В. К. ЗАХАРОВ
Б. А. СЕВАСТЬЯНОВ
В.П. ЧИСТЯКОВ
гр
1еория
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В.КЗАХАРОВ
Б. А. СЕВАСТЬЯНОВ
В.П.ЧИСТЯКОВ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Допущено Министерством
высшего и среднего.специального образования СССР
в качестве уцвоНика&ля студентов инженерно*
технических специальностей вузов
МОСКВА «НАУКА»
, ... СМЙйЩЙШ..
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙЛИТЕРАТУРЫ
;	1983'
22.171
3-38
УДК 519,21
Захаров В: К., Севастьянов Б. А., Чистяков В. П.
Теория вероятностей.— М.: Наука, Главная редакция физико-ма-
тематической литературы, 1983. — 160 с.
Учебник соответствует минимальному, варианту программы
по теории' вероятностей, допускаемому общей программой по
высшей математике для инженерно-технических специальностей
технических вузов.
Книга .содержит материал по следующим темам: математиче-
ские модели, .случайных, явлений; независимость событий; после-
довательности ждытаний;. случайные величины;, числовые харак-
теристики случайных величин; закон больших чисел, предельные
теоремы; обработка результатов измерений; статистическая про-
верка гипотез.	|
' В книге имеются задачи в количестве, достаточном Для про-
ведения упражнений, предусмотренных программой; приведены
ответы.	»
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
~ 1702060000^088-.
4	053(02)-83 7
© Издательство «Маука»»'
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1983
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	В
§ 1.	Математические модели случайных явлений ..... 7
1.1.	Математические модели ...........................7
1.2.	Случайные явления ...............................8
1.3.	Пространство элементарных событий..............  9
1.4.	Алгебра событий	И
1.5.	Вероятность .......................	♦ ... . 14
1.6.	Конечное вероятностное пространство.............15
1.7.	Счетное вероятностное пространство..............23
1.8.	Непрерывное 'вероятностное пространство .... 24,
Задачи.............................................  30
§ 2.	Условные вероятности. Независимость событий .- . . 31
2.1.	Условные вероятности ♦ .........................31
2.2.	Формула полной вероятности. Формула БМиеса . . 34
2.3.	Независимость событий ......................... 36
2.4.	Применение формулы полной >вероятности . ... 38
Задачи . .......................  .	..............40
§ 3.	Последовательность испытаний ....................41
3.1.	Определение последовательности независимых ис- ’
пытаний .........................................41
'	3.2. Общее определение последовательности испытаний 47
Задачи  .........................................49
§4. Предельные теоремы в схеме Бернулли ...... 49
4.1.	Теорема Пуассона ........................- . 49
4.2.	Теоремы Муавра — Лапласа....................5V
Зада	чи ......................................  58
5.	Случайные величины .............................58
5.1.	Случайные величины в конечной схеме . . ... 58
* 5.2. Случайные величины в счетной схеме ...... 64
5.3.	Случайные величины в общей схеме. Функция рас-
пределения ....................................  65
5.4.	Функции от случайных величин................72
Задачи • • * ....... ............................74
4	> л .	СОДЕРЖАНИЕ
§ 6.	Совместные распределения случайных величин .... 75
6.1.	Многомерные законы распределения ...... 75
6.2.	Независимость случайных величин...............79
6.3.	Свертка распределений.........................81
Задачи.............................................85
§ 7.	Математическое ожидание ...........................85
7.1.	Математическое ожидание в конечной схеме ... 85
7.2.	Математическое ожидание в счетной схеме .... 93
7.3.	Математическое ожидание в общем случае ... 94
7.4.	Неравенство Чебышева..........................98
Задачи...........................................1,99
§ 8.	Дисперсия. Моменты ...............................100
8.1.	Определение дисперсии........................100
8.2.	Свойства дисперсии........................  .	ЮЗ
8.3.	Моменты высшего порядка......................106
Задачи ...........................................198
§ 9.	Ковариация. Коэффициент корреляции . .	. . . .109
Задачи ......................  .	. . *...........Н5
§ 10.	Закон больших чисел..............................115
10.1.	Неравенство Чебышева........................115
10.2.	Закон больших чисел.........................117
Задачи............................................120
§ 11.	Центральная предельная теорема ..................120
Задачи............................................126
§ 12.	Обработка результатов	измерений . ...............126
12.1.	Выборка.....................................126
12.2.	Оценка .....................................127
12.3.	Интервальные	оценки.........................133
12.4.	Метод наибольшего правдоподобия для нахожде-
ния оценок параметров. Метод моментов . . . . 136
§ 13.	Метод наименьших квадратов.......................138
§ 14.	Статистическая проверка гипотез..................144
14.1.	Критерий %2 .	............................1^4
14.2.	Выбор из двух гипотез'. . . . . . -. .z . . . 148
Таблицы ...............................................	152
Приложение ... . ..................................... 156
Ответы к задачам.......................................157
Литература	. .........................159
ПРЕДИСЛОВИЕ
Действующая в настоящее время программа по
теории вероятностей для технических вузов допускает
довольно большие колебания объема включаемого
в начальный полугодовой курс материала. • Предла-
гаемый учебник соответствует минимальному вари-
анту программы. В связи с этим в учебник не включе-
ны разделы «Цепи Маркова», «Характеристические
функции», «Элементы теории случайных процес-
сов». Центральная предельная теорема приводится
без доказательства; определение цепи Маркова
дается лишь как частный случай общей последова-
тельности зависимых испытаний.
Особое внимание авторов было обращено на
четкость формулировок основных вероятностных
моделей, обсуждение условий их применения,
а также на методы вычисления вероятностей и ма-
тематических ожиданий. Изложение этих вопросов
проведено достаточно подробно с рассмотрением
примеров.
Нередко при кратком изложении теории вероят-
ностей понятие случайной величины фактически не
используется, а рассматриваются лишь задачи, в ко- .
торых можно обойтись только законом распределе-
ния. Это в значительной мере обедняет курс и сводит
теорию вероятностей к разрозненным задачам мате-
матического анализа. В предлагаемом курсе дается
математическое определение случайной величины
сначала для более простых математических моделей,
а затем — общее определение. Много внимания уде-
ляется случайным величинам, представимым в виде
функции от более простых величин,, в частности,
в виде сумм индикаторов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
6
Используя текст, набранный петитом, а также
учебники ‘ [2], [4], [7] — [10], [12], [14], нетрудно,
в случае необходимости, расширить предлагаемый
данным учебником материал.
Изучение курса теории вероятностей обязательно
должно сопровождаться решением задач. В конце па-
раграфов приводятся задачи для самостоятельного
решения; в конце учебника приведены ответы. Общее
количество задач рассчитано на 7—8 занятий по те-
мам, предусмотренным программой. Приведенные
задачи можно дополнить, если воспользоваться за-
дачниками [3], [И].
Изложенный в учебнике материал достаточен
[(в случавшего усвоения) для решения многих задач,
часто встречающихся в практике. Эффективность изу- .
чения теории вероятностей может быть значительно
повышена регулярным и квалифицированным исполь-
зованием теории вероятностей в специальных курсах,
читаемых профилирующими кафедрами, а также сов-
местной научной работой студентов и преподавателей
математических и профилирующих кафедр. —
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ
1.1. Математические модели. Широко известна ис«
ключительно большая роль, которую играет матёма<
тика при изучении закономерностей реального мира.
Схема на рис. 1 показывает- место математики при
Рис. 1.
исследовании реальных явлений. Очень важно при
этом ^подчеркнуть, что математика имеет дело не
с. самими: реальными явлениями, а лишь с их мате*
магическими ^моделями. Связь математики с явлеч
ниями ^окружающего нас мира осуществляется в двух
8
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ'ЯВЛЕНИИ -J
направлениях. Сначала, абстрагируясь от многих вто-
ростепенных фактов, мы строим математическую мо-
дель, отражающую основные закономерности изучае-
мого явления. В этой модели используются матема-
тические понятия, формулируются аксиомы,-которым
удовлетворяют эти понятия. Далее, в рамках по-
строенной математической модели из аксиом выво-
дится ряд следствий, сформулированных в виде тео-
рем и лемм. И, наконец, полученные в модели новые
математические факты интерпретируются в первона-
чальных понятиях реальных явлений. Это позволяет
проверить пригодность математической модели и ис-
пользовать в практике математические расчеты, про-
изведенные в модели. Практические выводы будут
достаточно надежными, если построенная модель от-
ражает существенные стороны изучаемого явления.
Примером хорошо и успешно работающей математи-
ческой модели является механика, построенная на
системе аксиом Ньютона.
1.2. Случайные явления. Приведенный выше при-
мер модели относится к закономерным явлениям, т. е.
к таким явлениям, исход которых однозначно опре?
деляется некоторыми условиями. Но мы знаем, что
для широкого круга явлений наблюдается неодно-
значность исхода при повторении опыта с сохране-
нием основных условий его проведения. К неодно-
значности исхода приводит влияние большого числа
причин, каждая из которых не может заметно изме-
нить результат опыта. События, связанные с такими
явлениями, называют случайными. Случайными со-
бытиями являются, например, выпадение «герба» при
подбрасываний монеты, результаты измерений, дли-
тельность телефонного разговора и т. д. Мы будем
изучать массовые случайные события, т. е. события,
возникающие в результате осуществления условий,
которые можно (хотя бы в принципе) воспроизводить
много раз.
Из повседневного опыта известно, что одни слу-
чайные события наступают довольно часто, другие
менее часто - или совсем редко. Эти характеристики
событий слишком неопределенны, Более объективной
1
 Г.&'ПРОСТРАНСТЙО'ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫГИй —' ' '	’1g “
экспериментальной характеристикой случайного со-
бытия (обозначим его, например, А) является час»
тота fin (А), равная отношению числа опытов па, в ко-
торых событие А наступило, к общему числу опытов
п, т. е. hn{A) = па/п. Экспериментально установлено,
что для многих событий частота при увеличении п
 становится почти постоянной. Это свойство называют
статистической устойчивостью частот случайного собы-
тия. Массовые случайные события, как правило, об-1
ладают свойством устойчивости частот. Таким обра-
зом, с каждым событием А можно' связать некоторое
число Р(А), с которым сближается частота, и счи-
' тать это число вероятностью события А. Такое опи-
сание вероятности довольно неопределенно. Чтобы
придать этому описанию точный смысл, мы должны
построить математическую модель случайного явле-
ния. Для этого прежде всего надо дать математиче- 4
ское описание опыта, для исходов которого мы же-
' лаем находить вероятности.
Разделом математики, в котором изучаются мате-
матические модели случайных явлений, является тео-
рия вероятностей.
1.3. Пространство элементарных событий. Начнем
с рассмотрения простых примеров.
Пример 1. Подбрасывание игральной кости один
раз. В результате этого опыта могут’ наступать раз»
личные события: «выпало 2 о^ка», «выпало 6 очков»,
«число выпавших очков четно» и т. д. Мы будем раз-
личать элементарные (неразложимые) события и со-
ставные события (или просто события). Например,
сказать, что число выпавших очков четно, все равно,
что сказать, что опыт привел к выпадению двух, че-
тырех или шести очков. Обозначим ©* событие, со-,
стоящее в выпадении k очков. Элементарными собы-
тиями-в данном опыте являются события ®ь ©2, ®з,
©4, ©5, ©в- Составные события, или просто события,
могут быть описаны как подмножества множества
элементарных событий: Q= {©i,©2, ©з, ©4, ©з, ©в). Так,
. событие А = {выпало четное число очков) через эле-
• ментарные. события выражается следующим образом:,
А = {©2, ©4, ©б).
40	§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫЙДЙЙЕНЙЙ
Пример 2. Трехкратное подбрасывание монеты.
•При каждом подбрасывании монеты будем записы-
вать результат опыта, обозначая выпадение герба,
символом «1» и решетки — символом «0». Так, запись
-010 будет обозначать результат опыта, в котором при
первом и третьем подбрасываниях выпала решетка,
а при втором — герб. Множество элементарных со-
бытий Q состоит из 8 элементарных событий:
Й = {000, 001, 010, 011,-100, 101, 110, 111}.	(1)
Для обозначения элементарных событий можно
использовать любые удобные символы. Например,
-вместо 000,001, .... 111, можно использбвать числа
6,1,	., 7, двоичная запись которых соответствует
(1); или более_формально обозначить элементарные
-события: <oi,g12, сое. Событие А = {при первом
-подбрасывании выпал герб} является в данном опыте
.составным: А = {100, 101-11'0, 111}. Любое подмноже-
ство множества Q можно интерпретировать как неко-
торое событие реального опыта. Например, событие
-£={110,101,011} состоит в том-, что выпало ровно
два герба.
Пример 3. Стрельба по плоской мишени. Пусть
по плоской мишени производится один выстрел. Эле-
ментарными событиями в этом опыте являются точки
мишени. Введем в плоскости мишени прямоугольную
систему координат uOv. Тогда множество элементар-
ных событий со = (и, и) можно записать в виде
Q =& {©} = {(«, о): —оо < и < + оо, — оо < о < + оо}.
Событие А = {попадание произошло в круг единич-
ного радиуса} является подмножеством £2:
А = {(«, о): и2 + v2 1}.
Во всех рассмотренных примерах мы ввели эле-
ментарные события, представляющие собой мысли-
мые исходы опыта или наблюдения. Все события,
связанные с данным опытом, могут быть описаны
с помощью элементарных событий и. Совокупность
:всех элементарных событий Q будем называть про*
странством элементарных событий,.
М.-АЛ-ГВБРЛСОБЫТИИ '’’~:"-'- -'’'—-"'"‘’-"'г";' ! ?	Ц
Таким образом; в общем случае
пространством элементарных событий будем на-
зывать произвольное, множества й = {©}, а эле-
менты © этого множества, будем называть эле-
ментарными событиями-.
Ввиду большого разнообразия случайных явлений,
нельзя дать более конкретное общее определение
пространства элементарных событий. Для описания
каждого реального опыта множество Й выбирается
наиболее подходящим образом.
1.4. Алгебра событий. В приведенных выше приме»
рах в качестве составных событий, или просто собы-
тий, мы рассматривали подмножества множества й.
Если й конечно или счетно,
□ = {©!, ©2, . .	©д,} ИЛИ Q = {«>,, ©2,	0П,
то случайным событием, или просто событием, назо-
вем любое подмножество множества й. В случае про-,
извольногой событиями будем называть, только под--
множества из некоторого класса st подмножеств.»
Й, который будет, определен после введения операций»,
над событиями, совпадающими с операциями над
множествами.-
Суммой А + В (или А U В) двух событий А и В
назовем, событие, состоящее из всех элементарных:
событий, принадлежащих по крайней мере одному из,-
событий А или В. Можно сказать, что в реальном--
опыте событие, соответствующее А-{-В, состоит в том,
что произошло по крайней мере, одно из событий А.
или В.
Пусть в примере 3 событиями А и В являются по-
падания соответственно в большой и малый круг
(рис. 2). Тогда событием Ajf-B является заштрихо-
ванная область на рис. 2, а.
Произведением АВ (или А П В) называется- собы-
тие, состоящее из элементарных событий, принадле-
жащих, и. А и. В. Событие АВ происходит тогда. -
и только тогда, когда происходит и А’ и В (рис. 2,6).
Разностью А\В называется?, событие, состоящее из?
элементов множества А, не принадлежащих . В-
|2	§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ’ СЛУЧАЙНЫ» ЯВЛЕНИИ1 '=•х-
(рис. 2,в). Событие Л\В состоит в том, что А про-
изошло, а В не произошло.
Событие Q назовем достоверным; пустое множе-
ство 0 назовем невозможным событием.. Событие
А = Й\Л называется противоположным событию А
(рис. 2, г). Событие А означает, что А не произошло.
Рис. 2.
. События Л и В несовместны, если АВ = 0. Тот
факт, что А является подмножеством В, будем запи-
сывать так: Лег В (или В о Л). Это значит, что из
наступления события Л следует наступление В.
В примере 3, если AczB, то попадание в область Л,
содержащуюся в В, означает также попадание в В.
В случае Л с В мы. будем говорить, что событие Л
влечет за собой событие В или что событие В следует
из события Л. Если АаВ и В с Л, то мы будем
говорить, что события Л и В равносильны или экви-
валентны и писать Л = В. Принадлежность элемента
множеству обозйачается символом е. Например,
(oeS.
Понятия произведения и суммы событий перено-
сятся на бесконечные последовательности событий.
Событие
Л1 + Лг + ... + Лп + ... =» U Ап
П—1
состоит из элементарных событий, принадлежащих
хотя бы одному из событий Ап, п— 1, 2,	. Собы-
со
тие П ^n== AtA2 ... Л„ ... состоит из элементарных
П-1
событий, принадлежащих каждому- событию Лд, п =з,
.=»!, 2,...	.	.	. * . <
1.4. АЛГЕБРА СОБЫТИИ ;	-
Для произвольных событий непосредственно из
определения легко проверить, что
АА = А, А + А = А, АА = 0.
Часто оказываются полезными следующие равенства: .
А + В = АВ, (А + В)С = АС + ВС.
Докажем, например, второе. Нужно убедиться,
что множества, стоящие в обеих частях равенства,
состоят из одних и тех же элементов. Пусть произ-
вольное сое(Л + В)С. Тогда оеД + В и Мз
шеЛ+В следует, что © принадлежит хотя бы од-
ному слагаемому. Пусть, например, w еЛ. Из w е А
и we С следует по определению произведения собы-
тий, что оеАС,.и, следовательно, (й^АС-^ВС. Та-
ким образом, любой элемент множества (Л 4- В) С
является элементом множества АСВС, ,т. е. (Л-f-
4- B)Ccz AC-j- ВС. Предположив, что со еЛС-J-ВС,
мы, используя рассуждения, аналогичные приведен-
ным выше, покажем, что любой элемент ЛС + ВС
является элементом (Л + В) С. Отсюда следует до-
казываемое равенство, так как множества его левой
и правой частей состоят из одних и тех же элементов.
До проведения доказательства равенств полезно, счи-
тая А, В, С множествами на плоскости, сделать ри-
сунки множеств, стоящих в левой и правой частях
.доказываемых равенств.
Дадим теперь определение некоторых классов '
подмножеств Й. Уже было отмечено, что вероятность
будет рассматриваться как функция от события. Для
любых подмножеств й вероятность не всегда удается
определить. В тех случаях, когда класс подмножеств
приходится ограничивать, будем предполагать, что
в результате любых введенных выше Операций вновь
получится множество из данного класса. 
Пусть й— произвольное пространство элементар-
ных событий, а — некоторый класс подмножеств й.
Класс подмножеств называется алгеброй со-
бытий если Йе^ и если АВе^, А^В^зб,
А\В е при любых А е i/, В s i/,	* *	. _ -
14	§ I. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ'СЛУ-ЧАИНЫХ.(ЯВЛЕНИИ
1„5. Вероятность. Перейдем к определению веро-
ятности. Отметим сразу, что не • существует общего
определения вероятности, позволяющего сразу нахо-
дить ее числовые значения. В качестве общего опре-
деления формулируется ряд аксиом, которым должна
• удовлетворять вероятность, определяемая для каж-
дого конкретного опыта или случайного явления.
Числовая функция Р, определенная на ал-
гебре событий S&, называется вероятностью,
если выполнены следующие аксиомы:
-А1. Аксиом а неотрицател ь-ности.
Для любого Ае.зф Р (А)	0.
А2. А к с и о-м а и о р м и р о в а н н ос т и.
P(Q) = 1.
АЗ. Аксиома аддитивности. Если А и
В несовместны, то
Р(А + В)=Р(А)+Р(В).
Отметим, что аксиомы А1—АЗ совершенно необ-
ходимы, если мы хотим, чтобы вероятность Р (А) со-
бытия А была числом, около которого колеблются
частоты Ая(А) при большом числе^испытаний п, так
как сами частоты йл(А) удовлетворяют А1—АЗ. Дей-
ствительно, пусть некоторый опыт повторен п раз.
Обозначим Па число опытов, в которых осуществилось
“реальное событие А.Очевидно, что
Если реальные события А и В несовместны, то они
осуществлялись при разных опытах и, следовательно,
Па+в = пА + «в. Отсюда
hn (А + В) =	= J- + -J- = hn (А) + (В),
что соответствует АЗ.
Для решения задач, связанных с бесконечными .
последовательностями событий, требуется дополнить
приведенные аксиомы следующей аксиомой.
Ев; КОНЕЧНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕПРОСТРАНСТВО*’' ' 1	15
А4. Расширенная аксиома аддитивно*
с т и. Если в последовательности Ai, А?, ,.., Ап, ,,.
события попарно несовместны (т. е. AtAj = 0
при i ф j) и A — U An s «^> то
'	п=»1
р(4)-=1;р(л„).
П=1
Тройку (й,	р), в которой Р удовлетворяет
А1,— А4 и множество не только является алгеброй
событий, но и еще содержит счетные суммы и произ*
ведения событий, называют вероятностным простран-
ством.
Система аксиом А1—А4 вероятностного простран*
ства дает самую общую математическую модель слу*
чайных явлений.
Приведем теперь несколько. важных частных слу*
чаев вероятностных пространств. В дальнейшем вновь
вводимые теоретико-вероятностные понятия позволят
нам расширить набор частных случаев и приемов их
построения.
1.6. Конечное вероятностное пространство. Пусти
й={со),— конечное множество (например, й ==»,.
;= {(Bi, ®2,	©л}, где N — натуральное число.)j;
{р(<о): шей} — набор чисел, удовлетворяющий ус*
ловиям
р(©)>0, asQ; £ р(<о) = 1.	(2)
Обозначим множество всех подмножеств й. Ве-
роятностью события А назовем число Р.(4), оп<.
ределенное формулой
РИ).= £ p(<o) = t p(^>.	(3)
шеА	Z=1	7	_
где событие А={<й/р (%,	Если А= 0, то
по определению полагаем, что р(А>=-0; Числа
{р (со)} являются вероятностями элементарных собы-
тий; мы их будем называть * просто элементарными
вероятностями. Таким образом,
16\	§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ’МОДЕЛ.И?, СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИИ-.^-
- - вероятность события -А равна сумме тех эле-
ментарных вероятностей р(ы), у которых и вхо-
дят в А.
Непосредственно из определения Р(Л) следует,
что выполняются аксиомы А1, А2: Р(А)^0, p(Q) =
= 1. Если АВ = 0, то
Р(А4-В)= Е р(®) = Е Р(®) + Е р(®) =
ШЕЛ	weB
= Р(Д) + Р(В),
и, следовательно, аксиома АЗ тоже выполняется.
Определенное нами конечное вероятностное про-
странство будем иногда называть конечной схемой.
В конечной схеме вероятность,однозначно опреде-
ляется элементарными вероятностями. Конечная схе-
ма во многих случаях служит хорошей математиче-
ской моделью случайных явлений.
В дальнейшем различные частные случаи общей
математической модели случайных явлений мы часто
будем называть схемами, указывая их характерные
особенности (конечная схема, схема независимых ис-
пытаний (§ 3) и т. д.)..
Обсуждение приложений конечной схемы к опи-
санию реальных явлений мы начнем с одного част-
ного случая этой схемы, в котором вероятности р(ю),
© е Я одинаковы. Если условиться число элементов
множества М обозначать |М|, то из формулы (3),
полагая р(ш) = 1/N, получим
Р<Л>-ЩГ—<4>.
где Q =	©д,}, A = {«;i, ..., ©<(J. Определе-
ние (4) называют классическим определением вероят-
ности. Таким образом, согласно (4),
вероятность случайного события А равна отно-
шению числа элементарных событий, при кото-
' рых событие А происходит, к общему числу эле--
ментарных событий.
Классическое определение вероятности служит хо-
рошей математической моделыр тех случайных явле- •
иий, для которых исходы опыта в каком-либо смысле i _-
1.6. КОНЕЧНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО '	/ ff
симметричны, и поэтому представляется естествен-
ным предположение об их равновозможности. Обычно
это предположение оправдано в задачах из области
азартных игр, лотерей и т. д. Это объясняется тем,
что при изготовлении игральных костей, карт и орга-
низации лотерей заботятся о соблюдении равновоз-
можности различных исходов. Такие же требования
предъявляются к организации выборочного контроля
и выборочных статистических исследований.
При использовании формулы (4) часто оказываются полез-
ными различные комбинаторные формулы. Приведем наиболее
- распространенные из них.
Из конечного множества {аь а2, • • •, аЛ}, состоящего из п
различных элементов, можно образовывать различные наборы,
состоящие из т (иг < п) элементов.
Упорядоченные наборы называют размещениями, а неупо-
рядоченные — сочетаниями. Например, из множества {1, 2, 3},
выбирая по два элемента (п = 3, т = 2), можно образовать
6 размещений ((1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)) и 3 сочета-'
ния ((1,2), (1,3), (2,3)). Сочетание (1,2) можно записать в виде
(2,1), так как при образовании сочетаний по определению поря-
док элементов не учитывается. Размещения .из п элементов по п
называют перестановками. Различные перестановки содержат од-
ни и те же элементы, расположенные в разном порядке.
Число размещений, которые можно образовать, выбирая раз-
личными способами т элементов из п, обозначают Я™, а.число
сочетаний — обозначают символами С™ или	Числа
С™ можно найти по формулам
и1т1
п	п т\
где т\ я 1-2- ... -т, а обобщенная степень определяется
формулой п^=п(п—1)...(п — m+0-Часто оказываются по-
лезными следующие формулы:
рт _____________ ptn_____рп-т
* ml (п - т)1 9	*
Пример 4. Из урны, содержащей М белых
и. N—М: черных шаров, наудачу извлекается п ша< ,
ров. Найдем вероятность того^что среди выбранных
п шаров,окажется ровно т белых.
Слово «наудачу» в описаниях опыта встречается
Дйвольйо часто. В данной задаче, предполагается,, что .
шары были .хорошо перемешаны, что все они одного.
Т8	§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕГМОДЕЛЙ СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ
радиуса, одинаково гладкие и отличаются только цве-
том; выбирающий' шаров не видит. В таком случае
разумно предположить равновероятность элементар-
ных событий и воспользоваться классическим опре-
делением вероятности.
За элементарные события естественно принять
любые подмножества по п элементов, выбранные из
множества N шаров. Из школьного курса математики
известно, что число таких подмножеств равно Сдг
Таким образом, в формуле (4) нужно положить
| Q | = Cn. Каждый набор шаров, входящий в инте-
ресующее нас событие (обозначим его Ат), состоит
из двух частей: 1) т белых шаров и 2) п — т черных
шаров. Все такие наборы можно получить следую-
щим образом. Сначала выберем части наборов из
белых шаров; число таких частей С^; затем отдельно
составим части наборов из черных шаров; число та-
ких .частей Объединение любой части набора
из белых шаров с любой частью набора из черных
шаров дает полный набор шаров, принадлежащий
Ат. Следовательно, | Ат | = См	и по формуле (4)"
рт рп—т,
Р (Ат) = Ра (tn, N, М) =	.	(5)
CN
Здесь и в дальнейшем предполагается, что С„ = О
при /п>п. Набор чисел Pn(0,N,M), Pn(l,N,M), ,,,
называют гипергеометрическим распределением.
В приложениях к выборочному контролю роль ша-
ров играют N изделий проверяемой партии. Число М
бракованных изделий (белых шаров) неизвестно. Мо-
жет оказаться, что сплошь все изделия проверить
нельзя: их слишком много или проверка приводит
к уничтожению изделия (например, потребуется при
проверке установить срок службы лампочки). Тогда
из всей партии изделий отбирают для проверки не-
большую часть из п изделий. Если среди выбранных
изделий оказалось т бракованных, то полагают
(Такой выбор приближенного значения бу-
дет обоснован в § 12, пример 5.) Иногда требуется
Т.6. КОНЕЧНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО  ”	>	49
оценить неизвестный параметр N. Пусть N — неиз-
вестное число рыб в некотором водоеме. Можно про-
вести отлов М рыб, пометить их и пустить обратно.
По числу т помеченных рыб в повторном отлове из
п рыб можно из приближенного равенства	#£•
лать заключения о величине JV: Nf&M-—.
tn
В теории вероятностей часто математические мо-
дели, имеющие приложения в самых различных об-
ластях, формулируются в терминах урновых схем,
в терминах размещений дробинок или частиц по
ящикам и т. д. Такая форма описания обычно не при-
водит к затруднениям в практическом их использо-
вании. Формулировка математической модели в тер-
минах, используемых в определенной узкой области
приложений, вызовет у других потребителей большие
затруднения, чем традиционные формулировки со
знакомыми всем шарами и урнами. Для специалистов
по выборочному контролю «белые шары», по-види-
мому, более привлекательны, чем «меченые рыбы».
В дальнейшем мы, как правило, будем придержи-
ваться традиционных для теории вероятностей фор-,
мулировок.
Пример 5. Дадим более детальное описание ис-
ходов опыта, описанного в предыдущем примере.
Пусть N шаров, имеющихся в урне, занумерованы
числами 1, 2, ..., N. Из урны наудачу, по одному
извлекается п шаров, причем вынутые шары обратно
не возвращаются. В данном опыте элементарными
событиями © являются цепочки ® = (xi, хг, •••, хп),
составленные из чисел 1, 2, ...» N, причем среди
xi, ..., хп нет одинаковых чисел. Число элементов
|Q| множества Q можно найти непосредственно или
воспользоваться формулой для числа размещений из
N элементов по п:
| Q | = Лдг = Л/’(У — 1)... (М —n + 1). .
Выражение в правой части этого равенства назы-
вают обобщенной степенью числа N. Мы будем ис-
пользовать следующее обозначение:
m'ftl == tn (т — 1)... (т — k + 1).	(6)
?Q § 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ5 СЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ
При подходящей организации, описанного опыта
можно считать элементарные события равновероят-
ными и использовать классическое определение ве-
роятности. Описанную схему выбора называют схе-
мой случайного выбора без возвращения.
Элементарные события предыдущего примера по отношению
к данному являются более «крупными». В предыдущем примере
рассматривались неупорядоченные наборы номеров, и, следова-
тельно, из каждого такого набора можно с учетом расположения
получить одинаковое числое п! наборов, являющихся элементар-
ными событиями в рассматриваемой схеме. Таким образом, каж-
дому элементарному событию примера 4 соответствует п\ эле-
ментарных событий примера 5. Это приводит к совпадению ве-
роятностей событий, определенных в обоих примерах.
Пример 6. Из N одинаковых карточек, зануме-
рованных числами 0, 1 2, ..., N—1, извлекается
по одной п карточек. После каждого извлече-
ния вынутая карточка возвращается. Так же, как
и в примере 1, при подходящей организации опыта
все возможные исходы естественно считать рав- -
невероятными и использовать классическое опре-
деление.
Если номера извлекаемых карточек записывать,
то в результате получится цепочка со из п номеров:
G) = (xi, Х2,	х«), где Xi могут принимать любое
значение из {0, 1, ..., N—1} независимо друг от
друга. Множество всех цепочек со является в данной
задаче пространством элементарных событий Q. Бу-
дем предполагать, что все элементарные события
равновероятны. Описанную схему выбора называют
схемой случайного выбора с возвращением.
Найдем число элементарных событий |£1| мно-
жества'Q. Разобьем множество цепочек co = (xi, .
».., Хп) на N непересекающихся множеств по зна-
чению хг.
{со: Xi = 0}> {со: Xi=^l}, {со: xi = N—-1}.
Каждое из этих множеств по хг можно в свою оче-
редь разбить на N групп, и, следовательно, по зна-
чениям пары {Х1Х2} образуется N2 групщ разбиений
,.:в:КОНЕЧНОЕВЕРОЯТНОСТНОЕ;ПРОСТРАНСТВО ''	21
по значениям тройки {xi, Х2, х3) получим N3 и т. д.
В результате п разбиений получим Nn групп, каждая
из которых содержит один элемент. Таким образом,
| й | = Nn, р (to) = N~n и . вероятность определяется
формулой (4). Вычислим вероятность события Ат =
= {среди п вынутых карточек ровно у т карточек
номера не превосходят М— 1}. Среди п мест цепочки
(й = (хь ... ,~Хп) можно Сп способами выбрать места,
на которых будем помещать номера карточек, не пре-
восходящие М.— 1. Эти места можно заполнить М1"
способами. Оставшиеся п — т мест (W— М)п~т спо-
собами заполним карточками с номерами, большими
М — 1. Таким образом, | Ат | = СпМт(N — М)п~т, и по.
формуле (4) находим
гт(М\т( М\а~т
др	bn\N) \1 ~1Г)
т = 0, 1, 2, ..., п.
Числа, полученные в результате достаточно хорошей
реализации случайного выбора с возвращением при
N = 10, называют случайными равномерно распреде-
ленными числами (или просто случайными числами).
Таблицы таких чисел (см. [1], [11], [14]) можно ис-
пользовать для моделирования случайных явлений.
Пусть, например, нужно моделировать результаты п
опытов, заключающихся в подбрасывании симметрич-.
ной монеты. Условимся считать; что выпадению, герба
соответствует четная цифра (0, 2, 4, 6, 8) в последо-;
вательности случайных чисел. Заменив четные цифры
буквой «Г» (герб), а нечетные — «Р» (решетка), по-1
лучим последовательность из двух символов: Г, Р.
Очевидно, что равновероятны все возможные после-
довательности, полученные указанным способом. ’
Обозначим пг (п) число «гербов» в последовательно-
сти длины п. В качестве примера по таблице случай-
ных чисел найдены значения пг=*.пг(п) и вычис-
лены частоты. йг(п) == пг/п. .Результаты-приведены
в следующей таблице; 	-	.	• -
22
§ 1. МАТЕЛиТИЧЕСКИЕчМ.ОДЕЛИ-СЛУЧ'АИНЫХ ЯВЛЕЯИИ
п	5	10	<20	30	40	60.
«г	3	7	13	15	21	25,
ftr («)’	0,60	0,70	0,65	0,50	0,53	0,50-
п	60	70	80	90	100	
«Г	32	34	37	43	- 47	
Аг (я)	0,53	0,49	0,46	0,48	0,47	
График функции /1г(и) приведен на рис. 3.
Пример 7. Пусть один раз брошена игральная
кость. Естественно в этом случае положить й =
{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Если кость симметрична, то ве-
роятности элементарных событий выбираем одина-
ковыми: р(1) = р(2) =	=р(6)=1/6. В этом слу-
чае получаем классическое определение вероятности.
Если кость не симметрична, то приходится использо?
вать конечную схему с различными р(г)д i = 1>	6,
которые можно оценить экспериментально. По-
строение оценок неизвестных параметров схемы
является одной из задач математической статистики
.(см. § 121. - - -	-------- ”	-
}^;СЧЕТНОЁИЕРОЯтаОСГНбЕ*ЙР^1^АНСТВд23
1.7. Счетное вероятностное пространство. Пусть
й= {©} — счетное множество ' (й — {k>i, ®2, "...
...,.соп, ...}); еФ — множество всех подмножеств £2;
{р(<о)}—набор чисел, удовлетворяющих условиям
оо
р(®)>0, <ое=Й;	—1«
п—1
Вероятность события А=={иг1, ®,-2,..,	..} на-
зовем число Р(А), определяемое формулами
. рИ) = Е р (®) = Е р ы. -а^0,	(7)
<л&А	i-1	4 и
и Р (0) = 0. Таким образом,
вероятность события А равна сумме ряда,
составленного из элементарных вероятностей
р(а), у которых & входят в А.
Аксиомы А1—А4 проверяются так же, как и в
конечной схеме. Порядок нумерации элементарных
событий не влияет на определение, так как р(®)^0
и сумма ряда, входящая в (7), не изменяется при
изменении порядка суммирования. Построенное счет-
ное вероятностное' пространство будем иногда назы-
вать счетной схемой.
Отметим, что вероятность Р(А) так же, как
и в конечной схеме, однозначно определяется ве-
роятностями элементарных событий р(<в). Конечная
схема является частным случаем счетной схемы
с р(о»л) = 0,' k N 4- 1. Счетную и конечную схемы
называют дискретной схемой или дискретным веро-
ятностным пространством. '
Пример 8. Монета подбрасывается до тех пор,
пока не выпадет два раза подряд одной и той же
стороной. Предположим, чуо нам требуерёя опреде-
лить вероятность событий: В = {опыт закончится за
четное число подбрасываний}, А = {опыт продлится
не дольше 5 бросаний}. Положим £2 = {п: п^2},
-где натуральные числа п будем интерпретировать как
продолжительность опыта. Попытаемся естественно
ввести вероятности элементарных событий р(п). При
п подбрасываниях монеты возможно 2п различных
исходов опыта, Будем прдполагать, что эти исходы
24
§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ'ЯВЛЕНИИ
равновероятны. Среди 2п исходов есть два исхода,
которые соответствуют выпадению монеты впервые
два раза подряд одной стороной на п-м испытании.
Таким образом, естественно предположить, что
р (п) = 2/2" = 2-"+* (п > 2). •
Приведенные рассуждения о вероятности р(п) не
являются математическим доказательством; их мож-
но рассматривать только как некоторые наводящие
соображения. Нетрудно проверить, что, выбранные
нами числа удовлетворяют условиям
ОО	оо
р(п) = 2-"+1>0, п>2;	£р(п) = 2^^г = 1-
п«2	п==2
Теперь мы можем определить вероятность по фор- ,
муле (7). Рассматриваемые в данном примере собы-
тия А и В можно представить в виде
Л = {2, 3, 4, 5), В = {2, 4, 6, 8, ...}.
Следовательно,
Р (Л) = р (2) + р (3) + р (4) + р (5)«
J_ , 1 . 1  1	15
= 2 ‘ 22	23	24	16 ’
СО	оо
P(B) = Xp(24)-2Xi = T-
Л-1	fe-1
1.8. Непрерывное вероятностное пространство. По-
ложим й = {u — (ui, ..., un): ugG}, где G — квад-
рируемая область n-мерного евклидова пространства.
Обозначим систему квадрируемых подмножеств
области G. Из курса анализа известно, что сумма,
произведение и разность квадрируемых фигур яв-
ляются квадрируемыми фигурами. Таким образом, £Ф
является алгеброй событий. Пусть n(«i, .... ип) 0 —
интегрируемая на области G функция и интеграл от
нее по области G равен 1.
Вероятностью1 события А назовем число Р(Л), оп-
ределяемое формулой
Р(Л)=Д .. Д л(мь ..., ujdux ... dun, (8)
Ч 1.8.'•НЕПРЕРЫВНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО	',-25
где интеграл в правой части (8) является п-кратным
интегралом Римана. Используя свойства интегралов,
нетрудно проверить, что функция Р(А) удовлетво-
ряет аксиомам А1— АЗ.
Отметим, что вместо конечной области G можно
рассматривать n-мерное пространство, а интеграл
в (8) понимать как несобственный. Функцию Р(А),
определенную на алгебре можно продолжить на
более широкую систему множеств, содержащую счет-
ные суммы и произведения событий.
Построенное вероятностное пространство мы бу-
дем называть иногда непрерывной вероятностной мо-
делью или просто непрерывной схемой.
Рассмотрим частный случай общей непрерывной
схемы, положив л(«1, .... ип) = l/m(G), если ueG,
и л(«1.....un) = 0, если u^G. Здесь m(G) — пло-
щадь или объем области G. При таком выборе функ-
ции л(ы) формула (8) запишется в следующем виде:,.
P(A) = m(A)/m(G).	(9)
Такое определение вероятности называют -геометри-
ческим. Геометрическое определение вероятности
можно рассматривать как обобщение классического
определения на случай опытов с бесконечным числом
исходов. В дальнейшем мы иногда будем употреблять
выражение «точка равномерно распределена на мно-
жестве G». Это означает, что вероятность надо вы-
числять по формуле (9).
_ В качестве иллюстрации использования геометри-
ческого определения рассмотрим следующий пример.
Пример 9. На обслуживающее устройство в про-
межуток времени [О, Т] должны поступить две за-
явки. Если разность между'моментами поступления
заявок меньше t, то вторая заявка теряется. Тре-
буется найти вероятность потери заявки.
Обозначим ti, <2 моменты поступления заявок. По-
ложим Q={(fb t2): 0 «С Л 0	Т}; А —
= {заявка будет потеряна}. Тогда А = {(Л, t2)-.
pi—	(рис. 4). Если воспользоваться геомет-
рическим определением( то потребуется вычислить
площадь m (Q)। = Т2 и m (А)i = Т2 — (Т —1\2. По
2в	§ 1..‘МАТЕМАТИЧЕСКИЕ: МОДЕЛЙ’,еЛУЧАЙНЫХ<ЯаЛЕ'НЙЙ
формуле (9) находим Р (А) — 1 — (1 — у-)2. Исполь-
зование геометрического определения вероятности со-
держит в себе некоторые предположения о законе
Рис. 4.
.поступления заявок. Соответ-
ствие выбранной модели слу-
чайного явления действитель-
ности может быть оценено на
основе экспериментов.
Получим теперь некоторые
простейшие следствия из ак-
сиом А1— А4. Из аксиом А2,
АЗ и равенства А 4- А = Q еле- '
дует, что
Р(А) = 1 —Р(А). (10)
Полагая здесь. А =£2, поручим Р(0) = О. Для любых
событий А и В имеет место формула —
Р (А + В) = Р (А) + Р (В) - Р (АВ).	(11)
Действительно, представим события А 4- Вп В в виде
А + В = А 4- ВА и В = ВА 4- В А. События в правых
частях этих равенств несовместны’ и, следовательно,
- Р (А 4- В) == Р(А) 4- Р (ВА), Р(В) = Р(ВА) 4- Р (АВ).
Отсюда легко следует (11). Используя формулу (11),
получим формулу для Р (Ai 4-Аа 4-Аз). Положим
А = Ai 4- А2, В — А3. Тогда из формулы (И) и фор-
мулы АВ = AjA3 4-А2А3 следует, что
Р(А, 4- А2 + Аз) — Р (Aj4-A2) 4- Р(А3)_-Р (АМз+АЛз).
Отсюда, применив к вероятностям Р(А14*А2) и
P(AiA3 4-А2А3) формулу (11) и воспользовавшись
равенством (AiA3) (А2А3).= AiA2A3, получим
Р (Ах 4- Л + Аз) = Р (АО + Р (А2) 4- Р (А3) -
- Р (41А2) - Р (А! А3) - Р (А2Аз) + Р (AAA).
1.8. НЕП^ЕР^НОЕ ФВРОЯТВОСТНОД: ПРОСТРАНСТВО. ;
Общая формула для вероятности- суммы, п событий i /
имеет следующий вид:.
П:
Р(А + Л+... 4-Л„).= ЕР(Л*Ь Е Р-(А*А)+-
+ Г Р(ЛЛЛ/Лт)-...+(-1Г+1Р(41... Л„) =
1<А</<<тСп
п_
•=!(-l)r+1	£ Р(Л/ ... л/г). (12) '•
г-1	1Ц<М<1Г<* 41 г/
В доказательстве по индукции формулы (12)‘переход
от п — 1 кп проводится аналогично приведенному
выше переходу от 2 к 3.
Непосредственно из' (11) для любых Л и В' по-
лучаем
Р(Л4-В)<Р(Л)4-Р(В).	(13)
Если Л сД то
Р(Л)<Р(В),	(14)-
так как В = A-J-BA, Р(В) = Р(А)+Р(ВА) и Р(ВЛ)>0.
Если события Ai, Аг, .Ля попарно несовместны,-
т. е. AiAf = 0> при любых i •/, то
Р(Л1,4-Л24- ... 4-Л„)ь=.
= Р (Л1) 4- Р (Л2) 4- . 4- Р (Л„). (15)>
Эта формула.доказывается.по.индукции при помощи,
аксиомы аддитивности АЗ; .кроме того, (15). можно
получить как частный случай ..(12)..По индукции из.
;(13). следует,-что
Р(Лг4-'..- 4-•4К₽(4<)+'... +>Р(Л„).-
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих
использование полученных из аксиом следствий.
Пример 40.; Оценим вероятность получений ка-
кого-либо. выигрыша в «Спортлото-», по одной кар?
точке.. Участник лотереи -из 49 номеров отмечает- 6.
После того -как- .участник хдал-; карточку, с -проводится
выборка п = 6 номеров. Пусть Ат= {т -номеров,; .
отмеченных участником, попало в выборку}. Если
число номеров, отмеченных участником- и попавших
28	§ 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛЙСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ -	В(.
в выборку, оказалось больше 2, то участник получает
какой-либо выигрыш. Таким образом, А = {получе-
ние какого-либо_выигрыша} = А3 -j- А4 + Д5 + А3 и,
следовательно, А = Ло -f- At-J- А$. По формуле (5)
с N — 49, М = б, п = 6 находим
Р(Л0) = 0,435965, Р(Л1) = 0,413019, Р(Л2) = 0,132378,
Р(Л3) = 0,017650, Р(Л4) = 0,0Q0969, Р (Л5) = 0,000018,
Р (Л^ = 0,00000007151.
Отсюда, используя (15), получим
Р (Л) = Р(Л0) + Р(Л1) + Р(Л2) = 0,981362
и	_
Р(Л)=1-Р(Л) = 0,018638.
Пример 11. Найдем вероятность того, что среди
п случайных чисел (см. пример 6) цифра «1» встре-
тится хотя бы один раз.
Множеством элементарных событий й являются
последовательности, которые можно составить из
всех 10 цифр; й = {(хь х2, ..., хп)}, где Хь = 0,1, ...
..., 9, k = 1, ..., п. В,примере 6 было показано, чТо
|Й| = 10". Положим Л = {среди п случайных чисел
встретилась хотя бы одна «1»}. Тогда А = {среди п
случайных чисел «1» не встретилась ни разу}. Таким
^образом, в А входят.цепочки, составленные только из
9 цифр, так как «1» не может быть использована при
составлении цепочек. Рассуждая так же,_ как в при-
мере 6, при вычислении |й|, получим |д|==9'*. Сле-
довательно, по формуле (4) имеем Р(А) = 9л/10я.
Отсюда, воспользовавшись формулой (10), найдем
Р (Л) = 1 — Р (Л) = 1 — (9/10)".
При мер,12. Брошено две игральных кости. Най-
дем вероятность события Л = {хотя бы на одной из
костей выпало не больше двух очков}.
Множество всех возможных исходов можно запи-
сать в виде
£2«{(Л/): G/==1» 2, '..., 6}, '
. 1.8. НЕПРЕРЫВНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО -	.	29 ' '
где элементарное событие (z, /) соответствует выпа-
дению i очков на первой кости и j очков на второй*
Нетрудно проверить, что |Q| = 6-6 = 36. Обозначим
В\ событие, состоящее в том, что на 1-й кости выпало
не больше двух очков; аналогичное событие для 2-й
кости обозначим В2. Тогда
Bt = {(G /)}: i=l, 2; /=1, 2, .... 6),
В2 = {(/, /): 1 = 1, .... 6; /=1, 2}
и, следовательно, |Bi| = |B2|= 12. Так как B^Bz —
— {(*’, /): i, /==1, 2}, то |В1В2| = 4. Таким образом,
Р(В1) = Р(В2) = 4| = |.	Р(В1В2) = |.
Отсюда по формуле (11) находим
Р (Л) = Р (Bt + В2) = Р (Bi) + Р (В2) - Р (В,В2) =
_ £ , _1_ _ _1_ _ _5
“ 3	3	9 — 9 *
Пр и мер 13. Рассмотрим некоторую сложную си-
стему, состоящую из п блоков. Пусть в некоторой ве-
роятностной модели определены события А к == {/г-й
блок не выйдет из строя за рассматриваемый период}
и их вероятности Р(Л*), k = 1, 2, ..., п. Например,
вероятности Р(ЛЙ) найдены приближенно по резуль-
татам испытаний отдельных блоков. Оценим вероят-
ность события А = {система не выйдет из строя за
. рассматриваемый период} = А]Л2 ... Ап. Так как (
А = Q Ak, то
£=1
(п	\	п ______
и.л <ЕР(ЛД
fc=l	/. й=1
Кроме того, при любом k "
Л^-.Л^Ль Р(Л)<Р(Л*).
Окончательно получаем
п
1 - Е (1 -Р(Л*))<Р(Л)<minР(ЛА).
А«=1	Л
§ 1; МАТЕМАТИЧЕСКИЕ'ИЙ
-Задачи
;;V‘Показать, что Л'Ч(В \С) А \В +£. '.Найти: более про*
стое выражение для А \(В \С) .
2.	Пусть A, В, С — три произвольных события. Найти вы-
ражения для событий, состоящих в Vom, что из A, В, С
1)	произошло только Д,
2)	произошли Д -и В, а С не произошло,
3)	все три события произошли,
4)	произошло по крайней мере одно из событий,
5)	ни одно событие не произошло.
3.	Среди 100 изделий дайной партий имеется 5 бракованных.
Найти вероятность того,' что среди 10 случайно отобранных из-
делий йе больше одного бракованного.
4.	Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек
приходятся на разные месяцы года.
• 5. Участник лотереи «Спортлото» заполнил две карточки так,
что все зачеркнутые им номера на обеих карточках — разные.
Найти вероятность того, что участник не угадал • ни одного но-
мера.
В. Трем радиостанциям разрешена1 работа на 1ЛЮбой из трех
заданных частот. Найти вероятности событий: Д = {все радио-
станции работают на разных частотах}; В = {две радиостанции
работают на одинаковых частотах, а 3-я — на другой частоте}.
Предположить, что все возможные выборы частот радиостанция-
ми равновероятны.
7. 41о схеме случайного выбора с возвращением из множен
ства целых чисел :{4, 2, ..., NJ выбираются два числа g и т). Обо-
значим ря вероятность события + т|2	N2. Найти Нт р„.
' 2V->oo ’2V
'8. Точка А равномерно распределена в квадрате со сторо-
'пЪй'1. Найти вероятности событий:
а)	расстояние от точки А до фиксированной стороны квад-
рата не превосходит х\
б)	расстояние от точки А до ближайшей стороны квадрата
не Превосходит х.-
9.	На паркет, составленный из правильных треугольников со
f Уз \
стороной а, случайно бросается монета радиуса г I г < а - I.
Найти вероятность того, что монета не заденет границу ни од-
ного из треугольников.
10.	Стержень длины Z разломан в двух наудачу выбранных
точках. Чему равна вероятность того, что из полученных отрез-
ков можно составить треугольник?
И. В п конвертов разложено по одному письму п адреса-
там. На каждом конверте наудачу написан один из п адресов.
Найти вероятность рп того, что хотя бы одно письмо попадет по
назначению; вычислить Пт р«.
П->оо
Указание: использовать формулу (12),
.ия
5;ЬУ<злеаныв.лЕРДятвобти/-л. .............. &
§ г, УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ. НЕЗАВИСИМОСТЬ
СОБЫТИИ
2.1. Условные вероятности. Прежде чем переходить
к формальному определению^. приведем некоторые
соображения, которые помогут понять естественность
определения.
Пусть проводится п опытов; Обозначим Па. число
опытов;, в которых наступило, реальное событие-.А
Предположим, что среди пд опытов, вместе с-Л насту-
пило Пав раз событие В. Частотой* события В. по отно-
шению к опытам с исходом А является отношение
Ьп.(В1А)=.пав/па, Если, числитель, и знаменатель
в этом отношении поделить на п, то получим выра.-
жение, связывающее /гя(В|Д) с безусловными часто-
тами /гп (Л) и/гп(АВ):
' - Мв|л)=-^=4^- W
*	*\Д/**	К2**'
При, больших п частоты hn(A), hn(AB) близки к ве-
роятностям Р(Д), Р(АВ). Равенство (1) можно по-
ложить в основу определения.условной вероятности.
Пусть Р(Д)>0.
Число Р(В|Д);, определяемое равенством
. Р(В|Д)=-4^,	(2)
 называется условной, вероятностью события. В
при,условии-А,
Условную; вероятность- Р(В|Д) будем иногда обо,-
значать Рд(В).
Пример, 1. На. складе, собрано,-N изделий, от
двух мастерских, причем.-от 1-й мастерской получено
N.i изделий,, .среди-, которых.THi. изделий- первого. сорта,
а от;2-йпмастерской —изделий.и среди, них из?
делий, первого. сорта. Полученное со- склада- изделие
выбрано наудачу., Найдем;,вероятность .события, В =='
=. {подучено- первосортное, изделие}. По классиче?
скому определению, вероятности очевидно, имеем
Р (В) = (All + M2)/N. Предположим, что,- удалось'
установить, кавой. , мастерской, произведено, получен-
ное, изделие;, например, выяснили,, что изделие
82/	'	*' MAI’
произведено 1-й мастерской. Обозначим это событие Л.
При этой дополнительной информации естественно
искать условную вероятность Р(В|А). По формуле
(2) находим
Q/oi рИВ) _ MJN _ Aft
р(В|Л)— Р(л) — Ni/N — Ni,
т. е. условная вероятность является в данном случае
долей первосортной продукции среди продукции, про-
изведенной 1-й мастерской.
Пусть фиксировано некоторое событие А с
Р(А)>0. Функция РД(В) = Р(В|А) = Р(АВ)/Р(А),
определенная для всех В удовлетворяет аксио-
мам А1—А4. Таким образом, для рд(В) справед-
ливы все следствия (10) — (15), полученные в § -1 не-
посредственно из аксиом.
Равенство (2) можно записать в виде
Р(ЛВ) = Р(А)Р(В|Л).	(3)
Отсюда по индукции легко получить более общую
формулу
(РАА2... Ап) —
= Р (At) Р (Л21 Л() ... Р (Л„ | Л Л ... A„_t).	(4)
Действительно, при п = 2 -формула (4) совпадает
с (3). Пусть. формула (4) доказана для п — 1 со-
множителей. Тогда для п сомножителей формула
(4) следует из предположения индукции и равенства
(3), в котором нужно положить A = AiA2 ... An-i,
В = А„.
Формулы (3), (4) очевидно не пригодны для вы-
числения вероятностей произведений событий, так
как правые части этих формул содержат условные
вероятности, для вычисления которых нужно знать
вероятности произведений. Полезность формул (3)
и (4) обнаруживается при построении математиче-
ских моделей серий опытов, которые будут рассмот-
рены в § 3. Здесь мы ограничимся разбором отдель-
ных примеров.
В классическом и геометрическом определении ве-
роятностй мы исходили из «равновозможности» исхо-
%!.' УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ	33
дов опыта. Теперь мы обратимся к примерам вероят-
ностных пространств, построение которых основано
на знании значений условных вероятностей.
В приложениях часто оказывается, что условные
вероятности естественно задаются условиями опыта
или определяются приближенно из дополнительных
опытов. Например, если при проведении серии из п
опытов реальное событие А наступило па раз и пав
раз событие А наступило вместе с реальным собы-
тием В, то в качестве приближенного значения услов-
ной вероятности. Р(В|Л) можно взять частоту
/in(B[A) == пав/па. В сериях опытов с перекладыва-
нием или извлечением шаров из урн можно есте-
ственно задать условные вероятности получения вы-
борки определенного типа из данной урны, если из
предыдущих опытов известен ее состав. Отправляясь
от заданных значений условных вероятностей, можно
вычислить вероятности элементарных событий.
П р и м е р 2. Из первой урны, содержащей 5 белых
и 3 черных шара, наудачу переложили один шар не-
известного цвета во вторую урну, содержащую 2 бе-
лых и 3 черных шара. После этого из второй урны
вынули один шар. . Построим математическую мо-
дель описанного опыта. Обозначим Л1 и А2 события,
состоящие в том, что из первой и второй урн были
извлечены белые шары. Из соображений равновоз-
можности „исходов естественно считать, что Р(Л1)=.
= 5/8. Если из первой урны во вторую был перело-
жен белый шар, то вторая урна стала содержать
3 белых й 3 черных. Следовательно, при этом условии
нужно положить Р (Лг|Л1) = 3/6 = 1/2. Аналогично
определяем условную вероятность события А2 при пе-
рекладывании черного шара: Р(А2|Л\) = 4/6 = 2/3.
Из приведенных рассуждений (не являющихся мате-,
матическим доказательством) можно сделать вывод,
что в математической  модели, которую мы хотим по-
строить, должны быть выполнены равенства
Р (Л,) = 5/8, Р(А21А1) = 1/2, Р(Л2|Л() = 2/3. (5)
Таким образом, нужно найти подходящее вероят-
ностное пространство (й,	Р), алгебра которого
2 В. К. Захаров и др.
-34 .	.	.	_	§ ^. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
«одержит события Aj, Л2, а вероятность Р определена
так; что выполняются равенства (5).
Положим £2 = {Л1Л2, AtAb АХА2, Лгй2}, —мно-
жество всех подмножеств Q и
Р,(Л1Л2)=Р(Л1)Р(Л2|А1) = 5/8-1/2,
Р (ЛЛ) = Р (А)Р (Л21 Л,) =3/8 • 2/3, ’
Р(Л1Л2) = Р(Л1)Р(Л2|Л1)=5/8.1/2,	- (6)
Р (ЛtЛ2) = Р (А,) Р (Л21 А) = 3/8 • 1/3.
Вероятности (6) однозначно определяют вероятность’
любого подмножества Q.
Построение вероятностных пространств в более
общих случаях с использованием условных вероят-
ностей и независимости событий будет рассмотрено
в § 3.	. '
2.2.	Формула полной вероятности. Формула Байеса. '
Будем говорить, что события Вь В2,Вп образуют
разбиение, если.
а = В1+.В2+ ... +В4	(7)
и BiBj = 0 при любых i =/= j.
Для любого разбиения. (7) имеет место следую- -
щая формула {формула полной вероятности):
Р{А) = ^ Р{Вк)Р (А\Вк).	_(8)
Jfe—1
- г Для доказательства этой формулы заметим, что
Л можно представить в виде следующей суммы по-
парно несовместных событий:
Л = ЛВ! + ЛВ2+ ...н-лвп.
Отсюда, воспользовавшись .аксиомой АЗ и формулой
(3), получим формулу (8) : -
р (Л) = Е р {Авк)=Ер (В&)'Р (Л । вк).
5.2.ФОРМУЛА ПОЛНО» ВЕРОЯТНОСТИ	83'
Заменив в равенстве
р (вА । д) =-p(4j	ppp—
вероятность Р(А) по формуле (8), получим формулы
Байеса
. P(B1M)=4<w^>_.	. (9)
LP(B,)P(4|S,)
i = 1
Формулы Байеса часто интерпретируются как фор-
мулц, позволяющие, по априорным (известным пред-»
варительно, до проведения опыта) вероятностям
Р(Вц) п по результатам опыта, (наступления, события
А) найти апостериорные (вычисленные после опыта)
вероятности р (В* | А). Довольно содержательный при-'
мер, указывающий возможные - направления приме-
нений формул Байеса, содержится в задаче-10.'
Формула полной вероятности, так же как фор-
мулы (3) и (4), может быть использована для по-»
строения подходящего вероятностного пространства
по заданным условным вероятностям. Ниже рассмат-
риваются два примера, в которых условные вероят-
ности естественно считать заданными..
Пример 3. На. фабрике, изготовляющей болты,,
первая, машина, производит 25%, вторая — 35%,
третья — 40% всех изделий Брак в их продукции со-
ставляет соответственно 5%, 4%, 2%. Найти'*
а)	вероятность того, что случайно выбранный болт
оказался дефектным,
б)	вероятность того, что если случайно выбранный
болт оказался дефектным, то он произведен первой,
второй и третьей машинами. _
Обозначим А событие, состоящее в том, что слу-
чайно выбранный болт — дефектный, a Bit В2, В3-^
события, состоящие в- том, что^этот болт произведен
соответственно первой, второй и-третьей , машинами.
Очевидно, что формула (8) применима. Таким обра-
зом, используя условие задачи, получим
р (А) = Р (Bi) Р (А [ВО + Р (В2) Р (А | В2) 4-
+ Р (В3) Р (А 1Вз) = 0,25 • 0,05 + 0,35 • 0,04 +..
+ 0,40 • 0,02=0,0345.
36
§, 2...УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
К тем же1 событиям можно применить формулы
Байеса (9) при п = 3 для k1, 2, 3:
Р(В1|Л) =	_ 0,25 • 0,05 _ 0,0345	125 345 ’
Р(В2|Л)=	_ 0,35-0,04 _ 0,0345	_ 140 345 ’
Р(В3|Л) =	_ 0,40-0,02 _ ~ 0,0345	_ 80 345 *
Пример 4. Из урны, содержавшей М белых
и N — М черных шаров, один шар неизвестного цвета
утерян. Найдем вероятность того, что шар, извлечен?
ный из урны после утери, окажется белым.
Пусть Bk — событие, состоящее в том, что утеряно
k белых шаров (k = 0, 1); А — событие, состоящее
в том, чтр шар, извлеченный из оставшихся шаров,
оказался белым. Положим
Р(Во)=^-, Р(В0—
Р(Л|Во)=-^т, Р(Л|В1) = ^5г.
По формуле полной вероятности
р,.' АГ-М М , ММ-1_М
N N— I ‘ N N — 1 N •
Отметим, что вероятность извлечения белого шара из
урны до утери тоже равна~М/Аг.
2.3.	Независимость событий. В математической
модели понятие независимости' удобно ввести с по-
мощью понятия условной вероятности. Мы. будем го-
ворить, что (событие В не зависит от события А, если
Р(В|Л) = Р(В), Р(Л)>0;	(10)
Если Р(В)>0, то из равенств (10) и (2) следует,
что Р(Л|В)=Р(Л). Таким образом, если Р(Л)>0
и Р(В) > 0, то понятие независимости двух событий
симметрично, т. е. если В не зависит от Л, то и Л не
зависит от В. Более удобным определением незави-
симости по сравнению с (10) является следующее
определение.
2.3. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИИ
87
События А и В независимы, если
Р (ЛВ) = Р (Л) Р (В).	(11)
Это определение эквивалентно (10), если Р(Л) >0.
Дадим обобщение определения (11) на несколько
событий.
. События Л1, Л2, Ап будем называть вза-
имно независимыми (или независимыми в сово-
купности, или просто независимыми), если для
всех комбинаций индексов 1 t'i < t'z < . • *
... < ik ti (k = 2.......n) имеем
P(U - Л,,) = P (A,) P (A,)... P (A,). (12)
Если (12) выполнено только при k = 2, то собы-
тия называют попарно независимыми. Отметим, что
из попарной независимости не следует взаимная не-
зависимость (см. задачу 4).
Рассмотрим теперь связь теоретико-вероятностной
независимости, введенной равенствами (11) и (12),
с причинной независимостью реальных событий.
Пусть при п наблюдениях события Л, В и АВ про-
изошли соответственно па, пв и пав раз. Из свойства
устойчивости частот следуют приближенные равен-
ства:
-^-«Р(Л), -^-«Р(В), -^«Р(ЛВ)Г
ПАВ р z л | дч Р
пА ~Р.(Д|о) р(В) •
Следовательно, для событий А и В независимых
в теоретико-вероятностном смысле, из равенства
Р(Л|В)=Р(Л) следует ожидать выполнения при-
ближенного равенства пав/пв ж па/п или, что экви-
валентно,	,
ПАВ ~ ПА ПВ
п п п
Это свойство для причинно-независимых событий Л
и В установлено длительной практикой.
При построении математической модели часто ис-
пользуют следующий принцип: причинно-независи-
-38	 § 2. УСЛОВНЫЕ 'ВЕРОЯТНОСТИ
мые события независимы в теоретико-вероятностном
смысле. Отметим, -что этот принцип не может яв-
- литься теоремой, так как он сформулирован не в тер-
минах математической модели. "Равенства (11) и (12)"
используются обычно не для установления независи-
мости, а для определения вероятностей произведений
событий при построении математической модели опы-
тов, исходами которых являются причинно-незави-
симые события. Такие построения проводятся в 1§ 3. ч
2.4.	Применение формулы полной вероятности. -
Рассмотрим пример, которьш дает -некоторое пред-
ставление об использовании формулы полной вероят-
ности при исследовании случайных процессов с не-
прерывным временем.
• Пример 5. /Вероятность поступления на теле-
фонную линию одного вызова за время (7,-t -f- A)
равна'o'(h)0; вероятность'’того, что ни один
вызов за 'время\t~t- -р h) .не 'поступит, равна 1—
4-о(й)?Если линия занята, "то/вызов теряется. :Если
1 в момент t еще продолжается разговор, то за время
(7,/4- ~h) он окончится ’с вероятностью р/г-+ о (К),
h-+0. Вызовы поступают независимо друг от /друга.
Найдем вероятность Ро(О того, что линия в момент1^
свободна, и вероятность Pi(t) того, что линия.занята.
Предположим сразу, что подходящее-вероятност-
ное пространство.существует и что для интересующих
нас событий'
В/0) = {линия в момент i свободна),
В1^ =-{линия .в момент, t. занята)
при каждом t вероятности Ро (0=Р (В<0)), Р\ (/)=Р (В/')
определены и непрерывны по t. Так -как
В/0) + В^ = £}, в^в'/^о,
то по формуле полной вероятности (11)
р СвЯ») - р (вПр (вй, |в;"Нр W) р (b?ui в?1).
(13)
Свободная в момент времени t .линия останется сво-
бодной в момент i^- h, если за время (t, вызо-
2Л ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ	39
вов не будет. Так как другие события, при которых
линия останется свободной в момент t\-h, имеют ве-
роятность. о (й), то
Р (ВП/.1 М0)) = 1 - ай + о.(й)..
Занятая.в.момент t линия будет свободной к моменту
/ + й,- если, закончится разговор, и за время: (/,/-Ьй)"
новых вызовов не будет. Вероятность~этого события
равна-
(₽й + о (й).) (1 - ah.+ o.(h)) = рй + о (h).
Эта вероятность вносит основной вклад в Р (В?+а | В/11)-
Сумма остальных слагаемых равна о(й). Таким об-
разом,
Р В/1’) =х-₽й+о<й).
Подставляя найденные условные вероятности в;• (13)
и. используя обозначения- Pti(t), P\(t)i получим
Во (/ + й) = (I - ай) Ро (0 + р№1;(0 + а(й).
Отсюда
р0 у + а) - Pojn = _ ар_ (/) + р (/) + 0 (1).
Переходя к пределу при й -> 0, получим-
•^-=-аРо(О+-₽Р1(О.	(Н)
Аналогично найдем уравнение для Pi(t):
^M = aP0(/)-pPi(/).	(15)
Полагая Ро(О)—1, Pi(O) = OJ найдем решение ciP
стемы(14) — (1&):	-	-	—
Ро(0=-т4т + 1сте-(о+р,<, -
' ’ а + ₽	а’+₽'
р, (f\ ==_2_______
&+₽ а+Р'.е
При /->оо вероятнбсть Pi(/) стремится к величине!
а/(а + ₽)• Естественно, что с ростом интенсивности
поступления вызовов а вероятность занятости линии
увеличивается.
40
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Задачи
1.	Брошено две игральных кости. Какова вероятность того,
что выпало две «3», если известно, что сумма выпавших очков
делится на три?
2.	Из множества чисел {1, 2, N] по схеме случайного
выбора без возвращения выбираются три числа. Найти условную
вероятность того, что третье число попадет в интервал, образо-
ванный первыми двумя, если известно, что первое число меньше
второго.
3.	Доказать, что события Л и В независимы, если незави-
симы события А и В.
4.	Случайная точка (gi, g2) имеет равномерное распределе-
ние в квадрате {(-Vi, *2): 0 Xi 1, 0 х2 1}. Пусть
Н!'4}' С,-{ьс1}, с.-{({,--±)0~5-)<о}.
Показать, что события С2, С3 попарно независимы. Яв-
ляются ли события Cj, С2, С3 взаимно независимыми? Зависимы
ч ли события CiC2 и С3?
5.	События Д1, Д2, Д3, Д4 взаимно независимы; Р (ДЛ) == pk,
k = 1, 2, 3, 4. Найти вероятности событий: 1) ДЛ3Д4; 2) Д1НН
+ Д2; 3) (Д1 + Д2) (Д3 + Д4).
6.	Электрическая цепь составлена из элементов Ла, k = 1,
2, 3, по схеме, приведенной на рис. 5. При выходе из строя лю-
бого элемента цепь в месте его включения разрывается. Вероят-
ность выхода из строя за данный период элемента Ak равна рА,
k = 1, 2, 3. Предполагается, что элементы выходят или не вы-
ходят из строя независимо друг от друга. Найти вероятность
того, что за рассматриваемый период по цепи будет проходить
ток.	'
7.	Упрощенная система контроля изделий состоит из двух не-
зависимых проверок. В результате 6-й проверки (6 =а 1,2) изде-
лие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с вероят-
ностью р*, а бракованное изделие принимается с вероятностью
а*. Изделие принимается, если оно прошло обе проверки. Найти
вероятности событий:
1) бракованное изделие будет принято,
2) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбраковано.
8. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, а во второй —
3 белых и 1 черный шар. Из первой урны переложили во вто-
’ XI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИЙ	41
рую два шара. Найти вероятность того, что- шар, вынутый из
2-й урны после перекладывания, окажется белым.
9. Изделия поступают на проверку, описанную в задаче 7.
Предполагая, что каждое, изделие удовлетворяет стандарту с ве-
роятностью р, найти следующие вероятности:
1) вероятность того, что поступившее на проверку изделие
не будет отбраковано;
2) вероятность того, что неотбракованное изделие удовлетво-
ряет стандарту.
10.	Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех жен-
щин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтони-
ком. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что муж-
чин и женщин одинаковое число.)
11.	По каналу связи может быть передана одна из трех по-
следовательностей букв: АААА, ВВВВ, СССС; известно, что ве-
роятности каждой из последовательностей равны соответственно
0,3; 0,4; 0,3. В результате шумов буква принимается правильно
с вероятностью 0,6. Вероятности приема переданной буквы за
две другие равны 0,2 и 0,2. Предполагается, что буквы иска-
жаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что
передано АААА, если на приемном устройстве получено
АВСА/
12.	Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент
t = 0 столкновение с другой молекулой и не имевшая других
столкновений до момента /, испытает столкновение в промежу-
ток времени (/, ( + h), равна Mi + o(h), Найти вероят-
ность того, что время свободного пробега будет больше I.
13.	Изменим условия работы телефонной линии, описан-
ной в примере 5. Будем считать, что’при занятой линии вызовы
не теряются, а становятся в очередь. Обозначим Pk(t) вероят-
ность того, что в момент t один вызов* обслуживается и k—1
образуют очередь 1); Ро(0—вероятность лого, что линия
свободна. Составить для Pk(t) дифференциальные уравнения.
Найти Hm Pk (0 ® л^, если 0 а/р <1.
/->оо
§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИСПЫТАНИИ^
3.1.	Определение последовательности независимых
испытаний. Испытанием (наблюдением,, эксперимен-
том) обычно называют совокупность определенных
условий, при которых могут осуществиться некоторые
случайные события. В результате каждого испытания
появляется одно из нескольких попарно несовмест-
ных событий, которые_мы назовем исходами. Напри-
мер, испытание, состоящее в контроле готового из-
делия, может окончиться одним из двух исходов:
либо изделие окажется годным, либо — дефектным.
42-	§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИСПЫТАНИЯ: .
Дадим.- описание теоретико-вероятностной модели,
последовательности независимых- испытаний.' Пусть -
в каждом испытании может наступить один из. г ис-
ходов, 1, 2, ,,,, г, и события,.связанные с различ-
ными. испытаниями,-.— причинно-независимы;. Тогда
в математической модели, которую мы построим, со-
ответствующие события должны быть независимы
в теоретико-вероятностном смысле (см. _§•. 12, (2)).
Результат п испытаний , можно, записать: в., виде, це-
почки Xi, хг, .... Хщ где xt — исход-1-го испытания.
За множество Q можно принять множество всех воз-
можных, цепочек © = (xi, Хг, ..., Хп). Таким, образом,
й = {01,	<0 = (хн. Хг, ..., х„),	,
Xt<z={b, 2, .... г},	/-=1, 2, ... п. •	(1)-
Событие АД/)={в /-м испытании наступил 'исход-/}!
можно теперь выразить через элементарные-события,
как подмножество: Q:
А/ (/) = {© = (Xj, Хг, • • •,	Xf— i},
t—\, ..., п, i = l-, г.
С другой стороны, элементарное событие ©=-(xi, ...
..., хп) представляется как произведение событий
A/U):
© = (Х[, ..., x„) = Ai1 (1)АЛ2(2) ... А'Ха(п). (2);
Элементарные вероятности р(©); исходя из формул
и(2) и (12) из § 2, определим равенством
р(®)=рх,Рх2 ... рх„,.	(3)
где вероятности исходов отдельных испытаний р* =
= P(Afe(/))- /:= 1, п, /г=1, г, удовлетво-
ряют условиям
г.
рА>0,	1, ..., г; 2 pfe-=l. (4).
k=*l
Последовательностью независимых^ испыта*
% ний называется* конечная вероятностная* схема,,
в которой вероятности, элементарных' событий
определяются^ формулой (3) как произведения'
вероятностей- исходов отдельных испытаний^.
3J.( ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЗАВИСИМЮС’ИСПНТАНИЙ	i 43 -
Последовательность независимых испытаний Mbj
будем иногда называть . схемой независимых испита*,
ниймлп полиномиальнойюхемой.
Часто /приходится рассматривать -последователь-1
-поста -испытаний X/двумя ^исходами: ^изделие /оказа-
лась годным ’или .дефектным; ’.на . лотерейный /билет
получен.^выигрыш отлипнет; i прибор за рассматривае-
мый ) период .времени1 работал ’нормально /иля отказал
-Й1Т.ГД.
Частный случай схемы независимых испыта-
ний, в.котором каждое испытание может .закон*
читься.только.одним.из.двух исходов, называют
.схемой Бернулли.
.Обычно эти исходы называют «успехом» и «неудач
чей», .а их вероятности обозначают ..р и „<7 = 1 —,.р
(О.	р А) соответственно. «Успехи» . и «неудачи»
для краткости будем обозначать символами . У и .7/,
или 1 .»и 0. соответственно..В схеме-Бернулли „с п ис-
пытаниями имеем	л .
Х1=-{<й},	...,.ос4), >xt-&{0; П}, t==! 1, ...,m.
?(5)
'Очевидно, что число «успехов»'(или'число «1>>) в це-
почке со — (Xi, х2, .... Хп) .равно 'сумме за + х2 + , .«
... Ч- хп. 'Элементарные ."вероятности, определенные
формулой (3), для схемы Бернулли имеют следую-
щий вид:
р(й)>==0х»+^+ ••• +хщп~(х1+ - +хп\ аГ=(Х1,.... х„). (6).
Для схемы Бернулли часто представляет интерес со-
бытие	_
Вт== {в-«.испытаниях..наступило,ровно m успехов).
>Т»ех> рем® 11 .^Вероятность! PfB»}) ’того, «что* в п ис-
пытаниях схемы Бернулли шаступили . ровно , m успе-
хов, определяется..формулой
п, (7)
.где 1р—!врроятн@вть,.успеха в .отдельном .испытании.
Доказательство. 'Событие 7Вт  определяется
как; подмножество £2:	~
..... Ч-’ХП=7П).
ЗА	Ъ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИСПЫТАНИИ
Следовательно, Р(Вт) = У*, р(<в). Так как соглас-
но формуле (6) элементарные вероятности р(ш) =
= pmqn~m при любом, со е Вт, то для вычисления ве-
роятности осталось определить число | Вт | элемен-
тарных событий, ВХОДЯЩИХ В/ Вт- ЧИСЛО | Вт | ' СОВ-
падает, очевидно, с числом способов выбора т мест
для «1» в цепочке со, так как оставшиеся места одно-
значно заполняются «О». Отсюда | Вт | = С” и Р (Вт)=
С' Tnm„n-m
пР Я •
Пример 1. Система, составленная из п блоков,
работает исправно, если .за рассматриваемый период
выйдет из строя не более двух блоков. Найдем ве-
роятность безотказной работы системы в предполо-
жении, что отказы блоков являются независимыми
- событиями и вероятность отказа каждого блока
равна р.
В качестве модели воспользуемся схемой Бер-
нулли с п испытаниями. Каждое испытание заклю-
чается в работе одного из блоков, за рассматриваемый
период. Для удобства использования формулы (7)
назовем «успехом» выход блока из строя. Пусть
А = {система работает безотказно}. Тогда Л = Во +’
,+ В1 + В2, где Вот = {выход из строя т блоков}. От-
сюда, используя формулу (7), получим
:Р(Л) = Р(В0) + Р(В1) + Р(В2) =
= Яп + npqn~x 4- p2qn~\
Пример 2. Игральная кость подброшена 10раз.
Найдем вероятность Р(В3) того, что выпало ровно
три «6». В формуле (7) нужно положить п = 10,
т = 3, р = 1/6, q = 5/6. Тогда
Р(а)-=Л(Й’(4)=™^=0.155045 ...
Получим обобщение формулы (7) на случай по-
линомиальной схемы. ,
Теорема 2. Вероятность Pn[tni, .... tnr) того,
что в испытаниях полиномиальной схемы исход- «1»
• ВЛ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕЗАВИСИМЫХ ИСПЫТАНИИ	- 45
наступил ш\ раз, исход «2» — /Пг раз,, исход «г» —
mr раз, определяется равенством
Рп (тр ..., %) =	... OTri Pi 'Рг2 • • • Рг г> (8)
где pk — вероятность исхода k в отдельном испытании
(й=1,	г); щ\, ..., пгг — целые неотрицательные
числа, удовлетворяющие равенству т\ + m2 + .. <
... + тг = п.
Доказательство. Пусть В = {среди п испы-
таний исход «1» появился т\ раз, ..., исход «г» по-
явился тг раз}. Для любого элементарного события
о е В имеем р (ш) = р™1р£-2 ... р,г- Число | В | эле-
ментарных событий, входящих в В, нетрудно под-
считать. Исход «1» на mi местах цепочки co = (xi, ...
..., Хг) можно расположить С™1 способами; исход
«2» на оставшихся п — т\ местах можно расположить
Cn-mi способами и т. д. Таким образом,
IВI — Ст'Стг . С"1'	=------------.
11	n-mi ~	... -mr_l	... mrt
Следовательно,	)
Р(В)= £ pW=|B|p[”'
Теорема доказана.
Формула (7) получается из формулы (8), если
положить г — 2, pi = р, р2= 1 — P = q.
Рассмотрим нескблько важных частных случаев
схемы независимых испытаний..
Случайные числа. Рассмотрим последовательность'
независимых испытаний с г =10 исходами, которые
<мы обозначим 1, 2, ..., 9, 0. Вероятности этих исходов
в отдельных испытаниях обозначим соответственно
Pi, р2,.. •, Рю-
Если положить р\ = р2 — ... = рю =1/10,
го полученная вероятностная схема совпадет
с вероятностной схемой, введенной в § 1 для
 определения случайных - чисел на основе клас-
сического определения вероятности.
‘ Пример. 3. Найдем вероятность Рго(Ю, 2, 3, 5)'
Того, что среди 20 случайных чисел имеется ровно
48	§ £ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ' ИСПЫТАНИЯ
10 четных цифр, две «тройки» и три «семерки». Для
вычисления указанной вероятности конечную схему,
определяющую случайные числа, удобно свести к-по-
следовательности независимых испытаний,. & каждом
из которых возможно появление одного из четырех
исходов: 1) четная цифра, 2) тройка, 3) семерка,
4) все остальное. Вероятности этих исходов равны •
.соответственно-pi = 5/10, рг = Ру= Г/Ю, p4 = 3/10.
По формуле (8) получим
; - Р!о(1о.2,з,5)=^(1)“(^(Лу.
В последовательности независимых испытаний иногда
п испытаний интерпретируют как размещение п час-
_ тиц по r = N ячейкам; вероятность. p« (i = 1,	N),
. является вероятностью попадания частицы в i-ю ячей-
ку. В случае pi = р2 — .=рп= 1/N схему разме-
щения частиц по ячейкам называют равновероятной.
(Иногда говорят о размещении «дробинок по ящи-
камквместо— «частиц по ячейкам».)
, К задачам о размещении относятся также раз-
личные задачи о «днях рождения».
Пример 4. В группе 25 студентов. Вычислим ве-
_ роятность того, что найдутся хотя бы два студента
с общим днем рождения. Будем предполагать, что
дни рождения независимы и попадание дня рождения
на определенный день года -равна 1/365. Пусть со-
бытие А = {найдутся хотя бы два студента с общим
днем рождения}. Тогда А= {все дни рождения при-
ходятся на разные дни. года}. Элементарными собы- .
тиями со в данной задаче -являются цепочки со =з-.
=(xi, х2,	Х25), где Xi — день года, являющийся
днем рождения 1-го студента; х2— второго и т. д.
Тогда для любого со по определению схемы незави-
симых испытаний р(со)=(1/365)25, а Р(А) = |А|/3652\
где |Д| — число элементарных событий, входящих в А.
Так как для со, Входящих в А, среди Xi, .... *25 нет
совпадающих, то значение Xi можно выбрать 365 спо-
собами; значение х2 — 364 способами (любой день
кроме выбранного для рождения 1-го студента).; зна-
чение х3 г-выбирается 363 способами и т. д. В ре-
зультате находим |д| = 365-364'.	*341, Отсюда
8.2. ОБЩЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСПЫТАНИИ	47
р (А) = (365*364»: ... >341)736525= 0,43130... и, еле»
доват'ельно,
Р (А) = 1 — Р (А) = О’56869 ...
3.2'. Общее определение последовательности испы-
таний. Общее описание теоретико-вероятностной мо-
дели последовательности испытаний (не обязательно
независимых) дадим в терминах изменения состояний
некоторой «частицы»’ (или физической' системы),
Пусть частица-, может находиться в -одном из г со-
стояний. Рассмотрим п последовательных состояний
частицы. За множество Q = {со} примем множество
всех возможных «траекторий» частицы <o = (xi, х2, ...
,,,, хп), где xt — состояние частицй в момент t,t —
= 1, 2,п. Таким образом, имеем .
£2={<о}, ш=(Х1, ..., хп), xte{l, 2, ..., г}, /=1,...,п.
-	'	J9)
Если известны условные вероятности Р<+г(*ж I хъ '•••
, xi) того, что. частица в момент t 1 находилась
в состоянии Xt+i, при условии, что в моменты 1, 2, ...
..., t ее состояниями являлись xi, х2, ..., xt, то со-
гласно формуле (6) § '2 вероятность элементарного
события w =.(Х1,	. х.п) определяется однозначно:
р(®.) = р1.(х1)р2(х2|хОрз‘(хз|х1,х3)....
•••РпЫХ1.......x„_t).	(10)
Здесь Р1’(хг) — вероятность того, что частица в момент
t = 1 находится в состоянии xi. _
Конечная вероятностная схема, в которой,
множество й определяется равенством (9), а
. элементарные вероятности , формулой (10), на-
зывается последовательностью п испытаний с г.
исходами.
Описание множества Q для схемы последователь-
ных испытаний в виде множества, траекторий со =
= (xf, ..., Хп) некоторой частицы’ удобно, так как
обладае’т известной наглядностью. Это образное опи-
сание можно применять к самым различным схемам,
не имеющим никакого отношения к «частицам»_-И их
«состояниям». Например, в терминах условных ве-
роятностей естественно определяется схема случай-
48	§ 3. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ИСПЫТАНИИ • -
\
ного выбора без возвращения а элементов из N эле- -
ментов (см. § 1, пример 5). В этом случае элементар-
ные события со = (xi, х2, ..., хп) определяются как
размещения из N элементов по п, а условные вероят-
ности pf(Xf|xi, x/-i) определяются следующим
образом: если извлечено t шаров, то при следующем
испытании любой из оставшихся N—t шаров извле-
кается с вероятностью 1/(М—t). Таким образом,
в этом случае pt(xi) = -^, pt(xt\xt, „., x/_i)=y^
и определение элементарных вероятностей
р(®) =
= Pl U1) р2 (х2 I Xi) Рз (х31 Х1, х2) ... рп (х„ IХЬ . . ., Х„_1) ==
__ 1	1		1	_ I
"N N—1 y-n+i — АГ1"1
совпадает с тем, которое дано в § 1 (пример 5).
Пример 5. Среди п ключей к двери подходит
только один. По схеме случайного выбора без воз-
вращения ключи извлекаются до тех пор, пока не
появится нужный ключ. Найдем вероятности событий
Ак — {нужный ключ впервые появился при ft-м испы-
тании}.
Воспользуемся схемой случайного выбора без воз-
вращения, определенной в терминах условных вероят-
ностей. Так как AkczAi при i_<ft. то_ событие Д*
можно представить в виде Ak = AiA2 ... Ak_tAk. Тогда
Р(Д4)=Р(Л.. .Х_1ЛА)=Р(Л0Р(Д2|Д|)Р(Лз1ад...
... P(4^ilA ... 4UP№IU... A_t).
Входящие в эту формулу условные вероятности не-
трудно найти, так как по условию задачи вероятно-
сти появления любого из оставшихся к данному ис-
пытанию шаров одинаковы. Таким образом,
Р(д1)==«±1, P(J2Mi) = -^., ...
.... р(л;_11Д1... Ак.2)=
р{Ак\А1...Ак^^1Г1
4.4. ТЕОРЕМА ПУАССОНА-
49
и, следовательно,
р / л \	1 . п —2 , п—3 .	. п — £ + 1 .	1____1
г ( Л) п п — 1 ’ п—2 * • • • * п — k + 2 • n—k-\-1 п “
Общая схема испытаний в качестве частного случая
содержит схему независимых испытаний, в которой
Pt(xt\XbX2, .... xt_x) = pt (xt),	/=1......п. (11)
Эту схему независимых испытаний естественно на-
звать неоднородной в отличие от схемы независимых
испытаний, введенной в п. 3.1, так как вероятности
исходов в п. 3.1 не зависели от номера испытания V.
Отметим в заключение другой важный частный
случай общей схемы последовательности испытаний.
Если условные вероятности p<(xf|xi, ..., xt-i) зави-
сят только от результата последнего испытания, т. е.
PtMxi.......=
то последовательность испытаний называют цепью
Маркова. "	-
Задачи
К Два игрока поочередно извлекают шары (без возвраще-
ния) из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара. Выигры-
вает тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятности вы-
игрыша участников.
2.	При ч передаче сообщения вероятность искажения одного
знака равна 1/100. В предположении независимости искажения
знаков найти вероятность того, что сообщение из 5 знаков: а) не
будет искажено; б) содержит ровно одно искажение; в) содер-
жит хотя бы два искажения.
3.	В некоторой лотерее вероятность выигрыша на один билет
равна^1/5. Предполагая, что выигрыши на различные билеты не-
зависимы, определить число билетов, которые нужно купить, что-
бы вероятность Q(n) получения хотя "бы одного выигрыша была
не меньше 0,9. Найти Q (п) для этого п.
4.	Каждое из 10 независимых испытаний заключается в под-
брасывании трех игральных костей. Найти вероятность того, что
в четырех испытаниях появятся в точности по две «6».
§ 4.	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
4.1.	Теорема Пуассона. В приложениях часто при-
ходится вычислять вероятности различных событий,
связанных с числом успехов в п испытаниях
БО	§ ?. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМ^ В СХЕМЕ' БЕРНУЛЛИ
Бернулли при больших значениях п. В этом случае
вычисления по формуле (7) § 3 становятся затрудни-
тельным и./Трудности возникают также и в том слу-
чае, когда приходится суммировать вероятности
событий {цп = tn). К суммированию сводится вычис-
ление вероятностей событий {а <.	Действи-
тельно,
Р’{а<рй<*)= £• ОТ'" (О
Затруднения при вычислениях возникают также при
малых значениях р или <7.
Иногда при больших п удается заменить формулу
(7) § 3 какой-либо приближенной асимптотической
формулой. Приведем три предельные теоремы, содер-
жащие асимптотические формулы для вероятностей
Р{р„ = т} и Р'{а <’ц„ <'&} при п-> со.
"Теорема 1 (теорема Пуассона)., Если n.->oo..
ц р->0 так, что пр-^К, 0 < % < оо, то
Р	= т) = Рп (т) = С”р mqn~m -> pm (Л) =
при любом постоянном т, т = 0,1,2,..,
До к а з а т ел ь с т в о. Положив пр — 1п, пред-
ставим вероятность Рп (т) в виде
Отсюда при п->оо получим утверждение теоремы.
Таким образом, при больших п и малых р мы.мо-
жем воспользоваться приближенной формулой
*	л"1
Р{цп = т}т-^-е~\ Ъп = пр. (2)
Для сравнения точных и приближенных значений
приведем следующую таблицу:
О. ТЕОРЕМЕ! МУАВРА.—' ЛАПЛАСА
61
пи	* 0	1		3	{	4	 5
Pm (пр)	0,1353	, 0,2707	2 0,2707	{ 0,1805	* 02902	; о,озбг
Рю (т)	: 0,1074	0,2684	0,3020	’ 0,2013	0,0880	1 0,0264
Рюо (т)	0,1326	0,2707	02734	0,1823	0,0902	0,0353
При п=10 вероятности Рп(т) вычислены для
р = 1/5, а при п = Г00.— для р = 1/50.
Если мало значение </, то пуассоновским прибли-
жением можно воспользоваться для. числа неудач.
Пример 1. В таблице случайных чисел цифры
сгруппированы по. две. Найдем приближенное значе-
ние вероятности того, что среди 100 пар пара 00
встретится не более двух раз.
Воспользуемся схемой Бернулли с п = 100 испы-
таниями. Если появление пары 00’ назвать «успе-
хом.», то нужно положить р = 0,01, q = 0,99. Точное
значение вероятности события {щоо. 2}., где Цюо —
число пар 00,. находится подформуле (7) § 2
Р {|* 100^2} — Р {рюо = 0}~Ь Р {;И1оа=	-
= О,99|оо+ 100 • 0,01 • 0,99" + 10°2— • 0,012 - 0,9998. '
В этом случае можно воспользоваться теоремой 1,
формулой (2) с = 0,01-100 = 1 и таблицей 3. По-
лучим 	.	.
Р {Цюо < 2} « 0,3679 4- 0,3679 + 0,1839 = 0,9197.
4.2.	Теоремы Муавра— Лапласа.
Теорема? 2 (локальная теорема Муавра —•
Лапласа). Пусть р (0<р<1) постоянно, хт =
= (пг — np)l^Jnpq, С > 0 — любая постоянная. Если
| хт | С, то при п-*-<х>
P{^ = m} = C^pmqn-m^
,2
1
~ "7==-'в	2 Д-*тп (1 “Ь m)t (®)
_	у
52
§ 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
где Ахт=* \l^/npq, 18n,M | < С^п , С\ > 0 — некого^
9 рая постоянная.
Таким образом, в качестве приближенных значе-
ний вероятностей РЛ(/п) = Р{^л = т} можно взять
/ величины
/ m — лр \	1
\	) *Jnpq *
где
1
На рис. 6 приведены графики функций
и в точках и =.т, т = 0,1,2, ... отложены вер-
тикальные отрезки,' длины которых равны величинам
Рп(т):
а)	Значения Рю (tn) при т = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
равны 0,1074; 0,2684; 0,3020; 0,2013; 0,0881; 0,0264;
0,0055; соответствующие приближенные значения рав-
ны 0,0905; 0,2308; 0,3153; 0,2308; 0,0905; 0,0191; 0,0021.
Рис. 6.
= 4.2. ТЕОРЕМЫ МУАВР А —ЛАПЛАСА
53 '
б)	Значения Рюо(т) при т = 11;14; 17; 20; 23; 26;
29; 32 равны 0,0069; 0,0335; 0,0789; 0,0993; 0,0720;
0,0316; 0,0088; 0,0016; соответствующие приближен-
ные значения равны 0,0079; 0,0324; 0,0742; ,0,0997;
0,0.742; 0,0324; 0,0079; 0,0011.
Доказательство локальной теоремы приведено в
приложении.
Отметим, что в условиях теоремы* 2 из того, что
следует стремление к бесконечности т..
Теорема 3 (интегральная теорема Муавра —
Лапласа). Если вероятность успеха в каждом испы-
тании р, 0 < р < 1, постоянна, то при п-+ оо
ь ,	;	’
— ~4==\е~~Т dx->0>	(4)
(.	V»P<7	) V2ji J
- равномерно no a, b, —a b -J-oo.
Доказательство. Приведем доказательство
этой теоремы при фиксированных а, Ь, —оо < а
^6 <-£-оо*). Очевидно, что вероятность события
{аfln~p- Ь| можно представить в виде
J
' где хп——7=2- и суммирование ведется по тем зна-
...
чениям tn, для которых хт^[а,Ь]. Применяя к сла-
гаемым (5) локальную теорему, получим
Pn(a,b)=Sn + Tn, '	. (6)
где
V-1	1
Sn= S 2 Лх"”
- хте[а. Ь]	.
—J	W
~ ~~/^е	2 ^xnfin,m-
хте(а. b] V
*) Доказательство равномерной сходимости по а и b дано,
например, в [4].	"
$4
§ 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ; ТЕОРЕМЫ В (.СХЕМЕгБЕРНУЛЛИ '
Заметим, что £п (отличается :не более чем двумя
слагаемыми ;от [подходящим ойбразом .-выбранной
интегральной (суммы, (соответствующей ’интегралу
Г&
1 т _2L
——. \ е 2 dx. Следовательно,
пУЗл
.lim'Зл =-т==-‘А.е 2 dx.
П-»оо	-у2л V
(7)
ДляТп имеем
*т
Мп I = _ У*, \72jF*	2 т(^г
xmsla' Ь] П	'
У*, т == ОГ /—^
хп^1а;ь]	'
Таким образом, при л->оо ;
Тп->0.	(8)
Утверждение теоремы при постоянных d, b, —oo<Z
1_<а<6<+о°, следуем из формул ,(5) — (8).
.’Приближенная-формула .
Р f а	« ЦкД е Ux =’Ф (6) - Ф (а),
I ^Jnpq ' <J д/2л J	\	\ />
-	*	*	X?) -
где
Фм=^'$е’^л’ <10> \
— СО	- •!
дает хорошее приближение, когда т достаточно ве- J
лйко, а р ,и q не гочень .близки к д^улю. Часто нор-
мальным приближением пользуются при лр^З>>20.
4.2. ТЕОРЕМЫ 'МУАВРА'" ЛАПЛАСА;
553
Численное значение интеграла (10) можнощайти, вос-
пользовавшись таблицами 'для* функции
ф»м= vhk4 dt- . <«>
При> небольших значениях, npq. приближенную фор-
мулу (9)" нужно- заменить- следующей формулой
(см. .[13] гл. § 2 стр. 189):
Р	< Ь	Ф ('Ь+ J__Y- Ф (а U=\.
I упря ) X	2 Vnpq J \ npqj
(12)
Приведем таблички точных и приближенных, зна-
чений вероятностей событий- {mi т2}\ Поло-
жим
. Р(mb т2]== Р{(tit <</П2}г= Р (л	<Jftl♦
v	-у npq.	j
Ро (mi> /п2),= Ф (x2) —
Pi (mi, m2) = Ф (x2 + -y) —
rj^'H=\^npq, xi =^{mt>—np)hi x2-= (tni — np)fa..
a) n » 10
,p	Wb ГИ2	0; 2	- 3- 5 -	6;i 8	9; 10.
0,2	 P (mb. т2) :	’ 0,6778	. 0,3158	0,0064"’	0,0000
	Ро (/П1, m2) .	0,4429	, 0,2059.	0,0007	0,0000
	Pi (mt, tn*)	0,6316<	> 0,3455 .	0,0029	0,0000
O',5	P (mi, tn2)	0,0547	0,5684	03662	0,6107
	Po fjiti, m2)	0,0277 -	0,3980	' 0,2356	. 0,0057/
	Pi (mi, m2)	0,0558,	f 0,5696	0,8651	0,0133-
56
§ 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ В СХЕМЕ БЕРНУЛЛИ
6) и =100, р = 0,2
Шр ГП2	0; 9	10; 15	16; 20	21; 25	26; 30	31; 40
Р (mi, m2)	0,0023	0,1262	0,4310	0,3531	0,0814	0,0061
Po(mi, m2)	0,0030	0,0994	0,3413	0,2957	0,0606	0,0030
Pi (mi, m2)	0,0041	0,1250	0,4223	0,3480	0,0795	0,0043
в) п = 100, р — 0,5
mi, m2	30; 35	36; 40	41; 45	46; 50
P (mi, m2)	0,0017,	0,0267	0,1557	0,3557
P0(mi, m2)	0,0013	0,0202 ,	0,1227	0,2881
Pi (mi, m2)	0,0018	0,0269	0,1563	0,3558
Формула (9) позволяет также оценить близость
частоты и вероятности. Пусть р — вероятность успеха
в схеме Бернулли и — общее чиело успехов. Час-
тотой успеха называют отношение рп/п. Оценим ве-
роятность события 1— р | < Д j. Если п доста-
точно велико, то можно воспользоваться формулой
(9). Тогда
_д А/л_ <	< д A/JL1«
(. V pq Ajnpq	V pq )
A *Jnlpq
"js S	(13>
-b'yjnlpq
1 —
так как функция —7=- e 2 — четная. Значение
V2n
ф°(д V-й-)
находится по таблице 1 в конце книги.
'4.2. ТЕОРЕМЫ МУАВРА— ЛАПЛАСА
57
Пример 2. Две монеты подбрасываются п =
= 1000 раз. Пусть — число выпадений комбина-
ции «герб — герб». Найдем приближенное значение
вероятности того, что число комбинаций «герб—•
герб» заключено между 236 и 264, т. е. оценим ве-
роятность Р {236 < Цп < 264}.
' В качестве математической модели воспользуемся
схемой Бернулли. Появление комбинации «герб —
герб» назовем «успехом». Тогда р — 1 /4, 9 = 3/4.
Применим интегральную теорему Муавра'—Лапласа.
Используя значения пр = 250, ^npq « 13,7, запи-
шем событие {236 < |лп < 264} в, форме, исполь-
зуемой в теореме 3*
{236 < и. < 264) _{} -
По формуле (9) находим	z
Р {236 < р„ < 264} = Р ( - 1.02] <	< 1,02 I «
I	Nnpq	J
t T _
~-4=- \ e . 2 dx = 2Ф0( 1,02) = 2 • 0,3461 =0,6922.
У2П-б2 '
Значение Фо (1,02) найдено по таблице 1.
Часто возникает обратная задача: сколько нужно
провести испытаний, чтобы частота рп/п отличалась
от вероятности р не больше, чем на Д, с вероятностью
1 — 2а (а — мало) ? В таких задачах естественно счи-
тать р неизвестным. Тогда, чтобы подобрать наимень-
шее п, при котором вероятность отклонения будет
равна 1—2а, нужно согласно (13) решить уравнение
2Ф«(Ал/-^) = 1-2“-
Решение будет зависеть от неизвестного р. От этой
зависимости можно избавиться, если потребовать,
чтобы
p{|jJ--p|<A}>l-2a.
581
. §;5. СЛУЧАЙНЫЕ. ВЕЛИЧИНЫ
Тогда из (13);. используя неравенство pq 1/4, по-
лучим
р {I л - " I < А}"2 "  (д л/^7) >
^>2Ф0 (2Д*\/п)»=4— 2а
и для определения>п имеем- уравнениеФо(2А Vn)t=^ .
=~Т~ • По таблице можно найти иа, для которых,
Фо(«а)=-^-у—•. Тогда 2Д = «а и1«а/4Д*. До-?
вольно часто используются значения 2а, равные 0,05
и 0,01. Для этих значений соответствующие и„ равны
1,960 и 2,576,	-
Задачи
1; Найти приближеннное выражение вероятности того, что
число’выпадений «1» при 12 000 бросаний правильной игральной
кости заключено между 1900 и 2150.
2. Полагая вероятность рождения мальчика равной 0,515,
найти вероятность-того, что среди 10ООО'новорожденных маль-
чиков будет не больше, чем девочек.
•3. Книга в 500 страниц содержит 50 опечаток. Используя
схему Бернулли в качестве математической модели распределе-
ния- опечаток по страницам,* оценить вероятность того; что на
определенной странице будет не менее трех опечаток. Вычислить
точные значения вероятности, а также пуассоновское приближе-
ние. Сравнить результаты.
41 Вероятность выпуска сверла повышенной.» хрупкости
(брак) равна. 0,02. Сверла, укладываются в коррбки по. 100 штук-
Пользуясь законом Пуассона, определить вероятность того, что
а)	в коробке не окажется бракованных сверл;
б)	число бракованных сверл: не .превосходит. двух.
5* «Сколько нужно взять случайных цифр, чтобы среди них-,
с вероятностью, не.меньшей 0,9, цифра.«6» появилась хотя бы
один раз?
6. Сколько * раз нужно бросить монету, чтобы частота; вы-
падения герба отличалась от 1/2.. не более чем на Д с вероят-
ностью, не меньшей. 1—2а (2а = 0,05, А = 0,1)?
§ 5, СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.1. Случайные величины в конечной схеме. Рас*
смотрим конечное вероятностное пространство
(Й,^, Р) е
5.Т.- СЛУЧАЙНЫЕ! ВЕЛИЧИНЫ' В, КОНЕЧНОЙ СХЕМЕ	59
Числовую - функцию £=^(©) от ‘элементар-
ного события ©е Й назовем случайной ве-
личиной.
Будем обозначать случайные величины греческими
буквами	v, ...., иногда .случайные величины
обозначаются 'прописными латинскими буквами X,
Y,Z,...
В модели конечного вероятностного пространства
каждое .элементарное событие.шей .сопоставляется
случайному исходу некоторого случайного явления,
а случайная величина £ — £(©) приписывает этим
случайным исходам “Числовые значения. Такими обра-
зом, случайная величина в зависимости от случая
принимает разные числовые- значения.
Пример 1. При "бросании игральной кости воз-
можны шесть элементарных исходов. Обозначим эле-
ментарное событие ©,-, если на кости выпало i очков.
Тогда ‘'й—‘{©1,-®2,'®з,«>4,'©5,©б}, а случайная вели-
чина. £(©}) —;Л равна'числуочков, выпавших на кости
при бросанйи.
Прим е р.й. 'Весхеме.'Независ'Имых испытаний Бер-
нулли (см. § 3) множество.й-состоит из. элементарных
событий © = (xi, хг, ..., хп), тде 'Xi= 1, если при
i-м испытании произошел успех, я гхг — О в '.случае
Неуспеха. Случайная 'величина p=:p(®) = xi’+^
+ Х2+ ... '+'ХП равна числу успехов при п испыта-
нияхзв схеме гБернул ли.
Любую константу С можно рассматривать как
частный случай '.случайной величины’.£ = £(©)= С.
Такие случайные-величины будем называть - вырож-
денными. .Простейшими-.случайными •,величинами, от-
личными от -вырожденных, являются индикаторы.
,С каждым событием. Де^ можно связать случай-
ную величину
'Г1, если ©е'Д,
{V0, если ©^Д,
называемую индикатором сббытия-Д.
• Пример 3. .В п .испытаниях' схемы Бернулли
(см. пример .'2) определим события Д/='.{вТ-м испы-
тании наступил «успех»}, i = 1, 2, «.'Случайную
§ в. СЛУЧАЙНЕЕ ВЕЛИЧИНЫ
величину цп, равную числу, успехов, можно предста-
вить в виде суммы индикаторов:
Нп = %а1+%а2+ ••• +Хдп«	(О
Действительно, pn(xi, .... xrt).= Xi + Хг Ч-' Ч"ХП,
а, с другой стороны, %Л/(Х1...хп) = х/. Представ-
ление (1) часто используется при исследовании вели-
чины рл.	-
Индикаторы удовлетворяют следующим легко про-
веряемым свойствам:
—	Ха^1, ХЛВ=ХЛХВ> ХЛ = 1~ХЛ.
у . Если события А и В несовместны, то
Хл+в=Хл + хв.
В самом деле, Хл+В(®) = 1 равносильно условию
(о е А -]- В. Это значит, что либо со <= А и со В, либо
и ogB, т. е. либо %л = 1 и хв= 0. либр
Хл=°и Хв= 1.
Нетрудно по индукции установить, что
ХЛ1а2 ... ап — Ха,ХЛ2 • • • ХЛ„
для любых событий 41,..., Ап, и
X. , ... = Х. + ... + ХЛ
^1 + ... +Ап Л!	Ап
для. попарно несовместных событий Ai, А2, ...,Ап.
Пусть Xi < Хг < ... < хп — всевозможные значе-
ния случайной величины £. Обозначим событие At —
== {со: g(co) = X/}, состоящее из всех тех элементар-
ных событий со, для которых g (со) = xt. Так как х, все
различны, то-события А, и А/ при i =/= j несовместны.
Поскольку xi, Хг, ..., х* исчерпывают все возможные
k
значения g, то Jj4z = Q. Таким образом, со случай-
ной величиной § можно связать разбиение с^, состоя-
щее из множеств
4f = {<o: |(to) = xz}, г = 1, k, „	(2)
на которых £(со) постоянна. Разбиение а6 мы будем /
называть порожденным случайной величиной £.
£1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В КОНЕЧНОЙ СХЕМЕ
61
Случайную величину £ можно с помощью разбие-
ния (2) представить в виде линейной комбинации
индикаторов	*	.	'
k
£=£(«>)=	(3)
i=l 1
так как левая и правая части (3) принимают одно .
и то же значение xi при со е А/.
Пример 4. В примерах 2 и 3 положим п = 3.
Тогда Q= {ООО, 001, 010, 011, 100, 101, 110,’ 111}.
Случайная величина [л3 (число успехов в трех испы-
таниях) определяет следующее разбиение
Ло = {©: р3 = 0} = {000},
Л1 = {®: Из = 1} = {001, 010, 100},
Л2 = {<в: Из = 2} = {011, Д01, НО},
Л3 = {®: р.3 = 3} = {111}.
Представление (2) для ц3 имеет вид
При любом ией ровно одна из величин %л?
отлична от 0.
Законом распределения Р{(В) случайной вели-
чины £ мы будем называть вероятность Р5(В) =
= Р{|еВ}, определенную для каждого числового
множества В. Закон распределения случайной вели-
чины £ определяется ее значениями xi, хг, ..., х*
и вероятностями P{g = Xi} этих значений. Обозначим
Р {В = Xi} = pi. Тогда закон распределения можно
определить с помощью таблицы
	Хг	. . •	%k
Pl	' Р2	. . .	Pk
верхний ряд которой состоит из различных чисел xi,
а числа нижнего ряда удовлетворяют условиям
k
Pi^O; S Pi — 1. Эти условия вытекают из того, что
€2
5 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
к
pt = Р (4,)— вероятности разбиения У А, = Q, от-
i-i
k
куда из аксиомы аддитивности следует	У Р (Л/) =>
. <=i
₽=P(Q)=1. С помощью таблицы (4) можно опреде-
лить вероятность
-P{g<=B} = X Pt	(5)
для любого числового множества В.
В теории вероятностей* часто рассматривают слу-
чайные величины £ с законом распределения (5), не
указывая ни вероятностного пространства (й, <5$, Р),
ни функции £(<о), "которая задает случайную вели-
чину. В этом случае предполагается, что существует
какое-то вероятностное пространство (&,«$$, р.), на
котором можно определить функцищ ? = так,
что таблица (3) будет задавать ее„закон распределе-
ния. Выбор вероятностного пространства каждый раз
определяется существом задачи или простотой полу-
чающейся схемы. Простейшим вероятностным про-
странством, связанным с законом распределения (5)^
будет пространство в котором множеством элемен-
тарных событий является множество значений слу-
чайной величины Q = {xi, Хг, . .т, х*} с элементар-
ными вероятностями p(xt) — pt. Случайная величина
определяется тогда функцией £(х,) = х/.
Закон распределения индикатора %А события А
определяется таблицей
0	1
1-Р(4)	Р(4)
Каждой случайной величине соответствует закон рас-
пределения. Один и тот же закон распределения мо-
гут иметь разные случайные величины. Обратимся
к примеру 1 с бросанием игральной кости. Обозначим
события А = {(01, (Оз, ©в}, В => {юг, о>4, (о6}, т. е. собы-
тие А = {число выпавших очков нечетно}, событие
В = {число выпавших очков четно}, С этими собы-
тиями связаны разные случайные, величины и
KI. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В КОНЕЧНОЙ СХЕМЕ _	-63
Однако в силу равенства р(Л)= Р(В)?= 1/2 эти
разные случайные величины' имеют один и_ тот же
закон распределения (6).
Закон распределения g иногда называют кратко
просто законом или распределением. Законом -рас-
пределения часто называют задающую его таб-
лицу (4).
Приведем несколько законов распределения.
1°. Биномиальный закон для числа успехов ц.п при
п независимых испытаниях в схеме Бернулли
P{Hn = /n} = C^p'n(l-p)'t~m, m = 0,l.....n
(см. (7)§3).	,	,
2°. Гипергеометрическое распределение — распре-
деление числа белых шаров | в выборке без возвра-
щения объема п из урны, содержащей М белых
и N — М черных шаров (см. п. 1.6, пример 4) _
=	=	m = 0,l, .... min(n, M).
CN
3°.'Равномерное распределение на {X 2, N}i
.	P(£ = m} = ^,	m—1, 2......-N.	.
С помощью числовой функции у= g(x) и случай-
ной величины Jj = g(co) можно получить новую слу-
чайную величину г) = т](®) = £(£(®))- Если функция-
g(x) такова, что различным значениям J- роответ-
ствуют. различные значения я (т. е. g(xi)=£ g(Xj) для
то разбиение (2), порожденное g, совпадает
с разбиением, порожденным г), так как	'
А = {ю: £(®) = xj = {®: g(l(®))	(*/)}•
В этом случае закон, распределения i] = g(g) за-
дается таблицей
g(*l)	е(*2)	• * *	g(**)’
pl	Р2 .	• • •	Pk
64
$ 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
а рама случайная величина т] представима в, виде
суммы
к '
tl = g(g)= ZsMXa,.	(8)
Если же при некоторых j g(xt) — g(xj), то закон
распределения rj =g(l) будет цным, хотя его легко
получить из таблицы (7). Обозначим у\ <у2<
... < ут все различные значения величины т) = g(i).
Тогда закон распределения т) определяется таблицей
У1  Ут
Я\ я2 ••• Ят
О)
где в верхней строке выписаны все различные зна- .
чения g(xi) верхней строки (7), а в нижней строке
— это сумма тех pi, для которых g(xi) = yj. Заме-
тим, что равенство (8) справедливо и в том случае,
когда g(Xi) при-яекоторых xi совпадают.
Пример 5. Пусть g случайная величина с зако-
ном распределения Р {£ = £} =-^-, k — О, 1, 2, ..., 9,
и функция g(x) = (x— 5)2. Тогда случайная вели-
чина q = (£— 5)2 будет иметь следующий закон рас-
пределения: Р {'«1 = 0} = Р{л==25} = 1/10, Р {г) = 1} =
==Р{'Л = 4} = Р{т)=9} = Р{'«1= 16} = 1/5. Вычислим,
например, Р{«] = 4}. Имеем
P{n = 4} = P{(£-5)2 = 4} = P{g = 3} + PG = 7} = '
= 1/10+1/10=1/5.
5.2.	Случайные величины в счетной схеме. Пусть в
вероятностном пространстве (Q, р) множество
£2 = {ю} = {®1, со2> ....	...}
счетно, состоит -из всех подмножеств Q, а вероят-
ность Р задается элементарными вероятностями
р(<в). Случайная величина £ в этом случае тоже
определяется как числовая функция 5 = 5(а>) от
элементарного события. Множество различных зна-
чений Xi случайной величины £ может быть конечным
б.З. случайные величины в общей схеме
63
или счетным. Аналогично (2) со случайной величи?
ной | можно связать разбиение а^, состоящее из мнсй
жеств
•At — {-«в: £ (<в)= хг}, ' I = 1, 2, ...,
однако число таких множеств может быть счетно,
тогда порожденное £ разбиение называется, счет-
ным. Представление' £ в виде суммы, аналогичной
ДЗ), приводит к ряду
g = ^(®)= ЕхгХдр	• (10)
в котором справа при каждом <в имеется не более
одного ненулевого члена. Закон распределения
P{ge В) в этом случае задается таблицей, анадо-
гичной (4) и состоящей из двух бесконечных строк,
оо
определяющих вероятности Р {£ = xj = ph S р/ = 1.
Приведем два распределения, часто встречаю-
щихся в различных моделях.
1,	Пуассоновское распределение определяется ве-
роятностями
P{l = m} = —e-a, m = 0, 1, ....
зависящими от параметра а > 0. Легко видеть, что
со
am „	.
в этом случае выполняется условие >	— *•
m=0
2.	Геометрическое распределение зависит от пара-
метра 0 < р С 1 и определяется вероятностями .
~	—tn} = pmq, = 0,1,2, .... q = l—p.
оо
В этом случае также выполнено условие У, pmq— 1.
<	m==0
5.3.	Случайные.величины в общей схеме. Функция
распределения. В случае произвольного вероятност-
ного пространства (Q, Р) случайной величиной g
называется такая функция £ = В (<в) от элементар-
ного события <в, для которой при любом численном
3	В. К. Захаров и др.

66
5. СЛУЧАЙНЫЕ величины

значении х множество {со: 0e)Xx}6j#, т. е. нера-
венство . {£ х} является событием. Вероятность
этого события Р{£^х} называется функцией рас-
пределения. Мы будем обозначать ее (х), а иногда
просто Г(х).
Пример 6. Пусть в вероятностном пространстве
(Q, Р) Q состоит из точек (х, у) единичного квад-
рата плоскости 0 х < 1, 0 у & — квадри-
руемые множества этого
квадрата, а вероятность
Р (Я) = | А | — это площадь'
множества А. “Определим
случайную величину £ = хл»
где хА — индикатор собы-.
тия А (т. е. хл(®) = 1, если
аеЛ, и Хл (®) = 0. если
со9= И). Случайная величи-
на £ имеет всего два воз-:
можных значения | = 0 и Jj = 1. Ее функция распре*
деления определяется равенствами .	. 
. 1.
7-PI
х
о
1
Рис. 7.
'0 при х < 0,
F5(x)=JPG4J=l-M|
при
0<х<1,
.1 при х^1;
график показан на "рис. 7. Если множество В не
квадрируемо, то функция элементарного события
g(со), определяемая равенствами
( 0, если в s В,
Я(®) = | если
не будет случайной величиной,_ так как множество
{о: g (со) ^1/2} совпадает с множеством В, которое
не является событием и для которого не определена
вероятность.
Свойства функции распределения. Функция рас-
пределения Fj(x) задает закон распределения
Pg(Bj = P{|sB}	(П)
для достаточно богатого набора числовых мно-
жеств В. Пусть. xi<I X2, Тогда событие {£ х^
5.3. случайные величины в общей схеме	67
можно представить в виде суммы несовместных со-
бытий {t xi) 4- {xi < К х2}; применяя аксиому
сложения АЗ, имеем Р (£	х2) = Р{£ С xi}jfcP{*i<3
В х2}, откуда получаем '	-
Р {*1 < В< х2) = Fi (х2) — Fi (xi) ’	(12)
'Таким образом, с помощью формулы (12) функция
распределения Fi(x) определяет вероятность Р{В-е
,е В} для В — (xi, х2] — полуинтервала, открытого
слева и замкнутого справа. С помощью функции рас-
пределения Fi(x) можно определить вероятность по-
падания £ в множества В, представимые в виде сум-
мы непересекающихся интервалов (конечных или
бесконечных) . Пусть —оо xi < yi х2 •< у2 ,
... хдг < г/лг Чг00 и В '=' J (*п> Уп\‘ Тогда по
/1=1	' -
аксиоме сложения АЗ и формуле (12) имеем
N ' -
Ps (В) = р {В е В) = Е [Л (у„) - Fl (х„)1. (13)
п=1
Формулу' (13) можно распространить и на сумму
счетного числа интервалов (х*, Для этого надо,
применить расширенную аксиому сложения А4.
Если х1 = —оо или уы == +<*>, то в (13) появляются выра*
жения (— оо) и F% (-)- оо). Определим их как пределы
Л(+°°) =» lim А (х), Tt (— оо) = lim Ft (х) й докажем, что
Ъ	Х->+°о	6	Х-»-оо	ь
Г^(+оо) = 1 и F(—оо) -== 0. Введем события Ал == {=—п <
5^ n}t п = 1, 2, > • •, Ло’,= 0, и Вп = Ап X Ап—। = {п — 1
п} + {—п < g	—(n — 1)}. Нетрудно видеть, что . события '
~ v
Вп попарно несовместны и й ~ л поэтому по расширенной
Л=1
аксиоме сложения А4
. оо	_ ЛГ '	‘
1 = Р(Й)=У.Р(В„)= lim £Р(В„)~
П«1	00 71=»1
« lim	Um Ft (У) - lim F (—#)==«
eiFt(+«>)_^(_TO), p4)
3«
€8
§ 5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ'
так как AN == £ и Р (А^) ~	(— ^). Все значе-
П=1
ния F^ (х) лежат между 0 и 1, поэтому 0 < (Т <*>)	1, и из
(14)	следует F^ (+ со) = 1, F$ (— оо) «• 0.
Обозначим /\(х —0) предел lim F^(x — — Y который
*	n->00 . * х П /
называется пределом в точке х слева. Покажем, что F^ (х — 0) —
«= Р {£ < х). В самом деле, событие {£ < х} представимо в виде
°°
счетной суммы попарно несовместных событий X {*-7^1 <
п«=1	• '
< К х — j ^при п = 1 мы полагаем |—и — 1 <
— — j =я < х — 1}). По аксиоме А4
Р й < х}

Теперь мы можем доказать, что
P{g«x}-^(x)-Fs(x-0).
(15)
В самом деле, (15) легко следует из (^ ^} =	< х} + g =
= х} и аксиомы АЗ. С помощью формул (12) и (15) легко те-
перь получить вероятности попадания в открытый и замкнутый
интервалы. Так как при Xi < х2 имеют место соотношения {х>
< 5 < Х2} = {£ — X,} + {*1 < К Х2} и {Х1 < g < Х2} » {Xi <
< I < х2} + {5 » х2), то по аксиоме АЗ имеем
Р {*!<$< Х2} ~	(Х2 - 0) -	(Xj)..
Можно показать, что предел в точке х справа F^ (х + 0)«
«= Hm F^ (х + функции распределения равен F^ (х) (это
свойство означает, что функция распределения непрерывна спра-
5.3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ
69
ва). Для этого надо применить аксиому А4 к сумме {х < g
оо
/2 = 1
Таким образом, функция распределения F(x) об-
ладает следующими свойствами:
1)	0 < F(x) 1 для всех х;
2)	F(xi) F(xz), если Xi Хг;
3)	?(—оо) = 0, F(4-oo)= 1;
4)	F(x + 0) = F(x).
Можно показать, что любая функция F(x), обладаю-
щая перечисленными свойствами, может быть функ-
цией распределения некоторой случайной величины.
Дискретные и непрерывные случайные величины.
Формулой (9) на общем вероятностном простран-
стве (Q, Р) можно задать случайную величину g,
если под А/, 1 = 1, 2...  понимать	события, обра-
зующие счетное или конечное, разбиение, т. е. по-
оо
парно несовместные события, для которых
Закон распределения Р^(В)= Р{^В} в этом
случае задается вероятностями Р{£==х<} так, что
РНЛ)=» S	(16)
х^в
Таки^ случайные величины и их законы распределе-
ния (16) называют дискретными. Все случайные ве-
личины п. п. 5.1'и 5.2, определенные на конечном или
счетном вероятностном, пространстве, являются дис-
кретными.	х-
Другой важный класс случайных величин обра-
зуют так называемые непрерывные случайные вели-
чины |, для которых p{g = x}= 0 при любых х.
В этом случаефзакон распределения (В) нельзя за-
дать формулой (16). Мы будем рассматривать такие
непрерывные случайные величины g, закон распре-
деления которых можно задать с помощью формулы
' P(£<=B}=$pg(x)dx,	(17)
в
?0	§ 6. случайные величины
где , р{(х) 0 —: интегрируемая функция. Функция
Pl(x) называется плотностью распределения случай-
ной величины Из (17) следует (при В = (—оо, оо)),
что
^p$(x)dx = L	(18)
В практически важных случаях функции pf(x) ока-
зываются непрерывными или кусочно-непрерывными.
Если В = (—оо,х),-то из_(16) получаем связь между
плотностью pi(x) и функцией распределения
Bj(x) = pi (u) du.	(19)
— ОО
Из этой формулы следует, что в точке х, в которой,
непрерывна плотность pi(x),
и при Дх > 0 и Дх->О
Р {х < | < х + Дх) — pi (х) Дх + о (Дх).
Любая кусочно-непрерывная неотрицательная
функция р(х), обладающая свойством (17), может
быть плотностью некоторого распределения вероят-'
ностей.	'
Приведем несколько примеров часто встречаю-
щихся законов распределения непрерывных случай-
ных величин.
1°. Равномерное распределение на [а, задается
плотностью	’	.___j
{. 1  , ' если 0 х < Ь,
b-а
О, если х<а или х>Ь.
График плотности у = р{х) равномерного распреде-; 5
ления см. на рис. 8, -—~ - ------ ‘	"
в.з. случайные величины в общей схеме
71
2°. -Показательное распределение задается плот-
ностью, зависящей от параметра X > О,
х>0,
х < 0.
( ‘ке~Кх, если
t 0, если
График у = р(х) см. на рис. 9.
3°. Нормальное, или гауссовское, распределение
задается плотностью, зависящей от параметров
.—оо <а<»ио>0:
(х-а)»
р(х);=-'е'	.
-у2л <7
График у = р(х) см. на рис. 10.
При пользовании формулами (17), (18) или (19}j
надо помнить, что плотность р(х) часто задается раз-
ными аналитическими формулами . на разных интер-
валах.
П р и м е р 7. Вычислим функцию распределения
случайной величины, равномерно распределенной на"
-отРезке [а, &]. Для этого воспользуемся формулой
72
§ 5. СЛУЧАЙНЫЕ величины
(19) и заданной выше плотностью р(х) равномер-
ного распределения. При х < 0 имеем F(x) = .
X
=p(u)du — Q. Если а^х^&, то
— оо
х	а	х
F (х) = р (и) du = р (и) du + р (и) du — .
— оо	—оо	а
X
л ]	1 С 1 X сь
=: 0 "1—7--------\ du = -----------•
1 b — a J b — а
'	а
Если х > Ь, то
а	Ь	х
F (х) = р (и) du + р (и) du 4- ^р (и) du —
-оо	а	b
Ъ
=0 + т-^- (du+ 0=1.
*	1 b — a J 1
Таким образом,
Рис. 11.
F(x) =
' 0, если х < а, .
х — а	__.
—2 -г----, если а х
о — а
1, если х>&.
X '
График функции распреде-
ления y = F(x) показан на
рис. 11.
5.4. Функции от случайных величин. Пусть !• —
непрерывная случайная величина с функцией рас-
пределения Fj(x) и плотностью pfc(x). Если g(x)—
числовая функция от действительного аргумента х,
то можно образовать случайную величину ц = ё’(1)>
которая является функцией от £. Спрашивается, как
по закону распределения £ найти закон распределе-
ния т)? Приведем несколько примеров, из которых
станет ясно, как надо поступать в общем случае. Мы
ВЛ. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
73
будем рассматривать непрерывные случайные вели-
чины, для которых Р{В = *} = О, поэтому функция
распределения F$(x) будет непрерывна во всех точ-
ках и РЙ С х} = P{g < х} = F?(x).
Пример 8. Рассмотрим линейную функцию
g(x)= ах + Ь. Положим r)=-ai + &. Если а > 0, то
по определению функции распределения
(х) = Р {т) < х} = Р {al + b < х} =
=р{в<2НгЧ=^(24:±)>
откуда p4(x) = f;(x)==F'(^-)4 = ^P6	.
Если а < 0, то имеем
/%(х) = Р {Т) < х) = Р {al + b < х} =
И	'
.	«=р;«=-j п {Чг)=-1 к (^) 
Объединяя эти два случая, имеем
Пример 9. Рассмотрим монотонно возрастаю-
щую функцию g{x) = x?. Положим т) = £3. Имеем по
определению функции распределения
Рп (х) = Р {n < х} = Р Й3 < х} = Р Й < х^} = Ft (х1'3}.
Дифференцируя это равенство, получаем выражение
для плотности рп (х):
Рп W = Р'п W = Fi (*1/3) • Т*-2/3 = 7 x~2,3Pt <х'/3)-
Призер 16. Рассмотрим монотонно убывающую
функцию g{x)—e~x. Найдем Гч(х) и рч(х) случай-
ной величины т| = е~^. Имеем при х >. О
Л(*)==Р{п<х}==Р{е-^<х} = РЙ>-1пх} =
= 1-РЙ<-1пх}=1 -Fj(-lnx),
§-5. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Т4 -
Откуда
Pn W =	(*) = 7 Fg (— In х) = J PS (— In x).
Jlpn x<0 Fn(x) = P{r) <x} = 0, так как r) = e-5>0
При всех Поэтому на отрицательной полуоси
^ч(х)=р;(х)=о. .
Пример 11. рассмотрим немонотонную функцию
gr'(x) = x2. Найдем Гч(х) и рп(х) случайной величины
jj == £2. Имеем при х > О
f п w=р {п < 4=р а2 < х)=р {- л/х < g < v х}_=
*»p{g< V*} — р <—V = А( V *)—Л (—V*)»
откуда
Рп(х) = Р'п(х) =
6 Ш 777 + 777 Ft (- Vx) = ^77 ,(ps V*) +
z'Ya...
+ ps(-V*))-
При x 0 имеём (x) = 0 и pn (x) = 0.
Задачи
1.	Бросается игральная кость. Обозначим события А = {чис-
ло выпавших очков четно}, В = {число выпавших очков делится
на 3}. Найти: а) закон распределения %д; б) закон распределения
{(в; в) разбиение, порожденное случайной величиной £ = Хд +:
Хв, и ее закон распределения.
2.	На пустую шахматную доску случайно ставится слон. Ве-
роятности поставить слона на каждую клетку будем считать оди-
наковыми. Найти закон распределения £ — числа битых полей.
3.	Из 28 костей домино сл^айно и равновероятно выби-
вается одна. Найти закон распределения суммы очков £ на ее'по-
ловинах.
4.	Случайная величина* £ имеет пуассоновское распределе-
ние с параметром а. Найти вероятности событий: А == {£ — чет-
ное}, В = {§ — нечетное}. Указание. Воспользоваться рядами
л=0	п=0
5. Плотность распределения £ задана формулой
Рг = {
Сх~312
о
при X > 1,
При X < 1.
Найти С и функцию распределения (х)..
6.1. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ	7|
6. Производится стрельба по круглой мишени радиуса А-
Найти функцию распределения F^ (х) и плотность (х) слУ*
чайной величины равной расстоянию от центра мишени точки
попадания, если точка попадания равномерно распределена по
мишени.	'
7, Мишень радиуса г десятью концентрическими окружное
k
стями радиусов	« 1, 2, нп 10, разделена на
10 частей, которые занумерованы, начиная от центра, числами
10, 9, ..., 3, 2, 1. При попадании*в соответствующую зону, нбТ
мер v зоны дает число очков стрелка. В условиях задачи 6 найти
закон распределения v.
8. Случайная величина £ -имеет равномерное распределение
на отрезке [1, 2]. Найти вероятность Р {2 < £2 < 5}«
9. Случайная величина g имеет равномерное распределение
на отрезке [—1, 3]. Найти вероятность Р {£2	2}.
10; Случайная величина g имеет показательное распределен
ние с плотностью, (х) = е~х, х 0. Найти функцию распр64
деления и плотность случайной величины ч —
11. Случайная величина | равномерно распределена на оти
резке [—1, 2]. Найти плотность Р^(х) распределения ч =	/
§ 6. СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ *
ВЕЛИЧИН
6.1. Многомерные законы распределения. Очен$
часто в вероятностных моделях приходится рассмат< .
ривать сразу несколько случайных величин. Наприч
мер,. при стрельбе по -плоской мишени случайна^
точка попадания имеет две координаты £ й т), кото^4
рые являются случайными величинами; при антропо^’
метрических исследованиях основными параметрам^
человеческого тела считаются вес, рост и объем]
• груди, которые при случайном выборе человека из
какой-либо совокупности также случайны; при масч’
совом изготовлении каких-либо деталей на станке^
	' различные их размеры тоже дают пример случайный
величин.	~ I
i В математической модели в этих случаях на вел
J роятностном пространстве (й, Р) определены нё^
сколько случайных величин £2, ..., который
иногда удобно рассматривать как координаты слу^
[ чайной точки, или случайного вектора |=(gb ie., gjj
из r-мерного пространства JRr. Совместным законом
76	§ 6. СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
распределения этих случайных величин называется ве-
роятность попадания точки § в r-мерное множество В:
, Р1(В) = Р(1<=В},	(I)
рассматриваемая в зависимости от множества В. За-
кон распределения (1) называют также многомер-
ным, или, более точно, r-мерным. Мы рассмотрим два
способа задания закона (1). Пусть имеется конеч-
ный или счетный набор векторов x(/) = (xi(t)»
Х2 (i), • • •, хг (/)), и пусть даны вероятности Р {£=},
оо
удовлетворяющие условию £Р {|=х(/)}=!. Закон
распределения (1), задаваемый формулой
А (В)- Е Р{1 = Х(О},	(2)
х(0 е В
называется дискретным законом распределения.
Пример 1. В схеме п независимых испытаний
с г исходами в § 3 мы ввели полиномиальное рас-
пределение.- Его можно рассматривать как г-мерное
распределение случайных величин р.1, цг, ...» Иг, где
р{ — число i-x исходов в п испытаниях. Тогда
P{Hi = m1( .... Иг = тЛ = -^г^—рГ* •••₽?.
если ян 4-' ..,	/и, = п, и
p{u=m}==0
в остальных случаях (здесь р= (щ, рг),
m— (mt....../Иг)). Другой класс законов рас-
пределения задается r-мерной плотностью р1(х) =
— pit 5Дх,......хг) > 0, удовлетворяющей условию
J ••• $ А,.-*/*1’ > xr)dxl ... dxf=l:
ps(B)—$ ••• $А(хр -..,x;)dxl ... dxr. (3)
в
Если В = {(«!, ..., Ur)', xi С «< xi'+ hxi, i =
= 1, ..., г}, (xi, ..., Хг) — точка непрерывности плот-
ности, то при Дх4->0, 1 = 1, ,,,, г, применяя к инте-
6.L МНОГОМЕРНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
77
гралув правой части (3) теорему о среднем, получим
Рг(В) = р51..Чг(х1( ....XJAX; ... ДХ' + о^ ... Дхг).
Пример 2. Пусть прй стрельбе по плоской квад-
ратной мишени |х|^ a, |р|^а точка попадания
(g, т|) имеет следующую двумерную плотность:
. ч f 4аГ’ если 1хКа и
Р^{х,у)=Л
* I 0 в остальных случаях.
Тогда вероятность попасть в круг х2 + У2 а2 вы-
числяется, согласно формуле (3), следующим об-
разом:
Pft2 + n2<a2}=	$$ Plri(x, yjdxdy =^ = ^.
хг+у*<а2
Полагая в формулах (2) или (3) множество В
равным {у — (у1, ..., yr): yi^xt, i = 1, ..., г}, где
xi, ...}'хг — заданные числа, получаем вероятность
события хь ..., gr^xj, зависящую от Хь
хг, .... хг‘, эта вероятность называется r-мерной функ-
цией распределения случайных величин gi, ..., &
и обозначается
Л(х)«=^\...•••’ Хг)~
= Р{б,<*>.....W
Можно доказать, что r-мерная функция распределе-
ния (4) однозначно задает закон распределения
Pj(B). Например, если имеется r-мерная плотность
^8,... 6г(хр	т0 согласно (3) и (4) функция
распределения ? (хр .. ..х,) задается интегра-
лом
F*i ...^(хр • • •» Хг) =
Х1 ^2 '	ХГ
= J dux J du2... J Р51..лг(«р •••»	(5)
IS S 6- СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
откуда дифференцированием по xi, хг, хг полу-
Маем равенство
....Хг)	-	(-	.
dxi ... дхг ~ РЦ..ЛГ(Х1’ •••’ хг)> (6>
Справедливое во всех точках непрерывности плотно-
сти . Таким образом,-зная функцию распреде-
ления F. •. , по формуле (6) можно найти плотность
, а по этой плотности формулой (3) опреде-
ляется закон распределения Pt (В).
С помощью r-мерного закона распределения
Р6 . ? можно, определить любой /пчйерный закон
распределения Р. . , т < г. Если закон распреде-
ления задан функцией распределения (4), то, пола-
гая Xm+i -> J-oo, ,.., х;-»- 4-00, получаем
^6, (ХР
&Р{^1	• • •» Хт}~	’ Хг)‘.
*m4.i-*+eo	* г
Лг->+оо
(7),
Обозначая 5 (хр .. .,хт, 4- оо, ..., 4- °°) пре-
дел справа в (7)., можно записать (7) следующим
образом:
Fli-lm(xi’ ••”хл»)в
= +06’---’ +°°)- (8)
Полагая Xm+i-^Ч-00» •••», Хг->4“°° в формуле (5)
И учитывая формулу (8), мы можем получить плот-
ность распределения
•••» Хт)“
00	со
' ₽ $ ^хл»+1 •' • $	... 5Г (ХР • • •» хт’ хт+1> • • •> хг) ^хг-
6.2. НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
7»
В частности, с помощью формул типа (8) и (9) ИЗ
r-мерного распределения можно получить одномер*
ные распределения отдельных компонент:
+°°’ +°°)’
^2(Х2) = ^1..Лг(+ОО> Х2> +°°. •••» +°°)>
Лг(Хг)в77В1...Вг(+00’ •	+°°‘ Хг)
И
р^(х)= Pgt... gr.(x, х2, ..., xr) dx2... t/xr,
ЛГ-1
(х) = pgj(^i> хз« • • •» Xr) dxi ^3  • • dxri
Д'-1 _	•
. ............................. ..............*)’
 Р^Х\~ $ Pit ... lr (XP • • •’ Xr-\X) ^1 • • • dxr-r
Rr-l
6.2.	Независимость случайных величин. Случайные'
величины |ь ..., 5г называются независимыми
если для любых числовых множеств Вь В2, .... Brj
для которых .определены вероятности событий fea.
sBJ, имеет место равенство
Р {11 е Вь 1г е В2, ...» s Вг} ~
= В{Г1 е BJ Pfe 6 В2} ... р {|г <= Вг}. (10)
Если равенство (10) нарушается- для каких-нибу^
множеств Bi, то случайные величины gi, йач
зываются. зависимыми.
В. частности, если. Bt = {у,: yt xj, то для неза*
висимых' случайных, величин .
...	х2’ ’' • ”*>) = Fit (xi) р12(хг)' • • • ?1Г(хг)>' (10
т. е. r-мерная функций распределения равна произ-.
ведению одномерных функций распределения. Можно
показать,, что. условие (11). можно, принять за опреде-’
ление независимости, в. общем случае. Если имеется
r-мерная плотность Р^ g (xi>	то с помощью
дифференцирования по хг, t,., хт равенства (11J]
80	§ 6. СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
получаем, что для независимых случайных величии
P$i... (Х1....xr) ~ (xi) Р$2 (хг) • • • Pir (хг). (12)
В случае дискретного распределения из определения
независимости (10) вытекает равенство
Р (^1 == Х[, ^2 == ^-2» • • ', 5г ==	=5= ...
= р & = *1} р fe - Х2} ... Р & = хг}. (13)
Условия (12) и (13) равносильны определению
независимости (10) в случае соответственно непре-
рывного и дискретного распределения. В самом деле,
если выполнено равенство (12), то
P{gie=Bp ...ЛгеВг} =
= dxx...	(xp ..., xr) dxx ... dxr =
Bl . Br '
= J Pii (x,) dxx. J pti (x2) dx2... J p5r (xr) dxr =
BI	вг	вг
...P{lre=Br).
Аналогично доказывается эквивалентность усло-
вий независимости (10) и (13) для дискретных рас-
пределений.
В п. 6.1 мы показали, что многомерное распреде?
ление определяет одномерные распределения. В об-
щем случае по одномерным распределениям ...,'|г
нельзя восстановить многомерное распределение. Та-
кое восстановление можно сделать только в случае,
когда gi, ..., Ъ независимы. При построении моделей
случайных явлений это обстоятельство используется,
когда известно, что случайные явления, связанные со
случайными величинами, причинно независимы.
Тогда, как указывалось в § 3, при построении общего
вероятностного пространства, на котором определены
все £», естественно считать эти случайные величины
независимыми в теоретико-вероятностном смысле.
Независимые случайные величины обладают сле-
дующим общим свойством,	(
6.3. СВЕРТКА РАСПРЕДЕЛЕНИИ	81
Теорема 1. Если случайные величины т)ь тр
являются функциями — от независимых слу-
чайных величин , gr, то они независимы.
Доказательство. Рассмотрим числовые мно-
жества Bi, для которых {тр е Bi} являются собы-
тиями. Обозначим В', такое числовое множество, что
= (xi) ^B'i в тех и только тех точках х,, для ко-
торых хх. е B'h Тогда
е= Bt} = {g &) е В{} = & е в;}.
Так как gi, независимы, то согласно (10) со-
бытия {&, е ity независимы; следовательно, незави-
симы события {tjz е Bi}, а это означает, что случай-
ные величины яь Яг — независимы. Теорема до-
казана.
6.3.	Свертка распределений. Если задано дискрет-
ное или непрерывное многомерное распределение
то с помощью формул (2) или (3) можно
получить распределение случайной величины я =
=	•••» &), где g(xi, ..., Хг) —числовая функция
от xi.....Хг. Рассмотрим важный частный случай,
когда случайные величины gi, £2 независимы, и
g(xi, х2) = xi + Х2. Если имеются плотности p5l(Xj) и
р^,(х2), то в силу независимости , p^t (xt, х2) =
— P6l(*i) Р^(х2). Вычислим по формуле (3) функцию
распределения суммы + g2, положив
= $5	(х0 Р& (*2)	^х2=
00	Z—Xi
e $	J Рь(Х2)^Х2«
— оо	, —оо
Производя во внутреннем * интеграле замену х2 =»
== и — xi и меняя порядок интегрирования, получ*аем
Z	оо
Л.нДг)= j du J Pb(xi)Pu(u~xi)dxi‘
— оо	—оо
82	§ 6. СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
• ' —
Дифференцируя это равенство по г, приходим к фор-
муле свертки, или композиции для платностей:
оо
<14>.
— 00
. С.помощью формулы’ (14) можно по плотностям двух
независимых случайных величин gi и находить
ПЛОТНОСТЬ ИХ суммы '+ li. При пользовании фор-
мулой (14) надо помнить, что плотности часто за- __
даются разными аналитическими формулами на раз-
ных участках.
Пример 3; Студент при поездке в институт поль-
зуется метро и автобусом. В метро ему приходится
_ ожидать поезда не более двух минут, ожидание авто-
буса продолжается не более десяти минут. Считая
времена ожидания £ и т) в метро и автобусе незави-
симыми случайными величинами, распределенными
равномерно соответственно в интервалах [0, 2]]
и [0, 10], найти плотность распределения суммарного
ожидания	Плотности Ръ(х), рп(х) задаются
формулами
( 1/2, 0<х<2, •
П.(Х)==2	1 ’
_ rs v-/ Q в остальных случаях;
( 1/10, 0<х^10, _	
Рп\ л -q в остальных случаях.
По формуле (14) имеем
со	*	2	’ ,
Ръ+п W = $ Pl (“) Рп (X - и) du = 4 $ Рп (Х — du>
— со	_	' , 0 •
так как р$(и) = 0 при и < 0 и и > 2. При х < О
рч (х — и) = 0, поэтому pj+л (х) =-0. При 0 х 2
X '	>	(	,	' X
 Pl+i\ W = "2. $ Рп(х~ м) du ~-~2 ‘ Т(Г 5 du ~ 10 *	-
. О	о
При 2 ^х^ 10
2
if	2	1
Pl+n W ~ "2 J Р^х и) du,==~2Q~~\Q'
6.3. СВЕРТКА РАСПРЕДЕЛЕНИИ	. gj
z
При 10 х 12
2	
Pt+П С^) == ~2 . Pt} (% “ и) du «в. gQ
X—10	- •
И, наконец, при х > 12 получаем pi+nr(x) = 0, График
плотности Рб+п(х). изображен на рис. 12. ‘
Для независимых случайных величин & с дне*
кретным распределением имеется формула свертки
или композиции, диалогичная (14):
PG + n = x} = S Pa-*JP{n=x-xJ> (15)
где xi—точки, в которых Р{| = *<} > 0. Доказатель-
ство (15) просто получается из формулы (2) и усло« -
вия независимости (13).
П-р и м е р 4.' Пусть случайные величины |i и £2
независимы и распределены нормально с парамет-'
рами («1, Pi), (аг, о2)' соответственно, Найдем закон
распределения £==£Г4-Ь. Подставляя в формулу
[(14) плотности распределения gi и |г, получим
(и-а,)8	-(х-а-аг)8
2а?	.1
1 • —=—в	2 du.
Углсгг
ОО
Пе(х)= \  ,-L=rg
Отсюда, так как
— Я|)г I (* — « — аг)г =
С}	О'!
₽= gl /	 «1^2 + (^ —«2)^1 \2 ; (* — gt — а2)2
°xffi \ °iff2+	)	- «i-Roa
84	§ 6. СОВМЕСТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
следует, что
оо о2 Ы-СУ
1	(х-аУ	«	2 2
p5(x)=-J=_e" 202	102 du,
д/2л0	V 2л 0102 J
— оо
ГДв Cl == СЦ	&2, G s= G1 “|~ G2 И
с Д1<т1+.(х-а2)а^
GjGj^/ai+oi
Заменяя переменную интегрирования по формуле
у = о (и — С) /0102, получим
'	.	’ (х-ау
Р1(х)----J=-e" 2<” ,	(16)
*у JbJt 0	£
так как
ОО _ (ц~^)2	со «.?
So 9	4	р &
е " 2о1с2 du — ^=	2 du = \.
о©	V 2л	.
Полученная формула (16) определяет плотность нор-
мального распределения с параметрами (а, о). Та-
ким образом, сумма независимых * нормально рас-
пределенных величин имеет нормальное распреде-
ление.
Пример 5. Пусть случайные величины gi и Лг .
независимы -и распределены по закону Пуассона:
P{§i = A)-ie-4 Р& = 0 = 4е"4 (17>
Подставляя в формулу (15) вероятности (17), на»
ходим	.	____
P{li+£2 = m} = £
n«0
т
«-Vе“(М+.адУ	=
п«о —
С=^Ге~<М+М,<Л* + Я2)”
7.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В КОНЕЧНОЙ СХЕМЕ ’	85
Отсюда, полагая К = М + %2, получим
ат
РЙ1+?2 = т} = Аге-\
т. е. сумма независимых случайных величин, распре-
деленных по закону Пуассона, также распределена
по закону Пуассона.
Задачи
1.	Двумерная плотность р^ (х, у) для точек, удовлетво-
ряющих условиям х + у 1, х О, г/ > 0, равна 2.
а)	Найти вероятность события £2 + л2^ 1/2.
б)	Показать, что | и я зависимы. (Указание. Найти ве-
роятность событий {1/2	1, 1/2 I) 1}, {1/2	1},
{1/2^т]С1}). '
2.	Грани игральной кости занумерованы так, что сумма-оч-
ков противоположных граней всегда равна 7. Пусть „ £ — число
очков, выпавшее на верхней грани, ч — число очков на нижней
грани. Найти закон распределения £ = £ц.
3.	Найти функцию й плотность распределения 0 = тах(£, ц),
если £ и т| независимы и равномерно распределены на [0,1].
4,	Случайные величины £ и п независимы и имеют одно и
то же показательное распределение с плотностью р% (х) » р^
=	х>0.
Найти плотность р^+п(х).
§ 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ.ОЖИДАНИЕ
7.1.	Математическое ожидание в конечной схеме.
Пусть на конечном вероятностном пространстве
(Q, р) задана случайная величина £ = £(о). Одна
из наиболее важных числовых характеристик случай-
ной величины £ — это ее математическое ожидание.
Математическим ожиданием случайной ее*
личины £ в конечной схеме называется число,
обозначаемое М£ и равное
м?= ’Е &(<о)р(4,	- (О
где р(<о)— элементарные вероятности, задающие
вероятность Р.
8в	§ 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЙ
ч
Формула (1) показывает, что математическое
ожидание Mg определяется как число, равное сумме
произведений значений g((o) случайной величины §•
на соответствующие элементарные вероятности р(со).
Эта сумма берется по всем элементарным событиям'
со из пространства.Q. В частности, если занумеровать
элементарные события и положить {coi...........соп},
то формулу (1) можно записать в виде
Mg = & (®i) р (®1) + g (<в2) Р М + •  • Н	Р (®п)-
Вместо термина математическое ожидание случайной
величины g употребляют иногда термин среднее зна*
чение g иди, еще короче, — среднее g..
Пример 1. Пусть в лотерее разыгрываются АГ
билетов, причем на Ni бйлетов падает выигрыш а\,
на N2 билетов — выигрыш а2, ..., на Nr билетов—,
выигрыш аг. (Например, в .книжной лотерее на каж-<
дые 1000 билетов большая часть билетов имеет вы<
игрыш at = 0 руб., а остальные билеты дают выиг-
рыши в размерах а2 = 0,5 руб., а3=1 руб., «4=’
= 5 руб., и т. д.). Рассмотрим случайную величину g,
равную выигрышу, который достался участнику лоте-
реи, ‘ приобретшему один билет. Существуют разные
системы разыгрывания лотереи. Например, в денеж-
но-вещевой лотерее продаются билеты, имеющие но-
мера, а затем в специальных тиражах разыгрываются
выигрыши, падающие на те или иные номера. Мы
для простоты рассмотрим другую систему, принятую
в книжной лотерее и в лотерее «Спринт», в которых
билеты продаются в запечатанном виде и на них за-
ранее отмечен размер выигрыша. Поскольку внешне
билеты выглядят все одинаково, мы можем в этом
случае определить вероятностное пространство сле-
дующим образом. Пусть элементарное событие -
это отдельный лотерейный билет, а множество всех
элементарных событий Q = {«} имеет мощность'
[ Q | = 7V. Элементарные вероятности р(®) в силу,
внешней идентичности' лотерейных билетов все равньд
между собой р (со) = 1 /N, поэтому мы приходим
к классическому определению вероятности Р, по ко-:
торому Р(Л) = -!44-. Пусть на множестве Л/ лоте.-
I М |
' 7.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕМ КОНЕЧНОЙ СХЕМЕ ,	87
рейных билетов имеется выигрыш а,- и |Л/| = М. ,
Тогда случайную величину В = £ (°>) можно задать
с помощью разбиения
£2 = А{ -J* Л2 4~ ... 4~ Аг
равенствами
= ait если weXj.
В этом случае математическое ожидание МВ опреде-
ляется дю формуле (1) следующим образом:
М| = Е £(®)р(®) =
со ей
= Е 1(®)р(®)+ Е 1(®)р(®)4-...4- Е к®)р(®)=
соеЛ1	®еЛ2	(оеЛг
®«1 Е р(®)4-«2 Е р(®)4- ... +аг Е р(®>^?
© е Дх	со е А2	- © <= Лг
— fli -*г 4- <*2 тг 4-... 4- «г -лг.
1 N 1 z N 1	' r N
так как B(®) = «z для всех ыеЯ;. Из приведенного
примера ясно происхождение термина среднее значе-
Г
ние так да к сумма Е akNk~ это' выигрышный
1
фонд всей лотереи, а ее отношение к общему числу
билетов N — это средний выигрыш на один билет.
Из определения математического ожидания легко
'вытекают следующие его свойства.
1°. Аддитивность". М (В 4“ л) — МВ 4- Мт), т. е. мате-
матическое ожидание суммы случайных величин рав-
но сумме математических ожиданий слагаемых.
Доказательство. Из определения математи-
ческого ожидания имеем
М(В4-П)= Ее(®) + п(®))р(») =
©ей
e Е £(®)р(®)4- Епп(®)р(®)= ’
©ей	©ей
М& 4- м п.
88'
§ 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ 7
Это свойство распространяется на случай любого ко*
вечного числа слагаемых:
М (£1 + + • • • + %>k) = Mgi + М£2 + . • • + М^.
2°. Для любого числа с
M(cg) = cMg,
т. е. постоянный множитель с можно выносить за
знак математического ожидания.
Доказательство. Из определения 1 имеем
M(cg)= Е сК(й)р((й) = с Е I (®) р («о=cMg.
(OsQ	(oeQ
Совокупность свойств Г и 2° называется свойством
линейности математического ожидания и выражается
следующим равенством:
. М (Cfll + С<&2 + . . . + ckvk) —	'	
= С|М^ + с2М^+	(2)
справедливым для любых случайных величин & и лю-
бых чисел ci.
3°. Математическое ожидание индикатора со~
бытия А равно вероятности этого события-.
Мхл==Р(Д).
Доказательство. Так как Р(Л) — У, р(©), то
(|)G А
Мхл = Е хл (®) р (©) = Е 1 • р (®) + Е о • р (©) =
(ЛЕЙ	Ci) S A	(d €s А
- Е р(®) = Р(А).
(ое А
4°. Свойство монотонности: Если £ то mi>: ,
Мт].
Доказательство. Докажем сначала, что из
1^0 следует М| 0. В самом деле, так как для
каждого wgQ |(©)^0 и р(ш)^0, то и сумма
Mg= Е |(©)р(©) будет неотрицательна. Применяя
(ОЕ О
доказанное свойство к неотрицательной разности
В — г) > 0, получаем М (£ — 4) = М| —	0, что и
требовалось доказать.
7 1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В КОНЕЧНОЙ СХЕМЕ	89
формулы для вычисления
математического ожидания
Данное выше определение математического ожи-
дания Mg случайной величины § не всегда удобно для
вычисления. Как мы уже видели в § 6, для вычисления
вероятностей Р {g е В} нам не обязательно знать ве-
роятностное пространство (Q, ^, Р) и функцию g(co),
которая задает случайную величину g, а достаточно
знать лишь закон распределения g, т. е. набор всех
значений Xi, . 7., Xk, которые принимает случайная
величина g, и соответствующие вероятности P{g = xJ,
f=l,2, k. Математическое ожидание Mg* вычис-
ляется с помощью закона распределения g по сле-
дующей формуле:
k
=	(3)
Для доказательства формулы (3) воспользуемся
представлением случайной величины | через разбие-
ние	... Ak = £2, где At = {он В(®)===^<}
(СМ.§6)1
k
1=^X1^.	(4)
Применяя к сумме (4) свойство линейности и свой-
ство 3°, имеем	;
Gk	\ k	k
Е ХЛаJ = 2	= Е XtP {g = Xi}.
Таким образом, мы доказали, что математическое
ожидание случайной величины £ равно сумме про-
изведений ее значений xt на вероятности Р {£ = Xi}
того, что £ принимает соответствующее значение.
Рассуждая аналогично, нетрудно получить сле-
дующие формулы для вычисления математического
ожидания от случайных величин вида g(£), g(£,я)»
где g(x), g{x,y)— чйсловые функции, а £, .я — СЛУ'
чайные величины:,
k
Mg(g)=Z§(Xi)P{^Xi},	(5)
j = l
ДО	§ 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
ft тп.
Mg.(g, П) = S /?! § Р Ч = УИ‘ (6)
Для получения формул (5) и (6) надо воспользо-
ваться представлениями g(%) и g(g, г]) в виде сле-
дующих сумм:
gd) = S g (Х[) %Al, g (g, n) = E S g (xi> У1) %Aip
.где {At} — разбиение, введенное выше,* а {Л//} —раз-
биение, образуемое множествами А,/={со: g(®) = x,,
. T)(®)i= yj}. Формулу, аналогичную (6), нетрудно по-
лучать и для Mg-(gi, ...» gr). Поскольку согласно
 формуле (3) математическое ожидание Mg случайной
величины g однозначно определяется^ ее законом рас-
пределения, то иногда вместо термина математиче-
ское ожидание случайной величины g. употребляют
термин математическое ожидание закона распределе-
ния g.
Пример 2. Найдем математическое ожидание
- биномиального закона распределения
pfa = k} = Cnpkqn~k, ' А = 0Д,п, '
<7=^=1—р,
Согласно (3), имеем '	_
_ п	п
- Mg=E^p{p=A}=E^pV"ft.
fe=0	^=0
В силу равенства kCkn = k П7Г"~jrr = «<?„-’> сумма
справа вычисляется:
п	п .
--ftp Сц—lP Q ------ftPt
так как J^Cn-\pk~1q^~k==(p + q),t~i= 1. Таким об-
разом, Mp. = np. •		.	~
Мультипликативное свойство. Для независимых
случайных величин g, т] имеет место мультипликатив-
ное свойство математического ожидания:
Mgi]=Mg-Mn,	(7)
I
7.1.	МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В КОНЕЧНОЙ СХЕМЕ ’
!
т. е. математическое ожидание произведений незави*
симых случайных величин равно произведению их ма*
тематических ожиданий.
Д о к а з а т е л ь с т-в о. Воспользуемся формулой
(6):	k m
МВп = Ё£ Xiyp&^Xi, n — yj}.
Для независимых Виц имеет место равенство Р {В =£
= Xi, Ц = У;} = Р {£ == Xi} р {ц = У)}, поэтому
М|ц = Е z Х/Х/Р {в = xj Р {ц == рд =
k	m	-
= £ xfp {В = xj S У/Р {ц == г/Д = М|Мц.
1=1	/=1 -
Свойство мультипликативности естественно рас-
пространяется на случай произвольного конечного
числа независимых случайных величин' Вь Вг. ...» BrJ
МВ.Вг ... Вг=М|1МВ2... мв>. •	(8)
Следует .отметить, что если свойство аддитивности
математического ожидания справедливо для любых
случайных величин, то свойство мультипликативности
математического ожидания справедливо для незави-
симых случайных величин/ -	:
Способы вычисления математических ожиданий.
При вычислении-МВ или Mg (В) можно пользоваться
либо формулой. (1), дающей определение математи-:
ческого' ожидания, либо’ формулами (3), (5) и (6)^
выражающими- математическое ожидание через за-';
кон распределения. Однако иногда случайная вели-'
чина В или функция от нее g(В)'заданы таким об-'
разом, что соответствующий закон распределения
либо неизвестен, либо очень сложен. Иногда закон
распределения Р {В = xt} задается хорошей форму-*
лой, однако сумма в (3), через которую задается
МВ, очень сложна и с трудом поддается упрощению/
В этих случаях часто можно быстро и просто вычисч
лить МВ с помощью свойства аддитивности. Для
этого надо представить В .в виде суммы более
•S2
§ 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
простых слагаемых gi + Ь + • • • Ч- например инди-
каторов некоторых событий, вероятности которых из-
вестны. Тогда Ms = Msi Ч- М$2 + • • ’• + М?г.
Пример 3. Вычислим математическое ожидание
биномиального распределения предложенным выше
способом. Для этого воспользуемся тем, что бино-
миальное распределение имеет случайная величина р,
равная числу успехов в п испытаниях в схеме Бер-
нулли с вероятностью успеха р в каждом испытании.
Обозначим Ai событие, состоящее в том, что в i-м ис-
пытании произошел успех. Тогда
И = Ха, Ч~ Ха2 + ••• +Хд„»
и
п	п '
Мр = Z МхЛ/ — Г р (А)=пр,
т. е. мы получили тот же результат, что и в при-
мере 2, но гораздо проще и прозрачней.
Пример 4. Вычислим М| в гипергеометрическом
распределении-
= =	* = 0,
Воспользуемся тем же приемом, что и в примере 3,
Гипергеометрическое распределение появляется в ур-
новой схеме, в которой из урны, содержащей М бе-
лых шаров и (N-—М)—черных, производится бес-
повторная выборка объема п. Случайная величина
£— это число белых шаров в выборке. Будем пред-
ставлять себе, что—шары вынимаются из урны по-
следовательно. Обозначим событие А, — {i-й шар вы-,
борки белый}. Тогда
£ = Ха, Ч- Ха2 + • • • + Ха„,
П
и по свойству аддитивности М£ = У, Р (At). Так как
1 = 1
Р (Л/) = -у при любом i (см. пример 5 в § 1), та
М| = П-у.
7.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В СЧЕТНОЙ СХЕМЕ	93
Иногда при вычислении математических ожида-
ний полезно использовать и свойство мультиплика-
тивности.
Пример 5. В схеме Бернулли с п испытаниями
и с вероятностью успеха р будем полагать, что в i-м
испытании произошел двойной успех, если успехи
были в (г—1)-м и в i-м испытаниях. Обозначим vn
число двойных успехов во всей серии испытаний.
Найдем Mv«. Представим vn = ПгЧгЛзЧ-’ ••• Ч-Лл.
где ф = 1» если в i-м испытании был-двойной успех
и tp = 0 в противоположном случае. Нетрудно ви-
деть, что л< = ХАг_1 • Хлг» гДе At— события из при-
мера 3. Имеем из свойства аддитивности
п
Mv„ = L м%л .
i-2	* *	‘
Так как Хдг_, и Хлг независимы, то из свойства
мультипликативности Мхл^Хд, = Mx4z-I • Mxaz s.P2-
Окончательно имеем Mv„ = (n —1)р2.
7.2.	Математическое ожидание в счетной схеме.
Рассмотрим вероятностное пространство (Q, «я£, Р).
со счедным множеством Q элементарных событий.
Занумеруем элементарные события con, п = 1, 2, ...
Пусть вероятность Р определяется через элементар-
ные вероятности р(юл).
Математическим ожиданием Mg случайной
величины g в счетной схеме называется сумма
ряда
Mg==£ U«Up(«>n).	(9)
n—1
если этот ряд сходится абсолютно, т. е. если
Е IU®«)I-pK)<«>.	(IO)
п-1
В противном случае мы будем говорить, что М|
не существует.
Условие (10) очень важно. В самом деле, если ряд (9) схо-
дится неабсолютно, то, как известно из математического анализа,
Ряд, полученный перестановкой членов первоначального ряда,
• 94	§ 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
может сходиться к любому числу, а так как-нумерация элемен-
тарных событий в>л произвольна и никак Не 'связана с существом
рассматриваемой модели, то и сумма (9) в этом случае ничего
не выражает и теряет объективный смысл. Поэтому -мы пола-
гаем, что в этом случае математическое ожидание не существует..
Сумма абсолютно сходящегося ряда (9) по своим .
. свойствам аналогична конечной сумме (1), поэтому
свойства математического ожидания MS, установлен- •
ные в п. 7.1 для случайных величин S в конечной
схеме, остаются справедливыми и в случае счетной
схемы. В частности, справедлива формула, аналогич-
ная (3);
М| = Е x„P{S = x„},'	(11)
если ряд справа абсолютно сходится. Формула (11)
выражает М| через закон распределения %.
Пример 6. Вычислим MS случайной величины S«
распределенной по закону ПуассонаР {^=k}—^-e~a:
М6= £ ЛР {£- k} = f k	ч£	е~°- а.
6=0	6=1	6=1
Формулы (5) и (6) также распространяются на счет- ;
ный случай:
Mg(S)=E	(12) j
я=1	.	!я
(S, 7|) == S S 8 (%п> Ут)Р {S^-^n> Ч = 16п}>	(13) я
я=1 ш=1	-	Я
z для их справедливости требуется, чтобы ряды сходи- 1
лись абсолютно,	• I
7.3.	Математическое ожидание в общем случае, а
Данные выше определения математического . ржида- 
ния MS Для случайных величин в конечной или счет- 1
ной схеме легко переносятся на случайные величины, ||
принимающие конечное или счетное число значений
и определенные в любом вероятностном пространстве я
ЖЛ, Р), Пусть 41, ,.41 Ац—конечное разбиение, я
7.3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ	95
к	. .
т. е. события Аг попарно несовместны и At == Q.
Тогда случайная величина-
k
(14)
принимает лишь конечное число значений. Матема-
тическое ожидание Mg такой случайной величины
определяется как сумма
• k	‘
(15)
i=l
В формулах (14) и (15) мы.ле налагаем никаких
ограничений на значения х,-. Если все xi различны, то
формула (15) переходит в формулу (3), так кйк
в этом случае А/ — {g = х,}. ~
Аналогично любая дискретная случайная, вели-,
чина записывается в виде
I =	ХО.А i>	(16)
где {А(} — счетное разбиение, т. е. Ai — попарно не-’
ОО	-	V '
совместны и ' У, А{ = Q. В этом случае математичек
I я 1
ское ожидание Mg определяется как сумма ряда k
Mg=fxiP(Ai),	(17)
i = l
если этот ряд сходится абсолютно. В противном слу*
чае математическое ожидание не существует. Если
все xi различны, то определение (17) превращается
в определение (11)., позволяющее вычислять Mg по
закону распределения. Аналогично можно показать,'
что для дискретных случайных величин справедливы
формулы (12) и (13). Все свойства математических'
ожиданий, установленные в п. 7.1, остаются справед*
ливыми и в общем случае определения Mg форму*,
лами (15) и (17),
96
§ 7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
Если случайная величина g непрерывна и ее за-
кон распределения задается плотностью то,ее
математическое ожидание вычисляется по формуле
'	оо
МВ= xp^(x)dx,	(18)
“	—ОО	,	~
если интеграл сходится абсолютно. Эта формула ана-
логична формуле (11) для МВ в дискретном случае.
Формулы (12) и (13) для вычисления Mg (В) и
Mg (В, л) переходят в случае непрерывных случайных
величин в формулы
оо
Mg(B) = J g (х) р1 (х) dx,	(19)
— оо
. оо
Mg (В. n) = J $ g (х, у) Р1п (х, у) dx dy, (20)
—оо
если интегралы справа абсолютно сходятся. В (20)
р^(х,у) — совместная плотность случайных величин
В И 1].
' Замечание. Формулы (6), (13) и {20), выпи-
санные для двумерных распределений, имеют аналоги
для любых многомерных распределений.
Определение Mg для непрерывной случайной величины фор-
мулой (18) неудобно, так как в этом случае нельзя доказать
свойства математического ожидания. Более логично определить
Mg следующим образом. С каждой случайной величиной g- мож-
но связать последовательность дискретных случайных величин
g«t полагая
* k'	k .k+1
in — 2n 1 если < g	;
нетрудно видеть, что g < gn < g +поэтому lrmgn = g.
А	П->оа
Случайные величины g« можно записать в виде, подобном (16):
об
/ • ’2*’ k fe+1 > *
fe = -oo	(2n <S<	)
I
[	7.J.'МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ	97
/
[ Применяя к In формулу, (17), получаем
Mt V k К	/о1.
у ,	J’ (21)
&— —оо
[ если ряд справа абсолютно сходится. Нетрудно видеть, что
In tn+i при любом и, поэтому.	и существует
1 предел Mgn, значение которого мы и принимаем за определение
математического ожидания:
Mg = linr Mgn.	(22)
’	- n->oo
Из определения (22) нетрудно доказать формулу (18). В самом
k
деле, полагая xnk можно записать (21) следующим об-
f разом:
.	’	оо хп, £+1
Г	Mgn= У 2я J Р|(«М«,
fe=-=o .
’	откуда
°° ,
I	с
0	\	up^	(«)	du — Mgn =
— 00
oo Xn, fc-H	oo	•
’	== У, j (“-^)pj(“)rf«<^- J P^u)du=-~-,
k=-<x, Xnk	-oo	!
‘	oo
и lim Mg == \ wpt («) dUo Такое определение математического 4
п->'оо n J/
— oo
ожидания. Mg позволяет перенести все его свойства, доказанные
в п. 7.1, и на случай непрерывных случайных величин, так как
t справедливость этих свойств для дискретных случайных величин
устанавливается лросто и переход к пределу при п -> оо эти
свойства не нарушает.
[ Пример?. Вычислим математическое ожидание
h случайной" величины равномерно распределенной
ь 1
00	о
Ms= \ xp^{x)dx==~^^xdx = ^^-.
I	—00	CL
^Пример 8. Математическое ожидание, случайной
। величины имеющей нормальное распределение
4 В. К: Захарову др.
98
' §7.МАТЕМАТИЧЕСК0Е ОЖИДАНИЕ
. (х-лУ>
с плотностью pt (х) =  ajl.  е  2°2 . вычисляется слё«
дующим образом:
f	t Г	- (*~°)*
= Д хр^ (х) dx = .—	J /х—а + d)e 2а> dx «
*•00	V	—со
1 f	«-а)»
=- \ (х — а) е 205 dx +
1 С (*-а)‘
- •		+ а \ е 2о’ dx — а.
yjims J
**©0
Пример 9. Пусть случайная величина т — время
исправной работы детали, р(х)—плотность распре-
деления т. Вычислим среднее время работы детали,
если известно, что в любом случае деталь заменяется
по прошествии времени Т. Время работы детали оп-
ределяется значением функции ^(т),’где	___j
. 5®

(г При х>Т.
Применим формулу (19):
Mg (т)	g (х) р (х) dx
о
= $ g dx +	Р (х) dx =>
о	т
т
g <x) p {x)dx + Т • р {т
о
5-1
п
7.4. Неравенство Чебышева. Докажем первую фор-
му неравенства Чёбышёва .для неотрицательных слу-
чайных величин £ и для х > 0:
(23) ;
?Л. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА’
99
ДлЯ этого представим неотрицательную случайную
величину | в виде суммы двух неотрицательных слу-'
чайных величин
По свойству аддитивности монотонности имеем
М£ = Mgxu>x) + MgX(j^x) M|X(g>x}«
Так как gx{5>je} ^ хх{5>хр то, применяя еще раз
свойство монотонности, получаем
Mg хМХ{£>х} ==^ ’ Р{£ >
что и доказывает (23), .
С помощью неравенства Чебышева можно усилить
свойство 4° и. 7.1. Справедливо следующее- утвер-
ждение.
Теорема 1. Если Р{|^0} = Г « Mg==0, то
p{g = O} = l. .	.
Доказательство. Представим событие- {g;>>
>>. 0} в виде суммы попарно- несовместных событий
6 > 0) =в > I)+£ {тип- <	•
«-	Я=1
По аксиоме А4
оо
рй>0)-р{6>1} + Хр{тгтт<е<-г}-
П=1
V
По неравенству Чебышева при Mg = 0 имеем
0<P{g> l}^Mg = O
и		”
п -f-1	п )
< р {-^т < 0 <Sn + 0’ Mg= о,
откуда следует Р {g > 1} = Р {-^гр < s < = М
Р а > 0} = 0. Поэтому 1 = Р {g = 0} 4- Р ш >0}«
= P{s=0}, что и требовалось доказать. * "
100	.5 8- ДИСПЕРСИЯ. МОМЕНТЫ
Задачи
1.	Найти математическое ожидание £ — числа очков, выпав-
ших на игральной кости.	е
2.	Случайно берется одна кость домино. Найти математиче-
ское ожидание суммы очков на ее половинах g и я* Найти
М (g+ л)*
3.	Время работы и электрической лампочки до перегорания
имеет показательное распределение с плотностью р(х) =
при и р(х) s=s 0 при х < 0. Найти Мт.
4.	Найти среднее время работы электрической лампочки,
если дополнительно к. условиям задачи 3 предположить, что с
вероятностью р лампочка может перегореть при включении (лам-
почка включается один раз).
Указание. Представить время горения лампочки в виде
произведения т-g двух,независимых случайных величин, где т —
то же, что и в задаче 3, a g = 0 с вероятностью р и g = 1 с ве-
роятностью 1 — р.
5.	Точка попадания в круглую мишень радиуса R имеет рав-
номерное распределение. Найти математическое ожидание рас-
стояния р точки попадания от центра.
6.	В. группе учится 25 студентов. Предполагая, что дни рож-
дения студентов независимы и равномерно распределены по
12 месяцам года, найти математическое ожидание числа месяцев,
на которые не приходится ни один день рождения.
7.	Деталь имеет форму цилиндра радиуса г и высоты Л. При
изготовлении цилиндра на эти размеры разрешается допуск, так
что радиус равен г + g, а высота h + Я» причем g и 1] незави-
симы и равномерно распределены соответственно в интервалах
[—А, А] и [—6, б]. Найти математическое ожидание объема ци-
линдра.
§	8. ДИСПЕРСИЯ. МОМЕНТЫ
8.1.	Определение дисперсии. Дисперсией случайной
величины g = g(co), (оей, называется число
Dg == М (| — Mg)2,	(1)
т. е. дисперсия равна математическому ожида-
нию квадрата отклонения случайной величины
от своего математического ожидания.
На практике в качестве меры разброса значений
случайной величины иногда пользуются величиной
называемой среднеквадратичным отклонением.
Заметим, что дисперсия Dg определяется формулой
(1), если M(g —Mg)2 существует; в противном случае
мы будем говорить, что дисперсия не существует.
8Л. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСПЕРСИИ	'	-	101
Йз свойств линейности математического ожида-
ния следует, что	-
M(g-Mg)2 = M[g2-2g-Mg + (Mg)2] = '
= Mg2 - 2Mg - Mg + (Mg)2 = Mg2 - (Mg)2.
Отсюда и из (1) получается еще одна формула для
вычисления дисперсии
I	Dg=Mg2-(Mg)2.	(2)
Если случайная величина £ дискретна и имеет за-
кон' распределения вероятностей P{g = хА}, k=\,
оо
2.,..., Е P{g = х4 = 1, то ее дисперсия вычис-
й=»1
ляется по формуле
Dg= S(xft- Mg)2P{g = xft};	(3)
&=1 —
ч -
для дисперсии непрерывной случайной величины g
с плотностью распределения р6(х) имеем следующую
формулу:	.
+ °О
Dg= J (x- Mg22P6(x)dx. .	(4)
— оо
Формулы (3) и (4) следуют из формул (5), (12) § 7.
Дадим механическую интерпретациЮ'математического
ожидания и дисперсии. Будем интерпретировать за-
кон распределения вероятностей рк = Р {g = xfe}, k —
n
= 1, 2, .п, Е Pk — 1, случайной величины g как
fe=i
закон распределения единичной массы на прямой:
в точках хк сосредоточены массы p*, k = 1, 2, п.
п	п
Тогда Mg = Е хкР {g = хк} = Е хкрк есть центр тяже-
k~l	fc=l
п '	п,
сти, a Dg = Е (Xk ~ Mg)2 Р {g = хк} = Е (Хк- Mg)2 рк -
момент инерции. ч
Пример 1.. Пуассоновское распределение. Для
случайной величины g, распределенной по закону -
fQ2	§ 8. ДИСПЕРСИЯ. МОМЕНТЫ
Пу ассона.с параметром а,	7 ~
P{g = £} = e-»A-,	£ = 0,1,2,..., а>0,
п»\
известно (см. пример 6 из § 7), что Mg = а. Вычис-
лим теперь Mg2. Используя равенство g = g(g— l) + g
и свойство линейности математического ожидания,
получим	' '«m
Mg2-M[g(g-l) + g] = M[g.(g-l)] + Mg = a2 + a, .
так как Mg = а и
00 g °0 ft_2
ME е -1)=хй <* - u »“ i—X-(Г=2)Г=°’
Л=2
°°	а!~2
(здесь мы воспользовались равенством ,za_ 9у, =»
г=2
“ i
= У, -jp = еа). Подставляя Mg2 = а2+tf и Mg = а
1=0'  •'	,	-	.
в формулу J2), получим pg=aa-pa — а2 = а. Та-
ким образом, для случайной величины, распределен-
ной по закону ‘Пуассона с параметром а, имеем
Mg = Dg = a.
' Пример 2. Равномерное распределение. Плот-
ность распределения случайной .величины _g, равно-
мерно распределенной на отрезке [а, й], имеет вид
/ч	если xG=[atb],
РЛ*) — ]		-
V 0, если. х&[а, 6].
В этом случае (см. пример 7'из § 7) Mg = (a’4'^)/2,
По формуле (19) § 7, полагая g(x) = х2, находим
ft ' ~
М62_С xTdx _ Xs	\ь _ b3 — a3 J_b3 + ab + a3
J b — а ~ 3 (b — a) L 3 (ft - а)	3	’
Подставляя значения Mg и Mg2 в (2), получим
П6_ a2 + aftd-ft2 (a+ft)2 ^_ (ft —a2
3	4	’	12	*
'1
8.2. СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ
101
Пример 3. Нормальное распределение. Плот-
ность, распределения случайной величины g, распре-
деленной нормально с параметрами (а, а)., имеет вид
(х-а^
=	’ -оо<а<+оо, <т>0.
В этом случае (см. пример 9 из 7} Mg = а и
Dg=Ma-MD2=
4-00
= j (х—a)2pz(x)ydx
— 00
77s -J
(x-aF
2°! rfx.
Отсюда, производя замену переменной интегрировав
ния (х— а) /о == у, х= ву-fc а, получим	j
_2 f g1	/ f _х\
de=ts j	j
Итак, математическое ожидание и дисперсия слу-
чайной величины |, .распределенной нормально с па-
раметрами (а, о2)., связаны с этими параметрами сле-
дующим образом:	j
Mg = a, Dg = o2'	-	- -
8.2. Свойства дисперсии. Отметим основные .свой-
ства дисперсии.
1°. Дисперсия любой случайной. величины g-
неотрицательна, причем '№ = Q тогда и только
тогда, когда 'g— постоянная.
Свойство неотрицательности следует из неравен-
ства (g'— Mg)2^>0 и свойства монотонности, матема-
тического ожидания: Dg = М (g — Mg)2 0. Если g = с,
то De = М (с — Мс)2 = 0. В силу теоремы 1,§ 7 из
104
§ '8. ДИСПЕРСИЯ. МОМЕНТЫ
Dg = М (g — Mg)2 = 0 вытекает, что (g — Mg)2 = О,
а следовательно, и g = Mg с вероятностью 1.
2°. Если а — постоянная, то
D(ag)==a2Dg.	(fij)
Действительно, D (ag) = М (ag — М (ag))2 = М [a (g —
- Mg)]2 = а2М (g - Mg)2 = a2Dg.
3°. Если случайные величины gut] незави-
симы, то
D(g + n) = Dg+D.T).	(6)-
Доказательство. Используя определение дис-
персии (1) и свойство линейности математического
ожидания, получим .
D (g 4- г)) = М [(g + n) ~ М (g + п)]2 =
= М [(g — Mg) + (т| — Мт))]2 =
= М (g - Mg)2 + 2М (g - Mg) (Т| - МТ)) + м (П - Мт))2.
Отсюда следует формула (6), так как согласно свой-
ству мультипликативности математического ожи-
дания
M(g-Mg)(n-Mri) =
= М (g - Mg) М 01 - Мп) = (Mg - Mg) (Мп - Мп) = 0.
Формула (6) по индукции распространяется на сумму
п нёзарйсимых случайных величин. Если gi, g2, ..., g«
независимы, то .
D (g, +&+...+ U = Dgx + Dg2 + . . • + Dg„. (7)
Вычислим дисперсии некоторых случайных вели-
чин, используя доказанные свойства дисперсии.
Пример 4. Биномиальное распределение. Число .
успехов рп в п испытаниях Бернуллц^имеет биноми-
альное распределение (см. (7) § 3). Воспользуемся i
п
представлением в виде суммы = У, g*, где gA,
k=\, 2, ..., п, — следующие индикаторы:* g* = 1,
если в k-м. испытании был успех, и Ь = 0 в против-
ном случае. Таким образом, P{gs = l}=p, P{g*==
= 0} = q, р -f- <7 = 1, k = 1, 2, ..., п. Индикаторы g*
независимы в силу независимости испытаний. Для не- <
1
' 8.2. СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ
105
зависимых случайных величин согласно формуле (7}
находим
\ft=l / ft-1
Отсюда, так как MJjfc = 1 • р + 0 • q = р, М£| = р,
= Mg2 — (Mgfe)2 = р — р2 = р (1 — р) = pq, получим
Dp„ = np^.
Пример 5. Гипергеометрическое распределение.
Пусть из урны, содержащей М белых и N — М чер-
ных шаров^ по схеме случайного выбора без возвра-
щения (см. пример 4 из § 1) извлечено п шаров. Слу-
чайная, величина т)л, равная числу белых шаров в вы-
борке, имеет гипергеометрическбе . распределение
(см. (5) § 1). В § 1 формула (5) была выведена длч
модели, в которой в качестве элементарных событий
рассматривались неупорядоченные наборы извлекае-
мых шаров. Здесь при вычислении Мт)« и Дт]л удобно
рассматривать более детальное вероятностное про-
странство с упорядоченными наборами, введенное
в примере 5 § 1. При таком, выборе вероятностной
модели формула (5) § 1 сохранится. Введем индика-
торы Ы k— 1, ..., п, положив = 1, если k-й шар
оказался белым; и & — 0 — в противном случае. Оче-
видно, что т)л = |1 + ?2 + ... + £«• Отметим, что ин-
дикаторы Ik в представлении р.л (пример 4) незави-
симы. Здесь в представлении г|« индикаторы не
являются даже попарно независимыми и, следова-
тельно, для вычисления Дть нельзя воспользоваться
формулой (7).
Воспользуемся формулой (2). Найдем сначала
Меь МЫ/- По формуле (3) § 7
^=ЬР{1»=1} + 0.Р{ЬМ)-Р&»1Ьт,
•	<	Mg2 = M^.
При k I, так как
pftt _ О Л1(М-1)
Н(Ы/— ч — n(n—\) '
Юб> -	§ 8; ДИСПЕРСИЯ; МОМЕНТЫ
получим
Отсюда, используя свойство линейности математиче-
ского ожидания, находим
Мпп=м(£^)=£м^=п4’
'	'А=1	'	й-1
/ п \ 2	Г п	1
мс-мШЛ = мЕ«.+ £ Wit- .
' Ч=г 4 kJ
п
fe’=“ 1	ft Z
и, следовательно,
D%=M<-(Mn„y=n-£+	'	’
. , 1Л ЛР(М4-1)	2 AF
+	b)1 щ	•
r После элементарных преобразований приходим
к окончательной формуле
АГ /< АГ\ N — n .
0% = ^-^ (Д —Г-’
Число белых- шаров' (обозначим его ци.) в выборке,
полученной- по схеме случайного выбора' с возвраще-
нием, имеет- биномиальное распределение с парамет-
ром р = -^-. Отметим, что
z Мр„ — Мпя = -^-; Dnft=-f-zYEhw
г 8.3. Моменты высшего порядка. Наряду с рассмот-
ренными выше-числовыми характеристиками случай-
ных величин (математическим ожиданием и диспер-
сией), часто используются и другие характеристики,
называемые моментами. Моментом порядка, k, или
h-м ~ моментом случайной величины i, называется
8.3..МОМЕНТЫ_ВЫСШЕгЬ ПОРЯДКА	167
число тк — Mgft, k = 1,2, Число М|&|* назы-
вается абсолютным моментом порядка И, Й= 1, 2,. ..
числа М (g — Mg)fe и МI g — Mg |ft называются соответ-
ственно центральным и абсолютным центральным мо-i
мёнтамиг порядка k, k =•!,' 2, ,,, (или соответствую*
щими й-ми моментами). -	,	•;
Заметим, что из существования'момента Mgm еле*
дует существование моментов более низких порядков
Mg\ k = 1, 2, •<«, пг— Г. Это утверждение следует из
неравенств	-	_	v"-
11 (®) |fe < 1IЙГ + 1, «ей, k = 1, 2, :,х., m - 1,
Отметим, что. момент первого порядка mi = Mg яв*
ляется математическим ожиданиём, а центральный
момент второго порядка M(g— Mg)2—это дисперсия^
В приложениях часто пользуются еще двумя ха* _
рактеристика'ми — асимметрией S и эксцессом Е. Они
определяются следующим образом:	'
. о I MJg-Mg)’ - р LrM(g-M£)<	,1	,я,
2	(Dg)3*2	st W	Ч-	W
Асимметрия S и эксцесс £ нормально распределен*
ной величины равны нулю. Отличие от 0 асимметрии
и эксцесса свидетельствует о том, что распределение
случайной величины отлично от нормального.
Пример 6. Найдем- моменты всех порядков для
случайной величины g', распределенной нормально
с параметрами (0, а2). В этом «случае плотность paQ*
пределения вероятностей pj (х) имеет вид
। х*
^г/х)=—^=-£. 2о’;,	“— со <.х<.+ оо»
6 а -у2я
Все моменты нечетного порядка, как -интегралы-ют нёН
четных функций, равнынулю:
V’	’
W2A+1 = Mg®+1 = —±=r \ х2к+ le~	dx=Q,
а V 2л J
*	-МЗО
А = 0, 1,-2, ...
доз
§ 8. ДИСПЕРСИЯ. МОМЕНТЫ
Вычислим теперь моменты четного порядка. Интегри-
руя по частям, получим
г —
m2A = М12к = —1=- \ x2ke~2а’ dx =
а 72л J
X2
g 2cj2
V
4-00
/т2
+ (26-1)—2=
<т 72л
X2
x2k-2g 20’ fa _
1
X2
= (2й —1)а2—т=- \ x2fe”2e 2а* dx — (2k — l)a2^_2.
а л/2л J
’	—гл
-Таким образом, установлена следующая рекуррент-
ная формула:
m2k = (26 — 1) o2m2ft_2.
, Отсюда, так как
1 С
tnQ = —7=г \ е 2а? dx = 1,
и а V 2л J
/находим, что тг = а2т0 = о2, пц = Зо2тг, и т. д.
По индукции получаем
m2k = (26 — 1) (26 — 3) ... 3 • 1 • o2ft = (26 — 1)1! б24.
Итак, моменты случайной величины распреде-
ленной нормально с параметрами (0, а2), опреде-
ляются формулами
Mg2fe-i=0, М^24 = (26 — 1)1! а24,	6 = 1,2,...
Задачи
1. Длина диаметра круга равномерно распределена в отрезке ,
[0,1]. Найти математическое ожидание и дисперсию площади
круга.
§ 9. КОВАРИАЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ	‘ Ю9
2. Плотность распределения £ равна
 (	ч*е=[1,	2],
Л (х) = {	*
5 I	0,	х&[1,	2].
Найти ct Mg, Dg.
3.	Координаты двух случайных точек на прямой независимы
и равномерно распределены на отрезке [0,1]. Найти математиче-
ское ожидание и дисперсию расстояния между ними.
4.	Из урны, содержащей т белых и п черных шаров, по
схеме случайного выбора с возвращением извлекают шары до
первого появления белого шара. Найти математическое ожидание
и дисперсию числа вынутых шаров.
5.	Доказать, что асимметрия и эксцесс для нормального рас-
пределения равны нулю.
6.	В k-м испытании схемы^Бернулли произошел двойной ус-
пех, если успех наступил в k-м и &+1-м испытаниях. Обозна-
чим Л» — число двойных успехов в п испытаниях схемы Бернул-
ли. Наити lim ——, если вероятность успеха в отдельном ис-
П->00 п
пытании равна р (0 < р < 1).	’ •
%
§ 9.	КОВАРИАЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ
Ковариацией случайных величин Jji = £i(®) и £2=
= g2((o) называется число
cov(b У = М[(|1-М§1)а2-М^)1. ' (1)
Из определения ковариации и свойств линейности
математического ожидания следует, что
cov (gb У = М - Mg>) & - Mfe)] =
= М -^Mg2 -	• Mg2] =
= МЫ2- Mgj-Mg2.
Таким образом, ковариацию можно вычислить также
по следующей формуле: ’
- '	соу(^,Ч2) = Ми2-М|1-М^	-	(2)
Если и g2 независимы, то	I
cov(g1,g2) = 0.	(3)
Это равенство следуёт из определения (1) и свой-
ства мультипликативности математического ожидания /

по
§ 9. КОВАРИАЦИЯ.' КОЭФФИЦИЕНТ"КОРРЕЛЯЦИИ‘
произведения независимых величин —М£1 и & —*
— М?2. На основании, свойств математического ожи*
Дания также легко проверяется, что .
cov (|, Ю = Dg, • cov (§1, g2) = cov (& h),
covfc&l-Rs&i ^^cfcov^i, gak+^cov^i-^» '
где ci,.c2 — постоянные.
Теорема. 1.; Если,.,для .случайных.- величин
1ъ •. ... ^..существуют &[},<,= cqv (I4,V)-, Л / = 1.	....
п, то при любых постоянныхc2,^lti Сп -суще-
ртвует .D ( У
£ Q ih J 7= Е"cicfl^	(5)
Действительно,, пользуясь свойством линейности
математического ожидания, получим
D (й С*Ч)e M[fiс&м (й=
Сп '	"12
—м[-W)(&7-W/)l^-
1Л,J ’
Й1С/С/cov“-IЙ1.С/С/<У//*
Замечание» 1. Если случайные величины
£= 1, 2, ,,,, п, попарно независимы, то из равенства
(3) следует; что- оц = cov(i>; |/)=0 при Отч
,сюда и и? равенства (5), получим формулу;
z п . . ч  п
(Ё ci&kJ
\Я=«1	✓	Е=1
являющуюся обобщением формулы (7) § 8.
3 а м еча ние= 2.'' ИспоЛьзуя свойство неотрица-
тельности дисперсии,/из1 формулы^},' положив в ней
-§Э;'1ТОВ1АРИАЦИЖКОЭФ'ФИЦИЕНТ.<КОРР'ЕЛ?1ЦИИ	.fit
n-—2\'C\z:=^.Xi с2-—Л/получимрято	.	,
f (X) = D(^ 4-g2) = J2O11 + 2X<r12 + ff22->0
при любом действительном X. Следовательно,
’ai2~ ап	или/^о^ к<-,д/ай°22. -Отсюда/заме-
няя 012, оц, о22'на cov-(gi;-^); D?i,: D|2,’’получим'иера-.
венство
-I cov-Ль Лг) I < VPii -• 0^2- _ ‘	(6)
Теоремаf 2. "Если: для ''случайных •величин Ль-
?2, .../&> существуют stj = covXi/,'§/), I, / —1/2,
... ,’ п; то при любых:постоянных Ca;.i; j — 1/2, n,
для случайных величинр*=='cj'igf-рс*2?2 +’.. .Н-’д*пВ-»,-
k=l, *2, .* п, - существуют ковариации hij=\
— cov(t|<, Л/), и ковариационные матрицы (Н~ || hfr [|
и S = || оц || связаны равенством
H = CSC',
•ede^G—llcijW,- а.С'-—матрица, транспонированная к С.:
/Доказательство. • Испольруя ..свойство .(4),
получим
//Д -Д Д
htl = COV (Пь -Пу) = covl. Е Diklk, Е =
_ х&=1	, г=1	« /
( 11 \п
s=-2S * fi.iHpfr^kr	- £ik0kr$rfo
’ k, r=l	k, r=l
где Cr-p=icif—’ элемент' матрицыТаким образом,
элемент-’'71/у'совпадает--' с '(i;!/)iM' элементом -»матрицы
CS’C'ZTeopeMa доказана.
;5 Р авенство1 .^З)! верно'-для»независимых'-.случайных
величин. Следовательно,•-если/'еоу.;(51хЛ2?) т^Одто елу-;
чайные величины!Л1ии 5<2>"завИ€вмы.иВ'исаяиггае>г<р<
личественной . характеристики .. степени зависимости,
случайных величий^ и g2 ввормтсяжоэффициент кор*
реляции !(»(:?1;?2),«определяемый .следующим -равен-
ством:	’	'
.-«ft * соу (|ь Ь)
f- Р.(ёЬ*	...
112 л	§ 9. КОВАРИАЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ?
Основные свойства коэффициента корреляции
Г. Коэффициент корреляции удовлетворяет нера-
венству
1р(1ь |2)1<1;	(8)
причем, если а2 линейно выражается через g2 =
= agi + Ь, где а и Ь — постоянные, то
1р(£ь У1 = 1.'	(9-)
Доказательство. Поделив обе части нера-
венства (6) на • Dg2, получим неравенство (8).
Докажем равенство (9). Пусть |2 = ali + Ъ. Тогда
D?2.= D (agI)=a2Dg1 и . cov(gb |2)=M	(g2 -
- Mg2)] = м [(a, - MM (<& + b - M (agi + &)] =
= M [a (ti — M(i) (It — Mgt)] = aDgb Отсюда и из фор-
мулы (7) получим
• Р&, g2) = p(lI, agI + &) = -7H^=r = -^'.
Следовательно, | p (gi, £2) | = 1.
Имеет место обратное утверждение: бели коэффи-
циент корреляции |p(gi, |г) | =1, то между gi и g2
имеется линейная зависимость'.
2°. Если случайные величины gi и g2 независимы,
7'Op(gi,M=0.
Это утверждение следует из определения коэффи-
циента корреляции (7) и из того, что cov(gi, Ы = 9
для независимых случайных величин gi й g2.
Обратное утверждение неверно. Из равенства
р(£ь1г)=0 не следует независимость случайных ве-
личин gi и g2. Рассмотрим соответствующий пример.
Пример. Пусть случайная величина gi распре- '
делена нормально с параметрами (0, 1), и пусть
g2 = li —1. Случайные величины gi и g2 зависимы.
Покажем, что p(gi, а2) = 0. В самом деле,
- М^ = 0, М?2 = О^ = 1у •М|2 = М(|2-1)=4),
Dg2 = Mg22=M(g2~l)2 = M(^-2g?+l) =
= 3-24-1 = 2,
cov (ar а2) - ма& = м^ (a2 -1)=ма? - ма'^ о..
§-9; К0ВАРИАЦИЯ. КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ	НЗ
Следовательно, р feI( ^Mcoy^,	= 0,
хотя |i и-|2 зависимы.
Случайные величины и g2 называются некорре*
лированными, если р(£ь |2) = 0.
Из вышеизложенного следует, что независимые
случайные величины некоррелированы, а некоррели-
рованные случайные величины не обязательно неза-
висимы. Рассмотрим случайные величины т| с плот-
ностью распределения
р^(х, у)=^=-	(Ю)
где |/?|< 1. В этом случае говорят, что случайные
величины £, т] имеют двумерное нормальное распре-
деление.
Найдем одномерные плотности и коэффициент кор-
реляции случайных величин g, t).
Воспользовавшись равенствам
х2 + у2 - 2Rxy = (х - Ry)2 +/ (1 - R2\,
получим
+^°	x’+a’-2/?x!/
р (t/)= \ ----dx =
J 2л71~Я2
— 00
1	+r* u-w
. =----±=^е 2 \е w-^dx.
2л V1 - R2 J
— ОО
Отсюда, полагая =z, dx—у/\ —R2 dz, найдем
,,2	+<» Z2	,
1	&	1	Г ——	(/3
Pn(y) = -7^e 2 ‘~7^z \e 2 dz = -l=-c~~,
V2n V2n J
— oo
или
У2
Рч(^)==7ке'2 ’ -°°<^< + 00-..
Аналогично
1
Вычислим теперь коэффициент корреляции р’(£, tj)
для случайных Величин ц с плотностью двумерного
.	•§ 9. КОВАРИАЦИЯ.^КОЭФФИЦИЕНТ-КОРРЕЛЯЦИИ
анормального -распределения J40),, Так как Mg=:
— Мп = о, iDg = Dr] = 1, то	________
4-00'4-00
cov(I, Т])= м&г1= j ^xyp^(x,y):dx.dy=«
-*co —oo
1
72л (1 -/?*)
___(х-Ry)'	\
xe ’2(i-R.4 dx j'dy.
Внутренний интеграл можно рассматривать как ма-
тематическое ожидание случайной величины, распре-
деленной нормально е ..параметрами а == Ry и о? =
= 1 — R2. Поэтому он равен Ry и-
4-00_________#2
Mgn = -J==- \ у2е 2-dy—'R.
HZ. ZTt J
----------оо
Подставляя найденные значения Mg, Mr), Dg, Dn,
Mgn в формулы (2) ли-f(7)/получим, что коэффициент
корреляции случайных величин ?g, п] с нормальной
пилотностью совместного распределения flO) равен R,
т. e</p(g, у]) = R-
"Отметим, что здля . случайных величин g, п. рас-
пределенных нормально с’плотностью (10), незави-
симость ^равносильна -некоррелированности.
“Действительно, если ( и vq независимы, то
р (I, п) = О и» следовательно, случайные величины g, т|
некоррелированы. Дели же...случайные.’-величины: g, н
имеют совместное нормальное распределение с плот-
ностью (10) и некоррелированы, т. е. p(g, ri) = /? == О,
то

•что та -означает независимость ••случайных величин

р^х< у'» “{
ДО,1. НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА	"	145
Задали’
1..Совместное^ распределение случайных..величин, 6ь 62 за*
дано формулами
Р^1 = - 1Л2« -1} = №=хД, &==~1К=*
«=Р{|1 = 1. Ь=-1} = -|-,
р is»—-1. и= и.—к р &«“ °- ^ == 'в
о
Вычислить-математические ожидания и дисперсии.и 6$, а так*
жековариациюикоэффициенткорреляции.'
2.	Совместное а распределение- случайных величин.^, g2 опре*
деляется формулами. Р46ь=	—Р б»-®®*— И*«®
' = Р {£, = 1, Ь = 0} = Р {gt - - 1, g2 = 0} == у. а) Найти Mg1(
Мй, Dgb Dg2; б) вычислить ковариацию и коэффициент корре-
ляции Дь Являются ли случайные величины независимыми?
3.	Плотность совместного,.распределения случайных величин
задана формулой1’
при;Х'>4,-
л У_
... 0 в остальных случаях.»,
Найти постоянную с и- ковариацию gfr
4.	Плотность-совместного распределения случайных величин
611 б/задана^формулой,.,	. ' ч
при | х.| <J, [у|<1/
0 в о стальных' с луча ях;
Найти постояннуюs (г и коэффициент корреляции бн 6£	"*
5?Случайные*-величины 6i; б« 6з; 6i, 6s независимы;: DJ/ a2.
Найти коэффициент корреляции. а) величин * |i. +•£$ 63.+ -64 dr-£5;
. б) величин 61 + 62 + 6з, 6з + 64 + 6s-
6. Бросаются две игральные, кости." Пусть -6 — число очков
на первой кости; а т] — максимальное из двух’выпавших чисел
очков.	. •* _
а)	Записать совместное,распределение, б и .Т]..
б)	Найти математические ожидания и дисперсии 6-И гр
в)	Вычислить ковариацию ит коэффициент корреляции 6 иг д.
§ 10. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
10.1. Неравенство Чебышева^ Числовые-характер
ристики случайных величин позволяют давать неко-
торые оценки распределений вероятностей случайных
величин.
116
§ 10. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ>
Теорема 1 (вторая форма неравенства Чебы-
шёва). Если случайная величина имеет дисперсию
а Д — произвольное положительное число, то
Р{1В-(1) . !
Доказательство. В § 7 была доказана пер- j
вая форма неравенства Чебышева, Р {я е} , / ]
для неотрицательных случайных величин т]. Полагая - I
Я = | £ — М| |2 и е = Д2, получаем (1).	_’	J
Если в (1) величину Д заменить на t VD£ и пе- 1
рейти к противоположному событию, то неравенство. 1
Чебышева (1) можно записать в следующем виде: ( .1
р{ц--м&|</ущ}>1--4-.	(2)	I
Неравенство Чебышёва позволяет оценивать ве-	1
роятности отклонений значений случайной величины	j
от своего математического ожидания. Пусть прово-» * _|
дится п независимых измерений некоторой неизвест-	1
ной величины а. Ошибки измерения Si, 62,"..., 6rt бу-	|
дем считать случайными величинами. Предположим,	|
что М6й = 0, k'— 1, 2, ..., п. Это условие можно рас-	|
сматривать как отсутствие систематической ошибки^	1
Предположим также, что DS* = &2. За значение не-	1
известной величины а принимают обычно ^среднее	|
арифметическое результатов измерений. .Тогда ошиб-	j
ка в определении числа а будет равна т)л = (61 4-J	I
ch 62 + •. •.+ бл) /и и	.11
Pn„==4-(Dd‘ + --- + D6»)=T-’ Mn„=o. |
Оценим число измерений п, при котором ошибка гр» j
не превосходит Д с достаточно большой вероятностью. I
Например, Р{|Ял| < Д} > 0,99 или
Р{И„|>Д}<0,01.	(3) . з
По неравенству Чебышёва (1) имеем
10.2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ*
117
Следовательно, (3) будет выполнено, если
б2	ь2
*^д2-^0,01 или «>100-^2-.
Таким образом, мы получили оценку числа измере-
ний, необходимого для получения заданной точности.
10.2. Закон больших чисел. Говорят, что к случай-
ным4 величинам g*, k = 1, 2, ..., имеющим эдатемати- 
ческие ожидания М^. k— 1, 2, ..., применим закон
больших чисел, если для любого е > 0
Л-»оо U	П
_ Mgt + Mg2+.,.+Mgn I | = 1	,4)
Теорема 2 (теорема Маркова). Если у случай-
ных величин k = 1, 2, ...» существуют дисперсии
и если при п-+оо

(5)
то к случайным величинам &= 1, 2....применим
закон больших чисел.
Доказательство. Обозначим = (£1 +
» .. ch Sn) /п. Пользуясь (1) с Д = 8, £ = Ля, получим
Р {I	— МТ)„ I > 8} < -i- Dr)„.
Отсюда, так как
Мч.= м6'+-;- + МЬ| =
\й=1	/
для вероятности противоположного события находим
оценку •
118	§ЛО..ЗЛКОЙ.БОЛЬШИХ ЧИЙЁЛ ।
Из этого неравенства м условия (5) следует (4), Теол j
рема доказана.
Укажем некоторые -частные случаи этой теоремы, . |
Теорема ‘3 (теорема-Чебышёва). 'Если случай- 1
ные величины £*, k— 1,.г2, попарно независимы, I
имеют ..равномерно ограниченные дисперсии (т. е. су-
ществует постоянная с такая, что < с при всех d
Ze=l, - 2, ,..-), то -к случайным величинам	к—. 1,
2,	-применим закон больших чисел.
.В чсамом деле, для доказательства теоремы доста-
точно проверить условие (5). Из неравенств Ща < с?
k = 1,2, ..., и попарной независимости случайных
величин к = 1,2, ,.,, следует, что
\fe=l Z	fc=l	I
Отсюда получаем условие (5) i -	..	]
. *	'\&=1 /	I
прип->оо.~~	_	'	’
Теорема 4. Если .случайные -величины -Л =» j
= 1,2, ..., одинаково распределены; попарно незави- *
симы и имеют конечные дисперсии, -то к этим случай- ;
ным'величинам применим зикон-'болыаих чисел.
Теорема 4 .следует из теоремы 3. Действительно,
дисперсии й=1, '2, существуют и равны
между собой; следовательно, они равномерно огра- -
ничены и мы находимся в условиях теоремы "3.
Утверждение теоремы 4 означает, что для любых ;
е>0,'6>>0, найдется такое N, что при n>N верно
неравенство	.j, ..,.у	- ’
р 11 it+h+.Ь Q | < е j > t _ й> -(6) I
где а=М1й,& = 1, 2, ...	J
( Теорема 5 (теорема Бернулли), Цусть Цп—*
число успехов, в п,мспытаниях Бернулли и р — вероят-
ность.успеха в каждом отдельном испытании; Тогда
10.2. ЗАКОНБОЛЬШИХ ЧИСЁ®
119
для любого е> 0	'	’
' 1нпР{|-^— р|<8}=1.	(7)
V4 < л I J
Для доказательства этой теоремы воспользуемся
представлением в виде- суммы п индикаторов:
1Ъ1 = £1 + %2 +; ... ;+ In, где 'Ik = 1 лесли в А-м испы-
тании был успех, и £й —0 в1 противном случае.
Так как £*, k=l, 2; п, независимы, одина-
ково распределены =1} = р, РШ = 0} =
= 1—p=?=~q)i дисперсии случайных величин g* су-
ществуют и = р, то теорема" 5 сразу следует из
теоремы 4.
Замечание. Доказательство-теоремы 5 можно
провести и непосредственно. Действительно, так как
М^-—р, Dlk=^pq, = то по неравенству
Чебышева (1)
<8>
Это неравенство позволяет оценить вероятность того,
что отклонение частоты ~ в схеме Бернулли от ве-
роятности р. не больше е. Если выбрать п0 таким, что
при га ^.«о	где б —-малое число, то согласно
(8) при п по с вероятностью, не меныпей 1 — 6,
частота будет находиться в пределах-
Л
Р-(9)
Исходя из свойства устойчивости частот, о котором
говорилось- в § -1, можно сформулировать принцип
практической достоверности: события; вероятность
которых близка к единице^ практически достоверны,
т. е. при единичном испытании, как правило, осуще-
ствляются. По этому принципу в серии из п незави-
симых испытаний неравенство £9) должно выпол-
няться, если п по.
120
§ 11. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
Задачи
1.	Случайная величина g имеет нормальное распределение с
параметрами (а, о). Оценить по неравенству Чебышёва Р {| % —
— а |	2о}. Сравнить с точным -значением этой вероятности.
2.	Закон распределения случайной величины £' определяется
формулами
0-2	0%
P{g = O} = l--^-, P^=-A} = P{g = A} = ^-.
Сравнить точное значение вероятности Р {| £ | ^ А} с оценкой*
полученной по неравенству Чебышёва.
3.	Предполагается провести 10 измерений xit х2, ...» х10 не-
известной величины а. Считая , Хю независимыми нор-
мально распределенными случайными величинами с Мх& = а,
Dxfe = 0,01, найти А, если
р 1.г + *‘° - g | < Д } = 0,99.
Оценить А, используя неравенство Чебышёва/ Сравнить получен-
ные результаты.
4.	Применим ли закон больших чисел к последовательности
независимых случайных величин • • •,	, если
- PUfe=7^} = P{^ — VO=j^,p{^=°} = i-^=?
§ 11. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
В § 4 была доказана теорема Муавра — Лапласа,
согласно которой число усцехов в п испытаниях
Бернулли имеет распределение, близкое к нормаль-
\ ному. Представим р.п в виде суммы независимых ин-
дикаторов gn=li + ?2-i- ... +£«, где |а=1, если
в- k-м испытании был успех и £* = 0 в противном
случае.
Теорему Муавра — Лапласа можно сформулиро-
вать в следующем виде.	,
Если случайные величины Ь, •••,	.... неза-
висимы, p{gft = 1} — 1 — Р{Ь = 0} = р, k=\,
2, ..., то при п-+ оо, 0 < р < 1,
р f ^1 ~Ь + ... -р Bn —
I V«D£i
х ,
1 С
7= \ е 2 du (1)
/2я J	'
равномерно по xg(-оо, 4-оо).
’ - § 11. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА "	121
Утверждение (1) сохраняется при достаточно об-
щих предположениях о законе распределения случай-
ных величин gfe. Найдем плотности распределений
сумм т)« = £1 + 1г + • • • + In, где п = 1, 2, 3, Ь
(Zs = l, 2, 3)—независимые случайные величины,
равномерно распределенные на отрезке [—1, 1].,Та-.
ким образом, плотности р$А(х) = р(х) (k= 1,2,3), где
( 1/2, если х е [— 1, 1],
Р(х) | если	jj	(2)
Плотность распределения суммы = 11 + £2 нахо-
дится по формуле (см. (14) § 6)
4-00	1
рш(х) = р(и)p(x — u)du = ^ р(х — и)du.
-00	-1
Из формулы (2) следует, что подынтегральное выра-
жение - р(х—м)я= 1/2,- если —I < х — ы<1 или
л—1<н<х+1, и р(х — и)—0 в остальных слу-
чаях. Общую часть отрезка интегрирования [—1, 1]
и отрезка [х—1, х-j-l], на котором р(х — и)= 1/2;
можно записать в виде [тах(—1,х—1), тт(1,х4-1)]1
Следовательно, в случае —2 < х < О
х+1	. х+1 .
J p(X-«jd« = ^- J du = ^^-.
-1 -1
а если 0 < х < 2, то
1 1
$ р(х — u)du = J =
х-1	Х-1
при |х|> 2 имеем рл?(х) = О..Таким образом,
	0;	если	|х|>2,
	х + 2 4	’	если	-2<х<0,	(3)
	2 — х 4	’	если	0<х<2.
122
§ И. ЦЕНТРАЛЬНАЯ’ ПРЕДЕЛЬНАЯ- ТЕОРЕМА
Распределение, задаваемое плотностью '(3), назы-
вается распределением Симпсона.
Плотность распределения суммы трех величин мо-
жет быть определена как плотность распределения
суммы двух величин Пз — П2 Нт. £з:	__--
+<»
РМ= $ P^)p{x — u)du= .
—оо
О	’	2
= ( “ j~2 р (х — и)du + 2 7 “ . р (х — и) du.
J 4	J
2	’	О
Выяснив интервалы, на которых подынтегральные
функции положительны, после вычислений, аналогич-
ных вычислениям для двух слагаемых, получим
	< 	0,	если	|х|;	>3,.
	. (х + 3>2/16,. (3 —х)2/8.	если если	—3 —1	/А /А И * ./А/А ~ 1 м
	I (х - 3)2/16',	если	к	х^З.
(4)
Графики плотностей, рп,(х) = р(х); р^(х), ргь(х)
приведены на рис. 13, 14, 15. Отметим, что плотность
распределения суммы с ростом числа слагаемых ста-
новится более гладкой:	(х) — разрывна; р^ (х)—
непрерывна; РЛз(а:) —дифферейцируема. Отметим
также/что плотность РЛз(х) более (по сравнению
с рЛ1(х), рЛ2(х)) напоминает плотность нормального
распределения. Приведем без доказательства усло-
вия, при которых закон распределения суммы неза-
висимых случайных “величин сближается с нормаль-
ным распределением.
Теорема 1. Если случайные величины gi,
Hh	независимы, ' одинаково распределены и
имеют конечную дисперсию, то при п~+оо равномер-
но по —^rh00).
X '
—	р и2
р Г £. + l2+'...+En-na < х 1	—L. I е~~ du,
(	a л/п	J -у2л J
т	оо
где a = MU a2 = Dgfe, А: =1/2, .... п.
§ И. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА , -
123
г
7
Ряс. .13.
Условия, сходимости .функций .распределения неза-^
висимых случайных величин, имеющих -различные
распределения, содержатся -в теореме Ляпунова. При* ।
ведем без доказательства ее формулировку.	|
Теорем а 2. Пусть 11, ^2,	. — независим! ч
мые случайные величины, имеющие конечный \
124j
§ It. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
третий абсолютный момент. Положим
Ап=^ак, Е?п=£ь1 C3n=t,cl'
/г=1	/г=1
Если
lim^- = 0,	(5)
П->оо
то при п-+<х> равномерно по
х (—оо < х < jf-oo)
Si + gz + . -. + grt — An .	. С Г
-	Л f * ,_l_a у 7*	1 Cz
Bn	j —у 2л J
При ссылках на теоремы о сходимости распреде-
лений сумм случайных величин к нормальному за-
кону удобно использовать понятие - асимптотической
нормальности. Если функции распределения последо-
вательности случайных величин (rjn — Ап)/Вп схо-
дятся при п->оо к функции
х „
1 г
—=- \ е 2 du,
•V 2л J
то го-
ворят, что случайная величина т)« при п->оо асим-
птотически нормальна с параметрами (Ап,Вп).
Теоремы ! и 2 позволяют объяснить частую встре-
чаемость нормального распределения. Например,
ошибки при измерениях часто оказываются нор-
мально распределенными. Этот фак? может объяс-
няться тем, что ошибка складывается из большого
числа слагаемых, вызываемых независимыми фак-
торами.
Достаточно общее утверждение о сходимости рас-
пределения сумм случайных величин к нормальному
закону называют центральной предельной теоремой.
В качестве примера применения теорем 1 и 2 оце-
ним число испытаний в методе Монте-Карло, необ-
ходимое для вычисления кратного интеграла с за-
данной точностью. Пусть функция f (х) = f (Xt, ..., xr)
определена на r-мерном единичном 'кубе И.
Требуется вычислить интеграл а = f (*) dx. I
v
J И. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
125
Пусть известна постоянная С такая, что {/(х) С,
хеГ. Обозначим £ = (|ь	&) случайный вектор,
равномерно распределенный на V. Тогда Pi(xt, ...
..., Xr) = 1, если xeV, и pt (хь ..., Хг) = 0 в против-
ном случае. Математическое ожидание случайной ве-
личины л = /(Ю найдем по формуле
Мп= ( ... \f (х„ ... хг)р1(х1.....xr) dxx ... dxr —
. v
==	. J / (X) dx — а.
v; J
Таким образом, Мт] совпадает со значением вычисляе-
мого интеграла. Так как |/(х) | < С, то
a2:=Dr)=( ... J(f(x) — a)2dx<4C2.
v
Пусть теперь случайные векторы = (g*i, .,.
..., isr). k = 1..п, независимы *) и распределены
равномерно на единичном кубе V. Тогда случайные
величины = /(£*), k = 1, ..., п, независимы й оди-
наково распределены. По закону больших чисел слу-
чайная величина gn = (r)i'4- ... 4-т)п)/п при больших
п близка к постоянной а — Мл*. Предположим, что
нужно вычислить а с точностью Д. Оценим вероят-
ность .
Так как о <Z 2С, то
и при больших п	-
*) Случайные векторы k = 1, ...» п, независимы, если
для любых r-мерных прямоугольников Bkt k = 1, 2, ..., n,
... РЙяеВя).
126	§ 12. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ
По заданной малой вероятности' нежелательного со<
бытия ]£„ — а| Д можно так же» как в §4, най-
ти п..
Задачи	_ '	.
1; Складываются. 104 чисел, каждое из которых округлено
с точностью до 10“ш. Предполагая, что ошибки от округления
независимы и* равномерно распределены в интервале^— у 10
найти*пределы, в которых с вероятностыол Не мень*
шей 0.99, будет лежать суммарная ошибка.
2. Получить теорему Муавра — Лапласа в качестве след-
ствия теорем 1 и 2:
3. Пусть случайная величина распределена по закону
Пуассона с параметром к. Найти
lim Р f < il
А->оа	к J
Указание. Воспользоваться- тем, что случайная величина
(Ч = Л) при' любом Л > 0 представляется в виде
= 5л* + ёд* + ... + где lb* — независимые случайные
величины, распределенные по. закону Пуассона о параметром h.
§ 1?. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ -
Измерения неизвестных величин или параметров
приходится- проводить в самых различных областях
научной и технической деятельности. Результаты из-
мерений одной и той же величины несколько отли-
чаются друг от друга, так как невозможно полностью
сохранить условия проведения различных измерений.
Рассмотрим простейшую математическую модель про-
цесса измерения.
12.1. Выборка. Обычно измерения стараются про-
водить независимо одно от другого и примерно в оди-
наковых условиях. Пусть проводится п измерений.
В результате измерений будет получено п чисел
Xi, хг, хп. Если повторить еще раз п измерений,
то получатся другие п чисел, отличные от первого на-
бора. Процесс из п независимых измерений естествен-
12.2. ОЦЕНКА
127
но описать как п независимых случайных величин,
числовые значения которых при различных в> соответ-
ствуют результатам измерений в различных опытах.
Выборкой объема п назовем п независимых
случайных величин • Xi, Х2, ..., Хп, каждая из
которых распределена так же, как некоторая
случайная величина £ с функцией распределения
, Ри« = Л(*).
Таким образом, Р{Х,*^ х) =/^(х) при любом
i = 1, 2, ,,,, п.	-
Выборка является’математической моделью п не-
зависимых измерений, проводимых в одинаковых ус-
ловиях. Случайная величина g является характерно- х
тикой прибора или метода измерений. Величины
Xi, . Хп можно рассматривать как п -независимых
«экземпляров» величины	'
12.2. Оценка. По результатам измерений требуется
найти число, близкое, -к неизвестному значению изме-
ряемого параметра. Пусть, например, по значениям
выборки объема п требуется оценить неизвестный
параметр .0 закона распределения РЙ<х}==;
= Fj(0, х). Оценкой неизвестного параметра 0 назо-
вем ПРОИЗВОЛЬНУЮ ФУНКЦИЮ 0л=-0ч(Х1, Хз, .... Хп}»
Значения этой функции 0n(xb х2, .... х«)' при полу-
ченных IB результате '.измерений значениях Xi — Xi,
i = 1, ..., п, будем рассматривать как приближенное
значение параметра 0. Приведенное определение
оценки отражает только самое общее требование, что
оценка должна определяться дю значениям выборки, •
Очевидно, что любая оценка не Обязательно будет
близкой к оцениваемому параметру 0. Введем два
свойства оценок, которые обеспечивают их близость’
к соответствующим параметрам.	~ ,
Оценка 0« параметра В называется несмещен* '
ной, если М0П = 0.
Оценка 0П параметра 0 называется состоя*,
тельной, если при п-^оо
₽{|ёп-0|<е}->1	.
для любого е > 0.
128	§ 12. ОБРАБОТКА -РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ;
Свойство несмещенности означает, что оценка не
имеет систематической ошибки. Свойство состоятель-
ности обеспечивает сближение оценки с измеряемым
параметром при увеличении числа измерений.
Пример 1. Рассмотрим выборку Х2, Хп,
соответствующую случайной величине g с F$(x) =
= P{g х}. Пусть нас интересует параметр а = Mg.
Предположим, что существует uDg = o2. Обычно в ка-
честве оценки йп параметра а выбирают среднее
арифметическое X значений выборки, т. е, полагают
= * = - +х-. (1)
Согласно определению выборки величины ..., Хп
независимы и каждая имеет распределение, совпа-
дающее с g. Поэтому
MA\==Mg = a, DXz = Dgb=a2.
Используя свойства линейности математического
ожидания и свойства дисперсии, из формулы (1) по-
лучим
М4 = МХ=^(МХ1+ ... + МХп)=~ = а, (2)
Dd„=-^(DX1+ ... +-DX„) = -^=-£.	(3)
Равенство (2) означает, что оценка ап = X является
несмещенной оценкой параметра а. Из (3) следует,
что среднее квадратичное отклонение оценки X от не-
известного параметра а, р#вноео/д/я, убывает с уве-
личением числа измерений п.
Воспользовавшись неравенством Чебышёва и ра-
венством (3), получим, что для любого 8 > О
Р{Мя-а|>е}<-^- = -^->0
при п->оо. Следовательно, вероятность противопо-
ложного события Р {| ап — а|<е}->-1 при п-^оо,
т. е. оценка ап = X является состоятельной. Таким
образом, мы показали, что
среднее арифметическое X является несме-.
щенной и состоятельной оценкой измеряемого
параметра, если измерения Xi имеют конечную
дисперсию.	, .
12.2. ОЦЕНКА
129
Может существовать несколько различных несме-
щенных и состоятельных оценок параметра а. Среди
всех таких оценок естественно выбрать оценку с наи-
меньшей дисперсией.
Пример 2. Пусть теперь по выборке Хь ..., Хп,
соответствующей распределению F$(x), нужно оце-
нить-два параметра а = Mg и o2=Dg. В качестве
оценки а мы выберем X. Оценку о2 параметра о2
определим формулой д2 =$2, где
п
=	И)
Покажем, что оценка d2—s2 является несмещенной
оценкой а2. Преобразуем сначала формулу (4), введя
случайные величины У* = Хк— с. Так как
п
Xk-X = {Yk + c)-^^Yk + ^=-K-Y,
fe=i	• ’	- „
где F —(KiH- ... 4-Уп)/п, то из формулы (4) по-
лучим
П
s’—<5)
fe-l
т. е. величина s2 не изменится, если все величины Хк
сдвинуть на одну и ту же величину. Положим теперь
с = а =	Тогда МУ* = 0, VYk = МУ1 = DXk = а2 и
М(у*-у)?=му1-~м(уйУ уЛ+А У мгл
\	/-1	/ It, 1,-1
Так как Yiu Yt, независимы при Zi=/=4 и МУцУ/2«
==МП,МГ/, =	то
4r*£y0~M(rt+X’'*r')=
= МУ1+ Е МУаУ;=СТ2,
Л: к=/ь1
п '	п	п
' Е• MYtlYtt~ £ МУ/+ Z МУ/.Уц= z МУ? = по2. •
5 В. К. Захаров и др.
130	S 12. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ
Следовательно,
М (Yk - У)2 = о2 - £ а2 +	а2.
Отсюда и из формулы (5) находим
п
ft-1 	•	•)
Таким образом, несмещенность оценки sj доказана. <
Если предположить, что М£4 существует, то можно |
показать, что при п-> оо	*
Ds’=°(v)-	i
Отсюда, используя неравенство Чебышева	«
P{|^-q’|>e)<-^— О(±),	j
получим, так же, как в примере 1 для X, состоятель* |
ность оценки s2.	’
Пример 3. Пусть выборка Х\, ,,,, Хп соответ* ;
ствует испытаниям схемы Бернулли, т. е.	|
Р{Х<=П=Р; р{хг = о} = 7 = 1-р. - I
1 '•
Тогда частота «успеха» hn = — (^4- ... Ч-Х„). По*
кажем, что hn является состоятельной и несмещенной 
оценкой р. Так как = р и ОХь — pq конечна, то 
рассматриваемая схема является частным случаем. ;
общей схемы примера 1, Таким образом, можно вос« '
пользоваться выводами примера 1, и, следЬвательно, '
частота hn является состоятельной и • несмещенной <
оценкой р.	]
Пример 4. Найдем по выборке Jfi, Хп, соот- ?
ветствующей распределению F^(x), оценку Fn(xJ
функции распределения F$(x) при каждом х. Поло, |
жим -	j
Fn{x)-=^p.n(x),	-	|
где jin(x) — число случайных величин среди Xi, Хг, <j< |
,Хп, не превосходящих х. Функция Fn(x) назы* i
12.2. ОПЕНКА
131
вается эмпирической функцией распределения. С каж-
дой величиной Хк можно связать два события {Xk ^1
х} и {Хь > х}. Вероятности этих событий очевидно
равны р == Р{Хц х} = /\(х), q = p{Xk>x} -=*
== 1—F(x). Если к событие {Xj. х} назвать «успе-
хом», то цй(х) является числом успехов в серии из п
независимых испытаний, а Рп(х) является частотой
успеха* Следовательно, согласно предыдущему при-
меру Рп(х) является несмещенной и состоятельной
оценкой параметра р = Р^(х). На рис. 16 приведены
график функции Г6(х)=^Ф(х) и график Рп(х) (при
п — 100), вычисленной по реализации, взятой из нор-
мально распределенных случайных чисел (см. [1],
ЦП], [14]).
Иногда .для наглядного представления выборки
используется гистограмма, получаемая следующим
образом. Числовая ось разбивается на несколь-
ко непересекающихся полуинтервалов: (—оо, оо)=.
Г
U (Zfc, z*+il> где -—оо = zo <Г zi < г2 < ... zr
zr+\'<Z оо, Далее вычисляются частоты pk
= Fn(2ft+i) — Fn[zk) попадания элементов выборки a
5* ,	z	-
132
5' 12. ОБРАБОТКА результатов ‘йзмйрёййй
эти интервалы. Затем над каждым отрезком [z*, z*+i]
строится прямоугольник, площадь которого пропор-
циональна частоте pk. Частоты pk при больших п
zk+i
близки к Pk— j p(x)dx, где р(х)—плотность
гк
распределения Р\(х). Таким образом, при удачном
выборе ширины интервалов гистограмма может на-
поминать график плотности распределения р(х).
Рассмотрение графиков эмпирической функции
распределения и гистограммы может дать некоторое
предварительное представление о неизвестной функ-
ции распределения F^(x).
На рис. 17 приведены график плотности нормаль-
ного распределения с параметрами (0, 1) и гисто-
грамма, соответствующая Рп(х) (см. рис. 16).
Пример 5. Из урны, содержащей М белых
и N — М черных шаров по схеме случайного выбора
без возвращения, извлекается п шаров. Определим
индикаторы Xk, k == 1....п, положив-Xk = 1» если
Л-й шар (по порядку извлечения) оказался белым
и Xk = 0 в противном случае. Случайные величины
Х\, ..., Хп очевидно зависимы. В этом случае так же;
как и в случае независимых выборок, определенных
в п. 12.1, можно искать оценки неизвестных парамет-
ров схемы. Оценим, например, долю p = M/N белых
12.3. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ	'	133
шаров в урне. Положим
/>„=4^ + ^ + +хл).
Математическое ожидание и дисперсия числа белых
шаров в выборке я» =	+ ••• + Хп были опреде-
лены в §8 (пример 5). Используя эти формулы, по-
лучим
= ОЛ„ = 4-р(1-р).^т--
Таким образом, f>nrявляется несмещенной оценкой р.
Состоятельность рп следует из неравенства Чебы-
шёва
-Р^4^Т-
12.3. Интервальные оценки. Если известен закон
распределения оценки или ее дисперсия, то можно
указать границы, в которых с большой вероятностью
находится неизвестное значение параметра.
Эти границы' зависят от значений неизвестного
параметра, и тогда пользоваться ими нельзя.
Рассмотрим выборку Xi, Х2, ..., Хп с Р{Х/ х} —
= Fs(0, х), где 0 — неизвестный параметр. Предпо-
ложим, что нам удалось найти две функции 0 =.
= 0(ХЬ Х2, ..., Хп) и 0 = 0(ХЬ ..., Хп) такие, что
0 < 0 при всех значениях Х\, ,.., Хп и при любых
значениях 0
Р{0(Хь .... Х„)<0<0(Хь .... Хп)} = 1-2а,
т. е. вероятность того, что случайный интервал (0, 0)'
накроет неизвестный параметр 0,. не _завйсит от. пара-
метра. В этом случае интервал (0,0) называют 5о-
верительным интервалом для неизвестного парамет-
ра 0, соответствующим доверительной вероятности
1 — 2а. В ряде случаев функции В и 0, обладающие
указанными овойствами, можно найти.
Пусть имеется выборка Xi, ..., Хп, причем вели-
чины Хь распределены нормально с параметрами
.(а, а), а параметр а известен. Найдем доверительный
134
5 12. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИИ
интервал для а. Случайная величина Я = ,м
... + Хп) /п 'имееет нормальное распределение и
МЯ = a, DJ = (Р/п. Следовательно, величина
<т V»
распределена нормально с параметрами (0, 1), и ее
распределение не зависит от а. Отсюда
Р	<иа1 = 1— 2а
 U <з1у.п )	.	'
или
Р (х — ио—= < а <	иа—^=-|= 1 — 2а, (6)
( д/п -	-vn J
где иа определяется как решение уравнения .. -.J .. ,
Таким образом, мы нашли доверительный интервал
|X =— иа —Х + иа—£=-] для параметра а.
\ -уп	, -у» /
Более естественной является ситуация, когда оба
параметра а и о неизвестны. В этом случае для по-
строения доверительного интервала используется ве-
личина т„_1 =~~~ л/п , где s2 определено форму-
лой (4). В курсах математической статистики дока-
зывается (см., например, [7]), что распределение
величины Тл-1 не зависит от параметров а и а нор*
мального распределения, соответствующего выборке;
плотность распределения тп-1 определяется формулой
где нормирующая постоянная С = г(-у)/Г (-у-)
• Vл (га — 1). Распределение величины тя-1 называют
распределением Стьюдента с п — 1 степенями свободы.
Определим величину ta, n-i как решение уравнения
Р{|т„_1|</а,„_1} = 1-2а.	(8)
1’2Л. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
135
Отсюда, положив Tn_t (X — aj^nls, получим-дове-.
рительный интервал для а:
<* + /«,n-i-M = l-2a. (9)
(.	-у«	д/п J
Приведем небольшую табличку значений /а, пч
п 2а	5	10 1	20	30	СО
0,05	2,571	2,228	2,086	' 2,042	1,960
0,01	4,032	3,169	2,845 z	2,750	2,576 ♦
При п->оо плотность Рхп_х(х) сходится к плотно-,
сти нормального распределения с параметрами (О, I).
Так как при любом конечном п плотность Рхп_\ (х)
при х—*-оо убывает медленнее плотности нормаль-
ного распределения, то ta, n-i > ta><x> = и-а. Это при-
водит к тому, что средняя длина доверительного ин-
тервала (9) больше длины доверительного интер?
вала (6).
При построении доверительных интервалов (6),
(9), предполагалось, что. элементы выборок имеют
нормальное распределение. Пусть теперь' Х2, ...
».., Хп — произвольная выборка. Прй больших п
можно построить простые' приближенные доверитель-
ные интервалы без предположения нормальности Хк.
Найдем, например, доверительный интервал для па-
раметра а = МЛ*. Пусть о2 = DXfe. Тогда по цент-
ральной предельной теореме распределение величины
Х|+-Кг+ +Хп-па _ Х-а
близко к нормальному распределению с параметрами
,(0, 1).,Отсюда, используя состоятельность оценки s2
параметра о2, можно показать, что
или
Х — а
s[^n
«а | = 1 — 2а,
S
/—
1 - 2а (10)
136
§ 12. ОБРАБОТКА 'РЕЗУЛЬТАТОВ* ИЗМЕРЕНИИ
при н-*оо. Доказательство этого утверждения мы
приводить не будем.
12.4. Метод наибольшего правдоподобия для на-
хождения оценок параметров. Метод моментов. Если
функция распределения F(0, х) = P{Xk х}, k —
= 1, ..., п, имеет плотность р(0, х), то функция
L = L (Хь ..., Хп, .0) = р (0, X,) ... р (0, Х„) (11)
называется функцией правдоподобия. Для выборки,
состоящей из дискретных величин X*, k—\, ...-, п,
с распределением Р{Х* = х} = р*(0) функций' прав-
доподобия определяется равенством
L = L (Хь ...» Х„, 0) == рХ1 (0) • рХ2 (0)«... • рХп (0). (12)
При фиксированных Хь ..., Хп функцию L будем
рассматривать как функцию параметра 0.
По методу наибольшего правдоподобия за
оценку параметра 0 принимается значение ар-
гумента 0 = 0(Хь •••» Хп), при котором L имеет
’ максимальное значение, т. е. выбирается значе-
ние 0, при котором вероятность получения дан-
ных значений выборки максимальна.
Поскольку In L при фиксированных (Хь .... Хп)
достигает максимума при том же значении 0, что и L,
то для нахождения оценки можно решать уравнение
правдоподобия
. Т =	<13)
Решением (13) будем называть только корни, зави-
сящие от Хь Х2, ...» Хп. Каждое решение уравнения
правдоподобия (13) будем называть оценкой наи-
большего правдоподобия для 0.
При некоторых достаточно общих условиях
(см. [7]) уравнение (13) имеет, решение 0П, являю-
щееся состоятельной оценкой параметра 0; кроме
того, при п->оо оценка 0П асимптотически нор-
мальна.
Если 0 = (0ь ..., 0s), то оценками наибольшего
правдоподобия параметров 0ь ...» 0« являются за-
Ш; МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК
137-
висящие от (Xi, Хп) решения системы уравнений:
Д-1, 2.....л «
Пример 6. Пусть величины Хк, k= 1, 2, п,
имеют нормальное распределение. Неизвестными па-
раметрами . являются а = b — о2 = DXft. Най-'
дем их оценки наибольшего правдоподобия. По фор-
муле (11)
L=L(Xi, .... Хп, а, 6) =
/ п
ехр(-£
\
П
In L = -4(1п2л + In b) -	2 (Хк - а)2.
Л-1
Отсюда для оценок а и b получим систему
п
^=4-£(х1-л) = о.
I	.	п
- / '
п
Из первого уравнения й = ~	X. Подставляя
&=1
это значение во второе уравнение, найдем	/
п
g = m2 = ±£(XA-X)2.
Л-1
Пример 7. Найдем оценку наибольшего прав-
доподобия для вероятности успеха р в схеме Бер-
нулли. По формуле (12) L — L(Xi, ..., Хп, р)=>
= П РЧ (1 - Р) х~4, Xk - 0, 1 (Хк = 1, если в ис-
А= 1
' - 138
§ 13. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
. пытании# был успех, и X* == 0 в противном случае} и
1п£ = Е (Хк 1пр + (1 - Xk) In (1 -р)).
&=1 9
Отсюда
П	* _	
д In L _yi / Xk 1 — Xk \_ Хп п - . пХ п
др ~ LA р 1-р )~ р	+	и
и р = X. Так как для числа успехов р,л' имеем равен-
ство рп =	ch-^л» то р = рп//|.
§ 13. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Неизвестные функциональные зависимости на
практике часто устанавливают посредством измере-
ний. Пусть, например, исследуется функциональная
зависимость	?
- р = Ф(х),	(1)
где ф'(х) неизвестна. При различных значениях xi,
Х2, хп, известных точно, измерены с ошибками
значения соответствующих им pi, уг, .... уп. Модель
таких измерений можно определить равенствами
Р/= Ф(X/) + б/,- 1 = 1, 2, ..., п, (2)
где б, независимые случайные величины Мб/ == 0.
При полном отсутствии информации о характере
функции ф(х) невозможно получить достаточно удов- х
летворительное ее приближение. В этом случае, со- j
единив пары (xi.y,), i =. 1, 2, п, отрезками пря- |
мых, получим график, мало напоминающий исходную J
функцию у = ф(х) (см. рисг 18, 19 и пример в конце I
§13).	1
Обычно предполагается, что известны свойства а
гладкости функции ф(х) или известен ее вид с точ- Ш
ностью до некоторых параметров. Пусть, например, I
р = ф(х, А, В), где функция <р(х,А,В) известна, х— 
независимая переменная; А и В — неизвестные пара- 
метры. Предположим также, что в равенстве (2) ве- а
личины б/ имеют одинаковые дисперсии ’JD6/ = о2. По 
S 13.МЕТ0Д'НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
139
Рис. 18. ,	t .	Рис. 19.
140	§ 13. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
значениям пар (xi, yi) .требуется определить неизве-
стные коэффициенты А и В. Для определения оценок
А и В используется метод наименьших квадратов,
состоящий в том, что в качестве оценок А и В выби-
раются „значения А и 5, минимизирующие сумму
квадратов отклонений измеренных yi от соответствую-
щих вычисленных значений <р(х<, А, В):
Q(A,B)=t(yk-<p(xk,A,B)y. < (3)
Л«=1
Таким образом, в качестве оценок А, В параметров А
и В предлагается брать решение системы уравнений
# = 0, 4|- = 0-	(4)
Рассмотрим свойства оценок, полученных методом -
наименьших квадратов, в простейшем случае. Пусть . |
требуется найти коэффициенты А и В линейной функ- I
ции у = Ах + В. Будем предполагать, что в выборка
(уъ .... Уп) величины yi представимы в виде
У1 = Ах1 + В + Ъь	(5)
где б, независимы, Мб/ = 0, D6, = о2, xi известны без
ошибки. Уравнения (4) для функции (р (х) = Ах В
имеют вид	.	-	•
к:1	(6) 1
Сдвигом начала отсчета на оси х можно всегда до- 1
п (
биться, чтобы было выполнено равенство. =
В этом случае система (6) приводится к следующему
виду:	__
г п	п
£**^-л£**в0*	j
в«л=о.
Л=1
§13. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ	141
Отсюда получим
/Л	\ / п \	п
(П
\й-1	/ \fe=l /	fe=l
Формулы (7) могут быть использованы для вычис-
ления оценок. Для исследования свойств оценок А
и В воспользуемся формулами
п
у1/	п
л = л + -^—,_8=в+4£бъ	(8)
Е 4 
*-1
которые следуют из формул (7), если в них ijk заме-
нить по формуле (5). Так как величины б* незави-i
симы и Мб* = 0, Об* = о2, то
п
=V-£^M6*=o,
Е4*-1
Отсюда и из формул (8) находим
МА = Л, МВ = В, -DA = -^—,	=
' Е**
k~l
142
' § 13. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ?
Таким образом, оценки А и В являются несмещен-
ными оценками параметров А и В. Оценки А и В со-
Л
стоятельны, если ^х|->оо. при n->oo, так как
в этом случае DA -> О, DB 0.
Если предположить, что 8i, а следовательно, и yi
распределены нормально, то ’ можно показать, что
оценки, полученные методом наименьших квадратов,
совпадут с оценками метода наибольшего правдопо-
добия.
Действительно, функция правдоподобия выборки
yi,.. •, Уп в этом случае имеет вид
-	Z	п	X
L (у, А, В) = J- exp 1 — -4гУ (Уь — Ахк — В)2 I.
у2п а	I	{—{	I
ч	\	A-il	ч	✓
Отсюда для оценок наибольшего. правдоподобия
параметров А и В получаем систему уравнений
, п
 *:' (»)
*=1
отличающуюся от системы (6) только положитель-
ным постоянным множителем. 1/2о2. Метод наимень-
ших квадратов -можно, применять и для нелинейных
функций.
Пример. Пусть неизвестная функция у^=Ах2^
•4-Bx-f-C. Для значений xf = ~, / = 0, 1, ...» п—1,
А — —2’ В =. 10, С = —8 найдены значения Ах2 +
+ Вхг -j- С и при помощи датчика случайных чисел по-
лучены две реализации (п = 25, п= 100) бь 6г, ««•
...., бп случайных ошибок .61, >>., 8п в предположе-
нии, что б; независимы и распределены нормально
с Мб,- = 0, D6i = 0,04.
Таким образом, смоделированы измерения
^ = -2х2+10^-84-6/t	/=!,..., п. (10)
§ 43. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ	143
Оценим, используя метод наименьших квадратов, па-
раметры А, В, С, истинные значения которых нам.
известны. Будем минимизировать сумму
п
Q (А, В, С) = £ (ук - Ах* - Вхк -С)2.
Оценки А, В, С удовлетворяют системе уравнений
““ ад X	“ Q Х1 —
Л-1
п
дв ~ 2 2	О хь ~ О»
*=1
п
= 2 J - Ах*к Вхк — С) = 0.
*=1
Отсюда находим
а)	п = 25: Л = —1,871, 5 = 9,510, С = -7,627/
б)	п = 100:' А = — 2,046, 5 = 10,200, С = -8,218.
На рисунках 18 и 19, относящихся к случаям
п = 25 и п = 100 соответственно, приведен график i
точной функциональной зависимости у = —2х* -J-]
Н-10х— 8; знаком ® отмечены «результаты измере-
ний» (xi, tji) (на рис. 18 отмечены все точки с Xi е
е(1,8; 3,0), а на рис. 19 отмечены точки с xi е
е( 1,8; 3,0) и Xi+i — Xi-.= 0,Q4)) и соединены ломаной
линией. На рис. 18 приведен, график найденной по
оценкам функциональной зависимости #*=Лх24-5х +
-г С при п = 25. График функциональной зависи-
мости, найденной по 100 измерениям, почти не отли-
чается от у — —2х2+10х —8, и поэтому на рис. 19
приведены только точки (хр т/,), где y*t — Ах* + Bxt +
4-С (п== 100). Эти точки отмечены знаком При-
ведем табличку значений yi = — 2х* -J- 10х<—8, yi
^ri-Bxt + 6:	.
Д44	§ Н. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ^
xi	1,800	1,880	1,960	2,040	2,120	2,200
	3,520	3,731	3,917	4,077	4,211	4,320
V} (п = 25)	3,430	3,640	3,826	3,988	4,126	4,241
У1 (п=100)	3,511	3,725 '	3,912	4,073	4,208	4,317
xi	2,280	2,360	2,440	2,520	2,600	2,680
«1	4,403	4,461	4,493	4,499	4,480	4,435
У1 (я ==25)	4,331	4,397	4,440	4,458	4,453	4,423
У* (п=100)	4,399	4,456	4,486	4,490	4,467	4,419
§ 14. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
14.1. Критерий х2- В приложениях часто'возникает
следующая задача. Пусть в результате какого-либо
эксперимента получена выборка
XhX2,...,Xn	(1)
объема п с функцией распределения F(x) = Р{Х<
х}. Какие-либо предположения о виде распределе-
ния F(x). будем называть статистическими гипотезами
или просто гипотезами. Иногда нас интересует гипо-
теза, состоящая в том, что функция распределения
F(x) совпадает с некоторой фиксированной функцией
Fo(x). Задача проверки статистической гипотезы
F(x) — Fq(x) состоит в том, чтобы решить,, согла-
суются ли с ней значения Xi, выборки. (I). Для реше-
ния этой задачи поступим следующим образом. Раз-
делим точками zq = —об < zi < z2 < ... < zr~\ <Z
<Zzr — оо всю прямую на г интервалов (зл-ьХ*].
Обозначим pk = Fo (zft) — Fo (z*_i) = P {zk-i <Xi^
Zk} — вероятность попадания Xi в интервал
(г*-!, Zk] в случае, когда наша гипотеза справедлив
ва. По выборке (1) определим числа Vk, k = ~l, ...
.... г, где Vk — число элементов X, выборки (1), по-
павших в интервал (Zk-i, z*]. Таким образом, мы
145
Ш.-КРИТЕРИЯХ»
свели задачу к более простой. Имеется п независи-
мых испытаний с г исходами. Вероятность Л-го ис-
хода равна Дй. Набор вероятностей исходов
Г
Pl, р2>’“, Рп ^Рк=1,
(2)
определяется первоначальной статистической гипоте-
зой. Случайные величины
*2.	=
/г=1
определяемые по выборке (1), имеют полиномиаль-
ное распределение (см. § 3 (8)) с вероятностями ис-
ходов (2):
о - То1,... р-'.
.Г	(3)
i=l
Если значения v* соответствуют вероятностям р*, то
vfe
разности — рк должны быть малы. Рассмотрим
случайную величину
Ла1
которую будем называть х2-статистикой Пирсона.
Если случайные величины v* имеют полиномиальное
распределение (3), то справедливо следующее утвер-
ждение: при любом х > 0 -
X
\	(«) du;	(5)
lim Р{х2^х} =
плотность kr-i (х) называется плотностью у^-рас-
~ пределения с г — 1 степенью свободы и имеет
146
§ 14. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ ,
следующий вид:
kr-i(x) =
О -
при
при х < 0.
Этот результат используется следующим образом.
Зададимся каким-либо малым значением вероятно-
сти а, которое будем называть уровнем значимости
критерия. Заменим при больших п предельное соот-
ношение (5) приближенным равенством ’
, р {%2 < х} « jj kr_Y (и) du.	(6)
,	о
ха, r~i
Выбирая х = ха, г-i таким, чтобы	(и) du »
‘ о
= 1—а (ха, г-i называется а-квантилью распределе-
ния %2), получаем/что в случае, когда проверяемая
гипотеза справедлива, событие
{Х2>Ха,г-1}
(7)
может произойти лишь с малой вероятностью, кото-
рая приближенно равна а. Обычно полагают а = 0,05
или а '= 0,01. Если гипотеза верна, то маловероятное
событие (7) практически невозможно. Если оно про-
изошло, то будем считать, что гипотеза неверна. Если
же %2 ха, г-i, то будем говорить, что выборка (1),
не противоречит гипотезе F = fo.
На практике считают, что приближенным равен-
ством (6) можно пользоваться, если все произведения
npi^ 10 (кроме, может быть, крайних). Если выбор
точек деления z* и число интервалов г зависит от нас,
то. мы должны, с одной стороны, обеспечить неравен-
ство пр, ^10, и, с другой стороны, не брать очень
крупные интервалы (z*_i, z*], чтобы вероятности
Pft = 77o(zfe) — Fo(Zk-i) достаточно хорошо отражали
вид функции распределения F0(x).
ня. КритерииX2
147
Следует заметить’, что пользоваться предельным
соотношением- (5) и вытекающим из него приближен’
ным равенством (6) можно лишь в том случае, когда
точки деления Zk выбираются независимо от вы-
борки (1).
Если функция распределения F(x\ 0s) эле-
ментов выборки (1) зависит от неизвестных парамет-
ров 01, .,., 0S, то мы можем подобрать значения’ этих
параметров такими, чтобы статистика (4) обратилась’
в Минимум, Обозначим
m|n у fa-M»......W
“"‘(О'.'
где pk(Bi, es) = F(z/t; 0Ь 0S) — F(zk-v, 0i, .ч
0s). Если минимум в (8) .достигается при 0z = 0/,
то
Г.2 _ У1 (vfe ~	....в*))2	(8)
где 0/ — оценки параметров 0/, т. е. 0г — функции от
выборки (1), которые можно принять за приближен-
ные значения 0<. В этом случае вместо предельного
соотношения (5) имеет место следующее утверж-
дение:	' г '
-
lim Р {х2 х} = ( &r_s_i (ц) dtt,
г	п->оо	- J
т. е. функция распределения Р{х2^х} приближенно
равна функции распределения "%2 с г — s — 1 степе-/
нями свободы. Это же самое утверждение справед-'
ливо, если в равенстве (8) оценки 0, получены ка-
ким-либо другим способом, но достаточно быстро при
п ->оо приближаются к 0».
Пример 1. Пусть выборка. (1) получена из нор-
мального распределения с параметрами (а, <т)г т, е.
ее элементы имеют функцию распределения
"	'	1	г (ц~а>г	’	„X
- J-— ( е~ 2°s du = ®(^=-?-\
л/2л a J * V tf /
— оо
148
. § 14. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ f ‘
Оценим параметры а и а следующим образом:
п	п
^ = 5'=^-^(Х,-й=.
/=1	J=1
Положим Го (*) = Ф (~у~) и Далее действуем так
же,-как описано выше: определяем по г* вероятности^
р*, вычисляем величину %2. Только теперь, поскольку
мы по выборке определили s = 2 параметра, вместо
приближенного равенства (6), надо воспользоваться
приближенным равенством
X
Р {х2 х}	kr_3 (и) du.
о
В конце книги приведена таблица значений %а, т для
т = 1 4- 25, а = 0,05, а = 0,01.
14.2. Выбор из двух гипотез. Часто возникает сле-
дующая задача. Пусть имеется выборка (1). Относи-
тельно функции распределения Г(х) этой выборки
имеются две гипотезы: основная гипотеза Hq: F(x) —
— Fo(x), и конкурирующая гипотеза Н^. F(x) =
— Fi(x). По выборке (1) надо определить,, какая ги-
потеза имеет место на самом деле. Для решения
этой задачи строят статистический критерий, кото-
, рый. состоит в следующем: гипотеза Но отвергается
(и, следовательно, принимается конкурирующая ги-
потеза Hi), если выборка (Хь Хп) попадает
в некоторое заранее выбранное критическое множе-
ство S, т. е.
(Хь .... X„)eS;
гипотеза Но принимается, если .
(Л, ...» Xn)£S.
14.2. ВЫБОР ИЗ. ДВУХ ГИПОТЕЗ
149
Обозначим Pi(S) вероятность события (Хь ..., Хя)е
eS; если верна гипотеза Hi. Каждый критерий ха-
рактеризуется вероятностями ошибок первого и вто-
рого родов. Вероятность а ошибки первого рода опре-
деляется равенством а = Po(S) и равна вероятности
отвергнуть основную гипотезу, если она верна. Ве-
роятность р ошибки второго рода определяется ра-
венством P = Pi(S), где S =— дополнение
множества S, и равна вероятности принять основную
гипотезу Но, если верна конкурирующая гипотеза Hi.
Вероятность 1 — p=Pi(S) называется мощностью
критерия.
С помощью вероятностей аир ошибок первого
-и второго рода критерии можно сравнивать между
собой и решать задачу о наилуч’шем критерии. Обыч-
но фиксируют какое-либо малое значение а вероят-
ности ошибки' первого рода (эту вероятность часто,
называют уровнем значимости критерия) и ищут кри-
терий с уровнем значимости а и с наибольшей мощ-
ностью 1 — р (или, что равносильно, с наименьшей _
вероятностью р ошибки второго рода). Такой крите-
рий, если он существует, называется наиболее мощ-
ным, или оптимальным, критерием.
Оптимальным явлйется так называемый критерий
Неймана — Пирсона, который состоит в следующем.
Пусть ро (х) = F'o (х), pi (х) = F'i (х) — плотности рас-
пределения выборки (1) соответственно при основной
Но и конкурирующей Hi гипотезах. Тогда крйтиче-
ское множество оптимального критерия надо искать
среди множеств S следующего вида:
(Xi, .... Xn)eS тогда и только тогда, когда
Pi №) Р1 (^2) •••pi (Хп) р	zqx
' Po(Xi)Po(x2) ...Ро(хп)	w
при некотором числе С > 0.
Пример 2. Пусть выборка (1) взята из нормаль-
ного распределения с параметрами (а, о), ст — изве-
стно и одно и то же для обеих гипотез. Гипотезы Hq
и Hi определяются равенствами:
Нр’. а = Оо‘, Hi. a = a.i>ao.
150
5 U. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ
В этом случае неравенство (9) превращается
в следующее:
которое равносильно неравенству
(Ю)
при некотором Су зависящем от С, ао, ai и О. По- -
скольку' при гипотезе Hi случайная величина X
имеет нормальное распределение с параметрами
(«/» <Wrt)» то ошибки пеРВ0Г0 и второго рода
равны
—	U2	''
/ -7	. > -л ) =	\ е 2 du=*
\ а/л/п a/Vn / у2л J
Gt —Д)
c/V/T
»=i~ofC1~-°Y (ii)
Определим uv как решение уравнения
Ф(«у) = 1, —у.
В силу симметрии плотности нормального распреде*
ления с параметрами (0, 1) to-y = —wv< Тогда из
(II) следует
Ci — а0
• / /— -
щуп
ИЛИ
c»~g| —
.а/VT р
Ct-во + в.^-,	 (12) •
14.2, ВЫБОР ЙЗ ДВУХ ГИПОТЕЗ • ........... '	151
Таким образом, критерий (10) с.константой Ct, опре-
деленной первым равенством (12), даёт нри задан-;
ном значении а наименьшую вероятность ошибки вто«
рого рода р.
Из равенств (12) мы можем определить объем
выборки п, при котором оптимальный критерий имеет,
вероятности ошибок первого и второго рода а и 02
n==ff2(^+w3)2
(ai — а0)2
и*
ТАБЛИЦЫ
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
X
Значения функции фо (х) == —Д=г \ е 2 du
<?
Таблица 1
X	Сотые доли х									
	0	1	2	3	4	5	6 1	1 7	8	9
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0200	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	398	438	478	. 517	557	596	636	675	714	753
. 0,2	793	. 832	871	910	948	987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	406	443	480	517
0,4	554	591	628	664	700	736	772	808	844	879
0,5	915	950	985	0,2019	0,2054	0,2088	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324 ‘	357.	389	422	454	486	517	549
0,7	580	611	642	673	703	к 734	764	794	823	852
0,8	881	910	939	967	995	0,3023	0,3051	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3212	0,3238	0,3264	289	315	340	365	389
1,0	413	437	461	485	508	581	554	577	599	621
1,1	643 '	665	686	708	729	749	770	790	810	.830
1,2	849	869	888	907	925	944	962	980	997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,41621	0,4177
1,4	192	207	222	236	251	265	279	292	306	319
1,5	332	345	357	370	382	394	406	' 418	429	441
152	'	?	• -ТАБЛИЦЫ’
1,6	452	463	474	484	495	505	515	525	535	545
1,7	554	564	573	582	591	599	608	616	625	633
1,8	641	649	656	664	671	678	686	693	699	706
1,9	713	719	726	732	738	744	750	756	761	767
2,0	772	778	783	788	793	798	803	808	812	817
2,1	821	826	830	834	838	842	846	850	854	857
2,2	861 .	864	. 868	871	875	878	881	884	887	890
2,3	893	896	898	901	904	906	909	911	913	916
2,4	918	920	922	925	927	929	931	932	934	936
2,5	938	940	941	943	945	946	948	949	951	952
2,6	953	955	956	957	959	960	961	962	963	. 964
2,7	965	966	967	968	'969	970	971	972	973	974
2,8 а	974	975	k 976	977	977	978	979	979	980	981
2,9	981	.	982	\ 982	983	984	984	985	• 985	, 985	986
3,0	987	, / 987	987	988	988	989	989	989	990	990
Значения функции на
•	оо X*
Функция иа определяется равенством а== \ е 2 dx
Таблица 2 ’
а	/ 0,001	0,005	0,010	0,015	0,020	0,025	0,030	0,035	0,040	0,045	0,050
Ua	3,0902	2,5758	- 2,3263	2,1701	2,0537	1,9600	1,8808	1,8119	1,7507	1,6954	1,6449,
ТАБЛИЦЫ "	.	.	Г53
154 \
ТАБЛИЦЫ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Значения функции р. (1) = -тг е к
й «’•	Таблица 3
к	о,1	0,2		0,3		0.4 .		0,5
0	0,90484	0,81873		0,74082		0,67032		0,60653
1	0,09048	0,16375'		0,22225		0,26813		0,30327
2	0,00452	0,01638		0,'03334		0,05363		0,07582
3 ‘	0,00015	0,00109		0,00333		0,00715		0,01264
4		0.00006		0,00025		0,00072		0,00158
5				0.00002		0,00006		0,00016
6								0,00001
	0,6		0.7			0,8'	|		0,9
0	0,54881		0,49659		0,44933			0,40657
1	0,32929		0,34761		*0,35946			0,36591
2	0,09879		0,12166		0,14379			0,16466
3	0,01976		0,02839		0,03834			0,04940
4	0,00296		0,00497		0,00767			0,01112
5	0,00036		0,00070		0,00123			0,00200
6	0,00004		0,00008		0,00016			0,00030
7			0,00001		0,00002			0,00004
К fe X.	1,0	2,С		3,0		4,0		6,0
0	0,36788	0,13534		0,04979		/0,01832		0,00674
1	0,36788'	0,27067		0,14936		0,07326		0,03369
2	0,18394	0,27067		0,22404		0,14653		0,08422 '
3	0,06131	0,18045		0,22404 >		0,19537		0,14037
4	0,01533	0,09022		0,16803		0,19537		0,17547
5	0,0(5307	0,03609		0,10082		0,15629		0,17547
6	0,00051	0,01203		0,05041		0,10419		0,14622-
7	0,00007	0,00344		0,02160		0,05954		0,10445
8 '	0,00001	~ 0,00086		0,00810		0,02977		0,06528
9		0,00019		ч0,00270		0,01323		. 0,03627
10		0,00004		0,00081		0,00529		0,01813
11.		0,00001		0,00022’		0,00193		0,00824
12				0,0000Q		0,00064		0,00343
13				0,00001		0,00020		0,00132
Ц						0,00006		0,00047
15	-					0,00002		0,00016
16								0,00005
17'								0,00001
ТАБЛИЦЫ
155
^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
2
Значения функции Ха, т.
Функция £ т определяется равенством Р {х^ > Ха. т} а
^=а, где случайная величина имеет х -распределение с tn
степенями свободы. Плотность распределения Х^ равна
Таблица А
\* т а^х.	1		2		3	4	5	б		7		8	0
0,05	3,8		6,0		.7,8	9,5	ИЛ	12,6		14,1		15,5	16,9
0,01	6,6		9,2		11,3	13,3	15,1	16,8		18,5		20,1	21,7
X. т а	10		11		12	13	14	15		16		17	18
0,05	18,3		19,7		21,0	22,4	23,7	25,0		26,3		27,6	28,9
0,01	23,2		24,7		26,2	27,7	29,1	30,6		32,0		33,4	34,8
т а		_ 19		20		21 .	-22		23		24		25
0,05		30,1		31,4		32,7	33,9		35,2		36,4		37,7
0,01		36,2		37,6		38,9	40,3		41,6		43,0		44,3
ПРИЛОЖЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ
МУАВРА-ЛАПЛАСА
Оценим логарифм вероятности
Рп (m) = Р К =«) = от<("!,от), РтЯп-т,
' равный
In (т) = In /г! — In ml — In (n — m)! + m_In p + (n — m) In
Так как
m — np + xm л[прс[, n —m = nq — Хщл/npq,
то? воспользовавшись формулой Стирлинга
' Inn! = In V2nn + nlnn — n + O »
получим.
ln/nl=-“ln(2o)+ ,
A
+(np+xni V«P?) In (np + xm y/npq) — np^Xm л/прЯ + О (-
X п
и
In (n — m)! =— In (2л (n — tn)) +
+(nq—xm ^jnpq} In (nq—xm л/npq )—nq + xm 's/npq' + О (-j-
Используя эти формулы, а также формулы
._____________ч	/ q я ( qz
in \np+xm npq )=»ln np+xm ---------------1-01---7=—
v np	2	np	x n 'yjn p3
VP	xti	Р	/ P3
-------Г—( —7=—
nq-----2	nq	\nynq3
нетрудно получить утверждение доказываемой теоремы.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
§ 1 _ _
1. А (В + С). 2. 1) АВС, 2) АВС, 3) АВС, 4) А + В + С
Б) ABC.S. (C^ + 5C^)/c{g0 = O,923143 ... 4.	=0,0000537...
Б. С|7/с|9 = 0,1662481 ... 6. Р (Л) = 31/3» = Р (В)=3 • 2 • 3/33=»
= 2/3. 7. л/4. 8. a) min (х, 1), х>1; б) 4х(1 —х), 0<х<1/2;
*>1/2. 9. (1-2-47")2- 10- 1/4' ”• Р»'=Х(~1)Й+14”>
А=1
-> 1 — е~г, п->оо.
§ 2	"
1. 1/12. 2. 1/3. 4. Сь Сг, Сз не являются взаимно независи-
мыми; Ci Сз и Сз — зависимы. 5. 1) pi(l—рз)рл, 2) pt + p2-i-
— р1рз, 3) (pi + рз — р1рг) • (рз + Pt — pspt)  6. (1 — Рз) (1 — Р1Р2).
7. 1) aia2, 2) р> р2 — pip2. 8. 11/18. 9. 1) р(1 - pi) (1 - р2)+
+ (1 - p)a'ia2, 2)	р(1-р1)(1-р2)/[р(1-р1)(1-р2) +
+ (1 —p)aia2l. 10. 20/21, 11. 9/16. 12. е~м. 13. ло=1-0,
л* = (1 — 6)6», А>1.
§ 3
1. 3/5; 2/5. 2. а) 0,95009... б) 0,0480298... в) 0,-0009782...
3. 21; Q(21)= 0,9907768... 4. Cf0(5/72)4 *(l-5/72)6 * * * = 0,00317 ...
§4
1. 0,99. 2. 0,001. 3. 0,00015; 0,00016. 4. а) 0,13534, б) 0,67668.
5. (0,9)" «S 0,1; п > 22. 6. 96.
§ 5
1. а) Р {%. = 1} = 1/2; б) Р {%в = 1} = 1/3; в) Р {£ = 0} = 1/3
Р^ = 1} = 1/2, P{g = 2} = l/6. 2. Р {£ = 7} =7/16, Р(| = 9| =
= 5/16, Р (g = 11) = 3/16, Р {§ = 13} = 1/16. 3. Р {| = fe) = 1/28,
£=0,1,11,12; Р = {£ = *}=* 1/14, -А = 2, 3, 9, 10;  P{g = A} =•
153
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
- 3/2*8, k = 4, 5, 7, 8; Р = {g = 6} —1/7. 4. Р (4) = (1 + е~2а)/2,
Р (В) = (1 — е-2<,)/2. 5. С = 1/2; F% (х) = 0 при х < 1;	(х) =
= 1 — - !_ при х > 1. 6. Ft (х) = х2/г2, <) < х < г, р. (х) = 2х/г2
*ух	•
О х г; pg (х) «= О в остальных случаях. 7. Р {v == £} ==»
« (21 — 2£)/100, k = 1, 2.10.	8. 2 — V?. 9. (1 + VDA-
10. Fn(x) «О при- х<0, Fn(x)==x при 0<х<1;	(х) =1
при х 1, рл (х) а 1 при 0	х<1 и рп (х) =з 0 в остальных слу<
чаях. 11. p-q (х) = 1/Зд/* при 0<х<1, Рт) (х) == 1/6 V* при
1 х 4; рп (х) = 0 в остальных случаях.
§ 6	•
1. а) Л/4; б) 0«Р {1/2<g<1,1/2{1/2
• Р{1/2<г]<1}=-^-.	2. P{J = 6} = l/3, Р {£ = 10} = 1/3,
P{g=12}=(/3. 3. F0(x) = x2, 0<х< 1; р& (х) = 2х,0<х<1.
4. Pj+t) U) — Л2хе-Х*, х > 0.
§ 7
1. 3,5. 2. 6. 3. 1Д. 4. (1—р)Д. 5. R/3. 6. 12(1 —1/12)25 =
= 1,36292... 7. лйг2 + 4-л52Л.	.
О
v § 8
1. л/12, л2/180. 2. 1/1п 2, 1/1п2, (31п 2 — 2)/1п22. 3, 1/3;
1/18. 4.(m + п)/л; п(т + л)/л;2. 6.	+ 2р —Зр2).
§9
1. Mg! = -1/8,	Mg2=0, Dg, = 133/192,	• Dg2 = !,
cov (gi, £г) = —1/8. 2. a) 0; 0; 0,5; 0,5. б) 0; -0; случайные ве«
личины зависимы. 3. С = 4;.cov(gi, g2) = 0; случайные величины
независимы. 4. С = 1/4, p(gb g2) = —1/5. 5. а) 0, б) 1/3.
6. a) P{g = i] = Z} = «736; P{g = Z, п = /} = 1/36, Z</;P{g = Z, .
т] = j} = 0, i > /. 6) Mg = 7/2, Mr) = 161/36, Dg = 35/12, Dr] =
= 2555/1296; в) cov (g, t]) = 105/72.
§ io.
1. P{|g — a|>2ff} <0,25; P {| g - a | > 2<r} = 0,0456. /
2. P{|g|>Д} = <т2/Д2; P{|g|>A}<DgAV = a2/A2.	3. Д= -
= 0,0813; по неравенству Чебышёва Д < 1/V10 = 0,3162 ... 4. Да.
§ 11
1. 0,75-10’«+2. 3. Ф{х),
ЛИТЕРАТУРА
[1]	Большей Л. Н. Смирнов Н. В. Таблицы математиче-
ской статистики. — Мл Наука, 1965.
[2]	Боровков А. А. Теория вероятностей. — Мл Наука,
1976.
[3]	Володин Б. Г. и др. Сборник задач по теории вероятно-
стей, математической статистике и теории случайных функ-
ций/Под ред. А. А. Свешникова. — Мл Наука, 1965.
[4]	Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 5-е изд.««
Мл Наука, 1971.
[5]	Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопро-
сы.— Мл Наука, 1971.
[6]	Колмогоров А. Н. *) Основные понятия теории .вероят-
ностей.— Мл Наука, 1974.
[71	К р а м е р Г. Математические методы статистики. — 2-е
изд./Перев. с англ. — Мл Мир, 1975.
[8]	П р о х о р о в’ Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей
(Основные понятия, предельные теоремы, случайные про-
цессы).— 2-е изд. — Мл Наука, 1973.
[9]	Розанов Ю. А. Случайные процессы. — 2-е изд. — Мл
Наука, 1979.
[10]	Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и мате-
матической статистики. — Мл Наука, 1982л
[11]	Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А.Мч.
Сборник задач по теории-вероятностей. — Мл Наука, 1980.
[12]	Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В. Курс •
теории вероятностей и -математической статистики для тех-
нических приложений. — 3-е изд.-—Мл Наука, 1969.
[13]	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее прило-
- жения, т. 1/Перев. с англ. — Мл Мир, 1967.
[14]	Чистяков В. П. Курс теории вероятностей. — 2-е изд.—
Мл Наука, 1982.
-’•) Книга А. Н. Колмогорова «Основные понятия теории ве-
роятностей» была впервые издана в 1933 г. на немецком языке.
Владимир Константинович Захаров
Борис Александрович Севастьянов .
Владимир Павлович Чистяков
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Редактор ,Я. Е. Морозова '
Технический редакторЕ. В, Морозова
Корректор Я. Б, Румянцева •
ИБ№ 12308
Сдано в набор 30.09.82. Подписано к печати 28.04.83. Формат84Х1081/3?.
Бумага типографская № 3. Литературная гарнитура, высокая печать.
Условн. Спеч. л. 8,4. • Уч.-изд. ni. 8,1. Тираж 84 000 экз. Заказ №~382J
Цена 25 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакцияфизикочматематической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского -объединения «Техническая книга» им.
Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам .Издательств, полиграфии и книжной торговли, -
198052. г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29,
3DC