используется АТ вместе с InfinТ, когда необхо- димо) появляется возможность, наконец, оставить в стороне рассмотре- ние типов в связи с индуктивными числами. Комбинируя *126-121-122 и *120-4232-4622, мы видим, что всегда возможно взять достаточно высокий тип так, чтобы не было бы нулевого (А) определенно детерминированно- го индуктивного числа, а все индуктивные рассуждения могли бы иметь место в пределах этого типа. Более того, мы уже видели, что арифметиче- ские операции не зависят от типов компонент, пока они экзистенциональ- ны. Поэтому насколько это касается обычной арифметики конечных чисел, все соглашения (включая АТ) и необходимость для гипотез, касающаяся существования индуктивных чисел, в конце концов заменяются следующим единственным правилом: ПРАВИЛО НЕ-ОПРЕДЕЛЕННЫХ ЧИСЕЛ41. Тип, приписанный лю- бому символу, который представляет индуктивное число, таков, чтобы указанный символ не был равен А. Мы определяем *126-01. NC ind = NC induct - i‘A Df Всякий раз, когда символ “NCind” используется для класса “ не-определенных индуктивных кардинальных чисел”, применяется данное выше правило. Другими словами, “цеNCind” всегда может быть замещено посредством “p = Nc‘a. a e Cis induct”, где Nc‘a есть однородный или восходящий кардинал, а а есть подходящая постоянная или перемен- 41 В оригинале — rule of indefinite numbers. — Прим, перев. Principia Mathematica II
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФОРМАЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ 51 ная в зависимости от случая. В последнем случае символическая форма, такая как QO./QieNC ind, ц), может быть замещена посредством (ц, а). f (ц = Nc‘a. а е Cis induct, ц). Более того, на основании *120-4622 и указанного правила результат индуктивного продолжения посредством преобразования от одного типа к другому тот же самый, что и продолжение по индукции в пределах последнего указанного типа. Поэтому, например, нельзя достичь преиму- ществ из-за различия между 2| и 2Л; так как smT1“2^ = 2T1, sm^“2n = 2^, ц ч-с2^ — ц +с2п, ц хс2^ = ц Хс2ф 2^ — 2^ и ц 2j=. = . ц 2^ и т.д. Следовательно, все различия типов не-определенных индуктивных чи- сел могут быть опущены, а типы приняты как полностью не-определенные и иррелевантные. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел

ЧАСТЬ III. АРИФМЕТИКА КАРДИНАЛОВ

ВВЕДЕНИЕ К ЧАСТИ III В настоящей части мы будем иметь дело, во-первых, с определением и общими свойствами кардинальных чисел (глава 1); затем —с операция- ми сложения, умножения и экспоненциации, определения и формальные законы которых не требуют никакого ограничения на конечность чисел (глава 2); далее —с теорией конечного и бесконечного, которая в какой-то степени осложняется тем обстоятельством, что существует два различных понимания “конечного”, которые не могут (насколько известно) быть отож- дествлены без аксиомы умножения. Указанная теория конечного и беско- нечного снова будет развиваться в связи с сериями в главе 5 части V. Именно в этой части теория типов впервые становится релевантной на практике. Будет найдено, что противоречия, касающиеся максимального кардинала, разрешаются на основании этой теории. Мы поэтому посвяти- ли главу 1 настоящей части (за исключением двух параграфов, дающих соответственно наиболее элементарные свойства кардиналов вообще и свой- ства 0, 1 и 2) приложению типов к кардиналам. Каждый кардинал типо- во неопределен, и мы присваиваем типовую определенность посредством обозначений из *63, *64 и *65. Особенно там, где это касается экзистенци- ональных теорем, теория типов является существенной. Важность предло- жений настоящей части состоит не только в пронизывающих все изложе- ние гипотезах, необходимых для того, чтобы обеспечить заключения, но также и в типовой неопределенности, которая может быть допущена для символов, согласующейся с истинностью указанных предложений во всех случаях, в связи с этим включенных.

ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Краткое содержание главы 1 Кардинальное число класса а, которое мы будем обозначать “Nc‘a”, определяется как класс всех классов, подобных а, т.е. как p(psma). Это определение принадлежит Фреге и впервые было опубликовано в его “Основаниях арифметики”42; его символическое выражение и использова- ние находятся в его “Законах арифметики”43. Главные достоинства этого определения есть (1) то, что формальные свойства, которыми, как мы ожи- даем, обладают кардинальные числа, проистекают из этого определения; (2) то, что пока мы не примем этого определения или более сложного, на практике эквивалентного ему определения, необходимо трактовать кар- динальное число класса как нечто неопределимое. Следовательно, приве- денное выше определение позволяет избежать бесполезного неопределимого понятия вместе с сопутствующими ему примитивными предложениями. В дальнейшем будет замечено, что если х есть какой-либо объект, то 1 не является кардинальным числом для х, однако является таковым для i‘x. Это позволяет избежать затруднений, которые в противном случае возника- ют по отношению к классам. Предположим, мы имеем класс а, состоящий из множества термов; мы говорим, тем не менее, что он является одним 42 Breslau, 1884. Ср. особенно с. 79, 80. 43 Jena, Vol. I. 1893, Vol. II. 1903. Ср. т. I. §§ 10-12, с. 57, 58. Исчерпывающие дово- ды в пользу этого определения могут быть найдены во второй части “Принципов мате- матики”.
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 58 ЧИСЕЛ классом. Таким образом, он выглядит как единичное и множественное од- новременно. Однако фактически именно а представляет множественность, a Г х —единичность. В отношении нуля аналогичная точка зрения ясна еще больше. Предположим, что мы говорим “не существует короля Франции”. Это эквивалентно “класс королей Франции есть элемент класса 0”. Очевид- но, что мы не можем сказать, что “король Франции есть элемент класса О”, так как не существует короля Франции. Поэтому в случае 0 и 1 и с боль- шей очевидностью во всех других случаях кардинальное число относится к классу, а не к элементам класса. Для целей формального определения мы подвергнем формулу Nc‘a = p(p sm a) некоторому упрощению. В дальнейшем будет видно, что в соответствии с этой формулой “Nc” является отношением, именно отношением карди- нального числа к любому классу, элементом которого оно является. По- этому, например, 1 находится в отношении Nc к Гх; так же как и 2 — к Гх U Гу, при условии х # у. Отношение Nc в действительности являет- ся отношением ыЙ: snl‘a = Р (р sm а). Следовательно, с целью формального определения мы полагаем Nc = snl Df. Класс кардинальных чисел есть класс объектов, которые представляет собой класс объектов, которые являются кардинальными числами того или иного класса, т.е. объектов, которые для некоторого а равны Nc‘a. Мы называем класс кардинальных чисел NC; таким образом, мы имеем NC = ц {(да). ц = Nc‘a}. Для целей формального определения мы заменим эту формулу более простой NC = D‘Nc Df. В настоящей главе мы будем иметь дело с тем, что можно назвать чисто логическими свойствами кардинальных чисел, именно с такими, ко- торые не зависят ни от арифметических операций сложения, умножения и экспоненциации, ни от различия конечного и бесконечного44. Главная особенность, с которой мы будем иметь дело, в смысле важности и слож- ности есть отношение кардинального числа в пределах одного типа к тому же или ассоциированному кардинальному числу в пределах другого типа. Когда символ является неопределенным по отношению к типу, мы будем называть его типово неопределенным; когда либо всегда, либо в данном контексте он не является неопределенным в отношении типа, то мы будем называть его типово определенным. Символ “sm” является типово неопре- деленным; единственное ограничение на его тип есть то, что его область и обратная область должны обе состоять из классов. Кода мы имеем a sm р, то не нужно, чтобы аир были одного и того же типа, фактически в лю- бом типе классов существуют классы, подобные некоторому классу любого 44 Определения арифметических операций, конечного и бесконечного являются дей- ствительно чисто логическими, как и те, что идут перед ними; однако если мы где-то проведем границу между логикой и арифметикой, то арифметические операции кажутся естественной отправной точкой для начала арифметики. Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1 59 другого типа классов. Например, мы имеем i‘xsmi‘y, каким бы типам х и у ни принадлежали. Эта неопределенность “sm” выводится из таковой для 1 —> 1, которая в свою очередь выводится из таковой для 1. Мы обозначаем (ср. *65-01) через “ 1а” все единичные классы, которые имеют тот же са- мый тип, что и а. В таком случае (в соответствии с определением *70-01) 1а —> 1р будет классом тех одно-однозначных отношений, чья область при- надлежит тому же самому типу, что и а, а обратная область принадлежат тому же самому типу, что и р. Поэтому “1а-* 1р” является типово опреде- ленным, как только а и Р заданы. Предположим теперь, что вместо просто ysm6 мы имеем (3/0.Яе1а^ lp.D\R = y.CTfl = S; тогда мы знаем, что не только ysmS, но также и у принадлежит тому же самому типу, что и а, а 6 принадлежит тому же самому типу, что и р. Когда неопределенный символ “sm” представляется типово определенным, на основании того, что он обладает областью, определенной как принадле- жащей тому же самому типу, что и а, и обратной областью, определенной как принадлежащей тому же самому типу, что и Р, то мы записываем это как “sni(a,p)”, поскольку в общем, в соответствии с *65-1, если R есть ти- пово неопределенное отношение, то мы записываем /?(а,р) для типово опре- деленного отношения, которое возникает, когда область R предполагается состоящей из термов того же самого типа, что и а, а обратная область — из термов того же самого типа, что и р. Поэтому мы имеем Y sm(a>p)d . = . (аR). 7? с 1 a —> 1р . у = D7?. S = СГД. Здесь каждая конструкция является типово определенной, если а и Р (или их типы) заданы. Переходя теперь к отношению “Nc”, в дальнейшем будет видно, что оно разделяет типовую неопределенность “ sm” 45. Для того чтобы представить его типово определенным, мы должны вывести его из типово определен- ного “sm”. Пока ничего не добавляется, чтобы задать типовую определен- ность, “Nc‘y” будет означать все классы, принадлежащие одному (неспе- цифицированному) типу и подобные у. Если а есть элемент того типа, к которому эти классы принадлежат, то Nc‘y содержится в пределах типа а. Для этого случая удобно ввести следующие два обозначения, уже опреде- ленные в *65. Когда типово неопределенное отношение R предполагается представить как типово определенное только в отношении его области по- средством решения, что каждый элемент этой области предполагается со- держащимся в пределах типа а, то мы пишем “Я (а)” вместо R. Когда мы далее захотим детерминировать R как обладающее элементами обрат- ной области, содержащимися в пределах типа Р, то мы пишем “R(a, Р)” вместо R; и когда мы захотим, чтобы элементы обратной области были элементами типа Р, то мы пишем “R (ар)” вместо R. Поэтому sg‘{^(a,p)} = {sg‘7?} (ар) 45 В том смысле, что отношение “Nc” также является типово неопределен- ным. — Прим. ред. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 60 ЧИСЕЛ (ср. *65-2), и, в частности, так как Nc = sS, Nc (ар) = sg‘sm(a,0). Поэтому “Nc(ap)‘y” является значимым, только когда у принадлежит то- му же самому типу, что и Р, и в таком случае оно означает “классы того же самого типа, что и а и подобные у (который принадлежит тому же са- мому типу, что и Р)”. “Nc(ap)‘y” будет означать “классы того же самого типа, что и а, и подобные у”. Пока типы а и у известны, это есть ти- пово определенный символ, фактически равный Nc(a7)‘y. Следовательно, пока мы только желаем рассматривать “Nc‘y”, чья типовая определенность обеспечивается посредством записи “Nc(a)” вместо “Nc”. Когда мы переходим к рассмотрению NC, то Nc‘(a) более не являет- ся достаточным детерминированием, хотя оно достаточно для того, чтобы детерминировать тип. Допустим, мы полагаем NC₽ (a) = D‘Nc (ap) Df; мы имеем также, в силу определений из *65, NC (a) = NC П ?‘а = D‘Nc (а). Таким образом, NC (а) является определенным по отношению к типу, од- нако оно является областью отношения, чья обратная область является неопределенной по отношению к типу; в дальнейшем будет ясно, что суще- ствуют некоторые предложения о NC (а), чья истинность или ложность за- висят от детерминирования, выбранного для обратной области Nc (а). Сле- довательно, если мы желаем иметь символ, который являлся бы полностью определенным, то мы должны писать “NC₽ (a)”. Это положение является важным в связи с противоречиями, связанны- ми с максимальным кардиналом. Следующие замечания дополнительно это проиллюстрируют. Кантор показал, что если Р есть произвольный класс, то не существует класса, содержащегося в р и подобного СГр. Следовательно, в частности, если Р есть тип, то не существует класса, содержащегося ври подобного С1‘Р, который был бы следующим более высоким типом за р. В результате этого, если Р = a U - а, где а есть произвольный класс, то мы имеем ~ (Я Y) - ycaU-a.ysm СГ(а и - а). Теперь (ср. *63) мы полагаем fo‘a = aU-a Df и имеем fa = СГ(а U - а). Поэтому мы находим ~ (Я Y) • Y с to ‘а. у sm fa. Следовательно, Nc (ar‘a)‘fa = A. Те. не существует класса того же самого типа, что и а, имеющего так же много элементов, как и fa. Следовательно, также AeNC'a (a). Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1 61 Однако у с г0‘а. э . у е Nc (аа)‘у. э. g! Nc (аа)‘у, и Nc(aa)‘Y значимо, только когда у с Го‘а; следовательно, p,eNCa (а).эи.д!ц и A~eNCa (а). Обозначение “NC(a)” будет применяться в равной степени к “NCa(a)” и “NC' a(a)”; однако мы только что видели, что в первом случае мы бу- дем иметь A~eNCa(cx), а во втором случае — AеNCa (а). Следовательно, “NC(a)” не обладает достаточной определенностью, чтобы предотвратить практически важные расхождения между различными детерминациями, ко- торые этот символ способен приобретать. Обратная к приведенной выше процедура дает аналогичные результа- ты. Пусть а есть класс классов; тогда s‘a принадлежит более низкому типу, чем а. Рассмотрим NCja(a). В соответствии с *63 мы пишем fi‘a для типа, содержащего s‘a, т.е. для s‘a U - s‘a. Тогда наибольшим числом в классе NC* a (а) будет Nc(a)7i‘a; однако ни этот, ни любой меньший эле- мент класса не будет равен Nc(a)7o‘a, потому что, как и до этого, ~(gY)-ycri‘a.Ysmr0‘a. Следовательно, Nc(a)7o‘a, являющийся элементом NCa(a), не является элементом NC*a (а); однако NCa (а) и NC*a (a) с равным правом могут быть названы NC (а). Следовательно, “NC(a)” снова есть символ, недоста- точно определенный для многих наших целей. Решение указанного парадокса, касающегося максимального кардинала, является очевидным ввиду того, что было сказано. Этот парадокс состоит в следующем: он возникает из теоремы Кантора о том, что не существует максимального кардинала, так как для всех значений a Nc‘d‘a> Nc‘a. Однако на первый взгляд могло бы показаться, что класс, который содер- жит все, должен быть наибольшим 46 возможным классом и должен поэто- му содержать наибольшее возможное число термов. Мы видели, однако, что класс а должен всегда содержаться в пределах некоторого одного типа; следовательно, все, что этим доказано, так это то, что существуют боль- шие классы47 в пределах следующего типа, являющегося таковым от СГа. Так как всегда существует следующий более высокий тип, то мы поэтому имеем максимальный кардинал в пределах каждого типа, но не имеем аб- солютного максимального кардинала. Максимальный кардинал в пределах типа а есть Nc (a)‘(a U - a). Однако если мы возьмем соответствующий кардинал в пределах следую- щего типа, т.е. Nc (Cl‘a)‘(aU-a), то он не так велик, как Nc (СГа)‘СГ(а U - а), и поэтому не является макси- 46 В смысле — содержащим наибольшее число элементов. — Прим. ред. 47 В оригинале — greater classes. — Прим, перев. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 62 ЧИСЕЛ мальным кардиналом своего типа. Это дает нам полное решение рассмат- риваемого парадокса. Для большинства целей, чтобы обладать достаточным объемом типо- вой определенности, мы хотим знать не абсолютные типы а и Р, как вы- ше, а только то, что мы можем назвать их относительными типами. По- этому, например, аир могут быть одного типа; в этом случае Nc(ap) и NC^ (а) равны соответственно Nc (aa) и NCa (а). Мы будем называть кар- диналы, которые для некоторого а являются элементами класса NCa (a), однородными кардиналами, потому что “sm”, из которого они выведены, есть однородное отношение. Мы будем обозначать однородные кардиналы а посредством “Noc‘a”, а класс однородных кардиналов (в пределах неспе- цифицированного типа) — посредством “NoC”; таким образом мы полагаем Noc‘a = Nc‘a A fa Df, NoC‘a = D‘Noc Df. Большинство свойств NoC совпадают в пределах различных типов. Когда далее потребуется типовая определенность, то она может быть обеспечена записью Noc (a), NoC (а) вместо Nqc, NoC. Хотя Nc(a) и NC(a) не были полностью определенными, Nqc (а) и NoC (а) являются полностью опреде- ленными. Кроме того факта, что они имеют различный тип, единственное свойство, в котором NqC (а) и NoC (Р) различаются, когда а и Р принад- лежат различным типам, есть таковое в отношении величины кардиналов, принадлежащих им. Таким образом, предположим, что вся вселенная со- стоит (как утверждают монисты) из одного единственного индивида. На- зовем тип этого индивида “Indiv”. Тогда No С (Indiv) будет состоять из О и 1, т.е. NqC (Indiv) = i‘O U i‘ 1. Однако в следующем более высоком типе будут существовать два элемента, именно А и Indiv. Поэтому NoC (f Indiv) = i‘O U t‘l U l‘2. Аналогично NoC (f Indiv) = i‘O U i‘l U i‘2 U i‘3 U i‘4, элементами ff Indiv являются A A rTndiv, r‘A, rTndiv, f A U f Indiv; и так далее. (Наибольший кардинал в пределах любого типа, исключая самый низкий, всегда есть степень 2.) Максимум NoC(a) есть Noc‘fo‘a; однако кроме этого различия максиму- ма и его следствий, NoC(a) и NoC(P) не различаются ни в каких других важных свойствах. Следовательно, для большинства целей NoC и Nqc име- ют столь много типовой определенности, сколько необходимо. Среди кардиналов, которые не являются однородными, мы будем рас- сматривать три вида. Первые из них мы будем называть восходящими кар- диналами. Кардинал NC^ (а) называется восходящим кардиналом, если тип Р есть fa или ffa, или fffa, или и т.д. Мы пишем Г2‘а для ffa, и т.д. Мы полагаем N*c‘a = Nc‘a A f f a Df N2c‘a - Nc‘a A f r2‘a Df N3c‘a - Nc‘a A fr3‘a Df и т.д., Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1 63 и N1C = D‘N1c Df N2C = D‘N2c Df N3C = D‘N3c Df и т.д. Тогда мы, очевидно, имеем №C(ra)cN0C (Га). Мы также имеем (согласно тому, что было сказано ранее) Noc‘f а ~ е N1 С (Га). Следовательно, 3!N0C (Га)-№С(Га). Элементами NqC (Га) - N*C (Га) будут все кардиналы, которые превосходят Nc7o‘a, но не превосходят NcTa. Давайте вернемся для иллюстрации к нашей предшествующей гипотезе о вселенной, состоящий из единственного индивида. Тогда N^Tndiv будет состоять из тех классов, которые подобны “Indiv”, однако имеют следую- щий более высокий тип. Они представляют собой ГА и rindiv. В нашем случае мы имели Noc‘Indiv=l. Это приводит к N^Indiv = 1. N2c‘Indiv = 1 и т.д. либо, вводя типовую определенность, N1 с‘Indiv = 1 (rindiv). N2c‘Indiv = 1 (r2‘Indiv) и т.д. Мы имеем затем 1 (rindiv) eN1 С (rrindiv). Также 1 (rindiv) 6 NoC (rrindiv). И в предполагаемом случае 1 (rindiv) есть максимум N1 с (rrindiv), однако 2 (rindiv) е NoC (Гrindiv). Следовательно, N0C (rrindiv) - N!C (rrindiv) = Г2. Обобщая, мы видим, что N*C(ra) состоит из тех же самых чисел, что и NoC (а), тип каждого из которых увеличивается на одну ступень. Подобные предложения имеют место для N2C(r2‘a), N3C(P‘a) и т.д. Часто оказывается полезным иметь обозначение для того, что мы мо- жем назвать “тем же самым кардиналом в пределах другого типа”. Пред- положим, что ц есть типово определенный кардинал; тогда мы будем обо- значать посредством ц(1) тот же самый кардинал в пределах следующего типа, т.е. sm“p А Гц. Заметим, что если ц есть кардинал, то зт“цАц = ц; и независимо от того, является ли ц типово определенным или нет, sm“p А Га есть кардинал в пределах определенного типа. Если ц является типово определенным, то sm“pAZ‘a является полностью определенным; если ц является типово неопределенным, то зш“цАГа обладает тем же родом неопределенности, которая присуща NC (а). Наиболее важным является случай, когда ц является типово определенным и а находится к ц в задан- ном отношении по типу. Мы затем полагаем, как было замечено выше, ц(1) = sm“p А Гц Df ц(2) = sm‘ ‘цAt2‘ц Df и т.д. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 64 ЧИСЕЛ Если ц есть NqC, то есть N!C и ц(2) есть N2C и т.д. К!С(/‘а) будет состоять из всех чисел, которые имеют вид для некоторого ц, являю- щегося элементом NqC (а); т.е. №С (Га) = Ф {(др.). цеN0C (а). v = ц(1)}. Второй вид неоднородных кардиналов, которые будут рассматриваться, называется классом “нисходящих кардиналов”. Это кардиналы, которые пе- реходят в более низкий тип; т.е. Nc(a)‘P является нисходящим кардиналом, если а более низкого типа, чем р. Мы полагаем Nic‘a = Nc‘a П t‘t\ ‘a Df N2c‘a =Nc‘anr72‘a Df и т.д. NiC = D‘N1C Df N2C = D‘N2c Df и т.д. p,(i) = sm“p,nri‘p Df p,(2) = sm“p,nr2‘H Df и т.д. Мы, очевидно, имеем Noc‘a = Nic‘i“a. Следовательно, N0C (a)cNjC(a). Также yeNic‘S . э . Nic‘5 = Noc‘y, откуда glNjc^.o.Nic^eNoC, откуда NjC-^AcNoC. Поскольку также A ~ 6 NqC (a), то мы находим N0C = NiC-i‘A, и это предложение не требует никакой дополнительной типовой определен- ности, так как оно имеет место, как бы ни вводилась подобная определен- ность, памятуя при этом, что подобная определенность необходимо введена таким образом, чтобы обеспечить значимость. Далее, в силу того факта, что не существует класса, содержащегося в и подобного г‘а, мы имеем AeNiC (а). Следовательно, N1C = N0CUi‘A. Мы можем доказать точно таким же путем N2C = N0C U i‘A. Следовательно, N!C = N2C, и этот результат может, очевидно, быть распространен на все нисходящие кардиналы. Третий вид неоднородных кардиналов, подлежащих рассмотрению, мо- жет быть назван “относительные кардиналы”. Это те кардиналы, приме- нимые к классам отношений, находящиеся к заданному классу в заданном отношении по типу. Рассмотрим, например, Ыс‘бд‘к. (Мы будем принимать Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 1 65 это в качестве определения произведения чисел элементов к.) Предполо- жим, что к состоит из одного терма; мы хотим иметь возможность сказать Ыс‘ед‘к = NcTk . Мы имеем в этом случае, если к = i‘a, 6Д к = J, a“a, и мы знаем, что j,a“asma. Однако если мы просто полагаем Nc‘X a“a = Nc‘a, то наше предложение, хотя и не является ошибочным, требует осторож- ности при интерпретации. Коль скоро мы полагаем i“a€N1c‘a, то нам хо- телось бы иметь обозначение, придающее типовую определенность предло- жению Xa“aeNc‘a. Это обеспечивается так, как следует ниже. Используя обозначения из *64, полагаем Nooc‘a = Nc‘a n ffa/a Df No^a =Nc‘anfroba Df и т.д. NooC = D‘Nooc Df N01C = D‘N01c Df и т.д. P(oo) = sm‘‘pnr7ooVH Df и т.д. В таком случае мы имеем, например, i a“a с Го1 ‘а, т.е. X а“а е f/о1 а. Следовательно, |a“a€No1c‘a, где No1c‘a = Nc‘anr7o1‘a. Аналогично xet'a. э . ix“aeNooc‘a. Таким образом, приведенные выше определения дают нам то, что требу- ется. Для того чтобы завершить нашу систему обозначений для типов, мы нуждаемся в возможности выражения типа области или обратной области R, или любого отношения, чья область и обратная область находятся к об- ласти и обратной области R в заданном отношении по типу. Поэтому мы могли бы положить do7? = ro‘D‘/? Df Ьо‘Я = Го‘СГЯ Df (здесь “Ь” представляет собой зеркальное отражение “d”) doo7? = f‘(do‘tfTbo‘tf) Df = t‘R dmniR = ti(tmidoiR^tniboiR) Df и т.д. Это обозначение позволило бы нам иметь дело с нисходящими относи- тельными кардиналами. Однако оно не требуется в настоящей работе и поэтому не вводится среди занумерованных предложений. Когда типово неопределенный символ, такой как “sm” или “Nc”, встре- чается более чем один раз в данном контексте, то не должно предпола- гаться, если это не требуется условиями значимости, что он получает одну и ту же типовую детерминацию в каждом случае. Поэтому, например, мы будем писать “asmр. э . Psmа”, хотя если аир различного типа, то два символа “sm” должны получать различные типовые детерминации. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 66 ЧИСЕЛ Формулы, которые являются типово неопределенными или только ча- стично определенными по отношению к типу, не должны приниматься, ес- ли не каждая значимая интерпретация является истинной. Поэтому, на- пример, мы могли бы принять “ h . aeNc‘a ” потому, что здесь “Nc” должно означать “Nc(aa)”, так что единственная сохраняющаяся неопределенность есть таковая по отношению к типу а, и формула имеет место независимо от типа, к которому а могло бы при- надлежать, при условии, что “Nc‘a” значимо, т.е. при условии, что а есть класс. Однако мы не должны из “aeNc‘a” позволить себе вывести “3!Nc‘a”. Так как здесь условия значимости более не требуют, чтобы “Nc” означало “Nc‘(aa)”: оно могло бы также означать “Nc‘(Pa)”« И как мы видели, если Р более низкого типа, чем а, и а достаточно велик в своем типе48, то мы могли бы иметь Nc (Pa)‘a = A, так что “a!Nc‘a” недопустимо без предварительной проверки. Тем не ме- нее, как мы увидим в *100, существует определенное число предложений, которые должны быть сконструированы, о полностью неопределенных Nc или NC. 48 В оригинале — sufficiently large of its type. — Прим, перев. Principia Mathematica II
*100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 67 100. Определение и элементарные свойства кардинальных чисел Краткое содержание *100, В этом параграфе мы будем иметь дело только с такими непосредствен- ными следствиями определения кардинальных чисел, которые не требу- ют типовой определенности, за исключением таковой, которую могли бы дать неотъемлемые условия значимости. Мы вводим здесь фундаменталь- ные определения: *10001. Nc = sS Df *10002. NC = D‘Nc Df Определение “Nc” требуется в основном ради дескриптивной функции Nc‘a. Мы имеем * 100-1. h . Nc‘a = р (Р sm a) = Р (a sm Р) Это может быть сформулировано в различных эквивалентных формах, которые приведены в начале настоящего параграфа (*100-1—16). После нескольких предложений о Nc, как об отношении, мы переходим к эле- ментарным свойствам Nc‘a. Мы имеем * 100-3. h.aeNc‘a * 100-31. h : а е Nc‘P. = . р е Nc‘a . = . a sm р * 100-321. h : a sm р . э . Nc‘a = Nc‘p * 100-33. h: g! Nc‘aП Nc‘P . э . asm P Мы переходим далее к элементарным свойствам NC. Мы имеем * 100-4. h : p,eNC . = . (ga). р = Nc‘a * 100-42. h : р,, v е NC .g!pnv.o.p, = v * 100-45. h : p, e NC . a e p. э . Nc‘a = p * 100-51. h : p 6 NC . a e p . э . sm“p = Nc‘a Заметим, что когда мы имеем такую гипотезу, как “p,eNC”, то р хотя и может быть любого типа, должен быть некоторого типа; следователь- но, р не может обладать той же типовой неопределенностью, что и Nc‘a. Если мы положим p = Nc‘a, то это будет иметь место только в пределах типа р; однако “sm“p,” есть типово неопределенный символ, который будет представлять в пределах любого типа то же самое число, что и р,. Поэто- му “sm“p, = Nc‘a” есть равенство, которое применимо ко всем возможным типовым детерминациям “sm” и “Nc”. *100-52. h : peNC . 3! р . z>. sm“peNC Гипотеза glp, не является необходимой, однако мы пока не можем до- казать это, откладывая возможность доказательства до *102. Мы заканчиваем параграф некоторыми предложениями (*100-6—64), гласящими, что различные классы (такие как i“a), для которых уже было доказано, что они подобны а, имеют Nc‘a элементов. *100-01. Nc = snl Df *100-02. NC = D‘Nc Df *100-1. I-. Nc‘a = p (p sm a) = 0 (a sm p) [*32-13 . *73-31. (*100-01)] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 68 ЧИСЕЛ *10011. I-. Nc‘a = р ((дЯ) .Ле 1 -4 1. D‘R = a. dR = Р) [*1001. *731] *10012. F . Nc‘a = 0 {(дЯ) .Яе 1-> 1. ac D7?. 0 = Я“а) [*100-1. *73-11] *100-13. F . Nc‘a = G“(l -4 1 n fr‘a) = D“(l -> 1 n fra) Доказательство. F. *100-11 . *33-6 . z> F. Nc‘a = £ {(дЯ). R e 1 -»1. R e fr‘a. СГЯ = 0} [*22-33. *37-6] = Q“(l -> 1 n fra) (1) F. *100 1 . *73 1 . *33-61 . э F . Nc‘a = 0 ((дЯ).Яе 1 —> 1 .tfefra. СГЯ = 0} [*22-33. *37-6] = D“(l -»1 n fra) (2) F . (1) . (2) . э F . Prop *100-14. КМс‘а = р{(яЯ).асСГЯ.Я [ael -> 1 . p = fl“a] [*73-15 . *100-1] *100-15. F . Nc‘a = p {(g/?): E !!Я“а: x,y ea .R‘x = R‘y. dxj, . x = y: P = /?“a} Доказательство. F. *74-1-11 .э F E !! 7?“a : x,y ea .Rix = Riy. z>xy . x = y: P = /?“a: = : R Гae 1 -> Cis .acGJ?.R [ ae 1 -> 1. P = 7?“a (1) F. (1). *4-71 . *100-14 . э F. Prop *100-16. F . Nc‘a = p {(g/?)x,y ea. oXJ : R‘x = R‘y. = . x-yp = R“a] Доказательство. F . *71-59 . э F :: x9y ea. z>XJ -.Rix = R‘y . = .x = y:. = ./?fael —> l.ac Q7? (1) F. (1). *100-14 . э F. Prop *100-2. F.E!Nc‘a [*32-12. (*100-01)] *100-21. F.Q‘Nc = Cls Доказательство. F . *37-76 . (*100-01). э F . CTNc c Cis (1) F . *33-431 . *100-2 . oF.ClscCTNc (2) F . (1) . (2) . э F . Prop *100-22. F . Nc e 1 -> Cis [*72-12 . (*100-01)] *100-3. F.aeNc‘a [*73-3. *100-1] Заметим, что ошибочно выводить g!Nc‘a по причинам, разъясненным во Введении к настоящей главе. *100-31. F: a е Nc‘p . = . р е Nc‘a. =. a sm р [*32-18 . *73-31. (*100-01)] *100-32. F: a е Nc‘P . p e Nc‘y. э . a e Nc‘y [*100-31. *73-32] *100-321. F : a sm p . э . Nc‘a = Nc‘P Доказательство. F . *73-37 . э F Hp. э : у sm a. =Y . у sm p : [*100-1] э : Nc‘a = Nc‘P э F . Prop Заметим, что Nc‘a = Nc‘P. э . asm p не всегда истинно. Мы могли бы поддаться искушению доказать это следующим образом: F . *100-1 . э F Nc‘a. = Nc‘P. = : у sm a. =Y . у sm р : [*10-1] э : a sm a. = . a sm P: [*73-3] э: asmP Principia Mathematica II
♦ 100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 69 Однако использование *104 здесь является легитимным, только ко- гда рассматриваемый “sm” является однородным отношением. Если Nc‘a, Nc‘p есть нисходящие кардиналы, то мы могли бы иметь Nc‘a = А = Nc‘p без asmp. *100-33. h : з! Nc‘a A Nc‘P . э . a sm Р Доказательство. h . *100-1 . э h : Нр . э . (ay). у sm a . у sm P. [*73-31] э . (эу). a sm у. у sm P. [*73-32] э. a sm p: э F . Prop Заметим, что мы не всегда имеем a sm Р . э . а! Nc‘a П Nc‘P . Так как если рассматриваемое Nc есть нисходящее Nc, и а и Р являются достаточно высокими, то Nc‘a и Nc‘p могли бы оба быть А. Например, мы имеем СГ(а U - a) sm СГ(а U — а). Однако Nc (а)‘С1 (a U - а) = А, так что ~ 3! Nc (а)‘СГ(а и - a) A Nc (а)‘СГ(а и - а). Поэтому “asm р . э . 3! Nc‘a П Nc‘P” не всегда истинно, когда значимо. *100-34. h : а Nc‘a A Nc‘p . z>. Nc‘a = Nc‘p [*100-33-321] *100-35. F а • Nc‘a. V . а! Nc‘P : э : Nc‘a = Nc‘P. = . aeNc‘P . = . P eNc‘a. = . asm P Доказательство. h . *22-5 . эНр. э : Nc‘a = Nc‘P .0.3! Nc‘a A Nc‘p . [*100-33] D.asmP (1) h.(1). *100-321 . э Нр. э :Nc‘a = Nc‘P . = . asmp (2) h . (2). *100-31 . э К Prop Поэтому единственный случай, в котором импликация в *100-321-33-34 не может быть заменена эквивалентностью, есть случай, в котором Nc‘a и Nc‘p оба есть А. *100-36. Н. р е Nc‘a .э:а!а. = .а!р [*100-31. *73-36] *100-4. F : ц е NC . = . (а«) • Ц = Nc‘a [*37-78-79 . (*100-02-01)] *100-41. h . Nc‘a e NC [*100-4-2 . *14-204] *100-42. I-: ц,veNC .a’H^v.D.p, = v Доказательство. h . *100-4 .oh: Нр. э . (aa, P). (i = Nc‘a. v - Nc‘P . 3! Nc‘a A Nc‘P . [*100-34] э . (aa, P). ц = Nc‘a. v = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P . [*14-15] э . ц = v : э h . Prop *100-43. h .NCeCis2excl [*100-42 . *84-11] *100-44. h ц e NC . 3! Nc‘a . э : a e |i . = . Nc‘a = ц Доказательство. h . *100-3 .oh: Nc‘a = (i. э . a e ц h . *10-24 . э h : ц 6 NC . 3! Nc‘a . a e ц . э . p,eNC . а - H • Э - Nc‘a. аец. (1) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 70 ЧИСЕЛ [*100-4] э . (аР). ц = Nc‘0 . g! Nc‘P. 3! Nc‘a. aeNc‘0 . [*100-35]d . (а P). p = Nc‘P . Nc‘a = Nc‘P. [*14-15] o.Nc‘a = p (2) F . (1). (2). э F . Prop *100-45. F: p e NC . a e p. э . Nc‘a = p [*100-4-31-321] *100-5. F : p e NC . a, P 6 p. э . a sm P Доказательство. F . *100-4 . э F: Нр . э . (ау) • p = Nc‘y. a, P e Nc‘y. [*100-31] э. (ay). a sm у. P sm у. [*73-31-32] э . a sm P : э F . Prop *100-51. F : peNC .aep.D. sm“p = Nc‘a Доказательство. F . *100-5 . Fact .DF:.Hp.D:P6p.ysmp.D.asmp.ysmp. [*73-31-32] o.asmy. [*100-31] z>.yeNc‘a (1) F. (1). *10-11-21-23 . *37-1 .эННр. э.зт“цсNc‘a (2) F . *100-31. э F:. Нр . э : у 6 Nc‘a. э . у sm a . a e p . [*37-1] D.yesm“p (3) F . (2). (3). э F . Prop *100-511. F: 3! Nc‘P . э . sm“Nc‘P = Nc‘P Здесь последнее “Nc‘P” могло бы принадлежать отличному от других типу: предложение имеет место, как бы ни был детерминирован его тип. Доказательство. I-. *100-51-41. э F : aeNc‘P . э . sm“Nc‘P = Nc‘a [*100-31-321] =Nc‘P (1) F. (2). *10-11-23. dF. Prop *100-52. F : peNC . g! p. э . sm“peNC [*100-51-4] Это предложение все еще имеет место, когда р = А, однако доказатель- ство является более сложным, так как оно зависит от доказательства того, что каждый нуль-класс классов есть некоторый NC, что в свою очередь зависит от доказательства того, что СГа не подобен а или любому классу, содержащемуся в а. *100-521. F : peNC . 3! sm“p. э . sm“sm“p = р Доказательство. F . *37-29 . Transp . э F:. Нр. э : а! р: [*100-52] э : sm“peNC : [*100-51 .Нр] D:y6sm“p.D.sm“sm“p = Nc‘y (1) F . *37-1. Fact. э F : Нр.у 6sm“p. э . (за). аер. peNC .у sma. [*100-45-321] э . (за). Nc‘a = р. Nc‘y = Nc‘a . [*13-17] э . Nc‘y = p (2) F . (1). (2). э F :. Нр . у esm“p. э . sm“sm“p = p (3) F . (3). *10-11-23-35 . э F . Prop Principia Mathematica II
*100. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 71 *100-53. h 3! ц. з! v. э: peNC . v = sm“p,. = . veNC . ц = sm“v Доказательство. I-. *100-52 . oh:. Hp. э: ^eNC . v = sm“p. э . veNC (1) h . *100-521. э h:. Hp. э : p,eNC . v - sm“p, . d . |i = sm“v (2) h . (1). (2). oh Hp. э: ^eNC . v - sm“p,. э . veNC . ц - sm“v (3) h . (Э). (3)^ -oh. Prop *100-6. h.i“a6Nc‘a *100-61. b . 0 {(3^). у e a. 0 = i‘x U iAy} e Nc‘a *100-62. h . x J/‘a6Nc‘a *100-621. h . J,x“ct6Nc‘a *100-63. h . бдЧ‘а e Nc‘a *100-631. h . В“бдЧ‘абМс‘а *100-64. Ь : кe Cis2excl. э . В“ед‘кс Nc‘k [*73-41 .*100-31] [*73-27 . *54-21 . *100-31] [*73-61 .*100-31] [*73-611 .*100-31] [*83-41 .*100-31] [*83-7. *100-6] Доказательство. h . *84-3 . *80-14 . э h : Hp./?ббд‘к. э . R e 1 -► 1 . к = СГЯ . [*73-2 . *100-31] э . D7?eNc‘k: oh . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 72 чисел *101. О 0, 1 и 2 Краткое содержание *101. В настоящем параграфе мы должны показать, что 0, 1 и 2, как было определено ранее, являются кардинальными числами в том самом смыс- ле, который был определен в *100, и добавить несколько элементарных предложений к тем, касающимся их предложениям, которые уже были да- ны. Мы доказываем (*101-12-241), что 0 и 1 не есть нуль, что не может быть доказано с нашими аксиомами для любого другого кардинала, исклю- чая (в случае финитных кардиналов) возможность, когда тип специфициро- ван как достаточно высокий. Таким образом, мы доказываем (*101-42-43), что 2cis и 2й,е1 существуют; это следует из и A=#V. Мы доказываем (*101-22-34), что 0, 1 и 2 все отличаются друг от друга. Мы доказываем (*101-15-28), что sm“0 = 0 и sm“l = l, однако мы не можем доказать, что sm“2 = 2, если мы не предполагаем существования, по крайней мере, двух индивидов, или определяем сначала 2 в “sm“2 = 2” как 2 некоторого типа, отличного от 2indiv, где “Indiv” есть тип индивидов. Следует заметить, что так как 0, 1 и 2 типово неопределенны, то их свойства аналогичны свойствам “Nc‘a” в большей мере, чем свойствам ц, где peNC. Например, мы имеем *100-511. F : з! Nc‘P. э . sm“Nc‘P = Nc‘fJ но мы не будем иметь p.cNC . g! ц. э. sm“p, = ц, если встречающийся здесь символ “sm” является однородным, так как в иных случаях эти символы не выражают значимого предложения. Тем не менее в *100-511 возможна подстановка 0, 1 или 2, и предложение при этом остается значимым и истинным. В действительности мы имеем (*101-1-2-31) I-. 0 = Nc‘A. 1 = Nc i‘x. 2 = Nc‘(iTx U i‘A), где 0, 1 и 2 обладают неопределенностью, соответствующей неопределен- ности символа “Nc”. *101-1. F.0 = Nc‘A [*73-48. *100-1] *101-11. F.OeNC [*101-1. *100-4] *101-12. F.g!O [*51-161. (*54-01)] *101-13. F . g! 0 П СГа. A e 0 П Cl‘a [*51-16 . *60-3] *101-14. F : Nc‘y = 0. = . у = A Доказательство. F . *101-1-12 . э F: Nc‘y = 0 . = . Nc‘y = Nc‘A . 3! Nc‘A. [*13-194] = . Nc‘y = Nc‘A. 3! Nc‘A. 3! Nc‘y • [*100-35] = . у eNc‘A. 3! Nc‘A. 3! Nc‘y • [*101-1. *54-102] = . у = A. 3! Nc‘A. 3! Nc‘y. [*101-1-12. *13-194] = . у = A: э F . Prop *101-15. F.sm“0 = 0 Доказательство. F . *37-1. э F : y6sm“0. = . (3a).acO.ysma. Principia Mathematica II
*101. О 0. 1 и 2 73 [*54-102] = . ysmA. [*73-48] = . у e 0: э К Prop *101-16. I-^ieNC - i‘0 . d : aep. эа . 3! a Доказательство. F . *100-45 . э F : p e NC . Л e ц. э . p = Nc‘A [*101-1] = 0 (1) F.(1). Transp . d F ц e NC - i‘0. э : Л ~ e ц : [*24-63] э : йец. эа . g! aэ F . Prop *101-17. F : AeNc‘q . = . Nc‘a = 0. = . Nc‘a = Nc‘A. = . a = A Доказательство. F . *100-31-321. э h : A e Nc‘a. э . Nc‘a = Nc‘A. [*101-l] э . Nc‘a = 0 (1) 1-. *101-13. э F : Nc‘a = 0 . э . AeNc‘q (2) h.(l).(2). э F : AeNc‘a . = . Nc‘a = 0 (3) [*101-1] = . Nc‘a = Nc‘A . (4) [*101-14] = . a = A (5) F . (3). (4). (5). э F . Prop *101-2. F. 1 = NcTjc [*73-45 . *100-1] *101-21. F.IeNC [*101-2 . *100-4] *101-22. F.1/0 Доказательство. F . *52-21. *101-13 .z>F.A~e1.Ae0. [*13-14] dF.1/0 *101-23. h.lnO = A Доказательство. F . *52-21. Dhael.D.a/A. [*54-102] d.o-eO (1) F.(1). *24-39 . э F . Prop *101-24. F : g! a. э . g! 1 n Cl‘a Доказательство. F . *52-22 . *60-6 . э F : xeq . э . l‘xe 1 А СГа (1) F. (1). *10-11-28 . э F. Prop *101-241. F:g! 1 [*52-23] *101-25. F:aEl.pca.p/a.o.pE0 Доказательство. F . *52-64. *22-621 .э h:ae1.p c a.э.₽€ 1 U0 (1) F . *52-46 . DF:a,pEl.pca.D.p = a: [Transp] DF:a€l.pca.p/a.D.p~€l (2) F . (1). (2). э F . Prop *101-26. F . .у‘СГ‘1 =0u I Доказательство. F . *60-371. *40-43 . э F. s‘Cl“l cOU 1 (1) F . *60-3-34. э F . Л e С1Ч‘х. Cx e CITx. [*52-22 . *40-4] э F . Ле.у‘СГ‘1 . i‘xes‘C1“1 . A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 74 ЧИСЕЛ [*51-2 . *52-1]э F. О с 5‘С1“1. 1 с л‘С1“1 (2) F . (1). (2). э F . Prop *101-27. F . 1 = a {(gx). х е а . а - i‘x е 0} Доказательство. F . *54-102 . э F : (эх) .xea.a-i‘xe0. = . (gx). хе а. а - i‘x = А . [*24-3] = . (gx). х е а. а с i/x. [*51-2] = . (gx). а = i‘x. [*52-1] = . а е 1: э F . Prop *101-28. F.sm“l = l Доказательство. F . *37-1. э F : Y6sm“l. = . (ga). ae 1 . ysma. [*52-1] = . (gx). у sm t‘x. [*73-45] = . y 1: э h . Prop *101-29. F : i‘xeNc‘a. = . Nc‘a = 1. = . Nc‘a = Nc‘i‘x. = . ae 1 Доказательство. F . *100-31-321. э F: i‘xeNc‘a . э . Nc‘a = Nc‘i‘x. [*101-2] o.Nc‘a=l (1) F. *52-22. э F : Nc‘a = 1 . э . i‘xeNc‘a (2) F . (1). (2). э F: i‘xeNc‘a . = . Nc‘a = 1. (3) [*101-2] = . Nc‘a = Nc‘i‘x (4) F. *101-2. *52-1. э F : ae 1. э . Nc‘a = 1 (5) F . *100-3. э F : Nc‘a = 1 . э . a e 1 (6) F . (3). (4). (5). (6). э F . Prop *101-3. F : x / у . э . 2 = Nc‘(i‘x U i‘y) Доказательство. F . *73-71-43. *51-231. э F:. Hp. э: z / w. z>. (i‘z U i‘w) sm(i‘xU i‘y): [*54-101] э: P e 2. э. P sm (i‘x U i‘y): [*100-1] d:2cNc‘(l‘xUl‘y) (1) h. *53-32.*71-163.oh:/?el 1 .xjed‘/?.D.^u(L‘xUi‘y) = iTxUi‘/?‘y (2) F. *71-56. Transp. oF:Hp./? el -4 1. x,ye CI 7?. э .R'x^R'y (3) F. (2). (3). *54-26. oh :.Hp. э :Re 1 -4 1. x,ye CI 7?. P = /?“(i‘xUi‘y). d. Pe2: [*10-11-21-23. *51-234] э: (gfl). Re 1 -► 1. i‘xU i‘y c (TR. p = /T(i‘xU i‘y). э.ре2: [*73-12. *100-1] э: Nc‘(i‘xU i‘y) c 2 (4) F. (1). (4).dF .Prop *101-301. F . 2 = a {(gx). xea . a - i‘xe 1 [*54-3] Сравнивая *101-31 c *101-1-2-3, следует заметить, что i‘x и А оба явля- ются классами, в то время как в *101-1-2-3 не было ограничений по типу, кроме ограничений, наложенных условиями значимости. *101-31. F . 2 = Nc‘(i‘i‘x U i‘A) Доказательство. F. *51-161. dF.i‘x/A (1) F . (1). *101-3 . э F . Prop Principia Mathematica II
• 101. О 0, 1 и 2 75 *101-32. H2eNC [*101-31. *100-4] *101-33. На, 0el.an|3 = A.z >.аи|}б2 [*54-43] *101-34. Н 2/0.2/1 Доказательство. Н *101-13. э F. ЛеО (1) 1-. *101-301. [*24-63] DF:ae2.D.a!a: э F . Л~б2 (2) 1-. (1). (2). *13-14 dF.2/0 (3) h . *52-22 . *54-26. [*13-14] *22-56 . э F . t‘y с 1 . i‘y ~ е 2. dF.1/2 (4) F . (3). (4). э F . Prop *101-35. F.2nO = A.2nl=A [*100-42 . Transp. *101-ll-21-32-34] *101-36. Ь:аб2.рса.р/а.э.Рб0и1 Доказательство. F . *54-42 . э1-:аб2.рса.э!р.р/а.э.ре1 (1) F. *54-102. DH-glp.D.peO (2) F . (1). (2). э F . Prop *101-37. F . $‘Cl“2c0U 1 U2 [*54-411] *101-38. Нд!2.э..у‘СГ‘2 = 0и 1 U2 Доказательство. F.*60-3. э F : Нр . э . (да). ae2 . ЛеСГа . [*40-4] z>.Aes‘Cl“2. [*51-2] э.Ос.у‘СГ‘2 (1) I-. *60-34. z>h.2c j‘Cl“2 Ь . *54-101. э H: Нр. э(gx,y). x/y:. (2) [*13-171. Transp] э(gx,y)(z): z / x. V . z / у:. [*54-26] z>(gx,y)(z): i‘zU i‘xe2. V . i‘zU i‘ye2 [*11-26. *22-58] э (z)(да, P): ae2. I'zeCl'a.V.pe2. i‘zeCl‘p:. [*40-4] э (z). i‘zes‘Cl“2:. [*52-1] d:. las‘Cl“2 1-. (1). (2). (3). *101-37 .oh. Prop (3) * 101-4. F : (ax, y). x / у. = . a! 2 Доказательство. F . *54-26 . z>F:x/y.D.a!2: [*11-11-35] э h : (ax,y). x/y. э . a! 2 (1) F . *54-101. э F : a e 2 . э . (ax, у). x / у: [*10-11-23] oh: a’. 2.э.(ах,у).х/у (2) F . (1). (2). э F . Prop Когда мы рассматриваем низший тип, встречающийся в контексте, то наших посылок недостаточно, чтобы доказать (эх,у).х/у. Для каждого другого типа49 это может быть доказано. Таким образом, Л/V и A/V дают требуемый результат для классов и отношений соответственно. 49 Имеется в виду любой другой тип, отличный от самого низшего. — Прим. ред. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 76 ЧИСЕЛ * 101-41. h : (gx). i‘x / V. = . g! 2 Доказательство. h . *24-14 . Transp . э h (gx). i‘x / V. = : (gx): (gy). у ~ e i‘x: [*51-15] = '(№,у).х}у. [*101-4] = : g! 2 э h . Prop * 101-42. h . g! 2cis • t4A U l‘V 6 2qs Доказательство. h . *20-41. *24-1. э h . A, V e Cis . A / V h . (1). *54-26 . э h . t‘A U i‘V e 2 . i‘A U i‘V c Cis. [*63-371-105] эН i‘AUi‘Ve2 П f Cis. [(*65-01)] э h . i‘A U t‘V e 2cis .oh. Prop *101-43. h . g! 2Re> [Доказательство аналогично *101-42] (1) Principia Mathematica II
102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ 77 *102. О кардинальных числах заданных типов Краткое содержание *102. В этом параграфе мы будем рассматривать типово определенное отно- шение “Nc”, т.е. мы будем рассматривать отношение класса ц тех клас- сов у, которые подобны S и принадлежат тому же самому типу, что и а, к классу S, который задан как класс, принадлежащий тому же самому типу, что и р. Мы будем полагать, что H = Nc (ар)‘6, yeNc (ар)‘5, у sm(a,p)S, и класс всех таких чисел, как ц, для заданных аир мы будем называть NCP (a), так что NC₽ (a) = D‘Nc(ap). Обозначения, вводимые здесь для придания типовой определенности символам “sm” и “Nc”, являются таковыми, определенными в *65 для лю- бого типово неопределенного отношения. На основании *63-01-02 мы имеем, что если а является типово неопре- деленным символом, то h . ах = а П Г‘х, h . a (х) = a П fi‘x. Таким образом, I-. a (х) = at‘X. Если мы применим данное определение к 1, то “ 1Х” не имеет смысла, если х не является классом; мы поэтому вместо х пишем греческую букву и имеем К 1р= 1 ПГ‘р= 1 n(i‘pU-i‘p). Если хер, то мы будем иметь i‘x = Р . V . i‘x / ~ р. Следовательно, h : хе Р. э . i‘xe 1р. Аналогично И : х ~ е р . z>. i‘xe 1р. Поэтому h : хбГо‘Р • э • 1р. Обратная импликация также имеет место, так что h : хбГо‘Р • = • 1р. Следовательно, 1р составлено из всех единичных классов, единственные элементы х которых либо являются, либо не являются элементами Р, т.е. для которых “хер” значимо. В “хеГо‘Р • э . С хе 1р” гипотеза дает всегда, когда это требуется, явное условие значимости; таким образом, “i/xelp” всегда истинно, когда значи- мо, и всегда значимо, когда хсГо‘Р- По поводу интерпретации отрицания утверждений, касающихся типов, см. замечание в конце этого параграфа. Следует отметить, что все постоянные отношения, представленные в данной работе, являются типово неопределенными. Рассмотрим, напри- мер, A, sg, 5, 5, /, и, е, Cl и <R. Все они обладают большей или меньшей типовой неопределенностью, однако все они обладают тем, что мы будем называть относительной типовой определенностью, т.е. когда задан тип А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 78 чисел релятива, то также задан и тип референта. (По отношению к D неспра- ведливо, что, наоборот, когда тип референта задан, то также задан и тип релятива.) Однако символы “sm” и “Nc” не обладают даже относитель- ной определенностью. Когда тип релятива задан, тип референта становится не более определенным, чем ранее; единственное ограничение есть: реля- тив для “sm” или “Nc” должен быть классом, референт для “sm” должен быть классом, и референт для “Nc” должен быть классом классов. Когда отношение R обладает относительной определенностью, достаточно зафик- сировать тип релятива; и если к тому же R е 1 э Cis, так что R приводит к дескриптивной функции, то “7?‘у” обладает полной типовой определен- ностью, как только тип у задан. Постоянные отношения, введенные до на- стоящего момента, за исключением “sm” и “V”, все являлись отношения- ми один—много и использовались почти исключительно в форме дескрип- тивных функций. Следовательно, не требовалось специального обозначения для задания типовой определенности, так как “Я‘у” при этих обстоятель- ствах обладает типовой определенностью, как только у предписано. Но при рассмотрении “sm” и “Nc”, которые не обладают даже относительной опре- деленностью, становятся необходимыми явные средства задания типовой определенности. Следует заметить, однако, что “Nc‘5” обладает типовой определенностью, когда 5 известен, поскольку область “Nc” обладает ти- повой определенностью, так как 5 должен принадлежать обратной области. Ради этого и подобных случаев мы ввели два определения в *65, которые лишь придают типовую определенность области. В силу определений из *65, если R есть типово неопределенное отно- шение и х есть референт, то R становится Rx; если к тому же у есть ре- лятив, то R становится R(x,y)- Если х есть референт для R, то мы имеем и 7?‘y6D‘7?. Поэтому D‘7? обладает элементом типа, следую- щего более высокого, чем тип х, т.е. типа i‘x. Таким образом, Ksg‘(/?x) = (^)(x) И I- • sg‘|/?u,?)( = (7?) (ху), как было доказано в *65. Следовательно, в частности, I-. sg‘(sm(a>₽)) = Nc (a₽). Главным образом по этой причине и стоит ввести определение R(xy). В силу сказанного выше мы имеем, как будет доказано в *102-46, что h : у е fa. 5 е . у sm 5 . = . у е Nc (ap)‘5. Что касается “Nc(a)”, которое интерпретируется посредством *65 04, необходима некоторая предосторожность. Он будет означать некоторое од- но из тех типово различных отношений, называемых “Nc”, которые обла- дают областями, состоящими из термов того же самого типа, что и а. Од- нако это не означает логической суммы всех таких отношений, так как эти отношения являются отношениями различных типов соответственно тому, как различаются по типу их обратные области, и поэтому их логическая Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ 79 сумма не имеет смысла. Поэтому, например, если тип (3 ниже или равен типу а, то мы будем иметь h.glNc (а)‘Р, откуда, если “Nc(a)” имеет своей обратной областью область, состоящую из термов того же самого типа, что и р, то h.A~eD‘Nc (a). Однако если р более высокого типа, чем а, то мы найдем, что h.AeD‘Nc (a). Поэтому “Nc(a)” никоим образом не детерминировано. В точности такие же замечания применимы к NC (а). Мы имеем h.NC (a) = D‘Nc (а); поэтому “NC(a)” наряду с “Nc(a)” является неопределенным. Проблема состоит в том, зависит ли “AeNC(a)” от разрешения указанной неопреде- ленности. Трудность состоит в том, что “NC(a)” обозначает область любо- го одного детерминирования “Nc”, которое обладает областью, состоящей из объектов типа i‘a; однако она являётся областью лишь одного подобно- го детерминирования “Nc”, так как различные детерминирования облада- ют различными типами и поэтому не могут быть сведены воедино, даже когда их области все обладают одним и тем же типом. Вследствие указан- ной неопределенности “NC(a)” представляет собой символ, который, как правило, лучше всего избегать, а “Nc(a)” редко оказывается полезным, ис- ключая его появление в качестве дескриптивной функции, и в этом случае релятив обеспечивает необходимую типовую определенность. Особенность символа “NC(a)” состоит в том, что он типово опреде- ленный, и еще в способности иметь различный смысл: он не определен в целом, будучи определен как область отношения, чья обратная область является типово неопределенной. В результате мы не можем с пользой для дела сделать “NC” полу-определенным, как “NC(a)”, однако мы должны сделать его полностью определенным, как мы делаем, принимая D‘Nc(ap). С этой целью мы принимаем обозначение NC^ (а). Мы не можем принять ни обозначение NC (ар), так как оно вступило бы в конфликт с *65-11, ни обозначение NC(a)p, поскольку это привело бы к конфликту с *65-01, ни NCp (а) по той же самой причине. Но NC^ (а) не обладает ранее определен- ным смыслом. Мы можем, если пожелаем, трактовать NC^ как D‘(Nc Г г‘р). В таком случае требуемый смысл “NC^(a)” проистекал бы из *65-04. Од- нако так как таким образом определенный символ NC^ не требуется, то проще трактовать “NC^(a)” как единый символ. Мы поэтому полагаем *102-01. NCp (a) = D‘Nc (ap) Df Настоящий параграф начинается с различных предложений (*102-2—27) о типово определенном отношении подобия, т.е. sm(a,p). Мы затем имеем набор предложений (*102-3—46) о “Nc(ap)‘d”. Он значим, только если (3 и б одного и того же типа; в таком случае он обозначает класс тех классов, которые подобны б и принадлежат тому же самому типу, что и а. Затем мы имеем предложения (*102-5—64) о NC^ (а), т.е. о кардиналах, состоя- щих из классов того же самого типа, что и а, которые подобны классам А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 80 ЧИСЕЛ того же самого типа, что и [3. Потом мы доказываем (*102-71—75), что нет подкласса класса а, подобного СГа, и поэтому (подставляя fo‘a вместо а) нет класса того же самого типа, что и а, подобного fa, и поэтому *102-74. h.AeNCfa(a) Этим доказывается, что А есть кардинал, что представляет собой посто- янно требуемое предложение. Оставшиеся предложения *102 имеют дело с sm“p,, где р, есть типово определенный кардинал. Наиболее полезными предложениями этого параграфа (не считая *102-74) являются следующие: *102-3. h : у sm(a>p)d . = .у е Nc (ap)‘y *102-46. h : у е Nc (ap)‘d . = . d е Nc (pa)‘y • = • У sm 5 . у e f a . 5 e f 0 *102-5. I-: Ц e NC₽ (a). = . (g6). p = Nc (a₽)‘5 *102-6. h . Nc (a)‘p = Nc (ap)‘0 = у (y sm p . у e fa) = Nc‘p Cl fa *102-72. h : P с a. э . ~ (P sm СГа) Это предложение используется при доказательстве peNC . э . 2И> ц, что представляет собой предложение, из которого Кантор дедуктивно вывел, что не существует наибольшего кардинала. (Если p = Nc‘a, то 2H = Nc‘Cl‘a, и поэтому происходит повышение типа.) *102-84. h : (gy). у sm a . у е f a . 6 sm у. = . d sm a *102 85. h . sm“|i П f P = smp“p *102-01. NC₽ (a) = D‘Nc (a₽) Df *102-11. I-: Re 1 -> 1. z>. Я(х.у) e 1 (x) -> 1 (у) Здесь, если R есть реальная переменная, то условия значимости требу- ют R = R(Xy). Однако если R есть типово неопределенная постоянная, такая как /, А или sg, то есть типово определенная постоянная. Главным образом для таких случаев предложения, подобные приведенному выше, оказываются полезными. Доказательство. 1-. *37-402 . (*65-1) . эк. D‘R(X,y) c t‘x. [*33-15] эН {sg‘.R(x,y))‘zcf‘x. [*63-5] ol-.{sg‘/?(Xiy)}‘zef/‘x (1) 1-. (1). *71-102 . э 1-: Hp. z f. QlR(Xty). э. {sg‘/?(x>J,)}‘z eld t‘tlx. [(*65-02)] э • {sg4tf(x,y)}‘Z€ 1 (x) (2) Аналогично 1-: Hp . w€D‘fl(x,y). э. 1 (y) (3) 1-. (2). (3). *70-1.: Э I- . Prop *102-13. h : Re 1 -»1. э . Rx е 1 (х) -» 1 [Доказательство, как и в *102-11] *102-2. h : у sm(a>p)d . = . у sm д . у е f a . 5 е f р [*35-102 . (*65-1)] *102-21. h : у sm(a>p)6 . = . (3/?). R е 1 1. D‘7? е fa . (TR e f p. D‘tf = у. (TR = 6 [*102-2 . *73-1] *102-22. h : у sm (x, у) 5 . = . у sm 6 . у c Гх. 5 c t‘y [*63-5 . (*65-12)] *102-23. h : у sm (x, y) 5 . = . (3Я). € 1 —> 1 . D‘7? c f x. ttlR с Гу. D‘fl = у. СГЯ = 6 [*102-22 . *73-1] Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ 81 *102-24. к:зт(х,у)8.в.(дЯ).Я€ 1 (х)^ 1 (у). О‘Я = у • СГЯ = 8 Доказательство. к . *102-23. *40-5-52-43. *37-25 . э I-ysm(x,y) 8. в : (дЯ) :Яе 1 —»1 : we СТ Я zeD‘/?. эг. *R‘za.t‘y: D‘R = у. d‘R-b: [*63-5] = : (дЯ): Я e 1 -> 1 .^“СГЯ c tTx. c t‘t‘y. О‘Я = у.6‘Я = 8: [*71-102 . (*65-02)] S : (дЯ) .^“d‘R с 1 (x). )Г“О‘Я с 1 (у). О‘Я = у. d‘R = 8: [*70-1] = : (аЯ). Я e 1 (x) —»1 (у). В‘Я = у. О‘Я = 8э I-. Prop *102-25. к : у sm(a,p)8 . =. (дЯ). Я е 1а -> 1р . О‘Я = у. СГЯ = 8 [Доказательство аналогично *102-24] *102-26. I-: у sm(a>p)8. у' sm<a,p)8 . э . у sm(a,a) у' Доказательство. I-. *102-2. э I-: Нр . э. у sm 8. у' sm 8 . у, у' е t‘a. [*73-32] z>.ysmy'.y,y'er‘a. [*102-2] э . у sm(a,a) у': э Ь . Prop *102-27. k : у sm(a p)8. у'sm(a',p)8. z>. у sm(aa-) у' [Док-во, как и в *102-26] *102-3. F : у sm(a.p)8. =. у eNc (ap)‘8 Доказательство. I-. *32-18. э Ь: у sm(a,p)8. = . у е {sg‘sm(a,p)}‘8. [*65-2] =.ye((sg‘sm)(ap))‘8. [(*100-01)] = . yeNc(ap)‘8: эI-. Prop *102-31. I-. Nc(ap)‘8 = D“{1 -> 1 ЛЯ (О‘ЯеРа. СГЯеГ‘0 . СГЯ = 8)} Доказательство. I-. *102-3-21. э I-: yeNc(ap)‘8. = . (дЯ) .Яе 1 —>1 . D‘Ret‘a. d‘Ret‘0. D7? = y. Q‘R = 8. [*65-2] =. у e ((sg‘sm) (a₽)} ‘8. [*33-123. *37-1] B.yeD“(l -> 1 ПЯ (D‘Refa. СГЯеГ‘0. СГЯ = 8)): э I-. Prop *102-32. I-. Nc (ap)‘8 = D“{(la Ip) Л &‘8) Доказательство. I-. *102-3-25. э I-: у eNc(ap)‘8. = . (дЯ). Яе la —> Ip . О‘Я = у. С‘Я = 8 . [*33-61] в.(дЯ).Яе1а-> Ip .Яе£гб.О‘Я = у. [*33-123. *37-1] н . у e D“{(la —»Ip) Л &‘8(: э I-. Prop *102-34. I-. Nc (a, 0)‘8 = D“(l -> 1 Л Я (D7? e t‘a. О‘Я c t‘0. СРЯ = 8)) [Доказательство аналогично *102-31] *102-35. I-. Nc (a, 0)‘8 = D“[{la -♦ 1 (0)} Л &‘8] [Док-во, как и в *102-32] *102-36. HE!Nc(ap)‘8 [*102-31. *14-21] Это предложение истинно всегда, когда значимо, и значимо всегда, ко- гда defp. Когда д принадлежит некоторому другому типу, приведенное выше предложение не является значимым. *102-361. h . Е ! Nc (a, 0)‘d [*102-34. *14-21] А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 82 ЧИСЕЛ *102-37. h . (TNc (ар) = Гр Доказательство. I-. *37-402. (*65-11). э F. Q‘Nc (ap) с Гр 1-. *102-36. *33-43 . э 1-. (6). 6 е CTNc (ap). [*63-14] э1-. Zo‘CTNc (ap) = CTNc (ap) 1-. (1). *63-21. =>H.Z0‘a‘Nc(ap) = r‘p F . (2). (3). э F . Prop (1) (2) (3) *1024. h : у e Nc (ap)‘6 . y' e Nc (ap)‘6 . о . у e Nc (aa)‘y' [*102-3-26] *102-41. *10242. *102-43. h : у eNc(ap)‘6 . y' eNc (a'p)‘6 . о . у eNc (аа,)‘у' h . a e Nc (aa)‘a [*102-3-2 . *73-3 . *63-103] h.g!Nc(aa)‘a [*102-42] [*102-3-27] Этот вывод легитимен, поскольку, когда а задано, “Nc (aa)‘a” обычно определено. Вывод “g! Nc‘a” из “aeNc‘a” (которое истинно) несправедлив, поскольку “g!Nc‘a” может иметь место только для некоторых из возмож- ных детерминаций неопределенности “Nc”. *102-44. h : a sm p . = . a e Nc (ap)‘P . = . p e Nc (pa)‘a Доказательство. h . *63-102 . э h : a sm p. = . a sm p . a e f a . p e f p (1) h. (1). *102-2-3 .oh. Prop *102-45. h : у e Nc (ap)‘6 . о . у e Nc (aa)‘y Доказательство. h . *102-3-2 .oh: Нр . о . у e f a (1) h . *73-3. oh.ysmy (2) h . (1). (2). *102-3-2 .oh. Prop * 102-46. h: у eNc (ap)‘6 . = . 6 eNc(Pa)‘y. = . у sm6 . у efa . 6‘P [*102-2-3. *73-31] * 102-5. l-:n€NC₽(a).s.(a6).n = Nc(ap)‘S [*100-22. *71-41. (*102-01)] При использовании предложений, подобных тем из *100, в которых мы имеем типово неопределенные “Nc” или “NC”, любая значимая ти- повая определенность может быть добавлена, поскольку, когда утвер- ждается типово неопределенное предложение, это включает утверждение каждого возможного предложения, полученного в результате разрешения неопределенности. * 102-501. F. Nc (а₽)‘6 eNC₽ (а) [*102-5-36] * 102-51. h : у е Nc (ар)‘б . э . Nc (ар)‘б = Nc (аа)‘у. Nc (а₽)‘6 еNC₽ (а). Nc (аа)‘у с NC“ (а) Доказательство. h . *102-3-2. о h :. Нр . о h : у sm б . у е Г a . б е Г Р : [*73-37. *4-73] о : sm б . = . ^ sm у: sm б . = . ^ sm б . б е Г р : sm у . = . ^ sm у. у е Г a : [*4-22] о : sm б . б е ÑР. = . ^ sm у. у е Г a : [Fact] о : sm б . е r‘a . б е Г р . = . ^ sm у. е Г a. у е r‘a: Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ 83 [*102-2-3] э : Nc (а₽)‘6 = Nc (аа)‘у (1) F.(l). *102-501. эН.Prop *102-52. I-: a! Nc (а₽)‘6. z>. Nc (ар)‘6 e NC“ (а) [*102-51] *102-53. h . NC^ (а) - i‘A c NCa (а) Доказательство. h . *102-52 . э h : |л = Nc (ap)‘d . g! ц. э . ц e NCa (a) (1) h . (1). *102-5 .oh. Prop *102-54. h : d e Nc (pa)‘y. э . Nc (ap)‘d = Nc (aa)‘y [*102-51-46] *102-541.1-: а! Nc фа)‘у. э. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) - i‘A Доказательство. I-. *102-54-501. э h : & e Nc (|За)‘у. э. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) (1) I-. *102-46-45. э I-: 6 e Nc (Pa)‘Y. э . у e Nc (aa)‘y. [*10-24] э. а! Nc (aa)‘y (2) |-.(1).(2).э F : 6 e Nc (Pa)‘y • э. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) - i‘A: э I-. Prop *102-55. I-: A ~ e NCa (₽).=>. NC₽ (a) - i‘A = NCa (a) Доказательство. I-. *102-5. z> H.Hp. э : p. = Nc (pa)‘Y • . а! H • [*102-541] . Nc (aa)‘y e NC^ (a) - i‘A: [*10-23] z>: (ар). p = Nc (0a)‘y • =>Y. Nc (aa)‘y e NC₽ (a) - i‘A: [*102-36] =>: (y). Nc(aa)‘yeNC₽ (a) - i‘A: [*13-191] z>: v = Nc (aa)‘y. z>v>Y. v e NC^ (a) - i‘A: [*102-5] z>:veNCa(a).Dv.veNC₽(a)-i‘A (1) F.(l). *102-53. dH Prop Приведенное выше предложение показывает, что, если каждый класс того же самого типа, что и р, подобен некоторому классу того же самого типа, что и а, то, если задан класс у того же типа, что и а, существует класс 6 того же самого типа, что и р, такой, что классы, подобные 6 и принадлежащие тому же типу, что и а, совпадают с классами, подобными у и принадлежащими тому же типу, что и а; и обратно, если задан любой класс 6 того же типа, что и р, и подобный некоторому классу того же типа, что и а, то существует класс у того же типа, что и а, такой, что классы, подобные у и принадлежащие тому же типу, что и а, совпадают с классами, подобными 5 и принадлежащими тому же типу, что и а. Мы можем выразить это, сказав, что если кардиналы, которые переходят от типа а к типу р, никогда не есть нуль, то те из них, которые переходят от типа р к типу а, за исключением Л (если Л один из них), совпадают с те- ми, которые начинаются и заканчиваются внутри типа а. Последние есть то, что мы называем “однородными” кардиналами. Таким образом, наше предложение есть шаг в направлении редукции общего учения о кардина- лах к учению об однородных кардиналах. А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 84 ЧИСЕЛ *102-6. h . Nc (а)‘0 = Nc (ар) ‘ 0 = у (у sm 0 . у е fa) = Nc‘0 П fa Доказательство. h . *35-1. (*65-04). э h : р = Nc (a)‘0 . = . р = Nc‘0 . per2‘a. [*63-5] =. р = Nc‘0 . р с f а . [*65-13] =. р = Nc‘0 П f а. (1) [*100-1] = . р = у (уsm0 . уefа). (2) [*63-103] = . р = у (у sm 0. у е f а. 0 е f 0). [*102-46] =. р = Nc (ар)‘0 (3) h.(1). (2). (3). *20-2. *100-1. э h. Prop *102-61. h : 6 е f 0 . э . Nc (a)‘6 = Nc (ap)‘d Доказательство. h . *4-73 . э h: Нр . э . у (у sm 6. у e fa) = у (у sm d . у e f a . d e f 0) [♦102-46] =Nc(ap)‘d (1) h. (1). *102-6 . э h . Prop *102-62. h . NCP (a) = Nc (a)“f 0 Доказательство. h. *37-7. (*100-01). э h . Nc (a)“f 0 = 0 {(gd). 6 e f 0 . p = Nc (a)‘d) [*102-61] = 0 {(g6). d e f 0 . p = Nc (ap)‘d) [*102-37] = D‘Nc (ap) [(*102-01)] = NCP (a). э h . Prop ♦102-63. h : p = Nc‘y. a e p . = Nc (a)‘y Доказательство. h . *63-5 . э h : Нр . э . p = Nc‘y. p c f a . [*65-13] z>. p = Nc‘y П fa . [*102-6] z> . p = Nc (a)‘y: э h. Prop *102-64. h : peNC . g! p, э . (ga,y). p = Nc (a)‘y [*102-63 . *100-4] Следующие предложения являются частью доказательства Кантора, гласящего, что не существует наибольшего кардинала. Они приведены здесь, чтобы дать нам возможность доказать, что А есть кардинал, причем такой, который мы называем “нисходящим” кардиналом, т.е. такой карди- нал, чей соответствующий “sm” переходит от высшего типа к низшему. *102-71. h : R е Cis 1. IYR с a . СГЯ с С1‘а . э . g! С1‘а - СГЯ Доказательство. F . *20-33 . *4-73 . э h :: Нр . ш = х (xeD‘7? .x~efCx). э xeD‘7?. эх : хеш . = . х~ eR'x : [*5-18] эх : ~ {хеш . = . xe/fx}: [*20-43 . Transp . *71-164] эх : ш / R'x:. [*71-411. Transp]э ш ~ е С‘Я (1) h . *20-33 . *3-26 . z> h : Нр (1). z>. ш с D‘tf . [Нр] э . ш с а (2) h . (1). (2). *13-191. э h : Нр . э . х (xeD‘7?. х ~ е^‘х) еСГа - СГ7?: э h . Prop Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ 85 *102-72. h : р с а . о . ~ (Р sm СГа) Доказательство. h . *102-71. о h Нр . о : R е 1 1. D'R = р. (TR с СГа . ол . я! С1‘а - G'R: [*24-55 . *22-41] о : R е 1 -> 1. В‘Я = р. ол . СГЯ / СГа : [*10-51] о : ~ (яЯ). Я € 1 1. D'R = р. СГЯ = СГа: [*73-1] о : ~ (Р sm СГа):. о h. Prop *102-73. h . Nc (a)‘f а = A Доказательство. h . *102-6 . о h . Nc (a)‘fa = у (y sm f a . у e fa) [*63-65] = у (y sm C17o‘a. у c f0‘a) [*102-72] = A . о h . Prop Это предложение доказывает, что нет класса того же типа, что и а, подобного fa. Класс fa есть наибольший класс своего типа; поэтому су- ществуют классы, принадлежащие типу, следующему более высокому за типом класса а, которые слишком велики, чтобы быть подобными любо- му классу, принадлежащему типу класса а. Таким образом (как будет явно доказано позднее), максимальный кардинал в пределах одного типа мень- ше, чем таковой в следующем более высоком типе. Предложение Кантора о том, что не существует максимального кардинала, имеет место только тогда, когда мы имеем возможность непрерывно восходить к более высо- ким типам: в пределах каждого типа существует максимум для него, а именно число элементов этого типа. *102-74. h.AeNC'‘a(a) Доказательство. h . *102-6-501. о h. Nc (a)‘f a e NC'‘a (a) (1) h.(l). *102-73. oh. Prop *102-75. h . NC'a (a) = NCa U Г A Доказательство. h . *100-6 . о h:уefa.о.yefa. i“yeNc‘y (1) h . *63-64-5 . о h : у efa . о . f ‘y er2‘a (2) h. (1). (2). *102-46 . о h : у ef a . о . f ‘aeNc {(fa)a}‘y . [*10-24] o.3!Nc{(fa)a}‘y (3) h. (3). *102-55 . oh. NC'‘a (a) - Г A = NCa (a) (4) h . (4). *102-74 . oh. Prop *102-8. h : у e Nc (ap)‘d . у sm £ . £ e f %. о . £e Nc (§p)‘d . £ e Nc (£a)‘y Доказательство. h . *102-46 . о h : Hp . о . у sm d . у e f a . d e f p . у sm £. £ e f | . [*73-31-32] о . £ sm d . £ e f §. 6 e f p. £ sm у. £ e f §. у e f a . [*102-46] о . £ e Nc (§p)‘d . £e Nc (£a)‘y: о. Prop *102-81. h : у e Nc (ap)‘6 . о. sm“Nc (ap)‘6 П f £ = Nc (§p)‘d = Nc (§a)‘y Доказательство. h. *102-8. *73-31-32. о h : y, y' e Nc (ap)‘d . £ sm y'. £ e f £. о . £ e Nc (£p)‘6 . £ e Nc (£a)‘y (1) h.(1). *37-1 .oh: Hp . о . sm“Nc (ap)‘6 Cl f £ c Nc (§p)‘d . sm“Nc (ap)‘d П f J; c Nc (£a)‘y (2) h. *102-46. *73-31-32. о A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 86 ЧИСЕЛ h : Нр . £е Nc (§р)‘6 . э . £ еf |. £ sm у. у е Nc (ар)‘д . [*37-1] z>.£esm“Nc(ap)‘dAf§ (3) Аналогично h : Нр . £eNc (£a)‘y • • £csm“Nc (ap)‘d A (4) h . (2). (3). (4). э h . Prop *102-82. h : peNC^ (a). g! p. э . sm“p A f^eNC^ (^) [*102-81-5] ♦102-83. h : p e NC^ (a). g! p. v = sm‘ ‘p A f |. g! v. э . sm“p A - sm“v A . p = sm“v A fa Доказательство. h . *102-81. э h : Hp . у e p . y' e v . p = Nc (ap)‘d . э . v = Nc (£p)‘6 = Nc (£a)‘y. sm“p A f £ = Nc (U)‘Y • [*102-81] z> . sm“v A f£ = Nc (£a)‘y = sm“p A f £ . sm“v A fa = Nc (ap)‘d = p (1) h . (1). *102-5 . э h . Prop *102-84. h : (gy). у sm a . у e f a . d sm у. = . 6 sm a Доказательство. h . *73-32 . э h : (gy). у sm a . у e f a . d sm у. э . d sm a (1) h . *73-32 . *63-103 . э h : d sm a . э . a sm a . a e f a . d sm a . [*10-24] z>.(ay).ysma.yefa.6smy (2) h . (1). (2). э h . Prop *102-85. h . sm“p Af|3 = smp“p [*65-3] *102-86. h : p = Nc (a)‘d . g! p. э . sm^“p = Nc (§)‘d Доказательство. h . *102-6-81. э h: у eNc (a)‘6 . э . sm“Nc (a)‘5 A f£ = Nc ©‘5 . [*102-85] z>. sm^“Nc (a)‘d = Nc (§)‘d (1) h.(l). *13-12. z> h : p = Nc (a)‘5 . у e p. э . sm^“p = Nc (§)‘d : э h . Prop *102-861. h . sma“sm|“pcsma“p Доказательство. h . *37-1. z> h : у esma“sm|“p . d . (g£, t]) . r|ep . £smr]. £ef§. у sm£. у cfa . [*73-32 . *10-5] z> . (gт]). t] e p. у sm i]. у e f a. [*37-1] z> . у esma“p: э h . Prop *102-862.1-цер. . g! Nc©‘т]: э. sma“p = sma“sm^“p Доказательство. h . *102-6 . э h Hp . э : i]ep. э . (g£). £smr]. £ef!;: [Fact. *10-35] э : т]ер.уsmi].yefa. э . (g£). £ sm T|. £ € t‘|. у sm т]. у e f a. [*73-37] э . (g£). £ sm I]. £ e f. у sm £. £ e f a. [*37-1] э. yesma“sm^“p (1) h . (1). *10-11-23 . *37-1 .oh:. Hp . э . sma“p c sma“sm|“p (2) h . (2). *102-861. э h . Prop *102-863. h p = Nc (p)‘d . g! Nc (£)‘5 . э : т] e p . эп . g! Nc (§)4T| Доказательство. h . *100-31-321. э h : Hp . T| e p. z>. Nc (§)‘n = Nc ©‘6. [Hp] э . g! Nc (i)‘T]: z> h . Prop Principia Mathematica II
*102. О КАРДИНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ ЗАДАННЫХ ТИПОВ 87 *102-87. h : р, = Nc (р)‘д . g! Nc (£)‘6 . э . sma“p, = sma“sm^“p, [*102-862-863] *102-88. h : |л = Nc (p)‘d . g! . э . sm^“p, = Nc (£)‘d . sma“|i = Nc(a)‘6 . sma “ p, = sma ‘ ‘sm^ “p, = sma ‘ ‘Nc (£) ‘d Доказательство. I-. *37-29 . Transp . э h : Нр . э . g! p. [*102-86] z> . sm^“p, = Nc (§)‘d . sma“p = Nc (a)‘d. (1) [Hp] z>. g! Nc(§)‘d . [*102-87] z> . sma“p = sma“sm^“p (2) [(1)] =sma“Nc©‘d (3) К (1). (2). (3). z> H Prop Замечания об отрицательных утверждениях, касающихся типов. Утверждения, такие как или “x~eto‘a”, всегда ложны, когда они значимы. Следовательно, когда объект принадлежит одному типу, не су- ществует способа значимо выразить то, что мы подразумеваем, когда гово- рим, что он не принадлежит некоторому другому типу. Причина в том, что когда, например, о fa и to"а говорится, что они различны, то утверждение значимо лишь тогда, когда оно интерпретируется в применении к симво- лам, т.е. как означающее отрицание того, что два символа обозначают один и тот же класс. Мы не можем утверждать, что они обозначают различные классы, так как “fa//o‘a” не является значимым, однако мы можем отри- цать то, что они обозначают один и тот же класс. Благодаря этой особенно- сти, предложения, имеющие дело с типами, приобретают свою значимость в основном по той причине, что они могут быть интерпретированы как име- ющие дело с символами, а не прямо с объектами, обозначенными этими символами. Другая причина важности типово определенных предложений состоит в том, что, когда они представляют собой импликации, гипотезы которых могут утверждаться, они могут быть использованы для вывода, т.е. для утверждения заключения. Там, где в импликации встречаются ти- пово неопределенные символы, наоборот, условия значимости могут быть различными для гипотезы и заключения, так что могут возникать ошибки в результате использования подобного рода импликаций в процессе выво- да. Например, ошибочно вывести “h.g!Nc‘a” из (истинных) предложений “Нас Nc‘a . э . g! Nc‘a” и “Нас Nc‘a”. (Истинность первого из них требу- ет, чтобы “Nc‘a” получило ту же самую типовую детерминацию в обоих своих вхождениях.) По этим двум причинам гипотетические предложения, касающиеся типов, часто полезны, несмотря на тот факт, что их гипотезы всегда истинны, когда значимы. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 88 ЧИСЕЛ *103. Однородные кардиналы Краткое содержание *103. В настоящем параграфе мы будем рассматривать кардиналы, про- изведенные однородным отношением подобия. Подразумевается, что “однородный” кардинал будет означать все классы, подобные некоторому классу а и принадлежащие тому же самому типу, что и а. “Однородный кардинал от а” будет определятся как Nc‘a A fa; это мы будем обозначать посредством “Noc‘a”. Тогда класс однородных кардиналов представляет собой класс всех таких кардиналов, как “Noc‘a”, т.е. D‘Nqc; это мы будем обозначать посредством NoC. Символ “Noc‘a” является типово определенным, как только класс а предписан; “NoC”, наоборот, является типово неопределенным: он должен быть Cis3, а в ином случае его тип может бесконечно изменяться. Однородные кардиналы обладают, однако, многими свойствами, которые не требуют детерминации типовой неопределенности “NoC”, и несколькими, которые требуют этого. Они также являются чрезвычайно важными, будучи самым простым видом кардиналов и будучи тем видом кардиналов, к которому могут обычно быть сведены другие виды. Главным преимуществом однородных кардиналов является то, что они никогда не есть нуль (*103-13-22). Это позволяет нам избежать с их по- мощью явного исключения особых случаев; поэтому на протяжении всей главы 2 мы будем использовать однородные кардиналы при определении арифметических операций: арифметическая сумма Nc‘a и Nc‘P, например, будет определяться посредством Noc‘a и Noc‘P, для того чтобы исключить такую детерминацию типовой неопределенности Nc‘a и Nc‘P, которая сде- лала бы какой-либо из них нулевым. Справедливо, что не только однород- ные кардиналы, но также и восходящие кардиналы (ср. *104) не являются нулевыми. Однако однородные кардиналы представляют собой значительно более простой вид кардиналов, которые не являются нулевыми, и, следо- вательно, более удобны. Тот факт, что ни один однородный кардинал не есть нуль, выводится из * 103-12. h. aeNoc‘a Другими важными предложениями в данном параграфе являются сле- дующие: * 103-2. h : ц е NoC . = . (ga). ц = Nc‘a n f a . = . (ga). ц = Noc‘a * 103-26. h ц eNC . z> : a e ц. = . Noc‘a = |i Приведенное выше предложение используется постоянно. *103-27. h : ц = Noc‘a . = . ц е NC . а е ц Таким образом, сказать, что ц есть однородный кардинал от а, рав- носильно тому, чтобы сказать, что ц есть кардинал, элементом которого является а. Principia Mathematica II
.103. ОДНОРОДНЫЕ КАРДИНАЛЫ 89 *103-301. I-. NC“ (а) = N0C (а) *103-34. h.NC-i‘AcN0C *103-4. I- . sm“Noc‘a = Nc‘a *103-41. I-. sm“Noc‘a П f p = Nc (P)‘a *103-01. Noc‘a = Nc‘a П f a Df *103-02. NoC = D‘Noc Df *103-1. F . Noc‘a = (Nc‘a)a = Nc (a)‘a = Nc (aa)‘a [*102-6 . (*103-01)] *103-11. F : PeNoc‘a. = .Psm a.pefa. = . peNc‘a . Pefa [*103-1 . *102-6] *103-12. F . a e Noc‘a [*103-11 . *73-3 . *63-103] *103-13. F . э! Noc‘a [*103-12 . *10-24] Это является легитимным выводом из *103-12, поскольку, когда а за- дано, Noc‘a является типово определенным. *103-14. F : Noc‘a = Noc‘P . = . a е Nqc‘P . = . Р е Noc‘a . = . a sm р . a е f Р Доказательство. F. *103-11 .э F Noc‘a = Nqc‘P . = : у sm a. уe fa . =Y . у sm P . уe f P : (1) [*10-1] э : a sm a . a e f a . н . a sm P. a e f P: [*73-3 . *63-103] o:asmp.aefp (2) F . *73-32 . *63-17 F : a sm P. a e f P. у sm a . у e f a . э . у sm P . у e r‘P (3) К (3)!^. *73-31 .*63-16.3 a, p F : a sm P. a e r‘P. у sm P . у e f P . э . у sm a. у e f a (4) h . (3). (4). (1). э F : a sm p . a € f P. э . Noc‘a = Nqc‘P (5) F . (2). (5). *103-11 . *73-31 . *63-16 . э F . Prop *103-15. F : а! Noc‘a n Noc‘P . = . Noc‘a = Noc‘P Доказательство. F . *103-13 . э F : Noc‘a = Noc‘P . э . а! Noc‘a П Nqc‘P (1) F . *103-14 . э F : у e Noc‘a. у e Nqc‘P . э . Noc‘a = Noc‘y. Nqc‘P = Noc‘y. [*14-131-144] э . Noc‘a = Noc‘p : [*10-11-23] э F : а! Noc‘a П Noc‘P. э . Noc‘a = Noc‘P (2) F . (1). (2). э F . Prop *103-16. F : Noc‘a = Nc‘P. = . Nc‘a = Nc‘P В этом предложении равенство “Nc‘a = Nc‘P” должно предполагаться имеющим место в пределах любого типа, для которого оно значимо. Ина- че мы могли бы найти тип, для которого Nc‘a = A = Nc‘P без того, чтобы Noc‘a = Nc‘p. Доказательство. F . *103-12 . э F : Noc‘a = Nc‘P. э . aeNc‘P. [*100-31-321] э . Nc‘a = Nc‘P (1) F . *22-481 . э F : Nc‘a = Nc‘P. э . Nc‘a n fa = Nc‘P П fa. [*65-13 . (*103-01)] э . Noc‘a = Nc‘P (2) F . (1). (2). э F . Prop A. H. Уайтхед , Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 90 ЧИСЕЛ *103-2. I-: р,еNoC . = . (аа). р = Nc‘a П f а . = . (да). р, = Noc‘a [*71-41 . *100-22 . (*103-01-02)] *103-21. F . Noc‘a е N0C . Noc‘a e NC [*103-2 . *100-2-4 . *14-28 . *65-13] При рассмотрении предложения50, такого как *100-2, которое касает- ся “Nc”, полностью недетерминированного по типу, любой уровень типо- вой детерминации может быть добавлен к нашему “Nc”, поскольку утвер- ждаемое предложение, содержащее неопределенный “Nc”, является леги- тимным, только если оно истинно для каждой возможной детерминации указанной неопределенности. *103-22. F:peN0C.o.a!p [*103-13-2] *103-23. F.A~eN0C [*103-22] *103-24. F . N0C е Cis ex2 excl [*100-43 . *103-23 . *84-13] *103-25. F :. p,, v eN0C . э : g! p A v. = . p = v [*103-24 . *84-135] *103-26. F p,eNC .э:aep.=. Noc‘a = p, Доказательство. F . *100-45 . э F :. Hp. э : a e p,. э . Nc‘a = p, (1) F . *63-22 . oF:aep,.o.p,cfa (2) F . (1). (2). *22-621 . э F:. Hp. э : a e p,. э . Nc‘a A f a = p. [(*103-01)] o.N0c‘a = p, (3) F. *103-12 . э F : Noc‘a = p. э . aep, (4) F . (3). (4). э F . Prop *103-27. F: p, = Noc‘a . = . p, e NC .aep, Доказательство. F . *103-26 . э F : p e NC . p, = Noc‘a . = . p, e NC .aep, (1) F . (1). *103-21 . э F . Prop *103-28. F : (ga). у sm a . p, = Noc‘a . = . а! p,. p, = Nc‘y Доказательство. F. *103-27. э F : (aa) • Y sm a . p, = Noc‘a. = . (aa) • у sm a. p, e NC .aep. [*100-31] = . p e NC . а ’• P A Nc‘y. [*100-42-41] = . pe NC . а • H n Nc‘y. p = Nc‘y. [*100-41] = . а! P- • P- = Nc‘y: d F. Prop *103-3. F : 0 e f a. э . Noc‘0 = Nc (a)‘P = Nc (aa)‘P = Nc‘0 A fa Доказательство. F . *63-16. э F : Hp. э . f P = f a . [*22-481 . (*103-01)] э . Noc‘P = Nc‘0 A fa (1) [*102-6] =Nc(a)‘P (2) [*102-61] =Nc(aa)‘P (3) F . (1). (2). (3). э F . Prop *103-301. F . NCa (a) = N0C (a) Заметим, что, хотя “NC(a)” не является определенным, “NoC(a)” яв- ляется типово определенным, как только а предписано. Доказательство. F . *103-3 . э F : р е f a. р, = Nqc‘P . = . р е f a. р = Nc (aa)‘P. 50 В оригинале — In adducing a proposition. — Прим, перев. Principia Mathematica II
.103. ОДНОРОДНЫЕ КАРДИНАЛЫ 91 [*102-37] = . р. = Nc (aa)‘P (1) F. *63-5. (*103-01 ).э 1-р = Nqc'P . э: Pefa. =. pe?‘a (2) 1-. (1). (2). z>F: . p = Noc‘P. г. ji = Nc(aa)‘p (3) F. (3). *10-11-281-35 . z> F p e r2‘a: (gP). p = Noc‘P: в . (аР). p = Nc (aa)‘P. [*102-5] =.peNCa(a) (4) F . (4). *103-2 . z> F: per2‘a nNoC. н . peNCa (a) (5) I-. (5). (*65-02). э F . Prop *103-31. F : а! Nc (а₽)‘6. э. Nc (ар)‘6 е N0C (а) Доказательство. F . *102-52 . э F : Нр. э . Nc (ар)‘6 е NCa (а). [*103-301] э. Nc (ар)‘6 е NoC (а): э I-. Prop *103-32. F.NCp(a)-i‘AcN0C(a) Доказательство. F . *103-31 . э F : ц = Nc (ap)‘d . э! ц. э . це N0C (a) (1) F . (1). *102-5 . э F . Prop В приведенном выше предложении “0” может быть опущено, и мы мо- жем писать (ср. *103-33, ниже) F.NC (a)-i‘AcN0C(a) Так как “0” является полностью произвольным, то любая возможная де- терминация NC (а) делает приведенное выше предложение истинным. Мы можем сделать следующий шаг и писать (*103-34, ниже) F.NC-i‘AcN0C. Однако хотя мы также имеем NoCcNC-i‘A при условии, что “NC” справа детерминировано подходящим образом, мы имеем это не все- гда. Например, если “NC” детерминировано как NCa (fa), а “NoC” — как N0Ca (f а), то Noc‘faeNoC -NC. *103-33. F . NC (a) - i‘A c N0C (a) Доказательство. F. *4-2. (*65-02). э F p,eNC (a) - i‘A. = : p,eNC . p,er2‘a . а! p: [*100-4 . *63-5] = : (Э0). p = Nc‘0 : p, c f a . а! H: [*65-13] = : (30). Ц = Nc‘0 Q f a : а! ц: [*102-6] = : (30) . p = Nc‘(ap)‘0 . а! p : [*103-31] э : peNoC (a)э F . Prop *103-34. F.NC-i‘AcN0C Доказательство. F . *100-31-321 . *63-5 . э F: p = Nc‘a . 0 e p. э . p = Nc‘0 П f 0 [(*103-01)] =Noc‘0 [*103-2] o.peNoC (1) F . (1). *100-4 . *11-11-35-54 . э F . Prop Таким образом, каждый кардинал, исключая А, является однородным кардиналом в пределах соответствующего типа. Заметим, что, хотя каж- дый однородный кардинал, несомненно, есть кардинал, “NqCcNC” пока А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 92 ЧИСЕЛ не должно утверждаться, поскольку возможно детерминировать неопреде- ленность “NC” таким путем, чтобы сделать его ложным. Следовательно, мы не получаем NC - i‘A = NqC. *103-35. F:A~eNC“(p).=>.NCp(a)-i‘A = N0C(a) [*102-55 . *103-301] Гипотеза этого предложения удовлетворяется, как станет ясно позднее, если тип Р является таким, что мы могли бы назвать его прямым восхож- дением от типа а, т.е. если если он может быть достигнут из Р посредством конечного числа шагов, каждый из которых переносит нас от типа т либо к СГт, либо к ^‘(тТт). Поэтому в подобном случае кардиналы (отличные от А), которые идут от fp к fa, являются теми же самыми, что и те, ко- торые начинаются и заканчиваются в пределах fa. В дальнейшем также будет ясно, что в подобном случае А всегда является элементом NC^ (a). Если из двух кардиналов, которые не равны, один должен быть больше, а другой меньше, то AeNC^(a) есть условие для Noc‘fР > Nc (P)‘fа. В том случае мы будем иметь A eNC^ (a). о . A ~ е NCa (Р). Однако неизвестно до- казательство того, что из двух различных кардиналов один должен быть больше, за исключением принятия аксиомы умножения и доказательства с ее помощью (по теореме Цермело), что каждый класс может быть вполне упорядоченным (ср. *258). *1034. I- .sm“Noc‘a = Nc‘a Доказательство. I- . *37-1 . э I-: 6€sm“Noc‘a. = . (gy). у sma. у efa. 6smy. [*102-84] = . 6 sm a : э F . Prop *103-41. F . sm“Noc‘a П f P = Nc (P)‘a Доказательство. I-. *103-4 . э F . sm“Noc‘a П f P = Nc‘a П f P [*102-6] = Nc‘(P)‘a . э F. Prop *103-42. F : P sm a. = . Nc (P)‘a = Nqc‘P Доказательство. I- . *100-321 . dF : psma. э . Nc‘a = Nc‘P . [*22-481] э . Nc‘a П f p = Nc‘P П f P. [*102-6. (*103-01)] э. Nc‘(P)‘a = Noc‘P (1) I-. *103-12 . э F : Nc (P)‘a = Noc‘P. э. p e Nc (P)‘a. [*100-31] D.psma (2) F . (1). (2). э F . Prop *103-43. F : p-eNC . э . sm“p,n fo‘H = H Доказательство. F. *37-29. oF:p, = A.o.sm“p,nr0‘H = A (1) F . *103-27 . э F: ц-eNC .аец.э. ц = Noc‘a . Го‘Н = Га . [*103-41] э . sm“p, П = Nc (a)‘a [*103-3-27] = ц F . (1). (2). э F . Prop Principia Mathematica II
103. ОДНОРОДНЫЕ КАРДИНАЛЫ 93 *103-44. I-щ veN0C . э : ц = sm“v. = . v = sm“p Доказательство. I-. *100-53 . эF g! ц. g! v. ц, veNC . э : ц = sm“v. = . v = sm“p (1) I-. *103-27-2 . э I-: Hp. э . g! ц. g! v. ц, v e NC (2) I-. (1). (2). э F. Prop *103 5. F.OeNoC Доказательство F. *101-11-12 . э F . OeNC . g! 0 . [*103-34] э F . 0 e NoC . э F . Prop *103-51. F.leNoC Доказательство F . *101-21-241 . э F . 1 eNC . g! 1. [*103-34] э F . 1 e NoC . э F . Prop 0 и 1 являются единственными кардиналами, для которых приведенное выше свойство может быть доказано универсально с нашими допущения- ми. Если (что возможно, насколько простираются наши допущения) наи- низший тип есть единичный класс, то мы будем иметь в пределах ука- занного типа (и никакого другого) 2 = А, так что в пределах указанного типа 2~eNoC. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 94 ЧИСЕЛ *104. Восходящие кардиналы Краткое содержание *104- В настоящем параграфе мы рассмотрим кардиналы, полученные из от- ношения подобия, которое идет от типа а к типу г‘а или к типу Г2‘а. Пред- ложения, которые доказываются, могут быть распространены простым по- вторением доказательств на Г3‘а, Г4‘а и т.д. Это расширение, однако, долж- но быть сделано в каждом отдельном случае; мы не можем доказать, что оно может быть сделано в общем, поскольку математическая индукция не может быть применена к серии Го‘ад‘а, г2‘а, г3‘а,.... Восходящие кардиналы хотя и менее важны, чем однородные кардина- лы, все еще обладают значимостью в арифметике, поскольку Nc‘a х Nc‘P и (Nc‘a)Nc 0 определены как кардиналы классов более высоких типов, чем ти- пы а и Р, и то же самое применимо к произведению кардиналов элементов класса классов. В этих случаях, однако, мы также нуждаемся в кардина- лах относительных типов, с которыми мы будем иметь дело в *106. В этом параграфе мы будем иметь дело с тремя различными группами понятий, а именно *10401. N1c‘a = Nc‘anr‘r‘a Df *10402. N1C‘a = D‘N1c Df *104-03. p(1) = sm“pn Df с аналогичными определениями N2c‘a и т.д. Таким образом, N*c‘a состо- ит из всех классов, подобных а, однако принадлежащих следующему более высокому типу, т.е. представляет собой кардинальное число для а в пре- делах типа, следующего выше за типом Noc‘a; №С является классом всех таких кардиналов, как N^a, и представляет собой типово неопределен- ный символ, хотя N!c‘a является типово определенным, когда а задан; (если ц не нулевой кардинал) есть “тот же самый” кардинал в пределах следующего более высокого типа, так что, например, если ц есть 1, де- терминированная как состоящая из единичных классов индивидов, то будет 1, детерминированной как состоящей из единичных классов классов индивидов. (Когда ц не является экзистенциональным кардиналом, не заслуживает рассмотрения.) Нижеследующее представляет собой наиболее полезные предложения настоящего параграфа: * 104-12. I-: РеN^a. yeN^P. э . у eN2c‘a * 104-2. I-. i^aeN^a * 104-21. I-. g! N^a * 104-24. I-: |i = N1c‘a. э . p = Noc‘i“a = Nqc‘P {(gy) .y ea . p = i‘jcU i‘y} * 104-25. F.N^cNoC * 104-26. F: p = Noc‘a. э . p(1) = Noc‘i“a = N^a * 104-265. F . p(1) = smH“p * 104-27. I-peNC . э : p = Noc‘a . = . p(1) = N^a * 104-35. F . N2C c NJC . N2C c N0C Principia Mathematica II
104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ 95 *104-43. к : f а = f Р. э. (ду, 6). у е N^a. 6 е N!c‘P. у П 6 = А *104-1. N1c‘a = Nc‘anr‘fa Df Это определяет кардинальное число для а в следующем выше типе, чем тип Noc‘a; поэтому N^a состоит из всех классов, подобных а, следующего выше типа, чем тип а. *104-011. N2c‘a = Nc‘anfr2‘a Df *104-02. N1C = D‘N1c Df Подобные определения принимаются для N3c‘a, и т.д. *104-02. N1C‘a = D‘N1c Df N!C, подобно NoC, является типово неопределенным; однако N1C(a) яв- ляется типово определенным. *104-021. N2C = D‘N2c Df Подобные определения принимаются для N3C, и т.д. *104-03. ц(1) = sm“p,nfp, Df Здесь, если ц есть кардинал, то ц(1) есть тот же самый кардинал в пре- делах следующего более высокого типа. Например, если р, представляет собой пары индивидов, то — пары классов индивидов. *104-031. ц(2) = sm“p,nr2‘p Df Подобные определения принимаются для ц(3), и т.д. *104-1. I-: рeNlc‘a. = . Р eNc‘a . рeffa. = . PeNc‘a . Р с fa [*63-5 . (*104-01)] *104-101. h : р е N^a . = . р sm a . Р с f a [*100-31 . *104-1] *104-102. h . N^a = Nc (f a)‘a = Nc {(f a)a}‘a [*102-6 . (*104-01)] *104-11. k : PeN2c‘a . = . p eNc‘a . P ef f2‘a . = . P eNc‘a . P c r2‘a [*63-5. (*104-011)] *104-111. k : peN2c‘a . = . Psma . Pcf2‘a [*100-31 . *104-11] *104-112. k . N2c‘a = Nc (?‘a)‘a = Nc {(?‘a)a}‘a [*102-6 . (*104-011)] *104-12. k : p eN^a. у eN1^ . э . у eN2c‘a Доказательство. I-. *104-1 .эк: Hp . э . P e NC‘a . P e f f a . у e Nc‘P. у e f f p . [*100-32] э. у e Nc‘a. P e f f a . у e f f p. [*63-16] э. у e Nc‘a. f p = f f a . у e f f p . [*13-12] э . у eNc‘a .уefffa. [*104-11] э. у eN2c‘a : эк . Prop *104-121. к : Pe№c‘a . у eN2c‘a . э . у eN1^ Доказательство. к . *104-102-112 .эк: Hp . э . PeNc {(f a)a}‘a . у eNc . [*102-41] o.yeNcR^aWP (1) к . *104-1 . эк: Hp . э . P e f f a . [*63-16] э . f P = ff a. [(*65-11)] 3.Nc{(r2‘a)(.a} = Nc{(f₽)₽} (2) I- . (1). (2). *104-102 .oh. Prop A.H. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 96 ЧИСЕЛ *104122. F: Р е N*c‘a. э . N*c‘P = N2c‘a *104-123. F : Noc‘P = N^a . э . N*c‘P = N2c‘a *104-13. F : . = . (ga). ^ = N1c‘a [*104-12-121] [*104-122 . *103-26] [*100-22. *71-41. (*104-02)] *104-14. I-: 6 e ц(1). =. (gу). у e ц. 6 sm у. 6 e . =. (зу). у e ц. 6 sm у. 6 c f у [*37-1 .*63-22. (*104-03)] *104-141. Ь:цбМС.э!ц.э. ц(1) e NC [*100-52] Когда гипотеза “д!ц” опущена, это предложение все еще истинно, од- нако с одним отличием. Например, положим ц = Nc (a)‘fa . Тогда р, = А.ц(1) = А. Поэтому Nc(r‘a)‘fa. Однако мы все еще имеем p(i) ф Поэтому p,(1)eNC, однако не тот же самый кардинал, что и ц, в преде- лах более высокого типа, т.е. существуют классы, чей кардинал в пределах одного типа есть р,, но чей кардинал в пределах следующего более высо- кого типа не есть *104-142. F:peNC.3!p.o.p(2)eNC [*100-52] *104-15. F:peN2C.H.(3a).p = N2c‘a [*100-22 . *71-41 . (*104-021)] *104-2. I-. i“aeN1c‘a Доказательство. I-. *63-621 . э I-: x e a . эх . f x e fa : [*36-01] Dl-.i“acfa (1) F.(l). *100-6. *104-1. dF. Prop *104-201. F : PeNoc‘a . э . i“PeN1c‘a. N*c‘a = N*c‘P Доказательство. F . *100-31-321 . э F : Нр . э . Nc‘a = Nc‘P (1) F . *103-11 . э F : Нр . э.Pefa. [*63-16] э. fa = fp . [*30-37] э. ffa = ffp (2) F . (1). (2). (*104-01). э F . N^a = NJc‘P F. (3). *104-2. dF.Prop *104-21. F.glN^a [*104-2] Из этого предложения следует, что восходящие кардиналы никогда не являются нулевыми. Доказательство должно быть сделано отдельно для каждого вида восходящих кардиналов, т.е. N1^ N2C, и т.д. *104-211. F . э! N!c‘a П СГ1 [*104-2 . *52-3] *104-23. F . Р {(ду). у е a . Р = i‘x U i‘y} е N*c‘a Доказательство. F . *51-16 . oF:yea.o.yean (i‘x U i‘y). [*63-16] D.fxUfyefa (1) F . (1). *10-11-23 . э . p {(зу). у e a . P = Cx U i‘y} c fa (2) F . (2). *100-61 . *104-1 . э F . Prop *104-231. F : N*c‘a = N*c‘P. э . Noc‘a = Nqc‘P Доказательство. F . *104-2 . э F : Нр . э . i“peNic‘a. [*104-101] э . i“p sm a. i“P c fa . Principia Mathematica II
*104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ 97 [*74-41 . *63-21-64] z>. р sm а. 1‘Р = 1‘а. [*103-11 . *63-16] o.peN0c‘a. [*103-14] э . Noc‘a = Noc‘p: э F . Prop *104-232. I-: N‘c‘a = Nlc‘p. = . Noc‘a = Noc‘P . = . p e Noc‘a [*104-231-201 . *103-14] *104-24. I-: p. = №c‘a. э. p = Noc‘i“a = Noc‘P ((gy) .y ea. p = I'xUi'y) [*104-2-23 . *103-26] *104-25. h.N'CcNoC [*104-24-13] Это предложение имеет место для каждой возможной детерминации ти- повой неопределенности, т.е. для каждого а мы имеем №С(Га)сЫ0С(Г‘а). Мы не имеем N1C(r,a) = NoC(fa), поскольку Noc‘r‘а е N0C (Га) - N1 С (Г‘а). *104-251. КЛ~е№С [*104-25 . *103-23] *104-252. I-. №CeClsex2excl [*104-25 . *103-24 . *84-26] *104-26. F : ^ = Noc‘a. э. р,(1) = Noc‘i“a = №с‘а Доказательство. F. *104’14. *103-11 .э I-Нр . э : 6 е . (ау). у sm a . у € r‘a . 6 sm у. 6 с f у. [*73-32 . *63-16] э . 6 sm а . 6 с f а. [*104-101] э.беГ^сЧх I-. *104-101 . э НбеГ^сЧх. D.Ssma.bcfa. [*73-3 . *63-103] э . asma. aefa. 6 sma . 6 сt‘a. [*10-24] э . (ay). у sm а . у е f а . 6 sm у. 6 с f у F . (3). (1). э F :. Нр . э : беГ^сЧх. э . F. (2). (4). *104-24 . э F. Prop (1) (2) (3) (4) *104-261. h : = N^a . э . ц с Noc‘a Доказательство. I-. *104-14-101 . э I-Нр. э : (ау). у е ц. 6 sm у. 6 с f у . =а . 6 sm a . 6 с fa: [*10-23] э : у е р. 6 sm у. 6 с f у. . 6 sm a . 6 с f а . [*4-7] . 6 sm а. 6 sm у. 6 с f а. 6 с f у. [*73-32 . *63-13] dy,6 . у sm а . у e f а . [*103-11] . уeNoc‘a F. (1) .*10-23-35 .*104-101 .Dhz.Hp.Dzyep-.alN^y.Dy.yeNo^a: [*104-21] э : у ер. э7 . у eNoc‘a :. э F. Prop *104-262. F : peNC . p(1) = N*c‘a. э . p = Noc‘a (1) Доказательство. F . *104-21 . э F : Hp . э . а! H(1) • [*37-29 . Transp] э . a • H F . *103-26 .oF:Hp.yep,.o.p, = Noc‘y A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 98 ЧИСЕЛ к . (1). (2). э к : Нр. э. (эу). р = Noc‘y. [*104-26 . Нр] э . (зу). р = Noc‘y. N^a = NJc‘y. [*104-231] э . (зу). р = Noc‘y . Noc‘a = Noc‘y. [*13-172] э. р = Noc‘a: э к. Prop *104-263. к : a е р. э . i“a е р(1) Доказательство. k . *73-41 . *37-1 .эк: Нр . э . i“aesm“p (1) 1-. *63-64 . эк: Нр . э . i“aefp (2) к. (1). (2). (*104-03). эк. Prop *104-264. к : 3! р. = . 3! р(1) Доказательство. к . *104-263 . эк:з!р.э.з! р(1) (1) к . *37-29 . Transp . (*104-03). э к : 3! р(1). э . 3! р (2) к . (1). (2). э к . Prop *104-265. к . р(1> = sm/‘p [*102-85 . (*104-03)] *104-27. к :. р еNC . э : р = Noc‘a. = . И(1) = N^a [*104-26-262] *104-28. к : peNC - i‘A . э . р(1) е^С [*104-26 . *103-34] *104-29. к : vе№С . н . (зр). peN0C . v = р(1) Доказательство. к . *104-26 . э к : р = Noc‘a . v = р(1). э . v = NVa : [*10-11-28] э к : (3а). р = Noc‘a . v = р(1). э . (3а). v = N*c‘a: [*103-2 . *104-13] э к : peN0C . v = р(1>. э. ve№C (1) к. *104-26 .*103-2 . э к : v = N^a. р = Noc‘a. э . v = р(1). реNoC (2) к . (2). *10-11-28-35 . э к :. v = N*c‘a: (зр). р = Noc‘a : э . (зр). р еN0C . v = р(1) (3) к . (3). *100-2 . *14-204 . э к : v = ^с‘а. э . (зр). р еNoC . v = р(1) (4) к . (4). *10-11-23 . *104-13 . э к : v е N1 С . э . (з р). р е NoC . v = р(1) (5) к . (1). (5). э к . Prop *104-3. к. i‘TaeN2c‘a Доказательство. к . *104-2 .эк. i/'aeNVa. i‘4“a€N1c4“a. [*104-12] э к . i“i“aeN2c‘a . *104-31. k.s!N2c‘a [*104-3] *104-311. к . N2c‘a = NocTT‘a = ^сТ‘а [*104-3-2 . *103-26] *104-32. к : р = Noc‘a . э . р(2) = NocTT‘a = ^сТ‘а = N2c‘a = {р(1)}(1) Доказательство. F . *104-26 . з F : Нр. з. {ц(1>}(1) = Noc‘i“i“a (1) [*104-311] =N2c‘a (2) F. *103-11 . (*104-031 ).з F Нр. з: 6 e р(2). =. (зу). у sm a. у e f a. 8 sm у. 8 e ft2‘y. Principia Mathematica II
104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ 99 [*102-84 . *63-16] в . 6 sm а. 6 е t‘t2‘a. [*104-11] = .6eN2c‘a (3) F.(1). (2). (3). *104-24 . э F. Prop *104-33. F peNC. э : p = Noc‘a. s . |x(2) = N2c‘a Доказательство. I- . *104-27 . э FНр. э : ц = Noc‘a. = . ц(1) = №c‘a. [*104-24] = . ц(1) = Noc‘i“a. [*104-27-141 . *103-13] . {p(1)}(1) = N*c‘i“a. [*104-32-24] • p(2) = N2c‘aэ F. Prop *104-34. F: GJ e N2C . = . (g v). v e N1 C . CD = v(1). s . (gp.). p.e N0C . GJ = p(2) Доказательство. I-. *104-32 . э F: gj = N2c‘a. p = Noc'a. э . gj = p(2). peNoC (1) I-. (1). *100-2 . *10-11-28-35 . => h: (ga). co = N2c‘a. э. (gp). peNqC . GJ = p(2) (2) I-. *104-32 . э F : p = Noc‘a. GJ = p(2). э . co = N2c‘a. [*104-15 . *103-2] э F : p e N0C. CD = p(2). э . CD e N2C (3) F.(l).(3). э I-: GJeN2C. = . (gp). peNoC . co = p<2). (4) [*104-32] s . (gp). peN0C. co = {p(1)}(l). [*13-195] = . (gp, v). p e N0C. v = p(1). CD = v(1). [*104-29] = . (gv). v e N'C . GJ = v(l) (5) F. (4). (5). э F. Prop *104-35. F.N2CcN'C.N2CcNoC [*104-3111315] *104-36. F : у e N2c‘a. у e N’c'P. d . p e №c‘a. Nlc‘a = Nqc‘P Доказательство. F . *104-1-11 . z> F : Hp. z>. yeNc‘a. у . yeNc‘P. yer‘r‘P. [*100-34 . *63-16] э. Nc‘a = Nc‘P. (‘^‘a = t‘r‘0. [*63-35-15] э. Nc‘a = Nc‘P. t2‘a = r‘0. [(*104-01 . *103-01)] 2>.N'c‘a = Noc‘P (1) F. (1). *103-12 .=>F. Prop *104-37. F : N2c‘a = №c‘P. s . N*c‘a = Noc‘P Доказательство. F . *104-21 . э F: N2c‘a = №c‘P. э . g! N2c‘a П №c‘P. [*104-36] э. №c‘a = Noc‘P (1) F . (1). *104-123 . э F . Prop Следующие предложения касаются доказательства того, что если зада- ны любые два кардинала (1 и v одного и того же типа, то мы находим два взаимно исключающих класса, один из которых содержит ц термов, в то время как другой — v термов. Доказательство требует, чтобы мы по- высили типы р, и v на один уровень выше того, в пределах которого они изначально были заданы, т.е. чтобы мы обратили ц и v в и v(1). Поэто- му, например, предположим, что суммарное число индивидов во вселенной было конечным (предположение, которое согласуется с нашими примитив- ными предложениями), и предположим, что (1 было этим числом. Тогда А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 100 ЧИСЕЛ если v/0, то класс v индивидов будет являться экзистенциональным под- классом единственного класса, которые состоит из ц индивидов, и, следо- вательно, мы имеем aep. Pev . оа,р . 3! а А р . Однако если мы рассматриваем классы классов ц и классов v, то мы всегда можем найти у и S такие, что у с . S 6v(1). у П 6 = А . Существование таких у и S является важным в связи с арифметиче- скими операциями и поэтому доказывается здесь. *104-4. h:.xea.x/y.x/z.y^z: ((о). (Dt = а й (a = i‘(D U i‘w): о . x/^a- fx) U fy/zeN^a А СГ2 Доказательство. h . *100-61 . о h:Hp.о. xt“(a - fx) sm (a - f x) (1) h. *73-43 . oh: Hp. о. Cyt'z sm Cx (2) h . *51-232 . Transp . о h : Hp . о . x ~ ey^z (3) h . *51-232 . dF: Hp. у exl“(a-i‘x). о .xey (4) h. (3). (4). oh:Hp.o.y/z~exL“(a-fx). [*51-211] о. Xi“(a - f x) A Cyt‘z = A (5) h. (1). (2). (5). (6). *73-71 . *51-221 .oh: Hp . о . xL“(a - f x) U Cy^z sm a (7) h. *63-101-16 .*51-232-16 .0 h : Hp . о . f x = fу . xe a . у eyL‘z. yCzext“(a - f x) U fyL‘z. [*63-53-2] о . t2ix = fa. fi'y = ro‘{xL“(a - fx) и fyt‘z}. r2‘x = ?‘y. [*13-17] о . f a = to‘{*i“(a - f x) U CyCz. [*63-105] о . xt“(a - f x) U Cyt‘z c fa (8) h . *54-26 .oh: Hp . о . xL“(a - f x) U i‘yL‘z c 2 (9) h . (7). (8). (9). *104-101 .oh. Prop *104-41. h :. fa = fp : (3X,y,z).xea. x^y.x^z.у : з . (ЗУ, б). у e N^a. 5 e N*c‘P . у A 5 = A Доказательство. h . *104-4-2 . *52-3 . о h:Hp.Hp*104-4 .o.(3x,y,z).xL“(a-fx)UfyL‘zeN1ctanCl‘2.i“P6N1c‘PnCl‘l. [*13-22] о . (зх, у, z, у, 6). у = xt“(a - i‘x) U fy/z. 5 = i“P. у eNJc‘a А СГ2.6 eN1^ A Cl‘l. [*11-55] о . (зу, &). у e N*c‘a A C1‘2.5 eN*c‘P A Cl‘l (1) h . (1). *101-35 .oh. Prop Это предложение доказывает желаемые заключения при условии, что 3! а и to'a состоят хотя бы из трех термов. Следующие предложения име- ют дело со случаями, в которых эта гипотеза не проверяется. *104-411. h : f a = f р. аеО. у = Аа . 5 = i“P. о . у eN^a . SeN^P. у А 5 = A Доказательство. h. *73-47. oh:Hp.o.ysma (1) *22-43. (*65-01). о h : Нр . о . у с fa (2) Н. (1). (2). *104-101 . эННр.э. yeN*c‘a (3) Н. (3). *104-2 . *24-23 . э h. Prop Principia Mathematica II
• 104. ВОСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ 101 *104-412. h: f a = f р. a = l‘x . у = f Ax. 5 = i“P. о. у eN^a. S cN1 lc‘p.yCi6 = A Доказательство. h . *73-43 . oh: Hp . □ . у sm a (1) h . *63-61-103 . o h : Hp . o . a 6^‘x (2) h . *22-43 . (*65-01). эh : Нр . э .£су . £cfx. [*63-5] o^.^e?‘x. [(2). *63-13] o^.^efa. (3) h. (1). (3). *104-101 . o h : Hp . э . yeN^a (4) h . *101-23 . oh: Hp . о . у A 5 = A h. (4). (5). *104-2 .oh. Prop (5) *104-413. h fa = f p . a = fxU fy . x^y . у = i‘A U i‘(fxU fy). 5 = t“0 . o . у €N!c‘a. 6 €N!c‘p. у A 5 = A Доказательство. 1-. *54-26. о h : Hp . о . f x U f у € 2. (1) [*101-35] о . A # f x U f у. [*54-26] о . i‘A U U f y) 6 2 . [*101-3] о . f A U f (L‘* U f y) e Nc‘(i‘x U i‘y) (2) F. *51-16 . о h:Hp.□.a 6 у. [*63-5] э . у c fa (3) 1-. (2). (3). *104-1. э h : Hp . э . у (4) 1-. *52-21-3 . э h . A ~ ei“P (5) 1-. (1). *52-3 . *54-25 .oh: Hp . o . i‘x U i‘y ~ c i‘ ‘P (6) К (5). (6). o h : Hp . □ . у A 6 = A (7) h. (4). (7). *104-2. эк. Prop *104-42. h : f a = f p . a e 0 U 1 U 2 . э. (зу, 6). у e N*c‘a. S c NVp. у A 6 = A [*104-411-412-413 . *52-1 . *54-101] *104-43. h : fa = fp . э . (зу, 5). у €N!c‘a. 6 eN^p. у A 6 = A Доказательство. h . *54-56 . э h : Hp . a ~ c 0 U 1 U 2. о . (зх, y, z). x,y, zea. x^y. x^ z >y / z • [*104-41] э . (зу, 6). у с N!c‘a. 6 e N!c‘P. у A 6 = A (1) h. (1). *104-42 .oh. Prop Приведенное выше предложение дает желаемый результат. Следующие предложения переформулируют этот результат в других формах. *104-44. h : р,, . f ц = fv . о . (зу, 5).уец.6еу.уАб = А [*104-13-43] *104-45. h : ц, veN0C . fp,= fv . о . (зу, б). у бцh. * * * (1). Scv(1). у А 5 = А [*104-29-44] *104-46. h : ц, v с NC - i‘A . f ц = f v . о . (3 у, 5). у е p(1), § еу(0 . у п 6 = А [*104-28-44] А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 102 ЧИСЕЛ *105. Нисходящие кардиналы Краткое содержание *105. В настоящем параграфе мы рассматриваем кардиналы, полученные из отношения подобия, которое идет от более высокого типа к более низкому, т.е. если задан любой класс классов к, то мы рассматриваем Nc‘k в преде- лах типа элементов к (который мы будем называть Nic‘k) или в пределах некоторого более низкого типа. Поэтому, например, мы будем иметь K = i“a.D.a6Nic‘K, где “N^k” означает “классы, подобные к, однако принадлежащие следу- ющему более низкому типу”. Аналогично к = ÑÑа. э. acN2c‘K, и т.д. В общем случае мы будем иметь 06Nic‘a. = . aeN^p, Р е N2c‘a. = . a е N2c‘P, и т.д. Главным различием между восходящими и нисходящими кардинала- ми является то, что А есть один из нисходящих кардиналов, но ни один из восходящих. В остальном предложения настоящего параграфа большей частью сходны с соответствующими предложениями из *104. По аналогии с определениями из *104 мы полагаем NiC =D‘N1C Df, |i(i) =sm“|i ПГГц Df с подобными же определениями для N2C и |1(2). Ни на одно предложение настоящего параграфа не будет ссылок впо- следствии, и читатель, который не заинтересован в данном предмете, может, следовательно, пропустить его без ущерба для того, что следу- ет далее. Основными доказанными предложениями являются следующие: *105-25. F.N0C = NiC-l‘A * 105-251. h . N0C = N2C - ГА * 105-26. h.NicTa = A Поэтому NiC и N2C в пределах любого заданного типа отличаются от No С в пределах указанного типа лишь добавлением А. * 105-3. h : (1 - Noc‘a. э . |i(i) = N^a * 105-322. h 3! Nic‘a. э : Nic‘a = Nic‘P . = . Noc‘a = Noc‘P * 105-34. h |icNC . g! Щ1). э : |i(i) = Nic‘a. = . p. = Noc‘a * 105-35. h peNC . veNoC . э : p = v(1). = . = v * 105-38. h . {|1(d}(1) = Ц(2) *105-01. Nic‘a = Nc‘a П fr/a Df Мы могли бы писать Nic‘a = Nc‘a П r0‘a Df, что было бы эквивалентно приведенному выше. Однако мы выбрали при- Principia Mathematica II
105. НИСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ 103 веденную выше форму ради единообразия. Если 5 есть некоторый суф- фикс51, то мы полагаем при условии, что ts'a было определено, NsC4a = Nc‘a П f г/a Df, и если i есть некоторый индекс52, для которого ?‘а было определено, то мы полагаем Поэтому во имя единообразия нии *105-01 писать “fr/a”, чем *105-011. N2c‘a = Nc‘a П fr2‘a *105-02. *105-021. *10503. *105-031. *105-1. *105-101. *105 11. Nzc‘a = Nc‘a A f rMa Df. лучше в приведенном выше определе- на”. Df Df Df Df / Df [*63-383. (*105-01)] [*63-41 . (*105-011)] Psma. РбГо‘а- = -Psma. рс^‘а NiC = D‘N1C N2C = D‘N2c |1(1) = sm“|in^i‘|i |1(2) = sm“|inr2‘^i h.Nic‘a = Nc‘anro‘a h . N2c‘a = Nc‘a П t\ ‘a h : peNic‘a. =. peNc‘a. РеГо‘а [*105-1. *100-31. *63-51] *105-111. h: peN2c‘a. =. peNc‘a. pe/i‘a. =. psma. Pefj‘a. =. psma. Pcr2‘a [*105-101. *100-31. *63-52] * 105-12. h : peNic‘a . = . PeNc‘a. a c r‘P . = . psma. a cf p. = . aeN1^ [*105-11 . *63-51 . *104-1] * 105-121. h : peN2c‘a . = . pcNc‘a . a a Г2‘Р . = . psma. a c r2tp . = . aeN2c‘P [*105-111 . *63-52 . *104-11] h . Nic‘a = Nc (h‘a)‘a = Nc {0i ‘a)a}‘a h . N2c‘a = Nc (r2‘a)‘a = Nc {(r2‘a)a)‘a h : aer0‘P • э . Nic‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘P [*102-6 .(*105-01)] [*102-6. (*105-011)] (1) *105-13. *105 131. *105-14. Доказательство. h . *63-22 . э h : Нр . э . fa - r0‘P . [*105-1] э . N!c‘P = Nc‘P П fa h.(1). *102-6 .oh. Prop * 105-141. h : aef/p . o . N2c‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘p [Док-во как в *105-14] *105-142. h : p c f a . z>. Nic‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘P [*105-14 . *63-51] * 105-143. h : p c r2‘a. z>. N2c‘P = Nc (a)‘P = Nc (ap)‘P [*105-141 . *63-52] * 105-15. h:p6NiC. = .(aa).p = N1c‘a [*100-22 . *71-41 .*105-02] * 105-151. h : p, e N2C . = . (3a). p = N2c‘a * 105-16. h : 5 с Ц(1). = . (3у). у e p . 5 sm у . 6 e t\ ‘p. = . (3 у). У 6 ц . 5 sm у . б с Го ‘y • = • (ЗУ). у € p,. 6 sm у. у c f 6 [*37-1 . *63-51-54] * 105-161. h : 5 eP(2). = . (зу). у ср . 5 smy . дбГ2‘ц . = • (Я Y). у б (i. 6 sm у. 6 е ‘у. = • (3Y) • у в ц . S sm у. у с г2‘5 [*37-1 . *63-52-55] 51 Термином “суффикс” именуется символ, который располагается в символьном пред- ставлении на месте нижнего индекса. — Прим, перев. 52 Термин “ индекс” применяется для указания на место верхнего индекса. — Прим, пе- рев. А.Н. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 104 ЧИСЕЛ В том, что следует, предложения, касающиеся N2C или N2C, имеют дока- зательства, в точности сходные с доказательствами соответствующих пред- ложений, касающихся NjC или NiC. *105*2. h . Noc‘a = Nic‘i“a Доказательство. h. *105-12 .* [*103-26] *105-201. h . Noc‘a = N2c‘i“i“a * 105-21. h.NoCcNiC * 105-211. h.N0CcN2C * 105-22. h : yeNic‘6 . э . N]C46 - Noc‘y * 105-221. h: у e N2c‘6 . э . N2c‘6 = Noc‘y * 105-23. h : я! Nic‘6 . э . Nic‘6 = N0C * 105-231. h : я! N2c‘6 . z>. N2c‘6 = N0C * 105-24. h . NiC - l‘A c NoC * 105-241. h . N2C - i‘A c N0C * 105-25. h . N0C = NiC - i‘A *105-251. h . N0C = N2C - i‘A •2 . э h . aeNic‘i“a. h . Noc‘a - Nic4“a [*105-2-15] [*103-26] [*105-22] [*105-23] [*105-21-24 . *103-23] *105-252. h.N1c‘P = N2c‘i“P Доказательство. h . *105-111 .oh: aeN2c‘i“p. =. a sm i“P. a et\ 4“P. [*73-41 . *63-64-54] = . a sm p. a e Zo‘P • [*105-11] = . aeNic‘P : э h. Prop *105-26. h.Nic‘fa = A Доказательство. h . *105-141 .oh. NjcTa = Nc (a)7‘a h. (1) .*102-73 .oh.Prop *105-261. h . N2c‘i“f a = A [*105-26-252] *105-27. h.AeNiC [*105-26] *105-271. h.AeN2C *105-28. h.NiC = N0CUi‘A [*105-25-27] *105-281. h . N2C = NiC = N0C U i‘A *105-29. h . NC c NiC . NC c N2C [*105-281 . *103-34] *105-3. h : ц = Noc‘a. о . |i(i) = Nic‘a Доказательство. h . *103-4 . (*105-03). о h : ц = Noc‘a. о . p(i) = Nc‘a A t\ ‘ц h . *103-12 . о h : ц = Noc‘a . о . a e p. [*63-105] о . аеГо‘н • [*63-55] о.Го‘а = *1‘н h . (1). (2). о h : ц = Noc‘a . о . p(i) = Nc‘a A fo‘a . [*105-1] о . |i(i) = Nc‘a: о h . Prop *105-301. h : ц = Noc‘a . о . |i(2) = N2c‘a *105-31. h : |ieN0C . о . |i(1) eNiC [*105-3-15 . *103-2] *105-311. h : ц e NoC . э . (i(2) e N2C (1) (2) Principia Mathematica II
*105. НИСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ 105 *105-312. h : у cNic‘a . э . <хе^с‘у. N*c‘y ~ Noc‘a [*105-12 . *103-26] *105-313. h : у eN2c‘a. □ . aeN2c‘y. N2c‘y = Noc‘a *105-314. h : N1C‘a = Noc‘y . z>. Noc‘a = N^y [*105-312 . *103-12] *105-315. h : N2c‘a = Noc‘y. o . Noc‘a = N2c‘y *105-316. h : 3! Nic‘a. Nic‘a = Nic‘0. o . Noc‘a = Noc‘P Доказательство. I-. *105-312 . э h : y6Nic‘a. Nic‘a = Nic‘0. о . N!c‘y = Noc‘a. ^с‘у = Noc‘0. [*13-171] э. Noc‘a = Noc‘P (1) h.(l). *10-11-23-35. oh. Prop *105-317. h: 3! N2c‘a. N2c‘a = N2c‘P. o . Noc‘a = Nqc‘0 *105-32. h : Noc‘a = Nqc‘0 . o . Nic‘a = Nic‘P Доказательство. h . *103-41 . dH Hp . э. Nc (Г] ‘a)‘a = Nc ‘a)‘0 (1) h . *103-14 . dH Hp . э. p c r‘a. [*63-16-36] z>.ri‘a = n‘P (2) h . (1). (2). o h : Hp. э. Nc (0 ‘a)‘a = Nc (t\ ‘a)‘P. [*105-13] э . Nic‘a = Nic‘P : э h . Prop *105-321. h : Noc‘a = Noc‘P. z>. N2c‘a = N2c‘P *105-322. h:. 3! Nic‘a. □ : Njc‘a = Nic‘P. = . Noc‘a = Noc‘P [*105-316-32] *105-323. h 3! N2c‘a. o : N2c‘a = N2c‘P. = . Noc‘a = Noc‘p *105-324. h: 3! p(1). z>. 3! ц [*37-29 . (*105-03)] *105-325. h : з! p(2). o . 3! ц *105-326. h : peNC . |i(i) = Noc‘y. о . p = N^y Доказательство. h . *103-26 . о h : Hp . аец. □ . |i = Noc‘a. (1) [*105-3] о . p(i) = Nic‘a. [Hp] э . Nic‘a = Noc‘y . [*105-314] o.N0c‘a = N1c‘y. [(1)] э.ц = №с‘у (2) h . (2). *1011-23-35 . z> h : Hp. 3! p. z>. p = N1 c‘y (3) H. (3). *105-324 . *103-13 . => F. Prop *105-327. F: p e NC . p<2> = Nqc'y . э. p = N2c‘y *105-33. h : p c NC . 3! |i(i). Щр = Nic‘a . . p = Noc‘a Доказательство. h . *103-26 . э h : у 6Ц(1). Щр = Nic‘a . э . Nic‘a = Noc‘y. [*105-314] э. Noc‘a = ^с‘у (1) h . (1). *105-326 . э h : yepd). p(i) = Nic‘a. peNC . э . ц = Noc‘a (2) h. (2) .*10-11-23-35 .oh. Prop *105-331. h : ц e NC . 3! |i(2). |i(2) = N2c‘a. о . p = Noc‘a *105-34. h :. |icNC .3! |i(i). э : щр = Nic‘a. = . ц = Noc‘a [*105-33-3] *105-341. h :. peNC .3! |i(2). o : |i(2) = N2c‘a. = . ц = Noc‘a A.H. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 106 ЧИСЕЛ *105-342. h . |ieNC . э . |i(i) cNiC Доказательство. h . *103-34 . oh: Нр . а! р. о . р е NoC . [*105-31] o.HdjeN’C (1) h . *103-324 .oh:Hp.~a!p,.o.~a! p(i). [*105-27] o.^eNiC (2) h . (1). (2). dF. Prop *105-343. h : p e NC . о . p<2) 6 N2C *105-344. h : p = N^y. о . p(i) = Noc‘y Доказательство. h . *104-24 .oh: Hp . о . p = Noc‘i“y . [*105-3] о . p(i) = Nic4“y. [*105-2] о . p(1) = Noc‘y: о h . Prop *105-345. h : p = N2c‘y. о . p(2) = Noc‘y *105-35. h peNC . veNoC . о : p = v(1). = . p(i) = v Доказательство. h . *105-326 . *104-26 . о h: p e NC . v = Noc‘y . P(i) = v. о . p = N!c‘y. v(1) = N^y. [*13-172] o.p = v(1) (1) h . *104-26 . Fact. о h: p e NC . v = Noc‘y. p = v(1). о. p = N!c‘y •v = Noc‘y • [*105-344] о . p(i) = Noc‘y. v = Noc‘y. [*13-172] o.p(1)=v (2) h . (1). (2). о h :. p e NC . v = Noc‘y. о : p = v(1). = . p(i) = v (3) h. (3). *103-2 .oh. Prop * 105-351. h :. peNC . veNoC . о : p = v(2). = . p(2) = v * 105-352. h :. p, v e NC . a! v . о : p = v(1). = . p(1) = v [*105-35 . *103-34] * 105-353. h :. p, veNC . g! v. о : p = v(2). = . p(2) = v * 105-354. h : v c NC . g! v . о . {v(1)}(1) = v [*105-352] * 105-355. h : v 6 NC . a I v • о . {v(2)}(2) = v * 105-356. h : p e NC . a! H(i) • => • (H(d}(1) = P [*105-352] * 105-357. h : p e NC . a J H(2) • • (P(2)}(2) = H * 105-36. h : рб^с‘а. у eNic‘0. о. у eN2c‘a Доказательство. h . *105-11 .oh: Hp . о . P sm a. Pefo‘a . у sm p . у сГо‘Р • [*73-32 . *63-38] о . у sm a. у e Ц ‘a. [*105-111] о . у cN2c‘a: о h . Prop * 105-361. h : PcNic‘a. у eN2c‘a . о . у eNic‘P Доказательство. h . *105-11-111 .oh: Hp .o.psma. РбГо‘а . у sm a . у eti ‘a . [*73-31-32] о . у sm p . p e to'a . у e t\ ‘a (1) h . *63-54 . о h : Pefo‘a. о . Го‘Р = fi‘a (2) h. (1) . (2) . о h : Hp . о . у sm P . у еГо‘Р • [*105-11] о . у 6Nic‘P : о h . Prop Principia Mathematica II
*105. НИСХОДЯЩИЕ КАРДИНАЛЫ 107 *105-362. F: р e Nic‘a. э. Njc'P = N2c‘a [* 105-36-361 ] *105 37. h:Noc‘P = N1c‘a.z>.N1c‘P = N2c‘a [*105-362. *103-12] *105-371. Ь: а! ц(2). э. g! ц(1) Доказательство. Ь. *63-381 . (*63-05) .э h : у sma. aeц. у er2‘p. э. ysma. aep,. Г‘у = Г2‘ц • [*73-41 . *63-64] э . i“y sm a. a е |i. Г0Ч“у = r2‘|i. [*63-57] э . i“y sma . aeц. f i“y = r/p,. [*63-103] э . i“y sma. ae|i. i“y efi‘p. [*105-16] э . i“y e‘|i(i). [*10-24] э.э!ц(1). (1) F. (1) .*10-11-23 .э I": (aa) • ysma. aeц.уе12‘ц. э. a’-H(i) (2) I- . (2). *105-161 . z> h : yeH(2). z>. a'-H(i) (3) F. (3). *10-11-23 . z> F . Prop *105-372. I-: Щ1) = A. z>. щ2) = Л [*105-371 . Transp] *105-38. F. {ц(1)|(1) =ц(2) Доказательство. h . *105-16 . z> h : у e {и(1)}(1). . (30). 0 e h(d . у sm 0 . у e ro‘0 . [*105-16] = . (ga,0). аец. 0sma . 0ero‘a. у sm0. у еГо‘0 • (1) [*73-32 . *63-38] э . (да). аец. у sm а. у еГ1 ‘а (2) I-. *73-41 . *63-64-53-57 . э 1-: а е р. . у sm а. у е ‘а . о. а е ц. i“ysmа.уsmi“y.уеГо“ь“у. i“yet^a. [(1)] => • Ye(H(i)}(i) I-. (2). (3). э I-: у е (р.(П)(1). = . (за). а е ц. у sm а. у е h‘а. [*105-161] э . у е Ц(2): э h . Prop *105-4. F :yeN2c‘a. D.i“yeNic‘a Доказательство. I- . *105-111. *73-41. *63-64 . э F: Hp . э . i“y sm a . у e t\ ‘a. у e to 4‘ ‘y. э . i“y sm a. t\ ‘a = Го‘е“у • D.i“ysma. i“yero‘a. э . i“y eNjc‘a : э h . Prop [*105-4] [*105-41] [*63-41-383-16-55] [*63-54] [*105-11] *105-41. F : 3! N2c‘a. z>. 3! N[C‘a *105-42. F : N]c‘a = Л. z>. N2c‘a = A *105-43. F : p.(i) = Njc'a. z>. p.(2) = N2c‘a Доказательство. F . *105-11 . z> F [*63-54 . *100-31-321] [*105-1-101] F . *105-3 . *103-26 . [*105-38] F.(l).(2). F. *105-372-42 . h . (3) . (4). э h . Prop : Hp . 0 e p(i). э . 0 e Nc‘a П to'o.. э . Nc‘0 = Nc‘a. ro‘0 = ti ‘a . э . Nic‘0 = N2c‘a э h : Hp . 0 e p(i). э . Nic‘0 = {p(i)}(1) = H(2) э h : Hp . g! |i(i). э . p(2) = N2c‘a э h : Hp . |i(i) = Л . э . |Л(2) = A . N2c‘a - A (3) (3) (1) (2) (3) (4) A.H. Уайтхед, В. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 108 ЧИСЕЛ *105-44. h.N2c72‘a = A Доказательство. h . *105-26 . э . Nic Wa = А . [*105-42] э . N2c7‘f a = А . э h . Prop Principia Mathematica II
106. КАРДИНАЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ТИПОВ 109 *106. Кардиналы относительных типов Краткое содержание *106. В этом параграфе мы должны рассмотреть кардиналы, чьи элемен- ты представляют собой классы отношений, которые находятся в данном отношении по типу к некоторому данному классу. Например, мы имеем J,x“asma, и J,x“a находится в данном отношении по типу к а53, когда х задан. Поэтому мы хотим иметь обозначение для Nc‘aAfj,x“a и всех ассоциированных понятий. В этом параграфе мы будем иметь дело лишь с отношениями, в которых референт и релятив находятся в некотором от- ношении по типу, которое может быть выражено посредством обозначения из *63, т.е., грубо говоря, когда для подходящих значений а, т и п наши отношения содержатся в п или rw‘afrn‘a, или /'"‘ajf/a, или гт‘аТ^‘а. Таким образом, если fRV‘a было определено, то мы будем полагать МИуС‘а = Nc‘aAr7RV‘a Df, N^VC =П‘МИуС Df, ^d(|iv) = sm A t tyy t\ Df с аналогичными определениями для r^v‘a, rHv‘a и %‘а. Намного более важным случаем является таковой для Год‘а. Для этого случая мы имеем * 106-1. h : р е Nooc‘a . = . р е Nc‘a . р е ffa/a • = . Р sm a . р е r‘r‘(^o‘a J Го ‘°0 • = . р sm a . Р с f(a Т а) Таким образом, Nooc‘a будет числом класса отношений, чьи поля при- надлежат тому же самому типу, что и а, при условии, что этот класс отношений подобен а. Например, число термов, таких как xj,x, где хе а, будет Nooc‘a. Мы имеем * 106-21. h . э! Nooc‘a . Nooc‘a е NqC * 106-22. h : XeNo^a. =. Cnv“kc ^oc^x * 106-23. h : p e N^a. z>. Nnc‘a = Nooc‘P * 106-32. h : to'a = r0‘P . =>. (3y, 6). у e Nooc‘a. 5 e Nooc‘P . у A 5 = A *106-4-41-411. h : ц = Noc‘a. э . p(oo) = Nooc‘a . p(11) = Nnc‘a . р,(ц) = Nnc‘a *106-53. h . Nc (a)7oo‘a = A откуда следует, что * 106-54. h . Noc7oo‘a ~ eN00C Предложения настоящего параграфа, исключая *106-21, никогда не упо- минаются в дальнейшем (исключая их упоминание в *154-25-251-262, ко- торые сами нигде больше не используются), однако они имеют несколько большую значимость, нежели предложения из *105, благодаря тому факту, что арифметические операции определяются посредством классов отноше- ний, т.е. сумма двух кардиналов (например) определяется как кардиналь- ное число некоторого класса отношений (ср. с *110). 53 В оригинале — X x“a has a given relation of type to a. — Прим, перев. A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 110 ЧИСЕЛ *106-01. Nooc‘a = Nc‘a П f fa/a Df *106-011. N11c‘a = Nc‘anfr11‘a Df *106-012. Noic‘a = Nc‘anfroi‘a Df и т.д. *106-02. hVc^x = Nc‘a П f fo1 ‘a Df и т.д. *106-021. 1Noc‘a = Nc‘anf %‘а Df и т.д. *106-03. NooC = D‘N(X)C Df и т.д. *106-04. P-(oo) =sm“p,Afroo‘ri‘p, Df *106-041. p,(11) = 8т“р,Пг7п7]‘р, Df и т.д. * 106-1. h : p€Nooc‘a . = . PcNc‘a . pcffafa . = . P sm a . p e J r0‘a) • = . P sm a . p c f (a f a) [*100-1 . (*106-01 . *64-01). *64-11] *106-101. h : PcNnc‘a . = . PcNc‘a . Pcffba . = . P sm a. P e f f (f a J fa). н . P sm a . P c f (f a | fa) Аналогичные предложения имеют место для любого другого двойного индекса /им, для которого /'""‘а было определено. * 106-11. h : Р € Noic‘a . = . Р е Nc‘a. р с f ZOi ‘а . = . Р sm а . р е f f (r0‘a Т ‘а). = . Р sm а . р с f (z0‘a Т й ‘а) Аналогичные предложения имеют место для любого другого двойного суффикса /им, для которого zmn‘a было определено. *106-12. h : PeNoVa . = . PcNc‘a . pcf^a . = . P sm a . p e f fa). = . P sm a . p c f (r0‘a T fa) *106-121. h : Pc ^‘a. s . PcNc‘a . Pcf %‘a. = . P sm a . p c f f (f a T r0‘a). = . P sm a . p c f (f a f z0‘a) Аналогичные предложения имеют место для любого другого индекса и суффикса, для которых tmnia или nrw‘a было определено. * 106-13. h: р с NooC . = . (яа). р = Nooc‘a [*100-22 . *71-41] Аналогичные предложения имеют место для NnC‘a и т.д. * 106-14. h : р е р,(оо). = . (да). а е р,. р sm а . р е t't'lti ‘р, J й ‘р). = . (яа). а е р. Р sm а . р с f fa/a • = . (я а). а ср,. Psma . Ра f(a Т а) [*64-33-11] * 106-141. h : Рсро1 . = . (яa) .acp.psma.pcr‘f(h‘рТ А)‘н) • = . (яа). а с р. р sm а . р с f fo1 ‘а . = . (я a) .acp.psma.pc f (а Т fa) Аналогичные предложения имеют место для !ро, р11, рп и т.д. Principia Mathematica II
106. КАРДИНАЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ТИПОВ 111 *106-2. F : хе to*а. э . J, л“а е Nooc'a. 1 x“aeNoc‘J. х“а Доказательство. F . *55-15 . э F: R е | х“а. э. D‘R с а . d‘R = i‘x: [*63-105] э I-xeto‘a. э:Re 1 x“a. эд . D‘R cto‘a. G‘Rc to‘a. [*35-83] эд . R G lo‘a f lo‘a. [*64-16-13] эд . R e Z‘(a f a): [*22-1] э: J, x“a a f (a T a) F. (1). *73-611 . *106-1 . *103-12 . э I-. Prop *106-201. F : 0er‘a. э. J, fT'aeNo'c'a *106-202. I-: 0е?‘а . э. J, P“aeNo2c‘a *106-203. I-.la“aeN0‘c‘a *106-204. I-. J, (i“a)“aeNo2c‘a *106-21. F. 3! Nooc'a. Nooc'a e NoC *106-211. F . A ~ e NqoC . NooC c NqC . NooC e Cis ex2 excl *106-212. F . A ~ e N0‘C . No1 C a N0C . N0‘C e Cis ex2 excl *106-213. F . A ~ e N02C . N02C a N0C . N02C e Cis ex2 excl *106-22. F : XeNo’c'a. в . Cnv“Xe 'Noc‘a Доказательство. h . *73-4 . h : к sm a . = . Cnv“k sm a h . *6416 . z> hkcf(Jo‘a T fa). = : ReX . z>R . R G r0‘a T : [*35-84] = : R e к. z>R . R G fa T r0‘a : [*37-63] = : 5 e Cnv“k. z>s . 5 g f a T to'a : [*64-16] = : Cnv‘‘k a f (f a T fo‘a) h. (1). (2). *106-12. z>h. Prop Приведенное доказательство требует, в дополнение к *106-12, своего лога для ^‘а. Такие аналоги будут приниматься по мере необходимости. *106-221. h : к с No2c‘a. = . Cnv“kc2Noc‘a *106-222. I-. A ~ е !N0C . %С с N0C . %С е Cis ex2 excl *106-223. h . A ~ e 2N0C . 2N0C a N0C . 2N0C e Cis ex2 excl Другие предложения того же вида, как и приведенные выше, могут быть доказаны, замечая, что если т и п представляют собой индексы, для которых /'"‘а и f‘а были определены, то мы имеем (1) [*106-201] [*106-202] [♦106-2 . *63-18] [*106-21 . *103-24] [*106-203] [*106-204] (1) (2) ана- [*106-22-212] ycf‘a . PcNmc‘a . z>. 1 P“y€Nwnc‘a, доказательство которого является прямым и простым. Следовательно, так как мы всегда имеем g!Nmc‘a, то мы также всегда имеем 3! Nw"c‘a, откуда Nm”C с N0C . N™C е Cis ex2 excl. Мы имеем подобным же образом 3! Nomc‘a . а! mNoc‘a . Однако мы не всегда имеем или a!Nnmc‘a, или g!mNnc‘a. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 112 ЧИСЕЛ *106-23. h : . =>. Nnc‘a = Nooc‘P Доказательство. h . *64-33 . *104-1 . *63-5 . э h : Нр . э . Z11 ‘a = Zoo‘P h . (1). (*106-01-011). *100-321 . э h . Prop *106-231. h : PeNic‘a . э . Nnc‘a = Nooc‘P [Док-во, как в *106-23] *106-24. h : N^a = Nqc‘P . э . Nnc‘a = Nqqc‘P [*106-23] *106-241. h : NiC‘a = Nqc‘P . z> . Ыцс‘а = Nooc‘P Аналоги приведенных выше предложений для других индексов или суф- фиксов доказываются подобным же образом. *106-25. h . Nnc‘a = Nooc‘i“a [*106-23 . *104-2] *106-251. h . Nooc‘a = Niic‘i‘‘a *106-31. h : x,y eZo‘a • = to‘P • • => • J, x“acNooc‘a . J,y“PeNooc‘P . J, x“a A J, x“P = A [*106-2 . *55-233] *106-311. h хсГо‘а • ^o‘a = ^o‘P : ci = A . V . P = A : э . J,x“acNooc‘a . J,x“PcNooc‘P . J, x“a A J, x“P = A [*106-2 . *55-232 . Transp] *106-312. h : = i‘x. a = P = i‘x. z> . T i‘*) e Nooc‘a. i‘(A J i‘x) e Nooc‘P . l‘(l‘x T i‘*) H l‘(A J i‘x) = A Доказательство. h . *73-43 .oh. l‘(l‘x T l‘x) sm i‘x. i‘(A T i‘x) sm i‘x. [*13-12] z> h : Hp . э . l‘(l‘x f i‘x) sm a . i‘(A f i‘x) sm P (1) h . *64-16 . d h : Hp . z>. i‘x T Гоо‘а . A 1 Гсю‘а (2) h . (1). (2). *106-1 . *51-161 . *24-54 . *55-202 . z> F . Prop *106-32. h : to'a = Го‘Р • => • (ЗУ, 6) • у eNooc‘a . 5eNooc‘P . у A 5 = A Доказательство. h . *106-31 . z> h Hp : (зх,у). x,yetQla . x#y: э . (3у, б). у c Nooc‘a. 5 с Nooc‘P . у А 5 = А (1) h . *52-4 . z> h : ~ (gx,y). х,у е Го‘« . х /у. z> . to‘a е 1 U l‘A . [*63-18] эЛо‘аб1 (2) h . (2). *60-38 . *63-105 . *52-46 . z> h : ~ (gx,y). х9уе^а . х #у . 3! a . 3! Р . э . a = p = r0‘a . Г0‘ае 1. [*106-312] z>. (зу, 5). у е Nooc‘a . 6 с Nooc‘P . у А 5 = A (3) h . *106-311 . *63-18 . э h Нр : ~ (з! a . з! Р): э . (зу, 5). у с Nooc‘a . 5 е Nooc‘P . у А 5 = А (4) h . (1) . (3) . (4) . э h . Prop *106-4. h : ц = Noc‘a . z>. p,(oo) = Nooc‘a Доказательство. h . *106-14 . z> h :: Hp . z>P e poo . = : (зу). ycNoc‘a . Psmy . Peffa/Y: [*64-3] = : (зу). у e Noc‘a . P sm у . P e f fa/a : [*102-84] = : p sm a . p c r7oo‘a : [*106-1] = : P c Nooc‘a :: z> h . Prop Principia Mathematica II
*106. КАРДИНАЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ТИПОВ 113 *106-401. h : pi = N^a . z>. Ц(оо) = Nnc‘a Доказательство. h . *104-24 . *106-4 . э h : Нр . э . ц(оо) = Nooc‘i“a [*106-25] = Nnc‘a: э h . Prop *106-402. h : p, = N!c‘a . g! ц. э . Щоо) = Nnc‘a Доказательство. h . *106-231 . z> I-: Hp . P с ц. . Nnc‘a = Nooc‘P [*106-4. *103-26] =H(oo) (1) h . (1). *10-11-23-35 oh :Hp.g! . p,(Oo) = Nnc‘a : э h. Prop *106-41. h : p = Noc‘a . z> . p(11) = Nnc‘a Доказательство. h . *63-54 . (*106-041). *103-27 . э h :: Hp . э Pep(11). = : (gy). у eNoc‘a . Psmy : Per7n7o‘a : [*102-84 . *64-32] = : P sm a . P e f Г11 ‘a: [(*106-011)] = : PcNnc‘a ::dF. Prop *106-411. h : p = Noc‘a . э . P(n) = Nnc‘a [Док-во, как и в *106-41] * 106-43. h : ц, v е N0C . f ц = f v . z> . (gу, 6). у е ц(Оо). 6 е v(00). у А 5 = А Доказательство. h . *103-2 . э h : Нр . э . (ga, Р). ц = Noc‘a . v = Noc‘P . [*106-4] z>. (да, P). p(00) = Nooc‘a . v(00) = Nooc‘P. [*106-32] э . (gy, 6). у e p(00) • 6 e v(Oo). у A 5 : э I-. Prop * 106-44. h : pi, vcNqoC . f pi = f v . z>. (gy, 5).yep.5ev.yA5 = A [*106-32] Следующие предложения представляют собой аналоги *102-71 и после- дующих, и подобные замечания применяются и к ним. * 106-5. h : R е Cis -> 1. TYR с a . СГЯ с Rl‘(a Т a). W = xy {х,у ea . ~ х(Я‘х)у}. э . W. W Ga J a Доказательство. h . *4-73 . dF:: Hp . z> x,y ea . : xWy . = . ~ x(R‘x)y : [*5-18] z>x,y : ~ {xWy . = . х(Я‘х)у) [*10-1] z>xea . ~ {xWx . = . х(Я‘х) x). [*21-43 . Transp] z>x . W # Я‘х [Hp] z> хеВ‘Я . . W ^R'xz. [*71-411 .Transp] э:.1У~еа‘Я (1) h . *21-33 . (*35-04). э h : Hp . э . W Ga T a (2) h . (1) . (2) . э h . Prop * 106-51. h : P c a . э . ~ {P sm Rl‘(a J a)) Доказательство. h . *106-5 . э I-: Hp .Яe 1 -> 1 . D‘tf = p . СГЯaRl‘(a?a) . d. (gW). WeRl‘(aTa). W-еСГЯ. [*13-14] z>. СГЯ # Rl‘(a T a) (1) H. (1).*22-41 .эН:.Нр.э:Яе1->1 .О‘Я = р.эл.СГЯ#НГ(аТа): [*10-51 . *73-1] э : ~ {P sm Rl‘(a f a))z> h . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
ГЛАВА 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КАРДИНАЛЬНЫХ 114 ЧИСЕЛ * 106-52. F : р с Го‘а . =>. Р ~ с Nc7qo‘(x Доказательство. F . *106-51 . э h : Нр . э . ~ {р sm Ш‘Оо‘а Т • [*64-54] d . ~ (Р sm Гоо ‘а}. [*100-1] =>. Р ~ eNc7oo‘a : э F. Prop * 106-53. F . Nc (а)7оо‘а = Л [*106-52 . *102-6 . *63-371] * 106-54. F. Noc7oo‘a~eNooC Доказательство. F . *100-33 . *103-15 . э F : Nooc‘P = Noc7oo‘a. z>. P sm fa/a (1) F. *103-12. (*106-01). э F : Nooc‘P = Noc7oo‘a. э . fa/a e ffa/P. [*63-16 . (*64-01)] z> . f f (fo‘a T fo‘a) = T fo‘P) • [*63-391] =>. f(fo‘a T to‘a) = t‘(to‘P T to‘P) • [*64-3 . (*64-01)] z> . = r0‘P • [*63-105] D.pcfo‘a (2) F . (1). (2). э F : Nooc‘P = Noc7oo‘a. d . PcNc7oo‘a . Pcf0‘a (3) F . (3). Transp . *106-52 . э F . (P). Nooc‘P # Noc7oo‘a . [*106-13 . Transp] э F . N0c7oo‘a ~ eNooC . э F . Prop * 106-55. F. а! N0C-NooC [*106-54] Principia Mathematica II
ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ Краткое содержание главы 2 В настоящей главе мы должны рассмотреть арифметические операции как в применении к кардиналам, так и в применении к отношению боль- ше и меньше между кардиналами. Поэтому материал, с которым мы бу- дем иметь дело в этой главе, есть первое, что собственно принадлежит к арифметике. Трактовка сложения, умножения и экспоненциации, которая будет да- на далее, направляется желанием обеспечить наибольшую возможную общ- ность. Во-первых, все, что должно быть сказано в общем об арифметиче- ских операциях, должно применяться в равной степени к конечным и бес- конечным классам или кардиналам. Во-вторых, мы желаем иметь такие определения, которые позволили бы числу слагаемых в сумме или множи- телей в произведении быть конечным. В-третьих, мы желаем иметь воз- можность складывать или умножать два числа, которые не обязательно принадлежат одному и тому же типу. В-четвертых, мы желаем, чтобы на- ши определения были бы таковыми, что сумма кардинальных чисел двух или более классов зависела бы только от кардинальных чисел этих клас- сов, и были бы теми же самыми, когда классы частично перекрываются и когда они взаимно исключающие, с подобными же условиями для про- изведения. Желание получить определения, удовлетворяющие всем этим условиям, приводит к несколько более сложным определениям, чем могли бы потребоваться в ином случае; однако в итоге результат оказывается бо- лее простым, чем если бы начали с более простых определений, поскольку мы избегаем не имеющих достаточных оснований исключений.
116 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ Приведенные выше замечания станут более ясными в процессе их при- менения. Начнем со случая арифметического сложения двух классов. Если аир есть взаимно исключающие классы, то сумма их карди- нальных чисел будет кардинальным числом а up. Однако для того чтобы а и Р могли быть взаимно исключающими, они не должны иметь общих элементов, а этот признак является значимым, только когда они принадле- жат одному и тому же типу. Следовательно, задав два совершенно общих класса а и Р, нам требуется найти два класса, которые взаимно исключи- тельны и соответственно подобны а и Р; если эти два класса назвать а' и Р', то Nc(a'uP') будет суммой кардинальных чисел аир. Мы замечаем, что Ada и А П Р указывают соответственно А-ы того же самого типа, что а и Р, и соответственно мы принимаем в качестве а' и Р' два класса J,(AnP)“t“a и J,(Ana)“i“P; эти два класса всегда принадлежат одному и тому же типу, всегда взаимно исключающие и всегда подобны а и Р соответственно. Следовательно, мы определяем a + Р = J, (А П P)“i“a U(Ana) J, ‘ Ч“Р Df. Сумма кардинальных чисел аир будет тогда кардинальным числом a + Р; следовательно, мы можем назвать a + р арифметической класс-сум- мой двух классов, в отличие от a U р, которая представляет собой логи- ческую сумму. Будет замечено, что a + р, в отличие от a U р, не требует, чтобы а и Р принадлежали одному и тому же типу. К тому же a + a не тождественно а, однако когда a = А, то a + a также представляет собой А, хотя и в пределах некоторого другого типа. Поэтому закон тавтологии не имеет места для арифметической класс-суммы двух классов. Если ц и v есть два кардинала предписанных типов, то мы обозначаем их арифметическую сумму посредством p+cv. (Так как много видов ариф- метического сложения встречается в нашей работе, и так как для наших целей является существенным различать их, то мы будем различать их посредством суффиксов знака сложения. Конечно, это имеет смысл, лишь если мы имеем дело с принципами, где эти различные символы вообще необходимы: мы не хотим предполагать, что они должны быть адаптирова- ны к обычной математике.) Если p+cv предполагается имеющим свойства, которые мы обычно ассоциируем с суммой двух кардиналов, то оно долж- но быть типово неопределенным, и должно быть кардинальным числом любого класса, который может быть разделен на две взаимно исключаю- щие части, имеющие ц термов и v термов соответственно. Следовательно, мы приходим к следующему определению: Н +с v = I {(да, ₽). ц = Noc‘a. v = Noc‘P . § sm (a + P)} Df. В этом определении следует отметить различные аспекты. Во-первых, оно не требует, чтобы ц и v были бы одного и того же типа; ц +с v является значимым всякий раз, когда ц и v представляют собой классы классов. Поэтому не является необходимым для значимости, чтобы ц и v были бы Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2 117 кардиналами, хотя если они оба не являются кардиналами, то ц +с v = А. Если они оба являются кардиналами, то мы находим Н +с v = I {(а а, Р). а е р. р е v. § sm (а + ₽)). Поэтому в указанном случае aep,.pev.D.a + Pep,+cv. Следовательно, если ни ц, ни v не являются нулевыми, и если а имеет ц термов и Р имеет v термов, то a + Р есть элемент ц +с v. Без труда выво- дится, что h : ц = Noc‘a . v = Noc‘P . э . ц +с v = Nc‘(a + Р) • Следовательно, когда р, и v есть однородные кардиналы (т.е. когда они есть кардиналы, отличные от А), то их сумма есть число арифметической класс-суммы любых двух классов, имеющих ц термов и v термов соответ- ственно. Необходимо сказать несколько слов для объяснения того, почему в опре- делении мы полагаем ц = Noc‘a . v = Nqc‘P, а не ц = Nc‘a . v = Nc‘p. Причина заключается в следующем. Предположим, что либо ц, либо v, скажем ц, есть А. Тогда, согласно *102-73, p = Nc(^)7‘^, если t, принадлежит подхо- дящему типу. Следовательно, если мы положили Н +сv = f {(л a, ₽) • Н = Nc‘a. v = Nc‘P. £ sm (а + Р)) Df, где неопределенности типа, заключенные в Nc‘a и Nc‘P, могут быть де- терминированы так, как мы пожелаем, то мы должны получить v = Nc‘P. э . + Р е ц +с v, т.е. v = Nc‘P . э . f £ + Р с A +с v . Мы также имели бы + Р с A +с v и т.д. Поэтому A +с v не имело бы определенного значения, т.е. оно не могло бы просто обладать типо- вой неопределенностью, которую ей следовало бы иметь, но оно не име- ло бы определенного значения, даже когда его тип был бы предписан. Поэтому такое определение было бы неподходящим. По причинам, приве- денным выше, мы полагаем ц = Noc‘a . v = Nqc‘P в указанном определении и получаем типовую неопределенность, которую мы желаем, посредством типовой неопределенности “sm” в “^sm(a + P)”. Всегда существенно для правильной символики, чтобы значения типово неопределенных символов были уникальными, коль скоро их тип предписан. Область этих опреде- лений и соответствующих определений для умножения и экспоненциации (♦113-04-05 .*116-03-04) расширяется соглашением ПТ из Предварительных формальных соглашений. Приведенное выше определение p+cv предназначено для случая, в ко- тором ц и v являются типово определенными. Однако мы всегда должны иметь возможность говорить о “Nc‘y +с Nc‘6”, и оно должно быть опреде- ленным кардиналом, а именно Nc‘(y +6). Если мы просто пишем Nc‘y, Nc‘6 вместо ц, v в определении p+cv, то мы находим Nc‘y +с Nc‘6 = f {(ga, Р). Nc‘y = Noc‘a . Nc‘6 = Noc‘P . sm (a + P)}. Однако оно не всегда имеет определенное значение, когда тип Nc‘y+cNc‘6 А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
118 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ предписан. Для рассмотрения простейшего случая запишем Г t, вместо у и i‘y вместо 6. Тогда Nc‘f£ +с Nc‘i‘y = f {(ga, Р). Nc‘f£ = Noc‘a . Nc‘i‘y = Noc‘0 . | sm (a + P)}, откуда мы без труда получаем Nc‘f£ +с Nc‘i‘y = | {(ga). Nc‘f£ = Noc‘a . £ sm (a + i‘y)}. Если мы детерминируем неопределенность Nc‘f£ посредством Nic‘f£, то мы находим Nc‘f£+C Nc‘i‘y = A в пределах всех типов; однако если мы детерминируем неопределенность посредством Noc‘f£, то мы имеем Nc‘f £ +с Nc‘i‘y = Nc‘(^X + i‘y), и оно существует в пределах типа f £ + i‘y, если не в пределах более низких типов. Следовательно, значение Nc‘f£ +с Nc‘i‘y зависит от детерминации неопределенности Nc‘f Очевидно, что мы хотим, чтобы наше определение давало бы Nc‘y +с Nc‘d = Nc‘(y + б) в пределах всех типов; однако для чтобы быть уверенными, что оно бу- дет выполняться, даже когда Nc(£)‘y = A для некоторых значений £, мы должны ввести два новых определения, а именно Nc‘a +с ц = Noc‘a +с ц Df, ц+с Nc‘a = ц +с Noc‘a Df, откуда F : Nc‘a +с Nc‘P = Noc‘a +с Noc‘P = Nc‘(a + P). Это определение применяется, когда “Nc‘y” и “Nc‘6” встречаются без ка- кой-либо детерминации типа. С другой стороны, если мы имеем Nc(£)‘Y и Nc(t])‘6, то мы применяем определение ц+су. В дальнейшем мы обна- ружим, что всякий раз, когда Nc(£)‘Y и Nc(r])‘d оба существуют, то Nc (У ‘у +с Nc (ц)‘б = Noc‘y +с Noc‘d. Таким образом, приведенное выше определение требуется только для то- го, чтобы исключить значения £ или ц, для которых либо Nc(£)‘Y, либо Nc(t])‘6 есть А. Законы коммутативности и ассоциативности арифметиче- ского сложения без труда выводятся из определения a + р. Мы будем иметь h . a + Р = Cnv“(P 4- a), откуда h . Nc‘a 4-c Nc‘P = Nc‘P 4-c Nc‘a, потому что каждое = Nc‘(a 4- P). Аналогичное, однако несколько более длин- ное доказательство показывает, что h . (а 4- Р) 4- у sm a 4- (Р 4- у), откуда h . (Nc‘a 4-с Nc‘P) 4-с Nc‘y = Nc‘a 4-с (Nc‘P 4-с Nc‘y). Приведенное выше определение a 4- р позволяет нам перейти к сумме любого конечного числа классов и позволяет любому одному классу сно- ва появляться в суммировании. Однако оно не позволяет нам определить сумму бесконечного числа классов. Для этого мы нуждаемся в новом опре- делении. Так как бесконечное число классов не может быть задано пере- числением, а лишь посредством интенции, то мы будем вынуждены взять Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2 119 класс классов к и определить арифметическую сумму элементов к. Поэто- му классы, которые представляют собой слагаемые, все должны быть од- ного и того же типа (так как они все есть элементы к), и ни один класс не может встречаться более одного раза, так как каждый элемент к считается только однажды. (Для того чтобы иметь дело с повторением, мы долж- ны подойти к умножению, которое будет в скором времени объяснено.) Таким образом, при снятии ограничений на конечность числа слагаемых мы вводим некоторые другие ограничения. Это как раз та причина, кото- рая оправдывает затраченное на введение приведенного выше определения а + р время вдобавок к определению, которое сейчас будет дано. Если к есть класс классов, то сумма кардинальных чисел элементов к будет, очевидно, получена посредством конструирования класса взаимно исключающих классов, чьи элементы находятся в одно-однозначном отно- шении к элементам соответствующих элементов к. Предположим, что а, р есть два различных элемента к, и предположим, что х есть элемент обо- их классов аир. Тогда мы хотим подсчитывать х дважды, один раз как элемент а и один раз как элемент р. Простейший способ сделать это — сформировать ординальные пары х 1 а и х j Р, которые не являются тож- дественными, исключая случай, когда аир тождественны. Таким образом, если мы берем все такие ординальные пары, т.е. если мы берем класс Я {(gx). х € а . Я = х J, а}, для каждого а, которое есть элемент к, то мы получаем класс взаимно исключающих классов, а именно классов вида J,a“a, где аек, и каждый из них подобен соответствующему элементу к. Следовательно, логическая сумма этих классов классов, т.е. R {(за, х). а € к. х € а. R = х 1 а}, имеет требуемое число термов. Согласно *85-601 1 а“а = €j‘a. Следовательно, класс, чья логическая сумма, которую мы берем, есть еГ‘к. Следовательно, мы полагаем Х‘к = 5‘е1“к Df. Е‘к может быть назван арифметической суммой к, в отличие от 5‘к, ко- торый является логической суммой. Поэтому Е‘к находится к $‘к в таком же отношении, что и a + р к аир. Мы полагаем далее ENc‘k = Nc‘s‘e Г‘к Df. Таким образом, ENc‘к есть сумма чисел элементов к. В дальнейшем будет замечено, что ENc‘к не является, вообще говоря, функцией от Nc“k. Так как если два элемента к имеют одно и тоже кар- динальное число, то оно подсчитывается только однажды в Nc“k, в то время как оно подсчитывается дважды в ENc‘к. Затем будет найдено, что при условии a / р Е Nc‘(i‘a U i‘p) = Nc‘a +с Nc‘p . Поэтому там, где это относится к конечному числу слагаемых, два опреде- ления сложения согласуются, исключая то, что первое позволяет одному классу быть подсчитанным несколько раз, в то время как второе —нет. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
120 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ При рассмотрении умножения наша процедура является подобной про- цедуре для сложения. Во-первых, мы определяем арифметическое класс- произведение двух классов аир, которое представляет собой некоторый класс, чье кардинальное число есть произведение кардинальных чисел а и р. Мы пишем р х а для арифметического класс-произведения р и а и определяем его как класс всех ординальных пар, у которых референт есть элемент а и релятив есть элемент р, т.е. как Согласно *40-7, этот класс представляет собой s‘aX“p. Следовательно, мы полагаем pxa = s‘aX“P Df. Класс aj,“p подобен р, и каждый его элемент подобен а; следовательно, если Т%с‘а = ц и Noc‘p = v, то s‘aX“p состоит из v классов, содержащих ц элементов каждый. Класс аХ“Р является также важным в связи с экспо- ненциацией. Произведение двух кардиналов определяется следующим об- разом: Н хс v = | {(да, р). ц = Noc‘a. v = Noc‘p . §sm (a x p)} Df. В отношении типов это определение вызывает замечания, аналогичные тем, которые были сделаны для p+cv. Так же, как и раньше, мы нуж- даемся в определениях для ^xcNc‘a и Nc‘axcp, откуда мы получаем Nc‘a хс Nc‘p = Noc‘a хс Noc‘p Df. Посредством этих определений мы можем определить произведение любого конечного числа кардиналов; однако для того чтобы определить произве- дение бесконечного числа сомножителей, нам нужно новое определение. Если к есть класс классов, то мы берем бд‘к в качестве его арифмети- ческого произведения. В простых случаях легко видеть оправдание этого положения. Например, пусть к состоит из трех классов ai, a2, аз, и пусть элементы ai есть jq, х2; элементы у2; элементы аз— zi, Z2- Тогда элементы €д‘к есть *1 Х<*1 Uyi ja2 Uzi X «з х2 X ai U yi X а2 U zi X а3 X«i 0y2X«2 0zi Х«з х2 Х«1 0у2 X «2 0 zi Х«з с еще четырьмя, полученными подстановкой zi вместо zx в приведенном вы- ше. Таким образом, 1Чс‘бд‘к = 8 = Nc^ хс Nc‘a2 хс Nc‘a3. В общем, однако, существование ед‘к вызывает сомнения, из-за неуверенности в справедливо- сти аксиомы умножения. (Мы вскоре вернемся к этому вопросу.) Следова- тельно, не существует доказательства того, что произведение бесконечного числа сомножителей не может быть нулем, если ни один из сомножителей не есть нуль. Когда к есть класс взаимно исключающих классов, то €д‘к подобен П“€д‘к. Принимая в расчет его более низкий тип, П“€д‘к часто оказыва- ется более подходящим, чем €д‘к. Следовательно, мы полагаем Prod‘K = D‘ ‘ед ‘к Df, Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2 121 или (что приводит к тому же самому) Prod = De | €д Df. Для произведения кардинальных чисел элементов к мы полагаем IINc‘k = Nc‘€a‘k Df. Как и в случае ENc‘k, IINc‘k не является, вообще говоря, функцией от Nc“k. Мы будем иметь F : а р . э . П Nc‘(i‘a U i‘p) = Nc‘a хс Nc‘p . Таким образом, для произведений конечного числа различных множителей два определения умножения согласуются. Остается определить экспоненциацию. Так как это некоммутативная операция, то существенен порядок следования основания и показателя (экс- поненты); следовательно, мы не получаем определения экспоненциации класса к, аналогичного ENc‘k или IINc‘k, а только лишь определение которое может быть распространено на любое конечное число экспоненци- аций. Мы полагаем a exp р = Prod‘a Х“р Df, где сЦ“Р имеет смысл, разъясненный выше, вытекающий из *38-03. В даль- нейшем будет замечено, что, если Т%с‘а = ц и Noc‘p = v, то а Х“Р есть класс v взаимно исключающих классов, каждый из которых имеет ц термов; сле- довательно, аехрр может быть подходящим образом использовано, чтобы определить Следовательно, мы полагаем = f {(за, р). ц = Т%с‘а. v = Т%с‘Р . £ sm (a exp p)} Df, и по тем же причинам, что и ранее, мы полагаем (Nc‘a)v = (Noc‘a)v Df и nNc‘₽ = HN°C‘₽ Df • Приведенное выше определение экспоненциации дает то же самое зна- чение для что и вытекающее из определения Кантора посредством “Belegungen”. Класс “Belegungen” Кантора есть R {R е 1 Cis . D ‘Я с a. О ‘Я = р}, т.е. (а?Р)д‘Р, и без труда доказывается, что он подобен a exp р. Обычные формальные свойства экспоненциации выводятся без особых сложностей из приведенных выше определений. Приведенное выше определение экспоненциации оформлено таким об- разом, чтобы сделать предложения об экспоненциации независимыми от аксиомы умножения, за исключением случая, когда экспоненциация свя- зывается с умножением, т.е. когда показывается, что произведение v со- множителей, каждый из которых есть ц, представляет собой Это пред- ложение не может быть доказано в общем без аксиомы умножения. Ана- логично в теории умножения предложение о том, что сумма v ц-элементов есть цхсу, требует аксиомы умножения (так же, как и предложение, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из сомножите- лей равен нулю). В остальном теория умножения развивается без необхо- димости привлечения аксиомы умножения. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
122 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ Во-первых, рассмотрим связь между сложением и умножением: эта связь в той форме, в которой мы естественно полагаем эту связь имеющей место, утверждается в предложении: ц, v е NC . к е v А С1 ехсГц. э . $‘к е ц хс v (А) или ц, v е NC . к е v П СГц. э . Е‘к е ц хс v . Мы примем первое из них как более простое. Оно утверждает, что сум- ма v ц-элементов есть p,xcv. Это может быть доказано, когда v конечно, независимо от того, конечно ли ц или нет; однако когда v бесконечно, то указанное предложение не может быть доказано без аксиомы умножения. Это можно видеть, исходя из следующего. Мы знаем, что h : ц, v € NC . а е ц. р е v . э . а Х“р е v П С1 ехсГц. s‘a Х“р € ц хс v (В). Поэтому (А), приведенное выше, будет получено, если мы сможем доказать к, X е v А С1 ехсГц. э . s‘k sm s‘X, поскольку потом мы положим а!“р для X и используем (В). Так как к, X е v, то мы имеем к sm X. Предположим 5 е 1 -> 1. D‘5 = к. СГ5 = X. Пусть Ki, К2, ... есть элементы к и Xi, Х2, ... есть элементы X, которые кор- релируются с Ki, К2, ... посредством 5, т.е. Xi = 5 ‘Ki . Х2 = 5 ‘К2 . etc. Так как к, X е СГц, то мы имеем Ki sm Xi . к2 sm Х2 . etc. Поэтому aS p . эад . a sm p, т.е. S G sm. Если к и X конечны, то мы можем выбрать произвольное кор- релирование 51 для Ki и Xi, другое S2 для К2 и Х2, и так далее; тогда 5i U52 0... коррелирует $‘к с s‘X, а поэтому s‘Ksmsl Однако когда к и X бесконечны, то этот метод неосуществим. В этом случае мы поступаем следующим образом. Согласно *73 01 a sm р = (1 —> 1) А &‘а П &‘р Df. Principia Mathematica II
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВЫ 2 123 Таким образом, “a sm а” будет обозначать все перестановки класса в са- мого себя; “a sm р” обозначает все перестановки а в р, т.е. все 1 —> 1, чья область есть а, а обратная область —р. Очевидно, что Ha’asm pnysm б.э.а = у.р = 5, В случае кик, указанных выше, мы знаем, что asmp, когда а5р; поэтому а е к. эа . э! a sm (S ‘а) или рек.эр.э!(5‘р) sm р. Положим Crp(S)‘p = (S‘P) sm р Df, где “Сгр” обозначает “соответствие”. Таким образом, Сгр(5)‘р представ- ляет собой класс всех соответствий 5‘р и р; Сгр (5)“X — класс всех таких классов соответствий. Если мы извлекаем по одному элементу из каждо- го указанного класса соответствий, то мы получаем класс отношений, чья сумма есть коррелятор $‘к и s‘X, т.е. стеВ“бд‘Сгр(5)“Х. э . j‘<De(s‘K) sm (s‘X). Таким образом, желаемый результат следует всякий раз, когда Я!ед‘Сгр (5)“Х. Мы имеем 5 е 1 —> 1,5 G sm. э. Сгр(5)“XeClsex2excl. Следовательно Mult ах.э:5е1—>1.S G sm . D‘5 = к. Q‘5 = X. к, X € Cis2 excl. э. ?Ksm 5‘X, откуда, согласно тому, что было сказано ранее, Mult ах. э : к е v А Cl ехсГц. э . $‘к е ц хс v . Z Nc‘k = ц хс v . Анализ €д‘Сгр(5)“Х приводит подобным же образом к предложению h Mult ах. э : ц, veNC . K€V А СГц. э . €д‘кецу . ПМс‘к= Доказательство весьма сходно с доказательством связи сложения и умно- жения. В дальнейшем будет видно, что в приведенном выше использовании аксиомы умножения мы имеем два класса классов к и X, относительно которых мы предполагаем (Я5),5el -> 1.5 G sm. D‘5 = к. CTS = X, т.е. мы предполагаем, что к и X есть подобные классы подобных классов. Несколько измененная гипотеза, касающаяся к и X, позволит нам получить много результатов без аксиомы умножения, а иначе мы должны были бы ожидать привлечения указанной аксиомы. Это достигается следующим об- разом. Положим Ksmsm X. = . (яГ). Т е 1 —> 1. Q‘T = s‘X. к = Те“Х, где “smsm” есть единый символ, представляющий отношение. Когда это отношение имеет место между к и X, то мы будем говорить, что к и X обладают “двойным подобием”. В этом случае Т коррелирует s‘k с s‘X, в то время как Ге коррелирует к с X, так что если р есть элемент X, то Те‘Р, т.е. Т“р, есть его коррелят в к. Мы будем тогда иметь А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
124 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ I-: к sm sm X. э . s‘k sm s'X, I-: Ksmsmh □ .ENc‘k = SNc‘X, I-: KsmsmL □ . ПNc‘k = ПNc‘X. Мы также имеем F : KsmsmX. э . (gS).Sei —> 1.5 G sm.D‘S = к. CTS = X. Обратно, F : к,XeCis2excl . S e 1 -+ 1. S c sm. D‘S = к. CTS = X. (П€В“бд‘Сгр (S)“X. T = s‘tu. d . T e 1 —> 1. СГТ = s‘X. к = Te“X, откуда F :: Mult ax. э:. к, Xe Cis2 excl: (gS) .Sei—> 1.5 G sm. D‘S = к. CTS = X: □ . к sm sm L Следовательно, аксиома умножения требуется лишь для того, чтобы пе- рейти от (3S) .Sei—> 1.5 G sm.D‘S = к. CTS = X к KsmsmX. Именно этот факт и вытекающая возможность устранения ис- пользования аксиомы умножения привели нас к использованию символа “smsm” в настоящей главе. В этой главе мы также имеем дело с отношением больше и меньше меж- ду кардиналами. Мы говорим, что Nc‘a>Nc‘p, когда существует часть а, подобная р, однако не существует части р, подобной а. Основное предло- жение в этой теме есть теорема Шредера—Бернштейна, т.е. F:p^v.v^^.D.p = v. Это есть непосредственное следствие *73-88. Не может быть показано, без допущения аксиомы умножения, что из любых двух кардиналов один дол- жен быть больше, т.е. ц, v € NC .p/v.o:p>v.v.v>p. Если мы допускаем аксиому умножения, то это следует из доказательства Цермело, что при таком допущении каждый класс может быть вполне упо- рядочен, и доказательства Кантора, что из двух вполне упорядоченных се- рий, не являющихся подобными, одна должна быть подобна части другой. Однако эти предложения не могут быть доказаны до значительно более поздней стадии (*258). Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 125 *110. Арифметическая сумма двух классов и двух кардиналов Краткое содержание *110. В этом параграфе мы начинаем с определения *110-01. а + р = | (А П р)‘Т‘а U (А П а) Г‘ь“Р Df а + р называется “арифметической класс-суммой” аир. Определение оформлено таким образом, чтобы задать два взаимно исключающих клас- са, подобных соответственно аир, таких, что число термов в логической сумме этих двух классов есть арифметическая сумма числа термов в а и р соответственно, а + р значимо всякий раз, когда аир являются классами независимо от их типа. Посредством а + р мы определяем арифметическую сумму двух карди- налов следующим образом: *110-02. ц +с v = f {(за, р). ц = Noc‘a. v = Т%с‘р . £ sm (а + р)) Df Это предложение определяет “арифметическую сумму двух кардина- лов”. (Для значимости не является необходимым, чтобы ц и v были кар- диналами, необходимо лишь, чтобы они были классами классов. Если, од- нако, один из них не является кардиналом, то n+cv = A.) Будет замечено, что когда |А и v являются типово определенными, то таковыми же явля- ются а и р в приведенном выше определении; однако является типово неопределенным за счет неопределенности sm. Следовательно, ц +с v также является типово неопределенным. Будет показано, что n+cv всегда есть кардинал и что, если H = Noc‘a. v = Noc‘p, то ц+с v = Nc‘(a + Р). Следовательно, всякий раз, когда ц и v есть кардиналы, отличные от А, то ц +с v представляет собой существующий кардинал в пределах некоторых типов, хотя он мог быть А в пределах других. Два дополнительных определения требуются в этом параграфе, именно: *110-03. Nc‘a +с ц = Noc‘a +с ц Df *110-04. ц+с Nc‘a = ц+с Noc‘a Df Эти определения необходимы для того, чтобы применять определение |1+cvk случаю, в котором ц и v заменены типово неопределенными симво- лами Nc‘a и Nc‘p. То, каким образом детерминирована неопределенность Nc‘a и Nc‘p, не оказывает никакого влияния на значение Nc‘a+cNc‘p, если только они детерминированы таким путем, который гарантирует 3!‘Nc‘a. 3! Nc‘p; однако если существуют типы, в пределах которых либо Nc‘a, либо Nc‘p есть А, то мы получаем Nc‘a +с Nc‘p = А в пределах всех типов, если мы детерминируем неопределенность так, что Nc‘a = A или Nc‘p = A. Именно для того, чтобы исключить такую детерминацию неопре- деленности, требуются приведенные выше определения. Также, в связи с этими определениями и соответствующими определениями *113-04-05, *116-03-04 и *117-02-03, соглашение ПТ Предварительных формальных со- глашений должно быть замечено. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
126 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ Предложения настоящего параграфа начинаются со свойств а + р. Мы показываем (*110-11-12), что а + р состоит из двух взаимно исключи- тельных частей, которые соответственно подобны а и Р; мы показываем (*110-14, что если аир взаимно исключительны, то aUp подобен а + р, и (*110-15) что, если у и S соответственно подобны а и Р, то y + S подобен а + р. Мы показываем (*110-16), что Nc‘a(a + p) состоит из всех классов, которые могут быть разделены на две взаимно исключительных части, ко- торые соответственно подобны аир. Мы затем переходим (*110-2—252) к рассмотрению p,+cv. Здесь ц и v являются типово определенными, и определение *110-02 применяется к лю- бым типово определенным символам, таким как Noc‘a или Nc(T])‘a. Мы доказываем (*110-21), что если ц и v кардиналы, то их сумма состоит из всех классов, подобных некоторому классу вида а + р, где а е ц. р е v; мы доказываем (*110-22), что сумма Noc‘a и Noc‘p есть Nc‘(a + P), и (*110-25) что, если ц и v кардиналы, то их сумма равна сумме “тех же самых” кар- диналов в пределах некоторых других типов, в которых они не являются нулевыми, т.е. * 110-25. I-: ц, veNC .3! smn“p.. 3! sm^“v . э . ц +с v = smn“p, +с sm^“v Мы затем (*110-3—351) рассматриваем Nc‘a+cNc‘p, к которому мы при- меняем определения *110-03-04. Мы имеем * 110-3. I-. Nc‘a +с Nc‘p = Noc‘a +с Т%с‘р = Nc‘(a + Р) откуда другие свойства Nc‘a+cNc‘p следуют из предыдущих предложений. Мы затем имеем (*110-4—44) различные предложения о типе ц+^v, его существовании и родственных вопросах. Главные из них есть *110-4. (-:a’n+cv.D.n,v€ NC - ГА. ц, v е N0C * 110-42. Kn+cv€NC Это предложение не требует гипотезы, так как если ц и v не являются оба кардиналами, то n+cv = A, и А есть кардинал, согласно *102-74. Наш следующий набор предложений (*110-5—57) касается законов пере- становки и ассоциативности, которые представляют собой *110-51 и *110-56 соответственно. Мы затем (*110-6—643) рассматриваем сложение 0 и 1, доказывая (*110-61), что кардинал не изменяется при прибавлении 0, и (*110-643) что 1+с1 =2. *110-01. a + р = X (А П p)“i“a U (А П а) X “ÑРDf *110-02. ц +с v = {(за, Р). ц = Noc‘a. v = Noc‘P . § sm (а + p)} Df *110-03. Nc‘a+cn = Noc‘a+cn Df *110-04. p+cNc‘a = p+cNoc‘a Df Эти определения расширяются посредством ПТ Предварительных.фор- мальных соглашений. *110-1. Н.Яеа + р.н: (gx). х е а . R = (Гх) X (А П р). V . (ЗУ) -Уе₽ • Я = (А П а) X (i‘y) [*38-13-131 .(*110-01)] Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 127 *110-101. к . (t‘x) X (А А р) / (A А а) X (i‘y) Доказательство. к . *55-15 .эк. D‘(i‘x) | (Л П Р) = i‘i‘x. D‘(A A a) X (t‘y) = t‘(A A a) (1) к . *51-161 . э к . i‘x / (A A a). [*51-23] э к . l‘l‘x/i‘(A A a) (2) к . (1). (2). э к . D‘(i‘x) X (Л А p) /D‘(A Па) j, (t‘y) .эк. Prop *110-11. к . X (Л П p)“t“a П (Л П a) X“i“p = A Доказательство. к . *110-101 .эк:хеа.Я = Х(ЛП p)‘i‘x .у e p .5 = (Л A a) X‘t‘y • э . R / S : [*37-67] э к : Re X (Л A p)“i“a. 5 e (Л A a) X“i“P. э . R / S (1) к. (1). *24-37. эк. Prop * 110-12. к . X (Л П p)“t“asm а.(ЛПа) X“t“P sm p [*73-41-61-611] Предложение *110-11-12 дает обоснование для использования a + p при определении арифметического сложения, так как оно показывает, что а + р состоит из двух взаимно исключительных частей, которые соответственно подобны аир. * 110-13. k:ysma.5smp.yA5 = A.3.yU5sm(a + p) Доказательство. к . *110-12 .эк: Нр . э . у sm X (Л A p)“i“a. 5 sm (Л А а) Х“ь“Р (1) к . (1). *110-11 . *73-71 .эк. Prop * 110-14. к:аПр = Л.э.аирзт(а + Р) [*110-13 . *73-3] Таким образом, всякий раз, когда аир взаимно исключительны, их логическая сумма может заменять их арифметическую сумму при опреде- лении суммы их кардинальных чисел. * 110-15. к :ysma.5smp.3.y + 5sma + p Доказательство. к . *110-12 . э к : Нр . э . X (Л A 5)“i“y sm a . (Л А у) Х‘Т‘5 sm р (1) к . *110-11 . э к . X (Л A 5)‘Т‘у А (Л А у) Х‘Т‘6 = Л (2) к. (1). (2). *110-13. э к : Нр . э . X (Л А 5)‘Т‘у U (Л А у) X“L‘‘5 sma + р : э к . Prop *110-151. к :. a А Р = Л . э : sm (a U р). = . (з у, 5).ysma.5smp.yA5 = A. ^ = уиб Доказательство. к. *73-71 . эН.Нр.э: (ЗУ, 5). у sm a. 5 sm Р . у А 5 = Л . ^ = у U 5 . э . sm (a U р) (1) к . *72-411 . *37-25-22 . *73-22 . э к : S’ е 1 —> 1. D‘5 = §. CTS = аир.аАр = Л.э. 5 “а А 5 “р = Л . ^ = 5 “a U 5 “Р . 5 “a sm а. 5 “р sm р . [*11-36] э . (зу, 5).ysma.5smp.yA5 = A.^ = yU5 (2) к. (2). *10-11-23-35. *73-1 . э к :. Нр . э : £ sm (a U р). э . (зу, 5).ysma.5smp.yA5 = A.^ = yU5 (3) к . (1). (3) . э к . Prop * 110-152. к : £ sm (а + р). = . (зу, 5).ysma.5smp.yA5 = A.^ = yU5 Доказательство. к. *110-151-11 .э к : £ sm (a + р). = . (зу, 5). у sm X (Л А p)“i“a . 5 sm (Л A a) X“i“p . А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
128 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ уй8=А.^=уи8. [*73-37 . *110-12] = . (gy, 8).Ysma.8smp.yn8 = A.^ = YU8:i>F. Prop *110-16. F . Nc‘(a + p) = t {(gy, 8).ysma.8smp.yn8 = A.^ = YU8} [*110-152 .*100-1] * 110-17. F : a € f p. э . g! Nc (f a)‘(a + P) Доказательство. F . *104-43 . э F : Нр. э . (gy, 8). у sm a. у c f a. 8 sm p. 8 c f a. у П 8 = A. [*22-59] э . (gy, 8). у sm a. 6 sm p. у П 8 = A. у U 6 c f a. [*110-16] э . (g£). £ c f a. £ e Nc‘(a + p). [*102-6 . *63-5] э . g! Nc (f a)‘(a + p): э F . Prop Таким образом, когда аир одного и того же типа, то Nc‘(a + Р) су- ществует как минимум в пределах следующего более высокого типа, чем тип аир. Мы не можем доказать, что он существует в пределах типа a и р. Например, предположим, что наинизший тип содержал только один элемент; тогда если х был этим одним элементом, то Nc‘(i‘.x + i‘x) не су- ществовал бы в пределах типа, к которому принадлежит i‘x, однако су- ществовал бы в пределах следующего типа, т.е. не существовало бы двух индивидов, однако существовали бы два класса, а именно А и i‘x, такие, что i‘A U i‘i‘x€Nc‘(i‘x + i‘x). * 110-18. F . a + р € ff(fa f f p) Доказательство. F . *64-53 . э F : лса. □ . 1 (aП P)‘i‘xcf(faT f p) (1) F . (1). *37-61 . э F . X (Л П p)“t“a с f (f a f f P) (2) Аналогично F . (Л П a) J,“i“p c f (f a T f p) (3) F . (2). (3). эF . a + pcf(faT fp). [*63-5] э F . a + p e f f (f a T f p). э F. Prop * 110-2. F : £ e ц +c v . = . (ga, p). ц = Noc‘a. v = Noc‘a. £ sm (a + p) [(*110-02)] * 110-201. F v. = : ц, veNC : (ga, P). aep. pev . £sm(a + p) [*103-27. *110-2] * 110-202. F:.£en+Cv. = : g! ц. g! v : (g у, 8). ц = Nc‘y . v = Nc‘8 .yA8 = A.^ = yU8 Доказательство. F. *110-2-152 .dF:.^€h+cv. = : (ga, p, y, 8). ц = Noc‘a . v = Noc‘p .ysma.8smp.yA8 = A.^ = yU8: [*103-28] = : (gy, 8) • 3 ’• H • Я • v. H = Nc‘y. v = Nc‘8 .yn8 = A.^ = yU8:. э F. Prop *110-21. F :. ц, v e NC . э : £ e ц +c v. = . (ga, p). a e ц. p e v . £ sm (a + p) [*110-201] *110-211. F:.h,V€NC.d:^€H+cv. = . (3 Y, 8). у e sm* ‘ц. 6 e sm“v .yn6 = A.^ = yU6 Доказательство. F . *110-21-152 . э F :. Нр . э : e ц +c v . = . (Я a, p, y, 8).a€p.p€v.ysma.6smp.yn8 = A.^ = YU6. [*37-1] s . (gy, 8). у e sm“n. 8 e sm“v .yn8 = A.^ = yU8:.oF. Prop Principia Mathematica II
♦ 110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 129 *110-212. h :. р,, v е NC . э : £ е р, +с v . = . (gy). у е sm“p. у с £. £ - у 6 sm“v Доказательство. h. *110-211 .*24-47. э h :. Нр. э : е р, +с v . = . (gy, б). у 6 sm“p,. S е sm“v .yc^.S = ^- y. [*13-195] = . (gy). у е sm“p,. у с £. £ - у 6 sm‘‘v:. э h . Prop *110-22. h . Noc‘a +c Noc‘P = Nc‘(a + P) Доказательство. h. *103-4. *110-211 .э I-: £ e Noc‘a +c Nqc‘P . = . (gy, S). у 6 Nc‘a. S 6 Nc‘P .ynS = A.^ = yUS. [*100-31] =. (gy, S).ysma.Ssmp.ynS = A.^ = yUS. [*100-16] = . £ 6 Nc‘(a + P): э I-. Prop * 110-221. h : £ e Nc Cq)‘a +c Nc (£)‘P. = . g! Nc Cq)‘a. g! Nc (£)‘P. £e Nc‘(a + P) Доказательство. h . *110-202 . э h :. £ 6 Nc (i])‘a +c Nc (£) ‘p. = : g! Nc Cq)‘a. g! Nc (£)‘P : (gy, S). Nc (r])‘a Nc‘y. Nc (£)‘P = Nc‘S .ynS = A.£ = yuS: [*100-35] = : g! Nc (i])‘a. g! Nc (£)‘P: (gy, d).ysma.Ssmp.ynS = A.£ = yUS: [*100-16] = : g! Nc (i])‘a. g! Nc (£)‘P. £ 6 Nc‘(a + P)э h . Prop * 110-23. h : g! Nc (i])‘a. g! Nc (£)‘P. э . Nc (т])‘а +c Nc (У‘p = Nc‘(a + P) = Noc‘a +c Noc‘P [*110-221-22] Таким образом, Nc Cq)‘a+c Nc (£)‘P является независимым от т] и до тех пор, пока Nc‘a и Nc‘P существует в пределах типов т| и £ соответ- ственно. * 110-231. I-:. Nc (т])‘а = А. V . Nc (£)‘Р = А: э . Nc (i])‘a +с Nc (У‘р = А [*110-221] * 110-24. h : т] sm а . £ sm Р. э . Noc‘t] +с Nqc1^ = Noc‘a +с Nqc‘P Доказательство. h . *103-42 . э h : Нр.э. Noc‘T] = Nc (i])‘a. Noc‘£ = Nc (£)‘p (1) h . (1). *103-13 . э I-: Hp . э . g! Nc (n)‘a. g! Nc (£)‘p. [*100-23] э . Nc (r])‘a +c Nc (£)‘P = Noc‘a +c Noc‘P (2) I- . (1). (2). э h . Prop *110-25. I-: p, veNC . g! smn“p,. g! sm^“v . э . p +c v = sm^n +c sm^“v Доказательство. I- . *103-27 .oh: p, veNC .aep.Pev.g! sm^p. g! sm^“v . э . p = Noc‘a. v = Noc‘P. g! sm^p,. g! sm^“v. [*103-41 . *102-85]d . p, = Noc‘a. v = Noc‘P. sm^p, = Nc Cq)‘a. sm^“v = Nc (£)‘P . g! Nc Cq)‘a. g! Nc (£)‘P . [*110-23] э . p, +c v = Noc‘a +c Nqc‘P = smn“ji +c smf‘v (1) l- .(l). *10-11-23-35.0 I-: p, veNC . g! p. g! v. g! sm^p. g! sm^“v . э . ц +c v = sm^p +c sm^“v (2) h . *37-29 . Transp . э h : g! smn“p,. g! sm^“v. э . g! p. g! v (3) I-. (2). (3). э I-. Prop *110-251. I-: p, veNC . э . p(1)+cv(1) = p, +c v Доказательство. I-. *110-25 . *104-265 . э A.H. Уайтхед, Б. Рассел
130 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ I-: Нр . g! ц(1). g! у(1). э . |д.(1)+су(1) = ц +с у (1) I-. *110-202 . э I-: ~ (а! ц(1). g i уО)), э , p,(1)+cv(1) = A (2) I-. *104-264 . э I-: Нр (2). d . ~ (а! |i. а! у). [*110-202] э . ц +с у = Л. [(2)] э. n(1)+cv‘I> = р. +с V . (3) F . (1). (3). э I-. Prop *110-252. I-: ц, у eNC . э . |Д.(оо)+с^(ОО) = Ц+с v [Док-во как и в *110-251] Аналогично доказательство применяется к ц(2), у(2), и т.д., и к любым таким образом выведенным кардиналам, чье существование следует из су- ществования ц и v. Это предложение не имеет места в общем для Ц(1), Уц) и других выведенных нисходящих кардиналов, так как они могут быть нулевыми, когда ц и у существуют. Следующее предложение (*110-3) используется намного чаще, чем лю- бое другое предложение этого параграфа, исключая *110-4. *110-3. h . Nc‘a +с Nc‘P = Noc‘a +с Noc‘p = Nc‘(a + P) [*110-22 . (*110-03-04)] *110-31. h : у sm a. 6 sm p. э . Nc‘y +c Nc‘d = Nc‘a +c Nc‘P [*110-24-3] Следующее предложение используется часто. *110-32. h : a А Р = Л . э . Nc‘a +c Nc‘p = Nc‘(a U p) [*110-3-14] *110-33. I-: £ e Nc‘a +c Nc‘P. = . (ay, S).ysma.Ssmp.ynS = A.^ = yUd [*110-3-16] Приведенное выше предложение используется в *110-63. Мы могли бы использовать приведенное выше предложение для определения арифмети- ческого сложения, однако этот метод был бы менее подходящим, чем ме- тод, принятый в этом параграфе, так как было бы больше сложностей при работе с типами, и так как существование Nc‘a +с Nc‘P (в пределах типов, в которых он существует) менее очевидно с приведенным выше определе- нием, чем определения, данные в *110-01-02-03-04. *110-331. h . Nc‘a +с Nc‘P = {(ау) • Y sm a . £ - у sm Р . у с Доказательство. I- .* 110-33. *24-47. э F : £ е Nc‘a +с Nc‘P . = . (эу, 5). у sm a 5 sm р.ус^.5 = ^- у. [*13-195] = . (ау) .ysma.£-ysmp.yc£:z>l-. Prop *110-34. h : а! Nc (n)‘a . а! Nc (£)‘р . э . Nc (т])‘а +c Nc (£)‘p = Nc‘a +c Nc‘p [*110-23-3] *110-35. I-. N^a +С^с‘р = Nc‘a +c Nc‘P [*104-102-21 . *110-34] *110-351. h . Nooc‘a +cNooc‘p = Nc‘a +c Nc‘p [*106-21 . *110-34] Аналогичные предложения будут иметь место в общем для восходящих кардиналов. Следующее предложение (*110-4) является наиболее используемым из предложений этого параграфа. Оно полезно как в данной форме, так и в форме, следующей из транспозиции, в которой оно показывает, что ц +с у = Л, если оба ц и у не являются существующими кардиналами. Оно особенно полезно для избежания необходимости гипотезы ц, ycNC в таких предложениях, как законы коммутативности и ассоциативности. *110-4. I-: а! Н +с v . э . ц, v е NC - i‘A. ц, у е N0C [*110-201-202-2] Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 131 Следующие предложения, вплоть до *110-411 включительно, касаются типов. На них никогда не будет ссылок впоследствии. *110-401. I-: р = Noc‘a . v = Nqc‘P . э . a + peff (p T v) Доказательство. I-. *110-18 . *103-12 . э I-: Нр . э . a + Peff(f a| f Р). a ер,. Pev . [*63-11] э . a + P e f T ^P) • = 4)‘p • *‘P = *o‘v • [*13-12] э . a + Peff(/о‘Ц T ^o‘v) [*64-13] э . a + P e f f (p T v): э h . Prop *110-402. I-: p, v = N0C . э . 3! (p +c v) П f f (p T v) Доказательство. I-. *110-22 . *100-3 . э I-: p = Noc‘a. v = Nqc‘P .D.a + Pep+Cv [*110-401] э . a + P e (p +c v) П f f (p T v). [*10-24] 0.3! (p+cv)nn‘(p?v) (1) I-. (1). *103-2 . э I-. Prop *110-403. I-: p, v e N0C . = . 3! (p +c v) П f f (p T v) [*110-402-4] *110-404. I-. 3! (Nc‘a +c Nc‘p) П f f (f a T f‘P) [*110-18-3 . *100-3] *110-41. I-: p, v = N0C . f p = f v. э . 3! (p +c v) П f p Доказательство. I-. *103-11 . z> I-: p = Noc‘a. v = Noc‘P . f p = t'v . э . |icfa. vcfp. f p = f v. [*63-21-35] э . f P. • [*13-16-17] D.fa = fp = Zo‘H. [*110-17] э . 3! Nc‘(« + P) A f z0‘p. [*110-22 . *63-19]d . 3! (p +c v) n f p: э h . Prop *110-411. I-: fa = f P . э . 3! (Nc‘a +c Nc‘P) П ffa . 3! Nc (fa)‘(a + P) [*110-17-3] Будет замечено, что следующее предложение (*110-42) не требует гипо- тезы. Это благодаря *110-4 и *102-74. *110 42. l-:p+cveNC Доказательство. h . *110-22 . э h : р = Noc‘a . v = Noc‘P . э . р +с v = Nc‘(a + Р). [*100-41] o.p+cveNC (1) h . (1). *103-2 . э1-: р, veN0C . э . p+cveNC (2) I-. *110-4 . Transp . э h : ~ (p, v e N0C). э . p +c v = Л . [*102-74] o.p+cveNC (3) I-. (2). (3). э I-. Prop *110-43. I-: p +c v = Noc‘t] . = . t] e p +c v [*110-42 . *103-26] *110-44. I- .sm“(p +c v) = p +c v Доказательство. h. *37-1. *110-2. э I-: e sm“(p +c v). = . (3т], a, P). p = Noc‘a . v = Noc‘P . i] sm (a + P). £ sm ц . [*73-3-32] = . (3a, P). p = Noc‘a. v = Noc‘P. % sm (a + P). [*110-2] =.£ep+cv:dI-. Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
132 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ Приведенное выше предложение зависит от того факта, что |i +с v является типово неопределенным, даже когда |1 и v являются типо- во определенными. Оно используется в теории индуктивных кардиналов (*120-32-41-424). Следующие предложения касаются законов коммутативности и ассоци- ативности для арифметического сложения кардиналов. *110-5. h . Р + а = Cnv“(a + 3) Доказательство. I-. *55-14 .oh. Cnv“(a + Р) = A А Р U J, A A a“i“P [(*110-01)] = 3 + a . э I-. Prop *110-501. l-.p + asma + p *110-51. h . ц +c v = v +c |i [*110-5. *73-4] [*110-2-501 . *73-37] Для истинности приведенного выше предложения не является необхо- димым, чтобы ц и v были кардиналами. Если один из них не является кардиналом, то ц +с v и v +с ц оба есть А. Следующие предложения приводят к закону ассоциативности (*110-56). *11052. h : £ sm (a + Р) + у . = . (3 л, р, о). л sm a . р sm Р . a sm у . лйр = Л.лАо = Л.рАо = Л.£ = лирио Доказательство. h . *110-152 . э h £ sm (a + Р) + у. = : (зц, о). ц sm (a + Р). a sm у . ц А а = Л. § = ц U а: [*110-152] = : (з л, р, ц, а).л8та.р8шр.лПр = Л.т] = лир. О8ту.цПа = Л.§ = т]иа: [*13-195 . *22-68 . *24-32] = : (з л, р, а). л sm а . р sm Р . a sm у. л А р = Л . лАа = Л.рАа = Л.^ = лириа:.э1-. Prop * 110 521. I- : § sm а + (Р + у). = . (3 л, р, о). л sm а . р sm у. a sm у . л Ар = Л. л Ао = Л. р Аа = Л Л = л Up Uc [*110-501-52] * 110-53. I-. (а + р) + у sm а + (Р + у) [*110-52-521] * 110-531. а + Р + у = (а + Р) + у Df * 110-54. I-. (Nc‘a +с Nc‘P) +с Nc‘y = Nc‘(a + Р + у) Доказательство. h . *110-3 .oh. (Nc‘a +с Nc‘P) +с Nc‘y = Nc‘(a + P) +c Nc‘y [*110-3 . (*110-531)] = Nc‘(a + p + y). z> k . Prop * 110-541. k . Nc‘a +c (Nc‘P +c Nc‘y) = Nc‘(a + P + y) Доказательство. I- . *110-3 .ok. Nc‘a +c (Nc‘P +c Nc‘y) = Nc‘{a + (P + y)} [*110-53 . (*110-531)] = Nc‘(a + p + у). э h . Prop *110-55. k . (Nc‘a+c Nc‘P)+c Nc‘y = Nc‘a+c (Nc‘P+c Nc‘y) [*110-54-541] *110-551. I-. (Noc‘a +c Noc‘P) +c Noc‘y = Noc‘a +c (Noc‘P +c Noc‘y) [*110-55 . (*110-03-04)] Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 133 *110-56. I- . (ц +с v) +ССТ = ц +с (v +ССТ) Доказательство. F. *110-551 .*103-2. э F : ц, v, СТ 6 N0C . э . (ц +с v) +сст = ц +с (v +сст) (1) I- . *110-4 . Transp . э F : ~ (ц, v, ст е NoC). э . (ц +с у) +сст = А. ц +с (у +ССТ) = А . [*13-171] э . (ц +с у) +сст = ц +с (у +сст) (2) F . (1). (2). э F . Prop Это закон ассоциативности для арифметического сложения. Будет вид- но, что, как и закон коммутативности, он не требует, чтобы ц, v, СТ были кардиналами. * 110-561. ц +с v +сст = (ц +с у) +ССТ Df * 110-57. F . (ц +с v) +с (ст+с р) = ц +с v +сст+с р [*110-56 . (*110-561)] Следующие предложения, касающиеся прибавления 0 или 1, часто ис- пользуются при рассмотрении индуктивных кардиналов (*120). * 110-6. I-: peNC . э . |i+c0 = sm“|i Доказательство. F . *101-11 . *110-21 . э I-:. Нр. э : £ с ц +с0 . = . (да, 0). а 6 ц. 0 6 0. £ sm (а + 0). [*54-102] = . (да). а 6 ц. £ sm (а + А). [*110-152] =. (да, у, б). а 6 ц . у sm а . 5 sm А . у А 6 = А . £ = у U 5 . [*73-47] = . (да, y).a6|i.ysma.^ = y. [*13-195] = . (да). а е ц. £ sm а. [*37-1] = . ^6sm“|Li:. э F. Prop Когда ц типово определенный кардинал, то sm“p есть тот же самый кардинал, сделанный типово неопределенным; когда |1 типово неопреде- ленный кардинал, то sm“p есть ц. Вместо приведенного выше предложе- ния мы могли бы писать pcNC . э . ц+с0 = ц; это было бы истиной всякий раз, когда неопределенность ц+с0 детерминирована таким образом, что- бы сделать его значимым. Однако приведенная выше форма дает больше информации. * 110-61. F . Nc‘a +с0 = Nc‘a Доказательство. F . *101-1 . э F. Nc‘a +с0 = Nc‘a +с Nc‘A [*110-32] = Nc‘(aUA) [*24-24] = Nc‘a . э F. Prop В этом предложении Nc‘a является типово неопределенным; следова- тельно, мы избегаем необходимости записи sm“Nc‘a справа, как мы долж- ны были бы сделать, если Nc‘a было типово определенным. Мы можем вывести *110-61 из *110-6 следующим образом: F . *110-3 . э F. Nc‘a +с0 = Nc‘a +с0 [*110-6] = sm“Noc‘a [*103-4] =Nc‘a Мы вынуждены пройти через Noc‘a в этом доказательстве для того, чтобы избежать возможности типовой детерминации Nc‘a, которая сдела- ла бы Nc‘a = A. Именно по той же самой причине мы не можем писать А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
134 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ “sm“Nc‘a = Nc‘a”; так как если первое Nc‘a детерминировано к типу, в пре- делах которого находится Nc‘a = A, в то время как второе —нет, то это равенство становится ложным. *110-62. l-:p+cv = O. = .p = O.v = O Доказательство. I-. *103-27 . *101-11-13 . э I-. 0 = Noc‘A (1) |-.(1). *110-43. э |-:.|i+cv = 0. = :A6|i+cv: [*110-202] = : 3! ц . 3! v: (зу, 8). ц = Nc‘y. v = Nc‘8 .yA8 = A.yU8 = A: [*24-32 . *13-22] = :з!р,.з!у:|А = Nc‘A . v = Nc‘A : [*101-1-12] h:|i = 0.v = 0:.dI-. Prop *110-63. I-. Nc‘a +C1 = | {(зу,у) .ysma.y~6y.^ = yU i‘y} Доказательство. F . *101-2 . э I-. Nc‘a +C1 = Nc‘a +c Nc‘i‘x [*110-33] = | {(3Y> 8). у sm a. 8 sm i‘x. у A 8 = A. £ = у U 8} [*73-45] = | {(зу, 8).ysma.8el.yn8 = A.^ = yU8} [*52-1] = £ {(3Y> 8, у). у sm a. 8 = i‘y. у A 8 = A . £ = у U 8} [*13-195 . *51-211] = f {(зу,у) • Y sm a • У ~ e Y • £ = Y u 1‘Я • э I-. Prop Приведенное выше предложение часто используется в теории конечного и бесконечного, и кардинальной, и ординальной. Оно связывает математи- ческую индукцию для индуктивных кардиналов с математической индук- цией для индуктивных классов (ср. с *120). *110-631. I-: pcNC . э . ц+с 1 = f {(зу,у) • У esm“p. у ~ е у • £ = У и 1‘Я Доказательство. I-. *110-211 .*101-21 .э I-: Нр . э . ц+с 1 = S {(3 Y» 6) • ycsm“|i. 8esm“l .yA8 = A.£ = yU8} [*101-28] = | {(з у, 8). у e sm“p .8el.yA8 = A.£ = yU8} [*52-1 . *51-211] = f {(з у, у). у esm“p .у ~ е у. £ = у U i‘y}: э h . Prop Предложение h:peNC.o.p+cl = £ {(зу,у). у ер. у ~ е у. £ sm у U i‘y}, которое могло бы на первый взгляд показаться доказуемым, будет истин- ным универсальным, только если общее число объектов в пределах неко- торого одного типа не является конечным. Пусть а есть тип и p = Noc‘a. Тогда если a — конечный класс, то ц = i‘a. Следовательно, у 6 ц. э7>у .усу. Поэтому, | {(зу, y).yep.y~6y.^sm(yU i‘y)} = А в пределах всех типов. Од- нако ц+с1 будет существовать в пределах всех типов, более высоких, чем тип у. Если, с другой стороны, число объектов в а бесконечно, то мы бу- дем иметь у 6 a. z> . a - i‘y е Nc‘a . у ~ € а - i‘y. Следовательно, в этом случае приведенное выше предложение будет истин- ным универсально. Principia Mathematica II
*110. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА ДВУХ КЛАССОВ И ДВУХ КАРДИНАЛОВ 135 *110-632. I-: picNC . э . ц+с 1 = £{(эу) .уi‘y6sm“pi) Доказательство. К *110-631 . *52-211-22 . э 1-:Нр.э.ц+с 1 = |{(3Y,y).Y6sm‘‘p,.ye£.Y = £-i‘y) [*13-195] = S {(Я?) • У е £ • £ _ 1‘У е sm“p.): z> F . Prop * 110-64. Ь.0+с0 = 0 [*110-62] * 110-641. Ь . 1 +c 0 = О +c 1 = 1 [*110-51-61 . *101-2] * 110-642. Ь.2+с0 = 0+с2 = 2 [*110-51-61 . * 101-31 ] * 110-643. Ь . 1 +с 1 = 2 Доказательство. Ь. *110-632. *101-21-28. э F. 1 +с 1 =£{(ЗУ)-У<^-£-1‘У*1} [*54.3] = 2. э I-. Prop Приведенное выше предложение иногда оказывается полезным. Оно ис- пользуется не менее трех раз в *113-66 и *120-123-472. *110-7-71 требуется для доказательства *110-72, а *110-72 используется в *117-3, которое представляет собой фундаментальное предложение в тео- рии отношений больше и меньше. *110-7. I-: Р с а . э . (з^). р. е NC . Nc‘a = Nc‘0 +с ц Доказательство. h . *24-411-21 . э I-: Нр . э . a = Р U (a - Р). Р A (a - Р) = Л . [*110-32] э . Nc‘a = Nc‘p +с Nc‘(a - Р): э I-. Prop *110-71. h : (зц). Nc‘a = Nc‘P +c ц . э . (36). 6 sm P . 5 c a Доказательство. I-. *100-3 .*110-4 .э I-: Nc‘a = Nc‘P +c ц. э . p e NC - i‘A (1) h . *110-3 . э I-: Nc‘a = Nc‘P +c Nc‘y . = . Nc‘a = Nc‘(P + y). [*100-3-31] э . a sm (P + y). [*731] э . (3Я). Я e 1 —► 1. П‘Я = a . С‘Я = 1 A/‘i“P U Ap |“ь“у. [*37-15] э . (3Я). Я e 1 -+ 1 . i A7“l“P с СГЯ . Я‘Ч Ay“i“p c a . [*110-12 . *73-22] z>. (36). 5 c a . 5 sm p (2) h . (1). (2). э I-. Prop Приведенное выше доказательство зависит от того факта, что “Nc‘a” и “Nc‘P+cn” являются типово неопределенными, и, следовательно, когда они приравниваются, то полученное выражение должно иметь место в пределах любого типа и потому, в частности, в пределах того типа, для которого мы имеем acNc‘a, т.е. для Noc‘a. Именно поэтому использование *100-3 легитимно. *110-72. I-: (36). 6 sm р. 5 с a. = . (3ц). pcNC . Nc‘a = Nc‘P +с р Доказательство. К *100-321 . *110-17. э h :. S sm р . S с a . э : Nc‘6 = Nc‘P: (3ц). ре NC . Nc‘a = Nc‘6+C р : [*13-12] э : (зр). р 6 NC . Nc‘a = Nc‘P +с р (1) К (1). *110-71 . эк.Ргор А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
136 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *111. Двойное подобие Краткое содержание *111. Арифметические свойства класса, насколько они не требуют или не до- пускают, что это класс классов, являются теми же самыми для любого по- добного класса. Однако класс классов обладает многими арифметическими свойствами, которые он не разделяет со всеми подобными классами клас- сов. Например, если к есть класс классов, то число элементов 5‘к есть арифметическое свойство к, однако очевидно, что оно не детерминируется числом элементов к, но требует также знания чисел элементов элементов к. Например, пусть к состоит из двух элементов а и р, и пусть X состоит из у и S. Тогда к sink; однако для того, чтобы мы могли вывести 5‘Ksm.s‘k, мы требуем к X е Cis2 excl и a sm у . Р sm 6 или а sm 6 . Р sm у или некоторыё похожие дополнительные данные. Отношение “двойного подобия”, которое будет определено в настоящем параграфе, есть отношение между класса- ми классов, которое, когда оно имеет место между кик, гарантирует, что все арифметические свойства кик являются теми же самыми, например, мы имеем (в частности) Nc‘s‘k = Nc‘s‘k и Мс‘ед‘к = Мс‘ед‘к. Это отношение мы обозначаем посредством “smsm”, которое должно читаться как единый символ. Оно определяется следующим образом: мы определяем, во-первых, класс “двойных корреляторов” кик, который мы обозначаем посредством “к sm sm к”, и определение которого есть *11101. кйп sm X = (l->l)n&‘s‘Xnf (к=Т£“Х) Df так что I-: Т ек sm sm k. = . Те 1 —> 1 . Q‘T = s‘k. к= T6“k. Мы затем определяем “ к sm sm к” в том смысле, что к sm sm к не есть нуль, т.е. что существует, по меньшей мере, один двойной коррелятор кик. Для того чтобы проиллюстрировать сущность двойного коррелятора, предположим, что к состоит из двух классов си и а2, и что си состоит из хп, %12, в то время как состоит из %21, *22, *23 • Аналогично пусть к состоит из Pi и Р2, в то время как Pi состоит из уп, уп и Р2 состоит из У2ь У22, У23- Пусть Т есть коррелятор каждого х и у, суффиксы которых одинаковы. Тогда Т одно-однозначно, и его обратная область есть Т€“к = к. Более того, Te‘Pi (которое есть T“Pi) = ai, и Те‘Р2 = а2, так что Те“к = к. Таким образом, Т представляет собой двойной коррелятор в соответствии с определением. Существенной характеристикой двойного коррелятора Т есть то, что (1) Т есть коррелятор 5‘к и 5‘к, (2) Те Г к есть коррелятор кик. Если мы пишем 5 вместо Те f к, тогда если Рек, то мы имеем 5‘Рек; более того, Т Г Р есть коррелятор 5 ‘Р и р. Таким образом, кик есть подобные классы подобных классов. Однако они не просто таковы, так как мы не только знаем, что 5‘Р подобен р, но мы также знаем особый коррелятор 5‘Р и р, а именно Т [ р. Это является существенным для использования двойного подобия, как проявится в скором времени. Principia Mathematica II
♦ 111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ 137 Рассмотрим отношение между кик, которое состоит в том, что они являются подобными классами подобных классов. Это значит, что суще- ствует коррелятор 5 к и X такой, что, если Рек, S‘P подобны р. Другими словами, нам следует рассмотреть гипотезу (gS). 5 е 1 -> 1. D‘S = к. CTS = к. 5 Gsm или, как это может быть выражено короче, g! к sm k A RTsm. Предположим 5 е к sm k A Rl‘sm. Если мы попытаемся доказать (ска- жем), что $‘к подобно 5‘к, то мы найдем, что мы вынуждены принять аксиому умножения, если кик бесконечны. Необходимость этого возника- ет следующим образом. Положим Сгр (5)‘р = (5‘Р) sm р, где “Сгр” обозначает “соответствие”. Тогда мы знаем, что всякий раз, ко- гда Рек, Сгр(5)‘Р не есть нуль. Далее не представляет труда доказать, что если кик есть классы взаимно исключительных классов, и если мы можем выбрать один репрезентативный элемент Сгр (5)‘Р для каждого зна- чения Р, которое является элементом к, тогда относительная сумма всех этих репрезентативных корреляций дает нам коррелятор s‘k и s‘k. Т.е. мы имеем I-: к, ЛеCls2excl. 5 ек sm k П Jcsm ./?еед‘Сгр (5)“к. э . s‘D‘/?e(s‘K) sm (s‘k). Однако для того чтобы вывести в качестве следствия ?К8т?к, мы нуждаемся в д! ед ‘Сгр (5)“к, т.е. мы нуждаемся в возможности выбрать особый коррелятор для каждой пары подобных классов S‘P и р. Это, од- нако, не может быть сделано в общем без допущения аксиомы умноже- ния. Следовательно, мы не должны определять два класса как обладающие двойным подобием, когда g! к sm k A Jcsm, но должны дать определение, которое позволяет нам специфицировать особый коррелятор для каждой пары подобных классов. Именно это осуществляется приведенным выше определением двойных корреляторов, где наше 5 дано в форме Те Г к, где Т е 1 —> 1. СТ Г = 5‘к. Если допускается аксиома умножения, в общем и никак иначе, то мы имеем (*111-5) к, к6Cis2excl. э : Ksmsm к. = . g! к sm к A Rl‘sm . В настоящем параграфе мы начнем с различных свойств двойных кор- реляторов. Мы доказываем (*111-11), что Т есть двойной коррелятор к и к тогда и только тогда, когда Т есть коррелятор 5‘к и 5‘к и Те f к есть коррелятор кик. Мы доказываем (*111-112), что в той же самой гипоте- зе Те [кекsm kRl‘sm. Мы доказываем (*111-13), что I f s‘k есть двойной коррелятор к с самим собой; что (*111-121) если Т есть двойной корреля- тор к и к, то t есть двойной коррелятор кик; что (*111-132) если 5, Т есть двойные корреляторы к с к и к с |1 соответственно, то 5 | Т есть двойной коррелятор к и ц. Следовательно (*111-45-451-452), двойное подо- бие рефлексивно, симметрично и транзитивно. Мы затем переходим (*111-2—34) к рассмотрению Сгр(5)“к, где пола- гаем, что 5 есть коррелятор S “к и к, и что 5‘Р подобен р, если рек. Мы доказываем А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
138 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *11132. Ь : X, 5 “X е Cis2 excl. 5 el-* 1 .Яеед‘Сгр(5)“Х.М = j‘D7?.z>. Mel-* 1 .CI‘M = s‘X.S'“X = M£“X.S [Х = М£ [X Таким образом в рассматриваемом случае М есть двойной коррелятор 5“Х и X. Поэтому *111-322. I-: к, X 6 Cis2excl. 5 ек sm X ./?ббд‘Сгр (S)“X. A/= s‘D7?. э . M 6 к sm sm X. 5 = Me f X Мы затем переходим (*111-4—47) к различным предложениям о “smsm” и в заключение (*111-5-51-53) утверждаем три предложения, которые пред- полагают аксиому умножения, а именно *111-5. Если к, X е Cis2 excl, то KsmsmX. = . g! к sm X A Rl‘sm. *111-51. В том же самом случае д! к sm X A RTsm. э . s‘Ksm s‘X, т.е. если к и X есть подобные классы взаимно исключительных подобных классов, то их суммы подобны. *111-53. В том же самом случае, если к,XеCis2excl, то KsmsmX. Сле- довательно, аксиома умножения предполагает, что два класса ц взаимно исключительных классов, каждый из которых имеет v термов, имеют то же самое число термов в их сумме. *111-01. к sm sm Х = (1-* l)n&‘.s‘Xnf (к = Т£‘‘Х) Df *111-02. Crp (S)‘0 = (5 ‘0) sm 0 Df *111-03. smsm = кХ(3!к sm sm X) Df *111-1. НТек sm sm X.=.Tel -* 1. G‘T = s‘X. k = T£“X [(*111-01)] *111-1. F : Тек sm sm X. s. Te(s‘k) sm (s‘X) . T£ [Хек sm X Доказательство. I-. *37-25. Fact .эН d'T = s‘X. к = T£“X. э . D‘T = T“s‘X. к = T£“X. [*40-38] d.D‘T = .s‘T“‘X.k = T£“X. [(*37-04)] d.D‘T = s‘k (1) b . *72-451 . *60-57 . *35-65 . z> HTel -* 1.Q‘T = s‘X.d.T£ [Хе 1 —> 1. X = G‘(T£ (X) (2) b.*37-401. dI-:k = T£“X.b.k = D‘(T£ [X) (3) b . (1). (2). (3). *4-71. э Ь : T e 1 -* 1. GT = s‘X. к = T£“X. =. Te 1-* 1. D‘T = 5*k. Q‘T = i‘X. T£ [Xe 1-* 1. D‘(T£ [Х) = к.а*(Т£ [X) = X (4) b . (4). *111-1. *73-03 . z> I-. Prop *111-111. НТек sm sm X. э . Te f X G sm Доказательство. I-. *111-1 . *60-57 . э I-: Hp . э . T e 1 —> 1. X с СГСГТ . [*73-5] э . Te f X Gsm: э I-. Prop *111-112. I-: Тек sm sm X. э . Te [Хек sm X ARTsm [*111-11-111] Два следующих предложения представляют собой полезные леммы для случая, когда Т заменено (как часто бывает) на Т Г а. *111-12. Ь:?Хса.э.(Г [а)е“Х = Тб“Х. (Т f а)6 [Х = Те [X Доказательство. I-. *37-101-421 . э1-:рса.э.(Т [а)е‘р = Те‘р (1) I-. *40-13. э I-Нр . э : РеХ . э . Р с а (2) Principia Mathematica II
»111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ 139 h. (1). (2). э I-Нр. э: Рек. э. (Г [ а)е‘Р = Ге‘Р: [*37-69 . *35-71] z>: (Т [ а )е“к = Ге“к. (Т ] а )е [ к = Те [ кэ h. Prop *111-121. 1-.(Г [$‘к)е“к=Ге“к = (Ге [к)“к.(Г [s‘k)e ]к = Ге [к Доказательство. F. *37-421. эЬ.Г{“к = (Ге [к)“к (1) F. (1). *11142 — . э F . Prop *11143. F . I f 5‘XeX sm sm к Доказательство. F . *7247 . *505-52 . э F . / [ 5‘Xe 1 -»1. СГ(/ Г 5‘X) = 5‘X (1) F.*111421 . DF.(/[An = /£“l [*504 6 47] = X (2) F. (1). (2). *1114 . э F. Prop *111431. F : T ек sm sm X. = . T eX sm sm к Доказательство. F . *71-212. э F : Те 1 -> 1. = . f e 1 -> 1 (1) F . *11141. эF : Тек sm sm X. э . D‘T = 5‘k (2) F. *1114 .(2). *60-57. э F:TeK sm sm Х.э.Т e 1 -> 1. к c C1‘D‘T . X с СГСГТ . к = Te“X. [*74-6] э.Х = (Т)е“к (3) F . (1). (2). (3). *1114 . э F : Тек sm smX.D.feXsm sm к (4) f v ____ ___ __ ___ F . (4) — . э F : T e X sm sm к. э . T e к sm sm X (5) F . (4). (5). э F . Prop *111432. F:5 ек sm smX.TeXsm sm р.э.5 |Тек sm sm p Доказательство. F. *11141 .*73-311 . э F : Нр . э . 5 | T e (5‘к) sm (5‘p). (5e f X) | (Te [ p) e к sm p (1) F. *35354. dF.(S€ fX)|(Te fp) = 5e|(X1 Te fp) (2) F.*75-251 .*1114 .z>F:Hp.D.Sc|(X1 Te Г p) = S€ | (Te [ p) [*35’23] = (Se|TeHp [*37’34] =(5|Т)еГн (3) F . (1). (2). (3). э F : Нр. э . 5 | T e (5‘к) sm (5‘p). (S | T)e f p e к sm p,. [*11141] э . 5 I Тек sm sm p: э F . Prop *11144. F:T [?Хек sm sm X. = . T [ s‘Xe 1 —> 1 . 5‘X с СГТ . к = Te“X Доказательство. F. *111421 . э F : T [ 5‘Хек sm sm X. = . T f 5‘Xe 1 —»1 . Q.\T f 5‘X) = 5‘X . к = Te“X. [*35-65] =.T Ts‘Xel -> 1. 5‘X c Q‘T . к = Te“X: э F . Prop *11145. F:Tf5‘XeKsm sm X . = . T [ 5‘Хе(5‘к) sm (5‘X). Te f Хек sm X Доказательство. F. *11141 .э F : T [ 5‘Хек sm sm X. = . T [ 5‘Хе(5‘к) sm (5‘X). (T [ 5‘X)e [ Хек sm X (1) F.(l). *111421 . oF.Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
140 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *111-16. F : а! a sm р П у sm 6.э.а = у.р = 5 Доказательство. F . *73-03 . э F : Нр. э . (дЯ). D7? = а. С‘Я = р. D7? = у. С‘Я = 8. [*13-171] э . а = у. р = 6 : э F . Prop *111-18. F . а sm р с (а f Р) д ‘р Доказательство. F . *35-83 . *73-03 . э F : Я e a sm р . э . Я с a f р (1) F. *73-03. oF^ea sm р . э .Яе 1-> Cis . (ГЯ = р (2) F . (1). (2). *80-14 . э F . Prop Класс (а?Р)д‘Р является важным, будучи классом “Belegungen” Кан- тора, которой был им использован для определения экспоненциации; фак- тически мы имеем Nc‘(a?p)A‘P = (Nc‘a)Nc‘₽. Поэтому приведенное выше предложение показывает, что Nc‘(a sm Р) мень- ше либо равно (Nc‘a)Nc‘P; и поскольку всякий раз, когда оно отлично от нуля, Nc‘a = Nc‘P, то оно меньше либо равно (Nc‘a)Nc‘“. Следующие предложения приводят к *111-32-33-34: *111-2. F : д! 5‘Р. э . Сгр(5)‘Р = (5‘Р) sm р [*14-28 . (*111-02)] *111-201. I-: f {Сгр (S)‘PJ. = . f {(5 ‘Р) sm Р) [*4-2 . (*111-02)] *111-202. h:Сгр(5)‘Р. s .7?е 1 —> 1. D‘/? = S‘р. a‘7? = Р [*111-201 . *73-03] *111-21. F: д! Сгр(5)‘Р. в .5‘PsmР [*111-201 . *73-04] *111-211. I-: д! Сгр(5)‘Р. э. д! 5‘р. PeQ‘5 [*111-21 . *14-21 . *33-43] *111-22. F р е 0'5 . эр . д! Сгр (5)‘Р: = . 5 е 1 -> Cis. 5 Gsm Доказательство. F . *111-21 . э FРеО‘5 . эр . д! Сгр(5)‘Р : = : реП‘5 . эр .5‘psmP: [*72-93] = : 5 е 1 —> Cis. 5 Gsmэ F. Prop *111-221. F 5 e 1 —»Cis.5 Gsm. э:д! Сгр(5)‘P. = . peQ‘5 Доказательство. F . *111-22 . э F :. Hp. э: PeO'S . э. д! Crp(S')‘P (1) F. (1). *111-211 .dF.Prop *111-23. F: S’ e 1 —> 1. pe Q‘5 . э . Crp (5)‘P = Cnv“Crp (S)‘S ‘P Доказательство. F. *111-2 .*71-163 . э F Hp. э: Crp(5)‘P = (5‘P) sm p [*73-301] = Cnv“(P sm S ‘P) [*72-241] =Спу“(5‘5‘Р sm S'P) (1) x s *6 F . (1). *111-201-7—7- . э F . Prop □, p *111-24. F : S e 1 -> Cis. k c (TS . э. Crp (S)“U Cis2 excl Доказательство. F . *111-2 . *71-163 . э F Hp. э : p, yek. . Crp (S)‘P = (S ‘P) sm P . Crp(5)‘y = (5‘y) sm у. (1) Principia Mathematica II
.111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ 141 [*111-16] эр,у . Crp(S)‘0n Crp(S)‘y. э. 0 = у. [(1). *30-37] o.Crp(S)‘0 = Crp(S)‘y (2) I-. (2). *37-63 . э FНр. э: р, ae Сгр (S)“X. g! р П о. эР1О . р = о:. э F. Prop *111-25. I-: S € 1 -> Cis. S' csm. Xc CTS . э. Crp (S)“XeClsex2excl [*111-24-22] *111-3. F: Xe Cis2 excl. э. $“В“ед‘а sm “X c (a f s‘k) д‘^‘Х Доказательство. I- . *37-29 . *24-12 . э F: €д‘а sm “X = Л. э. $“В“ед‘а sm “X c (a f s‘X) д15*Х (1) F. *83-1 . z> F:. Hp. g! ед‘а sm “X. э : PeЛ.. эр . g! a sm ‘0. [*111-18] эр.д!(аТр)д‘₽. [*80-15] эр . g! (af s‘X) д‘0: [*80-83] э : {(a T 5‘X) д“Х} ] (af s‘X) д e 1 —»1 (2) . / . a sm, (a T s‘X) д F. (2). *111-18 . *85-72 _ ' -- . э R, 5 F: Hp. g!ед‘а sm “X. э.В“ед‘а sm “ХсВ“ед‘(а Js‘X) д“Х. [*37-2] z> . Б“ед‘а sm “Xc 5“В“ед‘(а f 5*X) д“Х [*85-27] c(a?s‘X)A‘s‘X (3) F. (1). (3). э F. Prop *111-31. F : X, 5 “X e Cis2 excl. 5 e 1 -> 1. R e ед ‘Crp (5) “X. э. i‘B‘/?e(5‘5“X) sm (s‘X) Доказательство. F . *83-2 . э F Hp. э: 0 eX. в . Я‘Сгр (5)‘0 e Crp (5)‘0. [*111-202] s ./?‘Crp(5)‘0e 1-»1 .B‘/?‘Crp(5)‘0 = S‘0 СГЯ‘Сгр(5)‘0 = 0 (1) F. *72-322 . э F : Hp. э . $7?“Crp(S)“Xe 1 -* 1. [*80-34] D.i‘B‘T?el^l (2) F . (1). *37-68 . *50-17 . z> F : Hp. э . B“tf“Crp (S)“X = S “X. Q“/?“Crp(S)“X = X. [*80-34] o.B“B7? = S“X.Q“B‘fl = X. [*41-43-44] D.B‘i‘B‘K = 5‘5“X.a‘i‘B‘/? = 5‘X (3) F . (2). (3). *73-03 . э F . Prop *111-311. F :X,S“XeCis2excl.S el -> 1. g! ед‘Сгр(5)“Х. э. sT‘Xsms'1 [*111-31 . *73-04] *111-313. F: X e Cis2 excl. R e€д‘Сгр (S)“X. 0 e X. э . M = РВ‘Я. z>. M [ 0 = fl'Crp(S)‘0. M [ 0eCrp (5)‘0 Доказательство. F . *83-2. э F :: Hp. э :. aeX. эа :/?‘Crp (S)‘aeCrp(S)‘a: (1) [*111-202] 3a:CT7?‘CrP(S)‘a = a: [*33-14 . *4-71] эа :x{/?‘Crp(5)‘a}y. = . x{/?‘Crp(S)‘a}y .yea (2) F . *35-101 . *83-23 . *41-11 . э FHp. э: x{M f 0)y. = . (ga). aeX. x{/?‘Crp (S)‘a}y ,y e0. [(2)] = . (ga). aeX. x{/?‘Crp (S)‘a}y .yea П 0. A. H. Уайтхед , Б. Рассел
142 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ [*84-11 . *22-5] = . (да). а с к. х {Я‘Сгр (5)‘а) у. у с р. а = р . [*13-195] = . Р е к. х {Я‘Сгр (5)‘р} у. у с р . [Нр. *4-73 . (2)] = . х {Я‘Сгр (5)‘Р) у (3) F . (1). (3). э F . Prop *111-32. I-: К S “X с Cis2 excl. 5 e 1 -> 1 . Я e eA‘Crp (5)“X. M = s‘X)‘R. э . Mel^> 1 .GlM = si'k.Sil'k = Me“'k.S \\ = Me px Доказательство. F. *111-31 . *73-03 . э F : Hp. z>. Me 1 —> 1 .G‘M = s‘X (1) I-. *111-313-202 . э F :. Hp . э : p e X. э . D‘(M [ P) = 5 ‘p. (T(M f p) = p. [*37-25] э.(М [p)“p = S‘p. [*37-421-11] э.Ме‘р = 5‘р: [*35-71 . *37-69] э : M£ f X = 5 f X. Me“X = 5 “X (2) F . (1). (2). э F . Prop *111-321. F : X,5 “XeCis2excl. 5 e 1 -> 1. g! eA‘Crp(S)“X. э . (gM). Me 1 1. (ГМ = s‘X. 5 “X = Me“X. 5 [Х = Ме [X [*111-32] *111-322. F : к, XeCis2excl.5 ек sm X. ЯееА‘Сгр (S)“X. M = s'D'R . э . Мек sm sm X. 5 = Me [X [*111-32-1 . *35-66 . *73-03] *111-33. F Mult ax. э : S e 1 —>1.5 Gsm. к, Xe Cis2 excl. к = 5 “X. X c (TS . э. s‘Ksm 5*X Доказательство. F. *111-221 . э F:.Sel->1.5 Gsm, к, Xe Cis2 excl. k = 5“X. Xc D‘S . э : РеХ.эр.д’.Сгр (S)‘P: [*88-37] э : Mult ax. э. g! eA ‘Crp (5 )“X. [*111-311] z>. ?Ksm 5*X:. э F . Prop *111-34. F :. Mult ax. э : (g5).5 e 1 -> 1.5 Gsm. D‘5 = к. (TS = X. к, XeCis2excl. э . (gM). Me 1 -> 1. (ГМ = s‘X. к = Me“X Доказательство. F. *111-25. э F:. Sei—>1.5 Gsm. D‘5 = к. (Г5 = X. к, Xe Cis2 excl. э : Crp (5) “ X e Cis ex2 excl: [*88-32] э : Mult ax. э . g! eA‘Crp (5)“X. [*111-321] э. (gM). Me 1 1. (ГМ = ГХ.к = Me“X (1) F . (1). *10-11-23 . Comm, э F . Prop Следующие предложения имеют дело с элементарными свойствами “smsm”. Будет видно, что они весьма подобны элементарным свой- ствам “sm”. *111-4. F : KsmsmX. = . (gT). Те 1 -> 1. (ГТ = ГХ. к = Те“Х. = . д! к sm sm X [*111-1 .(*111-03)] *111-401. F : KsmsmX. = . (gT). T€ 1 -> 1. ?Хс(ГТ. к = Те“Х Доказательство. F. *22-42 .*111-4. oF: KsmsmX. э . (д Г). Tel 1. s‘X с О‘Т . к = Те“Х (1) F . (1). *111-14 . э F . Prop Principia Mathematica II
111. ДВОЙНОЕ ПОДОБИЕ 143 *111-402. H:KsmsmA.. = .(aT).T [s‘Xel-> 1. s‘XcQ‘T .к = Te“X [♦Ш-141121] *111-43. FiKsmsmL э. (gS).S € 1 -> 1.5 Gsm. D‘S = к. CTS = X [*111-11-111] *111-44. Ь : KsmsmX. э. KsmX. j'icsm s‘X [*111-11-4 . *73-03] *111-45. F.XsmsmX [*111-13-4] *111-451. F : KsmsmX. =. Xsmsm к [*111-131-4] *111-452. F: KsmsmX. Xsmsm p. э. Ksmsm p [*111-132-4] *111-46. I-: X, S “k e Cis2 excl. S e 1 1. g! ел‘Crp (S)“. э. S “X sm sm X [*111-32-4] *111-47. 1KsmsmX. э :keCis2excl. = . XeCis2excl Доказательство. I-. *111-4 . э F Hp . z>: (3T). 74 1 —> 1 . (IT = 5‘k . к = Г “k: [*84-53] э : k e Cis2 excl. э . к e Cis2 excl (1) I-. (1). *111-451 . э F Нр . э : кeCis2excl. э . keCls2excl (2) I-. (1). (2). э I-. Prop * 111-5. F :: Mult ax. z>к, ke Cis2 excl. э : KsmsmL = . (3S). 5 € 1 —> 1.5 Gsm. D‘S = к. Q‘5 = k. = .3! к sm k ARl‘sm [*111-34-43-4] * 111-51. F :: Mult ax. э : к, ke Cis2 excl. 3! к sm k A Rl“sm . z>. ?Ksm 5‘k [*111-5-44] * 111-52. F : p, veNC . к, kep A Cl‘v. э . 3! к sm k ARl‘sm Доказательство. F . *100-5 . *73-1 . э F : Нр . э . (3S). 54 1 -> 1. D‘S = к. (TS = k (1) F . *100-5 . э F Нр . э : a e к. P c k . э . a sm P (2) F . (1). (2). э F . Prop * 111-53. F :: Mult ах . э : p, v € NC . к, к e p A Cl excl‘v. к sm sm k [*111-52-5] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
144 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ *112. Арифметическая сумма класса классов Краткое содержание *112. В этом параграфе мы возвращаемся к арифметическим операциям. Определения сложения в *110 было применимо лишь к конечному числу слагаемых, поскольку слагаемые должны были быть пересчитаны. В насто- ящем параграфе мы определяем арифметическую сумму класса классов, так что слагаемые заданы как элементы класса и не требуют пересчета. Следовательно, определение в этом параграфе применимо к бесконечному числу слагаемых в той же степени, как и к конечному числу. Если к есть класс взаимно исключительных классов, то число 5‘к будет суммой чисел элементов к, т.е. если мы пишем “ENc‘k” для суммы чисел элементов к, то к е Cis2 excl. э . Nc‘5‘k = Е Nc‘k . Однако когда элементы к не являются взаимно исключительными, то терм х, который представляет собой элемент двух элементов (скажем а и р) класса к, должен считаться дважды при получении арифметической суммы к, в то время как в логической сумме х считается лишь однажды. Поэтому мы нуждаемся в конструкции, которая будет удваивать х, беря его первый раз как элемент а, а затем как элемент р. Это достигается, если мы заменяем х сначала посредством х X а, а затем посредством х X Р- В сущности х X а обладает тем типом арифметических свойств, которые мы предполагаем обеспечить, когда говорим о “х, рассматриваемом как элемент а” —оборот речи, который, когда он появляется, не подходит для наших целей, так как х есть просто х, как бы мы его ни выбрали, что- бы рассмотреть. Поэтому мы заменяем А на Ха“а, р на ХГРи т.д.; т.е. (используя *85-5) мы заменяем а на eja, р на ejp и т.д. Эти новые классы подобны а и Р и т.д. и являются взаимно исключительными. Сле- довательно, их логическая сумма имеет число термов, которое требуется для арифметической суммы элементов к. Поэтому мы полагаем Е‘к=5‘еХ“к Df ENc‘k=Nc‘E‘k Df Что касается второго из этих определений, то следует заметить, что ENc‘k не является функцией Nc“k, если, конечно, существуют два подоб- ных элемента к; так как Nc“k не может содержать то же самое число дважды. По тем же самым причинам, если к есть класс кардиналов, и мы определяем “Sum‘k”, то мы не получаем то, что требовалось для арифме- тического сложения, поскольку наше определение не позволит нам иметь дело с суммированиями, в которых есть повторяющиеся числа. Мы могли бы, если бы вообще на этом стоило останавливаться, определить “Sum‘k” следующим образом: Возьмем класс классов к, состоящий из одного клас- са, имеющего каждое число, являющееся элементом X, т.е. пусть к будет выборкой из X; тогда Е‘к будет иметь требуемое число термов. Т.е. мы могли бы положить Sum‘k = | {(дк). кеП“ед‘Х. §smE‘K} Df. Principia Mathematica II
112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ 145 Однако поскольку под это определение попадают лишь суммы, в которых нет повторяющихся чисел, то на нем вообще не стоит останавливаться. В этом параграфе мы доказываем среди прочих следующие предложе- ния. *112-15. F : кеCls2excl. э . 5‘kcZNc‘k Оно является расширением *110-32. *112-17. F : к sm sm X. э . Е Nc‘k = Е Nc‘X . Е‘к sm Е‘Х Основная особенность приведенного выше предложения состоит в том, что оно не требует к, XeCls2excl. *112-2—24 касаются использования аксиомы умножения и предложений *111, в которых оно выступает в качестве гипотезы. Мы имеем *112-22. F Mult ах. э : 3! (e J“k) sm (е I“k) П Rl‘sm. э. E Nc‘k = E Nc‘k откуда мы выводим предложение *112-24. F Mult ax. э : p, v € NC . к, X e p A Cl‘v. э. E Nc‘k = E Nc‘k Т.е. принимая аксиому умножения, из двух классов, каждый из кото- рых состоит из р классов, по v термов в каждом, каждый имеет то же самое число термов в их сумме. Это число определялось бы естественно как р, умноженное на v, однако из-за необходимости привлечения аксиомы умножения в этом предложении мы выбрали другое определение умноже- ния (*113), которое не зависит от аксиомы умножения. Читателю следова- ло бы заметить, что подобие двух классов, каждый из которых состоит из р взаимно исключительных групп из v термов, не может быть доказано в общем без аксиомы умножения. Оставшиеся предложения этого параграфа дают свойства Е в специ- альных случаях. Мы доказываем, что Е‘Л = Л (*112-3), что ENc‘i‘a = Nc‘a (*112-321), что a/p.o.ENc‘(i‘aUi‘P) = Nc‘a+cNc‘P (*112-34), которое свя- зывает определение сложения в этом параграфе с таковым в *110. Нако- нец, мы доказываем общий закон ассоциативности для сложения в следу- ющих двух формах: *112 41. F.s‘E“k = E‘s‘k *112-43. Н: к е Cis2 excl. z>. Nc‘E‘E“k = Nc‘S‘s‘k *112 01. Е‘к = $‘еГ‘к Df *112-02. ENc‘k = Nc‘E‘k Df *112-1. Ь.Е‘к=5‘е1“к [*20-2. (*112-01)] *112-101. h.ENc‘K = Nc‘E‘K = Nc‘5‘eI“K [*20-2 . *112-1 . (*112-02)] *112-102. I-. E‘k = R {(ga, x).aeK.xea./f = xJ.a) Доказательство. F. *85-6. *40-11. *112-1 . э F . E‘k = R {(gp, a). a e к. p = X a“a . R e p} [*13-195] =R {(3 a). аек .Re], a“a} [*55-231] =R {(ga, x).aeK.xea./? = xJ,a}.oF. Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
146 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *112-103. . F.E‘K = 5‘p,{(ga).a6K.p, = ia“a [*112-1 .*85-6] *112-11. F : peENc‘K. = . Psm5‘eI“K [*112-101] *112-12. F. s'eI“keZNc‘k [*112-11] *112-13. F : XsmsmeJ“K. э . 5‘keENc‘K [*111-44. *112-11] *112 14. F : к e Cis2 excl. э . e J“k sm sm к Доказательство. I-. *21-33. э F Нр . Т = Rx{(^a) .аек.хеа.7? = хХа}.э: х TR . у TR. э . (да, P)./? = xJ,a./? = yXP* [*55-31] э.х=у: [*71-17] э: Те 1-> Cis (1) F . *21-33 . э F : Нр (1). xTR. xTS . э. (да, Р). a, p6K.xeanp.7? = xJ,a.S = х J, Р • [*84-11 . Нр] э . (ga, P).a = p.7? = xJ,a.S’ = х J, р. [*13-195] э.Я=5: [*71-171] э : Т e Cis—> 1 (2) F . *33-131. э F Нр (1). э : хе (ГТ . = . (д/?, a).a6K.xea.7? = xJ,a. [*55-12] =. хе 5‘к (3) F. *37-1-11 .э F :: Нр . э :. а ек. э : Re Т^а. = . (дх, Р).хеапр.рек.Я = хХр. [*84-11 . Нр] = . (дх, Р).хеапр.рек.а = р.7? = х4р. [*13-195] = .(дх).хеа.Я = х|р. [*85-601] =.7?бб1‘а:. [*37-69] э :. Те“к = е!“к (4) F . (1). (2). (3). (4). *111-4. э F . Prop *112-15. F : keCIs2excl. э . 5‘kcENc‘k [*112-14-11 .*111-44] *112-151. 5‘el“k = ^ {(ga,x) .аек.хеа.1? = хХа}. 5‘5‘el“k = e Г X Доказательство. F. *40-11 . (*85-5).э F . 5‘el“k = R {(ga). aeX.Re J, a“a} [*38-131] = R {(ga, x). a eX. xe a . R = x J, a} (1) F.(l). *41-11 . э F . 5‘5‘eI“k = yP {(g/?, a, x).aeX.xea./? = xia.y/?p} [*13-195 . *55-13] =yP{(ga,x) .aeX.xea.y = x.p = a} [*13-22] =yP {P<eX .y cP) [*35-101] = efX (2) F. (1). (2). э F . Prop Следующее предложение является леммой для *112-153, которое тре- буется для *112-16. Предложение *112-16, в свою очередь, используется в *112-17, которое является фундаментальным предложением в теории сло- жения. *112152. F: Т е 1 -> Cis . р с СГГ. э. (Т114)“е J 0 = € I (Т“р) Доказательство. I-. *37-6 . *85-601. эI-. (Г11 Те)“€Jр = {(gy).уер.Я = (Т11 fe)‘(yj. Р)} (1) F. (1). *55-61 .э Principia Mathematica II
112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ 147 Н:Нр.э.(Т||Д)“б1Р = ^{(ау).убр./? = (Гу)НГе‘Р)} [*3741] = R {(Зу). у е р . R = (Ту) J, (Т“р)} [*38431] =ИГ“Р)“(Т“Р) [*85-601] = е I (Г‘Р): э F . Prop В следующем предложении мы имеем двойной коррелятор такого типа, который часто встречается в кардинальной арифметике, а именно Т11 Те с ограниченной обратной областью, где Т есть данный двойной корреля- тор (или единичный коррелятор в других случаях). Как явствует из пред- ложений, использованных в данном выше доказательстве *112-152, если Т есть коррелятор, чья обратная область включает р и имеет у в каче- стве элемента, то (Т11 Те)‘(у i Р) = (Т‘у) i (Т“0). Таким образом, Т11 Те есть операция, которая, действуя на подходящие отношения индивидов к клас- сам (включая селекторы), преобразует индивиды в их корреляты и классы в классы коррелятов их элементов. Именно поэтому оно является полез- ным отношением. *112-153. Тек sm sm Х.э.(Т||Д) Г 5‘е I“Xe (е 1“к) sm sm (е!“Х) Доказательство. I-. *112-151 . *41-43-44. э F . s‘D“s‘e I“X = D‘(e [ X). s‘CI“s‘6I“X = (Г(* f b) • [*62-41-43] э F . s‘D“s‘e I“X = s‘X. s‘CI“s‘€ I“X = X - i‘A (1) F . (1). *111-1 . *37-231 . э F : Hp . э . s‘D“s e I“X c QT . s‘CI“s‘6I“X c a‘T£ (2) F. *111-1 .*71-29. oF:Hp.o.74s‘D“ser‘^l-> 1 (3) F. *111-11 .(1). э F : Hp . э . Te fs‘(T‘ser‘X(El->l (4) F. (2). (3). (4). *74-775^p^^. z> F : Hp. э . (T11 T£) f S‘£I“k 1 -» 1 (5) F. *43-302. =>F.s‘€l“Xca(r||fe) (6) F. *112-152 . э F : Hp. э. (T11 fe)‘“eI“k = e . [*37-11 ] э. (Г 11 T€)e “e = e I“T£ “k [*111-1. Hp] =еГ‘к (7) F. (5). (6). (7). *111-14 . э F . Prop *112-16. F : KsmsmX. э .eI“KsmsmeI“X [*112-153 . *111-4] *112-17. F : кsmsmX . э . ENc‘k = ENc‘X . ГкзтГХ Доказательство. F . *112-16 . *111-44. э F : Hp . э . s‘eI“Ksm 54eI“X (1) F . (1). *1124401. э F . Prop *112-18. F.ENc‘K = ENc‘er‘K Доказательство. F . *85-61 . *112-15. э F . s‘e!“KeENc‘eI“k (1) F . (1). *112-12 . *100-34. э F . Prop *112-2. F:5 e 1 —> 1 .D‘5 = еГ‘к.(Г5 = e!“X. 3! ед‘Сгр(5)“Х. э . Е Nc‘k = Е Nc‘X. Е‘к sm Е‘Х Доказательство. F . *111-311 . *85-61. э F : Нр . э . 5‘е J“Ksm 5‘eJ“X (1) F . (1). *112-1-101. э F . Prop *112-21. F :. Mult ax. э: (3S). S e 1 —> 1.5 csm.D‘5 = е!“к. (Г5 = e!“X. = . eI“KsmsmeI“X [*111-5 . *85-61] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
148 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *112-22. F :. Mult ах. э : 3! (е!“к) sm (е J“X) П Rl‘sm. э . Z Nc‘k = Z Nc‘X [*112-17-18-21] *112-23. F Mult ax. э : к, X e Cis2 excl. 3! к sm X П RTsm. э . 5‘к, s‘X e Z Nc‘k . Z Nc‘k = Z Nc‘X Доказательство. F . *112-15 . э F : Hp. к, XeCis2excl. э . 5‘KeZNc‘K. 5‘XeZNc‘X (1) F . *111-51 . э F: Hp (1). a! к sm X П RTsm. э . 5‘к sm 5‘X (2) F . (1). (2). э F . Prop *112-231. F:5 ек sm XПRl‘sm. э .e J15 | Cnv‘eIe(eI“K) sm (eJ“X)nRrsm Доказательство. F.*73-63 .*85-601.oF:5 ек sm Х.э.еЦЗ |Cnv‘eIe(eI“K) sm (eJ“X) (1) F. *85-601. *73-33-34 . э F: S Gsm. э. e J15 | Cnv‘e J Gsm (2) F. (1). (2).oF:5 ек sm XnRrsm.o.eJ|5 |Cnv‘eIe(eI“K) sm (eJ“X)nRrsm: э F. Prop *112-24. F :. Mult ax. э : p, v e NC . к, X e p П Cl‘v . э. Z Nc‘k = Z Nc‘X Доказательство. F . *111-52. э F : p, veNC . к,ХерПCl‘v. э . 3! к sm XП Rl‘sm. [*112-231] э.э!(еГ‘к) sm (eI“X)nRrsm (1) F.(l). *111-51 .*85-61 .э F :. Mult ax. э : p, veNC . к, ХерП Cl‘v. э s‘e J“Ksm 5‘eJ“X. [*112-101 ] э. Z Nc‘k = Z Nc‘X:. э F . Prop *112-3. F . Z‘A = A [*37-29 . *40-21 . *112-1] *112 301. F.ZTA = A Доказательство. F . *112-102. э F . ZTA = R {(3 a, x). a ei‘A .rea.fl = xja) [*51-15] = R {(sx) .xeA.tf = xiX) [*24-15] = A . э F . Prop *112-302. F.Z‘k = Z(k-i‘A) Доказательство. F . *112-102. э F . Z‘k = R ((3a, x). a e к. x e a. R = x X a} [*10-24] = Я {(3 a, x). a e к. 3! a. x e a . 1? = x i a) [*53-52] = R ((3a, x). a e к - i‘A. x e a . R = x J, a} [*112-102] = Z‘(k - i‘A). z> F . Prop Таким образом, если А есть элемент класса классов, то он не влияет на значение их арифметической суммы. *112-303. F : к П X = А. э . Z‘k П Z‘X = А Доказательство. F. *112-102 .э F :7?eZ‘K П Z‘X. = . (3 a, |3, х, y).aeK.|3eX.xea.yep.7? = xXa=y|[3. [*55-202] э . (3 a, х) .аекАХ.хеа. [*24-5] э-з!кПХ (1) F . (1). Transp. э F . Prop Principia Mathematica II
♦ 112. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ СУММА КЛАССА КЛАССОВ 149 *112 304. h : Е‘к = Л . = . 5‘к = Л Доказательство. h . *112-3-301 . *53-24 . э h : 5‘к = Л . э. Е‘к = Л (1) h . *112-102 . эЬ:аек.хеа.э . х J, аеЕ‘к: [*10-24 . *40-11] э h : з! 5‘к. э . a! Е‘к (2) F. (1). (2). э I-. Prop *112-31. h . Е‘(к U X) = Е‘к U Е‘Х Доказательство. h . *112-1. э h . Е‘(к U k) = 5‘е Г ‘(к U к) [*40-31] = 5‘eJ“KU 5‘е1“к [*112-1] = Е‘к U Е‘Х. э h. Prop *112-311. Ь:кПк = Л.э.ЕNc‘(kU X) = ЕNc‘k +cENc‘X Доказательство. h. *112-303. *110-32. э h : Нр. э . Nc‘(E‘k U E‘k) = Nc‘E‘k +c Nc‘E‘k [*112-101] =ENc‘K+cENc‘k (1) h.(l). *112-31. z>F. Prop *112-32. t-.E‘i‘a = eJa Доказательство. h . *53-31 . *112-1 .oh. E‘i‘a = 5‘1‘e J a [*53-02] = e J a. э h . Prop *112-321. h . E Nc‘i‘a = Nc‘a [*112-32-101 . *85-601] *112-33. h .E‘(i‘aUi‘P) = elaueip [*112-32-31] *112-331. h . E‘(k U i‘P) = E‘k U e J p [*112-31-32] *112-34. h : a p . э . E Nc‘(i‘a U l‘P) = Nc‘a +c Nc‘P Доказательство. h. *51-231 . *112-311 . э h : Нр. э . E Nc‘(i‘a U i‘p) = E Nc‘i‘a +c E Nc‘i‘P [*112-321] = Nc‘a +c Nc‘P : z> h . Prop Это предложение устанавливает согласование между двумя определени- ями сложения, а именно таковым в *110 и таковым в *112. В дальнейшем будет видно, что определение в *112 неприменимо к сложению класса с са- мим собой, если оно применяется для того, чтобы удвоить класс, вместо (подобно логическому сложению) простого воспроизведения класса. Отсю- да следует необходимость условия a / р в приведенном выше предложении. *112-341. h : р ~ е к. э . Е Nc‘(k U i‘P) = Е Nc‘k +с Nc‘P Доказательство. h . *51-211 . z> h : Нр. э . к П i‘P = Л. [*112-311] э . Е Nc‘(k U i‘P) = Е Nc‘k +с Е Nc‘i‘P [*112-321] = Е Nc‘k +с Nc‘P: э h . Prop *112-35. h:a^p.a^y.p^y.o.E Nc‘(i‘a U i‘p U i‘y) = Nc‘a +c Nc‘P +c Nc‘y Доказательство. h. *51-231 .*112-311 . э h : Нр. э . E Nc‘(i‘a U i‘p U i‘y) = E Nc‘(i‘a U i‘p) +c E Nc‘i‘y [*112-34-321] = Nc‘a +c Nc‘P +c Nc‘y: э h . Prop A.H. Уайтхед, Б. Рассел
150 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ Подобные предложения могут, очевидно, быть доказаны для любого ко- нечного числа слагаемых. * 112-4. F : s‘k, s“k€ Cis2 excl. э . ZNc‘s‘k = E Nc‘s“k Доказательство. F . *112-15 . э F : Hp. э. E Nc‘s‘k = Nc‘s‘.s‘k [*42-1] =Nc‘s‘5“k [*112-15] = E Nc‘s“k : э F . Prop * 112-41. F.5‘E“k = E‘s‘k Доказательство. F . *112-1 . dF. s‘E“k = [*42-1] =й‘еГ“Х [*40-38] =5‘€l“s‘k [*112-1] =E‘j‘X . э F . Prop * 112-42. F : keCls2 excl. э . E“ke Cis2 excl Доказательство. F . *112-303 . э F X e Cis2 excl . э: 0, у e k. 0 у. эр,у . E‘0 A E‘y = A : [*30-37 . Transp . *37-63] э : p, veE“k. p # v . dh>v • Ц A v = A : [♦84-1] э :E“keCis2excl:.dF. Prop * 112-43. F : k e Cis2 excl. z>. Nc‘E‘E“k = Nc‘E‘s‘k Доказательство. F . *112-15-42 . э F : Hp . э . Nc‘E‘E“X = NcVE“X [*112-41] = Nc‘E‘s‘k: э F . Prop Приведенное выше предложение представляет собой закон ассоциатив- ности арифметического сложения. Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 151 *113. Об арифметическом произведении двух классов или двух кардиналов Краткое содержание *113. В этом параграфе мы даем определение умножения, которое может быть распространено на любое конечное число множителей, но не на бес- конечное число множителей. Во-первых, мы определяем арифметическое класс-произведение двух классов а и 0, и оттуда произведение двух кар- диналов |1 и v как число термов в произведении а и 0, когда а имеет р, термов, а 0 имеет v термов. В *114 мы дадим определение умножения, которое не ограничивается конечным числом множителей. Преимущества- ми определения, которое дается в этом параграфе, является то, что оно не требует, чтобы множители принадлежали одному и тому же типу, и то, что оно позволяет умножать класс сам на себя, не просто (как при логическом сложении и умножении) воспроизводя сам указанный класс. Единственным недостатком определения в этом параграфе является невоз- можность распространения его на бесконечное число множителей. Арифметическое класс-произведение двух классов а и 0, которое мы обозначаем посредством 0ха54, представляет собой класс всех ординаль- ных пар, которые берут свой референт из а, а релятив из 0, т.е. оно пред- ставляет собой класс всех таких отношений, как х X у, где х е а, а у е 0. Для данного у класс пар, который мы получаем, есть Ху “а, который подобен а; и число таких классов для переменных у есть Nc‘0. Таким образом, мы имеем Nc‘0 классов из Nc‘a пар, и 0 х а есть логическая сумма этих клас- сов пар. С другой стороны, класс таких классов, как Ху “а, где у с 0, яв- ляется важным в связи с экспоненциацией; мы имеем Ху“^ = ^^У, откуда класс таких классов, когда у изменяется в пределах класса 0, есть аХ“0, и 0xa = s‘aX“0 (ср. с *40-7), которое мы принимаем в качестве определения 0 х а. Мы представляем арифметическое произведение ц и v посредством р, хс V. Оно, так же как и Nc‘a хс Nc‘0, определяется в терминах а х 0 в точ- ности так, как в *110 сумма была определена в терминах а + 0. Настоящий параграф содержит много предложений, которые принадле- жат к теории аХ“0 в большей степени, чем (собственно) к 0ха; и мно- го предложений — в большей степени логических, чем арифметических, по своей природе, т.е. таких, которые могли бы быть даны в *55. Грани- цу, однако, весьма трудно провести, так что кажется лучше иметь дело одновременно со всеми предложениями о аХ“0 или его сумме, которая есть 0ха. Поэтому в настоящем параграфе первоначальные предложения, вплоть до *113-118, касаются главным образом логических свойств аХ“0 и 0ха; следующие предложения, вплоть до *113-13, посвящены главным 54 Мы обозначаем его как 0ха, а не a х f ради определенных аналогий с произведения- ми в арифметике отношений. Ср. с *116. А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
152 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ образом арифметическим свойствам аХ“Р; предложения *113-14—191 ка- саются преимущественно арифметических свойств рха; в *113-2—27 мы имеем дело с более простыми свойствами pxcv; *113-3—34 излагают пред- ложения, вовлекающие аксиому умножения и демонстрирующие связь (при допущении указанной аксиомы) сложения и умножения; *113-4—491 каса- ются различных форм закона дистрибутивности; в *113-5—541 рассматри- вается закон ассоциативности умножения, а в оставшихся предложениях речь идет об умножении на 0, 1 или 2. Наиболее важными предложениями в настоящем параграфе являются следующие: *113-101. F :7?ерха . = . (эх, у) .хеа.уер.7? = хХу Оно просто заключает в себе определение рха. *113-105. F:д!а.э.аХе1 —> 1 Это предложение особенно полезно в связи с экспоненциацией (*116). *113-114. F а = А . V . р = А : = . Р X а = А Именно в силу этого предложения произведение конечного числа мно- жителей равно нулю, когда один из сомножителей равен нулю. *113-118. F . s‘D“(P х а) с а. 5‘О“(Р х а) с р Это предложение в основном полезно в аналогичной теории ординаль- ных произведений (*165, *166), где оно позволят нам применять *74-773. Если мы не имеем Р = А, то имеет место s‘D“(P х а) = а, а если мы не име- ем а = А, то s‘CI“(P х а) = р (*113-116). *113-12. F : з! а. э. а X“PeNc‘P П С1ехсГЫс‘а Т.е. если а не нуль, то аХ“р состоит из Nc‘P взаимно исключающих классов, каждый из которых содержит Nc‘a элементов. *113-127. F : R [yea sm у. 5 [ 6ер sm 6 . э . (Я| |5) Г(6ху)е(аХ“Р) sm sm (у Х“б) Это предложение является важным, поскольку оно дает двойной кор- релятор аХ“Р с уХ“6 всякий раз, когда простые корреляторы а с у и р с 5 даны. Оно сразу же приводит к *11313. F : a sm у. Р sm 6 . э . aX“Psm smy Х“6 . (Pxa) sm (бху) Это предложение является фундаментальным в теории умножения, так как оно показывает, что число элементов рха зависит лишь от чисел эле- ментов аир. Оно также является фундаментальным в теории экспонен- циации, как выяснится в *116. *113-141. F . Nc‘(a х Р) = Nc‘(P х а) Это предложение является источником закона коммутативности умно- жения (*113-27). *113-146. F:a^p.o.axpsm €д‘(i‘a U i‘P) Оно связывает представленную теорию умножения с теорией выборок. Затем мы приходим к предложениям, касающимся pxcv. Мы имеем *113-204. F:.|i = A.V.v = A.V.~(|i, ve NC): э . ц хс v = А Применение этого предложения, подобно *110-4, состоит в том, чтобы избежать тривиальных исключений. *113-23. F.pxcveNC Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 153 *113-25. I-. Nc‘y хс Nc‘5 = Nc‘(y х 5) Это предложение позволяет нам выводить предложения о произведени- ях кардиналов из предложений о произведениях классов, и поэтому оно постоянно используется. *113-27. h . р хс v = v хс р Это предложение представляет собой закон коммутативности умноже- ния кардиналов. Основное предложение, использующее аксиому умножения, есть *113-31. h Mult ах. э : р, v е NC . к е v П СГр. э. Е‘к е р хс v Т.е. принимая аксиому умножения, мы получаем, что сумма чисел эле- ментов в v классах из р термов есть pxcv. Если бы мы взяли эту сумму в качестве определения р хс v, то почти все предложения об умножении тре- бовали бы аксиомы умножения. Преимущество аХ“Р заключается в том, что, задав asm у и Psm6, мы можем построить двойной коррелятор аХ“Р с уХ“6 без привлечения аксиомы умножения. Это доказывается в *113-127 (упомянуто выше). Закон дистрибутивности, который рассматривается далее, обладает раз- личными формами. Для начала мы имеем ♦113-4. h . (Р U у) х a = (Р х a) U (у х а) откуда, используя закон коммутативности, мы без труда выводим *113-43. F . (v +C(D) хс р = р хс (v +C(D) = (р хс v) +с (р хс (D) Однако закон дистрибутивности также имеет место, когда вместо зану- мерованных слагаемых р, у или слагаемые даны как элементы класса к, который может быть бесконечным. Мы имеем *113-48. h . $‘ах“к = а х 5‘к = Chv“{(5‘k)х a} откуда, используя определения из *112, мы находим *113-491. h : KeCls2excl. э . ENc‘a х“к = Nc‘(aхЕ‘к) = Nc‘a хс ЕNc‘k Это предложение представляет собой распространение закона дистрибу- тивности на случай, в котором число слагаемых может быть бесконечным. Закон ассоциативности *113-54. F . (р хс v) хс ш = р хс (v хс ш) доказывается без каких-либо трудностей. Затем мы доказываем, что pxcv = 0 тогда и только тогда, когда р, = 0 или v = 0, р, v являются экзистенциональными кардиналами (*113-602); что кардинал остается неизменным, когда умножается на 1 (*113-62-621); что р,хс2 = р+ср, (*113-66) и что р хс (у +с1) = (р хс v) +с р (*113-671). *113-02. pxa = 5‘aX“P Df *113-03. р хс v = f {(ga, Р). р = Noc‘a . v = Noc‘P . £sm(ax Р)} Df *113-04. Nc‘Pxcp = Noc‘Pxcp Df ♦113-05. p xc Nc‘a = p, xc Noc‘a Df В отношении типов *113-03-04-05 вызывают замечания, подобные сде- ланным в *110 для сложения. *113-1. h.pxa = 5‘aX“P [(*113-02)] *113-101. h : /?ер х a . = . (з%,у) .xea.yep.7? = xfy [*40-7 . *113-1] А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
154 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *113-102. F :у ер . э . a iy = (а f Р) дЧ‘у Доказательство. I-. *35-103. э F Нр .э:х(аТ|3)у. = .х€а: [*85-51] э : (а? Р) дЧ‘у = 1у“а [(*38-03)] = а 1у : э F . Prop *113-103. F . а 1“Р = (а Т Р) a“l“P = (а Т Р) ÑР[*113-102 . *85-52] *113-104. F.E!al‘y [*38-12] * 113-105. F:3!а.э.ale 1 —>1 Доказательство. F . *113-104 . *71-166. dF . ale 1 —» Cis h . *38-131. э F : a = a • xea. э . x\,y ea l‘z • (1) [*38-131] э . (3У) .xf Ea.x[y = x' lz. [*55-202] zz.y = z (2) F . (2). *10-11-23-35 . э F : 3! a . a = a I'z. э .у = z (3) F . (1). (3). *71-54 . oF.Prop * 113-106. F : xea.у е р . э . х J,у е р х a [*113-101] * 113-107. F : 3! a. 3! Р . э . 3! Р х a [*113-106] * 113-11. F : 3!а.э. al“PeNc‘P : (y). a ly eNc‘a Доказательство. F . *113-105-104 . *73-26 . э F : 3! a. э . a 1“P sm P (1) F . *38-2 . *73-611 . □F.alj'sma (2) F . (1). (2). э F. Prop * 113-111. F. a ‘PeCls2 excl [*113-103 . *85-55] * 113-112. h : a = A . 3! P . d . a i“P = l‘A Доказательство. F . *38-3. э F : Hp . z>. al“P = p{(зу) .у eP . |i = j,/‘A} [*37-29] ” = р{(3У) -yep . И = А) [Hp] = i‘A * 113-113. F:p = A.z>.al“P = A [*37-29] * 113-114. h:.a = A.v.p = A: = .pxa = A [*113-l-112-113-107 . *53-24] * 113-115. h . 5‘(P x a) = a T P Доказательство. F. *113-101 . *41-11 .d I-: и {s‘(P x a)) v. = . (3/?, x,y).xea.yep./? = xj,y. uRv . [*13-195 . *55-13] = . (зх,у) .xea.yep.w = x.v = y. [*13-22] = . uea . vep . [*35-103] = . w (a T P) v: э h . Prop *113-116. h : 3! P . э . s‘D“(P X a) = a : 3! a . э . s‘G“(P x a) = P [*113-115 . *41-43-44 . *35-85-86] *113-117. H:.a = A.V.p = A:z>. s‘D“(P X a) = A . s‘Q“(P x a) = A [*113-115 .*41-43-44 .*35-88] *113-118. h . 5‘D“(P x a) c a . 5‘СГ‘(Р x a) с p [*113-116-117] *113-12. F : 3! a . э . al“PeNc‘P П С1ехсГ1Мс4а [*113-11-111] Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 155 *113-121. I-. Е‘а i“0sm|3 X а [*112-15 . *113-111-1] *113-122. F : R [ у, 5 [ 8eCls —> 1 . у с Q‘R. 8 с С‘5 . э. (R115) [ (8ху) е 1 —> 1 [*74-773. *113-118] *113-123. F : R [ у, 5 [ 8 е 1 —» Cis. у с Q‘R. 8 с Q‘5 . zey • w е 8. э . (R 115)‘(z I w) = (R‘z) i (S‘w) [*55-61] *113-124. F:R [y,5[8e 1 Cis. у c CTR. 8 c d‘5 .weS.o. (R||S)“yiw = (R“y)i(5‘w) Доказательство. F . *113-123 . *38-131. э F: Hp. э. (R115)“1 w“y = | (5 ‘w)“R“y. [*38-2] э . (R115)“y X w = (R“y) i (S ‘w): э F . Prop *113-125. F : R [ y, 5 [ 8 e 1 -> Cis. у c d‘R. 8 c d‘5 . z>. (R115)e“y i“8 = (R“y) i“(S“8) [*113-124] *113-126. F : Hp *113-125 . э . (R11 S)“(8 x y) = (5 “8) x (R“y) Доказательство. F . *113-1 . *40-38 . э F. (R115)“(8 x y) = s‘(R 115)“‘y X“8 F . (1). *113-125 . э F : Hp . э . (R11 S)“(8 x y) = s‘(R“y) i“(S“8) [*113-1] = (S “8) x (R“y): z> F . Prop * 113-127. F : R [yea sm у. S [ 8e p sm 8. э. (R115) [ (8 x y) e (a i“P) sm sm (у l‘‘8) [*113-122-125 . *43-302 . *73-142 . *111-14] * 113-128. F : Hp *113-127 . э . (R115) f (8 x у) e (P x a) sm (8 x y). (R||5)t [ (y i“8) e(a i“P) sm (yi“8) [*113-127 . *111-15] * 113-13. F: asmy. Psm8. d . ai“Psmsmyi“8. (PXa)sm(8 xy) [*113-127. *111-4-44. *113-1] * 113-14. F . a x p = Cnv“(P x a) [*113-101 . *55-14] * 113-141. F . Nc‘(a x P) = Nc‘(P x a) [*113-14 . *73-4] * 113-142. F : з! p. э. D“(P x a) = i“a: з! a. э. Q“(P x a) = i“P Доказательство. F . *55-261 . *2-02 . э h :yeP . d . D“aiy = l“ol [*37-63] d h : y€D“‘a . d . у = L“a (1) F. *37-45 . э h : 3! P . э . g! D‘“a (2) F.(l). (2). *51-141 . э h : 3! P . э . D“‘a X“P = . [*40-38 . *53-02] э . D“s‘a i“P = L“a (3) F. *55-251 . э1-:з!а.э.СГ‘а1у = i4‘y. [*37-355] э . CT“a i“P = l“l“P . [*40-38 . *53-22] D.a‘^‘al“P = L“P (4) F . (3). (4). *113-1 . э F . Prop * 113-143. F:a/p.P = xly.R = xlaUyip.z>. P = (R‘a) | (R‘P). R = D‘P f i‘a U CPP f i‘P Доказательство. F. *55-62. э F : Hp. э .R‘a = x .R‘P =y. [*30-19 . *13-15] э. P = (R‘a) i (R‘P) (1) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
156 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ h . *55-15. э h : Нр . э . D‘P = i‘x. d'P = t‘y. [*55-1] э.Я = В7>Т1‘аи(ГРТ1‘Р (2) h. (1). (2). э h . Prop *113-144. h : a (В . T = PR {(gx,y) .xea.yep.P = xJ,y.P = x,|,aUyJ,p}. э.Те1 -> 1 .D‘T = pxa.a‘T = eA‘(L‘aUi‘P) Доказательство. h . *21-33. э h :. Нр . э : PTR. QTR. э. (gx,y, z, w). x, zea.y, wefi.P = x],y.Q = zlw- P = xj,aUyj,p = zXaUwj,p. [*113-143] э . P = (P‘a) X (Я‘Р). Q = (P‘a) J, (P‘P). [*13-172] z>.P = Q (1) h . *21-33 . э h :. Нр . э : P TQ. P TR . э . (gx, у, z, w). x, zca.y, w e p . P = x X у = w X z. G = x 1 a U у j, p . 7? = z X a U w 1 p. [*113-143] э . Q = D‘P T L‘a U СГР T i‘P • R = D‘P f i‘a 0 СГР T l‘P . [*13-172] z>.Q = R (2) h . *33-13 .oh: Нр . э . D‘T = P {(gP, x,y).xea.yep.P = xly.P = xXaUylp] [*11-55 . *13-19] = P {(зх,у) .xea.yep.P = xXy) [*113-101] =pxa (3) h . *33-131 . э h : Нр . э . (ГТ = R{(ftP, x,y).xea.yep.P = xj,y.P = xj,aUyj,P) [*11-55 . *13-19] =R {(зх,у) .xea.yep.P = xJ,aUyXP} [♦80-9] = ед ‘(i‘a U l‘P) (4) F . (1). (2). (3). (4). э F . Prop Замечание к *113-144. В силу *113-143 и *55-61 мы имеем F :. Нр *113-144 . э : PTR. = . R еед‘(ь‘а U l‘P) . Р = (Р 11 Р)‘(« X Р) • На более позднем этапе (в *150) мы положим PJ5 = (Р||Р)‘5 Df. Поэтому мы будем иметь, предвидя эту запись, F : Нр *113-144 . э . Г = {f (a X Р)} f eA‘(i‘a U l‘P) . Следовательно, мы имеем h : a Р . э . {f (a j, Р)} [ eA‘(i‘a U i‘P) е(Р х a) sm eA‘(i‘a U l‘P) . *113-145. I-: a/p. □ . Px asmeA‘(i/aU l‘P) [*113-144] *113-146. F:a/p.D.axp smeA‘(i‘a U l‘P) [*113-141-145] *113-147. h : Hp *113-144 . p x a = ц. э . T = PR {P e p,. R = D‘P J L‘s‘D“p U СГР ? iVCI“|i} Доказательство. h . *113-114 . Transp. э h : Hp. Pep. э . 3! a. 3! p. [*113-142 . *53-22] э . a = s‘D“p. p = .у‘СГ‘р (1) h . *113-101-143 . э h :. Нр . Pe p. э : PTR . = . R = D‘P ? L‘a U СГР T l‘P (2) h.*113-144. э h : Нр . PPP . э . P e p (3) h . (1). (2). (3). *113-101 . э h . Prop Преимущество этого предложения заключается в том, что оно представ- ляет коррелятор р х а и eA (i‘a U l‘P) как функцию р х а. Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 157 *113-148. F:a(~i0 = A.D.Cf(ax0)el—>1 Доказательство. F. *113-101 . *55-15 .э F Нр. э :Я,5 еаX 0. С‘Я = С‘5 . в. (дх, л/, у, у'). х, х' е а. у, у' е 0. R = у 1 х, S = у' J, х! . i‘x U i‘y = ex' U i‘y'. [*54-6] z>. (gx, x', y, y'). x, x' e a. y, y' e. 0. R = у J. x, 5 = y' J, x'. x = x'. у = у'. [*13 22-172] z>.R = S (1) F. (1). *71-55 • э F. Prop *113-15. F . C“(a x 0) = C“(0 X a) = | {(gx, у). x e a. у e 0. £ = i‘x U i‘y} Доказательство. F. *113-1 .*40-38 . d F . C“(0 X a) = s‘C“‘a X“0 [*40-4] =^{(3y)-yep.^eC“aly} [*55-27. *38-2] =^{(gx,y).xea.ye0.^ = i‘xUi‘y) (1) DF.C“(axP) = |{(ax,y).x€a.yep.^ = i‘xUi>} (2) F . (1). (2). oF . Prop *113-151. F : a / 0. э . C“(a x 0) = D“eA‘(i‘a U i‘0) [*113-15 . *80-92] *113152. F : a A P = Л . э . C“(a X P) sm (a x P). В“ед‘(1‘а U l‘P) sm (a X P) Доказательство. F . *84-41-62 . dF: Hp . a # P. э . D“€a‘(l‘ci U l‘P) 8тед‘(1‘а U i‘p) (1) F. (1). *113-146-151 .э h : Hp . a p . э . C“(a X P) sm (a x p). В“ед‘(ь‘а U l‘P) sm (a x p) (2) F . *24-38 . э F : Hp .a = p.D.a = A.p = A. [*113-114 . *83-11 . *37-29] э . a x p = A . В“ед‘(ь‘а U l‘P) = A. C“(a x P) = A. [*73-47] э . C“(a X P) sm (a x P). В“ед‘(1‘а U l‘P) sm (a X p) (3) F . (2). (3). d F . Prop Следующее предложение значимо, лишь когда 1 и ц являются классами отношений. Оно используется в арифметике отношений (*172-34). *113-153. F : A s‘p = A. z>. s| С f (kx р)е(5‘Х.^“р) sm (kx р). ^‘^^“psmkx р Доказательство. F . *55-15 . *53-13 .oF:/? = T|S.d. s6C6R = S U T (1) F. (1). *113-101 .d F :R,R' e X x p. s'C'R = s'C‘R'. d . (я5,5',Г,Г).5,5'ек.Т,Г e\i.R = T[S . R' = Г | S'. 5 U T = S' U Г (2) F . (2). *25-48 . *41-13 . э F Hp . э :/?,/?' e k X p . s‘C‘R = s'C'R' .z>.R = R' (3) F. (l).*U3-101 .z>F.5“C“(Xxp) = Af {(л5,Т).5 ek.Tep.Af = 5 UT} [*40-7] (4) F . (3). (4). *73-25 . э F . Prop *113-16. F : fa = fp. z>. Nc‘(a x p) = t {(HY, 6). У€^с‘а. SeN^p. у A 6 - A . £sm D“€a‘(l‘y u l‘&)} Доказательство. F . *113-152 . э F yeN^a . 6 eN1^. у A 6 = Л. э : sm D“€a‘(l‘y U l‘&) . = . sm (у X 6). [*113-13 . *104-101] = . ^ sm (a x P). [*100-31] E.^Nc‘(axp) (1) A.H. Уайтхед, Б. Рассел
158 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ h.(l). *5-32. *11-11-341. о h (gy, 6). у eN^a. 5 eN1^ . у П 6 = А . £ sm D“eA‘(fy U l‘6) . = : (ЗУ, 6) • У eNlc‘a . 6 . у n 6 = A . ^Nc‘(a X 0): [*11-45] = : (gy, 6). у eN^a. 6 eN1 с‘|3. у П 6 = A : £ e Nc‘(a x 0) (2) h. (2). *104-43. oh. Prop *113-17. H0xaeff(aT0) Доказательство. h . *113-115 . *41-13 . о h : Яе0 x a . о ./?Ga f 0 . [*64-201] o.tfef(aT0) (1) h.(1). *63-5 .oh. Prop *113-171. h:an0 = A.o.g!Nc (f a)‘(a X 0) Доказательство. h . *113-152-15 .oh: Hp . о. f {(зх,у) .xea.yf0.^ = i‘xU L‘y} eNc‘(a X 0) (1) h . *51-16 . oh:xea.ye0.^ = L‘xUL‘y.o.xea.xe§. [*63-13] o.^efa (2) h. (2). *11-11-35. о h • t {(Я*, y). x e a . у e 0 . § = l‘x U i‘y} c fa . [*63-5] о h . f {(gx,y). xe a . у e 0 . £ = f x U i‘y} e f f a (3) h . (1). (3). о h : Hp . о . а! Nc‘(a x 0) П f f a (4) h . (4). *102-6 .oh. Prop Заметим, что гипотеза a П 0 = Л значима, лишь когда а и 0 принадле- жат одному и тому же типу. *113-172. h : aef 0 . о . g! Nc (?‘a)‘(a X 0) Доказательство. h . *103-16 . о h :. Hp . о : у eNxc‘a . SeN1^ . у П 6 = Л . о . D“eA‘(i‘y U l‘6) e Nc‘(a x 0) (1) h. (1). *104-43 . о h : Hp . о . (gy, 6) -У eNlc‘a . SeN1^. D“eA‘(fy U l‘6) eNc‘(a x 0) (2) h . *104-1 . о h : у eN^a . о . у er2‘a . [*63-61-621] D.i‘yU L‘6ef/2‘a. [*83-81] о . D“eA‘(fy U l‘6)eft2ia (3) h . (2). (3). о h : Hp . о . 3! Nc‘(a x 0) П f t2ia (4) h . (4). *102-6 .oh. Prop *113-18. Ь:з!а.з!0.ах0 = a'x0'. о . a = a'. 0 = 0' Доказательство. h . *113-114 .oh: Hp . э . g! a'x 0'. [*113-114] D.a!a'.g!0' (1) h . *30-37 . oh: Hp . о . f Q“(a x 0) = ?Q“(a'x 0'). [*113-142 . (1)] э . f i“a = f L“a'. [*53-22] o.a = a' (2) Аналогично h : Hp .0.0 = 0' (3) h . (2). (3). о h . Prop Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 159 *113-181. k-:g!a.g!a'.axp = a'x Р'. э . Р = Р' Доказательство. I-. *13-172 . э h : р = А . р' = А. э . Р = Р' (1) h . *113-18 . э F : Нр . ~ (Р = А. Р' = А). э . Р = Р' (2) К (1). (2). э К Prop *113-182. h:g!p.g!p'.axp = a'x Р'. э . a = a' [Доказательство, как и в *113-181] *113-183. Н g! a . g! р . э . F“(a х р) = s‘C“(a х р) = a U р Доказательство. h . *40-57 . э h . s‘C“(a х р) = s‘D“(a х р) и s‘CI“(a х р) (1) h . *40-56 . z> h . F“(a x p) = s‘C“(a x p) (2) h . *113-142 . э h : Нр . э . s‘CI“(a x p) = s‘i“a [*53-22] = a (3) h . *113-142 .ok: Нр . d . s‘D“(a x P) = s‘l“P [*53-22] = p (4) h . (3). (4). эк: Нр . э . 5‘D“(a x P) U s‘G“(a x P) = a U P (5) F . (1) . (2). (5) .эк .Prop *113-19. k-:g!(axp)n(yx8). = .g!any.g!pn8 Доказательство. h . *113-101 . э h :. g! (a x p) A (y x 8). = : (gx, у, z, w).xea.yep.zey.we8.xj,y = wj,z: [*55-202] = : (gx, y, z, w).xea.yep.zey.we8.x = z.y = w: [*13-22] = : (gx,y) .хеаАу.уерА8:.эН. Prop *113-191. h :. g! a . э : g! a i“P A a i“y . = . g! P A у Доказательство. h . *37-6. d h : g! a i“p A a X“y. = . (gy, z). у e P . z ey . a iy = a i z (1) h . *113-105 . *71-57. эк:. Нр . э : a iy = а i z. = . у = z : [(1)] o:g!ai“p Aai“y .= . (ду,г) .yep . геу .у = z. [*13-195] = . g! а А р :. э h . Prop * 113-2. к-: е р, хс v . = . (ga, Р). р, = Noc‘a. v = Nqc‘P . £ sm (a x P) [(*113-03)] * 113-201. h §ep xc v . = : p, veNC : (ga, P). aep . P ev . £sm (a x P) [*113-2 .*103-27] * 113-202. h e p xc v . = : g! p . g! v : (a?, $). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . £ sm (у x 6) Доказательство. h . *113-201 . *100-4 . э к :. ^ep xc v . = : (ga, p,y, 6). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . aep . Pev . £sm (a x P). [*100-31] = : (ga, p, y, 6). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . a sm у . P sm 6 . £ sm (a x P). [*113-13 . *73-37] = : (ga, p,y, 8). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . asmy . Psm 6 . £sm (у x 6). [*100-31] = : (ga, p, y, 5). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . ae p . P e v . £sm (у x 6). [*10-35] = : g! p . g! v : (gy, 6). p = Nc‘y . v = Nc‘8 . £ sm (у x 6):. d h. Prop * 113-203. к : g! pxc v. □ . p, veNC - l‘A . p, veNqC [*113-201-202-2] * 113-204. h:.p = A.V.v = A.V.~(p, ve NC): э . pxc v = A [*113-203] *113-205. h : ~ (p, veNqC) . □ . pxc v = A [*113-203] A.H. Уайтхед, Б. Рассел
160 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *113-21. F р, veNC . d : ^Ер хс v. = . (да, 0). аер . 0 еv. ^sm(а х 0) [*113-201] *113-22. F : J- eNc (т])‘у хс Nc (£)‘5. = . д! Nc (т])‘у. д! Nc (£)‘6 . Е- sm (у х 8) Доказательство. F . *113-21 . *100-41. э F : £ е Nc (т])‘у хс Nc (У‘8 . = . (да, 0). а е Nc (т|)‘у. 0 е Nc (£)‘6 . Е=sm (а х 0). [*102-6] = . (да, 0). а еNc (т])‘у. 0 еNc (£)‘8 . а sm у. 0 sm 8 . sm (а х 0). [*113-13 . *73-37] = . (да, 0). oeNc (т])‘у. 0eNc (У‘6 . asm у. 0 sm 6 . ^sm (у х 6). [*102-6] = . (да, 0). oeNc (т])‘У • 0eNc (£)‘8 . ^sm (у х 8). [*10-35] н . д! Nc (т])‘у. д! Nc (У ‘6 . £ sm (у х 8): z> F . Prop *113-221. F : д! Nc (т])‘у. д! Nc (У‘8. э . Nc (т])‘у хс Nc (У‘8 = Nc‘(y х 6) [*113-22] *113-222. F . Noc‘y хс N0c‘8. = . Nc‘(y х 5) Доказательство. И . *103-1-13 . э F. Noc‘y = Nc (у) ‘у. N0c‘8 = Nc (8)‘8. g! Noc‘y. g! N0c‘8 . [*113-221] э F . Noc‘y xc Noc‘8 = Nc‘(y x 8). э F . Prop *113-23. F.pxcvENC Доказательство. F. *113-222 .*100-41 . d F : p., veN0C . d . pxc veNC (1) F . *113-205 . *102-74 . э F : ~ (p, veNoC) . □ . цхс veNC (2) F. (1). (2). э F . Prop *113-24. F . Nc‘y xc Nc‘8 = Noc‘y xc N0c‘8 [(*113-04-05)] *113-25. F . Nc‘y xc Nc‘8 = Nc‘(y xc 8) [*113-24-222] Это предложение частично устанавливает причину выбора наших опре- делений. Очевидно, что такие определения должны, если возможно, выби- раться так, чтобы получить это предложение. *113-251. F . у х 8eNc‘y хсNc‘8 [*113-25 . *100-3] *113-26. F : р, veNC . g! smn“p . g! sm^“v . э . р хс v = smn“p хс sm^“v Доказательство. F . *37-29 . Transp. dF: Hp.o.glp.glv. [*102-64] э . (ga, 0, y, 8). p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 (1) F . *102-88. э F : p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 . g! smn“p. g! sm^“v. э . smn“p = Nc (i])‘y. sm^“v = Nc (£)‘8 . g! Nc (t|)‘Y • g! Nc (£)‘8 . [*113-221] э . smn“pxcsm^“v = Nc‘(y x 8) (2) F . *37-29 . Transp . *113-221 . z> F: p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 . g! smn“p. g! smf‘v. э . p xc v = Nc‘(y x 8) (3) F . (2). (3). z> F : p = Nc (a)‘y. v = Nc (0)‘8 . g! smn“p. g! smf‘v. э . p xc v = smn “p xc 81Ц ‘ ‘v (4) F . (4). *11-11-35-45 . (1). z> F . Prop *113-261. F : p, veNC . d . p xc v = p(1) xc v(1) = p(Oo) xc v(Oo) = etc . Здесь “etc.” включает все восходящие дериваты р. Мы лишь докажем результат для р^ и v(1), так как он доказывается точно таким же путем для всех остальных случаев. Произведения p(1)xcv(2) или p(1)xcV(oo), или Principia Mathematica II
♦ 113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 161 и т.д., будут подходить в той же степени, т.е. нет необходимости брать те же самые дериваты для р,, что и для v. Доказательство. F. *104-264-265 .и F:Hp.g!p.g!v.D. р(1) = 8ти“р. v(1) = smv“p. g! р(1). g! v(1). [*113-26] э. p xc v = p(1) xc v(1) (1) F. *104-264. *113-204. э F : ~ (g! p. g! v). э . p xc v = A. p(1) xc v(1) = A F . (1) • (2) . D F . Prop Как видно из данного выше доказательства, если р1 и v7 есть любые де- риваты р и v, то приведенное выше предложение имеет место при условии, что мы имеем g! р. g! v . э . g! р1. g! v;. Таким образом, оно имеет место для всех восходящих дериватов, однако не всегда для нисходящих. * 113-27. F . р хс v = v хс р Доказательство. F. *113-2-141 .э F : £ е р хс v. = . (да, 0). р = Noc‘a. v = Noc‘0 . £ sm (0 x a). [*113-2] = .^evxcp:z>F. Prop Заметим, что это предложение не ограничено случаем, в котором р и v кардиналы. Когда один из них или оба не являются кардиналами, то pxcv = A = vxcp. * 113-3. F :. Mult ах. э : kcNc‘0 A Cl‘Nc‘a. d . E‘KeNc‘a xc Nc‘0 Доказательство. F . *112-24 . *113-12 . э F :. Mult ax. g! a . э к e Nc‘0 A Cl‘Nc‘a. d . E‘k sm E‘a ‘0 . [*113-121] D.E‘Ksm0xa. [*113-141-25] э. E‘KeNc‘a xc Nc‘0 (1) F . *113-114-25 . э F : a = A . э . Nc‘a xc Nc‘0 = 0 (2) F . *101-14 . э F :. a = A . кe Nc‘0 A Cl‘Nc‘a . э : ке C1TA : [*60-362] z>: к = i‘A. V . к = A : [*112-3-301] z>:E‘k = A (3) F . (2). (3). *54-102 . э F : a = A . кe Nc‘0 A Cl‘Nc‘a . э . Е‘кe Nc‘a xc Nc‘0 (4) F . (1). (4). э F . Prop * 113-31. F :. Mult ах. э : p, veNC . ке v А СГр . z> . Е‘кер xc v [*113-3] * 113-32. F :. Mult ax. э : p, v e NC . к e v A Cl ехсГр. z> . s‘k e p xc v [*112-15 .*113-31-23] * 113-33. F :. Mult ax. э : p, veNC . кеv А СГр. Хер A Cl‘v. э . ENc‘k = ENc‘X = pxc v [*113-31-27-23] * 113-34. F :. Mult ax. э : p, veNC . Kev A ClехсГр. Хер A ClexcPv. э . Nc‘s‘k = Nc‘.s‘X = p xc v [*113-32-27] Приведенное выше предложение связывает сложение и умножение. Следующие предложения имеют дело с различными формами закона дистрибутивности. А.Н. Уайтхед, В. Рассел
162 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИИ * 113-4. F . (Р U у) х а = (Р х a) U (у х а) Доказательство. F . *113-1 . э h . (Р U у) X а = 5‘а i“(P U у) [*40-31] = s‘a i“P U 5‘a Х“у [*113-1] = (P x а) и (у x a). э F . Prop * 113-401. Ь:рпу = А.э.(Рха)П(уха) = А [*113-19 . Transp] *113-41. F . Nc (p + y) xc Nc‘a = Nc‘{(p + y) x a} = Nc‘{(p x a) + (y x a)} = Nc‘(P x a) +c Nc‘(y x a) Доказательство. F . *113-25 . *110-3 . э F. Nc‘(P x y) xc Nc‘a = Nc‘{(p + y) x a}. Nc‘{(P x a) + (y x a)} = Nc‘(P x a) +c Nc‘(y x a) (1) I-. *113-4 . (*110-01). э F . (p + y) x a = Ц AY“i“p x a) U (Ap |“i“y x a) (2) F . *113-13 . *110-12 . z> F . J, Ay“l“P x asm P x a . Ap |“i“y x asm у x a (3) F . *113-401 . *110-11 . э F . (| AY“i“p x a) П (Ap |“i“y x a) = A (4) F . *110-152 . (2). (3). (4). d h . (P + y) x a sm {(P x a) + (y x a)) (5) F . (1). (5). э F . Prop *113-42. F . (Nc‘P +c Nc‘y) xc Nc‘a = Nc‘(P + y) xc Nc‘a = (Nc‘P xc Nc‘a) +c (Nc‘y xc Nc‘a) [*110-3 .*113-25 .*113-41] *113-421. F . Nc‘a xc (Nc‘P +c Nc‘y) = Nc‘a xc Nc‘(P + y) = (Nc‘a xc Nc‘P) +c (Nc‘a xc Nc‘y) [*113-42-27] *113-43. F . (v +coj) xc p = p xc (v +C(D) = (p xc v) +c (p xc oj) Доказательство. F . *113-27-421 . э F : p, v,шeNC. э . (v +coj) xc p = pxc (v +coj) = (h xc v) +c (h Xc GJ) (1) I-. *113-204 . *110-4 . Э F : ~ (p, v, aj e NC). э . (v +caj) xc p = A. p xc (v +caj) = A. (p xc v) +c (p xc Ш) = A (2) F . (1). (2). э F . Prop Следующие предложения касаются различных форм закона дистрибу- тивности для случая, когда слагаемые не занумерованы, а заданы как эле- менты класса. Первое из них (*113-44) дает закон дистрибутивности в отношении арифметического класс-умножения и логического сложения классов. *113-44. F . (5‘к) х a = $‘(х а)“к Доказательство. F . *113-1 . э F . 5‘(х а)“к= 5‘5“а >1‘“к [*42-1] = 5‘5‘а i“‘K [*40-38] = 5‘а Х“5‘к [*113-1] = (5‘к) х а . э F . Prop Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 163 *113-45. I-: kcCIs2 excl. э. х a“KeCls2excl Доказательство. h . *113-19 . э h : g! х a‘P А х а‘у . э . 3! Р А у (1) F. (1). *84-11 . э h :. Нр . э : Р, у е к. а! х «‘Р А х a‘y. DptY . Р = у . [*30-37] =>p,Y . х a‘P = х a‘y: [*37-63] э : р, о с х а“к. а ’• Р A a. эр>о . р = a (2) F. (2) .*84-11 .oh. Prop *113-46. F : кеCis2excl. э . E‘x a“Ksm (Е‘к) x a Доказательство. F . *112-15 . э F: Hp . э . E‘Ksm s‘k . [*113-13] z>. (E‘k) x asm(s‘k) x a (1) F . *112-15 . *113-45 . э F : Hp . э . E‘x a“Ksm s‘x а“к (2) F. (1). (2). *113-44. z>F. Prop *113-47. I-: кe Cis2 excl. э . E Nc‘x а“к = Nc‘{(S‘k) x a] = E Nc‘k xc Nc‘a Это предложение есть закон дистрибутивности для арифметического умножения и арифметического сложения того же самого вида, который был определен в *112. *113-48. F . s‘a х“к= а х$‘к= Спу“{($‘к) х а} Доказательство. F . *113-14 . э F . s‘a х“к = .y‘Cnv‘“x а“к [*40-38] = Cnv“s‘x а“к [*113-44] = Cnv“{(s‘K) х а} (1) [*113-14] =аХ5‘к (2) F . (1). (2). э F . Prop *113-49. F : к e Cis2 excl. d . E‘a xuKsm a x (E‘k) Доказательство. F . *113-14 . э F . a х“к = Cnv‘“x а“к (1) F. (1). *113-45 . *72-11 . *84-53 . z> F : Hp . □ . а х“ке Cis2excl. [*112-15] э . E‘a x“Ksm s'a x“k . [*113-48] э . E‘a x“Ksma x (s‘k) . [*112-15 . *113-13] d . E‘a x“Ksm a x (E‘k) : z> F . Prop *113-491. F : кe Cis2excl. э. E Nc‘a x“k = Nc‘(a xE‘k) = Nc‘a xc E Nc‘k [*113-49-25] Следующие предложения касаются закона ассоциативности для ариф- метического умножения. *113-5. F . (у х Р) х a = R {(ах, у, z). х е a . у е р . z с у. R = х J, (у И)} Доказательство. F. *113-101 .э F . (у х Р) х a = R {(ах, Р). х е a . Р е (у х Р). R = х J, Р} [*113-101] = R {(ax,y,z) .xea.yep.zey.7? = xJ,(yJ,z)}.Dl-. Prop А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
164 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *113-51. h . (а х Р) х у sm а х (Р х у) Доказательство. h . *113-141 . э h . а х (Р X у) sm (Р х у) X а (1) h . *113-5 . э h . (а х Р) х у = R {(gx,y, z).xea.y6p.z6y.7? = ziCyix)}. (Рху)ха = Р{(дх,у,г).хеа.уер.геу.Р = хНгО)}- (2) I-. (2). э F : T = RP{(sx,y,z) .хеа.уер.геу.Л = г1.(у1,х).Р = х1(у],г)).э. ТУТ = (ax P) x у. (ГТ = (₽ x y) x a (3) I-. *21-33 . э I-: Hp (3). RTP. RTQ. => (gx.x'.y.y'.z.z'). x, Уеа.у.у'ер . z,z' ey .R = zi(y J,x) = z' 1(У IO . P = xl(zly).Q = x' I/). [*55-202] z>.P = Q (4) Аналогично F : Hp (3). RTP. QTP. э . R = Q (5) F . (3). (4). (5). z> F. (a X P) x у sm (P x y) x a (6) F . (1). (6). z>F . Prop *113-511. ах0ху = (ах0)ху Df *113-52. F . (Nc‘axc Nc‘P) xc Nc‘y = Nc‘(a x p x y) [*113-25] *113-53. F. (Nc‘a xc Nc‘P) xc Nc‘y = Nc‘a xc (Nc‘p xc Nc‘y) Доказательство. F . *113-52-51 . э F . (Nc‘a xc Nc‘P) xc Nc‘y = Nc‘{a x (P x y)J [*113-25] = Nc‘a xc (Nc‘P xc Nc‘y). d F. Prop *113-531. F. (Noc‘a xc Noc‘P) xc Noc‘y = Noc‘a xc (Nqc‘P xc Noc‘y) [*113-53 . (*113-04-05)] *113-54. F.(pxcv)xcco = pxc(vxcco) Доказательство. F. *113-531 .*103-2 .z> F : p, v, co eNqC . э. (цхсу)хсш = цхс (vxcco) (1) F . *113-204 . => F : ~ (p, v, co e NoC). z>. (p xc v) xc co = A. p xc (v xc co) = A (2) F. (1). (2). э F . Prop *113-541. pxcvxcco = (pxcv)xcco Df *113-6. F.Nc‘axc0 = 0 Доказательство. F . *113-25 . *101-1 . э F. Nc‘a xc 0 = Nc‘(a x A) [*113-114 .*101-1] = 0.z>F.Prop *113-601. F : p e NC - i‘A . э . p xc 0 = 0 Доказательство. F . *113-26 . F: Hp. d . (ga). p = Noc‘a (1) F . *101-11-13 . *103-27 . э F . 0 = Noc‘A (2) F . (1). (2). z> F: Hp. z>. (ga). p xc 0 = Noc‘a xc Noc‘A [*113-222] = Nc‘(axA) [*113-114 .*101-1] = 0:z>F.Prop Principia Mathematica II
*113. ОБ АРИФМЕТИЧЕСКОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ ДВУХ КЛАССОВ ИЛИ ДВУХ КАРДИНАЛОВ 165 *113-602. F р, хс v = 0. = : р, v с NC -i‘A:p = 0.V.v = 0 Доказательство. F . *113-203 . *101-12 . э F : р, хс v = 0. э . р,, veNC - i‘A (1) F. (1). *113-201 . э F :: p xc v = 0 . z>£ e0. : (ga, 0). a e p . 0 e v . £ sm (a x 0) [*54-102] э = A . : (ga, 0). aep . 0ev . i-sm (a x 0) [*10-1 . *13-15] э (ga, 0). a e p. 0 e v . A sm (a x 0) [*73-47] d (ga, 0). a e p. 0 e v . a x 0 = A [*113-114] э (ga, 0). aep. 0ev: a = A . V . 0 = A [*13-195] э Aep. V . Aev [(1). *100-45] э p = Nc‘A . V . v = Nc‘A [*101-1] D:.p = 0.V.v = 0 (2) I-. *113-601-27 . э F p, v e NC - i‘A : p = 0 . V . v = 0 : z>. p xc v = 0 (3) F . (1). (3). э F . Prop Следующие предложения касаются умножения на единичный класс, 1 или 2. * 113-61. F . Cz х а = J,z“a Доказательство. F . *113-1 . э F . l‘z х a = s‘a [*53-31-02] =ai‘z [*38-2] = 1 z“a , □ F . Prop * 113-611. F . i‘z x a sm a [*113-61 . *73-611] * 113-612. F . a x i‘z sm a [*113-611-141] * 113-62. F . Nc‘a xc 1 = Nc‘a Доказательство. F . *101-2 . э F . Nc‘a xc 1 = Nc‘a xc Nc‘i‘z [*113-25] =Nc‘(axi‘z) [*113-612] = Nc‘a . э F . Prop * 113-621. F : peNC . э . pxc 1 = sm“p Доказательство. F. *113-204 .z>F:p = A.D.pxcl=A [*37-29] = sm“p (1) F . *103-26 . z>F:Hp.aep.o.p = Noc‘a . (2) [(*113-04)] э . p xc 1 = Nc‘a xc 1 [*113-62] =Nc‘a [*103-4 . (2)] = sm“p F . (2). *10-11-23-35 . э F : Hp . g! p. э . p xc 1 = sm“p (4) F . (1). (4). э F . Prop Заметим, что если p типово определенный кардинал, то sm“p представ- ляет собой тот же самый кардинал, которому придана типовая неопре- деленность; в то время как если р является типово неопределенным, то p = sm“p в пределах каждого типа. А. Н. Уайтхед , Б. Рассел
166 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ *113-63. hz~€a.34z“a sm В“€д‘(ь‘а U l‘i‘z) Доказательство. F . *113-152 . э F: Hp . э . В“ед‘(1‘а U i‘i‘z) sm a x l‘z (1) I- . (1). *113-61-141 .oh. Prop *113-64. F . J, z“a x J, z“P sm a x [3 . J, z“a x J, z“P sm J,z“(a x P) Доказательство. F. *73-611 .*113-13 . dF.| z“axh“p sma xp (1) F . (1). *73-611 . э F . i z“a x J, z“P sm J, z“(a x P) (2) F . (1). (2). э F . Prop * 113-65. F . J, z“a x J, z“P = (J, z 11 Cnv‘J, z)“(a x P) Доказательство. F . *72-184 . *55-21 . э F . | z e 1 -> 1. a с CT J, z. P с СД z. [*113-126] э F . J, z“a x | z“P = (| z 11 Cnv‘J, z)“(a x P). d F . Prop * 113-66. F . p xc 2 = p +c p Доказательство. F . *110-643 . z> F . p xc 2 = p xc (1 +c 1) [*113-43] = (p xc 1) +c (p xc 1) (1) F. (1). z> F p = Noc‘a . э . p xc 2 = (Noc‘a xc 1) +c (Noc‘a xc 1) [*113-62 . (*113-04)] = Nc‘a +c Nc‘a [*110-3] = p+cp (2) F. (2). *103-2 . z> F : p e NqC . z> . p xc 2 = p +c p (3) F . *113-205 . *110-4 . э F : p ~ eNqC . э . p xc 2 = A. p +c p = A (4) F . (3). (4). э F . Prop * 113-67. F . Nc‘a xc Nc‘(P + i‘y) = (Nc‘a xc Nc‘P) +c Nc Nc‘a Доказательство. F. *113-421 .*101-2 .э F . Nc‘a xc Nc‘(P + i‘y) = (Nc‘a xc Nc‘P) +c (Nc‘a xc 1) [*113-62] = (Nc‘a xc Nc‘P) +c Nc‘a . э F . Prop * 113-671. F . p xc (v +Д) = (p xc v) +c p [*113-67-205 . *110-4] Principia Mathematica II
*114. АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ КЛАССА КЛАССОВ 167 *114. Арифметическое произведение класса классов Краткое содержание *114- Тот вид умножения, который был определен в *113, не может быть рас- пространен за пределы конечного числа множителей. Мы поэтому, как и в случае сложения, вводим другое определение, определяющее произведе- ние чисел класса классов и способное применяться к бесконечному числу множителей. Мы определяем произведение чисел элементов к как 1Мс‘бд‘к; поэтому мы полагаем IINc‘k = Nc‘6a‘k Df. Следует заметить, что IINc‘k не является функцией Nc“k, поскольку если два элемента к имеют то же самое число, то оно будет подсчитываться лишь однажды в Nc“k, однако в IINc‘k оно будет подсчитываться дважды. Нетрудно видеть, что в случае, когда к конечен, 1Мс‘ед‘к будет тем, что мы обычно будем рассматривать как произведение чисел элементов к. Предположим (например) K = i‘aU t‘P U t‘y, где a/p.a/y.p/y. Тогда 6A‘K = fl{(ax,y,z)./? = xJ,aUyJ,pUzJ,Y.xea.yep.z6Y}. Таким образом, если R есть элемент бд‘к, то R определяет, когда х, у, z даны, что х, у, z являются референтами по отношению к a, Р, у- Незави- симо от того, пересекаются ли a, Р, у или нет, выбор некоторого одного х, у, z полностью независим от выбора двух остальных, и вследствие этого общее число возможных выборок, очевидно, представляет собой произве- дение чисел a, Р, у. Таким образом, наше определение не будет вступать в конфликт с тем, что обычно понимается под произведением. Предложения этого параграфа менее многочисленны и и не столь важ- ны, чем таковые из *113. Сначала мы будем иметь дело с произведениями одного множителя и произведениями, в которых один множитель есть нуль (*114-2—27). Затем мы будем иметь дело (*114-3—36) с отношениями меж- ду тем видом умножения, который определен здесь, и видом умножения, определенным в *113. Далее мы имеем несколько предложений (*114-4—43), показывающих, что единичный множитель не оказывает влияния на значе- ние произведения. Далее мы доказываем (*114-5—52), что значение произ- ведения является тем же самым для двух классов, обладающих двойным подобием, и затем (*114-53—571) мы предлагаем расширения этого резуль- тата, которые зависят от аксиомы умножения. И, наконец, мы предлагаем несколько новых форм закона ассоциативности умножения. Среди наиболее важных предложений этого параграфа можно отметить следующие: *114-21. h . П Nc‘i‘a = Nc‘a Т.е. произведение одного множителя равно этому множителю. *114-23. h : А е к. э . П Nc‘k = О Т.е. произведение равно нулю, если один из сомножителей нуль. Обрат- ное требует аксиомы умножения, как явствует из предложения А.Н. Уайтхед, Б. Рассел
168 ГЛАВА 2. СЛОЖЕНИЕ, УМНОЖЕНИЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЦИЯ * 114-26. h Mult ах. = : П Nc‘k = 0. =к . А е. к Т.е. аксиома умножения эквивалентна предположению, что произведе- ние равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей нуль. *114-301. h : кП Х = А. э . ед‘(ки к)зтед‘кх €Д‘Х откуда * 114-31. 1-:кПХ = А.э.П Nc‘k хс П Nc‘X = П Nc‘(k U к) которое представляет собой одну из форм закона ассоциативности, и * 114-35. F : а 0 . э . П Nc‘(l‘« U i‘0) = Nc‘a хс Nc‘0 которое связывает два вида умножения. * 114-41. h : X с 1. э . П Nc‘(k U X) = П Nc‘k Т.е. единичный множитель не влияет на значение произведения. * 114-51. h : Т [ s‘Xck sm sm X. э . (Т || Те) [ бд‘Хе(бд‘к) sm (ед‘к) Это предложение дает коррелятор ед‘к и ед‘Х как функцию двойного коррелятора кики поэтому приводит к * 114-52. h : кsms