?ЛИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОЬРАЭОЗАЖЫ РСйСР
Ленинградский ордена Ленина
и ордена Трудового Красного Знамени
государственный университет имени А.А.Еданова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ ПО КУРСУ
"ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ТУ семестр
Отсканировано и переведено в DjVu: Ульянов Павел
HTTP://FIZIK.SPB.RU
Ленинград 1987

утверждено на заседании кафедры
высшей математики и математической физики
в качестве методических указаний
Настоящий выпуск является четвертой частью методических ука-
заний к практическим занятиям по курсу "ВЫсшая математика". Пер-
вая часть вышла в 1980 г., вторая - в 1981 г., третья - в 1984 г.
Этот выпуск содержит изучаемые в четвертом оеместре темы высшей
математики: ряды Фурье и интеграл Фурье; задача Штурма-Лиувилля;
вариационное исчисление. указано примерное число занятий, отводи-
мое на каждую тему. Ряд задач снабжен подробными решениями. Для
всех задач даны ответы.
Как и в третьем выпуске, в начале каждого параграфа приводят-
ся основные положения и формулы, которые используются при решении
задач. Часть задач по теме "Ряды Фурье и интеграл Фурье" взяты из
известного задачника Б.П.Демидовича. Часть задач по теме "Вариа-
ционное исчисление" взята из известного задачника Н.М.Гюнтера и
Р.0.Кузьмина (Часть Ш). Номера таких задач приводятся в скобках.
Составители: Е.Е.Лемехов, А.Н.Попов, Н.В.Смирнов
МИНИСТЕРСТВО ВЮШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
Ленинградский ордена Ленина
и ордена Трудового Красного Знамени
государственник университет имени А.А.Еданова
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ
по курсу "ВОСШАЯ МАТЕМАТИКА"
ГУ семестр
Тема I. РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ (4 занятия)
§ I. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РОДЫ ФУРЬЕ НА РАЗЛИЧНЫХ ПРОМЕЖУТКАХ
Бесконечная система функций
{|.с°>-“г-^тг},.”	<»
определена на всей оси, ортогональна как на промежутке [-!!,(!], так
и на любом промежутке длины 2С . Система (I) замкнута в классе
функций, удовлетворяющих условиям Дирихле (функции кусочно-непре-
рывны и кусочно-монотонны), так что для любой функции f (X), оп-
ределенной на промежутке [-Е , Е] и удовлетворяющей условиям
Дирихле, имеет место уравнение замкнутости
fc	2	«*>
где	(3)
- коэффициенты Фурье функции f ( X) по системе (I).
Любая функция j (X ), удовлетворяющая условиям Дирихле, пред-
ставима рядом Фурье по системе (I)
оо
' #*) = т’+ уо'"Соъй?+	• (4)
Сумма S ( X ) ряда Фурье ялвяется йЕ-периодичвской Функцией,
определенной на всей оси, и дает 2(!-периодическое продолжение фун-
кции f (X ) на всю ось. Если в точке Хо функция f ( X ) непрерыв-
на, то $ (Хо) = f ( х„). Если точка Хв является точкой разрыва
Функции f (X ), то Д( Хс) = |{Д(х.-о) 4 f(xe-*oj). Если функция
J(X) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и на
концах промежутка принимает равгше значения, то ряд Фурье сходит-
ся равномерно на всей оси.
- 2 -
б)
в)
О при Xe(-ir.c) t
I при Хв(о.зг)
с периодом, равным 2:
Задача I. а) Функцию f (*) - {
разложить в ряд Фурье
Используя полученное разложение, найти сумму ряда
Лейбница У~
КД
Написать уравнение замкнутости для данной функции и
найти сумму ряда Ц	•
а) Применяя формулы (3) при & =ЗГ , подучим коэф-
П — — I ( Гл» «V? rfv — i. (	Л>. — -Хм СыиуГ'1.. ГЛ тттчтх
Решение. а) Применяя формулы (3) при с =*% , подучим коэф-
фициенты Фурье ол = cosnx «6< =}Ц соляхclxr ^Siniv;£= 0 при
гъ Ф С; С1л — j ^604х = Л| Jx = I; &я = л* । $*ялХ Jji = —: f S>n/ dX =
=	• Откуда = 0,	. где KtN. Теперь, ис-
пользуя формулу (4), получил искомое разложение | ( X ) = i- +
+ х	Согласно теореме Дирихле, этот рад сходится в
каждой точке промежутка f-ir, rj , причем при Хс(-Д.о) его сум-
ма равна нулю, при У с (0,-Jr) сумма ряда равна единице и в точках
X = О, X = -Jr, X = Л сумма ряда равна 1/2. Ъне промежутка
[-5Г,7Г1 сумма />(Х) этого ряда дает 27Г-периодическое продол-
жение функции / ( X ) на всю числовую ось и представляет собой
функцию
f О ПРИ f2n-i)3T < X < 2пИ ,
/S(X) = < L ПРИ 2»F<x<(2n+')3’’,
I 1/2 при X = пЛГ , где П- е
График этой Функции изображен на рио.1.
б) Ряда Фурье можно использовать доя нахождения сумм различных
числовых рядов. Чтобы най-
ти сумму ряда Лейбница,
	___ рассмотрим полученное раз-
,,	, в , ложение при X = 2J/2, что
______\	.1	..	,* «ает 1 = !/2 +	> J
-ад -тг	о	зг	ыг	ас х Откуда следует У~ 3
Рис.1	="1>/4.
в) Для того чтобы написать
„	уравнение замкнутости (2),
вычислим интеграл ±	1	Следовательно, уравнение
зашщутости имеет вад* 1=1/2+	• Откуда следует
Задача 2 (2938). функцию f (X) = 5^п.У разложить в ряд Фурье с
прсмекутке (~Л",тг).
Ответ:	«>о	f -I при (Тп-4)Я'<хх2лзг,
‘ М	( I при 2к#Г<Х<(®'>+1)т» rA* Л<
Задача 3 (2943). функцию И* ) =J°X щи <Х£° »
1(х при	(а £8)
разложить в ряд Фурье на промежутке (-к.х).
С. . Г t <Х )
{a(x-ZnJT) при (2л - I)ir<x < 2п1Г,
Я(Х-2пК) при 2лЛГ <	(2п. + 1)*Г,
i(/-&)ir при X ® (2ft + I)dr , где ле 'Z.,
Задача 4. функцию f (X) =•] °, п®и $ 0.
I &л*Х при О СХ<9Г
разложить в ряд Фурье на промежутке (-ST, Я").
Решение. Используя формулу (3) при I =# , подучим коэффици-
енты Фурье данной функции: a« = jT#H<>w»x4x =	°
при л $ 0 и М 2; °, =	= 1/2; А* «=
= - 1/4;	= ^-Лл^ЯопХ^Х	®
J 0 при л = 2К , но л 2,
I	™ Ле 2« * I <K*N>-
6г= 4( S:P\ Su.2/<(х = 0. Следовательно, искомый ряд имеет вид
4(X)-V4-V4®^X-|g73^^snT =
О
S^'fX-Znr)
при (2a- 1)^Г4Х <2п 5Г,
при 2ьЗГ	(2л + 1)Л .
График суммы этого ряда
изображен на рис.2 и пред-
ставляет собой непрерывную
кривую.
Замечание. Ряды Фурье
являются функциональными
рядами, вследствие чего
для них справедливы все по-
ложения, имеющие место для функциональных рядов. В частности, ес-
- 4 -
ли члены функционального ряда есть функции непрерывные (что имеет
место для системы (I)), и ряд сходятся равномерно, тс сумма ряда
есть функция непрерывная. Равномерная сходимость полученного ряда
вытакАет из положений, приведенных в начале данного параграфа
(функция непрерывно дифференцируемая и на концах промедутгса при-
нимает равные значения). В равномерной сходимости построенного ря-
да можно убедиться непосредственно при помощи признака Вейерштрас-
са, так как при 2 для общего члена ряда имеет место оценка
I Sy (g<4>X I г J____________
|(2K-3)(2K-U(ZK+f) I * (2К-ЗР
Задача 5. а) функцию f(X ) = | XI разложить в ряд Фурье на про-
межутке (-7Г .‘ЗГ).
б) Написать уравнение замкнутости и найти сутолу ряда
(Ztc-tf1
в) Получить разложение функции (Х| в ряд Фурье при по-
мощи интегрирования ряда Фурье функции Sjn X (см.
задачу 2).
Решение, а) Так как функция f (X) - | X | четная, то из формул
(3) следует 8п. = 0, dn = у-f’lxiсллхЛ» =£fxcosnx& = —
О пл ( 0 при R. = 2К , но л- f О,
" ж' = tfc? Л 53 2 К “ 1	•
х I Их =	= ЭГ . Итак, искомое разложение имеет вид
'*	°	ivi _ зг 4 г2 a>4(*<-iJx
1 А| “ i ~ -к	•
и	График суммы этого ряда
_	.	z. изображен на рио.З.
/	'ч / \ б) ^Вычислим интеграл
\/	-М ixfdx =!№. Напишем
—...........ЗК------>-----------1---JTijr	5	,
-2F -г о д л» ад X уравнение замкнутости (2)
Рис.З	У ' г Ь	’
откудамедует	=
в) Для любой функции f (X ), интегрируемой на промежутке (-[,”),
ее ряд Фурье (4) можно интегрировать почленно как по промежутку
так и по любой его части, независимо от того, сходится
ряд Фурье или нет.	р» ,
Обратимся к формуле = jfz_ 2ц-1	(ом-задачу Z)» имел»-
щей моего при х € (-47,1"). Возьмем любое Хе (-тг/тг) и рассмот-
- 5 -
рим интеграл fs«i.x<Jx = /	*	’ еслп	® I	=	|х|.	Поэтому,	интег-
о ’	I	-X	. если	X < О J
рируя ряд функция Sjjn. х , получим 1*1= 5*г 7" J	^*i =
_	AV	£saU*f->>»|x	<< / г	СбЯгк-оГ	» »	\_	4	y-L	_
4^	(гк-1)1 10	“^^КЧ	В*-Ч£	fe7<»«-OV
-Л> CsiUfcLl-X. Но 2 ,-»" .л = г (см.задачу 1,в), поэто-
ЗГ L— (2к-1,г-	fcr «к-'Г О
му получаем | Х| = ~ _ дкЛр^' • что С0БПаДает 0 РЗДОМ. по-
лученным путем непосредственного разложения функции |Х| в ряд Фу-
рье на промежутке [ -Эг, л].
Задача 6. функцию j (X ) = X разложить в ряд Фурье на промежут-
ке (-£,£) „и, используя уравнение замкнутости, найти
сумму ряда Z 1/пя •
л-1
Решение. Так как фунвди^ { (X) = X нечетная, то из формул (3)
следует «V = 0, 6„ = Sin	. Следовательно,
при Хе (-£,£) справедливо разложение	tn •
«*• Л
В точках х = + £ сумма
ряда равна нулю. Сумма по-
лученного ряда является zi-
периодаческой функцией,гра-
фик которой изображен на
рио.4.
Чтобы написать уравне-
ние замкнутости^Сй), вычис-
лим интеграл j /dx= £г .	Рис.4
Следовательно, уравнение замкнутости имеет вид |
~ ’ .1*
' 6 *
функцию f (х ) s к разложить в ряд Фурье на проме-
жутке (-6,6).

Задача 7. а)
б)	Используя полученное разложение, найти сумму ряда
) С-'Г'
г., П1
в)	Написать уравнение замкнутости и найти сумму ряда
S'’-
г)	Найти разложение функции X на промежутке (-£ ,С )
при помощи интегрирования ряда функции X на проме-
жутке (-Е,Е) (см. задачу 6).	«,	,
Ответы: а) и г)	; б)Г~М => — ;
51 Ь	far»*1 iZ
Задача 8. а) Функцию f (X ) = X разложить в ряд Фурье на про-
межутке (-М). „	,
б) Найти сумму ряда £_	•
в) Найти разложение функции X3 на промеяутке (- С, 2 )
при помощи почленного интегрирования ряда функции Xz
на промежутке (-£,£) (см.задачу 7), используя раз-
ложение функции X (ом.задачу 6).
Ответы: a) ив) X5 = ~ I & Т *5® *6 МЛ),
rt) > 1-12________________и’
« tw-,p -	"
Задача 9 (2948). Функции £(*)•=€ разложить в ряд Фурье на про-
меяутке (- h., h.) .
Ответ: ev=	- лХЗь,**} при
* С (— k , К ) л
Задача 10 (2954). Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
f ( X ) и аях-Sir ( CoS х) .
Решение. Функция J (х ) = о,гс5^{слх) - четная и 21-периодическая
(см. график на рис.5). Откуда следует в^= 0, * „ s *
0^ = 1 СтсХп(мх)c»snx dx = Га!с$:«|(с«*х) sjn«ч< | 4. j $<nnx jy-i1 dx]
т	Рис.5
£ У" Саь(Тк-|)Х = Г
Я" *— (2к.<)»	= 1
к*<	*
о f X	.
= 5К J,s"nx 4 =
= ^г(1-(-1Г) -
J0 при л = 2к и nf О,
= i Ч
I -----г? при п - 2К- I
1 31(2К-1)*
Q,= |*ак5ч)(Са«х) dx =
“ я П = °’ Итак-
% - (X - 2пЗГ) при 2пХ* * 5 (2*+ 1)'л,
X - (2а - 1)яг -f при (2и-DJTixi2пзг(л€?).
Задача II (2952). Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
j (х ) w Sjjh(Cobx).
Ответ:	У~-~t—Са5(:«-<)*	цри х + (2к - I)®
(кх? ). При “”х а (2К - I) сумма ряда равна нулю.
Задача 12 (2941). Функции ) (х ) = разложить в ряд на про-
ме:^тке (0,2 ?i).
- 7 -
Решение. Так как функция j ( х ) определена не на промезутке (-л ,з>)
то продолжим данную функцию йк-периодическя на всю числовую ось
следующим образом: f, ( х ) =	цри 2лДГ <Х < 2 (rv + 1)71
( п. 6 "2 ). График функции f, lx)
изображен на рис.6. На проме-
жутке (0.27Г) ^,(х ) = |(Х ),
так что разложение функции
( х ) в ряд Фурье одновремен-
но будет являться разложением
в ряд Фурье функции f (х ) на
промежутке (0.27Г). функция
),(Х ) является нечетной фун-
Рио.б
кцией, так что все аЛ= О.Вы- *
ЧИСЛИМ Йв= SUhX dx = iji.frlSmxdx = ffr)Sinnx dx =
= — ) Sunny dy = £. Итак, }, ( x ) = z__	, что совпада-
ет о"функцией j (х) на промежутке (0.27Г)”. В точках X = n3t(neZ)
сумма ряда равна нулю.
Задача 13 ( 2949). функцию f (х ) = х разложить в ряд фурье на про-
межутке (а, а. + 2t).
Решение. Продолжим фу: килю И * ) 2 £ -периодически г.а вою ось сле-
дующим образом: J, (X ) = X - 22* при а <- 2£к< х< а + й£ (K+I)
( Ке2). На промежутке (О-, а + 2£ ) £(хр = f (X). Построим ряд
Фурье функции it (X ). Рассмотрим а, = Cos^^-Jx . Так как
функция /. (х ) 2 £-периодическая, и так как вое функции системы
(I) также 2£ -периодические, то подынтегральная функция в этом ин-
теграле является 2£-периодической. Поэтому интеграл можно брать
по любому промежутку, длина которого равна 2£ . Возьмем в качестве
про: ечутка интегрирования промежуток (CL, Q + 20 ), так что Q» =
= ГЦС«)СО&	= i[Xfdx .
при n. 4= 0; о„ = gJti,o,)d* =	=^fxJx = 2(a+(L); 6Л =
= еS;n T-X= е I*** с« % • Итак, f, ( х ) =
= (о+^) +	(о+£) +
+ ZT К. 1£>. В точках Хк = q + 2ti< сумма этого рада
равна "Со + С). На промежутке (а, а + 2l) Ь(х ) = -f (х ), так
что полученное разложение является искомым.
Замечание В задачах 12 и 13 при вычислении коэффициентов
о _
Фурье интегралы браляоь по тем промежуткам, на которых были опре-
делены заданные функции. Поэтому для построения ряда Фурье функции
на данном промежутке нет необходимости писать в явном виде продол-
жение этой функции на вою числовую ось.
Задач» 14. Функцию f(x) = x\a-X) разложить в ряд Фурье на
промежутке [о, О-J.^
п	1/„\	о* Г 1 Гл. ЪтЯц	V I С. 2»Г|Х
Ответ: / (X ) = — - -tC°s	s-~.
.	J	г ПРИ О 4Х < X,
задш.££- функцию Н* ) = ( I + Со>| при зг < Л < ж
разложить в ряд Фурье на промежутке [о. 2 xrrj.
< .	. I Ч V Со»Р'»-|) л д. JL У* St«<2»t-i>»
Ответ:	} = г ~ (^к-здлк-i) х /-.(«m-sjf'u-zx<!•«-)
Для самостоятельной работы дополнительно рекомендуются зада-
чи Л 2944, 2945, 2946, 2950, 2951, 2953, 2955, 2956, 2964.
§ 2. РЛЙЛОЯИИИ ФУНКЦИЙ В ради, СОДЕРЖАЩИЕ ТОЛЬКО
КОСЖУСЫ или только СИНУСЫ
Воли функция f (X ) определена на некотором промежутке и тре-
буется построить ее ряд Фурье на этом промежутке, причем не ставит-
ся условие о длине периода суммы ряда, то таких разложений можно
построить бесконечное множество. В § I строился рвд Фурье функции
j (Л), у которого сумма ряда имела период, равный длине промежут-
ка, на котором определена функция. Но можно построить ряд Фурье
функции J- (X ), оутлма которого будет иметь любой период Т , боль-
ший, чем длина данного промежутка. Для этого надо продолжить фун-
кцию f (X ) произвольным образом на промежуток дайны Т , содержа-
щий в себе данный промежуток, с единственным условием, что про-
долженная функция должна удовлетворять условиям Дирихле. Это поло-
жение можно использовать дал построения ряда Фурье, содержащего
только члены о косинусами или только члены о синусами, а также
ряды, содержащие члены только о синусами или косинусами углов не-
четных кратностей.
Так как разложения, содержащие только синусы или только ко-
синусы, могут иметь различные периоды, то в нижеследующих задачах
ставится условие, что период рь’ложеная должен быть наиызяызим из
всех водаоянчх, п*и котором ышолннется условие задачи.
- 9 -
Если функция определена на промежутке (-(?,€) и является не-
четной, т.е.|(-х)=-)й . то из формул (3) следует
- Qh = ОД-Jx	(5)
n 	» t	е /е'	£.
в этом случае ряд Фурье содержит члены только с синусами. Если
функция J- (х ) четная, т.е. f(-x) = f(X), то
L = О, Qn = у- А<х)Со»	= I J° {W Jx	<е)
to	v	-C.	v
и РЯД Фурье содержит члены только с косинусами.
Задача К. Функцию f (X ) <= X (2 -X), определенную на промежутке
[о,2], разложить в ряд Фурье, содержащий только члены
с синусами.
Решение. Продолжим функцию | (х) на промежуток [-2,oJ нечетным
образом (см.рис.7). Используя форму-
лу (5), получим
8ft = I jx(2 -X)Jx^(I -(-I) )%=
( 0	при	rt = 2K ,
= \	32
I	J?»	n=2K-I.
Итак, X (2 -X ) = Г.Sv?-——
при Xe[0,2J.
Рио.7
Заметим, что построенный ряд
сходится равномерно на всей оси, его
-3-2-1 О I Zb
Phc.8
сумма есть функция непрерывная з представляет собой продолжение
функции,	изображенной	на	рис.7, на	всю	ось с периодом,	равным 4.
Задача	17.	/	I,	если	0 <Xi	1,
Функцию	j(X)	=	<	2 -	X,	если	I £х «	2,
(,	0,	если	2 4 х <	3
разложить в ряд Фурье, содержаний только косинусы.
Рещение. Продолжим функцию И*),
определенную на промежутке (0,3),
четным образом на промежуток
(-3,0) (см.рис.8). Па основании
формул (6), получим
а„ = р<«) со» «А* а> = | j cos +
+ з )(2- dx - z Sin 6 a
f 0 при n. г- 2K , нс a f 0,
= •)	<•	= ±2_______
13Г*(2к-|)1 1П ' ь	Л1!»-!-.)»
Gss	дри ft =o 2 К - I (

' - * “I0~
a.= jJ«x)4x = ffdx+ f f(2-x)dx= I.
Итак, Их ) = i	приХ£[о,з].
Построенный ряд сходится равномерно на всей оои, его сумма есть
функция непрерывная и дает продолжение функции, изображенной на
рис.8, на вся ооь с периодом, равным 6.
Замечание. В задачах 16 и 17 функция f(х ) продолжалась соответст-
вующим образом, но при вычислении коэффициентов ряда Фурье аналити-
ческое выражение продолжения нигде не использовалось. Поэтому нет
необходимости искать продолжение функции в явном виде.
Задача 18. Функцию f (X ) = X* разложить на промежутке (О.ЗГ) в
ряд по косинусам.
О т в е т: X3 =-^ + 67Г J^^Cosnx + Е	при Xefb.j],
Задача 19. Функцию f (X ) =5in.X разложить на промежутке fo.Ji] в
рад по косинусам.
Ответ: ЛпХ = ~ - уЕу^гг при х« [°’’г]-
Задача 20. функцию f (X ) = х2(а-Х) разложить на промежутке (0,а)
в рад по косинусам.
Задача 21. Функцию $ (х) = X(а-х) разложить на промежутке (0,0.)
в рад по синуоам.
Ответ: Х>х).
Задача 22. Функцию f (х) = xtoix разложить на промежутке (0, f )
в ряд по синуоам.
Ответ: XCosx • — Е SCn 2г>х 11511 Хе[о, 7].
Задача 23. Функцию $ (х) = Sinox где CL - не целое, разложить
на промежутке (0,7Г) в рад по синуоам.
О т в е т: .5<лах= ^-StncJr	п₽и X е (-1','JT).
Задача 24. функция f (х) определена на промежутке (0,^ ). Как
продолжить эту функцию на промежуток (-2С , 2^), что-
бы ее разложение в этом промежутке имело вид
а) Нх) = E<4k-. Cosf*^	(7)
б) f(X) =	(8)
Найти формулы вычисления коэффициентов 0^.,	.
- II -
Решение, а) Если Функцию } (х) продолжить четным образом на про-
межуток (-2, 0), то продолженная функция будет раскладываться в
ряд, содержащий только косинусы. Но по условию задачи ряд должен
содержать косинусы углов только нечетной кратности, поэтому тако-
го продолжения мало. Продолжим каким-либо способом данную функцию
на промежуток ( 2 , 2Й ), а затем, имея функцию на промежутке
(0, 2Ё.), продолжим ее четным образом на промежуток (-2Е , 0).
Чтобы выяснить, каким образом нужно продолжить функцию f (х) на
промежуток (К, 2^), рассмотрим коэффициент а« = J <-<«; с«>	=
=	Обратимся ко второму интег-
ралу и сделаем в нём замену переменной, положив 2t -X =t, тогда
fwCos^dx = |«2e-t)Cosn--^’
Для того чтобы ряд содержал члены только о
углов нечетных кратностей, нужно чтобы вое ам - 0.
- (~ Jt) = J f(Zl-OCos ~ Cosrjrdt =
. Следовательно, j^M+i-i^e-x)}»
косинусами
Для этого до-
Рис.9
статочно чтобы выполнялось равен-
ство { (22 - х) = - f (X). Это
значит, что на промежутке (0,2 2)
функция f (х) должна быть нечет-
ной относительно точки X = L
(рис.9). Считая, что именно такое
продолжение (функции было сделано,
получим £
0^=0,	’ I pWCos d X, (9)
что и дает коэффициенты ряда (7).
б) Если функция f (х) нечетна на промежутке (-йЕ, йЕ), то ана-
логично можно показать, что ряд Фурье будет содержать синусы углов
только нечетных кратностей тогда, когда на промежутке (0,2 Е ) фун-
кция j (х) будет удовлетворять условию J(2f-X ) = j (х), т.е.
функция должна быть четной относительно точки X » Е на промелут-
ке (0,2 Е ). В таком случае
I
82к = о, EiK.,= fр(х)5гп^^ах ,	(Ю)
что и дает коэффициенты ряда (8).
Замечание. Для вычисления коэффициентов рядов (7) и (8) не
надо знать явные выражения продолжения функции i(X).
- 12 -
Задача 25. Функцию f (X) = X1- бх , определенную на промежутке
(0,3), разложить в ряд Фурье по синусам углов нечетных
кратностей.
Решение. Продолжим функцию j W на промежуток (3,6) так, что на
промежутке (0,6) фукпия будет четной относительно точки X = 3.
Затем продолжим полученную Функцию на про-
межуток (-6,0) нечетным образом (рис. 10).
Построенная таким образом функция предста-
вима рядом (8), содержащим только члены о
синусами углов нечетных кратностей f(X) =
= 23	. где определяет-
ся формулой (10), так что
с czk-oSTx J„	zBB	Ijr °
X bun—g dji = _	. Итак, иско-
мым разложением является ряд х2 - 6х =
Хб[о.з].
Заметим, что построенный ряд сходится рав-
номерно на всей оси, его суша является
непрерывной периодической функцией, период
которой равен 12.
Я
Задача ?6. функцию f(х) = Sin X определенную на промежутке
(0,9Г), разложить в ряд по косинусам углов нечетных
кратностей.
Решение. Для того чтобы функция f (х) могла быть представлена
требуемым рядом, нужно продолжить ее на про ечуток (зг, 25") так,
чтобы на промежутке (О, 23Г) функция была нечетной относительно
точки X = 9Г . Затем четным образом функция должна быть продол-
жена на промежуток (-27F, 0) (рис.II). Искомое разложение по фор-
муле (7) будет SCnX •=
=	Cos(Ifc'lx , где, на
основании (9),	=
= =
о	А
= -	• Итак, 51пх =
X fc [о, Ji] . При х €
Scnx . На промежутке
Рис.II
сумма полученного ряда также равна
- 13 -
сумма ряда равна - Si-п- X .
Задача 27. функцию f (>) = X разложить на промежутке (О,Л)
в ряд Фурье, содержащий чле-
ны
а)	только с синусами углов
нечетных кратностей;
б)	только с косинусами углов
нечетных кратностей.
Ответ: а) ^ X	га_ - .
График суммы рада, кото-
рая имеет период, равный
4, изображен на рио.12,а.
у f-t-OU-------г____IZL-Jax-iWX
б)	Л fc I 2К - >	Ze- •
График суммы ряда, которая имеет пе-
риод, равный 4, изображен на кис.12,б.
Задача 28. Функцию j (х) = X1 , опре-
деленную на промежутке (О А),
содержащий члены
а)	только о синусами углов
нечетной кратности;
б)	только с косинусами уг-
лов нечетной кратности.
О г в в т: а) f [ (иц-’.р "
~ 'згетЪ?'
непрерывна на всей оси
и тлеет период, равный
40.. График суммы ряда
изображен на рис.13,а.
хч 4al р (-i)K~‘ f.	8	~1f р«-чхх
б) зг ZK-i U ~ эг*(гк-»>4 * 2о- ’
Сумма ряда имеет период, равный
4 а, непрерывна на всей оси за ис-
Рис.12
разложить в ряд Фурье,
ключением точек разрыва X, = (2К -
-1)<ъ ( Кс2 ), в которых су»ла
ряда равна нулю. График суммы ря-
да изображен на рис.13,б.
- 14 -
Задача 29. 'Функцию
fw.
при I < х 4
при 2 4 У <
2,
3
разложить в рад ‘Фурье, содержаний члены
а) только с синусами
углов нечетной
кратности,
б) только с косинусами
углов нечетной
кратности.
Рнс.14
24 V2 (-О**1 г- <1К-|)Я г (2«-1)Ях „
б) 3? Z_(2K\|)»Suv	е—СиЛ—. Сумма ряда
вна на всей оси и имеет период, равный 12.
Ответ:
а) л* 0,5 4 ’
Сумма ря-
да (рис.14,а) не-
прерывна на всей оси
и имеет период, рав-
ный 6
(рис.14,б) непреры-
Замечание. В задаче 29,6 возможны другие продолжения. Напри-
мер продолжение, изображенное штриховой линией на рис.14,б. При
таком продолжении ряд Судет другой, но на промежутке [1,3] сум-
ма его будет равна заданной функции.
§ 3. РАЗЖЖНИЕ В ряда ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ, ращюиайьных
ОТНОСИТЕЛЬНО Cosx И 51а х
Для разложения в рад Фурье функции, рациональной относитель-
но Svnx и Cosx , можно использовать следующий способ. Согласно
Формулам Эйлера Cqsx = (? +?), stox = ^(г-г^где ? = е**,
2 = е*1*. Выразив данную функцию через Z и 2 , нужно получен-
ную рациональную функцию от 2 и Z разложить в рад по положи-
тельным степеням 2 и 2 , Затем, совершая обратную замену и ис-
пользуя формулы Эйдера, получим требуемый рад.
,	.	Г	% Stax
Задача. 30 (2966). Функцию J (» = ( .2^,CosX
разложить в рад Фурье.
( HI <i)
- 15 -
Радение. Выражая функцию $ (X) через Z и г и учитывая, что
г V и ”»™ К» -	 dSWfefB -
•	- я-дттВ- »««м |э|.|»| .1. w Цг| -101-
= | <у| < I. Следовательно, дая полученных дробей справедливо би-
номиальное разложение, используя которое, получим f (х) =>
й(тс-*г £мг-
21	n'D 	.
-е.’и'х) = У" <jpns.«nx . Итак, -J—У-1’"'*- IZtl'S'’»,'K • Заметам,
что полученный ряд сходится равномерно на всей оси так как |f-|< 1<
Задача 31 (2962). Разложить в ряд Фурье функцию Crv(l-i'|Co»x-f
( 1ф1< I).
едение I о п с с с б.
Рассмотрим производную
-г « zj - т—г—---------г- и воспользуемся результатом задачи
1-2фСо»х*^	л
30, так что [*"(•-г'»'с,,х+Ч'‘У =* 2 *	Интегрируя зто ра-
венство по промежутку [0, х] , получим fnjd - iyCosx + </) - fji(I -
-2<y + <y)=-2^ (Costix-|) = - 2 J2 J Ccsnx+ 2 52 n. »
0ЮДЯ Cn.(I - 2cjzCoSX +	) s _ 2 Ц )tc<” ЛХ + zlZM’-tI4 .
Так как |ф1 < I, то идя функции % I - <уД имеет" меото разло-
жение п логарифмический ряд 6я(1 - ^ ) = £2<-|Г'1С1>'' = - зГ .
Тогда ^(1 - v )2 Е 2 Р«-(1 -<у-) t - 2£"31. Теперь получим
требуемое разложение £n.(I - 2<j,Cobx +"<уг) -	.
Заметим, что этот ряд сходится равномерно на всей оси Г”
2 способ. Хотя данная Функция не является рациональной otro-
сителыю Si"X и О»х , том не мвнео для разложения этой функции
в ряд Фурье можно воспользоваться способом, примененным в задаче
30. Выражая Си-, у через Z и 2 , получим In (i 4<yc’sx » <YX) ~
- ?п. ( ( - ^(г »г) + у) г (МI -t Bn(' - <^Т) •
Так как 1ч-?| = I = I <у| *• I» та ЯДя полученных логарифмов
имеет место разложение в логарл,нчоевдй мд, так что fn(I
-2nrcc6x + V)=	* £с-<Г<2х’)"-=- f;£(2V
ПЖ4	к Г1|	4
2 ) З^СоьпХ .
I = - >	1(4	* ?
,L '
,’Ия сгилостоятельяон работа рекомендуются задачи J? 2937, РЭ6Р.
- io
J 4. i-HucPAHJbvi Ф0Р.11УЛА -Wzl-E
Еоля <|ункдмя f (л) .a<jCud.,,io и . .гк«1.-(_j«i на н,.и..л>.утке
1-оо , + схэ ) и на лч>оом конечном промежутка j юьл этворяет усло-
виям Дирихле. то при воех X t (-<-•-», * с< ) ят> »г мости интег-
рален in i%ip4yza »уоьо	.сю ..то
{'>1=	f(tJCo*Al4 x)Jt	HI)
° _’схл
Если и то чье х i.jhk'Uui J lx) имеет ?i«ju. то левую часть
формулы (II) надо заменить ил величину £ [ f (х-о)+J(x»u)] . Ин-
теграл, стояцик в правой части -.„ор^лн (II), называется интегра-
лом >'рье и шжет быть ".адисан в виде
) т |[а(Л)СоьАл г В(л)	,	(12)
где	HMCosAtJt , 3(Х)»Ы fUSu.XbJt. (13)
* -oa	" -oo *
Зад., .a 32. Представить интегралом Сурье функции
Izes _(1. если 1X1 < I,
| 0. если |>| л I.
Peisnwe. Так как .'уикция f (*) четкая, то 13(A)	0 и	А (Л) =
« irf HHCasAtdt = Jjco.AtUP = -j=^\ Следовательно,	f (x) =
= » 5 CoyA/dJ. ПрИ |л | / 1. При У = £ I из (Ьор’гуды
(12) следует ^-= J ~	j die , что известно
из теории ноообственнкх интег;жлоь ( \ ^л±*4х-= ?£эПл).
о
Задача 33 (338?). Предотанить интегралом 4урьв функцию
(/vx _ J s^x .если I xj 4 Зг .
Г 1 ~ X 0, если IXI > 3;.
Геденге. В силу нечетности йункции я f (л) из формул (13) следует
А(Л) =0, В(л) =J-‘[fftis;nAtdt = | j	Jt =
а|« тгз?- при Л /I,
I I при Л = I.
Заметим, что функция 13 (х) непрерывна в точко Л - I.
Итак,	sin ЗЛ-
л о I — А
Задача 34 (3882). Представить интегралом турье функцию
fix) = е”’1',х*51пЦх	(*>о)
Решение. Так как функция ] (£) нечетная, то из формул (13) сле-
дуетА (Л) = О, В (?) = £+Г €-s;n>>dx
- 17 -
Cos 0 =
1Т «5^41 J?
ГДа »л р ~
пишется v зида
Так как в точке
'?)е Ж	" ^(р<мЧ =
=  > » ,;-\uir,» /« vai . 'i'nnenb пл основании ормулн (12)
Х ‘а + JL	Г	л-х
имеем е = V	’
Задача 35» Представить интегралом м/урье функшпо
,	J ₽ Ах , если	У > О,
J (к) =	у q , если	х< 0 ( А> 0).
+ ОР	<°*
Рзденид. начислим А (Л) - JLJ- JttlCesM	—-feijjht Л =
~ 3r(JP	= — {)(*)5ln)\t dt - — J(i ‘SinZtdt =^1.^, •
В рассматрнааерл»’ случае формула (12) принимает вид j (х) =
С<з»Ъх +	S,«>»]<JX. Вводом величину Р = <rul3 х • То-
— А -	f"' ° - —л-------и интеграл Фурье за-
[ f°Sin С-Ьх + Ciztj 4.fJ
"'-’Ч. Va* о.'1----------л-J
X = 0 функция I W имеет ра»рыв, то при
,	। V* 5i.n(aidg х/<0 J}
X - 0 имеет место равон''Тао г ' J, ~V " °	• ® опра-
во’Р’ичосг» ’«того равенстза легко у^»диться, сделав в этом интег-
ралч вач<’иу переменной у» oxctj. — .
Зедача 3G (ЗЯЭЗ). Представить интегралом Фурье йппсию f (х) =
= е'1.
Рг тягчп. Tn-t как да кич рутадя чоттч, то, на основании формул
(13). И‘Юс-1 В(А)=Г, А(Х) =i'fe11coSM Л( = |’Ге-гсо,МЛ .
^’-«о	« о
ivo'Su вччислчть получочьмй интеграл, рассмотрим зав снят! от па-
р-рлртря Л. нособствпцчнй интеграл »^(Л) -Je "CosM. J1 и продиф-
° *
-T-opw uipv'.M его по пар; метру Л под знаком интеграла: 3 (Л) =
юз X
~	. Так ках этот интеграл сходится равпоигарио отно-
«итвльио J' , то ди.;ерендирооляяе было законно. Теперь интегриру-
ем фч.туч^гччй интеграл по алстям ) (Л) = Jfe*1 5>>< |о
_ Т ел даз М Jt = _	3 ib). Таким образом, тля 7 (Л) полу-
чилось гоь» ррш.щал-ьюе урэряение, решая которое, получим 1(Л)=
-с?’*14 . О1»ртл с - 3(о) = t е'1 dl = ts/S7' , гео известно из
°	*? I1
матчриада горзого куэса. Итак, 7(ь) = J € Соз Ы dt =4-/йе ’ .
О
Теперь, на осн-пании формулы (12),
t 4СХЭ--/?
= 7г* I G ’	. Уопэл-
ЕОЛГ»» - ~>п0 г
Сюдэвательнз, А ())
- 18 -
нительно рекомендуются задачи й 3832, 3883, 3884, 3888-3891,
3894.
Интегральную формулу Фур^е можно эапиоать в равносильной
форме (II) комплексной форме +<в ,«	.
рх) - ~ upJjbJUuU* Ji.	(14)

(15)
называется преобразованием Фурье или образом Фурье функции f (х).
Сама формула (15) назнваетоя преобразованием Фурье. Теперь форму-
ла (14) запишется в виде f (х) = тГ р. Г FM et’'xdX и называ-
отся обратным преобразованием Фурье.
Задача 37 (3897). Найти образ Фурьо функции 1’<х)д<1Хе	(<^°).
Решение. На основании форцулк (15) имеем ^(л)=4=1 Le"	iAt dt =
.г "	.	4 <Tj
•7S&- CnM "  jfe 'У	„
« - f/T j t e-At e A‘<H - i.yj fjn. t <Jt =
гяО <“	. n °	।	• /Т 2»tX
я “ *ч/г	it = -Z^	~ -UVj? (a*	•
Ответ: F (Л) = -»•/1	'
Задача 38 (3898>. Найти образ Фурье функции f (х) ® е~г .
Рс-меаие. На основании формулы (15) имеем F (Л)=^~ [ е *" tcH □=
- Ar-j e (co$Xt-L5Zn M) dt	Cosbtdt , При решении
2 "®	♦" «в	У? dx1
зачли 36 был вычислен интеграл Je'lcosJ»t<it =	. Откуда
легко получить ^e’^’cojbt <Н e'i’4* .
Ответ: F (Л) - е •
Дополнительно рекомендупч’ся задачи й 3896 , 3899.
Теча П. ЗАДАЧА ИТТО-ЛИУЬИМЯ (2 нанятая'
§ T.C0BCT6PJ1ISC’, знлчтн И СОН!ТНЕ1ПШЕ ФУНКЦИИ ЗАДА’М
ЖУ1МАЛ.МШЛП
Пусть имееточ линойнсн оянигодаоэ уравчэяио второго порядда
,	(16)
где фуи<пча И !,.₽71срг-;вня на ’’ром'чутке (А,6] .
- 19 -
Функция р (X) непрерывно дифференцируема на этом промежутке и не
обращается на нем в нуль, X - числовой параметр.
Задача Штурма-Лиувилля (предельная задача) заключается в
построении на промежутке [<х, В] ненулевого решения уравнения
(16), удовлетворяющего на концах этого промежутка однородным пре-
дельным (граничным, краевым) условиям:
1<**Ц(в)-»М'(6) =О,
где <tL + ft /0 ( ь = I;2).
Значение параметра , при котором задача (16), (17) тлеет
ненулевое решение, называется собственным значением этой задачи и
соответствующее решение называется собственной функцией.
Собственные значения и собственные функции задачи (16), (I?)
обладают следующими свойствами.
Существует бесконечный дискретный спектр собственных значе-
ний.
Каждому собственному значению соответствует одна собственная
функция, определяемая о точностью до произвольного постоянного
множителя.
Собственные функции, соответствующие различным собственным
значениям, ортогональны с весом t(X) на промежутке [л, в] .
Система собственных функций замкнута в клаосе непрерывных,
кусочно-гладких функций на промежутке К»] .
Задача 39. Найти собственные значения и собственные функции пре-
дельной задачи для уравнения ’д" +	=0 при условиях
Ч (0) = 0 и 9 (2) = °.
Реаенме. Для рассматриваемого дифференциального уравнения соста-
вим характеристическое уравнение <С л- Л- = 0. Рассмотрим следую-
щие три случая:
I) А = - р1 < 0. В этом случае об^вл решение дифференци-
ального уравнения будет функция	. Удовлетворяя
граничным условиям ^(0) = ^(2) = 0, получим систему уравнений
Ci + сг = О, + сгегг = 0. Легко видеть, что эта система име-
ет единственное решение А, = сг = 0, так что у = 0. Слядрвате.1ь~
нс, рассматриваемая задача не имеет отрицательных собственных
значений.
2) 3i = 0. Общее решение дифференциального уравнения будет
- 20 -
у =, с,х + Ci . Используя граничные условия, убедимся в том,
что с, = Ci = 0. Следовательно, Л = 0 также на является соб-
ственным значением рассматриваемой задачи.
J) X = jmx >• 0. Общим решением даТферетьиального уравне-
ния в этом случае является функция =c1Co4j^x + cvstnjax .
Используя граничные условия, получим систему двух уравнений идя
определения постоянных и : С, = 0,	+ Сг51п Др*- = 0.
Эта система имеет пенулсвое_пешение только тогда, когда = 0,
т.е.	, где нс- Z и И / 0. Соответствующие ре-
шения ди<Леренпиального уравнения будут ук = Ci$,nj4Kx . Так
как изменение знака /'к ведет только к изменению знака функции
Sinуч х , то можно рассматривать только к tJH , Так как постоян-
ная Сг остается произвольной, то можно положить ее равной еди-
нице.
Итак, собственные значения рассматриваемой задачи А,. ='^я'г/4,
гдо Kt-Nf, и соответствующие собственное функции равны ук =
с ЬьП “* «
В задачах 40-44 найти собственные значения и собственные
Функции предельной задачи иля уравнения у" +	= 0 при следу-
ющих условиях:
Задача 40. у (-2) = 0, ^‘(1) = 0.
Ответ: К’ (**-•)* зс > 3* =	fU*’•) 1 (х, Кб JNT .
Задача 41.	--= у1 (4) - 0.
Ответ:	>к - 4 к1л» ,	= Cos ^(х-0 к е JNT и
.42.» Ч (0) = 0, у - 3^‘|х=2 = 0.
Ответ: Задача нмоет бесконечный дискретный спектр положитель-
ных собственных значений 3iK , являющихся корням: уравнения
= 2& , и собстветоое значений Л, = 0. Соответствующие
собственные функции равны = SUy/\ X ( К= 1,2, ...) и ул = Х .
Задача 43. у* (0) =0, у - 3«' |к ,г = О.
Ответ: Задача тлеет бесконечный дискретный спектр положитель-
ных собственных значений являющихся копиями уравнения =
= - I/3i/X , и отрицательное собственное значение - -J41, где
ju является корнем уравнения th.2_p* = I/JJ1». Соответствующие
собственные функции равны = Cas/h^X и	.
V Ъ'|0 и 'Ч -b't.s" °-
- 21 -
Ответ: Задача имеет бесконечный даскретт.чй спектр положятель-
ных собственных значений являющихся корнями уравнения fЛ"=
= -t 6	j;-~ • собственное значение = 0 и одно отрицатель-
ное собственнее значение >> = -jh1 , где у- - корень уравнения
. Соответствующие собственные пункции равны
Й„= Sin/^x - */£ G.TaLx . 3. = X “ ? .	“ Styx -®с1ух.
В задачах 45-49 найти собственные значения и собственные
Функции.
Задача 45. х\ + 2xj + (^	, если ’ jj(e) -О
Ответ: Лк - к’я’ ( не Ь/Г) ( i ^=- 61п(кЛ-Ь,л j t
Задача 46. № у"_ + 2х + (4 ♦ ) у - о, если y’(I) = О и <р*>у'_= о,Ьо.
Ответ: -Задача имеет бесконечный дискретный спектр положитель-
ных собственных значений , являющихся корнями уравнения =
=	<>е	, ч„ —	*zjs;cPf(/rxx)'l.
<<ьл-(ге-м ’ 3 <*1	•*
Задача 47. х1}" +-3ху' + (1 »>)у-0 если J*(I)=O л <f(e) = 0.
Ответ: Задача имеет бесконечный дискретный опектр положитель-
ных собственных значений Л* , являющихся корнями уравнения ijA =
= - 7^ . Мк = Sin (J>k Ba £) .
•Задача 48. Хгз" +3ху* +(i +	-о, если 2з<еУ|<.<г-° и 3(^}хО-
Ответ: Задача имеет бесконечное миохюство положительных соб-
ственных значений , чвляадихся корнями уравнения = Л* , и
собственное значение = О. Соответствующие собственные функции
равны у 5vn/x<(j-6ix) , усг ^-(2 - Ьч-х).
Задача 49. х*^" + 3Xj' + (I j - 0. если 2	+ */1 = 0 и
Ответ: Задача гмоот бесконечное множество положительных ссбст-
вешп-ix значопп;:	лзлялквхся корнягли уравнения 1,/л = -	,
и сдаю отрицательное собственное значение =-/**, где м -
корень урагнения е -	. Соответствуеме собственнее фун-
кили равны зч= -1- Со»(/х;е„Л) f , X*- ♦ е^х^'1.
Собственная Функция у (*) называется нормированной, если
.	(is)
В задачах 5(7-51 ч-б'ти собствен ню знач’пия и нормированные
собственные функции.
Зздпча 50. х’л'* - •Jx-j’i-(Ч =О, если ^(П=о и У +
- 22 -
Ромейне. Повторяя способ решения, примонеиннй в задаче 39, получим
спектр положительных собственных значений , являвшихся корнями
уравнения igTK1 = —. Соответствующие ссбствоннне функции
= ск х1 biAf/jiJnx), где Ск - произвольные постоянные, которые
чадо определить из условия нормировки. Для этого нузнс знать ве-
совую функцию Ъ (X) (см.формулу (16)). Чтобы привести данное ура-
внение к виду (16), умнохим егс на некоторую дифференцируемую
функцию U(x) И xljj" - зих? + ('‘Xhjujj *о . Наложим на функцию
U (х) условие -3XU = ( 'll X1) , что есть дифференциальное урав-
нение первого порядка, одним из решений которого является функция
И = I/xs . Теперь рассматриваемое уравнение можно записать в
виде (jr»)" -+	^=0. Сравнивая это уравнение с уравнением
(16), видно что ’Z(X) = 1/х’ . Дня определения постоянных Си ис-
пользуем условие нормировки (18)
=-- I. Вычисляя интеграл, подучим Ск - Л (‘	Со1»2^’) л. Сле-
довательно, нормированными собственными функциями являются функ-
ЦИЯМИ ЯВЛЯЮТСЯ функции Ук(Х) =/?(| 1-^~ь<.о?Лк)'/гХ15т(А;епх) .
Задача 51. х\" - 3)<3 + (г< »?4y-£> , если у* (I) = 0 и
Ответ: Л* = ^кл1 и = - jS = -4,	(*^'fcr.) -
- уМтМ] и = Ze^e^-ip.
Задача 52. Xlj" ху'+ (। +>) g = о , если У(') = ° и У "5eVL.
Ответ: Положительные собственные значения являются корня-
ми уравнения = 2Ул , >„ = 0. Весовая функция ?(х) -
-- I/ х3 . Нормированные собственные функции &(*)= х8пх,
“*• * -scnZ^'Ks
Задача 53. X'tj" +	-о , если у (1)= 0 и Ч 4°’
Ответ: Задача имеет бесконечный сноктр положительных собствен-
них значений •>« , являющихся корнями уравнения Ц (Уле,з )	=
= З''ь/л . Весовая функция 7 (/) = 1/х . Нормированные соб-
ственные функции равны у?Сс-,(УГи(.,к) (fc,} * j	'
.Задача 54- х\" +	-.‘ч-о, соли з ♦	° x V^'Le0-
Ответ: Задача име -т бесконечный дискретный спектр псложитедь-
кых собственных значений , явллощ.гхся корнями уравнения =
= J>-/(I t 2А ) и собственное значение - 0, Нормированные
собственные функции >	6'Г<
- 23 -
§ 2. ОБОЪ! nniu.l РЯД даЬЕ ПО СИСТЕМЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИИ
задач!/! шгурма-лиувилля
Пусть функции Ул (л) ( к = I, 2, ...) являются собственными
функциями задачи (16), (17). Так как эта система замкнута в клас-
се кусочно-гладких Функций, то любую кусочно-гладкую функцию i (*)
мокко представить обобщенным рядом дурье по системе собственных
функций ук(х) ( •!.= I, 2. ...), сходящемуся к этой функции в
среднем: + (*) = ZZ . Коэффициенты ряда равны ск = f »
* (‘,м)'  что получается путем почленного интегрирования ряда
с учетом свойства ортогональности системы собственных функций.
Задача 55. Функцию f(>) = X (2 - х ) разложить в обобщенный ряд
Фурье по системе собственник функций задачи у" +	=
= 0, если (0) =	(2) = О.
Решение. Известны собственные значения >в = к /4 и собствен-
ные функции' "У,< = sin данной предельной задачи (см. задачу
39) .„Ряд Фурье функции } (?) по этой системе имеет вид х(2 -х )=
= У Ск	(jf). Сравнивая уравнение у" + А у = 0 с уравне-
нием (16), видим, что в рассматриваемом случае i(x) = I, так что
система функций	ортогональна на промежутке [о,2].
Умножим равенство (*) на функпию ул = !>;п и проинтегриру-
ем полученное равенство по промежутку [о,2], применяя почленное
интегрирование ряда. В силу ортогональности систн’лы собственных
функций, получим	f х(2-х) Str>ir5rxdx	х: £7	)	S.nj-xlx	\r j ' Jr< Af-
г1 1	°	Ki| <(*	°	*
= с. J	. Откуда находим	(I - (-1)а). Итак,
X(2°- X ) = £ тЫ’	= £ Г	,
что имеет место на промежутке [о,2]. Заметим, что полученный ряд
сходится равномерно (см. задачу 16).
Задача 56. Функцию f(х) = № - 2 X - 8 разлепить в ряд по систе-
ме собственных функций задачи 40 на прсмохутке [-2,1].
Ответ: Х1-2х-8=-	(?.'к. t j * 1 п Н1" • <х ) при [-2,1] .
как ряд сходится равномерно. (Если в этой задаче сделать сдвиг по
оси он , полонив х + 2 = t , то получится рад Фурье задачи 25.)
- 24 -
,	{	I	при	I	< *	*	2,
Задача 57. £унгадт	f	(я)	= <	3	- х	при	2	3,	разлочить
(.	О	при	3	4 х	<	4
в ряд на промежутке [l,4] по системе собственных функ-
ций задачи 41.
Ответ: f (х) = £ * Е (БГ-Т)Г CosG»(~V# при хе [ 1,4].
(Если чдйсь положить Л - { = t , то получится раэлокопие из за-
дачи 17,)
Задача 58. Функцию f (х) = X - 4х* раэлопить в ряд на промежут-
ке [0,2 J по системе собственных функций задачи 42.
Ответ: X5-А х* = - 7 X + 8 У_ ‘xK^(i +гУ5^) > ГЯ® С KeN”) -
корпи уравнения =z75C . Разлоявние имеет место при [о,2],
так как ряд сходится равномерно.
Задача 59. Функцию /(>)-- №+8 разложить в ряд на промежутке
[о,2] по собственным функциям задачи 43.
Ответ: X * 8 -	+ *2Е	при Хе [0,2].
Ряд сходится разномерно.
Задача GO. функции f (к) = ^СпХ разложить в ряд на промежутке
[ I, р] по собственным функциям задачи 45.
Ответ:	~ ZZ JtT? Sln(n^Bnx) црИ X е [l,e ), при X = е
сумма этого ряда равна пулю. Равномерной сходимости ряда на про-
мочутк'' [т,е] чет. Причина отсутствия равномерной сходимости за-
плпчаотся в том, что IiyiricuiH	не удовлетворяет предельно-
му условию у (е) = 0, которому удовлетворяет соботвонпнс 'функции
задачи 45. (Если подударное разложило умножить на /х1 и положить
X = t* , то получится разложении задачи 6 при £ = I.)
Задача GI. Англию ] (х) = (I - вт>х )/х разлокить в ряд на про-
межутке [l,e]nc ссбстиеппш .руккииям задачи 47.
Решение. Задача 47 имеет дискретный спектр положительных собствен-
ных значений "Хк , которые являются корнями уравнения =-75?.
Соотгетстпуэдю собственные функции ук = —- 5:^(/Гм £п . Иско-
мый ряд Функции ] (к) имеет вид х(»-в«х)-Е ск%к (к). Для того
чтобы использовать ортогональность собственных функлтй идя опреде-
ления коэфСипиентов рята (к), надо знать весовую функцию 7 (у).
Для этого надо привести уоавноние задачи 47 к виду (16).
- 25 -
Умножив уравнение задачи 47 на некоторую даффе.лпвдруецую
функцию ’ll (к), получим	+	-.а. функцию ^(х)
определим из условия 3 хи = ( х’ ti ) , что дает и = к . Теперь
рассматриваемое уравнение запишется в виде (х’у1 )‘ + (1+Х)х^ =
= 0. Сравнивая это уравнение с уравнением (Тб), получим ^(х) =Х.
Следовательно, собственнее функции задачи 4? ортогональны о весом
*(*)
Домнсжая равенство (к) на 1 =Х г на собственную функцию
у„ = •£ 5Ь>(ДЛ*), получим	=£2	•
Интегрируя это равенство по промежутку [l,e] и учитывая ортого-
нальность собственных функций, подучим равенство	=
= с» ft йп Ь» еР*  Откуда находил СЛ = - 4/(2 л-
д, . Итак, искомое разложение имеет вкд£Н-Ь>х) =
(г »>.„)	/Г. ’ *	при хе [l.e] . Полученный ряд
сходится равномерно.
Задача 62. функцию S (х) = (I - X / разложить в ряд на проме-
жутке [l, ег] по собственным функциям задачи 51.
„	/ „	еХ-ьеЧ^-з
Ответ: (х-1) = "нТ*Ч)— + ё*2— кжСк^ччкк’я».<ьt
« Xl[5’^( Т М)- Casf^fexjj при х £ [I, е1]. Ряд сходится равно-
мерно,
Тема Ш. ВАРИАЦИОННОЕ lIO'li ЮЛЕНИЕ (5 занятий)
§ I.	ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО И0ЖЛЕН.Ы
Простейшая вариационная задача заключается в нахождении эк-
стремума функционала xt
ЗМ ’I Г(МЧМ Jx П9)
X.
среди множества гладких кривых у =	(х), удовлетворяющих гранич-
ным условиям •( (х«) = ^. и Vх*) = Jf. • Функция Vх) называется
аргументом функционала, 'функция Р ( *. ^,я‘) считается дваадч не-
прерывно дифференцируемой по всем опоим аргументам.
Вое множество функций, на котором рассматривается рункциовчл,
называется классом допустимых функций (кривых).
Воли A 1 [KJ
- 26 -
Приращением иункционала (19) называется величина А1N =
= ли -ад , где К(х) - любая гладкая функция, удов-
летворяющая условиям К (х.) = h. (Х() = О. -
фикция (X) дает абсолютный экстремум функционалу (19),
если а![К] сохраняет знак на всем классе допустимых кривых.
Если a1[KJ сохраняет знак на части класса допустимых кривых,
удовлетворяющих условию || К|| = Sup |k| < £ , то экстремум назива-
ется сильным. Если а"1[Ю сохраняет знак на части класса допус-
тимых кривых, для которых || Ь||, = 5up|K.|+ sup |h!| <£, то экст-
ремум называется слабым.
Если функция (х) дает экстремум функционалу (19), то необ-
ходимо она является экстремалью этого функционала, т.н. является
решением уравнения Эйлера .
Fg - Fif'  ° ’	(20)
которое, вообще говоря, является обыкновенным дифференциальным
уравнением второго порядка относительно функции	(X).
Если F = F (	), то уравнение (20) имеет первый интег-
рал
(	3 ) = С •	(21)
Если F = F( ), то уравнение (20) имеет первый интеграл
г - s' Fa' = с 	(22)
Первые интегралы (21) и (22) являются дифференциальными уравнени-
ями первого порядка.
В задачах 63-71 найти кривую, дающую экстремум функционалу я
исследовать характер экстремума.
Задача 63 (Ш5).	□[»] = 5 <хпри условиях
y(I) = I и у(2) = 8.
Примечание. В дальнейшем такого типа задачи будут
записываться так:	iZjf1) Jx •
Решение» Уравнением Эйлера для данного функционала будет 24 у, -
-(2XZ8* ) = 0 с переменными коэффициентами (уравнение Эй-
лера). Его общее решение имеет вид = С, х3 + с».*"*1 - дпухпа-
раметричеокое семейство экстрамалой рассматриваемого функционала.
Используя граничные условия у (I) = I и if (2) = 8, получим си-
стему уравнений для определения ci и G. :
С, +С>.	, 6 = 8 С, 4у£ Сх .
- 27 -
Решая зту систему, получаем С, . it С, . ,j. Следовательно. тан-
ка1. задача имеет единственную экстремаль у - х\
Дин исследования характера экстремума функционала, рассмот-
рим приращение фу^ционала А 3[К] - "3[у +1у|- 3[у] , где у = хэ и
Ь(х) - ллиач непрзрлвно диЧререпцирусмач .функция, уцоялстьорею-
шая условиям h-(l) - h-v~) - 3.	^((y’ + hllx+fliy+hj'jA' _
-Г(.хгУ,г+'^Ьг)/!Х *	,ь’dx г V Д'х'Р\г^К+1г*1гих =
= 2.х^‘h ]’ _ J К^-рх^Л h j (Д‘\ 24y.h- + lib1) <Ь .-=
= Ц xV+ IZh1) ifx t f -&(2*га')] « = f(x4‘r +.2ф> -?о.
Так как	для любой фуякцит Мх), удовлэтворяючей ука-
занны.! вине условия,ц то экстремаль ы - х5 дпят абсолютны!' 'Гл-
НИМ.	(i.i)
Задача 64.	’j] -. J ( " * 3' ) dx •
Л	,	°’0' Л&.Х . !-Х
Отв е т: икстремедь = гйТ?" а
максимум, так как д?(М *-Схн‘гЛл -°'
Задала 65 (1107).	3[if] «	2а^'-<Эч1)сЬ<.
(Ь»©| w	u
Решение. Решая уравнение Ойлера дм этого функционала, чайдск эк-
дает абсолютный
стремаль, уэювлетвориоц/ю граничным условиям, cj- ?s.n3X . Рас-
смотрим прирадение функционала = ‘3[>+h] - 3[	, Гд0
ц = 2 5й.3х и Ь-(у) - .любая функция пространств;! С, , уцон-
летворякицчя срашты** условиям = ^ ($) - 0. После неслож-
ных преобразований, иолучим	h'*- Эй' )Jx , дчя того
чтобы выяснять знак приращения , выведем одно неравенство.
При любом XcfC. ft] справедливо раведотво k(х) dfc ,
откуда (Mx)I = | £к'н) <Н| % £	~	}*.1ь‘(ч[ Jt ,
Прилйэняя неравенство Коаы-Буияковского J •»-*| «ь Ь *
к гюследнецу интегралу, получаем оценку |u»'l * / Г м1* ’
k]»}Jx • Откуда С	. Ян-
теприруя последнее нерменство .та промечутку [0, £] , чогу’шм
Js k’dx ‘ «|'1Лх < а , откуда Г*1э,гА’>('/)'Aldx > 9 f’k'dx
Следавательно,	, и экотре'лаль »j « 2Sm.1x дает
абсолютный мшыыум,
La^aJLi. CJhl	'
Рсчедин. Надця решение уразиепил лларч w данного iyn t.sio.n-ла.
JH -
удовлятаорчющее грандам уело мял ч О) = 0 и Jf (2JT ) = О,
налучии бесконечное мкожестъо иогшшх экстремалей у =	,
г до С - произвольная постоянная.
гг Рассмотрим тмргценио йуни щпнпла Л JIAl =	‘ к) ’ "ЧлЗ =
= 1 1к1’- к1) Я* , где у = CS.*» х и К(х) - любая функция про-
странства С| ( [0, 2ч>1 ), удовлетворяющая граничным у с лов л ял
h (и) « Ь_(2 П ) = о. Эозьмзм функцию М*) =	* , тогда
f ( q Со5’ г *<*’ s,n> г = - J? JT1*1 < О. Возьмем функцию
1>Дх)	2Х, ТОГЛЯ Л JjK.) =: ( (Чр1С®5Х2х -рЧйгЗх) dx  =
= 3 К р1 > 0.
Очевидно, что Ук,|( и ЦкЦ, малы при малых значениях посто-
янных Лир. Так как для различных'тункпин к (х), им^лщх ид-
лно норма, нрцраценяе /уикциочата пмозт разные знаки. то ланныЗ
«’функционал но достигает нл на одно! экстремали чаче слабого экст-
ремума.	(1Л)
Б?лгча_ь7. 7[ *1 =Г,У4 *’" 1 **«11 >d*
Ответ: Экстремаль '} = 2 х л 71 - -Ь дает абсолютный
минимум, так как оУ(ь) -	( xlh|1 л гь’) Jx > о ,
Задача 68.	‘ С** (У - У* •+ ,о "И 5tn 2х) J х .
*	(О.О»	С
Указание. При любой Хе [0, J справедливо неравенст-
во | к(»)| 4	|ь'(>i| Ду . /!ля опечки прирапеяия 'функционала, при-
менять неравенство »&1Ш1-Г.уняковского (см. задлчу 65).
Ответ: Оке трет таль 4 = у s.v ?х -f * Ji S«"X дает «7>у1щщюналу
абсолютный мадсим/Н, т'лк как zsJ[4 -J' ih'-K’Jdx f (l - £,1Г «?.
(1,1.Гп?' ,	“
Зйдача.69. 1[ц] : f х4/3х
Н,Р	л
Ответ: Экстремаль I + поет абсолютный мзыгалум,
так как а7[11] - i/x’h' I* ‘T'x’Jdx > О.
задача 70. ’PCs] =' ( х з’г + х1 у’’)J» 
h j>
Ответ: Экстремаль J >’ дает слабый юшим/м* так как
сЛСх] = )*хгь’’(Ь*л 7о при условии 1 ь*1 < е •
Задача 71.	J[Ч = J ( хг>^' ♦ х/ ) dx .
ИЛ1
Гевепте. Уравнение Эйлера .’угя доччого функ«стонала обра рется в
точкетзо. Это значит, что на лэбой допустимой Ko.nwii жпаонал
ппипи’лает одно л то не значение. Ло/отвитольно, = V'”x - d«^ +
- VJ -
UA»
+ x/Ja = f >Y) “ "i • bftiA рлосмотрв-гь природные иункпио-
нала л1Ы<,,},= 3fr« *•'] - Э(з] > то оказыва< тсн, что л1?!*] • О
при л:о0о11 лункция ^ <,/) a ллсок «ушсцик h(X), у’оадзтйорчвщва
граничным услоеяям h (х) = ♦<{*) а । , в fskoM случае ь<|>инционпая
задача лицина едасля.
В задачаi 72-7й на.чи экстре -или ^ушодюнало 5, используя
соотвэтству«хцйс перине ин ге г сыч урсшнснш! Эклера.
З^дкча 7 £ Юн.»).	’ДУ]	1' •)• (1 ч »’ а')
V.™
Ррдепиэ. Уравнение Эллера идя рассматриваемого цункциснала имеет
первый интеграл Г^. - I - 2 хга - с , Разрешая это уравнение от-
носительно у' и интегрируя, получаем ойдое решение уравнения
Эйлера	+ с. • у + с, . Используя гриничнне усло-
вия ^(1) » 3,	= 5, налучием систему уравнений для постоян-
ных с, и с,; 3 = c"i + с, , 5 - ^‘ + ct . Рейая ar.iv систему,
получаем искомую экстремаль = 7 -	,
задача 7э (ИЗО).	-(}_Уп ъ'1 d*
Ответ:	____,
Зааача 74.	3[а] У‘ +?' а* .
Ответ:	li * с) - Cas С t гд-j постоянная С определяется
из уравнения t3C = _ j/e .	_
Задача 75.	Га] - J V- ? а*'
Ранение, Уравнение Sitnepa имеет первый интеграл Г - у' fy =
= Л(»-»у*г) -и*	; =	^=т- = С . Решение этого уравнения
/1 ty' VI +н<1
Судам искать в параметрической ;юрме, положив у* = tft . Тогдт
» с’/со»гХ и х в 2<гЦ1 I- с, , Иоклвчин параметр t , по-
лучаем общее решение уравнения Эйлера у = С1 [l -г «-’'(х-сЭ1),
отсюда нахсдам два экстремали у - ^ + ( X - 7 + v'1' ) й
4 = T»-+7(x-f+	) , удавлэтворшине граничным ус-
ловиям (3) = 2 - J7/S я ( j (I) к- 2 и- -ЛГ? .
Задача 76. ЗЬЬ / А-71 • з,г «Ь1 •
4 <«.•!
О т в е s: ( X - 3}	+ а1 - 10.
- 30 -
5 2. ЗАДАЧИ НА Э1С'ГРН.1УМ 'Л'НДЕЮНАлОВ, ЗАЬЖЭД!Х ОТ
ЖТОР-^УгасцЫ, Of ИРОЛЗЗСДПШ ВЫСШЙл ПОРЯДКОВ
и от функций шот первый)
I. Фтнюроналч. з&висяцио от вектор-фупкпиЕ. Если гладкая
вектор-функпия У“(Х) - ( },(>). ,,(*). ... ,„(>) ) дзет экстре-
мум функционалу	*
= 'JU.fe,..- J Ъ -^) dx , (23)
ГС
то необходимо эта вектор-функция удовлетворяет системе уравнений
Эйлера
V*F*'-0		<**’
Любое решение системы (24) называется экстремалью функционала (23).
Если ппЕичтеградьная Функция F не зависит от j|- , т.е.
Г = Г (*,*М.,	’k*.	Ч; /) ’ т0 система (24) име-
ет первый интеграл
Г?‘ ~С.	(25)
Если подынтегральная функция F не зависит Явно от X , т.е.
Г = F (	\1— ^), то система (24) имеет первый ин-
теграл	„
г ~ ЕГ^' FSi* = С'	(26)
В задачах 77-04 найти экстремали ч^унюрончлсв, удовлетворяю-
щие граничным условие, 0_|1П
ЗйЕД’Ха. 77. 'ХИ.>3 * -Г < /* г’*“ 2^'+ k*V)с,|С
Рзд’нза. Обратимся к системе уравнений Эйлера для цашюго функци-
oiuwia	J *»х -» (а^1 - 2?) - о ,
1 -я '- 4- (-23') =О .
к * 4 dx v '
Об'Цим рещечием этой састо'ш глляется совокупность фунюий
,'ь, с, Sk.' +C,cF X +С3 - 2Х .
| " с <ii> +r skx -хг-7+С, , п'гс' представляет собой четырех-
паряметричсское сел;ейотво зкстрем?лей i»icorsaTD3Bao’<ior'0 даппропа-
ла. Учгтипая гранитные условия, получг.см алгебраическую егерем;
ЛЛЯ ПОСТОЯННЫХ С« » С1 , Ч и с*
Г X е с 1 f
J 1 - с, - г
- С.S1»’	+Сг-2,
(. и ж с, rM +cts(ii -3 4 с,,
- 31 -
Ре,лая эту систему, получаем С, = сг = О, с, = 1, сч = 3.
Теперь находим искомую экстремаль (парабола в пространстве):
у = I - 2Х , 2 = I - X* . 1
Задача 78. Tlfa.z] = ? ' G’1 +
(о,о|о>
Ответ:	Я - stnx , z = -	х .
Задача 79.	, и] у (у'г* +а‘ + tp) Лс.
Ответ: у = shx у = _ х сйх .
Задача ВО.	= ( (<Г*+z*
(0.0,0
Ответ: Ч = X , 2 = X .
Q	(5 1
За,дача 81.	, у]3	2 ув - 2/1 /- г12) d>
Ответ: у = z = 2 s'/ х + cos х .
В задачах 82-84 удобно использовать первые интегралы систе-
мы уравнений Эйлера. (1
Задача 82.	=ii^1 *	J*.
Решение. хак как подынтегральная .функция не содержит у. и не со-
держит явно X , то система уравнений Эйлера имеет первые интег-
ралы видов (25) и (26) Ч* в '(i + y,1+Z,i)"V2 = с> +У‘‘+=С,
Откуда следует: у' = с-с, = Сг, z = с./^/1 + у.1 + у1' = с,<
x(l + </ + 1,г) Интегрируя полученные уравнения первого порядка,
получаем у = сгу + с} , ( х + сч )l (I + с£ ) + z1 = c'(i.cj)"'.
Удовлетворяя граничным условиям у(I) = I,
2(2) = 4, найдем искомую экстремаль ।
+ 2*= 21,
Задача 83.
Ответ:
Задача 84.
Ответ:
деляется из
:. 7(1) = I, ^(2) =3 и
у = 2 У - I, 5( X - З)1, +
что представляет собой эллипс в пространстве.
з(з.Х) ^Х?)1 7'г+ч'1,1 dx
Прямая = Ц-5 , ~2 = у •_______________
~ V • + 3,г + 2'*' «*Х-
CklClX
----’—	1 = х , где постоянная с опрв-
с. (с|
й “ 2 * * * 5h|c|
уравнения 2 =
2. Рункцирдалч, зависящие ст производных высших порядков. Ес-
ли функция Я<Х), 2|г раз непрерывно дифференцируемая, дает
экстремум функционалу „
-мЛИм-М -Г’Нх,	(г?)
- 32 -
то необходимо функция у(х) является решением уравнения Эйлера,
которое в рассматриваемом случае имеет вид
fj-b^feFr-............’ <-'|"£--г,« = о 	(28>
Функция ^(х.у.у1,... у1'*) предполагается непрерывно дифференци-
руемой Я раз по всем своим аргументам. Любое решение уравнения
(28) называется экстремалью функционала (27).
В задачах 85-91 найти экстремали, удовлетворявшие граничным
условиям.	,	i
Задача 85.	3[ц]=£(у + гЯ + й ) Jx при условии у(0)=-1,
t}(I) = 0, у'СО) = 2, й'(1)=^-.
Решение. Уравнение Эйлера для данного функционала имеет вид
2 у -4	+ Z^-,-y"=O. Общее решение этого уравнения дается
формулой у = (с,х+ Q) ех + (с3)( + с, )е’х . Из граничных усло-
вий получаем систе?лу~лйнбйннх уравнений для определения постоян-
ных А , Ci, С, и С,:
Г	с2+ сч = _ I,
J с. ♦ cl+ с, - с, = 2,
](С, +с2)е +(C,+ Cjr= о,
I (2cit^a)e~C>lj=e •
Решая эту систему, получаем С, = С2= О, с3 =i, с„ = -I. Итак,
искомой экстремалью является функция ц = ( X - I) е”* при Хе
€[0Д].
Задача 86.	+’z И1'1)«1х при условии у(-а) =
= У (°-) = И'(-о-) = Ч'(<*-). = 0. У и /*- - положитель-
ные постоянные.
Рещецие. Из уравнения Эйлера	/у* для данного функци-
онала следует, что его общее решение у(х) есть полином четвер-
той степени относительно X с коэффициентом при х* равным
- ^/24j4 . Из граничных условий следует, что экстремаль у (х)
имеет в точках X = + а корни второй кратности. Следовательно,
искомая экстремаль имеет вид •у = -•
Задача 87.	3[у] =	+ 2^ -t у1 + у'е *) dx при условна
у (0) = у'(0) = 0. 3(1) = а’ (I) = -	.
Ответ: 3 =	.
Задача 88.	3[з)=	+ *6 Я ~ у" )dx при условиях у(0)= О,
з'(о) = 2, У(?) = 1. у‘ф=о.
Ответ: у. = 51л2.х .
- 33 -
Задача 89. U] = J ( e * - zl yx - 3 у,г -t у “l) dx, при условиях
y(0) = - * «> . ^'(0) =£(«’ +ure’i+2)> ^(г) = О,
Ч'Ф = тг&'* 
Ответ: у = - J- Л е*’* + J- я е9* S;n 2х + А е*
Задача 90. Т[ у] f( 9уг - X -	+ 23а" + j“x) dx >г ВДИ
условиях” jf(o) = 3X, у‘(о) - о ,	= и'{лЛ) =
Ответ:	= (,3зг- х/3)т (• -^хх) st-n/Sx.
Задача 91. 7[з]= f (84х^ +	, при условиях Ц (3) = I,
y'(C)=-i: у“(0)=0, &(!)=!, «’(!) = !,
ч"(1) =-&•
Ответ: у - х» - £	+ ^-х»_ х ♦ (.
3. функционалы, зависящие от (ункции многих пере/енных. Для
функций многих переменных Функционалы представляют собой кратные
интегралы. Например, если функция зависит от п. независмнх пере-
менных U (х,,Хг. Хп.), то функционалом является п- -кратный
интеграл
?FM = ff-f F(x..xtl «»Л.Ч.Лх21-	JXn/29)
где VnelR”.
Если функции U (к,, х1(. Хл ) дает экстремум функционалу
(29), то необходимо она является решением дифференциального урав-
нении в частных производных л
(30)
которое называется уравнением Эйлера-Остроградского. функции F
считается двазвды непрерывно дифференцируемой по воем своим аргу-
ментам. Любое решение уравнения (30) называется экстремалью функ-
ционала (29).
В задачах 92-95 найти необходимое условие существования эк-
стр емума функционала (уравнение Эйлера-Остроградского).
Задача 92 (1204).	= И((^Г*ШГ *2U'W М .
Ответ:	s Н*-УУ
Задача 33 (1205). ПЫ = Я(рг+«Х1) гдеР’эГ,^=э£-
Ответ: д1Л( х,^.) = 0.
Задача 94 (I2IT). Хч1	‘М* . г*е v,'u'
Ответ: ДЪЦ ) = 0.
- 34 -
Задача 5 (1212).	+ (^^)р dxdycte.
Ответ: (I ♦ u»	+(I * к, •» )Ч,ч * (I -fU,+ г,«) Чи-
- *(Ч.ЧА» +^«w,ti,I + xi,xi,T4lx) -о.
Задача 96. Найти экстремали функционала =Шч(Ч»*и1)<Ьи£<1*
Решение. Уравнение Эйлера-Остроградского для данного функционала
имеет вид + и,г = О. Яэедом новую неизвестную -функцию nF =
= И* . Для функции ИГ полученное уоаэнение запишется так: 1iT4 +
+ 'Wa = о, что является линейным однородным да э >еренциальным ура-
внением в частных производных первого порядка. Используя связь ре-
шения линейного уравнения первого порядка в частных производных с
решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка» получаем общее решение этого уравнения в виде W =
= I ( X, Я-"2 ), где f (х, у-и ) - произвольная дифференцируемая
функция своих аргументов. Теперь имеем уравнение 11 > = f ( х, j-г ),
интегрируя которое, получаем V ( х,у,? ) = ¥ (X, 3-? ) + Ч' (у,т),
где Ч ( х, у - г ) и Ч/ ( у, ? ) - любые дважды непрерывные дифферен-
цируемые функции.
Задача 97 (1206), Найти экстремали функционала IM
Указание. Для того чтобы проинтегрировать уравнение
Эйлера-Острограцского, ввести новые переменные ? = X , V =
= X -у .
Ответ: 'U(x.‘f) = 4'(x + ^)+4'(x*J})« где f -
произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.
§ 3. ЙЗОЛгИВ-ШРИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
В изопериметрической задаче ищется экстремум функционала (19)
среди класса допустимых кривых, на которой кроме граничных усло-
вий накладывается одно или несколько дополнительных условий вида
= Гфх,у1^,)<)х = а,1	(3D
X©
где <Х - заданная постоянная. Если функция ^ (>•) дает экстре-
мум функционалу (19) среди такого класса допустимых кривых и эта
кривая не является экстремалью функционала (31), то существует
постоянная А такая, что функция у (х) является экстремалью фун-
кционала	г ? ,. ,
Kh] =iXeH(x,yly,)dx,	(32)
- 35 -
где Н = F +XG •
Задача 98 (1234). Найти форму абсолютно гибкой, нерастяжимой,
однородной тяжелой нити длины L , подвешенной
в точках А ( хв, у0) и В ( х, > ч, ).
Решение. Из курса механики известно, что в положении равновесия
нить будет иметь минимальную потенциальную энергию. Потенциальная
энергия нити дается формулой ХГ(у) =	+ у‘гс!х , длина
нити равна С =	+	. Откуда следует, что форма нити
является решением следующей изопериметрической задачи: найти ми-
нимум функционала	при условии	=
= Е . Составим функцию R = F +	= y7i+ у'у+ лф~, +	. Так
как ета Функция не зависит явно от X , то уравнение Зйлера для
функционала (32) имеет первый интеграл Н -	* * у —	=
= С, . Решение этого уравнения будем искать в параметрической
форме, положив у1 = skt . Тогда + А = с, <л1 . Ддя опре-
деления X , как функции параметра t , рассмотрим дифференци-
альное уравнение d^ =	, которое приводится к уравнению
dt = J- dx . Откуда t =	+ сг и, исключая t , полу-
чаем у + X =С|СК(-^-+Сг). Следовательно, с точностью до
преобразований подобия и переноса, искомой кривой является цепная
линия у = ch, X 
Задача 99 (1223). Найти форму однородного тела вращения вокруг
оси ОХ , имеющего данный объем V и оказываю-
щего наибольшее притяжение по закону Ньютона
на материальную точку, лежащую на пересечении
поверхности тела о осью ох .
Решение. Поместим начало координат в притягиваемую точку. Так как
притягивающее тело представляет собой тело вращения вокруг оси
ох , то равнодействующая силы притяжения направлена по оси ОХ .
По условию задачи воя масса тела должна быть равнолокона по одну
сторону от плоскости yo'Z , так как в противном случае равнодей-
ствующая силы притяжения массы, расположенной с одной стороны
плоскости будет уравновешиваться равнодействующей силы при-
тяжения массы, расположенной о другой стороны этой плоскости. До-
пустим, что тело расположено со стороны положительной части оси
о X . Введем сферические координаты е , Ч1 по формулам X =
= 9С056, у = ^Cos^sin©, 2	, Тогда ypasaeiiae
поверхности тела вращения вокруг оси ох будет Р = у (0), где
- 3G -
0 5 0$ 3^5. . Если постоянная тяготения и плотность равны еди-
нице, то равнодействующая силы гцытлжэния тела материальной точки
единичной массы равна Г - $И х §'Э31Г = /	*s<.r>e CosG<le j d? -=
V	® о	°
= 23Г J ₽(e) SlnGCo^G (JG , Объем тела равен V = Ilf =
aF ° Лд	"
- i J»? J stn© dG) = jn I ^’(e) 5inG JG , Итак, ре осматриваемая
® о	о
задача свелась к следующей иеопериметрическсй задаче: найти Функ-
цию у (G), дающую экстремум функционалу Т(5] = Jo ^е)Ыгесл»е <№ ,
при условии ~V - 5 r f 51Л G 3 °
Составим ’тункцию Н = F + Л(<- = у 5:nOCc»6 +>^5in6 .
Уравнение Эйлера даяфункционала (32) будет ^(^SinGCosQ +
<	5с« G ) — 0, или Sin 6 Cos G » ?Zy’ stnO — 0. Откуда j =
= \j-Cos G = cjcos© , Ila условия "V = 5*£ ^'(GlS^ede
, ifisT „
найдем постоянную С = J . Итак, искомое тело вращения
ограничено поверхностью f
Задача 100 (1224). Найти однородное тело вращения вокруг оси ох
имеющее данный объем "V и наименьший момент
инерции относительно оси о?.	3-у-1/3
Ответ: тело ограничено эллипсоидом 2*1 + у1 + Z2 - ( гл ) .
Задача 101 (1240). Среди кривых, проходящих через точки А (0’,0)
и В (Я,0), найти ту, которая дает экстремум
функционалу	, если fyjx =1.
Радерир. Функционал (32) в рассматриваемом случае имеет гад =
=	+ jjt . Уравнением Эйлера для этого функционала являет-
ся уравнение Ку -	= 3. Искомое решение должно удовлетво-
рять граничным условиям (0) = у (зг) = 0 и не кокет быть тох-
дествепно равно нулю в силу дополнительного условия ^2<*х	=1.
Следовательно, для функции ^(х) получилась задача Штурма-Лиузил-
ля, которая, как известно, имеет отличное от тождественного нуля
решение только тогда, когда А есть собственное значение. Решая
эту задачу, подушил собственные значения = - л), где nci\i,
я соответствующие собственные функции у„=„с*	п>. Используя
лоцолнитольное условие I = J J1 '•х = с* ^5in‘nxJ/=c* f , получим
cn=	• Следовательно, = t 5гг<ал	).
В задачах 192-109 на.тги кривые, которые могут давать экстре-
мум функционалу пои соответствующих г.ополнитольин” ус.,о.ч:-ях.
Г 1	|,,Jn
Задач," 102.	+ ^*lJx или условии S х2‘*х=| 
Ответ: ц - 4 л'х - 2<гыЛя х .
4	*	‘Ч.о) e	.	•’л
^ЗДАЧа. ДО.-	Д№ условии Xljp I UStn2xJx - f-
Ответ:	= S.,. 2>.	,
ь-дачд 104.	"1[ц] "Jojl" три условии	' •
О т в в т: vj - 3 х1 .	<
&а£Ш_121.	3[а] - у1 * yX)dx при условии	=
= i ( е’ -Л).
Ответ: ц = хех .
J п.цгю	. i
Задача IX.	t х'з’1^ xy)Jx при уеапвии	у Jx =
= а?2 - %.
Отпет: и = 1^2-8пх + -- + 7- - г 
3 г (1, ;чч »х 4	।
Задача [07 (1243). ^Ia] = ,j .Ц’’	, при условии ^.[ц] = J(>j .=
= I/I2J '"’
Рошение. й рассматриваемом случае функционал (32) будет КМ =
= Мм-»4,l)]<h . Уравнение Эйлера для этого функционала име-
ет вид Л - 2(1 - Л )	= U, облдм решением которого является
функция - -ч-^~5й * с‘* ’* Сг  И3 граничите условий у\0) = С
и (I) - 1/4 следует С-г = 0 и ci = - ц/Ьсг . йспользуя
дополнительное условие, получаш А/(1 ->• ) = -I. Итак, имеем
единственную функцию Jj = - *г/4 + */2, которая могла он бить
решением задачи.
Однако легко видеть, что данная изопериметрическая задача ве-
сьма специфична. Из уравнения 71 /(I - Л ) = -I следует > = °° .
Из доказательства теоремы Эйлера о пеобходе.юм условии экстре’л/ма
для изомершлетрической задачи следует, что Л = оо тогда, когда
функция у (х) является экстремалью функционала 1,[к] . Получен-
ная функция действительно является экстремалью функционаая 7.1.7] .
Используя способ исследования функционала на экстремум, рассмот-
ренный в § I, моэдю убедиться в том, что на полученной правой
функционал	имеет алсолотпый максимум и этот максимум равен
I/T2. Следовательно, рассматриваемая иэопэриметричосчая задача ли-
шена смысла, так как весь класс допустимнх кривых состоит >к од-
ной, голучетной выше кривой.
-38-
Задада £08 (1244).	при условии
йх/-) dx = 2-
V v
Ответ: ^ = 3х’ - 2х , Z =х и	, Z=x-
Указание. Изопериметрическая задача для функционала,
зависящего ст вектор-функцин сводится к задаче на оезуслсвный экс-
тремум аналогично случаю Функционала, зависящего от одной функции.
Задана ЮЭ.	при условии
'lb*] = £ ( 'j' + 2х» * 5	<*Х г Y
Ответ: у = i-|л3, 2-2^-4/ и ^-1 + '/* + f *\ 2= 2,-Лх.
§ 4. ЗАДАЧА ЛАГРАНКА
Задача Лаграняа заключается в отыскании экстремума функциона-
ла	X,	X,
XfMFRY.YM* = J	(23)
X»	X.
среди класса допустимых кривых, удовлетворякЛдах граничным услови-
ям и дополнительным условиям связей вида
C-Jx.Y.Y'^o (С=1Л...к) , оз)
причем число связей К полило быть меньше числа л неизвестных
функций. Связи вида (33) называются неголономными. Связи, не со-
держащие производит неизвестных функций, называются голономпыми.
Если вектор-функция Y дает экстремум фушсционалу (23), то необ-
ходимо зта функция является экстремалью функционала
KEY] =£n(x.Y,Y')dx,	(34)
гда Hfx.Y.Y') = Ffx.Y.Y'j’+EXW^x.YY')	(35)
и Л(Х) ( L = I, 2 ... К ) - неизвестные функции переменной X .
Задача ПО. Среда кривых, лежащих в плоскости X + ^ + 2 = I и
проходящих через точки А (I,1,-1) и В (2,1,-2), най-
ти 4ту, которая дает экстремум функционалу 3(ц.2] =
Решение. Составим функцию Н = ij' -Hi' +"Х(х)( к* у +?-i) и
напишем систему уравнений Эйлера для функционала (34)
=0,
jilxl-d-i-a1. = 0.
- 39 -
Учитывая условие связи X + у + 2 =1, имеем систему трех
уравнений для определения трех неизвестных функций у(х), Z(x) и
X (х). Так как для решения задачи нужно найти функции Ч (X) и
2(х), то исключим Мх) из полученной оистеглн и придем к двум
•'равнениям jj(2 у1 -22 ) = 0 и X + ^ + 2 = I. Общее реше-
ние дается формулами у - у (I - X +с,х + сх), z = l (i .
-X - С, к - Сх). Используя условия прохождения через точки А и
В , получим искомое решение = I, 2 = - X ,
В задачах Ш-114 найти кривые, которце могут давагь экст-
ремум функционалу	среди класса допустимых гладких кривых,
удовлетворяющих граничным условиям п соответствующему условию
связи.
Задача ПТ.
Ответ:
Задача 112.
Ответ:
Задача ИЗ.
Ответ:
Задача 114.
Ответ:
3[*j,z] =	г^*_ при условии л+2 = а«^зХ-
ц = X OXctjX - j irv(‘*x4 4 г ®"г , 2 - Clvlj X - у •
= Г (з* -s'z'-2’ )<h при условии Х+8 =2.
о=5- 2х ?Л’г = 5 - х .
J[a,z] =Г( u'z + Х2+I*j,l)<h при условии t +
{ 0,0,0)
+ 2x3 +	°- х
^ix’-fx г=|’(£-х‘-х<).
при условии
6Т( 2^ -ТЙ = 2XJ.
(2 + v)CoSX +^-(3 + Х*),

Задача 115. Найти геодезические линии конуса К* + у1 = z’ 4/el,
где 0 < •*- < ^4 •
Решение. Линия, проведенная на поверхности через любые две течки
и имеющая наименьшую длину, называется геодезической линиэй. Вве-
дем сферические координаты по формулам X = 9 s1*'® Cos'? , у =
= jStnOSln'f , 2 = jCosG . Уравнение конуса в новых координатах
Q = «* . Дифференциал длины дуги в сферических коорди'.нтах =
= .
Следовательно, задача сводится к построению кривой, лежащей па по-
верхности в = <*. и дающей минимум функционалу 7Гу, ©1 -
(<»».. т.1	_______________
=f J 9* +	* в J<f	. Так как на конусе &= Л. ,
то зтот функционал превращается в функционал ^[?>*]= f J +
- 40 -
+ s’Sin1*- Зч> , зависящий от одной неизвестной функции ? (7).
Д.И построения общего радения уравнения Эйлера, используем его
первый интеграл V f* $l svnlj.' - f	+ $lRnV' = С или
9г 5Ln.*J.	_	V V 14
~r~;i  'Л.\ ? = c • Решение этого уравнения удобно искать в
V + S **	t	j
параметрической (форме, введя параметр t по формуле Зч = ?51п’1
xtjjt . Решая уравнение, получим ? = C/S:nAUjt t <f = t/s,„a.4
+ С, . Исключая параметр t , получим общее решение в виде $ &
= с /s:»<i Coj(vs<.nJ - С,) , где постоянные с и С, определяются
из условия прохождения геодезической линии через заданные точки.
Задача По. На конусе X2 + у2 = Z2 найти кривую, имеющую наимень
ший момент инерции относительно оси .
Ответ: 1 = 2 = с / J/<o,	, где 7 . *F . 2 -ци-
линдрические координаты.
Задача Ц7. На конусе X2 + уг = Z* найти кривую, тлеющую наи-
меньший линейный момент относительно оси °2 .
Указание. Линейным моментом материальной точки отно-
сительно некоторой оси называется произведение массы точки на рас-
стояние от точки до оси.
Ответ: 7 = 7 = С	+ с.) •
Задача XI8. Найти геодезические линии на поверхности сферы радиу
са R .
Ответ: § = R , Ч + с, = etccos	_ дуги больших
кругов.
Задача П9. Найти геодезические линии на поверхности цилиндра
X1 + и’ = о2.
Ответ: ~i = а , 2 = с, у + с2 - винтовая линия.
Задача 120. За цилиндре X2 + у2 = а’ найти кривую, имеюаую
наименьший статический момент относительно плоскости
хо^ ( 7 > 0>.
Ответ: Z = й , '2=77 oK(cif +с,) .
§ 5. ECTECTBEHHUB ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И УСЛОВИЕ
ТРЖЗЕРСАЛЫЮСТИ
Если кривая	(х) даэт экстремум функщюналу =
= Г Ff	среда класса допустимых кривых, конец которых на-
'll -
ходится на кривой f (Х,у ) = О, то е точке пересечения кривое
v = у (хJ с кривой 4s ( х,^) =0 должно быть выполнено условие
трансверсальности	F - у1 _ Гы>
'	(36)
Если конец искомой кривой находится на прямой X = х, , ю в точ-
ке X, долило быть выполнено условие
Го] -О.	(37)
? I х=».
Если конец искомой кривол находится на прямой = у, , то дол-
яно быть выполнено условие
F-yTyl =о.	(38)
J Is*».
Условия (37) и (38) называются естественными граничными условия-
ми.
Задача 121. Найти экстремали функционала Л») =,) (»' * *2. ху) dx,
если точка ( х,, у,) находится на прямо): X = I.
Решение. Обицкл решением уравнения Эйлера для данного функционала
является функция у = х1 + С, X + с, . Учитывая граничное условие
(0) = 0, подушил Сг = 0. Так как точка (х„ у,) находится на
прямой X = I, то в этой точке должно быть выполнено естествен-
ное граничное условие (37), которое в рассматриваемом случае име-
ет вид	12 *у)|х.( = 2 3 |х=/ = 0, т.е.(3 х1 +	= 0.
Отсюда следует ct = - 3. Следовательно, искомой экстремалью
является функция 3 = х’ - з х ,
В задачах 122-127 найти экстремали функционалов JL^j , удов-
летворяющие соответствующим граничным условиям.
Задача 122. 1[у1= f 1 * <J’1)	, вали точка ( х«, ч«) распо-
ложена на прямой X = 0.
Указание. Для построения общего решения уравнения Эй-
лера, воспользоваться первым интегралом (22).
Ответ: у = у (
Задача 123 (1137).	, если точка ( Хи,^)
расположена на прямой X =0.
Ответ: Хг + У1 = 25.
‘•чъй
Задача 124. "3[yl=(Ji(xa,+s'l)Jx , если точка ( х,,у, ) расколо-
чена на прямой X = 3.
Ответ: у = I - *г/4,'
Задача 125.
Ответ:
Задача 126.
Ответ:
ЗЩЯЙ Ж-
Ответ:
Задача 128.
- 42 -
3(у] = f ( у1 + у'1 - 2у Strvx) Jx , если точка ( X,, у, )
расположена на прямой X =	•
U = iSin.X .
® г <г'•> *
ЗЫ= J ' Л + а‘м+У,}Jx’ если точка ( х«,у.) рас-
положена *ка прямой	X =1,
ц =-LxJ + J-X - £x<5nX-£+&v2.
’	12 (•£) г ,
3[у] =lwJ^ ,(- *!i "Ч)<*Х . если точка (	) рас-
положена на прямой X =1.
у = f(i Иих-Wx).	м
Найти экстремали функционала я*] =tlVxa'+^'
если точка ( х», у. ) расположена на прямой X = о и
точка ( х., у, ) - на прямой X = у .
Решение. Общее решение уравнения Эйлера для рассматриваемого фун-
кционала имеет вид =c,Cosx +с,.згп х + I. Естественное гранич-
ное условие Fji = 2 х -2%	=0 должно иметь место как при
X. = 0, так и при X, =4к . Отсюда подучаем систему уравнений
для определения постоянных С, и ct: 2х - 2(-с,binх+с,с<»х)]ХД
=-2 сг = О, 2 X - 2(-с,51пХ +qCo*X =ЗГ+ 2С, = 0. ’
Следовательно, искомой экстремалью является функция У = I -
- £ Cos X .
Задача 129 (1152). Найти экстремали функционала W.> 3’ -
+ УЯ +Н1 ) Л* • если точка ( х.,<»«) распо-
ложена на прямой X = 0 и точка ( у. ) - на
прямой X = I,
Ответ: J| = f ( х1 - ЭХ +1).	сх.,ч.>
Задача 130. Найти экстремали функционала
если точка ( Х,,у, ) расположена на црямо'й у- = I.
Решение. Общим решением уравнения Эйлера для данного функционала
является функция ¥ =-4х1 + с.х + С2 . Используя граничное ус-
ловие у-(О) = 0, получим сг = 0. Так как второй конец кривой на-
ходится на прямой у- =1, то в точке ( *•	), где у, =1, долж-
но быть выполнено естественное граничное условие (38), которое в
рассматриваемом случав имеет вид F - м( = ху'+ я'* -
- Ч‘(Х + ?-У'	- 0. т.е." “§*£, =0.
Так как точка ( х, ,1) должна принадлежать искомой экстреиаян, то
I = - Х,/4 + с,х, . Исключая Xi из полученной системы двух ура-
внений, получим с,1 с I, или С, = £ I. Следовательно, существу-
- 43 -
ют две экстр клали у = - Х*/4 + X , удэвлетворяюцье условиям за-
дачи .	в
Задача 131. Зайти экстремали функционала 3[у] = У* * Й‘ ~ jtH*’
если точка А ( X. >м.) расположена на прямой X = С,
точка В ( х, ) - на прямой у = 1/2.
решение. Так как подынтегральная функция не зависит явно от X ,
то уравнение Эйлера имеет первый интеграл Г -	=(/*
_ у'. Zy' = С . С другой стороны, при Л = Уг должно выпол-
няться естественное граничное условие F - 4' Fj| в = О, отсюда
следует С - 0 и, следовательно, уравнение для экстремалей имеет
вил у1 - у‘ = З/К. Решение этого уравнения удобно искать в
параметрической форме, вводя параметр t. по формуле у1 =
Тогда дифференциальное уравнение запишется в виде системы у- =
= J-/?ckt , у*	, р0шая это уравнение, получаем X + с, =
= t , так что у. = th. (х + с,). Используя естественное
граничное условие в точке А , которое имеет вид у* (0) = О, поду-
чим 6, - о. Итак, единственной экстремалью, удовлетворяющей ус-
ловиям задачи, является кривая у = ^-/з сКх. в
Задача 132. Найти экстремали функционала	”3[уJ = J (ДМ та' Н*,
если точка В расположена на прямой у = 2.
Ответ: 2у = х‘ , 2у=(х+2)г.
Задача 133. Найти экстремали функционала 3["/] — J <^х ,
А	Э
если точка А ( Х.,у, ) расположена на кривой у = х+1.
Решение. Общим решенном уравнения Эйлера для рассматриваемого
функционала является функция у- = с,х1 + С2. Нз граничного усло-
вия у (0) =0 следует Сг = 0. Для определения постоянной С, ,
обратимся к граничному условию (условию трансверсальности (33)) в
точке А ( х.> у, ), которая является точкой пересечения искомой
сривой и кривой у - X1 -J = 0. В нашем случае условие транс-
»ерсальности имеет вид	— - 1^2.1 где
. *3» 1
У = 2 с, х . Упрощая это уравнение, получаем уравнение 2L, х, «
2 с, х, - 6 х,г ) = О, которое связывает между собой С, и X, . С
ругой стороны точка А является точкой пересечения кривых, так
то ц, х,1 = х,д + I. Решая совместно два уравнения, получаем два
•ешечия С, = 0. X, ~ -I и С, = 3/У1 , х. = 1/УГ . Слодова-
ельно, получены две экстремали у = 0 и у = з*1/;/Т, удовле-
- 44 -
творяяцие условиям задачи.
В задачах 134-137 найти экстремали функционалов 3[^] , удо-
влетворяющие указанным условиям.
А **zi 1—'
Задача 134. ?(«] = * Х d> , если точка А лежит на кривой
Х*+ 4 £'”= 10.
Ответ: у =
Задача 135. Tf'j] ~ J (у *d'*)dx • еоля точка А лежит на кривой
У = х1-
Ответ: у	У ~	+	~ 80^)(х~2) •
Задача 136.	7[м] - I g'^dx . если точка А лежит на кривой ^х=
= 4Х .*
Ответ:
Задача 137.
Ответ:
у = 0. у = ЗХ .
'ЗГч] - 1 u\A + a'ldx, если точка А лежит на окруж-
’	(<м>> а
кости ( х - 9)г +	= 9.
( X - 4)х +	= 16.
В задачах I38-I4I найти кратчайшее расстояние между двумя
кривыми.
Задача 138.	= X1 и Хг -	= 5.
Решение. Если рассматривать кривую > (х), то длина ее от-
резка, заключенного между точками А ( Xi, у. ) и В ( Xi>!h) равна
CLUJ =(j Ji » ч,х Jx . Задача о наименьшем расстоянии между двумя
кривыми заключается в нахождении минимума Функционала Ц%] среди
множества гладких кривых, конца которых находятся на двух заданных
кривых. Общим решением уравнения Ойлера для функционала tt'j] яв-
ляется двухпараметрическое семейство прямых Ц = с, х + С г .
Функционал Е [ у] является частным случаем функционала гео-
метрической оптики, для которого условие трансверсальности пред-
ставляет собой условие ортогональности.	г
Пусть точка А ( X,, у,) лежит на кривой 4 = X и точка
В (	- на кривой Xх- у* = 5. В точке А должны выполня-
ться условия у, =С,х, + с2> у, = х, и условие ортогональности
ci = - -5^ . Аналогично, в точке В должны выполняться условия
у, = c.Xi+ Ci,	- у* = 5 и условие ортогональности ci = -
Решая систему шести уравнений для шести непзвестннх С, , cs, х, , ylt
Xt , у, , получим X, = +/5$ , У, = 1 , х» = +/ь , уг= 1,
45-
С, = +	<^ = 2. Отсюда получаем искомое расстояние I = ^7Д.
задача 139. Хг + I и У? = ( * - ТГ )* .
Ответ: £ = i/e/ - I.
Задача 140. 2	=_х* и ( X - 6)* + уг = 5.
Ответ: £ = У 5
Задача 141. у = х’ + I и * = jj* + I.
Ответ: £ = З/э/Т .	*
Задача 142. Среди кривых, удовлетворяющих условию 1|(ц] = Jo &dx =
=2, найти те,л которые могут давать экстремум функцио-
налу т(з] dx . если точка А ( л,, у, ) находится
на кривой = 3.
Решение. Как известно, решение иэопериметричеокой задачи должно
быть экстремалью Функционала (32) К[и] = J'( у'*+Лу )«>* . Об-
щее решение уравнения Эйлера для этого функционала имеет вид % =
=	+ qX + Ci . Используя граничное условие £ (0) = I,
получим С. = I, Для определения неизвестных Л , с, , X, и И,
имеем следующие уравнения: х, у, =3, у, - ± А х,1 + с. х, + I,
1, Lit] = Л х* + j-c, х* + х, = 2 и условие трансверсальности в
точке А ( х,, н, ). в изопериметричеокой задаче искомая функция
у (х) в точке А ( х,, у, ) должна удовлет
сальности не для функционала X al , но д
так что четвертое уравнение будет ———
или подсобное -----------= ------г----. Решая полученную си-
Я,	Л‘
стему четырех уравнений, подучим X, = 3, у, = I, С, = -2/3,
Л = 8/9. Итак, имеем единственную кривую, удовлетворяющую ус-
ловиям задачи, у = f х1 -^х + I.	х_
Задача 143. Среда кривых, удовлетворяющих условию ( уг4 у y'ldx »
= I - е1 , найти те, которые могут давать экстремум
йуккциснаду 3[у] = \ ц'1 dx , если точка А ( х, ,ч,)
"	Ю.е>
находится на прямой у = I.
Ответ; у = е?*'.
Задача 144 (1231). Точку (0, 8 ) оси 0^ соединить с осью оХ
кривой, ограничивающей вместе с осями ох и
©у данную гиощадь и образующей при вра-
орять условию трансвер-
я функционала И[&] ,
_	1Ч1 I
3 1л * 'а ’
- 46 -	М 5-4 5
щенаи вокруг оси ОХ поверхность, имеющую на-
именьшую площадь.
Ответ: у « ₽>	-
о	15
Задача 145 (1232). Из начала координат плоскости хоу провести
кривую о а длины 8. , кончающуюся на пряло й.
у = k. ( К. < & ) и ограничивающую вместе с
ординатой точки А и осью ох наибольшую
площадь.
Ответ: ( X t А )’ + Ц1 «	, где Л есть корень уравнения
e/j\ = **/> такой, что 0 < ь/л < з7 .