СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Е.Г. ВЕКШТЕИН
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие..............................................   4
Введение
Ортогональные координаты................................... 5
Некоторые формулы векторного исчисления.................... 8
Система уравнений Максвелла................................ 9
ЗАДАЧИ
Часть I. Электростатика
Основные формулы............................13
§ 1.	Закон Кулона...............................20
§ 2.	Теорема Остроградского — Гаусса............21
§ 3.	Потенциал. Дифференциальное уравнение...Пуассона—Лапласа	22
§ 4.	Емкостные коэффициенты. Конденсаторы.	Теорема
взаимности Грина............................27
§ 5.	Энергия и силы взаимодействия.	Максвелловский
тензор натяжений............................29
§ 6.	Метод электрических изображений............32
Часть II. Стационарные и квазистационарные токи
и магнитные поля
Основные формулы...................................36
§ 1.	Закон постоянного тока............................44
§ 2.	Закон Био и Савара................................45
§ 3.	Вектор-потенциал. Дифференциальное уравнение Пуассона—Лапласа.......................................47
§ 4.	Циркуляция магнитного вектора. Магнетик в однородном поле............................................49
§ 5.	Взаимодействие токов. Коэффициенты индуктивности	51
§ 6.	Закон электромагнитной индукции. Квазистациопар-ные токи...............................................55
Часть III. Переменное электромагнитное поле
Основные формулы...................................60
§ 1.	Токи смещения. Потенциалы электромагнитного поля	69
§ 2.	Электромагнитные волны в неограниченной среде. Волновые пакеты........................................70
§ 3.	Поляризация вещества в переменном поле ...	72
§ 4.	Отражение и преломление электромагнитных волн .	74
§ 5.	Резонаторы и волноводы........................... 77
§ 6.	Излучение и рассеяние электромагнитных волн .	.	80
Часть IV. Специальная теория относительности и основы электродинамики движущихся тел
Основные формулы .	...	„..................83
§ 1.	Релятивистская	кинематика. 4-векторы и тензоры .	89
§ 2.	Релятивистская	электродинамика....................92
§ 3.	Релятивистская	механика...........................94
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Часть I. Электростатика
§ 1.	Закон Кулона.................................97
§ 2.	Теорема Остроградского—Гаусса...............102
§ 3.	Потенциал. Дифференциальное уравнение	Пуассона—Лапласа	106
§ 4.	Емкостные коэффициенты. Конденсаторы.	Теорема
взаимности Грина.............................123
§ 5.	Энергия и силы взаимодействия. Максвелловский
тензор натяжений.............................131
§ 6.	Метод электрических изображений..............140
Часть II. Стационарные и квазистационарные токи и магнитные поля
§ 1.	Закон постоянного тока...........................158
§ 2.	Закон Био и Савара...............................163
§ 3.	Вектор-потенциал. Дифференциальное уравнение Пуассона—Лапласа.......................................168
§ 4.	Циркуляция магнитного вектора. Магнетик в однородном поле............................................177
§ 5.	Взаимодействие токов. Коэффициенты индуктивности 182
§ 6.	Закон электромагнитной индукции. Квазистационарные токи...............................................198
Часть III. Переменное электромагнитное поле
§ 1.	Токи смещения. Потенциалы электромагнитного поля 209
§ 2.	Электромагнитные волны в неограниченной среде.
Волновые пакеты...................................211
§ 3.	Поляризация вещества в переменном поле .	.	.	219
§ 4.	Отражение и преломление электромагнитных воли .	226
§ 5.	Резонаторы и волноводы...........................239
§ 6.	Излучение и рассеяние электромагнитных волн .	.	248
Часть IV. Специальная теория относительности и основы электродинамики движущихся тел
§ 1.	Релятивистская кинематика. 4-векторы и тензоры .	261
§ 2.	Релятивистская электродинамика...................268
§ 3.	Релятивистская механика..........................275
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый сборник задач по электродинамике задуман с целью реализации формулы: «не только знать, но и уметь». Забвение этого приводит к формальному заучиванию.
Проблема не в том, чтобы студенты шаблонно овладели основными методами решения типичных задач, а в том, и это самое главное, чтобы эта методика была осознана и базировалась на известные теоретические положения.
С этой целью в предлагаемом сборнике приводятся (в особенности в первой его части) довольно подробные и четкие указания на решение каждой задачи с ссылками на основные уравнения и формулы. В последующих частях эти указания становятся постепенно менее детальными.
С этой же целью в сборнике рассматривается в некоторых случаях решение одной и той же задачи различными методами либо указывается на возможность таких решений.
Предлагаемый сборник имеет целью также иллюстрацию и конкретизацию основных положений теоретического курса электродинамики. Для этого в сборник включены, например, задачи на расчет сил взаимодействия между зарядами и токами при помощи максвелловского тензора натяжений, несмотря на то, что эти задачи могут быть решены значительно легче иными методами.
Сборник состоит из 4 частей: электростатика; стационарные и кназистационарные токи и магнитные поля; переменное электромагнитное поле; специальная теория относительности и основы электродинамики движущихся тел.
В начале каждой части приводится краткое теоретическое введение со сводкой основных формул и указанием применяемых обозначений. Сборнику в целом предпослано краткое введение:
1) Ортогональные координаты; 2) Некоторые формулы векторного исчисления; 3) Система уравнений Максвелла.
В сборнике используется гауссова абсолютная система единиц.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
В любых ортогональных координатах (xix2x3) квадрат элемента дуги
dl2 = h2 dx\ + Л2 dx2 4- h23 dx23,
где hlt hi, /23 — так называемые коэффициенты Ламэ.
Элемент объема
dV = /z1/z2/z3 dxjdx2 dx3.
Линии любого векторного поля A(xix2x3) определяются дифференциальными уравнениями
/ц dx1  h2dx2 ____ hsdx3
(I)
Градиент скалярной функции координат
где eb е2, е3 — единичные векторы, касательные к координатным линиям в данной точке.
Дивергенция вектора
div А = у А = —I—(ЙДД) + hjitfia [ дх±
+ ^-(/г3М2) + ^-(/г1Мз:
0x2	дх3
(III)
Ротор вектора
rot А = [у X А]
1
^iei д
dx±
Й1Д
^2®2 д dx2 h2A2
^зез д дх3 h^As
(IV)
Оператор Лапласа
A=.v-2_	1	( а f h'ihs д ) |
hji2hs I дх± \ h± dXi )
В дальнейшем мы будем преимущественно пользоваться лишь декартовыми, цилиндрическими и сферическими координатами, для которых приводим явное выражение указанных операций:
а)	декартовы координаты (х^х; х2 = г/; x3=z):
dP = dx2 4- dy2 4- dz2; dV = dx dy dz (hi= h2 = h3 = I).
Дифференциальные уравнения линий векторного поля А(х, у, z):
dx _ dy _ dz Ax	Ay	Аг		(M
Составляющие градиента ф(х, у, z): gradjc(p = 17; grady<p=='J Дивергенция вектора А(х, у, z) div А дАх 4- дАу	скалярной функции ; grad2<p = -^-4 (Па) dz ! дАг	
Q1V А — dx	оу Составляющие ротора вектора rnf А - дА* дАу  rot А	1 dz А(Х, у, Z): dAx	dAz .	
х	ду	dz	у rotzA=-^- — дх	dz	dx dAx dy	(IVa)
Оператор Лапласа
A = V2 = 3tt-+	+	(Va)
их2 оу2 dz2
б)	цилиндрические координаты (Xi=R-, х2 = 0; х3= =2):
ht — 1; /i2 — R-, hs = 1;
dl2 = dR2 + R2 dQ2 + dz2-, dV = RdR d® dz.
Дифференциальные уравнения линий	векторного
поля А(Д, 0, z): dR 	 Rd® _ dz Az *	(16)
Составляющие градиенты скалярной ф(Д, 0, z):	функции
grad/? ф =	grad0 ф =	grad2 ф =	. (Пб) 5г v '
Дивергенция вектора A (R, 0, z)
15	1 5/R dAz
div A =	-ЙГ <W + 7Г -^ + T-
Составляющие ротора вектора А(Д, 0, z):
к	1 дА^	5А0			дАг
rotfl A R д&	5г ’	1 С/	\	5г	
	1	5		1 дАк	(IV6)
rotzA =	R SR	-(W-	R 50	
Оператор Лапласа
15/	5 \	1	52	52
д = V2 = -L _Д_(д _£_А + — _Д_ + Ф_;
v R dR \ dR J ' R2 502	5z2
(V6)
в)	сферические координаты (xi=r; х2=0; x3=ip): йг = 1; h2 = г, /z3 = rsin0;
dl2 = dr2 + r2 dR)2 ~p r2 sin2 0 dip2;
dV — r2 dr sin 0 d© dip = r2 dr d£l,
где dQ = sin0d0dip — элементарный телесный угол.
Дифференциальные уравнения линий векторного поля А (г, 0, ф):
dr rd в	г sin 0 dip	/Т .
V~’	}
Составляющие градиента скалярной	функции
Ф (г, 0, ф):
,	дер	,	1 Зф
grad,, <р = —J—-	(Ив)
г sin 0 Зф
Дивергенция вектора А (г, 0, ф)
div А = vA — —---— (r2Ar) -1---Ц------4 (sin 0Ле) +
* г2 dr	г sin© 30
. ___1_______(П1в)
~ r sin 0 Зф
Составляющие ротора вектора А (г, 0, ф):
1 Г 3	ЗАл )
го^А =	(slti0Лф)-----
roteA = —L— 1-^------------- 4- (rAj,)}; (IVB)
г sin© ( Зф г dr J
, .	1	3 , . .	1 дАг
гоДА =------—- (Me)----------—.
г dr	г 30
Оператор Лапласа
k = V2 = — — (г2 ~ 4------------------д— ( sin —А +
*' г2 dr I дг ) г2 sin 0 30 V	30 /
НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Ниже приведена сводка формул, которые в дальнейшем часто используются:
1.	А [В х С] = С [Ах В] В[Сх А];
2.	[А х [В X С]] = В (АС) — С (АВ);
3.	rot grad <p — 0;
4.	div rot A = 0;
5.	grad (tzv) = и grad v + v grad u;	(Vll)
6.	div (cpA) = ф div A + A grad ф;
7.	rot (фА) = ф rot A — [A x grad ф];
8.	div [A X В] = В rot A — A rot B;
9.	rot rot A = grad div A — y2A.
Далее приведены интегральные теоремы, позволяющие преобразовать друг в друга объемные, поверхностные и контурные интегралы.
1.	Теорема Остроградского—Гаусса.
J div A dV = (£ Ал ds = J A dS* *. (VIII) V	s	s
где n— внешняя нормаль к замкнутой поверхности S, ограничивающей данный объем V.
2.	Теорема Стокса
<£ A dl = J rotn A dS = J rot A dS,	(IX)
l s	s
где S — поверхность, опирающаяся на замкнутый контур L;
п—нормаль к этой поверхности, составляющая правовинтовую систему с направлением контура.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
В основе макроскопической электродинамики лежат уравнения Максвелла:
div В —	0;	div D	= 4лр;
<	.	I	dB	г,	> «1	I dD ____ 4 л	• zv\
rot ЕН------— = 0; rotH-----------— ---------J, (X)
с	dt	с dt	с
где Е и Н — напряженности соответственно электрического и магнитного полей, D и В — векторы индукции, которые определяются уравнениями
	D = Е 4- 4лР; В = Н + 4лМ,	(XI)
* dS — имеет направление внешней нормали.
где Р — вектор поляризации, т. е. объемная плотность электрического дипольного момента; М — вектор намагничивания, т. е. объемная плотность магнитного момента; р — плотность свободных зарядов; j— плотность тока.
Уравнение Максвелла следует дополнить так называемыми материальными уравнениями, которыми дается зависимость между векторами Р (или D) и Е и соответственно М (или В) и Н.
В большинстве случаев эту зависимость можно считать линейной. Материальные уравнения будут сформулированы ниже для отдельных частных случаев.
Из линейности уравнений Максвелла следует, что сумма двух или нескольких решений также является решением этих уравнений, для которого плотность источников (р и j) равна сумме плотностей для отдельных решений (принцип суперпозиции).
Из уравнений Максвелла вытекают следующие интегралы (законы сохранения):
1)	закон сохранения количества электричества
-^ + divj = O,	(ХИ)
ot
который в интегральной форме записывается так:
4-+ z = о,	(ХПа)
at
где </= §pdV — количество электричества, содержаще-V
гося в произвольном объеме V.
I=§jdS— сила тока, выходящего из объема V че-s
рез ограничивающую его замкнутую поверхность S;
2)	закон сохранения энергии
Е + н + *Е + div ~Т~ Iе х Н1 = °-dt	dt J	4л
Если коэффициенты линейной зависимости между D и Е (и соответственно между В и Н) не зависят от времени, то
—-----— (ED + НВ) + jE + div — [Е X Н] = О, (XIII)
dt 8л	4л
1 7
4л \
или в интегральной форме
(ХШа)
где
W = — f (ED + НВ) dV	(XIV)
8л J
и
есть энергия электромагнитного поля в объеме V;
JjEcTV — работа сил поля в том же объеме в единицу V
времени, а вектор Умова—Понтинга
S = — [Е X Н]	(XV)
4л
есть плотность потока электромагнитной энергии.
Электромагнитное поле обладает также количеством движения (импульсом):
G= f—SdV.	(XVI)
J с2 v
Чтобы найти решение уравнений Максвелла, оказывается удобным ввести скалярный потенциал <р и вектор — потенциал А
Е = — gradfp---5—В = rot А,	(XVII)
с dt
в результате чего первая пара уравнений Максвелла (X) удовлетворяется тождественно.
Из второй пары уравнений Максвелла (X) с учетом материальных уравнений можно получить дифференциальные уравнения для определения потенциалов.
В интегральной форме первая пара уравнений Максвелла записывается так:
(f BdS = 0; s
ф D dS = 4л J p dV, s	v
(XVIII)
(XIX)
где S замкнутая поверхность, ограничивающая произвольный объем V. Отсюда вытекают граничные условия для векторов индукции, а именно:
В™ =	(XVIIIa)
— D™ = 4jw,	(XIXa)
где индексом	(1)	обозначена та	сторона	поверхности,
куда	направлена положительная	нормаль	п,	а	ст — по-
верхностная плотность свободных зарядов на этой поверхности.
Вторая пара уравнений Максвелла в интегральной форме записывается так:
$E‘i' = “T	Р»)
/	S
[DrfS + ^CjrfS, (XXI) I	s	s
где S произвольная незамкнутая поверхность, ограниченная замкнутым контуром I. Отсюда вытекают граничные условия для векторов Е и Н, а именно:
In х (Ed) — Е<2))1 = 0, т. е. = £$2); (ХХа)
[n X (Н<» - Н<2))] = —(ХХ1а) с
где п — единичный вектор нормали к рассматриваемой поверхности, а I — плотность поверхностного тока вдоль этой поверхности, т. е. сила тока, приходящегося на единицу длины.
ЗАДАЧИ
ЧАСТЬ I
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Из уравнений Максвелла (X) следует, что электростатическое поле в любой среде определяется дифференциальными уравнениями:
divD = 4np,	(1.1)
rotE = 0,	(1.2)
где
D = Е + 4лР.	(1.3)
Для преобладающего большинства изотропных диэлектриков в статическом случае имеет место следующее материальное уравнение:
Р — иЕ,	(1.4)
где и — электрическая восприимчивость, играющая роль материальной константы.
Из (1.3) и (1.4) следует, что
D = еЕ,	(1.5)
где
е — 1 + 4ля	(1.6)
есть диэлектрическая проницаемость.
Распределение связанных зарядов в поляризованном диэлектрике связано с вектором поляризации Р соотно-
шепнем
р' = — div Р.
(1-7)
Отсюда
р(1)_р(2) = _(Т')	(1.7а)
где р' и ст' — объемная и поверхностная плотность связанных зарядов.
Распределение связанных зарядов на незаряженной (<г=0) границе двух диэлектриков определяется уравнением
E^-E^W.	(1.8)
Интегральная форма уравнения (1.1)
$>DndS =4щ/,	(1.9)
s
где q — свободный заряд, содержащийся внутри замкнутой поверхности S, известна под названием теоремы Остроградского—Г аусса.
При помощи этой теоремы можно легко рассчитать электростатическое поле в ряде случаев, когда искомое поле обладает известной симметрией.
Таким путем можно получить (см. задачу 1.8), что напряженность поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом <7, определяется формулой (закон Кулона)
Е = -^-г Г2 г
(1.10)
Если поле создается в вакууме несколькими точечными зарядами, то (принцип суперпозиции)
(111)
а в случае непрерывного распределения зарядов
Е=	f —-dS+	(1.12)
.) г» I гЗ Jr3
где %, о, р - соответственно линейная, поверхностная и объемная плотность зарядов.
Уравнение (1.2) тождественно удовлетворяется, если ввести скалярный потенциал ф (сравните с XVII)
Е = — gradcp.	(1.13)
Отсюда работа, которая производится силами электростатического поля при перемещении точечного заряда q из положения / в положение 2, равна
Л =	—Фг)-	U-14)
Потенциал <р будем считать определенным так, чтобы вне поля (на бесконечности) <р = 0.
Этому условию нельзя удовлетворить лишь в тех случаях, когда рассматривается абстрактное поле, создаваемое бесконечно протяженными заряженными телами (бесконечная нить, бесконечные плоскости и пр.).
Точечный заряд q, находясь во внешнем поле, обладает энергией
W = 9<р,	(1.15)
где ф — значение потенциала внешнего поля в точке нахождения заряда q.
Энергия взаимодействия точечных зарядов
п
(116)
k=\
где ф/, — потенциал поля, создаваемого в точке нахождения й-го заряда (<д) всеми остальными.
Энергия заряженного тела, или, что то же самое, энергия создаваемого им электростатического поля,
17= — [рф<27 = —(1.17)
2 J	8л J
Для системы заряженных проводников
п
W =	(1-18)
п
Qk=^cki^	(119)
где Сы — емкостные коэффициенты, зависящие лишь от формы, размеров и взаимного расположения проводников, а также от разделяющей их диэлектрической среды.
Отсюда
п
^k=ZSklqt,	(1.19а)
i=i
где Skl = сы — потенциальные коэффициенты.
Для случая уединенного проводника
<7 = 0<р,	(1.20)
где С — электроемкость проводника.
Для конденсатора
q = С(ф! — <р2).	(1.21)
По теореме взаимности Грина
п
=	(1-22)
fe=i	k=i
где фй — потенциалы проводников, когда заряды на них равны <7/г; ф/ — потенциалы тех же проводников, когда их заряды равны qk'.
Эта теорема верна и в том случае, когда некоторые (или все) заряды точечные, но тогда под фй надо понимать потенциал поля в точке нахождения заряда q&, создаваемый всеми остальными зарядами, кроме данного.
Из (1.1), (1.5) и (1.13) следует, что в однородной среде потенциал электростатического поля удовлетворяет дифференциальному уравнению Пуассона
Лф-—(1.23)
Этим уравнением однозначно определяется потенциал электростатического поля в рассматриваемом объеме, если задано: 1) распределение зарядов в этом объеме и 2) граничные условия для ф либо на замкнутой поверхности, ограничивающей этот объем.
На границе раздела двух сред с различной диэлектрической проницаемостью из граничных условий для векторов индукции и напряженности (XIXa, ХХа) вытекают следующие граничные условия для потенциала:
дп	дп
где о — поверхностная плотность свободных зарядов на границе. На границе между диэлектриком и проводником второе из граничных условий (1.24) принимает вид
— е = 4ла.	(1.24а)
Там, где нет зарядов, электростатический потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
Дер = 0,	(1.23а)
решение которого однозначно определяется заданием граничных условий.
Частным решением уравнения Пуассона—Лапласа является потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q в однородной среде, заполняющей все пространство, ►
Ф = -*-.	(1.25)
ег
Если поле создастся несколькими точечными зарядами, то п
<р=У—•	(L26)
—J erft
fe=i
Если поле создается непрерывным (линейным, поверхностным и объемным) распределением зарядов в однородной бесконечной среде, то
Если электростатическое поле создается в вакууме системой зарядов, то на достаточно больших по сравнению
с размерами системы расстояниях
fe=i
где г — радиус-вектор рассматриваемой точки поля (в качестве начала отсчета выбрана произвольная точка внутри системы зарядов); х —координаты этой точки п
поля; q —	— суммарный заряд системы;
С1-29)
fe=i
системы (Г/. — радиус-вектор за-
— дипольный момент ряда qh);
п
(L30>
— тензор квадрупольного момента;
— координаты заряда q^.
Если поле плоское, т. е. зависит лишь от двух декартовых координат (х, у), то удобно пользоваться так называемым комплексным потенциалом.
Если
f (?) = f (X -1- iy) = <р (х, у) + (х, у)
есть аналитическая функция комплексной переменной z=x+zy, то <р(х, у) и ф(х, у) являются решениями двумерного уравнения Лапласа
= р. даФ 	= 0
Дх2 ду2 ' дх2 ду2
и удовлетворяют уравнениям Коши—Римана
Дф _	йф _	й<р ___ Дф	(I	21)
дх	dy ’	ду	дх
Отсюда	следует,	что	кривые	ф(х,	у)	= const и
ф(х, у) — const взаимно ортогональны. Если <р(х, у) по
тенциал электростатического поля, то силовые линии этого поля определяются уравнением ф(х, у) = const, и наоборот.
На точечный заряд q во внешнем поле (Е) действует сила
Е=дЕ =—(1.32)
Вообще, если замкнутая электростатическая система обладает энергией W(xix2...), где XiX2... независимые параметры (обобщенные координаты), которыми определяется конфигурация этой системы, то действующие силы (обобщенные силы в смысле аналитической динамики) определяются формулой
Л = ——(1.33) дх^
Энергия диполя во внешнем поле
W = — рЕ.	(1.34)
Отсюда действующие на диполь силы дают момент
N = [pxE]	(1.35)
и главный вектор
F = v(pE] = (pv)E.	(1.36)
На заряженный проводник действуют силы в направлении внешней нормали с поверхностной плотностью
- сЕ 2лсга
Силы, действующие на проводник в электростатическом поле, можно также вычислить по формуле
(1-38а)
\ dxk J4 либо
= +	(1-386)
\ dxk Jtp
в зависимости от того, поддерживается ли постоянным на проводнике его заряд q или потенциал ср.
Главный вектор пондеромоторных сил, действующих
на любой объем V, ограниченный замкнутой поверхностью S, можно вычислить по формуле (если пренебречь электрострикцией)
Л =	(1,39)
s где
r‘t = 7^(E‘E‘-Te‘6l‘)	<>•«)
— максвелловский тензор натяжений.
§ 1.	Закон Кулона
1.1.	Вычислить непосредственно на основании закона Кулона (см. уравнение 1.12) напряженность следующих полей в вакууме (для б—в показать, что на заряженной поверхности нормальная составляющая напряженности терпит разрыв на 4ло):
а)	поле бесконечной прямолинейной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью %;
б)	поле бесконечной плоскости, равномерно заряженной с поверхностной плотностью о;
в)	поле бесконечно длинной поверхности круглого цилиндра, равномерно заряженной с линейной плотностью х- Радиус цилиндра а;
г)	поле равномерно заряженной сферической поверхности. Радиус сферы а, заряд ее <у;
д)	поле, создаваемое зарядом q, равномерно распределенным по объему шара радиуса а.
1.2.	Заряд q равномерно распределен по объему (p=const), заключенному между двумя эксцентричными сферами так, что меньшая из них находится целиком внутри большей. Определить напряженность поля внутри пустой полости.
1.3.	В основном состоянии атома водорода заряд электрона (—е) распределен с объемной плотностью
где а — боровский радиус, г — расстояние от ядра.
Вычислить напряженность поля внутри атома.
1.4.	Поле создается в вакууме равномерно заряженной окружностью радиуса а, заряд ее q. Вычислить напряженность поля на оси окружности.
1.5.	Круглый диск радиуса а равномерно заряжен с поверхностной плотностью Т>. В какой точке на оси диска напряженность поля раина зто?
1.6.	Поле создается зарядом q, координаты которого (—а, 0, 0) и зарядом —q, координаты которого (а, 0,0). Вычислить поток вектора напряженности через, поверхность круглого диска радиуса а, плоскость которого перпендикулярна оси х и центр которого совпадает с началом координат.
1.7.	Поле создается в вакууме равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нитью. Линейная плотность зарядов %. Вычислить поток вектора напряженности этого поля через поверхность квадрата со стороной 2а, плоскость которого параллельна заряженной нити и отстоит от нее на расстоянии а.
§ 2.	Теорема Остроградского—Гаусса
1.8.	Вывести из уравнений Максвелла закон Кулона для вакуума.
1.9.	Бесконечная прямолинейная нить равномерно заряжена с линейной плотностью % и окружена однородным диэлектриком с проницаемостью ei, имеющим форму бесконечного цилиндра радиуса R, а за ним (R>R\) —однородным безграничным диэлектриком с проницаемостью 62. Определить напряженность поля, создаваемого заряженной нитью.
1.10.	Определить поверхностную плотность связанных зарядов на границе (R=Ri) диэлектриков предыдущей задачи.
1.11.	Определить поле, создаваемое равномерно заряженной (o=const) поверхностью бесконечно длинного круглого цилиндра радиуса а в неоднородной диэлектрической среде, проницаемость которой е = е(/?), где R — расстояние от оси цилиндра.
1.12.	Определить объемную плотность связанных зарядов в предыдущей задаче.
1.13.	Определить поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной (о=const) плоскостью, если по обе
стороны от пее пространство заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью е.
1.14.	Определить поле плоского конденсатора, обкладки которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью зарядов +о и —о. Пространство между ними заполнено неоднородным диэлектриком, проницаемость которого 8=е(х). Краевым эффектом пренебречь. Ось х направлена перпендикулярно к обкладкам от положительно заряженной обкладки к отрицательной.
vl-15. Определить поле, создаваемое заряженным проводящим шаром радиуса а. Заряд его Q. Диэлектрическая проницаемость окружающей среды е = е(г), где г— расстояние от центра шара.
1-16. Определить поверхностную плотность связанных зарядов (o') на границе диэлектрика и шара из предыдущей задачи.
1.17.	Внутренняя обкладка сферического конденсатора имеет заряд q. Наружная обкладка заземлена. Определить заряд, индуцированный на наружной обкладке.
1.1К-	Определить поле сферического конденсатора, радиусы обкладоД которого Г\ и r2 (Г2>п). Заряд внутренней обкладки q, наружная заземлена; между ними неоднородный диэлектрик, проницаемость которого в=е(г).
1.19.	Однородный диэлектрический шар радиуса а равномерно заряжен по объему (р = const), заряд его q, проницаемость шара ео, окружающей среды — е=е(г). Вычислить напряженность поля, создаваемого заряженным шаром.
1.20.	Найти распределение связанных зарядов на поверхности и внутри заряженного шара из предыдущей задачи.
§ 3.	Потенциал. Дифференциальное уравнение Пуассона—Далласа
1.21.	Вычислить потенциал поля, создаваемого в вакууме прямолинейным равномерно заряженным отрезком длиной 2/ (линейная плотность %). Определить эквипотенциальные поверхности этого поля.
1.22.	Проводник имеет форму эллипсоида вращения с полуосями а и b (Ь<а), осью вращения служит ось 2 а. Заряд его q. Определить потенциал поля, создаваемого им в вакууме.
1.23.	Определить потенциал и напряженность ноля, создаваемого в вакууме прямолинейной бесконечной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью у.
1.24.	Вычислить потенциал поля, создаваемого в вакууме тонким металлическим кольцом радиуса а, несущим заряд q. Рассмотреть поле на оси кольца.
1.25.	Определить потенциал и напряженность поля, создаваемого в однородной среде, заряженным проводящим шаром радиуса а. Заряд шара q. Диэлектрическая проницаемость среды е.
1.26.	Определить потенциал поля, создаваемого в вакууме равномерно заряженной (о=const) поверхностью круглого цилиндра с радиусом а и высотой Н в любой точке на его оси.
1.27.	Заряд q равномерно распределен (p = const) по объему шара радиуса а. Вычислить потенциал и напряженность поля, созда!ваемого этим зарядом в вакууме.
1.28.	В основном состоянии атома водорода заряд электрона (—е) распределен с объемной плотностью
р=-----— е ° , где а — боровский радиус, г — расстоя-
ЗШ3
ние от ядра. Вычислить потенциал и напряженность поля в атоме.
1.29.	Потенциал поля, создаваемого электрическим диполем с моментом р, определяется формулой'
где г — радиус-вектор рассматриваемой точки поля, проведенный из центра диполя. Вычислить напряженность этого поля.
1.30.	Найти уравнение силовых линий поля, рассмотренного в предыдущей задаче.
1.31.	Определить потенциал поля, создаваемого в вакууме двойным электрическим слоем. Поверхность его S, мощность т.
Примечание. Мощностью двойного слоя называется дипольный момент, приходящийся на единицу его поверхности.
1.32.	Двойной электрический слой постоянной мощности т имеет форму круглого диска радиуса а Вычислить потенциал поля, создаваемого им на оси диска.
1.33.	Найти уравнение силовых линий поля, создаваемого в однородной среде двумя точечными зарядами, равными по величине и противоположными по знаку. Расстояние между ними 2а.
Указание. Ввести переменные
При этом удается разделить переменные в дифференциальном уравнении силовых линий.
1.34.	Найти уравнение силовых линий поля, создаваемого в однородной среде двумя одноименными и равными по величине точечными зарядами, находящимися на расстоянии 2а друг от друга.
1.35.	Показать, что дипольный момент электрически нейтральной системы не зависит от выбора начала.
1.36.	Показать, что тензор квадрупольного момента аксиально симметричного распределения зарядов имеет лишь одну независимую компоненту.
1.37.	Вычислить потенциал и напряженность поля, создаваемого в вакууме аксиально-симметричным квадруполем с моментом
q22 = Q; ГQxx = Q
v 1 I '-XX '-j
1.38.	Вычислить тензор квадрупольного момента двух концентрических колец, радиус которых а и Ь, несущих заряды q и —q.
1.39.	Вычислить квадрупольный момент заряда q, равномерно распределенного (р = const) по объему эллипсоида вращения с полуосями а и Ь (2а — ось вращения) .
1.40.	Потенциал электростатического поля в вакууме
<Р =
— ах (х > 0), ах (х<0).
Определить распределение зарядов, которыми создается это поле.
1.41.	Потенциал электростатического поля в вакууме
aln-^B-	(/?>/?«),
Л
где Ло и а —постоянные. Определить соответствующее распределение зарядов. /?—расстояние от заряда до оси.
1.42.	Потенциал поля в вакууме
— (г > а),
Г
— (г<а), а
где г _ расстояние от начала координат; q и о- постоянные. Определить соответствующее распределение зарядов.
1.43.	Потенциал поля в вакууме
('•>«)>
L_± гг .
2 а3 2 а
(Г < «)-
где г—расстояние от начала координат, а и q — постоянные. Определить соответствующее распределение зарядов:
1.44.	Найти распределение зарядов, создающих в вакууме потенциал Юкавы,

1.45.	Определить комплексный потенциал поля, создаваемого в вакууме бесконечной прямолинейной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью %. Найти уравнение силовых линий.
1.46.	Найти потенциал и уравнения силовых линий поля, созданного в вакууме двумя бесконечными и параллельными нитями, находящимися на расстоянии 2а
друг от друга и одноименно заряженными равномерно с линейной плотностью зарядов %.
1.47.	Найти потенциал и уравнения силовых линий поля, создаваемого в вакууме двумя параллельными- и
2В Зак. 859	25
>	.... SR
бесконечными нитями, отстоящими друг от Друрй ЙЭ расстоянии 2а и равномерно заряженными с линейной плотностью х и —X- Определить эквипотенциальные поверхности этого поля.
1.48.	Показать, что для двумерного поля, описываемого комплексным потенциалом /(z)=q>(x, у) + гф(я,у), поток электрического вектора через поверхность единицы длины (вдоль оси z), ограниченную дугой АВ, равен
в
J Еп dl — ty (хву13) —1]> (хАуА).
А
1.49.	Исследовать поле, комплексный потенциал которого
/(z) = /£
1.50.	Определить при помощи уравнения Лапласа потенциал поля, создаваемого в вакууме равномерно заряженной (o=const) бесконечно длинной поверхностью круглого цилиндра радиуса а, и вычислить напряженность этого поля.
1.51.	Определить при помощи уравнения Пуассона потенциал и напряженность поля, создаваемого бесконечным плоским слоем толщиною 2а, равномерно заряженным с объемной плотностью р = const. Диэлектрическая проницаемость слоя e=const. Окружающая среда — вакуум.
1.52.	Определить при помощи уравнения Пуассона потенциал и напряженность поля, создаваемого однородным шаром радиуса а, равномерно заряженным с объемной плотностью p=const. Диэлектрическая проницаемость шара e = const. Окружающая среда — вакуум.
1.53.	Определить при помощи уравнения Пуассона потенциал и напряженность поля, создаваемого однородным бесконечно длинным круглым цилиндром радиуса а, равномерно заряженным с объемной плотностью p=const. Диэлектрическая проницаемость цилиндра в. Окружающая среда — вакуум.
1.54.	Электростатическое поле в пространстве, свободном от зарядов, обладает аксиальной симметрией <р=ф(/?, г). На оси симметрии (/?=0) потенциал поля равен <D(z).
Показать, что в любой точке этой области
2я
Ф (R, г) = у— J Ф (z + iR sin a) da, о
либо
2л
Ф (R, z) -=	J Ф (z + iR cos а) da.
о
1.55.	Показать, что если заряженный проводящий шар погрузить наполовину в однородный жидкий диэлектрик, то создаваемое шаром поле остается сферически симметричным. Заряд шара q, радиус его а. Найти распределение зарядов на шаре. Проницаемость диэлектрика е.
§ 4.	Емкостные коэффициенты. Конденсаторы. Теорема взаимности Грина
1.56.	Проводящий шар радиуса а окружен концентрическим слоем диэлектрика радиуса Ь. Найти емкость шара, если проницаемость диэлектрика е.
1.57.	Все пространство заполнено двумя однородными диэлектриками с проницаемостями 8i и 82. Между ними находится проводящий шар радиуса а так, что центр его находится на плоскости раздела диэлектриков. Найти емкость шара.
1.58.	Вычислить емкость цилиндрического конденсатора. Длина его I, радиусы обкладок Rx и R2. Между обкладками два коаксиальных слоя однородных диэлектриков с проницаемостью 81 и 82, граница раздела между ними — цилиндрическая поверхность радиуса Ro. Краевым эффектом пренебречь.
1.59.	Вычислить емкость плоского конденсатора. Поверхность обкладок S, между ними два плоскопараллельных слоя однородных диэлектриков. Толщина первого слоя rfj, проницаемость 81, второго — соответственно d2 и 82. Краевым эффектом пренебречь.
1.60.	Вычислить емкость сферического конденсатора, заполненного наполовину однородным диэлектриком с проницаемостью 81, а наполовину — однородным диэлек-2В*	27
триком с проницаемостью 82. Граница раздела между ними — плоскость, проходящая через центр обкладок. Радиусы обкладок а и Ь.
1.61.	Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии I от центра заземленной проводящей сферы радиуса а Определить индуцированный на сфере заряд.
1.62.	Точечный заряд q находится на расстоянии / от центра заземленного проводящего шара, рассмотренного в задаче 1.56. Найти заряд, индуцированный на шаре, если 1>Ь.
1.63.	Точечный заряд q находится между заземленными обкладками воздушного сферического конденсатора на расстоянии г от центра обкладок. Радиусы обкладок а и Ь. Определить индуцированные на них заряды.
1.64.	Точечный заряд q находится в воздухе между двумя заземленными параллельными металлическими пластинами на расстоянии а от одной из них. Расстояние между пластинами d. Определить индуцированные на них заряды в предположении, что размеры пластин достаточно велики (по сравнению с расстоянием d между ними).
1.65.	Три проводящих шара радиуса а расположены в воздухе так, что их центры совпадают с вершинами равностороннего треугольника со стороной г, причем г^> а. Каждый шар поочередно на некоторое время заземляли. Определить заряды, оставшиеся после этого на шарах, если первоначально каждый шар имел заряд q.
1.66.	Четыре одинаковых проводящих шара радиуса а, центры которых совпадают с вершинами квадрата со стороной г, находятся в воздухе. Одному из шаров сообщили заряд. После этого заряженный .шар соединили на некоторое время металлической проволокой поочередно с каждым из незаряженных шаров (в циклическом порядке). Определить, как распределился заряд между всеми шарами, если г^>а.
1.67.	Доказать при помощи теоремы взаимности Грина симметричность емкостных и потенциальных коэффициентов в уравнениях (1.19) и (1.19а).
1.68.	Выразить емкость конденсатора через емкостные коэффициенты Си (см. 1.19) его обкладок.
1.69.	Вычислить емкость единицы длины двух параллельных проводов круглого сечения, находящихся на расстоянии D друг от друга, если радиус проводов a<^D. Диэлектрическую проницаемость окружающей среды принять равной единице.
1.70.	Два достаточно длинных проводящих круглых цилиндра, радиусы которых Ri и /?2, расположены в воздухе так, что их оси взаимно параллельны и находятся на расстоянии D друг от друга. Найти емкость единицы длины этих цилиндров. Рассмотреть предельный случай /?1=Д2=а<^Д-
1.71.	Вычислить на основании результатов предыдущей задачи емкость единицы длины воздушного цилиндрического конденсатора. Радиусы обкладок Pi и Д2.
1.72.	Ось достаточно длинного проводящего круглого цилиндра радиуса R находится на расстоянии а от бесконечной проводящей плоскости. Используя результаты задачи 1.70, найти емкость единицы длины этой системы.
§ 5. Энергия и силы взаимодействия. Максвелловский тензор натяжений
1.73,	Вычислить энергию заряженного уединенного проводящего шара радиуса а в однородной среде с проницаемостью е. Заряд шара q.
1.74.	Вычислить приближенно энергию двух заряженных металлических шаров, находящихся на большом расстоянии друг от друга. Радиусы шаров а и Ь. Заряды их <71 и q2. Расстояние между их центрами г (r^a\ г^Ь).
1.75.	Вычислить энергию равномерно заряженного по объему диэлектрического шара радиуса а. Диэлектрическая проницаемость шара в. Окружающая среда — вакуум. Заряд шара q.
1.76.	Для основного состояния атома водорода вычислить энергию взаимодействия между ядром и электронным облаком, плотность которого
2г е------
р =--------е а ,
па3
где а — боровский радиус; г — расстояние от ядра.
1.77.	Вычислить энергию заряженного цилиндрического конденсатора, рассмотренного в задаче 1.58. Заряд его q.
1.78.	Вычислить энергию заряженного плоского конденсатора, рассмотренного в задаче 1.59. Заряд его q.
1.79.	Расстояние между обкладками плоского конденсатора d, площадь обкладок" S, между ними вплотную к обкладкам находится диэлектрическая пластинка. Конденсатор заряжен от источника напряжения до разности потенциалов Дф и отключен от него. Какую работу надо произвести, чтобы вынуть из конденсатора диэлектрическую пластинку?
1.80.	Две вертикальные и параллельные металлические пластинки погружены частично в сосуд с жидким диэлектриком. Расстояние между пластинами d и к ним приложено напряжение Дф. На какую высоту h поднимется керосин между пластинами? Капиллярностью пренебречь.
1.81.	Цилиндрический конденсатор погружен вертикально одним концом в жидкий диэлектрик, который поднялся между его обкладками на высоту h. К обкладкам конденсатора приложено напряжение Дф, радиусы их R\ и R<i. Найти диэлектрическую проницаемость диэлектрика, если его удельный вес 6. Капиллярностью пренебречь.
1.82.	Между обкладками заряженного воздушного плоского конденсатора находится изолированная от земли металлическая пластина толщиною d, параллельная обкладкам конденсатора. Какую работу надо произвести, чтобы вынуть пластину из конденсатора? Поверхность каждой обкладки (и пластины) S, заряд их q и —Я-
1.83.	Два конденсатора, емкости которых Cj и С2„ заряжаются до напряжения Hi и U2, после чего они соединяются между собой. Определить работу разряда при: а) параллельном и б) последовательном соединении конденсаторов.
1.84.	Два одинаковых и коаксиальных металлических кольца радиуса а лежат в параллельных плоскостях на расстоянии h друг от друга. Работа, которую нужно совершить, чтобы заряд q внести из бесконечности в центры этих колец, равна соответственно А{ и Найти заряды колец,
1.85.	Два уединенных проводника имеют в вакууме емкости Ci и С2. Находясь на достаточно большом по сравнению с их размерами расстоянии г друг от друга, они заряжены до потенциалов <pi и <рг- Найти силу взаимодействия между ними.
1.86.	Определить энергию взаимодействия двух электрических диполей в вакууме. Какую работу нужно затратить, чтобы два диполя расположить параллельно друг другу?
1.87.	Вычислить силы, действующие на обкладки плоского конденсатора из задачи. 1.14. Поверхность каждой обкладки S.
1.88.	Заряженный проводящий шар, находящийся в вакууме, разрезан на две половины. Вычислить силу их отталкивания. Радиус шара а, заряд его q.
1.89.	Показать, что полная сила, действующая на тело в электростатическом поле, определяется формулой
Е = -±- ф Е (Еп) — -у еРп j dS,
s
где n — единичный вектор внешней нормали к поверхности тела. Интегрирование распространяется на всю поверхность тела.
1.90.	Вычислить главный вектор сил, действующих на диэлектрик, находящийся между обкладками плоского конденсатора из задачи 1.14.
1.91.	Показать, что кулоновская сила взаимодействия между двумя точечными зарядами qi и q^, находящимися на расстоянии г в однородной диэлектрической среде, может быть вычислена при помощи максвелловского тензора натяжений.
1.92.	Вычислить энергию в силу взаимодействия двух параллельных и бесконечных нитей, равномерно заряженных с линейной плотностью % и —% и расположенных на расстоянии а друг от друга в однородной среде с диэлектрической проницаемостью е.
1.93.	Найти силу взаимодействия нитей из предыдущей задачи при помощи максвелловского тензора натяжений.
1-94. Определить силы взаимодействия между двумя электрическими диполями в вакууме ддя случая, когда диполи лежат в одной плоскости.
1.95.	Два длинных проводящих цилиндра радиуса /? расположены в вакууме паралельно друг другу и заряжены с постоянной линейной плотностью х и —%. Найти силу взаимного притяжения цилиндров, приходящуюся на единицу длины, если расстояние между осями цилиндра D.
§ 6. Метод электрических изображений
1.96.	Определить потенциал и напряженность поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q, находящимся на расстоянии а от бесконечной заземленной проводящей плоскости.
1.97.	Вычислить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на проводящей плоскости, рассмотренной в предыдущей задаче, и зесь индуцированный заряд. Показать, что заряд, индуцированный на любом участке проводящей плоскости, пропорционален телесному углу, под которым он виден из заряда.
1.98.	Электрический диполь находится в вакууме на расстоянии а от бесконечной проводящей плоскости. Момент его р параллелен этой плоскости. Найти силу притяжения диполя к проводнику.
1.99.	Точечный заряд q находится на одинаковом расстоянии а от двух взаимно перпендикулярных заземленных проводящих полуплоскостей. Определить создаваемое поле.
1.100.	Вычислить плотность зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях предыдущей задачи.
1.101.	Две бесконечные заземленные проводящие полуплоскости образуют угол в 60°. Точечный заряд находится на биссекторе этого двугранного^угла на расстоянии а от его ребра. Определить создаваемое им в вакууме поле.
1.102.	Вычислить плотность зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, рассмотренных в предыдущей задаче.
1.103.	Два точечных заряда q\ и qi находятся на расстоянии I друг от друга. Между ними на равных от них расстояниях помещена достаточно больших размеров заземленная металлическая пластина толщиною d
Определить действующую на нее силу.
1.104.	Равномерно заряженная (% = const) бесконечная прямолинейная нить находится на расстоянии а от параллельной ей бесконечной проводящей плоскости. Определить создаваемое ею в вакууме поле.
1.105.	Вычислить плотность зарядов, индуцированных на проводящей плоскости, заданной в предыдущей задаче.
1.106.	Бесконечная, равномерно заряженная (% = =const) прямолинейная нить находится на одинаковых расстояниях а от двух параллельных ей и взаимно перпендикулярных бесконечных заземленных проводящих полуплоскостей. Определить создаваемое ею в вакууме поле.
1.107.	Вычислить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, рассмотренных в предыдущей задаче.
1.108.	Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии I от центра заземленной проводящей сферы радиуса а (1>а). Определить создаваемое им поле.
1.109.	Определить распределение зарядов, индуцированных на поверхности сферы, заданной в предыдущей задаче.
1.110.	Два одинаковых заряда находятся на расстоянии 21 друг от друга. Посредине между ними расположен заземленный проводящий шар. Каким должен быть приближенно радиус (а) этого шара, чтобы уравновесить взаимное отталкивание данных зарядов.
1.111.	Проводящий шар радиуса а имеет заряд q\. Вне шара на расстоянии I (1>а) от его центра находится точечный заряд q2. Вычислить потенциал и напряженность создаваемого ими в вакууме поля.
1.112.	Используя условия задачи 1.111, найти силу, действующую на заряд q2, если qi и q2 одного знака.
1.113.	Точечный заряд q находится внутри заземленной проводящей полой сферы радиуса а на расстоянии I от ее центра (/<«). Определить создаваемое им в вакууме поле.
1.114.	Найти распределение зарядов, индуцированных на сферической поверхости (см. условие предыдущей задачи), и суммарный индуцированный заряд.
1.115.	В вакууме имеется бесконечно длинный заземленный проводящий круглый цилиндр радиуса а. Параллельно его оси протянута нить на расстоянии I (1>а) от
нее. Нить равномерно заряжена с линейной плотностью 7. Определить создаваемое ею поле и силу, действующую на единицу длины нити.
1.116.	Найти распределение зарядов, индуцированных на поверхности цилиндра предыдущей задачи, и суммарный заряд, индуцированнный на единице длины цилиндра.
1.117.	Внутри бесконечно длинной заземленной проводящей цилиндрической поверхности радиуса а протянута нить параллельно оси цилиндра на расстоянии I от нее	Нить равномерно заряжена с линейной
плотностью %. Определить создаваемое ею поле.
1.118.	Найти распределение зарядов, индуцированных на цилиндрической поверхности предыдущей задачи, и суммарный заряд, индуцированный на единице длины этой поверхности.
1.119.	На каком расстоянии симметрично относительно оси нужно поместить внутри полого заземленного бесконечно длинного проводящего круглого цилиндра радиуса а две заряженные нити с линейной плотностью заряда % и —у, чтобы действующие на нити силы взаимно уравновешивались.
1.120^	В однородное поле в вакууме, напряженность которого Ео, вносится незаряженный изолированный проводник, имеющий форму шара радиуса а. Определить установившееся поле и поляризуемость шара.
1.121.	Используя условия предыдущей задачи, определить плотность зарядов, индуцированных на поверхности шара.
1.122.	В однородное электрическое поле в вакууме, напряженность которого Ео, вносится незаряженный изолированный проводящий шар радиуса а, состоящий из двух половин, плоскость раздела между которыми перпендикулярна к направлению поля. Какая сила нужна, чтобы удержать эти половинки вместе?
1.123.	В однородное поле в вакууме, напряженность которого Ео, вносится незаряженный однородной диэлектрический шар радиуса а. Определить установившееся поле. Диэлектрическая проницаемость шара е. Вычислить поляризуемость шара.
1.124.	Определить распределение связанных зарядов в диэлектрическом шаре, рассмотренном в предыдущей задаче.
1.125.	Проводящий шар радиуса а окружен концентрической диэлектрической оболочкой, наружный радиус которой равен Ь, а проницаемость е. Эта система вносится в однородное поле напряженности Ео. Определить результирующее поле.
1-126. В однородное поле в вакууме, напряженность которого Ео, внесен однородный бесконечно длинный диэлектрический цилиндр, ось которого перпендикулярна полю. Радиус цилиндра а, диэлектрическая - проницаемость его е. Определить установившееся поле.
1Д27- Определить распределение связанных зарядов в диэлектрическом цилиндре, рассмотренном в предыдущей задаче.
1.128.	В однородное поле в вакууме, напряженность которого-fo, внесен незаряженный изолированный проводник, имеющий форму бесконечно длинного круглого цилиндра радиуса а. Ось цилиндра перпендикулярна к полю. Определить установившееся поле.
1.129.	Определить плотность зарядов, индуцированных на поверхности цилиндра, заданного в предыдущей' задаче.
Два однородных диэлектрика с проницаемо-стями Bi и С2 граничат по плоскости. По одну сторону этой границы напряженность поля равна Д и составляет угол щ с нормалью к границе раздела. Определить величину и направление напряженности поля по другую сторону границы раздела.
1Л31, Два однородных диэлектрика с проницаемо-стями Bi и В2 граничат по бесконечной плоскости. По одну сторону от этой границы (в первой среде) на расстоянии а от нее находится точечный заряд q. Определить создаваемое им поле.
1.132.	Вычислить поверхностную плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектриков (см. условие предыдущей задачи).
1.133.	Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии а от бесконечной плоской поверхности однородного диэлектрика с проницаемостью е. Вычислить силу взаимодействия между ними.
1.134,	Решить предыдущую задачу при помощи максвелловского тензора натяжений.
1.135.	Однородный, бесконечно длинный, незаряженный диэлектрический цилиндр радиуса а находится в
вакууме в поле равномерно заряженной бесконечной нити, которая параллельна оси цилиндра и отстоит от нее на расстоянии I	Определить поле, если ли-
нейная плотность зарядов на нити равна %, а диэлектрическая проницаемость цилиндра е, а также силу, действующую на единицу длины заряженной нити.
1.136.	Внутри однородного диэлектрического круглого цилиндра радиуса а протянута параллельно оси цилиндра и на расстоянии I (1<а) от нее бесконечная нить, равномерно заряженная с линейной плотностью/. Определить создаваемое ею поле, если диэлектрическая проницаемость цилиндра е.
ЧАСТЬ II
СТАЦИОНАРНЫЕ И КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Сила тока через любую поверхность 5
/=[№	(2.1)
s
где j — плотность тока.
По закону Ома в дифференциальной форме для постоянных токов
j = оЕ,	(2.2)
где о — удельная проводимость.
При наличии сторонних э. д. с.
j ==<j(E + Ec™p),	(2.3)
где Есто₽ — напряженность сторонних э.д.с.
Для стационарных токов (см. XII)
divj = O. <	(2.4)
Отсюда следует граничное условие
(2.4а)
По закону Джоуля—Ленца в дифференциальной форме, объемная плотность мощности тепловых потерь
0 = — р.	(2.5)
О
Из (2.2) и (2.4) следует, что в однородной (о=const) проводящей среде, в которой проходят постоянные электрические токи,
divE = 0.	(2.46)
Кроме того, в стационарном случае (см. X)
rot Е = О,
а потому, так же как и в электростатике, можно ввести потенциал <р, удовлетворяющий уравнению Лапласа
Дф = 0.	(2.4в)
Из уравнения Максвелла (X) вытекают следующие дифференциальные уравнения для магнитного поля постоянных токов:
div В = 0,	(2.6)
rotH= —j.	(2.7)
с
где магнитная индукция
ВИД 4зтМ.	(2.8)
Для большинства изотропных магнетиков (слабомаг-нптных) в не слишком сильном постоянном поле вектор намагничения
М = хН,	(2.9)
где х — магнитная восприимчивость, зависящая от свойств и состояния вещества. Для диамагнетиков х<0; для парамагнетиков х>0.
Для анизотропного (кристаллического) магнетика материальное уравнение (2.9) заменяется следующим:
А1/ = ХгДД,	(2.9а)
гДе ха — тензор магнитной восприимчивости.
Для ферромагнетика материальное уравнение (2.9) не применимо, но можно при помощи него формально ввести магнитную восприимчивость и для ферромагнетика. Она оказывается зависящей (и притом неоднозначно) от напряженности поля.
Из (2.8) и (2.9)
В = ИН,	(2.10)
где
р =	(2.10а)
есть магнитная проницаемость вещества.
В интегральной форме уравнение (2.7) записывается так:
п
^Hdl = -^(±/A),	(2.11)
L	Л=1
где Д— сила тока, охватываемого контуром. Знак плюс имеет место тогда, когда направление тока составляет правовинтовую систему с направлением обхода контура. Введенный ранее (см. ур. (XVII)) вектор-потенциал не определяется однозначно уравнением
В = rot А.	(2.12)
На него можно поэтому наложить дополнительное условие, в качестве которого в стационарном случае (сравните уравн. (3.4)) обычно берут
divA = 0.	(2.12а)
Из (2.7), (2.12) и (2.12а) следует, что внутри однородного либо кусочно-однородного магнетика вектор-потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению Пуассона
ДА = — — |xj,	(2.13)
решением которого для случая бесконечного однородного магнетика есть
А = ~7р”7’’	(2,14)
Где интегрирование производится по объему всех проводников с током.
Если задано распределение токов лишь в некотором конечном объеме, то уравнением Пуассона (2.13) однозначно определяется поле в этом объеме, если помимо распределения токов заданы также и граничные условия для вектора А на поверхности, ограничивающей данный объем (сравните с уравн. (1.23) на стр. 16).
Из (2.12а) следует, что на границе двух магнетиков должно выполняться условие
= А&.	(2.126)
Там, где нет токов, вектор-потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению Лапласа
АА = 0.	(2.15)
Для линейных токов решение (2.14) принимает вид
п
k=' Lk
Из (2.14), (2.12) и (2.10) вытекает закон Био и Са-вара для случая бесконечной однородной среды
Н = — С [i х г] dV,	(2.16)
с J г3
а для линейных токов
H = (2Л7) fe=l С Lk
Если система токов сосредоточена в конечной области пространства, то вдали от нее вектор-потенциал магнитного поля (если везде р.= 1)
А = [т х R.L,	(2.18)
где
m = 4-f[rx j]dV	(2.19)
2с J
есть полный магнитный момент системы.
Силы, действующие на постоянный ток j со стороны внешнего магнитного поля Л, могут быть определены при помощи «силовой функции»
U = — -yj jArfIZ,
(2.20)
а именно:, виртуальная работа действующих сил
= —6/(7.	(2.21)
Индекс I указывает на то, что силовую функцию надо варьировать при постоянном значении силы тока.
Для одного контура L линейного тока
[7 = __2_С Д//|==_2_ф1	(2.20а)
с J	с
L где
Ф=[Вг£	(2.22
s
есть магнитный поток внешнего поля через поверхность S, которая опирается на контур L.
На элемент длины d\ линейного тока J во внешнем магнитном поле В действует сила
cZF = -L [//1 X В].	(2.23)
с
На элемент объема проводника с током действует сила
dV = -- [j х В] dV.	(2.23а)
с
На точечный заряд q, движущийся со скоростью v в магнитном поле В, действует сила Лоренца •
F = ± [v X В].	(2.24)
с
Вообще, если xk — обобщенные координаты, которыми определяется положение проводника с током, то на него действуют обобщенные силы
Fk = -(-^-y	(2.25)
\ Sxk Jt
Если внешнее поле создается в однородной среде другим линейным токФм /2, то создаваемый им магнитный поток
Ф12=—Ь12/2)	(2.26)
С
а потому силовая функция взаимодействия двух линейных токов в однородной среде
^12 = -^12 — —,	(2.27)
с с
где
(2.28)
есть коэффициент взаимной индукции.
Для токов, распределенных с конечной плотностью,
-^-dV1dV2.
г12
(2.29)
Для одного токонесущего проводника силовая функция
Дп =-----L f (-^dVdV' =-------L nf—Y =
2c2 J J r	2 11 < c )
v v
=—гфи4’	(2-3°)
где Ln — коэффициент самоиндукции.
Полная силовая функция системы токов
i,k=l
где
есть энергия магнитного поля, создаваемого этими токами.
Силы, действующие в постоянном магнитном поле, могут быть определены (если пренебречь магнитострикцией) при помощи максвелловского тензора натяжений
Tik =	~ Т	(2-33)
а именно, декартовы составляющие главного вектора сил, действующих на любое тело, определяются формулой
F^jr^dS,,	(2.34)
s
где S— поверхность, ограничивающая рассматриваемое тело.
На магнитный диполь (магнитную стрелку) во внеш-* нем магнитном поле действуют такие же силы, как и в случае электрического диполя во внешнем электрическом поле, а именно главный вектор этих сил
F = grad (mH),	(2.35)
а момент этих сил
N = [т х Н].	(2.36)
Из второго уравнения Максвелла следует, что индуцированная в любом контуре электродвижущая сила (э. д. с.) индукции
*ИНД = —L^->	(2-37)
" с dt
где Ф — магнитный поток через поверхность, опирающуюся на данный контур.
Для квазистационарного тока создаваемый им магнитный поток связан с мгновенным значением силы тока так же, как и для постоянного тока (см. 2.26). Отсюда следует, что квазистационарные токи в системе индуктивно связанных неподвижных контуров определяются следующей системой дифференциальных уравнений:
п
4- У4г + ы=^то₽’	<2-38)
с2 —J	at
k=i
где li, Hi и й/'ир —соответственно Сила тока, сопротивление и сторонняя э. д. с. t-го контура; — коэффициент взаимной индукции его и k-ro контуров; коэффициент самоиндукции /-го контура.
В цепи переменного тока, для которой gCT°P= = ^0cos(oZ, с емкостью С и самоиндукцией L, «овившемся режиме сила тока
/ = /0 cos (со/ — ср),
где амплитуда тока
при уста-
(2.39)
(2.40)
а отставание по фазе тока от э. д. с. определяется уравнением
,	1 / 1 г 1 \
fp (Г) = --( ----(£>L-----) .
ь R \ с2 wC)
(2-41)
Формулой (2.40) выражается «закон Ома» для переменного тока, где
7=1/ ^+f/(oL--------L>2	(2.42)
|	\ с2 соС J
есть полное сопротивление (импеданс) переменному току.
В комплексной форме уравнения (2.39) и (2.40) можно записать так:
I = Ае1еЛ,	(2.39а)
где комплексная амплитуда
А =	= А .	(2.40а)
Комплексное сопротивление
у = R + i ( 2 (о£-----L\	(2.42а)
\ с2 соС /
складывается из омического К, индуктивного — coL и ем-с2
костного —•	сопротивлений.
(оС 1
Из (2.37) следует, что если прямолинейный проводник длиною / движется со скоростью v перпендикулярно силовым линиям однородного магнитного поля В, то в нем индуктируется э. д. с.
«ИНд = -^-о/В.	(2.43)
§ 1.	Законы постоянного тока
2.1.	Между обкладками сферического конденсатора, радиусы которых гх и г2, поддерживается постоянная разность потенциалов U. Пространство между обкладками заполнено однородной средой с удельной проводимостью о. Вычислить сопротивление между обкладками, силу тока и мощность тепловых потерь.
2.2.	Между обкладками цилиндрического конденсатора, радиусы которых Rt и R2, поддерживается постоянное напряжение U. Пространство между обкладками заполнено однородной средой с удельной проводимостью су. Найти силу тока и мощность тепловых потерь на единицу длины конденсатора.
2.3.	Решить предыдущую задачу для того случая, когда пространство между обкладками конденсатора заполнено двумя однородными и коаксиальными прослойками с удельными проводимостями <ji и 02, которые граничат по цилиндрической поверхности радиуса Ro.
2.4.	Вывести закон преломления линий стационарного тока на поверхности раздела двух однородных и изотропных проводящих сред.
2.5.	В неоднородной проводящей среде с проводимостью су=су(х, у, z) и диэлектрической проницаемостью е = е(х, у, z} поддерживается стационарное распределение токов j=j(x, у, г). Найти объемное распределение зарядов в этой среде.
2.6.	В грунт вставлены два достаточно длинных цилиндрических электрода радиуса сц и а2„ оси которых параллельны и находятся на расстоянии I друг от друга. Найти сопротивление грунта на единицу длины электродов, рассматривая грунт как однородную проводящую среду с удельной проводимостью о.
2.7.	В проводящей среде находится система электро
дов, на которых поддерживаются постоянные потенциалы фь (р2, ... Токи, стекающие с этих электродов, соответственно равны Л, /2, In- Показать, что джоулево тепло, выделяющееся в среде за единицу времени,
Q = £
2.8. В круглом бесконечно длинном проводящем по-
лом цилиндре, внутренний и внешний радиусы которого равны соответственно а и Ь, прорезана во всю длину
узкая продольная щель. и0
ся потенциалы — —— и
На краях щели поддерживают-+	. Удельная проводимость
цилиндра о. Вычислить силу тока, приходящуюся на
единицу длины цилиндра, и его распределение по по
перечному сечению.
2.9. Бесконечно длинный цилиндрический коаксиальный кабель состоит из провода круглого сечения радиуса а, окруженного вторым проводом в виде коаксиального полого цилиндра, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно b и с.
Удельная проводимость проводов о, диэлектрическая проницаемость изоляции между ними в. По кабелю проходит постоянный ток /. Определить электрическое поле внутри кабеля.
2.10. Двухпроводная воздушная линия состоит из двух достаточно длинных параллельных проводов круглого сечения радиуса а, оси которых находятся на расстоянии. 2 / друг от друга. Удельная проводимость проводов о. По линии проходит постоянный ток силою I. Определить электрическое поле, создаваемое этой линией. Краевыми эффектами пренебречь.
§ 2.	Закон Био и Савара
2.11.	Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого в вакууме тонким прямолинейным проводником длиною 2 L, по которому проходит ток силою I. Рассмотреть предельный случай L-^-oo.
2.12.	Определить магнитные силовые линии поля, Рассмотренного в предыдущей задаче.
2.13.	В магнитном поле, создаваемом в вакууме бесконечным прямолинейным током I, находится квадрат, расположенный в одной плоскости с током так, что сторона квадрата параллельна току. Сторона квадрата равна а. На каком расстоянии b от тока находится ближайшая к нему сторона квадрата, если магнитный по-
21
ток через плоскость квадрата Ф = — а1пЗ?
с
2.14.	Линейный проводник имеет форму прямоугольника со сторонами 2а и 2b. По нему проходит ток силою /. Вычислить напряженность создаваемого им в вакууме магнитного поля на оси, проходящей через центр прямоугольника перпендикулярно его плоскости.
2.15.	Линейный проводник имеет форму правильного «-угольника со стороною 2а. По нему проходит ток силою I. Вычислить напряженность создаваемого им магнитного поля на оси, проходящей через центр многоугольника перпендикулярно его плоскости.
2.16.	По круговому контуру радиуса а проходит ток I. Определить напряженность магнитного поля, создаваемого им на оси контура (среда однородная).
2.17.	Ток I проходит по дуге окружности радиуса а с центральным углом 2а. Вычислить напряженность магнитного поля в центре окружности (в воздухе).
2.18.	Линейный контур с током I состоит из двух параллельных полубесконечных прямых, соединенных между собою полуокружностью радиуса а. Вычислить напряженность магнитного поля в центре этой полуокруж ности. Окружающая среда — воздух.
2.19.	Ток / равномерно распределен по поверхности плоского кольца, внутренний и наружный радиусы которого соответственно равны а и Ь. Вычислить напряженность магнитного поля на оси кольца.
2.20.	На цилиндрическую катушку радиуса а и длиною 21 равномерно намотан один слой из N витков тонкой изолированной проволоки, по которой пропущен ток сплою I. Вычислить напряженность магнитного поля на оси катушки.
2.21.	На цилиндрическую катушку радиуса а и длиною 21 намотана однослойная обмотка топкой изолированной проволоки, по которой проходит ток силою I.
Какова должна быть линейная плотность витков п(£) обмотки, чтобы на оси катушки получить наперед заданное распределение поля H =
2.22.	На цилиндрическую катушку радиуса а и длиною 2I намотано N витков тонкой изолированной проволоки так, что наружный радиус обмотки равен I Обмотка питается током сплою /. Вычислить напряженность магнитного поля на оси катушки.
§ 3.	Вектор-потенциал. Дифференциальное уравнение Пуассона—Лапласа
2.23.	Вычислить вектор-потенциал и напряженность магнитного поля, создаваемого в воздухе (ц=1) прямолинейным током / длиною 2L. Рассмотреть предельный случай, когда L~^oo.
2.24.	Вычислить вектор-потенциал однородного магнитного поля в: а) декартовых; б) цилиндрических и в) сферических координатах.
Среда однородная с постоянной магнитной проницаемостью р.
2.25.	Вычислить вектор-потенциал магнитного поля, создаваемого в вакууме круговым током радиуса а. Сила тока /.
Показать, что на достаточно больших расстояниях от круглого витка. магнитное поле его сводится к полю магнитного диполя.
2.26.	Зная вектор-потенциал, вычислить напряженность магнитного поля кругового тока в вакууме. Рассмотреть напряженность поля на оси кругового тока.
2.27.	Вычислить вектор-потенциал магнитного поля, создаваемого в однородной среде с магнитной проницаемостью р, линейным током /, который течет по прямоугольному контуру со сторонами 2а и 2Ь.
. Показать, что на больших по сравнению с размерами контура расстояниях создаваемое им магнитное поле сводится к полю магнитного диполя.
2.28.	Вычислить вектор-потенциал и напряженность магнитного поля, создаваемого током /, равномерно распределенным по сечению бесконечно длинного цилиндрического проводника радиуса а. Магнитная про нпцаемость провода р, окружающая среда—воздух (ро=1).
2.29.	Ток / проходит по проводнику, имеющему форму бесконечно длинного полого цилиндра, наружный и внутренний радиусы которого равны соответственно а и Ь. Вычислить вектор-потенциал и напряженность создаваемого им магнитного поля. Магнитная проницаемость проводника [х, окружающая среда — воздух.
2.30.	Определить вектор-потенциал, напряженность й уравнения силовых линий магнитного поля, создаваемого в воздухе двумя параллельными и направленными в одну сторону бесконечными прямолинейными токами силою /. Расстояние между токами 2а.
2.31.	Определить вектор-потенциал, напряженность и уравнения силовых линий магнитного поля, создаваемого в воздухе двумя антипар аллельными бесконечными прямолинейными токами силою /. Расстояние между токами 2а.
2.32.	Бесконечный прямолинейный ток силою I находится в вакууме на расстоянии а от параллельной ему плоской поверхности однородного магнетика, заполняющего полупространство. Определить создаваемое этим током поле. Магнитная проницаемость магнетика ц.
2.33.	Однородный магнетик имеет форму бесконечно длинного круглого цилиндра радиуса а, магнитная проницаемость его [х; окружающая среда — воздух. Бесконечный прямолинейный ток проходит в воздухе параллельно оси магнетика на расстоянии / от нее. Определить создаваемое им магнитное поле.
2.34.	Все пространство заполнено однородным магнетиком, в котором имеется воздушная полость в виде бесконечно длинного круглого цилиндра радиуса а. В этой полости параллельно ее оси и на расстоянии I от нее протянута тонкая проволока, по которой проходит ток силою /. Определить создаваемое этим током магнитное поле. Магнитная проницаемость магнетика |Х.
2.35.	Полупространство заполнено однородным магнетиком с проницаемостью jxi, а второе полупространство— однородным магнетиком с проницаемостью цг-В первой среде имеется плоский контур L с током /, расположенный параллельно плоскости раздела обеих сред на расстоянии h от нее. Определить создаваемое током магнитное поле.
§ 4. Циркуляция магнитного вектора. Магнетик в однородном поле
2.36.	Показать непосредственным интегрированием, что для магнитного поля, создаваемого в воздухе как прямоугольным, так и круговым током (см. задачи 2.14 и 2.16),
-}-оо
f Hzdz = -—I, — оо
где ось z направлена вдоль оси симметрии контура.
Задачи 2.37—2.44 решить при помощи теоремы (2.11) о циркуляции магнитного вектора.
2.37.	По бесконечно длинному цилиндрическому проводнику радиуса а проходит ток I, равномерно распределенный по площади поперечного сечения (/=const). Определить напряженность магнитного поля, создаваемого этим током в однородной среде.
2.38.	По бесконечно длинной цилиндрической поверхности радиуса а проходит ток /, равномерно распределенный по поверхности цилиндра вдоль его образующих. Определить напряженность создаваемого им в однородной среде магнитного поля.
2.39.	По бесконечно длинному полому цилиндру проходит ток /, равномерно распределенный по площади поперечного сечения. Определить напряженность создаваемого им в однородной среде магнитного поля. Внутренний и наружный радиусы проводника равны соответственно а и Ь.
2.40.	По каждому из двух бесконечно длинных параллельных проводов круглого сечения радиуса а проходит ток I, равномерно распределенный по площади поперечного сечения. Расстояние между осями проводов />2а. В каких точках на прямой, проходящей через эти оси перпендикулярно к ним, напряженность магнитного поля равна нулю? Рассмотреть случаи параллельных и антипараллельных токов.
2.41.	Бесконечно длинный проводник имеет форму круглого цилиндра радиуса а, внутри которого находится цилиндрическая полость радиуса Ь. Расстояние между осями обоих цилиндров 1<а—Ь. По проводнику проходит ток, равномерно распределенный по площади по
перечного сечения. Определить напряженность магнитного поля внутри полости.
2.42.	На железный тор, магнитная проницаемость которого р, намотано равномерно и достаточно густо N витков тонкой изолированной проволоки, по которой проходит ток /. Радиус сечения тора а, расстояние от центра сечения до оси тора Ь. Определить напряженность магнитного поля внутри тора и магнитный поток в нем. Рассеянием магнитного потока пренебречь.
2.43.	На достаточно длинный железный сердечник круглого сечения радиуса а намотана равномерно обмотка из тонкой изолированной проволоки, по которой проходит ток I. Определить магнитное поле внутри сердечника. Краевым эффектом пренебречь. Магнитная проницаемость сердечника р. Число витков на единицу длины п.
2.44.	Определить напряженность магнитного поля внутри цилиндрического кабеля, описанного в задаче 2.9.
2.45.	Однородный немагнитный шар (р=1) радиуса а, равномерно заряженный по объему, вращается с угловой скоростью со вокруг оси, проходящей через центр шара. Его полный заряд q. Определить магнитный момент шара.
2.46.	Немагнитный цилиндр (р=1) радиуса а и высоты h, равномерно заряженный по объему, вращается вокруг своей геометрической оси с угловой скоростью со. Полный заряд q. Определить магнитный момент цилиндра.
2.47.	В однородное магнитное поле, напряженность которого Но, вносится однородный магнетик с постоянной магнитной проницаемостью щ, имеющий форму полого шара с радиусами а и b (а>Ь). Определить установившееся поле, если магнитная проницаемость окружающей среды и во «внутренней полости равна р2.
2.48.	В однородное магнитное поле, напряженность которого Но, вносится однородный магнетик с постоянной магнитной проницаемостью pi, имеющий форму полого бесконечно длинного цилиндра с радиусами а и b (а>Ь) так, что ось цилиндра перпендикулярна к направлению поля. Определить установившееся поле, если магнитная проницаемость окружающей среды и во внутренней полости равна pj.
§ 5. Взаимодействие токов. Коэффициенты индуктивности
2.49.	Вычислить силу взаимодействия в воздухе между двумя параллельными бесконечными прямолинейными токами; силы токов Ц и Л, расстояние между ними 2а.
2.50.	Решить предыдущую задачу при помощи тензора натяжений Максвелла.
2.51.	Полупространство заполнено однородным магнетиком с проницаемостью ц. На расстоянии а от плоской поверхности магнетика про- р д	во
тянут параллельно ей тонкий бес- -------------'
конечно длинный провод, по ко-
торому проходит ток I. Опреде- f	;
лить взаимодействие между маг-
нетиком и проводником с током.
2.52.	Бесконечный прямоли- ________„_____
нейный ток / проходит в воздухе в 1 параллельно оси магнетика, име-	Рис. 1
ющего форму бесконечно длинно-
го круглого цилиндра радиуса а. Проницаемость магнетика ц, расстояние тока от оси магнетика 1>а. Определить взаимодействие между током и магнетиком.
2.53.	Внутри однородного магнетика, заполняющего
все пространство, имеется воздушная полость цилиндрической формы радиуса а. Внутри этой полости симметрично относительно ее оси протянуты два тонких провода, по которым проходят параллельные токи I. Каково должно быть расстояние I проводов от оси полости, чтобы действующие на проводники силы взаимно уравновешивались? Проницаемость магнетика ц.
2.54.	Медный провод ABCD с радиусом сечения а, согнутый в виде трех сторон квадрата (рис. 1), прикреплен своими концами А и D к горизонтальной оси О, вокруг которой он может свободно вращаться в однородном вертикальном магнитном поле Н. По проводу пропущен ток /. На какой угол а отклонится провод? Удельный вес меди б.
2.55.	Доказать, что силы взаимодействия между двумя замкнутыми линейными токами в однородной среде Удовлетворяют принципу равенства действия и противодействия.
2.56.	Определить период малых колебаний магнитной стрелки в однородном магнитном поле. Стрелка может вращаться в плоскости поля. Магнитный момент ее т, напряженность поля Н.
2.57.	Маленькая магнитная стрелка может свободно вращаться около своей оси. На некотором расстоянии от нее находится другая магнитная стрелка, которая неподвижно закреплена в плоскости вращения первой под углом 0 к прямой, соединяющей их центры. Под каким углом а к этой прямой расположится первая стрелка?
2.58.	Три маленькие магнитные стрелки закреплены своими центрами в вершинах правильного треугольника АВС и могут свободно вращаться вокруг них в плоскости этого треугольника.
В положении равновесия магнитная стрелка А параллельна стороне ВС, а магнитные стрелки В и С перпендикулярны соответственно сторонам АВ и АС. Магнитный момент стрелки А равен тг. Определить магнитные моменты т2 и Шз остальных двух стрелок.
2.59.	Магнитная стрелка находится в воздухе на расстоянии а от плоской поверхности однородного магнетика, заполняющего полупространство. Дипольный момент стрелки ш составляет угол а с нормалью к поверхности магнетика, проницаемость которого р. Определить силы, действующие на магнитную стрелку.
2.60.	Прямоугольная рамка, стороны которой равны а и Ь, может вращаться в воздухе вокруг своей оси симметрии, расположенной перпендикулярно направлению однородного магнитного поля. Напряженность поля Н. По рамке проходит ток I. Определить действующие на нее силы.
2.61.	Бесконечный прямолинейный ток Ц и круговой ток /2 радиуса а лежат в одной плоскости. Расстояние центра кругового тока от прямолинейного равно Ь>а. Найти силу, действующую на круговой ток.
2.62.	Поямоугольная рамка с током Ц может вращаться вокруг своей оси симметрии, которая параллельна неподвижному бесконечному прямолинейному току /2. Стороны рамки равны 2а и 2Ь. Расстояние оси рамки от прямолинейного тока I. Токи находятся в воздухе (11=4). Найти вращающий момент, действующий на рамку.
2.63.	Вычислить коэффициент взаимной индукции
двух одинаковых контуров, имеющих форму квадрата со стороною а и расположенных в параллельных плоскостях, находящихся на расстоянии b друг от друга, так, что соответствующие стороны контуров взаимно параллельны и находятся на том же расстоянии &друг от друга. Окружающая среда — воздух.
Вычислить силу взаимного притяжения этих контуров, когда по ним текут в параллельных направлениях токи h и Л.
2.64.	Показать, что в предельном случае а<^Ь контуры с токами, рассмотренные в предыдущей задаче, взаимодействуют как магнитные диполи, моменты которых направлены по нормали к плоскости контура и величина которых определяется формулами
mi = ~ о2; /Дг = — а?-с	с
2.65.	Вычислить коэффициент взаимной индукции двух коаксиальных круговых контуров, лежащих в параллельных плоскостях. Радиусы их равны а и Ь. Расстояние между их центрами h. Окружающая среда — воздух. Найти силу взаимного притяжения этих контуров, когда по ним текут параллельные токи и 12.
2.66.	Показать, что в предельном случае, когда радиусы витков, рассмотренных в предыдущей задаче, малы по сравнению с расстоянием между ними (a<^h и <^Л) они взаимодействуют между собою как диполи, магнитные моменты которых направлены по оси витка и величина которых определяется формулами
т1 = — ла2-, т2 = — лЬ2. с	с
2.67.	Круговой виток радиуса а, по которому проходит ток /1, находится в воздухе на расстоянии b от параллельной ему плоской поверхности однородного магнетика, заполняющего полупространство. Проницаемость магнетика щ Найти силу, с которой круговой ток притягивается к магнетику.
2.68.	Вычислить коэффициент взаимной индукции и силу взаимодействия между током 12 по контуру равностороннего треугольника и током Ц по бесконечной прямой, лежащей в плоскости треугольника на расстоянии
b от ближайшей к ней и параллельной ей стороны треугольника. Сторона треугольника равна а. Принять |Х= 1.
2.69.	На круглый железный сердечник радиуса а намотана достаточно длинная катушка из п витков на единицу длины, а поверх нее короткая катушка из N витков. Вычислить коэффициент взаимной индукции этих катушек. Магнитная проницаемость железного сердечника р. Рассеянием магнитного потока пренебречь.
2.70.	На железное кольцо, имеющее форму тора, радиус сечения которого а и расстояние от центра сечения до оси тора Ь, намотано равномерно и плотно Ni витков тонкой изолированной проволоки, а поверх нее другая катушка из N2 витков. Вычислить коэффициент взаимной индукции этих катушек. Магнитная проницаемость железного сердечника ц.
2.71.	Вычислить коэффициент взаимной индукции между катушкой из N витков, намотанной на тор круглого сечения радиуса а и бесконечным прямым проводом, идущим вдоль оси тора. Расстояние центра сечения тора от его оси равно Ь.
2.72.	Вычислить самоиндукцию единицы длины бесконечной катушки круглого сечения радиуса а. Число витков на единицу длины п; магнитная проницаемость сердечника р.
2.73.	Вычислить самоиндукцию катушки, состоящей из N витков, намотанных равномерно на железный тор круглого сечения радиуса а, центр которого находится на расстоянии b от оси тора. Магнитная проницаемость железа ц. Рассмотреть предельный случай &->оо.
2.74.	Вычислить самоиндукцию единицы длины цилиндрического кабеля, состоящего из двух коаксиальных цилиндрических трубок радиуса 7?i и R% Толщиной их стенок можно пренебречь. Все пространство между ними заполнено однородной изоляцией, магнитная проницаемость которой ц.
2.75.	Вычислить самоиндукцию единицы длины кабеля, состоящего из двух коаксиальных цилиндрических проводов: внутреннего сплошного радиуса Ro и наружного — полого, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно Ri и R?. Магнитная проницаемость проводов |ы, а изоляционной прослойки между НИМИ р.2.
2.76.	Вычислить внутреннюю часть самоиндукции единицы длины прямолинейного провода круглого сечения радиуса а. Магнитная проницаемость провода р.
2.77.	Вычислить самоиндукцию тонкого кольца радиуса г из проволоки круглого сечения радиуса а Магнитная проницаемость проводника щ, окружающей среды Ц2.
2.78.	Вычислить самоиндукцию единицы длины двухпроводной воздушной линии, состоящей из двух одинаковых параллельных проводов круглого сечения радиуса а, расстояние между осями которых равно /. Магнитная проницаемость материала проводов р==1.
2.79.	Самоиндукция плоского контура в воздухе (р=1) равна L. Найти самоиндукцию этого контура в том случае, если по одну сторону от него пространство заполнено однородным магнетиком с проницаемостью р.
2.80.	Определить движение нерелятивистского электрона в однородном магнитном поле. Напряженность поля Н\ начальная скорость электрона v0 составляет угол а с направлением поля.
2.81.	Однородное электрическое поле напряженности Е и однородное магнитное поле, индукция которого В, направлены взаимно перпендикулярно. Какой должна быть скорость электрона, чтобы он в этом комбинированном поле двигался равномерно и прямолинейно?
2.82.	Максимальная энергия, которую можно сообщить протону при помощи циклотрона, равна W. Внутренний радиус дуднта равен R. Определить индукцию магнитного поля. Релятивистскими эффектами пренебречь.
§ 6. Закон электромагнитной индукции. Квазистационарные токи
2.83.	Плоский контур вращается с угловой скоростью со в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной к полю. Индукция поля равна В. Определить э. д. с. индукции в этом контуре. Плошадь, ограниченная контуром, равна S.
2.84.	Определить силу тока в контуре предыдущей задачи. Самоиндукция контура L, сопротивление его R.
2.85.	Цепь постоянного тока состоит из следующих
последовательно соединенных частей: аккумулятора с э. д. с. S индуктивности L и двух сопротивлений Ri и
Определить силу тока в цепи после того, как сопротивление R2 замыкается накоротко.
2.86.	Заряженный конденсатор с емкостью С замкнут на сопротивление R с самоиндукцией L. Определить заряд на обкладках конденсатора .как функцию от времени, если первоначально он был равен qo.
Рис. 3
2.87.	Конденсатор, емкость которого С, заряжен количеством электричества q. При помощи ключа конденсатор замыкается на две параллельно соединенные между собою катушки, самоиндукции которых L\ и Ь2 (рис. 2). Найти максимальные силы тока в катушках. Сопротивлением и взаимной индукцией катушек пренебречь.
2.88.	Коэффициент взаимной индукции двух колеба.-тельных контуров равен Li2. Параметры этих контуров (сопротивление, индуктивность и емкость) равны соответственно R1L1C1 и R2L2C2. На конденсаторе первого контура имеется заряд q, а контур разомкнут. Конденсатор второго контура не заряжен и контур замкнут. Составить дифференциальные уравнения, которыми определяются токи в контурах после замыкания первого из них.
2.89.	Конденсатор емкости Ci и катушка с индуктивностью Li соединены параллельно. К ним последовательно присоединены катушка с индуктивностью Ь2, и конденсатор емкости С2. Составить дифференциальное уравнение, которым определяется заряд q на конденсаторе С2 после замыкания цепи (рис. 3), если первоначально он был равен <70, а на конденсаторе Ci заряда
не было. Сопротивлением катушек и подводящих проводов пренебречь.
2.90.	Батарея, э. д. с. которой S и внутреннее сопротивление R, конденсатор емкости С и катушка с индуктивностью L соединены параллельно (рис. 4). Определить силу тока в батарее после ее замыкания. Сопротивлением катушки и подводящих проводов пренебречь.
2.91.	После того, как в цепи, рассмотренной в предыдущей задаче, установился стационарный режим, отключается батарея. Как после этого будет изменяться заряд на обкладках конденсатора.
2.92.	Колебательный контур 12341 индуктивно связан с двумя другими одинаковыми колебательными контурами. Взаимное расположение контуров, их емкости и индуктивности показаны на рис. 5. Коэффициент взаимной индукции между рядом расположенными катушками равен Ц2, взаимной индукцией между удаленными катушками, а также сопротивлением катушек и подводящих проводов пренебречь. Составить дифференциальное уравнение, которым определяется ток в контуре 12341 после его замыкания.
Рис. 5
Рис. 6
2.93.	Цепь состоит из последовательного соединения конденсатора емкости С2, батареи, э. д. с. которой 8, и звена, представляющего собой параллельное соединение сопротивления R и конденсатора емкости С\ (рис. 6). Определить заряд конденсатора С2. Внутренним сопро-
ЗВ Зак. 859	57
тивленйем батареи, а также индуктивностью и сопротивлением подводящих проводов пренебречь.
2.94.	Коэффициент взаимной индукции двух контуров равен £12. Сопротивления этих контуров равны соответственно 7?! и /?2- В первом контуре имеется аккумулятор с э. д. с., равной S. Какое количество электричества пройдет через второй контур после того, как замкнут первый?
2.95.	Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L, соединенной последовательно с двумя конденсаторами, емкости которых С\ и С2. В момент замыкания контура заряд на конденсаторе Ci равен Q, а на конденсаторе С2,—нулю. Найти силу тока в контуре.
2.96.	Цепь переменного тока содержит катушку с сопротивлением R и индуктивностью £. Какой емкости конденсатор нужно присоединить параллельно катушке, чтобы заряд его изменялся в одной фазе с током в основной цепи?
2.97.	Какая мощность требуется для того, чтобы равномерно вращать с угловой скорость со плоский контур, рассмотренный в задаче 2.83.
2.98.	В цепи переменного тока имеется участок АВС, состоящий из проводника АВ с активным сопротивлением R, последовательно соединенного с участком ВС, который представляет собою параллельное соединение активного сопротивления R и катушки с индуктивностью £ и сопротивлением К. Между точками А и С поддерживается переменное напряжение V= Vo cos со t. Определить напряжение между точками В и С.
2.99.	К параллельному соединению конденсатора емкости С и катушки с индуктивностью £ (омическим сопротивлением пренебречь) приложено переменное напряжение частоты со. При каком условии ток, питающий этот контур, равен нулю?
2.100.	Два контура, омическое сопротивление, индуктивности и емкости которых равны соответственно Ri, Lh Ci и R2, L2, C2, связаны через активное сопротивление г (рис. 7). В первом контуре имеется генератор, э. д. с. которого 8=80еы. Найти токи в этих контурах при установившемся режиме.
2.101.	Два параллельных стержня лежат в одной плоскости с бесконечным прямолинейным током I на рас-
стояниях а и b по одну сторону от него (а<&). Вдоль стержней скользит со скоростью v поперечный проводник АВ по направлению к сопротивлению В, на которое замкнуты стержни. Определить силу тока в контуре ABR. Сопротивлением стержней и проводника АВ пренебречь.
Рис. 7
2.102.	Показать, что мощность индукционного тока в контуре ABR предыдущей задачи равна мощности сил, которые нужно приложить к проводнику АВ, чтобы он двигался равномерно.
2.103.	Стержень О А вращается с угловой скоростью со вокруг точки О в плоскости, перпендикулярной к направлению однородного магнитного поля Н. Определить э. д. с. индукции между точками О и А, если длина стержня I.
2.104.	Круговой проводник радиуса а расположен в вертикальной плоскости перпендикулярно к направлению однородного магнитного поля Н. Вокруг его центра О может свободно вращаться радиальный проводник ОА, вес которого Р. Какое напряжение нужно приложить к концам проводника ОА, чтобы он равномерно вращался с угловой скоростью и? Самоиндукцией проводника пренебречь.
2.105.	Математический маятник состоит из проводящей нити длиною /, на которой подвешен металлический шарик. Маятник может колебаться в плоскости, перпендикулярной к однородному магнитному полю Н, касаясь при этом проводящей дуги круга. Точка О подвеса маятника и дуга круга соединены электрически с обкладками конденсатора, емкость которого С (рис. 8).
Определить период малых колебаний маятника. Сопротивлением проводящего контура и его самоиндукцией пренебречь.
2.106.	Тяжелый горизонтальный стержень АВ, масса которого т, может скользить без трения по двум вертикальным, стержням AM и BNh замкнутым на сопротивление R. Определить закон падения стержня АВ в однородном поперечном магнитном поле Н. Сопротивлением стержней и самоиндукцией контура пренебречь.
2.107.	Составить дифференциальное уравнение движения стержня АВ предыдущей задачи для того случая, когда стержни AM и BN замкнуты на катушку с сопротивлением R и индуктивностью L.
2.108.	Решить задачу 2.106 для того случая, когда стержни AM и BN замкнуты на конденсатор, емкость которого С. Сопротивлением и самоиндукцией контура пренебречь.
ЧАСТЬ III
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ к
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для случая переменного электромагнитного поля индукция D(t) зависит от значения напряженности Е(7) во все предыдущие моменты времени. Предполагая связь между D и Е линейной, уравнение (1.5) для изотропной среды следует заменить уравнением
D(f) = Je(r)E(f — г) dr..	(3.1)
О
Разлагая D(7) и Е(1) в'интегралы Фурье, можно получить (см. задачу 3.22), что для их Фурье — компонент, т. е. для поля монохооматичной электромагнитной волны,
0(ю) = е(со)Е(®),	(3.2)
т. е. материальное уравнение типа (1.5) с тем существенным отличием, что диэлектрическая проницаемость зависит не только от свойств среды, но и от частоты
поля. Проницаемость е(го) оказывается при этом, вообще говоря, комплексной.
Аналогично обобщается и материальное уравнение (2.10) на случай монохроматического магнитного поля, а именно
В (го) = р,(го)Н(го).	(3.3)
Формулами (XVII) потенциалы электромагнитного поля (<р и А) не определяются однозначно заданными значениями векторов Е и В, а потому можно на потенциалы <р и А наложить добавочное условие, совместимое с (XVII).
Оказывается удобным подчинить потенциалы так называемому калибровочному соотношению Лоренца.
divA+-^^ = 0.	(3.4)
с dt
При этом для случая однородной непроводящей (о=0) среды подстановка (XVII) во вторую пару уравнений Максвелла (X) приводит к дифференциальным уравнениям Даламбера для потенциалов
	у2(р — V‘2A —	1 72 1 V2	<Э2<р dt2 d2A _ _ dt2	4л р Е ’ 4л 	 с	(3-5)
где					
		V =	С / ер		(3.6)
Решениями этих уравнений являются запаздывающие потенциалы
(3.7).
где интегрирование производится по объему всех источников.
Для однородной и изотропной непроводящей среды при отсутствии в ней зарядов (р = 0) векторы Е и Н удовлетворяют волновым уравнением
2С 1 d2E	п
* и2 дР
(3.8)
Простейшим решением этих уравнений является плоская монохроматичная электромагнитная волна, которая в комплексной форме * описывается уравнениями
Е = Eoe‘(kr““/>; Н = Ноег'<кг-ю/), (3.9)
где Е0) Но, к и со — постоянные (не зависящие от координат и времени) параметры, которые могут, вообще говоря, быть комплексными; они связаны между собою соотношениями:
к2 = -^-,	(3.10)
кЕ0 = 0; кН0 = 0,	(3.11)
[к х Ео] = -Ьш,-Н0; [кХН0]=-^- Ео. (3.12) с	с
Если все эти параметры веществен-7	ные, то уравнениями (3.9) описы-
вается незатухающая линейно-поляризованная плоская монохроматичная волна, которая распространяется с фазовой скоростью v, опреде-Z	ляемой уравнением (3.6) в направ-
лении волнового вектора к.
"	При, этом из (3.11) следует, что
Рис. 9 волна поперечная (EJLk и Н±к), а из (3.12) — что Е и Н'взаимно перпендикулярны и колеблются в одинаковых фазах
Н.
(3.12а)
* Физический смысл имеют вещественные части рассматриваемых выражений.
Взаимное расположение векторов Е, Н и к иллюстрируется рис. 9.
Если же вектор Ео (а потому и Нр) комплексный, а к и « по-прежнему вещественные, то его можно представить в виде
Ер = Eg iEo,
где Ео и Ео — вещественные векторы*. Если при этом Ео и Ео колннеарны, то комплексную амплитуду Ео можно представить в виде
Ео = Ае^»,
где А — вещественная амплитуда.
Этой случай отличается от предыдущего лишь наличием начальной фазы сро.
Если же Ео' и Ео" не колинеарны, то волна (3.9) есть суперпозиция двух волн, линейно поляризованных
Л
в разных направлениях и сдвинутых по фазе на—.
В этом случае уравнения (3.9) описывают эллиптически поляризованную волну (см. задачу 3.10).
Если же диэлектрическая проницаемость в (или магнитная ц) комплексна, то волновой вектор к комплексный и его можно, в общем случае, представить в виде
к = к' + ik".
Если к' и к" колинеарны, то можно положить к=^-к0; волновое число
k =	+ in"),	(3.13)
С
а
п — п' + in" ='}'гер,	(3.13а)
есть комплексный показатель преломления. Это соответствует волне, распространяющейся с фазовой скоростью
* В дальнейшем, не оговаривая этого каждый раз, мы значками ' и " будем обозначать соответственно вещественную и мнимую части рассматриваемых комплексных величин.
амплитуда которой экспоненциально затухает по закону
Д = Еое-^""(Гк“),	(3.14)
где ко — единичный вектор направления распространения. Если же к' и к" не колинеарны, то это приводит к неоднородной плоской волне, для которой плоскости равных фаз k'r = const не совпадают с плоскостями равных амплитуд k"r = const.
Из (3.9) видно, что применительно к векторам пло-„	«	д
скои монохроматичнои волны операторы у и ------ опре-
деляются уравнениями
y = ik;	(3.15)
а потому для плоской монохроматичнои волны уравнения Максвелла (X) можно в общем случае записать в в виде
kD O; кВ = 0,	(3.11а)
[кхЕ] = —В; [к х Н] — — — D. (3.126) С	с
Для случая однородной волны можно положить
к = —к.,	(3.10а)
где к0 — орт волнового вектора, и тогда для немагнитной среды (р=1) из (3.126) следует, что
г2
D = ^-{E-k0(k0E)}.	(3.12b)
Из линейности и однородности уравнения (3.8) следует, что любая линейная комбинация плоских волн также является решением этих уравнений. И, наоборот, любое решение уравнения (3.8) можно разложить по плоским волнам в виде интеграла Фурье.
При помощи волновых пакетов с резко выраженными интерференционными максимумами передают сигналы на расстояние. Интерференционнный максимум распространяется с групповой скоростью

В проводящей среде (металле) в стационарном случае объемные заряды отсутствуют (р=0). При этом уравнения Максвелла для периодического поля (частоты ю) * можно свести формально к соответствующим уравнениям для непроводящей среды путем замены
E-^E + i-—.	(3.18)
со
С учетом этой замены уравнениями (3.9) описывается распространение плоской монохроматичной волны в проводящей среде. Из того, что для металлов для всех 4псг „ .
волн вплоть до видимой области (о>< 10|:’)следует, что электромагнитные волны в металлах быстро затухают.
Из (3.13а) и (3.18) следует, что для проводящей среды вещественная и мнимая части комплексного показателя преломления определяются уравнениями
Для предельного случая > 1 со
п'=/г" = 1/	(3.19а)
У со
На границе двух сред электромагнитная волна испытывает отражение и преломление. Частота волны при этом не меняется. Направление распространения этих волн определяется общеизвестными законами геометрической оптики (для случая изотропных непроводящих сред), а их интенсивность и состояние поляризации — формулами Френеля. Для случая изотропных, непрово
* Зависимость от времени дается множителем е
дящих и немагнитных сред они имеют вид
" tg(a + p) 11	1 sin(a + ₽) Х’
D„ =-------15°sAsin-P------Л||; D, =	(3.20)
sin (a P) cos (a — P)	sin (a + p)
где A, R и D — амплитуды электрических векторов падающей, отраженной и преломленной волн. Значки || и ± обозначают составляющие этих амплитуд, параллельные и перпендикулярные плоскости падения.
Положительное направление параллельных составляющих показано на чертеже (рис. 10), а для перпендикулярных составляющих они направлены все в одну сторону, составляющую правовинтовую систему с направлениями векторов к и Ец (перпендикулярно плоскости чертежа от нас). Угол падения а и угол преломления р связаны между собой
законом преломления, который для немагнитных изотропных сред записывается так:
sin а = pegSin р.	(3.21)
Для случая нормального падения (а=р=0) формулы Френеля (3.20) принимают вид
Интенсивность электромагнитной волны, т. е. энергия, переносимая волной за единицу времени через единицу поверхности фронта волны, определяется средним значением вектора Умова—Пойнтинга.
На основании (XV) и (3.12) интенсивность волны в изотропной среде
Поле излучения, т. е. электромагнитное поле на достаточно большом расстоянии от источника (в волновой зоне), создаваемое в однородной непроводящей среде переменным распределением зарядов с объемной плотностью,
p(O = -:divP(O; j =	(3.23)
dt
определяется потенциалами
Ф = —divlle; А = -^-^,	(3.24)
с от
где электрический поляризационный потенциал
Г р(м-—)
пе (х, 0 = y J ~—Г	(3,25)
Простейшим примером такого типа излучателя электромагнитных волн служит диполь Герца, дипольный момент которого
р = р2 = Ро cos со/.	(3.26)
Поле дипольного излучения его в вакууме определяется уравнениями
„	г г	/ <0 \ 2	„ cos (kr — 0)7)
Ее =	= — ( — р0 sin 0 —'---,
С	Г (3.27)
Ег = Еф = Нг = Нв = О,
где г, 0 и ф— полярные координаты рассматриваемой точки поля; полярной осью служит направление дипольного момента ро. "
В векторной форме
Н=Г— xpolf—Е= Гн X —(3.27а) [г J \ с J г	L r J
Эта сферическая волна переносит с’Собой энергию, плот
ность тока которой дается вектором Умова—Пойнтинга
р sin2 0 г
4лс3г2 г
(3.28)
Отсюда средняя (за период) полная интенсивность дипольного излучения
Полную мгновенную интенсивность излучения осциллятора можно записать в виде
9	•
J == — — v2.	1	(3.29)
3 с3
Эту потерю энергии осциллятора на излучение можно интерпретировать как результат действия силы «лучистого трения»
Fs — — i]v, где т] =-------== ту. (3.30)
3 с3
Поле излучения, создаваемое в однородной непроводящей среде переменными токами с плотностью
j(f)=crotM-(0	(р = 0),	(3.31)
определяется потенциалами
ср = 0; A = rotnm,	(3.32)
где магнитный поляризационный потенциал
f
П,и (X, /) = р J >- —v'- dl (3.33)
При расчете поля излучения достаточно вычислить векторы Е и Н с точностью до членов, обратно пропорциональных первой степени расстояния г. Поэтому при дифференцировании поляризационного потенциала и по-темциалов <р и А достаточно дифференцировать фазовый аргумент (t----— знаменатель г можно при этом
не дифференцировать.
§ 1. Токи смещения. Потенциалы электромагнитного поля
3.1.	Показать, что при разрядке плоского конденсатора на его обкладках ток проводимости замыкается то
ком смещения.
3.2.	Показать, что при разрядке цилиндрического и сферического конденсаторов на их обкладках ток проводимости замыкается током смещения.
3.3.	Проводник имеет форму достаточно длинного круглого цилиндра радиуса а, по которому течет постоянный ток I, равномерно распределенный по его сечению. Рассмотреть миграцию энергии электромагнитного поля на поверхности проводника. Показать, что джоу-лево тепло, которое выделяется в проводнике, равно
энергии электромагнитного поля, которая поступает в проводник извне.
3.4.	Показать, что в однородной и изотропной проводящей среде при отсутствии в ней свободных зарядов потенциалы электромагнитного поля удовлетворяют
уравнениям
9 4л	<3<р
тг2ф — --------он —
V с2	dt
9.	4л дА , у2А==	+
С2 dt
ер <Э2<р с2 dt2 ’
ер 52А
с2 dt2
если подчинить их калибровочному соотношению divA+±Low + -aL-^ = 0.
с2 Y с dt
3.5.	Показать, что при указанных в предыдущей задаче условиях потенциалы поля можно выразить через так называемый вектор Герца (поляризационный потенциал) при помощи соотношений
<р = —divFI; А = —ор.П + -^ —,	(1)
е	с dt
потребовав, чтобы
,п	4л	дП , ер <?2П
v	с2	dt с2 dt2	v
Выразить векторы Е и Н через вектор Герца П.
3.6.	Показать, что если в однородной проводящей среде можно пренебречь током смещения по сравнению
с током проводимости, то плотность тока, Е, В и Н удовлетворяют уравнениям
div j = 0; v2j =	-g-
c2 di
и что аналогичным уравнениям удовлетворяют также векторы Е, Н, В и D.
§ 2.	Электромагнитные волны в неограниченной среде. Волновые пакеты
3.7.	Написать уравнение плоской монохроматичной электромагнитной волны, распространяющейся в прозрачной среде (о=0) вдоль положительной оси z и линейно-поляризованной вдоль оси х.
3.8.	Написать уравнение плоской монохроматичной электромагнитной волны, распространяющейся в прозрачной немагнитной (ц=1) среде с показателем преломления п вдоль отрицательной оси х и поляризованной по кругу (вправо).
3.9.	Написать уравнение эллиптически поляризованной сферической электромагнитной волны, распространяющейся в немагнитной среде с диэлектрической проницаемостью (действительной) е и проводимостью а.
3.10.	Показать, что в общем случае плоская моно-хроматичная волна, распространяющаяся в непроводящей среде, является эллиптически поляризованной.
3.11.	Определить частоту и состояние поляризации электромагнитной волны, полученной в результате наложения двух волн одинаковой амплитуды и очень близких частот, поляризованных по кругу в противоположных направлениях и распространяющихся в одном направлении.
3.12.	Показать, что если в неоднородной плоской монохроматичной электромагнитной волне (k=k'+ik") электрический вектор линейно поляризован, то Е±к' и Е±к", а магнитный вектор описывает, вообще говоря, эллипс в плоскости, проходящей через векторы к' и к". Если же магнитный вектор линейно поляризован, то Н±к' и Н±к", а Е описывает эллипс в плоскости к'к". Магнитную проницаемость считать вещественной.
3.13.	Обобщить волновые-уравнения (3.8) на случай неоднородной среды. Принять среду немагнитной (ц=1).
3.14.	В непроводящей среде распространяется плоская монохроматичная электромагнитная волна. Вычислить вектор-потенциал этого поля, если волна а) линейно поляризована; б) поляризована по кругу.
3.15.	В однородной и изотропной проводящей среде распространяется плоская монохроматичная волна. Вычислить средний поток энергии через поверхность куба, боковые ребра которого параллельны направлению распространения волны. Показать, что этот поток равен средней мощности потерь на джоулево тепло.
3.16.	Показать, что интенсивность монохроматичнои электромагнитной волны, т. е. среднее (по времени) значение вектора Умова—Пойнтинга, равна вещественной части комплексного вектора Умова—Пойнтинга
S+= —[ЕхН*], 8л
где Е и Н — комплексные векторы электромагнитной волны. Проиллюстрировать это на примере предыдущей
задачи.
3.17.	Найти дисперсионную формулу, т. е. зависимость /г(со) для прозрачной и немагнитной (|г=1) среды, если известно, что групповая скорость обратно пропорциональна фазовой.
3.18.	Показать, что в прозрачной диспергирующей
среде групповая скорость и = — , где S — вектор Умова— Г
Пойнтинга, а
16л
((к)б) j; р* । (нН) pjpj1
I da	da
есть среднее (по времени) значение плотности энергии электромагнитного поля.
3.19.	В однородной, прозрачной и недиспергирующей среде (е—const и const) распространяется в направлении оси z электромагнитный импульс, который первоначально имел форму
_ г2
/0(z) = limf(z,/)=—262 • t->o	У 2л о
Определить форму импульса f(z,t) в любой последующий момент времени.
3.20	В однородной, прозрачной и недиспергирующей среде распространяется в направлении оси х электромагнитный импульс, который в точке х = 0 определяется уравнением
foil) =-lim/(x, t) =.
0
Найти спектральную плотность этого импульса.
3.21. Плоская монохрома-.тичная линейно поляризованная волна падает в воздухе (е=р=1) на рамочную антенну. Вычислить (двумя способами) э. д. с. индукции, которая наводится в антенне. Антенна имеет форму квадрата со стороной а и расположена, как показано на чертеже (рис. 11).
§ 3.	Поляризация вещества в переменном поле
3.22.	Показать, что вещественная часть комплексной диэлектрической проницаемости является четной функцией частоты, а мнимая часть — нечетной функцией частоты.
3.23.	Вычислить диэлектрическую проницаемость _ £.
е(со), положив в (3.1) е(/)=Ае а, , где А и а —константы.
3.24.	Определить движение свободной заряженной частицы (е, т) в поле монохроматичной линейно поляризованной электромагнитной волны. Релятивистскими эффектами и радиационным торможением пренебречь.
3.25.	В разреженном ионизированном газе (плазме) можно в первом приближении считать электроны свободными. Показать, что в этом приближении распространение электромагнитных волн в такой среде характеризуется мнимой проводимостью. Найти диэлектрическую проницаемость плазмы.
3.26.	При какой частоте в плазме может распространяться чисто электрическая (/7 = 0) продольная волна?
3.27.	Плазма находится в однородном постоянном магнитном поле Но. Рассматривая плазму как разряженный электронный газ, определить движение электронов в поле плоской монохроматичной волны, распространяющейся в направлении статического поля Но, а также дисперсионную формулу.
Указание. Ввести переменные u=x+iy, g=-Ex+iEy; 3V=Hx-\-+1Ну. Магнитное поле имеет направление оси г.
3.28.	Вычислить групповую скорость электромагнитных волн в плазмещри наличии в ней постоянного однородного магнитного поля Но в направлении распространения волны. Ограничиться случаем, когда п—1<С1.
3.29.	Показать, что при распространении радиоволн в ионосфере следует ожидать резонансных явлений вблизи длины волны 10 м. Принять напряженность магнитного поля земли Я = 0,5 э.
3.30.	Исходя из модели упруго связанного электрона, вычислить тензор диэлектрической проницаемости диэлектрика при наличии в нем постоянного магнитного поля //о- N — число электронов в 1 см5. Принять собственную частоту одинаковой для всех электронов. Релятивистскими эффектами и радиационным торможением пренебречь.
Указание. Ввести в плоскости, перпендикулярной к направлению постоянного поля Но, циклические координаты
ё = — —= (х + iy) и Т| = у=-(х — iy).
3.31.	Определить фазовую скорость монохроматичной электромагнитной волны в диэлектрике при наличии в нем постоянного магнитного поля Но. Принять магнитную проницаемость
Указание. Воспользоваться тензором диэлектрической проницаемости, полученным в предыдущей задаче.
3.32.	В диэлектрике имеется постоянное магнитное поле Но. Исследовать монохроматическую волну, которая распространяется: а) вдоль и б) поперек магнит-
кого поля. Диэлектрик считать прозрачным и Немагнитным.
Указание. Воспользоваться тензором диэлектрической проницаемости, полученным в задаче 3.30.
§ 4.	Отражение и преломление электромагнитных волн
.3.33. В (Вакууме на безграничную плоскую поверхность однородного немагнитного диэлектрика (в, ц=1) падает под углом а плоская электромагнитная волна, направление поляризации которой составляет угол О с плоскостью падения. Вычислить коэффициенты отражения р и прохождения б.
3.34.	Показать на примере предыдущей задачи, что при отражении и преломлении электромагнитной волны выполняется закон сохранения энергии.
3.35.	Решить задачу 3.33 для случая, когда: 1) падающая волна не поляризована (естественный свет) и 2) падающая волна эллиптически поляризована.
3.36.	Определить состояние поляризации отраженной и преломленной волн для задач 3.33 и 3.35.
3.37.	Вычислить давление, производимое, на поверхность диэлектрика электромагнитной волной, описанной в задаче 3.33.
3.38.	Показать, что для немагнитных и непроводящих изотропных сред формулы Френеля для отраженной волны можно записать в виде
_ n2cosa— Уп“—sin2 a
4 ц n2 cos a У rfi — sin2 a
_ cos a — У rfl — sin2 a
4_l	cos a + Уn2 — sin2 a
где a — угол падения; n=yZ——относительный показатель преломления.
3.39.	Вычислить коэффициент отражения для случая почти скользящего падения на среду, относительный показатель преломления которой мало отличается от единицы.
3.40.	Рассмотреть отражение монохроматичной пло
ской волны на границе раздела двух однородных непроводящих и немагнитных сред (oI = O2=0; Ц1 = Ц2=1) для случая, когда e2.<ei и sina>^/ Показать, что коэффициент отражения равен единице (полное отражение).
3.41.	Показать, что при -полном отражении прошедшая волна не является поперечной.
3.42.	Показать, что при полном отражении среднее значение нормальной составляющей вектора Умова— Пойнтинга на границе обеих сред равно нулю.
3.43.	Вычислить разность фаз между параллельной (/? ||) и перпендикулярной (7?д) составляющими электрического вектора отраженной волны при полном отражении, если падающая волна линейно поляризована.
3.44.	Линейно поляризованная волна претерпевает полное отражение. При каком условии отраженная волна также линейно поляризована? При каком условии она будет поляризована по кругу?
3.45.	Плоская волна падает на стеклянную призму полного отражения. Интенсивность падающей волны Jo и Поляризована она под углом в 45° к плоскости падения. Определить интенсивность J и состояние поляризации волны, выходящей из призмы. Поглощением в призме пренебречь. Показатель преломления стекла п.
3.46.	Обобщить формулы Френеля на случай изотропных проводящих и магнитных сред, характеризующихся постоянными значениями е, р, и о.
3.47.	В вакууме на безграничную плоскую поверхность немагнитного металла (e=const; p='l; o==const) падает под углом а плоская монохроматичная волна, направление поляризации которой составляет угол 0 с плоскостью падения. Определить интенсивность и состояние поляризации отраженной волны, если интенсивность падающей линейно поляризованной волны Jo. Рассмотреть предельный случай идеального проводника (о=оо).
3.48.	Из вакуума на поверхность идеального проводника (о = оо) падает нормально плоская монохроматпч-ная линейно поляризованная волна. Интенсивность падающей волны J. Определить плотность токов па поверхности проводника.
3.49.	Как нужно расположить металлическое зерка
ло, чтобы отраженная волна имела круговую поляризацию? Падающая волна линейно поляризована.
3.50.	Показать, что в предельном случае —— > 1 сое магнитный вектор волны, проникающей в металл, отстает по фазе от электрического вектора па 45°.
3.51.	В вакууме распространяется плоская монохроматичная волна; которая под углом а падает на плоскую границу ионосферы. Рассматривая ионосферу как разреженный электронный газ (наличие тяжелых ионов можно не учитывать), вычислить коэффициенты отра-
4лД/е2 жения и прохождения. Показать, что если со2 <--------
(N — число электронов в единице объема; со — частота световой волны), то имеет место полное отражение.
3.52.	В однородном, прозрачном и немагнитном диэлектрике имеется постоянное магнитное поле Но, направленное перпендикулярно к его поверхности. На эту поверхность в направлении магнитного поля Но падает в вакууме плоская монохроматичная и линейно поляризованная волна, интенсивность которой Jo- Определить интенсивность и состояние поляризации отраженной и прошедшей волн.
Указание. Воспользоваться тензором диэлектрической проницаемости, полученным в задаче 3.30.
3.53.	Плоская монохроматичная и вправо поляризованная по кругу волна падает нормально к поверхности ионосферы. В ионосфере имеется постоянное магнитное поле Но, направление которого совпадает с направлением распространения падающей волны. Рассматривая ионосферу как разреженный электронный газ, вычислить интенсивность и состояние поляризации отраженной волны. Интенсивность падающей волны Jo-
3.54.	Решить задачу 3.52 для случая, когда магнитное поле Но направлено параллельно поверхности диэлектрика и совпадает с направлением поляризации падающей волны. Падение по-прежнему нормальное.
3.55.	Однородный плоскопараллельный слой толщиною а граничит с обеих сторон с однородными средами. Написать уравнения, которыми определяется прохождение монохроматичной электромагнитной волны через слой.
3.56.	Вычислить коэффициенты отражения и прозрачности плоскопараллельного слоя для случая нормального падения, если все три среды непроводящие и немагнитные.
3.57.	Показать, что коэффициент прозрачности (при нормальном падении) тонкого плоскопараллельного слоя
Хо
равен единице, если толщина его а =- - и, кроме 4
того, е2 =
3.58.	В воздухе имеется однородный и прозрачный плоскопараллельный слой толщиною а. Показатель преломления его п>1. Показать, что если падающая волна, интенсивность которой 10, поляризована перпендикулярно (или параллельно) плоскости падения, то интенсивность отраженной волны
J = 4Pi2 sin2 Q j U — Р12)2 + 4р12 sin2 0 °’
где pi2 — коэффициент отражения на границе воздух— диэлектрик, 0 = k2a sin у.
Обозначения те же, что в задаче 3.55.
3.59.	Плоская волна падает под углом а на непроводящий и немагнитный плоскопараллельный слой толщиною а. Определить давление, испытываемое этим слоем.
§ 5.	Резонаторы и волноводы
3.60.	Показать, что в идеальный проводник (о=оо) электромагнитная волна не проникает. Вывести граничные условия для векторов Е и В электромагнитной волны на границе с идеальным проводником.
3.61.	Для монохроматичной волны на границе диэлектрика с реальным проводником (металлом) Et=£0, можно положить (граничное условие Леонтовича)
£, = £(Н,Хп],
где п — единичный вектор нормали к граничной поверхности, направленный внутрь проводника. Комплексный коэффициент пропорциональности £ называется поверхностным импедансом металла. Выразить поток энергии через поверхность металла через его поверхностный импеданс.
3.62.	Плоская монохроматичная волна падает в воздухе (е = р = 1) под углом а на плоскую поверхность металла, поверхностный импеданс которого £. Записать формулы Френеля для отраженной волны через ф Рассмотреть случай малого импеданса.
3.63.	Вдоль прямого волновода распространяется монохроматичная волна электрического типа (Е-волна, или поперечно магнитная ТТИ-волна). Это значит, что составляющая магнитного вектора вдоль волновода равна нулю. Показать, что поперечные составляющие векторов Е и Н выражаются через продольную составляющую вектора Е. Вывести дифференциальное уравнение для последней. Среду, заполняющую (волновод, считать однородной, изотропной и непроводящей.
3.64.	Показать, что если стенки волновода идеально проводящие (о = оо), то чтобы векторы Е и Н рассмотренной в предыдущей задаче Е-волны удовлетворяли нужным граничным условиям' (задача 3.60), достаточно потребовать, чтобы на стенках волновода Ez=0.
3.65.	Определить Е-волны, которые могут распространяться вдоль прямого волновода прямоугольного сечения, поперечные размеры которого аХ&. Стенки волновода считать идеально проводящими. Найги наименьшую (критическую) частоту этих волн.
3.66.	Показать, что для волны магнитного типа (Е-волны, или поперечно электрической ГЕ-волны), распространяющейся вдоль прямого волновода, поперечные составляющие векторов Е и Н выражаются через продольную составляющую вектора Н. Вывести дифференциальное уравнение для последней.
3.67.	Стенки прямого волновода идеально проводящие. Доказать: чтобы векторы Е и Н волны магнитного типа удовлетворяли нужным граничным условиям, достаточно потребовать, чтобы на контуре поперечного се-дН2 л чения волновода -----= и.
дп
3.68.	Определить Е-волны, которые могут распространяться вдоль прямого волновода прямоугольного сечения с идеально проводящими стенками. Поперечные размеры волновода а\Ь. Найти наименьшую (критическую) частоту этих волн.
3.69.	Вдоль «ленточной» линии, т. е. между двумя параллельными проводящими плоскостями, распростра-78
няется монохроматичная электромагнитная волна. Определить возможные типы волн. Плоскости считать идеально проводящими.
3.70.	Вычислить групповую скорость электромагнитной волны, распространяющейся вдоль прямого волновода.
3.71.	Показать, что для Е-волны, распространяющейся вдоль прямого волновода (вдоль оси z), энергия, приходящаяся на единицу длины волновода, определяется формулой
[{7 = ...et°2-
8.TZ-O2
(I £J2 dxdy,
где интегрирование производится по площади сечения волновода.
3.72.	Вследствие конечности проводимости стенок волновода энергия волны, распространяющейся вдоль волновода, частично проникает в стенки и поглощается ими (диссипирует). Предполагая, что поверхностный импеданс £ стенок волновода достаточно мал, показать, что амплитуда волны убывает по закону А=Аое~а и что для Ё-волны коэффициент поглощения
<6 | y2Ez |2 dl а=-^>-------------
Wkc £ | £2|2dS
s
где I — контур, aS — площадь сечения волновода.
3.73.	Показать, что для распространяющейся в волноводе //-волны коэффициент поглощения (см. задачу 3.72)
сх2С' а —-------—
2Асор
I
\Hz\2dS
s
3.74.	Определить собственные электромагнитные колебания в полом (е = р=1) резонаторе, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с идеально проводящими стенками, ребра которого равны oj, а2 и а3. Найти наименьшую собственную частоту.
3.75.	Показать, что для любого собственного электромагнитного колебания в полом (е = р = 1) резонаторе с идеально проводящими стенками средняя энергия электрического поля равна средней энергии магнитного поля, т. е.
E-dV= [ TEdV.
В полом резонаторе имеется одновременно несколько типов собственных колебаний. Показать, что полная энергия этих колебаний равна сумме энергий отдельных собственных колебаний. Стенки резонатора считать идеально проводящими. Среду, заполняющую резонатор, однородной.
Указание. Воспользоваться тождеством
f (A rot rot В — В rot rot A) dV = (£ {[В х rot А] — [Ах rot В]) dS, V	s
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V; А и В — произвольные векторы, удовлетворяющие обычным условиям дифференцируемости. Доказать это тождество.
3.77.	Определить декремент затухания и изменение собственной частоты полого (е — ц—1) резонатора, обусловленное слабым поглощением энергии его стенками.
Указание. Воспользоваться тождеством, приведенным в задаче 3.76.
§ 6.	Излучение и рассеяние электромагнитных волн
3.78.	Точечный заряд q вращается равномерно по окружности радиуса а с угловой скоростью и <^ — а Определить создаваемые им в вакууме поле излучения и интенсивность излучения.
3.79.	Показать, что для изолированной системы, состоящей из частиц с одинаковым удельным зарядом — = const , интенсивность дипольного излучения рав-I т	|
на нулю.
3.80.	Частица с массой т и зарядом q пролетает со скоростью v мимо неподвижного заряда q на прицельном от него расстоянии а. Вычислить энергию, теряемую
движущейся частицей на электромагнитное излучение, если скорость ее настолько велика, что отклонение от прямолинейного движения можно считать малым.
3.81.	Вычислить среднюю интенсивность дипольного излучения при эллиптическом движении двух притягивающихся заряженных частиц	и (т2д<2). Дана
энергия частиц (W7) и момент количества движения (7И) в системе центра масс.
3.82.	Найти угловое распределение в системе центра масс полной энергии дипольного излучения при пролетании одной заряженной частицы мимо другой с такой большой скоростью, что отклонение от прямолинейного движения можно считать малым.
3.83.	На свободный электрон падает в вакууме световая волна. Вычислить полный эффективный поперечник рассеяния, определяемый как отношение интенсивности рассеиваемой энергии к плотности потока падающей энергии. Силой лучистого трения и релятивистскими эффектами пренебречь.
3.84.	В том же приближении, что и в предыдущей задаче, вычислить дифференциальное эффективное сечение рассеяния свободным электроном монохроматичной волны для следующих случаев:
1)	падающая волна линейно поляризована;
2)	падающая волна эллиптически поляризована. Показать, что интегрированием по углам можно получить полное сечение рассеяния, вычисленное в предыдущей задаче;
3)	падающая волна не поляризована (естественный свет).	।
Найти степень деполяризации рассеянного света.
Примечание. Степенью деполяризации называется отношение
~д~, где /2— наименьшая, a J\— наибольшая интенсивности рассеян-*'1
ного света, поляризованного во взаимно перпендикулярных направлениях.
3.85.	Вычислить дифференциальное и полное эффективное сечение рассеяния квази-упруго связанным электроном монохроматичной линейно поляризованной волны. Учесть силу радиационного торможения. Релятивистскими поправками пренебречь.
3.86.	Вычислить дифференциальное эффёктйвноё сё-
чение рассеяния монохроматичной волны на малом диэлектрическом (или проводящем) ширине радиуса а.
Диэлектрическая проницаемость шарика е. Магнит-
ная проницаемость ц = 1. Принять а Д —^-=г- = к.
<о у е
3.87.	Определить поле излучения, создаваемое в вакууме переменным магнитным диполем, момент которого
т —	.
Показать, что это поле может быть получено из поля излучения электрического диполя путем замены:
Ро Е Н и Н — Е.
3.88.	Вычислить в омах сопротивление излучения рамочной антенны, имеющей форму круглого витка радиуса а и питаемой током/=/о cos со/. Длина волны
-1 2ЯС Кч
А, =---------> а.
<0
3.89.	Показать, что магнитно-дипольное излучение отсутствует у системы, состоящей из двух заряженных частиц, а также у системы, состоящей из частиц с одинаковым отношением заряда к массе.
3.90.	Записать уравнение непрерывности для предельного случая линейного тока.
3.91.	По прямолинейному идеальному проводнику проходит ток частоты со. Показать, что вдоль провода ток распределен синусоидально.
3.92.	Определить поле излучения, создаваемое в однородной и непроводящей среде заданным распределением токов частоты со:
j = j0(?)e-Zb>/.
3.93.	Найти поле излучения в вакууме линейной антенны длиною /, питаемой током
I (?) = /о sin лл (-f- + — е
&	\ *	2 /
где
. .	«=1,2,3,...;
Исследовать угловое распределение этого излучения.
3.94.	Определить поле излучения (в вакууме) линейной антенны длиною /, по которой проходит бегущая волна

ЧАСТЬ IV
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ движущихся ТЕЛ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Относительно любой системы отсчета пространственно-временная локализация события определяется пространственно-временными координатами (х, у, z и /).
В дальнейшем, говоря о системах отсчета, мы всегда будем иметь -в виду инерциальные системы отсчета.
Зависимость между пространственно-временными координатами одного и того же события относительно различных систем отсчета дается преобразованием Лоренца.
Для частного случая, когда система К' движется относительно системы К со скоростью v вдоль положительной оси х, совпадающей с осью х' (рис. 12) и если за начальный момент времени (t=t'=O) в обеих системах выбран тот момент времени, когда оба начала сов
падают, преобразование Лоренца выражается формулами
г X — VI ,	,	с‘ п V ,, , ,
х' = г у = у; z = z\ t =  r------------; В = —. (4.1)
/1-Р2 у а	/1-р2 1 с 4	’
Это преобразование мы будем называть специальным преобразованием Лоренца.
Обратное преобразование отличается лишь знаком скорости.
Преобразования Лоренца (4.1) являются следствием инвариантности 4-мерного интервала
AS2 = с2 (^ — ^)2 — [(х2 — X])2 + (г/2 — г/j)2 +
+ (z2 — z,)2] =Inv.	(4.2)
Дифференциал собственного времени материальной точки, т. е. времени, отсчитываемого по часам, покоящимся относительно сопутствующей системы отсчета, определяется уравнением
dx = dt/1 — р2.	-	(4.3)
Сопутствующей называется такая инерциальная система отсчета, относительно которой скорость материальной точки в рассматриваемый момент времени равна нулю. Собственное время есть инвариант относительно преобразования Лоренца.
Из преобразований Лоренца (4.1) следует, что в направлении движения длина движущегося тела
=	р2,	(4.4)
где / —длина тела в сопутствующей системе отсчета. В направлениях, поперечных к движению, размеры движущегося тела не меняются.
Из того же преобразования Лоренца (4.1) следует релятивистский закон сложения параллельных скоростей
и’ 4- V и —-------.
, u'v..
с2
Где и —скорость материальной точки относительно системы К', параллельная переносной скорости V, а и — скорость той же точки относительно системы К. (см. рис. 12).
В четырехмерном пространстве (%i=x, х2=у, х3=г, Xi = ict) из (4.2) следует, что
— AS2 = Axf + Ал-2 + Ал-2 Ал'2 = Inv, (4.26)
а потому можно рассматривать преобразование Лоренца как ортогональный поворот осей координат в этом пространстве:
4	4
4=2Xi=2(4-6)
i=i	k=i
где коэффициенты преобразования удовлетворяют условиям ортогональности
4	4
2 ®kflkm ~ $1т> 2 ^kj'	(4-7)
А=1	Z=1
Для специального преобразования Лоренца (4.1) матрица преобразования (4.6) имеет вид
	(			, о, 0, -Д—1	
	/1 - Р2	/1 - ₽2	
	0	10	0	
(«ы) =		(4.8)
	0	0 10	
	-	о о -V-!—	
	Д' 1 -Р2	V1 - Р2 J	
При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой компоненты 4-вектора (Лй) преобразуются так же, как и координаты (4.6), т. е.
A =	At=^aklAk.	(4.9)
Z=1	k=l
Наиболее важными 4-векторами являются:
1) четырехмерный потенциал электромагнитного поля 4 (A, i<p),	(4.10)
где А и ср — векторный и скалярный потенциалы; 2) 4-вектор плотности электрического тока
(4.Н)
где j и р — плотность тока и зарядов;
3)	четырехмерный волновой вектор
(4.12)
где кию — волновой вектор и частота плоской электромагнитной волны;
4)	4-вектор скорости
»/~7—______=, i-. С Y	(4.13)
k V1 — Ы2/С2 У 1 — Ы2/с2 J'	7
где и — скорость частицы;
5)	4-вектор плотности сил
(4.14)
где f — объемная плотность сил; fu — плотность мощности этих сил;
6)	4-вектор энергии-импульса частицы
Pft(p, ~ W).	(4.15)
где р и W— импульс и энергия частицы;
7)	четырехмерный оператор «набла» д /	i' д \
----( V>---------).
dxk \	с dt j
(4.16)
Компоненты 4-тензора преобразуются как произведения компонент 4-векторов. Например, для 4-тензора 2-го ранга (7Ы) формула преобразования имеет вид
Ты = J; akralsTrs.	(4.17)
r,s— 1
Примерами 4-тензоров являются:
1) 4-тензор напряженности электромагнитного поля в вакууме
Н — dAl — дАк
Rl dxk dxi
(4.19)
где Ak — четырехмерный потенциал (4.10).
Из формул (XVII) следует, что компоненты этого тензора образуют следующую матрицу:
	/ о,		-нг	~iEx\
	' —н„	0,	нх,	— IE., I
я«=			о,	-1Ег 1 <4-20>
	\ 1ЕХ,	1Еу,	i£z,	0 J
2) 4-тензор энергии-импульса электромагнитного поля в вакууме
4	4
Л, = Т~ X + 1('г '« X <4-2'»
4л	16л
т—1	r,s=l
Это симметричный (TM=Tik) тензор 2-го ранга, ком-				
поненты которого		образуют следующую матрицу:		
	1 Т , л XX'	Т * «Р	тхг, —icg}	
	т 1 Ух>	т УУ’	Туг, — icgy	
(П/) =	Т2Х’	1 Т 1 гу'	T2Z>	—	, (4-22)
		- S 1 с		1 С с		l- s2, w C	J	
где —максвелловский 3-мерный тензор натяжений (1.40) (греческие индексы ц и v пробегают значения 1, 2, 3 или соответственно х, у, z; латинские индексы kl пробегают значения 1, 2, 3, 4); g— плотность импульса; W— плотность энергии электромагнитного поля; S — вектор Умова—Пойнтинга.
На основании (4.9) и (4.8) специальное преобразование Лоренца для четырехмерного волнового вектора (4.12) дает
=	(4.24)
/1-₽*
COS 0 — p cost) =-------------—,
1 — P cos 0
(4.25)
где 0 — угол между направлением распространения волны и направлением движения системы К' относительно системы К.
Первая из этих формул (4.24) дает теорию эффекта Допплера, а вторая (4.25) — явления оберрации света.
На основании (4.17) и (4.8) специальное преобразование Лоренца для 4-тензора напряженности электромагнитного поля (4.20) дает формулы преобразования для векторов поля:
р'__р . р' ___ Еу РЛ2. рг Ег -р РМ/
х	v	/l-Р2	/1-Р3’
нх = нх- Hv =	Hz =	(4.26)
х	v	/1-Р2	/1-Р2
где Е, Н и Е', Н' обозначают значения векторов поля в одной и той же мировой точке относительно разных систем отсчета.
Уравнения Максвелла (X) для вакуума в лоренц-ковариантной форме имеют следующий вид:
первая пара
дЛ/./ । dffftzk । dHim _Q
дхт dxt дхк
вторая пара
^^ = _4л_	(4.28)
-<-« дх< с 1=1
Первая пара уравнений Максвелла (4.27) тождественно удовлетворяется введением 4-вектора потенциала (4.19), который при дополнительном условии
4
= о	(4.29)
k=i Xk
удовлетворяет на основании (4.28) уравнению
4 д2Ак _ 4л .
(4.30)
Уравнение (4.29) есть лоренц-коварпаитная запись калибровочного соотношения (3.4), а (4.30) — уравнения Даламбера (3.5) для вакуума.
Релятивистское дифференциальное уравнение движения материальной точки .можно записать в виде
~^- = F,	(4.31)
dt
где
есть импульс частицы, a F — действующая сила; т — масса покоя.
Из (4,31) п (4.32) следует, что
= Fv’	(4.33)
где
IF =	=	(4.34)
/1-₽2
есть энергия частицы.
Энергия покоя
W0 = mc2,	(4.34а)
а кинетическая энергия
Т = W — Wo = me2 f--=L=- — 1Y (4.35) V/1 — v2/c2 J
Импульс p и энергия W частицы связаны между собой соотношением
Г2 = с2|(р2 + т2с2).	(4.36)
§ 1.	Релятивистская кинематика.
4-е векторы и тензоры
4.1.	Обобщить формулы преобразования Лоренца для произвольной ориентации осей координат обеих систем отсчета относительно направления их относительного движения.
Указание. Разложить радиус-вектор на две составляющие: параллельную и перпендикулярную к направлению относительного движения.
4.2.	Обобщить формулы преобразования ЛоренпД для произвольного выбора начала отсчета (начала координат и начального момента времени).
4.3.	Вывести закон сложения параллельных скоростей (4.5) путем двух специальных лоренц-преобразо-ванпй.
4.4.	Вывести релятивистский закон сложения скоростей для общего случая произвольной взаимной ориентации слагаемых скоростей.
Показать, что по абсолютной величине результирующая скорость
1+-T(u'v)
с2
4.5.	Вывести закон преобразования для уГ 1 —и21с2, где и — скорость материальной точки относительно рассматриваемой системы отсчета.
4.6.	Вывести формулу, которой определяется изменение направления скорости при переходе от одной системы отсчета к другой.
4.7.	Два одинаковых стержня длиною Zo (в «собственной» пли сопутствующей системе отсчета) расположены вдоль одной прямой и движутся равномерно навстречу друг другу с одинаковыми скоростями v (относительно некоторой системы отсчета). Какова длина одного из стержней в системе отсчета, связанной со вторым?
4.8.	Вывести закон преобразования для трехмерного вектора ускорения материальной точки.
4.9.	Ракета движется прямолинейно с постоянным ускорением w0 относительно своей сопутствующей системы. Сколько времени (по «земным часам») продлится разгон ракеты до скорости п = 0,8 с? Сколько времени на это уйдет по часам, находящимся в ракете?
Примечание. Принять, что ход часов не зависит от их ускорения.
4.10.	Выразить компоненты 4-вектора ускорения через трехмерную скорость и ускорение. Показать, что в сопутствующей системе отсчета
4.11.	Показать, что при пространственных поворотах осей координат первые три компоненты 4-вектОра преобразовываются как компоненты трехмерного вектора, а четвертая компонента — как скаляр (не меняется).
4.12.	Показать, что относительно пространственных поворотов четырехмерный тензор второго ранга распадается на трехмерный тензор, два трехмерных вектора и один скаляр.
4.13.	Показать, что символы Кронекера	| О
образуют симметричный 4-тензор второго ранга.
4.14.	Показать, что выражения
1=1
образуют 4-вектор, если В, и Ты — компоненты соответственно 4-вектора и 4-тензора второго ранга.
4.15.	Дано, что
А = Ут«в,
есть компоненты 4-вектора, где Ти — произвольный 4-тензор второго ранга.
Показать, что Д — 4-вектор.
4.16.	Показать, что след (Sp) тензора второго ранга есть скаляр.
Примечание. Следом тензора второго ранга называется сумма его диагональных элементов;
SpT = 2Tftft.
k=\
4.17.	Показать, что элемент объема четырехмерного пространства dxidxzdxtflxi есть инвариант относительно преобразований Лоренца.
4	_j
4.18.	Показать, что т]; = j V — %')2| есть решение 7=1
волнового уравнения, т. е. что
4
дх1
§ 2.	Релятивистская электродинамика
4.19.	Записать в релятивистски-ковариантной форме уравнения Максвелла для материальной среды.
4.20.	Показать, что векторы поляризации (Р) и намагничивания (М) образуют 4-тензор второго ранга.
4.21.	Вывести формулы преобразования для векторов электромагнитного поля в материальной среде при пе реходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.
4.22.	Показать, что В2—Е2, Н2—D2, ЕВ и НЕ) являются инвариантами относительно преобразования Лоренца.
4.23.	Можно ли соответствующим выбором системы отсчета вместо электромагнитного поля получить чисто электрическое (или чисто магнитное) поле?
4.24.	В вакууме относительно некоторой системы отсчета (К) имеются взаимно перпендикулярные электрическое (E=const) и магнитное (H = const) поля, причем Е<Н. Указать такую систему отсчета (К'), относительно которой поле чисто магнитное, и вычислить его напряженность.
4.25.	К обкладкам воздушного цилиндрического конденсатора, радиусы которых а и Ь, приложено постоянное напряжение V. По внутренней обкладке в направлении ее оси проходит постоянный электрический ток L В какой системе отсчета и при каком условии в конденсаторе имеется лишь магнитное поле? Какова его напряженность? Сопротивлением внутренней обкладки пренебречь.
4.26.	Две одинаковые достаточно длинные проводящие цилиндрические поверхности заряжены с линейной плотностью +х и —х и расположены так, что их оси параллельны. Внутри них протянуто два провода, по которым в противоположных направлениях проходят постоянные токи силою I. Эти токи расположены так, что силовые линии создаваемого ими магнитного поля лежат на указанных цилиндрических поверхностях (см. за
дачи 1.47, 1.70 и 2.31). Найти такую систему отсчета, относительно которой между цилиндрами нет магнитного поля. Падением напряжения на проводах пренебречь.
4.27.	Неподвижный диэлектрик имеет показатель преломления По- Как изменится его показатель преломления, если диэлектрик движется с постоянной скоростью V?
Обобщить формулы допплер-эффекта (4.24) и аберрации (4.25) на случай материальной среды с показателем преломления «о-
4.28.	Показать, что для монохроматичного светового пучка в вакууме, заключенном в телесном угле,
t/Q == 2л sin &d&,
где & — угол между направлением распространения света и направлением относительного движения систем отсчета, величина щ2с/О есть инвариант относительно преобразования Лоренца.
4.29.	Вычислить потенциалы электромагнитного поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q, движущимся равномерно и прямолинейно со скоростью V.
4.30.	Вычислить напряженность (Е, Н) электромагнитного поля, создаваемого в вакууме равномерно и прямолинейно движущимся точечным зарядом q.
4.31.	Вычислить электромагнитную массу электрона.
Примечание. Электромагнитная масса электрона определяется уравнением G=mv, где G—импульс электромагнитного поля (XVI) движущегося электрона.
4.32.	Вывести формулы преобразования для дипольных моментов, электрического и магнитного, при переходе к движущейся системе отсчета.
4.33.	Определить электромагнитное поле, создаваемое в вакууме электрическим диполем, движущимся с постоянной скоростью V.
4.34.	Монохроматичный свет частоты соо падает нормально к поверхности плоского зеркала, движущегося равномерно со скоростью v в направлении распространения падающего света. Определить частоту отраженного света.
4.35.	На плоское зеркало падает свет под углом а. Зеркало движется равномерно со скоростью v в направлении нормали к его поверхности в сторону распространения падающего света. Определить угол отражения.
§ 3. Релятивистская механика
4.36.	Вычислить «продольную» и «поперечную» массу релятивистской частицы.
Примечание. «Продольной» и «поперечной» массой называется отношение силы к ускорению частицы, когда действующая сила направлена соответственно параллельно или перпендикулярно к направлению движения.
4.37.	Определить движение релятивистской заряженной частицы (tn, q) в однородном постоянном электрическим поле. Начальная скорость частицы равна нулю. \	4?38. Определить движение, релятивистской заряжен-
ной частицы (m, q) в однородном постоянном магнитном поле (Н).
4.39.	Показать, что движение заряженной частицы (т, q) в электромагнитном поле (ср, А) в любых обобщенных координатах (х'ц) определяется дифференциальными уравнениями Лагранжа
d dL	— Q
%
где функция Лагранжа
L = — тс2 УЛ — v2/c2 — (qq--------------— Av\
4.40.	Показать, что уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле не меняются, если произвести замену t—»—t; ф-* -Ь<р; А-»—А.
4.41.	Показать, что если постоянное магнитное поле плоское, т. е. Аж=Л2/ = 0 и Az=Az(x, у), то при движении заряженной частицы в этом поле
mVz - + — Аг = const. /1 - р2 с г
4.42.	Показать, что если постоянное магнитное поле обладает осевой симметрией, т. е. Ая=Лг=0 и A0=Ae(R,z), то при движении заряженной частицы в этом поле
tnR2® , q „ .	,
—-------- + — RAq = const.
/1-₽2 с
4.43.	Определить траекторию движения релятивистской заряженной частицы (m, q) в поперечном и постоянном магнитном поле (Н), считая, что частица встречает силу вязкого трения (F = —nv).
4.44.	Вывести закон преобразования для силы при переходе от одной инерциальной системы к другой.
4.45.	Два точечных заряда q\ и qz, находящихся на расстоянии а друг от друга, движутся с постоянной скоростью v, направленной перпендикулярно к соединяющему их отрезку. Определить силу их взаимодействия.
4.46.	Масса покоя частицы т. Выразить ее скорость v через:
1)	полную энергию W, 2) кинетическую энергию Т и 3) импульс р.
4.47.	Неподвижный л-мезон распадается на ц-мезон и‘нейтрино (га = 0). Зная массы л- и ц-мезонов, вычислить кинетическую энергию ц-мезона.
4.48.	Показать, что в отсутствии внешнего поля фотон не может превратиться в электронно-позитронную пару.
4.49.	На неподвижную частицу с массой М налетает другая частица с массой т и энергией W. Определить энергию (I?7!) этой частицы после столкновения в зависимости от угла (О) рассеяния. Столкновение считать упругим.
Рассмотреть случай т — 0 (эффект Комптона).
4.50.	Найти релятивистскую поправку к эллиптической траектории электрона (т, е) в кулоновском поле неподвижного ядра (Ze).
Указание. Как и в нерелятивистском случае, целесообразно 1
ввести переменную и= —.
4.51.	ло-мезон с массой покоя т, движущийся со скоростью v, распадается на два одинаковых у-кванта. Определить угол разлета у-квантов.
4.52.	ло-мезон с массой покоя т, движущийся со скоростью v, распадается на два у-кванта. Считая, что в системе отсчета, относительно которой мезон покоится, распределение у-квантов по направлениям вылета изотропно, определить относительно лабораторной системы отсчета: 1) вероятность того, что один из у-квантов вылетит под углом 0 к направлению движения ло-мезопа;
2)	каково при этом будет направление второго у-кван-та; 3) энергии этих у-квантов.
4.53.	Возбужденное атомное ядро переходит в основное состояние путем испускания у-кванта. Масса ядра в основном состоянии т. Энергия возбуждения АЖ Определить частоту у-кванта.
4.54.	Покоящееся тело с массой покоя М распадается на две частицы с массами покоя т\ и т2. Найти распределение энергии распада АЖ=Мс2—(тщ+тгК2 между этими частицами.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ЧАСТЬ 1
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
§ 1. Закон Кулона
1.1. а) Напряженность поля, создаваемого элементом длины нити,
dE = %dl
Результирующая напряженность поля направлена перпендикулярно к нити и по величине (рис. 13) равна
+«>	+ j,
„ О, _	Р cos а Л	У С <	2%
Е = \ dE- cos а = У \ ----= — \ cos a da = ——.
J	Jr2 R J	R
—oo	Л
“ T
б)	Напряженность поля, создаваемого элементом поверхности заряженной плоскости,
dE—
a dS г2
xRd Rd 0
Результирующее поле направлено по нормали к плоскости (рис. 14) ЕУ=Е2=О:
2л оо
Ех — J dE cos а = о о о
в)	Элементарному углу d<3 соответствует бесконечно длинная полоска заряженной поверхности, которой
--зТ- = 2ло-----------.
-2\72	| V I
создается поле, напряженность которого (см. а)
л г
Результирующее поле направлено вдоль радиуса цилиндра, а величина его (рис. 15)
где
cos а = ——а-со-? ® ; г = ]/7?2 4- а2 — 2aR cos 0. г
Отсюда
е = j?-gcose d® =^- (1 + R2~a2 Y л J R2 -|- а2 — 2aR cos 0	R \	1R2 — а2 | /
о
Вне цилиндра (/?>а)
R
Внутри цилиндра (R<a)
Е = 0.
г)	Напряженность поля, создаваемого элементом поверхности сферы
dE =	= q~dS- =
R2 4ла2 R2 4nR2
Результирующее поле (рис. 16) направлено вдоль радиуса сферы и равно
Е = ^dE-cosa,
где
(г2 + с2 — Чаг cos 0)3^2
Отсюда
2л л__________________
_	5 f Г т/ г2 + a2 cos2 0 — 2ar cos 0
£’°“Н------------------------
о о
? ( 1 / 1
2 I а \ | г — а |
Ч—т~(г + « — I art
1. Вне сферы (г>п)
£ = А
г2
sin @ dQ dip =
г-\-а
1 I 1
2. Внутри сферы (г<а)
Е = 0.
д) Часть шара, ограниченная концентрическими сферами радиуса гх и r\+dr\, создает вне себя (г>4) радиально симметричное поле, напряженность которого (см. 1.1, г)
Е__
а внутри шара (г<а)
Е__ 4лр
dE = -^- = ^-r]drt.
г" Г2 1
Отсюда вне шара (г>а) результирующая напряженность поля
Рис. 17
г2
а3
разности полей, создавае-
1.2.	Искомое поле' равно мых двумя равномерно заряженными шарами, а потому (см. решение задачи 1.1, д и рис. 17)
„4л	4Л	4Л
Е = — Рг---г- РП = — ра.
0	0	0
Итак, поле внутри полости однородное.
1.3.	Напряженность поля, создаваемого электронным облаком (см. задачу 1.1,0).
~ § р (п) Г| dr,.
о
С учетом поля ядра получаем, что результирующая напряженность поля
Е = Ег = —
Г2
г2
о2
2г а
а
1.4.	Элемент длины окружности dt создает в любой точке на оси z поле, напряженность которого
dE = -А— А,
2ла г2
где г = У а2 + г2. Результирующая напряженность поля (рис. 18)
^ = ^ = о,
Ег= \ dE cos'a = — cos а = q-------—.
J ’ r2	4 (а2 + г2У
1.5.	Элементарное кольцо диска, имеющего радиус R и ширину d,R, создает поле, напряженность которого (см. задачу 1.14)
1
Е = 2лог
2
dE2 = 2noRdR---------—57-.
(R2 + z2)Л
Результирующая напряженность поля a
С —- - './ = 2ло f 1---------
I (R2 + z2y
J	\ Л 1
0	г
Отсюда расстояние искомой точки от диска
। । °-|г| = 7Г
1.6.	В любой точке диска, отстоящей на расстоянии R от центра (рис. 19),
— cos а =-г2
2aq
(а2 + Е2У ’
а потому поток
(V =
2л а	'
о о
1.7.	Напряженность поля (см. задачу 1.1)
Е = Ж R
Отсюда (рис. 20)
Е = Е = Е cos а =	—,
п г	R R
а потому поток
§ 2.	Теорема Остроградского—Гаусса
1.8.	Поле, создаваемое в вакууме точечным зарядом q. обладает сферической симметрией: Ег—Е(г)- Ее = =ЕФ =0. Применив теорему Остроградского—Гаусса (1.9) к сферической поверхности с центром в заряде д, получим,что
Е4яг2 = 4лд; Е—J-y,
что эквивалентно закону Кулона для силы взаимодействия двух точечных зарядов в .вакууме.
1.9.	Поле обладает аксиальной симметрией: DR~ =D(R), De =DZ=G. Применив теорему Остроградского—Гаусса к поверхности цилиндра высотой Н и радиуса R, ось которого совпадает с заряженной нитью, получим, что (поток через основания цилиндра равен нулю)
D2nRH = 4яХ|Е; D =
Отсюда напряженность поля
(Ж ЯЛ
Е =
(Я>ЯЛ е2/?
1.10.	На основании (1.8) поверхностная плотность связанных зарядов
, V ( 1	1 \
О = —-— (---------).
2л/?х \ е2 ех /
1.11.	Аналогично задаче 1.9 находим, что
D2nRH =
0
4л
(Я О). (Я>з),
где %=2ласт— линейная плотность зарядов. Отсюда
	0
ГЧ II Гч Л II	2Х
	. 8(/?)/?
(Я<а), (Я>«).
1.12.	На основании (1.4) и (1.6) и с учетом результата предыдущей задачи, вектор поляризации
n п ®	1 Е? ®	1	I
= К ~ 4л ~	2л~Х	‘
Отсюда на основании (1.7) и (Шб) плотность связанных зарядов
, _	ас d / в — 1 \
Р —	R~ dR V в /
1.13.	Поле перпендикулярно заряженной плоскости. Применив теорему Остроградского—Гаусса к поверхности цилиндра, основания которого параллельны заряженной плоскости и находятся по разные стороны и на равных расстояниях от нее (рис. 21), получим, что
2DS — 4rarS; D = 2лст,
а напряженность поля
Е _ 2лр е
1.14.	Поле вне конденсатора равно нулю. Аналогично задаче 1.13 находим поле внутри конденсатора:
Dv = Dz = 0; Dx — 4ло;
£^ = £, = 0; £ 4зтст
Рис. 21
1.15.	-Задача имеет центр симметрии, следовательно, Dr - D (г); Dq - D-ф = 0.
Применив теорему Остроградского—Гаусса к сферической поверхности, концентричной с заряженным шаром, получим
D 4 лг2 = 4л q.
Внутри шара (r<a) q=0, а потому D = Е = 0.
Вне шара (r>a) q=Q, а потому
D = Е *= г2	ег2
1.16.	Из (Х1Ха) и (1.7а) следует £(!) —£(2) =4я(а+</).
п	п	\ I 7
Отсюда (см. решение предыдущей задачи)
,	(у 1	\
о = — о 1---------).
\ е(а) J
1.17.	Представим себе замкнутую поверхность в толще наружной обкладки конденсатора, которая охватывает внутреннюю обкладку. В толще проводящей обкладки поля нет, а потому на основании теоремы Остро-градекого—Г аусса
4 "Ь 4иНд ~ 0» Чппл ~ Я-
1.18.	В результате суперпозиции полей, создаваемых каждой из обкладок в отдельности (см. задачи 1.15 и 1.17), находим
О
Q ег2
О
(г < G),
(Г1 < г < г2),
(г>г2)-
1.19.	Применив теорему Остроградского—Гаусса к сферической поверхности, концентричной с заряженным шаром, получим
Din. г2 = 4л д'.
Вне шара (г > а) д' = д, а потому
Внутри шара (г < а) д'
= -9— г3, а потому as
D = -^-r, E = —^—r (r<a). as	e0a3
1.20.	Поверхностная плотность связанных зарядов на поверхности шара (см. (1.8) и решение предыдущей задачи)
(/ = -*-4ла2
J_____1_\
8	80 )
На основании (1.7) и (Шв) объемная плотность связанных зарядов внутри шара
р' = — div Р =---е° ~ 1 р.
е0
§ 3.	Потенциал. Дифференциальное уравнение Пуассона—Лапласа
1.21. Если начало цилиндрической системы координат поместить в середине отрезка, а ось z направить вдоль него, то для произвольной точки (/?, z) поля потенциал
Г	________
J /^ + (2__^2
Интегрирование дает
Ф (Я. z) = х 1п
z + < + /^ + (г + <)3 2-/+/7?2 + (2-/)2 ’
Введем обозначения
Z1,2 = 2 ± I; Г1.2 =	+ г?,2,
тогда уравнение эквипотенциальной поверхности запишется так:
Z1 4~ Г1 _ Q
Z2 + Г2
Отсюда
1 2г
С 4- 1 __ 2z -р fl -j- г2 _ rl-j- r2	_ Ч4~г'2	_ f14~^
С — I	2/ 4- rx — r2 21	r!—r2	21
+	21
2z	— r2
так как -------= —-------.
f'l 4- ^2	2/
Следовательно,
Г1 + r2 = const.
Таким образом, эквипотенциальными поверхностями являются эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами данного отрезка.
1.22.	Из решения предыдущей задачи следует, что заряженный проводящий эллипсоид вращения создает вне себя такое же поле, как и равномерно заряженный
отрезок, соединяющий фокусы эллипсоида, а потому искомый потенциал (см. решение предыдущей задачи)
<р (7?> z) = _JL in Ж +
2с г — с + уR? -р (z — с)2
где с=]/ а2—Ь2— расстояние фокуса от центра эллипсоида.
1.23.	Потенциал этого поля можно получить из решения задачи 1.21. Для бесконечной нити потенциал не зависит от z, а потому, положив z—О, для достаточно большого значения I ^>R находим, что
ср = % In 4
/ / \2	_
Г — J = const — 2% In R.
Отсюда напряженность поля
Е* =
= _2%_. dR R ’
Ев = Ег = 0.
Тот же результат можно получить на основании дифференциального уравнения Лапласа. Поле обладает аксиальной симметрией: <р=<р(/?), а потому в цилиндрических координатах (см. V6) уравнение (1.23, я) примет вид
----
R dR \ dR Jt
-^=4r> cp^Cjn^+^^^O).
dR R
Можно положить C2=0 (т. e. положить равным нулю потенциал на единичном расстоянии от нити), a Ci определить при помощи теоремы Остроградского—Гаусса (1.9) (см. задачу 1.9). Отметим, что в рассматриваемой задаче нельзя положить равным нулю потенциал ни на бесконечности, ни на оси симметрии.
1.24.	Вычислим потенциал в цилиндрических координатах (R, 0, z), направив ось z вдоль оси кольца, а начало поместим в центре кольца. Потенциал поля, очевидно, не зависит от координаты 0, а потому, положив для рассматриваемой точки поля (R, z) 0 = 0, имеем, что потенциал ее
2 л
2л J г
~~	о
2л
q р______________________dtp ________________
2л J j Д2 -р fl2 -р z2 — 2aR cos ф о
Положив
ib = 2а Ц- я и k1 2 — -—--(k2 <С 1),
4	(Д-Нф + г2
получим, что
л 2
<р (Я, Z) = f г	= -2L- Л (k),
уaR J j 1 —ft2 sin2 а
о
где K(k)—полный эллиптический интеграл первого рода.
На оси кольца (6=0)
<р=	£2 = --^L=-—-^-;Е« = £0 = О
у а2 -|- z2	dz (а2 -f- z2)
(сравните с задачей 1.4).
1.25. Потенциал поля
I Г о dS q | Г sin 0 d@	_
e J г J	" 2e J yra2 4-.r2 — 2ar cos 0
J_(o+r_lo_rl).
1.	Внутри шара (r<a)
Ф = E = 0. ea
2.	Вне шара (r>a)
<p = -g-; E^Er^-^ er	er2
Тот же результат можно получить на основании дифференциального уравнения Лапласа. Поле обладает центральной симметрией, а потому в сферических координатах (см. V в) уравнение (1.24) примет следующий вид:
1 d (r2^ \ =q. _dy =_^L- ю =_______21
г2 dr \ dr J ’dr r2 ’	r
Вне шара (г>о)
Ф1 — ~	~ + ^2-
Г
Внутри шара (г<а)
<р2 —	Ь ©4.
Г
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий ф1 = д>2 и Dn^ — =4ло на границе шара г—а, а также из условия фоо=0 (С2=0) и требования конечности <р(Сз=О).
1.26.	Если ось г направить по оси цилиндра, а ее середину принять за начало координат, то потенциал поля на оси, создаваемого элементарным кольцом шириною dt, (см. задачу 1.24), равен
,	2ласг dg
Ф= /а2 + (г-£)2’
а потому
4g
/^ + (г-£)2
2ЯЙО1П
(2г — Н) + /4с2 + (2г — И)2
1.27.	Потенциал поля
г'2 dr' sin 0 d©
]/~г2 -|- г'2 — 2rr' cos 0
1. Вне шара (г>«)
2. Внутри шара (г<а)
3g qr2
2а	2а3
Е =
Тот же результат можно получить решением дифференциального уравнения Пуассона (1.23) (см. задачу 1.52).
1.28. Потенциал поля
-1-1 оо ——о
ф _ С pdV _ 2е Г Г е ° cos ©	_
r •-	r °8 о J j/г2 -|- r? — 2rrt cos ©
—1 о ’	11	1
°°	2r<
-----fri(r + ri —|r —filMne =
a3r J
о
-------J 1 2r?e a dt\ + 2r \ rLe a dr Л -err v J	J	J
0	r
Отсюда напряженность поля
что согласуется с результатом, полученным в задаче 1.3.
Тот же результат можно получить, решая уравнение Пуассона в сферической системе координад.
1.29.	В любой плоскости, проходящей через дипольный момент, в полярных координатах (полярная ось направлена вдоль дипольного момента)
Er = ~	= - — cos©;	—sin©.
dr г3	г дв г3
Абсолютная величина напряженности поля
Е =	~- V 1 + 3cos2©.
1.30.	Из решения предыдущей задачи следует, что силовые линии лежат в плоскостях, проходящих через дипольный момент. В полярных координатах (г, 0), построенных на этих плоскостях, силовые линии определяются дифференциальным уравнением
dr __ rd&
Подставив Ег и Ее, вычисленные в предыдущей задаче, получим
dr   2 cos 0 d&   g s'n ®
г sin 0	sin 0
Интегрируя, находим
г = С sin2 0.
1.31.	Элемент поверхности двойного слоя создает поле, потенциал которого
dtp =	= — dS = + xdQ,
т г3 г3	~
где d£>— телесный угол, под которым виден элемент поверхности dS из рассматриваемой точки поля. Знак (±) совпадает со знаком заряда видимой стороны элемента поверхности. Потенциал всего двойного слоя
Ф = С (± т с/й).
1.32.	На основании результата предыдущей задачи
,	I г I
Ф — + 2лт ( 1---------- г± —
У а3 + г2
Ось z совпадает с осью диска.
1.33.	Проведем ось z цилиндрической системы координат через заряды, а начало поместим посередине между ними. Потенциал поля
где
Ф = -^--------£-
e/j	ег2
П = V (г ~ су + /?5; г2 (г + ау + /?2.
Введем переменные
Е 2-р й	Z — &	,л.
6 = —!— ; и =-------.	(*
R 1 R	у ‘
Тогда
= 7?] н?; г2 = Я/Г+12, и мы получим
£ _	я	J__21_________%	1
2 ЕЯ2 1( 1 + ^72	(1+£2)3/4 ’
£ _	Я	I	1__________1	2
е/?3 I (1 н-т|2)3/2	(1+£2)3/М ’
Ее = 0.
Подстановка в дифференциальное уравнение (16) дает
dz =tl(l + gg)7»_g(l 4-т]2)3/»
dfl (1 + «)72_{i + t)2)72 •
Из уравнений (*)
„ _ п Е + Л . р 2а
Е-т) Е —Л
Дифференцируя, находим, что
dz  gdi] — T]dg
dR	dr] — dg
Итак, в переменных (g, tj) дифференциальное урав нение силовых линий имеет вид
} / 1 + g2 у.
dr]	\ 1 4- т)2 /
Отсюда
dg = / 1 + g2 V/.
dl] \ 1 + ц2 /
Интегрируя, находим
Е	Л
V i + g2	Г1 + и2 '
Это и есть искомое уравнение силовых линий, которое в переменных (z, R) принимает вид
____г + с	г — а
У (г + a)*+R*	/(z-df+R* ~
1.34.	В случае одноименных зарядов (см. решение предыдущей задачи) уравнение силовых линий имеет вид-
z + a____j_____z —а _
/ (г+а)2 +/?2 + yr(z-af + R^
1.35.	При переносе начала из точки О в точку О' радиус-вектор заряда qk относительно нового начала
r'k = rk + 0'0,
а потому дипольный момент системы (см. 1.29)
р'=S^==S^=p-
k	k
1.36.	Ось симметрии примем за ось z цилиндрической системы координат и угол © будем отсчитывать от оси х, тогда (см. уравнение 1.30)
2Л
cos © sin © d©
= 0;
Qxz = J J P (#, 2) dR dz J cos 0 d® = 0; о
Qvz = J J p (R, z) zR2 dR dz J sin © d® = 0; о
QzZ
cos2 0-— (z2 4- R2) \ RdRd®dz~
3	J
^ — —Q.
<?w=р «• 4 е-
— (z2 4- R")) R dR d0 dz = 3	J
-TQ'
1.37. На основании (1.28) и результатов предыдущей задачи потенциал
= JL_<L(3cos20 — 1),
4 г3
где 0 — полярный угол, отсчитываемый от оси симметрии Z.
1.38. Для аксиально-симметричного линейного распределения зарядов па основании результата, полученного в задаче 1.36, имеем
о33=q = - 4- X <rr2 = - 4 q -ь'^ о	о
k
Qn=Q^ = ~-^Q = ^q^~ fe2).
2	6
1.39. Квадрупольный момент (см. решение задачи
1.36)
a b У\ — гг)&
f С	(2za — R^RdRdz.
3	J
—a 0
Пределы интегрирования вытекают из уравнения эллипсоида
с2 62
Производя интегрирование, получаем
q = -4аЬ2 (°2- *2) р=4 <fi2 “ b^q-
45	15
1.40.	Напряженность поля
£^Ег = 0; Ех
а(х> 0), (х<0).
— а
Отсюда
р= — divE = 0 (хфО). 4л,
Плоскость х=0 заряжена с поверхностной плотностью
4л	2л
1.41.	Напряженность поля
Е^ЕК-
дср dR
К
Вычисляя div Е в цилиндрических координатах (см. Ill б), получим
1 j- с
р =------div Е =
4Л
0	(£>/?о),
т. е. поле создается зарядами равномерно распределенными (р = const) по объему бесконечно длинного цилиндра радиуса Ro.
1.42.	Напряженность поля
Е = ЕГ
дф дг
Г1
(г<п).
о
Вычисляя div Е в сферических координатах (см. Шв), находим, что объемная плотность зарядов
р = —?—div Е = 0 (гфа).
4л
На поверхности сферы г=а поверхностная плотность зарядов
0 = -L(E<"-£»') =-L
4л	' 4ла®
Следовательно, заданное поле создается зарядом q, равномерно распределенным по поверхности сферы радиуса а.
1.43.	Напряженность поля
-у (г>«),
Г2
-угС(г<а).
а3
Объемная плотность зарядов
о (г>а),
p=4?divE -----------—	(г<а).
4л	4	'	'
— ла3
3
Итак, заданное поле создается зарядом q, равномерно распределенным по объему шара радиуса а.
1.44.	На основании уравнения Пуассона (1.23) в сферических координатах (см. Vb). объемная плотность зарядов
4л	4лг2 dr \ dr ) ЬпсРг
1.45.	Потенциал этого поля (см. решение задачи 1.23)
<р = — 2% In R,
где R= V (х—хи)2 + (у—Уо)2— расстояние от заряженной нити, которая пересекает перпендикулярную к ней плоскость z=0 в точке (х0, уо). InR есть вещественная часть комплексной функции
1п [(% — х0) 4- i(y — y0)],
а потому комплексный потенциал
f(x + iy) = — 2% In [(х -ф iy) — (х0 + iz/0)l =
= In [(x + iy) — (х0 4- it/o)]-2z.
Чтобы найти уравнение силовых линий, нужно найти мнимую часть комплексного потенциала (см. (1.31)). Положив
In [(х + iy) — (х0 + i«/0)]-2x = <р (х, у) + гф (х, у), находим, что
==e-i/C0S_2L_l-sinJL> =
\ 2х	2Х/
= (X — x0) + i(y — у0).
Отсюда
t JL =	а—;
Ь 2%	х —х0
а потому уравнения силовых линий имеют следующий вид:
у—у-°- — const; г = const, х—х0
1.46. Потенциал этого поля (см. решение задачи 1.23)
Ф = — 2х In (RiRz), где (рис. 22)
Я1 = /(х + а)2 + Га; 7?2 = /(х-о)2 + ^.
1
л	*
-а О а х
Рис. 22
Эта функция есть вещественная часть функции комплексной переменной (см. решение предыдущей задачи)
2
f {х -ф iy) == In f] [(х -ф- iy) — (xft + i%)]-24
Л=1
где
л-1 = — а\ л'2 — а\ //л = £/2 = О,
а потому
f (х + iy) = — 2Х In (x2 — я2 — if 4- 2ixy) =
= ф(*> fO + nH*. У)-
Отсюда силовые линии определяются уравнениями
Ip =------------—---= const; z = const.
е 2Х	л-2--У2-а2
1.47. Потенциал этого поля (см. решение задачи 1.23)
Ф = 2%1п-^-,
Л2
где	____________ ____________________
Ri = I (х + а)2 + if- fb = V(x~a)2 + у2.
Уравнение эквипотенциальной поверхности
(>' + о)2 + у2 .
е х =	1	= const
(л- — а)2 + у2 можно записать в виде
(х — a cth -5-Y 4- у2 = [-------Y .
V	*'	.h-*-
\ 2x )
Это уравнение поверхности круглого цилиндра, радиус которого
и ось которого параллельна оси z и пересекает плоскость ху в точке с координатами
Л'п = a cth —- ; у0 = 0.
Потенциал ф является вещественной частью функции комплексной переменной (см. решение задачи 1.45) f (х 4- iy) = In Г +iy) ~~ j*1	- Г* = ф (л-, у) 4- йр(х, у),
L (-*' + 'И — (л'2 + iyd J

где	-----------
A'i = — а; х2 = а; уу = у2 = 0.
Силовые линии определяются уравнениями
tg ib =----—------= const; г — const.
а л-2 + ^ —а2
1.48.	На основании уравнений Коши—Римана (1.31)
Е dl = —dy--------dx = di|).
п дх J ду
Отсюда вытекает требуемое.
1.49.	Из уравнения
<Р (х, z/) + iip (х, у) = /х + iy
находим, что
q>2 — -ф2 = х; 2<ptp = у,
или
Положив ф=С, получим уравнение эквипотенциальных поверхностей (линий), а именно
^=4С2(С2 —х).
Значению <р —0 соответствует полуплоскость z/=0; х<0. Рассматриваемое поле, таким образом, может быть создано указанной заряженной полуплоскостью.
1.50.	Простейшим аксиально-симметричным решением уравнения Лапласа есть 1пЕ, а потому будем искать решение в виде
<И=С| (Я О), ф2 = С21пТ? (7?>я).
Если удастся найти постоянные Ci и С2, удовлетворяющие (при 7? = а) граничным условиям
= ф2 и ---------~= 4жт,
п	дц dR
то это будет единственное решение задачи.
Из граничных условий находим, что
С1 = —2%1па; С2 = —2%,
где х=2лаа — заряд, отнесенный к единице длины цилиндра. Отсюда напряженность поля
О

2% Л’
(Я < а), (R > а).
1.51.	Направим ось х перпендикулярно слою, а начало поместим на средней плоскости. Тогда ф = ф(х) и уравнение Пуассона (1.23) примет вид
d2tp  	4лр
dx2	е
Интегрируя, находим:
1) внутри слоя (|Л'[ <а)
= _ х + С1! ф1 =-----------2^Ех2 + с1Л:4-С2.
dx	е	е
Не уменьшая общности, можно положить С2=0.
Из того, что х = 0 есть плоскость симметрии, следует, что при х = 0 Еж=0, а потому Ci = 0;
2) вне слоя
а)	при х>а
= С3; ф2 = С3х 4 С4;
dx
б)	при х< а
— С5; ф3 — СБх + Се. dx
Постоянные ките! рирования находим из граничных условий:
ф4 = Ф2 и Dx} =	(при х = а),
Ф1 = ф3 и Dx} = М2)	(при х = — а).
Отсюда
С3 = —4лр«; С6 = 4лро; С4 = С6 = 2лра2[ 2--—\
Итак, внутри слоя
= 2л^л.2 £	£	£	0,
е	е v
а вне слоя
Ф = — 4л.ра | х | 4- 2пра2 [2------—'j; Е.
\х = 4л ра
1.52. Потенциал рассматриваемого поля обладает сферической симметрией, т. е. ф=ф(г), а потому уравнение Пуассона (1.23) принимает вид
1 d dtp г2 dr I dr
4лр
Интегрированием находим:
1) внутри шара (г<а)
r2 d<p __р_	. с
dr 3 е
если г = 0, то Ег —-—• = 0, а потому С, = 0 и
2л р 2 I £ •
3 еГ+Сг’
2) вне шара (г>а)
Постоянные интегрирования С2 и Сз определяются граничными условиями ф1=ф2 и =D^ (при г—а).
Отсюда
Итак, внутри шара (г<а)
а вне шара (г>«)
1.53, Поле обладает аксиальной симметрией, т. е. Ф=ф(₽), а потому в цилиндрических координатах уравнение Пуассона принимает вид
4Л р е
Отсюда находим, что
1) внутри цилиндра
7?	=.—-^#2
dR ’ е
На оси цилиндра (7? = 0) напряженность поля Ед = 0, а потому С1=0. Отсюда
Ф. = ~ -Яр- Д2 + С2, е
2) вне цилиндра (7?>п)
Фа = С3 In R Ц- С4.
Не уменьшая общности, можно положить С4=0.
Постоянные интегрирования С2 и С3 можно определить из граничных условий:
С3 = — 2л«2р = — 2у; С2 — — % (2 In а--------—
\ * е
Итак, внутри цилиндра (7?<п)
Фг = —7^2 —х<21п« ——Y £ = £* = —Я, е	\	е /	е
а вне цилиндра (/?>я)
Ф2 =- — 2% In /?; Е = Ег< =	,
где х=я а2Р — линейная плотность зарядов.
1.54. Для этого достаточно показать, что ф(Д, z) удовлетворяет уравнению Лапласа (см. (1.24) и (V6))
1 д
R OR
р + J5L - о
dR J dz2
Это следует из того, что
д<р dR
2л
J sin а-Ф' (z+iR sin a) da — b
2л
О
2л — С 2л J о
Ф' (z + iR sin a) d cos a =
cos2 а • Ф" (z iR sin a) da.
1.55. Для этого достаточно показать, что решение уравнения Лапласа <р = — удовлетворяет нужным граничным условиям во всем пространстве вне шара.
Из теоремы Остроградского—Гаусса (1.9) находим, что
1 +е
На основании (XIXa) поверхностная плотность за
рядов
В03ДУЖ)’
(.+1)2,0. (В *“В|"
§ 4. Емкостные коэффициенты. Конденсаторы. Теорема взаимности Грина
1.56.	Напряженность поля
<7 г
ег2 г
О
(г>а),
(г<а).
5В*
Отсюда следует, что потенциал
—+ С3 (г>Ь), Г
JL + c2 ег
С1 (г<а).
Постоянные могут быть определены из требования непрерывности потенциала на границах г = а и г=6 и условия <роо=0. Отсюда емкость
1.57.	Методом, изложенным в решении задачи 1.55, находим, что потенциал шара
(81 + е2) а]
Отсюда емкость
С —	= — (£1 -f- е2) а.
<р 2
1.58.	Напряженность поля между обкладками
Отсюда разность потенциалов
Кг
1ф,-Ф, = ' E^dR -MhM + ТТГ)-J	‘	\ 8i Ai е2 а0 /
Kt
а емкость
С =-----1---=--------------------.
ф1 — ф2 2 jn । 2 Кг
Ci Ri е2
1.59.	Ось х направим по нормали к поверхности обкладок. Между обкладками конденсатора напряженность поля
а потому
Еу=--Ег = О,
4тгсг0 х =
1.60.	На основании результата, полученного в задаче 1.57, емкость
xi _ 61 ~Г Сг / 1_1_\ '
~	2 a b )
1.61.	Применим теорему взаимности Грина к системе проводящий шар — точка Р.
1.	Если шар заземлен, а в точке Р имеется заряд q, то
<71 = <7»нд; <Р1 = 0; <?2 = q-
2.	Если шар изолирован и несет на себе заряд q', а в точке Р заряда нет, то
ф = <?';	= -у-; % = °; % = у--
Подстановка этих значений в (1.22) дает, что
^ннд ~	q ~у~ •
1.62. Аналогично предыдущему, принимая во внимание (см. задачу 1.56), что
находим
__	eab
?1шд	Q ць еа — ау
1.63. Обозначим через q\ и q?_ искомые индуцированные заряды и через <рГ, <р/ и ф' —потенциалы соответственно обкладок и точки нахождения заряда q в том случае, когда обкладки не заземлены, заряда q нет и внутренняя обкладка несет заряд q'.
На основании теоремы взаимности Грина (1.22)
<71+ <72% + ОТ' = 0.
Принимая во внимание (см. решение задачи 1.17), что
<71 + <7а + <7 = 0> получаем
<71 = ~<7
% —<Р2 .
<Pl <₽2
ф! -ф'
<?2 = — Я~7-------7
Ф1 Фг
Подставляя сюда известные (см. решение .1.25) потенциалы
задачи
’ ч' • Ч' г
мы получим окончательный результат
_	a b—г	b г —а
<7i = —<7 —-т-J <7г = —9—т--•
г b— а	г b — а
1.64.	Для однородного поля между обкладками плоского конденсатора (см. |решения задач 1.59 и 1.63)
ф'—ф'= 4л<та; Ф1--Фг = 4гаи7; ф^ —ф' = 4ло(й — а),
и мы получаем, что
a	d — а
<71---------<7	<7г —	<7 —~
d	d
1.65.	Если расстояние между шарами очень велико, по сравнению с их радиусом, то можно принять, что потенциальные коэффициенты (см. 1.23 а)
1 г
а
$ki —
(k = Z).
Если заземлить первый шар, то на нем останется заряд 71, определенный уравнением
а г
Отсюда
Ча
9i =----------q.
г
Если заземлить второй шар, то его заряд <72 определится из уравнения
И, наконец, если заземлить третий шар, то его заряд <73 определится из уравнения
1.66.	При соединении первого шара со вторым их потенциалы имеют соответственно следующие значения (см. решение предыдущей задачи):
ф,_2£ + л.
1 а г	га
Из того, что ф' = ф2 и q = q\ + q2, находим, что
9а = ^
42	2
При соединении первого шара с третьим имеем
Из того, что ф" = ф3 и 9" + 9з == q[ = 92=~> находим,
что
д
4
9з ~
И, наконец, при соединении первого шара с четвер-
тым имеем
ф1 = JA. + _£2_	। Л.
а г г , '2 г
Ф.= «-+-&=+ «£ + А.
г г у 2га
Из того, что (рх = ф4 и qt 4- qi = q = находим
4
а ^2-!
1	8 \ г~а -/2	/
g4 = ^7i + —
8 \ г~а	И2 /
1.67.	Если в теорему взаимности Грина (1.22) вместо qk и qk подставим (1.19), то получим
£ CMk =	= У
kl	Ы	ы
Отсюда
Cki — ^ik-
Аналогично из, (1.22) и (1.19а) следует
QkSkfli — ^i(]kSklql —	S^q^^
ki	ki	"
Отсюда
$ki= $ik-
1.68.	На основании (1.19) с учетом того, что C|2 = C2i (см. решение предыдущей задачи)
Q ~ СпЧЧ + С12ф2; — q =	+ С22ф2.
Отсюда
Ф1 = С12 + С^	------Сн + Сц
С С С2 ’ Г2 r r r2 ь12	^11^22 — ь J2
и емкость конденсатора
q __q  СцС22 — С,2
ф1 • фа Сц + 2Cij + С2г
1.69.	Если предположить, что заряд единицы длины каждого провода +х и —%, то емкость единицы длины
С=------—.
<Р1 — <Рз
Ввиду того, что D~^>a, можно принять
<Р = —2х 1п /?! + 2% 1п /?2,
где /?1 и Т?2 — расстояния рассматриваемой точки поля от оси соответственно первого (+%) и второго (—х) проводов. Отсюда
= — 2х In а + 2х In (D — а) ~ 2х In —, а
<р2 — — 2х In (D — а) + 2х In а^~ 2х In—.
а
Подстановка в исходную формулу дает
C=/4In —V.
V a J
1.70.	Поверхности заряженных цилиндров эквипотенциальные. Такими цилиндрическими эквипотенциальными поверхностями характеризуется поле, создаваемое двумя параллельными нитями, заряженными с линейной плотностью +х и —х и находящимися на расстоянии 2й друг от друга. Отсюда (см. задачу 1.47)
D = a cth - — cth —
2% 2х
Воспользуемся тождеством
ch (<рх — ф2) = ~1 sh <pj I • | sh <p21 X
+ I cth <pr — cth <p212 + —-— + —1—1
~	sh2 ф! sh2 <p.J’
где верхний знак соответствует тому, что (pi и ср2 противоположных знаков, т. е. цилиндры расположены
один вне другого (D>Ri+R2), а нижний знак, когда <pi и ф2 одного знака, т. е. один цилиндр находится внутри другого. Отсюда
2х “	27?!^
и искомая емкость
<Р1 — <₽2
Для указанного предельного случая
2 arch —— 2п2
что совпадает с результатом, полученным в предыдущей задаче.
1.71.	На основании результатов предыдущей задачи, положив D = 0, находим, что искомая емкость
что совпадает с результатом, полученным в задаче 1.58.
1.72.	Проводящую плоскость можно рассматривать как цилиндрическую поверхность бесконечно большого радиуса, а потому можно воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.70; положив
Ri — R; D — R% -]- a] R-i —> oo,
мы получим
о
a
2 arch— R
§ 5. Энергия силы взаимодействия. Максвелловский тензор натяжений
1.73.	На основании (1.18) с учетом результата задачи 1.25 энергия шара
Тот же результат можно получить по формуле
W = — С sE2dV = — f &E2r2dr.
8л J	2 J
1.74.	Потенциалы шаров определяются приближенно уравнениями
Ф1 = -^- + -^; Фа=-^ + -^, ar	г b
а потому на основании (1.18) их энергия
(9	2 \
а г b J
1.75.	На основании (1.17) с учетом результата, полученного в задаче 1.19, энергия шара
W = — С eEW = — С nE2r2dr =
8л J	2 J
Тот же результат можно получить по формуле
1.76.	Искомая энергия
р>2
W7 = ^ядра фобл (0) =	~.
где ф<>бл (0) —потенциал электронного облака в ядре.
Как вычислено в задаче 1.28, 2г
/ \ Л 1 f 1 \ о
Фобл(г) = е^— + — )е	---
Отсюда
«Гобл (0) = 1пп<робл (/-) = — — . г->о	а
1.77.	Энергия заряженного конденсатора (см. решение задачи 1.58)
W = -^~ =	1п-^-+ —ln-^-Y
2С I \ Ci Ri 62 Rq J
Тот же результат можно получить, вычислив энергию поля по формуле
W = — С eE2dV = — Г ef2W-
8л J	4 J
Hi
1.78.	Энергия плоского конденсатора (см. решение задачи 1.59)
1.79.	Заряженный плоский конденсатор обладает энергией
1^ = -^- = -1-С(Дф)-2,
где емкость конденсатора (см. решение задачи 1.59)
4nd
После удаления стеклянной пластинки емкость конденсатора уменьшится в е раз при постоянном заряде, а потому энергия конденсатора увеличится в е раз
R72 = elFi.
Искомая работа
Л = Ц7г-Ц71-(е1-1)Г1,
1.80.	Если в воздушный плоский конденсатор, обкладки которого имеют ширину а, ввести диэлектрик на высоту х, то емкость конденсатора увеличится на
ДС = (е~ 1)д-у
4n.d
Энергия конденсатора при этом увеличится на
ДГ = ДС  (Д<р)2 = (е"1)а ^(р)2 х.
2 v	8itd
Отсюда на основании (1.386) сила, с которой диэлектрик втягивается в конденсатор, равна
F = (= J8"1)0 (Дф)2.
\ дх J дф 8nd
Эта сила уравновешивается весом диэлектрика, а потому искомая высота
h= е -1 (Л«р)2 8л4а 6
где б — удельный вес диэлектрика.
1.81.	Воспользовавшись решением предыдущей задачи, находим
4л(^-^)	Ri
е = 1 Ч-------------- пб In ——•
(ДФ)2	Ri
1.82.	В плоском конденсаторе имеется однородное поле, напряженность которого
Е — 4 по = 4л —.
S
Затраченная работа равна энергии этого поля в объеме металлической пластины
А = — • Sd = 8л	S
1.83.	Искомая работа
A = ri-f-IF2 — Г,
где Wi — CtUl; IF2 = C2Ul — энергии данных кон-
1	(7^
денсаторов, a W = —CU2, —	----энергия их соединения.
1.	При параллельном соединении
Q = Qi + ?2 = CjUi -f- С = CL С2;
тогда
CtC2 2(C|+C2)
(Ui-Utf.
2.	При последовательном соединении
C/ = t714-t72; С =
CjCj
Q + с2
следовательно,
л _ (С/4 -ЗД* 2(С! + С2)
1.84.	Работа
А = фрх и Ла = <7<ра, где (см. решение задачи 1.24) потенциал поля в центре колец
_ 41	|	?2	.	„ .	41 I ?2
—--------- ~т~ ~ •:— •	, wo -— —	1—— _
а у а2 + Л2	'К а2 + Л2 а
Отсюда
__ / Л1 А2	\ а2 (а2 + h2)
\ а	[Аа2-[- h2 / qh2	’
й, = ( — — A1	+
\ а а2 -\-Нг ) qh2
1.85.	Заряды проводников определяются приближенно уравнениями
^=^ + ^5	ф2=.^_+^_.
Ci г	г С..
Отсюда сила взаимодействия
р = 414г.  С1С2р<Р1 —С2<ра) (г<ра —Ctqi!) г2	(г2 — С&)2
1.86.	Обозначим моменты диполей через pi и р2, а вектор, идущий от центра первого диполя к центру второго, — через 1’12. Энергия взаимодействия диполей (см. (1-34))
IJ71,2 = - р2 Е12>
где Е12 — напряженность поля, создаваемого первым диполем в месте нахождения второго:
Е12 = --V2(P12
(индекс 2 при операторе V указывает на то, что дифференцирование производится по координатам второго диполя), а
Подстановка дает
т __ Р1 Рг_____3 (рх r12) (р2 Ft;)
12 г3	г5
f12	Л12
Искомая работа равна энергии, которой обладают параллельные диполи, т. е.
А = W12 =	(1—3 cos2 0),
где 0 — угол между направлением диполей и прямой, соединяющей их центры.
1.87.	На основании (1.37) сила, действующая на левую обкладку конденсатора (рис. 23),
г. Е 2по2 S = Ли=-------------,
81
7	$2

Рис. 23
а на правую обкладку действует сила
г л 2па2 S
F2 = — г2%--------------
«2
где Е1 и Ег — значения диэлектрической проницаемости соответственно у левой и правой обкладок.
1.88.	Искомая сила направлена перпендикулярно плоскости разреза. Интегрируя проекцию поверхностной плотности силы (1.37) на это направление по полусфеое. находим
F ~ f f cos®dS = 2л2о2а2 = ——, J	8«2
1.89.	На основании (1.39) и (1.40)
Fx = ф |е ----------cos	cos <”> +
+ eE^zCos^i, z)| dS = ф{е£ж(Еп) —
----E2n\dS, 2 AJ
или в векторной форме
F=Ф {еЕ (En) ~	&n}ds-
1.90.	На основании результата, полученного в предыдущей задаче, и пренебрегая краевым эффектом, можно искомый главный вектор представить в виде
где
Fi =	f {£1E1 (Е1П1) “ 'Т П1)1dS'
f2 = 4- U <Е2 п^~ dS’
4л J (	2	)
s,
Sj —поверхность левой обкладки конденсатора, и все величины, обозначенные индексом (1), относятся к ле
вой поверхности диэлектрика, a S2 — поверхность правой обкладки конденсатора, и все величины, обозначенные индексом (2), относятся к правой поверхности диэлектрика.
Принимая во внимание, что п( имеет направление отрицательной оси х (см. рис. 23), а п2 — положительной оси х и что
4ла
----Пь
е
.. 4ло
£2 — ------ 1^2,
82
получим
,	г, 2ла2 S
1= ~ Еи =---------
81
, г, 2ла2 S
2 = Г2х = --------
е2
Таким образом, главный вектор всех сил, действующих как на обкладки конденсатора, так и на диэлектрик между ними, равен нулю (см. решение задачи 1.87).
1.91.	Рассмотрим плоскость, проходящую через середину отрезка, соединяющего оба заряда, перпендикулярно к нему.
Сила, действующая на заряд q\ со стороны заряда <?2, равна главному вектору максвелловских натяжений, приложенных справа к этой бесконечной плоскости, а именно (рис. 24)
F = — fe/Ef — — E2}dS. 4л J \	2 J
Приняв во внимание, что
41 ~ ?2
Е2 = Е2\ + El — 2ЕгЕ2 cos 2а =
(?1 + ч1) (R2 + .	+ 2?i <726Е2 —
______\/__________\____J
( Г2 \3
е2( Е2+ — ]
получим
Аналогично можно показать, что
Ftl =^FZ = — f е£XEV dS = —— f eExEz dS - 0.
11	4л J * y 4л J x
1.92.	Энергия единицы длины одной нити в поле другой
1Р = ХФ.
где потенциал поля, создаваемого второй нитью в месте нахождения первой (см. решение задачи 1.9), равен
2х1п °
(р — —-----,
е
а потому
W = ?£_ In а. е
Отсюда сила, действующая на единицу длины нити,
„ 5Г . 2%2
г =--------=---------.
да ~ еа
1.93.	Рассмотрим плоскость, проходящую через середину отрезка, соединяющего данные нити, перпендику-138
Лярно к нему, 1. е. параллельно нитям (рис. 25). На единицу длины (вдоль нитей) этой плоскости приходится сила
Fx.	~ J j‘ е — -L dydz.
О —оо
1.94.	Когда оба диполя лежит в одной плоскости, то энергию их взаимодействия, вычисленную в задаче 1.86, можно записать в виде (рис. 26)
1К12 = {COS (02 — ®i) — 3 COS0J cos02}.
Главный вектор сил, действующих на второй диполь,
F = -	{cos (0Х - 0.J - 3cos 0! cos 02},
or	г4
а момент сил, действующих на этот диполь,
/V = — ^-12- = {sin (02 — 0J - 3 cos0t sin ©2}.
5©2	/-3	1	'	"
1.95.	Как было показано (см. решение задачи 1.70), поле, создаваемое заряженными цилиндрами, эквива-
Лентно полю, создаваемому двумя параллельными нитями, лежащими в одной плоскости с осями этих цилиндров на расстоянии 2а друг от друга и заряженных с той же линейной плотностью +% й %, где
R =------------; D = 2а cth
, Ф	2%
sh-----
2%
(<р—-потенциал положительно заряженного цилиндра). Отсюда
D О I, <Р К ч i'D2 — 4R2
— 2сп -х—; sn	——
R	2% ’	2/	2R
а потому
а = /? sh — FL»2 —47?2. 2х 2
Сила взаимодействия (на единицу длины) (см. решение задачи 1.93)
2Х2 _	2/2
2а yD2 — 4R2"
§ 6. Метод электрических изображений
1.96. Выберем проводящую плоскость за координатную плоскость yz и направим ось х через заряд q.
В левом полупространстве (х<0) нет зарядов, а потому потенциал поля удовлетворяет уравнению Лапласа (1.23а). На границе левого полупространства (на про-
водящей плоскости и на бесконечности) потенциал равен нулю.' Единственным решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим этим граничным условиям, есть <р = 0, а потому и Е—0 (х<0).,
В правом полупространстве (х>0) распределение зарядов и граничные условия такие же, как и в том случае, когда поле создается в вакууме (в отсутствие проводящей плоскости) двумя точечными зарядами: данным зарядом q в точке (а, 0, 0) и зарядом —q в точке (—а, 0, 0), т. е. его изображением, а потому
= -----------<-
ri Гъ
(Х>О)
где
ri = V(x — а)2 4- if + z2 ; г, = /(л- + а)2 + у2 + z2
есть соответственно расстояния рассматриваемой точки поля (х, у, z) от данного заряда q и его зеркального изображения (—q) (рис. 27).
Зная потенциал, можно вычислить напряженность поля по формуле (1.13). В декартовых координатах имеем:
р	dq q х — a q х а
г2 Г1	Г2
£ _	_ Я У_________У____У_
дУ	г2 Г1	rj г2
£ _ _	_ <7 z q _z_
dz	г2 t\	r2 •
1/97. На основании (XIXa) плотность индуцированных зарядов на проводящей плоскости (х=0)
О = -4-(£’х)-М2))х=0,
где (см. решение предыдущей задачи)
£0) = _ 2^ ; £(? = 0.
г3
Расстояние от рассматриваемой точки проводящей плоскости до заряда q равно г= К о2+-/?2; R — расстояние ее от начала координат. Отсюда
а = -------------1
2л (а2 + £2) /г
Заряд, индуцированный на элементе поверхности dS,
adS == —
У
2л
q dS д.
—-------COS 0 =
2л г2
J~dQ, 2л
где г/Q — телесный угол, под которым элемент поверхности dS виден из заряда q. Весь индуцированный заряд
г/П = —q.
Рис. 28
1.98. Искомая сила равна силе притяжения данного диполя к своему зеркальному изображению.
На основании результата задачи 1.86
<)\У __ Зр2
да 8ai
1.99. Примем проводящие полуплоскости за координатные плоскости xz и yz (рис. 28) . В первом квадранте, где находится заряд q, поле таково, как будто оно создается не только данным зарядом q, но и его изображениями (—q) и изображением изображений (+<?):
<Р = -------1----+	(х>0; </>0),
Г1 Г2 Гз г4
где И,2,3,4—расстояния рассматриваемой точки поля от заряда q н его изображений.
Зная потенциал, можно вычислить напряженность поля. В остальном пространстве <р=0.
1.100.	На полуплоскости х=0 плотность индуцированных зарядов
а£ =-----.
4л у дх /л-=о
На полуплоскости у=0 плотность индуцированных зарядов
аг = —.
4л у ду
На основании результатов предыдущей задачи находим
tzn / 1	1 \	aq / 1	1 \
(Jj =----ч— /----------|; О2 =------— /------------
2я \ Я? /	2я \ ^3	/
где Т?1,2,з,4 — расстояния от рассматриваемой точки поверхности до заряда и его изображений.
Полный заряд, индуцированный на каждой из полуплоскостей,
4-00 DO
9инд — ?инд — j" dy dz =
—оо О
-f-oo со
j ст2 dx dz =----------------------|-.
— оо О
1.101.	Поле между проводящими полуплоскостями таково, как будто оно создается помимо данного заряда q еще и пятью его «изображениями», которые совместно с данным зарядом расположены в вершинах правильного шестиугольника, лежащего в плоскости, перпендикулярной к ребру, и центр которого лежит на ребре (рис. 29). Потенциал поля (между плоскостями)
-----+ ----------£_ + Л	2Ц г2 г3 , Г4 ГЪ	Г в
где и,2,з,4,5,е — расстояния от рассматриваемой точки поля до данного заряда q и его изображений.
Во всем остальном пространстве потенциал поля
<р = 0.
Зная потенциал, можно вычислить напряженность поля.
1.102.	Плотность индуцированных на полуплоскости у = 0 (см. рис. 29) зарядов
О =	.
4л у ду J y—tj
Воспользовавшись значением потенциала ср, полученным в предыдущей задаче, находим
Рис. 29
где Я1,2,з — расстояния произвольной точки полуплоскости (7=0) от зарядов.
1.103.	Заряд 71 притягивает пластину с такою же силой, как и свое «изображение», т. е.
Аналогично, сила притяжения ко второму заряду
(l — d)2
Результирующая сила
Р = ^-Р2.
1.104.	Применяя метод электрических изображений (см. задачу 1.97), находим потенциал поля
Ф = -2х1п/?! + 2х1п/?2 = 2Х1п (х>0),
ф'= 0	(х<0),
где
7?1 = ]/(х - а)2 + у2 ; /?а = V (х + а)2 + у2
есть расстояния от рассматриваемо»! точки поля до заряженной нити и ее изображения. (Проводящая плоскость принята за координатную плоскость yz, а ось х проведена через заряженную нить.)
1.105.	Поверхностная плотность индуцированных зарядов
На основании результатов предыдущей задачи находим, что
а2 + у2 *
Индуцированный заряд, приходящийся на единицу длины (вдоль заряженной нити Az= l) проводящей плоскости, равен
1	4-00
Хинд= J j Gdydz = — х.
О оо
1.106.	Если проводящие полуплоскости выбрать за координатные плоскости xz и yz, то, применяя метод электрических изображений (см. задачу 1.97), потенциал поля (для х>0 и у>0)
Ч> = — 2х (1п7?! — In /?2 + In Rs — 1п Т?4) = — 2х In R1R^
где
Ri = V(x — а)2 + (у — П)2; Rz = V(х — а)2 + (У + а)2
Rs = У(?+^)2 + (У + a)2- Rt = Г(Г+ а)2+ (У~ «Р
есть расстояния до нити и ее изображений. Во всем остальном пространстве <р = 0.
1.107.	Поверхностная плотность зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, соответственно
равна
Индуцированный заряд, приходящийся на единицу длины (вдоль заряженной нити) Дг=1 каждой проводящей полуплоскости, равен
Хинд = j dy = о	0
1.108.	Потенциал поля вне шара определяется однозначно таким решением уравнения Пуассона (1.23), которое соответствует наличию одного точечного источника q и которое обращается в нуль на поверхности заземленного шара и на бесконечности.
Следуя методу изображений, мы ищем потенциал вне шара в виде (очевидно, что внутри шара <р = 0)
а । я'
<Р = — + —,
Гх Г2
(*)
где q'
—q^------заряд,
индуцированный на сфере
(см.
задачу 1.61), гг — расстояние от рассматриваемой точки поля до данного заряда q (рис. 30); г2 — расстояние до
изображения q', которое из соображений симметрии еле-, дует поместить внутри шара на прямой, соединяющей центр шара с данным зарядом q. Расстояние изображения от центра шара обозначим через /'.
Остается показать, что соответствующим выбором I' можно удовлетворить граничному условию на поверхности шара. Действительно, для любой точки поверхности шара
Г1 = ]/Fr+а2 —2а/cos© ; г2 = У^'2 + а2 — 2а/'cos©.
Подстановка в уравнение (*) дает, что для любого значения 0
___£ _________________________£
q(J2-\-a2— 2а/cos0) 2 — q-^- (/'2-j-а2 — 2аГcos©) 2-
Отсюда
1.109.	Поверхностная плотность индуцированных зарядов
<т =-----.
4л \ дг )г---а
Подставив значение потенциала <р (см. решение предыдущей задачи), получим
о =------q----(/2 —а2).
4лаг^
Весь индуцированный заряд
<7ИНд = ф crdS =----~q.
1.110. Вне шара поле таково, как будто оно создается не только данными зарядами q, но также и их изображениями .(см. решение задачи 1.108) q'=—q-~- , находящимися на расстоянии /'= — по обе стороны от центра шара. Для равновесия сил, приложенных к каж-
дому из данных зарядов, нужно, чтобы
Отсюда
1.111. Если
бы q'=— q2~
бы шар был заземлен, то заряд его был (см. задачу 1.108). Фактически же заряд
шара на Q= (qi + q2~-) больше. Этот заряд создает вне
шара добавочное поле, потенциал которого удовлетворяет уравнению Лапласа и постоянен на поверхности шара. Таким решением будет —, а потому потенциал
искомого поля
ф =	— (г > а),
'1	/2 г
где
гг = г2 + /2 — 2rl cos 0 ; г2 = |/7а 4- /'2 — 2гГ cos 0
есть расстояния рассматриваемой точки поля от заряда
q2 и его изображения q I/ = —j-V
Напряженность поля вне шара определяется уравнениями (внутри шара поля нет)
Ег =----— = (г — I cos 0) —
dr ,з
Е0 = __L ^L = _^/Sin0_ г д® J	? Л
' 1	'2
Еф =------1---= 0.
/- sin 0 chp
1.112. На точечный заряд <?2 действует сила притяжения к шару
р _ &1 ч'1 — al а2
1	(/ —Z')2	(Р—а^42
и сила отталкивания
р <?92 _ 919г , а 2 р р р
Отсюда видно, что на достаточно больших расстояниях (/ > а) па заряд q2 действует сила отталкивания, а на достаточно близких расстояниях (Ь-а) —сила притяжения.
1.113.	Потенциал сферической поверхности и всего пространства вне нее равен нулю, а внутри сферы
9 । 9'
<Р = J-+
Г1 г, где , а
i'i и г2 — расстояния от рассматриваемой точки поля до заряда q и фиктивного заряда q', находящегося на рас-^2
стоянии /' = — от центра сферической поверхности (см.
решение задачи 1.108).
1.114.	Плотность индуцированных зарядов
Подстановка значения потенциала <р (см. предыдущую задачу) дает
q а2 — Р о =------1—  --------
4лГ1 *	°
Отсюда весь индуцированный заряд
<7инд = J °dS = —q.
1.115.	Внутри цилиндра (R<a) поля нет (<p=const), а вне цилиндра поле создается данной заряженной
нитью и ее изображением, находящимся на расстоянии I' от оси цилиндра, а потому полагаем
ф2 = — 2% In + 2сх In R2 (R > а),
где
7?! = p^ + R2 — 2/Rcos0; R2 = //,2 + R2 - 2R/'cos 0
есть расстояния от рассматриваемой точки поля до заряженной нити и ее изображения.
Из граничных условий (1.24) при R=a находим
С = 1;	.
I
Напряженность поля (вне цилиндра) определяется уравнениями
д<р2 _ 9 / R — /cos© dR ~~

R -г-1' cos 0
1 = 2у / 1
R д&
-----—\ sin0. $ )
Искомая сила равна силе взаимодействия между данной нитью и ее «изображением» (см. задачу 1.93)
£ _ 2%2 _ *
(/—/')	/2_а2Л'
1.116.	Используя результат предыдущей задачи, получаем, что поверхностная плотность индуцированных зарядов
1	/17 X	%	/3-«3
О =------=-------------------------------.
4 л	2ла Р + а2 — 2а/ cos О
Заряд, индуцированный на единице длины цилиндра,
Хинд = J в dS = a$ a de = — %.
о
1.117.	Аналогично задаче 1.115 положим
<Р1 = —2%lnR1 4-2CxlnR2
фг =
(R < а), (R>n),
где
= 1 AJ2 + /2 — 2RI cos © и R2 = V^ + Z'2— 2/?/'cost)
есть расстояния от рассматриваемой точки поля до данной нити и ее изображения.
Из граничных условий получаем
С = 1;	= С1 = 2Х1п-^-.
Напряженность поля внутри цилиндра определяется формулами
___ <Эфх  2 f	R — Z cos 0	R — Г cos 0 \ R ~ dR ~ Х V?2 + Z2 — 2RI cos 0	№ + Z'2— 2RI’ cos 0/ ’
£е = _х^ =
R <90
I sin 0	I' sin 0
№ + P — 2RI cos ©	Z?2 + Z'2— 2RI' cos 0
Ег =
d<Pi = q dz
Вне цилиндра
E = 0.
1.118.	Поверхностная плотность индуцированных зарядов
4л
Подстановка значения ER, найденного в предыдущей задаче, дает
X_________a2 —Z2
2ла а2 Z2 — 2л Z cos 0
Заряд, индуцированный на единице длины цилиндрической поверхности,
2л
Хинд = J odS = a J crd© = — X-О
1.119.	На каждую из данных нитей действуют силы
2Х2
Z' —Z
и F2
2Х
Z'-pZ ’
направленные от оси цилиндра, и сила
Fs =
направленная к оси, где 1'= — .
Силы уравновешиваются, если
I — ад I 5— 2.
1.120.	Вне шара на внешнее однородное поле накладывается поле, создаваемое незаряженным поляризованным проводящим шаром. Ввиду симметрии шара потенциал последнего поля может зависеть лишь от расстояния от центра шара и направления внешнего поля. Единственным решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим этим условиям и убывающим на бесконечности, является поле диполя. Поэтому ищем потенциал в виде
<Р1 = С	(г<о),
<р2 = — Eor cos 0-)- — cos 0 (г > а).
г2 я
Из граничных условий (1.24) при г=а находим, что С=0 и что дипольный момент шара р = а?Е0. Отсюда поляризуемость шара равна а3.
1.121.	Плотность индуцированных зарядов
= — £’(lcos0.
4л
1.122.	Искомая сила, очевидно, направлена параллельно напряженности однородного поля. Интегрируя по полусфере проекцию поверхностной плотности силы (1.37), находим
31 т
cos 0 dS = 4л2а2 J о2 cos 0 sin 0 d(-).
о
1 / d<p2
4л \ dr
Подставив найденное в предыдущей задаче значение о, получим,что
F = — а2Е%.
16
1.123.	На основании соображений, аналогичных тем, которые изложены в решении задачи 1.120, ищем потенциал искомого поля в виде
<Р1 = — Cr cos 0	(г<а),
ф2 =—E0rcos® + ---cost) (r>a).
Из граничных условий (1.24) при г=а находим напряженность поля С внутри шара и его дипольный момент р:
С = -^-Ео- р = ^±^Е0. е -j- 2	е + 2
Отсюда поляризуемость шара равна -—- а3, е -|- 2
1.124.	Объемная плотность связанных зарядов
р' =—divP = 0 (гфа).
Поверхностная плотность связанных зарядов
о' = — {Е(2} - Е(")г=а = — -^4£0 cos0.
4Л	4Л е + 2
1.125.	Принимая во внимание результаты, полученные в задачах 1.120 и 1.123, потенциал искомого поля ищем в виде
ф| ~ Ci
/а , P1COS0
Ф2 = — C2r cos 0 + —----
г2
п гл . P2COS0
Фз = ~E0rcos& +  2 г2 -
(г<а).
(г>Ь).
Остается показать, что постоянные Сг, С2, Pi и р2 можно выбрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям (1.24) на сферах г=а и г=Ь.
Подстановка приведенных выше выражений для ср,, Ф2 и <рз дает
С1 = 0; С2 = —; Р1 =---------------------Ео,
1	а3	(е-|-2) 53-|-2(е—1) о3
р2 = ь3 h--------}1 £0.
2	1	(е-р2)^+2(е— l)o3J
1.126.	На основании соображений, аналогичных тем, которые изложены в решении задачи 1.120, ищем поле в виде
Ф1 = —С% = — C7?cos@ (£<а),
ф2 — — £o/?cos©+“Cos0 (£>а).
R
Ось х направлена вдоль поля; начало отсчета на оси цилиндра. Из граничных условий (1.24) при R = a однозначно определяются напряженность поля С внутри цилиндра и дипольный момент единицы длины
С = -^—Ео; р = -±-^-а*Ее. е + 1	2 е + 2
1.127.	Объемная плотность связанных зарядов
р' = — divP = 0	(R=£a.)
Поверхностная плотность связанных зарядов
а, =_L/^_ =_L±nl£oCOS©.
4л \ dR dR Jp—а 2л e -|- I
1.128.	На основании соображений, аналогичных изложенным в задаче 1.120, потенциал поля ищем в виде
<р, = С	(JR<a),
ф2 =— £0£cos®+ —^—cos© (£>а).
R
Из граничных условий на поверхности цилиндра (/? = «) находим
С = 0; р = -у о2£0.
1.129.	Поверхностная плотность зарядов, индуциро
ванных на поверхности цилиндра, равна
сг =----= -^-cos0.
4rt \ dR ]R=a 2л
1.130.	Из граничных условий
D? = D™ и Ер = Ер
находим (рис. 31)
tgg = ег tgP е2
и	99/	е?	\
Е| = Ei ( sin2 а + cos2 а ) .
\	eg	/
1.131.	Чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению Пуассона—Лапласа, потенциал искомого поля ищем в виде (рис. 32)
=	(z>0),
1	е1Г 2
<Р2 =	(Z < 0)>
W1
где___________________________________________
= улх24-г/2+(а—а)2 и г2 = / / ф </2 ф (г ф й)2
есть расстояния от рассматриваемой точки поля до реального и фиктивного зарядов q и q'. Подстановка в
граничные условия (1.24) (при 2=0)
^Ф1	^ф2
ср1 = ср2 и ех	= е2 —з—
dz	dz
дает
/ = = q, е1 4* еа	е1 + еа
1.132.	Поверхностная плотность связанных зарядов
,__ 1 / й<р2	<Э<Р1	\	_ 1	ег — е2	уа
4л \ dz	dz	J г=о	2л	eA -|- e2	ер41
Легко убедиться в том, что весь поверхностный за-ряд равен —.
61
1.ГЗЗ. Сила взаимного притяжения между данным зарядом и диэлектриком (см. задачу 1.131)
р = gig'I _ е~ 1 я2 (2а)2 е + 1 4аа
1.134. Сила, действующая на диэлектрик, имеет направление положительной оси z (см. рис. 32), а потому на основании (1.39) и (1.40)
F = Fz = С Tzz dS = С - -1- ЕЛ dS,
где интегрирование распространяется на плоскость 2 = 0.
Потенциал поля в вакууме (см. задачу 1.131)
а потому на поверхности диэлектрика (2 = 0, ri=r2=r)
dx е + 1 г3
Е =_	-	2___q-t,
v dy е +1 г3 J'
р 6<Р1	2е q
z dz	е +1 rs
Подстановка в исходную формулу для силы дает
F =	— f  е2а2^7?2 RdR =
(е+ 1)2J (Я2-}-а2)'2	е+1 4а2
о
(^2=:х2+г/2; г2 = /?2 + а2),
что совпадает с результатом, полученным в предыдущей задаче.
1.135.	Чтобы удовлетворить уравнению Пуассона— Лапласа, потенциал искомого поля ищем в виде
<рх = — SftlnRt — 2Ci%\nR2 — 2С2%1п7? (/?>«),
<р2 = — SCgXlnT^ + Ci	(R<a),
где
Rr = |/р2Ц-/2 —2P/cos© ;
Rt = К/?2+Z'2—27?/'cos©: z' = y-
есть расстояния рассматриваемой точки поля от реальной и фиктивной нитей. Остается показать, что соответствующим выбором постоянных Сь С2, Cs и С4 можно удовлетворить граничным условиям (1.24) на поверхности R = a.
Подстановка значений <pi и ср2 дает
е — 1 .	е — 1	_	2	.
е-р 1 ’	3“ е+ 1 ’
C2 —
C4=--2%^-Un/. e+ 1
Нить притягивается к цилиндру с силой f =2 е~!. х— е+1 1 — 1' и отталкивается от него с силой
F2 = 2^^~ — . е+1 I
Результирующая сила притяжения
F = Л-Р2 = 2	^Цг-Х2-
E + 1 Z (/2 — й2)
a2
1.136.	Потенциал искомого поля внутри и вне цилиндра ищем соответственно в виде
Ф1 = — (— 2xlnT?, — 2C!%ln/?2) (R<a),
Е
q>2 = — 2C2xlnRt —2С3%1пЯЧ-С4 (7?>а), где
Ri = V R2 + Р — 2RI cos 0;
/?2 = УIV+ 1'2 — 2fl/'cos0; Г = ~
есть расстояния рассматриваемой точки поля от реальной и фиктивной'нитей.
Остается показать, что соответствующим выбором постоянных Ci, С2, Cs и С4 можно удовлетворить граничным условиям (1.24) на поверхности цилиндра R = a.
Подстановка приведенных выражений для <pi и ср2 дает
Cr = —С2 = —; С3=е—; С, = 2хе—;
е+1	2 е+1	3	е+ 1	«+1
С4 = 2% ——- (In а-— 1п —.
е-4-1 \ е 11
ЧАСТЬ II
СТАЦИОНАРНЫЕ И КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ И МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
§ 1. Закон постоянного тока
2.1. Напряженность поля между обкладками
Г2
Постоянную а можно определить из того, что
и=
/2
j Er dr = а ri
Сила тока
j dS = аЕ4лг2 = 4л<т —-------rLr2.
Г2 — Гг
Сопротивление
R = — = — ( 1	1
I 4ло
Г2
Мощность тепловых потерь
IP Q = IV = 4ло-------ггг2.
r-s—ri
2.2. Сила тока, приходящаяся на единицу длины конденсатора (см. решение задачи 2.1),
I = 2nR  j = 2nRaE = 2—- .
. R2
In---
Ri
1
In------
Ео
Мощность тепловых потерь
q = iv =  2-Pt/2-.
. Л2. м
2.3.	Сила тока, приходящегося на единицу длины конденсатора,
, о п .	2л1/
I = 2 nR  ] =-----------
1 1 Ro , 1
0j	02
Мощность тепловых потерь
Q = IV = —---------------
I, ,1 . ъ
— In---+ — In ——
Oj Rt 02 Ец
2.4.	Если через щ и as обозначить углы, которые составляет линия тока, т. е. вектор плотности тока с нормалью к поверхности раздела обеих сред (по обе стороны от нее), то из закона Ома (2.2) и граничных условий (2.4а) и (ХХа) вытекает
_ Pj
*g а2 о2
2.5.	Из закона Ома (2.2) и уравнения непрерывности (2.4) имеем, что
div j = or div E + Egrad о = 0.
Объемная плотность зарядов
p — —— div D = —— (e div E 4- E grad e).
4л	4Л
Если подставить значение div Е из предыдущего равенства, то мы получим
р — —— (о grad е — е grad о).
4ло2
2.6.	На основании (2.4в) потенциал ср электрического поля в грунте является решением уравнения Лапласа, которое однозначно определяется граничными условиями (ф! и <р2) на электродах.
Как было показано (см. решение задачи 1.70), разность потенциалов на электродах
I2 — а, — Фг-^-ЛагсЬ—•
Константу А проще всего найти следующим образом. Для случая электростатического поля, рассмотренного в задаче 1.70, при этом
f Еп dS = — С -^-dS = 4л% = 2лА.
J	J дп
Для рассматриваемого здесь электрического поля в однородной проводящей среде ток, отнесенный к единице длины цилиндров,
f j tldS= -of ^-dS = l.
J	J dn
Отсюда
A = ——
и сопротивление на единицу длины электродов
_ <Р1 --------<Р2
I	Р — а2. — а?
- — arch-------------!----
2лсг	20x02
2.7.	На основании (2.4) и (2.5) количество выделяющегося в единицу времени тепла
Q = J j'E dV = — J j'v<p dV = — J div (<pj) dV, где интегрирование производится по всему объему среды. Отсюда по формуле Остроградского
п	п
Q =	=
Л=1 Sk	k=l
где п— внутренняя по отношению к электродам нормаль, а потому
sk
где интеграл берется по поверхности k-vo электрода.
2.8.	В цилиндрических координатах
/ — /© — сгЕ©, Е© —
Up 2itR
Отсюда сила тока, приходящаяся на единицу длины цилиндра, ь
I = у /л dS = у /© dR — <j In— . а
2.9.	Если за ось z принять ось кабеля, то в цилиндрических координатах имеем:
1) во внутреннем проводе (R<а)
Ек = Е« = 0; Е*” = -	= Ц- ;
dz ла2а
I ------2, ла2<т
2) во внешнем проводе (6<Е<с)
Ер = Ее> = 0; Е<2)=--^
I
л (с2 — Ь2) а
I , ,,
<p2 =----------z 4- U,
n(c2-62)a
где U— напряжение между проводами при z=0;
3) между проводами (a<R<b) потенциал электрического поля должен удовлетворять уравнению Лапласа
1 J / r дфз >  д2<р3 _ Q
R dR\ dR dz2
и условию непрерывности: <рз = ф1 при R = a и <рз = ф2 при R=b.
На основании того, что искомое поле обладает аксиальной симметрией и граничные значения q>i и q>2 зависят от z линейно, ищем решение уравнения Лапласа в виде
<Рз (R, г) = (Atz + Bi) In R 4- (A2z 4- B2).
Из граничных условий при R = a и R = b нетрудно определить постоянные Вь А2 и В2.
Отсюда
фз = (£i + £2) z + £7 in д . (E& + U) Ina + EjZlnb b	b
In —	in —
а	а
где £] и Е2—напряженность поля соответственно во внутреннем и наружном проводах кабеля.
2.10. Направим ось z параллельно проводам (рис. 33), тогда внутри проводов
Ех = Еу — О\ £<’> = -
f/0
Ф1 =----------5-----
2
£(2) _  dq2 ________f _
dz na2cr
d<p, _ I . na2cr
dz
/
-----Z,
ла2а
Uo ,	/
Ф2 = —— 4----------z.
2 ла2а
Вне проводов поле определяется уравнением Лапласа и условием непрерывности потенциала на границе. Так как потенциал на поверхности проводов (q>i и фг) зависит от z линейно, решение ищем в виде
Ф (х, у, z) = и(х, у) + z ц(х, у), где и(х, у) и v(x, у)—решения двумерного уравнения Лапласа, которые на поверхности цилиндрических проводов принимают симметричные постоянные значения
-t/1=(/2==_^; _V1=V2=_L,
2	ла2сг
а потому (см. решение задачи 1.70)
и = A In — ; v = В 1п — , Га	/'2
где постоянные А и В определяются 1
(смысл обозначений и, г2 и с понятен из чертежа)
, Uo ,,	.	, 2Р—а2
c = ash —; J70=/larch---------
2А	&
из уравнении
2/
= В
ла2а А
§ 2.	Закон Био и Савара
2.11.	Напряженность поля
н / +Г [rfl х г] с J г3
—1.
Если направить ось z вдоль тока, начало отсчета поместить в середине проводника и обозначить через R расстояние рассматриваемой точки поля от проводника, то получим
Н = Не = — / г L~z + г L+,Z —\ • cR \lfR2-t(L-zy /R2 + (L + z)2f
В предельном случае L
оо
н = ^-.
cR
2.12.	В цилиндрических координатах
н = нв- Нх = Н2 = 0,
а потому дифференциальные уравнения (16) дают
г = const; R = const,
т. е. магнитные силовые линии имеют форму окружностей, центры которых лежат на токонесущем проводнике.
2.13.	Магнитный поток
а 4-6
ЛЛ 21 1 о 21	С dR	2/ . а + fe
с	с	J R	с	Ь
а
Отсюда
ft = —.
2
2.14.	Напряженность поля, создаваемого током вдоль каждой из сторон длиной 2ft (см. решение задачи 2.11 и рис. 34),
Н =	1	. 2Ь
1	с j а2 + z2	> г а2 -р Ь2 -р г2
и составляет с указанной осью z угол а, для которого
а
COS а = ——------.
yf а2 + z2
Аналогично напряженность, поля, создаваемого то ком вдоль каждой из сторон длиною 2а,
Н =	1____________2а
2	с у b2 -р г2 а2 -р Ь2 -р г2
и составляет с осью угол |3, для которого
ь2 -р ?2
Результирующая напряженность поля направлена вдоль указанной оси z и по абсолютной величине
Н = 2 (Hi cos а 4- Н2 cos Р) =
2.15.	Напряженность магнитного поля, создаваемого одной стороной многоугольного контура тока (см. задачу 2.11 и рис. 35),
,,	2/	а
Н, = sin a; jsin а = —г	- - -
1 cl	у^а2 + Р
и составляет угол р с осью z, которая проходит через центр многоугольника перпендикулярно его плоскости в сторону, составляющую правовинтовую систему с направлением тока:
cos§==—; /i = actg —; /=ргг24-Л2.
I	п
Результирующая напряженность
Н = Нг = пНг cos р = sin a cos р.
cl
Окончательно получаем
с /	л	\ 1 -	л
( аг ctg2 — -у z2 ) I/ a2 cosec2 — -Ь г2 \	п	/ '	п
2.16.
н = н = —----------2па\ .
z с (а2 + z2)Л
Ось z совпадает с осью кругового контура.
2.17.
Н = -^. са
2.18.
Н = _L(2 + «). са
2.19.	Элементарное кольцо шириною dr создает на оси z магнитное поле, напряженность которого (см. задачу 2.16)
dH = dHz =--------------
с(Ь — а) (г2-р г2)
Напряженность результирующего поля
/7 =/7 = 2л/ Лп fe + /fe2 + z2 ь __1_ а 1
2	с(Ь — а) ( а -р уЛз2 -р z2	y^624-z2 у Ла2 4-z2 J
2.20.	Элемент длины dt, катушки создает поле, напряженность которого на оси z (см. задачу 2.16)
dH = dHz
IN 2ла2
-------------------57— dt. 2lc |a2 + (z-g)2]3/2
Результирующая напряженность поля
Н--=Нг
_ itIN / z + /	z — I
~ cl \ /a2 + (z + Z)2	/a2 + (z—7^
Начало отсчета находится на середине оси катушки.
2.21.	Напряженность магнитного поля на оси катуш-
ки связана с плотностью витков обмотки соотношением
Н tz\ — — 2ла2 ( ___-	____
Н(г)- с 2па [а, + (г._^ 
Положим
/(£) = -Г 2ж2п(О; Ф(г-С) = [а2 + (z-С)2] 2, С
тогда имеем
4- 00
H(z) = J /(?)<р(г-?)с/?.
—9°
Отсюда Фурье-образ функции И (z)
4-00	4-00
Н(и) = -^=- f e-^dz [ /(?)<р(г-?)^ = у 2л J	J
—ОО	—00
4-оо 4"°°
= -у=- f dz С е-Лг/(^)ф(г —С)^-
У 2Л J J —оо —оо
Положив ч] = z — ?;	Л] = dz, получим
4-оо	4~00
Н (и) =	( <Р (n) е~™ dr\ f f (?) e-^dZ =
у 2л	J	J
—оо	—оо
= ]/2л <р(ц)-/(гО>
где ф(н) и f(u)—Фурье-образы функций ср и /.
Отсюда
Ч-о°
— 2ла2п (?)=/(?)=  С / (и) eiu^ du =
с	у 2л J
* -«
= _L f ^Le^du.
2л J <р (и) —оо
2.22.	За ось z выберем ось катушки. Начало поме
стим посередине катушки. Рассмотрим продольное сечение катушки, плоскость которого примем за координатную плоскость yz. Каждый элемент поверхности dS = dydz сечения создает на оси- поле, напряженность которого (см. задачу 2.16)
NI	2л1]2	,	.j.
сш —-------------------------7j— ан dL.
21(1—а) с [i]2 + (z —О2!7'
Результирующая напряженность поля
-Н I
_ nN! С С 1]2 dijdg_____________
~ 1(1—а)с j J [if + (7-?)2f/a
—I а
После интегрирования получим
Н =	1 (г + /) In	-
I (I — а) с V а + 7fl2 + (z + Z)2
— (? — /) In	.
а + -j/a2 + (2 — О2 )
§ 3.	Вектор-потенциал. Дифференциальное уравнение Пуассона—Лапласа
2.23.	Направим ось z вдоль тока и поместим начало посередине прямолинейного проводника, тогда на основании (2.14а)
А = Л, = 0; Л=-Й
—L
Если расстояние от рассматриваемой точки поля до прямолинейного тока обозначить через R, то, произведя интегрирование, получим
______I Г _____du 	 I 2 -i Z- -}	+ (z 4~ И2 __ г~ с \ / R2 + и2____________________с Z—L+ / Л’2 + (z - £)2
= — ( arsh _?-+7-arsh .
c \ R	R J
В предельном случае L^-oo, положив z=0, получаем
(см. задачу 1.23)
Аг = const--— In R.
с
Отсюда в цилиндрических координатах на основании (2.12) и (IV б)
Нх = Н = 0; И = Нв = - —= dR
_ I J £ + г	£ — г Т
' ~cR I т> + (£+1)2	t>’ + (£-zF”г
что совпадает с результатом, полученным, в задаче 2.11.
2.24.	Направим ось z вдоль поля и обозначим напряженность однородного поля через Н. На основании (2.10), (2.12) и (IV)
а)	в декартовых координатах
Ах = — \ьНу, Ау = Аг — 0, или
Л = - -у А/ == v /lz = °-или
Ау = р£/х; Ах = Аг = 0;
б)	в цилиндрических координатах
л0 = 4-н^; А = л« = 0;
в)	в сферических координатах
Д, = pHr sin 0; Аг = Ав = 0.
Ввиду градиентной инвариантности вектор-потенциал пс однозначен. Здесь приведены наиболее удобные представления вектор-потенциала однородного поля в различных системах координат.
2.25.	Направим ось z вдоль оси кругового контура, а начало отсчета поместим в его центре. Ось х, от которой мы будем отсчитывать полярный угол 0, проведем через рассматриваемую точку поля.
На основании (2.14а) в цилиндрических координатах
2Л
a sin <р dtp _q
г
Л2 = 0; Ar =-j
о
2л	л
Г a cos <р dtp	f
Jr	С J
cos <p dtp
>r R1 2 -|- a2 + z2 — 2aR cos <p б	6
Этот интеграл можно выразить через эллиптические интегралы, которые протабулированы; а именно, положив ф=л + 2а и
получим
k2 =-------------------- (k
„ (R + а)2 + z2
где
da
/ 1 — k2 sin2 а
It
~2
и Е — У1 — k2 sin2 a da
о
есть полные эллиптические интегралы I и II рода.
Пренебрегая высшими степенями л^==г
<1 в раз-
ложении эллиптических интегралов, находим
1 na2R
с (R2 + z2)3/i
AR — AZ — о,
что совпадает с вектор-потенциалом магнитного диполя, 1	9
момент которого т = — ла2 направлен по оси кругового С
тока (сравните с уравн. 2.19а).
2.26.	На основании (2.12) в цилиндрических координатах
Если подставить значение вектора-потенциала Ле, полученное в предыдущей задаче, то можно получить явное выражение для напряженности магнитного поля в любой точке его. При этом следует учесть, что
дК _ Е _ дЕ _ £ _ _К_ dk ~ k(l — k2) k' dk ~ k k’
а также соотношение (см. решение задачи 2.25)
(R + а)2 -|- z2
Таким путем можно получить
Нг = — г 1 [К +	Е\
с У (R 4- «)2 4 г)'2 t (R — а)2 4- z2 f
н* =	—±—-I - к + *а+-г2+^ Е\,
с R у(R + а)2 4- z2 1	(R—a)2-\-z2 J
Я0 = О.
На оси кругового витка К — Е = — и мы получим
I 2ла2
с (а2 4~ z2)'^
Hr — Hq — О,
что совпадает с результатом задачи 2.16.
2.27.	Если начало координат поместить в центре прямоугольного контура и координатные оси х и у направить параллельно сторонам контура, то на основании полученного в задаче 2.23 результата имеем
А = ц — /1п x^~aEl/U 4-а)2 4-(У 4-^)2 4-z3 __
х с t х —- а 4-	_ а)2 _|_ ц. /,)2 _|_ г2
_ in 4- а 4- Z(y 4- а)2 4- — Ь)2 4- z2 у =
х — а 4- уА(х — я)2 4- (у — Ь)2 -4 z2 J
а + х 1 arsh а~х __________________
/(</4- ь)2 4- z2	/ (у 4- Ь)2 4- z2
а 4~ -у _____arsh а — х у
V (у — b)2 4- Z2	уЕ(у — Ь)2 4- z2 / ’

t I J jn У + ^ + I C* — g)2 + (У + b)“ + z“ У cl У — b + । (x — a)2 + (y — b)2 + z2
ln У + & + 7 U + a)3 + (y + b)2 + z2 у У — b + W(x + a)2 + (y — b)2 + z2 J
— arsh
b + y
у (x — a)2 + z2
— arsh
+ arsh — 7
b—y ' (x — a)2 -|- z2
b—y
7 U + a)2 + z2
= H —
b + y
j (x + a)2 -|- z2
Д = 0.
На больших расстояниях (a, b < г), разлагая In {x ± a + + V (x ± a)2 + (y ± b)2 + z2} в ряд по степеням — <^1 и г
— + 1, где г = V х2+ y2+z2, с учетом членов, содержа
щих вторую степень этих малых величин, находим
Ах = — т Аи — т~\ Л = О, х	гз У гз 7 г '
или в векторной форме
д tm х Г1
г3 где
т = р — S = р — 4ай с	с
есть магнитный момент контура, имеющий направление оси z.
2.28.	Если ось z направить вдоль оси цилиндрического провода в сторону тока, то из> (2.14) следует, что Аж=Лу=0; А определяется уравнением Пуассона (2.13). Учитывая аксиальную симметрию поля, записываем уравнение Пуассона в цилиндрических координатах (см. V б)
1 d	dAz
R dR	dR
4л	I
--- p	 с--ла2
0	(/?>«).
(R<a),
Интегрируя, получаем отсюда, что
1)	внутри проводника (R<a)
Л2 = — р------—И Сг In 7? + С2;
с аг
2)	вис проводника (/?>«)
4 — С3 In 7? 4" Сь-
Не уменьшая общности, можно положить С4 = 0; из конечности поля следует, что Ci = 0. Постоянные С2 и С3 определяются из граничного условия (ХХ1а) и условия непрерывности вектор-потенциала А. Окончательно получаем
I R" ,	/	2/ ,	/г, ч ,
— р----------Р р---------In а (R < а) ’
с а2 с	с
4 =
----— In R	(/?> а).
с
На основании (2.12) напряженность поля в цилиндрических координатах определяется уравнениями (см. IV6) .
н=нв = - -L р
дАг ~dR
(Ж«), ссг
—	(R>a).
cR
2.29.	Направим ось z вдоль оси проводника в сторону тока. Аналогично предыдущему находим (см. решение задачи 2.28):
1)	во внутренней полости (R<.b)
4 = Сг In R С2;
2)	внутри проводника (&</?<«)
4 = —р ——+ С31п/? + С4;
с а2 — Ь1
3)	вне проводника (/?>«)
4 = с5 in R + се.
Определив постоянные интегрирования указанным в предыдущей задаче методом, получаем
А^ = 0; Я(1) = 0 (/?<£);
ь2
.(2)	I R2 — b2 , о 1 b2 , R
Аг' — — II---------------------h 2р-----------------1п-----
- с а2 — Ь2	с а2 — Ь2 b
а2 -  Ь2
(6<R<a),
с а2 — b2 R
л<?> =
я(3) =	= —
cR
(/?>«)
2.30.	Выберем плоскость, в которой лежат токи за координатную плоскость xz и проведем ось z параллельно токам на равных от них расстояниях. Тогда (см. решение задачи 2.23)
4 = 4 = 0; 4 =-A-In(/?!/?.),
где Ri и — расстояния рассматриваемой точки поля от токов.
Воспользовавшись методом комплексного потенциала (см. (1.31) и решения задач 1.45 и 1.46) можно положить
9/
4 =-------- Re {,п [(* + iy) — (А'1 + 17/1)1 X
с
X пП (х 4- iy) — (х2 + ii/2)]},
где Xi = —«; х2=а; У\=у2=0 — координаты точек пересечения токов с плоскостью 2 = 0.
Положив
1п |(х + iy) — (хд + igi)] [(х iy) — (х2 + iy2)] — = и(х, у) + iv(x, у), где
и (х, у) = -у In |(х2 — у2 — а2)2 + 4х4/2};
v (х, у)=arctg -
х2 — у* — аи получаем
Л =-------— и (х, у)-, Ах = Л = 0; Н = -X grad v (х, у).
С	у	с
Уравнения силовых линий z = const; и(х, у) = const.
2.31.	Аналогично предыдущему
Лг — ----— и (х, z/); Лх = Ау = 0; Н = grad v (х, у),
С	с
где
. i	х - — ci -j- iy
u + IV = In-----------—T~y
x a iy
1 |n (*2 + У2 — g2T + 4aV
2	[(x + «)* + if]2
v = arctg
2ay x2 y2 — a2
Уравнения силовых линий: z = const; и (x, у) = const.
2.32.	Выберем поверхность магнетика за координатную плоскость х = 0. Ось z направим параллельно току, а ось х — через проводник с током.
Вектор-потенциал искомого поля определяется уравнением Пуассона—Лапласа:
дл2 =
— j U>0), с
О (х<0),
4 = 4 = °-
Ищем решение в виде
4> = —-4 In/?! —&!—1п/?2 (х>0) С	с
42) =
— In/?!
с
где
/?! = ]Л(х — а)2 у2 и /?! = ]/(% + а)2 + у2 есть расстояния до рассматриваемой точки поля от данного тока и его «изображения».
Постоянные k\ и k2 однозначно определяются граничными условиями (XVIIIa) и (XXIa) на поверхности магнетика (х=0), а именно
2.33.	Направим ось z вдоль оси цилиндрического магнетика в сторону тока, а ось х проведем через проводник с током.
Вектор-потенциал искомого поля ищем в цилиндрических координатах в виде
Л*1'	In/?! —А^ — 1п/?2-Л3—In/? (R>a),
с	с	с	•
Д2) = — рЛ2 —— 1п 7?! (R < а), с
А = А = О,
-V	у
где
/?, =//?2 + Р —2/?/cos0 и R2 = Vr2 4- Г2 — 2RI' cos 0 есть расстояния от рассматриваемой точки поля до данного тока и его «изображения», которое находится на расстоянии Г= — от оси цилиндра.
Из граничных условий (XVIIIa) и (ХХ1а) находим ,	р. — 1	,	2	,	и — 1
К = —-----; й2 =---; k3 = —------.
Ц + 2	Р + 1	р + 1
2.34.	Аналогично предыдущему, ищем решение в виде
4° = -—In/?!-^ —1п/?2 (/?<«), с	с
= — Ц —/гг1п/?1 — р— /г31п/? (7?>а). С	с
Из граничных условий (XVIIIa) и (ХХ1а)
К = k2 = —; k3 = р+1	р+1	р+1
2.35.	Плоскость раздела обеих сред выберем за координатную плоскость z=0 и направим ось z в сторону первой среды.
Вектор-потенциал искомого поля ищем в виде
л / 7 С dl . , I С dl' X ,	„.
Ai = pi —ф------\-k} — ф-—) (z>0),
\ С J Г	С J г' 1
I	I’
А2 = р2—(z<0),
•	с J г
I
где Г — зеркальное отражение контура I от плоскости z = 0; г'и г — расстояния рассматриваемой точки поля от элемента длины dV и соответственно dl.
\	Г
Из граничных условий (XVllIa) и (XXia) ; k2-^ __2Н1_
P2 + Hi	H2 + Bl
§ 4. Циркуляция магнитного вектора. Магнетик в однородном поле
2.36.	Для прямоугольного контура с током (см. задачу 2.14)
_______]__________ /a2 + fc2_|_z2
dz.
Этот интеграл легко вычисляется путем подстановки
+ b2 -|- Z2 "
Для кругового тока (см. задачу 2.16)
dz
(а2 + z2)3/a
4 л — . с
2.37.	Поле обладает аксиальной симметрией: Н=Не (R). Применив теорему (2.11) к круговой силовой линии радиуса R, получим
Ш1 = Я-2л7? =
4Л т R2 . „ ---1~ (^<«).
с а2
—I	(Я>а).
с
2.38.	На основании соображений, изложенных в предыдущей задаче, имеем, что для контура круговой силовой линии радиуса R
ф HJ1 = 2лЯ • Я =
О
4л j с
(R < а),
(R>a).
2.39.	На основании соображений симметрии (см. задачу 2.37) имеем, что для контура круговой силовой линии радиуса R
Нг/1 = 2л7?  И =
О
4л j R"--a2 с Ь2 — а2
4л^ j с
(R < а), (a<R<b),
(R>b).
2.40.	Следует рассмотреть два случая.
1.	Токи параллельные (направлены в одну сторону).
Результирующая напряженность поля равна нулю посередине между проводами и, кроме того, еще в двух точках между их осями внутри проводов на расстоянии от оси х, определяемом уравнением (см. решение задачи 2.37)
2/	2/
	х =	, са2-----с(1 — х)
Отсюда
-у (/ — /7^4^).
2.	Токи антипараллельные. В этом случае напряженность поля равняется нулю по одну сторону от осей обоих проводов на том же расстоянии х от ближайшей оси.
2.41.	Искомое поле можно рассматривать как разность полей, создаваемых токами, которые с той же
I
плотностью j =---------- проходят по сплошному ии-
Л (а2 — Ь2)
линдру радиуса а и по цилиндру радиуса Ь:
Н =Hj —н2, где
Н, = -^L [z0 х R,|; H2 = -^- [z0 x RJ; Rt и R2- век-c	c
торы, проведенные от осей цилиндров к рассматриваемой точке, причем RiXz0 и R2 Lz; z0 — единичный вектор, имеющий направление тока.
Отсюда
Н =	— [z0 X OtO2] — const,
с
где OiO2 — вектор, соединяющий оси цилиндров.
2.42.	Если пренебречь рассеянием магнитного потока вне тора, то следует считать магнитные силовые линии окружностями с центром на оси тора. Применив (2.11) к круговой силовой линии радиуса R, получим
Магнитный поток (рис. 36)
2Л а
®=flMS = F-™ ff-~—- -
J	С J J + г cos 0
о о
= IN(b— Vb* — a2). c
2.43.	Пренебрегая краевым эффектом, можно считать катушку бесконечно длинной, а это равносильно тору бесконечно большого радиуса.
Для тора конечного радиуса b (см. задачу 2.42) напряженность поля
( |х|<а),-
с b -|- х
где /
N — 2лЬп.
Отсюда при b-^oo
2.44.
		Н =	4л С	In.	
-	са2	R			
н =	21 cR			(Ц<	ZR<b),
	21	с2 - с2 —	R2 Ь2	(6<	:R<c).
2.45.	Каждый элемент объема
dV = r2dr sin Qd&dty
заряженного шара создает магнитный момент в направлении осн вращения, величина которого (см. (2.18))
dm — —— 5; S = Jir2sin26; d/ = -^-pdV; р —	.
с	2л -	4/з-ла3
Отсюда результирующий магнитный момент
т = —— С r4dr f sin30d0 С dip = ——— та2.
2с J J	,]	5 с
оо	о
2.46.	Аналогично предыдущему, каждый элемент объема заряженного цилиндра
dV — RdRdQdz
создает магнитный момент в направлении оси вращения, величина которого
dm--^—S; 3 = л/?’; dl = — pdV; р - —.
с	2 л	пат
Отсюда результирующий магнитный момент
а	2л	h
т = .«₽_ [R3dR С d0 f dz = — та2.
2с	J	J	J	4 с
0	0	0
2.47.	Поместим начало сферических координат в центре сферического магнетика и направим ось г в на
правлении внешнего поля. Ввиду отсутствия токов искомое поле может быть описано скалярным потенциалом, который определяется уравнением Лапласа (2.17а). Решение ищем в виде (см. решение задачи 1.123)
<Рт — — Суг — — Cvr cos 0 (г < Ь)
<р2 = — С2г— Ся--~ = — C2r cos© — -- cos© (b < r <^a), r3	r2
<p3 = —-Лог4 C4—= —7/0rcos© + ~-cos© (r>a).
f3
Из граничных условий (XVIIIa) и (XXla) на границе магнетика г =4 и г=а.
Находим
q _________________9щща3______________
(Pi 4 2р2) (Рг + 2рх) а3 — 2 (щ — р2)2 Ь3 °’
q ___________Зр2 (Рг + 2рх) а3______
2 (Pi + 2ра) (р24 2pi) а3 — 2 (рх — р2)2 Ь3 °’
Q =__________Зр2 (Pi — Рг) a3fe3____
(Pi 4- 2р2) (р2+ 2рх) а3 — 2 (рг — р2)2 Ь3 ° ’
с =	в*1 (Pz g3 н
(pi + 2ра) (Ра +2рх) а3 — 2 (рх — р2)2 Ь3
2.48.	Поместим начало цилиндрических координат на оси цилиндрического магнетика и направим ось z вдоль этой оси, а угол © будем отсчитывать от направления внешнего поля.
Потенциал искомого поля ищем в виде (см. задачу 1.126)
<Pi = — CXR cos ©	(R < b),
фг = —С2% cos © — Ся -~s-®	(b < R < a),
<₽3 =— H0R cos © + C4——	(Rt> a).
R
Из граничных условий (XVIIIa) и (XXla) на поверхностях R — b п R = a находим
q ____________4pjpaa2________
1 (Pi 4 Pa)2 a2 — (px — pa)2 62	°’
2щ (|i| + На) а2 jy (Hi + Щ)2 «2 — (Щ — Р2)2 62	°’
__________2[Щ (Hi — P-a)2 g2fc2 jj (Pi + Р2)2 g2 — (Hi — Pa)2 b2 °’
(pi + Ha) (Hi " Ha) (g2 — b2) a2 g (Hi + H2)2 "2 — (Pi — pa)2 b2 °
§ 5. Взаимодействие токов. Коэффициент индуктивности
2.49.	Напряженность магнитного поля, создаваемого током /2 в месте нахождения тока /1,
9/ 1	' >
//2=—; Н2 ± dlt.
2ас
Отсюда на основании (2.23) на каждую единицу длины одного тока действует со стороны другого тока сила
/]/й ас2
Для параллельных токов это взаимодействие имеет характер взаимного притяжения. Для антипараллельных токов — отталкивания.
2.50.	Выберем плоскость, в которой лежат токи, за координатную плоскость xz, поместим начало посередине между токами и направим ось х перпендикулярно (рис. 37) к токам. На основании (2.34) и (2.33) х — составляющая силы, действующая на единицу длины первого тока,
1 —[—со	-[-со
F1" = f f T>xdydz	И2,) dy (Н = Нх + Н2).
J J	8л J
0 —оо	—оо
Из чертежа видно, что напряженность поля, создаваемого током /ь
	— 77(1) sin а = —	27х cR	_IL = _ R	2/1	у
				c	о2 + У2
	— //(1) cos а = —		a	2/1	a
		cR	R	c	a2-\-tj2
Аналогично можно вычислить напряженность Н2 поля, создаваемого током /2 и после интегрирования получаем (для случая параллельных токов)
F <0 = F”) = О,
ас2
2.51.	Как было показано (см. задачу 2.32), в воздухе поле таково, как будто оно создается данным током / и его «изображением» силой /' = —-------/, находя-
Р + 1
щимся на расстоянии 2а от него.
Отсюда следует, что на единицу длины провода действует сила (см. задачу 2.49) притяжения к магнетику
Р___ р — 1 I2
р 4- 1 ос2
2.52. Как было показано поле таково, как будто оно его «изображением» силою
в задаче 2.33, вне магнетика создается данным током I и
,, р — 1 ,
1 = —------/,	отстоящим
р + 1
,, а
на расстоянии I = — от оси цилиндрического магпе-тика и параллельным данному току и, наконец, током той же силы Г, идущему вдоль оси цилиндрического магнетика антипараллельно данному току.
Отсюда следует, что па единицу длины проводника с током приходится сила притяжения к магнетику
Ц-1 I2 / 2Z________2_\
р + 1 с2 \ Z2 — a2	Z )'
2.53.	Как было показано в задаче 2.34, внутри полости поле таково, как будто оно создается не только данными токами, но и их «изо'браженйями» силою гг И — 1г	,, а2
1 = -------1, отстоящими на расстоянии Z = — от
ц+ 1	Z
оси полости.
Отсюда следует, что для равновесия нужно, чтобы
_J__|_ И	*______ Н 1_________2Z _	I = аЛН4~ 1
Z р +	1	Z2 + а2 р + 1	а2 — Z2 ’	~	|/	5р — 3 "
2.54.	На горизонтальный участок ВС провода действует сила (см. рис. 1)
F = —bH, С
где b — сторона квадрата.
Эта сила дает вращающий момент, равный
Fb cos а — — b2H cos а. с
Силы, действующие на участки АВ и CD, взаимно уравновешиваются.
Вес провода Р дает направленный в противоположную сторону вращающий момент, равный
Р • OG • sin а = 2b2na2b sin а,
где G — центр тяжести провода.
В положении равновесия результирующий вращающий момент равен нулю, а потому
с
2.55.	На основана и (2.23) и (2.16а) сила, действующая на элемент длины dl[ первого тока со стороны всего второго тока
dF12 = р -У2- IX X (Е[d-2 Х1-211 с2 I т ,.з
L	'I '21
.2
Отсюда главный вектор сил, действующих на первый контур со стороны второго
Fi2 р	ф ф) —— {dl2 (r2idlj) — r21 (dljdl2)} =
= — Р фф [dl2 (d\. gradj —) +	(dldl2)|.
c W 4 rtaJ 4	1
Принимая во внимание, что
О,
получаем окончательно
Р12==-р-^фф(^12)-^.
I, h	1-21
Аналогично главный вектор сил, действующих на второй контур,
F21 = - р	ф ф (dhdl2) ^ = - f12.
2.56.	Дифференциальное уравнение малых колебаний стрелки
» d2®	» т
J-----= N
dt2
— — mH®,
где / — момент инерции стрелки. Отсюда период малых колебаний
Т = — = 2л 1/ —• <о	V mH
2.57.	На первую магнитную стрелку (см. задачу 1.95)
действует вращающий момент
TV = mi™- {sin (а — 0) — 3 cos О • sin а},
где mi и т2 — магнитные моменты диполей; г — расстояние между ними.
В состоянии равновесия Л' = 0, а потому
tg а =----l- tg 0.
2.58.	В состоянии равновесия магнитная стрелка имеет направление внешнего поля, а потому (рис. 38) в точке В поле, создаваемое моментами пр и m3, не имеет составляющей вдоль АВ, т. е.
Н? + cos 30° = И™ cos 60°.
Как было получено в задаче 1.29,
H(D = J?m, cos60o. н(3) = 2т^ cos30°;	sin 30°.
а3	а3	а3
Подстановка в исходное уравнение дает
т3
4m, FT*
Аналогично,
4m, т2
2.59.	Искомые силы равны силам, действующим на данную магнитную стрелку со стороны ее «изображения» (см. задачу 2.35), магнитный момент которого
, р — 1  т — —-------т.
Р + 1
Используя результат задачи 1.95, получаем, что главный вектор сил
n „ р — 1	„ cos 2а — 3 cos2 а
F = 3 —------пг-----------------------
р+1	16а4
3 р• 1 т2 /, . о \ =--------------------(1 + cos2 а),
16 р+1 а4
а главный момент
2.60.	На основании (2.20а) силовая функция тока
U =----— Ф —----— abH cos 0.
с	с
Отсюда на основании (2.25) следует, что на рамку действует пара сил, момент которой
—f—A = — —abH sin®, \ д& Ji с
где 0 — угол между нормалью к плоскости рамки и направлением поля.
Тот же результат можно получить, рассмотрев силы, действующие на отдельные стороны рамки.
2.61.	На основании (2.20а) силовая функция взаимодействия (рис. 39)
U 12 —
а 2л
Ю rH,ds g --gA Г С -'“а
с J	с2 J .) b — л cos 0
S2	0 0
±^k(b—/fc2_a2). с2
Отсюда результирующая сила, действующая на круговой ток,
4л/,/2 с2
dU12 дЬ
--------: — 1\ Vb2 — а2 )
2.62.	Примем плоскость рамки за координатную плоскость xz, ось z направим вдоль оси рамки в сторону тока /2.
Принимая во внимание, что (рис. 40)
H? = H(!|cosa;	cos» - » + <-slne.-;
cR	R
7? =	-|- Z2 + 2xZ sin ©,
имеем
с
C	2а/1^ In z>2 + f2 + 2/h sin 0
' I Г1 n	’	1П	'.
J	c2	b2 + P — 2Z6 sin 0
S,
Отсюда вращающий момент
N / dU \ _________ 8lilz abl (fe2 + Z2) cos 0
\ d& J i ~ c2 (h2+Z2)2 — 4ft2/2 sin20‘
2.63.	По определению (см. (2.28)), коэффициент взаимной индукции (полагая р=1)
dl itZl2
Z-12
'12
Если каждый из контуров разбить на четыре прямолинейных отрезка, то мы получим 4X4=16 двукратных интегралов, из которых восемь равны нулю, потому что для взаимно перпендикулярных отрезков dljdl2 = O. При этом четыре раза повторяются одинаковые интегралы, а потому, если начало координат поместить в центре одного из контуров, а оси х и z направить параллельно его сторонам, то (рис. 41) + -2
a
2
dZid?-2
(‘ dz^
с
2
Ь,2 -
J /а2 + b2 + (z2 — Zj)2 а
= 8 й In ---n	+
I b (y^Za2 4- b2 + c)
+ V2a2 + b2 — 2 V a2 + b2 + b\ 
На основании (2.25) и (2.27) сила взаимодействия
р______ /	SLjj _
\ db JI с2 Ь
81^2 f!	6 /2а8 + b2 __ а2 + 2Ь2	)
с“ 1 а2 + 62	Ь-/а2+Ь2 J
2.64. Разложим полученное в предыдущей задаче вы-
ражение для силы F по степеням —< 1. Ограничившись Ь
членами, не выше четвертой степени получим
6/[/2 / а \4 	бтд/гг
с2	\ b )	М
что доказывает требуемое (см. задачу 1.95).
2.65.	Коэффициент взаимной индукции (рис. 42)
h 1г
2л	2Л
f	С_____________cos (<р2 — фх) d<p2___________________
.)	1 J Ц- с2 + b2 —- 2ab cos (<p2 — cpj
Положив <p2—Ф1 = Ф, получим

Л
cos <pd<p
У h2 + a2 + b2 — 2ab cos <p c
= — fab !(1 — —K-Е], k (\	2 j J
/42- 4ab '
(a + 6)2 + Й2’
где К и E — полные эллиптические интегралы I и II родов (см. задачу 2.25).
На основании (2.25) и (2.27) сила взаимодействия
р_____/ &U \ ___	д£12 _
\ dh ,1/ с2 dh
2n[J2 kh (Г, , k2 I г
—-------------1 4------------с — А у.
с2 KoHL 2(1— /?)J J
При этом использованы формулы для производных от эллиптических интегралов, приведенные в решении задачи 2.26.
2.66.	Для рассматриваемого предельного случая
а потому можно воспользоваться разложением эллиптических интегралов по степеням малого параметра k2:
к = — fi + — + — ^+..Л
2 \	4	64	J
Подстановка в общую формулу для силы взаимодействия, полученную в предыдущей задаче, дает
F = _ 2nIih—. JL jt/ji = c2	v ab	32
6/,/2 л2а2Ь2 ___  &тут«
~~ с2 /г4	” ft4
(сравните с решением задачи 1.95).
Рис. 42	Рис. 43
2.67.	В воздухе магнитное поле таково, как будто вместо магнетика имеется -еще один круговой виток, являющийся «изображением» данного, по которому про-
,, р — 1	7
ходит ток 1 = —------1 в направлении, параллельном
р. + 1
данному току (см. задачу 2.35).
Отсюда следует, что сила, действующая на данный круговой ток со стороны магнетика (см. задачу 2.65),
„ р — 1 2л/2 2bk (Г, . k2 In
F =-------------------( 1 --------E — д .
p -|- 1 с2 о IL 2(1—MJ I
где
/а2 + &2’
a E и К—полные эллиптические интегралы II и I родов.
2.68.	При указанном на рис. 4x3 выборе осей координат магнитный поток, создаваемый бесконечным прямолинейным током /ь через площадь треугольника
а _
ф1а = [ttfds = С С dy-, У1 = -^ —
«J	£	►) Ь -|- л	2 i 3
S2	0	— У1
Отсюда на основании (2.26) коэффициент взаимной - индукции
ь12 = ~ Ф12 = 2 (f а + -^Л1п (1 +	- а\.
Л IX /з J < 2b J J
На основании (2.25) и (2.27) сила взаимодействия
р1 _ _ Z ^14 \	_
~	\	db Ji~	(?	db	~
=	4 1П/J _а/3\_
с2 1/3	<	b	J	b	)
2.69.	На основании (2.26) коэффициент взаимной индукции
L12 = — Ф12 = ~ NnafyHt = р4л2а2/гЛ’, Л Л
4зт
потому что =-------nl} (см. решение задачи 2.43).
С
2.70.	Как показано в задаче 2.42, если по первой обмотке проходит ток /ь то внутри тора создается магнитный поток
Ф = р — Л/Vj (b — V'b^а72). С
Отсюда на основании (2.26) коэффициент взаимной индукции
£21 = Д/2ф = 4лр A\N, (b — I b^^a2).
71
2.71.	Если по бесконечному прямому проводу проходит ток /], то им создается магнитный поток (см. решение задачи 2.42)
=
= и Ji17' _ yt^a2). c
Отсюда на основании (2.26) коэффициент взаимной индукции
L12 = 4л|1Л' (Ь — 17Ь2 — а2).
2.72.	Из (2.31) и (2.32) следует, что энергия магнитного поля, создаваемого, током /, связана с самоиндукцией L контура соотношением
W = — LI2 = -1' - С H2dV.
2с2	8л J
Внутри бесконечно длинной катушки напряженность поля (см. решение задачи 2.43)
г г 4Л г
Н =-----In,
с
а потому самоиндукция единицы длины катушки
L = 4л2’|Ю2л2.
2.73.	Если по катушке проходит ток /, то им создается поле лишь внутри (см. задачу 2.42)
тора, напряженность которого
н=™-
cR
Энергия этого поля
W = -S- ftfW 8л J	8л с2
Отсюда самоиндукция катушки
L = 4лр№ (6 — Ь2 — а2).
ц 4/W
dV
У?2
= — LP. 2с2
В предельном случае Ь^ео, положив
N п=------полу-
2л6	3
чим, что самоиндукция единицы длины катушки
L' = —— = 4л21Ш2/22, 2лЬ
что совпадает с результатом предыдущей задачи.
2.74.	Энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу длины кабеля,
Иг
№ = —L72 = -^C H*-2nRdR = u — 1п^ .
2с2	8л J	с2 /?,
«1
Отсюда самоиндукция единицы длины кабеля *
L = 2uln-^ .
/?!
2.75.	Зная напряженность поля (см. задачу 2.44), вычислим энергию магнитного поля, приходящуюся на единицу длины кабеля,
W = — С [iH2dV= — LI2.
8л J	2с2
Отсюда самоиндукция единицы длины кабеля
R2
L = 2р2 In + 2р, —„~-2- 9— In— — щ 9
Г Ra М (^-/^)2 R, 11 R2-R2
2.76.	Внутренняя часть самоиндукции L' проводника определяется равенством
— L72 = — f p'H2dV, 2с2	8л
V'
где V — объем проводника, р' — его магнитная проницаемость.
2/ Для единицы длины провода, положив Н = —— R
(см. решение задачи 2.37), находим
L' = — р.
2
2.77.	Если кривизна кольца достаточно мала (г^>а), то можно воспользоваться результатом предыдущей задачи для определения внутренней части самоиндукции проволоки, а именно
* Здесь не учтена внутренняя часть самоиндукции проводов, так как толщина трубок, согласно условию, пренебрежимо мала,
L' = — |i, • 2jtr = jXjJtr.
2
Остается вычислить внешнюю часть самоиндукции L" кольца, которая определяется равенством
— Г72 =	С Н2 dV = — С HBdV,
‘2с2	8л ,1	8л ,)
V"	V”
где V" — объем внешнего пространства, в котором можно ввести скалярный потенциал
Н = —grad<pm,
фт претерпевает разрыв непрерывности на величину —/ с
на поверхности Sb опирающейся на контур кольца. Преобразуем интеграл
| HBdV = — J Bv<pmdV==—f (v(<PmB)-4’mVB}dK=
у	У"	У"
= — [ div (фтВ) dV = — ф qmBn dS.
v
В последнем интеграле интегрирование распространяется на всю замкнутую поверхность, ограничивающую объем V", в том числе и на обе стороны поверхности имеющей форму круга радиуса (г—а).
Поток через поверхность кольца и бесконечно удаленную поверхность равен нулю, а потому
НВ dV = - р;1 (ФО) - фС?) dS =	7Ф.
V"	S,
Магнитный поток через поверхность 5ц можно выразить через коэффициент взаимной индукции между двумя концентрическими окружностями радиуса г и г--а (см. задачу 2.G5):
Ф - — L!2. С
Отсюда
L" = А13 = Иг. 8лг	In y “ 1)
При этом учтено, что /г2^1, а потому	.
2.78. На основании (2.31) самоиндукция проводника определяется уравнением
— Ы~= — fjAdE.
2с2	2с J
Достаточно интегрировать по объему одного из проводов и полученный результат удвоить.
Если ось z направить вдоль тока (в рассматриваемом проводе), то (см. задачу 2.28) внутри этого провода
с
<21
с а2
4_2Lln-51; А = Аи = 0, с а х V
где R\ и /?2 — расстояния рассматриваемой точки соответственно от оси одного и другого провода.
Отсюда
2л а
о о
2Л а	rS
— f (Y 1-----L + 21n^E1rfEirf0.
ta2 .) J \	aa	a J
о о
Принимая во внимание, что
2л
In7?2d0 = J ln(7?f J-Z2 — 2E1/COS0) d0=2it InZ, о
получаем
L = 1 + 4 In — . a
2.79. В контура
воздухе магнитный поток через плоскость
Ф = C//Z!dS ==-у-Е.
Аналогично при наличии магнетика
Ф' = ^HndS = ~ L', где (см. задачу 2.35)
Н' = н +	- Н = Н,
Р- + 1 р + I а потому
2.80.	Если ось z направить вдоль поля, то из (2.24) получим
Vz = I’d cos а = const.
В плоскости ху электрон движется с постоянной скоростью ti = i’osina по окружности, радиус которой определяется уравнением
Итак, электрон движется с постоянной скоростью п.) „	mcv0 sin а
по винтовой линии радиуса г =---------------, шаг которой
еп
. 2зтг	п тс
h = —-------v0 cos а = 2л---v0 cos a.
v0 sin a	eH
2.81.	Примем направление электрического поля за ось х, а направление магнитного поля — за ось у (рис. 44).
Рис. 44
Чтобы лоренцова сила (2.24) уравновесила силу электрического поля F—eE, нужно, чтобы
с£'	„
v, =------- и vr - 0.
z в х
Составляющая скорости vy может быть произвольной.
2.82.	На основании результата задачи 2.80 индукция
— V2mW. eR
§ 6.	Закон электромагнитной индукции. Квазистационарные токи
2.83.	Э. д. с. индукции
®ивд =----- = — SBcosin (art + ©о),
с at с
где ©о — угол между нормалью к контуру и направлением поля в начальный момент t — 0.
2.84.	На основании (2.38) сила тока в контуре определяется дифференциальным уравнением
Интегрирование дает
/ = Лое L *-|------aSB sin (со/ + ©0 — ср),
1/ С2^2 _|_ JL W2£2
. соЕ .
где tg ср = -	, Ао — постоянная интегрирования, завися-
щая от начальной силы тока.
2.85.	Сила тока в цепи была равна
/ —
° Л’1 + Rz ‘
После того как сопротивление R2 было замкнуто накоротко, сила тока в цепи определяется дифференциальным уравнением
— L — + RJ =s
c2 dt
Интегрирование дает (с учетом начальных условий: при t=0, I = IG)
Z=-A_(l—е Ri
8
Ri + R%
е
2.86.	Так как разность потенциалов на обкладках конденсатора равна ~ , аналогично (2.38) получаем уравнение
— L + IR = Л. с2 dt	С
Сила тока в контуре
Ад dt
Подстановка в предыдущем ^уравнении дает
A^+jRA_ + jl = 0.
с2 dt2 dt С
Общее решение этого уравнения можно записать в виде
q —	-j- A2ekA,
где
fei,2 = - П ± /п2-^; п = ~~; “о = -^ •
Из начальных условий (при t = 0, q = q0\ I = — — = С)]
2.87.	На основании (2.38) для левого и правого контуров цели в отдельности (см. рис. 2) имеем
J_£	= _LJr/ _dk = y
са dt	с2 dt
где V — разность потенциалов на обкладках конденсатора. Отсюда
Ljlj — L212 — const = О,
(I)
потому ЧТО при t = 0 /]=/2 = 0.
Максимальной величины эти токи достигают в тот момент времени, когда заряд конденсатора равен нулю. / <72 \
При этом энергия заряженного конденсатора I полностью превращается в энергию магнитного поля токов, т. е.
(^j/ю 4 Л/20) —	.	(2)
Из (1) и (2) находим, что

10
CL2 (i-i + Lz)
_____. j _ CLj (Lj -| L2)
2.88.	Токи в контурах определяются дифференциальными уравнениями
1 , d‘Ir , 1 т d2I« А-Т.1 с2 dt2 1 r d2/2 --- Г-22
С2 dt2
+ —Л = 0, dt сг 1
dA + -L/_ = o, dt C„
c2  dt2
1 j d2lt
c2 dt2
где
d<7i . т ________ dq2
at ’	2 ~ <и
2.89.	Если ток разрядки конденсатора С2 обозначить через I, а заряд и ток разрядки конденсатора С\— соответственно через q' и то на основании (2.38) для контура 123456781 имеем (см. рис. 3)
с2 “ dt Cj С2
а для контура 1239106781
Исключив из этих уравнений q' и токи I и I' при
помощи соотношений
dq_ , j, =  dq' , dt ’	dt ’
получим искомое дифференциальное уравнение
-^+2Л-^ + В-0, dR dt2
где
__ с2 1^1 ~Ь 1-гС<> I-iC2 .	_ с4
2Д1/.2С1С,	’	'
2.90.	Если через q обозначить заряд па обкладке конденсатора, соединенной с положительным полюсом батареи, то на основании (2.38) имеем (см. рис. 4)
— L-^- + //? = «; IR = S— , с2 dt	С
где &L = I — at
Исключив /1 и q, получаем
<₽/ . 1 dt , с2 . с2 „ Ц-	-1—	/ —-----
dt2 RC dt CL LCR
Интегрирование дает
/ — _£ (J __ silW* g“ 2cR
R \ aRC	J ’
где
2 Г2 1 СО2 =----------------.
CL	4R2C2
2.91.	Заряд конденсатора определяется уравнением (см. решение задачи 2.86)
d2Q ।	9 л
—L + (0,с/ = 0,
dt2 gV
где
(О0 = --уг=— .
°	/ LC
Отсюда
q =-----— sin ы0Л
сооЯ
2.92.	Обозначим ток в контуре 1234 через 1, а в каждом из других двух контуров — через Ц. На основании (2.38) имеем (см. рис. 5)
2/. dl . 2Z.J2 dly (]
с2 dt + с2	dt	С '
L dli . I j 2 dl   (/i
l^~dt c2 dt	С
Исключив q, q\ и 1\, получим
— (£2 _.£2 )	+	+	=
С2 '	’ dti 2 dt2 2С
2.93.	На основании (2.38) имеем (см. рис. 6)
Са	С] ь2
Исключив Zj = —--------— и qlt получим
dt dt
q2 = C2S(l-e *<C‘+G)).
2.94.	Количество электричества, прошедшего через второй контур, оо
q2 = f I’dt = -J- (Фоэ - Фо) =	
.)	cR2
о
2.95.	Сила тока определяется уравнением
L_d2J_
с2 dt2
Отсюда
\/------------
J/ LQ (С, + С2)
Ci 4~ Сг LCjCi
t
2.96.	На основании (2.42а) комплексные амплитуды
токов в катушке и конденсаторе определяются уравнениями
Ло=—-— =—
I	1	\	С2
R + — со£ R2 Ф — со2£2 4
с2	с4
/20 =—^- = iVocoC, i
<лС
где*Vo — комплексная амплитуда приложенного напряжения.
Отсюда комплексная амплитуда тока в основной цепи
/о = Ло Н~ Ло =
= VO
R \ г' ------------J- I / (об /?2+~ и2£2--I
с4	V
со£
с2/?2 4- —— со2£2 I с2 1
С
Чтобы q и I совпадали по фазе, нужно, чтобы
£
с2/?2 + — <в2£2 с2
. 2.97. Искомая мощность равна мощности переменного тока, который индуцируется в контуре при его вращении.
Эта мощность (см. задачи 2.83 и 2.84)
п 1 r с « (?SWR
Р == —/0Sncosq) =-------------.
2	2 (с4/?2 + и2£2)
2.98.	Обозначим искомое напряжение между точками В и С через Vi (в комплексной форме). Комплексная сила тока в проводнике и в катушке определяется уравнениями (см. 2.42а)
V,
— • I -=
R ’	2
/? + —к£ с2
Напряжение между точками Л п /?
V - Vt = IR - V, 1 +-у-
\ R2 + ~^L2 4	с1
Отсюда
Я2 + 7Г “2£2
Vi = Ро..........................................	е1 <и/ + ,
, / /	2	\2	1
1 / ( 3R2 + — со2£2 ) + — uPLP-R2
V \	С4	/	с4
где
(&LR
2 Зс2/?2 + — со2£2 с2
2.99.	На основании (2.42а) комплексные сопротивления конденсатора и катушки равны соответственно
У1 =----Y2 = —aL.
аС	с2
Отсюда комплексный ток, питающий рассматриваемый контур,
и поставленное требование будет выполнено, если
— Д____	.
у LC
2.100.	Оба контура можно рассматривать как одну цепь переменного тока, состоящей из последовательно соединенных между собою генератора, индуктивности Ь\, емкости С\, сопротивления (R\—г) и параллельного соединения сопротивления г с последовательным соединением индуктивности Z.2, емкости С2 и сопротивления (^2—г) (см. рис. 7).
Комплексное сопротивление этого параллельного соединения определяется уравнением
( 1 1 \
(«2 — г) + i I — w£2 —— 1 \ с2 соС2/
Комплексное сопротивление всей цепи
Г = (^- г) + i (4 со£1------------------г>-
\ с2	соС| J
Комплексная сила тока в первом контуре
Сила тока во втором контуре определяется уравнением
Л : (^i Л) г : Г (Ri — г) ~К i’ (— w£2 L	V с2
Отсюда
2.101.	Магнитный поток
Ф = СHdS = -х- С —	 2/ л -Гп — ,
J	с J г с а
а
где х — расстояние АВ от R. Сила тока
2.102.	На основании (2.23) на проводник АВ действует сила
ь
с ,]	с2 а
а
в направлении, противоположном движению проводника.
Чтобы проводник АВ двигался равномерно, к нему требуется приложить силу той же величины, но в сто
рону движения. Мощность этой силы
т. е. равна мощности индукционного тока.
2.103.	Элемент длины стержня, находящийся на расстоянии г от точки О, движется со скоростью v = ar, а потому на основании (2.43) в нем индуктируется э.д.с.
^^инд = ~ Hv dr = — Hr dr
Полная э. д. с. в стержне
i
«инд=—{rdr = — — HP.
д с J 2 с
о
2.104.	Пусть в начальный момент времени (/=0) проводник ОА занимает горизонтальное положение, от которого будем отсчитывать угол поворота a —cd (рис. 45).
Если по проводнику ОА проходит ток I, то па основании (2.23) на него действует.сила
' F = — аН,
с
момент которой уравновешивает момент силы, тяжести, а потому
— иН — Р cos со/. с
Чтобы вызвать этот ток, нужно к концам проводника 0/1 приложить напряжение (см. предыдущую задачу)
V = IR 4 SIIH = R cos со/ 4- — — На2. д аН	2 с
2.105.	При колебаниях маятника в нем индуктируется э. д. с. (см. задачу 2.103)
пнд 2с dt
где и— угол отклонения маятника от его положения равновесия.
При этом сила тока в контуре (см. рис. 8)
j _ dq __ £ dg11Hj _ CHI2 сРч dt	dt 2c dt2
На основании (2.23) на нить маятника действует при этом сила, момент которой
Л7 г. I	С IFF d2a
2	4с2 dt2
Движение маятника определяется дифференциальным уравнением
J ji_a =	g.n и — n
dt2
где J=mlz — момент инерции маятника. Отсюда период малых колебаний
Т = 2л1/ fl4-£^iA-L.
У \ 2с2т J g
2.106.	При падении стержня АВ в нем индуцируется на основании (2.43) э.д.с., равная
£,нд =
и на стержень АВ, помимо веса (mg), действует согласно (2.23) электродинамическая сила
F — — 1Н =------v,
с	FR
которая согласно правилу Ленца направлена вертикально вверх.
Падение
уравнением
стержня определяется дифференциальным
dv	H2P
tn----— mg —---------v.
dt b c2R
Отсюда, г"”----
ной нулю, находим, что
полагая начальную скорость стержня рав-
c2R	----
v =-------mg (1 — e mc^ ).
//2/2	& v	’
2.107. Сила тока в контуре определяется дифференциальным уравнением
L dl . п. HI —-------\-RI =----v,
с2 dt	с
а падение стержня — дифференциальным уравнением
dv	Hl r
tn-----=- mg-----------1,
dt	c
2.108. Сила тока в контуре
j _ dq ___ Q dS _ CHI dv
dt dt c dt
Падение стержня определяется уравнением
dv	Hl т	CH-P dv
m—- = mg
dt
Отсюда
I = mg с
c2 dt
dv dt
&____
СНЧ2
me2
= const,
t. e. стержень падает равноускоренно.
ЧАСТЬ III
ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Токи смещения. Потенциалы электромагнитного поля
3.1.	Для плоского конденсатора индукция
D — 4ло, плотность тока смещения
1 дР да _ /	.
/см 4л dt ~ dt ~ S ~ /пров’
Г dq	с
где 1 =-------ток проводимости, о — поверхность оо-
dt кладки.
3.2.	Для цилиндрического конденсатора
2Х . ; _ 1	___
R ' /см	4л at 2nR dt ~ S ^пров’
Для сферического конденсатора
п = _£_.	•	1	дР	_	1	дд	I
г2 ’	/см	4л	dt 4лг2	dt	S	'проВ‘
3.3.	На поверхности проводника
Е= —; Н= — о ля2сг	са
и имеют указанные на чертеже направления (рис. 46), а потому вектор Умова—Пойнтинга направлен внутрь проводника и по величине равен
Энергия, поступающая в единицу длины проводника за единицу времени, равна
/2
2xaS = —= RE,
ли2 л
г> 1
где Е — —;— — сопротивление единицы длины провод-ля2 а
ника.
3.4.	При указанных условиях вторая пара уравнении Максвелла (X) может быть записана в виде (с учетом закона Ома (2.2))
div Е - 0; — rot В = — оЕ +
Е РЕ
с dt
Если вместо Е и В подставить их выражения через потенциалы, то с учетом калибровочного соотношения мы получим искомые дифференциальные уравнения для потенциалов.
3.5.
Е = grad (div П) — у2П — rot rot П, Н =	°- rot п + — — rot П.
с	с dt
3.6.	Из уравнений Максвелла (X), если пренебречь / 1 dD \	, ,, 4л .
током смещения (----------), следует, что rot п = J,
\ 4л dt )	с
а потому
div j = — div Е — 0. с
Затем, беря rot от другого уравнения Максвелла, получаем второе требуемое уравнение.
§ 2.	Электромагнитные волны в неограниченной среде. Волновые пакеты
3.7.	В комплексной форме искомые уравнения имеют вид
Е= А- е1^-^; Hv = XX- А  у Гр
Etl = Ег = Нх — Нг = О,
где А — произвольная константа, а
k =----\ ер .
с
3.8.	Искомые уравнения имеют вид
Ех = 0-	Пх = 0.
—ZCO ( — Х~рЛ	—/со (— Х~Р/ —
Еу = Ае	Ь	) Ну = —пАе	Vе 2/;
_|-Ш f 2L xj-t- —)	—ICO ( — х-рЛ
Ег = Ае	Vе 2';Нг = пАе	Vе	Л
3.9.	Искомые уравнения имеют вид
Е0 = Л^-СО5(^-Ю° ;
Г
Н@ — — КВе,.sin (^ — ^ + tp0) .
Г
Е = Ве~™ sin(^~MZ) ;
Г
Н =	со5(^-ю/ + <р0).
г
Ег = нг^ 0,
где г, 0, ф — сферические координаты, а действительные
параметры k, х, Z и <р0 определяются уравнениями
, , . со , /	, . 4ла .	. 4ла
k + т = — 1/ в + г ----;	= 1 / е + i---—.
с У	to	У	со
(см. формулы (3.10), (3.6), (3.12) п (3.18)). Отсюда
3.10.	Если направление распространения волны принять за ось z, то
Ех = A cos ср; Еу = В cos (<р + а); Ег = 0, где q>=kz—at; А, В и а — постоянные.
Исключив из этих уравнений ср, получим
£2	z? 1 р	Е2
—-----2	. —- cos а --— = sin2 а.
Л2	АВ	В2
Это уравнение эллипса в плоскости (Ех, Еу).
3.11.	Если направление распространения обеих волн принять за ось z и их частоты обозначить через ссц и <В2„ то
Ех} — A cos (kz — a J); Е^} = A cos (fe — и21),
Еу} — A sin (kz — оьО. Ey} = — A sin (kz — и2t).
Отсюда для результирующей волны
Ех = Е{" + Е™ ~ 2 A cos t cos (kz - А,
Еу = В'” + 42) =	sin ——“L t cos f	.
2	\	2	/
Аналогичные формулы имеют место и для вектора
Н. Это почти линейно поляризованная волна с частотой С01 -р Ю2	о
со=—-------.направление поляризации которой медлен-
„	(02 —
но поворачивается с угловой скоростью ---------.
3.12.	Если электрический вектор линейно поляризован, то амплитуду его (с точностью до несущественной начальной фазы) можно считать |Веществе®Лп и тогда из (3.11) следует, что
к'Е0 =к"Е0 = 0.
Если положить Н = Н0 ф-iH0, то из (3.12) имеем
н; = —— [k X Ео]; н; = — [к" х Ее].
(ИО	рю
Отсюда следует, что Но' и Но" лежат в плоскости, проходящей через, к' и к", и не колинеарны, а потому магнитный вектор Н описывает эллипс.
Аналогично доказывается и вторая часть задачи.
3.13.	Из уравнений Максвелла (X) с учетом того, что о	I
---= U, а ц='1, имеем
dt	г
1 Л
rot rot Е = grad div Е — v2 Е =-----------------rot Н =
с dt
е Л2Е
с2 dt2
rot rot Н = grad div Н — v2H = — rot ( e —— 'l — c \ dt j
e	, ЛЕ , 1 Г	, 6E 1
= — rot----------1--grad e x---------- =
c dt c L	St _
e	d2H	1	,	, U1
= —г	"1— terade x rotHl-
cl	dt*	E
Итак, окончательно
у?2 E---!——--------grad div E = (J,
v2 dt2
‘>u	1 S2 H 1 .	,	, U] n
V H----------------1--[grad e x rot H] = 0.
v2 dt2  e
Эти уравнения верны и для проводящей среды, если е считать комплексным (3.18).
3.14.	а) Поле линейно-поляризованной плоской монохроматичной волны описывается уравнениями
Е = Eo^kr-aX); н |/ ~ [у Е
где все параметры вещественные. При этом р = 0, а потому можно на основании (3.5) положить ср = О п тогда на основании (XVII)
„	1 йА . о, .
Е = — — ------= i — А;
с dt с
А*=—/ —Е = —Еое to со
i ( kr—и/ — , (	2 .
б) Если направление распространения волны при-
нять за направление оси z, то
Ех = Ео cos (fe — со/); И
Ео shi(Z?z— со/).
Еу = Eosin(fe — со/); Ну = ]/ — E0cos(/?z— со/);
Ez = Hz = 0.
Вектор-потенциал А находим но формуле
А = — с jEc/Z.
Отсюда
А =-----Н.
k
3.15.	Если ось z направить вдоль распространения рассматриваемой волны, то (см. уравнения (3.12) и (3.13а))
— — n"z I f — n'z—
Е = Еое с е ' с /;
И = — (п' + in") Е = — Vп'2 4- п"2 р	р
п" tgcpo= —.
Чтобы вычислить вектор Умова—Пойнтинга, нужно векторы Е и Н записать в вещественной форме. Имеем
СО „	ч
----п Z / СО	\
Е = Еие с cos I — n'z — со/ I;
_ — и4-'
и = — К/г'2 . п"9 Е0е г cos (— nz — at + <р0 Н	\ с
Отсюда интенсивность волны, т. е. среднее значение вектора Умова—Пойнтинга,
— С -------- С п'% Л- п'^ r-,2 — 2 — n''z
S =----Е-Н = —--------i----Ео е с cos ср0 =
4л	8лр
сп' 2 ~2 8лр £°е
Поток этого вектора через указанную поверхность куба, т. е. через оба основания куба, равен г	„ со
Г СП	„	—2 — ,г а
й - Еос2 (1 — е 8лр и v
С другой стороны, мощность джоулевых потерь в объеме этого куба (см. уравнения (2.5) и (2.2)) равна
J оЁ2 dV = j оЕ2 a2dz = оЕо a2 J е с dz = о	о
С&вЕц	—2 — п"а
что совпадает с выражением (*) для потока энергии, если учесть, что на основании (3.19) п'п"=
3.16.	Интенсивность волны
J = [(Re Е) х (Re Н)1 -4л
с
4л
1(Е + Е’)х4(Н + Н’)
л
= — {[Е х Н] + [Е < H’l + [Е- " Н] + [Е* X Н*|}. 16л
Для монохроматичной волны векторы Е и
а потому первое и последнее слагаемые при усреднении обращаются в нуль.
11так,
J == Re—[Е х Н*].
8л
Это выражение от времени не зависит и усреднение излишне.
Для случая, рассмотренного в предыдущей задаче, к = — (/г' + in") z0, где z0 — единичный вектор оси г.
С
На основании (3.11) и (3.12) Н = —— [кхЕ]ик*Е -О, рю
а потому
г2
S+ = -^-[Ex[k*xE*]] =
8лрсо
= —kJ (ЕЕ*) =	(п' — in") I Е I2.
8лрсо v ’ 8лр	71	1
Отсюда интенсивность волны
™'	9 -2 — п-г
J=. ReS+ = —с 8лр
что совпадает с результатом, полученным в предыдущей задаче.
3.17.	Положив и———, на основании (3.10) и (3.16)
имеем
Отсюда
dv	d<ft
v — аи*	со
Интегрируя, находим, что со2 — ———, т. е.
1 — av2
Т aco2 -f- b
где а и b — постоянные. Отсюда
3.18.	Для прозрачной среды е, р и к вещественны, а потому па основании (3.10), (3.12) и (3.22)
W -J- (сое) + — -^~ (М| ЕЕ* . 16л I ат	р dco J
2с (у 8 dco	у р асо J
= -*-(2/ёр + w fl/
2с (	\ V е dco |/ р dm ))
С другой стороны, на основании (3.6), (3.10) и (3.15)
— = Л = J—((йП) = JL _±_ (со /ф) = и dm с dm	с dm
3 19. Указанный электромагнитный импульс можно записать в виде
Г A(k)№~^dk = f A^e^-^dk.
Отсюда
+«>
f0(z)= J A(k)eil<zdk, —оо
т. е. A (k) есть фурье-образ функции fo(z), а потому
[+=»
2л J
fe262
e~ikzdz = —-— е	2
2л
Подстановка в исходное уравнение дает
(и/—г)2
/(?,/) = —X—е	•
' '	’	1 2л 6
3.20. Электромагнитный импульс можно представить в виде
4°° х- Iх Л
f(x,f) = J А (со) ё^ -^ da - j /1(со)е V v ) da.
—оо	—оо
Отсюда
/о (0 = J‘А (со) е~г‘ da,
—оо
т. е. Л (со) это фурье-образ функции /о(О> а потому
4~ОО
А (со) = -4 - f /о (0 dt =
2л J
•—00
4-Z-
' 2	. (со—Ио)?'
р	sin •----------
— ___CL_ I ег(ю— ЫоУ (Ц — £
2л J	ли — со0
т 2
Подставив это выражение в исходную формулу, получим (в вещественной форме)
+«> . (и — н0) Т р sin-------------
п I	2
f(x,f)=-— 1	cos (kx — at) da —
7 л	co — u0	v	7
“ sin^(u— aB)T ---------•-----cos (kx — at) da.
co — u0
2a I
л J о
Искомая спектральная плотность равна
1
2а sinT(w  “'’)7
JT	CD — CD0
3.21. При указанном на чертеже (см. рис. 11) выборе осей координат рассматриваемая волна определяется уравнениями
Е — Еу = A cos (kx — со/); Н — Hz — A cos (kx — cot).
Магнитный поток через площадь, ограниченную антенной,
Отсюда-э. д. с. индукции
1 d Ф	ak	f	ak
8 =--------= 2aA sin —x- sin I cot------
c	at	2	\	2
Тот же результат можно получить по формуле
8 = f> Е dl = а А (Е;
а — Ех—о) •
§ 3. Поляризация вещества в переменном поле
3.22. Подставив в (3.1) вместо е(/) ее разложение в ряд Фурье
е (/) — —J_ - С е (со) e~lat dco,
-—оо
где
е(со) —-—4— С е (/) e”>l dt = — ( е(t) e‘at dt (*)
— оо
। 2л „
(по определению е(/) =0 для /<0) и аналогичные интегралы Фурье для D(/) и E(t). В результате получим
) 2л
D (со) e_/m/ dco =
—оо
Ц-оо -|-сю	--с£>
=	*	(	dr (	е (со) e~ibn den	I	Е (со') т> da' =
(у	2л)	,1	J	J
•--30	—оо	 00
-|-0О	оо.
= —-J=- i е (со) da I Е (со') e~ibyt б (со' — со) da' =
у' 2л J	J
—оо	- -оо
4-СО
= —z 1_ J е (со) Е (со) e~ib,t da. —оо
Отсюда следует материальное уравнение (3.2), где комплексная диэлектрическая проницаемость е(со) определяется уравнением (*), из которого с учетом того, что е(/)—вещественная функция, следует, что е*(со) = = е(—со), а потому
е' (— со)	ie" (— со) = е' (со) — ее" (со),
т'. е.
е' (— со) — е' (со); е" (— со) = — е" (со).
3.23. Разлагая е(/) в интеграл Фурье, находим
д
е (t) e£at dt =---—------------j—
•i г2л ( (co — —
\ a >
что можно записать в виде
8(C0) = -L,
1 — laco
где е0 = —т=------статическая диэлектрическая прони-
у 2л
цаемость (со = 0).
3.24. В указанном приближении (—	1 j искомое
\ с )
движение определяется дифференциальным уравнением
с/2 г	,,
т-----= еЕ,
d/2
где
Е = Еое'’(кг~Ь)/>.
Если за начало координат выбрать начальное положение частицы, то можно положить
E = Eoe-'w (kt cot),
и мы получим, полагая начальную скорость равной пулю,
е г г =------Е.
т(02
3.25. Плотность тока j = A?ev, где N— число свободных электронов в единице объема (тяжелые ионы не поспевают за быстрыми изменениями направления поля). На основании результатов предыдущей задачи скорость электронов (начальная скорость в среднем равняется пулю)
dr	е	dE	. е г
V =-----=-----------= I------Е.
dt	mco2 dt	ты
Отсюда
т. е. проводимость
. We2
СТ — I---.
ты
Вектор электрической индукции
D = Е + 4лМег = Е — 4лМ—-— Е. ты2
Отсюда диэлектрическая проницаемость
1	л - tie2
е = 1 — 4 л-----.
т<л2
3.26.	Из результата, полученного в предыдущей задаче,
, f \ л Ne2	Л
следует, что при со = 1/ -----, е = 0, а потому
у т
Е = Е„	Н = 0; D = В = 0
есть решение уравнений Максвелла (р=/ = 0) при условии, что векторы Е и к колинеарны,
3.27.	Направим ось z вдоль поля Яв. Тогда дифференциальное уравнение движения электрона
р
т~~ = еЕ-]-------[v х Но]
at‘	с
в проекциях на декартовы оси координат запишется так:
е г, , еН„ •	е „ еНп • 	„
х = — Ех Н-----у, у= — Еу----------°- Л-; z = 0.
т	тс	т	тс
В переменных и, ё и 5^ оно примет .вид
 	р н  р
и + i ~sl u = ±_Sy	(*)
тс т
а уравнения Максвелла запишутся так:
2£__L^ = 0;	+	=	(**)
dz с dz	dz с dt	с
Решение уравнений (*) и (**) можно найти в виде
8 =	Ж = Se±z(fe-“0; и = (ге±с(*г-ь)/)>
Подстановка их в уравнения (*) и (**) приводит к следующей системе однородных и линейных относительно А, В и а уравнений:
— со*4 ——- g) j — —	tkA — —
тс J т	с
ikB — А = — со Nea.
с	с
Условие разрешимости этих уравнений приводит к двум возможным значениям волнового числа k, а именно
/г2 =
При Но = О мы получаем отсюда решение предыдущей задачи,
Движение электронов определяется уравнением
а	е
и =----S', г =------
А	т
E
2+ EH0 ’
CO2 + CO--
me
что при Ho = O совпадает с результатом задачи 3.24.
3.28. На основании (3.16)
1 и
п	со dn
---1	1 ' с--с аа
Используя результат предыдущей задачи, находим
пхА -2л—У—7-с//0 со2 + со----
тс
Отсюда
е
N — т
± )
тс J
3.29. Из результата задачи 3.27 видно, что ные явления имеют место, если частота волны
— = — 1 Д- 2л и с
резонанс-со=^-,
тс
поля Hi
т. е. при длине волны
% = 2лс = 2nmc4 s 2д 1Q4 см_ со еН0
3.30.	Направим ось z вдоль постоянного
Уравнение движения электрона 'в поле монохроматичной волны
т = — т«?г + eEue~‘al Д- — [v х Но|
Л2	и	с
в переменных т], z запишется так:
+ (2Й	+ 0$ = —А;	— i2L'l d^~ +
dt2	dt ° т dt2	dt
4- (Ло — — В,
’	" m
d?z ,	„	е г,
------ь w,.2 = —
Л2 °	т	г
где
£i = -^SLt А =-------L(Ех + iE± В = -L(Ех-«£„).
2тс	) 2 А у' -j 2 А
Отсюда (принимая во внимание, что d . . ----------------------------= — ко) dt--------------------------'
g___ е А _	___ е В
т (Од — io2 + 2<ой	m <0р — ю2 — 2wQ ’
е Е, 2 =-------------.
т Gig — (о2
Перейдя к переменным х, у, z, получаем
е аЕх — ibEy _	е аЕи + ibEx
т	а1 — Ь- ’	т а2 — Ь2
е Ez
т а
где
а — о>2 — со2; b — 2toQ.
Составляющие вектора электрической индукции оп ределяются уравнениями
Dx — Ех 4л7Уел'; П(у = Еу -}- 4nNey, Dz = Ez + 4лДГег Отсюда находим тензор диэлектрической проницаемости
/1+ ___L«—;	__z^; о
а2 — Ь2	а2 — Ь2
6</е=	14----L; о
й	а2 — Ь2	а2 — Ь2
О	0	1 + -^-
а
где f = 4лТУ —. т
3.31.	Если спроектировать уравнение (3.12в) на де-картовые оси координат и воспользоваться материаль-224
ным уравнением (1.5а), то получим систему однородных уравнении относительно Ех, Еу и Ег.
Приравняв детерминант этой системы нулю и воспользовавшись результатом предыдущей задачи, получим следующее квадратное уравнение относительно и2/с2.
("j)2 6ZZ (6л2л- - । еч/ Г“) - Г(1 + C0S2 0) Ел/2г +
+ (1 — COS2 0) (ед2а. — IFх,, I2)] + (ед-л Sin2 0 + ег2 cos2 0) = О,
где 0 — угол между направлением волнового вектора (к0) и направлением поля Но.
3.32.	Волна распространяется: а) вдоль поля Но(0=О). В этом случае фазовая скорость волны определяется уравнением (см. решение предыдущей задачи)
Отсюда
с2 _________1
Г2 елх “ I 6Л1/ I
Подстановка в уравнение (3.12в) с учетом материального уравнения (1.5а) и тензора в,-, полученного в задаче 3.30, дает, что Еу = + iEx, (Ег = 0). Это значит, что рассматриваемая волна поляризована по кругу; вправо с показателем преломления пх = ехл. -]-| ъху | либо влево с показателем преломления = Уехх — [е |;
б)	поперек поля Яо^0 = ~^. В этом случае фазовая скорость определяется уравнением
(-у) EZZ (Е1 - I Чу I2) - -у (Е1 — I J2 + V») + Ела. = 0. Отсюда 2	2
t’l _ 1 .
с2 е22 ’ с2 е2хх — | ех!) |2
Подстановка (3.12в) дает (не уменьшая общности можно положить /го.х=1; koy=koz~0), что первое значение фазовой скорости соответствует волне, поляризованной
вдоль поля Hq, а второе — волне, поляризованной по эллипсу в плоскости ху:
ЕХХЕХ=Ц^У\Еу< Ег = 0
(не поперечная волна).
л2 .1 я2
^11
§ 4. Отражение и преломление электромагнитных волн 3.33. На основании (3.22) коэффициент отражения
S, R\+R\
Р Sa
Коэффициент прохождения
б=
Sa	4+Л2±
где А || = A cos 0; А± = A sin 0.
Индексы а, г, d относятся соответственно к падающей, отраженной и преломленной волнам.
На основании формул Френеля (3.20) имеем отсюда, что
tg2 (a — pi д . sin2 (a — Р) . »п р = - -—---------— cos2 04------------------— sin2 0,
tg2 (a + P)	sin2 (a + P)
4 cos2 a sin2 P sin2 (a + P)
cos2Q +sinel /e~ . cos2 (a — P)	J
где sin P =
sin a
/e '
3.34.	Закон сохранения энергии требует, чтобы энергия, приносимая (за каждую единицу времени на каждую единицу поверхности) падающей волной, равнялась энергии, уносимой отраженной и преломленной волнами, т. е. чтобы
Ju cos а = Jr cos а + Ja cos р или
cos a = р cos а Ц- б cos р.
Легко убедиться, что найденные в предыдущей задаче значения р и б удовлетворяют этому требованию, 226
3.35.	Формулы Френеля (3.20) можно записать в виде
/?ц = г и Л и; 7?j — грДр; Иц ctMu; DL = d±AL.
1.	Для естественного (пеполярпзованного) света нужно результат задачи 3.33 усреднить по всевозможным значениям 0.
Принимая во внимание, что cos20 = sin26 = —, получаем
Р = ~	+ ф; б = -у /ё (d2 + d2).
2.	Эллиптически поляризованную волну (а и b — полуоси; ср — угол между полуосью а и плоскостью падения) можно рассматривать как совокупность двух линейно-поляризованных волн с амплитудами а и Ь. Для них имеем
Pi — г2 cos2 <р + sin2ср; ф = ]/е (d2 cos2ср -ф d2 sin2 ср), р2 = г2 sin2 ср 4- cos2 ср; б2 = Кб (d2 sin2 ср ф d?. cos2 ср).
Отсюда
р = Pig2 + Р^2  § _ 6ig2 ф 6ф2 й2 ф b2 ’	а2 Ь2
3.36.	Если падающая волна липейно-поляризована, то
Ди = г к A cos О; /?^ = rjj4sin0; Оц =dni|Cos6;
D± = di 21sin0,
т. е. отраженная и преломленная волны также линепно-поляризованы в направлениях, составляющих с плоскостью падения соответственно углы
er = arctg (i- tg 0); 0d = arctg tg o).
Если падающая волна эллиптически поляризована, то отраженная и преломленная волны также (вообще говоря) эллиптически поляризованы, ибо состоят из двух волн, сдвинутых по фазе на 90°, амплитуды электриче
ских векторов которых имеют составляющие
Т?!!1’ = гцй costp; 7?^ -= rlG sin ср, = г ц& sin ср;
- Q&coscp
для отраженной 'волны и
D'i’’ = d к a cos ср; D{f d±a sin ср; Dff — d);bsincp;
-^1 = cos 4 для преломленной.
Если падает естественный (неполяризованный) свет, то отраженный и преломленный свет частично поляризованы, ибо
г II	г _р и d j	d ।.
3.37.	На основании (XVI) электромагнитная волна переносит в направлении распространения количество движения, объемная плотность которого
Отсюда искомое давление, т. е. количество движения, сообщаемого за единицу времени единице поверхности в направлении нормали к ней,
р = — - (cos ci р COS CI-— COS p),
где Ja — интенсивность падающей волны. Остальные обозначения те же, что и в задаче 3.35.
3.38.	Если в формулы Френеля (3.20) положить
. а sin а „	, / . sin2 а
=	cos₽=|/ 1-------_
то получим требуемый результат.
3.39.	Если в формулы, приведенные в условии предыдущей задачи, положить /г=1+Д/г и пренебречь малой величиной (Д/г) по сравнению с единицей, то мы получим
= 1
Л11 A,L
1—7 1 + 2Д/г  tg2 а
1 +	1 -р 2Дл4^ ’
Введя угол скольжения Ф = ~-----а < 1, получаем для
коэффициента отражения
р= ( Гф2 + 2Дл-<р V
\ уф2 + 2Л" + ф /
3.40.	Можно воспользоваться формулами Френеля (3.20), положив
sin р =	— sin a; cos р = tx, где х =	~ s'n'2 а — 1 •
Тогда
tg(«—Р) tg (« + Р)
sin (Р — а) sin (Р + а)
Отсюда |Гц |а =|Г1|2= 1-
Коэффициент отражения
IQ,
'	Д2 Л2
А II +
3.41.	Прошедшая волна может быть'записана в виде
Ed = нг/ = р72 Г-J^ X Е J.
L kd J
Если границу раздела обеих сред принять за координатную плоскость z=0 (z>0 соответствует среде с е2), а плоскость падения — за координатную плоскость £1 = 0, то
кг = kdx 4- kdz = — (х У в । sin а 4- । х У Е22). С
Отсюда
Ь)	,
г -> ~H,rz ( f A'sin а
Ed = De 12 exp J iw (--------1 H.
I \ Vl J)
Итак, прошедшая волна распространяется вдоль оси х, т. е. вдоль границы раздела, а затухает вдоль оси z (неоднородная волна). При этом D имеет отличную от нуля составляющую D ц, а потому ДЛ.=£)ц cosp^O.
3.42.	Если положить
D„ = | D„ | е1’4’» и £)± = [ГД
то при z = 0 для прошедшей волны имеем (см. предыдущую задачу)
. I / xsina \ ,	, л I
с r!f!) а I га I ' О \ й------O+wn + v
Ех = Е j cos р — | D || | х е L	" 2 J,
Е, = Е^ = |Г±|?[и^^+ч’^,
Hx = — 1^в2 cos p Ey = x |Ле21 ГД I v' +<Г± 2',
]/^(cospEx — sinpEj = |D|| |/e2e
Перейдя к вещественной записи, получаем, что
= =
J—хе21 Е)« I2 sin 2
8л 1	1 11
— хе21 DjJ2 sin 2 ю
лг sin a	Л , И
--------------q + 'f-L Ь
Vi	J J J
Отсюда видно, что среднее значение S2 равно нулю.
3.43.	Для электрического вектора отраженной волны имеем
7?и = г || А ||;	= OlAjl,
где (см. задачу 3.40)
Положив
находим
tg-^-tg-^i- = -l/-^^-.
2	|/ е2 cos а ’	2	у е2 cos а
Отсюда
. *P l (Р ||  cos а У sin2 а — /г2
2	sin2 а
где п = |/ — — относительный показатель преломления.
3.44.	Отраженная волна остается линейпо-поляризо-ваиной, если cpj—<рц =0, т. е. если (см. предыдущую задачу) cosa = 0 (скользящее падение).
Поляризация по кругу получится, если —ср ц =	,
т. е. если sin2 a cos а]/ sin2 а — п2 и если, кроме того, ЯII I = |/?д|, т- е- (см. задачу 3.40) если Лц = Ау—падающая волна поляризована под углом в 45° к плоскости падения.
3.45.	Интенсивность волны ослабляется лишь при входе и выходе из призмы, а потому (см. 3.20а и решение задачи 3.33)
Jo. ,	(1+n)4
Фаза меняется лишь при отражении. При этом |7?J — = |₽х| и 'возникает разность фаз (см. задачу 3.43), для которой
tg	—?IL = J_ |/722 _ 2,
2	n
а потому вышедшая из призмы волна эллиптически поляризована.
3.46.	Запишем падающую (fi), отраженную (г) и прошедшую (с?) волны в виде
Еа = A/V “A Er =
Е„ = De/(k'Jr-Mrf/); Н = —[к х Е], сор
где
	, со	. 4яа \ со , , . .
k =-----1/ И ( е + i ----) — — (п + гх).
с »	\	со / с
Обычным способом, т. е. из граничных условий для векторов Е, D, В и Н па границе обеих сред, получаем
(оя = <ог = cod; а = у; sin а = k2 sin |3;
(Л и -г- 7? ii) cos п = О и cos ₽; Л± +	= О L;
cos а(Л± — 7?jJ =
Pi	Ра	Pi
= -^~£)± cosp,
Р2
где а, ₽, у—углы падения, преломления и отражения
Отсюда
R II _ feitj cos а — А,р2 cos р е D ц  ____2/дРа cos а____.
II /г2р! cos а + &xp2 cos Р ’ л ||	A2pi cos а + ^хр2 cos р
R_L /cjp2 cos а — k^i cos Р _________ ____2/?ip2 cos а___.
^iPa cos а + /е2рх cos Р ’	/др2 cos а Д- й2рх cos р
При нормальном падении
^|| _ МЛ — p2fex . 79 ц	2/г,р2
II Р1^2 + Рг^1 II Рс^2 + РгЛс
Д]_ =_____РА —Рг^1 . Р± _	2^1^
Л1	рА + рА ’ А1 Р1Л2 + Р2Л1
3.47.	Интенсивность отраженной волны
Jг ~ Р"^0>
где
1Яц 12 + 1Я±12
Р -------°—---------—.
И12
Принимая во внимание, что
71ц = 71 cos 0;	= Д sin 0,
имеем
- rj_71cos0; /?ц = г у 71 sin 0,
где г и и Гд определяются полученными в предыдущей задаче обобщенными формулами Френеля, если положить
1	1	1	-о /	1 Л • О
Pi — щ ~	~	= — 1/ & 4nt—-,
с	с у	со
а именно
Отсюда следует, что отраженная волна эллиптически поляризована, а интенсивность ее
Л = РЛ = М г и j2 cos2 0 4- | r_L |2 sin2 0).
Если о = оо, то | г у | = | г± | = 1, т. е. Jr = Jo (р = 1).
3.48.	Из формул Френеля (3.20а) следует, что для случая /1 = 00
Ег = — Ео, а потому Н, = Но.
Итак, на границе раздела, в вакууме Н = 2НП, а в проводнике Н = 0 (см. задачу 3.32).
Отсюда на основании (XXia) поверхностная плотность токов
сНа 2л
сА ,
----cos (0 t, 2л
где амплитуда
падающей волны 71 =
3.49.	Для этого нужно (см. решение задачи 3.47), чтобы
|П | cos 0 = | г± | sin © и q у — <p± =
Этими уравнениями определяется угол падения п и угол 6, образованный плоскостью падения с направлением поляризации падающей волны.
3.50.	-	-	--
нием
Векторы Е и Н связаны между собой соотноше-
Я =
где
е = е + i ; Е = Ео (х, у, г) е~'' “/.
со
Отсюда,
е
положив — р
е'т, получим
в
Р
— i со/—
Н = Но (х, у, z) е \
где
, 4ло
tg <Р =--------
ECO
Если
о	ср	л
------» оо, то ~.
есо	2	4
Эта задача решается обычным способом (см. задачи 3.33, 3.38 и 3.25), а именно
3.51.
n2 cos а — |/ п2 — sin2 а
cos а — з п2 •—sin2 а
2/г cos а
----------- dy =
n2 cos а + j п2 — sin2 а
cos а -|- -\ гп2 — sin2 а
2n cos а
cos а -j- р п2 — sin2 а ’
где
с/И =
„	. 4пЛМ2
/г2 = 1-----------
тсо2
..	„ . 4лЛД-2
Если or <C--------,
tn мнимая величина для потому
то п2 < 0, и Vn2— sin2 а — чисто всех значений угла падения а, а
к п | =-1 г г 1 = 1-
При этом коэффициент отражения
ПИи'2 + 1^2	!
|Л|]12 + |Л112
3.52. Падающую волну с амплитудой А можно заменить двумя поляризованными по кругу (в противоположные стороны) волнами с амплитудами . Отражение и преломление каждой из них определяется формулами Френеля (3.20а) с показателем преломления пг — = } ед.А. ф- |vxV | для одной из них и п2= » ехх— |е^| — для другой (см. задачу 3.32). Отсюда интенсивность отраженной волны
2
иг — 1
rtj + 1
Л2---1 2\ J
-----ГТ'	J*'о я2 + 1	/
Интенсивность прошедшей волны
Jd = Jo — J г-
Отраженная волна состоит из двух поляризованных по кругу волн: одна из. них поляризована вправо и име-г> 1 -Т Л ет амплитуду 1<у = —-----—- А, а вторая — влево и
имеет амплитуду	—~~—~А. Результирующая
2 zig 1
поляризация эллиптическая. Полуоси этого эллипса II —/?2..
Прошедшая волна состоит из вправо поляризованной по кругу волны с амплитудой Dt - ----j-j— А и влево
поляризованной по кругу волны амплитудой Е>2 = = —- А.
пг -j- 1
Эти волны распространяются с разными скоростями vt = — и v2 = —. Обычно |е | < &хх, а потому на-^2
правление поляризации прошедшей волны (ось эллипса поляризации) поворачивается вдоль ее распространения (см. решение задачи 3.11).
3.53. Тензор диэлектрической проницаемости, полученный в задаче 3.30, применим к электронному газу, если положить ыо=О-
«1
Отсюда следует, что отраженная волна также поляризована по кругу вправо, а интенсивность ее
где
' л —Y т . «+ 1 7 °
14.1-	4-1^1; елл - 1 + — га~
3.54.	Отраженная и прошедшие волны линейно поляризованы в направлении магнитного поля Но.
Интенсивность отраженной волны
/7 I g 1
где
3.55.	Обозначим проницаемости и проводимости сред соответственно через	вгЦгОг (для слоя) и взЦзОз
(рис. 47). Остальные обозначения понятны из чертежа (плоскость падения совпадает с плоскостью xz). Элек-
236
трические векторы падающей (а), отраженной (г) н прошедшей (d) волн можно записать в следующем виде:
Ес — A exp {i {/глх sin а -|- kLz cos а — «'/)};
Ег — R exp {i (1г1х sin а — k tz cos а — «<)};
Erf D exp {i (k3x sin [J> + k3z cos |3 — co/)}.
Внутри слоя
E2 - M exp {i (k2x sin у + k2z cos у — <i'/} +
+ N exp {i (k2x sin у — k2z cos у —	..
Во всех случаях магнитный вектор
Н = —[kx Е],
COJ1
где k = — 1 / р (е + i	\ при этом kL sin a=k2 sin у =
с Е \ со /
= ks sin р. Из граничных условий для векторов Е и Н на плоскости z = 0 следует, что
(Л и — 7? н) cos сс = (А1 и — 2V и) cos у;
cos а (А± — Ад) —= = cos у (Мд — Ад) —— Pl	Й2
A j_ + Ад = Мд + Ад;
(А ц + R и) —— =\(М и + А и) —А-. Pt	Рг
На плоскости z=a граничные условия дают
cos у (A! u eik^cos V — A J cos v = D B cos pe/7c“ e°s ₽;^ yyj eil:2a cos V -| Д’ | cos v - - £) cos ₽•
— cos у (Mj cos V — A±C“^U cos v)
P-2
= cos pDj — eik^a cos ₽;
Рз
— - (Мц e‘^a cos v -p N и e- ik^a cos v) = D ц eik-'a cos ₽
pa	1’3
’ )
Этими уравнениями однозначно решается задача.
3.56.	Положив в уравнения (*) и (**) предыдущей за- СО	1	(0
cosy — I; -  i ег; /г» = — i е2; с	с
k3 — — । е3 и исключив из них М , Nn, М\ и ЛП , по-С
лучим
R ц = — г А ц; Ry = г Aj; D ц — dA ц;	= dA±,
где
, __ а^ + агзе^а '
1 + ’

1 — у e//ef
1 + г е//е(
Коэффициент отражения
Р = | г |2 = (0|/ + °2:i)2 — 4°12дгз sin2 Ra (1 + о^Оаз)2 — 4я12О2з sin2 Ra '
Коэффициент прозрачности
cos а cos Р
ре-
Р =
3.57.	Учитывая, что k2a— — и воспользовавшись 2
зультатом предыдущей задачи, получим
012 — Саз V д 1 — O12O23-'
если 012 = 023, т. с. если £2= Кщез-
3.58.	Исключив из уравнений (*) и (**) задачи 3.55
М и N, можно получить
Г11 _л11 е2Ю	,.±_г±е2/0
/?„ =	---S?-----Д..;	----- А.
l-rllrlle2/0	J- ]_rlr±e2i0
12 82	12 32
-±_г±е2/0
12 32
где
[life, cos a, — k^ij cos Uj	k^ij cos a, — Hz Л j cos aj
/* P. —  --—-------------, v -~ ~~	।
11 Hikj cos a, + kj^ij cos aj	‘i • /;(ftj cos a, 4- Utkj cos ay
0 — k2a cos y; a, — a; a2 = у> аз — P-
Для рассматриваемого случая 0 и Г12 = Гз2 вещественны, а потому
Я и 2	4г112 sin2 0
11_	_ _______12_________ .
^11	([—Д }2 _|_ 4r II sin2©
4	12	1	12
R . 2	4r-L2 sin2 ©
±	_________12_____________
А1 (1 — г-1-2)2 4- 4/-L2sin2 0
где Р12 = г?2 — коэффициент отражения на границе воздух—диэлектрик (см. решение задачи 3.47).
3.59.	Давление, испытываемое слоем, измеряется количеством движения, которое получает за единицу времени единица поверхности слоя в направлении нормали к ее поверхности.
Если слой находится в воздухе (е=р,= 1), то на основании (XVI) получаем, что давление
р =	(1 -фР — 6) cos2 a>
с
где Ja — интенсивность падающей волны, а р и 6 — коэффициенты отражения и прохождения, которые можно вычислить из уравнений, полученных в задаче 3.55.
§ 5.	Резонаторы и волноводы
3.60.	Обозначим индексами 1 и 2 соответственно величины, относящиеся к диэлектрику (си = 0) и к идеальному проводнику (о2 = оо).
Из конечности плотности тока j2 = o2E2 следует, чго Е2=0. Из уравнения Максвелла (X) rotE= — В полу-С
чаем, что В2=0.
Из' граничных условий! (XVIIIa) и (ХХа) следует, что
В™ = 0 и Е{° == 0.
3.61.	Плотность тока электромагнитной энергии определяется средним значением нормальной составляющей вектора Умова— Пойнтинга (см. задачу 3.16)
СУ = -£-Re [Ez х H?J о Л
= -^Re[£HXn] X H;i = 4-r|Hz |2n, 8л	8л
где £'=Re£.
3.62.	Если падающая волна поляризована перпендикулярно плоскости падения, то у поверхности металла (см. рис. 10 и уравнение (3.12))
Et = Ay + Ry; = (Ay — Ry) cos а.
Подстановка в формулу (см. предыдущую задачу)
Е( = ЩХп]
дает
A j +	= t, (Ay — Ry) cos a.
Отсюда
^y __	1 — g cos a
/1	1 + £ c°s a
Если падающая волна поляризована параллельно плоскости падения, то
£< = 04Н —Rn)cosa; Ht = А„ + R,|, а потому
(А у — R и) cos a = (А у + R ц).
Отсюда
Я и   cos a — g
А ||	cosa-pg’
В случае малого импеданса (|£|<£ 1)
—— = — (1 — 2£ cos a);
А1
= 1-----(если -Щ— 1).
А у	cos a	cos a
3.63.	Направим ось z вдоль волновода. Тогда зависимость всех величин от z и t дается множителем Записав уравнения Максвелла
rotE = _JL^L; rotH= —— с dt	с dt
в проекциях на декартовые оси координат и положив
Нг = 0 и —— — ik; —= — i<a, нетрудно получить dz dt
,, ik dEz г, ik dEz
x2 dx y v? dy
n . eco dEz . ц : 8Ш dEz
x	ex2 dy y ex2 dx
а продольная составляющая Ez определяется дифференциальным уравнением
к2Ег 4- и2Ег = О,
дз ffi	,
где Л2 =-------1-----двухмерный оператор Лапласа;
dx2 dt?
2	0)2	«2	2 с2
и2 =-------/г2; v2 —---.
V2	Е|Л
3.64.	На стенках волновода должны выполняться граничные условия (см. задачу 3.60)
Et = 0; Нп = 0.
Из полученных в предыдущей задаче уравнений следует, что на любом перемещении по контуру поперечного сечения волновода
ЕЪх + Evbty = ^ЪЕг = 0. х 1 У J	X
Это обеспечивает выполнение первого из указанных граничных условий.
Далее из тех же уравнений следует, что
EJE-\- EJI — 0, т. е. Е LH, л л У У
что обеспечивает выполнение второго граничного условия.
3.65.	Направим оси х и у вдоль стенок волновода . гак, чтобы последние определялись уравнениями х=0; л —а; г/=0; у=Ь. Как показано в задачах 3.63 и 3.64, все сводится к нахождению такого решения уравнения
А2Е2 + х2£2 = 0,
которое на стенках волновода обращается в нуль. Ищем решение в виде
Ег = X (х) Y (у)
Подстановка в исходное уравнение дает, что
где
k\ + kl = х2 = — — /г2. е2
Решения эгпх уравнений, удовлетворяющие нужным граничным условиям,
X = sin kLx; Y = sin k2y,
где
kl=m—; k2 — n—; m, n = 1,2,3... a	b
Итак, окончательно
Ez = a
mn a b
где
co = v
Поперечные составляющие векторов E и H можно вычислить по формулам, полученным в задаче 3.63.
Минимальная частота
№mtn= -ПС—^а* + Ь*. ао у ер,
3.66.	Аналогично задаче 3.63, положив в уравнениях Максвелла Ez=0, получаем
„ __ . дНг .	р	—___• ЕЧ. дН2	.
*	1	сх2 ду ’	у	сх2 дх
.,	ik дН, j, ik дНг
Нг =-------п,.= — —
х2 дх v х2 ду
Е2Н2 + х2/Д 0.
3.67.	Из полученных в предыдущей задаче формул видно, что составляющая вектора Н в плоскости поперечного сечения равна —а потому условие х2
—— = 0 эквивалентно требованию Нп — 0. дп
Далее, из тех же формул следует, что Е±Н и, кроме того, Е лежит в плоскости поперечного сечения (Ez=0), а потому Et=0.
. 3.68. Аналогично задаче 3.65 ищем решение уравне
ния
a2#z + >wz = o
в виде
= Х(х)Г(г/)ег<^-оп,
где Х(х) и Y(y) удовлетворяют тем же дифференциальным уравнениям, что и в задаче 3.65. Чтобы удовлетворить сформулированному в задаче 3.67 граничному условию, нужно положить
X (х) = cos/<|X; Y (у) — cosk2tf,
где k\ и /?2 принимают те же значения, что и в задаче 3.65, с тем лишь отличием, что т, п=0, 1, 2, ... Причем одновременно т и п нс могут равняться нулю. Этому соответствовало бы Е = Н=С.
Минимальная частота
“т.п = —(если а > 6). а у ец
3.69.	При этом остается в силе результат, полученный в предыдущих задачах (№ 3.63, 3.64, 3.66 и 3.67).
Направим ось х перпендикулярно проводящим плоскостям, а ось z в направлении распространения волны. Начало поместим на одной из плоскостей:
а)	для Е-волны имеем (см. задачу 3.65)
Я2 = 0; Ez-Eositi—п = 1,2,3,..., а
где со = v

б)	для /7-волны имеем (см. задачу 3.68)
Е2 = 0; Hz = H0cos—e1^-“<>); п= 1,2,3,..., а
где со — v
Поперечные составляющие векторов Е и Н определяются формулами, полученными в задачах 3.63 и 3.66.
3.70.	На основании (3.16) с учетом результата, полученного в задаче 3.63, групповая скорость
da	d	i/7,“:—i	k	kv2
u =-----=-----v\ k2 4- x2 = v —t—..	=-------
dk	dk	jk2-}-v2
3.71.	Искомую энергию можно вычислить, исходя из соотношения
J = Wu,
где полный поток энергии через сечение волновода
J = f s+dxdy = — Re f (ЕХН^ — ЕУНХ) dxdy. J	8л J
Выразив поперечные составляющие векторов Е н Н через продольную составляющую Е2 по формулам, полученным в задаче 3.63, находим
J = Ь1/гК С | у р | 2 dx 8лх4 J
Интегрирование по частям с учетом того, что на контуре сечения Ez=0, даег
J = — — С Ег ^Ег dx dy.
8лх4 J 2
И, наконец, принимая во внимание, что (см. задачу 3.63) Д2£2 = —х2Ег, получаем
J = -^-[\Ez\2dxdy.
Подстановка в исходную формулу с учетом результата предыдущей задачи дает требуемый результат.
3.72.	Энергия, поглощаемая стенками волновода на единице его длины (за единицу времени),
---£. = ^1СР)|Н<|М/.
dz 8л У1 л
I
Вследствие малости £ для Н можно принять его значение при £=0. При этом у стенок Нп—0.
Выразив поперечные составляющие вектора Н через (см. задачу 3.63) получаем
Отсюда, воспользовавшись выражением, полученным в предыдущей задаче для потока энергии / находим, что
Ф I УаКД2 dl
1 dj ___ еа>£' i	2a
J dz ckv? ' | Ez |2 dS
S
t. e. /=/oe~2ctz. Отсюда вытекает требуемое.
3.73.	Для Я-волны (см. задачу 3.66)
|hj2 = |hp = ^X+e^ + eX = |hz|2+^-|V2hz|2
%*
Аналогично задаче 3.71 находим, что поток энергии через все сечение волновода
f ~ f (ГЛ - ЕДЙ ИИ Г ds. 031 «J	сПХл -J
. S	S
Отсюда вытекает требуемое (см. решение предыдущей задачи).
3.74.	Каждое собственное колебание частоты со определяется вектором-потенциалом A(r, t) = A(r)e— ы,
удовлетворяющим уравнениям (см. (3.4) и (3.5)): divA = 0; ДАЩ—А = 0.
с2
Решение последнего уравнения (для каждой декартовой составляющей) ищем в виде
Az(r) = X(x)F(z/)Z(z).
Подстановка этою решения в указанное уравнение дает
= — k\X- — == — /г2Е; --- = — k2Z, dx2	1	dy2	2	dz2	3
где
k] + k2 + k2 = — .
Чтобы удовлетворить граничным условиям Et—0 и Нп=®. достаточно потребовать А(=0 (см. уравнение (XVII)).
Чтобы удовлетворить этому граничному условию и уравнению divA=0, нужно положить
Ах = Л\ cos k.x sin k2y sin k3ze~!at-,
Ay = Л'2 sin krx cos k2y sin &sze~'w;
Az — N3 sink.x sink2y cos k3ze~i(i>t,
где kv = щ -- ; k2 n2 — , ks = n3— ; nlt n2, n3 = 0, Oj	a2	аз
1,2,..	., а также k,NL -4 k2N2 + k3N3 = 0 (нулю может равняться лишь одно из чисел nz). Если	11	< йз,
то наименьшая собственная частота
“min= -ЩГ-1^4-4
3.75.	Если ы0—собственная частота, то собственное колебание определяется формулами
Е = Ео (х, у, z) е,- Н = Но (х, у, z) е~
где Ео и Но удовлетворяют уравнениям
divEo=0; rot Ео = iНо; ДЕ0+~ Ео =--0,
с	с2
divHo = 0; rotH0 = —i—Eo; AH0 + ~ Ho = 0. c	c2
Отсюда следует, что
[Н2О dV = - 4rf (rot E0)2dV.
J	©o J
Интегрированием по частям можно показать, что
J (rot E0)2 dV = j' [n x Eft] rot Eo dS — j Eo rot (rot Eo) dV. v	s	iz
Принимая во внимание, что на поверхности S резонатора Е7=(пХ Ео] = 0, получаем
J H20dV = j Ео rot (rot Ео) dV = - ~ J EoV2Eo dV =
= j1 Eo dV.
3.76.	Обозначим индексами 1 и 2 два различных собственных колебания (ссн^иг) и положим в приведенном тождестве вместо А и В соответственно Ел и Е2. Принимая во внимание, что
rot rot Е = rot
• Het О т?
ico — Е I — со2 - Е, с / с2
получаем
X -
— [Е± X «2На]} dS = О,
потому что на поверхности резонатора Et = 0. Отсюда
XXQjXX.I'X1'-V	V /	j V
Аналогично, заменив .в приведенном тождестве А и В соответственно на Н] и Н2, получим
Jh1h2jv = o,
v
а потому
V	/ V
Отсюда непосредственно следует требуемое,
3.77. Положим в указанном тождестве Л = Е и В —
= Е0*, (величины, снабженные индексом 0, относятся к случаю отсутствия поглощения, когда поверхностный импеданс £=0, соответствующие величины без индекса
относятся к реальному случаю, когда £=#0, но достаточно мало). Принимая во внимание, что rot rot Е =
to2 с2
Е и что у стенок резонатора EOt=D, имеем
— (®2 _ Ю2) [ ее; dV = i — <о0 fl [Е х Но 1 dS. /•2	11	ГТ
Полагая <оо+®=2(0о и Е( = (;[Н(Хп] и учтя результат задачи 3.75, в первом порядке по £ получаем
.. <f|H0|2dS JfL s
(i)--(On = —	„	"7---------
2	f|E0|2dl/
v
Мнимая часть этого выражения определяет декремент затухания (зависящий, следовательно, от Re£), а действительная — сдвиг собственных частот (зависящий от I и £).
§ 6. Излучение и рассеяние электромагнитных волн
3.78. Вращающийся заряд эквивалентен двум взаимно перпендикулярным осцилляторам одинаковой амплитуды
х — a cos со/; у = a sin со/; г = О,
сдвинутых по фазе на 90°. Отсюда на основании (3.27а) поле излучения определяется уравнениями
COS (kr — (>/) +
sin (kr — co/)^	>
где х0 и у0 — единичные векторы осей х и у, ро—щ Интенсивность излучения (см. (3.28))
—
J = S = •—— (sin2 а + sin2 02). 8лсМ v ‘ 1	7
Обозначим через О и ip полярные углы, которыми определяется рассматриваемое направление, тогда (рис. 48)
cos ©х = sin О cos ip; cos ©2 = sin & sin ip
и интенсивность излучения в этом направлении
“4₽0	/ 1	1	. 2 п
------— (1 — -— sin2 •& 4лс3г2 \	2
3.79. Дипольный момент системы
п	п
А=1	fe“l
Так как
= const, то
п
импульс изолированной системы	=
fe=i
Р> — т
п d
dt
fe=i
= 0.
3.80.	Излученная энергия (см. (3.29))
—J—СО
Г = — f v2 dt, 3 с3 .)
где | v | = — т
kvil тг2
Расстояние между частицами (рис. 49)
г = ]/а2-|- (vt)2.
Отсюда
г = 2 92 / W1 \2 V di  1	nqtf
3 с3 \ т J J [а2+(еО2!2	3 tnWv
—оо
3.81.	Мгновенная интенсивность излучения (см. 3.28а)
ffli г
т>
где дипольный момент системы р =	+ q2v2.
Поместим начало координат в центре масс (/Н1Г] +
+ т2г2=0) и введем г=п—г2, тогда
.. .	^2	г. г_____
‘1;	Г, Г2 -
т1 + т2
Из, уравнения движения
рг —---г
г3
[ р = ——---------приведенная масса ) получаем для мгно-
у mi + т2	J
венной интенсивности излучения
2 2
j = 2 / 91_______92. у ^1^
Зс3 \ т1	т2 )	г4
Эллиптическая траектория движения определяется (в полярных координатах) уравнением
а (1 — е2)
1 — е cos q>
„ = I<71921 . „ _ , / Г 2|Ц7|Л^
2|1Г'| ’	_ |/	•
Принимая во внимание, что момент количества движения
М = рг2<р, получаем среднюю интенсивность излучения Т	2л
J = — (jdt = ~{ Т J т J М о	о
где период обращения 2л	2л
Т = С dtp =	а2(1 — е2)2 С-----------=
J М М	J (1—ecoscp)2
о	о
— 2ла2 — /1—е2.
м
Интегрируя, находим
7 _ 23/Mglg2|3|iF|^^ / д,_______ 2|Г|Л^
Зе3 М6	\ m2 ) \ |.иц q\ )'
3.82.	Из (3.28) следует, что интенсивность дипольного излучения вдоль телесного угла d£l, имеющего направление единичного вектора п0, определяется формулой
dj ~ -— ----- [р х n0]2 dQ.
4лс®
Если начало координат поместить в центре масс и ввести относительное смещение зарядов г (см. решение предыдущей задачи), то
р = ?i'”2 ~~ '?2m< г mi + tn^\
Выберем плоскость относительно т движения за координатную плоскость ху и направим ось х вдоль относи-
Тельного движения (см. рис. 49), тогда уравнение движения дает
ЯгЯг гх .	„ " __ <71 ?2 Гу
где можно положить
rx = vt; ry = а = const; г = ]/о2 + (и/)2.
Тогда исходная формула принимает следующий вид:
4лс3 \ mi
{а2 (1-^/4)+
m2 ]
+ J,2/2(1 -п20х)-2avtпОхпОу}
\u I L-'Г f
Интегрируя по времени (от —оо до + оо), получаем, что вся энергия, излученная в направлении телесного угла t/Q,
о 2
<71 <7г	/
32с8 a3v	\
(4 — Пох — Поу) dQ. т2 J
Если в полученной формуле положить — и проинтегрировать по всем направлениям, то мы получим результат задачи 3.80. Проверить это предположение.
3.83.	Интенсивность излучаемой (рассеиваемой) электроном энергии (см. (3.29))
еЕ где v =---,
т
Плотность потока энергии падающей волны
Отсюда эффективный поперечник рассеяния
J	8л	е4 8л 2
О —----—------ —---•—-----Го,
Jo	3	3
где г0 =---------классический радиус электрона.
тс2
3.84.	Дифференциальное эффективное сечение рассеяния
, d.f do =---------,
Jo
где dJ — интенсивность излучения в направлении d£l.
1. Для случая линейно поляризованной падающей волны
dJ = sin2--ea?dQ,
4Лс3
где v и Jo имеют те же значения, что и в предыдущей задаче; 0 —угол между рассматриваемым направлением рассеяния (d&) и направлением поляризации падающей волны. Отсюда
do — Го sin2 0 dQ.
2. Обозначим через А и В полуоси эллипса поляризации и через 01 и 02 — углы, которые они составляют с рассматриваемым направлением рассеяния dQ.
Эллиптически поляризованную волну можно рассматривать как совокупность двух линейно-поляризованных волн с амплитудами А к В, а потому на основании предыдущего
,	2 Л2 sin2 0t + В2 sin2 02 ,п
do == г0------—----------- dL2.
А2 + В2
Направим ось z вдоль направления распространения падающей волны, а оси х и у направим вдоль осей эллипса поляризации (см. рис. 48). Обозначим через '0 и ф полярные углы, которыми определяется рассматриваемое направление рассеяния (cfQ), тогда
cos 0t = sin ft cos ф; cos 02 == sin & sin ф,
а потому
л 2 (1	, > n A2 cos2 ф + В2 sin2 ф \
do = г01 1 — sin2,0'-----—--------— ) ай.
\	А2 + В2 )
Полное сечение рассеяния
2я Л
Г ,	2 С Г А	п Л2 cos2 ф -}- В2 sin2 ф \
а ----- | do = r0 I 1(1— Sin- S---------------------------- X
J .) J к	Л2 + В2 J
о о
8	2
X sin й4й йф = — лг0.
§
3. Для неполярпзовэнного света нужно полученное выражение для do усреднить по всем возможным значениям угла поляризации Я’ (cos2 ф = sin2ip = и мы получим
dcr = го (1---— sin2 dQ =
\	2 J
=	'го(1 4- cps2{))t/Q.
Для линейно-поляризованной составляющей (В = 0) при заданном минимум интенсивности рассеянного света соответствует
яр =« 0; do2 = щ(1 — sin2 0) rfQ, а максимум — гр = —;
do j Го d£2.
Отсюда степень деполяризации
= 1 — sin2 г) — cos2 г*}. А
3.85. Вынужденные колебания квази-упруго связанного электрона в поле линейно-поляризованной монохроматичной волны описывается уравнением
т (<о2 — (О2) — tcijy
где соо — собственная частота электрона; и — частота 2	(1)2
световой волны; у=-----------—коэффициент радиаци-
3 mcs
онного торможения (см. уравнение (3.30)).
Ускорение
V — и2 г.
Повторив выкладки, изложенные в решении задачи 3.82, получим
do — го-------—-------sin2 0 rfQ,
(со2 — (О2)2	(о2у2
а полный поперечник рассеяния
3	(<Dq — to2)2 + w2y2
3.86.	При сделанном допущении действующее на шарик поле можно считать однородным и квазистационар-ным, а потому приобретаемый шаром дипольный момент (р) можно рассчитать методами электростатики.
Как было показано (см. задачи 1.120 и 1.123), Р = ссЕ = ctEoe'w,
где поляризуемость
а3 ——— (для диэлектрика).
£ -р 2
а3 (для проводника).
Этот переменный диполь излучает как диполь Герца, а именно: интенсивность излучения в направлении телесного угла dQ
dJ = -s-in20 (р2) dQ.
Если падающая волна линейно поляризована, то отсюда следует (см. задачу 3.83), что дифференциальное сечение рассеяния

Для случая эллиптически поляризованного или неполя-ризованиого света дифференциальное сечение рассеяния можно вычислить также, как и в задаче 3.84.
3.87.	На основании (3.33) в волновой зоне магнитный поляризационный потенциал
П,„
m( t — — ]
с -	— то pUkr-an
г	г
где па основании (3.32) и (XVII)
1 дА
С dt
—-----~ r°t П
с dt т
Н = rot A — rot rot Flm.
В то время как для электрического диполя на основании (3.25) и (3.24)
Пе = -E«LeW-coO,
Е = — grad ф----—	= rot rot IE,
с dt	е
H = rotA = ——rotne. c dt e
3.88.	Магнитный момент антенны (см. 2, 18а)
т = ла2 cos &>/. с
Отсюда на основании результата предыдущей задачи и уравнения (3.26а) средняя интенсивность излучения
а сопротивление излучения
п	2л2 а4 со4	о 1 л? / 2ла \4
Кг =--------~ 2-102 (------1 ом.
Зсь	k X J
3.89.	Магнитный момент изолированной системы, состоящий из движущихся заряженных частиц (см. уравнение (2.19)),
m =	X vj,
k
а механический момент, т. е. момент количества движения,
М = J? mk [rfc х vfe] = const. k
Если отношение заряда к массе для всех частиц одинаково, то
m —---------М - const.
2с т j
Для системы, состоящей из двух частиц, в системе центра масс
+ m2v2 = 0 и tn1rl 4- m2r2 = 0, а потому
[raXvd^f-^YlnXvJ.
\ W12 /
Отсюда механический момент
М = -Д’- (тх + т2) [гх х Vj], т2
а магнитный момент
m = — —pl_ +	= const.
2с М1+ т2 у	т| у
3.90.	Если направление линейного тока в данной точке его принять за ось z, то, умножив почленно уравнение непрерывности,
' -$- + divj = 0 at
на элемент объема тока длиною dz получим или
,_^+^_ = о,
dt дг
где % = —----линейная плотность зарядов.
dz
3.91.	Направим ось z вдоль прямолинейного тока, тогда должно выполняться граничное условие (см. задачу 3.60)
Е =  dtp 1 дАг = 0
г	дг	с dt ’
а также уравнение непрерывности (см. предыдущую задачу)
_^ + 2£ = 0.
dt дг
На оси z можно пренебречь эффектом запаздывания и положить (см. задачи 1.23, 2.23)
<р = —-^1п/?; Л2 = —11 —In??, е	с
Подстановка в исходные уравнения после исключения линейной плотности зарядов % дает
d2J	ер, d2J	q
Зг2	с3	dt2
Отсюда
J —	+ 5e-z‘(fe2+“0;
где k = —у ер . с
3.92.	Искомое поле излучения определяется поляризационным потенциалом (см. уравнение (3.25))
Р Р (и — —
Пг (г, t) = — — ---------— dl, где
е J г	dt
а потому
Р = — je(?) Щ = —е~^ С j0(?) ~ dl. (О	В(0	J	г
Отсюда на основании уравнения (3.24) находим
„	п i з3пР
Е = grad div П,---------—— —
ь	е v2 dt2
= е- ™ С {(j0 v) V + k2 jo} dl, ECO	J	Г
H — —rot = — e-iat (* [v X j0 e----------1 dl.
c dt c J L	r J
3.93.	Искомое поле излучения определяется поляризационным потенциалом (см. задачи 3.91, 3.92)
+ —
2
П ~	sinn^i + -^-^—dl-l0,
гДе Со —единичный вектор, имеющий направление антенны ®==—— с; k = ——, а расстояние (рис. 50)
r' = ]/r2 + ^_2^cos0
(г»/).
В знаменателе подынтегрального выражения можно г' заменить на г, а в экспоненте kr' = kr—k^cos&. Вве-дя новую переменную х = пл( -у- + — \ и интегрируя, находим
icJn ne=—^F(&)
gUkr—at}
(0“
где
F(0) =
2 cos I n — cos 0
\	2
sin2 0
(n = 1,3,5, ...)
F(®) =
/	л
i 2 sin n — cos 0
\	2
(n = 2, 4, G, .. .).
sin2 0
Зная поляризационный потенциал, можно вычислить (см. задачу 3.87) Е и Н. Примем направление антенны go за полярную ось, тогда в сферических координатах (см, IV в)
= — "^гоШ‘= — 4г 4-(гП‘в) = с dt	cr dt дг
sin0 д д . г, .
=---------------------(гПе) =
cr dt дг
UB	л z(fer-brf)
=---------- F (0) • sin 0 ------
с ' '	г
Нг = Нв = 0.
Так как в волновой зоне Eq = Н$’, Ег—Е^ =0, интенсивность излучения
St--Е	=
J* sin2 0 • I F (0) Is 8ncr2
cos2cos©J (n — 1, 3, 5, ...),
2.ТГС/'2 sin2 0
sin2 (n ~ cos 0^ (n — 2, 4, 6, ...).
3.94.	Аналогично предыдущей задаче находим, что поляризационный потенциал
+ Т
П	e‘(kr~at) С e/^a-cos о) dg =
‘	<0 г	J
_ т_
2
2 sin < —(1 — cos 0)
Uo	I 2
co	k(l— COS0)
e,-(fer—<of)
Отсюда
(kl	)
sin 0 - sin — (1-COS0) /(fer-ио
£e =	---------t2 ----------L . Л-----
c	1 — cos 0	r
Интенсивность излучения
Jp sin2 0 • sin2 (1 — cos 0)
2nc (1 — cos 0)2 r2
ЧАСТЬ iV.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ движущихся ТЕЛ
§ 1.	Релятивистская кинематика. 4-е векторы и тензоры
4.1.	Составляющая радиус а-вектор а, параллельная скорости v относительного движения, равна г —, а
V
перпендикулярная составляющая равна г— г—- —.
\ v J V
Первая преобразовывается как координата х в специальном преобразовании (4.1), а вторая не меняется, как координаты у и z, а потому
г' — + vt
V	D
г — = —г.	- ; г —
V	1 — ра
V
t =
V \ V
Г— ) — = Г и J 1 ’
са Г-р-
Из первых двух уравнений следует, что
, х ~T(r'v)v + vf
, f , v X v , и2
, V \ V г — 1 —
V j V
г — г
12
4.2.	Пусть начало ® обеих системах отсчета выбрано произвольно. Обозначим через х0, уо, z0, to и х0', у0', Zq', io' пространственно-временные координаты одной и той же мировой точки относительно обеих систем отсчета.
Если эту мировую точку выбрать за общее начало, то в формулах (4.1) и (4.6) следует координаты xh заменить разностью Xk—Хок-
Итак, искомые формулы имеют вид (при указанном на рис. 12 расположении осей координат)
г' __ г' -	~ Х0) —t>(/—<0)
о	,/l	-R2
i'—t'o =
(f —/0)—— (A- — Ao) CZ
У Уо — У Уо> 2	2
Формулы (4.6) при этом примут вид (независимо от ориентации осей координат)
4
i=i
а в формулах, полученных в предыдущей задаче, нужно г и t заменить соответственно на (г—г0) и (t—to)-
4.3.	Расмотрим три инерциальные системы отсчета (К, К' и К"), которые движутся друг относительно друга вдоль общей оси х (рис. 51). Пусть v — скорость системы К' относительно К, а и' — скорость системы К" относительно К'.
На основании (4.1)
V
t — — х
, x — vt ,,	с2
х = —г	t = —	„ .==;
у 1 —и2/с2	у 1 —и2/с2
х' — и’Г _____ с2
^\—ил/с2	1Г1 — и'2/с2
Исключив из этих уравнений х' и t', получим
Отсюда следует, что скорость системы К" но К
относптёлЬ-
и=-
с2
4.4.	Дифференцируя полученные в задаче 4.1а формулы преобразования, получаем
v(vdr') + vdt'
dr = dr’ - — v (у dr') + -—> —-------------------
и2	у 1 — p2
dt —
dr+ ~^-(vdr') cl /T^P2
Почленным делением этих уравнений находим
и = Jv -f-u'/l —Р2 + —(vu')v(l — 1 1 —P2)V 1 + — и2	I \ с2
dr	гл /
где u = -------скорость относительно системы д; и =
dt
dr'	гл/
= —-----скорость относительно системы д .
Возведя в квадрат обе части полученной формулы, нетрудно получить требуемый результат для абсолютной величины результирующей скорости.
4.5.	Из полученной в предыдущей задаче формулы для абсолютной величины скорости и легко получить
/1=^ =
VU	‘
1+^“
4.6.	Не уменьшая общности, можно положить vx = v, vy = vz = 0; u’z = 0; и’х = и’ cos 0'; и = id sin 0' и тогда, используя результат задачи 4.4, находим
uz = 0;
их = и cos 0 = (v + и' cos 0') • (1 + — vid cos ©Л *;
ии = и sin 0 = и' sin 0' l/l — Р2 • (I Н—-- vti cos 0' y	\ c*
Отсюда
tg0= »'/» -P2 sin O' v + w' cos 0'
где 0(0') — угол между направлением скорости u (и') и направлением относительного движения обеих систем отсчета.
4.7.	На основании (4.5) скорость одного стержня относительно другого
1 + t^/c2 ’
а потому на основании (4.4) относительная длина
Z==/0/l-u2/ca= /0
1 —t^/c2
1 + о2/с2
4.8.	Дифференцируя формулу преобразования для вектора скорости, полученную в задаче 4.4, находим du = []/Г^р2 du'	v (vdu')l (1 +
и2	J \ сл j
— — du'lv + u'j/^ 1 — Р2 + с2 I
+ --(vu')v(l —	₽2)1 Л.+2-
и2	) \ с /
Почленным делением на dt — dt’
1
1 +— vu с2
получаем
-/1-P2)V
1 —₽2
ffu	гл
где w=----------ускорение относительно системы Д,
dt
л du
w =---------ускорение относительно системы д .
dt'
4.9.	На основании результата предыдущей задачи ускорение ракеты относительно земли
dv	,1	4р	wadi
w = ~7Г = (! - ₽2) “>о; 77 М =
at	(1 — fr)	с
Интегрируя, находим
Р _ о>о t. о =
— Р2 с ’	/с2 w2 f2 ’
Отсюда, положив 0=0,8, находим, что продолжительность разгона ракеты по «земным» часам
з Wo
а по часам ракеты (на основании (4.3))
д<	д/
Д£о = Г 1 — 02= с Г ——-	- = — In 3.
£	J /с2 + ^2 wo
4.10.	По определению (см. (4.13) и (4.3))
dtib	1 dtib
Wh —---— =---- -------—
dx /1-02 dt ’
Отсюда компоненты 4-вектора ускорения
(	1 d ( v X tc d 11
У 1 — P2 dt ^/1-02/ y'l— 02 dt yi __02j-
В сопутствующей системе 0 = 0 и —------- 1   = 0.
dt у 1 — 02
а потому
Отсюда вытекает требуемое.
4.11.	При пространственных поворотах время не меняется	а потому в преобразовании (4.6)
044=1, a4ll — all4 = 0 (греческий индекс пробегает три зна
чения!) и преобразование (4.9) принимает вид
з
Дд -	ОДуД-у»	— ^4*
V=1
4.12.	Положив в преобразовании (4.17) а4(1=я(14 = 0 и а44= 1, получим
Т' =
J [IV —
з
У О-црС1усТрс\ Тщ — Т44>
О.СТ- 1
3	3
Тц4 — У aiipTpi\ Т4ц =	^р.
p=i
4.13.	Пусть в некоторой системе отсчета (/\) компоненты тензора ТЫ=8Ы. Тогда в другой системе (/<') на основании (4.17) и (4.7)
4	4
Ты = V akrals8rs = £ akralr = бы, r,S=I	Г=1
что и требовалось показать.
4.14.	На основании законов преобразования (4.9) и (4.17) и условия ортогональности (4.7)
л = у т„й. £ (£ 0(А,т„) (£ а„в,) = / = 1	/=1 r,s.	t
~ У ,	alsait^ akrTrs^t ~y^akr^rs^s>~- У , akr^r-
rst I	rs	r
4.15.	На основании (4.9)
4
m=l
t. e.
у, TkiBi =	akm	TmnBn,
I	m n
или на основании (4.17)
EjX. akmaltTmrfil = а1гпТтп^п-
I т,п	т.п
Из произвольности Ттп следует, что
i
что и требовалось показать.
4.16.	На основании (4.17) и (4.7)
SpГ = VT'kk = VakraksTrs = J>Trr = SpT. k	krs	r
4.17.	Элемент 3-мерного объема
dV = dV0 /1—P2.
где dVo— элемент объема в сопутствующей системе (размеры движущегося тела меняются лишь в направлении движения). На основании (4.3)
.	. ,, icdx
(1Хд — icdt — —Г	— ~,
/1-В2
Отсюда
dxjdx^dx^dx^ = icdV>;dx = Inv.
4.18.
Отсюда
§ 2. Релятивистская электродинамика
4.19.	В вакууме поле описывается одним тензором (4.20), а в материальной среде — двумя: напряженности и индукции
	/ 0,	Вг	~ВУ	— ^Ех
В/г, — 1	-вг	0	вх	— 1ЕУ
1	В,	-Вх	0	— iEz
	\ iEx	iEy	iEz	0
	( 0	Ez	-ну	-rD,
я„=	-нг	0	нх	— iDv
«£	1	Ну	— нх	0	— iDz
	< iDx	iDy	iDz	0
При помощи этих тензоров первая пара уравнений Максвелла (X) в релятивистски-ковариантной форме запишется так:
дВы । дВть । dBtm __ q дхт dxt dxk
а вторая пара (X) — в виде
4
SdHki = 4л: . dxi с J'e’ 1=1
4.20.	Из (1.3) и (2.8) следует, что тензор (см. предыдущую задачу) Мы = — - (В1г1 — Н1г[) имеет следующие 4Л
компоненты:
( °
— мг му
\-iPx
(Мы) =
Mz -Му о мх
—мх о
— iPy — iPz
iPx\ iPy I iPx Г
0 /
4.21.	Эти формулы выводятся совершенно аналогично формулам (4.26) для вакуума, а именно: совершив специальное преобразование Лоренца над тензорами Вы и Ны (см. задачу 4.19), на основании (4.17) и (4.8)
получаем
E; E ; E; =- -£,/_-B; E'z =-A * I 1—P2
E.; = BV; Bu =- Л±М; B; .== > 1 — p
D'X = DX- =	D'z =
HX = HX, Н’и = !Ц±^- Hz =
Ег + №„
- Р2’
Дг + РЯр.
И-P’ Hz-W,, И-Р'
4.22.	Из того, что приведенные в задаче 4.19 величины образуют тензор второго ранга Вы, следует
V BWBW = 2 (В2 — £2) = Inv.
k,i~i
Аналогично
2адг = 2(/Е-Е2)=Лпу. w=i
Из полученных в предыдущей задаче формул преобразования получаем
Е'В' = ЕВ и D'H' = DH.
4.23.	Из полученных в предыдущей задаче инвариантов поля следует, что для этого необходимо, чтобы Е1В.
Если при этом Е>В, то поле можно свести к чисто электрическому (В = 0). Если же Е<В, то поле можно свести к чисто магнитному (Е=0).
Если поле переменное (в пространстве и во времени), то вышесказанное относится к каждой мировой точке в отдельности.
4.24.	Направим ось у вдоль электрического поля, а ось z — вдоль магнитного поля (Ex=Ez—Hx=Hy—0). Тогда в системе К', движущейся вдоль положительной £
оси х со скоростью v=c~, на основании (4.26) имеем, что
Е' — 0; И' = Нг = /Н2 — Е2.
4.25.	В системе отсчета, связанной с конденсатором, между его обкладками имеется электрическое поле, направленное радиально и напряженность которого (см. задачи 1.11 и 1.23)
Е
1_____
b R ’
1п — а
Кроме того, там имеется и магнитное поле, силовые линии которого коаксиальны с обкладками конденса-2J
тора и напряженность которого Н=— (см. задачу 2.38). cR
2J предыдущей задаче, если —- > с
отсчета, движущейся вдоль тока со
Как показано в
V
-----, то в системе ь
In —
а
Е
9 V скоростью v = с— =	, в конденсаторе имеется
2J 1п — а
лишь магнитное поле, напряженность которого
(если потенциал наружной обкладки конденсатора ниже потенциала внутренней обкладки).
4.26.	Направим ось х в сторону тока внутри положительно заряженного цилиндра. Как было получено (см. задачу 1.70 и 2.31), электростатический потенциал поля заряженных цилиндров и вектор-потенциал магнитного поля токов определяются формулами
<р = 2х1п^-;	Лу = А=0,
Ri	с R-z
где Ri и — расстояния рассматриваемой точки поля от токов.
В системе отсчета, движущейся вдоль оси х, поле описывается 4-вектором потенциала (4.10), компоненты
которого определяются преобразованием (4.9), а именно 27
Ах = сг____=^-1п—; Л„ = А=0.
/1-Р2	R2’ у
Отсюда видно, что в системе отсчета, движущейся в J
указанном направлении со скоростью v=-----, вектор-
потенциал А'=0, а потому там нет магнитного поля. При условии, разумеется, что /<с%.
4.27.	Для материальной среды с показателем преломления п волновой вектор
к = — п-к0,
с
где к0 — единичный вектор направления распрос1ране-ния волны.
Записав специальное преобразование Лоренца для 4х-мерного волнового вектора (4.12), получим
con cos 0 = &<зП° Рюо . ю/г81Н © = ю о Sin © yf 1 __________________р2 ’	и и и
_ 1 + PnoCOsOp /1—Р2
где 0 — угол, который составляет направление распространения волны к с направлением движения v диэлектрика; 0о — то же, в «собственной» системе отсчета, относительно которой диэлектрик покоится.
Последняя формула представляет собою обобщение формулы допплер-эффекта (4.24) на случай материальной среды.
Из первых двух формул находим, что
(g© = «osineo/!— Р2 n0cose0 + P
Это обобщение формулы (4.25).
И, 1наконец, исключив из полученных формул и и 0, получим, что показатель преломления движущегося ди
электрика
Vп2 + Р2 (1 — пи sinae0);+ 2яйр cos 6Й
П = —---------------------------------
1 + р«й cos ей
Он зависит не только от скорости (у) движения диэлектрика, но и от направления (©о) распространения света. 4.28. Дифференцируя (4.25), получаем
J _RS
d cos ©' =-------------d cos ©.
(1 —p cos 6)a
Отсюда и из (4.24) непосредственно следует и'2 sin ©' d& = co2 sin © d®.
4.29.	В «собственной» системе отсчета Ко, относительно которой заряд q покоится в начале координат, поле определяется потенциалами
А = 0; <р0 = — Мм = -А . Го
В «лабораторной» системе отсчета К, относительно которой заряд движется со скоростью V вдоль оси х, на основании (4.9) и (4.8)

—т=^=- Фо; А = Л — 0;
/1-р2 Y0.	2	3	
+	___<р0
/1—Р2 ’ /1-Ра '
Принимая во внимание, что
/ (X- Vf)2 + (1 -PW + 22)
получаем окончательно о	• v
<р = —	4		—— ; А = — ф.
A--< + (l~PW + n с
4.30.	В «собственной» системе отсчета Ко
Е°х=--^х0- Е°==-^у0- Е°г = -^г0-, Но = О. 'о	го	го
Напряженность поля в «лабораторной» системе можно
вычислять по формулам преобразования (4.26), а именно
z?0
E? _____Г?0 .	, j? _____	Z
H v-----L, Xi и ------------ /-----------7г~	> jC2----- .--------
x x’ « T 1—₽* 2	/1-
где x0, y0, Zo и r0 нужно выразить через x, у, z и t, как в предыдущей задаче. Для Ех, например, имеем
£ =	?(! — Р2) (х —rf)
х [(х-^)2+(1 -₽W+z2)3/! *
Тот же результат можно получить по формулам (XVII), воспользовавшись результатом предыдущей задачи.
4.31.	На основании (XVI) и результатов предыдущей задачи
Если ось х направить вдоль движения электрона, то
Gx = Д-М (£2 - dV = -Г~Т лтЦг f(£о, + E20z)dV0, 4пс2 J	4лс2 у 1 - р2 J
G, = --A" f EoxEoydV0-, Gz = f E0E0zdV0.
J 4лс2 J	4nc2 J
Здесь учтено, что dV = dV0]/1—P2 •
В «собственной» системе отсчета поле обладает центральной симметрией, а потому
С E0xEBydV0 — f E0xE0zdV0 — 0;
U	V
Г е20у dv0 -= С e20z dv0 = 4- С е20 dv0.
J	к)	• О
Отсюда следует, что
G = —v—
6лса
1
J Ео dVc,
а Потому электромагнитная масса
где т0 = — — — масса покоя, 1Г0 = — С £о dV0 — 3 с2	8л J
энергия электростатического поля покоящегося электрона.
4.32.	Из того, что вектор поляризации Р и вектор намагничивания М образуют 4-тензор (см. задачу 4.20), вытекают формулы преобразования для этих векторов. Дипольные моменты, электрический (р) и магнитный (т), преобразуются соответственно как произведения Р. V и М-И, где V=VO/1—р2.
Таким путем получаем, что
Рх = РохV Р; Ру = Роу — $тог, Р> = Рог +
тх = т0х V 1 — Р2; ту = тоу + ₽Рог; = >пог — $Роу> где ро и т0— дипольные моменты тела в «собственной» системе отсчета, относительно которой оно покоится, а р и m — дипольные моменты в системе отсчета, относительно которой тело движется со скоростью с=ах=с₽-
4.33.	В «собственной» системе отсчета, относительно которой диполь покоится в начале координат, поле определяется формулами (см. задачу 1.29)
со — р°г,)
то---------з~
го
Электромагнитное поле равномерно и прямолинейно движущегося диполя можно определить в результате специального лоренц-преобразования (см. задачу 4.30 и 4.29) по формулам
где вектор г0 следует заменить вектором с компонентами
f x — vt
4.34.	В системе отсчета, связанной с зеркалом, частоту падающего света (4.24), а именно
можно вычислить по формуле
С0г =
1 — Р
соо. 1—ра °
Такую же частоту в этой системе отсчета имеет и отраженный свет, по в исходной (лабораторной) системе отсчета на основании (4.24) его частота
со —
.. 1-Р
1 + Р
«0.
4.35.	В системе отсчета, связанной с зеркалом, на основании (4.25), угол падения определяется уравнением
cos а'
cos а — Р
1 — Р cos а
Таким же, в этой системе отсчета, будет и угол отражения, а в «лабораторной» системе отсчета, на основании (4.25), угол отражения определяется уравнением
cos а’ — Р   (1 -|- P^)cos а — 2р I — р cos а'	1 + Р2 — 2р cos а
§ 3.	Релятивистская механика
4.36.	1. Если сила направлена вдоль движения, то из (4.31) и (4.32) следует
, __ d / mv____X _ т dv
^li/A/T^p2 7 /Т^ра Л +
. mv / v dv X
+ (/TZTpS)3 ~dT/ ‘
При этом
v (v dv) = v (d dv) = v2 dv, а потому
„ m dv
F =------st---- •
(1— pa) /« dt
т. е. продольная масса
т
/и, =---------гг~ 
1	(1— p2)V.
2.	Если сила перпендикулярна к скорости, то из (4.33) и (4.34) следует, что p = const, а потому
F — т dv ~	dt ’
т. е. поперечная масса
4.37.	Направим ось х вдоль поля и за начало координат выберем начальное положение частицы. Тогда, интегрируя уравнение движения
получаем
__1_
Ч Г 1 । ( № \21 2
v = — Et 1 + ( —— т L \ тс / .
Отсюда
4.38. Действующая сила (см. 2.24)
F = -4v х Н] С
работы не производит (F_Lv), а потому (см. задачу 4.36) дифференциальное уравнение движения можно записать в виде
т dv _____р
di
Отсюда следует, что движение будет таким же, как и в нерелятивистском случае (см. задачу 2.80), но с иной массой.
4.39.	Для этого достаточно убедиться в том, что приведенные уравнения Лагранжа верны в декартовых координатах, ибо, как известно, уравнения Лагранжа эквивалентны вариационному принципу
^2
б J L dt = О,
£1
а последний не зависит от выбора координат. Итак, относительно декартовой координаты х,
dL п д(р q ( \ дАх // dAv -1 г дАг
px = -^ = -7^=+-S-a„ х дх / 1 — t>2/c2 с х
d dL __ d ( тх \ , q / дАх , дАх ; , дАх у , дАх ----:— —  1 ’ -	| ~т-* I- "4---- Л *4-I / “т”	£ I dt дх dt \ У1 — р2 / с \ dt дх ду dz J
Подстановка в уравнение Лагранжа дает
d / тх	\	/	5<р	1	дАх \ ,
д7\У	/	Ч	дх	с	dt J~r
। ? й ( ^Ау___^Ах А 2 ( АА>:__—
с ( \ дх	ду /	\ dz	дх J)
что совпадает с проекцией на ось х уравнения движения (4.31) заряженной частицы в электромагнитном поле. При этом учтены уравнения (4.32) и (XVII).
d!r
4.40.	При этом замене v =-------» — v, а потому
dt
(см. предыдущую задачу) функция Лангранжа и уравнения Лагранжа не меняются.
4.41.	При заданном условии (см. задачу 4.39) — = 0, дг
а потому соответствующий обобщенный импульс
Рх
dL di
mvz
— Лг = const, с
4.42.	Для постоянного магнитного поля, обладающего осевой симметрией (см. задачу 4.39) —- = 0, а потому
соответствующий обобщенный импульс
~	dL tnR2& . q п .	,
р& = —— = г --у 4- — RA& = const.
г	д&	/1— ₽2 с
При этом учтено, чю в цилиндрических координатах
С2==/?2 4-/?2(=)2 4-£2.
4.43.	Направим ось z вдоль магнитного поля Н.
Движение происходит в плоскости z—const. Интегрируя уравнения движения
= — Ну — т]х; с
d dt
-----— Их — г[у,
получим
.	..	- т'У
V1 — ₽2 С	/1 — ₽2 С
Отсюда
•	~	Их 4-
~ =-----------------, или	Н(хх 4- уу) = г](ху — ух).
y	Q	с
х	—	Ну —т\х
с
В полярных координатах (R, 0)
а потому
• 1	" d
хх + уу = —
at
~HR==	0.
с
ху — ух = | [R X v] | = Т?2©,
Интегрируя, находим уравнение искомой траектории в полярных координатах:
R = R^fI ,
4.44.	Из (4.37) вытекают искомые формулы преобразования, а именно для специального Лоренц-преобр'азо-вания имеем на основании (4.9) и (4.8), что
Fx _	1	( F'x	Р F'tt' )
У	у 1—V2/C2 (jF 1—М2/С2 с /1—M'2/C2J
FB = F’y . Fz	У
У 1 — 1?1&	У1 -	’ У 1 — М2/С2	У1 — М'2/С2 '
Используя результат задачи 4.5, находим окончательно, что
1+~F
У 1—у2/&
4.45.	В системе отсчета, относительно которой заряды покоятся, при указанном на чертеже (рис. 52) выборе осей координат сила, действующая на заряд q\,
91 9г
По формулам, полученным в предыдущей задаче, находим, что в исходной («лабораторной») системе отсчета на заряд q\ действует сила
F = F	Гз/С2 .
> а2
4.46,	1. Из (4.34) следует, что
2.	Из (4.35) имеем
3.	Из (4.32) получаем
ср
V = г. ... =, ур® + т2<?
4.47.	Из законов сохранения энергии и импульса имеем
т„ с2	т,. сВ W,
тпс2 =-----u
/1 — ₽2	/1 — ₽2 с
Исключив из этих уравнений энергию нейтрино 1FV, находим
+ т1
Подстановка в (4.35) дает, что кинетическая энергия ц-мезона
Т ^я~т^2с2 2тп
4.48.	Обозначим 4-векторы энергии-импульса электрона, позитрона и фотона соответственно через р_, р+ и k.
Согласно закону сохранения энергии-импульса, при превращении фотона в пару должно выполняться равенство k=p-+p+, или /г2=р1+р++2р_р+. Из (4.15) и (4.36) следует, что pL=-p\——/;г2с2; &2=0 (Z>2— квадрат
«длины» вектора k~к2 —	и ана-
логично для любого 4-вектора), а потому должно выполняться равенство
W ,
Р- Р+ = Р- Р+ ~	= Z«2 С2,
что невозможно, ибо

4.49.	Обозначим через W2 и р2 энергию и импульс частицы М после столкновения, а через р и pi — импульс частицы т до и после столкновения.
На основании законов сохранения энергии и импульса имеем
W + Me1 = IFi + Г2>
р = ptcos© 4-p2cos<p; ftsin© = p2sin<p,
где 0 и ср — углы, которые составляют векторы pi и р2 с направлением вектора р (рис. 53).
При помощи (4.36) можно импульсы р, pi и р2 выразить через энергии W, IFi и W2. После этого можно из приведенных уравнений исключить ср и W2 и мы получим
(W — WjMc2 —
+ V(W2 — mV) (IF1J — mV) cos 0 + mV = 0.
Этим решается поставленная задача.
Для рассеяния фотона (m = 0; W=hv) на неподвижном свободном электроне М получаем отсюда формулу Комптона
4.50.	Примем неподвижное ядро за начало полярных координат (г, 0). На основании законов сохранения энергии и момента количества движения имеем
______________= const = №; /1-Р2
mr2
rf0	* L
— = const s tnh, dt
где
Исключив из этих уравнений |3 и t, получим
Тогда последнее уравнение примет вид
/ du У , ы2 = с2 Г/ IT + Ze2» У _ j ’
\ d& ) h2 L \	m6'2	/
Дифференцируя его по 0, получаем
d?u	Z2 ei Ze2W	(!f),
d0a \ m2c2h2 ) m2c2h2
В нерелятивистском случае, как известно, траектория определяется дифференциальным уравнением
d2u ,	.
•-----1- и = const,
d&2
решением которого есть эллипс
и — const (14-е cos 0).
Введем новую переменную <р =	---тд')®1 гДе а==
_ Z2ei , т0Гда с точностью до высших степеней малой m2c2h2
поправки а (а< 1) уравнение (*) примет вид
-^ + « = Л; А =---------
Atf-	m2c2h2(l-—а)
решением которого есть
и = А 11 4- е cos fl-----— 0
I \	2 J
Этим уравнением описывается «почти» эллиптическая траектория, которая процессирует вокруг ядра: за один оборот электрона ось эллипса поворачивается на угол ал.
4.51.	На основании закона сохранения энергии-импульса
р = kv + k2 или р2 = 2krk2,
где р, k{ и k2 — 4-векторы энергии-импульса ло-мезона и фотонов (kl2 =&2 = 0)-
Отсюда
— т2с2 = 2 (kjk2-------= 2 — (cos 0-1),
\	с3 У Гс2
___ IV7	1	тс2
где w — —--------— —, а потому
, „ ©	<	t>2
sin2------=1---------------.
2	с3
4.52.	Величины, относящиеся к «собственной» системе отсчета, обозначим индексом О. В этой системе отсчета вероятность того, что у-квант вылетит в направлении телесного угла dQo=2nsin0(//0o, равна
dn = — — — sin ©о dQu.
4л 2
На основании (4.25) в «лабораторной» системе отсчета соответствующая вероятность вылета в направлении телесного угла dQ = 2nsin0rf0, равна
, 1
ап — — 2
1 — Р2
(1 — Pcos©)2
Sin 0 d&.
2.	Если в «лабораторной» системе отсчета один из у-квантов вылетает под углом 0, то в «собственной» системе отсчета ему соответствует на основании (4.25) угол ©о, для которого
cos ©о =
COS О — Р 1 — р cos 0
При этом второй у-квант вылетит под углом 0о = л—0с. которому соответствует в «лабораторной» системе
cos 0' + р	р-cos 0„	2р — (1 + Р2) cos 0
COS — _______________ —-------------------------
1+pcos©; 1-Pcos0o 1-j-р2 — 2р cos 0
3.	В системе отсчета, связанной с мезоном, каждый из у-квантов обладает энергиейа в «лабораторной» системе отсчета на основании (4.24) их энергии таковы:
___ тс2 1+Pcos0o ___ тс2 _______1 — ра_____
03 ~ 2	/1 — Р2 ~ 2	(1 — Pcos0)|/1 — Р2 ’
_. тс2 1 + Р cos ®о тс2 1 — 2р cos 0 -j- р2 ЙГО, = ----- -,	— =--------------------г	.
2	/1 —₽2	2	(1 — р cos 0) у/ 1 — Р2
4.53.	На основании законов сохранения энергии и импульса имеем
тс2 + АГ = —_ + /гы, /1 - Ра mv	ft о
/l |V с *
Из второго уравнения находим
1	= у , ь
/1 — Р2 |	\ тс2 J
Подстановка в первое уравнение дает, что bW /, Д№ \ го =--------------------( 1--------------).
Й \ 2тс2 + 2ДВ7 J
4.54.	Согласно законам сохранения энергии и импульса,
Д|	ГП1____,____tn2___. mlPl _ т2р2
j/il 1(2 ’ |/ПГр2 /T^PI •
Решая эти уравнения относительно pi и рг, находим по (4.35) кинетические энергии образовавшихся частиц:
Л = 2лГ С’ 2~ 2М
Литература
1.	Л. Ландау и Е. Лифшиц. Теория поля.
2.	Л. Ландау и Е. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред.
3.	И. Е. Т а м м. Основы теории электричества.
4.	В. С м а й т. Электростатика и электродинамика.
5.	Дж. Стрэттон. Теория электромагнетизма
ЕФИМ ГЕРШОВИЧ ВЕКШТЕИН
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
Редактор Е. А. Шаповал
Редактор издательства Г. Е. Перковская Переплет художника Л. М. Чернышева Технический редактор Г. Г. Киселева
Корректор В, В. Капсуткина
Т-13400 Сдано в набор З/Ш 1966 г. Подписано к печати 31/Х 1966 г. Формат 84X108732	Объем 9,0 печ. л.	Усл. п. л. 15,12
Уч.-изд. л. 12,75	Изд. № ФМ—183	Заказ 859
Тираж 25 000 экз.	Цена 46 коп.
БЗ—46/15 от 21/VI 1966 г___________________
Москва, И-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство «Высшая школа»
Отпечатано с набора типографии изд-ва МГУ, в Московской тип. № 4 Главполиграфпрома
Комитет по печати при Совете Министров СССР. Б. Переяславская, 46