-

Н.Н. ЛЕБЕДЕВ, И.П.СКАЛЬСКАЯ, Я.С.УФЛЯНД

I

*

СБОРНИК ЗАДАЧ
по

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ

ФИЗИКЕ
Н. Н. ЛЕБЕДЕВ, И. П. СКАЛЬСКАЯ, Я. С. УФЛЯНД

СБОРНИК ЗАДАЧ
по
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКЕ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1965
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие................................................... 5

Глава I. Вывод уравнений и постановка задач математической
физики........................................................ 7

§ 1.	Механика.............................................. 7

§ 2.	Теория теплопроводности.............................. 12

§ 3.	Теория электрических	и	магнитных явлений........... 14

Литература к главе I......................................... 21

Глава II. Некоторые специальные методы исследования дифферен-
циальных уравнений гиперболического и эллиптического
типов....................................................... 22

§ 1.	Специальные методы решения задачи Коши и некоторых дру-
гих задач, связанных с уравнениями гиперболического типа... 22

§ 2.	Метод функции Грина решения краевых задач, связанных с
уравнениями эллиптического типа........................... 30

§ 3.	Метод конформных преобразований...................... 35

Литература к главе II........................................ 45

Глава III. Установившиеся периодические колебания ........... 46

§ 1.	Задачи на определение собственных частот колебаний упругих
тел....................................................... 47

§ 2.	Задачи	на	вынужденные колебания упругих	тел......... 50

§ 3.	Задачи	на	периодические электромагнитные	колебания... 53

Литература к главе III ............................... 58

Глава IV. Метод Фурье........................................ 59

Механика..................................................... 65

§ 1.	Задачи на колебания струн, стержней, мембран и плит. Акусти-
ческие колебания.......................................... 65

§ 2.	Некоторые статические задачи механики сплошных сред .... 79

Теория теплопроводности ..................................... 83

§ 3.	Нестационарные задачи................................ 83

§ 4.	Стационарные задачи.................................. 90

Теория электрических и магнитных явлений..................... 98

Литература к главе IV ............................... 109

Глава V. Метод собственных функций в применении к неоднород-
ным	задачам	математической	физики....................110

Механика.....................................................114

§ 1.	Задачи на колебания механических систем (струн, стержней
и	т. д.)...............................................114

§ 2.	Статические	задачи	механики	сплошных	сред..........  121
Теория теплопроводности.........................................127

§ 3.	Нестационарные задачи..................................127

§ 4.	Стационарные задачи................................... 132

Теория электрических и магнитных явлений........................140

Литература к главе V............................................152

Глава VI Задачи математической физики с непрерывным спектром.
Интегральные преобразования.....................................153

§ 1.	Интеграл Фурье и его приложения........................157

§ 2.	Интегральное разложение Ханкеля .......................172

§ 3.	Преобразование Лапласа и его приложения................182

§ 4.	Преобразование Меллина.................................204

§ 5.	Интегральные разложения и преобразования, содержащие ци-
линдрические функции с мнимым значком.......................209

Литература к главе VI...........................................217

Глава VII. Метод криволинейных координат ...................218

I.	Криволинейные координаты на плоскости....................219

§ 1.	Эллиптические координаты............................219

§ 2.	Параболические координаты...........................226

§ 3.	Биполярные координаты...............................227

II.	Криволинейные координаты в пространстве.................235

§ 4.	Вырожденные эллипсоидальные	координаты..............235

§ 5.	Параболоидальные координаты.........................248

§ 6.	Тороидальные координаты.............................250

§ 7.	Биполярные координаты в пространстве................259

§ 8.	Некоторые общие задачи, связанные с разделением переменных
в математической физике..................................265

Литература к главе	VII.....................................269

Глава VIII. Интегральные уравнения..........................270

Литература к главе	VIII....................................291

Решения.....................................................293

Справочный отдел..........................................  406

Литература..................................................417
ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга представляет собой сборник задач из различных
областей механики, теории теплопроводности, теории электрических и
магнитных явлений, и имеет целью дать необходимый материал для
приобретения практических навыков в применении методов матема-
тической физики.

Содержание сборника охватывает довольно обширный круг во-
просов, включающий, наряду с простыми, и более сложные задачи,
относящиеся к таким разделам математической физики, как приме-
нение криволинейных координат, приложение теории интегральных
преобразований и сингулярных интегральных уравнений определен-
ных типов, и т. д.

Книга рассчитана на студентов университетов и других учебных
заведений, программы которых включают соответствующие главы
курса математической физики, а также на аспирантов и научных
работников, сталкивающихся в своей работе с необходимостью вы-
полнения расчетов, требующих применения методов математической
физики. Настоящий задачник может, как нам кажется, представить
также известный интерес для определенной категории инженерно-
технических работников, которые, кроме приобретения соответствую-
щих навыков в решении задач, могут использовать результаты, приве-
денные в ответах, для справок.

В связи со сравнительно большим объемом материала, уровень
математических сведений, требуемых для успешной работы с задач-
ником, в общем является довольно высоким, однако для решения
большинства задач, помещенных в главах II—V, достаточно знаком-
ства с основами математической физики в объеме известных курсов
В. И. Смирнова и А. Н. Тихонова и А. А. Самарского. Что
касается глав VI—VIII, имеющих более специальный характер, то
здесь требуется знание соответствующих разделов теории специаль-
ных функций, интегральных преобразований и т. д.

С целью облегчить работу с книгой, в начале каждого раздела
помещены краткие введения, в которых, наряду с изложением содержа-
ния соответствующей главы, приведены также некоторые теоретические
сведения. Следует отметить, однако, что эти введения не пре-
дусматривают сколько-нибудь полного освещения теоретических
вопросов, в отношении которых мы отсылаем читателя к курсам и
монографиям, список которых указан в конце каждой главы.

Большинство задач, вошедших в сборник, приведено с указаниями,
имеющими целью облегчить выбор рационального метода решения.
Кроме того, в конце книги помещен специальный раздел, содержащий
решения некоторых задач *), при выборе которых авторы руковод-
ствовались, с одной стороны, стремлением иллюстрировать на простых
типовых примерах применение того или иного метода, а с другой, —
дать решения некоторых более трудных или интересных для прило-
жений задач. При составлении раздела решений было принято целесо-
образным, ввиду прикладного характера данной книги, ограничиться
формальной схемой, оставляя в стороне вопрос строгого обоснования
найденных результатов.

При подготовке сборника авторы, наряду с классическими рабо-
тами и монографиями по математической физике, пользовались рядом
журнальных статей, а также материалом, накопленным в результате
длительной научной и педагогической деятельности кафедры матема-
тической физики Ленинградского политехнического института и ра-
боты, связанной с оказанием помощи промышленным предприятиям.

Было бы нерационально, да и вряд ли возможно, указать на
оригинальный источник, где впервые была решена та или иная задача,
в связи с чем подобные литературные ссылки приведены лишь в виде
отдельных исключений.

Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность
чл.-корр. АН СССР Г. А. Гринбергу за ряд ценных указаний и со-
ветов, использованных при составлении данного сборника.

И. Лебедев

И, Скалъская

Я. Уфлянд

*) В тексте книги эта категория задач отмечена звездочкой*.
ГЛАВА I

ВЫВОД УРАВНЕНИЙ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Настоящая глава имеет целью дать материал для упражнений на
вывод уравнений математической физики и формулировку начальных
и граничных условий, а также носит справочный характер, так как
содержит перечень основных уравнений, встречающихся в данном
сборнике.

Предполагается, что читатель знаком с физическими законами,
лежащими в основе математической формулировки задач, принадле-
жащих к той или иной отрасли физики. Для удобства работы с книгой
более трудные задачи снабжены указаниями.

Глава состоит из трех параграфов, посвященных, соответственно,
задачам механики, теплопроводности и теории электрических и маг-
нитных явлений. В начале каждого параграфа приводятся основные
уравнения, относящиеся к данному разделу, с ссылкой на литера-
турный источник, где можно найти их вывод. Особое внимание
уделено постановке задач электродинамики, так как этот вопрос
недостаточно полно освещен в имеющейся литературе *).

§ 1. Механика

Данный параграф содержит упражнения на вывод дифференциаль-
ных уравнений и формулировку начальных и граничных условий,
относящихся к задачам на колебания струн, мембран, стержней и
плит, а также некоторое число примеров, связанных со статическими
задачами механики сплошных сред.

Предполагается, что основные уравнения данного раздела известны
читателю из теоретических курсов **), в связи с чем мы приведем
лишь краткую сводку этих уравнений с пояснением обозначений,
применяемых в настоящем сборнике.

*) Читатель, интересующийся преимущественно математической стороной
вопросов, связанных с постановкой задач математической физики, может
получить соответствующую информацию в работах р0, 82’ 05-0в’ Бб].

**) См., например, р°], т. II, [108> 108р Что касается вывода уравнения коле-
баний плиты, то его можно найти в [105].
1°. Уравнение колебаний струны:
д2и______________1_ д2и  д (х, I)

дх2 V2 * д12	Т

где и(х, I) — смещение точки струны с координатой х в момент
времени I, ц(х, I) — внешняя нагрузка, рассчитанная на единицу длины,
Т — натяжение, р — линейная плотность струны.

2°. Уравнение продольных колебаний стержня постоянного сечения:
д2и 1 д2и п	1/~Е

дх2 V2 '	У г р ’

где н(х, /) — смещение сечения стержня с абсциссой х в момент

Е — модуль Юнга, р — плотность материала стержня.

3°. Уравнение поперечных колебаний стержня (балки):

д'и | 1	___Я	2 1 /~Е/

дх> ' а> ' Э? Е7 ’ а V р§ ’

где и(х, /) — смещение точек средней линии стержня, д(х, I) —
внешняя нагрузка, отнесенная к единице длины, Е — модуль Юнга,
У—момент инерции поперечного сечения, р — плотность материала
стержня, 5 — площадь сечения.

4°. Уравнение колебаний мембраны:

д2и । д2и_ 1 д2и_______д (х, у, I) ____1/~^

дх2 ду2 V2 * д12	Т ’ У V р ’

где и{х, у, /) — смещение точки (х,у) мембраны в момент времени
д(х, у, I) — внешняя нагрузка, рассчитанная на единицу площади,
Т — натяжение на единицу длины контура мембраны, р — поверх-
ностная плотность.

5°. Уравнение поперечных колебаний упругой тонкой плиты:

Ьь	о > К рл*

где //(х, у, I) — смещение точки (х, у) средней плоскости плиты
в момент /, д(х,у, I) — плотность внешней нагрузки, О — цилин-
дрическая жесткость, Н — толщина, р — плотность материала плиты,
/ д2 д2 \

△ — двумерный оператор Лапласа —

Соответствующие уравнения для статических прогибов могут
быть получены из предыдущих уравнений, если считать внешнюю
нагрузку и искомую величину смещения и не зависящими от вре-
мени I. Например, уравнение равновесия мембраны будет

Во	।	_____я (*, у)

дх2~Е ду3~ Т ’

Статический прогиб плиты удовлетворяет уравнению

7°.

и т. д,
Из других уравнений статики упругих тел, встречающихся в
данном сборнике, отметим еще известное уравнение кручения приз-
матического стержня

где и(х, у) — функция кручения.

Ниже помещены задачи на формулировку начальных и гранич-
ных условий для упомянутых уравнений, а также задачи на вывод
некоторых других дифференциальных уравнений.

1.	Написать начальные и граничные условия в задаче о коле-
баниях струны с закрепленными концами (О^х^/), которая в на-
чальный момент времени / — 0 оттянута в точке х = с на задан-
ную величину 1г и отпущена без начальной скорости.

Ответ.

( кх п ___________

I — ,	0 х с,

Кк=о=^(х)=='! к(1-х) с<х<1 4=о=°’

( I — с ’

М|д.==о = и|х=/ = О.

2.	В точке х = с струны (О^х^/) укреплен сосредоточен-
ный грузик массы Написать уравнения, определяющие процесс
колебаний при произвольных начальных условиях, предполагая, что
концы струны закреплены.

Ответ.

0 ==^х	с,

с х	Л



гл2,

д2щ 1 д2щ _ п
дх2 V2 д12 °

(/=1, 2).

Граничные условия:

ди2 диЛ _______тцд^и]

дх	дх )х=с	Т ^2|Л.=С>

начальные условия:

иI = /(х), I = ^(х).

|/=о	д1 | /=о ь

3.	Сформулировать начальные и граничные условия задачи о про-
дольных колебаниях стержня для следующих частных случаев:

а)	стержень длины I закреплен на конце х = 0 и растянут
силой р, приложенной к другому концу; в момент ^ = 0 действие
силы внезапно прекращается;

б)	к концу х = / консольного стержня, находящегося в состоя-
нии равновесия, прикладывается в момент ^ = 0 растягивающая
сила Р{1}\
в)	консольный стержень, закрепленный в точке х = 0, с грузом
массы 7И0 на свободном конце х = 1 совершает продольные колеба-
ния при произвольных начальных условиях.

Ответ.

а)

। Ех ди

И|/„°

0

=0

I	Л ди

и | х==о 0,

= 0;

х=1

б)

и |^ = о=О,

ди I
д1 |/ = о

0,

а|ж-о=О,

ди I

~дх |

Е8 9

^(0.

в)

«|/=о=/(х), ^|/ = 0 = ^(а:), ф=о=О,

х=~ Е8 д12

х^=Е

4.	Получить дифференциальное уравнение продольных колеба-
ний тонкого стержня переменного сечения 5 = 5(х). В качестве
примера вывести уравнение колебаний конического стержня.

Ответ.

1	д о, ч ди	1	д* 2и	~

-ст~х *	(х) -------------= 0, V =

5 (х) дх к ' дх	V2	д12

5.	Вывести уравнение крутильных колебаний круглого вала.
Ответ.

дх2 V2 ' д{2	9

где 0 (х, I) — угол закручивания сечения х относительно положе-

ния равновесия,	р— плотность, О—модуль сдвига.

Указание. Крутящий момент в сечении х дается выражением

дх ’

7—полярный момент инерции поперечного сечения вала.

6.	Сформулировать начальные и граничные условия в задаче
о крутильных колебаниях круглого вала длины /, конец х = 0
которого закреплен, а на другом конце помещен массивный диск
с моментом инерции 70. В начальный момент времени диск закру-
чивается на заданный угол а и отпускается без начальной скорости.

Ответ.

6 |<_0=а^-
— 0 Й61

= 0;

I
 дё I

001

_____ 7р

“ С7
7.	Консольная балка длины I закреплена на конце х = 0 и на-
гружена силой Р на другом конце. В момент ^ = 0 действие силы
внезапно прекращается. Сформулировать начальные и граничные
условия в задаче о колебаниях.

Ответ. Начальные условия:

граничные условия:

I ди\ п д2и I д*и I п
|лг=»О	дх2 !•*==/	дх3|л:=/

8.	Написать начальные и граничные условия в задаче о свобод-
ных колебаниях круглой плиты радиуса а с закрепленным контуром,
начальная деформация которой создана сосредоточенной силой Р,
приложенной в центре плиты.

Ответ.

I Рг2 г , Р , о ди I
“ко 8лО п а + 16тП Г^' д1 |/=0

и| =0, ^1	=0.

|г = а	дг\г — а

Указание. Для определения статического прогиба, вызван-
ного сосредоточенной силой, рассматривать последнюю как предель-
ный случай нагрузки, равномерно распределенной по кругу малого
Р
радиуса е с плотностью

9.	Показать, что задача изгиба плиты со свободно опертым кон-
туром Г в случае, когда последний представляет собой многоуголь-
ник, приводится к решению уравнения Пуассона

у)

(/— известная функция), при граничном условии гу|г = 0.

Указание. Заметим, что в рассматриваемом случае граничные
условия на опертом крае могут быть записаны в виде ц|г = 0,
△и |г=0.

10.	Показать, что потенциал скоростей потока идеальной не-
сжимаемой жидкости в пространстве, не содержащем источников,
удовлетворяет уравнению Лапласа

△п = 0.

Указание. Воспользоваться условием уп с18 = 0 (у — вектор
скорости частиц жидкости в данной точке, 5 — произвольная замкну-
тая поверхность внутри потока, п — внешняя нормаль к поверх-
ности 5) и условием потенциальности у = — ^тас! и.
11.	Дать математическую формулировку задачи об обтекании
тела, ограниченного поверхностью 5, потоком идеальной жидкости,
созданным точечным источником мощности т, помещенным в точке
Жо в области, лежащей вне 5.

Ответ. Задача приводится к отысканию решения уравнения

△п = О,

регулярного в области вне 5, за исключением точки Л40, в смеж-
ности с которой

Ш	I	А-

и ==	+ РегУля₽ная функция,

где М — точка, близкая к 7И0, р — плотность жидкости.

Искомая функция и должна удовлетворять граничному условию
и условию на бесконечности п =	при /?—>оо.

§ 2. Теория теплопроводности

Основное уравнение теории теплопроводности (уравнение Фурье)
АТ_ср

— к ’ д1 к

(Т(М, I) — температура точки М тела в момент времени /; (^) — плот-
ность источников тепла, распределенных внутри тела; к, с, р —
коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и плотность
вещества) выводится в курсах математической физики*). Гранич-
ные условия, которые должны выполняться на поверхности тела
(или ее части), зависят от конкретного характера рассматриваемых
задач. Наиболее часто предполагается, что поверхность тела имеет
заданную температуру Т\^ = /(Р, 1)(р—точка поверхности 5) или
излучает тепло в окружающее пространство по закону Ньютона,
согласно которому количество тепла, излучаемого единицей поверх-
ности тела в единицу времени, пропорционально разности темпе-
ратур поверхности тела и окружающей среды. В последнем случае
граничное условие имеет вид

4"	= Тсредьв

где п — внешняя нормаль к 5, Тсредь1 — температура окружающего
пространства, к — коэффициент теплообмена. Не ограничивая общно-
сти, можно считать Тсреды = 0, что и принято во всех задачах, за
исключением задачи 155.

*) См., например, [ео], т. П, [108]. Вектор плотности теплового потока д
в произвольной точке тела может быть вычислен с помощью соотношения

Ч = — к ^гас! Г.
Примеры некоторых других граничных условий, встречающихся
в приложениях, даны, например, в задачах 365, 367, 370.

Ниже приведено небольшое число упражнений на постановку
некоторых конкретных задач теории теплопроводности и родствен-
ных им задач теории диффузии.

12.	Бесконечный цилиндрический проводник радиуса а, началь-
ная температура которого совпадает с температурой окружающей
среды, принимаемой за нуль, нагревается с момента / = 0 постоян-
ным током, выделяющим в единице объема проводника тепло
Дать математическую формулировку задачи теплопроводности, пред-
полагая, что отдача тепла с поверхности проводника происходит
в соответствии с законом Ньютона*).

Ответ. Температура Г (г, /) удовлетворяет уравнению

г дг Г дг дт к \ ср / ’
начальному условию

Г|т = о=О

и граничному условию

дТ .	п

^-4-^7	=0.

дг 1	[г = а

13.	Однородный шар радиуса а в течение длительного времени
нагревался источниками тепла, распределенными по его объему
с постоянной плотностью (?. Написать уравнения, определяющие
процесс остывания шара после выключения источников, считая, что
теплоотдача с поверхности шара в окружающее пространство как
во время нагрева, так и при охлаждении происходила по закону
Ньютона.

Ответ.

Г2 дг дг~ дт9 дг^П1\г^а~ ’
т| = — (а2__________г2) -Д-	.

|г=о 6*	Зкк’

14.	Две пластинки толщины и а%, изготовленные из различ-
ных материалов и нагретые до температур 7® и 7^, в момент / = 0
вводятся в соприкосновение одна с другой. Составить уравнения,
определяющие процесс выравнивания температур, считая, что
свободные грани теплоизолированы от окружающего пространства.

*) Можно рекомендовать получить дифференциальное уравнение задачи,
не прибегая к преобразованию оператора Лапласа в уравнении Фурье, а
опираясь непосредственно на физические предпосылки, лежащие в основе
вывода этого уравнения.
Ответ.

&Т\ С1Р1 . дТ\
дх2 к1 ' д1

(0<Х<Л1);

&Т2 ___ С2р2 дТ2
дх2 ~ к2 ~дГ

(а1 ОО1 + а2).

Граничные условия:

<?Л|	_п т\ _т I ь д!\\	_ дТ2 |

дх и = 0	’	2 |х = а1 9 1 дх 1^ = 0!	Чо-а/

^1	=°;

ОХ I х "=	#2

начальные условия:

Лк=о=77> ^-0=7?.

15.	Неравномерно нагретое тело, имеющее форму круглого
кольца радиуса а с малым поперечным сечением, охлаждается путем
теплоотдачи с боковой поверхности.

Составить уравнения, описывающие процесс выравнивания темпе-
ратуры, считая, что температурным перепадом по сечению кольца
можно пренебречь, и принимая, что охлаждение с поверхности про-
исходит по закону Ньютона.

Ответ.

1 д2Т дТ \кр __________ к1

а2 ду2	дт "Т" 5 ’ Т ср ’

где р — периметр, 5 — площадь поперечного сечения, к — коэффи-
циент теплообмена.

Искомая температура должна быть периодической функцией
циклической координаты ср и удовлетворять начальному условию
Г|Т==о—/(?), гДе / — заданная функция.

16.	Показать, что концентрация вещества С(х, уу 2У /), диффун-
дирующего в газе или жидкости, удовлетворяет дифференциальному
уравнению

кг— 1

Я ’ д1 Э 9

где $ — плотность источников диффундирующего вещества, И —
коэффициент диффузии.

Указание. Исходить из закона Нернста ц = — О ^гас! С (я —
вектор плотности потока вещества) и составить уравнение баланса
для произвольного объема.

§ 3.	Теория электрических и магнитных явлений

Важный класс задач математической физики составляют задачи,
связанные с интегрированием дифференциальных уравнений, встречаю-
щихся в электростатике и магнитостатике, электродинамике и дру-
гих разделах теории электрических и магнитных явлений.
Основные уравнения, относящиеся к указанной области, выво-
дятся в курсах электродинамики и математической физики *). В на-
стоящем параграфе мы предполагаем, что читателю известны следую-
щие уравнения:

1°. Уравнение электростатики:

Дн = —	, Е= — ^гадн,

где и — потенциал электростатического поля Е, р = р(7И) — объем-
ная плотность зарядов в точке М, е— диэлектрическая постоянная
среды, △ — оператор Лапласа.

2°. Уравнение распределения плотности постоянного тока внутри
однородного проводящего тела:

А О	<

Дм = —	) = — а ^гаа и,

где и — потенциал токового поля, ] —вектор плотности тока,

= <2(ЛГ)— плотность объемного токовыделения (в частности, мо-
жет быть равно нулю), а —- проводимость.

3°. Уравнения магнитного поля постоянных токов:

ДА= —Н=-го1А,
с *	|л

А — вектор-потенциал магнитного поля Н, — вектор плотности
токов, являющихся источниками магнитного поля, р — магнитная
проницаемость среды, с — скорость света в пустоте, А — векторный
оператор Лапласа **).

4°. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в однород-
ной изотропной среде:

С 01	1 С I С л

. _ МН
Г01Е = -^,

<НуЕ= —,
8	’

ШуН = 0,

*) См., например, Р08» 29], а также курс „Основы теории электричества"
И. Е. Тамма, ГТТИ, 1946.

**) Компоненты вектора АА в декартовой системе координат будут (АДу,
ДА^, ДА*), где Д — обычный оператор Лапласа от скалярной величины. Для
вычисления составляющих вектора АА в других системах координат следует
воспользоваться соотношением АА = (Пу А — го! го! А.

Выражения для компонент АА в цилиндрической и сферической систе-
мах координат приведены в справочном отделе.
где Е, И — векторы электрического и магнитного полей; е, у-, а —
диэлектрическая постоянная, магнитная проницаемость, проводимость
среды, с — скорость света в пустоте, р и — плотность зарядов
и токов, являющихся источниками поля *).

Если ввести скалярный и векторный потенциалы и и А при по-
мощи соотношений **)

Н = —го! А, Е =— дгасПг--------- • ~,

Р	&	с д1 9

то задача определения электромагнитного поля приводится к инте-
грированию системы уравнений:

50	ЛА —	;(е)

с2 д12 с2 д1	с 1 ’

Л ер, д2и 4лр,7 ди________ 4тср

~ Т2 ' д? Т2 д1 Г’

Настоящий параграф содержит упражнения на постановку кон-
кретных задач, связанных с определением статических и перемен-
ных электрических и магнитных полей, на различные преобразования
дифференциальных уравнений электродинамики, полезные в частных
случаях, и т. д.

17.	Дать математическую формулировку задачи электростатики
об определении электростатического поля в пространстве между про-
водниками произвольной формы, находящимися при заданных потен-
циалах.

Ответ. В области О, ограниченной поверхностями проводников
5/7=1, 2,..., 77), потенциал и удовлетворяет уравнению Лап-
ласа

Дк = 0.

Граничные условия задачи имеют вид:

«|в,= V/,
причем в случае, если бесконечно удаленная точка принадлежит
Д, эти условия должны быть дополнены требованием, чтобы потен-

*) Необходимо заметить, что если задано, то функция р не может
быть выбрана произвольно, а должна определяться из дифференциального
уравнения

являющегося следствием первого и третьего уравнений системы Максвелла.

**) Величины А и и не являются независимыми и связаны между собой
соотношением:

<11V А + — • -47 Н-— и = 0.

с д1 с
циал и стремился на бесконечности к нулю равномерно по всем
направлениям.

Примечание. Если ни одна из поверхностей 5/ не простирается в
бесконечность, произведения и А*2 ^габ и (А*2 = х2 + у2 + г2) остаются
равномерно ограниченными при Л—>оо; однако эти условия можно не вклю-
чать в постановку задачи, так как единственность ее решения вполне обе-
спечивается сформулированным выше требованием равномерного стремления
потенциала и к нулю при 7?—>оо.

за исключением

18.	Заряд д помещен в точке 2И0(х0, у0, г0) вблизи проводника,
ограниченного поверхностью 5 и находящегося при потенциале V.
Сформулировать задачу электростатики.

Ответ. Потенциал и удовлетворяет уравнению Лапласа во вся-
кой точке пространства, окружающего провод
точки 7И0, вблизи которой и —	-|- регуляр-

ная функция (7?=|7ИО7И|— расстояние между
точками М и 7И0, М 2И0). Кроме того, по-
тенциал удовлетворяет граничному условию
и|5=У и условию на бесконечности м|оо->0
равномерно по всем направлениям.

19.	Тонкая заряженная нить с зарядом д
на единицу длины помещена внутри заземлен-
ной цилиндрической оболочки с образующими,
параллельными нити (рис. 1). Дать формули-
ровку плоской задачи электростатики.

Ответ. Потенциал и удовлетворяет двумерному уравнению Лап-

ласа

А д2и . д2и п

Ди — з—5 -4- з-о — 0
дх2 1 ду2

во всей области О за вычетом точки 7И0, где потенциал имеет ло-
гарифмическую особенность

и = — 2д 1п 7? регулярная функция,

и граничному условию и | г — 0.

20.	Изменить формулировку предыдущей задачи для случая, когда
заряженная нить расположена вне проводника и вместо потенциала
задан суммарный заряд проводника на единицу длины.

Ответ. Граничное условие задачи будет

=0
08 I Г

— производная по касательной к

I; на бесконечности

контуру Г^;

и — — 2	111ограниченная функция

/?-* со

где С? — заряд проводника на единицу длины.
21.	Показать, что задача о распределении тока в тонкой про-
водящей оболочке (рис. 2) приводится к интегрированию уравнения

△м =

№
;п

где и — потенциал распределения токов в оболочке (вектор плотно-

сти тока | = — а §гад и), а — проводимость, И — толщина оболочки,

— нормальная компонента плотности то-
ков, поступающих в оболочку через при-
соединенные к ней электроды; Агг — двумер-
ный оператор Лапласа на поверхности с ли-
нейным элементом	Н} оф2, т. е.

К11 I | д (Н$ ди\ । д (На

Указание. Усреднить по толщине
оболочки уравнения 2° (стр.15) для объем-
ного токораспределения.

22.	Дать математическую формулировку задачи магнитостатики о
намагничивании тела произвольной формы, изготовленного из магне-
тика с проницаемостью и внесенного в однородное магнитное поле
Но (рис. 3).

Ответ. Задача приводится к ин-	п

тегрированию уравнений

Дн, = 0	(/=1,2),	* /X (г> УГ>

при граничных условиях:	------ /	у

I I 1 ди21	\

11115	дп |$ дп |$	------ ---------

и условии на бесконечности:	Рис. 3.

^гас! | оо ~ Но, г/! | оо — ограничено;

здесь и — потенциал магнитного поля Н, т. е. И = — &гад и.

Указание. Полезно иметь в виду, что в части пространства,
свободной от источников, магнитное поле Н удовлетворяет уравнениям
го1Н = 0, сНуН = 0,
откуда следует

Н = — ^гад к, Дм = 0.

23.	Дифференциальные уравнения распространения волн вдоль
длинной линии, обладающей самоиндукцией Ь, емкостью С, сопро-
тивлением /? и утечкой О на единицу длины, имеют вид*)

ди___г Ы । пг д! —	। г}и

*) См., например, [80], т. И.
где и(х, /) и 1(х, О — значения потенциала и тока в точке х в мо-
мент времени /.

Сформулировать начальные и граничные условия в задаче распро-
странения колебаний в линии, на одном конце которой в момент / = 0
включается, через сосредоточенное сопротивление /?0, постоянное
напряжение 5, а другой конец замкнут
на катушку с самоиндукцией Ло (рис. 4).

О г в е т.

и Ьз=о = О, 111=о ~	1	1

:= 11 I Л- = О "4“	I -* = ()>	I ~| &

] т д!\	Т	?

|г=/	0 д11

Рис. 4.

24.	Показать, что, если р)=0 и плот-
ность зарядов в начальный момент вре-
мени отсутствовала, то дифференциальным уравнениям для электро-
магнитных потенциалов А и и можно удовлетворить, положив

А ер, дП . 4тшл _

А==т-^ + —П’

и = — сП V П,

где П — вектор Герца, являющийся решением уравнения

А „ ер. д2П 4тсар. дП Л

Вывести выражения для векторов Е и Н через вектор П.
Ответ.

гт ®	, /дП . 4тса

И = — го1 -т- -4— п ,

С \д1 1 е ]9

Е = го1 гоШ.

Указание. В силу примечания на стр. 16 из равенства ](*’)= 0
и р |^о=О следует р = 0 для любого момента времени.

25.	Проверить, что в случае, если р0=0 и р |/=о =0, векторы
Е и Н удовлетворяют тому же дифференциальному уравнению, что
и вектор Герца, т. е. *)

ар д2Е	4тгр.г дЕ	п

ДЕ с2 ’ д!* с2 ’	“ °’

. „	ер. д2Н	4гсрл дН	п

/-• Л-=о-

*) В некоторых задачах более удобно исходить из этих уравнений, а не
из уравнений для электромагнитных потенциалов или вектора Герца.
26.	Показать, что для установившихся периодических процессов
частоты о), в которых зависимость от времени величин, определя-
ющих электромагнитное поле (векторы Е и Н, плотность распреде-
ления токов и зарядов, являющихся источниками поля, и т. д.), хара-
ктеризуется множителем , уравнения 5°, стр. 16, принимают со-
ответственно вид:

△ А* + &2А* — —	р) *;

Н* =-— го! А*, Е* =---------^-(\о!го! А* —

у. ’	ск2 \	с л

где /* обозначает комплексную амплитуду скалярной или векторной
функции /, к =	(/(й) < 0) *).

Примечание. Существенным в данной задаче является уста-
новление возможности при вычислении электромагнитного поля для
периодических процессов ограничиться определением одной неизве-
стной функции вместо двух.

27.	Исходя из системы уравнений Максвелла для случая уста-
новившихся электромагнитных колебаний, получить соответствующие
дифференциальные уравнения плоской задачи электродинамики, для
которой

Де)* =/;)* = 0, //>* =] (х, у)-,
Ех==Е* = 0, Е* = Е(х, у),
Н* = Нх(х, у), Н* = Ну (х, у), Н* = 0.

Ответ.

____с . дЕ ______ с дЕ
ду * У дх*

Указание. В случае периодических процессов связь между
и р* устанавливается соотношением



откуда в рассматриваемом случае следует р* = 0.

*) Если, например, |(«) = ](*) 8ш где ](«) — вещественно, то для опре-
деления действительных значений Е и Н необходимо отделить мнимую часть
в выражениях и
28.	Вывести уравнения установившихся периодических электро-
магнитных колебаний для случая задачи с осевой симметрией, в
которой

у(е)* =у(е)* — 0, /<«)*=/(О •?);

Е* = ^г(г, г), ^* = 0, ^ = ^г(г, г);

=	=	Н* = Н(г, г).

Ответ.

Р ___дН

Пг~~ск2~дх'

р р.А» Г 1 д	4тс .1

Указание. Следует заметить, что

р

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ I

Смирнов В. И. [90], Тихонов А. Н. и Самарский А. А. [108],
Левин В. И. и Гросберг Ю. И. [®4], Соболев С. Л. [95], Пе-
тровский И. Г. [82], Курант Р. и Гильберт Д. [м], Вебстер А.
и Сеге Г. [10], Франк Ф. и Мизес Р. [119], Гринберг Г. АД29],
Тимошенко С. П. [103].
ГЛАВА II

НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПОВ

Настоящая глава посвящена применению некоторых методов, ко-
торые, в отличие от методов, рассмотренных в других главах, при-
годны для решения задач математической физики, связанных с диф-
ференциальными уравнениями какого-либо одного определенного
типа — гиперболического, эллиптического и т. д. *) К этой группе
методов относятся, например, метод Римана решения задачи Коши
для уравнений гиперболического типа, применение функции Грина
к краевым задачам, связанным с уравнениями эллиптического типа,
методы решения плоских задач теории потенциала, основанные на
применении теории функций комплексного переменного, и т. д.
Сколько-нибудь полное освещение этих методов, отличающихся
большим разнообразием и принадлежащих к числу трудных вопро-
сов теории, не представляется возможным в рамках данного сбор-
ника, в связи с чем мы ограничились лишь небольшим числом за-
дач, иллюстрирующих некоторые наиболее часто встречающиеся
в приложениях методы.

Глава состоит из трех параграфов, первый из которых содержит
примеры на решение задачи Коши для волнового уравнения в слу-
чае одного, двух и трех измерений, второй посвящен решению
краевых задач, связанных с уравнениями Лапласа и Пуассона, с по-
мощью функции Грина, третий включает двумерные задачи матема-
тической физики, разрешимые путем применения метода конформ-
ных преобразований.

Более подробное изложение содержания каждого раздела главы
приведено в начале соотвеютующих параграфов.

§ 1. Специальные методы решения задачи Коши и некоторых
других задач, связанных с уравнениями гиперболического типа

Задачи математической физики, связанные с теорией распростра-
нения различного рода колебаний (упругих, электромагнитных и т. д.),

*) По поводу классификации уравнений см., например, [108].
приводят к рассмотрению дифференциальных уравнений в частных
производных гиперболического типа с дополнительными условиями,
в зависимости от характера которых рассматриваемая проблема
может быть отнесена к классу смешанных задач или представляет
частный случай задачи Коши.

Под смешанной задачей для уравнения гиперболического типа
понимается задача, в которой искомая функция подчинена, кроме
начальных, краевым условиям, заданным на границе некоторой про-
странственной области О. Под задачей Коши для гиперболических
уравнений понимается задача, в которой область неограничена в
пространстве, и искомая функция должна удовлетворять только на-
чальным условиям.

В частности, для дифференциального уравнения второго порядка

4	4

VI V д2и । л!	ди ди \	~ ч

1	’ Х4’	••• ’ дх^~0, О)

где хг, х%, х3 — пространственные координаты, = —время, за-
дача Коши сводится к определению решения, удовлетворяющего
начальным условиям

а|<=,о = ?(Х1, х2, ха), ^|<=о =ф(Х1,	х3),	(2)

где ср и ф — заданные функции координат.

Более общая задача, также известная в литературе под назва-
нием задачи Коши, заключается в нахождении решения уравнения (1)
по условиям вида

и|5 = <р(Л4), ^|5=<КЛ4),	(3)

где $ — гиперповерхность, заданная в пространстве четырех изме-
рений, п — нормаль к этой поверхности, <?(7И) и ф(7И)— заданные
функции точки М на поверхности 5.

Решение задачи Коши в ряде случаев может быть дано при по-
мощи специальных методов, к которым относятся метод распростра-
няющихся волн, основанный на возможности построения общих
интегралов некоторых дифференциальных уравнений в частных про-
изводных гиперболического типа, метод Римана и его различные
обобщения, и т. д.

Указанные методы позволяют в некоторых случаях получить ре-
шение смешанных задач *), однако, как правило, этот класс задач
требует использования методов, рассмотренных в главах IV—VII,
из числа которых особенно эффективным оказывается применение

*) См., например, [108], гл. II, § 2. Примером приложения этой методики
может служить задача 41.
преобразования Лапласа (глава VI, § 3). Ниже приводится ряд задач
математической физики, иллюстрирующих приложения упомянутых
специальных методов.

29.	Решить задачу о колебаниях бесконечной струны, находя-
щейся под действием внешней распределенной нагрузки <?(х, /), при
начальных условиях: и |^в0 = ср (х),	0 = Ф (*)•

Ответ.

и(х, 0 =	—	+	+	У +

х— VI



где V

натяжение, р — линейная плотность струны;

область интегрирования И изображена на рис. 5.

Указание. Ввести новые не-
зависимые переменные, положив

30.	Исследовать колебания бес-
конечной струны, вызванные сосре-
доточенной нагрузкой (2= <2 (Г),
перемещающейся вдоль струны в
сторону положительных х со ско-
ростью т/0 V (ъ — скорость рас-

пространения колебаний по струне). Дать решение задачи в предпо-
ложении, что в момент 1 = 0 струна находилась в состоянии покоя
и источник колебаний помещался в точке х = 0.

Ответ. Смещение в фиксированной точке х^>0 определяется
формулами:

ы = 0,

И= У

О

и==^г У <?(х)л>

»0
Некоторые Специальные методы

25

Для х<^0 имеем:

н = 0,	0</< —

н = ^г /

Указание. Рассматривать сосредоточенную нагрузку как пре-
дел распределенной и воспользоваться результатом предыдущей за-
дачи.

31.	Получить картину колебаний, наблюдаемых в фиксирован-
ной точке струны х^>0 предыдущей задачи, предполагая, что дви-
жущийся источник совершает гармонические колебания частоты о),
(0 = Ро 81П

Ответ. Смещение в точке х^>0 определяется формулами:

н = 0,

и =

2^Т

и ~

^Оо

2шГ



— СОЗ О)

у1 —

1 — СОЗ ш

VI +

До момента = ~ в точке х наблюдается состояние покоя. В про-

межутке времени —	—, т. е. в период приближения источника,

рассматриваемая точка совершает гармонические колебания частоты
&у	\ х

(ю —----(ю* при г > —, т. е.

1 У~У^ Н

наблюдаемых колебаний будет оо2

при удалении источника, частота
= ~р~7	00 (эффект Допплера).

32.	Полубесконечный стержень, закрепленный при х—>оо и
свободный от усилий на конце х = 0, совершает продольные колеба-
ния. Найти закон колебаний, предполагая, что начальные условия
имеют вид и | /==0 = /(х), | ,=о=О (предполагается, что /(х) -> О
при х->оо).

Ответ.

м(х, Г) —

У [/(VI — х) -\-/(у1 + х)],
у И(х —

VI,

VI

ОО.

О

X

Указание. Продолжить функции, входящие в начальные усло-
вия, четным образом на отрицательную часть оси х и воспользо-
ваться решением задачи Коши для бесконечного стержня.
33.	Найти распределение напряжений и токов вдоль бесконечной
линии с параметрами Ь, С, Н, О по заданным начальным условиям

«|/=о = 9(х),	7|/=0 = ф(х) (— со <х <4-сю),

предполагая, что параметры линии связаны соотношением ~ =
(линия без искажений).	с

Ответ.

и{х, /)=е-“^у [<р(х—г>0+?(х4-г>0] +	~	— Ф(х+г’О]},

I (х, I) = е~а( {у [ф(х — г-ОЧ- ф(*+®0]+§15 [?(•*—~	,

в	1

где а = -г . ъ —
ь	у ьс

Указание. Составить на основании уравнений задачи 23 диф-
ференциальное уравнение для и, ввести новую неизвестную функ-
цию ад, положив и = е~^ад, и выбрать у так, чтобы коэффициент при
дад *
обратился в нуль.

34.	Показать, что решение волнового уравнения

при начальных условиях, обладающих радиальной симметрией,

о = <Р(г),	О = ф('*>	(0^г<оо),

дается формулой

г-\-Ы
г-«гт.<г-*>+('+1 (г+-а+г р.Ир)йр,

Г— VI

где значения функций <р и ф для отрицательных значений аргумента
определяются посредством равенств

<?(— г) = 'р(г),	Ф(— г) = ’Цг).

Указание. Преобразовать уравнение, положив ги — ^, где
ча) — новая искомая функция; в дальнейшем принять во внимание,
что и остается ограниченной при г->0.

35.	Исследовать колебания, возникающие в покоящемся газе при
образовании в нем внутри сферы радиуса а локального уплотне-
ния
Ответ. Уплотнение

газа в произвольной точке г будет:

где V — скорость распространения колебаний в газе.

Указание. Уплотнением з называется относительное изменение
плотности колеблющегося газа $ =	Функция 5 удовлетворяет

дифференциальному уравнению

А о 1	П

Д г>*др ~0,

где т? = 1/ сп/су — отношение теплоемкостей при постоянном
давлении и постоянном объеме, р^ и р0 — начальные значения давле-
ния и плотности газа.

Рассматриваемая задача представляет частный случай предыду-
щей, соответствующий условиям

5о»

О,

д5 ।



= 0.

36.	В газе, находившемся в состоянии покоя, создано в момент
времени / = 0 уплотнение $ = $0, локализованное в объеме, ограни-
ченном заданной поверхностью а. Показать, что уплотнение в точке
М (х, у, г) в произвольный момент времени дается выражением

8(х, у, =

где — часть поверхности сферы радиуса VI с центром в точке М,
вырезанная поверхностью о.

Указание. Воспользоваться общим решением волнового уравне-
1 д2и

ния Дн —	= 0 при произвольных начальных условиях (см.,

например, [64], стр. 259).

37.	Решение задачи Коши для трехмерного волнового уравнения
д» —	• -^2 =—4*р у' г'

при начальных условиях:

«1<=о = ?(-к> у, г),	~\(=0 = ^(х,у, г),
имеет вид:

л _ с р(&. Ъ «>

и(х, у, г, 0 = ^^ + ^ + ] -------------------г------~Ах'

Ху1

где	— средние значения функций у и ф по сфере радиуса VI

с центром в точке М (х, у, г), г — у/(х — ^)2~1~(у — ^)2-|-(г “
и интеграл берется по объему рассматриваемой сферы (см., напри-
мер, [64Ь стр. 260).

Основываясь на этом, найти решение соответствующей задачи
для двумерного уравнения

д2и . д2и I д2и л , ,ч

"дхР^ду* ‘ Э? 4^р(х, у, 0

при начальных условиях

«4=о = ?(*> Л ^“|<=о ='}'(•*> у).

Ответ.

«(х, у, (<?* + лр* 4- 2г» С .ЛМ’Л== а-ц ах

01	& V т)8 — г2 1

где

'’ = (—О1 + О’-Ч)1.

5 — круг радиуса VI с центром в точке
Г1	/<27,у,1)	(X, дО, &— прямой круговой конус

Д	(рис. 6).

/ \	38. Показать, что одним из ре-

/ 27 \	шений двумерного волнового уравне-

—1-----X-------— 7 ния

/	/____\	д*и । дЧг___

X	дх2 ‘ ду2 V2 ОС2 °

Рис 6	будет функция

м==Я{/(6)},
где / — произвольная аналитическая функция аргумента 6, связанного
с переменными (х, у, I) соотношением:

I _ б Л _1_ р/1 _62^. = О.

V 1 К	V

Указанный класс решений волнового уравнения имеет обширные
приложения в теории диффракции (см., например, [90], т. III, ч. 2,
стр. 209; [119], стр. 481).


39.	Применяя метод Римана *), дать решение уравнения гипер-
болического типа

д2и
дх2

О

V2 д{2

— си =

с — заданные постоянные), при произвольных начальных условиях
и |/=0 = <р(х),	~\(=0 = ^(х).

Ответ.

и (х, 0=4 (х ~ ^+?(* +	+

[ф(04(/^)



где

/?== /(г/02 — (х — О2.

40.	Найти распределение тока в бесконечной линии с параметрами
Ь, С, К, О, предполагая, что в начальный момент времени
сила тока равнялась нулю, а напряжение было отлично от нуля и
имело постоянное значение V на участке | х | а.

Ответ.

где

УТС>

7= Ьу,

а==

пс + ьа
21С

ЯС—1(3
21С

А> (х) ~~ Функция
Указание.

Бесселя мнимого аргумента.

Воспользоваться результатом

предыдущей задачи.

*) См., например, [м].
41.	Полубесконечный стержень с переменным сечением 8(х) =
— 8(0)е~-ах, конец х — 0 которого заделан, совершает продольные
колебания при начальных условиях и ^ = 0 — /(х), ^|/==о = О. Найти
смещение произвольного сечения стержня в любой момент времени.

Ответ.

ц(х, /) =

Г -у (* + **)

I е	— е	/,(у1 — х)

VI—X

+ т'Л[ I

о

ъ1]-х

о

при 0 х “п/;

Г	ат>/

у|е 2 /(хЦ-г»/) + ^ 2 /(* — VI) —

. ах С	аг

-*~те 2

х—у1

при ?^<^х<^оо;

/?1>2= /(^-(^ч=02.

Указание. Привести рассматриваемую задачу к интегрированию
уравнения задачи 39 путем введения новой неизвестной функции
^~[8(х)]1^и.

§ 2. Метод функции Грина решения краевых задач, связанных
с уравнениями эллиптического типа

С уравнениями эллиптического типа связаны краевые задачи мате-
матической физики, заключающиеся в нахождении решений рассма-
триваемых уравнений, регулярных внутри заданной пространственной
области О и удовлетворяющих на границе 5 этой области краевому
условию определенного вида. Простейшие задачи этого типа отно-
сятся к уравнению Лапласа Дн = 0 и заключаются в определении
гармонической в О функции *), удовлетворяющей на границе одному

*) Гармонической функцией называется решение уравнения Лапласа,
непрерывное в области вместе с производными первых двух порядков.
В случае, если область [) включает бесконечно удаленную точку, на иско-

мую функцию и налагаются добавочные требования поведения на бесконеч-
ности (см., например, [1С8], гл. IV).
из условий

1°. «|5=/(Р);	2°.-^|5=/(Р);	3° ^_Ли|5==/(Р),

где /(Р) — заданная функция точки на границе 5, п1 — внутренняя
нормаль к 5 в рассматриваемой точке, Н — положительная постоянная.

Соответственно виду граничного условия различают первую, вто-
рую и третью краевые задачи *).

Аналогичные задачи могут быть поставлены для уравнения
Гельмгольца &и-\-к*и = 0 и других уравнений эллиптического типа,
встречающихся в математической физике.

Одним из специальных методов решения краевых задач является
применение теории функции Грина, излагаемой в курсах математи-
ческой физики **). Основной результат этой теории состоит в том,
что решение краевой задачи для уравнения Ди = — при гра-
ничных условиях типа 1° — 3° может быть представлено в квадра-
турах, если известна функция Грина. Последняя не зависит от вида
функций /(Р) и Р(7И), и ее нахождение приводится к рассмотрению
частного случая данной задачи.

Так, например, решение первой краевой задачи для рассматри-
ваемого уравнения для трехмерной конечной области О может
быть представлено в виде

«(Жо) = у	у о ат,

где М — переменная, 2И0 — фиксированная точка области О. Здесь
функция Грина О—О(М, 7И0) есть решение однородного уравне-
ния Ан = 0, регулярное в О за вычетом точки Л40, в смежности
с которой О =	। мм "| РегУляРная функция, и удовлетворяющее

условию 0к = 0. Если положить О =	,—т/, то для опре-

1	4я | М7И01	’	г

деления V достаточно найти решение уравнения Ат/ = 0, регулярное
в Е) и удовлетворяющее условию V |$ =	।> которое предста-

вляет частный случай граничного условия первого рода.

Та же формула дает решение соответствующей плоской задачи,
если в этом случае понимать под функцией Грина решение двумер-
ного уравнения Лапласа, обращающееся в нуль на контуре 5, регу-
лярное в плоской области О, за исключением единственной точки 2И0,
в окрестности которой (2 = ^1п	регулярная функция.

Формулы аналогичного типа могут быть указаны для других
краевых задач, связанных с уравнениями Лапласа и Пуассона, а

*) Первая и вторая краевые задачи известны в литературе также под
названием задач Дирихле и Неймана.

**) См., например, [ео], т. IV.
также для соответствующих задач, относящихся к уравнению Гельм-
гольца Дм Л8а = 0, и других.

Построение функции Грина оператора Лапласа для областей
частного вида может быть выполнено с помощью методов, рассмо-
тренных в главах IV — VII, а также путем применения некоторых
специальных методов, к которым относятся метод изображений
и инверсия *). Первый из названных методов позволяет построить
функцию Грина для полупространства и сферы (в плоском случае,
соответственно, для полуплоскости и круга), и для некоторых обла-
стей более сложного вида, например, для слоя, ограниченного двумя
параллельными плоскостями, области, лежащей внутри двугранного
угла ап, где а — правильная рациональная дробь, и т. д.

Метод инверсии дает возможность, зная функцию Грина для
некоторой области /), найти функцию Грина для области 2)*, полу-
чающейся из В путем инверсии в сфере, центр которой лежит вне В.
Таким образом, например, можно получить функцию Грина для
сферы из соответствующего выражения для функции Грина для
полупространства, функцию Грина для области, ограниченной поверх-
ностью двух пересекающихся сфер, — из функции Грина для области,
ограниченной двумя пересекающимися плоскостями, и т. д.

В настоящем параграфе приведено некоторое число задач на
построение функции Грина при помощи названных методов, а также
несколько задач теоретического характера.

42.	Построить функцию Грина оператора Лапласа для области,
лежащей внутри прямого двугранного угла (х^О,

Ответ.

О(М, Л40) — 4тс[|МА1о| | мм* | + | ММа I |А1Л14|]»

где точки М, Л40,..., имеют координаты

Ж (х, у, г),
А)0(*о, _у0, г0),
Л/2(-х0, _у0, г0),
( х0, уй,
^(х0, — Уо’ го)-

Указание. Применить метод изображений.

43.	Пользуясь методом изображений, построить функцию Грина
оператора Лапласа при граничных условиях первого рода для слу-
чая, когда область В есть часть пространства, заключенная между

, I

двумя параллельными плоскостями =

*) См., например, [108. 29]. Работа [а8] содержит ряд интересных приложе-
ний метода инверсии к задачам электростатики.
Ответ.

ОО

О(Л4, Жо) ——^========.}>
где /?= /(х — х0)«-|-(^ — _у0)'2.

44.	Применяя метод инверсии, получить функцию Грина опера-
тора Лапласа для области, лежащей внутри сферы радиуса а с цент-
ром в точке О, из известного выражения функции Грина для полу-
пространства.

Ответ.

С(Ж, ^о) = 4^[|Л4Л4о| — [ОЙЛ ' [лШТг]’

где М1 — изображение точки Мо в сфере.

45.	Найти функцию Грина для полусферы радиуса а.

Ответ.

О(м, лг)=-.-!— ------— • — ------—Ь

0	4М|ЛШ0| I ОЖо |	|ЛШ,|	|ЛШ8|

+—а------1—1

МОМ0| |ЛШ,|/>

где Л11 — изображение ЛГ0 в соответствующей полной сфере, ЛГ2 —
изображение 7Й0 в диаметральной плоскости полусферы, 7И3 — изо-
бражение М2 в полной сфере.

46.	Функция Грина для краевой задачи

ДМ = -/^(Ж);	^=/(Р)

(2И — точка трехмерной области О, ограниченной поверхностью 5,
функции / и Р удовлетворяют условию разрешимости задачи Ней-
мана *) определяется требованиями:

1°. О—О(М, Мо)—решение уравнения Лапласа Дм = 0, регу-
лярное в О за вычетом фиксированной точки 7И0, вблизи которой

п 1 ,

0=	1 + Регулярная функция.

2°.	|$ ==	, 50 — площадь поверхности

3°. Г 0 48 = 0.

Если функция Грина известна, то решение дается формулой
и(2И0) = — Г /(Р)Оа8+ С Л(М)С/<Ь4-соп8и
Проверить, что в частном случае, когда область И есть сфера
радиуса а с центром в начале координат О, функция Грина будет

С (Ж, Л10) =	| МЛ1о 14- 4тс 1 ОЛ40| -1 ЛГЛГж I +

|_1_1 ________2____________!_

’ 4ъа П I ОО | . | ММ, | 2тш ’

“ ПжП + | ОМ, |

где ЛЦ — изображение точки /140 в сфере, О — основание перпенди-
куляра, опущенного из точки М на прямую ОМ^

47.	Проводник, ограниченный замкнутой поверхностью 5 и нахо-
дящийся при заданном потенциале V, помещен в произвольное внеш-
нее поле с потенциалом ц°. Показать, что, если известна плотность
распределения зарядов на заземленном проводнике, при условии,
что внешнее поле создано единичным зарядом, помещенным в про-
извольной точке /Ио вне проводника, то распределение потенциала
в общем случае дается квадратурой

и(Л1в)= У + «в(Л10)+У«0(Р)а(Я

где а(Р, 7И0) — заданное значение плотности в точке Р поверх-
ности

Указание. Применить к функции чю — и — и0 формулу

®(/И0) =]*/(/>) ^-//5,

5

дающую представление решения краевой задачи

△те/ = 0 вне 5,

а'1с<^0

через функцию Грина, и принять во внимание электростатическую
интерпретацию функции Грина.

48.	Найти функцию Грина для двумерного оператора Лапласа
при краевом условии первого рода, предполагая, что известна
функция С = С(г), дающая конформное отображение заданной
области на плоскости (г) на верхнюю полуплоскость (С). Приме-
нить полученный результат к построению функции Грина для полу-
полосы (х^>0, 0 у к).

Ответ.

о (ж, лт0) = — 2- Лп с ~-Ы

I с-с0/’
где С и Со — точки полуплоскости, соответствующие точкам М (х, .у)
И Мй(хв, у„).

В частном случае

п м \ =________1_1П [сН(х + х0) —СО8 (у+Уо)] • [сЬ(Х —Хо) —СО8(у—у0)]

1	4тс	[сН(х + х0)~СО8(у—Уо)] • [сЬ(Х— Хо) — СО8(у+у0)Г

Указание. Конформное отображение полуполосы на полупло-
скость дается функцией С = ей г.

49.	Решение краевой задачи ДДн =	в области В,

и |5 = 0,	(△ — двумерный оператор Лапласа), встречаю-

щейся в теории изгиба тонких упругих плит, может быть предста-
влено в форме

и(Ж0) = Г Л (714) О (1л,

где функция Грина О = О (714, 7140) определяется условиями:

1°. О — решение бигармонического уравнения ДДм = О, регу-
лярное в О, за исключением фиксированной точки 7140, вблизи
которой О =	1714714О |21п 171471401 регулярная функция,

9°

О =0,
|5

дО
дп

I = о.

Проверить, что в частном случае, когда область О есть круг
радиуса а с центром в начале координат О, функция Грина дается
выражением

С(7И,7ИО) = ^

Г |ЛШ0|2 а^\ммг I
|_ о2 П |СШ0|217ИЛЛ12 •

где М1 — изображение точки 7140 в рассматриваемом круге.

§ 3. Метод конформных преобразований

Важный класс краевых задач, к которым приводят многие про-
блемы электростатики, магнитостатики, теории установившегося
потока тепла и идеальной жидкости, теории фильтрации и т. д.,
составляют плоские задачи, заключающиеся в определении гармони-
ческой функции и (х, у). Эта функция удовлетворяет в двумерной
области В уравнению Лапласа Дц = О и граничному условию и\$—/
или	где /—заданная функция, п — нормаль к контуру 5,

ограничивающему О.

Эффективный метод решения задач этого типа состоит в по-
строении функции комплексного переменного С = /Г(г), регулярной
в О и осуществляющей конформное отображение области Й на
некоторую область О* специального вида, для которой решение
рассматриваемых задач известно или может быть найдено более
просто, чем для исходной области.

При этом предполагается, что производная Р (г) отлична от
нуля в области Й (условие взаимной однозначности отображения).

Так как при переходе от переменных (х9у) к переменным
($, т]), связанных зависимостью $	= Р (х -|- 1у), уравнение

Лапласа и граничные условия приведенного выше типа сохраняют
свой вид*), указанный метод приводит к решению краевой задачи
для области Й.

Метод конформного преобразования оказывается полезным также
при рассмотрении краевых задач с более сложными граничными
условиями, например, задач, когда на части контура 5 задается
значение искомой функции и, а на остальной части контура —
значение ее нормальной производной; задач на струйное течение
идеальной жидкости, в которых вид контура 5 не является заранее
заданным и определяется в процессе решения задачи, и т. д.

Построение функции С = Л(г), реализующей конформное ото-
бражение области О на область Й*9 во многих случаях может
быть осуществлено путем комбинированного применения ряда
отображений, даваемых известными элементарными функциями.
В частном случае, играющем большую роль в приложениях, когда
область О представляет собой многоугольник и требуется получить
отображение последнего на верхнюю полуплоскость, определение
отображающей функции может быть выполнено с помощью изве-
стного интеграла Кристоффеля—Шварца * ** ***)).

Большое число примеров на применение метода конформных
преобразований к краевым задачам математической физики, связан-
ным с уравнением Лапласа, а также к бигармонической задаче,
читатель может найти в курсах теории функций комплексного
переменного и в специальных сочинениях ♦**), в связи с чем мы
ограничимся небольшим числом типовых задач, иллюстрирующих
технику применения метода.

За немногими исключениями построение отображающей функ-
ции в этих задачах может быть получено с помощью интеграла

♦) В случае граничного условия второго рода значение, принимаемое
нормальной производной на контуре 5*, будет

**) См., например, [90], т. III, и [54].

***) См., например, [80], т. III, [54’ 123’ 89> 78] и т. д,

|Р(г)| к'7.
Кристоффеля—Шварца. При решении задач данного параграфа пред-
полагается, что читатель знаком с основами теории конформных
преобразований. Задачи 51, 57, 59 требуют для своего решения
знания свойств эллиптических интегралов и функций Якоби.

При решении задач 50—54 будут, кроме того, полезны сле-

дующие указания.

Если 9 — потенциал плоскопараллельного установившегося потока
идеальной жидкости со скоростью V в данной точке (у =— ^гай 9),
то комплексным потенциалом = называется функция ком-
плексного переменного г = х~\-1у, вещественная часть которой

равна функции 9, т. е. ку = 9-|~^Ф> где ф— мнимая часть функции,
ду дф дер  дф
дх	ду ’ ду	дх ’

связанная с 9 условиями Коши — Римана

Кривые семейства ф=соп81 образуют
мом потоке жидкости, в связи с чем

линии тока
функция ф

в рассматривае-
носит название

функции тока.

Количество
двумя линиями
в направлении,

жидкости, протекающее за единицу

времени между

тока ф = ф, и ф = ф2 [отнесенное к единице длины
перпендикулярном к плоскости (х, 3/)], равно абсо-

лютному значению разности ф4 — ф2, именно ($ = | фх — ф21.

Составляющие вектора скорости связаны с производной ком-
дю
плексного потенциала соотношением — ю..—-------•

х у аг

Комплексный потенциал весьма удобен для описания плоского
потенциального поля. Соответствующее понятие может быть введено
при рассмотрении установившегося потока тепла и в электроста-

тике, причем в первом из указанных случаев роль вектора V
играет вектор плотности потока ц, отнесенный к коэффициенту
теплопроводности среды к, во втором — вектор электрического
поля Е, а 9 представляет, соответственно, температуру и потенциал
в произвольной точке плоскости.

50.	Поток идеальной жидкости, компоненты скорости которого
на бесконечности равны ъх = ъоо, — 0, обтекает препятствие
Xй У V2

в виде эллиптического цилиндра 4“ 32" ~ •

Составить, с помощью применения метода конформных преобра-
зований, выражение для комплексного потенциала потока.

Ответ. Связь комплексного потенциала ку с переменной г
определяется в параметрической форме уравнениями

^оо(«+ О 4 । «2 \	_ «+А к । а~ь

---Та--'г — -2— а~1 Т~ I'

где I принадлежит области 11\ ^а, О^аг^/^тс.

Указание. Конформно отобразить часть области, занимаемую
потоком, лежащую над осью симметрии, на полуплоскость с полу-
круглым вырезом радиуса а, а затем выполнить конформное пре-
образование этой области на верхнюю полуплоскость переменной С
таким образом, чтобы дуга круга радиуса а перешла в отрезок
вещественной оси (—а, -[-а).

51.	Дать решение предыдущей задачи для случая, когда пре-
пятствие есть цилиндр прямоугольного сечения (—а ^х ^а,
— Ь^у^Ь),

Ответ. Параметрическое представление комплексного потен-
циала будет

с Л_______

=	г = А	(О^аге^тг),

О

л	а&2

где А —

деляется из условия

, и модуль эллиптических интегралов опре-

Ъ _ Е&) — к2К (к')

а	Е (к) — к'2К (к) '

Указание. Пользуясь теоремой Кристоффеля—Шварца, ото-

бразить область, занимаемую

Найти распределение скорости

потоком, лежащую над осью сим-
метрии у = 0, на верхнюю полу-
плоскость так, чтобы угловым
точкам	соответ-

ствовали точки ч-1.

к ’

52*. Изучить плоское дви-
жение идеальной жидкости в ка-
нале переменного сечения (рис. 7),
предполагая, что на бесконеч-
ности направление потока сов-
падает с осью х и значение
скорости будет (^Л.)АГ_>_ОО = ^,
(^-+00=^ (аъа = Ьъь).

вдоль

Ответ. Распределение скоростей
дается равенствами:

оси симметрии потока *).

параметрической форме

в

_____>	х _________ 1

’ а	тс

1	1	। Ь

1П-ГТ-Г- + -



1 + -(
а

1 — — I
а

а

Г

*) В задачах (52—54), где поток симметричен относительно некоторой
оси, удобно считать, что вдоль этой оси Ф = 0. Значение Ф на какой-нибудь
другой линии тока определяется на основании равенства ф = | % — I
(стр. 37).
Указание. С помощью теоремы Шварца отобразить область
АВСОЕ на верхнюю полуплоскость комплексной переменной
^ = 5-)-/^, потребовав соответствия точек Ву С и О точкам С =— 1,
— X и С = 0, где X — правильная положительная дробь, подле-
жащая определению (после вычисления параметр X оказывается
равным отношению

53.	Решить предыдущую задачу при условии, что канал имеет
сечение, изображенное на рис. 8. Предполагается, что (^Х)А-_>_ОО =

Ответ.

Указание. Преобразовать ограниченную стенкой канала и осью

симметрии потока область на верхнюю полуплоскость комплексной

переменной С, сопоставив угло-
вым точкам В и С точки С= — 1
и С = 0.

54*. Исследовать струйное вытекание жидкости через щель
ширины 2а в плоской стенке, предполагая, что количество жидкости,
протекающее через щель в единицу времени, равно ($ *) (рис. 9).
Найти форму струи.

*) На единицу длины в направлении, перпендикулярном плоскости (х, у).
Ответ. Уравнение кривой, ограничивающей струю, в параме-
трической форме дается уравнениями

а ’+т

-У- = ._!—[1/т—/	1 1п1+1ЛГГ71

« 1+| И'-‘

Ширина струи на большом удалении от места выхода 2Ь —-.

1+4

Указание. Применить метод Кирхгофа*).

55. Труба радиуса а помещена на заданной глубине в грунт
(рис. 10). Найти установившееся распределение температуры в про-

странстве, окружающем трубу, принимая температуру поверхности
земли равной нулю, а температуру трубы То.

Ответ.

Т~	1„ 1/(х8-^+^)8+^У

1П й + с	(х-сУ+у»

а

где с = р//г2 — а2 .

Указание. При помощи дробно-линейного преобразования

г — с

2 + С

отобразить рассматриваемую область на круговое кольцо.

56.	Найти стационарное распределение температуры в стене
толщины а вблизи угла здания (рис. 11), предполагая, что темпе-

*) См., например, Н. В. Розе, И. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и н, Теоре-
тическая гидромеханика, ч. II, гл. I, § 16. ГТТИ, 1937.
ратура внутренней поверхности стены равна То, а наружная имеет
температуру, равную нулю.

Ответ.

Т=Г./?{4-1пС}.

где / =	-^2 9 а 1п и аге обозначают те ветви, которые при

I —* 0 приводятся к нулю.

Указание. С помощью теоремы Шварца отобразить фигуру
АВСОА на верхнюю полуплоскость комплексной переменной С,
потребовав соответствия точек В, С и О точкам—1, О, X, где X
подлежит определению (расчет показывает, что Х=1).

57.	Решить задачу об установившемся распределении темпе-
ратуры в однородной пластине толщины 2&(—оо х 4“ °°»
—	внутри которой помещена в плоскости симметрии

тонкая пластинка ширины 2а, поддерживаемая при температуре Го.
Температура поверхностей граней пластины принимается равной нулю.

Вычислить поток тепла ф, отдаваемого источником в единицу
времени.

Ответ.

да = 7Ч-^==Т0(1-----

где связь комплексных переменных С и г дается __4 - ______

1 тсг	а а

уравнением зп С =и модуль эллиптиче-

ской функции =

где х — коэффициент теплопроводности материала

пластины, ЛГ и Л" — полные эллиптические инте- Рис. 12.

гралы с модулями к и К — у/1 — Л2.

Указание. При помощи подстановки I = 4-	. где к

к 2о ’

имеет указанное выше значение, отобразить полосу (—оо<^х<^ 4"°°»
на верхнюю полуплоскость переменной I и затем,
с помощью интеграла Шварца, преобразовать последнюю на прямо-
угольник с вершинами в точках ±К> -ь/А"7 в плоскости С.

58.	Вблизи прямоугольного края заземленного проводника
(рис. 12) помещена нить с зарядом ц на единицу длины. Найти
распределение электрического поля в плоскости симметрии на
участке между проводником и нитью.

Ответ. Параметрическое выражение поля дается формулами

( р \	_____________________

у)Х ~	, 2 ох г <—; >

Л (»]«—т12) V 1 +

О гС г; Г1д,
+ ч2 + 1п (>) +	4~^2)>

где — значение параметра т), соответствующее у —к.

Указание. Отобразить часть плоскости г, лежащую вне про-
водника, на верхнюю полуплоскость С = сопоставив угловым
точкам значения С = ±1.

59*. На оси коробки прямоугольного сечения (—а^х^-\-а,
с заземленными стенками находится тонкая нить
с зарядом д на единицу длины. Составить выражение комплексного
потенциала и вычислить распределение плотности заряда на гранях
коробки.

Ответ.

зпК *-----!—

м — — 2д 1п--------

„ г । *

8П К------

а ‘ у к

ьпг—эллиптическая функция с модулем к. для определения кото-
рого служит уравнение

Ь _ К'

а~ К ’

где К—К (^)— полный эллиптический интеграл первого рода,
/С = 7С(1/Г—^2).

Распределение плотности заряда на стороне у—0, —а^х^-[-а
дается формулой

г. х . г.х
сп К—с!пАГ—
а	а а	д Ку к

1+Й8П=/<*	“	в

а

сп г, би г — эллиптические функции Якоби.

Указание. Пользуясь теоремой Шварца, отобразить внутрен-
ность прямоугольника на верхнюю полуплоскость, сопоставив вер-
шинам прямоугольника ±а, ±а-}-1Ь точки ±1, -ь При пре-
образованиях принять во внимание равенство =
60.	Найти электростатическое поле на оси электронной линзы,
состоящей из двух пар пластин, находящихся при потенциалах
-|-V и —V и разделенных промежутком, равным 2а (рис. 13).

Ответ.

(Ех)у=о__У1 — е2

Ей	I—X2;2 >

1 1„ ’+е I >?«

2Ь ~ 2 П 1— 6 "Г 1 —X2’

где ^0=-^-(1—Л2), X — правильная дробь, определяемая при
помощи уравнения

па __ 1 1м 1 — X X

—	— Щ-р-р- 1 _Х2 •

Указание. Отобразить верхнюю полуплоскость переменной
2 — х-\-1у с прямолинейными разрезами (—<х>-\-Ы, —а+Ы),

1
Л / к
1	_	Уг д
с	Е\	т-Е-—
1	♦ о „
—$—Л.—*
1	1
1	1	у  	I	1
!
1  Рис. 14.

(а -|- Ы, оо-\-Ы) на верхнюю полуплоскость переменной С так,
чтобы угловые точки перешли в точки С = ±1, С = ±4-. В даль-
К

нейшем преобразовать полуплоскость на полуполосу

—/(0^0.

61.	Найти поле на оси электронной линзы, конструкция которой
изображена на рис. 14.

Ответ.

= о__ V1 — е8

~ 1-Л.

X2



а -\-Ь

к ‘ 7 1 а-\-Ь	1 —$ 1

а 1	1 +*

+ 6 п X—1 ’
где X определяется из уравнения

ТК2+2X4-7 . . к 4-1	, 1 4- 71	, Л | ь\

7--хТ2П—+ ШтЬг ~?1П	=?1П I1 + а )>

и для сокращения положено

1---к

а — Ь _ р _ 1Л—И2 /2

а 4- Ь	0	а 4- Ь	1 -}- ул

Указание. Преобразовать область АВСОЕА на полуплоскость
С = так, чтобы точки В, С, В, Е перешли в точки С= — X,
С = —1, С = 4" 1, С = р. После определения функции г = г(С)
выполнить преобразование С = 8ш/.

62.	Найти магнитное поле в средней плоскости магнита с пря-
моугольными очертаниями полюсных наконечников (рис. 15), пред-

полагая магнитную проницаемость железа,
из которого изготовлен магнит, равной
бесконечности (р — оо).

Ответ.

(Ну)у == о/
^оо

(0^/^ 1),

тех _ 1 । 1 . 1 — I

2П~Ч~'~ 2 ПТ+Г ’

где — однородное поле в средней части

магнита на большом удалении от края.

Указание. Отобразить область АВСЕ на полуплоскость с соот-
ветствием точек В и С точкам — 1 и 0.

63.	Часть пространства (х^О, у ^0) заполнена железом
с магнитной проницаемостью р — оо. Найти магнитное поле,
созданное линейным током проходящим через точку (—а, 0).

Ответ. Компоненты поля определяются из соотношения

НХ-1Н,

4У

Зег3

2.	1

а3 — 2г3

г3+г3в3+в3

где с — скорость света.
Указание. Принять во внимание, что в смежности с током
комплексный потенциал магнитного поля имеет логарифмическую
особенность:

ч» = 1п (г — г0) -|- регулярная функция.

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ II

Смирнов В. И. [®°], Тихонов А. Н. и Самарский А. А. [108],
Левин В. И. и Гросберг Ю. И. [®4], Соболев С. Л. [®6],
Петровский И. Г. |82], Курант Р. и Гильберт Д. [51],
Купрадзе В. Д. [б2], Сретенский Л. Н. [®7], Лаврентьев М. А.
и Шабат Б. В. [64], Смайт В. [8®].
ГЛАВА III

УСТАНОВИВШИЕСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Один из наиболее простых классов задач математической физики,
имеющий вместе с тем большие приложения, составляют задачи на
установившиеся периодические колебания упругих тел, а также
задачи на установившиеся электромагнитные колебания. Рассматри-
ваемые задачи характеризуются тем, что зависимость искомых вели-
чин от времени дается множителем е*ш1, где — частота колеба-
ний *). Указанная зависимость дает возможность исключить из ура-
внений переменное I и свести задачу к определению комплексных
амплитуд, зависящих только от пространственных координат. В част-
ном случае, когда искомая величина является, кроме времени /,
функцией только одной пространственной координаты, уравнение
для комплексной амплитуды будет обыкновенным дифференциальным
уравнением. Рассматриваемый класс, к которому относится боль-
шинство задач настоящей главы, представляет значительный интерес
как в силу многочисленных приложений к конкретным задачам меха-
ники, электродинамики и т. д. и относительной простоты получаемых
результатов, так и с методической точки зрения, являясь наилучшим
введением к методу частных решений, рассмотренному в главе IV.
В частности, решение задач на отыскание собственных частот является
хорошей подготовкой к проблеме определения собственных чисел,
решение задач на вынужденные колебания помогает в дальнейшем
преодолеть затруднения, связанные с применением метода Фурье
к неоднородным уравнениям, и т. д.

Глава состоит из трех параграфов, из которых первый посвящен
задачам на определение собственных частот струн, стержней, мем-
бран, плит и акустических резонаторов различной формы, второй
содержит задачи на вынужденные установившиеся периодические

*) Возможность использования в промежуточных вычислениях комплекс-
ных величин основывается на линейности уравнений математической физики.
Для получения окончательных результатов следует в зависимости от усло-
вий рассматриваемой задачи отделить в найденном выражении веществен-
ную или мнимую часть.
колебания названных механических систем *). В третьем параграфе
собраны задачи на установившиеся электромагнитные колебания
в длинных линиях, объемных резонаторах, а также связанные с ними
задачи на распространение электромагнитных колебаний в волноводах
заданного сечения и некоторые другие.

§ 1. Задачи на определение собственных частот
колебаний упругих тел

64.	Найти собственные частоты продольных колебаний консоль-
ного стержня длины /.

Ответ.

2д 1	/Л 1 П

(Од =	— К77, п — 0, 1, 2, . . . ,

где V

Е — модуль Юнга, р — плотность материала стержня.

65.	Решить предыдущую задачу в предположении, что на незакре-
пленном конце стержня помешен груз массы Л40.

Ответ.

‘°п = 7-7»> п=1, 2, ... ,

м

где Уд — положительные корни уравнения у^у=^ц“, М— масса
стержня.

66.	Определить собственные частоты крутильных колебаний
стержня длины /, один конец которого закреплен, а на другом на-
ходится диск с заданным моментом инерции 70 относительно оси
вращения.

Ответ.

<“Л = 7Т»> «= 1, 2,	,

где V—]/', О — модуль сдвига, р — плотность материала стержня,
Уд — положительные корни уравнения у{$у =	, .1—момент инер-

ции стержня.

67.	Найти собственные частоты поперечных колебаний балки
длины I с опертыми концами.

*) В данной главе под вынужденными колебаниями понимаются колеба-
ния системы, имеющие ту же частоту, что и вынуждающая сила.
Ответ.

а2 2 2	п

= — /гл, п = 1, 2, ... ,

2
где а’ = )/

Е — модуль Юнга, 7—момент инерции попереч-

ного сечения, 5 — площадь сечения, р — плотность материала балки.

68.	Найти собственные частоты поперечных колебаний балки
длины I с закрепленными концами.

Ответ.

=	«=1,2,...,

где постоянная а имеет значение, указанное в предыдущей задаче,
ул — корни уравнения ей у • соз у = 1.

69*. Решить предыдущую задачу при условии, что один конец
балки закреплен, а на другом конце находится груз массы Л40.
Пользуясь методом последовательных приближений, вычислить зна-
чения трех первых частот, считая отношение массы груза к массе
балки ^-=5.

7И

Ответ.

<оп = ^Тл> «=1, 2, ... ,

где ул — корни уравнения

I СЙ у СОЗ у = у (СОЗ у ЗЙ у — 81П у ей у).

При = 5: 71 = 3,90; Тз = 7,05; у, = 10,2.

70.	Определить собственные частоты радиальных колебаний круг-
лой мембраны радиуса а.

Ответ.

—Т„, «=1,2,...,

где	Т—натяжение на единицу длины контура, р — по-

верхностная плотность мембраны, ул — положительные корни урав-
нения /о(у) = О, где (х) — функция Бесселя.

71.	Определить собственные частоты колебаний мембраны, имею-
щей форму прямоугольника со сторонами а и Ь.
Ответ.

=	+т=-.\, 2, ... ; я=1, 2, ... ;

V имеет значение, указанное в предыдущей задаче.

72.	Найти собственные частоты поперечных радиальных колеба-
ний круглой плиты радиуса а с закрепленным краем. Вычислить
три первых корня трансцендентного уравнения, служащего для опре-
деления частот.

Ответ.

<°л = ^Тл, П=1, 2, ... ,

г.

, и — цилиндрическая жесткость, р — плотность,

к — толщина плиты; — корни уравнения

Л(т)А(т)+Л(т)Ш=о

в обычных обозначениях теории цилиндрических функций.
Результат численного расчета: = 3,20; у2 = 6,30; у3 = 9,44.

73.	Определить наибольшую длину неплоской звуковой волны *),
которая может распространяться внутри полой цилиндрической трубы
с идеально отражающими стенками, сечение которой представляет
собой: а) прямоугольник со сторонами а, Ь; б) круг радиуса а.

Ответ.

а) ^тах —	б) Хтах=—

Т1

где 74 = 3,832 — наименьший положительный корень уравнения
/1(7)==0 (для волн, обладающих симметрией относительно диаме-
тральной плоскости).

74.	Найти собственные частоты звуковых колебаний в закрытом
помещении, имеющем форму параллелепипеда со сторонами а, Ь9 с.

Ответ.

(т, п, р = 0, 1, 2, ... ; одновременное обращение в нуль всех трех
чисел исключается); V — скорость распространения колебаний.

*) Плоская звуковая волна вида	распространяется беспрепят-

ственно в трубе любого сечения.
75.	Найти собственные частоты акустического резонатора ♦) сфе-
рической и цилиндрической формы для колебаний газа, обладающих
осевой симметрией.

Ответ.

а)	штп = -^1тп	=	1, 2, ... ; л=1, 2, ... ),

Тгпп — последовательные положительные корни уравнения
=	, 1 (Тт)>

т+~2

1	(•*) — функции Бесселя, а — радиус сферы, V — скорость рас-
т~^~2

пространения колебаний;

б)	’ т==0’

где уп — последовательные положительные корни уравнения 11 (у) = 0,
а и I — радиус и высота цилиндра.

§ 2.	Задачи на вынужденные колебания упругих тел

76.	Струна длины I с концами, закрепленными в точках х = 0
и х = Ц совершает колебания под действием сосредоточенной силы
А 81п (со/ -|~ ср), приложенной в некоторой точке х = с струны. Опре-
делить форму вынужденных колебаний.

Ответ.

/ Аъ
и (х, I) = —•

4	7 соТ

8Ш (<а1 + ?)

8Ш —
V

. СОХ .	<о(/—Г)

81П -- • 81П —-------

V	V

. сое . со(/ — х)
81П--- • 81П —-------

V	V

С X /,

, Т—натяжение, р— линейная плотность струны.

77.	Решить предыдущую задачу для случая, когда вынуждающая
нагрузка равномерно распределена по длине струны.

Ответ.

и(х, 1} = -^—
4	7 со3/

, СОХ . со (/ — х)

81П	• 81П -----------

2^	21/	• / / |	\

------------------------81П (ш/ 4- ?),

соз о--

где ц — амплитуда нагрузки на единицу длины.

*) Акустическими резонаторами называются замкнутые объемы с отра-
жающими звук стенками, предназначенные для усиления звуковых колебаний,
78.	Найти форму вынужденных продольных колебаний стержня,
конец х = 0 которого закреплен, а конец х —/ находится под
действием силы А 81'п (<о^ —[—ср).

Ответ.

. (ИХ

. Б1П ---

,	Аю V . , . . ч

=	----й/ 8Ш (№/ + <?),

СО8 -

V

где ъ==^/~~ , Е — модуль Юнга, р — плотность, 5 — площадь попе-
речного сечения стержня.

79.	Найти форму вынужденных колебаний балки, опертой в точках
х = 0 и х = 1 и находящейся под действием равномерно распреде-
ленной пульсирующей нагрузки ^81по)/.

Ответ.

И(х, О— Б/<ц2

где а2

, Е — модуль Юнга, У — момент

инерции, р — плот-

ность, 5 — площадь поперечного сечения балки.

80.	Дать решение предыдущей задачи в предположении, что коле-
бания вызываются сосредоточенной силой А 8ш оо/, приложенной
в точке х = с.

Ответ.

и(х, I)

А а38Ш и?

т/— • V и V
2ЕЗ(ну со 5Ш ---зЬ -------

а а

«	(п1 . 1/ш (I—с) . 1Ао X . 1Ли>/	— с) . Г/соХ

а	а	а	а	а	а 9

О с,

.	. 1/Ли>(/ — X) .	1/~(и с . уЛсо/ и/®)/—х) и

811 ---8Ш 1--*---- 81П	--81П ---811 г--1--г- 8П -,

а	а	2	а	а	а 9

с ^х^1.

81.	Консольная балка, конец х = 0 которой закреплен, нагру-
жена на конце х = 1 силой Лзша)/. Определить форму вынужден-
ных колебаний.
Ответ. В обозначениях предыдущей задачи

1Лох\/ , У со/ .	.

СП ±-------СО8 х--- 8Й ---------к 81П -----

\______а___________а / \____а 1_________а /

1 ।	и V*1

1_	1 -к СО8 --СЙ -----

1 а а

( г,	. 1/”<ох\ / Уш I . УШЛ

| 8Й ---------81П ---- СЙ ------к С08	---

\ а	а / \ а ‘ а /

1 I	V*1 и

1 + С08 -----СЙ -----

1	а а

82.	Определить форму вынужденных колебаний круглой мем-
браны радиуса а, вызванных пульсирующей нагрузкой, равномерно
распределенной по ее поверхности по закону 8Й1	9)-

Ответ.

и(г,о =

где у = *|/ ~ , Т — натяжение на единицу длины контура, р— поверх-
ностная плотность материала мембраны, <1ц(х)— функция Бесселя.

83*. Решить предыдущую задачу при условии, что нагрузка
равномерно распределена по кругу радиуса Ь<^а,

Ответ.

и (Г, /)= —	81П (0>/ + <?) X

где (х) и Уп (х) — цилиндрические функции.

84.	Исследовать вынужденные колебания круглой плиты радиуса а
с закрепленным контуром под действием равномерно распределенной
пульсирующей нагрузки д 8Ш (ш/ -|- <р).
Ответ.

X 81П “р ^р),

где

О — цилиндрическая жесткость, к — толщина, р

плотность материала плиты, и использованы стандартные обозначь

ния цилиндрических функций.

85.	Найти установившиеся колебания частоты внутри сфери-
ческого резонатора, вызванные точечным источником звука, поме-
щенным в центре сферы, имея в виду, что потенциал точечного
источника в неограниченном пространстве, колеблющегося с часто-
той а), дается выражением

„   л 81П М — к#)
и0   Л	)

где к — ~ — волновое число, /? — расстояние от источника.

Ответ. Потенциал скоростей будет

. м. 51п (о^ — кг) । ка СО8 — ка) 4~	(ы1 — ка) 81п кг

)	г г	соз — 8|п	* г >

где а — радиус сферы.

§ 3. Задачи на периодические электромагнитные колебания

86.	Найти установившиеся периодические колебания напряжения
в длинной линии с параметрами А, С, /?, конец х = 0 которой при-
соединен к источнику переменного напряжения 2: $т(в)/-4-ф), а конец
х = 1 замкнут на сопротивление /?0.

Ответ.

ш (/ — X)
V*

।

> 12*

81П



п(х, /)=/

^<1~х)

V*

где

8Ш

. /?0

—5 Н СО8

V* 1 12* V*
комплексные скорость распространения и волновое сопротивление
линии.

87.	Решить предыдущую задачу в предположении, что нагрузкой
линии является, вместо сопротивления /?0, сосредоточенная инду-
ктивность Ло.

Ответ.

Ее

и(х, 1) — 1

. ш (/ — х) । о)к0 <о (I — х)

БШ —-4-	С05 —--

0)1 । о)Е о)[

81П —г -4—	С08 —г

I /Г*

88.	Найти составляющие электромагнитного поля в поперечной
магнитной волне типа ТМ, распространяющейся в волноводе прямо-
угольного сечения со сторонами а и Ь, и вычислить предельную
длину волны Лтах, пропускаемую волноводом *).

Ответ.

„	. я/тс тих . /гтсу /Л._ ,оА

Е*.= — — соз-----$1П

х	а а Ь

Р = _ /у ™ 8Й1 СО8
У	Ь а Ь	’

Н = 1Ьп1А ШИ СОЗ !3 е~ «•—<>,

х Ь а Ь	9

Н„ = -1к ^СО8^81П^е-«

у	а а Ь	9

Нг = Ъ,

.	ЧаЬ

I /	т2^	п2™2	1 С	1 г»

м=|/ ь2-—а--------^-,т=1, 2,	, п=1, 2,...,

где к =	— волновое число; произвольный постоянный множитель

в выражениях для составляющих электромагнитного поля повсюду
опущен.

89.	Решить предыдущую задачу для случая поперечной электри-
ческой волны типа ТЕ.

*) Поперечной магнитной волной (ГМ-волна) называется такая волна,
в которой вектор магнитного поля Н перпендикулярен к направлению рас-
пространения волны. Аналогично, поперечной электрической волной (ТЕ-
волна) называется волна, в которой вектор электрического поля Е перпенди-
кулярен к направлению распространения. Волна, в которой оба вектора Е и Н
перпендикулярны направлению распространения, называется просто попереч-
ной волной (см., например, [128], стр. 154).


Ответ.

с .,пп ткх . птсу	/оЛ

Е=1& -г С08---- 81П ~~	—

х Ь а	Ь	’

Е^ = — 1к — 81П	С08

У	а а Ъ	9

^ = 0,

г, . тп . ткх пку , ,9 /пЛ

Н = 1Я — 81п---СО8 е~1 о*—.

х а а Ь	’

г, .пк ткх . пку

Н.. = 1У~г С08-8Ш	,

У Ь а Ь	9

нг=+)с08	С05 е-^-ше>

г \а2 1 Ь2) а Ь	9

у = 1/ к9-—^- — ^-, т==0> 1, 2, ... , л = 0, 1, 2, ...

г	а2 Ь2 9	.

(одновременное обращение т и п в нуль исключается),

^тах = 2й, если а^> Ь.

90.	Определить составляющие электромагнитного поля в волне ТМ
для волновода круглого сечения радиуса а и вычислить предельную
длину волны Хтах.

Ответ.

Нг = — 1к ” $!пОтф[утп у) е-1^-^ (

Н^ = — 1к соз пкрГт (1тп,

Нг = 0,

Ег — ~ я со» тер }'т [утп	е~1 <«- ш/),

Е: = ^ у^птер^т ^тп	,

Ег = (1Т)8 С08 тс?,

*тах=^ (То1 = 2,405),

Тох

1/^* г а	^тп г 40

где м= я*-------, к = —— волновое число, ^тп — последователь-
ные положительные корни уравнения /т(у) = 0, т==09 1, 2,	;

</т (х) — функции Бесселя /^-го порядка.

91*. Вычислить максимальную длину волны Хтах для волн типа 77И,
проходящих через волновод, сечение которого есть круговой сектор
радиуса а с центральным углом, равным а.
'	___2тш

лтах---,

То

где 70 — наименьший положительный корень уравнений

Лптс (Т)= 0, т—1, 2, ... ,

Л(х) — функция Бесселя.

92.	Найти свободные периодические электромагнитные колебания
в резонаторе, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда со
сторонами а, Ь, с и идеально проводящими стенками.

Ответ.

~	. тъх . пт , гжя	... пгкх пт пт

Еу = А СОЗ-----81П	81и -— ,	ЕЕ — М 81П----СОЗ	СОЗ -— ,

х	а Ь с ' х	а Ь с 9

„	„ . ткх пт . /жз г.	. Т тъх . пт рт

Е., = В 81П --- СОЗ 81П — , ЛЛ, =/V СОЗ----------81П-— СОЗ — ,

У	а Ь с 9 У	а Ь с 9

_	„ . тъх . итсу рт Г7	тъх пт . гжя

Е9 =С81П ------ 81ПСОЗ ,	77-= Р СОЗ----СОЗ-77- 81П-—,

я	а Ь с 9 г	а о с 9

где

м^= —	1  1к	/птс г	-р’вк с /
^= —	Ть	(р^А \с	а /
р= —		(тп&	— ппа\ Тл)’

причем Л, В, С—постоянные, связанные соотношением
— А 4- ?В4-^С=0;

а 1 о 1 с

т, п, р — целые числа, к — волновое число.

93.	Решить предыдущую задачу для резонатора цилиндрической
формы.

Ответ.

Ег— ^т[1тп

соз тер
з1п т<р

. пт

8Ш —

1	/ г \

Е1Г = М -р }т \ Чтп —

81П тер пт

СОЗ —г ,
соз тер I

Е^В^т

81П тер , пт
81П -г- ,
СОЗ тр I

_ .	. . ., /	г \ соз тер	пт

(Ттп д .	С08 /

у	и / 81П тер	(
соз ту

81П ту

ПК2

СОЗ-у- ,

г —

з!п тер . пи?

8Ш — ,
соз тер I

где постоянные А, В, С, М, М, Р связаны соотношениями:

Д?""'С’"г~ О, А 1^± —= 0,
а ’ I	ат

—	Ст ~ В~\Ы = — ~(а~— С'—\,

1к	I )9	1к \ I а ) *

Р= — ~(в^:±:Ат\,
гк\ а / *

где 1тп — корни уравнения }т (у) = 0; т, п- целые числа; а, I —

радиус и длина цилиндра.

94.	По цилиндрическому проводнику радиуса а течет ток высо-
кой частоты /зто)/. Найти распределение плотности тока по сечению
и вычислить активное сопротивление проводника на частоте <о
(задача о скин-эффекте).

Ответ. Комплексная амплитуда плотности тока выражается
формулой:

у(г)_Л(М	=

у (а) ~ (ка) ’ А 7 1 } 2па (ка)‘

Сопротивление на единицу длины проводника

о _____________I п I__

ш 2тсаз (к2 — к2)

^(ка)

у (ка)

Л (ка)

Здесь к = у —	— 2као)|х (1 — /), а — проводимость,

I*. — магнитная проницаемость материала.

Принимая во внимание асимптотическое поведение функций Бес-
селя при больших значениях аргумента, находим:

а

с	I.

где 8 = —-	/?0 =	— сопротивление на постоянном токе.

95.	Дать решение* задачи о скин-эффекте в проводнике, сечение
которого представляет собой полосу ширины 2а. Найти распреде-
ление тока и вычислить сопротивление проводника.
Ответ.

У(^=со8^а’	&а —амплитуда полного тока),

= 2а (й^-Я (А С1ё	~ С1ё

Для больших частот

а—х
I /(*) К,	6	р___ 1

|у(л) |~	’ /?о~ о ’	0—	’

8 имеет то же значение, что и в предыдущей задаче.

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ III

Рэлей [84], Тимошенко С. П. [103], Морз Ф. [77], Щелку-
нов С. А. [128], Стрэттон Дж. А. [101], Введенский Б. А.
и Аренберг А. Г. [15].
ГЛАВА IV

МЕТОД ФУРЬЕ

Одним из наиболее общих методов математической физики
является метод Фурье, применение которого не ограничивается
уравнениями какого-либо одного типа (гиперболического, эллипти-
ческого и т. д.) и оказывается эффективным при рассмотрении
широкого класса задач.

В основе метода лежит возможность применения к линейным
задачам математической физики принципа суперпозиции, на основа-
нии которого любая линейная комбинация решений однородного
линейного дифференциального уравнения в частных производных
в свою очередь является решением этого уравнения. Например,
если линейное уравнение А(н) = 0 обладает некоторой совокуп-
ен

ностью решений и = ип (п = 1, 2,...), то сумма ряда ип будет
п = 1

также решением, если только ряд сходится таким образом, что
возможна перестановка операций Ь и 2-

Аналогично, в том случае, когда рассматриваемое уравнение
имеет совокупность частных решений и = и\, непрерывно зависящих
от некоторого параметра X, изменяющегося в промежутке (ц, V),
то при выполнении соответствующих условий интеграл § Пл^/Апред-
р
ставляет собой решение данного уравнения.

Принцип метода Фурье состоит в том, что решение определен-
ного класса задач математической физики, приводящихся к интегри-
рованию уравнения А(п) = 0 при некоторых граничных и началь-
ных условиях, строится при помощи суперпозиции частных реше-
ний рассматриваемого уравнения, имеющих вид произведения
множителей, каждый из которых является функцией только одной
переменной, и удовлетворяющих однородным условиям задачи.

При определенной структуре оператора Ь попытка искать реше-
ние уравнения Ь(и) = О в форме произведения указанного вида
приводит к разделению переменных, и нахождение каждого множителя
сводится к интегрированию обыкновенного дифференциального
уравнения, что представляет относительно простую задачу.

Посредством надлежащего выбора значений части параметров,
входящих в выражения найденных таким образом интегралов, обычно
оказывается возможным удовлетворить всем однородным условиям,
что приводит к выделению счетной или несчетной совокупности
частных решений требуемого вида. Решение задачи получается
путем суперпозиции построенных решений, причем выполнение
неоднородных условий, наложенных на искомую функцию, осуще-
ствляется с помощью соответствующего выбора оставшейся части
параметров.

В дальнейшем мы ограничимся изложением схемы метода Фурье
для задач математической физики, приводящихся к интегрированию
дифференциального уравнения:

— ?(х)н]-|-Жуц = 0 (а<х<й, с<><</), (1)

д2 д

где Му — дифференциальный оператор вида Му = А -|- В

Л, В, С—заданные постоянные, р(х) и г(х)— непрерывные поло-

жительные функции, первая из которых имеет непрерывную произ-
водную, д(х)— заданная непрерывная функция*).

Предположим сначала, что интервал (а, к) конечен и поведение
рассматриваемых функций на концах интервала таково, что каждое
« Р' (х) Я (*) г (*)

из отношений г	, —> - ~ стремится к конечному пределу,

Р\Х) Р \х) Р \х)

когда х—-а и х—*Ь.

В рассматриваемом случае однородные граничные условия, ко-
торые налагаются на искомую функцию на концах промежутка
(а, Ь), имеют обычно вид

= 0,	=0,	(2)

а дх }х = а 1 Га |ж=.а	0 дх |х=& ' го |х-= Ь	4 7

где аа, ... ,	— постоянные, часть которых может равняться

нулю **).

*) Уравнение (1) не представляет собой наиболее общего уравнения
второго порядка с двумя независимыми переменными, которое допускает
разделение переменных, однако оно включает, как частные случаи, наиболее
часто встречающиеся уравнения математической физики.

**) В частности, если аа = а& = 0, ра = Зь= 1, получаем условия пер-
вого рода: и |ж = а = и = ь = 0; если аа = аь = 1,	= 0 — условия

х— а

также задачи с граничными условиями другого вида, в частности:
I	I	ди I _____ди I

=	= Ь дх »х= а дх |л в $

ди I

дх |х = ь

ди I
второго рода:

= 0 и т. д. В приложениях встречаются
Кроме граничных условий (2), функция и должна удовлетворять
неоднородным граничным условиям, относящимся к переменной у,
вид которых связан со знаком постоянной А, определяющим при-
надлежность рассматриваемого уравнения к эллиптическому, гипер-
болическому или параболическому типу. С достаточной для прило-
жений общностью можно предположить, что при Л^>0 (эллипти-
ческий тип) эти условия имеют вид:

где §с (х) и (х) — заданные в интервале (а, Ь) функции,
Тс» • • • »	— постоянные.

Случаи А 0 (гиперболический тип) и А = 0 (параболический
тип) соответствуют задачам математической физики, в которых
переменная у играет роль времени, и интервал изменения этой
переменной будет (с, оо). Условия, относящиеся к у = с, имеют
в этих случаях форму начальных условий

«|^с=/(х), ||^ = с=^(х)	(3')

ИЛИ

и|уете=/(х).

Согласно идее метода, для определения функции и(х, у), удов-
летворяющей уравнению (1), граничным условиям (2) и условиям (3)
(или Зг, 3"), следует предварительно найти частные решения урав-
нения (1) вида и = Х(х)У (у). После подстановки последнего выра-
жения в рассматриваемое уравнение переменные разделяются, и для
определения каждого из множителей получаются обыкновенные
дифференциальные уравнения

+(Хг-д)Х=09	(4)

Л^(Г)-ХГ=0,	(5)

где X — произвольный параметр.

Требование, чтобы построенные частные решения удовлетворяли
однородным граничным условиям (2), приводит к соответствующим
условиям для функции X, именно:

ЛаХ’(а) + ?аХ(а) = 0, аьХ(Ь) + рьХ(Ь)=0.	(6)

Задача определения решений уравнения (4), удовлетворяющих
однородным условиям (6), известна под названием краевой задачи
Штурма—Лиувилля- При произвольном X эта задача не имеет
решения, за исключением тривиального Х=0. Значение X, при ко-
тором существует нетривиальное решение рассматриваемой задачи,
называется собственным значением или собственным числом,
а соответствующее решение — собственной функцией. Совокупность
собственных значений образует спектр данной задачи.

В теории показывается, что при сделанных выше предположе-
ниях относительно интервала (а, Ь) и коэффициентов уравнения
р, д и г рассматриваемая задача имеет дискретный спектр,
состоящий из счетного множества вещественных собственных зна-
чений Х = ХЛ (п=1, 2, ...), каждому из которых соответствует
собственная функция Х= Хп(х), определенная с точностью до
произвольного постоянного множителя. Собственные функции Хп(х)
ортогональны на промежутке (а, Ь) с весом г(х):

ъ

У г Хт(х) Хп(х)Лх = О (т^п),
а

и могут быть использованы для представления произвольных функций,
определенных в данном промежутке.

При наличии некоторых ограничений *) функция /(х), заданная
на (а, д), может быть разложена в ряд по собственным функциям

ОО

/(*>= 2/Мх) ^а<х<^

п = 1

с коэффициентами

У г/(х)Хп(х)Лх

/ — “________________

п	I)

Г гХ^ (х) йх

(8)

Фактическое вычисление собственных чисел и собственных
функций легко выполняется в случае, если при произвольном X
известна система линейно независимых решений уравнения (4).
Подстановка выражения общего интеграла этого уравнения в гра-
ничные условия (6) приводит в этом случае к однородной линейной
системе для постоянных, и из условия равенства нулю определителя
этой системы непосредственно получается трансцендентное уравне-
ние для отыскания допустимых значений X. После определения соб-
ственных значений и собственных функций второй множитель У (у)
находится из уравнения (5) (с Х = ХЛ). При условии, что А -У- О,
общий интеграл этого уравнения может быть представлен в форме

у (у)=М' (у)+42’^2’ (Л

*) Например, при условии, что /(х)— кусочно-гладкая функция в интер-
вале (а, Ь).
где У™ и У®— линейно независимые решения рассматриваемого
уравнения, и — произвольные постоянные*). Таким образом,
мы приходим к следующей совокупности частных решений:

«„ = {4М” О>) 4-	О)} Хп (х) 0 = 1,2, ...).

Решение задачи строится в виде ряда

ОО

«= 2	(9)

п = 1

причем определение коэффициентов приводится, после подста-
новки (9) в условия (3), к разложению заданных функций в ряды
по собственным функциям.

Строгое обоснование возможности применения метода Фурье
к задачам математической физики данного и более сложного типа
приведено в ряде теоретических исследований**).

Приведенная методика распространяется без всяких изменений
на случай, когда, вместо условий (2), искомая функция подчинена
граничным условиям вида (2'). Единственное отличие состоит в том,
что в этом случае одному собственному значению Х = ХЛ могут со-
ответствовать две линейно независимые собственные функции.

Значительно большие трудности представляет распространение
метода Фурье на случаи, когда интервал (а, Ь) бесконечен или
какое-либо из отношений - ,-х^- .	/Х|, -- обращается в бесконеч-

Р (*) ’ Р (*) ’ р(х)

ность при приближении к одному или обоим концам рассматривае-
мого интервала (случай одного или двух сингулярных концов). В этих
случаях, встречающихся в наиболее интересных приложениях, гра-
ничное условие, относящееся к сингулярному концу или к концу
х — д = <х), вообще говоря, не может быть задано в произвольной
форме и заменяется граничным условием, формулировка которого
в конкретных задачах математической физики обычно не предста-
вляет особых затруднений (это условие чаще всего заключается в
требовании ограниченности решения при приближении к сингуляр-
ному концу).

Собственные функции в задачах с конечным интервалом измене-
ния переменной х и с сингулярностью на одном конце определяются

*) При Д=0 соответствующая форма решения будет:

У(У) = СПУП(У).

♦*) См., например, [98, 55]. Во многих случаях возможна также непо-
средственная проверка формального решения, полученного по указанной
схеме.
как нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие на син-
гулярном конце упомянутому условию и условию типа (2) на другом
конце интервала.

Аналогичным образом определяются собственные функции в слу-
чае конечного интервала с двумя сингулярными концами, для бес-
конечного интервала и т. д.

Существенное отличие рассматриваемых случаев от разобран-
ного выше состоит в том, что здесь спектр собственных значений
может быть как дискретным, так и недискретным, в зависимости
от структуры уравнения и характера налагаемых условий*).

В тех случаях, когда, несмотря на наличие бесконечного интер-
вала или сингулярных концов, спектр сохраняет дискретный харак-
тер, схема применения метода Фурье не претерпевает существен-
ных изменений **). Напротив, при непрерывном спектре меняется сам
характер решения, которое в этом случае строится из частных ре-
шений путем интегрирования по параметру X, причем для опреде-
ления неизвестных множителей, входящих под знак интеграла,
служит аппарат интегральных разложений, заменяющий теорию рядов
по собственным функциям.

Сведения по теории интегральных разложений и по другим
теоретическим вопросам, связанным с рассмотрением сингулярных
случаев задачи Штурма—Лиувилля, читатель может найти в моно-
графиях [2»	107].

Настоящая глава содержит три раздела, в которых помещены
соответственно задачи механики, теории теплопроводности и теории
электрических и магнитных явлений, рассчитанные на применение
метода Фурье. Большинство этих задач непосредственно уклады-
вается в данную выше схему решения.

Наряду с задачами этого типа, помещено также некоторое число
задач с неоднородными уравнениями и неоднородными граничными
условиями, решение которых по методу Фурье возможно после при-
ведения задачи к однородной путем тех или иных искусственных
приемов, однако основная часть задач подобного рода отнесена в
главу V.

В данной главе помещены исключительно задачи, связанные
с применением декартовых, полярных, цилиндрических и сфериче-
ских координат, в то время как соответствующие задачи, относя-
щиеся к более сложным системам криволинейных координат, со-
ставляют содержание главы VII.

С целью указать на возможность распространения рассматри-
ваемого метода на более сложные случаи (задачи с тремя перемен-

*) Примерами задач с недискретным спектром могут служить задачи
с непрерывным спектром, рассмотренные в главе VI.

♦♦) В главах IV—V рассматриваются исключительно задачи, приводящие
к дискретному спектру.
Ними, задачи теории упругости, связанные с уравнениями четвертого
порядка, и др.), в данную главу включено небольшое число задач
последнего типа.

МЕХАНИКА

§ 1. Задачи на колебания струн, стержней, мембран и плит.
Акустические колебания

96*. Струна, концы которой закреплены в точках х = 0 и х = /,
оттянута в начальный момент времени в точке х = с и отпущена
без начальной скорости.

Определить смещение и(х, I) любой точки струны, если
и (с, 0) = /г.

Ответ.

и(х,

/2

с{1 — с)

оо • П^С

°° 81П —Г

V I . ппх

7 —~~т~ соз “г~
л2 I I

п. — 1

где г/ = "|/у-, Т—натяжение и р— линейная плотность струны.

97.	Найти закон колебаний струны, начальная форма смещения

которой изображена на рис. 16, а начальная скорость всех ее точек
равна нулю.

Ответ.

,	8Л/ V 2/ 2л+1	2л+1	.

“<*’ '>= (7=^? 2 -^-^соз — кх соз —
п = О

98.	Дать решение предыдущей задачи при условии, что в на>
чальный момент времени точки струны отклонены по параболе,
симметричной относительно центра струны, причем максимальное
начальное смещение равно Л.

Ответ.

,	32Л V (—О" 2л+ 1 2л+1	.

и(х, 0=^-	(^+1Г СО5-2Г~тсх соз-^к^.
99.	В начальный момент времени центру струны, закрепленной
на концах х— — 1 и х = /, сообщается ударный импульс вели-
чины Р. Определить дальнейшие колебания точек струны.

Ответ.

и(х, /)

2л + 1

СОЗ --^Х

------------- 81П

4Р1 у

п = О

2л + 1	,

Указание. Рассмотреть колебания
чальных условиях:

л ди\

и =0;

/ = о 01 \1 = о

струны при следующих на-

при е | х |	/,

при |х|<^е,

^=2^

0

и в дальнейшем осуществить предельный переход е—>0.

100.	Изучить колебания струны, закрепленной в точках х = 0
и х = /, вызванные внезапно приложенной нагрузкой, распределен-
ной с постоянной плотностью д по длине струны и остающейся
в дальнейшем неизменной. В начальный момент времени струна
находилась в покое.

Ответ.

оо , 2л + 1

.	х\ 4 VI 81П I	2«+1	.1

И(х,/)—-г [2Д 1	21 (2л4-1)’ С08 I

п~ 0

Указание. Для применения метода Фурье свести задачу
к однородной, выделив из решения статический прогиб струны под
равномерной нагрузкой.

101.	Найти форму колебаний струны (—1^х^1) с сосредо-
точенным грузиком массы /л0, укрепленным в ее средней точке.
При решении задачи считать, что начальная форма струны соот-
ветствует смещению грузика на заданную малую величину к, а на-
чальная скорость точек струны равна нулю.

Ответ.

ОО

и(х, /) = 2Л У с-^
“ Тп

п = 1

4—1

Тп____

81П 2у„

2ъ

|х|\

81П уп [ 1 — СОЗ —>

— последовательные положительные корни уравнения =
т

а = —, т — масса струны.
102.	Стержень длины /, закрепленный в точке х = 0, растянут
силой Г, приложенной на его другом конце. Исследовать продоль-
ные колебания стержня при условии, что в момент времени / — О
действие силы внезапно прекращается.

Ответ.

/	8/7 V (— О" . 2п+1 2п + 1	.

н(х, /)	^Е8 2, (2«4-1)281П 21 ™со& 2.1

л =® О

V = |/	, Е — модуль Юнга, р — плотность материала стержня,

5 — площадь сечения.

103.	Дать общее решение задачи о продольных колебаниях
стержня длины I при произвольных начальных условиях

и

|/ = о =/(*),

ди
д1

[=0=^(-<ь

если конец х = 0 заделан, а конец х — 1 свободен.
Ответ.

, ,ч 2 V 2п + 1	,

и(х, —	\ СО8 —2/

п~ 0 _

О

2л+1
-27-^.

_у_51п2у1кг,^^($)81п2у1ки$ 8Ш
О

104.	Исследовать продольные колебания консольного стержня,
конец х = 0 которого закреплен, а на конце х = 1 находится со-
средоточенный груз массы 7И0, получающий в момент времени / = 0
заданное смещение 8 без сообщения начальной скорости.

Ответ.

м(х, /) = 28

л == 1

(. 8ш2тп\

• Чпх
СО8 81П	,

где — последовательные положительные корни уравнения =
= ЛГ’ — масса стержня.

105.	Рассмотреть продольные колебания стержня, конец х = 0
которого закреплен, а свободный конец х — 1 получает в момент
^ = 0 ударный импульс Р. До удара стержень находился в состоянии
покоя.
Ответ.

к(х, /)

_ . 4Р/ у (-1)” „.„2Л+1

мМ 2пЧ-1	2/

л = 0

. 2л 4-1
КХ 81П—2/

ку1

в обозначениях предыдущей задачи.

Указание. Дать решение задачи о

колебаниях при начальных

условиях

и

== о = 0,

ди

1М

при	—е,

при

к = о

О

Р

^ = ^5

I — е х /,

где 5 — площадь поперечного сечения стержня, и осуществить пре-
дельный переход е—-0.

106.	Найти смещение точек закрепленного на конце х = 0
стержня, совершающего продольные колебания под действием пуль-
сирующей силы А 81П о/, прикладываемой к его свободному концу
х = Е До начала действия силы стержень находился в состоянии

покоя.

Ответ.

и(х, Р) =

Ау

Е8&

8И1 ---

----81П СО/ —

СОЗ ---

У

(-1)”
2п+ 1

. 2л 4-1	. 2л 4-1 л

8Ш —81П —2/—

Г(2л 4- 1)тс]2	АЖ2

I 2	]	\у]

Указание. Для сведения задачи к однородной представить
смещение в виде суммы вынужденных и свободных колебаний
(см. задачу 78). Другой метод решения приведен в главе V
(задача 211).

107.	Консольный конический стержень с размерами, указанными
на рис. 17, растянут силой Р, приложенной на конце х — Е Иссле-
довать продольные колебания, возникающие при внезапном прекра-
щении действия силы.

Ответ.

ц(х, /)

2/гсЦу а
ъЕ (а — х а)

со§ Тп

\ 2Тя

х ^пу1
-г81П7лТСО8-1у ,
1

где 7я — последовательные положительные корни уравнения !&? =

=	— 7
108*. Решить задачу о продольных колебаниях консольного
стержня, имеющего форму четырехгранной пирамиды постоянной
толщины (рис. 18), при заданной начальной деформации и ^«0 =/(х).

Ответ.

м(х, I)

2 1§а у

Ь* Ь

п — 1



СОЗ —1^-2-
а

4а2





X У/(0(« —	а)^„(л — а)Л,

о

где положено

^ — последовательные корни уравнения АГ'(#) = О; Л(х), ГДх)-
цилиндрические функции нулевого порядка.

109*. Дать общее решение задачи о продольных колебаниях
стержня, состоящего из двух жестко скрепленных между собою

частей с различными геометри-
ческими размерами и упругими
свойствами (рис. 19). Предпо-
лагается, что концы стержня заде-
ланы и начальное состояние стерж-
ня характеризуется условиями:

Рис. 19.

Ответ.

О	а9

со 5,Р1 У /(;) <’> «) Я + «2?» [ /(?) «{„2) ®

«(х, о = 2 2 —-------------——-------°------------«л(х)со5т^Ч

п~1	о151?|81п8^3-+«25грг5т2Тп

“1^2
где

м*)=

И<Л1’(Х) = 81П ^ + ^81П 1^,
(2) / Ч • 7 л (а2 — х) &1 .

«п (х) = 81П	'	,	81П 7„ ,

— ах 0;

0	х а2,

уп — последовательные положительные корни уравнения

$« / ^2р2	т + $1 / ^1р1	= °>

г/, = |/	, /==1,2; Е — модуль Юнга, 5 — плошадь поперечного

сечения, р — плотность соответствующей части стержня.

110. Стрелка прибора укреплена на конце стержня длины /, за-
крепленного в сечении х = 0. Исследовать крутильные колебания,
если в начальный момент времени стрелка была закручена на неко-
торый угол а и отпущена без начальной скорости. Момент инерции
стрелки относительно оси вращения равен /0.

Ответ.

6(х, 0 =

81П 7„ТСО8 уп — •

Здесь — последовательные положительные корни уравнения
7^7 = 7-,
^0

где }— момент инерции стержня,
р — плотность материала стержня.

О — модуль сдвига,

111. Решить
условиях:

Ответ.

предыдущую задачу при произвольных начальных

б| =/(х), 4^-1	=0(х).

|/=о у 7 д1 |/ = о ®' 7

6 (х, /) =

/(0 аю

в прежних обозначениях.
112*. Исследовать крутильные колебания круглого вала с закреп-
ленными концами х—0 и х = 1, на который в точке х~а насажеИ
диск с моментом инерции В начальный момент времени / = 0
диск закручивается на некоторый угол а и отпускается без началь-
ной скорости.

Ответ.

/ /8

Л ‘ а(1 — а)1*п

11вп(х)СО8

а

у 5'п 1п

6„(Х) =

8ПП„у8Й1 Т„(1— у),

О х а\

а .	х\

81П7„у81птп ^1 —у},

7Я — последовательные положительные корни уравнения

' Л К

}—момент инерции вала.

113. Решить задачу о крутильных колебаниях вала, на концах
которого х = 0 и х — 1 укреплены диски с моментами инерции
и В начальный момент относительный угол поворота дисков
равен а.

Ответ.

7Л — последовательные положительные корни уравнения

где 3—момент инерции вала.
114*. Дать общее решение задачи о поперечных колебаниях
балки, опертой на концах х~ 0 и х — 1, при произвольных началь-
ных условиях

и I = /(х), ~ I — р-(х).

|/=о	7 4 7 д( |/=о ь к

Ответ.

,	2 VI Г п2т?аЧ С	лг »

М(Х, /) = у	[с°8—-р— ] /(Е)81П— ^4-

я = 1	О

I

.	/2	. пЧРаЧ С . пп; ,«.] . пкх

+ ^^31П—р~ ] ^(;)8Ш —^8Ш —,

о

где

Е—модуль Юнга, У—момент инерции поперечного сечения, р —
плотность материала балки, 5 — площадь поперечного сечения.

115.	Исследовать поперечные колебания балки, опертой в точках
х = 0 и х = 19 вызванные ударным импульсом Р, приложенным
в момент ^ = 0 к балке в точке х = с.

Ответ.

н(х, I)

21Р
т?УЁ7р§

со

81П у—81П

п — 1

пЬ&аЧ

Указание. Рассмотреть колебания балки при следующих на-
чальных условиях:

и| =0,
к=о

ди
д1

к=о

р

2р5е

0

при с — е <^х<^б?-|-е,

при прочих х,

и осуществить предельный переход при е->0.

116.	Балка длины 2/, закрепленная на концах х=нн/, совер-
шает поперечные колебания при начальных условиях

ч ди
и\ ==/(х), -ч-

= 0.
к=о

Найти форму колебаний балки в предположении, что начальный
прогиб симметричен относительно центра балки, а начальная ско-
рость равна нулю.
Ответ.

соз-Д^-

«(х, 0 = 7 2 ^Гд~с'й% (СЬ7ПСО8^-СО8Т„СНУ)Х
п — 1

I

X У /(0 (ей ?„ С08^1 — С08 Т„ ей (К,

Где ул — последовательные положительные корни уравнения

*8Т + Н1Т = О.

117.	Балка, опертая в точках х = 0 и х=19 находится в равно-
весии под действием сосредоточенной силы Р9 приложенной в точке
х = с. Исследовать поперечные колебания, возникающие при вне-
запном прекращении действия силы.

Ответ.

°°	. п™

/ уч 2/7/3 V 8Ш I • п^х пЧМЧ

н<х’	й^81”—СО8~7*—

п = 1

118*. Найти форму поперечных колебаний консольной балки
длины I при условии, что начальный прогиб был вызван сосредо-
точенной силой ру приложенной на свободном конце х = 1. В мо-
мент ^ = 0 действие силы прекращается.

Ответ.

°°	«г , ч	ЧпаЧ

VI	Хп (*) СО8 -  

. 2РР у	/8

(С05 Тл8Й тл—»

п — 1

где

Хп (•*) = (8{П Тл + 8Ь Т„) ( СО8	— ей ) —

— (СО8 + ей 7„) (бй1

8Й^),

7Я — последовательные положительные корни уравнения

соз у сЬ у = О*

119.	Балка длины I оперта на конце х = 0 и закреплена на
другом конце. Найти поперечные колебания под действием внезапно
приложенной равномерно распределенной нагрузки у.
Ответ.

«(X, /) =	+ 1х - 2х8)4-

\ЧЕ V *Ь 1п — 2сЬт„51П Тп4-8111 т„	1пО*(

"т" Е7 Ла 7» «к2 т„ 81П2 чп Л" 'Х‘С08 Р
п — 1

Хп (*) = бЬ Ъ. ®‘п	— 81П Т„ 8Ь ;

ул — последовательные положительные корни уравнения у = (Ь у.

Указание. Привести задачу к однородной, выделив статиче-
ский прогиб балки.

120*. Изучить осесимметричные колебания круглой мембраны
радиуса а, вызванные ударным импульсом Р, приложенным в момент
^ = 0и распределенным по площади круга радиуса е.

Ответ.

и

п — 1

— последовательные положительные корни уравнения

Л(т)=о>

где (х) — функция Бесселя,

Т —- натяжение на единицу длины контура, р — поверхностная плот-
ность мембраны.

Указание. Начальные условия задачи имеют вид:

и

= 0,

121.	Дать общее решение задачи о колебаниях кольцевой мем-
браны, закрепленной по окружностям г = а и г~Ь, при произволь-

ных начальных условиях:

«ко=/(г)’ 1Я=о^(г)-

Ответ.

со

"(Г, 0 = ^-^

п == 1

р/(р) /?гя(р)^р +

Ь

81П

Ь

/ р^(р)^„(р)^р].
где /?т (г) = Ко (у) 70 ^у у) — 70 (у) Уо (у -у) — линейная комбинация
функций Бесселя первого и второго рода, уп — последовательные
корни уравнения (а) = 0.

122.	Определить осесимметричные колебания круглой мембраны
радиуса а, вызванные пульсирующей нагрузкой 81п равномерно
распределенной по всей площади мембраны и начинающей действо-
вать с момента / = 0.

Ответ.

• Уп^

ИИ —---

а

где уп — последовательные положительные корни уравнения

Л(т)=о.

Указание. Свести задачу к однородной, выделив вынужденные
колебания (см. задачу 82).

123.	Определить форму колебаний прямоугольной мембраны
(—а^х^а, —Ь^у^Ь) при начальных условиях:

и\ —/(х, у), ^-\	=0,

где /— заданная функция, четная относительно каждого из пере-
менных.

Ответ.

ы (х, у, О =
оо оо

_ V V . 2т + 1 2л+1	. ,

“2 Атп 08	™С08 *У Х

т = 0 п = 0

ч/ 1 /"/2/л + 1 \2 , /2л + 1 V .

хс05У НН+НИ™'*
где
а Ь

л	С (* //	\	2/л --1-1	2п -|- 1	1	1

=	] / (^» УУ С05	С08 —2?~ *У ах ^У'

о о
124*. Исследовать поперечные упругие колебания круглой плиты
радиуса а с закрепленным краем при произвольных начальных усло-
виях:

4-о=/<г)’

Ответ.

»(' '>=^ 2 лад г'5 “]

п = 1	О

+ ^пг8‘п Г рзЧрЭЯгЛрНр!,
О

/?т(г) = 70(т>70(т	— Л(тНо \Т“) — линейная комбинация цилин-

дрических функций, — последовательные положительные корни
уравнения

/?'(а) = 0,



О — цилиндрическая жесткость, И — толщина, р — плот-

ность материала плиты.

125.	Дать решение предыдущей задачи для случая, когда ко-
лебания вызваны ударным импульсом Р, приложенным в начальный
момент к центру плиты.

Ответ.

= У Ио(7я) —Л(Тя)]/?Уд (г) 8|п

~2кОп^ Т^о(7„)Л2(Тп)

Указание. Начальные условия в рассматриваемом случае при-
нимают вид:

= 0
|/=»о

ди I
д! |/во

_ Р

7СЕ2рЛ ’
о ,

О^г

е;



где в дальнейшем е->0.

126.	Исследовать поперечные колебания круглой плиты радиуса а
с закрепленным краем под действием сосредоточенной силы Р,
приложенной в центре плиты. В начальный момент плита находи-
лась в состоянии покоя.
Ответ.

Р
16лО

™ V /.(Т„)-Л(ТЯ)
Ь 7»/2(7 )72(7 )
у^В1 *п о'*п) о'*п'

ч<г>с°* 84^

в обозначениях задачи 124.

Указание. Для сведения задачи к однородной выделить ста-
тический прогиб плиты.

127.	Изучить радиальные колебания упругого газа в сфериче-
ском резонаторе, считая заданными начальные значения потенциала
скоростей и его производной по времени:

ы| =/(г), 4г I =0*).

|/ = о 7 4 7 д1 к = о 7

Ответ.

п = 1

зш-^-
а

р/(р)8|п I р2/(рИр>

О	о

где — последовательные положительные корни уравнения

*8Т = Т>

а — радиус сферы, V — скорость распространения колебаний в газе.

128.	Исследовать установившиеся звуковые колебания в полу-
бесконечной цилиндрической трубе радиуса а, предполагая, что рас-
пределение нормальной компоненты скорости частиц воздуха в пло-
скости 2г = 0 есть заданная функция

(Мг|г = 0=Л'-)8!п<^

Рассмотреть частные случаи:

а) / (И = гу, б) / (г) =	,

где у — наименьший положительный корень уравнения /1(у) = 0.

♦) Потенциал скоростей колеблющегося газа удовлетворяет волновому
уравнению Ли----• ~~ = 0; см., например, р08], стр. 34—38.

В задачах 127—130 принимается, что стенки являются идеально отражаю-
сь I п
щими, т. е. -у- = 0.
Ответ. Потенциал скоростей выражается формулой:

н(г, г, {) — !<

р/(р)Л^)^р

— последовательные корни уравнения /1(у) = 0 (у0 = О);/о (х),
У1(х) — функции Бесселя; к —

Частные случаи:

а) и (г, /) = — ~ соз (о/ — кх)\

б)

и (г, г, /) = /

129.	Определить форму установившихся периодических колеба-
ний звука внутри конического рупора а^г<^оо, О^О^а, счи-
тая известным распределение скоростей в его основании

(г>г)г	—/(6) 81п о)/.

[г — а

Рассмотреть частный случай /(0) = т/о.
Ответ.

и(г, 6,1)—1

е‘ш1

к Б1П 2 а

2*л+1
руп (С05 “)

/7(2) . (кг)

Я?' 1 (М

>П+-2

X др; ^"оГа)5	‘ V (6) Р'п (С°8 6) 8Й16	~

------------- V
'★т^п	0

Л/(2) (кг)

”2 р

~~ к(\ — соз а) //(2)	/(®) 8*п ®	»

1 о
2
где — последовательные корни уравнения (соз а) = 0;

Л(х)-

функции Лежандра,

Н{2) 1 (х) —- вторая функция Ханкеля.

В частном случае:

и (г, О = 2г>0а]/Гу

51П [а>1 — А? (г — д)] — 2ка соз [<^ — к (г — а)]

1 + 4/г2д2

130.	Дать решение задачи о диффракции плоской звуковой волны
огибающей препятствие в виде сферы радиуса а.

Ответ.

И = пое; - *г> — ил у/~ е1иЛ X

/1 = 0

2*<+1 (М~4+НМ

(2л + 1) е 2 2Ла/7<2>' (^а) _ /у'2» (йа) 1 (М^я(соз6),

1 *	• * х 7	“Т" тг

л+"2	л+-2	2

где 7	(х) и /7<2> . (х)—функции Бесселя первого и третьего рода,

«4-2	«4-2-

Рл(х)—полиномы Лежандра.

Указание. Если представить потенциал скоростей и в виде
суммы и —	то решение задачи приводится к

интегрированию уравнения Ди1 -= 0 при граничном усло-
вии—-^-! = -^-(е~ ^ц0)| ; на бесконечности и. должно

ОГ \г = а 07	1г=^а

удовлетворять принципу излучения.

§ 2. Некоторые статические задачи механики сплошных
сред

131.	Найти форму равновесия прямоугольной мембраны со сто-
ронами 2а и 2Ь, находящейся под действием равномерно распреде-
ленной нагрузки д (начало координат выбрано в центре мембраны).
Вычислить прогиб центра мембраны, предполагая отношение —
равным 1, 2, 3.

Ответ.

Н(х, у) =

(- 1)п+>
(2« + 1)’

. 2п + 1

ей 2^+1^
2а

2п + 1
СОЗ --6 г КХ
2а

где Т—натяжение (на единицу длины контура).
Результат расчета:

и (0, 0) — к ~г , ($ — даЬ — полная нагрузка,

6 к , = 0,295; к =0,228; Л к =0,164.

‘а ~ 1	а “2	а" ~3

Указание. Для сведения задачи к однородной выделить частное

Рис. 20.

Ответ.

решение уравнения равновесия мембра-
ны, зависящее только от координаты х
и удовлетворяющее граничным условиям
на сторонах х = ± а.

132*. Решить задачу о равновесии
полукруглой мембраны радиуса а (рис. 20)
под равномерной нагрузкой у.

И (Г, О

. 1 /г8	Д8\ . о ,

+?(?“^)81П 2<?,п

1 //г2 . а2\ п	. 2аг51пу>

~ Т + й) С05 2<? - 2)агс

а2 + г2— 2дгсо5 у!_ г2 81п2 <р 1

а2 + г2 + 2аг соз сра2 19

где Т — натяжение на единицу длины контура.

Указание. Для применения метода Фурье выделить частное
решение уравнения равновесия:
дг2 • 2
и1 = — ?•

Суммирование ряда, необходимое для представления решения
в замкнутой форме, произведено в решении задачи.

133.	Дать решение задачи о кручении стержня прямоугольного
сечения со сторонами а и Ь. Найти функцию кручения и жесткость.

Ответ, функция кручения

г \ г ч 8я2
и(х, у)==х(а — х)--

п =0

. 2п+ 1

8Ш----!- ТСХ

а

~(2п+1у

и2п+1 (Ь
сЬ~тс\2~~

сЬ 2” тЛ
2а

Жесткость



64

.2^+1 ъЬ

2	* а

За	(2«+1)!

п — 0

С — модуль сдвига.

Ь
Указание. Для приведения задачи к однородной выделить
частное решение дифференциального уравнения для функции круче-
ния, зависящее только от координаты х и удовлетворяющее гранич-
ным условиям при х = 0 и х~а.

134.	Прямоугольная плита с размерами 2а и 2й оперта по краям
и находится под действием равномерной нагрузки д. Определить
форму прогиба плиты, считая, что начало координат помещено
в центре плиты. Привести выражение для прогиба центра плиты.

Ответ.

и (0, 0)

____	5

~"2Г|_24

64

тс5

(-1)”
(2и+1)*

п , 2п + 1 тсй’ .2л + 1

2 а

В — цилиндрическая жесткость плиты.

Указание. Выделить частное решение уравнения изгиба плиты,
зависящее только от координаты х и удовлетворяющее граничным
условиям при х= -ьа.

135.	Решить предыдущую задачу в предположении, что края
х = ±а оперты, а края у = ±Ь свободны. Вычислить прогиб
в центре плиты.

Ответ.

/п да* Г б । 64\> . .

„(0,0) = ^-^ + —X

ш °°	I + V 2п + 1 ъЬ 2п + 1 ъЬ 2п + 1

(—1)п	\	2~ а 2 ~а 2 а

X /	(2л+1)5*	, х . 2*+1	.2*4-1	/1	х2*+1 кЬ »

п — О

где V — коэффициент Пуассона.

136*. Полукруглая плита радиуса а закреплена по полуокружно-
сти и оперта своим прямолинейным краем. Найти форму прогиба
плиты под равномерной нагрузкой. Дать формулу для прогиба
оси симметрии плиты и представить результат в виде графика.

Ответ.

(рис. 21).
Указание. Для приведения задачи к однородной выделить
частное решение уравнения изгиба вида

24ВГ‘8|ПЧ

удовлетворяющее граничным условиям на прямолинейном крае.
и(г, п/г;

137.	Бесконечный цилиндр радиуса а помещен в плоскопарал-
лельный поток идеальной жидкости. Найти потенциал скоростей,
считая, что начало координат выбрано в центре цилиндра, а напра-
вление оси х противоположно направлению потока (рис. 22).

Ответ.

/ «2 \

и (г, <р) = г/ (г-|-1 соз ср + сопз!»

где г/со — значение скорости потока вдали от цилиндра.

138.	Найти потенциал скоростей потока идеальной жидкости,
вытекающей из источника мощности т и обтекающей бесконечный
цилиндр радиуса а. Взаимное расположение цилиндра и источника
указано на рис. 23.

Ответ.

г \ т . гЬ х ,
П(Г, ?) = -о— 1П — -НСОП81,
рр

где ^ = а2; значения всех размеров указаны на рис. 23.
Указание. Выделить из решения потенциал источника

«1 = — 2^ 1п р4-сопз1.

139.	Решить задачу об обтекании шара радиуса а плоскопарал-
лельным потоком идеальной жидкости. Начало сферической системы
координат (г, 9, ср) выбрать в центре шара и ось г направить в сто-
рону, противоположную направлению потока.

Ответ.

и О', б) = ^со (г ) С08 6 + СОП8* >

где т>оо — значение скорости потока вдали от шара.

140*. Решить задачу об обтекании шара радиуса а, вблизи ко-
торого помещен источник мощности т на расстоянии Ь от центра
шара.

Ответ.

г	/И Г 1 I й 1 1 г (1 4- СО8 6) "1

и (г, 6) =	----ктг--------1П к -------------Чг

4тс[р 1 а р + гсозб — И’

в обозначениях рис. 23 *).

ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

§ 3. Нестационарные задачи

141.	Грани пластины толщины 2а
(рис. 24), нагретой до температуры То,
начиная с момента времени / = 0, под-
держиваются при температуре, равной
нулю. Найти распределение температуры
Т(х, I) в пластине.

Ответ.

Т(х, 0 =

со	/2л -4-1 V

у (~1)”с-(^-0

“тс 2п + 1

л=0

I ’	2«+1

СО8 _1	~Х,

2а 9

где т = —, к — коэффициент теплопроводности, с — удельная
теплоемкость, р — плотнрсть материала пластины.

♦) Ось ОХ рис. 23 соответствует в данном случае оси 02.
142.	Найти закон выравнивания заданного начального распреде-
ления температуры в пластине, грани которой х = 0 и х = а не
пропускают тепла.

Ответ.

Т(х,

а	00 п2ТС2т	а

0 =	//(ОЛ 4-1 2 е соз	У /(О соз	&

О	п= 1	О

из. Пластина толщины 2а (—а^х^а) с заданным начальным
распределением температуры Т(х, 0)=/(х) излучает, начиная
с момента времени / = 0, тепло в окружающую среду, температура
которой принимается равной нулю. Считая, что излучение подчи-
няется закону Ньютона, найти распределение температуры в пластине
в произвольный момент времени.

Ответ.

Т(х, =

1(пх

соз------

а

№

/(Е)соз^-^ +

81П 2?(л1)

М, (1)

где т =—; Хп—последовательные

ния Ьт уО) —	, к — коэффициент

ствующие корни уравнения у(2) =

положительные корни уравне-
теплообмена, } — соответ-
т(2)
ак ’

144. В пластине толщины 2а (—а^х начиная с момента
I — 0, происходит тепловыделение с постоянной плотностью (}.
Найти распределение температуры в пластине при условии, что ее
грани поддерживаются при температуре нуль, начальная темпера-
тура также равна нулю.

Ответ.

Т(х, 0 = -^-

16<?а2 V (— О" -
«Чг ^(2п+1)’е
п ==0

X 2а / СО8

2/г 4- 1

2а

тсх.

Указание. Для приведения задачи к однородной выделить
решение соответствующей стационарной задачи.
145*. Неоднородная пластина, состоящая из двух слоев с раз-
личными тепловыми свойствами, нагрета до некоторой температуры
То и охлаждается с поверхности. Считая, что грани пластины х = О
и х = а2 («1 и а2 — толщина соответствующих слоев) имеют нуле-
вую температуру, определить распределение температуры в пластине.

Ответ.



Хп{х) =

Т(х, Г) = 2Т0

81П

2 Д2 У ^2
а. УЪ

. улх . а2У Ь2

81П	81П -	Ти,

0х а.УЬ. 'п

81П уп 81П ( —

\ Уь.

02	^2

Уъ[

тл —С08 ?л

<?2^2^2
а^Ь^к^

81П27л

О ^х

01 + 02 — -У 1

01

Тп<

6'а*А„(х),

О। X	п2.



Тл — положительные корни уравнения

/7 4-	Ъ

«1 V Ь

расположенные в порядке возрастания; Ь1 = ^~ (/=1, 2),	—

лх-

удельная теплоемкость, р* — плотность, — коэффициент тепло-
проводности.

146.	Концы тонкого стержня длины I поддерживаются при раз-
личных температурах, а с боковой поверхности происходит отдача
тепла в окружающее пространство в соответствии с законом Нью-
тона. Найти распределение температуры по стержню, считая, что
концы стержня х = 0 и х = 1 имеют температуры нуль и Го, и
начальная температура равна нулю.

Ответ.

Т(х,О=7’о

~811 |/У X
811 У

8 ’

|1 =

1 тс

где р и 5 — периметр и площадь поперечного сечения стержня,
к — коэффициент теплообмена в законе Ньютона.

Указание. Задача приводится к интегрированию дифференци-

ального уравнения

д*Т _ дТ

дх2 дт



*) См., например, [44], стр. 28.
147.	Цилиндр радиуса а нагрет до температуры Те и охла-
ждается с поверхности таким образом,что ее температура, начиная
с момента ^ = 0, поддерживается равной нулю. Найти закон охла-
ждения цилиндра, считая, что распределение температуры во всех
поперечных сечениях одинаково (длинный, теоретически бесконечный
цилиндр).

Ответ.

Т(г, /) = 2Г0

_т22_
е

г— расстояние от оси цилиндра, — последовательные положитель-
ные корни уравнения Уо(у) = О; ^(х),	(х)— функции Бесселя;

М	А	Л. Л

т = —, где к — коэффициент теплопроводности, с — удельная
теплоемкость, р — плотность материала цилиндра.

148*. Найти закон выравнивания заданного осесимметричного
начального распределения температуры Т(г, 0) = /(г) в бесконечном
цилиндре радиуса а, боковая поверхность которого не пропускает
тепла.

Ответ.

Т(г, 0=4

т" °21 лр)?7<ЛЛ И

О

— последовательные положительные корни уравнения (у) = 0.

149.	Бесконечный цилиндр радиуса а, нагретый до начальной
температуры То, охлаждается, излучая тепло в окружающую среду
по закону Ньютона. Найти закон остывания цилиндра.

Ответ.

Т(г, О=2Т0

Л (Тп) Л (тл а
42(Гп) + Л2(Ъ)

-г2 —
е п а“

Тп

уп — последовательные положительные корни уравнения
^4(т)=тЛ(т)-

150.	В цилиндрическом проводнике радиуса а, начиная с момента
I — 0, происходит выделение джоулева тепла с плотностью ($. Найти
распределение температуры по сечению, считая начальную темпе-
ратуру и температуру поверхности проводника равными нулю.
Ответ.

Т(г, =

7°(Тл

(х„)

е~ а*

уя— положительные корни уравнения /о(у) = О, расположенные
в порядке возрастания.

Указание. Выделить частное решение, соответствующее ста-
ционарному распределению температуры в цилиндре.

151.	Цилиндрический проводник радиуса а длительное время
нагревался током, выделявшим тепло с плотностью ($. Исследовать
процесс охлаждения проводника после выключения тока при условии,
что охлаждение проводника с поверхности в течение всего процесса
совершалось по закону Ньютона, причем температура среды принята
равной нулю.

Ответ.

Т(г, О

п = 1

уя — последовательные положительные корни уравнения (у) ==»
— ТЛ(Т); — коэффициент теплообмена.

Указание. Для определения начального условия задачи охла-
ждения найти стационарное распределение температуры для периода
нагрева.

152.	Найти распределение температуры в трубе (а^г^Ь),
через внутреннюю поверхность которой втекает поток тепла с плот-
ностью <?, а внешняя находится при температуре нуль. Начальная
температура трубы принята равной нулю.

Ответ.

Пп 0 = ^

где

Ъ (г) = Уй (Т) 4 (т - 4 (т) уй (у у),

?я — последовательные корни уравнения /^(а) = 0; У0(у), Уе(7) —
функции Бесселя.
Указание. Выделить частное решение, соответствующее ста-
ционарному распределению температуры в трубе.

153*. Дать общее решение задачи об охлаждении шара радиуса
а при условии, что начальное распределение температуры шара
задано Г(г, 0)=/(г), а температура поверхности равна нулю.

Ответ.

00 П2тс2т	«

п = 1	о

т = — , где к — коэффициент теплопроводности, с — удельная
теплоемкость, р — плотность материала шара.

154.	Найти распределение температуры в шаре радиуса а, по-
верхность которого, начиная с момента времени / = 0, излучает
тепло по закону Ньютона, а начальная температура равна То.

Ответ.

__27'оЛ На

'У’*) — г • х_На

С05Ь

Чп

	“_________е
1	8*п 2Ь

уп — последовательные положительные корни уравнения
7 =	к — коэффициент теплообмена.

155.	Тело, имеющее форму шара радиуса а, длительное время
подвергалось нагреву, осуществляемому путем объемного тепловыде-
ления с плотностью С). Исследовать процесс выстывания после пре-
кращения нагрева, принимая, что охлаждение происходит через
излучение с поверхности, и считая температуру воздуха в камере,
где производился нагрев, равной Го.

Ответ.

т (г	— т _1_	V? со5 Тп е Гп Л2	г_

Н = 1 Ч 2Тл }

уп— положительные корни уравнения у =	(71<Съ<С •••)•

Указание. Определить начальное распределение температуры
в шаре, решив соответствующую стационарную задачу.

156.	В пространство между двумя параллельными плоскими
стенками (О^х^а) налит раствор с заданным начальным распре-
делением концентрации растворенного вещества С | г = о = /(х).
Проследить последующий процесс выравнивания концентрации, пред-
полагая стенки непроницаемыми для вещества. В виде примера рас-
смотреть частный случай

/(х) =

Со, с

Ответ. В частном случае

С(х, /)=С0

• ЯНГС	о _

81П ---

а-------— тех

	е а соз	
п-------------------------а

О — коэффициент диффузии.

п — 1

157.	Найти концентрацию в растворе, помещенном внутри
цилиндрической трубки а^г^Ь с непроницаемыми стенками, если
начальное распределение концентрации задано равенством

Ответ.

С
^0’

0,

а^г<^с,

с<^г^Ъ.

оо

(г) = Л (т) Го (т - Г, (7) л(7 4),

где



— последовательные корни уравнения /?у(#) = 0;	Уп{х) —

функции Бесселя.

158.	Найти концентрацию газа, заключенного в металлическом
цилиндрическом образце, предполагая, что начальная концентрация
газа задана С|/==о=/(0 и цилиндр окружен средой, в которой
поддерживается постоянная концентрация Рассмотреть частный
случай /(г) = С0.

Ответ.

п = 1

О
— положительные корни уравнения (у) = ~ /0 (у) Си < Тз <С • • •)>
а — радиус цилиндра.

В частном случае

Указание. Задача приводится к решению дифференциального
уравнения	ПРИ начальном условии с|^ ^==/(г) и гра-
ничном условии	_ =ас| — а^, где а и а! — по-

стоянные коэффициенты, характеризующие г азоотделение с поверх-
ности и обратное поглощение газа металлом (см. [22]).

§ 4. Стационарные задачи

159.	Найти стационарное распределение температуры Т(х, у)
в бесконечно длинном брусе прямоугольного сечения (рис. 25), три

грани которого находятся при темпе-
ратуре, равной нулю, а на четвертой
поддерживается заданное распределе-
ние температуры Т(х, Ь)=/(х). При-
менить полученные общие формулы к
частному случаю /(х)=Т0.

Ответ.

. 2л + 1

51 п-‘— к л:

а
2МЙ

В частном случае

Т(х, у) =

, 2л+1
!

а

. 2л +1 :
а

160.	Найти распределение температуры в брусе прямоуголь-
ного сечения, две противоположные грани д/ = 0 и у~Ь которого
находятся соответственно при температурах нуль и То, а две другие
{х — ±а) излучают тепло по закону Ньютона в окружающую среду;
температура последней принимается равной нулю.
Ответ.

Т(х, у) = 27,

8<ПТП
7„4-8ШТ„СО8 1п

^1п %

X
соз тл—,
а >

где ул — положительные корни уравнения 1^7= - ,перенумерован*
ные в порядке возрастания; к — коэффициент теплообмена.

161. Найти стационарное распределение температуры в провод-
нике прямоугольного сечения (—а^х ^а, —Ь ^у нагре-
ваемом током, выделяющим в единице объема джоулево тепло <2,
при условии, что грани проводника поддерживаются при нулевой
температуре.

Ответ.

Т(х, у)

\ \-1>п+1

7 (2и+1)3

п = 1

. 2« + 1
сЬ~ъГ*У

с05

ей— ПО

2а

2п +1
2а

где к — коэффициент теплопроводности материала проводника.

Указание. Выделить частное решение неоднородного уравне-
ния теплопроводности, зависящее только от координаты х и удовле-
творяющее граничным условиям при х — ±а.

162. Решить предыдущую задачу при условии, что все грани
проводника отдают тепло в окружающее пространство по закону
Ньютона *).

Ответ.

Т(х, у)

— 2ак

8Ш ей соз

, /, . 81П 2уп \ /	, чпЬ ,	, . ч„Ь \

4---а • Т»	——к ак ей

\	\ а 1	а

где — последовательные положительные корни уравнения 7 =—•

*) Температура внешней среды принимается равной нулю.
163. Брус прямоугольного сечения (0^х^а, О^у^Ь) нагре-
вается по.оком тепла, падающим с постоянной плотностью д на одну
из его граней (у—.Ь). Найти стационарное распределение темпе-
ратуры по сечению бруса, предполагая, что отвод тепла осуще-
ствляется путем излучения в окружающее пространство по закону
Ньютона.

Ответ.

Т(х, =

п — 1

4- ой (1 — СО5
лк. +	+ (ай)2

г.	У I	и	У

сП 4---------8Й	—

, Ь ! ^-\-{ак)2 Ь

сЬ	О\	511Ь у

а 2ак^п а

( х . ак . х \

Х(СО87Я-Н--51ПТ„-^

где уя — последовательные положительные корни уравнения

*8Т =

2айу

72 — (ай)2

164. Прямоугольный брус состоит
из двух кусков с различными коэф-
фициентами теплопроводности (рис. 26).
Найти распределение температуры в
брусе в предположении, что две
противоположные грани (у = -ь й) на-
ходятся при температуре То, а две
другие — при температуре нуль.

Ответ.

Тп(х)=

Т(х, ^)=2Т0

81П — 81П

«1

121п СО8 —СО5ТГ„ -г

_______\________________“1/

[^1	• 9 Тл^2 I ^2	9	1

81П2	4- — 81П2

й2 а1 ‘ «1

О х

сН —

01

сИ^

Тп(х),

• Тл (°1 + а2 — х) .	.

81П «д ..у.8Ш	х а1 «а;

— последовательные положительные корни уравнения



где и Л2 — коэффициенты теплопроводности материалов.
165.	Определить стационарное распределение температуры в брусе,
сечение которого представляет собой криволинейный прямоугольник,
две стороны которого образованы дугами концентрических окруж-
ностей, а две другие — отрезками радиусов (рис. 27). Одна из

изогнутых граней (г = Ь) имеет температуру Го, остальные поддер-
живаются при температуре, равной нулю.

Ответ.

Т(г, <?) =

. 2л 4-1

5Ш -----ТССр

2МИ

166.	Решить предыдущую задачу в предположении, что при темпе-
ратуре поддерживается одна из плоских граней (<р = а), осталь-
ные грани имеют температуру нуль.

Ответ.

Т(г, &

1П —

81П(2п 4- I)11-~

1пА
а

2п~+1

8к(2п4-1)*-^-
1п —

а

8Н (2л 4- 1) я —

1п —
а

167.	Найти стационарное распределение температуры в цилиндре
радиуса а и длины I (рис. 28), торцы которого поддерживаются
при нулевой температуре, а температура боковой поверхности
равна То. Рассчитать распределение температуры на оси цилиндра,
принимая отношение у равным 0,5; 1; 2.
Ответ.

Г(г, г)

ОО

/о

/2п+1

\	I	™

/2«+ 1

(	I	™

. 2л+ 1

81П ----КЗ

2п+~\

Ц(х)—функция Бесселя мнимого аргумента.

Результаты численного расчета величины Г|г = 0/Г0-

г//  в//	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5
0,5 1  2	0,246 0,072  0,005	0,458  0,134  0,009	0,611  0,188 0,012	0,698  0,221  0,014	0,726  0,232  0,015

168.	Дать решение предыдущей задачи в предположении, что торцы
цилиндра не пропускают тепла, а на боковой поверхности поддер-
живается заданное распределение температуры 71|г = а = /(г).

Ответ. I	то	I

169*. Решить задачу 167 при условии, что охлаждение торцов
цилиндра происходит путем теплоотдачи по закону Ньютона. На-

чало координат выбрать в центре цилиндра.

О т в е т.	оо

Т(г ______9 г ▼	5*п 7/1

п = 1

СОЗ-у-

где — положительные корни

уравнения у = —, расположенные
в порядке возрастания; Л — коэф-
фициент теплообмена.

170.	Стенки цилиндрического
канала, просверленного в неогра-
ниченной пластине толщины к (рис.
29), поддерживаются при заданной
температуре Го. Найти стационар-
ное распределение температуры в
пластине, если грани пластины имеют
нулевую температуру.
где (х) — функция Макдональда.

171.	Найти стационарное распределение температуры в цилиндре
(О^г^а,	верхний торец которого имеет температуру

То, а остальная поверхность — температуру, равную нулю (ср. за-
дачу 167).

Ответ.

Т(г, г) = 2Т0

п = 1

8^
а

а

где — последовательные положительные корни уравнения/0 (у) = 0.

172.	В цилиндре высоты I и радиуса а происходит тепловыде-
ление с постоянной плотностью ф. Найти стационарное распреде-
ление температуры, если отвод тепла совершается через часть
поверхности верхнего торца, ограниченную кругом г — Ь<^а,
а остальная поверхность цилиндра не пропускает тепла. Прини-
мается, что поток тепла, вытекающий из цилиндра, равномерно
распределен по сечению.

Ответ.

п = 1

а

зЬ
а

4- С0П81,

где уп — положительные корни уравнения ^ (?)==; 0	<\ ..);

к — коэффициент теплопроводности материала цилиндра.

Указание. Выделить частное решение неоднородного уравне-
ния теплопроводности, зависящее только от координаты г.

173.	Цилиндр, установленный на теплоизолирующем основании,
нагревается сверху равномерно распределенным потоком тепла
(рис. 30) и излучает тепло с боковой поверхности в окружающее
пространство в соответствии с законом Ньютона. Найти стационар-
ное распределение температуры в цилиндре, считая Гсреды = 0.
Ответ.

Т(г, г)

сЬ^
а

—
а

где ул — положительные корни уравнения

тЛ (т)=(т) (Т1 < та < • • •);

к — коэффициент теплообмена, д — плотность поступающего потока
тепла.

174.	Полубесконечная трубка со стенками, образованными коак-
сиальными цилиндрами радиусов а и Ь, нагревается с торца и охла-
ждается с боковой поверхности. Найти стационарное распределение
температуры в трубке, считая, что температура торца равна То,
а температура боковых стенок поддерживается равной нулю.

Ответ.

V 2\<Уп~а

Т(г, г)=ЯТ. \	-------г^О),

где г0 ( у = Го (у) 4 (т у) — 4 (Т)	у) — линейная комбина-

ция функций Бесселя.

— корни уравнения	= расположенные в порядке

возрастания.

Рис. 31.

175*. Неоднородный цилиндр, составленный из двух соприкасаю-
щихся кусков с различными коэффициентами теплопроводности
(рис. 31), нагревается по боковой поверхности и охлаждается с тор-
цов. Найти распределение температуры Г(г, г), принимая темпера-
туру боковой поверхности равной 70, температуру торнов — равной
нулю.

Ответ.

Т(г, г)=2 То

*2 Ъ со» чп — СОЗ —

~ 81П2	~ 81П2 1п

кг	1 Й1 ,

Тп(г)

где

Тп(г) =

81П	• 81П

Л1	Й!

81П уп • 81П	,

Л1





уп — положительные корни уравнения



и ^2 — коэффициенты теплопроводности.

176*. Найти стационарное распределение температуры в шаре

радиуса а, часть поверхности которого 51 имеет постоянную темпе-

ратуру Го, остальная часть 52 — температуру,
равную нулю (рис. 32).

Ответ.

со

Т(г, 0) = ^{1— СО8(Х— У [Р„+1(со8а) —

п = 1

— Р„_! (СО8 а)]	Р„(СО8б)} ,

где Рп(х} — полином Лежандра.

177.	Дать решение предыдущей задачи в предположении, что
в шаре происходит объемное тепловыделение с плотностью ($, а
отвод тепла совершается через поверхность нормальным потоком
постоянной плотности. Поверхность 52 не пропускает тепла.

Ответ.

Т(г 6) = ^Г- —
} Зк [	2а2

4-		 У	/_Г \»	0 -I +

1	1—соз а	п	\а /	'] 1	’

п == 1

где к — коэффициент теплопроводности материала шара.

Указание. Выделить частное решение неоднородного уравне-
ния теплопроводности, зависящее только от переменной г.
178.	Шар радиуса а нагревается плоскопараллельным потоком
тепла плотности ду падающим на его поверхность, и отдает тепло
в окружающую среду в соответствии с законом Ньютона. Найти
стационарное распределение температуры в шаре.

Ответ.

Т(г дч да Г 1 | г . _С°8 в   у	(0) у

' ’ '	2к [2ак ’ а \ ак	^2п ак

п — 1

к/ 4л+1	/М®" п / дЛ

^(2л—1)(2« + 2)1в) р2«(со80)]’

где Рп (х) — полином Лежандра;

р2л(0)=(~1Г

1 • 3 - 5... (2л — 3) (2п — 1)

2 • 4 • 6 ... (2лг — 2) 2л

Указание. Граничное условие в рассматриваемой задаче имеет

вид:

~ соз 0,
к	2 ’

о,

ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

179.	Найти распределение потенциала электростатического поля
ц(х, у) внутри вытянутой коробки прямоугольного сечения (рис. 33),

две противоположные грани которой находятся при потенциале V,

а две другие заземлены.
Ответ.

и{х, У) = -

. 2л + 1	?л + 1

СИ--г-- КХ СО8 —Т— тсу

Ъ	Ь

. 2л + I * 2л + 1
сЬ ——— тел

2о
180.	Найти распределение электростатического потенциала внутри
полубесконечной прямоугольной коробки (рис. 34), вертикальная
стенка которой поддерживается при потенциале V, а горизонтальные
стенки — при потенциале, равном нулю.

Ответ.	. тсу

2У 8Ш Ь

и (х> у} — — агс ------•

4 ’	тс & , тсх

8П ~т~

ь

Указание. Для представления решения в замкнутой форме
воспользоваться разложением

ОО

У <<2” + 1>х 81П (2п 4- 1)у = у аге	(* > 0).

2п 4- 1	л

п — 0	’

181.	Найти распределение потенциала электростатического поля
между двумя бесконечными параллельными пластинами, одна из ко-
торых (4 = 0) находится при потенциале, равном пулю, а на другой
поддерживается заданное периодическое распределение потенциала
и | у^ь=/{х)9 где /—периодическая функция с заданным перио-
дом 2а.

Ответ.

—Г	Р

И(Х, _у) = — у --” [ СОЗ — Г /0)СО8 —

= 1

Ча	Ча

+ 51„ р(Е) !1П	<й]+р(>)Л-.

о	о

182.	Тонкая заряженная нить с линейной плотностью заряда д

помещена внутри проводящего цилиндра радиуса а, находящегося

при нулевом потенциале. Дать реше-
ние электростатической задачи в пред-
положении, что смещение нити отно-
сительно оси цилиндра равно Ь, и
получить известный закон отражения.

Ответ.

и(г, с?)= —2^1п-^4-2<71п^,

где и /? —- расстояния, указанные
на рис. 35, а? — ЬЬ.

183.	Параллельно проводящему цилиндру с суммарным зарядом С?
на единицу длины помещена тонкая заряженная нить с линейной
плотностью заряда д. Получить закон отражения.
Ответ.

м(г, ?)— — 2б/1п — 2(#-[- ф)1пг-}~ с°п${,
где обозначения всех величин указаны на рис. 36, а* = ЬЬ.

184.	Найти электростатический потенциал в пространстве между
двумя проводящими бесконечными полуцилиндрами (рис. 37), один
из которых поддерживается при потенциале V, другой — при потен-
циале нуль (предполагается, что в месте стыка полуцилиндры раз-
делены тонким слоем изолирующего вещества).

Ответ.

I/ г 9
«О'. = т 1 — — аге

аг соз ср
а2 — г2

Указание. Для представления решения в замкнутой форме

воспользоваться разложением

оо

VI (— 1)” [г \2л+*	I , О Г СОЗ ср

/ ъ—гЧ — соз (2п 4- 1)ф = о агс йт—--х

к ।	/ т 2	&д2Г2,	\

185.	Цилиндр радиуса а из материала с диэлектрической посто-
янной е внесен в однородное плоскопараллельное электрическое поле
с компонентами Ех = — Ео, Е^ = Ег = 0. Найти распределение потен-
циала и показать, что поле внутри цилиндра будет однородно.

Ответ. Распределение потенциала:

и = ЕцХ 1

сопз1 — вне цилиндра,

2

и = —-т—। Е^х соп81 — внутри цилиндра.

Поле внутри цилиндра:

д.	2/Го

Е=~1+Л
186.	Найти распределение потенциала электростатического поля
внутри полого цилиндра радиуса а и высоты /, нижнее основание и
боковая поверхность которого находятся при потенциале V, а крышка —
при потенциале нуль. Начало координат выбрать на нижнем основании.

Ответ.

м(г, г)= 1/1—2

ТиА (т«)

а

8,1^-
в

где — положительные корни уравнения

Л(Т)=0

Указание. §	йг =	.

о	п

187.	Два металлических полушария радиуса а, разделенных тон-
кой изолирующей прокладкой, поддерживаются при потенциалах V
и нуль — соответственно. Найти распределение электростатического
потенциала в пространстве между полушариями.

Ответ.

»(п »>=4[1 + 2 2^2 ₽>»(»> (~Г+’Р— <С“ ’>].
п =0

где Рп{х)— полином Лежандра,

причем принято следующее граничное условие:

V,

0,

188.	Найти электростатическое поле точечного заряда ц, поме-
щенного на расстоянии Ь от центра проводящего шара радиуса
а(а<^Ь), находящегося при потенциале н = 0*).

Ответ. Электростатический потенциал
______________________________________________________
где 7? =	с°з 9, 7? =	-|- г2 — 2Ьг соз О, ЬЬ = а’,

*) Решение рассматриваемой задачи может быть получено по методу
изображений или с помощью инверсии из известного решения задачи о поле
точечного заряда, расположенного над проводящей плоскостью.
189.	Решить предыдущую задачу при условии, что шар изготов-
лен из диэлектрика с проницаемостью е.

Ответ. Потенциал внутри шара

и<г> 0)=| 2 (6+1^-т1(т)п^<СО8еь
п —О

вне шара

ОО

„(г,	2 (ТТл_т(-р,(СО8в),

п = 0

где ^(х) — полиномы Лежандра.

Рис. 38.

190*. Найти распределение
постоянного тока в тонкой пря-
моугольной пластине с подво-
дящими электродами,присоеди-
ненными в точках (±а, 0)
(рис. 38).

Ответ. Потенциал распре-
деления токов в пластине:

и(х, >)=

ОО

п, ~ 1

где / — полный ток, текущий через пластину, а — проводимость,
И — толщина пластины.

Указание. Дифференциальное уравнение для потенциалов токов,
текущих в тонкой проводящей обо-
лочке, приведено в задаче 21 главы I.

191. Дать решение задачи о распре-	&

делении постоянного тока в тонкой —
круглой пластине радиуса а с подводя-
щими электродами в точках (г = а,
Ч = (г — а, <р = тс) (рис. 39).	Рис. 39.

Ответ.
. 2г , г2
, ч	, а т ’ а2 .	.

« <Г’	= & 1П —2?---------ГР" + СОП8Ь

14--СО5Ф + -5

192*. Найти распределение постоянного тока в цилиндрической
оболочке радиуса а и высоты 2/ с подводящими контактами в точ-
ках (г = я, <р = 0, г = ±/).
Ответ.

г)

СО8 ПФ ,	.

------- 4- соизЪ
и *

193.	Найти распределение тока в оболочке,
имеющей вид полусферы радиуса а с электро-
дами, присоединенными в точках

(г = а,

<р = (рис. 40).

= (г = а,^=^,

Ответ.

гг(6, <р)

1 + 218 <7 соя ср + 182 -®-

1 — 21§ у соз ? +182 у

4~ сопя!.

2тсаЛ

194.	Постоянный ток силы У по-
ступает через один торец цилин-
дрического проводника, изготовлен-
ного из материала с проводимостью
о, и отводится с противоположного
торца. Определить распределение тока
внутри проводника, считая, что под-
водящие контакты суть диски радиуса
Ь а(а — радиус цилиндра) и ток по
ним распределен с постоянной плот-
ностью (рис. 41).

Ответ. Распределение токового
потенциала

И (г, г)

-|- СОП81,

где — положительные корни уравнения

Л(т)=0	(0<Т1<Т2<...).

Указание.
195. Найти распределение тока в однородном проводнике, имею-
щем форму прямоугольного параллелепипеда (—а^х ^а, —

считая, что подвод и отвод тока осуще-
ствляется через прямоугольные контакты с размерами 2е X 23, при-
ложенные к граням г = Распределение плотности тока по сече-
нию контактов предполагается равномерным.

Ответ.

. тта

811 --

и(х, у, г)

Зг
кзаЪ

7л

. /лях

81П----

а

т2

а

. /лтсс

сЬ-----

а

СОЗ

т тех
а

, ПЪС
сЬ"Г

та

8Ь~Г

ЗЬ
2л2а6«

СО8^ +
О 1

где 3— сила тока, а — проводимость.

Рис. 42.

196*. Трубка из магнетика (а<^г с магнитной проницае-
мостью помещена в однородное магнитное поле /Уо. Найти рзс-
пределение магнитного потенциала. Построить картину силовых линий
для значений р = 5, -^-=1,5.

Ответ.

Н1 = /70х[1---(|)8] + соп81 (*^г<оо);

2*2Г^+1) + (н-1)(уУ]

«2 = Нйх ^(р.4-1)2 —О2ф._ 1)2	Ь СОП8* (а г Ь);

Нз =	([х |)94(У^ П8 + сопзС (О^г^а).

Картина силовых линий изображена на рис. 42.

197.	Найти магнитное поле линейного тока У, помещенного внутри
цилиндрической полости радиуса а, вырезанной в железе с магнит-

Рис. 43.

ной проницаемостью р, и смещенного на расстояние Ь от ее оси.
Построить картину поля, принимая |х = 3; ^- = 0,5.
Ответ.

Л1 = — 2‘/1п/? — — —! 1п /?4- соп8<:, 0^г<7а;
1	с	с р-4-1	1	’	’

А* =-----—	,-г 1п г----- • —т—71п К + СОП81, а <Г г < оо,

'	с [X 1	С [Л + 1	1	’	\ \	>

где Аг и Д2 — значения г-й компоненты вектор-потенциала маг-
нитного поля в воздухе и железе;	—2&г соз <р,

К =	4-	— 2^г соз ср, ЬЬ = а\

Силовые линии изображены на рис. 43.
198.	Дать решение предыдущей задачи для предельного случая
р. = со. Вывести уравнение силовых линий в воздухе и железе.

Ответ.

Дх =------1п /?/? соп8*;

2 А2 = — -- 1п г 4- сопзЬ
Р-	с 1

Силовые линии в воздухе — овалы Кассини /?/? = сопз1, в желе-
зе — ОКРУЖНОСТИ Г=СОП81.

199.	Шар радиуса а из магнетика с магнитной проницаемостью р.
внесен в однородное магнитное поле с компонентами Нх~

— Но. Показать, что поле внутри шара будет однородным, и
найти его значение.

Ответ. И —

3//0
р + 2’

200.	Решить задачу магнитостатики для полой сферы
помещенной в однородное магнитное поле с компонентами Нх—Ну=®,

Ответ.

___________________________[_ СОП81

6* (р + 2) (2р + 1) - 2а3 (р - I)2

36» [(2р + 1)г8 + (Н~ 1) «Ч ,
г3 [68 (р + 2) (2р + 1) — 2а3 (р — I)2] '	° '

/7,1	63 (в3-*3) (р-1)(2р+ 1)^

по^~Г гг [*з (р + 2)(2р + 1) —2а»(р— 1)2(



-[-СОП81,

Рис. 44.

[I — магнитная проницаемость полой сфе-
ры.

201*. Найти магнитное поле постоян-
ного тока У, текущего по круглому витку
заданного радиуса г0, заключенному в
сферический экран, изготовленный из ма-
териала с магнитной проницаемостью р.
(рис. 44).

Ответ. Составляющие вектор-потенци-
ала магнитного поля будут:

Дг = Дб = 0,
оо

Д? = Д(г, 6) = ^ 2 (2я +”щ2л + 2) Р2я +1 (0) Х
п = 0

2л 4-2

I Р2п+|(СО5°)

/ а \ 4л 4“ 3

[(2п+ 1)р.+(2п+2)] • [(2л+2)н+(2Л+1)]- (-р) (2«+1) (2«+2) (|л-1)!

>8

где Р\п + ] (х) — присоединенные функции Лежандра,

/4+1(0)=(-1)"+’

1-3.5... (2п + 1)

2 • 4 • 6 ... 2л

202.	Линия без потерь длиной I с параметрами (Ь, С) заряжена
до постоянного напряжения Е и разомкнута на обоих концах. Опре-
делить величину тока в каждой точке линии, предполагая, что конец
х — 1 замыкается в момент / = 0 на катушку самоиндукции Ао*).

Ответ.

2аЛ >

п — 1

VI . X

81П у 81П Тл у

СО8 Т/г [тЛ + а (1 + а)] ’

где ул — положительные корни уравнения == — (у2 <2 Та <С • • •)>

Ц	1	Т	„

а — у-9 у—-у=- — скорость распространения волн в линии, / =

*-о	]/ АС

= 1,у—волновое сопротивление линии.

203.	Линия с параметрами I, С, /? коротко замкнута на конце
х = 1 и присоединяется своим другим концом х = 0 к источнику
постоянной э. д. с. Е. Найти распределение напряжения вдоль линии,
считая начальные условия нулевыми.

Ответ.

#1 со	сщ-----

/ IX с! Л х\ 2Е ~2Ь V /	. пю*!] I

и(х, 1)=Е (1 -	--е (соз -р +	з.п -р) —р- ,

п = 1

ж 1	/?2С/2	х

где V* = —г= 1/1 — . 2 тг , 2.* — Ьу*.

^1С' ЬпЫЬ

Указание. Привести граничные условия к однородным, выде-
лив частное решение дифференциального уравнения, зависящее только
от координаты х.

*) По поводу дифференциальных уравнений длинной линии см., напри-
мер, [108], а также задачу 23.
204.	Дать решение задачи о диффракций плоской электромаг-
нитной волны с компонентами электрического поля Ех — Еу — 0,
Ег = Е^е1^	(^к = ~— волновое число^, падающей на бесконеч-

ный идеально проводящий цилиндр радиуса а. Найти значение элек-
трического поля.

Ответ.

[ е-	/Д2) (Аг) -

00

- 2 2 е~	(кг) соз п<? | е1ш{,

п — I	п

<(х) и /У^2)(л:)— цилиндрические функции первого и третьего рода.

205. Решить предыдущую задачу в предположении, что цилиндр
изготовлен из материала с проводимостью а и диэлектрической по-
стоянной е.

Ответ.

Еа = Е0^е-^ГСО5^-^

к%}о	^0 (^2*0 /у(2) I

а8«|>2)(м)л;(М)-ал(М)М2,'(М) 0 к 17-г

штс	/	»

I 2	2~	(^2Д)	(^1^)	^2^Л (^1а)	(^2^) \ /

X ’ (кгг) соз е1ш(, г ^а;

Е __Е 21 Г____________________Л(Ааг)____________________.

“	° ™ I Мо (к.а) Н^' (кга) - к,Н^ (к.а) /„ (к*а) ~Г

Т /и ч	т

е"	70 г а,

к^ (к2а)	(к1а) - к^(к1О) Гп (к,а) 1

, со	1 / со2е — 4тс/аа>

А=1 = -> Ъ=у --------------3----.

206*. Исследовать электромагнитные колебания в сферическом
резонаторе, возбужденные диполем с моментом Р, помещенным
в центре сферы. Направление диполя совпадает с направлением оси г.

Ответ. Комплексные амплитуды составляющих поля определяются
равенствами:

/7г=/У0= о,

Н = Н,(г, 6)=^{	+

[81П кг
кг

-\-ке~**а

________1 -\-1ка — к2а2____________
ка соз ка + (к2а2 — 1) 81п ка

— СОЗ Аг I } 81П О,
пет

г.(г, 0) = 4.±.^(гН,),

^ = 0,

где (г, 6, ср) — система сферических координат, а — радиус сферы,
о) — частота колебаний.

с

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ IV

Смирнов В. И. [ео], Левин В. И. и Гросберг Ю. И. [®4],
Тихонов А. Н. и Самарский А. А. |108], Вебстер А. и
Сеге Г. [16], Франк Ф. и Мизес Р. [11в], Гринберг Г. А. [20],
Кузьмин Р. О. [50], Лебедев Н. Н. [®3], гл. VI и VIII,
Грэй и Мэтьюз [21], Джексон [34], Бейтман [4], Джефрис [3®],
Франклин [12°].

Задачники: Гюнтер Н. М. и Кузьмин Р. О. [32],
Смирнов М. М. [е1р
ГЛАВА V

МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В ПРИМЕНЕНИИ К НЕОДНОРОДНЫМ ЗАДАЧАМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Содержание данной главы составляют неоднородные задачи мате-
ма1ической физики, приводящиеся к интегрированию уравнения

(1)

(р(х), ^(х), г(х) —заданные функции, Му — дифференциальный опера-
тор, относительно которых сохраняются предположения главы IV,
^(х, у) — заданная функция) при неоднородных граничных условиях

+	+	Р)

(аа, — постоянные, Д(_у) и Д(у) — заданные функции) и
условиях

или условиях вида (3', 3"), введения к главе IV, в зависимости от
структуры оператора Му.

В тех случаях, когда можно подобрать частное решение н* урав-
нения (1), удовлетворяющее условиям (2), рассматриваемая задача
при помощи подстановки и = н* -|- V приводится к однородной, и
для решения ее может быть использован метод Фурье.

Задача просто решается также и в том случае, когда неоднородным
является только дифференциальное уравнение, а граничные условия
однородны (Д=Д = 0). Решение задачи в рассматриваемом случае
ищется в форме разложения по собственным функциям соответствую-
щей однородной задачи

ОО

«„СУ)А„(х)	(а<х<й),	(4)

п — 1
где Хп(х)— нетривиальные решения дифференциального уравнения
(^7 + (Хг-^)Х=0,	(5)

удовлетворяющие однородным граничным условиям

аа X (а) + Х(а) = 0, аь X (Ь) + Х(Ь) = 0.	(6)

В предположении, что правая часть уравнения допускает разло-
жение в ряд по функциям Хп(х)

ь

со	§гР(х, у)Хп(х)(1х

Р = ^РМХп(х), РпСУ) = а—-ь-------------------(а<^х<^Ь), (7)

” 1	У гХп (х) (1х

а
определение коэффициентов ип(у) приводится, после подстановки
ряда (4) в уравнение (1), к интегрированию обыкновенного дифферен-
циального уравнения

Му(ип) — Упип = Рп(у),	(8)

где — собственные значения однородной задачи.

Постоянные интегрирования находятся при этом из соотношений,
которые получаются, если подставить (4) в (3) (или, соответственно,
в (3'), (3") введения к главе IV) и, разложив входящие в правые
части этих равенств функции по собственным функциям, приравнять
затем коэффициенты при Хп(х).

Общий случай, когда граничные условия неоднородны, может
быть приведен к рассмотренному случаю задачи с неоднородным
уравнением и однородными граничными условиями, если искать ре-
шение в виде суммы и = и* -ц, где и* — какая-либо достаточно
гладкая функция, удовлетворяющая граничным условиям (2), но,
в отличие от предыдущего, не обязательно являющаяся решением
уравнения.

Например, при граничных условиях первого рода
«|Ж_,=Л(Л
в качестве такой функции можно выбрать линейную относительно
х функцию

при условиях второго рода — функцию

и*   _Е	/ ( «А_к Х)2 / (у\

2 (Ь — а) }ь\У)	2 (Ь— а) ^(У)>

И т. д.*).

*) Важно отметить, что выбор функции и* в указанной форме в ряде
случаев может повести к значительному усложнению хода решения задачи.
Следует, однако, заметить, что подобный метод приведения, свя-
занный с введением в значительной мере произвольной функции м*,
не всегда является удобным (например, в тех случаях, когда гранич-
ные функции разрывны) и при неудачном выборе этой функции может
повести к значительному усложнению последующих этапов решения.

Более адэкватный метод решения неоднородных задач, свободный
от необходимости прибегать в каждом случае к подбору функ-
ции и*, требующему в некоторых случаях значительной изобретатель-
ности, предложен недавно Г. А. Гринбергом *). Согласно этому ме-
тоду, решение неоднородной задачи так же, как и выше, ищется
в форме ряда (4), коэффициенты которого, в соответствии с общей
теорией разложения по собственным функциям, могут быть предста-
влены формулами

ь

У гиХп (х) Ах

иЛУ)=а—-------------=	(9)

У гХ*п (х) йх	У гХ2п (х) 4х

а	а

Для получения формального решения задачи достаточно поэтому
найти значение интеграла йп, что может быть сделано с помощью
следующего приема.

Умножим уравнение (1) на гХп(х) и проинтегрируем по про-
межутку (а, Ь)\ интегрируя два раза по частям, находим

ъ

р1&Хп~ рХ'пи |а + У \^Рх'пУ — Яхп\ и	+

а

Ъ	Ь

+ Л1у у гиХп <1х = У гРХп йх,
а	а

или, принимая во внимание уравнение (5) и граничные условия (2) и (6),

Му (« „) - Х„и„ = Рп - Хп (у) + ^Хп (а)/а {у), (10)
аЬ	аа

Ь

где \п—собственные значения, Еп = § гРХп */х**).

а

Правая часть уравнения (10) содержит только известные функции,
поэтому последнее уравнение может служить для определения йп.
Постоянные интегрирования находятся из уравнений, получающихся

*) См. [28]; в тех случаях, когда граничные условия однородны и неод-
нородным является лишь дифференциальное уравнение, метод Гринберга
приводит к тем же формулам, что и классический метод решения задач
этого типа.

**) В случае граничных условий первого рода (аа —% = 0) правая часть
(10) должна быть заменена на

р„ + Р (Ь) х\ (Ь)/ь (у) -р(а) Хп (а)/а (у),
из (3) (или (3') и(3")введения к главе IV) путем того же приема —
умножения нагХп(х)и интегрирования по промежутку (а, Ь).

Описанный метод может быть применен также к задачам матема-
тической физики, приводящим к краевой задаче Штурма—Лиувилля
с сингулярными концами (см. главу IV, введение), в том случае,
когда спектр собственных значений будет дискретным.

Метод допускает распространение на некоторые задачи матема-
тической физики, связанные с уравнениями высших порядков (см., на-
пример, задачи 236—241), или на задачи, в которых искомая функция
зависит от большего числа переменных.

Необходимо отметить, что при неоднородных условиях первого
рода ряды, представляющие искомое решение, сходятся неравномерно
вблизи концов интервала *). Для улучшения сходимости можно вос-
пользоваться приемами, обычно применяемыми в подобных случаях **).

В простейших приложениях улучшение сходимости достигается
путем выделения медленно сходящейся части ряда и ее суммирования
при помощи таблицы рядов, приведенной в справочном отделе (раз-
дел II).

Настоящая глава, так же, как предыдущая, состоит из трех раз-
делов, содержащих задачи из области механики, теории теплопро-
водности и теории электрических и магнитных явлений ***). Задачи
с сосредоточенными источниками, как правило, рассматриваются как
предельные случаи соответствующих задач с распределенными источ-
никами, что приводит к значительному упрощению вычислений и поз-
воляет представить решение в компактной и симметричной форме.
В качестве примера задач этого типа укажем, в частности, на за-
дачу 296 о вычислении поля линейного излучателя, помещенного
внутри цилиндрического резонатора, решение которой при помощи
обычного приема выделения особенности приводит к весьма сложным
выкладкам.

Выбор того или иного способа решения задач с неоднородными
граничными условиями предоставляется читателю, хотя авторы при-
держиваются мнения, что применение метода Гринберга представ-
ляет в этих случаях несомненные методические преимущества.
Разумеется, при удачном выборе функции и * решения отдельных
задач получаются достаточно просто без применения указанного
метода.

*)	Если условие неоднородно только на конце х = «, то, соответственно,
только на этом конце. В случае условий второго рода аналогичное явление
ди

имеет место для ряда, представляющего производную

**	) См., например [48], гл. I, § 5; другой способ, имеющий вполне общий
характер, предложен Г. А. Гринбергом [29], гл. XII.

**	*) Заметим, что в соответствии с принципом размещения материала,
принятым в данной книге, задачи, связанные с применением более сложных
систем криволинейных координат, отнесены в главу VII.
Ответы к задачам даны, как правило, в форме рядов, получаю-
щихся после улучшения сходимости, или в замкнутом виде. В неко-
торых случаях приводятся две формы решения, соответствующие
разложениям по функциям каждой из двух независимых переменных.

МЕХАНИКА

§ 1.	Задачи на колебания механических систем
(струн, стержней и т.д.)

207.	Струна длины I с закрепленными концами колеблется под дей-
ствием равномерно распределенной пульсирующей нагрузки
Найти форму колебаний струны, считая, что в момент времени 1 = 0
она находилась в состоянии покоя.

Ответ.

м(х, ^) =

.2^4-1 л (2лг-Н 1) тг-г? .	.

81П -т-------- ---------81П

I	оя

. 2дг+1

81П---— тех

’Т2и + 1)а—

где V = у ~ , Т — натяжение, р — линейная плотность струны.

208.	Решить предыдущую задачу в предположении, что пульси-
рующая нагрузка действует только на участке струны а<^х<^Ь.

Ответ.



209.	Исследовать колебания струны, вызванные сосредоточенной
пульсирующей силой Дзшо)/, приложенной в момент времени 1 = 0
в произвольной точке х = с струны.

Ответ.-

и(х, I)

2Ау

П~С , ПКХ
81П —у— 81П ——

(О^Х^/).

П
Указание. Осуществить предельный переход в решении за-
дачи 208.

210*. Дать общее решение задачи о колебаниях струны под дей-
ствием произвольной внешней нагрузки /(х, /), считая, что струна
в момент времени 1 — Ъ находилась в состоянии покоя.

Ответ.

со	/

и(х, 2^8т~ТЗ 81п— (/ —
п= 1	О

I

о

211.	Решить задачу 106 о продольных колебаниях стержня, рас-
смотренную с помощью другого метода в главе IV.

Ответ*).

/	2Л/

и(х, I) Е8

2л+ 1	.

~ 8,П-2Г-ЯХ-

212.	Рассмотреть вертикальные продольные колебания стержня
длины /, подвешенного за конец х = 0, совершающиеся под дей-
ствием собственного веса. Начальные условия считать нулевыми.

Ответ.

°° 1 2д -р 1 л

( м 16^ V 05 2«+1

“(*> О =	2,------------------8ш ~2Г

п = О

где @—ускорение силы тяжести, V=^/Г^-, Е—модуль Юнга,
р — плотность материала стержня.

213.	Исследовать продольные колебания консольного стержня,
имеющего форму правильной пирамиды (рис. 45), вызванные силой
Лзшо/, приложенной в момент времени ? = 0к его незакрепленному
концу.

*) Для того чтобы убедиться в совпадении форм решений, указанных
в ответах к задачам 106 и 211, можно воспользоваться разложением

ОО

V / ПП 81П (2л-Р 1)Е _ тсзш а; I КI «Д

/ |	(2п + I)2 — а2 . ха \ II 2 /

\	।	/	4а со§

п « 0	2
и(х, и — ъ——х
4	7 2а<иЕ (Ь — х а)

81П Тл

• Чпх

81П ~—

81П 2^п >

где ул — последовательные положительные корни уравнения

214.	Неоднородный стержень, состоящий из двух частей, изго-
товленных из различных материалов, закреплен на одном конце и

Рис. 46.

находится в состоянии покоя. Ис-
следовать продольные колебания
стержня, возникающие, если прило-
жить к его свободному концу посто-
янную силу Р (рис. 46).

Ответ.

ОО

ц(х,	= 2Р 4 У 8‘п Тп (1 — СО5 ТП/)Х„(Х)	,

Р151а1СО8-^~- + р25айа81п2т„

Л = 1



СОЗ

8Ш

Тл (Д1 + -У)

«1

— а,

81П СОЗ

Тл У1 (а2 — -У)

«1^2

О х а^,

«1^2
где 7П — положительные корни уравнения

Т =	(Ъ <Ъ< . • •),

“1^2

^ = 1/— (/=1, 2), и — площади поперечных сечений
г Рё

стержней.

215.	Балка длины I оперта своими концами и находится в равно-
весии. Исследовать поперечные колебания балки, возникающие после
приложения произвольной нагрузки ^(/), равномерно распределенной
по участку хх<^х<^х^

Ответ.

°°	. пъх

«(*> 0=^^\СО8"тА_соз~г)_’«’" х
п = 1

I

х ]*9'(,')81П^^-(/ — т)ЙТ (О^х^/).
о

О	2

Здесь а* = у

, где Е— модуль Юнга, У—момент инерции по-

перечного сечения, р — плотность материала балки, 5 — площадь

поперечного сечения.

216.	Решить предыдущую задачу при условии: а) нагрузка распре-
делена по всей длине балки и периодически зависит от времени:
—	б) пульсирующая сосредоточенная сила Льшго/ при-

ложена в точке х = с балки.

Ответ.

а)

ц(х, I)

 4/2в2д

ОО

б)

(2тг+1)87с2^	(2л + 1)27с8л2 .

/2	ш/2 8Ш

Г(2л + 1)8тс8л8|2

1 I СО/» I

. (2л + 1)тсх

81П -----------

X (2и + Г)1	’

и(х, 1)~

2АаЧ
Т&оЕ}

пЮаЧ

л2тс2а8 .

81П «о/

п = О

. пт^с . ппХ
81П —р 81П -у-

л8
217*. Решить задачу о поперечных колебаниях балки (—
с закрепленными концами под действием пульсирующей
нагрузки д 81п со/, равномерно распределенной по всей длине балки.
Считать, что до начала действия нагрузки балка находилась в со-
стоянии покоя.

Ответ.

и(х,

2^/2а2

' 7п сЬ СОЗ т„

где Хп (х) — с 11 уп соз — соз сЬ — положительные корни

1 /К/

уравнения Т у = 0 (?! <д2 < ... а2 = |/ в обозначениях
задачи 215.

218.	Дать решение предыдущей задачи для случая, когда внешняя
нагрузка есть сосредоточенная сила Лзшсо/, приложенная в центре
балки.

Ответ.

и(х, I)

оо

 А1а2 VI

п = 1

сП — СО8 ь
гп СО82Т„ С112

Указание. Сначала считать нагрузку равномерно распределен-
ной по участку балки (—и впоследствии осуществить
предельный переход е —> 0.

219.	Дать решение задачи 217 для балки (0 х /), конец х = 0
которой свободно оперт, а конец х~1 закреплен.

Ответ.

и(х, I)

дРа2

оо

2зЬ Тп — 2 сП 51 п т„ + 51П
зЬ2 7„ 51п 2 7„

п — 1

81П

/2

---81 п

/2,»2 \2

0 =



А„(х),

где Хп (х) = з11	з1п — 81П7„зЬ^; -^„ — положительные корни

уравнения у = 111 у (у, <. ).
220. К свободному концу консоль-
ной балки, находящейся в состоянии
равновесия, прикладывается сосредото-
ченная сила Р, величина которой в
дальнейшем не меняется (рис. 47).
Исследовать форму поперечных коле-
баний балки.

Ответ.

Рис. 47.

где

н(х, I)

со

2р/.з VI

Е^ / ।
п = 1

.	Тлй2/

1 — С05

(кН 1п + 81П у„)

хпМ = (сЬ 4- С08 Тл)(8Н Тл у — 8>ч 7» у ) —
— (8Ь 7„ + 8>п Тл)(сЬ 7л у — с»8 7„ у),

— положительные корни уравнения ей у • со§ у = — 1

*л(х),

221. Решить предыдущую задачу для силы, периодически меняю-
щейся со временем.

Ответ.

п(х,

2Л/«2
^^>Е^

Хп(х)
(зЬь + зш уп)

------__51П

1 (1"а2Х

\и12 /

222*. Дать решение задачи 220 для случая произвольной силы
Р = Р(О.

Ответ.

н(х, I)

___21а2 VI

~ Е<1
п = 1

^л(х)	(

Д(8Ь7л+б1п т„) 3

Р(у) 81П (I — т) йх.

223*. Исследовать поперечные колебания балки, закрепленной
в точках х = 0 и х — Ц вызванные периодически колеблющейся
сосредоточенной нагрузкой Лйпсо/, перемещающейся вдоль балки
с постоянной скоростью у. Предполагается, что в начальный момент
времени балка была в состоянии покоя, и движущаяся нагрузка на-
ходилась на ее Левом конце (задача о движении паровоза по железно-
дорожному мосту *).

*) См., например, [103], стр. 245.
7И — масса балки.

224. Исследовать колебания круглой мембраны радиуса а, вызван-
ные нагрузкой, приложенной в момент времени / = 0 и равномерно
распределенной с плотностью по площади кольца гг2.

Рассмотреть частный случай <? (/) = (? 81п

Ответ.

где уп — последовательные положительные корни уравнения ./о(у) = О;

=	~, р — поверхностная плотность, Т — натяжение на единицу

длины контура мембраны.

В частном случае

225*. Решить задачу о колебаниях круглой мембраны, возникаю-
щих под действием пульсирующей нагрузки рзшш/, приложенной
в момент времени / = 0 по окружности радиуса Ь<^а (а — радиус
мембраны).
и (г, О

ЧпА (Т«)

Указание. Считать нагрузку распределенной с постоянной плот-
ностью по площади кольца Ь —	6 и перейти к пределу

в->0.

226. Круглая упругая плита радиуса а, закрепленная по контуру,
начинает колебаться под действием внезапно приложенной пульси-
рующей нагрузки	равномерно распределенной по площади

плиты. Найти форму поперечных колебаний.

Ответ.

г	8111 а2 шв2 51П“ (Тп) ^1п О')

“	7 /Т^у 1рГ(тя)4(т„) ’

\^/

где /?Дг) = 4(т)Л(ту)

70(т)/0 (т~) — линейная комбинация ци-

линдрических функций, — последовательные положительные корни

уравнения /?'(а) = 0;

где О — цилиндрическая жесткость,

И — толщина, р — плотность материала плиты.

227*. Решить предыдущую задачу в предположении, что коле-
бания вызываются сосредоточенной силой А 8ш со/, приложенной
в центре плиты (колебания мембраны репродуктора).

Ответ.

1,(г	81П а2	5Ш [/о(Тп)-Л(Т„)]/?г„(г)

«<’>	2^7	•~^(7П)Р(ТП)

«	\ а>а2 /

Указание. Рассматривать сосредоточенную нагрузку как рас-
пределенную по площади круга малого радиуса.

§ 2.	Статические задачи механики сплошных сред

228.	Найти прогиб прямоугольной мембраны (—а^х^-\-а,
— Ь ^4- Ь), вызванный нагрузкой, равномерно распределенной
с плотностью д по площади прямоугольника (— с х с, — с/
составляющей часть площади мембраны.
и(х, у)

. 2п + 1

_ 16^ у

те’Г / । (2л 4-I)3 X

п=0

1 — сЬ

2л + 1

2а

сП

с И —~—

2а

ту/

ъЪ

2л+ 1
соз —— кх;

2а

и(х, у)

_\&да2
|_у 1> а 'пРТ

п~0

. 2п + 1 к2л + 1

81П —---ТСС 811-----КС?

2а	2а

(2«+1)3

5ь2,г2д * тс(г,~ 1-У1)
~ЖКГ"
2а

2л + 1

СО8—~---

2а

кх,

где Т — натяжение на единицу длины контура мембраны.

229.	Дать решение задачи о прогибе равномерно нагруженной
прямоугольной мембраны (частный случай предыдущей задачи) и
сопоставить полученный результате ранее найденным (задача 131)*).

Ответ.

и^>	т*Т (2л + I)3

п = 0

2л + 1

. 2п + 1 .

СЬ —— тЬ

2а

2л + 1

СО8 —тг— кх.
2а

230*. Найти статический прогиб прямоугольной мембраны под
действием линейной нагрузки р, равномерно распределенной по оси
симметрии (рис. 48).

*) Для сравнения результатов воспользоваться рядом (16) из справочного
отдела (раздел II).
и(х, у) =

со

. 2п + 1	-1 2п + 1

СП —рг2 тсу соз —  КХ
2а	2а

. 2п + 1 ,	(2п + I)2	’

ей —— кЬ	1 1

2а

Другая форма решения:

и(х у} — ^У

В1 ’ У,~^Т ^й(2л+1)8

П = 0

5Ь 26 к(а	2л+1

---->+1----СО5 ~1б~пу-

сп—— ка

331. Найти прогиб круглой мембраны радиуса а, находящейся
под действием линейной нагрузки /?, равномерно распределенной
по диаметру.

Ответ.

«(о ?)

ра 1	г2	2г2	, г

-~~г 1----»--------г СО8 ф 1п —

2кТ а2 а2 т а

СО8 2лср

причем ряд может быть легко просуммирован.

Указание. Для решения считать сначала, что нагрузка равно-
мерно распределена по площади секторов —8	— $<С

<<р<к6, и впоследствии осуществить предельный переход 8—* 0.

232.	Решить задачу о кручении стержня с сечением в форме
полукруга радиуса а. Вычислить значения касательных напряжений
на поверхности стержня.

Ответ.

— СО8 <Р 1п с1^у) I 8Ш <р,

т |	= 2аЬО

г^=а

где & — угол закручивания на единицу длины, О — модуль сдвига.
Указание. Суммирование ряда, необходимое для представления
решения в замкнутой форме, выполнено в решении задачи 132.

233.	Найти функцию кручения круглого вала радиуса а, ослаб-
ленного радиальной трещиной, идущей от поверхности вала до его
оси. Вычислить жесткость вала на кручение.
Ответ. Функция кручения:
2п + 1

°°	(1.\ 2 __ (IX

, ч 32с2	\«/ и /	. 2л + 1

и(г, <р)— я ^(2п4-1)[16—(2«+1)2] 8Ш 2

п = О

жесткость вала:

512 у	1	те

п ^1(2п + 1)2(2л + 5)[16 — (2л+1)2]	~2

п =0

= 0,878 Са*.

234.	Дать решение задачи о кручении стержня, сечение которого
представляет собой круговой сектор радиуса а с углом при вер-
шине, равным а.

Ответ. Функция кручения:

(О^г^а, О^ср^а).

235.	Решить предыдущую задачу для стержня с сечением в форме
криволинейного четырехугольника (а г Ь, 0 <р а).

Ответ.

и (г, <?) =

со

(2п + 1)[^

а

236.	Упругая прямоугольная плита ^0 а, —

оперта по контуру и нагружена сосредоточенной силой Р, прило-
женной в центре плиты. Найти прогиб вдоль средней линии у = 0.
„I	_ Ра3 V (—0я

|	" 4®31>	(2и + I)3

у==0	п==0

.2л4-1 , 2п +1 ,
8П  !  ПО-------!— ПО

а	а

«2 2л 4” 1 д

сН2 —~— пЬ
2а

. 2л 4-1

81П-----!— 7ГХ,

а

где О — цилиндрическая жесткость плиты.

Указание. Считать нагрузку равномерно распределенной по
площади прямоугольника {—• —	4" е, —и

осуществить затем предельный переход е, 3 — 0.

237.	Дать решение задачи 134, пользуясь методами настоящей
главы.

Ответ*).

со	Г 2 , 2” + 1	2” + 1 * 1

й(0 0)=6-^ у I -	2___я -2а

( ’ } ^,Д(2й + 1)5	2сЬ^+-^

238.	Прямоугольная плита со сторонами а и Ь, края х = 0 и
х~-а которой оперты, а края_у = ±у—закреплены, изгибается
под действием нагрузки р, приложенной вдоль средней линии х = ~.
Найти форму прогиба плиты.

Ответ.

00	. 2п + 1

_ , V"1	81 п-!— пх

п = О

2 л 4“ 1 д । 2 л 4~ 1 д , 2 л 4~ 1 а! и 2 л 4~ 1

—4--------СЙ —~— пЬ сЬ------!— тгу

2а 1 2а	2а \ а

й2л+1 , , 2и4-1 ,
8Й — пЬ 4--!— пЬ

а	а

2п+\	. 2л+1 , . 2п+1

	тсу 8П — 	по 8П	!— теу
а-----------------------2а-а

и 2л + 1 2л + 1 ,
а	а

*) Для приведения решения к форме, указанной в задаче 134, следует
воспользоваться формулой:

2(— 1)л __ бтг5

(2л 4- I)5	1536 ’
«(*> У)

239. Упругая плита прямоуголь-
ной формы, опертая по контуру,
подвергается действию изгибающих
моментов т, равномерно распре-
деленных по двум противополож-
ным кромкам (рис. 49). Найти
прогиб произвольной точки плиты.

Ответ.

4та2
тс3/)

(2лг + 1) тс*
2а

п — 0

(2П± 1)^ 8Ь (2/г+1) кд с(1 (2га+ 1) ку
2а	2а \ а

(2га + I)3

2а

(2« + О V сН (2п+1)кй 5Ь (2га+ 1) ку
а	2а	а

(2п + 1)» сЬ8 —	—

з.п(2п+1)кх
а

240*. Дать решение предыдущей задачи при условии, что кромки
, Ь

у — ± плиты закреплены.

Ответ.

и (х, у)

4та2
тс3/)

тс3х Л __ х \

8с \1 “"7/

8Ь (2га+1) к» (2/1+1) к» сЬ (2га + 1)^1 С11 (2/1+1) ".У
2а ' 2а	2а |	а

[5ьеь±а^+2ц^](2л+1).

(2га + 1)ку (2га + 1) тЛ (2га + 1) ку \

а	2а 5П а \ . (2«+1)кх

+ (2„ +1(.- '•

241*. Круглая плита радиуса а с закрепленным контуром на-
гружена силами, равномерно распределенными по одному из ее
радиусов. Найти прогиб центра плиты.

Ответ.

=-^-

I 64^’

г==0

где р — интенсивность нагрузки.
ТЕОРИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

§ 3.	Нестационарные задачи

242*. Исследовать процесс нагрева пластинки, через грань х = О
которой подается, начиная с момента / = 0, тепловой поток постоян-
ной плотности </, а грань х = а поддерживается при температуре Го.
Найти распределение температуры в любой момент времени, считая,
что в начальный момент она равнялась нулю.

Ответ.

п=0

Т(х, о=т0 + ^(1

2^ _т

2л4- 1
2п 1 \2 соз ——тех

ГъГ *) т 2а
(2л+1)2

Здесь т = —, где к — коэффициент теплопроводности, с — удель-
ная теплоемкость, р — плотность материала пластины.

243.	Решить предыдущую задачу при условии, что грань х = 0
поддерживается при температуре Т = /(т), а грань х~а имеет
температуру, равную нулю. Рассмотреть частный случай /(т) = Дт.
Ответ.

°°	т	/ птс \ 2

Т(х, 0 =	//С5)6” ° <Т

п = 1	О

В частном случае:

Т(х, /) = А

п = 1

. ПИХ

81П----

а

244.	Найти распределение температуры в пластине, грань х=0
которой излучает тепло в окружающую среду по закону Ньютона,
а другая грань х = а поддерживается при температуре Го, равной
начальной температуре пластины.

Ответ.

Т(х, 1)=Т„

ОО

1 -\~кх

1 -\-ка

п = 1

. СО5?о 	81П

81п2т '	а

Ч1

где — последовательные положительные корни уравнения Ц* у =
= — ~ , к — коэффициент теплообмена в законе Ньютона.
245. Через проводник, сечение которого изображено на рис. 50,
пропускается, начиная с момента / = 0, постоянный ток, выделяющий
джоулево тепло с плотностью Найти распределение температуры

в проводнике, считая, что отдача тепла в окружающую среду про-

исходит по закону Ньютона и начальная тем-
пература равна нулю.

Ответ.

Т(х, /) =

2С)а2
к

-I2 -

81п чпе и	х

---——-— ----соя V —

। 51п2т„
2^

где уп— положительные корни уравнения	(у1 <^у2	..).

Указание. Если не выделять предварительно частное решение
неоднородного уравнения, то для приведения решения к форме,
указанной в ответе, следует воспользоваться разложением

оо

1 / I Х2\ I 1 X ’	81П	X ,	ч

— ( 1   -1-—-== > —  —-со8тЛ— (—а<"х<"4-а).
4\	а2)'2аН	/ । .	, 5ш2тя\ 1п а '	\ \ Г/

7^7 Ч + 2Т„ )

246. Найти распределение температуры Т(г, I) в цилиндре ра-
диуса а, температура поверхности которого изменяется по заданному
I	/	к1\

закону 7|	—/(г) ^т = — у. Начальная температура цилиндра

принимается равной нулю. Рассмотреть частные случаи: а) /(т) = Лт;
б) /(?) = А 81ПС0Т.

Ответ.

п = 1

с	I

| /(.$) е “2 (т

о

где — последовательные положительные корни уравнения (у) = 0.
Частные случаи:

а)

Т(г, 1) = А

п = 1

_т«2

1-^ а1у
б)

ОО

Т(г, I) — А / 81П шт -1- 2<оа8 X1 . . Тп	-— X

" ’	1	~	Л (7»)

п = 1

Указание. Воспользоваться формулой (17) (справочный отдел,
раздел II).

247*. В цилиндрическом проводнике вследствие прохождения
постоянного тока происходит, начиная с момента ^ = 0, выделение
джоулева тепла ($. Найти распределение температуры по сечению
проводника в предположении, что теплоотдача с его поверхности
происходит по закону Ньютона, а начальная температура равна нулю.

Ответ.

Т(г, I)

где — положительные корни уравнения /га/0(у) = тЛ (т) (Т1
<СТ2<С---); а — радиус сечения проводника.

248.	Дать решение задачи 150, пользуясь методами настоящей
главы.

Ответ*).

Т(г, О

1— е '1Па2

~~ к 21 7„ Л <7«) 0
п = 1

Л(тп)=о.

249.	Найти распределение температуры в цилиндре радиуса а,
нагревающемся вследствие объемного тепловыделения, считая, что
поток тепла с поверхности имеет заданную плотность д и начальная
температура цилиндра равна нулю.

Ответ.

Т(г, 0 =

\ к ка) ' 4к \

п = I

*) Для приведения решения к форме, указанной в задаче 150, восполь-
зоваться разложением (18) из справочного отдела (раздел II).

5 Н. Лебедев и др.
где — положительные корни уравнения (у) = 0 (0	..);

— плотность тепловыделения.

Указание. Воспользоваться формулой (19) (справочный отдел,
раздел II).

250.	Наружная поверхность цилиндрической трубы (а^г^Ь)
имеет температуру 7"|	^=/(т), внутренняя — температуру, равную

нулю. Найти распределение температуры по сечению трубы, прини-
мая ее начальную температуру за нуль.

Ответ.

1п Г

ИГ, О = -|/(т) +

1п ~

72 Г*	—у2 Т~~5	1

/(*)* Тп “ <&},

о

где (г) = Vо (т)Л ~ Л(Т) ~ линейная комбинация
функций Бесселя первого и второго рода; — корни уравнения
Кт(*) = 0 (г, <Т2 <...).

251.	Найти распределение температуры в цилиндре (О^г^а,
0^г^/) при условии, что его начальная температура равна нулю
и, начиная с момента / = 0, основание цилиндра 2 — 1 поддержи-
вается при постоянной температуре Го, а остальная часть поверх-
ности — при нулевой температуре.

Ответ.

ОО

СО ОО

т = 1 п — 1

(~1)т« -	4У1 &

(гп-^У +

где уп — последовательные положительные корни уравнения Уо(у) = О;
/0(х), Л(х), /о М — функции Бесселя.

Указание. Для приведения граничных условий к однородным
положить Т = То ~ и.
262.	Решить предыдущую задачу при условии, что поверхность
.цилиндра имеет температуру, равную нулю, а нагрев цилиндра осуще-
ствляется путем объемного тепловыделения с заданной плотностью

Ответ.

7 (г, г,/)

5,... п=1 и

81П-7у-
т

где — положительные корни уравнения /о(у) = О.

253.	Найти распределение температуры в шаре радиуса а, внутри
которого, начиная с момента ^ = 0, происходит выделение тепла
с плотностью (?, а поверхность поддерживается при постоянной
температуре То. Начальная температура шара равна нулю.

Ответ.

Т{г, +	+

' кг п [ 0 ‘ кп2к2]	а

и= 1

254.	Решить предыдущую задачу при граничных условиях, соот-
ветствующих: а) теплоотдаче с поверхности потоком постоянной
плотности б) излучению тепла в окружающую среду по закону
Ньютона.

Ответ.

СО	~у2 т

Т(г А №	%д\	V 1—е . г

а)	Т(г,	> ———

к к ка] кг ~ 51П у	а

где тл — последовательные положительные корни уравнения

ОО

б)	Т(г, = т ' V - , СО5.Тп9 . (1 — е~г" °3) 81П 7„ -,
кг(1~/га) / | з 81п2г„\ \	] 1п а '

7 и 1------

П = 1	к 2уп /

где тЛ — положительные корни уравнения

<Т1<тг2<...);

й — коэффициент теплообмена.

255. Диффундирующее вещество поступает в тонкую трубку дли-
ны I с непроницаемыми стенками. Найти распределение концентрации

б*
в трубке, считая, что плотность потока вещества, вводимого через
конец х = 0, есть заданная функция времени ^(/), а другой конец
трубки примыкает к сосуду, в котором поддерживается заданная
концентрация Сг Начальная концентрация вещества в трубке равна
нулю.

Ответ.

оо

С(х, Ч=с,-2 V	_

п = 0

1 Г	. 2л + 1

---I \ е 412	ц(х)с1х | соз—тгх,

о

где О — коэффициент диффузии.

§ 4.	Стационарные задачи

256.	Найти стационарное распределение температуры в брусе
прямоугольного сечения, считая распределение температуры по его
граням известным (рис. 51).

Т=Ъ(У>

Ответ.

п = 1	О

+ 8Ь^_^у%Ю8,-п^^ +

+ У [/о 01) - ( - 1 ГГа (Г))] оп (71, у)

где



8Ь^8Ь^Е(^

а	а

8ь^у8ь^(»-5)
а	а

Ч^У>
257.	Рассмотреть частный случай предыдущей задачи, соответ-
ствующий граничным условиям: /о(у)=О, АСу)=Ар <р0 (х) = Тй,
?»(*)=

Ответ.

т(х, у)^Тй

5Ь/Мб-зО + (_1)П8Ь^.
а 1 х	а

. пъЬ
п 8П---

а

. тех

51П ---

а

Указание. Воспользоваться формулой (3) (справочный отдел,
раздел II).

258-	Поток тепла втекает через две противоположные грани
бруса прямоугольного сечения и вытекает через две другие (рис. 52).
Найти стационарное распределение темпе-
ратуры в брусе, предполагая, что втекаю-
щий и вытекающий потоки распределены
по граням с равномерной плотностью.

Ответ.

Т(х, У)=	(Ь — у) — х{а — х)],

где к — коэффициент теплопроводности.

Указание. Для получения замкнутой

формы решения воспользоваться формулой (9) (справочный отдел,
раздел II).

259.	Решить предыдущую задачу при произвольном распределе-
нии плотности потока на границе

чЛ о=АО)> =ЛСу). п=?о(*),	=?ь(х),

где функции, входящие в правые части, удовлетворяют условию раз-
решимости задачи Неймана:
а	Ь

[?»(-^) — <?о (•*)]	+ § 1Л О)—А О)] аУ = о.

О

Ответ.

У	а

Т(х, -У) =	(Ч) - А - ак У (’> +

О	о

+ а 2 (р. (=) - ? а - «/ т. й - ? л -

л = 1	О	О

ь	ппх

о	СОЗ --

— С [(— 1 У1/а (^) — А <т|)1 °П (т1> -У)	+ С0П81’

о	П8Й---
где

у) =

. пкт. , лтс (Ъ — у)
ей —’ ей —----------— ,

а	а

а	а

260. Две грани прямоугольного бруса покрыты тепловой изоля-
цией, две другие поддерживаются при температуре, равной нулю

Рис. 54.

Рис. 53.

(рис. 53). Найти стационарное распределение температуры при усло-
вии, что в брусе выделяется тепло с плотностью ф.

Ответ.

Т(х, у)

(-1)" ,
(2п+1)3

, 2л+ 1

. 2п + 1 .
ей ——кЬ

2а

2л + 1

СО8 —тг— КХ .

2а

261*. В брусе (рис. 54) происходит выделение тепла с плот-
ностью 9. Найти стационарное распределение температуры в пред-
положении, что отвод тепла производится потоком постоянной плот-
ности через участок | х | < с верхней грани, а остальная часть поверх-
ности покрыта тепловой изоляцией.

Ответ.



сН^
а

. пкЬ

8Й--

а

пъх
а

4~ СОП81.

Другая форма решения, удобная при	будет:

, 2аЪ*

' тс2

Ь . пъх птх

---------------СП—г- СО8—,
, . лтсл--------Ь Ь

п ЬЙ —7-

Ц- СОП81, | X | с\
Т(х, у)=%

2аЬ2
п2с

I \\П

(— 1)” зЬ

2 и П™

П? зЪ -г-

О

СОЗ —

ь

4~ сопз1, | х | с,

сЬ ятс (о — | х I)

где к — коэффициент теплопроводности.

262.	Найти стационарное распределение температуры в провод-
нике прямоугольного сечения, нагреваемом постоянным током, выде-
ляющим тепло 9 в единице объема, считая, что теплоотдача с поверх-
ности проводника происходит по закону Ньютона (Тсреды = 0).

Ответ.

со

Т(х, у)^О^у	.... X

к 7" (2Тл +5“12ь)

ак

.	сН’-^

1 а

Ш — Н-------сП

<* Чп а

соз ,

где — положительные корни

уравнения

(Т1 < ь < •••);

, ак

‘ет= —

к — коэффициент теплообмена.

263.	Найти стационарное распределение температуры внутри
прямоугольного параллелепипеда

грани х = 0, у —О, 2' = О которого имеют температуру, равную
нулю, а распределение температуры по остальным граням дается
уравнениями:

Т\х=а=/а(У> ?)> Т\у-Ь=/ь(Х> ?)> ’Г\г = с-=/с(.х>У)-

Ответ.

со со	а Ъ

Т(х, у, г) = 2 2 { У IЛ (?’Г,) 5‘П 8‘П ?	-

Ш== 1 п -= 1	0 0

Ъ

6

, , лхпп^ ?	Рх •	• ткХ • яку

+ (— 1) у] /ь^> С)81П —81П — 81П-^,
6
где

с	1	( 8Ь7тлС8Ьтт„(с — г),

'тп г> - вП 1тпс Х 1 5ц 1тп2 8ц Тил (С _ С),

264. Поток тепла С?

Рис. 55.

втекает через плоскую часть поверхности
бруса полукруглого сечения и вытекает
через остальную часть его поверхности
(рис. 55).

Найти стационарное распределение
температуры по сечению бруса, счи-
тая, что втекающий и вытекающий
потоки распределены с постоянными плот-
ностями.

Ответ.

Т{г, =

4 ' ТУ пка I

п = 1

СО8 2л<р > 4" СОП81,

С^г,

где к — коэффициент теплопроводности.

265.	Найти распределение температуры в брусе, сечение кото-
рого есть криволинейный прямоугольник (а г Ь, 0 ср а), при
следующем распределении температуры по контуру сечения:

Т\г—а— Т\Г^Ь—Т|(р=хо — 0, 7п|ср = а—Тй.

Ответ.

Т(г,

(_1)Я8Ь”.*(а-у)+5ь^

81П ЛК
Другая форма решения:

т (Г, <р)=Т0

266.	Найти стационарное распределение температуры Т(г, г)
в цилиндре	при произвольном осесимметрии-

ном распределении температуры по его поверхности:

7'|г=о~/о(<)> 7’|гв/=Л(г), 7'|г=а = т(г).

Ответ.

со	I

Т{г- ” ”Е ттй!''" <' ,Ь+
п = 1	° \ / /	О

+ 7 У [(- 1)" Л (Р) - /о (Р)] Р °п (Г, р) 4/р } 81П	,

О

Оп(г, Р)={

т. 1ппа\ т (пнгХ г /ппа\	[ппгХ] г МтсрХ _

(—) 4 (—) - Ц—)	)] 4(-т). р =<г,

где /0(х) и — цилиндрические функции мнимого аргумента.
Другая форма решения:

1

П = 1 о

а

{5Ь ?<р> р4 (т» т) <*р +

О

О„(г, С)

+ 8й Тя(/Д--1 У /о (р) Р4 (тп *) 4 +
о

I

+ а/, (т„) У у (С) Оп (г, С) } 70(^),
О

8Й уп — 8Й 7Л---- , С 2Г,

•" а *п а

.	2 .	/ — С
где ул — положительные корни уравнения /о(у) = О, расположенные
в порядке возрастания.

267.	Поток тепла втекает через торцы цилиндра

(О г а, 0 г /)

и вытекает через его боковую поверхность. Найти распределение
температуры, считая, что втекающий и вытекающий потоки имеют
постоянные плотности.

Ответ.

О'/	\	0'1^ Х Г31 I 4-

г) 2ка2Л |/2	/ —	+ СОП84,

где к — коэффициент теплопроводности.

268.	Найти распределение температуры в цилиндре

(О^г^а, —г

внутри которого происходит тепловыделение, а поверхность излучает
тепло в окружающую среду по закону Ньютона.

Ответ.

ОО

п = 1

где — положительные корни уравнения

(Т1<Тз<

к — коэффициент теплообмена, <2 — плотность объемного тепловыде-
ления, /0(х) и Д (х) — функции Бесселя мнимого аргумента.

Другая форма решения:
где — положительные корни уравнения

Л(т)==уЛ(1)«

расположенные в порядке возрастания.

269*. Через цилиндрический образец (рис. 56)
пропущена тонкая проволока, нагреваемая постоянным
током, выделяющим тепло на единицу длины. Найти
распределение температуры в образце, считая, что
боковая поверхность цилиндра поддерживается при
температуре нуль, а торцы излучают тепло в окру-
жающую среду по закону Ньютона.

Ответ.



Рис. 56.

Г(г, г) =

1

-ДЛЧТп)

, 1 г
ак ей —
" а

1п 5,1	+ ак ей ±

где — положительные корни уравнения

4(т)=о

(Т1	• • •)•

Указание. Рассматривать источник как распределенный по
цилиндру малого радиуса е и осуществить предельный переход е _> 0.

270.	Найти стационарное распределение температуры Г(г, 6)
в шаре радиуса а в предположении, что внутри шара происходит
объемное тепловыделение с плотностью а на поверхности выпол-
няется граничное условие:

^-4-Л7’|г_о=/(0),

где /(9) — заданная функция.
Ответ.

7-(Г, 0)=	- г>) +	+ 24 у /(в) 51„ 8 +

о

оо	~
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

271-	Рассчитать плоское электростатическое поле для конструк-
ций электродов, изображенных на рис. 57 (а) и (б).

Ответ. Распределение потенциала электростатического поля
дается формулами:

.	, ч 1^2 V, . ч

а) н(х, у) = *-^- (х4-у) —

-V 2{(~1)И5Ьй1а-/2(^-х)] +
п = 1

4-811^ [а+ /2(у~ х)]|

8ш^[а — V"2 О 4--*)]

п птс

272*. Найти распределение потенциала электростатического поля
в электроннооптическом устройстве, представленном на рис. 58.

Рис. 57.

Ответ.

Получить выражение для распре-
деления потенциала в плоскости
симметрии.





и^о

Рис. 58.

и

2п 4- 1

(-)п-у-4-™.ь 2л-}-1 1

2п4-1

х<а

л = 0

" 1 =

>=о

(-1Г 2и+1

2/г + I 2Ь

2л 4-1
26

п-^0

тш е
273.	Найти распределение потенциала и = и (х, у) внутри коробки
прямоугольного сечения (0	О^у^Ь) с заземленными

стенками, созданное заряженной нитью, расположенной по прямой
х = х0, у=Уг

Ответ.

8Я

и(х, У) =

8Ч

ь

, пка

П 8П —т—

Ь

ПК {а — х0) пкуь
Ь

«1П ПТС^°
ь ь и
---------------- 811
, пка
п 811——
о

811—— 8111-^-
Ь &



пк (а — х) . пку
Ъ

-V Х^9

ь

где д — заряд нити на единицу длины.

Указание. Интегрировать уравнение Пуассона, считая заряд
равномерно распределенным по площади прямоугольника

(*0 — еОО0+6> лН«л-Н).

и в дальнейшем осуществить предельный переход при е —- 0 и 8 —* 0.

274.	Найти распределение электростатического поля, созданного
зарядом 7, помещенным в точке (х0, у0, г0) внутри прямоугольного
параллелепипеда	с заземленными

стенками.

Ответ.

т = 1 п — 1

ткхъ . пк2ъ . ткх . пкг

------- 81П ---- 81П----8111---,
а с ас*

где

Отп(У> З'о) =

Уь<У>

Уй>У>

«Ь 7т».Уо8117тп(г> —у)

^ПтпУ^Ттп (^~ Л)
«Ь 1тпЬ

Указание. При решении считать сначала, что заряд равномерно
распределен по малому объему, и затем перейти к пределу.

275.	Внутри заземленной металлической коробки, сечение которой
представляет собой криволинейный прямоугольник

(а г Ь\ 0 ср а),
помещена заряженная нить с зарядом д на единицу длины. Определить
распределение потенциала внутри коробки.

Ответ.

где (г0, <?0) — координаты нити.



276.	Рассмотреть частные случаи предыдущей задачи:

а)	а = О, Ь — со (заряженная нить внутри двугранного угла);

б)	а —О, Ь = оо\ а = 2к (нить вблизи края проводящей полу-
плоскости);

в)	Ь = оо; а = т:;	= у (нить над плоскостью с выступом

в форме полуцилиндра).

Ответ.

а)	и (г, у) — д 1п

б)

и (г, <р) = ^1п

в)

и (г, <р) = ^1п

г



1 + 2 -- 81П ? +
Г \г0)

1— 2— 8Н1СР +

о2

1 — 2 — 81П у
Гог

а2
1+2^-8Ш9
277*. Найти электростатическое поле точечного заряда поме-
щенного внутри заземленного цилиндрического экрана (О^г^а,
в точке г = 0, х~с.

Ответ. Потенциал электростатического поля

где — положительные корни уравнения 70(у) = о	<С ...).

Другая форма решения:

и (г, г)

278.	Найти электростатическое поле внутри цилиндра (О^г^а,
О х /), торцы и боковая поверхность которого имеют соответ-
ственно потенциалы 1/0, и V.

Ответ. Потенциал электростатического поля

„(г. Г. (! - ±) + V, I +12 П(--). И,-V. х

п = 1

Другая форма решения:

и (г, г)= И4- 2( V, — V)

811 Ь?
а

а

•	1 Чл/

4-2(14- Ю

Тп У — г)
а
8Н^
а

(Тп)

где — последовательные положительные корни уравнения /0 (у) —0;
Л 00»	00, СО — цилиндрические функции.
279.	Найти распределение электростатического потенциала на
оси полого цилиндра (О^г^а, О^г^/), боковая поверхность
которого поддерживается при заданном распределении потенциала
п|г=а=/(2'), а торцы имеют потенциалы 1/о = О и

Ответ.

оо	I	.

«I Кг.гуГУ/ (-1)" , С	.л 8,ПТ

«Ь=— + Т 2[т- — + ]/(С)8Ш-7-^]—
п =>= 1	О	'0 I “У )

где 4(х) — функция Бесселя мнимого аргумента.

280.	Рассмотреть частные случаи предыдущей задачи, соответ-
ствующие следующим распределениям потенциала по боковой по-
верхности цилиндра:

а) /(г)—Уа,

б)/(г)=Ук при	(А = 1, 2..../V) (ку-

сочно-постоянное распределение потенциала)*),

(задача о распределении электростатического поля в пространстве
между двумя полыми проводящими полуцилиндрами, находящимися
при различных потенциалах и разделенными исчезающе малым
зазором).

Ответ.

а)

I У2 2 VI Г	1 8'П ~Т~

«	=	+- У (—	^о)4- Уа1—7-Ц-;

|г=0 I 1 тс	74 а' 1 а1 г (ппаХ ’

л/01—

б)
оо	ЛГ

*) Такое распределение осуществляется в электронике при помощи по-
тенциометра.
281.	Найти закон, по которому следует задать распределение
потенциала по боковой поверхности цилиндра в задаче 279, для
того чтобы получить на его оси распределение

где ап — произвольные заданные числа.

Ответ.

I у? Г । V т (пка\ . птся!
и |г=а=у |т+2\—)81п—] •

п — 1

282*. Определить поле на оси электроннооптической линзы ♦),
состоящей из двух полуцилиндров, находящихся при потенциалах

Рис. 59.

гЬ V (рис. 59), считая, что распределение потенциала в зазоре может
быть приближенно представлено формулой

Ответ.

СО5 —г—

= У 81П 26

283.	Получить распределение потенциала в электроннооптиче-
ском устройстве, изображенном на рис. 60.

I

я



Рис. 60.

*) Под электроннооптическими устройствами (линзами и т. д.) пони-
маются системы проводников при заданных потенциалах, создающие электро-
статические поля, предназначенные служить для направления пучков заря-
женных частиц.
Ответ.

н(г, г) = V 1-2

_ 2

е Тл ул

7 «Л (Тп)

и(г, г)=2У ей уп

п = 1

« ТлЛ (ъ) ’

где ул — положительные корни уравнения

Л(т) = о

(Т1 < Та < •• •)•

Указание. Воспользоваться разложением (17) (справочный
отдел, раздел II).

284.	Найти распределение потенциала в электроннооптическом
устройстве, состоящем из двух полуцилиндров с крышками, нахо-
дящихся при потенциалах и = 0 и и = V и разделенных исчезающе
малым зазором (рис. 61).

Ответ.

т=\ л = 1

Зт (Чтп) ^т\Чтп а
1тп^т-\ 1 (Ттл)

.. 2г — /
сЬ '1тп 2а

7тп

где 1тп — положительные корни уравнения 7УП(у)=0; 7т(х) —функ-
ция Бесселя /п-го порядка, а — радиус, I — высота полуцилиндров.

Рис. 61.

285. Найти распределение

постоянного тока в тонкой проводя-

щей пластине при условии, что подвод и отвод тока осуществляются
при помощи электродов с точечными контактами, приложенных в точ-
ках (±г, 0) (рис. 62)*).

Ответ. Потенциал токов, текущих в пластине:

. (2п + 0

81П 2а	(2м 4- 1) к (Ь - |у |)

, 1Ч . (2м+1)^ сп	Ча	24

(2м + 1) §Ъ у

п =0
.	(2м +1) тех .	,

X 81П —---Й------Н СОП81,

2а	1

где к — толщина, а — проводимость пластины, 7—сила тока.

Указание. При решении задачи считать ток распределенным
по площади малых прямоугольников и в дальнейшем осуществить
предельный переход.

286. Дать решение задачи о распределении постоянного тока в тон-

ком проводящем
соединенными в
Ответ.

н(г, <?) =

диске радиуса а с подводящими электродами, при-
точках (г — Ь, ср = О) и (г — Ь, 9 = к), Ь<^а.

т—т. 1п
4тсам

г	г2  1	2 ь соз ср +		1	I I  1 — 2 -2 соз ср +1	(й	2
1 + 2у соз ср+[1		, , п Ьг	.  1 + 2 со8 ? +	(?)	2

в замкнутой форме

представления решения

Указание. Для

воспользоваться разложением

1).

цилиндрической обо-

лочке (рис. 63), если подвод и отвод тока осуществляются через элек-

— у 1п(1 — 2р С08Ч> + р2)= У —- СОЗ Л<р
п=1

287. Найти распределение тока в тонкой

*) Дифференциальное уравнение для распределения постоянного тока
в тонких проводящих поверхностях приведено в задаче 21.
288. Дать решение задачи 287 для предельного случая цилиндра
бесконечной длины.

Ответ.



СП-------81П ф

а

ей — + 81П ф

289*. Тонкая проводящая оболочка, имеющая форму полусферы,
лежит на плоском основании, изготовленном из хорошего провод-
ника. Найти распределение тока в оболочке, считая, что подвод тока

осуществляется через контакт, присоединенный к полусфере в точке
(г = а, 0 = 6О, 9 — 0), а отвод тока происходит через плоское осно-

вание (рис. 64).
Ответ.

п(6, 9)

7	1—212 у	+

_ 2(8 0“ 18 6 со6 ? + Ц

Указание. Ввести ~ в качестве новой
независимой переменной.

290.	Внутри бесконечного плоского слоя с

Рис. 65. проводимостью о помещен линейный источник,

с единицы длины которого поступает в про-
водник ток 3 (рис. 65). Найти распределение тока в слое, считая,
что проводник окружен непроводящей средой.

Ответ. Потенциал токового поля

и(х> у) — — -т— 1п { сЬ — со8—

4	7 41га	а	а 4

^СЬ^_СО8^=^]}+

+ СОП81.
291.	Найти напряжение в линии без потерь длины /, конец
х = 0 которой присоединяется в момент 1 — 0 к источнику э. д. с.
вида Ее~а\ а конец х = / разомкнут. В начальный момент времени
значения тока и напряжения в линии равнялись нулю.

Ответ.

,	2Еъ

и(х, /) =

. 2п + 1 2и + 1 ку (

1 _1_ № +.!
2/

—	2п -|- 1

е 1 — соз —9/~

тсгЛ2
а /

. , . 2п + 1

Х8*п-^-

кх,

V =	— скорость распространения волн в

индукция и емкость линии на единицу длины.

линии; А, С—само-

292.	Линия длины I с параметрами А, С, К присоединена на
конце х = 0 к источнику постоянной э. д. с. Е, а на другом конце
замкнута на сопротивление /?0.

Найти значение напряжения в линии после внезапного отключе-
ния нагрузки /?0.

Ответ.

ОО

,	с. 8Е V Г 2и +1	,

и(х,	[СО8 ^Г-

п =0

п . 2п 1

Ш . 2п+\	. Н-» 6111—2Г«

~ 1Оя>п (2п + 1) 81П	21 -I (2п + I)2

/?2С/2

Яо
1/Г

293.	Определить установившиеся электромагнитные колебания
в волноводе прямоугольного сечения с идеально проводящими стен-
ками, считая, что источником колебаний является бесконечно длин-
ный провод, параллельный стенкам волновода и несущий ток
/= /0 81П О)/.
Ответ. Комплексная амплитуда вектора-потенциала электро-
магнитного поля:

(т,Г~ к>у 8'п

А = Аг(х, =

ч . П~Х
У)81П-----.

7 а 9

0 х а, (х0, Уъ) ~ координата источника, к — у — волновое
число.

Указание. Интегрировать неоднородное волновое уравнение
для А, считая ток У равномерно распределенным по площади прямо-
угольника, размеры которого в дальнейшем
стремить к нулю.

о

Ь-

294.	Найти электромагнитное поле бес-
12? конечного линейного тока У=У081пш/, поме-
щенного между двумя параллельными иде-
ально проводящими плоскостями (рис. 66).

Ответ. Вектор-потенциал электромагнит-
ного поля:

Рис. 66.

Ах —	=

295.	Найти установившиеся электромагнитные колебания в вол-
новоде секториального сечения (О^г^а, 0^Ф<са), вызванные
линейньш источником тока У = У081по)/, расположенным вдоль пря-
мой (г = г0, <р = <р0)-
Ответ. Вектор-потенциал электромагнитного поля

А = I [ Лое'ш<].

Здесь

ОО

2 р/«2)(Аа)//„'>( Аг0) - М2) (Аг0) /4” (Аа) ] X
п = 1

А (г, ?) =

•^П (кг)
Зп (ка)

81П----- 81П ----

Го,

ОО

2 [Н™	(^) — ’ (Аг)	(М] X

Н=1

а

а

Г

п (к?о)
(ка)

. шсср0 . птсср

ЛИ —— 81П —- .

а а *

Го,

где к — ™ —волновое число; 7л(х), Н'п (х), Н„\х)— цилиндри-

ческие функции.

296*. Исследовать электромагнитные колебания в цилиндриче-
ском резонаторе (О^г^а, —I	/), возбужденные дипо-

лем с моментом Р, помещенным в начале координат и направлен-
ным по оси г.

Ответ. Комплексная амплитуда г-й компоненты вектор-потен-
циала дается разложением в ряд Фурье

ОО

л/ ч гсРГ / \ । п V / \	1

И(г, ^) = -^-|а0(/-) + 2	«п(г)со8—

П = 1

где коэффициенты ап имеют значения:

14(%а) *о (а„г) — Ко (а-па} 4 (V)], ап =	А3 ,

/0(г), /Го (г)—цилиндрические функции,
к — волновое число.

297. Определить электромагнитное
поле в бесконечном цилиндрическом
волноводе с идеально проводящими стен-
ками, считая, что источником колебаний
является однослойная катушка задан-
ных раамеров (рис. 67) с равномерной
плотностью намотки. Сила тока в катушке
равна 781 поз/.

г
Ответ. Комплексные амплитуды составляющих электромагнит-
ного поля будут
= =

где аЛ = у — к* , уп — положительные корни уравнения ^(7) = О
(Т1<СТа<С •••); Л(х), Л (х) ~ функции Бесселя, к — волновое
число, с — скорость света, /V — число витков в катушке.

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ V

Смирнов В. И. [ео], Гринберг Г. А. [28“30], Левин В. И. и
Гросберг Ю. И. [64], Тихонов А. Н. и Самарский А. А. [108].
ГЛАВА VI

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ С НЕПРЕРЫВНЫМ
СПЕКТРОМ. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В тех случаях, когда применение метода Фурье приводит к со-
вокупности частных решений, непрерывно зависящих от некоторого
параметра, изменяющегося в заданном промежутке, рассматриваемый
вопрос относится к классу задач математической физики с непре-
рывным спектром. Особенность данного случая, который встречается,
как правило, при рассмотрении задач для бесконечных областей,
заключается в том, что искомое решение строится из найденных
частных решений путем интегрирования по параметру, т. е. пред-
ставляется в форме разложения в интеграл по собственным функциям.
Теория подобных интегральных разложений, заменяющих в слу-
чае задач с непрерывным спектром аппарат теории разложений функ-
ций в ряды по ортогональным функциям, получила за последнее
время значительное развитие в ряде работ*) и находит все боль-
шее применение в приложениях к задачам математической физики.

К числу наиболее простых и важных интегральных разложений,
встречающихся в математической физике, относятся классическое
разложение функции, заданной в промежутке (—сю, -|-сю), в инте-
грал Фурье и его различные модификации [разложение функции,
заданной в промежутке (0, оо), в синус- и косинус-интеграл Фурье
и другие разложения по тригонометрическим функциям], разложение
функции, определенной на промежутке (0, сю), в интеграл Ханкеля
по цилиндрическим функциям и некоторые другие разложения.

Для решения рассматриваемого класса задач математической
физики, наряду с описанным методом, во многих случаях может
быть с успехом использован метод интегральных преобразований.
Под интегральным преобразованием функции /(х) понимается зна-
чение определенного интеграла, взятого по заданному промежутку**)

*) См., например, [65~67’ юв-107, 2. оо. т у], а также более раннюю работу
Вейля [17].

**) В задачах математической физики этот промежуток совпадает с интер-
валом изменения той переменной, по функциям которой ведется разложение.
от произведения /(х) на ядро преобразования, представляющее собой
функцию переменной х и некоторого параметра, который может
принимать произвольные значения в заданной вещественной или
комплексной области.

Интегральные преобразования, встречающиеся в математической
физике, могут быть условно разделены на „вещественные" и „ком-
плексные", в зависимости от значений, принимаемых параметром
преобразования. К группе вещественных преобразований, общий вид
которых может быть представлен в форме

/О) = У/(-*Э ЛЧ-*, *)4х
а

оо)

(I)

(а и с — заданные числа, К—ядро преобразования), относятся
например, следующие преобразования:

1.	Преобразование Фурье

К(х, т) =	~ - е1тх, а = — оо, с — — оо.

]/2тс

2.	Косинус- и синус-преобразования Фурье

К(х, г) = 1/1 С05 тх, а = 0, с=0.

4,7 Г тс 81П т X ’	’

3.	Преобразование Ханкеля

Л’(х, т) = хЛ>(тл;), а = 0, с —О,

/Дх)— функция Бесселя, — ~.

4.	Преобразование

К(х, т) = Л}т(х) или К(х, т)

а — О,

6 = 0, *)

V*

где АГДх)— цилиндрическая функция Макдональда.

5.	Преобразование Мелера — Фока
/<(х, т) = Р (х), а=1, с = 0,

-4+*

где Р^ (х) — сферическая функция Лежандра.

♦) Вторая форма преобразования приводит к более симметричной фор-
муле обращения, см. § 5.
Типичными представителями другой группы преобразований, ко-
торые могут быть представлены в виде

ОО

7(Р) = §/(х)К(х, р)с1х	(2)

а

(а — заданное число, р = а + /т — параметр, изменяющийся в неко-
торой области О плоскости комплексного переменного, К—ядро
преобразования), являются:

6.	Преобразование Лапласа

ЛДх, р) = е~рх, а — О, О — полуплоскость, лежащая правее не-
которой прямой 0 = а1} параллельной мнимой оси.

7.	Преобразование Меллина

К(х, р) = хр~1, а = 0, О — полоса, заключенная между парал-
лельными прямыми □ = ©! и а = а2.

При условии, что функция /(х) принадлежит к некоторому функ-
циональному классу, определенному для каждого типа преобразо-
вания, значение этой функции может быть, в свою очередь, выра-
жено через ее интегральное преобразование при помощи формулы
обращения надлежащего вида. Для преобразований типа (1) соот-
ветствующая формула обращения имеет вид

со

/(-*)= ]* 7{^М{х,	(3)

С

где М (х, т) — надлежаще выбранная функция, определенная в обла-
сти (а<^х <^ое, с=Ст<^оо) и называемая ядром обратного пре-
образования.

В частности, для упомянутых выше преобразований 1—5 ядром
обратного преобразования будут функции:

1)	преобразование Фурье

М(х, т) =	*. е~‘тх-.

2)	косинус- и синус-преобразования Фурье

3)	преобразование Ханкеля

/И(х, т)=-т/Дтх);

Ч 2Т8Й7ГТ /<7т(х)	. . , X 2т 7ГТ (х)

4)	М(х, х) = —---------> или М(х, г) = —^— •

V X
5)	преобразование Мелера — Фока

2И(х, т) = т1ИкгР (х).

~2 + ‘Х

Формулы обращения для группы преобразований (2) могут быть
представлены в виде

§7(р)М(х> р^аР>	(4)

ь

где М (х, р} — ядро обратного преобразования, определенное для
произвольных х внутри промежутка (а, сю) и р, принадлежащих
области /?, Ь — надлежаще выбранный путь интегрирования, прохо-
дящий в области О.

Примерами формулы этого типа могут служить формулы, даю-
щие обращение преобразований Лапласа и Меллина, для которых
ядро М (х, р ) равно соответственно ерх и х~р, а путь интегриро-
вания Ь есть в обоих случаях бесконечная прямая, параллельная
мнимой оси, проходящая в области О.

Сущность метода интегральных преобразований состоит в том,
что, вместо непосредственного определения функции и, удовлетво-
ряющей дифференциальному уравнению в частных производных,
ищется сперва ее интегральное преобразование определенного типа.

Для некоторого класса задач математической физики оказывается
возможным выбрать ядро К таким образом, что, после выполнения
рассматриваемого преобразования над исходным уравнением, послед-
нее перейдет в более простое уравнение для и с числом независи-
мых переменных, на единицу меньшим. Если искомая функция под-
чинена некоторым дополнительным условиям (за исключением усло-
вий, относящихся к поведению функции при х—+а и х->оо, кото-
рые принимаются во внимание уже при преобразовании уравнения),
то они таким же образом переводятся в соответствующие условия
для ее интегрального преобразования. В случае, если оказывается
возможным определить и из полученных таким образом уравнений,
решение задачи приводится к определению функции по ее инте-
гральному преобразованию при помощи соответствующей формулы
обращения.

Достоинствами метода интегральных преобразований являются
возможность применения метода к однородным и неоднородным
задачам, упрощение выкладок и разделение принципиальной и чисто
вычислительной части решения, а также возможность построения
операционного исчисления для данного ядра путем составления таб-
лиц прямых и обратных преобразований различных часто встреча-
ющихся в приложениях функций и т. д.

В математической литературе наиболее подробно освещен вопрос
о применении к задачам математической физики преобразований
Фурье и Лапласа. За последнее время появился ряд работ, посвя-
щенных приложениям некоторых других интегральных преобразо-
ваний § * *).

Настоящая глава содержит задачи, разрешимые методом Фурье
путем разложения искомого решения в интегралы определенного
вида или с помощью применения соответствующих интегральных
преобразований.

В каждом параграфе объединены задачи, относящиеся к различ-
ным областям физики, решения которых могут быть получены при
помощи интегрального разложения определенного типа или опреде-
ленного интегрального преобразования **).

Глава состоит из пяти параграфов, первый из которых посвящен
интегралу Фурье и преобразованию Фурье, второй — разложению
Ханкеля и связанному с ним интегральному преобразованию, третий
и четвертый — содержат задачи на преобразования Лапласа и Мел-
лина, пятый — включает некоторое количество задач на интеграль-
ные разложения, связанные с преобразованием типа 4.

Часть задач, относящаяся к некоторым другим интегральным
преобразованиям, помещена в главе VII, посвященной применению
метода криволинейных координат.

Наряду с простыми задачами, настоящая глава включает ряд труд-
ных задач, некоторые из которых приведены с решениями.

§ I. Интеграл Фурье и его приложения

Пусть /(х) — произвольная функция, определенная на интервале
(—оо, 4-со) и удовлетворяющая условиям:

1°. /(х) — кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию
на любом конечном промежутке (а, Ь)\

со

2°. интеграл § |/(х)|</х имеет конечное значение.

— оо

При этих условиях функция /(х) может быть представлена в
виде разложения в интеграл Фурье

/(х) = 4 /	(-со

(1)

*) См., например, [28’ 109, ®2, 48, б8, 92-®3’ 124].

♦*) Так как каждое интегральное разложение может быть представлено
в виде пары соответствующих формул обращения, оба метода решения
тесно связаны друг с другом, и применение их целесообразно рассматри-
вать одновременно. Поэтому, например, задачи, относящиеся к разложению
в интеграл Фурье и к преобразованию Фурье, помещены в одном пара-
графе, и т. д.
причем в точке разрыва х — с левая часть формулы должна быть
заменена полусуммой ~ [/ (с — 0)	/(с	0)] *).

Если определить преобразование Фурье от функции /(х) при
помощи формулы

ОО

7(М = у /(х)е^Лх (- оо<Х <оо), (2)

то, на основании разложения (1), обращение рассматриваемого пре-
образования для данного класса функций дается выражением

оо

= Г	(—со<х<оо). (3)

— оо

Интеграл Фурье и формулы обращения (2) — (3) играют важную
роль при решении широкого класса задач математической физики,
к которым относятся, например, краевые задачи для уравнения Лап-
ласа и Гельмгольца для области, имеющей вид бесконечной полосы,
бесконечного цилиндра и т. д.

Вообще, применение интеграла и преобразования Фурье целесо-
образно в задачах, которые приводятся к интегрированию уравне-
ний вида

(&11

+	Ь---)	(— оо<х<оо),

где Ь (а) — линейный дифференциальный оператор, не содержащий
переменной х, /(х, у,...) — заданная функция.

Наряду с упомянутыми выше формулами, в математической фи-
зике находят большое применение интегральные разложения в синус-
и косинус-интеграл Фурье:

со	оо

| 81пХХ(Ду /(Е)81пХ^б/Е	(0<^х<^оо),	(4)

6	о

оо	оо

| у созХхб/Х /($)со8к$</$	(0<^х<^се),	(5)

о	б

*) См., например, [90], т. И. Отметим, что условие Г будет выполнено,
если /(х) кусочно-гладкая на (а,&) или удовлетворяет на рассматриваемом
промежутке условиям Дирихле. По поводу других условий, достаточных для
справедливости теоремы (1), см., например, [1ое], гл. I.

Заметим еще, что формула (1) может быть записана в вещественной
форме:

оо	со	оо

/(%)=-!-	|^СО8 >Х /(5) СОЗ Х^; + 51П \х § /(?) 8Ш 4Х,

0	—оо	—оо

( — сс < X < оо).
справедливые для функций, абсолютно интегрируемых на интервале
(О, со) и удовлетворяющих условию 1° на любом конечном проме-
жутке (а, Ь), принадлежащем этому интервалу, а также связанные
с этими разложениями формулы обращения:

__ со	__со

У / (х)81П Хх с1х, /(х) = '|/ ДзтпХх^Х, (6)
о	о

— со	_ОО

/с —|/~У /0*0 СОЗ Ххйх, /(х) = у | Усоз ХхсД. (7)
о	о

Формулы (4) — (7) встречаются при решении краевых задач, свя-
занных с уравнениями Лапласа и Гельмгольца для полуполосы и бес-
конечного полуцилиндра, а также некоторых других.

Настоящий параграф содержит ряд задач, взятых из различных
областей математической физики и разрешимых при помощи приме-
нения интегральных разложений или интегральных преобразований
рассмотренных выше типов.

298. Дать решение задачи о распределении температуры в бес-
конечном стержне для следующих частных случаев задания началь-
ного распределения температуры Т\^0=/(х):

}	НХ) Ю, |х|>х0;

б)	/(х)=Г0е—2Л

Ответ.

а)	Т(х,	Гф (-х°	4- Ф (,

1Л тс 1_ \ 2 |/ т /	\гу г /г

где Ф(х)—интеграл вероятности.

г	а2х2

б)	Т(х, I) — —. 7°_	К 1+4^г.

V 1 + 4а2г

к1

Здесь т = —, к — коэффициент теплопроводности, с — удельная те-
плоемкость, р — плотность материала стержня.

299.	Полубесконечное тело, ограниченное плоскостью лг = О,
имеет заданное начальное распределение температуры

Г|<=0=/(х) (0^х<оо).

Найти последующее распределение температуры в теле, считая,
что с момента времени / = 0 его граница поддерживается при
нулевой температуре. Применить полученные общие формулы к част-
ному случаю /(х)=Г0.

Ответ.

2/ т

Т(х, I) — —М Г е~$2/(х—2 1/—
V тс Л
— оо

оо

— У е~52/(—Х-^2 у/
X

2/Т

в частном случае

Т(х, О=ГоФ

300.	Найти стационарное распределение температуры Т(х, у} в
полубесконечном теле, ограниченном плоскостью у = 0, часть кото-

Рис. 68.

рой (|х|<^а) находится при за-
данной температуре То, осталь-
ная (| х | а) — при температу-
ре, равной нулю (рис. 68).

Ответ.

Т(х, у)=^г

где ф — угол, под которым отре-
зок — а^х^-\-а, у — 0 ви-
ден из точки Л4 (х, у).

301.	Найти стационарное распределение температуры Г(х, у)
у края пластины (0^х<^оо, О^у^Ь), две грани которой нахо-
дятся при температуре нуль, а грань у = Ь — при температуре Тй.

Ответ.

Т(х, =

Указание. Воспользоваться формулой

оо

1	2 Г зшк ,,	,

1=-] —	(*>0).

о

302.	Тепловой поток <2 поступает через участок плоской
границы полубесконечного тела (рис. 69). Найти стационарное рас-
пределение температуры в теле, считая поток равномерно распре-
деленным и предполагая, что поверхность тела излучает тепло в
окружающую среду по закону Ньютона.

Ответ.

оо

О

где к — коэффициент теплопроводности тела, к — коэффициент те-
плообмена. В частности, температура поверхности на участке |х|<^а
может быть представлена в замкнутой форме:

Т |	соза/г созхЛ -|- ^ [с°8(бг-|-х)А 51 (с "Ь

\х\<а

+ со§(а ~ х)к 51 (а — х)к — 81п(а-\-х)к€л(а-\-х)к —
— 81п (а — х) к С1 (а — х) к },

51 (х) и О (х) — интегральные синус и косинус.

Рис. 69.

Рис. 70.

303*. Решить плоскую стационарную задачу теории теплопро-
водности для квадранта (рис. 70), одна грань (у = 0) которого на-
ходится при температуре нуль, а другая покрыта тепловой изоля-
цией, за исключением участка 0 ^у через который втекает
поток тепла заданной постоянной плотности д. Получить распреде-
ление плотности теплового потока через грань у = 0.

Ответ.

З') =	У -—е-Хл 81П \у ак

О

где к — коэффициент теплопроводности.

«<•* 0)=*1„(|+5).
304.	Найти стационарное распределение температуры в квадранте
(х^О, у^О), грань _у=0 которого поддерживается при темпера-
туре То, а грань х=0 отдает тепло в окружающую среду по за-
кону Ньютона. Получить распределение температуры вдоль излу-
чающей грани.

Ответ.

Т(х,у) = Тй[\

е з!п Ху]

ИХ + Л) ]

Л;

где $1 (х) и 01 (х) — интегральные синус и косинус.

Указание. Составить синус-преобразование Фурье искомой
функции Т(х, у), для чего умножить дифференциальное уравнение
задачи на вшХу и проинтегрировать по у по промежутку (0, оо).

305.	Торец полубесконечного цилиндра (О^г^а, 0^г<^оо)
поддерживается при постоянной температуре Го, а боковая поверх-
ность находится при температуре, равной нулю. Получить стацио-
нарное распределение температуры в цилиндре, разлагая искомую
функцию в синус-интеграл Фурье по переменной г.

Ответ.

Т=Т.

те

/0 (Хг) 8Ш Хз
/о (Ха) * х

б/Х

где /0(х)— функция Бесселя мнимого аргумента.

Указание. Ввести новую искомую функцию и = Т — Го и
воспользоваться интегралом

(х>0).

О

306.	Решить предыдущую задачу в предположении, что на торце
поддерживается заданное распределение температуры Т\2==0—/(г),
а боковая поверхность излучает тепло в окружающую среду по за-
кону Ньютона.

Ответ.

7(г,	ГхзшХг Ох(р, г)р/(р)йр^Х,

о	о
где

{[ X (Ха) - ккй (Ха)] /0 (Хг) + [X/, (Ха)

_	4-А/0(Ха)И0(Хг)}^, р^г,

<3х(р, г)=| |[Х^1(Ха)-Л/<0(Ха)]/0(Хр)4-[Х/1(Ха) +
+ й/0(Ха)]Х0(Хр)}-^, р^г,

П(Х) = Х71(Ха)4-/г/0(Х«);

/п(х) и Кп(х)— функции Бесселя мнимого аргумента; к—коэффи-
циент теплообмена.

307.	Найти стационарное распределение температуры в полу-
бесконечном цилиндре (0^г=^а, 0^г<^оо), боковая поверхность
которого поддерживается при заданной температуре Т|г=а=/(г),
а торец излучает тепло в окружающее пространство.

Ответ.

СО	ОО

Т(Г, .) = <_(
о	о

(г) — X соз Хг -ф- к 81П Хг.

Указание. Для решения задачи воспользоваться разложением
произвольной функции в обобщенный интеграл Фурье (см. [63],
стр. 79):

/(х)=|	у /С)тх($)^

о	о

(0 х со).

308.	Дать решение плоской электростатической задачи для полу-
пространства (—оо<^х<^-|- оо, _У^ = 0) при условии, что плоскость
у = 0 находится при заданном распределении потенциала

Ответ.



4-00	2

И(х, у) — ~ у .г/^Д-?==1 у /(х + ^1ё6)й6.

— ОО	тс

Указание. Для приведения решения к окончательному виду
воспользоваться интегралом:

§ е~ахсозЬхс1х = ~^	(а>0).

О
309.	Рассмотреть частный случай предыдущей задачи, соответ-
ствующий кусочно-постоянному распределению потенциала на пло-
скости у = 0 (рис. 71).





Рис. 71.

Ответ.

п

и{х, .У) = -^2 У^к>

к=0

где Ук — значение потенциала на отрезке (хк_ь хк) и — угол,
под которым этот отрезок виден из точки М (х, у).

	у	и=_%_
1  1	л	о.	
	П п	
		

Рис. 72.

310.	Найти распределение элек-
тростатического потенциала в плос-
кой электронной линзе *) (рис. 72).

Ответ.

V +	.

и(х, у) = ^П-Л 4-

ОО

! У2 — У\ Р С И Ху 81И Хх

‘ к Л СЙХЛ Г~ак'

о

Указание. Выделить частное решение уравнения Лапласа
вида  ---—В дальнейшем воспользоваться разложением

1=4	(х>°)-

о

311.	Найти распределение электростатического поля на оси пло-
ской электронной линзы, конструкция которой изображена на
рис. 73.

Ответ.

И(х, >•)= У, + 2	у

о

♦) См. задачу 282. Заметим, что интегралы, представляющие решения
задач 310—311, могут быть выражены через элементарные функции.
312. Тонкая заряженная нить с зарядом д на единицу длины
помещена между двумя проводящими плоскостями (рис. 74). Найти

распределение электростатического потенциала, а также плотность
-заряда на плоскостях у — 0 и у — И.

Ответ. Распределение потенциала:

сю

п (х, у) — 4д у 8Ь /	Ху соз Хх б/Х, у а.

о

Соответствующая формула для у">а получается из предыдущего
выражения перестановкой букв у и а.

Плотность заряда на пластинах:

а(х) =

д . ка

81П Т

1

, тех	ка

сП —-----соз	-=-

Н	к

1

.кх ,	ка

сп -г- 4- соз
Л 1 А

СУ = О);

СУ = Л).

Указание. Решить задачу в предположении, что заряд равно*
мерно распределен по площади прямоугольника (—е=^х^4“е»
а — Ъ у а $), и осуществить предельный переход е->0, 8-*0.

Для решения уравнения Пуассона составить косинус-преобразо-
вание Фурье искомой функции, умножив уравнение на созХх и про-
интегрировав по х в промежутке (0, оо).

313*. Найти электростатическое поле
тонкой заряженной нити с зарядом д на
единицу длины, помещенной над плоской
границей двух диэлектриков (рис. 75).

Ответ.

Н1)__ I У ч — ч х

Х ~ 4*1 ч’ч + ч’*Г

р(1)_Я(У~ «) I Я Ч~ Ч а+у '

у~ чЯ? ^ч’ч + ч’ '

с(2)_ 2д х р(2)______ 2д у —а .

Сх~ч + ч'Ъ' у~ч + ч‘	’

/?1,2=х8 + СУ^а)’.

Рис. 75.
У к а з а н и е. Для устранения затруднений^ связанных с поведе-
нием логарифмического потенциала на бесконечности, пользоваться
системой уравнений для составляющих электростатического поля.

314. Найти распределение потенциала в цилиндрической электрон-
ной линзе, изображенной на рис. 76.

Ответ.

„(Г,	=

4 ’ 7	2	1	Л 4(М К

о

где /0(х)— функция Бесселя мнимого аргумента.

Указание. Свести рассматриваемую задачу к задаче с гранич-
ными условиями, нечетными по переменной г, и воспользоваться
для разложения по синусам формулой

со

1	= |у81пХ?Л (г>0).
о

315.	Найти потенциал электростатического поля точечного за-
ряда помещенного на оси бесконечного проводящего цилиндра
радиуса а.

Ответ.

и (г, г) = -у— — Г /0 (М СО8 Хг Л,

где 4(х) и Л’оС*)— функции Бесселя мнимого аргумента.

Указание. При преобразованиях воспользоваться интеграль-
ным представлением функции Макдональда:

К0^а)= Г
у +

316.	Найти распределение электростатического потенциала внутри
проводящего конуса (0^г<^оо, 0^;6^ 60), ца оси которого по-
мещен точечдый заряд ц (рис. 77).
Ответ.

II (Г, 0)=	: д	---

]/а2 — 2агсо§ 6 4" г2

РР_± .т(— СО8б0)

•---7=- I	--тг— Р ! (СО8 6) СОЗ Т 1п —	,

1/ га |	р \ (соз 0о)	ясЬтст*

Л ~2+"

О

где Л (х) — функция Лежандра первого рода. г
Указание. Ввести новые переменные х = 1п , и =

= г 2 у . Для разложения источника воспользоваться

интегральным представлением функции Лежандра:

I
I
I
I

\ I I
\ I /

о

Рис. 77.

2

Р 1 (соза) = — сНкт

--+/г	к

оо

СОЗ тх д,х

]/2 ск х — 2 СО8 а ’

317.	На оси цилиндрического канала, заполненного средой с про-
водимостью а1 и окруженного средой с проводимостью а2, помещен
точечный источник тока. Найти потенциал токового поля в каждой
из сред (задача теории карротажа, см. работу В. А. Фока

Ответ.	г г 1

и^г, г) = -л—	 —4-

4^! [ у Г2	I

I 1 (а .4 Л'<,(>а)/С1(Ха)/о(Хг)со8Хг^Х ]

г к 1	а1кй (Ха) Д (Ха) + а8/о (Ха) /Д(Ха)] •

„ (Г г)_____ -1 С____________А~о (>г) соз Хг_______ Л\

“«V.	2^а Л 01Л'0().а)/1(/а) + а2/0(Ха)/<1()1а) ' X ’

О

где 1п(х) и Кп(х) — функции Бесселя мнимого аргумента, У—сила
тока, вытекающего из электрода, а — радиус канала.





Рис. 78.

318.	Между плоскими границами двух массивных тел, изготов-
ленных из железа с магнитной проницаемостью ц, помещен линей-
ный ток силы У (рис. 78). Найти магнитное поле в воздушном за-
зоре.
Ответ.

,»	2/ Г у ,	1 \ С	Ху . о 1

Нх —-------{	—з — (и •— 1) | - ., ---сов Хх аХ },

х с I х2 +.У	7Л сЬ/# + Р*8ЬХ#	}’

о

00	ук

..	27 Г х , .	. ч С е л/ ей Ху . ,	]

И., = — { ——х-4- (и — 1) I . .--------^-,-г 81П Ххб7Х к

У с [ х2 + у2 1 кг 7 Л ск X# + р. 8Й 1Ь	}

о

Указание. Применить преобразование Фурье к уравнениям
для составляющих магнитного поля.

Рис. 79.

319.	Решить предыдущую задачу при условии, что же-
лезо обладает бесконечной магнитной проницаемостью.

Ответ.

/у— — _ Г -	— С е~*ь С08	1,

х С I Х2+у2	7 8Й X#	) ’

о

Ну^== — { а ...-а С е~}Ь 81П Хх с1к I.

У С I X2 + у2 1 7 8Й кЪ	)

о

320.	На цилиндрический сердечник, изготовленный
из материала с магнитной проницаемостью щ надет
круглый виток, по которому течет ток У (рис. 79). Найти
распределение магнитного поля на оси сердечника *).

Ответ.

____	4р. 7 Г Кг (ка) соз кх

” г=о“ с Л /0(Хо)АГ1(Ха) + р./1(Ха)/<0(Хо) »
о

где /п(х) и Кп (х) — функции Бесселя мнимого аргумента; с —ско-
рость света.

321*. Найти электромагнитное поле
линейного излучателя с током по-	 — —>

мешенного внутри идеально проводя- Ь	ф

шего экрана прямоугольного сечения о	— ------

(рис. 80). Исследовать также предель- Ь
ный случай	.........—

Ответ.	Рис. 80.

У)=

5Ш Ха

У /« — к2

аь У>-2 ——|у|)
сЬ X* — й! А

81пХх </Х;

к г=- -— волновое число, Е1 — комплексная амплитуда.

*) См. Г].
При >сю имеем:

Ё, (х,	[Н$Хк /(х + а)4 +_у8) - Н<? (А / (х - а)8 +_р8)]

(Я’’(х) — функция Ханкеля), что дает известный закон отражения
линейного источника в проводящей плоскости.

322.	Найти электромагнитное поле, создаваемое в цилиндриче-
ском волноводе диполем с моментом Р, помещенным в начале коор-
динат, направленным по оси цилиндра. Дать выражение для про-
дольной составляющей электрического поля.

Ответ. Комплексная амплитуда г-й составляющей электриче-
ского поля:

2/Р Г г>Яь*\ I Ь ОС С ~ ** ОС~

3* Ц	к2 а)

к, (V>-2 - ** о) /о (V х3 - & г)
Ц (1<Х>-Й2а)

соз Кг Л,

а — радиус цилиндра; /0 (х), 7<0 (х)— функции Бесселя мнимого ар-
гумента.

323.	Найти установившиеся колебания, вызванные точечным
источником звука частоты ш, помещенным на оси бесконечной ци-
линдрической трубы с идеально отражающими стенками.

Ответ. Потенциал скоростей:

и (г, г, 1) — А

81П (ш* —• &	Г2 + 32)

У>2 + г8

IГ2_Л е*«>* Г	I (/х8 - Л8 г) соз Хг г/х],

1«	3 щу^-к'а)	Р

где 70 (х), /1 (х),	(х) — функции Бесселя мнимого аргумента.

Указание. По поводу характера особенности в точке распо-
ложения источника см. задачу 85.

321*. Изучить напряженное состояние упругой полуплоскости
(у^=0), вызванное произвольными усилиями, приложенными на гра-
нице:

Оу[у-О=/(-^)>	«0 = «(*)•

Ответ.

в -2 +с у/е)+(^-е)?е>

К 3	[у» + (л;_5)»р

(х-е)8<я,
** ТС 3	[у2 + (Х_ф]2 V*

— ОО

_2^+Г° у/(Е) + (х-ЕШеЬ?

”	« 3	[№ + (х- е)2]2

— оо

Указание. Применить преобразование Фурье к системе урав-
нений плоской задачи теории упругости:

^ = 0, ^+^х==0,

дх 1 ду	дх 1 ду 9

д2ах |	__9 д2тху_л

ду2 ’ дх2 дх ду

325.	Рассмотреть частный случай предыдущей задачи, когда
в начале координат к полуплоскости приложена сосредоточенная
сила Р с составляющими Рх=0, Ру = Р (задача фламана)*).

Ответ.

__ 2Рх2у ________ 2Ру*

~	те(х2 + ^2)2 ’ аУ ~ ~ те (х2 + у2)2 ’

__ 2Рху2

— ~ те (х2 + у2)2 ’

326.	Изучить распределение напряжений в упругой полуплоско-
сти (_У^0), созданное сосредоточенной силой Р, приложенной
в точке (х==0, у —а) и направленной по оси у**). Привести вы-
ражение для касательного напряжения тху.

Ответ.

=	+ +’)«•-4^+тг]-

- 4(1 -»)>	- 4,(1 + 7)у^--^+-У):

Я 1,2 = / х44-О/±а)*,

V — коэффициент Пуассона.

Указание. Рассматривать силу Р как распределенную объем-
ную нагрузку и воспользоваться уравнениями плоской задачи теории
упругости:

&+^+*=о.	+

где X и У — составляющие объемной силы.

*) В курсах теории упругости эта задача решается без применения
преобразования Фурье путем непосредственного подбора

Друюй способ решения этой задачи дан в работе [’4].




327. Изучить плоское напряженное состояние в упругой;полосе,
сжатой двумя сосредоточенными силами Р, приложенными в точках

Рис. 81.

х = 0, у = ±Ь. Найти нормальное напряжение ау по оси симметрии
(рис. 81).

Ответ.

бИ 4- > сП 1&
21д + бЪ 2\&

соз \х (1к

Указание. См. задачу 324.

328*. Полубесконечная упругая тонкая плита, закрепленная по

краю > = 0, нагружена сосредоточенной силой Р в точке (О, Ь).

Найти распределение изгибающих
моментов и перерезывающих сил
вдоль линии заделки плиты (рис. 82).
Ответ.

Ь*

(Ь* + х2)2 ’

Указание. Считать силу рав-

номерно распределенной по пло-

щади прямоугольника — е х е, Ъ-Ъ^у^Ъ-\-Ъ и выполнить
над дифференциальным уравнением изгиба косинус-преобразование
Фурье по переменной х\ в дальнейшем перейти к пределу е—>0,
8->0.

329.	Упругая тонкая плита, имеющая форму бесконечной полосы
ширины Ъ (—со <^х	со, 0^С_у^С&), закреплена по краям и

нагружена сосредоточенной силой Р в точке (0, а). Найти распре-
деление изгибающего момента на краю у^О.
I = - С[а8ЬХд8ЪХ(й-а)-(й-а)Х*8ЬХа]-^^4^.

[у«=0 Л Л	4	7	1	7	7 8Й2 КЬ — >?Ь*

330.	Решить предыдущую задачу, считая края полосы свободно
опертыми и силу Р приложенной в точке ^0, у

Найти прогиб плиты под силой.

Ответ.

и

\ ’ 2 ) 8кО 3
о

§11— р.
[Х8сЬ2



где I) — цилиндрическая жесткость плиты.

§ 2. Интегральное разложение Ханкеля

К числу наиболее важных интегральных разложений, встречаю-
щихся в математической физике, относится, наряду с интегралом
Фурье, разложение по цилиндрическим функциям, принадлежащее
Ханке лю *):

ОО	ОО

/(г) = [ хл (Хг) ах у /(р) р Л (Хр) а?	(о < г < оо),	(1)

6	о

где Л(х)— функция Бесселя, у.

Рассматриваемое разложение справедливо для произвольной функ-
ции /(г), определенной на интервале (0, оо) и удовлетворяющей
условиям:

1°. /(г)— кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию
во всяком открытом промежутке (0, /?).

оо

2°. Интеграл § у/И/(г)|^г имеет конечное значение**).

Если ввести преобразование Ханкеля

/(Х)= У/(г)гЛ(Хг)бГг

(0<Х<оо),

(2)

о

*)	В литературе разложение (1) известно также под названием интеграла
Фурье — Бесселя.

**	) См., например, [и], стр. 502—511. В точке разрыва значение инте-
грала Фурье — Бесселя равно полусумме

4 (/(г + 0) +/(г~ 0)].
то из интегрального разложения Ханкеля следует формула обращения

/(г)= У/(А)Л(Хг)АЛ

(0<г<оо).

(3)

О

Обобщением формулы (1) является интегральное разложение Вебера *)

г (г) X йк г

/К) = ) ^ (>.С) + Г»(Х5) 3 /<Р> (Р) Р (а < г < оо), (4)
О	а

где с?х(г)=Л(^а) К^(Хг)— У\(Ха) Л(М—линейная комбинация функ-
ций Бесселя первого и второго рода, у^>—Достаточными усло-
виями для справедливости этой формулы являются выполнение
условия 1° на произвольном интервале (а, /?) и ограниченность инте-
со

грала у/г |/(г)рг. При а->0 разложение Вебера переходит
а

в формулу (1).

Разложение Ханкеля и преобразование Ханкеля могут быть
использованы при решении ряда задач математической физики,
например, краевых задач для уравнения Лапласа и Гельмгольца для
полупространства и плоскопараллельного слоя, некоторых задач
теории упругости и других**). При наличии необходимых навыков
применения аппарата функций Бесселя решение этих задач не пред-
ставляет большой трудности. Задачи 335—337 дают пример исполь-
зования разложения Вебера.

331.	Найти стационарное распределение температуры в полу-
пространстве (г^О), на границе которого поддерживается задан-
ное распределение температуры Г|2==о=/(г). Рассмотреть частный

случай



т

1 О’

О,

Ответ.

ОО

Т(г,

О

оо

(Хг)лл р(р)/0(Хр)р</р.

О

*) См., например, [107], стр. 75.

**) Вообще упомянутые формулы применимы к задачам, приводящимся
к интегрированию уравнения

1 д ди №	, . . . г /л	\

+	(0<г<со),

к — линейный оператор, не зависящий от переменной г. В случае интервала
(а, оо) соответствующую роль играет разложение Вебера.
В частном случае

Т(г, г) = Тиа

е-^&г'М&ауаЬ,

где /0(х) и ^(х)— функции Бесселя.

а

Указание. Для вычисления интеграла § (Хр) р </р воспользо-
о

ваться дифференциальным уравнением для функции Бесселя.

332.	Решить предыдущую задачу в предположении, что нагрев
полупространства осуществляется тепловьпм потоком постоянной
плотности падающим на площадь круга радиуса а, а отвод тепла
осуществляется путем теплоотдачи с границы тела в окружающую
среду по закону Ньютона.

Ответ.

х^

Т(г, г) = ^ у ^1/1(Ха)4(Хг)Л,
б

где к — коэффициент теплообмена.

333.	В неограниченную среду, начальная температура которой
принимается равной нулю, вставляется цилиндрический стержень
радиуса а, нагретый до температуры 7"0. Найти распределение тем-
пературы Г(г, /), предполагая тепловые постоянные материалов
стержня и среды одинаковыми.

Ответ.

т = Тйа У е~Х2т У, (Ха) (Хг) сГХ,
О

М
где т = -
ср

к — коэффициент теплопроводности, с — удельная тепло-

емкость, р — плотность материалов стержня и среды.

334*. Рассмотреть процесс выравнивания в неограниченном про-
странстве произвольного заданного начального распределения тем-
пературы, обладающего осевой симметрией:

П-в=/(г) (0^г<оо).
Ответ.

7(г, 0 = 0е ' 7о(?)й8'
О

где /0(х)— функция Бесселя мнимого аргумента.

Указание. При вычислении коэффициента в интегральном раз-
ложении Фурье — Бесселя воспользоваться формулой *):

СО	Г2_|_52

/	/0(М/й (Хг) К	± е ~ — /„ (§).

О

335*. В неограниченном теле просверлен цилиндрический канал
радиуса а, стенки которого, начиная с момента времени / = О,
поддерживаются при температуре 70. Рассмотреть процесс устано-
вления температуры в теле, считая его начальную температуру
равной нулю.

Ответ.

Т(г,

п $ Л (Ха) + Кд (Ха) ’ X »

где

(И = 4(М (М - ^0(Ха) 4 (Хг),

<70(х) и У^(х) — функции Бесселя первого и второго рода.

Указание. При решении задачи воспользоваться интегральным
разложением Вебера ♦♦):

оо	оо

/(г) = У р 1ТИ (Ха) У/(Р) ух (р) Р	Г>а*

" */о	1*0 V

336.	Через неограниченную пластину толщины 2И пропущен
цилиндрический проводник радиуса а, нагреваемый электрическим
током (рис. 83).

Найти стационарное распределение температуры в пластине,
считая, что температура поверхности проводника равна 70, а грани
пластины имеют температуру нуль.

*) См. [141, стр. 433.

♦*) См. ро1], стр. 75.
Ответ.

Т(г, г)=Г0 1-

00	/ \

1 С	(г)

” у Л2(Ха) + Г02(Ха)

сЬ

ей Ыг к

где с?л(г) имеет то же значение, что и в предыдущей задаче.

337.	Стенки цилиндрического канала, оканчивающегося на плоской
поверхности неограниченного тела (рис. 84), поддерживаются при
заданной температуре 70. Найти ста-

Ответ.

ционарное распределение темпера-
туры в теле, считая, что излучение
тепла с его поверхности в окружа-
ющую среду происходит по закону
Ньютона.

2й р	Х*^Х

” ] X (X + к) [Л2 (Хе) + Г2 (Ха)]

Т(г, г)—Т9)

где фл (г) = Л (^я)	— Го (^а) Л (М;	~ коэффициент тепло-

обмена.

338.	Найти распределение потенциала электростатического поля
в пространстве между двумя заземленными плоскими электродами
2~±а, созданное точечным зарядом помещенным в точке г = 0,
г = 0.

Ответ.

ОО

п(г, г)= .	— ц Г	/0(кг)<Д,

к ’ 7	1/г24-г3	Л	с1пс '

г 1	о

Л (аг) — функция Бесселя.

Указание. Воспользоваться формулой

1

е-кг^(Хг)(1Х

(^>0).
339.	Найти электростатическое поле точечного заряда д, поме-
щенного вблизи плоской границы раздела двух сред с различными
диэлектрическими постоянными (рис. 85).

Ответ.

,„<г. г)=^.± + 1’.^.±,
е1	Ч е1 I е2

иа(г, *) = .	~	,	/?1,2=

е1 “Г с2

Указание. Для представления решения в замкнутой форме
воспользоваться указанием к задаче 338.

340.	Найти электростатическое поле двух точечных зарядов -[“7
и — д, между которыми помещена пластинка из диэлектрика с посто-
янной е (рис. 86). Вычислить распределение поля на линии, соеди-
няющей заряды.

Ответ.

ке~*ей кг „
8ЙМ 4- е ей кд 

8Й кд — е ей кд

8Й кд + е ей кд

&—X (а — 2Ь	1 г |)	*



\*\>ь-

341.	Найти распределение стационарного тока, поступающего
в почву через электрод, соприкасающийся с поверхностью земли
(г = 0) по площади круга радиуса а. Рассмотреть предельный слу-
чай точечного контакта.

Ответ. Потенциал токового поля:

и (г> У е~и

г>0;
/0(х) и — функции Бесселя, —сила тока,
водность земли.

В предельном случае:

П(г, г) =------

2то[/г2 + 22

а — электропро-

342.	Найти распределение тока, созданное электродом с точеч-
ным контактом в слоистой почве, состоящей из двух пластов с раз-

Рис. 87.

личными проводимостями (рис. 87). Вычислить распределение потен-
циала токового поля на поверхности земли.

Ответ.

„I

|$_о 2ЯС4Г ‘	1	2/	с?! зН Ха 4" °з сН Ха

343.	Определить электромагнитное поле вертикального излуча-
теля (антенны), помещенного на высоте к над плоской поверхностью
идеально проводящей земли (рис. 88).

Ответ. Вектор-потенциал электромагнитного поля *):

,-1кП е-1кН

Л(г, г) = ^

с \



где /? = |/(г — Л)9-|-г2, /? = у/(г	/О2 ~Н	— частота

колебаний, с — скорость света, Р—момент
излучающего диполя.

Указание. Воспользоваться разложе-
нием

е-^2+г2 _	/0()г)Х4/Х

V г2 + гз — ]	ух2^2

344.	Дать решение предыдущей задачи
в предположении, что земля имеет конеч-
ную проводимость.

♦) я-я составляющая; остальные компоненты равны нулю.
Ответ. Вектор-потенциал электромагнитного поляг

е~1к1К , |

Я “И
О

X

2 —А2

„-«.+<> Г.7371 л (КГ) <0.1

Л — к1 + к211г12 — к1

Л(2)

2Рк1 ।

о

)е_л/л3-й?+г1ЛХ2-Л|
62]/ л2 — Л2 +	><2-^

, ш ,	1/ (ею — 4тга/) ю

где *!==-,

е — диэлектрическая постоянная,

л(1)=—-
с

/0(Хг)Л,

а — проводимость земли.

Дальнейшее преобразование полученных формул к виду, удоб-
ному для вычислений, и анализ физической картины распростране-
ния волн читатель может найти в специальной литературе *).

345.	Воспользовавшись решением задачи 344, получить выра-
жение для нормальной компоненты электрического поля на поверх-
ности земли для случая, когда диполь расположен непосредственно
на самой поверхности (Л —> 0).

Ответ.

р I __2Рю/ М2\2	( I №1	^2

* |г=о~[к) к*-к*\ \Т{+к1 Т Ь ’

__(	__51 , _1 \ Р—1к%г_
\к1 + к1 г к* г*)

1
(*12 + *1)2

к% + Н

к^к»^
е к1 +

Указание. Воспользоваться подстановкой Ван-дер-Поля

_________________1_________________

^2 V Х2 —	V > 2 — ^2

а?! V б2+н

*) См., например, [41, ив].
346.	Определить электромагнитное поле горизонтального излуча-

Рис. 89.

теля, находящегося на высоте Н над
плоской поверхностью идеально прово-
дящей земли (рис. 89).

Ответ. Вектор-потенциал электро-
магнитного поля имеет компоненты:

Р / е~1‘

Ах = А(г,

Ау = А2 = 0.

347.	Решить предыдущую задачу

при условии, что земля имеет
Ответ.

конечную проводимость.

е-1к^
Я

О

X V X2 — й? — У X2 — к1
У х2 — Ц У х2 — й2 + у х2 — й*

г_ух8_*?(г+Д) 7дхг)Л

х с

е~~1кК

Л(')=^_А28

Ж- У»2-*? (*+*) у, (Хг) 4Х



3 (йц/х2-й14-й?Ух2-й|)(У/2-й2 + Ух2-й|) ’

__1/" Х2_ Ь;А_1_1/ X2 —	9 1 /\~Х

——--------е'

- й| + у X2 — к$

о

д®=^(й2_^)со8Ч>Х

1*е~ V*2- ЬхЛ+У^-Н*^ ()Г)

о

- Й| + й| у X2 - й|) <у х2 -

По поводу дальнейших вычислений см. [41* 119].

348.	Найти магнитное поле горизонтального излучателя, лежа-
щего на плоской поверхности земли с параметрами (о, е). Показать,
что на поверхности земли искомое поле может быть выражено
через элементарные функции.

Ответ.

I ___2Р 81П<?

/Н=в0—Т к1-к{

йг г йг

— с -1к*г______1к^г
349.	Найти форму установившихся периодических колебаний воз-
духа, вызванных круглым плоским поршнем радиуса аь вставленным
в бесконечный отражающий плоский экран и колеблющимся со ско-
ростью 8Ш ш/.

Ответ. Потенциал скоростей будет:

оо

е- ^2-й22У0(кг)<7Х е'“4,

где = у — волновое число; /0(х),	— функции Бесселя.

350.	К плоской поверхности неограниченного упругого тела
(г^О) приложена нормальная сосредоточенная сила Р. Изучить
напряженное состояние тела. Привести выражения для напряжений
Ъ и

Ответ.

«г=-^3(г8 + г8) I =	2

(сила Р считается приложенной в точке г = г = 0).

Указание. Воспользоваться формулами, выражающими напря-
жения а2 и хгг через бигармоническую функцию напряжений:

Г/П Ч А	д Г/1 ЧА

°г =	(2 — у) Ди — -л ,	~	(1 — 7)

*	(72	7 дг2] ’ гг	7 дг2]

(у — коэффициент Пуассона), и разложить в интеграл Ханкеля вели-
д2и

чины Дк и ^ *)• (См. также решение задачи 351).

В граничных условиях сначала считать силу Р равномерно распре-
деленной по кружку радиуса е и впоследствии осуществить пре-
дельный переход при е —> 0.

351*. Обобщить предыдущую задачу на случай сосредоточенной
силы Р, приложенной в произвольной внутренней точке тела (с коор-
динатами г = 0, г = а) и имеющей составляющие Рх=Ру — 0,
Р2 = Р. Дать формулу для напряжения а2.

Ответ.

°<=-	{(1 - 2’>(’ -- “) й - й)++

где /?],2= /г2 + (г + а)8.

Функция напряжений и и ее первые производные не убывают при
г —* оо и поэтому не могут быть разложены в интеграл Ханкеля.
Указание. Использовать функцию напряжений

Р

8тг (1--V)



соответствующую сосредоточенной силе Р (Рх =	= О, Рг = Р),

приложенной в точке г = г = 0 неограниченного упругого тела
(см. [104], стр. 351).

352. Исследовать поперечные колебания неограниченной упру-
гой плиты, вызванные сосредоточенной силой Р(0, приложенной
в момент /==0 в центре плиты.

Ответ.

I

(Г, О------Р(8)1" - XI ----------

где О — цилиндрическая жесткость, р — плотность материала плиты,
51 (х)—интегральный синус.

§ 3. Преобразование Лапласа и его приложения

Применение преобразования Лапласа к решению нестационарных
задач математической физики в настоящее время получило всеобщее
признание, как наиболее эффективный метод рассмотрения проблем
данного типа, и достаточно широко освещено в имеющейся лите-
ратуре *), в связи с чем мы ограничимся лишь краткими замеча-
ниями, имеющими преимущественно справочный характер.

Преобразование Лапласа от функции /(О, заданной на -про-
межутке (0, оо) и удовлетворяющей условиям: 1°) /(^) — кусочно-
непрерывна на открытом интервале (О, Г); 2°) произведение
абсолютно интегрируемо по промежутку (0, оо) (□! — над-
лежаще выбранная постоянная), определяется при помощи формулы

О

(1)

где р — комплексное число, принадлежащее области Р(р)^> **).

*) См. список литературы в конце главы.

**) В этой области /, рассматриваемая как функция р, есть регулярная
функция. Значение функции / для остальной части плоскости комплексного
переменного определяется путем аналитического продолжения. Заметим еще,
что определение преобразования Лапласа может быть дано для более широ-
кого класса функций, чем тот, который дается условиями 1°—2°.
При дополнительном предположении, что /(/) обладает ограни-
ченной вариацией в интервале (О, Т) (например, имеет кусочно-не-
прерывную производную в этом интервале или удовлетворяет усло-
виям Дирихле), обращение преобразования (1) может быть представ-
лено формулой Римана—Меллина

/(0 = 2^]*/^)^^,	(2)

ь

где Ь — бесконечная прямая, параллельная мнимой оси, расположен-
ная правее прямой ^(р)==а1 (рис. 90). При определенных усло-
виях, наложенных на функцию /, из формулы (2) в свою очередь
вытекает справедливость формулы (1).

Применение преобразования Лапласа к нестационарным задачам,
приводящимся к интегрированию уравнений вида

г , ч 1 д2и .ди	ч

~ • •),

где 1(п) — линейный дифференциальный оператор, не зависящий от
переменной а, Ь — заданные константы, /—заданная функция,

позволяет устранить из рассмотрения вре-
мя I и свести задачу к определению функ-
ции й, удовлетворяющей более простому
уравнению. В частности, если искомая
функция и зависит, кроме времени /, толь-
ко от одной пространственной перемен-
ной, уравнение для й будет обыкновен-
ным дифференциальным уравнением.

После нахождения и решение задачи
получается путем применения формулы
обращения (2), причем путь Ь должен
быть выбран таким образом, чтобы все осо-

Рис. 90.

бые точки функции и лежали слева

от него. Фактическое вычисление комплексного интеграла может

быть произведено при помощи различных методов, важнейшими из
которых являются применение теоремы Коши и теории вычетов,
разложение в ряды, применение теоремы Бореля, использование
существующих таблиц*) и т. д. Разнообразие этих приемов позво-
ляет быстро получить решение задачи и притом в форме, наиболее
подходящей для исследования физической картины рассматривае-

мого процесса и численных расчетов, что представляет важное пре-
имущество данного метода. В частности, можно указать на выгоды
применения преобразования Лапласа к изучению процессов распро-
странения волн в длинных линиях, к задачам математической фи-
зики, содержащим в граничных условиях производные по времени
I (задачи 365, 367, 370) и т. д.

♦) См., например,
Настоящий параграф содержит ряд задач на переходные про-
цессы, сгруппированных по разделам: теория теплопроводности,
электричество, механика. Ввиду широкого распространения специ-
альной литературы, наиболее простые задачи, относящиеся к на-
званным разделам, не вошли в содержание настоящего сборника.
В заключительной части помещено некоторое число задач более
сложного характера, рассчитанных на комбинированное примене-
ние преобразования Лапласа с каким-либо другим интегральным пре-
образованием (преобразование Фурье, преобразование Ханкеля и др.;
см., например, задачи 391, 405, 406).

353. Плоская граница полубесконечного тела, начиная с момента
/=0, поддерживается при температуре, изменяющейся по задан-
ному закону Г|г=о=/(т), где т = ~ (&— коэффициент теплопро-
водности, с — удельная теплоемкость, р— плотность вещества).

Найти значение температуры в каждой точке тела, принимая
его начальную температуру равной нулю.

Ответ.

оо

'>=4 I <*>°>-

* X

2 Ут

354. Рассмотреть частные случаи предыдущей задачи, соответ-
ствующие следующим законам изменения температуры на границе:
а)/(т)=Т0;	б)/(т) = Лт;

в) /С0 = ( Г” 0^Т<Т°’ Г) /(Т) =Т081П

( 0, т>т0;

Ответ.  а)	Т(х, О=Г0Г1-Фри];  |_	\2 У тД|  б)	Т(х, О=Лт^1+^|1 - Ф • 1  в)	Г(х, О = 7’о	,	\  Ф\2Ут —т0)  ОО  Г) Т(х,	8!п<о(г-^  X  2/1  где Ф (х) — интеграл вероятности.	\2 Ут/_| УЯТ 01=: т т0,  йи,
356*. Решить задачу 353, считая заданной, вместо температуры
поверхности тела, плотность поступающего на границу теплового
потока. Дать решение для частных случаев:

а) Я = б) д = д$ 8Ш шт.

В последнем случае ограничиться вычислением температуры поверх-
ности.

Ответ.

а) Т(х, /) = |{

б) 7'|ж=0

где С(х) и 5*(х) — интегралы Френеля, к— коэффициент тепло-
проводности.

366. Найти закон, по которому должна изменяться температура
на плоской границе полубесконечного тела для того, чтобы плот-
ность теплового потока, поступающего в тело, была заданной функ-
цией времени = Рассмотреть частный случай ^ = соп§1.

Ответ.

В частном

т

случае

357*. Полубесконечное тело, нагретое до начальной темпера-
туры То, излучает тепло с плоской границы л: = 0. Найти распре-
деление температуры в теле, считая, что излучение происходит по
закону Ньютона и температура окружающей среды равна нулю.

Ответ.



где к — коэффициент теплообмена в законе Ньютона.

Указание. Для упрощения выкладок полезно подставить в фор-
мулу обращения интегральное представление

1

с1з

и переменить порядок интегрирования.
358.	Через плоскую границу полубесконечного тела, начиная
с момента времени / = 0, осуществляется импульсная подача тепло-
вого потока по закону ц — /(т), где

0,

/(т + т*)=/(4

Найти распределение температуры в теле после большого числа цик-

лов, считая, что начальная

Рис. 91.

температура тела равна нулю, и прене-
брегая теплоотдачей с поверхности
тела в окружающую среду.

Ответ. Для ограниченных х и
т —> оо:

р 2^0 т0

359.	Два полубесконечных тела из
различных материалов, из которых
одно нагрето до температуры То, а
другое имеет температуру, равную

нулю, приводятся в контакт своими плоскими границами, начиная
с момента времени / = 0 (рис. 91). Найти закон выравнивания
температур.

Ответ.

Т(х, Г1 4-1 Ф ]
1+“1 1 а \2>ОЛ1

(х>0),

Т(х,0=-^[1 - Ф (

(х<0),

__хУйЛ!

~ 21Л7/]

где Ф (х) — функция вероятности,

Ь‘=^г

(/= 1,2); а

_ 1/ С1Р1А?!

Г ^2?2^2

360.	Граница полупространства (0^х<^оо, —оо 4~ оо),
начиная с момента времени / = 0, поддерживается при температуре,
являющейся заданной функцией координаты у: Т |х = о = /Су)- Дать
решение задачи теплопроводности, считая начальную температуру
равной нулю.

Ответ.

Т(х,у,1) = -	ъе 4т а8’ * = — •

4 ’ Л 7	" Л -С2 + (У —8)2	ср

— оо

Указание. Применить последовательно преобразования Лапласа
и Фурье.
361.	Найти распределение температуры внутри тела, имеющего
форму двугранного угла (х^>0, _у^>0), поверхность которого, на-

чиная с момента времени /=0,
поддерживается при температуре
То (начальная температура прини-
мается равной нулю). Построить
картину изотерм.

Ответ.

Т(х, у, 1) =

Результат расчета приведен на
рис. 92.

Указание. Искать решение в форме Т= То [ 1 и (х, I) V (у, /)]
и свести рассматриваемую задачу к задаче 354 (случай а).

362.	Найти распределение температуры внутри октанта (х^>0,
_у>0, г^>0), грани которого, начиная с момента / = 0, поддержи-
ваются при постоянной температуре То, а начальная температура
равна нулю.

Ответ.

Т(х, у, г, /)=Г0Г1 — ф(-4=^ф (—''Ф/—

I \21<т/	\2]/т/	\2 Ут

363.	Найти распределение температуры Т(х, I) в пластинке ко-
нечной толщины, одна грань которой (х = 0), начиная с момента
времени / = 0, поддерживается при температуре То, а другая (х — а)
имеет температуру равную нулю. В начальный момент времени пла-
стинка имела температуру, равную нулю. Дать решение в двух
формах, удобных соответственно при больших и малых /.

Ответ.

х + 2па
2]/Т

Указание. Для получения второй формы решения разложить
преобразование Лапласа от искомой функции по возрастающим сте-
пеням величины
364.	Решить предыдущую задачу при условии, что на грань
х — а подается тепловой поток постоянной плотности д, а грань
х = 0 излучает тепло по закону Ньютона.

Ответ.

(	Л х\

I 1	VI соз	1----) е

Т^Х> = \ | ай + ~а ~ 2 Л | 7* 81п2 уп [ай (1 + ай) + ТД] ' ’
п = 1

где — положительные корни уравнения с1^у = -~ (Т1<СТ2<С — )>
к — коэффициент теплообмена.

365.	Решить задачу 363 в предположении, что грань х = 0 под-
держивается при постоянной температуре Го, а к грани х = а при-
соединена тепловая емкость *). Получить выражения для плотностей
теплового потока на гранях пластинки.

Ответ.

_2йГ0 у '+а2^

~ а	1+“ + “2ТГ

п = 1

°°	2 Т

____________________Тл_______о Ця

а	(1 + а + а2у2) 51П

п = 1

где ул — последовательные положительные корни уравнения
с18Т = а7, <1 = ^.

Указание. Граничное условие при х — а имеет вид:

с ^1	_-й^|

С,йкГ дх\^а'

где Со — тепловая емкость на
теплопроводности.

единицу площади, к — коэффициент

366.	Найти распределение тем-
пературы в пластине (—а^х^
^~\-а), внутри которой, начиная с
момента времени I = 0, происходит
процесс, сопровождающийся перио-
дическим выделением тепла по за-
кону, изображенному на рис. 93.
Температура граней пластины и
начальная температура равны нулю.

*) Под тепловой емкостью понимается такое тело, в котором можно
пренебречь перепадом температуры. В задачах 365, 367 и т. п. Со обозначает
количество тепла, необходимое для нагрева этого тела на Г, отнесенное
соответственно к единице площади, единице длины и т. д.
Ответ.

а2— х2 16аа

— 2^

ТС2
п = О

п — О

___4 сП Хп (х 4- о) соз 1п (х — с) 4~ сП (х—а) соз >п (х-\-а) \
сН 2\па 4- соз 2\па	)

8Ил„(х—в)в!п>„(х+а)+8ЬХ„(х+а)8!пкп(х—о)	.2 1	1	)

сЬ2>.па + со8 2Х„а	81П л ] (2га + 1)4 ’



367.	Для измерения тепловых констант почвы в нее вводится
тонкий цилиндрический стержень (зонд), нагретый до темпера-
туры То. Найти закон изменения температуры зонда со временем,
считая, что перепадом температуры по сечению стержня можно пре-
небречь *).

Ответ.

°°	-Х2Т2

г! — 47> Г	е

\г-а~ **	р.аА(Х)-Л(Х)]2 + [ХаК0(Х)-У1(Х)Г X ’

О

где ^п(х) и Уп(х)—функции Бесселя первого и второго рода;
С

а = ^д2^р > С0 — тепловая емкость зонда на единицу длины, а — ра-
диус зонда; т = ~, к — коэффициент теплопроводности, с — удель-
ная теплоемкость, р — плотность почвы.

Указание. Решать задачу теплопроводности для области г^>а
при граничном условии:

„ дТ\ о , дт I

г=а — Т. •
/=0

368.	Решить с помощью преобразования Лапласа задачу 335 и
показать тождественность обоих результатов.

Ответ.

Т(г, ()=Т1)

ОО

<рх(г)

Л(М+Г8(Хга)в ХЛ

где

(г) = Л 0 а) Го (Хг) - Го (Ха) '0 (Хг).

*) См. [‘4.
Совпадение этого результата с формулой, приведенной в задаче 335,

Рис. 94.

Т~о

вытекает из разложения

со

,	2 р Мг) а\

* Л лчм+шм к •
о

369.	Исследовать процесс нагрева цилин-
дрического кабеля, в жиле которого, начи-
ная с момента времени 1 — 0, происходит
выделение тепла с плотностью (^, а обо-
лочка поддерживается при температуре, рав-
ной нулю (рис. 94). Найти температуру

жилы, пренебрегая температурным перепадом по ее сечению.

Ответ.

0

2тс/г

00	/ а \

кь V 7о 71V* Т. I
а 7,1 [7® — о»

п



где /?т (г) = У о (у) Л	^о(т)	у~1>)—линейная комбинация

функций Бесселя, уп — корни уравнения /?'(а) = 0 (ь <С?2 <^ • • •)•

370.	В цилиндрическом проводнике радиуса а, начиная с момента
времени / = 0, выделяется тепло с плотностью ($. Найти темпера-
туру на оси проводника, считая, что отвод тепла с его поверхности
совершается через тепловую емкость и начальная температура про-
водника равна нулю.

Ответ.

___-____

1г-0 к I 2а + 1

, д2а(1+4а)

+" 4(2а + 17

-т2 —
е Упа*

^2<ЛХ 2 7^о(Т„)(а27^+2а+1)
п = 1

где — положительные корни уравне-
ния Л (у) 4- аТЛ (т) — 0	(Т1 < Та < • • • У>

(2

а = -^—г-, Са — тепловая емкость на еди-
2тсд2ср и

ницу длины.

371*. На холодный цилиндр радиуса а
в момент времени / = 0 надевается нагре-
тая тонкая цилиндрическая оболочка, покры-
тая снаружи теплоизолирующим слоем
(рис. 95). Найти распределение температуры
в цилиндре, считая начальные температуры цилиндра и оболочки
равными соответственно нулю и и пренебрегая температурным
перепадом по толщине оболочки.

Ответ.

Иг, 0=^

2 _3_
а*

здесь — положительные корни уравнения

Л (?) + аТ7о (т) = 0 (Т1 < Те < • • •),

а==9—?—> Со—тепловая емкость оболочки на единицу длины.

372.	Диффундирующее вещество распределено в полупростран-
стве х^>0 с заданной начальной концентрацией



Со, 0<^х<^а,
0,	х^>а.

Найти плотность потока вещества через границу х = 0, на кото-
рой, начиная с момента времени / = 0, поддерживается концентра-
ция, равная нулю.

Ответ.

Ч =ХР9> (1 _ е~4ОГ),
АГ-0	V Ш

где Я — коэффициент диффузии.

373.	Найти распределение концентрации диффундирующего ве-
щества в полупространстве х^>0, ограниченном непроницаемой стен-
кой, при условии, что начальная концентрация была равна нулю и
выделение вещества происходило с постоянной плотностью в слое
в течение конечного промежутка времени Т. Привести
выражение для концентрации вещества на стенке х = 0.

Ответ.
374.	Диффундирующее вещество поступает через боковую по-
верхность бесконечного цилиндра радиуса а в окружающее про-
странство, где в начальный момент времени концентрация вещества
равняется нулю. Найти последующее распределение концентрации,
предполагая, что поток вещества из цилиндра имеет заданную по-
стоянную плотность ц. Привести формулу для концентрации вещества
на поверхности цилиндра.

Ответ.

г1 — - 4 С 1
1™	/1(х) + И(х)

о

где Ул(х), Уп (х) — функции Бесселя.

Дх

Рис. 96.

длины) и нулю.
Ответ.

375*. Диффундирующее веще-
ство поступает в полупространство
г^>0 через отверстие в непрони-
цаемой стенке г = 0 из тонкой
цилиндрической трубки длины /,
закрытой с другого конца (рис. 96).
Определить количество вещества,
заключенного в трубке, как функ-
цию времени, считая, что поток
вещества в сечении трубки имеет

постоянную плотность, а начальное
значение концентрации вещества

в трубке и полупространстве равно соответственно Со (на единицу

/2



2

с1х,

81П

о

где а — радиус трубки, Мо — начальное количество вещества, за-
ключенного в ней (Л40 = С0/).

376.	Конец х = 0 бесконечной линии, обладающей самоиндук-
цией Ь и емкостью С на единицу длины, присоединяется в момент
времени / = 0 к источнику э. д. с.

Найти напряжение н(х, /) в каждой точке линии.

Ответ.

где V

__1

уте

— скорость распространения волн вдоль линии.
377.	Решить предыдущую задачу для линии с самоиндукцией А,
емкостью С, сопротивлением /? и утечкой О на единицу длины, по-
добранными таким образом, чтобы удовлетворялось соотношение
ЦС = ЬО (линия без искажений).

Ответ.

ц(х, /) =

о,	*<-,

е~ ху'ко	—

7 \	V / ' V ’

378.	Конденсатор емкости Со, заряженный до потенциала V,
разряжается в момент времени / = 0 на бесконечную линию с па-
раметрами (А, С).

Найти распределение тока 1(х, I) в линии.

Ответ.

/(X,

2=/с-

волновое сопротивление линии, а =

379.	Конец х~0 бесконечной линии, обладающей самоиндук-
цией А, емкостью С и сопротивлением /? на единицу длины, при-
соединяется в момент времени I — 0 к источнику постоянной э. д. с.
Исследовать процесс распространения волны напряжения вдоль
линии *).

Ответ.

н(х, /) =

р

Е — величина приложенной э. д. с., а —	, /1 (х) — функция Бесселя

мнимого аргумента.

*) См. |45], стр. 221.
380._____________Линия длины I с параметрами (Г, С) замкнута на конце
Х~1 на омическое сопротивление /?0
_________________•—п	(рис. 97). Найти закон изменения на-
гЧ^г	/^П	пряжения на нагрузке /?0, считая, что

Т___________________Т	в момент времени / = 0 вход линии

рис. 97.	х~ 0 подключается к источнику посто-

янной э. д. с. напряжения Е. Выяснить
условия, при которых не происходит отражения волн от конца линии.

Ответ.

и\ =0 при 0 <I < Г,

"РИ <2л- 1)7,</<(2/г4-1)Г>

л= 1, 2,	;

=	— волновое сопротивление линии; Т~~ — время пробега

волны от одного конца линии до другого. Отражения волн не воз-
никает при условии, что сопротивление /?0 равно волновому сопро-
тивлению линии X.

381.	Решить предыдущую задачу в предположении, что на конце
линии вместо сопротивления /?0 включена сосредоточенная емкость
Со. Получить выражение для напряжения на емкости в двух формах:
а) в виде тригонометрического ряда, б) в замкнутом виде для не-

скольких первых отражений.  Ответ.  а)  1х-г	1	2т„ + 8ш2тп  п — 1  где уп — положительные корни уравнения  <*ет=у (п<т« <•••)»  б)  о,  1л-<	1 — е 4 т ',  2Я ~	СО8ув „],  _ 1С а—С ’  0</<Т,  Т<7<ЗТ,  -3а(зг-,)>37-<-/<-5Г>

и т. д.
382.	Дать решение задачи 381 для случая, когда конец линии
замкнут на сосредоточенную индуктивность Ао.

Ответ.

а)

8»П Тп
2Тл — 81П 2т„

где — последовательные положительные корни уравнения

и т. д.

0</<Т,

7</<ЗТ,

ЗГ<7<бТ,

«иПлу],

383.	Получить общий закон составления выражений для отра-
женных волн задачи 382 *).

Ответ.

при (2ДГ — 1)Т<7<(2М-|-1)Г (М=1, 2,3,...), где Ал(х) —
полином Лагерра, определяемый равенством



Указание. Принять во внимание, что преобразование Лапласа
от полинома Лагерра будет:

---- 1 / 1 \*

^»и)=7(1 - р) •

384. Дать решение задачи 380 в форме ряда типа Фурье, вос-
пользовавшись теоремой о вычетах.

*) ГЧ» стр. 125,
Ответ.

1 — 2а

п «= 1

. птгМ тюк
пк 81П —— — а СО8

п2 -к- л2тс2

ау1

а V 2*-№0

___ 1 1„ I 'А О

2	2— /?„’

й 1 ,/?., +2	1

8=10^’,	77 —	-

Г 2 Яо — / ’ у ЬС

7= IV.

385. Исследовать процесс распространения волн вдоль неодно-
родной линии, состоящей из конечного участка длины I с волновым
&=о	2	7	сопротивлением 7Х и бесконечной

у---------------------------- линии с волновым сопротивлением 7^-

гп2“_________________________Получить отраженную и преломлен-
ий___________________________	 ную волны, возникающие в месте

Рис. 98.	стыка, считая, что в момент времени

/ = 0 к началу линии подключается
э. д. с. произвольной формы	(рис. 98).

Ответ.

и т. д..
Фг = -у—- •,	- — скорости распространения волн вдоль

гг I
соответствующих участков линии, Т = —.

386*. Волна напряжений Е = Е^е~а19 возникшая в точке х = 0
линии вследствие грозового разряда, вызывает пробой защитного
разрядника, установленного в точке х — 1. Найти напряжение на
участке линии после разрядника, считая, что во время срабаты-
вания разрядника последний можно рассматривать как омическое
сопротивление /?0.

Ответ.

и(х9 /) = 0 при

„IX, »= 2%'	+

2 +	1 ~ 2ЛО+ ”

при - + (2^~2)-	(А=1, 2, ...),

где V — скорость распространения волны вдоль линии, 7 — волновое
сопротивление.

387.	К концу х = 0 полубесконечного кабеля (линия с парамет-
рами /? и С) подключается в момент времени / = 0 постоянная
э. д. с. Е. Найти напряжение в каждой точке кабеля.

Ответ.

и(х, 0 = ^Г1 — ф(^ДЦ1,
'	’ I \ 2]А /.1

где Ф (х) — интеграл вероятности.

388.	Найти напряжение в кабеле длины /, конец х = 0 которого
подключен к источнику постоянной э. д. с. Е9 а конец х — 1 замкнут
на омическую нагрузку /?0.

Ответ.

Здесь ул — положительные корни уравнения	(Т1

<Лэ<С •••)> где а = ^> С и —емкость и сопротивление кабеля
на единицу длины.
389. Решить задачу 387 для кабеля с утечкой О на единицу

длины.

Ответ.

и(х, 0 = 2: 1

и V' Л

390.	Исследовать процесс распространения волн напряжения
в сложной линии, эквивалентная схема которой представлена на

Рис. 99.

рис. 99, возникающих при включении в точке х = 0 постоянной
э. д. с. Е.

Ответ.

Г 2

и(х, 1) = Е 1

2

О

где а

1

УТк

; Л, С, К — самоиндукция и емкости, рас-

считанные на единицу длины.

Указание. Уравнения для токов и напряжений в линии имеют
вид:

I

__ди______ 1 (
— дх~ь д1~К Л

о

__д!__рди
дх С д19

где и(х, 0—напряжение, /(х, 0— полный ток, 4(х, 0, /#(х, О —
токи, текущие через самоиндукцию Ь и емкость Л".

391.	Вблизи плоской границы раздела двух диэлектриков с по-
стоянными б! и е2 помещен источник электромагнитных колебаний,
испускающий сферическую волну с компонентами вектора Герца

Пх = Пу = 0,


при Н<^0,	— расстояние от источника до рассматривав-

мой точки, у1 —	— скорость распространения электромагнитных

V ч

колебаний).

Найти значение вектора Герца на поверхности раздела для пре-
дельного случая, когда источник расположен на поверхности.

Ответ.

у1 = -^= (/—1, 2) — скорость распространения электромагнитных
колебаний в первой и второй среде.

Указание. Применить последовательно преобразование Лапласа
и Ханкеля.

392.	Рассмотреть частный случай предыдущей задачи, соответ-
ствующий волне с крутым фронтом

/С)=

О, Е<0,
1, *>0.

Ответ.
393.	Исследовать процесс распространения упругих продольных
колебаний в полубесконечном стержне, вызванных силой при-
ложенной в момент 1 = 0 к торцу стержня х = 0.

Ответ. Смещение произвольной точки стержня:

и(х9 1)=

где у =

— скорость распространения продольных упругих коле-

Рис. 100.

баний, Е — модуль Юнга, р — плот-
ность, 5 — площадь поперечного
сечения стержня.

394.	Исследовать продольные
колебания в стержне длины /, ко-
нец х = 0 которого закреплен, а
на конце х = /, начиная с момен-
та / = 0, приложена сжимающая
сила, изменяющаяся по пилооб-

разному закону (рис. 100). Найти реакцию в заделке, считая, что
период т равен времени пробега волны вдоль стержня.

Ответ.

|аг—0
2А

0, 0</<Г, (2и+1)Т</<(2и4-3)Г, л=1, 3,5, ...;
у —л,	4- ОТ, л= 1, 2; 5, 6; 9, 10; ... ,

где Т=~—время пробега волны упругих колебаний от одного
конца балки до другого.

395.	Консольный стержень, заделанный на конце х = 0, начинает
колебаться под влиянием удара по сосредоточенной массе Л/о,
укрепленной на конце х = 1, Найти динамическую реакцию заделан-
ного конца, считая, что в момент удара массе /Ио сообщается ско-
рость


где/(0 = 0, 0</<Г,

/(0 = е-а^-г>, Т</<ЗТ,

/(0 = е-а(/-г)_|_в-а(/-зг)[1 _ 2а(^ —ЗТ)], ЗТ<^<5Т

Е8 „ I

и т. д., где а = тг- Т= —,
лебаний.

V — скорость распространения ко-

Указание. Граничное условие для смещения и(х, 0 на конце
х = / будет:

— Е8дх9	д1

396.	Решить при помощи преобразования Лапласа задачу 106
(гл. IV).

Ответ.

и (х,

. (ОХ

81П---

V

СОЗ —
V

81П

П = ^-

4 (оЕ8

оо

. 2п+ 1

81П 2^—

2и+“1

Г2п+ 1
| 21(о

. 2п+ 1	.

81П-2^—

397.	В точке х — 0 бесконечно длинной балки, начиная с мо-
мента 1 = 0, приложена постоянная сила Найти прогиб в произ-
вольной точке балки, считая, что в начальный момент она находи-
лась в покое *).

Ответ.

Н(Х, О—2Е/Х^(2ау7) >

-1--^=[(1 4-х’)^2^4-(1 — х2)^^1,

1 3 VI 1 х 1	XI’

♦) Задачи 397—399 рассмотрены в книге А. И. Лурье [”].
где а2
ность,

— |/	, Е— модуль

Юнга, У—момент инерции, р — плот-

интегралы Френеля.

площадь поперечного сечения стержня; С(х) и 5(х)—

398.	Решить предыдущую задачу при условии, что в точке х = 0
вместо силы приложен постоянный изгибающий момент М. Найти
распределение изгибающих моментов по длине балки в произволь-
ный момент времени.

Ответ.

т(х, 0 = ^Г1-С/'—

2 I \ а 2п1 / \а 2к{ / Д

399.	Найти смещение точки х — 0 бесконечно длинной балки,
на которую в момент 1 — 0 падает со скоростью т>0 груз массы М.

Ответ.

С/о Г 2а

*21

и

_ ф(а/7)]} ,

21/2 рв5 , . х
а= ~ ; Ф(х)—интеграл

вероятности.

400.	Дать решение задачи о поперечных колебаниях двухопор-
ной балки (—вызванных импульсом Р, приложенным
в ее средней точке. Найти прогиб центра балки.

Ответ.

и

I __ 4Р1а* V1 8‘П

IX—0

(2п + 1)Мя2/
4/2
(2и+1)2

п = 0

401.	Найти прогиб неограниченной упругой плиты, в точке х —
=у = 0 которой приложена, начиная с момента времени 1 — 0>
постоянная сила *).

Ответ.

и (г, /)

= -21

4тсГ>

где т = I > В — цилиндрическая жесткость плиты, р — поверх-
ностная плотность; 51 (х) и С1(х)—интегральные синус и косинус.
Указание. В точке приложения силы должны выполняться сле-
дующие условия:

4-о~ОГраНИЧеНО; Г Тг Ди 1-0 = 2& •

*) См. [70], стр. 424.
402.	* Дать решение предыдущей задачи в предположении, что
вместо силы в точке х=у — 0 приложен импульс Р.

Ответ.

и (г, /) =---= к ~ $ г •

к	4тг|ЛрР12	\4тД|

403.	Исследовать процесс распространения колебаний в неогра-
ниченной упругой плоскости, в точке х — у — д которой приложен,
начиная с момента / = 0, импульс с составляющими Рх=0, Ру — Р*),
Ответ. Упругие потенциалы даются формулами:

<₽(б 0 =

Ф (г, *) =

0,

_^1/'/7Г7Г

2тсрг2 Г с2 ’
0,

2гсрг2 V Ь2

где а — у --	, & — у -----скорости распространения продоль-

ных и поперечных колебаний; X, р. — коэффициенты Ламе, р — плот-

ность.

404.	Решить предыдущую задачу в предположении, что источни-
ком колебаний является сосредоточенная сила с компонентами 0^ = 0,

Ответ.

для меньших значений времени упругие потенциалы равны нулю.

405.	Показать, что решение двумерного волнового уравнения
д2ы . д2и_____________________ 1 д2и

дх2' ду2-^2' д!2

для области х^>0, удовлетворяющее граничному условию

«I —/(У)
(.г = 0

♦) Другой способ решения этой задачи указан в работе С. Л. Соболева,
см. гл. XII.
и нулевым начальным условиям, может быть представлено в виде:

}	4-/^2 — X2

и{х, у,1) = \ху1_ Г	/(г,)___________От,________(^х

I 11	<_____Л;2 + О’—Ч)81Л02/2 —х2 —(V —ч)2 ’	® ’

I У — Уу2& — х-

Указание. Применить последовательно преобразования Лапласа
и Фурье.

406*. Показать, что решение волнового уравнения для среды
с поглощением

д2и . д2и 1 д2и . ,ди ________	, ч

+	0< + <>о).

при нулевых начальных условиях и граничном условии и |	о=/(у),

дается следующим выражением:

п(х, у, /) = 0,

у2Ы У + 1№-^

( хе 2 Г

И(х, Д', 0=	- I

у — I У212 — X2

, иЬг
8П-2-

. , ъЪг 1
^сЬ —

х8 + О'-^)2’

где г — /^2/2 — х* — (у — т))2.

Получить как частные случаи решения задач 308, 360, 405.

§ 4. Преобразование Меллина

Для решения определенного класса плоских гармонических задач,
связанных с секториальной областью, а также соответствующих
проблем теории упругости, с успехом может быть применено инте-
гральное преобразование Меллина

ОО

7(/’)=//(г)г₽-’^	(О

о

где /(г) — произвольная функция, кусочно-непрерывная и имеющая
ограниченную вариацию на всяком открытом интервале (0 <^г <^Я),
относительно которой предполагается, что при надлежащем выборе
чисел и а2 каждый из интегралов

1

уг31-1 |у(г)|^г и

О

7*2-1 1/(г)|

1

сходится; р — комплексное число, принадлежащее области

Обращение преобразования Меллина для рассматриваемого класса

функций дается формулой *)

I

(2)

где путь Ь — бесконечная прямая, параллель-
ная мнимой оси, лежащая внутри полосы

(Рис. 101).

Рассматриваемое преобразование родствен-
но преобразованию Лапласа и Фурье, и тех-
ника его применения может быть легко
усвоена в результате решения небольшого чи-
сла задач, помещенных в настоящем пара-

графе **).

407*. Найти стационарное распределение температуры внутри
двугранного угла (0^г<^оо, 0 одна грань которого
имеет температуру, равную нулю, а на другой поддерживается за-
данное распределение температуры

Ответ.

*) См., например, [10в], стр. 63. Условия, налагаемые на /(г), могут быть
смягчены.

**) Некоторую особенность применения данного преобразования предста-
вляет выбор пути интегрирования Ь в формуле обращения (2). В тех случаях,
когда поведение искомой функции и при г—»0 и г—-со заранее известно
(например, из физических соображений), границы полосы (аь аа) могут быть
установлены, если исходить из условий абсолютной сходимости интеграла (1).
Если поведение функции и известно на одном конце промежутка (0, оо),
например, при г->0,то определяется соответственно только левая граница
прямая Ь должна быть выбрана правее прямой а = а1 и левее ближайшей
особой точки выражения й в интеграле (2).
408.	Решить предыдущую задачу при условии, что на грани ф=<х
осуществляется заданное распределение теплового потока

7<р |

ср = а

^0, а —

0, для остальных г.

Рассмотреть случай сосредоточенного потока <?, поступающего
в тело по линии г = а, 9 = а.

Ответ.

Т(г, ср)

, г
тс 1п —

и а , • Я

=----------------------1п----------------------------,

, г	, г	9

тс 1п — тс 1п —
п , . а , а . тсср
2тсА? сЬ——	ей —д------------5Ш

2а	2а	2а

й — коэффициент теплопроводности.

409.	Воспользовавшись интегральным преобразованием Меллина,
дать решение задачи 303.

Ответ.

Т(г, ср) = ^

К	г

СО8 Т 1п -г + Т 8Ш Т 1П -г

г(1+г2)

гср ,
-------- б/т

и 771

410.	Тонкая заряженная нить с зарядом д на единицу длины
помещена вдоль линии г —г0, 9 = 90, лежащей внутри двугранного
угла (0 г оо, 0	9	а), плоскости которого поддерживаются

при потенциале, равном нулю. Найти распределение потенциала

электростатического поля.
Ответ.

И (л ф)|,

81П Р (а — ?р) 81П РЧ

р 8Ш ра \Г

р

81П рсро * 8Ш Р(а —
р 81П ра

В частности, интегрирование может быть произведено вдоль мни-
мой оси.

411.	Выполнить вычисление для следующих частных случаев
предыдущей задачи:

а)	а = 2к; гй = а, = к (заряженная нить против края прово-
дящей полуплоскости);
6)	а = у; ге — а, 90 = тг (заряженная нить вблизи края провод-
ника прямоугольной формы);

в)	а = у (заряженная нить внутри прямого двугранного угла).

Ответ.

а)

и (г, у) = д\п-

2 ‘ а

ср । г

8И1 ^4--

б)

1—2

и (г, ср) = д 1п--

2
з

I соз

2

3 2 /

| соз (тс
о

4’

3

в)

1 — 2 (—соз 2 (ср

И (Г, ф) = я 1П--------------

1 — 2 — соз 2 (<р

412.

янными

Граница диэлектриков с посто-
и е2 образована двумя пло-

скостями, пересекающимися под углом
2а. Найти электростатическое поле, со-
зданное заряженной нитью, помещенной
в плоскости симметрии (рис. 102).

Ответ*).

4-П= — | г + с соз у |

/$/

? а

Рис. 102.

81П 2а (р — 1) СО8 (тс — ср) (р — 1)

81п тс (р— 1) [зштс (р—1) — р 8Ш (тс — 2а) (р— 1)]

СО5 ср (р— 1)

е2

81П тс (р — 1) — $ 81П (тс — 2а) (р — 1)

йр,

а 8ш ср

81П 2а (р — 1) 81П (тс — ср) (р— 1)

8Ш ТС (р— 1) [8Ш ТС (р— 1) — 8Ш (тс — 2а) (р— 1)]





4
1 СО

с(2) _ 2</1 Г _____________ашу (р— 1)__________(?ЛР~1

*	е«+61 Л 51пя(р—1) — рат (л:—2а) (р— 1) \ г /

1 — I ОО

Рис. 103.

/? — расстояние от заряда до рассмат-
риваемой точки, ₽ =

413.	Решить задачу об изгибе упру-
гой тонкой клиновидной плиты с опер-
тыми краями, нагруженной сосредото-
ченной силой Р, приложенной в про-
извольной точке оси симметрии (рис.
103)*).

Ответ. Прогиб произвольной точки плиты дается выражением:

и (г, 9) =	{ соз 9 8й (а — 9) т — сов (а — ср) зЬ 9т

б

СО8 Т 1П -

+ Т [8Й1 ? си (а - <Р) т - 81П (а - <р) ей <рт]} с11аг + со° ~	> °)’

где О — цилиндрическая жесткость плиты.

414.	Показать, что в частном случае предыдущей задачи, когда
я

а = у, прогиб точек оси симметрии плиты дается выражением:

°)==2ё

2

2

415*. Упругая тонкая плита (0=^г<^оо, 0^9^ а) закреплена
по краям и нагружена в точке (г0, 90) сосредоточенной силой Р.
Найти распределение изгибающих моментов и перерезывающих сил
вдоль края 9=0**).

Ответ.

М |

|ср =х О

___ Рга Г Г 81П ?о 811 ат 811 (а — р0) т

Л I 8Й2ат — т2 81п2 д
о

___ 8Ш Д 81П (д — р0) • Т 811 р0Т '
8Й2 ат — т2 8Ш 2 а

СО8Т1П— б/?,
г

*) Задачи 413, 414, 417 рассмотрены в [П8].

**) Эта задача другим способом решена И. Е. Сахаровым (ПММ, 12.
4, 1948).
оо

7У|!(,!=0=^' / < созф08катзЬ(а — ф0)т
о

4- х [81п а сов (а —фо) сЬ ат зЬ (а — 9о) т ~

— соз а 81’п (а — ^0) 8Й ат сЬ (а — <р0) т] — т2 8Ш а 81п (а — ср0) ей <рот } X

соз т1п у

зй2 ат — т2 81п 2а ^Т’

416.	Воспользовавшись преобразованием Меллина, решить задачу
328 (частный случай предыдущей задачи).

Ответ.

м\ —р г°51п 2 ?0 дИ —2Р г°51п 3

к = о	тс г2 + г§ — 2г0г соз сро ’	|?=о тс (г24-г§ —2г0г созеро)2*

Указание. Воспользоваться значением интеграла
ОО
С ЗЙ ТСр	, ,	1	81П Ср

I -с соз тф ал = 5 -г—:—-----.

8П ттс	т 2 СП ф -ф- СО8 ср

о

417.	Дать решение задачи 415 в предположении, что один из
краев (9 = а) плиты оперт. Рассмотреть частные случаи а = у и
а = к (квадрант и полуплоскость).

Ответ.

ОО

44	Г [81Пф08Ь(2а —Фо)^ —81’п(2а —<Ро)8Ьфо''1Х

| -Р =

Частные случаи:

, г

СОЗ т 1п —

X 8Й 2ат — т 81П 2а

_____ 2Рг0 81П ср0 8Ш 2ср0	е

= 0 тсг ’ г2 .	’

ф2 4“ фз 2 С08 2?0

Га	2Г

1 +-	-С05<ро

г0 т

§ 5. Интегральные разложения и преобразования, содержащие
цилиндрические функции с мнимым значком

Наряду с классическими разложениями, рассмотренными в § 1 и 2 на-
стоящей главы, в математической физике встречается разложение вида

/и) = ^ ГтзЬкт^Дл	(0<х<со), (1)

д’ Тх й» V;
где ЯС* (х) — функция Макдональда, /(х) — произвольная функция,
непрерывная и имеющая ограниченную вариацию во всяком проме-
жутке (а, Ь) (0 <^а<^Ь)9 для которой интегралы

с -1 1

] |/(х)|х 21п^йх
о

2

имеют конечные значения.
Если положить

/(т)= Г/(*) ах

Л	ух

п	г

оо

У |/(х)|с?х
1

(0=Ст<<сэ),

(2)

то из (1), для функций рассматриваемого класса, вытекает формула
обращения

оо
о г»	_ к, /дЛ

/(-*) = ^ ] т8Итст/(-:)-у=-б?т (0<Х<оо).	(3)

Формула (1) была установлена одним из авторов настоящей книги
в работах [б9’ 62].

Если ввести новые переменные с помощью соотношений

х = Хг, Е=Хр, /(х)/х = ^(г) (Х^>0),

то разложение (1) может быть представлено в форме

оо	СО

ё (О = х 8Ь (Хг)Л У ^(р)-1^- а? (° < г < оо),	(4)

о	о

которая хотя является менее симметричной, но более приспособлена
для решения задач, встречающихся в математической физике. Фор-
мула (4) справедлива соответственно при сходимости интегралов

1

2	оо	।

а) У 1^(Нк_,1пу аг, б) у |^(г)|г“Мг.

0	'1

2

Отметим еще одно частное разложение рассматриваемого типа,
полезное в приложениях,

е-^ = 4У/Сг(Хг)Л (0<г<со),	(5)

о

для которого условие а) оказывается невыполненным,
Кроме перечисленных выше формул, содержащих функцию Макдо-
нальда, в математической физике находит применение аналогичное
разложение по функциям Ханкеля и связанные с ним формулы обра-
щения. Формально эти равенства могут быть выведены из (4), если
принять X чисто мнимым числом (Х = /Л) и воспользоваться соотно-
шением между функциями (я) и М2) С?). Таким образом мы при-
ходим, например, к формулам обращения

= ] <?('')« -;-(0^т<оо),

О

(6)

ср(г)= — у Т 811 тгте2 ср (Лг)б/т (0 <у <^оо).	(7)

о

В работе М. И. Конторовича и Н. Н. Лебедева [48], где рассма-

тривались разложения, содержащие интегрирование по значку цилин-
дрических функций, получены условия, при выполнении которых из
формулы (7) вытекает справедливость формулы (6).

Интегральное разложение (4) применяется при решении задачи
Дирихле и других гармонических задач для области, ограниченной
двумя пересекающимися плоскостями (трехмерная задача), для клино-
видной области, ограниченной двумя параллельными и двумя перпен-

дикулярными к ним пересекающимися плоскостями, и т. д.

формулы типа (6)—(7) встречаются при решении задач теории
диффракции акустических и электромагнитных волн у препятствия,

имеющего форму двугранного угла или конуса.

Ниже помещен ряд примеров, иллюстрирующих приложения рас-
сматриваемых разложений и интегральных преобразований к матема-

тической физике.

Необходимые теоретические сведения
читатель может почерпнуть в работах,
указанных в списке литературы к дан-
ной главе (§ 5).

418*. Найти стационарное распреде-
ление температуры в клиновидном теле
заданной толщины I (рис. 104), грань

ср = а которого поддерживается при заданном распределении тем-

пературы

Л =/(г)81П-г,
|<р = а	I

п= 1, 2, ... ,

а остальные грани имеют температуру, равную нулю.
оо

Т(г, <р, 2) = |51П^ у{/(0)+^-8ЬптХ
о

оо

X/[/(?)-*

птср

~/(0)]Л7х

птср\^р] §И тер (пкг\
~Г) 7 1 ’	Кн\~)

бЙ,

о

где К? (х) — функция Макдональда.

419.	Дать решение предыдущей задачи при произвольном распре-
делении температуры на грани <р = а:

г1_а=/(г’ о-
|>р*==а

Ответ,
оо

Т(г, <р, 2)= 2- Тп(г, <р)8П1^,
п = 1
оо

Тп(г, ф) = -| У|/я(0)4-^-8Ьят X
о
00	дтср

X / [/„ (Р) - е~ ~ /„ (0)] Кн (7) ^ } •	^т} ах’

О

I

/п (О = У /(Г, 2) 8111	(12.

О

Указание. Разложить функцию /(г, г) в ряд Фурье по 81п^~
и воспользоваться результатом задачи 418.

420.	Найти стационарное распределение температуры у прямо-
угольного края пластины (0^х<^оо, 0=С_у<^оо, 0=Сг^/), грань
х=0 которого поддерживается при постоянной температуре 7"0,
а остальные грани — при температуре, равной нулю.

Ответ.

оо

л=0

. 2т? + 1

81П------ТС?

2пйн

оо

, 7СТ 8Й т<р
сЬ —------5-

2 .ят

8Ь-Г

ТСГ ) б/т.

При помощи интегрального представления для функции Макдо-
нальда

Л„(х) = -1Гт|

С»25'

СОЗ (х 8Й /) СОЗ т/ (II
полученный результат может быть приведен к более простому виду,
именно:

ят	81П —  7С2 Г СОЗ   — тег •	/ 1

Т=Ц?81П2(? У — I ----------------

тс2 т	2п + 1	| сЬ 2/ + соз 2ср

п = о	о

421- Найти распределение плотности электрического заряда, ин

дуцированного точечным зарядом
помещенным вблизи края тонкой
проводящей полуплоскости (рис.

105).

Ответ.

а=== .

2к*Ух[(х + а)* + г21

422*. Решить предыдущую за-
дачу при условии, что заряд д рас-
положен в произвольной точке про-

странства (г=г0, <р = ?0, г = 0). Найти распределение потенциала
электростатического поля.

Ответ.

, ч 2</Г 1	1

И(г, 2')=~[^агс1ёф1 —-^-агс1ё<}.9

где

/??,2 == г® + г2 го — 2г0г соз (<? н- ?0),

Л СЬ| + СО8^
I/ сЬ“ -созЦ^. ’
Л

ей а

2гог

4'1.2=

423. Точечный заряд д расположен
вблизи края проводника прямоугольной
формы, находящегося при потенциале
ц = 0 (рис. 106). Найти распределение
плотности заряда на гранях проводни-
ка ♦).

Ответ.

Рис. 106.	а (г, г) =

д Г 2сй К + У2-- 1________16 Г ____________хйх ___________п

4тс У2аг	3	] (2х2 — I)2 1/"4х3 — Зл — ей X •

Ь г(2с11Х+ У2)2 сь~

*) Данная задача решена впервые Макдональдом [78].
424. Найти распределение тока,
с точечным контактом, помещенным
тая, что проводимость пласта равна

созданное в почве электродом
вблизи наклонного пласта, счи-
а проводимость остальной

части почвы равна а2 (рис. 107). Дать выражение для распределе-
ния потенциала на поверхности земли *).

Ответ.

_ Г™ Г Кк(МК*(ИзЬ2(к-а)т
те’а, 3 С 5 г К 3	«Ь пт 4- 0 8Ь (« — 2а) т

О	о

б/т,

где р

47

гс3 (<зх +а2)

соз \х(Гк

^т(Хс)/6т(Хг)8ЙТСТ .

§Ь тст + Р «Ь (тс — 2а) т Т’

—-2 - --1, 7—сила тока, /СДх)— функция Макдональда.
а2 + а1

425. Показать, что в частных случаях а = ~ и а — решение
4	о

предыдущей задачи может быть приведено к следующему виду:

X	Я

а) а==-у.

— о

1 —

81П

2________________________?

- в2 + г2 У (г + в)2 + г2

8Й 6^ б/?

(г + «)2 + 4аг 8Й2

«1 =

<₽==*

+ °г) I ]Л(г + а)2+г8

о

8Й о; б/;

8ШО
о

8Й тс; |/7г + в)2 + «2 + 4аг 8Ь2

*) См. П.
где 3 = аге соз у.

б) а=у.

/3

ТС?!

сП к

и| =
ф = П

2СО8 $

«1 =

<р = 0

81П О

О §Ьтс;

сЬ о;

§Ь о; а;

Рис. 108.

1+3

где 8 = аге соз -

426. Дать решение задачи диффракции
плоской электромагнитной волны (Ех =
= Е=^0, Ег = Епе^ы~кх\ Л = — — вол-
новое число), падающей на идеально про-
водящую тонкую пластинку (рис. 108), рас-

положенную под углом а к направлению распространения волны
(задача Зоммерфельда).

Ответ. Комплексная амплитуда г-й составляющей полного поля
будет *)

/тс у'~2кг 81п ~

Е = Еье~1кг со8*

е4

| [7 е~ 1кг С05 (ф — 2а)

о

У 2кг ат 2<Х

г

О

427. Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, найти
распределение плотности тока на каждой из сторон пластинки.

*) См., например, [48].
Ответ. Искомые плотности определяются из системы линейных
уравнений

• । •	•	Г1/2 е гкг а .

714-/2=/-- -2г||/-тр=с08у +

гЧ	г— - . а

2/4	12ЛГ5.П-

4-т^81пае-'*''СО5“ С ,е3 .„]

О
р р

Л — /2 =	81П а е~1кг со8 «

где /р /2 — плотности на верхней и нижней сторонах пластинки.

соответственно.

Частные случаи.

а)	а = 0.

у =/ Е.С е-1кг
1 2 тс ]/2тс |/ 1кг

тс

б)	а = т.

/1,2

4тс

1 е~1кг

]Лтс д/1кг

428.	Параллельно краю тонкой проводящей пластинки (0 х <7 оо,
— оо <^у < + 00) помещен линейный источник переменного тока
Найти распределение плотности индуцированных токов
для случая, когда ток расположен в плоскости пластинки на рас-
стоянии а от ее края.

Ответ. Комплексная амплитуда плотности тока

2тс V х х + а

429.	Найти электромагнитное поле диполя с моментом Р, поме-
щенного на оси идеально проводящего конического рефлектора на
расстоянии а от его вершины*). Угол раствора конуса равен 2а.

Ответ. Комплексная амплитуда магнитного поля при г<^а пред-

ставляется рядом

ю	Н<2> ^ка) /	2(М

г г/ л\ /	| 1 \ и 2	п~^~ 2 ч/

е) = ^1Ь+-2)—
п == 1

Р^п (— СОЗ а) Р5л(С08 6)

7 Г дР.) (С08а) 1
8ш

♦) См. [6*].
гпе уп — корни уравнения Р. (со§ а) = О, Р. (х) — функция Лежандра;
Л(Х), //?(*) — цилиндрические функции.

Для г^>а следует переставить буквы г иав общем члене ряда.

430.	Плоская звуковая волна и0	встречает экран в виде

полуплоскости (г^>0, ср = а). Найти волну, отраженную от экрана.

Ответ. Комплексная амплитуда потенциала скоростей в произ-
вольной точке будет

/тс У^кг 81П

Г 1	С	1

и == и^е /Аггсо8 <₽ — -|——	|	е~™2 йз —

I 1/ ТС Л	4

г	О

/тс р2/гг81П У

— иое-/йг С05 •‘с - 2а>[— у 4"	С е~‘а2	•

431.	Точечный источник звука, испускающий сферическую волну
81П (<1)^ — кР)	.

и = и(} ——, помещен на оси конического рефлектора с
идеально отражающими стенками. Определить значения потенциала
скоростей внутри конуса (0^6^ а).

Ответ. Комплексная амплитуда потенциала скоростей будет

оо

и |=иотЛ^у„-|--^

г < а	п '= 1

77(2) 1 (ка)}	1 (кг)

% Т ~2	+ "2

]/ а	}/ г

Р' (— СОЗ а) Р (СО8 0)
п___________________п_________

Гдр^ (СО8 а) |

8Ш тс\„ I ------5------

" I	/К	I..

где ул — положительные корни уравнения Р^ (со§а) = 0; а — расстоя-

ние от источника до вершины конуса.

Соответствующая формула при г^>а получается перестановкой
букв г и а.

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ VI

Общие сочинения: Тигчмарш Е. [10в’ 107|, Вейль [17],
Левитан Б. М. [65], Трантер [1О0|.

К § 1: Снеддон [02,08], Кемпбелл и Фостер [4в].

К § 2: Ватсон [14], Грей и Мэтьюз [21], Лебедев Н. Н. [вз].

К § 3: Карслоу X. и Егер Д. [45], Конторович М. И. [47],
Лурье А. И. [70], Дёч [40], Виддер [10], Ван дер Поль Б. и
Бреммер X. [13], Диткин В. А. и Кузнецов П. И. [зв],
Фукс Б. А. и Левин В. И. [1М].

К § 4—5: Гринберг Г. А. [20], гл. XIV, Конторович М. И.
и Лебедев Н. Н. [48|, Лебедев Н. Н. и Конторович М. И. р8],
Лебедев Н. Н. [®2], Фок В. А. [117].
ГЛАВА VII

МЕТОД КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ

Во многих случаях решение задач математической физики суще-
ственным образом упрощается путем введения надлежаще выбранной
системы ортогональных криволинейных координат, позволяющих
наиболее просто сформулировать граничные условия задачи и полу-
чить ее решение путем применения методов, развитых в главах
IV—VI.

Простейшие примеры использования криволинейных координат,
относящиеся к применению полярных, цилиндрических и сфериче-
ских координат, были даны в достаточном количестве в рассмотрен-
ных выше главах.

Настоящая глава имеет целью дать необходимый материал для
приобретения навыков в применении некоторых других более слож-
ных систем ортогональных криволинейных координат, что позволяет
значительно расширить класс задач математической физики, допу-
скающих эффективное решение.

К названным системам относятся эллиптические, параболические
и биполярные координаты на плоскости, эллипсоидальные, параболо-
идальные, пространственные биполярные, тороидальные координаты
и некоторые другие.

Наиболее интересные приложения метода криволинейных коорди-
нат связаны с краевыми задачами для уравнения Лапласа и Гельм-
гольца. Применение рассматриваемого метода к данному классу
задач ограничено тем обстоятельством, что названные уравнения, за
исключением двумерного уравнения Лапласа, не допускают разделе-
ния переменных в произвольно выбранной системе ортогональных
координат, вследствие чего методы глав IV—VI не могут быть
использованы. В связи с последним замечанием возникает предста-
вляющая значительный теоретический и прикладной интерес проблема
отыскания тех систем ортогональных криволинейных координат, для
которых разделение переменных в уравнениях Лапласа и Гельм-
гольца оказывается возможным. Полное решение этой проблемы в
настоящее время еще не получено. Некоторые частные результаты,
относящиеся к специальным случаям рассматриваемой проблемы,
приведены в сжатой форме в заключительной группе задач (§ 8,
задачи 515—521)*).

В основу распределения материала настоящей главы положен
принцип объединения задач, разрешимых в данной системе криво-
линейных координат, независимо от их физического происхождения
и от характера спектра рассматриваемых задач, связанного с той
или иной формой их решения (ряд, интеграл и т. д.).

При рассмотрении плоских задач необходимые сведения о каж-
дой координатной системе приведены в задачах, помещенных в на-
чале соответствующих параграфов.

В разделе, посвященном пространственным криволинейным коор-
динатам, применение которых требует более глубокого знакомства
с теорией интегрирования дифференциальных уравнений^ теорией
специальных функций и т. д., соответствующие сведения даны в крат-
ких введениях к каждому параграфу.

В настоящей главе, наряду с простыми задачами, помещены и
относительно трудные задачи, решение которых связано с примене-
нием различных интегральных преобразований, с глубоким знанием
свойств специальных функций и т. д. (например, задачи 483, 497,
502—504). Задачи этого типа рассчитаны на подготовленного чита-
теля и могут служить упражнением для лиц, стремящихся к более
глубокому овладению методами математической физики.

Следует иметь в виду, что часть задач, помещенных в данной
главе, допускает более простое решение при помощи других мето-
дов (конформное преобразование, инверсия и т. д.).

I.	КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ

§ 1.	Эллиптические координаты

432.	Изучить систему эллиптических координат (а, Р), опреде-
ляемых равенством

х-\-1у = с сЬ(а-[-/р), 0^а<^оо, —теР -|-те.

Показать, что координатные линии образуют систему софокусных
эллипсов и гипербол (рис. 109). Составить выражение для квадрата
линейного элемента й$2 и оператора Лапласа.

Ответ.

= с9 (ей2 а — соз2 р)(б/а2	б/р2),

Аг___	1 /д2и । д2и\

с2 (ей2 а — соз2 9 \дя2 ’ др )'

433.	Проводящий эллиптический цилиндр с полуосями а и Ь вне-
сен в однородное электрическое поле (рис. ПО). Найти распреде-
ление плотности электрического заряда по поверхности цилиндра.

*) См. также литературу к данной главе.
Ответ.

о=-^(а+*)

СО5 (р — 7)

Vа? 81п2 ₽ +	соз2 3

где Е^ — внешнее поле.

Указание. Ввести эллиптические координаты (а, р) (задача 432),
где параметр с равен эксцентриситету заданного эллипса.

434*. Внутри полого проводящего эллиптического цилиндра
с полуосями а и Ь помещена нить с зарядом д на единицу длины,
направление которой параллельно образующей цилиндра (рис. 111).
Найти распределение потенциала в цилиндре.

Ответ.

оо

и (а, Р) = 2? [а0 — а + 2	со8 пр* соз пр ],

п=1

где (а, р) — эллиптические координаты, а0
и р* — параметры, определяемые равен-

ствами Н1 а0 = ~; соз Р* = у (^ <С с\

Указание. Считать заряд д равно-
мерно распределенным по площади криво-
линейного прямоугольника со сторонами
а = е, |Р| = р* — 8/2, | р | — р* -1- 8/2 и в
дальнейшем осуществить предельный пере-
ход е —► 0, 8 —> 0.

435.	Решить предыдущую задачу в предположении, что заря-
женная нить помещена вне цилиндра в точке х = (I (б/^> а), у = 0.

Ответ.

и (а, Р) = д 1п

ей (а* 4- а — 2а0) — сов 3

СЙ (а* — а) — соз 3

ей а* — — , с =
с
Указание. Для суммирования рядов воспользоваться формулой:

оо

ч	о V е~пУ соз пх	~

1п (2 ей у — 2 сов х) ==у — 2 У------------------, у 0.

п = 1

436.	Найти распределение плотности
дуцированного на бесконечно длинной

электрического заряда, ин-
тонкой проводящей полосе,

Рис. 112.

вблизи которой помещена нить с зарядом д на единицу длины
(рис. 112).

Ответ.

_____ I ' V -- о2
2тс’ (а — х)]Ло2—х2

437*. Эллиптический цилиндр заданных размеров, изготовленный
из магнетика с проницаемостью р, внесен в однородное магнитное
поле, составляющее угол у с линией фокусов (рис. ПО). Найти маг-
нитный потенциал и показать, что поле внутри цилиндра однородно.

Ответ.

и = (х Соз у у 81п у)

I г. х, ч , а -\-Ь /СО8 7СО8 В I 81П у 8И13\ I	,

4-/Л(1 — и)аЬ -А—~- -------—г2-4- -г-7----- ]е а4-соп81 — вне

'	0	1Л«2 —62 \ « +	1 6 + р.в /	‘

1	цилиндра,

И =	(о + *) (^773 х + ЛтЬ	+ СОП81 — ВНУТРИ цилиндра,

где /70 — внешнее поле, а и Ь — полуоси эллипса.

Указание. Выбор частных решений для области, лежащей
внутри эллипса, должен быть произведен, исходя из требования ог-
раниченности $га<1н.

438.	В однородное магнитное поле с компонентами Нх= — Н^,
Ну =	помещен полый эллиптический цилиндр, сечение кото-

рого ограничено софокусными эллипсами

5 + 5=‘’5 + 5=1	=

“1	471	и2	47 2

Найти распределение потенциала в магнетике, из которого изго-
товлен цилиндр.
Ответ.

и (а, В) = 770С----а, (а - а.)+.сЬ а, сЬ (а - а,)----

§И (а2 — а^) (§к	-]- р2 сИ 04) -|- ре*1 ск (а2 — а!)

где 1ка/ = |/ (/=1, 2); р— магнитная проницаемость материала
цилиндра.

439.	Внутри полости, вырезанной в железе с магнитной про-
ницаемостью р и имеющей форму эллиптического цилиндра с полу-
осями а и Ь, помещен линейный ток У, направление которого сов-
падает с осью цилиндра.

Найти вектор-потенциал магнитного поля, считая, что ток поме-
щен в точке (х0	уЛо2—Ь8, .уо = О) большой полуоси.

Ответ.



е 0 соз	.	0 ।

——г-----;---г2—:— ск ла СО8 Лр +

п (сп ла0 р 8П ла0)	‘ 1

СОП81

ао);

л, == - 2^ 1П	(и - 1) У-------

г с	С	п (ск па0 4“ Р §к яа0)

С08 Л^-]—

п — 1

-ф- СОП81 (а^>а0),

где Л1 и Л2 — значения г-й компоненты вектор-потенциала в воз-
духе и железе, /? — расстояние от точки (х0, 0) до точки (х, у),
Ь	х

(а, ?) — эллиптические координаты, Ш а0 = — , соз р0 = -у-—-2—- ,
а	1/ а8 — Ь8

с — скорость света.

440* Рассмотреть предельный случай р — оо предыдущей задачи.
Найти значение касательной составляющей магнитного поля на по-
верхности раздела.

Ответ.

.	2/, о . 47 V е~“па°со8 «30 .	о .

А1 =-----1п Н-------7 ---------г--— сЬ ла соз лр -4- сопз1,

1	с 1 с Хы л зк ла0	г 1

д = 1

1 л 27а .	.

— Да =---------Н СОП81.

р	С 1

Значение касательной компоненты магнитного поля на поверхности

раздела
___________________________________1___________= 2/._Р_

с'	1/в8—б’ТЛсИ’а, —СО88?	с аЬ •

где р — длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на
касательную к эллипсу в точке /И(а0, Р), в которой вычисляется
поле.
441.	По проводнику, сечение которого есть эллипс с полуосями
о, и Ь, течет постоянный ток, вызывающий нагрев проводника. Найти
распределение температуры по сечению, предполагая, что поверх-
ность проводника поддерживается при температуре, равной нулю.

Ответ.

Па, р)=й(а2-^)(1-

4УМ (сН 2а„ — соз 29);

сЬ2а0 ) у 0

Ь
йав=

— объемное тепловыделение в проводнике, к — коэффициент тепло-
проводности.

Указание. Выделить частное решение неоднородного уравне-
ния теплопроводности, представляющее полином относительно х и у.

442.	Тонкая пластинка ширины 2а помещена в плоскопараллель-
ный поток идеальной жидкости. Найти потенциал скоростей, считая,
что направление потока составляет угол у с плоскостью пластинки
(рис. 113).

Ответ.

ц = ^оо (х С08 7 ~1~у 81П 7 а 8*п 7 е~а 8*п ₽)»

где т/оо — скорость потока вдали от пластинки.

443*. Дать решение задачи о кручении стержня с сечением
в виде эллипса с двумя прямолинейными надрезами, доходящими до
его фокусов (рис. 114). Произвести численный расчет, принимая
«	113

отношение полуосей равным у, -у.

Ответ. Функция кручения:

а (а, (3) = — с2 8й2 а 81п2

п=0

сИ(2тг+ 1)а
сИ (2п	1) а0

8111 (2п + 1)Р

(1-4д«) (2п + 3) »
С	+ а8 Г32/.	6*\ „	61

Со- Д КГ	в2/	2а]’

а

р__ V Г(2л — 1) зк (2/г + 3)а0 4- (2и + 3) зИ (2п—1)а0

|	2(2и+ I)	—

п = О

811 (2п 4- 1) а0] •	__ 4л2) (2я _ ц (2п	3)2 сН (2л + 1) а0 ’

где Й1ао = ~.

Результаты численного расчета:

5-1=0,997; 5-1 = 0,970;

Со I	Со I

^. — 2	2^1

а 4	а 2

= 0,826;
з

Со — жесткость эллипса без разрезов.

Указание. Выделить частное решение (—у2).

444.	Определить функцию кручения для стержня с сечением
в виде полуэллипса.

Ответ.

ОО

к(а Я)— -^зЬ’азЩ’З-^ У 8Ь(2".+ 1)3. . зш(2л+1)р

«<а> Р) — с 8п а81п р	5^(2и_|_ 1)а0 (4л8 — 1)(2л4-3)

п=0

Й1ао = —; с2 = а2 — &2, а и Ь — полуоси эллипса.

445.	Найти стационарное распределение температуры в теле,
ограниченном поверхностью гиперболического цилиндра

> (»><•)

Распределение температуры по поверхности тела считается за-
данным.

Ответ.

ОО

Па, = [Л соз Ха +Л 81п Ха] Л ,
о
где
оо	оо

/с= У /(а) соз Ха Л, Д= /(а)8шХа4/а

есть косинус- и синус-преобразования Фурье от функции /(а), вхо-
дящей в граничное условие Т\ =/(а); ^?о = ~в

Р=?о	а
Указание. В задачах 445, 446, 447 удобно пользоваться элли-
птическими координатами, определяемыми равенством

х 1у = с ей (а ф), — оо а	00’ 0	7Г-

446.	Найти распределение плотности электрического заряда на
двух взаимно перпендикулярных заземленных плоскостях, между

Рис. 115.

которыми помещена заряженная нить (рис. 115).
Ответ.

447.	На оси симметрии щели ширины 2а, вырезанной в прово-
дящей заземленной металлической плоскости, помещена заряженная
нить с зарядом ц на единицу длины. Решить электростатическую
задачу и найти распределение заряда по поверхности пластин.

Ответ.

и (а, Р) = ^1п

ей а + 81П (3
ей а — 8Ш р

плотность заряда:

Я а
2пх (Х2 __ О2) 1/3 ,

а.

Указание. Уравнения пластин в эллиптических координатах
будут р = 0 и р = к.

8 Н. Лебедев и др.
§ 2. Параболические координаты

448. Изучить систему параболических координат, определяемых
равенством

— оо а 4~ оо,

0^р<^оо.

* + 0' = у(а + <8)2.

Показать, что координатные линии
образуют два ортогональных семейства
парабол (рис. 116). Составить выраже-
ние для квадрата линейного элемента
</$2 и оператора Лапласа.

Ответ.

= с* (а2	р2) (г/а2 -|- 4/р2),

△п =

1 /д2и . д2и\
с2 (а2 + р2)	~д?)

449*. Внутри проводящего экрана,
имеющего форму параболического ци-
линдра, помещена в его фокусе заряжен-
ная нить с линейным зарядом д. Дать
решение плоской электростатической
задачи.

Ответ. Потенциал электростатического поля:

оо

«(а, ₽) = 4?у —соз Ха ^Х.
О

Здесь р0 — значение, принимаемое координатой (3 на поверхности
цилиндра и равное = где р — фокусное расстояние пара-
болы, с — размерный параметр параболических координат (см. пре-
дыдущую задачу).

Используя значение интеграла

о

зИ рх
ей дх

81П гх дх — —
Я

, ТС/* .

сЬ — соз —

Я я



получаем решение в замкнутой форме:

К яа ,
С“-?7Г' + СО8

и (а, Р) = *2д 1п

2?о

сЬ ------соз

2$о

450.	Дать решение предыдущей задачи в форме ряда по функ-
циям, зависящим от переменной 8.
Ответ.

п(а, р)= 8^

(2п-|- 1)тс [<х|

23° СОЗ

2п + 1

(2п+ 1) тсЗ
2Ро

Суммируя ряд с помощью равенства

V р*п+1 соз (2п4~1) х _ 1 , I + 2р соз х + р2

2л+ 1	— Т1П Т—2рсозх+р2

п = 0



получим решение в замкнутой форме, приведенное в предыдущей
задаче.

451.	Найти распределение плот- &
ности электрического заряда на
тонкой проводящей полуплоскости,
параллельно краю которой поме- о и=о
щена нить с зарядом ц на единицу ---------------------------

длины (рис. 117).

Ответ.

Я 1/~ а
2тс(«4-х)г х*	Рис. 117.

Указание. Уравнение полуплоскости в параболических коор-
динатах задачи 448 будет [3 — 0. При решении считать заряд равно-
мерно распределенным по площади криволинейного прямоугольника,
ограниченного координатными линиями, размеры которого в даль-
нейшем стремятся к нулю.

§ 3. Биполярные координаты

452.	Рассмотреть систему биполярных координат (а, |3), связан-
ных с декартовыми координатами (х, у) соотношением

х 1у = с 111	, — оо < а оо, — к [3 те.

Показать, что линии р = соп81 суть дуги окружностей, проходя-
щих через точки х = ±с

х2 4- (у — с с(§ Р)3 — с\г-;

линии а —сопз!— ортогональные к ним окружности:

(х — с сй1 а)3 4-з? =

(рис. 118).
Составить выражение для квадрата линейного элемента </№ и
оператора Лапласа.

Ответ.

— .... С1	(<№ _|_ №	ДИ — (СЬ° + СО5 3Г /№ . ЛА

ая ~ (сИа + соз?)2 ( “ А«Р )>	Д«— С2 \даг Тф)-

Рис. 118.

453.	Найти распределение потенциала в пространстве между
двумя параллельными цилиндрами радиуса а, оси которых удалены на
расстояние 2/ друг от друга, а

потенциалы равны соответствен-
но ± V (рис. 119). Вычислить вза-
имную емкость цилиндров на еди-
ницу длины.

Ответ.

ао

4а0 9

где (а, (3) — биполярные коорди-
наты с параметром с = Р — а*,
2±а0 — значение, принимаемое

координатой а на поверхности цилиндров; связь величины а0 с гео-
метрическими размерами дается соотношением сЬа0 = —.

454.	Цилиндрическая труба радиуса а закопана в грунт на глу-
бине Ь (рис. 120). Найти стационарное распределение температуры
в пространстве, окружающем трубу, в предположении, что с ее по-
верхности поступает равномерно распределенный по углу поток

о а^=о	у

Рис. 120.

тепла Ф, а температура поверхности грунта принимается равной
нулю.

Ответ.

со

Т(а, р) — - — Гу -|- У	1йа сок лр1,

‘ кт: 8П а, [ 2 1 п с!1 паа	г] ’

п — 1

ей а0 = — ; к — коэффициент теплопроводности грунта.

455.	Два параллельных цилиндра радиуса а с осями, смещенными
на расстояние 2/ одна от другой, помещены в плоскопараллельный
поток идеальной жидкости, составляющий угол у с линией центров.
Найти потенциал скоростей.

Ответ.

н(а, Р) = Уоо Р — а2 | соз у

8Й а

ей а + СО8

оо

+ 2 2(-1)п

е 0 .	□ 1 । • Г 81П 0 I

-Т— 8Й Л а СОЗ Лр -4- 81П Т —Г—Н- г +
ей п а0	г ] 1	1 [ ей а + соз р 1

оо

+2 2(-1)П1ь^сНла5М}’
п — 1

где сйа0 —г>оо — скорость потока вдали от цилиндров.

456.	Дать решение задачи о кручении круглого вала, ослабленного
эксцентрически просверленной цилиндрической полостью(рис. 121)*).

*) См., например, [18].
Ответ. Функция кручения:

и (а, В) = а2 зй2 оь | с1й а! -к с1й а2-г—г 4-

V » Г/ 1	1 (	1 •	' СИ а + СО8 ?	1

оо

+ 2 V —Г сН1 а! • е~п^ зй п (а2 — а)4-
1	8Йи(а2— 64) Ь 1	к *	' '

п— 1

4~ сП1 а2 • е~па” зй п (а — 04) соз ;

и а2 определяются из соотношений

а*~ а1 + ^
2(1а

ей а2 =

а1 -- а2 --

2с1а2

457*. В круглом
узкий прямолинейный

вале, подвергающемся
паз (рис. 122). Найти

скручиванию, выпилен
функцию кручения и

численный расчет жесткости для

вычислить жесткость. Произвести
случая ~ = 0,5.

Ответ. Функция кручения:

и (а, (3) = а2зй2а0(--------.8Ч.Л,....Г 4,

4 ’ г/	0 I (ей а + соз й8 1

I 1 V	+ («-«о) . 2п + 1 о |

п *»0

где

2*8Й1‘Р- 81П —Г"-1

Л (ей а0 СОЗ ?)2

к (2а — Л)

йГр, 8Ьа0= 2в(а—Л)' (А<а)«
Жесткость:

оо	оо

п=0	п^О

где

•	20	•	1 о

2тс §1П 2 Р • 81П --Р

&п — (ей а + С08 р)3
□

В случае ^ = 0,5 находим С— 1,28 0а4 (ср. с результатом за-
дачи 233).

Указание. Выделить частное решение уравнения кручения,
равное (—у2).

Для вычисления жесткости применить формулу

2к

]’)’(1/Дф-|Ди)^54- у [4-<Р	4/р = 0.

(5)	0	а = «0

При численном расчете коэффициентов ап и Ьп можно воспользо-
ваться соотношениями:

__2п — 1 л 2и + 3 л

ап 2	^п-1	2

со

т=1	I 2	) т

.	1 Г2л-1 2л + 3	1

°п — “2 I—2— “'!'1-----2 °я+1 I ’

ОО

= [сЬ а0 АП + (2л + 1) 2 т е~та° /2п+ 1\а	~

т=1	1-^-1 -«2

458.	Эксцентрическая труба с сечением, изображенным на рис. 121,
подвергается давлению, равномерно распределенному по ее внутрен-
ней поверхности.

Рассмотреть плоское деформированное состояние трубы, считая
наружную поверхность свободной от усилий. Вычислить значения
поперечных нормальных напряжений на внутренней поверхности
трубы *).

Ответ.

°3 _ 2а2	(а? — <Р)2 — а1 (а2 + 2(1 соз ₽)2

р ~а1 + а1‘	+

где р — интенсивность давления.

*) См., например, [35].
459.	В длинном туннеле полукруглого профиля радиуса а на
высоте к натянут тонкий заряженный провод с зарядом д на единицу
длины. Найти значение электрического поля в плоскости симметрии,
считая стенки туннеля поверхностью равного потенциала.

Ответ.

а

81П 2р* (1 + СОЗ Р)
соз 2р — соз 2'р* >

, Р к
где р* определяется из соотношения

Указание. Рассматривае-
мая область ограничена коор-
динатными поверхностями [3 = 0
и Р=у системы биполярных ко-
ординат. Искомое решение разла-
гается в интеграл Фурье по пе-
ременной а.

460.	На проводящей плоско-

форме

сти имеется выступ в

полуцилиндра радиуса а. Опре-

Рис. 123.

делить распределение

электрического заряда, индуцированного на

поверхности проводника нитью с зарядом д на единицу длины, поме-
щенной в плоскости симметрии (рис. 123). Вычислить максимальный
градиент на поверхности.

Ответ. Плотность зарядов на плоскости:

о(х)

д 8Й1 2р* (сН а — 1)	а

тг— • —се - ?—. - -9	-..., х — а с1п -тг;

2тш зИ2 а 8Ш2 р* *	2 ’

на выступе:

, ч	д 81п 2^сНа .	1

°(9) * 2тса сЬ2а— §ш2р* ’ 81П9 а >

о*	. к

где значение р* определяется из соотношения	—

^тах

8?Л

к2 — а2 ’

Указание. При вычислении плотности воспользоваться инте-
гралом

8Й рх

8Й дх

9	Я

соз гх ах — -=
2?

8Ш —

__________д

. ЯТ . тср
СП-----Н соз —

д д



461.	Решить предыдущую задачу в предположении, что вместо
выступа в проводящей плоскости имеется полукруглое углубление.
Ответ. Плотность зарядов на плоскости:

а(х)= —•

Зтс<2

х — а сН1 ;

на поверхности углубления:

°(?) =

9

БШ -х-(тс—₽*) • сЬ а
ч ________2________________

Зпа . 2а 2 г
сЬ у + соб (тс — р*)

I
ей а ’

81П

462.	Цилиндрическое тело с сечением в виде симметричной
круговой луночки помещено в однородный плоскопараллельный
поток идеальной жидкости с компонентами скорости — г>оо,
^ = ^ = 0 (рис. 124). Найти потенциал скоростей.

Ответ.

и (а, Р) = т/оо /а2 — Ь*

§11 а

СЙа + сО8(3

) рр ей X (тс — 3)
§й тсХ 8Й (тс — $0) X

81п Ха (1к

,	₽0 Ь

где	; V^о — скорость потока вдали от тела.

Указание. В рассматриваемой задаче удобнее считать, что
переменная р системы биполярных координат х 4- О' = с *—
изменяется в пределах р0<^Р <^2к — р0.

463.	Найти функцию кручения для цилиндра, сечение которого
представляет из себя круговую луночку, ограниченную кривыми
₽ = Р1 и Р = Ра системы биполярных координат (рис. 125). *)

*) См. [т].
Ответ.

и (а, р)= с2

СО8 3
сИ а + соз ?

8н х?2 х о — ро

8И ХтС зН X (рз—р!)

СОЗ Ха г/Х —

У

О

8Ь)& -8НХ(Р8—

811 Хтс 8Н X (?2 — ?2)

— 2 с1е

соз Ха б/Х

где параметры р,

и р2 определяются из соотношений

I с1& & 1 _ 4 . I 8Ш >% I .

I I	4'1 81П ?! I	«8 ’

с = рЛх? — /| =	— /!.

Указание. Для сведения задачи к однородной выделить
частное решение уравнения кручения вида у (с2— х*—у2), где с—
параметр координатной системы.

464.	Полукруглая упругая плита радиуса а закреплена по
своему контуру и нагружена сосредоточенной силой Р, приложен-
ной в произвольной точке оси симметрии. Найти распределение
изгибающих моментов по контуру*).

Ответ.

оо

+ •’П8" ^8“(т-₽•)-

— X8Ь хр*I  С08>*а<**. ,
8!18—у~~Х8

М	сЬ а	зИ -у-зЬ Хр* с1^р* —

\	\	о* VI СО5>а г/Х

4	1 "* 8112	-X8

где р* определяется из соотношения

2 — а

Ь — расстояние от точки приложения силы до прямолинейного края
плиты; (а, Р) — система биполярных координат (см. задачу 452).

*) Задачи 464—466 рассмотрены в [ш|.
465.	Решить предыдущую задачу для случая равномерно рас-
пределенной внешней нагрузки д. Дать выражение для прогиба
ла оси симметрии.

Ответ.

оо

_0=-----------соз р — X 81п р ^сЬ Кр — с(Ь	X

32 Е) соз2 "2’ о

Хг/Х

8Й2	— >.8

—	у},

где О — цилиндрическая жесткость плиты.

466.	Определить распределение изгибающих моментов по кон-
туру упругой плиты, имеющей форму симметричной круговой
луночки (—+ в центре которой приложена сосредо-
точенная сила Р.

Ответ.

М

13 =±3о

~?^-(сьа+со8^) ]
о

зЬ Х₽о соз Ха б/Х
8Й 2Х^о + Хзш 2^0

II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ

§ 4. Вырожденные эллипсоидальные координаты

Применение эллипсоидальных координат к рассмотрению крае-
вых задач математической физики для случая, когда основная
область есть трехосный эллипсоид вращения, представляет значи-
тельные трудности, так как приводит к функциям Ламе, теория
которых в настоящее время разработана еще недостаточно глу-
боко *).

Наибольший интерес для приложений представляют частные
случаи общей проблемы, соответствующие равенству какой-либо
пары полуосей основного эллипсоида. Для этих случаев рассма-
триваемый эллипсоид будет эллипсоидом вращения, и связанные
с ним координатные системы могут быть названы вырожденными
эллипсоидальными координатами.

В случае вырожденных эллипсоидальных координат частные ре-
шения уравнения Лапласа выражаются через элементарные и сфе-
рические функции, теория которых, в отличие от функций Ламе,
разработана достаточно подробно.

*) Общая теория эллипсоидальных координат и функций Ламе дана,
например, в работах [по» 81]. Некоторые задачи, относящиеся к применению
этих координат, не требующие при решении знакомства с теорией функций
Ламе, помещены в конце настоящего параграфа (задачи 486—489).
Рассматриваемые частные решения могут быть с успехом при
менены также при рассмотрении краевых задач для области,
ограниченной поверхностью заданного гиперболоида вращения
(задачи 483—485). Заметим еще, что вырожденные эллипсоидаль-
ные координаты могут быть использованы для исследования крае-
вых задач, связанных с уравнением Гельмгольца, однако в этом случае
г	частные решения представляются

через более сложные волновые
сфероидальные функции ([100, 102|).

Система вырожденных эллипсо-
идальных координат (а, р, <р) для
вытянутого эллипсоида вращения
определяется при помощи формул

X — С 8Й а 81П Р СО8^>,
у — с 8Й а 81 л р 81 л ср, г = с ей а соз р,
где с — масштабный множитель,
0-=Са<^оо,
Каждой точке пространства соот-

ветствует единственная совокуп-
ность значений (а, р, <?)• Координатные поверхности суть вытяну-
тые эллипсоиды вращения а — сопз! с фокусами в точках (0, 0, -ь с),
софокусные или двуполостные гиперболоиды вращения р = сопз!
и плоскости, проходящие через ось г, ср=^соп81 (рис. 126). Выра-
жения квадрата линейного элемента и оператора Лапласа в рас-
сматриваемой системе координат имеют вид:

= с2 (8112 а Ц- 81п 2Р)(б/а2 + </р2)	с2 8й2 а мп 2р^2,

Г 1	д	, ди	.	1	д	. о ди	.

—- . __	а —Н -—г • -Х7- 81П р -чо- +

| бйа	да да	1	8Ш р	др г др	1

С2(5Н2а + 81П2?)

1 \ д2и 1

81 л2 р/ дт2 ] ’

Частные решения уравнения Лапласа, регулярные внутри эллип-
соида а = а0 и не зависящие от координаты ср, могут быть пред-
ставлены в форме

и = ип = Мп Рп (ей а) Рп (соз ₽),

л = 0, 1, 2, ... ,

где Рл(г)—полином Лежандра //-го порядка, Мп — произвольные
постоянные **).

Данная совокупность решений пригодна для рассмотрения вну-
тренней краевой задачи для вытянутого эллипсоида вращения.

*) Если (г, ср, х} — цилиндрические координаты точки, то
х 4- 1г = с ей (а + /р).

**) См., например, Н. Н. Лебедев [®3], § 8.7, где приведены также решения
для общего случая, когда искомая функция зависит от <р.
Соответствующая совокупность решений уравнения Лапласа,
подходящих для исследования внешней краевой задачи, связанной
с данным эллипсоидом, будет

и = пл = Л^фДсй а)/\(со8 Р),	/2 = 0, 1,2,...,

где (г) — функции Лежандра второго рода.

Эти функции могут быть выражены через элементарные при
помощи соотношений:

= у 1пТ=Т’ ^1^)= 2"1п+т“ !>

(«+1)<?л+1(^)-(2л+1)г(?я(г) + Л(?я_1(2:) = 0 (л-1, 2,...).

Применение метода Фурье к краевой задаче для области, огра-
ниченной поверхностью гиперболоида 3 = ро, приводит к совокуп-
ности решений уравнения Лапласа, непрерывно зависящих от пара-
метра т:

и — цт — МтР ] (ей а) Р 1	(± соз р),

~-2+/Т	“2-+/т

Т^О,

где Р^г) — функция Лежандра, и знак гЬ относится соответ-
ственно к областям О^р<ро и р0<^р=^тг. В этом случае общее
решение строится путем интегрирования частных решений по пара-
метру т, и для определения 714т используется, вместо теории рядов

сферических функций, интегральная
теорема разложения Мелера — Фока
(см., например, Н. Н. Лебедев [63],
§ 8.9, а также задачи 483—485).

Вырожденные эллипсоидальные ко-
ординаты для случая сплюснутого
эллипсоида вращения определяются ра-
венствами *)

х = с ей а 81п р соз 9,
у = с СЙ а 81П р 8Й1 ср, г = С 8Й а СО8 Р

Координатные поверхности суть	Рис. 127.

сплюснутые эллипсоиды вращения
а = соп81, однополостные гиперболоиды вращения р = соп81 и пло-
скости 9 = соп81 (рис. 127).

*) С цилиндрическими координатами (г, ср, г) рассматриваемые криволи-
нейные координаты связаны соотношением:

2 + /г = с 8Й (а +
Квадрат линейного элемента и оператор Лапласа в рассматри-
ваемой системе координат получают следующие выражения:

= с2 (ей2 а — 81п2 Р) (бГа2 -ф- <ф2) -р с2 ей2 а 8Ш2 р йу2,

1 д . п ди

-г—? •	81П 3

д^ г

^и — —~——
с2 (ей2 а

1	1 д ,	.

-----• тг с“ а-4-
— 8П12р)[сйа да 1

1__________1

81П2р	ей2 а

Для случая, когда искомая функция не зависит от координаты ср,
совокупность частных решений, подходящих для рассмотрения

краевых задач при граничных условиях, заданных на поверхности
сплюснутого эллипсоида а = а0, имеет вид:

Рп (1811 а)

н = и =М	Р„(СО8₽), л = 0, 1, 2, ... ,

<2п О 511 а)

где верхняя строчка относится к внутренней (0 а <^а0), нижняя—
к внешней (а0<^а<^со) задачам.

Ниже помещен ряд задач, относящихся к применению вырожден-
ных эллипсоидальных координат в математической физике.

467.	Заряженный проводник имеет форму вытянутого эллипсоида
вращения с полуосями а и Ь. Найти распределение электричества
по поверхности проводника и емкость эллипсоида.

Ответ.

<?	.	1	_ С_______________1

4те28йао ’ 1/сй2а0 —СО82'Э	47с^2 * Г & Г2 >

у а* + ь*

где — полный заряд эллипсоида.

С=------

1п^+-с
а — с

где с = а2 — Ь2,	111 а0 — ~.

Указание. Ввести эллипсоидальные координаты, в которых
поверхность рассматриваемого эллипсоида представляется уравне-
нием а = а0.

468.	Внутри полого проводящего экрана, представляющего
собой вытянутый эллипсоид вращения, помещен в его центре
точечный заряд ц. Найти распределение потенциала внутри экрана,
считая, что его поверхность находится при нулевом потенциале.

Ответ.

1________

]/8Й2 а 4" СО82 Р
оо

- 2 (4п + 1) Р*п (0)	Р,п (ей а) Р,п (соз ?) ],

п = О

и (а, Р)=—-Л - - Г
]/а2 — Ь2 I
где Рп(х) и С?п(х)— функции Лежандра первого и второго рода,

р2л(0)=(- 1)"

I • 3 • 5... (2п — 1)

2  4 • 6 ... 2^

Параметр а0 определяется соотношением

Ь
а — — ,
0 а ’
где а и Ь — полуоси эллипсоида.

Указание. Выделить из решения потенциал точечного заряда;
для разложения последнего в ряд воспользоваться значением ин-
теграла:

Г	= 2Р*п(0)	а).

Л у 8Ь2а4“-г
— 1

469.	Найти свободное распределение электричества на провод-
нике, имеющем форму сплюснутого эллипсоида вращения с полу-
осями а и Ь, и вычислить его емкость.

Ответ.

0 =	1	= _д__________1

4тсс2сйа0 Ус^ао —4*а2& т Г г2 , я2 ’

Г
где ф — полный заряд проводника;

. с
аГС 8111 —
а

где с — /а2 — Ь*, а0 — —.

а.

Указание. Воспользоваться системой эллипсоидальных коор-

динат, в которых уравнение а = а0 есть уравнение
рассматриваемого эллипсоида.

470.	Найти свободное распределение электри-
чества на тонком проводящем диске радиуса а.
Вычислить емкость диска.

Ответ.

а =-----У	С=-(

4тс« ]/ а2 — г2

где — полный заряд диска, г — расстояние от
центра диска.

поверхности

Рис. 128.

471*. Найти распределение плотности заряда, индуцированного
на диске точечным зарядом помещенным в произвольной точке
оси симметрии (рис. 128)*).

*) Более простое решение настоящей задачи получается при помощи
интегральных уравнений (см. задачу 551 б).
Здесь р = агс81п ~9 где г —расстояние от центра диска до про-
извольной точки на его поверхности; РЛ(г) и (?п (г) функции
Лежандра первого и второго рода.

Указание. Воспользоваться разложением

оо

= I 2 (4« + 1) Р*п (°)	{18Ь а) Р8л(*).

п=0

1

ей2 а — х2

472. Заземленный плоский экран
с круговым отверстием радиуса а
помещен в электрическое поле, ко-
торое однородно на большом рас-
стоянии от экрана и имеет значение
Ег по левую сторону экрана и Е% по
правую (рис. 129). Найти распределе-
ние потенциала в окружающем про-
странстве и вычислить распределение
поля вдоль оси симметрии *).

Ответ. Распределение потенциала
дается формулами:

|г>0= ~ (Е1 —	(1 — зИ а аге соз р — Е&,

и| — — (Е« —	—зй а аге (гсозр—Е.х.

|г<0 тс 1	\	ь 8Йа/ г 1

Поле вдоль оси г будет:

2>0	1

г-0

Е^-Е,

1

8ЙЯ

8Йа'

СЙ2 а,

Е

Е% Е}
тс

Е

§11 а

8Йа сй2а

г —О

•) Рассматриваемая задача представляет интерес для электронной
оптики.
Указание. Ввести эллипсоидальные координаты с параметром с,
равным радиусу отверстия, и искать решение в форме:

и = А1 (а) соз 3 — Ех%,
?<о	14	‘

и = Д2 (а) соз 3 — Е%2.

473.	В однородное электрическое поле помещен диэлектрик,
имеющий форму сплюснутого эллипсоида вращения. Решить эле-
ктростатическую задачу, предполагая, что внешнее поле направлено
по оси симметрии (в сторону отрицательных г).

Ответ. Распределение потенциала в диэлектрике:

е сН2 а0 — бН2 а0 — (е — 1) зН а0 сН2 а0 аге с1^ зН а0

сопз1;

распределение потенциала в воздухе:

„ — Р ? _ Е°с <е ~~ §Н а° сЬ2 во 0 — аге зИ а) соз ? .	,

0	е сН2 а0 — зЬ2 а0 — (6 — О а0 сН2 а0 аге сЦ* зН а0 *

Здесь Е9 — величина внешнего поля, е — диэлектрическая постоянная;
.. *
Ш а0 = —,

0 а *

где а и Ь — полуоси эллипсоида.

474.	Найти сопротивление заземлителя, погруженного в грунт
с проводимостью а (рис. 130), считая, что заземлитель имеет
форму полуэллипсоида с полуосями а и Ь (а>Ь) *).

Ответ.

=	1	1П а +

4тса ]/а2 — Ь2	а — ]/<22 — &

475. Постоянный ток силы У поступает в почву через точечный
контакт, расположенный на поверхности земли над углублением,

заполненным породой с проводимостью аъ отличной от проводи*
мости остальной части почвы (рис. 131). Найти распределение

*) См. [81|.
тока, предполагая, что границей сред с разными проводимостями
является часть поверхности вытянутого эллипсоида

+	(г>0).

Ответ. Потенциал токового поля в каждой из сред опреде-
ляется равенствами:

«1=Н—у (4л 4-1) р2„ (0) х

2ЛЭ1/? 1 2тс. V а* —&
г	л==0

X 08д (сН Ор) (?2п (сЬ а0) Р8П (сП а) Р8Я (СО8 ?)
(сП %) Р2п (сП Ор) — о8Р2п (сЬ а„) (?2л (сП а0) ’

Щ = ----—Л...... У	(4л 4- 1) Р2_ (0) X

2	2г]/а2- 62бН2а0	1

________Ом (сЬ а) Р8Я (соз 3)_
а1<?2л (сЬ яо) ^2п (сН а0) — ъ2Р2п (СН а0) С^п (сН а0) ’

где /? — расстояние от источника до рассматриваемой точки,
1Иа0 = у, Рп(х), — сферические функции Лежандра,

Ра„(0) = (- 1)" 1 ;2 45-6.42П271) ’	«=1> 2, ....	Ро(О)=1.

476.	Постоянный электрический ток поступает в землю через
заземлитель, выполненный в виде диска радиуса а (рис. 132).

Рис. 132.

Найти распределение тока под за-
землителем и вычислить сопроти-
вление заземления.

Ответ. Потенциал токового
поля

2У	1

и — — агсс^зйа;	Н = -А—,

«	&	4аа *

где V—потенциал диска, а — про-
водимость земли.

Указание. Ввести систему вырожденных эллипсоидальных
координат /0^а<^со,

477.	Вытянутый эллипсоид, изготовленный из магнетика с ма-
гнитной проницаемостью внесен в однородное поле /Уо, напра-
вленное по его большой полуоси (в сторону, противоположную
оси ^). Решить задачу магнитостатики и показать, что поле внутри
эллипсоида будет однородным.
Ответ. Поле внутри эллипсоида



/7г = -

ей2 а0 — р. 8Й2 а0 + (р* — О §Ь2 а# сН а0 1п сШ —

, и. Ь

где 1На0 = —.

Подстановка величины а0 приводит к выражению

с = у/ а2 — &2.

478.	Найти стационарное распределение температуры в вытя-
нутом эллипсоиде вращения, поверхность которого имеет темпера-
туру, распределенную по заданному закону. Рассмотреть частный
случай, когда половина поверхности эллипсоида (г<^0) имеет
температуру нуль, а другая половина С?^>0) поддерживается при
температуре Го.

Ответ.

Па, ?)=у 2 ><сЬ а) (С08 //(71)рл(со8у|)8*п71^>
л=0 П °	О

где Рп(х)— полиномы Лежандра, /(р) — заданное распределение
температуры по поверхности эллипсоида, которая представляется
уравнением а = а0.

В частном случае

оо

л=0

Лл+ДсИ а0) Р^+' (С08	(сН а) ],

р — г_____	1 • 3 « 5. . . (2я	1)

РъЛ")-Л	2-4.6. . Лп

Указание. При вычислении интеграла Рп(х)Лх восполь-
о

зоваться рекуррентным соотношением

(2л + 1) Рп (х) = Р’п +, (х) - Рп _, (х).

479.	Найти стационарное распределение температуры в вытя-
нутом эллипсоиде вращения, поверхность которого поддерживается
при температуре, равной нулю, а внутри происходит тепловыделе-
ние с постоянной плотностью
Ответ.

П«> ₽) = - -^-[зЬ2« 81п 28 -~ +
+ .Ч(йХ .^(3 СО84 ₽ - 1 )(3 ей8 а - 1)],
где с =	— #2, а и #— полуоси эллипсоида; к — коэффициент

теплопроводности, (а, Р) — вырожденные эллипсоидальные коорди-
наты.

Указание. Для приведения задачи к однородной выделить
частное решение неоднородного уравнения теплопроводности вида
/	С}г*\

480.	Тело, имеющее форму вытянутого эллипсоида вращения,
обтекается однородным потоком идеальной жидкости, направлен-
ным по оси вращения эллипсоида (в сторону отрицательных г).
Найти потенциал скоростей.

Ответ.

«(а, р) = ^ооС ей а 4

ей а 1п с1й — I

СО8 р 4- СОП81,

ас 1 ,

И* 2п

а + с

а — с

где с— У а*— Ь\ а и ^ — полуоси эллипсоида; — значение

скорости потока вдали от тела.

481*. Вычислить потенциал сил тяготения однородного вытяну-
того эллипсоида вращения *). Получить асимптотическое выражение
потенциала для случая малого эксцентриситета с.

Ответ. Потенциал в области вне эллипсоида

и (а, Р) ~ (ей а (3 соз2 Р — 1)4“

4~ [2 (зш2 Р — 8Й2 а) 4~ з 8Ш2 р 8Й2 а] 1п с!й у|,

где а и Ь — полуоси эллипсоида, р — плотность. Множитель, числен-
но равный постоянной тяготения, опущен.

м4о^жй+54’Р2(со8б)]’

4 о

2И=уТгра^г — масса эллипсоида.

=/г2 4~ г2, 6 = агс^у, Р2 (х) = —-у -.

Указание. В области внутри эллипсоида выделить частное
решение неоднородного уравнения: — терг2.

*) Очевидно, что рассматриваемая задача может быть решена без при-
менения эллипсоидальных координат.
482. Вычислить гравитационный потенциал однородного сплю-
снутого эллипсоида вращения.

Ответ. Потенциал сил тяготения вне эллипсоида

и (а, Р)=	{[2(сН2 а 8Й12 Р) — 3 с1т2 а 81п2 Р] аге с!^ 8Й а —

— 8к а (3 соз2 р — 1)}.

При малом с

(соз 6) 1, где М = ~ пра*6.

[ 'х	О/\	о

Указание. Для приведения
задачи к однородной выделить во
внутренней области частное реше-
ние неоднородного уравнения вида:
— игр (а2 — Ь^) ей2 а 8ш2 р.

483*. Внутри заземленного про-
водящего экрана, изготовленного
в виде гиперболоида вращения,
помещен в его фокусе точечный
заряд д (рис. 133). Дать решение
задачи электростатики.

Ответ. Потенциал электроста-
тического поля

т 1й тгт
СЙ 1ГГ



Н(а,

I . (— СО8 ₽0)

•у ~Н’Т

-р2-----7^^-Р >А.(сЬа)Х

*	। (СОЗ ^0)	—

о	2

Хр_1+(-/С08^т (О^^Ро),

где —сферическая функция Лежандра.

Указание. Ввести систему эллипсоидальных координат (а, р, ср),
в которых уравнение поверхности гиперболоида будет р = р0. При
решении воспользоваться интегральным разложением Мелера —
Фока *):

/(«)=]
о

тйютР ]	(сЬа)</т1

2	о

1 (сП ?) зЬ Ы 5.
2+”

*) См. стр. 291.
484. Вблизи вершины электрода, имеющего форму гиперболоида
вращения, помещен на его оси точечный заряд д (рис. 134). Найти
распределение потенциала в окружающем пространстве.

Ответ.

485. Постоянный ток
электрод, установленный

У втекает в грунт с проводимостью о через
на дне впадины (рис. 135), имеющей форму

Рис. 134.

гиперболоида вращения р = ро (Ро— значение, принимаемое эллип-
соидальной координатой р на поверхности гиперболоида). Найти
распределение тока в почве.

Ответ. Потенциал токового поля

7

Н 2тс~ Р 2тс7 с

Р' !	. (СОЗ р0)

Т ТСТ	________..

сй2тст Р' 1	(—соз30)

ХР 1	(—созР0)Р I (—созр)Р 1 (сЬа)сГт,

-тг+‘-

где Р — расстояние от источника до точки, в которой вычисляется
потенциал, с — эксцентриситет гиперболы р = Ро, Ру (х) — функция
Лежандра.


486.	Найти свободное распределение электричества на провод-
нике, имеющем форму трехосного эллипсоида с полуосями а, Ь, с.
Вычислить емкость.

Ответ.

а=_$......... -1________

4кадс -,/"^2	а2 ’

V ^”Г	С1

где <2 — полный заряд проводника;

Г _________08________

О У(а* + 8) (^+8)^ + 8)

Указание. Ввести эллипсоидальные координаты (а, р, у), опре-
деляемые как корни кубического уравнения

х2 । у2 . з2 ________1

а2 + \ + У2 + X ‘ (У+Т —

и искать решение, зависящее только от а.

487.	Найти свободное распределение электрического заряда на
тонкой плоской эллиптической пластинке с полуосями а и Ь и вы-
числить ее емкость.

Ответ.

О________1

где О, — полный заряд пластинки;

где /<(Л) — полный эллиптический интеграл первого рода.

Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи и
перейти к пределу с -> 0.

488.	Найти магнитное поле внутри трехосного эллипсоида из
магнетика с проницаемостью р., помещенного во внешнее однород-
ное поле 77О, направленное вдоль его большой оси.

Ответ. Направление поля совпадает с направлением Но, а зна-
чение поля определяется выражением

________________^0_______________
оо

1+^-1) Г ---------?	=

2	Л (а‘ + 8)/(й24-3) (*» + «) (с8 + 8)
489.	Вычислить гравитационный потенциал однородного трехос-
ного- эллипсоида *).

Ответ. Потенциал в области вне эллипсоида

и Л 1 Я2 4-8	4- 8	+ 8 ]	8) (^2 +5)(с2 + 5)’

где Л — положительный корень уравнения
у-2	<(2

—______I___У____I--------1 — о.

я2 4- X Ь2 + X ‘ с2 + К

р — плотность эллипсоида. Множитель, численно равный постоянной
тяготения, принят за единицу.

§ 5. Параболоидальные координаты

Для решения задач математической физики для области, имеющей

форму параболоида вращения, удобно пользоваться системой пара-

болоидальных координат (а, р, ср), свя-
занных с декартовыми координатами ра-
венствами:

х = с оф соз ср, у — с ар 81п <р,



где 0^а<^оо, 0^р<^оо, —к<^ср^к,
с — размерный множитель **).

Координатные поверхности будут ор-
тогональные семейства параболоидов вра-
щения а = СОП81 И Р = СОП81 и плоскости
ср — СОП81 (рис. 136).

Квадрат линейного элемента и опера-
тор Лапласа в рассматриваемой системе
координат выражаются формулами:

с1з2 = с2 (а2 + р2) (4/а2 4- <32)	с2а2р2б/?2,

__	1	Ид ди	,	1 д п	ди , / 1	। 1 \ №1

~ с (а8 4-	[ а да Л да	'	? ф Р + \а8	‘ р’) ^р8] ’

В том случае, когда искомая функция и не зависит от коорди-
наты ср, применение метода Фурье приводит к следующей совокуп-

*) См., например, [®7], стр. 109.

**) С цилиндрическими координатами (г, ср, г) параболоидальные коорди-
наты связаны соотношением я + /г = у (а 4" *?)2- Множитель с при жела-
нии может быть выбран равным единице.
цости частных решений уравнения Лапласа &и — 0:

и = Мх (а, ₽) = Л1>. (?$ 4 (Ха) (0 X < оо),
/\(ДЛР)

где /0(х), Л"0(х), /0(х)— цилиндрические функции, верхняя строчка
.относится к области (0	,3 Ро), лежащей внутри параболоида,

нижняя — к области (р0 Р схэ), лежащей вне параболоида.

Решение краевой задачи получается путем интегрирования по
параметру К, причем для определения постоянной используется
теорема разложения произвольной функции в интеграл Ханкеля.

Параболоидальные координаты могут быть с успехом применены
для рассмотрения общего случая гармонической задачи для парабо-
лоида вращения, когда искомая функция зависит от координаты ср
(задача 492), а также для исследования краевых задач, связанных с
уравнением Гельмгольца*). В последнем случае частные решения
могут быть выражены через вырожденную гипергеометрическую
функцию.

490.	Решить задачу 483, считая, что проводящий экран имеет
форму параболоида вращения.

Ответ.

со
о
где /0 (х) — функция Бесселя первого рода; /0(х) и — функ-
ции Бесселя мнимого аргумента, — значение, принимаемое коор-
динатой р на поверхности параболоида и равное р0=	~, р — фо-

кусное расстояние, с — размерный параметр системы параболоидаль-
ных координат.

Указание. Воспользоваться значением интеграла

оо

=	(«>0. *><»•

о

491.	Найти стационарное распределение температуры внутри
тела, имеющего форму параболоида вращения, на поверхности ко-
торого поддерживается заданное осесимметричное распределение

Т =/(«)•

Ответ.  р):	ОО	СО  0	0	0	о

*) См., например, [71].
492.	Дать решение первой краевой гармонической задачи для
области, ограниченной поверхностью параболоида вращения р =р0,
предполагая, что граничное условие задано в форме

«|з=30=А(а)СМП?, л = 0, 1, 2,	,

81П Пу

где /п — заданная функция.

Ответ. Значение искомой функции и в произвольной точке
внутри параболоида определяется равенством
оо

И(«, 3, <Р)==ХТ Г

81ПП.р Л 1п (АРо/

_	О

где Д — коэффициент разложения функции Д в интеграл Ханкеля:

А(а)аЛ(Ха)аГа>

О

Зп(х\ 1п(х)—функции Бесселя.

§ 6. Тороидальные координаты

К классу наиболее важных для приложений ортогональных кри-
волинейных координат относится также система тороидальных
координат, которая оказывается полезной при рассмотрении краевых
гармонических задач для области, ограниченной поверхностью тора
или поверхностями двух пересекающихся сфер.

Тороидальные координаты (а, [3, ср) могут быть введены при по-
мощи соотношений *)

с 8Й а соз ср	сзйазшср	С81п3

X == -------1—-	V    -------1  —— -----------!-

ей а—соз р ’ 7 ей а — соз $ 9 ей а — созр *
где с — масштабный множитель, 0^а<^оо, —

Координатные поверхности суть торы а = сопз!:

(г — с с1й а)* 1 2 4- г2 ~	,

4	71	\ зйа ] 9

сферы р = сопзк

(г — с с!& р)2-кг* —	>

4	& Г/ I	\ 81Пр / *

пересекающиеся по окружности г— а, г —0, и плоскости <р = соп81
(рис. 137).

*) Связь тороидальных (а, {3, ср) и цилиндрических- (г, ср, 2) координат дает-
. ,	. 41а+#	сзйа

ся соотношением % + 1г = а с1й —, откуда следует: г = -г--------------т- .

1	2 ’	7	1	ей а — соз 9

с зш 3

2 == ------——-,

ей а — соз $
Заметим еще, что отсчет циклических координат р и ср в некоторых

случаях выгодней вести между пределами

< 3 2тс + 31»

?1 < ?	+ с?1.
Квадрат линейного элемента в тороидальной системе координат
рмеет форму

4- ар + зь'2 а ар ].

(ей а — СО8 Р)2 1 I Г I	Т 1

Особенностью рассматриваемой системы криволинейных координат
по сравнению с предыдущими является то, что уравнение Лапласа
д ( 8Й а	ди\ । д ( 8Йа	ди\ ।

да \ ей а — соз 3 да) ‘ ~д$ \ ей а — соз	д$) •

I	1	—О

• 8Й а (ей а — СО8 Э) ду2

не допускает непосредственного разделения переменных, и для при-
менения метода Фурье требуется предварительно преобразовать это

уравнение при помощи под-
становки

и= |/2 ей а — 2созР V.

Если искать функцию V
в виде произведения мно-
жителей, зависящих каждый
только от одной перемен-
ной, то приходим к сово-
купности частных решений
уравнения Лапласа, пригод-
ных для рассмотрения крае-
вых задач для областей ука-
занного выше вида.

Для случая, когда иско-
мая функция и не зависит
от координаты <р, эти ре-
шения будут:

Рис. 137.

и = щ 2 ей а — 2 соз р [Д,Л-1(сй а) -ф- (ей а)] X

X [С СОЗ ур Д 8*П
где и Д(г)— функции Лежандра первого и второго рода,
V — параметр, А, ... , Д — произвольные постоянные.

В краевых задачах, где границей области является поверхность
тора а = а0, значение параметра у определяется из условия перио-
дичности искомой функции по координате р, что приводит к сле-
дующей совокупности частных решений:

.	л “2"

«=ил=/ 2ска —2со8 0[Млсо8лР + 2Ул8П1лР]р Ьв),

в-4

д = 0, 1, 2, ... ,	2
где верхняя строчка относится к внутренней (а0 а се), нижняя —
к внешней (0^ а<^а0) задаче. В задачах, где границу области
образуют поверхности двух пересекающихся сферР —и р = р2*),
параметр V принимает мнимые значения у —л (0 т <^со), и со-
ответствующая совокупность частных решений будет

и = их= ]/ 2 ей а — 2 соз р [Мх ей тр	ЛЛ зй тр] Р (ей а).

Решение задачи строится из данной совокупности путем инте-

грирования по параметру

т, причем для определения множителей
Л4Т и используется теорема разложе-
ния произвольной функции в интеграл
Мелера — Фока**).

Настоящий параграф содержит ряд
задач математической физики, разреши-
мых при помощи названных методов.
Большинство из этих задач является до-
статочно трудными и рассчитано на лиц,
хорошо знакомых с аппаратом специаль-
ных функций, встречающихся при реше-
нии рассматриваемых задач. Некоторые
задачи допускают более простое реше-
ние при помощи других методов, напри-
мер, путем применения инверсии.

Рис. 138.	493. Найти свободное распределение

электричества на проводнике, имеющем
форму тора заданных размеров (рис. 138). Вычислить емкость
проводника.

Ответ. Потенциал электростатического поля

₽)= V

/ 2сЬ а. — 2 соз р

' <?_ НсЬа0)
~~2________

НсИ“о)
2

Р_±(СЬ +

2

4^

*) Внутренней области соответствует промежуток (31 < 3 < За)> внешней —
(3а<3 <2* + 31>

**) Некоторые особенности применения этого разложения к рассматри-
ваемому случаю читатель может найти, например, в книге Н. Н. Лебедева
ГЬ
Емкость тора

'<? 1(сЬа0)	1<сНао)’

С — —	- I 9 у -

’ р !(сЬа0)	/ Р ^сйао) ’

2	«	"	2

л = 1

где Р^(х) и СЛ(х) — функции Лежандра первого и второго рода,
V — потенциал проводника, с — I* — а*9 сЬ а0 =	.

Указание. Ввести тороидальные координаты (а, р, <р) с пара-
метром г, для которых поверхность тора представляется уравнением
а = а0.

При решении воспользоваться значением интеграла

о

-.....  -	= С?	1 (сЬ а Д

2 сЬ а0— 2со§3	п —у	0

494*. Найти распределение электростатического потенциала на
оси проводящего незаряженного тора, внесенного в однородное
внешнее поле 2:0, направленное по оси симметрии.

Ответ.

н|г=о = ^о-г— $	—аа81п|-

пС) ! (СЙ а0)

П- —

Л--—

где сЬа0 = у (размеры I и а указаны на рис. 138).

495.	Решить предыдущую задачу при условии, что внешнее поле
создается точечным зарядом помещенным в центре тора.

Ответ.

2? 8Ш Г<?_1<сНао)

Я -	2 г_____________।

г — а3 Р_ 1 (сЬао)

Ь ~~2

п=» 1

I (сйа0)

я—2

р ,№..)с05^

л —-

496.	По кольцевому проводнику круглого сечения (рис. 138),
течет ток силы У, равномерно распределенный по его сечению. Найти
магнитное поле тока на оси г.
Ответ.

з

X {<±(с11 “о) 9^1 (сП а0) -	(ей а0) (?_ ( (ей ап) +

2	2	2	2

со

+ 221$2 ’ (сйа0)^1'_1(сйа0)-С2' ±(сйав)<?‘ 1(сйа0)1х
пI 1 л 2	п 2	П 2	п 2	Л

где ей а0 — ~, с — скорость света,	и ф?(г) — присоединен-

ные функции Лежандра второго рода.

497.	Найти распределение переменного тока по поверхности
идеально проводящего кольцевого проводника (задача о скин-эф-
фекте *)). Вычислить коэффициент самоиндукции.

Ответ. Коэффициент самоиндукции выражается формулой:

1 _ 1

ь 2л3}//2 — «2

’^±(сйа0)
2

Р^±(сйа0)
2

1

4 л2—1

С1 1 (сЬа0)1

П 2

Р1 1(сЬа0) >
п—

ей а0 = (размеры I и а указаны на рис. 138),	(г),	(г) — при-

соединенные функции Лежандра.

Распределение плотности тока по периферии будет

з

и (2(сЬ«0 — со§₽)]2 Г 1	,

32тс3 8Й а0 (/2 — а2)	[ Р , (ей а0) +

~ 2

соз п$ ~|
Р1 1 (сйао)]
Л — -77

где ! — полный ток.

498*. В кольцевом проводнике (рис. 138) течет постоянный ток,
выделяющий в единицу времени тепло с плотностью Найти рас-
пределение температуры по сечению проводника, предполагая, что
его поверхность поддерживается при нулевой температуре.

♦) См. работу В. А. Фока [ш].
Ответ.

у/2 ей а — 2 соз р X

ф(/2 —а2) | зй2«__________________

к I (2 ей а — 2 соз З)2

2зй2а

1 (ей а0)
~2

' 8Й2 а0 С" 1 (ей а0)
~2

<У' 1 (ей а0)
п~ 2~______

^(СЙ а0)
2*

где фу (г)— функция Лежандра второго рода; сйа0 = -^-;Л — коэф-
фициент теплопроводности.

Указание. Выделить частное решение неоднородного уравне-
С)г2
ния теплопроводности вида: —

Воспользоваться значением интеграла

Р СОЗ «3	1 /П"

1 — з 4,-1 (СЬ а).

] (2 ей а — 2со§?)2	2

499.	Вычислить гравитационный потенциал однородного тора.
Ответ*).

и (а, Р)= — зй2 а0 •/2сй а — 2 созр 1Гф 1 (ей а0)	1 (ей а0) —

Ц — ~2	—у

—	ф^± (ей а0)	а0)] Р_^ (ей а)

+ 2 У Гф _1(сйа0)р2,_ 1 (сйа0) —

—	<У> ] (ей а0) @	] (ей а0)1 Р ] (ей а) соз п$ |,

п 2	п 2	Л 2

Ру С?) и фу (г)— функции Лежандра, ф?(г) — присоединенные функ-
ции Лежандра второго рода; сл = Р — а\ сйа0=—, где I— радиус
тора, а — радиус его поперечного сечения (рис. 138); р — плотность.

Указание. Для приведения задачи к однородной выделить для
области а^>а0 частное решение уравнения Пуассона (—- тгрг2).

500.	Тело, имеющее форму тора, внесено в однородный поток
идеальной жидкости, направление которого совпадает с осью тора
(ось г рис. 138). Решить задачу гидродинамики и получить распре-
деление скоростей по оси симметрии.

*) Постоянная тяготения принята равной единице.
Ответ. Функция тока

V

^г8

8Й а

2

У2сИ а — 2соз $ I 2

л —

2

п = 1

где

_	4

Сп~^ | (сЬ а0)
"“V

, 2А

1(сЬа0)-|-

I	л — 2

(4п2 — 1) зй а0

бй а0 ф1
п

потока вдали от тела.

Постоянная А определяется из условия

а =а0

о

Ру С?) и <2* (г) — присоединенные функ-
ции Лежандра.

501.	Найти свободное распределение
электричества на тонкой проводящей
сферической оболочке радиуса а (рис. 139).
Вычислить емкость *).

Ответ. Распределение плотности зарядов на внутренней поверх-
ности оболочки:

а1

V Г 1^2сЬа —

4к8а

2 СОЗ у

2 СО8 р0 . ]/ 2 ей а —2 соз ‘ .
й--------агсге	д------ ,

2 соз у

на внешней поверхности:
, V	,,	. а с

0^==^-]- —, где V — потенциал проводника, 81пр0 = ~.

4я2 — Ь8 ей а — соз 30

Воспользовавшись соотношением -------г =--------, где рас-

Ь * 2соз8|

стояния Ь и р указаны на рис. 139, будем иметь следующее выра-
жение для плотности зарядов:

V Г1 Г^ — Ь8 . 1 Г4а8 — Ь8Л
Ь» — Р8 аГС^И 1>2 — р8]’

Емкость оболочки:

С=V4«8 — й9 4- — аге
2яа *	1 к 6 т/4^—М

♦) См. [87], стр. 250.
Указание. При вычислении плотности воспользоваться значе-
нием интеграла

т тст с!т (тс — р0) т
сП2 тст

Р_1+^(сП а) б/т =

9	81П Ь.	2 соз	2 соз

-О-й--------------О'	.-..:аГС1Я--7--		.

тс 2сйа — 2соз^0 Ь 1 у2сИа — 2 соз &	& 1^2 сП а — 2 созр0

502*. Найти распределение плотности зарядов на поверхности
тонкой сферической оболочки, помещенной в поле точечного заряда
расположенного в точке г — г — Ъ (рис. 140).

Ответ.

_ дЬ2 У 4а2 - Ь2 Г	К	1/Ъ2 ~ <1а2

е ~	8тс3а2/?3	[	Г Я2 — с2

________/?	1/ #2 — 2а21

У"4а2 —У Я2 — с2] ’

___ дЬ2 (4а2 — д2)
16тса3#3~ ’

ае, ог — плотности зарядов на внешней и внутренней поверхностях
оболочки, а — радиус оболочки.

Рис. 140.	Рис. 141.

Указание. Выделить потенциал точечного заряда; при разло-
жении последнего в интеграл Мелера — Фока воспользоваться соотно-
шением	со

1--------= Г Р 1 (сЬ а) ах.

у 2сЬа + 2со8?о <1 сЬят --2+*

503.	Найти распределение потенциала в пространстве, окружаю-
щем заряженный проводник, имеющий форму сферического сегмента
(рис. 141).
Ответ.

где V — потенциал проводника,

к (а, р) — V р/2 сИ а — 2 соз р [зй (2к Ц- р0 — р) т —
о

Р ! (ей а)

— ей (тс — Ро) т зй (тс — 8) т]-———г---б/т,

4 го/ 4	‘7 1	8к(7с + 30)тсИя:т ’

зй1р0 —— ; /\(г)— функция Ле-
жандра первого рода.

504.	Воспользовавшись ре-
зультатом предыдущей задачи,
вычислить емкость полушара ра-
диуса а.

Ответ.

С=2а(1------Ц.

505.	Проводник чечевицеоб-
разной формы, находящийся при

потенциале нуль, внесен в однородное электрическое поле, направ-
ленное по оси симметрии (рис. 142). Найти распределение потен-
циала.

Ответ.

оо

и = Ейг — 2Е9с /2сЬа —2со8₽ §	*X

о

8Пр0ь — — 4-гс

где й’о — величина внешнего поля.

506.	Найти потенциал сил тяготения однородного полушара ра-
диуса а.

Ответ. Гравитационный потенциал вне полушара

и (а, Р) = ^^- |/2сйа

<5

СЙТСТ--т2 . /О ч .

-----— 8Ь(р -7г)т-|-

о

4-(14.2г’)8ь(^-р)

Р ! (сП а)

, Зк-с
СП ТСГ



где р — плотность полушара.
Указание. Для внутренней области выделить частное решение
«^однородного уравнения вида: — 2тгр^2. Использовать значение
интеграла:

Зз1П2р	о Г Т8Й(ТС---р)т п	, I

-----------~—сьхг	<2 + .т(сЬа)^ +

(2 ей а— 2 соз р)2	0	2

ОО

О

Т2 С11 (тс — Р) Т
СЙ ТСТ

Р_1 + /т(сй а)б/т.

§ 7. Биполярные координаты в пространстве

Родственные тороидальным пространственные биполярные коор-
динаты (а, р, ср) могут быть определены при помощи соотношений *)

С 8Ш а СОЗ Ср	С 81П а 81П Ср	С 8Й 6

д;-- .-------I__ у--- -------1_	%--- ‘_________

СЙр— СОЗ а » СЙр—СОЗ а ’ СЙ р— соз а ’

где с — масштабный множитель,	—ос<^р<^оо, —77

ср тг (рис. 143).

Рассматриваемая система координат пригодна для решения гар-
монических краевых задач для области, расположенной между двумя

непересекающимися сферами р = рх и р = принадлежащими к
семейству

*)

Если ввести цилиндрическую систему координат г, <р, г, то

, .	. а + $

г + 1Г — С1С18 —
а также для области, ограниченной веретенообразной поверхностью
вращения а —а0, уравнение которой в цилиндрической системе
координат имеет вид

(г — с с1д а0)2 4- г2 = (~Л—) .

4	& о/ I \81па0/

Если принять во внимание выражение для квадрата линейного
элемента

Л2 = -/-с-й--------[б/а2 4- г/р2 4- зш2 а б/<р2],

(ей р — соз а)31	’ г 1	т р

то легко получить уравнение Лапласа в новых переменных

д /	зша	।	д ( 8ш д	.	1	№

да \ ей	— соз	а ’ да / *	д^ \	ей р — созд	' др ) ‘	зт а (ей р — созд) ду2

которое после подстановки и = у/2сй р — 2 соз а V допускает приме-
нение метода Фурье.

Подходящие частные решения для области (Р1	<С₽з)> лежа-

щей между двумя непересекающимися сферами, будут

и — ип — ]/2 ей р — 2 соз а ей [п 4~ у) Р +
+	811 (и + у) ₽] РП (СО8

л = 0, 1, 2, ... ,

где Рп(х)— полином Лежандра порядка п.

Решение краевой задачи получается суммированием этих решений.

Совокупность частных решений, пригодных для области, ограни-
ченной поверхностью а = а0, имеет вид:

и = их =

/2 ей р — 2 соз а [Жт соз тр М зш тр] Р

1 , . (±€08 а)
2+"

(0 ^т<^со),

где Р^х)— функция Лежандра, верхний знак отвечает внешней
(О=Са<^ао), нижний — внутренней (а0<^а^к) краевой задаче.

Решение краевой задачи получается путем интегрирования по
параметру т в форме тригонометрического интеграла по перемен-
ной р.

Рассматриваемый параграф содержит задачи из различных обла-
стей математической физики, связанные с применением биполярных
координат.

В заключительной части параграфа помещено несколько задач на
использование вырожденных биполярных и вырожденных тороидаль-
ных координат, соответствующих предельным случаям ранее рас-
смотренных областей, именно, областям, ограниченным поверхно-
стями двух касающихся сфер или поверхностью, образованной вра-
щением окружности вокруг ее касательной. В частности, отметим
задачи 512, 513, решение которых приводит к изящным выражениям
для электрической емкости тел определенной формы.

507. Найти распределение потенциала электростатического поля
сферического разрядника, состоящего из двух проводящих сфер

Рис. 144.

радиуса с, центры которых находятся на расстоянии 2/ один от
другого, а потенциалы равны и У2 (рис. 144).

Ответ.

и (а, р) == |/2 сИ р — 2 соз а

л = 0

2

где сЪро = “, Рп(х)— полиномы Лежандра.

Указание. Воспользоваться разложением

°°	/ I \

-------!—..— — V е Vя + 2 ) 5 (соз
1/ 2 ей р — 2 соз а

508*. Найти значения емкостей Сп, СХ2 и С22 в системе провод-
ников, состоящей из двух сфер радиусов сх и расстояние между
центрами которых равно 2/. Считая радиусы шаров равными (сх =
= о2 = а), составить таблицу значений Сх2 как функцию отно-
шения —.
а
значения величин В, и с определяются из соотношений:

. 0	4/8 + а? — в|	-о 4/2 — л8 + а|	. 0	, о

сЬР,==—"17^---- • сЬ₽« =----"  <? = а18ЬР1 = а,8Ьр2.

2 а	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0
а	0,572	0,431	0,356	0,306	0,269

Рис. 145.

Указание. В системе про-
странственных биполярных коор-
динат (а, р, <р) уравнения поверхно-
стей рассматриваемых проводников
будут: ₽= — ₽, и ₽ = 0в.

509.	Проводящий шар радиуса
а погружен на заданную глубину
в жидкость с диэлектрической по-
стоянной е. Найти распределение
потенциала в пространстве, окру-
жающем шар, считая потенциал
шара равным V (рис. 145). Вычи-
слить емкость шара.
Ответ.

Ц1=Уг ]/2 сЬ Р — 2 соз а

71 = 0
(-оо<р<0),

и2 — V у/2 с1> р — 2 соз а

п =0

₽ + есН

1?0

С = /г2 —а2

1

2зНр0

Рп (соз а) (0<р<₽о);

?о + сЬ

эо

_	(2л 4-1) Зо

^0

п=0	'	'	'	'

где сЬ ро = —, Рп (х) — полиномы Лежандра.

510.	Найти распределение потенциала в пространстве, окружаю-
щем заряженный проводник веретенообразной формы (рис. 146).

Ответ.

«(а,?)= V 1/2сЬ?-2со8ау
°	-4

где V — потенциал проводника; Р^ (х)—
функция Лежандра, зта0 =—.

Указание. Поверхность рассма-
триваемого проводника описывается ~
уравнением а = а0 в системе (а, р, ср)
биполярных координат.

При решении воспользоваться инте-
гральным представлением для функции
Р_± СОЗ а0):

2

(— соз а0)

-----г- Р 1 (соза)^т

(СОЗ ао) -4-Нт4	7

гт	*

ос=ао

Рис. 146.

п	ч 2 сП тст р соз тЗ •

Р I ( — СОЗ а0) =--- I -—=======

— 2--Н4	71	1А 2 сП — 2созао
511.	Решить предыдущую задачу в предположении, что проводник
помещен в однородное электрическое поле Е^ направленное по оси
вращения.

Ответ.

к = Е^г — 2 Еь с |Л2 сЬ р — 2 соз а X

оо р 1 , .	С08 «о)

С *	2	___________р

л ск тст Р . (со§ а0)

0

(со8а)81’п|3тб/т.

512*. Вычислить емкость проводника, состоящего из двух сопри-
касающихся сфер одинакового радиуса (рис. 147).

Ответ. С = 2а 1п 2, где а — радиус сфер.

Указание. Ввести систему вырожденных биполярных коор-
динат (а, р, ср), определяемых при помощи соотношения

г-}-1г

, — со < В оо , 0 а <" сю,

для которых поверхность сфер представляется уравнениями р = -ь ро.

Рис. 148.

513.	Вычислить емкость проводящего шара радиуса а, лежащего
на подкладке из диэлектрика с постоянной е (рис. 148).

Ответ.

64-1.6+1

С=ае-+1п+-

514.	Вычислить емкость проводника, представляющего собой
тело, образованное вращением окружности радиуса а вокруг каса-
тельной.
Ответ.

с= —

* Л Цх)
о

1»де АоС^) и 4С*)— функции Бесселя мнимого аргумента.

Указание. Поверхность рассматриваемого тела описывается
уравнением а = а0, где (а, Р)— система вырожденных биполярных
координат (см. задачу 512).

§ 8. Некоторые общие задачи, связанные с разделением
переменных в математической физике

515.	Показать, что необходимое и достаточное условие возмож-
ности разделения переменных в уравнении Гельмгольца &и-\-к*и = О
(Д — двумерный оператор Лапласа) в системе криволинейных коор-
динат (а, Р), определяемых равенством

X 4-/у =/(« + /?),

эквивалентно требованию, чтобы аналитическая функция /(^) была
интегралом линейного дифференциального уравнения третьего порядка

Г (О -X/ (0=0,

где X — произвольная постоянная.

516.	Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, показать,
что, если отвлечься от линейных преобразований, соответствующих
параллельному переносу и повороту координатных осей и изменению
масштаба в плоскостях (х, у) и (а, Р), то рассматриваемая сово-
купность подстановок вида 1у = /(а-|- /р), позволяющая осуще-
ствить разделение переменных в уравнении Гельмгольца, сводится
к подстановкам:

х	1у — еа +13 (полярные координаты),

х-]-/у = сН(а4-^) (эллиптические координаты),
х-\-1у = (у.-\-1^ (параболические координаты).

517.	Показать, что уравнение Лапласа

I 1.^1 1.^1	п

дг2 ‘ г ' дг' г2 д%2 * дх2

допускает бесчисленное множество частных решений вида

_ 1

и = г 2 Л(а)В(р)Ф(<р),
где (а, р, ср) — система ортогональных криволинейных координат,
определяемая равенством г-)-/г=/(а-)-/р), /(С) — интеграл диф-
ференциального уравнения

4
/*(«= 2^(о,

— произвольные вещественные постоянные *).

518.	Показать, что системы цилиндрических, сферических, а также
вырожденных эллипсоидальных, параболоидальных, тороидальных и
биполярных координат, рассмотренные в настоящей главе, могут
быть получены как частные случаи системы координат предыдущей
задачи.

Ответ. 1. Цилиндрические координаты:

/(С) = С; Хо= 1,	= = Л3 = Х4 = 0;

а = г, Р = г;

и = [А/и (уг) + ВУ» (уг)] • [СсЬ + Я зЬ чг] ’

где Ки(г)— функции Бесселя первого и второго рода.

2.	Сферические координаты:

ЛС)=^; х2=1, хо = х1 = х3 = х4 = О;

а = 1п г, р — 0;

и = [Аг* -±Вг-1-'][СР^ (соз 6) +	(соз 6)]	*

где /^(х), <Х(х)—сферические функции первого и второго рода
для интервала (— 1,	!)•

3.	Вырожденные эллипсоидальные координаты:

а)	для вытянутого эллипсоида вращения:

/(С)=гсЬС; Ао = -Л Х2=1, Х1 = Х3 —Х4 = 0;

и = [(сЬ а) 4- Вф? (сЬ а)] [СР? (соз ₽) Ц- Оф?(соз 0)]8С°П5 •

б)	для сплюснутого эллипсоида вращения:

/(С) = с8ИС; Хо= с®, Х8 = 1, Х1 = Х3 = Х1 = 0;

и= [АР?(г8йа)4-Вф?(/з11а)][СР?(со8 0)Оф? (соз 0)] ,с°„5?*-

4.	Параболоидальные координаты:

/(С)=; х, = 2с, Хо = X, = Х3 = X* = 0;

и=	(га)] [С/и (*0) + ОКЦ (V?)] X’

где /ц (г), Уи (г), /и (г),	(г) — цилиндрические функции.

См. [63].
5.	Тороидальные координаты:

/(С) = «с№|; Ао = -^, Х2=-1, ^ = -±, Х1 = Х3 = 0;

и = 2сЬ а — 2 соз р [АР^ 2 (сП а)] (ск а)] X

V — у	V —

X [С СОЗ Ур + 7)81П^Р]87п^-

6.	Биполярные координаты в пространстве:

/(С) = ас^у; >о = —	= Х* = ~ 4?> А1 = Х3 = 0;

и= /2сйр — 2 соз а [ АР* (соз а)	В(^ (соз а)] X

X [с СЬ (V + 1) 3 + О 8Й (у + 1) р];°а^.

519. Доказать, что, кроме перечисленных в задаче 518 систем
криволинейных координат, разделение переменных в уравнении Ла-
пласа возможно в координатах, определяемых при помощи равенства
^_|_/г=/(а-|-/Р), где /(С) — одна из эллиптических функций Якоби
$пС, сп С, (1пС*). Построить системы частных решений вида

«=Х(«)В(?)Ф(Т)

для каждого из рассматриваемых случаев.

Ответ.

1./(С) = зпС; Хо=1, Х1 = 0, Х2 = -(14-Л2), Х3 = 0, Х4 = Л2;

I	СО8 [Лер

и —г 2 А (а)в(₽)5ш ц/

где Л (а) и В(3)— интегралы дифференциальных уравнений

*) См. [10-1Я. а также работу р7], где построена система решений
уравнений Лапласа, пригодная для рассмотрения краевых задач, связанных
с областью, имеющей вид кольца овального сечения.
3. /(С)==ап С; Хо = — к'9, Х1 = 0, Х2=1 4-Л'8, Х3 —0, Х4= — 1;

В”-[>+(4--1х’)(15г^У]в = О.

520.	Проверить, что бигармоническое уравнение ДАи = 0 (Д — дву-
мерный оператор Лапласа) допускает бесчисленное множество частных
решений вида

где (а, Р) — система плоских криволинейных координат, определяемых
равенством х (У =/(а + Ф)>	(С) —интеграл диф-

ференциального уравнения Р” (С) — р-2 р (С) = 0; X, р, — произволь-
ные параметры.

521.	Основываясь на результатах предыдущей задачи, показать,
что двумерное бигармоническое уравнение допускает разделение
переменных в декартовых, полярных, биполярных и вырожденных
биполярных координатах, и построить соответствующие системы
частных решений.

Отве	т. Общий вид подстановок рассматриваемого 1ипа дается
формулой

где а, Ь и (1 — произвольные константы.

1.	Декартовы координаты:

/(С) = С; р> = 0, а=1, 6 = <7 = 0;
а = х, $=у;

и = (А с!1 \х В 8Й кх 4- Сх ей Хх Ох зй Хх) 8°п •

2.	Полярные координаты:

|х=1, а = б?=1,
а==1пг, Р = <?;

и = (Лгх + ВГ- х + Сг^+2 + ОГ- ’ +2)	.

3.	Биполярные координаты:

/(С)=с№-|-;	=	а=|, Ь = Л =

и=-г—-------гИс11(Л4- 1)а4-ВзЬ(ХН- 1)а-}-

4-СсЬ(Х- 1)а4-Вз11(Х- 1)0]^^-
4.	Вырожденные биполярные координаты:

/(0 = ^-; (1 — 0, а = - -р, Ь = ^-, <1=^;

11 = (?ТР)г 1А СЬ Ха + 5 8Ь Ха + Са сЬ Ха + ° а 8Ь Ха1 в!пх₽*

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ VII

Гобсон Е. В. [81], Лебедев Н. Н. [63], Бейтман [4],
Лензе [е8], Сноу [84], Стретт [10°], Стрэттон [102], Смайт |88],
Магнус и Оберхеттингер [71].

Общие сочинения, относящиеся к разделению пере-
менных: Бохер [®], Хеншель [125» 12в], Вангерин [10], Лаг-
ранж Р. [53], Эйзенхарт [12°], Степанов В. В. [88].
ГЛАВА VIII

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Применение теории интегральных уравнений к проблемам мате-
матической физики в тех случаях, когда речь идет о доказательстве
теорем существования или о получении приближенных решений,
является классическим приемом исследования и достаточно полно
освещено в имеющейся литературе *). Рассмотрение этих вопросов
выходит за рамки настоящей книги, и основная цель данной главы
состоит в том, чтобы иллюстрировать приложение интегральных
уравнений к отысканию точных решений некоторых классов задач
математической физики путем применения весьма частных, но обла-
дающих высокой степенью эффективности приемов. Эта область
приложений интегральных уравнений еше не получила достаточного
развития, и имеющиеся в этом направлении возможности вряд ли
могут считаться исчерпанными, хотя трудности, связанные с проведе-
нием подобных исследований, представляются весьма значительными.

В виде примера успешного использования аппарата интегральных
уравнений для эффективного решения задач математической физики
мы можем сослаться на работы Гринберга **), в которых найдено
решение ряда интересных задач электростатики и родственных им
проблем. Полученные в этих работах результаты положены в основу
при составлении раздела настоящей главы, посвященного статическим
задачам, сформулированным в терминах электростатики, но имеющим
соответствующий аналог в магнитостатике, теории стационарных
токов, теории теплопроводности и т. д.

Другой раздел главы составляют нестационарные задачи теории
диффракции акустических и электромагнитных волн „у экранов
определенной формы, которые в ряде случаев могут быть сведены
к решению хорошо изученных интегральных уравнений, например,
к уравнению Абеля, уравнению Вольтерра с ядром, зависящим от
разности, и т. д.

*) См., например, [в0> 83» 75> 80» б2].

**) Результаты этих работ, опубликованных в „Журнале эксперименталь-
ной и теоретической физики" в период с 1938 по 1941 г., вошли в содержа-
ние монографии Г. А. Гринберга „Избранные вопросы математической теории
электрических и магнитных явлений".
В настоящую главу не вошли задачи, разрешимые при помощи
интегральных уравнений типа Хопфа — Винера — Фока*), принадле-
жащие к рассматриваемому классу проблем, но отличающиеся боль-
щей сложностью, а также задачи, приводящиеся к сингулярным
уравнениям, содержащим интегралы типа Коши, теория и приложения
которых разработаны достаточно подробно в других работах [78~79].

522*. Плоская электромагнитная волна, с компонентами электри-
ческого поля ЕХ = Е^ = О, Е2—/^1 —	, падает на идеально про-

водящий экран, расположенный вдоль полуплоскости х^>0. Обозна-
чая компоненты результирующего электрического поля падающей
и отраженной волны (О, О, Е) и полагая

показать, что отраженная волна и может быть представлена в форме

<Р (8) <18

— оо

где функция ср (^) удовлетворяет интегральному уравнению Абеля

Г -^Я^=/со.

V Ь — 8
__

Указание. Искать
только от переменных 5

решение волнового уравнения, зависящее
И

523*. Дать решение диффракционной задачи 522, считая, что
падающая волна встречает экран в момент / = 0, т. е.

7(0

о,

&>о,
5<о.

Получить диффракционную картину.

Ответ.

$

о,

и =

о,

*1<о>

*) См, например, [20, не, Юб]. Приложения результатов теории уравнений
этого типа к задачам математической физики читатель может найти, напри-
мер, В [42, 7—9].
где

<р(.)==±_1 Г

п) *<**] Г5—•

Диффракционная картина изо-
бражена на рис. 149.

524. Дать решение задачи 523
для следующих двух частных слу-
чаев задания падающей волны:

а)	^(0—1 (волна с прямо-
угольным фронтом);

б)	^(0 = 81П0)?.

Рис. 149.

Ответ. В обозначениях предыдущей задачи отраженная вол-
на и в зоне возмущения представляется формулами:

ч	2

а) и — — агс81п

'	тс

б’“=| ]
о

51П Ш [>] — (Е — 7]) т2]

525.	Путем предельного перехода /-> со в формулах задачи 524
получить решение известной задачи Зоммерфельда об установив-
шихся электромагнитных синусоидальных колебаниях, вызванных паде-
нием плоской волны на край проводящего экрана *).

Ответ.

и — 1[и*

где

9	—	Р

и* —е4 е~'кх
у тс	Л___

Ук(г — х)

526.	Плоская электромагнитная волна с составляющими

Ех — Еу — 0,

встречает идеально проводящий экран, имеющий форму параболиче-
ского цилиндра г — х-]-2а. Полагая

*) См., например, задачу 426.
(Е — компонента электрического поля), показать, что отражен-
ная волна и может быть найдена в форме

Г ? аз

! 1/ 5-8+

г=/?+7),

причем <р(5) есть решение интегрального уравнения
е

Указание. Искать решение волнового уравнения в форме
и = г/(',т().

527.	Дать решение сформулированной выше задачи диффракции
плоской волны, падающей на параболический экран, предполагая,
что волна входит в соприкосновение с экраном в момент / = 0
и непрерывна на фронте, т. е.

,,,,	(?(!)• Е>0, ^(0) = 0«);

О, Е<0.

Получить диффракционную картину вблизи края экрана.

Ответ.

Ч

(	9 (5) (18

«=' ] 1/е_8+?«’ 7)> ’

О Г	’ V

о, г)<0>
где

здесь	и К — преобразования Лапласа от функций и

2а р

*) Случай волн с разрывом на фронте должен рассматриваться как пре-
дельный.
[Ф (г) — интеграл вероятности]; путь Ь есть прямая, параллельная
мнимой оси, расположенная правее особых точек подинтегрального

выражения.

Диффракционная картина представ-
лена на рис. 150. Граница зоны возмуще-
ния представляет собой огибающую вто-
ричных волн, отраженных от точек экра-
на, построенную в соответствии с прин-
ципом Гюйгенса.

528.	Показать, что в случае, если па-
дающая волна в задаче 527 задана урав-
нением

отраженная волна и может быть представлена в форме:

01 >0).

529.	Показать, что акустическая задача о диффракции плоской
звуковой волны — “V")’ набегающей на препятствие в форме
параболического цилиндра, приводится к решению интегрального
уравнения Вольтерра *)



и значение отраженной волны и может быть представлено через
решение этого уравнения ср ($) в форме

*) См. [121].

**) В задачах на диффракцию акустических волн, в отличие от задач на
электромагнитную диффракцию, мы представляем полное решение в форме
гуммы /($) + «.
530.	Дать решение предыдущей задачи при условии,-что волна
встречает препятствие в момент / = 0:

*>0, ^0)=°;

I о, !-<0.

Ответ.

где, в обозначениях задачи 527,



531*. Рассмотреть задачу о диффракции плоской звуковой волны
У препятствия, имеющего форму параболоида вращения
г = 2 -{-2а. Применяя методику предыдущих задач, показать, что
отраженная волна дается квадратурой

9 (8) (18
е-а + -

V

4=*

где ср (8) — решение интегрального уравнения Вольтерра*):





532*. Дать решение предыдущей задачи, считая, что падающая
волна задана уравнениями:

^(0) = 0;

\	0, &<0.

*) См. [121].
Ответ. В зоне возмущения (т]0):

и =

Г ? ($)а$

Ь , 2а ’

5~~5 + ^
о	™

где

, ч а 1

| —------е^йр.

В последней формуле К — преобразования Лапласа от функ-
ции ^-(^) и ядра =	и ПУТЬ есть прямая, параллель-

ная мнимой оси, расположенная справа от особых точек подинтеграль-
ной функции. К может быть выражено через интегральную показа-
тельную функцию ЕЦх), именно

2а р

К= — е'^ Е1

2ар
V

533.	Показать, что задача о диффракции плоской волны

?4-а
V

у параболоида вращения г = г-[-2а при однородном граничном усло-
вии первого рода сводится к решению интегрального уравнения

6

Ср (5) (18

-аЧ-----

V

/(0,

и отраженная волна и может быть представлена через решение этого
уравнения формулой вида

и —

ср (а) аз

.	, 2а

где

V	‘	V 9

Г — |/х2 4- у2 +

534.	Воспользовавшись преобразованием Лапласа, получить реше-
ние интегрального уравнения задачи 533 для случая волны вида

/ю={

^(0, Е>0,
о, $<0.

^(0) = 0;
Ответ.



в обозначениях задачи 532.

535.	Проводник произвольной формы, ограниченный поверх-
ностью 5, внесен в произвольное заданное внешнее поле Е° (рис. 151),

Показать, что плотность распределения заря-
дов, индуцированных на проводнике, удовле-
творяет интегральному уравнению

Еп(М) . 1 Г а(Л4)	. т

=	соз(ММ, п)^, (I)

где М и М— две произвольные точки поверх-
ности проводника, п — внешняя нормаль к $
в точке IV, Еп — проекция внешнего поля на
нормаль.

536.	Показать, что в частном случае, когда поверхность провод-
ника представляет собой неограниченную плоскость, решение инте-
грального уравнения (I) задачи 535 дается формулой*):



Применить полученный результат к нахождению плотности заря-
дов, индуцированных на проводящей плоскости точечным зарядом д,
помещенным на расстоянии к от плоскости.

Ответ.



дк
2^’

где /? — расстояние от заряда до точки М плоскости.

537.	Металлический шар радиуса а, находящийся при потенциале V,
внесен во внешнее электрическое поле Е°. Показать, исходя из
интегрального уравнения (I), что плотность индуцированных на поверх-
ности шара зарядов выражается формулой

о (АО

___Еп (М) . V— и° (М)

2тс * 4па

где м° — потенциал внешнего поля.

♦) Этот результат, конечно, может быть найтен и другими методами,
и данный способ решения ин’ересен, »лавчым образом, тем, что окончатель-
ная формула получается практически без всяких вычислений,
Рассмотреть частный случай, когда источником поля Е° является
точечный заряд г/, помещенный на расстоянии д(д>а) от центра
шара.

Ответ.

о(ЛГ)=_К-_^.

' 7 4тс« 4тс

Я2— а2
а/^

где /? — расстояние от заряда до рассматриваемой точки М поверх-

ности шара.

538. Решить предыдущую задачу, считая заданным, вместо потен-
циала, полный заряд шара ф. Применить полученную формулу к реше-
нию задачи о распределении заряда по поверхности первоначально
незаряженного изолированного шара, внесенного в однородное внеш-
нее поле Е.

Ответ.

а(Л^)

по

где н° — среднее

Еп(Н) ,	1 [О । “о 0/лтл1

= -- а - + т— - 4- и0 — и9 (М) ,
1 [а 1	4	]

сфере значение потенциала внешнего поля:

"о==44“О(ЛГ)^'

5

В частном случае

,» п ЗЕ й
□ (/V) —соз 6,
где 0 — угол между направлением однородного
поля Е и радиусом-вектором, проведенным из
центра шара в рассматриваемую точку Л/.

539. Цилиндрический проводник с сечением, ограниченным произ-
вольным контуром 5 (рис. 152), внесен в заданное плоское поле Е°.
Показать, что плотность распределения индуцированных зарядов
удовлетворяет интегральному уравнению

Е°(ЛГ) 1 Г МЛ4)

0(Д7)—__-----[-_] |^ууСО8(МЫ, п)Й8,

(И)

где п — внешняя нормаль к контуру 5 в точке М, Еп — проекция
внешнего поля на нормаль.

540. Показать, что плотность распределения зарядов по поверх-
ности проводника, имеющего форму бесконечного цилиндра ради-
уса а, с суммарным зарядом ф на единицу длины, внесенного во
внешнее плоское поле Е°, дается формулой



Е°п (Н)

2к

О
2ка *
Рассмотреть частные случаи: а) внешнее поле однородно;
б) источником внешнего поля является нить с зарядом д на единицу
длины, помещенная вне цилиндра на расстоянии Ь от его оси.

Ответ.

а) =

7 47 1

где 6 — угол между направлением однородного поля Е и радиусом-век-
тором, проведенным из центра круга в рассматриваемую точку

б) о (А/)

_ О + д д Ь2 ~а2
2ка 2тс ’	а#2 9

где /? — расстояние от заряда до рассматриваемой точки А7 поверх-
ности цилиндра.

541. Найти распределение плотности заряда на внутренней по-
верхности заземленной цилиндрической оболочки радиуса а, считая
что источником внешнего поля являются заряженные нити, парал-
лельные оси цилиндра и проходящие через точки Мк(ак, ук),
к = 1, 2, ..., п.

Ответ.

п

где дк — заряд на единицу длины нити, проходящей через точку
кк — расстояние между точками Мк и Ы.

542*. Плоское электростатическое поле между двумя заземлен-
ными параллельными плоскостями (0<^д/<^/г) создается линейными
источниками, собственное поле которых в неограниченном простран-
стве есть Е°.

Показать, что плотности распределения индуцированных зарядов
по поверхности каждой из пластин о0(х)и ал(х) удовлетворяют си-
стеме интегральных уравнений:

а /	— О ------А Г (5)

— 2тс * Л (С — х)2 + И2’

— оо

°л(*) =-------—

ОО

л г с0 С-) ае

« Л (?-х)84-л2’

— ОО

и решить эту систему.
«о М =

1 С 7о+<?~'Х|й7л

4л2 Л । _ е- 2 | х I л
— оо

е-‘Уха\,

оо

«А(х)=-^ У

— оо

7л + е-|Х|Л7>

! _ г-21XI л

е-^а-к,

где /—преобразование Фурье от функции /(х), т. е. *)

/= § /{х)еСКх с1х,

— оо

и положено

/0 (х) = (Е*)у = о,	А (х) = (Еу\, = л.

Указание. Выполнить над каждым из уравнений системы пре-
образование Фурье.

543.	Дать решение предыдущей задачи для частного случая,
когда поле Е° создается нитью с зарядом д на единицу длины, про-
ходящей через точку 7Ио(О, Ь).

Ответ.

. пЬ
81П —:—

Л

°о(*)— 2й *
ей

тех

-г---СОЗ -г-

Л	к

ЪГ , аЛи)=-

. ъЬ
81И

к

2Л , ъх ,	кЬ

СИ -4- СОЗ -г-

Л 1	Л

Я

Указание. Для получения решения в замкнутой форме вос-
пользоваться значением интеграла

. тсу

81П -~-
к

о

. тех ,	ку

СП —-----р соз

к 1	к

544.	Внутри двугранного угла (0<С?<Са) с проводящими зазе-
мленными стенками помещены линейные источники, собственное
поле которых в неограниченном пространстве Е° имеет в цилин-
дрической системе координат компоненты (Е^ Е^, 0). Показать, что

*) Принятое нами определение преобразования Фурье отличается от
стандартного постоянным множителем.
плотности распределения зарядов на гранях а0(г) и аа(г) удовлетво-
ряют системе интегральных уравнений:

( х  (&₽)? = о	81П а С Рст« (Р) _______

°о V) 2тс	тс Л р2 + г2 — 2гр соз а *

о

/ X____	С Р°о (Р) ^Р _______

а ' '	2тс	тс ] р2 + г2 — 2гр соз а 9

О

и дать решение этой системы при помощи преобразования Меллина.
Ответ.



/0 81П тс (р — 1) + Л ап (X - а) (р -1) к.п Л_! )г„ар
81П (2тс — а) (р — 1) • 81П а (р — 1)

МО=- 4^7

/азттс(р—1) + / 51п(тс —а) (р—1) .	«

—---------гт—Чх—-—1--------гг^81птс(р— 1)г Рар,

81П (2тс — а) (р — 1) • 81П а (р — 1)	7

где /—преобразование Меллина от функции /(г), т. е.

гр~х йг,

о

и положено

/оМ------(^!рХр = (Ъ /а (г) (^>){> = а<

Указание.

ОО

Г I8 (11	___ тс

] I2 — 22соза+1	81Па

81П (тс — а) 8

81П ТС8

-1 <₽(«)<!.

545. Решить предыдущую задачу, считая, что поле Е° создается
заряженной нитью с зарядом д на единицу длины, проходящей через
точку Л7О(ГО, <Ро).

Применить полученные формулы к определению электростати-
ческого поля, созданного заряженной нитью, помещенной на рас-
стоянии а от края проводящей полуплоскости (а = 2тг, г0 = а, <р0 = 7Г)
( Зтс	\

или вблизи прямоугольного края 1а = -у, г0 = а, <р0 = к.
Ответ.

81П ——

546. Проводник, представляющий собой тонкую незамкнутую по-

верхность произвольной формы (рис. 153), помещен во внешнее

и

поле Е°. Показать, что сумма плотностей зарядов
в противоположных точках, расположенных по раз-
ные стороны поверхности, удовлетворяет инте-
гральному уравнению первого рода



(П1)

Рис. 153. [а (М) = (ЛГ) (Л9, н° — потенциал внешнего
поля, V — потенциал проводника], а разность плот-
ностей выражается формулой



Е*п (АГ)

1Ит^кС08(мм’ пЖ (1У)

5

так что для полного решения электростатической задачи достаточно
найти решение интегрального уравнения (III) *).

547. Показать, что в случае, когда поверхность проводника есть
часть плоскости или сферы, то, независимо от формы краевой линии,
формула (IV) принимает вид:

для случая плоскости



2тс

для случая сферы

ГАП ГАП	I

О| (IV) — с ДА/) —	-}

И—и» (ЛО

где — радиус сферы.

См. [29], гл. XX.
548. Составить интегральное уравнение (III) задачи 546 для слу-
чая, когда поверхность проводника есть диск радиуса А? или тонкий
сферический сегмент (г = /?, О^б^а) (рис. 154) и
внешнее поле обладает симметрией вращения относи-	г(1

тельно оси г*).

в случае тонкого сферического сегмента:	Рис. 154.

2/? I	V —и»(6)	(0===6^а).

I . «Ч- о I . V + о I

1 8Ш —\ 81П------------ /

О 2	'	2	'

Здесь /С(^)—полный эллиптический интеграл первого рода.

549*. Показать, что интегральные уравнения предыдущей задачи
могут быть сведены к интегральному уравнению

2 Г /(у)

Тс 3 х-\-у

о

/2 \/~ху\

К\^у)йу=ё(х)

(О^х^С а),

.и дать решение этого уравнения.
Ответ.

/Су) = -

а	5

2	(1 Р 5 (18	(1 Г

у	о

V®2—

1М.

550.	Используя результаты задач 548 и 549, найти распределе-
ние плотности заряда на диске, внесенном в произвольное внешнее
поле, обладающее осевой симметрией.

Ответ.

Я	5

«кон-’8(о=—V--4- Г /545 -4- Г [н-и°(0]-7----^ ,
я2Г ЙГ 3 у 8! _Г! 48	1	У 8г _

г	О

где Е[ (г)— нормальная составляющая внешнего поля на поверхности
диска, V — потенциал диска.

*) Задачи 548—555 рассмотрены в [®°].
551.	Получить распределение плотности заряда на тонком про-
водящем диске радиуса /? для следующих случаев:

а)	диск заряжен до потенциала V и внешнее поле отсутствует
(свободное распределение зарядов на диске);

б)	диск помещен в поле точечного заряда </, расположенного на
оси симметрии на расстоянии Л от плоскости диска.

Ответ.

а) о1(г) = а2(г) = ^ - ——;

7 1	7	2к2	|Л/^2 _ Г2

б) 01.2 (г) = ~

[ агс ^1/। 1/ & + ?* к 1
зДагсг^|/ д2_|_Г2"г|/ /?2__Г2±2з
2и2 (Л2 + г2)2

(о1 — плотность распределения на стороне, обращенной к заряду д).

552.	Найти распределение заряда на тонком сферическом сег-
менте (г = /?, О О а), находящемся при потенциале V и вне-
сенном в произвольное внешнее поле Е°, обладающее осевой сим-
метрией.

Ответ.

<’1(6) + а2(6) =-----------------

2тс27? 51п

± р И14 и

О

01 (6) - «2 (6) =	Е>г (6) + ~ [ V - «° (6)] ,

где Е?(6), ц°(6) — нормальная составляющая и значение потенциала
внешнего поля на поверхности сегмента, 01 и о2 — плотности заряда,
расположенного на выпуклой и вогнутой сторонах поверхности.

553.	Решить предыдущую задачу для следующих частных
случаев:

а)	внешнее поле отсутствует (свободное распределение),

б)	внешнее поле однородно, потенциал У = 0 (тонкий проводя-
щий сферический экран с круговым отверстием, помещенный в одно-
родное поле Е°).
Ответ.

а)	°>'2 (0) = ет

аге

81П2 — 81П2

а

С°8 2-

б)	01,2(6) =

3 Е° соз 6
4тс2

±“-4-аге

554. Показать, что решение
электростатической задачи о рас-
пределении заряда на плоскости
с круговым вырезом (рис. 155),
находящейся при потенциале У — О
и помещенной в произвольное внеш-
нее поле, обладающее осевой сим-
метрией, приводится к решению
интегрального уравнения задачи
549, и найти это распределение.

Ответ.

соз у 3 соз 6— 2 соз2 ~

4^	,/•  "а~...... —

I/ 81П2 2 — 8Ш2 2

Рис. 155.

«1(г)+м'')=4г

г

(1 Р Г (18

аг л у г2^"2
н

а р (о
л I |Л2 — з2 ’
5

о1(г)-ов(г) = ^^(г),

где Оц — плотность заряда на верхней стороне плоскости, ^(г) и
и0 (г)—нормальная составляющая внешнего поля и значение его
потенциала в рассматриваемой точке плоскости.

555. Дать
внешнее поле
симметрии на
Ответ.

решение предыдущей задачи
создается точечным зарядом
расстоянии Н от плоскости.

предположении,
помещенным на

что
оси

«1, 2(0 = —

2я2 (Л2 + г2)2

г2- П*
г2 + Ла



в

/га тс

7^—2"
556.	Показать, что задача о распределении плотности заряда на
тонкой проводящей заземленной полуплоскости, внесенной в задан-
ное плоское внешнее поле Е°, приводится к решению интегрального
уравнения первого рода

о(Е)1п|х—	(0=Сх<^оо),

где о(х) — суммарная плотность заряда на единицу длины, а(х) =
— °1 °з (•*) *), /(х)= -у п° (х)»	(х) — значение потенциала

внешнего поля в точке х, и дать решение этого уравнения.

Ответ.

/ч 1 а а Г /ЬМ

где

<?(*)= 7 [/(*) —/(°)]-

Указание. Положить в интегральном уравнении х = 0 и вы-
честь полученное равенство из исходного интегрального уравнения.
Применить к найденному уравнению преобразование Меллина.

557.	Воспользовавшись результатом предыдущей задачи, найти
плотность распределения заряда на поверхности тонкой проводящей
пластины х^>0, вблизи края которой в точке /И(х0, помещена
заряженная нить с зарядом д на единицу длины.

Ответ.

2п У ГцХ

где (г0, сро) — полярные координаты точки М, верхний знак отно-
сится к плотности на стороне пластины, обращенной к заряду.

558.	Электростатическое поле в неоднородной среде, состоящей
вз двух различных диэлектриков с постоянными и е2, разделен-

*) Разность плотностей определяется попрежнему уравнением

01 (х) — аг (х) = Д- Еу (х).
Рис. 156.

ных поверхностью 5 (рис. 156), создается источниками, собствен-
ное поле которых равно Е°. Показать, что плотность поляризацион-
ных зарядов на поверхности 5, опреде-
ляющая вторичное поле *), удовлетво-
ряет интегральному уравнению

+У^со5(М№ ">*]' т „

где М и М — две произвольные точки по-
верхности 5», п — нормаль к 5 в точке М,
направленная из диэлектрика с постоянной

ел в диэлектрик с постоянной е2, ЕРп — проекция внешнего поля на
нормаль **).

559.	Воспользовавшись интегральным уравнением (V), найти рас*
пределение плотности поляризационных зарядов для случая, когда
поверхность 5 есть неограниченная плоскость (обобщение задачи 536).

Ответ.

.^1.

560.	Получить двумерный аналог интегрального уравнения (У)\
соответствующий плоской электростатической задаче для неодно-
родной среды, состоящей из двух диэлектриков с разными диэлек-
трическими постоянными.

Ответ.

о(А^)

е1---- е2

(ех + ез)

2^008 (МЫ, п)^], (VI)

8

п — нормаль к контуру 5, разграничивающему области, заполненные
диэлектриками.

561*. Показать, что в том случае, когда диэлектрик с постоян-
ной е2 заполняет область, лежащую внутри двугранного угла
(О^ср^а), а диэлектрик с постоянной е2 — область, лежащую вне

*) Потенциал вторичного поля в каждой из сред дается выражением

Щ (р) =

1 Г а (Л4)

Ч 3 |МР)

(13

(/= 1, 2).

**) См. [2в], гл. XIV.
угла (а^ср^2п) (рис. 157), плоская электростатическая задача
сводится к решению системы интегральных уравнений:

/ \ Ч — Ь2 Г	1 о • С °а(Р>Р^Р ]

°о(Г)=о“7 гЧ “(^«о + ЗЗШа I ----------------5—о-------- ,

7	2тс(е14-е2)[ V V I	г2 + р2— 2гр СОЗ а ]»

О

~ 2п (г, чД) [	= « + 2 81П а У Г2	а ] >

О

где а0 и аа — значения плотности поляризационных зарядов на
гранях <р = 0 и <р = а, и дать решение этой системы при помощи
преобразования Меллина.

Ответ.

р81П(гс — а)(р— 1)/а — 8йиг(р — !)/<>

-ДГ5Г--1)-Е*81п^(^)^-1Г5т~ 1)г~₽^’

5Ш1Т(Р—1)/а —₽81п(тс-а)(р—1)/0 .

• -8-^ к (р - 1)	8)п2 (к - а) (р - 1) 5Ш ”	~ 1)Г~РаР:

Рис. 157.

где / — преобразование Меллина:

гр-Ыг,

и положено:

е1 + е2

562. Дать решение предыдущей задачи для частного случая,
когда а = -^- и внешнее поле Ео создается заряженной нитью с за-
рядом д на единицу длины, помещенной в диэлектрике с постоян-
ной е2 в точке (г = а, <р = к).

Ответ.

14-/00

,	д ?	С	______51пД 2 ~ 0__________(а\Р	,

а°^	ее, ’ 2те/	1	• а / п	'2 • 2 11	/ п 'г'

81п2л(р— 1) — р28Ш2-2-(р— 1)

1—/оо
14-/00

В	81П ^(р-1)В1Пя(р-1)

°^(г)=^-25- |	—“Н Лр'

2	\	— 1) — р2 5Ш2 {р— 1) 4

1— /оо
563.	Пластина из диэлектрика с постоянной еь ограниченная
параллельными плоскостями у = 0 и у = к, окружена средой с
диэлектрической постоянной (рис. 158) и внесена в произвольное

Рис. 158.

плоское поле Е°. Показать, что электростатическая задача приво-
дится к решению системы интегральных уравнений для поляризацион-
ных плотностей а0(х) и ал(х):

=»+2й

МЕ)# ]
(х—ег + лф

°л(х) — 2«(ч4Д!)[^)>’ = а + 2Л У (х —е)’ + Л»]’
— оо

и получить решение этих уравнений.

Ответ.

”ои)=4^-

с ^~|Х|А/л—/о
1-^-2|ЧЛ



°л(х)	4к*

Г Л-^-|Х|А/о

Л 1_р»е-2|Х|Л



где /—преобразование Фурье от функции /(х), т. е.

/ = У /(х)е^х(1х,

— оо

и положено

/о (Х) = №у)у = 0>	Л (*) = (Еу)у	Р = ч 6< •
564.	Рассмотреть частный случай предыдущей задачи, когда
внешнее поле Е° создано проходящей через точку ^0, нитью с за-
рядом д на единицу длины.

Ответ.

оо	— Л —

О г

соз Хх б/Х.

565*. Идеально проводящая полуплоскость (у = 0, х^О) поме-
щена во внешнее электромагнитное поле с компонентами Ех =
—	=	Ег = Е® (х, у)е1Ы. Показать, что сумма плотностей токов

текущих по верхней и нижней сторонам полуплоскости,
удовлетворяет интегральному уравнению

^(х) =



о

где

Е(х) = Е^х, 0), л = 1/6|хш2-^,

е, |л и а — диэлектрическая постоянная, магнитная проницаемость
и проводимость среды, а разность плотностей дается соотношением

та

С2^	$

71 —Л = ~^Г

дЕ° (х, у) 1

ду |у==о’

Дать решение интегрального уравнения с помощью преобразова-
ния (6), стр. 211.

Ответ.

о

Е(0)1
§11 ТСТ ]



где

/=л ^^^(Ах)ах

О
(предполагается, что /(х)->0 таким образом, что интеграл схо-
дится на нижнем пределе).

666*. Плоская электромагнитная волна с компонентами Ех —
-==Еу=0, Е2 = Е®е*^1~кх) падает на идеально проводящую полу-
плоскость (г 0, <р = а). Используя результат предыдущей задачи,
найти распределение плотности тока на полуплоскости.

Ответ.

У 2кг з!п ~

й8

о

81’пае4 е~*кгС08а

— у2 =	81п а е~1кг С05 а.

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ VIII

Гринберг Г. А. [2в], Титчмарш Е. [10в], Винер и Хопф [20],
Фок В. А. Р16’ 118], Вайнштейн Л. А. [7> 8’ 91> Лебе-
дев Н. Н. р°].

РЕШЕНИЯ

52. Решение задачи сводится к определению комплексного по-
тенциала потока ^ = 9-|-2ф, мнимая часть которого есть гармониче-
ская функция, равная нулю на оси симметрии и принимающая постоян-
ное значение ф= — ъаа вдоль стенки канала. Для определения яр
достаточно найти конформное отображение области АВСОЕ на
верхнюю полуплоскость переменной С =

Если при применении теоремы Кристоффеля—Шварца соответ-
ствие точек плоскостей г и С выбрано согласно сделанному к за-
даче указанию, искомая зависимость между г и С определяется пу-
тем интегрирования уравнения

где М — константа, подлежащая определению.

Принимая во внимание, что при — 1, г = находим

где интегрирование производится по произвольному пути, соединяю-
щему точку С=— 1 с рассматриваемой точкой С верхней полупло-
скости.	_

Из условия 11‘ш [г|с=_8 — х |с = е] — а1 следует, что М — а,
8->о

поэтому остается определить значение параметра X, для чего доста-
точно воспользоваться соответствием точек С =—X и г =

Так как при вычислении интеграла с верхним пределом С = — X
интегрирование может быть выполнено вдоль отрезка прямой, соеди-
няющей точки С=—1 и С= — X, на котором С-р! — 1
С-|-Х = е/тс($ — X), С= — 5 (Х^5^1), то последнее требование
приводит к соотношению

_ 1 1

Ь У \ С /1 —з\2 аз

1 а	я л — х; з*
откуда, после выполнения квадратуры, следует Х = и, соответ-

ственно, Л1 —.
я:

Выражение комплексного потенциала в плоскости С, как нетрудно
видеть, будет

Уаа 1 я-

«>=-----— 1п С,

и

что, вместе с установленной выше зависимостью г = г(С), дает
параметрическое решение рассматриваемой задачи.

Для вычисления скорости вдоль оси симметрии потока ($^0,
т} = 0) надлежит воспользоваться формулой

откуда следует

— IV—-2- ,

х У йг 9

(Ух)у~О = * /5 + Ц2

У1\НЧ 9

где связь между х и ? должна быть установлена на основании зави-
симости г —

Выбирая в качестве пути интегрирования кривую, состоящую из
отрезка вещественной оси (-— 1, — /?), дуги круга радиуса /? и от-
резка (/?, ?), и переходя к пределу	получаем

откуда, после несложных вычислений, находим

Окончательные формулы, приведенные в ответе к задаче, получаются,
если ввести новый параметр

/==-и/ш
/хг «4-Г

54. Рассматриваемая задача принадлежит к интересному в мате-
матическом отношении и имеющему большое значение для практи-
ческих приложений классу задач на плоское установившееся движе-
ние идеальной жидкости, связанное со срывом струй у края обте-
каемого препятствия. Форма струи в этих задачах заранее не из-
вестна и должна быть определена из условия, что на свободной
поверхности струи величина вектора скорости сохраняет постоянное
значение.

Эффективный метод решения задач этого типа для случая, когда
стенки обтекаемого препятствия образованы отрезками прямых, основы-
вается на возможности установить зависимость между комплексным
потенциалом ад и производной , исходя из рассмотрения кинемати-
ческой картины движения жидкости.

Рассмотрим часть области, занимаемую потоком, ограниченную
осью симметрии АВ, свободной границей струи ВС и стенкой СО.
Изменение составляющих скорости ух и V? вдоль границы рассмат-
риваемой области определяется соотношениями: на АВ: ъх = 0,
— на ВС:	— на СО: —	^ = 0,

где =	(2Ь— ширина струи на большом удалении от места

выхода.

Вводя вспомогательное комплексное переменное С = и при-

нимая во внимание равенство ъх— 1Уу= —	, получаем, на осно-

вании установленной выше картины потока, что рассматриваемая
область АВСО конформно преобразуется на внутренность сектора
плоскости С	^аг^С^О), причем граница струи пе-

реходит в дугу круга.

При помощи подстановки *) С = у/1 —	— 1) данный сектор

отображается на верхнюю полуплоскость комплексной переменной
причем линиям АВ, ВС и СО первоначальной плоскости соответ-
ствуют отрицательная вещественная ось, отрезок (0, 1) и отрезок
(1, оо). В плоскости / определение комплексного потенциала при-
водится к построению регулярной в верхней полуплоскости функции,
мнимая часть которой принимает значение нуль на отрицательной и
постоянное значение (—на положительной части вещественной
оси. Как легко видеть, решение последней задачи дается формулой

откуда, на основании ранее найденных соотношений, следует

__ 1 Лю  С)	У 14- У*— 1

(11 С	(11	2тшь	I

*) Для получения этого выражения удобно сперва отобразить сектор на
полуполосу при помощи подстановки

ТС . . С

5 — -тг- — Ип —

2

и воспользоваться затем теоремой Шварца.
Интегрируя последнее равенство и принимая во внимание, что точке
/=1 должна соответствовать точка г = а, получаем

— 1 + /1 — аге — 1] + а,

где берется та ветвь арктангенса, значение которой при /->1 при-
водится к нулю.

Найденные зависимости	и г = устанавливают

в параметрической форме искомую связь между комплексным потен-
циалом чю и переменной г. Для определения формы границы струи
достаточно отделить вещественную и мнимую части в предыдущей
формуле, считая, что переменная / принадлежит отрезку (0, 1). Мы
получаем таким образом параметрическое представление линии,
ограничивающей струю



1+|Л1_д
1-1Л1 — Л

(0===/^!).

Ширина струи на большом расстоянии от шели и соответствую-
0

щее значение скорости	— ~ определяются из условия х — о при

/ = 0, что дает

откуда непосредственно следуют формулы, указанные в ответе.

59. В соответствии с указанием, сделанным к задаче, строим
функцию г — отображающую внутренность прямоугольника на
верхнюю полуплоскость. По теореме Кристоффеля — Шварца имеем:

— = 2И, гг« — 11/2	----- 1/8 — М —-.1

' V А2/	1Л1—!г)(1— А2С2)

(0<А<1),

откуда, так как по симметрии точке С = 0 соответствует точка
г = 0, следует:

2 = М

К

/(1— С2)(1~Л2С2) ’
Значения постоянных М и к определяются из условий соответ-
ствия точек 1, г =	= уг —	что приводит к соот-

ношениям:

1

а = М Г ^=Д=-=Ж/С(Л),
У 1^(1—АЧ2)

к

ь = М Г —===^==== = ЖЛ'(А')	(А' = /Т^Р),

Л 1Л1— С2)(1 — АЧ2)

где К {к) — полный эллиптический интеграл первого рода*).

Исключая М, приходим к соотношениям

= С

а	К (к) ’ а ’	}

первое из которых является уравнением для определения модуля к>
второе дает решение рассматриваемой задачи конформного отобра-
жения.

На основании теории эллиптических функций обращение послед-
него равенства дается формулой

г

С = 8П-,

а ’

где виг — эллиптическая функция Якоби.

Точка г = г$ = у переходит при конформном отображении
в точку и =(;$ = 8п-2^-= Выражение для комплексного потен-
циала в плоскости С будет

г___г	а 1/ ъ

те/ = — 2(71п )—= _ 2<у 1п---------------.

С Г	7	„ г , I

Ч	8П К-------

а V к

Для вычисления распределения плотности заряда на сторонах коробки
надлежит воспользоваться соотношениями

Ех — 1Еу = —	ч = }-Еп,

х у (/я ’	4~ л

п — нормаль к поверхности проводника в точке, где ищется значение
плотности о.

*) Приведение интеграла во второй из указанных формул к канониче-
скому виду осуществляется при помощи подстановки 1^1—к^2 = кЧ»
Применяя эти формулы, получаем для распределения плотности
заряда по стороне (—у~ 0) выражение, приведенное
в ответе к задаче.

69. Смещение и(х, I) любой точки средней линии балки в дан-
ной задаче удовлетворяет дифференциальному уравнению

№ . 1 д2и____п

дх* ‘ ? д12 ~ 0

и граничным условиям:

I	\ л д*и\ л лл д2и I	д*и 1

м	=0;	-V-	=0,

|х=о ак|х=о	дх2 \х—1	®д12 |х=г дх*\х==1

Для нахождения собственных частот поперечных колебаний
положим

и(х, /) = т/(х)81п(о)/-|-а).

Тогда, после подстановки этого выражения в дифференциальное
уравнение и граничные условия, получим для определения амплитуды
г/(х) условия:

ГП2
г» = 0,
а* ’

т»|	=г»'1	=0;	1/"!	=0,	г/"1	= —.

|х==0	|х=0	|х = /	|х=/	Е}

Общий интеграл последнего уравнения имеет вид:

, ч л	V ш I Г» . V	I л « к <°	1/ <О

у(х) = А1 соз-—х-4- В< 81п -—х4- Л2 ей -— х -4-В2 зй -—х.

4 7	1 а	1 а х * а х * а

Условия закрепления на конце х = 0 дают возможность опреде-
лить две постоянные и приводят к выражению

Л ( Vш	I п/ • V <о . 1/’ <а \

у(х) — А\ соз----X — ей -—X “Г В ---------X — 811 ---X ,

4 7	\ а	а /	\ а	а / '

после чего из остающихся условий при х — 1 получаем однородную
систему уравнений для величин А и В:

А (соз у 4“ СМ) 4“ (8*п Т + у) — 0,

а Р м(со5 т—сь +(8{п у—5Ь 4+

4- в[т^-"(8>пТ — 8Ь т) —(созу + сН т)^=0,

где для сокращения положено ?=
Уравнение для определения частот получается из условия равен-
ства нулю определителя рассматриваемой системы, что дает

1 соз 7 сЬ у = у (соз 7 зЬ 7 — зш 7 сЬ 7).

Если 7Л (п — 1, 2,...) — корни последнего уравнения, искомые
собственные частоты будут

83. Задача о нахождении вынужденных колебаний мембраны под
нагрузкой 81п((о/распределенной по кругу радиуса Ь<^а,
ставится следующим образом: найти решение дифференциального
уравнения колебаний мембраны

1 2?	__ 1 дъи___д (г, I)

~г дгГ дг V*	Т 9

где

(а,

?(пО = Ф(г)8>п(<^ + <р),	ь<г^а,

удовлетворяющее граничному условию и = 0 и имеющее ту же
]г=а

частоту сю, что и возмущающая сила.

Полагая

и (г, 1) — ^ (г) 81П (со/ ?)>

находим, после подстановки последнего выражения в уравнение и
граничное условие:

1	4 дчи . <о2	Ф(г) / х л

— • -г 4--8= —	^(а) —0.

г дг 4г 1 V2	Т 9	7

Решение неоднородного уравнения, полученное по методу Лагран-
жа, имеет вид:

Постоянная В равна нулю в силу требования ограниченности реше-
ния в точке г = 0; постоянная А определяется из условия гг>(а) = 0>
что дает:

А	(? ») А (I <) —О) у‘ (г ?)] ₽ “>
После некоторых преобразований искомое выражение для ампли-
туды принимает вид:



а

(Г)= У Ф(р) О(р> г)р</р.

О

где

О(Р, г)=~Х

о

Подставляя заданное
чаем окончательно *):

значение ф(г) в последнюю формулу, полу-

„1г А—те^1'8'п Н+?)

91. Если направить ось г вдоль образующих волновода, то электри-
ческое поле для волны типа ТМ будет иметь единственную компо-
ненту Ег==Ее^ы~^ (ш — частота колебаний, V — постоянная распро-
странения), амплитуда которой есть решение уравнения Гельмгольца

+	-И*4-^)Е = 0

г дг дг 1 г2 дер2 1 4	7

я=у = у, л — длина волны), удовлетворяющее однородным гра-

ничным условиям

е| =0;

[г=а

=е|	=0.

|<р=0	1? = ^

♦) Следует воспользоваться формулами
р	р

У р/0 (Хр) а?=Л (Хр), у рГ0 (Хр) а?=г, (хР) + А
о	о

и известным выражением для вронскиана функций Бесселя;

2
Написанные уравнения допускают бесчисленное множество отлич-
ных от нуля решений вида

Е—Етп —	(от=1, 2,...),

а '	'

где утп — корни уравнения /т7С(т) = 0, причем значение постоянной
а

распространения для рассматриваемой гармоники будет

Так как волны с мнимым значением Утп экспоненциально зату-
хают в направлении оси г и практически не могут распространяться
вдоль волновода, то для прохождения волны через заданный волно-
вод необходимо, чтобы было вещественным числом, что приво-
дит к неравенству

1^.

7тп

Максимальная длина волны, проходящей через волновод,
формулой

1		2ла

^тах —~~~ {

То

дается

где То — наименьший положительный корень уравнения
(у) = 0»

ос

96.	Задача приводится к интегрированию уравнения

дх2 V8 д12
с начальными условиями

»!,-« =М=

— с

с *

Л(/~ х)

I — с

ди I ==: 0,
д1 |/=о

при граничных условиях 0 = а / = 0.

Полагая и(х,	и разделяя переменные, приходим

к уравнениям

X" + \Х= 0,	Т" + Ш= 0.

Решая первое из этих уравнений при граничных условиях
Х(0)= Х(/) —0, находим собственные числа и собственные функ-
ции рассматриваемой задачи:
Интеграл второго уравнения, удовлетворяющий условию Т'(0)==0,
дается выражением

ГГ ___ ГГУ г/\ _____

7 — Тп (/) — сп СО8 у— ,

поэтому совокупность частных решений уравнения колебаний струны,
удовлетворяющих всем однородным условиям, будет

. ПЪХ ПчМ

и = ип = сп 8Ш	соз —~

(л=1, 2,...).

Согласно общим принципам метода Фурье, решение рассматри-
ваемой задачи ищется в форме

со

г	V . пъх пкм1

и(х, Г)— У сЛ8й1-у соз—у—.

л— 1

Коэффициенты сп определяются из условия о=/(х), т. е. совпа-
дают с коэффициентами разложения функции /(х) в ряд Фурье
оо

п=1

Воспользовавшись известными формулами, находим:
I

2	С г, х . пкх .
Сл=у | у (х) 81П —у—(1Х,
о

откуда для рассматриваемого конкретного случая следует

2И12	. пкс

Сп " о 5 /г \	.

п п2п2с(1—с)	I 9

и решение задачи будет:
°°	. пкс

/ /ч 2А/2 8ш ~Т . пкх пм!

П5«=1

Можно показать, что полученное выражение представляет кусочно-
гладкую функцию переменных хи/, удовлетворяющую уравнению
колебаний струны и остальным условиям задачи.

108.	Дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня
с переменным сечением имеет в данном случае следующий вид:

у(х) ' дх[у ’дх\ д12	'
где у (х) = а — х а — переменная высота сечения, отсчитываемая
от оси симметрии стержня.

Если положить и(х, 1) — Х(х) Т(1) и разделить переменные, то
для определения отдельных сомножителей получаются уравнения:

X” — 1^-Х'4-ХА'=0,	7’"4-Аф«7'=0.

Первое из этих уравнений приводится к уравнению Бесселя отно-
сительно переменной у\

<?Х । 1 г/Х ,	V— п

Лу2 ’ у Лу ‘	— ’

и его общий интеграл будет:

х= А./о (4- В У.	.

На основании граничных условий

I п ди I ~
и\ =0, з- =0,
|х = о	дх \х = 1

соответствующих, очевидно, условиям

х| =0, 4*1	=0,

\у^а	ау \у = Ь

получаем совокупность собственных чисел

и собственных функций данной задачи X(х) = Х^ (у), где

X О') = О) Л (?) -Л (т) г, (?),

— корни уравнения Х'( (д) — 0.

Интегрируя второе уравнение и принимая во внимание условие
Т'(0) = 0, находим:

Т=сп СО8	»

откуда следует, что совокупность частных решений, удовлетворяющих
однородным условиям, будет

м = и« = -лЛ„(5')СО8(5^г±^) (л==1, 2,...).

Решение рассматриваемой задачи строится в форме ряда
оо
и(х, О=	11 п'

п=1
причем коэффициенты сп определяются из условия

4=о=^^)= 2 с»^лО') (Ь<У<а)-
п — 1
Воспользовавшись соотношениями

а

^х,т(у)^п(у)уау=

ь

0, т^п,

‘4 й <<“)-< от]

т = п>

получаем

р(х)ХГп(у)5-^

й8

4а8

X8 ($)

где для упрощения использовано равенство

X' (а) = ——

Окончательное решение задачи будет:

(х, 0==—Д- / ----------------соз^^-^аХ

4	Ь2 / \ 4а2	а &

п=1 гс8?8*8

I

X /Л0(« -	а)ху„(а - И8а)<

О

109.	Задача приводится к интегрированию системы уравнений

д2М1____ 1 д2иг___~

Эх2	VI дг2

д2и2	1 д2и2 ~

дх2	V2 д12

при начальных условиях

нко=-/Г^’

(0<х<а2),

ди
д1

и граничных условиях

= и2	=0,	=«2

==—Л1 |х = а2	|х = 0	*|а:=0

л ди^ I	р ф ди21

^371^0 — Д2д2ЭГ|х~

Разделение переменных позволяет получить следующее выраже-
ние для смещения, удовлетворяющее всем условиям задачи, кроме
первого начального условия:

оо

И(Х, 0 = 2	СОЗ у ,

п, = 1
где

( Л^П(х) = 81П7д ^^81ПТЛ(— -|~	,

Лд(х)=	‘

| Х<п2)(х)== 81П уп 8Ш 1п--^2а1 Х) >

уд — корни характеристического уравнения:

— а1 ^х^О,

0 х «2;

$2 /^Рз^т + ^х /^1Р1^7^ = 0.

Можно показать, что собственные функции задачи Хп(х) орто-
гональны в промежутке —ах^х с весом

, ч ( 51рь — а1===х<0,
Г (X) — <

откуда, на основании начального условия ^=/(х), следует

У 42»2 (х) ах

о	«2

/(X)хо»(х) ах + 52р2 у /(х)х™ (х) ах

е ___	—________________________9______________

0	«2

5.Р. У 41)2(х)</х + 52р2

— «1	0

Подставляя явные выражения собственных функций, получаем,
что значение знаменателя будет

4 (Я151Р, 81П27„ +аЛр4 81Пат„^,
2 \	^2^-1	/

после чего окончательное решение принимает форму, приведенную
в ответе к задаче.

112. Для решения задачи требуется проинтегрировать дифферен-
циальное уравнение крутильных колебаний вала

1	д20 _ 0

дх2 V2 '	~ М

при следующих граничных и начальных условиях:

*) Здесь — полярный момент инерции, рассчитанный на единицу длины
вала.
Разделение переменных, с учетом условий закрепления концов и
отсутствия начальной скорости, приводит к следующим частным
решениям:

С(1)$1П |/лхсо§

С™ 81П	1 — ~ СО8 V?,

0	^а,

а х ^1.

Используя условия сопряжения в точке х — а, получаем соб-
ственные числа к = \п — — и соответствующие им собственные

функции

— у) «Мл у,
81ПТяТ81П-Ц1 — у^,

(л = 1, 2,...),
а х /,



где числа уЛ— корни уравнения:

81П у = у у 81П у у 81П у ( 1 —у].

В силу ортогональности собственных функций решение задачи,
удовлетворяющее всем поставленным условиям, представляется сле-
дующим рядом:
оо I

6 (х, О = \ -Ц--------------6„ (X) соз	.

П=1

Форма решения, приведенная в ответе, получается после вычисления
соответствующих интегралов:

I	а

Г /С) 6 л С)	~ 814 Тп (1 — у) Р 8'4 у +

о	о

I

+	5'п т У С — О 81П т„ (1 — у) =

= Л 4-11;

7л [я (Л-а) т* Л р

I	а

У 6п С) </; = 81П2 уп (1 — р У 81П27„ Л +
О	о

I

+ 81П97„ у У 81П« т„ (1 — у) Л =
а

1 Г •« У Ч\ X п Л • 9 а /51П!7Я

= у |а81П4т„1 — У+ С — а)81П«Т„у--------- -^1.
114. Задача приводится к интегрированию дифференциального
уравнения поперечных колебаний балки

№ । 1 д*и ________п

с начальными условиями

«I	= /(х),	= ^(х),

при граничных условиях

I _ &и_ I _ I _ д2и I _ п
|лг = о	дх2|х = 0	П|лг = /	дх2|х=/

Полагая и — Х{х)Т(1) и разделяя переменные, получаем для
каждого из сомножителей уравнения:

X™ — XX= 0, Гг + а4 ХТ = 0,
общие интегралы которых будут:

X— А соз ]/Хх В 81п ]/Хх С ей р^Хх В 8Й Хх,
Т=Мсо8 /ХЛ-^зш '/ХаЧ.

Используя граничные условия

ЛГ(О) = X' (0) = X (/) = X' (/) = 0,

приходим к собственным числам Х = Хп = ^~ и собственным функ-
циям Х=Хп(х) = з1пг^~ (п=1, 2, ...).

Определение постоянных Мп и Хп в разложении

ое>

,	V I и	П2™2 о, . х, • п2™2	• П^Х

и(х, I)— У (ЖЛсоз ач№Пъ\п ~^-азш —р
п 1

приводится к вычислению коэффициентов Фурье функций

/(А-)= 2 Мпь\пп^-, ^(х) = ^2
п = 1	п = 1

118. Требуется найти решение уравнения
д^и ।_____________________1_ д2и__п

дх*' а* ' де ~

удовлетворяющее граничным условиям

I		_______&и\	_№1 ф

1 |х«о ^х 1 х = о	х=/ дх3|л=и
и начальным условиям

и |	= /(х),	= 0,

причем начальный прогиб является решением следующей ста-
тической задачи:

/1У(*) = О, /(0)=Г(0)=Г(/)=0, Л(О=-^*).

Разделение переменных после подстановки и = Х(х) Т{1) приво-
дит к следующим функциям:

Х=А соз \х В 81п Сей	р/Хх,

Т — М соз у/Та2/ 4~ М 81П V

Используя граничные условия

Х(0) = X (0) = X' (7) = X" (7) = 0,
получаем собственные числа

X

и собственные функции рассматриваемой задачи

*п (•*) = (8‘П Т„ + 8Ь Т„) ( СО8 7„ у — сЬ у) —

— (соз 4- сЬ т„) (з!п у — зЬ у),
где — корни трансцендентного уравнения

соз у ей у Ц- 1 = 0.

Покажем, что функции Хп(х)— ортогональны в промежутке(0,7),
для чего умножим каждое из уравнений

Ху-АЛ=о, ХУ-хтлт=0

соответственно на Хт и Хп, вычтем полученные равенства одно из
другого и проинтегрируем по х от 0 до 7. Принимая во внимание
граничные условия, находим после интегрирования по частям:

I

(А„ - Хт) у ХпХтЛх = (Х;'Хт - Х^Хп + Х'^Хп - Х^Хт) |' =0,
о

откуда непосредственно следует требуемая ортогональность функ-
ций Хп(х).

*) Явное выражение для /(х) приведено в задаче 7, однако при нашем
способе решения мы им не пользуемся.
На основании общей теории рядов ортогональных функций реше-
ние задачи может быть представлено в виде:

I

2

« = 2

п ~ 1

о

Интеграл, стоящий в числителе, легко вычисляется путем замены
функции Хп на	и интегрирования по частям, что дает:

'л

'п

Хп(1) Р

о

Для вычисления интеграла от квадрата собственной функции вос-
пользуемся формулой *)

у Х№(0+х'2 (О - 2Х (0 X" (01,
о

которая в рассматриваемом случае принимает вид:

о

Подставляя значения найденных интегралов, имеем:

и(х Л-4Г7» у Хп(х) №
и(х, I)- Е, т4Хп(/)СО5 Р

Форма решения, приведенная в ответе, получается после под-
становки

Хп (0 = 2 (соз т„ 8Й Тл — 81П СИ т„).

120. Задача требует интегрирования уравнения колебаний мем-
браны

1 д / ди\____1 д*и___~

~'дг\~дг)	’

при граничном условии и

О

*) См., например, [Х08], стр. 225.
и начальных условиях

и| -о, 41 =/(г) =

|/ = 0	д1 |/ = 0 7 4 7

0,	г<^г^а.

Полагая и (г, /) = /? (г) Т(Г) и разделяя переменные, приходим
к уравнениям

~Г‘^(Г^) + Х/? = О> ^' + х^=0-

Допустимые значения параметра X определяются из условия,
чтобы первое из рассматриваемых уравнений имело ограниченные
в области	решения, удовлетворяющие граничному усло-

вию А? («) = 0, что приводит к следующей совокупности собственных
чисел и собственных функций:

Х=Х„=§-,/г=/?„(г)=л(тя4) ("=1.2....),

где — положительные корни уравнения Уо(у) = О.

Решение уравнения колебаний мембраны, удовлетворяющее всем
однородным условиям, будет

2	VI т / г\

п= 1	К

1-г	ди\	г, Х

Постоянные сп определяются из условия I = /(г), которое,
после подстановки ряда для н(г, /), принимает вид:

ОО

/(О==у 2

п = 1

В соответствии с формулами, определяющими коэффициенты раз-
ложения в ряд Фурье — Бесселя, получаем:

л	V 2_|

с _	2 С /(г)/ (у —\гс1г =_________\ п а )

а С" аЧ[(1п)	' •{‘"а)	^₽вТ//1 (Тл) ’

О
откуда следует

г I г\ . VI

и (Г, Г) — ^т 2 ту|(т„) 7в(Тл а)8,ПТ" а *
п = 1

124. Требуется определить решение уравнения поперечных коле-
баний плиты

1 д Г д Г 1 д (	______1

~ дг V дг [ г дг \ дг /]/ » Ь4 д1*
с начальными условиями:
= /(г),	=р-(г)

и условиями на контуре:

и| =0,	=0.

] г — а	ОГ \ г = а

Разделяя переменные, получаем:

« = /?(г)Т(/),

г аг I аг [ г аг \ аг /])

Г'-|_^ХТ=0.

Функции /?(г), остающиеся конечными в центре плиты, имеют
вид:	__

К (Г) = Л/о ( УГг) + ВГ9 ( р'Тг).

Из краевых условий /? (а) = /?' (а) = 0 получаем:

х=х„=^,

п ст ’

/? = /?уя(г), где /?т(г) = /о(7)л(т^ — Л (т) 4(7-7),
уп — положительные корни уравнения

/?'(а) = 0.

Собственные функции /?тп(г) ортогональны в промежутке (0, а)
с весом г, так как*)

1	(>._ -1.) / гК.К. *={я4[± " (г^)]-

О

-'г4[т4(гт)]+

на основании граничных условий для функции /?п(г).
Решение задачи дается формулой

оо

И (б 0 = у ~ё /?л(^ [со»	У /(р) %п (р) Р 4"

О

а9 1п^ Г	1

+ з^г 8к1 -^г ] ё(р)Яп(р)Р<*?]•
п	о

♦) Здесь и в дальнейшем для сокращения записи принято /?г
Значение интеграла § К2пр (1р может быть найдено из соотношения
о

/	"р=т !«• -	[т (' ^-)] -	- ««4. •

О

которое после простых вычислений принимает вид:
а

У /ад Р	=т КГ («)=а2/02 (7„) Л2 (Т„).

о

132. Задача приводится к уравнению
। 1 д2п ________________________________Ч

^дгТ~дг'г*'ду2	Т ’

которое требуется проинтегрировать при нулевых условиях на кон-
туре: «	= м =н =0.

\ г == а	1'р = 0	| -р == тс

Положим а = м1-|-и2, где и1== — ^8Ш2ср. Тогда функция н2
должна быть решением уравнения Лапласа

1 . ± дщ । 1 д2и2 п
г * дгГ дг ' г2 ду2
при граничных условиях

I	I п I	• 9

П2 = Н2 — 0, Н2	81П2Ср.

] ср = 0	। ср = тс	|г = а	//

Подстановка п2 = /? (г) Ф (<р) приводит к уравнениям

=	"+).Ф=0,

г 4г\ 4г ] г2	йу2 1

общие интегралы которых име*бт вид:

/^ = Аг^1	ф = Ссо$ -/X<р -|-О 81П

Удовлетворяя однородным граничным условиям
ф(0)=Ф(к) = 0,
получаем собственные числа Хл = л2 и собственные функции
фЛ(9)=81п л<р (л=1, 2, .. .)•

В силу конечности решения при г = 0 постоянную В следует поло-
жить равной нулю.

Таким образом, функция н2 может быть представлена в виде
суммы ряда
оо

«8= 2 Л"(у)Л8'ПЛ^

п«=1
|4э граничного условия при г = а следует:

§г81П8<? = У Ля81пл? (0<<рО),

откуда на основании теории рядов Фурье
тс	0, л = 2Л,

да? Г . 9	,

I 81и ср 81П пер аср =

о

4^«2

, кТ ' (2Л+1)[4 —(2й+I)2]

, л=2ЛЦ-1.

1

Подставляя значение коэффициентов Ап, находим:

и(6 ?)= —

^Г281П2<р

2Т

2П+1	81п (2/г 4" О ?

1	(2п+1)[4-(2п+1)2Г

Полученный
форме, для чего

результат может быть представлен в замкнутой
надлежит воспользоваться разложениями:

V Р2Л+1	• /о ।	1	, 2рз1пср

2 ^нЗ'п(2Л-Н)т==тагс1е44^
п = 0

V Р8П+‘ еск(<2п I	1+2рсо5у + р8

21 2п + 1	( г ) ?	4	1 — 2р соз ср 4~ Р2 ’

п = о

После некоторых выкладок получаем:

VI Р2Л+1 81П (2п + 1) ? ___ 1

(2и+ 1) [4 — (2пI)2] ~~ 8

, 2р 81П ср
агс^~Г=^

о\ . п « 1 + 2р соз ф + р2

— Р* 81П 2ср 1п т-Чг--М-Ч----

г / т 1 — 2р соз ср 4- Р

81П <р,

откуда непосредственно
стр. 80.

следует форма решения, приведенная на

136. Требуется найти
лой плиты

решение уравнения равновесия полукруг-

ДА« = Г

при граничных условиях

"I ‘

ср = О

Полагая

даи
д?а

= и

<р==0

даи

~ д^2

<р = те

=^1 =0.
дг I

. 4?а2 у

* тсГ 2^

п = 0



К

и =

аак /г' . ,
81п ?
получаем для функции т/(г, ср) однородное бигармоническое уравне-
ние ДДт/ = 0 и граничные условия:

I	I	п I . а

=^| ==г’| =^| =0’ г’| =8Ш

<р=»0	<р —О	ср = тс	<р = 1с	Г—а.

дя1	4.4

X- =—81П4Ф.

аг	а т

Переменные в бигармоническом уравнении могут быть разделены,
если искать частные решения в форме

Ъ = ер) = (Л СО8|АСр-|-В81П|Кр)/?(г).

Из граничных условий, заданных при ер = 0 и ер = к, следует:
Л = 0, |а = л (п — 1, 2, ...).

Принимая во внимание ограниченность прогиба в центре плиты,
находим далее

/?(г) = Спгл + Г»лгл+а,

откуда, суммируя частные решения, получаем:

ОО

ъ(г, <р)= 2[уил(у)П+л,«(т)Л+2]8'пй'?-
Д=1

Значения постоянных Мп и Ып определяются из граничных усло-
вий, заданных на дуге г —а:
оо

81П4 <р = 2 (М„ ЛГ„) 81П л<р,

(0<<р<п),

4-4 V Г ^Мп । 0* + 2) Ып 1 .

у §1П4Ср= >	1~ 8Ш ЛСр,

л—1

что приводит к системе

7ИЛ 4~ №п = -|- § 8ш4 <р • 8ш лер б/ер,
о

тс

пМп -1- (л -|- 2) Мп = У81П4 ер • 81П лер б/ер.
о

После простых вычислений находим

л С • 4	• л 1 — (— 1)"Г1 / 1	।	1 \

4 = ] 81П4 ер 81П лер =----*-----—

о

-2М-+^-Ь -1

\и + 2 ‘л — 2 / * л]э
откуда следует

Ж„ =

п — 2 ,	..	4 —л ,

Я ^П’	^п~~ Л '7п'

Если воспользоваться разложением

л —О

ряд для функции V (г, ср) суммируется для значения <р = -^-, и про-
гиб оси симметрии плиты выражается в замкнутой форме через
элементарные функции.

140. Для сведения задачи к частному случаю задачи Неймана,
выделим потенциал скоростей источника, т. е. положим

« = Но + «1«

где ил = ~ 4* соп81
0 4тср 1

(р — расстояние от источника
Тогда функция щ должна

до произвольной точки потока),
быть решением уравнения

дг\ дг)'

1 д

81П 6 дб

= 0,

регулярным вне шара, удовлетворяющим граничному условию

дг

I   ди»
к=а	дг

и условию на бесконечности нН	—* 0.

Полагая 6) = /? (г) 0(6) и разделяя переменные, приходим
к уравнениям

(гЪ'у - хд=о, -4г («ш6 • е'У+Х0=0.

Последнее уравнение имеет решения, конечные при 6 = 0 и
6 = к только в том случае, когда

Х = Хл = л(л+1) (д = 0, 1, 2, ...),
что и дает собственные числа задачи. Им соответствуют собствен-
ные функции

е„(б)=ря(со8б),

где Рл(х)— полином Лежандра л-го порядка.

Для функций-/?д(г) получаем соответственно

/?п(г) = Л„гп + Влг'1-1,

причем, в силу условия на бесконечности, Дд = 0.
Таким образом находим

ОО

«|(б 6)= 2В„ГЯ-‘РП(СО8 6),
п = 0

и для определения постоянных Вп остается удовлетворить гранич-
ному условию

= У (п-\~\)Впа~п~2Р„(соз6)

а л = 0

(0^6=^ тс).

Вычисление коэффициентов в разложении по полиномам Лежандра
может быть в данном случае произведено путем дифференцирования
разложения производящей функции

_________!________

р Ут2 — 2Ьг СОЗ 6 +

оо

=72(7)”Р”1с“”-

п=»=0

что дает

О _____ ™ П

~ 4тс ’ п + 1



Подставляя значение Вп, получим

Ряд может быть просуммирован, если проинтегрировать разло-
жение

г_____	г

Р	У г2 — 2Ъг соз в + й2

п=0

Р„(СО8б)

по параметру Ь в пределах (0, #), что приводит к соотношению
вида:

у »"+‘ Рп (СО5 6) _ Г_______________ __ Г (1 4- СО8 6) ф

“о"4"1 Г +1 о У г2 — 2^г соз 6 +	р + гсозб— Ь

Записав найденное выше решение в форме

м у

4тс [ р 1 Ьг
п — \

р,(с05в)_12^

(соз 0)1

г«+1 I

\ г )

и воспользовавшись указанным соотношением, приходим к выраже-
нию, приведенному в ответе к данной задаче.
145. Задача приводится к решению системы уравнений

С1Р1 ЭЛ

дх2 кх д1

(0<х<а,),

д2Т2 с2р2 ' д7\
дх2	к2 д!

(а1<^х<^а1-[-а^),

при начальном условии Т Го и граничных условиях:

Применение метода Фурье позволяет получить следующее выра-
жение для искомого распределения температуры, которое при произ-
вольном значении коэффициентов удовлетворяет однородным усло-
виям задачи:

оо

Т(х, о=2с"е”^Хя(х)’

л = 1

где

Хп(х)=-

ХУ(х) = 8Й1	Тл 81П,

«1 У	а1

0<^х^а{,

Л^’С-Г) — 81П	814 ~2 у-^0°8 — Уп>

X	И1 —|- С1%\

Тя — корни трансцендентного уравнения:



«е УМ
о» V

(ь,^, (=>,2).

При помощи обычной методики можно показать, что собствен-
ные функции Хп(х) ортогональны в промежутке	4~а«

с весом



г(х)==

С1Р1,

с2р2,

<21 X 0,1 —|— #2,

откуда следует, что коэффициенты Сп могут быть вычислены по
формулам

«14-аа

С1Р1У /«)4П (0 + сяРа | /(5)42Ч?) а1

_________ ________о_________ а1____________ __
л__________________________________________’

С1Р1]* ^1)3 (')</;+ С8р, Г Х<^(№
Подставляя выражение Хп(х) в знаменатель, находим для него
следующее значение:

у [ а1с1Р18’п*	8’п2 1» ] •

Если положить в полученной таким образом общей формуле /($) = Го
и выполнить несложные вычисления, то приходим к результату, при-
веденному в ответе к задаче.

148. Требуется дать решение уравнения
г ' дг\ дг )	дт

дТ I	Л

при граничном условии	= 0 и начальном условии

Полагая

Пл г) = /?(г)0(г),
получаем после разделения переменных
у(/7?')' + ^ = 0, 0' + Х0 = О.

Решение первого из этих уравнений, конечное на оси цилиндра,
имеет вид:

=	/Гг).

Из граничного условия /?'(а) = 0 находим собственные числа
7^	/ г \

Х = Хл = ^ и собственные функции /?д = У0(уЛ — \ где уп— поло-
жительные корни уравнения /1(у) = 0 (л = 0, 1, 2, ... ; уо = О).

-г2 ~

Общий интеграл второго уравнения имеет вид Вп = спе Па3.
Выражение

Т(г,
л«=0
полученное суммированием найденных частных решений, удовлетво-
ряет всем условиям задачи, кроме начального условия.

Так как собственные функции задачи ортогональны с весом г
в промежутке (0, а), то коэффициенты сп в соответствии с началь-
ным условием могут быть вычислены по формулам:
а
]7(р)л>(тя	р

Сп ~ а '	"	~ аЩ (т„) I /(р) (1л д) Р

ро(т»7)р^	у

о
153. Задача приводится к дифференциальному уравнению

г2 ‘ дг дг ) дт

с граничным условием _ = 0 и начальным условием т| =/(г).

Полагая 7\г, т) = /?(г)0(т) и разделяя переменные, получаем
уравнения

-(г^'У + Х/? = 0,	0'4-Х0 = О,

общие интегралы которых будут:

=А «пу7г_ + вс-2^-, & = Се~*т.
Г 1	г ’

Из условия конечности решения в центре шара получается, что
В = 0, а граничное условие /?(«) = О приводит к собственным
^2^2

числам Х = ХЛ = —и соответствующим собственным функциям

. /гтсг
81П--

Я = Пп=	(Л=1, 2, ...)•

Суммируя частные решения, находим:

п = 1

Коэффициенты сп должны быть определены из начального условия

гио=/(г)=2^“?^

П= 1

откуда, на основании теории рядов Фурье, следует

ся=4/рц₽>81п
о

Таким образом, имеем окончательно:

оо	. пкг а

Ж—• — п2тс2т 81П -- /*

Т(Г,	1р/(р)81П^-Р^Р-

п = 1	о

169. Предложенная задача о распределении температуры приво-
дится к интегрированию уравнения Лапласа

1 д / дГ\ —
г * дг\Гдг д^2
при граничных условиях:

Ч-.=Г-	,=»•

г = ±2

Разделение переменных дает:

Т(г, г) = /?(г)2(г), у (г/?7 - X/? = 0, 7"4-Х2=0.

Общие интегралы приведенных обыкновенных уравнений имеют вид:

/? = А1й ( /Хг) + В К/ /Хг), X = С соз /Х7 Ц- И зш /Х2.

Постоянная В равна нулю в силу требования конечности темпера-
туры на оси цилиндра. Граничные условия	, = 0при-

г=±2-

водят к собственным числам X = = — и собственным функциям
2т х

Х = Хп^=со8~-, где тл — корни трансцендентного уравнения
. Л/
^7 = 2?-
Выражение
со

Г(г, г) = ^„/^^соз-^
п — 1

удовлетворяет уравнению Лапласа и граничным условиям на тор-
цах цилиндра. Для определения постоянных сп используем условие
на боковой поверхности:

со
(-2 <*<+ 4).

п = 1
откуда, в силу ортогональности собственных функций,

2

То I соз -у- йх

С I _ о7________________ 2^0 ЫП Ти

Л0\ I ) к	7л + 8^п7лС087л•

2

УсО32^у^^

Подставляя коэффициенты сп, находим окончательно:
175. Требуется проинтегрировать систему гармонических уравне-
ний:

1 д [ дТ\\ . д27\ п ,

г дг \ дг ) 1 дх2 ’	1 \ \ >

±_д (гдТЛ !	—п

г дг\ дг )' дх2

0<У<.къ,

при граничных условиях: Т\ = То,
г = а

|г= — Й1 = ^2 |г = Л2 — О, |г==0 = о, |^0 = ^2	|г ==0 •

Применение метода Фурье приводит к следующему выражению
для искомого распределения температуры, которое удовлетворяет
всем условиям задачи, кроме краевого условия на боковой поверх*
ности:

Т{г,г)=	сп2п(г)/0^,

п== I
где

2?]) (г) — 8й1	81п	г < О,

п х 7	й.	Л, ’	1	’

1 (к Л)

/(2) (г) — 81п уп 81п —
'•Л	[2^

7П — корни уравнения:

Ш IЧ- тт т1 — О-

Покажем, что собственные функции 7п(г) ортогональны в про-
межутке (—	Л2) с весом

г(г) =

^2>

— /г х О,





для чего умножим уравнения

у 2	<у2

4--4г„=о, г"т-\-^гт=о

соответственно на г (г)	(г) и г (г)2^(г), вычтем полученные ра-

венства одно из другого и проинтегрируем по х от — Иг до к*..
Тогда имеем:

«у2 -- «2

• п *т

а2

Л2	Л2

У гт2„гб?г= у г[7.^п - ^т]аг^

-Л1

-Л1

О	Л3

— ь [уП)'7-'1)_2(1Гу(1)1	, ,	Г7(2)'7(2)_7(2)'7(2)1 _о

---п	п	^2 т п п ] -----------------V,

-Л1
так как в силу граничных условий

2р)(-А1) = 7(р,(Л2) = 0, 2^(0)=7®(0), А12(7(0) = А!22®'(0).

На основании ортогональности функций (г), принимая во вни-
мание условие Г|г=а = 70, находим:

откуда, после вычисления интегралов, имеем:

сп —

2Та «С '(п (сО8 1п — соз
тЛ(лг) к’8,п ~лг+л;81П

и окончательное решение задачи получается путем подстановки най-
денных коэффициентов в ряд для Г(г, г).

176. Решение задачи сводится к интегрированию уравнения
Лапласа

д / 2 дТ\ .	1 д / . й дТ\	л

дг \ дг) 1 8ш 6 дО \ ад /

с граничным условием

То, 0^6<а,

О, а 6 тс.



Искомая гармоническая функция строится в форме ряда

Т(г, 6) =

ОО

2 СпШ" р«(с°8 0)’
п=*0

где Рп(х) — полиномы Лежандра л-го порядка.

На основании граничного условия коэффициенты сп должны
совпадать с коэффициентами разложения функции /(6) по полиномам
Лежандра
оо

/(©)-= 2 с,А(Созе) (о^е
я«=1

т. е.

* 1

с„=-^±-’ у /(6) Рп (СО8 0) 81П 9 м=г0 у Рп(х) ах.

О	СО8Я
Значение интеграла при п = 0 вычисляется непосредственно:

1

Ро (х) с1х = 1 — соз а.
с за

Для вычисления рассматриваемого интеграла при произвольном п
удобно воспользоваться рекуррентной формулой для функций Рп(х):
(2п + 1) Рп (х) = Рп, (х) -	1 (х),

«то дает

1

( /эп(-^)^=2^р1[/эп-1(со8а)—Рп+1(со8а)] (л=1, 2, ...).

С05а

Подставляя коэффициенты сп, находим:

оо

Т{г, 6) — Ь { 1 — СО8 а — 2 рл+1 (СО8 а)—

И= 1

— Рп-1 (СО8 а) ] (у) Рп (СО8 0)} .

190. Для решения задачи удобно рассматривать ток } поступаю-
щим в пластину на малом участке 2е с плотностью (к — тол-
щина пластины) и в дальнейшем переходить к пределу е->0. Реше-
ние задачи приводится тогда к интегрированию двумерного уравнения
Лапласа для потенциала токового поля

дх2 ‘ ду2-0
при граничных условиях

=0, =

у у = ±»	Х х = ±а	| о при |_у| > в.

Применение метода Фурье приводит к разложению вида:
оо

। V ппх п~^ .	,

И = С0Хф- 1 сп зН -у- СОЗ -у- 4- СОП31,

П =* 1

коэффициенты которого вычисляются по формулам:
ь

пи сП —у о
ъ
Подставляя /(^), получаем, после вычисления интегралов и пере-
хода к пределу а О, формулу, приведенную в ответе к данной
задаче.

192. Потенциал поверхностных токов должен удовлетворять урав-
нению Лапласа *)

1. д2и , д2и а	.	1	г\

= 0 ( — тс <2 ср к, — / <Г г <С /).

а2 ду2 1 дг2 4	\ \ /

Для формулировки граничных условий задачи предположим сперва,
что ток У распределен с постоянной плотностью по участкам | |<^е,
г = ±Ц так что

Разделяя переменные и учитывая условие периодичности решения
по углу 9, получаем:

и« = Фл(?)2„(г) (л —0, 1, 2, ... ),
Фл (9) = Ап СО8 лер + В„ 81П пу,
гп(^=СпсП^ + Вп5П^ , 2в = Со + /)ог.

В силу симметрии относительно плоскости ф = 0, коэффициенты
Вп ~ 0, поэтому решение задачи может быть представлено в виде
ряда

со

И (9, г) = 2 (мп сЬ 511 т) С08 п? +	+ С0П5к

п— 1

Граничные условия дают:

оо

д?)= 2 4г^сН ?со8п?+ла’>’
п=~\

т. е.

к

пЫп и л/ 2 С г, ч	,	2 У 5Ш пе

—сЬ — = - I /(ф) соз ПФ (1^ — —  --------------э

а а 3 чт т т 2аей<з п 9
о

тс

О

♦) См. задачу 21.
После перехода к пределу при е-^0 находим:

А/„ =

, и И/ ’
тепла ск —

а

И окончательно

оо

и (<р, г) = ——Г-|~ У

‘	7 те/га |^2а 1

п = 1

, П2
зЬ —
а

, п1
сП —
а

М] + С0П81.

196. Задача приводится к интегрированию системы гармонических
уравнений для потенциалов магнитного поля:

। к.^1 — п.
г дг\ дг / ‘ г2 ду2 ’

при граничных условиях:

1^00 -> //0 X 4~ С0П8Г,

<?«1| й 1	_дНг!	1	^1  |г=& ’ дг |г =	ди21 ь дг |/•=ь
ди2	1	1	ди21	= —1
~д<(	|г=а д'-о	|г = а> Ыг;	= а дг |г=о

Принимая во внимание, что искомые потенциалы суть четные
периодические функции переменной ср, мы можем представить функ-
ции и1 в форме рядов *)

ОО

«, = Нй г соз <р -]-	А„ г~п соз л<?,

л=1

оо

и8==С01пг-]~ У (В„гл + С„ Гп) соз л?,

Л = 1

«3

Гп СОЗ л<р.

*) Произвольные аддитивные постоянные опущены.
На основании граничных условий постоянные Св и Сп при
л ^2 равны нулю; для определения остальных постоянных полу-
чается система уравнений:

А, — й2В, — С, = — Нй Ъ\

А1 + у.Ь*В1-ч.С1=Н*Ь\
а2В1-|- С, — а2 В, = О,
р.а2 В1 — рС] — а2 01 = О,
откуда следует:

, _	Н^- 1Ж~«2)

Л,—	д

В1=------д-----,

г _ 2//оа2й2(р- 1)
с«—	д	’

л _ 4//0^р.

О1— д ,

Д = #2(р.-[-1)2 —а2(р. — I)2.

После подстановки найденных величин в ряды для и, имеем:

„ Г, (р.2—1)(*2 —а2)	/М21 ।

«1—1	^2({х+1)2__а2(р<___1)2(<г ) ] + С°П^,

н + 1 + (н— 0

п2 — 2Нц Ь*х Ь2 +	__ й2 р2 + С0П81,

П3 = -Го~7—С0П81,
д Ь2 (р. + I)2 — 02(р.~1)2	1

что совпадает с ответом, приведенным в задаче.

201. В данной задаче удобно характеризовать магнитное поле
при помощи вектора-потенциала, который в каждой из сред (воздух —
магнетик — воздух) будет иметь единственную составляющую

Л^ = Л^(г, 6).

Полагая

= А. + А п	А& = Л2, А^ = Д3,

где

л (г 64 =3^1 С _________	С08 у ___________

С 3 )/г8 — 2гг0 81П 0 соя у +

есть вектор-потенциал витка, приводим задачу к определению функ-
Л/, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям *):

д (г*	дАЛ	!	1	д	(

дг \	дг )	*	81п	0	дО \

д ( *	дЛ2\		1	.	д /

дг \	дг )	'	8Ш	0	*	дО \

2 /> дАД I 1 . 2 [
дг\ дг )' 81п 0 дО \

. л д.Д1 \
81,16

. д/^о \
81116 ^г)

. г\ ду4д \
8,п6^г)

А-. =0,
5Ш 2 в ’
_--Ь’—=о
81П 2 О

л;.-=о.

8Ш 2 О

0<У <^а,

сК^г^Ь,

со,

Ъ

г

М граничным условиям
л'"|,-.=лаи. 	<мв>|.„;

л,я |„,=Аа 1...  о. -Ь-г(МВ)Ь=

=»‘ми>и.-

Если искать частные решения рассматриваемых уравнений вида
Л = /?(г)Н(О),
то для определения каждого из сомножителей получаем уравнения
(г«/?7-Х/? = 0, -г-Ц-Сьтб • ©74- ('х-—1ПГ^0 = О.

Допустимые значения параметра X определяются из условия, чтобы
второе из этих уравнений имело решения, регулярные в замкнутом
промежутке (0, тс). Это требование приводит к совокупности соб-
ственных чисел и соответствующих им собственных функций задачи:
к = Х„ = л(л-|- 1),	0 = 0п = Р^(со8б) (// = 0, 1, 2, ... ),

где Рп (х) — первая присоединенная функция Лежандра.

Уравнение для функции /? имеет общим интегралом выражение
Р = рп = Мгп + мгп-\

Принимая во внимание поведение функций А1 вблизи г = 0 и
Г=схэ, получаехм для них представление в форме рядов:

Л (г. 6) =2 А/^Ссозе),
п =0

А (Г, 0)= 2 (5ПГП4-С„г-П-,)^„(СО8 0),
п=»0

А3 (г, 6)=2 С’«Г"П'1^(СО56)-

п=0

*)
Вектор-потенциал источника также может быть представлен в виде
разложения по функциям Лежандра, для чего надлежит воспользо-
ваться формулой

(г« —2ггв81п0со8<р4-г®) 2 — у + 2 /э«(5'п6со8'р) (у) > г>го-
П= 1

Если принять во внимание теорему сложения для сферических
функций

Рп (81П 6 СОЗ <р) = Рп (0) Рп (СО8 б) -|-

+ 2 2 ^^^^(0)Ят(СО8б)СО8^
т = \

— ±
то после подстановки разложения (г2 — 2гг0 8ш 0 соз г*) 2
в интеграл для Ло, в результате простых вычислений получаем:

оо

=	2 ^,-‘+1) «<0) 4,(008 в) ^)"+' .

п — 0

Граничные условия дают следующую систему уравнений для опре-
деления постоянных Ап, Вп, Сп, Оп:

апАп—апВп —а~п~1Сп= —

2х/ П(0)
С п (п + 1)

(« + 1) апАп - а"Вп + ” а~п~1Сп

_ 2к/(°) / п, \п+1
с п + 1 \ а )

ЬпВп -|- Ь~п~хСп — Ь-п~'Оп = о,

ЬпВп — - Ь~п~1Сп 4- пЬ-п-Юп=0.
р	п р	п 1	п

В результате решения системы находим:

в —	. -___________ (2/г+ 1)2Л(0)^ + 1	________

сл(п+1) [й([а+ 1)+1].[„(|х+1) + 1л]_^уп+‘„(л + 1)(1Л_1)8’
что приводит к окончательной форме решения для области вне
экрана, если учесть, что Р^(0) = 0.

206. Магнитное поле в рассматриваемом резонаторе имеет только
одну составляющую 7/^, комплексную амплитуду которой мы обо-
значим через Н(г, 6). Тогда, полагая Н=Не-^-Нъ где
~ О -\~1кг) е~1кг — магнитное поле источника, получим для

*) Это выражение непосредственно получается из соотношений:
/70 = го:А{0)»	Л^.0)== —  ----соз 6,	Д^}	—81п0»

г с г » о с г
уравнение:

д/Л-р/Ч2 — 2-!

1 1 \	Г281П20/	1

Если ввести теперь новую неизвестную функцию и (г, 0) при
помощи соотношения	, то функция и будет решением ура-

внения Гельмгольца

1 д I 9ди\ ।	1 д / . Л ди\ . Л

-V -з- Г2 -Ч Н-9 - • -а" I 81П 0 ™ + ки = О,

г2 дг\ дг) 1 г2 81п 0 д0\ с№ / 1

регулярным внутри сферы.

Из условия равенства нулю касательной составляющей электри-
ческого поля Еч = ~^ • — • (гН) на поверхности рассматриваемой
сферы следует:

Решение дифференциального уравнения для и может быть дано по
методу Фурье и имеет вид

оо

и(г> б)=^7^У Сп’ , 1 (^)^П(сО80),

V г	" +^

п — О

где Рп(х) — полиномы Лежандра, 3	! (х) — функции Бесселя с по-

луцелым значком.

Воспользовавшись граничным условием, получаем для коэффи-
циентов сп значения

г I —0.	. _1/^ , р-1ка 1 + 1ка~к2а2

’	1 V 2 с (1—к2а2)зтка— ка соз ка’

причем при вычислениях использовано известное соотношение

^(г) = 1/1^_Со8Л

2	V ПХ\ %	)

Подставляя найденные коэффициенты сп в ряд для и и дифферен-
цируя по 0, приходим к окончательной форме решения:

н(г, б)=^[—Н^е-‘*г+

/ге~,ка -т-—ь~ (5'2^Г — С05	18*п

1	ка соз ка + (к2а2—1) 81п Лгбг \ кг	/]

210. Задача приводится к решению уравнения колебаний струны

д2и___1_ . д2и___д (х, I)

^х2	"у2 * д(2	Т~
при однородных граничных условиях первого рода и |	0~и |	/== 0

и нулевых начальных условиях	$=0.

Решение задачи будем искать в форме разложения по собствен-
ным функциям Хп(х) соответствующей однородной задачи*):

оо

-----Хп(х),

У Хп Лх
о

где

I

ип = У иХп (х) (1х,
о

Функции Хп(х) представляют собой нетривиальные решения ура-
внения

Лхг4-ХЛ=0,

удовлетворяющие однородным граничным условиям
Х(0) = Х(/)=0.

гр	> г лг2тс2

Такие решения существуют при к = кп = —^-^ и имеют вид

Х=Хп(х)=зт~

(п=1, 2, ...).

Для определения коэффициентов йп умножим дифференциальное
уравнение для и на Хп(х) и проинтегрируем по х в промежутке
(0, /)**). После двукратного интегрирования по частям, принимая во’
внимание граничные условия, получим:

I

1 (пкъ\2 _ V2 С ,	. ПТ.Х ,

«« + (-/-у ип= у д(х, /)8Ш — ах.

о

Интеграл последнего уравнения может быть найден по методу
вариаций произвольных постоянных, что дает

_	. ПтЛ)1 I „	. птм

ип = Апсо^——рвп81п —

—х)

Г1П

о

г/т У <7 0, Х)8Ш^
о

I

*) В рассматриваемом случае вес г=1.

**) Мы пользуемся общей схемой (стр. 112) с целью сохранить едино-
образие методики. Для задач рассматриваемого типа применяемый способ
вполне эквивалентен описанному на стр. НО.


Для вычисления постоянных Ап и Вп надлежит воспользоваться
начальными условиями для функции ип, которые получаются из исход-
ных начальных условий путем умножения последних на Хп(х) и
интегрирования по промежутку (0, /). В даннОхМ случае мы находим
нл(0) = й;(0) = 0,
так что ЛП = ВП = О.

Окончательная форма решения задачи будет:
00	. /гкх *	1

Л	81П —— Г	/. ч Г

Н(Х, =	\     I 81П —- — с!л I т)81П^~б/;.

п = 1	О	О

217. Требуется решить неоднородное уравнение поперечных коле-
баний балки

д*и । 1 д2и____

дх* +	’ 1Й2 ЁТ~

при нулевых начальных условиях	= 0 и граничных

I	ди\	п

условиях и\ =	^ = 0.

Данная задача имеет ту особенность, что в ней рассматривается
разложение по функциям оператора четвертого порядка.

В соответствии с обычной методикой, представляем решение в
виде ряда по собственным функциям ХЛ(х) однородной задачи

оо

и (х, I) =	----Хп (х),

п==1 у гХ2п(х)ах
— I

где

I
йп = У гиХп(х)(1х.
— I

В рассматриваемом случае вес г=1, а функции Хп(х) суть
решения уравнения X™— кХ=0, удовлетворяющие граничным усло-
виям Х(±/) = ^(±/) = 0.

После простых вычислений находим *):

Хп (X) = ей	соз 7л у — соз ей у,

=	(л=1, 2, ...),

где — корни трансцендентного уравнения у-{-1117 = 0.

*) По поводу ортогональности функций Хп(х) см. решение задачи 118.
Чтобы определить функции йп, умножим исходное уравнение
колебаний на Хп (х) и проинтегрируем по х от — / до А После
четырехкратного интегрирования по частям получаем, учитывая гра-
ничные условия:

а'п + У «л =	8’П	] Л» (х) йх.

—I

Общий интеграл этого уравнения, удовлетворяющий нулевым началь-
ным условиям

ип(0) = и'п (0) = О,

которые получаются из исходных начальных условий задачи путем
умножения на Хп(х) и интегрирования по х в промежутке (— I, /),
будет:

чп—

О)2 —

со 81П —

Хп (х) (1Х,

и окончательная форма решения, приведенная в ответе, получается,
если принять во внимание легко доказываемые соотношения

ЛI

I

| Хгп (х) ах = ± X? (/) = 2/ ей2 т„ соз2 т„.
— I

222. Рассматриваемая задача о колебаниях балки приводится
к интегрированию уравнения

.	1	__Л

дх* ‘ а4 д(2 ~ 0

при нулевых начальных условиях и |/__0=	/_0 = О и неоднородных

граничных условиях:

I _____ди I ______д-и I ____~ д*и I _________Р(1)

|д-«=о дх|д- = о	= I ’	= /	'

Применяя метод Гринберга, ищем решение задачи в форме ряда
оо

И (X, 0=2	----Х"(Х)’

^Т1]’ гХ>п(х)4х

О
где Хп(х)— собственные функции однородной задачи;

I

ип — У гиХп(х)(1х.

о

Явные выражения для функций Хп(х) получаются путем решения
уравнения

Ххп — 1Х= О

при однородных граничных условиях

Х(0) = X (0) = X" (/) = X'" (/) = 0,
что дает

* = = у (л=1, 2,...),

Хп (•*) = (81П Тп +	т„) (соз Тя у — сЬ у) —

— (соз т„ + СИ Т„) ^81П 7„ у — 811 Т„ у) ,

где — корни уравнения соз у ей у 1=0.

Функции Хп(х) ортогональны на промежутке (0, /) с весом г=^= 1
(см. решение задачи 118).

Интеграл от квадрата собственной функции имеет значение

I

I х*п (х) ах=4	(0=/(8Ь т„ + 81п

б

Для определения коэффициентов йп умножим исходное диффе-
ренциальное уравнение задачи на Хп(х) и выполним интегрирование
по х в промежутке (0, /). После некоторых вычислений приходим
к уравнению

которое вместе с начальными условиями

иД0)=й;(0) = 0*)

дает возможность вычислить значение ип. Мы находим
й2/2	/	а2?2

\ Р(Т)81П-^(^Т)^,
откуда непосредственно следует решение, приведенное в ответе
к данной задаче.

*) Эти условия получаются из исходных начальных условий задачи
умножением последних на Хп (х) и интегрированием по х ог 0 до /.
223. Зависимость внешней нагрузки от координаты х и времени Ь
может быть, очевидно, записана следующим образом:

А 81П

1) =

Полагая

VI — е<^х<Уди?

О — при остальных значениях х,

(е->0).

оо

/	2 V? _ ппх

и(х, =	8*п~,

л = 1

где

. ппх .
и 81П ах.

умножая уравнение колебаний на зш — - и интегрируя по х от О
до А имеем, с учетом граничных условий:

I

. (пкаА- (А Г* ,	... ятгх ,

Нп + у ип=Ё) ] ?(*> О 8Ш —

О

или, после перехода к пределу е—>0:

. /пка \4 _ А(А .	, . птлЯ

ип + I —) ип=-^г8Ш 0^81П-у- =

АсА Г ( тшА .	/	। пъ&\ Л

= 2ы[С08г“ ~г ~С05г + ~гУ]•

Общее решение последнего уравнения будет

_	. (АгАпЧ . о . а2п2кЧ .

= Ап СО8 —+ Вп 81П--------2---Р

+ 2^7нА СО8 1 со-----рИ — //2 СОЗ (со-]- — и ,

где для сокращения положено

Воспользовавшись начальными условиями и 0== 57	0 ~ на*

ходим йп |	= ип | о = 0, откуда следует:

Вп = 0,	А^-^Н.-Н^.

Подставляя найденные значения коэффициентов и обозначая
через М массу балки, приходим к окончательной форме решения.


225. При решении задачи удобно считать, что внешняя нагрузка
распределена по площади мембраны с плотностью

7 (г> 0 =

р 8Ш

2Г~

О

при Ь — е<> <^Ь -|- е,

при остальных значениях г,

е — произвольно малое положительное число.

Прогиб произвольной точки мембраны п(г, I) определяется тогда
путем решения неоднородного уравнения

___X . X*2______<7 (г, О

7 дг \ дг)	у2	Т

при соответствующих однородных

начальных и граничных условиях

и

1=0

__ди
д1

Искомое решение строится в форме ряда

со

«= 2

"=1 ^гк\(г)аг

О

где /?л(г) — собственные функции однородной задачи, представляю-
щие собой ограниченные в замкнутом интервале (0, а) решения
уравнения

(г/?7 + Хг/? = 0,

удовлетворяющие граничному условию /?(а) = 0; йп обозначают,
как обычно, значения интегралов

а

йп= гн/?„(г)йг.

О

Явные выражения собственных функций /?п(г) могут быть даны
через функции Бесселя, именно:

/? = ^(г)=Л(т«^)’ Х = А„ = ^ (« = 1,2,...),

где — корни уравнения /о(т) = О.

Применяя обычную методику для определения коэффициентов ип9
получаем:

&4-Е

\ а ]	— 2ьТ 3 па
или после перехода к пределу при е -> 0:

।	рЬч)2 г ( ь\ .	,

ип + ип =	-) 8Ш <о/.

Интегрируя это уравнение при нулевых условиях

«я(О)=й;(О)=о,

находим

— 2аЬръ

Ип~ ---₽“

п

81П15----~ 81П <0^

а	ыа

что приводит к искомому решению:

и (Г, /) —

— 81П<1)Г
ша

Ц'1'- а) / г\
7лЛ2(Ъ) °Г «Г

227. При решении данной задачи целесообразно рассматривать
сосредоточенную нагрузку как предельный случай распределенной
по кругу малого радиуса е. Для определения поперечных колебаний
плиты, вызванных этой нагрузкой, требуется тогда проинтегрировать
уравнение

1	. д д I д ди . I д2и д (г, I)

г ' дгГ дг' г ' дг Г дг' Ь* '	Г) *

/) =

А 81П
яг2 ’

о,

при нулевых начальных условиях и

граничных условиях

и

I _____ди_

|г=а дг

= 0.
\г~а

Решение ищется в форме разложения по собственным функциям
однородной задачи

о°	_

К (Г, 0= 2-^2--------

П=1 |г/?2(г)</г

о

где

гиРп (г) (1г.
Функции /?п(г) представляют собой решения дифференциального
уравнения

1.1	г 1 • —	—	=

г йг йг г (1г (1г

ограниченные при г = 0 и удовлетворяющие условиям /?(«) =
— Д?г(а) = 0, и имеют вид:

Я = /?г„(г); /?у(г) = /о(т)Л(т^)-Л(т)/о(т

где — корни уравнения /?'(«)_ 0.

у4

Соответствующие собственные числа задачи будут Х = ХЯ = ^~-.
Функции /?Тл(г) ортогональны на промежутке (0, а) с весом г
(см. решение задачи 124).

Умножая исходное дифференциальное уравнение на г/?т (г) и
интегрируя по г от нуля до а, получаем, после четырехкратного
применения формулы интегрирования по частям,

г

о

= ^^„(0)^^-
о —> О

Интеграл последнего уравнения, удовлетворяющий граничным
условиям йп(0) — ип (0) = 0, будет





Аа2Ь2

2гси)#72

^„(0)

Подставляя найденные значения ип в ряд для и (г, О и принимая
во внимание формулу

а

[ г/??я(г)</г=а’/§(т„)/3(7Д

6

приходим к окончательной форме решения, приведенной в ответе.

230.	При решении задачи предположим, что внешняя линейная
нагрузка р равномерно распределена по некоторой полоске ширины
2е(—е<^х<^е, —Ь	т. е. сведем задачу к интегрирова-

нию уравнения Пуассона

д2и . д2и

(ХГ2 ду2

Я <х, у)

о, IXI > е,

Т
при однородных граничных условиях первого рода:

и | —и |	=0.

х — + а	у =

Решение задачи может быть получено в двух различных формах.
Для получения первой из них представим смещение и в виде ряда
по собственным функциям соответствующей однородной задачи, за-
висящим от переменной х:

оо	а

2	V -	2п+\	_	Г 2/г + 1

и — — 7 и„ соз —~— тех, и„= \ и соз —— кх ах.

а п 2а	3	2а

п—0	о

2п “р I

Умножая исходное неоднородное уравнение задачи на соз—
и интегрируя по х в промежутке (0, а), получаем, после двукрат-
ного интегрирования по частям *):

_/?	(2п -р 1	— ___ Р С 2п -р 1	1

о

или, после предельного перехода е->0,

Интеграл этого уравнения, удовлетворяющий условиям ип | =0,
^=±6
будет;

_ ___ 2ра* 1	2а

ип —	(2л + 1)2	. 2/г+1 ,	*

у 1 1	ей —~— кЬ

2а

откуда непосредственно следует:

Н(х, у)=

.2л + 1
сН-эу-^

,2/7 Ц- 1 А
ей—— кЬ

2а

2п + 1
СОЗ ——пх

2а

(2/г —|— I)2 *

Вторая форма решения получается путем разложения и в ряд по
собственным функциям, зависящим от переменной у:

2 V 2п ~р 1	_ Г 2п + 1	,

“ = у 2, апСО5—^~*у>	ип = ] и СО8-^-ку ау,

п—0	0

*) Учитывая граничное условие и |х=о = 0 и равенство	[Л-_0 ~

вытекающее из симметрии задачи.
где, в отличие от предыдущего, коэффициенты йп суть функции
переменной х, для определения которых служит уравнение:

(0^ ПП+1

^(2п+1) « И<8’

О, |х|>е.

Решение последнего уравнения, удовлетворяющее условиям
е„|х=±а = 0, имеет вид:

ц« = М2л + 1)[1	0^ —

о

2й 1 ,,еч .2п+ 1 ,	„1

----/-^ +1— I	- О *].

сН-2Г-ад Л
О

Подставляя вместо /($) ее значение и переходя к пределу при
е—>0, получаем:

_ ___ 2рЬ2(~1)п 2Ь —1Х1>

к8Г (2«+ 1Р . 2п+ 1	’

х 1	7	СЙ— —па

Ло

после чего решение задачи может быть записано в форме ряда

. 4рЬ X (—1)" 8П	|Х|) 2л 4-1

« (х> У) = У (2л+1)^ --------------------------СО8 *У'

ко.	сЬ-26-ад

п = 0

При вычислениях надлежит пользоваться первой или второй фор-
мой решения, в зависимости от того, какой из рядов имеет более
быструю сходимость *).

240.	Задача сводится к решению бигармонического уравнения

№ , 9 д'и , &и п
дх* ‘	дх2ду2 ду*

при граничных условиях:

.	, п д2и I с2и 1

И |х^о— Н|жг=о — 0; ^|ж=0—
I	&и\	л

т

*) Сходимость определяется в первую очередь соотношением сторон
а
прямоугольника у.
Нетрудно построить функцию



тх (а — х)

2Я

удовлетворяющую как дифференциальному уравнению задачи, так и
граничным условиям при х = 0 и х — а. Если теперь положить

и —и*

то новая неизвестная функция V должна быть решением однород-
ного бигармонического уравнения, удовлетворяющим однородным
граничным условиям по х:

I	I	д2® I	I	Л

|х~0	|х —а	ОХ2 |х=0	ОХ2 |д-=«

что дает возможность применить метод Фурье. Граничные условия
по переменной у имеют при этом вид:



дч> I _Л

3—	& = о.

ду

Принимая во внимание характер граничных условий по перемен-
ной х, будем искать частные решения однородного бигармониче-
ского уравнения ДД-у = 0 вида

, л—1,2,.,.

Амплитуда уп
уравнения

должна быть тогда решением дифференциального

интеграл которого, четный относительно переменной у, будет

V = Ап ей Впу 8Й .
п п а \	а

Решение задачи ищется в форме ряда

л=*1

коэффициенты которого находятся из оставшихся условий —
— н*(х), ^^=^. = 0, для чего требуется разложить известную функ-

цию н*(х) в ряд Фурье ПО 81П-^-.

241.	Предположим, что линейная нагрузка р равномерно распре-
делена по площади сектора с центральным углом 2г (—е
0<^г<^а, е — произвольно малое число), т. е. сведем задачу к ре-
шению неоднородного бигармоцического уравнения:

А/ । 1^1-

[ г дг \ дг) • г2 ду2} [г дг \ дг) * г2

Р 11^

М<6’

о» |?|>®,

при однородных граничных условиях

и

I =0.

\г=^а

Так как при нашем способе отсчета углов и есть четная функ-
ция от ср, она может быть представлена рядом по косинусам:

оо

«(г> <?)=-^“°+4 2 йлсо8л?’

Л=1
где
те

ип — и соз лсрг/ср.

о

Для определения ип умножим уравнение для и на соз лер и про-
интегрируем по ср от нуля до 7г. Четырехкратное интегрирование по
частям приводит к результату:

дг2 ‘ г дг

И2\2 _ ___ р 5Й17П

г2) Пп е аИп 9

причем при е->0 правая часть уравнения может быть заменена на
Р

аИ'

Общий интеграл полученного уравнения, регулярный при г = 0,
будет

йЛ = Апг Впг -|- ип,
где й* имеет значение

п* — -Р__________г -

п аИ (4 —и2) (16 —л2)

исключая случаи п = 2 и п = 4, когда

п*_Р__ г* 1пг	»_ р гЧп г

2~аО' 48	4 аО 96

Постоянные Ап и Вп определяются из условий
йЛ(а) = йп(а) = 0.
242.	Задача приводится к интегрированию уравнения теплопро-
водности

дЧ_ &Г

дх2 дт 9

которое должно быть решено при нулевом начальном условии
Т|Хв=о = 0 и неоднородных граничных условиях:

-4^1

дх {АГ = О

= п.

Легко видеть, что линейная функция

Т* = Т0 + |(а-х),

являющаяся решением дифференциального уравнения задачи, наряду
с этим удовлетворяет обоим неоднородным граничным условиям по
переменной х. Поэтому, полагая Т == Т* — и, получим для опреде-
ления функции и уравнение

д2и__ди

дх2 ди

с однородными граничными условиями

ди1
дх |.

= 0

и начальным условием

«I =Т*(х)=7’о + |(а-х).
|Т = V	/V

Применение метода Фурье дает

2п + 1
соз — н- -
2а

кх,

где сп — коэффициенты разложения функции Т* (х) в ряд Фурье по

соз

2п+ 1
2а

кх.

247. Требуется дать решение неоднородного уравнения

1 д дТ дТ (3
— . — у — —— — ——
г дг дг дт к

при однородном граничном условии третьего рода

и нулевом начальном условии Т’|х==о = О.
Ищем решение задачи в форме:

ОО

т= у —к„(г),
2—1 С гЛй (г) аг

п= 1
О

где

Пп(г) — собственные функции соответствующей однородной задачи,
удовлетворяющие уравнению

1 (г/?')' + X/? = О

и граничным условиям

/?' (а) +	= О,

/?(0) — ограничено.

72

Решения требуемого типа существуют при Х = ХЛ=~ , гдеул—
корни трансцендентного уравнения

Ла/0(т)==тЛ(т),

и могут быть представлены в виде /? = /?„ (г) —

Функции ортогональны на промежутке (0, а), с весом г;
значение интеграла, содержащего квадрат собственной функции,
будет:
а

( Г^п (г) аг= % [7§(7я) + л (ь)] = №)[ I +	.

О

Для нахождения функции Тп умножим исходное уравнение зада-
чи на /?л(г) и проинтегрируем в промежутке (0, а). После двукрат-
ного применения формулы интегрирования по частям, принимая во
внимание граничные условия, находим:

Тр* I IЧп V гр (^а2 1 (ул)

Интеграл последнего уравнения, удовлетворяющий условию
= будет:

'Г __	(7л) Г 1 _ ~ I .

п~ А 'т„’ [
поэтому искомое распределение температуры может быть представ-
лено в виде ряда

2	(Тп) Л) / г —г2 — 1

V ____________\ а / I 1 ____ р Г”а2 I

к Ь Гп [Л3 (ъ) + Л2 (Тп)] I	Г

л-= 1

Полученная форма решения удобна лишь при малых значениях т,
т. е. при рассмотрении начальной фазы нагрева.

При больших значениях т целесообразно выделить члены ряда,
не зависящие от времени, и воспользоваться для их суммирования
формулой

1Р _ г1'\_1_ 1 = V

8 V а*) ' 4оЛ Ь	(Тя) + уг (Тп) >

п = 1

после чего для Т(г, т) получается выражение, приведенное в ответе.

261. Задача приводится к решению уравнения
—
дх2 ' ду2 к
при граничных условиях второго рода *):

— I = —I =0 =г
дх	ду [у=о ’ ду

Решение задачи может быть получено в двух различных формах: в
виде разложения по собственным функциям Хп(х), соответствующим
однородным граничным условиям по переменной х, или в форме
ряда по собственным функциям Уп(у), удовлетворяющим однородным
условиям на концах интервала изменения переменной у.

Первая форма решения имеет вид:

оо

Т(х, .у)=1т0 + |2
п=*1

где

= Тсоз^Лх.
— ®

Для определения Тп умножим исходное неоднородное уравнение
ппх	м	гр.

на соз и проинтегрируем по х от 0 до а. Тогда получим

*) Плотность д теплового потока на участке | х | < с, у = д выражается
через плотность тепловыделения из условия разрешимости задачи: дс~С}аЬ,
откуда

г«==-^2+л«+вв-у’

Тп = Л„С11	+	(л^1).

л п	\ п б/ 4	л

Из граничных условий по у находим:

а1п\
4у к

у-0

= 0

ПКХ ,
со§----ах

а

Оа2Ь , пкс
81П —-
пккс а

что приводит к следующим значениям постоянных *):

(}а*Ь
п2т?кс

. икс

81П----

а

. ппд ’

811 --

а

вп—о,

откуда следует

Т(х, У)=~^

ппу

—г С08
пъЬ

а

Чтобы получить другую форму решения, положим:

Т{х, ^) = -‘-Тв+|2 Г«СО8Т’
п = 1

где

ь

Г„ = рС08^<У.

О

4- С0П81.

Поступая так же, как выше, получаем для определения коэффи*
циентов Тп дифференциальное уравнение

Интеграл последнего уравнения, удовлетворяющий условиям **)

ап I =0Тп |
ах |д—о ах [д—а

*) Постоянная Ло остается неопределенной.

♦*) Принимая во внимание четность искомой функции Т (х, у) относи-
тельно переменной х, мы можем ограничиться в дальнейшем рассмотрением
области 0 х < а.

п
может быть построен по методу Лагранжа и имеет вид:

Т —0^1 (- О”*1
л с п2тс2к

, тех

тса

8П -г-
О

/ . тса , тс (а — с)
811 —г----8Й —Ц--------

\ Ь	Ь

4	< тех

1 — ск -Г-,
о 9

. пп(х — с) . ппх

сЬ_<—

с.

С,

(л=1, 2, ...).

Аналогичные вычисления для
щему выражению:

случая п — 0 приводят к

следую-

То =

2кс(а

ах~~ 2

х<^с,

-}- сопзк

После некоторых

преобразований

находим:

7(Х) ^=-^4-

Фах2
2кс 9

($а | х |
к

2даЬ2
ъ2кс

/	1\Л ППУ

(— 1)ПСО8 —~

9 и п™

П2 §11—Г-
о

, тс (а — с) . тех 1 тса . .

8н —V ---1сь------8ь —X <гг,

о	о	о 1	* 1

_8Ь^сь^-1.51)..> М>с.

форма решения, приведенная в ответе, получается, если для улуч-
шения сходимости выполнить частичное суммирование ряда с по-
мощью равенства

оо

2Ь2ГСО5„!Ч-^ (_,<!<»).
п = 1

269. Для решения задачи предположим, что тепловыделение про-
исходит в цилиндре произвольно малого радиуса е с равномерной
плотностью
тсеа

Рассматриваемая задача сводится тогда к интегрированию урав-
нения Пуассона

1.1
г дг

дТ . д*Т ч

_____2.

тскъ2
О,

0^г<^е,
е <^г
при следующих граничных условиях:

\дх —

= 0.

Разлагая решение в ряд по собственным функциям соответствую-

щей однородной задачи, зависящим от

т(г, *) — а3 2 /2(”„) а ) ’
п = 1

где — корни уравнения 70(Тл) — 0-

Умножая исходное уравнение на л/0

от 0 до а, находим:

переменной г, будем иметь:

а

г йг,

о

и интегрируя по г

гр'Г _ 'Т’ ______ __	•	\

п \ а У п пгк

или, после перехода к пределу при е—* 0,

п

2 т —----------0-

' п

Решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям

— 0,

будет:

п ~

1 —

, и 2
ей т„ —

Ти зй + аИ ей гл-^-

после чего получается окончательно

тУНТл)

. . г
ей —

1 Г Г7 ГТ

Тл ^й — + ак ей ь

272. Рассматриваемая задача электростатики приводится к нахо-
ждению решения уравнения Лапласа

д2и . д2и___~

дх2 ~т"ду2~ °

при неоднородных граничных условиях первого рода

и = И, и

К. _ А	*

И, 0

0, а

а,
оо.
В соответствии с методом Гринберга ищем решение в форме раз-
ложения по собственным функциям соответствующей однородной
задачи *)
со

и(х, у)= У
п «=0
где
ь
С 2л 4-1	.

Яп= ] исов-^-яусГу.
о

Для определения неизвестных величин йп умножим уравнение
Лапласа на соз^у" пУ и проинтегрируем под/ в промежутке (О, Ь).
Принимая во внимание заданные граничные условия, находим

/2л 4-1	\2_	,	1ЧП4-12Л+1 ч

“п —1~2Г'тс) «»=(— !)

Решение этого уравнения, ограниченное на бесконечности и удо-
влетворяющее условию
ъ

„ I Г 17 2л+ 1	,	2ЬУ(~~ 1)"

П 1л-0 Л	2Ь У тс (2л + 1) ’

О

может быть представлено в форме

-(1) о иЪп+\ . 2ЬУ(— 1)"

_ «» =В'’8Ь-2Г-КЛ?+ 7^+17’ Х<а'

2л 4- 1

й™=Спе	х>а,

где значения постоянных Вп и Сп определяются из условий сопря-
жения

ц\ = ц\ . ц* = ц*
1л—а—0	|л-а+0	|л—а—0	[л—а+0

откуда следует

2л 4- I

_2*И(-1)^--------

тс (2л 4-1) *

п ЪЬУ(—\}п ,2л + 1
~	с11 х!-- ка,

п тс (2л + 1) 2Ь

После подстановки коэффициентов в ип приходим к решению за-
дачи в форме рядов

ц

|л<а

л ==о

и 2л4-1	1	2л4-1

1 Р-«	8Ь-4глх|СО8-2У-’г->'’

и

V (— 0л «2л 4- I -	2л 4- 1

1 к+тсЬ кае С05 ~2Г *у-
п -»0

*) Выбор второго возможного варианта решения приводит к разложению
в синус-интеграл Фурье в промежутке (0, оо).
Окончательная форма решения получается, если для улучшения
сходимости выполнить суммирование медленно сходящейся части
первого ряда с помощью формулы

п =0

?К-

2 ’

Заметим, что решение может быть представлено также в замк-
нутой форме.

277. Для получения решения задачи предположим сначала, что
заряд д распределен с равномерной плотностью р по объему про-
/ ~	б	. о \

извольно малого цилиндра	с.—	I, т, е.

сведем задачу к интегрированию уравнения Пуассона

1 д ( ди \ . д2и л , ч

где

[ я_
р(г, = (

I о

при 0^г<^е, с—'2<Сг <С г	>

при остальных значениях гиг,

при граничных условиях

и\ =п =п =0.

\г-а |я-0

Одна из двух возможных форм решения имеет вид разложения
по функциям	представляющим собой собственные функции

соответствующей однородной задачи:

со

и (г> = 2

п = 1

а

ип=	аг.

о

Здесь уп — корни уравнения Уо(т) = О.

Умножая исходное уравнение на

в промежутке (0, а), приходим к уравнению:

и интегрируя по г

а

я* - ап= - 4п § Р(/, г)4
которое должно быть решено при нулевых граничных условиях

и

п

=и,
12—0

I =0.

\г-1

Общий интеграл последнего уравнения, удовлетворяющий первому
из рассматриваемых условий, имеет вид:

г
сП •/   %	&

_ л 1п а 4тсв С V. Тп — *) Г	УХ Г !

&п —	1	I Р(Л

Ъ~а о	о

Вычислив постоянную Ап из оставшегося граничного условия и пе-
реходя к пределу при е, 3 —> 0, получаем:

Л„=^8И^(/—с).

п 1п а '	’

Таким образом, значения коэффициентов ип будут:

й =.......2й?

1 1

1п «И Чп —

Г ,	1 — С 1.	2

811	------811 уп —

1п а *п а

« С .	1 — 2

8П ”	------

'п а 1п а

0 г,

с г /,

что непосредственно ведет к форме решения, указанной в ответе.
Другая форма решения задачи может быть получена путем раз-
ложения в ряд по собственным функциям переменной г:

оо

и(г, г) = ~^ 2, «П8Ш —.

п = 1
где

I

„ С . пт.2 .

йп= I нзт-у-аг.

о

282. Если учесть, что распределение потенциала будет нечетным
по отношению к координате я, то задача приводится к решению
уравнения Лапласа

1 д	। № п

г дгГ дг 'дг2

при граничных условиях
к| —0,
1/-0

«I = V,

12-1

где

V,

У81П^,

2о ’

«I =/(А

\г-а

0 < г < 3.


С целью получить однородные граничные условия по переменной

2, ПОЛОЖИМ

т/ %
и—у-— у.

Тогда функция у (г, г) будет решением уравнения Лапласа, удовле-

творяющим однородным условиям

77	= 77	=0

\г-1

и граничному условию на боковой поверхности:

1), §<></;

Для разыскания функции у можно теперь применить метод
Фурье, который, после разделения переменных и нахождения соб-
ственных чисел и собственных функций задачи, приводит к разло-
жению

ОО

, ч VI т (ПпГ\ . Пп2

ъ(г, г)= Д спг»\~ )81ПТ•

п= 1

где коэффициенты сп должны быть найдены из условия, что

77	=9 (г).

|г-а

После определения потенциала п(г, г) поле на оси линзы может
быть вычислено по формуле:

Р I ______ди I

!г=о	дх ко-

289. Будем считать, что ток распределен с равномерной плот-
ностью по произвольно малой площадке

бо-у<е<бо + |,	|?|<|,

т. е. сведем задачу к интегрированию уравнения ♦)

1	д / . е ди\ ।	1	д2и 

а28ш0 дЬ \ 1П дб ) * й281п20 д<?2

=/(0, ср),
где

?)=1 "Ж "Р" »«-т<«<». + у.	Ы<4-

0 при остальных значениях 6 и

♦) См. гл. I, задача 21.
с граничным условием

нЦ=°-

Если ввести новую переменную, положив
/(е> = ?),
рассматриваемое уравнение принимает более простой вид

1 д (. ди\ । 1 д2и 4а2	ч _____________

Т	Ф2 (1 +’^2)2 ?	1),

и его решение может быть построено в форме ряда Фурье

оо

и = ^ + -| 2

п= 1
где

ип = У и соз б7<р.
о

Применяя обычную методику, получаем для определения ип диф-
ференциальное уравнение

V ’ {• $) “ V “п = (Шт / р С08 йт‘

(П=1, 2,...),
общий интеграл которого будет

ея=А„Г + ДГ +	/ (Т^ Г(|)" - X

о

к

X У ^0, СО8 пх\ б/т].

о

Постоянные Ап и Вп определяются
ф = 0 и граничного условия йп

из условия ограниченности при
= 0.

Для предельного случая е, 8	0 значения этих констант будут *)



*) Коэффициенты Вп = 0 при любых значениях е и 6.


0 Ф < 'Ро>

откуда следует

(п=1, 2, ...)•

Для п = 0 получаем

Мо,
1п ф,

о^ф=Мо,
1;

поэтому искомое решение может быть представлено в виде разло-
жения

П = 1

оо

«I =-т^г-Г1п«Р+ У (<ГЛ —	^-^-1.

1 2тсаЛ [ т ^ т т Го п ]
п. — I

После суммирования рядов с помощью формулы

оо

2	= —11п(1 -2рсо8? + р2),	1р|<1.	0<Е<«,

п = I

приходим к окончательному результату:



н(6, ф)

1 — 2 Ш ух8 у соз © +1%2 ? 1й2 у

Ш2 у — 2	| «8 у соз <р + 18*

296. Электромагнитное поле в рассматриваемой задаче удобно
характеризовать вектором-потенциалом	комплексная ампли-

туда которого имеет составляющие Ах = Ах, — 0, А* = А(г, г).
Если считать, что ток в диполе распределен по объему произвольно
малого цилиндра

то для определения А (г, г) получается дифференциальное уравнение

1с? дА । д2А . л

— • -5- г —--к -5-5- 4- ь-А =-----;

г дг дг 1 дг2 ‘	с ’

I 0 при прочих г и г,
причем из условия равенства нулю касательной компоненты электри-
ческого ноля на поверхности резонатора следует

=^1| =0 =0

^1^ = 0 дг |г = /	* дг дг |г=о

~	П.П2

Решение задачи ищется в виде разложения в ряд Фурье по соз-у-:
оо

А(г, г)=4л+|- 2 ХсО8 — ,
п~ 1

где

I

-г Г .	.

Ап — | А соз -у (1х.
о

При помощи обычных рассуждений находим:

о

д	дАп I ___0

дг дг [г = а

Последнее условие, в силу дифференциального уравнения для Ап,
эквивалентно равенству

А !,-.=»•

Воспользовавшись методом Лагранжа, имеем:
а	1

^п=^- У оп (г, р) р 6?Р у / (р, С) СО8 аг
о	о

1 Ля2тг2 ,2
%=|/ -р—.

( ;о(а«РИ4(«яа)^(а„г)—р^г,
" Г' Р ~ I 4(апг)[/0(а„а)Л’Дапр) —Л'Даяа)/Да„р)], р=йг.

Переходя к пределу е, 8-»0 и учитывая, что Пт 78 — Р, при-
<5 —° _

ходим к следующему выражению для коэффициентов Ап:
Ап~~~ г Д-г [/0 (а«а) Ко (V) — Ко (ьпа) /0 (а„г)],
С 10\апи)

откуда непосредственно получается решение, приведенное в ответе.
303. Требуется дать решение уравнения Лапласа

^-+-^=0	(0«х<ео, 0<а^<со).

дх2 1 ду2	4	'
при граничных условиях

Т| =0,	= /(у) =

|у—о	дх |д- = О

0_

к ’

0,

°ОО»

*<У<

Применение метода Фурье приводит к совокупности частных
решений

Т= 7\ = Вр. е~*х 81п рьу	(]Ш	0),

ограниченных в квадранте (0^х<^оо, 0^у<^оо) и обращаю-
щихся в нуль при у = 0. Интегрируя по параметру у., находим;

Т(х, у) — I В}Хе-‘11Х81п рус!р,

о

где коэффициент определяется из граничного условия

дТ
дх

I п=/(^)=

IX—0

В^ ’а 81П Др
о

(0^_у<оо).

Принимая во внимание теорему о разложении заданной фуню
ции в синус-интеграл Фурье, получаем

оо

о	2 С л \ - л 2<7 1 — соз и-Ь

^у)^уУау=-^.—^-,

о

откуда следует

оо

т-/	\	2<7 (* 1—соз иЪ	.

7 (х, _у) =	]	8<п РУ

313. Для того чтобы избежать трудностей, связанных с тем, что
логарифмический потенциал не стремится к нулю на бесконечности,
выберем в качестве искомых функций составляющие электростати-
ческого поля в средах (1) и (2):

ЕХ1> ЕуИ

Полагая

р ____ р1^ | р^ р ________ М°) | /7^0 р ------- р№ р ------- Е*'2)

Е'д-!----------------------^У *-“У >	*^х^ '=== ‘-'“X »	»

где Е(0)—поле заряженной нити в неограниченном пространстве,

/т(0)_ дх	Р(0)_	? (у —а)

х ~~ Чк2 + (у-а)2] ’	— ех [х2 + (у - а)*| ’

получаем для определения функций
ференциальных уравнений

^<^ = 0

дх ‘ ду *

Е*, Ер (2=1, 2) систему диф-

дЕ%	дЕр

—х---*- = 0

ду	дх
и граничных условий:

Е™, еР\	е%\ 42)|	->о,	м;>|	—> о.

у 1У -* + оо	> | у — оо	Л У |х ± со

Для решения указанной системы удобно воспользоваться мето-
дом интегральных преобразований, составив синус-преобразование
функций Е^ и косинус-преобразование функций Е^ (см. введение
к данному параграфу)*). Умножая первое из уравнений и второе
из граничных условий на созАх, второе уравнение и первое гра-
ничное условие на зшАх и интегрируя в пределах (0, оо), по-
лучаем

где введены следующие обозначения:

Е{х = Е'х 8ш Ах йх,

(1

соз Ах (1х.

Решение построенной таким образом системы имеет вид:

Е'} = М" = Д 61 "-*» е~х |О + у>,
х >	2е3 е1 -|-	’

= _^е-А(а-у1.

+ Ч

Воспользовавшись формулами обращения

Е{х = У Е{х 8Ш Ахг/А, Еу‘ у Еу' соз Ахб/А,
о	о

приходим, после несложных вычислений, к выражениям для соста-
вляющих электрического поля, приведенным в ответе к данной
задаче.

*) Синус-преобразование от функций Е® и косинус-преобразование от
функций равны нулю в силу условий симметрии, имеющих место в дан-
ной задаче.
321. Электрическое поле имеет единственную составляющую,
комплексную амплитуду которой мы обозначим Е(х, у). Если счи-
тать, что ток распределен по площади произвольно малого прямо-
угольника (а — е<^х<^а-ре, |_у|<^), то решение задачи приво-
дится к интегрированию неоднородного уравнения Гельмгольца

ЬЕ-\-к*Е

—/(*> у) = --г-Х

при а — е <^х а -|- е,

О для остальных значений

Ы<Л

X и у,

при граничных условиях

Е\,^=Е

= 0, е| ->о.

| V = &	[Л*—*СО

Требуемое решение получается путем применения синус-преобра-
зования Фурье, которое переводит рассматриваемое уравнение
в обыкновенное дифференциальное уравнение для величины

со

Е—	§ Еъткх йх.

о

Это уравнение будет:

ОО

Е' - (Xе - А2) Ё=/ (?, у) 81п Х5 <

О

и его интеграл, удовлетворяющий граничным условиям/:	=0,

1> ъ

может быть найден при помощи метода Лагранжа. Переходя к пре-
делу при е, 8 —> 0, получаем, после некоторых вычислений,

---- --------------7-.--------о 111

су}? —к* &\У'^—к*Ь

что непосредственно дает решение задачи, если воспользоваться
формулой обращения

со

Е — ~§ Ез1пкх<1\.

о

324.	Требуется разыскать напряжения ог,	плоской задачи

теории упругости, удовлетворяющие в области >/^>0 системе урав-
нений равновесия

д^х ।	__Р) дтХу [ дзу ____~

дх • ду 9 дх * ду 9
условию неразрывности

д2ах ___

ду2

О ^2тху | ^2^у ____п

дх ду ' дх2

и граничным условиям

о*Ь-0=^х)’ ^=0=^х)-

Если ввести преобразования Фурье от искомых функций

В= У Ре1Кх с1х,

то, умножая каждое из уравнений на е1Кх, интегрируя по х от
— оо до 4-°° и учитывая поведение напряжений при х->±оо*),
приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений:

— Хху — 0,	— /Хт Ъу — о,

2/Х тху — Х2^ = О,

которая должна быть решена при граничных условиях:

‘'лгу

у =х0

и условиях на бесконечности:

тху> °у->0 ПРИ <у-*оо.

Решение системы, удовлетворяющее всем поставленным условиям,
будет:

^тНг А + х Ьиф-|Л

где постоянные А и В имеют значения

л “ о -7 I XI ~

А = ё, В = 1/-----

Окончательная форма решения в виде однократных интегралов
получается, если воспользоваться для перехода от найденных зна-

*) Предполагается, что напряжения на бесконечности стремятся к нулю
вместе со своими первыми производными. Заметим, что решать таким спо-
собом данную задачу для функции Эри нельзя, так как последняя не разла-
гается в интеграл Фурье.
чений о*,	к значениям самих напряжений формулой обра-

щения

р=

(ГК.

328. Считая силу Р равномерно распределенной по площади
произвольно малого прямоугольника

сведем задачу к интегрированию неоднородного бигармонического

уравнения

где

дЧг ! 9 дЧ1 ( д4и _________ д (х, у)

дх4 дх2ду2 ду* Р

при —

( 0 при остальных значениях х и у/,

с граничными условиями

Выполнив над уравнением косинус-преобразование Фурье и
полагая
оо

и = У и соз Хх (1х,
о

получаем для и следующее уравнение: *)

оо

й1У — 2Х2й" 4" Х4й = у д (?, у) соз ХЁ ср.

о

Общий интеграл последнего уравнения может быть найден по
методу вариаций произвольных постоянных и имеет вид:

й (у) = (А + Вку) е~ 4- (С + Е\у)

у	оо

+гэга У	т|)со8хи$,

о	о

где (у, Т1) = X (у — Т() с11 X (у — г() — зй X (у —

*) Предполагается, что и\ -> 0 вместе со своими производными по х
1лг->оо

первых трех порядков.
Для сокращения выкладок целесообразно осуществить предельный
переход на данном этапе вычислений.

Переходя к пределу при е, 8—>0, находим:

а и	»==( а+в1у)	>у+(с+•

а к == у <оо = ( А +	е~ УУ + <С + ЕКу)	О', *)•

Постоянные С и Е определяются из условия ц ~ 0, что дает

—*• оо

с=——(1 -4-МЛе-™ Ё—____________р_ е~М)

8Ялзи ‘ °}е	’	8РХ8

Две другие постоянные находятся из граничных условий

откуда следует

А = — С9 В= — <2С—Е.

Значение прогиба и(х,у) получается путем применения формулы
обращения.

Для нахождения значений изгибающего момента и перерезывающей
силы на закрепленном крае

лл д*а I	д8и |

ду2 |^=о	ду8 [уажо

используем выражение

I	Ре~Уь

а ик1 + м зь Гу - Ху( 14- М)СЬ х^],

дифференцируя которое, получим:

дЪ! ______РЬе-^ й3и| _	(1 + Х6) Р<?~хй

ду2[у==о 21> ’	2/Э	>

и искомые значения и Л' определяются при помощи подстановки
найденных выражений /И и в формулу обращения.

334.	Задача приводится к решению уравнения теории теплопро-
водности

1 д дТ дТ	.

(0^г<оо)

при начальном условии т| ^=/(г).

Если искать частные решения

Т=/?(г)в(г),

то после разделения переменных приходим к уравнениям
рг (г/?')'+ ^=о, 0'4-ш=о.
Интегрируя полученные уравнения и принимая во внимание огра-
ниченность Т при г —0, находим:

Т=Тх=Схе-хЧ(/Хг).

Из условия конечности Т при г—»со вытекает, что параметр К
может принимать только положительные значения X = |ха, что приво-
дит к выделению следующей совокупности решений, непрерывно
зависящих от р.:

Т— — с^е~ (|1г)	(0	< оо).

Общее решение строится в виде интеграла

Т(г, т) — У сие~ (р.г)</р..

О

Коэффициент определяется из начального условия, что, прини-
мая во внимание теорему о разложении произвольной функции в инте-
грал Ханкеля, дает

о

Подставляя полученное значение и изменяя порядок интегриро-
вания, приходим, после взятия квадратуры по переменной ц, к форме
решения задачи, приведенной в ответе.

335.	Требуется дать решение уравнения

X д —

г дгГ дг дт

(а<г<со),

при начальном условии Т| ^=0 и граничных условиях*)
т\ = т0, т\ —0.

|г==а	|г->оо

Положим

<?х (г) = Л № ^0 (И - Го (М Л (> г)

и выполним преобразование Вебера, умножив исходное уравнение
на гсрх(г) и интегрируя по промежутку (а, со).

^Предполагается, что произведения г2 Т и г2 стремятся к нулю,
с 1

когда г —* со и I г2\Т\йг сходится,
я
Принимая во внимание поведение рассматриваемых функций при
,	2

г —оо и равенство <рА(а) = 0, получим, учитывая, что <рх(а) = —,

Дт	ТС *

где
ОО
Т= Тг^к(г)Лг.
а

Интеграл последнего уравнения, удовлетворяющий условию

Т

-Х2Т
— е

будет:

Т____ 2Т0

— тс)?

1

Для определения искомой функции Г(г, т) по ее преобразованию
Вебера следует воспользоваться формулой обращения *)

Г (г, г) =

4 0-а) + У о (Ха)

351. Как известно, напряжения в осесимметричной задаче теории
упругости могут быть выражены через функцию и (г, г), являющуюся
решением бигармонического уравнения **).

Для выделения особенности в точке приложения силы положим

И = «оН-И1>

где щ	Vг* + — «)2 — функция напряжений сосредото-

ченной силы Р для неограниченного пространства, ц, — бигармони-
ческая функция, регулярная в области г^>0.

Так как искомое напряжение связано с функцией и соотно-
шением

д Г/п \ а



для решения задачи достаточно найти значения величин Диг и
Первая из рассматриваемых величин представляет собой гармони-

*) См., например, введение к § 2 гл. VI.

**) См., например, стр. 339. Предполагается, что объемные силы
отсутствуют.
ческую в пространстве функцию, и ее выражение может быть
дано в форме интеграла

со

Дид = У Акв~(1г) 1ЙХ.

о
д2и

Функция — бигармоническая в области я^>0, и ее предста-

вление мы будем искать в форме *)

ОО

=у (Вх н- С^) в-	(Хг) X а\.

о

Сравнивая результаты, которые получаются, если продифферен-
цировать первый из интегралов по % дважды, а от второго взять
А 1	д . д2	„	1 Л А ГТ

оператор Д =	находим Сх= —уХА. Для опреде-

ления остальных постоянных следует воспользоваться граничными
условиями аг |	= тгг | о = 0, которые могут быть представлены

в виде условий для функции их **):

д Гт \ а	^2и1

^[(2->)Д«д--^г

[/1	\ А	<^«1

\2 = 0

I	= — Г(1— >)А«0

12 = О	|_

д2и0 11

дг2 Ля =- о

д2и0 11

дг2 ] |г = о*



Выполнив дифференцирование в правых частях рассматриваемых
равенств и разлагая найденные выражения в интеграл Ханкеля, по-

А д2и1	м

лучим, после подстановки интегралов для Дщ и -д—, систему линей-
ных уравнений для постоянных Ак и Вл-

Формула, приведенная в ответе, получается после вычисления
интегралов известного типа.

355. Задача приводится к уравнению теории теплопроводности
для одномерного случая

д2Т _ дТ

дх2 дт

при нулевом начальном условии Т ^ = 0 и граничных условиях:

— Л-^1	= д(У), т| —0.

дх |х = о 4 ' '	|лг —*• со

*) Подинтегральное выражение представляет собой бигармоническую
функцию.

**) Второе равенство вытекает из формулы

Тгг=эИ(1~>)Дм~

д2и
дг2
Обозначим через Т преобразование Лапласа от искомой функции



умножим исходное дифференциальное уравнение и граничные условия
на е~рх и проинтегрируем по т от О до оо. Принимая во внимание
начальное условие, получим:

Г'—— кт\ = а> т| —О,
г	|х=0	4	1л; —со

откуда следует

Т=-^=ге~УРх, /? /р>0.
кУР

Решение задачи дается формулой обращения Римана — Меллина

еРк-У1хп Ар

Ур

где Ь — бесконечная прямая, параллельная мнимой оси и проходящая
правее всех особых точек подинтегральной функции.

В случае а), когда ц —	— сопз!,

имеем

б

т — ?°- V С лрт — у рх Ар

& I	р ]/Р

Для дальнейшего преобразования
интеграла вычислим сперва значение
производной

дТ_ ____

дх к

— Г е?х~ —

2тЛ	р ’

I

Применяя теорему Коши к контуру,
изображенному на рис. 159, и совершая
предельный переход при е — 0, — оо,

Рис. 159.

получим *):

*) Применение метода контурного интегрирования непосредственно
к исходному интегралу не представляется возможным вследствие того, что
соответствующий интеграл по кругу радиуса с неограниченно возрастает
при « —0.
где Ф (х) — интеграл вероятности, откуда

т= —ГГ1 — ф(—
* Л I \2 |<т/]
оо

Окончательная форма решения (см. ответ) получается из этой
формулы с помощью интегрирования по частям.

В случае б) ? =
т—1 С ерт—У1>х __	_____

к 2тс/ I	у р (р2	•

Температура поверхности тела
т\ , 1 Г ш ар
Ур

может быть найдена на основании теоремы Бореля, применение ко-
торой дает

— Г 8{п ох с
кУI

где С(х) и 5(х) — интегралы Френеля.

357. Применение преобразования Лапласа приводит к решению
задачи в форме комплексного интеграла

где \Гр обозначает ту ветвь функции, вещественная часть которой
на пути 1 положительна, Ь — бесконечная прямая, параллельная
мнимой оси и расположенная справа от нее *).

Простой способ вычисления интеграла

Л------ йр

2и } р(й + /р)

состоит в подстановке

—------== Г е~~ 8 (У~р + Лз

Гр + л Л

*) Для рассматриваемой ветви	7^ — Л, так что /^ = 0 — единственная

особая точка подинтегральной функции.
и последующем изменении порядка интегрирования, что дает, если
воспользоваться результатом, полученным в решении задачи 355,

'=Р'”'&2И

О	ь

еР^-У~р(Х-\-8)^Р
р

со

Интегрируя по частям, находим

_ ф/'й +-4=-

л I \21Лт Л1 Л I \	1 21Л Г

после чего окончательное решение задачи принимает вид:

’‘=7'«(ф(2-77)+в*“+*',[1 - ф(й 1/7+2-М)

371. Задача приводится к уравнению

1 д / дТ\ дТ
г дг \ дг) дг ’

которое должно быть решено при начальном условии

Г|_о = °	(Г<а)

и граничном условии

/ аг ।	_п т| _т ( _ Со \

\ дг ‘ а дг)г^а, т>0	’ |г = я, т = о 0 \ 2тга2ср/’

После выполнения преобразования Лапласа с учетом начальных
условий задачи получаем уравнение

1 а ( дТ \	Л

—	рТ—0)

г 1г \ 1г) г

и условие

[аО>Г-7’о)+1гЦ = О,
откуда следует

_______ааГ0/0(]/рг)_____

[аа Ур 1о (Ура) + Ц (Ура)] '

Решение задачи дается формулой обращения

ааТ\ С______4 (Ург) Ор_______

2и/ Ур[мУр10(Ура) + 1ЛУра)У

Так как под интегральная функция однозначна, то комплексный
интеграл может быть вычислен с помощью теории вычетов. При-
нимая во внимание, что особыми точками функции, стоящей под
у2
знаком интеграла, являются полюсы р — 0 и р=рп = —
где — корни уравнения Л (?) аТЛ (т)== и вычисляя вычеты
в соответствующих точках, находим *)

Заметим, что применение преобразования Лапласа к классу задач,
содержащих в граничных условиях производные по времени, к ко-
торому, в частности, относится рассматриваемая задача теории
теплопроводности, вносит существенные упрощения в вычисления.

375. В области (1) (0<сг<^со, 0<^г<^оо) концентрация
С1(г, г, /) удовлетворяет уравнению

г ’ дг \ дг ) ' дх2 д' д1 '

начальному условию С\

о= 0, граничным условиям

^1 =[но,
дх Ь = о (О,

а,

О^г

а

г

где /(/) — функция, вид которой будет определен в дальнейшем,
а также условиям на бесконечности:

С1|	->0, Ы ->0.

I Г —> ОО	|г —> со

В области (2) мы имеем одномерное уравнение
д^Сг  1 дС2
дг3	Р ' д(

и условия

I	= /(О:

дг | г = о

дС,
дг

= 0, с2|

= с0.

1 = о 0

2 —

Выполнив над уравнениями и граничными условиями, относя-
щимися к первой области, преобразования Лапласа и Ханкеля и
принимая во внимание начальное условие и условие С11	0,

получаем:	__

4Я1	= 4аЛ(М, С1|	->0,

дх | г = о X 1 *	7	1 |г-оо

*) Легко видеть, что интеграл по дуге круга большого радиуса 7?, до-
полняющего контур интегрирования, стремится к нулю, когда 7?-*оо.
где через / и / обозначены соответственно результаты преобразо-
вания Лапласа и двойного преобразования Лапласа — Ханкеля над
функцией /.	~

Интегрируя уравнение для Сг, находим

. е	,

откуда, в результате обращения преобразования Ханкеля, следует

—	[е~ а — 1 ].



Применение преобразования Лапласа к уравнениям и граничным
условиям, относящимся ко второй области, приводит к аналогичному
выражению для С2:



В рассматриваемом приближении неизвестная величина / может
быть найдена из равенства

откуда

Подлежащее определению количество вещества М в трубочке
может теперь быть вычислено по формуле



о

— /

С8(г,	=	+ §

где — С&1 — начальный запас вещества в трубке.

Интегрируя по контуру, изображенному на рис. 159, получаем
решение задачи в виде вещественного определенного интеграла
(см. ответ).
386. Требуется дать решение системы уравнений

л^г + ^?=о» сФ + ^=° (0<х<оо),
д1 1 дх 9 д1 1 дх \ \ \ />

при нулевых начальных условиях и граничных условиях:

I = Ее~ н2 I -> О,
—О	|х — со

Исключая переменное I с помощью преобразования Лапласа,
имеем:

1^+^-=0' С№ + > = 0 (-'<*<<>).

+	0"'> + 4г = ° (0<*<СО);

и11	—	, и2|	—* О,

Ч .«• = 0	р + а	| х -♦ оо

и11 —На! , Л, =^|	+ /г1 ,•

| X == /	I X — I	| X — I	I X — I /\о I X « I

Полученные уравнения позволяют найти значения и19 щ,, /1Э /2.
В частности, для п2 получаем следующее выражение:

_ рх

- =_₽о____________е

2	Р + а	и 'Г । { I I % \ V Т *

сП рТ + 11 + рТ

где V =	— скорость распространения, Т=~ — время пробега

волны вдоль участка (—/, 0), 2,=^/ ~ — волновое сопротивление
линии.

Формула обращения Римана — Меллина приводит к решению
в виде комплексного интеграла:

Наиболее интересная форма решения может быть получена,

если воспользоваться разложением

__________1_________

скрГ + (1

2^0е-₽г
2/?„ + ^

V ( ?. \п
2_) \2/?«+г>

е— 2прТ

п = 0
и выполнить почленное интегрирование, что дает

м2(х, О

_ 2/?0Е0 у/ X 1 Г р[/-^-2пг] Ар

2Хв + Х ^\2К> + Х) 2ш Л С	р + а’

п = 0	Л

На основании равенства

1 С срт аР —
Л р + а
л

все члены рассматриваемого ряда для фиксированных значений х
и I будут равны нулю, начиная с некоторого п. В частности, мы
получим:



= 0;



и2

V

2/?0Е0
2Яо + ^

V

V

г

2^.+Xе

и т. д.

Общий результат, приведенный в ответе, легко получается по
индукции, если воспользоваться при этом формулой для суммы про-
грессии с конечным числом членов. Скачки напряжения в точке х
могут быть интерпретированы как результат прихода в данную
точку последовательных преломленных волн.

402. Задача приводится к решению уравнения

А А ।	л

0^г<^оо,

которое должно быть проинтегрировано при выполнении двух
условий в точке приложения импульса:

=0
дг |г = о

[г/г<ДЧ=о=/(т) =

рур

о,

0 Т 8,

(8~0),



а также условия на бесконечности: и |	> 0.

Применяя преобразование Лапласа, получим для определения и
дифференциальное уравнение

ДА// р*и = 0
и граничные условия:

йи I п Г / а	Р ~ I	л

-	= 0, Г-у-(Ди) =ТГ-гГ, «	—0.

I Г = 0	I йг ']г = О 2тсР ’ I г — оо

Решение последнего уравнения, исчезающее на бесконечности,
будет

й=АКй(г /ре~)-[-ВК9(г \Гре~ 4 ),

где у//? обозначает главную ветвь функции (| аг^ р | тс). Прини-
мая во внимание поведение функции Макдональда в смежности с
точкой г = 0 и воспользовавшись граничными условиями, находим

В = — А =------.

4тс/р у йр

Применение теоремы Бореля дает

т

И (Г,	Г Л(т)«Гт,

где

^(т) = 25 ] [^о(/ /ре 4) — Кй{г /ре^]еРт(1р.
ь

Если преобразовать полученное выражение путем интегрирования
по контуру рис. 159, то после некоторых выкладок придем к ра-
венству *)

°°	Зтс/	/тс	_ /тс

Г(Т)==2^У /реП-^ /реГ)-^(г/ре 4) +
о

_ Зтс/	1	_ Гтс	_ — —

+ А'в(''/ре 4)]е-РтсГр = -2	е-р’[/0(г/ре4) —/0(г/ре 4)]еГр.

о

Интеграл может быть вычислен при помощи формулы

г>2

Г	е 4а2

] е- /0 {Ьх)х Лх = - 2~—,

о

откуда следует:

1 г2

Г(т) = —4-81п4-.

4 '	1Т 4т

*) Заметим, что функция АГ0(^) регулярна в плоскости 2 с разрезом
вдоль (—оо, 0). Для дальнейших преобразований используется соотношение
Я"о (е ^у) = Ка (У) —	(у).
После интегрирования по т приходим к окончательному резуль-
тату:

“<п

где 81 (аг) — интегральный синус.

406.	Выполнив над исходным уравнением и граничными усло-
виями последовательно преобразование Лапласа и преобразование
Фурье по переменной у и вводя обозначения

ОО	оо

н= у е1КУ с!у § ие~р1сИ,
— оо	0

Р — У

получаем для определения величины и уравнения:

5— ($+^4-х’)«=о,

откуда следует

р

где корень обозначает ту ветвь, вещественная часть которой поло-
жительна.

Воспользовавшись теперь формулой обращения

ОО

и — Г ерЧ1р Г ие~1кУ (1У
2ш Л г 2т.

Ь	— оо

и изменяя, после подстановки и и Р, порядок интегрирования, на-
ходим:

ОО	ОО	- /”^2

— оо	Ь	— оо

Внутренний интеграл может быть вычислен с помощью формулы
(см. [14], стр. 456):

е- « /лТ+77 СО8 ау =	(

О
где К? (г) — функция Макдональда, после чего решение задачи
представляется следующим двукратным интегралом:

Н = — Г /(Т|) V
' УооУ'^+(у~^а

х 2^ / V+ЬрК' (У5+Ьр +	еР1~-

Рассмотрим комплексный интеграл

Д'»	/^ + с)е₽'^-

Вычисляя последний интеграл по теореме Коши с обходом точек
разветвления р = — с и р = 0 по верхнему и нижнему берегам
разреза, проведенного вдоль отрицательной части вещественной
оси, имеем *):

Воспользовавшись найденным результатом, получаем

у 4- V

* г /<^)

Л______ +

у — У — х2

I
^р(т,

где

с —

откуда после выполнения квадратур непосредственно вытекает форма
решения задачи, приведенная в ответе.

407.	Рассматриваемая задача может быть просто решена при
помощи преобразования Меллина.

*) При вычислении следует воспользоваться формулой

тс

У	г______

Г*	зЬ 1/ я2____г2

I 70	81п х) сН (я8 соз х) 81п х йх = ——,

У

СМ. Р5], стр. 270.
Предположим, что искомая функция Т такова, что величины
Т и равномерно ограничены при г—►О и представляют собой
0(г~5) (5 — некоторое положительное число), когда г—-со*).

Умножая уравнение ДТ=0 на гр+1, где р — комплексное число,
вещественная часть которого заключена между нулем и и инте-
грируя по промежутку (0, сю), получим:

г₽+1 ТГ — РгРТ I + Р*т+ -тт- =
дг г I о ' г ‘ Жр2
оо

где Т — у Тгр~1 йг — преобразование Меллина от функции Г.
о

Из условий, наложенных на поведение Т при г—-0 и г—-оо,
следует, что при	интеграл Т сходится равномерно

относительно р внутри полосы (0, $) и представляет регулярную
функцию р в рассматриваемой полосе, а внеинтегральный член
обращается в нуль на пределах г = 0 и г —со. Для определения Т
имеем поэтому уравнение

причем из граничных условий для функции Т следует:
т| =0, т| = 7'„—.

| ср = О	| <р= а ” Р

Интегрируя последнее уравнение, находим:

у,___аР_ 8ш рсо

0 р 81П ра

откуда, в частности, для величины 5 получается значение $ =

Для определения искомого распределения температуры доста-
точно воспользоваться теперь формулой обращения, что дает

а 4-1 оо

_Г°_ Г 81пр? ! а\р др

2тс/	81п ра \ г ) р 9

а — /со

а

Интеграл может быть вычислен при помощи теории вычетов,
для чего следует дополнить контур интегрирования дугой круга
произвольно большого радиуса, расположенной слева от прямой
^(ур)==о при условии, что г<^а, и правее последней при г^>а.

*) Существование решения, обладающего указанными свойствами, можно
предвидеть, исходя из физических соображений. После того, как решение
получено, нетрудно проверить, что оно в действительности удовлетворяет
всем поставленным условиям.
После простых выкладок получим

Суммируя ряды с помощью формулы

(-1)”+1
п

п •	1. Р 81П X

о 81п пх — аге тЦ---------------

г	ь 1 + Р СОЗ X

(р2<1).

приходим к единому аналитическому выражению для искомого распре-
деления температуры

Г(г,

415. Если рассматривать внешнюю нагрузку как распределенную
с плотностью

9 (г, <?)=

р	Е	I е	$	I о

— при г0-т<г<гв +т,

О при остальных значениях г и ср

(е, 8 — произвольно малые положительные числа), решение задачи об
изгибе приводится к интегрированию неоднородного бигармониче-
ского уравнения

△дн —(0<^г<^оо, 0<^ср<^а),

при граничных условиях

I =%\ =и| =%\

|ф = 0	|.р = о	к = а скр[.р = а
Умножая рассматриваемое уравнение на гр+3 (р — надлежаще
выбранное комплексное число) и интегрируя по промежутку (0, оо),
находим *):

± Ли - (Р + 1)	+ +

- О’-1)(?+1)2г₽-‘+	1)2(/'+1)2« +

ОО

+ [О’ - 1 )2 + О’ +1 )Ч	/ ч (г, ?) г™ аг,

О
оо

где й = У игр~^ йг.
о

Предположим, что поведение искомой функции при г->0 иг->оо
таково, что выражения г'1 и, г &и,	суть величины О (г51),

когда г О (5! — некоторое положительное число), и представляют
собой 0(^2), когда г—>оэ ($2^>0). Тогда, при условии, что р есть
комплексное число, вещественная часть которого заключена между
— 51! и интеграл й равномерно сходится и представляет регуляр-
ную функцию в полосе — 51

При тех же условиях добавочные члены, стоящие вне знака
интеграла, обращаются на пределах г = 0 и г = оо в нуль, и для
определения й получается обыкновенное дифференциальное уравнение:

^4-[(^-1)2 + (^+1)2]^+0’-1)20’+1)2« =

=дчУг^аг.

О

Применяя метод вариаций произвольных постоянных, находим:
и = А соз (р — 1) ср В 81п (р — I) <р С соз (р 4~ 1) <р +

4-58|П^ + 1)<р+ ‘ ? Г - А) (у - 4 _ <р +1) (?.-/)] м X

1	/ т ।	р—\	Р + I ]

о

оо

Хр(р, Ор^р,
о

причем для определения коэффициентов Л, В, С, Е служат гранич-
ные условия

*) В задачах теории упругости, связанных с интегрированием бигармо-
нического уравнения, удобно пользоваться видоизмененной формой преобра-
зования Меллина, в которой р заменено на р — 1.
Переходя к пределу е, 8->0 и вычисляя значения постоянных,
получаем, что й есть мероморфная функция с полюсами в точках,
для которых выражение р* 81п2 а — 81п2/?а обращается в нуль. Числа
^ = 52 совпадают с наименьшим корнем уравнения

/?2 8Ш2 а — 8Ш2 ра. = 0.

Изгибающий момент М и перерезывающая сила Д/ на краю <р = 0
определяются из соотношений:

, тур| = — 0^1

1? = 0	Лср2|ф = 0	= О

Воспользовавшись формулой обращения и выбирая в качестве
пути интегрирования мнимую ось, получаем, после некоторых вычис-
лений, выражения для изгибающего момента и перерезывающей силы,
приведенные в ответе.

418. В соответствии с методом Фурье будем искать частные
решения уравнения Лапласа вида

Т=/?(г)ф(?)81п^

Разделяя переменные и интегрируя полученные уравнения, при-
ходим тогда к выражениям:

Т=[л//гт(^)+в^<(7)][СсЬ	+

где /у (х) и /Су (х) — цилиндрические функции мнимого аргумента.

Принимая во внимание поведение цилиндрических функций при
г —> 0 и г -> оо, надлежит, исходя из ограниченности рассматривае-
мых решений, положить постоянную Л = 0и выбрать X положитель-
ным. Таким образом, данной задаче соответствует непрерывный
спектр (0, оо), и решения, подходящие для рассмотрения краевой
задачи, будут

Т=ТХ=(МХ + М 8Ит<р)/Ц—81п—(0<т<со).

Общее решение строится путем интегрирования по параметру т.
Замечая, что Г|^=.0 = С), получаем

оо

7^= 81П —у У МзИ Т<р Кн ^^у^б/т.
О

Постоянная определяется из граничного условия
г =/(г)^т-т,
|ф = а	I

которое дает
оо

/(г) —	811 та К,х(0 <> < °°)*

о
Решение последнего уравнения для определенного класса функций
/(г) может быть дано с помощью формулы обращения

^8Ьта = —Т8Й7ГТ |/(г)—

о

непосредственно вытекающей из формулы (4) введения к данному
параграфу. Условия, необходимые для применимости последней фор-
мулы, обычно выполняются, за исключением требования, чтобы /(г)
при г ->0 обращалась в нуль достаточно быстрым образом, что может
и не иметь места. Если /(0)^0, в большинстве встречающихся на
практике случаев для определения можно воспользоваться фор-
мулой

°°	(ппг\

Ч .2 Г Г	- —1^ГТ

МзИ та = — /(0)4~ тех I I /(г) — /(0)е 1 ——’-йг,

О

которая является следствием равенств (4) — (5)*). Предполагая, что
ограничения, налагаемые на /(г), достаточны для того, чтобы обе-
спечить применимость последней формулы, приходим к результату,
приведенному в ответе.

422. Выделим потенциал источника, положив

а
и = ^-ъ,

где А? — расстояние от заряда ц до произвольной точки пространства.
Задача приводится тогда к интегрированию уравнения Лапласа

1 д ду , 1 д2у . д2у а /(у	п

— •з-г-ч-Ч—«•	+	= 0 (0<г<Гоо, 0

г дг дг 1 г2 1 дг2 \ \ \	»

ср <^2тс,

— оо <^г<^оо),

при граничных условиях

|'р = 0	|4> = 0* I р == 2тс	| р = 2тс

Разлагая искомую функцию у в интеграл Фурье по соз аз, т. е.
полагая

| у соз <хг^а,
о

У =

*) См. также I63], стр. 204—207.
получим для коэффициента V уравнение
1 д дй । 1 д2й 2 - л
г ' дгГ дг^~ г2' ду2 ° У

и граничные условия
___________________________	оо

©I =(-5^	= Г’о! С08 02С/2,

1<?=о	\/? /<р = о	Л /? |? = о

о

ОО

тИ — I созсхгб/я,
[ср = 2тс	л\ I ср = 2тс

О

или, после вычисления квадратур,

5 1^0 = ^ 1-2*=	/^ + ^-2^008^),

где /ГДх)— функция Макдональда.

Применение метода Фурье к интегрированию последнего уравне-
ния приводит к представлению V в виде интеграла *):

оо

Ъ = д У Л4„, т СЬ(сЬ~тУ)Т (ог) Лт,
О

где значение коэффициента 2Иа, т должно быть найдено из условия
оо

Ко (« О2 4~ — 2гг0 соз <р0) = У Ма, т /С,т (аг)	(0 < г < со).

О

Для устранения трудностей, возникающих при непосредственном
применении формулы обращения, представим левую часть в виде

/С0(а /г9 + — 2гг0 созУ0) ==

= [А'о (о /г94-г& — 2гг0со8 <р0) — /Со (сг0)] 4-

+ Ко (аг0) [ 1 - е--] + /Со (аг0) е--

и воспользуемся формулой
оо

е-’г=-|у КЛ^ат.
О

Из теоремы обращения тогда следует

о

^0. X = 4 А'о (ог0) 4-	/Со (аго) * 8Й 1ГГ У ----/С/г (оГ) ЙГ +

О

оо

4- т 8Й лт у [/Со (а 1/г4 4- г§ — 2гг0 соз"?#) — Ко Оо)] К* О) у •
О

*) См., например, решение задачи 418.
Интегралы, входящие в последнее равенство, могут быть вычислены
при помощи формул

ОО

) К, (/х9 4- у2 — 2ху С08Т) —	(.у)] Кн(X)=

6

. ей (тс —у) т
зйтст



1ЬТ
сЬТ

О

что дает

о

М,. х = — СН (ТГ — <р0) X Л7т(<’Г0).

Таким образом, решение задачи имеет вид:

V =	У соз аг Ла у сЬ - сН (к — <р0) т Кк (аг0) АгЛаН г/т.

о	о

Подставляя сюда известное интегральное представление для произве-
дения цилиндрических функций

^г(х) К„(у) == У ^0 (А’ +У 4- Ъху СН 5)

СОЗ Т8 (18

о

и изменяя порядок интегрирования, получим, после взятия квадра-
тур *), выражение

<7	1

Ъ = ~ • “7=

2тс ;/2гго

1 I 1

ей — соз — ей ~ 4- соз

. 8 .

8Й '2'08

?—?о ]Лс118 — сйл’

2 □



*) При этом

используются соотношения:

Г СОЗ Т8 6?8	__ 1	|

л 1Лскк4-сЬз —«Ькт:
О	х

81П т$ Аз

ей з — ей X

, 8

ей Фт	1 8П 2

51~?5тгз</т==т-—----------(0<4-<2х).

сЬу4-СО8у
где

г2 + г2+г2

2гг0

Окончательная форма решения получается, если вычислить интег-
8	/

рал с помощью подстановки сйу —сйусй/.

434. Введем эллиптические координаты (а, Р), положив
х — с ей а соз р, у = с 8Й а зш р,

где с — эксцентриситет данного эллипса, и будем считать, что заряд д
распределен с равномерной плотностью по площади произвольно
малого криволинейного прямоугольника, ограниченного координат-
ными линиями а = 6, | р | _ р* -ь-у.

Решение задачи приводится тогда к интегрированию уравнения
Пуассона

д2и ! д2а _
да2 'др “



где

Р = Р(<*. ₽) =

2Й' »<“<•	+

О при прочих значениях аир,

— плотность распределения зарядов внутри эллиптического цилиндра,

И = с у/ с1Г2 а — со8а р — коэффициент Ламе.

Принимая во внимание четность функции и относительно перемен-
ной р, ищем решение в форме

оо

и=1йо+4 2 б«со5лР’
п — 1

где

ип — У и соз б/р.
о

Умножая уравнение для
жутку (0, к), находим:

и на со8/гр и интегрируя по проме-

ип

—

рг* соз пр 4/3.
Решение последнего уравнения легко
метода вариаций произвольных постоянных

получается при помощи
и имеет вид:

ип — Ап ей па	Вп 8й па —

— У соз п$ оф у рЛ2 зй п (а — ?) 4Й.
о	о

Из условия ограниченности составляющих электрического поля
в фокусах эллипса следует Вл = 0. Значение второй постоянной Ап
определяется из граничного условия й„\	=0, где а0 — значение

|а=а0

координаты а, принимаемое на поверхности цилиндра. В предельном
случае е, 8->0 для йп получается выражение:

и = ^СО8Лр*^2ф>—(л = 0, 1, 2, ...),
п п ‘ сп па0 к

откуда непосредственно следует решение, данное в тексте.

437. Принимая во внимание, что совокупность решений двумер-
ного уравнения Лапласа, регулярных внутри эллипса О^а<^ао,
имеет вид*)

и — ип = Ап ей па соз п$ Вп 811 па 8*п п? (л = 0, 1, 2, ...),

а соответствующая совокупность решений, регулярных вне эллипса
и исчезающих на бесконечности, будет

и = ип — е~ па (Сп соз п$ Вп 8ш п$) (л = 0, 1, 2, ...),

ищем потенциалы поля в воздухе и магнетике в форме рядов:

оо

и^=Нй (х соз у -}-у ем у)	е~ па (Сп соз лр Оп зт лр\

п = I

оо

м(2) ~	СЬ ла СО8 лЗ Вп 8й па лЗ)

п = 1

(произвольные аддитивные постоянные опущены).

Значения коэффициентов Ап, ... , Оп определяются из условий
непрерывности касательной составляющей магнитного поля и нор-
мальной составляющей магнитной индукции

ди^ I _ди^
д& |а=«о

ди<1)
да

I _________ ди(2)

|а = а0	да

«==л0

а — а0 ’

*) Другие комбинации произведений гиперболических и тригонометриче-
ских функций приводят к бесконечным значениям ^гад и в фокусах эллипса.
что дает

Сх = (1 -	-> А-(1-Ю^ПСЬТЬа|—

1	4 гу и сн а0 р, 8Ц а0	1	4	811 сх0 -}- р- с11 а0

__ Н^сеа° соз у	&   Н^сеа° зш у

1	сИ а0 + |л 811 а0 9 1	811 а0 р, с!1 я0 ’

Остальные коэффициенты тождественно равны нулю.

Окончательные выражения для м(1) и и(2} получаются, если вос-
.	а Г.

пользоваться соотношениями спа0 = у, 8па0 = —.

443. Для сведения задачи к однородной представим искомую
функцию кручения в виде суммы

и— —

Функция V будет тогда решением уравнения Лапласа, регулярным
внутри надрезанного эллипса (|а |<^а0, 0 р тс), удовлетворяющим

граничным условиям V	—0,	= (с 8Й а0 Р)2.

Применяя метод Фурье и учитывая четность функции V относи-
тельно переменной а, строим решение в форме ряда

2. сЬ па

Апсйп^
п = 1

81П Лр.

Постоянные Ап находятся из
что дает

Л  8с2	8112 а0

п тс л (4 —л2)’
л=1, 3, 5, ...

граничного условия при а = а0,

л„=о.

л = 2, 4, 6, ...

Таким образом, функция кручения представляется рядом

_	„2 I 8^2 У сП (2га + 1) а 81П (2га +1)3

У ~Г и Ь сН(2га+1)а0'(2га + 3)(1—4га2)'
п ==0

Жесткость стержня на кручение может быть вычислена по формуле

«о

С=4О

Г Г

о о

где к = с ей2 а — соз2 р — коэффициент Ламе.

Подставляя в двойной интеграл найденный выше ряд, приходим
после простых выкладок к формуле, приведенной в ответе.

449. Выбрав систему параболических координат (а, Р), в кото-
рых поверхность цилиндра представляется уравнением р = ро, и
считая заряд д равномерно распределенным по малой площади, ог-
раниченной координатными линиями |а| = е, Р = 8, приведем задачу
к интегрированию уравнения Пуассона

0 +	(—сю<а<оо, 0^3<р0),

где

р	при |а|<е, ₽<8,

О при прочих значениях а и Р;

к — с |/а2 р2 — коэффициент Ламе.

Решение задачи получается при помощи применения косинус-
преобразования Фурье. Полагая
оо

ц = У п сов Ха б/а,
о

умножая уравнение для и на соз Ха и интегрируя по промежутку
(О, се), находим:

со

и” —	~ р/г2 соз Ха б/а.

о

Воспользовавшись методом вариаций произвольных постоянных,
мы можем представить интеграл последнего уравнения в виде

ОО	3

и = А ей Х|3 -|- В 811 Хр — у У соз Хаб/а у /г2р 8Й X (43 —	б/т).

о	о

Из требования ограниченности &гади, а следовательно, и §гас!м
в фокусе эллипса, вытекает, что постоянная 23 = 0. Значение посто-
янной А определяется из граничного условия и $ — 0, что в пре-
дельном случае е, >0 дает

Соответствующее значение й будет
д . ,2х? зЬ >(?<,-?)
). ’ сП)р0

Окончательное решение получается при помощи формулы обращения

СО

и — - | й соз / а б/Х.

ТС Д
457. Если ввести биполярные координаты (а, Р), как показано
на рис. 122, и представить функцию кручения и в виде суммы

и — —у*-{-У,

задача сводится к определению функции V, гармонической в области
(«•<«<оо,	и удовлетворяющей условиям

I	I	А I	э|	С2 81П2 3

хИ = тЛ = 0; тЛ = у2 = 7-г----------------------}—“7^9;

13 = 0 |з = 2тс	|а = а0	1а = а0	(СП (ХоСОЗ р)2 ’

V I	—* 0.

|а —> со

Решение задачи строится в виде ряда

°о	п

п = 1

коэффициенты которого на основании теории рядов Фурье опреде-
ляются формулами

С2 С	у

Сл== | (сНа0 + со5Й8
О

Для вычисления жесткости удобно воспользоваться соотношением

2тс

являющимся следствием равенства, приведенного в указании к за-
даче, если положить там ф=—у\

471. Полагая и—	где /?— расстояние от источника до

к

произвольной точки пространства, приводим задачу к интегрирова-
нию уравнения Лапласа

△п1 = 0

при граничных условиях

«Л =--------^-1 =------------ й0 = — V

1«=0	с 1Л;к2 а0 4- 81П2?	\	а Г

В соответствии с указаниями, сделанными во введении к данному
параграфу, ищем вторичный потенциал их в форме ряда

со

«1=2Ля<?п (г 8Ь а) Рп (со8 ₽>•

п — 0
Коэффициенты Ап определяются из граничного условия на основа-
нии теоремы о разложении произвольной функции в ряд по поли-
номам Лежандра, откуда следует

А   2 л1 д р Рп (х) ах
2$п(0) с 3	’

Для нечетных п коэффициенты Лл = 0. Определение Ап при чет-
ных п требует вычисления- интеграла

у Г Ргл(х)^ (&>1),

Л у № — ха

— 1

_ л

что может быть выполнено путем разложения (#2 — х2) 2 в степен-
ной ряд и почленного интегрирования. Воспользовавшись известными
формулами, находим

1	Ж^'1!	(	1 \

, _ 1	/® р2л(х)йх  1 \	г\от+2;

т = О
— 1

1

Х^х^Р^йх^

со

г(/”+4)Г(2от + 1)Г(от + ,г+1)	1

Ь С, |Г(4-)г(/Я + 1)Г(т-п+1)Г(2т + 2/г + 2)

,	...	Г(Х4-А)

где введено обозначение (л)^ = --р.

1 (А)
Результат может быть выражен через гипергеометрическую функ-
цию

оо

Г(а, ₽, ъ г)= 2

к =0
именно,
Если воспользоваться теперь известным соотношением

Т> ?) = (! — г)~ар[о., у — р, у,
то получим

।	Г2(л'4"2')	1	/	।	3	]\

7	А------+ п+х> 2л + 4, —-ст—)>

V* * г(2л + -|) 5Ь а° V 2	2 8Ь2аоГ

или, принимая во внимание определение сферических функций вто-
рого рода,

4 = 2/Р2п (0) <^п (/ 8Ь а0).

Таким образом, искомое значение коэффициентов Ап будет

А3п = (4п + 1) $2л (/ 811 а0),
что приводит к следующему распределению потенциала*)

м = Я + 4	(4/г	1) $2„ (/ зЬ а0) (&„ (г зЬ а) Р3„ (соз ₽).

п =0

Распределение плотности заряда на поверхности диска найдется
теперь простым дифференцированием по формуле
о   1 Г__________________________1______# да “]

° ~~	|_с 1АЬ2 а4-"со82ё * да X =о*

481. Задача приводится к решению системы уравнений для гра-
витационных потенциалов

△п(1) = — 4тгр (О=^а<^ао);	Дп(2) = 0 (а0<^а<^оо),

при граничных условиях

м(1)|	=й(2)|	^(1) I _^42!|

[а »= «о	[а = а0 * да |а = а0 да |а = а0

Полагая
ии) = п0 «!,	п(2) =

где

и0~ — ърг* = — тгрс2 зй2 а 8Ш2 (3,
и замечая, что их есть гармоническая функция внутри эллипсоида
(а<^а0), а п2 — гармоническая вне рассматриваемого эллипсоида
(а^>а0), имеем:

«1 = (сЬ а) Рп (соз Р), н2 = У вп<?„(сЬ а) Рп (соз ₽).
п=0	п=0

О	Р2л(0)	2/

*) Здесь принято во внимание соотношение —	.

Уал(^)
Воспользовавшись граничными условиями, получаем для опреде-
ления коэффициентов равенства *):

со

— яре2 зк2 а0 [ 1 — Л (соз Р)] 4-	АпРп (ск а0) Рп (соз Р) =

п =0

= 2 5л<?л(сйа0)/’л(созР),

п =0

оо

— 1 яре2 ск а0 [ 1 — Р2 (соз р)] + 2 Апр'п (ск а») рп (соз Р) =

п =0

= 2 В„^;(ска0)Р„(со8Р);

п — О

отсюда следует, что Ап — Вп = 0 при п—\, 3, 4, 5, ...

Для определения постоянных Ао, Во и Л2, В2 получаем системы:

Л0Р0 (ск а0) — В^о (ск а0) = -1 яре2 8к2 а0,

А0Р’о (ск а0) — Во<?' (ск а0) = 1 яре2 ск а0;

Л2Р2 (ск а0) — В2(?2 (ск а0) = — -1 яре2 зк2 а0,

Л2Р' (ск а0) — В2С?' (ск а0) — — 1 яре2 ск а0,
решение которых дает **)

Ло — ^рс2 8к2 а0 (1 4- 2 ей а01п сШ , Во — 4 ск а0 зк2 а0;
о	\	*	л I	о

Л2 = ^р^2 §к2 а0 1 — ск а01п с1к у , В2 = — у ^рс2 ск а0 зк2 а0.

Подставляя найденные значения коэффициентов, получаем для
потенциала сил тяготения в области вне эллипсоида выражение:

п2 = тгр [2 (зш2 р — зк2 а) 4- 3 зк2 а 81п2 Р] 1п с(к	-р

ск а(3 соз2р — 1)|.

9

*) Заметим, что 81п2^ = у[1—Р2(со§Р)].

**) При этом использовано выражение вронскиана для сферических функ-
ций Рп (г) ^'п (2) — ^п (2) Р'п (2) =	> а также Ф°РМУЛЫ ро (г) — 1 • р» =

= 1(32»-I), (?в(2)=’1п1Ц, &(г) = 4Р4^1пЙт-34-
Чтобы получить асимптотическое представление гравитационного
потенциала при малом эксцентриситете г, введем сферические коор-
динаты /? и 6 и воспользуемся соотношениями:

<г = у (еа е~а) соз р = /? соз 0, г = -~-(еа — е~ а)зт р = /^зш 0.

Решая последние равенства относительно а и р, находим:

л “ = И {К 1+|”58+Й +	+ ,

= 1 у{}Л1+|СО8в + $-Х1“Я'О8в+$Ь
откуда при с —* 0 следует

сЬа = т[1+2^81п2е] + О(Й)’

соз р = СОЗ 6 4“	•

Воспользовавшись полученными соотношениями и ранее найден-
ным точным решением, имеем:

«2 = М [± +	Р8 (СОЗ 6) + О

где М — масса эллипсоида.

483. Если положить

и = Ыо4-«1»

где Ио=о‘ — потенциал источника (/? — расстояние от заряда до
произвольной точки пространства), и ввести эллипсоидальные коор-
динаты (а, р, ср), для которых поверхность гиперболоида предста-
вляется уравнением р = ро, рассматриваемая задача приводится к оп-
ределению функции иъ гармонической в области 0 р ро и удо-
влетворяющей граничному условию

и I =_±1	==__________д

1|з —Зо	Я|3==?0	с (сП а — соз р0) ’

В новых координатах уравнение Лапласа принимает вид:

1 д . диг . 1 д . 0 ди^ п
-Г— • -V- 811 а -г2- 4-	• Зо 81П В = 0.

зИа да да ' 8Шр др г др

Полагая

Н1 = Л(а)В(р),

получаем для определения отдельных множителей уравнения

-4- (зй а • А')’ 4- ХЛ = О, -Д-^- (зш В • В'У — кВ = О,
зНа 4	71	’	81П р 4 г 7	’

откуда следует

и1 = [мр, (Сй а) + (ей а)] • [СР, (соз р) 4~ (соз р)],
где Р? (г),	(г) — сферические функции первого и второго рода,

V — вспомогательный параметр, связанный с Л соотношением X =
= —'Ф-Н).

Для того чтобы полученные решения представляли собой веще-
ственные ограниченные функции в области 0^а<^оо, О=^р<^ро,
следует, принимая во внимание поведение сферических функций
в смежности с точкой г — 1 и г — оо, выбрать параметр V — — у 2т
(0<^т<^со) и положить постоянные ТУ и Травными нулю*). Таким
образом, приходим к совокупности частных решений

И1 = («1Х=СсР 1 (сйа)Р 1	(с08р) (0<т<оо).

“~2'+гс	~”2+/т

Общее решение строится путем интегрирования по параметру т,
что дает:
оо

«1= Г СгР_1 (сйа)Р 1	(СО8₽)Л,

2 +	2

причем значение коэффициента Ст должно быть определено из гра-
ничного условия

оо

«11	—----тт.— ----гт= ГСеР 1 (соз Во) Р ] (ей а) Л.

Чр-Зо с(сНа—созро) Л ’ -4+/Р гв/ -4+/Р г

(0 а оо).

Воспользовавшись теоремой обращения, вытекающей из инте-
грального разложения Мелера — Фока, получаем:

Ст =----- ГАа- Р !	(ейа)</а ==

сР . (СОЗро) Л ей в—СОЗро -±4-й,‘

—5о	2

“Р 1	©

♦) В частности, мы пользуемся формулой

которая показывает, что решение, ограниченное в интервале (0, ©о), суще-
ствует лишь при — 1 < Р (V) < 0. Дополнительное требование веществен-

ности вынуждает положить V == — ~ + /г.
Вычислив значение интеграла, приходим к формуле для распреде-
ления потенциала, приведенной в ответе *).

494. Принимая во внимание, что потенциал и может быть пред-
ставлен в форме и — Е^г ии где щ — гармоническая функция
в области, лежащей вне тора, которая на бесконечности стремится
к нулю, ищем решение задачи в форме:

и = 2:ог-)- /2 <±<х — 2соз₽ / ^пр , (сЬя«)

п = 1

Коэффициенты Ап находятся из граничного условия и совпадают
с коэффициентами разложения функции

_ А

— 2^0с 81п р (2 сЬ а0 — 2 соз Р) 2

в ряд Фурье по 81п лр в промежутке (0, к). Мы имеем

те

__ __ 4Е0С I 81П Р 5Ш пр

п тс I	3 •

о (2сйа0—2 соз Р)2

Интегрируя по частям и воспользовавшись формулой, приведенной
в указании к задаче 493, приходим к решению, данному в ответе.

498. Полагая

г==-^ + и

*) Чтобы доказать соотношение (см. например, [в1])

|	-2-+*

I $—С08₽о

^ = сТПЙР_1+/х(-СО8₽»>’

следует воспользоваться интегральным представлением
а

2 Г С08

2-4-й^С11в^ Тс у 1Л2сйа —2сЬ«

и переставить порядок интегрирования по переменным аил. После выпол-
нения внутренней квадратуры, находим

/соз тз (13

1^2 ск з — 2 СО5
о

ЕК^Р_1+,-т(-С05М'

на основании другого интегрального представления для функции Р ,	(х).

- 2
приводим решение задачи к определению функции «, гармонической
вне тора (0<^а<^а0) и исчезающей на бесконечности (а—* 0, Р —0).
Ищем решение в форме

У°°	$л_ЛсЬа)

Ап О---1 (ей д0) С05 п$-

—Л "“4
п == 0

Коэффициенты Ап определяются из граничного условия
и I == г2 I ,
| а — а0	|а = а0

откуда, на основании теории рядов Фурье, следует:

л ___ фс2 зй2а0 Г

Лтс |	5 >

0 (2 с И а0 — 2 соз р) 2

те

. ___2рс2 зй2 а0 | соз преф ( ____________1

Ап~ Ы I	1	V*—1,

о (2 ей д0 — 2 соз $) 2

Окончательная форма решения получается после взятия квадратур.

502. Если выделить особенность в точке г = г —0, положив

и

]/г2 + *2

то потенциал вторичного поля будет гармонической функцией в об-
ласти, лежащей вне проводника (0<^а<^оо, Ро Р <С 2тс-}-р0),
обращающейся в нуль, когда а—> 0, (3—* 2т:. Функция их может быть

представлена в виде интеграла

41 = — -у /2 ск а — 2 соз ₽ § Мх СЬ(*с~ь7?	Р_1 + ,/сЬ а^т"

о	2

Из граничного условия н =п	=0 следует, что

> 3 — Зо	| 3 — 2тс + Зо

совпадает с коэффициентом разложения функции

_ 1

(2 ей а-]- 2созро) 2

в интеграл Мелера — Фока по функциям

р I (ей а),
~ 2 +‘Т

т. е.

(2 ей а-{-2 соз ро) 2=1Л1ХР ! (сйа)е/т (0^а<^оо).

(У -2+"
В данном случае для определения Мх нельзя воспользоваться
непосредственно формулой обращения, вытекающей из интегрального
разложения Мелера — Фока, так как функция, стоящая в левой части
равенства, не принадлежит к классу функций, для которых это раз-
ложение справедливо*).

Однако, независимо от этой теории, можно показать, что имеет
место равенство

1 00

(2 сЬ а + 2 соз ₽0)" У	Р-± +* (сП а) Л;

о

поэтому



___ск рот
ск 7СТ ’

и решение задачи получается в виде

ОО

«! == — -2- /2сПа —2соз^ Г	+	Р)-» р (сЬа)а

1 с г	ск2лт	-4--НЧ4	7

о	2

Плотность на внутренней и внешней сторонах сферической обо-
лочки дается формулами

__ ска — соз Ро дм I	_ска — соз (30 ди I

1	4тгс ’^Ь = Зо’ е 4гсс	= +

Выполнив дифференцирование по ₽ и вычисляя полученные интегралы
с помощью замены сферической функции ее интегральным предста-
влением

2

Р 1 (ска)= —сктст

С соз тф (/ф

Л 1/2скф + 2ска’

приходим после некоторых выкладок к замкнутым выражениям
для о/ и

508. Для вычисления емкостей необходимо предварительно решить
электростатическую задачу, считая, что сферы имеют произвольно
заданные потенциалы V! и У2.

Вводя систему биполярных координат (а, ₽, ср), для которой
поверхности р = — Р1 и р = р2 совпадают с поверхностями соответ-
ствующих сфер, приводим рассматриваемую задачу к определению
гармонической в области (—Рх ? <С Рз) функции и, обращающейся
в нуль при а —* 0 и р —> 0.

*) См. [вз], стр. 291,
Искомое решение может быть построено в форме ряда

ОО

« = /2сНР —2соза	рясН(л 4-4-Ваз11 (л 4-у)₽]р„(со8а).

Лж=О

Коэффициенты Ап и Вп находятся из граничных условий

1------31

= У> и “в в =У”
| Р =® Зз

которые, если воспользоваться известным разложением

1Г<> Ь-' > = =У е~^П+ Рп (С08 «) (₽ > 0)>
у 2 ей ? — 2 СО5 а

п = 0

непосредственно ведут к системе линейных уравнений для Ап и Вп.
После определения и заряды, находящиеся на каждом из провод-
ников, могут быть вычислены по формулам:

=~ 4 Пг ? V - аа> =4 / (г	_Эа йа’

о	о

а искомые величины емкостей Сп, С]2, С22 определятся из соотно-
шений

(Р1)И1«0, V»-- 1 = (^2)^! « - 1, Иа«0,

С22 =(ф2)г1== г2Я=1 •

512. В новой системе координат решение задачи приводится
к интегрированию уравнения

д8« . д*и а2 — р2 ди 2р ди___________~

д? ‘"Эр2 а (а2 4-р8)’ * йа“а24-р2 * д?~~ °

при граничных условиях

Переменные могут быть разделены, если положить
и = /а* + рЛ(а)В(₽).

Интегрируя полученные уравнения для функций Л (а) и В(|3) и
замечая, что и должно быть четной функцией переменной {3, огра-
ниченной при а = 0, приходим к совокупности частных решений

и =	/а3 Л (на) Н? (° Н °°)*

Решение задачи строится в виде

оо

и = |/ /а‘	/0 (р.Л)

У
Воспользовавшись известной формулой

со

= Г л (Р«)	(? > 0),

О

и принимая во внимание граничное условие я —V, находим
13в3о

е~ нЗо, откуда следует:

оо

и = V /а® 4- р® у е- 4 (у.а)

О

Для вычисления полного заряда проводника (2 исходим из соот-
ношения

0о

сГа,

которое, после подстановки найденного выше значения и и измене-
ния порядка интегрирования, приводит к выражению*)

Г

Л сЬ|хр0
о

<2 = сУ

дГр. = 2 Уа 1п 2.

Емкость С определяется из равенства <2= УС.

522—523. Если положить	—	— то рассматривае-

мая задача приводится к отысканию решения волнового уравнения
д2и .	__ 1 д2и

дх2 * ду2 V2 д12 9

удовлетворяющего граничному условию

условию на бесконечности и! =0 и нулевым начальным условиям.
I ОО

Если ввести новые переменные

=	/ —-^==к] (Г==

и искать решение как функцию только от 5 и то получим

д2и .	1 ди_____п

д; ’ 2 (; — т4)

♦) Параметр с связан с радиусом а соотношением с ==2^.
Интегрируя последнее уравнение, имеем:

и

8

где <р и ф — произвольные функции.

Так как я =к =0, то Ф(б) = О, следовательно,
|г-»СО	I 1]*=» — ОО	*

К= Г -у
Л 1/6 —$

На экране: т] = 5, к=/(5); поэтому <?($) должна удовлетворять
интегральному уравнению Абеля

е

С -^= =/(5).

Л Уб— 5

Решение последнего уравнения имеет вид*):

/(5)4;

Кв-5

Для 5<^0 подинтегральная функция по условию задачи тожде-
ственно равна нулю, откуда <р ($) = ().

Из найденного выше выражения для и поэтому следует

п = 0,

т. е. зона возмущения ограничена кругом ^ = 0 (рис. 142). Вне
зоны возмущения Е==/^1 — с0,в частности’ ПРИ	будет Е = 0.

При т. е. для зоны возмущения, получаем:

“=)
о

8

где

ту *	« 4з3 у/3 —

о

Л.

♦) См., например, [®°], т. II.
531—532. Рассуждения, аналогичные приведенным при решении
задач 522—523, показывают, что отраженная волна в рассматривае-
мой задаче может быть представлена в виде

<Р(з)

$4------

1 V

(18,

где ф($) удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра

е

Ь;....

и переменные ($, 7)) связаны с цилиндрическими координатами (г,
соотношениями

В предположении, что

/<Но, 5<0 ’ ^0)=0’

получается <р($)=0 при $<^0, следовательно, н = 0 при
Таким образом, граница зоны возмущения определяется уравне-
нием Т| = 0.

Значение и внутри зоны возмущения (т}^>0) дается указан-
ными выше формулами, в которых функция /(!;) должна быть
заменена на ^(^), и промежуток интегрирования (—оо, т,)— соот-
ветственно на (0, т)).

Интегральное уравнение

?«+ VI Г.

»	„)

С>0),

принадлежит к классу уравнений, допускающих эффективное реше-
ние при помощи преобразования Лапласа *).

Полагая

/= [ /е-Р‘ <&,
О

*) В приложениях иногда удобнее строить резольвенту полученного
уравнения, не прибегая к преобразованию Лапласа. См., например, [ш].
умножая рассматриваемое уравнение на и интегрируя по про-
межутку (0, со), получаем соотношение:

а _

„Р8

где
оо 4	2ар

о ^+~Т

Е1(г) — интегральная показательная функция.

Окончательное решение может быть найдено по формуле обра-
щения

?(5)=-2й' / ЧеР'аР>
I

где прямая Ь проходит правее особых точек функции ф.

542. Чтобы составить интегральные уравнения для плотностей
зарядов, выберем фиксированную точку М(х) на плоскости у = 0.
Тогда, если переменная точка также находится на плоскости
у — 09 то соз (М№, п) = 0; если же точка принадлежит пло-
скости у = И, то |Л4?7| = /($ — .г)24“& > соз (МЫ, п)——

Интегральное уравнение (II) задачи 539 принимает поэтому
следующий вид:

(ЭД,=о____Н_ С

2те	я Л (= — х)2 + Л8’

Точно таким же образом, выбирая точку 714 (х) на плоскости
у — Н) получим интегральное уравнение:

а ____________________Ъ_ С »„ (?)</?

ЪДХ) — 2к х	(5 — х)’ + Л»-

—со

Для решения рассматриваемой системы с помощью преобразо-
вания Фурье, умножим каждое из уравнений на еГкх и проинтегри-
руем по переменной х от — оо до оо.

Вводя обозначение

Л=
и полагая

для сокращения записи

= о =/о (-^),	= Л = /л (-^),

имеем:

°° 2л



(;-Х)* + Л«

- =_А_А

л	2л л

С;-Х)« + А*



Если
известной

переменить порядок интегрирования и воспользоваться
формулой

 л

о

2Л

^-|Х| л

к следующей системе
ний относительно а0 и аА:

приходим

линейных алгебраических уравне-

откуда следует:

--1МЛХ =7о_

А 2л ’

к

2л

- _ 1 7о + е~|Х|Л7л
о— 2л 1_е—2|Л|Л

-_________!_ 7л + е~|К|Л7<,

л 2л ।____________21 * I Л

Решение задачи получается
обращения Фурье

теперь путем применения формулы





что дает:

°о(л;)— да

е 1 |Л7л е—а*
е- 2|А|Л е ак



1*1 к

е-^ак

е—2|Х| Л

549. Интегральное уравнение

с /(У>
Л * + у
о

2 ху \ ,	ч

(О
может быть решено следующим образом. Запишем рассматриваемое
уравнение в форме

и воспользуемся преобразованием Ландена

Тогда получим:

или, если принять во внимание формулы

1 К /	\___ Г_________(18________

У \ У /3	(х2 —82) (у2 —52) ’

1	К (^у\ _ Г ________^8_______

Х Х '	$ V (х2 —82) (у2 —82) '

то

__________(18________

V (№ —58) (№ —82)

+ х //(*)<*•*]’ у (ха_зг)(у1_з2) е(уУ

Выражение, стоящее в левой части равенства, можно пред-
ставить в виде двойного интеграла, взятого по площади трапеции,
ограниченной прямыми 5 = 0, 8 = х, 5=у, х — а.

Изменяя в последнем интеграле порядок интегрирования,
находим:

2	С аз С Дх) .	, ч

” у 1/у — в» 3 уЛх2—з’ Х

Если положить

5

/(х)

Ух' — З*

а),


то полученное уравнение переходит в интегральное уравнение
Шлёмильха

решение которого будет *)

«•(<0=4- С —л.

у V 52 — &

Значение /(х) находится по известному Ф (5) при помощи
формулы **)

/(х)=-А^_г. 7^ аз.

71 <1Х	1/82_л-8

X

Подставляя Ф (5), приходим к окончательному результату
а	8

• 4 Г —4== • 4“ С Д^--. м.

те	л ]/§2_Х2 аз з -|/§а_^

561. Для составления интегральных уравнений для плотностей
фиктивных зарядов на плоскостях ср = 0 и ср = а заметим, что,
когда фиксированная точка 7И(г) принадлежит первой из указан-
ных плоскостей, а /V есть произвольная переменная точка на гра-
нице раздела диэлектриков, то

	р 81П а	если ^=^(р)	лежит на
	у Г2 _р р2 — 2гр соз а	плоскости ср =	
соз (МЫ, п)= <	0,	если лежит в ср = 0.	плоскости

Применяя формулу (VI) задачи 560, получим:

о0(г) = —• (^), = о + — 81па С 2 г-а2~-"п^Р  ,
1,4 7 2те 4	1 тс Л г2 + р2 — 2грсоза ’

о

где

В = -81—
е1 + 62

При помощи аналогичных рассуждений, выбирая фиксированную
точку М на плоскости ср = а, имеем:

О

*) См., например, [по], т. I, стр. 314.

*♦) См. [3].
Для
полним
на г**"1

решения полученной системы интегральных уравнений вы-

преобразование
и интегрируя по

Тогда, полагая

Меллина, умножив каждое из уравнений
промежутку (0, оо).

уаг
о

и вводя для сокращения записи обозначения

/о (г) =	=о, А (г) = № &«,

приходим к
а0 и аа:

системе линейных уравнений относительно величин

-	0 81п(тс — а)(р — 1) - _	₽ ?

~ Р 81пя(р-1)	“ ~ ~ "2я7о’

81П (от — а) (/? — 1) -	, -	? 1

81П К (р — 1)	0 “Г а 2я '

причем сходимость интегралов, входящих в рассматриваемые равен-
ства, будет обеспечена, если выбрать комплексное число /?=1-|-и
(— оо<^т<^оо)*).

Решая последнюю систему и вычислив, таким образом, а0 и ов,
найдем значения искомых плотностей при помощи формулы обра-
щения

14-/ОО	14-/00

1—/оо	1—/оо

565. Условие равенства нулю касательной составляющей элек-
трического поля на поверхности проводника приводит к интеграль-
ному уравнению первого рода



(О х оо),

где /(В)—суммарная плотность тока, текущего по обеим сторонам
пластинки, Е(х) — значение касательной составляющей внешнего
поля в рассматриваемой точке поверхности **).

♦) Каждая из плотностей а0 и оа есть 0(г~51) при г—>0 и
при г ©о, где «1 < 1 и 8, > 1. Функции /о и /а предполагаются имеющими
порядок единица при г—>0 и О (г~5) при г->оо, где 8> I.

**) /(О == (Л)у-М> + О = /1 + А ЕМ = (Е?)у-о. Разность плотностей
определяется равенством, приведенным в задаче, являющимся следствием
закона о циркуляции магнитного поля по замкнутому контуру.
Полученное интегральное уравнение может быть решено при
помощи интегрального преобразования (6), стр. 211*). Чтобы при-
вести рассматриваемое уравнение к виду, удобному для применения
данного метода, воспользуемся равенством

со
о

умножим последнее на ё"1кх и вычтем из исходного уравнения.
Тогда получим:

со

$ [Нр {к I х - $ I} - е~‘кх /Д2> (&)]/ (О	[Е(х) - Е (0) е'1кх}.

О

™ (кх)

Умножив обе части этого равенства насе2-------- и интегри-

руя по промежутку (0, оо), находим, в предположении законности
перестановки порядка интегрирования:

]	—-----------------2-------е2 НФ(кх)(1х —

о	о

тст
~ оо

о

Внутренний интеграл в левой части уравнения может быть
вычислен путем применения теоремы сложения для функций Ханкеля.
После некоторых выкладок находим:

^Н^{к\х^\}-е~^Н^(к^	_

I —55---------------------е2 НФ(кх)(1х =

о

9	-

=жг [«?>(«) ~«! * «'»?(«)!•

Если обозначить теперь через ф интегральное преобразование

Ф= I Ф(х)е2 ----~---<1х	(0^т<^оо),

о

то полученный выше результат может быть представлен в виде
функционального соотношения

тж Е («) - ‘Ь " 5К>]=5 Гад-.-'"Г (0)1.

*) См. гл. VI, § 5.
откуда следует

У® = 4 {42- “	[гм-0--г(0)1}.

Окончательная форма решения, приведенная в ответе, полу-
чается путем применения формулы обращения *)

<р(х) =--- § т 811 кт • уе* 2НФ(кх)(к (0<^х <^оо).

о

566. Задача приводится к решению интегрального уравнения

с»

^о2) м IГ - р |}/ (рНр=1кгс°8“	(0	г < со).

Если считать попрежнему к комплексным числом

и предположить, что угол наклона пластины с направлением рас-
пространения волны меньше чем у**), то решение задачи мо-
жет быть найдено путем применения общих формул, приведенных
на стр. 403, причем следует положить

х — г, Е = р, Е(х) = Е®е~*кгС05а.

Принимая во внимание, что

_____________ р	™ нФ(кг\

(Г(г) —ейг^(0)]=^ (е~1кгсо5а — е~‘кг)е2	-йг=

о

2/Е°

Т 811 7СТ

(ей та — 1),

имеем:

г2 Р0 Р	—

Р/ (Р) —-----2^7' ] т 1й кт е2 ей та НР>(Лр) ск.

О

*) Условия, необходимые для применения этой последней формулы,
выполняются, если считать к комплексным числом к = \к\е~~1У(

и предположить, что внешнее поле создано линейными источниками, рас-
положенными в конечной части плоскости (х, у).

**) Указанное ограничение необходимо для того, чтобы обеспечить
сходимость интегралов и возможность применения формулы обращения,
и может быть отброшено в окончательных формулах. В частности, най-
денные в результате решения данной задачи выражения для плотностей
тока /1 и у2 справедливы также при вещественных к и совпадают в этом
случае с соответствующими формулами Зоммерфельда (см. задачу 426).
Последний интеграл может быть представлен в виде

рЛр)=~2^г • й? И(к+	(к — а)}>

где
тст

1₽1<л+т-

6

Значение интеграла <р(Р) было найдено в работе [48]:
г	!	л тсов|

^(Р) = ^РС08И —±4--^— С е-1&2(18 .

I	*	1/ тс I	4

о

Воспользовавшись этой формулой и выполняя дифференцирова-
ние по а, приходим к искомому выражению для плотности тока:

— ~	/2йр зш ~

4 ГО гр—2	1

У (о) =-—---—г= с08 о +18*п а е~ 1к? С05 а	Г (18 .

г я 1А 1- ]/2Лр	2 ‘	I	4

о
СПРАВОЧНЫЙ ОТДЕЛ

1. Обозначения специальных функций, встречающихся
в сборнике

Г (г) — гамма-функция:

г<г>4
о



/?(г)>0.

Ф (г) — интеграл вероятности:

Ф(г) = -^=
о

С(х), 5 (г) — интегралы Френеля:

С (г) = У соз (К,	5 (г) = у 81п А1.

о	о

Е1 (г) — интегральная показательная функция:

Е1 (г) = У -- Л, 0 < аг$ х 2тг.

— со

81 (г) — интегральный синус:

81^)=/^ Л.
о

с! (г) — интегральный косинус:

С1(-г)=У^Л. |агег|<те,
ОО
Ортогональные полиномы

Ря(х) — полиномы Лежандра:
=	« = 0,1,2,...

/7л(х) — полиномы Эрмита:

Яя(х)=(-1)яе”^е-Л	«=0,1,2,...

Ля(-*0— полиномы Лагерра:

=	«=0,1,2,...,

1»(х)=Гл(х).

Цилиндрические функции

Л (г) — функция Бесселя первого рода:

00	/*\* + 2*

______

” V)— 2^ г(^+1)Г(^ + А4-1)>

|агёг|<п.

ЕДг)— функция Бесселя второго рода:

М*) =

(г) соз «V —	(г)

зш яу

I аг& * I <С

Уп (г) — функция Бесселя второго рода с целым значком (п =
= 0, 1, 2,...):

г,(,)=11Пг,(,)=|4Ы1п1-1 2

Л-0

г\п+2*

44г- {Н*	+ «+!)}, |агёг|<к,

Л = О

где ф(г) — логарифмическая производная гамма-функции*).

М2)(г) — функции Ханкеля первого и второго рода:
/4“и)=Л(г)4-/Г,(г),	М2’(г) = Л(г)-/Г,(г),	|аг8г|<к.

*) Для л = 0 первую из сумм следует положить равной нулю.
4 (г) — функция Бесселя мнимого аргумента:

оо

4(0 = ^

Л = 0

/ .2 у4-2й

\ 2 )

Г(*+1)Г(* + *+1)’

|аг8*|

К-, (г) — функция Макдональда:



тс С у (г) — /Дг)

2	81П 7СУ

|агег|

^л(г) — функция Макдональда с целым значком (п = 0, 1, 2,...):

ЛГ„(г) = 11шЛ;у(г)=(- 1)"+' /п(г)1п-| +

, 1	(— 1)*(л — к — 1)1/2	(

+ 2 2^ к\ \2)	‘

к=0

°°	/г\л+2Л

н4<- »"2Мр5Г|,|'(4 + 1> + «4 + " + 01.

к—О

где ф(г) — логарифмическая производная гамма-функции*).

Сферические функции

РДг), фу (г) — сферические функции Лежандра первого и вто-
рого рода:

где Л(а, р, у, г) — гипергеометрический ряд **):

оо

Г(а, ₽, ъ г)= 2	И<’’

к=0 К

(Х)о=1.

*) Для п = 0 первая сумма должна быть опущена.

Для определения функций Ру(г)и (^) вне пределов указанных
областей следует воспользоваться формулами аналитического продолжения
(см., например, [сз], гл. VII, § 7.6).
Для вещественных х, принадлежащих интервалу (— 1, 1), сфе-
рическая функция второго рода определяется равенством

съ (х)=у	+*°) + (X - Ю)].

Аналитические выражения для сферических функций частного
вида, встречающихся в настоящей книге, читатель может найти
в работах [31» 63» ’73].

Р™ (г), @?(х)— присоединенные функции Лежандра:

=	М = (г> ~ 1)’^

|аге(г—1)|<к (т = 1, 2,...);

Р™ (х), ФГ (-V) — присоединенные функции Лежандра для интер-
вала (— 1, 1):

— ЛтР (х\

Лт(х)=(- 1Г(1 -х8)2-^2-,

„	„ - йт(У (х)

(х) = (- 1Г (1 - Х*)2	.

Эллиптические интегралы и функции

к), Е(<?, к) — эллиптические интегралы первого и второго
рода:

Е(,Ъ &) = (,/ = г Е(<?> ^)= Г / 1 — 81П8 <Р «?<?.
Л У 1 — Л2 81П2 ср	X

о	0

Е (Л) — полные эллиптические интегралы первого и вто-
рого рода:

ЛГ(Л)=/7[у, а), Г(Л) = Е(у, а).

зпг, сиг, йпх— эллиптические функции Якоби:

8П г = 81П ср, СП X = СОЗ ф, (1П X = т/ 1 —	81П2 ср,

где <р — обращение интеграла первого рода

х

=?(<?, *)=I
о

(/ср

У I—*2 810*7

Необходимые сведения по теории специальных функций чита-
тель может почерпнуть, например, в книгах Смирнова В. И. [90],
Лебедева Н. Н. [63], Уиттекера Е. Т. и Ватсона Г. Н. [11и],
Кузьмина Р. О. [8о], Ватсона Г. Н. [и], Грея Э. и Мэтьюза Г.

Гобсона Е. В. [31],Мак Роберта [73], Лензе [68’ 63], Сноу [94], Джек-
сона Д. [34], а также в известных справочниках Рыжика И. М. и
Градштейна И. С. [8в], Магнуса и Оберхеттингера р].

II. Некоторые разложения в ряды по ортогональным
функциям

00	. (2п+1)тсх

V 1	2а ______ тс

7 ] 2л + 1	“ 4 ’

п—0

7.

8,

6.

соз

2п + 1

л==О

п — 0

(2л1) кх

(-1Г

2а

1

2

1п с1§	,	0

ь 2а 9

. (2л + 1)тсх
81П ------------

СОЗ
к»____

2а

2п + 1

(2п + I)

2а

2л + 1

а.

1 1 а тсх п

21п18^,	0

тс

4 ’

а,

а.

л=0

9.

тех

1 соз-----

к 1 а

п*

.2

л»1
	°°	птсх
10.	СО5 	 . .	8 .  Л== 1  ~ -^(?я + 1)»у
и.	X1 с08 2а  / ।	(2п+1)2	8\	а]>	°^х^а.  л = О  “	(2п + \)кх
12.	\\	1 Хп	2(1		 Л  / /	(2«+1)2	8а’	°^х^а.  п=0 °°	. пкх
13.	X	а	я X	X2 . X3 \	л	_  / 1 п3	Л \6а	4а2 'Ь 12а3)’	®^х^а.  11 =» 1  °°	. итсх  х^	8Ш 	 я ,
14.	X / мп-1	а	^х(.	х2\	л _  7 (— 1)		5— = 19-1	8 >	О^х^а.  7	л3	12а \	а2/’  п~ 1
15.	“	. (2п + 1)пх  ХЛ 81П 		_ ,  \	2Л	* Х 1	Х\	Л  / ।	(2п + I)3	— 16а\1	2а)’ О^х^а.  п^=О ™с<2" + 1>’СХ
16.	V1 (	, чп	2а	_к3 /.	х2\  / /	1)	(2п + I)3	32V а2)’	х^а'  л = О  °°	/ г \
17.	7	--7-/4=^, О^г<а,  Уп (Тл)	2  л== 1 ул — положительные корни уравнения /о(7) = О. ОО	/	\
18.	\ 1 (Тл —]	1 /	Г8\  /	» / / / —VI 1	г)> О^Г^а,  ТлЛ(Та)	8 \	а2/’  п = 1  ул — положительные корни уравнения /о(7)=О.
19.	\^‘,°\Тп'а)	1 /г»	1\  Т^Л(Тп)	4 \а2	2/’  Л*|  ул — положительные корни уравнения У|(;)=0,
т

20 х^т—

Х ~2т+\

/1 = 1

2т (2т — 2)... (2т — 2^ + 2) р , ч
(2т+1)(2т+3)...(2т+2п+1)

т=1, 2,...

21. х‘2т+1==^^
2т + 3

т

л=1

22.

2т (2ш — 2)... (2т — 2п + 2) р ( .	___1 2

(2т +3)(2т +5)...(2т + 2п +3) 2,2 +1 ул)9

V1—2^ + %2

П=0

Большое число других разложений по ортогональным функциям,

а также рядов
Рыжика И. М.

иного типа читатель может найти в справочниках
и Градштейна И. С. [88] и Джоллея [38].

III. Таблица

определенных интегралов, часто встречающихся
в приложениях

О

йх = ~.-----,

81П тс\ ’

0</?(у)<1.

ах

Л 1 — 2х соз ср + х2
о

81П

8Ш (тс — ср)^
81П <?

О

81П ах , тс

------ах = тт .

х	2 ’

о

о

о

а">0.

соз ах — соз Ьх. . Ь	Л

--------ах = 1п#2>0,
х-------а ’	9

^^-ах = ^е-а1>,	«>0,

з2 + х2	2а 9

&>0.

Ге-ах х'1-1 с!х = ^~,	а^>0,	/?СО^>0.

V	а

о

| е~ах соз Ьх йх
о

а	п

-----т— а > 0<

а2 + Ь2 ’

о

Ь	п

------- а > 0.
а2 + ^2’
оо

9.	Г йх —	,

Л	2а »

о

а

10.	Г е~ах соз Ьх йх =

Л	2а

о

0.

е 4а2.

0.

р ___а2х^____	~\Г чг

11.	е хЫх = ег2аЬ>	а^>0,	^^>0.

о

13.		1 й рх .	.  81П ГХ йх ~ к ск^х	тс	. ТСГ . тср 8к 81П <Р 2д 2д	О^р<Ц.
	С 0		7 *	. тсГ ,	тср »  ск	1- соз —  Я	Я	
14.	(	РО  г*  1 скрх .	.  к .\з\пгхах=  I зк дх	тс	зк —  	Я	о^р<д-
	0		2?	. ТСГ ,	тср  ск	к соз —  Я	Я	
15.		оо  1 зк рх	,  к -Г2— СОЗГХйх =  1 зк дх	ТС	. тер 81П — 	Я	о^р<я-
	0		г2?‘	, ТСГ .	тср '  ск	к соз —  Я	
16.		оо  1 ск рх	,  1	созгхах—  1 ск$х	ТС	. ТСГ тср ск гг- СОЗ  2? 2д	
	0		7 ‘	, тсг .	тср ’  ск	к соз —  Я	Я	

\1.	со г	г  1 РХ. йх — 29-Я _ ск<?х Х 2  0 оо	(я+р\ I 1ч—р\	
		\ 2 ) \ 2 /  Г(?)	;	0^р<9-
18.	У е~ах Зй(Ьх)(1х—  О	1 — 	а	>0.
		у а»4-д»	
19.	оо  У е-а**Ч,(Ьх)х^ 0	а	ьч -  ах=л	гггв	&2  ’4а2,	^>0,

Я00>-1
20. I-----—-с?х= — --------К (аЬ),

$(х* + а*)'1+'	2>Т(|л+1) »-в

а>0,	й>0,	- 1</?(у)<2/?(и)4-

21.

| оц(вт/х«+_у’) ... .	...

| —х ^х =

о (*г+уг)*

к {у

\ У '	|1—V-!

а>0, й>0, _у>0, /?(7)>—1.

Из справочников по определенным интегралам отметим следую-
щие: Рыжик И. М. и Градштейн И. С. [83], Двайт Г. Б. [33], а также
известный справочник Бирнс де Гаана [’], содержащий большое
собрание формул.

IV. Выражения некоторых дифференциальных операторов
в криволинейных ортогональных координатах

Общие формулы

Пусть #2, #3) — система ортогональных криволинейных коор-
динат, связанных с декартовыми координатами (х, у, г) соотноше-
ниями х = х(Д1, ?3), у—у(чъ д3, д3), г==г(^, д3).

Квадрат линейного элемента для данной системы будет

где й, — коэффициенты Ламе:

*'=/Ш+Ш+(1У <'='2-3)-

Дифференциальные операторы (^гад и)др (Ну А, Дп, (го^А)^. (и и
А — заданные функции координат, индекс д1 обозначает соответ-
ствующую компоненту вектора) имеют вид:

(8га<1«)„ = ^.

А=тах Ц лм,,)+4, (М,л„>+^<л. М„>}.

11 к&ък* I д%1 \ Лх ' дд2 \ Л8 Ид*} ‘ дд^ \ Л8 дд*)) ’
(го! А)„ =	| Лт^зЛз) —	.
(го! А)„	|	(ЛМ91)	(Аз-^9»)} »

('о1А^ = 4Н Д<^)~

4(А,Л,4

Цилиндрические координаты

х = гсо8<р, з/ = г81п <р, г = г

(0^г<^оо, ——оо<^г<^оо).

(18* = (/г24"^?8 + ^2; Лг=1, /^ = г, к2—\.

/л\ ди	, л х	1 ди ,	. ч ди

(§гад и)г =	, (&гад и)г = -	, (ёгад и)г =	.

сНу А — — X гАг 4

г дг г 1

1

г ду

। дЛ

• дг

. __ 1 д ди . 1 д2и  д2и

йи~ Г ' дг г дг "г г3 ‘ д?» + дг»'

. . . ч 1 дА2
(го!А)г = -^—

, 4. д \ дАг дАг
^АК-=-дГ—дГ.

/ х жч 1 д л	1 длг

(го! А)г — г	гА.*	-	.

Приведем еще выражения для составляющих оператора

ДА = &га<1 (Ну А — го1 го1 А:

(АА)г = ДАг-1лг-^.-^,

(ДА)?=ДЛ?-1ЛР+Д.^,

(ДА)2 = ДЛг.

Сферические координаты

Х = г 81П 6 С08<р, у ~ Г 81П О 81П ср, X = Г СО8 0

(О Г оо, 0 О	к, — к ср к).

48* — (1г2 4- ^02 4~ 8Ш2 6 (/ср2; Лг=1, Л^ = ^, Лр = Г81п0.

(Вгад н)г =	, (&га<1 М)^ 1 •	, (ёгад «),=^ •

.. * I д о .	.	1 д . й .	.	1 дАч,

Й1У А = -г • Д- Г Л, Ч-------г—ТГ • 5, 81П 6 Л(| Н---П- • -д21.

г2 дг Г ‘ г 51п Ь да 01 Г81П0 о?
л 1 д 2 ди !	1

Дм—7*'дгГ дг' г2яп6 ‘ Э05,П <» « га81п2б‘^а‘

1 д	1 ^Лв

(го* А>'= Ж • Э68’П 6 А*~Ж •	’

(го* А)в=7^0 •	— у ГА>

/ X ~	1 д .	1

(го^А^^-.^гЛ-у-^.

/лп * Л 2 .	2 д . й .	2

4 /г Г г2 г Г251п0 00	Г2 81П 0	0«р

/аа\ аа 1 Л । 2 дАг 2 соз 6 ^Аф

(ДА)а — ДА& — г2 8-п2 0 Аэ + Г2 •	Г2 8,П2 0 ‘

МДч __д.	1 л I 2 0АГ । 2 СО8 6

(ДАЛр —ДАф Г281П20^ ‘ г28Ш0‘ дч + Г2 81П2 0 ’ 0?’

Выражения для рассматриваемых дифференциальных операторов
в других специальных системах ортогональных криволинейных коор-
динат читатель может найти в справочнике Магнуса и Оберхеттин-
гера[71], а также в главе VII настоящей книги.
[*] А х и е з е р Н. И. Элементы тео-
рии эллиптических функций. Гостех-
издат, 1948.

[2]	А х и е з е р Н. И. и Г л аз-
ман И. М. Теория линейных опе-
раторов. Гостехиздат, 1950.

[3]	Бейтман (Вактап Н.). РкП.
Ма§., 19, 582 (1910).

[4]	Бейтман (Вактап Н.). Рагиа1
ЭШегепНа1 ЕдиаНопз о! Ма1кета-
11са1 Ркузк8. СатЬпд^е, 1932.

[5]	Бирнс де Гаан (В1егеп8 де
Наап В.). ЫоиуеПез ТаЫез д’1п1ё-
&га1ез ВёНтез. Уогк, 1939.

[6]	Б о х е р (Вбскег М.). В1е КеШеп-
еп1УУ1ск1ип^еп дег РокпНаИкеопе.
Ье1рг1^, 1894.

[7]	Вайнштейн Л. А. ДАН, 58,
1957 (1947).

[8]	В а й н ш т е й н Л. А. ЖТФ, 18,
1543 (1948).

[®] В а й н ш т е й н Л. А. ЖТФ, 19,
911 (1949).

[10] Вангерин (ХГап^епп А.). Ке-
дисНоп дег Ро1епНа1§1еккип§ (Аиз-
2и§ аиз бег РйгзИ. ЛаЫопохузкГзкеп
СезеПзскаЙ), 1875.

[111 Вангерин (ХУап^епп А.). Лоигп.
Тйг Ма1к., 82 (1876).

[12 Вангерин (АУап^епп А.). 6ге11
Лоигп., 82 (1876).

[13]	Ван дер Поль Б. и Брем-
мер X. Операционное исчисление
на основе двустороннего преобра-
зования Лапласа. ГИИЛ, 1952.

[14]	Ватсон Г. Н. Теория бесселе-
вых функций. ГИИЛ, 1949.

Р5} Введенский Б. А. иАрен-
берг А. Г. Радиоволноводы. Гос-
техиздат, 1946.

[1в] Вебстер А. и Сеге Г. Диф-
ференциальные уравнения в ча-
стных производных математической
физики, ч. 1—2. Гостехиздат, 1933.

[17]	Вейль (ХУеу1 Н.). ОЬег ^ехубкп-
Иске ВШегеп11а1§1еккип§еп пн!
81п^и1ап!акп ипд (Не ги^екбп^еп
Еп1\у1ск1ип§еп у/ШкйгПскег Рипк-
Нопеп. Ма1к. Апп., 68, 220—269
(1910).

[18]	Вей не ль (ХУеке! Е.). 1п2еп1ег
Агск1У, 3, 1, 67 (1932).

Р9] Вид дер (ХУ1ддег В. V.). Тке
Ёар1асе ТгапзТогт. Бондов, 1941.

[20]	Винер и Хопф (ХУ1епег Ы.
ипд Нор! Е.). Окег еке К1аззе 81п-
§и!агег кк^гаЩеккип^еп, 8112.
ВегНп. Асад. ХУ 188., 696—706 (1931).

[21]	Грей Э. и Мэтьюз Г. Функ-
ции Бесселя и их приложения к
физике и механике. ГИИЛ, 1953.

[22]	Гринберг Г. А. ЖЭТФ, 1, 5,
245 (1931).

[23]	Гринберг Г. А. ЖЭТФ, 8,221
(1938).

[24]	Гринберг Г. А. ЖЭТФ, 9, 725
(1939).

Г25] Гринберг Г. А. ЖЭТФ, 10,
1087 (1940).

[2е] Гринберг Г. А. ЖЭТФ, 11,
536 (1941).

[27]	Гринберг Г. А. ДАН, 38, 7
(1943).

[28]	Гринберг Г. А. Изв. АН СССР,
сер. физич., 10, 2, 141 (1946).

[20]	Гринберг Г. А. Избранные
вопросы математической теории
электрических и магнитных явле-
ний. Изд. АН СССР, 1948.

[30]	Гринберг Г. А. О решении
уравнений математической физики
с частично или полностью разде-
ляющимися переменными. Сборник,
посвященный 70-летию акад.
А. Ф. Иоффе. 1950.

[31]	Гобсон Е. В. Теория сфериче-
ских и эллипсоидальные функций.
ГИИЛ, 1952.
[М1 Гюнтер Н. М. и Кузь-
мин Р. О. Сборник задач по выс-
шей математике, т. 3. Гостехиздат,
1947.

[33] Д в а й г Г. Б. Таблицы интегра-
лов и другие математические фор-
мулы. ГЙИЛ, 1948.

Р4] Джексон Д. Ряды Фурье и ор-
тогональные полиномы. ГИИЛ, 1948.

[35| Джефри (ЗеНегу О. В.). РЫ1.
Тгапз. о! Ше Ёоу. Бос. о! Ьопбоп,
зег. А, 221, 265 (1921).

[зв] Джефрис Г. и Джефрис Б.
(ЛеНгеуз Н. апс! Лейгеуз В.). МеХйобз
о! МаШетаНса! Рйу81С8. СатЬпб&е,
1950.

[37]	Джинс (Леапз 3.). ТЬе МагЬета-
Оса1 ТЬеогу оГЕ1ес1псИу апд Ма§-
пеНзт. СатЬпс^е, 1946.

[38]	Д ж о л л е й (Зо11еу Ь. В. XV.).
БнтгпаНоп о! 8епе8. Бопбоп, 1925.

[зв] д и Т к и н В. А. и Кузне-
цов П. И. Справочник по опера-
ционному исчислению. Гостехиздат,
1949.

Д ё ч (Оое18сй О.). НапбЬисЬ дет
.ар1асе(гап81огтаНоп. Вазе1, 1950.

Зоммерфельд А. Дифферен-

г

1“

циальные уравнения в частных про-
изводных физики. ГИИЛ, 1951.

Р8] Исследования по распростране-
нию радиоволн. Сборник 2. Изд.
АН СССР, 1948.

Р3] Канторович Л. В. и Кры-
лов В. И. Приближенные методы
высшего анализа. Гостехиздат, 1952.

[44]	Карслоу X. С. Теория тепло-
проводности. Гостехиздат, 1947.

р6] Карслоу X. и ЕгерД. Опе-
рационные методы в прикладной
математике. ГИИЛ, 1948.

Р®] Кемпбелл и Фостер (Сатр-
Ье11 О. апс! Роз1ег К.). Гоипег 1п1е-
§га18 1ог РгасНса! АррНсаИопз. 1931.

Р7] Конторович М. И. Опера-
ционное исчисление и нестационар-
ные явления в электрических цепях.
Гостехиздат, 1953.

Р8] Конторович М. И. и Лебе-
дев Н. Н. ЖЭТФ, 8, 10—11, 1192
(1938).

Р® ] КрыловА. Н. О некоторых диф-
ференциальных уравнениях матема-
тической физики. Собрание трудов,
т. III, ч. 2. Изд. АН СССР, 1949.

Рб] К угзь м ин Р. О. Бесселевы функ-
ции. Гостехиздат, 1935.

р1] Курант Р. и Гильберт Д.
Методы математической физики,
т. 1—2. Гостехиздат, 1951.

Р2] Купрадзе В. Д. Граничные за-
дачи теории колебаний и инте-
гральные уравнения. Гостехиздат,
1950.

Р3 Л а г р а н ж Р. (Ьа^гап^е К.)- Ас(а
МаИт., 71, 3—4 (1939).

[^Лаврентьев М. А. и Ша-
бат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. Гостех-
издат, 1951.

Р5] Ладыженская О. А. Сме-
шанная задача для гиперболиче-
ского уравнения. Гостехиздат, 1953.

[561 Лебедев Н. Н. ЖТФ, 6, 3, 530
(1936).

р7] Лебедев Н. Н. Тесйп. Рйуз.
И88К. 4, 3 (1937).

р8] Лебедев Н. Н. и Конторо-
вич М. И. ЖЭТФ, 9, 6, 729 (1939).

р8] Лебедев Н. Н. ПММ, 13, 465
(1949).

Р°] Лебедев Н. Н. ЖТФ, 18, 6, 775
(1948).

Р1] Лебедев Н. Н. ДАН, 65, 5, 621
(1949).

Р2] Лебедев Н. Н. Некоторые
интегральные преобразования мате-
матической физики. Автореферат
докторской диссертации. ЛГУ, 1951.

Р3] Лебедев Н. Н. Специальные
функции и их приложения. Гостех-
издат, 1953.

Р4] Левин В. И. и Грос-
б е р г Ю. И. Дифференциальные
уравнения математической физики.
Гостехиздат, 1951.

Р5] Левитан Б. М. Разложения по
собственным функциям дифферен-
циального уравнения второго по-
рядка. Гостехиздат, 1950.

Р°] Левитан Б. М. ДАН, 40, 1, 17
(1953).

Р7] Левитан Б. М. Изв. АН СССР,
сер. матем., 17, 4, 331 (1953).

Р8] Л е н з е (Ьепзе I.). Ки^еКипкНо-
пеп. Бе^рле, 1950.

Р9] Л е н з е (ьеп8е Л.). КеШепеШичск-
кп^еп 1п бег таГкетаНзскеп Рку-
81к. ВегНп, 1953.

[7о] Лурье А. И. Операционное ис-
числение и его приложения к зада-
чам механики. Гостехиздат, 1950.

Р1] М а г н у с и Оберхеттин-
гер (Ма^пиз XV. ап4 ОЬегйеШп-
^ег Р.). Рогте1п апб 8а1хе Тйг б!е
«рег^еПеп РипкНопеп бег та1Ьета-
НзсЬеп РЬу81к. 1948.

[78] Макдональд (Масбопа1б Н.).
Ргос. Ьопб. Ма1Ь. 8ос., 26, 160 (1895).

Р3] Мак-Роберт (МасКоЬег! Т.).
8рВепса1 Нагтотсз. №е\у Уогк, 1948,

[7Ч М е л а н (Ме1ап Е.). . ^еИзсЬг. Тйг
апбе\у. МаШ. ипс! МесЬ. ПесетЬег
(1932).

[7б] Михлин С. Г. Интегральные
уравнения. Гостехиздат, 1949.

[7в] Михлин С. Г. Прямые методы
математической физики. Гостехиз-
дат, 1950.

Г7] М о р з Ф. Колебания и звук. Гос-
техиздат, 1949.

[?8| Доусхелишвили Н. И. Неко-
торые основные задачи теории
упругости. Изд. АН СССР, 1949.

[7®] Мусхелишвили Н. И. Син-
гулярные интегральные уравнения.
Граничные задачи теории* функций
и некоторые их приложения к ма-
тематической физике. Гостехиздат,
1946.

Р°] Мюнц Г. Интегральные уравне-
ния. Гостехиздат, 1934.

[811 Оллендорф Ф. Токи в земле.
Теория ззземлений. Гостехиздат,
1932.

[88] Петровский И. Г. Лекции об
уравнениях с частными произвол*
ными. Гостехиздат, 1950.

[83]	Привалов И. И. Интеграль-
ные уравнения. Гостехиздат, 1935.

[84]	Рэлей (Стрэтт Дж. В.). Теория
звука, т. 1—2. Гостехиздат, 1944.

[85]	Рыжик И. М. и Град-
штейн И. С. Таблицы интегра-
лов, сумм, рядов и произведений.
Гостехиздат, 1951.

[86]	РустерхольцА. Электронная
оптика. ГИИЛ, 1952.

[87]	С а ф о р д (8айогб). Ви11. Ашег.
МаШ. 8ос., 5 (1899).

[88]	СкальскаяИ. П. ЖТФ, 18, 10,
1242 (1948).

[8в] С м а й т В. Электростатика и элек-
тродинамика. ГИИЛ, 1954.

[•°] СмирновВ. И. Курс высшей ма-
тематики. Гостехиздат, 1949.

[®1] Смирнов М. М. Задачи по
уравнениям математической физики.
Гостехиздат, 1953.

[®81 Снеддон (Зпеббоп I.). Ргос.
СатЬг. РЫ1. 8ос., 41, 27 (1945).

[®3] Снеддон (Зпеббоп Л.). Ргос.
СатЬг. РЫ1. 8ос.,„41, 239 (1945).

[®4] Сноу (8поиг С.). Нурегбеоте1пс
апб Ьебепбге РипсНопз ауЛЬ АррИ-
саНопз Ю 1п!ебга1 ЕциаНопз о! Ро-
ТепНа! ТЬеогу. ^азЫн^Юп, 1952.

[8б)	Соболев С. Л. Уравнения ма-
тематической физики. Гостехиздат,
1947.

[8в] Соболев С. Л. Некоторые при-
менения функционального анализа
в математической физике. Изд. ЛГУ,
1950.

[®7] Сретенский Л. Н. Теория
ньютоновского потенциала. Гостех-
издзт, 1946.

[®8] Стеклов В.А. Основные зад:чи
математической физики, ч. 1—2,1923.

[®8] Степанов В. В. Об уравнении
Лапласа и некоторых тройных орто-
гональных системах. Матем. сб. 11,
(53), 204—238 (1942).

Р°°] Стретт М. Функции Ламе,
Матье и родственные им в физике
и технике. ОНТИ Украины, Харь-
ков — Киев, 1935.

[101]	Стрэттон Дж. А. Теория
электромагнетизма. Гостехиздат,
1948.

[102]	Стрэттон (81гаНоп Л. А.). ЕШр-
Нс суИпбег апс! зрЬепиба! \уауе
Рипсбопз. Ые\у Уогк — Еопбоп, 1941.

р03] Тимошенко С. П. Теория ко-
лебаний в инженерном деле. Гос-
техиздат, 1934.

Р04] Тимошенко С. П. Теория
упругости. Гостехиздат, 1937.

Р06] Тимошенко С. П. Пластинки
и оболочки. Гостехиздат, 1948.

ров] Титчмарш Е. Введение в тео-
рию интегралов Фурье. Гостехиздат,
1948.

Р07] Титчмарш Е. (ТИсЬтагзЬ Е.).
Е^епйтсНоп ехрапзюпз а88ос1а(еб
\уПЬ зесопб огбег сПйегепНа! ециа-
Ноп8. ОхТогб, 1946.

Р08] Тихонов А. Н. и Самар-
ский А. А. Уравнения математи-
ческой физики. Гостехиздат, 1953.

р°®] Т р а н т е р (ТгапГег С. 1.), 1п1еб-
га1 ТгапзТогш <п Ма1ЬетаВса1 РЬу-
81С8. Ьопбоп. Ме\у Уогк.

рю] Уиттекер Е. Т. и Ват-
сон Г. Н. Курс современного ана-
лиза, т. 1—2. ГТТИ, 1934.

Р»] Уфлянд Я. С. ДАН, 68, I, 17
(1949).
[112] Уфлянд Я. С. Биполярные ко-
ординаты в теории упругости. Гос-
техиздат, 1950.

[из1 Уфлянд Я. С. ДАН, 84, 3, 463
( 952).

[1И] Фок В. А. ЖРФХО, 62, 3, 281
(1930).

[И5] фок В. А. Теория определения
сопротивления горных пород по ме-
тоду карротажа. Гостехиздат, 1933.

[ие] Фок В. А. ДАН, 36, 147 (1942).
[117] Ф о к В. А. ДАН, 39, 7, 279 (1943).
р18] Ф о к В. А. Матем. сб., 14 (56),
1 (1944).

рю] Франк Ф. и Мизес Р. Диф-
ференциальные и интегральные
уравнения математической физики.
ОНТИ, 1937.

[19о]	Франклин (РгапкИп РЬ.). Гои-
пег шеТЬодз. Кеду Уогк, 1949.

Р21] Фридлендер (РпесПапдег).
СагпЬг. РЫ1. Вос., 37, Арг. 1941,
РаП. 2.

[122]	фукс Б. А. и Л е ви н В. И.
Функции комплексного переменно-
го и некоторые их приложения. Спе-
циальные главы. Гостехиздат, 1951.

[123]	фукс Б. А. и Шабат Б. В.
Функции комплексного переменно-
го и некоторые их приложения.
Гостехиздат, 1949.

Р24] Хардинг и Снеддон [Наг-
Л. апд 8пеааоп I.). Ргос. СатЬг.

РЫ1. 8ос., 41, 16 (1945).

р25] X е н ш е л ь (Наеп(гзсИе1 Е.).
РедисНоп дег Ро1епНа1§1е1скип^.
ВегИп, 1893.

Р2в] X е н ш е л ь (НаеШгзсЕе! Е.). Аг-
сЫу Ма1й. апд РИуз., 4 (1844).

р27] Цуккерман И. И. ЖТФ, 20,
3, 353 (1950).

Р28] Щелкунов (8сЬе1кипой 8. А.).
Е1ес(гота§пеНс У^ауез. Ке\у Уогк,
1943.

Р29] Эйзенхарт (Е1зепкаг1 Ь. Р.).
Аппак о! МаГЬ., 35, 284 (1934).

Н. И, Лебедев, И. П. Скалъская, Я. С. Уфлянд
Сборник задач по математической физике

Редактор Г. П. Акилов

Техн, редактор К. М.. Волчок	Корректор А. И. Исакова

Сдано в набор 18/1Х 1954 г. Подписано к печати 29'ХШ954 г. Бумага 60Х92/1в.

Физ. печ. л. 26,25. Уел. печ. л. 26,25. Уч.-изд.л.26,61.Тнраж20000зкз.Т-09724. Цена книги 9 р.

Заказ № 1940.

Государственное издательство технико-теоретической литературы.

Москва, Б. Калужская, 15.

Министерство культуры СССР. Главное управление полиграфической промышленности.
2-я типография „Печатный Двор* им. А. М. Горького. Ленинград, Гатчинская, 26.
СПИСОК ОПЕЧАТОК

Стр.	Строка	Напечатано	Должно быть
33	2 св.  (под знаком корня)	(2п+1)	(2л+1)/
66	5 св.  (в формуле)	м	2?/
100	13 сн.  (в формуле)	1—	1+
105	2 сн.		
206	7 „		
238	4 св.  (в формуле)	-^ГсИа +	0	ди  да С11Я да +
267	6 сн.	/(;) =	/(0 =
317	13 св.  (в числителе)	^2	
413	4 сн.  (в числителе)		

Зак. 1940. Сборник задач по матем. физи<е.