Text
                    УДК 517
ББК 22.16
Б90
Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник за-
задач по математической физике. — 4-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2004. - 688 с. - ISBN 5-9221-0311-3.
Сборник содержит задачи на вывод уравнений и граничных условий.
Большое внимание уделяется различным методам решения краевых задач
математической физики. Наряду с ответами к задачам приводятся указания,
а для многих задач — решения, иллюстрирующие применение основных
методов.
Третье издание — 1980 г.
Для студентов университетов.
Табл. 8. Ил. 59. Библиогр. 50 назв.
Учебное издание
БУДАК Борис Михайлович
САМАРСКИЙ Александр Андреевич
ТИХОНОВ Андрей Николаевич
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
Редактор Е.Ю. Ходан
Корректор Т.С Вайсберг
Оригинал-макет Е.А. Королевой
Оформление переплета А.Ю. Алехиной
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 16.12.02. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 43. Уч.-изд. л. 46,83. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ФГУП «Ивановская областная типография».
153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
E-mail: 091-018adminet.ivanovo.ru
ISBN 5-9221-0311-3	© ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2004


ОГЛАВЛЕНИЕ1) Предисловие к первому изданию 7 Предисловие к третьему изданию 8 Глава I. Классификация и приведение к каноническому виду уравнений в частных производных второго порядка 9, 132 § 1. Уравнение для функции двух независимых переменных ацихх+2ai2Uxy+a,22Uyy+biux+b2Uy+cu = f{x, у) ... 9, 132 1. Уравнение с переменными коэффициентами (9, 132). 2. Уравнение с постоянными коэффициентами A0, 137). § 2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функ- п п ции п независимых переменных ^ a>ikUXiXk + ^2 biUXi + i,k = l г = 1 + си = f(xiJx2j ...jXn) Ю, 137 Глава П. Уравнения гиперболического типа 11, 140 § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболи- гиперболического типа; постановка краевых задач 11, 140 1. Свободные колебания в среде без сопротивления; уравне- уравнения с постоянными коэффициентами A2, 140). 2. Вынуж- Вынужденные колебания и колебания в среде с сопротивлением; уравнения с постоянными коэффициентами A4, 153). 3. За- Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с непрерыв- непрерывными переменными коэффициентами A6, 156). 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэффициента- коэффициентами, и родственные им (кусочно однородные среды, сосре- сосредоточенные факторы) A7, 158). 5. Подобие краевых задач B0, 169). § 2. Метод распространяющихся волн (метод Даламбера) ... 21, 175 1. Задачи для бесконечной струны B3, 175). 2. Задачи для полупрямой B3, 182). 3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых. Сосредото- Сосредоточенные факторы B7, 196). 4. Задачи для конечного отрезка B8, 199). § 3. Метод разделения переменных 29, 211 1. Свободные колебания в среде без сопротивления C0, 211). 2. Свободные колебания в среде с сопротивлени- сопротивлением C2, 222). 3. Вынужденные колебания под действием х) Номера страниц, относящиеся к ответам и решениям, даны курсивом.
Оглавление распределенных и сосредоточенных сил в среде без соп- сопротивления и в среде с сопротивлением C2, 226). 4. Коле- Колебания при неоднородности сред и других условиях, при- приводящих к уравнениям с переменными коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс C6, 249). § 4. Метод интегральных представлений 37, 255 1. Метод интеграла Фурье C7, 255). 1*. Переход к конеч- конечному интервалу методом отражений D1, 276). 2. Метод Римана D2, 268). Глава III. Уравнения параболического типа 43, 273 § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболи- параболического типа; постановка краевых задач 43, 273 1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффи- коэффициентами D4, 274). 2. Неоднородные среды, сосредоточен- сосредоточенные факторы; уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения D5, 279). 3. Подобие краевых задач D6, 281). § 2. Метод разделения переменных 47, 285 1. Однородные изотропные среды. Уравнения с постоянны- постоянными коэффициентами D7, 285). а) Задачи теплопроводнос- теплопроводности с постоянными граничными условиями и свободными членами D7, 285). б) Задачи теплопроводности с перемен- переменными граничными условиями и свободными членами, за- зависящими OTxnt D9, 295). в) Задачи диффузии E0, 299). г) Задачи электродинамики E5, 301). 2. Неоднородные сре- среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения E1, 302). § 3. Метод интегральных представлений и функции источ- источников 52, 304 1. Однородные изотропные среды. Применение интеграль- интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полу- полупрямой E2, 304). 2. Однородные изотропные среды. По- Построение функций влияния сосредоточенных источников E4, 308). а) Неограниченная прямая E4, 308). б) Полу- Полупрямая E5, 311). в) Конечный отрезок E9, 319). 3. Неод- Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно постоянными коэффициентами и условия сопря- сопряжения F0, 328). Глава IV. Уравнения эллиптического типа 62, 332 § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллипти- эллиптического типа, и постановка краевых задач 62, 332 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде F2, 332). 2. Краевые задачи для уравне- уравнения Лапласа в неоднородных средах F3, 337).
Оглавление § 2. Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона .. 64, 341 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа F4, 342). 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона F6, 347). § 3. Функция источника 67, 348 1. Функция источника для областей с плоскими грани- границами F7, 350). 2. Функция источника для областей со сферическими (круговыми) и плоскими границами F8, 360). 3. Функция источника в неоднородных средах F9, 368). § 4. Метод разделения переменных 70, 373 1. Краевые задачи для круга, кольца и сектора G0, 373). 2. Краевые задачи для полосы, прямоугольника, плоского слоя и параллелепипеда G3, 390). 3. Задачи, требующие применения цилиндрических функций G4, 401). 4. Зада- Задачи, требующие применения сферических и цилиндричес- цилиндрических функций G6, 415). § 5. Потенциалы и их применение 78, 429 Глава V. Уравнения параболического типа 82, 443 § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболи- параболического типа; постановка краевых задач 82, 443 § 2. Метод разделения переменных 84, 448 1. Краевые задачи, не требующие применения специаль- специальных функций (84, 448). а) Однородные среды (84, 448). б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы (86, 456). 2. Краевые задачи, требующие применения специ- специальных функций (86, 460). а) Однородные среды (86, 460). б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы (89, 476). § 3. Метод интегральных представлений 90, 484 1. Применение интеграла Фурье (90, 484). 2. Построе- Построение и применение функций влияния мгновенных точеч- точечных источников тепла (93, 496). Глава VI. Уравнения гиперболического типа 97, 507 § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гипербо- гиперболического типа; постановка краевых задач 97, 507 § 2. Простейшие задачи; различные приемы решения 101, 516 § 3. Метод разделения переменных 105, 526 1. Краевые задачи, не требующие применения специаль- специальных функций A05, 526). а) Однородные среды A05, 526). б) Неоднородные среды A07, 530). 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций A07, 533). а) Однородные среды A07, 533). б) Неоднородные среды A11, 559).
Оглавление § 4. Метод интегральных представлений 111, 560 1. Применение интеграла Фурье A11, 560). а) Преобразо- Преобразование Фурье A11, 560). б) Преобразование Фурье-Бесселя (Ханкеля) A12, 565). 2. Построение и применение функ- функций влияния сосредоточенных источников A13, 569). а) Функции влияния мгновенных сосредоточенных им- импульсов A13, 569). б) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников A14, 575). Г лава VII. Уравнения эллиптического типа Дг* -\-си = —f 116, 581 § 1. Задачи для уравнения Аи — к и = —/ 116, 581 § 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях 117, 586 1. Собственные колебания струн и стержней A18, 586). 2. Собственные колебания объемов A19, 594). § 3. Распространение и излучение звука 120, 610 1. Точечный источник A21, 612). 2. Излучение мембран, цилиндров и сфер A22, 618). 3. Дифракция на цилиндре и сфере A24, 627). § 4. Установившиеся электромагнитные колебания 124, 633 1. Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные фор- формулы Грина-Остроградского A24, 633). 2. Распростране- Распространение электромагнитных волн и колебания в резонаторах A27, 640). 3. Излучение электромагнитных волн A28, 651). 4. Антенна на плоской земле A29, 658). Дополнение 669 I. Различные ортогональные системы координат 669 I. Прямоугольные координаты F69). 2. Цилиндричес- Цилиндрические координаты F70). 3. Сферические координаты F70). 4. Эллиптические координаты F71). 5. Параболичес- Параболические координаты F71). 6. Эллипсоидальные координа- координаты F71). 7. Вырожденные эллипсоидальные координаты F72). 8. Тороидальные координаты F73). 9. Биполярные координаты F74). 10. Сфероидальные координаты F75). II. Параболоидные координаты F76). П. Некоторые формулы векторного анализа 676 III. Специальные функции 676 1. Тригонометрические функции F76). 2. Гиперболи- Гиперболические функции F77). 3. Интеграл ошибок F77). 4. Гамма-функции F77). 5. Эллиптические функции F78). 6. Функции Бесселя F78). 7. Полиномы Лежандра F80). 8. Гипергеометрическая функция F(a, /3, 7) F81). IV. Таблицы 682 Список литературы 685
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящий задачник возник на основе практических занятий по уравнениям математической физики на физическом факультете и за- заочном секторе МГУ. Задачи, предлагавшиеся на этих занятиях, были использованы в курсе «Уравнений математической физики» А. Н. Ти- Тихонова и А. А. Самарского [7] и в стеклографированном «Сборнике задач по математической физике» Б.М. Будака [14]. Однако при составлении настоящего задачника круг рассматриваемых вопросов был значительно расширен, а число задач в несколько раз увеличено. Большое внимание уделено задачам на вывод уравнений и граничных условий. Значительное число задач снабжено подробными указаниями и решениями. Задачи, близкие по характеру, снабжены лишь ответа- ответами. В главах проведена разбивка на параграфы по методам решения. Все это направлено к тому, чтобы дать возможность учащимся путем самостоятельной проработки достигнуть элементарных технических навыков в решении задач по основным разделам уравнений матема- математической физики. При этом задачник не претендует на охват всех методов, исполь- используемых в математической физике. В нем, например, не рассматри- рассматривается операционный метод, вариационные и разностные методы, применение интегральных уравнений. Мы надеемся, однако, что эта книга будет полезна не только для учащихся, но также для инженеров и сотрудников научно-исследова- научно-исследовательских учреждений. Для удобства пользования книгой в конце ее помещен ряд спра- справочных материалов. При литературных указаниях мы наиболее часто ссылаемся на книгу А. Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения математической физики» [7], поскольку обозначения и порядок рас- расположения материала в данном задачнике наиболее соответствуют принятым в этой книге. Б.М. Будак, А. А. Самарский, А.Н. Тихонов Москва Февраль 1955 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издание является исправленным. Выражаем благодар- благодарность всем товарищам, обнаружившим опечатки в предыдущих изда- изданиях. Авторы Москва 1979 г.
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ Глава I КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе предлагаются задачи на определение типа и при- приведение к каноническому виду уравнения для функции двух и более независимых переменных. В случае двух независимых переменных рассматриваются урав- уравнения с постоянными и переменными коэффициентами; в случае трех и более независимых переменных — лишь уравнения с постоянными коэффициентами, так как при трех и более независимых переменных уравнение с переменными коэффициентами не может быть, вообще говоря, приведено к каноническому виду с помощью преобразования, общего для целой области, в которой уравнение принадлежит данному типу. В § 1 приведены задачи для уравнения относительно функции двух, а в § 2 — трех и более независимых переменных. § 1. Уравнение для функции двух независимых переменных ацихх + 2а12иху + а22иуу + Ьгих + Ь2иу + си = /(ж, у) 1. Уравнение с переменными коэффициентами. 1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболич- ности уравнения (I + х) ихх + 2хуиху - у2иуу = О и исследовать их зависимость от /, где / — числовой параметр. В задачах 2-20 привести уравнение к каноническому виду в каж- каждой из областей, где его тип сохраняется. 2. ихх + хиуу = 0. 3. ихх + уиуу = 0. 4. ихх + уиуу + иу/2 = 0. 5. уихх + хиуу = 0. 6. хихх + уиуу = 0. 7. ихх + хуиуу = 0. 8. ихх sign у + 2иху + иуу = 0. 9. ихх + 2иху + A - sign?/) uyy = 0. 10. ихх sign?/ + 2иху + иуу sign ж = 0. 11. у2ихх-х2иуу = 0. 12. х2ихх-у2иуу = 0. 13. х2ихх+у2иуу = 0.
10 Условия задач 14. у2ихх + х2иуу = 0. 15. у2ихх + 2хуиху + х2иуу = 0. 16. х2ихх + 2хуиху + ж2^ = 0. 17. 4?/2ижж - е2жи^ - ^у2их = 0. 18. ж2ижж + 2хуиху - Зу2иуу - 2хих + Ауиу + 1бж4и = 0. 19. A + х2) ихх + A + у2) иуу + хих + 2/% = 0. 20. ихх sin2 ж — 2уиху sin ж + У2иуу = 0. 2. Уравнение с постоянными коэффициентами. С помощью замены искомой функции и(х,у) = еах+@уу(х, у) и приведения к ка- каноническому виду упростите следующие уравнения с постоянными коэффициентами. 21. аихх + 4:аиХу + аи у у + Ъих + сиу + и = 0. 22. 2аихх + 2аиху + сш^ + 2?шж + 2cuy + u = 0. 23. аижж + 2аижу + аиУ2/ + Ъих + сиу + и = 0. § 2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функции п независимых переменных i,k=l i=l Привести к каноническому виду уравнения 24-28. 24. ихх + 2иху + 2иуу + 4uyz + buzz + их + иу = 0. 25. ихх - 4иху + 2иЖ2 + 4иуу + u22 = 0. 26. ижж + u« + иуу + u^ - 2щх + иЖ2 + u^ - 2uyz = 0. 27. UXy + 1/Ж^ — Uf;^ — UyZ + Uf;y + UfZ = 0. П П П 28. a) ^ wa.я. + Y,Ux^ = °5 6) 5] w*<** = °' 29. Освободиться от членов с младшими производными в урав- уравнении п г=1 г=1
Глава II УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям гиперболического типа приводят задачи о коле- колебаниях сплошных сред (струна, стержень1), мембрана, газ и др.) и задачи об электромагнитных колебаниях. В настоящей главе рассматриваются постановка и решение крае- краевых задач для уравнений гиперболического типа (см. сноску) в случае, когда изучаемые физические процессы могут быть охарактеризованы функциями двух независимых переменных: одной пространственной координаты и времени. Уравнениям гиперболического типа для функций с большим чис- числом независимых переменных посвящена гл. IV. § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач В первой группе задач этого параграфа предполагается непре- непрерывность и однородность сред, а также непрерывность распределе- распределения сил. Во второй группе задач допускается неоднородность сред и раз- разрывы как характеристик сред, так и плотности распределения сил. Третья группа задач посвящена установлению подобия между различными колебательными процессами. Поставить краевую задачу, соответствующую физической зада- задаче, это значит, прежде всего, выбрать функцию, характеризующую х) Поперечные колебания упругого стержня приводят к параболичес- параболическому уравнению четвертого порядка, в то время как продольные колеба- колебания — к гиперболическому уравнению второго порядка. Однако краевые задачи для поперечных колебаний стержня весьма родственны краевым за- задачам для продольных колебаний стержня и поэтому рассматриваются в настоящей главе. Можно указать также ряд важных физических задач, приводящих к уравнениям гиперболического типа для функций, не зависящих от времени; например, при стационарном обтекании тела сверхзвуковым потоком газа для потенциала скоростей получается уравнение гиперболического типа.
12 Условия задач физический процесс1), а затем: 1) вывести дифференциальное уравнение для этой функции; 2) вывести для нее граничные условия; 3) сформулировать начальные условия ). 1. Свободные колебания в среде без сопротивления; урав- уравнения с постоянными коэффициентами. При изучении малых колебаний в однородных средах ) мы приходим к дифференциаль- дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. 1. Продольные колебания стержня. Упругий прямолинейный стержень выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сече- сечениям в момент времени t = 0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что поперечные сечения стержня все время остаются плоскими, поставить краевую задачу для определения сме- смещений поперечных сечений стержня при t > 0. Рассмотреть случаи, когда концы стержня: а) закреплены жестко; а') двигаются в продольном направлении по заданному закону; б) свободны; в) закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со сто- стороны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и на- направленную противоположно смещению. 2. Малые колебания струны4). Струна натянута с силой То и на- находится в прямолинейном положении равновесия; ее концы неподвиж- неподвижно закреплены. В момент t = 0 точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить краевую задачу для определения малых отклонений точек струны при t > 0. 3. Крутильные колебания упругого цилиндра. Упругий неодно- неоднородный цилиндр выводится из состояния покоя тем, что в момент времени t = 0 его поперечные сечения получают малые повороты в своих плоскостях относительно оси цилиндра. Поставить краевую задачу для определения углов поворота попе- поперечных сечений цилиндра при t > 0; рассмотреть случаи свободных, жестко закрепленных и упруго закрепленных концов. г) Как правило, эта функция будет нами указываться уже в условиях задачи. 2) Наличие начальных условий характерно для основных краевых задач гиперболического и параболического типа. По поводу понятий и опре- определений, связанных с постановкой краевых задач для уравнений гипербо- гиперболического типа, см. [7, с. 38-48 и с. 120-121]. 3) Например, в однородных стержнях и струнах постоянного попереч- поперечного сечения. 4) Вывод уравнения малых поперечных и малых продольных колебаний струны подробно выполнен в [7, с. 23-28]. В предлагаемой задаче требуется вывести уравнение колебаний струны при смещении ее точек в произволь- произвольных направлениях.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 13 4. Продольные колебания газа в трубке. Заключенный в цилинд- цилиндрической трубке идеальный газ совершает малые продольные колеба- колебания; плоские поперечные сечения, состоящие из частиц газа, не дефор- деформируются, и все частицы газа двигаются параллельно оси цилиндра. Поставить краевые задачи для определения: 1) плотности р\ 2) давления р; 3) потенциала tp скоростей частиц газа; 4) скорости V] 5) смещения и частиц газа в случаях, когда концы трубки: а) закрыты жесткими непроницаемыми перегородками; 6) открыты; в) закрыты поршеньками с пренебрежимо малой массой, насажен- насаженными на пружинки с коэффициентом жесткости v и скользящими без трения внутри трубки. 5. Задача Жуковского о гидравлическом ударе. Входное сечение прямой цилиндрической трубки длиной I соединено с резервуаром не- неограниченной емкости с жидкостью. По трубке на всем ее протяжении течет жидкость с постоянной скоростью vo. В начальный момент вре- времени t = 0 выходное сечение трубы х = / мгновенно перекрывается. Поставить краевую задачу для определения скорости частиц жидкости и давления жидкости в трубе. _, . Воздух 6. На конце х = / трубы предыдущей задачи стоит смягчающий воздушный колпак (рис. 1) и агрегат Л, регулирую- регулирующий расход жидкости Q(t), вытекающей из колпака, так что Q(i) является задан- заданной функцией времени. Пусть Оо и Д) — средние объем и давление воздуха в колпаке; считая жидкость несжимаемой, а стенки колпа- колпака недеформируемыми и предполагая процесс сжатия и разрежения воздуха в колпаке изотермическим и изменение объема воздуха в кол- колпаке малым по сравнению со средним объемом Oq •> вывести граничное условие для конца х — I. 7. Волны тяжелой жидкости в канале. В неглубоком горизон- горизонтальном канале длины I с прямоугольным поперечным сечением на- находится вода, глубина которой, отсчитанная от свободной покоящейся поверхности, равна h. Концы канала закрыты плоскими жесткими пе- перегородками, перпендикулярными к его образующим. Направим ось х вдоль канала. При небольших возмущениях сво- свободной поверхности в канале может возникнуть волновое движение воды, при котором поперечные сечения, состоящие из жидких частиц, будут, как целые, получать смещение ?(ж, t) вдоль оси ж, а их высота будет получать отклонение rj(x, t) от высоты h свободной покоящейся поверхности воды.
14 Условия задач Пусть заданы начальные значения ?(ж, t) и rj(ж, ?) в момент t = 0. Поставить краевую задачу для определения ?(ж,?) и rj(x, t) при ? > 0. 8. Поперечные колебания стержня. Точкам упругого однород- однородного прямоугольного стержня с шарнирно закрепленными концами Шарниры с пренебрежимо малым трением Кронштейн с пренебре-. жимо малой массой скользит без трения по основанию Рис. 2 (рис. 2) сообщены в начальный момент времени t = 0 малые попереч- поперечные отклонения и скорости, параллельные продольной вертикальной плоскости симметрии стержня. Поставить краевую задачу для определения поперечных отклоне- отклонений точек стержня при t > 0, предполагая, что стержень совершает малые поперечные колебания. 9. Рассмотреть задачу 8 для случая, когда один конец стержня жестко закреплен, а другой свобо- свободен (рис. 3). 10. Рассмотреть задачу 8, предполагая, что стержень лежит на упругом основании, массой которого при изучении попереч- поперечных колебаний стержня можно пренебрегать. Коэффициент уп- Р Рис. 3 ругости основания, к которому прикреплен стержень, равен к, т.е. поперечная для стержня сила упругости, действующая со сто- стороны упругого основания на единицу длины стержня в данной его точке ж, равна —ku(x,t). 2. Вынужденные колебания и колебания в среде с сопро- сопротивлением; уравнения с постоянными коэффициентами. 11. К струне, концы которой закреплены неподвижно, начиная с момента t = 0, приложена непрерывно распределенная поперечная сила, линейная плотность которой равна F(x, t). Поставить краевую задачу для определения поперечных отклоне- отклонений u(x,i) точек струны при t > 0.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 15 12. По струне 0 ^ х ^ I с закрепленными неподвижно концами и пренебрежимо малым электрическим сопротивлением идет пе- переменный ток силы I = I(t) при t > О, причем струна находится в постоянном магнитном поле напряженности Н, перпендикулярном к струне. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны, вызываемых пондеромоторными силами, приложенными к струне1). 13. Начиная с момента t = 0, один конец прямолинейного упру- упругого однородного стержня совершает продольные колебания по задан- заданному закону, а к другому приложена сила Ф = Ф(?), направленная по оси стержня. В момент времени t = 0 поперечные сечения стержня были неподвижны и находились в неотклоненном положении. Поста- Поставить краевую задачу для определения малых продольных отклоне- отклонений и(х, t) точек стержня при t > 0. 14. Верхний конец упругого однородного вертикально подвешен- подвешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к потолку свободно па- падающего лифта, который, достигнув скорости г>о, мгновенно остана- останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях этого стержня. 15. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, пред- предполагая, что концы струны закреплены неподвижно. 16. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня в среде с сопротивле- сопротивлением, пропорциональным скорости, при наличии непрерывно распре- распределенной вынуждающей поперечной силы; концы стержня предпола- предполагать жестко закрепленными. 17. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня, один конец которого жестко закреплен, а к другому приложена поперечная («перерезываю- («перерезывающая») сила, меняющаяся с течением времени по заданному закону. 18. Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного упругого стержня, находящегося в среде без сопротив- сопротивления, если один его конец закреплен жестко, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости. 19. Электрические колебания в проводах. Поставить краевую за- задачу для определения силы и напряжения переменного тока, идуще- идущего вдоль тонкого провода с непрерывно распределенными по длине: омическим сопротивлением R, емкостью С, самоиндукцией L и утеч- утечкой G 2), если один конец провода заземлен, а к другому приложена э.д.с. E(t) и если задан начальный ток г (ж, 0) = f(x) и начальное напряжение v(x, 0) = F{x). х)См. [17, с. 204]. 2) Величины Я, С, L, G рассчитаны на единицу длины; однородность провода означает, что Я, G, L и G не зависят от того, в какой точке провода мы их рассматриваем.
16 Условия задач 3. Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами. Если колеб- колеблющаяся среда неоднородна, причем функции, характеризующие ее свойства (плотность массы, модуль упругости и т.д.), являются не- непрерывными функциями точки, то, как известно, дифференциальное уравнение для функции, описывающей колебания, будет иметь непре- непрерывные переменные коэффициенты. Однако могут представиться и другие случаи, приводящие к уравнениям с непрерывными перемен- переменными коэффициентами. 20. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упру- упругого стержня 0 ^ х ^ / переменного поперечного сечения S(ж), если концы стержня закреплены неподвижно, плотность массы равна р(ж), модуль упругости равен Е(х), а колебания вызваны начальными про- продольными смещениями и скоростями. Деформацию поперечных сече- сечений считать пренебрежимо малой. 21. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если концы стержня закреплены неподвижно и стержень выведен из состояния покоя тем, что его точкам в t = 0 сообщены начальные продольные отклонения и скорости. Длина стержня равна /, радиус основания R > г, мате- материал стержня однороден. Деформацией поперечных сечений пренебречь. 22. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях однородного упругого клинообразного стержня с прямоугольным попе- поперечным сечением, если его больший торец жестко закреплен, Рис. 4 а меньший свободен (рис. 4). Модуль упругости стержня равен Е, плотность массы равна р. Деформацией поперечных сечений пренебречь. 23. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен. 24. Рассмотреть задачу 23 в предположении, что струна враща- вращается с угловой скоростью uj = const относительно вертикального по- положения равновесия.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 17 25. Невесомая струна при вращении вокруг вертикальной оси с по- постоянной угловой скоростью находится в горизонтальной плоскости, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени t = 0 точкам струны сообща- сообщаются малые отклонения и скорости по нормалям к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэф- коэффициентами, и родственные им (кусочно однородные среды, сосредоточенные факторы). Если плотность распределения мас- массы колеблющегося упругого тела или плотность распределения при- приложенных к нему сил резко меняется в окрестности некоторых точек пространства, то часто оказывается целесообразным считать, что в этих точках происходит разрыв этих плотностей, и, в частности, пере- переходить к сосредоточенным массам или силам, если в окрестности упо- упомянутых точек плотность массы или плотность силы велика. Тогда при постановке краевых задач получаются дифференциальные урав- уравнения с разрывными коэффициентами и разрывным вынуждающим членом. Если между точками разрыва коэффициенты уравнения оста- остаются постоянными, то задача может быть сведена к уравнениям с постоянными коэффициентами и условиям сопряжения в точках раз- разрыва. При этом мы имеем в виду внутренние точки среды; если же сосредоточенные массы или силы рассматриваются в граничных точ- точках колеблющейся среды, то это должно быть отражено граничными условиями1). 26. Два полу ограниченных однородных упругих стержня с одинаковыми поперечными сечениями соединены торцами и состав- составляют один неограниченный стержень2). Пусть pi, Ei — плотность массы и модуль упругости одного из них и р2, Е2 — другого. Поставить краевую задачу для определения продольных отклоне- отклонений поперечных сечений неограниченного стержня от их положений равновесия, если в начальный момент времени поперечным сечениям стержня сообщены некоторые продольные смещения и скорости. 27. Рассмотреть задачу 26 для случая поперечных колебаний со- составного неограниченного стержня. г) Задачи с сосредоточенной силой на конце стержня и сосредоточенной электродвижущей силой на конце провода уже рассматривались в преды- предыдущем пункте (см. задачи 13, 19). 2) Если один из концов стержня столь удален от рассматриваемой области, что можно в рассматриваемой области и в течение рассматри- рассматриваемого промежутка времени пренебрегать возмущениями, распространя- распространяющимися от этого конца, тогда стержень можно считать полуограни- полуограниченным (жо ^ х < +оо или — оо < х ^ жо); если же оба конца стержня находятся в таком положении, то стержень можно считать неограничен- неограниченным (—оо < х < +оо). Это можно сказать о струне, о трубке, наполненной газом, и т.д. 2 Б.М. Будак и др.
18 Условия задач 28. Рассмотреть задачу, аналогичную задаче 26, для продольных колебаний газа в неограниченной цилиндрической трубке, если по од- одну сторону некоторого поперечного сечения находится газ с одними физическими характеристиками, а по другую — с другими. 29. Поставить краевую задачу о волновом движении жидкости в канале1) с прямоугольным поперечным сечением, если размеры по- поперечного сечения в некотором месте канала резко изменяются, т.е. канал «составлен» из двух полуограниченных каналов с различными поперечными сечениями. 30. Рассмотреть задачу 26, предполагая, что торцы составляю- составляющих стержней соединены не непосредственно, а между ними находит- находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины массы М. 31. Два полуограниченных однородных стержня с одинаковым прямоугольным поперечным сечением соединены торцами так, что составляют один неограниченный стержень постоянного поперечно- поперечного сечения, причем торцы полу ограниченных стержней соединены не непосредственно, а между ними находится жесткая прокладка прене- пренебрежимо малой толщины с массой М. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях такого стержня. 32. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях одно- однородного упругого вертикального стержня, пренебрегая действием по- поля силы тяжести на частицы стержня, если верхний конец стержня закреплен жестко, а к нижнему прикреплен груз Q, причем за по- положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня (например, в начальный момент времени из-под груза убирается под- подставка и груз начинает растягивать стержень). 33. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях в вер- вертикальной плоскости упругого прямоугольного однородного стержня, расположенного в ненапряженном состоянии горизонтально, если один конец стержня жестко закреплен, а к другому прикреплен груз Q, мо- момент инерции которого относительно средней горизонтальной линии примыкающего торца пренебрежимо мал, причем за положение рав- равновесия принимается ненапряженное состояние стержня. 34. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упруго- упругого горизонтального стержня с грузом Q на конце, если другой конец стержня жестко прикреплен к вертикальной оси, которая вращается с угловой скоростью, меняющейся с течением времени по заданно- заданному закону. Изгибные колебания считать исключенными с помощью специальных направляющих, между которыми скользит стержень во время продольных колебаний. 35. Рассмотреть задачу 34, предполагая, что ось вращения рас- расположена горизонтально. См. задачу 7.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 19 36. Поставить краевую задачу ТТТ е- Шкивы о крутильных колебаниях цилиндра длиной 2/, составленного из двух ци- цилиндров длиной /, если на концах составленного цилиндра и между торцами соединяемых цилиндров находятся жесткие шкивы (рис. 5) с заданными осевыми моментами инерции. Рис- 5 37. Пусть неограниченная струна совершает малые поперечные колебания под действием поперечной силы, приложенной, начиная с момента t = 0, в некоторой заданной точке струны. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от их положения равновесия. Рассмотреть также случай, ког- когда точка приложения силы перемещается с течением времени вдоль струны по заданному закону. 38. Рассмотреть задачу 37 для поперечных колебаний стержня. 39. Конец полуограниченной цилиндрической трубки, заполнен- заполненной идеальным газом, закрыт поршнем массы М, скользящим в труб- трубке, причем сопротивление трения пропорционально скорости поршня с коэффициентом пропорциональности, равным к*. Пусть поршень на- насажен на пружинку с коэффициентом упругости к** и осью, направ- направленной по оси трубки. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях газа в трубке. 40. В некоторой точке неограниченной струны прикреплен шарик массы М, а к нему прикреплена пружинка с коэффициентом упругос- упругости к и осью, перпендикулярной к равновесному положению струны (см. рис. 11). Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны. Рас- Рассмотреть также случай, когда шарик испытывает сопротивление про- пропорциональное скорости с коэффициентом пропорциональности к*. 41. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой, если кон- концы провода заземлены: один — через сосредоточенное сопротивле- сопротивление i?o, а другой — через сосредоточенную емкость Со- 42. Рассмотреть задачу 41, предполагая, что один конец провода заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Lq , к другому при- приложена электродвижущая сила E(i) через сосредоточенную самоин- самоиндукцию Ь^ . 43. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, если концы провода заземлены через сосредоточенные сопро- сопротивления. 44. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, если каждый из его концов заземлен через последовательно включенные сосредоточенное сопротивление и сосредоточенную само- самоиндукцию.
20 Условия задач Найти соотношения, которым должны удовлетворять величины сосредоточенных самоиндукций и сопротивлений для того, чтобы для v(x,i) имели место однородные граничные условия третьего рода. 45. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в неограниченном проводе, полученном соединением двух полу ограни- ограниченных проводов через сосредоточенную емкость Со- Рассмотреть краевую задачу для определения силы тока в случае, когда утечки нет. 46. Рассмотреть задачу 45 для случая, когда полуограниченные провода соединяются не через сосредоточенную емкость, а через со- сосредоточенное сопротивление До- 47. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, один конец которого заземлен через параллельно включен- включенные сосредоточенное сопротивление Ro и сосредоточенную самоиндук- самоиндукцию LS1', а другой — через параллельно включенные сосредоточенную емкость Со и сосредоточенную самоиндукцию L^2K 48. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, концы которого замкнуты через: а) сосредоточенную самоиндукцию Lq; б) сосредоточенное сопротивление Ro', в) сосредоточенную емкость Со- 5. Подобие краевых задач. Пусть даны две краевые задачи (I) и (II), соответствующие физическим явлениям одинаковой или раз- различной природы. Обозначим через х', t', и'(х', t') пространственную координату, время и искомую функцию в одной задаче, а через х"', tn', и"(х", t") — соответствующие величины в другой задаче. Если уравнение, начальные и граничные условия одной и другой задач имеют соответственно одинаковую форму, то задачи называются аналогичными. Обозначим через D\ область изменения (x',tr) в задаче (I), а че- через Du — область изменения (xn,tn) в задаче (II). Если существуют такие константы кх, kt, ки, «коэффициенты подобия», что и'(х', t1) = кии"{х", t") при х1 = кхх", t1 = ktt", (I) причем (ж', t') пробегает D\, когда (ж", t") пробегает Du, то за- задача (I) называется подобной задаче (II) с коэффициентами подо- подобия кх, ки ки1). Нетрудно показать, что если задача (I) подобна задаче (II), то можно так выбрать единицы измерения х'о, t'o, u'o, x'q, ?q, u'o' в зада- г) Преобразование A) является аффинным. (Таким образом, реше- решение задачи (I) получается из решения задачи (II) с помощью аффинного преобразования.) Можно рассматривать более широкий класс аффинных отображений, включающий, кроме растяжений и сжатий, еще и параллель- параллельные переносы, т.е. изменения начал отсчетов величин ж, ?, и.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 21 чах (I) и (II), что переход к безразмерным величинам ^=7Г; Г=7Г; ^=-7 И ^ = -77? Т=-77; ^=-77 приводит к полному совпадению обеих краевых задач, а именно: область, пробегаемая (?, г), в обеих задачах становится одинаковой, коэффициенты в уравнениях и граничных условиях становятся без- безразмерными и численно равными1), свободные члены и начальные значения становятся тождественно равными. Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если существует преобразование единиц из- измерения, переводящее задачи (I) и (II) в тождественно совпадающие безразмерные задачи, то задачи (I) и (II) подобны. 49. Сформулировать задачу об электрических колебаниях в про- проводе, аналогичную задаче о продольных колебаниях однородного упругого стержня, один конец которого закреплен жестко, а другой свободен. Установить необходимые и достаточные условия для того, что- чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия. 50. Сформулировать задачу об электрических колебаниях в про- проводе, аналогичную задаче о продольных колебаниях однородного уп- упругого стержня, в следующих случаях: а) один конец стержня закреплен жестко, а другой упруго; б) один конец стержня свободен, а другой испытывает сопротив- сопротивление, пропорциональное скорости; в) один конец стержня закреплен упруго, а другой конец движется по заданному закону. Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй. 51. Сформулировать задачу о крутильных колебаниях цилинд- цилиндра, подобную задаче 41 об электрических колебаниях в проводе, взяв за функцию, характеризующую электрические колебания, сначала на- напряжение, а затем силу тока. Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй. § 2. Метод распространяющихся волн (метод Даламбера) Общее решение и = и(х, t) уравнения колебаний струны ии = а2ихх A) может быть представлено в виде2) и(х, t) = (fi(x - at) + ip2(x + at), B) х) Эти безразмерные коэффициенты называются критериями подобия. 2) Иногда удобнее пользоваться другими эквивалентными формами представления решения в виде распространяющихся волн, например, и(х, t) = (fi(at - х) + (f2(at + х) и(х, t) = <pi(t--)+ <р2 (t + -) . V а/ V а/
22 Условия задач где (fi(z) и if2(z) — произвольные функции, причем (fi(x — at) есть прямая волна, распространяющаяся вправо по оси х со скоростью а, в то время как if2 (x + at) есть обратная волна, распространяющаяся с той же скоростью влево по оси х 1). Решить краевую задачу для уравнения 1) методом распростра- распространяющихся волн — это значит определить функции ifi(z) и (f2(z) из начальных и граничных условий. В первом пункте этого параграфа собраны задачи для неогра- неограниченной прямой — оо < ж < +оо, во втором — для полупрямой с од- однородными и неоднородными граничными условиями, в третьем — для бесконечной прямой, составленной из двух полупрямых, отлича- отличающихся физическими характеристиками, в четвертом — задачи для конечного отрезка с однородными и неоднородными граничными усло- условиями. 1. Задачи для бесконечной струны. 52. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, изображенным на рис. 6. Построить (начертить) поло- положение струны для моментов времени2) кс 4а где к = 0, 1, 2, 3, 5. 53. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, имеющим форму квадратичной параболы (рис. 7). Рис. 6 Рис. 7 Найти: а) формулы, представляющие профиль струны при t > 0, и б) формулы, представляющие закон движения точек страны с различ- различными абсциссами при t > 0. 54. В момент t = 0 неограниченная струна возмущена началь- начальным отклонением, имеющим форму, изображенную на рис. 8. В какой точке жив какой момент времени t > 0 отклонение струны будет максимальным? Какова величина этого отклонения? х) См. [7, с. 50-58 и 60-70]. Использование представления решения в ви- виде B) для стационарных задач, где t является геометрической координатой, будет дано в гл. V. 2) Здесь и в дальнейших задачах под а понимается параметр, входящий в уравнение A) ии = а2ихх.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 23 Рис. 8 55. Неограниченной струне сообщена на отрезке —с^х^с поперечная начальная скорость vq = const; вне этого отрезка началь- начальная скорость равна нулю. Найти формулы, представляющие закон движения точек струны с различными абсциссами при t > 0, и по- построить (начертить) положения струны для моментов времени - — к ~ 4а' где к = 0, 2, 4, 6. 56. В начальный момент времени t = 0 неограниченная струна получает в точке х = х0 поперечный удар, передающий струне им- импульс /. Найти отклонение и (ж, t) точек струны от положения равновесия при t > 0, предполагая, что начальные отклонения точек струны и начальные скорости равны нулю. 57. По неограниченной струне бежит волна <р(х — at). Приняв эту волну за начальное возмущение струны в момент t = 0, найти состояние струны при t > 0. Сравнить с результатом, полученным при решении задачи 52. 58. Решить задачу о распространении электрических колебаний в неограниченном проводе при условии, что GL = CR, A) где G, L, С, R — утечка, самоиндукция, емкость и сопротивление единицы длины провода1). Напряжение и сила тока в проводе в на- начальный момент заданы. 2. Задачи для полупрямой. Если только один из концов стру- струны2) находится столь далеко от рассматриваемого ее участка, что отражение от удаленного конца не сказывается на колебаниях этого участка, по крайней мере в течение рассматриваемого промежутка времени, то мы приходим к задаче о колебаниях полуограниченной струны 0 < х < +оо, где х = 0 соответствует «близкому» концу ) Это условие обеспечивает возможность прохождения по проводу волн без искажения их формы. (Подробнее см. [7, с. 73-75] и предыдущие.) В дальнейшем, если для провода выполняется это условие, то мы будем называть его кратко: провод линии без искажений. 2) Или стержня, или провода.
24 Условия задач струны. В этом случае краевая задача содержит уравнение, гранич- граничное условие и начальные условия1): utt = а2ихх, 0 < ж < +оо, 0 < t < +00, A) alUu@, t) + а2щ@, t) + a3ux@, t) + a4u(O, t) = Ф(*), 0<?< +оо, ^ j и(ж, 0) = </?(ж), щ(х,О) = ф(х), 0 < ж <+оо, C) причем по крайней мере одна из констант ai, аг, «з5 <^4, входящих в граничное условие, должна быть отлична от нуля2); если Ф(?) = О, то граничное условие становится однородным. 59. Полуограниченная струна, закрепленная в конце, возбужде- возбуждена начальным отклонением, изображенным на рис. 9. Начертить по- и > 0 h \ / с 2с Зс Рис. 9 ложение струны для моментов времени *=?; i=3?; t=^- t=*L. a' 2a' a' 2a 60. Полуограниченному упругому стержню 0 ^ х < +оо со сво- свободным концом х = 0 сообщена начальная осевая скорость, равная г>о на отрезке [с, 2с] и нулю вне этого отрезка. Величину продольного смещения и (ж, ?) поперечных сечений стержня можно откладывать для наглядности в направлении, пер- перпендикулярном к оси ж, т.е. поступать так же, как это делалось в случае струны. Пользуясь этим приемом изображения, начертить гра- график и = и(х, t) для моментов времени t-о- с- 2с- 4с *-°' a' T' Т' 61. Полуограниченная струна 0 ^ ж < +оо с закрепленным кон- концом ж = 0 получает в момент t = 0 поперечный удар, передающий струне импульс / на участке 0 ^ ж ^ 2/, причем профиль распре- распределения скорости, получаемый при ударе, имеет в момент t = 0 фор- форму полуволны синусоиды с основанием 0 ^ ж ^ 21. Найти формулы, х) Возможно также задание двух граничных условий, если задано лишь одно начальное условие. (Подробнее см. [7, с. 78].) 2) Если граничное условие B) принимает вид щ@, t) +cm@, t) = Ф(?), причем известно значение п@, 0), то тем самым становится известным n@, t) и мы приходим к граничному условию n@, t) = Ф(?). Аналогичное утверждение справедливо для граничного условия вида utt(O, t) + aut@, t) + /3u@, t) =
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 25 представляющие закон движения точек струны с различными абсцис- абсциссами ж при t > 0. 62. Полу ограниченный упругий стержень 0 ^ ж < +оо со свобод- свободным концом х = 0 возмущен в момент t = 0 продольными смещения- смещениями, профиль которых1) изображен на рис. 10. Найти, в каких точках 0 I 21 31 4/ 5/ 6/ 71 Рис. 10 и когда при t > 0 смещение достигает наибольшего значения. Какова величина этого наибольшего смещения? 63. Полуограниченной струне с закрепленным концом в началь- начальный момент времени t = 0 с помощью поперечного удара передает- передается импульс / в точке х = xq. Найти отклонения и (ж, t) точек стру- струны от положения равновесия при t > 0, если начальные отклонения и(х, 0) = 0, а начальные скорости в точках х ф xq также равны нулю. 64. Решить задачу 63, предполагая, что начальный импульс / сообщается в точках хп > хп-\ > ... > Х2 > х\ > 0. 65. Полу ограниченному стержню со свободным концом в началь- начальный момент времени t = 0 с помощью продольного удара по концу передается осевой импульс /. Найти отклонения и (ж, i) точек стержня от положения равнове- равновесия при t > 0, если начальные отклонения и (ж, 0) = 0, а начальные скорости в точках х > 0 также равны нулю. 66. Груз Q = Мд, двигающийся с постоянной скоростью г>о па- параллельно оси ж, в момент времени t = 0 в результате удара при- прилипает к свободному концу полуограниченного стержня 0 ^ ж < +оо и продолжает двигаться вместе с ним. Найти отклонения и (ж, t) по- поперечных сечений стержня от положения равновесия при t > 0, если начальные отклонения и (ж, 0) = 0, а начальные скорости равны нулю всюду, кроме сечения ж = 0, где она равна г?о- 67. Поперечным сечениям полуограниченного упругого стержня с упруго закрепленным концом сообщены начальные продольные отклонения {sin — при 0 ^ ж ^ /, 1 0 при I ^ х < +оо, начальные же скорости щ(х, 0) = 0. Найти продольные отклоне- отклонения и(х, t) поперечных сечений стержня при t > 0. х) См. задачу 60.
26 Условия задач 68. Полуограниченный вертикальный круглый вал 0 ^ х < +оо при t < 0 вращается с угловой скоростью и = const. С момента t = О его торец ж = 0 соприкасается с горизонтальной опорной плоскостью и испытывает действие закручивающего момента сил трения, про- пропорционального угловой скорости торца. Найти углы поворота 6(х, t) поперечных сечений вала при t > О, считая, что в(х, 0) = 0. 69. По полуограниченной струне 0 ^ х < +оо бежит волна u(x,t) = f(x + at) при t < 0. Найти колебания струны при 0 < t < +оо для случаев, когда конец струны: а) закреплен жестко; б) свободен; в) закреплен упруго; г) испытывает сопротивление трения, пропорциональное скорости. 70. По полуограниченной цилиндрической трубке 0 < х < Н-оо, заполненной идеальным газом, бежит волна и(х, t) = f(x + at) при t < 0, /@) = 0. В конце трубки находится поршень с массой Mq, на- насаженный на пружинку с коэффициентом жесткости Hq и пренебре- пренебрежимо малой собственной массой. Поршень плотно закрывает трубку и при движении в трубке испытывает сопротивление, пропорциональ- пропорциональное скорости. Найти и(х, t) при 0 < t < +оо. 71. Найти при t > 0 электрические колебания в полуограничен- полуограниченном проводе (линии без искажений), если при t < 0 по проводу бежала волна r v{x,t) = е l% f(x + at), [С Рассмотреть случаи, когда конец провода заземлен: а) через сосредоточенное сопротивление Rq] б) через сосредоточенную емкость Со; в) через сосредоточенную самоиндукцию Lq. Установить, при каких условиях в случае а) отраженная волна отсутствует («полное поглощение») и при каких условиях амплитуда отраженной волны в два раза меньше амплитуды падающей волны. 72. К концу х = 0 полуограниченного провода линии без искаже- искажений была приложена постоянная э.д.с. Е в течение достаточно дли- длительного промежутка времени, так что в проводе установилось ста- стационарное распределение напряжения и силы тока. Затем в момент времени t = 0 конец провода был заземлен через сосредоточенное со- сопротивление Ro. Найти напряжение и ток в проводе при t > 0. 73. Конец полуограниченной струны 0 < х < Н-оо, начиная с момента t = 0, движется по закону Найти отклонение и (ж, t) точек струны при 0 < t < +oo, если началь- начальные скорости и отклонения равны нулю.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 27 74. К концу полуограниченного стержня приложена продольная сила F(t) с момента t = 0. Найти продольные колебания стержня при t > 0, если начальные скорости и начальные отклонения его точек равны нулю. 75. Полуограниченный горизонтальный трубопровод постоянно- постоянного поперечного сечения заполнен при t < 0 покоящейся жидкостью. Начиная с момента t = 0, к его концу подключается нагнетательный насос с выравнивающим воздушным колпакомх). Найти давление и скорость жидкости в трубопроводе при t > 0. 76. Найти продольные колебания полуограниченного стержня при нулевых начальных условиях, если в момент времени tk=kT, k = 0, 1, 2, ..., n, ..., стержню сообщаются продольные импульсы Ik = / = const и к концу стержня прикреплена сосредоточенная масса М. 77. К концу полуограниченного провода 0 < х < +оо линии без искажений приложена э.д.с. E(t) = Ео sincut; 0 < t < +оо. В момент t = 0 напряжение и ток в проводе были равны нулю. Найти напряжение и ток в проводе при t > 0, выделяя установившийся про- процесс распространения колебаний с частотой и, и определить время, начиная с которого в точке х провода, 0 < х < +оо, амплитуда пе- переходных колебаний будет составлять не более чем 10 % амплитуды установившихся колебаний. 3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых. Сосредоточенные факторы. 78. Неограниченный упругий стержень получен соединением в точке х = 0 двух полу ограниченных однородных стержней. При х < 0 плотность массы, модуль упругости стержня и скорость распростра- распространения малых продольных возмущений равны pi, Ei, ai, а при х > 0 они равны р2, Е2ч о>2- Пусть из области х < 0 по стержню бежит волна щ(х, t) = f(t — x/ai), t ^ 0. Найти отраженную и прелом- преломленную волны. Исследовать решение при Е2 —У 0 и при Е2 —У +оо. 79. В точке х = 0 неограниченной однородной струны прикреплена сосредоточенная масса М, поддерживаемая пружиной жесткости к с пре- пренебрежимо малой собственной массой (рис. 11). Найти отклонение струны и (ж, t) при t > 0, если струна возбуждается в момент t = 0 попереч- поперечным импульсом / = М^о, сообщаемым массе М и направленным по оси пружины. Рис. 11 х) См. задачи 5 и 6.
28 Условия задач 80. Масса М предыдущей задачи при колебаниях испытывает сопротивление трения, пропорциональное скорости. Найти отражен- отраженную и преломленную волны, взяв за начальное условие бегущую из области х < 0 волну щ(х, t) = f(x — at). 81. Плоский источник малых возмущений движется равномерно с дозвуковой скоростью вдоль цилиндрической неограниченной трубки с газом. Считая, что возмущение давления в том месте, где находится в момент t > 0 источник, является известной функцией времени, найти колебания газа слева и справа от источника, если в начальный момент времени газ был в невозмущенном состоянии, а источник находился в точке х = 0. 82. Решить задачу о колебаниях неограниченной струны под дей- действием сосредоточенной поперечной силы F(t) для t > 0, если точка приложения силы скользит вдоль струны с постоянной скоростью vq из положения х = 0, причем vo < а и начальные условия нулевые. 4. Задачи для конечного отрезка. 83. Концы струны х = 0 и х = / закреплены жестко; начальное отклонение задано равенством и(х, 0) = Л sin — при 0 ^ х ^ /, I начальные скорости равны нулю. Найти отклонения и (ж, t) при t > 0. 84. Решить задачу о продольных колебаниях стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = I) свободен, если стержень был подвергнут начальному растяжению и(х, 0) = Ах, 0 ^ х ^ /, и начальные скорости щ(х,0) = 0, O^x^l. 85. Решить задачу 84, если конец х = / стержня закреплен упруго. 86. Один конец стержня (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = I) свободен. В начальный момент времени свободному концу со- сообщается продольный ударный импульс /. Найти колебания стержня. 87. Один конец горизонтального стержня закреплен жестко, а другой свободен. В начальный момент времени t = 0 в свободный ко- конец стержня ударяет груз Q = Мд со скоростью г?о, направленной по оси стержня, причем в момент t = 0 торец груза плотно соприкасает- соприкасается с торцом стержня. Найти продольные колебания стержня при t > 0 в течение акта соударения. 88. Решить предыдущую задачу для стержня, у которого оба кон- конца свободны. 89. Решить задачу 87, предполагая, что стержень имеет форму усеченного конуса. 90. Решить задачу 88 для стержня, имеющего форму усеченного конуса.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 29 91. Найти продольные колебания стержня при нулевых началь- начальных условиях, если один его конец закреплен или свободен, а другой двигается по данному закону; рассмотреть случаи, когда: а) правый конец закреплен; б) левый конец закреплен; в) правый конец свободен. 92. Найти колебания возмущения давления в конце х = 0 трубо- трубопровода при t > 0, если в конце х = / оно остается равным нулю, а расход жидкости в конце х = 0 является известной функцией време- времени. Сопротивление трубопровода пренебрежимо мало, а возмущения давления и скорость жидкости при t = 0 равны нулю. 93. Решить задачу об абсолютно упругом продольном ударе двух одинаковых стержней, движущихся в одном направлении по одной прямой со скоростями i?i и V2] vi > V2 > О (рис. 12). Найти распреде- распределение скоростей и напряжений в стержнях в течение акта соударения. I I Рис. 12 94. К концу х = 0 провода линии без искажений ), начиная с момента t = 0, приложена постоянная э.д.с. Е; конец х = / заземлен. Начальное напряжение и начальный ток в проводе равны нулю. Найти электрические колебания в проводе при t > 0 и установить, начиная с какого момента времени ток в проводе будет отличаться от предель- предельного (при t ->• +оо) заведомо не более чем на 10 %. 95. Решить предыдущую задачу при условии, когда конец х = / изолирован. 96. Один конец (х = /) провода с пренебрежимо малым сопротив- сопротивлением и утечкой заземления через: а) сосредоточенное сопротивление Ro; б) сосредоточенную емкость Со; в) сосредоточенную самоиндукцию Lq, а к другому концу (х = 0) с момента t = 0 подключается э.д.с. Е = const. Найти напряжение г?(ж, t) на конце х = / при t > 0 для всех слу- случаев. § 3. Метод разделения переменных В настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях конечного отрезка струны при различных граничных условиях, а так- также аналогичные задачи о колебаниях из других областей физики и техники 2). г) См. сноску к задаче 58. 2) Выборка материала по собственным значениям и нормам собствен- собственных функций из глав II, III, IV, V, VI помещена в § 2 гл. VII.
30 Условия задач 1. Свободные колебания в среде без сопротивления1). 97. Найти колебания струны с жестко закрепленными конца- концами х = 0 и х = /, возбужденной начальным отклонением, и вычислить энергию отдельных гармоник. Начальные скорости равны нулю. 98. Струна 0 ^ х ^ / с жестко закрепленными концами до момен- момента t = 0 находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы Fq = const, приложенной к точке хо струны перпендикулярно к невозмущенному положению струны. В начальный момент време- времени t = 0 действие силы Fq мгновенно прекращается. Найти колебания струны при t > 0. 99. Концы струны закреплены жестко, а начальное отклонение имеет форму квадратичной параболы, симметричной относительно перпендикуляра к середине струны. Найти колебания струны, если начальные скорости равны нулю. 100. Струна2) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого плоского молоточка, сообщающего ей следующее на- начальное распределение скоростей: {0, 0 ^ х ^ хо — S, г>о, хо - S < х < хо + 5, 0, х0 + S ^ х ^ I. Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 101. Струна ) с жестко закрепленными концами возбуждается ударом острого молоточка, передающего ей импульс / в точке хо- Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вы- Вычислить энергию отдельных гармоник. 102. Струна с жестко закрепленными концами возбуждается уда- ударом жесткого выпуклого молоточка4) , сообщающего ей начальное распределение скоростей {0, 0 ^ х ^ хо — ?, г>о cos (^ • Хо) , х0 - S ^ х ^ х0 + 5, 0, х0 + 5 ^ х ^ /. Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 103. Найти продольные колебания стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х = /) свободен, при начальных ^ и(х, 0) = кх, щ(х, 0) = 0 при 0 ^ х ^ /. г) В этом и следующих двух пунктах среды предполагаются одно- однородными. 2)См. [7, с. 140-143]. 3) То же. 4) По поводу возбуждения струны мягким выпуклым молоточком см. задачу 152.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 31 104. Стержень с жестко закрепленным концом х = 0 находится в состоянии равновесия под действием продольной силы Fq = const, приложенной к концу х = /. В момент t = 0 действие силы Fq мгновен- мгновенно прекращается. Найти колебания стержня, если начальные скорости равны нулю. 105. Найти продольные колебания упругого стержня со свобод- свободными концами, если начальные скорости и начальные смещения в про- продольном направлении произвольны. Учесть возможность равномерно- равномерного прямолинейного движения стержня. 106. Найти колебания упругого стержня со свободными концами, получившего в начальный момент времени продольный импульс / в один из концов. 107. Решить предыдущую задачу для случая, когда конец, кото- которому не сообщается импульс, закреплен жестко. 108. Один конец стержня закреплен упруго, а другой свободен. Найти продольные колебания стержня при произвольных начальных условиях. 109. Один конец стержня (х = /) закреплен упруго, а к другому (х = 0) приложена продольная сила Fq = const, под действием ко- которой стержень находится в состоянии равновесия. Найти колебания стержня после того, как в начальный момент времени сила Fq мгно- мгновенно исчезает, если начальные скорости равны нулю. 110. Один конец стержня (х = /) закреплен упруго, а другой (х = 0) получает в начальный момент времени продольный ударный импульс /. Найти продольные колебания стержня, если начальное от- отклонение стержня равно нулю. 111. Найти продольные колебания стержня с упруго закреплен- закрепленными концами при одинаковых коэффициентах жесткости заделки концов, если начальные условия произвольны. 112. Решить предыдущую задачу, если коэффициенты жесткости заделки концов стержня различны. 113. Найти колебания уровня жидкости в кольцевом канале, ши- ширина и глубина которого невелика по сравнению с его радиусом, если начальное отклонение уровня от равновесного состояния и начальная скорость изменения этого уровня заданы. 114. Доказать аддитивность энергии отдельных гармоник для процесса свободных колебаний струны в среде без сопротивления при однородных граничных условиях первого, второго и третьего рода. 115. Найти поперечные колебания стержня 0 ^ х ^ / при произ- произвольных начальных условиях, если концы стержня: а) закреплены шарнирно («свободно оперты»); б) закреплены жестко; в) свободны. 116. Решить предыдущую задачу, предполагая, что колебания вызваны поперечным ударом в точке х = жо, передавшим стержню импульс /.
32 Условия задач 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением. В за- задачах 97, 101, 103, 105, 108, 111 колебания струн и стержней рассмат- рассматривались в среде без сопротивления. Предположим теперь, что в этих задачах среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости, тогда получим задачи 117, 118, 119, 120, 121 и 122 соответственно. Решить задачи 117-122, не вычисляя энергии отдельных гармоник. 123. Изолированный однородный электрический провод 0 ^ х ^ / заряжен до некоторого потенциала vq = const. В начальный момент времени конец х = 0 заземляется, а конец х = / продолжает оставаться изолированным. Найти распределение напряжения в проводе, если самоиндукция, сопротивление и емкость единицы длины провода известны1). 124. Найти электрические колебания в однородном проводе 0 ^ ^ х ^ /, если конец х = 0 заземлен, конец х = / изолирован, начальный ток равен нулю, а начальный потенциал равен '0, 0 < х < а, Ограничиваясь случаем, когда —-— > — — — , найти выраже- / v CL -L/ С ние для напряжения. 125. Найти напряжение в проводе с начальным током и началь- начальным напряжением, равными нулю, если в начальный момент в точ- точке х = хо этого провода помещается сосредоточенный заряд Q. Остальные условия такие же, как в предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебания под действием распределен- распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением. В этом пункте сначала рассматриваются задачи с постоянными вынуждающими силами, затем задачи с гар- гармонически меняющимися во времени вынуждающими силами и, на- наконец, задачи с вынуждающими силами, изменяющимися во времени по произвольному закону. 126. Решить задачу 97 при условии, что колебания происходят в поле силы тяжести в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, а концы страны закреплены на одинаковой высоте. 127. Упругий стержень 0 ^ х ^ / расположен вертикально и верх- верхним концом (х = 0) жестко прикреплен к свободно падающему лифту, который, достигнув скорости г>о, мгновенно останавливается. Найти продольные колебания стержня, если его нижний конец (х = I) сво- свободен. 128. Найти продольные колебания стержня 0 ^ х ^ /, если один его конец закреплен жестко, а к другому с момента t = 0 приложена сила Fn = const. Утечка G = 0 согласно предположению об изолированности провода.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 33 129. В конце х = I трубопровода 0 ^ х ^ I расход жидкости из- изменяется в момент времени t = 0 скачком на величину А = const; ко- конец х = 0 соединен с большим резервуаром, где давление жидкости остается неизменным. Считая, что до изменения расхода в конце х = / давление и расход в трубопроводе были постоянными, найти изменение расхода в тру- трубопроводе при t > 0 и изменение давления в сечении х = I при t > 0. 130. Найти напряжение в однородном электрическом проводе, со- сопротивление, самоиндукция, утечка и емкость единицы длины кото- которого соответственно равны R, L, G и С, если начальные ток и напря- напряжение равны нулю, конец х = / изолирован, а к концу х = 0, начиная с момента t = 0, приложена постоянная э.д.с. Е. 131. Решить предыдущую задачу, предполагая, что конец прово- провода х = I заземлен. 132. В точке хо струны 0 ^ х ^ / с момента t = 0 приложена пос- постоянная поперечная сила Fq. Найти колебания струны, если ее концы закреплены жестко. 133. К струне 0 ^ х ^ I с жестко закрепленными концами с мо- момента времени t = 0 приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью Ф(ж, t) = Ф(х) sina;?. Найти колебания струны в среде без сопротивления; исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса. 134. Решить предыдущую задачу при условии, что линейная плотность силы равна Ф(ж, t) = Фо sina;?, 0 < х < I, 0 < t < +оо, где Фо = const. 135. Найти продольные колебания стержня 0 ^ х ^ /, конец х = 0 которого закреплен жестко, а конец х = /, начиная с момента t = 0, движется по закону u(l,t) = ^sino;?, 0 < t < +оо. Среда не оказывает сопротивления колебаниям. 136. Найти продольные колебания стержня 0 ^ х ^ / в среде без сопротивления, если конец х = 0 стержня закреплен жестко, а к кон- концу х = /, начиная с момента t = 0, приложена сила F(t) = Asincut, 0 < t < +оо. 137. Решить задачу 35, предполагая, что в начальный момент времени t = 0 стержень находился в горизонтальном положении и что Q = 0, и = const. Рассмотреть случай без резонанса. 138. Найти колебания струны 0 ^ х ^ / с жестко закрепленными концами, если в точке х = хо этой струны с момента t = 0 приложена поперечная сила F(t) = Asinut, 0 < t < +оо. Ограничиться случаем, когда частота вынуждающей силы не совпа- совпадает ни с одной из собственных частот. 3 Б.М. Будак и др.
34 Условия задач 139. Решить предыдущую задачу, если F(t) = Acoscjt, 0 < t < +00. 140. Решить задачу 138, если F(t) есть произвольная периоди- периодическая сила с периодом и, т.е. + ОО F(t) = — + ^(ап cos nut + f3n sin nut), 0 < t < +oo. n=l 141. К струне 0 ^ x ^ / с жестко закрепленными концами с мо- момента времени t = 0 приложена непрерывно распределенная сила с линейной плотностью Ф(ж, t) = Фо(ж)8то;?. Найти колебания стру- струны при нулевых начальных условиях, предполагая, что среда оказы- оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. Найти установив- установившиеся колебания, представляющие собой главную часть решения при t ->• +оо. (Ср. с задачей 133.) Замечание. Установившиеся колебания имеют частоту вы- вынуждающей силы; колебания с другими частотами затухают. 142. Решить задачу 136, предполагая, что колебания происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Найти уста- установившиеся колебания, представляющие собой главную часть реше- решения при t —> +00. 143. Решить задачу 130, предполагая, что к концу х = / провода приложена с момента t = 0 э.д.с. E(t) = Eq sina;?, 0 < t < +оо, Eq = = const, а конец х = 0 изолирован. Найти установившиеся колебания, представляющие главную часть решения при t —> +оо. 144. Решить задачу 131, предполагая, что к концу х = I про- провода приложена с момента t = 0 э.д.с. E(t) = E^smuot, 0 < t < +оо, Eq = const, а конец х = 0 заземлен. Найти установившиеся колеба- колебания — главную часть решения при t —У +оо. 145. Найти установившиеся колебания давления на конце х = / трубопровода 0 ^ х ^ /, если на этом конце находится смягчающий колпак, а расход поступающей извне жидкости меняется гармоничес- гармонически во времени, на другом же конце трубопровода давление остается постоянным. 146. Найти колебания струны 0 ^ х ^ / с жестко закрепленны- закрепленными концами под действием силы, приложенной с момента t = 0 и имею- имеющей плотность F(x, t) = $(x)t, О^х ^ /, 0<?< +оо, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 147. Найти продольные колебания стержня 0 ^ х ^ /, левый ко- конец которого закреплен жестко, а к правому с момента t = 0 прило- приложена сила . . F(t) = At, 0 < t < +оо, А = const, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 148. Найти колебания струны 0 ^ х ^ / с жестко закрепленными концами под действием распределенной силы, приложенной с момен-
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 35 та t = 0 и имеющей плотность F(x, t) = <$>(x)tm, O^x^l, 0<?<+oo, m>-l, предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. 149. Найти продольные колебания стержня 0 ^ х ^ / в среде без сопротивления под действием силы F(t) = Atm, 0 < t < +00, А = const, m > -1, приложенной с момента t = 0 к концу х = /, если конец х = 0 фикси- фиксирован жестко. 150. Решить задачу 133 методом, указанным для задачи 148. 151. Решить задачу 141 методом, указанным для задачи 148. 152. Найти колебания струны ) 0 ^ х ^ I с жестко закрепленны- закрепленными концами, вызванные ударом мягкого выпуклого молоточка, пред- предполагая, что среда не оказывает сопротивления колебаниям. Молото- Молоточек действует на струну с силой, линейная плотность которой равна A cos — sm —, х — хо \ < о, 0 ^ t ^ г, V 2 о ) т О, |ж-жо|<<*, t>r, О, 0 ^ х ^ х0 - 5, х0 + S ^ х ^ /, 0 < t < оо. 153. Найти колебания струны 0 ^ х ^ / с жестко закрепленными концами в среде без сопротивления, вызванные поперечным ударом в точке хо, 0 < хо < I, в момент t = 0, передавшим струне импульс /, учитывая этот удар свободным членом уравнения2). 154. Решить задачу 146, предполагая, что среда оказывает со- сопротивление, пропорциональное скорости. 155. Решить задачу 153, предполагая, что среда оказывает со- сопротивление, пропорциональное скорости. 156. Найти поперечные колебания стержня с шарнирно закреп- закрепленными («свободно опертыми») концами под действием постоянной поперечной силы Р, точка приложения которой движется по стержню, начиная с момента t = 0 от конца х = 0 к концу х = I с постоян- постоянной скоростью г>о, предполагая, что колебания происходят в среде без сопротивления. 157. Решить предыдущую задачу, если Р = Ро sina;?, Po = const. 158. Найти поперечные колебания стержня под действием попе- поперечной сосредоточенной силы Р = Pq sin cut, приложенной с момен- момента t = 0 в точке хо стержня, если концы стержня закреплены шар- шарнирно («свободно оперты»), а среда не оказывает сопротивления ко- колебаниям. х)См. [7, с. 140-143]. 2) Ср. с решением задачи 101.
36 Условия задач 159. Решить предыдущую задачу, предполагая, что колебания происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. 160. Конец х = 0 стержня закреплен жестко, а к свободному кон- концу х = I с момента t = 0 приложена постоянная поперечная сила F = = Fq = const. Найти поперечные колебания стержня, вызванные си- силой Fq. 161. Решить предыдущую задачу в случае, когда действие си- силы F = Fq продолжается лишь до момента t = Т > 0. 162. Решить задачу 160 в случае, когда F = Fq smcut. 163. Конец х = / стержня закреплен жестко, а конец х = 0 шар- нирно («свободно оперт»). Найти поперечные колебания стержней, вызываемые равномерно распределенной поперечной силой с линей- линейной плотностью /osina;?, приложенной к стержню с момента t = 0. 4. Колебания при неоднородности сред и других услови- условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициен- коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс. 164. Найти продольные колебания неоднородного стержня 0 ^ ^ х ^ I с постоянным поперечным сечением, полученного соединением в сечении х = ж о двух однородных стержней, если: а) плотность массы и коэффициент упругости соответственно равны (р, 0<ж<жо, (Е, 0<ж<жо, р(х) = < = Е(х) = < = [р, хо<х<1, уЕ, хо<х<1, где р, р, Е, Ё — константы; б) начальные продольные смещения равны — ж, 0 < х < l\i-x) f> Xo<x<l; в) начальные скорости равны нулю: щ(х, 0) = ф(х) =0, 0 < х < /; г) концы стержня закреплены жестко: u@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо. 165. Найти установившиеся продольные колебания составного стержня, описанного в предыдущей задаче, если его конец х = 0 за- закреплен жестко, а к концу х = I с момента t = 0 приложена сила F(t) = Fo sino;?, 0 < t < +оо. 166. Найти продольные колебания стержня, описанного в зада- задаче 164, если один его конец (х = 0) закреплен жестко, другой конец (х = 0) — упруго, а начальные условия произвольны.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 37 167. Найти колебания однородной струны 0 ^ х ^ I с неподвижно закрепленными концами и сосредоточенной массой М, прикрепленной в точке х = хо струны, вызываемые начальными отклонениями {X h — при 0 < х < хо, 7-ж h - при хо < х < I. 1-хо 168. Поперечное сечение составного стержня, описанного в зада- задаче 164, на участке 0 ^ х ^ хо равно 5, а на участке хо ^ х ^ I равно 5; в сечении хо находится жесткая прокладка массы М; конец х = 0 за- закреплен неподвижно, а конец х = / свободен. Найти крутильные коле- колебания стержня при произвольных начальных условиях. 169. Один конец упругого однородного вала жестко закреплен, а на другой насажен шкив с осевым моментом инерции М. Найти крутильные колебания вала при произвольных начальных условиях, если модуль сдвига равен G, полярный момент инерции поперечного сечения вала равен К, а осевой момент инерции единицы длины вала равен J. 170. Найти установившиеся продольные колебания конического упругого стержня 0 ^ х ^ /, вызываемые гармонической продольной силой F = Fq sin cut, приложенной к концу х = I, если конец х = 0 за- закреплен неподвижно (см. задачи 21 и 89). 171. Решить задачу 23, предполагая, что колебания струны вы- вызваны начальными отклонениями, а начальные скорости равны нулю. 172. Решить задачу 24 при произвольных начальных условиях. 173. Решить задачу 25 при произвольных начальных условиях, поместив начало координат в закрепленный конец струны. § 4. Метод интегральных представлений В настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях неограниченной, полуограниченной и конечной струны, а также ана- аналогичные задачи из других областей физики, причем для их решения применяются нижеследующие методы: метод интеграла Фурье, пере- переход к конечному интервалу методом отражений, метод Римана. 1. Метод интеграла Фурье. 174. Решить краевую задачу ии = а2ихх + /(ж, ?), -оо < х < +оо, 0 < t < +оо, A) и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, -оо < х < +оо. B) 175. Решить краевую задачу1) utt = а2ихх + с2и, -оо < х < +00, 0 < t < +оо, , 0) = (f(x), Ut(x, 0) = ф(х), -00 < X < +00. г) Напомним, что к такому виду приводится телеграфное уравнение с помощью замены искомой функции v(x, t) = е~м<п(ж, t).
38 Условия задач 176. Решить краевую задачу ии = а2ихх + с2и + /(ж, ?), -оо < х < +оо, 0 < t < +оо, и(х, 0) = г^(ж, 0) = 0, -оо < х < +00. 177. Решить краевую задачу utt = а2ихх, 0 < х, t < +00, и@, t) = 0, 0 < t < +оо, гл(ж, 0) = /(ж), г^(ж, 0) = ф{х), 0 < ж < +00. 178. Решить краевую задачу utt = а2ижж, 0 < х, t < +00, 1^@, t) = 0, 0 <t < +оо, и(ж, 0) = р(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 < х < +00. 179. Решить краевую задачу ии = а2ихх, 0 < х, t < +00, u@, t) =fi(t), 0 <t < +oo, гб(ж, 0) = ut(x, 0) = 0, 0 < x < +00. 180. Решить краевую задачу ии = a2uxx, 0 < x, t < +00, их@, t) = i/(t), 0 <t < +00, гб(ж, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < +00. 181. Решить краевые задачи для уравнения ии = а2ихх + /(ж, *) при нулевых начальных условиях и граничных условиях: а) и@, t) = 0; б) их@, t) = 0. 182. Решить краевую задачу ии = ихх + с2и, 0 < ж, t < +00, иж@, t) = v(t), 0 <t < +оо, и(ж, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < +00. 183. Решить краевую задачу vtt = vxx + c2v, 0 < х, t < +00, г;@, t) = aa(*)j 0 < t < +оо, г;(ж, 0) = 0, vt(x, 0) = 0, 0 < ж < +оо. 184. Решить краевую задачу ии = ^и + с2и, 0 < ж, t < +00, иж@, t) - /ш@, t) = х(^), 0 < t < +оо, и(х, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0 < х < +00.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 39 185. Доказать1), что + ОО +ОО J(X)g(X)e-iX4X = J g(s)f(x - s) ds, где /(А) и g(A) — образы Фурье функций f{x) и д{х) с ядром егХ^. 186. Доказать, что + ОО +ОО J7{с)(\)g{c)W cos\xd\=yjg(s)[f(\x-s\)+f(x + s)]ds, О О где /^(А) и ~д(с\\) — косинус-образы Фурье функций f(x) и д(х). 187. Доказать, что + ОО +ОО = lj f(s)[g(\x - s\) - g(x + s)]ds, / j 0 0 где f(s'(\) и ^^С^(Л) — соответственно синус-образ2) Фурье и коси- косинус-образ Фурье функций f(x) и д(х). 188. Решить краевую задачу ии + а2ихххх = 0, -оо < х < +оо, 0 < t < +оо, и(х, 0) = р(х), щ(х, 0) = аф"(х), -оо < х < +оо. Рассмотреть также частный случай, когда <р(х) = Ле 4/г2 ? ф(х) = 0, —оо < х < +00. 189. Решить краевую задачу utt + а2ихххх = 0, 0 < ж, t < +00, ЦО, *) = /i(t), ижж@, *) = 0, 0 < t < +оо, и(х, 0) = ^(ж, 0) = 0, 0 < х < +00. 190. Доказать, что для представимости решения краевой задачи utt = а2ихх, 0 < х < +00, 0 < t < +00, N Fk и(ж, 0) = ^(жM ^(^? 0) — ^(жM 0 < ж < +00 в виде x+at + — у ф(г) dz x-at х) Это соотношение часто называют теоремой о свертке. 2) См. § 4 ответов и указаний к настоящей главе, вводную часть пункта 1.
40 Условия задач достаточно продолжить (р(х) и ф(х) на отрицательную полуось х так, чтобы функции ж/ \ V^ л dkcp(x) т/ ч dkb() к=0 к=0 были нечетными1). 191. Доказать, что для представимости решения краевой задачи utt = а2ихх + /(ж, t), 0 < ж, t < +00, N к и(х, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо в виде t x+a{t-r) f 0 x() достаточно функцию /(ж, t) продолжить так на отрицательную полу- полуось ж, чтобы функция Fix t)-f к=0 была нечетной по ж ). 192. Доказать, что для представимости решения краевой задачи ии — а2ихх + с2и, 0 < ж, t < +00, N к V^|4=0' 0<^<+oo, ж = 0, ^-^ дхк к=0 и(х, 0) = ip(x), щ(х, 0) = ф(х), 0 < ж < +00, в виде x-at достаточно продолжить функции ip(x) и ф(х) на отрицательную по- х) Здесь и ниже мы не затрагиваем вопроса непрерывности и дифферен- цируемости. 2) То же.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 41 луось х так, чтобы функции N N dk() dkb() к=0 к=0 были нечетными. 193. Доказать, что для представимости решения краевой задачи utt = а2ихх + с2и + /(ж, ?), 0 < ж, t < +00, и(ж, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо в виде t aj+a(t —г) О x-a(t-r) достаточно продолжить /(ж, ?) на отрицательную полуось х таким образом, чтобы функция k=0 была нечетной по х. 1*. Переход к конечному интервалу методом отражений. 194. Решить краевую задачу и@, t) = 0, u(l, t) = 0, 0 < t < +00, и(х, 0) = <р(ж), ^(ж, 0) = г^(ж), 0 < ж < /. 195. Решить краевую задачу и@, t) = 0, ux(l, i) = 0, 0 < ^ < +00, г^(ж, 0) = ^(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 < х < I. 196. Решить краевую задачу ux(O,t)=O, ux(l,t)=O, 0<^<+oo, и(ж, 0) = р(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 < х < I. 197. Решить краевую задачу и@, t) = /il(t), ?i(Z, t) = /i2(^)j 0 < ^ < +00,
42 Условия задач 2. Метод Римана. 198. Найти функцию Римана для оператора т( , д2и 2д2и L[u) = -т-у — а —, а = const, и решить с ее помощью краевую задачу <t?L = a2 — +f{xt) 0 < t < +00 -оо < х < +оо <м(ж, 0) = </?(ж), ^г(ж, 0) = ф(х), —оо < х < +00. 199. Найти функцию Римана для оператора т( ч д2и 2 д2и . 2 L{u) = -рту — а ^—j ± с и, а = const, и решить с ее помощью краевую задачу я2 я2 ~°° < х < +00. ^—- = а т—т ± с и + /(ж, rt, -оо < ж < +00, 0 < t < +00, ot2 ox2 и(х, 0) = </?(ж), иДж, 0) = 200. Решить краевую задачу О U 9. U U ж2 —^ - У2 ^-7 = 0, -оо < ж < +оо, 1 < 2/ < +оо, дж2 cfy2 и — ф(х), -оо < х < +00. 201. Решить краевую задачу /, ^д2и ди 1 д2и ox2 ox a2 ot2 -оо +оо, t=0 = ф(х), —оо < х < I. 202. Решить краевую задачу 2 2ч^2^ Л ^п д2и 1 ^ 0<,<+оо, з/=о
Глава III УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких физических явлений, как теплопроводность, диффузия, распро- распространение электромагнитных полей в проводящих средах, движение вязкой жидкости. В настоящей главе рассматривается постановка и решение крае- краевых задач для уравнений параболического типа в случае, когда изуча- изучаемые физические процессы могут быть охарактеризованы функциями двух независимых переменных: одной пространственной координаты и времени. В частности, всюду в настоящей главе начальные значения искомой функции будут предполагаться зависящими лишь от одной пространственной координаты. Уравнениям параболического типа для функций с большим чис- числом независимых переменных посвящена гл. V, которая является про- продолжением и развитием настоящей главы. § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач В первой группе задач этого параграфа предполагается однород- однородность сред, а во второй допускаются нарушения однородности сред и наличие сосредоточенных факторов. Третья группа посвящена уста- установлению подобия между различными физическими явлениями, при- приводящими к уравнениям параболического типа. Поставить краевую задачу, соответствующую данной физической задаче, — это значит выбрать функцию, характеризующую физичес- физический процесс, а затем: 1) вывести дифференциальное уравнение для этой функции; 2) установить для нее граничные условия; 3) сформулировать начальные условия. Краткая сводка основных законов теплопроводности и диффу- диффузии, из которых выводятся дифференциальные уравнения и гранич- граничные условия, дается в гл. III, § 1, ответы и указания.
44 Условия задач 1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэф- коэффициентами. Всюду в задачах этого пункта среды предполагаются однородными и изотропными, а их свойства — не зависящими от ис- искомой функции и времени. Стержни, провода, трубы и т.п. здесь и всюду, где не оговорено противное, предполагаются имеющими по- постоянное поперечное сечение. 1. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией х; рас- рассмотреть случаи,когда: а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре; б) на концы стержня подается извне заданный тепловой поток; в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана. 2. На боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой яв- является заданной функцией времени. Пренебрегая деформацией изо- изотермических поверхностей, поставить краевую задачу об определении температуры в стержне при начальных и граничных условиях преды- предыдущей задачи. 3. Поставить краевую задачу об остывании тонкого кольца, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен по зако- закону Ньютона с окружающей средой, имеющую заданную температуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь. 4. Поставить краевую задачу о нагревании полуограниченного стержня, если конец стержня горит, причем фронт горения распро- распространяется с постоянной скоростью г?о и имеет известную температу- РУ Ч>(*)- 5. Вывести уравнение для температуры тонкой проволоки, на- нагреваемой постоянным электрическим током, если на ее поверхности происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружаю- окружающим воздухом, имеющим известную температуру. Поставить краевую задачу об определении температуры в этом проводе, если его концы зажаты в массивные клеммы с заданной теплоемкостью и очень боль- большой теплопроводностью. 6. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предпола- предполагая, что поверхностями равной концентрации в каждый момент време- времени t являются плоскости, перпендикулярные к оси х. Написать гра- граничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое 0 ^ х ^ /; рассмотреть случаи, когда: а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего ве- вещества поддерживается равной нулю; б) граничные плоскости непроницаемы; в) граничные плоскости полунепроницаемы, причем диффузия че-
Гл. III. Уравнения параболического типа 45 рез эти плоскости происходит по закону, подобному закону для кон- конвективного теплообмена. 7. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся с посто- постоянной скоростью в направлении оси ж, если поверхностями равной концентрации в каждый момент времени t являются плоскости, пер- перпендикулярные к оси х. 8. Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом осе- оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тяжести, постоянна, а концентрация частиц зависит только от одной геомет- геометрической координаты z (высоты) и времени t. Написать граничное условие, соответствующее непроницаемой перегородке. 9. Вывести уравнение диффузии при условиях задачи б для ве- вещества, частицы которого: а) распадаются (например, неустойчивый газ), причем скорость распада диффундирующего вещества в каждой точке пространства пропорциональна концентрации; б) размножаются (например, диффузия нейтронов), причем ско- скорость размножения диффундирующего вещества в каждой точке прост- пространства пропорциональна концентрации. 10. Поставить краевую задачу о движении слоя вязкой жидкости между двумя параллельными плоскостями, если одна из них в момент времени t = 0 начинает двигаться параллельно другой с заданной ско- скоростью, имеющей постоянное направление. Действием силы тяжести пренебречь. 11. Вывести уравнения для процесса распространения плоского электромагнитного поля в проводящей среде. (Среда называется про- проводящей, если токами смещения можно пренебречь по сравнению с токами проводимости.) 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; урав- уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряже- сопряжения. В этом пункте сначала рассматриваются кусочно-однородные среды и сосредоточенные факторы, что приводит к уравнениям с ку- кусочно-постоянными коэффициентами и к условиям сопряжения. Затем рассматриваются задачи, приводящие к уравнениям с непрерывно ме- меняющимися коэффициентами. 12. Неограниченный стержень с постоянным поперечным сече- сечением получен соединением двух полуограниченных однородных стержней с различными коэффициентами теплопроводности и темпе- температуропроводности . Поставить краевую задачу об определении температуры в этом стержне, рассмотрев случаи, когда: а) концы составляющих стержней соединены непосредственно (приварены торцом к торцу); б) концы стержней соединены массивной муфтой с теплоем- теплоемкостью Со, причем материал муфты обладает очень большой тепло- теплопроводностью.
46 Условия задач Поверхность стержня и внешнюю поверхность муфты (не приле- прилегающую к стержню) считать теплоизолированными. 13. Замкнутый цилиндрический сосуд с непроницаемыми стенка- стенками получен соединением в начальный момент времени двух цилинд- цилиндрических сосудов, каждый из которых заполнен однородной средой с равномерно распределенным веществом, причем концентрация этого вещества в обоих составляющих сосудах различна и свойства среды в одном и другом сосуде различны. Поставить краевую задачу о диффузии упомянутого вещества в составном цилиндре, рассмотрев случаи, когда: а) цилиндры соединены непосредственно; б) цилиндры соединены через полу непроницаемую перегородку. 14. Поставить краевую задачу о нагревании тонкого стержня, по которому скользит с постоянной скоростью плотно прилегающая электропечь постоянной мощности, если внешняя поверхность печи, не прилегающая к стержню, теплоизолирована, а теплоемкость печи пренебрежимо мала. 15. Расплавленный металл заполняет вертикальный цилиндри- цилиндрический сосуд, стенки и дно которого теплонепроницаемы. С момен- момента t = 0 свободная поверхность металла поддерживается при темпе- температуре щ = const, которая ниже температуры плавления. Поставить краевую задачу об остывании и затвердевании металла, если его на- начальная температура равна щ = const. 16. Поставить краевую задачу о движении под действием си- силы тяжести тонкой вертикальной бесконечной плоской пластины в слое вязкой жидкости между двумя неподвижными параллельными ей пластинами. Действием поля силы тяжести на жидкость пренебречь. 17. Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагре- нагретого стержня, имеющего форму усеченного конуса, пренебрегая ис- искривлением изотермических поверхностей, если концы стержня теп- теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 3. Подобие краевых задач1). 18. Сформулировать задачу теплопроводности, аналогичную за- задаче 10 о движении вязкой жидкости. Установить необходимые и до- достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна вто- второй с заданными коэффициентами подобия kXj kt, ки. 19. Сформулировать задачу теплопроводности 2 (задачу (I)), аналогичную задаче 9 (задаче (II)) о диффузии неустойчивого газа. Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (I) задаче (II) с заданными коэффициентами подобия. 20. Сформулировать задачу об определении электрического на- напряжения в проводе, аналогичную следующей задаче об определении О понятии подобия краевых задач см. гл. II, § 1, с. 20 и 169.
Гл. III. Уравнения параболического типа 47 температуры в стержне: «Найти температуру стержня, если на одном его конце и на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю, а температура другого конца ме- меняется по заданному закону; начальная температура стержня равна нулю» (задача (II)). Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (I) задаче (II) с заданными коэффициентами подобия. 21. Сформулировать задачу теплопроводности (задачу (I)), ана- аналогичную задаче о распространении плоского магнитного поля в проводящем слое 0 ^ х ^ I" (задаче (II)) при нулевых начальных усло- условиях, предполагая, что всюду левее слоя мгновенно установилось по- постоянное однородное магнитное поле, параллельное слою, причем плоскость х = /" является идеально проводящей. § 2. Метод разделения переменных В первом пункте1) настоящего параграфа собраны задачи для од- однородных изотропных сред; они приводят к линейному дифференци- дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Во втором пунк- пункте рассматриваются задачи для неоднородных сред, а также некото- некоторые задачи с сосредоточенными факторами2). 1. Однородные изотропные среды. Уравнения с постоян- постоянными коэффициентами. а) Задачи теплопроводности с постоянными граничными усло- условиями и свободными членами. 22. а) Найти распределение температуры в стержне 0 ^ х ^ / с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура равна произвольной функции f(x). б) Рассмотреть, в частности, случай, когда f(x) = Uq = const, и дать оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда, пред- представляющего решение в точке х = //2, его частичной суммой, и уста- установить, с какого момента времени отношение суммы всех его членов, начиная со второго, к первому члену будет заведомо меньше наперед заданного е > 0. Замечание. При этом мы будем говорить, что в рассматри- рассматриваемой точке наступил регулярный режим ) с относительной точ- точностью е. 23. Начальная температура стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолиро- теплоизолированной боковой поверхностью равна Uq = const, A) х) Стержни, провода, цилиндры, встречающиеся в этом пункте, счита- считаются имеющими постоянное поперечное сечение. 2) См. первую сноску на с. 32. 3) Подробнее о регулярном режиме см. [25].
48 Условия задач а на концах его поддерживается постоянная температура u@, t) = U!= const, u(l, t) = U2= const, 0 < t < +00. B) Найти температуру u(x, t) стержня при t > 0; найти также стацио- стационарную температуру п(х) = lim и(х, t). 24. Начальная температура стержня 0 < х < I является произ- произвольной функцией f(x). Температуры концов постоянны: и@, t) = Ui= const, u(l, i) = U2 = const, 0 < t < +oo. На боковой поверхности происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой равна щ = const. Найти температуру стержня. Рассмотреть, в частности, случай, когда U\ = U2 — О, Дат) = 0. 25. Найти температуру стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированными концами, если его на- начальная температура является произвольной функцией х. Перейти за- затем к случаю, когда на боковой поверхности происходит конвектив- конвективный теплообмен (по закону Ньютона) со средой, температура которой равна нулю. 26. Найти температуру стержня, на боковой поверхности которо- которого происходит конвективный теплообмен со средой нулевой темпера- температуры, если на концы стержня подаются извне постоянные тепловые потоки, а начальная температура является произвольной функцией. 27. Найти температуру стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолирован- теплоизолированной боковой поверхностью, если один его конец (х = 0) поддержи- поддерживается при заданной фиксированной температуре, а на другой конец (х = /) подается извне заданный постоянный тепловой поток, причем начальная температура произвольна. Рассмотреть, в частнос- частности, случай, когда начальная температура равна нулю, а конец х = / теплоизолирован, и оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х = /, его частичной суммой. Найти момент времени, с которого на конце х = / заведомо наступит регулярный режимг) с относительной точностью е. 28. Найти температуру стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированным концом х = 0, если на- начальная температура стержня равна нулю и через конец х = I в стер- стержень подается постоянный тепловой поток. Дать оценку погрешнос- погрешности, допускаемой при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х = 0, его частичной суммой. г) О регулярном режиме см. условие задачи 22 и соответствующее при- примечание. Здесь должно рассматриваться отношение суммы всех членов, за- зависящих экспоненциально от времени, начиная со второго, к первому члену, зависящему экспоненциально от времени; эти члены предполагаются зану- занумерованными в порядке возрастания собственных значений.
Гл. III. Уравнения параболического типа 49 29. Найти температуру стержня 0 ^ х ^ I с теплоизолированной боковой поверхностью, один конец которого (х = 0) теплоизолирован, а на другом конце (х = /) происходит конвективный теплообмен со сре- средой, температура которой равна Uq = const. Начальная температура стержня равна нулю. Оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х = 0, его частичной суммой; найти момент времени, с которого на конце х = 0 заведомо бу- будет иметь место регулярный режимх) с относительной точностью е. 30. а) Найти температуру стержня 0 ^ х ^ I с теплоизолирован- теплоизолированной боковой поверхностью, если на каждом из его концов происходит конвективный теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру, а начальная температура произвольна. б) Рассмотреть, в частности, случай, когда температура внешней среды на обоих концах одинакова, а начальная температура стержня равна нулю, и установить связь с решением задачи 29. 31. Решить задачу 30, а), предполагая, что на боковой поверхнос- поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, темпе- температура которой равна нулю. 32. Найти распределение температуры в тонком однородном кольце единичного радиуса, на поверхности которого происходит кон- конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру; начальная температура кольца произвольна2). Рас- Рассмотреть, в частности, случай, когда в начальный момент времени кольцо было равномерно нагретым. б) Задачи теплопроводности с переменными граничными усло- условиями и свободными членами, зависящими от х и t. 33. Найти распределение температуры в стержне 0 < х < I с теп- теплоизолированной боковой поверхностью, если на его конце х = 0 под- поддерживается температура, равная нулю, а на конце х = / температура меняется по закону u(l, t) = At, A = const, 0 < t < +оо. Начальная температура стержня равна нулю. 34. Найти температуру стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолированной боковой поверхностью, если по стержню непрерывно распределены тепловые источники, плотность которых равна Ф(?) smGrx/l), началь- начальная температура стержня является произвольной функцией /(ж), а температура концов поддерживается равной нулю. 35. а) Найти температуру стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолирован- теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура являет- является произвольной функцией /(ж), температура концов поддерживается равной нулю, по стержню непрерывно распределены источники тепла, плотность которых равна F(x, t). г) См. задачу 22 и сноску к задаче 27. 2) См. задачу 3. 4 Б.М. Будак и др.
50 Условия задач б) Рассмотреть, в частности, предельный случай, когда в стержне действует лишь один сосредоточенный источник постоянной мощнос- мощности Q, находящийся в точке #о, 0 < хо < /, а начальная температура стержня равна нулю. 36. По стержню 0 ^ х ^ /, на боковой поверхности которого про- происходит конвективный теплообмен со средой (температура среды рав- равна нулю), движется печь с постоянной скоростью vq. Поток тепла от печи к стержню равен q(t) = Ae~ t, где h — коэффициент теп- теплообмена, входящий в уравнение теплопроводности для стержня щ = = а2ихх — hu. Найти температуру стержня, если его начальная темпе- температура равна нулю и температура концов все время поддерживается равной нулю. 37. Решить задачу 35, а) для стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолиро- теплоизолированной боковой поверхностью, если на его концах происходит конвек- конвективный теплообмен со средой, температура которой меняется по за- заданному закону. 38. Найти температуру и(х, i) стержня, решая краевую задачу щ = а2ихх - Ни + /(ж, t), 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) их@, t) - /ш@, t) = фг(г), ux(l, t) + hu(l, t) = <ф2(Ь), ,9v О < t < +оо, [Z) u(x,Q) = ip(x), 0<x<l, C) путем сведения к однородной краевой задаче. 39. Найти асимптотическое выражение при t —> +оо для темпера- температуры и(х, t) в стержне с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его концах выполняется одно из следующих граничных условий: а) и@, t) = 0, u(l, t) = ^coso;?, 0 < t < +оо; б) и@, t) = 0, ux(l, t) = Acosut, 0 < t < +оо; в) и@, t) = 0, ux(l, t) + hu(l, i) = Acosujt, 0 < t < +oo. 40. На поверхности тонкого кольца единичного радиуса прохо- проходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю; начальная температура кольца равна нулю1). В некоторой фик- фиксированной точке кольца в начальный момент времени выделилось Q единиц тепла. Найти температуру кольца. Рассмотреть точку кольца, диаметрально противоположную точке, в которой выделилось тепло, и оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, пред- представляющего решение в этой точке, его частичной суммой. в) Задачи диффузии. 41. Давление и температура воздуха в цилиндре 0 ^ х ^ / равны атмосферным; один конец цилиндра с момента t = 0 открыт, а дру- другой остается все время закрытым. Концентрация некоторого газа в окружающей атмосфере равна С/о = const. С момента t = 0 газ диф- диффундирует в цилиндр через открытый конец. Найти количество газа, См. задачу 32, а также задачу 3.
Гл. III. Уравнения параболического типа 51 продиффундировавшего в цилиндр, если его начальная концентрация в цилиндре равна нулю. 42. Решить предыдущую задачу, предполагая, что оба конца ци- цилиндра закрыты полу непроницаемой перегородкой, через которую и происходит диффузия. 43. Решить задачу 41, предполагая, что диффундирующий газ распадается, причем скорость распада в каждой точке пропорциональ- пропорциональна концентрации газа в этой же точке. 44. В цилиндре 0 ^ х ^ I находится диффундирующее вещест- вещество, частицы которого размножаются, причем скорость размножения в каждой точке пропорциональна концентрации вещества в этой же точке. Найти критическую длину цилиндра1) для случаев, когда: а) на обоих концах цилиндра поддерживается концентрация, рав- равная нулю; б) на одном конце поддерживается концентрация, равная нулю, а другой закрыт наглухо; в) оба конца цилиндра закрыты наглухо. г) Задачи электродинамики. 45. Найти электрическое напряжение в проводе 0 ^ х ^ /, один конец которого изолирован, а к другому приложена постоянная элек- электродвижущая сила. Распределенная самоиндукция и утечка провода пренебрежимо малы, начальный потенциал равен vo = const, а на- начальный ток равен нулю. 46. Распределенная самоиндукция и утечка провода 0 ^ х ^ / рав- равны нулю; начальный потенциал и начальный ток также равны нулю. Найти напряжение в проводе, если один его конец (х = I) заземлен через сосредоточенную емкость Со, а к другому (х = 0) приложена постоянная электродвижущая сила Eq. 47. Найти электрическое напряжение в проводе 0 ^ х ^ I с прене- пренебрежимо малой самоиндукцией и утечкой, если его конец х = / заземлен, начальный ток и начальный потенциал равны нулю, а к концу х = 0 приложена постоянная электродвижущая сила Eq через сосредоточенное сопротивление До- 48. Проводящий слой 0 ^ х ^ I был свободен от электромагнит- электромагнитных полей. В момент t = 0 всюду вне слоя возникло постоянное од- однородное магнитное поле Hq, параллельное слою. Найти магнитное поле в слое при t > 0. Найти момент времени, начиная с которого в середине слоя заведомо будет иметь место регулярный режим с отно- относительной точностью е. 2. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопря- сопряжения. 49. Стержень 0 ^ х ^ / с теплоизолированной боковой поверх- поверхностью и постоянным поперечным сечением составлен из двух одно- х) О понятии критических размеров см. [7, с. 471, 472].
52 Условия задач родных стержней О^ж^жо, жо^ж^/с различными физическими свойствами. Найти температуру в стержне, если его концы поддер- поддерживаются при температуре, равной нулю, а начальная температура произвольна. 50. Найти температуру однородного стержня с теплоизолирован- теплоизолированной боковой поверхностью, в точке хо которого @ < хо < I) находится сосредоточенная теплоемкость Со- Начальная температура стержня произвольна, а концы поддерживаются при температуре, равной нулю. 51. Найти температуру стержня 0 ^ х ^ / с теплоизолированной боковой поверхностью, имеющего форму усеченного конуса (см. за- задачу 17), если температура концов стержня поддерживается равной нулю, а начальная температура стержня произвольна. 52. Решить предыдущую задачу для стержня, боковая поверх- поверхность которого получается вращением кривой у = Ае~тх вокруг оси х. 53. Тяжелая вертикальная плоскость находится в слое вязкой жидкости, заключенном между двумя неподвижными вертикальны- вертикальными плоскостями. В момент t = 0 плоскость начинает падать. Най- Найти ее скорость и скорости частиц вязкой жидкости, если начальные скорости равны нулю и если падающая плоскость равноудалена от граничных плоскостей. Действием поля силы тяжести на жидкость пренебречь. § 3. Метод интегральных представлений и функции источников В настоящем параграфе рассматривается применение интеграль- интегральных представлений к решению краевых задач для уравнения щ = = а ихх + Ъи + /(х, t) (где Ъ и / могут быть тождественно равными нулю) в случае неограниченной прямой, полупрямой и конечного от- отрезка. Сначала даются задачи на применение интегрального преобра- преобразования Фурье. Затем идут задачи на построение функций источников (функций Грина) и применение их к решению краевых задач. 1. Однородные изотропные среды. Применение интег- интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полу- полупрямой. Применяя интегральное преобразование Фурье ) , решить сле- следующие краевые задачи. 54. щ = а2ихх, —оо < х < +оо, 0 < t < +оо, и(х, 0) = /(ж), —оо < х < +00. 55. щ = а2ихх + /(ж, ?), —оо < х < +оо, 0 < t < +оо, и(х, 0) = 0, —оо < х < +00. х) См. ответы и указания, гл. II, § 4, с. 255.
Гл. III. Уравнения параболического типа 53 56. щ = а2ихх, 0 < ж, t < +00, и@, t)=0, 0 < t < +оо, и(х, 0) = /(ж), 0 < х < +оо. 57. г^ = а2ихх, 0 < х, t < +оо, иж@, *) =0, 0 < t < +оо, и (ж, 0) = /(ж), 0 < х < +оо. 58. г^ = а2ихх, 0 < ж, t < +оо, w@, t) =ip(t), 0 <t < +оо, и(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо. 59. щ = а2ижж, 0 < ж, ? < +00, и(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо. 60. щ = а2ижж + /(ж, t), 0 <x,t < +оо, u@, t) = 0, 0 < t < +оо, и(х, 0) = 0, 0 < х < +00. 61. щ = а2ихх + /(ж, t), 0 < ж, t < +00, иж@, t) = 0, 0 < t < +00, и(х, 0) = 0, 0 < х < +00. 62. Воспользовавшись уравнением из задачи 186 гл. II, доказать, ЧТ0 +оо 9 +оо Х Г cosXx + о о 63. Воспользовавшись уравнением из задачи 187 гл. II, доказать, что + ОО +ОО Л + у е о о 64. Применяя преобразование Фурье с ядром К(ж, А) = 2 A cos Аж + h sin Аж , решить краевую задачу тг X2 + п2 щ — а ихх, 0 < ж, ? < +00, иж@, *) -ftu(O, t) = -hip(t), и(х, 0) = 0, 0 < х < +00. 65. Применяя преобразование Фурье с таким же ядром, как в предыдущей задаче, решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < ж, t < +00, их@, t) - /ш@, t) = 0, 0 < * < +оо, и(х, 0) = /(ж), 0 < х < +00.
54 Условия задач 2. Однородные изотропные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников. В настоящем пункте со- собраны главным образом задачи на построение и применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла («функций Грина» для уравнения теплопроводности). Сначала идут задачи для неогра- неограниченной прямой, затем для полупрямой, причем среда предполагает- предполагается изотропной и однородной, затем рассматриваются задачи для не- неоднородной прямой, составленной из двух однородных полупрямых, и некоторые другие задачи с неоднородностями сред и сосредоточен- сосредоточенными факторами для неограниченной прямой и полупрямой; нако- наконец, идут задачи для конечного отрезка, причем рассматриваются два различных представления функций влияния мгновенных источни- источников тепла: одно получается методом разделения переменных (методом Фурье), другое — методом отражений, и производится их сравнение. а) Неограниченная прямая. 66. Поверхность неограниченного стержня — оо < х < +оо тепло- теплоизолирована, начальная температура равна нулю. В начальный мо- момент времени в точке х = ? стержня выделилось мгновенно Q единиц тепла. Найти температуру стержня. (Построение функции источника для уравнения щ = а2ихх на прямой — оо < х < +оо.) 67. Решить предыдущую задачу для стержня, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, температу- температура которой равна нулю. (Построение функции источника для уравне- уравнения щ = а2ихх — hu на прямой —оо < х < +оо.) 68. Используя функцию источника, полученную в решении зада- задачи 66, решить краевую задачу щ = O?UXX + /(Ж, t), -ОО < X < +00, 0 < t < +00, и(х, 0) = </?(ж), —оо < х < +00. 69. Используя функцию источника, полученную в решении зада- задачи 67, решить краевую задачу щ = а2ихх — hu + /(ж, t), —оо < х < +00, 0 < t < +оо, и(х, 0) = <р(х), —оо < х < +00. 70. При условиях задачи 66 найти тот момент времени, в кото- который температура в точке х достигает максимума, и найти это макси- максимальное значение температуры (задача о распространении теплового импульса). 71. На поверхности стержня — оо < х < +оо происходит конвек- конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю; на- начальная температура стержня равна нулю; в точке х = 0 непрерывно действует тепловой источник постоянной мощности Q. Найти темпе- температуру и(х, t) стержня. Найти также стационарную температуру п(х) = lim u(x, t). Какова была бы стационарная температура, если бы поверхность стержня была бы теплоизолирована?
Гл. III. Уравнения параболического типа 55 72. С помощью формулы, полученной в решении задачи 68, ре- решить задачу щ = а2ихх, —оо < ж < +оо, 0 < t < +00, {О при — оо < ж < —/, Uo = const ф 0 при - I < х < I, О при I < х < +00. 73. С помощью формулы, полученной в решении задачи 68, ре- решить задачу щ = а2ихх, —оо < х < +00, 0 < t < +00, О при — оо < х < О, Ае~ах при 0 < х < +00, А = const, a = const > 0. 74. Решить краевую задачу <Mt = а2ихх — hu, —оо < х < +00, 0 < t < +оо, {О при — оо < х < —I, Uo = const при - / < х < I, О при — I < х < +00 (ср. с задачей 72). 75. Решить краевую задачу 14 о нагревании стержня подвижной печкой при нулевом начальном условии. б) Полупрямая. 76. Построить функцию источника для уравнения щ = а ихх на полупрямой 0 < х < +00, на конце которой задано граничное условие первого рода. Перейти затем к случаю уравнения щ = а2ихх — hu. 77. Решить предыдущую задачу, если на конце полупрямой 0 < < х < +00 задано граничное условие второго рода. 78. Решить задачу 76, если на конце полупрямой 0 < х < +оо задано граничное условие третьего рода. 79. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу щ = а2ихх + /(ж, t), 0 < ж, t < +00, и@, t) =<p(t), 0 <t < +оо, и(х, 0) = ф(х), 0 < х < +00. 80. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу щ = а2ихх + /(ж, f), 0 < ж, ? < +00, их@, t) = </?(?), 0<?< +оо, и(х, 0) = ф(х), 0 < х < +00. 81. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу щ = а2ихх + /(ж, ?), 0 < ж, ? < +00, их@, t) - /ш@, *) = -hip(t), 0<t < +оо, и(ж, 0) = V^X 0 < ж < +00.
56 Условия задач 82. Доказать справедливость следующего утверждения. Для того чтобы решение краевой задачи щ — а ихх, 0 < ж, t < +00, N к к=0 и(х, 0) = /(ж), 0 < ж < +оо, можно было представить в виде u(x, t) = достаточно функцию /(ж) продолжить на отрицательную полуось х так, чтобы функция N была нечетной. 83. Доказать справедливость следующего утверждения. Для того чтобы решение краевой задачи щ = а2ихх + /(ж, t), 0 < ж, t < +00, N к У^ Ak ^—к = О, 0 < t < +00, ж = 0, и(х, 0) = О можно было представить в виде + ОО t и{х, t) = = 7г J о -г~Т достаточно продолжить функцию /(ж, t) на отрицательную полуось ж так, чтобы функция к=0 была нечетной по ж. 84. Решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < ж, t < +оо, и@, t) = 0, 0 <t < +оо, и(ж, 0) = [/0, 0 < ж < +00. Начертить графики распределения температуры в моменты времени t = l/(8a2), t = 1/Dа2), t = 1/Bа2) на отрезке 0 ^ ж ^ 4, а также графически изменения температуры в точках ж = 1/4, ж = 1/2, ж = 1 на отрезке времени 0 ^ ? ^ 1/а2. Найти также скорость движения фронта температуры а С/о, где О < а < 1, а = const.
Гл. III. Уравнения параболического типа 57 85. Решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < х, t < +00, и@, t) = U0, 0 < t < +оо, и(х, 0) = 0, 0 < х < +оо. В какой момент времени t температура в точке достигнет значе- значения а С/о, 0 < а < 1? 86. Решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < ж, t < +00, глж(О, t) = 0, 0 < * < +оо, о, 0 < х < 1, 87. Решить краевую задачу ut = a2uxxj 0 < ж, ? < +00, A) их@, t) -hu(O, t) = 0, 0<^<+оо, B) и(ж, 0) = С/о = const, 0 < ж < +00. C) Получить асимптотическое представление для температуры конца стержня при больших значениях времени D) Дать выражение для оценки погрешности при пользовании фор- формулой D) и найти, с какого момента времени вычисление u(O,t) по формуле /-у- ЦО, i) « -i^= E) ah y-Kt дает погрешность, заведомо не превышающую по абсолютной вели- величине наперед заданного е > 0. 88. Решить краевую задачу щ = а2ихх - b2e~kx, fc > 0, 0 < ж, ? < +оо, i/@, t) = Uo = const, 0 < t < +00, и(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо. 89. Решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < ж, t < +00, -1^@, *) = q, 0<t < +оо, и(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо. 90. Решить краевую задачу щ — а ихх — h(u — С/2), С/2 = const, 0 < ж, t < +00, и@, t) = Ui, 0 <t < +00, C/i = const, и(х, 0) = С/о, 0 < ж < +00, С/о = const. 91. Начальный ток и начальное напряжение в полуограниченном однородном проводе 0 ^ х < +оо равны нулю. Самоиндукция единицы
58 Условия задач длины провода пренебрежимо мала. Начиная с момента t = 0, к кон- концу провода приложена постоянная электродвижущая сила Eq. Найти напряжение в проводе. 92. Решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < х, t < +00, у>х(О, t) - /ш@, t) = -Aftcoso;t, 0 < t < +oo, u(x, 0) = 0, 0 < x < +oo. 93. Найти установившиеся температурные волны в полуограни- полуограниченном стержне 0 < х < +оо с теплоизолированной боковой поверх- поверхностью, если температура конца стержня меняется по закону i/@, t) = A cos cut. Найти скорость распространения температурной волны с данной час- частотой uj (дисперсия температурных волн). 94. Начальный ток и начальное напряжение в однородном прово- проводе 0 ^ х < +00 равны нулю. Начиная с момента t = 0, в точке х = О приложена электродвижущая сила E(t) = Eq cos cot. Найти напряже- напряжение в проводе, если самоиндукция и утечка единицы длины провода пренебрежимо малы. 95. Начальная температура полу ограниченного стержня с тепло- теплоизолированной боковой поверхностью задана и(х, 0) = /(ж), 0 < х < +00. Какой тепловой поток должен подаваться в стержень через его конец, чтобы температура конца менялась по заданному закону u(O,t)=»(t), 0<?<+oo, /х@) = /@)? Рассмотреть частный случай, когда f(x) = 0. 96. Начальная температура полуограниченного стержня с тепло- теплоизолированной боковой поверхностью задана и(х, 0) = /(ж), 0 < х < +оо, а на конце х = 0 происходит конвективный теплообмен с внешней сре- средой. Как должна меняться температура внешней среды, чтобы тем- температура конца стержня менялась по заданному закону ЦО, t) = ц(г), МО) = /@), 0 < t < +оо? Рассмотреть частный случай, когда f(x) = 0. 97. Решить задачу 95 при условии, что на боковой поверхнос- поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. 98. Решить задачу 96 при условии, что на боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температу- температура которой равна нулю. 99. Решить краевую задачу щ = а2ихх + /(ж, i), 0 < t < +00, vot < х < +оо, и(х, 0) = 0, 0 < х < +оо, u(vot, t) = 0, 0 < t < +00.
Гл. III. Уравнения параболического типа 59 100. Решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < t < +00, vot < х < +оо, и(х, 0) = /(ж), 0 < х < +оо, u(vot, t) = 0, 0 < t < +00. 101. Решить краевую задачу щ = а2ихх, 0 < t < +00, г>о? < х < +00, гл(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо, u(vot, t) = /i(f), 0 < t < +00. 102. Решить краевую задачу щ = а2ихх + /(ж, t), 0 < t < +00, г>о? < х < +00, и (ж, 0) = /(ж), 0 < х < +оо, 0 <t < +оо. в) Конечный отрезок. Задачи 103-105 на построение функций ис- источника, предлагаемые в этом пункте, требуется решить двумя спосо- способами: методом отражений и методом разделения переменных; один из них дает хорошее представление для функции источника при малых значениях времени ?, а другой — при больших. 103. Построить функцию влияния мгновенного точечного источ- источника для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверх- поверхностью, если его концы поддерживаются при температуре, равной ну- нулю. Оценить остатки рядов, представляющих решение. 104. Построить функцию влияния мгновенного точечного источ- источника тепла для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его концы также теплоизолированы. Оценить ос- остатки рядов, представляющих решение. 105. Построить функцию влияния мгновенного точечного источ- источника тепла для конечного стержня с теплоизолированной боковой по- поверхностью, если один его конец (х = 0) теплоизолирован, а другой (х = /) поддерживается при нулевой температуре. Оценить остатки рядов, представляющих решение. 106. а) Найти JV, начиная с которого для остатка ряда B) реше- решения задачи 103 выполняется неравенство \RN(x,?,t)\<e A) при 0 ^ ж, f ^ Z, 0 ^ t^t*. б) Найти 7V, начиная с которого для остатка ряда A2) решения задачи 103 выполняется неравенство A) при 0 ^ ж, ? ^ Z, 0 ^ t ^ t*. 107. Решить предыдущую задачу для рядов A) и F) ответа к задаче 104. 108. Решить задачи 103—105 в случае, когда на боковой поверх- поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, тем- температура которой равна нулю.
60 Условия задач 109. С помощью функции источника, найденной в решении зада- задачи 103, решить краевую задачу щ = а2ихх + /(ж, t), 0 < х < I, 0 < t < +оо, u(O,t) = ip(t), u(l,t)=O, 0<?<+оо, и(х, 0) = fo(x), 0 < х < I. 110. С помощью функции источника, найденной в решении зада- задачи 104, решить краевую задачу ut = a2uxx + f(x,t), 0<х<1, 0 < t < +оо, A) ux(O,t)=<p(t), u(l,t) = O, 0<?<+oo, B) u(x,0) = fo(x), 0<x<l. C) 111. Температура одного конца стержня (х = 0) поддерживает- поддерживается постоянной и отличной от нуля, u@,i) = Uo ф 0, а температура другого конца (х = /) все время равна нулю, u(l, t) = 0. Найти тем- температуру стержня, если его боковая поверхность теплоизолирована, а начальная температура равна нулю; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 112. Один конец стержня (х = /) теплоизолирован, а на другой ко- конец (х = 0) подается постоянный тепловой поток [—Лиж@, i) = — Ago]- Найти температуру стержня, если его начальная температура рав- равна нулю, а боковая поверхность теплоизолирована; дать выражение температуры стержня через интеграл ошибок. 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно постоянными коэффициентами и усло- условия сопряжения. 113. Неограниченный стержень —оо<ж<+оос теплоизоли- теплоизолированной боковой поверхностью и постоянным поперечным сечением получен соединением в точке х = 0 двух однородных полуограничен- полуограниченных стержней — оо < ж < 0 и 0<ж<+оо; торцы стержней плотно примыкают друг к другу. Начальная температура, коэффициент тем- температуропроводности и коэффициент теплопроводности левого и пра- правого стержней соответственно равны U\ = const, ai, fci, U2 = const, c&2, fe. Найти температуру составного стержня. 114. Решить предыдущую задачу, если начальная температура 115. Неограниченный стержень составлен из двух полуограни- полуограниченных стержней, как указано в задаче 113. Найти температуру стержня при t > 0, если в момент времени t = 0 в его точке ? = 0 вы- выделилось мгновенно Q = С2р2 единиц тепла, а начальная температура стержня была равна нулю.
Гл. III. Уравнения параболического типа 61 116. На конец полуограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью насажен шарик с теплоемкостью Со и очень большой теплопроводностью, так что в каждый момент времени ша- шарик можно считать равномерно нагретым, а его температуру равной температуре конца стержня. Пусть поверхность шарика также тепло- теплоизолирована. Найти температуру стержня, если его начальная температура равна и(х, 0) = /(ж), 0 < х < +оо, причем /(+0) и /'(+0) существуют. 117. Пусть полупространство х > 0 заполнено жидкостью с ко- коэффициентами температуропроводности и теплопроводности &2, &2 и начальной температурой U2 = const, а плоскость х = 0 поддержи- поддерживается при постоянной температуре U\ < [/2, причем U\ ниже темпе- температуры замерзания жидкости. Найти закон распространения фронта промерзания жидкости, а также температуру жидкости и твердого вещества, в которое жидкость превращается при промерзании.
Глава IV УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям эллиптического типа приводит изучение стацио- стационарных, т. е. не меняющихся во времени, процессов различной физи- физической природы. Сюда относятся стационарные электрические и маг- магнитные поля (электростатика, магнитостатика, поля постоянного электрического тока), потенциальное движение несжимаемой жидкос- жидкости, стационарные тепловые поля и др. Простейшим уравнением эллиптического типа является уравне- уравнение Лапласа Аи = 0, которому в основном и посвящена настоящая глава. Ниже, в гл. VII, помещены задачи для других уравнений эл- эллиптического типа. § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде. В отличие от уравнений гиперболического и параболического типов краевые задачи для эллиптического уравне- уравнения характеризуются отсутствием начальных условий. В зависимости от типа краевых условий для уравнения Лапласа различают: первую краевую задачу (задачу Дирихле), если и\^ = Д, вторую краевую за- задачу (задачу Неймана), если —— = /2, третью краевую задачу, если on е ——\- hu) = /3, где Д, /2, /3 — некоторые функции, заданные на ОП / Е границе Е области, в которой ищется решение уравнения Лапласа. 1. Стационарное температурное поле. Вывести уравнение, ко- которому удовлетворяет температура стационарного теплового поля в однородной среде; при выводе уравнения учесть наличие распределен- распределенных источников тепла, не меняющихся во времени. Дать физическую интерпретацию краевых условий первого, второго и третьего рода. Установить необходимое условие существования стационарной тем- температуры для второй краевой задачи. 2. Уравнение стационарной диффузии. Вывести уравнение ста- стационарного процесса диффузии:
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 63 а) в покоящейся однородной изотропной среде; б) в однородной изотропной среде, движущейся с заданной ско- скоростью, например, вдоль оси х. 3. Уравнение электростатики. Показать, исходя из уравнений Максвелла, что потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Пуассона с правой частью, пропорциональной объемной плотности зарядов р(х, у, z). Дать физическую интерпретацию крае- краевых условий первого и второго рода. 4. Уравнение магнитостатики. Показать, что потенциал ста- стационарного магнитного поля при отсутствии электрических токов удовлетворяет уравнению Лапласа. 5. Поле постоянного электрического тока. Убедиться в том, что потенциал электрического поля постоянного электрического то- тока удовлетворяет уравнению Лапласа. Сформулировать граничные условия: 1) на заземленной идеально проводящей поверхности; 2) на границе с диэлектриком. 6. Потенциальное движение несжимаемой жидкости. Показать, что потенциал скоростей стационарного потока несжи- несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. Написать краевое условие на поверхности твердого тела, покоящегося или дви- движущегося с некоторой заданной скоростью. 7. Основные задачи электростатики. Электростатическое по- поле, создаваемое заряженным проводником конечных размеров, можно определить: 1) задавая значение потенциала проводника; 2) задавая значение заряда проводника. Эти задачи называются первой и второй основными задачами электростатики. Дать математическую формулировку первой и вто- второй задач электростатики. 2. Краевые задачи для уравнения Лапласа в неоднород- неоднородных средах. В неоднородной, но изотропной среде основное уравне- уравнение стационарного поля имеет вид div(&gradu) = О или di (*te) + д~у \kTy) + Tz {k где характеристики среды к = к(х, у, z) — переменная величина. Если коэффициент к терпит разрыв на некоторой поверхности, то на этой поверхности выполняются условия сопряжения Щ = и2, A) где значки 1 и 2 означают соответственно левое и правое предельные значения на поверхности разрыва.
64 Условия задач 8. Решить задачу 1, считая, что коэффициент теплопроводнос- теплопроводности является переменной величиной к = к(х, у, z). Поставить краевую задачу теплопроводности для случая кусочно однородной среды (для случая кусочно постоянного к), предварительно выведя условия со- сопряжения A) и B). Дать физическую интерпретацию этих условий. 9. Написать уравнение для потенциала электрического поля в не- неоднородном диэлектрике с диэлектрической постоянной е = е(х, у, z). Предполагая е(х, у, z) кусочно постоянной, вывести условия сопряже- сопряжения на поверхностях разрыва функции е(х, у, z) и сформулировать соответствующую краевую задачу. 10. Решить задачу, аналогичную задачам 8 и 9, для стационар- стационарного магнитного поля. 11. Решить задачу, аналогичную задачам 8 и 9, для электричес- электрического поля постоянного тока. 12. Подобие различных стационарных полей. Установить подо- подобие между полем постоянного электрического тока, с одной сторо- стороны, и термическим, электростатическим, магнитостатическим поля- полями, полем концентраций стационарного процесса диффузии и полем скоростей потенциального течения несжимаемой жидкости, с другой стороны. Сравнить условия сопряжения на границе разрыва физических констант. § 2. Простейшие задачи для уравнений Лапласа и Пуассона В этом параграфе даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, решения которых могут быть найдены непосредственно, простым подбором, без применения общих методов. 1. Краевые задачи для уравнения Лапласа. 13. Рассмотрим круг радиуса а с центром в начале координат. Пусть (р, ф) — полярные, а (ж, у) — прямоугольные координаты. Най- Найти решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапла- Лапласа, если заданы следующие граничные условия: а) и\ = А: б) и\ = A cos ю\ в) и\ =А-\-Ву: ' \ р=а ' \ р=а ' ' \ р=а г) и\ = Аху: д) и = А + Вsinю\ ' \ р=а ' р=а ' е) и\ = A sin2 ю + В cos2 ю\ J \p=a ^ ^' где А и В — постоянные. 14. Решить вторую внутреннюю краевую задачу ди = № для круга С радиуса а с центром в точке р = 0 для следующих част- Аи = О, Р дп
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 65 ных случаев: а) / = А; б) / = Ах; в) / = А(х2 - у2); г) / = A cosy? + В; д) / = A sin ip + Б sin3 у?. Отметить неправильно поставленные задачи. 15. Найти функции и(р, ip), гармонические вне круга радиуса р = = а и удовлетворяющие граничным условиям а) -е) задачи 13 (первая внешняя краевая задача для круга). 16. Найти функции и = и(р, (/?), гармонические вне круга радиу- радиуса р = а и удовлетворяющие граничным условиям задачи 14 (вторая внешняя краевая задача для круга). 17. Найти функцию и = и(р, (/?), гармоническую внутри кольца а < р < Ь и удовлетворяющую граничным условиям и\ = т, и\ и — и2- Пользуясь решением задачи, найти емкость цилиндрического конден- конденсатора, рассчитанную на единицу длины. 18. Найти функцию, гармоническую внутри кругового сектора О < р < а, 0 < у? < а, если и_ = — (/?, ^1—0, и _ = ^о- 19. Найти решение уравнения Лапласа в полуплоскости у > 0, принимающее при 2/ = 0 граничные значения и = ipi при ж < 0; и = = у?2 ПРИ ж > 0, и сравнить его с решением задачи 18. 20. Определить функцию и, гармоническую: а) внутри сферы радиуса г = а; б) вне сферы г — а; и принимающую на сфере значение щ. 21. Определить стационарное распределение температуры внут- внутри сферического слоя а < г < Ь, если сфера г = а поддерживается при температуре щ, сфера г = Ь — при температуре и2. 22. Пользуясь решением задачи 21, найти емкость сферического конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической посто- постоянной е = const и ограниченного сферами г — а и г — Ь. 23. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного не- неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной Г Е\ при а < г < с, \ 82 При С < Г <Ъ. 24. Решить задачу, аналогичную предыдущей задаче, для ци- цилиндрического конденсатора. 25. Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса а, заряженной до потенциала щ и помещенной в неограниченную среду со следующим распределением диэлектрической постоянной: ' е\ при а < г < с, е2 при г > с. 5 Б.М. Будак и др.
66 Условия задач Рассмотреть частные случаи: а) с = оо; б) е2 = оо; в) е\ = е2 = е. 26. Найти электростатическое поле бесконечного проводящего цилиндра радиуса р = а, заряженного до потенциала щ и окруженно- окруженного диэлектрической обкладкой, ограниченной цилиндрической поверх- поверхностью радиуса р = 6, на которой поддерживается нулевой потенциал. 27. Найти функцию и, гармоническую внутри слоя, ограниченно- ограниченного плоскостями z = 0 и z = h, если 28. Найти емкость плоского конденсатора, рассчитанную на еди- единицу площади обкладок, если между обкладками конденсатора нахо- находится диэлектрик с диэлектрической постоянной е. Рассмотреть два случая: 'Е\ при 0 < z 62 при hi < z < h. Определить функцию и = и(х, у), гармоническую внутри прямо- прямоугольника 0<ж<а, 0 < у < b и удовлетворяющую условиям а) е = const при 0 < z < /г, б)г=< и(х.О) = ui. u(x,b) = u2, — = 0. 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона. 30. Найти решение уравнения Пуассона Аи = 1 внутри круга радиуса р = а, если и\ _а = 0. 31. Решить уравнение Аи = Л внутри круга радиуса р = а при граничном условии ¦7Г- оп р=а выбрав постоянную В так, чтобы задача имела решение. 32. Требуется определить решение уравнения Аи = А внутри кольца а < р < b при следующих граничных условиях: а) и\ = и\. и\ , = и2: б) и\ = и\. -г— — С: ' \р=а \р=Ь ' \р=а Qn р=ь -a un p=b Определить постоянные, при которых задачи имеют решения. 33. Найти решения: а) уравнения Аи = 1; б) уравнения Аи = Аг + В; внутри сферы г < а, если на сфере выполняется граничное усло- условие и\ _ =0. 34. Найти внутри сферического слоя а < г < b решения урав- уравнений: Г) а) Аи = 1; б) Аи = А + —; при граничных условиях и\г_а = 0, и г_ь = 0.
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 67 § 3. Функция источника Функция влияния точечного источника (функция Грина) являет- является весьма мощным средством решения краевых задач для уравнения Лапласа и Пуассона. Настоящий параграф содержит задачи на построение функции источника для ряда областей, допускающие применение метода зер- зеркальных изображений (метода отражений); при этом исходной являет- е 1 ся функция источника в неограниченном пространстве, равная , 4тг г где — — мощность источника (заряд). 4тг Возможны различные физические интерпретации функции источ- источника (электростатическая, термическая и т.д.). При формулировке задач мы обычно пользуемся электростати- электростатической интерпретацией функции источника, предполагая границы об- областей идеально проводящими и заземленными. Задачи на построение функции источника методом разделения пе- переменных даны в § 4. 1. Функция источника для областей с плоскими грани- границами. 35. Найти потенциал поля точечного электрического заряда, по- помещенного над идеально проводящей заземленной плоскостью z = О, и вычислить плотность поверхностных индуцированных зарядов. На- Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа в по- полупространстве z ^ 0. 36. Найти потенциал точечного заряда внутри слоя, ограничен- ограниченного двумя идеально проводящими плоскостями z = 0 и z = /, которые поддерживаются при потенциале, равном нулю. Исследовать сходимость ряда, построенного методом отражений, и показать воз- возможность двукратного почленного дифференцирования этого ряда. 37. Рассмотреть задачу о точечном источнике тока в проводящем слое 0 < z < I, изолированном вдоль плоскостей z = 0 и z = 1. Найти компоненты электрического поля и убедиться в том, что непосредственное применение метода отражений для нахождения по- потенциала дает расходящийся ряд. 38. Рассмотреть задачу 37, считая, что одна стенка изолирована, а на второй — потенциал поля равен нулю. Исследовать сходимость рядов для потенциала. 39. Построить функцию источника для уравнения Аи = 0 в по- полупространстве z > 0 при граничном условии третьего рода ——\- hu = 0 при z = 0. dz 40. Найти потенциал точечного заряда внутри «полуслоя» 0 ^ ^ z ^ /, х ^ 0, ограниченного плоскостями z = 0, z — I и ж = 0, считая, что стенки идеально проводящие и имеют нулевой потенциал. 5*
68 Условия задач 41. Внутри двугранного угла величиной а = тг/п (п — натураль- натуральное число), ограниченного идеально проводящими стенками с нуле- нулевым потенциалом, точечный электрический заряд. Найти электричес- электрическое поле, порождаемое этим зарядом. 42. Двугранный угол задачи 41 пересекают две идеально про- проводящие плоскости z = 0 и z = /, перпендикулярные к ребру двугранного угла. Внутри области, ограниченной двугранным углом и этими плоскостями, помещен точечный заряд. Потенциал всех плоскостей равен нулю. Определить потенциал поля этого заряда. Рассмотреть частные случаи: а) а = тг (ср. с задачей 36); б) / —У оо (ср. с задачей 35). 43. Внутри двугранного угла задачи 41 помещен источник тепла мощностью Q. Найти стационарное распределение температуры внутри этого угла, если его стенки теплоизолированы. 44. Решить с помощью функции источника первую краевую зада- задачу внутри двугранного угла величиной а = тг/n, где п — натуральное число, если на его сторонах заданы граничные условия и\ =0, и\ =V. 45. Решить с помощью функции источника первую краевую за- задачу для уравнения Лапласа в полуплоскости у > 0, если Г 0 при х < 0, U у=о ~ | V при х > 0. 46. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого то- точечным зарядом внутри бесконечной цилиндрической полости, счи- считая, что граница области идеально проводящая и имеет нулевой потенциал, а перпендикулярное сечение полости имеет форму пря- прямоугольника со сторонами а и Ъ. 47. Решить задачу 46, предполагая, что перпендикулярное сече- сечение имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. 48. Решить задачу 46 для полубесконечной цилиндрической по- полости z > 0. 49. Найти выражение для потенциала точечного заряда внутри прямоугольного параллелепипеда с идеально проводящими стенками, которые поддерживаются при нулевом потенциале. 2. Функция источника для областей со сферическими (круговыми) и плоскими границами. 50. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого то- точечным зарядом е внутри заземленной сферы. 51. Пользуясь решением задачи 50, найти плотность поверхност- поверхностных зарядов, индуцированных на сфере, и написать решение первой
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 69 внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа внутри сферы; по- получить отсюда формулу Пуассона, дающую решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа (см. [7, гл. IV, с. 327]). 52. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого то- точечным зарядом, находящимся вне заземленной сферы. 53. Пользуясь решением задачи 52, вычислить плотность поверх- поверхностных зарядов на сфере и написать решение первой внешней крае- краевой задачи для сферы. 54. а) Внутри бесконечной цилиндрической полости кругового се- сечения электростатическое поле создается заряженной нитью, парал- параллельной оси цилиндра. Найти потенциал этого поля. б) Решить ту же задачу, если заряженная нить находится вне цилиндра. в) Решения задач а) и б) использовать для построения решения задачи Дирихле внутри и вне круга. 55. Найти функцию источника для Аи = 0 внутри заземленного полушара, а также четвертой части шара. 56. Построить функцию источника для задачи Дирихле: а) внутри полукруга; б) внутри четвертой части круга; в) внутри сектора с углом раствора а = тг/п. 57. Найти потенциал поля, создаваемого точечным зарядом е внутри сферического слоя, ограниченного двумя концентрическими проводящими заземленными сферами с радиусами а и Ъ. Исследовать сходимость построенного ряда, а также рядов, получающихся при двукратном почленном дифференцировании исходного ряда. Рассмотреть предельные случаи а —> 0 и Ъ —>- оо и сравнить с решениями задач 50 и 52. 58. Построить внутри кольца а ^ р ^ Ь функцию источника для задачи Дирихле. Рассмотреть предельные случаи а ч 0 и & 4 оо и сравнить с решением задачи 54. 59. Найти поле точечного заряда е в неограниченном простран- пространстве в присутствии проводящей сферы, на которой распределен заряд величиной е\. Вычислить плотность поверхностных зарядов, индуци- индуцированных на сфере. 3. Функция источника в неоднородных средах. 60. Найти поле точечного заряда в неограниченном пространстве, заполненном неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной ' Е\ При Z > 0, S = Л 62 При Z < 0. Вычислить поверхностную плотность, а также величину заряда, ин- индуцированного на границе раздела z = 0.
70 Условия задач 61. Полупространство z > 0 заполнено неоднородной проводящей средой, проводимость которой равна (Т\ при z > /г, Л CF2 при 0 < z < h. В точке М@,0,С) помещен точечный источник тока. Определить электрическое поле на поверхности проводника (при z = 0). Рассмотреть случай ? = 0 (источник на поверхности). 62. Заземленный проводящий лист, лежащий в плоскости у, z, имеет сферическую выпуклость радиуса а с центром в начале коор- координат; все полупространство у < 0, лежащее ниже плоскости ж, z, заполнено диэлектриком с диэлектрической постоянной еъ\ среда, за- заполняющая полупространство у > 0 над плоскостью у = 0, имеет диэлектрическую постоянную Е\. Найти потенциал точечного заряда, помещенного над плоскостью у = 0 в точке Мо(хо,Уо-> ^оM причем ч- 63. Полупространство z > 0 заполнено неоднородной проводящей средой, проводимость которой равна при у < 0, СГ2 При ?/ > 0. В точке Mq@, —/г, () помещен точечный источник тока мощностью /о. Найти потенциал электрического поля, а также плотность тока при у = о, с = о. 64. В бесконечном пространстве в точках @, во, ipo) и (с, во, ipo) находятся две заземленные проводящие сферы с радиусами а и Ь. В точке р = ро на линии, соединяющей центры сфер, помещен заряд е. Найти потенциал поля вне сфер. § 4. Метод разделения переменных 1. Краевые задачи для круга, кольца и сектора. 65. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лап- Лапласа внутри круга. 66. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Лап- Лапласа вне круга. 67. Написать решение второй краевой задачи для уравнения Аи = 0: а) внутри; б) вне круга. 68. а) Написать решение третьей внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в круге, если граничное условие записывается в виде ди ——\- hu = f при о — а. др б) Найти также решение третьей внешней краевой задачи для круга.
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 71 69. Бесконечный проводящий цилиндр (цилиндрический кондук- кондуктор) заряжен до потенциала при 0 < ip < тг, при тг < (р < 2тг, где Vi и V2 — постоянные. Найти поле внутри и вне цилиндрической полости, а также плот- плотность поверхностных зарядов и суммарный заряд. 70. Найти решение: а) внутренней; б) внешней краевых задач; для уравнения Лапласа, если на границе круга заданы условия: 1) о \ 3) и и р=а р=а A simp; ( A sin ip Wsin 2) и р=а при при = A sin3 0 < <р тг < ip < < тг, 2тг. 71. Найти распределение температуры в бесконечно длинном круглом цилиндре, если на его поверхности на единицу длины задан тепловой поток Q = q cos ip. 72. Решить задачу 69, предполагая, что цилиндр заполнен неод- неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной при р < а, ^ ?2 при а < р < Ь, где Ь — радиус цилиндра. 73. Бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса а движется с постоянной скоростью г?о перпендикулярно к своей оси в неограни- неограниченной несжимаемой жидкости, которая на бесконечности находится в покое. Найти потенциал скоростей жидкости. 74. Решить задачу об обтекании неподвижного бесконечного ци- цилиндра, если на бесконечности скорость жидкости равна г?о- 75. а) Твердый шар движется с постоянной скоростью г?о в без- безграничной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Найти потенциал скоростей. б) Решить задачу об обтекании неподвижного твердого шара по- потоком жидкости, имеющим на бесконечности скорость vq. 76. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной ?]_, по- помещенный в безграничный однородный диэлектрик с диэлектрической постоянной 62 (б2 ф ?i), находится в однородном параллельном внеш- внешнем поле с напряженностью Eq. Найти величину поляризации шара и его дипольный момент. 77. Решить задачу 76 для бесконечного диэлектрического ци- цилиндра кругового сечения (р ^ а), считая, что внешнее поле Eq на- направлено перпендикулярно к оси цилиндра. 78. Проводящий шар находится во внешнем электростатическом поле Eq. Найти величину искажения внешнего поля.
72 Условия задач 79. Бесконечный проводящий цилиндр находится в однородном внешнем электрическом поле Eq, направленном вдоль оси ж; образу- образующая цилиндра параллельна оси z. Найти плотность поверхностного заряда на цилиндре. 80. Решить внутреннюю задачу Дирихле для кольца а ^ р ^ Ъ. 81. Найти распределение температуры в твердом теле, ограни- ограниченном бесконечными цилиндрическими поверхностями с радиусами а и Ь (а < 6), если на поверхности цилиндра р = а поддерживается по- постоянная температура ^о, на поверхности р = Ь при 0 < ip < тг поддер- поддерживается температура ^о, а при тг < ip < 2тг — температура, равная нулю. 82. По бесконечному коаксиальному цилиндрическому кабелю а < р < Ъ протекает постоянный ток силы /. Найти распределение температуры внутри провода, если поверхность р — а поддерживается при температуре, равной нулю, а на внешней границе задан тепловой поток, равный A cos2 (/?, где tp — полярный угол. 83. На границе тонкой пластинки в форме кругового сектора р ^ ^ а, 0 ^ (р ^ а задана температура \ 0 при (р = 0 и (р = а. Найти стационарное термическое поле в пластинке. Рассмотреть частный случай иг при 0 < (р < а/2, fup) = < [^ при а/2 < (р < а. 84. Найти стационарное распределение температуры в тонкой пластинке, имеющей форму кругового сектора, радиусы которого под- поддерживаются при температуре щ, а дуга окружности — при темпе- температуре U2- 85. Найти электростатическое поле внутри бесконечного цилинд- цилиндра, перпендикулярное сечение которого имеет форму полукруга; по- поверхность цилиндра, соответствующая диаметру полукруга, заряже- заряжена до потенциала Vi, а остальная поверхность — до потенциала V2. 86. Решить уравнение Лапласа внутри кольцевого сектора, огра- ограниченного дугами окружностей р = а, р = Ь и радиусами ip = О, ср = а, если заданы следующие условия на границах: и = 0 при ср = 0, ip = а, //О) при р = а, | F(ip) при р = Ъ. Рассмотреть предельные случаи а —>- О, Ь —>- оо, а = тг. 87. Решить задачу 86 для частного случая /(</?) = и0, F{ip) = 0. 88. Определить магнитное поле токов, один из которых течет в длинном прямом проводе в одном направлении, а другой — в парал-
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 73 лельном проводе, находящемся от первого на расстоянии а, в обратном направлении. 89. Пусть в бесконечной круглой цилиндрической пленке течет ток параллельный оси z, с плотностью тока г. Найти вектор-потен- вектор-потенциал магнитного поля, создаваемого этим током. 90. Цилиндр или провод круглого сечения с магнитной прони- проницаемостью ijli помещен в среду с магнитной проницаемостью \i2- По проводу протекает ток /. Внешнее магнитное поле направлено перпен- перпендикулярно к оси провода и всюду параллельно и однородно. Опреде- Определить полное магнитное поле в точках внутри и вне цилиндра, считая цилиндр бесконечно длинным. 91. Вычислить величину магнитной индукции снаружи цилинд- цилиндрического экрана с внутренним и внешним радиусами а и 6, имеющего магнитную проницаемость цъ и окружающего два параллельных пря- прямолинейных провода, расположенных симметрично относительно оси цилиндра и несущих противоположно направленные токи (магнитное экранирование двухпроводной линии); цилиндр следует считать бес- бесконечно длинным; координаты проводов р = со, #о = О и 00 = п. 92. Полый шар 0 < г < Ъ помещен в однородное параллельное магнитное поле. Пусть \i — магнитная проницаемость шара, в то время как магнитная проницаемость внешней среды принята равной единице. Найти искаженное магнитное поле во всем пространстве. Срав- Сравнить поле внутри шара с внешним полем для случая ц > 1 и для случая \i < 1. 2. Краевые задачи для полосы, прямоугольника, плоского слоя и параллелепипеда. 93. Найти решение общей первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри прямоугольника. 94. Решить смешанную краевую задачу для уравнения Лапласа внутри прямоугольника, если: а) на двух соседних сторонах заданы краевые условия первого рода, а на двух других сторонах — условия второго рода; б) на двух противоположных сторонах заданы условия первого рода, а на двух остальных — условия второго рода. 95. Найти электростатическое поле внутри области, ограничен- ограниченной проводящими пластинами у = 0, у = Ъ и ж = О, если пласти- пластина х = 0 заряжена до потенциала V, пластины у = 0, у = Ъ заземлены, а заряды внутри рассматриваемой области отсутствуют. 96. Решить задачу 95, предполагая, что граница у = Ъ поддержи- поддерживается при потенциале Vq. Рассмотреть предельный случай Ъ —у оо. 97. Решить уравнение Аи = 0 внутри прямоугольника 0 ^ х ^ а, О ^ У ^ Ь при следующих краевых условиях: и = V при х = О, и = 0 при х — а и у — 0, и — Vo при у — Ь. Совершая предельный переход а —> оо, получить решение задачи 96.
74 Условия задач 98. Полу слой задачи 95 заполнен неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной ' Е\ при 0 < у < h, л при h < у < Ь. Найти электростатическое поле в диэлектрике. 99. Найти электростатическое поле внутри бесконечной цилинд- цилиндрической трубы прямоугольного сечения со сторонами а и 6, запол- заполненной неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной ' Е\ при 0 < у < /г, ^ при h < у < Ь, если стенка х = 0 заряжена до потенциала 1/, а остальные стенки заземлены. Рассмотреть случай, когда стенка х = а удаляется в бес- бесконечность. 100. Решить задачу 99 при условии, что заряжена стенка у = 6, а остальные стенки заземлены. 101. Через грань у = 0 бесконечного цилиндра с прямоугольным сечением О^ж^а, 0 ^ у ^ b втекает, а через грань х = 0 вытекает количество тепла Q. Найти распределение температуры внутри цилиндра, считая, что тепловой поток равномерно распределен по поверхности грани х = О и соответственно по поверхности грани х = 0, а остальные две грани тела теплоизолированы. 102. Найти распределение температуры внутри прямоугольной тонкой пластинки, если к одной из ее сторон подводится постоянный поток до 5 а остальные три стороны поддерживаются при постоянной температуре и\. 103. Найти решение общей первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри прямоугольного параллелепипеда. 104. Найти электростатическое поле внутри прямоугольного па- параллелепипеда с проводящими стенками, если его боковые грани и верхнее основание заземлены, а нижнее основание заряжено до потен- потенциала V. С помощью предельного перехода получить решения задач 95 и 96. 105. Решить задачу 104, если боковые грани заряжены до потен- потенциала У, а оба основания заземлены. 3. Задачи, требующие применения цилиндрических функ- » 1 \ ции J. 106. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа внутри ограниченного цилиндра р ^ а, 0 ^ z ^ /, если и = 0, u\z=Q = f(p, <p), u\z=l=F(p,<p). _ х) В пунктах 3 и 4 даны задачи, решаемые методом разделения перемен- переменных, но требующие применения цилиндрических и сферических функций. Часть задач была решена в § 2 методом подбора решений.
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 75 107. Решить задачу 106, если u\z=0 = f(p), u\z=l = F(p), где / и F — функции, зависящие только от р. 108. Найти функцию и(р, ip, z), гармоническую внутри огра- ограниченного цилиндра, обращающуюся в нуль на его основаниях и при- принимающую заданные значения на поверхности р = а: и\ =f(z). \р=а J \ / Рассмотреть частные случаи: a) f(z) = /о = const; б) f(z) = Az (l - ^ 109. Найти решение общей первой краевой задачи для уравнения Лапласа внутри ограниченного цилиндра. 110. Найти выражение для потенциала электростатического поля внутри цилиндрической коробки кругового сечения р ^ а, 0 ^ z ^ /, оба основания которой заземлены, а боковая поверхность заряжена до потенциала Vq. Определить напряженность поля на оси. Рассмотреть предельный случай / —у оо. 111. Решить задачу 110 при условии, что боковая поверхность и верхнее основание коробки заземлены, а нижнее основание поддержи- поддерживается при постоянном потенциале Vb- С помощью предельного перехода получить решение задачи для полубесконечного цилиндра. 112. Решить задачи 110, 111 для полубесконечного цилиндра, сравнив с результатами соответствующего предельного перехода в ре- решениях задач 110 и 111. 113. Определить стационарное распределение температуры внут- внутри твердого тела, имеющего форму ограниченного цилиндра, если к нижнему основанию z = 0 подводится постоянный тепловой поток д, боковая поверхность р = а и верхнее основание z = / поддерживаются при температуре, равной нулю. 114. Решить предыдущую задачу, предполагая, что на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 115. Решить задачи 113 и 114 для полуограниченного цилинд- цилиндра (I = оо) и сравнить полученный результат с пределом решений за- задач 113 и 114 при / —у оо. 116. Найти напряженность электростатического поля внутри то- роида а < р < Ь, 0 < z < /, если его внешняя боковая поверхность р = Ь заряжена до потенциала Vb, а остальная граница заземлена. Рассмотреть предельные случаи: 1) / —у оо; 2) а —> 0 (сравнить с решением задачи 110). 117. Основания тороида (а < р < Ь, 0 < z < I) поддерживаются при постоянной температуре щ, а боковая поверхность — при темпе- температуре щ. Найти стационарное распределение температуры внутри тороида.
76 Условия задач 118. Найти стационарное распределение температуры внутри то- роида прямоугольного сечения (а < р < Ь, 0 < z < I), если: 1) боковая поверхность теплоизолирована, а основания поддержи- поддерживаются при постоянной температуре щ] 2) боковая поверхность теплоизолирована, температура нижнего основания z = 0 равна нулю, а верхнее основание поддерживается при температуре и\. 119. Решить задачу 117, если на нижнем основании задана по- постоянная температура ^о, а остальная поверхность тороида поддер- поддерживается при нулевой температуре. 120. С помощью метода разделения переменных получить выра- выражения для потенциала точечного заряда, помещенного внутри огра- ограниченного цилиндра р^а, 0 < z < h с проводящими стенками. Показать, что из решения с помощью предельных переходов полу- получаются выражения для потенциала точечного заряда в слое 0 ^ z ^ h, в полупространстве и неограниченном пространстве. 121. Решить предыдущую задачу для полубесконечного цилинд- цилиндра z > 0; сравнить полученный результат с соответствующим преде- пределом решения задачи 120. 122. Решить задачу 120 для бесконечного цилиндра методом раз- разделения переменных, сравнить с пределом решения задачи 120. 4. Задачи, требующие применения сферических и ци- цилиндрических функций. 123. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа внутри сферы радиуса а. 124. Решить первую краевую задачу для уравнения Лапласа вне сферы радиуса а. 125. Найти решение второй краевой задачи для уравнения Лапласа: а) внутри сферы; б) вне сферы. о ди Рассмотреть случаи простейшего граничного условия: —— = on е = A cos в. 126. Найти напряженность электростатического поля внутри и вне сферы, верхняя половина которой заряжена до потенциала Vi, a нижняя — до потенциала V^. 127. Найти разложение по сферическим функциям поверхностных зарядов, индуцированных на идеально проводящей заземленной сфере точечным зарядом, находящимся: а) внутри сферы; б) вне сферы. 128. Решить предыдущую задачу для изолированной заряженной сферы, находящейся в поле точечного заряда. 129. а) Твердый шар движется с постоянной скоростью в безгра- безграничной несжимаемой жидкости, покоящейся на бесконечности. Найти потенциал скоростей. б) Решить задачу об обтекании неподвижного твердого шара по- потоком жидкости, имеющим на бесконечности скорость vq.
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 77 130. Диэлектрический шар с диэлектрической постоянной е\ на- находится во внешнем однородном поле Eq, параллельном некоторой оси z. Определить искажение внешнего поля, вызываемое шаром, если окружающая его среда — однородный диэлектрик с е = г 2. 131. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара ра- радиуса а в поле точечного заряда, если диэлектрическая постоянная {Е\ при г < а, \б2 при г > а. Рассмотреть два случая: а) заряд находится вне шара; б) заряд помещен внутрь шара. 132. Проводящий шар с проводимостью g\ находится в среде с ПРОВОДИМОСТЬЮ G2- Определить токи, создаваемые точечным источником тока си- силы /, помещенным: а) внутри шара; б) вне шара. 133. Решить предыдущую задачу, считая шар идеально прово- проводящим. Сравнить с задачей 132. 134. Точечный источник тепла Q находится в присутствии не- непроводящего шара. Найти стационарное распределение температуры вне шара. 135. Внутри сферы, на поверхности которой происходит тепло- теплообмен со средой нулевой температуры, помещен точечный источник мощности Qq. Найти стационарное распределение температуры внут- внутри сферы. 136. Найти потенциал точечного заряда, помещенного между проводящими заземленными концентрическими сферами г = а и г = Ъ. Определить также плотность поверхностных зарядов. 137. Неоднородный диэлектрический шар радиуса Ъ с диэлектри- диэлектрической постоянной [ Е\ при г < а, \ 82 при а < г < b находится в среде с диэлектрической постоянной е%. Определить поле точечного заряда, помещенного: 1) вне шара г > Ь; 2) внутри шара г < а; 3) в области а < г < Ь. Рассмотреть предельные случаи. 138. Найти поле внутри диэлектрической оболочки, ограничен- ограниченной концентрическими сферами с радиусами а и Ь {Ь > а), помещен- помещенной в однородное параллельное электростатическое поле напряжен- напряженности Eq; диэлектрическая постоянная оболочки ?]_, диэлектрическая постоянная среды 82- 139. Вычислить приближенно распределение заряда на внутрен- внутренней обкладке несимметричного сферического конденсатора, предпола- предполагая, что расстояние между центрами внутренней и внешней прокладок мало.
78 Условия задач 140. Найти потенциал заряженного тонкого кольца, полный заряд которого равен е. 141. Сферические координаты круглого кольца равны г о = а, во = а. Шар радиуса Ь из диэлектрика с диэлектрической постоян- постоянной Е\ расположен так, что его центр находится в начале координат. Найти выражение для потенциала между кольцом и сферой, если ли- линейная плотность заряда кольца равна к. Диэлектрическая постоян- постоянная среды равна ?2. 142. Вычислить потенциал электростатического поля заряженно- заряженного тонкого кольца, помещенного внутри сферы с проводящими стенка- стенками, если на сфере поддерживается потенциал, равный нулю. Центры сферы и колодца совпадают. Вычислить нормальную составляющую электрического поля на сфере г — а. 143. Вычислить потенциал во всех точках проводящего шара с проводимостью а в том случае, когда ток / входит в один его по- полюс в = 0 и вытекает из полюса в = тг. 144. Найти потенциал поля, создаваемого по одну сторону от бесконечной диэлектрической пластинки толщиной / точечным заря- зарядом е, расположенным с противоположной стороны пластинки. 145. К поверхности земли z = 0 подводится ток / с помощью точечного электрода. Определить потенциал на поверхности земли, считая, что удельная проводимость земли до глубины z = h равна <ti , а на большей глубине она равна сг2. Полученное решение применить для случая двух электродов, находящихся в точках х = а и х = —а. 146. Сферический электрод радиуса а до половины погружен в землю, проводимость которой аг в горизонтальном направлении больше, чем в вертикальном ав (анизотропия). Найти распределение потенциала на поверхности земли, предполагая, что на поверхности электрода потенциал V = Vb- Указание. Следует ввести вместо z новую переменную t = az, a2 = —. При этом уравнение (Jr(Vxx + Vyy) + cf^Vzz = 0 переходит в уравне- уравнение Vxx + Vyy + Vtt = 0. § 5. Потенциалы и их применение В настоящем параграфе помещены задачи на вычисление объем- объемного и поверхностных потенциалов для некоторых простейших случа- случаев, а также краевые задачи, которые могут быть решены методами теории потенциалов. 147. Найти объемный потенциал V шара при постоянной плот- плотности р = ро, поставив краевую задачу для V и решая ее. 148. Решить задачу 147 прямым вычислением объемного интег- интеграла.
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 79 149. Найти объемный потенциал: а) масс, распределенных с постоянной плотностью в сферическом слое а ^ г ^ Ь; б) масс, распределенных внутри шара радиуса а с постоянной плотностью р\ и в сферическом слое a<b<r<cc постоянной плотностью р2\ в) масс, распределенных внутри сферы радиуса г = с с перемен- переменной плотностью р = р(г). Получить отсюда решение задач 149, а) и 149,6). 150. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоян- постоянной плотностью v = щ на сфере. 151. Найти электростатическое поле объемных зарядов, равно- равномерно распределенных внутри шара, расположенного над идеально проводящей плоскостью z = 0. 152. Найти логарифмический потенциал круга с постоянной плотностью заряда. 153. Найти логарифмический потенциал простого слоя отрезка с постоянной плотностью заряда. 154. Найти логарифмический потенциал двойного слоя отрезка с постоянной плотностью моментов. 155. Определить потенциал простого слоя, равномерно распреде- распределенного по круглому диску. 156. Найти вектор-потенциал кругового тока. 157. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Ди- Дирихле: а) внутри круга, б) вне круга. 158. Найти решение задачи Неймана для круга, пользуясь потен- потенциалом простого слоя. 159. Решить первую и вторую краевые задачи для уравнения Лапласа в полупространстве, пользуясь поверхностными потенциалами. 160. Найти решение задачи Дирихле в полуплоскости, пользуясь потенциалом простого слоя. 161. Рассмотрим поверхности Е второго порядка, определяемые уравнением 222 х + У + * =i + + =i о? + s Ъ2 + s с2 + s где а > Ъ > с. Если — с2 < s < 00, то поверхности суть эллипсоиды, при — b2 < s < — с2 — однополостные гиперболоиды, при — а2 < s < < — Ъ2 — двухполостные гиперболоиды. При s = 00 мы имеем сферу с бесконечным радиусом, а при s = — с2 эллипсоид сплющивается в эллиптический диск, лежащий в плоскости ху. Показать, что поверхности рассматриваемого семейства могут быть эквипотенциальными, а их потенциал определяется по фор- формуле
80 Условия задач где А и В — постоянные, определяемые из условий на бесконечности и на поверхности Е. 162. Пользуясь решением предыдущей задачи, найти выражение 2 2 2 X У Z для потенциала заряженного проводящего эллипсоида ^т + тт Н—т = а2 о2 с2 = 1, на котором распределен заряд е. (Диэлектрическая проницае- проницаемость среды е.) Определить емкость эллипсоида, а также поверхностную плот- плотность заряда на эллипсоиде. Рассмотреть эллипсоид вращения. 163. Пользуясь решением задачи 162, вычислить поверхностную плотность заряда для эллиптического диска. Определить потенциал, емкость и плотность зарядов для круглого диска. 164. Показать, что гравитационный потенциал однородного эл- эллипсоида дается интегралами оо /^ fix У Z' в) ' J—— ds внутри эллипсоида, о [S) ОО /1 ii'T* it у' * ц ] ' \*—— ds вне эллипсоида, rtySj где о о о " v 7 O1 " ' a2 + s h2 + s c2+sJ R{s) = y/(s + a2)(s + b2)(s + c2), po — объемная плотность потенциала, Л — эллипсоидальная коорди- координата — положительный корень s = Л уравнения /(ж, у, z;s) = 0. 165. Вычислить гравитационный потенциал: а) вытянутого эллипсоида вращения; б) сплюснутого эллипсоида вращения (см. задачу 162). Рассмотреть предельный переход к однородному шару. 166. Найти логарифмический потенциал эллиптической области с постоянной плотностью с помощью прямого вычисления интегралов. 167. Проводящий эллипс, определяемый уравнением заряжен до потенциала Vb. Определить потенциал вне эллипса, а так- также плотность зарядов, распределенных на эллипсе. 168. Вычислить силу взаимодействия двух коаксиальных прово- проволочных петель Са и Сь с радиусами а и 6, по которым протекают токи / и /'. Контуры расположены в параллельных плоскостях z = 0 и z = б?, центры их находятся в точках х = у = z = 0 и ж = ^/ = 0,
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 81 169. Вычислить коэффициент взаимной индукции двух коакси- коаксиальных проволочных колец 1 и 2, пользуясь формулой л /г I л л / fds\ ds2 Л/Г Mi2 = ф A2ds1 = а ф ф = M2i, J J J г 1 12 где А2 — вектор-потенциал поля, создаваемого током единичной си- силы, текущим по контуру 2; \i — магнитная проницаемость среды. 170. Показать, что выражение для потенциала, созданного заря- заряженным кольцом радиуса а, имеет вид V = < 2е Г — К о (Xa)Io(Xp) cos XzdX при р < а, 7Г? J 0 оо — / Io(Xa)Ko(Xp) cos XzdX при р > а, где е — заряд кольца. 171. Показать, что потенциал, созданный в окружающем прост- пространстве диском радиуса а, несущим заряд е, равен ?0, 6 Б.М. Будак и др.
Глава V УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения параболического типа получаются при исследовании таких явлений, как теплопроводность, диффузия, распространение электромагнитного поля в проводящих средах, движение вязкой жидкости, движение грунтовых вод и др. В настоящей главе рассматривается постановка и решение крае- краевых задач для уравнений параболического типа в случае, когда изуча- изучаемые физические процессы характеризуются функциями двух, трех или четырех независимых переменных; она является продолжением главы третьей, в которой рассматриваются уравнения параболичес- параболического типа для функций двух независимых переменных. § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач 1. Полупространство z > 0 заполнено жидкостью с коэффици- коэффициентом теплопроводности Л, плотностью массы р и удельной теплоем- теплоемкостью с. Поставить краевую задачу о нагревании жидкости, если жидкость движется со скоростью vo = const в направлении оси ж, между нею и плоскостью z = 0 происходит теплообмен по закону Ньютона, темпе- температура граничной плоскости у = 0 равна щ. Рассмотреть, в частнос- частности, случай стационарного распределения температуры при условии, что переносом тепла в направлении оси х за счет теплопроводности можно пренебречь по сравнению с переносом тепла движущейся мас- массой жидкости. 2. Сформулировать диффузионную задачу, аналогичную зада- задаче 1, предполагая плоскость z = 0 непроницаемой для частиц диффун- диффундирующего вещества; поставить соответствующие краевые задачи в нестационарном и стационарном случаях. 3. Вывести уравнение диффузии для вещества, частицы кото- которого: а) распадаются (например, неустойчивый газ, радон), причем ско- скорость распада в каждой точке пространства пропорциональна кон- концентрации;
Гл. V. Уравнения параболического типа 83 б) размножаются (например, диффузия нейтронов при наличии деления ядер), причем скорость размножения в каждой точке прост- пространства пропорциональна концентрации. 4. Поставить краевую задачу о распространении электромагнит- электромагнитного поля в неограниченном пространстве, заполненном проводящей средой с проводимостью а — const, магнитной проницаемостью \i — — const и диэлектрической постоянной е = const. 5. Поставить краевую задачу об остывании неограниченной плос- плоской пластины, если на ее поверхности происходит конвективный теп- теплообмен с окружающей средой, температура которой равна нулю. Рассмотреть, в частности, случай, когда изменение температуры по толщине пластины пренебрежимо мало. 6. Круглая цилиндрическая труба заполнена жидкостью с очень большой теплопроводностью1); вне трубы находится воздух с тем- температурой Uo = const. Поставить краевую задачу об определении температуры трубы, предполагая, что она не зависит от расстояния, отсчитываемого вдоль трубы. 7. Бесконечный круглый цилиндр радиуса го с моментом инер- инерции К на единицу длины находится в вязкой жидкости; при t > О он приводится во вращение действием момента М на единицу длины. Пользуясь выражением в цилиндрических координатах уравне- уравнений движения вязкой жидкости и составляющих тензора напря- напряжений ), поставить краевую задачу о движении вязкой жидкости и цилиндра. 8. Слой грунта лежит на водонепроницаемом горизонтальном ос- основании и содержит в себе грунтовые воды. Вектор U потока грун- грунтовых вод связан с вектором V скорости движения частиц этих вод соотношением jj _ ту где коэффициент т называется пористостью грунта. Сила сопротивления, приложенная к частице воды, отнесенная к удельному весу воды, согласно экспериментальному закону равна t-\u, где к есть так называемый коэффициент фильтрации 3). Назовем избыточным давлением отнесенную к удельному весу во- воды разность между истинным и гидростатическим давлением в грун- грунтовых водах. Поставить краевую задачу о движении свободной поверхности грунтовых вод при следующих предположениях: 1) горизонтальная составляющая градиента избыточного давле- давления пренебрежимо мала; 2) инерционные силы, действующие на частицы грунтовых вод, пренебрежимо малы. х) Речь идет о суммарной теплопроводности, включая перенос тепла конвективными токами жидкости. 2) См. ответы и указания. 3) По поводу терминологии см. [23].
84 Условия задач § 2. Метод разделения переменных1) I. Краевые задачи, не требующие применения специаль- специальных функций. В этом пункте рассматриваются такие краевые за- задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в виде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. а) Однородные среды. 9. Найти температуру параллелепипеда 0 ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ I2, О ^ z ^ /з? если его начальная температура является произвольной функцией ж, у z, а температура поверхности поддерживается рав- равной нулю. 10. Решить предыдущую задачу для куба с ребром /, если в на- начальный момент он был равномерно нагретым. Найти момент вре- времени, начиная с которого в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > О2). II. Найти температуру параллелепипеда 0 ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ ^ hj 0 ^ z ^ /з5 на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры, если его начальная тем- температура равна /(ж, у, z)\ рассмотреть, в частности, случай, когда /(ж, у, z) — Uo = const. 12. На поверхности куба, равномерно нагретого в начальный мо- момент времени, происходит конвективный теплообмен со средой, тем- температура которой равна нулю. Найти выражение для температуры в центре куба и определить момент времени, начиная с которого в центре куба заведомо будет иметь место регулярный режим с относи- относительной точностью е > 0. 13. Стенки полуограниченной прямоугольной трубы 0 ^ ж < < +оо, 0 ^ 2/ ^ /i, 0 ^ z ^ I2 поддерживаются при температуре, равной нулю. По трубе с постоянной скоростью vo в направлении оси ж движется некоторая среда. Найти температуру движущейся сре- среды, пренебрегая переносом тепла в направлении оси ж за счет тепло- теплопроводности3) при следующих условиях: 1) процесс стационарен; 2) между средой и стенками трубы происходит теплообмен по закону Ньютона; 3) температура среды в сечении ж = 0 равна Uo = const. 14. Пусть в кубе 0 ^ ж, у, z ^ / происходит диффузия вещест- вещества, частицы которого размножаются со скоростью, пропорциональной концентрации (см. задачу 3). Найти критические размеры куба, т.е. найти длину ребра /, начиная с которой процесс размножения приоб- приобретает лавинный характер4). Рассмотреть случаи, когда: г) См. вторую сноску на с. 29. 2) См. гл. III, § 2, задачу 22. 3) См. задачу 1. 4) Более подробно о понятии критических размеров см. [7, с. 471].
Гл. V. Уравнения параболического типа 85 а) на всех гранях концентрация поддерживается равной нулю; б) все грани непроницаемы; в) все грани полупроницаемы. 15. Найти температуру шара радиуса го, поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю. В начальный момент времени температура шара была равна u\t=0= /(г), 0 ^ г <г0. 16. Начальная температура шара 0 ^ г ^ г0 равна u\t=0= Uo = const, а на поверхности шара поддерживается температура U\ = const. Най- Найти температуру шара при t > 0. Определить момент времени, начиная с которого в центре шара заведомо будет иметь место регулярный ре- режим с относительной точностью е > 0. 17. Начальная температура шара 0 ^ г ^ г0 равна u\t=0= Uo = const, а внутрь шара через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности q. Найти температуру шара при t > 0. 18. Найти температуру шара радиуса го, на поверхности которо- которого происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей темпе- температуру, равную нулю. Начальная температура шара равна u\t=Q=f(r), O^r <r0. 19. Начальная температура шара 0 ^ г ^ г0 равна u\t=0= Uo = const, а на его поверхности происходит конвективный теплообмен со сре- средой постоянной температуры U\ = const. Найти температуру шара при t > 0. Определить момент времени, начиная с которого в центре ша- шара заведомо будет иметь место регулярный режим с относительной точностью е > 0. 20. Начальная температура шара 0 ^ г < г о равна u\t=o= ^° = const> а на его поверхности с момента t = 0 происходит конвективный теп- теплообмен со средой, температура которой равна Uo + cd, 0 < t < +oo, Uo = const, a = const. Найти температуру шара при t > 0. 21. Решить задачу об остывании сферической оболочки г\ ^ г ^ ^ г2, на внутренней и внешней поверхностях которой происходит кон- конвективный теплообмен со средой, имеющей нулевую температуру. На- Начальная температура оболочки равна u\t=Q= f(r), n <r < г2. 22. В замкнутом сферическом сосуде 0 ^ г ^ R происходит диф- диффузия вещества, частицы которого размножаются, причем скорость
86 Условия задач размножения пропорциональна концентрации (см. задачу 14). Найти критические размеры сосуда. Рассмотреть случаи, когда: а) на поверхности сосуда поддерживается концентрация, равная нулю; б) стенка сосуда непроницаема; в) стенка сосуда полупроницаема. б) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы. 23. Найти температуру балки прямоугольного поперечного сече- сечения 0 ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ /2, составленной из двух однородных балок (с различными физическими свойствами) с поперечными сечениями О ^ ж ^ ж0, 0 ^ у ^ /2 и ж0 ^ ж ^ /ь 0 ^ у ^ 12; торцы балки теплоизолированы, а боковая поверхность поддерживается при темпе- температуре, равной нулю. Начальная температура балки равна u\t=Q= f(x,y), О^ж^/i, O^y^h- 24. Найти температуру прямоугольного параллелепипеда, состав- составленного из двух однородных прямоугольных параллелепипедов [0 ^ ^ ж ^ ж0, 0 ^ у ^ Z2j 0 ^ z ^ /3] и ко ^ х ^ /х, 0 ^ у ^ /2, 0 ^ z ^ /3], изготовленных из различных материалов. Поверхность составного па- параллелепипеда поддерживается при температуре, равной нулю, а его начальная температура равна u\t=0= /(ж, y,z), o^x^h, о ^у <: г2, о^ z ^ h. 25. Шар 0 ^ г ^ г\ составлен из однородного шара 0 ^ г ^ г0 и однородной сферической оболочки го ^ г ^ г\, изготовленных из раз- различных материалов. Найти температуру шара, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная темпе- температура шара равна u\t=o=f(r), 0^r<n. 26. Во внутренней полости толстой сферической оболочки r\ ^ ^ г ^ г2 содержится жидкость с очень большой теплопроводностью, т. е. такая, что ее температура все время равна температуре внут- внутренней поверхности оболочки. Найти температуру оболочки, если ее внешняя поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна u\t=0= f(r), ri ^г ^ r2. 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций. В настоящем пункте рассматриваются такие краевые за- задачи для областей, ограниченных плоскостями, сферами и круговыми цилиндрами, решения которых выражаются рядами по общим собст- собственным функциям оператора Лапласа для этих областей, т.е. таким собственным функциям, в состав которых входят цилиндрические или сферические функции. а) Однородные среды. 27. Решить задачу о нагревании бесконечного круглого цилинд- цилиндра 0 ^ г ^ го, начальная температура которого равна нулю, а на его
Гл. V. Уравнения параболического типа 87 поверхности поддерживается температура Uq = const. Найти также в условиях регулярного режима приближенное выражение для темпе- температуры, средней по поперечному сечению цилиндра. 28. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра при условии, что начальная температура равна u\t=0=U0(l-r2/rl), а на его поверхности поддерживается температура, равная нулю. Най- Найти в условиях регулярного режима приближенное выражение для тем- температуры, средней по поперечному сечению цилиндра. 29. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра 0 ^ г ^ ^ го, если его начальная температура равна u\ \t=o= ^° а на его поверхность с момента t = 0 извне подается постоянный теп- тепловой поток плотности q. 30. Найти температуру бесконечного круглого цилиндра радиу- радиуса го, если начальная температура равна u\t=0= /(r)> ° ^ Т ^ го> а на поверхности цилиндра происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Рассмотреть, в частности, случай, когда /(г) = Uo = const, и написать приближенное выражение для температуры в условиях регулярного режима. 31. Начальная температура неограниченного круглого цилинд- цилиндра 0 ^ г ^ го равна u\t=o= ^° = const> а на поверхности цилиндра происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна U\ = const. Найти температуру цилиндра при t > 0. 32. Решить предыдущую задачу, если температура среды рав- равна U\ + at, где U\ и а — постоянные. 33. Вне бесконечного круглого проводящего цилиндра 0 ^ г ^ ^ го в момент t = 0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Hq, параллельное оси цилиндра. Найти напряженность магнитного поля внутри цилиндра при ну- нулевых начальных условиях; найти затем поток магнитной индукции через поперечное сечение цилиндра. 34. Решить предыдущую задачу, если напряженность внешнего магнитного поля равна Н = Но cos cut, Но = const, 0 < t < +оо. 35. Начальная температура бесконечной круглой цилиндрической трубы ri ^ г ^ Г2 равна u\t=0= /(Г)' Г1 ^ Г ^ Г2' Найти температуру трубы при t > 0, если на ее внутренней по- поверхности поддерживается температура U\ = const, а на наружной поверхности — температура U2 = const.
Условия задач 36. Температура бесконечной круглой цилиндрической трубы равна нулю при t < 0. С момента t = 0 через ее внешнюю поверхность подается снаружи постоянный тепловой поток плотности д, а внут- внутренняя поверхность трубы поддерживается при температуре, равной нулю. Найти температуру трубы при t > 0. 37. Решить задачу об остывании бесконечной круглой цилиндри- цилиндрической трубы, на внешней и внутренней поверхностях которой про- происходит конвективный теплообмен со средой нулевой температуры. В начальный момент времени труба была равномерно нагретой. 38. Между двумя концентрическими цилиндрами бесконечной длины находится вязкая жидкость. В момент t = 0 внешний цилиндр начинает вращаться с угловой скоростью и = const. Определить скорость движения жидкости. 39. Найти температуру неограниченного круглого цилиндра 0 ^ ^ г ^ го, если его начальная температура равна u\t=Q= /(г, (р), 0 ^ г ^ г0, 0 ^ (р <: 2тг, а на поверхности поддерживается температура, равная нулю. 40. Найти температуру неограниченного круглого цилиндра 0 ^ ^ г ^ го, если его начальная температура равна u\t=0= /(г, (р), 0 ^ г ^ г0, 0 ^ (р <: 2тг, а на поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 41. Найти температуру неограниченной круглой цилиндрической трубы ri ^ г ^ г2, если ее начальная температура равна u\t=Q= f(r, (p), ri<r<r2, 0 ^ (р ^ 2тг, а на внешней и внутренней поверхностях поддерживается температу- температура, равная нулю. 42. Найти температуру неограниченной круглой цилиндрической трубы ri ^ г ^ г2, если ее начальная температура равна u\t=Q= f(r, (f), 7*1 < 7* < 7*2, 0^(^^27Г, а на внешней и внутренней поверхностях происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 43. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора О^г^ 7*0, 0 ^ ср ^ сро, если на поверхности г = г о и гранях ip = 0 и (р = (fo поддерживается температура, равная нулю, а начальная температура равна u\t=Q= f(r, (p), 0<r<ro, 0<(f<(po. 44. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора О^г^ 7*0, 0^</?^</?о, если на поверхности г = г о происходит кон- конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, грани (р = 0 и (р = (р0 теплоизолированы, а начальная температура равна - 4t=o=/(r'W' 0<г<7*о, 0<(р<(ро.
Гл. V. Уравнения параболического типа 89 45. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора ^1 ^ Т ^ Г2, 0 ^ у? ^ (fo, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна u\t=Q= f(r, (р), ri<r<r2, 0 < <р < <р0. 46. Найти температуру бесконечного цилиндрического сектора fi ^ т ^ r2j 0 ^ ip ^ (foj если на поверхностях г = ri и г = = Г2 происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, грани (р = 0 и <р = <р0 теплоизолированы, а начальная температура равна u\t=Q= f(r, (р), ri<r<r2, 0 < ip < (f0. 47. Найти температуру конечного круглого цилиндра 0 ^ г ^ го, 0^</?^2тг, 0^2;^/, поверхность которого поддерживается при температуре, равной нулю, если начальная температура равна 48. Найти температуру конечного круглого цилиндра 0 ^ г ^ ^ Пь 0 ^ </? ^ 2тг, 0 ^ z ^ /, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей температуру, равную нулю, если начальная температура цилиндра равна 49. Решить задачу об остывании шара радиуса го, на поверхнос- поверхности которого поддерживается температура, равная нулю. Начальная температура шара равна u\t=Q= /(г,в,(р), 0^г<го, О^в^п, 0^(р^2тг. 50. Решить задачу об остывании шара радиуса го, если на его поверхности происходит конвективный теплообмен со средой, темпе- температура которой равна нулю. Начальная температура шара равна и\ _п= /(г, в, (/?), 0 ^ г < го, 0^#^7г, 0 ^ у? ^ 2тг. 51. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки ri ^ т ^ т2-> на внешней и внутренней поверхностях которой поддер- поддерживается температура, равная нулю. Начальная температура оболоч- оболочки равна u\t=Q= f(r,O,(p), n<r<r2, (К#^7г, (К</?^2тг. 52. Решить задачу об остывании толстой сферической оболочки fi ^ т ^ Г2 ? на внешней и внутренней поверхностях которой происхо- происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. Начальная температура оболочки равна 6) Неоднородные среды; сосредоточенные факторы. 53. Неоднородный круглый цилиндр O^r^ri, 0^</?^ 2тг, 0^2;^/ составлен из однородного цилиндра О^г^го, 0^</?^2тг, 0 ^ z ^ / и однородной цилиндрической трубы ro^r^ri, 0^(/?^ ^ 2тг, 0^2;^/, изготовленных из различных материалов.
90 Условия задач Найти температуру составного цилиндра, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная темпе- температура равна u\t=Q= f(r, (f, z), 0^r<rb 0^</?^2тг, 0<z<l 54. Решить задачу об остывании бесконечной цилиндрической трубы ri ^ г ^ г2, заполненной охлаждающей жидкостью, если тем- температура охлаждающей жидкости все время равна температуре внут- внутренней поверхности трубы, а внешняя поверхность теплоизолирована. Начальная температура трубы равна u\t=Q= f(r), n <r < г2. 55. Решить предыдущую задачу, предполагая, что на внешней поверхности трубы происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 56. Цилиндр радиуса г\ с моментом инерции К на единицу длины погружен в жидкость и приводится во вращение моментом М = const на единицу длины. Определить движение жидкости и цилиндра, если жидкость за- заполняет пространство между цилиндром и неподвижной коаксиаль- коаксиальной трубой с внутренним радиусом г2 > т\. Цилиндр и трубу счи- считать бесконечно длинными. В начальный момент времени цилиндр и жидкость покоились. 57. Вне полого цилиндрического проводника г\ ^ г ^ г2 беско- бесконечной длины в момент t = 0 мгновенно установилось постоянное магнитное поле Hq, параллельное оси проводника. Найти магнитное поле в проводнике при нулевых начальных усло- условиях, предполагая, что во внутренней полости оно однородно, а также что вне и внутри трубы вакуум. 58. Неоднородный шар 0 ^ г ^ г\ составлен из однородного шара 0 ^ г ^ го и однородной сферической оболочки го ^ г ^ ri, изготов- изготовленных из различных материалов. Найти температуру шара, если его поверхность поддерживается при температуре, равной нулю, а начальная температура равна и t=o=f(r,e,<p), § 3. Метод интегральных представлений В настоящем параграфе рассматривается применение интеграль- интегральных представлений к решению краевых задач теории теплопроводнос- теплопроводности. Сначала идут задачи на применение интеграла Фурье, затем на построение и применение функций источников. 1. Применение интеграла Фурье. 59. Найти распределение температуры в неограниченном прост- пространстве, начальная температура которого равна u\t=0= /(ж' 2/' *)' ~°° <х, у, z < +оо. Рассмотреть также частный случай, когда /(ж, у, z) не зависит от z.
Гл. V. Уравнения параболического типа 91 60. Найти температуру неограниченного пространства, вызванную непрерывно действующими источниками с плотностью д(ж, u, z,i); начальная температура пространства равна нулю. Рассмотреть также частные случаи, когда д(х, у, z,t) не зависит от t и когда д(х, у, z,t) не зависит от z. 61. Решить краевую задачу щ = а2Аи, —оо < ж, у < +оо, 0 < z < +оо, 0 < t < +оо, u\z=0= 0, -оо < ж, у < +00, 0 < t < +00, u\t_0= f(x, V-, z), —°° < х-> У < +оо, 0 < z < +00. Рассмотреть также частный случай, когда / не зависит от у. 62. Решить краевую задачу щ = а2Аи, -оо < ж, у < +00, 0 < z < +оо, 0 < t < +оо, u\z=0= /(ж, у, t), -оо < ж, у < +00, 0 < t < +00, <м|^_о= 0, —оо < ж, у < +00, 0 < z < +00. Рассмотреть также частный случай, когда / не зависит от у. 63. Решить краевую задачу щ = а2Аи, —оо < ж, у < +00, 0 < z,t < +оо, ^|.^0= 0, -оо < х, у < +00, 0 < t < +00, ult=o~ ^(ж' 2/'^)' ~°° < ж' У < +00' 0 < ^ < +00. 64. Решить краевую задачу г^ = а2Аи, —оо < ж, у < +оо, 0 < z,t < +оо, ^^|2=0= /(^, y,t), -оо < ж, 2/ < +оо, 0 < ? < +00, u\t=o= 0' ~°° < xi У < +°°> 0 < z < +00. 65. Решить краевую задачу г^ = а2Аи, —оо < ж, и < +оо, 0 < z,t < +оо, uz — hu = 0, —оо < ж, 2/ < +00, z = 0, 0 < t < +оо, u\t=0= f(xJ У^), -оо < ж, 2/ < +00, 0 < z < +00. Рассмотреть также частный случай, когда / не зависит от у. 66. Решить краевую задачу щ = а2Аи, —оо < ж, у < +00, 0 < z,t < +оо, uz = /г[и — /(ж, 2/, ?)], —оо < ж, и < +00, z = 0, 0 < t < +оо, и|^_0= 0, —оо < х, у < +00, 0 < z < +00. 67. Решить краевую задачу щ = а2Аи + /(ж, и, z, t), -оо < х, у < +оо, 0 < z, t < +оо, ^|2=0= 0, -оо < х, у < +00, 0 < t < +00, и|^_0= 0, —оо < х, у < +00, 0 < z < +00.
92 Условия задач 68. Найти температуру неограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением 0 ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ I2, — оо < z < +оо, если ее начальная температура равна u\t=Q= f(x,y, z), О^ж^/i, 0^y^l2, -00 ^ z ^ +00, а на поверхности: а) поддерживается температура, равная нулю; б) имеет место тепловая изоляция; в) происходит конвективный теплообмен со средой нулевой тем- температуры. 69. Решить предыдущую задачу для полуограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением: 0 ^ ж ^ /i, 0 ^ У ^ fa, 0 < < z < +оо; рассмотреть случаи, соответствующие граничным усло- условиям а) и б). 70. Найти температуру бесконечно круглого цилиндра 0 ^ г ^ го, О ^ </? ^ 2тг, — оо < z < +оо, если его начальная температура равна u\t=0= f(rJ <Р, z), 0 ^ г < r0, 0 ^ (f ^ 2тг, -оо < z < +00, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю; б) поверхность теплоизолирована; в) на поверхности происходит конвективный теплообмен с окру- окружающей средой, температура которой равна нулю. 71. Найти температуру полуограниченного круглого цилинд- цилиндра 0 ^ г ^ го, 0 ^ ip ^ 2тг, 0 ^ z < +00, если его начальная темпе- температура равна u\t=Q= /(r, <p, z), 0 ^ <р ^ 2тг, О^г^го, 0 < z < +оо, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю; б) поверхность теплоизолирована. 72. Найти температуру неограниченного цилиндрического сек- сектора О^г^го, 0 ^ ip ^ (foj —00 < z < +00, если его начальная температура равна U\t=0= /(Г> Ч>, z)i 0 < (р < </?о, 0 < Г < Г0, -00 < 2 < +00, а на поверхности выполняется одно из следующих граничных условий: а) температура поверхности поддерживается равной нулю; б) поверхность теплоизолирована. 73. Решить предыдущую задачу для полуограниченного цилинд- цилиндрического сектора О^г^го, 0 ^ ip ^ ipo, 0 ^ z < +00. 74. Найти температуру пластинки, имеющей форму неограничен- неограниченного сектора 0^г<+оо, 0^</?^</?о, если ее начальная температура равна u\t=0= /(r> <Р)> 0 < г < +00, 0 < (р < </?о, а на краях пластинки: а) поддерживается температура, равная нулю; б) имеет место тепловая изоляция. 75. Решить предыдущую задачу, предполагая, что один край пластинки теплоизолирован, а температура другого поддерживается равной нулю.
Гл. V. Уравнения параболического типа 93 76. Найти температуру неограниченного клина с углом раство- раствора (/?о, если на его гранях: а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция. 77. Найти температуру неограниченного пространства с беско- бесконечной круглой цилиндрической полостью, если начальная темпера- температура равна нулю, а температура на поверхности полости поддержи- поддерживается равной Uq. 2. Построение и применение функций влияния мгновен- мгновенных точечных источников тепла. 78. Доказать, что решением краевой задачи ди _ 2(д2и д2и д2иЛ ,. u\t=0 = h{x)f2{y)h{z), -оо < ж, у, z < +оо B) является произведение решений ui(x,i), U2(y,i), us(z,i) краевых задач dt dx2 ' ' ' v J ui\t=0 = fi(x)> -оо < ж <+00, B') ~JT~ = ft2 Tnti —°° < У < +00, 0 < t < +00, A") u2\t=0 = /2B/), -00 < у < +oo, B") 0 < t < +00, A'") «з|4=0 = /зСг), -oo<z<+oo. B'") 79. Воспользовавшись выражением функций влияния мгновен- мгновенных точечных источников тепла для прямых —оо <ж < +оо, —оо < <2/<+оо, —оо<2;<+оои предположением, сформулированным в задаче 78, написать выражение функции влияния мгновенного точеч- точечного источника тепла для пространства — оо < ж, у, z < +00. 80. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей зада- задаче, решить краевую задачу щ = а2Аи + F(x, у, z,t), —00 < ж, у, z < +00, 0 < t < +00, u\t=0 = /(ж, у, z), -00 < ж, у, z < +оо. 81. Выразить функции влияния мгновенного точечного источни- источника тепла для полупространства —оо<ж,^/<+оо, 0<z<+oo, отвечающие граничным условиям: а) и _ = 0; б) uz\ _ = 0; в) (uz — hi через соответствующие одномерные функции влияния, аналогично то- тому, как это было сделано в решении задачи 79.
94 Условия задач 82. С помощью функций влияния, найденных в предыдущей за- задаче, решить краевые задачи: а) щ = а2Аи + F(x, ?/, z, i), —оо < ж, у < +оо, 0 < z, t < +00, u\z=0 — $(x,y,t), ~°° < x-> У < +°°> 0 <t < +00, u\t=0 = f(x,y,z), -00 < ж, ?/<+00, 0 < 2 < +00; б) щ = а2 Аи + F(x, ^/, z, t), -00 < x, у < +oo, 0 < z, t < +00, uz\z=0 = Ф(Х,У^), -oo < x, у < +00, 0 < ? < +00, ^|j=o = f(x->y->z)'> ~°° <Х,У < +°°> 0 < 2; < +00; в) щ = a2Aw + F(x, ^/, z, t), —00 < x, у < +00, 0 < z, t < +00, (uz — hu)\z_Q = /гФ(ж,^/,^), —oo < x, у < +oo, 0 < ? < +00, ^|j=o = f{x->y->z)-> ~°° < x-> У < +°°5 0 < 2; < +00. 83. Пусть D есть конечная, полубесконечная или бесконечная цилиндрическая область, параллельная оси z, и пусть ее пересече- пересечением с плоскостью ху является область Dxy. Пусть на поверхности области D заданы граничные условия первого, второго или третьего рода. Доказать, что функцией влияния мгновенного точечного источни- источника тепла для области D является соответственно произведение функ- функций влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного отрезка, полуоси или всей оси z на функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для плоской области Dxy. 84. Воспользовавшись предложением, сформулированным в пре- предыдущей задаче, написать выражение функции влияния мгновенного точечного источника тепла для плоского слоя —оо < ж, у < +оо, О < z < I. Рассмотреть случаи, когда на граничных плоскостях z = О и z = I: а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция; в) одна из граничных плоскостей (z = 0) теплоизолирована, а на другой (z — I) поддерживается нулевая температура; г) на обеих граничных плоскостях происходит конвективный теп- теплообмен со средой нулевой температуры. 85. Построить функцию влияния мгновенного точечного источ- источника тепла для неограниченной балки с прямоугольным поперечным сечением 0 ^ ж ^ /i, О^^/^Ь, — оо < z < +оо, если на поверхности балки: а) поддерживается нулевая температура; б) имеет место тепловая изоляция. 86. Построить функцию влияния мгновенного точечного источни- источника тепла для прямоугольного параллелепипеда 0 ^ ж ^ /i, О^^/^Ь, О ^ z ^ Ь- Рассмотреть случаи, когда поверхность параллелепипеда: а) поддерживается при нулевой температуре; б) теплоизолирована.
Гл. V. Уравнения параболического типа 95 87. Методом отражений построить функцию влияния мгновен- мгновенного точечного источника тепла для неограниченного клина с углом раствора тг/m, где т — натуральное число. Рассмотреть случаи, когда граничные плоскости ip = 0 и ip = тг/m: а) поддерживаются при температуре, равной нулю; б) теплоизолированы. 88. Найти распределение температуры в неограниченном прост- пространстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на сфери- сферической поверхности радиуса г' выделилось мгновенно Q равномерно распределенных единиц тепла. (Построение функции влияния мгно- мгновенного сферического источника тепла.) 89. С помощью функции источника, найденной в предыдущей за- задаче, решить краевую задачу ди о {д2и , 2 диЛ и(г, 0) = F(r), 0 < г < +оо, где г = \/х2 +у2 + z2. 90. Найти распределение температуры в неограниченном пространстве, вызванное тем, что в начальный момент времени на каждой единице длины бесконечной цилиндрической поверхности ра- радиуса г' выделилось Q равномерно распределенных единиц тепла. (По- (Построение функции влияния мгновенного цилиндрического источника тепла.) 91. С помощью функции влияния, найденной в предыдущей зада- задаче, решить краевую задачу ди 2 ( д2и , 1 ди\ . г/ ,ч п ^ , ^ , /1ч а { + )+f^^ °<M<+oo A) u(r, O) = F(r), 0<r<+oo, B) где г = л/х2 + у2. 92. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника для уравнения диффузии, если среда, в которой происходит диффузия, движется с постоянной скоростью v относительно рассматриваемой системы координат. 93. Найти функцию влияния неподвижного точечного источника постоянной мощности для уравнения диффузии в среде, движущейся с постоянной скоростью v в направлении оси ж, если процесс диффузии стационарен и если переносом вещества в направлении оси х можно пренебречь по сравнению с переносом за счет движения среды (см. задачу 2). 94. Решить предыдущую задачу для полупространства 0 < z < < +оо, рассмотрев случаи, когда: а) плоскость z = 0 непроницаема; б) на плоскости z = 0 поддерживается концентрация, равная нулю; в) плоскость z = 0 полупроницаема, причем под ней (т. е. при z < 0) поддерживается концентрация, равная нулю.
96 Условия задач и t=o ~ \ о 95. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра- неограниченном пространстве, выделяемого точечным источником мощнос- мощности f(t) с координатами х = </?(?), у = ifi(t), z — >c(t), если начальная концентрация этого вещества в пространстве равна нулю. 96. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра- неограниченном пространстве, начальная концентрация которого равна = const при 0 ^ г < го, t=0 \0 при го < г < +00, где г — радиус-вектор сферической системы координат. 97. Решить предыдущую задачу для полупространства z > О, предполагая, что zq < го, @, 0, zq) — координаты центра сферы, в ко- которой начальная концентрация равна Uq. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость z = 0 непроницаема для диффундирующего ве- вещества; б) на плоскости z = 0 поддерживается концентрация, равная нулю. 98. Найти концентрацию диффундирующего вещества в неогра- неограниченном пространстве, если его начальная концентрация равна = const при 0 ^ г < го, при г0 < г < +00, где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат. 99. Решить предыдущую задачу для полупространства х ^ О, предполагая, что цилиндр параллелен оси z и его ось пересекает плос- плоскость z = 0 в точке (жо,0), где хо > г$. Рассмотреть случаи, когда: а) плоскость х = 0 непроницаема для диффундирующего ве- вещества; б) на плоскости х = 0 поддерживается концентрация, равная нулю. 100. Канал с вертикальными стенками и непроницаемым дном внезапно заполняется водой так, что в одной его части, при х < 0, по- получается уровень воды Hi = const, а в другой, при х > 0, уровень воды В.2 — const, и в дальнейшем эти уровни поддерживаются неизменны- неизменными (см. рис. в ответе задачи, вертикальная ось Н перпендикулярна к плоскости чертежа). В начальный момент уровень грунтовых вод в грунтовом слое у > 0 равен Hq = const. Считая, что слой лежит на непроницаемом основании, являющем- являющемся продолжением дна канала, найти уровень грунтовых вод Н(х, y,t) при t > 0 (у > 0). 101. На поверхности сферической полости 0 ^ г ^ г о неограни- неограниченного пространства температура должна меняться по закону и\ _ = (f(t), где tp(t) — заданная функция времени; начальная тем- температура пространства равна нулю. Какой тепловой поток нужно подавать из сферической полости в пространство для обеспечения такого закона изменения температуры на поверхности полости?
Глава VI УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям гиперболического типа приводят динамические за- задачи механики сплошных сред (акустики, гидродинамики, аэродина- аэродинамики, теории упругости) и задачи электродинамики1). В настоящей главе рассматривается постановка и решение краевых задач гипербо- гиперболического типа для функций двух или большего числа независимых переменных, так что эта глава является продолжением и развити- развитием гл. II, в которой рассматриваются задачи гиперболического типа лишь для функций двух независимых переменных. Как и в гл. II, колебания сплошных сред всюду в этой главе считаются малыми в общепринятом смысле слова. § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач В этом параграфе рассматривается постановка краевых задач для процессов механики сплошных сред. Постановка краевых задач элек- электродинамики рассматривается в гл. IV2). 1. Поставить краевую задачу о распространении малых возмуще- возмущений в однородном идеальном газе, заполняющем неограниченное прост- пространство, принимая за функцию, характеризующую процесс, одну из величин: плотность газа р, давление в газе р, потенциал скоростей частиц газа U, вектор скорости частиц газа v = iv^ + jv^ + kv^3\ потенциал смещений частиц газа Ф, или вектор смещения частиц га- газа и = ivS1' + ju^ + кьУК Показать, что через каждую из этих ве- величин может быть выражена любая другая из этих же величин. 2. Вывести граничные условия для потенциала скоростей частиц газа U3), потенциала смещений Ф, плотности р и давления р на плос- плоскости, ограничивающей полупространство, заполненное этим газом. х) Уравнения релятивистской теории тяготения при известных прене- пренебрежениях также принадлежат к гиперболическому типу. 2) См. также [7, с. 440-451]. 3) По поводу обозначений см. ответ к задаче 1.
98 Условия задач Рассмотреть случаи, когда эта плоскость: а) неподвижна, б) движется с дозвуковой скоростью в направлении своей нормали по заданному закону. 3. Пространство заполнено двумя различными идеальными газа- газами, границей раздела которых является поверхность Е ). Предпола- Предполагая, что невозмущенные давления в обоих газах одинаковы, поставить краевую задачу о распространении малых возмущений в газе. 4. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мембраны с неподвижно закрепленным краем, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопро- сопротивления колебаниям мембраны. Примечание. Задача о колебаниях мембраны является двумер- двумерным аналогом задачи о колебаниях струны2). 5. Поставить краевую задачу о колебаниях мембраны, натяну- натянутой на отверстие замкнутого сосуда, учитывая изменение давления в сосуде, вызываемое колебаниями мембраны, и считая скорость рас- распространения малых возмущений в газе значительно большей скорос- скорости распространения волн в мембране (задача о колебаниях мембраны барабана). 6. Вывести уравнение распространения малых возмущений в га- газе, движущемся с постоянной скоростью относительно выбранной сис- системы координат. 7. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном об- обтекании неподвижного клина симметричным плоскопараллельным по- потоком идеального газа. 8. Поставить краевую задачу о сверхзвуковом стационарном об- обтекании круглого конуса идеальным газом в направлении оси конуса, считая невозмущенный поток однородным, а возмущения, вызванные конусом, малыми. 9. Пусть уровень идеальной жидкости в бассейне с горизонталь- горизонтальным дном и вертикальными стенками в невозмущенном состоянии ра- равен h = const. При малых колебаниях свободной поверхности могут возникнуть движения, при которых частицы жидкости, лежащие на любой вертикали, движутся в горизонтальных направлениях одина- одинаково. Пусть ?(x,y,i) означает возвышение возмущенной поверхности над уровнем покоящейся жидкости. Считая давление р в возмущен- возмущенной жидкости на глубине равным гидростатическому, поставить кра- краевую задачу о распространении малых возмущений в слое, принимая за функцию, характеризующую процесс: 1) ?(x,y,t); 2) потенциал (горизонтальных) скоростей частиц жидкости, если давление ро на поверхности жидкости остается постоянным (см. задачу 7 гл. II, § 1). х) Геометрическая поверхность. Предполагается, что за рассматрива- рассматриваемое время границу раздела газов Е можно считать бесконечно тонкой поверхностью. 2) См. гл. II, § 1, а также [7, с. 31-34].
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 99 10. Поставить краевую задачу 9 для случая, когда ро является заданной функцией x,y,t, принимая за функцию, характеризующую процесс, потенциал горизонтальных скоростей. 11. Вывести уравнения движения центра масс бесконечно малого элемента упругой среды, беря элемент в виде прямоугольного парал- параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат. 12. Пользуясь законом Гука для однородной изотропной упругой среды, представить уравнения движения, найденные в предыдущей задаче, в форме, содержащей только составляющие вектора объемных сил и вектора смещения U = iu(x, у, z, t) + jv(x, у, z, t) + kw(x, у, z, t), и доказать, что «всестороннее растяжение» 0 = div U и вихрь В = = rot U удовлетворяют, каждый в отдельности, волновому уравнению Даламбера -^f- = а2Ао?, причем для 0 константа а2 = —, а для В дН р константа а = — ). Р Примечания. 1. Всякий вектор U однозначно определяется по его расходимости div U и вихрю rot U (см. [14, с. 209]). 2. Форма элемента упругой среды, имеющего в недеформирован- ном состоянии вид, описанный в задаче 11, в деформированном состо- состоянии определяется величинами ди ди ди _ _ dv ди Ъу-Ъх - 2te + *V dv , dw ^ = 7 = 1 dz dy dw , du Izx-lxz- dx + dz, образующими тензор деформации &x Ixy Ifxz (Д) = lyx ?y lyz Izx Izy ?z В случае, когда среда является однородной и изотропной, компоненты тензора напряжений (см. ответ к предыдущей задаче) Jx >xy Тух (Уу TZx ' yz связаны следующими соотношениями с компонентами тензора дефор- деформаций: _ ' дх" dz' I/z — I zii — г) «Продольные» упругие волны распространяются быстрее «попереч- «поперечных». 7*
100 Условия задач dv ди дх ду где 0 = div U, а А и \л — константы Ламэ, связанные следующим образом с модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона т: F _ //(ЗА + 2fj) _ А Коэффициент Пуассона т характеризует отношение к продольному растяжению соответствующего поперечного сжатия. Модуль сдвига 13. Представляя вектор объемных сил в виде F = grad Ф + rot В (о возможности представления произвольного вектора в таком виде см. [14, с. 209]), доказать, что если р —-|- = (А + 2/л)А(р + Ф, р —— = = /л А А + В, то вектор U = grad(/? + rot А удовлетворяет уравнениям движения, полученным в задаче 12. 14. Задача о распространении возмущений в упругой среде на- называется плоской, если составляющая w вектора смещения U и со- составляющая Z вектора плотности объемных сил F = гХ + jY + kZ равны нулю, а остальные величины не зависят от z. Например, за- задача о распространении деформаций в тонкой пластинке, вызванных силами, действующими в ее плоскости, является плоской1). Доказать, что в случае плоской задачи вектор смещения U выра- выражается через два скалярных потенциала, каждый из которых удовле- удовлетворяет соответствующему волновому уравнению. 15. Выразить через компоненты вектора U и тензора (Н) (см. задачу 12) граничные условия для распространения упругих возму- возмущений в однородном изотропном полупространстве, если ограничива- ограничивающая плоскость а) свободна, б) фиксирована жестко. Выразить для плоской задачи эти граничные условия через ска- скалярные потенциалы (см. задачу 14). 16. Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях круг- круглой цилиндрической трубы под действием радиальной силы F(r,t), где F(r, t) — сила, приходящаяся на единицу массы, отстоящую на расстоянии г от оси трубы. 17. Поставить краевую задачу о радиальных колебаниях упругой сферической оболочки г\ ^ г ^ Г2 под действием переменного давле- давления p(t) во внутренней полости. 18. Вывести дифференциальное уравнение для отклонения от не- невозмущенного состояния точек тонкой изотропной однородной плас- пластинки, совершающей малые поперечные колебания. Рассмотреть, в частности, случай, когда пластинка лежит (и прикреплена) на упру- упругом основании. Примечание. Задача о поперечных колебаниях пластинки яв- является двумерным аналогом задачи о поперечных колебаниях стержня (см. § 1 гл. II). Более подробно см. [26, с. 92].
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 101 19. Переходя к полярным координатам, поставить краевую зада- задачу о поперечных колебаниях круглой пластинки, если край пластинки защемлен жестко. 20. В начале координат неограниченного пространства x,y,z, представляющего собой вакуум, находится электрический диполь, па- параллельный оси z. Момент диполя меняется по закону ' Мо = const, -оо < ? ^ О, л *' = MoCOSLJt, 0 < t < +00. Поставить краевую задачу об определении электромагнитного по- поля, порожденного диполем, при t > 0. § 2. Простейшие задачи; различные приемы решения 21. а) Решить краевую задачу utt — а2Аи, -оо < x,y,z < +оо, 0 < t < +оо, A) и_ = (р(т), щ _ = ф(т), г = х + у + z , 0^г< +00. B) б) Найти lim u(x,y,z,t). 22. Решить краевую задачу utt = a2Au + f(r,t), r2 = ж2+2/2 + ?2, 0 ^ г < +00, 0 < t < +оо, A) 23. Решить краевую задачу utt = а2Аи, -оо < x,y,z < +оо, 0 < t < +оо, A) при начальных условиях: 7о = const внутри сферы радиуса го, О вне этой сферы, ut\t=0 = ° всюду; [/о = const внутри сферы радиуса го, t=0 \ 0 вне этой сферы, u\t=0 = 0 всюду. 24. В начальный момент времени t = 0 газ внутри сферического объема радиуса г о сжат так, что возмущение плотности р = pi, а вне объема р = 0. Начальная скорость частиц газа равна нулю во всем пространстве. Найти движение газа при t > 0. 25. Решить задачу 23,6) для полупространства z ^ 0, если центр сферы находится в точке @, 0, zo), z$ > г о; рассмотреть частные слу- случаи, когда: &)u\z=Q = 0; 6)uz\z=Q = 0. ' 1
102 Условия задач 26. Решить задачу 23,6) для двугранного угла у ^ 0, z ^ 0, если центр сферы находится в точке @, ^/о? ^оO У о > Пь zo > ПM рассмотреть случаи, когда: а) и| _ = 0, uz\ п = 0; б) uJ _ = 0, и\ п = 0. у |^=о ' z\z=o ' у у 1^=о ' iz=o 27. Неограниченное пространство заполнено покоящимся идеаль- идеальным газом. В момент времени t = 0 в некоторой фиксированной точ- точке этого пространства начинает непрерывно действовать сферически симметричный источник газа мощностью q(t). Найти потенциал ско- скоростей частиц газа при t > 0, предполагая возмущения, вызываемые источником, малыми. 28. Решить предыдущую задачу, если источник находится: а) внутри двугранного угла —, где п — целое число, большее нуля; п б) внутри плоского слоя, 0 < z < I, причем ограничивающие плос- плоскости являются неподвижными. 29. Из решения краевой задачи 2 + /(ж, у, z, ?), —оо < x,y,z < +оо, 0 < t < +оо, t=o = ^х'>У'>г)'> ~°° < X->V->Z методом «спуска»1) получить решение краевой задачи ult = а2А2и* + f*(x,y,t), -оо < х,у < +00, 0 < t < +00, u*\t=o = рЧх^у), ut\t=o = ^*(ж>2/)> -оо < ж,у < +оо. 30. Из решения краевой задачи 2 ± си + /(ж, у, z, t), —оо < x,y,z < +оо, 0 < t < +оо, t=o = ^0>2/^)> -оо < ж,2/э^ методом «спуска» ) получить решение краевой задачи 2 ± с2и* + f*(x,y,t), — оо<ж,2/<+оо, 0 < ^ <+00, u\t=o = ^О^'^)' ut u\t=o = (^(ж'^'2;)' Ut 31. На фиксированной прямой в неограниченном пространстве, заполненном покоящимся идеальным газом, непрерывно распределе- распределены источники газа, начинающие действовать в момент t = 0, причем мощность источников единицы длины этой прямой равна q(t). Найти потенциал скоростей частиц газа при t > 0, предполагая, что воз- возмущения, вызываемые источниками в окружающем газе, малы (вне бесконечно малой окрестности прямой, несущей на себе источники). 32. Решить предыдущую задачу для квадранта х ^ 0, у ^ О, ограниченного абсолютно твердыми плоскостями х = 0, у = 0, ес- если прямая, на которой расположены источники, параллельна оси z и определяется координатами xq, yo, xq > 0, у о > 0. х)См. [7, с. 408-410]; [2, т. II, с. 553-555]. 2) То же.
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 103 33. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сферическая оболочка радиуса г о с центром в фиксированной точке. Начиная с момента t = 0, ради- радиус сферической поверхности непрерывно меняется по заданному за- закону, причем радиальная скорость точек поверхности равна /л(г). Найти движение в случае, когда jj,(t) = A sin cut. 34. Решить предыдущую задачу, если сфера находится в полу- полупространстве, ограниченном неподвижной плоскостью. 35. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сфера фиксированного радиуса го- С момента t = 0 центр сферы совершает малые колебания со ско- скоростью V(i), причем |V(?)| <С а, где а — скорость звука. Найти по- потенциал скоростей частиц газа. 36. Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании клина потоком идеального газа; найти потенциал скоростей в возмущенной области и возмущение давления на клине1). 37. Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании кругового конуса с небольшим углом раствора ). 38. Распространяющейся плоской волной для уравнения ии — а2 Аи + си, A) д2и , , д + + где Аи — тт—;т + ... + тг^г ? называется решение вида дх\ 3x1 /, \ B) Плоская волна и = /B_^aixi — bt) имеет одно и то же постоян- г=1 ное значение на каждой плоскости семейства п 2^ ctiXi — bt = const. C) Расстояние от плоскости C) до начала координат х\ =0, Х2 =0, ... ..., хп = 0 равно ,, . , ' п ^ Ы + const ,дч С изменением t плоскость C) движется со скоростью Ъ E) оставаясь параллельной своему начальному положению (при t = 0) п \^ aixi = const; F) х) См. задачу 7. 2) См. задачу 8.
104 Условия задач иными словами, со скоростью E) она удаляется от своего первона- первоначального положения F). Для упрощения выкладок будем в дальней- п шем считать, что V^ а2 = 1, т.е. что ai являются направляющими г=1 п косинусами нормали к плоскости C); Q = 2_,aixi ~ bt называется фазой волны B), а / — формой волны. г~ Доказать, что: 1) для существования плоских волн произвольной формы у урав- уравнения A), распространяющихся со скоростью а в любых направлени- направлениях, необходимо и достаточно, чтобы было с = 0; 2) при с / 0 у уравнения A) существуют плоские волны любых направлений распространения и любых скоростей, кроме скорости а, однако их форма не может быть произвольной, а является решением дифференциального уравнения f(Q)(a*-b2)+f(Q)c = 0. G) 39. Решить задачу о стационарном обтекании волнообразной стен- стенки у = е sin шх, где е — мало, — оо < х < +оо, потоком идеального сжимаемого газа, невозмущенная скорость которого совпадает по на- направлению с осью х и равна U = const. Рассмотреть случаи: а) дозвуковой скорости потока; б) сверхзвуковой скорости потока. 40. Путем суперпозиции плоских волн с фронтом, параллельным оси z, f(at — ах — /Зу), где а и /3 — направляющие косинусы нормали к фронту волны, получить цилиндрические волны at+r г at-r V где г = л/х2 + у2. Найти явное выражение для ф(г^) при условии, что {0 при - оо < ? < -г0, Uo = const при - г0 < ? < г0, О при г0 < ? < +00. 41. Путем суперпозиции сферически симметричных волн —¦ f2(at + г) ? fr\ ? fr\ ^ и ^— -, где /i(?) и /2(?)—произвольные функции, получить г цилиндрические волны Т ,t) = Т о о о р2 =х2 +у. предполагая интегралы сходящимися.
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 105 42. Найти цилиндрически симметричные монохроматические волны в неограниченном пространстве, решая уравнение чц = а Аи, а затем получить эти волны путем суперпозиции плоских монохрома- монохроматических волн. 43. Путем суперпозиции плоских волн получить сферическую волну вида г АА. Решить задачу об отражении и преломлении плоской моно- монохроматической волны на плоской границе раздела двух различных идеальных газов; найти соотношение между углами падения, отра- отражения и преломления, а также между амплитудами падающей, отра- отраженной и преломленной волн. Невозмущенные давления в обоих газах предполагаются одинаковыми. 45. Найти соотношение между углами падения, отражения и пре- преломления плоской монохроматической электромагнитной волны на плоской границе двух однородных изотропных диэлектриков. 46. Рассматривая случай нормального падения плоской монохро- монохроматической электромагнитной линейно поляризованной волны на плоскость раздела двух однородных изотропных диэлектриков, найти соотношение между амплитудами падающей, отраженной и прелом- преломленной волн и дать выражение для этих волн. § 3. Метод разделения переменных1) 1. Краевые задачи, не требующие применения специаль- специальных функций. В этом пункте рассматриваются также краевые за- задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в виде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. Сначала среды предполагаются изотропными и однородными, за- затем приводится несколько задач для неоднородных сред. а) Однородные среды. 47. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 ^ ^ х ^ /i, 0^2/^ I2 с закрепленным краем, вызванные начальным от- отклонением и(х,у,0) = АхуЦг -х)A2 -у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. 48. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 ^ ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ I2 с закрепленным краем, вызванные начальным распределением скоростей ut(x,y,0) = Axy(h -x)(l2 -у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. х) См. вторую сноску на с. 29.
106 Условия задач 49. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 ^ ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ I2 с закрепленным краем, вызванные поперечным сосредоточенным импульсом К, сообщенным мембране в точке (жо, 2/о)? 0 < жо < hj 0 < уо < I2, считая, что реакция окружающей среды пре- пренебрежимо мала. 50. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 ^ ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ /2 с закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенной по мембране и перпендикулярной к ее поверхности силой с плотностью F(x, у, i) = А(х, у) sin ut, 0 < t < +00, считая, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала. 51. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 ^ ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ I2 с закрепленным краем, вызванные сосредоточен- сосредоточенной поперечной силой F(t) = Asmcut, A = const, 0 < t < +00, приложенной в точке (жо,2/о)? 0 < #о < /ъ 0 < 2/о < Ь? считая, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала. 52. Найти колебания воды в прямоугольном резервуаре 0 ^ х ^ ^ /i, 0 ^ У ^ h под действием переменного внешнего давления на свободной поверхности Po(x,y,t) = ^cos^cos^/(^), 0<^< +оо, /@) = 0, если глубина воды в невозмущенном состоянии равна h. Функция f(t) предполагается имеющей непрерывную производную ). 53. Решить задачу 49, предполагая, что окружающая среда ока- оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 54. Найти установившиеся колебания прямоугольной мембраны О ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ I2 в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенной поперечной силы с плотностью F = ^sino;^, 0 < t < +00, А = const. Контур мембраны закреплен неподвижно. 55. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Sri и Sr2. Радиус внутренней сферы Sri меняется по за- кону r(t) = r\ +ssmujt, -00 < t < +00, 0<?<r2-ri, а внешняя сфера остается неизменной. Найти установившиеся коле- колебания газа между сферами. 56. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Sri и Sr2 с фиксированными радиусами г\ и г2- Найти коле- колебания газа между сферами, вызванные начальным радиальным воз- возмущением плотности р(г,О) = /(г), п < г < г2. См. задачи 9 и 10.
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 107 б) Неоднородные среды. 57. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 ^ ^ ж ^ /i, 0 ^ у ^ I2, составленной из двух однородных прямоуголь- прямоугольных кусков О^ж^жо, 0 ^ 2/ ^ Ь и #о ^ ж ^ Zb 0 ^ 2/ ^ Ь? вызванные начальными поперечными возмущениями. 58. Сферическая полость фиксированного радиуса г 2 заполнена двумя различными идеальными газами, поверхностью раздела кото- которых является сфера Sri @ < г\ < гг), концентрическая поверхности полости. Найти колебания газов при следующих начальных условиях для потенциала скоростей и (г, t) и давления p(r, t): u(r,0) = f(r), p(r,0)=po, 0^r<r2. 2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций. Как и в предыдущем пункте, сначала идут задачи для однородных сред, затем для неоднородных. а) Однородные среды. 59. Найти поперечные колебания круглой мембраны с закреплен- закрепленным краем, вызванные радиально симметричным начальным распре- распределением отклонений и скоростей, считая реакцию окружающей среды пренебрежимо малой. 60. Решить предыдущую задачу, предполагая, что начальное от- отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальные скорости равны нулю. 61. Найти колебания воды в круглом вертикальном цилиндричес- цилиндрическом сосуде с горизонтальным дном, если начальные условия обладают радиальной симметрией, а давление на свободной поверхности воды остается постоянным. 62. Найти колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным постоянным давлением, действующим на одну сторону мембраны с момента t = 0, предполагая, что окружающая среда не оказывает какого-либо другого сопротивления колебаниям мембраны. 63. Найти колебания круглой мембраны 0 ^ г < г о с закреплен- закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные переменным давле- давлением p = f(r,t), (Кг ^г0, 0<?<+оо, приложенным к одной стороне мембраны. 64. Найти колебания круглой мембраны 0 ^ г ^ г о с закреплен- закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распре- распределенным давлением р = Ро sina;?, 0 < t < +00, приложенным к одной стороне мембраны. 65. Найти при нулевых начальных условиях колебания круглой мембраны 0 ^ г ^ г о в среде без сопротивления, вызванные движением ее края по закону u(ro,t) = Asincut, 0 < t < +00.
108 Условия задач 66. Решить задачу 59 в случае, когда окружающая среда оказы- оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 67. Найти установившиеся колебания круглой мембраны с за- закрепленным краем в среде с сопротивлением, пропорциональным ско- скорости, под действием равномерно распределенного (приложенного к одной стороне мембраны) давления: а) р = р0 sina;?, 0 < t < +оо, ро = const; б) р = р0 cos cot, 0 < t < +оо, ро = const. 68. Найти установившиеся колебания круглой мембраны 0 ^ г ^ ^ го в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, вызыва- вызываемые движением ее края по закону u(ro,t) = A smcut (ср. с задачей 65). 69. Найти колебания круглой мембраны барабана1), вызванные радиально симметричными начальными возмущениями. 70. Найти колебания круглой мембраны барабана, вызванные равномерно распределенным давлением р = По smcut; 0 < t < +оо, По = const, приложенным к внешней стороне мембраны. 71. Найти поперечные колебания круглой пластинки с жестко закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные радиально симметричными начальными возмущениями. 72. Найти поперечные колебания пластинки предыдущей задачи, вызванные поперечным сосредоточенным ударом по центру пластин- пластинки, передавшим ей импульс /. 73. Найти поперечные колебания пластинки задачи 71, вызывае- вызываемые равномерно распределенной поперечной силой с плотностью р = = ро sina;?, приложенной с момента t = 0. 74. Найти поперечные колебания пластинки задачи 71, вызываемые сосредоточенной поперечной силой Р = Ро sina;?, приложенной в цент- центре пластинки с момента t = 0 (колебания мембраны репродуктора). 75. Найти поперечные колебания круглой кольцевой мембраны с закрепленными краями, вызванные радиально симметричными на- начальными возмущениями. 76. Найти поперечные колебания описанной в предыдущей задаче мембраны, вызванные равномерно распределенным давлением р = Ро sina;?, 0 < t < +оо, ро = const, приложенным к одной стороне мембраны. 77. Найти колебания жидкости в сосуде с горизонтальным дном, стенками которого являются два коаксиальных круглых цилиндра, если глубина жидкости в невозмущенном состоянии равна h = const, а начальные возмущения радиально симметричны2). х) См. задачу 5. 2) См. задачу 9.
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 109 78. Найти колебания газа (потенциал скоростей) в круглом замк- замкнутом цилиндрическом сосуде, вызванные радиальными колебаниями боковой стенки, начавшимися в момент t = 0, если скорости частиц стенки равны f(z) cos cut, 0 ^ z ^ / (/ — длина цилиндра), 0 < t < +оо. Верхнее и нижнее донья неподвижны. 79. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре, вы- вызванные поперечными колебаниями одного из его доньев, начавшими- начавшимися в момент t = 0, если скорости частиц этого дна равны f(z) cos cut, 0 ^ г ^ го (го — радиус цилиндра), 0 < t < +оо. Второе дно и боковая стенка сосуда неподвижны. 80. Найти колебания газа в замкнутом сосуде, образованном дву- двумя коаксиальными круглыми цилиндрами и двумя поперечными плос- плоскими доньями, вызванные радиальными колебаниями внешнего ци- цилиндра, начавшимися в момент t = 0, если скорости частиц этого цилиндра равны f(z) cos cut, 0 ^ z ^ /, / — длина цилиндра. Донья и внутренний цилиндр неподвижны. 81. Найти колебания газа в сосуде, описанном в предыдущей зада- задаче, вызванные поперечными колебаниями одного из доньев, начавши- начавшимися в момент t = 0, если скорости частиц этого дна равны /(г) cos cot, г* ^ г ^ г**, г* и г** — радиусы внутреннего и внешнего цилиндров. Второе дно и цилиндры неподвижны. 82. Найти поперечные колебания круглой мембраны 0 ^ г ^ го с закрепленным краем, вызванные сосредоточенным ударом, нормаль- нормальным к поверхности мембраны, передавшим мембране в точке (ri,(/?i), 0 < ri < го, импульс К. Рассмотреть случай, когда окружающая среда не оказывает со- сопротивления движению мембраны. 83. Сосуд с водой, представляющий собой вертикальный круг- круглый цилиндр с горизонтальным дном, длительное время движется со скоростью i?o = const в направлении, перпендикулярном к оси сосуда. Найти колебания воды в сосуде при t > 0, если в момент t = 0 сосуд мгновенно останавливается и если при t < 0 вода относительно сосуда была неподвижной. Давление на свободной поверхности воды считать постоянным. 84. Найти колебания круглой мембраны 0 ^ г ^ г о с закреп- закрепленным краем, вызванные непрерывно распределенным переменным давлением p = f(r)cos(<p-ujt), /(ro)=0, 0<?<+оо, приложенным к одной стороне мембраны. 85. Найти установившиеся колебания мембраны, описанной в предыдущей задаче, в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости.
110 Условия задач 86. Найти колебания круглой мембраны 0 ^ г ^ го, вызванные колебаниями ее края по закону u(ro,(f,t) = /(f)cosn</?, /@) = /'(О) = 0, п — целое > 0, 0 < t < +оо. 87. Найти колебания круглой мембраны 0 ^ г ^ го, вызванные колебаниями ее края по закону u(ro, </?, i) = F((f) sin cut, F((f) — глад- гладкая функция с периодом 2тг. 88. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре 0 ^ г ^ ^ Пь 0 ^ z ^ /, вызванные радиальными колебаниями его боковой стенки со скоростью, меняющейся по закону f(z) cosmp cos cut, n — целое > 0, 0 < t < +оо. Донья сосуда неподвижны. 89. Найти колебания газа в круглом замкнутом цилиндре 0 ^ ^г^го, 0 ^ z ^ /, вызванные поперечными колебаниями одного из доньев со скоростью, меняющейся по закону /(г) cos гкр cos cot, n — целое > 0, 0 < t < +оо. 90. Найти поперечные колебания мембраны с закрепленным кра- краем, вызванные начальным сосредоточенным поперечным импуль- импульсом К, сообщенным мембране в некоторой ее внутренней точке, если мембрана имеет форму кругового сектора, а окружающая сре- среда не оказывает сопротивления колебаниям. 91. Решить предыдущую задачу для мембраны, имеющей форму сектора кругового кольца. 92. Найти колебания газа в области, ограниченной двумя коакси- коаксиальными неподвижными круглыми цилиндрами, двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндров, и двумя плоскостями, проходя- проходящими через их ось, если эти колебания вызваны начальными возму- возмущениями, не зависящими от z. 93. Сферический сосуд с газом в течение длительного времени двигался равномерно со скоростью v, а затем в момент t = 0 мгновенно остановился и остался неподвижным. Найти возникшие вследствие этого колебания газа в сосуде. 94. Сферический сосуд, наполненный газом, начиная с момен- момента t = 0, совершает малые гармонические колебания в направлении одного из своих диаметров; смещение сосуда в направлении этого диа- диаметра равно ^sino;^, 0 < t < +oo. Найти колебания газа в сосуде, предполагая, что при t < 0 газ покоился. 95. Найти колебания газа в сферическом сосуде 0 ^ г ^ го, О^#^тг, 0^</?^2тг, вызванные малыми деформациями стенки сосуда, начавшимися с момента t = 0, если скорости частиц стенки сосуда направлены по его радиусам, а величина скоростей равна APn(cos6) cos cut1). — полином Лежандра.
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 111 96. Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные ма- малыми колебаниями его стенки, начавшимися с момента t = 0, если скорости частиц стенки направлены по радиусам сосуда, а величина скоростей равна „ , ^ч ., ч Pn(cO80)f(t), где /@) = /'@) = 0. 97. Найти колебания газа в сферическом сосуде, вызванные ма- малыми колебаниями его стенки, начавшимися в момент t = 0, если ско- скорости частиц стенки направлены по радиусам, а величина скоростей равна .... fF)cosut, 0<t<+oo. 98. Решить предыдущую задачу при условии, что скорости час- частиц стенки равны АРпт (cos в) cos пир cos cut1). 99. Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны fF) cosnupcoscut. 100. Решить задачу 98, если скорости частиц стенки равны /(*)Pn(cos0)cosmy>, /@) = /'@) = 0. 101. Решить задачу 93 для газа, заключенного между двумя кон- концентрическими сферами Sri и 5Г2, г\ < г 2- 102. Решить задачу 94 для газа, заключенного между двумя кон- концентрическими сферами Sri и 5Г2, г\ <Г2- б) Неоднородные среды. 103. Найти поперечные колебания неоднородной круглой мемб- мембраны 0 ^ г ^ г2 с закрепленным краем, полученной соединением однородной круглой мембраны 0 ^ г ^ г\ и однородной кольцевой мембраны Т\ ^ г ^ Г2, если начальные поперечные возмущения заданы. § 4. Метод интегральных представлений В первом пункте этого параграфа собраны задачи на применение интеграла Фурье, во втором — на построение и применение функций влияния мгновенных сосредоточенных источников. 1. Применение интеграла Фурье. а) Преобразование Фурье. 104. Решить краевую задачу utt = а2А2и, -оо < ж,у < +оо, 0 < t < +оо 2), A) 0 = Ф(х,у), щ\г=0 = Ф(х,у), -оо < ж,у < +оо. B) г) Pnm@ — присоединенная функция Лежандра, m ^ п. 2) А2 = divgrad — оператор Лапласа для плоскости; в декартовых д2 д2 координатах Д2 = тгт + тт^т- дх2 ду2
112 Условия задач 105. Решить краевую задачу utt = a2A3u, -оо < x,y,z < +оо, 0 < t < +оо 1), A) и\г=0 = Ф(х,у,г), ut\t=0 = V(x,y,z), -оо <x,y,z < +оо. B) 106. Решить краевую задачу utt = a2A2u + f(x,y,t), -оо < ж,у < +00, 0 < ? < +00, A) u|t=0 = 0, ut\t=0 = 0, -оо < ж,?/<+оо. B) 107. Решить краевую задачу 2 f(x,y,z,t), -оо < ж,^/,2; <+00, 0 < ? < +оо, A) u\t=Q=0, ut\t=0=0, -оо < x,y,z < +оо. B) 108. Решить краевую задачу ии + Ь2А2А2и = 0, -оо <х,у < +оо, 0 < * < +оо 2), A) и\г=0 = Ф(х,у), щ\г=0 = Ф(х,у), -оо < ж,у < +оо. B) 6) Преобразование Фуръе-Бесселя (Ханкеля). 109. Применяя преобразование Фурье-Бесселя, решить краевую задачу ^2 \ dr2 r dr I u(r,O) = -=^==, ut(r,O)=O, 0^r<+oo. B) 110. Найти радиально симметричные поперечные колебания не- неограниченной пластинки, решив краевую задачу + -!"") м = 0' 0^r<+oo, 0<i<+oo, A) z г or J u{r, 0) = /(r), u*(r, 0) = 0, 0 ^ г < +оо. B) Рассмотреть, в частности, случай, когда /(г) = Ае~г2/а2, 0 ^ г < +оо. B;) 111. Найти радиально симметричные поперечные отклонения то- точек неограниченной пластинки 0 ^ г < +оо, если точка г = 0 этой пластинки с момента t = 0 движется по заданному закону. Рассмот- Рассмотреть, в частности, случай, когда W(O'') = | 0, ^o^^ A) x) A3 = divgrad — оператор Лапласа для пространства; в декартовых д2 д2 д2 координатах А3 = тг^- + тг^- + тг-г- ^ж2 ду2 dz2 2) Бигармонический оператор А2 Аг, означающий двукратное примене- применение оператора Лапласа Аг.
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 113 112. Найти чисто вынужденные радиально симметричные попе- поперечные отклонения точек неограниченной пластинки 0 ^ г < +оо под действием распределенных поперечных сил с плотностью p(r, t) = 16phbf (r) i/>'(t), -оо < t < +оо, где 1h — толщина пластинки, р — плотность массы пластинки, Ъ i\ it/j.\ dibit) имеет тот же смысл, что и в предыдущих задачах ), гр m = , at ф(?) зависит только от t, а /(г) зависит только от г. Рассмотреть, в частности, случаи, когда: а) движение пластинки вынуждается сосредоточенной попереч- поперечной силой 16phbi/>'(t), -оо < t < +оо, приложенной в точке г = 0; б) движение пластинки вынуждается поперечной силой 16phbi/>'(t), -оо < t < +оо, равномерно распределенной по кругу 0 ^ г ^ а; в) описанная в пункте б) сила действует в течение времени to, a именно _ ( 0 при — оо < t ^ О, <*//(?) = ) <ф0 = const при 0 < t < to, [ 0 при to < t < +00, дать асимптотические формулы для представления решения при ма- малых и больших значениях г; г) pfat) = *Аф. е-г2/с2/'(?), -оо < t < +оо; д) найти поперечные скорости точек пластинки при p(r,t) = ^^e-r2/c25(t), -oo<t< +oo, где S(t) — импульсная дельта-функция (т. е. в момент t = 0 пластин- пластинка получает поперечный удар с непрерывно распределенным импуль- 4Aph _Г2/ 2ч сом —?— е г /с ). с2 / 2. Построение и применение функций влияния сосредо- сосредоточенных источников. а) Функции влияния мгновенных сосредоточенных импульсов. 113. Построить функцию влияния мгновенного сосредоточенного импульса единичной мощности для уравнения utt = а2А3и в неограниченном пространстве x,y,z, считая сначала, что импульс имел место в начале координат в момент t = 0; найти функцию влия- влияния, решая краевую задачу utt = а2А3и, -оо < x,y,z < +00, 0 < t < +00, A) u\t=Q = 0, ut\t=Q = S(x)S(y)S(z), -оо < x,y,z < +oo, B) x) Подробнее см. задачу 18. 8 Б.М. Будак и др.
114 Условия задач а затем перейти к случаю, когда импульс имел место в точке (?, 77, С) в момент t — т. 114. Решить предыдущую задачу для уравнения utt = а2 А%и ± с2и. 115. Решить двумерный аналог задачи 113. 116. Решить двумерный аналог задачи 114. 117. Разделением переменных построить функцию влияния мгно- мгновенного сосредоточенного импульса для первой, второй и третьей краевых задач для уравнения utt = а2А2и: а) для прямоугольной мембраны 0 ^ ж ^ /i, О^^/^Ь; б) для круглой мембраны О^г^го, 0 ^ ip ^ 2тг. 118. Методом отражений построить функцию влияния мгновен- мгновенного сосредоточенного импульса для уравнения иц — a2A2U±c2u для угла 0 ^ ip ^ — , где п — целое число, большее нуля, если на гранич- п п ных лучах ip = 0 и ip = — выполняется граничное условие второго рода. п 119. Пусть плоская область G ограничена кусочно гладким кон- контуром Г. Предполагая возможным применение формулы Грина- Остроградского, связывающей криволинейный интеграл с двойным, найти решения а) первой, б) второй и в) третьей краевой задач для уравнения иц = а2А2и±с2и + /(х,у,1) при неоднородных начальных и граничных условиях, если известна функция влияния мгновенного сосредоточенного импульса для каждого из перечисленных случаев. 120. С помощью функции влияния мгновенного сосредоточенного импульса, найденной в решении задачи 113, вывести формулу Кирх- гоффа1) для уравнения иц — a2Asu + f(x,y,z,t). б) Функции влияния непрерывно действующих сосредоточенных источников. 121. Построить функцию влияния непрерывно действующего со- сосредоточенного источника переменной мощности f(t) (f(i) = 0 при t < 0), находящегося в фиксированной точке пространства, для урав- уравнения ии = Q> A$u, т. е. решить краевую задачу utt = а2А3и + S(x - xo)S(y - yo)S(z - zo)f(t), -00 < x,y,z < +00, 0 < t < +00, A) 4=o = 4=o =°- B) 122. Построить функцию влияния непрерывно действующего со- сосредоточенного источника переменной мощности f(t) (f(i) = 0 при t < 0), находящегося в фиксированной точке пространства, для урав- х)См. [7, с. 414-417].
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 115 нения utt — a2A2U, т.е. решить краевую задачу ии = а2А2и + 5(х - хоM(у - yo)f(t), — оо < ж, у < +оо, 0 < t < +00, A) Ч=о =0' Ч=о = °- B) 123. Построить функцию влияния непрерывно действующего со- сосредоточенного источника переменной мощности f(t) (f(t) = 0 при t < 0), движущегося по произвольному закону, для уравнения иц — = а2Аз^, т.е. решить краевую задачу utt = а2А3и + 5(х - X(t))S(y - Y(t))S(z - Z(t))f(t), -оо < x,y,z < +00, 0 < t < +00, A) где X(t), Y(t), Z(t) — координаты источника; X@) = Y@) = Z@) = = 0. В частности, найти функцию влияния сосредоточенного источ- источника, движущегося прямолинейно с постоянной скоростью v; рассмот- рассмотреть случаи, когда: a) v < а; б) v > a. 124. Учитывая, что если источник обладает постоянной мощ- мощностью q и движется прямолинейно с постоянной скоростью v, то в системе координат, движущейся вместе с источником, процесс будет стационарным, найти функции влияния такого источника: а) при v < а; б) при v > а; отбрасывая члены с производными по времени в урав- уравнении колебаний, преобразованном в этой движущейся системе коор- координат. 125. Найти электромагнитное поле, создаваемое электроном, дви- движущимся в диэлектрике прямолинейно с постоянной скоростью, пре- превышающей скорость света в этом диэлектрике (электрон Черенкова). 126. Решить краевую задачу 20. 127. Найти колебания упругой изотропной однородной среды, за- заполняющей все неограниченное пространство, вызванные непрерывно действующей силой F(t) (F(t) = 0 при t < 0), приложенной к опре- определенной точке среды и параллельной фиксированному направлению.
Глава VII УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Аи + си = -/ § 1. Задачи для уравнения Аи — к2 и = — / В настоящем параграфе мы рассмотрим некоторые задачи для уравнения эллиптического типа Аи-х2и = 0 (х2>0), A) к которому приводят, например, задачи о диффузии неустойчивого газа, распадающегося в процессе диффузии. Уравнение A) имеет фундаментальные решения: а) щ(М) = в трехмерном пространстве; б) ио(М) = К${кг) на плоскости (г — расстояние точки М от начала координат). Функция Kq(x), как известно, имеет при х = 0 логарифмическую особенность и экспоненциально убывает на бесконечности. Метод разделения переменных при решении уравнения A) часто приводит к уравнению Бесселя для мнимого аргумента " + '( ) общее решение которого имеет вид у = А1„(х) +ВК„(х), где Iv(x) и Kv{x) — цилиндрические функции мнимого аргумента первого и второго рода. Функция Iv (х) ограничена при х = 0 и экспо- экспоненциально возрастает при х —> оо. 1. Определить стационарное распределение концентрации неус- неустойчивого газа в неограниченном пространстве, создаваемой точеч- точечным источником газа мощностью Qo- 2. Точечный источник неустойчивого газа расположен на высо- высоте С над газонепроницаемой плоскостью z = 0. Найти стационарное распределение концентрации. 3. Построить функцию точечного источника для уравнения Аи — к2и = 0 на плоскости и дать ей физическую интерпретацию. 4. Решить задачу 3, предполагая, что плоскость у = 0 газонепро- газонепроницаема.
Гл. VII. Уравнения эллиптического типа 117 5. Построить функцию источника для уравнения диффузии не- неустойчивого газа, если источник находится внутри слоя @ ^ z ^ Z), ограниченного газонепроницаемыми плоскостями z = 0 и z = I. 6. Решить аналог задачи 5 для двумерного случая. 7. Точечный источник неустойчивого газа помещен внутри беско- бесконечной цилиндрической трубы с газонепроницаемыми стенками. Определить стационарное распределение концентрации газа, считая, что сечение трубы может иметь произвольную форму. 8. Построить функцию источника для уравнения Аи — к2 и = О внутри сферы при граничном условии второго рода. 9. Точечный источник газа действует в неограниченной среде, движущейся с постоянной скоростью г?о • Найти стационарное распре- распределение концентрации газа. 10. Найти стационарное распределение концентрации неустойчи- неустойчивого газа внутри бесконечного цилиндра кругового сечения, если на поверхности цилиндра поддерживается постоянная концентра- концентрация и|Е = щ. 11. Решить задачу 10 для области, внешней к цилиндру. 12. Решить задачу 10 внутри сферы радиуса а, если: ) ) \ а) и у у б) и\ =uocos0. \ 1г=а 13. Решить задачу 12 для области, внешней к сфере радиуса а. 14. На глубине h под поверхностью земли находится среда, в кото- которой с постоянной плотностью распределено радиоактивное вещество. Найти: а) распределение эманации в земле; б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что концентрация ее на поверхности земли равна нулю. 15. На глубине h под поверхностью земли сосредоточено в неко- некотором объеме радиоактивное вещество, выделяющее в единицу време- времени некоторое количество эманации (неустойчивого газа), равное Qo- Найти: а) распределение концентрации эманации в земле; б) величину потока эманации через поверхность земли, считая, что источник эманации точечный, а концентрация ее на поверхности земли равна нулю. 16. Решить задачу, обратную задаче 15. Известно распределение потока через поверхность земли q = q(p)', требуется найти: а) мощность источника Qo5 б) положение источника, т.е. глубину залегания h радиоактивно- радиоактивного вещества. § 2. Некоторые задачи о собственных колебаниях Задачи о собственных колебаниях мембран и ограниченных объе- объемов, как известно, приводят к однородному уравнению L(v) + \pv = 0, L(v) = div(&gradi>) (k(x) > 0, p(x) > 0) внутри некоторой облас-
118 Условия задач ти Т при однородных условиях на ее границе. В гл. II, а затем в гл. V по мере надобности рассматривались некоторые задачи о собствен- собственных колебаниях струны и мембраны. В настоящем параграфе будет дан более полный список задач о собственных значениях, решаемых методом разделения переменных. Выражение «найти собственные колебания» в дальнейшем будет означать, что требуется найти собственные значения и нормирован- нормированные собственные функции для рассматриваемой области. 1. Собственные колебания струн и стержней. 17. Решить задачу о собственных поперечных колебаниях одно- однородной струны 0 ^ х ^ /, если: а) концы струны жестко закреплены; б) концы струны свободны1); в) один конец струны свободен, а второй конец закреплен; г) концы струны закреплены упруго; д) один конец струны закреплен жестко, а второй конец закреплен упруго; е) один конец струны закреплен упруго, а второй конец свободен. 18. Найти собственные продольные колебания стержня длиной /, составленного из двух стержней с длинами xq и / — xq , обладающих разными плотностями (pi и ^) и модулями упругости (Ei и i^), предполагая, что концы стержня: а) жестко закреплены; б) свободны; в) упруго закреплены. 19. На одном конце стержня прикреплен груз массы М. Найти собственные продольные упругие колебания стержня, счи- считая, что второй конец стержня: а) жестко закреплен; б) свободен; в) упруго закреплен. Обратить внимание на условия ортогональности собственных функций. Для задачи а) рассмотреть случаи малых и больших нагрузок, найдя соответствующие поправки к невозмущенным собственным зна- значениям. 20. Решить задачу о собственных колебаниях струны, нагружен- нагруженной сосредоточенной массой М, подвешенной в некоторой внутренней точке струны, предполагая, что концы струны: а) закреплены жестко; б) свободны; в) упруго закреплены. Вычислить поправки к собственным значениям для задачи а). 21. Найти поперечные собственные колебания однородного стержня, если: а) оба конца стержня заделаны жестко; б) оба конца стержня свободны; г) Это значит, что -^— на концах струны равно нулю. Это имеет место, ох например, при закреплении концов струны на колечках (с пренебрежимо малой массой), скользящих без трения по параллельным стерженькам.
Гл. VII. Уравнения эллиптического типа 119 в) один конец стержня свободен, а второй жестко заделан. Найти первый член асимптотического разложения собственных частот. 2. Собственные колебания объемов. 22. Найти собственные колебания прямоугольной мембраны: а) с закрепленной жестко границей; б) со свободной границей; в) если две противоположные стороны закреплены, а две другие свободны; г) если две соседние стороны закреплены, а две другие свободны; д) с упруго закрепленной границей. 23. Решить задачу 22 для круглой мембраны (случай а), б), д)). 24. Определить собственные значения и нормированные собст- собственные функции для прямоугольного параллелепипеда при: а) граничных условиях первого рода; б) граничных условиях второго рода; в) граничных условиях третьего рода. 25. Найти собственные колебания сферы при: а) граничных условиях первого рода; б) граничных условиях второго рода; в) граничных условиях третьего рода. 26. Решить задачу о собственных колебаниях круглого цилиндра конечной длины при граничных условиях: а) первого рода; б) второго рода; в) третьего рода. 27. Определить собственные колебания мембраны, имеющей фор- форму круглого кольца а ^ р ^ Ь, если ее граница: а) жестко закреплена; б) свободна; в) упруго закреплена. 28. Определить собственные колебания мембраны, имеющей фор- форму кругового сектора (р ^ а, 0 ^ </? ^ </?о), если его граница: а) жестко закреплена; б) свободна; в) упруго закреплена. 29. Найти собственные колебания мембраны, имеющей форму кольцевого сектора (а ^ р ^ 6, 0 ^ (р ^ (fo): а) с жестко закрепленной границей; б) со свободной границей; в) с упруго закрепленной границей. 30. Определить собственные значения и собственные функции то- роида с прямоугольным сечением (а ^ р ^ Ь, 0 ^ z ^ I) при гранич- граничных условиях: а) первого рода; б) второго рода; в) третьего рода. 31. Плоская мембрана имеет форму кольца с внешним радиусом а и внутренним радиусом е; граница мембраны закреплена жестко. Сравнить первое собственное значение Ai такой мембраны с пер- первым собственным значением Aj круглой мембраны радиуса а, для чего: а) показать, что lim Ai = Aj; б) вычислить поправку А А = Ai — Aj при малых е.
120 Условия задач 32. Круглая мембрана радиуса а нагружена массой М, равномер- равномерно распределенной по абсолютно жесткому кругу радиуса е (г ^ е). Сравнить собственные значения Ап этой мембраны с собственны- собственными значениями А^ ненагруженной мембраны. Рассмотреть два случая: М мало и М велико. Если М —У 0, то Ап —У А^. Если М —у оо, то Ап —У А^_ь причем Ai —У 0. 33. Решить задачу 31, предполагая внешнюю границу свободной. 34. Сформулировать задачу о собственных колебаниях барабана, как задачу о колебаниях круглой мембраны с присоединенным воз- воздушным объемом. Как зависит основная частота от размеров присо- присоединенного объема (см. задачу 5 гл. VI)? 35. Круглая мембрана большого барабана имеет радиус г0 = 50 см, р = 0,1 г/см2, Т = 108 дин/см. Какова будет основная частота, если мембрана колеблется в сво- свободном пространстве? Присоединение к мембране некоторого воздуш- воздушного объема увеличивает основную частоту в 1,45 раза. Определить величину присоединенного объема. § 3. Распространение и излучение звука В данном параграфе будут рассмотрены некоторые задачи о рас- распространении, излучении и рассеянии звука на твердых телах, при- приводящие к волновому уравнению Аи + к2и = 0 (к2 >0). A) При решении волнового уравнения для цилиндра и сферы появля- появляются сферические функции Y^k' = P^(cos$)g^fc<p, 7n(tf) = Pn(cos#) и различные цилиндрические функции. При решении внешних задач для цилиндра используются функ- функции Ханкеля су е-ЯР-ъп/2-1т1ч:) _^_ ^ ^ ПрИ боЛЬШИХ , 7Гр п п > О, i при малых р, п = 0 ' у нас р = кг. Функция Н\ '(кг) удовлетворяет условию излучения lim л/г ( -^ + гки ) = О, г^оо \дг ) которое соответствует временной зависимости типа elujt. При реше- решении задач излучения звука сферой и рассеяния на сфере применяются функции
Гл. VII. Уравнения эллиптического типа 121 ^гг(р) = J^~ sin ( p \ P РП к 1-3-5... Bп е-г(р-тг(гг + ... РП + ... при больших p, — + ... при малых р, при больших р, ^ прималыхр. В дальнейшем мы будем пользоваться для малых р следующим пред- представлением функции Q^ (р): где 2ш+1 7m = I2 -32...Bm-lJBm + lJ' Функция Q2) (кг) удовлетворяет условию излучения lim r —+ iku = 0, r-^oo Var / соответствующему зависимости от времени вида eluJ . Все необходимые теоретические сведения по материалу § 3 можно найти в гл. VII, а также в добавлениях I и II курса [7]. 1. Точечный источник. 36. Найти функцию источника для полупространства z > 0, если в плоскости z = 0 решение уравнения Av + k2v = 0: а) удовлетворяет граничному условию первого рода v\z_0 = /; б) удовлетворяет условию второго рода — = /. OZ z=0 37. Найти функцию источника для волнового уравнения в полу- полуплоскости у > 0: а) для первой краевой задачи; б) для второй краевой задачи. 38. Вычислить энергию, которая излучается в свободное прост- пространство изолированным точечным источником звука, колеблющимся по гармоническому закону. Найти также величину удельного акусти- акустического импеданса. 39. Точечный источник звука помещен в полупространстве z < 0 на расстоянии а от абсолютно жесткой стенки z = 0. Найти излучение источника, его интенсивность в волновой зоне и сравнить с решением задачи 38.
122 Условия задач 40. Решить задачу 39, считая, что полупространство заполнено жидкостью, ограниченной свободной поверхностью z = 0, на которой давление равно нулю. Сравнить с решениями задач 38 и 39. 41. Доказать принцип взаимности в акустике: «Если в заполнен- заполненном воздухом пространстве, частично ограниченном простирающи- простирающимися на конечное расстояние неподвижными телами, частично же не- неограниченном, в какой-либо точке М возбуждаются звуковые волны, то обусловленный ими в какой-либо другой точке Р потенциал скорос- скорости и по величине, и по фазе совпадает с тем, который имел бы место в М, если бы в Р находился источник звука» (см. [36]). 42. Показать, что в бесконечной цилиндрической трубе произ- произвольного сечения с абсолютно жесткими стенками при некоторых условиях могут существовать бегущие звуковые волны. Найти фа- фазовую скорость бегущих волн и вычислить поток энергии через бес- бесконечно удаленное сечение трубы (волновода). Рассмотреть случаи прямоугольного и круглого сечения. 43. Построить функцию точечного источника, помещенного внут- внутри цилиндрической трубы произвольного сечения, для волнового урав- уравнения при граничных условиях: а) первого рода; б) второго рода. Рассмотреть частный случай круглого сечения. 44. Решить задачу 43 для полубесконечной трубы z > 0. 45. Построить функцию точечного источника для цилиндричес- цилиндрического резонатора 0 ^ z ^ I с произвольным поперечным сечением. Стенки резонатора считать абсолютно жесткими. 2. Излучение мембран, цилиндров и сфер. 46. Пусть в сечении z = 0 трубы круглого сечения, рассмотрен- рассмотренной в задаче 42, помещена мембрана, колеблющаяся со скоростью v = = voetujt (поршень). Определить реакцию давления звуковых волн на мембрану. 47. Решить задачу 46, предполагая, чго скорость возбуждающего поршня меняется по закону v = vo(r)eiu;t, где г?о(г) — заданная функция. Рассмотреть частный случай где А — константа, /лт — корень уравнения Jo(/i) = 0. Найти величину вектора Умова и величину акустического импе- импеданса на поршне. 48. Пусть цилиндр радиуса а пульсирует, т.е. сжимается и рас- расширяется равномерно по гармоническому закону; его скорость на по- поверхности при г = а равна
Гл. VII. Уравнения эллиптического типа 123 Найти давление, радиальную скорость воздуха на больших расстоя- расстояниях от оси цилиндра, а также поток энергии. 49. Решить задачу 48, предполагая, что радиус цилиндра мал по сравнению с длиной волны Л = , т.е. ш ка < 1. 50. Цилиндр радиуса а колеблется как целое перпендикулярно к его оси (вдоль оси х) со скоростью v§elujt. Найти давление и скорости частиц воздуха; для случая ка ^ 1 вычислить удельный акустический импеданс и полную мощность излучения для единицы длины. 51. Цилиндр радиуса а колеблется по гармоническому закону так, что скорость на его поверхности равна где /(</?) — заданная функция. Найти давление и скорость воздуха, поток энергии (при малых ка, где к = —). 4 с' Получить из найденных формул решения задач 48-50. 52. Центр шара радиуса а колеблется вдоль полярной оси со ско- скоростью voetujt. Если а С А (ка <С 1), А — длина волны, то такой акустический излучатель в форме малого колеблющегося шара назы- называется акустическим диполем. Найти поток энергии и полную мощ- мощность, излучаемую акустическим диполем. 53. Поверхность шара конечного размера колеблется по гармони- гармоническому закону f(O)etujt. Найти полную реакцию среды на шар при ка ^ 1, где к = —. Рассмотреть частный случай 2тг 1@) = «о- 54. Исследовать звуковое поле поршня, вставленного заподлицо с поверхностью сферы и способного колебаться без трения. Распределе- Распределение скоростей по сфере при наличии такого поршня можно предста- представить таким образом: при во<в^тт. Рассмотреть случай малого #о- Дать выражение для давления при низких частотах. 55. Поверхность шара колеблется так, что радиальная составля- составляющая скорости на поверхности равна Такой источник звука называется излучателем второго порядка, или квадрупольным источником. Вычислить интенсивность и мощность его излучения. Начертить полярную диаграмму интенсивности излу- излучения. Рассмотреть случай длинных волн. 56. Твердая круглая пластинка колеблется по простому гармони- гармоническому закону в равном ей по площади круглом отверстии, вырезан-
124 Условия задач ном в твердой плоской пластинке, простирающейся в бесконечность. Найти давление и скорость частиц воздуха и мощность излучения. 57. Найти реакцию звукового поля на пластинку, рассматривае- рассматриваемую в задаче 56. Рассмотреть частный случай, когда радиус поршня мал по сравнению с длиной волны (ка <С 1). 58. Решить задачу 56, если на поверхности поршня (пластинки) скорость переменна: г/ ч v = f(r) (поршень «нежесткий»). Ограничиться представлением решения в волновой зоне. 3. Дифракция на цилиндре и сфере. 59. Плоская звуковая волна распространяется в направлении, пер- перпендикулярном к оси бесконечного жесткого цилиндра радиуса а. Най- Найти рассеянную волну. Рассмотреть случаи больших и малых рассто- расстояний от цилиндра. 60. Исходя из решения задачи 59, вычислить интенсивность рас- рассеянной волны, а также исследовать зависимость характеристики на- направленности рассеянной волны от длины волны. 61. Вычислить полную мощность в звуковой волне, рассеянной на единице длины цилиндра, для предельных случаев коротких и длин- длинных волн (см. задачу 59). Найти силу, действующую на цилиндр. 62. Построить решение задачи о рассеянии плоской звуковой вол- волны на сферическом препятствии. 63. Пользуясь решением задачи 62, вычислить интенсивность рассеянной волны и полную рассеянную мощность для случая ка<& 1, где к =-— = —, Л — длина волны, а — радиус сферы. Л с Вычислить силу, действующую на шар. 64. Решить задачу о рассеянии плоской волны на шаре радиу- радиуса р = а, если шар совершенно свободен и движется под действием воздуха. 65. Решить задачу о движении шара радиуса а под действием падающей плоской волны, если шар закреплен упруго, т. е. возвра- возвращающая сила равна X = -Mwgf, где ? — координата центра шара, М — масса шара. Трением воздуха пренебречь. § 4. Установившиеся электромагнитные колебания 1. Уравнения Максвелла. Потенциалы. Векторные фор- формулы Грина—Остроградского. 66. Написать уравнения Максвелла в ортогональной криволиней- криволинейной системе координат (х\, Х2, #з), в которой квадрат элемента длины
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 125 дается формулой ds = /г1 dx^ + h2 dx2 + h3 dx3, где hi, /12, hs — метрические коэффициенты. 67. Показать, что решение уравнений Максвелла rot Н = - ^ + — j, divВ = О, В = fiH (fj, = const), с ot с rotE = — ^—, div D = 4np, D = sE (e = const), можно представить в виде В = rot A, E = - grad у? —, с а? где А — векторный потенциал, ip — скалярный потенциал, связанные между собой условием Лоренца и удовлетворяющие уравнениям 1 д2ш 4тг 2 р> а = 4тг . Здесь АА — оператор Лапласа, действующий на криволинейные компоненты вектора А. Найти выражение для ДА в криволинейных ортогональных ко- координатах. Показать, что при р = 0, j = 0 уравнения Максвелла допускают решение вида D = -votA', H = -i^ где А' и у?' — так называемые антипотенциалы. Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет вид e~iujt. 68. Ввести скалярный и векторный потенциалы для уравнений Максвелла в однородной проводящей среде. 69. Ввести поляризованный потенциал П (электрический век- вектор Герца) для уравнений Максвелла в вакууме, пользуясь соотноше- соотношениями Л 1 дП где А — векторный потенциал, ip — скалярный потенциал. Рассмотреть случай, когда зависимость от времени имеет вид e~lujt. Аналогично ввести магнитный вектор Герца П'. Опреде- Определить векторы Герца в проводящей среде. 70. Если метрические коэффициенты удовлетворяют условиям hi = 1, —— ( т^" ) — 0? а электромагнитное поле в вакууме зависит ОХ\ \Пз/ от времени как e~lujt, то его можно представить с помощью двух ска- скалярных функций U и U' (функций Боргниса):
126 Условия задач а) для поля электрического типа (Hi = 0) имеем „ 12тт ¦ d2U „ 1 д2?/ 1 <Э2?/ E1=k2U+—-, Е2 = — ъ—^—, ^ ^ж| /г дхдх /г2 дхгдх2 h3 dx±dx3 Я! -0, Я2---—, Щ--—; б) для поля магнитного типа (i^i = 0) имеем , _ , _ ik dU' , _ гк dU' тт, _ h2TJ, d2U' d2U' где U и U' — функции, удовлетворяющие уравнению - k2U = 0. Доказать это утверждение. Рассмотреть затем сферическую и цилиндрическую системы ко- координат. Показать, что в цилиндрической системе координат функ- функция U совпадает с ^-составляющей вектора Герца П = @, 0, U). 71. Ввести функции U и U' для электромагнитного поля в про- проводящей среде, параметры которой суть г, /i, а (проводимость). 72. Шар радиуса а с проводимостью g\ и диэлектрической постоянной Е\ помещен в неограниченную среду с проводимостью о2 и диэлектрической постоянной е2. Вводя функции U и U', сформули- сформулировать для них граничные условия на поверхности шара. 73. Доказать справедливость векторного аналога второй форму- формулы Грина Г (W rot rot 17-17 rot rot W) dr = Г {[U rot W] - [Wrot U]}nda, Т Е где U = U(x,y,z), W = W(xJyJz) — произвольные, достаточно гладкие вектор-функции, Т — некоторый объем, ограниченный по- поверхностью Е, п — единичный вектор нормали к поверхности Е. 74. Доказать справедливость векторного аналога основной фор- формулы Грина U(M0) = U(x,y,z) = — f {(f (rot rot U - к2U) + grad^div 17} drP - т 1 Г — — {[n rot U](p + \[nU] gradф\ + (nU) grad ip\ 4тг J где U — произвольный вектор, Akr е" Ч>=—, r = y/[x- if + (y- туJ — расстояние между точками Mo(x,y,z) и
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 127 75. Пользуясь основной векторной формулой Грина, полученной в предыдущей задаче, непосредственно, не вводя потенциалов, написать выражение для Е и Н — решений уравнений Максвелла rot Н =—ikosE-\ ?', ко = —, к = се diviJ = 0, divE= во внутренних точках некоторой области Т через их значения на по- поверхности Е, ограничивающей объем Т. 2. Распространение электромагнитных волн и колебания в резонаторах. 76. Выяснить возможность распространения электромагнитных волн вдоль бесконечно длинного круглого цилиндра, проводимость которого бесконечно велика. Проводимость окружающей среды а конечна. 77. Решить предыдущую задачу, предполагая, что проводимость цилиндра конечна и равна о\. 78. Показать, что внутри бесконечной полой цилиндрической тру- трубы (волновода) произвольного сечения с идеально проводящими стен- стенками может существовать конечное число бегущих электромагнитных волн. Найти выражение для фазовой скорости и потока энергии бегу- бегущей волны в волноводе. 79. Доказать существование бегущих электромагнитных волн внутри полости, ограниченной двумя коаксиальными цилиндрически- цилиндрическими поверхностями р = а и р — Ь. Стенки коаксиала считать идеально проводящими. Вычислить поток энергии и написать выражение для составля- составляющих поля для основной волны, соответствующей наибольшей длине волны. 80. Найти собственные частоты и соответствующие электромаг- электромагнитные поля сферического резонатора с идеально проводящими стен- стенками. Вычислить среднюю за период энергию в стоячей волне. 81. Найти собственные электромагнитные колебания цилинд- цилиндрического резонатора, являющегося «отрезком» цилиндрического радиоволновода произвольного сечения с идеально проводящими стенками. Вычислить среднюю за период энергию в стоячей волне. Рассмотреть частные случаи резонаторов: а) прямоугольного сечения; б) круглого сечения. 82. Определить собственные частоты электромагнитных колеба- колебаний внутри тороидального резонатора прямоугольного сечения, счи- считая стенки резонатора идеально проводящими. 83. Дифракция на цилиндре. Плоская электромагнитная волна па- падает на бесконечный круглый цилиндрический провод, ось которо- которого перпендикулярна к направлению распространения волны. Найти дифрагированное поле, считая цилиндр проводящим. Цилиндр окру-
128 Условия задач жен диэлектриком с диэлектрической постоянной е\ и проводимостью, равной нулю. Рассмотреть случай идеально проводящего цилиндра. Предполагая, что радиус цилиндра а мал по сравнению с длиной падающей волны (ка ^1, к = —), вычислить полную рассеянную V 2тг/ мощность. 84. Дифракция на идеально проводящей сфере. Рассмотреть за- задачу о рассеянии плоской электромагнитной волны на идеально про- проводящей сфере. Найти электромагнитное поле. 85. Дифракция на проводящей сфере. Плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в среде с параметрами е = ?i, a = О, \i — 1, встречает на своем пути проводящую сферу радиуса а с пара- параметрами ? = ?2, Ц = Ц>2-> СГ = &2 Ф 0. Найти электромагнитное поле внутри и вне сферы (задача Ми о дифракции на сфере). 3. Излучение электромагнитных волн. 86. Найти поле излучения бесконечно малого электрического ди- диполя, находящегося в неограниченном непроводящем пространстве. Вычислить среднюю за период мощность излучения. 87. Решить предыдущую задачу, пользуясь представлением со- составляющих электромагнитного поля с помощью функции Боргниса в сферической системе координат Е -— k2U Е - - ^- Е - l d*V Я -0 Н -_!^^ я -lJl^L г d(pJ ^ r dO ' где функция U удовлетворяет уравнению — 1 d ( { ffdU\ I d2U к2П_0 dr2 r2 sin в d9 V d9 ) r2 sin2 в dip2 ' так что функция и = — удовлетворяет уравнению 88. В центре сферического резонатора с идеально проводящими стенками помещен бесконечно малый электрический диполь, направ- направленный по радиусу. Определить электромагнитное поле, возбуждае- возбуждаемое диполем внутри резонатора. 89. Однородный проводящий шар радиуса а с постоянным ?2, \i2-> O2 помещен в среду с другими физическими константами ?i, /ii, G\. В центре шара находится электрический диполь, колеблющийся по гармоническому закону e~zu;t. Вычислить поле внутри шара, сред- среднюю за период мощность излучения и рассмотреть предельный слу- случай а\ —> оо. Рассмотреть частный случай, когда а —> оо. 90. Стенки сферического резонатора сделаны из однородного про- проводящего материала, обладающего проводимостью а. Пусть г = а и г = Ъ — радиусы стенок резонатора. В центре резонатора поме-
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 129 щен электрический диполь, колеблющийся по гармоническому зако- закону e~%{Jjt. Найти вынужденные электромагнитные колебания резона- резонатора, считая, что область г > Ъ непроводящая (воздух). Рассмотреть предельные случаи Ъ —У оо и Ъ —У а. 91. Внутри сферы радиуса а помещен электрический диполь, ори- ориентированный по радиусу и отстоящий от центра сферы на расстоя- расстоянии г = г'. Определить электромагнитное поле излучения внутри сфе- сферы, предполагая, что сфера окружена однородной средой, обладающей конечной проводимостью а. Рассмотреть предельный случай а —У оо. Рассмотреть частные случаи: радиус сферы мал по сравнению с длиной волны и а —У оо. 92. Вертикальная электрическая антенна над сферической зем- землей. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое электрической антенной, находящейся над поверхностью земли, которая рассмат- рассматривается как шар радиуса а, имеющий конечную проводимость а и диэлектрическую проницаемость е. Антенну считать элементарным диполем, совершающим гармонические колебания вдоль направ- направления диаметра земли. Атмосферу считать однородной и непрово- непроводящей (е = ц — 1, а = 0). 93. Вертикальная антенна на сферической земле. Решить пре- предыдущую задачу (92), считая, что антенна находится на поверхности земли и направлена по нормали к ней. 4. Антенна на плоской земле. В задачах 94-101 рассматрива- рассматривается распространение волн, излучаемых антеннами, находящимися на поверхности земли. При этом мы будем предполагать землю плоской, однородной и проводящей (иногда идеально проводящей, иногда обла- обладающей конечной проводимостью), антенну мы трактуем как диполь, момент которого периодически меняется во времени с частотой и: р = poe~zu;t, для простоты будем считать |ро| = 1- Задачи 94—97 носят постановочный характер, здесь требуется ввести вектор Герца и поставить для его составляющих, отличных от нуля, краевую задачу. При решении задач 98-101 требуется провести расчет электро- электромагнитного поля, излучаемого антенной, а также среднюю за период мощность излучения. Здесь существенным для метода решения является разложение в интеграл Фурье-Бесселя с использованием интеграла Зоммерфельда J^^W™* R = R 94. Вертикальная электрическая антенна. На плоской поверх- поверхности земли, заполняющей полупространство z < 0, помещена верти- вертикальная электрическая антенна, направленная вдоль оси z. Ввести вектор Герца и сформулировать для него граничные усло- условия на поверхности земли, а также выделить особенность в источнике. При решении считать \i — \. 9 Б.М. Будак и др.
130 Условия задач 95. Вертикальная магнитная антенна. На поверхности зем- земли z = 0 находится вертикальная магнитная антенна (горизонтальная рамка). Поставить краевую задачу для соответствующего вектора Герца, если земля обладает конечной проводимостью. 96. Горизонтальная электрическая антенна. Поставить крае- краевую задачу для горизонтальной антенны, лежащей на поверхности земли, проводимость которой конечна. 97. Горизонтальная магнитная антенна. Элементарный маг- магнитный диполь, расположенный на поверхности земли z = 0, ори- ориентирован вдоль оси ?/, т.е. рамка с током находится в вертикальной плоскости xz. Сформулировать соответствующую краевую задачу для вектора Герца, считая землю проводящей. 98. Найти электромагнитное поле излучения вертикальной элек- электрической антенны на поверхности плоской земли (см. задачу 94). Вычислить поток энергии излучения, полагая \i = 1. Рассмотреть случаи, когда земля идеально проводящая и когда земля заменена воз- воздухом. 99. Определить поле, излучаемое вертикальной магнитной антен- антенной, находящейся на плоской земле (см. задачу 95). 100. Решить задачу о распространении волн, излучаемых гори- горизонтальной электрической антенной, находящейся на поверхности зем- земли (см. задачу 96). 101. Найти электромагнитное поле, создаваемое горизонтальной магнитной антенной, лежащей на поверхности плоской земли (см. за- задачу 97). 102. Вертикальный электрический диполь расположен в среде 1, постоянная распространения которой равна fci, в точке z = zo, r = 0. Среда 2 имеет вид плоскопараллельной плиты с постоянной распро- распространения &2 и границами z = а < z$ и z = 0. Полупространство z < 0 идеально проводящее. Найти поляризационный потенциал вто- вторичного поля -/7втор. 103. Найти электромагнитное поле, возбуждаемое линейным то- током в неограниченном пространстве, и вычислить поле в волновой зоне. Определить сопротивление излучения. 104. Определить сопротивление излучения полуволнового диполя в неограниченном пространстве, а также реактивную часть входного сопротивления (реактанц) полу волнового диполя. 105. Внутри цилиндрического волновода, рассмотренного в за- задаче 78, помещен точечный диполь, параллельный оси волновода и гармонически колеблющийся по закону e~lLOt. Найти средний за период поток энергии, излучаемой диполем. Вычислить сопротивление излучения. Решение искать для волновода произвольного сечения и затем рассмотреть волновод круглого сече- сечения, предполагая, что диполь находится на оси волновода.
Гл. VI. Уравнения гиперболического типа 131 106. Найти выражение для электромагнитного поля внутри вол- волновода, возбуждаемого линейным током длиной 21, параллельным оси волновода, и вычислить поток энергии через поперечное сечение тру- трубы для частного случая полу волнового диполя, лежащего на оси ра- радиоволновода круглого сечения. Найти активную и реактивную со- составляющие входного сопротивления. Задачу решать в приближении заданных токов, пренебрегая влиянием вторичного поля на распреде- распределение тока в диполе. 107. Использовать решение задачи 106 для отыскания сопротив- сопротивления излучения и реактанца полу волнового диполя, лежащего на оси волновода круглого сечения и направленного вдоль этой оси. 108. Вычислить поле, возбуждаемое внутри бесконечного прямо- прямоугольного радиоволновода с идеально проводящими стенками элек- электрическим диполем, перпендикулярным к оси волновода и параллель- параллельным одной из сторон перпендикулярного сечения, и найти сопротив- сопротивление излучения для: а) бесконечно малого диполя; б) полу волнового диполя.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Глава I КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА § 1. Уравнение для функции двух независимых переменных a>iiuxx + 2а12иху + а22иуу + Ь\их + b2uy + си = /(ж, у) 1. Уравнение с переменными коэффициентами. 1. Дискриминант уравнения (l + х) ихх + 2хуиху — у2иуу = 0 равен = У2(х2 +Х + 1) = у2(х - xi)(x — ж2), где х2 = -- 2 ' ' 2 и Ж2 действительны, и при ж < xi, а также при х > Х2 уравнение гиперболично, а при х\ < х < х2 оно эллип- эллиптично, прямые ж = Ж1 и ж = Х2, 2/ — 0 состоят из точек параболич- Пусть I < -, тогда х\ 4 ности. При I = - область эллиптичности исчезает, так как при этом 11 * х1 — Х2 = —; прямая ж = — состоит из точек параболичности. л 2 2 При / > - уравнение гиперболично всюду. 2. Уравнение ихх + хиуу — 0 при х < О принадлежит к гиперболическому типу и 3 3 заменой ? = -у + (л/—х) , т\ — -у — 2 2 приводится к каноническому виду При х > 0 уравнение ижж + ж%?/ — О принадлежит эллиптическому типу и заме- 3 ной = — л/ж3 приводится к Рис. 13 каноническому виду ОТ]
Гл. I. Уравнения в частных производных второго порядка 133 Характеристиками уравнения являются полукубические параболы (рисЛЗ) y-c = ±2- причем ветви, направленные вниз, задаются уравнениями ? = const, а ветви, направленные вверх, уравнениями rj = const. 3. Уравнение ихх + уиуу = 0 при у < 0 гиперболично и заменой ? = х + 2д/—2/, г] = х — 2л/^у приводится к каноническому виду + ^ ) ° f > При ?/ > 0 уравнение эллиптично и заменой ?' = ж, ?/ = приводится к каноническому виду Щ'? + uv'v' 7 uv' = °j V > °- Характеристиками уравнения являются параболы (рис. 14) 1 / \2 У = -| (ж~с) • Ветви, идущие от оси ж влево, задаются уравнением ? = const, а иду- идущие вправо — rj = const. /ЛЛЛЛЛЛЛЛЛХ Рис. 14 4. Уравнение ихх + 2/%7/ "I— иу ~ 0 имеет всюду такой же тип, как уравнение ижж + 2/^^^ = 0> рассмотренное в предыдущей задаче. Теми же заменами, что и уравнение ихх + 2/%^ = 0, оно приводится к д2и каноническому виду = 0 в области гиперболичности (у < 0) и к каноническому виду ——- + —— = U в области эллиптичности [у > 0). Характеристики уравнений ихх + уиуу Н— и^ = Ои ижж + Уиуу — 0 совпадают. Замечание. Сопоставление уравнений ижж + уиуу = 0, ижж + + уиуу -\— иу = 0 показывает, что наличие членов с младшими про- производными существенно сказывается на уравнении, так как в одном случае коэффициенты уравнения после приведения его к каноническо- каноническому виду имеют особенности, а в другом — нет. 5. Уравнение уихх + хиуу = 0 во второй и четвертой четверти гиперболично и приводится к каноническому виду д2и д2и 1 ди 1 ди _
134 Ответы, указания и решения путем замены ? = (—жK/2, г\ — (уK/2 во второй четверти, ? = ж3/2, г] = (—уK'2 в четвертой четверти. В первой и третьей четверти урав- уравнение эллиптично и приводится к каноническому виду д2и 3\l_ ^ ди \ ди _ путем замены ? = ж3//2, г] = у3!2 в первой четверти, ? = (-жK/2, 7? = = (—уK/2 в третьей четверти. Оси жиу состоят из точек параболич- ности. Как известно1), переход от одной канонической формы гипер- гиперболического уравнения д2и _ г (с ди ди д^дг] у ' д$,' дг] у к другой ди диУ осуществляется с помощью подстановки s " 2 ' ' " 2 " 6. Уравнение жижж + 2/%?/ = 0 в первой и третьей четвертях эл- эллиптично и приводится к каноническому виду д2и д2и _ 1 ди _ 1 ди _ подстановкой ? = ж1//2, 77 = 2/1//2 в первой четверти, ? = (—жI//2, т\ — — (~2/I//2 в третьей четверти. Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и при- приводится к каноническому виду д2и д2и 1 ди 1 ди _ п путем замены ? = (—жI//2, ?? = (?/I//2 во второй четверти, ? = = (жI/2, ?7 = (—2/I/2 в четвертой четверти. Оси х и у состоят из точек параболичности. 7. Уравнение ихх + хуиуу = 0 в первой и третьей четвертях эл- эллиптично и приводится к каноническому виду + и +Lu - -и =0 заменой ? = -ж3//2, ?? = 2?/1//2 в первой четверти, ? = -(—жK/2, ?7 = 2(—2/I/2 в третьей четверти. Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и при- приводится к каноническому виду — - -о !) См. [7, с. 16].
Гл. I. Уравнения в частных производных второго порядка 135 су путем замены ? = - (—жK/2, г) — 2ух12 во второй четверти, ? = о = -ж3/2, г\ — 2{—уI/2 в четвертой четверти. Оси х и у состоят из о точек параболичности. 8. Уравнение ихх sign 2/ + 2иху + иуу = 0 в первой и второй чет- четвертях параболично и заменой с — Ж ~\~ у^ 71 — Ж у приводится к каноническому виду В третьей и четвертой четвертях оно гиперболично и заменой приводится к каноническому виду 9. Уравнение ихх + 2иху + A — sign^/) u^ = 0 в первой и второй четвертях гиперболично и заменой ? = у — 2ж, т\ — у приводится д2п к каноническому виду = 0, а в третьей и четвертой четвертях оно эллиптично и заменой о и . о и п приводится к каноническому виду ——- + ——;- = 0. д$,2 от]2 10. Уравнение ихх sign у + 2иху + иуу sign ж = 0 в первой и третьей четвертях параболично и заменой ? = ж + ^/, rj = х — у приводится к д2и п ^2п п каноническому виду ——- = 0 в первой четверти и к —— = 0 в третьей четверти. Уравнение гиперболично во второй и четвертой четвертях и приводится к каноническому виду путем замены ? = -A + \/2)х + у, rj = —A — у^2)х + у во второй четверти, ? = A + л/2)х + у, т\ — A — л/2)ж Л-у в четвертой четверти. 11. Уравнение у2ихх —х2иуу = 0 гиперболично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится к каноническому виду д2и rj ди _ ? ди _ ~dUh} 2(г]2-е) ~д? 2(т72 - С2) ~дч ~ заменой ? = у2 - х2, г] = у2 + х2. 12. Уравнение ж2ижж —у2иуу = 0 гиперболично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится к
136 Ответы, указания и решения каноническому виду д2и 1 ди _ ~ д^дг] ~ 2? Ъг} ~ заменой ? = ху, т\ = —. х 13. Уравнение х2ихх + у2иуу = 0 эллиптично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится к каноническому виду д2и д2и ди ди _ заменой ? = 1п|ж|, г] = \п\у\. 14. Уравнение у2ихх + х2иуу = 0 эллиптично всюду, кроме осей координат, состоящих из точек параболичности. Оно приводится за- заменой ? = у2, г] = х2 к каноническому виду д2и д2и 1 ди 1 ди _ ~ 15. Уравнение у uxx + 2xyuxy + У Uyy = 0 параболично всюду; эн виду z , 2 2 2 ж Ч~ и х — и заменой ? = —^Г' ^ = —9~ оно ПРИВ°ДИТСЯ к каноническому д и ? ди г] ди _ ^ 16. Уравнение х2ихх + 2хуиху + У2иуу = 0 параболично всюду. Заменой ? = -, п = у оно приводится к каноническому виду ж 17. Уравнение 4^/2ижж — е2хиуу — ^у2их = 0 гиперболично при у ф 0. Заменой ? = еж + у2, г) — — ех + у2 оно приводится к канони- каноническому виду 18. Уравнение х2ихх + 2хуиху — Зу2иуу — 2хих + 4^/и^ + 1бж4и = 0 гиперболично всюду, кроме осей х и у, состоящих из точек парабо- х3 личности. Заменой ? = ху, т\ — — оно приводится к каноническому У виду д и 1 ди 1 ди _ „ 4~d?~?lhj ' 19. Уравнение A + х2) ихх + A + у2) иуу + хих + уиу = 0 эллип- эллиптично всюду. Заменой ? = 1п(ж + л/1 + ж2), 7у = 1п(г/ + д/l + ^/2) оно приводится к каноническому виду
Гл. I. Уравнения в частных производных второго порядка 137 20. Уравнение ихх sin х — 2yuxysinx + y2Uyy = 0 параболично х всюду. Заменой ? = ?/tg-, г\ — у оно приводится к каноническому виду д2 д2и 2^ ди 2. Уравнение с постоянными коэффициентами. О1 d2v 4bc - b2 - с2 - 12а п д^д 144а2 = у + (л/3 - 2)ж, ту = 2/ - (л/3 а 12а ' Р 12а 2 ^22 а b — 2c n b a = , p = —. a a c — bdv _ ^ ~a~~di ' = у - х, г] = х, и& г]) = ea* b2 -4a Q Ь 4о(с-Ь)' ^ 2а' rv zz § 2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функции п независимых переменных п aikUXiXk + ^ biU*i + CU — f(XliX2i • • • -> Xn) i,k=l i=l Уравнению n n ^2 aikuxixh +^2biUXi +CU = f(x1,X2,...,Xn) A) i,k=l i=l ставится в соответствие матрица коэффициентов при старших членах 1Ы1 B) и квадратичная форма п ^2 aikZiZk. C) i,k=l Если в уравнении A) перейти к новым независимым переменным по формулам
138 Ответы, указания и решения п €k = ^2<xkiXi, к = 1,2,...,п, D) г=1 то матрица ||а^|| коэффициентов при старших членах в преобразован- преобразованном уравнении п п ^2 UikU^ + ^ЬгЩ, + CU = 0 E) j, к=1 г=1 будет связана с матрицей ||а^|| соотношением \\uik\\ = \\aik\\ ' \\0>ik\\ ' \\<**к\\. F) Матрица Ца^Ц преобразуется так, как матрица квадратичной фор- формы C), если в этой квадратичной форме перейти к новым переменным по формулам п к=1 где а*к = aki- Матрица перехода от новых переменных si,...,sn к старым переменным z\,..., zn в квадратичной форме C) получает- получается транспонированием из матрицы перехода от старых независимых переменных х\,..., хп к новым независимым переменным ?i,..., ?n B уравнении A). Таким образом, чтобы найти преобразование D), при- приводящее уравнение A) к каноническому виду, нужно найти преобра- преобразование G), приводящее квадратичную форму C) к каноническому виду, содержащему лишь квадраты переменных si,..., sn с коэффи- коэффициентами + 1, —1 или 0; матрица преобразования D) получается из матрицы преобразования G) транспонированием. 24. иЫ1 + иьь + иьь + щг = 0, ?i = ж, ?> = -х + 2/, ?3 = 2^ - 2у + z. 2Ь.иЫг=иЫ2+иЫз, ?i=x + -y-z, ?2 = --y, ?3=z. 26. Uft' = Ux'x' + ^з/'з/' + uz'z'i ^=2^+2Ж~22/~22;' ж/=2^+2Ж+22/+22;' 2л/3 2л/3 2л/3 2л/3 —¦= t -\ — х — у -\ 2л/5 2л/5 2л/5 27. /1 Z =2 t J-zJ-«J-* +J- 2^3 2^3 2^3 2^3
Гл. I. Уравнения в частных производных второго порядка 139 28 а) б) т' - Х1 / Х1 п + ^2иХ'{х i=2 1 ^/n(n + 1) п i=2 1 л/п(п - 1) / = (xi о, -1 Q -1 + + %п ) 1 1 1 Xа — OL%\Х\ ~\ г = 2,3, ..., П, где (a^i,..., «in) 5 г = 1,2, ...,п, — любая ортогональная нормиро- нормированная система решений г=1 а2 + ... + ап = 0. ) (^ г=1 ..,жп) =ехр г=1 / П (-- V —
Глава II УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач В большинстве задач настоящего параграфа (как, например, в задачах о колебаниях струн, стержней, газа) рассматриваются лишь малые колебания. Малыми колебаниями называются такие, при ко- которых можно пренебрегать квадратами, произведениями и высшими степенями функций, характеризующих процесс колебаний, и их про- производных. 1. Свободные колебания в среде без сопротивления; урав- уравнения с постоянными коэффициентами. В задачах этой группы влияние силы тяжести на колебания частиц считается пренебрежи- пренебрежимо малым по сравнению с влиянием упругих сил, поэтому действием силы тяжести можно пренебрегать1). 1. Ось Ох направлена вдоль стержня; за характеризующую функ- функцию принято смещение и (ж, t) вдоль оси ж поперечного сечения, аб- абсцисса которого в равновесном состоянии равна ж; иными словами, в момент времени t абсцисса этого сечения равна ж = х + и (ж, t). Для определения функции и (ж, t) получаем следующие краевые задачи: а) если концы стержня закреплены жестко, то utt = а2ихх при 0 < х < /, 0 <t < +оо, A) u@, t) = u(l, t) = 0 при 0 < t < +оо, B) и{х, 0) = /(ж), ut{x,Q) = F{x) при 0 < х < /, C) 2 Е а2 = —, Ро где Е — модуль упругости, а ро — плотность массы стержня в не- невозмущенном состоянии; Ч Заметим, что в более общем случае силу тяжести можно не включать в дифференциальное уравнение упругих колебаний, если за положение рав- равновесия принять статическое напряженное состояние под действием силы тяжести (ср. с [7, с. 104-106]).
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 141 а') если концы стержня двигаются по заданному закону, то гра- граничные условия имеют вид u(Q,t)=i/>(t), u(l,t) = ip(t) при 0<?<+оо, B') где ip(t) и ip(t) — заданные функции t; б) если концы стержня свободны, то граничные условия имеют ВИД ux@,t)=ux(l,t)=0 при 0 < t < +00; D) в) если концы стержня закреплены упруго, то граничные условия имеют вид их@, t) - /ш@, t) =ux(l, t) + hu(l, t) = 0 при 0 < t < +00, E) и k где к — коэффициент упругости заделки (предполагается, что он оди- одинаков для обоих концов, в противном случае значения константы h для правого и левого концов будут различны), a S — площадь поперечного сечения. Указание1). Направим ось Ох вдоль стержня. Каждое попе- поперечное сечение стержня можно характеризовать той абсциссой ж, ко- которую оно имело в положении равновесия2). Тогда сечение, отмечен- отмеченное абсциссой ж, в момент t будет иметь абсциссу ж = х + и(х, i). Здесь и(х, t) означает величину продольного смещения того попереч- поперечного сечения стержня, которое в положении равновесия имеет абсцис- абсциссу х. Таким образом, функция и (ж, i) выражена в лагранжевых коор- координатах3). Дифференциальное уравнение A) может быть получено перехо- переходом к пределу при Ах —у 0 из уравнения движения, выражающе- выражающего второй закон Ньютона для элемента (ж, ж + Аж) стержня, т. е. для элемента, торцы которого в состоянии равновесия имеют абсцис- абсциссы ж и ж + Аж. Для определения упругих сил, действующих на этот элемент, нужно воспользоваться законом Гука, который выражается ра- равенством X = ESux(x, t), где X — проекция на ось ж силы F, с которой часть стержня, лежащая правее рассматриваемого сечения, действует на часть, лежащую левее этого сечения, S — площадь этого поперечного сечения4), а их(х, t) относительное удлинение стержня в том поперечном сечении, которое в положении равновесия имела абсциссу ж5). Если концы стержня фиксированы неподвижно, то граничные условия очевидны. Если же концы стержня свободны или закреплены г) Ср. с выводом уравнения в [7, с. 27, 28]. 2) Равновесным может быть статическое напряженное состояние. 3)См. [7, с. 27]. 4) Сила F перпендикулярна к поперечному сечению, а следовательно, ее направление либо совпадает с направлением оси Ож, либо противоположно направлению оси Ох. 5)См. [7, с. 27].
142 Ответы, указания и решения упруго, то граничные условия могут быть получены из соотношений, выражающих второй закон Ньютона для граничных элементов. Рассмотрим, например, случай, когда конец х = / закреплен уп- упруго. Слева на граничный элемент (/ — Ах, /), примыкающий к этому концу, действует остальная часть стержня с силой -ESux(l-Ax, *), справа — упругая опора с силойг) -ku(l, t). Поэтому второй закон Ньютона для этого элемента выразится урав- уравнением SpoAx |^ = -ESux(l - Ах, t) - ku(l, t), откуда, переходя к пределу при Ах —у 0, получим граничное условие для конца х = / ESux(l, t) + ku(l, t) = 0 или ux(l,t) + hu(l,t) = 0, h=ES' Для конца х = 0 знак при h в граничном условии будет иным. В самом деле, рассмотрим элемент @, Ах). К его левому концу приложена сила -ku@, t), а к правому концу — сила ESux{Ax, t), поэтому уравнение, выражающее второй закон Ньютона для этого эле- элемента, имеет вид |^ = ESux(Ax, t) - ku@, t). Переходя к пределу при Ах —у 0, получаем их@, t) -hu@, t) = 0, где h имеет прежнее значение, если стержень однороден, а коэффици- коэффициент упругости заделки для обоих концов одинаков. Примечание. Иногда для постановки краевой задачи о про- продольных колебаниях стержня целесообразно использовать не одно уравнение в частных производных второго порядка, а систему двух дифференциальных уравнений в частных производных первого по- порядка. Обозначим через р(х, t) напряжение в поперечном сечении с ла- гранжевой координатой ж, определяя его соотношением х) См. пункт в) условия задачи.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 143 где S — площадь поперечного сечения стержня, aX(i, t) — проекция на ось ж силы, с которой часть стержня, примыкающая к сечению ж справа, действует на часть этого стержня, примыкающую к сечению слева. Через u(x,t), как обычно, обозначим смещение из положения равновесия поперечного сечения с лагранжевой координатой х. В ка- качестве функций, характеризующих процесс колебаний, возьмем р(ж, t) и w(x, t) = ut(x, t). Рассмотрим, например, случай, когда левый конец стержня за- закреплен неподвижно, а правый свободен. Мы придем к краевой задаче wx--pt = 0A 0<x<l^ o<?<+oo, A) -рх + powt = О, J ЦО, t) = 0, p(l, t) = 0, 0<t< +00. B) w(x,O)=ip(x), p(x, 0) = ф(х), 0<х<1. C) 2. Ось Ох декартовой системы координат направлена вдоль поло- положения равновесия струны. Пусть в положении равновесия точка имеет координаты [ж; 0; 0], а в отклоненном положении [х+щ (ж, ?); ^(ж, ?); из(х, t)]. Для определения функций ui(x, t), ^(ж, t), щ(х, t), характери- характеризующих процесс колебаний струны, получаем краевые задачи ик _ _2 д2ик _ П<ж</ 0<i<+oo dt2 , t) = ииA, t) = 0 при 0 ^ t < +00, ^ =Fk(x) при O^x^l, к = 1,2,3, 0% = а% = где a\ = —, 0% = а% = —, E — модуль упругости, S — площадь поперечного сечения, р — линейная плотность массы. Указание. Полная сила натяжения струны складывается из на- начальной силы натяжения То и упругой силы, возникающей при относи- относительном удлинении элементов струны. При малых колебаниях струну можно считать абсолютно гибкой, т.е. силу натяжения в каждой точ- точке струны считать касательной к струне. Дифференциальные уравне- уравнения для функций Uk{x, t) можно получить переходом к пределу при Ах —У 0 из уравнений движения, выражающих для элемента (ж, х + + Ах) второй закон Ньютона в проекциях на оси координат. По поводу определения сил, действующих на концы элемента (ж, х + Ах) см. до- дополнительно [7, с. 23, 24], а также указание к предыдущей задаче. 3. Ось Ох направлена по продольной оси инерции цилиндра, а че- через 6(х, t) обозначен угол поворота поперечного сечения с абсциссой ж, причем концы цилиндра определяются абсциссами ж = 0 и ж = /. Для функции #(ж, t) получаем краевые задачи:
144 Ответы, указания и решения а) в случае жестко закрепленных концов тгт = а2 ^гт ПРИ 0 <х <1, 0 <t < +00, A) дг1 дх2 0@, t) = 0(/, *) = О при 0 < t < +оо, B) 0(ж, 0) =/(ж), 0*(ж, O) = F(x) при 0<ж</, C) а2 = ——, где G — модуль сдвига, J — полярный (геометрический) К момент инерции поперечного сечения цилиндра относительно точки, в которой ось цилиндра встречает это поперечное сечение, К — осевой момент инерции единицы длины стержня (относительно той же оси); б) когда концы цилиндра свободны, то граничные условия име- имеют вид в) когда концы цилиндра закреплены упруго, то граничные усло- условия имеют вид 0Я(О, i) - /i0(O, i) = О, 0Я(/, i) + /i0(/, i) = 0. E) Указание. Установить, что момент М упругих сил, прило- приложенных к поперечному сечению х цилиндра, может быть найден по формуле М = GJ —. F) Для этого рассмотреть (рис. 15) сдвиг параллельного оси цилиндра элементарного волокна АВ с основанием da на сечениях, вызываемый Т\ х + Ах Рис. 15 дв поворотом сечения х + Ах вокруг оси цилиндра на угол АО = —— Ах ох относительно сечения ж, и определить связь между углом сдвига ip и -—. Напряжение сдвига г на основании da такого волокна, лежащего ох в сечении ж, может быть определено по закону Гука для деформации сдвига г = Gtp. G) Дифференциальное уравнение A) можно получить предельным пе-
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 145 реходом при Ах —у 0 из уравнения вращательного движения1) для элемента (ж, х + Ах) цилиндра. Граничные условия получаются аналогично тому, как это было сделано в случае продольных колебаний стержня. 4. Плотность р, давление р, потенциал скорости </?, скорость v частиц газа и продольное отклонение и частиц газа удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению с одной и той же константой а2 = ^, Ро где к = — — показатель адиабаты Р_ _ I Р_ Ро \ро равный отношению теплоемкости при постоянном давлении к тепло- теплоемкости при постоянном объеме, а ро и Ро — давление и плотность в невозмущенном газе. Если концы трубки закрыты, то граничные условия для каждой из функций и, v, </?, р, р имеют соответственно вид и@, t) = u(l, t) = 0, г;@, t) = v(l, t) = О, <Px(O,t)=<px(l,t) = O, px(O,t)=px(l,t)=O, px(O,t)=px(l,t)=O. Если концы трубки открыты, то их@, t) = ux(l, t) = 0, vx@, t) = vx(l, t) = О, <p@, t) = <p(l, t) = 0, p@, *) = P(l, t) = 0, p@, t) = p(l, t) = 0, где p(x, t) = p(x, t)—po — «возмущение давления», a p(x, t) = p(x, t) — —ро — «возмущение плотности». При наличии в конце х = / трубки газонепроницаемого поршень- поршенька с пренебрежимо малой массой, насаженного на пружинку с коэф- коэффициентом жесткости v2) и скользящего внутри трубки без трения, для u(x,t) получаем граничное условие ux(l, t) + hu(l, t) = 0, где h = ——, а к — показатель адиабаты. Аналогично при наличии Ькро х) Для вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси имеем: произведение момента инерции тела на угловое ускорение равно сум- сумме моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси. 2) Пружинка будет действовать на поршенек с добавочной силой упру- упругости, равной —vu(l, t) при отклонении поршенька, равном и. Мы говорим о добавочной силе упругости, так как в положении равновесия на поршенек уже действует сила упругости, уравновешивающая невозмущенное давле- давление ро- 10 Б.М. Будак и др.
146 Ответы, указания и решения такого поршенька в конце х = 0 трубки получаем ux@,t) -hu(O,t) = 0. Для v(x,i) при этих же условиях имеем vx@, t) - hv@, t) = 0, vx(l, t) + hv(l, t) = 0. Для p(x, t) и p(x, t) получаем Ptt(P, t) - h*px(O, t) = Ptt{h t) + h*px(l, t) = = ptt(O, t) - /г*рж(О, t) = ptt{h t) + h*px(l, t) = 0. где /г* = ——. Эти условия выполняются также и для Ьро р(х, t), p(x, t), <р(х, t). Указание. В лагранжевых координатахг) уравнение неразрыв- неразрывности A) и уравнение движения B) («основные уравнения гидроди- гидродинамики») имеют вид ро = р(х, t)[l + ux(x, t)], A) Pouu(x, t) = -px(x, t). B) Вместе с уравнением адиабаты p = f(p), где № = Цр\ k=^, C) Р C они составляют полную нелинейную систему уравнений для опреде- определения функций р(х, t); u(x, t); p(x, t). Уравнение A) выражает закон сохранения массы элемента газа, заключенного между двумя поперечными сечениями, составленными из частиц газа, а уравнение B) выражает второй закон Ньютона для этого элемента газа. Отбрасывая квадраты, произведения и высшие степени величин и(х, t), p(x, t) = p(x, t) - ро, РО, t) = p(x, t) - ро и их производных, нетрудно из уравнений A), B), C) получить соот- соответственно линейные уравнения p(x,t)+poux(x,t) = Q, (V) Poutt(x, t) = -рх(х, t), B') p(x,t) =a2p(x,t), a2 = fe^, C;) Po a — скорость распространения малых возмущений в газе, «скорость звука»2). Этот переход от нелинейной системы A), B), C) к линейной системе (]/), B;), C;) называется «линеаризацией». Уравнения ptt = — °>2рхх и Ptt = а?Рхх получаются из A;), B;), C;) дифференцирова- дифференцированием и исключением остальных функций. Потенциал ср(х, i) опреде- определяется соотношением ipx(x, t) = v(x, t) с точностью до произвольной ^См. [7, с. 27]. 2) См. введение к § 2 (условиям) настоящей главы.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 147 слагаемой функции времени; так как щ(х, t) = г?(ж, ?), то из уравне- уравнения B') получим _ PoVxt +Рх = О, т.е. д поэтому в силу того, что потенциал скоростей ср(х, i) определяется с точностью до произвольной слагаемой функции времени, можно на- написать: _ poPt+P = 0. D) Соотношение D) дает возможность найти возмущение давления р, если известен потенциал скоростей. Из уравнения A'), дифференцируя по t, получим _ Pt + Рофхх = 0. E) Из D) и E) получается уравнение (fit = CL2(pxx, дифференцирование которого по х приводит к уравнению vtt = a2vxx. Аналогично получаются уравнения для потенциала смещений и для смещений. Рассматривая движение граничного элемента газа и используя уравнения (]/), B;), C;), D) и E), нетрудно получить приведенные в ответе граничные условия. 5. Ось Ох направлена вдоль трубы, причем начало координат О лежит в плоскости входного сечения, ро — давление воды в резерву- резервуаре. Для определения осредненных (по внутреннему поперечному се- сечению трубы) значений скорости г?(ж, t) и давления р(х, t) получаем краевую задачу -®Е — Л2 ddo^) dt~ дх ' р@, ?) = ро, v(l, t) = 0; 0 < ? < +оо, C) р(х, 0)^р0, г;(ж, 0) = v0; 0 ^ ж < /, D) где ро — плотность воды в резервуаре, А= . 1 =, E) I po 2Ropo причем к есть модуль упругости воды, входящей в закон Гука для воды, ро Ro — внутренний радиус трубы в невозмущенном состоянии, Е — модуль упругости материала трубы, 5 — толщина трубы, а — опре- 10*
148 Ответы, указания и решения деляемый экспериментально коэффициент сопротивления трения еди- единицы длины трубы1). При составлении уравнения движения можно, как показал Н.Е. Жуковский, для тонких труб при не слишком больших возму- возмущениях давления пренебрегать радиальным движением их частиц2), в то время как при выводе уравнения неразрывности радиально сим- симметричное растяжение трубы необходимо учитывать. Силу сопротив- сопротивления трения, действующую на элемент воды, заключенный между поперечными сечениями х и х + Ах, можно определить по формуле, приведенной в сноске. При выводе уравнений краевой задачи величины р, р, v будем счи- Ро тать малыми, а величину — значительно меньшей единицы. Установим связь между внутренним радиусом R трубы и давле- давлением р в трубе. Для этого рассмотрим состояние половины элемента, отсекаемого от трубы близкими поперечными сечениями х и х + Ах, изображенного на рис. 16. Силы упругости, развивающиеся в сече- сечениях I и II этого полукольца, равны сумме проекций сил давления жидкости на средний радиус полукольца, т. е. 25АхЕ R~Ro = 2RAx(p - р0) Ко или ^ Ед ~ Rl Следовательно, величина R = R — Ro также будет малой, равно как и величина S = S - So « 2ttRRo = S0^fp. (8) Выведем уравнение неразрывности, выражающее закон сохране- сохранения массы вещества для объема, заключенного между плоскостями х и х + Ах (рис. 16, б): х+Ах — J Spdx = (Spv)x - X у — (Sp) dx = (Spv)x - (Spv)x+Ax, г) Пусть S — внутреннее поперечное сечение трубы, тогда сила сопро- сопротивления, приложенная к элементу жидкости, заключенному между сече- сечениями х и х + Аж, равна ж+Аж 2а I Spvdx. О более точной постанове задачи, где подробнее анализируется сила сопротивления, см., например, [44]. 2) В этом случае произведение массы кольцевого элемента трубы на радиальное ускорение пренебрежимо мало.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 149 откуда d{Sp) dt д (Spy) дх В силу малости величин S, р, v это уравнение преобразуется в урав- уравнение B). Ах Рис. 16 Аналогично (рис. 16, а) составляем уравнение движения, выра- выражающее второй закон Ньютона для элемента воды, заключенного в рассматриваемый момент времени между сечениями х и х + Ах: ж+Дж Г - f dt J ж+Аж ж+Аж a = const, a > 0, ж+Аж ж+Аж -2а I (Spv)dx, ж+Аж -2a Г (Spv) dx, т^ = _д_ш_ dt dx Ео по сравнению с еди- откуда В силу малости о, р, рив силу малости ницей это уравнение (с помощью соотношений F) и (8)) преобразует- преобразуется в уравнение A). Начальные условия D) и граничные условия C), приведенные в ответе, очевидны. Вместо системы дифференциальных уравнений первого порядка можно получить одно гиперболическое уравнение второго порядка как для функции v(x, t), так и дляр(ж, t). Именно, дифференцируя A) по х и B) по t и исключая г?, получим ^ = A2 ^r - lOL-^- При дх2 dt 0 < х <1, 0 <t < +оо, ПРИ 0 < t < +оо. р@, t) = Второе граничное условие для р(ж, t) получаем из граничного усло- условия v(l, t) = 0 при 0 < t < +00 с помощью уравнения A): px(l, t) = 0 при 0 < t < +00.
150 Ответы, указания и решения ' р(х, 0) = ро при 0 < х < I. Второе начальное условие для р(х, i) получаем из г?(ж, 0) = г?о при 0 ^ ^ х < I и уравнения B): Pt(x, 0) = 0 при 0 ^ х < I. Аналогично может быть получена краевая задача для определе- определения г?(ж, t). 6. Решение. Пусть со означает приращение объема жидкости в колпаке, S — площадь внутреннего поперечного сечения трубы на конце х = /. Мы имеем -г = Sv -Q(t), A) at x=l где v — скорость течения жидкости, а Р — давление воздуха в кол- колпаке, откуда следовательно, duj _ Qo dp / .ч где р = P — давление жидкости в колпаке. В силу уравнения B) на с. 152 duo Л2 i^o ov /сч lt=-XpoToTx- E) Подставляя E) в A), получаем искомое граничное условие dv PqS Pq х=1 7. 1^ = с20'] A) > при 0 < х < I, 0 < t < +оо, ЁЛ - г2 ЁЛ \ B) dt2 ~ дх2 ) где с2 = gh, g — ускорение силы тяжести, /' ч ч ? при 0 < t < +00, / ч rix@,t)=rix(l,t) = 0f P D) ?(х, 0) = /(ж), &(х,0) = ф), \ E) > при 0 < х < I. г](х, 0) = —hf (ж), r]t(x, 0) = —hip (x) J F) Указание. Возмущение давления в воде при рассматриваемых волновых движениях можно считать пренебрежимо малым, т.е. дав- давление р на глубине у, отсчитываемой от дна канала, можно считать близким к гидростатическому1). Слагающую v скорости частиц во- воды по направлению оси х можно считать малой, т.е. пренебрегать Но нельзя пренебрегать его производной по х.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 151 квадратами, произведениями и высшими степенями этой функции и ее производных. Жидкость можно считать несжимаемой. х х + Ах х + ?(ж, ?) ж + Дж + ?(ж + Дж, t) Рис. 17 Решение. На глубине у, отсчитываемой от дна канала, давле- давление будет равно P = Po+gp(h + rj-y). G) Отсюда находим Составим уравнение движения для элемента Ах Ay Az слоя (ж, х + + Дж) воды в проекциях на ось ж (рис. 17): Ах Ay Az о -?- = -Ах Ay Az -?- у н dt y дх dt дх х+вАх где 0 < в < 1, откуда после сокращения на Ах Ay Az при Ах ->• О получаем или, используя (8), dv дп dv дп Далее, используя несжимаемость жидкости, получаем «уравнение не- неразрывности» (уравнение сохранения массы) РПт = ^-^, (И) где m — ширина канала, откуда „ = -*§. A2) Линеаризация уравнения A0) дает „ 5« д2(, Но я7 = я«' ПОЭТОМУ С другой стороны, из A2) получаем A4)
152 Ответы, указания и решения Сопоставляя A4) и A5), получим дифференциальное уравнение для функции ?(ж, t) Теперь нетрудно получить остальные соотношения ответа, приведен- приведенного выше. Укажем лишь, что граничные условия D) можно получить из граничных условий C) дифференцированием по t и применением равенства A4). В заключение необходимо отметить, что для определения ?(ж, t) и г)(х, t) достаточно решить краевую задачу A), C), E) и затем по найденному ?(ж, t) найти r){x, t) по формуле A2). 8. Ось Ох направлена по продольной оси симметрии стержня в его равновесном состоянии, а за характеристическую функцию при- принято поперечное отклонение и (ж, t) точек стержня от их положения равновесия. Для определения и (ж, i) получаем краевую задачу Ь а2 = 0 1) при 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) u(O,t)=uxx(O,t)=u(l,t)=uxx(l,t)=O при 0 < I < +оо, B) C) а" = —, D) и(х, 0) = /(ж), щ(х, 0) = F(x) при 0 < х < I, EJ где Е — модуль упругости стержня, р — плотность массы стержня, S — площадь поперечного сечения стержня, J — геометрический момент инерции поперечного сечения относительно его средней линии, перпендикулярной к плоскости колебаний. Указание. Вывод уравнения A) изложен в [7, с. 142-144]. Рассматривая движение концевых элементов стержня, можно получить гра- граничные условия. Выведем граничные условия в случае шарнирного закрепления конца. Рассмотрим граничный элемент (/ — —Аж, /) шарнирно закрепленного конца и составим для него уравнение вращатель- вращательного движения относительно оси шарнира (рис. 18, см. также рис. 2) /7777777777777777777777777777777777777 Рис. 18 1-Ах Ах + М ',-Ах E) Переходя к пределу при Ах —у 0 в предположении, что нет бесконеч- „ д2<р - „ ных угловых ускорении —-^- и бесконечных перерезывающих сил г, Ч Это уравнение получено в предположении, что угловые ускорения поперечных сечений стержня отсутствуют, т. е. стержень должен быть достаточно тонким. Вывод более точного уравнения см. [26].
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 153 получим М\1= О, т.е. „„(,, t) = 0. F) Аналогично получаем второе граничное условие для левого кон- конца ихх@, i) = 0. В левой части равенства E) можно было бы сразу писать нуль по предположению о малости колебаний ( —-|- « 0 J. Но граничные условия E) и F) годятся и в том случае, когда угловые ускорения —-j- элементов стержня не считаются пренебрежимо малы- ut ми. Второе граничное условие для рассматриваемого конца очевид- очевидно: u(l, t) = 0. 9. Ось Ох расположена так же, как в предыдущей задаче. Для определения и (ж, t) получаем краевую задачу pi+a2pt- = 0 при 0<ж</, 0<?<+оо, A) и@, t) = их@, t) = uxx(l, t) = uxxx(l, t)=0 при 0 < t < +оо, B) u(x,0) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1, C) 2 ^J а =w Указание. Граничными условиями для жестко закрепленно- закрепленного конца х = 0 являются неподвижность конца и горизонтальность касательной. На свободном конце, что доказывается обычным обра- образом, изгибающий момент и перерезывающая сила должны быть равны нулю. 10. Ось Ох расположена так же, как в ответе задачи 8. Для опре- определения отклонения и (ж, t) получаем краевую задачу |^+а2!^ + -^ = о при 0<х<1, 0<*<+ос, A) u(O,t)=uxx(O,t)=u(l,t)=uxx(l,t)=O при 0<?<+оо, B) u(x,0) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1. C) Указание. Уравнение A) получается переходом к пределу при Ах —У 0 из уравнения, выражающего в проекциях на ось Ои второй за- закон Ньютона для элемента (ж, х + Ах) стержня. По поводу граничных условий см. решение задачи 8. 2. Вынужденные колебания и колебания в среде с сопро- сопротивлением; уравнения с постоянными коэффициентами. 11. utt = а2ихх + /(ж, t) при 0<ж</, 0<?< +оо, A) u@, t) = u(l, t) = 0 при 0 < t < +оо, B) u(x,0) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<ж</, C) /(ж, t) = - F(x, t), где р — линейная плотность массы струны. Р
154 Ответы, указания и решения Указание. Дифференциальное уравнение A) получается из уравнения движения для элемента (ж, ж + Аж) струны при Аж —у 0. 12. Для отклонений и (ж, t) точек струны от положения равнове- равновесия получаем краевую задачу ТТ utt = a2uxx-\ /(*), 0 < х < Z, 0 < t < +оо, A) ср Т где а2 = —, Т — натяжение струны, р— линейная плотность массы, с — скорость света, и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < I. C) 13. utt = «2ижж при 0 < х <1, 0 <t < +00, A) u(O,t) = (p(t), ux(l,t) = ^ при 0<*<+оо, B) и{х, 0) = 0, г^(ж,О) = О при 0<ж</. C) Указание. Граничное условие для конца х = I получается пе- переходом к пределу при Ах —у 0 из уравнения движения, выражающего второй закон Ньютона для элемента (/ — Ах, I) стержня. 14. Для определения предельных отклонений и (ж, t) поперечных сечений стержня получаем краевую задачу utt = а2иХх + 9 при 0 < х < /, 0<?< +оо, A) u(O,t)=ux(l,t)=O при 0 < t < +оо, B) и(ж, 0) = 0, г^(ж,0)=г;о при 0 < х < I, C) где д — ускорение силы тяжести, а г>о — скорость, достигнутая лиф- лифтом к моменту остановки. 15. Для определения поперечных отклонений и (ж, t) точек струны от их положения равновесия получаем краевую задачу ии = a2Uxx — Ъу2Щ при 0 < t < +00, 0 < ж < /, A) u@, t) = u(l, t) = 0 при 0 < t < +оо, B) u(x,0) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<ж</, C) где 2г/2 = -, о — линейная плотность массы струны, к — «коэффи- Р циент трения», т.е. коэффициент пропорциональности в соотношении Ф = -кщ, определяющем силу трения, действующую на единицу длины струны. Указание. Уравнение A) получается переходом к пределу при Аж —у 0 из уравнения движения для элемента (ж, ж + Аж) струны. 16. Для определения поперечного отклонения точек стержня от их положения равновесия получаем краевую задачу utt + a2Uxxxx + ^у2Щ — /(ж, t) при 0<ж</, 0<?< +00, A)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 155 u(Q,t)=ux(Q,t)=u(l,t)=ux(l,t) = Q при 0<?<+оо, B) и(х,О) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1; C) здесь v имеет такой же смысл, как и в предыдущей задаче. 17. Для определения поперечного отклонения и (ж, t) точек стержня от их положения равновесия получаем краевую задачу ии + а2ихххх = 0 при 0 < ж < /, 0 < t < +оо, A) ЦО, *) = их@, t) = 0, ияяA, *) = 0, EJuxxx(l, t) = -Ф(г) B) при 0 < t < +оо, где Ф(?) — приложенная к концу х = / поперечная сила (ее проекция на ось Ои, «совпадающая» с силой, так как сила параллельна оси Ои), и(х,О) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1. C) Указание. Последнее из граничных условий B) может быть получено переходом к пределу при Ах —У 0 в уравнении, выражающем в проекции на ось Ои второй закон Ньютона для элемента (/ — Аж, /) стержня. По поводу условия uxx(l, t) = 0 см. решение задачи 8. 18. Для определения продольных отклонений и (ж, t) точек стержня от их положения равновесия получаем краевую задачу1) utt = a2uxx при 0<ж</, 0<^< +00, A) u(O,t) = O, ESux(l,t) = kut(l,t) при 0<^<+оо, B) и(х,О) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1, C) где к — коэффициент трения для конца х = / стержня. 19. vxx = CLvtt + (CR + GL)vt + GRv при 0 < x < I, 0 <t < +00, A) г;@, t) = 0, v(l, t) = E(t) при 0 < t < +oo, B) v(x,O)=F(x), vt(x, 0) = -GF(x)-f(x) при о<ж</, (З) G где E(t) — заданная электродвижущая сила, приложенная к кон- концу х = I провода, a L, С, G, R — соответственно коэффициент самоин- самоиндукции, емкость, утечка и сопротивление, рассчитанные на единицу длины провода. Указание. Начальные условия записываются в форме C), если воспользоваться вторым из системы телеграфных уравнений vx + Ыг + Ri = О, D) ix + Cvt + Gv = 0 при t = 0. Система D) выводится в [7, с. 30, 31]. х) По поводу вывода граничных условий см. указание к задаче 1.
156 Ответы, указания и решения 3. Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с не- непрерывными переменными коэффициентами. при 0 <х < Z, 0 <t < +оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0 при 0 < t < +оо, B) и(х,О) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1. C) 21. Ось Ож направлена по оси конуса. Для определения продоль- продольных отклонений и(х, i) точек стержня от их положения равновесия получаем краевую задачу х \2 д2и _ 2 д Г Л х \2 ди\ при 0<ж</, 0<^< +оо, A) u@, t) = u(/, t) = 0 при 0 < t < +оо, B) и(х,О) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<ж</. C) Здесь а — —, Е — модуль упругости, р — плотность массы, Н = ТУ I / — высота полного конуса, частью которого является стержень. 22. Для определения поперечных отклонений и (ж, t) точек стерж- стержня от положения равновесия получаем краевую задачу х\3 д2 ) при 0<ж</, 0<^< +оо, A) 2 ^/г „ /г 2 ^/г „ /г , где а = , Н = — / — высота полного клина, частью которого 12/9 h — h' является стержень и@, t) = 0, их@, t) = 0, ихх{1, t) = uxxx(l, t) = 0 при 0 < t < +00, B) и(х,О) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1. C) Если для поперечного сечения с абсциссой х площадь и момент инерции (относительно горизонтальной средней линии поперечного се- сечения) равны соответственно S(x) и J(x), то уравнение поперечных колебаний стержня будет иметь вид ск ч д2и , д2 Сначала нужно получить уравнение D), аналогично тому как это де- делалось в решении задачи 8 настоящего параграфа, а затем, подставляя
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 157 значения S(x) и J(x) для рассматриваемого клинообразного стержня, получить из уравнения D) уравнение A). По поводу вывода гранич- граничных условий B) см. также решение задачи 8. 23. Ось Ох направлена по струне в положении равновесия, при этом ее начало совмещается со свободным концом струны. Для опре- определения поперечных отклонений и (ж, t) точек струны от их положения равновесия получаем краевую задачу w = °i{xd?) при u@,t) ограничено1), u(l,t) = O при 0 < t < +oo, B) и(ж, 0) = /(ж), ut(x,O) = F(x) при 0<ж</, C) где д — ускорение силы тяжести. 24. В системе координат, выбранной так же, как в предыдущей задаче, для определения поперечных отклонений и (ж, t) точек струны от положения равновесия получаем краевую задачу tL(^)uj2u при 0<ж</' 0<г<+оо, A) u@, t) ограничено, u(l, t) = 0 при 0 < t < +oo, B) u(x,0) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1, C) где д — ускорение силы тяжести. 25. Используем прямоугольную систему координат хОи, ось Ох которой направлена по струне при ее равновесном движении, а ось О и перпендикулярна к плоскости равновесного движения, причем начало координат совпадает со свободным концом струны. Для определения отклонения и (ж, t) точек струны от плоскости равновесного движения получаем краевую задачу ЦО, t) ограничено, u(l, t) = 0 при 0 < t < +oo, B) u(x,0) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1. C) По поводу граничного условия для конца х = 0 см. примечание к ответу задачи 23 настоящего параграфа. х) Требование ограниченности n@, t) и отклонений свободного конца очевидно. Это требование является достаточным и с математической точ- точки зрения, что обусловливается структурой уравнения A). Именно, вычи- вычислив энергию колеблющейся струны, можно, как и в простейшем случае поперечных колебаний струны, доказать единственность решения краевой задачи A), B), C).
158 Ответы, указания и решения 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэф- коэффициентами, и родственные им (кусочно однородные среды, сосредоточенные факторы). 26. Ось Ох направлена вдоль стержня. В состоянии равновесия плоскость соединения торцов полуограниченных стержней проходит через начало координат; ui(x, t) — продольные отклонения точек первого полу ограниченного стержня, и2(х, t) — второго. Для опреде- определения щ(х, t) и и2(х, t) получаем краевую задачу ——L = а\ ^ при — оо < х < О, р р \ при 0 < t < +оо, A) О U2 2 О U2 =«2@, *), U(xO) = f(x) 9ui{^0) = F{x) при -оо<ж<0, C) и2(х, 0) = f(x), д«2(ж, 0) = F^ 9 El 9 Е2 аг = —, а2 = —. Pi P2 Указание. Первое из условий сопряжения B) означает, что тор- торцы полуограниченных стержней все время остаются соединенными вместе, второе же может быть получено при Ах —у 0 из уравнения дви- движения, выражающего второй закон Ньютона для элемента (—Аж, Ах) составного стержня. 27. Ось Ох выбрана так же, как и в предыдущей задаче. Для определения поперечных отклонений точек стержня получаем крае- краевую задачу + a ^ U2 , 2 д U2 ^+а2^ при 0, } при 0<*<+ос, A) ), t) = u2@, t), ulx@, t) = u2x@, t), Л Eiulxx(O, t) = E2u2xx@, t), > при О < t < +oo, B) E1ulxxx@,t) = E2u2xxx@,t) J m(x, 0) = f(x), uu(x, 0) = F(x) при — oo < x < 0,' u2(x, 0) = /(ж), U2t(x, 0) = F(x) при 0 < x < +oo, 2 E\J 2 E2J 28. Ось Ож и функции ui(x, t) и ^2(ж, t) выбраны так же, как в предыдущей задаче. Для определения ui(x, t) и и2(х, t) получаем
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 159 краевую задачу ^- при - оо < х < О, I при 0 < t < +00, A) <~»2 <^2 I L у \ / О 112 (с\ л\ (с\ л\ 7 dui(O, t) , du2@, t) ui(O, t) = u2@, t), ki —v = A;2 —' при 0 < ^ < +oo, B) Ul(x,O) = f(x), dui(f; 0) = f (ж) при -оо гб2(ж,О) = /(я;), oT~^ = n2 - h ^ n2 -h Po CL-^ — rZi —j—r, &2 — ki и &2 — показатели адиабаты для первого и второго газов, Pq ' — B) A) B) = роу и р0 , роу — давления и плотности первого и второго газов в невозмущенном состоянии. Указание. Второе из граничных условий получается с по- помощью соотношений A;) и C;) решения задачи 4 из равенства воз- возмущений давления которое в свою очередь получается переходом к пределу из уравне- уравнения движения, выражающего второй закон Ньютона для элемен- элемента (—Ах, Ах) газа, в силу равенства невозмущенных давлений р^ ' = 29. Ось Ох направлена вдоль канала, причем начало координат О помещено в плоскости, где поперечное сечение канала меняется скач- скачком. Пусть ширина и глубинаг) левого полу ограниченного канала рав- равны mi и hi, а для правого — равны ТП2 и /i2- Тогда для определения продольных смещений частиц жидкости и вертикальных отклонений свободной поверхности жидкости от равновесного состояния получаем краевую задачу af " ' 2ах; ¦> при -оо<х<0, 0<i<+oo, A) '/1 \«^7 ^/ при 0 < x < +oo, 0 < t < +oo, х) Глубина, отсчитанная от свободной невозмущенной поверхности жидкости.
160 Ответы, указания и решения 77i@, t) = 772@, t), miftifit@, t) = m2h2^2t@, *) при 0 < * < +oo, B) 771 (ж, 0) = -hif'(x), r)it(x, 0) = -hiF'(a f ' ч 7 ',,, \ t лЧ ' 1 i-.// \ г ПРИ 0 < ж < +оо. C') 772(ж, 0) = -h2f'(x), rj2t(x, 0) = -h2F'(x) J Указание. Первое из условий сопряжения B) следует из пред- предположения о непрерывности давления в жидкости при переходе через поперечное сечение х = 0, второе же выражает закон сохранения мас- массы. Первое из условий B) может быть заменено условием ЛхЫО, *) = ЛгЫО, *) D) с помощью соотношений 77i(ж, t) = -h^lx(x, t), 772O, t) = -h2?2x(x, t). E) Тогда краевая задача для определения ?i(x, i) и ^2 (ж, i) становится независимой от краевой задачи для определения 771 (ж, t) и г]2(х, t). Заметим, наконец, что условия сопряжения B) [или второе из усло- условий B) и условие D)] лишь приближенно описывают явление в окрест- окрестности поперечного сечения х = 0, так как оба они базируются на пред- предположении, что уровни поперечных сечений — Ах и Ах при малом Ах отличаются мало. 30. Оси координат и характеризующие функции выбраны так же, как в задаче 26. Для определения щ(х, i) и и2(х, i) получаем краевую задачу ^7Г = ai "«IF ПРИ ~ °° < х < °' ° < 1 < +00' (Х) при 0<ж<+ос, 0<*<+ос, (V) , 0) = /(ж), и^(ж, 0) = F0) при -оо<ж<0, C) гб2(ж, 0) = /(ж), u2t(x,0) = F(x) при 0 < ж < +оо. C;) Указание. Второе из условий сопряжения B) выражает второй закон Ньютона для жесткой прокладки массы М. См. также указание к задаче 26 и решение задачи 32. 31. Ось х направлена вдоль прямолинейного положения равнове- равновесия стержня, причем начало координат помещено в плоскости соедине- соединения торца полуограниченных стержней1). Для определения попереч- х) Напомним, что по условию задачи толщина жесткой прокладки меж- между соединенными торцами пренебрежимо мала.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 161 ных отклонении точек стержня от положения равновесия получаем краевую задачу д2и\ 2 д4и± = 0 при — оо < х < О, при 0 < t < +oo, A) ,t)=u2@,t); ulx@,t)=u2x@,t),} Multt@, t) = Mu2tt(P, t) = = ЕгМ1ххх@, t) - E2Ju2xxx@, t) при О < t < +oo, B) , 0) = u2(x, 0) = , 0) = F(x) при - oo < x < 0, , 0) = 2 _ a2 — при 0 < х < оо, E2J C) D) 32. Ось Ож направлена вдоль стержня, так что его верхний конец имеет абсциссу х = 0. Для определения продольного отклонения u(x,i) точек стержня получаем краевую задачу utt = а2ихх при 0 < х < I, 0 <t < +00, A) и@, t) = 0, — utt(l, t) = -ESux(l, t) + Q при 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = 0, щ(х,0) = 0 при 0<ж</. C) Решение. Остановимся на выводе второго из граничных условий B). Составим уравнение, выражающее в проекциях на ось Ох второй закон Ньютона для те- тела, состоящего из груза Q и элемен- элемента (/ — Ах, I) стержня. Мы получим (рис. 19): Q+pSAx) utt(xc, t) = 9 ) = -ESux(l - Ах, t) + Q, где хс — абсцисса (лагранжева) центра масс рассматриваемого тела. Переходя к пределу при Ах —у 0, получим из этого уравнения граничное условие ^ ии(хс, t) = -ESux(l, t) + Q. О J X ' I Ax t P У//////А I > ¦ 'Q Рис. 19 x) Это условие сопряжения выражает равенство изгибающих момен- моментов, вытекающее из предположения о том, что поперечные сечения стержня не вращаются. Более подробно об этом см. [26]. 11 Б.М. Будак и др.
162 Ответы, указания и решения Но так как груз Q считается жестким (недеформируемым), то все его точки получают одинаковые продольные ускорения при продольных колебаниях стержня, поэтому в последнем соотношении можно заме- заменить хс на /, тогда и получится второе из граничных условий B). 33. Ось Ох направлена горизонтально и, следовательно, парал- параллельна ненапряженному положению стержня, принятому за положе- положение равновесия. Для определения поперечных отклонений и (ж, t) точек стержня от их положения равновесия получаем краевую задачу ^+а2|^ = 0 при 0<х<1, 0<?<+оо, A) u@, t) = их@, t) = 0, ихх{1, t) = 0; Q utt(l, t) = EJuxxx(l, t) при 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = /(ж), щ(х, 0) = F(x) при 0 < х < I. Указание. Равенство uxx(l, t) = 0 выражает равенство нулю изгибающего момента, вытекающее из предположения о том, что по- поперечные сечения стержня не вращаются1) (см. вывод граничных условий в решении задачи 9). Последнее же из граничных условий B) выражает второй закон Ньютона в проекциях на ось Ои для груза Q, прикрепленного на конце стержня. 34. Ось Ох направлена вдоль стержня, ее начало находится на оси вращения и совпадает с началом стержня. Для определения про- продольных отклонений и(х, t) точек стержня получаем краевую задачу |j g+W2(i + «) при 0<х<1, 0<t<+oo, A) где а2 = —, Е — модуль упругости, ар — плотность массы стержня, ЦО, t) = О, Я- utt(l, t) = Qu;2[l + u(l, t)] - ESux(l, t) 9 9 при 0<t< +oo, B) u(x,0) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0<х<1. C) 35. Ось Ох выбрана так же, как и в предыдущей задаче. Для определения продольных отклонений точек стержня получаем крае- краевую задачу 2 + 2 яТУ Q2 ^2(х + и) + 9cos при 0 < х < /, 0<^< +00, A) где а2 имеет такое же значение, как в предыдущей задаче, а </?о — угол между стержнем и вертикальным направлением вниз в момент времени t = О, х) См. также сноску к задаче 8.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 163 , t) = 0, —utt(l, t) = Q 9 9 1, t)} + Qcos ( ludt + ipoj - - ESux(l, t) при 0 < t < +00, B) u(x, 0) = /(ж), щ(х, 0) = F(x) при 0 < х < I. C) 36. Ось Ох направлена вдоль стержня; шкив с моментом инер- инерции к% имеет абсциссу х = 0, шкив с моментом инерции &4, вставлен- вставленный между двумя цилиндрами, имеет абсциссу х = /, наконец, шкив с моментом к$ имеет абсциссу х = 21. Для определения углов поворота поперечных сечений цилиндров получаем краевую задачу д2вг = ал A) д2в2 _ 2 д2в2 Q, t) при I < х <21, 0 < t < +00, 001 (О,*) дг1 дх t) 0fl2 (i, t) 001 (г, 1 2B/, *) 0J2 вг(х,О) = /(х), 02(x,O) = f(x), при О < t < +00, a, = дх ви(х, 0) =F(x) при 0<ж</, 6>2ДЖ, 0) = F(x) при 1<х<21. 2 (j2 ^2 B) C) где G\, Л, fci и G2, ^2 ? ^2 — модуль сдвига, «геометрический» поляр- полярный момент инерции поперечного сечения и момент инерции единицы длины для первого и соответственно для второго цилиндров1). 37. Ось Ох совмещена с положением равновесия струны. Для определения поперечных отклонений и (ж, /) точек струны получаем краевую задачу ^2 о2 а и\ 2 ^ ^i д2и2 = а дх2 при — оо < х < О, при 0 < х < +00 щ(х, 0) = u2(x, 0) = при 0 < t < +оо, A) ¦)+F(t) = O при 0 < t < +00, B) , 0) = F(x) при - оо < х < О, C) ;, 0) = F(x) при 0 < х < +оо. C;) x) Ср. с ответом к задаче 3. 11*
164 Ответы, указания и решения Если точка приложения силы перемещается вдоль струны по закону х = (f(t) при 0 < t < +00, (f@) = 0, D) то условия сопряжения принимают вид ), *] = МФ), *]> T0u2x[<p(t), t] - Toulx[<p(t), t] + F(t) = 0 при 0 < t < +oo. 38. Ось Ox располагается, как в предыдущей задаче: ^-+а2^=0 при -оо<ж<0, 0<?<+оо, A) d2U2 9 04U2 гл ъ ъ -—г- + a ^—r — 0 при 0 < x < +00, 0 < t C/t C/X «i@, t) = «2@, t), ulx@, t) = u2x@, t), ulxx@, t) = u2xx@, t), , B) EJulxxx{Q, t) - EJu2xxx@, t) + F(t) = 0 при 0 < t -' ' - - ^ ) = f(x), ult(x, 0) = F(x) при -оо<ж<0, (З) u2(x,0) = f(x), u2t(x,0) = F(x) при 0 < x < +oo. C;) Если точка приложения силы перемещается вдоль стержня по закону х = ip(t) при 0 < t < +оо, <р@) = 0, D) то условия сопряжения B) принимают вид Ul [</?(?), t] = U2[ip(t), t], Ulx[ip(t), t] = U2x[ip(t), t], uixx[ip(t), t] = u2xx[ip(t), t], EJulxxx[(p(t),t]-EJu2xxx[(p(t),t]+F(t)=0 при 0<^ 39. Ось Ох направлена вдоль трубки, причем начало ее помещено в начале трубки, где поставлен поршень. Для определения продольных отклонений u(x,i) частиц газа получаем краевую задачу utt = а2ихх при 0 < х < +00, 0 < t < +оо, A) Mutt@, t) = -Skpoux@, t) - k*ut(O, t) - A;**u(O, t), B) u(x,O) = f(x), ut(x,O) = F(x) при 0 < x < +oo. C) Указание. Граничное условие B) выражает второй закон Нью- Ньютона для поршня1). 40. Ось Ох совмещена с положением равновесия струны, шарик массы М имеет абсциссу х = 0. Для определения поперечных отклоне- отклонений и(х, t) точек струны от положения равновесия получаем краевую задачу 2 щи = cl uixx при — оо < ж < 0, 0<?< +00, A) U>2tt = CL2U2xx При 0 < X < +00, 0 < t < +00, A') х) Ср. с рассуждениями при выводе третьего граничного условия в ре- решении задачи 4.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 165 гц(О, t) = гл2@, t), Multt(O, t) = M%f@, t) = Г0и2ж@, *) - - Toulx@, t) - fewi(O, t) = Т0и2ж@, *) - Toulx@, t) - ku2@, t), B) v>i(x,O) = f(x), иц(х, 0) = F(x) при - oo < x < 0, C) гл2(ж,0) =/(ж), u2t(x,0) = F(x) при 0 < ж < +оо. C;) Если шарик испытывает сопротивление, пропорциональное скорости, то вместо второго из условий сопряжения B) получается условие со- сопряжения Multt@, t) = Mu2U@, t) = T0u2x@, t) - Toulx@, t) - toi(O, t) - - k*ult(O, t) = Т0и2х@, t) - Гои1Ж@, t) - ku2@, t) - k*u2t@, t) при 0 < t < +oo. 41. В качестве координаты х точки на проводе взято ее рас- расстояние вдоль провода от конца, заземленного через сосредоточен- сосредоточенное сопротивление. Для определения напряжения v(x, i) и силы то- тока г (ж, i) в проводе получаем краевую задачу vx + Lit = 0, ix + Cvt = 0 при 0 < х < I, 0 <t < +оо, A) -г;@, t) = Roi@, t), C0vt(l,t)=i(l,t) при 0 < t < +oo, B) v(x,0) = f(x), i(x,O) = ip(x) при 0<х<1 C) или vtt = a vxx при 0 < х < /, 0<^< +00, A;) Rovx@,t) = Lvt@,t), LC0vtt(l,t) = -vx(l,t) при 0 < t < +оо, B;) v{x, 0) = /(ж), ^(ж, 0) = ~ ср'(х) при 0 < х < I C') Су И г^ = a2ixx при 0<ж</, 0<^< +оо, A") гх@, t) = CRoit@, t), Coix(l, t) + Сг(/, t) = 0 при 0 < * < +оо, B/;) i(x, 0) = у?(ж), гДж, 0) = -\ f'(x) при 0 < x < /, C/;) 2 1 Указание. Дифференциальные уравнения A) получаются из дифференциальных уравнений A) и B) ответа к задаче 19 при R = = G = 0. Граничные условия B) получаются из соотношения o^ + ±- [idt, [idt, D) с помощью которого определяется падение напряжения при перехо- переходе через последовательно включенные сосредоточенные сопротивле- сопротивление i?o, самоиндукцию Lq и емкость Cq. Так, например, для конца х = = 0 провода имеем 0-^@, t) = Roi@, t) при 0<?<+oo, E)
166 Ответы, указания и решения где 0 — г>@, t) означает разность потенциалов земли и конца провода (потенциал земли принимается равным нулю). Уравнения A') и A") получаются из уравнений A) исключени- исключением соответственно функций г (ж, t) и г? (ж, t). Граничные условия B') и B") получаются из граничных условий B) с помощью уравнений A). Начальные условия C') и C") получаются из начальных условий C) с помощью уравнений A). 42. В качестве координаты х точки на проводе взято ее расстоя- расстояние вдоль провода от конца, заземленного через сосредоточенную са- самоиндукцию Lq . Для определения г? (ж, t) и г (ж, t) получаем краевую задачу vx + Lit = 0, ix + Cvt = 0 при 0 < х < I, 0 <t < +оо, A) -г;@, t) = L^it@, t), v(l, t) - E(t) = L™it(l, t) при О < t < +oo, B) v(x,0) = f(x), i(x,Q) = <p(x) при 0<х<1 C) или o vtt = azvxx при 0 <x < Z, 0<^< +oo, (Г) 41}^@, t) - Lv(O, t) = 0, Ь^ухA, t) + Lv(l, t) = LE(t) при О < t < +oo, B') г;(ж, 0) = /(ж), ^(ж, 0) = ~4>'{x) при 0 < ж < /, C;) о г^ = a2ixx при 0<ж</, 0<^< +оо, A/;) при 0 < t < +оо, B") i(x,Q)=<p(x), it(x,Q) = -Tf'(x) при 0<ж</. C") Li Указание. См. указание к задаче 41. 43. В качестве координаты х точки на проводе взято расстоя- расстояние вдоль провода от одного из концов провода до этой точки. Для определения г? (ж, t) и г (ж, t) получаем краевую задачу vx+Lit + Ri = Q, ix + Gvt+Gv = Q при 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) -v(O,t)=R^h(O,t), v(l,t) = R^h(l,t) при 0 < t < +оо, B) г;(ж, 0) =/(ж), г(ж, 0) = <р(х) при 0<ж</ C) или при 0 < х < I, 0 < t < +оо, A;) г;@, *) = О,' ^(, ) ^ 7 R° } при vx(l, t) + -^ vt(l, t) + -^ v(l, t) = Ro Ro
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 167 v(x,O) = f(x), vt(x,O)= -GfW-vW ПрИ 0<х<1 C и при 0 < х < Z, 0 < t < +00, A" ^ при 0<?<+oo, B") С) o J i(x,0)=(p(x), it(x,O)= -R(P(x)-f(x) при 0<х<1. C") AA. Система координат выбрана так же, как в предыдущей зада- задаче. Для определения г? (ж, t) и г (ж, t) получаем краевую задачу ^ж + Lit + Ri = 0, ix + СЧ + Gv = О при 0 <х <1, 0 <t < +00, A) -V@, t) = 41}»,@, t) + 41}г@, t), \ ^ при 0<К +оо, B) г; (ж, 0) = /(ж), г (ж, 0) = ф(х) при 0<ж</. C) Для определения г? (ж, ?) при выполнении условий щ'L — RLq ' = = 0 и RqL — RLy = 0 получаем краевую задачу vxx = CLvu + (СД + GL)vt + СД^ при 0 < х < I, 0 < t < +00, A;) V при 0<t< +00, B ) J ф, 0) = /(ж), ^(ж, 0) = zRIi^fM. при 0<ж</. C;) 45. Начало координат О помещено в месте соединения полуогра- полуограниченных проводов. В качестве координаты х точки на проводе при- принимается расстояние вдоль провода от начала координат О до этой точки. Для определения г? (ж, t) и г (ж, t) получаем краевую задачу vlx + Lxi\t + R\i\ = 0, ilx + Civu + GiVx = 0 при — oo < ж < 0, 0<?< +00, V2x + L2l2t + Д2^2 = 0, %2х + G2V2t + G2V2 = 0 при 0 < х < +00, 0 < t < +00, Н(О, t) =г2@, *), , 0) = /(ж), п(ж, 0) = у?(ж) при - оо < х < О, ж, 0) = /(ж), гг(ж, 0) = ^(ж) ПРИ 0 < ж < +оо.
168 Ответы, указания и решения Для определения силы тока в предположении, что G\ = G2 = О, получаем краевую задачу Нхх = CiLiiut + CiRiiu при - оо < ж < О, 0 < t < +оо, i>2xx = C2L2i2tt + С2Я2Ы при 0 < х < +оо, 0 < t < +00, Н(О, t) = г2@, *), ^ЫО, *) _ ^ i2a@, t) = ^h@, t) Oi O2 Оо при 0 < t < +00, i1(x,Q) = <p(x), ht(x,Q)= -R^ix)-f{x) г2(ж, О) = ^(яг), г2Дж, Q)= -RM^)-f^) при 0 < ж <+оо. Ь2 46. Система координат и дифференциальные уравнения такие же, как в задаче 45. Условия же сопряжения имеют вид гх@, *) = г2@, t), г;2@, *) - гл(О, t) = i^oH@, t) = Дог2@, t) при 0 < t < +00 и, если утечка существует, Н(О, *) =г2@, *), 7^НЖ(О, *) - ^г2ж@, t) = 47. Система координат выбрана, как обычно. Для определения г? (ж, i) и г (ж, i) получаем краевую задачу при 0 < х <1, 0 <t < +00, A) vt(O, при 0 < t < +оо, B) v(x,O) = f(x), i(x,Q)=ip(x) при 0<х<1. C) 48. В качестве координаты х точки на проводе возьмем расстоя- расстояние от середины О провода до рассматриваемой точки, отсчитываемое вдоль провода, на котором установлено положительное и отрицатель- отрицательное направления движения. Система телеграфных уравнений и на- начальные условия записываются, как обычно. Условия же сопряжения имеют вид v(-l, t) - v(l, t) = Loit(-l, t) = Loit(l, t), A) v(-l, t) - v(l, t) = Roi(-l, t) = Roi(l, t), B) vt(-l, t) - vt(l, t) = ±- i(l, t) = ±- i(-l, t). C)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 169 5. Подобие краевых задач. Вместо ведения к решению задач этого пункта дается подробное решение задачи 49, которой этой пункт начинается. 49. Если за функцию, характеризующую продольные колебания стержня 0 ^ х" ^ I" принять р(х"', t") = -р{х"', t"), где р(х"', t") — напряжение в поперечном сечении, отмеченном абсциссой х" (опреде- (определяемое, как в задаче I настоящего параграфа), то задача (II) о про- продольных колебаниях стержня, один конец которого (хП = 0) свободен, а другой (х" = /") закреплен неподвижно, формулируется следующим образом: pt,,t,, = арх„х„, 0 < х" < I", 0 < t" < +оо, а = -,) p(O,t")=px,,(l",t")=O, 0<t"<+oo, P > (П) р(х", 0)=<pp(x"), pt,,(x",O)=il>p(x"), 0<х"<1". ) Если за функцию, характеризующую электрические колебания в про- проводе 0 ^ х1 ^ /' с пренебрежимо малой утечкой и сопротивлением, при- принять электрическое напряжение v(x'', t'), то задача (I) об электри- электрических колебаниях в проводе, один конец которого (xf = 0) заземлен, а другой (х' = /') изолирован, формулируется следующим образом: t;@, t1) = vx> (I1, tf) =0, 0 < tf < +oo, I (I) v(x', 0) = (pv(x'), vt/(x', 0) = фу(х'), 0 < x1 < I'. Задача (I) аналогична задаче (II). Для того чтобы задача (I) была подобна задаче (II) с заданными коэффициентами подобия kx, kt, kUj необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения кх = у„ A) а'2 = |а, B) ?>„(*') = ки<рр(х"), ф^х') = ^ фр(х") при х' = кхх", 0 < х" < I". C) Решение. Докажем необходимость и достаточность условий A), B) и C). Сначала докажем необходимость. Пусть v(x', t') = кир(х", t") при х' = кхх", t' = ktt", причем (х', t') пробегает Di[0 < х' < /', 0 < t' < +00], когда (х", t") пробегает Dn[0 < х" < I", 0 < t" < +00]. Тогда сразу же получаем, что /' = кх1", т.е. условие A) выполнено. Из равенства v(x',t') = = кир{х"\ t"), выполняя дифференцирование по ?, получим v# (xf, t') =
170 Ответы, указания и решения = -r-Pt" {x"I t"), поэтому при t' = t" = 0 будут выполняться равенства v(x',0) = kup(x",0), vt,(x',0) = ^pt,,(x",0), 0<х"<1", D) т.е. условие C) будет выполнено. Дифференцируя равенство v(x',t') =kup(x",t") по х" и t" и используя равенства х' = кхх", t' = kit", получим 2 02V _ 02р 2 Я2* _ и д2р 1ак как функция р(х , t ) должна удовлетворять уравнению т—^ = = а /2, то, следовательно, должно выполняться равенство к2 — - к2а — = к {^- - а -^Л = 0. Следовательно, v(x', t') является не только решением уравнения <92f /2 <92^ /г\ 9^=а &^' E) но и решением уравнения Вычитывая F) из E), получим что возможно лишь при условии а'2 - -ф а = °' G) ибо при условии с помощью уравнения и граничных условий (I) получаем, что v = 0, но это невозможно при (fv(xf) и ?/^(V), отличных от тождественного нуля. Следовательно, (8) невозможно, значит, имеет место G), т.е. условие B) выполнено. Рассмотрим теперь достаточность. Перейдем к безраз- безразмерным величинам ?, г, U в краевых задачах (I) и (II) с помощью формул х'=1'?, t' = t'0T, v = v0U(^,t), x"=l'% t" = 1%T, Р = Р0и(?,т), где константы t'o и t$ имеют размерность времени, а г>о и р0 соответ- соответственно размерность v и р, причем эти константы выбраны так, что % = К V^ = K. (9) го Ро
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 171 Напомним, что, кроме того, выполняется соотношение к ~ — Краевые задачи (I) и (II) принимают соответственно вид О U In /о О U ~ [/(О, г)=0, К ? < 1, 0 < т < +оо, = 0, 0 < т < +оо, О [/(О, г)=0, Из A), B) и (9) следует, что , г)=0, 0<г<+оо, A) (Г) (II1) Из A), (9) и C) следует, что ^ Mi'О = ^ Mi"О, ^ МГ?) = | Mi, о < z < 1. Таким образом, у задач (Г) и AГ) тождественно совпадают уравне- уравнения, начальные и граничные условия, следовательно (в силу теоремы единственности), совпадают и их решения. Таким образом, [/(?, г) = —^(а/, ?') = —р(х", t") при а/ = кхх", t' = fe^', т.е. v(x', t') = кир(х", ?") при ж; = &жж", ^ = fc^t", что и требовалось доказать. Замечание. Можно было бы иначе выбрать функции: 1) ха- характеризующую продольные колебания упругого стержня; 2) харак- характеризующую электрические колебания в проводе. Например, взять продольное смещение поперечных сечений стержня и силу электричес- электрического тока в проводе или только одну из этих функций выбрать иначе, а другую оставить прежней, т.е. один процесс можно по-разному мо- моделировать другим, выбирая наиболее подходящие аналогии. 50. За функцию, характеризующую продольные колебания стерж- стержня 0 ^ х" ^ /", принято продольное смещение поперечных сечений стержня u(x",t"). а) Если один конец стержня (хп = 0) закреплен жестко, а другой {х" = /") закреплен упруго, то для определения и(х"\ t") получаем
jl2 Е 172 Ответы, указания и решения краевую задачу utnt,, = аих„х„, 0 < х" < I", О < t" < +00, а = -, ЦО, t") = 0, Eux»(l", t") + ku(l", t") = О, 0 < t" < +оо, } (Па) и(х", 0) = <ри(х"), щ»(х", 0) = ^„(яг"), 0 < х" < Г. Если за функцию, характеризующую электрические колебания в проводе 0 ^ ж' ^ Г с пренебрежимо малым сопротивлением и утеч- утечкой, принять электрическое напряжение и если один конец провода (ж' = 0) заземлен непосредственно, а другой (х' = /') — через сосре- сосредоточенную самоиндукцию, то для определения напряжения v(xf, t') в проводе получается краевая задача vt,t, =a'2vx>x>, 0<х'<1', 0<t'<+oo, a'2 = -^-, где С — емкость единицы длины провода и L — самоиндукция еди- единицы длины провода г;@,О = 0, vx>(l',t') + -?-v(l',t')=Q, 0 < t' < +оо, 1 ( , 1) ( 'Т* () 1 — С/1 ( 'Т* 1 U-t-f ( 'Т* () 1 — 7/,? ( 'Т* 1 () ^^ ПГ ^^ I I Задача Aа) аналогична задаче (Па). Для того чтобы задача Aа) была подобна задаче (Па) с коэффициентами подобия kx, kt, ku, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения *. = ?. т п>2 _ кх 112 /9 \ ipv(x') = kuipu(x"), X = &ЖЖ , О < х" < I". Dа) б) Если конец стержня (х" = 0) свободен, а другой (х" = /") испы- испытывает сопротивление, пропорциональное скорости, то краевая задача для определения продольных смещений и(х"\ t") точек стержня имеет вид utntn = аихпхп, 0<х"<1", 0 < t" < +оо, I ихп@, t") = 0, Еих„(/", t") + r^//(I", t") = 0, 0 < *" < +оо, I (Пб) и(х",0) = <ри(х"), щ»(х",О)=<фи(х"), 0<х"<1". J Здесь г означает коэффициент сопротивления трения. Если один ко- конец провода (xf = 0) заземлен непосредственно, а другой (xf = /') за- заземлен через сосредоточенное сопротивление i?o, то, предполагая, что
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 173 сопротивление и утечка провода равны нулю, для определения силы тока i(xf,tf) получим краевую задачу iff =a'2ix>x>, a/2 =-3-, 0 < х' < /', 0 < t' < +00, гх, @, t') = 0, гя/ (/', t') + СЯ0 ^ (/', t') = О, 0 < t' < +00, f Aб) г(ж', 0) = </?;(ж'), П/(ж', 0) = г/л(х(), 0 < х1 < V. Задача A6) аналогична задаче (Пб). Для того чтобы задача A6) была подобна задаче (Пб) с коэффициентами подобия kx, kt, ku, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения кх = у„ A6) а'2 = ^а, B6) tpi(x') = ku<pu(x"), ф^х') = ^Фи(х"), х' = кхх", 0<х"<1". D6) в) Если один конец стержня (хП = 0) закреплен упруго, а другой {х" = /") движется по заданному закону, то имеем ut,,tn = аихпх11, 0 < х" < I", 0 < t" < +00, Л Eux»@, t") - ku@, t") = 0, и{1", t") = wu(t"), 0<t"< +00, > (Пв) u(x", 0) = <pu(x"), utn{x", 0) = фи(х"), 0 < x"< I". ) Если один конец провода (xf = 0) заземлен через сосредоточенную самоиндукцию Lq, а к другому (х' = /') приложена электродвижущая сила uv(t'), то для определения электрического напряжения в проводе получаем краевую задачу utit> = af2vxix>, 0<xf<lf, 0 < t' < +00, "| Lovx,@, t') - Lv@, t') = 0, v(l\ t') = vv(t'), 0 < t' < +00, > (Ib) v(x', 0) = <pv(x'), vt>(x', 0) = i/>v(x'), 0 < x' < I'. J Задача Aв) аналогична задаче (Пв). Для того чтобы задача Aв) была подобна задаче (Пв) с коэффициентами подобия кх, kt, kUj необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения Aа), Bа), (За), Dа) (см. выше) и соотношение uv(t') = kuuu(t"), tf = ht", 0 < t" < +00. Указание. Задача решается аналогично предыдущей. 51. Если один конец провода (х" = 0) заземлен через сосредо- сосредоточенное сопротивление i^o, а, другой конец (хп = /") заземлен че- через сосредоточенную емкость Со, то для определения напряжения в
174 Ответы, указания и решения (Па) (Пб) проводе с пренебрежимо малыми утечками получаем краевую задачу vtntn = avxnxn, a = J_, 0 < х" < I", 0 < t" < +00, Rovx»@, t")-Lvtn(O, t")=0, LCovt"t"(I", t") + vxn (I", t") = 0, 0 < t" < +00, ii(t" 0) — en (r"\ innir" 0) — ib (r"\ 0 < r" < 1" a для определения силы тока — краевую задачу it,,tn = а//2гж//ж//, 0 < х" < I"', 0 < t" < +00, ix..@, t")-CRoit»@, t") =0, CoiX" (I", t") + Ci(l", t") = 0, 0 < t" < +00, Если к концу упругого цилиндра (xf = 0), совершающего кру- крутильные колебания, приложен тормозящий крутильный момент си- силы трения, пропорциональный угловой скорости, а на другой (xf = /') насажен шкив с осевым моментом инерции ко, то для определения уг- углов поворота в(х', t') поперечных сечений стержня получаем краевую задачу Off = а'2вх,х,, 0 < х' < I1, 0 < t' < +00, GJex,@,t')-roef@,t')=0, ковff (/', t') + GJOX> (/', t') = 0, 0 < t' < +oo, 6(x',0) = pe(x'), Oxi(x'\ 0) = фо(х'), 0 < x' < с т где a = ——, а величины G, J, fc имеют тот же смысл, что и в к ответе к задаче 3. Если к концу цилиндра (xf = 0), совершающего крутильные ко- колебания, приложен тормозящий крутильный момент, пропорциональ- пропорциональный угловой скорости, а конец х' = /' закреплен упруго, то для опре- определения в(х'\ t') получаем краевую задачу Aа) et,t, =а'2вх'х>, 0<х'<1', 0<t'<+oo, GJ6x.@,t)-r06t.@,t')=0, GJ0x, (/', t') + НовA', t') =0, 0 < t' < +оо, в{х',0) = щ(х'), et,(x',0)=Mx'), 0<х A6) Задача (la) аналогична задаче (Па). Задача A6) аналогична за- задаче (Пб). Для того чтобы задача Aа) была подобна задаче (Па) с коэффициентами подобия кх, kt, ku, необходимо и достаточно, чтобы
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 175 выполнялись соотношения К = ?, A) B) До kx_ _ L_ GJ' kt ~ ro' ifji. a± = x (a) h h Т П ' ^ ' ^(ж;) = ku<pv(x"), 1 x1 = кхх",* 0<х" <1".) Для того чтобы задача A6) была подобна задаче (Пб) с коэффициента- коэффициентами подобия кх, kt, ku, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись аналоги соотношений A), B), E) и соотношения П) кх _ „д ь, Но _ С GJ kt GJ Co Указание. См. решение 49. § 2. Метод распространяющихся волн (метод Даламбера) 1. Задачи для бесконечной струны. Решения краевых задач этого пункта, имеющих вид utt = а2ихх, -оо < х < +оо, 0 < t < +00, A) и(х, 0) = </?(ж), щ(х, 0) = ф(х), —оо < х < +00, B) находятся по формуле Даламбера x+at ( ,ч (р(х — at) + (р(х + at) , 1 w(ar t) = ^ ^^ ^ + — + — J i/>(z) dz. C) 52. В рассматриваемой задаче ф(х) = 0, поэтому / ,ч (р(х — at) + ш(х + at) 1 / ,ч , 1 / , ,ч /1N и(ж, t) = ^ ^-^ ^ = -ф- at) + - у?(ж + at), A) где </?(ж) задана графически в условии задачи. Прямая и обратная волны - ip(x — at) и - ip(x + at) в начальный момент t = 0 совпадают, имея значение, равное - у?(ж). За время t (t > 0) график прямой волны переместится без де- деформации вправо на расстояние at, а график обратной волны — вле- влево на at. Складывая перемещенные графики прямой и обратной волн
176 Ответы, указания и решения -с ' ' 'О 2 /г 2 О t = 0 с /г 2 —с 'о -/г -г/ ^^ с с 2а -2с ' ^^ —с ^—_ 0 -h h +* ' Зс ~ 4а с X ' 2с -2c -c " 2 " 2c Рис. 20 в момент времени t\, ?2, • • •, получим профиль струны в эти моменты времени. Выше (рис. 20) приводится профиль струны для моментов 53. а) л _ ф(х - at) + ф(х + at) , I) — - , где (f(x) = 0, -00 < X < -С, 1 2" | , —С < Ж < С, A) B) о, С < X < +00.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 177 t I \^ V IV ^V х = —с — otS^c = —с -\- aty' -с 0 < X VI X. ж — с — at jrx = c-\- at t = const ..^- ^<.....„. „ = const с Рис. 21 Чтобы получить требуемые в условии задачи формулы, рассмотрим разбиение фазовой плоскости (х, t) характеристиками уравнения A), проведенными из концов интервала (—с, с), на котором начальное от- отклонение отлично от нуля (рис. 21). Дадим сначала формулы, определяющие профиль струны при t = = const, ограничиваясь двумя характерными случаями: О <t < - а и - <t < +оо. а Если t = const, 0 < t < -, то при ж, изменяющемся монотонно от а — оо до +00, точка (ж, i) фазовой плоскости последовательно проходит области J, IV, II, VI, III. Таким образом при 0 < t < - профиль струны задается соотно- соотношениями и(х, t) = < 1- 0, {x + atf 1- х2+а42 1- (х - atJ О, — оо < х < —с — at, —с — at < х < — с + at, -с + at < х < с- at, с — at < х < с + at, с + at < х + оо. Аналогично получается профиль струны при - < t < +оо. а б) Дадим теперь формулы, определяющие и(х, t) при х = const, представляющие закон движения точки струны с фиксированной абсциссой. Выберем по фиксированному значению х в каждом из ин- интервалов -оо < х < -с, -с < х < 0, 0<ж<с, с < х < +00 и изучим, как меняется выражение для решения при t, изменяющемся 12 Б.М. Будак и др.
178 Ответы, указания и решения от 0 до +00. Мы получим: а) u(x, t) = о, С + Ж h L (ж + а?J] с-\- х ^ + ^ с — х о, а с — х а t < +00, — оо < ж < —с; 7) 1- : 1- , 0 о, а с — х ж2+а2*2 1- (ж - atJ с + ж с — ж t < +00, ^ с — х о, с — ж а с + ж а а с + ж ^ а ' < +00, О, (х-at О, 0<?< —с + ж с + ж —с + ж с + х < +00, - с < х < 0; О < х < с; С < X < +00. Замечания. 1. а) и/3) получаются из S) и 7) простой заме- заменой х на —ж, так как и (ж, ?) является четной функцией по ж в силу четности <р(х). 2. Геометрический метод нахождения профиля струны для раз- различных моментов времени описан в решении задачи 52. 54. Отклонение и (ж, ?) достигает наибольшего значения в точке с абсциссой a2+/32+a в момент времени * = 4а это наибольшее значение равно —
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 179 Указание. Рассмотреть интегральную поверхность, представ- представляющую решение и = и (ж, t) краевой задачи. 55. Решение краевой задачи имеет вид и(х, t) = Ф(ж + at) — Ф(ж — at), где О, -оо < z < -с, Mz + c) ././. _ _ „ а, c^z <+оо, поэтому закон движения точек струны с различными абсциссами представляется формулами а) u(x, t) = < б) О, О < t< - С + X vo(x + at) vqc c + 2а 2а ' а с — х t < а и(х, t) = а t < +00, „ , . с + х — оо < х < —с; vo(x — at) vqc c + x 2o VqC a ' a с — x a с — x a t < +oo, - с < x < 0; u(x, t) = 0<t< vq(x — at) vqc с — x 2a 2a ' a c + x с — x ~~a~' c + x ^ a t < +00, 0 < x < c; u(x, t) = 0, (K t ^ vo(x — at) vqc —c + x —c + x a c + x 2a 2a ' a c + x a < t < +00, с < x < +00. Профиль струны для моментов времени t\, ?2, • • • может быть получен вычитанием графика прямой волны Ф(ж — at) из графика обратной 12*
180 Ответы, указания и решения -2с " " "-с"\ и* ^^ ^\ 0 Ф(ж) ^^ с ^ -Ф(х) to 2с = 0 ж -2с ' i i i^T^ -2с " —с ^^ —с и* ^^ 0 ^^ 0 с ^^ ^^ с ¦о*,) ' ' 2с ' -Ф(ж - t " " 2с " с at2) а X X -Ф(ж - at4) -2с -с х / Л tfi = — Ф(ж + а^б) 2а 0 ^^^^^ ж 1 L^ll 1 1 1 ^ 1 1 1 1 -Ф(ж - at6) Рис. 22 кс волны Ф(ж + at). Для моментов tk — —, ^ = 0,2,4,6, он имеет вид, изображенный на рис. 22. 56. Приведем два способа решения задачи. Первый способ. Будем сначала считать импульс равномерно распределенным по отрезку хо — 5 ^ х ^ хо + 5. Тогда краевая задача формулируется следующим образом: utt = а2ихх, -оо < х < +оо, 0 < t < +00, A) и(х, 0) = 0, —оо < х < +00, {О, -оо < х < хо — S, —, х0 -S < х < х0 + й, B) О, хо + S < х < +00, Us(x, t) = ^д(х + at) - Ф5(ж - at), C) где
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 181 {О, —оо < z < хо — 5, -——(z — хо + S), хо — 5 < z < хо + 5, Шру j. h ' , Хо + S < Z < +00. 2ар ^ Формальным переходом к пределу при S —У 0 в решении C) получим решение исходной задачи и(х, t) = lim Us (ж, t) = lim 4?s(x + at) — - lim Ф5(ж - at) = Ф(ж + at) - Ф(ж - at), E-^0 F7TP {О при — оо < x < хо, — ППИ Жп<Ж<+0О Если ввести функцию cro(z), определяемую соотношениями / \ _ / О ПРИ — оо < z < О, ао{г) — 11 ПрИ о < z < +00, то ./ 2B у9 1/(ж, t) = {(То(х + at — хо) — сго(ж — at — хо)} . Второй способ. Используя дельта-функцию1), можно сфор- сформулировать краевую задачу так: ии = а2ихх, —оо < ж < +00, 0 < t < +00, и(ж, 0) = 0, —оо < х < +00, щ(х, 0) = - 8{х — хо) 2), -оо < х < +00. Р Тогда с помощью формулы Даламбера получаем x-XQ+at x+a 't) = hP f так как z s ч i ^ < 0 J при z° < °' при x)Cm. [7, с 270-275]. 2) Коэффициент при дельта-функции S(x — хо) выбирается так, чтобы суммарный импульс, передаваемый струне в момент t = 0, т.е. + ОО / щ(х, 0)ро1х, был равен /.
182 Ответы, указания и решения 57. В задаче 52 и(х, 0) = (f(x) ф 0, щ(х, 0) = <ф(х) = О, а в рассматриваемой задаче бегущая волна в момент t = 0 характе- характеризуется отличными от нуля «начальными» отклонениями и скорос- скоростями 1) и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = —снрг(х), —оо < х < +оо. В случае задачи 52 мы имели и(х, t) = - tp(x — at) -\— tp(x + at). В рассматриваемой же задаче формула Даламбера дает x+at , л ш(х — at) + ш(х + at) 1 7/ ( 1* /I — - — —I— V ' У ~ 2 2а a 58. Решение краевой задачи vx + Li^ + Ri = О, „ „ . при - оо < х < +00, 0 < t < +00, A) Cvt + Gv = 0 j ' v у 7j(x, 0) = /(ж), i(x,0) = \^rF(x) при -оо<ж<+оо B) при условии C.R = GL имеет вид v(x, t)=e-Rt/L{<p(x-at)+iP(x + at)}, , .^ < ж <+00 ' C) где ф) = М±1Ш „ ^)=/(?bZ(?) при -oo<,<+oo. D) Указание. Исключить из уравнений A) силу тока; в получен- полученном таким образом уравнении второго порядка для v(x, t) освободиться от члена vt(x, t) (см. гл. I), тогда уравнение примет вид иц = а2ихх. Его решением будет: и (ж, t) = ip(x — at) + ф(х + at). Возвращаясь к функции v(x, t) и используя уравнения A) и начальные условия B), нетрудно получить ответ. 2. Задачи для полупрямой. Разыскиваем решение краевой за- задачи для полупрямой utt = а2ихх, 0 < х < +00, 0 < t < +00, A) ctiutt(O, t) + «2^@, t) + аз^ж@, t) + a4u(O, t) = Ф(?), О < t < +00, B) и(ж, Q) = <p(x), щ(х,0) = ф(х), 0 < ж <+00, C) в виде и(х, t) = y?i(x - at) + </?2(ж + at). D) Функции ^i(^) и (f2{z) можно определить из начальных усло- условий лишь при 0 < z < +00. Для определения ^(z) этого достаточно, х) Предполагается, что волна уже существует при t < 0.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 183 так как х + at > 0 при О < х < +оо, О < t < +00. Функция же (fi(x) должна быть определена и для — оо < z < О, что достигается с по- помощью граничного условия B). Решение краевой задачи A), B), C) можно искать также с по- помощью формулы Даламбера x+at и(х, t) = ^ J-^ }- + Ya\ ^ ^ ^ для неограниченной струны. Для этого нужно фиктивно продолжить струну на отрицательную полуось — оо < х < 0, а затем распростра- распространить на эту полуось начальные условия C) так, чтобы для и(х, t), вы- вычисляемого по формуле E), граничное условие B) выполнялось1). При этом получается, что в случае фиксированного конца функции (р(х) и ф(х) должны быть продолжены на полуось — оо < х < 0 нечетно, а в случае свободного конца — четно. и ' h 2 " -2с -с /г 2 ' —2с —с ,' W h У —с / и> h 2 / и о4 ^ _ 0 - — /\ с /г ~ 2 С /г 2 \С " С t 2с 2с 2с t 2с с а УК у ч 1 Зс ' Зс /: Зс 2с а ЗсУ _ 7с ~ 2а Зс ч 4с Ч 4с 4с\5с 4/4 5с 6с X X X X Рис. 23 59. Профиль струны в моменты времени t изображен на рис. 23. с Зс 2с 7с а' 2а' а ' 2а х)См. [7, с. 64, 65].
184 Ответы, указания и решения ~с 2с Зс~ 4с н 1 1 1 -^1— с 2с Зс 4с 5с Рис. 25
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 185 A) B) C) D) 60. Решение краевой задачи utt = а2ихх, 0 < х, t < +00, их@, t) = 0, 0 < t < +00, и(х, 0) = 0, 0 < х < +00, {О, 0 < х < с, v0, с < х < 2с, О, 2с<ж<+оо, может быть найдено с помощью формулы Даламбера при четном1) продолжении начальных условий и(х, t) = Ф(ж + at) - Ф(ж - at), E) где z Ф(г) = — / ip(a) da, F) -2с ' 0, -оо < z < -2с, г^о, -2с < z < -с, О, -с< z < с, G) г?о, с < z < 2с, k 0, 2с < z < +оо. График функции Ф(г) имеет вид, представленный на рис. 24. Профиль отклонений в любой момент времени получается вычи- вычитанием графика прямой волны из графика обратной волны. тт ± гл с 2с Зс , При t = 0; -; —; — профиль отклонении имеет вид, представ- а а а ленный на рис. 25. 61. и(х, t) = < 2А1 . тгж . nat Sin"97~Sm~9r' cos2 —Лх — at), тга 4/ О, 21- а 2/-Ь t X ¦ х < < 2/ :t — а < X 1 2/ + а + 00 ж 1 0 < ж < 2/, u(x, t) = < 2AI cos о, о, (ж — О <? < -2/ +ж -2/ +ж а 2/ +ж < 2/ +ж < t < +00, 21 < х < +оо, х)См. [7, с. 64, 65].
186 Ответы, указания и решения 62. max u(x, t) = h = и (о, -) = и (о, -) = и B1, -) = о<ж<+оо V а/ \ а/ \ а/ =•(«•!)¦ Указание. Рассмотреть интегральную поверхность, представ- представляющую решение и = и (ж, ?) краевой задачи. 63. Решение. Аналогично тому, как это делалось в случае за- задачи 56, решение настоящей задачи может быть выполнено такими двумя способами. Первый способ. Считаем импульс / равномерно распределен- распределенным по отрезку хо ^ х ^ хо + S. Тогда мы приходим к краевой задаче ии = а2ихх, 0 < ж, t < +оо, A) u(O,t) = O, 0<?<+oo, B) {О, 0 < х < ж0, -^, х0 <х <xo + S, C) Sp О, ж0 + й < х < оо. Ее решение получается по формуле Даламбера с помощью нечетно- нечетного продолжения начальных условий. Переходя к пределу при S —> О в решении этой краевой задачи, получим решение исходной задачи и(х, t) = -—{сго(х - хо + at) - ао(х - х0 - at) - ар — ао (х + хо + at) + ао (х + хо — at)}. Второй способ. Используя E-функцию, можно сформулиро- сформулировать краевую задачу следующим образом: ии = а2ихх, 0 < ж, t < +00, A) и@, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = 0, 0 < х < +оо, C) щ(х, 0) = -5(х-х0), 0 < х < оо. C;) Ее решение получается с помощью нечетного продолжения начальных условий. Нечетное продолжение начального условия C;) дает щ(х, 0) = -{5(х - х0) - 5(х + хо)}, 1 x\atT x-atP = -—{сго(ж — xo~\-at) — ao(x-xo-at) — ao(x + xo + at) + (To(x + xo — at)}. 64. С помощью E-функции краевая задача формулируется сле- следующим образом: ии = а2ихх, 0 < ж, t < +00, A)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 187 и@, t) = 0, 0 < t < +00, B) и(х, 0) = 0, 0 < х < +оо, C) {х-хк). C') р k=i Продолжая нечетно начальное условие и применяя формулу Даламбе- ра, получим п и(х, t) = - ^ {сго(ж - Xk + at) - сго(ж - хи - at) - - do (x + хк + at) + сг0 (ж + хк - at)}. 65. Решение исходной задачи может быть получено переходом к пределу при хо —У 0 + 0 из решения краевой задачи utt = a2uxx, 0 < ж, t < +00, A) ux(O,t) = O, 0<t<+oo, B) и(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо, C) щ(х, 0) = - 8{х — хо), хо > 0, 0 < х < +00, C;) и(х, t) = lim {a(x — хо + at) — сгп(ж — жп — at) + + ао{х + ж0 + at) - сго(ж + хо — at)} = —{(io(x + at) — сго(ж — at)}. Это решение может быть получено также переходом к пределу при 5 —у 0 из решения краевой задачи utt = а2ихх, 0 < ж, t < +00, A) их@, t) = 0, 0<t<+oo, B) и(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо, C) щ{х,о) = {тр' 0<х<6> C') [О, 5 < х < +00. 66. Решение. Приведем два способа решения задачи. Первый способ. Краевая задача формулируется так: utt = а2ихх, 0 < ж, t < +00, A) Mutt@, t) = ESux(O, t), 0 < t < +oo, M = Я B) u(x, 0) = 0, 0 < ж < +oo, C) x = 0, ' C;) , 0) = ^ ; 1 0, 0<ж< +oo. Решение краевой задачи A), B), C), C;) ищем в виде и(х, t) = ip (t - |) + ф (t + I) . D)
188 Ответы, указания и решения Из начальных условий находим: <р(-г)+ф)=0,\ E) • (-*)+*Ч*) = 0, ) 0<*<+°°- E') Интегрируя (б7), получим —ip{—z) + ip(z) = const. Постоянную интегрирования можно положить равной нулю. Тогда -(р(-г)+ф(г) = 0, 0< z <+оо. E") Из E) и E") находим <ф(г) = 0, <p(-z) = О, 0 < z < +оо. F) Следовательно, V а) а G) О, 0<t<-. а Подставляя полученное выражение и(х, t) в граничное условие B), придем к дифференциальному уравнению для определения (f(z) при z > О Из F) находим первое начальное условие для уравнения (8) ф) = 0. (9) Из начального условия C;) щ@, 0) = г>о и выражения G) для и (ж, t) находим второе начальное условие для уравнения (8) <р'@) = v0. (Ю) Интегрирование уравнения (8) при начальных условиях (9) и A0) Следовательно, aMv0 [-, f _ ES_ Л _ х\ 11 0, 0<t<-. v a Второй способ. Краевая задача формулируется с помощью односторонней й-функции1) следующим образом: ии = а2ихх, 0 < ж, t < +оо, A) 0, t) + IS(t), O^t < +оо, / = Mvo, B') u(x, 0) = 0, 0 ^ x < +oo, C) x) Односторонняя ^-функция ^(t) определяется при — oo < t < +oo как предел в смысле слабой сходимости последовательности функций {О при - oo < t < О, п при 0 < t < 1/п, О при 1/п < t < +оо.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 189 щ(х,О) = О, 0^ж<+оо. C') Решение краевой задачи A), B'), C), C') ищем в виде +f). D) Как и раньше, из начальных условий находим: tp(-z) = ф(г) = 0 при 0 ^ z < +оо. F) Следовательно, U(t-z), t>x-, u(x,t)={ V а) а G) О, 0<t<-. v a Подставляя это выражение и (ж, i) в граничное условие Bf) и началь- начальные условия C) и C;), получим для определения ip(z) при z > 0 диф- дифференциальное уравнение 4>"(z) + ^ ip'(z) = v0S(z), 0 ^ г < +оо, A3) и начальные условия ф) = <р'@) = 0. A4) Интегрирование уравнения A3) при начальных условиях A4) дает , ч aMv0 и мы снова приходим к выражению A2) для и (ж, ?). 67. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0 < ж, ? < +оо, A) , t) = 0, 0<^<+оо, B) {7ГЖ sin —-, 0 < ж < /, / C) О, I < х < +00, является u{x,t) = v(t-l)+^{t+l), D) где -sin—, 0 ^ z ^ -, 0, - ^ z < +00, a 1 Гтг — h I . naz , j ( naz —ahz\~\ ^TJw[-^sm—+7rhl{C0S—-e )\> l + ehl)e-ahz, -^z<+oo.
190 Ответы, указания и решения 68. Решение краевой задачи 0и=а2вхх, 0<ж, t<+oo, A) 0Ж(О, *) + а0*(О, *) =0, 0<t<+oo, B) в(х, 0) = 0, 0 < ж < +оо, C) et(x,O)=u, 0<ж<+оо C') имеет вид ( cut, 0 < at < х, U D) v 1 — аа 69. Имеем краевые задачи utt = a2uxxj 0 < ж, t < +00; A) а) либо ЦО, t) = О, б) либо пж@, t) = О, в) либо их@, t) - /ш@, t) = 0, г) либо их@, t) + aut@, t) = 0, C) В случае граничного условия а) /(ж + at), 0 < at < ж, /(ж + at) — f(at — ж), х < at < +00. В случае граничного условия б) /(ж + at), 0 < at < ж, /(ж + at) + /(at — ж), ж ^ at < +00. В случае граничного условия в) = I (ж + at) + /(at - х) | х < at < +оо. В случае граничного условия г) Г f(x + at), 0<at<x, и(х, t) = | /(ж + ^ + 1 70. Имеем краевую задачу utt = cl2uXXj 0 < ж, t < +00, A) 3, t)-i20^@, t)-kpoSux@, t), 0 < t < +00, B) u(x, 0) = /(ж), 0 < ж < +оо, C) щ(х, 0) = af'(x), 0 < ж < +00. C;) Ее решение может быть представлено следующим образом: /(ж + at), 0 < at < ж, ЧХ> ] л /(ж + at) + Ф(а* - ж), ж < at < +00,
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 191 где Ф(г) есть решение дифференциального уравнения a2M0tp"(z) - (aR0 - kp0S)tp'(z) + Щф) = = -[a2Mof"(+z) + (aR0 + kp0S)f(+z) + Hof(+z)} при начальных условиях Примечание. В граничном условии B) S обозначает площадь поршня, a Ro означает коэффициент трения. Мы пренебрегаем изме- изменением давления на внешней стороне поршня. Избыточное давление на поршень («возмущение давления») равно р — ро = к — (р — ро). Но в силу уравнения неразрывности (см. решение задачи 4 гл. II) име- имеем р - ро « -роих- Поэтому р - ро = -кроих. 71. Решение 1). Имеем краевые задачи а), б), в) соответственно граничным условиям C), C;), C"), приведенным ниже, A) О < ж, t < +оо, CR = GL, v(x, 0) = f(x), \ 0 < x < +oo, B') C) 0<^<+oo. C;) C") Решения этих краевых задач ищем в виде2) v(x, t) = e~Rt/L {(f(x - at) + ф(х + at)}, a = -^=, D) »(ж, t) = е"л*/ь A/$ {у>(ж - at) - ф{х + at)}. D') V Из начальных условий B), B') для краевых задач C), C;) получаем </>(*) = 0, ^(z) = f(z), 0<z<+oo. E) В зависимости от граничных условий получаем различные представ- представления для ip(z) при —оо < z < 0. В случае граничного условия C) х) См. решение задачи 58. 2) См. сноску на с. 188.
192 Ответы, указания и решения В случае граничного условия C') Ф) = ехР{ B- - оСд)*} /ехр{ (acR -§-)(}, О о I /»/ / 1_\ х В случае граничного условия C") О х [-/'<- Замечание. В случае граничного условия C) отраженная вол- волна напряжения может вовсе отсутствовать при Rq = \ — (случай полного поглоще- V с ния падающей волны). Если Rq > \ -^, то отраженная волна имеет V k Гь тот же знак, что и падающая; если ito < д/ —, то противополож- V ^ ный (сохранение фазы и изменение фазы на противоположную). Если Ro = 0 (непосредственно заземленный конец), то отраженная волна напряжения меняет знак, причем ее амплитуда равна (в точке х = 0) амплитуде падающей волны. Если Rq —у +оо (изолированный конец), то отраженная волна напряжения имеет знак и величину падающей волны. Амплитуда отраженной волны в два раза меньше амплитуды падающей волны при выполнении условия VZ 1 RoVC + VZ ~ 2 либо условия 72. Решение. Для определения предельного стационарного со- состояния в проводе ищем решение дифференциального уравнения pL - CL J| - 2CR J - GRv = 0, 0 < ж, t < +oo, CR = GL, A) СЖ 0T 0T в виде функции, зависящей только от ж и не зависящей от ?, v = vo(x), 0 < ж <+оо, B) при граничном условии «@) = Е. C)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 193 Подстановка г^о (ж) в A) дает **-<?*, = о, откуда получаем Vo(x) = С1е~л/Шх + С2ел/Шх. Так как при х —у +оо функция vo(x) должна быть ограниченной, то С2 = 0. Из граничного условия C) находим С\ = Е. Следовательно, vo{x) = Ее~л/Шх. D) Соответствующее стационарное распределение тока г = io(x) E) получим, подставляя D) и E) в дифференциальное уравнение vx + Lit + Ш = 0. F) Мы находим io(x)=EJ^e-V^\ G) V После того как конец провода х = 0 заземлен (в момент ? = 0) через со- сосредоточенное сопротивление, для напряжения и силы тока в проводе получаем краевую задачу vx + Lit + Ri = 0, 1 (8) > 0 <xt < +оо, = 0, 1 = О, J ^ ^ > 0 <x,t < +оо, . . гя + Си* + Gt; = О, J (9) -г;@, t) = Дог@, *), 0 < * < +оо, A0) 0 < х < +оо. A2) Решение краевой задачи (8), (9), A0), A1), A2) ищем в виде v(x, t) = е~т/ь [(f(x - at) + <ф(х + at)], г(ж, t) = e~Rt/L \j [(f(x - at) - ф(х + at)]. Для ip(z) и ^(^) из начальных условий A1), A2) находим выражение p(z) = Ee-VU*z, 0<z<+oo, A3) ф(г) = 0, 0 < z < +оо. A4) Из граничного условия A0) Следовательно, v(x, t) = Ее~у/иПха0(х - at), 0 < ж, t < +оо, A6) /77 = Ex ^e-VGRxa0(x - at), 0 < x, t < +oo. A7) V ^ 13 Б.М. Будак и др.
194 Ответы, указания и решения 73. Решением краевой задачи utt = а2ихх, 0 < ж, t < +00, A) и (О, t) = /i(?), 0 < t < +00, B) гл(ж, 0) = ut{x, 0) = 0, 0 < х < +оо, C) является {/, х\ х , H\t ), -<^< +00, V а) а (л\ О, 0<t<*-. Указание. Решение краевой задачи A), B), C) можно искать в виде 74. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0 < ж, t < +00, а2 = —, A) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < +оо, C) является о, и(х, t) = 75. Решением краевой задачи d d } g(t)=O, 0<i<+oo, B) w(x, 0) = 0, р(ж, 0) = 0, 0 < x < +oo, C) является {0, 0< Xt <x, e*(*-**) |Лф (-1) e^ ^C, x<M< +oo, где ^ ^ E) p(x, t) получается из w(x, t) с помощью соотношения A) или (I7), w(x, t) = p • v(x, t), где p — плотность, a v — скорость жидкости.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 195 76. Решение краевой задачи ии = а2ихх, 0 < ж, t < +00, A) и{х, 0) = ut{x, 0) = 0, 0 < х < +оо, B) + ОО Mutt(O, t) = ESux(O, t)+lY;S(t- пТ), C) n=0 где J(t) — односторонняя E-функция, имеет вид О <x,t < +оо. D) 77. Решение краевой задачи vx+Lit + Ri = O,\ A) гж + Сг;* + Gv = О, J (Г) г;@, t) = Esinut, 0<^<+oo, B) v(x, 0) = г(х, 0) = 0, 0 < ж < +оо, C) имеет вид v(x, t) = vo(x, t) + г;*(ж, t), D) i(x, i) =io(x, i) +i*(x, t), D;) где vo(x, i) = Ee~ax sm(ujt - fix) E) — напряжение установившихся колебаний, го (я, t) = ^е~аж ^ R2 ^L + (/3R - aujL) cos(ujt - px)] F) — сила тока установившихся колебаний, 2' P \l2' G) a v*(x, t) = e-Rt/L[(f(x - at) + <ф(х + at)] (8) — напряжение затухающих колебаний, е[<р{х - at) - ф(х + at)] (9) — сила тока затухающих колебаний, / ч _ vo(;s, 0) + го(^, О)Л/Ь7С , . _ ^о(^, О < z < оо, A0) -оо < z <0. A1) 13*
196 Ответы, указания и решения При 4> Д/? + «а ilniUli+ ,™ , .,„л /77 If" l1^ амплитуда напряжения затухающих колебаний будет меньше 10 % амплитуды напряжения установившихся колебаний. Указание. Исключить из A) и A') силу тока и найти уста- установившиеся колебания напряжения, подставляя которые в A'), най- найти установившиеся колебания тока. Установившиеся колебания на- напряжения и тока целесообразно сначала искать в комплексной форме v(x, t) = v(x)e^ujt, г (ж, t) = i(x)e^ujt, где j = V~ 1? требуя ограничен- ограниченности при х —У +00, а затем вернуться к действительным переменным и удовлетворить граничному условию B). 3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных полупрямых. Сосредоточенные факторы. Если не- неограниченная струна (стержень) получена соединением двух полу- полуограниченных однородных струн (стержней), то, принимая точку со- соединения за ж = 0, можно написать для отклонения точек струны уравнения Uitt — Q>i'Ujixxi —cx~> <ж<0, 0<?< +00, A) и2и = а\и2хх, 0 < х < +00, 0 < t < +00 (Г) и начальные условия щ(х, 0) = Л(ж), ult(x,0) = F(x), -оо<ж<0, B) и2(х, 0) = /2(ж), u2t(x,0)=F2(x), 0 < х < +оо. B') К этим уравнениям и начальным условиям нужно еще добавить усло- условия сопряжения в точке х = 0. Если, например, струны соединены непосредственно (без каких- либо сосредоточенных включений), то условия сопряжения имеют вид C) D) Решение краевой задачи A), A;), B), B;), C), D) можно искать в виде щ(х, t) = (fi(x — ait) + ф1(х + ait), — оо <ж<0, 0<?< +оо, E) и2(х, t) = ip2(x - a2t) + гр2(х + a2^), 0 < x < +oo, 0 < t < +oo. F) Функции (fi(z), i/ji(z), (p2(z), V^2(^) определяются из начальных усло- условий B), B') и условий сопряжения C) и D). 78. Решением краевой задачи1) -оо<ж<0,} A) 2 Л Г 0<?<+ОО, CLU2 0<X<+OO,J (I J , B) См. задачу 26.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 197 u2(x,0)=0, является -оо<ж<0, -— a О, C') - —; D) ai UoiX, t) = у=/(*-?), a^x < t < +00, x > 0, 0 < * < а^ж, О < t < +00. E) = f [t -\ ) отсутствует p2 V o>i/ Отраженная волна при y/Eipi = \[Егр2- При Е2Р2 —> 0 отражение будет происходить как от свободного конца, при Е2Р2 —>¦ оо — как от закрепленного жестко. Преломленная волна. При Е2Р2 —У 0 имеет амплитуду в два раза больше, чем падающая волна; при Е2Р2 —У +оо преломленная волна исчезает. Следует особо отметить, что при Е2Р2 —У 0 отражение происхо- происходит, как от свободного конца, но преломленная волна существует и даже имеет амплитуду, в два раза большую амплитуды падающей волны. 79. а) при Мк > Тор (и 0 < х < +оо) и(х, t) = —- - Тор л/Мк — Тор а/ М когда х < at < +00, и(х, t) = 0, когда 0 < at < х; б) при Мк = Тор (и 0 < х < +оо) A) и(х, t) = v0 exp(-4 (t --)}(t--)<To(t--), 0<t< +00; B) I M\ a/J V a/ V a J в) при Мк < Top (и 0 < х < +оо) и(х, t) = — Mvo , Г Л sh ^(t - -) ^LJL. j, когда х < at < +00, u(x, t) = 0, когда 0 < at < x. При —оо < x < 0 решение u(x, t) получается из A), B), C) заменой х C) на —х.
198 Ответы, указания и решения 80. Решение краевой задачи иш = а2и1хх, -оо < х <0,\ A) 00, J = а2и2хх, 0<ж<+оо/ "-*-—' T0[u2x@, t) - ulx@, t)} = кщ(О, t) + Multt(O, t) + = Ы2@, t) + Mu2tt@, t) + ru2t@, t), 0 < t < +oo, B) щ(х, 0) = /(ж), иц{х, 0) = —af'(x), —оо < ж < 0, C) W2(x5 0) = 0, u2t(x, 0) = 0, 0 < х < +оо, C') может быть представлено в виде ui(x, t) = f(x - at) + (f(x + at), D) ^2\Ж, б) — ^p\x ax), Dr ) где ip(z) есть решение дифференциального уравнения a2M(p"(z) + [2To — ar](p'(z) + k(p(z) = 2Tof'(z) при — оо < z < 0 E) при нулевых начальных условиях, а tp(z) = (f(—z) — f(z) при 0 < z < +00. F) 81. Решение краевой задачи ии = а2ихх, —оо < х < vot, vot < х < +оо, 0 < t < +оо, A) где и = щ(х, t), —оо < х < vot, и = и2(х, t), vot < x < +00, uixivot, t) = u2x(vot, t) = — -—pit), B) u(x,O) = ut(x,O) = 0, -оо < ж < 0, 0 < ж <+oo, C) имеет вид (aj+at)/(a+u0) &Р0 J ' D) О V У О, —оо < ж < — at, (at — x)/(a — vo) 1 "»"-•"-"¦" D') 0, at < x < +00. В частности, если {- ^—— A sin —-— (x + at)\ , —at < x < v$t, крои La + vo 1 0, —oo < x < —at, A sin (x — at)\ , vot < x < at, u2(x, t) = { кР^ la-vo J 0, at < x < +00.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 199 Таким образом, в случае p(t) = A cos cut в направлении, обратном на- направлению движения источника, распространяется волна с частотой, меньшей частоты источника, а в направлении движения источника — волна с частотой, большей частоты источника, а UJ2 = ijj а — vo (эффект Допплера). 82. Решением краевой задачи utt = а2ихх, —оо < х < vot, vot < х < +оо, 0 < t < +00, и = щ(х, t), —00 < х < vot, и = и2(х, t), vot < x < +00, t, t) ,t)=u2(vot,t), To\ 0 < t < +00, B) Ul(x, 0) = ult(x, 0) = 0, -00 < x < 0/ u2(x, 0) = u2t(x, 0) = 0, 0 < x < +00, л является f I о -vo щ(х, t) = , t) = 4. Задачи для конечного отрезка. В случае конечного одно- однородного отрезка длины / решение краевой задачи ии = а2ихх, 0<х<1, A) и(х, 0) = ip(x), щ{х, 0) = ф(х), 0 < х < I, B) ¦ ос%их + а^и = n(t), х = 0, ] О < t < +00, C) можно искать в виде и(х, t) = (fi(x — at) + ф2{х + at), D) причем функции ipi(z) и ip2(z) при 0 < z < / определяются из началь- начальных условий B), а для других необходимых значений продолжаются с помощью граничных условий C). Можно также искать решение краевой задачи A), B), C) с по- помощью формулы Даламбера 2а x-at
200 Ответы, указания и решения для неограниченной прямой, продолжая tp(z) и ip(z) на всю прямую — оо < z < +оо с помощью граничных условий C). 83. и(х, t) = Asm^cos^, 0<х<1, 0<t<+oo. Указание. Решение получается с помощью формулы Даламбе- ра при нечетном и периодическом с периодом 21 продолжении началь- начальных условий. 84. и(х, t) = — у ^v -, 0<ж</, 0<^< +оо, где -Kz<l, ABl-z), Kz<3l, ip{z) = y?B: + 4/), -oo < z < +00. 85. и(ж, t) = — ; yv s 0<ж</, 0<^< +00, где <p(z) = ^n(^), -/ + 2nl < z < I + 2nl, n = 0, ±1, ±2, ..., причем (f-n(z) = -<pn(-z), ipo(z) = Az, j { A;=l } Bn-3)Z J 86. Решение. Сначала решаем краевую задачу utt = cl2uXXj 0 < х < I, 0 < t < +00, A) и@, t) = 0, гбж(/, t) = 0, 0 < t < +оо. B) и(ж, 0) = 0, щ(х,0) = -6(х-х0), 0<хо<1, 0<х<1, C) где S(х) — односторонняя й-функция1). Ее решением является х) См. сноску к решению задачи 66.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 201 x+at +OO - V (-l)k{5(?-xo + 2kl)-5(t + xo + 2kl)}d? = x-at k= — oo 1 ^ = У (—1) {ао(х + at — хо + 2Ы) — ао(х + at + жо + 2&Z) — — сго(ж — а^ — хо + 2/;;/) + (Jo(x — at + жо + 2Ы)}. Переходя к пределу при жо —У I в полученном решении, найдем реше- решение исходной задачи 1 V П - сго[ж - а? + BА; - 1)/] + ао[х - at + Bк + 1)/]}. 87. Решение. В течение акта соударения для продольных сме- смещений и(х, t) точек стержня имеем краевую задачу Utt — а> Uxx, 0<ж</, 0<^< +оо, A) и@, t) = 0, 0 < t < +00, B) Mutt(l, t) = -ESux(l, t), 0 < t < t0, B') где ?o — момент окончания акта соударения, и(х, 0) = 0, 0 < ж < /, C) Момент ^о окончания акта соударения характеризуется тем, что при О < t < to должно быть ux(l, t) < 0, а при t = to ux(l, to) = 0, причем, если бы мы предположили, что груз М и для дальнейших значений времени t оставался бы прикрепленным к концу стержня, то при зна- значениях t > to, мало отличающихся от to, должно быть ux(l, t) > 0. Решением краевой задачи A), B), B;), C), C;) является и(х, t) = ip(at — х) + ip(at + ж), D) где функция (f(z) определяется следующим образом: <р'(я) = 0, -l<z<l, E) <p(z) = 0, -l<z<l, F) <p"(z) + ^ <p'(z) = <p"(z - 21) - -L ^(^ - 20, I < z < +00, G) M ГЛ a = ——- — отношение массы груза к массе стержня. С помощью диф- рЫ ференциального уравнения G) и второго начального условия C;) опре- определяется функция (ff(z) на отрезке I < z < 31. Затем с помощью этого же дифференциального уравнения ipr(z) определяется последователь- последовательно на интервалах 3/ < z < 5/, 5/ < z < 7/, ..., причем константа интегрирования каждый раз определяется из условия непрерывности 21 изменения скорости конца щA, t) при t > 0 и, в частности, при t = —,
202 Ответы, указания и решения —, —, ... 1 ак получаются выражения а а р'(г) = ^е-(*-')/(«0, 1<Z<31, E') 2 ( 3 1* h _ 2 ( a I al (z 3/) е, з/ < z < Ы, CjLL J E") i (z3/) + 4(z50le, 5/<z<7/. E'") a L ш a2/2 J Функция ip(z) получается интегрированием ip'(z) на интервалах I < z < SI, 31 < z < 5/, 5/ < z < 7/, ... с учетом непрерывности из- изменения u(Z, ?) с течением времени. Так получаются выражения Kz<3l, (z) = _alvoe_{z_l)/(al) + Ыщ N + 2 g I e-(z a a I al J 3/ < г < 5/, a2/2 F') При 0 < t < - в силу F) ip(at — x) =0, поэтому согласно D) a I u(x,t) = <p(at + x) при ()<?<-, (8) т. е. по стержню распространяется только «обратная» волна ip(at + + ж), идущая от конца х = I, подвергнувшегося удару; при t = - она а достигнет закрепленного конца и при - < t < — к ней прибавится а а отраженная волна ip(at — ж), т.е. решение будет иметь вид I 21 и(х, t) = (f(at - х) + <p(at + ж), - < t < —. (9) 21 При t — — волна (f(at — х) отразится от конца х = /, так что слагае- 21 3/ мое ip(at + х) в решении D) на интервале — < t < — будет иметь уже другое выражение. Таким образом, и (ж, t) имеет различные выражения на интер- ВаЛаХ I I 21 I I 0<t<-, -<t<-, ..., п- <t<(n + l)-, ..., A0) а а а а а
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 203 ux(l] t) — различные выражения на интервалах 9/ 9/4/ / / 0 < i < —, —<*<—, ..., 2п- <t< Bn + 2)-, ... A1) а а а а а л 2/ Акт соударения не может закончиться при 0 < t < —, так как при этих значениях t будет ux(l, t) < 0. Для того чтобы акт соударения закончился в момент t, принад- лежащий интервалу — < t < —, необходимо и достаточно, чтобы вы- а а полнялось неравенство _ , л 2 + е-2/а<-, а Т'е' а < 1,73. Примечание. Так как реальные поверхности могут обладать неровностями, то для приложимости этого решения к реальным слу- случаям удара необходимо, чтобы время, в течение которого достигает- достигается плотное соприкосновение торца ударяющего груза со свободным торцом стержня, было пренебрежимо мало по сравнению со временем пробега волны возмущения по стержню. Деформации, возникающие в грузе, должны быть пренебрежимо малы по сравнению с деформа- деформациями в стержне. 88. В течение акта соударения для продольных смещений и (ж, i) точек стержня имеем краевую задачу utt = а2ихх, 0 < х < +оо, 0 < t < +оо, A) их@, t) = 0, 0<?<+oo, B) Mutt(l, t) = -ESux(l, t), 0<t< t0, B') где ?o — момент окончания акта соударения, и(х, 0) = 0, 0 ^ х ^ /, C) Момент окончания акта соударения определяется так же, как и в пре- предыдущей задаче. Решение краевой задачи A), B), B;), C), C;) имеет вид и(х, t) = ip(at - х) + ip(at + ж), D) где (f(z) определяется следующим образом: <р'(*) = 0, -Kz<l, E) <p(z) = 0, -Kz<l, F) <p"(z) + ^ <P'(*) = -<P"(* ~ 20 + ^ <p'(z - 20, I < z < +oo, G) M где a = —— — отношение массы груза к массе стержня. рЫ Сначала с помощью дифференциального уравнения G) определя- определяется (f'(z) последовательно на интервалах I < z < 31, 31 < z < Ы и
204 Ответы, указания и решения т.д. с учетом начального условия C') и непрерывности щA, i) при 0 < t < +00: у,'(г) = _^е-(*-о/(ао, г<^<зг, E') а L ш E") Затем интегрированием <pf(z) с учетом непрерывности при t > 0 по- получается выражение для y?(z) на этих интегралах: /<z<3/. F') 89. Решение краевой задачи1) и@, *) = 0, 0 < * < +оо, B) Mutt(l, t) = -ESux(l, t), 0<t< t0, B') где ?o — момент окончания акта соударения, и(х, 0) = 0, 0 < х < I, C) Г 0, 0 ^ х < I, имеет вид и(х, t) = 9{at-x)-j{at + x)_ D) Функция (f(x) определяется следующим образом: ф) =0, -Kz<l, E) \ Kz<+oo, F) где а = С помощью этого дифференциального уравнения, начального условия C;) и условий непрерывности щA, i) при 0 < t < +00 и не- непрерывности u(/, t) при 0 ^ t < +00 функция определяется последова- последовательно на интервалах I < z < 31, 31 < z < Ы и т.д. и т.д., где Ai и Л2 — корни уравнения л2 + А + ^_ = о. См. задачу 21.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 205 90. Решение задачи аналогично решению задач 87, 88, 89. 91. Решения краевых задач ии = а2ихх, 0 < х < Z, 0 < t < +оо, A) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < /; B) а) u@, *) =v(t), u(l,t)=O, 0<?<+оо, C) б) и@, t) = 0, u(l,t)= fjb(t), 0<t<+oo, C') в) ЦО, t)=ii{t), ux(l,t) = Q, 0<?<+oo, C") имеют соответственно вид 1) + OO , +OO a) u(a:, t) = 2^ ^ (t —J - ^ /i ^ —J, D) 0 l J n=0 n=l D') 71=1 где О при t < О, i(t) при t ^ О. 92. Решение краевой задачи dp dw дх dt ' A') ), p(l,t)=O, 0<^<+oo, B) w(x, 0) = 0, р(х, 0) = 0, 0 < ж < /, C) имеет вид 3) + ОО / »\ V^ Г~ Л ж + 2п/\ ~ /, х — 2nl\~\ / 1ЧП ~(, х\ wix. t) = > k) t — ip [t -\ г I ( — 1) + ip [t — — ) , v y ^^ L V A / V X J1 V A/ n=l D) + OO л ~ (j. x \ , л \~^ / i \n f ~ (j. x + 2n/ \ ~ Л , ж — 2n/ \ 1 = Ay? [t - -J + A 2^(-l) [V [t —J +<p[t+ —-—J j . F) n=l . [7, с 70-73]. 2) См. ответ к задаче 5. 3) См. решение предыдущей задачи.
206 Ответы, указания и решения Таким образом, р@, t) = X(p(t) + 2Л ^(-1)пф {t-^Y п=1 93. Решение. Началом акта соударения является момент, когда левый стержень достигает правого; этот момент принимаем за t = 0, а точку, в которой в этот момент находятся соприкасающиеся тор- торцы, принимаем за х = 0. Концом акта соударения называют момент, начиная с которого скорость ударяющегося торца становится меньше скорости ударяемого торца. Обозначим через щ(х, t) и и2(х, t) смещения поперечных сечений ударяющего и ударяемого стержней. Тогда и±(х, t) и и2(х, t) являют- являются решениями краевой задачи (в течение акта соударения). иш = а2и1хх, -1<х<0,\ п^,^ , пл и2и = а и2хх, 0 < х < /, J B) щ(х,0) = 0, ult(x,0)=v1, -l u2(x,0) = 0, u2t(x,0)=v2, 0 Решение краевой задачи A), B), C) ищем в виде ui(x, t) = (fi(x — at) + i/;i(x + at), и2(х, t) = ip2(x — at) + ф2(х + at).D) Подставляя D) в B) и C), получим ?i (-/ - at) + г/4 (-/ + at) = 0, | E) = (f'2(-at) J </?i (-at) + фг (at) = (p2 (- (рг(х) +фг(х) -- —(р[(х) + ф[(х) ¦ р2(х)+ф2(х) -^2(х)+ф'2(х) at) + = 0, _ ^i а ' = о, _ V2 а Из соотношений G)—A0) находим ф2\ат), 0 < t < -1 < х < 0, -1 < х < 0, 0<х<1, , 0<х<1. ; +оо, F) G) (8) (9) A0) -^(z) = v^W = g, о<г<г. A2) Соотношения E), F) дают <p'1(-l-z) = -t/>'1(-l + z), A3) х) Часть из граничных условий B) выполняется только при 0 < t < где ?о — момент конца акта соударения.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 207 ф'2A + z) =-if/2(l - z), A4) v[(-z) = <p'2{-z), A5) il>[(z)=il>2{z). A6) Из соотношений A3)—A6) следует, что функции (p[(z), ip[(z), ^(z), ip^iz) являются периодическими с периодом 4/; поэтому каждую из них достаточно определить на интервале 0 ^ z ^ 4/; дальнейшее построе- построение осуществляется периодическим продолжением. Такое определение функций <p[(z), ip[(z), ^2B), фГ2(г) с помощью соотношений A1)—A6) дает для них значения, изображенные графически на рис. 26. -4/ -3/ -21 -I 0 —I 1 1 1 V2_ '2a 2а 2a 0 ' ф[ = 1— % 21 3/ —I— 4/ z 1 > 5/ -4/ -3/ -21 —I 1 1— -I —\— -I 0 21 31 4/ 5/ Рис. 26 Используя найденные функции y>[(z), i/j[(z), ^2(^M дим выражение для ult(x, t), u2t(x, t), ulx(x, t), u2x(x, t). ), нахо-
208 Ответы, указания и решения -I t = 0 v2 0 -\ 1- -/ -1/2 0 ut -Eux v2) 1/2 I 0 ut -1/2 0 -Eux ¦ \ h- 1/2 I t-=- a f-( - v2 -\ 1- -/ -1/2 0 -I 0 -Euxa 2a f-Oi +v2) J * i i ^ 1/2 I ut k 0 Vl -1/2 0 -Eux - v2 1/2 I I -I 0 I Рис. 27 На рис. 27 изображено графически распределение скоростей и на- пряжении для моментов времени ? = 0, t = —, t = -, t = —, t = —. 2a a 2a a 94. Решение краевой задачи ЛГ dx ' ^ dt ' 'J ""'" v@, t) = E, г;(/, t) = 0, 0 < * < +oo, г;(ж, 0) = 0, г (ж, 0) = 0, 0 < ж < /, ищем в виде г;(ж, t) = г;0(ж) + г; (ж, ?), A) B) C) D)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 209 г(ж, t) = го(ж)+г*(ж, t), D') где vo(x) и io(x) — стационарное решение системы A), A'), удов- удовлетворяющее граничным условиям B), которое служит пределом для решения D), D') краевой задачи A), A'), B), C) при t ->• +оо, а г?* (ж, t) и г* (ж, ?) — решение системы A), (I7) при граничных уело- v*@,t) = 0, v*(l,t)=O B') и начальных условиях «*(аг, 0) = -vo(x), i*(x, 0) = -io(x). C;) Мы получаем1) Vo(x)=E i W V L Sh VGRl У ' v*(x, t) = e-Rt/L [cp(x - at) + ф(х + at)], F) i*(x, t) = e~mlL\\% [ip(x - at) - ф(х + at)], F') V ч /0*0 + F(x) . , Л f(x) - F(x) n ^ ^ 7 /7ч ) =2 ? ^H =2 7 0<ж</, G) /(ж) = -vo(x), F(x) = -у ^ io(x), 0<x<l, (8) с помощью граничных условий B') функции /(ж) и ^(ж) продолжа- продолжаются, как четная и нечетная функции с периодом 11. При ?, удовлетворяющем неравенству t> L in | ю [1 + thy/GR(l- ж)] |, (9) будет выполняться соотношение |Г(х, *)|<О,1*о(а0, (Ю) т.е. сила тока в точке ж провода будет отличаться от своего предель- предельного значения при t —> оо заведомо не более чем на 10 %. 95. Решение краевой задачи 0<t<+oo, A) v@, t) = E, i(l, t) = 0, 0 < t < +oo, B) v(x, 0) = 0, i(x, 0) = 0, 0 < ж < /, C) имеет вид г;(ж, t) = г'о(ж) + г;*(ж, t), г(ж, t) = го(ж) + г*(ж, t), D) х) См. решение задачи 72. 14 Б.М. Будак и др.
210 Ответы, указания и решения где г?о(ж) и г'о(ж) — стационарное решение системы A), A'), удов- удовлетворяющее граничным условиям B), ( ч „ ch л/GRil — х) • / \ I-» С sh VoyX) = hi , %o\XJ = ?L/ \l — а г?* (ж, t) и г* (ж, t) — решение системы A), A') при граничных усло- условиях г;*@, *)=0, г*(/, *) = 0, 0 < t < +оо, F) и начальных условиях v*(x, 0) = -г;0(ж), г*(ж, 0) =-го(ж), 0 < ж < /, G) v*(x, t) = e~m/L [ip(x - at) + ф(х + at)], /с" (8) (9) A0) (И) Из граничных условий F) следует, что функции f(x) и F(x) продол- продолжаются, соответственно, нечетно и четно относительно х = 0, четно и нечетно относительно х = / и периодически с периодом 4/. При ?, удовлетворяющем неравенству — [ip(x - at) - ф(х + at)], = f(x) - F(x) 2 ' напряжение в точке ж провода будет отличаться от своего предельного значения при t —> +оо заведомо не более чем на 10 %. 96. а) ' 0 при 0 < t < Г, при Bп - Bп п = 1,2,3,..., I I = -, а = — ско- а VLC где Z = \ — — волновое сопротивление, V С рость распространения электромагнитных возмущений по проводу; б) Г0 при 0 < t < Г, v(l, t) = /С и т.д., х= —; Со -х(А - l)} при T<t<3T, 1 - 2)} при
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 211 в) v(l, t) = О при О < t < Т, при T<t<3T, при ЗГ < t < 5Г, IL и т.д., е = —. Указание. По поводу законов отражения от конца х = I см. решение задачи 71. § 3. Метод разделения переменных 1. Свободные колебания в среде без сопротивления. 97. Решением краевой задачи utt = а2ихх, 0 < х < I, 0<?< +оо, u@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, — ж, 0 < ж и(ж, 0) = / — < Ж < /, щ(х, 0) = 0, 0 < х < I, A) B) C) C') является и(х, t) = 2hl2 + ОО 7Г2ХоA — Хо) ^-^ П п=1 — sin —-— sin —— cos —-—. D) В выражении и (ж, t) исчезают слагаемые, для которых sin —-— = О, т. е. отсутствуют обертоны, для которых точка ж = жо является уз- узлом. Энергия n-й гармоники равна Еп = Mh2 7Г2П2Жд(/ — ХоJ 2 sm -—, I 98. Решение. Находим начальное отклонение струны (рис. 28); О хо I х 14*
212 Ответы, указания и решения для этого достаточно определить величину h. Из условия равновесия (в проекциях на вертикальную ось) находим sin/3) = Fo. В силу малости отклонений sin a « tga, sin/3 « tg/3 1), но , /г h tga = —, 1-: Таким образом, 2 +ОО / .ч 2hl v-^v 1 . птгхо . птгх mrat и(х, t) = —jz г > — sm —-— sm —— cos —-—, тг2хоA — хо) ^—' n2 I I I где h определяется по формуле A). ^^ / ,ч 32/г v-^v 1 . Bn + l)nx Bn + l)nat 7Г3 ^^ Bn + IK / / n=0 V J максимальное начальное отклонение струны. + ОО 100. и(ж, t) = ^— > ^r sm —-— sm —— sm —— sm —-—. 7rza ^—4 nz I II I n=l Энергия п-й гармоники равна j-, AMvo . 2 ппхо . 2 En = —2^t sm —-j— sm —5 101. Указание. Сначала считаем импульс / равномерно рас- распределенным по отрезку хо — S ^ х ^ хо + S струны. Тогда мы прихо- приходим к выражению для и (ж, i), приведенному в ответе к предыдущей задаче, причем 1 26р где р — линейная плотность массы струны. Переходя к пределу при 8 —У 0, получим для решения исходной задачи выражение + ОО / .\ 2/ v-^v 1 . птгхо . птгх . nnat и(х, t) = > - sm —-— sm —— sm —-—. v ' J nap ^ n I I I r n=l Энергия п-й гармоники равна j-, I2 . 2 ПТГХо Л/Г j п=мБ ~П' р х) В силу малости отклонения, Т не зависит от отклонения. См. [7, с. 24]. 2) Начальное отклонение можно было бы определить, решая задачу: и"(х) = 0, Т(и'(хо + 0) -и'(х0 -0)) = Fo, и(хо - 0) = и(х0 + 0), п@) = = п(/) = о.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 213 Решение задачи можно получить также, полагая щ(х, 0) = где S(х) есть дельта-функция1). щ(х, 0) = - Six — Р + оо П7Г^ • П7ГЖ0 _, ЛО / ,ч 8^о^ \~^ 1 C0S 7 sm / . птгх . nnat 102. щж, t) = —т— > - 7г— sin —— sin —-—. v } n2a ^ n BSnJ I I Энергия п-й гармоники равна т-, lQVnS pi о 71 TVS . о ^n = ^2 r~ o,2cos -j- sin 1 77Г inQ , ,ч 8Ы t^ (-l)n . Bп + 1)тгж 103. ф, t) = -, ? ^^ 8Ш ^-L_ COS 104. Ответ получается из ответа предыдущей задачи, если поло- положить где Е — модуль упругости, a S — площадь поперечного сечения стержня. 105. Решением краевой задачи utt = a2uxxj 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) u(x,0) = ip(x), щ(х,О)=ф(х), 0 < х < I, B) их@, t) = ux(l, t) = 0, 0 < t < +оо, C) является I +ОО и(х, t) = - / [</?(?) + ^(^)J "^ + ^, ( afe cos — h o^ sm —-— j cos ——, о k=i где i i D) ak = - / (y?B;) cos —— dz, bk = —г / V;B;) cos —— dz. I J l атгк J I о о 106. Решение задачи может быть получено из решения предыду- предыдущей задачи, если положить (f(x) = О, ГО, 0^x^1-6, а затем перейти к пределу при 8 —у 0, либо положить <р(х) = 0, а J.(r) _ I S{r rJ) 0 , р х) См. сноску к решению задачи 56. 2) По поводу выбора коэффициента при д(х — хо) см. вторую сноску на с. 181.
214 Ответы, указания и решения где 5(х) есть дельта-функция, а затем перейти к пределу при хо —у I pi пар , .ч I . 21 v-^ (-1) knx . kirat и(х, t) = -Л > т cos —— sin ——. v ' J pi nap *-^ k I I fe + СЮ 107. и(ж, t) = > -^—— sin ^ ^— sin 1 v ' > кар ^ 2п + 1 21 2п + 1 21 21 108. Решение краевой задачи их@, t) = 0, ux(l, t) + hu(l, t) = 0, 0 < t < +oo, B) и(х, 0) = ip(x), щ(х, 0) = ф(х), 0 < х < I, C) имеет вид и(х, t) = 2_^ (ап cos Xnat + Ъп sin \nat) cos Апж, D) n=l где An — собственные значения краевой задачи Х"(х) + Х2Х(х) = 0, 0<х<1Л причем Ап являются положительными корнями уравнения Atg XI = /г, F) Хп(х) = cosAnx — собственные функции краевой задачи E). Квадрат нормы n-й собственной функции находим с помощью F) И у ||2 _ /*у2/™\л™__ О I I \ РОЧ А У П у П '^z. / 7/л 7 ) РОЧ А | ШйЛ^/iU/i, Un — И v 119 Л / (Г\'6)^1^ЬЛП IIV 112 / ^(^) C0S Л^ ^' ^ = My 112 \ о о 109. Решение краевой задачи utt = cl2uXXj 0 < ж < /, 0<^< +оо, A) 1^@,*) = 0, ux(l,t) + hu(l,t) = Q, 0<^<+oo, B) и(ж,0) = ^ж, щ(х, 0) = 0, 0<ж</, C) .с/О получается из решения предыдущей краевой задачи при
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 215 cos ЛпЖ cos Лпа'= cos XnX cos Xnt, D) где Ап — положительные корни уравнения XtgXl = h. 11U. +ОО + ОО / .ч 2/ v-^v cos Xnx sin aXnt 21 \-^ cosAn#sinAnc м(ж> *) = 777 > ~ < 1 + hi ( ) > n=i Xn < 1 + > \ V An/ / J \ /(Ап+/г2)/ где Ап — положительные корни уравнения AtgA/ = /г. 111. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0 < х < /, 0 < * < +оо, A) я(/, t) + hu(l, t) = 0, 0 < t < +oo, B) ), щ(х,О)=ф(х), 0<х<1, C) является . + СЮ и(ж, t) = ^(ancosaAn^ + 6nsinaAn^) sin(Anx + y?n), D) n=l где An — собственные значения краевой задачи Х"(х) + Х2Х(х) = 0, 0 < х < I, E) Х'@) - hX(O) = 0, F) а Хп(х) = sin(Anx + ipn) — собственные функции этой краевой зада- задачи; Ап являются корнями уравнения ^), G) л (рп = arctg-^-. (8) Квадрат нормы собственной функции Хп(х) равен и v" ц2 /* • 2/\ \ 7 (Ап Ч~/^ )l-\-2h о поэтому z 'z) sin(A z + ю ) dz о 2aAn о
216 Ответы, указания и решения Указание. 1) Уравнение G) может быть получено следующим образом. Из общего решения уравнения E) Хп(х) = С\ cos Хх + С2 sin Хх, удовлетворяя граничному условию F), получим Х(х, А) = С2 {^ cosAa; + sin Аж} = С2Х(х, А). A2) Подставляя A2) в граничное условие F'), получим 1 =с(дЩ1х1 + тхХЛ L V дх ) так как Сг ф 0, иначе A2) было бы тривиальным решением, то =0. A3) После подстановки явного выражения Х(х, Л) = — cos Хх + sin Хх A3') A3) преобразуется в уравнение G) ) m Это уравнение приблизительно можно решать графически1). Подставляя в A2) вместо Л собственное значение Лп, получим соответствующую собственную функцию Хп(х) = С2Х(х, А„). Таким образом собственная функция определяется с точностью до по- постоянного множителя G2- Этот множитель можно выбрать так, чтобы функция Хп(х) имела вид Хп(х) = Х(х, An) = sm(Xnx + <pn), A4) где Л ^n = arctg^. A4') Полагая XI = ^, получим (lh Обозначая через ?i, ^2, • • • ? Сп5 • • • абсциссы точек пересечения котан- х) О решении трансцендентного уравнения с любой степенью точности см. [1, с. 204].
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 217 7/ А Рис. 29 генсоиды п = ctg ? и гиперболы ?? = - ( -^ — ), получим Лп = Щ- . . 2 vm ? / / (рис. 29). 2) Квадрат нормы собственной функции (9) может быть найден непосредственным интегрированием п||2 = / si ipn) dx tie) либо переходом к пределу при Л —У Хп в равенстве [Х(х, Х)Х(х, А„)dx = Раскрывая неопределенность в правой части A7) при Л получим X1 A \ \ V1 A \ \ V" A \ \ V A \ \ ^, . . . х\1"> лп)^\у1") Лп) — Лхху1<, An)j\yi, Лп) ух, лп) ах — — . 1лп A8) Равенство A7) получается из равенств =0, умножением первого из них на Х(х, Лп), второго — на Х(х, Л), вы- вычитанием результатов и последующим интегрированием по частям. При вычислении интеграла A6) или правой части равенства A8) необходимо воспользоваться граничным условием F).
218 Ответы, указания и решения Замечание. Уравнение G) может быть переписано в виде При h —У 0 (свободные концы) из A9) получим lim tgAn/ = 0. /^0 Из A4') и A4) найдем lim (рп = —, lim Хп(х) = sin (Хпх + — ), следо- вательно, Ап = —, п = 0, 1, 2,..., Этот результат был получен непосредственно при решении зада- задачи 105. При h —У оо (концы фиксированы) из A9) получим lim tgAn/ = 0. h—>-oo Из A4') и A4) найдем lim (fn = О, lim sin(Anx + ipn) = sin Xnx. Следовательно, An = ^, n = 1, 2, 3, ..., T^ / ч . П7ГЖ Ап(ж) = Sin——. Этот результат был также получен непосредственно при решении за- задачи 97. 112. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0 < х < /, 0<?< +00, A) ux(O,t) - hiu(O, i) = 0, ux(l, i) + h2u(l, i) = 0, 0 < t < +oo, B) является где Ап — и(х, 0) = (р(х), щ(х, 0) = ф(х), 0 < х < /, и(ж, t) = ^^(an cos аАп^ + Ъп sin аАп^) sin(Anx + ipn) n=l собственные значения краевой задачи Х"(х)+Х2Х(х) = 0, 0<х </, Х;@) - ftiX(O) = 0, Х;(^) + ft2X(/) = 0. Собственные значения являются корнями уравнения а Хп(х) ¦¦ где A(/ii + Д2) = sin(Anx + ipn) — соответствующие собственные д ipn = arctg —. C) D) E) F) G) функции, (8)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 219 Квадрат нормы собственной функции равен ИХ II2- 11 "" - 113. Решением краевой задачи utt = a2uxxj 0<х<1, 0 < t < +оо, l = 27rR, A) цо,*) = цг, t), ux(o, t) = ^(г, t), o<t< +00, B) и(ж, 0) = </?О), ^(ж, 0) =-0(ж), 0 < ж < /, C) является + ОО u(x, t) = 2^ I a- cos n=0 lf . 27rnat\ 2тгпх + о sm —-— I cos — h I / I +00 E/ // 2nnat , ,// . 2nnat\ . 2тгпж (^an cos —— + 6n sm —— ) sm —^—, n=l , 2 cos ' пп = ТУ ^^^sin ~T~ ' 0 I 1 С -100 = ' ' ''''' 2nnz in 1 f 0 • 2nnz , 0 2nira 100 = ' ' ' • Указание. Подставляя общее решение X (х) —A cos Хх + В sin Лж уравнения Х"(,) + Л2 + Л2Х(,) = О в граничные условия Х@)=ХA), Х'@)=Х'A) и приравнивая нулю определитель полученной системы уравнений от- относительно А и В, найдем трансцендентное уравнение для определе- определения собственных значений. Собственными значениями оказываются л 2тгп Л J-, лп = ——, причем подстановка в уравнения для определения А ж В значения Лп обращает эти уравнения в тождества при любых А и В. Следовательно, каждому собственному значению Лп соответствуют две линейно независимые собственные функции cosAnx и sinAnx; так как Лп = , то все собственные функции ортогональны на от-
220 Ответы, указания и решения резке 0 ^ ж ^ ? 1).В случае, когда одному и тому же собственному значению соответствуют к линейно независимых собственных функ- функций, это собственное значение называется ^-кратным. Таким образом все собственные значения рассматриваемой задачи двукратны. 114. Указание. Полная энергия струны 0 ^ х ^ / в случае граничных условий третьего рода иж@, t) — /ш@, t) =0, ux(l, t) + + hu(l, i) = 0 выражается следующим образом (проверьте это): E(t) = \ f{Toul(z, t) + pu2t(z, t)} dz + ^f- {u2(l, t) + u2@, t)}. 0 В случае граничных условий первого и второго рода i E(t) = \ f{T0u2x(z, t) + Pu2t(z, t)} dz (см. [7, с. 28]). ° Выражая энергию полного колебания струны + СЮ +ОО и(х, t) = ^Un(x, t) = Y,Tn{t)Xn{x), n=l n=l где Xn(x) — собственные функции соответствующей краевой зада- задачи, используя ортоногональность собственных функций, а также гра- граничные условия, нетрудно показать, что в случае граничных условий первого, второго и третьего рода + ОО 71=1 где в случае граничных условий первого и второго рода En(t) = \ f{T0U*x(z, t) + PU2nt(z, t)} dz, 0 а в случае граничных условий третьего рода En(t) = \j {T0U*x(z, t) + PUl(z, t)} dz + Щ^{11*A, t) + U%@, t)}. 0 115. Решениями краевых задач utt + a2uxxxx = 0, О^ж^/, 0<?< +оо, A) и(х, 0) = </?(ж), щ(х, 0) = ф(х), 0 < t < +оо, B) и@, t) = u(l, t) = uxx@, t) = uxx(l, t) = 0, 0 < t < +оо, (За) и@, i) = u(l, i) = ux@, t) = ux(l, t)=0, 0<t< +oo, C6) х) Ортогональность собственных функций, соответствующих различ- различным собственным значениям, вытекает из общей теории, а ортогональность 2ппх . 2тгпх cos —-— и sin —-— на отрезке 0 ^ х ^ / проверяется непосредственным вычислением интеграла.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 221 ихх@, t) = uxx(l, t) = иххх@, t) = uxxx(l, t) = О, О < t < +00 (Зв) соответственно являются: ~ЬОО / 9 9 9 9 \ ч / ,ч v^ / п п at , , . п п at \ . ппх а) щх, t) = 2_^ ( ап cos — Ь оп sin —-— I sin —^—, где 2 ? / ч . 7ГП2 7 , 2/ f I / \ • {) s d 6 J W\z) sin 2 ? / ч . 7ГП2 ап = уу ip{z) sin -у- о о n = 1, 2, 3, ..., б) и(ж, t) = ^^(an cosaA^ + bn sinaA^)Xn(x), где n=l Xn(x) = (shAn/ — smAn/)(chAnx — cosAnx) — — (chAn/ — cos An/)(sh Xnx — sinAnx), a An являются неотрицательными корнями уравнения ch XI cos XI = 1; в) u(x, t) = ^^(an cos aX^t+ bn sin а\^)Хп(х), где n=l Xn (x) = (sh Xnl — sin An/) (ch Xnx + cos Xnx) — — (ch Xnl — cos Xnl) (sh Xnx + sin Xnx), а Ап являются неотрицательными корнями трансцендентного урав- уравнения chA/cosA/ = 1. Замечание. 1) Ортогональность собственных функций устанав- устанавливается следующим образом. Умножая уравнение Х'Л'(х) — Х^Хп(х) = = 0 на Хт(х), а уравнение Х!^(х) — XfnXm(x) = 0 на Хп(х), вычитая результаты и интегрируя по частям, получим i fxm(x)Xn(x)dx = откуда непосредственно следует равенство IХш(х)Хп(х) dx = 0, тфп, при граничных условиях (За), C6), (Зв) или получающихся комбини- комбинированием (За) на одном конце и C6) на другом и т.д. 2) Для вычисления квадрата нормы собственной функции Хп(х) можно поступать аналогично тому, как это было сделано в указании к задаче 111; тогда получится следующая формула1) (аналогичная х) См.: Крылов А.Н. Собрание трудов. Т. III, ч. 2. — М.: Изд. АН СССР, 1949. — С. 202-203.
222 Ответы, указания и решения формуле A8) решения задачи 111): i // п 4 ^ п о откуда в случае C6) JXn(x)dx = - О и в случае (Зв) г f О 116. Если колебания стержня вызваны ударным импульсом / в точке х = жо, то в ответе предыдущей задачи будем иметь: птгхо а ап = 0, Ъп = L ; б ап = О, Ъп = п2п2ар в) а ~ 0 6 - 4/Хп(жо) a\2nXl(l)lp 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением. Если колебания струны или продольные колебания стержня происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то уравнение колебаний имеет вид 1) utt = а2ихх - 2vuu v > 0, A) а граничные условия записываются так же, как и в случае колебаний в среде без сопротивления. Записывая граничные условия в виде «1^@, t) + f3iu@, t) = 0, 0 < t < +oo, B) a2ux(l, t) + /32u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B') мы учтем возможность граничных условий первого, второго и треть- третьего рода. Пусть заданы также начальные условия и(х,0) = ф), щ(х,О) = ф(х). C) Разделяя переменные, приходим к такой же краевой задаче Х"(х) + Х2Х(х) = 0, 0 < х < /, D) 0, E) для определения собственных чисел, как и в случае, когда колебания происходят в среде без сопротивления. Пусть Лп и Хп(х) — соб- собственные значения и собственные функции задачи D), E), E;). Для определения Tn(t) получим дифференциальное уравнение О) + 2vT'n{i) + a2X2nTn(t) = 0, F) См. задачу 15.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 223 отличающееся членом 2vT'n(t) от соответствующего уравнения в слу- случае колебаний в среде без сопротивления. Его общее решение имеет вид Tn(t) = (an chcjnt + bnshLjnt)e-ut A Г-, --г \ и2>а2Х2п, G) Tn(t) = (ancosLJnt + bnsmLjnt)e-utA Г2Г2 2 ^2<а2\1 G') Tn(t) = (an + M)e-I/*, z/ = aAn. G") Решение же краевой задачи A), B), B'), C) имеет вид + ОО u(x,t) = Y,Tn(t)Xn(x). (8) п=1 Легко видеть, что lim Tnm = 0 t—)-+оо в каждом из случаев G), G') и G//). Коэффициенты ап и 6П определяются через начальные условия следующим образом: i i 1 г 1 г ап = ну М2 / 4>(z)xn(z) dz, bnujn - van = / ^(^)^n(^) d^, (9) ||An|| 7 llAn|| 7 причем a;n = 1 при v = a\n. l2he~ut 117. Цж, t) = —— > — sin —-— sin —— &n{t), где 7Г2ХоA — Xo) *-^ П2 I I Qn(t) = chuint -\ sha;n?, uin = f^. / i\ j_ IS I Ub I b l\ r) / b /IU -n(j-coso;n — sina;nj o;n-y—^ г/, -у- > v. _ . +CXD ^T" " " 1 . ПТГХо . П7ГХ - - o / ,ч 2/e V—v 1 . П7ГЖ0 . П7ГЖ ^ /,ч 118. и(ж, t) = — у — sin —-— sin —— Kyn{t), где Lp *—^ (jun I I n=l / o 2 2 2 n 7г а Г\ (x\ x n7VCL Qn(t) =t при -у- = г/, Inк2а2 о птга a;n = \/ — v2 при — > v.
224 Ответы, указания и решения имеет такие же значения, как в ответе к задаче 117. + ОО 120. и(х, t)=ao + b0e-2ut + e~vt ^ Qn(t) cos ^, A) n=l гл /i\ , 7 i птга ;n^ ^ < г/, I n = 1, 2, ..., B) 0n (^) = an cos ujnt + 6n sin ojnt, / () ^ ^ an = у / <pB) cos —Г" ^? ^n^n - van = j Ф(г) cos —— dz, z z 1^° ^+b 2b 0 0 птга . птга < 1 / 9 = V /2— ПРИ "у < ^' ^n = 1 при у V2 2 2 п 7г а о птга — vl при —— > v. + OO 1 21 7/Гт i\ — p~v^ \ й ГУЛ гпч Л т* M ^i n=l 0n(?) = an ch a;n^ + bn sh a;n^, a;n = \Jv2 - \2na2 при а\п < v, ®n(t) = an + &n^, ^n = 1 при аЛп = г/, 0n(^) = an cosujnt + 6n sino;n?, ujn = у a2 A2 — г/2 при aAn > г/, 'B) An — положительные корни уравнения XtgXl = /г, - / ip(z) cos \nz dz, / ip(z) cos \n z dz. + OO 122 *). и(ж, t) = e~vt ^2 ®n(t) sin(Anx + ipn), A) n=l где 0n(t) и a;n определяются по формулам B) ответа предыдущей См. ответ к задачам 111 и 112.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 225 задачи, Ап — положительные корни уравнения А2 - hih2 n) dz, n = 1,2,3,..., ipn = arctg—, hi 7, 2 u n f, (An +hih2){hi +h2) \ \ ^ (Лп + /г2)(Ап + /г2) J an = / f, (An + hih2){hi +h2) \ Jq \ + (Лп + /г2)(Ап + /г2) J - van = — —— / W\z) sin \\nz + (рп) dz, n — 1 9 4 n — i, z, o,. . . 123. Решение краевой задачи vxx = CLvu + СДг;*, 0<ж</, 0<^< +оо, A) v(O,t)=vx(l,t) = O, 0<^<+oo, B) v(x,0)=vo, vt(x, 0)=0, 0<ж</, C) имеет вид г;(ж, t) = e"jR*/BL) V an sin П ^ ^Ж sin(o;n^ + <pn), D) где o;n = Bп + 1)тг / CR2l2 V 2/л/СЬ CR2l2 n Ьтг2Bп + 1J ' n = —77,—7-ГГ-. , tg</?n = 2o;n —. тгBп + 1) sunpn R + СЮ 2Q 124 1J4. c~vt V Bw 2 . Bw + 1)тг(о + 6) . Bn + 1)тг(о - Ь) . x sin 27^ sin 27^ sin 4/ 4/ 2/ при 0 < x < a, - + ^ rr --(---) (, - ,/Bn + 1J7r2 л-2 tg<pn = ^. СЯ2/2 г) Предполагается, что L > 15 Б.М. Будак и др. 7Г • 2
226 Ответы, указания и решения 125. . Bп + 1)тгжо . Bп + 1)тгж , ч л xsin- — sin- —-—cos(o;n? - у?п) при 0 < х < xOj где величины z/, ст, о;п, срп определяются так же, как в ответе к пре- предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебания под действием распределен- распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления и в среде с сопротивлением. Дифференциальное уравнение вынужден- вынужденных колебаний струны под действием непрерывно распределенной си- силы в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, имеет вид ии = а2ихх - 2г/щ + /О, t), причем F(x, t) = pf(x, t) есть вынуждающая сила, приходящаяся на единицу длины, р — ли- линейная плотность массы струны, /(ж, i) — ускорение, которое полу- получила бы точка струны с абсциссой х в момент ?, если бы на нее не действовали никакие другие силы, кроме вынуждающей. Член —2ищ, представляющий собой сопротивление, пропорциональное скорости, исчезает, если колебания происходят в среде без сопротивления. Краевая задача ии = а2ихх - 2vut + /0, t), 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) «1^@, t) + f3iu@, t) = 0, a2ux(l, t) + /32u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) u(x,O)=ip(x), u(x, О) = ф(х), 0<х<1, C) может быть сведена к более простым1) задачам. Если удается найти какое-либо частное решение w(x, t) уравне- уравнения A), удовлетворяющее граничным условиям B), то решение крае- краевой задачи можно будет представить в виде и(х, t) = 17(ж, t) + w(x, t), D) где v(x, t) есть решение краевой задачи vtt = a2vxx-2i/vu 0<х<1, 0<^<+оо, E) «1^@, t)+y9iv@, t) = 0, a2vx(l, t)+/32v(l, t) = 0, 0 < t < +оо, F) v(x, 0) = tp(x) - w(x, 0), vt(x, 0) = ф(х) - wt(x, 0), 0 < x < I, G) которое рассмотрено в предыдущих параграфах. Аналогично обстоит дело в случае вынужденных колебаний под действием сосредоточенных сил, приложенных к концам или внутрен- внутренним точкам струны. х) См. [7, с. 103]; сведение рассматриваемой задачи к более простым может быть выполнено аналогично.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 227 126. Решение. Имеем краевую задачу utt = а2ихх - 2vut + д, 0 < х < /, О < t < +оо, A) и(О, t) = u(l, *) = О, О < t < +оо, B) {h — ж, 0 < х < Жо, j— -, Хо < X < /, ut(x,O) = O, 0<х<1. C') Ищем сначала стационарное решение w(x) уравнения A), удовлетво- удовлетворяющее граничным условиям B). Подставляя w(x) в A), получаем О-а2 — откуда W(x) = —^Г~2 %2 + СIх + ^2- D) Из граничных условий B) находим ?f _ Q И = +— С5") Следовательно, Теперь остается решить краевую задачу щ^. zz а 1?жя. — 2wt) 0<ж</, 0<^< +оо, G) г;@, t) = г;(/, t) = 0, 0 < t < +оо, (8) — ж + -^ (ж2 - /ж), 0 < ж < ж0, vt(x, 0)=0, 0<ж</, A0) и(ж, t) представится в виде и(х, t) = v(x, t) + гу(ж). A1) Выражение для г?(ж, ?) получается по формулам G), G;), G/;), (8), (9) введения к предыдущему пункту ответов и указаний настоящего параграфа. Заметим, что если бы член —2ущ в уравнении A) отсутствовал, то стационарное частное решение краевой задачи A), B) и, следова- следовательно, начальные условия (9) и A0) для нахождения функции v(x, t) остались бы прежними. В этом случае уравнение G) не содержит чле- члена —2vvt и г?(ж, i) находится без труда. 15*
228 Ответы, указания и решения При отыскании г? (ж, t) можно не пользоваться явным выражением для w(xI). Пусть w(x) есть стационарное решение уравнения A), удовлетворяющее граничным условиям B). Тогда решение краевой задачи A), B), C) может быть найдено в виде A1), причем г?(ж, t) является решением краевой задачи utt = a2vxx - 2vvu 0 < х < Z, 0 < t < +oo, G') г;@, t) = v(l, t) = 0, 0 < t < +оо, (8;) — ж, 0 < х < жо, hU°- x) -f S жо<ж</, 1-х, (д) vt(x, 0)=0, 0<ж</. A0) Пусть а\п > г/, п = 1, 2, 3,... Тогда + ОО г;(ж, t) = e~w ^(ancosa;n? + bn smu>nt)Xn(t), n=l где — г/2, Xn(a;)=sin——, An = —. Мы имеем i bn = — an, an = 0 j{)X() d = | f[<p(z) - w(z)]Xn(z) dz = j jv{z)Xn(z) dz-j Jw(z)Xn(z) dz. 0 0 0 Первый интеграл в последней разности равен , ' 2/2Asin^ у hp(z)Xn(z)dz= 2 2 г I J n2n2v0(l - хо) Второй интеграл может быть вычислен с помощью уравнения Х'^х) + Х2пХп(х) = О и интегрирования по частям i i 2 С 2 С — - w(z)Xn(z) dz = -—- w(z)Xn(z) dz = _ _2_ См. [7, с. 104-106].
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 229 Так как Хп@) = ХпA) = 0, w(O) = w(l) = О, a?w"(x) + д = О, то Z Z 2 /* / nv / \j 2p rv , , , 2р Г1 , ^П1 -у / гу(^)Хп(^) d2? = --^ц I Xn{z) dz = -—jfri[1 - (-!)]• о п о Таким образом, ^ п?гЖо /г sin —-— г -1 , / , п=1 / I/ . Л . П7ГЖ /1Оч lcoso;n?H smwnt sm—-. A2) Воспользовавшись найденным ранее явным выражением F) для w(x), можно теперь написать выражение для решения задачи A), B), C), C') д / 2 х , v - .^ • п7гж /1о\ ;n^H sin ujnt) sin ——. A3) Мы видим, что при t —у +оо и(х, t) —У w(x), где есть положение равновесия под действием силы тяжести. При v —у 0 из A3) получим решение задачи для случая, когда колебания происходят в среде без сопротивления. 127. Решением краевой задачи ии = а2ихх + ?, 0<ж</, 0<?< +оо, A) и(х, 0) = 0, ut(x,0) = vo, 0<ж</, B) u(O,t)=O, гбж(/,*)=О, 0<^<+оо, C) является . Bп+1)тгж + Bn + l)%2aSm 2/ JSm 21 128. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0 < ж < /, 0<^< +00, A) цо,*) = о, ^(г,*) = Ц, о<^<+оо, B) и(ж, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0<ж</, C) является / .ч ^о 8F0/ v2? (-l)n . Bп + 1)тгж Bп u(Xjt) = —x-— ^^-^sm cos
230 Ответы, указания и решения 129. Р е ш е н и е. Из краевой задачих) dp dw o °* °\ } 0<х<1, 0<^<+оо, др _ 2 dw р@, t) = О, w(l, t)=A, 0<t< +oo, w(x, 0) = 0, p(x, 0) = 0, 0 < х < I, исключая р(х, ?), получаем краевую задачу wx(O,t) = O, w(l, w(x, 0) = wt(x, 0) = 0, 0 < х < I, откуда находим у . ~ n=0 2n ¦ sin ¦ 2/ где Bп + 1)тга] _у2 Давление р в сечении ж = / находим с помощью A) 1, t) = р@, t)- I(^ - f^ тг ^ Bn где chlVGR LCP (-1 n n=0 v--(- + — jn^/uj^ + v2 cos A) (!') B) C) A") B') C') D) E) F) 21 2п+1JтгУ 4/2 . i/ тга tg(/?n = ^^, причем предполагается, что — > 4 VL С) ' L ~ С ' См. задачу 5.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 231 shlVGR +00 -vt ST^ П7Г ^ п2тг2 + RGP n=l f 1 ~ , , v \.~ А - П7ГХ < enujnt + — shuont > sin ——, 1 (R G\2 n2n2a2 I (R G o;n могут быть как действительными, так и мнимыми. 132. Решением краевой задачи utt = а2ихх, 0 < ж < жо, ж0 < ж < /, 0 < t < +00, A) и@, t) = 0, и(х0 -0,t)= и(х0 + 0, t), ГоК(жо + 0, *) - и'х(х0 - 0, *)] = -Fo, l B) u(l,t)=O, 0<^ I и(х,0) = 0, щ(х,0) = 0, 0<х<1, (З) является + ОО и(ж t) = <р(ж) 2 ^2 sin —— sin "у cos —^' D) где —— ж, 0 < ж ^ жо, 1-х), жо < ж < /. Указание. Стационарное реп1ение уравнения A) имеет вид w(x) = С\х + С2, причем константы С\ и С2 определяются по-разному на интервалах О < ж < жо и жо < ж < /. Их значения С[, С'2, С", С2 на первом и втором интервалах нахо- находятся из условий B). Замечания к решениям задач 133—143. 1) Если неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид 2 ,2 , ъ^и , ж/ \ • J. Uu = Q> uxx + с и + о ——Ь Ф(ж) sinoit ох или ^ Uu = a2Uxx + c2u + 6 ——h Ф(ж) coso;^, то его частное решение можно искать в виде1) w(x, t) = Х(х) sino;^ или соответственно в виде w(x, t) = Х(х) cos cut. х) См. также решение задачи 133, где это положение уточняется.
232 Ответы, указания и решения Когда одна из собственных частот струны совпадает с частотой и вынуждающей силы <&(x)smu)t или Ф(х) coscut, то при Ъ = 0 может наступить явление резонанса, при котором амплитуда колебаний с частотой вынуждающей силы возрастает неограниченно пропорцио- пропорционально времени. 2) Если же неоднородное дифференциальное уравнение содержит член —1ущ, т.е. имеет вид utt = а2ихх + Ъ ——\- си — 2v ——Ь Ф(ж) sin cut F) их иь либо вид ди utt = а ихх + Ь- 2vut + си + Ф(ж) cosa;?, G) еж т.е. колебания происходят в среде с сопротивлением, пропорциональ- пропорциональным скорости, то частное решение указанного вида уже не сущест- существует. В этом случае целесообразно перейти к комплексному представ- представлению вынуждающего члена; точнее, можно искать частное решение уравнения Utt = a2Uxx + bUx - 2vUt + cU + Ф(х)еш ВВИДе Щх,г)=Х(х)еш. (8) Действительная часть (8) будет частным решением уравнения G), а мнимая часть — частным решением уравнения F). Если частное решение (8) удовлетворяет граничным условиям за- задачи, то оно представляет собой вынужденные колебания, составля- составляющие главную часть решения краевой задачи при t —> +оо, так как вынужденные колебания с другими частотами и собственные коле- колебания, возникшие за счет начальных отклонений и скоростей, будут затухать. 133. Решение краевой задачи utt = а2ихх + ^^ sino;?, 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) Р и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < /, C) сводится к решению задачи о свободных колебаниях струны с фикси- фиксированными концами при заданных начальных условиях, если известно какое-либо частное решение неоднородного уравнения A), удовлетво- удовлетворяющее граничным условиям B) (см. введение к настоящему пункту). Остановимся поэтому на разыскании частного решения уравне- уравнения A), удовлетворяющего граничным условиям B). а) Пусть ио ф ——, п = 1, 2, 3, ... Будем искать частное решение в виде U(x, t) = X(x)sinvt. D) Подстановка D) в A) и B) дает Х" + ^Х = -Ц^, 0<х<1, E) Х@) = ХA) = 0, F)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 233 откуда находим sin — х а _ sin — I v w ' a X %r Ф@ sin — (x - ?) d?, G) ojTo J a о где Tq — натяжение струны. б) Пусть uj = ——. В этом случае частное решение краевой задачи A) и B) можно искать в виде D) лишь при условии, что Ф(х) и sin —— ортогональны на отрезке 0 < х < I. Действительно, умножая обе части уравнения E) . ПоТГХ на sm —-— и интегрируя по частям с использованием граничных усло- условий F), получим i 1 /"_, ч . rioTrz , ~ / Ф\г) sm —-— dz = 0. То J I о 61) Допустим сначала, что Ф(х) и sin ——— ортогональны на от- отрезке 0 < х < I. Тогда общее решение уравнения E) имеет вид X Х(х) = — / ФЫ) sin — (х — z) dz + С\ sin — х + С2 cos — х. ujTo J a a a о Из граничного условия Х@) = 0 находим С2 — 0. Так как — = а = —^—, то sin — х обращается в нуль на концах отрезка 0 ^ х ^ /, / а поэтому константу С\ можно брать какой угодно. Легко видеть, что в этом случае выражение ojTo J a о является решением уравнения E), удовлетворяющим граничным усло- условиям F). 62) Остановится теперь на случае, когда uj = ——, а Ф(х) . птгх ~ , -^ и sm —-— не ортогональны на отрезке 0 < х < /. В этом случае частное решение краевой задачи A), B) уже нельзя искать в виде D). Положим Ф(х) . потгх где ' ' ^ '¦ sm п i о Функция грух) уже ортогональна sm на отрезке 0 ^ х ^ /.
234 Ответы, указания и решения Теперь уравнение A) можно переписать в виде 2 То , / \ . , . То л . ПоТГЖ . /1/ч ии = cl иХх гр(х) smut -\ Ап sin —-— smut. (Г) Р Р I Сумма частных решений г?(ж, ?) и и? (ж, ?) уравнений sin —^— sino;*, A") а ^ПЛ sin si р wtt = a2wxx --ф(х) sin ut, (l"f) p удовлетворяющих граничным условиям B), будет частным решением уравнения A), удовлетворяющим граничным условиям B). m . ПоТГХ То , / \ г\ ^ ^ 1 Так как sm и w(x) ортогональны на отрезке 0 ^ х ^ /, I P то согласно (8) {1 — np(z) sin — (х — z) dz > sino;^ A1) o;7 a о J будет частным решением уравнения AШ), удовлетворяющим гранич- граничным условиям B). Если теперь искать частное решение уравнения A") в виде v(x, t)=T(t)sin^p, A2) то граничные условия B) будут удовлетворяться при любом T(t). Под- ставляя A2) в A ) и принимая во внимание равенство и = —-—, получим уравнение T"(t) + u2T(t) = ^ Апо smut. A3) Его частное решение, как это известно из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, имеет вид T(t) =t(Acosut + Bsmut). A4) Подстановка A4) в A3) дает 2lo p Поэтому T(t) = -±^±tcoswt A6) w(x, t) = ^-^cosc^^sm—-—. A7) 2uop I m t~ ПОТТО, л ж/ \ • TloTTX 1аким образом, если и = и функции Ф(х) и sm не ортогональны на отрезке 0 < х < /, то частное решение уравнения A),
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 235 удовлетворяющее граничным условиям B), имеет вид {] — ip(z) sin — (х — a) dz > sin ujt — оо J a I 0 ' T0An() , , . поттх /1ОЧ ^—^? cos o;? sin-V-. A8) 2CJ/9 / В этом случае наступает явление резонанса: амплитуда колеба- колебаний с частотой вынуждающей силы возрастает неограниченно про- пропорционально времени. 134. Решением краевой задачи utt = а2ихх -\ sina;?, 0 < х < /, 0 < t < +оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < I, C) является: а) при uj ф —j-, п = 1, 2, 3, ..., "/ - 2 W I . , smz — х > sin o;t + 2a 2a . птгж E7 . птгж . птга^ bnsin—— sin—^—, l n=l где J ! 4Ф0 /* J sin a * • 2 <Л • 2 w I . nnz / < % sin sin — z > sin 2 j 4Ф0 /* J sin a * • 2 <Л bn = / < %- sin / < % sin sin птгаа;/? i sin^ 2a 2a 6i) при uj = —-—, где по четно, i + OO ( ,ч 2Фо . 2 ^ • . , V^ l • П7ГЖ • u(x, t) = r— sin —xsinwt+ ) 6n sin —— sin uj2p 2a *-^ I n=l где , 4Ф0 6 = nirapuj о / sin — a sin —— az; j 2a / _, ч потга 02) при uj = —-—, no нечетно, u(x, t) = ( х ) I Фо . 2 ^ 4аФо Г . tiottz . потг(х — z) , I . = < r— sm — x -\ / sm —-— sm :l- dz > sm ujt + uj2p 2a noTTUjToJ I I -\ — t cos ujt + > bn sm —— sm —- , n=l где
236 Ответы, указания и решения , 2 Г \ 2Ф . 2 ^ /^ , 4аФо Г 2 {sm f + nnaj I up 2a nonTo / sin —р- sin ^ }- dz+ J I I j p ooJ 2Ф0 . потг^ 1 . птг? sin —р^ > sin -V1 H sin —р^ > sin -V1 df, ПТГОйр I J / a To — натяжение струны. В этом случае наступает явление резонанса: амплитуда колеба- колебаний с частотой вынуждающей силы uj возрастает неограниченно про- пропорционально t. 135. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0<х<1, 0<?<+оо, A) u@,t) = 0, u(l,t) = Asmut, 0<t<+oo, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < I, C) является: #^, п = 1,2, 3,4,..., D) sin -x — пжх + ОО (ж, t) = Л ^— sin о;^ + > on sin —^— sin —-—, E) С1П / Li sin — / a где . . , 2Auj f O111 a * . nnz , 100 ta\ bn = / g— sin —— d2?3 n = 1,2,3,...; F) при uj = / ,ч I Auj f ( л* • ^тг^А • потг(х — z) , I . (ж, t) = < —- / ( z — AnQ sin —— J sin — dz > sin ujt - 1 at j \ 1 / 1 1 I 0 J —-^ ? cos a;? sin — h > on sin —— sin —-—, (8) l n=l где Z Z = -^^ y ^(^, 0) sin — dz, Лпо = J zsm —j— dz, U(z, t) — сумма первых двух членов в правой части равенства (8). Указание. 1) При uj ф ——, п = 1, 2, 3,..., частное решение краевой задачи A), B) ищем в виде U(x, t) = X(x)smujt и реше- решение задачи A), B), C) представляем в виде и(х, t) = v(x, t) + U(x, t). 2) При а; = —-— полезно освободиться от неоднородности в гра- граничном условии, переведя ее в уравнение. Для этого находим ста- стационарное решение (р(х) уравнения A), удовлетворяющее граничным условиям ip@) = 0, ip(l) = Л, затем решение краевой задачи A), B), C) ищем в виде и(х, t) = г?(ж, t) + (р{х) si
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 237 136. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0<х<1, 0<?<+оо, A) гл(О, *) = 0, ux(l,t) = ^-smcut, 0 < t < +oo, B) и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, C) является: ч / Bп + 1)тта л 1 о о /л\ а) при о; ^ 21~' П = ' ' ' ' '''' ^ + ОО / i\ тт/ ,\ , X л 7 • Bп -\- 1)ТГЖ . \А11 ~г ± I пиьь /~ч LL\JL, ь I — (_/ I Jb ^ ul \^ 7 ^Ti Olll Dili ^ V / п=0 где . и Т Т / I \ (Л-Гл. гл cos — / а i К = -Bn + l)naIUt^ 0)8in 2nV"ZdZ> ^ ^ч Bпо + 1)тга б) при ио = —-L— + ОО / ч тт/ ,\ \~^ 1 - Bп + 1)тгж . Bп + l)irat /пЧ и(х, t) = U{x, t)+ У bn sin ^ —^— sin ^ —1 , (8) где ч _ J Aa С f д* . Bno + l)nz ' ) = -<\-E^-J \z~ nosm 2] о ч х sin -— y-^ dz > sin cut —^-1 cos o;^ sin -^—, (9) J , 4 }rr . пч . Bп + 1)тг^ , bn = —7 г— / UAz. 0) sm -1— dz, 71 Bп + 1)тга J tv ' J 21 о Z a* f - Bn0 + 1)ttz , An0= Jz sin 2l~ 0 0 Указание. См. указание к предыдущей задаче. 137. Решением краевой задачи ии — cl2uxx + lu2(x + и) + gsina;?, 0 < ж </, 0 < t < +00, A) w@, t) =ux(l, t) = 0, 0<^<+oo, B) u(x, 0) = ^(ж, 0) = 0, 0 < x < I, C)
238 Ответы, указания и решения является и(х, t) = v(x) + w(x, t) + U(x, t), где v(x) = ^fft cos k(l -8d?- kji sin k(x-0 d?, о с, t) = X(x) sinut = ^ { la - 1 } smut, cos —/л/2 +00 n=0 J . ( + ) . sm \yjtf - i ^ j tj sm An = -- J v@ sm о x@sm 4/2 Указание. Найти сначала стационарное решение, потом вы- вынужденные гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, а затем свободные колебания. 138. Решением краевой задачи utt = а2ихх, 0 < х < ж0, хо < х < I, 0 < t < +оо, A) и@, t) = 0, и(х0 -0,t)= и(х0 + 0, t), Т0[их(х0 + 0, t) -ux(x0 -0, t)] = ^sina;^, u(l, t) = 0, 0 < t < +oo, B) u(x, 0) = ^(ж, 0) = 0, 0 < x < I, C) является где с, t) - U(x,t) + z 2 Л n nTraJ 0 +00 n=l ил., n sin ¦ 0)sin 01 -K-i D) E) x)Cp. [7, с 111, 112].
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 239 /±а Touj Аа Tquj а sin — а (Jj С1П sin — a - sin o(l- a UJX . a Jt, 0 ^ xo, F) F') U(x, t) = 139. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0<ж<жо, хо < х < /, 0 < t < +оо, и@, t) = 0, и(х0 -0,t)= и(х0 + 0, t), x(xo + 0, t)-ux(xo-0, t)] = Acosut, u(l, t) = 0, 0<^ является где u(x, 0) = 0,ut(x, 0) = 0, 0 < x < I, + OO X, t) = U(x,t) n=l ansm—— cos——, an = -у z, 0) sm —— < (i) + 00, B) C) D) E) U(x, t) = Sme( - sm — cosa;^, a 0 ^ x < Xo, — 7-5— sin —A-х) cos cut, Tquj чш _ / a F) / птга и T —j-i n = 1, 2, 3, ... 1). 140. Решением краевой задачи является + ОО cos n=l nirat , sm ¦ mrat \ . птгх где an = -j U(z, 0) sm —— d^, = / Ut{z, 0) sm —— птга J I dz IbJIJU /-j \ B) x) Переходя к пределу при ш —>- 0, получим при Л = Fo стационарное отклонение, найденное в решении задачи 132.
240 Ответы, указания и решения I WVU, -1 г» о и при muj ^ ——, т, п = 1, 2, 3,..., [/(ж, t) = { 2 п=1 nuj sin х sm (ап cos ncot + pn si a C) , 0 ^ x To | x sin ¦ + OO a, sin —xo n=l na; Sin ^ * x) f , n - ,\\ \an cos nuot + pn sm nuot) >, ж ^ /. Замечание. Первые слагаемые суммы C) и C') соответствуют стационарному прогибу под действием силы, равной — и приложен- приложенной к точке жо; именно эта сила вызывает прогиб и(Х) = { 7 L / ттг^-^о A- у) , ж0 ^ ж ^ /. . 1о 2 V / / 141. Решением краевой задачи1) (Ф(х)/р) sina;^, 0 < ж < /, 0 < t < +оо, A) B) C) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, и(х,0) = 0, щ(х,0) = 0, 0<х< является где / »\ тт/ j.\ — i/t V^ Z' nnat , . n7rat\ . птгж //|Ч и(ж, t) = и (ж, t) + е ^^ I an cos — h 6n sm —-— j sm ——, D) n=l i an = -- U(z, 0) sm —— dz, 0 i vl 2 С tittz bn = an / Ut(z, 0) sin —— dz, E) птга птга J I о ( / i \ ° С/(ж, t) = Im ———' 2 < I / - Ф0(^)А (/ — ?) a^ I o — -е^Мфо(^№-О^^ ; (б) x) См. введение к ответам настоящего пункта. 2) Символ Im означает мнимую часть комплексного числа.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 241 U(x, t) — установившиеся колебания, о / 2 2 -и;2 о Замечание. Пусть Y(x) есть решение дифференциального уравнения у" + Ay' + By = О, А = const, В = const, удовлетворяющее начальным условиям 1/@) = о, !/'@) = 1; тогда х о является решением уравнения y" + Ay' + By = f(x), удовлетворяющего начальным условиям 1/@) = 0, i/'@) = 0. 142. Решением краевой задачи ии = а2ихх — 2vuu 0 < х < /, 0<?< +оо, A) гб(О,*) = О, гбж(/, t) = ^sina;^, 0 < t < +оо, B) .с/О и(х, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0<ж</, C) является и(ж, t) = U(x, t) + , -i/t V^ ( Bn+l)irat , , . Bп + 1)ттаЛ . Bn + 1)тгж /у1ч + е 2^ ( а^ cos " ^Г + п Sm 21 ) Sm 21 ' ^ 2 /VtY п\ • Bn+ 1Orz J ап = --J U(z, 0) sin ^ ^— dz, 0 J 0 , E) B l) 0 Установившиеся колебания определяются формулой {(rv Ri\ p(ot+Ci)x -(ot+Ci)x { { ES{a2+f32) e(«+/3i)J_e-(«+/3i)z e j' где а и (З имеют те же значения, что и в предыдущей задаче. 16 Б.М. Будак и др.
242 Ответы, указания и решения 143. Решением краевой задачи d2v d2v (pr,rndv Гр„_п x l 0 < x <l, 0 <t < +oo, A) vx@, t) = 0, v(l, t) = Eo smut, 0 < t < +oo, B) ф,0)=0, ^0, 0)=0, 0<ж</, C) является v(x, t) = У (ж, t) + + CXD / , -vt V^ / Bп+1)тга^ , ь + e > а„ cos -1 V br, sm ¦ n=0 1)тгаЛ Bп + 1O 21 i / 2 /* . ч an = -j J V(z, 0) cos 2/ Bп + 1)тга Bп + 1)тгаУ о (а+/3г)ж у Vi(*, 0) cos Bп , E) F) a + /Зг = ±л/рои2 - r - 2qcoi, p = LC, 2q = RC + GL, r = GR, _ GL + CR V ~ 2CL ' 144. Решением краевой задачи 0<ж</, 0<^<+оо, A) г;@,*) = 0, v(l,t) = Esmut, 0 < t < +оо, B) ^(ж,0)=0, ^(ж, 0)=0, 0<х<1, C) является + OO г;(ж, t) = V(x, i) + е / ^ (fln cos /in^ + 6n sin /int) sin ^—, D) n=l где -g 7ГП T' an = -j j V{z, 0) sin — dz, о bn = an / Vt{z, 0) sin —— dz, nna nna J I E)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 243 V() l\E ' ' «* , F) у v^, о; - ш, л ^ (а+/з*)г - e-(«+/3i ±(а + /Зг) = уроо2 — г — 2qcji, p = CL, 2g = C.R + GL, г = Git!, G) _ CR + GL ( , V ~ 2CL ' ^ ' 145. Из краевой задачи dv (dw rt \ —— = Ь 2аи? дх \ dt / | " " A) p@, t) = 0, гу(/, t) + /i^f^ = ieiwt, 0 < * < +oo, B) OX находим установившиеся колебания давления с частотой ш в сече- сечении х = I: p(l, t) = A\r{Lo)R{uj)ei{ut+^, C) sin 2^ D) E) ch2i/> - ^, n n Ф , n ch 2V> cos 2w = --e1-e2, tge1 = ^ tge2= l ^ 2 ^ ^т ^ ch 2-0 - cos 2<? M^ 146. Решением краевой задачи utt = а2ихх -\— Ф(ж)^, 0<ж</, 0<^< +00, A) р и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < /, C) является loo оо ) + оо , . птгх . riTrat /.ч 9n sm sm , D) n=l 16*
244 Ответы, указания и решения где ^JIffff)dz\Sin^dx. E) ) Jffff О к 0 0 0 0 147. Решением краевой задачи utt = a2uxxj 0<х<1, 0 < t < +оо, A) ЦО, *)=0, ux(l,t) = -j^t, 0<?<+оо, B) и(х, 0) = 0, гл*(ж, 0) = 0, 0<ж</, C) является +оо и(х, t) = —xt + 2_^Ъп sin ^ ^— sin ^ ^ , D) п=0 оп = —т ч— / ттт; sm г^— dz. E) п Bп+1)тга J ES 21 у J 148. Решением краевой задачи ии = а2ижж + - Ф(ж)^т, 0 < ж < /, 0 < t < +оо, т > -1, A) u@, t) = u(/, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0<ж</, C) является1) +оо / ч V"^ / ч . П7ГХ /.ч и(ж, t) = 2_^ un{t) sin —^—, D) n=l t un(t) = — / rm smo;n(? - r) r, o;n = —-, UJn J I 0 2 /"ФЫ . nirz , /ЕГч an = j I —^- sin — ^. E) о 149. Решение краевой задачи utt = a2uxx, 0 < ж < /, 0 < t < +00, A) и@,*) = 0, ux(l,t) = ^-tm, 0<^<+oo, ш>-1, B) .с/О и(ж, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0<х<1, C) является +оо А^т п\ • Bп+1)тгж //1Ч n(t) sin ^ ^—, D) п=0 где t гп- т шп J о гп2 (х \j Bn + 1)тга г) См. указание к следующей задаче.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 245 2Ат(т-1) Г . Bп + 1)ttz , ,„, —h^Jzsin dz- F> 21 о Указание. Чтобы освободиться от неоднородности в граничном условии, ищем решение краевой задачи A), B), C) в виде ^, G) что приводит к краевой задаче 2 Аж?т(т — 1) , , ч = azvxx —± -, 0 < х < Z, 0 < t < +оо, (8) v@, *) = 0, vx(l,t) = O, 0<^<+oo, (9) г;(ж,О)=О, vt(x,O)=O, 0<х<1. A0) Частное решение краевой задачи ии = а2ихх + f(x,t), 0<х<1, 0<? 0,*)+АЦ0,*)=0, , , *) + ^2гб(/, *) = 0, 0 < t < +оо, l ] можно искать в виде + ОО и(х, t) = ^2un(t)Xn(x), C') 71=1 где un(i) — функции, подлежащие определению, а Xn(t) — собствен- собственные функции краевой задачи '@) + /W0) = 0, а2Х'@ + C2Х{1) = 0. J l j При этом вынуждающий член /(ж, ?) также нужно разложить в ряд по собственным функциям этой задачи, т.е. представить в виде + ОО f(x,t) = Y,fn(t)Xn(x), A2) п=1 где i Ш = р^ Jf(z, t)Xn{z) dz. A3) 150. а) При и ф сип = ^, п = 1, 2, 3,..., + ОО и(ж, t) = > -г^ ^т— (^n sin a;^ - ш sin a;n^) sin ——; A) n=l б) при a; = ojno = I +00 / ,\ V^ an ( • x x\ • П7ГХ i u(x, t) = у, ~r^ ^\— v^n sm oot — uo sm (jjnt) sm — h n=i ^n ~ Ш ^п -—Q-(sina;not-unot cosa;not) sin ^^—, B)
246 Ответы, указания и решения i 2 ГФ(г) . nnz , , ч ап = - / —^- sm —— dz. {б) i j p i о Замечание. Здесь в отличие от решения задачи 133 колебания с частотой вынуждающей силы даны не в замкнутой форме, а в виде ряда. +оо 151. и(х, t) = у un(t)s\n——, A) ra=l где t B) C) Здесь предполагается, что ujn > v. Нахождение выражения un(t) для ujn ^ v не представляет затруднений. 0 _ 2 / 1 0 Ф(ж) р \/п) sin 2 _ ппх 1 n . лат? пя 1 г cos —^— sm 152. U(x, t) = 1^ W^ i)- . П7ГЖ х sm —— где _ ппа 153. Решением краевой задачи utt = a2uxx + -S(x-xo)S(tI), 0<х<1, 0<^<+оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < I, C) является: . + CXD 2/ \~^ 1 , • птгжо . птгх птга = —y —sino;ntsin-— sin——, ип = ——. D) pi ^—' cjn t t t l 154. Решением краевой задачи жж - 2i/ut + -Ф(ж)^, 0<ж</, 0<?< +оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < t < +оо, C) г) S(t) — односторонняя дельта-функция !0, -оо<?<0, п, 0<t< 1/n, О, 1/п < t < +оо; подробнее о дельта-функции см. [7, с. 267-272].
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 247 ЯВЛЯеТСЯ = ^ [те-<1-^ sin2n(t - г) dr, J J 2 /"Ф(^) . nirz , nira an = j J -±-Lsm — dz, иоп = —j- • 155. Решением краевой задачи utt = а2ихх - 2vut + -5(х - xo)S(i), 0 < х < Z, 0 <t < +оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +00, B) и(х, 0) = щ(х, 0) = 0, 0 < х < Z, C) является О Г +°° 1 / .ч LL _¦,,+ V—> 1 — . . ТПГХо . Т17ГХ / л\ u(x, t) = — е 2^~smWn m—/—sin~/~' D) где E) л ~п / ,\ 2Pl4vo \~^ 1 1 . птгх . n27r2at , 156. И (Ж, ?) = т- > -г 2 о 2 27? Sin ~Г~ Sin F^ •" pSan4 ^-^ п3 а2п2п2 — vfil2 I I2 2Р13 ^-^ 1 1 . птгх . nnvol ^ / ~Г 7; ^ / Т ^ ^ ^ о то ^111 ~ bill " , U \ Ъ \ , ротг2 ^—^ п2 а2тг2п2 — viV I I п- л л +СЮ П(Ж, t) = > — 272" S111 ^~ S111 ^2 ' pSair4 *-^ n3 a2ir2n2 — vil2 I I2 71=1 I — < t < +oo. Указание. Воспользоваться импульсной дельта-функцией. _ cos- л ' ' 157. п2ж2а2\2 ( =i| (пжа\ (Л ш1 п2п2а2 cos ——— t — cos A — х) Предполагается, что иоп > v при п = 1, 2, 3, ... Если o;n ^ v при достаточно малых значениях п, то решение будет содержать члены с мно- множителями sha;n? и член с множителем t.
248 Ответы, указания и решения 158. а) При и ф uix. t) = , п = 1, 2, 3, ..., Sm a>K2pS ^ п2(п4тг4а2 - n=l sm sm h П7ГЖ0 4 4 2214 п4тг4а2 — а;2/4 б) при а; = ,x 2ujP015 ^) = n=l п2(п4тг4а2 - oo2l sm n=i . n27T2at , sm — h I2 pS sm o;? n=l sm — h п4тг4а2 - uj214 I -\ pSloo . потгжо . , . попх Pq . потгжо . потгх sm —-— sm cut sm — —— t cos cut sm sm I I Sl I I pSloo I sm I Неограниченное возрастание амплитуды вынужденных колеба- 2 2 потг а - нии с частотой и = ——— будет иметь место лишь в том случае, когда sm 0, т.е. точка приложения силы не совпадает ни с одним из узлов гармоники, соответствующей числу ЛПо = . Указание. См. указание к задаче 149. Замечание. Вынужденные колебания с частотой со могут быть найдены в замкнутой форме, аналогично тому, как это было сделано в решении задач 134 и 139. 2 2 При uj ф —-—, п = 1, 2, ..., для колебаний с частотой и, таким образом, получается следующее выражение: тг4 sh/3A-х0) 2PZ3 2/33/3 sh/3(l-x) 0<x<:xo, xo<x<l, /32 = -. a 159. u(x, t) = tg(/?n = 2P13 sm где а2тт4п4 — а;2/4 pS ^ у/(п4тг4а2 -ш2/4J + ' , a v — «коэффициент трения», входящий в
уравнение Гл. П. Уравнения гиперболического типа 249 д2и , 2 д4и , о ди п %2 д4 % 160. Ця, *) = Ц?- У ^^ l-. г Хп(х), A) где п(ж) = (ch/in + cos/in) (sh/in у - sin/in у) - + sin/in) (^ch/in | - cos/in yj , B) \in — положительные корни уравнения ch/icos/i = — 1. C) 161. Для t < T ответ совпадает с ответом предыдущей задачи. 2 2 2, где /in и Хп(ж) имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче. 162. где \in и Хп(х) имеют тот же смысл, что и в задаче 160. 163. и(х, i) = /о/ а \-^ sh ап — 2 ch ап sin ап + sin ап п ш,* v , ч = ~^EJ 2-^ 3^2 ^2 2 2^ 2 ^nW, \ где ^п (ж) = sh /лп sin ^-y sin \in sh ^-y—, /in — положительные корни уравнения tg \i — th \i (fii < \i2 < ...) • 4. Колебания при неоднородности сред и других услови- условиях, приводящих к уравнениям с переменными коэффициен- коэффициентами; учет сосредоточенных сил и масс. 164. Решение. Продольное смещение и(х, t) точек стержня яв- является решением краевой задачи p(x)utt = (E(x)ux)xj 0 < х < xOj xo < х < /, 0 < t < +оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) u(xo—0, t) = и(жо+0, t), E(xo—O)ux(xo—0, t) = Е(хо+0)их(хо+0, t), B')
250 Ответы, указания и решения и(х, 0) = ip(x) = О < х < < х < C) ut(x, 0) =ф(х) =0, 0 < х < I, (Е, 0<x<xo, p, 0<х<хо, Е(х) = <^ = р(х) = <= D) [Е, хо<х<1, [р, хо<х<1, ~р, ~р, Е, Е — константы. Частные решения краевой задачи A), B), D) ищем в виде и(х, t) =X(x)T(t). E) Подставляя E) в A), B) после разделения переменных, получим T"(t) + (J2T(t) =0, 0 < t < +oo, F) (Е(х)Х'(х))' + cj2p(x)X(x) = 0, 0 < х < /, G) Х@) = ХA) = 0, Х(х0 - 0) = Х(х0 + 0), (Г) ЕХ'(х0 - 0) =ЁХ'(х0 + 0). G") Из общей теории известно1), что краевая задача G;), {7") имеет бесконечную последовательность собственных частот и соответствующих им собственных функций Хг(х), Х2(х), ..., Xn(t), ..., ортогональных с весом р(х) на отрезке 0^x^.1. Решение уравне- уравнения G), удовлетворяющее условиям G;), имеет вид Х(х) = . 00 sin — х а . 00 sin — хо а sin = (/ — х) а sin = (/ — хо) а при 0 < х < при а=\ — г (8) а = \ / = Р Удовлетворяя условию G"), получим трансцендентное уравнение 1 ¦ ш 1 ¦ ¦ <" ' - (9) о Ер а 1 , 00 ( п — tg = (хо - I) для определения собственных частот шп. Полагая в (8) и = ип, получим собственные функции нашей краевой задачи х)См. [7, с. 422, 423].
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 251 Хп(х) = sin sin sin -z^ a UJn a UJn a i-(i X xo -x) . ШП П sm -=-(/ — при 0 < х < Хо, при хо < х < I. A0) Квадрат нормы собственной функции равен sin2 ^-а; ' sin2 ^ A-х) /n Dill ^^^ Jil л UXJ-i — у I/ dU J p{x)Xl(x) dx = p ^— dx + ]i ^ dx = J si л т.п J si л (I — т.п) +00 smz -=-(/- xo) px0 UJn a UJn a -, (и) 1 A2) u(x, t) = 2_^anXn(x)coswnt, h гЛ?- + Аг\- аз) a™ = lly 112 / P(X) ^(Ж) ^п(ж) б?Ж = — ||An|| 7 a;n| 165. u(x, t) =X(x)sinu)t, X(x) = . UJ sm — x a . uj sm — xo a при 0 < x < Xo, . uj ¦= cos = (I — x) + Fo sin = (x — xo) ^ V^-u w ^ при xo<x <l. ¦= cos = (I — xo) a a 166. u(x, t) = У^ (an cos ujnt + bn sin u>nt)Xn(x), 1 ? a^ = ну M2 / Xn(x) = n sm -=- x a 1 ' bn = —ну 112 p{x)^{x)Xn{x)dx, UJn\\y^n\\ J 0 при 0 < x < хо. -=- cos -=?¦ (I — x) -\- h sin -^- (/ — x) a a a при xo < x < I, ШП Шп n \ , I • ^n П -=- cos -=- (/ — xo) + h sm -=- (/ — xo) ^ a a a ujn — положительные корни трансцендентного уравнения где puj = -tgquj, 1 /-жо а а
252 Ответы, указания и решения 167. +оо u(x, t) = ^ апХп(х) cos aXnt, 0 < х < I, 0 < t < +00, A) п= 1 2 ^Ъ Р sin Апж Хп(х) = sin Апжо' sin Xn(l — х) О < х < жо, C) sm Ап(/ — жо) Ап — собственные значения краевой задачи, являющиеся корнями уравнения nx0 -ctgAn(/ -хо) = — Ап. D) Собственные функции Хп(х) ортогональны на отрезке 0 < х < I с ве- весом р(х) = p + MS(x — хо), где р — линейная плотность массы струны, а 5(х — хо) — импульсная дельта-функция; таким образом, i i Iр(х)Хш(х)Хп(х) dx = р IХш(х)Хп(х) dx + МХш(хо)Хп(хо) = О при т ф п, E) квадрат нормы собственной функции равен 1j^+f-;o) +F) ^пжо 2sin Xn(l — хо) 2 и / р(х)(р(х)Хп(х) dx p ср(х)Хп(х) dx + Mcp(xo)Xn(xo) откуда получаем Указание. При вычислении F) и (8) нужно воспользоваться D). Формулы F) и G) могут быть получены и без применения дельта- функции, как это сделано в [7, с. 147-150]. + ОО 168. и(х, t) = y^{ancosa;n? + Ьп smuont}Xn(x), n=l XJx) = . п sm -=- x a sm -=- xo a cos -=- (I — x) a COS -=-(/ — Xo) a 0 ^ x , x0 ^ x ^ /,
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 253 ujn — корни уравнения ctg ^ x0 -SJEf tg ^ (I - х0) = a v a a т-у hp(x)sm —хахЛ гг^ hp(x)cos ^{l — x)dx in2 ^ж0 5 a cos2 — (Z-жо)^ а sin2 ^ж0 5 a cos2 — — ° ^= /9 [ i ( \ • 2 Шп -. s Op fir \ 2 Шп п k'n I т \ / — UJn \ I 77 ^жо J a cos2 -=-(/ — жо)/ а NY ||2= ^ i ^ lM 11 П|1 о • 2 ^n "•" o о ^n /7 \ 9 ' 2sin -=-жо 2cos2 -=-(/ — жо) а а 169. Решением краевой задачи ии = а2ихх, 0 < ж < /, 0 < t < +оо, A) ЦО, *) = 0, w«(I, t) = -c2ux(l, t), 0<t< +oo, B) u(x,Q) = <p(x), щ(х,О)=ф(х), 0<х<1, C) ГДе 2 KG 2 KG c =1Г' a =—' является +оо и(ж, t) = ^(ancosaAn? + 6nsinaAn^) sinAnx; D) n=l Xn — собственные значения краевой задачи — являются корнями уравнения ctgAJ = -у Ап, E) тогональности 1) а собственные функции Хп(х) = sinAnx удовлетворяют условию ор- ор1) z /) + JjXm(x)Xn(x) dx = O, тфп, F) О I M<p(l)Xn(l) + Jjp(x)Xn(x) dx JjXl(x)dx G) x) См. указание к задаче 167.
254 Ответы, указания и решения i МфA)ХпA) + Jj%l)(x)Xn(x) dx г9 ] • *A) + JjX*(x)dx\a\n I 170. и(х, t) = — = sin — х smwt. — COS — / + -— Sill — / а а Н — I a + оо т- »<-(> - т S -k^r2 cos fl /*><0J» "•• v f) «¦ n=l 0 = и(ж, 0), Jo (ж), Ji(x) — функции Бесселя нулевого и пер- первого порядка первого рода, \in — положительные корни уравнения JoM=0. + ОО 172. и(х, t) = ^2(ancosa\nt + bnsma\nt)J0 [VnJjY n=l \in имеют те же значения, что и в ответе к предыдущей задаче. + ОО 173. и{х, t) = ^2 [ап cos y/2nBn - 1) at + n=l + bn sin л/2пBп - 1) at] P2n-i (y) , где 4n-l о i ^2nBn-l)al Jq Рп(х) = ——- -=—^ [(х2 — 1)п] — полиномы Лежандра, а ть. ах
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 255 § 4. Метод интегральных представлений 1. Метод интеграла Фурье. Напомним, что при известных ограничениях на f(x) справедлива интегральная формула Фурье f(x) = ± Jd\ J №е***-в d?, A) — оо —оо +оо +оо /'(*) = i- JiXdX I — oo —oo т.е. возможно дифференцирование интеграла по параметру под зна- знаком интеграла, и + +ОО — оо —оо где F(x) — первообразная для f(x). Решение уравнения ии — cl2uxx, —оо < х < +оо, 0 < t < +00, D) можно искать в виде ^ +ОО +ОО и(х, t) = — JdXJ U(?, t)eiX(x-Vd?. E) — oo —oo Подстановка E) в D) дает + ОО +ОО — fdX f 2тг J J — оо —оо Для выполнения равенства F) достаточно, чтобы выполнялось равенство ^2ТТ ?у±+а2А2?/ = 0, G) откуда находим где А(?) иВ(() — произвольные функции параметра ?. Подстановка полученного выражения в E) согласно A) дает из- известное решение в виде суммы распространяющихся волн + ОО +ОО аул. о) — — / ал I 2тг J J "°° "°° = A(x + at)+B(x-at). (9) Аналогично интеграл Фурье может быть использован для реше- решения других задач, связанных с уравнением колебаний. Более широко распространена следующая схема применения ин- интеграла Фурье к решению краевых задач на прямой —оо<ж<+оои полупрямой 0 < х < +00. Здесь интеграл понимается в смысле главного значения.
256 Ответы, указания и решения Образом Фурье функции f(x) на прямой -оо < ж < +оо с ядром е~г^ называется функция + ОО 7(л) = --L — оо В силу формулы A) «оригинал», т.е. функция /(ж), может быть вос- восстановлен по своему образу с помощью формулы + ОО iX*dX. A0') Переход от f(x) к /(А) по формуле A0) называется интегральным пре- преобразованием Фурье; очевидно, преобразования A0) и A0') являются взаимно обратными. На полупрямой 0 < х < +оо можно рассматривать косинус-образ Фурье1) для функции f(x) I— +оо 7(С)(Л) = А/! //(О cos AC df, О переход от которого к оригиналу осуществляется по формуле f{x) = \- fj{c)(X) cos XxdX, A1') У TV J и синус-образ2) TV О +ОО f№sm\ZdZ, A2) О переход от которого к оригиналу выполняется по формуле I +ОО f(x) = J- fjis)(X)smXxdX. A2') У TV J о Можно рассматривать преобразования Фурье с другими ядрами. За подробностями отсылаем к специальной литературе. Чтобы решить краевую задачу для и (ж, t) с помощью интеграль- интегрального преобразования Фурье, по переменному х переходят к задаче для образа Фурье этой функции, находят этот образ. После этого с помо- помощью обратного преобразования Фурье «восстанавливают оригинал», т.е. находят функцию и (ж, t) по ее образу Фурье. В качестве ядра ин- интегрального преобразования Фурье для задач на полупрямой нужно брать такое частное решение Х(х, t) уравнения, получающегося раз- разделением переменных из основного уравнения заданной краевой за- задачи, которое удовлетворяет граничному условию задачи, если это условие однородно, или соответствующему однородному граничному условию, если граничное условие задачи неоднородно. х) Интегральное преобразование Фурье с ядром cosA?. 2) Интегральное преобразование Фурье с ядром sin A?.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 257 174. t x+a(t-r) u(x, t) = — I dr I /(?, r) d^. A) 0 x-a(t-T) Указание. Подставляя в уравнение A) условия задачи + ОО +ОО и(х, t) = — I d\ — oo —oo + OO +OO — oo —oo приходим к уравнению j2t Решая его при начальных условиях С/(^, 0) = 0, —^—- = 0, по- получаем Щ?, t) = ^ |/(^, г) sin a(t - т) dr. О Подставляя sina(? — г) в комплексной форме1) и подставляя по- полученное выражение t/(?, i) в интеграл + ОО +ОО и(х, t) = ^ I d\ I — oo —oo в силу (З) введения к настоящему пункту, получаем формулу A). 175. и(х, t) = Ф-<*) + *(* + <*) + где Io(z) и h(z) — «видоизмененные» функции Бесселя нулевого и первого порядков; они могут быть представлены рядами , B) k=0 2i 17 Б.М. Будак и др.
258 Ответы, указания и решения причем ro(z) = h{z). D) Видоизмененная функция Бесселя г/-го порядка _1 fx\2k+» E) к=0 является ограниченным при х —> 0 решением дифференциального уравнения у" -\— у' — I 1 Н ) у = 01). F) Решение. Решение краевой задачи utt = а2ихх + с2и, -оо < х < +00, 0 < t < +оо, G) и(х, 0) = <р(х), щ(х, 0) = ^(жM ~°° < х < +00, (8) ищем в виде + ОО +ОО {х, t) = i- | dA | C/(^, *)е'Л(ж-«)^. (9) — оо —оо Подставляя (9) в G), получаем уравнение Его решение, удовлетворяющее в силу (8) и (9) начальным условиям имеет вид t) = v@ cos t vVA2 - c2 + V>@ Sint/,f* -. A2) V A2 2 Подставляя A2) в (9), получим + OO +OO + OO +O ? *) = — /*dA / 2тг J J — oo —oo + OO +OO — oo —oo Из теории цилиндрических функций известно, что A4) г 2 о Сделаем в этом равенстве замену rcos</? = -a\t, r sincp = id, r2 = t2(a2\2 - с2). A5) ^Подробнее см. [7, с. 649-651].
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 259 Тогда получится равенство sin t л/а2Х2 — с2 1 л/а2Л2 - с2 1 г.А /1 /ЗМ _шз^ , = - / Jo [ict \ /1 - -^г е гл/^ — = ^А2^2 2 У и у V а2*2; а* Следовательно, fоо +оо ( +at Положим Тогда A7) Выполним в правой части равенства A57) сначала интегрирова- интегрирование по Л и /3. По интегральной формуле Фурье1) получим + ОО +ОО ± fd\ f — оо —оо в точках непрерывности ip(z). В нашем случае z = х — ?. В силу A7) Г / / (х_?) ,п(„ _t\-)h[c \ t2 - ^-^ при х — at < ? < х + at, О при — оо < ? < х — at, при х + at < ? < +оо. Поэтому 2а J x-at Напомним первоначальные выражения для + ОО +ОО ?(х, *) = -!- Г d\ [ 2п J J — оо —ос + ОО +О (ж, t) = — / d\ I 2тг J J — с2 A9) B0) — oo —oo x) См. введение к решениям задач настоящего пункта. 17*
260 Ответы, указания и решения Сопоставляя выражения A9) и A8) для ^(ж, ?), мы получим, ин- интегрируя B0) по t, /¦ + ОО +ОО 2 _r2 2тг J J ^w Va2A2 - c2 — оо —оо x-at Дифференцирование последнего равенства по t дает: az Складывая A8) и B1), получим формулу A) ответа. 176. t x+a{t-r) , j " —. u(x, i) = — I dr I /(^, r) Iq I с у (t — rJ — J d^. A) 0 a;-a(t-r) Указание. Для получения формулы A) ответа можно восполь- воспользоваться методом решения задачи 175. 177. и(х, t) = P(* + eO + ?>(|a- \x-at\ Решение. Умножим уравнение u^t = ^2^^ на W —sinA^, про- проинтегрируем по ? от 0 до +оо, проделаем то же с начальными усло- условиями; это и приведет к уравнению 1. су I *^ ' * *-*/ V 5 7 V 7 arz с начальными условиями п^ (А, 0) = /(s) (А), п[з) (А, 0) = ^(s) (A), B) где 1 ) 7Г У
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 261 Решая уравнение A) при начальных условиях B), получим п<») (X,t) = /(s) (Л) cos aXt + ^{s) (А) ^^. C) /~2~ Умножая обе части C) на W— sinAx и интегрируя по А от 0 до +оо, у 7Г получим I— +оо I— +оо и(х, t) = \ — / гг^ (A, t) sin Xx dX = \ — If cos(aAt) sin XxdX + У 7Г J у 7Г J О О /— -|-оо 1 /2 г y(s),, ч sin (aAt)sin (Аж)dA _ а у тг J X о + оо w . j(s' (A)[sin А(ж + at) + sin А(ж — at)]dX 2 у тг J 0 1 2 Г y(s) ,,ч [cos А(ж — at) — cos X(x + at)] ,, 2аутг^ А ' о если ж > at. Учитывая, что ж+at I +oo x-\-at — ф^ (X) dX / sin Xs ds = TV J J 0 x-at - [ф^(Х)С08 — x C0S ——dX, 7Г J Л 0 получим ( ,ч f(x + at) + f(x-at) , 1 ^//ч, ^ . /.ч 11 \ T /I ^3 1 v i. _L I о/; 101/70 TTT)XT T j> CIT \ '\ I v ' y 2 2a i rw ^ v y ж-at Если же ж < at, то под знаком синуса и косинуса нужно заменить х — at на at — х, что приведет к изменению знака перед синусом и для и(х, t) получится выражение at+x u(x, t) = — —— + 7^— / ^(S) ^S ПРИ х < a^- E) ^ La J at — x Объединяя D) и E) в одну формулу, получим приведенный выше ответ. 178. и(х, t) = + {x+at \x-at\ С С / ip(z) dz - signfx - at) / ip(z) dz J J о о Указание. Применить косинус-преобразование Фурье.
262 Ответы, указания и решения {О при 0<t<-, 11 [t при t > -. V а / а Указание. Применить синус-преобразование Фурье. Решение. Умножим обе части уравнения иц = сРи^1) на 2 — sin Л^ и проинтегрируем по ? от 0 до Н-оо, применяя интегри- 7Г рование по частям2) и используя граничное условие и (О, t) = /i(?); это дает: [+f [2 ди .2 /2 7Г - azX\- I о t) +CL2X\ -ll(t). У 7Г При этом мы пользуемся тем обстоятельством, что и(?, t) и стремятся к нулю при ? —>¦ +оо. Так мы приходим к уравнению Так как искомое решение / +ОО /0 /* A) о должно удовлетворять нулевым начальным условиям и (ж, 0) = г^(ж, 0) = 0, 0 < х < +оо, то, решая уравнение A), для п(*)(А, ?) следует взять нулевые началь- начальные УСЛОВИЯ j—(s)/\ n\ g(«)(A,O) = dM jA'0)=0. B) Решение уравнения A) при начальных условиях B) записывается в виде У— t u(s)(A, ?) = а\ — I ti(t) sinaA(? - г) dr, V тг У о следовательно, + ОО t 1/(ж, t) = а — dX /jl(t) sin Аж sin aA(^ — r) dr. о о х) В п(ж, t) заменим х на ?. 2) Ср. с решением методом распространяющихся волн, задача 73.
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 263 Меняя порядок интегрирования, вычислим сначала интеграл + ОО +ОО 2 Г 1 Г — I sinAxsinaA(? — r)dX = — / cos X[x — a(t — т)] dX— 7Г J 7Г J О +оо О Г cos А[ж + a(t - т)] dX = S(x - a[t - т]) - S(x + a[t - r]). 7Г J Так как 0 ^ г < t, то 8{х + a[t — т\) = 0 при х > 0; следовательно, 2 /° - / sin Xx cos аА(? - r)dX = ?(ж - a[t - т]) о при 0 < г < ?, 0 < ж < +оо. Поэтому t at u(x, t) = a / /j(t)S(x — a[t — r])dr = /j, (t j й(ж — s)ds = f 0 при t<x-, f x\ x It при t > -. V a/ a t-x/a 180. и(ж, t) = -а Г v(s) ds. о Указание. Применить косинус-преобразование Фурье; см. точ- точное решение предыдущей задачи (ср. с решением задачи 74). t x+a(t-r) "I Q "I О 1 Oil SY* "/" 1 I /wn~ I TIC* П~ 1 /f C* • 0 |a;-a(t-r)| t Г x+a(t-r) б) и(ж, t) = — I dr < / /(s, r)ds — 0 ^ 0 \x-a{t-r)\ \ - signfx - a(t - r)] A /(s, r) ^ >. 0 J Указание. В случае а) применить синус-преобразование Фурье и в случае б) — косинус-преобразование Фурье. Воспользоваться в случае а) также равенством 2 sin aX(t — т) sin Xx _ cos X[x — a(t — r)] — cos[x + a(t — r)] _ A ~ A ~ = X af gin Xs ds = cos X[a(t - t) - x] - cos[a(t - r) + x] = J X aj-a(t-r) a(t-r)+aj = / sin Xs ds a(t-r)-x и аналогичными соотношениями воспользоваться в случае б).
264 Ответы, указания и решения 182. *7Ж и(х, t) = -J v(t) /о (с ^(t-rJ-x2) dr. A) о Указание. Можно искать решение краевой задачи в виде и(х, t)= I <р(т) /о (с y/(t-T)*-x*) йт, B) о где <р(т) есть функция, подлежащая определению из граничного условия. 183. и(х, t) = n(t -x)-cx f /i(r) h{cj{t r) ?± dr. I V (* - rJ - x2 Указание. Воспользоваться решением предыдущей задачи. 184. Решение и (ж, i) краевой задачи удовлетворяет обыкновен- обыкновенному дифференциальному уравнению t-x ч f ( ч h(cJ(t т) х) /ш(ж, t) = x(t - х) — ex / х(т) — ; dr. dx V ' У V ; J У J ^{t - TJ - x2 du(x,t) i / .ч /. ч f ( ч h(cJ(t - тJ - х2) v у /ш(ж t) = x(t х) ex / х(т) ; J + OO +OO +OO 185. fj{\)g{\)e-iXxd\=-±= fj{\)e-iXxd\ Jg(s)eiXsds = + Jg(s)eiX oo + OO +OO +OO = ^=l 9(s) ds J ~]{\)eix{*-sU\ = I g(s)f(x - s) ds. —oo —oo + OO +OO +OO — oo —oo + OO 186. j /(c) {X)g^ (Л) cos Xx dX = 0 +oo +oo + fM cos XxdX / g(s) cos Xsds = TV J J о о +oo { + oo I +oo = \ I g(s)dsJ- {'/(c) (A)[cos X(x - s) + cos X(x + s)]dX = I* J у 7Г J oo +oo = \ j g{s)[f{\x-s\) + f{x + 0 187. Указание. См. решение задачи 186. + ОО + ОО 188. и(х, t) = —== [ <р(х -2\y/ai)(sm\2 +cos\2)d\- v 2тг У — oo + ОО f + ОО --^= f ^(x-2\V^i)(sm\2 -cos\2)d\. A) л/2тг J — oo При ip(x) = Ле~ж /^4fe ), ф(х) = 0 получим , t) = -^ expj-x2 —} cos (^^^ - - (?j , B)
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 265 RcosO = k2, Rs'mO = at. Указание. Применить преобразование Фурье с ядром егХ^ на прямой — оо < х < +оо. Воспользоваться соотношениями — оо + ОО -^= / cos «Jе-^ж d? = -L= (cos ^- + sin ^ , (I) л/2тг J 2л/а \ 4a 4a У ' w -oo ~^°° / 2 2 \ —== / sin (а?Jе~г^х d? = —— ( cos sin — ) , (II) V2tt J 2y/a V 4a 4a У -oo / COS I CJZ/ц ) (^?1ц )о ^*Ss — 1 T / s2 s2 \ = —= / о?(ж - s) cos h sin -— ds, (III) 2л/о? У V 4a* 4W -oo ч 7 + OO i ! +,°° / S2 S2 \ = —== / -0(ж - s) cos h sin -— ds. (IV) 2Va^ У J \ Aat Aat J Соотношения (III) и (IV) получаются с помощью соотношений (I) и (II) и теоремы о свертке, доказываемой в решении задачи 185. Соот- Соотношения же (I) и (II) могут быть получены из известных интегралов (см. [1]) +оо +оо f 2 j Г* /" • 2 j Г^ /о\ I /^ /^\ с о^* fi nf* . / тд" I с 1ХЛ If* ft If* л I I ~\ \ i tuo jy u,^ — V о / — V 2 ' — oo —oo А именно, подстановка х = у — l дает cos ж2 = cos (у2 + /2) cos 2ly + sin (^/2 + I2) sin 2/^/, sin ж2 = sin (y2 + /2) cos 2ly — cos (^/2 + I2) sin 2/^/. Подставляя cos и sin от ^/2 +12 через cos и sin от у2 и /2, получим два уравнения (из C)) для разыскания интегралов + ОО +ОО / cos у2 cos 2ly dy и / sin у2 cos 21 у dy. D) — оо —оо Так как + ОО +ОО / cos у2 sin 2ly dy = 0 и / sin^/2 sin2lydy = 0, E) — оо —оо то мнимая часть искомых интегралов (I) и (II) равна нулю. Для получения формулы B) при начальных условиях ф) =Ае~х2/Dк2\ <ф(х) =0 не стоит пользоваться общей формулой A); лучше воспользоваться формулой обращения
266 Ответы, указания и решения 1 +г°° и(х t) = -4= / п(Х, i)e~lXx dX, V J л/2^ J V J — oo подставив в нее значение п(Л, t) = ^(Л) cos aX2t = ^(Л) — где Следует заметить, что последнее равенство имеет место как при действительном, так и при комплексном к. + оо 2 2 2 189. „(*, *) = -L f ,(t - JL_) [sin _ + Cos T] dX. x V2at Указание. См. решение предыдущей задачи. Следует заметить + ОО также, что интеграл / ?sin (a^J sin (?x) dt; получается дифференци- о рованием по х интеграла + ОО / sin(a^J cos(^r о 190. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если Ф(х) и Ф(ж) — функции нечетные, то функция ТТ( ,ч Ф(х - at) + Ф(х + at) ,1 Г lTf/ ч , U(x, t) = -ь }-—Л L + — j ^(z) dz x-at равна нулю при х = 0; 2) если и(х, t) есть решение уравнения иц — а2ихх, то и к=0 также является решением этого уравнения. 191. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если F(x, t) есть функция нечетная по ж, то функция t x+a(t-r) равна нулю при х = 0; 2) если и(х, i) есть решение уравнения щь — о?ихх + /(ж, i), то TV fc ^(*. *) = Е ^^
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 267 является решением уравнения utt = a2uxx + }^Ak JdyJ J. k=0 192. Указание. Доказательство проводится аналогично тому, как это делается в решении задачи 190. 193. Указание. Доказательство проводится аналогично тому, как это делается в решении задачи 191. 1*. Переход к конечному интервалу методом отражений. 1пл ( л.\ <р(х — at) + (р(х + at) , 194. и(х, ъ) = — —— + ct x-at , U2 _ x+at x-at где tp(?) и ф(?,) получаются нечетным продолжением относительно нуля и далее периодическим продолжением в периодом 21. 195. Решение получается по формуле A) ответа предыдущей за- задачи, но (р(х) и ф(х) продолжаются нечетно относительно х = 0, четно относительно х = / и далее периодически с периодом 4/. 196. Решение получается по формуле A) ответа к задаче 194; (f(x) и ф(х) продолжаются четно относительно х = 0 и х = / и далее с периодом 21. 197. Будем искать решение краевой задачи ии =ихх +с2и, 0<х<1, 0 < t < +оо, A) ЦО, t) = /ii(t), Ц1, t) = /i2(*), 0 < t < +оо, B) и(ж, 0) = 0, ^(ж, 0) = 0, 0<ж</, C) в виде U[X, t) = — 0 D) где функции (р(т) и ^(г) подлежат определению из граничных усло- условий B). Нетрудно убедиться, что и(х, t), определяемое по форму- формуле D), является решение A) при любых у?(г) и ф(т). Будем считать (f(r) = ф(т) =0 при г < 0. Выполняя дифференцирование в D) и ис-
268 Ответы, указания и решения пользуя граничные условия B), получим 1~1 п1Т, (г- л /(+ — т^2 _ /^ i E) о V(* " гJ - Р t-l Mi) = W - <p(t), Mt) = i>(t) + 4>(t). G) Из E) и F) найдем '(8) о t — l / / \ Из (8) и (9) в силу равенства </?(т) = ф(т) = О при т < 0 находим затем t-i -l)-cl (t) = in (t) - M2 (*) + V>i (* - 0 + cl / Vi (r) Jl (Ю') 2. Метод Римана. Пусть требуется найти решение уравнения L(u) = ихх - иуу + ai(x, y)ux + bi(x, y)uy + а(х, у)и = /(ж, ^/), A) удовлетворяющее начальным условиям и = </?(ж), ^— = ^(ж) B) ди „ т-г на кривой с, где ^— — производная по нормали к этой кривой. Пред- оп полагается, что кривая с задана уравнением у = /(ж), где f(x) — дифференцируемая функция, причем |/;(ж)| < 1- Тогда значение и в точке М (рис. 30) находится с помощью формулы / \ , / \ л Ч (UV) Р \ \ UV) О 1 /^ г / 2 2 J р -\-uv(a drj — b d^)^ + v(M, Mf) f(Mf) duM1 •> duM1 =d^drj, C) MPQ причем u _ = ip(x),
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 269 У * Рис. 30 ди , ч , ди , ч ш'(х) +1 ds дп у1 + ^п / ч ди t ч (p'(x)f'(: = ТС cos B/» s) + лТ cos B/» n) = /7-r а функция v(M, М') = г?(ж, 2/, ?, 7у) — функция Римана для операто- оператора L(u), определяемая из соотношений iV(i?) = г»жж — г?^^ — (а1г?)ж — {b\v)y + cii? = 0 в области PQM, D) <% 6i — ai ¦ v на характеристике МР, dv ~ds~ + ai v на характеристике MQ, v(M, M) = 1. F) Операторы L(u) и N(v) называются сопряженными. Если исходить из другого канонического вида для гиперболичес- гиперболического уравнения L» = дхду ди ~дх~ ди ду ^~ +Ь2^~ +C2U = f(x, у), дх ду v ' (8) то решение уравнения (8), удов- удовлетворяющее начальным усло- условиям ди и =ip(x), jr- =ф(х) (9) с Оу с на кривой у = f(x), f(x) < 0, A0) находится с помощью формулы (рис. 31) У ' Рис. 31
270 Ответы, указания и решения ~ \\{иТ ~ vt) ~a2UV\dv}+I Iv{M' M'^M')dGM>' P QM где функция v — функция Римана для оператора L* (и) — определя- определяется из соотношений N*(v) = —— ^ ^ Ь c2v = 0, A2) дхду ох ду — = b2v на характеристике РМ, A3) -— = a,2V на характеристике QM, A4) г;(М, М) = 1. A5) Таким образом, если функция Римана для гиперболического опе- оператора L или L* (и) найдена, то можно сразу написать в интегральной форме решение широкого класса краевых задач, связанных с этим ги- гиперболическим оператором. 198. Функция Римана v = 1. Решение краевой задачи имеет вид и(х, t) = ^— ^ + ^ x+at t x+a(t-r) If 1 Г -\ / if>(z) dz -\ I dr 2a J 2a J x-at 0 x- 199. Функцией Римана: а) для оператора ^2 ^2 —-а2 — является б) для оператора ^ 2ад L(n) = —-а2 — является где /о(^) — Jo(iz) — видоизмененная функция Бесселя нулевого порядка. Решение краевой задачи соответственно принимает вид: а) ф} t) = <p{x-at) + <p{ с-о-
Гл. П. Уравнения гиперболического типа 271 б) I/ +at/i I C\ t2 — (x-ZY t x+a(t-r) к I* I '¦ 0 x-a(t-r) 201. n at ( r a2t2\ 1-х —— cpix + y/l — xat — 1 A V 4 / + at 2 ' 2 #2 a Г 2 i a t ** v / П \ где 2.2 а г at Sy/(l-x) , 1 1, 2 F(a в т x)~l I a'13 x I a(a + 1)/3(/3 + 1 ^ i«, p, 7> ж; - -1 + x m 7 ж + i. 2.7G +1) + ... есть гипергеометрический ряд J. Указание. Воспользоваться для гиперболического оператора канонической формой со смешанной производной. В характеристичес- характеристических координатах функция Римана имеет вид G(x, у, х0, у0) = F[-, -, 1, fz—_\У,_ У1 ). \ Z Z уХо — у^)\Х — у) / х) См. справочные таблицы в конце книги.
272 Ответы, указания и решения 202. и{х, у) = _ д/sin (о; -у) (р [I cos(uj - у)] + y)ip[l cos (о; + у)] где , », z) = cos (^ — ^) — , -, 1, 2sinwsinz /' X uj = arccos —. Указание. Воспользоваться для гиперболического оператора канонической формой со смешанной производной. Функция Римана в характеристических координатах имеет вид 1
Глава III УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач Уравнения и граничные условия рассматриваемых здесь крае- краевых задач теории теплопроводности являются следствием: а) закона сохранения энергии; б) закона внутренней теплопроводности в твер- твердых телах (закона Фурье); в) закона конвективного теплообмена меж- между поверхностью твердого тела и окружающей жидкой или газообраз- газообразной средой (закона Ньютона). Закон Фурье в одномерном случае выражается формулой где q — количество тепла, протекающее в единицу времени в направ- направлении оси х через площадку а, перпендикулярную к оси ж, и — тем- температура в рассматриваемом месте тела; Л — коэффициент тепло- теплопроводности1). Закон Ньютона выражается формулой q = <та(и-и0), B) где q — количество тепла, протекающее в единицу времени через пло- площадку а поверхности тела в окружающую среду, и — температура поверхности тела, щ — температура окружающей среды, а — ко- коэффициент теплообмена2). В краевых задачах диффузии количество диффундирующего ве- вещества и его концентрация играют такую же роль, как количество тепла и температура в краевых задачах теории теплопроводности. В частности, если под и понимать концентрацию, под Л — коэф- коэффициент диффузии, а под q — количество вещества, диффундирующее в единицу времени в направлении оси х через площадку а, перпен- перпендикулярную к оси ж, то закон диффузии (закон Нернста) выразится х) А зависит от физических свойств тела и от температуры п, но в достаточно широких пределах зависимостью Л от температуры пренебре- пренебрегают, беря Л для среднего значения температуры. 2) Все, что сказано в предыдущей сноске о зависимости Л от темпера- температуры, в известных пределах распространяется и на а; подробнее см. [41, с. 21]. 18 Б.М. Будак и др.
274 Ответы, указания и решения формулой A), а формулой B) выразится закон диффузии через полу- полунепроницаемую перегородку. О параболических краевых задачах движения вязкой жидкости и электродинамики будут сделаны соответствующие замечания непо- непосредственно при их рассмотрении. 1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффи- коэффициентами. 1. Температура точек стержня является решением краевой за- задачи _2 0<</0</< + A) и@, t) = (fi(t), u(l, t) = y>2(t), 0 < t < +oo, C) -\<rux(Q,t) = q1(t), \<rux(l,t)=q2(t), 0 < t < +oo, C') ux{Q? t) — h[u(O, t)~(Pi{t)]i ux{l? t) = —h[u(l, t) — Lp2(t)\i 0 < t < +oo, C") где a2 — коэффициент температуропроводности, а2 = —, Л — коэф- cp фициент теплопроводности материала стержня, с — удельная тепло- теплоемкость, р — плотность массы, а — площадь поперечного сечения, h = —, где а — коэффициент теплообмена, f(x) — начальные значе- Л ния температуры, ip\(t) и ip2(t) в случае C) — температуры концов стержня, а в случае C;) — значения температуры окружающей сре- среды у концов стержня; q\(t) и q2(t) — тепловые потоки, поступающие в стержень через его концы (т.е. количества тепла, поступающие в единицу времени). Указание. Если боковая поверхность однородного изотропно- изотропного цилиндрического стержня теплоизолирована, а изотермические по- поверхности в начальный момент времени совпадают с его поперечными сечениями, причем торцы стержня все время остаются изотермичес- изотермическими поверхностями, то изотермические поверхности в стержне бу- будут все время совпадать с поперечными сечениями, т. е. температура в стержне все время будет зависеть лишь от одной пространственной координаты х. Уравнение A) можно получить, приравнивая приращение за еди- единицу времени количества тепла в элементе (ж, х + Ах) стержня, равное ди ера Ах—, D) сумме количеств тепла, поступивших в этот элемент за единицу вре- времени через сечения х и х + Ах, ди , ,ди E) ох ОХ ж+Дж а затем деля полученное равенство на Ах и переходя к пределу при Ах —у 0. Остановимся более подробно на выборе знака у членов сум-
Гл. III. Уравнения параболического типа 275 мы E). Мы считаем х-\- Ах > ж, что, очевидно, не нарушает общности ди рассуждений. Если на торце х элемента (ж, х + Ах) будет —— > 0, то ох в точках, лежащих правее торца (т. е. внутри элемента), температура будет больше, чем в точках, лежащих левее торца (т. е. вне элемента), значит, тепло будет вытекать из элемента и, следовательно, первый ди член суммы E) нужно брать со знаком минус. Если же — < 0, то температура левее торца больше, чем температура правее торца, поэ- поэтому тепло будет втекать в стержень, первый член суммы E) должен быть положительным и, следовательно, перед ним снова нужно взять знак минус. Аналогично проверяется выбор знака при втором члене. Для получения граничных условий C') и C") нужно провести такие же рассуждения для граничных элементов @, Ах) и (/ — Ах, /), используя в случае C") закон конвективного теплообмена Ньютона. Замечание. Если коэффициент теплообмена а значительно больше коэффициента внутренней теплопроводности Л (а —У оо), то граничные условия C") переходят в граничные условия C). Если же, наоборот, а пренебрежимо мало (а —> 0), то граничные условия C") превращаются в граничные условия C'), где qi(t) = q2(t) = 0, т.е. мы приходим к случаю тепловой изоляции концов стержня. 2. Уравнение теплопроводности в данном случае имеет вид Л ар , ч Щ = — ихх (и - и0), ср ера где р — периметр поперечного сечения стержня, а — коэффи- коэффициент теплообмена между поверхностью стержня и окружающей сре- средой, температура которой равна щ; остальные величины имеют те же значения, что и в предыдущей задаче; начальные и граничные усло- условия записываются так же, как и в предыдущей задаче. Указание. Рассматривая элемент (ж, х + Ах) стержня, учесть в тепловом балансе не только потоки тепла через торцы элемента, но и потоки тепла через его боковую поверхность. 3. Для определения температуры в кольце получаем краевую задачу Л Щ — — ихх — (и - щ), 0 < х < /, 0<?< +оо, A) ср ера и@, t) = u(l, t), ux@, t) = ux(l, t), 0<t< +oo, B) u(x,0) = f(x), 0<x<l. C) Здесь Л, с, р, а, а, р имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче. Координата х — длина дуги, отсчитываемая вдоль кольца. Если радиус кольца равен R, то х = R6, где в — угловая координата; 7 о о д 1 д следовательно, / = 2тгЯ, — = — — и, переходя к независимым пере- менным в, t, краевую задачу A), B), C) можно преобразовать к виду Л- —(«-«о), 0<<?<2тг, 0<i<+oo, A') ера срН2 ера 18*
276 Ответы, указания и решения 4. u@,t)=uBn,t), ue@,t)=ueBn,t), u(e,O) = F@), 0 < 6> < 2тг. B') C') < х < +оо, 0 < t < +оо, A) u(vot,t) =ip(t), 0 < t < +oo, B) u(>, 0) = 0, 0 < x < +oo. C) 5. Для определения температуры и(х, t) в проволоке получаем —- = а2 т—т, ot oxz краевую^адачу 0<ж</, A) ci^(O, t) = -\<тих(О, t), c2ut{l, t) = \aux{l, t), 0 < t < +00, B) где с\ и С2 — теплоемкости клемм, / — сила тока, it! — сопротивление единицы длины провода, C — коэффициент пропорциональности в *°РмУле q = CI2RAx, D) выражающей количество тепла, выделяемое током / в единицу вре- времени в элементе (ж, х + Ах) провода. Коэффициенты Л, с, р, а, р, а имеют тот же смысл, что и в задаче 2. Указание. При выводе уравнения A) нужно воспользоваться соотношением D). 6. Для определения концентрации и (ж, t) получаем то же урав- уравнение и те же граничные условия, что и в задаче 1 для определения температуры, с той, однако, разницей, что в случае диффузии а2 = Л = D, где D — коэффициент диффузии, а а — коэффициент проницаемости каждой из граничных плоскостей. 7. Для определения концентрации и диффундирующего вещества получаем уравнение щ _ Du^ _ ^^ ^ где D — коэффициент диффузии, a v — скорость движения среды. Указание. Для получения уравнения A) нужно выделить элемент с постоянной площадью поперечного сечения, параллельный z > у X / х + Ах / X Рис. 32
Гл. III. Уравнения параболического типа 277 оси х (рис. 32), и рассмотреть количества вещества, проходящие через сечения х и х + Ах за счет диффузии и за счет переноса движущейся средой. 8. Для определения концентрации взвешенных частиц получаем уравнение о о2 о -«г = Ь> —— - г; —, где 1} — коэффициент диффузии, a v — скорость оседания частиц, причем ось z направлена вниз. Условие непроницаемости плоскос- плоскости z = zo имеет вид D — vu = 0 при z = Zo. ОZ Указание. См. указание к предыдущей задаче. Вместо потока диффундирующего вещества за счет движения среды нужно учесть поток вещества за счет оседания частиц. 9. а) щ = Duxx - plU, рг > 0; б) щ = Duxx + р2щ р2 > 0, где D — коэффициент диффузии, /3i — коэффициент распада, а /Зг — коэффициент размножения. Указание. В случае а) в единице объема в единицу времени разрушается количество диффундирующего вещества, равное ftw, a в случае б) возникает количество диффундирующего вещества, рав- равное P2U. 10. Если скорость подвижной плоскости сохраняет постоянное направление, то скорости частиц жидкости будут, очевидно, парал- параллельны этому направлению. Направляя ось по толщине слоя и поме- помещая начало координат на неподвижной плоскости, для определения скорости частиц жидкости получим краевую задачу vt = vuxx, 0 < х < /, 0 < t < +00, A) г;@,*) = 0, v(l, t)=vo(t), 0 < t < +00, B) v(x, 0) = 0, 0 < х < I, C) где / — толщина слоя, vo(t) — скорость движения граничной плоскос- плоскости, v = — — кинематический коэффициент вязкости, р — плотность Р массы, /л — динамический коэффициент вязкости, входящий в закон Ньютона для определения напряжения трения между слоями вязкой жидкости qv дх Указание. При выводе уравнения A) нужно пренебрегать гра- градиентом давления по сравнению с градиентом сил трения, что можно сделать, если жидкость обладает большой вязкостью. { ' ( dt ~ 47r<7/i дс,2' Ш_ _ с2 д2Н dt ~ Аттац аС2 '
278 Ответы, указания и решения Решение. Напишем систему уравнений Максвелла1) при усло- условии, что в рассматриваемой области отсутствуют объемные заряды и сторонние электродвижущие силы: 1 0D 4тг . /ттЧ -clH=T^ (п) div В = О, (III) divZ> = 0, (IV) 3 = (тЕ, (V) D = еЕ, (VI) В = fiH. (VII) Пренебрегая токами смещения —— в уравнении (II) (среда проводя- проводящая) и используя (V) и (VII), перепишем уравнения (I) и (II) в виде rotH = ^E. (II') С Возьмем rot от обеих частей равенства (Г), продифференцируем по t равенство (IV), исключим из полученных результатов Н, воспользу- воспользуемся соотношениями (IV) и (VI) и известным равенством векторного анализа 9Л rot rot a = grad div a - div grad a J; это приведет к уравнению дЕ с2 ,. , ^ /оЧ ^ = 7TT7dlvgrad^- C) Аналогично получается уравнение дН с2 ^ -.„.. ^v grad H. D) По условию Е = Е((, t), Н = Н"(С? ?)? где С — расстояние, отсчи- отсчитываемое от некоторой фиксированной плоскости. В прямоугольной декартовой системе координат (?, 77, () оператор Лапласа записыва- записывается в виде Я2 Я2 Я2 div grad = —г- + ^-^ + тто, а следовательно, div grad^ = -—-, div gradiJ = —-. Поэтому уравнения C) и D) преобразуются в A) и B). ^См. [7, с. 444]. 2) Это равенство справедливо для любого дважды непрерывно диффе- дифференцируемого вектора а.
Гл. III. Уравнения параболического типа 279 2. Неоднородные среды, сосредоточенные факторы; урав- уравнения с переменными коэффициентами и условия сопряжения. 12. Если ось х направить по стержню, поместив начало коор- координат в месте соединения стержней, то краевая задача об определе- определении температуры в составном стержне может быть записана в виде а) Ul@, i) = и2@, t), Xiulx@, i) = Л2и2ж@, t), 0<t< +oo; б) wi@, t) = w2@, t), Л2и2ж@, t) - Xiulx@, t) = = Coult@, t) = C0n2t@, t), 0 <t < +oo, ui(x, 0) = /(ж), —oo < ж < О, u2(x, 0) = /(ж), 0 < ж < +00. 13. Направляя ось х по оси цилиндров и помещая начало коорди- координат в месте соединения цилиндров, получим краевую задачу О, I 0 < t < +оо, ^1Ж(—/i, *) = 0, U2x(h,t) = 0, 0 < t < +oo; a) 6) - ) < t < +00, i) — U2^U, L)\, J u2(x, 0) = /(ж), 0 < x < /2. 14. Если в момент t = 0 печь находилась в точке х = 0 стержня, то краевая задача об определении температуры в стержне может быть записана в виде дт 2 д2т ^ ^ , t, t), Xa[ulx(vot, t)-u2x(vot, t)] = Q, 0 <t < +oo, ui(x, 0) = /(ж), -oo < x < 0, и2(ж, 0) = /(ж), 0 < ж < +00, где Q — количество тепла, выделяемое электропечью в единицу вре- времени, Л — коэффициент теплопроводности, а — площадь поперечного сечения стержня.
280 Ответы, указания и решения С помощью импульсной дельта-функции краевая задача может быть сформулирована более компактно: -^ = а2 —-^ + — 5(х - vot), -оо < х < +00, 0 < t < +оо, at ох2 ср -оо < х < +00. = а ^ at ох2 ср и(х, 0) = 15. Помещая начало координат на поверхности металла и обозна- обозначая через ?(?) глубину, на которую распространилось затвердевание к моменту t, получим краевую задачу 0 Mi @, t) = U\ — const, du2 _ x=?{t) 2 dt 0 -A 0 < t < ti, ^Г, 0 A) = 0, dx *)=¦ ^2ж(^, *) = 0, 0 < t < ti, Здесь за нуль температуры принята температура плавления (темпе- (температура затвердевания) металла. Ai и А2 — коэффициенты теплопро- теплопроводности твердого и жидкого металла, а\ и а\ — их коэффициенты температуропроводности; к — скрытая теплота плавления, р2 — плотность массы расплавленного металла, t\ — время, при котором Если температура меняется в очень широких пределах и нельзя пренебречь зависимостью коэффициентов теплопроводности, теплоем- костей и плотностей масс от температуры, то уравнения (I) должны быть заменены уравнениями at o ди2 д 16. Помещая начало координат в плоскости пластины, направляя ось х перпендикулярно к слою, а ось и вертикально вниз, для опреде- определения скорости частиц жидкости получаем краевую задачу Щ = vuxx, -h < х < О/ w@ - 0, t) = ЦО + 0, t) = г где и? — скорость движения пластины, 0<t < +00, ' ^ = ^ [„„(О + 0, t) - их@ -O,t)]+g, 0 < t < +00,
Гл. III. Уравнения параболического типа 281 ЦО) = О, и(х, 0) = О, -h < х < О, О < х < 12. Здесь 7 — масса единицы площади пластины, р — плотность массы жидкости. 17. Для определения температуры в стержне получаем краевую задачу , х х\2 ди 2д Г ] 2} а х\ ди 2д LJ dt д л AТ) я дх V L / ^ж с/9г0 cos 7 и(х, 0) = [/0, 0 < х < I, 2 А а — —. ср Здесь L — высота полного конуса, получающегося продолжением дан- данного стержня, 7 — половина угла раствора конуса, го — радиус большего основания усеченного конуса, / — его высота, Л, с, р — коэффициент теплопроводности, удельная теплоемкость и плотность массы материала конуса, а — коэффициент конвективного теплооб- теплообмена между поверхностью конуса и окружающей средой. 3. Подобие краевых задач. 18. Краевая задача о нагревании стержня с теплоизолированной боковой поверхностью — задача (I) «'@, t) = ip'(t) ф 0, «'(/', «') = 0, 0 < t' < +00, B) и'(х', 0) = 0, 0 < х' < I', C) аналогична краевой задаче 10 — задаче (II) о движении слоя вязкой жидкости ди" д2и' |2Я." u"@, t") = (p"(t") t 0, u"(l", t") = 0, 0 < t" < +oo, Bf) и"(х",0)=0, 0<х" <l". C') Для того чтобы задача (I) была подобна задаче (II) с коэффициента- коэффициентами подобия kXj ki, kUj необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения ,,.. 7 tt/.n\ ^ ^/ / л\ (pf(tf) = kuip"(t") при 0 < t" < +оо, D) где t' = ktt", и 2 ^,2 у Решение. Установление аналогии является очевидным. Дока- Докажем необходимость и достаточность условий D) и E). Необходимость. Пусть и'(х', t') = кии"(х", t") при х' = кхх", t' = ktt",
282 Ответы, указания и решения причем (V, t') пробегает D\ [0 < х' < /', 0 < f < +00], когда (х", t") пробегает ^ [() < ж„ < ^ Q < ^ < +qo]_ (g) Тогда должно выполняться равенство и1 @, t') = kuu"@, t") при О < t" < +00, т.е. в силу B) и B') должно выполняться равенст- равенство D). Дифференцируя равенство и'(х', t') = kuu"{x"', ^/;) по ж" и ?" и используя равенства ж; = kxx", t' = /c^", получим h dv/_ _h dv/^_ 2 pV _ ^V Так как и"(х", t") должно удовлетворять уравнению (I7), то, сле- следовательно, должно выполняться равенство 7 (ди" д2и"\ 7 ди1 12д2и' п т.е. для uf(xf, t') должно выполняться уравнение ди' к2х д2и' п i ц * .1 !^Г =гу-Г7т> 0<х'<1', 0<t'<+oo. dV kt дх12 Таким образом, и'(х, t') должно быть не только решением краевой задачи A), B), C), но и решением краевой задачи B") и'(х', i) = 0, 0 < х' < I'. C") Отсюда заключаем, что выполняется соотношение к2х 2 х а1 = v—. Действительно, вычитая A/;) из A), получим: п /" 2 к2\д2и 0 2 /" 2 к2х\д2и Если бы мы предположили, что ^—— = 0, то в силу уравнения A") ох ди (или A)) было бы -—у = 0, но это невозможно, так как и@, t') = (ff(tf), ОТ причем ip'(t') ^ 0. Следовательно, что и требовалось доказать. Достаточность. Перейдем к безразмерным величинам ?, г, С/ в краевых задачах (I) и (II) с помощью формул х'=П, t'=t'or, u' = х"=1%, t"=f0V, u"=
Гл. III. Уравнения параболического типа 283 где константы tf0 и ?q имеют размерность времени, а и'о и Uq имеют соответственно размерности и' и и", причем эти константы выбраны так, что ±> „I ъ0 и0 Напомним, что, кроме того, выполняется соотношение k 1' Краевые задачи (I) dU ; дт ~ 1 ЩО, т) = Щ?, Из D) следует, что и $1с и'о 0) 1 — 0) (П) = о, v% <p"(t = 0, примут вид S' ° о»т), 0 0 <^ < Г <^ < Г < f < < < < < 1, 0 + 00, 1, 0 + 00, 1. < < г г < < + 00, + 00, (I1) (II') Из E) следует, что = ±7<р"№т), 0<т<+оо. t'o t>ia =v> т. е. у задач (Г) и (II') тождественно совпадают уравнения, начальные и граничные условия; следовательно (в силу теоремы единственнос- единственности), совпадают и их решения. Таким образом, 1A ft) _ U y"(T" f") что и требовалось доказать. 19. Краевая задача об определении температуры в стержне, на боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю, дх'г ера ср :' <1', 0 < t' < +оо, A) ди' x'=V = 0, и'(х', 0) = 0, 0 < х' < I' B) C)
284 Ответы, указания и решения аналогична краевой задаче об определении концентрации диффунди- диффундирующего вещества, скорость распада которого пропорциональна кон- концентрации, °g?? (V) «"(О, *") = ?>"(*"), 0<*"<+<х), ^\х„=1,=0, B') и"(х", 0) = 0, 0 < х" < I". C') Для того чтобы первая задача была подобна второй с заданными ко- коэффициентами подобия kx, kt, ku, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения <p'(t') = kuip"{t") при 0 < t" < +оо, где i' = ktt", D) a2 = ftD, kx=l?, E) ^ = 1/?. F) cpa kt Указание. Доказательство необходимости и достаточности условий D), E), F) проводится аналогично тому, как это делалось для условий D) и E) в решении предыдущей задачи. 20. Задача (I) «Найти напряжение электрического тока в про- проводе конечной длины с пренебрежимо малой самоиндукцией, если к одному его концу приложена электродвижущая сила, меняющаяся по заданному закону, а другой конец заземлен через сосредоточенное со- сопротивление Ro$> аналогична сформулированной выше (см. условие задачи) задаче (II) об определении температуры в стержне, так как задача (I) может быть записана в виде1) «'(о, О = <p'(t), Щ + ^ «'] ^ =о, о < а < +оо, B) и'(х', 0) = 0, 0 < х' < I', C) а задача (II) — в виде «"(О, О = <p"(t"), Щ + 1«"] _ ( = 0, 0 < t" < +оо, B') и"(х", 0) = 0, 0 < х" < I". C') Для того чтобы задача (I) была подобна задаче (II) с коэффициента- коэффициентами подобия кх, kt, ku, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись х) По поводу обозначений см. задачу 2 гл. III и задачу 19 гл. II.
Гл. III. Уравнения параболического типа 285 соотношения ip'(t') = kuip"(t"), 0 < t" < +00, где t' = ktt", D) С kt cpa' W A = _L - G) Ro kx Л 21. Краевая задача о нагревании стержня 0 ^ х ^ V с теплоизо- теплоизолированной боковой поверхностью (задача I) A) w'@, *') = [/0, и'х,{1\ t') = 0, 0 < t' < +оо, B) uV, 0) = 0, 0 < х' < /', C) аналогична сформулированной в условии краевой задачи о распро- распространении плоского электромагнитного поля в проводящем слое О ^ х" ^ I" (задаче II) и"@, t") = Яо, <n{l", t") = 0, 0 < t" < +оо, B') u"(x",Q)=Q, 0<x" <l". C') Для того чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия kx, kt, ku, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения Uo = киН0, D) кх = у,- F) § 2. Метод разделения переменных 1. Однородные изотропные среды. Уравнения с постоян- постоянными коэффициентами. а) Задачи теплопроводности с постоянными граничными усло- условиями и свободными членами. 22. а) Решением краевой задачи щ = а2ихх, а2 = —, 0 < х < /, 0 < t < +оо, A) ср и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) и(ж, 0) = /(ж), 0 < х < +оо, C)
286 Ответы, указания и решения является и(х, t) = где 71=1 {222ч п тг а ,1 . птгж +оо, б) Если f(x) = Uo = const, то + ОО .ч 4t/0 v^ 1 Г Bk H ж, t) = > — ехр< — ' J тг ^ 2А; + 1 Fl В точке х = - имеем 1Jтг2а2 > sin 0<ж</, «^'*' = +оо. D) E) Так как ряд, стоящий в правой части последнего равенства, удов- удовлетворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах, то остаток ряда E) не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т.е. k=n+l 4 4С/о ехР {-'¦ 3Jтг2а2 P 2n + 3 F) Оценим, наконец, отношение суммы всех членов ряда E), начиная со второго, к первому члену этого ряда. В силу F) имеем Wo тг при t ^ t* = — I2 где е > 0 — произвольное, наперед заданное положительное число. Замечание. Для оценки погрешности, допускаемой при замене суммы ряда D) его частичной суммой в других точках х ф //2, мож- можно воспользоваться признаком Абеля. Однако оценка остатка ряда по признаку Абеля при приближении к концам интервала 0 ^ х ^ I становится негодной. Можно указать способ, дающий равномерную оценку остатка ряда на всем интервале 0 ^ х ^ /: \Rn(x,t)\ = 4f/o к=п+1 Bк + 1JтгУ Р t > sin I
Гл. III. Уравнения параболического типа 287 J[/o S 1 Г BА; + 1JttV ?1 где Ап = < — У 2JTI ехрг-—р—*}** = — У п Bп+ 1)палД I Интегрируя по частям, получаем + ОО _>2 +ОО НО +оо _ 2 +оо _А2 fe—dC<e~A" УV = W- Ап Ап Поэтому 23. Решением уравнения -^ = а2т—^, 0 < ж < /, 0 < t < оо, C) при начальном условии A) и граничных условиях B) (см. условие задачи) является и(х, t) = U! + (U2 - Ut)j + -У-{((/0- C/i)[l - (-1)"] + I TV Tl n=l П7ГХ , . ч in-p. D) Установившаяся температура в стержне равна п(х) = lim u(x, t) = Ux + (C72 - ^i)t Указание. Решение уравнения C) при начальном условии A) и граничных условиях B) можно искать в виде и(х, i) = v(x, t) +п(х), F) где функция п(х) определяется как стационарное решение уравне- уравнения C), удовлетворяющее граничным условиям B), т.е. откуда
288 Ответы, указания и решения т. е. п(х) есть предел, к которому стремится температура в стержне при t —у +оо. Функция г?(ж, i) будет удовлетворять уравнению C) и условиям v(x,0) = Uo-u(x), G) г;@, t) = v(l, t) = 0, (8) т.е. v(x, i) является решением первой краевой задачи с нулевыми граничными условиями. Такая задача была уже рассмотрена (см. за- задачу 22). 24. Решением краевой задачи о 7 / \ 9 А 7 OLT) щ = а ихх — Ыи — uo), а = —, h = —*-, ср ера , A) B) и(х,О) = f(x), 0<х<1, C) является и(х, t) = u0 + гу(ж) +v(x, t), 0<х<1, 0 < t < +oo, D) где (E/i — no) sh (/ — х) + (С/г — ^о) sh ж w(x) = 2 р 3—, 0<ж</, E) . lyh sh а + °° 2 2 2 г;(ж, t) = 2_^Апехр^-\^— \-hJtjsm——, п=1 О <х <1, 0 <t < +оо, F) An = у/ [/@ - w@ - щ] sin ^f о В частности, если [/i = [/2 = 0 и /(ж) = 0, то sh (Z — ж) + sh ж Цж) = -но ^ ^ й , 0<х<1, E') Wh sh а г?(ж, i) = —- . Bfc - 1)ттж sin- —*¦— /1Х ^-1J^2а2 + №] /с—1 Г ГBА;-1Jтг2а2 , ,1.1 ехр\~ [ г2 J J '
Гл. III. Уравнения параболического типа 289 25. Решением краевой задачи щ = а2ихх, 0<х<1, 0 < t < +00, A) ux(O,t)=ux(l,t) = O, 0 < t < +oo, B) 1.(T Г)\ _ /VT\ Г) / т / 7 /О\ UiyU/j KJ J J yds J , V7 ^ «/у ^ (/ , V. / является / ч do V~^ Г TV a n 1 TiTvx 0 < x < I, 0 <t < +00, D) где / 2 ? П7Г2; an = у J f{z) cos —dz, n = 0, 1, 2, 3,... E) 0 Чтобы получить температуру в случае теплообмена на боковой по- поверхности, нужно умножить правую часть D) на е~ы, где h имеет тот же смысл, что и в предыдущей задаче. 26. Решением краевой задачи щ = а2ихх - hu, 0 < х < /, 0 < t < +00, A) -Хаих(О, t) = gi, Xaux(l,t) = q2, 0 < ? < +оо, B) является где а \//г Q2 - Qi ch / /^ -ш(ж) = ^ Qi sh — х -\ — -=^— ch — ж, 0 < х < I, E) Vh a Vh Vh a sh / а а v(x, t) = ye ^ + 2^awexp|-^ /2 + ftjtj cos , n=l 0<ж</, 0<^< +00, G) (z)-w(z)]cos^dz, n = 0,1,2,3,... (8) 0 Указание. См. решение задачи 23. 27. Решением краевой задачи щ = а2ихх, 0<х<1, 0 < t < +00, A) гх(О, t) = С/о, \<rux(l,t) = q0, 0 < * < +оо, B) гб(ж, 0) = /(ж), 0<ж</, C) 19 Б.М. Будак и др.
290 Ответы, указания и решения является и(х, t) = где Uo + ОО п=0 {««-^ Bn , Bп + 1Jтг2а2 Л . Bп + 1)тга; , ., хехР "- 77i 4sm- ^Г^' D) 4/2 21 Bn dz, E) a cr — площадь поперечного сечения стержня. Если Qo = 0, /(ж) = 0, то тг ^—' 2А; + 1 + ОО ¦Е- В точке х = / имеем BA;iJ7r2a2 Bfc + 1)тгж ш 21 > 0 <х <1, 0 <t < +оо. F) к=0 1Jтг2а2 4/2 0 < t < +оо. G) По теореме Лейбница о знакопеременных рядах получаем оценку для остатка ряда G) \Rn(l, t)\ = 4U0 v^ (-1) Г Bfc + lr^a" Л — L 2feTIexpl ip 4 - (8) Оценим, наконец, отношение i?o(', t) к —2- expj -pr t >. В силу (8) при t ^ t* = — I2 2тг2а2 1пЗг. (9) Замечание. Нетрудно получить равномерную оценку для остатка Rn{x, t) ряда на отрезке 0 ^ х ^ I способом, указанным в замечании к ответу задачи 22 настоящего параграфа. 28. Решением краевой задачи щ = а2ихх, 0<х<1, 0 < t < +00, A) их@, t) = 0, ux(l,t) = ^-=Q, лет B) где Л — коэффициент теплопроводности, а — площадь поперечного сечения, и(х, 0) = 0, 0 < х < I, C)
Гл. III. Уравнения параболического типа 291 является u(X,t)=Q — A;2 cos ¦ В точке х = 0 имеем Л I 21 «(О, t) = к=1 По признаку Лейбница для остатка ряда получаем оценку L2 2 2 D) , 0 < t < +оо. E) \Rn@, t)\ = ^ 2QI (-l) k=n+l fe27r2a2 Л ——4 2QI ехр^- 0<t<+oo_ Указание. Чтобы получить D), можно свести краевую задачу ди(х t) A), B), C) к первой краевой задаче путем замены г?(ж, t) = — , решить краевую задачу для г?, а затем проинтегрировать г> по ж; при этом появится произвольная слагаемая функция времени. Вычисляя количество тепла в стержне двумя способами (см. указание к ответу задачи настоящей главы), можно определить эту функцию. Замечание. По поводу равномерной оценки остаткаRn(ж, t) на отрезке 0 ^ х ^ / см. замечание к ответу предыдущей задачи. 29. и[х, t) = п=1 A) где h — коэффициент теплообмена, входящий в граничное условие ux{h t) + h[u(l, t) — Uo] = 0, a \in — положительные корни трансцен- трансцендентного уравнения -^/i, B) B) образующие последовательность, монотонно стремящуюся к +оо. В точке х = 0 имеем ехр А;=1 Нетрудно проверить, что ряд C) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах; поэтому для остатка ряда C) получаем оценку 19*
292 Ответы, указания и решения \Rn(O, t)\ = Uo k=n+l llk[(hlJ + (hi) hi) + ui] exp\ p 4 2Uohl . D) В силу D) имеем \Ri(O,t)\ 2Uohl « при >t* = — ¦In (hiJ Замечание. Равномерная оценка остатка ряда Rn(x, t) на от- отрезке 0 ^ х ^ I может быть выполнена аналогично тому, как это было сделано в замечании на с. 286. Учитывая, что для корней \i\ < \i2 < ... < /лп < /in+i < • • • транс- трансцендентного уравнения B) будет иметь место неравенство получим к=п+1 Uphl +Г 7Г J 1/2 d/л < AUohl 1/2 ч2аН I 1/2 2 |Х/%-А« /in где
Гл. III. Уравнения параболического типа 293 30. а) Решением краевой задачи щ = а2ихх, 0 < х < /, 0 < t < +оо, A) ux(O,t)-H[u(O,t)-U1] = O, ux(l, t) + H[u(l, t)-U2] = 0, 0<t< +oo, B) u(x,O) = f(x), 0<ж</, C) является u(x,t)=w(x)+v(x,t), 0<х<1, 0 < t < +оо, D) о<ж</, E) и + ОО г;(ж, t) = У апе~а Xnt (cos Лпж + — sin Лпж) , 0<х <1, 0 <t < +оо, F) Лп = —, zn — положительные корни трансцендентного уравнения ) Собственные функциих) Хп(х) = cosAnx + — sinAnx, n = 1, 2, 3, ..., (8) ортогональны на отрезке 0 ^ х ^ /; квадрат нормы собственной функ- функции Хп(х) равен о о I (AS- ) О (C°S Л"^ + ? б) Если температура среды на обоих концах одинакова, а началь- начальная температура стержня равна нулю, то, принимая середину стержня за начало координат, мы получим, что температура в стержне явля- с) 11 ется четной функцией ж, т.е. при х — 0 будет —— = 0. Таким образом, ох можно рассматривать вместо всего стержня лишь его половину, при- причем для определения температуры получится краевая задача 29 (при 7 1\ этом / нужно заменить на —). г) Подробнее см. решение задачи 111 гл. II; рассматриваемые там собственные функции получаются умножением собственных функций (8) на — - поэтому, зная квадрат нормы собственных функций, рассмат- л/Ап + Ь? риваемых в задаче 111 гл. II, нетрудно получить квадрат нормы собствен- собственных функций (8).
294 Ответы, указания и решения 31. Решением краевой задачи щ = а2ихх - hu, 0 < х < /, 0 < t < +оо, A) их@, t) - Я КО, t) - Щ] = 0, ux(l, t) + H[u(l, t) - U2] = О, О < t < +оо, B) и(х,О) = f(x), 0<х<1, C) является и(х, i) = w(x) + v(x, i) 0 < x < I, 0 <t < +oo, D) где Ггг ^ tt [тг , Vh, Vh .VhX\ .Vh U2 U\ \ H sh / ch / ch x a \ a a a I \ a Ц1* a a a v{x, t) = y* ane-(a2x-+h)t (cos Лпж + ^- sin Лпж) , F) n=l TT Лп, Хп(ж) = cosAnx + — sinAnx и an определяются так же, как в Ап ответе предыдущей задачи. 32. Решением краевой задачи щ = а2ихх - h[u - uo], -7г<ж<тг, 0<^< +оо, A) и(х, 0) = /(ж), -тг < ж < тг, B) и(-тг,?) =и(тг,?), их(-тг, t) = их(тг, t), 0 < t < +00, C) является / ч _»,+ / ,ч /.ч и(х, t)=uo + e ntv(x,t), D) + ОО г;(ж, t) = V^(an cosnx + 6n sinnx)e~n a *, E) n=0 где х - a0 = — / [/(ж) - uo] da, F) — 7Г 7Г 7Г ^n = — / [/(ж) ~ ^o] cos пж ^ж, bn = — [f(x) — щ] sin пж dx. G) — 7Г —7Г Если начальная температура кольца f(x) = и\ = const, то Цж, t) = u0 + e~ht[ui - щ].
Гл. III. Уравнения параболического типа 295 б) Задачи теплопроводности с переменными граничными усло- условиями и свободными членами, зависящими от х и t. 33. Решением краевой задачи щ = а2ихх, 0 < х < /, 0 <t < +00, A) и@, t) = 0, u(l, t)=At, 0 < t < +оо, B) и(х, 0) = 0, 0 < х < Z, C) является и(х, t) = — xt + —— (ж2 - I2) + г;(ж, ?), 0 < х < /, 0 < ? < +оо, D) + °° 2 2 2 / ,ч \~^ f п тг а А . птгж /гЧ г?(ж, t) = 2_^ ап ехр< —— t > sin ——, E) n=l где . i А 0"п, = —: За2/ о z(z'-nsm — dz. F) 34. и(ж, t) = \ [<$>(T)exp\-^-(t-T)}dT\sm^ + U ) + СЮ 2 2 2 апехр<^ —t sin-—, 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) п=1 ГД6 2 f ап = - f(z) sin —— dz. B) о Указание. Частное решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям (см. условие задачи), можно искать в виде w(x, t) = ip(t) sin —-, C) где ip(t) — функция, подлежащая определению. 35. а) Решением краевой задачи ut = a2uxx + f(x,t), 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +оо, B) где /(ж, i) = — , является ср г2~ J Sm~rSm I f ^ I n=l ) I ( +O / J 2 t I ( +OO /y /"i?//- \ J 2 dJf{?)l 0 0 к п=1
296 Ответы, указания и решения б) Решением краевой задачи щ = а2ихх + —5(х - хо), 0 < х < Z, 0 <t < +оо, A) и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +00, B) и(х, 0) = 0, 0 < х < I, C) является ~ЬОО / 9 9 9 \ / ,ч 2QI V—v I/-, f П7ГЙ ,)\ . П7ГЖ . ПТГЖо /.ч и(х, t) = ^-j > — 1 - ехр<^ — t И sin —— sin —-—. D) сртг2а2 *-^ п2 \ V I2 ) J I I 36. Решением краевой задачи щ = а2ихх - hu-\ e~htS(x - vot), 0 < х <1, 0 <t < —, ера vo и@, t) =u(l, t) =0, 0 <t < —, vo и(х, 0) = 0, 0 < х < I, является , ,ч 2Л _/^ v-^v sm / / . rnrvot vqI rnrvot vol\ u(x, t) = e nt > зЧ"^" sin —; cos —; \ • coal *-^ _ n -к a V / птг / птг/ n=1 vo + /2 37. Нужно решить краевую задачу щ = а2ихх + /ОМ), 0<ж</, 0<^<+оо, A) иж@, t) - hu(O, t) = ^i(t), гбж(/, t) + ftu(/, *) = ^W, 0 < t < +oo, B) и(ж,О) = ф), 0<х<1. C) Если потребовать, чтобы функция ф(х, t) = (aix + /3i)^i(^) + (а2х-\-р2)ф2^), 0 < ж < /, 0<?< +оо, D) удовлетворяла граничным условиям B) краевой задачи A), B), C), то коэффициенты ai, /3i, «2, /З2 определяются однозначно: 1 /э 1 + Ы 1 ^ 1 /кч Л А E) Решение краевой задачи A), B), C) можно искать в виде и(х, t) = v(x, t) + ф(х, t), 0 < х < I, 0 < t < +00, F) где г?(ж, ?) — новая искомая функция, а г/>(ж, t) уже определена. Для функции г?(ж, ?) получаем краевую задачу vt=a2vxx + f*(x,t), 0<х<1, 0 < t < +00, G) г;ж(О,*)-/ш(О, *) = 0, г;ж(/, t) + hv(l, t) = 0, 0 < t < +00, (8) г;(ж,О) = у?*(а;), 0 < ж < /, (9)
Гл. III. Уравнения параболического типа 297 где Г(х, t) = f(x, t) - (alX + fcW{t) - (a2x + p2)il>'2(t), A0) <р*(х) = (f(x) — (a-\_x + /3i)^i@) — (ot2X + /32)^2@). A1) Решение краевой задачи G), (8), (9) будем искать в виде + ОО v(x, t) = ^2 vn(t)Xn(x), 0<x < Z, 0< ? < +оо, A2) 71=1 где Хп(ж) — собственные функции краевой задачи Х"(х) + Х2Х(х) = О, 0 < х < I, A3) Х;@) - hX(O) = О, Х'(/) + hX(l) = 01). A4) Функции же vn(i) подлежат определению. Функция г?(ж, t) уже удов- удовлетворяет граничным условиям (8). Если потребовать, чтобы v(x, t) удовлетворяла также уравнению G) и начальному условию (9), то отсюда определятся функции vn(i). Для этого разложим в ряд по собственным функциям Хп(х) правую часть уравнения G) и ip*(x): +00 /*(ж, t) = У^ ®n(t)Xn(x), 0 < х < /, 0<^< +00, A5) 71=1 где ЛЛ2 I 71=1 где лл2 I О Подставляя A2) и A5) в уравнение G) и предполагая равномерную сходимость получающихся производных рядов, получим + ОО 5^К(*) + a2A^n(t) - 0п(*)]Хп(ж) =0, 0<ж</, 0<^< +оо. п=1 A9) Для выполнения равенства A9) достаточно, чтобы выполнялись ра- равенства v'n(t)+a2\lvn(t) = Qn(t), 0<?<+oo, n = 1,2,3,... B0) Так мы получаем дифференциальные уравнения для определения функций vn(t). Полагая в A2) t = 0 и сравнивая с A7), мы в силу (9) получим + ОО 5>п@) - ап]Хп{х) =0, 0 < х < I. B1) 71=1 х) По поводу определения собственных значений Лп и нормы собствен- собственных функций Хп см. ответ к задаче 30.
298 Ответы, указания и решения Для выполнения равенства B1) достаточно выполнения равенств vn(Q)=an, n = 1,2,3,... B2) Решая дифференциальные уравнения B0) при начальных условиях B2), получим t „. (f\ — [р-о2^ (t-T)pk (_\Л_ _i_ n p-a2\^t /оо\ "п\Ь) — /с- wn^T jut -\- ctnc; . v *-v о Этим решение задачи заканчивается. 38. Решением краевой задачи A), B), C) (см. условие) является и(х, t) = v(x, t) + ф(х, t), 0 < х < I, 0 < t < +00, D) где ip(x, t) имеет то же значение, что и в ответе к предыдущей задаче, a t г г v(x, t) = fdrff*(z, t)G{x, z,t-r)dz+ f<p*(z)G(x, z, t) dz, E) 0 0 0 + oo Civ v f r\-\^ r-(a2\l+h)(t-r) Xn(x)Xn(z) ( , U{x,z,t T)~2^e \\Xn\\* ' W ||Xn||2 и Лп имеют те же значения, что и в ответе к задаче 30, /*(ж, t) = f(x, t) - Нф(х, t) - фь(х, t), G) ip*(x) = (f(x) - ф{х, 0). (8) 39. ч / ^ч А ( ek(x+l^ cos\k(x — I) + uot] + e~k^x+^ cos\k(x — 1) — ujt] a) u(x, t) ~ -< __________ + ut] ch2A;/-cos2A;/ k(l+i)x+iujt _ -k(l+i)x+iut J' -i)x — iujt —k(l — i)x — iujt Л e г + е г J ek(l-i)x-iujt _ p-k(l-i)x-i A + г) — в) u(x, t) « — Re екA-г)х-гиЛ _ е-кA-г)х-гиЛ >i -k(l-i)l J ' Указание. Решение краевой задачи в случае граничных ус- условий а) при произвольном начальном условии, т.е. решение задачи ut = a2uxxj 0 < х < I, 0 < t < +оо, A)
Гл. III. Уравнения параболического типа 299 u(O,t) = O, u(l, t) = A cos cut, 0<?<+оо, B) 0<х<1, C) можно искать в виде и(х, i) = v(x, t) + w(x, t), 0 < x < I, 0 < t < +oo, D) где v(x, t) — частное решение уравнения A), удовлетворяющее гра- граничным условиям B), а о;(ж, t) есть решение краевой задачи wt=a2wxx, 0<х<1, 0 < t < +оо, (Г) ЦО, t) = w(l, t) = 0, 0 < t < +oo, B') Цж, 0) = (f(x) -v(x, 0), 0<ж</. C;) Функция v(x, t) может быть найдена как действительная часть част- частного решения краевой задачи Ut = a2Uxx, E) [7@, t) = О, U(l, t) = Аеш, F) которое без затруднений может быть найдено в виде U(x, t) = Х(х)еш. G) Таким образом, v(x, t) = \ {Х(х)еш + X(x)e~iut} , (8) где черта над Х(х) является символом комплексного сопряжения. Согласно (8) v(x, t) не содержит членов, стремящихся к нулю или к бесконечности при t —> +00, и так как lim w(x, t) = 0, то v(x, t) представляет асимптотические значения температуры при t —У оо. В случае граничных условий б) или в) задача решается анало- аналогично. Г +оо ^ "| 40. и(х, t) = -У— e~ht - + VeVa° v ' J тгсра 2 ^ L п=1 В точке, диаметрально противоположной источнику1), + ОО тгсра 2 га=1 Ряд, стоящий в правой части последнего равенства, удовлетворяет условиям теоремы Лейбница о знакопеременных рядах; поэтому по- погрешность, допускаемая при замене его суммы частичной суммой, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов. в) Задачи диффузии. 41 C(t) - laU,, j 1 8 V * 4'2 ^ n=0 v ; J х) По поводу обозначений см. задачи 3 и 32.
300 Ответы, указания и решения Указание. 1 Q(t) = а и(х, i)dx, о где и(х, t) — концентрация диффундирующего вещества в цилиндре в момент времени t. Заметим, что Q(t) можно определить также с помощью потока диффундирующего вещества через открытый конец: }, т) , dr. о Эквивалентность этих двух выражений легко проверяется с помощью интегрирования обеих частей основного уравнения it t i t, r)dr = a2^ 0 0 0 0 с использованием граничных условий. Выражение для и (ж, t) может быть получено как частный случай решения задачи 27. 1 ' х н . * 12 cos Апж + — у n=l f( Л , Я . / А + 42. Q(t) = Uocr / I cos \пх + -^- sin \пх ) dx где Ап — корни трансцендентного уравнения ¦ е a H — коэффициент, входящий в граничное условие их = Н(и - Uo) при х = 0. Указание. См. указание к предыдущей задаче. Выражение для и(х, t) может быть получено из решения задачи 30. a Указание. См. указание к задаче 41. 44. а) /KP = у=; б) /кр = у кр в) при любой длине цилиндра процесс нарастания концентрации имеет лавинный характер; здесь [5 — коэффициент размножения, вхо- входящий в уравнение
Гл. III. Уравнения параболического типа 301 г) Задачи электродинамики. П=1 Bп-1Jтг2 А Bп-1)тгж n 7 n . ¦- 2— n cos —, 0 < ж </, 0<^< где ?^о — постоянная электродвижущая сила, приложенная к кон- концу ж = /,айиС — сопротивление и емкость единицы длины провода. 46. v(x, t) = Л2. >. Соап sin an A —- ) — Cl cos an A —- ) П=1 где ап — корни уравнения С1 atga = —, Со a Eq — постоянная электродвижущая сила, приложенная к концу х = = 0 провода. 47. v(x, t) = ?;0Д(/ - ж) ,9FR2 V^p^J^L Д sinan(/-a;) До + Д* "^^0Л Z^^^l ЯС Jan[R(R0 + Rl) + lR20al] cos anV n=l где R vi С — сопротивление и емкость единицы длины провода, а ап — положительные корни уравнения Rtgal + aRo = 0. 48. Решением краевой задачи 2 2 а2 = -^—, A) 4тгсг/х Я@, t) = Я(/, t) = H0, 0<t< +oo, B) я(ж, о) = о, о < ж < г, (з) является о о о B/с + 1J7т2а2 Д Р V • sm ¦ О < х < /, 0<^< +оо. D) В точке ж = - имеем 4Я0 v? (-l)k Г BJfe + 1Jтг2а2 7Г fe=0 E)
302 Ответы, указания и решения Остаток ряда E) можно оценить по признаку Лейбница: Е-Ц—— ехр< — -т 2/c + l Fl I2 тгBп ехр 0 < t < +oo. F) В силу F) имеем 4Я0 7Г при I2 8тг2а2 1пЗг. G) 2. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы. Уравнения с переменными коэффициентами и условия сопря- сопряжения. 49. Температура в стержне является решением краевой задачи с(х)р(х) ^ = А [а(яО ^] , 0 < х < I, 0 < t < +оо, A) u@, f) = u(/, t) = 0, 0 < t < +oo, где с, 0 < х < жо, с, xq < х < /, p, 0 < ж < xo, (А, 0 < ж < х0, Х(х) = < = I Л, жо < ж < /, B) C) D) с, с, р, р, Л, Л — константы, характеризующие свойства стержней, + ОО и(х, t) = +оо, п=1 где Хп(х) = sin sin - . шп sin -=- а sin -z?- а — а а A A- X -х) -х0) О < х < < Ж < ;а = /л ср U ср а;п — корни уравнения - ctg - ж0 = = ctg = (ж0 - I), а а а а E) F) G) (8)
Гл. III. Уравнения параболического типа 303 i / с(х)р(х)(р(х)Хп(х) dx -xo) ап = а а Указание. См. решение задачи 164 § 3 гл. П. + ОО 50. и(х, t) = ^2 ane~a2x2ntXn(x), 0 < х < I, 0 <t < +оо, A) п=1 а2 = —, где А — коэффициент теплопроводности, с — теплоемкость ср ир — плотность массы материала стержня; sinA^ 0<x<xo, ) \ п = 1, 2, 3, ..., B) -, х0 < х < хи sin An(/ — xo) ) Хп — собственные значения краевой задачи — являются корнями уравнения ^ пхо - ctg An(/ - xo) = — An, C) cp I cp / (p(x)Xn(x) dx + Co(f(xo)Xn(xo) cpxo cp(l — xo) Co ' 2sin2An?o 2 sin2 Xn(l — xo) 2 где u(x, 0) = <p(x) — начальные значения температуры. Указание. См. решение задачи 167 § 3 гл. П. tilt LL\Jb, Ь j - 2^апехр| n=l 0<ж</, 0<?< +оо, A) ап = у у (L - z)ip(z) sin ^p dz, n = 1, 2, 3, ..., B) о где через L обозначена длина полного конуса, усечением которого по- получается рассматриваемый стержень длины I. + оо ..22 52. и(х, t) = У^ апехр^ —(^-^— + — )a2t> sin V^L -1 2 Г ( \ 0>п = у / <P{z)t 71=1 0<ж</, 0<^< +00, где 2 / / т2 () sm —
304 Ответы, указания и решения 53. Для скорости частиц жидкости и(х, t) и скорости движения пластины v(t) получаем выражения +оо ехр;_4^1 sinAn^ 0 < х < I A) exPi—Ъ где / — половина расстояния между граничными пластинами, р — плотность жидкости, v — кинематический коэффициент вязкости, а — поверхностная плотность пластины, д — ускорение силы тяжес- тяжести, Лп — положительные корни уравнения Л , Л 2pl /оч Atg Л = -J— F) а (Л — собственные значения краевой задачи, умноженные на /). Указание. Для и(х, t) имеем краевую задачу ut = i/uxx, -1<х<0, 0<х<1, 0 < t < +оо, D) u(-l,t)=u(l,t)=O, u(O,t)=v(t), 0<t<+oo, E) u(x, 0) = 0, 0 < x < I. F) Для скорости движения пластины имеем dv 2pv {ди~\ /^_ч —- = g -\—с— —— , G) at a iox]x=o v@) = 0. (8) Так как распределение скоростей частиц жидкости симметрично от- относительно движущейся пластины, то достаточно определить и (ж, t) на интервале 0 < х < I. Функции Хп(х) = sinAn—j^- обобщенно ортогональны на отрезке 0 < х < I. (См. решение зада- задачи 167 § 3 гл. П.) § 3. Метод интегральных представлений и функции источников 1. Однородные изотропные среды. Применение интег- интегрального преобразования Фурье к задачам на прямой и полу- полупрямой. Определение интегрального преобразования Фурье и общая схема применения к решению краевых задач даны в гл. II (с. 255, 256).
Гл. III. Уравнения параболического типа 305 54. Решение. Умножим обе части уравнения ?, t) _ 2 d2u{j, t) 1 i dt д^2 и проинтегрируем по ? от — оо до +оо, предполагая, например, что функция и и ее производные достаточно быстро стремятся к нулю при ? —У =Ьоо. Применяя интегрирование по частям, мы получим _}_ Г ди e_i4 d?=d_J_ Г ' +О°-а2Х2 -L 7 ь /ОтГ I + = -а2Л2п(Л, t), V J Из равенства п(Л, t) = ¦ A) + ОО ?, i)e "iA« при t = 0 получаем п(А, 0) = + ОО / = +ОО j = /(А). B) Решение уравнения A) при начальном условии B) имеет вид Применение обратного преобразования Фурье дает + ОО +ОО +ОО и(х^ t) = L [ ^ [ Г л/2тт л/2тг + Г J + ОО +ОО cos так как D) Последний интеграл легко вычисляется дифференцированием по па- параметру. 20 Б.М. Будак и др.
306 Ответы, указания и решения t +0 55. и(х, t) = -L= fdr Г /(?, г) """ l ApL т) J dg. A) О — оо 56. Решение. Умножая обе части уравнения на и интегрируя по ^ от 0 до +оо, мы получим синус-образ Фурье функ- функции и(х, t), I— +00 « JlJ u(?, t) sin Л^ d?, A) О уравнение dg('^A*),t)=0, 0<t<+oo. B) Из A) найдем начальное условие п<'>(А, O) = /(S)(A). C) Решение уравнения B) при начальном условии C) имеет вид Применяя к нему обратное синус-преобразование Фурье, найдем в силу известного равенства D), приведенного в решении предыдущей задачи, u(x,t) = \ - о + оо +оо 1 j I 2 Г Г — 2\2+ — - /(?)^? / е sm\t;sm\xd\ = 7Г J J О О + оо +оо 1 С f 2\2f п J J о о = / /(?) ехр< — ^— \ — ехр< — ^— \ d^. 2а \Лк1 J L I 4a2? J I 4а2^ J J Указание. Применить косинус-преобразование Фурье. ^() Указание. Применить синус-преобразование Фурье; см. также решение следующей задачи.
Гл. III. Уравнения параболического типа 307 59. Применяя косинус-преобразование Фурье1) и используя гра- граничное условие их@, t) = </?(?), получим =a v 2 ди + а \/ -uXsinXt; I +00 2Л2 /2 /* /. .ч —а X \ — щ?? б) cos у к J о т.е. где dt / +оо /9 Г о Из B) находим , 0) = J- / w(^, A) B) C) Решение уравнения A) при начальном условии C) имеет вид г^(с)(Л, t) = -а2 \ - fe~a2x2^~T">(f(r)dT. Применяя обратное косинус-преобразование Фурье (в силу равенст- равенства D) из решения задачи 54), получим I +ОО и(х, t) = \ — / п(с)(А, t)cosXxdX = о t +OO J) T J e о t = о_ Г у?(г) 60. и(ж, t) = 1 ~ 2а л — . 9/. г f — ехр<^ — , г ^ 4a2(t — r)J L 4a2(t — r)J VS5 ^J /. о о х) При этом предполагается, что п и производные п по ^ стремятся достаточно быстро к нулю при ? —»¦ +оо. 20*
308 Ответы, указания и решения 61. u(x, t) = y/t - T 0 0 62. Указание. Установить сначала, что для косинус-образов Л2 + /г2 оригиналами являются 63. Указание. Установить сначала, что для косинус-образов /(С)(А) = е~аХ , ~д(с\\) = ——— оригиналами являются 64. а/г ah Г р(т) V?r^ y/t-т Г -h Ф - С) Указание. Воспользоваться результатами задач 62 и 63. ехр< — Ц— /ш > I 4a2^ J Указание. Воспользоваться результатами задач 62 и 63. 2. Однородные изотропные среды. Построение функций влияния сосредоточенных источников. а) Неограниченная прямая. 66. и(х, t) = — GO, f, t), -oo < ж, ^ < +oo, ера О < t < +оо, ж ^ С, где 1 ехр^- есть так называемая функция источника для уравнения щ = а2ихх в случае неограниченной прямой или «функция влияния мгновенного точечного источника тепла для неограниченного стержня с теплоизо- теплоизолированной боковой поверхностью».
Гл. III. Уравнения параболического типа 309 Указание. Можно предположить, что количество тепла Q, мгновенно выделившееся в точке ? в момент t = 0, мгновенно же равномерно распределяется по малому интервалу (? — ?, ? + S); тогда начальная температура стержня будет равна 0, -оо < х I и(х, 0) = fs(x) = ^ — , 26сра °> Решая задачу г^ = а2ихх, -оо < ж < +оо, 0 < ? < +оо, A) и(х, 0) = fs(x), -оо < ж <+00, B) с помощью формулы C) из решения задачи 54 и переходя в полученном решении к пределу при S —У 0, получим ответ. Для разыскания температуры в стержне можно воспользоваться также дельта-функцией1), решая либо задачу щ = а2ихх, —оо <ж + оо, 0 < t < +00, C) и(х, 0) = — 5(х-?), -оо < ж, ? <+оо, D) с помощью упомянутой формулы C) из задачи 54, либо задачу Q щ = а ихх + —=— 5(х — ?)S(i), —оо < ж, ? < +оо, 0 < t < +оо, E) ера и(х, 0) = 0, —оо < ж + оо, F) с помощью формулы A), приведенной в ответе к задаче 55. Для решения краевых задач C), D) и E), F) можно не прибегать к формулам C) и A), а воспользоваться интегральным представлени- представлением для дельта-функции (см. [7, с. 268-275]). Функции источника для уравнения щ = а2ихх на прямой — оо < < ж < +г может быть также получена на основании соображений по- подобия (см. [7, с. 268—275]) или с помощью предельного перехода в вы- выражении функции источника для отрезка 0 ^ ж ^ / при / —у +оо (см. [7, с. 268-275]). Примечание. Если мгновенное выделение тепла в точке ж = ? произошло не в момент времени t = 0, а в момент времени t = г, то и(х, t) = —?— G(x, ?, t—r), —оо < ж, ? < +00, ж/(, т < t < +оо, 2 ( (х ?J 1 G(x, ? t — т) = , ехр< — о/ ч >. х) См. ответы и указания к задачам 56 и 63 § 2 гл. II и к задаче 153 3 гл. П.
310 Ответы, указания и решения 67. и(х, t) = — G(x, f, t), -oo < ж, f < +оо, С/9СГ ж ^?, 0 < t < +оо, A) ГДе ~ht есть функция источника для уравнения щ = а2ихх — hu в случае не- неограниченной прямой. Примечание. Если мгновенное выделение количества тепла Q произошло не в момент времени t = 0, а в момент времени t = т, то , ?) = -^- G(x, ^, t—г), -оо С9(Т expi --i?_5i_ 1. - г) I 4a2(^-r)J где G(x, ?,t-r)= , ' Ц' J " ^ г) 68. Решение. Заменим в решении и(х, i) уравнения ж и t на ? и г; заменим, далее, в функции источника С(ж, ?, ?) = = — ехр< — 2 > ? на t — т, 0 < г < ?. Функции м(?, г) и С(ж, ?, t — т) удовлетворяют уравнениям UT = B U^ + /^, TJ, (_тг = —B Ст^, ПОЭТОМУ о Г Л2 Л2/^1 С /^ ч 2 \ S4 О У> О kjt \ ^ j, /_|Ч дт |_ ^?2 ^?2 J Интегрируя последнее равенство по ? от — оо до +оо и по г от О до t — а, 0 < а < t, получим (если предположить, что и и ее про- производные по ? ограничены при ? —у ±оо или стремятся к оо, но не слишком быстро): + ОО +ОО t — Oi +ОО I (Gu)T=t-a <%= J (Gu)T=0 d?+ J dr I Gf <%. B) — oo —oo 0 —oo Переходя к пределу в равенстве при а —У 0, получим г) + ОО t +ОО 1111* ¦/¦ 1 ^^ / (п( fi\ C-1 It i- / i cii- —I— / /Vt" / f I i- n~\ f~-l it /- / t l /V/- i ^ l — oo 0 —oo 69. Ответ дается формулой C) решения предыдущей задачи, где под G(x, ?, i) нужно понимать функцию источника, найденную в ре- решении задачи 67. Ч Переход к пределу в левой части равенства B) при а —у 0 выполня- выполняется аналогично тому, как это сделано в [7, с. 230-233].
Гл. III. Уравнения параболического типа 311 Указание. Задачу 69 можно решать либо непосредственно, ли- либо сведением к задаче 68 путем замены искомой функции и(х, t) = = e~htv(x, t). 70 t- (ж~^2 .у (г) - Q r~1/2 71. u(x, t) = — t^—^ / exp<^ -hr - —$- \ -=, cp 2a v?r J I 4a2r J yV u(x) = exp<^ --\x\ >. 2cpah I a ) Если поверхность стержня теплоизолирована, то lim u(x, i) = оо. t—^+сю " ф @)] •где ф(г) = есть так называемый интеграл ошибок, значения которого можно най- найти в [7], а также в табл. 1 приложений настоящей книги. А 2 2 Г ( Т 73. и(х, t) = - е~ах+а х Ч 1 - Ф т + , ^ I V 2а \/t 74 n(r t) — Т1пр~ы |ф ( х^~L ) — Ф Указание. Воспользоваться решением задачи 69, либо заменой искомой функции и(х, t) = e~htv(x, t) свести к задаче 72. (ж v0tJ ¦ (ж - ^о^ + 2асрл/к в частности, температура стержня под печкой равна cpvo Замечание. Выражение для и (ж, ?) получено при условии, что теплообмен на поверхности стержня, не соприкасающейся с печкой, пренебрежимо мал. б) Полупрямая. 76 G(x ? t-r) - г Lpf (ж~^J ] - 2a^/ir(t-T) I 4а2П-т)) Aa2{t-r). A) В случае, если на поверхности стержня происходит конвективный теп- теплообмен со средой, температура которой равна нулю, то выражение
312 Ответы, указания и решения для функции источника получается из A) умножением на где Н — коэффициент теплообмена, входящий в уравнение щ = = а2ихх — Ни. Указание. Выражение для температуры и(х, i) и для G(x, ?, t — т) можно получить, рассматривая неограниченный стержень — оо < ж < +оо и предполагая, что в момент времени t = г в точ- точке х = ? выделилось мгновенно Q единиц тепла, а в точке х = — ? выделилось мгновенно — Q единиц тепла, т.е., как иногда говорят, помещая в точку х = ? мгновенный положительный источник мощнос- мощности Q, а в точку х = — ? — мгновенный отрицательный источник мощ- мощности —Q1). 77. При наличии конвективного теплообмена на поверхности стержня функция источника получается из только что найденной умножени- умножением на е~н^~Т\ Указание. См. указание к предыдущей задаче; настоящая за- задача решается аналогично. О < Ж, ? < +00, Хф^ Т < t < +00, где /г есть коэффициент, входящий в граничное условие их@, t) -hu(O, t) = 0. При наличии конвективного теплообмена на поверхности стержня функция источника получается из только что найденной умножением на е~н^~т\ где Н — коэффициент теплообмена, входящий в уравне- уравнение щ = а2ихх — Ни. Указание. Использовать предложение, сформулированное в за- задаче 82. 79. и(х, t) = г) Функция источника для полупрямой определяется аналогично функ- функции источника для конечного отрезка; см. введение к решениям задач под- подпункта в) настоящего пункта.
Гл. III. Уравнения параболического типа 313 t (р(т) ехр< — > y/ZJ (*-т)з/2 Указание. Пусть и(?, т) есть решение уравнения ит = а2и^ + + /(?? rM a G(x, ^ t — т) — функция источника, найденная в решении задачи 76. Интегрируя равенство д (п \ пди , ^^ +u=a \GW -uw j + G/ ) по ( от 0 до +оо и по г от 0 до ? — а, где 0 < а < t, получим + ОО +ОО (Gu)T=t-adZ - J {Gu)T=odi = О t — a +оо +f\dGdu ди dG] ,Д , , ? -У [ ее её - её ef J * К +У Налагая надлежащие ограничения на порядок роста и и — при ^ —У +оо, получим +оо +оо t-a. , Л/г^\ *~а +°° У (Gu)T=4_a ^ = I (Gu)T=0 di-a2 I (иЩ) dr+ I dr JGfdZ. о о о ^C=o о о Переходя к пределу при а —> 0, получаем2) + ОО lim / (Gu)T=t-a d? = и(х, t). о + х) Это равенство получается так же, как равенство A) в решении за- задачи 68. 2) Переход к пределу выполняется аналогично тому, как это сделано в [7, с. 230-233].
314 Ответы, указания и решения + 4а2* а Г (р(т) Г х2 \ л/тг J Jt — т I Аа2и — т)) о Н Указание. Задача может быть решена аналогично предыдущей (см. указание к предыдущей задаче). • »<*¦«= Указание. См. указание к задаче 79. Задача 81 может быть решена аналогично. 82. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если F(x) есть функция нечетная, то функция равна нулю при х = 0; 2) если и(х, t) есть решение уравнения щ = а2ихх, то 7V также является решением этого уравнения. 83. Указание. Воспользоваться тем, что: 1) если F(x, t) есть функция нечетная по ж, то функция t +00 2 равна нулю при х — 0;
Гл. III. Уравнения параболического типа 315 то 2) если и(х, t) есть решение уравнения щ = а2ихх + /0, t), является решением уравнения к=0 N kf(x, t) у; J к=0 84. и(х, t) = Щ 2а Скорость движения фронта температуры aUo, a = const, 0 < а < 1, и* равна —- = ——, где к — корень уравнения Ф(г) = а. Графики изобра- dt л/t жены соответственно на рис. 33 и рис. 34. 85. и(х, t) = Uo I - Ф Л1 Т = где к — корень уравнения Ф(г) = 1 — а. Указание. С помощью подстановки и (ж, t) = v(x, t) + Uo задача сводится к предыдущей. _х±1 2а л 86. u(x Л/7Г J х-1 2а уД 87. и(х, t) = 2а A) Погрешность, допускаемая при пользовании формулой D) усло- условия, не превышает "I 'J R / Ч ^ 'J \ \ B) 1 • 3 • 5 ... Bп - 3) 1
316 Ответы, указания и решения Чтобы погрешность, допускаемая при пользовании формулой E) усло- условия, не превышала е > 0, достаточно, чтобы выполнялось неравенство Указание. Интегрируя последовательно по частям, можно по- получить равенство , D, причем, очевидно, +ОО / Замечание. Если частичную сумму, стоящую в фигурной скоб- скобке формулы D), заменить бесконечным рядом, то получится расхо- расходящийся ряд, называемый асимптотическим. Оценка E) показывает, что погрешность, которая допускается при отбрасывании в форму- формуле D) остаточного члена (_ )п ЬЗ...Bп-1) ~V°V^ стремится к нулю при каждом фиксированном п и z —> +оо. 88. и(х, t) = 2а2к2 х \\ 2a~Vt)\ 2а _ 89. 90. и(х, t) = (Uo - —— } 1-Ф т= + Vht а / [ \2алД
Гл. III. Уравнения параболического типа 317 где R, С, G — сопротивление, емкость и утечка единицы длины про- провода. 92. v(x, t) = Ah ( х ГпУЛ (х |)CO4 0 — hrt О О Первое слагаемое в правой части равенства A) представляет собой затухающую с ростом х температурную волну, периодическую по t. Второе же слагаемое бесконечно мало при t —> +00. и(х, t) = ЛехР(~-V 2"/С0Ча V 2"~ J* 93. Скорость распространения температурной волны с частотой и равна dx at = a Указание1) . Можно найти установившиеся температурные волны как действительную часть комплексного решения задачи стремящегося к нулю при х —> +оо. Это комплексное решение имеет U(x, t) = Х(х)еш. 94. v(x, t) = Е0е-ХлУКСи;/2 cos (ut - х ^RCuj/2 \ - + О 7Г J О + ОО где R и С — сопротивление и емкость единицы длины провода. Указание. См. указание к предыдущей задаче. х) Подробнее о решении задач без начальных условий см. [7, с. 241-245].
318 Ответы, указания и решения 95. о Указание. Задача сводится к интегральному уравнению Абеля ). где h — коэффициент теплообмена, входящий в граничное условие ux(Q,t)=h[u(Q,t)-<p(t)]. P~h*{t-T) где h* — коэффициент теплообмена, входящий в уравнение = а2ихх — h*u. 98. 1 d r P-h4t-r) tp{t) = —^ | Лх(т) ^ 2ад л/тг «w \/t — г где коэффициенты /г и /г* имеют тот же смысл, что и в задачах 96 и 97. 99. L^ 4o^L dr x ^о^ < Ж < +00, 0 < t < +00. Указание. Перейти к новым независимым переменным ? = — х — vot, t — t (это соответствует переходу к подвижной системе координат с началом в точке xq = v$t) и новой искомой функции по формуле и(х, t) = eai+Ctv{^ t). Указание. См. указание к предыдущей задаче. х) Об интегральном уравнении Абеля см. [2, том II, § 79], а также указание к задаче 114.
Гл. III. Уравнения параболического типа 319 101. и(х, t) = ' l 2a 4a J / 2а л/к v2 (t- гK/2 0 Зм. указание к задаче 99. 102. и(х, i) = О Указание. См. указание к задаче 99. (»-«o«) -r)J + о vo Г 2^ У г;о 2а. vo f ^7 4a4t-T) f (х — vot + ? + г)J 0 Указание. См. указание к задаче 99. в) Конечный отрезок. Функцией влияния мгновенного точечно- точечного источника тепла («функцией источника») для конечного отрез- отрезка 0 < х < /, соответствующей данным граничным условиям, назы- называется температура G(x, ?, t) в произвольной точке ж, 0 < х < /, в произвольный момент времени t > 0, вызванная выделением Q = ср1) единиц тепла в точке ?, 0<?</,?^ж этого отрезка в момент време- времени t = 0, если концы отрезка поддерживаются при соответствующих однородных граничных условиях. х) Здесь с — удельная теплоемкость, а р — линейная плотность массы.
320 Ответы, указания и решения Таким образом функция источника G(x, ?, t) должна быть: 1) решением уравнения теплопроводности; 2) удовлетворять соот- соответствующим однородным граничным условиям; 3) обращаться в нуль при t —^ 0 и ж / (; 4) удовлетворять предельному соотношению t>o?- или, что то же самое, lim / G(x, ?, t)cpdx = Q, to-a ?+А lim Г G(x, f, t) dx = 1 t—>o J t>o ^-\ при любом Л > 0 1). Функция источника 1 cxpf (Ж~^J] A) для уравнения щ = а2ихх B) на неограниченной прямой удовлетворяет требованиям 1), 3) и 4). Если к A) прибавить такое непрерывное решение д(х, ?, t) урав- уравнения B), обращающееся в нуль при t = 0, чтобы сумма удовлетворяла граничным условиям 2), то C) будет удовлетворять всем требованиям 1), 2), 3), 4), т.е. будет функцией источника для уравнения B) на конечном отрезке, соответствующей граничным условиям 2). Слагаемое д(х, ?, t) может быть построено для некоторых типов граничных условий методом отражений; этим методом решаются за- задачи 103-106. 103. Решение. Продолжим стержень 0 < х < I в обе стороны неограниченно и будем считать его поверхность всюду теплоизолиро- теплоизолированной. Пусть в точке ?, 0 < ? < /, в момент t = 0 выделилось Q = ср единиц тепла. Повышение температуры (*-О2 вызванное в неограниченном стержне — оо < х < +оо действием этого мгновенного источника, не равно нулю при х = 0 и х = /. Если же, кроме того, и в точках —?, =Ь? ± 2n/, n = 1, 2, 3, ... ), в момент t = = 0 подействовали мгновенные тепловые источники мощностью распределенные, как указано на рис. 35, то температура г) Предполагается, что 0<? — Л<? + Л</. 2) Точки —?, ±?, ±2п/, п = 1, 2, 3, ..., получаются из точки ? после- последовательными симметричными отражениями относительно х = 0 и ж = /.
Гл. III. Уравнения параболического типа 321 ехр вызванная в неограниченном стержне — оо < х < +оо действием всех этих источников, будет равна все время нулю как в точке х = О, так и в точке х — I. Действительно, каждому источнику мощностью +Q согласно рис. 35 соответствует симметричный относительно х = О -2/-f -21 -2/+^ -/ -^ 0 ^ 7 2/-^ 2/ Рис. 35 источник мощностью — Q, и обратно, каждому источнику мощ- мощностью —Q соответствует симметричный относительно х = 0 ис- источник мощностью +Q, так что их действия в точке х = 0 взаимно уничтожаются. То же самое можно сказать и о точке х = /. Представим G(x, ?, ?) в виде где Символом г= J^ ( ) обозначен ряд B) за вычетом члена A). 2aVnt n=-oc Члены ряда D) имеют производные всех порядков по х и t всюду при О ^ х ^ /, 0^?<+оо. Ряд D) сходится абсолютно и равномерно при О^ж^/, 0^?^?*, где t* — произвольное положительное число; так же ведут себя и ряды, получающиеся из D) почленным диффе- дифференцированием. При t —> 0, t > 0 каждый член ряда D) стремится к нулю. Таким образом, G(x, ?, t) удовлетворяет всем требованиям 1), 2), 3), 4) определения функции источника. Оценим погрешность, допускаемую при замене суммы ряда D) N его частичной суммой ^' при О^ж^/, 0^?^?*. Рассмотрим n=-N сначала ряд из членов с положительными п. Если раскрыть скоб- скобки, то он станет законопеременным рядом, удовлетворяющим усло- условиям теоремы Лейбница. Поэтому для остатка ряда получаем оценку {x-(,+2nlf 1 АаН 21 Б.М. Будак и др.
322 Ответы, указания и решения (JV-1J/2 при 0 < х < I, О < f < /. E) Аналогично для остатка ряда из членов с отрицательными п получа- получаем оценку - Таким образом, для остатка ряда D) имеет место оценка \RN(x, f, *)| ^ —5f= exp{-(iV~21J/2|, 0 < ж, С < I, 0 < t < +оо. (в) Нетрудно установить, что при будет выполняться неравенство1) (iV-lJ/ J/2\ n^^ 1—\ при Q ^ t ал/wt У аН ) aVnt* t a2t* (8) Следовательно, при N, удовлетворяющих неравенству G), будет удов- удовлетворяться неравенство (iV-1J/2' \Rn(x, f, t)\ ^ —-= expi -- a утг?* L при 0 ^ t ^ ?*, 0 ^ x, ? ^ /. (б7) Решая методом разделения переменных краевую задачу ut = a2uxxj 0 < х < I, 0 < t < +00, (9) х) Для этого в функции (f(t) = —г^ ехР*{ ^ г перейдем к (N-1I __ новому независимому переменному г = -=*—. Мы получим (ЛГ- где Так как .. ч 1 — ! то /0(г) монотонно убывает на отрезке —-= < т < +оо; следовательно, (p(t) л/2 2(iV - IJ/2 монотонно возрастает при 0 < t < — г-^ . Значит, при всех JV, удов- а2 летворяющих неравенству 2- 2 I2 ^ t* (т.е. неравенству G)), будет а выполняться неравенство (8).
Гл. III. Уравнения параболического типа 323 и@, t) = u(l, t) = 0, 0 < t < +00, и(х,0)=6(х), 0<х<1, получим для функции источника выражение + ОО A0) A1) п=1 . П7ГЖ . sin~rsin Хотя ряды A2) и D) формально преобразуются друг в друга1), однако их роль в представлении функции источника различна; если ряд D) сходится тем быстрее, чем меньше ?, то ряд A2), наоборот, сходится тем быстрее, чем больше t. Нетрудно получить оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда A2) его частичной суммой. Мы имеем \RN(x,?,t)\ = + ОО f ? n=7V+l Г п2тг2а2 ,1 . птгж . птг? expj —t> sm — sm—^ TV (Кж,?^/,0<*< +оо. A3) Выгоднее, однако, выполнять оценку не остатка ряда, представля- представляющего функцию влияния, а оценку остатка ряда, представляющего решение краевой задачи, полученное с помощью этой функции, так как интегрирование, вообще говоря, улучшает сходимость ряда2). 104. Методом отражений получаем 0<t + oc. A) Схема соответствующего расположения мгновенных источников теп- тепла мощностью Q = ср изображена на рис. 36. 0 0 0 0 0 0 -21-? -21 - -/ -^ 0 ? 2/-^ 21 2 Рис. 36 д. [7, с. 474-476]. 2) См. оценки, выполненные при решении задач 22, 27, 28, 29, 48 нас- настоящей главы. 21*
324 Ответы, указания и решения В силу соотношений G) и (8) решения предыдущей задачи для членов ряда A) имеем f I f (п-1J/2 eXP ' I- C) Таким образом, для остатка ряда A) имеет место оценка + ОО n=7V+l T —^= / exp-^ —r— dz=T 1-Ф —= , D) 0^х,?^1, O^t^t*, N>j^- + l. E) Методом разделения переменных для этой же функции источника получается выражение 2 2 2 7Г а , | iwia, /ь/ic, /^ч >—— COS—— . [Ъ) п=1 Для остатка ряда F) получается оценка О ^ ж, f ^ Z, 0<^< +оо. (8) 105. Методом отражений получаем Соответствующее распределение мгновенных точечных источников мощностью Q = ср и — Q изображено на рис. 37. е е е е ее х -21-? -21 -2/+^ -/ -\ 0 \ 1 2/-^ 21 2/+^> Рис. 37 Метод разделения переменных дает + Bп+1Jтг2а2 Л Bп + 1)тг^ Bп + 1)тгж oi ^ *)CQS 21 C°S 2/ ' Оценка погрешности, допускаемой при замене суммы ряда A) его час- частичной суммой, выполняется либо с помощью неравенств, аналогич-
Гл. III. Уравнения параболического типа 325 ных неравенствам D) и E) из решения предыдущей задачи (грубая оценка), либо аналогично тому, как это было сделано в решении зада- задачи 103 (более точная оценка). Для остатка ряда B) получаем оценку 106. а) Если N удовлетворяет неравенствам N> jy/t*]n[2eaVnF] + l, B) то для остатка ряда B) решения задачи 103 будет выполняться нера- неравенство \RN(x, f, *)| ^е при 0^.x,€^l, O^t^t*. C) б) Если N удовлетворяет неравенству (pF, D) то для остатка ряда A2) решения задачи 103 будет выполняться не- неравенство \RN(x, f, *)| ^е при 0^.x,€^l, t* ^t <+oo. E) Замечание. Неравенства A), B), D) позволяют при задан- заданном N найти такое t*, чтобы выполнялись соотношения C) и E). 107. а) Если N удовлетворяет неравенствам то для остатка ряда A) задачи 104 выполняется неравенство \RN(x, ^t)\^e при О^ж, f^Z, Q^t^t*. б) Если N удовлетворяет неравенству Ф f j^— I ^ l-enaVt*, то для остатка ряда F) задачи 104 выполняется неравенство \Rn(x, С, *)| ^ е при 0 ^ ж, ^ /, t* ^ t < +оо. 108. Представления для функций источника получаются из пред- представлений, найденных в решении задач 103, 104, 105, умножением на е~ы, где h — коэффициент теплообмена, входящий в уравнение щ = а иХх ~ hu.
326 Ответы, указания и решения 109. Решение. Заменим в решении и(х, t) уравнения lli /7 II —— 7" ( Hf* T ) ( ) ^"* Hf* ^^ I ( ) ^"* Т ^^ —— ОО ( I 1 х и t на ? и т; заменим, далее, в функции источника G(x, ?, ?) ? на *-т, 0 < г <t. Интегрируя равенство о (п \ п®и i ^^ 2 \г,д2и d2G] Пп1\ от дт дт \_ д^2 д^2 \ по ? от нуля до / и по г от нуля до t — а, 0 < а < t, получим i i J(Gu)T=t-a d? = J(Gu)T=o d? + о о t — OLr c — l C — l \ t~a I J 1 \ д^ ) ?=0 V д^ ) ?=0 I J J О 0 0 Переходя в равенстве B) к пределу при а —у О2), получим интеграль- интегральную формулу г) df. C) о о Эта интегральная формула имеет общее значение для функций источ- источника, удовлетворяющих различным условиям. Если теперь воспользо- воспользоваться начальными и граничными условиями для и и@,т)=<р(т), иA,т)=0, 0 < г <+оо, D) u(f, 0) = /(?), 0<?</, E) и граничными условиями для G(x, ?, ? — т) G(x, 0, t-r) =0, GO, /, t-r) =0, 0<ж</, 0<T<t, F) то из интегральной формулы F) получится следующее представление решения краевой задачи с помощью функции источника и(х, t) = [f(?)G(x, ?, t) d? + a2 /"y?(r) —^^ ^ g?t + f / о о t I x) Это равенство получается так же, как равенство A) решения зада- задачи 68. 2) Предельный переход в левой части равенства B) может быть выпол- выполнен с помощью рассуждений, аналогичных приведенным в [7, с. 230—233].
Гл. III. Уравнения параболического типа 327 Используя два различных представления для функции источника G(x, ?, t — т) (см. решение задачи 103), получим два различных пред- представления для решения нашей краевой задачи: а) и(х, t) = ^- x 2а л/irt О \п= — оо t -—т= ,Л Л/о > <(ж + 2п/)ехр^ -Vtt:— О п=-оо ч 2 б) ^(Ж, t) = J J 0 J \ 0 ln=l 2 +СЮ ( t 2тга 1/* n=l Ко л t I f+oo О p p I + jfdrfm,r)\Y: о о Kn=l ) Представление а), вообще говоря, выгоднее при малых ?, пред- представление б) — при больших t. 110. и(х, t) = ff(?)G(x, С, t)d? - a2 fip(r)G{x, 0, t - r)dr + о о t I /(?, t)G(x, e, t - t)<%, A) 0 0 где G(x, ^, t — т) — функция источника, полученная в решении зада- задачи 104. Если в равенство A) подставить два различных представления для функции источника, то получается два различных представления для решения нашей краевой задачи. 111. u(x, t) = U0 E 112. и(х, i) =
328 Ответы, указания и решения 3. Неоднородные среды и сосредоточенные факторы; уравнения с кусочно постоянными коэффициентами и усло- условия сопряжения. u(x,t) = Указание. Задачу можно решить с помощью следующего ис- искусственного приема. Нужно продолжить левый стержень неограниченно вправо так, чтобы получился неограниченный однородный стержень из того же материала, что и левый полуограниченный стержень. Затем нужно найти температуру полученного неограниченного стержня при усло- условии, что его начальная температура равна U\ при — оо < х < 0 и U^ при 0 < х < +00, где Ui — пока неопределенная константа. Аналогич- Аналогично нужно поступить с правым полуограниченным стержнем. Констан- Константы Ui и U^ находятся из граничных условий (условий сопряжения) в точке х — 0. ( ui(x. t). —оо < х < 0,1 114. и(х, t) = < } 0<t< +oo, {U2{X, ?), 0 < X < +00, J _— / n ) exp j _ _ i ^
Гл. III. Уравнения параболического типа 329 Указание. Функции Ui(x, t) и ^(ж, ?) должны быть соот- лопрово м сопряж , t) = fc2 ветственно решениями уравнении теплопроводности и U2t = &2^2жж и удовлетворять условиям сопряжения Полагая ip(t) = fciUia;@, ?) = k2U2x@, t) и решая задачу теплопроводности с заданным граничным условием второго рода для полуограниченного стержня — оо < х < 0 и для по- полуограниченного стержня 0 < х < +оо, мы выразим щ(х, t) и ^(ж, t) через начальные условия и через пока еще неизвестную функцию (f(i). Используя первое условие сопряжения щ@, t) = i/2@, i), мы полу- получим интегральное уравнение Абеля для определения функции (f(t): J Vt — г о Решением этого уравнения является1) Если Ф'(г) существует и непрерывна2) при 0 ^ z < +00, то, выпол- выполняя в правой части последнего равенства сначала интегрирование по частям, а затем дифференцирование, получим , Л 1 } Ф'(*) <р(т) = - / -L 7Г J Jt — Й _l Ф(+0) dz + J. . 7Гл/Г О Эта формула может быть применена, в частности, если Ф(г) = const. В этом случае Ф'\z) = 0 и (р(т) = . 7Г у/ Т 115. Решением краевой задачи ^=«?5^, -оо<х<0, 0<i<+oo, A) ^=a2^i, 0<ж<+оо, 0<i<+oo, (I1) ot ox2 ^^ B) lim Gi = 0, -00 < ж < 0, C) lim G2 = 0, 0 < x < +00, i/(;b точке ж = ? при t-}0 (?2 имеет x) См., например, [2, т. II, § 79]. 2) При надлежащих ограничениях на /i и /2 это будет выполнено.
330 Ответы, указания и решения особенность является > 2 5> ?> *) = x. "V ~n 7=r exP\ - V U2 / - --¦- _i_ - -¦" ^«/^ v /l ^ I 4B-2^ I ei °2 при - oo < x < 0, D) 1 . ..( (s-0Jl + a2 ai fl 4aj^ ^2_ A]_ 2a2 a2 ai при 0 < ж < +oo. D;) Решение. Перейдем к безразмерным величинам (см. решение задачи 18 настоящей главы), причем так, чтобы уравнение теплопро- теплопроводности для правого и левого стержней имело вид щ = о?и^. Мы имеем х = /'?, —оо < ? < О, Граничные условия B) принимают вид wi@,r)=Ti2@,r), E) Ai <9ni@, г) Л2 <9tt2@, r) ,пУ. ——- = ^—^—-. F) Q>\ Ос О>2 Ос Будем искать решение при — оо < ? < 0 как «преломленную» на гра- 1 Г f? — ? J1 нице раздела ? = 0 функцию —^^ ехр< — >, т.е. как функ- функцию, имеющую вид G) а решение при 0 < ? < +оо — как сумму —¦== ехр< — > и сла- 2 v71" ^ 4т J гаемого, представляющего собой результат «отражения» на границе раздела ? = 0 функции —г^ ехр< — >, т.е. в виде 2 у тгт I 4г J Подставляя G) и (8) в E) и F), найдем а\ и «2, что и приведет к ответу (если вернуться к прежним единицам измерения). 116. Решением краевой задачи щ = а2ихх, 0 < ж, t < +00, A) сощ@, t) = Л5иж(О, t), 0<^<+oo, B) и(х, 0) = /(ж), 0 < х < +оо, C) х) Речь идет о численном равенстве, а не о совпадении размерностей.
Гл. III. Уравнения параболического типа 331 является +оо где F(x\ = J /О) ПРИ - оо < ж < О, I/O) при 0 < х < +оо, о о 2 _ Л^ " а2С0' Л — коэффициент теплопроводности стержня, S — площадь попереч- поперечного сечения, а2 — коэффициент температуропроводности стержня. Указание. Воспользоваться утверждением, сформулированным в задаче 82. 117. Решением краевой задачи дп2 2Л2 0<i<+oo, A) ), t) = u2{?{t), t), ui(O, t) = Uu щ(+оо, t) = U2, B) где температура замерзания принята за нуль, х = ?(t) — координаты фронта промерзания 7Г-*2 7Г) =QP% 0<t<+oo, B') ox ox ) x=?(t) dt Q — скрытая теплота плавления, р — плотность массы жидкости, u2(x,0) = U2, 0 < х < +оо, C) является (l) D) и2(х, i) = А2 +В2Ф где и2 tt u Ui д E) корень трансцендентного уравнения 2 2 Г а \ 1 тт Г а \ Ф1 ~Т~2 г А;2с/2ехр^ -—-^ S L 4а^ J L 4а2 J _ _/^Л V71" ^ ^^ \2ai/
Глава IV УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям эллиптического типа, и постановка краевых задач 1. Краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона в однородной среде. 1. Уравнение для температуры стационарного теплового поля в однородной изотропной среде имеет вид Au = -f(x,y,z), A) F где / = —, F — плотность источников тепла, т. е. количество тепла, выделяющегося в единице объема в единицу времени, к — коэффи- коэффициент теплопроводности. Краевое условие первого рода означает, что на поверхности Е задана температура Д; условие вто- второго рода = /2, или -к-— =/2 (/2 = -j <9п Е — на Е задан тепловой поток величины /2; краевое условие третьего рода — + hu on , ди -г-/ -у \ т /l т /з или — А; -^— = Д(и — /з), Д = А;Д, /3 = =, Е — на Е происходит теплообмен по закону Ньютона со средой темпе- температуры /3. Необходимым условием существования стационарной температуры для второй краевой задачи является выполнение равенства = 0, т. е. суммарный поток тепла через поверхность Е должен быть ра- равен нулю. Неравномерное распределение температуры вызывает теп- тепловой поток, величина которого по закону Фурье равна Q = — к gradu. Проекция его на направление п, очевидно, равна Qn = —к tz-. on
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 333 Решение. При выводе уравнения A) следует написать условие теплового баланса для произвольного объема и затем воспользоваться формулой Остроградского. Уравнение теплового баланса для объема Т с границей Е, очевид- очевидно, имеет вид /(-*?)*-Л* <2> I] Т слева — суммарный поток через Е, справа — количество тепла, вы- выделяющегося в объеме Т. Формула Остроградского дает Г div(& grad и) dr = - [f dr, C) т т откуда в силу произвольности объема Т и постоянства к получаем уравнение A). 2. а) Уравнение диффузии в покоящейся среде есть Аи = 0, A) где и(х, у, z) — концентрация. б) Если среда движется со скоростью v = (г?ж, %, vz), причем diw = 0, то уравнение диффузии принимает вид ПЛ ди ди ди , ч I) /ли — vx Vy vz — = (J, B) где D — коэффициент диффузии, vx, vy, vz — проекции скорости v на координатные оси. Если vx = v, vy = vz = 0, то уравнение B) принимает вид Аи - — —- = 0, C) или (уравнение газовой атаки). Указание. Диффузионный поток вещества при неравномерном распределении концентрации равен Q = -Dgmdu. D) Кроме диффузионного потока надо учесть поток переноса (трансля- (трансляционный поток), равный uv, так что суммарный поток равен —D gr&du + uv. Для вывода уравнений A) и B) следует воспользоваться законом сохранения вещества для произвольного объема и затем применить формулу Остроградского (см. решение задачи 1).
334 Ответы, указания и решения Закон сохранения вещества для неподвижной поверхности Е за- запишется так: или (-Dj±+ vnu) da = О, / [div(Z}gradu) — div(vu)] dr = 0, т откуда ввиду произвольности объема Т, а также условия divv = 0 и следует уравнение B). 3. Уравнение для потенциала и электрического поля в пустоте имеет вид Аи = — 4тгр, где р — объемная плотность зарядов. Физический смысл краевых условий первого и второго рода: и|Е = - ^ ди ? = / — задан потенциал на поверхности L, —— = / — задана плот- дп е ность поверхностных зарядов. Решение. Уравнения, которым удовлетворяет поле стационар- стационарных распределенных зарядов, получаются из уравнений Максвелла, если все производные по времени положить равными нулю. Для элек- электростатического поля в непроводящей среде получаем rot Я = 0, A) div D = 4тгр, D = еЕ, B) где е — диэлектрическая постоянная среды, р = р(М) — объемная плотность зарядов в точке М. Из уравнения rot Е = 0 следует, что Е — потенциальный вектор, представимый в виде Е = — gradu, где и = и(М) — потенциал поля. Уравнение B) дает div(sgradu) = —4тгр. Если ? = const, то для и получаем уравнение в пустоте е = 1, и мы будем иметь Аи = -4тгр. Если имеются проводящие поверхности, то на них тангенциальная составляющая электрического поля должна быть равна нулю: где — означает дифференцирование по тангенциальному направле- US нию на поверхности. Отсюда следует, что на поверхности проводника потенциал постоянен: и = const; внутри проводника и = const и Е = 0.
Гл. IV. Уравнения эллиптического типа 335 Если проводник заземлен, то потенциал и = 0. Плотность поверхностных зарядов вычисляется по формуле — ^ D — ? ®и (Ч) где -т— означает дифференцирование по нормали к поверхности. За- дп давая распределение поверхностных зарядов на проводнике, мы полу- получаем условие ди _ * * _ 4тгсг ~дп е ' ~ё~' Однако такая постановка задачи является неестественной для элек- электростатики; обычно известен полный заряд е на поверхности. Поэтому ищется решение уравнения Аи = — 4тгр при краевом условии и Е = щ, где щ определяется из условия нормировки решения по заряду — е — da = 4тге, где е= pdr (см. задачу 7). 4. Вектор напряженности магнитного поля равен if = — потенциал tp удовлетворяет уравнению Лапласа Решение. Если магнитное поле не меняется во времени и токи отсутствуют, то оно должно определяться уравнениями rot if = 0, A) divB = 0. B) Из уравнения A) следует Н = -grad</?; подставляя это выражение в формулу B) и учитывая однородность и изотропность среды (/л = const), получаем уравнение Лапласа. 5. Поскольку вектор электрического поля Е потенциален, то Au = 0, а на заземленной идеально проводящей поверхности и на границе с диэлектриком ди =0, 0п, = °- Решение. Будем исходить из уравнений Максвелла в проводя- проводящей среде в стационарном случае , ТТ 4тг . ' rot if = — j, ( A) div E = 4тгр, ' div/iif = 0.
336 Ответы, указания и решения Применяя о