Author: Топтыгин В.В. Батыгин И.Н.
Tags: электричество магнетизм электромагнетизм физика электродинамика
ISBN: 5-93972-164-8
Year: 2005
Text
&*&, £^ ^^ S!^ SJSH Z?.
*" 1- > ;'fe
Pv^ T^^ /!Г~?^
J3-
= /7/5^;
В. В. Батыгин, И. Н. Топтыгин
СОВРЕМЕННАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ЧАСТЬ 1
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
Издание второе, исправленное
Москва ♦ Ижевск
2005
УДК 537.1
Интернет-магазин •
http://shop.rcd.ru
# Издание осуществлено при финансовой поддерж-
Ц ке Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту №03-02-30010.
Батыгин В. В., Топтыгин И. Н.
Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория:
Учебное пособие. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2005. - 736 стр.
Учебное пособие нового типа, сочетающее в себе стиль краткого учебника
и сборника задач с ответами и частично с решениями. Всего в первой части книги
собрано свыше 850 задач и примеров. Книга удовлетворяет требованиям фундамен-
тализации высшего образования и его многоуровневости, для чего в нее включен
материал разной степени сложности, рассчитанный на подготовку бакалавров 3-4
годов обучения, магистров и аспирантов. Основной материал требует использования
высшей и вычислительной математики и классической механики в объеме
стандартного университетского курса, а для некоторых разделов требуется знакомство
с основами квантовой механики, математической физики, термодинамики,
статистической физики и кинетики.
Книга рассчитана на подготовку специалистов по физическим и техническим
специальностям. Она может быть полезна также научным работникам,
инженерам-исследователям и преподавателям различных физических дисциплин.
ISBN 5-93972-164-8
©И.Н.Топтыгин, 2005
© НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005
http://rcd.ru
http://ics.org.ru
физика
математика
биология
нефтегазовые
технологии
Оглавление
Предисловие 7
Глава 1. Математические методы электродинамики ....... 11
1.1. Векторная и тензорная алгебра
Определение тензора и действия над тензорами. Главные
значения и инварианты симметричного тензора II ранга. Кова-
риантные и контравариантные компоненты. Тензоры в
криволинейных неортогональных системах координат. Задачи и
примеры ^ 11
1.2. Векторный и тензорный анализ
Градиент и производная по направлению. Векторные линии.
Дивергенция и ротор. Интегральные теоремы. Соленоидаль-
ные и потенциальные (безвихревые) векторы.
Дифференциальные операции второго порядка. Дифференцирование
в криволинейных координатах. Ортогональные
криволинейные координаты. Задачи и примеры 29
1.3. Специальные функции математической физики
Цилиндрические функции. Сферические функции и
полиномы Лежандра. Дельта-функция Дирака. Определение и
общие свойства: Некоторые представления дельта-функции.
Представление дельта-функции через контурные интегралы
в комплексной плоскости.' Разложение по полным системам
ортонормированных функций. Общее рассмотрение. Ряд
Фурье. Интеграл Фурье. Задачи и примеры 53
1.4. Ответы и решения 85
Глава 2. Основные понятия электродинамики. Уравнения
Максвелла 105
2.1. Электростатика
Закон Кулона. Электрическое поле. Электростатический
потенциал. Уравнения электростатики. Граничные условия.
Разложение по мультиполям. Энергия и силы в
электростатическом поле. Задачи и примеры 105
4
Оглавление
2.2. Магнитостатика
Плотность тока и магнитное поле. Закон Бйо-Савара.
Сила Лоренца и формула Ампера. Сохранение электрического
заряда и уравнение непрерывности. Уравнения
магнитостатики. Векторный потенциал. Граничные условия. Магнитный
момент. Энергия и силы в магнитном поле. Коэффициенты
индуктивности. Задачи и примеры 128
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
Закон электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла.
Граничные условия. Системы единиц измерения
электрических и магнитных величин. Анализ системы уравнений
Максвелла. Энергия и поток энергии электромагнитного
поля. Электромагнитные потенциалы. Свободное
электромагнитное поле. Электромагнитные волны. Гамильтонова форма
уравнений поля. Осцилляторы поля. Задачи и примеры .... 148
2.4. Ответы и решения 173
Глава 3. Специальная теория относительности и релятивистская
кинематика 214
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
Свойства пространства-времени и интервал. Преобразования
Лоренца. Псевдоевклидова геометрия. Задачи и примеры . . .214
3.2. Кинематика релятивистских частиц
Энергия и импульс. Кинематические задачи. Задачи и примеры237
3.3. Ответы и решения 257
Глава 4. Вариационный принцип в релятивистской механике и
теории поля 302
4.1. Четырехмерные векторы и тензоры
Преобразование тензоров. Дуальные тензоры. Задачи и
примеры 302
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
Преобразование электромагнитного поля
Взаимодействие заряженных частиц с электромагнитным
полем. Уравнения движения релятивистской частицы.
Преобразования напряженностей электромагнитного поля. Динамика
орбитальных и спиновых магнитных моментов.
Приближенные методы. Усреднение по быстрым осцилляциям. Фазовые
траектории и фазовый портрет. Адиабатические инварианты.
Задачи и примеры 312
4.3. Четырехмерная формулировка электродинамики. Введение в
теорию поля
Оглавление
5
Методы Лагранжа и Гамильтона в теории поля. Действие для
электромагнитного поля. Теорема Нетер и интегралы
движения. Задачи и примеры 348
4.4. Ответы и решения 369
Глава 5. Излучение и рассеяние электромагнитных волн .... 438
5.1. Функция Грина и запаздывающие потенциалы
Функции Грина волнового уравнения. Запаздывающие
потенциалы. Спектральный состав излучения. Задачи и примеры43 8
5.2. Излучение нерелятивистских систем зарядов и токов
Электрическое дипольное излучение. Квадрупольное и маг-
нитно-дипольное излучение. Вектор Герца и излучение
антенн. Принцип взаимности. Примеры и задачи 448
5.3. Излучение релятивистских частиц
Электромагнитное поле движущейся заряженной частицы.
Потеря энергии и импульса заряженной частицей.
Спектральное распределение излучения релятивистских частиц.
Излучение при столкновениях частиц. Излучение при
распадах и превращениях частиц 462
5.4. Взаимодействие заряженных частиц с излучением
Взаимодействие заряженной частицы с собственным
электромагнитным полем. Перенормировка массы. Сила
радиационного торможения в релятивистском случае. Рассеяние
электромагнитных волн частицами. Примеры и задачи 483
5.5. Ответы и решения 499
Глава 6. Квантовая теория излучения и рассеяния фотонов ... 571
6.1. Квантовые состояния электромагнитного поля
Осцилляторы поля. Фотоны. Представление чисел
заполнения и операторы электромагнитного поля. Состояния
статистического равновесия. Когерентные состояния. Разложение
векторов состояния и операторов по когерентным
состояниям. Сжатые состояния. Перепутанные состояния 571
6.2. Квантовая теория излучения, поглощения и рассеяния
фотонов атомными системами
Взаимодействие квантованного электромагнитного поля с
нерелятивистской системой. Спонтанное и индуцированное
излучение. Коэффициенты Эйнштейна. Электрическое
дипольное излучение. Электрическое квадрупольное и
магнитное дипольное излучение. Теория возмущений для матрицы
плотности. Другая формулировка дипольного приближения.
6
Оглавление
Приближение двухуровневого атома и кооперативные
эффекты. Примеры и задачи 595
6.3. Взаимодействие релятивистских частиц с фотонами
Релятивистское уравнение Дирака для фермионов. Оператор
взаимодействия релятивистской частицы с фотонами.
Рассеяние фотона свободным электроном. Метод эквивалентных
фотонов. Примеры и задачи 619
6.4. Ответы и решения 638
Дополнение 1. Перевод электрических и магнитных величин из
системы СИ в гауссову и обратно 689
Дополнение 2. Вариационный принцип для непрерывных систем
Колебания упругой среды как предел колебаний дискретных
точечных масс. Лагранжева форма уравнений движения непрерывной
среды 692
Дополнение 3. Общая схема квантовой теории
Спектр физической величины и волновая функция. Вектор
состояния. Неразличимость тождественных частиц. Операторы и их
свойства. Эволюция состояний во времени. Смешанные состояния.
Линейный гармонический осциллятор. Алгебра операторов 700
Литература 718
Предметный указатель 729
Предисловие
Целесообразность издания предлагаемого учебного пособия вызвана
интенсивным развитием физики и смежных дисциплин в последние
десятилетия, необходимостью приведения используемых учебных книг в
соответствие с современными достижениями науки и техники, а также длительным
перерывом в издании научно-технической литературы в последнее
десятилетие в Российской Федерации и физическим износом изданных ранее книг.
В частности, имеющиеся в настоящее время пособия по электродинамике за
немногими исключениями были написаны свыше 15 лет назад и не
содержат достаточно современного материала, касающегося приложения общих
принципов к актуальным научным и техническим задачам.
Между тем, интенсивное внедрение достижений современной
физики в технику и технологию, а также смежные науки (экологию, геофизику,
астрофизику, биологию и многие другие, включая медицину) требует от
широких кругов специалистов активного владения методами решения
самых разнообразных электродинамических задач. В то же время сама
электродинамика и ее многочисленные приложения так разрослись, что никакой
традиционный курс не в состоянии охватить большинство важнейших
электродинамических проблем с необходимой полнотой и глубиной.
В этих условиях, по нашему мнению, назрела необходимость
написания достаточно компактной книги нового стиля, в которой были бы
изложены как основы электродинамики, так и ее основные приложения в смежных
областях науки, а также наиболее интересные технические приложения.
Авторы попытались это реализовать за счет нетрадиционной композиции,
сочетающей стиль краткого учебника и сборника задач. Многие вопросы
освещаются в виде примеров и задач, для части которых даны подробные
решения в тексте книги, часть же снабжена краткими решениями либо
только ответами. В связи с этим материал каждого раздела по стилю изложения
разделен на две основные части:
1. Теоретический курс (основные физические принципы и уравнения;
примеры с подробными решениями, в которые вынесены основные
математические преобразования, а также узловые приложения теории;
сведения справочного характера по математическим методам электромагнетизма;
библиографические указания для более подробного ознакомления с
отдельными вопросами).
8
Предисловие
2. Задачи (формулировка условий; указания к решению (если это
необходимо); ответы или решения с необходимыми комментариями и
обсуждением результатов).
Предлагаемое учебное пособие будет состоять из двух книг: Часть 1.
Электромагнитные явления в вакууме (микроскопическая
электродинамика). Часть 2. Электромагнитные явления в веществе (макроскопическая
электродинамика).
Книга снабжена довольно длинным списком рекомендуемой для
дальнейшего чтения литературы (преимущественно учебники, монографии и
обзоры; в редких случаях оригинальные статьи) и предметным указателем.
Большинство источников, вошедших в список рекомендуемой литературы,
было использовано в предлагаемой книге.
По мнению авторов, такое издание имеет следующие преимущества:
— возможность вместить значительную информацию в книге умеренного
объема;
— возможность для читателя освоить на практике методы решения
электродинамических задач;
— объединение сильно разросшихся ответвлений электродинамики и
ознакомление специалистов с достижениями и методами, применяемыми
в смежных областях.
При составлении предлагаемого учебного пособия авторы
использовали опыт преподавания теоретической физики на четырех физических
факультетах Санкт-Петербургского государственного технического
университета (Политехнического института), а также свой предыдущий опыт
работы над учебными пособиями, изданными ранее с грифом Минвуза СССР:
«Сборник задач по электродинамике» В.В.Батыгина и И.Н.Топтыгина
(Физматгиз, 1962 г.; Наука ФМ, 1970 г.) и «Классическая электродинамика»
М. М. Бредова, В. В. Румянцева и И. Н. Топтыгина (Наука ФМ, 1985 г.). Обе
книги были переведены и изданы на нескольких иностранных языках. Но
предлагаемая книга существенно отличается от двух указанных выше как
общим стилем, так и более широким охватом материала, подчас выходящего
за рамки классической электродинамики. Например, число задач и
примеров только в первой части новой книги примерно такое же, как общее число
их в «Сборнике задач по электродинамике».
Есть и еще один довод в пользу книги предлагаемого стиля. В
последние годы руководители высшей школы Российской Федерации в целях
экономии средств продолжают сокращать объем учебных часов
обязательных занятий с преподавателем. В этих условиях, чтобы избежать
катастрофического падения уровня подготовки специалистов, необходимо всячески
Предисловие
9
стимулировать самостоятельную работу студентов. Мы надеемся, что
предлагаемое учебное пособие будет способствовать этому и поможет в первую
очередь тем студентам, которые заинтересованы не только в получении
документа о высшем образовании, но и стремятся глубоко овладеть избранной
специальностью.
Авторы надеются, что книгу можно будет использовать для
многоуровневой подготовки учащихся (бакалавры, магистры,
инженеры-исследователи, отчасти аспиранты и научные работники). Для этой цели в книгу
включены примеры и задачи, отличающиеся по содержанию, степени сложности
и способу подачи материала. Чтобы дать пользователю книги представление
о степени сложности той или иной задачи, авторы использовали пометки
в виде звездочек. Задачи повышенной трудности отмечены одной
звездочкой, а наиболее сложные задачи — двумя звездочками. Последние, по
нашему мнению, могут использоваться как основа для курсовых работ. Кроме
звездочек, используется еще одна пометка — жирная точка. Такой пометкой
снабжены задачи, которые рекомендуется решить в первую очередь, так как
они знакомят с достаточно общими и важными понятиями и явлениями
либо содержат результаты, которые используются в других задачах. Что
касается примеров, то в них включен, как правило, обязательный материал,
и авторы настоятельно рекомендуют пользователям подробно разобрать все
примеры в ходе проработки теоретического материала к соответствующему
разделу.
В разработке общего замысла книги и ее плана участвовали оба
автора. Но после безвременной кончины В.В.Батыгина в 1998 г. большую
часть конкретной работы по написанию первой части книги выполнил
оставшийся автор. Значительную помощь в работе над книгой оказали
наши коллеги — сотрудники кафедры теоретической физики
физико-механического факультета СПбГТУ. А. И. Цыган предложил задачи 5.134-5.137.
Д. В. Куприянов и И. М. Соколов написали значительную часть
теоретического материала и составили многие задачи главы 6. Сотрудники кафедры
космических исследований А. В. Блинов, А. Н. Константинов, В. Ю. Бахарев,
а также В. В. Масленникова оказали большую помощь в оформлении
материалов книги. Авторы признательны А.Г.Чиркову за обсуждение многих
вопросов, затронутых в книге.
При написании и подготовке книги к печати авторы не пользовались
поддержкой каких-либо научных и благотворительных фондов, за
исключением моральной поддержки издательства «Регулярная и хаотическая
динамика» и наших коллег по кафедре. Наоборот, с учетом того нищенского
состояния, в которое низвергнута российская высшая школа, ее преподаватели
и студенты уже свыше 10 лет, написание этой книги следует рассматривать
как акт благотворительности авторов, направленный на поддержку
будущего России, ее науки и высшего образования. Впрочем, благоприятное
10
Предисловие
будущее науки и образования наступит лишь в том случае, если
нынешний по преимуществу криминальный и паразитический российский
капитализм — результат десятилетнего господства в стране российских
«талибов» — удастся преодолеть и вернуть интеллектуальным ценностям то
почетное место, которое они занимали в дореволюционной России и в
Советском Союзе.
И. Н. Топтыгин
Глава 1
Математические методы
электродинамики
1.1. Векторная и тензорная алгебра
Определение тензора и действия над тензорами. Выберем в
трехмерном пространстве прямоугольную и прямолинейную (декартову)
систему координат х\9 Х2, х%. Пространство будем считать евклидовым.
Это означает, что в нем выполняются аксиомы геометрии Евклида,
известные из школьного курса математики, и их следствия. В частности,
квадрат расстояния dl2 между двумя
близкими точками задается выражением
dl2
dx\ + dx\ + dx\.
Рассмотрим наряду с исходной другие
такие же системы координат, имеющие
общее начало, но повернутые относительно
исходной (рис. 1.1).
Скаляром (инвариантом)
называется величина, которая не изменяет
своего значения при поворотах координатной
системы, т. е. имеет одно и то же значение
в исходной и повернутой системах
координат
S" = S = inv. (1.1)
Рис. 1.1
Таким свойством, в частности,
обладает dl2 = dl'2 = inv.
Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трех
величин Va (а = 1, 2, 3), которые определены во всех системах координат
и преобразуются при поворотах по правилу
У'ос = CLotflVp'
(1.2)
12
Глава 1
(сумма по повторяющемуся значку (3 от 1 до 3!). Здесь V@ — проекции
вектора на оси исходной, a V^ — на оси повернутой системы координат;
а<а(3 — коэффициенты преобразования, представляющие собой косинусы
углов между /?-й осью исходной и а-й осью повернутой системы. Их можно
записать через единичные векторы (орты) координатных осей:
dap = е'а ' еР- (1-3)
Тензором II ранга в трехмерном пространстве называется девятиком-
понентная величина Та@ (каждый из индексов принимает независимо по три
значения 1,2,3), определенная во всех системах координат и
преобразующаяся при поворотах координатной системы как произведения компонент
двух вектора AaVp, т. е. следующим образом:
Тензором 5-го ранга в пространстве трех измерений называется 3s-kom-
понентная величина Тар,.,„, преобразующаяся как произведение s
компонент векторов:
Тр...ус = Пахари • • -Т^..^. (1.5)
Скаляр и вектор можно рассматривать как тензоры нулевого и первого
рангов соответственно.
Матрица поворота а обладает следующими свойствами:
а) ортогональность;
где
5ар = 1 при а = (3 и 5ар = О при аф(3 (1.7)
— символ Кронекера;
б) определитель матрицы поворота равен единице,
deta=|a| = l; (1.8)
в) произведение двух матриц поворота,
с = ад, сар = а^д^р (1.9)
описывает такое вращение координатной системы, которое представляет
собой результат двух последовательных поворотов1 сначала с матрицей #,
Совокупность всех операций поворота образует группу (группу трехмерных вращений).
См. Гельфанд и др. (1958).
1.1. Векторная и тензорная алгебра
13
а затем с матрицей а. В общем случае матрицы поворота некоммутативны,
т.е.
адфда. (1.10)
Из свойства а) следует, что обратная матрица й-1, определяемая
соотношениями
й_1й = ий-1 = 1 или а~^а^ = aafjLa~p = 5а@, (1.11)
получается из исходной транспонированием, т. е. заменой строк на столбцы
и наоборот:
а"1 =а, а~р = аар = ара. (1.12)
Преобразование, обратное (1.2), выглядит так:
V0 = aeX- (1-13)
Векторы, преобразующиеся по правилу (1.2) при поворотах, могут
двояко вести себя при инверсии системы координат, т. е. при преобразовании
вида
х'а = -ха, (1.14)
где матрица преобразования аар = —8а0- Те векторы, компоненты которых,
как и координаты ха, меняют знак при инверсии, называются истинными,
или полярными. Векторы, компоненты которых при инверсии координат не
изменяют знака, называются псевдовекторами, или аксиальными
векторами (угловая скорость вращения, векторное произведение двух полярных
векторов А х В и др.). Это определение распространяется и на тензоры
произвольного ранга s: компоненты полярных (истинных) тензоров при
инверсии координат приобретают множитель (—l)s, а компоненты
псевдотензоров множитель (-l)s+1.
Сумма двух тензоров одинакового ранга образует третий тензор того
же ранга, компоненты которого
Qa0=TafS + Pa0. (1.15)
Из прямых произведений компонент двух тензоров (без суммирования)
составляется тензор, ранг которого равен сумме рангов
тензоров-сомножителей, например:
Qa(3X=Ta(3VX, (1.16)
где Qa/зх — тензор III ранга.
Свертывание тензора — это образование нового тензора,
компоненты которого получаются путем отбора компонент с двумя одинаковыми
14
Глава 1
значками и последующего суммирования, например Qa(3p = Аа —
вектор, Qapot = В@ — другой вектор. В результате свертывания ранг тензора
уменьшается на две единицы, в частности,
S = Taa = inv (1.17)
— скаляр.
При записи равенств между тензорами должно быть выполнено
правило одинаковой тензорной размерности: приравнивать можно только тензоры
одинаковых рангов. Это означает, что число свободных значков (по
которым не ведется суммирования) в правой и левой частях равенства должно
быть одно и то же. Число пар «немых» значков (по которым производится
суммирование) справа и слева может быть произвольным.
Тензор называется симметричным (антисимметричным) по паре
индексов а и /?, если его компоненты удовлетворяют условиям
Qafin = Q/Зац (Qafin = —Q/Зац)- 0-18)
Компоненты тензоров могут быть не только действительными, но и
комплексными величинами. Во втором* случае важную роль играют понятия
эрмитова и антиэрмитова тензоров. Определение эрмитова тензора:
где звездочка означает комплексное сопряжение. Определение
антиэрмитова тензора:
т$ = ~Ь>«- О-20)
В приложениях очень важны инвариантные единичные тензоры 5а@
и еар\. Первый из них является симметричным истинным тензором, и его
компоненты совпадают с символом Кронекера (1.7), а второй
антисимметричный по любой паре индексов псевдотензор, компоненты которого
определяются условиями
а) ei23 = +l,
(1.21)
б) еа@\ = -е@а\ = -еа\р = е\а0 = е@\а = -е\ра-
Оба тензора, преобразуясь при поворотах по правилу (1.5), обладают
тем свойством, что во всех координатных системах их компоненты имеют
одинаковые значения:
Sa0 = S<x(3, e'aPX = eot(3\- (1-22)
1.1. Векторная и тензорная алгебра
15
Задачи
1.1. Доказать равенство (1.8). Чему будет равен определитель
матрицы преобразования, если поворот сопровождается инверсией координатных
осей?
Указание. Воспользоваться соотношениями (1.11) и (1.12).
1.2. Доказать равенства (1.22) при преобразованиях поворота
координатной системы.
1.3. Выше (после формулы (1.13)) дано определение
псевдотензора 5-го ранга. Записать правило преобразования его компонент,
аналогичное (1.5), которое годилось бы не только при поворотах, но и при
отражениях координатных осей.
1.4. Представить произвольный тензор II ранга Тар в виде суммы
симметричного (Sap = Spa) и антисимметричного (Аа@ = -А@а) тензоров.
Убедиться в единственности такого представления.
1.5. Представить произвольный комплексный тензор II ранга в
виде суммы эрмитова и антиэрмитова тензоров. Убедиться в единственности
такого представления.
1.6. Показать, что
а) свертка симметричного и антисимметричного тензоров равна
нулю: SapAap = 0;
б) свертка двух эрмитовых Т^Р^ или двух антиэрмитовых Т^Р^
тензоров II ранга представляет собой действительное число;
в) свертка эрмитова и антиэрмитова тензоров II ранга Т^Р^
представляет собой чисто мнимое число.
1.7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное
относительно вращений, т.е. тензор, симметричный (антисимметричный)
по паре индексов в некоторой системе отсчета, остается симметричным
(антисимметричным) по этим индексам и во всех системах, повернутых
относительно исходной.
1.8. Показать, пользуясь правилами (1.1)-(1.5) преобразования
тензоров, что
а) Аа — вектор (псевдовектор), если АаВа = inv и Ва — вектор
(псевдовектор);
б) Аа — вектор, если Аа = ТарВ(з в каждой координатной системе
и Тар — тензор II ранга, а Вр — вектор;
в) Таа = inv, где Тар — тензор II ранга;
16
Глава 1
г) £ар — тензор II ранга, если АаиВр — векторы и во всех
координатных системах Аа = еарВр. Что будет представлять собой еар9 если Аа —
вектор, г В/з — псевдовектор? Аа и В@ — оба псевдовекторы?
д) Аар\Вар — вектор, если Аа@\ и Ва@ — тензоры III и II рангов
соответственно;
е) ТарРар — псевдоскаляр, если Тар и Ра@ — соответственно тензор
и псевдотензор II ранга.
1.9. Указать правило преобразования совокупности объемных
интегралов Та/з = J xaxp dV при поворотах и отражениях (ха, х@ — декартовы
координаты).
1.10. Показать, что компоненты антисимметричного тензора II
ранга Аа@ = -А(за можно отождествить с компонентами некоторого
вектора Са, так как они преобразуются одинаково при вращениях. Са в этом
случае называется вектором, дуальным тензору Аар.
Указание. Использовать единичный антисимметричный тензор (1.21).
1.11. Доказать равенства:
а) [А х В]а = еа(зхА(зВ\,
б) [АхВ]-С = еарХАаВрСх =
Ai A2 Аз
В\ В2 В%
С\ С2 Сз
(1.23)
Как преобразуются векторное, двойное векторное и смешанное
произведения при поворотах и отражениях, если все три вектора — полярные?
1.12. Показать, что если в некоторой системе координат
соответствующие компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональны
и в любой другой системе координат. Такие векторы называются
параллельными.
1.13. Пусть площадь элементарного параллелограмма, построенного
на малых векторах dr и dr\ изображается вектором dS9 направленным по
нормали к плоскости параллелограмма и по абсолютной величине равным
этой площади. Записать dSa в тензорных обозначениях.
1.14. Записать в тензорных обозначениях объем dV элементарного
параллелепипеда, построенного на малых векторах dr, dr'', dr". Как он
преобразуется при вращениях и отражениях?
1.1. Векторная и тензорная алгебра
17
1.15. Доказать тождества:
(AxB)-(CxD)-(A- C)(B -D) + (A- D)(B ■ С) = О,
(А х В) ■ (С х D) + (В х С) ■ (А х D) + (С х А) ■ (В х D) = О,
А х (В х С) + В х (С х А) + С х (А х В) = О,
(AxB)x(CxD)- В(А ■ [С х D}) + А(В [С х D}) = О,
(AxB)x(CxD)- С(А ■ [В х D}) + D(A ■ [В х С}) = 0.
(1.24)
1.16. Два направления п и п' определяются в сферической системе
координат углами $, а и $', а'. Найти косинус угла в между ними.
1.17. В некоторых случаях
бывает удобно вместо декартовых
компонент вектора использовать его
циклические (комплексные) компоненты,
определяемые формулами
*±1
Т2-1/2(Л1±гЛ2),
Л0 = А3.
(1.25)
Выразить скалярное и векторное
произведения двух векторов через их
циклические компоненты. Выразить
также циклические компоненты
радиуса-вектора гм через шаровые
функции2 Лежандра.
Рис. 1.2
1.18. Составить матрицы
преобразования базисных ортов: при переходе от декартовых координат к
сферическим и обратно; при переходе от декартовых координат к цилиндрическим
и обратно.
1.19. Записать матрицу # преобразования компонент вектора при
повороте декартовой системы координат вокруг оси хз на угол а.
1.20. Найти матрицу g преобразования компонент вектора при
повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера c*i, 0, а2 (рис. 1.2),
путем перемножения матриц, соответствующих поворотам вокруг оси хз
на угол аь вокруг линии узлов ON на угол в и вокруг оси х'3 на угол а2.
Определение шаровых функций приведено в разделе 1.3 (см. ответ к задаче 1.118).
18
Глава 1
1.21. Найти матрицу D(a\6a2), с помощью которой преобразуются
циклические компоненты вектора (1.25) при повороте координатной
системы, которой задан углами Эйлера а\, 0, а^ (рис. 1.2).
1.22. Показать, что матрица бесконечно малого поворота координат а
может быть записана в виде а = 1 + ё,, где ё — антисимметричная
матрица (еар — — £/За)- Выяснить геометрический смысл еа/з.
1.23. Показать, что представление малого поворота вектором 5(р,
использованное в решении предыдущей задачи, возможно только с точностью
до величин I порядка малости. В следующем порядке вектор
результирующего поворота не равен сумме векторов отдельных поворотов, а
соответствующие матрицы не коммутируют.
Главные значения в инварианты симметричного тензора II ранга.
Большое практическое значение имеет вопрос о выборе такой системы
координат, в которой некоторый тензор имеет наиболее простую структуру
Рассмотрим выбор такой системы для тензора II ранга.
Если вектор п удовлетворяет условию
Тарп0 = \па, (1.26)
где Л — некоторый скаляр, то направление, определяемое вектором п,
называется главным направлением тензора, а Л — его главным значением.
Пример 1.1. Показать, что действительный симметричный
тензор II ранга имеет не менее трех взаимно перпендикулярных главных
направлений и не более трех вещественных главных значений. Указать способ
вычисления тех и других.
Решение. Пусть Та@ = Т@а и Т*р = Та@. Докажем действительность
главных значений этого тензора. Не предполагая заранее, что вектор па —
действителен, запишем на основе (1.26) два равенства:
п*аТарпр = Ап*па, паТ*рПр = Х*пап*а.
Ввиду равенства их левых частей равны и правые части, т. е. Л = Л*.
Для вычисления возможных значений Л рассматриваем (1.26) как
систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных nb
П2, пз. Для совместимости уравнений следует приравнять нулю
определитель системы:
\Та0-\6а0\=О. (1.27)
Это — алгебраическое уравнение 3-й степени относительно Л, имеющее
решением три вещественных корня \(1\ \(2\ А^. В общем случае они
1.1. Векторная и тензорная алгебра
19
различны, А^1) ф Х^ ф \(3\ хотя возможны и кратные корни А^1) =
= А(2>^А(2>ли6оА(1>=А(2>=А(3>.3
В случае различных корней, подставляя по очереди в систему (1.26)
найденные значения Х^\ Х^2\ А^ выражаем две проекции каждого из
(1) _/ (2) / (3)
векторов па фпа ф Па через третью, которую можно определить, задав
нормировку. Удобно считать векторы единичными: па па = 1 и т. д. Все
три проекции действительны вследствие действительности коэффициентов
уравнения (1.26).
Для доказательства взаимной перпендикулярности п^ и п^ пишем
на основе (1.26) два равенства
и, вычитая их почленно, находим
откуда для неравных главных значений, А^) - А^2) ф О, получаем условие
перпендикулярности n^W2) = 0.
В случае двух кратных корней (А^1^ = А^2)) из трех уравнений
системы (1.26) только одно независимое, а два других — его следствия.
Поэтому п^ и пЯ) определяются неоднозначно — в плоскости,
перпендикулярной п(3), можно выбрать любую пару взаимно перпендикулярных
направлений. Наконец, при равенстве всех трех главных значений любое
направление в пространстве является главным, поэтому любые три
взаимно перпендикулярные оси можно принять за главные направления.
Важным свойством главных направлений является то, что тензор
принимает диагональную форму,
_ А(1) 0 0 \
Т' = 0 А<2> 0 , (1.28)
V 0 0 A<3y
если оси координат совместить с главными направлениями. Это видно из
записи уравнений (1.26) в главных осях, в которых п^ = (1, 0, 0), п^ =
= (0, 1, 0), п(3) = (0, 0, 1). В этом случае имеем из (1.26) Т{г = А(1\
^21=^31=0ИТ.Д.
3Индексы, написанные сверху в скобках, не являются тензорными значками! Из тензорной
размерности правой и левой частей уравнения (1.27) следует, что величины Л — инварианты
при вращениях системы координат.
20
Глава 1
Задачи
1.24. Можно ли путем поворота системы координат в физическом
трехмерном пространстве привести к диагональному виду произвольный
действительный тензор II ранга (Та0 ф Тра)? Эрмитов тензор II ран-
ra(T^ = I*J?
1.25. Записать действительный симметричный тензор II ранга Sap
в произвольной системе координат через его главные значения Х^\ \(2\
Х^ и орты главных направлений.
1.26. С помощью характеристического уравнения (1.27) составить
инварианты относительно вращений из компонент произвольного
тензора II ранга Та0.
1.27. Использовав теорему о разложении определителя по элементам
некоторой строки или столбца, найти компоненты обратного тензора Т~р,
определение которого совпадает с определением обратной матрицы (1.11).
Указать условие существования обратного тензора.
1.28. Доказать тождества:
— &'av&(Зц&'7о — ^ар,^0а^^и ~ ^асг^(3и^^
б) ^a(3yeai/a — ^(Зи^^сг — &0<j&^v
г) еа01еа01 = 6.
rOpi/O^P ~
&&v ^7^
8р<т S^a 1
\Safi й/Зц ^7М
Oqi/ 0/3i/ 0~у1/
\ $аа S(3(j S~i(j
1
(1.29)
С помощью соотношения б) доказать формулу векторной алгебры «бац
минус цаб»:
А х [В х С] = В(А • С) - С {А • В).
1.29. Записать в инвариантной векторной форме:
3) ^а/Зу^аак^^е^кше^/З^а^^^и'^
о) ^а/Зу^рак^^^е^кше-^а-^/З-^р-^а^и)^^'
1.30. Показать, что
Та0АаВ0 - Та0А0Ва = 2С-{Ах В),
1.1. Векторная и тензорная алгебра
21
где Тар — произвольный тензор II ранга, А и В — векторы, С — вектор,
дуальный антисимметричной части Тар.
1.31. Представить произведение (А • (В х С)){А' • {В' х С')) в виде
суммы членов, содержащих только скалярные произведения вектора.
Указание. Применить теорему об умножении определителей или
воспользоваться псевдотензором еа/з7-
1.32. Показать, что единственным вектором, компоненты которого
одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что
всякий тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах
координат, пропорционален 5ар\ тензор III ранга — еа/#7; тензор четвертого
ранга — (£a/3<W + <W<W + <^<W)-
1.33. Пусть п — единичный вектор, все направления которого в
пространстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и их
произведений: na, nanp9 ПаПрп-у, Паприки», пользуясь трансформационными
свойствами искомых величин, а не прямым вычислением соответствующих
интегралов.
1.34. Найти усредненные по всем направлениям значения
следующих выражений: (an)2, (an)(bn), (an)n, (a x n)2, (a x n)(b x п),
(an)(bn)(cn)(dn), если п — единичный вектор, все направления которого
равновероятны, а, 6, с, d — постоянные векторы.
Указание. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
1.35. Составить все возможные независимые инварианты из полярных
векторов п, п' и псевдовектора /.
1.36. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух
полярных векторов п, п' и одного псевдовектора 11 Из трех полярных
ВекТОрОВ Tli, 7l2, Пз?
Ковариантные и контравариантные компоненты. Во многих
проблемах физики необходимо использовать неортогональные и
криволинейные системы координат, когда зависимость между старыми и новыми
координатами отличается от линейной связи (1.2), а переход к новым
координатам не сводится к такой простой и наглядной операции, как поворот осей.
Одна из главных областей применения такого математического аппарата —
теория относительности, специальная и особенно общая.
В заключение настоящего параграфа мы дадим определение тензоров
относительно общих преобразований координат и рассмотрим их
основные свойства в трехмерном евклидовом пространстве. Это целесообразно
22
Глава 1
потому, что смысл многих понятий и соотношений в трехмерном
пространстве оказывается более наглядным и прозрачным, чем в четырехмерном
пространстве — времени теории относительности. Мы начнем
рассмотрение этого круга вопросов со случая, промежуточного между декартовыми
прямоугольными и общими координатами, когда координатные оси
системы отсчета остаются прямолинейными, но становятся неортогональными
(косоугольная декартова, или аффинная, система координат).
Пример 1.2. Пусть в качестве базисных ортов в трехмерном
евклидовом пространстве выбрана тройка е\, е2, ез некомпланарных и
неортогональных единичных векторов. Координатными линиями являются три
системы прямых линий, проходящих через каждую точку пространства
и параллельных базисным ортам. Построить взаимный базис е\ е2, е3,
который по определений связан с исходным базисом соотношениями
е°.е/9 = ^ = |;>' aat% (1-30)
Будут ли векторы взаимного базиса единичными?
Разложить произвольный вектор А (в том числе и радиус-вектор г)
по векторам еа и е@ исходного и взаимного базисов. Указать
геометрический смысл его компонент в том и другом случаях (в первом случае
они называются контравариантными и обозначаются верхними
индексами А1, А2, А3; во втором случае — ковариантными и обозначаются
нижними индексами А\, А2, Аз).
Решение. Согласно (1.30), е1 должен быть перпендикулярен е2 и ез.
Ищем его в виде е1 = ке2 х ез и из условия нормировки ехе\ = 1 находим
к=1 = 1
У_ ei(e2xe3)'
где fc-1 = у_ — объем параллелепипеда, построенного на векторах исходного
базиса. V_ > 0, если выбрана правая система координат. Таким образом,
eQ = fexe7)/Z, (1.31)
где а, /?, 7 образуют циклическую перестановку. Радиус-вектор г и любой
другой вектор разлагаются по базисным векторам обычным образом:
г = xie1 + х2е2 + язе3 = ххе\ + х2е2 + х3ез- (1-32)
Умножая первое равенство скалярно на eQ, найдем
ха — еа • т\
(1.33)
1.1. Векторная и тензорная алгебра
23
таким образом, геометрически ковариантные компоненты вектора суть
результат обычного проецирования с помощью перпендикуляров, опущенных
из конца вектора на координатные оси. При этом контравариантные
базисные векторы, на которые умножаются
ковариантные компоненты вектора, отнюдь не
совпадают по направлению с
координатными осями (рис. 1.3) и не имеют единичной
длины. Например, если вектор ез
ортогонален е\ и в2, а угол между последними
равен </>, то (е1! = |е2| = l/sin0, а длина
гипотенузы OB = l^ie1! = xi/sin0 > х\, но
длина катета ОС = х\. Контравариантные
компоненты, как следует из (1.33) и рис. 1.3,
получаются путем проектирования вектора
на координатные оси отрезками,
параллельными осям. Для них справедливо
представление, аналогичное (1.33):
х.е
г.
(1.33')
Рис. 1.3
Пример 1.3. Определим девятикомпонентные величины
пос(3
9а(3 = еа • е@,
е*-еР
(1.34)
где еа, еа — базисные векторы исходного и взаимного неортогональных
базисов, введенные в примере 1.2. дар " да@ называются ковариантными
и контравариантными компонентами метрического тензора.
Доказать следующие соотношения, связывающие ковариантные и
контравариантные компоненты произвольного вектора (правила подъема
и опускания индекса):
a)Aa=ga0A>}; 6)Aa=ga(3A0; в) да0д^ = <£ = <*2- (1-35)
Здесь 5% — символ Кронекера.
Вычислить определители ковариантного и контравариантного
метрического тензора и выразить их через объемы V_ и V параллелепипедов,
построенных на векторах исходного и взаимного базисов.
Решение. Исходим из разложения (1.32):
А = Аре? = А*3 ер.
Умножив его скалярно на еа и пользуясь определениями взаимного
базиса (1.31) и метрического тензора (1.34), получим (1.35а); умножив это
24
Глава 1
разложение скалярно на еа, получим (1.356); подставив (1.356) в (1.35а),
находим (1.35в).
Обозначив д = \да/з\ и пользуясь определением (1.34), а также
формулой (1.29а), находим
(eiei)(e2e2)(e3e3) + (e2ei)(e3e2)(eie3)+>|
+(e3ei)(eie2)(e2e3) - (eie2)(e2e2)(e3ei)- > =
-(e2e3)(e3ei)(eiei) - (e3e3)(eie2)(e2ei) J
= ea/37(ei)a(e2)/3(e3)7e^(T(ei)M(e2)I,(e3)(T = [ei(e2 x e3)]2 = F2 > 0.
Аналогичным образом получаем |^а/3| = V2. Из (1.35в) следует \да(3\д = 1,
поэтому |^а/3| = я"1 = У"2 > 0 и F = Z"1.
Задачи
1.37. Пусть при переходе к другой косоугольной прямолинейной
системе координат базисные векторы еа задающие направления
координатных осей, преобразуются по закону
е'а = аа0ер, (1.36)
где doP — матрица преобразования4.
а) Выразить ее элемента через скалярные произведения базисных
векторов исходной и преобразованной систем;
б) построить матрицу обратного преобразования;
в) показать, что эти же матрицы осуществляют преобразования
векторов взаимного базиса;
г) найти правила преобразования ковариантных и контравариантных
компонент произвольного вектора;
д) найти правила преобразования ковариантных и контравариантных
компонент метрического тензора.
1.38. Указать закон преобразования векторов исходного и взаимного
оазисов при отражении системы координат.
1.39. Выразить скалярное произведение двух векторов А- В в трех
различных формах: через ковариантные и контравариантные компоненты,
а также через те и другие. Доказать его инвариантность относительно
преобразования (1.36) системы координат.
4Рассматриваемое преобразование не обязательно сводится к повороту косоугольной
системы как целого. Оно может изменить углы между осями и масштабы координат.
9 =
е\е\ eie2 eie3
e2ei e2e2 e2e3
e3ei e3e2 e3e3
1.1. Векторная и тензорная алгебра
25
Выразить в разных формах квадрат расстояния dl2 между двумя
близкими точками.
1.40. Записать векторное произведение двух векторов С = А х В
через ковариантные и контравариантные компоненты
векторов-сомножителей.
1.41. Записать косинус угла между векторами А и В через их
ковариантные и контравариантные компоненты.
Тензоры в криволинейных неортогональных системах координат.
Перейдем к рассмотрению произвольных преобразований, когда переход
совершается от декартовой к некоторой криволинейной и, вообще
говоря, неортогональной системе координат [Борисенко и Тарапов (1966),
раздел 2.8] или между криволинейными неортогональными системами. Связь
между координатами ха и х,(3 (а, (3 = 1, 2, 3) двух координатных систем
задается некоторыми соотношениями общего вида
xa=fa(xn,x'2,x'3) (1.37)
(номера координат теперь указываем верхними индексами).
Аффинному преобразованию (1.36) соответствует линейная однородная
функция fa(xn, х,2,х'3) с постоянными коэффициентами. Повороту
ортогональной прямолинейной системы координат отвечает ортогональная
матрица коэффициентов с единичным определителем.
Чтобы можно было разрешить (1.37) относительно х'& и найти
обратное преобразование
x'0 = <pP(x\x2,xs),
требуется отличие от нуля функционального определителя
дха
J =
дх'Р
^0, (1.38)
ito в дальнейшем и будет предполагаться. Дифференциалы координат пре-
)бразуются по правилу
jxq коэффициенты преобразования дха/дх,(3 в общем случае становятся
функциями координат. Связь между дифференциалами осталась, как и в слу-
iae аффинных преобразований, линейной, тогда как связь между самими
юординатами таковой, вообще говоря, не является.
26
Глава 1
Если (1.37) описывает переход от ортогональной декартовой системы
координат ха к произвольной системе q& (мы для ясности в дальнейшем
будем обозначать криволинейные координаты через q), то квадрат расстояния
между близкими точками с помощью (1.0) и (1.39) запишется в виде
dl2 = 5a0 dxa dx13 = g^ dq» dqv\ ' (1.40)
где величины
э»м = f^t^' (1-41)
9[iv = Qv^y называются ковариантными компонентами метрического
тензора. Его контравариантные компоненты g^v = gv^ определяются
условиями
gav9u„=gIUf^a = ^ (1.42)
означающими, что тензоры g^v и д^ взаимно обратны. Поскольку
коэффициенты преобразования (1.39) удовлетворяют соотношениям
дха да$ Зта
ч _ах =Sa^ (143)
dq0 dxv dxv
i метрич
dqa dq13
то контравариантные компоненты метрического тензора можно записать
в виде5
Последнее соотношение, как и (1.41), можно рассматривать как
правило преобразования метрического тензора для декартовых координат (£ак)
к произвольным криволинейным координатам qa. Нетрудно установить, что
те же правила действуют при преобразовании метрического тензора из
одной криволинейной системы qa в другую qf@\
j~ = WO£_6IH, = WO£_~0 (M5)
9 дх» дх»° dqa dq?9 ' К '
где да@ определен согласно (1.44).
Нетрудно убедиться, что записанные выше соотношения во многом
повторяют формулы, которые были получены при рассмотрении косоугольной
5Тензоры <5^^, <5^, 84 относятся к прямоугольной декартовой системе координат, и для
них контравариантные и ковариантные компоненты совпадают, а расположение значков
безразлично.
1.1. Векторная и тензорная алгебра
27
(аффинной) системы координат, представляя собой их некоторые
обобщения. Например, домножая обе части (1.39) на декартовы орты е^ ' и
переобозначая х'Р через qP, получим приращение радиуса-вектора
откуда следует, что базисные векторы е@ (в общем случае не единичные)
криволинейной системы можно записать в виде
В правую часть последнего равенства входят ортогональные единичные
декартовы орты. Связь между базисными векторами криволинейных систем
координат qfv и q@9 как следует из (1.46), имеет тот же вид, что и (1.46):
е'0 = f^eQ. (1.47)
Определим, далее, векторы взаимного базиса е^ криволинейной системы.
Из (1.46) и условий (1.30) имеем
(ML*,* -» _га
dq0B e(D)-d0>
ea'e0 = ^ea'<D)=Sl С1'48)
откуда следует
*а = £erlD) (1.49)
(мы пользуемся равноправием нижних и верхних значков для декартовых
ортов). Наконец, пользуясь (1.41) и (1.44), убеждаемся, что для
криволинейных координат остаются в силе соотношения (1.34):
9ар = еа-е0, да* = еа.е0, д* = еа • е* = 6% (1.50)
и правила подъема и опускания индексов (1.35).
Теперь дадим определение тензора относительно общих
преобразований координат.
Тензор II ранга в трехмерном пространстве — это девятикомпонент-
ная величина, контравариантные компоненты которого преобразуются как
произведения дифференциалов координат, т. е. по правилу
Г^ = |^|^Г^ либо Т*» = %?-Щт*. (1.51)
dq'^dq'" dqa dq0
28
Глава 1
Это определение непосредственно обобщается на тензор любого ранга. Так,
скаляр S не преобразуется, а ковариантные компоненты тензора I ранга
(вектора) преобразуются по правилу
A« = WA*' (L52)
Принципиальное отличие данного выше определения тензора от
предыдущих (для случаев поворота и аффинного преобразования)
состоит в том, что теперь коэффициенты преобразования зависят от точки.
Это означает, что определение тензора носит локальный характер. В
частности, произведения компонент векторов, взятых в разных точках qa ф ра9
т.е. Aa(q)B^(p)9 не образуют тензора. Совокупность произвольных
криволинейных координат qa9 а = 1, 2, 3, в отличие от декартовых не образует
вектора, так как координаты не подчиняются правилу преобразования (1.51).
Эти особенности наиболее существенно проявляются в операциях
дифференцирования и интегрирования тензоров, которые рассматриваются в
разделе 1.2.
Ковариантные компоненты тензора любого ранга получаются из кон-
травариантных с помощью метрического тензора согласно (1.35).
Смешанный тензор TqP в общем случае зависит от того, какое место — первое или
второе — занимают верхний и нижний значки, т.е. Tj3 ф Т@а. Операция
свертки, уменьшающая ранг тензора на два, определяется как суммирование
по одному верхнему и одному нижнему значку, например
АаВа = А'рВ'Р = inv, Та/ = Са (1.53)
— ковариантный вектор, и т. д.
Задачи
1.42. Выразить компоненты метрического тензора через компоненты
ортогональных декартовых ортов eL = em)' a — 1> 2, 3, которые заданы
в некоторой криволинейной системе координат.
1.43. Показать, что функциональный определитель (1.38) выражается
через определитель метрического тензора g = \д^\: J = у/д.
Указание. Исходя из равенства (1.42), выразить определитель у через
определители матриц, стоящих в правой части равенства.
1.44. Записать квадрат длины вектора А2 и косинус угла между двумя
векторами в произвольной криволинейной системе координат.
1.2. Векторный и тензорный анализ
29
1.45. Преобразовать единичный антисимметричный тензор еа/?7
в криволинейную систему координат.
1.46. Известен метрический тензор да/з9 определяющий квадрат
малого элемента длины в криволинейных неортогональных координатах
согласно формулам (1.40). Через каждую точку пространства можно провести
три криволинейные координатные линии, вдоль каждой из которых
изменяется только одна координата ql, q2 или q3, а остальные две остаются
постоянными.
а) Найти связь между элементом длины координатной линии и
дифференциалом соответствующей координаты.
б) Указать три базисных вектора, касательных к координатным кривым
в заданной точке.
в) Найти косинусы углов между координатными кривыми в данной
точке.
г) Указать, какими свойствами должен обладать метрический тензор,
чтобы криволинейная система была ортогональной.
1.47. Записать ковариантные и контравариантные компоненты
метрического тензора для сферической и цилиндрической систем координат
(см. рисунок в ответе к задаче 1.18). Записать также векторы ковариантного
и контравариантного базисов, выразив их через базисные орты,
рассматривавшиеся в задаче 1.18.
1.48. Показать, что элемент объема в криволинейных координатах
имеет вид
dV = у/д dql dq2 dq3, (1.54)
где д — определитель метрического тензора. Вычислить элемент объема
в сферических и цилиндрических координатах.
Указание. Искомый элемент объема представляет собой объем
косоугольного параллелепипеда, построенного на элементарных длинах d/1, d/2, dl3
криволинейных осей координат. Для его вычисления можно использовать результаты
задач 1.40,1.46.
Рекомендуемая литература: Борисенко и Тарапов (1966), [Курбатова
и Филиппов (1998)], [Арфкен (1970)], [Кочин (1951)], [Рашевский (1953)],
[Ли (1965)], [Мэтьюз и Уокер (1972)].
См. также [Угаров (1977), приложение I].
1.2. Векторный и тензорный анализ
Скалярные или векторные функции, изображающие распределение
различных физических величин в трехмерном пространстве, подчас называют
30
Глава 1
полями соответствующих величин. Так, можно говорить о поле
температур Т(х, у, z) или давлений р(х, у, z) в атмосфере, поле скоростей
движущейся жидкости или газа и(х, у, z)9 электромагнитном векторном поле
и т. д. Производные и интегралы от таких скалярных и векторных функций
обладают некоторыми общими математическими свойствами, очень
важными для физических приложений. С этими свойствами нужно познакомиться
и усвоить их заранее. Только в этом случае можно будет успешно изучить
и понять до конца такие разделы физики, как теория электромагнитных
явлений, механика жидкостей, газов и твердых тел, квантовая физика и
квантовая теория поля.
Градиент и производная по направлению. Векторные линии.
С понятием градиента скалярной функции мы знакомимся при изучении
свойств потенциальных сил в классической механике. Пусть существует
дифференцируемая функция U(x, у, z), такая, что ее частные производные
равны компонентам вектора F(x, у, z)9 который в этом случае называется
потенциальным:
Fx = -%' Fy = ~%' F2 = "f"' ИЛИ F = -VU(x,y,z)y
где
(1.55)
— векторный оператор Гамильтона (набла). Вектор
grades, у, z) = VU(x, у, z) = ex^ + ey^L +ez^, (1.57)
называется градиентом скалярной функции U(x, у, z). Необходимые и
достаточные условия представления вектора в виде градиента скалярной
функции имеют вид равенств
ЯР. Я77 Я77 Я77
(1.58)
dFx
ду
dFy
дх'
dFy
dz
dFz
ду'
dFz
дх
dFx
dz
Они следуют из равенства перекрестных производных
d2U d2U
дх ду ду дх
и т. д.
Мы используем пока только декартовы координаты. Обобщение на
криволинейные неортогональные координаты будет сделано в последней части
этого раздела (см. также задачи 1.50 и следующие).
1.2. Векторный и тензорный анализ
31
Важно понять, что градиент направлен всегда в сторону
возрастания U по нормали к поверхности постоянного значения скалярного
поля U(x, у, z) = const. Это следует из того, что при дифференцировании
последнего равенства получим dr • VU = 0. Поскольку здесь dr направлен
по касательной к поверхности U = const, градиент перпендикулярен этой
поверхности.
Пример 1.4. Показать, что производная от скалярной функции по
направлению, определяемому единичным вектором I, равна проекции
градиента на это направление:
^=gradlU=(l-V)U. (1.59)
Решение. Обозначим производную вдоль заданного направления /
через dU/dl. При смещении из точки с радиусом-вектором г на расстояние
s вдоль направления / функция примет значение U(x + lxs, y + lys, z + lzs).
Производная в заданном направлении — это производная по s:
~яГ = 7йи(х + /х5' у + lyS' z + lzS^8=o =
dl ds
i'-+f(.+f'-=('-v№>-
Выражение (1.59) имеет смысл и в применении к произвольному
вектору А(х, у, z): величина (I • V)A(x, у, z) представляет собой производную
от вектора А в направлении /. Это следует из того, что оператор (Z • V)
должен быть применен к каждой проекции А и даст соответствующую
производную, а их совокупность будет иметь смысл производной от всего
вектора в заданном направлении.
Наглядное представление о структуре векторного поля А дают
векторные линии — это такие линии, касательные к которым в каждой точке
показывают направление вектора А в этой точке. Нетрудно записать
систему уравнений, из которой можно найти векторные линии заданного
поля А(х, у, z). Условие параллельности малого элемента dl = (cte, dy, dz)
векторной линии и вектора А можно записать в виде А х dl = 0. Записав это
векторное равенство в проекциях на соответствующие оси, получим
дифференциальные уравнения для двух семейств поверхностей, линии
пересечения которых и представляют собой искомые векторные линии. Например,
в декартовых координатах будем иметь
dx _ dy dz (160)
Ax(x,y,z) Ay(x,y,z) Az(x,y,z)
32
Глава 1
Векторные линии любого потенциального вектора
перпендикулярны поверхностям равного потенциала U(x, у, z) = const. Это следует из
свойств градиента скалярной функции.
Важным свойством обладает контурный интеграл от скалярного
произведения потенциального вектора на векторный элемент длины контура:
в в
I F-ds= l (Fxdx + Fydy + Fzdz), (1.61)
л л
где вектор ds имеет составляющие dx, dy, dz, т. е. дифференциалы
координат не независимы, а представляют собой приращения вдоль контура.
Такими интегралами выражается работа силы F над материальной точкой,
которая движется по заданной траектории от Л до Б, и многие другие
физические величины. Если вектор — потенциальный, то
Fxdx + Fydy + Fzdz = -§tdx-QUdy-(ELdz = -dU (1.62)
дх ду oz
— полный дифференциал функции U(x, у, z). Вычисляя интеграл, получаем
в в
[F-da = - IdU = UA-UB, (1.63)
А А
В
где dU — приращение функции на малом отрезке ds, J dU — полное при-
А
ращение на пути АВ. В этом случае интеграл вдоль контура не зависит от
пути, а только от начальной и конечной точек интегрирования (рис. 1.4).
Интегрируя вдоль замкнутого контура (рис. 1.5), будем иметь:
в в а
[ F.ds = UA-UB, fFds = UB-UA,
А В
В А
(f>F'ds= fF-ds+ fF-ds = 0. (1.64)
Рис. 1.4 / J J
А В
Интеграл по замкнутому контуру от F • ds называется циркуляцией
вектора F вдоль контура. Циркуляция потенциального вектора вдоль любого
1.2. Векторный и тензорный анализ
33
замкнутого контура равна нулю (но
произвольный вектор таким свойством не
обладает!).
Важно отметить, однако, что условие А
представления вектора в форме (1.55)
является необходимым, но недостаточным для
справедливости равенств (1.63), (1.64). Тре- Рис- I-5
буется еще, чтобы потенциальная
функция U(г) была однозначной функцией точки. В противном случае,
например, после обхода замкнутого контура и возвращения в точку А потенциал U
может принять другое значение, и равенство (1.64) нарушится.
Задачи
1.49. Показать, что оператор Гамильтона (1.56) при повороте
декартовой системы координат преобразуется по правилу (1.2) преобразования
вектора.
1.50. Найти потенциальную энергию, отвечающую силе Fx(x, у) =
= х + у, Fy(x, у) = х — у2. Вычислить работу R этой силы между
точками (0, 0) и (а, Ь).
1.51. Показать, что оператор Гамильтона V в цилиндрической и
сферической системах координат выражается соответственно в виде
а) V = e4+^+e*^; (L65)
б) V = er|+e^|+e^f. (1.66)
or r ov * г sin v dip
Для этого рассмотреть элементарные длины в направлении
соответствующих координатных ортов и воспользоваться формулой (1.59), связывающей
градиент с производной по направлению.
1.52. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и
цилиндрическими координатами (см. (1.56), (1.65), (1.66)), вычислить grad(Z-r), (/• V)r,
где г — радиус-вектор, / — постоянный вектор.
1.53. Показать, что grad/(r) = -/--.
dr r
1.54. Записать систему уравнений, определяющих векторные линии,
соответственно в цилиндрических и сферических координатах.
34
Глава 1
1.55. Вычислить
grad —г—, р = const.
т6
1.56. Пользуясь сферическими координатами, построить семейство
линий, касательных к вектору
„ 3(р-г)г р
Е= ^ _ ' - ^, р = const.
1.57. Записать циклические компоненты градиента в сферических
координатах. Определение циклических компонент дано в условии
задачи 1.17.
Дивергенция и ротор. Интегральные теоремы. Рассмотрим теперь
действие векторного оператора V на произвольный вектор А. Как мы знаем,
из двух векторов можно составить произведения двух типов: скалярное
d\YA = V-
векторное
,tA = VxA = eJd^
л = дАх I дАу i дАя =
дх ду dz
дАу\ (дАх dAzy
dz)+ey\dz Ox ,
_ дАа
дха
И£-
(1.67)
дАЛ
' ду У
(1.68)
Обе эти величины играют важнейшую роль в векторном анализе и носят
название дивергенции (скаляр!) и ротора (вектор!). В левых частях равенств
приведены их буквенные обозначения. В правых частях указаны их явные
выражения, которые имеют приведенный вид только в декартовых
координатах. Чтобы лучше осознать их математический и физический смысл,
рассмотрим прежде всего другие определения этих важных величин,
менее формальные и более наглядные, хотя и несколько более сложные. Но
последний недостаток искупается тем, что определения, о которых пойдет
речь, в отличие от (1.67), (1.68), не зависят от выбора системы координат.
Начнем с дивергенции.
Выберем точку М, в которой мы хотим определить дивергенцию
векторного поля А(г). Окружим эту точку замкнутой гладкой поверхностью 5,
внутри которой заключен некоторый объем Д V, и определим в каждой точке
поверхности внешнюю нормаль п. Векторным элементом поверхности dS
1.2. Векторный и тензорный анализ
35
будем называть произведение ndS. Интеграл по замкнутой поверхности
§ A- dS дает поток вектора А через поверхность S. Дадим теперь опреде-
s
ление дивергенции (по-русски — расходимости), отличное от (1.67):
divA(r)= lim 4rri^'dS. (1.69)
v y av-o AV j v
5
Здесь предполагается, что объем AV стягивается в точку М; кружок на
знаке интеграла означает замкнутую поверхность.
Пример 1.5. Убедиться в том, что определения (1.67) и (1.69) при
использовании декартовых координат эквивалентны. Для этого выбрать
объем AV = dV = dx dy dz в виде малого прямоугольного параллелепипеда
с ребрами dx, dy, dz и вычислить предел (1.69).
Решение. Воспользовавшись малостью граней параллелепипеда,
запишем приближенное выражение для поверхностного интеграла:
Ф А • dS « [Лх(х + dx, у, ~z) - Ах(х, у, ~z)] dydz+
s
+ [Ау(х, у + dy, t) - Ay(x, y,t)\ dxdz+
+ [Az(x, y,z + dz) - Az(x, y, z)) dxdy «
« f^k + E^L + ^£^1 dV.
\ dx dy dz J
При оценке интегралов по шести отдельным граням использована теорема
о среднем, величины х, у, ~z — это значения координат в некоторой точке
соответствующей грани. Учтено также, что нормаль имеет
противоположные направления на противоположных гранях, а при стягивании объема
в точку М все координаты принимают значения, соответствующие этой
точке. Используя последний результат, убеждаемся, что определение
дивергенции (1.69) при использовании декартовых координат приводит к
формуле (1.67). ■
Таким образом, дивергенция в некоторой точке отлична от нуля, если
существует ненулевой поток вектора через малую замкнутую поверхность,
окружающую данную точку Внутри поверхности должен существовать
источник векторного поля, создающий поток. Поэтому дивергенция
характеризует плотность источников поля.
36
Глава 1
Примененный выше прием вычисления интеграла по малой
поверхности можно использовать для получения явных выражений
дивергенции в наиболее употребительных сферических и цилиндрических, а
также и в других координатах. Следует выбирать форму объема каждый раз
таким образом, чтобы на каждой из его боковых поверхностей оставалась
постоянной одна из координат.
Пример 1.6. Основываясь на определении дивергенции (1.67), вывести
соотношение, связывающее интеграл от div А по некоторому объему с
потоком вектора А через поверхность, ограничивающую рассматриваемый
объем.
Решение. Выберем произвольный конечный объем V, ограниченный
гладкой замкнутой поверхностью S. Разобьем его на малые ячейки AVu
каждая из которых ограничена соответствующей поверхностью AS г. У
ячеек, примыкающих к внешней поверхности 5, часть ограничивающих их
поверхностей будет совпадать с S. Все остальные участки поверхностей
Si будут общими для двух соседних ячеек. Пользуясь малостью каждой
из ячеек, воспользуемся соотношением (1.69), придав ему приближенную
форму
(divA)iAVi « <fi A-dSi. (1.70)
Si
Просуммируем теперь левую и правую части последнего приближенного
равенства по г и перейдем к пределу, устремляя объем каждой ячейки к
нулю, а их число — к бесконечности. Левая часть равенства перейдет при этом
в интеграл по полному объему V от дивергенции A: J div AdV. В правой
v
части равенства интегралы по внутренним участкам поверхностей 5;
взаимно сократятся, так как внешние нормали для двух соседних ячеек имеют
прямо противоположные направления. Останется лишь интеграл по
внешней поверхности 5, которая ограничивает полный объем V. В итоге мы
получим точное интегральное соотношение
f div AdV = I A-dS, (1.71)
V S
которое называется в русскоязычной литературе теоремой
Остроградского-Гаусса (в западных изданиях фамилия Остроградского опускается). ■
1.2. Векторный и тензорный анализ
37
Теорема Остроградского-Гаусса применима к любому тензору
ранга s ^ 1, например:
[ -^dV= frauds» (1.72)
V S
(доказательство см. в задаче 1.70).
Ротор (вихрь) векторного поля допускает определение, аналогичное
определению (1.69) дивергенции. Задаем в точке М некоторое
направление единичным вектором п. Построим маленькую плоскую площадку AS,
содержащую точку М и перпендикулярную п, и определим направление
обхода по ограничивающему эту площадку контуру /, согласованное с
направлением п правилом правого винта. Проекция ротора на направление п
в точке М определяется следующим образом:
rotnA= lim -^-фА-dl, (1.73)
AS-+0 АЬ J
I
где интеграл представляет собой циркуляцию вектора А вдоль замкнутого
контура I.
Пример 1.7. Убедиться в том, что определения ротора (1.68) и (1.73)
в случае декартовых координат эквивалентны. Для этого вычислить
проекции ротора на декартовы оси, воспользовавшись (1.73) и выбирая
площадку в виде прямоугольника со сторонами, параллельными координатным
осям.
Решение. Направим п вдоль оси Oz и выберем прямоугольную
площадку AS = dS = dx dy. Используя, как и при вычислении выше интеграла
по поверхности, теорему о среднем, получим
Ф A-dl «. [Ау(х + dx, у, z) - Ау(х,у, zj\ dy+
+ [Ах(х, у, z) - Ау(х, у + dy, z)] dx « ( -^ - -^- \ dS.
Подставив этот результат в (1.73) и перейдя к пределу, получим точное
выражение для rot2 А в декартовых координатах, совпадающее с (1.68).
Аналогичным образом можно найти другие проекции вихря. Вихрь будет
отличен от нуля, если линии вектора А закручиваются — имеют замкнутую
или спиралеобразную форму. ■
38
Глава 1
Пример 1.8. С помощью определения вихря (1.73) вывести
интегральное соотношение, связывающее циркуляцию произвольного вектора вдоль
замкнутого контура с потоком вихря этого вектора через незамкнутую
поверхность, опирающуюся на контур.
Решение. Определим произвольную трехмерную незамкнутую
поверхность 5, ограниченную контуром /, и в каждой точке поверхности
нормаль п. Разделим поверхность на малые части AS г, каждая из которых
ограничена контуром U. Для каждой такой площадки можно записать на
основе (1.73) приближенное соотношение
rotn AASi « Ф A-dli. (1.74)
h
Суммируя обе части приближенного равенства по г и переходя к пределу
бесконечно малых площадок, получаем точное равенство (теорему Стокса):
I rot A-dS= <b A-dl. (1.75)
s i
В правой части остается интеграл по внешнему контуру,
ограничивающему поверхность S. Все интегралы по внутренним контурам сокращаются.
Теорема Стокса связывает интеграл от потока ротора через поверхность
с циркуляцией вектора вдоль контура, ограничивающего эту поверхность.
Соленоидальные и потенциальные (безвихревые) векторы. Пусть
векторное поле Н(г) во всем пространстве удовлетворяет условию
div H = О (1.76)
(вектор Н в этом случае называется соленоидальным). Таким свойством
обладает, например, магнитное поле. Можно доказать (мы этого делать не
будем), что условие (1.76) необходимо и достаточно для того, чтобы
вектор Н можно было представить в виде вихря другого вектора А(г):
H = rotA. (1.77)
Легко убедиться с использованием правил векторного дифференцирования,
что условие (1.76) выполняется при любом А:
div Н = V • Н = V • [V х А] = [V х V] • А = 0.
1.2. Векторный и тензорный анализ
39
Потенциальным вектором, как уже отмечалось выше, называется
вектор, представимый в форме градиента некоторой скалярной функции:
E(r) = -grad U(г) = -W(r). (1.78)
Необходимыми и достаточными условиями потенциальности вектора
являются равенства вида (1.58), которые в векторной форме дают
rot E = 0. (1.79)
Используя определение потенциального вектора (1.78) и выражая
операцию rot через оператор V, убеждаемся, что равенство (1.79) выполняется
тождественно для любой функции U(r), имеющей вторые производные.
Дифференциальные операции второго порядка. Они возникают,
если оператор V применяется к выражениям Vt/, V • А, V х А, уже
содержащим этот оператор. Пользуясь правилами векторной алгебры, находим
V • VU{r) = (V • V)U{r) = V2U{r) = AU{r), (1.80)
где оператор Лапласа Д = V2 имеет в декартовых координатах вид
*=£>+$+&■ (■■«■)
Это — очень важный оператор, возникающий почти во всех задачах, когда
требуется описать на математическом языке достаточно сложное
физическое явление.
Далее,
VV • А = V(V • А) = graddiv А. (1.82)
Хотя такая комбинация производных возникает нередко, для нее не
придумано более компактного буквенного обозначения.
Последняя операция такого рода носит название двойного вихря. Она
преобразуется с помощью формулы векторной алгебры «бац минус цаб»
(не забывая ставить дифференцируемую векторную функцию правее всех
действующих на нее операторов):
rotrotA = V х (V х А) = V(V- A) - V2A = graddiv A - ДА. (1.83)
Мы видим, таким образом, что все дифференциальные операции со
скалярными и векторными функциями выражаются через оператор Гамильтона
«набла».
40
Глава 1
Задачи
1.58. Показать, что div A (1.67) и оператор Лапласа (1.81)
инвариантны относительно поворотов декартовой системы координат, a rot A (1.68)
преобразуется как антисимметричный тензор II ранга либо как дуальный
ему вектор.
1.59. Вычислить div r, rot r, div [u; x r], rot [и; х г], где и) — постоянный
вектор.
1.60. Вычислить
(тхг)
Н = rot - , т = const.
г6
Построить векторные линии для вектора Н (дать рисунок).
1.61. Пользуясь правилами векторной алгебры и анализа и не
переходя к проекциям на оси координат, доказать важные тождества, которыми
приходится часто пользоваться в практических расчетах:
grad(^) — Ч> gradt/; + ф grad <p; (1-84)
div(ipA) = <p div A + A • grad(^; (1.85)
rot(ipA) = <p rot A - А х grad^; (1.86)
div(A x В) = В -rot A- A -rot В; (1.87)
rot(А х В) = A div В - В div А + (В • V)А - (А • V)B; (1.88)
grad(A • Б) = А х rot Б + В х rot A + (В • V)A + (A • V)B. (1.89)
Здесь <р, ф — скалярные, г А, В — векторные функции координат.
1.62. Доказать тождества:
С • grad(A • В) = А • (С • V)B + В .• (С • V)А; (1.90)
(С • V)(A х В) = А х (С • V)B - В х (С • А); ' (1.91)
(V • А)В = (А • V)B + В div A; (1.92)
(А х В) • rotC = В • (А • V)C -А {В V)C; (1.93)
(А х V) х В = (А • V)B + А х rotB - AdivB; (1.94)
(V х А) х В = AdivB- (A-V)B -A x rotB-В x rot А. (1.95)
1.63. Вычислить grad^(r); div ip(r)r; rot <p(r)r; (I • V)<p(r)r.
1.64. Найти функцию <p(r)9 удовлетворяющую условию div (f(r)r = 0.
1.65. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:
(а • г)6, (а • г)г, <р(г)(а х г), г х (а х г),
где а и 6 — постоянные векторы.
1.2. Векторный и тензорный анализ
41
1.66. Вычислить gradr-A(r), grad A(r) • В (г), div<p(r)A(r),
rot <p(r)A(r), (I - V)<p(r)A(r).
1.67. Доказать, что
(A • V)A = —A x rot А при А2 = const.
1.68. Интеграл по объему /(grad <p • rot A) dV преобразовать в инте-
v
грал по поверхности.
1.69. Выразить интегралы по замкнутой поверхности §г(а • dS),
s
§{a-r) dS, где а — постоянный вектор, через объем, заключенный внутри
s
поверхности.
Указание. Умножить каждый из интегралов на произвольный постоянный
вектор Ь и применить теорему Остроградского - Гаусса.
1.70*. Интегралы по замкнутой поверхности
Ф nipdS, <b(n х A) dS, Ф (п • Ъ)А dS, j> Tap(r)np dS
(b — постоянный вектор, п — орт нормали) преобразовать в интегралы по
объему, заключенному внутри поверхности.
1.71. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в
предыдущей задаче, вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления,
приложенных к элементам поверхности погруженного в жидкость тела.
1.72*. Доказать тождество
/(A-rotrotB-B-rotrotA)cn/= <Ь (В xrot A- AxrotB)-dS. (1.96)
v s
1.73. Внутри объема V вектор А удовлетворяет условию div А = 0,
а на границе объема (поверхность S) — условию Ап = 0. Доказать,
что / A dV = 0.
v
1.74*. Доказать, что
Г A(r') dV
J \r-r'\
V
где А(г) — вектор, определенный в предыдущей задаче.
42
Глава 1
1.75. Доказать тождества Грйна:
[((рАф + VpVVO dV = <Ь уЧф • dS, (1.97)
v s
[(<рАф - фА(р) dV = Ф((рЧф - ф\7<р) • dS, (1.98)
где <р,ф — скалярные дифференцируемые функции.
1.76. Интеграл по замкнутому контуру §udf преобразовать в инте-
i
грал по поверхности, опирающейся на этот контур.
1.77*. Доказать интегральные тождества:
& (fdl= / (п х grad <p) dS; (1.99)
i s
Ldl xA)= f((n x V) х A)dS; (1.100)
i s
(fdl-A= [(nxV)-AdS. (1.101)
Здесь n — орт нормали к поверхности, <р, А — функции координат, I —
замкнутый контур, S — незамкнутая поверхность, ограниченная этим
контуром. Приведенные тождества можно рассматривать как частные случаи
обобщенной теоремы Стокса
£(...)dl= f(nx V)(...)dS, (1.102)
i s
где символом (...) обозначен тензор произвольного ранга.
1.78. Показать, что если скалярная функция ф является решением
уравнения Гельмгольца Аф + к2ф = Оиа — некоторый постоянный вектор,
то векторные функции L = gтa,dф, М = тоЬ(аф), N = rotM
удовлетворяют векторному уравнению Гельмгольца ДА + к2А = 0.
1.2. Векторный и тензорный анализ
43
Дифференцирование в криволинейных координатах. При
использовании криволинейных неортогональных координат qa (а = 1, 2, 3), в
отличие от декартовых прямоугольных координат х@ (/? = 1, 2, 3),
производная по координате от тензора ранга s ^ 1 не образует какого-либо
тензора, в чем мы убедимся ниже. Это обстоятельство связано с локальным
характером определения тензора (1.51), относящимся к конкретной
точке. Производная же определяется через разность значений двух векторов
в близких, но различных точках. Чтобы определить ковариантную
производную от тензора любого ранга, т. е. такую дифференциальную операцию,
которая увеличивает ранг тензора на единицу, рассмотрим для простоты
тензор I ранга (вектор) и разложим его по базисным векторам
рассматриваемой криволинейной системы координат:
А = А/Ае/А = А/Ае'А. (1.103)
Продифференцируем равенства (1.103) и выделим из них ковариантные
производные:
л^^-Ш=^+л^-Ш- (1Л05)
В левых частях равенств использованы общепринятые обозначения для ко-
вариантной производной от ковариантных и контравариантных компонент
вектора соответственно. После знака тождества следуют их определения,
а в правые части входят производные компонент вектора и базисных
векторов. Производные от базисных векторов в криволинейной системе
координат, в отличие от декартовой, отличны от нуля.
Дифференцируя равенство (1.48) по координате, находим
(1.106)
м dqa dqa'
Введем в рассмотрение символы Кристоффеля II рода:
Г^ = в".^. (1.107)
С их помощью ковариантные производные записываются в более
компактном виде
Ац-,а = -7TW — ^Гда, А.а = -д— + А Гиа. (1.108)
44
Глава 1
Заметим, что символы Кристоффеля не являются тензорами, так как не
удовлетворяют соответствующим правилам преобразования. Они
симметричны по двум нижним значкам: Г^а = Г^д. Последнее свойство вытекает
из представления базисных векторов (1.46):
0^ = °*°. (1109)
Правила (1.108) вычисления ковариантной производной от тензора
первого ранга очевидным образом обобщаются на тензор произвольного
ранга Т: кроме производной от рассматриваемого тензора по координате, нужно
добавить со знаком «плюс» столько слагаемых типа ГТ, сколько у тензора
верхних значков, и со знаком «минус» столько слагаемых, сколько нижних
значков.
Пример 1.9. Выразить символы Кристоффеля (1.107) через
компоненты метрического тензора д^.
Решение. Определение символов Кристоффеля (1.107) позволяет
записать соотношение
е,Г^ = |^. ОЛЮ)
Оно получается из равенства (ev)\(evY = 5°, которое вытекает из
представлений базисных векторов (1.46), (1.49).
Введем также в рассмотрение символы Кристоффеля I рода Г^, да с
помощью соотношения
еТ„,мв = ^. (1.111)
Из (1.110) и (1.111) следует, что символы Кристоффеля I и II рода
можно рассматривать как коэффициенты разложения одной и той же
величины de^/dqa по векторам ковариантного и контравариантного базисов.
Из (1.111) с помощью (1.48) находим
деи
Г„|Ма = е„.^£. (1.112)
Умножая скалярно (1.110) на ел, (1.111) на ел и используя (1.50), получаем
связь между символами Кристоффеля I и II рода:
1 v, fia — 9v\*- ^av *■ [lo. = 9 *-v, pot- (1.113)
1.2. Векторный и тензорный анализ
45
Далее получаем последовательно, пользуясь симметрией по двум значкам,
отделенным запятой, и соотношениями (1.109), (1.112), (1.113):
Г -l(e .^t + e .^A-
_ 1 (двцу dgav dev dev
~ 2\дда dq» e" ' dqa &a ' dq»
U^ + d_^_d^\ (mi4)
2\dqa dq» dqv
T»° = 29 [-д^ + -д^--д^)- (М15)
Пример 1.10. Найти правила преобразования символов
Кристоффеля I и II рода при переходе в другую криволинейную систему координат.
Решение. Проводим последовательные вычисления:
т dq'a dqP dqladq^°
_d^dq^df_ 0 два_ dq'u dqx dq,K d2q<T 0
~ dqP dq'a dq'»e ' dqx + dq? dq'a dqx dq'^dq'^ ' *" ~
_dq^dq^dq^_ 0 дд'" д2д0
~ ддР dg'a dq'u Xa + dq0 dq'adq'» '
г^ + ^^т^Ьтг; (1-П6)
v,m e» Qqta dq,v eP ' dq'a dq'»
= dq^dq^dq°_ de^ dtp d2qc
'~ dq'» dq'a dq'»e0 ' dqx + dq,v dq^dq'^0 ' &° ~
= dq^dq^dq^ dq? Ь\*
dqw dq'a dq'» 0% Xa dq'» dq'adq'>*90°~ U '
Правилам преобразования тензоров соответствуют только первые
слагаемые в правых частях окончательных выражений; вторые слагаемые
нарушают указанные правила, поэтому символы Кристоффеля тензорами
не являются. ■
46
Глава 1
Пример 1.11. Доказать, что ковариантные производные
вектора А^а и А"а преобразуются как ковариантный и смешанный
тензоры II ранга соответственно.
Решение. Пользуясь определением ковариантйой производной (1.104)
и правилом преобразования (1.116), находим последовательно
дА'
А' —. Ц _ у'У А' —
м;а да/а ^а
Э (d<f \Эдх Ш» dqx dq° 0 dq>» C>V \ dq«
dqx W" ") dq"> \ dq0 dqla dq1^ Xa dq*3 dq"*dq'») dq'v *
dq° dqx (dA„ 0 \ dq° 6qx
Мы доказали, что рассматриваемая величина преобразуется как
ковариантный тензор II ранга. При рассмотрении второго тензора необходимо
использовать равенство
V dq,adq'» dq,a dq'» dq^dqx '
Оно получается путем дифференцирования по координате равенства
типа (1.43). ■
Задачи
1.79. Показать, что производная по координате от скаляра
(градиент) dS/dq^ = S;fl является ковариантным вектором.
1.80. Показать, что ковариантный ротор совпадает с обычным
ротором:
AMi„ Av\*- д(р dqli-
1.81*. Показать, что ковариантную дивергенцию от контравариантно-
го вектора (скаляр) можно записать в виде
J_JL
y/Qdqf
^м = ^£г(^")- d-12°)
1.2. Векторный и тензорный анализ
47
1.82. Записать в криволинейных координатах оператор Лапласа,
действующий на скалярную функцию.
1.83. Для произвольного тензора II ранга записать ковариантную
дивергенцию T^;fl.
1.84. Сделать то же самое для антисимметричного тензора A^v=-Av^.
1.85. Для ковариантных компонент антисимметричного тензора A^v =
= —Аур доказать соотношение
_ дАру дАХр дАуХ
1.86. Вычислить ковариантные производные от метрического
тензора g^-х и^;Л.
1.87. Доказать тождество dg^/dqx = T^vX + Г^д.
Ортогональные криволинейные координаты, для которых g^v = О
при ^фу (см. задачу 1.46), используются на практике наиболее часто. При
этом вводят обозначения д^и = h2L{q)5tlu (суммировать по /х не нужно).
Элемент длины запишется в виде
dl2 =g^dq»dq" =hl(dq1)2 + h22{dq2)2 + h23(dq3)2, (1.121)
где величины h^ (коэффициенты Ламэ) согласно (1.46) имеют следующий
вид:
Поскольку у/д = h^hs, инвариантный элемент объема (1.54) принимает
вид
dV = h1h2h3dqldq2dq3. (1.123)
Характерная особенность ортогонального базиса состоит в том, что
векторы исходного и взаимного базисов имеют одинаковые направления,
но различаются величиной и физической размерностью (поскольку
координаты ха и q@ могут иметь разную размерность). Вследствие этого и
размерность разных компонент одного и того же вектора, разложенного по
векторам этих базисов, может быть различной, что весьма неудобно при
решении физических задач. Поэтому полезно ввести ортогональный базис
единичных ортов еа*, еа* • е$* = 5ар (мы их будем обозначать нижними
48
Глава 1
индексами и звездочкой), через которые ковариантный и контравариантный
базисы выразятся согласно (1.50) следующим образом:
ер = hpep*, е& = т-ер*
tip
(1.124)
Разложение произвольного вектора А по ортам е/з* приобретает вид
А = Аиеи + ^2*е2* + Л3*е3*, (1.125)
где «физические» компоненты вектора А^ теперь имеют одинаковую
размерность, срвпадающую с размерностью рассматриваемой векторной
величины А, и связаны с ее ко- и контравариантными компонентами
соотношениями
А^ = ^=А^. (1.126)
Ввиду удобства использования базиса е/з* мы далее всюду в этой книге за
исключением главы 7 будем пользоваться этим базисом, опуская звездочку.
С. помощью соотношений (1.120)—(1.126), а также (1.25) записываем
основные дифференциальные операции в ортогональных криволинейных
координатах:
div A =
AS =
dbd*r(^,) + *f(M,*) + *f(*,*,*).
1
hih2hz
д (h2h3 dS''. .
dql\ /11 dq\l
+ _d_(hihldS_\ д (hih2 dS
dq2\ h2 dq2) dq3\ h3 dq3
™tA=fkWh*M)-^{h2A2)
d_
dq3
ei +
+
h\hz
£<M.)-£<»,*)
e2+
д
(1.127)
(1.128)
(1.129)
+j^2w{h2M) ~ ^{hiM)r- (U30)
1.2. Векторный и тензорный анализ
49
Задачи
1.88. Из общих выражений (1.27)—(1.30) получить приведенные ниже
основные дифференциальные операции в цилиндрической системе
координат (г, а, г), в которой х = г cos а, у = г sin а, z = z.
grad5=fer + Ifett + fe2;
r or г да dz
rdr\ дг) г2да2 dz2'
rot A = -
г 9а
+
-£]*♦
dAr dAz'
dz dr
r
£<■*•>-&
(1.131)
(1.132)
(1.133)
e2. (1.134)
1.89. Сделать то же самое для сферической системы
координат (г, д, а), в которой х = г sin д cos а, ?/ = г sin # sin a, z = г cos i9.
аг г ov r sin и да
div Л = 4r#V^) + -Ц^(^8т<?) + -Ц^;
г2 or rsmv ov r sin $ аа
as= I Afr2aS) +
<9r V <9r
+
1
r2 sin д дд
д (**№)+ г &2s-
rOt A :
1
rsin$
_(Ла81п^)- —
ft?/ r2sin21? да2'
er+
+
1 ^-^M.)
sin$ 9а dr
+^
dAr
l<p*> m
(1.135)
(1.136)
(1.137)
(1.138)
1.90*. Воспользовавшись тождеством (1.83), записать проекции
вектора ДА на оси цилиндрической системы координат.
50
Глава 1
1.91*. Сделать то же самое для сферической системы координат.
1.92. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной
функции, зависящей только: а) от г; б) от а; в) от z (цилиндрические
координаты).
1.93. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной
функции, зависящей только: а) от г; б) от д\ в) от а (сферические
координаты).
Замечание. В задачах 1.94-1.98 разобраны примеры криволинейных
ортогональных систем координат, более сложных, чем цилиндрические и сферические.
Более полные сведения по этому вопросу содержатся в руководствах [Арфкен (1970)],
[Стрэттон (1948)].
1.94*. Уравнение
т2 V2 у2
h + b + h = l (*>b>c)
az bz cz
изображает эллипсоид с полуосями а, 6, с. Уравнения
ОТ +7) bZ +7] (Г +7]
-f— + -£— + ^г— = *> -Ъ2>(> -а2
а2 + ( Ъ2+( с2 + (
изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной
гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку
пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой
значениями £, т], £. Числа £, т], £ называются эллипсоидальными координатами
точки х, у, z. Найти формулы преобразования от эллипсоидальных к
декартовым координатам. Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы
координат. Найти коэффициента Ламэ и оператор Лапласа в
эллипсоидальных координатах.
1.95*. При а = Ь > с эллипсоидальная система координат (см.
предыдущую задачу) вырождается в так называемую сплюснутую
сфероидальную систему координат. Координата £ при этом переходит в постоянную,
1.2. Векторный и тензорный анализ
51
равную —а2, и должна быть заменена
другой координатой. В качестве
последней выбирают азимутальный угол а
в плоскости ху. Координаты £, т]
определяются из уравнений
а2+£
г2
а2 +т]
+
+
Z2
С2 +7]
= 1, ^
= 1,
-с2 ^ т] ^ -а2,
где г2 = х2 + 2/2.
/г; — const
£ = const
Рис. 1.6
Поверхности £ = const представляют собой сплюснутые эллипсоиды
вращения вокруг оси Oz9 поверхности r\ = const — софокусные с ними
однополостные гиперболоиды вращения (рис. 1.6).
Найти выражения г, z в сплюснутых сфероидальных координатах,
коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих координатах.
1.96*. Вытянутая сфероидальная
система координат получается из
эллипсоидальной (задача 1.94) при а > b = с.
Координата т\ при этом вырождается в
постоянную и должна быть заменена
азимутальным углом а, отсчитываемым в
плоскости yz от оси Оу. Координаты £, £
определяются из уравнений
+
а2+£ Ъ2+£
+
а^ + С Ъ2 + (
где г2 = у2 + z2.
1, i^-ъ2
-ь2^с^
Q = const
£ = const
Рис. 1.7
Поверхности постоянных £ и 7] представляют собой вытянутые
эллипсоиды и двухполостные гиперболоиды вращения (рис. 1.7). Выразить
величины хх г через £, С; найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа
в переменных £, (, л.
52 Глава 1
1.97*. Бисферические координаты £, ту, а связаны с декартовыми
координатами соотношениями
a sin r\ cos a a sin ту sin a ash£
ch £ — cos т/' ch £ — cos 77' ch £ — cos 77'
где a — постоянный параметр, — оо<£<оо,0<77<7г, 0 < a < 27г.
Показать, что координатные поверхности £ = const представляют
собой сферы
х2 +у2 + (z - acothtf = (щУ,
поверхности r\ = const — веретенообразные поверхности вращения вокруг
оси Oz, уравнение которых
(v^M^-acotr?)2 + 22=(i^)2,
поверхности а = const — полуплоскости, расходящиеся от оси Oz (рис. 1.8).
Рис. 1.8
Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны
между собой. Найти коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа.
1.3. Специальные функции математической физики 53
1.98*. Тороидальные координаты р, £, а образуют ортогональную
систему и связаны с декартовыми координатами соотношениями
ashpcosa ashpsina asin£
х = ■ у = - z =
ch р — cos £' ch р — cos £' ch р — cos £'
где a — постоянный параметр, -оо<р<оо, -7г < £ < 7г, 0 < a < 7г.
Показать, что р = 1п(п/г2) (см. рис. 1.9, на котором изображены
плоскости а = const, а + 7г = const), а величина £ представляет собой угол
между 7*1 и Г2 (£ > 0 при z > 0 и £ < 0 при г < 0). Какой вид имеют
координатные поверхности р и £? Найти коэффициенты Ламэ.
Рис. 1.9
Рекомендуемая литература: [Борисенко и Тарапов (1966)], [Ли (1965)],
[Арфкен (1970)], [Морс и Фешбах (1958)], [Курбатова и Филиппов (1998)],
[Мэтьюз и Уокер (1972)], [Рашевский (1953)], [Вейнберг (1977)], [Стрэт-
тон(1948)].
1.3. Специальные функции математической физики
Цилиндрические функции используются при решении многих
конкретных задач. Наиболее употребительная из них — функция Бесселя —
54
Глава 1
может быть получена путем разложения специально выбранной экспоненты
(производящей функции) в степенной ряд по и:
exp||(U-i)|= JT Jn(x)un. (1.139)
Коэффициенты этого разложения называются функциями Бесселя I рода
порядка п. Представление функции Бесселя в виде степенного ряда можно
получить из степенных рядов для экспонент:
оо оо _
ЧтМ-s)-£(§)'*£<-'>■(§) т- <1|40)
г=0 s=0
Напомним, что эти разложения справедливы при любых, в том числе
комплексных, значениях хии ввиду неограниченности радиуса сходимости
ряда для экспоненты. Перейдя к суммированию по п = г — s (—оо < п < оо),
получим из (1.140)
4f(-4)}- ± Ё^(!)"и'«-= £ «*>«"■
v ' п= — оо s=0 ч ' п=—оо
(1.141)
откуда следует
Это представление для Jn(x) целесообразно использовать при п ^ 0.
При п < 0 вместо (1.142) можно записать
~ (-1)* /x\n+2s ~ (-l)e+N /дЛМ+2*
'«<*>= Еа^й) =E^^)i(f) . с-143)
з=\п\ s=0 Ч| ' 7
поскольку при s + п < 0, (5 + п)! —► оо. В итоге получаем простую
зависимость между функциями Бесселя целого положительного и отрицательного
порядков:
J.n(x) = (-l)nJn(x). (1.144)
Пример 1.12. Получить рекуррентные соотношения между
функциями Бесселя разных порядков путем дифференцирования равенства (1.139)
по и и по х и сравнения правой и левой частей равенства.
1.3. Специальные функции математической физики
55
Решение. Дифференцируя'( 1.139) по и, имеем
§(1+гИ?И)]-
(\ ОО ОО
1 + ^Jx £ МФп = J2 nJn{x)un-\
' п= —оо п= —оо
Приравнивая коэффициенты при ип~1 в правой и левой частях последнего
равенства, находим
2п
(1.145)
Jn-i(x) + Jn+i(x) = —Зп(х).
Дифференцируя (1.139) по я, получим аналогичным образом
Jn-i{x)-Jh+l(x) = 2J'n(x). (1.146)
Эти рекуррентные соотношения можно переписать в других формах:
Jn±i = рп(х) т К(х); Jn^i = ±x*n-f[x±nJn(x)]. (1.147)
dx '
В частности,
Ji(x) =-Jfa).
(1.148)
Пример 1.13. Получить представления функции Бесселя в виде
интегралов от экспоненциальных и тригонометрических функций. Для этого
использовать подстановку и = exp(i<p) в разложении (1.139).
Решение. Указанная подстановка приводит к разложению
оо
ехр(гх sin <р) = ^J Jn(x)exp(irnp). (1.149)
п=—оо
Воспользуемся периодичностью функций sin(£ и exp(irup)f а также легко
проверяемым равенством
а+2тг
/ ехр(г(п - m)(f) dip = 2тг5Г1
56
Глава 1
где т — целое число, а — любое действительное число. Умножив обе
части (1.149) на ехр(-гга^) и проинтегрировав по (р, получим интегральное
представление для функции Бесселя:
а+2тг
Jrn {х) = у- / ехр(гх sin <р - irrup) dip =
{-гУ
OL + ЪЪ
2тт
а
I
exp(ixcos(p - irrup) dip. (1.150)
Пример 1.14. Предположим, что некоторые функции Zv(x),
отличные вообще говоря от функций Бесселя (1.142), удовлетворяют
рекуррентным соотношениям (1.145)—(1.148) при произвольном комплексном
значении п = v. Вывести дифференциальное уравнение II порядка, решением
которого является Zv[x).
Решение. Продифференцируем второе равенство (1.147) по х и
добавим к нему слагаемое, равное нулю (заменив п —> v, Jn —> Zv)\
К_х = [x-»{x»Zu)'}' + 1 (Z'„ + %ZV - Zv-i) =
— 7" i V ~^~ ^ 7f 1 7
~ Lv + ~~X~Lv ~ X^"-1'
Снова добавляем в правую часть слагаемое, равное нулю:
71 — 7" I V ~^~ ^ 71 1 7 _L V \7 V 7 7'~\ —
^и-\ — ^v ~! х— v ~ ~Х и~1 "* X l^v-1 ~ Xй ~ v \~
Z" i 1 7* V 7 i ^ ~ 1 7
v ~* х v 2 v X—^^-1*
Наконец, из второго равенства (1.147) находим, делая замену п+1 —> и,
Zv = —^—Z>v-\ — Zy-\-
Исключая Z'v_l из последних двух равенств, получаем уравнение Бесселя,
которому удовлетворяет функция Zv (x):
Z? + ±Z^+(l-^Z„ = 0. (1.151)
1.3. Специальные функции математической физики 57
Такое или сходное уравнение возникает во многих физических задачах.
Мы ниже дадим краткую сводку основных сведений о решениях
этого уравнения. Вывод соответствующих формул можно найти в
специальных математических руководствах: [Виленкин (1965)], [Лебедев (1963)],
[Никифоров и Уваров (1984)], [Мэтьюз и Уокер (1972)], [Арфкен (1970)],
[Градштейн и Рыжик (1971)], [Абрамович и Стиган (1979)], [Ли (1965)].
Решение уравнения (1.151), которое при Re v ^ 0 ограничено при х —> 0,
называется функцией Бесселя I рода. Ее можно представить в виде
степенного ряда, который является обобщением (1.142):
Независимая переменная обозначена через z, поскольку ряд сходится
при всех v и во всей комплексной плоскости z с разрезом вдоль
отрицательной части действительной оси.
Вторым линейно независимым решением при v ф п = 0, ±1...
может служить J-l/(x). При п целом между двумя указанными решениями
существует линейная связь (1.144), поэтому в качество второго решения
выбирают функцию Бесселя II рода (она же функция Неймана и функция
Вебера)
Yl/{z) = : , (1.153)
Sini/7T
для которой существует конечный предел при v —► п.
В качестве двух линейно независимых решений можно выбрать также
функции Бесселя III рода (их называют еще функциями Ханкеля)
Hll\z) = J„{z) + iY„(z), Hi2\z) = J„{z) -iY„{z). (1.154)
Все перечисленные функции являются решениями уравнения Бесселя.
(1 2)
Функции Yv, Hi," } имеют особенности при z —> 0. Все решения
удовлетворяют рекуррентным соотношениям (1.145)—(1.147) (с заменой п —> v,
Асимптотические значения: при z —► 0
Y0(z) и -iH{0l)(z)*iH™(z) « f lnz; (1.156)
У^й-^ййШЙМй-^^)"", Re„>0; (1.157)
58
Глава 1
при \z\ —> 00 и произвольных v
•W*\/AC0S(z_T_f)' Jarszl<7r;
ВД~у^з1п(*~т~!)' 1аге*1<7г;
^W^yiexpfi^-^-l)], -7Г < arg z < 2тг; (1.
tf<2>W«y^exp[-i(s-*J-j)], -2тт < arg z < n. (1.161)
Цилиндрические функции от чисто мнимого аргумента называются
модифицированными функциями Бесселя (а вторая из них — также
функцией Макдональда). Они определяются соотношениями
(1.158)
(1.159)
160)
Iu(z) = e-im'2Jv{iz),
(1.162)
(1.163)
либо
'•<"-(i)t;ne
~ №>" , КМш.Ы£Ш. (ММ)
s=0
Г(1/ + в + 1)'
Sini/7T
Эти функции принимают действительные значения при действительных v
и z > 0. Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования
получаются из (1.145)-(1.147) и (1.162), (1.163). В частности,
r0(z) = h(z), K'0(z) = -Kl(z). (1.165)
Модифицированные функции Бесселя удовлетворяют уравнению
К' + \WV -U + ^\w„ = 0. (1.166)
Асимптотика: при z —► 0
ш
-, 1/^-1,-2...;
(1.167)
2T(i/ + l)
Jf0(z)«-ln*, *Г„(г)»±Г(1/)(|)~", Re i/ > 0; (1.168)
1.3. Специальные функции математической физики 59
при \z\ —► оо
Iy{z) « ~р=е\ | arg z\ < тг/2;
K„{z)*xjfze-\
| arg z| < 37г/2.
(1.169)
(1.170)
Сферические функции Бесселя и Ханкеля нередко возникают при
решении физических задач в сферических координатах. Они имеют полуцелый
порядок и определяются равенствами
М1,2)« т
При малых х
х1
J/(X)~1.3...(2/ + 1)' 'ч
При больших х
jt(x) « |cos
/i{lj2)(a:)«iexp|±i
,.-/-1
1 • 3... (2Z - 1)
(/ + 1)тг
(I + 1)тг"
Задачи
1.99. Вычислить неопределенные интегралы
/ xvZv-\(x) dx, / x~vZv+\(x) dx.
1.100. Вычислить определенные интегралы
оо оо оо
/ J\(x)dx, I J2(x)x~l dx, / Jn(x)x~n dx.
(1.172)
(1.173)
60
Глава 1
1.101. Доказать равенство интегралов
оо оо
/ Jn(x) dx = Jn+2{x) dx, где п = 0, 1,...
о о
1.102. Получить интегральное представление
1
Т („\ 2 [ COS UX ,
Указание. Сделать подстановку и = sin ip.
1.103*. Вычислить интегралы
тг/2 тг/2
/ Jo(xcosip) cosipdip = S1^X, Ji{xcosip) dip =
1 — cos x
X
о о
Указание. Можно воспользоваться разложением в степенные ряды.
1.104. Вывести формулы
Jn{x) = (-l)^"(^)fc (**-»./„_*(*)) = (-l)"x"(^)"jo(x).
1.105. Вывести рекуррентные соотношения для модифицированных
функций Бесселя
Iu-i(z) - /i/+i(*) = ~yIv{z), j
J„_i(s)+/„+i(s) = 2/£(s),
^-1(^-^+1^) = -^^),
^|/_1(г) + ^|/+1(г) = -2^(г).
1.106*. Показать, что
оо
п= — оо
где $ — угол между векторами ri и г2.
(1.175)
1.3. Специальные функции математической физики
61
1.107*. 1. Записать уравнение, которому удовлетворяет
функция и(х) = Jn(ax).
2. Вычислить интеграл (Ь ф а):
1
aJ'n(a)Jn(b)-bJ'n{b)Jn{a)
b2-a2
(ax)Jn(bx)dx= nK J n\' 2nV J nv J. (1.176)
3. Пусть а ф b — корни уравнения Jn(x) = 0, т.е. Jn(a) = Jn(b) = 0.
Показать, что
l l
j xJn(ax)Jn(bx)dx = 0, j xJ2(ax)dx= |[j;(a)}2. (1.177)
Замечание. Первое равенство (1.177) выражает свойство, которое называется
ортогональностью функций Бесселя с весом х.
1.108*. Вывести «теоремы сложения» для бесселевых функций:
оо
^2 Jn-k(x)Jk(y) = Jn(x + y), n = 0,l,2...;
к= —оо
(1.178)
оо
Y, (-l)kJn-k(x)Jk(x) = 0, n=l,2...; (1.179)
к=—оо
оо
Jo(x)Jo(2/)+2^(-l)/eJfc(x)Jfc(2/) = Jo(.x + 2/), n=l,2...; (1.180)
k=i
оо
J02(x)+2^(-l)fcj2(x) = Jo(2x). (1.181)
k=i
Сферические функции и полиномы Лежандра широко
используются во многих разделах физики, особенно в электродинамике и квантовой
механике. Производящей функцией для полиномов Лежандра P/(cos$)
служит обратное расстояние между двумя точками с радиусами-векторами а
и г, угол между которыми равен $:
1 1
i
= = fE(?) PKcostf), a/r<l.
V - а\ \/г2 + а2 - 2ar cos ?
(1.182)
62
Глава 1
Обозначив х = cos$, и = а/т и использовав биномиальное разложение,
которое для отрицательного показателя удобно записать в форме
а также биномиальное разложение для ап = (2их - и2)71, получим двойную
сумму:
(1 - *, + .„V* - EEriS^l-D'M-'^.
Перейдем к суммированию по кип + к = 1^ О, что приведет к
перестановке членов ряда. Такая перестановка в данном случае законна, так
как бесконечный ряд сходятся абсолютно, что будет видно из дальнейшего.
В итоге будем иметь
оо /
/=0 к=0
Г(1/2)к\(1-2к)Г
оо
/=0
где
ям-E^t.!™ <-'>'(»>
_ 1-2к
Г(l/2)fc!(/-2fc)!,
/с=0
= У(-1)к , (21~2кУ-—xi-2k (1183)
^ 21Щ1-к)\(1-2к)\
В двух последних равенствах сумма по к фактически ограничена
значением целой части числа 1/2, так как бесконечный факториал отрицательного
целого числа в знаменателе устраняет все слагаемые с I - 2к < 0.
Пример 1.15. Найти значения полиномов Р/(1), Р/(-1), Л(0),
придавая углу д в (1.182) частные значения и пользуясь биномиальным
разложением.
1.3. Специальные функции математической физики
63
Решение. Полагая cos$ = 1, находим из (1.182)
оо оо
/=0 /=0
и следовательно, Р/(1) = 1 при всех /, а Р0 = 1 при 0 ^ д ^ 7г.
Аналогичным образом получаем
Рг(-1) = (-!)',
Ян(О) = (-1)'^^, 1>1; 0-184)
Ли+1(0)=0, 1>0.
Пример 1.16. Получить ограничения на величину полиномов Лежан-
дра |P;(cos$)|^l путем анализа разложения производящей функции (1.182)
в ряд по cos тд.
Решение. Получаем последовательно из производящей функции
(1 - 2«costf + и2)'1'2 = (1 - ие">Г1/2(1 - «е*)"1'2 =
= {l + I«ew + \ч2е™ + .. X х |l + Itie-W + |U2e-2i" + ...} =
ОО
= 5^A(cosiV,
где P/(cos$) = YL ^fccosfc^. Коэффициенты ak подбираются из величин,
/c=0
стоящих в фигурных скобках, и важно, что все они неотрицательны: а^ > 0.
В этом случае сумма ^ а^ cos Ы максимальна при д = 0, что
соответствует Р/(1) = 1. Следовательно, |P/(cos$)| ^ 1. ■
Произведенная оценка позволяет установить, что ряд (1.182) при а/г< 1
оо
сходится абсолютно, т.е. сходится ряд ^ |Р/(cos#)|(а/г)1. Это следует из
установленного неравенства и того факта, что мажорирующий ряд ^ (а/г у
1=0
заведомо сходится при а/г < 1 — он представляет собой сумму членов
бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
64
Глава 1
Из разложения (1.183) можно получить более компактное
представление для полиномов Лежандра, выполнив последовательно следующие
преобразования:
1 ,21-2к.
PI(X) = Y(-1)* {21~2к» а'-уГ Ы)к (А) *
£=Ь 2'A!(I — As)!(Z — 2fc)! f^Q2lk\{l-к)Л<1х)
Последнее выражение для полиномов Лежандра называется формулой
Родригеса.
Пример 1.17. С помощью формулы Родригеса вывести рекуррентные
соотношения между полиномами Лежандра:
Pl(x) = xPl_1(x)+lPl-1(x); (1.186)
(1 - x2)Pl\x) = 2(1 + 1)Р/+1(х) - 2(1 + 2)хР[(х)-
-(l + l)(l + 2)Pl{x). (1.187)
Пользуясь указанными соотношениями, получить дифференциальное
уравнение II порядка, которому удовлетворяет Pi(x).
Решение. Пользуемся формулой Лейбница для вычисления
производной n-го порядка от произведения функций:
^И1)^-.)'-+'Ш'-'^-1)'-].
Из этого равенства и формулы Родригеса следует (1.186). Для
получения (1.187) пользуемся аналогичным соотношением:
+2«+2Н£Г^ - ■)'+<'+"с+2>Ш'<*2 -»'■
1.3. Специальные функции математической физики 65
Из двух полученных рекуррентных соотношений очевидным образом
получается дифференциальное уравнение Лежандра, которое имеет вид
(1 - х2)Р['(х) - 2хР{{х) + 1(1 + l)Pi(x) = 0.
(1.188)
Второе линейно независимое решение уравнения Лежандра имеет
особенности при х = ±1. ■
Пример 1.18. Присоединенные полиномы Лежандра определяются
выражением
РГ{х) = {\-х"Г'\£)тр1{х) =
(1 -Х2)т/2 ( А \1+т
= —щ—Ш {х -1)* -/<т</- (1Л89)
Получить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют
присоединенные полиномы Лежандра.
Решение. При т > 0 дифференцируем обе части уравнения
Лежандра (1.188) т раз и получаем уравнение вида
(1 - x2)F" - 2(m + l)xF' + (I - т)(1 + т + \)F = 0
для функции
f(x) = (£)тр^) = (1 - х2)-т/2РГ(*)-
Подставив в полученное уравнение производные
F'{x) = (\-x2)-m'2
dPp mxPf
dx
1-х2
F"(x) = (l-x2)-m'2
2 тэт
dx2
находим искомое уравнение
<?РГ , 2тх dPr + тРГ + т(т + 2)х2Р{
1-х2 dx
(1-х2)
2\2
о^сРРГ1 dPT
{\-х2)^±--2х—± +
dx2
dx
1(1 + 1)
т
1-х2
рр = о.
(1.190)
Поскольку уравнение нечувствительно к знаку т, то Р( т (х) и Р/™ (х) могут
различаться только множителем, не зависящим от х (см. задачу 1.116). ■
66
Глава 1
Пример 1.19. Пользуясь уравнением (1.190), доказать
ортогональность присоединенных полиномов Лежандра с одинаковыми значками т
и разными I.
v Решение. Записываем уравнение (1.190) в форме
и второе такое же уравнение для Р™. Далее умножаем первое уравнение
на Р™, второе на Р™, вычитаем почленно и интегрируем по х. Получаем
1
[1(1 + 1) - /'(/' + 1)] / Р1Р(х)РГ(х) dx = 0,
-1
откуда следует ортогональность
1
/ Р1Р{х)РГ(х) dx = 0, V ф I. (1.191)
-1
Пример 1.20. Сферическая функция Лежандра Y/m($, ф)
определяется следующим образом:
Yim(0,<p) = CimPrWWmip> (1-192)
где P/m($) — присоединенный полином Лежандра, выраженный через
тригонометрические функции, Сim — нормировочный множитель. Найти закон
преобразования этой функции при инверсии системы координат.
Убедиться в том, что сферические функции Лежандра ортогональны по обоим
индексам при интегрировании по всему телесному углу, и записать в явном
виде условие их нормировки на единицу.
Решение. При инверсии системы координат (см. раздел 1.1)
полярные углы преобразуются по правилу д —> 7г — д, <р —> тг+(р9 cos$ —> — cos$,
eimip _, (_i}meim<p^ Ha основе определения Ppix) (1.189) и (1.191)
находим
Yim{^ip)^Yim{t-^ir + ip) = {-l)lYim(^ip). (1.193)
dx dx
1(1 + 1)-
mr
1.3. Специальные функции математической физики
67
Интегрированию по всему телесному углу соответствуют пределы
изменения углов 0^$^7г, 0 ^ (р ^ 27г. Интегрирование по <р обеспечивает
ортогональность сферических функций по индексу га:
2тг
О
Ортогональность по индексу / обеспечивается присоединенными
полиномами Лежандра (см. пример 1.19). Условие ортогональности и нормировки
на единицу имеет вид
тг 2тг
j smddd j dipYl1rn,(d,ip)Ylrn{<d,ip) = 5w5rnrn,. (1.194)
о о
Нормировочный множитель определяется из условия
1
2тг|С/т|2 j[P{n{x)]2dx=\.
-1
Вычисление последнего интеграла см. в задаче 1.118. ■
Приведем без вывода весьма полезное соотношение, называемое
теоремой сложения сферических функций. Если в — угол между двумя
векторами (г, д, ф) и (г', $', (р')> т. е.
cos0 = cos$cos$' + sin д sin д' cos((^ — <р'),
то
fl(cos0) = ^у £ YlmW,tp)Ylm(0',tp'). (1.195)
т= — I
Вывод этого разложения можно найти в [Арфкен (1970)] и более
полное изложение в [Никифоров и Уваров (1984)]. Метод теории
представлений групп подробно описан в [Виленкин (1965)], [Гельфанд и др. (1958)].
См. также [Абрамович и Стиган (1979)], [Градштейн и Рыжик (1971)],
[Лебедев (1963)], [Колоколов и др. (2000)].
68
Глава 1
вид
Задачи
1.109. Показать, что при х = cos$ уравнение Лежандра принимает
1 d sintf^§+/(/ +1)^ = 0. (1.196)
siwddtf dd
1.110. "Получить рекуррентные соотношения
(21 + l)xPi{x) = (I' + l)P/+i(x) + /P/_i(x),
(2l + l)Pl(x)=Pl+1(x)-P[_1(x),
где I = 1, 2,... Для этого можно применить формулу Родригеса и прием,
использованный в примере 1.12 при рассмотрении функций Бесселя.
1.111. С помощью рекуррентных соотношений найти пять первых
полиномов Лежандра.
1.112*. С помощью формулы Родригеса доказать ортогональность
полиномов Лежандра с разными I и вычислить нормировочный интеграл
1
Pl(x)Pl/(x)dx = ^-j5w. (1.197)
/
Указание. Выразить нормировочный интеграл через бета-функцию Эйлера.
1.113. С помощью производящей функции для полиномов Лежандра
получить разложение
-1 2 °°
1-УГ _\^/о/ , ПоШ
= £(И + 1)РК*)1
(1-2их + и2)3/2 ^ч~" ' ~У~14 )U
1.114. Пользуясь результатами примера 1.17, получить второй поли-
2
ном Лежандра в форме Рч = ^2 ак c°s кд.
к=0
1.115. Записать уравнение (1.190) для присоединенных полиномов
Лежандра в сферических координатах.
1.116*. Пользуясь формулой (1.189), показать, что
(I - mV
РГт(х) = (-1)-|7_±р-(х). (1.198)
1.3. Специальные функции математической физики 69
Указание. Применить к произведению (х — 1)1(х + 1)' формулу Лейбница
(см. пример 1.17).
1.117. Записать в явном виде присоединенные полиномы
Лежандра Р/71 для/= О, 1, 2, 3.
1.118*. Вычислить нормировочный коэффициент С/т, введенный
в примере 1.20. Записать в явном виде сферическую функцию Лежандра.
1.119. Записать уравнение, которому удовлетворяет сферическая
функция Лежандра Yiw(#, ip).
Дельта-функция Дирака. Определение и общие свойства. К
понятию дельта-функции мы приходим, например, при попытке описать
плотность заряда р(г) точечной частицы. Пусть частица находится в начале
координат и имеет заряд е. Тогда, очевидно, функция р(г) должна обладать
следующими свойствами:
р(г}=0 при г^О. (1.199)
Но при г —> 0 плотность р(г) должна возрастать столь быстро, чтобы
[ p(r)dV = е, (1.200)
AV
т. е. чтобы интеграл, взятый по любому объему Д V, включающему точку,
где находится частица, имел конечное значение, равное заряду е.
Записав p(r) = eS(r)9 мы получим из (1.199)—(1.200) условия,
определяющие трехмерную дельта-функцию:
Д(г) = 0, r^O; J(r)->oo, r->0. (1.201)
[ 5{r)dV = l. (1.202)
AV
Аналогичными соотношениями определяется одномерная дельта-функция:
6(х) = 0у х^0; £(х)->оо, х->0; j5(x)dx = l, (1.203)
д
где Д — отрезок оси х, включающий точку х = 0.
Дельта-функция относится к классу сингулярных обобщенных
функций. Она приобретает точный смысл под интегралом. Рассмотрим интеграл
70
Глава 1
от произведения дельта-функции на произвольную непрерывную и
ограниченную функцию f(x):
\ S(x)f(x) dx,
где х\ < 0, Х2 > 0. Поскольку 5(х) = 0 при х ф 0, то вклад в интеграл
дает только малая окрестность е точки х = 0, в которой f(x) постоянна
и равна /(0):
XI
J's(x)f(x)dx = f(0). (1.204)
Далее, путем замены переменной х на х - а в аргументе дельта-функции,
повторяя предыдущие рассуждения, находим:
Х2
J 5(х - a)f(x) dx = /(a), (1.205)
Xl
если промежуток (х\, жг) включает точку х = а.
Равенства (1.203) и (1.204) показывают, что 5(х) — четная функция
своего аргумента:
6{х) =6{-х). (1.206)
С помощью последнего свойства, вводя переменную \а\х = у, убеждаемся
в справедливости соотношения
xi
[s(ax)f(x)dx = -^f(0). (1.207)
J \a\
Xl
Наконец, рассмотрим интеграл
XI
j 5{g(x))f(x)dx,
Xl
в котором в аргументе дельта-функции стоит некоторая гладкая
функция д(х). Вклад в интеграл дают только точки, в которых д(х) = 0, т.е.
1.3. Специальные функции математической физики 71
действительные корни функции д(х). Обозначив их через ai9 можем
написать
Х'2 Ог+£
J6(g(x))f(x)dx = ^2 J S(g(x))f(x)dx,
х\ г di—e
где е — малое число. Если f(x) — непрерывна, то на отрезке [а; — е, di+ е\
можно заменить f(x) на /(а^), a g(x) аппроксимировать первым членом
разложения: д(х) = д'(а{)(х — а^). В итоге, используя (1.207), получим
Х2
[ ^(x))/(x)dx = ^r7f1T/(ai). (1.208)
х\ г
Это свойство дельта-функции можно записать в виде символического
равенства
*ш) = Е r^s^x -а^ (1-209>
i Иа01
Если g'(cLi) = 0, т. е. а; — кратный корень, то соотношения (1.208) и (1.209)
теряют смысл. Точно так же не имеет смысла произведение S(x)f(x)9 если
функция f(x) обладает особенностью при х = 0.
Можно определить также производную от дельта-функции. Точный ее
смысл содержится в формуле
?f/ ,Щх-а) df(a)
J f{x)—dx—dX = —dT> (L210)
X\
которая получается интегрированием по частям. Аналогично определяются
производные высших порядков:
XI
J f(x)S^(x-a)dx = (-l)nf^\a). (1.211)
Х\
Функция 5{х) может рассматриваться как производная от ступенчатой
функции Хевисайда О(х). Это следует из очевидного соотношения
х ( 1, х>0,
S(x)dx = e(x)= I 1/2, ж = 0, (1.212)
xi I 0, х < 0,
72
Глава 1
где нижний предел интегрирования х\ — любое отрицательное число.
Дифференцируя это равенство по х, получаем
&{х) = 6(х).
(1.213)
В равенстве (1.212) при совпадении предела интегрирования с точкой,
в которой аргумент дельта-функции обращается в нуль, мы взяли
половину значения гладкой функции f(x) = 1, т. е.
воспользовались правилом интегрирования
Рис. 1.10
а
Jf(x)6(x-a)dx=±f(a). (1.2137)
Это правило находится в согласии со
свойством (1.206) — четностью дельта-функции.
Трехмерную дельта-функцию можно
рассматривать как произведение трех
одномерных дельта-функций:
5(r-a) = S(x-ax)S(y-ay)S(z—az). (1.214)
Поэтому все рассмотренные выше свойства
одномерных дельта-функций легко
обобщаются на трехмерный случай.
Некоторые представления дельта-функции. Наглядное
представление о дельта-функции и ее производных можно получить, рассматривая
график некоторой непрерывной функции 5£(х—а), такой, что J 5£(x—a) dx = 1.
д
Параметр е характеризует ширину интервала, в котором
рассматриваемая функция отлична от нуля (рис. 1.10).
Дельта-функция и ее производные определяются как пределы
5{х — а) = Km 5£(x — а),
£—>0
д5(х - а)
дх
lim
е-+0
д5£(х - а)
дх
и т. д.
Свойства дельта-функции приобретают многие несингулярные
функции, зависящие от параметра, при определенных предельных значениях это-
1.3. Специальные функции математической физики 73
го параметра. Наиболее употребительны такие представления
дельта-функции:
6(х) = I lim —£— = -Ц lim(-^- -k-), (1.215)
*(*) = £ lim »^£, (1.216)
1 -*2/г
Я(ж) = lim-^=e-x /£. (1.218)
Из (1.216) получаются следующие представления:
к к
5{х) = ^- lim / eikxdk=\ lim [ cos kxdk. (1.219)
V У 27ГК-.00 J ^ K-^ooJ V '
-к о
Их можно рассматривать как разложение дельта-функции в интеграл
Фурье6. Иногда формулы (1.219) записывают, опуская знак предельного
перехода и интегрируя в бесконечных пределах.
Легко убедиться в том, что любое из представлений (1.215)—(1.219)
согласуется со всеми свойствами (1.203)—(1.207), а также с
определением (1.210) производной от дельта-функции. При вычислении
интегралов с дельта-функциями с помощью представлений типа (1.215)—(1.219)
нужно производить предельный переход после интегрирования.
Например, при использовании (1.216) имеем
ь ьк
J6(x)f(x)dx=±Kmo J /(£)*Mdy = /(0), (1.220)
-а -аК
тогда как предел (1.216) сам по себе не существует.
Представление дельта-функции через контурные интегралы в
комплексной плоскости. Воспользуемся формулой Коши:
b/S * = '(«>• о-221)
с
6Об интегралах Фурье см. следующий раздел.
74
Глава 1
где f(z) — функция, не имеющая особенностей внутри области,
ограниченной замкнутым контуром С, и на самом контуре в плоскости комплексного
переменного z9 интегрирование по которому производится против часовой
стрелки. Из сравнения (1.221) с (1.205) следует, что величину
1 1
27гг z — а
можно рассматривать как представление S(z - а), если условиться
производить интегрирование по замкнутому контуру, окружающему точку z = a,
такому, внутри которого и на самом контуре другие особенности
подынтегрального выражения отсутствуют.
Сг В частности, контур С может
представлять собой окружность малого радиуса.
В приложениях нередко возникает
интеграл по действительной оси вида
Jx-a-
а
Рис j j j где f(x) не имеет особенностей на
отрезке [#1, жг], а пределы х\, Х2 могут
быть бесконечными. Такой интеграл при а действительном не имеет
определенного значения, так как подынтегральное выражение имеет полюс на
контуре интегрирования. При вычислении интеграла необходима
дополнительная информация, которая должна состоять в указании правила обхода
особой точки. Правило обхода устанавливается обычно на основе
физических аргументов:
/ /w*./Ж* +/Ж*.
J х — a J х — a J х — а
Св.е + Сг С г С Re
Это означает, что стоящий в левой части приведенного выше соотношения
интеграл, в котором интегрирование проводится по всему контуру, может
быть представлен (см. рис. 1.11) в виде суммы двух интегралов. В первом из
них интегрирование ведется либо по верхней, либо по нижней
полуокружности малого радиуса Сг, во втором — по всему остальному, идущему вдоль
действительной оси участку контура (эта часть контура обозначена
символом CRe).
Интеграл по полуокружности радиуса е —> 0 дает половину вычета (со
знаком минус для верхнего контура на рис. 1.11, поскольку обход полюса —
1.3. Специальные функции математической физики 75
по часовой стрелке):
■ dx = —г7г/(а);.
/:
х — а
сг
интеграл по действительной оси с исключенной особой точкой вычисляется
в смысле главного значения:
J х — а е-+о I J х — a J х — а [ J х — а
х\ \ х\ а+е ) х\
При обходе полюса по нижней полуокружности меняется знак полувычета.
В итоге мы получаем следующие правила вычисления интеграла (формулы
Сохоцкого):
1 =Tiir5(x-a) + &>——. (1.222)
х — а х — а
Символ 9 обозначает главное значение (верхний знак — для верхнего
контура, нижний — для нижнего на рис. 1.11).
Вместо деформации контура интегрирования можно сместить
положение полюса на малое расстояние от действительной оси. Это достигается
путем добавления к числу а малой мнимой части: а —> a =F ге, е —> 0. При
такой замене тождество (1.222) примет следующую форму:
lim ^-— = тгтг£(х - а) + -^-. (1.223)
£-+о х -а ±ге v J х - a v '
Оба тождества, (1.222) и (1.223), носят символический (операторный)
характер и должны пониматься в том смысле, что интегрирование правой и левой
частей с любой непрерывной функцией дает один и тот же результат.
Отделив в левой части равенства (1.223) действительную и мнимую
части комплексного выражения, получим для S(x-a) представление (1.215)
(с заменой х —► х - а), а для главного значения
-^- = lim x~a (1.224)
х-а е-*о (х - а)2 +е2
Другое представление главного значения, аналогичное
представлению (1.216) для дельта-функции, имеет вид
^ ,. 1 — cosKx ,л ОП/1 ч
= lim . (1.224а)
х — а к-+оо
Строгая математическая теория обобщенных функций содержится в
[Владимиров (1976)], а прикладные аспекты описаны в [Зельдович и Мыш-
кис (1972)]. См. также [Колоколов и др. (2000)].
76
Глава 1
Задачи
1.120. Вычислить интегралы
3
/ (х2 - х - 5)6(-3x)dx, / (х + ЗЩх + 5) dx,
-2 -10
5 оо
/(* + 5»(* + 5)<fc, /exp(a*)*(*»+*-2)dr, Q = const.
1.121. Упростить выражения (х — а)5(х — a), f(x)S(x — а),
(3x3-7x)£(2x2-6x-4).
1.122. Доказать, что представления (1.215), (1.217), (1.218)
изображаем
ют дельта-функцию. Для этого вычислить интегралы вида / f(x)S(x)dx
— оо
от непрерывной функции /(ж), подставляя вместо 8(х) правую часть
соответствующего представления, и-убедиться в том, что после перехода к
пределу указанные интегралы дают /(0).
1.123. Записать трехмерные дельта-функции 6(г), 5(г — а) в
цилиндрических координатах, где а = (а±, #о, az) — постоянный вектор,
заданный своими цилиндрическими координатами.
1.124. Сделать то же самое в сферических координатах, а = (а, $о> с*о)-
1.125. Записать с помощью дельта-функции первую производную от
разрывной функции
№
х6, если х < 1,
2, если х = 1,
х2 + 2, если х > 1.
1.126. Пусть функция f(x) имеет разрывы первого рода (конечные
скачки) в точках а*, г = 1, 2,... гг. Записать ее первую производную через
дельта-функцию.
1.127. Найти правило вычисления интеграла от
произведения f(x)xn5(m\x)9 где f(x) — функция, дифференцируемая (в
классическом смысле) при х = 0, S^ (х) — га-я производная от дельта-функции,
п — целое положительное число.
1.3. Специальные функции математической физики 77
1.128. Показать, что функция G(\r - г'\) = 1/\г - г'\ удовлетворяет
уравнению Пуассона с дельтаобразной правой частью:
AG(\r - г'\) = -4тг5(г - г'). (1.225)
Разложение по полным системам ортонормированных функций.
Общее рассмотрение. Пусть имеется некоторая система линейно
независимых функций, <р(х, \п) = <рп{х), в общем случае комплекснозначных,
которые определены на некотором интервале [а, Ь] действительной
переменной х и зависят от действительного параметра Л, принимающего
дискретный ряд значений: Ai, A2,... Такие системы функций часто возникают
при решении обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений
в частных производных с соответствующими граничными условиями, и
число функций в них обычно бесконечно велико: п = 0, 1,... Пусть функции
обладают следующими свойствами: а) они нормированы на единицу, т. е.
ь
J \<pn(x)\2 dx = 1; (1.226)
а
б) они взаимно ортогональны, т. е.
J^(x)^(x)dx = 0 при тфп. (1.227)
Здесь звездочкой сверху ip* обозначена комплексно сопряженная
величина. Такие системы функций называются ортонормированными, а
равенства (1.226) и (1.227) можно записать единым образом с помощью символа
Кронекера:
ь
J<p*m(x)<pn(x)dx = 6mn. (1.228)
а
Рассмотрим теперь произвольную функцию f(x) с интегрируемым
ь
квадратом, т.е. такую, для которой интеграл J \f(x)\2 dx конечен. В слу-
а
чае конечного интервала [а, Ь] этому условию будет удовлетворять
любая кусочно-непрерывная, функция, имеющая ограниченное число
конечных скачков на этом интервале. Выясним возможность разложения такой
функции в ряд по функциям фп(х). Для этого сначала аппроксимируем
78
Глава 1
рассматриваемую функцию линейной суперпозицией, включающей п
базисных функций:
f(X) = ^2 С^к(х) + Дп(я),
(1.229)
к=0
где через Rn(x) обозначен остаток ряда. Коэффициенты сп суперпозиции
выберем таким образом, чтобы погрешность аппроксимации была
наименьшей. За меру погрешности примем величину
о о
Gn= f\Rn(x)\2dx= I
f(x)-^2cn^k(x)
k=0
dx.
(1.230)
Раскрывая квадрат модуля и используя условие ортонормированнос-
ти (1.228), будем иметь
Ь п Ь
Gn = J \f(x)\2 dx -Y^ck Ir{x)<pk(x)dx-
a
b
Up П
-£cfc/ /(*№*(*)dr + 5>Jcfc. (1.231)
k=0
k=0
k=0
Необходимое условие минимума величины Gn, рассматриваемой как
функция коэффициентов сь дает
Ск
о
= ff(*M
(х) dx,
(1.232)
а погрешность разложения принимает вид
ь
Gn= f\f(x)\2dx-^2\ck\2. (1.233)
Поскольку Gn ^ 0 по определению, то при любом п имеет место
неравенство:
£Ы2^ f\f(x)\2dx.
fc=o {
(1.234)
1.3. Специальные функции математической физики 79
Если для всякой функции с интегрируемым квадратом в пределе имеет
место равенство
lim Gn = 0, (1.235)
п—-юо
или, в другой форме,
ьг
J \f{x)\2dx = Y,\ck? (1.236)
а к=°
(равенство Парсеваля), то система функций <рп(х)9 п = 0, 1,...
называется полной или замкнутой. Эти термины означают, что других функций,
которые были бы линейно независимы от <рп(х) и ортогональны к ним,
кроме нулевой функции, не существует: любая функция рассматриваемого
класса разлагается в ряд
оо
/(я) = 5>*Ыж), (1237)
/с=0
где коэффициенты разложения даются формулами (1.232). Отметим, что
приведенные выше условия обеспечивают сходимость ряда (1.237) «в
среднем», т. е. обращение в нуль интеграла (1.230). Это означает, что сходимость
ряда к рассматриваемой функции f(x) может нарушаться в отдельных
точках, число которых конечно. Если система функций <рп(х) ортонормиро-
ванная, но не полная, то вместо равенства Парсеваля (1.236) выполняется
неравенство Бесселя:
ь
]£Ы2^ / \f(x)\2dx. (1.238)
Пример 1.21. Показать, что полная ортонормированная система
функций удовлетворяет соотношению
оо оо
£ <ртк(х')<рк(х) = £ Ъ&Шх) = 6(х - х'), (1.239)
к=0 к=0
которое можно рассматривать как другую, отличную от (1.236), форму
условия полноты {замкнутости).
80
Глава 1
Решение. Подставив в (1.237) коэффициенты разложения (1.232)
и поменяв порядок операций суммирования и интегрирования, будем иметь
г « "г
fix) = / dx'f(x') £ <pl(x')<pk(x) = / К(х, x')f(x') dx', (1.240)
k=0
где
K(x,af)=^<pl(x')<pk(x). (1.241)
/c=0
Поскольку равенство (1.240) должно выполняться для любой функции f(x)
из широкого класса, то ядро К(х, х') интегрального преобразования (1.240)
должно обладать свойством дельта-функции. В этом можно убедиться,
вычислив коэффициенты разложения 5(х — х') по системе функций <рк(х)
согласно (1.232)7:
сп= 5(х - xf)(p*n(;x) dx = (^(хО-
Следовательно, равенство (1.239) имеет место и представляет собой
разложение дельта-функции по функциям <рк{х). ■
В некоторых физических задачах, особенно в квантовой механике,
в полную систему входит не только дискретный ряд функций <рп(х)9 но
также функции ip(x, Л), которые зависят от параметра Л,
принимающего непрерывные значения из некоторого интервала, либо только функции
с непрерывным параметром. В этих случаях в разложение произвольной
функции будут входить и сумма, и интеграл по непрерывным значениям Л
либо только интеграл, а условие замкнутости примет вид
5(х-х') = Y,4>W)<Pki*) + / ¥>V, *)Ф, A)dA. (1.242)
Ряд Фурье. Доказательство полноты конкретных систем функций
представляет собой нетривиальную математическую задачу, решение
которой можно найти в специальных руководствах (см., например, [Ильин
и Позняк (1973)], [Арфкен (1970)], [Ли (1965)]). К числу полных ортонор-
мированных систем относится рассмотренная выше система сферических
функций Лежандра Y/m($, <р), I = 0, 1, ..., т = -/, -I + 1, ..., / - 1, /.
73десь мы выходим за пределы класса обычных функций с интегрируемым квадратом
и используем обобщенные функции.
1.3. Специальные функции математической физики
81
По таким функциям можно разложить любую ограниченную функцию «на
поверхности сферы», т. е. зависящую от углов #, (р. В отсутствие
зависимости от <р полную систему на сфере образуют полиномы Лежандра Р/ (cos #).
Одной из наиболее употребительных ортонормированных на
интервале [—7г, + 7г] и полных систем функций является тригонометрическая
система
1 cos^ _sin^ n=i>2>... (1.243)
V27T у/ТГ у/К
Ортонормированность этой системы функций нетрудно проверить
непосредственно. Разложение некоторой функции в ряд по тригонометрическим
функциям образует ее ряд Фурье. Впрочем, иногда рядом Фурье (в
широком смысле) называют и общее разложение (1.237) по любой полной
ортонормированной системе функций.
Поскольку тригонометрические функции (1.243) периодичны, то
разлагаемая функция будет представлена рядом Фурье при всех г лишь в том
случае, если она периодична с тем же периодом 27г, т. е. /(т) = /(т + 2п7г),
п = ±1, ±2, ..., либо задана на конечном промежутке b—a = 2L>0.B
последнем случае в (1.243) нужно заменить переменную г на тгх/L и
сдвинуть начало отсчета координаты х на середину интервала [а, 6], т.е.
ввести х' = х — a — L, — L ^ х' < +L. Рассматриваемая функция, если для
нее построить ряд Фурье, будет продолжена в этом случае периодически
на всю действительную ось Ох. Непериодическая функция, заданная на
бесконечном интервале, правильно представляется рядом Фурье лишь на
конечном отрезке 2L. Для ее представления на всей оси Ох нужно
использовать интеграл Фурье (см. ниже).
Если ряд Фурье представляет функцию, имеющую разрывы первого
рода (конечные скачки), то в точке скачка х = хо он сходится к полусумме
значений функции, взятых по обе стороны скачка:
оо
J2СпРпЫ = ±[/(*о " 0) + /(хо + 0)]. (1.244)
Пример 1.22. Записать разложение Фурье на интервале [—L, +L],
выбрав в качестве полной системы функций* экспоненты с мнимым
показателем exp(in7rx/L), n = 0, ±1, ...
8 Полнота системы следует из того, что использовавшиеся ранее sin nr, cos пт линейно
выражаются через ехр(гпт). Поэтому запись через экспоненты означает другую форму
тригонометрического ряда.
82
Глава 1
Решение. Убеждаемся в том, что рассматриваемые экспоненты
взаимно ортогональны на интервале [—L, +L]:
L
/(i(m — п)-кхЛ лг_
ехр^ - > dx = 2Ldmn.
-L
Записываем искомое разложение в виде
/(*)= £ Fnexp{*^4. (1.245)
Для определения коэффициентов разложения Fn умножаем обе
части (1.245) на ехр(гттгх/L) и интегрируем по рассматриваемому интервалу.
В силу ортогональности экспонент после интегрирования в сумме по п
останется только один член с п = га, что позволяет найти коэффициенты
ряда Фурье:
L
Frn=2lj /(X)6XP {^р} dx. (1.246)
-L
Как следует из (1.246), если f(x) — действительная функция, то
коэффициенты Фурье (1.246), будучи в общем случае комплексными величинами,
удовлетворяют условию F-n = F*. Это условие обеспечивает
действительность суммы ряда (1.245). ■
Разложение Фурье очевидным образом обобщается на случай функций,
зависящих от нескольких переменных.
Задачи
1.129. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную на
интервале [—7г, + 7г] условиями f(x) = х для 0 ^ х ^ 7г, f(—x) = f(x).
1.130. Сделать то же самое для функции f(x) = а при 0 ^ х ^ 7г,
Н-х) = -fix).
1.131. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, заданную
на интервале [-L, +L] условиями f(x) = а при 0 ^ х < L/2, f(x) = 0
при L/2<x^ L, f(-x) = f(x).
1.3. Специальные функции математической физики 83
Интеграл Фурье. Рассмотрим систему функций, зависящих от
действительного параметра Л, который принимает непрерывный ряд значений:
ф, А) = -L=eiAa\ -оо<Л<оо.. (1.247)
V2tt
Эти функции определены и ограничены при любых действительных
значениях координаты х, т. е. на бесконечном интервале — оо < х < оо. Пользуясь
представлением дельта-функции (1.219), вычисляем интеграл
оо оо
/ ф, А )</(*', Л) dX = ± f d\eiX^-x'^ = 6(х - х').
—оо —оо
Полученное соотношение совпадает с (1.242) (в отсутствие дискретных
значений Л) и свидетельствует о полноте системы функций <р(х, А). Поэтому
любую функцию из весьма широкого класса, определенную на всей
действительной оси Ох, можно разложить по функциям ip(x, A):
оо оо
f{x) = I F(\)<p{x, X)d\ = -j= f F{X)eiXxdX. (1.248)
— OO —OO
Функция F(X) называется фурье-образом исходной функции f(x) или ее
амплитудой Фурье. Ее можно найти тем же способом, каким были
найдены коэффициенты ряда Фурье в примере 1.22: умножаем обе части
равенства (1.248) на <р*(х, /х) и интегрируем по координате х. Имеем, меняя
порядок интегрирования
оо оо оо
f f(x)<p*(x, n)dx=± f dXF(X) Г е"(А_м) dx =
—ос —оо —оо
оо
= J dXF(X)S{X-fi) = F(fi). (1.249)
— ОО
Это равенство и позволяет вычислить амплитуду Фурье заданной
функции f(x).
Прямое и обратное преобразования Фурье часто удобнее записывать
в несимметричной форме:
оо оо
f{x) = J FiX)eiXx g, F(A) = J fix)e~iXxdx. (1.
250)
84
Глава 1
Действительность интеграла Фурье обеспечивается соотношением
F(-A) = F*(A) (1.251)
при действительных А и /(ж).
Разложение в интеграл Фурье легко обобщается на случай нескольких
измерений. Например, в трехмерном пространстве фурье-преобразование
можно записать в виде
F(fe)eifc.rj!fc F(k) = jf(r)e-ikrd*r. (1.252)
В обоих интегралах интегрирование производится по всему пространству.
Пример 1.23. Получить разложение в интеграл Фурье для
бесконечного интервала — оо < х < оо путем предельного перехода L —► оо в
формулах (1.245), (1.246).
Решение. При L —> оо соседние члены в сумме (1.245) почти
одинаковы, поэтому суммирование можно заменить интегрированием
по dn = (L/тг) dX в пределах -оо, +оо. Обозначив lim 2LFn через F(A),
получим из (1.245), (1.246) соотношения (1.250). ■
Полезные сведения о разложениях по системам функций, рядах и
интегралах Фурье, кроме уже упомянутых источников, содержатся в книгах
[Ильин и Позняк (1973)], [Толстов (1951)], [Бейтмен и Эрдейи (1969,1970)].
Задачи
1.132. Выразить фурье-образ производной f'(x) через фурье-об-
оо
раз F(X) функции f(x). Предполагается, что интеграл J \f(x)\dx exo-
— оо
ДИТСЯ.
1.133. Сделать то же самое для функции f{ax) exp(ibx).
1.134. Вычислить фурье-образ функции f(x) = (l + x2)~l.
Указание. Рассматривая х как комплексную переменную, замкнуть контур
интегрирования дугой бесконечного радиуса и применить теорему о вычетах.
m-f
1.4. Ответы и решения
85
1.135. Вычислить фурье-образ функции ехр(-а2х2).
1.136. Вычислить трехмерный фурье-образ функции /(г) = е~а т .
1.137*. Вычислить трехмерный фурье-образ функции G(r) = г-1.
1.138*. Произвести разложение плоской волны exp(z/crcos#) в ряд
по полиномам Лежандра P/(cos$). Вычислить коэффициенты разложения,
воспользовавшись ортогональностью полиномов Лежандра.
1.139. Пусть направления векторов к и г задаются в сферической
системе координат углами (0, ф) и $, <р соответственно. Разложить плоскую
волну exp(ik • г) в ряд по сферическим функциям Лежандра.
Указание. Воспользоваться теоремой сложения для сферических функций.
1.140*. Доказать тождество
оо
где r_L и z — цилиндрические координаты.
1.4. Ответы и решения
1.1. Из равенства (1.6), которое является следствием
определения (1.3), вытекает |2|2 = 1, т.е. |й| = ±1. При повороте на нулевой
угол 2 = 1 и |2| = |1| = +1; но поскольку элементы матрицы поворота
являются непрерывными функциями трех параметров, задающих поворот
(например, трех углов Эйлера, см. задачу 1.20), то и при повороте на
произвольный угол |2| = 1. При отражении трех координатных осей матрица
преобразования в дар = —Sap и |^| = —1. Повороту, сопровождаемому
отражением осей, соответствует произведение матриц ал} = ди, для
которого \ад\ = \а\\д\ = — 1. Преобразования с |2| = +1 называются
собственными, а с |2 = -1 — несобственными.
1.3.
PL(3. . .« = \Ща>ацО>01/ • • -^kcjP^v. . .а- (1.253)
Здесь |2| — определитель матрицы преобразования. При инверсии трех
координатных осей матрица преобразования аад = — SafJL9 поэтому |2| = — 1
й Р'ар m = (-1)е+1Ра/з.. .7 в соответствии с определением
псевдотензора s-ro ранга. Формула же (1.5) правильно описывает преобразование
истинного (полярного) тензора при поворотах и отражениях, но не описывает
86
Глава 1
отражения псевдотензора. Преобразование (1.253) при поворотах совпадает
с (1.5), так как в этом случае |2| = +1.
Правило преобразования антисимметричного тензора III ранга еа/?7,
описывающее поворота и отражения, также должно содержать
определитель |2|..В отсутствие определителя компоненты тензора изменяли бы знак
при отражениях.
1.4.
Taf3 = (1/2)(Га/3 + Т0а) + (1/2)(Га/3 - Т0а). (1.254)
1.5.
Та(3=Т^ + Т$, где Г^ = (1/2)(Га/9 + Г^),
Т$ = (1/2)(Та0-Т:0).
1.9. Тар образуют истинный тензор II ранга.
1.10.
Ca = (l/2)eafrAfr, (1.256)
т. е. Сх = А23 = -А32, С2 = А31 = -А13, С3 = А12 = -А21.
1.11. Ах В — псевдовектор или дуальный ему истинный
антисимметричный тензор II ранга А^В1 — А1В^\ [Ах В] х С — полярный вектор,
[А х В] • С — псевдоскаляр.
1.13.
dSa = ea/3~f dxp dx1 = (l/2)ea/#7 dS^, (1.257)
где dS^ = dxp dx^ — dx1 dx'p — проекция площади параллелограмма на
координатную плоскость хрх1.
1.14.
dV = [dr x dr'} dr" = ea/?7 dxa dx'0 dx". (1.258)
Элемент объема dV представляет собой псевдоскаляр. При dr = е\ dx\,
dr' = е2 dx2, dr" = e3 dx3 получаем обычное выражение для элемента
объема в декартовых координатах dV = dx\ dx2 dx3 = dx dy dz.
1.4. Ответы и решения
87
1.16.
1.17.
cos в = cos д cos д' + sin д sin д' cos(a — a). (1.259)
(А х В)0 = i(i4_iB+i - i4+iB_i),
(А х В)±1 = ±{А0В±1 - А±1В0),
+i
АВ = £ (-1)М_МЯМ>
гм=г(4тг/3)1/2(-1ГУ1М(1?>а).
1.18. При переходе от декартовых ортов к сферическим (рис. 1.12 а)
имееме'а = аарер,гдее# (/? = 1, 2, 3) —декартовыорты,е'а(а = г, #, а) —
сферические орты,
(sin д cos а sin # sin а cos$ \
cos д cos а cos # sin а — sin i9 J ,
— sin a cos а 0 /
(sin д cos a cos д cos a — sin a\
sin д sin a cos д sin a cos а ) .
cos$ — sin$ 0 /
%
elj
liT.j
t/
( ш2
*Jer
N
N
\
\
\e<>
*
Рис. 1.12 a
Рис. 1.12 6
88
Глава 1
При переходе от декартовых ортов к цилиндрическим ортам ег, еа, е2
имеем (рис. 1.12 6)
(cos a sin а 0\ /cos a
— sin а cos а О I , а-1 = I sin a
О 0 1/ V 0
1.19.
(cos а: sin а 0\
-sin а cos а 0). (1.260)
0 0 1/
1.20. Перемножая матрицы типа (1.8), получим
g(ai6a2) = g(a2)g(6)g(ai) =
cosai cosa2— cos0 sin ai sin a2 sin ai cosa2 + cos 0 cosai sin a 2 sin0sina2^
— cos Qi sin a2- cos 0 sin ai cos<*2 — sin ai sin <*2+ cos0 cosai cosa2 sin0cosa2
sin 0 sin a 1 — sin в cosai sin ai cosai у
(1.261)
1.21.
ei(a1+a2)(1+cos(9)/2 -ieia2sm6/V2 -e4a2-ai)(l -cos0)/2\
d(a0a2)=[ -ieiaisme/V2 cos0 -ie~ia^ sm0/\/2 I.
-ei(ai-<*2)(i -cos(9)/2 -ie-ia^sine/y/2 e-i(«i+«2)(i + Cos0)/2/
1.22. Матрица поворота на нулевой угол равна единице
(тождественное преобразование), а при повороте на малый угол \еа/з\ <^ 1- Для
доказательства антисимметрии е воспользуемся инвариантностью г2 = 5архахр
относительно вращении. Поскольку х'а + £а/з#/з» то с точностью до малых
величин первого порядка имеем г'2 = г2 + 2еархахр. Из
инвариантности г2 следует, что е^х^х^ = 0 при произвольных ха9 а это возможно
только при еар = —£ра-
Введем вектор 5(р с компонентами 5(ра = (1/2)еа/з-уе/з-у- Тогда г' =
= г + 5(р х г, откуда видно, что Sep представляет собой вектор малого угла
поворота, направление которого указывает ось вращения, а величина — угол
поворота.
1.23. Если повороты задаются малыми векторами S(fi и 6(р2, то
после второго поворота
г" = г' + S<p2 хг' = г + (5(^1 + 5<р2) х г + 8<Р2 х (<^i х г)-
1.4. Ответы и решения
89
Вектор результирующего поворота S(f = Sipi + 6ip2 можно ввести только
в пренебрежении последним членом II порядка.
Некоммутативность матриц поворота в общем случае можно увидеть из
выражения (1.261): выполнение поворотов в последовательности с*2, #, а\;
обратной той, для которой записана матрица (1.261), соответствует
замене а\ —► а2. При этом вид матрицы изменится, если в ф 0. Случай в = 0
отвечает поворотам на углы а\ и а2 вокруг одной и той же оси Охз, и такие
повороты коммутативны.
1.24. Произвольный действительный тензор II ранга можно записать
в виде Тар = Sap + Аа/з9 а произвольный эрмитов тензор — в виде Тар =
= «Sq/з + iAap, где Safs и Аар — симметричный и антисимметричный
действительные тензоры. Антисимметричный тензор Аар эквивалентен
вектору (см. зад. 1.10), который нельзя обратить в нуль никаким поворотом.
Поэтому диагонализуется только действительная симметричная часть
произвольного тензора II ранга.
1.25.
Sat = ^ЧЧ^ + A(2,ni2)n« + А(3Ч3Ч3)' (1-262)
1.26. Раскрыв определитель (1.27) и учитывая, что главные значения
тензора А будут инвариантами только в случае, если таковыми являются
коэффициенты алгебраического уравнения 3-й степени, находим три
инварианта:
h = Гц + Т22 + Т33 = А(1> + А(2> + А<3\ (1.263)
h = Dn + D22 + D33 = \W\W + \W\W + A<«A<3\ (1.264)
I = D = \W\W\&\ (1.265)
где D = \T\ — определитель тензора, a Da@ — алгебраические дополнения
этого определителя. Выражения в правых частях равенств следуют из
теоремы Виета о связи коэффициентов кубического уравнения с его корнями.
Полученные результаты относятся к произвольному тензору II ранга.
1.27. Разложения определителя D = \Т\ по элементам а-й строки
или /3-го столбца записываются соответственно в виде
ТарВ^ = D5ap, DlocTlls = D5ap,
где Dloc = (-1)а+7Д7а — алгебраическое дополнение, Д7а — минор
определителя D, т.е. определитель, получающийся вычеркиванием в
последнем 7-й строки и /3-го столбца. Согласно (1.265) определитель тензора D —
90
Глава 1
инвариант, а поскольку 5ар — тензор, то алгебраические дополнения Dai3
также образуют тензор. Отношения
T~^ = Da0/D (1.266)
образуют тензор, обратный Т. Для существования обратного тензора
необходимо и достаточно, чтобы D = \Т\ ф 0.
1.29. а) А2(В • С) + (А • В) (А • С); б) [(АхВ)хС] • [А,хВ,)хС,\.
1.31.
(А • А')(£ • В')(С • С') + (А • В')(В • С')(С • А')+
+ (В • А')(С • В')(А • С) - (А • С')(С • А')(В • В')-
- (А • В')(£ • А')(С • С') - (В • С')(С • В')(А • А').
1.32. Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.
а) Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы во
всех системах отсчета, то при любом повороте А[ = Aif т.е. А'х = Ах,
А'у = Ау, A'z = Az. Повернув систему координат вокруг оси oz на
угол 7г, из формул преобразования компонент вектора при вращениях,
получим А'х = -Ах, Ау = —Ayi A'z = Az. Эти равенства совместимы с
предыдущими только в том случае, если Ах = Ау = 0. Произведя поворот вокруг
оси oz на угол 7г, точно так же докажем, что Az = 0, т. е. вектор А = 0.
б) Любой тензор II ранга можно представить в виде суммы
симметричного и антисимметричного тензоров: Т^ = 5^ + Aik. Антисимметричный
тензор эквивалентен некоторому псевдовектору и, в силу доказанного выше
свойства вектора, его компоненты не зависят от системы отсчета только
тогда, когда они равны нулю. Поэтому рассмотрим симметричный тензор 5^.
Выберем систему координат, в которой 5^ имеет диагональный
вид X^Sik- Если А^ не равны друг другу, то компоненты тензора будут
зависеть от выбора осей, т.е. от того, какой цифрой (1,2 или 3)
обозначена данная ось. Только при А^1) = А^2) = А^3) ■= А компоненты тензора не
будут зависеть от выбора осей. При этом тензор будет иметь вид Х5ц<, что
и требовалось доказать.
1.33. Искомые средние значения равны интегралам:
па = — па dQ, n^rip = — I паП/з сЮ,...
Величины па, гГ^пр и т.д. являются тензорами соответственно 1,11 и т.д.
рангов. С другой стороны, из их определения следует, что эти величины
1.4. Ответы и решения
91
должны быть инвариантны относительно поворотов. Поэтому они будут
выражаться через такие тензоры, компоненты которых не зависят от
системы отсчета. На основе предыдущей задачи получим:
па = 0, папр = (1/3)5ар, папрп^. = О,
1.34. а2/3, а-6/3, а/3, 2а2/3, 2а • 6/3,
[(а • Ь)(с -d) + (a- с)(Ь • d) + (а - d)(b • с)]/15.
1.35. п2, n/2, /2, n n', (nxn')-Z, (n-/)2, (n7-/)2, (n-0(n;-0.
1.36. n • /, n' • /, ni • (ri2 x пз).
1.37. a) а</ = е'а • e^;
б) если e@ = (a~1)pae'a, то (а-1)^" = е/а • е# = аа/з Ф aj3; по
определению обратной матрицы doPa1 р = 5%, ароса131 = 5^ = 5^\
в) е'а = аа0е0, еа = а^е'^\
г)А'0 = араАа, А* = а^аАа; Аа = а^аА'0, А* = а0аА'^
Д) 9ар = а^а^д^е, д'а(3 = аа7а^£7£, да0 = а1аа£0д'7£, да(3 =
= а^а/д'^.
Замечание. Формулы г) непосредственно обобщаются на случай
преобразования ковариантных, контравариантных и смешанных компонент тензора любого
ранга.
1.38. Компоненты векторов обоих базисов при отражении системы
координат меняют знаки.
e'a = -ea, efa = -ea, a = 1, 2, 3.
1.39.
А В = да(3АаАр = да0АаА0 = АаВа = АаВа = inv, (1.267)
dl2 = dr • dr = да(3 dxa dx@ = gap dxa dx& = dxa dxa = inv. (1.268)
Замечание. Во всех случаях, когда ковариантные и контравариантные
компоненты не совпадают, операция свертывания должна производиться как
суммирование по одному верхнему и одному нижнему значку. Сумма любого тензора по двум
верхним или двум нижним значкам не является тензором какого-либо ранга.
92
Глава 1
1.40.
Са = у/д^ВР - А^В0), Са = JF(Af3B1 - A7B0), (1.269)
у/9
где д = \д\9 числа а, /?, 7 образуют круговую перестановку 1, 2, 3.
Приведенные формулы можно рассматривать как обобщение
выражения (1.23а) на случай косоугольного базиса. Записав (1.269) в форме
СаЕа13*уА0В^ Са = Еа^АрВ^, (1.270)
находим представление для антисимметричного тензора III ранга в
косоугольном базисе:
Eafr = Vgeafr, Ea^ = ^-ea(3\ (1.271)
\J9
где еа/з>у и еа^ относящиеся к ортогональному базису, одинаковы и
определяются условиями (1.21). Нетрудно проверить, что Е^1 получается
из Еа/з>у (и наоборот) по правилу подъема и опускания значков
согласно (1.35).
л яа
1.41. cos б-- Ла*
(A0A(iB1B1)l/2
1.42. д^ = (e?D))M(e^, <Г = (е?»,Г(е^Г,
# = (^,Г(^,), = ^
АаВ0
1.44. А2 = давАаВ(3 = АаВа\ cos в = а , , в полной ана-
(А2В2)1/2
логии с результатом 1.41 для аффинной системы.
1.45. По общим правилам (1.271) имеем
дха дх$ dx~i
откуда следует антисимметрия E^vX по любой паре значков. Это позволяет
записать EalSl = 5еа/?7, где 5 — некоторый скаляр. Для его определения
рассмотрим частный случай и получим
,123 = dg1 dg2 dq3 ^ =
дха дх@ дх1
дд>
дх°
J-l=9~ll\
1.4. Ответы и решения
93
где использованы (1.39) и (1.53). Таким образом, S = д 1//2, и мы получили
другим способом вторую формулу (1.271).
1.46. а) сй(1) = y/g^dq1, dl{2) = y/g^dq2, d/(3) = y/g^dq3;
б) такими тремя векторами является ковариантный базис (1.46);
в) с помощью результатов задачи (1.44) находим
о 912 о #13 о #23
COS 012 = , COS 013 = , COS 023 ~~
у/9п922 у/911933 у/д22дЗЗ
г) для ортогональности системы криволинейных координат
необходимо и достаточно выполнения равенств ди = #23 = gi3 = 0 в каждой точке
пространства.
1.47. Для сферической системы
9гг = 1, gov =г , даа = г sin 0, дг$ = дга = д#а = 0;
дгг = ^ g**=r-2, gaa=r-2sin-20, gr*=g™=g*«=0]
er = er = er*, е# = r2e^ = rer, ea = r2sin20ea = rsin0ea*.
Для цилиндрической системы
дгг = gzz = -ч даа = ^ > дга = grz = gaz = ^5
д"-=д" = 1, даа = Г~2, д™=д" = да' = 0;
\Z"p — с — с>рф ^ ^а — — ^а* у z — ^ — ^.z* •
Здесь звездочкой обозначены единичные базисные орты, введенные в
задаче 1.18. Ковариантные и контравариантные базисные векторы имеют
неодинаковую размерность и неодинаковую длину, отличную вообще говоря от
единичной.
1.50. R = a2/2 + ab-b3/3.
1.52. /, /.
1.54.
dr _ r da _ dz_ dr_ _ r dd _ r sin 0 da
J\j> **-a **-z J\f ■f'-'O **-ос
1.55. Поскольку градиент содержит первые производные по
координатам, можно записать
(р-г) grad(p • г) 1
grad —— = + (р • г) grad —.
94
Глава 1
Используя результаты задач (1.52), (1.53), получим окончательно
rad (Р • г) = 3(p-r)r р
1.56. Направляем полярную ось вдоль вектора р и проецируем
вектор Е на орты сферических координат:
_ 2pcos^ _ _ psintJ _
-C/r — о » -С/я? — о » -С/а — U.
Векторные линии в сферических координатах определяются из системы
уравнений
dr _ rdxJ _ r sin д da
Er E$ Ea
Обращение в нуль компонента Еа означает, что должен обратиться в нуль
и дифференциал da = 0, т. е. а = const и, таким образом, все векторные
линии лежат в плоскостях, проходящих через вектор р. Подставляя
ненулевые проекции Е в оставшееся единственное уравнение и сокращая общие
множители, получаем дифференциальное уравнение первого порядка с
разделяющимися переменными: dr/r = 2cotddd. Почленное интегрирование
правой и левой частей дает In г — In го = 2 In sin д или г(д) = rosin2$,
где го — постоянная интегрирования, имеющая смысл расстояния от
векторной линии до начала координат в плоскости д = 7г/2.
1.57.
v±1 = т-^а (ал*!- + —#> ± -hjf)
у/2 \ or r ov r sin i) да J
V0=costf#-- sind д
дг г дд
1.59. 3,0,0,2а;.
1.60. Н=^^-Щ.
г5 г6
1.63. (p'r/г, 3(р + пр', 0, l(f + r(l • r)(p'/r.
1.64. <p(r) = const/r3.
1.65. (a • 6), a x 6; 4(a - r), a x r; 0, (2<p + r(p')a — r(a • r)ipf/r\
-2(a-r), 3(r x a).
1.4. Ответы и решения
95
1.66.
A + (r.A')$, (А'-В + А-В')?:, ^(r.A) + £(r.A'),
^(rxAj + ^rxil'), LJLtfA + tpA').
1.68.
/ (grad <p • rot A) dV = <p(Ax grad ф) • dS = Ф <p rot A • dS.
1.69. aVf aV.
1.70. Использовав метод скалярного умножения постоянного вектора
на каждый из рассматриваемых интегралов, находим следующие
соотношения:
<bmpdS = [gmdpdV, (1.272)
5 V
i(nxA)dS= f rot AdV+ f A(V-b)dV, (1.273)
5 V V
Ln-b)AdS= [(b-V)AdV, (1.274)
5 V
TapnpdS= I -g^dV. (1.275)
v
Все эти соотношения можно рассматривать как обобщенную теорему
Остроградского - Гаусса:
£n{...)dS= /v(...)dV, (1.276)
5 V
где символом (...) обозначен тензор любого ранга.
96
Глава 1
1.76. J(VuxVf)-dS.
s
1.81. По общему правилу (1.105) ковариантная дивергенция выразится
через
Гм = 1 »\(д9»\ ддаХ ддаЛ = i
^ 29 \ dqa dq» dqx ) ^
т.е.
dqx J ^ dqa '
•"" dq» +29 dq«A ' (lj
Рассмотрим теперь определитель д = \gpu\. Его дифференциал равен сумме
дифференциалов всех его элементов, умноженных на соответствующие
алгебраические дополнения: dg = D»v dg^, где D*v = (-iy+v №, Д^ -
минор. С другой стороны, алгебраические дополнения выражаются через
компоненты обратного тензора, т.е. g»v \ D»v = gg»v (см. задачу 1.27).
В итоге имеем
dg = дд» dg^, д» —— = - —.
адл д одл
Подставив последнюю величину в (1), находим выражение, приведенное
в условии задачи.
1.82.
±-JL( r-^nv OS
bS=\4f{^ir^\ (1-277)
1.84. A^^-^JLiy/gAi").
1.86. 9fll/.x=g^.x = 0.
1.90.
(AA)r = AAr-^-\^,
rz rz da
<AA).-AAl-^ + A$jb, a278>
rz rz da
(ДА), = AAZ.
1.4. Ответы и решения
97
1.91.
(АА)Г = ДЛГ - ±АТ -
г2 sin -в дд
д (Aisintf)- 2
дАа
г2 sin # 5a
(ДА)* = ДА,
(АА)а = ААа
А#
+
2 дАг 2cost? <9ЛС
г2 sin2 д г2 cW r2 sin2 д да
Ап 2
(1.279)
+
дАт + 2cost? дА#
г2 sin2 $ г2 sin -в да г2 sin2 -д да
1.92. а) Л + Bin г; б) А + Ва; в) Л + Bz.
1.93. а) Л + В/г; б) Л + Blntg(0/2); в)А + Ва.
1.94.
(е + а2)(г, + а2)(С + а2)
1/2
{Ь2 - а2)(с2 - а2)
(£ + ь2)(7? + &2)(С + &2)11/2
z = ±
(с2 - Ъ2)(а2 - Ъ2)
« + с2)(г? + с2)(С + с2)
(а2-с2)(Ь2-с2)
1/2
, >/(£-!?)(£-С)
, V(v-()(v-S) , ^(С-О(С-ч)
«2 = ^-^ , /13 = ~
2Rr
ь-№щ(*щ)+
2R,
+ (С-в^(^)+«-й^(Дс^)
где Дп = ^/(w + а2)(и + 62)(г/ + с2). Из формул для х, у, z видно, что
каждой тройке значений £,.7/, С соответствуют восемь троек х, 2/, г. Убедиться
в ортогональности эллипсоидальной системы координат можно, найдя
градиенты V£, V77, V£ и составив скалярные произведения V£- V77 и т. д.,
которые оказываются равными нулю. Градиенты можно найти непосредственно
из уравнений, определяющих эллипсоидальные координаты (см. условие
задачи), беря градиент от обеих частей каждого из этих уравнений.
98
Глава 1
1.95.
z = ±
-(£ + С2)(7/ + С2)-
с2-а2
1/2
5
Г =
•(е + а^^ + а2)"
а2-с2
1/2
5
"1 = —?ГН—> "2 = —ЯГ75 > пз = Г,
2R(
2R„
где
Ri = VW+^W+J), Rv = V(v + a2)(-v-c2);
4
Д =
e-r/
^iK^iJ^^v^
г2 9а2
1.96.
x = ±
(^ + а2)(С + а2)
а2-Ь2
1/2
(е+ь2хс+ь2)
Ь2-а2
1/2
2A
2#r '
где
4
Д =
€-С
^Й(^Й)+*С^ГС^
г2 да2
1.97. hz = hr} =
ch £ — cos 77'
/ic =
(ch£ — cost?)3
Д = -—-—s — x
+ —
1 д
д_
д£ \ ch £ — cos 77 <9£
sin r? $
a sin 77
ch £ — cos 77'
9
+
+
d2
sin 77 <9тД ch £ - cos 77 <9т? / s[n2 7?(ch £ - cos 77) 9a2
1.98. Поверхности p = const — торой ды:
(у/х2+У2 ~ acothp)2 + z2= (^-)2;
1.4. Ответы и решения
99
поверхности f = const — сферические сегменты:
(*-arctg02+*2 + 2/2=(^-)2;
\ sin£/
ashp
h0 = he = — •■ , h,
ch p - cos £' ch p - cos £'
1.99. i^Z^x) + C, -x-yZv(x) + C.
1.100. 1, 1/2, l/(2nn!).
1.107. 1. xu" + u' + x(a2 - n2/x2)u = 0.
2. Интеграл вычисляется с помощью уравнений для функций и(х)
и v(x) = Jn(bx).
3. Первое равенство (1.177) следует из (1.176) непосредственно, второе
получается путем предельного перехода.
1.111. Pi = ж, Р2 = \(Ъх2-1\ Р3 = ±(5х3-3х),
Р4 = ±(35х4 - ЗОх2 + 3), Р5 = 1(63х5 - 70х3 + 15х).
о о
1.112. Интеграл, который следует вычислить, содержит произведение
1
производных J [(x2 — l)l]^[(x2 — l)1 ](l ^dx. Пусть для определенности/'^/.
-1 1
Интегрируя по частям / раз, находим (—l)1 J(x2 — l)l[(x2 - I)1 ]^/+/ ^ dx.
-1
Второй сомножитель под интегралом отличен от нуля только при /' = /.
В этом случае, переходя к интегрированию по углу $, получаем
1
[(a?-l)l[(a?-l)l]Mdx =
-1 -/2
= (-1)'(2/)! 2 f (sin tf)2/+1 dd = (-l)'(2i)! B(l + 1, 1/2).
о
Последний интеграл здесь выражен через бета-функцию (см.
определение в [Абрамович и Стиган (1979)], формула 6.2.1):
тг/2
B(z,w) = Г(*№> = 2 / (sin 0)2*"1 (cos а)2™"1 Л?.
100
Глава 1
Аккуратно сокращая факториалы и гамма-функции, получаем результат,
приведенный в условии задачи.
1.114. Р2 = (l + 3cos2tf)/4.
™2
1.115.
1
fsin^-f
1(1 +1)
sin2i?
sintfdi? dti
1.116. Применив формулу Лейбница, находим
Рр1 = 0,
(1 _ х2)т/2[(х + 1)1(х - 1)(]('+™) =
= (_ir/2'g (l + m)llll\
к=0
Щ1 + т - к)\(к - т)\(1 - к)\
(х+1)к
к-т/2 /х_ ^\1-к+т/2
(1 - х2)-т/2[(х + 1)1(х - 1>']('-т") =
1~ш (l-m)\l\l\
(-i)-m/2E
^ s\(l-m-s)\(s+m)\(l-s)\
(x-hl)sJbrn^(x-l)l-s-m/2.
В обеих суммах пределы суммирования фактически определяются
наличием факториалов отрицательных целых чисел в знаменателях. Во второй
сумме выполняем замену индекса суммирования s —► к - га. В результате
множители, зависящие от fc, в обеих суммах становятся одинаковыми.
Сравнивая их между собой, находим формулу, приведенную в условии задачи.
1.117.
Pi = -2Р-1 = (1 - х2)1/2 = sintf,
р\ = -6Р2-1 = Зх(1 - х2)1/2 = 3costfsintf,
Р22 = 24Р2"2 = 3(1 - х2) = 3sin2tf,
Рз1 = -I2P3-1 = |(5х2 - 1)(1 - х2)1/2 = |(5cos2 tf - l)sin0,
Р2
120Р3"2 = 15х(1 -х2) = 15costfsin2tf,
Р33 = -72ОР3"3 = 15(1 -х2)3/2 = 15sin3tf.
Заметим, что присоединенные полиномы Лежандра в общем случае
содержат радикалы (1 - х2)1//2 и полиномами, строго говоря, не являются.
1.4. Ответы и решения
101
1.118. При вычислении нормировочного интеграла используем
формулу (1.198) и метод решения задачи 1.112:
1 1
j[Pr(x)]2dx = (_1Г|±^| | РГ(х)Р1-т(х)<1х =
-1 -1
(2/)!(/ + m)!
22//!/!(/-m)!
B(l + 1,1/2).
Выразив бета-функцию через гамма-функции и произведя сокращения
дробей, найдем нормировочный множитель (с точностью до фазового
множителя, по модулю равного единице, который остается произвольным). В итоге
получаем нормированную сферическую функцию Лежандра:
V <Ч ^ /2/ + 1 (1-™>У- (1 ~ COS2 У)™?2 ( d V+m, 2, Ulim<p
1.119. ^^sin^^^-+—^-^^+l(l + l)Ylm = 0.
sintfdtf dti sin2!? dip2
1.120. -5/3, -2, 0, exp(a)+exp(-2a).
1.121. 0, f(a)S(x-a)9 82S(x - 4) + Щх + 1).
1.123. Д(г) = ^1-*(г±)ф), *(г-а)=^*(г±-а±)*(а-ао)ф-аг).
Чтобы осуществить предельный переход а —► 0, нужно не только устремить
к нулю величины a±,aZ9 но и усреднить правую часть по азимутальному
углу ао» так как нулевой вектор не имеет направления.
1.124. 5(г) = —Цг5(г),5(г-а) = ■\S(r-a)5(cos'd-cos'do)S(a-ao).
47rrJ a
{Зх2 если х < 1,
о
2х, если х > 1.
1.126. f'(x) = f+£ &fkS(x - ак\ где ДД = /(afc+0) - /(afc-0),
"Х jfe=l
df/dx — обычная («классическая») производная на участках плавного
изменения функции.
102
Глава 1
1.127. ) } 4t7(m-n)(0) притоп, 0 при т < п.
(п — ту.
1.128. При г ф г1', G — ограниченная дифференцируемая функция,
и уравнение удовлетворяется, так как AG = 0. При г —► г' функция G
имеет особенность. Чтобы выяснить характер особенности AG при г —► г',
проинтегрируем (1.225) по объему малого шара радиуса R —► 0 с центром
в точке г = г'. Применяя теорему Остроградского - Гаусса, получим
/ AGdV = /divgrad(±)dV = /(v£)-dS=- / ±R2dn =-4тг.
V V S
Такое же значение дает интеграл по объему от правой части уравнения,
которое, таким образом, удовлетворяется.
1.129. f{x) = s - А £ cos(2fc + 12)j.
М ' 2 **=о (2Л + 1)2
1Л30. /(*) = £ £ ^Ц^-
i.i3i. /(x) = f + ^£j-i)fcCOs((22V+1!WL)-
Ряд Фурье четной на интервале [-L, +L] функции, f(—x) = f(x),
содержит только косинусы. Нечетная функция, f(—x) = —/(#), разлагается по
синусам. Функция, не имеющая определенной четности, содержит в своем
разложении Фурье и синусы, и косинусы.
1.132. i\F(X).
1.133. IF(A^).
1.134. тгехр(-|А|).
>/5г / \2
1.135. ^exp(-4Y
а \ 4сг/
3/2 / i 2 \
1.136. —— ехр ), где к — радиус-вектор трехмерного
пространен V 4сг /
ства переменных Фурье (см. (1.252)).
1.137. Для вычисления интеграла Фурье (1.252) используем
сферические координаты и выберем ось Oz вдоль вектора к. Выполняя сначала
1.4. Ответы и решения
103
интегрирование по углам, а затем по г, находим
F(k)= lim ^-[l - cos(kR)}.
R^oo k
Формально функция, стоящая в правой части, не имеет предела. Но легко
понять, что предел косинуса можно считать эффективно равным нулю, так
как при выполнении обратного преобразования Фурье член с бесконечно
осциллирующим косинусом даст нулевой вклад. В итоге имеем F(k) = Атг/к2.
1.138. Записываем разложение в форме
оо
exp(zfcrcos#) = у^^щ (кг) Pi (cos в)
1=0
и, пользуясь ортогональностью полиномов Лежандра (см. задачу 1.112),
находим интегральное представление для искомых функций uf.
1
„,(&•) = 2Ш IeikTXPi{x)dx.
Использование формулы Родригеса и интегрирование I раз по частям дает
1
„ . 2/ + 1 )(-ikrу [ ikTXI 2 ,
М ] = 2'+Ч! J ( ~ }
dx.
Далее разлагаем экспоненту в степенной ряд и интегрируем этот абсолютно
сходящийся ряд почленно. Остаются только слагаемые с четными
степенями х:
„ ч (2l + l)(-ikrY ^ (ikr)2m Г ~, 9 .
т=0 о
Наконец, переход к новой переменной интегрирования t = x2,dx = dt/2y/i
позволяет выразить интеграл в последнем равенстве через бета-функцию:
104
Глава 1
В итоге, собирая все сомножители, получаем следующий ряд:
щ(кг) =
,.|м, , п (кг)1 L fc2r2/2 (fc2r2/2)2 I
^ ;l-3...(2i + l)\ 1!(2/ + 3) 2!(2/ + 3)(2J + 5) '"/
= il(2l + l)jt{kr),
где j( (fcr) — сферическая функция Бесселя (см. [Абрамовиц и Стиган (1979)],
формула 10.1.2).
оо I
1.139. exp(ifc • г) = 4тг £ £ г^(«г)У^(^)Г(т(^).
/=0 т=-1
Глава 2
Основные понятия электродинамики.
Уравнения Максвелла
2.1. Электростатика
Закон Кулона. Электродинамика занимается изучением
взаимодействий разнообразных микроскопических и макроскопических объектов,
вызванных наличием у них фундаментального свойства, количественной
мерой которого выступает электрический заряд. Заряд может быть двух
знаков — положительным и отрицательным, причем тела, имеющие
заряды одинаковых знаков, отталкиваются, а тела с зарядами противоположных
знаков — притягиваются. Закон взаимодействия в вакууме неподвижных тел
малых размеров установил опытным путем французский физик Ш. Кулон
еще в 18-м веке:
р12 = к<Щ1Гп (21)
г12 г12
Здесь 9i и ^2 — заряды двух тел, расстояние между которыми
определяется радиусом-вектором г и (рис. 2.1), &\2 — сила, действующая на тело 2
со стороны тела 1. Имеем ^и = —^2ь т.е. кулоновская сила
подчиняется третьему закону Ньютона. Коэффициент к определяется выбором
единиц измерения электрического заряда и других физических величин.
«и I rl2 2 ./21
Рис. 2.1
Если сила ^12 = 1 дина и г\2 = 1 см (система CGS), то к = 1, а заряд q =
- \qi\ = \Q21 имеет величину, равную одной единице CGSE, размерность
которой см3//2г1//2с.
В Международной системе единиц (СИ) единица заряда определена
вне связи с механическими величинами через единицу силы тока — ампер —
как количество электричества, протекающего через сечение проводника за
106
Глава 2
одну секунду при силе тока 1 А. Эта единица называется кулон (К) в честь
первооткрывателя закона электростатического взаимодействия. В качестве
единиц длины и силы используются метр и ньютон, 1 Н = 105 дин. Поэтому
коэффициент к = 1/47Г£о оказывается размерной величиной. Электрическая
постоянная 7
Си = ю7 ^
47ГС2'
где с — скорость света в вакууме в м/с, также размерна. Эта величина
(«диэлектрическая проницаемость вакуума») не имеет разумного физического
смысла и введена лишь для согласования электромагнитных величин
(ампер, кулон), используемых из практических соображений, с механическими
величинами. Единицы заряда в двух системах связаны между собой
соотношением 1 К « 3 х l(r CGSE. При этом два одинаковых заряда по 1 К,
находящиеся на расстоянии 1 м, взаимодействуют с огромной силой
9 = т^— Н « 9 х 109 Я.
Мы в этой книге будем преимущественно пользоваться физической,
или CGS-системой (ее еще называют абсолютной гауссовой системой
единиц), которая наиболее удобна при изучении фундаментальных законов
физики. С общими принципами построения систем единиц и их
размерностями, а также эталонами различных единиц можно познакомиться по
книгам [Сена (1988)], [Камке и Кремер (1980)].
Впоследствии, уже в 20-м веке, закон Кулона был подтвержден с очень
высокой точностью путем измерения уровней энергии атомов. Было
также выяснено, что электрический заряд, как и многие другие физические
величины, квантуется — его величина всегда кратна некоторой
минимальной порции ео ~ 4,8 х 10~10 CGSE единиц, называемой элементарным
зарядом. Элементарным зарядом обладают электроны и позитроны,
протоны, антипротоны и многие другие элементарные и составные частицы. Еще
более «элементарные» частицы — кварки — имеют дробные заряды ео/3
и 2ео/3 обоих знаков. Но кварки, по-видимому, существуют только в
составе более сложных частиц и не могут находиться в свободном состоянии.
Элементарный заряд — очень маленькая порция, и часто заряды
макроскопических тел содержат огромное число элементарных зарядов,
например, порядка 1022 — таково число «свободных» электронов в 1 см3
металлического тела. В таком случае распределение электрического заряда
в пространстве можно характеризовать объемной плотностью
Р(г) = ^, (2.2)
где Aq — заряд, находящийся в макроскопически малом объеме AV,
т.е. в таком объеме, в котором находится большое число N ^> 1
элементарных зарядов. Линейные размеры этого объема должны быть малы
2.1. Электростатика
107
по сравнению с другими масштабами задачи. Такой объем приближенно
можно считать точечным и рассматривать объемную плотность заряда как
функцию точки.
Как мы видели в разделе 1.3, объемную плотность можно приписать
и точечным зарядам, если использовать дельта-функцию Дирака:
распределение зарядов ei, ег,... в точках г\, г2, • •. описывается функцией
N
p(r) = Y,eJ(r-ra). (2.3)
а=1
Фундаментальным свойством электрического заряда является его
точное сохранение во всех процессах, происходящих в природе: химических
и ядерных реакциях, взаимопревращениях элементарных частиц и т. д. Во
всех таких процессах суммарный электрический заряд всех частиц до и
после процесса одинаков.
Электрическое поле. С физической точки зрения существование
силы (2.1) допускает две различные трактовки. Можно считать, что одно
заряженное тело воздействует на другое непосредственно, без участия
какой-либо промежуточной среды (дальнодействие). Но возможен и другой
подход — заряженное тело изменяет свойства окружающего пространства,
создавая в нем электрическое поле. Второе тело через посредство
своего электрического заряда воспринимает воздействие этого поля, которое
и приводит к силовому взаимодействию. Обе точки зрения совершенно
равноправны при рассмотрении неподвижных зарядов, т. е. в электростатике.
Вся плодотворность и неизбежность понятия поля проявляется при
изучении многочисленных и разнообразных явлений, связанных с движением
заряженных тел и изменением во времени их электрических и магнитных
взаимодействий. Поэтому мы с самого начала примем полевую точку
зрения и введем количественную векторную характеристику электрического
поля — его напряженность Е(г). Поле Е(г) определяет силу 9,
действующую на неподвижное тело малых размеров с зарядом q9 находящееся
в точке г:
9 = qE(r). (2.4)
Это определение напряженности электрического поля справедливо и для
переменных электрических полей E(r, t). Поле, создаваемое точечным
зарядом, согласно закону Кулона (2.1) и определению электрического поля (2.4)
выразится в виде
Е(г) = -|И (2.5)
Г* Г
(физическая система единиц, е — электрический заряд).
108
Глава 2
Сформулируем еще один опытный закон — принцип суперпозиции
полей в вакууме: поле, создаваемое несколькими источниками, равно
геометрической сумме полей Е{, создаваемых каждым из объектов в
отдельности независимо от наличия других источников
iz поля:
Е = Е\ + -£/2 Н~ • • •
(2.6)
Это — очень общий закон, которому подчиняется
и электрическое, и магнитное поле неподвижных
и произвольным образом движущихся тел.
Уравнения электростатики. Вычислим
электрическое поле Е, создаваемое ограниченной
в пространстве системой зарядов, которая
описывается объемной плотностью р. Используем принцип суперпозиции полей.
Выделим малый элемент объема dV (рис. 2.2) и запишем на основании
закона Кулона в форме (2.5) поле, создаваемое зарядами этого элемента
в точке с радиусом-вектором г:
Рис. 2.2
dE(r) =
(г - r')p(r') dV
г.'|3
Интегрируя затем по всему распределению, находим
(г - r')p(r') dV
Е(г)
I
\r - г
.'13
(2.7)
Это выражение описывает электрическое поле любой ограниченной
системы зарядов в произвольной точке, причем объемная плотность р(г') может
иметь дельтаобразные особенности. Объемный интеграл при этом сходится
во всех точках г, в которых отсутствуют точечные заряды, и точка г' = г
не является для него особой.
Выражение (2.7) можно упростить, воспользовавшись тождеством
г.'|3
= -VT
1
\г — г
(г ф г'),
где V — оператор Гамильтона набла. Вынося его за знак интеграла,
поскольку дифференцирование и интегрирование производятся по разным
переменным, г и г;, будем иметь
E(r) = -V(^(r),
(2.8)
2.1. Электростатика
109
где скалярная функция точки
p(r') dV
Г p{r')dV' „
(2.9)
называется электростатическим потенциалом. Эта величина
определяется с точностью до постоянной. Таким образом, в электростатике
напряженность поля Е — потенциальный (безвихревой) вектор (см. раздел 1.2):
rot£ = 0. (2.10)
Значение div E и одновременно уравнение, которому удовлетворяет
электростатический потенциал <р(г), можно получить, применив
операцию div к обеим частям равенства (2.8):
div£ = -VV = -A^. (2.11)
Внесем оператор Лапласа Д под знак интеграла (2.9) и воспользуемся
тождеством (1.225)
л 1
Это дает
-4тг5(г — г').
div E(r) = 4тг р(г) (2.12)
Aif(r) = -4тгр(г). (2.13)
Последнее уравнение называется уравнением Пуассона. Оно позволяет
находить электростатический потенциал методом интегрирования
дифференциального уравнения в частных производных, отличным от прямого
вычисления интеграла (2.9). Уравнения (2.10) и (2.12) являются
дифференциальными уравнениями для определения вектора Е в электростатике.
Их интегральная форма получается применением к (2.10) и (2.12)
соответственно теорем Стокса и Остроградского-Гаусса:
<£е-Я= frotE-dS = 0, (2.14)
i s
IE-dS = 47r f pdV = 4тгд. (2.15)
по
Глава 2
Уравнения (2.10), (2.12)—(2.15) являются следствиями закона Кулона. Но
они более общи, чем конкретные выражения (2.7), (2.9) для напряженности
поля и электростатического потенциала.
Из соотношения (2.14) следует, что работа электростатического поля
над зарядом е вдоль любого замкнутого контура равна нулю: R = §Е • dl= 0.
\
Соответственно, работа по перемещению заряда из точки А в точку В не
зависит от пути:
Rab = еЕ • dl = -е V(fdl = e(ipA - 4>в)-
(2.16)
Из (2.15) следует, что поток вектора напряженности электрического поля
через любую замкнутую поверхность равен умноженному на 47г
электрическому заряду, находящемуся внутри поверхности (электростатическая
теорема Гаусса).
Граничные условия. Рассмотрим поверхности, на которых
величина р имеет особенности (т. е. испытывает скачок или обращается в
бесконечность). Такие поверхности могут быть созданы материальными
средами (диэлектриками, проводниками и др.). На особых поверхностях
дифференциальные уравнения (2.10), (2.12) неприменимы, и их надо заменить
некоторыми условиями «сшивания»
компонент напряженности поля, которые
выводятся из интегральной формы указанных
уравнений.
(2)
Ау.
^ггттттШШтгтг^
(1) Пример 2.1. С помощью
уравнения (2.14) показать, что касательные к лю-
Рис- 2.3 бой поверхности компоненты
напряженности электрического поля непрерывны.
Решение. Строим контур (рис. 2.3) в виде малого прямоугольника
размером а х h9 плоскость которого перпендикулярна рассматриваемой
поверхности S. Векторы т, I/, n образуют тройку взаимно перпендикулярных
ортов. Вычисляя циркуляцию вектора Е вдоль контура и пользуясь (2.14),
находим
/
Е-Лъ (Е2г - Е1т)а + Ch = 0,
где Ch — интеграл по боковым участкам контура. При h —» 0, имеем Ch —> 0,
если поле ограничено на рассматриваемой поверхности (что мы будем пред-
2.1. Электростатика
111
полагать). Устремляя затем а —> 0, приходим к точному соотношению
Е2т = Е1т. (2.17)
Это соотношение относится к двумерным векторам — проекциям
поля Е на поверхность в некоторой точке.
Пример 2.2. С помощью уравнения (2.15) показать, что нормальная
к любой поверхности компонента Еп удовлетворяет условию
Е2п ~ Е1п = 4тга. (2.18)
Здесь величина а — поверхностная плотность заряда — отлична от нуля,
только если объемная плотность заряда р имеет на рассматриваемой
поверхности дельтаобразную особенность:
п<>
p(r) =p(r)+(j(u,v)5(z),
где р(г) — ограниченная составляющая объ- __^_ itiimm, 1ГГ^
емной плотности, координата z отсчитыва- Т17ТГЯЩ ^ | /'77777777>>
ется по нормали к поверхности, и, v — коор- г . i '
динаты, характеризующие положение точки
на поверхности. Такая особенность
возникает, если конечный заряд распределен в
предельно тонком поверхностном слое, т.е. на Рис- 2-4
математическом языке о = lim (hp).
h—>0
Решение. Строим вспомогательный объем в виде малого цилиндра
с основанием AS и высотой h (рис. 2.4). Нормаль п направлена из области 1
в область 2. Применив к выбранному объему равенство (2.15), получаем
последовательно
/
E-dS^ En2 AS + Enl AS + Фл =
= (Е2п - Eln) AS + Фл « 4тг(рЛ AS -ha AS).
Здесь Ф/г — поток через боковую поверхность. Устремляя h —► 0 так, чтобы
основания цилиндра совместились с рассматриваемой поверхностью,
получаем точное граничное условие (2.18). ■
112
Глава 2
В применении к электростатическому потенциалу, пользуясь
уравнением (2.8), получаем следующие граничные условия:
d^ = djn ^£1_^р1 = Ажа (219)
дт дт ' дп дп
Ввиду того, что потенциал <р определен с точностью до постоянной, первое
условие (2.18) можно заменить условием непрерывности потенциала на
поверхности1 S:
Ч>\=4>2. (2.20)
Задачи
2.1. Плоская плита больших поперечных размеров и толщиной а
равномерно заряжена по объему с плотностью р = const. Пренебрегая
краевыми эффектами, вычислить потенциал <р и напряженность Е электрического
поля. Рассмотреть предельный случай бесконечной плоскости, выразить
потенциал и напряженность поля через поверхностную плотность заряда,
проверить выполнимость граничных условий.
2.2. Заряд распределен в пространстве по периодическому
закону р(х, у, z) = po cos ax cos (Зу cos 72, образуя бесконечную
пространственную периодическую решетку. Вычислить потенциал <р электрического поля.
2.3*. Распределение заряда предыдущей задачи ограничено в
направлении оси Oz плоскостями z = ±zo, z0 = 71-/27 и образует плоскую
плиту толщиной 2z0. Вычислить электростатический потенциал во всем
пространстве. Произвести предельный переход zq —► 0 при условии
постоянства заряда, приходящегося на единицу поверхности плиты (zopo = const)
и ввести поверхностную плотность заряда а(х, у).
2.4. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса R равномерно
заряжен по объему или по поверхности так, что на единицу его длины
приходится заряд к. Вычислить потенциал <р и напряженность электрического
поля Е.
2.5. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля
равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити. Ее заряд к на
единицу длины.
2.6*. В предыдущей задаче нить заряжена неравномерно: к(г)- =
= kqcos^z. Вычислить электростатический потенциал. В какой области
См., однако, случай двойного слоя (пример 2.6), когда условие (2.20) не выполняется.
2.1. Электростатика
113
пространства потенциал будет приближенно совпадать с потенциалом
равномерно заряженной нити? Проанализировать предельные случаи.
2.7. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля
равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего
часть оси Oz от -а до а; заряд отрезка q.
2.8. Найти форму эквипотенциальных поверхностей равномерно
заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче.
2.9. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля шара,
равномерно заряженного по объему. Радиус шара R, полный заряд q.
2.10. Сделать то же самое для случая, когда заряд распределен
равномерно по поверхности шара.
2.11. Внутри шара радиуса R, равномерно заряженного по объему
с плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус
которой Дх, а центр отстоит от центра шара на расстояние a (R > Ri + a).
Найти электрическое поле Е в полости.
2.12. Пространство между двумя концентрическими сферами,
радиусы которых Ri и R2 (jRi < Дг)> заряжено с объемной плотностью р = а/г2.
Найти полный заряд а, потенциал <р и напряженность Е электрического
поля. Рассмотреть предельный случай R2 —+ Ru считая при этом q = const.
2.13. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г).
Записать ipu E в виде однократных интегралов по г, разбив распределение
зарядов на сферические слои.
2.14. На основе результата предыдущей задачи получить решения
задач 2.9 и 2.12.
2.15. В атоме водорода, находящемся в невозбужденном состоянии,
заряд электрона распределен с плотностью
*>=-£.*.(-*)•
где а = 0,529 х 10~8 см — боровский радиус атома, ео — элементарный
заряд. Найти потенциал <ре и напряженность электрического поля Еет
электронного заряда, а также полные потенциал <р и напряженность поля Е
в атоме, считая, что протонный заряд сосредоточен в начале координат.
Построить на компьютере графики величин <р, Е.
Указание. Полезно произвести интегрирование по сферическим слоям.
114
Глава 2
2.16. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар,
найти максимальное значение напряженности его электрического
поля Етах. Радиус ядра R = 1,5 х 10~13Л1//3 см, заряд Ze0 (A — атомный
номер, Z — зарядовое число, е0 — элементарный заряд). Сравнить Етлх со
значением поля ядра Ев на расстоянии боровского радиуса (последний для
атома с зарядовым числом Z равен a/Z).
2.17. В задаче 2.10 записать выражение для объемной плотности
заряда через дельта-функцию и вычислить потенциал и электрическое поле
путем интегрирования по сферическим слоям.
2.18. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического поля
на оси равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса R; заряд
диска q. Убедиться в том, что на поверхности диска нормальная
составляющая Е испытывает скачок 47гсг. Рассмотреть поле на больших расстояниях
от диска.
2.19. Выразить потенциал <р равномерно заряженного круглого
тонкого кольца с зарядом q и радиусом R через полный эллиптический интеграл
первого рода
тг/2
к(к) = [ dp
J y/l-k2sm2(3
Указание. При интегрировании по азимуту сделать замену а' = п - 2(3.
2.20. Получить из общей формулы предыдущей задачи потенциал <р
электрического поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от кольца;
в) вблизи нити кольца (асимптотические значения эллиптического
интеграла взять из справочников).
Пример 2.3. С помощью тождества Грина (1.97) доказать от
противного теорему единственности: решение электростатической задачи
внутри заданного ограниченного объема V единственно, если в объеме V
задано распределение заряда р(г), а на его поверхности S — либо
потенциал (р, либо его нормальная производная д(р/дп.
Решение. Предположим, что существуют два различных решения
электростатической задачи, <pi и <р29 удовлетворяющие уравнению
Пуассона
а)
А ^1,2 = -47гр внутри объема V
2.1. Электростатика
115
и граничным условиям на S
dpi 2
(2) ipi2 = f (условия Дирихле) либо ' = F (условия Неймана),
on
где / и F — заданные функции координат. Положим в (1.97) ip = ip = (pi — ip2'-
(3) J(y>A<p+\Vv\2)dV= <f<P^dS.
v s
Из (1) следует, что А<р = 0. Интеграл в правой части (3) также обращается
в нуль как следствие (2). В итоге получаем
(4) ||VH2
dV = 0,
что возможно только при условии V<p = 0, т. е. <р = const. В случае условий
Дирихле const = 0, т. е. <pi = <р2. В случае условий Неймана const ^ 0, но
два электростатических потенциала, отличающиеся на постоянную,
физически эквивалентны. Решение единственно. ■
Пример 2.4. С помощью тождества Грина (1.98) выразить
электростатический потенциал <р(г) внутри объема V через известную
плотность р(г) в этом объеме, а также значения <р и д(р/дп на поверхности S,
ограничивающей объем.
Решение. В тождестве (1.98) полагаем функцию <р равной искомому
потенциалу, а ф = 1/R — обратному расстоянию R = \г - г'\ от
рассматриваемой точки до элемента интегрирования dV. Используем уравнение
Пуассона А<р(г) = —4тгр(г) и уравнение А'ф(г — г') = — 4тг5(г — г'),
которому удовлетворяет функция ф (см. формулу (1.225)). Получаем из (1.225)
V S
Rdn' Ydn'R
dSf.
Пример 2.5. Система зарядов занимает ограниченную область
пространства размером I. Пользуясь представлением электростатического
потенциала в виде объемного интеграла (2.9), вычислить приближенное
значение потенциала на расстояниях г ^> I от системы с точностью до
членов порядка (//г)2. Какие величины, характеризующие систему зарядов,
нужны для этого?
116
Глава 2
Решение. Разлагая подынтегральное выражение в (2.9) в ряд по
малому отношению г'/г ^ //г, будем иметь
I 11-2^- + —
,2 4 -1/2
г г 2т
Здесь последнее слагаемое записано в тензорной форме с суммированием по
повторяющимся индексам. Подставляя результат в интеграл (2.9), находим
q p- Г QapXaXp
г г3 2т
где использованы следующие обозначения:
<р(г) = - + — + , (2.21)
Jp(rf)dVf
(2.22)
полный заряд системы;
р= f p(r')r'dV' (2.23)
— дипольный момент системы зарядов;
Qa/з = J p(r')(3x'ax'0 - т'25а0) dV (Qaa = 0) (2.24)
— тензор квадрупольного момента системы зарядов. Разложение
потенциала (2.21) может быть продолжено. Оно называется разложением по
мультипольным моментам (мультиполям). ■
Пример 2.6. Двойной электрический слой представляет собой две
поверхности, находящиеся на малом расстоянии s друг от друга, одна из
которых имеет положительный поверхностный заряд с плотностью а,
а другая — отрицательный заряд с плотностью —а, так что в целом слой
электронейтрален. Записать выражение для электростатического
потенциала, создаваемого двойным слоем. Показать, что значения потенциала
по обе стороны двойного слоя связаны соотношением
^1 = 4™' Ж = Ж' (2'25)
где к = as — дипольный момент на единицу поверхности.
2.1. Электростатика
117
Решение. Введем вектор плотности дипольного момента к = ksti,
где орт нормали п должен быть направлен от отрицательной поверхности
к положительной (см. рис. 2.5). Будем рассматривать двойной слой как одну
поверхность и используем выражение для потенциала диполя,
приходящегося на элемент dS поверхности, согласно (2.21): d(fM = к • rdS/r3, где г
соединяет элемент dS с точкой наблюдения М. Легко убедиться, что
величина п • г dS/r3 = ±dQ представляет собой элемент телесного угла, под
которым из точки наблюдения М видна площадка dS (знак плюс — если
видна положительная, а минус —
отрицательная сторона поверхности). На основе
принципа суперпозиции получаем
/(±"
<рм = / (±«) dfi. (2.26)
Если поверхность ориентирована так, что рис 2.5
знак всех ее элементов один и тот же,
то ум = ±k,Q. Если точка наблюдения находится на одной из сторон
поверхности двойного слоя, то, очевидно, <рм — ±27г«. Это приводит
к скачку потенциала (2.25) при переходе через двойной слой.
Непрерывность Еп = —д(р/дп следует из равенства нулю полной поверхностной
плотности заряда двойного слоя. ■
2.21. Записать в сферических координатах выражения для
потенциалов электрического диполя с моментом р и электрического квадруполя для
случая аксиально-симметричного распределения зарядов. Вычислить также
напряженности поля Ed, Eq для этих систем.
2.22*. Произвести разложение электростатического потенциала вне
ограниченной системы зарядов по мультиполям и найти выражения для
мультипольных моментов в сферических координатах. Использовать
производящую функцию (1.182) для полиномов Лежандра и теорему
сложения (1.195) для сферических функций.
2.23*. Обобщить результат предыдущей задачи таким образом,
чтобы разложение электростатического потенциала по сферическим функциям
Лежандра годилось для точек наблюдения, находящихся внутри системы
зарядов.
2.24. Тонкое круглое кольцо радиуса R состоит из двух равномерно
и противоположно заряженных полуколец с зарядами qw —q. Найти
потенциал <р и напряженность Е электрического поля на оси кольца и вблизи
нее. Каков характер поля на больших расстояниях от кольца?
118
Глава 2
2.25. Сфера радиуса R заряжена по поверхности по закону а = сг0 cos д.
Найти потенциал ip электрического поля, используя разложение по мульти-
полям в сферических координатах.
2.26*. Источники электрического поля расположены аксиально
симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источники поля
отсутствуют. Выразить потенциал <р и напряженность Е электрического поля
вблизи оси симметрии через значения потенциала и его производных на
этой оси.
2.27. Найти потенциал <р электрического поля равномерно
заряженного круглого тонкого кольца, используя разложение по мультиполям в
сферических координатах. Заряд кольца q, радиус R.
2.28. Найти потенциал <р электрического поля на больших
расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды q, —2q, q расположены по
оси Oz на расстоянии а друг от друга (линейный квадруполь); б) заряды ±q
расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние
заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +q9
а стороны квадрата параллельны осям Ох и Оу (плоский квадруполь).
2.29*. Найти потенциал <р электрического поля на больших
расстояниях от следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис. 2.6 а);
б) пространственный октуполь (рис. 2.66).
а)
-я
+9
+£
гЯ
-я
±я
'+q -Я
б)
Рис. 2.6
2.30. Точечный заряд q находится в точке со сферическими
координатами го, $(ь olq. Разложить по мультиполям потенциал <р этого заряда.
2.31. Эллипсоид с полуосями а, 6, с равномерно заряжен по объему;
полный заряд эллипсоида q. Найти потенциал <р на больших расстояниях
2.1. Электростатика
119
от эллипсоида с точностью до квадрупольного члена. Рассмотреть частные
случаи эллипсоида вращения с полуосями2 а = Ь, с и шара (а = b = с).
Указание. При интегрировании по объему эллипсоида воспользоваться
обобщенными сферическими координатами х = ar sin $ cos а, у = fcrsin^sina, z =
= cr cos д.
2.32. Два коаксиальных равномерно заряженных тонких круглых
кольца с радиусами а, Ь (а > Ь) и зарядами q, — q соответственно, расположены
в одной плоскости. Найти потенциал <р на больших расстояниях от этой
системы зарядов. Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см.
задачу 2.28).
2.33*. Показать, что распределение заряда р = ~(р' • V)S(r)
описывает элементарный диполь с моментом р', помещенный в начало
координат. Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением
дельта-функции.
Указание. Исходить из разложения по мультиполям в декартовых
координатах.
2.34. Доказать, что распределение зарядов
п
г=1
создает потенциал
п
г=1
2.35. Используя результаты задачи 2.28 и учитывая, что квадруполь-
ный момент является тензором II ранга, найти потенциал <р электрического
поля на больших расстояниях от линейного квадруполя, направление оси
которого определяется полярными углами 7, 0- Каким еще способом можно
решить задачу?
2.36*. Пространственный октуполь (рис. 2.66) повернут вокруг
оси Oz на угол /3. Найти поле <р на больших от него расстояниях путем
преобразования компонент октупольного момента. Сравнить с другими
методами решения.
2.37. Найти потенциал <р электрического поля на больших
расстояниях от плоского квадруполя, расположенного в плоскости, проходящей через
2Атомные ядра, обладающие квадрупольным моментом, можно в некотором приближении
рассматривать как эллипсоиды вращения.
120
Глава 2
ось Oz (рис. 2.7). Компоненты квадрупольного момента получить
непосредственно, а также путем поворота плоского квадруполя, рассмотренного
в задаче 2.286.
Рис. 2.7
2.38. Шар радиуса R равномерно поляризован, дипольный момент
единицы объема Р. Найти потенциал ip электрического поля.
2.39. Двумерное распределение заряда характеризуется
плотностью р(г), не зависящей от координаты z. Если р ф 0 только в
ограниченной области S плоскости ху9 то можно разложить потенциал ip вне
распределения зарядов по мультиполям (двумерные мультиполи). Найти это
разложение.
УКАЗАНИЕ. Разбить систему зарядов на заряженные нити и использовать
принцип суперпозиции, а также разложение
оо
ln(l + u2-2ucosa) = -2^^|^fc, |ti|<l.
fc=i
2.40. Разложить по двумерным мультиполям потенциал <р линии с
зарядом к, на единицу длины. Заряженная линия параллельна оси Oz и
проходит через точку (т*о, ао) плоскости ху.
2.41. Найти потенциал <р электрического поля на большом расстоянии
от двух близких параллельных линейных зарядов к, и —к,, расположенных
на расстоянии а друг от друга (линейный диполь).
2.42. На диске радиуса R имеется двойной электрический слой
мощностью г = const. Найти потенциал <р и напряженность Е электрического
поля на оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска.
2.1. Электростатика
121
2.43. Найти напряженность Е электрического поля двойного
электрического слоя мощностью г = const, занимающего полуплоскость у = О,
х > 0. Сравнить с магнитным полем бесконечного прямолинейного тока,
текущего вдоль оси Oz. Решить задачу двумя способами: а) прямым
суммированием напряженностеи, создаваемых малыми элементами двойного
слоя; б) определив сначала электростатический потенциал (р.
2.44. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных
зарядов: +q в точке z = а, и ±q9 находящегося в точке z = — а; начертить
силовые линии. Имеются ли в поле точки равновесия?
Указание. Вследствие симметрии силовые линии располагаются в
плоскостях а = const, a Ez и Er не зависят от а (цилиндрические координаты).
Переменные в дифференциальном уравнении силовых линий разделяются после замены
z + a z — а
2.45. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение
силовых линий точечного диполя, находящегося в начале координат.
2.46. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя,
рассмотренного в задаче 2.28а и нарисовать их на компьютере.
2.47. Доказать, что поток напряженности электрического поля
точечного заряда q через некоторую незамкнутую поверхность S равен qQ.
Здесь Q — телесный угол, под которым виден контур, ограничивающий
поверхность 5, из точки, где находится заряд q (Q > 0, если из этой точки
видна отрицательная сторона поверхности).
2.48. Заряд qi находится на оси симметрии круглого диска радиуса
а на расстоянии а от плоскости диска. Какой величины #2 заряд нужно
поместить в симметричную относительно диска точку, чтобы поток
электрического поля через диск в сторону заряда qi был равен Ф?
2.49*. Найти уравнение силовых линий системы п коллинеарных
зарядов #1, #2, • • •, qn9 расположенных в точках z\, 22, • • •, zn оси z, не
интегрируя дифференциальных уравнений силовых линий. Применить теорему,
доказанную в задаче 2.47, к силовой трубке, образованной вращением си-
повой линии вокруг оси симметрии.
2.50. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение
силовых линий системы двух точечных зарядов (ср. с задачей 2.44) и линейного
квадруполя (ср. с задачей 2.46).
122
Глава 2
2.51. Равномерно заряженные нити, несущие заряды к\ и -к2 на
единицу длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на
расстояние h. Найти, при каком соотношении между к^и^в числе
поверхностей равного потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного
радиуса. Определить радиусы и положение осей цилиндров.
2.52. Точечные заряды q\ и — q2 находятся на расстоянии h друг от
друга. Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой
системы имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центра
и радиус* Найти значение потенциала <р на поверхности этой сферы,
если <р(оо) = 0.
2.53. Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющий
в сферических координатах вид: </>(r) = (q/r) ехр(-ат), где а, q —
постоянные?
2.54. Каким должно быть распределение зарядов, чтобы созданный
ими потенциал имел в сферических координатах вид
rtr) = ?(? + l)exp(-£),
где е0, а — постоянные?
Энергия и силы в электростатическом поле. Вычислим энергию
взаимодействия системы точечных электрических зарядов. Один заряд ei,
находящийся в точке с радиусом-вектором г\, создает в пространстве
потенциал <р(г) = е\1\т — г\\. При перемещении второго заряда е2 из
бесконечности в точку с радиусом-вектором г2 нужно затратить работу R =
= ~e2(fi2 = -ецр21 = -(1/2)(ецр21 + e2ipi2), где <pab = eh/\ra - гь\
потенциал, создаваемый зарядом еь в точке га (для зарядов одного знака
работа внешнего источника отрицательна). Эта работа превращается в
потенциальную энергию взаимодействия зарядов: W = —А. Обобщая это
рассмотрение на случай ./V зарядов, получим их энергию взаимодействия
(потенциальную энергию в терминах классической механики):
афо=1 ' ' а=1
где (f{ra) — потенциал, создаваемый в точке нахождения заряда еа всеми
остальными зарядами. Слагаемые с а = b должны быть исключены.
Обобщим теперь полученные выражения на случай непрерывного
распределения зарядов в пространстве, описываемого объемной
плотностью р(г). Поскольку в элементе объема dV находится заряд de = p(r) dV,
2.1. Электростатика
123
последняя сумма в (2.27) должна быть заменена интегралом:
W=\jP(rMr)dV, (2.28)
где интегрирование проводится по всему объему, занимаемому системой
зарядов.
Пример 2.7. Две системы зарядов с объемными плотностями р\
и р2 создают в заданной точке пространства потенциалы <fi(r) и ^(О-
С помощью (2.28) получить выражения для собственных энергий
систем Wn, W22 и их взаимной энергии W\2. Как вычислить силы
взаимодействия между системами?
Решение. Подставляя в (2.28) р = р\ + р2, Ч> = Ч>\ + <Р2 и
используя (2.9), находим W = Wu + W22 + W\2> где отдельные слагаемые можно
записать в разных формах:
WH = \jpmdV=\jP-f^dVdV>, (2.29)
Wik = g / (pi<Pk + Р/с^г) dV = Pi(fk dV =
J J \r-r'\
(2.30)
Энергия взаимодействия зависит от обобщенных координат ц£\ q@
обеих систем, определяющих положение и ориентацию заряженных тел. По
общим правилам механики, производная от потенциальной энергии
взаимодействия по координате, взятая с противоположным знаком, определяет
силу, стремящуюся увеличить эту координату:
gd) = _dWik Mk)=_dWik (231)
Выразим энергию системы зарядов через напряженность
электрического поля Е. Для этого распространим интегрирование в (2.28) на все
бесконечное пространство, поскольку области с р = 0 дают нулевой вклад,
и преобразуем подынтегральное выражение:
W = ^(div(^) -E.Vtp) = ^(div(^E) + Е2). (2.32)
124
Глава 2
Интеграл от div ((рЕ) преобразуем по теореме Остроградского - Гаусса:
fdiv{(fE)dV= Ф (fE'dS-^0.
На бесконечно удаленной поверхности, согласно (2.21), потенциал убывает
не медленнее, чем 1/г, а поле Е — не медленнее 1/г2. Поэтому
поверхностный интеграл обращается в нуль. После подстановки (2.32) в (2.28) будем
иметь
W = ^L f E2dV, (2.33)
где интегрирование производится по всему пространству.
Обратим внимание на возможность различной трактовки
выражений (2.28) и (2.33). В первый интеграл вклад дают только те области, в
которых есть заряды (р ф 0) и, таким образом, следует считать, что энергия
присуща электрическим зарядам. Вторая формула позволяет
интерпретировать энергию как свойство электрического поля. Энергия присутствует
всюду в пространстве, где Е ф 0, .с объемной плотностью
w = ±Е2. (2.34)
Только вторая трактовка правильно объясняет, как будет ясно из
последующих глав книги, нестационарные электромагнитные явления.
Необходимо также отметить, что выражения (2.27) и (2.28), (2.33)
неэквивалентны. Это становится очевидным при подстановке в (2.28) и (2.9)
плотности
N
p(r) = ^2eaS(r-ra),
описывающей систему точечных зарядов. Используя две указанные
формулы, получим
N N 2
w=l v- eaeb i у, ^
2 ^ \r -rJ 2^-Чг -г Г
Здесь только первая сумма, в которой а ф 6, соответствует
выражению (2.27), описывающему энергию взаимодействия системы зарядов.
Вторая сумма содержит собственные энергии точечных зарядов. Каждый член
в ней расходится ввиду расходимости кулоновского потенциала при г —> 0.
Очевидная бессмысленность этого результата означает, что классическая
2.1. Электростатика
125
электродинамика становится неприменимой на малых расстояниях.
Трудность с расходимостью собственной энергии точечного объекта является
фундаментальной и проявляется не только в классической электродинамике,
но и в современной теории элементарных частиц, основу которой
составляют квантовая механика и теория относительности. На современном этапе
развития науки мы можем находить
собственные энергии элементарных частиц лишь путем
измерений. Энергия же их электрического
взаимодействия дается формулой (2.27). При
распределении зарядов по объему или
поверхности с конечной плотностью никаких трудностей
с определением энергий не возникает и их
можно вычислить согласно (2.28) и (2.33).
Пример 2.8. Система, состоящая из N
точечных зарядов, находится во внешнем
поле, источники которого расположены далеко от
рассматриваемой системы (рис. 2.8). Поэтому
потенциал внешнего поля в пределах
ограниченной системы протяженностью I изменяется медленно. Вычислить энергию
взаимодействия системы с внешним полем с точностью до квадрупольного
члена.
Рис. 2.8
Решение. Записываем энергию взаимодействия через потенциал
внешнего поля в виде (см. (2.30))
N
W = ^2ea<p(R + ra).
а=1
Пользуясь условием гладкости потенциала, разлагаем его в степенной ряд:
Если в пределах рассматриваемой системы нет источников внешнего поля,
то потенциал <р в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа
Это позволяет записать последний член разложения потенциала в виде
126
Глава 2
Подставляя эти разложения в исходное выражение для энергии, находим
Здесь <р и Е берутся при аргументе R, a q, р, Qap представляют собой
мультипольные моменты системы точечных зарядов:
N N N
Q = ^2 ва' р = Y1ваГа' Q<*$ = ^2 еа(3хахР - г15ос(з)• (2.36)
а=1 а=1 а=1
Разложение здесь производится по отношению 1/L размера системы к
масштабу L неоднородности внешнего поля. ■
Задачи
2.55. Вычислить силу 9 и крутящий момент iV, приложенные к
диполю с моментом р во внешнем поле Е.
2.56. Вычислить электростатическую энергию шара с радиусом R
и с зарядом q9 распределенным равномерно: а) по объему; б) по
поверхности; в) по закону, указанному в задаче 2.12.
2.57. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных
колец одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга.
Работа, которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из
бесконечности в центр каждого из колец, равна соответственно А\ и А^.
Найти заряды q\, #2 на кольцах.
2.58. Вычислить энергию взаимодействия U электронного облака
с ядром в атоме водорода. Распределение заряда в атоме приведено в
задаче 2.15.
2.59. В некотором приближении можно считать, что электронные
облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и
характеризуются объемной плотностью
8е0 / 4г
р= техр
7га \ а
где а — боровский радиус атома, е0 — элементарный заряд. Найти энергию U
взаимодействия электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое
приближение теории возмущений).
2.1. Электростатика
127
2.60*. Доказать, что равновесие системы неподвижных точечных
зарядов, взаимодействующих только посредством электрических сил в
отсутствие каких-либо связей, неустойчиво (теорема Ирншоу).
Указание. Использовать для доказательства первую теорему Ляпунова [Ай-
зерман (1974), с. 222]: Если потенциальная энергия U(qa) консервативной системы
в положении равновесия не имеет минимума и если это обстоятельство
устанавливается из рассмотрения членов второй степени в разложении U(qQ) в ряд по
степеням qa, то данное положение равновесия неустойчиво.
2.61. Центры двух шаров с зарядами qi и q^ находятся на
расстоянии а друг от друга (а > R\ + R2, где Ri, R2 — радиусы шаров). Заряды
распределены сферически симметричным образом. Найти энергию
взаимодействия U шаров и действующую между ними силу 3*.
2.62. Мыльный пузырь, висящий на открытой трубке, стягивается
под действием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного
натяжения а). Считая, что диэлектрическая прочность воздуха
(напряженность поля, при которой происходит пробой) равна Ео, выяснить, можно
ли, сильно заряжая пузырь, предотвратить его сжатие. Каков минимальный
равновесный радиус R пузыря?
2.63*. Два параллельных коаксиальных тонких кольца с
радиусами a, b несут на себе равномерно распределенные заряды q\, q2.
Расстояние между плоскостями колец с. Найти энергию взаимодействия U колец
и действующую между ними силу 9.
2.64. Найти силу 9 и вращательный момент N, приложенные к
электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда q.
2.65. Диполь с моментом рх находится в начале координат, а другой
диполь с моментом р2 — в точке с радиусом-вектором г. Найти энергию U
взаимодействия этих диполей и действующую между ними силу 9. При
какой ориентации диполей эта сила максимальна?
2.66. Система зарядов характеризуется объемной плотностью р(г)
и занимает ограниченную область в окрестности некоторой точки О.
Система помещена во внешнее электрическое поле, которое в окрестности
этой точки может быть представлено в виде
Найти энергию U взаимодействия системы с внешним полем <^i, выразив
ее через aim и мультипольные моменты Qim системы (ср. с примером 2.8).
128
Глава 2
Рекомендуемая литература: [Смайт (1954)], [Камке и Кремер (1980)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля], [Алексеев (1977)], [Стрэттон (1948)],
[Пановский и Филипс (1963)], [Зоммерфельд (1958)], [Медведев (1977)],
[Френкель (1956)], [Батыгин и Топтыгин (1970)], [Бредов и др. (1985)],
[Сена (1988)], [Тамм (1976)], а также [Фейнман и др., в. 5 и задачи].
2.2. Магнитостатика
Плотность тока и магнитное поле. Закон Био-Савара. Как
следует из опыта, при движении заряженных частиц кроме электрического
между ними возникает дополнительное взаимодействие, которое
называется магнитным. Первые опыты по изучению магнитных взаимодействий
производились с макроскопическими телами (постоянные магниты,
проводники с током). Но впоследствии (уже в 20-м веке) были изучены магнитные
взаимодействия отдельных микроскопических частиц (электронов, ионов
и др.). Мы ниже сформулируем законы магнитных взаимодействий сначала
для частиц, а затем получим из них соответствующие законы, относящиеся
к макроскопическим объектам. Все формулы будут написаны в абсолютной
гауссовой системе единиц.
При изучении магнитных явлений фундаментальную роль играет
понятие магнитного поля. Частица малых размеров, движущаяся с постоянной
скоростью v«c, где с « 3 х 1010 см/с — скорость света в вакууме, создает
напряженность магнитного поля
h=evj<R^ (23?)
с R6
где е — заряд частицы, R = г — г' — радиус-вектор, проведенный из точки
местонахождения частицы в точку наблюдения. Если движется множество
частиц с одинаковой скоростью, то по принципу суперпозиции частицы,
находящиеся в макроскопически малом объеме dV, создадут поле
dH=y £^* = PdVv^ = 12L*m (2.38)
frt.c R3 с R3 cR3
{dV)
Здесь р — плотность электрического заряда, j(r) = p(r)v — плотность
электрического тока, т.е. заряд, переносимый движущимися частицами
в единицу времени через площадку единичной площади, ориентированную
перпендикулярно скорости зарядов v. Если же частицы движутся с
неодинаковыми скоростями, например, участвуют в хаотическом тепловом
движении, то под v нужно понимать усредненную по тепловому движению (дрей-
2.2. Магнитостатика
129
фовую) скорость. Объемная плотность электрического тока может
создаваться и отдельными точечными частицами. Использовав выражение (2.3)
для плотности заряда точечных частиц, получим
j(r) = Y,eaVa6(r-ra). (2.39)
Если ток течет по квазилинейному проводнику сечением 5,
поперечный размер которого мал по сравнению с его длиной, то можно ввести силу
тока J = jS и сделать замену
. jdV-^Jdl, (2.40)
где dl — направленный элемент средней линии проводника. Напряженность
магнитного поля, создаваемого элементом проводника с током, примет вид
dH= ldlxR. (2.41)
с R6
Именно это выражение рассматривают обычно как опытный закон Био-
Савара3, хотя прямой опыт с отрезком проводника в случае постоянного
тока провести невозможно — проводник должен быть замкнутым. Производя
интегрирование по всему распределению токов, получим
*<'>-i/^".. ™-if4?-
(2.42)
Первое из этих выражений применимо для объемного тока, второе — для
замкнутого квазилинейного проводника. Заметим, что напряженность
магнитного поля выражается через векторное произведение истинных
(полярных — см. раздел 1.1) векторов и представляет собой аксиальный вектор
(п9евдовектор).
Единица силы тока в системе СИ — ампер (А). При токе силой в 1 А
через поперечное сечение проводника переносится за секунду электрический
заряд величиной в 1 Кл (кулон). В абсолютной гауссовой системе единиц
сила тока имеет размерность см3/2г1//2/с2. 1 А = 3 х 109 см3//2г1//2/с2.
Плотность тока имеет размерность силы тока, деленной на квадрат длины
в соответствующей системе единиц.
3Био Ж. Б., Савар Ф. — французские физики. Закон, названный их именами, они открыли
экспериментальным путем в 1820 г.
130
Глава 2
Сила Лоренца и формула Ампера. Мы пока не указали способ
измерения напряженности магнитного поля. Используем для этой цели
фундаментальный опытный факт — выражение для силы, действующей на
движущуюся заряженную частицу при наличии электрического и магнитного
полей (силы Лоренца4):
9L = еЕ + \v х Н. (2.43)
Здесь первое слагаемое в правой части — уже известная сила Кулона,
действующая на неподвижную частицу в электрическом поле. Второе
слагаемое — дополнительная сила, действующая на движущуюся частицу при
наличии магнитного поля. Выражение (2.43) для силы Лоренца — это одна
из самых красивых формул классической физики. Она производит глубокое
впечатление своей простотой и общностью: любая заряженная частица,
движущаяся с произвольной скоростью, будет испытывать в электромагнитном
поле действие силы (2.43). Она позволяет свести измерение напряженно-
стей Е, Н к измерению механических величин 9', v. Напряженность Е
определяется силой, действующей на неподвижную (v = 0) пробную
частицу; напряженность Н — добавочной силой, которая действует на
движущуюся частицу.
Просуммировав (2.43) по всем частицам в объеме (IV при Е = 0, как
это было сделано выше, получим магнитную силу, которая действует на
элемент объема любой среды, в которой течет ток с плотностью j:
d?=^^vxH=±jx HdV. (2.44)
(dV)
Сила, действующая на элемент квазилинейного тока, получается путем
замены (2.40) и имеет вид
d£=^dlxH (2.45)
(формула Ампера5). Полная сила в обоих случаях получается в результате
интегрирования по всей области, в которой текут токи.
Сохранение электрического заряда и уравнение непрерывности.
Из предыдущего рассмотрения следует, что магнитные явления — создание
магнитного поля и его воздействие на частицы и токи — являются в своей
основе электрокинетическими, т. е. проявляются при движении заряженных
4Лоренц Г. А. — выдающийся нидерландский физик, создатель классической электронной
теории.
5 Ампер А. М. — французский физик, один из основоположников электродинамики.
2.2. Магнитостатика
131
частиц. В то же время в разделе 2.1 уже было отмечено, что электрический
заряд сохраняется во всех многообразных изученных до сих пор
явлениях природы. В связи с этим нам необходимо выяснить, какие следствия,
касающиеся взаимосвязи двух величин, плотности электрического заряда
и плотности электрического тока, вытекают из закона сохранения заряда.
Рассмотрим этот вопрос для общего случая, когда обе плотности зависят
и от координат, и от времени.
Выделив произвольный объем V, ограниченный поверхностью 5,
можем записать как следствие сохранения заряда
/
>■<*--%
где q(t) — электрический заряд в объеме V. Его изменение может
происходить только вследствие выхода частиц из объема. Интеграл в левой
части равенства как раз и представляет заряд, покидающий объем в
единицу времени. Выразив заряд q через плотность, получим интегральную
форму закона сохранения заряда:
-ftJp(r,t)dV = jj{r,t).dS. (2.46)
V S
Применение теоремы Остроградского - Гаусса приводит к соотношению
|^+div/) dV = 0,
справедливому при произвольном выборе объема интегрирования. Это
означает, что в любой точке пространства6 выполняется уравнение
непрерывности
^+divj = 0. (2.47)
Уравнения такого типа имеют огромное значение в физике, так как они
выражают в дифференциальной форме закон сохранения любой субстанции.
В статической (неподвижной) системе зарядов р = const, j = 0,
магнитное поле отсутствует. Постоянному (во времени) магнитному полю
соответствует стационарный случай, когда распределение зарядов в
пространстве не изменяется (р = const), но течет постоянный ток j(r) ф 0. При этом
63а исключением, быть может, конечного числа точек.
132
Глава 2
должно выполняться условие стационарности, вытекающее из (2.47):
div J = 0. (2.48)
Стационарные (постоянные) токи либо текут по замкнутым контурам, либо
уходят на бесконечность.
Уравнения магнитостатики. Векторный потенциал. Получим
дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет напряженность
магнитного поля. Для этого используем закон Био-Савара в форме (2.42) и
уравнение непрерывности для стационарного случая (2.48). Прежде всего
замечаем, что из (2.42) следует:
H{r) = rot А(г), (2.49)
где
A{r) = \j3-^dV (2.50)
— векторный потенциал магнитного поля. Если ток течет по
квазилинейному проводнику, векторный потенциал должен вычисляться по формуле
A{r) = ij%- (250,)
Применив к равенству (2.49) операцию div = V-, получим
div H(r) = 0 (2.51)
при любом распределении токов в пространстве. Вектор Н является, таким
образом, соленоидальным. Физический смысл этого условия — отсутствие
в природе магнитных зарядов, аналогичных электрическим7.
Применим теперь операцию rot = V х к обеим частям равенства (2.49).
В правой части равенства появятся div А и ДА, поскольку rot rot A =
= graddiv A - ДА.
Пример 2.9. Доказать, что для ограниченного в пространстве
распределения токов
div A(r) = 0. (2.52)
7Некоторые теории элементарных частиц предполагают существование магнитных моно-
полей, т. е. частиц, имеющих магнитные заряды. Но все попытки обнаружить их на опыте пока
не увенчались успехом.
2.2. Магнитостатика
133
Решение. Вносим оператор V под знак интеграла, меняя порядок
дифференцирования по г и интегрирования по dV\ и пользуемся
тождеством VR = — V'i?, где R = \г — г'\. Получаем с помощью (2.48)
R
результате имеем
div A = -
_ V
■J/"
■я
R
V-
г-1_
З(г']
R
V-
Uv
j(r')
R
"i/
Soo
R
JdS
R
0.
Обращение в нуль интеграла по бесконечно удаленной поверхности требует,
чтобы плотность тока на больших расстояниях убывала быстрее, чем г-1.
Пример 2.10. Получить неоднородное дифференциальное уравнение
для векторного потенциала А путем непосредственного применения
оператора Лапласа к интегралу (2.50).
Решение. Вносим оператор Лапласа, действующий на координаты г,
под знак интеграла и пользуемся тождеством (1.225). Получаем уравнение
Пуассона
AA(r) = -^j(r). (2.53)
Использовав (2.53), а также (2.52), находим из (2.49)
rotH(r) = ^j(r). (2.54)
Уравнения магнитостатики для напряженности поля (2.51), (2.54) и для
векторного потенциала (2.53) являются более общими, чем конкретные
интегральные выражения (2.42) и (2.50), из которых они получены. На основе
дифференциальных уравнений можно решить более широкий круг задач
и представить решения в формах, отличных от (2.42), (2.50). В
некоторых случаях более удобной является интегральная форма уравнений для
поля Н:
£H-dS = 0, <fli.dl = ^fj. (2.55)
5 I
Эти уравнения выводятся точно так же, как соответствующие.уравнения для
электростатического поля. В первом уравнении S — произвольная замкнутая
134
Глава 2
поверхность, во втором I — произвольный замкнутый контур. Ток J — это
полный ток, который протекает через произвольную поверхность,
опирающуюся на замкнутый контур I. Поэтому второе уравнение (2.55) иногда
называют теоремой о полном токе. Первое уравнение означает, что
магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Векторный потенциал А является вспомогательной величиной, через
которую выражается согласно (2.49) наблюдаемая физическая величина —
напряженность магнитного поля. Поэтому векторный потенциал
определяется неоднозначно — заданному полю Н соответствует целое семейство
векторных потенциалов, отличающихся на градиент произвольной
дифференцируемой скалярной функции:
A'(r) = A(r) + Vx(r). (2.56).
Поскольку V х Vx = 0? то векторные потенциалы А и А' представляют
одну и ту же напряженность магнитного поля Н.
Граничные условия. На поверхности, где плотность тока
испытывает скачок или обращается в бесконечность, на нормальные и
тангенциальные компоненты поля должны быть наложены некоторые граничные
условия. Они выводятся точно так же, как граничные условия для
электростатического поля. Но поскольку уравнения магнитостатики отличаются от
уравнений электростатики, то отличаются и граничные условия:
Н2п — Н\п = О, Я2Т - Н\т = —iy. (2.57)
Направления ортов n, .1/, т указаны на рис. 2.3. Величина iv = lim jvh —
плотность поверхностного тока. Она отлична от нуля, если в тонком слое
течет ток конечной силы. Такой слой можно рассматривать как бесконечно
тонкую поверхность, на которой должны быть выполнены условия (2.57).
Оба условия можно записать и в векторной форме:
п • (Н2 - Hi) = 0, пх(Н2- Н^ = Щ-г. (2.58)
Задачи
2.67. Может ли электрический ток с объемной плотностью j(r) =
= j0 cos(k • г), где jо, к — постоянные векторы, обеспечить стационарное
(не зависящее от времени) распределение зарядов в пространстве?
2.2. Магнитостатика
135
2.68. Найти распределение в пространстве электрического тока,
создающего магнитное поле
Яг = Яо (I - й) cos*> щ=Яо (ё - 0sin?9'
На = 0 при г ^ а;
„ 2Я0а3 Я0а3 .
На = 0 при г ^ а.
2.69. Показать, что однородному и постоянному магнитному полю Н
можно сопоставить векторный потенциал А = Нх г/2. Удовлетворяет ли
он условию div А — О?
2.70. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b
находится коаксиальный с ней провод радиуса а. По этим проводникам
текут постоянные токи одинаковой величины J в противоположных
направлениях. Определить магнитное поле if, создаваемое такой системой во всех
точках пространства. Решить задачу двумя способами: интегрированием
дифференциальных уравнений магнитостатики и с помощью интегральной
формы этих уравнений.
2.71. Определить напряженность магнитного поля Н, создаваемую
постоянным током J, текущим по бесконечному цилиндрическому
проводнику кругового сечения радиуса а. Решить задачу наиболее простым
способом — с помощью уравнения магнитостатики в интегральной форме (2.55),
а также путем введения векторного потенциала А.
2.72. Решить предыдущую задачу для полого цилиндрического
проводника (внутренний радиус а, наружный Ь).
2.73. Прямолинейная бесконечно длинная полоса имеет ширину а.
Вдоль полосы течет ток J, равномерно распределенный по ее ширине.
Найти магнитное поле Н. Проверить результат, рассмотрев предельный случай
поля на больших расстояниях.
2.74. Противоположно направленные токи равной величины J текут
по двум тонким бесконечно длинным пластинам, совпадающим с двумя
гранями бесконечной призмы прямоугольного сечения. Ширина пластин а,
расстояние между ними Ь. Найти силу взаимодействия на единицу длины /.
2.75. Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н,
создаваемые двумя прямолинейными параллельными токами J, текущими в
противоположных направлениях. Расстояние между токами 2а.
136
Глава 2
2.76. Определить магнитное поле if, создаваемое двумя
параллельными плоскостями, по которым текут токи с одинаковыми поверхностными
плоскостями г = const. Рассмотреть два случая: а) токи текут в
противоположных направлениях; б) токи направлены одинаково.
2.77. Определить магнитное поле Н в цилиндрической полости,
вырезанной в бесконечно длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы
полости и проводника соответственно а и 6, расстояние между их
параллельными осями d (b > а + d). Ток J распределен равномерно по сечению.
2.78*. Найти векторный потенциал А и магнитное поле if,
создаваемые в произвольной точке тонким кольцом радиуса а с током J. Результаты
выразить через эллиптические интегралы.
Указание. Использовать метод решения задачи 2.19.
2.79*. Показать, что если магнитное поле обладает аксиальной
симметрией и описывается в цилиндрических координатах векторным
потенциалом с компонентами Aa(r, z), Ат = Az = 0, то уравнение магнитных
силовых линий имеет вид rAa(r, z) = const.
Указание. Рассмотреть поток магнитного поля внутри трубки, образованной
вращением одной из силовых линий вокруг оси симметрии (ср. с решением
задачи 2.49).
2.80. Выразить напряженность Н и векторный потенциал А
аксиально симметричного магнитного поля вне его источников через
напряженность магнитного поля H(z) на оси симметрии.
2.81. Исходя из закона Био-Савара (2.41), показать, что для
замкнутого контура с током J напряженность магнитного поля в некоторой точке
выражается формулой if = — (J/c) gradfi, где Q — телесный угол, под
которым контур виден из этой точки (ср. с задачей 2.47).
2.82*. Доказать теорему единственности решения магнитостатической
задачи: уравнения магнитостатики (2.51), (2.54) и граничные условия (2.57)
определяют напряженность магнитного поля ограниченной в пространстве
системы постоянных токов единственным образом.
2.83. Показать, что магнитное поле бесконечно длинного
цилиндрического соленоида с густой намоткой (п витков на единицу длины, ток J)
дается формулами
4-7Г
Н = —nJez внутри соленоида, Н = 0 снаружи,
где ось Oz направлена вдоль соленоида.
2.2. Магнитостатика
137
Указание. Использовать теорему единственности решения магнитостатиче-
ской задачи.
2.84. Определить магнитное поле Н на оси конечного соленоида с
густой намоткой, имеющего форму цилиндра. Высота цилиндра h9 радиус а,
число витков на единицу длины п, сила тока J.
2.85*. Сфера радиуса а заряжена зарядом е равномерно по
поверхности и вращается вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью о;.
Найти магнитное поле внутри и вне сферы.
Пример 2.11. Исходя из интегрального представления векторного
потенциала (2.50), найти его приближенное значение на больших
расстояниях от ограниченной в пространстве системы постоянных токов,
занимающих область размером I. Показать, что с точностью до членов
порядка 1/г
А{г) = ^Ц^, где т = ±- f r x j(r) dV. (2.59)
Вектор т называется магнитным дипольным моментом системы
токов.
Решение. Подставив разложение
1-1 | г-г'
R т г
в (2.50), получим
(1) А(г) = ± | j(r') dV + ^з /(г • r')i(r') dV.
Первый интеграл в левой части обращается в нуль, что следует из тождества
a.j(r')=div'[(a-r')j(r%
где а — произвольный постоянный вектор, a div; берется по координатам г'
и использовано условие стационарности токов (2.48). Интегрируя обе части
равенства по объему и перейдя к интегрированию по бесконечно удаленной
поверхности, получим J j(r')dV = 0. Это означает, что члена,
аналогичного кулоновскому потенциалу, в магнитостатике не существует.
Для преобразования второго интеграла в (1) используем тождество
[г' х j(r')] х г = j(r')(r • г') - г' dxv'\j(r')(r • г')}.
138
.Глава 2
Умножим обе части этого равенства скалярно на произвольный вектор а
и проинтегрируем по всему пространству:
(2)
a- ([г1 xj{r')]dV' xr =
= а • f j(r')(r • г') dV - f(a • г') <Mv'[j(r')(r • г')} dV.
Последний интеграл преобразуем с помощью тождества
(а • г') &W[j{r'){r • г')) - а • j(r')(r • г').
После интегрирования по всему пространству и применения теоремы
Остроградского - Гаусса слагаемое в правой части, содержащее div;,
обращается в нуль. В итоге из равенства (2) ввиду произвольности вектора а
следует
(3)
/V х j{r')} dV х г = 2 fj(r')(r • г') dV.
Использовав это тождество в (1), получим представление для векторного
потенциала, приведенное в условии примера. ■
2.86. Вычислить магнитный момент га вращающейся сферы,
рассмотренной в задаче 2.85. Сделать то же самое для случая, когда заряд
распределен равномерно по объему. Вычислить магнитное поле на большом
расстоянии от сферы и сравнить с результатом точного решения указанной
задачи.
2.87. Показать, что магнитный момент плоского контура с током
можно вычислить по формуле
га = ^5п, (2.60)
где J — ток в контуре, S — площадь, ограниченная контуром с током, п —
орт нормали к плоскости контура.
2.88. Пусть система заряженных частиц с одинаковым отношением
заряда к массе е/т совершает финитное (ограниченное в пространстве)
движение в некотором внешнем поле. Показать, что магнитный момент
такой системы частиц пропорционален ее моменту импульса:
га = r]L, (2.61)
2.2. Магнитостатика
139
где т] = е/2тс — гиромагнитное отношение, L = Ylra x Pa ~ момент
импульса системы частиц. а
2.89. Система состоит из двух частиц с разными
отношениями е/т. Выразить ее магнитный момент через полный механический
момент L в системе центра масс. Рассмотреть случай частица-античастица
(е2 = -еь га2 = mi).
2.90. В возбужденном состоянии атома водорода электрон создает
орбитальный ток
Зт = к = 0, joe = пН6 Т ~ exp(-^)sin^cos2^,
6°7rmea' \ оа/
где использованы уже применявшиеся в задаче 2.54 обозначения.
Вычислить магнитный момент орбитального тока.
2.91*. Плотность тока, создаваемая в основном состоянии атома
водорода спиновым8 магнитным моментом электрона, описывается
функцией j = (c/e)rot[p(r)/xJ, где /xs — постоянный вектор, р(г) — объемная
плотность распределения заряда в атоме, не зависящая от углов и
экспоненциально убывающая при больших г. Показать, что магнитное поле в начале
координат равно — (8/Зе)7гр(0)/хв. Какой магнитный момент создает
указанный ток?
2.92. Вычислить магнитное поле в начале координат и магнитный
момент, создаваемые током
Эт = к = 0, За = - „f3 7 exp (- g) sin3 д
в одном из возбужденных состояний атома водорода (сферические
координаты).
2.93. Однородно заряженный эллипсоид вращения (полный заряд е)
с полуосями а, а, Ь вращается вокруг оси симметрии с угловой
скоростью ал Вычислить его магнитный момент и магнитное поле на больших
расстояниях.
2.94. Тонкий диск радиуса а с равномерно распределенным зарядом е
вращается вокруг своей оси с угловой скоростью и>. Вычислить магнитный
момент и напряженность поля всюду на оси диска.
80 спиновых моментах см. ответ к задаче 2.88.
140
Глава 2
Пример 2.12. Исследовать возможность введения псевдоскалярного
потенциала магнитного поля if (г) = —Уф (г). На примере
квазилинейного замкнутого проводника с током исследовать роль неодносвязности
области определения ф, получить уравнение и граничные условия для
потенциала.
Решение.
rot if = 0 и,
Представление Н = —Уф приводит к соотношению
следовательно, согласно (2.54) возможно только в
областях, где плотность тока.; = 0. В этих областях
из уравнения (2.51) следует уравнение Лапласа
для потенциала:
Аф = 0.
(2.62)
Но наличие областей, в которых j ^ 0 и по-
рис# 2.9 тенциал не существует, делает пространство
неодносвязным' и приводит к неоднозначности ф.
Пусть поле создается квазилинейным проводником с током. Выберем
произвольный замкнутый контур, охватывающий проводник с током (рис. 2.9),
и вычислим значение потенциала в точке А после обхода по этому контуру:
Фа =Фа+ ф йф.
/■
Если бы ф(г) был однозначной непрерывной функцией координат,
то § йф = 0. Но фактически
1йф= 1уф-(И = - IH
dl
47Г т
" с J'
и, таким образом,
Фа-Фа = ^^
(2.63)
Последнее соотношение показывает, что ф(г) — неоднозначная функция
координат и после обхода по любому замкнутому контуру, охватывающему
контур с током, приобретает приращение 4тг J/c, где J — полный ток,
протекающий через произвольную поверхность, которая опирается на контур
интегрирования.
Условие (2.63) сходно с граничным условием (2.25) на поверхности
двойного электрического слоя мощностью кш = J/c. Поэтому на контур
с током можно натянуть произвольную поверхность и считать, что на ней
2.2. Магнитостатика
141
должно выполняться условие (2.63). Второе граничное условие —
непрерывность потенциала на двойном слое — также выполняется, поскольку
нормальная компонента магнитного поля непрерывна на любой
поверхности:
2.95. Найти псевдоскалярный потенциал ф магнитного поля,
создаваемого бесконечно длинным прямым проводом с током J. Вычислить
компоненты магнитного поля.
2.96*. Найти псевдоскалярный потенциал ф магнитного поля
замкнутого линейного контура с током. Решить задачу: а) путем
интегрирования уравнения Лапласа для потенциала; б) используя известное
выражение (2.50') для векторного потенциала.
Указание. При решении задачи первым способом воспользоваться
представлением решения уравнения Лапласа в виде интеграла по замкнутой поверхности,
см. пример 2.4.
Энергия и силы в постоянном магнитном поле. Вычислим работу
по перемещению контура I с током J во внешнем магнитном поле Н. Пусть
каждый элемент контура dl сместится на малый вектор ds. На элемент тока
действует сила Ампера (2.45), поэтому работа 5А по перемещению всего
контура запишется в виде
6А = £ (fss-[dlxH} = ^ j H-dS=^ ЯФ,
I 6S
где dS = 5з х dl, SS — полная поверхность, которую опишет весь
контур с током при его малом смещении (и, возможно, деформации). Интеграл
в предыдущей цепочке равенств представляет собой приращение
магнитного потока
Ф= f H-dS= f rot A-dS= I A-dl (2.65)
S S 1Щ
через контур с током при его перемещении. Это изменение, 5Ф, равно
как раз потоку через дополнительную поверхность, прочерченную
контуром (рис. 2.10). Вычисленная работа представляет собой, очевидно,
приращение энергии контура во внешнем поле:
6 А = SW. (2.66)
142
Глава 2
/—х—\
/ л \
/ /1 *
/ /
/ /
/
/
1 i
1
1
\
\j
^щ
\ w /
\ \/ /
\ Y /
\ А У
\АУ
dl
Рис. 2.10
Элементарная работа позволяет вычислить
обобщенные силы З'осу действующие на контур с током, так
как она связана с приращением обобщенных
координат 5qa известным из механики соотношением:
SA = ^2^aSqa.
Но аналогию с механикой можно углубить, если
ввести в рассмотрение потенциальную функцию контура
с током во внешнем поле
U
Ф.
(2.67)
Работа магнитных сил совершается за счет убыли потенциальной
функции: 5А = —SU9 а обобщенные силы вычисляются по обычным формулам
механики:
dU
&а. —
dqa
(2.68)
Следует иметь в виду, что потенциальная функция играет роль
потенциальной энергии только при бесконечно медленных перемещениях контура.
При конечных скоростях возникает явление электромагнитной индукции
(см. следующий раздел), которое изменяет силу тока в контуре и приводит
к появлению наряду с механическими электродвижущих сил.
Рассмотрим теперь взаимодействие двух контуров, а-го и 6-го, в
отсутствие прочих контуров. Роль внешнего поля играет поле другого контура,
и потенциальная функция их взаимодействия примет вид
la h
Здесь
$Ьа
■/
Аа • dlb
— магнитный поток поля а-го контура через b-й контур и использована
формула (2.50;) для векторного потенциала; R — расстояние между dla
и dlb. Удобно записывать потенциальную функцию в симметричной форме:
Uint = ^{Uab + Uba) = ~7Г~2 ^ LabJaJb,
2С афЬ=\
(2.69)
2.2. Магнитостатика
143
где
Lab = ff^^ (Lba = Lab) (2.70)
U lb
— коэффициент взаимной индукции двух контуров. Он определяется
(в отсутствие намагничивающихся материальных сред) только формой
и расположением контуров с током, а также направлениями их обхода
(направлениями токов). Силы взаимодействия контуров вычисляются
через Uint согласно (2.68). Магнитный поток, создаваемый контуром а через
контур Ь9 также выражается через коэффициент взаимной индукции:
Фьа = \bbaJa. (2.65')
Если толщины проводников не малы по сравнению с их длинами, то
в полученных выше формулах нужно сделать замену Jdl —> j dV и
интегрировать по объему каждого из проводников. Это приведет к выражениям
Uint = ~2j ^ J J R dVadVb = ~^ Yl L*bJaJb,
афЪ=\уауь афЪ=\
(2.71)
где коэффициент взаимной индукции
ЬаЬ = ХлП ia{ra)Rib{rb) dV« ль, (2-72)
Va Vb
и т. д. Все эти выражения пригодны и для произвольного числа токов, если
провести суммирование по всем токам.
Формулы (2.71), (2.72) позволяют построить потенциальную функцию
взаимодействия отдельных элементов одного и того же тока:
V V
(2.73)
Эти выражения можно рассматривать как результат взаимодействия
отдельных токовых нитей, на которые можно разделить любой ток конечной
толщины. Величина
L=±jm^idVdv> (2.74)
V
144
Глава 2
называется коэффициентом самоиндукции. При его вычислении
необходимо учитывать конечность сечения проводника, иначе соответствующий
интеграл разойдется.
Потенциальная функция только знаком отличается от энергии, которую
нужно затратить, чтобы создать в пространстве соответствующие токовые
распределения. Поэтому полную магнитную энергию W постоянных токов
можно записать в виде
W = -U = YcJj(r) • A(r)dV =^jj{r)'^r } dVdV
(2.75)
Эти выражения пригодны для постоянных токов в самом общем случае,
они включают в себя как собственные энергии любого числа проводников
с током, так и их энергии взаимодействия.
Магнитная энергия допускает полевую интерпретацию после
преобразования выражений (2.75) аналогично тому, как это делалось в
электростатике. Положив j = (с/47г) rot H согласно (2.54) и воспользовавшись
тождеством
А • rot Н = divfif х А] + Н • rot A,
будем иметь
W-8«
^ [Н • rot AdV + j- I[H xA]-dS,
v s
где S — поверхность, ограничивающая объем интегрирования V. В
случае системы токов конечных размеров можно интегрировать по всему
безграничному пространству. Интеграл по бесконечно удаленной поверхности
обратится в нуль, и магнитная энергия будет выражена только через
напряженность магнитного поля Н:
■/■
W=l<wdV, где w=±H2 (2.76)
— объемная плотность магнитной энергии. Согласно последнему
выражению, магнитная энергия, в отличие от (2.75), сосредоточена не только в
областях, где текут токи, но разлита по всему пространству с объемной
плотностью w. Аналогия с формулой (2.33) электростатики очевидна.
Пример 2.13. Пусть в пределах ограниченной в пространстве
системы постоянных токов с плотностью j(r) внешнее магнитное поле слабо
неоднородно. Выразить потенциальную функцию системы через ее
магнитный момент.
.2.2. Магнитостатика
145
Решение. Использовав формулы (2.65), (2.67), запишем искомую
потенциальную функцию:
(1) и = -~с■ j>A'dl^-\ jj(r).A(R + r)dV,
где г отсчитывается от некоторой точки внутри системы токов (см, рис. 2.8).
Представим векторный потенциал внешнего поля в виде
A(R + г) « A(R) + (г •■ У)Л(Я),
где оператор V действует на R. После подстановки этого выражения в (1)
первый интеграл обращается в нуль, что было получено при решении
примера 2.11. Второй интеграл преобразуем с помощью тождества (3) из
решения того же примера, заменив в указанном тождестве вектор г вектором V.
Это дает:
\ [J{r){r-V)dV = yc f[rxj{r)]dVxV = mxV.
Подставляя этот результат в (1), находим потенциальную функцию:
U = -[га х V] • A(R) = -m H, (2.77)
где H(R) = V х A(R) — напряженность внешнего магнитного поля. ■
Задачи
2.97. Найти силу F и вращательный момент JV, действующие на
замкнутый тонкий проводник с током в однородном магнитном поле Н.
Форма контура, образованного проводником, произвольна. Решить задачу
двумя способами: прямым суммированием сил и моментов сил,
приложенных к элементам тока, и с помощью потенциальной функции. Результат
выразить через магнитный момент га.
2.98. Найти потенциальную функцию U двух малых токов, магнитные
моменты которых mi, га^. Определить силу взаимодействия F этих токов
и приложенные к ним вращательные моменты N. Рассмотреть частный
случай mi || rri2.
2.99. Показать, что силы, действующие между малыми токами,
стремятся установить магнитные моменты этих токов параллельно друг другу
и линии, соединяющей центры.
146
Глава 2
Рис. 2.11
2.100. Найти потенциальную функцию U2i
(на единицу длины) двух параллельных бесконечно
длинных прямых токов ^i, J?2 и силу / их
взаимодействия на единицу длины.
2.101. Квадратная рамка с током J 2
расположена так, что две ее стороны параллельны длинному
прямому проводу с током £\ (рис. 2.11). Сторона
квадрата а. Определить действующую на рамку силу F
и вращательный момент N относительно оси 00'.
2.102. Рамка с током $2 состоит из души
окружности с углом 2(7г —<р) и соединяющей ее концы хорды
(рис. 2.12). Радиус дуги а. Нормально к плоскости
рамки через центр окружности проходит длинный прямой
провод с током $\. Найти момент сил N,
приложенный к рамке.
2.103. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки
радиуса b находится коаксиальный провод радиуса а. Найти самоиндукцию i£ на
единицу длины.
2.104. Линия состоит из двух коаксиальных тонких цилиндрических
оболочек с радиусами а и b (а < Ь). Найти самоиндукцию !£ на единицу
длины.
Рис. 2.12
2.105. Длинный прямой провод и кольцо радиуса а лежат в одной
плоскости. Расстояние от центра кольца до провода Ь. Найти коэффициент
взаимной индукции L\2 и силу взаимодействия F, если сила тока в
проводе /ь в кольце /2.
2.2. Магнитостатика
147
2.106*. Два тонких кольца с радиусами а и Ь расположены так, что
их плоскости перпендикулярны отрезку прямой длиной /, соединяющему
центры колец. Найти коэффициент взаимной индукции Li2. Результат
выразить через эллиптические интегралы. Рассмотреть, в частности, предельный
случай I ^> a, b.
2.107. Найти силу взаимодействия F между двумя кольцевыми
токами, рассмотренными в предыдущей задаче.
2.108. Найти самоиндукцию $£ единицы длины бесконечного
цилиндрического соленоида с густой намоткой и с произвольной (не обязательной
круговой) формой сечения. Площадь сечения 5, число витков на единицу
длины п.
2.109. Найти самоиндукцию L соленоида конечной длины ft и
радиуса a (ft ^> а), с точностью до членов a/ft. Ток, текущий в обмотке, заменить
эквивалентным поверхностным током.
2.110. Найти самоиндукцию L тороидального соленоида. Радиус
тора Ь, число витков N, сечение тора — круг радиуса а. Определить
самоиндукцию единицы длины соленоида в предельном случае b —► оо (~ =
= const). Решить ту же задачу для тороидального соленоида, сечение
которого — прямоугольник со сторонами а и ft.
2.111. Определить самоиндукцию !£ единицы длины двухпроводной
линии. Линия состоит из двух параллельных прямых проводов, радиусы
которых а и 6, расстояние между осевыми линиями ft. По проводам текут
равные по величине, но противоположно направленные токи $.
2.112*. Показать, что самоиндукцию тонкого замкнутого проводника
с круговой формой сечения можно приближенно вычислить по формуле9
где / — длина проводника, V — коэффициент взаимной индукции двух
линейных контуров. Один из контуров совпадает с осевой линией
рассматриваемого квазилинейного проводника, другой — с линией, по которой
пересекается с поверхностью проводника произвольная незамкнутая
поверхность 5, опирающаяся на его осевую линию (рис. 2.13).
9Первый и второй члены в выражении L могут быть названы соответственно внутренней
и внешней самоиндукцией, так как они определяют магнитную энергию, запасенную внутри
проводника и вне его.
148
Глава 2
2.113. Определить
самоиндукцию L тонкого проволочного кольца
радиуса Ь. Радиус провода a <t:b.
Указание. Использовать формулу,
приведенную в условии предыдущей
задачи.
Рис. 2.13 2.114. Определить коэффициент
взаимной индукции Lyi двух
параллельных отрезков длиной а,
расположенных на расстоянии I друг от друга и совпадающих с двумя сторонами
прямоугольника10.
2.115. Определить коэффициент взаимной индукции Lyi двух
одинаковых квадратов со стороной а, находящихся на расстоянии / друг от
друга и совпадающих с двумя противоположными гранями прямоугольного
параллелепипеда. Найти силу взаимодействия F между ними.
2.116. Вычислить самоиндукцию L проволочного квадрата со
стороной Ь. Радиус провода a <t:b.
Указание. Можно использовать результаты задач 2.112, 2.114.
Рекомендуемая литература: [Медведев (1977)], [Бредов и др. (1985)],
[Смайт (1954)], [Зоммерфельд (1958)], [Ландау и Лифшиц, Теория поля],
[Френкель (1956)], [Джексон (1965)], [Джексон (1975)], [Алексеев (1977)],
[Пановский и Филипс (1963)], [Сена (1988)], [Батыгин и Топтыгин (1970)],
[Тамм (1976)], [Камке и Кремер (1980)], [Стрэттон (1948)], а также [Фейн-
ман и др., в. 5 и задачи].
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное
поле
Закон электромагнитной индукции. В предыдущих разделах
рассматривались закономерности, свойственные неподвижным электрическим
зарядам и постоянным токам (за исключением закона сохранения
электрического заряда, который был сформулирован для общего случая). Здесь
будет рассмотрена общая картина нестационарных электромагнитных
явлений и уравнения, описывающие эти явления. Их основная особенность
10Искомый коэффициент взаимной индукции здесь не имеет непосредственного
физического смысла, так как токи в этих отрезках не могут быть замкнутыми. Однако через него
легко выразить индуктивность замкнутых контуров, имеющих параллельные прямолинейные
участки (см. следующие две задачи).
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 149
состоит в том, что переменные во времени электрическое и магнитное
поля, в отличие от полей статических, не могут существовать независимо.
Между ними возникает связь, приводящая к формированию единого
электромагнитного поля, которое описывается двумя напряженностями, E(r, i)
иН(г, t).B наиболее наглядной форме эта связь была обнаружена в опытах
английского физика М. Фарадея (1831 г.). Если замкнутый проводник
поместить в переменное магнитное поле, то в проводнике возникает
электрический ток, пропорциональный изменению магнитного потока через контур
проводника. Ток возникает и при движении проводника в постоянном, но
неоднородном магнитном поле, а также при вращении замкнутого
проводника в таком поле. Во всех случаях необходимо, чтобы изменялся
магнитный поток Ф через контур.
Возникновение тока означает, что в проводнике индуцируется
электрическое поле, которое вызывает и поддерживает ток. Мерой эффекта может
служить циркуляция напряженности электрического поля в замкнутом
проводнике, которая называется электродвижущей силой (ЭДС) индукции:
■/
gind = фЕ-dl. (2.78)
Основываясь на объективном характере законов природы, мы должны
предположить, что при изменении магнитного поля в данной области
пространства в ней возникает индуцированное электрическое поле независимо от
наличия проводника, в котором это поле может вызвать ток.
Количественная связь между магнитным и электрическим полями, найденная Фарадеем,
имеет вид
вгП* = ~Щ (2.79)
с at
и называется законом электромагнитной индукции.
Получим из этого соотношения интегральную связь между
напряженностями Е и Н. Предполагая, что произвольный контур I неподвижен
и на него надета поверхность 5, ограниченная этим контуром, будем иметь
из (2.78), (2.79)
jE-dl = -\ilHdS=--cjd-§dS- (2-80)
i s s.
Если интеграл в левой части преобразовать по теореме Стокса в интеграл
по поверхности, то получим
/(
rot Е+±Щ-) -dS = 0.
с at J
150
Глава 2
Наконец, учитывая произвольный выбор поверхности 5, получаем
дифференциальное уравнение
rot£ + ±^ = 0. (2.81)
с ог
Соотношения (2.80) и (2.81) представляют собой интегральную и
дифференциальную формы закона электромагнитной индукции Фарадея.
Уравнения Максвелла. Дифференциальную форму закона
электромагнитной индукции (2.81) можно рассматривать как обобщение
электростатического уравнения (2.10), rot E = 0, позволяющее описывать
нестационарные явления. Нетрудно убедиться в том, что и уравнение
магнитостатики (2.54) для rot if неприменимо для описания явлений, изменяющихся
со временем. Применяя операцию div к обеим частям этого уравнения,
получим divj = 0, что не согласуется с уравнением непрерывности (2.47)
в общем случае.
Обобщение уравнений электромагнитного поля, позволяющее на их
основе описывать весьма широкий круг нестационарных
электромагнитных явлений, произвел выдающийся английский физик Дж. К. Максвелл
в 1860-х годах:
rotjE(r,,) = _I^), (2.И)
rottf(r,t) = i^j^ + ^j(r,t), (2.83)
с ot с
div E(r, t) = 4тгр(г, *), (2.84)
div H(r, t) = 0. (2.85)
Уравнения для дивергенций (2.12) и (2.51) сохранили свой вид и при
описании нестационарных явлений. В уравнение (2.54) Максвеллом был добавлен
член с производной от напряженности электрического поля
тЛ' <286>
который называется током смещения. Он входит в правую часть
уравнения (2.83) в сумме с током j, создаваемым заряженными частицами (током
проводимости), и вместе с ним участвует в создании магнитного поля.
Именно наличие тока смещения позволяет обеспечить сохранение
электрического заряда: применив div к обеим частям (2.83), и использовав (2.84),
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 151
получим уравнение непрерывности (2.47). При заданных источниках
поля р и j уравнения Максвелла линейны, что приводит к принципу
суперпозиции полей в вакууме. Электрическое и магнитное поля по отдельности
могут существовать только если они постоянны. Эти случаи были
рассмотрены в разделах 2.1 и 2.2.
Пример 2.14. Показать, что уравнения Максвелла (2.84) и (2.85)
можно рассматривать как универсальные {одинаковые для всех задач)
начальные условия для уравнений соответственно (2.83) и (2.82).
Решение. Применив к обеим частям (2.83) операцию div и
использовав уравнение непрерывности (2.47), получим
-^(div£-47rp) = 0.
Отсюда следует, что разность div E(r, t) — 47гр(г, t) не зависит от времени.
Если она равна нулю при t = t0, то div E = 4тгр во все моменты времени.
Аналогичный вывод получается для div H = 0. ■
На поверхностях, на которых р и j имеют особенности,
напряженности поля должны удовлетворят граничным условиям, вытекающим из
интегральной формы уравнений Максвелла. Поскольку производные dE/dt
и dH/dt ограничены (скорость изменения во времени любой величины
конечна), то граничные условия в общем случае ничем не отличаются от
полученных ранее условий (2.17), (2.18), (2.58) и имеют вид
пх(Е2-Е1) = 0, (2.87)
п-(Е2-Е1) = 4тг<т, (2.88)
nx(H2-Hi) = |t, (2.89)
n.(H2-Hi) = 0. (2.90)
Величины а и i представляют собой поверхностные плотности
электрического заряда и тока соответственно.
Возможны разные постановки электродинамических задач. Наиболее
простым является случай, когда источники поля ри j можно считать
заданными, т. е. распределения зарядов и токов в пространстве и во времени
известны заранее. В этом случае задача сводится к интегрированию системы
линейных уравнений (2.82)-(2.85) с граничными условиями (2.87)-(2.90).
Но такая постановка задачи не всегда возможна, так как очень часто
движение заряженных частиц заранее неизвестно.
В этом случае уравнения Максвелла нужно дополнить уравнениями
движения частиц и решать их совместно. Поскольку координаты и скорости
152
Глава 2
частиц будут в общем случае сложным образом зависеть от напряженностей
поля, система уравнений станет нелинейной. Принцип суперпозиции полей
не будет выполняться. Такая постановка задачи, являясь более точной,
оказывается и значительно более сложной.
Системы единиц измерения электрических и магнитных величин.
До сих пор мы пользовались абсолютной гауссовой системой единиц. Она
наилучшим образом подходит для изложения фундаментальных законов,
так как в уравнения Максвелла явным образом входит одна из мировых
констант — скорость света с в вакууме, она же — предельная скорость
движения любых материальных тел, распространения сигналов и взаимодействий
(см. главы 3,4). Это облегчает установление связи между электродинамикой
и теорией относительности, специальной и общей.
Наряду с гауссовой системой, в прикладной электродинамике часто
используется так называемая международная система единиц (SI, или СИ).
В указанной системе электромагнитное поле в вакууме описывается
четырьмя векторами Е, D, В и Н. Уравнения Максвелла в этой системе единиц
приобретают вид
-r«E(r,t) = -**££, (2.91)
rotH(r, t) = dD{^ t] + j(r, 0, (2.92)
divD(r,*)=p(r,*), (2.93)
divB(r, t) = 0. (2.94)
Векторы Е, D и В, Н попарно связаны следующими соотношениями:
D = е0Е, В = fi0H, (2.95)
где
1 q7
£0 = о фарада/метр и //0 = 47г • 10 генри/метр (2.96)
47Г(Г
— электрическая и магнитная постоянные (подробнее см. в [Сивухин (1977)].
Эти возникающие в СИ величины по отдельности лишены какого-либо
разумного физического смысла; лишь их комбинация (£оМо)~1//2 — с
приставляет собой скорость света в вакууме.
Простота записи уравнений Максвелла в СИ обманчива. Кроме уже
указанных недостатков (четыре вектора вместо двух, использование
«электрической и магнитной проницаемостей вакуума» — реликта эпохи
«светоносного эфира») имеются и другие: разные размерности всех четырех
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 153
векторов, описывающих один и тот же объект — электромагнитное поле;
введение кроме трех основных величин (длина, время, масса), имеющихся
в гауссовой системе, еще четвертой величины с независимой размерностью
(сила тока, измеряемая в амперах). Последняя единица выбрана из чисто
практических соображений.
На основе приведенных выше соображений мы будем пользоваться
и в дальнейшем гауссовой системой единиц. Запись основных формул
электродинамики и перевод единиц измерения из одной системы в другую
можно без затруднений произвести с помощью таблиц, приведенных в
Дополнении 1 и частично заимствованных из книги [Сивухин (1977), & 85].
Анализ системы уравнений Максвелла. В следующих ниже
примерах и задачах мы рассмотрим основные свойства системы уравнений
Максвелла и вытекающие из них выводы об особенностях
электромагнитных явлений.
Пример 2.15. С помощью уравнений Максвелла (2.82)-(2.85)
обобщить полученные ранее выражения (2.34), (2.76) для плотностей энергии
электрического и магнитного полей на случай переменного
электромагнитного поля. Для этого использовать принцип сохранения полной энергии
любой изолированной физической системы и учесть, что величина pv -9l =
= j -&L = j E, где 9l — сила Лоренца (2.43), представляет собой работу
электромагнитного поля над заряженными частицами, движущимися со
скоростью v (в единице объема за единицу времени). Найти выражение
для плотности потока энергии электромагнитного поля и записать
баланс энергии поля в форме уравнения непрерывности с источником.
Решение. С помощью уравнений (2.82), (2.83) составим билинейное
выражение
Пользуясь тождеством (1.87) и поделив обе части последнего равенства
на 47г/с, запишем его в виде уравнения непрерывности с источником:
^+div7 = -j -E, (2.97)
где
™ = ^2 + Я2)' t=tExH- (2-98)
Для физической интерпретации этого соотношения придадим ему
интегральную форму, проинтегрировав обе части по объему V, ограниченному
154
Глава 2
поверхностью S:
d_
'dt
v
IwdV = <b~i-dS+ jjEdV. (2.99)
Последний интеграл в правой части представляет собой работу,
производимую электромагнитным полем над частицами (магнитный вектор работы
не производит). По закону сохранения энергии, эта работа производится за
счет убыли энергии поля
W= f ±(E2 + H2)dV (2.100)
v
в рассматриваемом объеме. Таким образом, величина w, определяемая
выражением (2.98), представляет плотность энергии электромагнитного поля
в самом общем случае. При j = 0 внутри объема убыль энергии поля может
происходить только в результате ее вытекания из объема через его
поверхность. Поэтому вектор 7 (вектор Пойнтинга11) следует отождествить12
с плотностью потока электромагнитной энергии. ■
Пример 2.16. Доказать теорему единственности решения уравнений
Максвелла: пусть источники поля (функции p(r, t) и j(r, t)) заданы. Пусть
также заданы начальные условия, т. е. значения Е(г,0) и Н(г,0) внутри
некоторого объема V, а на его поверхности S заданы граничные условия —
компоненты одного из векторов (ЕТ или Нт) во все моменты времени.
В этих условиях решение уравнений Максвелла внутри указанного объема
единственно.
Решение. Доказательство проводим от противного, предполагая
наличие двух разных решений Е\, Нi и Е2, Н2. Составляем разности
Е = Е\ — Е2, Н = if 1 - Н2. Они удовлетворяют уравнениям
Максвелла (2.82)-(2.85), в которых р = j = 0, а также начальным условиям
Е = Н = 0 при t = 0 внутри объема V и граничным условиям ЕТ = 0
или Нт ■ = 0 на поверхности S. Используем уравнение (2.99), в котором
следует положить j = 0:
11 Пойнтинг Д. Г. — английский физик, ввел понятие о потоке электромагнитной энергии
в 1884 г. Впервые идеи о движении энергии и о потоке энергии развил в физике сплошных
сред русский физик Н. А. Умов в 1874 г. Поэтому вектор 7 B русскоязычной литературе иногда
называют вектором Умова-Пойнтинга.
12 Вопрос об однозначности определения плотности потока энергии обсуждается в
разделе 4.3. См. также задачу 2.117.
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 155
Нормальная составляющая векторного произведения Е х Н выражается
через касательные компоненты Ет, Нт на поверхности S и обращается в
нуль в силу граничных условий. Поэтому из предыдущего равенства
получаем
' (Е? + H2)'dV = const.
/<
v
Но поскольку Е = Н = 0 при t = О, то постоянная в правой части равенства
тоже равна нулю. Это возможно лишь если Е = Н = 0 тождественно во
всем объеме. Теорема доказана. ■
Пример 2.17. Обобщить формулы (2.8), (2.49), связывающие
напряженности поля со скалярным и векторным потенциалами </?, А, на общий
случай электромагнитного поля, зависящего от времени. Указать
семейство потенциалов, описывающих заданное электромагнитное поле Е, Н.
Решение. Из уравнения Максвелла (2.85) следует, что вектор Н
является соленоидальным в самом общем случае и, следовательно, его
представление (2.49) через векторный потенциал сохраняется и для нестационарного
поля:
H(r,t) = V х А(г, *). (2.101).
Но формула (2.8) для переменного поля теряет силу, поскольку rot E ф 0
в общем случае. Обобщение (2.8) мы получим, использовав в (2.82)
равенство (2.101). Меняя последовательность дифференциальных операций,
будем иметь rot(.E + дА/cdt) = 0, откуда следует, что безвихревой вектор,
стоящий в скобках последнего выражения, можно выразить в виде
градиента скалярного потенциала — V</?(r, t). Это дает
E(r, t) = -V^(r, t) - \Щ^- (2-102)
Заданным напряженностям поля соответствует обширное семейство
возможных потенциалов. Обозначив
A'(r,*) = A(r, *) + VX(r, *), (2.103)
где \(г, t) — любая дифференцируемая скалярная функция, получим Н' =
= \7xAf = VxA = H. Это означает, что преобразование векторного
потенциала (2.103) не изменяет магнитного вектора. Чтобы электрический
вектор также не изменился, необходимо и достаточно одновременно
преобразовать скалярный потенциал:
¥,'(r,t)=¥,(r,*)-i^L^. (2.104)
156
Глава 2
Преобразование потенциалов (2.103), (2.104) называется калибровочным
(градиентным). Таким образом, заданному электромагнитному полю Е, Н
отвечает множество электромагнитных потенциалов А, </?, связанных
калибровочным преобразованием, которые можно получить со
всевозможными функциями x(f, i). Ш
Пример 2.18. Вследствие неоднозначности выбора
электромагнитных потенциалов А, (р на них могут быть налоэюены дополнительные
условия. Наиболее распространены следующие условия калибровки
потенциалов:
div А Н — = 0 (лоренцевская калибровка); (2.105)
с dt
div А = 0 (кулоновская калибровка). (2.106)
Получить из уравнений Максвелла уравнения для электромагнитных
потенциалов для случаев калибровок Лоренца и Кулона. В какой мере
условия (2.105), (2.106) ограничивают возможность калибровочного
преобразования потенциалов?
Решение. Подставив в уравнения (2.83), (2.84) напряженности
поля (2.101), (2.102), выраженные через потенциалы, получим систему
уравнений
ДА-
1 д2А
с2 dt2
Аср =
с \ с at
-Anp-lsLv-A.
cot
Использовав лоренцевскую калибровку (2.105), найдем
1 д2А _ 4тг „.
с2 dt2
^-i^r = -f;> <2-107)
СГ Otz
Оба потенциала удовлетворяют неоднородным уравнениям Даламбера.
При использовании кулоновской калибровки
ЬА-\^ = --3-1-%-У^ (2.109)
с2 dt2 cu cdt
А<р = -4тгр. (2.110)
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 157
Потенциалы А', у/ будут удовлетворять условию Лоренца (2.105) наряду
с А, (р9 если функция \ является решением однородного уравнения Далам-
бера:
ДХ-4^=0. (2.111)
При кулоновской калибровке функция \ должна удовлетворять уравнению
Лапласа. Таким образом, условия калибровки лишь ограничивают класс
функций, участвующих в калибровочном преобразовании. В статических
полях условия Лоренца и Кулона совпадают. ■
Задачи
2.117. Единственным ли образом определяется плотность потока
энергии электромагнитного поля из уравнения (2.97)? Указать другие
выражения, отличные от (2.98), но совместимые с (2.97), (2.99).
2.118. Шар радиуса а с зарядом е, равномерно распределенным по
объему, вращается с переменной угловой скоростью fl(t) вокруг одного из
своих диаметров. Записать плотности р(г, t), j(r, t), проверить,
удовлетворяется ли уравнение непрерывности (2.47).
2.119. Сделать то же самое для шара, заряженного равномерно по
поверхности.
2.120. Пусть электромагнитное поле разложено на гармонические
составляющие (т.е. в интеграл Фурье (1.250) по времени):
оо оо
E(r,t) = ± f Eu(r)e-iu)tdu>, Еш(г) = I' E(r,t)eiWtdu (2.112)
— оо —оо
и аналогично вектор Н. Записать уравнения Максвелла для гармоник
Фурье. Указать связь между гармониками Фурье Ей и Е-ш, а также между
гармониками напряженностей поля и электромагнитных потенциалов.
2.121. Пусть через единичную площадку проходит электромагнитное
возмущение конечной длительности. Выразить спектральную плотность
потока энергии электромагнитного поля Г^ через гармоники Фурье Ей
и Ни. Величина Г^ нормирована условием
оо оо
[гШ(1и = Г=^ f E(t) х H(t)dt,
158
Глава 2
где Г представляет собой полную плотность потока энергии через
единичную площадку за все время прохождения возмущения.
Указание. При интегрировании по времени использовать
представление (1.219) дельта-функции.
2.122. Электромагнитное поле разложено на плоские волны, т. е. в
интеграл Фурье (1.252) по трем координатам:
В(г, *) = Щз/ Ы№к ' Г #Ь «) = J E(r, t)e~ik ' т d\.
(2.113)
Здесь интегрирование производится по всему безграничному пространству
координат и по всему пространству волновых векторов к. Записать
уравнения Максвелла для пространственных гармоник Фурье.
2.123. Показать, что компоненты Фурье разложения безвихревого
вектора на плоские волны параллельны к (продольны), а компоненты Фурье
соленоидального вектора — перпендикулярны к (поперечны).
2.124. Разложить по плоским волнам потенциал </>(г) и напряженность
доля Е(г) неподвижного точечного заряда е.
2.125. Электромагнитное поле разложено на плоские
монохроматические волны, т. е. в интеграл Фурье по трем координатам и по времени:
(2тг) J
ЕШ= f Е(г,1)е-1(к-г-ш1)(Рг(И.
(2.114)
Записать уравнения Максвелла для гармоник Фурье.
2.126. Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца для
компонент Фурье потенциалов <р(г, £), А (г, t). Рассмотреть все три варианта
разложений Фурье (2.112), (2.113) и (2.114).
Свободное электромагнитное поле. Важнейшим свойством
уравнений Максвелла является возможность существования электромагнитного
поля в отсутствие источников, т.е. при р = j = 0. Система уравнений
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 159
в этом случае приобретает вид
rotS(r,,) = _I^vO, (2.115)
rotif(r, Ь) = 1Щ^, (2.116)
div£(r, t) = 0, (2.117)
div H(r, t)=0. (2.118)
Она имеет разнообразные ненулевые решения волнового типа, некоторые из
которых мы рассмотрим ниже. Именно это свойство уравнений позволило
Максвеллу предсказать новый важный физический эффект: возможность
существования и распространения со скоростью света электромагнитных
волн в свободном пространстве. Это привело к окончательному
установлению электромагнитной природы света, позволило раскрыть в дальнейшем
связь между электромагнитными и оптическими явлениями. Теоретические
открытия Максвелла и его последователей стимулировали
экспериментальное изучение электромагнитных волн. Наибольшее значение в этом плане
имели исследования немецкого физика Г. Герца, который в 1888 г.
экспериментально доказал существование электромагнитных волн, предсказанных
теорией Максвелла, измерил их скорость и изучил разнообразные
волновые явления (интерференцию, дифракцию, поляризацию). Основываясь на
работах Герца, русский физик А. С. Попов и итальянский физик, инженер
и предприниматель Г Маркони в 1890-х годах осуществили первые
передачи радиосигналов, положившие начало современным радио, телевидению
и мобильной телефонии. За свои открытия Маркони получил Нобелевскую
премию в 1909 г.
Пример 2.19. Из системы (2.115)—(2.118) вывести уравнения II
порядка, которым удовлетворяют векторы Е.и Н по отдельности.
Решение. Применяем к (2.115) операцию rot и используем
уравнение (2.116), а также тождество (1.83) и уравнение (2.117). Получаем
волновое уравнение, или однородное уравнение Даламбера:
АЕ-±^ =0. (2.119)
\_dPE
с2 di
Аналогичным путем получаем такое же уравнение для магнитного поля:
АН-\@Ц^ = 0. (2.120)
с
т2
160 Глава 2
Задачи
2.127. Путем перехода к переменным £ = х — ct, г/ = х + ct показать,
что волновое уравнение (2.119) имеет одномерное решение вида
Е(х, t) = EiF(x - ct) + Е2Ф(х + ct),
где Ei, E2 — постоянные векторы, F, Ф — произвольные дважды
дифференцируемые функции одного аргумента. Каков физический смысл этого
решения? Как его записать в такой форме, чтобы поверхность постоянной
фазы (плоскость, на которой Е сохраняет постоянное значение) была
перпендикулярна заданному единичному вектору п?
2.128. Пользуясь уравнениями Максвелла (2.115)-(2.118), показать,
что плоские волны, рассмотренные в предыдущей задаче, удовлетворяют
условиям поперечности
п-Е = 0, п-Н = 0. (2.121)
Показать также, что в плоских волнах, распространяющихся в одну
сторону, электрический и магнитный векторы взаимно перпендикулярны и
связаны соотношениями
Н = пхЕ, Е = Нхп, Е = Н. (2.122)
Найти связь между плотностью электромагнитной энергии и плотностью
потока энергии (вектором Пойнтинга) в таких волнах.
2.129*. Плоскую монохроматическую13 волну удобно описывать
комплексными функциями
Е = Е0е^к-т-шЬ), Н = Ное^к-г~шЬ\ (2.123)
понимая под физическими значениями полей действительные части этих
функций. Здесь Е0, Н0 — постоянные векторы (комплексные
амплитуды), величины ш (круговая частота) и к (волновой вектор) —
действительные постоянные (при распространении волн в вакууме).
а) Показать, что частота и волновой вектор плоской
монохроматической волны в вакууме связаны дисперсионной зависимостью14 и2 = с2к2,
а амплитуды удовлетворяют условиям Н0 = п х Е0, Е0 = -п х Но,
13«Одноцветную» волну, колеблющуюся с одной единственной частотой.
14В общем случае такой связи между частотами и волновыми векторами гармоник
Фурье (2.114) не существует.
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 161
где п = к/к — единичный вектор, определяющий направление
перемещения плоскости постоянной фазы </?(r, t) = к • г — ut = const.
б) Показать, что расстояние между соседними максимумами
электрического или магнитного полей в направлении п равно длине волны Л = 2тг/к.
в) Показать, что среднее по периоду Т = 2-к/и колебаний значение
энергетических величин, квадратичных по монохроматическим
компонентам полей вида А = Л0(г)е~гая, В = В0(г)е~ги;г можно вычислять,
пользуясь формулами
А* = [Re(A)}2 = ±|Л|2, ~АВ = Re(A) Re(B) = ± Re(AB*). (2.124)
г) Показать, что усредненные по периоду плотность энергии в плоской
монохроматической волне и вектор Пойнтинга связаны соотношением 7 =
= CWTl, W = |i?o|2/87T.
2.130*. В общем случае из комплексной амплитуды Е0 = E0i +г'2£о2,
где .Еоь -^02 — действительные векторы, можно выделить два взаимно
перпендикулярных действительных вектора 6\, #2, таких, что
Е0 = (*х + ig2)eia, Si 82 = 0, (2.125)
а а (—7г < а ^ 7г) — некоторая начальная фаза.
а) Выразить начальную фазу через первоначально заданные
векторы i£0l, -#02-
б) Показать, что наблюдаемое поле (действительная часть
комплексного вектора Е) записывается в виде
E = Si cos(k -r-LJt + a) - S2 sin(fc -r-vt + a). (2.126)
в) Показать, что конец вектора Е описывает в данной точке
пространства либо эллипс (эллиптическая поляризация), либо окружность
(круговая, или циркулярная, поляризация), либо колеблется вдоль некоторой
прямой (линейная поляризация). В случае эллиптической или круговой
поляризаций возможны два противоположных направления вращения, а при
линейной поляризации — колебания в двух взаимно перпендикулярных
направлениях. Поэтому при заданном направлении распространения волны
имеется два различных независимых типа поляризации.
г) Как определить направление вращения вектора Е относительно
направления распространения волны?
2.131. Две плоские монохроматические линейно поляризованные
волны одной частицы распространяются вдоль оси Oz. Первая волна
поляризована вдоль Ох и имеет амплитуду а, вторая поляризована вдоль Оу, имеет
162
Глава 2
амплитуду Ь и опережает первую по фазе на \- Исследовать поляризацию
результирующей волны в зависимости от а/Ь.
2.132. Исследовать в предыдущей задаче зависимость поляризации от
сдвига фаз \ Для случая а = Ь.
2.133. Циркулярно поляризованные волны распространяются вдоль
оси Oz. Записать комплексные орты е^\ а = 1,2, соответствующие волнам
с правой и левой спиральностями и нормированные условием е^ • е^а )* =
= <W •
2.134. Две циркулярно поляризованные волны
£?1,2 = £0е(1'2) exp[i(k -r-ut±a)]
имеют разные начальные фазы. Орты поляризации е^1'2) определены в
предыдущей задаче. Найти амплитуду результирующей волны и определить ее
поляризацию.
Частичная поляризация волн. Если волны, распространяющиеся
в заданном направлении п, генерируются многими независимыми
источниками, то их начальные фазы как правило случайны, и даже при высокой
степени монохроматичности (малый разброс частот Да;) результирующее
поле E(t) будет случайной функцией времени. Такое поле будет лишь
частично поляризованным. Его принято характеризовать тензором
поляризации
Jap = Ea(t)E*0(t), a, /J = 1, 2, (2.127)
где значения компонент поля берутся в одной точке, а усреднение
производится по времени наблюдения достаточной длительности. При
стационарных источниках усредненные таким образом произведения компонент
поля не будут зависеть от времени. Будем называть сумму диагональных
компонент поляризационного тензора
Jaa=I (2.128)
интенсивностью поля, поскольку эта величина характеризует плотность его
энергии. Заметим, что по определению (2.127) Jap = J^a, т.е.
поляризационный тензор эрмитов (см. раздел 1.1).
Пример 2.20. Пользуясь соображениями симметрии, записать
тензор поляризации полностью неполяризованных волн. Записать также все
возможные тензоры поляризации для полностью поляризованных
монохроматических волн.
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 163
Решение. В отсутствие поляризации все направления
электрического и магнитного векторов в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения, равновероятны. Этому случаю соответствует изотропный
тензор
Ja(3 = ^Saf3. (2.129)
Полностью поляризованной монохроматической волне с амплитудой (2.125)
в осях, направленных вдоль действительных векторов 8\, &2, отвечает
тензор
\( 8\ . ±г£к£2
j«*=H=f*U «П- (2Л30)
Такой тензор при произвольных <?i, (?2 и двух знаках недиагональных
компонент описывает волны с эллиптической поляризацией и двумя
возможными направлениями вращения. Циркулярно поляризованным волнам
отвечают тензоры
j«*=!j(-\ 0' Jtt/H70 "О* (2ЛЗ,)
описывающие волны разной спиральности. Наконец, двум направлениям
линейной поляризации соответствуют тензоры
J^ = !7(o о)' J^ = i7(o ij- (2Л32)
Обратим внимание на характерную особенность этих тензоров: их
определители \Jap\ = J\\Jii — |Лг|2 обращаются в нуль для поляризованных
волн. При частичной же поляризации \Jap\ > 0 и достигает наибольшего
значения /2/4 для полностью неполяризованных волн. ■
Пример 2.21. Представить тензор Ja/3 частично поляризованных
волн в виде суммы двух тензоров
U) J<*j3 = J^p + Jар >
из которых
w ■« - т (s;)
описывает полностью неполяризованную, а
(о\ Ар) _ 1 / В D
У6) Jap ~ 2 [ D* С
164
Глава 2
— полностью поляризованную волну. Из условий
(4) В^О, С^О, BC-\D\2 = 0
найти интенсивности /п, 1Р полностью неполяризованной и полностью
поляризованной волн, а также степень поляризации волны
и степень ее деполяризации
р=1-Р. (2.134)
Решение. Из (1), (2), (3) находим
B = 2Ju-Jn, C = 2J22-In, D = 2Jl2, D* = 2J21.
Из равенства нулю определителя тензора (3) получаем
In = Jn + J22 ± у/Ып -J22)2 + 4|J12|2. (2.135)
Решение со знаком минус перед корнем дает
B = Jn- J22 + V(Jn - J22)2 + 4|J12|2 £ О,
C = J22- Jn + x/(Jn - J22)2 + 4|J12|2 ^ 0,
тогда как решение со знаком плюс дает В ^ 0, С ^ 0 и должно быть
отброшено. Интенсивность полностью поляризованной волны
1Р = \{В + С) = x/(Jii-J22)2 + 4|J12|2 = ^/(J11+J22)2-4|Ja/3|.
(2.136)
Степень поляризации
Р =
/,
р
'p+'n ^ (Jll+J22)2'
4|Ja/3|
1 ^ (2.137)
Свертка Jaa = Jn + J22 и определитель | Ja/?| — величины, инвариантные
относительно поворотов (см. (1,263) и (1.265)), поэтому разделение полной
интенсивности на 1п и 1Р не зависит от выбора осей в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волн. ■
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 165
Задачи
2.135*. Представить тензор поляризации в виде разложения по его
собственным векторам (см. пример 1.1). Как связано такое разложение
с представлением этого тензора, рассмотренным в примере 2.21?
2.136. Плоская монохроматическая волна с интенсивностью /
распространяется вдоль оси Oz и поляризована по эллипсу с полуосями а, Ь.
Большая полуось а составляет угол д с осью Ох. Составить тензор
поляризации и рассмотреть возможные частные случаи.
2.137. Электромагнитная волна является суперпозицией двух
некогерентных «почти монохроматических» волн равной интенсивности /
с приблизительно одинаковыми частотами и волновыми векторами. Обе
волны поляризованы линейно, направления поляризации задаются в
плоскости, перпендикулярной их волновому вектору, ортами е^^(1, 0)
и e(2)(cos$, sin$). Построить тензор поляризации Цк результирующей
частично поляризованной волны и определить степень ее поляризации.
Выяснить характер поляризации этой волны (см. задачу 2.136).
2.138. Решить предыдущую задачу для случая, когда интенсивности
волн различны (Д ф Д), а направления поляризаций составляют угол 7г/4.
2.139. Тензор поляризации электромагнитной волны, который
является эрмитовым, может быть представлен в виде
Iik - ^I[Sik + ±,ЬЪ ) ~ 21 [& + гЬ 1 - Ь ) '
где / — полная интенсивность волны, & — вещественные параметры,
удовлетворяющие условию £2 = £i + £2 + £з ^ 1 (параметры Стокса), т^ —
матрицы:
*"-(!J)- *">-(!?)• **>-(5-0.)-
Выяснить физический смысл параметров &. Для этого выразить степень
деполяризации р волны через & и определить поляризации двух основных
волн, на которые распадается частично поляризованная волна, в следующих
трех случаях:
а) 6 Ф 0, 6 = Ь = 0; б) £2 ф 0, f 1 = 6 = 0; в) & Ф 0, £i = £2 = 0.
166
Глава 2
2.140. Назовем волновым пакетом суперпозицию плоских
монохроматических волн в свободном пространстве
ф(г, t) = ф(к) exp[z(fc • г - ujt)] d3k,
где Ф(г, t) — любая декартова компонента векторов Е или Н.
а) Найти условие, при котором Ф является решением однородного
волнового уравнения Даламбера независимо от вида амплитудной
функции ф(к). б) Построить одномерный волновой пакет для момента
времени t = 0. В качестве амплитудной функции взять распределение
Гаусса ф(к)= a0exp[-(fc-fco)2/Afc2], к = кх, где ао, ко, Ак — постоянные.
Найти связь между шириной Ах волнового пакета и его же шириной Ак
в пространстве волновых чисел.
2.141. Одномерный волновой пакет (см. предыдущую задачу) Ф(ж)
имеет в момент t = 0 форму
1. Щх) = Л0е-а|х|/2; 2.
Щх) = |
Ао при \х\ < а,
0 при \х\ > а,
где Ао, а — постоянные. Вычислить произведение Ах2 • Ак2, где Ах2 =
= х2 — х2 и аналогично для к. Усреднения следует производить по
распределению интенсивности волны в х- и fc-пространствах, т. е. по формулам
оо Г °°
х= x\4!(x)\2dx\ / \4*(x)\2dx
— оо ^оо
ОО г ОО
к= [ к\ф{к)\2 dk\ f №(k)\2dk
-1
1 -1
и т. д.
2.142. Волновой пакет Ф образован суперпозицией плоских
монохроматических волн с разными частотами в свободном пространстве.
Амплитудная функция имеет вид распределения Гаусса ф(и) = аоехр[— (а> —
-а>0)2/Даг], где а0, а>0, Да; — постоянные. Найти зависимость амплитуды
пакета от времени в точке х = 0. Получить связь между длительностью
волнового импульса At и интервалом частот Да?.
2.143. Волновой пакет Ф(х, t) образован суперпозицией плоских
монохроматических волн с разными частотами в свободном пространстве.
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 167
Форма пакета при х = О, Ф(0, t) = u(t)9 известна. Найти амплитудную
функцию ip(k).
2.144. Некоторый объект, освещаемый светом с длиной волны Л,
рассматривается в микроскоп. Найти минимальный возможный размер
объекта Axmin, допускаемый условием АхАк ^ 1.
2.145. Положение некоторого объекта определяется с помощью
радиолокации. С какой предельной точностью можно провести это измерение,
если расстояние до объекта /, длина волны Л?
Аналитический сигнал. Разложение Фурье типа (2.112)
действительной функции U'(t) можно записать в виде интеграла только по
положительным частотам:
оо оо
U'(t) = i [ и{ш)еГшь dw = i Га(ш)сов[(р(ш)-иЛ]<1ш, (2.138)
-оо О
где и(и) = а(и) exp[i<p((jj)]9 причем в силу условия и(—и) = и*(и),
а(и) и ip(u>) — действительные четные функции частоты. Обобщим
последний интеграл в (2.138) и будем рассматривать комплексную функцию
оо
U(t) = ^ f a{w)exp[i(<p{w) -wt)]du> = U'{t) +iU"(t). (2.139)
о
Мнимая часть
оо
U"(t) = ^ fa{Lj)sm[i(tp{Lj)-iLJt)]dLj (2.140)
о
однозначно определяется действительной частью U'(t)9 так как она
получается из последней путем замены фазы (р(и) каждой фурье-гармоники
на ip(uj) — 7г/2.
Величина U(t) называется аналитическим сигналом. Она часто
используется в теории волновых полей, теории колебаний, радиотехнике
и т. д. Характерной особенностью функции U(i) является то, что она
содержит гармоники Фурье только с положительными частотами.
Поэтому, если U(t) ограничена при всех действительных t (т.е. интеграл по и
в (2.139) сходится), то она останется ограниченной и при комплексных
значениях t = t' + it"\ лежащих в нижней полуплоскости [t" < 0). Это
объясняется тем, что при замене в (2.139) t на t' + it" под интегралом возникает
168
Глава 2
дополнительный множитель exp(utf"), который при t" < 0 только усилит
сходимость интеграла по и. Следовательно, функция U(t)9
рассматриваемая при комплексных £, аналитична (не имеет особых точек) в нижней
полуплоскости.
Задачи
2.146*. Пользуясь аналитичностью функции U(t) в нижней
полуплоскости комплексного t, найти интегральную связь15 между ее действительной
и мнимой частями:
оо оо
U'(t) = -\9 J y^ A', U"(t) = \9 J ^ А'. (2.141)
— оо —оо
Здесь символ 9 обозначает главное значение интеграла (без этого указания
вычислить интегралы невозможно ввиду наличия полюсов в точке t' = t).
2.147. Выразить энергию Г плоской немонохроматической волны,
прошедшей через единичную площадку за ограниченное время
существования волны, через аналитический сигнал, отождествив E(t) с U'(t). Записать
спектральную плотность энергии Г^ ( Г = J T^du)).
^ о '
2.148. Квазимонохроматический сигнал U'(t) = A(t) сой[Ф(Ь) - uot]
представляет собой косинусоиду с медленно меняющимися
амплитудой A(t) и добавочной фазой Ф(Ь). Выразить А и Ф через аналитический
сигнал U{t), действительной частью которого служит U'(t).
2.149. Затухающий источник излучения создает сигнал U'(t) =
= ЛоО(£)е~7*/2 sincjo^, где Q(t) — ступенчатая функция, 7 — постоянная
затухания, Л о = const. При каких условиях сигнал будет
квазимонохроматическим? Найти распределение энергии по частотам, пользуясь понятием
аналитического сигнала. Оценить полосу частот этого сигнала и
произведение AuAt.
2.150. Показать, что электромагнитное поле в свободном
пространстве можно описать одним лишь векторным потенциалом A(r, t)9
положив (р = 0.
15Формулы (2.141) называются в математике преобразованиями Гильберта. Они играют важ-.
ную роль в физике и называются в физической литературе дисперсионными соотношениями
(см. вторую часть этой книги).
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 169
Гам ил ьто нова форма уравнений свободного электромагнитного
поля. Свободное электромагнитное поле представляет собой линейную
колебательную систему с бесконечным числом степеней свободы. Колебания
происходят в каждой точке пространства, причем колебания в соседних
точках взаимно связаны через посредство волнового уравнения, в
которое входят производные по координатам. Линейную колебательную
систему в механике можно описывать при помощи нормальных (или главных)
координат, в которых она становится эквивалентной набору независимых
гармонических осцилляторов. Такое представление, возможное и для
электромагнитного поля, весьма удобно при решении некоторых задач
классической электродинамики (см. [Гинзбург (1987)]) и совершенно необходимо
при рассмотрении поля как квантовой системы.
Положим (р = 0 (см. задачу 2.150) и будем описывать поле векторным
потенциалом А(г), удовлетворяющим уравнениям
ДА -\^А= 0, divA = 0. (2.142)
Наложим на А в качестве граничных условий условия периодичности:
А(х, у, х, t) = А(х + L, у, z, t) = A(x, y + L,z,t) = A(x, у, z + L, t).
(2.143)
Все пространство оказалось разделено на области размером V = L3, в
которых поле ведет себя подобным образом. Из физических соображений
понятно, что физические процессы внутри объема мало зависят от условий
на его границах, если объем велик.
Разложим векторный потенциал на плоские волны с определенными
волновым вектором к и поляризацией а = 1, 2:
А(г,0 = $^<ьЛ0^кЛг), где Aka(r) = ekaA°eik-r, (2.144)
к<7
где А0 — нормировочный множитель, который будет выбран в
дальнейшем, вк<7 — единичные векторы поляризации плоских волн,
удовлетворяющие условиям поперечности к • вко- = 0 и условиям взаимной
ортогональности е\.а, • ек<7 = <W- Из условий периодичности (2.143)
получаем exp(ikxL) = exp(ikyL) = exp(ikzL) = 1, т. е.
кх = ^пи ку = ^п2, kz = ^n3, (2.145)
где /и, ^25 ^з = 0, ±1, ±2,... независимы и принимают только
целочисленные значения. Таким образом, сумма в (2.144) должна быть распростра-
170
Глава 2
нена на все возможные значения п\, П2, пз, которые составляют
бесконечное, но счетное множество. Базисные функции Ака(г) образуют полную
ортогональную систему функций, удовлетворяющих условию нормировки
J А*ка(г) • Aka(r) dV = (A°)2V6w <W- (2.146)
V
Последнее равенство легко проверяется с помощью явного вида (2.144)
базисных функций.
Из ортогональности функций (2.146) и волнового уравнения (2.142)
получаем систему уравнений для амплитуд Фурье:
qka + и^Яка = 0, где ик = ск^ 0. (2.147)
Они удовлетворяют уравнениям независимых гармонических
осцилляторов и представляют собой главные (но комплексные) координаты
электромагнитного поля. Общее решение уравнения (2.147) имеет вид
Qka(t) = b^e-iuJ^ + cvJ^\ (2.148)
где b, с— комплексные постоянные. Из вещественности А (г, £), т. е. из
равенства А* (г, t) = А (г, t) путем приравнивания коэффициентов при
экспонентах с одинаковыми показателями вытекают следующие соотношения
между коэффициентами:
еьаЬъа = e_k(Tc_k(T.
Если выбрать орты поляризации так, чтобы удовлетворялись условия
екст = е!ка) (2.149)
то получим Ьк<т = с!к<т, Ска = &!_ка и для комплексной амплитуды Фурье
QkAt) = Ь^е~1ш^ + Ы^е""*'. (2.150)
Эти соотношения позволяют записать (2.144) в виде
A(r,t) = ^[bka(t)A^(r)+Ka(t)Ala(r)], где bka(t) = bk(7e-iuJkt
(2.151)
удовлетворяет уравнению движения осциллятора (2.147). Отметим, что
разложение по плоским волнам здесь отличается по форме от аналогичного
разложения в задаче 2.122 и обладает некоторыми методическими
преимуществами.
Пример 2.22. Построить функцию Гамильтона свободного
электромагнитного поля в главных координатах и записать уравнения поля в га-
мильтоновой форме.
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 171
Решение. Вычислим энергию поля
W=± f (Е2 + Я2) dV (2.152)
v
в основной области V. Для этого вычислим напряженности поля с
помощью (2.144):
Е= -\А = -\Y,^A^ = -\Y,&*K*> (2.153)
ксг ксг
Н = rot A = i^k<T[fc х Ака] = -iJ^QkAk х А*к(7], (2.154)
ксг ксг
Пользуясь условием ортогональности (2.146), получим из (2.152)
w = (Л°)*_К ^ ф^) + Л2^*)^*)), (2.155)
87ГС tr
или, подставляя сюда на основе (2.150) q^ait) = b^a{t) + Ь!_к<т(*)> будем
иметь
W = {-^- ^2cj2kbUt)bka(t). (2.156)
ксг
Полная энергия поля в объеме V выразилась в виде суммы энергий
отдельных собственных колебаний, выраженных через комплексные главные
координаты. Введем действительные переменные Qko Лс<т-
Ь» = 5 (<*" + %)• (2-157)
Из их определения (2.157) следует, что эти переменные тоже удовлетворяют
уравнению движения гармонического осциллятора (2.147). Энергия
системы, выраженная через обобщенные. координаты и импульсы, называется
функцией Гамильтона системы. Обозначив функцию Гамильтона через Ж
и подставляя в (2.156) комплексные координаты, выраженные через
действительные переменные (2.157), находим
ксг
172
Глава 2
На этом этапе удобно выбрать постоянную нормировки А0 так, чтобы
эффективные массы осцилляторов поля стали единичными:
А° = ^. (2.159)
В итоге гамильтонова функция поля принимает канонический вид
ж = ^ж*<^ где ^- = l(pL + ^lQD- (2.160)
Канонические уравнения, или уравнения Гамильтона, получаются из
функции Гамильтона (2.160) обычным путем:
Qk. = Ц^ = a*, ha = -Щ- = -и&ъ* (2.161)
и приводят к правильному уравнению движения
Qka+u£QkcT = 0. (2.162)
Это доказывает, что Q, Р являются каноническими переменными для
осцилляторов поля. ■
С учетом выбранной нормировки координатные базисные функции
принимают вид
AUr)=e^J^eik'r. (2.163)
Задачи
2.151*. Если размер L основной области поля велик по сравнению
с длинами волн рассматриваемых колебаний, то волновой вектор и
частота меняются квазинепрерывным образом и на малый (Да; < и) интервал
частот приходится много осцилляторов поля. Показать, что число
собственных колебаний поля, приходящихся на малый интервал частот duo или
волновых векторов dk9 с учетом двух независимых поляризаций при каждом
значении к записывается в виде
dN = -^-k2dkdQk = -^ru;2du;dftk, (2.164)
(27r)J (2тгс)6
где dQb — телесный угол, внутри которого ориентирован волновой вектор.
2.4. Ответы и решения
173
2.152*. Два единичных вектора поляризации, в общем случае
комплексных, удовлетворяют условиям ортогональности e^s )* • е^ = 5SS>
и поперечности п • е^ = 0, где s, s' = 1, 2, п — единичный вектор в
направлении распространения волны. Доказать соотношения
е^е£°* = 5а(3 - папр, (а • e(s))(6 • e(s)*) = [а х п] • [Ь х п], (2.165)
где производится суммирование по повторяющемуся индексу s.
Рекомендуемая литература: [Медведев (1977)], [Бредов и др. (1985)],
[Зоммерфельд (1958)], [Пановский и Филипс (1963)], [Френкель (1956)],
[Новожилов и Яппа (1978)], [Батыгин и Топтыгин (1970)], [Тамм (1976)],
[Гинзбург (1975)], [Джексон (1965)], [Сивухин (1980)], [Алексеев (1977)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля].
2.4. Ответы и решения
2.1.
ф! = -2-kqz2\ Ei = Anpzez (\z\ < а/2),
(f2 = -7rpa(2\z\ - а/2), E^ = 27rpazez/\z\ (\z\ > a/2).
Ось Oz направлена по нормали к поверхности плиты. При переходе к
заряженной плоскости a —> 0, но произведение ра = а остается
фиксированным. Внутренняя область исчезает, на плоскости z = 0 выполняется
граничное условие (2.18).
2.2. <р(х, у, z) = — ^—- cos ах cos fiy cos jz.
OL + /Г + 7
4>v
2.3.
_47гро
= k2
jchXz
cos 72; +
A(ch(7rA/27)+sh(7rA/27))
cos ax cos /?£/, |z| < zq;
4тгро7 ехр[А(тг/27- |г|)] . о \ \^
¥>2 = —j— -———--——cosaxcosPy, \z\ > z0.
kzX 1 + tanh(7rA/27)
Здесь к2 = а2 + /?2 + 72, A = т/^2 + /?2- При предельном переходе
к заряженной плоскости имеем во всем пространстве <р = (2тга(х, у)/Х)х
х ехр(—\\z\), где а(х, 2/) = сг0 cos ax cos /??/, сг0 = lim (Azopo/ir). ЭкСПО-
ненциальное убывание заряда вдоль оси Oz объясняется тем, что плоскость
содержит разноименно заряженные участки.
174
Глава 2
2.4. Самый простой метод решения задачи — с помощью
электростатической теоремы Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения
Пуассона нужно записать оператор Лапласа в цилиндрических
координатах и воспользоваться тем, что вследствие симметрии системы потенциал
зависит только от г.
При объемном распределении заряда
2кг,
-2«ln-L ^ - 2к
Ч>2
■д'
Е2 =
(г ^ R).
При поверхностном распределении заряда у>\ = 0, y>2 = —2я1п(г/Д).
2.5. if = — 2я1п(г/Я), Е = 2к,/г, R — произвольная постоянная.
2.6. <p(r,z) = 2KoKo(jr)cosjz9 где Ko(jr) —
модифицированная функция Бесселя (1.163). Произвольная постоянная выбрана так,
что (^|г->оо —> 0. При jr < 1, (p(r, z) « -2^(z)ln7r, т.е. найденный
потенциал переходит в потенциал заряженной нити с локальным значением
линейной плотности заряда (см. задачу 2.5).
2.7. ф(х, у, z) = -±ln
z - а+ y/(z -а2) + х2 + у2
z + a + y/(z + а)2 + х2 + у2
2.8. Введем обозначения
zi = z + a, z2 = z - a, ri,2 = Jх2+у2 + z\2, С
Из результата предыдущей задачи следует, что
т\ +Г2 = 2а——- = const
О — 1
Z2 + Г2 '
(1)
(нужно учесть, что z\ — z2 = 2а).
Равенство (1) показывает, что эквипотенциальные поверхности
представляют собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с
концами отрезка.
2.4. Ответы и решения
175
2.9.
2.10.
Г
Vi(r) = ^, Bi=0 (г<Д);
^2(r) = -|, E2 = ^ (r>R).
2.11. Электрическое поле в полости однородно:
„4 4 / ч 4
Я = -тгрг - ^тгр(г - о) = ^тгра.
2.12. q = Атга
= 0,
(/(г-ДО
(R2~Ri)r2'
2 '
(Д2 - #0;
- 4 jn #2
i?2 — R\ R\
^ - q (l In r
i?2 — ^1 \ ^2
9
^3 = f
-t)
при г ^ jRi-;
при Ri ^ r ^ i?25
при r ^ i?2-
При i?2 —> #i = R и фиксированном значении заряда <?, получаем поле
сферы, равномерно заряженной по поверхности.
2.13.
г оо
<р(г) = ^ f p(r')r,2dr' + 4тг f p(rf)r'drf;
О г
г
E(r) = ^f[p(r')r'2dr'.
176
Глава 2
2.15. Поле электронного облака в атоме:
V.(r) = -2(l-e-^+£e-£-
ео
■E'er — 9
а
1_,2г + 1уа: + 2?в-
a J az
2т
(2.166)
(2.167)
Потенциал полного электрического поля в атоме
2.16. Напряженность поля максимальна на поверхности ядра:
Ев
.тах^ = 8,4.10"-^ В/см,
№)'
3 х 1(Г10Л2/3£2.
2д
2.18. ¥,= ^(Л/Д^ + Р-И);
-Е"х — Еу = 0, Ez =
ЛИ v/#rT^V'
где 2 — координата точки, наблюдения, отсчитываемая от плоскости диска.
2.19. Вследствие симметрии системы потенциал <р не будет зависеть
от азимутального угла а, поэтому можно без нарушения общности провести
плоскость xz через точку наблюдения. Тогда (рис. 2.14)
г12 = у г2 + R2 — 2rR sin д cos <У
7Г
<р(г, 1?) = 2хД / •
da1
y/r2 + R2 - 2rR sin d cos a'
где х =
2тгЯ*
2.4. Ответы и решения
177
dl= Rda'
Рис. 2.14
Произведя подстановку о! = 7г - 2/3 и введя обозначение
ArR sin д
r2 + #2 + 2r#sintf'
получим
<р(г, 1?)
AxR
d/3
2/сх
\/r2 +R2 + 2rRsmd J y/\ - fc2 sin2/3 >/гДsintf
tf(k).
2.20. a) <p =
л/Я2!^
=, где z — расстояние от плоскости кольца до
точки наблюдения.
б) Обозначив через г' расстояние от точки наблюдения до нити кольца,
получим при г' < R:
l-fc2«Ar, К(к) = 1пЩ и ^ (г) = -2х In r' + const,
4Д? г' w
как и должно быть в случае линейного заряда.
178
Глава 2
2.21.
pcostf 2pcos$ psin$
Vd = о ' ^dr = 4 ' ^d$ = 4—' ^da = °5
ip^ ipO ipO
Q ,~ 2o ,ч Q^COSt?)
_ 3QP2(cosi9) _3Qcos0siiH? _ _n
Здесь P2(cos-d) — полином Лежандра.
2.22.
OO I
*>(»•) = 1, L V2TTT—й+i—'
1=0 m=-l V '
где Qim — мультипольный момент порядка /, га:
Яы = ]I^Jp(r'ylYl*m^,a')dV.
Здесь интегрирование производится по всему объему, занимаемому
системой зарядов.
2.23. Разбиваем область интегрирования по г' в (2.9) сферической
поверхностью с радиусом г на внутреннюю и внешнюю области. Во
внутренней области используем разложение (1.182) с заменой а на г' и получаем
такую же сумму, как в предыдущей задаче, за исключением того, что муль-
типольные моменты Qim(r) становятся функциями г. Во внешней области
в разложении (1.182) нужно сделать замены а —> г, г —> г'. В итоге получим
оо v /
Z=0 m=-l v \ ' /
где
Интегрирование по г' в последнем интеграле проводится в пределах от г
до оо.
2.4. Ответы и решения
179
2.24. Если положительно заряженное полукольцо занимает об-
R2 + z2
ласть х > 0 в плоскости ху, то при х, у <С —5— получаем, разлагая
подынтегральную функцию в интеграле J ^dl в ряд:
AqRx
Ч> =
з '
7г(Д2+22)2
откуда
4<?Д I2g/tes
^х — -, &у —U, £/2 — -
7г(Д2+22)2 7г(Д2+22)2
При z ^> R получается поле, электрического диполя, момент которого на-
лен по
2.25.
правлен по оси х и равен ^qR.
Ч>\ = -^crorcos'd (r ^ R),
Внутри сферы — однородное электрическое поле с
напряженностью E\z— — 47гсг0/3. Вне сферы — поле диполя с моментом 47rcr0i?3/3.
2.26. Вследствие аксиальной симметрии поля уравнение Лапласа,
записанное в цилиндрических координатах (полярная ось направлена вдоль
оси симметрии системы), принимает вид
(1) ^ + I^ + ^V = 0.
дг2 г дг dz2
Будем искать решение уравнения (1) в форме степенного ряда по г:
оо
(2) ¥>(г, z) = J2"n(z)rn, ao(z) = у>(0, z) = Ф(г),
п=0
где Ф(г) — потенциал на оси симметрии системы.
180
Глава 2
Подставив (2) в (1), перегруппировав члены и приравняв нулю
коэффициенты получившегося ряда, найдем рекуррентные соотношения для
определения коэффициентов an(z)9 откуда:
<*> *) = Е тж*(2п) (*)(§Г = *w - t*"w + • • •'
n=0 Vnv
2.27. Нужно вычислить мультипольные моменты
Qlm = ^/^^(f- а)Дйа'
где к = q/2-KR. Используя формулы (1.184), (1.189), (1.192), найдем:
а^ (2п-1)!!/и\2п
y(r,tf) = |D-1) (2п)11 (г) P2n(cos^) приг>Д,
п=0
оо
о ^ (2п-1)!!/г\2«
y(r,<?) = |g(-l)" (2n)!, (%) ftn(costf) при г < Д.
п=0
Обе формулы справедливы также при г = Д(#^тП.
2.28. a) if ~ да г— = 2qa - ;
г г
Заа2 sin2 ft cos a sin a
б)?» -j— .
т ™ ч ~ 6да3Р3 (cos #) 3 15 cos3 •& - 9 cos tf
2.29. a) </? « = qa* - ;
г г
_ч lbqabcxyz 15ga6csin2 $ cos $ sin a cos a
б>^ г7 =— -Л •
Г Г
2.30. ф, t?,a)=«E оЙттрГ^т^о, ао)Г,т(^, а) при г < г0;
¥>(г, и, а) = 9 £ 5ГГт4тУ4(^о, а0)^т(<9, а) при г > г„.
2.4. Ответы и решения
181
2.31. ф, „,*)*£ + /(3*2-^Wr>) + cW-Q
Юг
В случае эллипсоида вращения, а = Ь и
, ,ч 9 , с2-a2 iMcostf)
В случае шара, а = 6 = си
«■-?■
2.32. В сферических координатах с полярной осью вдоль оси
симметрии системы и полюсом в центре колец
Это — потенциал линейного квадруполя, у которого заряды — g нахо-
Va2 - Ъ2 0
дятся на расстоянии - от центрального заряда 2q.
2.33*. Вычислим мультипольные моменты:
q = - f(pf. V)S{r) dV = - <f(p' • n)S{r) dS = 0,
так как S(r) = 0 всюду, кроме г = 0,
Pa = -jxa{p' ■ V)S(r) dV = - J XaP'n^ dV = J Pn^(v) dV.
Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. По
повторяющемуся индексу п подразумевается суммирование. Возникший
при этом поверхностный интеграл обращается в нуль, так как 6(г) = 0
при г ф 0. По определению ^-функции
Все мультипольные моменты более высокого порядка пропорциональны
компонентам г при г = 0 и поэтому обращаются в нуль. Рассмотрим,
например, компоненты квадрупольного момента. Действительно,
/дд(г) С их xq
ХаХ(ЗРп~дх^~ dV = 5^р'п дхп dV = Р'аХ(3 + Р(зХа
= 0.
г=0
182
Глава 2
2.34. После n-кратного интегрирования по частям, получим
^r)=q(-irfs(r')]l(ai-V)-r:^7-dV' = q]l(ai.V)l.
г ' ' i
о** гт А qa2(3z,2-r2)
2.35. Проще всего, воспользовавшись формулой <р =
г
(см. ответ к задаче 2.28), выразить в ней z' через х, у, z (рис. 2.15). Получим
по
<р = -^-[3(cos^cos7 + sin^sin7Cos(a — /?))2 — 1].
Рис. 2.15
Тот же результат можно получить, воспользовавшись тем, что совокупность
компонент квадрупольного момента представляет собой тензор II ранга.
В системе осей х1', у', z' компоненты квадрупольного момента
Q'xx = Qyy = Q'xy = Q'xz = QyX = 0, Q'zz = 2qa2.
Матрица коэффициентов преобразования имеет вид
(cos 7 cos (3 — sin (3 sin 7 cos (3\
cos7sin/? cos/? sin7sin/? ) .
— sin 7 0 cos 7 /
С помощью этой матрицы вычисляем компоненты Qap в системе xyz по
формулам
7, S
а затем используем формулу (2.21).
2.4. Ответы и решения
183
2.36. (^=^^sin2tfcostfsin2(a-/?).
2
2.37. if= ^(3sin2tfsin2a-3cos2tf-l).
2.38. По принципу суперпозиции можно написать
№ = I Р'(Г",з/) dV'= [Р- grad' —I— dV'.
7 \r-r'r J \r — r'\
V
Преобразуя это выражение с помощью теоремы Остроградского-Гаус-
са, получим (р(г) = Г -—rL— dS, где 5 — внутренняя поверхность поляри-
s \г~г\
зованного шара, a Pn = Pcosil). Используя результаты задачи 2.25, найдем:
AttPR3
3r2
<p2 = 47r^f cos^ (r^R).
2.39. ^(г)^-2^1пг+2ЕЛ-С05па+пБ-51ппа,где^^/р(г/)^/-
n=l nr
полный заряд единицы длины распределения, Ап = $ p{r')r'n cos na' dS'
и Вп = j p{r')r,n sin na'dS' — двумерные мультипольные моменты
n-го порядка.
Из этих формул, в частности, следует, что потенциал диполя в
двумерном случае имеет вид <р = , где р = J p(r')r' dS' — дипольный момент
г
распределения на единицу длины, г — радиус-вектор в плоскости ху.
2.40.
р(г,а) = -2к\пг+^2п{т) cosn(a-a0) при г > г0,
п=1 ^ '
°° 1 / г \п
ip(r, а) = -2к\пг + Y, п (74W cosn(a ~ ао) при г < г0.
п=1 ^ '
2.41. <p(r) ~ -^ cos а = , где р — дипольный момент на еди-
г
ницу длины, г — радиус-вектор в плоскости ху (г ^> а), ось z направлена
вдоль одного из линейных зарядов.
184
Глава 2
2.42. На оси симметрии диска (ось z направлена от отрицательной
стороны диска к положительной):
VR2 + z2; \z\
27ra2rz
|z|(a2 + z2)3/2'
2.43. а) В цилиндрических координатах:
Ет = Ez = 0;
&а — у,
Ez = 0. Поле Е совпадает
б) <р = 2т(ж - а), Еа = -Ig = ^; Ег
с магнитным полем прямолинейного тока £ — тс.
2.44. Уравнение силовых линий
(z + a)[(z + a)2+r2]"2 ±(z-a)[(z-a)2+r2}* = С,
где С — постоянная. На рис. 2.16 а изображена картина силовых линий для
случая разноименных зарядов. В случае одноименных зарядов в поле имеет
нейтральная точка г = 0, z = 0 (рис. 2.166).
Рис. 2.16
2.4. Ответы и решения
185
2.45. Целесообразно перейти к
сферическим координатам. Устремляя а к нулю,
разлагая в ряд и отбрасывая члены порядка а2 и
выше, получим г = С sin2 $.
2.46. г = C^sin2#|cos#|, С = const. He
следует забывать, что в случае квадруполя
конечных размеров, полученная формула
пригодна только для больших расстояний (рис. 2.17).
2.48. q2 -
Ф + y/2(y/2-l)nq
>/2(л/2 — 1)тг
2.49*. Рассмотрим силовую трубку,
полученную вращением некоторой силовой линии
вокруг оси z. Применив электростатическую
теорему Гаусса к объему, ограниченному боковой
поверхностью этой трубки и двумя плоскостями Рис 2 \q
z — const, не содержащему внутри себя
зарядов, найдем, что поток через любое нормальное
к оси сечение трубки Ф(г) = ^2 яЛ(^) (см. за-
i
дачу 2.47) не зависит от z (при изменении z между Zk и z^+i). Здесь il(z) =
= 27г(±1 — cosQJ — телесный угол, под которым видна отрицательная
сторона такого сечения из точки zi, где находится заряд qu cti — угол между
направлением оси z и радиусом-вектором точки контура нормального
сечения с координатами (г, z). Знак «+» нужно брать при z > zu знак «—»
при z < Zi. Если при изменении z нормальное сечение трубки перейдет
через заряд дь то Ф(г) скачком изменится на ±47гдь однако при этом не
изменится ^2 Яг cos Oii. Выразив cos а; через z,Zi и г, получим искомое
г
уравнение семейства силовых линий:
£
Яг(* ~ Zi)
yV2 + (г - Ziy
= С, С = const.
2.51. Выберем цилиндрическую систему координат, ось z которой
совпадает с осью цилиндра (рис. 2.18). Вместо условия ip\ = const на
поверхности 5 цилиндра удобнее использовать вытекающие из него уело-
186
Глава 2
вие
dip
да
0. В результате дифференцирования получим
ttlXl
К,2Х2
R2+x\ — 2Rxiqosql R?+x<2 — 2Rx2Q>osa
Освободимся от знаменателей и приравняем по отдельности члены с cos a
и без него. В результате получим, что при к\ = К2 эквипотенциальной
поверхностью будет любая цилиндрическая поверхность, ось которой
параллельна заряженным нитям и лежит с ними в одной плоскости, а радиус
удовлетворяет условию R2 = х\Х2. При х\ = 0 существует решение К2 = 0.
Этот случай соответствует цилиндрическим эквипотенциальным
поверхностям в поле одной нити.
Рис. 2.18
Рис. 2.19
2.52. Воспользуемся рис. 2.19. Радиус R искомой сферы и положение
ее центра определяются уравнениями
42
Потенциал на поверхности этой сферы равен нулю.
2.4. Ответы и решения
187
2.53.
Д<р = qA^r- = qA± + qA-
= -4тгд<5(г) + - — [г J = -A7rqS{r) + -
Таким образом, имеется точечный заряд q в начале координат и
сферически симметрично распределенный объемный заряд с плотностью р =
2.54. Точечный заряд ео в начале координат, окруженный объемным
_2г
зарядом с плотностью р(г) = —-^е а . Такой вид имеет распределение
7га
заряда в атоме водорода (ср. с задачей 2.15).
2.55. 9 = {р- V)£, N = pxE.
2.56. ^, A g2 Л Д1 1п^У
5i? 2i? i?2 — -Ri V -R2 — R\ R\ J
2.57. в1,2 = Д%/Д22+а2(^Д2 + а2Л1,2 - ЯА1>2).
2.58. £/ = /^p(r)dK = -#.
2.59. t/ = 5e§/4a.
2.60. Необходимым условием минимума потенциальной энергии
является обращение в нуль всех первых производных и положительность всех
вторых производных потенциальной энергии по обобщенным координатам
при некоторых значениях координат (в точке равновесия системы):
7Г-=0' ?У>0' * = 1,2,...,ЗЛГ,
Щсс dql
где 3iV — число степеней свободы N точечных частиц. Под qa можно
понимать их декартовы координаты. Выделим некоторую частицу и припишем
ей координаты gi, g2, (7з- Электростатический потенциал всех остальных
частиц в этой точке ip(qi, q<i-> (7з) удовлетворяет уравнению Лапласа
д2ю д2ю д2ю
А(р = —- Н Н = 0.
dql dql dql
Следовательно, потенциальная энергия U = eip(q\, q2, (7з) не может иметь
вторые производные одного знака в точке нахождения данного заряда.
188
Глава 2
Это рассуждение относится к любому заряду. Таким образом,
потенциальная энергия не имеет минимума, и равновесие системы точечных зарядов
неустойчиво.
2.61. U=q-^, F=q-^-.
а а2
2.62. Д=22™
El
2.63.
2тг 2тг
~ J J ri2 ~ 4тг2а6 У У ,/с2 + а2 + fc2 - 2afccos(ai - а2)'
1\ /г 0 0
где интегрирование выполняется по всем элементам обоих колец dl\ и d/2»
ai и a2 — углы, указывающие расположение элементов. Интегрируя по da2
и делая замену а\ = 7г - 2а, получим
7rva6
где
7Г
2
2>/аЬ л Тг(1\ Г da
к =
К{к)Чтт
sin2 a
— полный эллиптический интеграл первого рода.
При ]
формулой
При вычисление силы F = — ^- = _ т 7Г нужно воспользоваться
,2dK{k) _ E{k)
2к2 Y- = —Чт - К [к)
d(k2) 1-k2 K J
(см. справочник), где
7Г
2
Е(к) = [ у/\ -к2 sin2 a da
о
— полный эллиптический интеграл второго рода. Окончательно,
F _ Я1Ч2ск3 Е(к)
з 'l-fc2'
Ait(ab)2
2.4. Ответы и решения
189
2.64. Г = -Щ^- + Ц, N=q-^.
г г г
~ ,- тт sin^i sin^2cos(p — 2cosi?i cos #2 0 // \
2.65. t/ = pip2 -, , где tfi = Z(r, px),
r
$2 = Z(r, p2), </? — угол между плоскостями (г, рх) и (г, р2),
_ sini?i sin $2 cose/? - 2cos$i cos $2
F = 3pip2 7 ' •
Сила максимальна при д\ = $2 = ч> = О, т. е. при параллельных диполях.
2.66.
U2i = Jp{r')<pi(r')dV' =
Y.\J^\airnjr'lYlrn{d\ a')dV = J2al™Qlm-
Z, 7тг /, га
2.67. Да, при условии jQ к = 0. В противном случае dp/dt ф 0.
2.68.
Н0сг .^
Атга2
j = 0 при г > а.
Зг = h = 0, За = 2 Sin?? ПРИ Г '< а;
2.70.
//г = //z = 0, На = <
[ 2Jr/ca2 при г < а,
2 J/cr при a ^r ^b,
[ 0 при г > 6.
2.71. Рассмотрим решение задачи методом векторного потенциала.
Если направить ось z вдоль оси цилиндра, то прямоугольные компоненты А
будут удовлетворять уравнениям:
а)
ААх = 0, ААу = 0, AAz = -^-jz,
причем jz = 0 при г > a, jz = -Z— при г < а.
190
Глава 2
Поскольку в уравнении для Ах и Ау заданный ток £ не входит, эти
компоненты можно считать равными нулю; Az будет зависеть только от
расстояния г до оси z. Интегрируя уравнение для Az и используя условия
непрерывности Az и На на границе г = а и ограниченности Н при г = 0,
получим:
при г < а
2/
2г;
2/
(2) Лг = С-4(|) , Я.
при г > а
(2') A2 = C-4(l + 21n£), Яа
Константа С — произвольна.
2.72. При г < а
при a ^r ^b
2/«2 Л. г г! \ , „ „ 2/ / „2
^-^^Г'-^Г0- я" = *^)|г
при г > 6
2/ Ь 2/
Остальные компоненты А и Н равны нулю. Две любые константы,
входящие в Az, можно выразить через третью, использовав условия
непрерывности векторного потенциала на границах.
2.73.
„ 2/ / а-2х , . а + 2х\
и* = -^-(arcts^- + arcts^-J'
Ну = -Ш^) 7-2 *. = «•
(* + §) +У2
Ось у перпендикулярна полосе и проходит через ее середину.
2.4. Ответы и решения
191
2.74. Пластины отталкиваются с силой
f2
t-г
Г ( t a 1,, a?+tf\
-^arctg---Mn-^-j
2.75.
А 2<? In Г2 ^ In (а + х)2+У2
Az ~1п п" = ~с 1п 7 \2 i 2'
dAz 8/ аху
■Нх
ду
1'2
а — х , а + х
Пу = -т;— = г Ь
У Эх с V г? г22
Координаты проводников с током в перпендикулярной к ним плоскости
равны (а, 0) для тока +J и (—а, 0) для тока -/; п и Г2 - расстояния
от точек (а, 0) и (—а, 0) до точки наблюдения.
2.76. а) Между плоскостями Н = ^г, в остальном
пространстве Н = 0; б) между плоскостями Я = 0, в остальном
пространстве Я = -£-%. В обоих случаях магнитное поле направлено
перпендикулярно току и параллельно токонесущим плоскостям.
2/<*
с(62 - а2)
проведенной через оси цилиндров.
2.77. Яу = ^ ——, Ях = Hz = 0; ось у нормальна к плоскости,
2.78. В цилиндрической системе координат, ось z которой
перпендикулярна плоскости кольца и проходит через его центр.
A"4W\{l-^)-lE(k)
, Az — Ar — U,
где К (к) и Е(к) — полные эллиптические интегралы Лежандра, к2 =
_ 4аг
(a + rf+z2'
192
Глава 2
Компоненты магнитного поля:
Нг =
н
2/
с гу/{а + г)2 + z2
2/ 1
-K(k)+a2 + r'9+z2,E(k)
(а -г)2 +z
К(к) +
а2-г2- z2
{а - г)2 + z2
с у/{а + г)2 + z2
На оси витка (г = 0) эти выражения переходят в
2ira2J
Е(к)
, На=0.
Нг = 0, Hz
2 + ^2
с(а2 + г
2.79. В любом сечении такой трубки поток магнитного поля один
и тот же. Поэтому уравнение поверхности трубки:
N = Н dS = /(r, z) = const.
Линии пересечения этих поверхностей с плоскостями а = const и дают
искомые линии магнитного поля. < ■'
2.80. Компоненты магнитного поля:
я.--£-£^>м(5Г-я(,,-$я.(,)+...,
n=o ^ '
*-г-£?ЙЬ»в"-"м(5)' -FM+-.
^t(r
Яа=0.
Векторный потенциал выражается через напряженность магнитного
поля с помощью теоремы Стокса и соотношения Н = rot A:
^,г) = 1/я,г* = £-^я<->2(г)
2п+1
= §Я(г)-...
2.4. Ответы и решения
193
2.82. Предположим, что существуют два различных поля, Н\ и Н2,
удовлетворяющие уравнениям (2.51), (2.54) и (2.57) при заданных
объемных и поверхностных токах. Разность напряженностей Н = Н\ — Н2
удовлетворяет уравнениям
rot Н = 0, div Н = О,
и вектор Н всюду непрерывен. Полагая Н = rot А, получаем
Я2 = Н • rot A = div[A х Н] + А • rot H = div[A x H].
Проинтегрируем теперь обе части последнего равенства по всему
пространству. После применения теоремы Остроградского-Гаусса получим
[ H2dV= (f[AxH}-dS^0,
если произведение АН убывает на больших расстояниях быстрее чем г-2.
Последнее условие заведомо выполняется для ограниченной системы токов
(см. пример 2.11). Таким образом,
Н = 0 всюду в пространстве, и
решение задачи единственно.
2.84.
Hz = ^^(cos<9i+cos02),
где
cos#i
^а2 + (h - zf
COS 62 =
\far+,
Рис. 2.20
(см. рис. 2.20).
2.85. Решим задачу с
использованием векторного
потенциала. Плотность поверхностного тока от вращения сферы в сферической
системе координат с полярной осью вдоль и имеет вид
Ana
а)
194
Глава 2
Векторный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, а на поверхности
сферы — граничному условию, следующему из (2.57). В силу симметрии
тока векторный потенциал можно выбрать так, чтобы была отлична от нуля
только компонента Аа, не зависящая от а. Уравнение для нее записываем
с использованием формул (1.279):
(2) ДА, - ^утА* = о.
rz sin v
Ищем решение в форме
(3) Аа =F{r) smti,
удовлетворяющей условию div A = 0. Определяя F(r) с помощью
уравнения (2) и граничных условий, находим Аа и Н = rot A:
2рш „ 3r(m • г) ж
Н = 4^ при г < а; Н = —Ц—- -Щ при г > а.
бса г г5 гз
Здесь
^ еа2и
т г-
Зс
— магнитный момент системы (см. задачу 2.86).
2.86. Запишем с помощью дельта-функции ток вращающейся
сферы (см. формулу (1) в решении предыдущей задачи) через его объемную
плотность:
j = еа -2У-т sin -в 6(г - а).
Ana'5
С помощью формулы (2.59) находим магнитный момент га = еа2и;/3с,
полученный в предыдущей задаче другим способом. При распределении
заряда равномерно по объему получим га = еа2и/Ъс. Магнитное поле,
найденное по приближенной формуле (2.59), во внешней области г > а
совпадает с точным решением.
2.88. Подставив в (2.59) выражение (2.39) для плотности тока,
создаваемой точечными частицами, получим
а а
где ра = mava — импульс отдельной частицы. При еа/та = е/т
получаем формулу (2.61), определяющую магнитный момент системы частиц,
обусловленный их движением в пространстве.
2.4. Ответы и решения
195
Следует иметь в виду, что магнитный момент является важнейшей
физической характеристикой, присущей как многим макроскопическим
телам (постоянным магнитам, земному шару, Солнцу и звездам), так и
почти всем микрочастицам, заряженным (электроны, протоны, атомные ядра)
и электронейтральным (нейтроны, атомы). Внутренние моменты
микрочастиц называются спиновыми, они не связаны с их движением как целого
и обусловлены особенностями (во многих случаях неизвестными) их.
внутренней структуры. Между спиновыми магнитным ms и механическим Ls
моментами выполняется соотношение типа (2.61),
ms
VsLs,
однако коэффициент пропорциональности r}s не совпадает с ту = е/2тс
и различен для разных частиц. Спиновый магнитный момент представляет
собой квантовое явление, не объясняемое классической электродинамикой.
2.89. га
.и
е\
+
в2
т2
2.90. га
2с \ml
^iBez, где цв
77117712
7711 + 7712 "
eh ^
2тес ~
0,9 х 10 20 эрг/Гс — магнетон
Бора.
2.91. га = /xs
2.92. if (0) =
4/хб
405а3
ez, m = 6/ib^z-
2.93. га
2.94. га
5с
Ас
w,
■ш,
Н
Н
Зг(т- г)
1 + ^г
т
з "
г
1/2
+ 1 + *7
-1/2
-2
2e\z\
-и.
2.95. В точках, где j = 0, можно положить Н = — grad^- Тогда
уравнение rot if = 0 выполняется при всех ф, а уравнение div H = 0 дает
Последнее уравнение должно быть решено при дополнительном условии
i
H-dl = ^Jf,
где / — любой замкнутый контур, охватывающий ток £. Вводим
цилиндрические координаты г, а, г и ищем решение в виде ф = ф(а).
196
Глава 2
Окончательно получим
2 $ 2 $
Ф = --£<*, н« = -?г, Hr = Hz = o.
2.96. а) Чтобы скалярный потенциал ф магнитного поля был
однозначной функцией, выберем некоторую поверхность 5, опирающуюся на
контур с током, и будем считать,
что при переходе через эту
поверхность ф терпит разрыв:
(1) tf(2)-tf(l)=ir/.
Точки 1 и 2 лежат бесконечно близко
друг к другу по разные стороны
поверхности, причем направление из 1
в 2 составляет с направлением тока
правовинтовую систему (рис. 2.21).
Решение уравнения Лапласа
можно записать в виде (см.
пример 2.4):
Рис 2 21 В выражении (2) интегрирование
нужно проводить по бесконечно
удаленной замкнутой поверхности 5',
а также по всем замкнутым поверхностям Е$, лежащим на конечном рас-
стоянии от начала координат, внутри которых ф или — имеют разрывы.
on
В рассматриваемом случае интеграл по бесконечно удаленной поверхности
равен нулю, так как источник поля (контур с током) имеет ограниченные
размеры. Поверхности, на которых нормальная производная — = —Нп
on
имеет разрыв, отсутствуют, так как Нп — непрерывная величина. Поэтому
в (2) интеграл должен быть взят по одной поверхности Е до совпадения с S.
Будем стягивать Е до совпадения с S. Вследствие непрерывности
величин -, — и -^- ( - ) на поверхности 5, формула (2) примет вид
г on on \r/
(3) ^ = -J-|Wi)_^(2)]A(I)dS|
где интегрирование теперь ведется по незамкнутой поверхности S.
2.4. Ответы и решения
197
Используя равенство (1), получим
г3
r-dS
Интеграл J r ' представляет собою телесный угол Q, под которым виден
контур с током из точки наблюдения, поэтому формулу (4) можно записать
в виде
знак П положителен, если радиус-вектор г, проведенный из точки
наблюдения в некоторую точку поверхности 5, и направление тока в контуре
составляют правовинтовую систему.
б) Преобразуем интеграл (2.50') по контуру в интеграл по поверхности,
опирающейся на контур; используя формулу (1.99), получим
A=4/<*Sxv(i) = 4/vM(£)xdS,
где Vm означает дифференцирование по координатам точки наблюдения М.
Вычисляя Н = rot А, находим:
(5)
Н=4~ J(dS • VM)VM (£) = 4V^ JdS'VM (£).
(При преобразовании использовано равенство Д ( - ] =0; предполагается,
что точка г = 0 не лежит на поверхности интегрирования.) Сравнивая (5)
с формулой Н = — grad гр, получаем
*--4/*.v,(i)~4/i^e~4»-
2.97. F = 0, N = тп х Н,
где га = ^- f n- dS — магнитный момент контура с током.
2 98 Е/ = mi m2 3^mi' r^m2' r) -
F2 = -F\ = -r[(mi • r)ra2 + (ra2 • r)m\ + (mi • m2)r\-
r°
15
=-(mi • r)(rri2 • r)r,
r'
198
Глава 2
где г — радиус-вектор, проведенный от первого тока ко второму, Fi, F2 —
силы, действующие на первый и второй токи;
3(ш2 • r)(mi х г) ш2 х mi
■Wi = ё 1 о »
3(mi • r)(m2 х г) mi х ш2
■^2 = ё 1 о ,
где iVi, iV2 — вращательные момент, приложенные к первому и второму
токам соответственно. Следует отметить, что N\ Ф iV2, но
Ni+N2 + {r xF2)=0.
Если магнитные моменты параллельны (mi = rain, m2 = ra2n, r = rro,
п и го — единичные векторы), то получим
3ra2ra2[2ncos?? - r0(5cos2,#- l)]
^2 = 1 ,
где д — угол между п и го-
2.100. Потенциальная функция тока ^2 в поле тока $\\
2/1/2
U21 = 5— In a + const,
<r
где а — расстояние между токами.
Сила, действующая на единицу длины второго тока:
г 1*21 _ 2/l/2
7 а с2а "
При параллельных токах (/i и /2 одинакового знака) имеет место
притяжение.
2.101. Сила F и вращательный момент N определяются
дифференцированием потенциальной функции:
тт/ \ $\$2& , 4г2 + а2 + 4аг cos а
£/(г, а) = — In 2— .
с Arz + az — Aar cos а
2.4. Ответы и решения
199
2.102. N = * £ ° (sin уз- <^cosv?).
2.103. i?=l+21nj.
2.104. i? = 21ni
2.105. L12 = 4тг(6 - \/Ь2-а2);
/1/2 9L21 =4тг/1/2/
с2 96 с2 V
V62 - а2
2.106*. В этой задаче удобно использовать формулу (2.70). Вычисляя
интеграл так же, как в задаче 2.19, получим
L12 = Anvab
(И)*(*)-|вд"
где
К(к) = J
dip
Vl - к2sin2 V»
£(fc) = /" ^/l - к2 sin2 фйф,
Aab
{a + bf+l2
При l^> а,Ь, параметр к мал:
/с ~ [2 , к.
2Vab
I
«1,
поэтому можно использовать приближенные формулы для Е и К (см.
справочник Градштейна и Рыжика (1971), 8.113, 8.114.)
*<*>-§ 0+$*•+&**)■ ад-§(i-**-&*■)•
Оставляя в выражении для L\2 только члены, пропорциональные /с3,
получим в первом неисчезающем приближении
^12 =
2тг2а2Ъ2
/3 "
200
Глава 2
Последний результат легко получить и из равенства Ь\2 = —^->
рассматривая кольца с током как магнитные диполи.
2.107. В обозначениях предыдущей задачи
F = 47Г/1/2 I
у/{а + б)2 + I2
„2 , и2 , /2
2.108. !£ = 47гп25. Для соленоида большой, но конечной длины h,
пренебрегая краевым эффектом, получим полную индуктивность
* L = 47rn2Sh.
2.109. Вычисляем магнитную энергию по формуле
2с2 J R
Здесь dS\ и d52 — элементы поверхности соленоида, R — расстояние между
ними, через {{гг = i2 = i = n&) обозначена плотность поверхностного
тока, которым заменен ток, текущий в обмотке соленоида, п — число витков
на единицу длины.
Интеграл удобно вычислять в цилиндрических координатах:
h h
w =7ГП а J t л„_ t a„_ t cosada
с2
dz\ dz2 Ф
v/(^i-z2)2+4a2sin2f
27r2a2n2J2h(l-^r)
Зтг/г/
с2
где отброшены все члены порядка ( j- ] и выше. Отсюда
L = A7r2a2n2h(l-^-).
Если пренебречь членом a/h по сравнению с единицей, то получится
результат предыдущей задачи:
L = 4тг2а2п2/г = 4тт257г.
2.4. Ответы и решения
201
2.110. Для кругового сечения
L = 47rN2(b- y/b2-a2).
Самоиндукция на единицу длины !£ = —— для бесконечного соленоида
получится, если сделать предельный переход Ь —► оо при заданном числе
N
витков на единицу длины п = —г:
<£ = 4тг2п2а2 = 4тгп25
(ср. с задачей 2.108).
Для прямоугольного сечения
L = 2N2hln%±±.
2b-a
При b > а опять имеем !£ = 47гп25.
2.111. Вычислим магнитную энергию единицы длины линии по
формуле (2.75). Векторный потенциал прямого провода с током был получен
в задаче 2.71. Для провода 1 (рис. 2.22) запишем его в виде
Рис. 2.22
Alz = C-
1А_
со2
при 7*i < а,
(1)
Alz = C-£-(l + 2lnty при п>а.
Векторный потенциал, создаваемый проводом 2, получится при замене в (1)
$ на — ^, а на 6 и ri на Г2.
Находим магнитную энергию:
W-^ f(Alz + A2z) dSY - -£— f(Alz + A2z) dS2.
2-kcqt J 2-ксЬ1 J
(2)
Интегралы, входящие в (2), можно вычислить, использовав справочник
Градштейна и Рыжика (1971). Учитывая затем связь между
коэффициентом индуктивности и магнитной энергией системы, получим окончательно:
^ = 1 + 21п^.
ab
202
Глава 2
2.112*. Полная магнитная энергия тока, протекающего по проводнику,
складывается из двух частей:
(1) W = Wi+W2,
где
w1 = ±JhUv
— энергия, запасенная внутри проводника и интегрирование ведется по
объему проводника,
-£/*
W2 = ^- I Щ dV
— энергия, запасенная в остальном пространстве.
Предположим, что можно ввести параметр г о, имеющий размерность
длины и удовлетворяющий условию
(2) а < го < Я,
где а — радиус проводника, R — радиус кривизны осевой линии проводника
(который в общем случае меняется от точки к точке). Тогда на расстояниях,
меньших го, магнитное поле можно считать совпадающим с полем
бесконечного прямого провода. В частности, внутри провода:
Hl = —г
(см. задачу 2.71). Это позволяет найти «внутреннюю» энергию W\\
(з) w, =
Ac2
Для определения «внешней энергии» W2 построим вспомогательную
поверхность 5, опирающуюся на произвольный контур, лежащий на
поверхности проводника, и введем скалярный потенциал ф. Скалярный
потенциал будет испытывать на S скачок
(4) ф+-ф- = ^^.
Интеграл, через который выражается Wi, можно преобразовать следующим
образом:
f(HH)dV = - f HgradipdV = - fdw{ipH)dV = - <f>rpHn
dS
2.4. Ответы и решения
203
(здесь опущен индекс 2 и использовано уравнение div H = 0). В последнем
интеграле интегрирование должно проводиться по обеим сторонам
вспомогательной поверхности 5 и по поверхности проводника 5' (см. рис. 2.23,
на котором изображено сечение проводника некоторой плоскостью).
Интеграл по бесконечно удаленной поверхности обращается в нуль вследствие
конечных размеров проводника с током. Таким образом,
(5) W2
l-j^HndS + ±j^Hn
8тг
dS
87г/
^-HndS.
Первый из этих интегралов обращается в нуль, так как в силу
условия (2) магнитное поле на поверхности S' совпадает с полем
прямолинейного провода и имеет, следовательно, только касательную составляющую.
Для преобразования других двух
интегралов нужно использовать
равенство (4) и условие непрерывности
компоненты Нп. Получим
(в)
w2
2с
/я-
dS.
Рис. 2.23
На больших расстояниях от провода
(г > го) магнитное поле не зависит от распределения тока по сечению
проводника, поэтому можно считать, что ток течет по оси. На малых
расстояниях (а ^ г < го) это поле совпадает с магнитным полем бесконечного
круглого цилиндра, и тоже можно считать, что ток течет по оси. Таким
образом, интеграл в формуле (6) представляет собою поток магнитной
индукции, создаваемой током, текущим по оси проводника, через поверхность,
которая опирается на замкнутый контур, лежащий на поверхности
проводника. Используя выражение потока через коэффициент взаимной индукции,
получим
(7)
W2
2с2
:L'.
С помощью формул (1), (3), (7), используя связь между коэффициентом
самоиндукции и магнитной энергией системы, получим требуемую формулу
для коэффициента самоиндукции:
(8)
l = { + l:
204
Глава 2
2.113. Используя результат предыдущей задачи, получим
Ь, = 4тгЬ(1п§-2).
Полная самоиндукция
L = 47rMlnf-|
2.114. L12 = 21- 2у/о? + I2 + 2а In Q + ^2 + /2.
2.115. Используя результат задачи 2.114, получим
^12
I - 2 Va2 + I2 + ^2а2 + /2 + а In Q + ^2 +J!
а 1п
а + \/2а2 + /2
л/^Т/2 '
8/i/2
а2 + 2/2 W2a2+l2
Wo2 + I2 a2 + /
2 . /2
-1
2.116. L = 2b
41n-
26
а(1 + \/2)
+ 4ч/2-7
2.117. 7; = j^-i2 x if + V x К, где К — любой вектор, зависящий
от напряженностей электромагнитного поля.
2.118. р = -^Ц-6(а - г); j = рП х г, где в — ступенчатая функ-
Акаг
ция (1.212).
2.119. р
Ana'
;S(a — г); j = рП х г.
2.4. Ответы и решения
205
2.120.
rotEuj
rot H и
div Euj
div H uj
Ей
Huj
ILJ тт
— —-&U) -r —Jw>
= ^TTpcj,
= 0,
= -v^ + ^Uu,
= V x Au.
В интегралах (2.112) изменение знака частоты эквивалентно
изменению знака мнимой единицы г. Поэтому Е-ш = Е^- Такое
соотношение между гармониками Фурье справедливо для любой действительной
функции.
2.121. rLJ = -^Re[ELJxH*UJ}.
47Г
2.122.
ikx Еъ = --^Нъ,
tfcxHk = ±£k + ^Ljk,
ik- Ek = 4тгрк,
к • Нк = 0.
2.124. Фурье-образ потенциала точечного заряда был найден в
задаче 1.137:
ipk = ^f, Ek = -ikipk.
/г
Другой способ решения задачи — использование интеграла Фурье ср(г) =
— J </?к ехр(г& • r)d3k. Применив оператор Лапласа под интегралом,
найдем A(p(r) = f(—k2(pb)exp(ik • r)d3k, откуда (Д<р)к = —к2(рк. С другой
стороны, выполнив преобразование Фурье обеих частей уравнения
Пуассона А(р(г) = —4тге5(г), будем иметь (Д<р)к = —47ге. В итоге получаем уже
приведенный выше ответ.
206
Глава 2
2.125.
к х EkuJ = —ilka;,
к х if ко; = -^Еьи - i-ffjbuj,
ik • EkuJ = Атгрьи,
к • HkLJ = 0.
2.126. Разложение на гармонические составляющие:
сг с
ji
A<Aj + -^«Ад; = -47TPCJ,
<г
divAcj - ^«^ =0.
Разложение на плоские волны:
Ак + к2с2Ак = 4?rcjk,
<j5k + A:2c2(/?k = 47rc2pk,
icfc • Ак + </?к — 0-
Разложение на плоские монохроматические волны:
к2 - ^Т ) ^кЫ = 47ГркЫ,
с2
fe • -Aka; - 7"^ka; = 0.
2.127. В переменных £, ту одномерное волновое уравнение принимает
вид д2Е/д£дг] = 0, откуда следует приведенное решение. Оно описывает
две плоские волны произвольной формы, распространяющиеся в
противоположных направлениях оси Ох со скоростью с. Решение, описывающее
распространение плоских волн в направлении п, имеет вид
E(r, t) = EYF{n -r-ct) + Е2Ф(п • г + ct).
2.4. Ответы и решения
207
2.128. 7 — cwn, w = (Е2 + Н2)/8тг = Е2/Атг. Энергия переносится
в пространстве со скоростью с.
2.130. tg2a = 2Eoi • Е02/(Е1 + E&).
Для определения направлений вращения запишем (2.126) в проекциях на
оси координат, выбрав постоянно используемую правую систему координат
с осью Ох вдоль 8\ и осью Oz в направлении распространения волны к.
Аргумент тригонометрических функций запишем так, чтобы он
увеличивался с ростом t. Будем иметь
Ех = 8\ Qos(ujt — к • г — а),
Еу = ±§2 sin(a;£ — к • г — а),
где ё\ ^ 0 и @2 ^ 0, знак плюс во второй формуле отвечает правой тройке
векторов S\, S2, к, а знак минус — левой тройке. При знаке плюс волна
имеет правую спиральность, т. е. направление вращения вектора Е и
направление распространения образуют правый винт. При знаке минус спиральность
левая (винт с левой нарезкой). По историческим причинам в оптике
принята противоположная терминология: вращение вектора Е в направлении
правого винта называют левым, а противоположное вращение — правым.
2.131. По методике предыдущей задачи, записываем
Е0 = Ег + Е2 = аех + beixey = {8Y + i82)eia
и находим
8\ = acosaex + 6cos(x — a)ey,
82 = -asinaex + 6sin(x - a)ey,
b2 sin 2\
<r + tr cos 2x
(последнее равенство получено из условия 8\ $2 — 0). Спиральность
результирующей волны определяется знаком произведения &2-е>у', где еу> =
= пх8\/8\ — третий орт, составляющий правую тройку с ех' = 8\/8\ и п.
Используя полученные выражения, находим 82 -eyf = oh sin xj8\. Согласно
результатам предыдущей задачи, при аЬ > 0 и sinx > 0, 0 < \ < я"»
спиральность правая, при sinx < 0, -7г < х < 0 — левая. При х = 0
и при х = =Ьтг поляризации линейные в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях.
2.132. При х = 0 поляризация линейная, плоскость поляризации
проходит через биссектрису угла между осями Ох, Оу. При \ — я" поляризация
208
Глава 2
е'
Рис. 2.25
тоже линейная, плоскость поляризации проходит через биссектрису угла
между Ох и — Оу. При \ — к/2 поляризация круговая с правой спирально-
стью (рис. 2.24 а).
При х — — 5 поляризация круговая с левой спиральностью (рис. 2.24 б).
В остальных случаях она эллиптическая, причем при 0 < \ < я" спираль-
ность правая, при —7г < х < 0 — левая.
2.133. е*1) = е<2>*
вх "т" ^Gy
V2-
2.134. 8 = у/2Еое'. Поляризация линейная, орт е' составляет угол а
с осью Ох (рис. 2.25).
2.135. Jaf3 = iW&ef + I^e^ef*,
где /(*), 1^ — главные значения эрмитова тензора (действительные
величины), а е^\ е^ — его собственные векторы, в общем случае комплексные
и описывающие эллиптическую поляризацию. Они удовлетворяют
условиям е^ • е^')* = <5СТ<7/, е£ е@ * = 8ар (сумма по повторяющемуся индексу).
Введенные в примере 2.21 величины выражаются через 1^ ^ 1^:
In = 2lV\ Ip = lW-lV\ P =
/О) _ /(2)
Р =
2/(2)
/(1)-|_/(2)
b. В этих осях ком-
2.136. Введем прямоугольные оси х' || any'
плексная амплитуда поля будет иметь вид
Ео = аех' =t ibeyr,
где знак «+» отвечает правой эллиптической поляризации, а знак «—» —
левой. Интенсивность / = а2 + Ь2. Фаза выбрана равной нулю для х'-ком-
поненты поля. Выражая теперь орты ех/, еу> через ех, еу, получим для
2.4. Ответы и решения
209
компонент Iik'.
In = a2 cos2 tf + fc2 sin2 tf,
J22 = a2 sin2 # + b2 cos2 #,
^12 = (a2 - &2) sintf costf =F 2mb = /^.
Верхний знак отвечает правой эллиптической поляризации, нижний —
левой. При b = 0 поляризация линейна и тензор /^ имеет вид
г — т ( cos2 ^ s*n ^ cos ^
А/с V sin т? cos?? sin2 т?
При а = b= у/1/2 поляризация круговая и
hk= 2 (=Ьг 1 Г
2.137. Амплитуда суммарной волны
E = EY+ Е2 = Е(е™ + e(2VQ),
где a — сдвиг фаз, меняющийся беспорядочно, \Е\2 = I. Компоненты
тензора поляризации по определению (см. (2.127)) равны
Iik = EiEl = J(eO) + е(2)е-)г(е(1) + e^e~ia)h
При усреднении по времени получим e±ia = 0, поэтому тензор поляризации
будет иметь вид
f\ + cos2 $ sin $ cos д^
Iik ^sintfcostf l-cos2tf
Отсюда, используя результат примера 2.21, получим
Р= |cos#|.
Этот же результат можно получить, диагонализуя тензор /^. Его главные
значения 1\ = 1 + | cos i? |, /2 = 1 — |"cosi?|. Отсюда опять Р = (1\ —
- h)/{h + h) = | cosi?|. Базисные векторы в\ = fcos^, sin ^ J и е\ =
= ( — sin -, cos ^ J. Они вещественны в рассматриваемом случае.
210
Глава 2
Результирующая волна состоит из неполяризованной части с
интенсивностью 1(1 — | cosi>|) и линейно поляризованной вдоль направления
d = (cos 7j, sin ^ J части с интенсивностью I\ cos$|:
cos — sin — cos —
sin | cos f sin2f
Результирующая волна полностью поляризована (но не монохроматична)
при д = 0. При $ = 7г/2 - полная деполяризация.
2.138. Тензор поляризации
r_(h+h/2 I2/2\
1гк ~ \ I2/2 h/2)
(ось х\ совпадает с направлением поляризации первой волны).
Степень поляризации
р= 2^ifm
h + h + \[ЩТЦ
Результирующая волна состоит из неполяризованной волны с
интенсивностью (Ji + /г)(1 — Р)/2 и линейно поляризованной волны.
Направление линейной поляризации составляет угол
21,^ЩТЦ
v = arctg ■
с направлением поляризации первой волны.
2.139. р = -—|; при £ = 0 волна не поляризована, при £ = 1 —
полностью поляризована.
Положим & = £?7г, где гЦ + rfe + 773 = 1- Тогда
о
Первый член в этом выражении соответствует полностью неполяризованно-
му состоянию, а второй — полностью поляризованному. В случае а) 773 = 1,
Щ=Г}2= 0.
2.4. Ответы и решения 211
Сравнивая
^ = /*(о о)
с выражением i^ = Iriin*k, видим, что в данном случае п\ = 1, П2 = О,
т. е. тензор 1"к описывает волну, поляризованную в направлении оси х
(волна распространяется в направлении z).
Аналогичным образом легко убедиться, что в случае б) 771 = 1, щ =
= rjs = О и волна линейно поляризована в направлении, составляющем 45°
с осью х, а в случае в) 772 = 1, Vi = Vs — О и волна поляризована по кругу.
2.140. Волновой пакет удовлетворяет однородному уравнению Далам-
бера при условии ш2 = с2к2. Гауссовой амплитудной функции
соответствует пакет
Ф(х, 0) = А(х, 0) ехр(г/сох), где А(х, 0) = аоу/ттАк ехр
Амплитуда волнового пакета А(х, 0) имеет форму кривой Гаусса. Она
становится исчезающе малой при \хАк\ ^> 1. Отсюда следует, что ширина
пакета Ах связана с шириной ДА: в пространстве волновых векторов
соотношением Ах • Ак « 1. Это соотношение имеет универсальный
характер и справедливо как для электромагнитных волн, так и для волн любой
другой природы. Оно играет особую роль для волн вероятности в
квантовой механике, приводя к соотношению неопределенностей для координаты
и импульса микрочастицы.
2.141. 1. 'Ах2 • ДА? = 1/2, 2. 'Ах2 • 'Ак2 -+ оо.
2.142.
Ф(0, t) = A(0,t)exp(-iuj0t), где Л(0, t) = а0у/тгАи;ехр
At- Аш^ 1.
2.143.
оо
Ф(к) = ± J u(t)eikct dt.
— ОО
2.144.
дт . — ^
*-*•*'mm — г» • л'
27TSin0
где в — половина угла конуса раствора лучей, направленных из объектива
микроскопа к рассматриваемому объекту.
х2ДА:2
4
t2Au2
4
212
Глава 2
2.145. Волновой импульс, посылаемый
радиолокатором, имеет ширину Ах,
связанную с поперечным разбросом волновых
векторов к± соотношением Ах • к± ^ 1. С
другой стороны, очевидно, Ах/1 « к±/к. Из
этих двух соотношений находим неточность
в определении положения объекта:
Ах^ VlX.
Рис. 2.26
2.146. Рассматриваем интеграл (1) по
замкнутому контуру С (рис. 2.26), в котором точка t' = t обойдена по малой
полуокружности снизу. Ввиду отсутствия особых точек подынтегрального
выражения внутри контура интегрирования, этот интеграл обращается в
нуль:
(1)
/
U(t')
dt' = 0.
Интеграл по дуге большого круга обращается в нуль ввиду быстрого
убывания U(t') при \t'\ —► оо в нижней полуплоскости. Интеграл по малой
полуокружности с вычисляется непосредственно и дает полувычет
подынтегральной функции:
(2)
f^tdt' = ™U(t).
Оставшийся интеграл по действительной оси с исключенной точкой должен
вычисляться в смысле главного значения, т. е. из интегрирования
исключается отрезок (t — р, t + р) действительной оси, причем р —> 0. В итоге
из (1) и (2) получаем
(3)
inU(t) + &
П
иР) ^
t
dt' = 0,
и после разделения действительной и мнимой частей будем иметь
равенства, приведенные в условии задачи.
2.4. Ответы и решения
213
2.147. Гы = са2(ы)/47г2.
2.148. A(t) = \U(t)\, ф(«)=а;о* + агсЛ6^^^
2.149. |аН|2 =
2_ AL
(cj-cj0)2 + 72/4*
Сигнал будет узкополосным (квазимонохроматическим) при 7 «С о>о- Если
определить Д£ как время, за которое интенсивность сигнала / ос |£/(£)|2
уменьшается в е раз, a Alj — как расстройку, при которой спектральная
мощность уменьшается тоже в е раз, то At • Аш = у/е — 1/2. Полученная
в этой задаче форма спектра называется лоренцевским контуром.
2.150. Выберем лоренцевскую калибровку потенциалов (2.105).
Функция х (см- пример 2.19) удовлетворяет однородному уравнению Далам-
бера (2.111). Такому же уравнению удовлетворяют (р и dx/dt. Поэтому
с помощью калибровочного преобразования можно выбрать такую х»
чтобы обратить в нуль скалярный потенциал: </?' = ф — (1/с) (dx/dt) = 0.
2.151. Приведенные в ответе формулы получаются из очевидного
выражения AN = 2Дп1Дп2Дггз для числа собственных колебаний поля.
2.152. Разложим действительные орты еа (ot = 1,2, 3) некоторой
декартовой системы координат по трем взаимно ортогональным ортам е^\
e^\n: ea = ва е^ + ва е^+пап. Составив скалярные произведения,
с (1) (1)* . (2) (2)* .
получим дар = еа- ер = еа е^ + еа е^ + папр.
Глава 3
Специальная теория относительности
и релятивистская кинематика
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца
Свойства пространства-времени и интервал. Специальная теория
относительности (СТО) — это наука об основных, наиболее общих
свойствах пространства, времени и движения. Эти свойства были
установлены в процессе исследования механических и особенно электромагнитных
явлений и сформулированы в начале 20-го века в трудах А.Эйнштейна,
Г. Лоренца, А. Пуанкаре, М. Планка, Г. Минковского и других выдающихся
физиков и математиков. Основные постулаты и выводы СТО получили
подтверждение при дальнейшем развитии экспериментальной и теоретической
физики, а также современной техники (квантовой механики и квантовой
теории поля, физики элементарных частиц, ускорительной техники, атомной
энергетики и др.). В настоящее время они составляют фундамент
современных физических представлений, на котором развиваются новейшие теории.
Но сама СТО возникла не на пустом месте. Ее основой явились
представления о свойствах пространства, времени и движения, выработанные
классической механикой, но углубленные, критически проанализированные
и в некоторых важных пунктах измененные и дополненные Эйнштейном
в связи с новыми опытными данными, полученными при изучении
электромагнитных явлений, особенно в движущихся средах. Перечислим основные
свойства пространства и времени, известные из классической механики.
1. Существуют инерциальные системы отсчета (ИСО), относительно
которых свободная частица («материальная точка» классической механики)
движется равномерно и прямолинейно (покой — частный случай такого
движения).
Замечание. В дальнейшем будет считаться, что в каждой ИСО выбрана
система трех прямоугольных декартовых координатных осей. Координаты произвольной
точки х, у, z (их совокупность образует радиус-вектор г = (х, у, z)) могут быть
измерены с помощью масштабной линейки и представляют собой расстояния от
выбранной точки до координатных плоскостей по кратчайшим (перпендикулярным)
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 215
направлениям, т. е. геометрия трехмерного пространства евклидова. Кроме того,
каждая ИСО снабжена часами для отсчета промежутков времени At. В качестве
часов может использоваться любой периодический физический процесс.
2. В любой ИСО свободное от вещества и физических полей
пространство однородно и изотропно, а время однородно.
Замечание. Под однородностью пространства понимается равноправие всех
его частей: любая механическая система, помещенная в произвольную область
свободного пространства, будет вести себя точно так же, как и в любом другом месте.
По протеканию механических явлений нельзя отличить одну область однородного
пространства от другой. Изотропия пространства означает равноправие всех
направлений в нем: свойства и поведение механических объектов не зависят от их
ориентации в изотропном пространстве. Наконец, однородность времени означает,
что все его моменты равноправны: движение любой механической системы будет
происходить одинаково, независимо от того, в какой момент времени она была
«запущена», т. е. когда были зафиксированы начальные условия движения. Разумеется,
начальные условия при разных «запусках» должно быть одними и теми же.
3. Любое механическое явление при одинаковых начальных
условиях протекает одинаковым образом во всех инерциальных системах
отсчета (принцип относительности классической механики, или
равноправие ИСО).
4. Взаимодействия между телами и сигналы, передающие информацию,
могут распространяться с бесконечной скоростью.
Замечание. Возможность бесконечных скоростей распространения
взаимодействий содержится в концепции сил, зависящих от координат взаимодействующих
тел: F(n(t) — V2(t)). В уравнения движения классической механики входят
радиусы-векторы тел f*i(£), гг(£) в один и тот же момент t. Изменение положения одного
тела в тот же момент времени приводит к изменению силы, действующей на второе
тело, независимо от расстояния между телами. Взаимодействие распространяется
мгновенно.
5. Координаты и время в двух инерциальных системах отсчета, S и 5',
движущихся с относительной скоростью V вдоль оси Ох (рис. 3.1), связаны
соотношениями
х' = x-Vt, y' = y, zf = z, t' = t, (3.1)
которые называются преобразованиями Галилея.
Обратим внимание на то, что время не преобразуется — во всех
системах отсчета оно одинаково, имеет абсолютный характер. Это свойство
времени в классической механике тесно связано с возможностью бесконечной
скорости распространения сигналов и взаимодействий. Пусть в системе S
имеется устройство, которое испускает изотропно во все стороны сигнал,
216
Глава 3
распространяющийся с бесконечной скоростью.
Соответствующие приборы, находящиеся в любых
точках пространства и в любых (не обязательно
инерциальных) системах отсчета, движущихся
относительно S с конечными скоростями,
зафиксируют этот сигнал в тот же момент, в который он
был испущен. Тем самым такие сигналы могут
служить «метками времени», с помощью которых во
всех системах будет отсчитываться одно и то же,
т. е. абсолютное, время t' = t" = ... = t.
Рис- З-1 Аналогичным образом обстоит дело с
определением одновременности: если два сигнала
испущены одновременно в двух разных точках в системе 5, то они будут
одновременно зафиксированы соответствующим прибором в системе S".
События, одновременные в одной системе, одновременны и в любой
другой системе. В классической физике одновременность абсолютна.
При произвольном направлении относительной скорости вместо (3.1)
будем иметь г' = г — Vt, t' = t. Дифференцируя первое равенство по
абсолютному времени, находим закон сложения скоростей классической
механики:
v' = v-V. (3.2)
Скорости складываются по закону сложения векторов в трехмерном
пространстве (правило параллелограмма) и ничем не ограничены по
абсолютной величине.
Перейдем теперь к формулировке основных положений СТО и их
сравнению с представлениями классической механики.
1. Постулат о существовании инерциальных систем и их определение
сохраняют полную силу и в СТО.
2. Пределы применимости утверждения о свойствах симметрии
пространства и времени (однородность и изотропия свободного пространства,
однородность времени) расширяются и распространяются не только на
механические, но на все физические явления. Это означает, например, что
следствием однородности пространства будет одинаковое протекание
любого физического явления (колебания маятника, излучение электромагнитных
волн антенной, распад элементарных частиц и т. д.) в любом месте
свободного пространства. Аналогичным образом обобщаются понятия изотропии
пространства и однородности времени. Хотя физики занимаются только
физическими явлениями, вряд ли кто-нибудь из них сомневается в том, что
обсуждаемые понятия можно обобщить на любые, а не только физические
явления природы.
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 217
3. Принцип относительности классической механики обобщается на
все без исключения физические явления и становится одним из самых
общих законов природы. В этом обобщенном смысле его можно
сформулировать следующим образом: любое явление природы протекает одинаково
во всех инерциальных системах отсчета, если начальное состояние
системы одно и то же.
4. Взаимодействия между телами и сигналы, передающие информацию,
не могут распространяться со сколь угодно большой скоростью. Существует
максимальная (предельная) скорость распространения сигналов и
взаимодействий, которая совпадает со скоростью света в вакууме
с = 299 792 458 и 3 х 1010 см/с (3.3)
(метр — это расстояние, проходимое светом за 1/с секунд). Другая,
эквивалентная формулировка этого положения: скорость света в вакууме
одинакова по величине во всех инерциальных системах отсчета, она не зависит от
движения источника или приемника света1 (принцип постоянства
скорости света).
Совокупность положений (3) и (4) образует принцип относительности
Эйнштейна, сформулированный им в основополагающей работе по СТО
[Эйнштейн (1905)]. Нетрудно видеть, что эти положения не согласуются
с законами классической механики. Согласно последним, скорости
складываются по правилу параллелограмма. Если скорость света в системе S
равна с, то в другой ИСО, 5', движущейся относительно исходной со
скоростью V, она станет равной с! = с — V'. Скорость с' по модулю может
быть как больше, так и меньше с в зависимости от угла между с и V,
что и доказывает несовместимость принципа относительности Эйнштейна
с классическими представлениями.
Каждое событие, рассматриваемое в некоторой ИСО, будем
характеризовать его пространственными координатами х, у, z и моментом
времени t, в который оно произошло. Совокупность четырех величин (ct, x, у, z)
представляет собой координаты события в четырехмерном
пространстве-времени Минковского2. Временная координата ct выбрана так,
чтобы ее размерность совпадала с размерностью пространственных координат.
Величина dg2 = г ^ _ ^ _ dy2 _ ^2 (3 4)
называется квадратом интервала между двумя близкими событиями (или
близкими точками в четырехмерном пространстве-времени). В другой ИСО
'Впервые постоянство скорости света было продемонстрировано в опыте Майкельсона-
Морли в 1887 г.
2Г. Минковский — немецкий физик и математик. Выдвинул идею об объединении трех
пространственных измерений и времени в одно четырехмерное пространство-время. Один из
основоположников специальной теории относительности.
218
Глава 3
интервал ds'2 выразится аналогичным образом через дифференциалы
штрихованных координат пространства-времени.
Пример 3.1. Пользуясь приведенными выше постулатами (1)-(4),
доказать равенство
ds2 = ds'2 = inv (3.5)
(инвариантность интервала) при переходе из одной ИСО S в другую
систему S'.
Решение. При переходе из одной ИСО в другую дифференциалы
четырехмерных координат должны быть связаны линейными соотношениями.
Коэффициенты в формулах связи могут зависеть только от относительной
скорости двух систем, но не от координат и времени — в противном случае
свойство однородности пространства и времени будет нарушено. Пусть
начала координат систем S и S' совпадали при t = t' = О и в этот момент
в общем начале координат произошла изотропная вспышка света. Через
время dt сферический фронт (изотропия трехмерного пространства!) будет
описываться в системе S уравнением сферической поверхности
ds2 = с2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = О,
а в системе S' — таким же уравнением в штрихованных координатах
(равноправие систем!). Абсолютная величина скорости света в обеих системах
одна и та же:
ds'2 = с2 dt'2 - dx'2 - dy'2 - dz'2 = 0.
Из двух последних равенств следует, что обращение в нуль ds2 приводит
к равенству ds'2 = 0 и наоборот. Поскольку ds2 и ds'2 имеют
одинаковый порядок малости, это возможно только при линейной связи между
ними, ds2 = kds'2, что не противоречит, разумеется, линейной связи
между дифференциалами четырехмерных координат двух систем. Поскольку
обе величины являются скалярами в трехмерном пространстве (см.
раздел 1.1), коэффициент к может зависеть только от квадрата трехмерного
вектора V2 — относительной скорости двух ИСО, но не от его
направления. Из равноправия систем следует также ds'2 = kds2, или ds2 = к2ds2,
т. е. к = ±1. Но значение к = -1 не может обеспечить равноправия трех
ИСО: при ds2 = -ds'2 и ds'2 = -ds"2 будем иметь ds2 = -ds'2 = ds"2,
что выделяет систему S'. Поэтому единственная возможность состоит в
выборе к = +1, что приводит к инвариантности малого интервала при
преобразовании его в любую инерциальную систему отсчета. Интегрирование
позволяет распространить это свойство на конечные интервалы между
произвольными событиями 1 и 2: S12 = s'l2, т.е.
«12 = [c2(h - Ы2 - Ы - х2? - (г/1 - г/2)2 - (*i - г2)2]1/2 = inv. (3.6)
■
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 219
Пример 3.2. Проанализировать мысленный эксперимент с
эйнштейновским «поездом»: пусть наблюдатель А находится посредине длинного
«поезда», движущегося с релятивистской2, скоростью, а наблюдатель В
стоит на земле близ полотна Железной дороги. Приборы, находящиеся в
голове и в хвосте поезда на одинаковых расстояниях от А, испускают две
короткие световые вспышки. Эти вспышки достигают обоих
наблюдателей одновременно — в тот момент, когда они поравняются друг с другом.
Как ответят наблюдатели на вопрос о том, какая вспышка произошла
раньше?
Решение. Ответ наблюдателя А: сигналы были испущены из точек,
удаленных от меня на равные расстояния, и пришли одновременно.
Следовательно, они были испущены одновременно.
Ответ наблюдателя В: сигналы пришли ко мне одновременно, но в
моменты испускания (предшествующие приходу) голова поезда была ко мне
ближе, чем хвост. Следовательно, сигнал от хвоста прошел больший путь
и был испущен раньше, чем сигнал от головы. ■
Преобразования Лоренца. Последний пример показывает, что с
учетом конечной скорости распространения сигналов, время и понятие
одновременности теряют свой абЬолютный характер: промежуток времени At
между двумя событиями для наблюдателя на земле отличается от
промежутка At/ между теми же событиями для наблюдателя в поезде. Время течет
по разному в разных инерциальных системах отсчета, что не согласуется
с преобразованиями Галилея (3.1). Их обобщение, учитывающее наличие
предельной скорости с, было найдено Г.Лоренцем4 в 1904 г.:
x' + vf , , . if + ух1 i г
y = y,z = z, t = ——===. (3.7)
у/1 - V2/c2 y/l-V2/c2
Это преобразование (которое иногда называют английским словом буст)
отвечает случаю, когда соответствующие оси координатных систем S и 5'
параллельны между собой, относительная скорость V направлена вдоль
оси Ох (рис. 3.1) и начала координатных систем совпадают при t = tf = 0.
Более общие преобразования такого типа будут даны в разделе 4.1.
В этой и последующих главах мы будем часто использовать
обозначения
/?=£, 7= ,1 ■ (3-8)
3Т. е. со скоростью, сравнимой по величине с предельной скоростью с.
4Вывод преобразований Лоренца см. в решении задачи 3.1 и в разделе 4.1.
220
Глава 3
Преобразования, обратные (3.7), получаются изменением знака
относительной скорости и в обозначениях (3.8) имеют вид
x' = -y(x-0ct), y' = y, z' = z, t' = 4(t-0x/c). (3.9)
Преобразования Лоренца удовлетворяют принципу соответствия — при
V <С с, 7 ~ 1 они переходят в преобразования Галилея (3.1).
Пример 3.3. Пусть пространственно-временные координаты х, ct
системы отсчета S откладываются на взаимно перпендикулярных
декартовых осях. Построить на этом лее чертеже координатные оси х', ct'.
Указать положение осей х, ct, если на прямоугольных осях
отложены х*', ct'.
Решение. Временной осью системы S' является прямая х' = 0. В
системе осей с£, х согласно (3.9) эта прямая задается уравнением ct ■= х//3
и составляет угол а = arctg(Vr/c) с осью ct (рис. 3.2). Ось х' в S' задается
уравнением ct' = 0, которое в S принимает вид ct = (5x и представляет
собой прямую, составляющую тот же угол а с осью х. Новые
координатные оси стали косоугольными! (Аффинное преобразование, меняющее угол
между осями — см. раздел 1.1.) Если откладывать ct\ x' на прямоугольных
осях, то косоугольными станут оси ct, х, отклонившись на угол а в другие
стороны (рис. 3.3). ■
Рис. 3.2 Рис. 3.3
С помощью рис. 3.2 нетрудно проиллюстрировать и относительность
одновременности. События А и В проецируются на временную ось ct в одну
точку АВ и, следовательно, они одновременны в системе 5. Но их проекции
на временную ось ct' системы S' различны, следовательно, в системе S' эти
события неодновременны, причем событие В происходит раньше. Однако,
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 221
если мы попытаемся определить время между событиями At' = А'В'/с
из рис. 3.2 с помощью обычных тригонометрических соотношений, мы
потерпим неудачу и не получим правильного результата, который следует
из преобразований Лоренца (3.9):
At' = 1(5с-\хв-хА). (3.10)
Для его получения нужно учесть не только поворот осей, но и изменение
масштаба при переходе в другую систему.
Пример 3.4. Время, отсчитываемое по часам, неподвижным
относительно некоторого объекта, называется собственным временем этого
объекта. Связать малый промежуток собственного времени dr с
координатным временем dt в системе, относительно которой объект движется.
Показать, что собственное время является инвариантом преобразования
Лоренца.
Решение. Пусть объект покоится в системе S'. В этой системе dt'=dr,
dxf = dy' = dz' = 0. В системе S величины dx, dy, dz — расстояния,
проходимые объектом за время dt. Из инвариантности интервала (3.5) находим
ds2 = с2 dr2 = с2 dt2 - dx2 - dy2 - dz2 = c2(l - v2/c2) dt2,
откуда
dr = 4l = y/l- v2/c2 dt = inv. (3.11)
Здесь через v(i) обозначена скорость инерциальной системы, мгновенно
сопутствующей рассматриваемому объекту и, следовательно, совпадающей
со скоростью самого объекта. В таком виде формула для интервала
собственного времени годится и для неравномерно движущихся объектов. ■
Пример 3.5. Твердый стержень имеет в своей собственной
системе длину /о- Какую длину стержня измерит наблюдатель, относительно
которого стержень движется со скоростью v? Каков объем некоторого
тела, измеренный наблюдателем, если в системе покоя этого тела объем
имеет величину %?
Решение. Длина зависит от взаимной ориентации стержня и
вектора относительной скорости v. Если стержень и скорость ориентированы
вдоль оси х, то в системе покоя стержня расстояние между его
концами х'в — х'А = /о- Наблюдатель в системе S для измерения длины стержня
должен сделать зарубки на оси х против концов стержня одновременно по
часам в своей системе отсчета: хв — ха = I, te — tA = 0. С помощью
222
Глава 3
преобразований Лоренца (3.9) получим лоренцевское сокращение
движущегося масштаба:
l = loy/l-v2/c2. (3.12)
Если стержень ориентирован поперек скорости, то / = /о, так как
согласно (3.9) поперечные масштабы не изменяются. Объем У движущегося тела
уменьшается только за счет сокращения продольного размера:
У = %y/l-v2/c2. (3.13)
Пример 3.6. Как преобразуется четырехмерный объем ДГ£ = cAffl
при переходе в другую инерциальную систему?
Решение. С помощью (3.13) и (3.11) находим
АП = cAW = cAr% = inv. (3.14)
Четырехмерный объем является инвариантом преобразования Лоренца. ■
Пример 3.7. Скорость частицы в системе Sf имеет значение vf =
= dr'/dt'. Выразить ее скорость v = dr/dt в системе S через vf и
относительную скорость систем V. Может ли скорость v no абсолютной
величине превысить скорость света с?
Решение. Записываем формулы (3.7) для дифференциалов,
dx = — — = — х —1 dy = dy' dz = dz'
yjl - V2/c2 ^l-V2/c2
J dt' + V dx'/c2 ctt'(l + v'xV/c2)
dt
y/\ - V2/c2 y/l - V2/c2 '
и делим три первые равенства почленно на четвертое. Получаем правило
сложения релятивистских скоростей:
Vx~ 1 + Vv'Jc2' Щ~ l + Vv'Jc2 ' Vz~ 1 + Vv'Jc2 " l '
При V <C c, \vx\ <C с эти формулы переходят в нерелятивистский закон
сложения скоростей (3.2)
vx = v'x + V, vy=Vy, vz=v'z,
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 223
а при г/ —> с обеспечивают предельный характер скорости света.
Записывая для последнего случая v'x = с cos??, v'2 + v'2 = с2 sin2?? и вычисляя
из (3.15) и2, находим v2 = с2, т.е. добавление к скорости vf скорости
относительного движения V по релятивистскому закону не изменяет
абсолютной величины v' — с. ■
Псевдоевклидова геометрия. Познакомимся теперь более подробно
с геометрией четырехмерного пространства-времени Минковского.
Отдельные точки в четырехмерном пространстве-времени указывают
пространственные координаты и время некоторого «события». Последовательность-
кинематических состояний любого тела (т. е. его координаты в разные
моменты времени) изображается мировой линией.
Мировыми линиями (в отличие от траекторий классической механики)
обладают не только движущиеся, но и покоящиеся в данной инерциальной
системе тела. Так, мировой линией тела, покоящегося в
(пространственной) точке хо оси ж, будет прямая АВ, параллельная оси ct и проходящая
через хо (рис. 3.4); мировая линия
тела, движущегося с постоянной
скоростью v = const (и проходящего через
начало координат при t = 0) — прямая CD
(tga = v/c); мировая линия тела,
движущегося с переменной скоростью v(t) —
кривая MN; мировая линия светового
луча, испущенного в момент t = 0 из начала
координат в направлении оси х —
биссектриса координатного угла OF.
Мы уже нашли выражения (3.4), (3.6)
для интервала — величины,
выполняющей роль инвариантного расстояния
между точками четырехмерного пространства.
Из этих выражений следует, что
геометрия пространства Минковского
неевклидова, в нем несправедлива, в частности,
теорема Пифагора. Такая геометрия
называется псевдоевклидовой. В отличие от геометрии Евклида
трехмерного пространства обращение в нуль интервала, s12 = 0, не означает
совпадения точек 1 и 2. В зависимости от соотношения между c2{t\— ^)2
и {т\— Г2)2 интервалы могут быть действительными и мнимыми.
Интервалы, для которых 522 > 0, называются времениподобными, а те, для
которых s\2 < 0 — пространственноподобными, причем эти свойства имеют
место во всех ИСО в силу инвариантности интервала. Интервалы, равные
нулю, называются нулевыми (светоподобными).
Рис. 3.4
224
Глава 3
Характер интервала тесно связан с причинностью — он определяет
возможность причинной связи событий, происходящих в
пространственно-временных точках 1 и 2. Если s\2 > 0, то событие 2 может быть
причинно связано с событием 1 (и наоборот): из точки 1 можно послать сигнал
СО СКОРОСТЬЮ V = Г12/(t2 ~ t\) < С,
который вызовет событие 2. Это
возможно и в случае нулевого интервала,
но только сигнал должен
распространяться с предельной скоростью с.
События, разделенные пространственно-
подобным интервалом, не могут быть
причинно обусловлены, так как сигна-
"#" лы не могут распространяться со
скоростью V = ri2/(t2 - t\) > С.
Пример 3.8. Пусть координа-
,тых, ct отложены на прямоугольных
декартовых осях в некоторой
плоскости. Указать на этой плоскости
области 1, 2, 3, обладающие следующи-
рис. з.5 ми свойствами.
Область 1 — абсолютно
будущая; все события, изображаемые точками этой области, в любой ИСО
происходят после события, которому соответствует начало координат.
Область 2 — абсолютно прошедшая; события этой области в лю-
ой ИСО предшествуют событию начала координат.
Область 3 — абсолютно удаленная; существуют ИСО, в которых
события этой области происходят раньше, позже или одновременно с
событием (О, 0), но не существует таких ИСО, в которых события этой
области и (0, 0) происходили бы в одной точке трехмерного пространства
(для областей 1 и 2 такой вариант возможен).
Решение. Искомые области изображены на рис. 3.5. Они
разделяются биссектрисами координатных углов. В области \ t > 0 и для всех
возможных ИСО t' > 0, так как оси ct' этих систем могут быть
ориентированы только между двумя линиями, которым соответствуют нулевые
интервалы (т. е. между линиями пересечения плоскости со световым
конусом). Проведя ось ct' через данную точку и начало координат, найдем по
формуле V = ctga (см. пример 3.3) скорость ИСО, в которой два
рассматриваемых события происходят в одной точке трехмерного пространства.
Аналогичным свойством обладает область 2. В области 3 приведенная
выше формула определяет ИСО, в которой данное событие происходит
одновременно с событием в начале координат. ■
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 225
В псевдоевклидовом пространстве следует вводить два сорта
координат — контравариантные и ковариантные, и два типа тензорных значков,
как уже делалось в разделе 1.1 при рассмотрении аффинных
преобразований в трехмерном пространстве. Квадрат интервала (3.4) между близкими
точками можно записать в тензорных обозначениях:
ds2 = gik dx1 dxk, (3.16)
где
dx° = cdt, dx1 = dx, dx2 = dy, dx3 = dz (ЗЛ7)
дифференциалы контравариантных четырехмерных координат,
9ik =
/1
0
0
\о
0
-1
0
0
0
0
-1
0
°\
0
0
-1/
(3.18)
— метрический тензор. Суммирование здесь и в дальнейшем нужно
производить по четырем значениям г, к = О, 1, 2, 3 совпадающих латинских
индексов.
Контравариантный метрический тензор, как и в трехмерном
пространстве (см. формулу 1.35в), должен определяться из соотношений
9ik9
kl
= 9i=€ (3.19)
где S[ — четырехмерный символ Кронекера. Легко видеть из (3.18), что
контравариантные компоненты дгк совпадают с соответствующими ковари-
антными, т.е. дгк = gik.
Всякие четыре величины А0, А1, А2, А3, которые определены во
всех ИСО и преобразуются при переходе из одной системы в другую как
координаты и время, т. е. по правилу
А0 = 7(Л,0+/?А/1), А1 = 1(An+/3Af0), A2 = А'2, А3 = А/3, (3.20)
образуют контравариантные компоненты четырехмерного вектора (4-векто-
ра) А\ г = 0, 1, 2, 3. Трехмерный вектор А = (А1, А2, А3) называют
пространственной, а величину А0 — временной составляющими 4-вектора Аг.
Ковариантные составляющие этого вектора А\ определяются по правилу
опускания индекса (1.35):
Аг = дгкАк = (А°,-А). (3.21)
226
Глава 3
Скалярное произведение двух 4-векторов и квадрат 4-вектора
представляют собой инварианты преобразований Лоренца. Они определяются
как естественное обобщение формул (1.267):
AiBi = AlBi = gikA{Bk = inv, А{Аг = gikAlAk = inv. (3.22)
Произвольный 4-вектор, как и интервал, может быть нулевым, или
изотропным (А{Аг = 0), времениподобным (А{Аг > 0) и пространственно-
подобным (А{Аг < 0). Примерами четырехмерных векторов, кроме 4-ра-
диус-вектора в пространстве Минковского, могут служить 4-скорость иг
частицы и ее 4-ускорение wl:
u*=*f= (-—* , —JL=Y п* = 4£ = Щ, (3.23)
где v = dr/dt — трехмерная скорость частицы, dr — дифференциал
собственного времени. Очевидно, что иг является 4-вектором, так как dxl/dr
представляет собой отношение 4-вектора dx% к скаляру (инварианту) dr.
По аналогичной причине wl — также 4-вектор.
Фаза плоской монохроматической волны, рассматривавшаяся в
разделе 2.3, (р = к г—cut, представляет Собой релятивистский инвариант (скаляр).
Это следует из того, что изменение фазы А(р/2п определяет число нулевых
значений поля между двумя пространственно-временными точками,
которое не может зависеть от выбранной системы отсчета. Но поскольку (с£, г)
образуют четырехмерный радиус-вектор, то частота ш и волновой вектор к
плоской волны также образуют волновой 4-вектор
#=(£,*), **=(£,-*), (3.24)
а фазу можно записать как скалярное произведение двух 4-векторов:
if = -кгх\ (3.25)
Задачи
3.1*. Вывести преобразования Лоренца (3.7) на основе
постулатов СТО (1)-(4) и доказанной выше (см. формулу (3.6)) инвариантности
интервала.
3.2. Пусть система S' движется относительно системы S со
скоростью V вдоль оси х. Часы, покоящиеся bS'b точке (xq, у$, z'0), в момент t'0
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 227
проходят мимо точки (хо, 2/о, zq) в системе 5, где находятся часы,
показывающие в этот момент время to. Написать формулы преобразования Лоренца
для этого случая.
3.3. Система S' движется относительно системы S со скоростью V.
Доказать, что при сравнении хода часов в системах S и 5' всегда
будут отставать те часы в одной из этих систем отсчета, показания которых
последовательно сравниваются с показаниями двух часов в другой
системе отсчета. Выразить один промежуток времени через другой. (Показания
движущихся часов сравниваются в момент, когда они проходят друг мимо
друга.)
3.4. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой
системе отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени,
в течение которого стержень проходит мимо фиксированной точки этой
системы, и умножать его на скорость стержня. Показать, что при таком методе
измерения получается обычное лоренцево сокращение.
3.5. Система 5' движется относительно системы S со скоростью V.
В момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих
систем показывали одно и то же время t = tf = 0. Какие координаты в
каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая
тем свойством, что находящиеся в ней часы систем S и 5' показывают одно
и то же время t = t/7 Определить закон движения этой точки.
3.6. Пусть для измерения времени используется периодический
процесс отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал,
укрепленных на концах стержня длиной /. Один период — это время движения
«зайчика» от одного зеркала до другого и обратно. Световые часы
неподвижны в системе 5' и ориентированы параллельно направлению
движения. Пользуясь постулатом о постоянстве скорости света, показать, что
интервал собственного времени dr выражается через промежуток времени dt
в системе S формулой (3.11).
3.7. Решить предыдущую задачу для случая, когда световые часы
ориентированы перпендикулярно направлению относительной скорости.
3.8. «Поезд» А'В\ длина которого /о = 8,64 • 108 км в системе, где
он покоится, идет со скоростью V = 240000 км/сек мимо «платформы»,
имеющей такую же длину в своей системе покоя. В голове В' и хвосте А'
«поезда» имеются одинаковые часы, синхронизированные между собой.
Такие же часы установлены в начале A w ъ конце В «платформы». В тот
момент, когда голова «поезда» поравнялась с началом «платформы»,
совпадающие часы показывали 12 час 00 мин. Ответить на следующие вопросы:
а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчета все
228
Глава 3
часы также показывают 12 час 00 мин; б) сколько показывают каждые из
часов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом «платформы»;
в) сколько показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравнялась
с концом «платформы»?
3.9. Какой промежуток времени At занял бы по земным часам
полет ракеты до звездной системы Проксима Центавра и обратно (расстояние
до нее 4 световых года5), если бы он осуществлялся с постоянной
скоростью v = >/0,9999с? Из расчета какой длительности путешествия следовало
бы запасаться продовольствием и снаряжением? Каков запас кинетической
энергии в такой ракете, если ее масса Ют?
3.10. Два масштаба, каждый из которых имеет длину покоя Iq,
равномерно движутся навстречу друг другу параллельно общей оси х.
Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что между совпадением
левых и правых концов масштабов прошло время At. Какова
относительная скорость v масштабов? В каком порядке совпадают их концы для
наблюдателей, связанных с каждым из масштабов, а также для наблюдателя,
относительно которого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью
в противоположные стороны?
3.11. Вывести формулы лоренцева преобразования от системы S' к
системе S для радиуса-вектора г и времени t, не предполагая, что скорость V
системы Sf относительно S параллельна оси х. Результат представить в
векторной форме.
Указание. Разложить г на продольную и поперечную относительно V
компоненты и воспользоваться преобразованиями Лоренца (3.7).
3.12. Записать формулы преобразования Лоренца для
произвольного 4-вектора Ai = (An, А), не предполагая, что скорость V системы 5'
относительно S параллельна оси х.
3.13. Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда
скорость V системы 5' относительно S имеет произвольное направление.
Формулы представить в векторном виде.
3.14. Даны три системы отсчета: 5, 5', S". 5" движется
относительно 5' со скоростью V, параллельно оси х', S' — относительно S со
скоростью V, параллельной оси х. Соответствующие оси всех трех систем
параллельны. Записать преобразования Лоренца от 5" к 5 и получить из них
формулу сложения параллельных скоростей.
Световым годом называется расстояние, проходимое светом в вакууме за год.
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 229
3.15. Доказать формулу
/ ~2 _ у/1 - Vf2/C2 • у/1 - V2/C2
У~?" 1+v'- V/c2 '
где v и v' — скорости частицы в системах S и 5', V — скорость Sf
относительно S.
3.16. Доказать соотношение
_ y/v' + V)2 - {vf x V)2/c2
V= 1 + v'- V/c2 '
где v и v' — скорости частицы в системах S и 5', V — скорость 5'
относительно S.
3.17. Происходит три последовательных преобразования системы
отсчета: 1) переход от системы S к системе S', двигающейся относительно S
со скоростью V, параллельной оси х\ 2) переход от системы S* к
системе S", двигающейся относительно S' со скоростью v, параллельной оси у'\
3) переход от системы S" к системе 5//;, двигающейся относительно S" со
скоростью, равной релятивистской сумме скоростей (—v) и (—V).6
Доказать, что система 5//;, как и следует ожидать, неподвижна относительно S
и t'" = £, однако S'" повернута относительно S на некоторый угол в
плоскости ху (томасовская прецессия). Вычислить угол (р томасовской прецессии.
Указание. Воспользоваться формулами общего вида для преобразования
Лоренца (см. задачу 3.11) и сложения скоростей (см. формулу (3.15)), записав эти
формулы в проекциях на декартовы оси.
3.18. Два масштаба, каждый из которых имеет в своей системе покоя
длину /0, движутся навстречу друг другу с равными скоростями v
относительно некоторой системы отсчета. Какова длина / каждого из масштабов,
измеренная в системе отсчета, связаннрй с другим масштабом?
3.19. Два пучка электронов летят навстречу друг другу со
скоростями v = 0,9с относительно лабораторной системы координат. Какова
относительная скорость V электронов: а) с точки зрения наблюдателя в
лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков
электронов?
6Обратим внимание на то, что результирующая скорость зависит от того порядка, в котором
производится сложение скоростей.
230
Глава 3
3.20. Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарных
частиц, не зависят от равномерного движения этих частиц как целого; эти
эффекты определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же
относительную скорость можно сообщить сталкивающимся частицам двумя
способами (предполагается для простоты, что частицы обладают
одинаковой массой га): а) один ускоритель разгоняет частицы до энергии 8, затем
быстрые частицы ударяются о неподвижную мишень из тех же частиц;
б) два одинаковых ускорителя расположены так, чтобы создаваемые ими
пучки частиц были направлены навстречу друг другу; каждый из
ускорителей при этом должен разгонять частицы до энергии 8$ < 8.
Сравнить между собой значения 8 к 8$. Рассмотреть, в частности,
ультрарелятивистский случай.
3.21. Найти формулы преобразования ускорения v для случая, когда
система S' движется относительно системы S с произвольно направленной
скоростью V. Представить эти формулы преобразования в векторном виде.
3.22. Выразить компоненты четырехмерного ускорения u>i через
обычное ускорение i) и скорость v частицы. Найти квадрат 4-ускорения wlWi.
Пространственноподобно или времениподобно четырехмерное ускорение?
3.23. Выразить ускорение v частицы в мгновенно сопутствующей
ей инерциальной системе через ее ускорение v в лабораторной системе.
Рассмотреть случаи, когда скорость V частицы меняется только по величине
или только по направлению.
3.24. Релятивистская частица совершает «равноускоренное»
одномерное движение (ускорение v = w постоянно в собственной системе отсчета).
Найти зависимость скорости v(t) и координаты x(t) частицы от времени t
в лабораторной системе отсчета, если начальная скорость vo, а начальная
координата х$. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и
ультрарелятивистский пределы.
Указание. Использовать результат предыдущей задачи.
3.25. Ракета, рассматривавшаяся в задаче 3.9, разгоняется от
состояния покоя до скорости v = ^/0,9999с. Ускорение ракеты
составляет | v | = 20 м/сек2 в системе, мгновенно сопутствующей ракете. Сколько
времени продлится разгон ракеты по часам в неподвижной системе отсчета
и по часам в ракете?
Указание. Влияние сил инерции на ход часов в ракете не учитывать7.
7Это означает, что предлагается вычислить сумму собственных времен dr = dty/l - v2/c2
в последовательности мгновенно сопутствующих ракете инерциальных систем отсчета,
выражаемую интегралом f dr.
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 231
3.26. Частица движется со скоростью v и ускорением v, так что за
малый промежуток времени St ее скорость в лабораторной системе S
меняется на величину Sv = v St. Пусть Sf — инерциальная система, мгновенно
сопутствующая частице в момент t, а 5" — такая же система для момента
времени t + St. Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать с
точностью до членов, линейных по Sv, что координаты и время в этих системах
связаны формулами:
(1) г" = r' + A<pxr'- t'Av, t" = t'- ^-^,
где
(2) Дг; = 7
Sv л
6v + {i-l)^v
vz
л / 1чSv х v
Aip= (7-1) 2 ■
V
Какой геометрический смысл имеют преобразования (1)? Какой вид
приобретают формулы (2) при и«св первом неисчезающем
приближении? V
Указание. Удобно рассмотреть цепочку преобразований S" —► S —► S' с
помощью формул, приведенных в ответе к задаче 3.11.
3.27. Частица имеет скорости v и v' в ИСО S и S' соответственно.
Найти связь между углами д и д\ которые эти скорости составляют с
одинаково направленными осями х и х'. Относительная скорость систем V.
3.28. Относительно системы S движутся система 5; со скоростью V
и два тела со скоростями v\ и^. Каков угол а между скоростями этих тел
при наблюдении в системе 5 и в системе S'l
Указание. Полезно использовать результаты задач 3.12 и 3.14.
3.29. Что происходит с углом между скоростями двух тел,
рассмотренных в предыдущей задаче, когда скорость системы S' относительно S
стремится к с?
3.30. Пучок света распространяется в системе S' под углом д' к оси х'.
Какой угол $ с осью х он составляет в системе 5?
3.31. В некоторый момент времени направление луча света от звезды
составляет угол $ с орбитальной скоростью v Земли (в системе, связанной
с Солнцем). Найти изменение направления от Земли на звезду за полгода
(аберрацир света), не делая приближений, связанных с малостью v/c.
3.32. Найти форму видимой кривой, описываемой звездой на
небосводе вследствие годичной аберрации. Полярные координаты звезды в системе,
232
Глава 3
связанной с Солнцем, д, а (полярная ось проведена перпендикулярно
плоскости земной орбиты). Орбитальная скорость Земли v <C с.
3.33. Пучок света в некоторой системе отсчета образует телесный
угол (Ы. Как изменится этот угол при переходе к другой инерциальной
системе отсчета?
3.34*. Некоторый источник испускает свет изотропно во все стороны
в своей системе покоя, так что внутри телесного угла dQo распространяется
доля dN = drto/An от полного излучения. Найти функцию распределения
излучаемого света по углам /($) = dN/dQ, в системе, относительно которой
источник движется со скоростью v. Построить полярные диаграммы
излучения для разных значений гамма-фактора 7 = (1 - v2/c2)~1/2. Подробно
исследовать ультрарелятивистский случай 7 > 1- Какова характерная
угловая ширина излучения движущегося источника в этом случае?
3.35*. Монохроматический источник генерирует в своей системе
отсчета электромагнитную волну с частотой uoq. Пользуясь законом
преобразования (3.24) волнового 4-вектора, показать, что наблюдатель зарегистрирует
частоту волны
у/\ - V2/c2
где V — относительная скорость источника и наблюдателя, в — угол между
направлением луча и относительной скоростью в системе наблюдателя
(эффект Доплера). Выразить также волновой вектор к в системе наблюдателя
через величины и>о, ко в системе источника.
3.36. Найти частоту ш световой волны, наблюдаемую при поперечном
эффекте Доплера (направление распространения света перпендикулярно
направлению движения источника в системе, связанной с приемником света).
Каково направление распространения рассматриваемой волны в системе,
связанной с источником?
3.37. Длина волны света, излучаемого некоторым источником, в той
системе, в которой источник покоится, равна До- Какую длину волны А
зарегистрируют: а) наблюдатель, приближающийся со скоростью V к источнику,
и б) наблюдатель, удаляющийся с такой же скоростью от источника?
3.38. Источник, испускающий свет частоты о;о изотропно во все
стороны в своей системе отсчета, движется равномерно и прямолинейно
относительно наблюдателя со скоростью V, проходя от него в момент
наибольшего сближения на прицельном расстоянии d. Число фотонов, излучаемых
в единицу времени в единицу телесного угла (интенсивность потока
фотонов), равно Jq в системе покоя источника. Найти зависимость частоты и
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 233
и интенсивности J потока фотонов, регистрируемого наблюдателем, от угла
между направлением луча и скорости V. При каких углах в = во
регистрируемые частота и интенсивность потока фотонов совпадут сшои Jo?
Какова доля фотонов регистрируется наблюдателем в интервалах 0 ^ в ^ во
и #о ^ 0 ^ 7г? Начертить графики зависимостей ы(0) и J(0) для V/c = 1/3
и V/c = 4/5. Какой характер имеют эти зависимости при V/c —► 1?
3.39. Найти угловое распределение силы света I (световая энергия,
излучаемая в единицу времени в единицу телесного угла), а также полный
световой поток от источника света, рассмотренного в предыдущей задаче.
Указание. Каждый фотон обладает энергией hu>, где h — постоянная Планка.
3.40. Зеркало движется нормально к собственной плоскости со
скоростью V. Найти закон отражения плоской монохроматической волны от
такого зеркала (заменяющий закон равенства углов падения и отражения
при V = 0), а также закон преобразования частоты при отражении.
Рассмотреть, в частности, случай V —> с.
3.41. Решить предыдущую задачу для случая, когда зеркало
перемещается поступательно вдоль собственной плоскости.
3.42. Непрозрачный куб с ребром /q B своей системе покоя
движется относительно наблюдателя со скоростью V (рис. 3.6).
Наблюдатель фотографирует его в момент, когда лучи света, испускаемые
поверхностью куба, приходят в объектив фотоаппарата под прямым углом
к направлению движения (в системе
фотоаппарата). Куб виден под малым р* р> ^'
телесным углом, вследствие чего лу- '
чи, приходящие от разных точек куба, _/
можно считать параллельными. Е[ Е*
Какой вид будет иметь
изображение на фотопластинке? Составить
чертеж изображения, нанести на него
те вершины и ребра куба, которые А
будут сфотографированы. Вычислить
их относительные длины.
Изображению какого неподвижного пред- i
мета эквивалентна полученная
фотография? Какой вид приняло бы <
изображение движущегося куба,
если бы были справедливы
преобразования Галилея?
Рис. 3.6
234
Глава 3
3.43. Тонкий стержень M'N' неподвижен в системе 5', имеет в ней
длину /о и ориентирован так, как показано на рис. 3.7. Система S'
движется со скоростью V || Ох относительно фотопластинки АВ, покоящейся
в системе 5. В момент прохождения стержня мимо фотопластинки
происходит короткая световая вспышка, при которой лучи света падают нормально
к плоскости xz фотопластинки.
а) Какова длина / изображения на фотопластинке? Может ли она стать
равной или превысить /о?
б) При каком угле наклона а' сфотографируется только торец стержня?
в) Каков угол наклона а стержня к оси Oxl
У
S
4
ill
S'
—1—'
V'
м
'
i
и
^-N'
jo/j
<*' 1
t 1
h *
i
X
в
Рис. 3.7
3.44. Шар, движущийся со скоростью V, фотографируется
неподвижным наблюдателем под малым телесным углом. Лучи света от шара падают
параллельным пучком на объектив фотоаппарата, составляя прямой угол
с направлением скорости V. Какую форму будет иметь изображение на
фотопластинке? Какая часть поверхности шара будет сфотографирована?
Указание. Представить шар в виде совокупности тонких дисков, движущихся
параллельно своим плоскостям, и построить изображение каждого диска.
3.45. Пусть движущийся непрозрачный куб фотографируется
неподвижным наблюдателем в момент, когда лучи, приходящие от куба,
составляют произвольный угол а с направлением скорости V куба (в системе
наблюдателя). Телесный угол, под которым виден куб, мал, вследствие чего
3.1. Принцип относительности и преобразования Лоренца 235
С
В'
Рис. 3.8
лучи приходят параллельным пучком и падают на фотопластинку
нормально к ее поверхности (рис. 3.8). Показать, что фотография должна совпадать с
фотографией неподвижного, но повернутого на некоторый угол куба. Найти
угол поворота изображения при разных значениях V и фиксированном а.
При каком значении V будет сфотографирована одна грань А'В'1 Одна
грань В'С'1
3.46*. Космический корабль движется равномерно вдоль прямой,
соединяющей его с наблюдателем. Находясь на заданных расстояниях 1\
и /2 < h от наблюдателя, корабль испускает две короткие световые
вспышки, которые регистрируются наблюдателем по его часам в моменты
времени ti и t2. С какой скоростью V корабль приближается к наблюдателю
и в какой момент t* он прибудет? Как связана «видимая» скорость корабля
с его истинной скоростью в системе наблюдателя?
Указание. Под «видимой» или «кажущейся» скоростью следует понимать
отношение пройденного пути 1\ — h к промежутку времени At = £2 — £1, который
зарегистрировал наблюдатель. Именно таким образом определялась бы скорость
в классической механике, в которой t;«c.
3.47*. Космический корабль приближается к наблюдателю с
известной скоростью V. Для определения длины космического корабля
наблюдатель посылает два коротких световых импульса, которые отражаются от
зеркал, установленных в голове и хвосте корабля, и возвращаются к
наблюдателю одновременно по его часам. Как на основе такого мысленного
236
Глава 3
эксперимента найти длины корабля: а) «кажущуюся» а*, определяемую как
расстояние между положениями зеркал, отраженные импульсы от которых
пришли к наблюдателю одновременно; б) длину а в системе
наблюдателя; в) длину ао в собственной системе корабля, в которой он неподвижен.
Какими окажутся искомые длины, если корабль удаляется от наблюдателя?
3.48*. Космический корабль движется со скоростью V = const
относительно наблюдателя, который находится в стороне на большом
расстоянии от его траектории (рис. 3.9). Вычислить «кажущуюся» (в том смысле,
в каком это понятие использовалось в задаче 3.46) скорость корабля с
помощью световых сигналов. Найти проекции этой скорости на луч,
направленный к наблюдателю, и на плоскость, перпендикулярную лучу. При каких
условиях «кажущаяся» скорость оказывается сверхсветовой? Рассмотреть,
в частности, случай, когда релятивистский фактор корабля велик, 7 ^> 1»
а угол а мал.
\ \
\ \
\ \
\ \
\
\
Рис. 3.9
О
3.2. Кинематика релятивистских частиц
237
3.49. Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение
плоской монохроматической волны в движущейся со скоростью V среде с
показателем преломления п (фазовая скорость волны в неподвижной
диэлектрической среде г/ = с/п). Найти формулы преобразования частоты, фазовой
скорости и угла между волновым вектором и относительной скоростью.
3.50. Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью V
среде в направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме Л.
Найти скорость v волны относительно лабораторной системы (опыт Физо).
Показатель преломления п определяется в системе 5', связанной со
средой, и зависит от длины волны Л7 в этой системе. Вычисления проводить
с точностью до первого порядка по V/c.
Рекомендуемая литература: [Эйнштейн (1905)], [Болотовский (1990)],
[Ландау и Лифшиц, Теория поля], [Мандельштам (1955)], [Меллер (1975)],
[Фок (1955)], [Угаров (1977)], [Бредов и др. (1985)], [Лайтман и др. (1979)],
[Батыгин и Топтыгин (1970)], [Дюге (1973)], [Пановский и Филипс (1963)],
[Принцип относительности (1973)], [Болотовский (1985)], [Толмен (1974)],
[Борн (1977)], [Вайскопф (1964)], [Тейлор и Уилер (1971)], [Толмен (1974)],
[Гинзбург (1979)], [Минковский (1959)], [Эйнштейн (1955)].
3.2. Кинематика релятивистских частиц
Энергия и импульс. Как известно из нерелятивистской классической
механики, наиболее компактная и простая форма записи законов движения
(в отсутствие макроскопических диссипативных сил) достигается на основе
вариационного принципа и имеет вид
SS = 0. (3.26)
Здесь
(2)
S= f Ldt (3.27)
(i)
— действие рассматриваемой механической системы, L — ее функция Ла-
гранжа. В состояниях (1) и (2) задаются координаты частиц и моменты
времени. При движении механической систем