МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Ю. Б. Иванов Е. П. Фетисов Ю. Д. Фнвейскнй
ПРАКТИКУМ
ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Часть 1
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва 1999

УДК 530.1@76.5) + 531.19@76.5)
ББК 22.317.2я73
И 20
Иванов Ю. Б., Фетисов Е. П., Фивейский Ю. Д. Практикум по
статистической физике: Учебное пособие. Ч. L М.: МИФИ. 1999-112 с.
Настоящий практикум является первой частью учебного пособия по
статистической физике - одному из разделов читаемого в МИФИ курса
теоретической физики. Содержит шесть глав, в которых приведены условия
задач и рассмотрены методы их решения.
Предназначен для студентов физических факультетов МИФИ и
физического колледжа.
Рецензент проф. д-р фпз.-мат. наук А. Б. Хмелинин
Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ
ISBN 5-7262-0224-4
Московский государственный инженерно-физический институт
(технический университет), 1999

ВВЕДЕНИЕ
Практикум представляет собой первую часть учебного пособия
по статистической физике - одному из разделов курса
теоретической физики, читаемого в МИФИ студентам физических
факультетов. В эту часть практикума включены задачи по основам
термодинамики и статистики, распределению Гиббса и его
применению для классического и идеального газа, а также
соответствующий математический аппарат.
Каждая глава практикума начинается с краткого изложения
основных понятий и формул, используемых при решении
поставленных задач. Задачи каждой главы подразделяются на три
категории (I, II, III). Задачи первой категории - типовые задачи,
для каждой из которых приведено подробное решение. К задачам
второй категории относятся сравнительно простые задачи,
снабженные указаниями и ответами. Наконец, к третьей категории
отнесены задачи более сложные, которые можно использовать в
качестве домашнего задания при самостоятельных занятиях.
Большинство таких задач снабжено лишь ответами.
Пособие рассчитано на студентов физических факультетов
МИФИ и Физического колледжа.

Глава 1. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 1. Специальные функции
и часто встречающиеся интегралы
При решении задач, предлагаемых в этом практикуме, часто
встречаются математические соотношения, сводящиеся, в
конечном счете, к довольно ограниченному числу интегралов и
специальных функций. Значение этих интегралов и специальных
функций всеща можно найти, обратившись к соответствующей
справочной литературе. Освободиться от необходимости частого
использования справочников и существенно увеличить скорость
решения задач можно, выполнив самостоятельно задания,
предложенные в § 1.
Некоторые специальные функции
1. Гамма-функция - по определению:
V(x)^fe'ttx^ldV9 A.1)
о
основное свойство:
Г(г + 1)-хГ(г); A.2)
частные значения гамма-функции:
ГA) = 1, ГA/2)чЯ
Удобное соотношение, основанное на A.2)
во
fe-xx*dx = n\ A.3)
о
где п — натуральное число.
2. Интеграл ошибок - по определению:
X
Ф^ег/ф^ /V'2rfr; A.4)
ft о
2х
при х «1 Ф (х) » —.
ft
4

При очень больших х функция стремится к единице. С
интегралом ошибок связан интеграл Пуассона (см. ниже).
3. Часто встречающийся интеграл
[?1*1=A-21'х)Г(х)<;(х) (х>0)
а ег+1
выражается через табулированную дзета-функцию Римана <;(*).
4. Дельта-функция - специфическая функция, обладающая
следующими свойствами:
6(х-д)=0 х*а\
б(дс-а) = оо х=а;
ъ
f b(x-a)dx = l 0<a<b; n -
b
f6(x-a)dx = 0 a<0; a>b.
о
Дельта-функция может быть представлена в различных
формах. Мы будем использовать интегральное представление
функции:
+«•
5(х) = — fe,kxdk. A.6)
-•о
Дельта-функцию удобно использовать при вычислении интегралов,
в частности:
с
ff(x)b(x-a)dx=f(a), (bzaic).
ъ
Задачи
1.1. Вычислить интеграл
/(«) = f e-"x*dx.
— «о
(Он называется "интеграл Пуассона".)

1.2. Вычислить интеграл
/2(а) = jV"Vd*.
— ее
Вычисление провести с использованием интеграла Пуассона.
13. Вычислить интеграл
/.(«)- fe-**\*dx,
— о»
где п - натуральное число. Рассмотреть отдельно случаи четных
и нечетных п.
1.4. Убедиться в том, что
[exxndx = nl,
о
где п — натуральное число (включая п = 0).
15. Используя определение гамма-функции A.1),
непосредственным вычислением убедиться в том, что
Г(х + 1)=хГ(х)9 ГA/2) = ^
и Г(л + 1) = л!, если п — натуральное число.
1.6. Связать гамма-функцию, интеграл ошибок и интегралы
Пуассона, убедившись в том, что при определенных условиях они
совпадают.
1.7. Записать формулу для приближенного вычисления
факториала. Для этого вычислить сначала In л!, переходя от
суммирования к интегрированию. Убедиться в том, что
п\ *ппе~п.
1.8. Провести "численный эксперимент", используя
приближенные формулы для вычисления факториала:
1) п\=ппе~п - упрощенная формула Стирлинга;
б

2) п! = у/2пп пяе~п - формула Стирлинга для л ~ 1 л > 1 л » 1,
сравнивая результаты с табличными значениями факториала.
1.9. Убедиться в том, что выражение
б(х) = J- feikxdk
2я __
обладает всеми свойствами дельта-функции, а именно:
¦ ее
б (х) = 0 при х*0; 6(х) = «> при х = 0, f i(pc)dx = l.
1.10. Выразить 6 (-jc) и 6(Jtx) через исходную 5(х).
1.11. Вычислить интеграл
f jc_dx_
I ех+\
При суммировании ряда, получаемого в ходе вычислений, можно
использовать сведения, полученные в математическом
справочнике.
1.12. Вычислить интеграл
•о
xdx
г хах
^ + х - 1
1.13. Вычислить интеграл
" хъйх
о
1.14. Вычислить интеграл
г х'ах
{ ех+1
ft2edt,
о
выразив его через интеграл ошибок Ф(х).
7

1.15. Известно, что объем трехмерной сферы равен
3 3
а объем двухмерной сферы (площадь круга) равен
К2=яД2.
Определить зависимость коэффициента при RN от числа N.
Найти VN объем W-мерной сферы.
§2. Статистическое описание систем.
Вероятности и функции распределения
При описании систем, содержащих большое количество
частиц, целесообразно использовать статистический (вероятностный)
подход. В соотношении
d Щх, у, Z) = Р (г, у, zjdxdydz A.7)
под d W будем понимать вероятность того, что переменные
jc, у, z заключены в интервалах:
[х; х + dx]; [у; у + dy]; [z; z + dz],
p(x,y,z) называется плотностью вероятности, a dxdydz = dV -
элементом объема.
В общем случае число переменных может быть сколь угодно
большим.
Подразумевается, что
/р(х,у, z)dV~l. A.8)
Это соотношение называется условием нормировки.
Вероятности бывают непрерывными и дискретными. Равенство
A.7) относится к непрерывному распределению. Дискретные
распределения подразумевают, что статистически описываемая
величина может принимать только определенный ряд значений,
8

которые можно пронумеровать. Величина Wn - вероятность того,
что дискретная величина принимает п-значение.
Условие нормировки дискретного распределения -
EIF.-1. A.9)
Суммирование производится по всем возможным значениям л.
При вероятностном описании основную роль играют средние
значения случайных величин и их зависимость от параметров
системы.
В задачах этого параграфа рассматриваются общие понятия
и соотношения.
Среднее значение непрерывной функции f(x) обозначается как
щ или </(*)>.
Средние значения вычисляются посредством интеграла:
№=(/(*))= }f (*)p(x)dx. (L10)
При дискретном распределении
/=</> = ? *U,- (in)
п
Дисперсией функции / называется величина А/,
определяемая из соотношения
А/^(/-</>Л A.12)
Относительная дисперсии, или флуктуация равна:
»/=^ A.13)
Заметную роль в статистическом описании играет энтропия»
Эта величина будет неоднократно использоваться в следующих
главах. Под статистической энтропией мы будем понимать
величину а, где
a = -/plnprfF A.14)
или а = -? WntoWn A,15)
л
9

(энтропия, удовлетворяющая соотношению A.14), определена с
точностью до константы).
Если известна плотность вероятности для нескольких
переменных, то плотность вероятности от меньшего числа
переменных может быть получена путем итерирования (или
суммирования) по исключаемым переменным. В частности:
nm n9
м
p(?,y)=fp(?9y9z)dz;
в
p(d = ffp(x,y,z)dydz-
л в
Здесь Л — область определения переменной z9 а В -
переменной у.
Между различными переменными возможна определенная
зависимость, которая характеризуется коэффициентом
корреляции
J><(r-S)(y-y)>
или, в общем случае, корреляционным моментом Ктп:
**„ = <(•*-*Иу-50п>.
Можно показать, что если коэффициент корреляции (или, кратко,
корреляции) равен нулю, то различные переменные друг от друга
не зависимы и плотности вероятности, относящиеся к различным
переменным, перемножаются:
Р(х,У) = р(х)р(у)'
Задачи
1.16. Плотность вероятности р(х) постоянна на отрезке [О, Ь]
и равна нулю вне отрезка. Определить значения
jc, jc2, Ajc, 5jc.
ю

1.17. Плотность вероятности имеет вид
(*-*оJ
9(х)=Ае • .
Определить нормировочный коэффициент А, а также вычислить
х и Ах, связав их с параметрами jc0, a.
1.18. Рассмотреть трехмерное распределение
p(x,y9z) = p(r)=Ae-r2,r\
где r = Jx2 + y2 + z2- Вычислить нормировочный коэффициент,
средние значения г, г2, а также дисперсию Аг и относительную
дисперсию б г, связав их с параметром г0.
1.19. На плоскости XY очерчен круг радиусом Л. Все точки
круга равнодоступны. Определить плотность вероятности p(jc).
120. Материальная точка колеблется по закону
jc(f) =jc0cos cof.
Определить средние значения х и х2, а также дисперсию Аде и
относительную флуктуацию Ьх.
1.21. Двумерное распределение характеризуется плотностью
вероятности
9(х9у)=А (*2 + у2),
причем х[0; а]; у[0; Ь].
Вычислить коэффициент корреляции
*-«*-*)(У-У)>.
а также плотность вероятности
PW-
122. Полагая, что трехмерное распределение характеризуется
в сферической системе координат плотностью вероятности
р(г, в, <p)=AR(r)sm2Q,
11

определить вероятность того, что частица находится в интервале
угла Гв0; 6o + d01 при любых значениях г и <р.
1.23. Основываясь на принципе максимальности энтропии
определить плотность вероятности р(х), если известно, что х = х0
(х0 — заданный параметр задачи), а функция определена
при jc^O.
1.24. Плотность вероятности р(х) определена на отрезке [а, Ь]
и равна нулю вне его. Основываясь на принципе максимальности
энтропии определить р(х).
1.25. Плотность вероятности р (х) определена для любого х.
Известно также, что Зс = jc0 и Ajc = о (где х0 и о - заданные
параметры). Основываясь на принципе максимальности энтропии
определить вид функции распределения.
1.26. Двухмерная система описывается плотностью
вероятности p(jc, у), причем переменные х и у независимы, т.е.
*-<(*-*) (у-у)>-0.
Какими свойствами должна обладать функция р (х, у) ?
127. Определить вероятность нахождения частицы в интервале
[ау Ь], если плотность вероятности имеет вид
р(х)=Ле'х2/о
(параметр о - задан).
1.28. Дано трехмерное распределение
_ x2+y2+z2
p(x,y,z)=Ae r°
Записать плотность вероятности для координаты х, а также
вычислить х9 х2 и Аде.
129. Определить значение х*, соответствующее условию
W{0,x*) = W{x\ ~),
если плотность вероятности равна р(х) =Ле~х 1о.
12

130. В объеме V существует N невзаимодействующих частиц.
Найти вероятность того, что в объеме v^V находится nzN
частиц. (Соответствующее распределение называется
распределением Бернулли.)
131. Рассмотреть предельный случай распределения Бернулли
(задача 1.30), когда n«N. Соответствующий предельный переход
приводит к распределению Пуассона.
132. Полагая, что в распределении Пуассона (задача 1.31)
л-л = Дл, Ал «л, найти его предельное выражение.
13

Глава 2. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО.
ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ. ЭНТРОПИЯ
Для описания систем, имеющих s степеней свободы, в
статистической физике используется понятие фазового
пространства. Это - фиктивное 2s -мерное, введенное для удобства
математического описания, пространство, на осях которого
откладываются s обобщенных координат и s обобщенных
импульсов. Каждая точка этого пространства, которая называется
фазовой или изобразительной точкой, имеет в заданный момент
времени 2s -координат, соответствующих обобщенным координатам
и импульсам описываемой системы. С течением времени фазовая
точка описывает фазовую траекторию. Эта траектория отражает
особенности поведения системы во времени. В частности,
траектория может быть замкнутой. Она ограничивает в фазовом
пространстве некоторые фазовые поверхности с определенной
площадью.
Существует теорема Лиувилля, в соответствии с которой,
фазовый объем, занимаемый определенным числом
изобразительных точек, с течением времени может изменить свою форму, но
не меняет величины. Понятие статистической энтропии вводилось
в гл. 1. Если в замкнутой макроскопической системе выделить
малую часть - подсистему, то для такой равновесной подсистемы
можно ввести аналогичное понятие - энтропию, зависящую от
средней энергии подсистемы Е:
S®=toteM. B.1)
BяА)'
Здесь Ар=рг... Lps Aq = Д^... А^ - постоянная Планка. Величина
Аг JUa - ~
представляет собой число различных квантовых состоянии
B*ЬУ
подсистемы с энергией Е. Число состояний будем обозначать
АГ(е), так что
5(?)=1пАГ(я). B.2)
14

В соответствии с A.14) и A.15) энтропии можно дать и другие
определения:
S®-J?W,lnWu, B.3)
я
где Wn - вероятность нахождения подсистемы в п -квантовом
состоянии; в случае же квазиклассики
$(§)—/р(р, q)ln[Bnbyp(pq)]dpdq. B.4)
Здесь р(р, q) — плотность вероятности, а
dW(p9 q) = p(p, q)dpdq -
вероятность того, что подсистема имеет обобщенные координаты
q и импульсы р с разбросом dq и dp соответственно.
Задачи
I
2.1. Определить фазовую траекторию для частицы массой т9
перемещающейся вдоль оси х с постоянной скоростью и0,
12. Определить фазовую траекторию частицы массой ш,
перемещающуюся вдоль оси х с начальной скоростью v0 при
наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости.
23. Изобразить графически в фазовом пространстве траектории
материальных точек массой т, двигающихся вдоль оси z с
ускорением g и проиллюстрировать справедливость теоремы
Лиувилля.
2.4. Точка массой т движется на отрезке 0 z х й I и абсолютно
упруго отражается от стенок при jc = 0 и х = 1. Требуется:
а) изобразить фазовую траекторию; б) определить объем фазового
пространства; в) найти число квантовых состояний с энергиями
меньшими или равными Е.
2.5. Для одномерного гармонического осциллятора изобразить
фазовую траекторию, отвечающую энергии е.
15

2.6. Система может находиться в любом из N различных
состояний. Вероятность каждого состояния равна W.9 причем
N
5^ Wt = 1. Используя понятие энтропия B.3), метод неопределен-
;=i
ных множителей Лагранжа A.14), A.15), показать, что максимуму
энтропии соответствует равновероятное распределение
при котором 5 = lnN.
II
2.7. Определить фазовую траекторию одномерного
гармонического осциллятора с малым постоянным трением.
2.8. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для системы
материальных точек, двигающихся по инерции вдоль некоторого
направления.
2.9. Координаты трех одномерных гармонических осцилляторов
зависят от времени по заданному закону:
*1 =
2е
sin а) Г, хг-
2(е + Ас)
sin со ty JCj =
N maJ N тсо2 ^
2с
sin(cot + 6).
то2
Убедиться в справедливости теоремы Лиувилля.
2.10. Используя результаты задачи 2.4 убедиться в том, что
величина фазового объема при заданной энергии не меняется при
медленном движении стенки * = /(*), (адиабатическая
инвариантность).
2.11. Система характеризуется переменной х.*0, которая может
принимать только дискретные значения. Определить вероятность
W.9 если известно, что *. = Exf. W. = xQ9 а энтропия максимальна.
Результат сравнить с решением задачи 1.23.
III
2.12. Определить фазовую траекторию частицы массой т и
зарядом -е, движущейся под действием кулоновскои силы к
16

неподвижному заряду +ех. Начальное расстояние равно г0,
начальная скорость равна нулю.
2.13. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для
абсолютно неупругого удара двух частиц.
2.14. Проверить справедливость теоремы Лиувилля для упругого
центрального соударения двух частиц с различными массами.
2.15. Определить и начертить фазовую траекторию для
физического маятника массой /и, момент инерции которого равен
/, а приведенная длина L. Рассмотреть случаи:
1) z0>2mgl; 2) e0 = 2mgZ; 3) z0<2mgl9
где с0 - начальная энергия маятника.
2.16. Найти площадь, заключенную внутри фазовой траектории
осциллятора, отвечающую энергиям меньшим или равным с.
Определить число квантовых состояний Г(е).
17

Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Термодинамический подход используется при описании систем,
содержащих большое число частиц. Он основан на выявлении
связи между термодинамическими параметрами. Для газов, не
находящимися во внешних полях, такими параметрами являются:
V - объем, Р - давление, Т - температура, S -
термодинамическая энтропия.
Согласно первому закону термодинамики (первому началу
термодинамики)
dQ = dE + dA. C.1)
Здесь dQ - количество тепла, переданного системе; dE -
изменение ее внутренней энергии; dA - работа, совершаемая
системой.
dA=pdV. C.2)
Второе начало термодинамики связывает количество тепла с
энтропией и температурой:
dQ = TdS. C.3)
Объединение первого и второго соотношения приводит к
дифференциальному выражению для внутренней энергии:
dE(S, V) = TdS-PdV. C.4)
Используются также функции:
F(T, V) - свободная энергия, где JF= -SdT-PdV;
W(S> P) - тепловая функция, или энтальпия dW=TdS + VdP\
Ф(Т9Р) - потенциал Гиббса, где d<b = -SdT+VdP.
Е9 F, W и Ф называются термодинамическими
потенциалами.
Различные термодинамические параметры связаны между
собой уравнениями состояния. Преобразование этих
уравнений основано на математических законах преобразования
функций нескольких переменных. В частности, если известны
функции
и(х, у) и и(х9 у),
18

где х и у выбраны в качестве независимых переменных, то
переход к другой паре независимых переменных и, у
осуществляется по закону:
dudu-Dlv>u)dxdy9
D(x9y)
где
D(v, и) _
D(x,y)
функциональный определитель.
dv 9 ди\
дх' ду\
ди 4 ди
дх9 ду\
Для функциональных определителей справедливы
соотношения, напоминающие соотношения для обычных дробей.
"Числитель" и "знаменатель" можно "сокращать", или "умножать"
на одну и ту же величину:
Р(и, и) _ Р(и, у) Р(х, и)
Р(х9у) Р{ху у) D{x,yY
Определители с совпадающими элементами сводятся к
обычным частным производным:
ду\ _ Р{уу
дх)у Р(х,
У)
Р(У, у)
D(x9y)'
Используя симметрию вторых производных можно получать
перекрестные соотношения:
dF(x9 y)=u(x, y)dx+ у(х9 y)dy;
ди\ #F _ &F Jdv\
ду)х дудх дхду [дх)у
Указанные математические правила используются при решении
термодинамических задач.
19

Задачи
I
3.1. Убедиться в справедливости соотношения
дСу\ -J?l)
dV)T~T{dT*)
32. Убедиться в справедливости соотношения
(dP/djfy
' v (dP/dV)T
33. Убедиться в справедливости соотношения
B1) = El B1)
B1.) = El B1)
(dp)s c„UPJr'
3.4. Используя перекрестные соотношения, выразить
[dV)s " [dV)T
через производные при постоянном объеме.
3.5. Найти зависимость скорости звука в идеальном газе от
температуры.
3.6. Найти зависимость адиабатического коэффициента
объемного расширения от температуры для идеального газа.
3.7. Идеальный газ помещен в два различных изолированных
сосуда с одинаковым давлением и температурой. Определить, как
изменится энтропия системы, если сосуды соединить.
3.8. Определить работу, количество тепла и коэффициент
полезного действия в цикле Карно, т. е. в процессе, состоящем
из двух изотерм и двух адиабат.
3.9. Определить работу и количество тепла в идеальном газе
при циклическом процессе, состоящем из двух изохор и двух
изобар.
20

II
3.10. Убедиться в справедливости соотношения
3.11. Доказать соотношение
3.12. Убедиться в том, что
дР)у~ т[дР)у
3.13. Показать, что
(дТ\ =_J_(dP\
(dV)8~~ Сг(дТ)у
3.14. Убедиться в том, что энергия идеального газа зависит
от числа частиц и температуры и не зависит от объема.
3.15. Определить работу и получаемое газом тепло при сжатии
идеального газа при политропическом процессе:
PVn = const.
3.16. Определить общий вид уравнения состояния вещества,
теплоемкость которого не зависит от объема, но зависит от
температуры.
3.17. Определить коэффициент полезного действия цикла
Клапейрона, состоящего из двух изотерм и двух изохор.
3.18. Определить изменение энтропии идеального газа,
изотермически расширяющегося от Vx до V2.
3.19. Два баллона одинакового объема содержат идеальный газ
с различным давлением и температурой. Определить изменение
энтропии после соединения газов.
21

Ill
320. Показать, что при адиабатическом уменьшении давления
его температура понижается, если коэффициент объемною
расширения положителен, и наоборот.
321. Определить коэффициент Джоуля-Томпсона I — I
\dP)w
(здесь W - тепловая функция), выразив его через уравнение
состояния Р(Т, V),
322. Два идеальных газа с фиксированными объемами Vx и
V2 и теплоемкостями имеют в начальный момент температуры
Тх и Т2. Работающая тепловая машина в цикле Карно использует
первый газ в качестве нагревателя, а второй - в качестве
охладителя. Процесс продолжается до момента выравнивания
температур. Получить выражение для совершенной работы. Как
изменится при этом энтропия?
323. Выразить коэффициент объемного расширения
~v[df)P
1 (dv\
через изотермическую сжимаемость — — , используя
V{dPJT
уравнение состояния P(V9 T).
324. Полагая, что
I)/ -(f); >-ШЪ Mil
доказать соотношение
у ^Т
СР
3.25. Показать, что величина у = — удовлетворяет соот-
Cv
ношениям
22

_(дПдУ)а у _(дР/дТ)а
У~(дР1дУ)т' у-1~ (ЭР1дТ)т'
ще индекс а обозначает величину, постоянную для данного
адиабатического процесса.
3.26. Показать, что
дЕ\ (дЕ\ =(ЭЕ\ (dV)
дТ)г~[дт1~[дУ)т{дТ)р
3.27. Показать, что
3.28. Выразить (dPjdT)v через коэффициент объемного
расширения и изотермическую сжимаемость.
329. Определить коэффициент объемного расширения и
изотермическую сжимаемость для идеального квантового газа,
уравнение состояния которого PV = AT*9 ще Л - постоянная.
330. Показать, что энтальпия идеального газа не зависит от
давления и определяется только температурой.
331. Доказать, что из условия устойчивости
следует, что Ср>09 причем Cp>Cv.
332. Цикл состоит из двух изобар и двух изохор. Показать,
что для вещества с постоянными теплоемкостями имеет место
соотношение
TtT3 = T2T4,
где Т. - температуры "угловых" точек процесса.
23

Глава 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
(КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ)
Распределение Гиббса является одним из основных
соотношений в статистической физике. В случае дискретного спектра
энергии (в этом случае говорят о квантовой статистике)
распределение имеет вид
Wn = Ae~EJT. D.1)
Здесь Wn — вероятность того, что некоторая подсистема
находится в л-м квантовом состоянии с энергией Еп, Г —
температура термостата. (Полная система считается замкнутой,
ее температура постоянна и однородна, т.е. одинакова во всех
точках пространства.) А — нормировочная константа; число
частиц подсистемы считается постоянным.
Используется термодинамическая температура Т9 которая
связана с абсолютной температурой Та соотношением Т-кТа, где
к — константа Больцмана. Средняя энергия частицы в этой
температурной шкале равна:
- m v2 3 т
2 2
В квазиклассическом приближении распределение Гиббса
имеет вид
dW(p,q)=Ae 7 Я?*± D.2)
BпЬУ
Здесь Е(р, q) - энергия подсистемы, выраженная через все
обобщенные импульсы р{ и координаты qt частиц, входящих в
подсистему; / - число степеней свободы; Ь - постоянная
Планка; А - нормировочная константа. dW(p, q) есть вероятность
того, что обобщенные импульсы и обобщенные координаты лежат
в интервалах p,p+dp и q9q+dq соответственно.
24

Соотношения D.1) и D.2) используются для вычисления
средних значений физических величин. Например, если Ф есть
такая физическая величина, то для случая квантовой статистики
Ф = ? Фп Wn, в то время как в квазиклассическом приближении
* = [<b(p,q)dW(p,q).
В частности, средняя энергия подсистемы равна:
Z = ZEHWn, D.3)
в квантовой статистике и
E=[E(p,q)dW(p,q) D.4)
в квазиклассическом приближении.
Отметим, что константа А в распределении Гиббса
определяется из условия нормировки:
EW=1; A= l
Е
е
EJT
ИЛИ
fdW{p.q)-U А= —I .
е т dpdq
Величина Z = ?e"?"/r D.5)
называется статистической суммой системы, а
Z=fe T *?±* - D.6)
J B*Л/
статистическим интегралом.
Величины Z зависят от температуры и от одного из
параметров системы, в частности, от объема или давления. Все
термодинамические функции подсистемы, упомянутые в гл. 3,
могут быть выражены через ZG, V) посредством соотношения
25

F=-T\nZ(T, V).
D.7)
Здесь F — свободная энергия подсистемы.
Подсистемы с переменным числом частиц описываются
большим каноническим распределением Гиббса. Вид этого
распределения приводится в следующих главах.
Замкнутые системы подчиняются микроканоническому
распределению, имеющему вид
dW(p, q)=constb(E-E0)^?. D.8)
Здесь б(х) - дельта-функция, свойства которой рассмотрены в
гл. 1; Е(р, q) - энергия системы, которая благодаря б-функции
остается постоянной и равной Е0. Из микроканонического
распределения следует, в частности, макроканоническое
распределение для подсистемы.
Задачи
I
4.1. Рассматривая квантовый гармонический осциллятор с
частотой <о в качестве подсистемы, записать для него
распределение Гиббса.
4.2. Рассматривая идеальный одноатомный газ с объемом V,
температурой Т и числом частиц N в качестве подсистемы, найти
для такого газа распределение по энергиям dW{E).
43. Используя микроканоническое распределение, получить
распределение Гиббса в квазиклассическом приближении, полагая,
что термостат - идеальный газ, имеющий температуру Г, а
число частиц термостата очень велико.
4.4. Имеется столб одноатомного идеального газа в поле
тяжести. Определить статистический интеграл этого газа.
Вычислить свободную, внутреннюю энергию и теплоемкость.
Рассмотреть предельные случаи высокого и низкого столба
газа.
26

4.5. Определить нормировочный множитель в
микроскопическом распределении D.8) для системы из N невзаимодействующих
частиц (идеального газа).
4.6. Определить термодинамические функции релятивистского
идеального газа содержащего N частиц в объеме V. Зависимость
энергии с частицы газа от импульса р имеет вид
e^(mc2f + (pcf.
Температура газа Г; т - масса частицы; с - скорость
света.
4.7. N магнитных моментов электронов во внешнем магнитном
поле образуют подсистему. Взаимодействием магнитных моментов
между собой пренебречь. Каждый такой магнитный момент в
магнитном поле может иметь лишь две ориентации и
соответственно два значения энергии ех и е2. Найти для такой
подсистемы:
а) распределение Гиббса. Для простоты принять, что «^ = 0,
е2 = е;
б) статистическую сумму;
в) свободную энергию, энтропию и среднюю энергию;
г) выразить энтропию S через среднюю энергию Е и,
1 dS(E)
принимая во внимание определение температуры — = —Ь2,
Т дЕ
убедиться в том, что температура Г подсистемы может принимать
как положительные, так и отрицательные значения. Изобразить
графически зависимость S от Е;
д) зная зависимость средней энергии Е от температуры Г,
найти теплоемкость Cv и выяснить величину этой теплоемкости
для Г-0 и Г-«>.
4.8. Найти среднее значение Еп (п>0) для одноатомного
идеального газа, содержащего N частиц (п - целое число).
27

II
4.9. Используя результат задачи 4.1, получить среднюю энергию
осциллятора ъ(Т)9 а также теплоемкость CV(T). Рассмотреть
предельные случаи низких (Г-0) и высоких температур (Г-«>).
4.10. Опираясь на микроканоническое распределение, получить
распределение Гиббса в квазиклассическом приближении, считая,
что термостат - набор одномерных невзаимодействующих
осцилляторов с заданными частотами. Температура термостата
7\ число осцилляторов NT»l.
4.11. Определить нормировочный множитель в
микроканоническом распределении D.8) для системы из N независимых
линейных гармонических осцилляторов.
4.12. Энергия идеального газа может быть представлена в виде
? = Ее., где ?. — энергия отдельной молекулы. Выразить
статистический интеграл газа через статистический интеграл
отдельной молекулы. Найти среднюю энергию газа, а также его
энтропию и давление.
4.13. N частиц идеального газа, находящихся в объеме V9
описываются микроканоническим распределением D.8). Энергия
газа Е. Вычислить для такого газа фазовый объем у, энтропию
S и температуру Т. Найти уравнение состояния такого газа.
4.14. Показать, что для системы с большим числом частиц
имеет место равенство Em-(E)my где m — целое положительное
число.
4.15. Показать, что каноническое распределение переходит в
микроканоническое для систем с очень большим числом частиц.
4.16. Показать, что для подсистемы с большим числом
невзаимодействующих частиц N (N - «>) наивероятнейшая энергия
^шах совпадает со средней энергией Е.
4.17. Обычно энтропия системы определяется формулой
S(E) = In А Г (в), где АГ(Ё) - число состояний системы,
находящейся в равновесии и обладающей равновесной (средней)
28

энергией Е. Иногда удобно определять энтропию с помощью
Е
формулы 5 = In J dT(E). Оба эти определения энтропии практичес-
о
ки совпадают. Это свойство получило название нечувствительности
формулы Больцмана. Доказать свойство нечувствительности
формулы Больцмана для частного случая идеального газа,
подчиняющегося закону равнораспределения,
4.18. Показать, что если энтропия системы выражается
формулой S = -Е W. In W{, вде W{ - вероятность нахождения
i
системы в i -м состоянии с энергией Et, то те значения W., при
которых энтропия максимальна, подчиняются каноническому
распределению.
4.18, а. Получить термодинамические функции для
подсистемы - трехмерного квантового гармонического
осциллятора, энергия которого ел = Аса(л+ 3/2) имеет кратность вырождения
gn = = ^ ^ '-. Квантовое число п может принимать значения
О, 1, 2,....
III
4.19. Дан идеальный одноатомный газ с числом части N и
температурой Т в объеме К. Используя распределение Гиббса в
квазиклассическом приближении (масса частиц газа известна),
найти:
а) распределение по энергиям такого газа как целого;
б) энергию газа Е^, отвечающую максимуму функции
распределения;
в) используя результат а), отыскать среднюю энергию газа
Е и сравнить ее с Е^, имея в виду, что число частиц газа
N»U
г) используя результат а), отыскать вид функции
распределения по энергиям вблизи Еш. Убедиться в том, что для N»l
ширина функции распределения по энергиям много меньше
шах
29

4.20. Дан идеальный газ, у частиц которого связь кинетической
энергии частицы с с импульсом р имеет вид с = ар \ где I и
а — постоянные положительные величины. Вычислить
статистический интеграл такого газа и, зная его, найти термодинамические
функции газа: свободную энергию, энтропию, среднюю внутреннюю
энергию, теплоемкости Cv и Ср. Найти также уравнение
состояния такого газа. Сделать предельные переходы к случаям
обычного одноатомного газа из нерелятивистских частиц и
одноатомного газа из ультрарелятивистских частиц.
4.21. Для подсистемы, имеющей / степеней свободы и
находящейся вблизи равновесия, выразить число состояний с
энергий в интервале Е9 E + dE через энтропию подсистемы.
4.22. Зная результат предыдущей задачи, найти число
состояний с энергией Е в интервале Е9 E + dE для подсистемы,
у которой:
- 3
а) E = — NT (трехмерный одноатомный идеальный газ);
б) E = NT (двухмерный одноатомный идеальный газ);
в) связь Е и Т имеет вид Ё = аТп (п*2). Число частиц в
системе велико (л - целое).
423. Дан двухатомный идеальный газ, молекулы которого
обладают электрическим дипольным моментом 3 l\3\ =d0 = const}.
Газ находится в постоянном однородном электрическом поле с0
и имеет температуру Т. Требуется:
а) найти добавок к свободной энергии рассматриваемого
идеального газа, обусловленный взаимодействием дипольных
моментов 3 с электрическим полем е0. Число молекул в газе
N9 объем газа V;
б) зная результат пункта а), найти вклад в теплоемкость газа,
обусловленный взаимодействием диполей 3 с полем с0;
в) найти распределение по углам электрических дипольных
моментов 3 в поле е0;
г) зная результат пункта в), найти выражение для
диэлектрической проницаемости газа в случае слабого поля с0.
30

424. Найти вклад в теплоемкость идеального газа из
двухатомных молекул, обусловленный ангармоничностью
колебаний молекул. Потенциальную энергию двухатомной
2
молекулы взять в виде ?/ = -^2_ + aq3 + $qA9 где х, а и р
постоянные величины; q — отклонение размера молекулы от
равновесного значения. Число молекул в газе N, объем газа V,
температура газа Т.
4^25, Дан одноатомный идеальный газ в объеме V,
Температура газа Г, число частиц N> масса атома т. Требуется:
а) найти величину фазового объема такого газа, имея в виду,
что газ находится в равновесии, и выразить ее через Е^Етах9
N и V;
б) найти энтропию такого газа, используя результат пункта а);
в) используя определение равновесной температуры тела,
выразить Е газа через Т и записать энтропию газа через Г,
N и V.
31

Глава 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
(РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА)
Идеальным принято называть такой газ, взаимодействие между
частицами (молекулами) которого настолько слабо, что им можно
пренебрегать. Отсутствие взаимодействия между частицами газа
позволяет свести квантово-механическую проблему определения
уровней энергии всего газа в целом к проблеме определения
уровней энергии отдельной частицы.
Важнейшей характеристикой идеального газа является
величина лк - среднее число частиц в данном квантовом
состоянии к. Для достаточно разреженного газа лк имеет вид
»к = е т E.1)
и удовлетворяет условию лс« 1, где \х - химический потенциал
газа; ск - энергия частицы в данном квантовом состоянии к9
Т - температура газа, измеряемая в энергетических единицах.
Распределение частиц по различным квантовым состояниям,
определяемое формулой E.1), называется распределением
Больцмана. Все обычные атомные и молекулярные газы при
нормальных условиях подчиняются этому распределению.
В квазиклассическом приближении вместо формулы E.1) имеет
место выражение
dN = e т dpdq^^ E2)
Bizb)r
где dN - среднее число частиц в идеальном газе, имеющих
обобщенный импульсы и координаты в интервалах от р до
p + dp и от q до q+dq соответственно; е(р, q) — энергия
отдельного атома или молекулы, выраженная через р и q\ h ~-
постоянная Планка; г - число степеней свободы атома или
молекулы.
32

Распределения E.1) и E.2) имеют место, если выполняется
условие
ще т - масса частицы; NQ — число частиц в газе; V - объем
газа.
Задачи
I
5.1. Используя распределение Больцмана в квазиклассическом
приближении, получить в декартовой системе координат
распределение Максвелла по импульсам и скоростям для
одноатомного газа.
5.2. Используя распределение Максвелла по скоростям в
декартовой системе координат для одноатомного газа, получить
распределение Максвелла в цилиндрической и сферической
системах координат.
53. Используя распределение Максвелла по скоростям, найти
средние значения:
a) vx; б) и; в) и2х.
5.4. Найти число частиц в единице объема идеального газа,
vz-компонента скорости которых лежит в интервале 0zvz?v°z9
в то время как компоненты скорости vx и иу лежат в интервалах
от vx до vx + dvx и от оу до vy + dvy.
5.5. Найти число ударов о стенку (в единицу времени и на
единицу поверхности):
а) частицами газа, vz -компонента скорости которых лежит в
интервале от vz до vz + dvz> в то время как компоненты скорости
vx и иу лежат в интервалах -~?их?+«>, -«>?i>y?+«>
соответственно (ось z перпендикулярна к стенке);
б) частицами газа, двигающимися к стенке в элементе
телесного угла JQ, в то время как значения абсолютной
величины скорости v заключены в интервале от v до v + du.
зз

5.6. Найти наиболее вероятную скорость атома в одноатомном
идеальном газе.
5.7. Найти распределение по импульсам для
ультрарелятивистского одноатомного идеального газа.
5.8. Найти число столкновений молекулы с остальными
молекулами в единицу времени, считая молекулы абсолютно
твердыми шариками радиусом д.
5.9. Найти средний размер / двухатомной молекулы,
совершающей гармонические колебания около положения
равновесия.
5.10. В квазиклассическом приближении получить
распределение Больцмана для одноатомного идеального газа, находящегося
в поле тяжести.
II
5.11. Получить распределение Максвелла по кинетическим
энергиям частиц для одноатомного газа.
5.12. Найти число частиц в единице объема газа с
кинетическими энергиями е в интервале г1^г^г2 (газ одноатомный).
5.13. Найти число частиц в одноатомном газе, имеющих
кинетическую энергию большую, чем заданная энергия с0.
Считать при этом, что с0»Г.
5.14. Найти наиболее вероятную кинетическую энергию частицы
в одноатомном идеальном газе.
5.15. Найти химический потенциал одноатомного идеального
газа, используя распределение Больцмана.
5.16. Как изменится распределение Максвелла, если газ как
целое будет совершать движение со скоростью й7
5.17. Найти среднюю потенциальную энергию частицы
одноатомного идеального газа, находящегося во вращающемся
цилиндре (радиус цилиндра R9 угловая скорость вращения
цилиндра вокруг своей оси о>, масса частицы /я).
5.18. Энергия частицы идеального релятивистского газа с
связана с импульсом р соотношением е = у(тс2J + (рсJ. Найти
распределение Максвелла в данном случае.
34

Ill
5.19. Найти распределение Максвелла по относительным
скоростям (одной частицы относительно другой).
5.20. Получить распределение Максвелла по скоростям для
случая двухмерного одноатомного идеального газа; найти среднюю
скорость атомов, а также средний квадрат скорости.
5.21. Показать, что среднее число ударов частиц одноатомного
идеального газа о стенку может быть записано в виде
п v
где п — среднее число частиц в единице объема газа, v -
средняя скорость частиц газа.
522. Электроны, испаряющиеся с раскаленной нити и
образующие газ с плотностью л, пролетают через
последовательность щелей, образующих направленный пучок площадью 1 см2.
Пучок проходит через задерживающее электрическое поле,
останавливающее часть электронов. Считая газ электронов
идеальным, найти число электронов, проходящих через
задерживающее поле в единицу времени.
5.23. Атомарный пучок выходит из узкой щели в откачанный
сосуд. Найти v и v2 в пучке, считая атомарный газ идеальным.
524. Найти распределение частиц по импульсам для
релятивистского одноатомного идеального газа.
525. Идеальный газ находится в двух сосудах
Л ° Р2
при одинаковой температуре Т и различных давлениях Рг и Р2.
Сосуды расположены рядом и в перегородке между ними имеется
узкое отверстие с площадью а. Требуется:
а) вычислить количество газа, протекающего в единицу
времени в сторону меньшего давления в стационарном случае
(/*! = const и Р2 = const);
35

б) вычислить энергию, переносимую в единицу времени;
в) определить среднюю энергию, переносимую одной частицей.
Почему она больше, чем 3/2 Г?
д) определить, что надо сделать, чтобы условия опыта
сохранились постоянными.
5J26. Показать, что для идеального газа с зависимостью
кинетической энергии с частицы от импульса р в виде е(рГ)
давление газа определяется соотношением
ще f(p) - функция распределения по импульсам.
5.27. Найти центр масс столба идеального газа в однородном
поле тяготения, если ускорение свободного падения g = const, масса
молекулы т, температура газа Г. Для простоты принять, что
высота столба газа велика.
5.28. Пусть величина 4п v1 f{\?)dv представляет собой
вероятность того, что абсолютное значение скорости v частицы
лежит в интервале (v, v + dv), причем/(и2) - дифференцируемая
функция, вид которой не задан. Получить распределение
Максвелла по скоростям в предположении, что распределения
вероятности для декартовых компонент вектора скорости:
а) независимы; б) идентичны.
5.29. Найти среднее значение потенциальной энергии одной
частицы в равновесном столбе идеального газа высотой Я. Газ
находится при температуре Т в однородном поле тяжести с
ускорением g= const, масса молекулы газа т.
530. Найти г2 частиц идеального газа от оси центрифуги
радиусом R. Масса частицы газа т, температура газа Г, угловая
скорость вращения центрифуги о>. Показать, что не существует
наивероятнейшего расстояния до оси.
531. Получить распределение частиц идеального газа по
координатам в вертикальном цилиндре радиусом R9 высотой Я,
36

находящегося в однородном поле тяжести с ускорением g = const
и вращающегося вокруг своей оси с постоянной угловой
скоростью <о. Масса частицы т, температура газа Г.
532. Найти среднюю потенциальную энергию молекулы
двухатомного идеального газа, помещенного в постоянное
однородное электрическое поле с напряженностью Ё.
Электрический дипольный момент молекулы 30, температура газа Г.
533. Атомы в двухатомной молекуле взаимодействуют по
Л В
закону U{г) = — (В, Л > 0). Определить коэффициент
г12 г6
линейного расширения такой молекулы. Температура газа Г.
37

Глава 6. КВАНТОВЫЕ ГАЗЫ
(РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ)
#0
Если при заданной плотности газа — понижать температуру
газа Ту то условие — «1, при котором имеет место
распределение Больцмана, в конце концов нарушится и
распределение Больцмана потеряет смысл. В этом случае средние
значения частиц пк в данном квантовом состоянии к могут быть
получены, если известен спин частиц (газ по-прежнему остается
идеальным). Для полуцелого спина частицы:
ъ—?г- F1>
е т +1
(обозначения те же, что и в формуле E.1) в разделе "Идеальный
газ"). Соответственно в квазиклассическом приближении
dN = 1 S*2*l. F.2)
llEJlzi BтгА)г
е т +1
(Обозначения те же, что и в формуле E.2).)
Выражения F.1) и F.2) представляют собой распределение
Ферми.
Если же спин частицы газа является целым, то величина пк
принимает вид
йк= F3)
е т -1
и, соответственно, в квазиклассическом приближении
dJV = l- Sdpdq }
е т -1
38

Выражения F.3) и F.4) представляют собой распределение Бозе.
Отметим, что в формулах F.2) и F.4) g - количество
проекций спина на некоторое направление.
Задачи
I
6.1. Для абсолютно вырожденного газа электронов (Г = 0)
найти:
а) химический потенциал газа \х(Р, 0); б) среднюю энергию
газа Е; в) давление газа Р; г) связь Р и Е и убедиться в том,
что эта связь такая же, как и для случая обычного идеального
атомарного газа при нормальных условиях.
6.2. Определить число состояний Q(e)rfe, импульс Ферми и
энергию Ферми для абсолютно вырожденного
ультрарелятивистского газа электронов из N0 частиц в объеме V (энергия частиц е
связана с импульсом р соотношением е=рс, где с — скорость
света).
63, Для газа фермионов при абсолютном нуле температуры
найти среднюю скорость частиц, среднюю квадратичную скорость,
а также среднее значение обратной скорости.
6.4. Найти поправочный член в уравнении состояния
идеального газа, обусловленный квантовой статистикой.
6.5. Найти связь между давлением и средней плотностью
энергии для бозе-газа в нерелятивистском случае.
6.6. Оценить теплоемкость Ср равновесного черного излучения.
6.7. Вывести формулу Планка для черного излучения в
диспергирующей среде, в которой показатель преломления зависит
от частоты излучения.
II
6.8. Для абсолютно вырожденного газа электронов (Г = 0) найти
число ударов о стенку (в единицу времени и о единицу
поверхности).
39

6.9. Для абсолютно вырожденного газа электронов (Г = 0) найти
число ударов о стенку электронами (в единицу времени и о
единицу поверхности), направления движения которых лежат
внутри телесного угла dQ, в то время как абсолютное значение
скорости электронов лежит в пределах 0uvu—9 где pQ -
т
импульс Ферми, т — масса электрона.
6.10. Показать, что если химический потенциал сЬерми-газа
отрицателен ц (Р, Т) < 0 и выполняется условие -Ш-»1, то
распределение Ферми переходит в распределение Больцмана.
6.11. Показать, что если химический потенциал бозе-газа
удовлетворяет условию -^-»1, то распределение Бозе переходит
в распределение Больцмана.
6.12. Вычислить химический потенциал сильновырожденного
электронного газа при температуре, отличной от абсолютного
нуля.
6.13. Вывести формулу для спектральной плотности
равновесного излучения в двухмерном случае,
6.14. Получить термодинамические функции черного излучения
в двухмерном случае.
6.15. Дана одномерная система из N частиц со спином 1/2.
Взаимодействуют лишь соседние частицы. Энергия взаимодействия
есть с, если спины соседних частиц параллельны, и -в, если
антипараллельны. Найти статистическую сумму для такой
системы.
6.16. Вычислить энтропию ферми-газа при низких
температурах.
6.17. Найти отношение температур вырождения электронов и
протонов внутри звезды, состоящей из полностью ионизованного
водорода.
6.18. Чему равно давление электронного газа в серебре при
Г = 0 (в 1см3 серебра находится 6 1022 электронов).
40

Ill
6.19. Получить распределение Ферми, используя распределение
Гиббса для подсистемы с переменным числом частиц
где к - совокупность квантовых чисел, определяющих состояние
фермиона; Qk - термодинамический потенциал частиц в
состоянии к; пк - числа заполнения (число ферминов в
состоянии к); \х - химический потенциал; tk - энергия
фермиона в состоянии к; Т — температура ферми-газа.
6.20. Получить распределение Бозе, используя распределение
Гиббса для системы с переменным числом частиц
т
wk=e
(Все обозначения в данном выражении тождественно совпадают
с обозначениями предыдущей задачи).
621. Найти уравнение состояния абсолютно вырожденного
(Г = 0) ультрарелятивистского газа электронов.
622. Для абсолютно вырожденного ультрарелятивистского газа
электронов (Г=0) найти число ударов о стенку электронов (в
единицу времени и о единицу поверхности).
623. Найти температурную зависимость Cp-Cv при Г-0 для
вырожденного газа электронов, энтропия которого обращается в
нуль по закону S(P9 T)=f(P)Tn, где / - некоторая функция
давления Р9 п - целое положительное число.
624. Найти связь между давлением Р и средней энергией Е
для абсолютно вырожденного (Г = 0) ультрарелятивистского газа
электронов.
625. Получить выражение для средней энергии Е и давления
Р для слабовырожденного газа электронов.
41

626. Опираясь на формулу Планка, получить для черного
излучения:
а) среднюю энергию Е; б) теплоемкость Cv\ в) энтропию $\
г) свободную энергию F и уравнение состояния.
6.27. Определить давление вырожденного электронного газа
для Г-0.
628. Найти изотермическую сжимаемость р = —
абсолютно вырожденного электронного газа.
629. Показать, что нейтронную звезду, если она достаточно
плотная, можно рассматривать как абсолютно вырожденный газ
релятивистских фермионов. Вывести выражение, связывающее
массу и радиус такой звезды.
42

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава 1
1.1. Вычислим квадрат искомого интеграла:
A(a)J = fVdx fе-*? dy = ffe-'^*^dxdy =
-m -«. -•»
0 0 2 0 a
12. Дифференцируя интеграл Пуассона по параметру a,
получим:
-lMjx2e-*sdx = -A_ [IЛ fZ.
da ^ da N| a 2 \ a*
13. При л нечетном интеграл 1п(х) = 0, вследствие
антисимметрии подынтегрального выражения. Пусть п = 2к (четное).
Дифференцируя интеграл Пуассона по параметру к раз, получаем:
^«7x"e-^dx-(-l)*^7e-«^rfx»(-l)*^^i(a-«2).
.. da* im da*
Окончательно
1.4. Вычислим интеграл по частям:
о» «• м
fe~xxndx=-xAe-x\ + nfe'xxn'ldx = л (и - 1)(л -2)...fe'xdx.
о
Таким образом,
10 о
о
43

Вычислим Г A/2):
•»
о
После замены переменных t = у2 интеграл сводится к известному
интегралу Пуассона:
«•
2fe-*2dy = yfc.
о
Следовательно, Г A/2) = урк.
1.6, Свяжем интеграл Пуассона с гамма-функцией:
Здесь произведена замена переменных ах2 = у; dx
2 = „. Л^_^1_
2^
Предельное значение интеграла ошибок Ф («>) выражается через
интеграл Пуассона:
<&(oo) = AjV'\/f = l.
v^ о
1.7. Вычислим сначала логарифм факториала:
1пл!=Ы+1п2+... + 1пл.
Заменим сумму интегрированием. Это можно сделать при
достаточно больших значениях п:
п »
]Г 1пи * J tojcdjc = (jtlnjc-;c)|\
Следовательно, In и! =1п(лпе"п), откуда п\*ппе~п.
Полученная формула удовлетворительна при очень больших
значениях п. Существуют методы, позволяющие более корректно
44

переходить от суммирования к интегрированию. Соответствующая
уточненная формула имеет вид:
п\ =yj2nnnne~n.
Она называется формулой Стерлинга.
1.9. Введем малую величину а, и преобразуем интеграл,
определяющий дельта-функции к виду
«|-0
/(*)= [eikxdk= ton
Проведем интегрирование
feP***dk+fe<f*-*>kdk\.
f(x) = lim
l«ho
J_ + _L
a + ix a-ix
2a
lim
M-o a2 + Jt2
При
При
x = 0, f(x = 0) = lim — = «>.
kho a
x#0, /(*)= lim ^-=0
l«l-o jc2
Проинтегрируем
f/(x)</*= ton /'^^-=2arctg-
¦2it.
Следовательно,
Llmdx--J-lfe«*dkdx--l.
2%
Таким образом, функция б (х) = —f(x) обладает всеми свойствами
2 71
дельта-функции. Те же результаты можно получить используя
методы теории функции комплексного переменного.
45

1.10. Дельта-функция - четная функция:
5(-*) = 6(х).
Действительно
zn zn a +jc
Кроме того,
jb(kx)dx = ±fb(y)dy9 b(kx) = U(x).
1.11. Вычисляем интеграл по частям:
? л!±_ = _?!_Г+1 jf j^iLdx = i }j^LLdx.
{ e*+ 1 2(e*+ 1) lo 2 J (e*+ ^ 2 J (e-*+ if
Воспользуемся соотношением, получаемым из ряда Тейлора:
—— = l-2f + 3*2-...? (-l)*(Jfc + l)f*.
A + tf и=о
Подставим t-»e~*. Откуда
-/Е *2(-l)*tle-**Jtdx =
2J t=i
2?T ' *2{ 22 32 ^ k2
Суммируем получившийся ряд. Для этого можно воспользоваться
математическим справочником, из которого следует, что
1--L-L-A*...-*!.
22 З2 42 12
Окончательно
г xdx _ я2
!«*+1 = 12'
46

1.12. Интеграл вычисляется с использованием соотношения
1
1-х
из которого следует, что
ее
xdx cxe~xdx
0С-А 1-С 0
1 + X + JC2 +...,
djc =
fl^.f?L^.fxe-.(i + l-«+^ + ...)
о e l l e 0
= T fxe-(n+Vxdx = T —^— [ye-ydy = l + ± +.
Из математического справочника следует, что
Окончательно имеем:
V4 1 _ т^
h (л + 1J"^'
xdx n2
6
г хах _
^ *х- 1
о е - 1
1.13. Решение аналогично решению задачи 1.11:
^ JC-1 Л Л
1--L-L
24 З4
Воспользуемся соотношением
f (-i^± = je!.
^ v ' it4 48
»=i
Окончательно имеем:
х3 dx _jH
8 *
r x3dx _
"Ux+1

Аналогично, с использованием разложения в ряд
подынтегральных функций и суммируя получившиеся ряды, можно
вычислять и другие подобные интегралы.
1.14. Обозначим
х
2
V* О
Введем функцию
ф (а> Х) = JL Гe'^dt ш J- ф (^х).
Будем рассматривать функцию Ф^) как предел (а-1):
Произведем дифференцирование по а:
да 2а*2 fit d(J*~x) da
Примем во внимание, что
а
1/2
<ГФ = _2_ _у2 djax _ i_
dy fi da 2
Следовательно, при а - 1
&{ 2 W ^
Откуда [^е-'^1 = ^Ф(х)--е-х\
о 4 2
Аналогачно решаются задачи по вычислению интеграла вида
X
48

При *-«> эти интегралы переходят в интеграл Пуассона и его
модификации.
1.15. Введем коэффициент Сп, подлежащий определению
п п
Степень г очевидна из размерности.
Введем поверхность многомерной сферы
dV =—±dr = Sdr9 S=nCrn'K
" dr
Вычислим многомерный интеграл
],.Je-a^^+^dXldx2dx3..^
IN <*J
Преобразуем дифференциал объема в подынтефальном
выражении и вычислим интефал снова:
/e-^«C.r--»rfr-^«-*/.-^rfy-5cBrg)-C.rEM).
Здесь использована Г-функция.
Учитывая, что при n=2ifc Г|— + l]=ifc!
при /i=2Jt + l r[jt + l + I] = -^.[2it + l]!!,
получим окончательно:
для n = 2Jt V^^r2',
для /i = 2fc + l K2Jb+1
к\
я*2*+1
„2*+1
BJk + 1)!!
4 я
Легко убедиться в том, что Сп = п при п = 2 и Сп = — при л = 3.
49

1.16. Нормировочный коэффициент вычисляется из условия
ъ
р(х)=Л, [Adx = l, откуда А = .
J Ъ -а
а
Среднее значение х:
х._ - *_.,.._ Ьг-аг Ь + а
а
Среднее от квадрата х2:
ъ
1 г . Ь*-а2
= / xdx = =
Ь-aJ 2(Ъ-а)
-г^ а г-2 Jmm_ b3-a3 b2 + ab +a2
х
¦=-?-{хЧх =
h - л J
b-aJ Ъ{а-а) 3
Откуда дисперсия
12 2>/5
Относительная дисперсия Ьх равна:
«,-4*. Ъ~а
* у/3(а + Ь)
)эфс
интеграла Пуассона) равен: А =
1.17. Нормировочный коэффициент А (с использованием
1
/по
При вычислении среднего х используется замена переменных
у=х-х0.
¦- Ах-*о? х +- _?
При этом х = jxe ° dx = —~fe а^У=*сг
Аналогично jc2 = —+Хл.
2 ^
Откуда 2 (ДхJ = a.
50

И окончательно имеем:
р (*) = , «
^2ic(Ajf
1.18. Перейдем к сферической системе координат:
dW(x9 y.zi^Ae'^dxdydz^Ae'^^drsinddQdi^,
Освободимся от угловой зависимости, проинтегрировав по
0 и ф. В результате получим:
dW(r)=4nAe~r2,r°r2dr.
Вычислим нормировочный коэффициент:
4izAr0}/n
/г -r2ir2 « 4 Я А Г
dW(r)=4nAfe rlr°r2dr
0 0 4
Окончательно получим:
dW(r) = -l— e~rbr*r2dr.
У/ПГ0
Вычисляем г:
4 } -г2/г02 г а 4г° } -у а 2 *
r = -—Je l*r^r = -—rJeyydy = — r0.
у/ъ г0 о уте г0 2 о vя
Вычисляем г2:
г2 = / е °r*dr = / е у у dr = -r0.
уяг0 о ^г0о *
Дисперсия Дг равна:
Аг =
^2Го т/0*

Относительная дисперсия:
6г = ^Н«42%.
2^2
1.19. Если все точки круга равновероятны, то
dW<p9y) = -±-dxdy.
izR2
Освободимся от зависимости от у:
fVF
dW(x) = -
1
Окончательно d W(x)
Проверим нормировку:
tR2
{ dy
dx.
. 2JR2-x2
nR2
dx.
i nR2 «iV
120. Вероятность нахождения частицы в интервале dx
пропорциональна времени нахождения в этом интервале. Откуда
dW(x)=A
dx
vix)
где v(x) - скорость в точке х. Таким образом,
v(x) = — = wx0sincor = cox0
dt ч 4
dw(x) = jL-A?L^: А = ^.
¦ ' ~2 Я
Окончательно
dW(x)
«X>fi^ixl
1 dx
nxo{T7i4
52

Вычислим х: х = f xdW{x) = 0.
„2 1
Вычислим xh рш* fJL_^L=^JL = ^.
1.21. Вычислим нормировочную константу:
AjJ<?2 + y2)dxdy=Ja3b аЬЗ
Откуда
о о
+ — =1.
^ 3 3
afe(a2 + i2)
Коэффициент корреляции зависит от х, у и ху:
К = (ху -ху -ху +ху) =ху -ху.
Вычислим х:
J= ? Г/У + ху2)^ y'fr»2^»2).
**(a2 + t2)j0J0V У) ' 4(д2 + &2)
0 - ЬBа2 + ЗЬ2)
Вычислим у: У = — L.
4{а2 + Ь2)
Среднее ху равно:
а Ь
Ху = Г\{хъу +xy3)dxdy = — ab.
Коэффициент корреляции получается подстановкой вычисленных
х9 у и ху, откуда
к_ а2Ь>
1б(а2 + *2J*
(Физический смысл имеет модуль полученной величины.)
53

d W{x) =
Следовательно,
ab(a2 + b2)
]tf + y2)dy
dxJ2*Libldx.
а{а2 + Ь2)
а(а2 + Ь2)
111. dW=pdV=AR(r)sin2edV.
В сферической системе координат
dW(r, в, <p)=AR(r)sm?Qr2drsmeded<p.
Освободимся от переменных г и <р:
dW(Q)=fR(r)r2drfdq>Afsm3ede;
О 0 0
•• 1С
dW(Q)=2iz[R(r)r2drAfsm3Qde.
о о
Нормировочную константу А определим из условия
п п
2nAJ*sin36<*e = l; fan3edd = -.
2
Окончательно имеем: d W(Q) = — sin3 6 d в.
При этом подразумевалась нормировка радиальной зависимости
функции распределения
fR(r)r2dr = l.
123. Так как искомая функция должна удовлетворять
заданным условиям, введем параметр а, отражающий отличие
54

ее от остальных функций. Функция р (jc, а) удовлетворяет условию
нормировки и заданному среднему значению х=х0:
о» ••
f p(x9 a)dx = l; x = fxp(x9 a)dx=x0.
о о
Кроме того, должна быть максимальна энтропия
а(а) = -fp(x, аIпр(х, a)dx.
о
Введем
1(a) = ][-р In p + цр + Xxp]dx.
о
Здесь [1 и А интегрирующие или лагранжевы множители. Так
как 7(a) должна быть максимальна, то
57(a) = ^Ua=0.
da
Введем б р = —?- 6 а. Продифференцируем подынтегральное
da
выражение по параметру а, умножим на 8а:
57(a) = Г[-1пр(дс, a)-l + n + Ajc]6pdx = 0.
Так как dp произвольна, из условия 57 = 0 следует
-lnp(x, a) = 1- \л + Хх
и р(х, а)=е-Хх+»-х=Ае-Хх.
Вычислим Л и X используя величину х0:
1 = |ГЛе-Хх=- Л = Я Xfxe'xxdx = ±=x0.
55

Окончательно имеем:
рМ = -*"х/*
*о
Такое распределение называется распределением Пуассона.
124. Решение задачи аналогично 1.21:
ъ ь
1 = Гр(х, a)dx /(а) = Г(-р1пр + Лр)Jjc;
а
Ъ
5/(а)= Г(-1пр - 1 +Я) 5 р djc; Inp = Я -1 = const.
а
Окончательно р (х) = .
Ь-а
1.25. Решение задачи аналогично 1.21:
1 = J р(х, a)dx; х = дс0 = f xp(x, a)dx;
(Axf=o2-l(x-x(>fp^a)dx;
/(а) = f [- p In p + Я р + цхр + v (х -x0f p]dx;
6/(а) = 0; р(х)=Л*-а*2+Ьх.
Здесь а и Ь — определенные функции исходных
интегрирующих множителей Я, [х и v.
Используя решение задачи 1.17 окончательно получим:
(*-*ьJ
р(х) = -
1 т га1
V2
И (Г
126. ((х~х)(у-у))=ху-ху = 0;
fxyp(x, y)dxdy = jxp{x)dxjyp{y)dy.
56

Это равенство выполняется при условии, что р(х9 у) = р(х)р(у).
Плотности вероятности независимых переменных перемножаются.
127. Вычислим нормировочный коэффициент А
Искомая вероятность записывается в виде интеграла
о
Воспользуемся интегралом ошибок
х
Vя о
Заменяя переменные, получим
«А
W(a, Ь) = — f e-ytdy.
Окончательно
W(fl, b) =
1
Ф
s/°) l\/°/
¦ •I-*-
В частности, если а=0, а Ь = °°, то вероятность равна 1/2. Это
очевидно, так как полная вероятность равна нулю, а данная
функция распределения - симметрична.
128. Вычислим нормировочный коэффициент А:
+y*+z*
A [ffe r° dxdydz=A(fir0f = l.
Освободимся от переменных у и z:
dW(x)=[ffdW(x,y,z)dydz]dx = —!—e~x2lr°dx.
yjbl
Так как распределение антисимметрично по х, то среднее
значение х равно нулю:
57

129. Так как распределение по х симметрично, то вероятность
ж(о, *•) = !.
Воспользуемся результатом решения задачи 1.27:
цг@,х*)-±ф(*1)«1.
2 Ы 4
Воспользовавшись таблицей значений интеграла ошибок, получим
у* для которого Ф(у*) = —. Как оказалось, у* = 0,477.
Следовательно, для данной плотности вероятности
х* = 0,477 7^.
130. Вероятность того, что в объеме i> й V находится одна
частица равна р = —.
Вероятность того, что частица не находится в этом объеме
равна A-р).
Искомая вероятность имеет вид
N
Определим коэффициент С N. Воспользуемся условием ]? Wn= 1.
Известно, что
Здесь C;J - биноминальный коэффициент:
58

ri_ m
(N~k)\k\
В нашем случае
Поэтому естественно принять
CnN~CN -
(N-n)\n\
Окончательно
*•»¦*%*№
I. v^
Полученное распределение называется биноминальным
распределением, или распределением Бернулли.
131. Используем неравенство п «N,
Wv(n) = ^p»(l-p)N.
п\
Введем n=JV—.
Известно, что
lim f 1 - —I = е"«,
откуда Wn =
ппе~п
Полученное распределение называется распределением
Пуассона.
132. Прологарифмируем распределение Пуассона:
lnJF=nknn-n-lnn!
л
При вычислении Inn! воспользуемся простейшим выражением
для формулы Стирлинга:
п\ =ппе~п.
59

Введем An = п -п Ал « и.
Разложим In. J1 -*- —=— | по малому параметру -^.
п
2
Учитывая, что 1пA+дс) =дс - — + ...,
получим In W (п) = - ¦*=??.
Окончательно Wn = Ae 2n .
С учетом условия нормировки -
EWn=l = fAe-»*l2Kdy
формула приобретает стандартный вид распределения Гаусса:
1 .'^. 1 -?=»*
* W(n)dn =
finn
Wn=^Jte " ; WW**--^. 2"~
Глава 2
I
2.1. Движение частицы вдоль оси х - движение одномерное,
для которого соответствующее фазовое пространство является
двухмерным (в нем есть оси х и
рх). Так как движение вдоль оси х х*
происходит с постоянной скоростью .
v09 импульс частицы так же
постоянен и равен рх= ntvQ. Фазовой
траекторией оказывается прямая, парал- х
лельная оси х (рис. 2.1).
22. В рассматриваемой задаче движение происходит вдоль оси
х - движение является одномерным, и следовательно, соответ-
60

ствующее фазовое пространство является двухмерным. Для
изображения в этом фазовом пространстве фазовой траектории
частицы, двигающейся с трением, найдем сначала импульс и
координату частицы как функцию времени. Для этого запишем
уравнение движения т—* = ~yvT> ще у
dt
коэффициент трения.
Интегрирование уравнения движения приводит к vx(t) = v0em ,
где v0 - начальная скорость. Импульс частицы при этом равен
If
px(t)=mv0e m. Интегрируя далее по времени выражение ux(t),
получим x(t) = -
mvt
ll-ёЧ
Наконец, выражая отсюда экспоненту
11
ух
и подставляя ее в выражение для импульса, будем
иметь уравнение фазовой траектории
px = rnv0-yx. Эта фазовая траектория
есть прямая линия с угловым
коэффициентом -у. Расстояние /
определяется условием рх = 0 и равно
Рхк
mv«
1 =
(рис. 2.2).
Рис. 2.2
23. Рассмотрим сначала одномерное движение одной
материальной точки массой т вдоль оси z в поле тяжести с
ускорением g = const. Соответствующее фазовое пространство
является двухмерным. Для изображения фазовой траектории
частицы в таком фазовом пространстве найдем сначала
зависимость импульса и координаты частицы от времени. Для
этого запишем уравнение движения частицы (ось z направлена
dp
по ускорению g): —-=mg. Так как Pz=mvz, то из уравнения
dt
движения следует vz(t) =gt + v0, где v0 - постоянная
интегрирования. Временно положим t>0 = 0. Далее, интегрируя по времени
j?г2
выражение vz(t)9 получим z = -—+Zo. Полагая временно ^ = 0,
61

будем иметь р (t) = mgt и z =
gt<
Выражая t через z и
подставляя в pz, получим окончательно pz=yJ2gm2yfz. Последнее
равенство означает, что фазовой траекторией в рассматриваемом
случае является парабола с вершиной на оси z-
Теперь проиллюстрируем справедливость теоремы Лиувилля,
используя полученный выше результат. Теорема Лиувилля гласит:
для механической системы, подчиняющейся уравнению
Гамильтона, фазовый объем остается постоянным при движении системы.
Чтобы выполнить поставленную задачу, рассмотрим
совокупность материальных точек с одинаковыми массами w, но с
различными начальными импульсами p0 = mv0 и координатами
Zq, двигающимися вдоль оси z с ускорением g. Пусть эти
различные р0 и ^ таковы, что соответствующие фазовые точки
в начальный момент времени t = О плотно заполняют
прямоугольник ABCD на фазовой плоскости pzz. Координаты вершин
прямоугольника ABCD указаны на рис. 2.3.
Ргк
Р20
Рю
А'
Г\
К-
А ' " у
---* ^^ /
В'
В /
/
с
21(Г "д " 220
Рис. 2.3
За время f>0 вершины А, В, С, D сместятся из своего
начального положения и перейдут в положение А\ В'9 С, D'9
координаты которых имеют вид:
62

Ря>, gt1
тп z
P70 zt2
V=^+— * + V; Р**Р*> + т*Ъ
PlO g t2
m 1
P\i\ о t
m l
Из этих выражений следует, что отрезок А'В' перемещается
по фазовой плоскости все время параллельно отрезку АВ9 а
отрезок D'C — параллельно отрезку DC, причем "скорости"
движения А'В' и D'C вдоль вертикальной оси pz одинаковы, так
что за время f>0 эти отрезки проходят одинаковые пути в
направлении р%. В самом деле, PA'-pD=PA~PD = b и Рв>-рс =
=РВ-РС = Ь. Однако "скорости" смещения отрезков А'В' и D'C
вдоль оси z различны. Действительно, если в момент t = 0 zA = zD
и zB = zc, то в момент t>0 zA,>zD, и zB,>zc,, что следует из
явного вида zA,9 zB,> zc, и zD,9 приведенных выше, поскольку по
условию P2o>Pw ^1РИ этом выполняются равенства zB,-zA,=
=zzB-zA = a и zc - zD, = zc-zD = а. Таким образом, при
рассматриваемом смещении фазовых точек отрезки А'В' и D'C смещаются
параллельно оси z, но отрезок А'В' смещается быстрее вдоль оси
z, чем отрезок D'C. В результате в момент времени f>0 на
фазовой плоскости имеет место параллелограмм А'В'CD'. И если
в начальный момент времени г = О фазовые точки располагались
в прямоугольнике ABCD, площадь которого есть S (t = 0) = ab9 то
в моменты времени *>0 все фазовые точки перейдут в новые
положения (каждая фазовая точка по своей параболической
фазовой траектории), и займут свои места в параллелограмме
А'В'CD', площадь которого есть S(t>0)=ab. Равенство
S (t > 0) = S (t = 0) и означает справедливость теоремы Лиувилля. В
общем случае можно утверждать, что с течением времени
63

фазовый объем механической системы может менять лишь форму
при неизменной величине объема.
2.4. а) Движение точечной массы т на отрезке 0 * х й I между
стенками, от которых она абсолютно упруго отражается, есть
одномерное движение. Поэтому соответствующее фазовое
пространство будет иметь два измерения. Так как движение между
стенками является свободным, кинетическая энергия материальной
точки сохраняется и равна е0=—. При этом движение вдоль
2т
оси х происходит с импульсом рх=р0, а движение против оси
дс, после абсолютно упругого удара о стенку в точке дс = /,
происходит с импульсом />х=-р0. Аналогичная ситуация имеет
место при соударении со стенкой в точке х = 0. Имея это в виду,
изобразим графически фазовую траекторию частицы в
рассматриваемой задаче (рис. 2.4).
б) Элемент объема двухмерного
р 1 фазового пространства (в данном
случае - элемент площади) есть
**j dy=dpxdx. Объем же у(Ро)> °тве-
О
; i чающий импульсам рх частицы в
; х интервале -р0*рхй+р0 и координа-
| те дс в интервале 0 ? х <; I равен
Р„с. 2.4 У Ы = / [dPxdx = 2PoL Величину
уЬЛ можно выразить через кинетическую энергию е0=—. В
* ' 2т ^
результате будем иметь у (г0\ = 2 J2me01. Фазовый объем у (е0)
отвечает кинетической энергии частицы с в интервале 0 й с й с0,
и координате х в интервале Ozxzl.
в) Согласно квантовой механике одномерное движение частицы
массой т между двумя бесконечно высокими стенками
(абсолютно упругий удар), отстоящими друг от друга на расстоянии I,
2 д2 2
характеризуется энергией Еп = — —9 ще п = 1, 2, 3,.... Каждому
2т I
64

номеру п отвечает одно состояние (одна волновая функция).
Поэтому число состояний, отвечающих энергиям частицы от Ег
до Еп равно я. Обозначая рассматриваемое число состояний
буквой Г и выражая это число состояний через Еп, будем иметь
Г(Еп)
= п =
2ml2 Еш
Для п»1 энергия Еп плавно зависит от л,
N я2 А2
потому можно число состояний Г записать так: ГBь) =
2т12Е
&ml2E iJlrnEl у (Е) ~
= —1 = » v /. Это последнее равенство и
h2 ^ BпЬJ 2яА 2nh
устанавливает связь между числом состояний Г(Е) частицы,
двигающейся между двумя бесконечно высокими стенками
(одномерное движение) и соответствующим фазовым
объемом у(Е).
2.5. Поскольку гармонический осциллятор является
одномерным, его фазовое пространство двухмерно. Пусть масса
колеблющейся частицы есть т, частота колебаний есть о> и колебания
происходят вдоль оси х. Тогда зависимость координаты х
частицы от времени t может быть записана в виде x(t) =
= а sin (со ^ + а), где а - амплитуда колебаний, а - постоянная
фаза. Скорость колеблющейся частицы есть x(t) =aG>cos(c«>f + a),
а импульс частицы равен p(t) = т о> a cos (со г + а). Имея это в виду,
запишем полную энергию осциллятора:
р2 т<дJ*2 _ т<*>2а2cos2(соt + a) + m<»Jfl2sin2(a)r + a) _ т<й2а2
2т + 2 ~ 2 + 2 2
V2 х2
Если далее переписать полученное равенство так: — + — = 1,
(mcoaJ a2
то легко видеть, что это выражение представляет собой уравнение
эллипса с полуосями т<оа и а. Таким образом, фазовая
траектория одномерного гармонического осциллятора представляет
собой эллипс.
2.6. Согласно методу неопределенных множителей Лагранжа,
искомое распределение вероятностей отыскивается из требования
65

N N N
экстремума комбинации /= -]П Wt In W. + a?) W), где -]? Ж. In И^ = 5
i=l i=l i=l
есть энтропия системы, a - неопределенный множитель
Лагранжа. Экстремум величины / означает обращение в нуль
производной —?- для любого номера у. Таким образом,
df д \ N N ]
тЬ = TS7 Г X) ж* ** ИГ. + а!Е ^<Г = °* Выполним процедуру диф-
д W. dWj [ |щ1 |=1 J
dW.
ференцирования, принимая во внимание, что —-=0 для i#/
dWj
dWt
и что = 1 для i =/:
dWj
j9
) f N N ) N l dW. я dW.l
Ни ' ' Я 'J и} dWj l ldWj ' dW.]
= {-In Wj- 1 + aj = 0, откуда In W> a - 1. Последнее равенство
означает независимость вероятности W. от номера j, так
что Wx = ТГ2 =... = JP^. Используя далее условие нормировки
" 1
]? W;= 1, найдем, что Wx = Ж2 = ...= И^= --. Наконец, 5^ =
i-i ^
n ^ 1 1 N 1
= -У^ PK.lnFK = ~y^ — In— =Т^ — lnJV = lniV, так как в этой сумме
по i есть JV одинаковых слагаемых. Отметим, наконец, что зная
Wj = — легко найти множитель a, который оказывается равным
a = l-lnN.
II
2.7. Фазовая траектория представляет собой эллиптическую
спираль, навивающуюся на начало координат. Указание:
воспользоваться уравнением движения линейного гармонического
осциллятора с учетом малого трения.
2.8. Указание: см. задачу 2.3.
66

2.11. Цг{ = е'1*а*рх>, где аир- неопределенные множители
N N
Лагранжа, определяемые из условий ^T,Wt = l ^xt^i~xo-
III
РК
111. р = -
ч
2тее1
И}
*л
Рис. 2.5
2.13. Фазовый объем не сохраняется.
2.14. Фазовый объем сохраняется.
2.16. Площадь, заключенная внутри фазовой траектории, есть
площадь эллипса, равная у (е) = к m о я а = — е (со), ще г -
со
полна^ энергия осциллятора. Число состояний осциллятора с
энергиями, меньшими или равными е (для больших е) равно
г»
-V(s)
2яА'
Глава 3
I
3.1. По определению СК=Г| — I .
Воспользовавшись тем, что
-(& " И
dv);
67

получим
dCv
~dV
.т &S __т д &F _ т # (dF\ -Tl*P)
дуэт dvd7*~ дтг\*У)т~ \дт2)у
32. Воспользовавшись свойствами функциональных
определителей, получим
эр,
р\ \дт)ЛдР)„ \dPlJdT).,
=с -
Су
Из
S) _тд(Т,Р).
Т)у d(T,V)
д(Т,Р)
-Г-
^эг;д
перекрестного соотношения
эр;г
(э*
[dF
Vap
0,
следует,
№
ЧТО
(SL
lapj/iarj;
Окончательно имеем:
Ср-Су=-Т
33. Перейдем от производных по плотности к производным
по объему:
9 Vy dp" dV dp"' dV'
Следовательно, задача сводится к доказательству равенства
[—1 = —I — I . Воспользуемся свойством функциональных
[dV)s Cv{dV)T
определителей:
(EL) - д(Р9$д(Р9Т)д(У,Т) _ d(P,S) d(V9T) д(Р,Т)
(dV)s~ d(V9S)d(f9T)d(V9 T) д(Р,Т) d(KS) d(V9T)'
68

Окончательно имеем:
ср(дР\
(dVM~ CyidV},
3.4. Запишем термодинамические потенциалы, соответствующие
парам (S, V) и (Г, К):
dE(S, V)* + TdS-PdV;
'У
&E &E
s dVdS dSdV K^,v
= ~W,/
dF(T, V) = -SdT-PdV;
(dS\ cFF $F _(dP\
[dV)T~~ dVdT~~ дТдУ~\дТ)у
3.5. Скорость звука равна, по определению,
с =
№.
Воспользуемся соотношением, следующим из задачи 3.3:
Л-Ср(ЭР)
Су{др)т
Уравнение состояния идеального газа
PV=-RT; P = ?-RT.
Подставляем производную
дР\ _ RT
др)т »
69

откуда следует, что с
N
RT СР
У , где Y = —•
3.6. Адиабатический коэффициент объемного расширения К
равен по определению:
Воспользуемся свойством функциональных определителей:
d(V,S)
дГ\ ш d(V,S) = д(Т, V) я _ Cv
д(Т, V) \dv),
[дтM~ д(Т, S) ~ d(T,S)
Используя перекрестное соотношение (задача 3.4), получим:
UdV
У{дТM VT\dP
Уравнение состояния идеального газа PV=RT9 откуда
s V
(дТ\ =V
[dPjy" R
Окончательно имеем:
RT
^у
PV'
3.7. Энтропия идеального газа зависит от термодинамических
параметров:
S(T9 V) = v
С„1пГ + Д1п — +С
v
Здесь v - число молей газа, а С - константа, не зависящая
от числа частиц.
В соответствии с условиями задачи
PV^v.RT; PV2 = v2RT; P1(Vl+V2)=(v1 + v2)RTv
70

Давление Рг и температура Тх объединенной системы при
смешивании не изменятся: Р = Рх; Т = Т{.
Суммарная энтропия до смешивания равна:
V V
S = St + S2 = (vt + v2) [СуЫ Г] + v^ln — + v2tf In — + C(vj + v2).
VI V2
Полная энтропия газа после смешивания:
5 = (vi + v2)[CKlnr| + (v1 + v2)ln-^^+C(v1 + v2).
1 2
Учитывая, что при Р = const, T = const
у1-у1_(Уу1),
Vl V2 (Vl + V2)>
получаем Д5 = 0.
Изменение энтропии газа в этом случае равно нулю.
Физический результат очевиден — снятие перегородок между
частями газа, находящимися в равновесии (при равных давлениях
и температурах) не является смешиванием.
3.8. В соответствии с условиями задачи весь круговой процесс
можно разбить на четыре участка. Обозначим изотермические
участки индексами 1—2 и 3-4, а адиабатические — индексами
2-3 и 4-1.
На изотермических участках Д2Г = 0, Дф=ДЛ;
на адиабатических участках AQ = 0, Д?=-ДЛ.
На участке 1—2 тепло поглощается, на участке 4 — 1
выделяется.
В целом
ДЕ = Д<?!>2+ Д<?2 3 + Л<?з,4 + Д<?4,1" ЬАХЛ- ДА2 3- ДЛМ~ Д^4,1 = 0;
ДЛ = Д(?12 + Д<?з^(?1-<32.
Вводится коэффициент полезного действия т):
_ AA_Qi~Q2
71

Для обратимого процесса:
Ql2 = TxLSl9 <?2=Г2А52, Д^ + А52 = 0.
Следовательно, в цикле Карно коэффициент полезного действия
зависит только от температуры:
Л =
т11т1
Работа на отдельных участках может быть вычислена из
соотношения
AA = fP(V)dV.
При изотермическом процессе
PV = RT9
так что P(V) = и
rdV У*
J у у
ri
У\ УЪ
При адиабатическом процессе имеет место соотношение
P\rt = coust = P2Vl,
Ср Cv+R R
где у = —- = = 1+ — •
V V V
Используя зависимость
р = р2—,
получим выражение для работы на участках АА^} и ^л,1:
72

AA,3 = P2Vl[— = -2~^
2,3 2 l П Y-l
v V1
(yV-l
AAA
аналогично.
Pi
Просуммировав работу на отдельных участках, получим полную
работу цикла.
3.9. Обозначим Vt и V2 (yt<Vjj значение объемов на
изохорических участках, а Рх и Р2 {РХ<Р^ - на изобарических
участках процесса (рис. 3.1). Обозначим на графике точку 1
(PtVx), точку 2 (PtV2), точку 3 (Р2У2)> точку 4 (P2VX).
Полная совершаемая за
цикл работа равна площади
прямоугольника 1 -2 -3 -4:
A^=(P2-P1)(V*',)-
Температура повышается на
участках 7— 2 и 4—1. На этой
стадии тепло поглощается.
На остальных стадиях оно
выделяется и тратится беспо- v
лезно. Обозначим затраты
тепла на стадии нагревания
через Q:
<? = Си(Г2-Г,) + Ср(Г,-Г2).
( РУг
1 1
Wi
]4
PiV2
]2
3\ *#г
Рис. 3.1
Учитывая, что
_2 = _J_
R " y-l
Y-l
получим AQ ¦-
= ГA - у) Р2 V\+*iP\V2- р\ ^il- Коэффициент полезного действия
процесса вычисляется из равенства
73

и
3.14
(М) тТ(*1) -Р.
[dV)T {dV)T
Используем перекрестное соотношение
\dv)T\~dr)v
Для идеального газа
Следовательно
(ЭР\ _R
\дТ)у~ V
[dV)T V
3.15.
PVn = PlV';
Ь.А
Pi У г
1-л
ХК1/
-1
1-л '
TV*'1* const; Д(? = —г- У-ЬТ.
1-л
3.16.
где А(V) и B(V)
3.17.
P(V, T)=A(V)T + B{V),
произвольные функции от объема.
л =
КЪЫУ^Су^-Ц
3.18.
AS = Л In V2IV1 = R In P,/P2.
74

Глава 4
I
4.1. Энергия квантового одномерного осциллятора с частотой
<д> равна €Л = А<|)(л +1/2), вде л = 0, 1, 2, 3,..., А - постоянная
Планка. Имея это в виду и используя формулу D.1), получим
распределение Гиббса для квантового гармонического осциллятора
Wn = Ae T . Величина Wn представляет собой вероятность
того, что осциллятор находится в л-м квантовом состоянии.
Нормировочная постоянная А находится из условия
нормировки, которое для рассматриваемого случая приобретает вид
hi* «• ft con m ftcon «• [ ft о) \
i4e2rJ^« г = 1. Сумма ]? в г s ? U Г J представляет собой
геометрическую прогрессию с бесконечным числом слагаемых.
-Ий>
Поскольку частота о>>0 и температура Г>0, величина е т <1,
и поэтому сумма по л является конечной величиной, равной
Y] \е т) = . Подставляя полученное значение суммы
»*0 ——
по л в условие нормировки, находим Л=\Д-е т)е2Т9 так что
нормированное распределение Гиббса в рассматриваемом случае
(й<л | ft<qn
1-е" TJ/ Г.
приобретает вид ТГИ
4.2. Рассмотрим идеальный одноатомный газ, объем которого
К, температура Г, число частиц в газе N, и найдем для него
распределение по энергиям газа Е. Для этого обратимся к
распределению Гиббса для такого газа (см. D.2)):
dWipuPlypu...pNyAe ^-^ ,
2 2 2
Р\ + Pi + • ¦ • + Рк
где Е = — — кинетическая энергия частиц идеального
2т
75

газа (т — масса частиц газа, р - импульс частицы газа).
Переход от распределения Гиббса к распределению по энергиям
идеального газа как целого осуществляется путем интегрирования
распределения Гиббса по объему фазового пространства газа,
заключенному между поверхностью с постоянной энергией Е и
поверхностью с постоянной энергией E + dE. Поскольку энергия
Е идеального газа зависит лишь от импульсов, но не зависит от
координат частиц идеального газа, вычисление искомого фазового
объема упрощается. Вычисление этого объема сводится к
вычислению объема между двумя поверхностями с постоянными
энергиями в пространстве импульсов идеального газа, в то время
как координаты частиц идеального газа остаются произвольными,
и по ним обычно производится интегрирование по объему V.
Имея в виду, что число измерений в пространстве импульсов
идеального газа равно 3N и производя соответствующие выкладки
для многомерного пространства (см, задачу 1.15) найдем, что
объем фазового пространства, заключенный между Е и E + dE
з In
идеального газа, равен dy = BE2 VNdE, где В = * *—
F ГC/2#)
(Г(х) — гамма-функция). Отсюда распределение по энергиям
одноатомного идеального газа как целого принимает вид d W(E) =
= А0е ТЕ 2 VNdE, где А0 = ЛВ - новая нормировочная
постоянная, d W(E) есть вероятность того, что энергия идеального
газа лежит в интервале Е9 E + dE.
43. Микроканоническое распределение для замкнутой системы
выражается формулой D.8). Выделяя в замкнутой системе малую
часть — подсистему, в которой число частиц все еще очень
велико, и называя остальную часть замкнутой системы
термостатом, запишем, что энергия замкнутой системы Е(р9 q) =
= ^т(Рт^тL'^п(Рп^п)+?:вз> гДе =Ет(Рт>Ят) - энергия термостата,
Ealpn9 qn\ - энергия подсистемы, Ем - энергия взаимодействия
термостата и подсистемы. Разбиение замкнутой системы на
подсистему и термостат позволяет записать, что ET»En»Eti, так
что приближенно Е ~ET(pr9 q\ + Enlpn, qn\. Далее, произведение
76

дифференциалов всех обобщенных импульсов замкнутой системы
и всех обобщенных координат можно записать в виде dpdq =
= (dpr d qT} (dpn dq^. В результате микроканоническое распределение
приобретает следующий вид:*/ W = Ab (Er(pr, qr) + Ел(рп, qn) -Е0)х
1
xdpTdqTdpudqn (множитель
B it ЬУ
введен в постоянную А).
Проинтегрируем микроканоническое распределение по
обобщенным импульсам рт и обобщенным координатам qr термостата,
заключенным между поверхностями постоянных энергий Ег и
Ev + dET в фазовом пространстве термостата. Объем фазового
пространства между указанными выше поверхностями обо-
dy(E\
значим как dy(Er) = *—LdET. В этом случае
микроканоническое распределение приобретает вид d W = А 6 (Ет + Еп - ЕЛ х
»ИШ
dE.
dErdpadqa. Интегрируя это уравнение по dET, будем
иметь d W(pa дЛ = А
*У(Ц
dE,
dpndqu. Если термостат есть
одноатомный идеальный газ, то согласно задаче 4.2
dE.
= CV ТЯГ , где V - объем идеального газа, NT - число частиц
газа. Имея это в виду получим: dW\pn, q^ =DV Tx
rN.-l
гЛГ.-l
*№>-*.(*.. «п)Г dpndqn = DV"*E0<
1
^(P.gjli^1
dPnd<lu-
Воспользуемся тем, что Е0 = Ет + ?п - Ет, так как?т » ?п.
Поскольку термостат - одноатомный идеальный газ, находящийся
в равновесии,
•?=-АГтГ.
Т J Т
В этом случае обозначая
Ik-i
DlT'Ef *D0, получим dW(pnqa)=D0
Еа(РпЯш)^^
NT
dpBdqa.
77

Но по условию задачи Nr»l. Это позволяет полученное
выражение переписать так:
dK(P^-D,
<i-E-
П
Т 3
"Я,
2 т
:N,
2
„(Ря*и)
dPnd<2n-D0e dPnd<ln>
поскольку известен предел Шп II - — I = е~*. Записывая
n~»\ N)
A>SA> 7* гДе /и "" число степеней свободы подсистемы,
-ЬЫй dpMa
2m
BяЛ)Л
окончательно будем иметь: dWlpnq\=A0e
Bnbf
распределение Гиббса в квазиклассическом приближении.
4.4. а) Статистический интеграл Z столба одноатомного
1 г "
идеального газа в поле тяжести имеет вид Z = — \е
N
U(dpxdpydpzdxdydz)i
х— , где N — число частиц в одноатомном
BnhKS
идеальном газе; m — масса частицы газа; g — ускорение силы
тяжести; Т — температура газа; pix, piy> piz - декартовы
компоненты импульса; jc., y.9 ц - декартовы компоненты
радиуса-вектора 1 -й частицы. Интеграл, определяющий Z, является
многократным (имеет 6N измерений). Благодаря идеальности газа
интегрирование по координатам и импульсам проводится отдельно
для каждой частицы газа. Поскольку далее для каждой частицы
газа пределы интегрирования по компонентам радиуса-вектора
и компонентам импульса оказываются одними и теми же,
вычисление статистического интеграла Z сводится в конце концов
к интегралу по координатам импульса отдельной частицы газа.
Принимая во внимание сказанное выше и используя формулу
(N\N
Стирлинга для N\ « — (в газе N»l), получим:
78

z=
\N
наш-
Zm
+mqz
dpxdpydpzdxdydz
BnbK
Интегрирование по компонентам импульса проводится в
бесконечных пределах, интегрирование по координатам проводится
по объему столба газа. Каждый из интегралов по компонентам
импульса представляет собой интеграл Пуассона. Например,
fe 2mTdpx = }/2nmT. Интегралы по координатам х9 у, z
— во
вычисляются элементарно. В результате будем иметь
T\l-e т ) 1
|-Bпж2K/2о
mg
<2*AKJ
ще а — площадь поперечного сечения столба газа, Я - высота
столба.
б) Свободная энергия F тела выражается через статистический
интеграл Z следующим образом: F=-rinZ. В случае столба
идеального газа будем иметь:
F = -#rin|
кBтст7^оГ'1-/ W *
\N nig Bnh?
Далее, энтропия тела равна S = -\ — I . В свою очередь средняя
\дТ)у
энергия тела E = F + TS, и наконец, теплоемкость Сг=
'э^
дТ
Проводя элементарные вычисления, будем иметь для столба
идеального газа в поле тяжести
Ё-5 NT Nm8H .
2 -msE '
е т -1
79

cr.!N-N(BS*t <ДУ
v 2 [ T ) i - \2
(.*-J
Для невысокого столба газа: ^—«l9 Е--NT, Cv--N.
Т 2 v 2
Для высокого столба газа: ^—»19 E--NT, Cv--N.
Т 2 2
4*5. Проинтегрируем уравнение D.8) по импульсам и
координатам замкнутой системы, заключенными между двумя
поверхностями с постоянными энергиями Е и E + dE. В результате будем
иметь: dW = Ab IE-E0)dy(E) , где dy (E) - объем фазового
пространства рассматриваемой замкнутой системы, заключенной
между поверхностями с энергиями Е и E + dE. Если в качестве
замкнутой системы используется одноатомный идеальный газ, то
согласно задаче 4.2 dy(E)=BVNE* dE9 где V - объем газа,
N - число частиц в газе. Интегрируя по Е приведенное выше
1
B 71ЬУ9
v I" 1
выражение dWy будем иметь 1=ABVNE0 , откуда и
находится величина А.
4.6. Статистический интеграл для идеального газа,
содержащего N частиц в объеме V может быть записан в виде (см.
задачу 4.4)
Z =
*//ш
¦Itou^ dpxdPydpzdxdydz
v Bnhf
Интегрирование по координатам дает объем сосуда V,
Интегрирование по компонентам импульса выполняется путем перехода от
декартовых переменных к сферическим переменным:
80

JJJe T dPxdPydPz = JjJe T p2dpsmQdQdy,
ooo
,y »s 2 i
где p -px +py +pz, a 0 и ф - углы, определяющие направление
импульса р частицы. Интегрирование по углам выполняется
элементарно и дает 4к. Интегрирование по величине импульса
р выполняется с помощью замены р = mcshf, где shf -
гиперболический синус, г — новая переменная. В этом случае
статистический интеграл приобретает вид
Z =
-4яК
N
(тс?_
B* АK о
/•
wc2chf
\*
(shrfchfdf
где chr — гиперболический косинус. Дальнейшее интегрирование
приводит к следующему результату:
>{±4«к(-5?.?
In \2nb)
тс
"* тс1
где К*
тс"
У т )
и К,
тс*
- функция Ханкеля мнимого аргумента.
Свободная энергия такого газа равна
F=-rinZ= -ЛГПпЬ- Anvi^^i^AA^
[N \lnb) [mc>)[ 4 T
2Г„ \mc
+ Д.
mc*
Давление Р такого газа определяется формулой Р =
(dF\ _NT
[dV)T~ V
Энтропия S = -\— 1 и средняя энергия E = F + TS равна
81

E-NT\
1 + 2
j;|»!?:|+|-!:+2-L|t|w
тсг)'\ Т )
Ко
mc*
т J
2 *
mc
Для T«mc\ используя ассимптотику функций Ханкеля К0 и Kv
будем иметь E = Nmc2+-NT.
4.7. а) Поскольку энергия любого отдельного магнитного
момента электрона во внешнем магнитном поле может принимать
лишь два значения: е^ = 0 и с^=е, то энергия подсистемы,
состоящая из N невзаимодействующих между собой магнитных
моментов во внешнем магнитном поле оказывается равной
?а р> w = €^ + ... + e^ + ... + €^, где <х,.. р,.. о принимают два
значения 1 и 2. При этом для любого номера z с
о»./Е Р=2
' [о Р = Г
Для такой подсистемы распределение Гибоса имеет вид
г<'>»...-е<»*...*е<;>
W.
, где А
нормировочная постоянная,
определяемая условиями нормировки ? ^о..р..<»= *» откуда
а.. &..«
Л= 1 .
t<f>+...+e<j»*...*z%>
Е • ?
а., р.. о)
б) Статистическая сумма рассматриваемой подсистемы есть
по определению, величина
г<«>+...+?<»+...<
z=E •
а.. р..о>
2.1 2
так как ^ е т = ?
а = 1 0 = 1
Z?- 2 .
=Е<
о = 1
«{» 2
« Г=Е
б> = 1
?<«>
7'
2 _ < 2
~2> Г-Е*
Ml <¦>=!
.*? ( .±\
е
'«U*« 'J.
-4М)=
f -4
U+« '.
82

в) Свободная энергия рассматриваемой подсистемы равна
( -1)
F = -rinZ = - NT In \l + е т). Соответственно, энтропия имеет вид
5 = -1 — 1 =Nhi\l + e т) + — =—. Наконец, средняя энергия
-(H) -Annll+e, +^i—i_. Наконец,
равна E = F + TS =
Nz
г) Принимая во внимание результат, полученный в пункте в),
после несложных преобразований получим энтропию
рассматриваемой подсистемы 5 как функцию Ё: S(E) = — In—-^— +
с Е
+ ЛГ1п
Nt
= . Минимальное значение Е = 0, в то время как
N&-E
максимальное значение E = Ne. при этом 5@) =0, 5(//е)=0 и
51 ]=Nln2 = max. Графически зависимость 5 от ? имеет вид
(рис. 4.1):
S(E)>
ЛПп2
\
г:
2
\
Ne
Ё
Tk
Nz
2
Е
Рис. 4.1
Из графика зависимости S(e) следует, что для средней энергии
Е в интервале 0йЕ<,— производная —- >0, в то время как
2 \дЕ)
для Е в интервале —-uEzNz производная —= <0. Как
2 \дЕ
83

1 я ^
известно, температура подсистемы определяется как - = -—=:.
Т дЕ
Таким образом, температура рассматриваемой подсистемы для
О йЕй — положительна, в то время как для — uEuNz она
— дос - мс
отрицательна. Когда Е<— и Е->—, температура Г- + », в то
- дое - дое
время как для Е>— и для ?-— температура Г-»-». Таким
- we
образом, когда Е "проходит" значение — температура Г
испытывает скачок от +~ до -« (см. рис. 4.1). Отметим, что для
рассматриваемой подсистемы Т =
ш'"«-^
Е
д) Теплоемкость рассматриваемой подсистемы Су=
'а?
v
9 ( Nz \ Nz2 eelT
дТ)
. _ . Для Г-0 Cv~^e-z,T-0. Соответ-
Nz2
ственно для Г- «> Cv 0.
Т2
4.8. Для решения поставленной задачи воспользуемся
распределением по энергиям одноатомного газа как целого,
полученного в задаче 4.2: dW(E)=Ae'EtTEmN'lVNdE. Тогда, по
определению, среднее значение Еп будет записываться следующим
образом: Еп = JEndW(E). Определяя постоянную А из условия
JEne TE2 dE
нормировки idW=l, будем иметь Еп = - . Делая
~ Е. *ц 1
[е ТЕ2 dE
о
замену переменной t = E/T, выразим числитель и знаменатель
дроби через гамма-функцию Г(х):
84

се 3
л + 4^-1
_ «"' <" r(n + ljV|
г|—// + Ц -wr^3
В частности, если п=\, то Е = Т-
1!»
= г
2 U
где использовано свойство гамма-функции Г(х +1) =дсГ(х).
Г
-±=±NT9
Если л = 2, то ?2=7
2_ ??
'BЛ*)
Л—?—z = 2л^[ 1 + 2лг|г2 и т.д.
1И 21 2'
и
И(о
4.9, е=Ао
( 1 Л
s г-1
Для
Л и
« 1 Су = 1, для
'M(.*-J
/Асо
'{Т
»1 С,
2 -
hu>
4.10. Указание: см. задачу 4.2.
,_(асо)у(У-1I
4.11. const
^-1
4-12. ZTO = -l[ZMf, где ZM = /*
-Т dPMd<*u
энергия
молекулы, рм и дм — обобщенные импульсы и координаты
молекулы, fM — число степеней свободы молекулы. Откуда
/а
Fr«=-rlnZra3> 5газ=~
BF \
w* газ •
15г J;
' газ газ газ' газ
3F
dV )
85

4.13. Указание: см. задачу 4.5.
4.14. Указание: перейти от канонического распределения к
распределению по энергиям.
4.18, а. Статистическая сумма рассматриваемого осциллятора
3 Acq
~2 Т fdF\ —
имеет вид: Z = . Откуда F=-JlnZ; S = - — ; E = F + TS.
( i»V [ЗТ)У
III
4.19. а) Распределение по энергиям одноатомного идеального
газа как целого имеет вид dW(E) = Ce TE2 dE.
б) E^'^N-lJT. в) ЕЛЫТ.
4.20. F„ =-NTla
2
з
g 4т: V (TV, 1 /3\
tfB*iKUJ ' U/J
Г*3
?
^газ ж газ * ~газ /***, "ras 1 ЛТ
, где Г(х) - гамма-
' dF \
функция. E^F^ + TS^^NT; 5, - " ~
'э?_Л
сг*,=' ™*
аг
-i№--Г-'-*'
7 ru { dV )т V
4.21. Число состояний dT{E)=es(E> —, где S(e) - энтро-
А?(Б)
пия подсистемы; Д2Г(?) - разброс энергий подсистемы вблизи
Е. Отметим, что по сравнению с es^ зависимость &Е(е) от Е
совершенно несущественна.
-In
422. a) dr(E)=B{EJ dE9 где В - величина, не зависящая
от Ё.
б) dr(E) = C(E) dE, где С - величина, не зависящая от Ё,
86

где D - величина, не
11 ZLI
аП[^)(Е) П
зависящая от Е.
423. a) dWF) = - -, где в - угол между е0 и ^,.
2Г
Кео
4л1
т )
N
б) АЕ = (Ц) е0J - добавок к внутренней энергии газа за
счет взаимодействия диполей 30 с полем е0.
в) Добавочная теплоемкость Сг
N
37*
(W
г) Диэлектрическая проницаемость газа е=1+4я
V ЗГ
424. Добавочная теплоемкость, обусловленная
ангармоничностью колебаний молекул идеального газа, имеет вид
C$<* = N
15 а2
2 хз „2
Зр
,-.-tf-l
425. а) Фазовый объем Ьу(Е) = const VN(EJ &e(e)9 где
величина АЕ(е) указывает разброс энергий газа вблизи Е.
.-±N-1
б) S-blXEL-b"***"®1 AE®eS0+NbV+(*N-l)bi,
' BnhKN BnhfN ° U J
где 50 - постоянная величина, в которую включена и &Е{е) в
силу ее медленной зависимости от Е.
в) 5 (Г, V) = S0' + N\nV + -N\nT, где S0' = S0 + - N to - N и учтено,
что JV» 1.

Глава 5
5.1. Энергия отдельного атома в идеальном газе без внешнего
2 2 2
Px+Py+Pz
поля есть кинетическая энергия е = - , ще р , р. р. -
2т у
декартовы компоненты вектора импульса атома, т - масса
атома. Число степеней свободы атома, рассматриваемого как
материальная точка, равно трем. Для отдельного атома величина
dpdq dpxdp dpzdxdydz
r * = — . Учитывая все это, запишем
распределении)' BтгАK
ние Больцмана для одноатомного идеального газа (без внешнего
2 2 2
J* Р* *РУ *Р*
поля) в виде dN = eTe 2Т гх гу жгг —-. Удобно вы-
iT1' dpxdpydpzdxdydz
BпЬK
разить нормировочный множитель е т через число частиц газа
N0, объем газа V0 и его температуру Г. Для этого
проинтегрируем полученное выше распределение Больцмана по компонентам
импульса атома и по его координатам. Тогда будем иметь
Ji
N0=fdN = eTK- i*
J Bnbf
откуда е т =
BnmTKf2
интегрирование, например, по рх приводит к интегралу
\ n '—. Отметим, что
2
Рх
fe 2mTdpx = BnT)m (интеграл Пуассона; см. гл. 1). С учетом
полученного результата распределение Больцмана приобретает
вид dN =
KVo
Ы*г!
е 2Т dpdp^dpdV. Обозначая —- =
(InmTf1 х у г dV
= dn(px, ру,рг), будем иметь:
/\.\ Pl*Py*Pz
dn{px,py,pt)
No
BптГ)зд
2_
dn _„ -r ¦
X fy Гг
1 e 2"r dpxdpdPl.
88

Это последнее выражение носит название распределение
Максвелла по компонентам импульса в декартовой системе
координат. Величина dn(px, pyi р\ представляет собой среднее
число атомов в единице объема, декартовы компоненты импульса
которых рх, рг рг лежат в интервалах рх, Px + dpx\ pyi py±dpy9
pv Pz + dpz. Наконец, вводя обозначение dW(px9 ру, рг) =
dn\px,prp\
= —i 1—ч_ запишем распределение Максвелла в следующей
2 2 2
форме: dWpx, ру, рг) = —е 2тТ dpxddpt. dW(pt, py, рг)
B 7i nt T)
есть распределение вероятностей декартовых компонент импульса,
т.е. представляет собой вероятность того, что декартовы
компоненты импульса атома газа лежат в интервалах рх> Px*dpx;
pr py + dpy\ pz, pz + dpv Распределение dW(px, py9 pz) нормировано
на единицу 1. Отметим, что если перейти от декартовых
Рх
компонентов импульса р , pv, pr к компонентам скорости и = —;
х у z m
Р Р
i>=—; v =—9 получим распределение Максвелла по компонен-
r m m
там vx, vy, vz
(N), 43/2 -*№*y+%
z
Наконец запишем распределение Максвелла нормированное на
единицу:
( \з/2 —Li—г—и.
if?)
е гт dvxdvydvz.
52. Если в декартовой системе координат (рис 5.1) в
пространстве скоростей вектор скорости v частицы имел
компоненты vx, vy9 i>z, то в цилиндрической системе координат
89

Рис. 5.1
в пространстве скоростей вектор
скорости v характеризуется
величинами их, ф и \>v ще vL -
проекция вектора v на плоскость
vxui* Ф "" Угол межДУ *>* и v±>
vz — проекция и на ось i>z. Из
рисунка 5.1 следует, что vx =
= ы±со8ф и i> = и^вшф, так что
2 2 2 о t
vx + vy + vz = (i>±cos фJ + (^xsin фJ + vz =
= У + l> .
Выразим далее элементарный объем dvxdv dvv записанный
с помощью декартовых компонент vx> v , vz, через компоненты
вектора и в цилиндрической системе координат. Используя
якобиан перехода от декартовой системы координат к
цилиндрической системе координат, будем иметь:
dvx dvx
dv± dip
dvy диу
dv Эф
du±d<pdvz =
dv dv v =
СС«ф - ^вШф
БШф 1>хС08ф
dv±dydvz= v±dv±dydvz.
Так что для цилиндрической системы координат в пространстве
скоростей распределение Максвелла по скоростям приобретает
следующий вид:
Ч'
dnff=
или в другой форме:
dW.T
&Г
т
2 я Г
,3/2
2Г v±dvxdydvz
2Т v±dv±d<pdvz.
90

В свою очередь в сферической системе координат в пространстве
скоростей величина и направление вектора v определяются
модулем вектора скорости и = | v\ и двумя углами: <р и 6 — углом
между вектором v и осью vz (см. рис. 5.1). При этом их= i>sin6cos<p;
иу= usin6sinq>; i>z=ucos6 так что v\+v2y + v2z = (vsmQcQ&(pf +
+ (v sin в cos фJ + (v cos бJ = u2. Далее, подобно рассмотренному выше
случаю перехода от декартовой системы к цилиндрической,
перейдем с помощью якобиана перехода от декартовой к
сферической системе. В результате будем иметь dvxdv dvz =
* х? sine dvdQdy, так что распределение Максвелла для
сферической системы координат в пространстве скоростей будет иметь вид:
или
\2пТ)
3/2 ""*
е 2Т itsinQdedy
\3/2 "^
dWff = (-^~) e 2T itsanQdvdQdQ.
' \2пТ)
S3, а) По определению, среднее значение компоненты скорости
vx атома идеального газа равно vx~J vxdWtvxv wz), где
d W\vx vy vS - распределение Максвелла по компонентам скорости
в декартовой системе координат. Используя явный вид распреде-
_;- ( m ум -=&?&
ления Максвелла, см. E.1), будем иметь *>Х=П1 vx\- л
ЛпТ
+** mV* \n +* mv*-
:dvxdvydvz. Интегралы fe 2rdi>y = | —— j = fe 2T dvz
есть
интегралы Пуассона. Интеграл же \ vxe 2T dvx = 09 как интеграл
— о»
от нечетной функции взятой в симметричных пределах. Отсюда
б) Среднее значение v удобно вычислять, используя
распределение Максвелла в сферической системе координат (см. E.2)):
91

* 2л t _ _ «у2
•-¦/—я/fe)
4? 2Г i^sinedoerfip.
Интефирование по углам 0 и <р выполняется элементарно:
х 2я
J|sin0d6i9=47c.
о о
Интефирование по величине скорости выполняется так
же элементарно, если принять во внимание равенства
/д г д 1 1
e~*xxdx = -—le~axdx = =— (см. гл. 1). В самом деле:
MV2
да J0 За а а2
- mv2 •• «к2 . и
ve 2Tv2dv = —[e 2Tv2dv2= — \— . Так что окончательно
w-.f_-L.flf2ZT4«-2filf.
U**7 2\m) \nm)
в) Среднее значение v~x вычисляем с помощью распределения
Максвелла в декартовой системе координат: их = 1 х
х/ТТ^е 2Г dvxdvydvz = [ m 1 /*>*« 1Т dvx, поскольку
г 2Г rf i>y = = Г е 2Т dvz. Используя далее соотношение
fx2e-*x2dx = -?- fe-*x2dx = -^J±=-?- (см. гл. 1), будем
2
+ «» mvr t
с г "Чт \fH BT\3f2
иметь: / vxe dvx=1—\— . Тогда окончательно получим:
7=f-^-V/2v^f2if=r
* \2пТ) 2 [mj m
92

5.4. Если dn(yx, vy, vj
К
&•
^k
IT
dvxdvydvz есть
среднее число частиц в единице объема идеального газа, у
которых компоненты скорости vx> vy9 ьг лежат в интервалах vx>
vx + dvx; vy9 vy + dvy9 vv vz + dvv то среднее количество частиц
в единице объема газа, у которых компонента скорости vz лежит
в интервале 0 <, vz й vz, a vx и vy в интервалах vx, vx + dvx; vy9
vy + dvy> получается суммированием (интегрированием) среднего
числа частиц газа с компонентами vz в интервале 0 <, vz z u°z
*№*$
'•{•.. •,.«».^-щ^Г/ "'"•"'/
"if
dv„
5.5. а) Среднее число частиц в единице объема газа с
компонентами скорости в интервалах vx, vx + dvx; vy9 vy+dvy;
vz> vz + dvz определяется распределением Максвелла (см.
задачи 5.1, 5.4)
За время т частицы, имеющие
компоненту скорости v проходят
vmx
путь i>zt. Поэтому частицы газа,
находящиеся в параллелепипеде с
объемом abvzx (рис. 5.2), имеющие
компоненту vz в интервале \>г,
vz + dvz и двигающиеся к плоскости
ху9 достигнут за время т стенки
(плоскости ху). Число частиц газа
с компонентами скорости vx,
vx + dvx; v vy+dvy; v%9 vz + dvz в таком параллелепипеде равно
dN = dn(vx,vy9 vz}abvzx. Разделив левую и правую стороны этого
равенства на abx9 получим dv lvx, v , v\ = = = v dnlvx v v\.
v y abx
d\ есть число частиц газа с заданными компонентами скорости
Рис. 5.2
93

vx, vy, vv достигших за единицу времени единицы поверхности
стенки - число ударов частиц газа о единицу поверхности в
единицу времени. Число ударов о единицу поверхности стенок
в единицу времени для случая произвольных значений vx и vy
получается интегрированием выражения dv = vzdn(vx9 vy9 vz), no
v„ и v-
dv{vz)=ff»z
"о
m у2 2Г j j j
2nTJ x y г
vz
2Tdvz.
No
KVo
\2nTJ
При вычислении интегралов использовались равенства
г i
+ «» IB V ._+«• MV
е 2Т dvx = \ =| е 2Т dv (интеграл Пуассона, см. гл. 1).
-ее V / — «о
б) Перепишем число ударов dv(yxvyvz}9 полученное для
декартовой системы координат, для случая сферической системы
координат
dv- ocos8 —
К
f
p!L.fY~2r v2dvdQ,
где dQ^sin.Oddd(p — элемент телесного угла, причем угол в есть
угол между направлением скорости молекулы (к стенке) и
нормалью к этой поверхности. Полученное выражение dv для
сферической системы координат есть число ударов о единицу
поверхности в единицу времени, которые наносят частицы газа,
двигающиеся к стенке в элементе телесного угла dQt и имеющие
величину скорости v в интервале v9 v + dv.
5.6. Наиболее вероятная скорость атома в одноатомном
идеальном газе находится с помощью распределения Максвелла,
записанного в сферической системе координат (см. задачу 5.2) и
/ \3/2 -О!*?.
имеющего вид dW = \ е 2Т iPshiQdddodv. dW есть
вероятия 7у
94

ность того, что частицы в газе движутся в элементе телесного
угла dQ^smOdQdy и имеют абсолютное значение скорости и в
интервале v9 v + dv. Интегрируя dW по телесному углу dQ,
fttV2
получим: dW(v) =
v) = 4 я е
27*
i^du. rfJP(i>) есть вероятность
того, что частицы газа имеют абсолютное значение скорости v
в интервале v + dv при произвольных значениях 6 и <р.
е 2Т х? есть плотность распределения
> \2пТ)
п dWlv)
Величина *-* =
вероятности по абсолютной
величине скорости и. График
зависимости плотности
вероятности от v указан на рис. 5.3.
Из графика следует, что
плотность вероятности имеет
максимум при некотором значении
скорости v^. Это значение
^тах НаХОДИТСЯ ИЗ УСЛОВИЙ
экстремума плотности
распределения вероятности
dW(y)b
du
Рис. 5.3
d
i ( -*id ) mv
-(e "*)' —
mv1 mv1
откуда wnttx = +
N
27*
—. Отметим, что vma> v (см. задачу 53).
тп
SJ. Запишем распределение Больцмана для случая
ультрарелятивистского одноатомного идеального газа, у которого
кинетическая энергия е частицы следующим образом выражается через
импульс р частицы: е = ср, где с — скорость света (см.
формулу 5.2): dN = e
JL1?? p2dpdQ dV
dN есть среднее число
B п hf
атомов идеального газа в объеме dV9 величина импульсов
которых лежит в интервале ру p + dp, а направление импульсов
локализовано в пределах элемента телесного угла *Ш-, Нормиро-
95

ii
вочную постоянную ет удобно выразить через полное число
частиц газа N0 и объем газа К0. Для этого проинтегрируем
распределение Больцмана по импульсам частиц и по координатам
частиц (по dV)\
N^eT
B я
bf{ BnbK \cj
причем для вычисления интеграла использовалось выражение
«о «о
fe ~*xx2dx = / е"рхЖс = = —. Нормировочная постоянная
\
,\3 /^N3
г г в этом случае равна: е т =
B'--, , ,
1 <-| — |, а распределение
Больцмана приобретает вид dN^lNJV^— ""Iе т p2dpdQ^dV.
\3 --^
Вводя величину dn =—, получим dn
iY0
KVo,
\з -??
Число частиц в единице объема газа, величины импульсов
которых лежат в интервале р, p + dp9 а направление импульсов
лежит в элементе телесного угла JQ-. Наконец, интегрируя dn
по dQ, будем иметь dn(p)
"о
куо;
\3 -St
— I — I е л p*dp — распределение
по абсолютным величинам импульса ультрарелятивистких частиц
идеального газа.
5.8. Число соударений в единицу времени данной частицы с
другими частицами идеального газа, сопровождающихся
некоторым процессом с сечением о, равно: v =
¦№
n(v'f
47* л/,/\3
It
— X
2
e 4Г o(v'fdv\ где и' - относительная скорость двух
сталкивающихся частиц, m - масса частицы газа, N0 - полное
число частиц в газе, V0 - объем газа, Т - его температура.
96

В общем случае сечение о является некоторой функцией
скорости v\ В данной же задаче o = nBaf и не зависит от о'.
Отметим, что 2а есть расстояние между центрами
сталкивающихся шаров, радиусы которых равны а. Таким образом, в данном
1 -si?L
4Г ^
случае число соударений равно: v = — — [ — I nBaf f
вычисляется по схеме, приведенной в з
Окончательно будем иметь v= — Dа}2! —I
е
о
указанный выше,
вычисляется по схеме, приведенной в задаче 5.3, пункт б.
5.9. Распределение Больцмаиа для двухатомного идеального
»---Wb, (dpdq^dpdq^jdpdq)^
газа имеет вид dN = e l — == —, где
B*АN
€жин ~~ кинетическая энергия, €вр|щ — вращательная энергия и
с«ш "" колебательная энергии двухатомной молекулы. (dpdq)KMB -
произведение дифференциалов обобщенных координат и
обобщенных импульсов, отвечающих поступательному движению
двухатомной молекулы как целого. Аналогичный смысл имеют
(dpdq)UVVEk и (dpdq)^^. От распределения Больцмана можно
перейти к распределению вероятностей обобщенных координат
и импульсов тем же способом, как это было сделано в задаче 5.1.
Опуская подробности достаточно громоздкого вывода, приведем
конечный результат: dW-conste T (dpdq)ume T (dpdq)Mpamx
-Is-
хе т (dpdq)KOM. const определяется из условий нормировки
fdW = 1. Выделим из dW множитель, отвечающий колебаниям
*коя
dWW№-caaAle T (dpdq)KQX. Надо иметь в виду, что в центре
инерции молекулы, где рассматриваются колебания атомов около
положения равновесия, движение двух частиц сводится к
97

движению одной частицы с приведенной массой \iQ и
относительным импульсом pq. При этом расстояние между атомами -
относительное расстояние, записывают как / = /0 + д, где 10 -
равновесное расстояние между атомами, q - отклонение от
равновесного расстояния. Энергия одномерных гармонических
колебаний с частотой о частицы массой ц0, как известно, имеет
р] ix0toV ,*,Wm»V/2
ВИД гсол= it- + —5—' П0ЭТ0МУ dWEMmfxnBX\e T dpqdq.
Наконец, выделяя из dWm множитель dW(q)= coos^e 2T dq9
найдем с его помощью среднее значение расстояния между
колеблющимися атомами: / = 110 + q\ = l0 + q, где q = \qdW(q) =
^cons^fqe 2T dq=0 (см. задачу 5.3, а). Равенство Г = ^
означает, что при гармонических колебаниях молекула не
испытывает теплового расширения или сжатия. Зависимость /
от температуры связана с ангармоническими колебаниями
молекулы.
5.10. Полная энергия атома, находящегося в поле тяжести с
2 2 2
Px+Py+Pz
ускорением g есть с = - + mgz. Поэтому распределение
Больцмана для одноатомного идеального газа оказывается
2 2 2
. Рх +Ру +Рг
|i -2—L-mgz
.-, . ИГ" dpxdpdpzdxdydz
следующим: dNlpnp^ z) = е л —-—1—- . Рас-
Гх у г ] B*ЛK
смотрим частный случай, ковда газ заполняет сосуд в форме
прямоугольного параллелепипеда, высота которого Я, а площадь
л
основания о. Нормировочная постоянная ет находится путем
интегрирования распределения Больцмана по импульсам и
координатам. Для рассматриваемого случая интефирование по
координатам и импульсам частиц приводит к следующему
значению нормировочной постоянной: ег = \ п ) т8—
B*1»ГK/2 ( щн)

Если подставить найденное значение ет в распределение
Больцмана, то ему можно придать следующий вид dW=dWMdWB9
1 >з/2 -?&?
1 1 ' 2гп7
dN I 1 г'2
ще <flF =—; ^Я^м= е 2тГ dpdpdp, -распределение
#0 \2ятГ; у z
Максвелла, нормированное на единицу; dWB
mge т dxdydz
оТ{1-е т)
распределение по координатам, нормированное на единицу.
Распределение dWB зависит лишь от z, а от х и у не зависит
вообще (по х и у распределение однородное). Интегрируя
это последнее распределение по х и у, получим dWB (z) =
« *ng e
Т
[l-e т)
dz - распределение частиц газа по высоте
(интегрирование по х и у дает площадь основания
параллелепипеда а ).
II
5.11. dn(t)
VcF
е Tyfzdz. Указание: см. задачу 5.2.
5.12. п (с2 е2) =
V
5.13. п(?>е0)~
Укт*;,
\е T\/tde.
2-2-2-е т. Указание: при вычислении
v/nT
величины и(е>е0) считать множитель Je медленно меняющимся
сравнительно с е
5Д4. е„ = ^.
2
99

5.15. ц = Г1п
2«Й
рИ-)
Химический потенциал ц выражен
как функция NQ, V0 и Г. Можно выразить ц как функцию Р
и Г, используя уравнение состояния идеального газа PV0 = N0T:
'¦Н?Г*?1
5.16. dJF
/ _, N3/2 - l"(g-g?
-|-5-| в гт dv dv dv
5.17. й = -Г
2»2 \ ««?*
2Г
т<й"Л2
IT
-We
x у i'
+ 1
Г 2Г -1
5.18. dW=ce T dpxdpydpt. Постоянная с определяется
из условия нормировки JdW=l.
Ill
«Г «L*«\«-
5.19. dW„ (v^= 4* (-JJLJ
m(»X) I _
520. dWlvx, ь^ш-Е-е 2Г d d ^J-J1; »2 = — •
522. v = —5— — |-i?J— + lie г, ще V - задерживающая
разность потенциалов
523. v =
9яГ — 4Г
vi = —.
m
\| 8m '
525. a) Av = g-ll-J-; б) Д? = о. — (Л-Р,); в) ё = 2Г.
100

527. v
mg
5.29. м = Г1
mgH
mgH
530. r^JLlZN
о2 т
, 2Г
m<u*R
2»2
2Г
-1+1
m<a2*2
, 2Г
531. dPK
/m/,\2 -*** i™^
Jj^ * г е it rdrdz
532. u = -dnEkth-
d*E
d0E
533. Если среднее расстояние между атомами обозначить как
г = г0A +ссГ), ще г0 - равновесное расстояние, а - коэффициент
3 1 б
линейного расширения молекулы, то а = , где
4 го Y2
8 , 28 f 13Л 2Л
3 11
12
*—i
2
2
С 26 Л 72^
Глава 6
I
6.1. а) Распределение Ферми для электронного газа имеет вид
1 Vp2dp
dN=
7Г2А3
•, где \i(P, T) - химический потенциал, Т -
+ 1
температура, V - объем и? - давление; р и m ~ абсолютное
101

значение импульса и масса электрона. Для низких температур
химический потенциал газа \л(Р, Т) представляет собой
положительную величину, поскольку в противном случае показатель
экспоненты в распределении Ферми был бы положительной
величиной и при Г-0 стремился бы к бесконечности. В этом
случае распределение Ферми было бы равно нулю для любых
импульсов частиц. Для \i(P9 Г = 0)>0 показатель экспоненты при
2
2— <р(Р9 Г = 0) отрицателен и для Г-0 экспонента равна нулю,
2т
так что распределение Ферми для абсолютно вырожденного
электронного газа имеет вид dN = ———. В свою очередь для
2
-?— >р(Р9 Г = 0) показатель экспоненты положителен и при Г-О
2т
экспонента стремится к бесконечности, так что dNp = 0. Из
сказанного следует, что для Г = 0 величина dNp отлична от нуля
лишь для импульсов частиц в интервале 0йр<>рр9 где pF - им-
п2 г,2
Pf Pf
пульс Ферми, причем — = ii(f\0). Величину — = гр принято
2m 2m
называть энергией Ферми. Импульс Ферми pF может быть
выражен через полное число частиц в электронном газе
NQ = ]dNp и объем газа V. В самом деле для Г = 0 будем иметь
"о = /-^> откуда p^nTh^J3 и Шг.?-Ьжрх
х — \—\ • Химический потенциал абсолютно вырожденного
электронного газа равен, следовательно, ц(Р, 0) = eF.
б) Средняя энергия электронного газа для Г=0 определяется
- '? р2 ,- Pr P2 P2dpV vPf „
формулой Е = / -*— dN = I •*— -—*— = . Подставляя
I 2т " { 2т **& 10*2тА'
выражение р? из пункта а, будем иметь Е = —* L —I N0.
в это
102

в) По определению давление Р выражается через свободную
энергию F следующим образом: ^ = -(—I • Свободная энергия
F связана со средней энергией Ё соотношением F = E-TS> ще
S — энтропия. Для Г = 0 энтропия любого тела, в частности
электронного газа, равна нулю (третье начало термодинамики).
Поэтому для Г=0 имеет место равенство F = ?, которое позволяет
для абсолютно вырожденного электронного газа записать
-И
Имея в виду выражение средней энергии Е9
о
U 2V?/3 «.2 (N У
полученное в пункте б, будем иметь Р =' ' — .
5 m\V)
Найденное выражение для Р может быть выражено через
~" 2 Е
среднюю энергию Е9 именно Р = • Легко убедиться в том, что
2 Ё
соотношение Р« имеет место и для обычного атомарного
идеального газа при нормальных условиях. В самом деле, средняя
- 3
энергия атомарного идеального газа есть ? = — N0T9 а уравнение
состояния такого газа имеет вид PV = N0T. Тоща, комбинируя эти
2 Е
два соотношения, будем иметь Р « .
J 3 V
62. Согласно квазиклассическому приближению число
состояний электрона с абсолютными значениями импульса р в
интервале р, p+dp есть </Г=-^—?, ще V - объем газа. Для
712А3
ультрарелятивистского электронного газа связь энергии электрона
с с его абсолютным значением импульса р имеет вид t=cp
{с - скорость света). Тоща, выражая р через с, найдем число
состояний электрона для энергий последнего в интервале е ,
Vt2dt Vt2
c+dc: dT= sQ(c)rfc, ще Q(c) = — плотность числа
состояний. Импульс Ферми для ультрарелятивистского газа
юз

электронов имеет тот же вид, что и для нерелятивистского газа
(N)lf3
(см. задачу 6.1, a) pF = Cn2)lf3b — , поскольку для Г = 0
распределение Ферми имеет один и тот же вид для случаев
нерелятивистского и ультрарелятивистского газа электронов.
Однако энергия Ферми для случая ультрарелятивистского газа
электронов eF « cpF = с C тг2)|/3 h — отличается от энергии Ферми
для нерелятивистского газа (см. задачу 6.1, а).
63. Распределение Ферми для Г = 0 имеет вид dNp =
4ngp2dpV Q
*Р*Рг
B л bf \ где в нерелятивистском приближении
О PF*P
( 3 V3 ^о
р =2тс —Ь (см. задачу 6.1, а). По своему смыслу
\4itg) V
распределение Ферми представляет среднее количество фермионов
в объеме V с абсолютным значением импульса р в интервале
р9 p+dp. Переходя от импульсов р к скорости v и записывая
p = mv9 получим среднее количество фермионов в объеме V с
абсолютным значением скорости v в интервале и9 v + dv:
_ Ungm'Vfd, 0uvi El
dN.. = < BniK w.
v0av
Имея это в виду, среднее значение v", где и — целое число
(« i -2) может быть записано следующим образом:
fv'dNu
^ = _о = ""Д"' ' vo = 3 1(п
4izgm3Vv'
о
— 3 "~7 3 2
Тогда для л = 1 у = — v0; для л = 2 у- — v0, для л = -1
4 5
3 -1
и = — vt
2
104
О

6А Рассмотрим ферми-газ элементарных частиц и запишем
выражения для полного числа частиц N0 и давления Р:
г 1 4*grp*dp. Р._ТСЫ
J '* BпАK {
2m
О ?—И
2m
{1 + е
4ngp2dp
BnhK
, ще и
+ 1
химический потенциал, V - объем, Т - температура газа,
g — количество проекций спина частицы на некоторое направле-
Р 2т
ние. Если е т «1, то подынтегральные выражения в N0 и Р
2т
могут быть разложены в ряд по малой величине е Т «1,
причем можно ограничиться малым числом членов ряда. В
самом деле, можно записать:
2m
2m
2m
2m ?
2m
= e T 1-е T ¦.
In
+ 1 1 + e
* 2m
U + e T )
-2L
2m
= e
Тогда ограничиваясь первым членом ряда в подынтегральных
выражениях для N0 и Р9 будем иметь:
2m
-Z
2m
N -Гс~т- 4*8уР dP. p-T[c~T-4*8P2dp
° Jo Bnhf ' { BnhK
Разделив далее почленно второе выражение на первое, получим
Р Т
— =— или PV = NfiT - уравнение состояния идеального
N0 V °
105

молекулярного газа. Если ограничиться в соответствующих
разложениях первыми двумя членами ряда, можно получить
поправки к уравнению состояния идеального газа PV = N0T. Таким
образом, для получения необходимых поправок нужно записать:
-ё
*o-j> T -
--&
,1\2
4%gVpzdp.
BяЙ2K
f-r/
»-&
( ,»\*
2т
2К>
\ 4ngp2dp nT г
Bnbf V*
О L
ц-
2т
'"fc
2\2
/ J
x4nVp2dp + Г г
B*АK 2 {
-2\2
2т
4ngp^dp = Щ + j- г
BлАK "И 2 J
2\2
1-?-
1т
— I 47tgp2dp
Bт*АK
Интеграл
/
2m
2\2
l*gP2dp_cT 4ng ~Cc'Tml 2d 4 g{mT)W
Bti AK B*AKj0 *3/2BAK*
Величина е Т с требуемой точностью может быть найдена из
-SL
1т
равенства Nn= fe T ng p—?, которое было получено ранее.
{ B*АK
Г
Производя элементарные вычисления, найдем, что е2 =
, BпЬ)ъ К
gBnmTKl2(v
2ц
я3'2BДK \У) 8
. Имея в виду это значение е , запишем, что
— . Поставляя полученный результат в
106

выражение для Р, будем иметь Р = Т
(n\
[ 2 g\mT) V)
\У)
>3 / « \» ЛГП| _ 1 A^jO*2 ^
или
PK.*reriai!fJLf ^ . Выражение Ш-^Г^ B
фигурных скобках определяет собой поправку к уравнению
состояния идеального газа PV = N0T. Эта поправка, естественно,
является малой величиной сравнительно с единицей. В самом
н 2т
деле, условие е т «1 будет выполняться для любых импуль-
сов /> во всяком случае, если е т« 1. Но поскольку ет =
B тс АK
(Ч
gB*m!TK/2
\
U
B* АK
то и —* L-
(NQ\
—-1« 1. Это последнее
?B7Г/ИГK/2
неравенство и означает малость поправочного слагаемого в
фигурных скобках. Выполняя аналогичные преобразования для
бозе-газа элементарных частиц, найдем поправку к уравнению
состояния идеального газа:
"Н-Ш^Г*)-
6.5. Распределения Ферми и Бозе для газа элементарных
jTt 1 4ngVp2dp г» „, „
частиц имеют вид: dNp =—- ?-_?—tLt Знак + относится
iL-v Bnbf
2м
Т ±1
к ферми-газу, знак "—" к бозе-газу. Переходя от импульса р к
р2 1 gm3nVzmdt
энергии частицы е =-*—, будем иметь: dNm = - .
2m izt 2шп2Ь3
е т ±1
Отсюда средняя энергия газа равна E=fzdNt = -2— /х
JQ 21/2*2Л3 J0
. В свою очередь, давление газа элементарных частиц
JLLE
е т ±1
2 ?Ш312 г t3/2dz 2 1
может быть записано в виде Р = ? / = х
3 21/2тс2А3 Jn ^ ЗК
107
о т
е l ± 1

e r ±1;
Выражение в круглых скобках есть средняя
— О К К
энергия Е газа, так что можно записать Р = . Величина —
3 V V
есть средняя плотность энергии. Таким образом, как для ферми-
газа, так и для бозе-газа связь между давлением Р и средней
Ё п 2Ё
плотностью энергии — оказывается одной и той же: Р = —.
[дТ)у
6.6. В термодинамике имеется формула Ср-Су= , где
Ср — теплоемкость при постоянном давлении, Cv — теплоемкость
при постоянном объеме, P(V, T) — давление тела как функция
объема V и температуры Т. Применим эту формулу для случая
равновесного черного излучения. Для равновесного излучения
Су=—- , /> = __? у4, щео - постоянная Стефана-Больцмана,
с Ъс
с - скорость света. Производная 1-^1 =-^^1КГл, l-^l =0, так
пр™ Ш;Ш^ {§);<>¦
как давление Р черного равновесного излучения не зависит от
объема (в общем случае эта производная отрицательная). Из
сказанного следует, что при конечных значениях К и Г, согласно
приведенной формуле, величина ср стремится к бесконечности:
6.7. Число собственных колебаний в интервале волновых чисел
от к до k+ dk для электромагнитного излучения в объеме V
Vk2dk
равно dN = . В изотропной среде с показателем преломле-
ния л (со) волновой вектор к связан следующим образом с
частотой <д>: к = п (со)—. Выразим число собственных колебаний
с
108

электромагнитного излучения через частоту со. Для этого
,, 1 f, • ч п L со dn\ , п Jin {л со} *
запишем, что ак = — {алсо + л aco) = — Л + }Jco = »—*¦ aco.
с с [ /t dcoj с Jin о)
Тоща ^a22g^Bilfi!telY0»rftoM^. В этом случае среднее
И2 712\ С J rflnCd
число фотонов с частотами в интервале со, co + dco оказывается
равным аЛГ = — _i_z со-6 »—*• aco. Наконец, умножая
М 7i2\ с j rflnco
е т - 1
JNW на А со, получим среднюю энергию излучения, заключенную
в интервале частот со, со + rfco - формулу Планка для диспергиру-
- - 1 у
ющей среды: rf?0 = budN =
е г-1
с } rflnco
16 m
V4"
и
, где W0 - число частиц в газе, V0 -
объем газа, m — масса частицы в газе.
6.9. dv
16я m
К
\«0
-2 cosQdQ.
12W.
6.12. ц«ц0
Г = 0.
6.13. Спектральная плотность
, где ц0 - химический потенциал при
а со
dix>
е г-1
вде о -
71С*
величина площади, на которой локализовано равновесное
излучение в двумерном случае.
6.14. Средняя энергия черного излучения в двумерном случае
о7*
(см. задачу 6.13) ? = 2,4-
сс2А2
Указание: далее вычислять
109

термодинамические величины черного излучения в двумерном
случае, используя обычные формулы термодинамики.
6.15. Z = 2// ch— , где chjc - гиперболический косинус.
6.16. ? = , где ц0 - химический потенциал при Г = 0.
6.17. Температура вырождения равна Тр~ —
2т
Поэтому
для электронов TJT
Ь2
V2*
2тл
So,
, где т - масса электрона, а
—tllDOT 2l
для протонов температура вырождения TF
2Af,
tf" Mmm
М — масса протона. Отсюда = —=^.
<N,^
прот
vfy
, где
прот
тпрот т
6.18. Р
(з«Т ьг
5 т
(
"о
VKo
. дЛя ^-б-КР-Л
см
Р*610
ю
Г CMI 1
сек2) см2
III
621. Р = —— {-/4 + (тсL Л rsh -^'
sh* — гиперболический синус.
622. v = --5.
4 Vn
\ где Рр - импульс Ферми,
6.23. Ср-Су-Т2"*1.
624. Р = , где К. - объем газа.
110

625. Ё = -NT
2
! + .«**
N \[ 2E
— Г; P = —, ще ЛГ0 - число частиц
Vo)\ 3Vo
4(mTKf2
в газе, V0 - объем газа, т - масса электрона
3 1
628. Р = ~ г> гДе €f ~" энергия Ферми.
2
¦(f)
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Статистическая физика. Ч. 1, Т. 5. М.: Наука,
1976.
2. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика. И.: Физматгиз, 1958.
3. Левнч В. Г. Введение в статистическую физику. М.: Гостехтеоретиздат, 1954.
4. Манер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. М.: Изд-во иностр.
лит., 1952.
5. Киттель Ч. Статистическая термодинамика. М.: Наука, 1977.
6. Зоммерфелвд А. Термодинамика и статистическая физика. М.: Изд-во
иностр. лит., 1955.
7. Задачи по термодинамике и статистической физике / Под ред. IL Ландс-
берга. М.: Мир, 1974.
8. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967.
9. Кронин Дж., Гринберг Д., Телегди В. Сборник задач по физике с
решениями. М.: Атомиздат, 1971.
10. Варикаш В. М., Болсун А. И., Аксенов В. В. Сборник задач по
статистической физике. Минск: Вышэйш. шк., 1979.
11. Гречко и др. Сборник задач по теоретической физике / Л. Г, Гречко,
В. И. Сугаков, О. Ф. Томасевич, А. М. Федорченко. М.: Высш. шк., 1984.
12. Серова Ф. Г., Янкина А, А. Сборник задач по теоретической физике. М.:
Просвещение, 1979.
111

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. ОСНОВНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 4
Глава 2. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ.
ЭНТРОПИЯ 14
Глава 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕРМОДИНАМИКИ 18
Глава 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА.
(КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ) 24
Глава 5. ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ. (РАСПРЕДЕЛЕНИЕ БОЛЬЦМАНА) 32
Глава 6. КВАНТОВЫЕ ГАЗЫ. (РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ И БОЗЕ) . . 38
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 43
Иванов Юрий Борисович
Фетисов Евгений Петрович
Фивейский Юрий Дмитриевич
ПРАКТИКУМ ПО СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Часть 1
Редактор Я. В. Шумакова
Компьютерный набор и верстка СВ. Тялина
ЛР №020676 от 09.12.97
Подписано в печать <3« 0т\ &$. Формат 60x84 1/16 Уч.-издл. 7,0
Печл. 7,0 Тираж 150 экз. Изд №059-1 Заказ 29
Московский государственный инженерно-физический институт
(технический университет)
Типография МИФИ. 115409, Москва, Каширское ш., 31