Author: Чистяков В.П. Зубков A.M. Севастьянов Б.А.
Tags: теория вероятностей математическая статистика комбинаторный анализ теория графов задачи по математике высшая математика задачи по теории вероятностей
ISBN: 5-02-013949-1
Year: 1989
Text
А. М. ЗУБКОВ
Б. А. СЕВАСТЬЯНОВ
В. П. ЧИСТЯКОВ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Государственным Комитетом СССР
по народному образованию
в -качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений
Г.ИБЛЮТГКА
*>ч*я В. И Ль
У Ч Е & h k-il й ШОНД
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1
r~ j ..
'J I I
УДК FH0.21 @7S.&)
Зубков A. M.f Севастьянов Б. А., Чистяков В. П.
Сборник задач по теории вероятностей: Учеб. пособив для вузов.—
2-е изд., испр. и доп.— М,: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.— 1089.—
320 с,— ISBN 5-02-013949-1.
Содержит упражнения по всем разделам теории вероятностей,
пключаемым в начальный курс. Тексты задач, указания, решения
и ответы помещаются раздельно.
Второе издание по сравнению с первым A980 г.) существенно
переработано. Значительно увеличено общее число задач и, в част-
частности, число простых надач, предназначенных для упражнений по
начальному курсу теории вероятностей; в вводные части к основ-
основным темам добавлены примеры решения задач; добавлены задачи
по случайным процессам и математической статистике.
Для студентов математических и физических специальностей
вузов.
Табл. 9. Ил. 8. Библиогр. 13 назв.
Рецензент
кафедра теории вероятностей Московского института электрон-
электронного машиностроения (заведующий кафедрой — доктор физико-ма-
тематических паук Г, И. Ивченко)
„ „1602090000-110 тж
3 ""-лко/поч on 45-89 ¦ <g) Издательство «Наука»,
О0д{\3б)-Ьу v^y Главная редакция
физико-математической
ISBN 5-02-013949-1 iS
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . • ^
ЧАСТЬ I. ЗАДАЧИ 7
Глава 1. Простейшие вероятностные схемы , . • • 7
§ 1, Классическое определение вероятности , . . . 13
§ 2. Геометрические вероятности .,..,•• 22
Глава 2. Последовательности испытаний • • 2в
§ 1. Условные вероятности - 37
§ 2. Независимость событий 39
§ 3. Формула полной вероятности ...... 41
I 4. Схема Бернулли . 45
§ 5. Полиномиальная схема . • 48
Глава 3. Случайные величины ...,,,.• 50
§ 1. Распределение вероятностей случайных величин 66
§ 2. Математические ожидания 77
§ 3. Условные распределения , ^
§ 4. Нормальное распределение , 99
Глава 4. Предельные теоремы. Производящие и характе-
характеристические функции .,....»,.,. *0в
§ 1. Закон больших чисел. Лемма Борелп — Кантеллн ИЗ
§ 2. Прямые методы доказательства предельных теорем 118
§ 3. Характеристические и производящие функции . . 128
§ 4. Неравенства Бонферропи и сходимость к распреде-
распределению Пуассона 135
§ 5. Применения центральной предельной теоремы и ме-
метода характеристических функций , , , . . 138
Глава 5. Простейшие случайные процессы .... 143
§ 1. Разные задачи 154
§ 2. Пуассоновские процессы 160
§ 3. Цепи Маркова 163
Глава 6. Элементы математической статистики , . . 174
!• ~ 3
Чи«ть II. УКЛМЛПИН . . 186
'Ним i, III I"I IIIIlllllll 236
Чй с ti, IV. ПТШ'ЛМ 278
ТиЛлицы 306
llu|iMii,nMi«>i« распределение ЗСб
I'n*111 рс;и»лi' 11 no Пуассона , 308
1'иснридило1шо Стьюдента , 30S
%'J распределение , 310
Равномерно распределенные случайные числа . . . 311
Нормально распределенные случайные числа . . . 312
Программные датчика псевдослучайных чисел .... 314
Списои литературы 319
ПРЕДИСЛОВИЕ
Этот сборник задач является учебным пособием по
начальному курсу теории вероятностей для студентов
университетов и технических вузов. Математический ап-
аппарат, используемый при решении большей части задач,
не выходит за пределы обычного курса математики в
технических вузах. Каждая из шести глав задачника
имеет введение, где приводятся краткие сведения о по-
понятиях и утверждениях теории вероятностей, необходи-»
мых для решения задач этой главы. Введении к первым
трем главам содержат, кроме того, примеры решения
простых стандартных задач. Конец каждого примера от-
отмечен знаком А.
В сборнике имеются задачи разной степени трудно-
трудности. С одной стороны, в каждой главе есть простые зп-
дачи, решение которых сводится к прямому применению
основных формул и приемов. Номера таких задач отме-
отмечены знаком °. Эти задачи можно использовать на семи-
семинарских занятиях как в технических вузах» так и в уни-
университетах.
С другой стороны, в каждой главе есть достаточно
сложные задачи, решения которых содержат принци-
принципиально важные идеи или связаны с аккуратным прове-
проведением математических выкладок или рассуждении. Но-
Номера таких задач отмечены знаком *, а их полные ре-
решения приводятся в части III.
Остальные задачи занимают промежуточное положе-
положение. Если первые попытки решения такой задачи но
приводят к успеху, то можно воспользоваться указания-
указаниями (см. часть II), которые практически для каждой за-
задачи в сжатой форме перечисляют псе сколько-нибудь
нетривиальные соображения, на которых основано ее
решение. Иначе говоря, указания разбивают задачу
средней трудности на несколько более простых задач.
Авторы стремились сделать задачи интересными как
по форме, так н по содержанию и подбирали задачи так,
4 HHt |.| lll'Mu'll. У'ЫЩИМГЛ (H'IHHITI.(')I О ОС 1101A1 III MIT П0НЯТИ-
iimli u Mi'HuuiMit irt»|iiiii игjion тпостем. Особое ипимание
yjH'.'iiM'icH iсм .).iii-.mi4( lajiiii.i.vi методам, которые «работа-
«работают» npitK'iLi'u'CKit no iiccx областях применения теории
нероятпостей, например: представлению исследуемой
случайной величины в виде суммы индикаторов, исполь-
использованию линейности математического ожидания, методу
моментов, представлению исследуемой случайной . веля-
чины в виде суммы более простой случайной величины
и «малого» добавка, и т. п. Большая часть этих приемов,
как правило, не находит отражения в стандартных кур-
курсах теории вероятностей и может быть усвоена только
при самостоятельном решении задач.
При составлении задачника был использован ряд
отечественных и зарубежных источников (учебников,
задачников, журнальных статей и т. п.), а также зада-
задачи, возникавшие в научных и педагогических коллекти-
коллективах, хорошо знакомых авторам.
При подготовке второго издания были исправлены
замеченные неточности и добавлены ноьые задачи.
Часть Т. ЗАДАЧИ
Глава \
ПРОСТЕЙШИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СХЕМЫ
Математические модели случайных явлений, рассмат-
рассматриваемые в теории вероятностей, основываются на поня-
понятия вероятностного пространства^ т. е, тройки (Q, *s^T P),
где
Q = (со) — непустое множество, элементы со которого
интерпретируются как взаимно исключающие исходы
изучаемого случайного явления;
S& — набор подмножеств множества Q, называемых
событиями (предполагается, что множество М- содержит
Q и замкнуто относительно взятия противоположного
события и суммы событий в не более чем счетном числе,
т. е. зФ является с-алгеброй);
вероятность Р — функция, определенная на событиях
/1е^и удовлетворяющая следующим условиям:
1) Р(А)> 0 при любом A ^s4;
2) P(Q)-1; A.1)
п=\
3) П U Ап = 2р(^п)» если AiAj=0 при любых
\
Символ 0 означает пустое множество (или невоз-
невозможное событие).
Определение операций над событиями, определение
алгебры и с-алгебры событий можно найти в учебниках
по теории вероятностей' (см., например [2], [5], [10] —
[13]). "В этой главе рассматриваются два простейших
класса вероятностных пространств.
Пусть Q = {ft)i, @2, ¦ •-, сов1. В с-алгебру событии s?
включаются все 2s подмножеств А = |со* , .. ,, (oil{) мно-
множества Q. При классическом определении вероятности
полагают P(o)j) == ... = Р(юв) — 1/s, поэтому вероятность
Р(А) события А = j(Of , . .., o)ift) равна отношению числа
элементарных событии*) со,, входящих и А, к общему
*) Здесь и ниже число элементов любого конечного лпожест-
ва Ы будем обозначать \М\.
числу .пгмпгщрпих rofn,jiиi'i и Q:
PlA)~lf± «i- A2)
'Гни»и т*ронтностиан схема является математической
модглмо случайных пилений, для которых исходы опыта
и кихом-либо смысле симметричны, и поэтому представ-
лмотся естественным предположение об их равновоз-
можности.
Пример 1.1. Брошено две игральных кости. Пред-
Предполагая, что элементарные события равновероятны, най-
найти вероятность события А «« {сумма выпавших очков де-
делится на4 6).
Решение. Исход опыта можно описать паров чи^
сел (i, /), где i — число очков, выпавших на 1-й кости,
а / — на 2-й (i, /*=!, 2, ..., 6). Поэтому мы полагаем
Q-HU): *~1, 2 6; / — 1, 2 6>.
Нетрудно проверить, что общее число элементарных со-
событий |О| = 36. Событие А соответствует подмножеству
Л~{A,5), E,1), B,4), D,2), C,3), F,6)} множества
Q. Так как \А\ «=6, то но формуле A.2) получаем
р {А) ~ тщ " ж - "г* А
, Дадим описание двух часто встречающихся вероят-
вероятностных схем, в которых детализируется общее класси-
классическое определение. Обозначим через JC множество из
# чисел: J? = {1, 2, . *., М; пусть G>**(i[, J2, •.., in) —
упорядоченный набор из п элементов множества И^.- Ве-
Вероятностную схему, в которой
Q-{<*=(*!, fe, ..., in): h^Jf, Л-l, 2 п) A.3);
и все элементарные события со равновероятны, называ-
называют схемой случайного выбора с возвращением.
Схемой с^чайного выбора без возвращения называ-
называют вероятностную схему, в которой
Q = {o> ==(*,, h in): iAe^, *-l, 2 »,.
среди ii, ..., in нет одинаковых) A.4I
и элементарные события ш равновероятны.
При вычислении вероятности по формуле A.2) часто
оказываются полезными различные комбинаторные фор-
формулы. Приведем основные из них. Пусть дано множест-
множество Jf на /V элементов: Л° «* {аь а*, *.., а„1. Подмношест-
8
па множества Jf называют сочетаниями. Число сочета-
сочетаний, которые можно образовать из /V элементов Jf, вы
бирая различными способами подмножества по п элемен
тов, обозначают CnN или (^). Справедливы формулы
bN _ _ _
где n\ — 1 ¦ 2 ¦ ... ¦ n и
Упорядоченные цепочки аг а\ ... a,u, ооразованные из раз-
разг \
личных элементов Jf, называют размещениями. (Раз-
(Размещениями являются, в частности, элементарные собы-
события со =(?}, ..., гп) в схеме случайного выбора без воз-
возвращения A.4). Число размещений из Л' элементов по
ге, т. е. число различных упорядоченных цепочек длины
п шз N элементов Jf, обозначают А#. Для Лу имеем
формулу А% = №пК Размещения с п = /V называют
перестановками. Число различных перестановок,, обра-
зованпых из Л' элементов, равно /VI
Пример 1.2. В урне лежат пять карточек, зану-
занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5. По схеме случайного
выбора с возвращением из урны трижды вынимается
карточка. Какова вероятность того, что ровно в двух
случаях из трех будут вынуты карточки с нечетными
номерами?
Решение. Вероятностная схема определяется фор-
формулой A.3) с /V == 5, п~ 3; элементарное событие со =*
*™(^ь йг, 1з) соответствует номерам вынутых карточек.
Так как i\y 12, ?зе A, 2, 3, 4, 5), то существует ровно
5 • 5 • 5 — 53 = 125 различных элементарных событий
ю —(?}, h; h)*= Й. Значит, IQ1 — 53 = 125. Далее, В =*
=» (ровно в двух случаях из трех вынимаются карточки
с нечетными номерами} = {со =A\, ?г, гз)е^: ровно одно
из чисел if, i2, h четное) = В[ U B% U i?3, где события
?Л — (со ^(fi, гг, ^з)Е ^: число ik четное, а остальные
два числа нечетные), к — 1, 2Г 3, попарно не пересека-
ютсн. При любом к = 1, 2, 3 число различных <а =»
*=(*», ^2, h)^Bk равно 2-3-3 = 18 (fc-ю карточку можно
выбрать двумн способами, а каждую из двух осталь-
остальных—тремя). Поэтому |5| = |BiUS2U#3l =- iSi! +
,+ Ш + |Bal =3-18 = 54 и
Пример 1.3, Найти вероятность того же события,
что в примере 1,2, для схемы выбора без возвращения.
Решение. Вероятностная схема определяется фор-
формулой A.4) с /V — 5, п = 3. В отличие от примера 1.2
элементарные события со = (U, ^2, 13) являются теперь
размещениями, т. е. |^ | — А*=* 5«4«3 -= 60. Используя те
же обозначения, что в примере 1.2, находим, что
В = Вх U В2 U Я3, Bk Л В{ « 0 при Аг * Z,
и что |Яц|— 4?.Л?, « 2-3-2 — 12 при любом к «. 1, 2, 3
(&-ю карточку можно выбрать Л| =» 2 способами, а пару
остальных — А% = 3*2 способами). Поэтому теперь |2?|»
= 1^1| + 1^21+!^з1^3.12 = 36 в
Часто оказывается полезной следующая классиче-
классическая формула, известная как уточненная формула Стир-
линга (см. [11], т. 1, с. 73, (9.15)):
п\
В формулировках некоторых задач используется вы-
выражение: «целое число а сравнимо с целым числом Ъ ао
модулю ть (т — целое), или, в символической записи,
ass fc(mod m). A-7)
Сравнение A.7) эквивалентно утверждению: существует
такое целое число ?, что а — Ь — tm (т. е. а и Ь при де-
делении на m дают одинаковые остатки). В частности,
запись а в 0 (mod m) означает, что а делится без остат-
остатка на т.
Целую часть действительного числа х (наибольшее
целое число, не превосходящее х) будем обозначать [х].
Рассмотрим второй класс вероятностных пространств
"Х^Г-*^ Р). Пусть Q — множество в «-мерном евклидо-
евклидовом пространстве, объем M-(Q) которого положителен и
конечен; с-алгебра М состоит из всех измеримых (т. е.
имеющих объем) подмножеств А ей, Вероятность Р оп-
определяется равенством
10
Определение вероятности A.8) называют геометриям
спим определением вероятности.
Пример 1.4. Коля и Петя договорились встретить-
встретиться на остановке автобуса между 9 и 10 часами. Каждый,
придя на остановку, ждет другого 15 минут, а потом
уходит. Найти вероятность встречи Коли и Пети, пред*
полагая, что моменты их при-
прихода являютсн координатами
точки, имеющей равномерное
распределение в квадрате
[9, 10] X [9, 10].
Решение. Пусть Коля
приходит на остановку в 9 ч
и мин, а Петя — в 9 ч. v мин.
В качестве множества элемен-
элементарных событий выберем
60
А
15\
60).
15 60
Рис. i
Тогда событие А '=- {встреча Коли и Пети происходит)
соответствует множеству
А = {(гг, v): \a — v\ <\b, 0<и<
изображенному на рис. 1. Так как
602 _452 = 60».(l -
то по формуле A.8) находим
\i(A) 602-7/16
ц (Q) "~ 602
ie •
Приведем формулы, которые часто используются при
решении задач. Пусть А обозначает событие, противо-
противоположное событию А, Для любых событий i4i, A2, ...
имеем
При любых
p
в частности,
ОС
}llA
А и
(A U
при
в,
А
PI
- П 4
верна
П Л«
оо
формула
0 имеем
оо
п1Мп.
A.9)
A.10)
A.11)
11
'ть оГгьодииопил мроигшольнмх п событий на-
ДМ Ц'.>| ПО ((м1|)Му.'1и
(/», U И, U ... U Л) - 2 Р D) - 2 Р {Ач П 4к,) +
+ 2 •ЧА.пл* п4»,)-..,
K*<ft<ft< Ч ' 2 3'
Пример 1.5. Четыре поздравительных открытки
случайно разложены но четырем конвертам с адресами.
Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка по-
попала в свой конверт.
Решение! Множество элемептарных событий Q
состоит из всех расположений открыток по конвертам:
IQI —41 — 24. Событие
А = {хотя бы одна открытка попала в свой конверт)
можно представить в виде
А «Л1иЛ2иЛзиЛ4,
где At = {?-я открытка попала в свой конверт).
По классическому определению вероятности
Р (А, П Аг П Л3) - Р (А, Л Л2 П Л
3 (]А!}) = ±.
Нетрудно проверить, что ври любых вопарпо разлив
ных i, /, к
$(] Ah)
формуле A.12) находим
Во всех задачах § 1 данной главы предполагается,
что элементарные события равновероятны; слова «слу-
12
чайное», «случайно выбирается* нужно понимать как
предположение о равновероятности элементарных собы-
событий. В § 2 выражение «точка равномерно распределена
па множестве Й» означает, что вероятности нужно вы-
вычислять по формуле A.8).
§ 1. Классическое определение вероятности
1.1°. Из ящика, содержащего три билета с номерами
1, 2, 3, вынимают по одному все билеты. Предполагает-
Предполагается, что все последовательности номеров билетов имеют
одинаковые вероятности. Найти вероятность того, что
хотя бы у одного билета порядковый номер совпадает
с собственным.
1.2°» Колода из 36 карт хорошо перемешана (т. е. все
возможные расположения карт равновероятны). Найти
вероятности событий:
Л » (четыре туза расположены рядом),
В = (места расположения тузов образуют
арифметическую прогрессию с шагом 7).
1.3°. На полке в случайном порядке расставлено
40 книг, среди которых находится трехтомник А. С. Пуш-
Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в по-
порядке возрастания слева направо (so не обязательно
рядом).
1.4°. Брошено три монеты. Предполагая, что элемен-
элементарные события равновероятны, йайти вероятности
событий:
Л = (первая монета выпала «гербом» вверх),
В~ (выпало ровно два «герба»),
С = (выпало не больше двух «гербов»).
1.5°. Из множества всех последовательностей длины
л, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна.
Найти вероятности событий:
Л = (последовательность начинается с 0),
В = (последовательность содержит ровно m 4- 2 ну-
нуля, примем 2 из них находятся на концах по-
последовательности),
С = {последовательность содержит ровно т единиц),
D — (в последовательности ровно то нулей, тп\ еди-
единиц, гп2 двоек).
13
1.6". Из 28 костей домино случайно выбираются две.
Найти вероятность Р% того, что из пих можно составить
«цепочку» согласпо правилам игры.
1.7°. В записанном телефонном номере 135—3. —..
три последние цифры стерлись. В предположении, что
все комбинации трех стершихся цпфр равновероятны,
найти вероятности событий:
Л = (стерлись различные цифры, отличные от 1,3,5},
В = (стерлись одинаковые цифры),
С = (две из стершихся цифр совпадают).
1.8°, Какова вероятность того, что четырехзначный
номер случайно взятого автомобиля в большом городе:
а) имеет все цифры разные? б) имеет только две одина-
одинаковые цифры? в) имеет две пары одинаковых цифр?
г) имеет только три одинаковые цифры? д) имеет все
цифры одинаковые?
1.9°. Найти вероятность pN того, что случайно взя-
взятое натуральное число из множества A, 2, ,.., N) де-
делится на фиксированное натуральное число к. Найти
Jim pN.
JV-*oo
1.10. Из чисел A, 2, ..., N) случайно выбирается
число а. Найтн вероятность pN того, что: а) число а
не делится ни па а\, пи па аг, где п\ и аг — фиксиро-
фиксированные натуральные взаимно простые числа; б) число а
не делится ни на какое из чисел а\, as, • •., ak, где числа
at — натуральные и попарно взаимно простые. Найтн
lim рч в случаях а) и б).
1Я~юо '
1.11. Из множества A, 2, ..., N} случайно выбира-
выбирается число а. Найти lira pN, где Pn — вероятность того,
.что а2 — 1 делится на 10.
1.12. Из множества A, 2, ..., N) случайно выбира-
выбирается число а. Найти вероятность pN того, что а ' при де-
делении на целое число г ^ 1 дает остаток q, Найти
Hm p
1.13. Целое число | случайно выбирается из множе-
множества @, 1, 2, ..,, 10" — 1}. Найти вероятность того,
что в десятнчпой записи это число &-значно, т. е.
представимо в виде | = |* ¦ 10h"' + |A_i • 10ft~2 4-...
^r>>-H|2 • 10 +|h где 0<&^9 при всех i *= 1, ..., к и
14
1.14. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел A, 2» ..., /У), выбира-
выбираются числа ? и г\. Найти вероятность qN того, что % и г\
вза1шно просты. Найти lim q$t используя известное' ра-
ос
венство J^ -^г — -р-.
1.15°. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {1, 2, ..., Л'} выбираются чис-
числа ? и ц. Обозначим pN вероятность события ?2 + г\2 ^
^N2. Найти Hm pN.
1.16. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {0, 1, 2, ..., 10" — 1} выби-
выбираются числа | и г]. Обозначим рт вероятность того, что
сумма 14- ц будет m-значным натуральным числом
в десятичной записи. Найти вероятности рп-ь+ь ^ ^
= 0, 1, ..., п, и qh = lim pn_h+v, /с = 0, 1, 2, ...
1.17. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества целых чисел {0, 1, 2, ..., 10* — 1) выби-
выбираются числа | и т]. Обозначим рт вероятность того,
что произведение |т) будет m-значным натуральным чис-
числом в десятичной записи. Найти qk = lim p2n_kf, fc ~
= 0,1,2,...
1.18*. Из множества {1, ..., TV} по схеме случайного
равновероятного выбора с возвращением выбираются
элементы Хи .,., Xhi а по схеме равновероятного выбора
без возвращения — элементы Х±,'..., X"h. Показать, что
для любой совокупности si — {Аи ...у Ам}, состоящей
из попарно различных ^-элементных подмножеств
' :{1, ...,N),
1.19*. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел A, 2, ..., М, N > 4,
выбираются числа X ш Y. Что больше:
р2 » р {^2 „ у2 делится на 2)
или
р3 = р {^2 _ у2 делится на 3>?
1.20. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества натуральных чисел {1, 2, .,., /V}, N > 6,
15
выбираются числа X и Y. Показать, что
Р {^4 _ у4 в о (mod 2I < Р {X4 — F4 sa O(mod 3)> <
1.21. По схеме случайного выбора с возвращением
нз множества {1, 2, ..., N] выбираются числа А' и Y.
Используя малую теорему Ферма {если р — простое
число и целое число а не делится на р, то av'y =
23 I (mod p)), найти вероятность Q${p) того, что число
Xv~l — Yv~] делится на простое число р. Найти
lim QN (p) = Q (P)t lim Qn (p) = Q.
1.22*. По схеме случайного выбора с возвращением
из множества {1, 2, ..., iV} выбираются числа X и Y.
Показать, что при N > А.
Р {Л'3 + У3 « 0(mod 3I < Р {X3 + У3 ^ 0(mod 7I.
1,23°. Из совокупности всех подмножеств множества
Se {1, 2, ..., /V} по схеме выбора с возвращением вы-
выбираются множества А\9 А%. Найти вероятность того,
что А\ П Ач = 0.
1.24. Из совокупности всех подмножеств множества
S = {1, 2, ..., Л7} по схеме выбора с возвращением вы-
выбираются подмножества А\у /12, ..., Аг. Найти вероят-
вероятность того, что множества А\, /i2, ...., Ат попарно не пе-
пересекаются.
1.25*. В урне содержится Bп + IJ карточек, на
каждой из которых паписана упорядоченная пара целых
чисел (х, у) (х и у принимают значения от —п до п,
каждая пара чисел написана ровно на одной карточке).
Из урны по схеме выбора без возвращения извлекаются
три карточки: (|ь v\x)t (|2, г\2)> Aз, щ). Рассмотрим эти
пары как координаты случайных точек Si, Зг, S3 плос-
плоскости в декартовой системе координат. Найти вероят-
вероятность рп того, что Si симметрична Е2 относительно Ез.
1.26°. Брошено 10 игральных костей. Предполагает-
Предполагается, что все комбинации выпавших очков равновероятны.
Найти вероятности событий:
а) не выпало ни одной «6»;
б) выпало ровно три «6»;
в) вьшала хотя бы одна «6»;
г) выпало хотя бы две «6».
1.27. Из множества {0, 1, ..., W} по схеме равнове-
равновероятного выбора с возвращением извлекаются числа
1С
Xh ..., Xm. Пусть.
Ь{3= pl*i + ... + Xm=k}r
а) Доказать, что b{™& = ь?$_А,л.
б) Доказать, что
т. е. что
1.28. Найти вероятность того, что в номере случайно
выбранного в большом городе автомобиля сумма первых
двух цифр равна сумме двух последних.
1.29. Некоторые москвичи считают трамвайный, трол-
троллейбусный или автобусный билет «счастливым», если
сумма первых трех цифр его шестизначного номера сов-
совпадает с суммой последпих трех цифр. Найти вероят-
вероятность получить «счастливый» билет.
1.80°. Из карточек разрезной азбуки составлено сло-
слово «СТАТИСТИКА». Затем из этих 10 карточек по схе-
схеме случайного выбора без возвращения отобрано 5 кар-
карточек. Найти вероятность того, что из отобранных кар-
карточек можно составить слово «ТАКСИ».
1.31°. Из 30 чисел A, 2, ..., 29, 30) случайно отби-
отбирается 10 различных чисел. Найти вероятности событий:
Л = (все числа нечетные),
В = {ровно 5 чисел делится на 3),
С == E чисел четных и 5 нечетных, причем ровно
одно число делится на 10}.
1.32°. Из урны, содержащей М\ шаров с номером 1,
Жг шаров с номером 2, ..., 'MN шаров с номером N% слу-
случайно без возвращения выбирается п шаров. Найти ве-
вероятности событий:
1) появилось т\ шаров с номером 1, га2 шаров с но-
номером 2, ..., mN шаров с номером N;
2) каждый из N номеров появился хотя бы один раз.
1.33°. Из множества чисел {1, 2, ..., N) по схеме
выбора без возвращения выбираются числа |] и |г. Най-
Найти Р {|2 > I]}. При выборе трех чисел найти вероятность
того, что второе число лежит между первым и третьим.
2 А. М. Зубков и др, 17
1.34VИз множества чисел {1, 2, ..., N) по схеме
выбора без возвращения отобрано п различных чисел.
Расположим их в порядке возрастания: z(l) < 2B> < ..«
.. .'< z{n). Найти вероятность того, что z(m) < М < zim+\)',
вычислить ее предел при N, М -»- °°, M//V -*¦ ос s [0, 11.
1.35. Из множества И, 2, ,.., N) случайно без воз-
возвращения выбирается /с + 1 чисел: Ж], #2, ..., xh+\. Пер-
Первые к чисел, расположенные в порядке возрастания, обо-
обозначим х[]) < хB} < ... < х(к). Найти
1.36. Десять рукописей разложены по 30 панкам (па
одну рукопись 3 папки). Найти вероятность того, что в
случайно выбранных 6 папках не содержится целиком
ни одной рукописи.
1.37. За круглый стол рассаживаются в случайном
порядке 2/г гостей. Какова вероятность того, что гостей
можно разбить на п непересекающихся пар так, чтобы
каждая пара состояла из сидящих рядом мужчины и
женщины?
1.38°. Участник лотереи «6 из 49» на первой карточ-
карточке отметил номера D, 12, 20, 31, 32, 33), а на второй —
D, 12, 20, 41, 42, 43). Найти вероятность того, что
участник получит ровно два минимальных выигрыша,
т. е. что каждый из этих наборов имеет ровно 3 общих
элемента с набором номеров (оц, • ¦., ae)c (li 2, ..., 49},
появившихся при розыгрыше тиража.
1.39. Найти вероятность того, что при случайной рас-
расстановке двух ладей на шахматной доске они не будут
угрожать друг другу.
1.40*. Найти вероятность Pk того, что при случайной
расстановке к B < к < 8) ладей на шахматной доске
никакие две ладьи не будут угрожать друг другу. При
каких к эта вероятность меньше 1/2? Меньше 1/100?
1.41. Собираясь в путешествие на воздушном шаре,
Пончик положил в каждый из 20 карманов своего кос-
костюма по прянику. Через каждые 10 минут полета у
Пончика возникает желание подкрепиться, и он начина-
начинает в случайном порядке просматривать свои карманы до
тех пор, пока не найдет очередной пряник. Найти ве-
вероятность того, что поиск &-го пряника начинается с
пустого кармана.
1.42. В условиях задачи 1.41 найти вероятность Ph
.того, что первые к пряников Пончик найдет с первой
18
попытки. Вычислить эти вероятности при к =« 1, 2,
3,-4, 5, 6. ^ :
1.43*. Решить задачу 1.42 в случае, когда число кар-
карманов в костюме Пончика равно 10, и в каждый карман
Пончик положил по 2 пряника. Найти численные значё-
пия вероятностей при к — 1, 2, 3, 4, 5, 6.
1.44. По 20 карманам своего костюма Пончик разло-
разложил 18 пряников и 2 конфеты (по одному предмету в
каждый карман). Для той же схемы, что в задаче 1.41,
найти вероятность того, что первые два раза Пончик бу^
дет подкрепляться конфетами.
1.45. Решить задачу 1.44 в случае, когда в костюме
Пончика 10 карманов и в один карман Пончик положил
2 конфеты, а в остальные — по 2 пряника.
1.46. В каждой из трех урп лежит по три карточки.
На карточках в первой урне написаны числа di, &2, аь
во второй урне — числа Ь\ч Ь2, Ъг, в третьей —
числа ci, <?2, сз. Из каждой урны наудачу вынимается
по карточке. Пусть ct, fi, y — числа на карточках,
вынутых из первой, второй, третьей урн соответствен-
соответственно. Найти Р {а < (О, Р (|3 < 4} и Р (Y < а) в случаях,
когда:
а) (аи а2, а5) = (Ьи Ь2, &з) = (сь с2, с3) = A, 2> 3Ь
б) (вь а2, e8)«(lt 2, 3), (bu fe2, &з) = B, 3, 4),
(ci, c2, c3) = C, 4, 5),
в) (а,, а* О8)-A, 5, 9), (ЬЬ Ьз, &3) = B, 6, 7),
{си С2, с3) = C> 4, 8).
1.47*. В условиях задачи 1.46 найти такой способ
расстановки чисел на карточках, при котором сумма
Р {а < [5} + Р {{5 < f} + P h < «} принимает наибольшее
возможное значение. Чему оно равно?
1.48. Пусть |i, |2, 1з, 14 — числа, выпавшие при одно-
. временном бросании четырех игральных костей. Найти
P.<i2>6l>f Р<б8>Ы, Р<|4>!3> И P{|i>|4} В ДВУХ
случаях:
а) на гранях каждой кости написаны числа 1, 2, 3,
4, 5, 6;
б) на гранях первой кости написаны числа 6, 7, 8,
9, 23, 24, па гранях второй — числа 10, 11, 12, 13, 14,
15, на гранях третьей — числа 1, 2, 16, 17, 18, 19, на
гранях четвертой — числа 3, 4, 5, 20, 21, 22.
1.49. В условиях задачи 1.48 найти такой способ
расстановки чисел на гранях, при котором сумма
Р ih > Ы + Р (Ъ > Ы + Р На > Ы + Р (li > Ы прини-
принимает наибольшее возможное значение. Чему оно равно?
2* 19
1.50. Равновероятной схемой размещения частиц по
ячейкам называют схему размещения, в которой по-
мера ячеек, последовательно занимаемых частицами,
получают посредством случайного выбора с возвраще-
возвращением.
Обозпачим \ir = \ir(n, N) число ячеек, содержащих
ровно по г частиц после размещения п частиц по N
ячейкам. Найти вероятности следующих событий:
1) цоК Л')>0 (при п = N);
2) цо(/г, Л7)-0 (при и=~ЛГ+ 1);
3) jio(n, /V)=l (при n = N+i);
4) найдется ячейка, содержащая хотя бы две части-
частицы (при любых соотношениях между п и N).
1.51. (см. 1.50). Найти Р{цо(я, -/V)= 0} при произ-
произвольных п, N.
1.52. По N различимым ячейкам размещается слу-
случайно п неразличимых частиц. (Элементарными событи-
событиями являются наборы чисел (п, ^2, ..., rw), где rk—.
число частиц в ^й ячейке, & = 1, 2, ..., N.) Найти ве-
вероятности событий:
1) |ю(/*, Л^)>0; 2) \ю(п, N)= 1.
1.53. В первом ряду кинотеатра, состоящем из Л^
кресел, сидит п человек. Предполагая, что все возмож-
возможные размещения этих п человек в первом ряду равно-
равновероятны, найти вероятности следующих событий:
а) AniN = (никакие 2 человека не сидят рядом);
б) Вп>1г = (каждый из п человек имеет ровно одного
соседа);
в) Cn.jv — (из любых двух кресел, расположенных
симметрично относительно середины ряда, хотя бы одно
свободно}.
1.54. В зале кинотеатра в первых двух рядах, каж-
каждый из которых состоит из N кресел, сидит п человек.
Найти вероятпости следующих событий:
а) в первом ряду никакие 2 человека не сидят рядом;
б) во втором ряду каждый человек имеет ровно од-
одного соседа;
в) в первом ряду из любых двух кресел, расположен-
расположенных симметрично относительно середины ряда, хотя бы
одно свободно.
1.55°. Из всех отображений множества A, 2, ..., п)
в себя случайно выбирается отображение. Найти веро-
вероятности событий:
20
а) выбранное отображение каждый из п элементов
переводит в 1;
б) элемент i имеет ровно к прообразов;
в) элемент i переводится в /;
г) выбранное отображение элементы ?i, /2, • • •* h
A ^ i[ <; Z2 <^... <^ ц ^ п) переводит в элементы /i, /2» • • •
..., U соответственно.
В задачах 1.56—1.60 рассматриваются взаимно одно-
однозначные отображения множества A, 2, ..., п) на себя.
Такие отображения называют подстановками степени п.
Множество всех подстановок степени п обозначают Sn.
Если элементы г(, &, *.., 4 е5 И, 2, ..., тг) различны и
подстановка о из Sn переводит i\ в i%^ i% в г'з, . ¦•» z*ft-i B
h и ^ в ix (U -*¦ г2-* гз -^ ...-* ?fc—i -*• гй-* $i), T0 говорят,
что элементы ц, гг, • • •, 4 образуют цикл длины к.
1.56°. Из множества Sn случайно выбирается подста-
подстановка; Найтл вероятности событий:
а) выбрана тождественная подстановка
/1
U
б) выбранная подстановка элементы г(, 1*2, . *., 4
'\i\ < h < . .. <zh) переводит в элементы /i, /2, . ¦ •* /*
соответственно;
в) элемент i в выбранной подстановке образует еди-
единичный цикл, т. е. i -*• i;
г) элементы 1, 2Т Я образуют цикл длины 3: 1 -*• 2 -+¦
-*• 3 -* 1 или 1-^3-^2-^1;
д) все элементы образуют один цикл.
1.57. Найти вероятность Рп того, что в случайно вы-
выбранной подстановке степени п найдется хотя бы один
цикл единичной длины. Найти lim Pn.
П~»оо
1.58*. Из множества Sn случайно выбирается подста-
подстановка а. Доказать, что если к] — длина цикла подста-
подстановки а, содержащего элемент 1, то
Р {кг = &} = — при' любом к = 1, 2, ..., п.
1.59*. Из множества Sn случайно выбирается под-
подстановка. Найти вероятность того, что элементы 1 и 2
лежат в одном цикле.
1.60. Обозначим символом [lai2V .. п?"] (см. [9J)
множество подстановок, у которых а\ циклов длины 1,...
,.., ап ддклоб длины п. Из множества [lai2a2 .,, п®™]
21
случайно выбирается одна подстановка. Найти вероятно-
вероятности событий:
а) выбрана заранее указанная подстановка из
[la*2V.. п"»];
б) элемент г образует единичный цикл;
> в) выбранная подстановка переводит i в / (i ?= /).
1 § 2. Геометрические вероятности
1.61°. Случайная точка Л равномерно распределена на
отрезке [0, 1] и делит этот отрезок на две части. Пусть
г|| — длина большей части и Цъ — длина меньшей части.
Найти Pir\i^x}, р{т]2=5#} при любом х.
1.62°. Случайная точка А имеет равномерное распре-
распределение в квадрате со стороной 1. Найти вероятности
следующих событий:
а) расстояние от точки А до фиксированной стороны
квадрата не превосходит х\
б) расстояние от точки А до ближайшей стороны
квадрата не превосходит х\
в) расстояние от точки А до центра квадрата не пре-
превосходит х;
г) расстояние от точки А до фиксированной верши-
вершины квадрата не превосходит х.
1.63°. Случайная точка А имеет равномерное распре-
распределение в прямоугольнике со сторонами 1 и 2. Найти
вероятности следующих событий:
а) расстояние от А до ближайшей стороны прямо-
прямоугольника не превосходит х\
б) расстояние от А до любой стороны прямоугольни-
прямоугольника не превосходит х;
в) расстояние от А до диагоналей прямоугольника
не превосходит х.
1.64°. Случайная точка А имеет равномерное распре-
распределение в квадрате со стороной а. Найти вероятность
того, что расстояние от А до ближайшей стороны квад-
квадрата меньше, чем расстояние от А до ближайшей диаго-
диагонали квадрата.
1.65°. Случайная точка X имеет равномерное распре-
распределение в квадрате А — {(х, у): \х\ ^ а, \у\ < а]. Найти
вероятность того, что квадрат с центром X и сторонами
длины Ь, параллельными осям координат, целиком со-
содержится в квадрате А.
1.66. Случайная точка X равномерно распределена
в квадрате А = {(х, у): \х\ + \у\ < а). Найти вероят«
22
ность того, что квадрат с центром X и сторонами длины
6, параллельными осям координат, целиком содержится
в квадрате А.
1.67. Случайпая точка X равномерно распределена d
правильном треугольнике с вершинами (а, 0), (—а, 0),
@, а!1Ъ). Найти вероятность того, что квадрат с центром
X в сторонами длины 6, параллельными осям коорди-
координат, целиком содержится в этом треугольнике.
1.68. Случайная точка X равномерно распределена в
круге !$ = {(#, у): х2 + у2 ^ /?2). Найти вероятность того,
что параллельный оси абсцисс отрезок длипы R с сере-
серединой в точке X целиком содержится в круге S.
1.69. Случайная точка А имеет равномерное распре-
распределение в правильном гс-угольнике. Найти вероятность
Рп того, что А находится ближе к границе многоуголь-
многоугольника, чем к его диагоналям. Найти такие числа С
и а, что
Р О*A + A)) п -+ оо.
1.70°. Случайная точка (t,i, §2) равномерно распре-
распределена в единичном квадрате К — {(гг. v): 0 < и < 1,
0 < v < 1). Обозначим ц число действительных корней
многочлена
Найти вероятности
Р{ц = к}, /с— 1, 3.
1.71°. На паркет, составленный из правильных
fe-угольников со стороной а, случайно бросается монета
радиусв г. Найти вероятность того, что упавшая монета
не эадеяет границу ни одиого из ^-угольников парке-
паркета для:
- а) *«3;
б)* = 4;
в) /с-6.
1.72*. Случайно подброшена монета. Будем считать,
что толщина монеты равна G.v и что вектор нормали,
приложенный к стороне монеты с гербом, при вращении
образует конус (рис. 2). Ось конуса образует угол 9
'(—л/2 < б < я/2) с горизонтальной плоскостью, а —
угол между образующей конуса и его осью @<а=?
<л/2). В момент падения монеты конец вектора норма-
нормали равномерно распределен на окружности основания
23
конуса. Найти вероятность р(а, В) -того, что монета упа-
упадет гербом вверх. При каких условиях /?(а, 9)= 1/2?
Рис. 2
1.73е. Парадокс Бертрана. В круге радиуса R
случайно проводится хорда. Обозначим | ее длину. Най-
Найти вероятность 9*=Р{|>#}, если середина хорды рав-
равномерно распределена в круге. Вычислить вероятности
Qr и$яУ"з того, что длина хорды больше стороны пра-
правильного вписанного шестиугольника и треугольника со-
соответственно.
Результат зависит от того, как понимать слово «слу-
«случайно». См. задачи 1.74 и 1.75.
1.74е. Решить задачу 1.73, если направление хорды
задано, а ее середина равномерно распределена па диа-
диаметре, перпендикулярном ее направлению.
1.75°. Решить задачу 1.73, если один конец хорды за-
закреплен, а другой равномерно распределен на окружности.
1.76. На плоскость, разлинованную параллельными
прямыми (расстояние между соседними прямыми равно
2а), брошена полуокружность радиуса г < а; точка
(ф, х) (х — расстояние от центра окружности до бли-
ближайшей прямой, 0 < х < а; ф — угол между этой прямой
и диаметром, соединяющим концы дуги) равномерно
распределена в прямоугольнике [0, а]Х{—л/2, я/2].
Найти вероятность того, что прямая будет иметь к (к =¦
я О, 1, 2) пересечений с полуокружностью.
. 1.77е. В интервале времени [0, 71] в случайный мо-
момент и появляется сигнал длительности Л. Приемник
включается в случайный момент v е [О, Т] на время L
Предположив, что точка (и, v) равномерно распределен
24
на в квадрате [О, Т] X [О, 71], найти вероятность обнару-
жепия спгпала,
1.78°. Пассажир может воспользоваться трамваями
двух маршрутов, следующих с интервалами 7*i, 7V
Момент прихода пассажира определяет на отрезках
[О, Т\], [О, Т2] числа и и v, равные временам, оставшим-
оставшимся до прихода трамваи соответствующего маршрута.
Предполагая, что точка (ц, v) равномерно распределена
на й = {(ц, у): 0<и<Гь 0 < v ^ Т2)л найти вероят-
вероятность того, что пассажир, пришедший на остановку, бу-
будет ждать пе дольше t (О < t < mm(Tu Тг))-
1.79. Однородный прямой круговой цилиндр случай-
случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти ве-
вероятность того, что цилиндр упадет на боковую поверх-
поверхность, если его высота h, а радиус основания г. Вычис-
Вычислить эту вероятность при h = 2г. При каких h и г
вероятности упасть на основание и на боковую поверх-
поверхность одинаковы?
1.80. Н еоднородный примой круговой цилиндр слу-
случайно бросается на горивонтальную плоскость. Радиус
основания цилиндра г, центр тяжести расположен на
оси симметрии цилиндра на расстоянии а от одного
основания и Ь > а от другого основания цилиндра.
Найти вероятность того, что цилиндр упадет: а) на ос-
основание, расположенное ближе к центру; б) на основа-
основание, более удаленное от центра тяжести; в) на боковую
поверхность.
1.81. Однородный прямой круговой конус с высотой
h и радиусом основания г случайно бросается на гори-
горизонтальную плоскость, а) Найти вероятность того, что
он упадет на основание; б) вычислить эту .вероятность
при г = &; в) при каком отношении r/h эта вероятность
равна 1/4?
1.82. Однородное тело, ограниченное сферой и плос-
плоскостью, проходящей через центр сферы (полушар), слу-
случайно бросается на горизонтальную плоскость. Найти
вероятность того, что полушар упадет на плоскую часть
своей границы.
1.83. Длинный однородный брус прямоугольного
поперечпого сечения размера аХ&, Ь > а, случайно бро-
бросается на горизонтальную плоскость так, что его ось
параллельна этой плоскости, а угол поворота относи-
относительно этой оси равномерно распределен в [0, 2л]. Най-
- ти вероятность того, что он упадет на более широкую
грань.
25
1.84*. На плоскости проведено п окружностей $ь •••
..., Sn с общим центром О; радиус окружности Sk равен
к (k^i, 2, ..., п). Случайная точка А имеет равномер-
равномерное распределение в круге, ограниченном окружностью
Sn; ABC — правильный треугольник, одной иэ вершин
которого является Л, а центром — точка О. Найти веро-
вероятность Рт того, что граница треугольника ABC пересе-
пересекает ровно т окружностей, т » О, 1, ..., п.
1.85. Найти вероятность Рп того, что случайная точ-
точка | « (?ь .. #1 |п): имеющая равномерное распределение
в я-морвом кубе Кп « [{х19 ..., хп) s /?": max |я4|<1),
арипадлешит n-мерпому шару Sn « [(otj, ..., хп) е /?п:
^i + ... +^п^1|, вянсаппому в ^п- Вычислить Рп для
п = 2,3, 10, 20.
Г л а ва 2
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ
В построении математической модели последователь-
последовательности испытаний важную роль играют понятия независи-
независимости событий и условной вероятности. Условная веро-
вероятность Р(В\А) события В при условии, что событие Л
произошло, определяется формулой
4)>0. B.1)
Это равенство может быть записано в виде «теоремы ум-
умножения»
Р(ЛВ)=Р(Л)Р(В\Л). B.2);
Обобщением B.2) является формула
P(AiA2...An)=P(A))P(A2iAl)P{Az\AlA2)...
...Р(Ап\АхА2...А*-х). B.3),
Равенство
B.4)
естественно интерпретировать как независимость собы-
события В от А. В качестве определения независимости
двух событий А и В принимается более симметричное
условие
Р{АВ)~?{А)Р(В), B.5)
эквивалентное B.4),.если Р(^4)>0. Из B.5) следует не-
независимость (см. задачу 2.18) еще трех пар событий;
А и В, А и В, А и В. События Л[? Л2, ..., Ап называй-
называйся езаи.ино кезаеиси.мылш (или независилыдш в совоку^-
иостщ или просто независимыми), если для всех комби-
комбинаций индексов 1 < ii < г2 < •. • < *V< я (& = 2, ..., п)
пмеем
Если B.6) выполняется только при к — 2> то события
Л{т ..., Л„ называют попарно независимыми; о сеязи по-
попарной и взаимной независимости см. задачи 2.22 и 2.23.
Многие важные моделгг серии опытов со случайными
исходами часто описываются либо условными вероятно-
вероятностями, либо предположением
о независимости исходов
различных опытов и зада-
заданием безусловных вероят-
вероятностей исходов. В таких слу-
случаях по формулам B.3) или
B.6) можно, используя за-
заданные условные вероят-
вероятности пли независимость,
вычислить вероятности эле-
элементарных событий.
Пример 2.1. Возмож- рис
ные превращения радиоак-
радиоактивного ядра палладия "ePd можно представить в виде
графа, приведенного на рис. 3. В обозначениях ядер ниж-
нижний индекс равен числу протонов в ядре, верхний ин-
индекс — сумме числа протонов и числа нейтронов. Буква
та в верхнем индексе означает возбужденное состояние
ядра. Дугами обозначены возможные превращения ядер;
рядом с дугами указаны вероятности соответствующих
превращений. Найти вероятность того, что ядро палла-
палладия "JPd превратится в ядро кадмия ^Cd.
Решение. Обозначим Ai} A2i A3 события, состоя-
состоящие в том, что в превращениях участвовали ядра "ijPd,
^Ag, 'igCd. Тогда условия задачи можно записать в ви-
виде p(i4i)«l, Р(Л2|Л,) = 0,73, Р(Л3и,Л2)-0,315. Нужно
найти р*=Р(А\А2Аъ). По формуле B.3) находим
р = р(А{)?(А2\А{)Р(Аг\АхА2)== 0,73 -0,915 = 0,66795. А
Схема случайного выбора без возвращения (см. гл. 1)
естественно определяется в терминах условных вероят-
вероятностей; если известен результат первых к испытаний, то
27
при (к 4- 1)-м испытапии с рпппыми вероятностями
появиться любой из оставшихся элементов. Модель слу-
случайного выбора, сформулированная в терминах условных
вероятностей, совпадает с определением из гл. 1. В тер-
терминах независимости и равновероятности результатов от-
отдельных испытаний может быть описана и схема случай-
случайного выбора с возвращением, определенная в гл. 1.
Пример 2.2. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чер-
черных шара, по схеме случайного выбора без возвращения
последовательно извлекаются шары. Найти вероятность рк
того, что черный шар впервые появится при к-м испы-
испытании (& = 1, 2, 3, 4).
Решение. Обозначим С* событие, состоящее в том,
что в е-м испытании появился черный шар. Тогда со-
события
Вк == (впервые черный тар появился при к~и испытании},
fc'-l, 2, 3, 4,
можно выразить через Сг и ?(:
По формуле B.3)
По классическому определению вероятности
?(Ci) = -f" P(Ci+ilc1...c
\C1...Ci) = ~T, 4-1.2,3.
В результате получим
Pi - р Pi) - 4 - 0,4, Ра = Р (В,) - у 4
л=pW =. 4-4:44-0.-1- ж
Дадим определение последовательности испытаний.
Пусть
О»«{(«it к, .... и): ^^{1, 2 -V), fc«l, 2 п).
B.7)
28
Элементарное событие (o=(zi, ^ • • •, in) интерпретиру
ется как цепочка исходов в п последовательных испыта
ниях, каждое из которых имеет N несовместных исходов:
1, 2, ..., N. Если положить
пе И, ..., /V}, l<fr<s), то на подмножествах множе
ства Йп однозначно определяется веронтность
Построенное вероятностное пространство является мате-
математической моделью последовательности п испытаний.
Последовательностью независимых однородных испы-
испытаний является частный случай приведенной общей мо-
модели, в которой формулу B.8) надо заменить формулой
*), B.9)
где />i +/>2 + ... + />х = 1, Р/>0, Z = l, 2, ..., N.
Определение последовательности независимых испы-
испытаний можно дать в форме произведения вероятностных
пространств. Положим Йо — И, 2, ..., N); тогда Qn в
B.7) можно записать в виде
Qn - Qo X Qo X ... X Qo = Q?
и длн любого А — Л\Х А4У.... X Лп, где Ль • • •» ^«c^c,
имеем
Здесь Р (Ai) ^ p{ -f р. + .. . + Р{ , если Л^ = (ij, ?2,..., U.
Обозначим А\{ событие, состоящее в том, что в ^-м
испытании наступил исход и. В модели B.7), B.8)
а в модели B.7), B.9)
Обозначим В^ событие, состоящее в том, что в i-м
испытапии исход принадлежит множеству Si = {1{ , . . .
• *' > ^й(г)}* Для независимых испытаний события Hs^,
29
/?s2, * * i> B&n являются взаимно независимыми при лго*
бом выборе Si, • '• м Sn.
Если в B.8) положить р{,{ t {_ «=•/><'>> О, р[1) + .¦*
•.. -f pty = 1, то получится последовательность неза-
независимых (неоднородных) испытаний, в которых вероят-
вероятности исходов вависят от номера испытаний (но не от
результатов предыдущих испытаний).
Вероятностную модель, определенную формулами
B.7), B.9), называют также полиномиальной схемой.
Обозначим через |п_ < число появлений исхода i в п
испытаниях полиномиальной схемы. При решении задач
полезна формула
где mt^O (z=l, 2, ..., N) целые и п = ш^ + тп%+[.. ?
Последовательность исходов полиномиальной схемы с
/V — 10, в каждом испытании которой каждый из исхо-
исходов 0, 1, 2, ..., 9 появляется с вероятностью 1/10, назы-
называют случайными числами.
Пример 2.3. Найти вероятность того, что среди 10
однозначных случайных чисел ровно 4 четных числа и
2 нечетных числа, кратных 3.
Решение. Однозначное случайное число четно с ве-
вероятностью рх = тк = у, нечетно и кратно 3 с вероят-
2 1
ностью р2 — 77j = у. Вероятность остальных исходов
р3= 1 — рх — р2 = ~~. Если ?i — число четных чисел сре-
среди 10 случайных чисел, ?г — число нечетных чисел, крат-
кратных 3, то число остальных чисел |з = 10 — |* — ?2, и по
формуле B.10) с /V = п — 10 находим
Р {li — 4,1а — 2} = Р {1г - 4, Es « 2, ?3-=:4} -
- ЩГ4, И4 ИШЬ °'063787'" -
Частный случай полиномиальной схемы с N = 2 на-
называют схемой Бернулли. Нише два исхода каждого ис-
испытания в схеме Бернулли будем обозначать символами
1 и 0 или называть успехом и неудачей, а соответствую-
соответствующие им веронтности — буквами р и q = 1 — р. Если |хп —
30
число успехов (или число единиц) в п испытаниях Бер-
нулли, то
Р {ц, - т) = Рп (щ, р) = Ср"У"Л, т - 0,1 п.
B.11)
Пример 2.4. Проводится п независимых опытов, со-
состоящих в одновременном подбрасывании к монет. Вы-
Вычислить вероятности событий:
А = (хотя бы один раз все к монет выпали гербами),
В = {ровно т раз все к монет выпали гербами).
Решение. Появление к гербов в одном опыте будем
называть успехом. Вероятность успеха p»-j-. Проще
вычислить вероятность противоположного события
А = {за п испытаний все к монет ни разу одновременно
не выпали гербами).
Положим
Ci = {в /-м испытании произошел успех}.
Тогда А =С\С2.. ,€п, и по формуле B.6) находим
Для вычисления Р(Я) можно было также воспользо-
ваться формулой B.11), положив в ней т = 0, Р—^ ?я
= 1 ?. Таким образом,
Вероятность события В определяем по формуле B.11):
Если в формуле B.11J параметр р => рп = Я„/п, где
Яте-»-Я @<Я<оо) при n->ooj то согласно теореме Пу-
Пуассона
m -0, 1, 2, ... B.12J
31
Правая часть формулы B.12) используется в прило
жениях как приближенное значение вероятности Pip-» =
=* т) при больших значениях п и малых значениях р.
Известно (см. [2], с. 124, теорема 9), что при любом мно-
множестве В<={0, 1, 2, ...}
(это можно вывести также из задачи 4.107, см. гл. 4).
Пример 2.5. В партии из п = 200 изделий каждое
изделие независимо от остальных может быть бракован-
бракованным с вероятностью р = 0,01. Оценить вероятность того,
что число \хп бракованных изделий в этой партии рав-
равно трем.
Решение. Величина пр2 ~ 0,02 мала. В качестве
приближенного значении искомой вероятности можно ис-
использовать предельное значение в B,12) (теорему Пуас-
Пуассона) с Я=-пр-2: P{fin=3}^!y<r2.no табл. 3 (с. 308)
находим числовое значение: ?{\in — 3} ~ 0,18045 ... Точ-
Точное значение вероятности можно найти по формуле
B.11):
Р {fxn = 3} = Ct00 @,01K @,99I97 = 0,181355 ... ж
Приведем формулировки двух теорем Муавра —
Лапласа.
Локальная теорема. Если п -*¦ *>, р — const,
npq
U)) B.13)
равномерно по значениям xn,me[ci, Сг1-
Интегральная теорема. Если n^-°°y p — const,
0< р< 1> то
_U f
B,14)
равномерно по Х\у х^ (~оо < a;t < д;2 < °°) •
Правые часты формул B.13) и B.14) дают хорошее
приближение, когда п достаточно велико, а р и q не
очень близки к нулю. Часто нормальным приближением
пользуются при npq > 20. Ошибка при использовании
32
нереального приближения может увеличиваться из-за
дискретности допредельного распределения (см. зада-
чи 2.61, 2.62), Эта ошибка имеет порядок ОA!Упрд).
Приведенные замечания очень приближенны и носят
скорее качественный характер.
Предельное выражение в B.14) легко можно выра-*
зить через значения одной пз функций
Для вычисления предельных выражений в B.12)' в
B.14) можно использовать табл. 3 и 1.
В качестве примера, иллюстрирующего использование
интегральной теоремы, рассмотрим пример 2.5 с изменен^
ными значениями параметров.
Пример 2.6. В партии из га = 22500 изделий, каж*
дое изделие независимо от других может быть бракован*
ным с вероятностью р = 1/5. Найти вероятность того, что
число рьп бракованных изделий заключено между 4380
и 4560.
Решение. Значение npq = 3600 велико, поэтому
можно воспользоваться нормальным приближением
B.14). Вычтем пр — 4500 из трех частей неравенства
4380 < u.n < 4560
и получившееся неравенство поделим почленно на
^f = 60:
Используя B.14), получим.
Так как
npq J у
2п О
V -2 Г О У О
то (см. табл. 1, с. 306—307).
РМ380 < \in < 4560) « 0,3413 + 0,4772 - 0,8185. А
Иногда в задачах требуется указать отрезок, в кото-
котором с задаппой вероятностью лежат значения числа ус^
Ь А. М, Зубков и др, 33
пехов \in. В этом случае нужно находить решения урав-
вений вида 1 — Ф(#) = а и строить по ним приближения
для искомого отрезка. В табл. 2 приведены величины uat
определяемые равенством 1 — Ф (#<*) = се. При наличии
микрокалькулятора для вычисления Ф(х) и иа можно
также пользоваться приближенными формулами*)
2A-ФИ)^j
{ 351) х 4- 562
703/4165
(B^+56)^
где ^ — —1пРх. В указанных интервалах значений
х vi Рх относительная ошибка первой формулы не
превышает 0,042 %, а абсолютная ошибка второй —
0,00013. Для значений х и Рх> лежащих вне указанных
интервалов, можно использовать приближенные формул! i
я2 0,94
где у« — InPK.
Во многих задачах приходится рассматривать беско-
бесконечные последовательности испытаний. В этом случае
полагают
Qw-<0i, fe, -.-): «*е<1. 2, ..., Ml, B.15),
о-адгебра событий $Ф порождаетси событиями вида
А%'к - |({п Ь, • • •): Ц = 7i, - - -, **„ - jn}. B.16)
В случае независимых испытаний
Равенства B.17) однозначно определяют вероятность на
л* (см. [5]).
*) CM.:Derenzo S. E. Approximations for hand calculators
using small integer coefficients / Math. Compute 1977,— V, 31,
№ 137.-P. 214-225.
34
Пример 2.7. Найти вероятность того, что в схеме
Гюриулли первый успех появится в к-и испытании, если
иороитность успеха в отдельном испытании равна р.
Решение. Событие Ak = {первый успех появился в
/i-м испытании} определяется исходами в к первых ис-
испытаниях. Пусть событие
Ct = {в г-м испытании наступил успех}.
Тогда
Ah ~ С1С2.. .?ft-iCV,
11 по формуле B.17) находим
Приведем еще две формулы, полезные в тех случаях,
кпгда заданы или могут быть легко вычислены условные
П1ЧЮЯТНОСТИ. Если события В\, В^ ,.., Вп попарно не*
гопместны и В\ U Z?2 U ... U Вп = Q, то для любого собы*
'inn Л имеем
Р(А)= 2 P(Bh)?(A\Bk) B.18)
'(формула полной вероятности) и
'(формула Байеса).
Пример 2.8. В ящик, содержащий 8 исправных из-
долий, добавлено 2 изделия, взятых со склада; известно,
что доля бракованных изделий на складе равна 5 %«
Памти вероятность того, что взятое наудачу из попол*
псиного ящика изделие не будет бракованным.
Решение. Определим события А, Во, В\, В%:
А = {изделие, взятое из пополненного ящика,
не бракованное),
Bh = (из двух изделий, добавленных в ящик,
к бракованных},
к - 0, 1, 2.
Очевидно, что Во\) BiU B2 = Q и BkBL = 0 {кФ1).
Можно воспользоваться формулой полной вероятности
B.18):
3* 35
Если произошло событие Bk, то в ящике из 10 изделий
к .бракованных, следовательно,
pH|5ft) = 1j^r, к = 0,1,2.
При выборе малого числа изделий из большой пар-
партии схемы выбора без возвращения и с возвращением
имеют близкие вероятности исходов (см. задачу 1,18).
Считая поэтому, что каждое из добавленных изделий
независимо от другого может быть бракованным с веро-
вероятностью 0,05, находим
Р (ft)-0,05я.-
Таким образом,
Р (А) = 0,95* • 1 + 2 • 0,95 • 0,05 • i + 0,052 • 1 = 0,99. ж
Пример 2.9. Из урны, содержащей 3 белых и 2 чер-
черных шара, по схеме выбора без возвращения отобрали
2 шара. Шар, взятый наудачу из этих двух, оказался
белым. Какова вероятность того, что второй шар тоже
белый?
Решение. Определим события
Bh ~ {среди двух отобранных из урны шаров к белых},
fc-0, 1, 2,
А = (шар, взятый наудачу из двух отобранных, белый}.
21Л), котору
ормуле Байе
Р(?2)Р (Л\В2)
Условную вероятность Р(#21Л), которую требуется най-
найти, можно вычислить по формуле Байеса B.19):
Вероятности, связанные с извлечением двух шаров из
урны, найдем с помощью классического определения ве-
вероятности:
р //? \ _- ?_ __ Г) л Р (ft \ =— '! 2 __ Q fi Р (В \ = - = О S
^5 ("'- 5
Так же определяются условные вероятности, связанные
с извлечением одного шара из двух отобранных:
РD|#о)^О, Р(Л1#1) = 0,5, Р(Л1#2)= 1.
Значит,
Р(В ]А) о.з 1
за
§ 1. Условные вероятности
В задачах 2.1— 2.6 вероятностное пространство счита-
считается заданным; для вычисления условных вероятностей
нужно использовать формулу B.1).
2.1°. Из множества чисел {1, 2, ..., N) по схеме слу-
случайного выбора без возвращения выбираются три числа.
Найти условную вероятность того, что третье число по-
попадет в интервал, образованный первыми двумя, еслв
известно, что первое число меньше второго.
2.2°. Брошено две игральные кости. Предполагается,
что все комбинации выпавших очков равновероятны.
Найти условную вероятность того, что выпали две пя-
терки, если известно, что сумма выпавших очков делит-
<ья па пять.
2.3°. Из 100 карточек с числами 00, 01, ..., 98, 99
случайно выбирается одна. Пусть т\\ и rj2 — соответствен-
соответственно сумма и произведение цифр на выбранной карточке.
Найти P{<ni*=i|T|2 = 0}, г-0, 1, ..., 18.
2.4. Из урны, содержащей М белых и N — М черных
шаров, последовательно без оозвращения извлекают п ша-
ров. Пусть Л^ (Л\г))—событие, состоящее в том, что г-н
шар был черный (белый). Используя классическое опре-
определение случайного выбора (гл. 1), найти
2.5. Решить задачу 2.4 в случае выбора с возвращв*
пнем (см. введение к гл. 1, A.3)).
2.6 . Случайный выбор двух подмножеств Л\ и А% из
множества S = A, 2, ..., N) производится так же, как в
в задаче 1.23. Найти условную вероятность Р{ I-^411 ^lu
\A2\ — h I A\ fl Ач — Щ того, что множества А\ и А% со-
состоят из 1\ и /г элементов соответственно при условии,
что А\ и А2 не пересекаются.
В задачах 2.7—2.11 предполагаются заданными услов-
условные вероятности; при решепии используются формулы
B.2),вB.3).
2.7°. Среди 25 экзаменационных билетов 5 «хоро-
«хороших». Два студента но очереди берут по одному билету.
Найти вероятность того, что:
а) первый студент взял «хороший» билет,
б) второй студент взял «хороший» билет,
в) оба студента взяли «хорошие» билеты.
2.8°. Два игрока поочередно извлекают шары (без
возвращения) из урны, содержащей М белых и N — М
37
черных шаров. Выигрывает тот, кто первым вынет белый
шар. Используя формулу B.3), найти вероятность вы-
выигрыша первого участника, если: а) N *=к, М => 1; б) N *=*
= 5, М=1; в) N = 1, М = 2.
2.9°. Из урны, содержащей Ш белых и N — М черных
шаров, по одному без возвращения извлекаются все ша-
шары. Используя определение случайного выбора в терми-
терминах условных вероятностей, найти вероятности событий!
Ак = {/с-й шар белый},
Bhii = {k-ix и 1-й шары белые},
Cft, i — ik-й шар черный, а 2-й белый}.
2.10°. Из урны, содержащей 3 белых шара, 5 черных
и 2 краспых, два игрока поочередно извлекают по одно-
одному шару без возвращения. Выигрывает тот, кто первым
вынет белый шар. Если появляется красный шар, то
объявляется ничья. Пусть Л\ = (выигрывает игрок, на-
начавший игру}, Аъ — {выигрывает второй участник}, В =¦
= (игра закончилась впичью}. Найти Р(А\), Р(^г), Р(#)-
2.11°. Из урны, содержащей N\ белых шаров, N% чер-
черных и Nz красных, последовательно без возвращения из-
извлекают шары до тех пор, пока не появится красный
шар. Используя формулу B.3), найти вероятности сле-
следующих событий: •
1) вынуто П\ белых шаров и щ черных;
2) не появилось ни одного белого шара;
3) всего вынуто к шаров.
2.12°. Из урны, содержащей а белых и Ь черных ша-
шаров, два игрока извлекают шары по очереди. Выигрывает
тот, кому раньше попадается белый шар. Найтн вероят-
вероятность выигрыша первого игрока в случаях, когда шары
извлекаются:
а) по схеме равновероятного выбора с возвращением,
б) по схеме равновероятного выбора без возвращения,
2.13°. Из урны, содержащей а белых и Ь черных ша-
шаров, три игрока извлекают шары по очереди, Выигры-
Выигрывает тот, кому раньше попадается белый шар. Найти
вероятности Pi, Р^ Рг выигрыша 1-го, 2-го, 3-го игроков
в случаях, когда шары извлекаются:
а) по схеме равновероятного выбора с возвращением,
б) по схеме равновероятного выбора без возвращения.
2.14. На остановку прибывают автобусы маршрутов
1, 2, ..., к. Номера последовательно прибывающих авто-
автобусов получаются по схеме равновероятного выбора с
возвращением из урны, содержащей шары с номерами
38
1, 2, ,.., к. Найти вероятность Ph того, что до появления
автобуса маршрута 1 ни на одном из остальных маршру-
маршрутов не придет более одного автобуса. При каком мини-
минимальном fc>2 эта вероятность меньше 1/2?
§ 2. Независимость событий
4 В задачах 2.15—2.19 предполагается, что задано ве-
вероятностное пространство; требуется выяснить, зависимы
или независимы некоторые события.
2Л5. Брошены две игральные кости. Положим
At = {число очков, выпавшее па первой кости,
делится на I),
В/ = {число очков, выпавшее на второй кости,
делптся на /},
С, — {сумма очков, выпавших на первой и
второй костях, делится на /}.
Отправляясь от классического определения вероятности,
установить, являются ли независимыми следующие пары
событий: а) Ah Вк — при любых /, к; б) Л2, С2\ в) А4, С4?
2.16. Игральная кость брошена 2 раза, Х\ и ^ —
числа очков, выпавшие при этих испытаниях. Рассмот-
Рассмотрим события
А\ = {Х\ делится на 2, Х2 делится на 3),
Ai = {Х\ делится на 3, Хъ делится на 2),
Аъ = {Х\ делится на Хг),
А$ — {Х2 делится на Xj},
А*, = {Х\ Н- Хч делится на 2),
А§ = {Х\ 4- Х% делится на 3).
Найти все пары {Аи Л})ч тройки {Аи Ah Ah) и т. д. взаим-
взаимно независимых событий.
2.17. Случайная точка (?i, |г) имеет равномерное
распределение в квадрате \(х\, х2): 0<хиХз^ 1}; При
каких значениях г независимы события Аг =¦
= (Hi - tal > г) и Вг = (l! 4- 62 < Зг}?
2.18. События А и В независимы. Являются ли неза-
независимыми события: а) А и В, б) А и В?
2.19. Случайная точка l = (li, 52) имеет равномерное
распределение в квадрате 0 ^ х, у < 1. Пусть
A -U < М а Ь <:4
Л1 —
39
Показать, что любые два события из А\% Лз, Аг незави-
независимы, но все три события А\, А^ А% зависимы. Являют-
Являются ли зависимыми события А\Аъ и А$?
2.20 (см. 2.19). Обобщая пример, приведенный в пре-
предыдущей задаче, показать, что для любого целого п ^ 4
существует совокупность {Аи ..., Аа) событий, обладаю-
обладающая следующими свойствами:
а) события А], ..., Ан не являются независимыми,
б) при удалении из А\ч ..», Ап любого события остаю-
остающаяся совокупность состоит из независимых событий.
2.21*. События А\, Лг, ...» Ап удовлетворяют условиям
П А}\ш*рх...ри i=l,2 п.
)
Является ли {Л\у ..., Ап) совокупностью независимых
событий?
2.22*. Пространство элементарных событий Q состоит
из п элементов. При каких к па подмножествах О можно
определить вероятность Р и события А[, ..., Ak так, что-
чтобы события Ль ..., Ak были независимыми в совокупно-
совокупности и 0< ?(Аг)< 1 (? — 1, 2 Аг)?
2.23*. Пространство элементарных событий Q состоит
из п > 4 элементов. При каких к можно так определить
на подмнозкествах Q вероятность Р и события ^i, .. ,t Ak,
что 0<Р(А{)< \ (i « 1, ..., к) и события А\, ,.., Ah
попарно независимы?
В задачах с 2.24 по 2.28 предполагается независимость
некоторых событий; требуется вычислить вероятности
других событий.
2.24°. Упрощенная система контроля изделий состоит
из двух независимых проверок. В результате k-vi провер-
проверки (к — 1, 2) изделие, удовлетворяющее стандарту, от-
отбраковывается с вероятностью pft, а бракованное изделие
принимается с вероятностью ak. Изделие принимается,
если оно прошло обе проверки. Найтв вероятности со-
событий:
а) бракованное изделие будет принято;
б) изделие, удовлетворяющее стандарту, будет отбра-
отбраковано.
2.25°. Измерительное устройство состоит из двух ири-
боров. Вероятность безотказной работы fr-го прибора за
рассматриваемый период времени равна 1 — aft (fc~l, 2).
Оценить вероятность р того> что оба ирибора будут ра-
работать:
40
а) если поломки происходят независимо;
б) если ничего не известно о зависимости между по-
поломками этих приборов.
2.26° (см. задачу 1,38). Два человека купили по од-
одной карточке лотереи «6 из 49» и независимо друг от
друга отметили по 6 номеров. Найти вероятности со-
событий:
4 а) каждый получит минимальный выигрыш?
б) каждый получит какой-либо выигрыш.
2.27. Электрическая цепь составлена из элементов Aht
к — 1, 2, ..., 5, по схеме, приведенной на рис. 4. При
А,
А,.
Рис. 4
выходе из строя любого элемента цепь в месте его вклю-
включения разрывается. Вероятность выхода из строя за дан-*
ный период элемента Ah равна рь, к— 1, ..., 5. Предпо-
Предполагается, что элементы выходят или не выходят из строя
независимо друг от друга. Найти вероятность события
С—(за рассматриваемый период по цепи может
проходить ток).
2.28°. По цели производится п независимых выстре-
выстрелов. Вероятность попадания при i-ы выстреле равна pt,
i = l, ..., п. Найти вероятность того, что при п выстре-
выстрелах будет не менее двух попаданий.
§ 3, Формула полной вероятности
2.29°. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных
шаров, а во второй — 1 черный и 5 белых шаров. Из
каждой урпы по схеме случайного выбора без возвраще-
возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссы-
ссыпали в третью урну, Найти вероятность того, что шар,
вынутый из третьей урны, окажется белым.
2.30°. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных,
а во второй — 1 белый и 7 красных. В первую урну до-
41
бавляются два шара, случайно выбранных иэ второй
урны,
а) Найти вероятность того, что шар, выбранный из
пополненной первой урны, будет белым.
б) Пусть из пополненной первой урны ао схеме слу-
случайного выбора с возвращением извлекают к шаров,
Найти вероятность того, что все опн будут белыми.
2.31°. Из урны, содержащей 2 белых в 3 черных ша-
шара, наудачу извлекают 2 шара и добавляют в урну один
белый шар.
а) Найти вероятность того, что после этого наудачу
выбранный из урны шар окажется белым.
б)'Пусть из урны по схеме случайного выбора с воз-
возвращением извлекают к шаров. Найти вероятность того,
что все опи белые.
в) Найти ту же вероятность, что в п. б), для схемы
выбора без возвращения.
2.32°. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для
которых вероятность исправной работы в течение месяца
равна 0,90, и 5-телевизоров с аналогичной вероятностью,
равной 0,95. Найти вероятность того, что два телевизора,
взятые наудачу в пункте проката, будут работать ис-
правяо в течение месяца.
2.33°. В одной урне содержится 1 белый и 2 черных
шара, а в другой урне — 2 белых и . 3 черных
шара. В третью урну кладут два^шара, случайно выбран-
выбранных из первой урпы, и два шара, случайно выбранных
из второй.
а) Какова вероятность того, что шар, извлечепный из
третьей урны, будет белым?
б) Найти вероятность того, что при выборе с возвра-
возвращением из третьей урпы двух шаров один из них будет
белым, а другой — черным,
в) Найти ту же вероятяость, что в п. б), для схемы
выбора без возвращения,
2.34°. Изделия поступают иа проверку, описанную в
задаче 2.24, Предполагая, что каждое изделие удовлетво-
удовлетворяет стандарту с вероятностью р, найти следующие ве-
вероятности:
а) вероятность того, что поступившее на проверку
изделие не будет отбраковано;
б) вероятность того, что неотбракованное изделие
удовлетворяет стандарту,
2.35е. Из урны, содержащей М белых в N — М дер-
ных шаров, утеряно г шаров. Сравнить вероятности из-
42
влечения белого шара: а) до утери; б) после утери при
г—1; в) цосле утери при г>1.
2.36. Отрезок [0, а] случайной точкой делится на две
части, из которых случайно выбирается одна часть. Обо-
Обозначим 11 длину выбранной части. Найти Р{т)^#}, 0=5
^ х < а, предполагая, что координата 1 случайной точки
равномерно распределена на отрезке [0, а] и вероятности
любой из полученных частей отрезка одинаковы.
2.37. При переливании крови надо учитывать группы
крови донора и больного. Человеку, имеющему четвертую
группу крови, можно перелить кровь любой группы; че-
человеку со второй или третьей группой крови можно пере-
перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку
с первой группой крови можно перелить только кровь
первой группы. Среди населения 33,7 % имеют первую,
37,5 % — вторую, 20,9 % — третью и 7,9 % — четвертую
группы крови.
а) Найти вероятность того, что случайно взятому
больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
б) Найти вероятность того, что переливание можно
осуществить, если имеются два донора; три донора.
2.38. Во время испытаний было установлено, что ве-
вероятность безотказного срабатывания реле при отсут-
отсутствии помех равна 0,99, при перегреве — 0,95, при вибра-»
ции — 0,9, при вибрации и перегреве — 0,8. Найти веро-
вероятность Р| отказа этого реле при работе в жарких странах
(вероятность перегрева равна 0,2, вероятность вибра-»
ции 0,1) и вероятность Рг отказа при работе в передвиж*
пой лаборатории (вероятность перегрева 0,1, вероятность
вибрации 0,3), предполагая перегрев и вибрацию незаи
висимыми событиями.
2.39 (см. 2.38). Найти границы, в которых могут из-
изменяться вероятности Р\ и Рч в предыдущей задаче, если
отказаться от предположения о независимости перегрева
и вибрации.
2.40°. Имеется пять урн. В 1-й, 2-й и 3-й урнах на-
находится по 2 белых и 3 черных шара; в 4-й и 5-й ур-
урнах — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно выби-
выбирается урна и из нее извлекается щар. Какова условная
вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна, если
извлеченный шар оказался белым?
2.41. В стройотряде 70 % первокурсников и 30 % сту-
студентов второго курса. Среди первокурсников 10 % деву-
девушек, а среди студентов второго курса — 5 % девушек.
Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти ве-*
43
роятность того, что в случайно выбранный день на кухне
дежурит первокурсница.
2.42°. По каналу связи передается одна из последо-
последовательностей букв АААА, ВВВВ, СССС с вероятностями
Рь Piy Рз (Р1 + Р2 + рзв 1). Каждая передаваемая буква
принимается правильно с вероятностью а и с вероятно-
вероятностями •?• A — а) и у A — а) принимается за каждую из
двух других букв. Предполагается, что буквы искажают-
искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того,
что было передано АААА, если принято АВСА.
2.43°. При рентгеновском обследовании" вероятность
обнаружить заболевание туберкулезом у больного тубер-
туберкулезом равна 1 — р. Вероятность принять здорового че-
человека за больного равна а. Пусть доля больных тубер-
туберкулезом по отношению ко всему населению равна у.
а) Найти условную вероятность того, что человек
здоров, если он был признан больным при обследовании.
б) Вычислить найденную в п. а) условную вероят-
вероятность при следующих числовых значениях*): 1 — р — 0,9,
а = 0,01, 7 = 0,001.
2.44°. Отдел технического контроля (ОТК) проводит
сортировку выпускаемых заводом приборов. Каждый
прибор независимо от остальных имеет дефекты с веро-
вероятностью р. При проверке в ОТК наличие дефектов об-
обнаруживается с вероятностью а; кроме того, с вероят-
вероятностью р исправный прибор при проверке может вести
себя как дефектный. Все приборы, у которых при про-
проверке обнаружены отклонения от стандарта, бракуются.
Найти вероятность до того, что незабракованныи прибор
имеет дефекты, и вероятность q\ того, что забракованный
прибор имеет дефекты. При каких условиях <?o><?t?
2.45°. В урне находится 3 черных и 2 белых шара.
Первый игрок по схеме выбора без возвращения извле-
извлекает 3 шара. Обратно он возвращает черный шар, если
среди вынутых шаров больше было черных; в противном
случае возвращается белый шар. Второй игрок после
этого извлекает один шар и по его цвету должен угады-
угадывать число белых шаров среди трех шаров, вынутых пер-
первым игроком. Найти' условную вероятность того, что у
первого игрока было: а) 0 белых, б) 1 белый, в) 2 бе-
белых шара,— если второй игрок вытащил белый шар.
¦) Эти значения приведены в книге: 3 а к с Л. Статистической
оценивание,— М.: Статистика, 1976,— С. 49.
44
I 4. Схема Бериулли
2.46°. Проведено 20 независимых испытаний, каждое
из которых заключается в одновременном подбрасывании
трех монет. Найти вероятность того, что хотя бы в одном
испытании появятся три «герба».
2.47°. При передаче сообщения вероятность искаже-
искажения одного знака равна 1/10. Каковы вероятности того,
что сообщение из 10 знаков: а) не будет искажено, б) со-
содержит ровно 3 искажения, в) содержит не более трех
искажений?
2.48°. Испытание заключается в бросании трех' иг-
игральных костей. Найти вероятность того, что в пяти не-
независимых испытаниях ровно два раза выпадет по три
единицы.
2.49°, Найти вероятпость того, что в 2п испытаниях
схемы Бернулли с вероятностью успеха р и неудачи
q — 1 — р появится т~\- п успехов и все испытания с чет-
четными номерами закончатся успехом.
2.50°. Из множества 5={1, 2, ..., АО случайно и не-
независимо выбираются два подмножества А\ и А% так, что
каждый элемент из S независимо от других элементов с
вероятностью р включается в подмножество At и с ве-
вероятностью q = 1 — р не включается. Найти вероятность
того, что А{ П Ач — 0.
2.51°. По той же схеме выбора подмножеств из S =
~{1, 2, ..., АО, что в задаче 2.50, независимо выбирают-
выбираются г подмножеств А\, А^ ..., Аг, г>2. Найти вероят-
вероятность того, что выбранные подмножества попарно не пе-
пересекаются.
2.52° (см. 2.50). Из множества 5 = {1, 2, ..., Ю яе-
зависимо выбираются г подмножеств Л[, А^ ..., Аг. Ме-
Механизм выбора состоит в следующем: любой элемент мно-
множества S независимо от других элементов с вероятностью
pi включается в множество Аг и с вероятностью д(—1 —
— Pi не включается (i = 1, ..., г). Найти вероятность
того, что подмножества А\% 4s, ..., Аг попарно не пере-
пересекаются.
2.53 (см. 2.50). Из множества 5 = {1, 2, ..., N} слу-
случайно и независимо выбираются подмножества ^i, ..,, А?.
Механизм выбора такой же, как в задаче 2.50. Найти:
а) Р 1\АХ п ... (\ Ar\ «W; б) Р {\А{ U ... U Аг\ - к\ где
\В\ обозначает число элементов множества В.
2.54. Каждую секунду с вероятностью р независимо
от других моментов времени по дороге проезжает авто-
45
машина. Пешеходу для перехода дороги необходимо 3 с.
Какова вероятность того, что подошедший к дороге пе-
пешеход будет ожидать возможности перехода: а) 3 с;
б) 4 с; в) 5 с?
2.55. В одном из матчей на первенство мира по шах-
шахматам ничьи не учитывались, и игра шла до тех пор,
цока один из участников матча не набирал 6 очков (вы-
(выигрыш— 1 очко, проигрыш и ничья — 0 очков). Считая
участпиков матча одинаковыми по силе, а результаты
отдельных игр независимыми, найти вероятность того, что
при таких правилах в момент окончания матча проиг-
проигравший набирает к очков, к — 0, 1, ..., 5.
2.56. Обрабатываемые на станке детали сортируются
по размерам на две группы. Каждая очередная деталь
независимо от предыдущих с равными вероятностями
попадает в первую или вторую группу. Пусть в начал s
смены для каждой группы деталей приготовлено по ящи-
ящику емкости г. Какова вероятность того, что в момент,
когда очередную деталь будет некуда класть, в другом
ящике будет т деталей?
2.57°. По каналу связи передаются сообщения из ну-
нулей и единиц. Из-за помех вероятность правильной пере-
передачи злака равна 0,55. Для повышения вероятности пра-
правильной передачи каждый знак сообщения повторяют
п раз, Полагают, что последовательности из п принятых
знаков в сообщении соответствует знак, составляющий в
ней большинство. Найтн вероятность правильной пере-
передачи одного знака при я-кратном повторении, если п = Ь.
2.58° (см 2.57). Подобрать п так, чтобы вероятность
правильной передачи знака была не меньше 0,99.
2.59е. По каналу связи передается 1000 знаков. Каж-
Каждый анак может быть лекажей независимо от остальиых
с вероятностью 0,005. Найти приближенное значение ве-
вероятности того, что будет искажено не более трех знаков.
2.60°. В таблице случайных чисел цифры сгруппиро-
сгруппированы по две. Найти приближенное значение вероятности
того, что среди 100 пар пара 09 встретится не менее
двух раз.
2.61*. Пусть %п — число успехов в п независимых ис-
испытаниях Бернулли с вероятностью успеха, равной 1/2.
а) С помощью теоремы Муавра — Лапласа найти при-
приближенные значения
дри п =¦ 100,
46
б) Вычислить те же вероятности, что в п. а), с по*
грешностью 10~5, используя уточненную формулу Стир-
линга.
Сравнить результаты пп. а) и б) и истолковать их.
2.62*. Решить предыдущую задачу, полагая п = 128.
2.63°. Найти приближенное значение вероятности то-
того, что число «девяток» среди 10000 случайных чисел
заключено между 940 и 1060.
*2.64°. Из таблицы случайных чисел отбирают числа,
делящиеся на 3, до тех пор, пока не наберется 1025 та-
таких чисел. Найти приближенное значение вероятности
того, что потребуется таблица, содержащая не меньше
2500 чисел.
2.65°. Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два раз-
разных входа. Около каждого из входов имеется свой гар-
гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеро-
гардеробов для того, чтобы В среднем в 99 случаях из 100 все
зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через
который опи вошли? Рассмотреть два случая: а) зрители
приходят парами; б) зрители приходят поодиночке. Пред-
Предположить, что входы зрители выбирают с равными ве-
вероятностями.
2.66°. В поселке 2500 жителей. Каждый из них при-
примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая
дпи поездок по случайным мотивам независимо от ос-
остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обла-
обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще
одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки).
2.67е. Пусть цх — суммарное число появлений «5» и
«6» в N бросаниях игральной кости. При N == 1800 найти
вероятность того, что y\n ^ 620.
2.68°. Две монеты подбрасывают 4800 раз. Найти
приближенное значение вероятности того, что событие
«герб — герб» появится меньше 1140 раз.
2.69°. Вероятность попадания в цель при одпом вы-
выстреле равна 0,01. Найти приближенное зпачение вероят-
вероятности того, что при 100 выстрелах будет не больше трех
цоп а Дании.
2.70°. Из урны, содержащей 1 белый и 4 черных ша-
шара, по схеме случайного выбора с возвращением прово-
проводят 2500 извлечений шаров. Найти приближенное зна-
значение вероятности того, что число появлений белого шара
заключено между 480 и 540.
2.71р. На одной странице 2400 знаков. При типограф-
типографском наборе вероятность искажения одного знака равна
47
1/800. Найти ;пржближенное значение вероятности того,
что на странице не менее двух опечаток.
2.72°. Вероятность успеха в каждом испытании схе-
схемы Бернулли равна р. Найта вероятность того, что к~я
по порядку успех происходит при 1~ы испытании.
В задачах с 2.73 по 2.78 рассматриваются бесконеч-
бесконечные последовательности испытаний. Воспользоваться
частным случаем вероятностного пространства, который
определяется формулами B.15) — B.17) при N = 2.
2.73°. Две игральные кости бросают до выпад лшя «6»
хотя бы на одной из них. Найти вероятность того, что
впервые «6» появляется при к-м бросании, к = 1, 2, 3,...
2.74°. Двое по очереди бросают монету. Выигрывает
тот, кто первым получит «герб». Найти вероятности со-
событий:
а) игра закончится до 4-го бросания;
б) выиграет начавший игру (первый игрок);
в) выиграет второй игрок.
2.75. В схеме Бернулли р — вероятность исхода 1 и
q — 1 — р — вероятность исхода 0. Найти вероятность то-
того, что цепочка 00, состоящая из двух нулей подряд,
появится раньше цепочки 01. В частности, вычислить
эту вероятность при р — 1/2.
2.76. Пусть выполнены условия задачи 2.75. Найти
вероятность того, что цепочка 00 (два нуля подряд) по-
появится раньше цепочки 10. В частности, вычислить эту
вероятность при р ~ 1/2.
2.77. Пусть выполнепы условия задачи 2.75, Найти
вероятность Рооин того, что цепочка 00 появится раньшз
цепочки 111. В частности, вычислить эту вероятность
при р = 1/2.
2.78. Движением частицы по целым точкам прямой
управляет схема Бернулли с вероятностью р исхода 1:
если в данном испытании схемы Бераулли появилась 1,
то частица из своего положения переходит в правую
соседнюю точку, а в противном случае — в левую. Найти
вероятность того, что за п шагов частица из точки 0
перейдет в точку пг,
§ 5. Полиномиальная схема
2.79'. Отрезок [0, 10] точками 1, 2, 3, 4, 7 разделен
на 4 отрезка длины 1 и 2 отрезка длины 3. Пусть
^ь .. •, As — независимые случайные точки, имеющие
равномерное распределение на отрезке [0, 10J. Какова ве-
роятность того, что нз этих точек в два каких-либо от-
отрезка длиной 1 попадет по 2 точки, а в каждый из остав-
оставшихся отрезков — по одной точке?
2.80. При прохождении одного порога байдарка не
получает повреждений с вероятностью pi, полностью
ломается с вероятностью р2> получает серьезное повреж-
повреждение с вероятностью рз (р\ + Р2+ рз — 1). Два серьез-
серьезных повреждения приводят к полной поломке. Найти
вероятность того, что при прохождении п порогов бай-
байдарка не будет полностью сломана.
2.81. Сообщения,' передаваемые по каналу связи, со-
составляются из трех знаков А, В, С. Из-за помех каждый
знак принимается правильно с вероятностью 0,6 и при-
принимается ошибочно за любой из двух других знаков с
вероятностью 0,2. Для увеличения вероятности правиль-
правильного приема каждый знак передается 5 раз. За передан-
переданный знак принимается знак, который чаще всего встре-
встречается в принятой пятерке знаков. Если наиболее частых
знака два, то из них выбирается равновероятно один.
Найти вероятность правильного приема знака при ука-
заяном способе передачи.
2.82. Пусть |п, i — число появлений исхода i в п пер-
первых испытаниях полиномиальной схемы (см. введение
к гл. 2). Найти P{|n> I =-mi).
2.83. В схеме, описанной в задаче 2.82, найти услов-
условную вероятность
2.84. В N ячейках, разбитых на две группы по Ni
и N2 ячеек соответственно (N\ + Лт2 — Л7), независимо
одну от другой размещают п частиц; пусть рц (t—1, 2;
j = l, 2, ..., /V,)— вероятность попадания частицы в ;-н>
ячейку 1-й группы, а Щ) — число частиц, попавших в
;-ю ячейку i-k группы после раамещения п частиц. Найти;
a) Phif-fcy, г-1,2, /~l,...,7Vb
б)
в) { 2 }
2.85. В Л' ячейках независимо размещают п частиц.
Вероятность попадания каждой частицы в i-ю ячейку
равна 1/iV, i — 1, 2, ..., N. Обозначим \io(n, N) чис-
число ячеек, оставшихся пустыми. Найти Р{ию(/г, N)*** к).
2.86. Игральную кость бросают до первого появления
на ней меньше пяти очков. Какова вероятность получить
при последнем бросании не меньше двух очков?
4 а. М. Зубков и др, ^9
2.87. Исходы 0i, 8г, ... последовательности испытаний
с N = 3 возможными исходами 1, 2, 3 и вероятностями
исходов pi, p2, ръ объединяются в тройки @зь+ь 0за+2,
Эза+з). Из первой тройки @3v+fT 8зу+2, ^+з), в которой
все исходы различны, выбирается 03v+i. Найти
2.88. Испытания в полиномиальной схеме с исходами
1, 2, 3, имеющими вероятности pi, рг, Рз соответственно,
заканчиваются, когда впервые не появится исход 3. Haft4»
ти вероятность того, что испытания закончатся исхо-*
дом 1,
2.89. Игрок Л подбрасывает 3 игральные кости, а иг-
игрок В — 2 кости. Эти испытания они проводят вместе и
последовательно до первого выпадения «6» хотя бы на
одной кости. Найти вероятности событий:
а) Л ~ {впервые «6» появилось у игрока А, а не В);
б) В — {впервые «6» появилось у игрока В, а не А);
в) С = {впервые «6» появилось одновременно у А
и В),
Глава 3
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пусть задано вероятностяое пространство (Q, s4-7 P).
Случайной величиной называется действительная
функция от элементарного события | — |((о), со е Q, для
которой при любом действительном х множество
(со: Ксо)^^} принадлежит $Ф (т. е. является событием)
и для него определена вероятность Р{со: Ксо)^^}, запи-
записываемая кратко Р{| < х). Эта вероятность, рассматри-
рассматриваемая как функция #, называется функцией распреде-
распределения случайной величины § и обозначается обычно
либо Fi(x), либо F(x) (иногда функцией распределении
называют вероятность Р{|<ж}).
С помощью функции распределения F\{x) можно од-
однозначно определить вероятности Р{| s В) для борелев-
ских множеств В на числовой прямой (определение бо-
релевских множеств см. в [5], с. 32, или 8 [2], с. 28—29).
В частности, борелевскими множествами являются интер-
интервалы вида (#ь хъ], [xi, #2], [#i, #2), (a?i, жг), их конечные
и счетные суммы. Вероятность Р{|^#), рассматриваемая
как функция от борелевского множества В, называется
распределением вероятностей случайной величины | и
50
обозначается Ps(fi). Иногда Рг(В) называют законом рас-
распределения случайной величины | или просто распреде-
распределением %. Таким образом, распределение вероятностей
Ре (В) можно задать функцией распределения Ft(x).
Важным классом распределений вероятностей явля-
являются абсолютно непрерывные распределения, задаваемые
плотностью вероятности р\(х) = р(х), т. е. такой неотри-
неотрицательной функцией р(х), что для любого борелевского
мйожества В
(х) dx\
в общем случае рассматривается интеграл Лебега, кото-
который совпадает с интегралом Римаиа (собственным или
несобственным), если последний существует. Другой
класс составляют дискретные распределения, задаваемые
конечным или счетным набором вероятностей Р{? = ял},
для которых
Функция распределения Fi(x) в этом случае ступенчатая
и задаетси суммой
Если распределение случайной величины абсолютно не-.
прерывно или дискретно, то говорят также, что сама слу-
случайная величина или ее функция распределения соответ-
соответственно абсолютно непрерывны или дискретны.
Пример 3.1. Пусть точка 4—(и, v) равномерно
распределена в квадрате Q = {(u, v): 0<м<1, 0*Si>^
< 1} (см. формулу A.8) из введения к гл. 1). Положим
1 при и ^ у,
— 1 при и < v.
Найти: а) функцию распределения и плотность распре-
распределения вероятностей случайной величины |i; б) функ-
функцию распределения а вероятности значений дискретной
величины |з-
Решение. Событие {\\ < х) = {(u, v): и*?х, (w, z?)s
^ Q] при х > 1 совпадает с Q, а при х < 0 — с 0.
При 0 < х < 1 множество точек, определяющих событие
{|t < х), образует прямоугольник со сторонами 1 и х.
4» 51
Таким образом,
о
х
I 1
при
при
при
*<0,
0<а?<1л
сс>1.
Производная F%t(x) в ее точках непрерывности совпада-
совпадает с плотностью распределения:
0 при хф. [О, 1],.
1 при х<= [О, 1].
Функция распределения
я ^ 1, то {§2 ^ я) — О;
Значит,
находится аналогично. Если
я) = 0 при я < — 1, а при
u<v, (и, и)еШ.
0 при х< — 1,
1/2 при — 1<г<1,.
1 при .г^1.
Случайная величина |2 дискретна; ее распределение со*
средоточено в двух точках: —1 и 1. Действительно,
р{|2 = — 1) — Р{(ut v): u<.v, (и, i?)sQ} = l/2. A
В задачах обычно говорится о случайной величине |
и о ее распределении Р*(*) без явного указания того
вероятностного пространства, на котором она определе-
определена. Это означает, что соответствующее утверждение или
вычисление справедливо для любого вероятностного про-
пространства (Й, S&, Р), на котором можно определить слу-
случайную величину | = |(со) с заданным распределением
Ре(-); в частности, таким вероятностным пространством
можно считать (/?, ^?, Р?), где R = {x) — числовая пря-
прямая, $ — борелевская о-алгебра ее подмножеств, Р? —
распределение вероятностей случайной величины |, ко-
которая задается функцией ^(х)==х.
Если на одном и том же вероятностном пространстве
(Й, S&, Р) определены случайные величины ?i, ?2, . ¦ -, 1г,
то иногда говорят, что задан случайный вектор g — fti, •••
,.., |г). Многомерной функцией распределения (или
совместной функцией распределения) |i, |2, ..., 1г назы-
называется вероятность P{|i ^ ^i, ..., |г^д:г}, рассматривае-
52
мая как функция от точки х = (х\, ..., хг] г-мерного
евклидова пространства Rr и обозначаемая Ftlt...,tr(Xi, - • •
...,?г) (кратко Ft(x)) или F(x\, ..., хг) (кратко F(x)).
С помощью функции распределения однозначно опреде-
определяются вероятности ?{\^В) для г-мерных борелевских
множеств В. Функция множеств ?%(В) = ?{%^В} назы-
называется r-мерным распределением вероятностей |. Абсо-
Абсолютно непрерывное г-мерное распределение вероятностей
задается r-мерной плотностью рг(х) = pr. t (#i> • • ¦> xr),
т. е. такой неотрицательной функцией pt(x), что для лю-
любого борелевского множества # <= Rr
Р {I <= В} = J ... J p (Xl1 ...,xr)dxt... dxr.
в
Дискретное r-мериое распределение задается с помошью
конечного или счетного набора вероятностей Р{§ = #(&)},
x(k)^R\ так. что для любого борелевского множества В
Пример 3.2. Найти распределение величины г| =»
— lit где случайная величина |i та же, что. в приме-
примере 3.1.
Решение. Функция распределения ц при 0 < х ^ 1
определяется следующей цепочкой равенств:
- Fh(Yx) - Flx{-V~x)
Очевидно, что Frt(x) = 0 при х<0 и Fn(x)=\ при
При 0 < х < 1
Рч(а;)==^ при ^<0 и при ^ > 1. Таким образом, величи-
величина г\ абсолютно непрерывна и ее плотность распределе-
распределения определяется формулой
рч(х)'=1/BУ1) при хе@, 1),
^(д:)==0 при а?^@, 1). А
Пример 3.3. Случайная величина | имеет плот-
плотность распределения р\(х)=е'х (я>0), Pi(^) = 0 (x ^
< 0), Найти распределение случайной величины г\ =
= rjE) —[|]2, где [1] обозначает целую часть |.
53
Решение. Так как {rj = А;2} ** {ft «^ % < к + l)t to
вероятность Р(г] ~ А;2} определяется равенствами
ft+i
j
(a?)
Пример 3,4, Случайная величина |i принимаем
значения 0 и 1, а случайная величина |г — значения —1,
О и 1. Вероятности P(li — t, ?2 — 7) задаются следующей
таблицей:
0
1
-1
1/16
1/16
0
1/4
1/4
1
1/16
Л
5/16^
Найти распределение случайной величины т) — lifa^
Решение. Произведение |i|2 равно нулю, если ра*
вен нулю хотя бы один из сомножителей:
— Q> U
Отсюда
0,
р{л = о} = ^ + 1 + 1 + 1 = 1
Оставшиеся два значения A, —1) и A, 1) пары величин
(|ь |г) приводят к двум значениям ц: —1 и 1. Следо-
Следовательно,
Р{л = -
1/16, Р{т) = 1} = 5/16.
Таким образом, величина tj дискретна; ее распределение
сосредоточено на значениях —1, 0, 1, и вероятности этих
значений равны соответственно 1/16, 5/8, 5/16. А
Если s-мерный случайный вектор rj = g(?) есть
функция от г-мерного случайного вектора |, т. е. г\к =
A б) к ., s, g(.)-(ffl(.) ge(.)), то
C.1),
где g-i E)— прообраз борелевского множества Б при
отображении g. В частности, если г = s — 1, а функция
54
У ~ i(x) непрерывна и строго возрастает, то F*\(y) —
— Fi(g~i (у)). Если, кроме того, g(x) диффереипируема
и распределение | имеет плотность pi(x)t то распреде-
распределение т] имеет плотность
Если r — s, отображение y = g(x) взаимно однозначно и
д (g , .,., g \
якобиан ^s(x)=jj^~ — не обращается в нуль, то
плотность рп(х) можно вычислить по плотности р${у) с
помощью равенства
( &)) I Js~x (У) I-
C.2)
В общем случае, как правило, удобнее сначала вычис-
вычислить функцию распределения г\ по формуле C.1), а за-
затем найти плотность распределения rj дифференциро-
дифференцированием.
Случайные величины |i, ..., ^г называются независим
мыми, если для любых борелевских множеств В\, ..., Вт
имеет место равенство
Р (ij е В„ ,.., S, е Вг) - П Р «..е Bk}. C.3)
ft —1
Следующие определения независимости равносильны
определению C.2):
в общем случае: для любых xi, ..., xr&R
абсолютных непрерывных распределений: для лю-
любых я=*(х\у ..., xr)^RT {кроме, может быть, точек, об^
разующих множество меры нуль)
г
, V ТТ , V
Pt ¦. ? \ 1' • * ¦ * ^ — А1 Pel №/>
5лл дискретных распределений: для всех # =¦
р/^ =х, ?; = ?Л = ЦР{? = х }
¦ 55
Если случайные величины |ь .¦., %г независимы, то
функции от них Tih *=?*(?»), А; = 1, .,., г, также будут
независимыми случайными величинами.
Пример 3.5. Случайные величины |j и |2 незави-
независимы; их плотности распределения определяются фор-
формулами
1 при х^. [О,1],
О при #«=?[0,1],
р {х) =
Y при х е [О, 2]
О при хф[0л2].
Найти функцию распределения и плотность распределен
ния величины ц = |i|2-
Решение. Так как величины gj и |2 независимы,
то двумерная плотность распределения вектора (|i, ^)|
есть ргг%2 (и, и) = р^ (u) p^ (V)e
Найдем сначала функцию рас-
распределения г|: д
где
9 Х/2 1 и
Рас. 5
** 0 при ж<0и Dx=
к ^2; следовательно,
Р{г\*?х) = 0 {х*
При 0<х<2 (рис. 5)
где
ц, v): uv<=x). Отсюда
Очевидно, что ?>*
при
z ^ 2).
— du = х — х In тт.
Таким образом,
при
при
50
Отсюда находим плотпость распределения
0 при ж?(
Если | в т)—независимые случайные величины, то
по плотностям Рб(я]^, рч(#) можно вычислить плотность
р1+Лх) их суммы с помощью формулы композиции (или
свертки):
оо ос
рг+Г1 (х) = J р6 (//) /?т) {x — y)dij*= | pg (a? — #) Рп (г/) dy.
C.4)
Полезны также формулы композиции для функций
распределения
) « f F5 (.г — //) Ру] (у) dy,
Г ¦ C.5)
(последпий интеграл в общем случае надо понимать как
интеграл Лебега — Стилтьеса).
Пример 3.0. Найти плотность распределения вели-
величины т) = || + |г, где |i, |2 независимы и каждая из них
равномерно распределена на отрезке [0, 1].
Решение. По формуле C.4) ¦
«ж 1
Рц (х) - j p6i (у) рц (а: — у) dy = f рц (х - у) dy.
—-I» о
Подынтегральная функция р^ (х — у) положительна и
равна 1, если О^х — у ^ 1. Отрезок интегрирования [0, 1]
и отрезок [х — 1, х] значений у, при которых ръ2(х — у)>
>>0, не пересекаются, если х < 0 или #>2. В этих слу-
случаях pn(s) —0. Если O^tfSSl, то [0, 1]П[а?-1, х}=*
= Ю, х] в
рл (а?) « J ^ « ж.
о
Если 1 < ? < 2, то [0, 1] П [а? - 1, «1 - [х - 1, 1] и
dy = 2 — a?.
к—I
57
Таким: образом,
О, если х < О или х > 2$
а;, если 0 <! я <! 1„
2-х, если 1 <я<2. А
(х)
Математическим ожиданием случайной величины §
называется число
М| = ] I (со) Р (do),.
если интеграл Лебега, стоящий в правой части этого
равенства, существует (см. [5], с. 60, или [2], гл. 4, § 1).
Если \ имеет плотность, то М§ может быть вычисле-
вычислено по формуле
Ml- j xPl(x)dx, C.6)
—ос
Для случайной величины | с дискретным распреде-
распределением
MS-2 *fcP {&-**}, C.7)
k
если ряд C.7) сходится абсолютно. 3 общем случае
Mg= xdFl(x)t C.8)
— 00
где интеграл понимается как интеграл Стилтьеса.
Если г|— #(!), то Для вычисления Mri = Mg(?) мож-
но применять следующие формулы, аналогичные C.6)—,
C.8) (также с оговоркой об абсолютной сходимости):
g(x)pt(x)dx, C.9)
мч - Mg (g) - 2 g (xk) p {| - *»}, C,10)
CO
Mtj « Mg © = \ g (x) dF, (x) C.11)
— 00
(в формуле C.11) в общем случае интеграл понимается
как интеграл Лебега — Стилтьеса). Формулы C.9) —
C.11) обобщаются на случай, когда r\ = g(\u ••¦> ?»¦),
где g — функция, отображающая RT в R1. В частности,
58
формула C.9) в этом случае превращается в
(Ж1. •••... хг) Рг - | (хи ...,xT)dxt ... dxT.
C.12)
Для действительной случайной величины | матема-
математическое ожидание., М?й называется к-м моментом или
моментом к-го порядка, Ml|l" называется абсолютным
моментом k-го порядка, М(| — M|)ft — центральным мо~
ментом k-го порядка, М|| — M|!h — абсолютным цент-
центральным моментом k-го порядка. Факториальным момен-
моментом k-го порядка называется М|[А] = М|(| — 1)...(| —
— &+1). Второй центральный момент называется дис-
дисперсией и обозначается D| = M(|—М|J. Корень квад-
ратпый из дисперсии называется средним квадратиче-
ским отклонением*
Пример 3.7. Для случайной величины г|, опреде-
определенной в примере 3.2, найти ЬКх\ и Drj.
Решение. Если плотность распределения известна,
то для вычисления Mr] удобно воспользоваться формулой
lC.6), а для вычисления Dt] формулой
об
которая является частным случаем C.9) с g(x)=»
= (я — Мт)J. Подставляя в эти формулы плотность рас-
распределения^^), вычисленную в примере 3.2, получим
! 1
О и
Можно было также воспользоваться формулами C.9)
при g(x)— х2, g{x) — (x — MriJ с заменой р%(х) на плот-
плотность pit (x), определенную в примере 3.1:
со 1
z2p^ (x) dx = j xzdx = ^-л
1 о
2 , 4 .
'-v* ^-^ А
59
Математическое ожидание M?ri произведения двух
случайных величин 1 и х\ называется смешанным вторым
моментом. Смешанный центральный второй момент
М(| — М|) (r\ — Mr)) называется коеариацией случайных
величин | и ц и обозначается cov(|, г\), Коэффициентом
корреляции g и ц называется отношение р (?, Л) *=•
= ^З^ ; всегда |р(|, tj) ! ^ 1. Случайные величины
| и г) некоррелированы, если р(|, i))*=0. Ковариацион-
Ковариационной матрицей случайного вектора g=(|i, ,.., ?„) назы-
называется матрица
Матрица С(|) неотрицательно определена.
Отметим важные свойства математических ожиданий:
1. Свойство аддитивности: для любых g и у\ с конеч-
конечными М| и Mtj
2. Свойство линейности; для любого числа с
М(с|)=сМ|. гC.14);
3. Свойство мультипликативности', для любых неза-
независимых | и т] с конечными М| и Mrj
С помощью этих свойств легко получаются следующие
формулы для вычисления дисперсии и ковариащш:
для независимых gi, ..., ^п
0E,+ ... +6»)- SDL, cov(i,, У-O (i^f). C.16)
В общем случае
D (Б, + ... + Бп) = 2 D|ft +
Если векторы ^> « (g?>f ..., g<*>) 5<п)-(Йп\ . - -
,..,^п)) независимы и C(la)), ...^(^"^ — соответст-
соответствующие им матрицы ковариаций, то
1. 13.17)
60
Если имеются две дискретные случайные величины |
и г|, то условная вероятность события {| = xj при усло-
условии т] = Hi определяется равенством
P{^,lh = ,^li^l-ipl. C.18)
Совокупность условных вероятностей C.18) при всех i
задает условное распределение случайной величины |
при условии r\ — yt. Условное математическое ожидание
| при условии г\ = yj определяется формулой
—SZ-'IT—• C.19)
Формулы C.18) и C.19) определяют условные веро-
вероятности и условные математические ожидания при усло-
условии г\ = у}. Условные вероятности Р{|=#,|г|} и условные
математические ожидания М (?,IЦ) при условии г\ опре-
определяются как случайные величины, принимающие на
каждом множестве {<о: г|(<о) = у^ ci Q значения C.18) и
C.19). Общие определения условных распределений и
условных математических ожиданий можно найти в кни-
книгах А. А. Боровкова [2], А. II. Колмогорова [5], Б. А. Се-
Севастьянова [10].
Вычисляя математическое ожидание от условного ма-
математического ожидания M{|irj}, получаем полезную
формулу
М?-М[МE1т|>]. -C.20)
В частности,
Р{Г«аг<> = МР<1«аг,1т1>. [C.21)
Для вычисления Dg можно использовать*формулу
D!-M[D{?Iti>1+D[M{6It]>], 'C.22)
где условная дисперсия D(|iri} определяется формулой
О И14} - 2 («i - М {I | г,})аР {I = х{ | п}. C.23)
Аналогичные формулы верны и для абсолютно непре-
непрерывных распределений. Условная плотность | при усло-
условии х\ — у определяется формулой
61
а условное математическое ожидание — формулой
ос j a:Pgi4 (я» У) й$
M{g|71«^}= J
Рассматривая условную плотность р%\ц{х) как случайную
величину, которая цри г\ = у принимает значение
рш==у(х), получаем
f xp
^со
со
- f (X-
Формулы C.20) и C.22) остаются справедливыми и
в этом случае, а C.21) заменяется формулой
Перечислим основные способы вычисления математи-
математического ожидапия. При подходящем способе задания за-
закона распределения случайной величины наиболее удоб-
удобным может оказаться прямое вычисление по формулам
C.6), C.7) или C.9), C.11), C.12).
Иногда легко вычисляются или имеют простой вид
условные математические ожидания. Тогда для вычисле-
вычисления безусловных математических ожиданий используется
формула полного математического ожидания C.20).
Использование свойств аддитивности и мультиплика-
мультипликативности математического ожидания позволяет свести
вычисление Ml к более простым вычислениям математи-
математических ожиданий величин, через которые удается выра-
выразить 5- Наиболее частым среди таких приемов является
прием введения сумм индикаторов. Индикатором события
А называется случайная величина %а~Xa(w), принима-
принимающая значение 1, если со^Л, и значение 0, если со^Л.
Часто оказывается, что можно указать такие события
A\t Л2, ..., ANi что интересующая нас величина пред-
представляется в виде
62
Особенно удобно то, что свойство аддитивности верно
и для зависимых слагаемых. Таким образом,
Пример 3.8. Пусть цп — число переходов от успеха
к неудаче -дли обратно в п испытаниях схемы Бернулли,
в которой вероятность успеха в отдельном испытании
равна р. Найти Мцп и Dr|n.
Решение. Представим г\п в виде суммы инди-
индикаторов
где 1{= 1, если исходами г-ro и (t-fl)-ro испытаний бы- *
ли соответственно «успех» и «неудача» или «неудача» в
«успех». В противном случае |* = 0. Тогда
и, следовательно,.
Мг)п = M|i + ... + Ml,_, - 2(га -
Найдем теперь hhr\n. Так как
П—Х П—Х 71—1 П—2 «—1
и - 2 б? + 2 6*1* = 2 Si + 2 2 g.Ei+1 + 2
М6,6Л = M^M^ _ 4p2 A - p)a (| i - /1 >
TO
2 « 2p A — p) (га — 1) + 2 (га — 2) p A — p) +
Отсюда, используя обозначение ^ — 1 — р, получаем
— Зрд) п - 2pq C — lQpq).
Способы вычисления математических ожиданий с по-
помощью производящих и характеристических функций
рассматриваются в гл. 4.
При вычислении математического ожидания можно
пользоваться также теоремой о монотонной сходимос-
сходимости (если In < Ea+lj n = lj 2t ,. ,j lim ^n=| и М|П4 MJ
п-*оа
63
конечны, то М? = lim M^n) н теоремой о мажорируе-
мой сходимости (если | ?п | ^ г\, Мт] < оо, и ? = lim ?n
с вероятностью 1, то М? = Jim Mgn). В частности, если
00
n=l
?п)
где ?„;
2 м
п
Бп сходится^ то
Приведем в заключение часто встречающиеся законы
распределения. Сначала перечислим некоторые дискрет-
дискретные распределения.
1. Вырожденное распределение:
Р{| = а) = 1, а — постоянная.
2. Гипергеометрическое распределение (параметры: N,
М, п — натуральные числа, М < Nt n^ N):
3. Биномиальное распределение (параметры: п — па-
туральное число, 0 < р ^ 1):
Р{| - к} = СТ*Р* A - р)п-\ к - 0, 1, ..., в.
4. Распределение Пуассона с параметром X > 0:
Р /t _ ы _ ZlI_ е~х А- — 0 1 ^
5. Геометрическое распределение с параметром
р@<^^1):
Р(Е-И«РA-Р)\ fc-0, 1, 2, ...
Далее перечисляются яекоторые абсолютно непрорыв-
непрорывные распределения, определяемые плотностью р{х).
1. Равномерное распределение на отрезке [а, 6], а <С
<6: р(х) — yzГ^» если а^х^Ь, р(х) = 0, если .г^[а, 6].
2. Нормальное (или гауссовское) распределение с па-
параметрами а, а2, —°° <а<°°, 0<о<°°:
(х — af
64
Нормальное распределение с параметрами @, 1) назы-
называют также стандартным нормальным распределением.
3. Показательное распределение с параметром k>G:
р(х) = U-1* (х > 0), р(х)«0 (х < 0).
4. Гамма-распределение с параметрами *, > 0, а > 0:
(
здесь Г (а) « j xa *е xdx — гамма-функция I.
о /
5. Распределение Ноши с параметром Ъ > 0:
^ v ' я 1 + &V 5
Введем еоде многомерное нормальное распределение.
Если случайные величины gi, ^2» ¦ •., |г независимы
и имеют нормальные распределения с параметрами
(«ft) Ф?), & = 1» 2, ..., г, соответственно, то г-мерная
Плотность нормального распределения имеет вид
C25)
Если в C.25) а, =оа«... = о, » 0 и ах =* а2 =====...
^». = аг « а, то мы имеем плотность сферически симмет-
симметричного нормального распределения
Эта плотность инвариантна относительно ортогональных
преобразований пространства Лг, оставляющих на месте
начало координат.
В общем случае говорят, что вектор т]в(т11, ..., 1\г)&
^ /?f имеет нормальное распределение с вектором матема-
математических ожиданий a^fMrji, ..., Мт^г) м матрицей кова-
риаций В = |cov (T|it Tij)||i,;=i (короче: с параметрами
((a, S)), если он распределен так же, как вектор
+ 2
5 А. М, Зубков и др, ' 65
где случайный вектор | =(|i, ..., 1ь) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с G\ — ... =»
«=аи«1, а прямоугольная матрица
Ц ak2 "• ukr
такова, что матрица ковариаций вектора г)*, равная А* А
|(см. задачу 3.274) совпадает с матрицей В. Параметры
(а, В) определяют многомерное нормальное распределе-
распределение однозначно.
Если матрица ковариаций В положительно определе-
определена, то ее определитель det#, положителен и существует
обратная матрица Я* = flfcyi = #~\ а нормальное распре-
распределение с параметрами (а, В) имеет г-мерную плотность
Если же матрица В вырождена (det/? = G), то нор-
нормальное распределение с параметрами (а, В) сосредото-
сосредоточено на гиперплоскости, размерность которой равна ран-
рангу В (см. задачу 3.159,6), и поэтому такое нормальное
распределение г-мерной плотности не имеет.
§ 1. Распределение вероятностей
случайных величин
В задачах 3.1—3.15 рассматриваются одномерные рас-
распределения; в 3.16—3.38 — законы совместного распреде-
распределения нескольких случайных величин; в 3.49—3.53 —
случайные величины, связанные с последовательностями
испытаний.
3.1°. Распределение дискретной случайной величины
| определяется формулами
Р{6-*}--Б-« «--2,-1,0,2.
Найти распределения величин г\\ =—6) Ц2 е l?l.
3.2е. Распределение случайной величины | определяв
ется формулами Р{| = к) =С/к(к + 1), fe = l, 2, ... Най-*
ти: а) постоянную С; б) Р{?<3}; в) }
€6
3.3°. Распределение дискретной случайной величины
? определяется формулами: Р{| = к) =С/к(к+ 1) (к + 2),
к = 1, 2, ... Найти: а) постоянную С; б) Р{?>3);
в) ?{щ < I <и2}.
3.4°. Плотность распределения случайной величины |
задана формулами:
% рг(х)=С/х4 при х^ 1;
= 0 при х < 1.
Найти: а) постоянную С; б) плотность распределения
тГ=1/|; в) P@,l<ii<0,3>.
3.5°. Случайная величина | имеет показательное рас-
распределение с параметром а: Р{? < х) = 1 — е~ах (х>0).
Найти плотности распределения случайных величин:
а) л, = Vf; б) ^2 = I2; в) Лз = 4п &'
3.6°. Случайная величина | распределена так же, как
в задаче 3.5. Найти плотности распределения величин:
а) Л| = {1* (Ф — дробная доля |); б) г\2 = 1 - e~al.
3.7°. Случайная величина | равномерно распределена
на отрезке [0, 1]. Найти плотности распределения вели-
величин: а) ть = 2|+1; б) г|2 - -ln(l - g).
3.8°. Случайная точка В имеет равномерное распреде-
распределение на окружности х2 Л-(у — аJ — г2 с центром в точке
А=@, а), а случайная точка С —(|, 0) является пере-
пересечением оси абсцисс с прямой, проходящей через А и В.
Найти функцию распределения и плотность распределе-
распределения случайной величины |. (Распределение | называ-
называется распределением Коши.)
3.9°. Случайная величина | имеет распределение Ко-
ши с плотностью Pi (х) =— ——2. Найти плотность рас-
распределения величин г\ = |2/A + I2), ? = 1/A + 12).
3.10. Случайная величина | имеет такое же распреде-
распределение, как в задаче 3.9. Найти плотность распределения
случайных величин г| = 2|/A — |2), ^ = 1/|.
3.11. Пусть h(x) — плотность распределения случай-
случайной величины |; функция g(x) дифференцируема и на
интервале @,1) монотонно возрастает of — °o до +°°.
Найти: а) такую функцию q>(#), что случайная величина
1ЛвяфA) имеет своей плотностью распределения /(#) =
= h(g(x))g/(x); б) распределение случайной величины
? )
3.12 , Случайная величина | имеет непрерывную
функцию распределения F (х) — Р{| < х). Показать, что
5* 67
случайная величина r\~F(%) имеет равномерное распре-
распределение на отрезке [0, 1].
3.13. Пусть г] имеет равномерное распределение на
[0,11-а
F-i(y) = snpix: F(x)<y), O^y^U
— функция, обратная к функции распределении F (х) (но
обязательно непрерывной!). Доказать, что случайная ве-
величина i = ^-i (г\) имеет функцию распределения F(x),
3.14. Построить пример такого абсолютно непрерыв-
непрерывного распределения случайной величины | с плотностью
рг(х) и такой непрерывной функции g(x), что распреде-
распределение случайной величины ц = g(%) не вырождено и
дискретно.
3.15. Функция распределения F(x) непрерывна и каж-
каждой точке. Доказать, что она равномерно непрерывна на
всей прямой —оо < х < оо.
3.16°. Совместное распределение рц *= Р{%\ *=* tt la^/}
случайных величин |i, |a задано таблицей:
X
1
1
—1
1/8
5/24
0
1/12
1/6
1
7/24
1/8
Найти: а) одномерные распределения/?*. =*• P{?i пв t}t
p.j = Р {^2 3SS /}! б) совместное распределение q^ ss P(t|i e «T
4J=}} случайных величин rn^li+la, *Па ^ Ei?a5 и) од-
одномерные распределения Qi. «= Pfr^ = t}, g.j = Р{ц2 = /}.
3.17°. Случайные величины % и г\ независимы. Найти
РA = т]}, если: а) | и г] имеют одно и то же дискретное
распределение Р{| = xk\ = P{ri = xj =pft, A: = 0, 1, ,..;
б) функция распределения | непрерывна.
3.18°. Совместное распределение |, т^ является равно-
равномерным в единичном круге х2 + у2 ^ 1. Найти Р{1|| ^ 3/4,
hi < з/4}.
3.19°. Плотность совместного распределения величин
|, т] определяется равенствами: Pi,n(u* v) ¦* 1 при
0 при (м,
где
68
О ^ м ^ 2, 0 ^ и < 1 — ~иJ. Найти плотность распределе-
распределения р\(х) случайной величины |.
3.2Q°. Плотность совместного распределения p&l,g2 (мт у)
величин |i, %2 определяется равенствами pilt%t (м, v) =
« С (м + v) при 0< м < 1, 0< и < 1 и р|г52 (м, у) = О,
в остальных случаях. Найти: а) постоянную С; б) одно-
одномерные плотности распределения gi и |2; в) плотность
распределения т] — max(?i, ?2).
3.21°. Плотность совместного распределения величин
lh I2 определяется равенствами: р^ (и, v) — -/2 , ^2,3
при и2 + у2 ^ 1 и pg %g (м, и) «>- 0 в остальных случаях.
Найти плотность распределения ц = к 5i + 5г*
3.22. Случайные величины | и ц имеют плотности
распределения f(x) и ^(д;) и функции распределения
F(x) и G(a:) соответственно. Случайный вектор ? =
"""(Ei* S2) имеет плотность распределения
р(х, y)-f(x)g(y)(i + r(F(x), G(y))),
где функция г (х, у) удовлетворяет условиям
i 1
min г (и, и) ;> — 1, ] г (и, v)dv = г (и, у) rfw ^0.
Найти плотности р, и рг распределения компонент ^i и
?2 вектора ?.
3.23. Неотрицательные случайные величины |i, Ъ не-
независимы и имеют одну и ту же плотность распределе-
распределения р(я), я>0. Найти плотность q(u, v) совместного
распределения случайных величин г\\ = |i — I2, У1а "
- /й + й.
3.24. Случайные величины |i, |г независимы и имеют
одну и ту же плотность распределения р(х). Найти сов-
совместную плотность распределения q (r, ф) полярных
координат (г, ф) точки (|ь |а).
3.25°. Случайные величины ?i и ?2 независимы и име-
имеют одно и то же показательное распределение: Р{|< <
<х)-1-в-, х^О; i = l, 2. Найти Pdii-feKl}.
3.26°. Случайные величины | и г] независимы и име-
имеют равномерное распределение на отрезке [0, а]. Найти
плотности распределения случайных величин: а) | + Л5
б) l-ri;B) 1ц; т) 1/л.
69
3.27". Случайные величины | о т] независимы и име-
имеют показательное распределение с плотностью е~х (х^О)
каждая. Найти плотность распределения: а) ? + г\;
б) 1-п;в) il-Til; г) 1/ц.
3.28 . Найти плотность распределения суммы | + т],
если | и г] независимы, | имеет равномерное распреде-
распределение в отрезке [0, 1], а г] — равномерное распределение
в отрезке [0, 2].
3.29°. Найти плотность распределения суммы незави-
независимых случайных величин. ,| и т|, если | равномерпо
распределена в [0, 1], а г\ имеет показательное распре-
распределение с плотностью е~х (х^О).
3.30°. Случайные величины ?(, |г, ?з независимы а
имеют равномерное распределение в [0, 1].
Найти плотности распределения сумм: a) |i + \ъх
б) 61 + 62 + 6».
Найти РЮ,5 < 6i + 62 + 6з < 2,5}.
3.31°. Точка Aь 1г) имеет равномерное распределен
ние в квадрате {(ху у)\ 0 < х < а, 0 < (/ < а). Показать,
что распределения случайных величин I6i ~ I2I и
min {|i, ^2) совпадают, т. е. что для любого t
И Hi - 62I <t) = P{min Aь Ы ^ *>.
3.32°. Найти распределение суммы двух независимы»
слагаемых |i и |г, если слагаемые распределены:
а) показательно с одним и тем же параметром а|
б) по закону Пуассона с параметрами %i и %%.
3.33°. Случайные величины %\, ..., ?„ независимы и
распределены показательно с одинаковым параметром а,
Найти плотность распределения величин:
• a) T]i—max{6i 1»),
б) ло2 = тт{1, IJ.
3.34 . Случайные величины ?i и |г независимы и
имеют гамма-распределения: |i — о параметрами (^, а),
%2 — с параметрами (Я, ji). Пользуясь формулой
J
найти плотность распределения случайной величины
6i + 62.
3.35°. Случайные величины |ь ..., |п независимы!
случайная величина |* имеет гамма-распределение с па*
70
раметрамн (Я, ос*), i — 1, ..,, п. Найти плотность рас-
распределения случайной величины |i + ... + ?».
3.36°. Случайные величины |t, ..., ?п независимы а
имеют показательное распределение с параметром ?.
Найти плотность распределения суммы gi 4-... + |„.
3.37°. Найти плотность распределения случайной ве-
величины г] =» % *}% , если |i, |г независимы и равномерно
«!_ -rs2
распределены вотрезке [0, 1).
3.38. Случайные величины |ь |г, • •., ?«, и > 2, неза-
независимы и имеют показательное распределение с плот-
плоте~х (х ** 0). Обозначим ч\ = » .—1 ,» * Найти
плотность распределения т).
3.39. Величины |ь |2 независимы; р{|т «0> = P{|i —
= 1) = 1/2, |г равномерно распределена на отрезке [0, 1].
Найти закон распределения величины gj -f |г.
3.40. Пусть случайные величины | и т) независимы,
| имеет функцию распределения F(x), а т) равномерно
распределена в интервале [а, Ь]. Показать, что ? + ц
F{ F( b)
ностью
{x) )
имеет плотность г ; —
о — а
3.41°. Сумму двух независимых равномерно распреде-
распределенных на {0, 1, ..., 9} случайных однозначных чисел %
и ц можно записать в виде | + х\ = 10?2 + Si @ < & < 9).
Найти »аконы распределения ?i и ^2- Зависимы ли
3.42°. Произведение двух независимых равномерно
распределенных на {0, 1, ..., 9) однозначных чисел | и
т| можно записать в виде 1т) =* Ю^г + Бь где ?ь ^2—
целые числа, принимающие значения от 0 до 9. Зависи-
Зависимы ли ?i и ?г?
3.43. Случайная точка Л=(|ь |а, |з)е^3 имеет рав-
равномерное распределение на сфере ж2 +i/2 + 22 = 1. Найти
распределение проекции (|т, I2) точки Л на плоскость
(ж, //) и проекции ?i точки А на ось х.
3.44. Ввести на сфере в качестве координат широту
¦и долготу, считая их изменяющимися в отрезках [—д/2,
л/2] и [—я, л] соответственно. Найти плотность Рг(х\
распределения широты | случайной точки, имеющей рав-
равномерное распределение на сфере.
3.45. Пусть ?ь Ъ, is — независимые случайные вели-
величины, имеющие равномерное распределение на множе-
множестве целых чисел от — п до п. Подберем многочлен вто-
второй степени А (х) — аож2 4- а\х -Ь аг, принимающий при
71
х^— 1, О, 1 значения |ь |а, ?з соответственно. Найти
вероятность Рп того, что числа ао, ось °t2 целые.
3.46. К переговорному пункту с двумя кабинами по-
подошли три клиента: 1-й и 2-й клиенты заняли соответ-
соответственно кабины № 1 и № 2, а 3-й клиент остался ждать.
Предполагая, что времена xi, xa, тз разговоров клиентов
независимы и распределены показательно с параметром
Я, найти: а) вероятность того, что 3-й клиент попадет
в кабину № 1; б) плотность распределения времени
ожидания 3-го клиента; в) вероятность того, что 3-й
клиент закончит разговор раньше 1-го или 2-го клиентов.
3.47. В переговорном пункте телефоны-автоматы рас-
расположены в трех залах: в i-м зале nt автоматов (? —
«1, 2, 3; п — п\ + /г2~Ь/гз). После перерыва посетители
одновременно заняли все автоматы. Введем событии At —
= {посетитель, закончивший разговор первым, находился
в i-м зале), 2=1, 2, 3. Найти вероятности событий Аи
i = l, 2, 3, если времена разговора посетителей являются
независимыми одинаково распределенными случайными
величинами с непрерывной функцией распределения.
3.48. Случайная величина | с равномерным распре-
распределением на [О, 1] записывается в виде бесконечной де-
сятичной дроби: ? *=* 2 бпКГЛгде ?„ — целые, 0 «3 \п < 9.
1
Доказать, что случайные величины \и |г, ••• независимы.
3.49°, В схеме Бернулли с вероятностью успеха р обо-
злачим через vft (& = 1, 2, ...) номер испытания, при
котором происходит к-й успех, и положим Tj «Vi, xft =>
= vfc — vft_i (A; = 2, 3, ...). Найти совместное распределе-
распределение величин xi, тй. Являются ли эти величины неза-
независимыми?
3.50°. В полиномиальной схеме с исходами A,2,..., WI
вероятность i-го исхода в каждом испытании равна pi%
i = 1, 2, ..., N. Положим
1, если в s-м испытании появился i-й
61 "~ @ в противном случае.
Являются ли независимыми случайные величины:
а) еа,«, б>(> E, i,/ —фиксированы);
б) ео, etij (s^t);
в) E1(i, E2,t, ..., е«.<;
JV JV N
г) 2 ^ihCft, Se2ftcfti ...^ 2епйсй, если сь с2,
некоторые постоянные?
; 3.51°. Игральную кость бросают до того момента, ког-
когда впервые выпадает меньше пнти очков. Обозначим че-
через 6 число очков, выпавших при последнем бросании
игральной кости, и через v — число бросаний кости. Най-
Найти совместное распределение 0 и v. Являются ли случай-
случайные величины 6 и v зависимыми?
3.52°. В N ячеек независимо бросают частицы; для
каждой частицы вероятность попадания в i-ю нчейку
равна pt-"lfN (i « 1, 2, ..., N). Обозначим через vi <
< V2 < -.. < \}n номера бросаний, при которых частицы
попадают в пустые ячейки; положим Ti = vi « 1, тй в
= vft — v4_i (к ^ 2) и обозначим через 6h номер ячейки,
в которую попадает частица при vh-u бросании. Найти:
а) совместное и одномерные распределения величин
та, т3;
б) совместное и одномерные распределения величин
Т2, Тз, ..., т« (являются ли эти величины независи-
независимыми?);
в) совместное распределение 0i, 821 ..., 6*г.
3.53°. В схеме размещения частиц, описанной в зада-
задаче 3.52 (с pf Ф1/W), найти совместное распределение
0ь •••> вх.'
3-54°. Из урны, содержащей М белых и N—М черных
шаров, по схеме случайного выбора без возвращения вы-
вынимаются все шары. Пусть gi — число черных шаров,
извлеченных до появления 1-го белого шара, §* — число
черных шаров, извлеченных между (i — 1)-м и i-м
{i « 2, .,., М) белыми шарами, |w+i — число черных
шаров, появившихся после последнего белого. Найти:
а) PFi-W;
б) P<Si-fc, I2-»;
в) P{|i =- ки |2 =- fe, ,.., |м+1 ¦= A;M+i}.
3,55°. Дана функция распределения F(x, у) пары слу-
случайных величин |, г\. Найти Ь }
\ 2) У\ ^2.
3.56. Двумерное распределение случайных величии
t *\ задано функцией распределения
0, если min (x; у) < 0,
min (x, y)Y если 0 ^ min (ж, у) ^ 1%
1, если min (ж, у) ;> 1,
Найти Р{F — 1/2>2 -Ь(т) —
3.57. Построить пример непрерывной в точке (хо, У о)
двумерной функции распределения F%,„(#, у), для кото-
которой одномерные функции распределения F^(x) и F^{y)
разрывны в точках xq и уо соответственно.
3.58. Построить такой пример непрерывной во веек
точках двумерной функции распределения ^Y*(#, j/Ь
чтобы функция распределения F^tlij(x1 у), где gi *= ? + Л»
Э11 = I *" Л» имела точки разрыва.
3.59. Доказать, что двумерная функция распределе-
распределения Fitn(x, у) непрерывна в точке (ж0, уо), если соответ-
соответствующие одномерные функции распределения ^5 (х),
Fn(y) непрерывны в точках хо и уо соответственно.
Пусть |i, ?2, ..., In — независимые одинаково распре-
распределенные случайные величины. При каждом w & Q рас-
расположим числа |ft(co), &=1, ..., и, в порядке возраста-
возрастания и перенумеруем их заново: S(i> ^ |B> ^ ... ^ !(*>• По-
Полученная последовательность случайных величин называ-
называется вариационным рядом, а сами случайные величины
5(ь> — членами вариационного ряда. Таким образом,
в частности, ?A) « min |ftj |(ri) = max |ft. Задачи 3.60—
3.66 связаньт с вариационным рядом.
3.60. Случайные величины |i, |2» ...» In (л ^ 2) не-
независимы и одинаково распределены с функцией распре-
распределения F(x). Найти: а) функцию распределения |(i,;
б) функцию распределения |(Я); в) двумерную функцию
распределения |A), 1(п).
3.61. По независимым одинаково распределенным слу-
случайным величинам ||, ..., |„, имеющим функцию распре-
распределения /^(ж) и плотность р(^), построен вариационный
ряд l(i) ^1B) ^...^|(п>. Найти: а) плотность распреде-
распределения |{т); б) совместную плотность распределения ?(ft>
и It») (k<m,).
3.62. Случайные величины |ь -»ч I*, l*+i независимы
и имеют одну и ту же непрерывную функцию распреде-
распределения. Пусть |A) < |B) < ... < |(ft) — вариационный ряд
величин |i, ..., |А. Нзйти
3.63. Случайные величины |i, ..., |„ независимы и
имеют одинаковое распределение с плотностью р(х).
Найти /г-мерную плотность рп(х\, ..., жп) распределения
членов вариационного ряда |(i)? |B)) .... |(я>.
74
3.84*. Случайные величины li, I2 ..., 1» независимы
и имеют показательное распределение с параметром а:
Р{|, ^ х) = 1 - е-*\ х>0, i => 1, ..., /г,
a Id) < l<2) <,..<%(п) — значения \]t ..., |„, располо-
расположенные в порядке неубывания (вариационный ряд), По-
Показать, что случайные величины
Ai — |(i), Д< = |(,-) — |(i-i), i — 2, ..., n,
независимы и что
3.65*. Случайные величины ?ь ^2, .••, 5» независимы
и имеют одно и то же показательное распределение о па-
параметром X. Доказать, что случайные величины
max {|ь 6„ . . . ,у и I, + -|- + к. + ... + к.
Одинаково распределены.
3.66. Пусть l«"=Fn.i» .... ?»,й), w=-l, 2, ...,— после-
последовательность независимых векторов, у которых коорди-
координаты ?п> 1, .. м In, h — независимые случайные величины,
имеющие одну и ту же непрерывную функцию распре-
распределения F{x). Положим
А» — lln,i< min 1тЛ, i-l|IM! ftl.
I Km<Cn \
Доказать, что при к > 2
3.67. Случайные величины |if 52» ••* независим^ и
имеют одну и ту же непрерывную функцию распределе-
распределения. Доказать, что события
Вп - Цп < min (li, ..., I.-1»; и - 2,8, ,. •,'
независимы.
3.68. Пусть выполнены условия вадачи 3.66. Найти
f «
и
3,69. Случайные величины \ и ц независимы. Дока-
Доказать, что если функция распределения | непрерывна, то
функция распределения | + т^ тоже непрерывна.
75
3.70*. Случайная величина |i распределена по зако-
пу Пуассона с параметром к\:
P{Si-*}-^e. А — 0, 1, 2, ...,
а-случайная величина %2 распределена по закону Пуас-
Пуассона с параметром Ла > Ки Доказать, что при любом це-
целом к
3.71. Функции распределения Fi(i) и F2(t) удовлет-
удовлетворяют условию
Fi(t)<F2(t) для любого t.
Показать, что можно так задать на одном вероятностном
пространстве случайные величины |i и ?2 с функциями
распределения Fi(t) и /^(О соответственно, что
3.72. Случайные величины 1 и г\ независимы и имеют
равномерное распределение на отрезке [0, 1], а случайная
величина ? удовлетворяет условиям
Найти максимально и минимально возможные значения
1
1"
и указать, при каких совместных распре-
распределениях |, г\ и ? эти значения достигаются.
3.73. Случайные величины | и ц независимы и имеют
одно и то же распределение с непрерывной функцией
распределения F(x), а случайная величина ? удовлетво-
удовлетворяет условиям
Е> « Pit = т|> = 1/2.
Пусть тс == sup {х: Р{% < х) < 1/2} — медиана распределе-
распределения J. Найти минимальное и максимальное значения тс
и указать, при каких совместных распределениях |, х\ и
^ эти значении достигаются.
3.74. Пусть Xt Y — независимые целочисленные слу--
чайные величины, Z = X ¦+• У,
Доказать, что
76
§ 2. Математические ожидания
В задачах 3.75—3.112 используются прямые способы
вычисления математических ожиданий; задачи 3.113—
3*131 иллюстрируют возможности метода индикаторов
(см. введение к гл. 3)'. Задачи 3.132—3.138 содержат по-
полезные формулы для математических ожиданий различ-
различных функций от случайных величин. Разными методами
решаются задачи 3.139—3.188.
3.75". Распределение дискретной случайной величины
? определяется формулами Р(? =- г> = 1/5, **= —2, —1,0,
1,2, Найти математические ожидания величин t]i = ~6,
3.76°. Распределение дискретной случайной величины
| определяется формулами P{g « к} «= к (к + i) (к+)' ^ =
«1, 2, ... Найти математическое ожидание случайной ве-
величины |.
3.77°. Плотность распределения случайной ве-
величины ? задана формулами pt(x) = O при х<1, Ръ{х) =
= Ъ/хА при <с &* 1. Найти математические ожидания и
дисперсии случайных величин | и ц = 1/|.
3.78°. Найти М?, Dg, M?[ftI (к = 1, 2;...), если:
а) P{S-m}=j?e-\ m-0,1,2, ...;
б) Pj| - m} - C™pmqn-m, q= 1 - p, m - 0, 1, 2, ... ,n.
3.79°. Плотность совместного распределения p?t,?2(w, v)
величин ?i, ^г определяется равенствами pg.,|2(w, у) =u +
4-i? при O^u^l, O^y^l; Pi ,i2(w* г;)==0 в остальных
2
случаях. Найти Щи М|2) Dglf D|2, cov (glf |2).
3,80°. Совместное распределение |i, ?2 определяется
условиями P{gi?2 = 01 = 1, P{|f = 1> = P{& = -1) = 1/4, i«
= 1,2. Найти М1ь M^2, Dli, Dg2, cov(^, |2).
3.81". Случайная величина ^ равномерно распределе-
распределена на отрезке [0, 2л]; t]i = cos ^, T]2 = sin?. Найти Mtji,
МтJ, cov(t)i, r\z). Являются ли t|i и т]2 независимыми?
3.82°. Случайная величина ? равномерно распределе-
распределена на отрезке [—л, л].
а) Найти Msin|, M cos ^, Dsin|, Dcos|.
б) Найти Msin*l, Mcosft^ при любом целом fc^l и
асимптотику Мвш*|, Mcosft| при к -*• «>,
3.83°. Случайная величина | равномерно распределена
на отрезке [0, л].
а) Найти Msin?, Mcos^, Dsin?, Dcos|.
77
б) Найти Msin*|, Mcos*| при любом целом fc^l и
их асимптотики при к -*• °°.
3.84°. Плотность совместного распределения случай-
пых величин |i, |s определяется равенствами piv\u (u* v) =
« —t~i Ti ПРИ й2 + i>8 ^ 1 и р| ,?, (w, v) = 0 в осталь-
ных случаях. Найти М К |? 4- Й-
3.85°. Случайная величина | имеет показательное рас-
распределение: Р{| > ж} = е-* при х > 0. Найти М|A — е"аЕ).
3.86°. Случайная точка А имеет равномерное распре-
распределение в круге радиуса R. Найти математическое ожи-
ожидание и дисперсию расстояния | точки Л от центра круга.
3.87°. Случайная величина ? имеет равномерное рас-
распределение на отрезке [0, 1]. Найти коэффициент корре-
корреляции случайных величин т)ь л2, если:
а) ni ^Е, 112М&? (а, &>0),
б) in «at, fi2«bt (<*<Q<b),
г) »li *= С 2~» Ля в ( С 2~
д) rii — si
3.88°. Пусть (|, г])— координаты случайной точки,
имеющей равномерное распределение в области DczR2,
Найти коэффициент корреляции р(|, т]), если:
а) D — часть единичного круга, лежащая в первом
квадранте: х2 -f у2 < 1, х > 0, // ^ 0.
б) D — треугольник: # + # < lt л: ^= 0, г/ > 0.
3.89. Пусть |ь |2, • • -, |п — независимые случайные
величины, имеющие равномерное распределение на от-
отрезке [0, 1], а 1A) < 5B) < ... ^ 1(п> — построенный по
li, ..., I» вариацвопный ряд, т. е. значения |ь ..., |П1
расположенные в порядке неубывания. Найти плотность
рг(х) распределения |4| M^i} (к = 1, 2, ...), D?(i),
3.90. Пусть 5(i 1 < 5B| ^ ... < |(п> — вариационный ряд,
построенный по независимым случайным величинам ?ь
|г, .. м ?»» имеющим равномерное распределение на от-
отрезке [0, 1] (см. задачу 3.89). Найти ковариацию и коэф-
коэффициент корреляции р (|< I), 1 (я). При каких условиях
П
3.91°. Доказать, что, если случайные величины
| и т] независимы, М|=»Мт] —0, М|||3<«>, |
то 33
78
3.92°. Случайные величины ? и т) некоррелированкг.
Доказать, что M?ri= MgMn.
3.93. Случайные величины ?, т| и ? попарно некор-
реллрованы. Верно ли равенство М?г}? = M^M-qM^?
3.94. Случайные величины |, т|, ? имеют нулевые ма-
математические ожидания, дисперсии о2 и попарно некор-
релированы. Чему равны минимальное и максимальное
значения М?т]??
3.95°. Найтн ковариационную матрицу случайного век-
вектора 6 —(|i, ia, 1э), если:
а) 1ь ^2» |з независимы и имеют стандартное нормаль-
нормальное распределение;
б) вектор | имеет равномерное распределение в кубе
ux2yx^): max |жгК/
в) вектор | с верятностью 1/Q принимает каждое из
6 значений (О, О, ±УЗУ, @, ±УзГ0), (=^3, °> °Ь
3.96°. Какие из приведенных ниже матриц могут,
а какие не могут быть ковариационными для случайного
вектора
1 О
в)
ж) ( - 1 1 - 1 |?
1—1 1
3.97. При каких значениях х существует случайный
вектор 1 = (|1, ?г, |з) с ковариационной матрицей:
/1 ж а:\ I 1 х —х\
а) * 1 х б) * 1 * ?
\х х 1/ \~х х 1/
8.98. Случайный вектор (|ь ?2, Ь) имеет коварна-
Р«
цио'нную матрицу I Pla I P23 L Доказать, что
Рхз — Pi2P23 | < /A — pja) A - p|3).
3.99. а) Показать, что если распределение случайного
вектора (Si, ?2), совпадает с распределением вектора
70
(~U -tt) и МЙ + ААЙ<оо, то
ь ti)-2MFimwc(O,
б) Пусть (li, tji) и (?2, лг)'— независимые одинаково
распределенные векторы, М(?? 4- w < °°- Доказать, что
3.100. Случайные векторы I =* Aи ..., |п)е Яп и g*^
= (?*,...., Sn) e i?n независимы, М| *- (w1( ..,, тп) = т,.
Mg* = (m*t ,. ,f то*) = m*, матрицы ковариаций | и |*
равны <T=|cjij|! и о* — |ау| соответственно.
Найти: а) математическое ожидание и дисперсию слу-
случайной величины ? = ?i + ... + ?„; б) математическое
ожидание и дисперсию случайной величины т] — (|, а) =
= aili + ... + ап1л, где а=ф|, ..., ая) — данный неслу-
неслучайный вектор; в) математические ожидания и ковариа-
ковариационные матрицы векторов | + ?*, ? — ?*¦ а\ + fe|* (at
Ь — постоянные).
3.101". Пусть [х] обозначает наибольшее целое число,
не превосходящее х (целую часть #), а {х)«х — [х] —
дробную часть х. Доказать, что если случайная величина
? такова, что распределение {?} равномерное на отрезке
[0, 1], то
М ?] - MS - 1/2.
3.102е. Случайные величины |i, ?2, ... независимы и
. — 0> — 1/2, «-1,2, ...
Най?й математическое ожидание и дисперсию случайной
величины 5П = ?1 4-... + ?„,
3.103°. Случайные величины ei, 62, ... независимы и
одинаково распределены:
Р{е, = 0) - Р(е, - 1> == 1/2/ t - 1, 2, ...,
а б; «= е( — е«+2, ^ — 1, 2, ...
а) Показать, что случайные величины 6i, 62, ... рас-
распределены так же, как случайные величины |i, I2, ... в
задаче 3.102, и что при любом $=¦!, 2, ... случайные ве-
величины 6,, б*+1 независимы, если / > 0 — целое, / Ф 2.
б) Найти математическое Ьжидапие и дисперсию слу-
случайной величины Rn « 61 + ... -Ь б„, м > 2.
80
3.104°. Случайные величины ?ь |г* •. ¦ независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке 10, 1]. Най-
Найти математическое ожидание случайной величины
3.105е. Найти дисперсию случайной величины т)„, вве-
введенной в задаче 3.104. Сравнить ее с nDlfca —Sil *=
-D(lb76il + l|4-5$l + ... + lb»*i-il).
3.106°. Случайные величины |i, ..., |„, r|i, ..., г\п не-
независимы. Положим
in = li + ... + En, С — 6iiu + ... + Entn.
Найти МЬ,, М& DJn, D& cov(Sn, ?), если
Mlfc = a, D|* = а2, Р{лА = 1> - р,
Plrj, = 0) « 9 = 1 - р (к - 1, 2 п).
3.107°. В эк-спедиции, рассчитанной на п дней, еже-
ежедневно от запаса продуктов нужно отделять соответст-
соответствующую часть: в 1-й день—1/ге-ю часть, во 2-й день —
1/(/г—1)-ю часть от остатка и т. д. В действительности
нужная часть продуктов отделяется с ошибкой. Пусть
r\k (к =^ 1, 2, ..., п— 1)— часть от остатка продуктов, ко-
которая отделяется в к-й депь. Предполагается, что величи-
величины rift независимы. Мги = ah — : ..Найти математи-
ческое ожидание случайной величины ?, равной части
продуктов, оставшейся к последнему дню:
3.108°. Случайные величины 5ь ?2i ••¦ независимы и
имеют одно и то же математическое ожидание а и одну
и ту же дисперсию о2. Положим %,г — !<~1j« Найти ма-
математическое ожидание и дисперсию случайных величин
?п} = ТI,2 + Т1ьз + 111,4 + - • • +
?п4) = Т1,,2 + 112,3 + Лз.4 + . . . + T)n-l,n + Лп.1*
3.109°. Случайные величины ^i, |2» ¦. • независимы и
имеют нулевое математическое ожидание и дисперсию
6 А. М. Зубков и др, 81
а2. Найти математические ожидания и дисперсии случай-
случайных величин $,iJ, ?(n\ ?,{п\ ?(„4), определенных в задаче
3.108, если Лм-ЬЬ-
3.110°. Решить задачу 3.109 в случае, когда |i, |г, ...
независимы и имеют равномерное распределение на от-
отрезке [0, i].
3.111°. Решить задачу 3.109 в случае, когда |ь |г, ...
независимы и имеют математическое ожидание а и дис-
дисперсию о2.
3.112. Случайные величины |i, |2, . • • независимы
М?( = 0, D|( = o2<o°, i=l,2, ... Найти математическое
ожидание и дисперсию случайных величин
где Vi, V2, ...— независимые и не зависящие от |ь |г, ...
случайные величины, имеющие равномерное распределе-
распределение на множестве A, 2, ..., к).
3.113°. Обозначим через 0Г число циклов длины г в
подстановке, случайно выбранной из множества всех п\
подстановок степени п. Найти: a) M8i, DOi; б) МЭг;
в) М8Г (г>1).
3.114°. В урне содержится М\ шаров с номером 1,
Л/2 шаров с номером 2, ...-, МК шаров с номером /V. По
схеме случайного выбора без возвращения выбирается п
шаров. Найти математическое ожидание числа непоявив-
шихся номеров.
3.115°. Из урны, содержащей М белых и N — М чер-
черных шаров, по схеме выбора без возвращения извлекает-
извлекается выборка объема п. Число белых шаров | в выборке
имеет гипергеометрическое распределение: Р{? « гп} «=
-%?. Найти М? и Dg.
3.116°. В N ячейках случайно размещаются п частиц.
Каждая частица независимо от остальных с вероятностью
1//V может попасть в любую фиксированную ячейку.
Обозначим через \io(n, N) число пустых нчеек. Найти
Мцо(", #), О|ло(д, N) и асимптотические формулы для
них при п, N -*¦ оо, n/N -»- а ^ @, °°).
3.117°. Пусть выполнены условия задачи 3.116 и
\1г(щ iV) —число ячеек, в которые попало ровно г частиц.
При г = 1, 2, ... найти Мц,г(п, N) и асимптотические фор-
формулы для М^г(/г, iV) при г —const, /г, iV -> °°, n/N -> а^
)
82
ЗЛ180. В группе учится 25 студентов. Предполагая,
что дни рождения студентов независимы и равномерно
распределены по 12 месяцам года, найти математическое
ожидание числа \ir тех месяцев, иа которые приходится
г дней рождения, дла всех таких г, что M[ir>0,01.
3.119. По N ячейкам случайно размещаются п нераз-
неразличимых частиц (см. задачу 1.52). Все размещения пред-
предполагаются равновероятными. Обозначим через \ir число
ячеек, содержащих ровно г частиц. Найти Мц,г и асимп-
асимптотические формулы для MjAr при n, iV-> °°, n/N -*¦ ае
fe.@f °°). Сравнить с результатами задач 3.116 и 3.117.
3.120°. Пусть ?„, * — число появлений г-го исхода в п
независимых испытаниях с /V несовместными исходами и
вероятностью pi появления /-го исхода в s-м испытании
(/«1, ..., N; 5 = 1, ..., п; pi + ... + р* = 1). Найти:
а) М6„,,; б) D|n,<; в) cov (?»,,, \nJ) (i?*j).
3.121. Сопоставим описанной в задаче 3.120 последо-
последовательности п независимых испытаний процесс размеще-
размещения п частиц по N ячейкам, интерпретируя появление
7*-го исхода в к-ш испытании как попадание &-й частицы
в /-ю ячейку. Обозначим через ц,г = ц.г(«; ри • • •» Рх) чис-
число ячеек, в которых после размещения" п частиц оказа-
оказалось ровно по т = 0, 1, ... частиц. Найти: а) Мц,о; б)
в) min M(
3.122 . В N ячейках последовательно размещают ча-
частицы. Каждая частица независимо от остальных попа-
попадает в любую фиксироваппую ячейку с вероятностью 1/N.
Обозначим через vA минимальный номер частицы, после
размещения которой число занятых (т. е, не пустых)
ячеек станет равным к. Найти MvA, DvA и асимптотиче-
асимптотическую формулу для Mvff при N -*¦ °°.
3.123. По маршруту ходит N автобусов без кондукто-
кондуктора. В каждом автобусе имеется касса, в которой перед
выходом в рейс было г билетов. Всего эти автобусы пере-
перевезли п пассажиров. Найти математическое ожидание
числа | пассажиров, которым не досталось билетов, пред-
предполагая, что каждый пассажир независимо от остальных
может сесть в любой из автобусов с одной и той же ве-
вероятностью i/N.
3.124% Из 30 чисел A, 2, ..., 29, 30) по схеме равно-
вероитного выбора без возвращения отбирается 10 чисел.
Найти математическое ожидание суммы выбранных чисел;
3.125°. В схеме Бериулли р— вероятность исхода 1
и q = 1 — р — вероятность исхода 0. Будем считать, что
6* 83
при г-м испытании (?>2J появилась цепочка 00, если
при (i— 1)-м и при i-ш испытаниях исходами были нули.
Найти формулы для математического ожидания и диспер-
дисперсии числа Цоо появлений цепочек 00 в п испытаниях
(п-*-ооу Сравнить их с формулами для математического
ожидания и дисперсии числа \С появлений исхода 0 в
п — 1 независимых испытаний Бернулли, когда вероят-
вероятность исхода 0 равна д2,
3.126°. В схеме Бернулли задачи 3.125 найти форму-
формулы для математического ожидания и дисперсии числа |хш
появлений цепочки 111. (Цепочка 11,1 появляется при г-м
испытании, если исходами B—2)-го, (i — 1)-го и 2-го ис-
испытаний были единицы.) Сравнить их с формулами для
математического ожидания и дисперсии числа щ. появ-
появлений исхода 1 в п — 2 независимых испытаниях схемы
Бернулли, когда вероятность исхода 1 равна р3.
3.127е. Пусть проведено п испытаний по той же схеме
Бернулли, что в задачах 3.125 и 3.126. Назовем серией
единиц цепочку исходов последовательных испытаний
вида 011... 110 (при этом считается, что исходами до-
дополнительных испытаний с номерами 0 и п +1 были ну-
нули). Пусть т^п — число серий единиц. Найти: а) Р(т|»вО};
б) Р(ть«1};в) Мт^; г) lim n-^DTfo.
3.128. На бесконечный лист клетчатой бумаги (сто-
(сторона клеточки равна 1) случайно бросается круг единич-
единичного радиуса. Считая, что центр круга равномерно рас-
распределен на том единичном квадрате, на который он по-
попал, найти математическое ожидание числа \ точек с
целочисленными координатами (я, у), покрытых этим
кругом.
3.129*. Каждую целочисленную точку числовой оси
независимо от остальных назовем белой с вероятностью р
и черной с вероятностью q = 1 — р. Пусть S — множество
всех таких целочисленных точек #, что расстояние от х
до ближайшей черной точки (включая #, если точка х
черная) не меньше расстояния от х до начала коорди-
координат. Найти математическое ожидание числа ISI элемен-
элементов множества S.
3.130*. Точки С и ..., Сп независимы и имеют равно-
равномерное распределение в круге К с центром О и радиу-
радиусом 1. Пусть случайное множество Л состоит из тех и
только тех точек круга, которые находятся ближе к цент-
центру О, чем к границе круга и к любой из точек Си •.•» СЛ.
Найти математическое ожидание площади \ множества А.
84
3.131. На плоскость независимо брошено N кругов ра-
радиуса rN так, что центры этих кругов равномерно распре-
распределены в круге радиуса. 1. Обозначим через \im площадь
множества точек плоскости, покрытых ровно т кругами.
Найти
Ми
lim ——, если Nr%—>- К < оо.
3.132. Случайная величина | принимает только це-
целые неотрицательные значения. Доказать, что
3.133. Случайная величина | принимает только це-
целые неотрицательные значения. Доказать, что для лю-
любого целого к > 2
М? (I - 1) ... (? - к + 1) - к 2 ntft-np {I > п}.
П=1
3.134. Пусть Ль 4г, ...— совокупность событий, %i —
индикатор события At (i= I, 2, ...), т. е.
11, если событие Лг происходит,
О в противном случае,
и | == Xi + Х2 +• • •— число одновременно происходящих
¦событий из А\, А2, ... Доказать, что
3.135*. Неотрицательная случайная величина | имеет
функцию распределения
F(x)
Доказать, что
3.136. Случайная величина | имеет функцию распре-
распределения F(x)= ?{\ < х). Доказать, что если М||| < »(
то
со О
A - F (х)) dx- \ F (x) dx.
. —°°
85
3.137. Неотрицательная случайная величипа | имеет
функцию распределения F(х)= Р{? < х). Доказать, что
для любого действительного а Ф О
М|а = | а
3.138. Случайная величина \ имеет фупкцию распре
деления F(x)=s Р(| <#}. Показать, что если
то для любой интегрируемой функции h (x)
При решении задач 3,139—3.143 можно использовать
следующее простое замечание.
Если случайные величины |ь ..., |„ независимы и
одинаково распределены, а число к < п, то наборы:
5ix, ?гй, * * *' ^fcI К <i < fe < ... < ц < », одинаково
распределены и для любой измеримой функции /(жь •••
..., xh) случайные величины r\ii,i.i,ih я / (Si^ • ¦ •» lik)i
где Ki|, ..., ik<n, ir?=i, {r?=s)y тоже одинаково рас-
распределены.
3.139. Пусть вероятностное распределение Р на пло*
скости R2 таково, что если точки Хи -^2, -^зs R2
висимы и имеют распределение Р, то
?{X\t X<l, Хз лежат на одной прямой) =0.
Найти математическое ожидание угла
3.140*. Случайные точки Ль Лг, Лз, А± независимы
и имеют равномерное распределение в выпуклой плоской
фигуре С с /?2, площадь которой равна 1» Доказать, что
вероятность того, что выпуклая оболочка точек Ль -^2*
Лз, Л4 есть треугольник, в 4 раза больше математиче-<
ского ожидания площади треугольника Л1Л2Л3.
3.141*. Пусть вероятностное распределение Р на пло-»
скости R2 таково, что если точки Xi, X%, Хзе R2 неза-^
висимы и имеют распределение Р, то
Р(Хь Х%, Хг лежат на одной прямой} =0.
Показать, что если точки Хь Ха, Хз^Л2 независимы Ъ
имеют распределение Р, то
Ръ = Р(один из углов ЛХ1Х2Х3 не меньше 120°}
86
3.142*. Пусть вероятностное распределение Р на пло-
плоскости такое же, как в задаче 3.141. Показать, что если
точки Х\, Хг, Х$, Х4 е R2 независимы и имеют распреде-
распределение Р, то
Р4 = P {Xij X2, Х3, Х4 образуют
выпуклый четырехугольник) 5s 1/5.
3.143. Независимые случайные величины ?i» |г, •. -, In
положительны и имеют одинаковое невырожденное рас-
распределение. Обозначим r\k — €~~г—* л. % • Найти: а) ма-
тематическое ожидание rjfe; б) коэффициент корреляции
r\k и ц,; в) коэффициент корреляции rji +. .. + r\k и
Ц\ +. ..+ r\t.
3.144. Из урны, содержащей М белых и N — М чер-
черных шаров, по схеме случайного выбора без возвраще-
возвращения вынимаются все шары. Обозначим х\ число шаров,
извлеченных до появления 1-го белого шара (включая
этот шар),' т< — число шаров, извлеченных после (? — 1)-го,
белого до появления г-го белого включительно, %м+\ —
число шаров, извлеченных после М~то белого шара. Най-
Найти Мт*.
3.145. Обозначим через S(A\4 ..., Ak) площадь выпук-
выпуклой оболочки точек А\, ..., Ak ^ R2. Установить тожде-
тождество
2S{AUA2, ^3,^4) =
4 Ь Лз, Л4) +
и вывести из него, что для независимых одинаково рас-
распределенных случайных величин |ь |г, 1з, |4 е й2
3.146. Случайные величины g, t} (возможно, зависи-
зависимые) обладают конечными дисперсиями: Dg = о?, Drj =
= о|. Указать пределы, в которых может изменяться
D(| + n).
3.147. Пусть | =(!i, ..., |*)е /?" — векторная случай-
случайная величина. Доказать, что если М||<[ < °°, i = 1, ..., к,
то
MI6I,
87
где | ^ i = Y х\ + ... + х\ при
: 3.148. Пусть 5 ~ I + Щ — случайная величина, при-
принимающая комплексные значения. Доказать, что если
М||| <«>, M!f)l < », то |Mtl < Mltl.
3.149. Показать, что если | в ц — независимые слу-
случайные векторы в #d, а (х, у)= х,у, + ...4- xdyd — ска-
скалярное произведение векторов х=(жь ..., xd) и у =
(
3.150. Пусть |i, ^2, ..., |п — случайные величины с
нулевыми математическими ожиданиями и единичными
дисперсиями. Доказать, что если все эти величины оди-
одинаково коррелированы, т. е. р(|*, Ы—С при любых i,
i^ii nht*j, то C^
3.151. Доказать, что если Mill* < °°, то
3.152. Показать, что если | — действительная случай-
случайная величина с конечным математическим ожиданием и
f(x)— функция, выпуклая вниз, то
а если f(x) выпукла вверх, то
3.153. Показать, что для любых случайных величин
1ь 1г, ..., 1а с конечными r-ми (г^1) моментами спра-
справедливо соотношение
Mil,+ ...+U'<fcr-!'(Ml6ilr ¦+... +MlEJr)'-
3.154. Доказать, что при 1<г^2 справедливо не-
неравенство
|х + г/|'+ \х-у\*<2{\х\*+ \у\г), -оо<д:, у < оо,
и с его помощью показать, что если случайные величи-
величины | и rj независимы и распределение t) симметрично
(т. е. распределения rj и —rj совпадают), то при любом
г, К г < 2,
3.155. Показать, что если случайные величины |i, ...
независимы, имеют симметричные распределения
< °°t ? — 1, ..., w, для некоторого г^[1, 2], то
М1|, + ... + |nlr < Mill lr +-... + Ml|J\
и М| У'
3.156*, Показать, что если случайные величины % и
^независимы, Мт| ¦= 0, и М|||г < <», М|т}|*<°° для не-
некоторого действительного г > 1, то
3.157. Используя задачи 3.153—3.156, доказать, что
если gi, ..., |п — независимые случайные величины,
М|* = 0, Ml6(lf<00, i — 1, ,.., п, для некоторого г, 1 <
¦?3г< 2, то
3.158, Случайный вектор E~'(Ei» ..., %\) принимает
значения в R\ и существует такой набор чисел
(обо, «ь ...,«*)*(О, О, .... 0)',
что P(c6i!i 4- ... + Gtfclft + обо e 0} e 1. Доказать, что если все
элементы матрицы ковариаций В = Но^Н компонент век-
вектора | конечны, то:
а) det J5 — 0;
б) (ctlt ..., ak) В _ (В (аи t.., аА)Т = 0Л где * - знак
транспонирования.
3.159, Случайный вектор ?=(?ь ..., |л) принимает
значения в Rh н имеет математическое ожидание т^ Rh
и матрицу новариаций В «¦ Н&«11. Доказать, что:
а) матрица В неотрицательно определена, т. е.
h
2 hjuiuj =* (а, Ва)^0 для любого ае Rh;
б)* если ранг матрицы В равен г, то существует
г-мерная гиперплоскость LT c= i?ft, для которой Р{| в
^Z/r} = 1, и P(g ^ /,,„!> < 1 для любой (г— 1)-мерной
гиперплоскости LT-\ с R*.
3.160. Случайные величины |i, |г, * *.» |п независимы
в равномерно распределены в отрезке [0, 1]. Найти
P(|i+ !» + ..- +Е-^х) при 0<ж^1.
3.161. Случайные величины Ji» Ea» ••¦ независимы и
равномерно распределены в отрезке [0, 1]. Определим
случайную величину v равной тому значению к, при ко-
котором впервые сумма Ei + I2 + ..'. + Eh превзойдет 1.
Найти Mv.
3.162. Случайные величины |ь ..., |п независимы;
Dg4 = a?, i — i, ..., п. При каких сь ..., с„, удовлетво-
удовлетворяющих условиям cft > 0, Ci + ...+¦ ся = 1, случайная ве-
личина rjn = С\%\ ¦*-...+ сп\п имеет минимальную диспер-
дисперсию? Найти минимальную дисперсию.
3.163. По известному «правилу трех сигм» вероят-
вероятность отклонения случайной величины от своего матема-
математического ожидания более чем на три корпя из диспер-
дисперсии мала. Найти Р{|? — М|| < 3VD|}, если \ имеет:
а) нормальное распределение;
б) показательное распределение;
в) равномерное распределение на отрезке [—1, 1];
г) р{? = -1} = Р{! = 1} = 1/18, р{| = 0} = 8/9;
д) распределение Пуассона с М| «0,09.
3.164. Вычислить математическое ожидание и диспер-
дисперсию определителя Д = 1^«1к*. j<«» элементы которого
\а — независимые случайные величины с М|« <¦» 0 и
D|w - а2.
3.165. Пусть матрица Е = || ?*?, Ии-ь где gi, ,.., ?„ —
независимые случайные величины, имеющие симметрия*
ные распределения (т. е. распределение |( совпадает с
распределением —?,, i — 1, .. ., п). Показать, что если
MlgJ* < «ж, i = 1, ..., п, для целого к ^ 1, то MSA — диа-
диагональная матрица.
3.166. Неотрицательная случайная величина | имеет
монотонно убывающую выпуклую вниз плотность рас-
распределения f(x), /"(#)> 0. Что можпо сказать о знаках
величин М sin |, M cos 5?
3.167. Обозначим т|„ = тах{^„, п — \хп), где и,„ — чис-
число успехов в схеме Бернулли с п испытаниями и с ве-
вероятностью успеха р. Найти lim n~M
3.168. По последовательности ?ь |г, ... испытаний
Бернулли (рA, -1)-р>0, НЬ -0> = ?-1-р>0,
?и |г, ••• независимы) построим последовательность пар
Aь Ь), (|з, Ы* ... п вычеркнем из этой новой после-
последовательности все пары вида @, 0) и A, 1). Для к =
«1, 2, ... положим г)к равным первому члену к-я не-
вычеркнутой пары.
а) Показать, что Г|Ь rj2, ...— последовательность не-
независимых случайных величин, Р(г|а — 0} = P{rjfc — 1} в
= 1/2, А: = 1,2, ...
б) Найти математическое ожидание числа v членов
исходной последовательности, использованных для того,
ятобы определить значение rji,
3.169. По той же последовательности |i, ?2, .. •, что
в задаче 3.168, построим последовательность троек
Fь 6а, |з), (U 5s, S*)f ... я вычеркием из нее все трои-
9U
ки вида (О, О, 0) и {I,1 1, 1)\ Для к = 1, 2, ... положим
т|й равным 1, 2 или 3 в соответствии с номером того
члена /с-й невычеркнутой тройки, который отличается от
двух остальных.
а) Показать, что r\u tj2, ...— последовательность не-
независимых случайных величин, ?{r\k = г) ~ 1/3, i = 1, 2,
3, для к = 1, 2, ...
б) Найти математическое ожидание числа членов ис-
исходной последовательности, использованных для того,
чтобы определить значение х\и
3.170°. В партии п изделий, каждое ив которых не-
независимо от остальных с вероятностью р удовлетворяет
стандарту, а с вероятностью g^l-p — не удовлетво-
удовлетворяет ему. Изделия проходят проверку, описанную в за-
задаче 2.24. За каждое изделие, удовлетворяющее стандар-
стандарту и прошедшее проверку, предприятие получает а руб.;
за изделие, прошедшее проверку, но не удовлетворяющее
стандарту, уплачивается штраф Ь руб; за изделие, непро-
непрошедшее проверку (забракованное), уплачивается штраф
с руб. Найти математическое ожидание прибыли пред*
приятия, полученной за партию из п изделий.
3.171. Координата | случайной точки А на действи-
действительной прямой имеет непрерывную функцию распреде-
распределения. Найти на этой прямой такую точку #, для кото-
которой математическое ожидание длины отрезка АВ мини-
минимально.
3.172. Случайные величины ?, г\ имеют непрерывную
двумерную плотность распределения. Как выбрать точку
В =(#, у)^Я2, чтобы величина ф(х, у)= МЩ — х\ -h
+ Itj — у\) была минимальной?
3.173. Случайная величина \ имеет конечный второй
момент М|2. Найти minM(|— xJ и то значение х, при
X
котором этот минимум достигается.
3.174. Математическое ожидание нвадрата расстояния
случайной точки X е В2 от начала координат конечно.
Для какой точки А минимально М|ЛХ|2?
3.175*. Уровень весеннего паводка на реке является
случайной величиной | с непрерывной функцией распре-
распределения F(x)= P{| ^ х). Плотина рассчитана так, чтобы
выдерживать паводок уровня не выше z. Предполагая,
что уровни паводков в разные годы независимы и оди-
одинаково распределены, найти:
а) минимальное значение z, при котором математи-
математическое ожидание времени до разрушения плотины па-
паводком будет не меньше Т = 100 лет;
91
б) минимальное значение z, при котором вероятность
разрушения плотины паводком за Г- 100 лет будет не
больше а = 1/100.
3.176*. Наблюдения за уровнями весенних паводков
в течение Т лет дали значения ?ь ..., 1т. На реке по-
построена плотина, которая может выдержать паводок,
если только его уровень не превосходит ?г — max {|i, ...
.... |г). Пусть тг —min(f: %T+t > ?т) — время до разру-
разрушения плотины паводком. Предполагая, что случайные
величины 1ь Ы ••• независимы и имеют одну и ту же
непрерывную функцию распределения, найти формулы
для Мтг, Р{тг^и) и численные значения этих величин
при Т =100, м = 10. -
3.177. Случайные величины |ь %2% \ъ независимы я
имеют одно и то же распределение с конечным матема-
математическим ожиданием, |A) ^ |B> ^ lCj — их вариацион-
вариационный ряд (см. задачу 3.60).
а) Доказать, что
б) Доказать, что
М {min (|B) - |A), |C, - |B))} < 4 МI 5> ~ ^ I-
3.178. Будем говорить, что случайная величина | со-
сосредоточена на отрезке [л, 6], если Р{а< % ^ Ь) = 1 и при
любом е > 0
?{а ^ % < а + е> > 0 и Р{6 - е < % ^ 6} > 0.
Доказать, что дисперсия случайной величины, сосредото-
сосредоточенной на отрезке длины I, не превосходит 22/4.
3.179. Доказать, что если случайные величины х\и г\2
независимы и г\{ сосредоточена на отрезке длины liy i —
= 1, 2, то сумма tii-fii2 сосредоточена на отрезке длины
I - U + /2.
3.180. Говорят, что случайная величина % имеет без-
безгранично делимое распределение, если при любом нату-
натуральном п ее можно представить в виде суммы |i-f...
. .. + 6п независимых одинаково распределенных случай-
случайных величин. Доказать, что невырожденное безгранично
делимое распределение не может быть сосредоточено на
конечном отрезке.
3*1.81. Пусть события Ль Л2, ...» Л„ таковы, что
c^p, 1 = 1,...., тг, и событие Вт «* {происходит не
менее m иа событий А\, ..., Л,,}. Показать, что
3.182. Случайная величина %\ имеет функцию распре-
распределения F\{x)= P(|i < x}t а случайная величина §2 —
функцию распределения F2 (х). Доказать, что если
F\\x)^ Fz(x) при всех я^(—°°, °°), то M?i ^ М|г«
3.183. Случайные величины | и Л заданы на одном
вероятностном пространстве. Описать множество возмож-
возможных значений Р{| < rj} в следующих случаях:
а) М| - 1, Mrj - 10;'
б) 5 я Л одинаково распределены;
в) | распределена равномерно на [0, 1], a v\ — равно-
равномерно на [0, а], аФ 1.
3.184. Случайные величины % и г\ имеют равномерное
распределение на отрезке [0, 1]. Доказать, что при любом
характере зависимости между | и г\
3.185. Случайные величины % и ц независимы и име-
ют равномерное распределение на отрезке [0, 1], а слу-
случайная величина ? удовлетворяет условию
Ч> = 1/2.
Указать совместные распределения |, ц, ?, при которых
достигаются экстремальные значения М?, и найти мак-
максимальное и минимальное возможные значения М?.
3.186. Случайная величина % имеет непрерывную
функцию распределения F (х), случайная величина %
принимает только значения 0 и 1: Р {% = i) = а, Р (х =*
»¦ 0} = 1 — а. Указать совместные распределения | и х»
при которых достигаются экстремальные значения M|Xi
и найти эти экстремальные значения.
3.187, Случайные величины | и г\ независимы и име-
имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1], а слу-
случайная величина ? удовлетворяет условию
%} - р < 1/2, Р{? = ц) - 1 - р.
Указать совместные распределения |, tj, ?, при которых
достигаются экстремальные значения М?, и найти эти
экстремальные значения.
3.188. а) Векторы ^^(бь Ъ) и ^ —(tji, Л2) незави-
независимы и cov(li, §2)^0, cov(tji, rj2)^0. Могут ли компо-
„93
нвнты Ei*hm и |г + Т|2 вектора | + ц быть некоррелиро-
некоррелированными?
б) Векторы |—(|i, 1г) и 1] = A]ь 1J) независимы и
имеют зависимые компоненты:
< хи 6а < х2)
< хи г|2 < х7)
Могут ли быть независимыми компоненты |i H- "Oi и %2 "К
,+ ti2 вектора g + tj?
§ 3. Условные распределения
3.189°. Случайные величины 5 и Л независимы;
q p, р,
Найти:
a) P{|-rj}; б) Р{5>л}; в)
г) ?{1 = к\1>ц); д) P{| =
е) р{|«Л11-т)>; ж) Р{6
з) M{6l| + tj«n, l>2.
3.190°. Найти распределение целочисленной неотри
цательной случайной величины |, если:
а) P{0<g<oo} = it Р{| = /с + Щ>А:}=р, Л«
= о,1,...;
б) р{|>0} = 1, Р{| = /с + 115^{^ й+1}}=-с<1/2
*-0, 1, ...;
г>0, Л-0,1, ...
3.191а. Случайные величины |, rj независимы и оди-
одинаково распределены. Найти условную плотность
Ръ\ъ+ъ=г(х) распределения § при условии g + rj=2 в сле-
следующих случаях: а) % и rj имеют показательное распре-
распределение с плотностью р(х)= Яе~Хх, х > 0; б) 5 и Л Рав-
нОмерно распределены в [0, 1]; в) | и ц имеют распре-
распределение с плотностью Х2хе~**, х > 0.
3.192°. Найти условную дисперсию D(|l| + 11 =2) в
случаях а), б), в), определенных в предыдущей задаче.
3.193°. Случайные величины ?, ii независимы и оди-
одинаково распределены. Найти M(|l| + ii — 2). Разобрать
отдельно случаи, когда \ имеет дискретное распределе-
распределение или положительную плотность.
3.194°. Плотность совместного распределения величин
|, ц определяется равенствами: р\л{и, v\*- 1 при (и, и)^
94
v)*= О ПРИ (и> v)& &> где G
, О<1><1 —2~и\' ^айти плотность ртц^—в(х) услов-
условного распределения г\ при условии g « z.
3.195. Пусть ?i» |г, ..., In — результаты п последова-
последовательных испытаний Бернулли, Р{|( — 1} = р, Р{|{ — 0} =
:= д = 1 — р. Доказать, что для любого /с @ ^ & ^ п) ус-
условное распределение набора | = (|i, ,.., %п) при условии
\\ + ... +¦ |n — & является равномерным на множестве
всех С„ наборов, состоящих из к единиц и п — к нулей.
3.196. Случайная величина Х\ имеет биномиальное
распределение с параметрами (п, р), случайная величин
на Х2 при условии Xi имеет биномиальное распределе-
распределение с параметрами (Х[, р), Хз — при условии Хг имеет
биномиальное распределение с параметрами (Хг, р), ...
..., Хк при условии Хк-\ имеет биномиальное распределе-
распределение с параметрами (Xft_i, p). Доказать, что безусловным
распределением Хк является биномиальное распределе-
распределение с параметрами (/г, рк).
3.197. Случайные величины %\, |г, ..., In независимы
и распределены по закону Пуассона с параметрами Xi,
Я2, .-, X». Найти: а) ?{%{ +_... + |к - rolli + ... + %« ==
-и>; б) M{|i + ...+ EJ|i + ... + lw = i»}.
3.198. Из урны, содержащей М белых и N — М чер-
черных шаров, сначала извлекается без возвращения выбор-
выборка объема п, а затем из этой выборки извлекается без
возвращения выборка объема тго < п. Найти закон рас-
распределения числа % белых шаров во второй выборке. За-
Зависит ли этот закон от /г?
3.199. Случайные величины 5i» 5г» 1з независимы и
распределены нормально с одинаковыми параметрами
6 +? ?.
а «= 0, 0=1; положим rj = * 2 ? ¦ Найти распределе-
К1 + М
ние г).
3.200. На отрезок [0, а] брошено три точки, их коор-
координаты §ь |г, 5з независимы и равномерно распределены
на отрезке [0, а]. Найти двумерную функцию распреде-
распределения |2, |з при условии, что %i = z < min (|г, 5зЬ 0 <
<г<а.
3.201*. Пусть.6i-(In, Ь), •-., 6.-F»i, Ы- неза-
независимые случайные точки, имеющие равномерное рас-
распределение в квадрате 0 < х\, х% < 1. Назовем точку |< =
~E',ii б*.*! граничной, если для любого / = 1,...., га вы-
95
полняется хотя бы одно из условий
и обозначим через кл число граничных точек. Найти Мх«.
3.202. Пусть |i, l2T ...— последовательность незави-
независимых одинаково распределенных случайных величин с
математическим ожиданием а > 0 и дисперсией о2 < °°»
случайная величина v не зависит от |[, 1г, ... а прини-
принимает целые положительные значения, Mv == bt a
Найти Мт и (при дополнительном условии Dv ¦* б2) Dt.
3.203. Случайные величины |, tj независимы. Дока-
Доказать, что при любом х
?{% > тах(л, х)} > РЦ > rj}P(l > х).
3.204. Случайные величины |, ц, Б независимы. До-
Доказать, что
Р{| > max(rj, С)> > РA > Л>РЦ > С>.
3.205. Случайные величины gi, |2, ... независимы и
имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1].
Пусть 6i =* 1, и если п > 2, то
f 1 при gn<min{i1, . ,.,in-i},
п ~~ \ 0 в противном случае.
Построим последовательность xft моментов появления ми-
минимальных значений |„ и последовательность их величин
г\к, т. е. положим то=:О, rjo — 1, ть =»min in: n > xft_[t
бп = 1>, r)k = t4, k=U 2, ...
а) Доказать, что при любых к > 1 и а; е [0, 1] услов-
условное распределение rift при условии ць-\=х является рав-
равномерным на [0, х].
б) Найти математическое ожидание и дисперсию слу-
случайной величины ?ь — —In r\k.
в) Найти условное распределение, математическое
ожидание и дисперсию случайной величины Д* = ть —
— Th-i при условии v\k-\ = х,
г) Найти МтА при к > 1.
д) Доказать, что случайные величины б[, 62, ... не-
независимы и Р {бп = 1} = ~, п =« 1, 2, ...
3.206. Пусть ?[, ^2» •••—независимые случайные ве-
величины, имеющие показательное распределение с пара-
параметром %: р{& ^ t) = 1 - е-м, и 5о = 0, 5i«?b 52 =
96 -
«= fci -Ь ^2, ... Пусть, далее, случайные величины %и
|г, • •.» |« независимы, имеют равномерное распределение
на отрезке [0, а], а>0, и 6<ь <5<2> < ... < 1<и) —• их ва-
вариационный ряд, т. е. перестановка gi, ..., gn в порядке
неубывания. Доказать, что условное совместное распре-
распределение («Si, S2, ..., Sn) при условии Sn^a< Sn+\ сов-
совпадает с совместным распределением (|A}, |<2), ..., l(»»i)»
3.207. Случайная величина | имеет нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
дисперсией о2. Показать, что при любых я >0, С > 0
3.208. В схеме Бернулли с вероятностью р исхода 1
и вероятностью q — 1 — р исхода 0 найти математиче-
математическое ожидание числа voo испытаний до первого появле-
появления цепочки яз двух нулей. В частности, вычислить
Mvoo при р — 1/2.
3.209. В схеме Бернулли предыдущей задачи найти
математическое ожидание числа vni испытаний до пер-
первого появления цепочки из трех единиц. В частности,
вычислить это математическое ожидание при р ~ 1/2.
3.210. В схеме Бернулли задачи 3.208 найти матема-
математическое ожидание числа voi испытаний до первого появ-
лонггя цепочки 01. В частности, вычислить это матема-
математическое ожидание при р — 1/2.
3.211. Точки А\, А% ..., An независимы и имеют рав-
равномерное распределение на окружности единичной дли-
длины. Найти вероятность того, что длина наименьшей ду-
дуги, содержащей все эти точки, не больше х ^ 1/2.
3.212. Точки А\, . .., Ап независимы и имеют равно-
равномерное распределение на окружности S с центром О.
Найти вероятность того, что О лежит внутри выпуклого
многоугольника с вершинами А\, . . ., Ап.
3.213. Точки Аи ..., Ап независимы и имеют равно-
равномерное распределение на окружности с центром О,
а случайная величина v равна наименьшему п, при ко-
котором выпуклый многоугольник с вершинами Ai, ..., Ап
содержит О. Найти Mv и Dv.
3.214. Точки Аи ,..,'Ап независимы и имеют равно-
равномерное распределение на окружности радиуса R. Найти
вероятность того, что выпуклый многоугольник с вер-
вершинами Аи ..., Ап имеет непустое пересечение с окруж-
окружностью радиуса г = /?/2, концентричной исходной окруж-
окружности.
7 а. М. Зубков и др. 97
3.215. Тонки Л\, ..., Ап \п^2) независимы и име-
имеют равномерное распределение на окружности радиуса
г. Пусть ЛA) — Ль ЛB), ЛC), ..., Л(п) — точки Ли ,.., Ап%
расположенные в том порядке, в котором они встреча-
встречаются при обходе окружности по часовой стрелке. Найти
закон распределения длины % дуги Л<пЛB) и значения
3.216. Пусть выполнены условия задачи 3.215 и |,-
длина дуги Л({1ЛA+|). Найти совместное распределение и
коэффициент корреляции ?ь %г.
3.217. Пусть выполнены условия задачи 3.216. Найти
закон совместного распределения |ь .. ., %ь при к ^ п.
3.218. Пусть выполнены условия задачи 3.216. По-
Показать, что совместное распределение ?if, li2, . ..,5iA с
1 < i\ < h < ... ik ^ ti совпадает с распределением
Еь - • ¦, E*.
3.219. Пусть выполнены условия задачи 3.216 и v —
число дуг Л@Л((+1> длины больше Д, 0 ^ Д ^ 2яг, Найти
Mv, Dv и асимптотические формулы для них при г =
= тг/2яХ, п -*- оо.
3.220. Пусть выполнены условия задачи 3.216. Най-
Найти закон распределения случайной величины
3.221. Пусть выполнены условия задачи 3.220. Найти
j и асимптотическую формулу для Ntf\n при п -*¦ <*>,
3.222. Точки Л, #, С независимы и имеют равномер-
равномерное распределение на окружности единичного радиуса.
Пусть S — площадь &АВС, р — его периметр, г —• ради-
радиус вписанного круга. Найти MS, Mp, Мл
3.223. Стороны прямоугольника ABCD параллельны
осям координат. Найти математическое ожидание пло-
площади а прямоугольника ABCD в следующих случаях:
а) координаты (<2i, пъ) точки Л фиксированы, 0<at,
«2^1, а точка С имеет равномерное распределение на
диагонали единичного квадрата, соединяющей его вер-
вершины @, 0) и A, 1);
б) точки Л и С независимы; точка Л равномерно рас-
распределена в единичном квадрате [0, 1] X [0, 1], а точка С
имеет то же распределение, что в п. а).
3.224*. Батарея из п орудий производит залп по целИ(
находящейся в точке ае(—оот оо). Если ?-е орудие на-
наведено на точку р*^(—°°, °°), то выпущенный ив него
снаряд попадает в точку pi + Ei"h?, где ^ — естественное
98
рассеяние для i-vo орудия, а ? — одинаковый для всех
орудий снос из-за ветра. Цель оказывается пораженной,
если хотя бы один снаряд попадает на отрезок [а — е,
а + в]. Пусть ?h ..., |п, ? — независимые случайные ве-
величины, %{ имеет равномерное распределение на отрезке
[—с, с], а ? — равномерное распределение на отрезке
[—dt d\, 0 < с < d. Найти и сравнить вероятности пора-
поражения цели (и их пределы при п -*¦ °о) в следующих
случаях:
а) все орудия точно наведены на цель (pi = ps = - -.
...«р„яа, с + е < d);
б) точки прицела выбираются случайно (fJi, ..., [Jn —
независимые случайные величины, имеющие равномер-
равномерное распределение на отрезке [а — Ь, а +¦ &], 6 > с -f- d +¦ е),
§ 4. Нормальное распределение
3.225°. Случайная величина | имеет нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
1. Какое из двух событий; {|||<0,7} или {\%\ >0,7) —
имеет большую вероятность?
3.226°. Случайная величина | имеет нормальное рас-
распределение с параметрами @, 1). Что больше:
Р{-0,5 < 1 < -0,1} или Р{1 "^ I ^ 2}?
3.227°, Случайная величина | имеет нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
а2. Найти М?А, к = 1, 2, ...
3.228. Случайная величина | имеет нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией
02. Показать, что при любом х>0
» -— f Я л Х*
3.229°. Случайная величина g распределена нормально
с параметрами (а, а2). Найти:
а) плотность распределения величины rji = |2 при
а = 0;
б) плотность распределения величины rj2 — ex при про-
произвольных а, о.
3.230°. Случайные величины %\ и \ъ независимы и име-
имеют нормальное распределение с параметрами @, о2). Най-
Найти функцию распределения случайной величины ц =
7* 99
3.231. Случайнее величины |i, ..., |„ независимы и
имеют нормальное распределение с математическим ожи-
ожиданием 0 и дисперсией 1, Распределение случайной вели-
величины Цп = li + ... + In называется ^-распределением
с п степенями свободы. Найти плотность распределен
ния v\n.
Какое из распределений, перечисленных в конце вве-
введения к гл. 3, при соответствующем выборе параметров
совпадает с распределением т)„?
3.232°. Случайная величина г\п имеет %2-распределе-
ние с п степенями свободы (см. задачу 3.231). Найти
j
3.233°. Найти АЛЕ, и D?, если In | имеет нормальное
распределение с параметрами (а, о2) (в этом случае го-
говорят, что | имеет логарифмически нормальное распре-
деление),
3.234°. Для случайной величины |, определенной в
задаче 3.233, найдите точку, в которой максимальна
плотность распределения | (эта точка называется модой
распределения). Найдите отношение математического
ожидания | к ее моде.
3.235°. Некоторая категория людей имеет средний вес
т кг и среднее квадратическое отклонение веса 3 кг.
Для случаев т ~ 60 и т = 10 определить вероятность
того, что вес случайно взятого человека отличается от
т не более чем на 5 кг; если; а) вес имеет нормальное
распределение; б) вес имеет логарифмически нормальное
распределение.
3.236°. Для случайных величин г\и г\2, определенных
в 3.229, найти Мт^, Мт?.
3.237°. Случайная величина | имеет нормальное рас-
распределение с нулевым математическим ожиданием я
единичной дисперсией. Найти М| cos g, АЛ ~-2, АЛ sin |.
1 + 6
3.238. Случайная величина | имеет нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
дисперсией 1. Найти М cos |, D cos %.
3.239. Случайная величина % имеет нормальное рас-»
пределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
дисперсией 1. Что больше: D sin % или D cos |?
3.240. Случайная величина % имеет нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперси-
дисперсией 1/2. Найти Mcos(?2), Mstn(?2).
100
3.241е. Случайные величины ?i, $2 независимы и нор-
нормально распределены с параметрами @, 1). Являются
ли независимыми величины r|t = gi + ?2, л,2 = ?1 — ?г?
3.242°. Случайная величина ? нормально распределе-
распределена с параметрами @, 1). Положим
[ g, если || К 1,:
u I— ?, если |s|> 1.
а) Найти закон распределения г|.
б) Имеет ли величина | -Ь ц нормальное распределе-
распределение?
3.243°. Случайные величины 5 и Л независимы и име-
имеют нормальное распределение с математическим ожида-
ожиданием 0 и дисперсией 1. Найти
3.244°. Случайные величины |ь Ь, Ъ независимы и
нормально распределены с параметрами A, 1), B, 5),
(О, 7) соответственно. Найти: a) P{2|i — ?2 < 0),
б) Р{-3<2|1-|2<5}| в) P{l<2gi-l2+|3<4).
3.245. Случайный вектор (?ц §г) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с D?i = D^2 — о2.
Найти распределение вектора (?i, J2), если
^i = |i cos ф + I2 sin ф, ^2 = —|i sin ф Ч-12 cos <p.
3.246. Случайный вектор (?ь Ъ) имеет сферически
симметричное нормальное распределение с D?i = DI2 — 1.
Доказать, что случайные величины ?i?2 и -n-(li — it)
одинаково распределены.
3.247°. Случайные величины |i и |г независимы и
имеют нормальное распределение с параметрами @, 1).
Найти совместное распределение случайных величин ?i =-
= а\[ + 6^2, $2 = a|i — ??2 при а, Ъ ?= 0.
3.248°. Случайный вектор (г|ь Лз) имеет нормальное
>аспределеыие с Мгц = Mri2 = 0 и матрицей ковариация
V 1
. Найти распределение вектора (citji, С2Л2) при
ci, c2 ^ 0.
3.249. Случайный вектор Ei, ^2) имеет нормальное
распределение с M|i — М^2 ™ 0 и матрицей ковариаций
°i V ||
. Случайные величины ^ и %2 независимы и име-
101
ют нормальное распределение, M?i = М?г ¦¦ 0, D?i =*
— D^2 = 1. Доказать, что случайные величины lt|2 я
Y (Si (ОхЩ + у) — ?а (^i^2 ~" V)) одинаково распределены.
3.250. Случайные величины |t и |г независимы и име-*
ют нормальное распределение с математическим ожида-
ожиданием 0 и дисперсией о2. Случайные величины i\t и х\2
определяются соотношением
где i = У — 1, а' /с > 0 — целое число. Найти совместное
распределение величин г){ и г|2-
3.251. Случайные величины It, 5a независимы й имеют
нормальное распределение с параметрами @, 1), Найти
математическое ожидание величины
3.252. Случайные величипы |, г\ независимы и нор-
нормально распределены с параметрами @, aj), @, о\) со-
соответственно. Вычислить при а = 1, 02 — 2 вероятность
попадания случайной точки A, Г|)^Л2 в следующие об-
области: а) прямоугольник \х\ < 1, \у\ < 2; б) прямоуголь-
прямоугольник 0 < д; < 2, |у| < 2; в) прямоугольник 0 ^ л; < 2,
О < у < 4; г) трапецию о; + у < О, UI < 1, у > —2; д) об-
лас1ъ —5 +-^^l, ограниченную эллипсом, вписанным
а Ъ
2 2
в прямоугольник \х\ < 1, | у| < 2; е) область —* Н s ^ 1Л
с 4с
ограниченную эллипсом, описанным около прямоугольни-
прямоугольника \х\ < 1, |у| < 2.
3.253. Мост через реку представляет собой прямо-
прямоугольник, координаты которого в декартовой системе ко-
координат удовлетворяют неравенствам: \х\ < 10, \у\ < 100.
При артиллерийском обстреле моста точка попадания
снаряда A, ti) в той же системе координат имеет дву-
двумерное нормальное распределение с независимыми коор-
координатами и со средними квадратическими отклонениями
о$ = 10, On = 40. «Точкой прицеливания* назовем (Ml,
Мт]). Определить вероятность попадания в мост при од-
одном выстреле, если точка прицеливания равна: а) @, 0);
б) A0,0); в) E,20).
3.254. Случайные величины |т г\ имеют сферически
симметричное нормальное распределение с D| = Dr| — 4.
102
Найти вероятность попадания точки (§, rj) в р
угольяик с вершинами @; 3), D; 0), A,8; 5,4),
E,8; 2,4).
3.255. Случайные величины |, т] имеют двумерное
нормальное сферически симметричное распределение с
М| = Мт| — 0, D| = Dtj — 1. Найти вероятность попада-
попадания случайной точки (?, ц) в;
а) треугольник с вершинами @; 0), A; 1), B; 0);
б) треугольник с вершинами @, 2), B7 0), B, 2);
в) треугольник с вершинами B, 0), A, 1), A, 2).
3.256. Случайная точка A, г|) имеет сферически сим-
симметричное нормальное распределение с DJ = Оц = 1.
Найти совместную плотность распределения ее полярпых
координат.
3.257. Случайная точка (§, ц) имеет сферически сим-
метричпое нормальное распределение с D? = Dr\ = 1. Най-
Найти вероятность попадания (|, т]):
а) в квадрат С = {(дг, у): \х\ < 3, \у\ < 3);
б) во вписанный в С круг;
в) в описанный около С круг.
3.258. Случайные величины ?, т] независимы и нор-
нормально распределены с М| = Mr] =0, Dg = Dr] — 4. Най-
Найти вероятность того, что случайная точка (|, т]) попа-
попадет в;
а) кольцо {(х, у): 2 < Ух2 + ^2 < 3};
б) область {(#, г/): 2 < min(lx|, \y\), тах(|д;1, \у\)^ 3J;
в) область {(я, г/): 2 < 1x1 + \у\ < 3).
3.259. Случайные точки А\ «(li, lit) и 42 = (?2, Лг) на
плоскости /?2 независимы и имеют сферически симметрич-
симметричное нормальное распределение с единичной матрицей ко-
вариаций. Найти функцию распределения длины отрезка
А\А2.
3.260*. Случайные точки Ax={\h rji), Лг=(|2, ЛзЬ
^з==(?з, Лз) на плоскости R2 независимы и имеют нор-
нормальное распределение с нулевым вектором математиче-
математических ожиданий и единичной матрицей ковариацяй. Найти
функцию распределения длины медианы А\М\ треуголь-
треугольника А\А2Ад.
3.261*. Доказать, что в условиях задачи 3.260 длина
сторопы А2Л3 и длина медианы А\М\ треугольника
А\А2/1 з —¦ независимые случайные величины.
3.262*. В условиях задачи 3.260 найти вероятность то-
того, что треугольник А\А2А% — тупоугольный.
3.263. Случайные точки ^i, A2, А$ независимы и имеют
равномерное распределение на окружности единичной
103
длины. Найти вероятность того, что треугольник
Л(Л2Л3 — тупоугольный.
3,264°. Случайный вектор 5 е (?i, ЫеЯ2 имеет дву-
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожидания, область А — угол с вершиной
в начале координат и раствором а. Доказать, что если
область А1 симметрична области А относительно начала
координат, то Р{| е А'} =* Р{| s A).
3.265. Случайный вектор 5 е (?u |2)е=Я2 имеет дву-
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором ма-
ма/oj 04
тематических ожиданий и матрицей ковариации
Найти Р{||,| >аЦ21}, а>0.
3=266. Случайный вектор | —(|i, ?з)еЛ2 имеет невы-
невырожденное двумерное нормальное распределение с нуле-
нулевым вектором математических ожиданий и матрицей ко-
ковариации || OijWfj^i, |oi2l2 < О\\О22. Найти
Poo = P(|i > 0, g2 > 0], pot - Pih > 0, Ь < 0},
Pto-^Plli < 0, %2 >0), рп — Pilt <0, 12<О).
3.267О Случайный вектор 5""Et. %%)^ R2 имеет дву-
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором
/а3 а
математических ожиданий и матрицей ковариации ( 3
\<х о
ее 1 < о2. Найти
3.268°^ Случайный вектор | e(Si, |2)еЛ2 имеет не-
невырожденное нормальное распределение с нулевым век-
вектором математических ожиданий и матрицей ковариации
Найти:
а) Р{|[ > а!2>, —°° < а < оо;
б) P{|t>a|2+ b)9* -» <а, & < ».
3,269. Случайный вектор (|t, |2) имеет нормальное
распределение с нулевым вектором средних в коварна-
hi \
ционной матрицей 1 9 К Показать, что функция пг(х)
\ я GV
"=« М{|{||2 ^а;} линейна, а $(#)= D{^il|2 *" #} постоянна.
3.270. Случайные величины |t, |2, 1з независимы и
имеют стандартное нормальное распределение, a ?(t, ^
^ 1B] < 6C> — их вариационный ряд (см., задачу 3.60).
104
а)* Найти распределение вектора (^2—.It, |з — SiT-
б) Найти плотность р(х\у х%) распределения вектора
AB) — 1A), |C) — |A))-
в) Найти распределение случайной величины ? —
( /(
Ь(И) ЬA),М VbC) b(L>/-
3.271. Случайные величины |(| ?2, |8 и g(t> < 1B) < loj
те же, что в задаче 3.270.
а) Найти распределение вектора Aг — 1ь 1з — 1г).
б) Найти плотность р(х\, хъ) распределения вектора
AB) — 1A)* 1C) ~~ 1B) )•
в) Найти распределение случайной величины ? —
¦=AB) - 1{1))/AC) — 1B))-
3.272. Случайные величины It, I2, ? независимы и
имеют стандартное нормальное распределение. Положим
I ?i если EiSa = 0,
1 | ? | sgn (S1S2)» если Siea ^ 0,
где sgn(a;)— л/1а;[ при х Ф 0.
а) Найти вектор математических ожиданий и матрицу
ковариаций вектора Aь Ь, 1з).
б) Найти распределение |з и совместные распределен
ния векторов (|[, ?з) и A2, 1з).
в) Найти плотность р\х^х^х^) распределения вектора
(li, I2, 1з)- Является ли оно нормальным?
3.273. Используя предыдущую задачу, построить при-
пример случайного вектора AЬ 1г, ..., In), распределение
которого не является нормальным, но любые п — 1 его
координат взаимно независимы и имеют нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием 0 и диспер-
дисперсией 1.
. 3.274°. Случайный вектор |—(lit ..., ?ь) имеет сфе-
сферически симметричное нормальное распределение с нуле-
нулевым вектором математических ожиданий и единичной ко-
ковариационной матрицей. Найти распределение вектора
V) = 1Л, где Л — действительная матрица с к строками
и т столбцами.
3.275. Случайная величина 1=Aь . • ¦, In), имеющая
нормальное распределение в Л" с нулевым математиче-
математическим ожиданием и невырожденной матрицей ковариаций
А = \\аф, не зависит от случайной действительной вели-
величины т), имеющей функцию распределения F(x), Mr|2 =
= 1. Найти математическое ожидание и матрицу ковариа-
ковариаций случайной величины т]1 =(rjli, ..., rfen).
3.276. Случайные величины li, |2, - •., !«, л незави-
независимы и имеют стандартное нормальное распределение.
105
Найти распределение вектора
i — «п + Л
где ai, аг, ..., ап — числа из отрезка [0, 1].
3.277. Случайные величины |t, 62, .. •> ?п независимы;
1( имеет нормальное распределение с параметрами @, о*^,
i = 1, 2, ..., п. Найти распределение вектора
3.278. Случайные величины |[, |г, ... независимы и
имеют нормальное распределение с параметрами @, 1).
Найти минимальное значение /с, при котором
3.279. Случайный вектор |=(|ь ..., |к) имеет fc-мер-
fc-мерное нормальное распределение с математическим ожида-
ожиданием a&Rh и ковариационной матрицей А. Что больше:
In IMli ...6*1» М In l|t... 6*1 или In Ml|,... |J?
3.280. Случайный вектор 1—Ft, 6s)s ^2 имеет дву-
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором
математических ожиданий и ковариационной матрицей
22
.Найти условное распределение 6i при уело-
3.281. Распределение случайного вектора ? = (§i, 1г)е
ей2 таково, что при любом х <= (— °°, оо) условное рас-
распределение |i при условии |г = х и условное распреде-
распределение %2 при условии |t — х нормальны. Является ли нор-
нормальным распределение вектора |?
Глава 4
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. ПРОИЗВОДЯЩИЕ
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В курсе математического анализа рассматриваются
различные виды сходимости последовательностей функ-
функций: равномерная сходимость, сходимость почти всюду,
сходимость в среднем квадратичном и т. п. По аналогии
с этим и в теории вероятностей рассматриваются раз-
106
личные виды сходимости последовательностей случайных
величин (как функций, заданных на пространстве эле-
элементарных событий), а также последовательностей
функций распределения.
Приведем определения тех видов сходимости последо-
последовательностей случайных величин, которые используются
в задачах этой главы. Пусть на вероятностном простран-
пространстве (О, $?, Р) заданы случайные величины ?пв|»(о))
(©ей, ге=1, 2, ...) и случайная величина | — |((о),
Последовательность gi, |г, ... сходится к случайной
величине | с вероятностью 1 (почти наверное), если
вй: lim ?„(©)« ?(©)}« 1.
Последовательность gi, |г, ... сходится к случайной
величине 1 по вероятности, если для любого е > О
Последовательность |i, |г, ... сходится к случайной
величине | в среднем квадратичном, если
Последовательность функций распределения Fn(j;)=s
^Plln^^J, n—1, 2, ..., слабо сходится к функции рас-
распределения F(x)=Pil<x}, если для любой точки х, где
F(#) непрерывна, выполняется соотношение
(в этом случае говорят также, что последовательность
случайных величин |i, |г, ... сходится к | гёо распреде-
распределению; при этом |, |i, la» ... могут быть заданы на раз-
различных вероятностных пространствах).
Все эти определения естественным образом распро-
распространяются и на случайные величины |t, I2» •.. и |,
принимающие векторные значения.
Понятие сходимости по вероятности чаще всего
используется, когда предельная случайная величина |
имеет вырожденное распределение (Р{? = а} = 1 для не-
некоторого числа а) и
107
где 5i, ?2, ••¦—случайные величины (не обязательно
зависимые или одинаково распределенные): если
limpflia-
для любого е>-0, D.1)
то говорят, что последовательность ?t, ?2/ • •. удовлетво-
удовлетворяет закону больших чисел. Из неравенства Чебышева
нетрудно вывести, что если случайные величины ?{,
Ег, • • • не корреларованы, М?» = a, D?n = а2 < °° (п =
— 1, 2, ...), то D.1) выполняется; однако закону боль-
больших чисел удовлетворяют и другие последовательности
случайных величин (см. задачи § 1).
Если вместо D.1) выполнено соотношение
D.2)
т. е. последовательность сходится к числу
ас вероятностью 1, то говорят, что последователь-
последовательность ?t, $2> ... удовлетворяет усиленному закону боль-
больших чисел. Соотношение D,2) выполняется, например,
если случайные величины ?ь ^2, ... не коррелирова-
ны, М?п = а, Dgn = o2<°° (n=l, 2, ...)» см. задачи
4.22-4.24.
Пример сходимости по распределению дает
Центральная предельная теорема. Если
v?i, ?2, •••—независимые одинаково распределенные слу-
случайные величины, М^п = й, О?,п = о2<<х> (п = 1, 2, ...)',
уо для любого х, —°° < х < °°,
Сходимость распределений центрированных и норми-
нормированных сумм случайных величин к стандартному нор-
нормальному распределению имеет место и при других
предположениях о случайных слагаемых (см. задачу
4.134 и другие задачи из § 5).
Другим важным примером сходимости по распреде-
распределению являются теоремы о сходимости к распределению
Пуассона (см. задачи 4.105 и 4.113),
108
Практическое значение предельных теорем состоит в
том, что они позволяют аппроксимировать распределения
допредельных случайных величин |„ (при достаточно
больших п) распределением предельной случайной вели-
величины |; это особенно полезно в тех случаях, когда ана-
аналитическая запись функции распределения | проще вы-
выражения для функции распределения |„. Следует иметь
в виду, однако, что вопрос о том, достаточно ли велико п
для того, чтобы обеспечить нужную точность приближе-
приближения, в каждом случае требует особого исследования; см.,
например, задачи 2.61, 2.62, а также 4.107, 4.123, 4.124.
Доказательства предельных теорем могут использо-
использовать как прямые вероятностные методы (изучение рас-
распределений допредельных случайных величин или их
моментов, см. задачи из § 2), так и аналитические мето-
методы, основанные на использовании свойств производящих
или характеристических функций распределений допре-
допредельных случайных величин (см. задачи из § 5).
Если случайная величина \ принимает только целые
неотрицательные значения, то производящей функцией
распределения \ называется функция комплексного пе-
переменного z
<pj (z) = MzE = 2 z*P {6 - Щ, |г|<1;
ft-0
производящую функцию моишо рассматривать и в слу-
случае, когда | принимает а отрицательные значения, если
область сходимости ряда в правой части последнего ра-
равенства отлична от окружности Ы =1.
Если случайная величина | принимает действитель-
действительные значения, то характеристической функцией распре-
распределения 1 называется функция действительного перемен-
переменного t
д {t) =» tAeiil, —оо < t < оо;
в частности, если распределение | абсолютно непрерыв-
непрерывно и имеет плотность р\{х), то
eitxpi (x) dx.
Перечислим важнейшие свойства производящих и ха-
характеристических функций.
1. Если Р{Ц|<оо} = 1, то функции Д(г)=Ме*'5 и
Ц>г (z) — Mz6 непрерывны и Д @) = <р6 A) = 1.
108
2. Если Ml|lft < °° для некоторого целого к ^ 1, то
dtk (=0 ' dzh
(по поводу обращения этих утверждений см. задачи
4.67, 4.95, 4.9G).
3. Если случайные величины gt, |г, ..., 1и пеаависи-
мы, то
(обратное утверждение неверно, см. задачу 4.157J.
4. Если производящие (или характеристические)
функции распределений случайных величии |i и |г сов-
совпадают, то совпадают и функции распределения ^ и |3.
5. (Теорема непрерывности.) Последователь-
Последовательность Fn(x) = P{ln*?x} (п = 1, 2, ...) функций распре-
распределения слабо сходится к функции распределения F{x)=**
= Р{1^я} тогда и только тогда, когда существует не-
непрерывная функция
/ (t) = lim /„ (<),
где /п(/) = Ме"Ч В атом случае f(t) = hAeitl, и сходимость
/п@"*/@ равномерна на каждом конечном интервале
значений t.
6. (Формулы обращения.) Если функция
f(t)= Me абсолютно интегрируема, то распределение
случайной величины | имеет ограниченную непрерывную
плотность р(х) и
00
Если х и х + & — точки непрерывности функции распре-
деления F(#) — P{| *5х), то
—оо
Производящие и характеристические функции вектор-
векторных случайных величин l^dt, «••> 1*)еЛ* определяют-
ПО
ся формулами
Их свойства аналогичны свойствам производящих и ха-
характеристических функций одномерных случайных вели-
величин. Например, если М | gx |Г1 . ,. | gft (k < оо для целых
0
5ft
Таблиды А и Б содержат формулы для проязводя-
щих и характеристических функций наиболее часто
встречающихся распределений.
Отметим, что приведенная в табл. Б формула для
плотности многомерного нормального распределения в
Rh имеет смысл лишь в случае, когда матрица ковариа-
ций В не вырождена (т. е. определитель В отличен от
0), поскольку распределения с вырожденными матри-
матрицами ковариаций не являются абсолютно непрерывными.
Однако формула для характеристической функции много-
многомерного нормального распределения справедлива нри
любой матрице ковариаций В.
Многомерные нормальные распределения. с вырож-
вырожденной матрицей ковариаций естественным образом появ-
появляются как предельные распределения в многомерном
варианте центральной предельной теоремы: если ?i,
?2, •••—независимые одинаково распределенные случай-
случайные векторы со значениями в /с-мерном евклидовом про-
пространстве Rk, с математическим ожиданием а^Вк и мат-
матрицей ковариаций В (не обязательно невырожденной),
то последовательность распределений случайных величин
при п -*- оо слабо сходится к многомерному нормальному
распределению в Rh с нулевым вектором математических
ожиданий и матрицей ковариаций В.
Ш
Т абл иц а А. Производящие функция
Название
распределения
Формула для Р{|—k)
Производящая
функция
Равиомерное
Геометрическ ое
Биномиальное
Пуассоновское
~, 4=1,2, ..., N
(i-p)P\ k~OT,l, ...
-С*/.* A-Д"-*,* =0,1,..., в
Л1 1
ТГе""' * = о, 4, ...
-—— z
1 — pz
(i + rt,_i))»
• ^-»
Таблица Б. Характеристические функции
Название
распределения
Равномерное
Равномерное
Показательное
Гамма-р аспредел ение
Н ормальное распре-
распределение *
Распределение Коши
Многомерное нор-
нормальное распределе-
распределение в Rk
Формула для плотности
1
i
ае , х ^ ю
Г (а) ' х **"
(x-af
оУЬг в
— оо < х < оо
1 k
я ft2 + х2>
— ОО < X < СО
е— (х—а, В~1(х—о))/г
Bд)^и "|/det 5
Характеристическая
функция
g ,""—
sin at
at
1
1 — it/a
1
A —/*)a
112
§ 1. Закон больших чисел.
Лемма Бореля — Кантеллн
4.1°. Пусть функция g(х), х > 0, неотрицательна и
монотонно возрастает. Показать, что для любой действи-
действительной случайной величины % справедливо неравенство
4.2°. Пусть случайная величина цп равна сумме оч-
очков, появившихся при п бросаниях симметричной играль-
игральной кости. Используя неравенство Чебышева, оценить
сверху
=-3,5 >в}, в>0.
п У
4.3°. Пусть |i, ?2, .,., |nfi — результаты га + 1 испы-
испытаний схемы Бернулли (Р{|(=1}=/?, Р{?* = 0) =* 1 — р)
и случайная величина цп равна числу таких ?, I ^ i < nt
что li — li+i — 1. Используя неравенство Чебышева, оце-
оценить сверху
^р — р9 >е], е>0.
4.4. Последовательности |i, |г, ... и тц, тJ, ».. обра-
образованы одинаково распределенными случайными вели-
величинами, независимыми внутри каждой последовательно-
последовательности (случайные величины |i и т|* могут не быть незави-
независимыми), М|,-— М 4j ~ a, D|(=Dt)j<oo, Выполняется ли
закон больших чисел для последовательности ?ь ^2, ...t
b2h-l — feft, ^2ft — "|hi 'c — ¦»¦) ¦'-', • • •
4,5°. Случайные величины |i, I2, ... независимы и
имеют стандартное нормальное распределение,
2
Удовлетворяют ли последовательности тц, tj3, т]5, • • • и
"Hi, "П2, Яз, ••• закопу больших чисел?
4,6°. Последовательность |i, |г, ... образована неза-
независимыми случайными величинами, имеющими нормаль-
нормальные распределения,
Mlft = 0, D|, = №, <7>0, а^О, /с = 1, 2, ...
Описать множество тех значений а, при которых после-
8 а. М. Зубков и др, 113
довательность |i, 1г, •.• удовлетворяет вакону больших
чисел.
4.7, Последовательность |i, |г, ... образована незави-
независимыми случайными величинами,
М|А - О, D?A = Ска, С > 0, а > О, ft « 1, 2, ..,
При каких значениях а последовательность |i, |г,
может удовлетворять закону больших чисел и при каких
значениях а может не удовлетворять ему?
4.8, Последовательность |i, ?2, ... состоит из незави-
независимых одинаково распределенных случайных величин,
М?ь = 0, Dlft = a2<°°, fe = l, 2, ... Удовлетворяют ли за-
закону больших чисел последовательности случайных ве-
величии
j 2, 1 . .?
независимы,
St?;. Пока-
fen — in + bn+l» Цп = 2j Sn+ftj
ft«=0
4.9. Случайные величины |i, |г,
a2 <
Пусть
зать, что последовательность ?п удовлетворяет закону
больших чисел: для каждого е > О
lim P
7l-»00
>B
0.
4.10. Показать, что утверждение предыдущей задачи
останется справедливым, если в ее формулировке заме-
заменить условие независимости |i, I2, ... условием их не-
некоррелированности:
М(^-й) (?,-«) = 0, 1^г</<оо.
4.11, Пусть функция f{x), 0<?<1, ограничена и ин-
интегрируема, а If, I2, ...— независимые случайные вели-
величины, равномерно распределенные на отрезке [0, 1].
а) Доказать, что при любом е>0
lim P
П-»О0
F„)
>Б
0.
б) Найти
lim P
>Й' ->a
114
4.12. Пусть ограниченная интегрируемая функция
f (*),. — оо <х< с», имеет период 1, а случайные величи-
величины 5 и Л независимы и равномерно распределены на
отрезке [О, 1]. Построим последовательность случайных
величин
Л=1, 2, ...
а) Доказать, что случайные величины ?i, ?2, . • • по-
попарно независимы и одинаково распределены. Найти
б) Показать, что для любого е > О
limP
dx
>е
в) Показать, что если
1
f{y)~lf{x)dx
), 1), то при любом п = 1, 2, ...
0.
е при всех
— а
п
4.13. Пусть случайный вектор 1{п) « (Йп), ,,., |1П))
имеет нормальное распределение в 7?" с нулевым векто-
вектором математических ожиданий и единичной матрицей
ковариаций, а Вг,в — множество всех таких точек х»
= (хи ..., x»)&R\ что
1.
Показать, что при любом е > О
lim
П~*ос
4.14*. Пусть случайный вектор |(л) тот же, что в пре-
предыдущей задаче, а Сг, * — множество всех таких точек
x={zit ..., дг„)еЛл, что
A-в)г«зЫ+...+ Ы^A + в)г1 е>0.
Показать, что при любом е > О
115
Сравнить с результатом задачи 4.13.
8*
4.15, Случайные величины ?i. I2, ... независимы, Оди-
Одинаково распределены, имеют математическое ожидание а
и для некоторого е, 0 < е < 1,
Показать, что для любого 6 > О
_
1
4.16. Лемма Бореля — Кантелли. Пусть A\t
А2, ...— события, заданные на "одном вероятностном про-
пространстве, и случайная величина v равна числу одновре^
менно происходящих событий. Показать, что:
00
а) если 2 р {Ап} < <»д то Р {v < 00} = lr
б) если события Ajt Аъ, ... попарно независимы и
2 Р{^п}-оо, то P{v = oo} = l.
П=1
4.17. Пусть А\ч Аъ, ...— события, заданные на одном
вероятностном пространстве, и случайная величина v
равна числу одновременно происходящий событий. По-
Показать, что если ?{Ап}> а>0, п = 1, 2, .,., то P{v ==
>= °о) > а.
4.18. Последовательность чисел сп удовлетворяет ус-
условиям 0 < с„ < 1, lim сп = 0. Всегда ли существует та-
П-*оо
кая последовательность событий А\, А^ ..., что Р{^4„) =
= сп и для числа v одновременно происходящих событий
справедливо соотношение P(v < °°} «=« 1?
4.19. Последовательность |i, I2, ... случайных вели-
величин и случайная величина ? удовлетворяют условию
00
п=1
Р {\1п — ? I > в} < оо для любого е > 0.
Показать, что Р /lim |n = ?\ = 1.
\ /
\п»оо /
4.20. Последовательность |i, I2, ... случайных вели
чин и случайная величина ? удовлетворяют условию
Показать, что Р /lim |n = J) = 1.
\п-»оо
116
4.21. Случайные величины ?i» |г, .... независимы и
имеют одно и то же показательное распределение с па-
параметром X:
Р{?п ^ х) = 1 - е-"*, х > 0, га - 1, 2, ...
Пусть е — произвольное число из интервала (О, 1/Х),
случайная величина ve равна числу одновременно про-
j~^>-r 4- bJ, а це — числу
одновременно происходящих событий
а) Показать, что P(ve < °°} = ?{\хв < °°} = 1 при лю-
любом ее (О, 1/А,).
б) Вывести из результата п. а), что последователь-
последовательность случайных величии Zn~j~, п —1, 2, ..., удов-
удовлетворяет условию
4.22. Случайные величины %\, ?г, • •. имеют матема-
математическое ояшдание а и дисперсию а2 < °° и не корреля-
рованы:
М (|f — а) (?,- — а) = 0 при любых i =? j.
Доказать, что
hm § == « = 1.
4.23. Случайные величины |i, |г, ... имеют математи-
математическое ожидание а и дисперсию а2 < °° и не коррелиро-
ваньг, а
)r\n = max | ?пз+1 + 5ft2+2 Н- ..» + 5й — (^ — ла) a L
n2<ft^(n+i)a
п = 1, 2,...
P
Доказать, что PJlim -J « 0| » 1.
4.24*. Усиленный закон больших чисел.
Доказать, что если случайные величины |i, |г, ... имеют
математическое ожидание at дисперсию а2 < °° и не кор-
релированы, то
fu6' + -+6"-al-l.
П J
It?
§ 2. Прямые методы доказательства
предельных теорем
В этом параграфе задачи 4.25—4.32 связаны с на-
нахождением предельных распределений с помощью ана*
лиза свойств допредельных распределений, задачи 4.33—
4.44 — с применениями закона больших чисел, в задачах
4.45—4.57 изучаются свойства различных видов сходи-*
мости последовательностей случайных величин.
4.25. Случайные величины §i, I2, ..., In независимы
и имеют одйо и то же геометрическое распределение с
параметром р, 0 < р < 1:
p{|i = A}=(l-p)/, fc-0, 1, 2, ...
а) Показать, что
Р fo + ... + In - к) = CJ+A-i A - рГр\ к = 0, 1, 2,- ..,
б) Найти
m-*oo
= o, 1, 2, ...
4.26 (см. задачу 1.53). Первый ряд кинотеатра состо-
состоит из N кресел. Зрители один за другим заполняют этот
ряд, причем каждый из них может с равной вероятностью
занять любое из кресел, свободных в момент его прихо-
прихода. Пусть Ti (N) — порядковый номер первого зрителя,
который сел в кресло, находящееся рядом с уже занятым
креслом, %2(N)—порядковый номер первого зрителя, ко-
который сел в кресло, симметричное относительно середи-
середины ряда одному из занятых кресел. Найти законы рас-
распределения ti(iV) и T2(iV) и предельные при iV -*¦ ©
пределения случайных величин ,_ , i — 1, lx т. е. функ-
(т- (N)
4.27°. Плотность р\{х) случайной величины g пепре-
рывпа и ограничена на отрезке [а, Ь] и равна 0 вне [а, Ь].
Положим х\п — (ra|}t где {х} — дробная часть числа х.
Найти
4.28. Показать, что утверждение предыдущей задачи
справедливо для случайной величины | с кусочно-непре-
кусочно-непрерывной плотностью.
118
4.29. Случайная величина 5 имеет непрерывную плот-
плотность распределения р(х). Найти предельное распреде-
распределение случайной величины tgrc| при я-*-<».
4.30 (см, задачи 4.28 и 4.29). Случайная величина |
имеет непрерывную плотность распределения р(х). Най-
Найти предельное распределение случайных величин %п =
и ^^(здесь г= /
4.31*. Случайная величина 1 имеет нормальное рас-
распределение с математическим ожиданием а и дисперсией
о2. Найти предельное (при х-*- <*>) распределение для
условного распределения случайной величины (| — х)х
при условии !># (ср. с задачей 3.228).
4.32. Пусть |i, |г, - ¦.— независимые одинаково рас-
распределенные случайные величины с функцией распреде-
распределения F(x)^ а хп — max {|i,...,|п}. Найти такие последо-
последовательности чисел ап и 6„, что последовательность апкп +
+ Ьп сходится по распределению при п -»- °о к невырож-
невырожденной случайной величине и, и найти функцию распре-
распределения х в случаях, когда:
а) /» = 0 (ж<1), ^(х) = 1-^ (а:>1, а>0),
б) ^(z)=max@, 1- Ыа}(Ж0, а>0), f(^)=l
[(^>0),
в) F(x)= тахЮ, 1 - е"х}.
4.33. Последовательности |i, |г, ,,. и T]i, tJ, ... слу-
случайных величин таковы, что
lim P {||n | ^ е} = 1 для любого е > 0^
й существует функция распределения F(x), для каждой
точки непрерывности которой выполняется соотношение
Доказать, что при любом характере зависимости меж-
между In и т\п для каждой точки непрерывности F{x) спра-
справедливы равенства:
а) Н{
б) Нт Р {Цп A + |п)< д:} = F (ж).
П-*00
4.34. Случайные величины ^, ?2, ... независимы,
р{^-1}-р, р{^-0} = 1-р, /-1,2,...
119
Положим Й« -, t« A - ?i+1?i+2 ... ?i+*K 4nW - &h> +_...
... + InJ. В случае когда 0 < р < 1^ lim /?fe<n> ^и. = 0?
найтя
lim
n^«>
4.35. Пусть |ь ?2, ... и in, t]2, ...— такие последова-
последовательности случайных величин, что для некоторых чисел
«, b для любого е > О
lim Р{| U - а|> е} - 0, lim Р{| г\п — Ь\> е} - О.
П~»-00 П-*ОО
Доказать, что при любом характере зависимости между
|« и г\п для любого е > 0:
a) HmP{|Sn — «l<e, |i]n —M <в} - 1;
б) если функция f(x, у) непрерывна в точке (а, Ь),
то для любого е > О
lim Р{ |/(?П| ть)-/(о, &I<е} = 1.
4.36. Пусть ?(i) « (if, If), I = 1, 2, ...,- независимые
одинаково распределенные векторы в Я2,
Доказать, что последовательность случайных величин
сходится по распределению к ai/a*, если либо а) 0%[г) <
<оо, D^i}<oo, либо б) Mjlfl^^oo, M|S(a°|1+e<
0
<С оо для некоторого
4.37°. В последовательности случайных величин
|i, |г, ... случайная величина |п при любом п — 1, 2, ...
имеет геометрическое распределение с параметром <?„,
qn ~*~ 0 (л -*¦ оо). Найти предельное распределение слу-
случайных величин
?п = qnln при га -^ оо.
4.38°. Время | безотказной работы прибора имеет
математическое ожидание а>0 и дисперсию а2 < оо. При
каждом о-тказе прибор подвергается ремонту (и тогда
время до следующего отказа не зависит от предыстории
и распределено так же, как |), после к-то отказа прибор
120
списывается как негодный. Пусть тА — суммарное время,
которое прибор проработал до списания.
а) Найти МтЛ, Dtft.
б) Показать, что для любого s >0
= 0.
limP L* _i
ft-oc 11*4
4.39. Пусть ?ь |г, . ••—последовательность независи-
независимых одинаково распределенных случайных величин с
математическим ожиданием а > 0 и дисперсией о2 < °°,
случайная величина v не зависит от |i, ?2, ... и прини-
принимает целые положительные значения, Mv = Ьи
Найти Мт и предельное распределение случайной вели-
величины т/(Мт), когда распределение v изменяется так, что
Mv -*- °° я существует непрерывная функция распреде-
распределения F(x)y удовлетворяющая условиям F@) = 0t
lim p UL «^ Л = р (х)г о <х < оо.
4.40.. Время | безотказной работы прибора имеет ма-
математическое ожидание а>0 и дисперсию о2 < °о. Каж-
Каждый отказ прибора независимо от предыстории и длин
периодов безотказной работы с вероятностью р является
несущественным (прибор требует только наладки),
а с вероятностью q = 1 — р — существенным (прибор
нужно ремонтировать). Пусть т9 — время от начала ра-
работы прибора до его ремонта.
а) Найти Мт9, Oxq.
б) Найти предельное распределение случайной вели-
величины Tg/Mtq, когда параметры а > 0 и с2 < °о фиксиро-
фиксированы, a q -*- 0.
4.41*, На одном вероятностном пространстве заданы
событие А, Р{Л) — р, и случайная величина |, имеющая
математическое ожидание а и дисперсию <т2<<». Дока-
Доказать, что при любом характере зависимости между | и А
121
4.42*. Последовательность (|!т eij, (|г, е$), ... состо-
состоит из независимых пар случайных величин (внутри нар
случайные величины могут быть зависимыми),
Ml, - а, ОЬ ^ о2,
Р{е( =- 1} = 1 - Р{8г = 01 = q.
Положила v = miu ii > 1: s< — 1},
ti=-|i + ... + |v-i (ti = 0 при v-=l),
Найти предельные распределения случайных величин
ути qx%, когда параметры а>0 ц о2 < °о фиксированы,
a q -*¦ 0.
4.43. Процесс работы прибора состоит из независимых
одипаково распределенных циклов; длина ? цикла имеет
математическое ожидание а>0 и дисперсию о2 < «>. Ве-
Вероятность того, что за один цикл прибор не сломаетсд,
равна /?, вероятность поломки прибора на любом фикси-
фиксированном цикле равна q — i~p (поломка прибора может
зависеть от длины цпкла). Пусть т — время до первой
поломки прибора.
Найти предельное распределение случайной величи-
величины дт/а, когда q -+- 0, а -*¦ ао > 0, о2 -^а^ < оо.
4.44. В бункер помещается не более #= 150 деталей.
Ежеминутно в бункер поступает случайное число дета-
деталей, имеющее распределение Пуассона с параметром
К = 2; числа деталей, поступающих в бункер в непере-
непересекающиеся интервалы времени, независимы. Через каж-
каждый час все находящиеся в бункере детали: перегружа-
перегружаются в тележку и отправляются на дальнейшую обра-
обработку. В начальный момент времени булкер свободен.
Пользуясь предельными теоремами, указать приближен-
приближенное значение вероятности того, что за время Т — 100 ча-
часов не произойдет ни одного переполнения бункера.
4.45. Показать, что если последовательность случай-
случайных величин |i, |г, ... сходится к | с вероятностью 1
или в среднем квадратичном, то она сходится по вероят-
вероятности и по распределению. Привести пример последова-
последовательности ?i, ?2, -.-, сходящейся к | по вероятности, по
не сходящейся ни в среднем квадратичном, ни с вероят-
вероятностью 1.
4.46. Последовательность случайных величин |ь
1г, ..., сходится к 1 по распределению. Показать, что
можно задать на одном вероятностном пространстве слу-
122
чайные величины ii, s2» • * • в g так, что для всех х
1, 2, ...,
и последовательность |ь ?2» ••• сходится к |' с вероят-
вероятностью 1.
4.47. Пусть j(x)-~непрерывная функция, #е(—oot oo),
а последовательность случайных величин ?ь |г, ... схо-
сходится к случайной величине | (с вероятностью 1, по
вероятности или по распределению).
а) Сходится ли (в тех же смыслах) последователь-
последовательность /(|t), УA2), ... к /(|)?
б) Сходится ли (в тех же смыслах) последователь-
последовательность f(h)> /(b)t -•• к /(|), если }(х) кусочно-непре-
кусочно-непрерывна (имеет конечное число разрывов на любом конеч-
конечном интервале), а функция распределения | непре-
непрерывна?
4.48. Последовательность |i, |г, ... случайных вели-
величин удовлетворяет условиям
Р {?n+i ^ in} — 1 для любого п = 1, 2, ... г
Hm M|n t= a<oo.
П~»оо
Доказать, что существует случайная величина 1, для
которой
P/lim In =
Верно ли равенство М| — а?
4.49. Последовательность точек |t, |г, ... на отрезке
[О, 1] строится по следующему правилу: |i 'имеет равно-
равномерное распределение на [0, 1], и если значения 1ь ...
..., |ft-i (k>2) определены, то точка |А имеет равномер-
равномерное распределение на минимальном по длине из к от-
отрезков, на которые [0, 1] разбивается точками \\- ..., |к_1#
а) Доказать, что существует случайная величина |,
удовлетворяющая условию P/lim ln >= 1\ = 1.
б) Найти М|, Dt
4.50. Последовательность точек |о, li, 12, ... па от-
отрезке [0, 1] строится по следующему правилу: |0 = 0, It
имеет равномерное распределение на J0, 1], а %п при лю-
любом п^2 имеет равномерное распределение на интер-
интервале, образованном |n_i и \п-2.
123.
а) Доказать, что существует случайная величина
удовлетворяющая условию Pjlim |n — ?\ = 1.
\ /
б) Найти Ml, D1.
4.51*. Последовательность случайных величин gi,
|г, .-., последовательности чисел (ап}, {&„} и случайная
величина | удовлетворяют условиям
lim ап = а, |а|<оо, lim bn « 0, Р{ | Ц< оо} «= 1,,
в кан^дой точке непрерывности функции F(x)—P{%< х).
Функция g(x) непрерывно дифференцируема в окрестно-
окрестности точки а и g'(a)=?§. Доказать, что в каждой точке
непрерывности F(x)
4.52. Последовательность случайных величин |»,
?г, ..., последовательности чисел {а„}, {Ьп} и случайная
величина | удовлетворяют тем же условиям, что в за-
задаче 4.51. Функция g(x) имеет к^2 непрерывных про-
производных в окрестности точки а и
g' (a) = g" (а) = ... = ?<*¦» (а) - 0, g™ (а) Ф 0.
Доказать, что
в каждой точке непрерывности функции Fk(x) = P{|ft < х).
4.53. Случайная величина \in равна числу успехов в
п независимых испытаниях Бернулли с вероятностью
успеха р, 0 < р < 1.
б) Пусть 0 < z < 1, %Ф р. Найти такие последова-
последовательности чисел An(z) и Bn(z), re — 1, 2, ..., для кото-
которых
4.54*. Случайная величина jin равна числу успехов в
п независимых испытаниях Бернулли с вероятностью
124
успеха р; функция g(x) определяется соотношениями
я1п#-ЬA — лгIпA — х)я
0, х - 0 ила х- 1.
а) При р = 1/2 найти
б) При 0 < р < 1, р ?¦ 1/2, указать такую последова-
последовательность В„(р), ге «=< 1, 2, ..., что
Шп. Р [Вп (р) [g (У - g (р)) < л;} = Ф (*),
4.55. Последовательность случайных величин |i, |г,...
ir последовательности чисел ai, аг, ... и bt, Ьг, ... удов-
удовлетворяют условию
(
? ~ а )
-?-—^^а:} = ф(х) для любого х,
Пусть a±f п%1 ... и 6j, Ь2, ... —'Две другие последователь-
последовательности чисел. Рассмотрим три группы условий:
б) lim (an — ап) = lim (бп — bn) =
В) И j
п-»оо п п-*оо п
Какие из условий а), б), в)" обеспечивают выполнение
соотношения
'п /П<^ =^Ф(а^) для любого х, |ж|<оо?
Ьп j
4.56. Последовательность случайных величин |ь ?2,...
сходится к случайной величине % по распределению.
а) Пусть существуют и конечны величины
т =* М?, тп *= М|П) /Им «- lim mn.
Какие из соотношений m < т^, т ~ w,», m > /ию могут,
а какие не могут выполняться?
б) Ответить на вопрос п. а) при дополнительном ус-
условии М|2 < «>, lim Щ1 < оо.
П~*ос
125
4.57, Последовательность случайных величин |i, 1*. • •
сходится к случайной величине ? по распределению,
а) Пусть существуют и конечны величины
М « Ml2, Мп = Щ1Г М<* - lim Mn.
Какие из соотношений М < Мм, М «=< Л/», Л/ > Д/«, мо-
могут, а какие не могут выполняться?
б) Пусть существуют и конечны величины
о2 = Dgf ol = D|n, 0L - lim aj.
n-*oo
Какие из соотношений о'2 < о«, о2 «=« а«, о2 > oL могут,
а какие не могут выполняться?
? 3. Характеристические и производящие функция
В этом параграфе задачи 4.58 — 4.83 связаны с вы-
вычислением производящих функций, моментов случайных
величин и характеристических функций, в задачах
4.84—4.99 рассматриваются различные свойства характе-
характеристических функций, а в задачах 4.100—4.104 вычис-
вычисляются характеристические функции специальных рас-
распределений и исследуются свойства многомерного нор-
нормального распределения.
4.58°. Найти производящие функции целочисленных
распределений:
а) пуассоновского: Р {? = к) = гт- е~\ к = 0, 1, 2, ...
б) геометрического: Р {| = к) = pqk, к — 0, 1, 2, ...;
Р, ?>0, p + gr = l;
в) биномиального: Р {I = к} = CnPkqn"hf к=-0, 1, ...
..., п\ р, q>Qt p + q = i.
4.59°. Найти производящую функцию ф (г) числа ?„
успехов в п независимых испытаниях, если вероятность
успеха в каждом испытании равна р. Используя этот ре-
результат, найти формулы для М|л, М|„ (/с = 1, 22 ...),;
ОБ™.
4.60°, Производящая функция распределения слу-
случайной величины |, принимающей целые неотрицатель-
неотрицательные значения, равна ф(г)— МгЕ.
а) Найти М|, Dg, M(|-M|K.
б) Найти производящие функции <pi(z) — Msct случай-
случайных величин ?i = |/2, 52 = 2|, ?з=—| и ?4 = 61 — Ь»
126
где |i и |а — независимые случайные величины, имею-
имеющие то же распределение, что |.
в) Доказать, что при Ь > а > О
1
о
г
4.61°. Пусть п — порядковый номер первого из ис-
испытаний схемы Бернулли (т. е. последовательности не-
независимых испытаний), которое окончилось успехом
((вероятность успеха в каждом испытании равна р, не-
неудачи — q =¦ 1 — р). Найти Mtt, Dti, МЛ
4.62°. В схеме Бернулли обозначим через 0ft поряд-
порядковый номер испытания, в котором появился к-ш успех;
считая вероятность успеха в каждом испытании равной
Pj найти:
1) M0ft, DGA;
2) фвЛ(*)-М*в\
4.63. Закон распределения случайной величины |
определяется формулой
Р {| = п) _ C^i1? V"", и - и, т +. 1, ...,
где т — целое положительное число, 0 < р < 1, q =
= 1—р. Найти производящую функцию распределения
5 и М|, D|. Показать, что распределение | совпадает с
распределением суммы т независимых одинаково рас-
распределенных случайных величин.
4.64. Найти закон распределения r\ = |i -f-12 + |з,
если |i, |2, |з независимы и при к = 1, 2, 3; 0 < р < 1,
g = 1 — р:
Р {^ft = /} = C^rlp*fc5I-m\ ' - «к, mk + i, . • •
4.65. Случайная величина v распределена по закону
Пуассона с параметром X и не зависит от результатов
испытаний схемы Бериулли с вероятностью успеха р.
Обозначим \iv число успехов в ¦ первых v испытаниях
схемы Бернулли, Найти:
а) qvv (z) == ААг^;
б) Mjiv, D|iv.
127
4.66. Производящая функция совместного распреде-
распределения величии |i, |г равна
где р] + р2 + Рз = 1, jo» > 0, i« 1, 2, 3. Найти:
а) одномерные распределения it и 1г;
б) MibMb, D61, Dl2t cov(|bl2y.
Являются ли величины |i и |г независимыми?
4.67. Целочисленная неотрицательная случайная ве-
величина | имеет производящую функцию щ (z). Дока-
Доказать, что если для целого к > 1
lim —k <p6 B)
mk<oo
то M|[&] = Mi(l - l)'...(i - &+ 1) = m*
4.68. Пусть |n< — число появлений i-го исхода в п
независимых испытаниях с N несовместными исходами
и вероятностью р$ появления /-го исхода в каждом ис-
испытании (/ = 1, ..,, N). Найти
а) <p(Zl zjv) « Мй5пд ... а5?Л
б) М|й, ME^fe^l (f ^ /; Л, г - 1, 2, ...).
4.69. Пусть выполнены условия предыдущей задача
и JV-4,
¦Пп.1 — In.l, Tln',2 — |n,2 + in.3, Лп.З e l»,4i
U* « 1».* + 6».*+! (*el, 2t 3).
Найти производящие функции распределений векторов
(т1«.ь Л«,2, Tjn.s), (Еп.ь Еп,2, Еп.з) и коэффициенты корре-
корреляции р(Г)п,|, qn,2), p(?n,l, tn,2).
4.70. Пусть величина v имеет распределение Пуассо-
Пуассона с параметром К и не зависит от исходов испытаний
полиномиальной схемы, описанной в задаче 4.68.
а) Найти производящую функцию распределения
случайного вектора |v —(iv.u • ¦ •> iv,*)-
б) Найти производящую функцию распределения
числа \ik компонент вектора gv, равных к.
4.71. При каких значениях параметров дробно-линей-
дробно-линейная функция ер (z) g= , будет производящей функци-
функцией целочисленной случайной величины?
4.72. Производящая функция целочисленной случай-
случайной величины | равна <pt(z). Найти характеристическую
функцию |.
128
4.73. Найти характеристические функции распре-
распределений:
кт
а) пуассонооского: Р {1= т} = — е~\ т = О, 1, ...;
б) биномиального: ? {I » т) = CnPmqn"m, m=* О,1,...,ге;
в) показательного: р$ (х) = ае~а*, ж > 0.
4.74. Случайные величины |1( |г, . • - независимы и
имеют показательное распределение с параметром а:
Р {& < #} = 1 — е~а% х>0, i = 1, 2, ...
Найти M(gi-f ... + |„)А при любых значениях к, п =*
= 1,2,...
4.75. Случайные величины |it I2, ... независимы,
одинаково распределены и имеют характеристическую
функцию f(t) == Me^*i (производящую функцию фE)«
¦sa»M5*i)f случайная величина v не зависит от |t, I2, ...,
принимает только целые неотрицательные значения и
имеет производящую функцию ?E) = Мз\ Найти харак-
характеристическую функцию (производящую функцию) слу-
случайной величины
fSl + |2 + . • . + 6v ПРИ V > 1,
С = 1 0 при v = 0.
4.76. Производящая функция распределения случай-
случайной величины |, принимающей целые неотрицательные
значения, равна ф(г)»Мг5. Выяснить, при каких усло-
условиях следующие выражения являются производящими
функциями вероятностных распределений, и если явля-
являются, то указать, как соответствующие распределения
связаны с распределением |:
4.77. Случайная величина | имеет биномиальное рас-
распределение с параметрами (п, р), т. е.
Р{? - k} ~Chnp» (I - р)»-*, Л = 0, 1, ...,. п.
9 А. М. Зубков и др, 12Э
При каких условиях можно представить | в виде
где |i, ..., |т независимы и при любом i = 1, ..., т
случайная величина §* имеет биномиальное распределе-
распределение с параметрами (п{, pt) (пг > 1, 0 < р< < 1)?
4.78. Случайная величина ? принимает только целые
вначения, и /(?)= Me — характеристическая функция
распределения §.
а) Доказать, что при любом целом к > 1
б) Найти формулу для Р (| == т (mod ^)} при
го« 1, 2, ..., А —1.
4.79. Независимые случайные величины |i, |г, ¦. t
имеют равномерное распределвние на множестве
A, 2, .... Ш. Найти
4.80. Случайные величины |i, I2, ¦<., 1» независимы.
Доказать, что для любого действительного Kt удовлетво-
удовлетворяющего условиям
оов *_1 и
справедливо равенство
4.81. Случайная величина 1 принимает дейотвитель-
ные значения. Доказать, что для любого действитель-
действительного х
р {1> х}
4.82. Пусть \хп обозначает число успехов в п незави-
независимых ^испытаниях е вероятностью р успеха в каждом
130
испытании. Доказать, что при а < р
Найти аналогичную оценку для Р {\хп > $п) при [}>/? и
для Р {цп < п/2) при р > 1/2.
4.83. Случайные величины %\, ?г, ... независимы и
одинаково распределены. Доказать, что если M|?il<°°
и при некотором б > О
sup M^6i<oor
то
А,«=0
<оо и для любого е> 0 сущест-
Л А,0
вует такое аЕе@, 1), что
аналогично, если sup Me'^i^oo, то
4.84е. Случайные величины ^ь Ь и к независимы,
характеристические функции gi и |2 равны /i(^) и /г (?)
соответственно, Р {к = 1} = 1 — Р Ы = 2} =^р е@,1). Най-
Найти характеристическую функцию случайной величины
(распределение т] называется смесью распределений
li и 12).
4.85. Показать, что если Р{||| <<»}¦= 1, то функция
/(?) = Me, —ос. < t < °°, равномерно непрерывна.
4.86В Характеристическая функция / (t) = Me"s при-
принимает только действительные значения. Доказать, что
при любом действительном t
/(*)-/(-«)¦
4.87. Найти характеристическую функцию:
а) равномерного распределения на отрезке [0, о];
б) «треугольного» распределения с плотностью
а A — а | х |) при | х \ <! а-1;
131
PaV~t - I 0 При
в) распределения с плотностью
В случае в) найти значение Са, при котором qa{x) ока-
оказывается плотностью вероятности.
4.88. Случайная величина 1 имеет нормальное рас-
распределение с параметрами @, о2). Установив тождество
с2/гоа i 1 i ^ i
найти с его помощью формулы для Мт] и Dt], где
4.89. Функция /(О» —°° < ? < °°, обладает следую-
следующими свойствами:
а) /@)= 1, f(t)> 0 для любого t;
б) /(*)—/( —0 для любого ?;
в) графиком /(i), 0^?<°°, является выпуклая вниз
ломаная линия, состоящая из конечного числа звеньев.
Является ли f(t) характеристической функцией рас-
распределения вероятностей?
4.90. Функция /(?)» —°° < 2 < °°, обладает следую-
следующими свойствами: /@)= 1, f(t)> 0, /(?)= /(—t) для
любого t, f(t) непрерывна и /" (?)> 0 для любого t?=0.
Является ли f(t) характеристической функцией распре-
распределения вероятностей?
4.91. Пусть я>0 и функция f\(t) имеет период 4а,
а) Является ли f\(t) характеристической функцией?
б) Является ли характеристической функцией функ-
функция /?(*)« |/i(i)|?
4.92. Случайные величины |i, ..., |ft (к > 1) незави-
независимы и имеют функцию распределения ^(#), случайные
величины T]i, ..., T|ft независимы и имеют функцию рас-
распределения G(x). Следует ли из условия
Р {|i + ... + h < х) = Р {г|, + ... + п, < х)
для каждого х совпадение функций распределения F(x)
и G(x)l
4.93. Изменится ли ответ на вопрос предыдущей за-
задачи, если дополнительно потребовать, чтобы P(lti + ..«
132
... + |J < °°} = 1 и характеристическая функция рас-
распределения ?i нигде не обращалась в нуль?
4.94. Показать, что если характеристическая функ-
функция f(t)=tAelil удовлетворяет условиям
/(*!)=/('»)= 1,
то при любых целых т, п = 0, ±1, =ь2% ...
f(mtl-\-nt2)=l.
4.95*. Характеристическая функция /(?)=М? диф-
дифференцируема при t = 0> Верно ли равенство
Ml = 4 /' @)?
Рассмотреть случай, когда | имеет плотность распреде-
распределения р(х), причем
р(х), р(х) (*>оо).
х In х
4.96*. Характеристическая функция f(t)=*tAe{t* удов-
удовлетворяет условию !/" @I < °°. Показать, что
4.97. Показать, что если характеристическая функ-
функция /(f)=Mei(S дважды дифференцируема при t = Q и
|/"@)|<°о, то |/'(i) I < VI/* @I при любом t.
4.98. Являются ли характеристическими функциями
вероятностных распределений следующие функции:
а)^-^; д) I cos г Г;
б) cos(^); 'в) ^(*^0), 1 (^ = 0);
в) соз2г; ж) е((^>0), —Ц (t<0);
г) cos(UI2/3>; з) е-?
4.99. Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины \у характеристическая функция
/(f)= MeiJ6 которой равна:
а) — sin at
б) —в- cos f sin2 -s-, в) —^- eu sin2 -я-,
133
д) A — й)"Р A + НГд (р, Я> О),
е) ПР'
4.100. Случайные величины |i, ?2, ... независимы и
имеют одно и то же нормальное распределение с пара-
параметрами @, 1). Распределение случайной величины
V2 — Р2 4- Р2 4- Л- Р2
%r = bl + Ь2 + • • • + Ьг
называют ^-распределением с г степенями свободы.
а) Найти функцию распределения и характеристиче-
характеристическую функцию х2~РасТ1ределения с ДВУМЯ степенями
свободы.
б) Найти характеристическую функцию и формулы
для моментов к-т% (? = 1, 2, ...) порядка х2-РаспРеДе~
ления с г степенями свободы.
4.101. Исходя из формулы для плотности гамма-рас-
гамма-распределения (см. введения к гл. 3 и 4), проверить, что
если случайные величины \\ и ^2 независимы, gi имеет
гамма-распределение с параметром а, а 1г — гамма-рас-
гамма-распределение с параметром р, то |i + ?2 имеет гамма-рас-
гамма-распределение с параметром а + fi. Используя это свойство
семейства гамма-распределений, найти характеристиче-
характеристическую функцию /а (t) и формулы для моментов
т^ (к = 1, 2, ...) к-го порядка гамма-распределепия С па-
параметром а> 0.
4.102. Случайный вектор (|i, ..., |h) имеет много-
многомерное нормальное распределение в Rk с вектором ма-
математических ожиданий а = (й[, ..., ak) и матрицей
ковариаций В. Найти распределение случайной- вели-
величины
Е = ci?i + ... + c*i*.
где си ••-, Ck — действительные числа.
4.103. Случайный вектор (|i, ..., \k) имеет много-
мерпое нормальное распределение в Rh с вектором ма-
математических ожиданий а =^= (а\, ..., ak) и матрицей
ковариаций В; матрица С — HcJI i(f=l, ..,, m; / = 1, -.«
..., к) состоит из действительных чисел. Найти распре-
распределение случайного вектора (Ei, ..., Е"»)» гДе
Е*- = d\h + ¦.. + dhlh, i = 1, ..., m.
4.104. Случайный вектор |—(|i, ..., \h) имеет мно-
многомерное нормальное распределение в Rh с вектором
134
математических ожидании а = (Я|, ..,, ak) и невырож-
невырожденной матрицей ковариаций В. Показать, что существу-
существует такое ортогональное преобразование С пространства
/?* в себя, что вектор Ц~(Ц\, ••., v\h) = Ct имеет много-
многомерное нормальное распределение с независимыми ком-
компонентами.
§ 4. Неравенства Бонферрони
и сходимость к распределению Пуассона
4.105. Случайные величины iin), ?an), ¦»• Д^ незави-
независимы,
Р 1бЛп) = И = 1 - Р 1ЙП) - 0) = Ph (п), к = 1, 2, ..., п.
Пусть при п-+¦ °°
max рй<л)-^0, Pi(n) + ... + рп(п)-+к, 0 < X < oo.
Используя метод производящих функций, доказать, что
HmP|gin)+ ... + ЕЙ"-»»1=-?ув-\ « = 0,1,2,...
4.106. Случайная величина § принимает значения
1 и 0 с вероятностями р и ^ = 1 — р соответственно,
а случайная величина Г| имеет распределение Пуассона
pk
с параметром р: ?{*)—Щ =jfe~p, к = 0, 1, 2, .... Дока-
вать, что | и т] можно задать на одном вероятностном
Пространстве так, что Р^-^т]} <р2.
4.107. Случайные величины ?i, §2, ..-, 1« независимы,
Р {%i = 1} = 1 — Р {It = 0} = ри i = l, ..., п. Используя
результаты задачи 4.106, доказать, что
V 2
4.108. Пусть Au Аъ, ..., ^w — совокупность событий
ш событие Вг состоит в том, что одновременно происхо-
происходит ровно г из событий Аи ...у Ая. Доказать, что при
135
любом г = 0, 1, ..., N
где Sq = 1, Sk = 2
4.109*. Случайная величина | принимает только це-
целые неотрицательные значения. Доказать, что если
mft = M|UJ = M|(|— 1).'..(?— к~\- 1), ft=l, 2, ..., и для
целого d^ 1 величина яг2<*-| < °°, то
2<* 2d~l
4.110. Пусть выполнены условия задачи 4.109. Дока-
вать, что
если тг = 0, 1, ... и тп+ы-\ < °°.
4.111. Пусть выполнены условия задачи 4.109.
Доказать, что при любом п — 1, 2, ...
n-f-2d-l n-f-2d
если mn+2d-i < °°.
4.112. Метод моментов. Пусть |ь |г, •••—по-
•••—последовательность неотрицательных целочисленных слу-
случайных величин и
mj^-ME?1 (л, ft-1,2, ...).
Доказать, что если существует такая целочисленная не-
неотрицательная случайная величина \, что при любом
к — 1, Z, ...
1ш А/|^ = М^ ss ^J^ <^ ОО
П->оо
и mft« о(к\ ft""), ft-»- °°, для любого г< <», то
4.113. Пусть 5ь |2, . • .^- последовательность неотри-
неотрицательных целочисленных случайных величин. Доказать,
136
что если при любом к — 1, 2, ...
lim М^*] = Я\ 0<?i<oo:
П-»ос
то lim P{|n *= m} = ~е для любого т — 0, 1, 2, ...,
т. е. распределение ?п сходится к распределению Пуас-
,сода с параметром X при п -*- °°.
t 4.114. Пассажирский поезд состоит из iV вагонов по
5 мест в каждом вагоне. В момент отправления в поезде
находилось п пассажиров. Обозначим символом \и =>
= Ц{(д, N, s) число вагонов, в которых при отправлении
поезда находилось ровно i пассажиров, i«0, 1, ..,, *.
Предполагая, что все nW^s = (iVs)ln] вариантов разме-
размещения пассажиров в поезде равновероятны, найти фор-*
мулы для факториальных моментов величин цо, Ць •••
..., \i,. Проанализировать поведение математических
ожиданий \it при изменении п от 0 до Ns.
4.115. Пусть выполнены условия задачи 4.114. Найти
явное выражение для Р{ц4(п, iV, s)*** к).
4.116. Пусть выполнены условия задачи 4.114. Пока-
Показать, что если s и i фиксированы, ад, N -*- °° так, что
гс, N, «)-»-^е@, <»), то при любом к = 1, 2, ...
Вывести отсюда, что тогда для любого т = 0, 1,
4.117. Пусть п частиц размещаются по N ячейкам,
причем каждая частица независимо от остальных с оди-
одинаковыми вероятностями (равными 1/N) может попасть
в любую из N ячеек. Обозначим через \iT(ny N) число
ячеек, в которых находится ровно по г частиц. Найти
формулу для Mfir(n,iV)H доказать, что если г=* 0,1,2,...
фиксировано, а п, N-*¦ °° так, что Мцг(гс, #)-*А*
О < к < оо, ТО
Р{ц, (п, N) -йп} -> ^ е-\ m = 0, 1, ..,
4.118. Пусть частицы последовательно и независимо
друг от друга размещаются по N ячейкам так, что i-я
(i — l, 2, ...) частица попадает в jf-ю (/=1, ..., N\
ячейку с вероятностью 1/N. Положим
vr(N)=~minim цг(п, N)>0), г-2, 3, ...,
137
где [ir(n, TV) — число ячеек, содержащих после размеще-
размещения п частиц ровно по г частиц. Найти такую последо-
последовательность чисел &ь &2, . •., что распределения случай-
случайных величин vr(N)/bN при N -»- °° и фиксированном г
сходятся к невырожденному закону, и сам предельный
в а кон.
4.119. Пусть п частиц независимо размещаются по
N2 ячейкам, расположенным в виде квадратной таблицы
размером N X N. Назовем ячейку свободной, если после
размещения п частиц ни в нее, ни в ячейки, находя-
находящиеся с ней в одной строке или в одном столбце, не по-
попало ни одной частицы. Найти предельное распределе-
распределение числа к(д, N) свободных ячеек, когда
N N-+00.
§ 5. Применения центральной
предельной теоремы
и метода характеристических функций
4.120 (см. 4.2). Случайная величина г|„ равна сумме
очков, выпавших при п независимых бросаниях симмет-
симметричной игральной кости. Используя центральную пре-
предельную теорему, выбрать п так, чтобы
4.121. Складывается 104 чисел, округленных с точ-
точностью до 10~т. Предполагая, что ошибки округления
независимы и равномерно распределены в интервале
(—0,5 • 10~т, 0,5-10~т), найти пределы, в которых с ве-
вероятностью, не меньшей 0,99, будет лежать суммарная
ошибка.
4.122. Случайные величины gi, ?2» ... независимы и
одинаково распределены:
= ~, г^1, ; = i,2,...
а) Найти пределы математического ожидания и дис-
дисперсии случайной величины Г|п — (?i .,. \пI^п при
Л -*¦ оо,
б) Доказать, что при п -*¦ °° распределение цп схо-
сходится к логарифмически нормальному распределению
(см. задачу 3.233). Найти параметры а, о2 предельного
логарифмически нормального распределения.
138
в) Сравнить найденные в п. а) значения Нш ЬАцп и
lim Оцп с математическим ожиданием и дисперсией слу-
W --*оо
чайной величины г|, имеющей логарифмически нормаль-
нормальное распределение из п. б).
4.123*. Случайные величины |ь gj» ••• независимы и
одинаково распределены:
Р{Ь = 1,25} = P{6i-0.8}-.!« 1-1,2,...,
И Г|„ = |l . . . In.
а) Найти Mt]iooo, Оцюоо, Mlnfyooo, DlnTjiooo.
б) Пользуясь асимптотической нормальностью In т)»
при п -*- °о, найти приближенные значения Р {rjiooo *9
^ 0,001}, Р (riiooo < О, Р (riiooo ^ 1}, Р <г|!ооо < Ю4К
в) Пользуясь формулой Стирлинга, найти PItjiooo^
<i\, Р{гцооо<0.
4.124. Случайные величины |i, |г» ¦•• независимы я
одинаково распределены:
P{Ei - 1,25}-- Р {li - 0,75} = 4-, * - 1,2,....
И 1\п «* gi . . . gn.
а) Найти Mt]iooot Отцооо, М1птцооо, D In гцооо.
б) Пользуясь асимптотической нормальностью In ц„
при п ->¦ °°, найти приближенные значения
P{t|,ooo < 1.25501 • 0,75499 « 1,6 • 10-"},
Р {tjiooo < 1,25501 • 0,754"}, Р {тцооо < 10>.
в) Пользуясь формулой Стирлинга, найти
Р{гцооо<1,25501-0,754"},
Р <Пюоо ^ 1,25501 - 0,75499>.
4.125, Случайные величины §i, %%* •»• независимы ш
имеют стандартное нормальное распределение. Распре-»
деление случайной величины
xi-Я+ -... +&
называется распределением %2 (хи-квадрат) о п степеня-
степенями свободы.
а) Доказать^ что lim Р { — —. 1
х
0 при любом
е>0.
139
б) Найти limpjXn ,_^}n
4.126. Случайпая точка ?=(?[, ..., %r,)z=Rn имеет
равномерное распределение на единичной сфере в Rn,
т. е. на множестве точек Sn—1» ((?lt ...,а;п)е-й :
А. + • •. + xl = 1]. Найти М|, и МЬЬ при К i, / ^ д.
4.127. Случайный, вектор j--=(Si, ..., %n)^Rn имеет
сферически симметричное нормальное распределение с
нулевым вектором средних и единичной матрицей ко-
вариаций. Равенство
1 = ре, р= \Ц e = -jYj-g,-
где |||= гЦ + .... 4- In — длина вектора |, дает пред-
представление | в виде произведения скалярной случайной
величины р и вектора е. Доказать, что р и е независи-
независимы и что е имеет равномерное распределение на еди-
единичной сфере в Rn (см. задачу 4.126). Найти распреде-
распределение, математическое ожидание и дисперсию р2.
4.128. Пусть вектор е ™(ei, ..., е„)^ Rn имеет рав-
равномерное распределение на единичной сфере в Rn. Ис-
Используя результаты задач 4.127 и 4.125, доказать, что
при п -* °°:
а) распределение г\1/п сходится к стандартному нор-
нормальному распределению,
б) распределение вектора (е\Уп, ..., eklfn)t к = const,
сходится к совместному распределению к независимых
случайных величин, имеющих стандартное нормальное
распределение.
4.129. Случайные величины |о, ?ii ?2, ¦•- независимы
и имеют стандартное нормальное распределение. Распре-
Распределение случайной величины
Тп
называется распределением Стьюдента с п степенями
свободы. Найти
lim Р {т„ < х}Л — оо < х < оо.
4.130. Пусть \п, i обозначает число появлений г-\ о
исхода в п независимых испытаниях с N несовместными
исходами; вероятности появления этих исходов в каж-
каждом из испытаний равны pi, р%, ,.., р«^0 соответствен^
140
но, р\ + ... + Pn — 1. Далее, пусть a\t ..., я*— действи-
действительные числа и
In
Найти Мт]п, D*in и предельное распределение —
п ри п —>¦ оо.
4.131. Случайные величины ?i, ?2, .-. независимы и
одинаково распределены; M?ft = a, D?fceb2, /с == 1, 2, ...
Положим г|Л"^ ^ + |й+1 + |fc+2, /с = 1, 2, ... Найти:
а) Mrjfc, cov(T)h, r\t) (/c^/), Dt]ft;
Л .. _ Сп, 4-... +л„ —Зла
б) И
о |г да
4.132. Случайная величина |* распределена по закону
Пуассона с параметром %. Найти
/я
4.133. Два игрока заняты азартной игрой, состоящей
в подбрасывании несимметричной монеты, которая па-
падает «гербом» с вероятностью р > 0 и «решкой» с вероят-
вероятностью q = 1 — р > 0. Ставки игроков в каждом туре рав-
равны соответственно а\ > 0 и а% > 0 руб.; если монета
падает «гербом», то выигрыш ai + йз получает первый
игрок, если «решкой» — то второй. Предположим, что ис-
исходные капиталы игроков бесконечны, и обозначим через
Sn суммарный выигрыш первого игрока ва п туров,
а через S^ (= —S^) — второго. Показать, что:
а) существует только одно такое значение х > 0, что
при а,\/а2~х для любого у, \у\ < <*\
б) если а\ =п2Х, где значение х то же, что в п. а), то
4.134, Последовательность случайных величии %\,
. •. такова, что при любом п = 1, 2, ...
, 2 + . . . + tn, n,
141
где ?n, i, ..., ?„,„ — независимые случайные величины,
M$n,* = O, i = l, ..., п,
Доказать» "что распределепия случайных величин |n/f,
при п -*• оо сходятся к стандартному нормальному рас-
распределению.
4.135. Случайные величины |i, ??, ••' независимы,
Найти предельное распределение случайных величии
?п *- л . ! —- при п-> оо,
4.136. Пусть для каждого п =* 1, 2, ... случайные ве-
величины lin), ... ДпП) независимы и одинаково распреде-
распределены:
при любом / —1, ..., п. Найти М?$п\ О\\п) и прелельпое
распределение случайной величины
4.137*. Пусть для каждого п ¦=¦ 1, 2, ... случайные
величины ?in), , >., lnn) независимы и одинаково распре-
распределены:
р 15J"> - i^Sj - р Ui*0 V^J - sr,
при любом / = 1, ..., п. Найти M?$n)e D|Jn) и предельное
142
распределение случайной величины
?<п) л- 4- ?(п)
Ь\ П^ • • • I fen
U. = г нри п—*-оо,
4.138. Случайные величины ЬТ\ • • .Л lnft) независимы,
И l = с 4- 4- уу }
а) Найти ME», D$n.
б) Доказать, что если D?n -> °° при п -
дельное при п -+- оо распределение случайной величины
¦—rgp~ является стандартным нормальным.
в) Положим mn- /(p(!n)) + ... + f(p(nn)), где /(ж)-О
при д;< 1/2 и /(#)= 1 при д;> 1/2. Найти предельное при
п -»- оо распределение случайной величины t,n —* тп> если
max
4.139. Случайная величина |п имеет распределение
в дробно-линейной производящей функцией <р» (г) =*
— g» + (^""^»-"anIj о ^ ап < 1, 0 ^ dn < 1. Какие невы-
I ¦ anz
рожденные ваконы распределения F(x) могут быть пре-
предельными для последовательности./*^(#) =я Р|^ ^#[, где
^4» "*• °° — некоторые нормирующие константы? Какие
условия надо наложить на последовательности an, dn, An,
чтобы lim Fn (z) - F (ж), х > 0?
4.140, Случайные величины §if |г, ... независимы, не-
неотрицательны и одинаково распределены:
P{|i > 0} - 1, Mfci - ii > О,
D^-O2, O.<02<oo;
пусть Л— шах{«>0: ?i + .*. + 6»<*}, ?>0 (если |, >
> ft то Л — 0).
14а'
а) Доказать, что для любого е > О
> е) = 0.
б) Доказать, что для любого а;, —» < а; < °о,
/2я_
4.141. Случайные величины |ь §2, • ¦ •, ?п независимы
и имеют показательное распределение с параметром а:
Р{Ь < х) = 1 - е"ах, я > 0, i = lf 2, ..., n,
a Id) <5Bj <.*..< |(Я) —значения |,, ..., |n, располо-
женные в порядке неубывания (вариациопныи ряд). Ис-
Используя результаты задачи 3,64, показать, что если
п, т -+¦ оо и п — т -*- «?t то:
\ Ал»- 1+0A), п п& 1+0A) m
— 00 <# <C 00,
4142. Случайные величины ?ь ..., ^n независимы и
одинаково распределены:
х}=Р[х)> i = l, ..., п(
а E(i) ^ ... < Е(п) — их вариационный ряд (см. задачу
4.141). Доказать, что если в некоторой окрестности точ-
точки х — zq существует непрерывная производная
— F'(x)> 0, то при т/п -*- F{zo)^ n -*- °°,
lim Р j # -(тп)""г° р (z0) < 4 = Ф (х).
4.143. Частицы последовательно размещаются в N
ячейках так, что вероятность попадания /-и (j = 1, 2, ...)
частицы в t-ю (? — 1, 2, ..., N) ячейку равна 1/N и номер
ячейки, в которую попадает частица, не зависит от но-
номеров ячеек, в которые попали предыдущие частицы.
Пусть vft — порядковый номер частицы, после размеще-
размещена
ния которой впервые число занятых, (т. е. не пустых)
ячеек становился равным /с, и xk = vh — vft-i (vo = O).
I а) Найти производящую функцию распределения xm
& Р(тт > vA - vj, m> k>L
б) Найти
lim max Р{тт> vm_x— vm_r}, r = 2, 3, ...
iV N
{
\ 4.144. Пусть случайная величина vh та же, что в за-
задаче 4.143. Найти предельное распределение случайной
величины vft— к, когда N-*• °°, ,k2/N -> %> 0<Х< °°.
4.145. Пусть выполнены условия задачи 4.143. Найти
асимптотические формулы для Mv™, Dvm и предельное
распределение т г ^, когда ^V -+• » и a.\N < пг < агЛ^
при некоторых oci, аг, 0 < ai < аг < 1.
4.146. Производящая функция ф (z) = frhz1 случайной
величины ^ является многочленом степени Л', причем все
корни %и •'•» Zn уравнения cp(z)™0 вещественны. Дока-
Доказать, что распределение ? совпадает с распределением
суммы ? = ^ -Ь ... + ?jv, где случайные величины ?ь •••
..., ^N независимы и
Найти значения рь ..., p.v.
4.147*. Производящая функция cp(z)=Mz5 случайной
величины g является многочленом степени N, причем
все корни 2|, ..., zN уравнения ф(г) —0 имеют неполо-
неположительные вещественные части: Rez<<0, ? = 1, ..., N.
Доказать, что распределение ? совпадает с распределе-
распределением суммы ? — ?i -Н ... + ^м, где случайные величины
Еь ..., Ь,м независимы и
P(S, « 2} = гь P(Sf = 1) == /?(J Pi?. = 0) = 1 - Pi - r(,
г = 1, .... ДГ.
Найти значения 7i/t /?f, r( (t = 1, ..., М).
4.148. Последовательность целочисленных неотрица-
неотрицательных случайных величин |i,1 |г, ... такова, что при
любом п = 1, 2, ... производящая функция
Фп (г)
является многочлепоя степени п, все корни которого ве-
вещественны. Доказать, что если D?n -+• °° при п -*¦ °°, то
ID л. М. Зубков и др. 1^5
распределение случайной величины — при п ->¦ »
У 5п
сходится к стандартному нормальному распределению.
4.149. Доказать, что если выполнены условия зада-
чж 4.148, но D|n-*"^<°° при п -> оо и7 кроме того,
lim max zn%x = —
оо
где zn, i, . *., 2n, n — корни уравнения <pn (з) **= 0, то рас-
распределение §„ при w -^ °° сходится к распределению
Пуассона с параметром %. ''
4.150*. Пусть выполнены условия задачи 4.143 и
fn.N (z) = M2^o(niJV) — производящая функция числа пустых
ячеек. Найти рекуррентное уравнение, связывающее мно-
многочлены jn,N(z] и /n+i,w(z), и вывести из него, что все
N — 1 корней уравнения jni N (z) — 0 вещественны при
любом п > 1.
4.151. Пусть выполнены условия задачи 4.143 и
jAo(^, N) — число ячеек, оставшихся пустыми после раз-
размещения п частиц. Доказать, что если п, N -*¦ °° так, что
М[До(я, N)-*-°o и N~ Mjio(w, TV)-»- оо, то предельное рас-
распределение случайной величины
является стандартным нормальным.
4.152. Случайные величины ?i, |г, *»« независимы в
имеют одно и то же распределение с характеристической
функцией f(t). Доказать, что если при некоторых С > 0,
0 < а ^ 2,
/(*)— 1 —С|*|«A -Ь<?A)>, *->0,
то при п -> оо существует предельное распределение слу-
случайных величин
Найти его характеристическую функцию.
4.153*. Случайная величина | имеет абсолютно не-*
прерывное симметричное распределение с плотностью
р(аг)~СЫ-*(Ы -> °о), где С>0, 1<а<8. Доказать,
что
146
4.154. а) Доказать, что решение (p(s) функциональ-
функционального уравнения
удовлетворяющее условию 0 < ф (s) < 1 при 0 < s < 1,
является производящей функцией неотрицательной цело-
целочисленной случайной величины §. Найти асимптотиче-
асимптотическую формулу для 1-/@ при ?-*-0, где /(fj^Me-
характеристическая функция |.
б) Случайные величины |ь |г, ••- независимы и рас-
распределены так же, как случайная величина | из п. а).
При каком значении а предел
lim pU^-f ... + 6„)<
существует и является функцией невырожденного соб-
собственного распределения? Найти характеристическую
функцию
4.155. Случайная величина | имеет распределение
Коши с параметром а, т. е. имеет плотность распреде-
распределения
Показать, что характеристическая функция Ме*1Б распрв"
деления | равна e~ai". Вывести отсюда и из задачи 4.153,
чт
что
©о
i
1 — COS U ^ Я
_— du = -7Г.
4.156. Независимые одинаково распределенные слу-
случайные величины gi, |г, ... имеют абсолютно непрерыв-
непрерывное симметричное распределение с плотностью р(х), не-
непрерывной в точке х = 0, 0 < р @) < *>. Используя
результаты задач 4.152—4.155, найти предельное распре-
распределение последовательности случайных величин
.1, , * \
+ T+---+T) при п""°°-
10* 147
4.157. Случайные величины ||, |г, |з имеют распре-
распределение Коти с параметром а; при этом || и ?г незави-
независимы, а Р (?з = Ы = 1- Сравнить характеристические
функции и функции распределения суммы §i + ?г неза-
независимых и суммы || + ?з зависимых одинаково распреде-
распределенных случайных величин.
4.158. Используя результат задачи 4Л55, вычислить
du,
ия)(*я + <*-1оГ
Глава 5
ПРОСТЕЙШИЕ -СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В предыдущих главах j3aусматривались случайные
величины (т. е. измеримые функции, определенные на
вероятностном пространстве (Q, s4-, P)), принимающие
действительные или векторные значения. Случайная ве-
величина, значениями которой являются бесконечные по-
последовательности, называется случайным процессом с
дискретным временем; если же значениями случайной
величины являются функции действительного аргумен-
аргумента, то она называется случайным процессом с непрерыв-
непрерывным временем. Реализации случайного процесса (после-
(последовательности или функции) называют его траекториями.
Существует много способов задания распределений на
множестве траекторий случайного процесса (см., напри-
например, задачи § 1).
Задачи § 2 связаны с пуассоновскими процессами и
потоками. Пуассоновский поток точек на действительной
прямой — это не более чем счетная случайная совокуп-
совокупность точек Т = irh} cr (—оо( оо) = R\ удовлетворяющая
следующим условиям:
а) существует такая неотрицательная измеримая
функция Ця), x^R\ что для любого измеримого мно-
множества В с: R1 число %(В) точек совокупности Г, попав-
попавших в множество 5, имеет распределение Пуассона с па-
параметром Л (В) — J X (х) dxt
в
б) для любых двух непересекающихся измеримых
множеств В\ч B2l=zRx числа |(#i) и 5№) независимы.
Функция К(х) называется интенсивностью пуассонов-
ского потока.
148
В ряде случаев более удобным оказывается друтое
'(эквивалентное) определение пуассоновского потока: ддя
любого х е W при h \ О
Р{| ([ж, х + А]) = 1) = Л, (ж) А + о (А),
и для непересекающихся интервалов (ж,а; + А),
(A, g>0) случайные величины |([#, ж+А]) и
4- g]) независимы:.
Если Х(х)^К, т. е. пуассоновский поток однородный,
a Ti < Т2 < ...— вЬе точки пуассоновского потока на
[О, оо)^ т0 случайные величины ть тг — Ti, тз — та, ...
независимы и имеют показательное распределение:
Р{Т1 < х) «.Р{тк+1 - тк ^ л:} - 1 - е-** (х> 0).
Пуассоновский процесс ?* (^ > 0) с интенсивностью
Х(а;) — это случайный процесс, связанный с пуассонов-
ским потоком с интенсивностью %(х) равенством |* =¦
= 1([0, t])t т. е. ^t—это число точек потока, попавших
в отрезок [0, t]. Таким образом, при любом t > 0 значе-
значение пуассоновского процесса %t с интенсивностью Х(х)
имеет распределение Пуассона с параметром Л (t) —
\ K(x)dx,
приращения |I+h-|, и 1.+в —Ь (s, t, h,
о
0) имеют распределения Пуассона с параметрами
А) —Л(?) и A(s + g) — ЛE) соответственно (и пе-
зависимы, если интервалы (?, t-Vh) и E, 5 + g) не пере-
пересекаются).
Важным классом случайных процессов являются цепи
Маркова.
Во введении к гл. 2 была определена общая схема
последовательности зависимых испытаний с исходами
1, ..., N, в которой вероятность появления цепочки исхо-
исходов i\f ..., ik в испытаниях с номерами 1, ..., А; пред-
представлялась в виде
P{t\, ..., tk)~p{ii)p{h\ii)...p(kUi...ih-l), E.1)
где p(ijUi... ij-i)> 0 — функции, удовлетворяющие усло-
условиям
N
2 />eux...*i-i)-i E.2)
для любого />1 и любых ib ..., ij-i ^ A, ..., N).
149
В предыдущих главах, как правило, рассматривался
частный случай однородной последовательности незави-
независимых испытаний, когда функции p(ij\i\.. - tj-t) — p(h)
не зависели ни от /, ни от i\, ..,, ^_|. В § 3 этой главы
рассматривается другой важный частный случай общей
схемы E.1), в котором для любого / > 2 и любых
если выполнено E.3), то говорят, что последовательность
испытаний образует однородную цепь Маркова. Условие
E.3) часто называют марковским свойством; оно озна-
означает, что если исход какого-то испытания фиксирован,
то результаты испытаний, следующих за выбранным, не
зависят от результатов испытаний, предшествовавших
ему. При построении математических моделей ряда ре-
реальных явлений предположение E.3) оказывается до-
довольно естественным.
Для цепей Маркова начальному испытанию припи-
приписывают номер 0 (а не 1, как в E.1)), исходы 1, .,., N
называют состояниями цепи, вектор
— вектором начальных вероятностей, а матрицу
... PlN
r;p2N
— матрицей вероятностей перехода. В силу E.2) все
элементы матрицы Р неотрицательны и сумма элементов
каждой строки равна 1; матрицы, обладающие этими
свойствами, называют стохастическими.
Отметим, что все введенные здесь определения легко
распространяются на бесконечные последовательности
испытаний (цепи Маркова) с бесконечным множеством
исходов (состояний) {1, 2, ...}.
Из определений E.1), E,3) следует, что если ?* —
состояние цепи Маркова в момент t и
Pidt) = КЬ = /Но = Я « Pitt+ш = /16. ~ i), s, t>0,
— вероятность перехода из состояния i в состояние / за
t шагов, то матрица
150
а векторы рA) - (р[1) рй5), где р<° - Р(?, « /), удо-
удовлетворяют соотношению
далее для любых 0 ^ ?о < ?i < • • • < ?*, fo, • • •) Ч е И,. • •> N}
i
Таким образом, с формальной точки зрения исследова-
исследование многих свойств цепей Маркова сводится к изучению
соответствующих свойств степеней матриц вероятностей
перехода (об одном из способов получения явных фор-
формул для элементов степеней матриц см. задачи 5.79—
5.81).
Важную роль при изучении цепей Маркова играет
классификация их состояний. Говорят, что состояние /
следует за состоянием i (i-*¦/)» если pu{t)>Q для неко-
некоторого целого t > 0; если i-*~j и / -*- i, то состояния г и /
называют сообщающимися (I -*-*¦]). Если для состоя-
состояния i найдется такое состояние / = )(г), что г -*-/, по
/ & i (т. е. р3*@ — 0), то состояние i называется несуще-
несущественным; в противном случае состояние i существенное.
Множество всех существенных состояний с помощью
отношения -*-*¦ (нетрудно проверить, что это отношение
является отношением эквивалентности) разбивается на
классы сообщающихся существенных состояний] перехо-
переходы траектории цепи из одного такого класса в другой
невозможны. Множество несущественных состояний то-
тоже разбивается па классы сообщающихся состояний;
траектория цепи Маркова может выходить из любого
такого класса, по, выйдя из такого класса, вернуться в
пего уже не может. Если множество состояний цепи Мар-
Маркова конечно, то с вероятностью 1 траектория цепи рано,
или поздно выходит из множества несущественных со-
состояний и после этого остается в одном из классов су-
существенных сообщающихся состояний.
Говорят, что класс $Ф сообщающихся состояний пе-
периодический с периодом d > 1, если для состояния i^s?
it: Pii(t)>O)cz{d, 2A 3df ...} E.4)
и любое число di > d не удовлетворяет E.4); определен-
определенное по формуле E.4) число d зависит от класса $&, но
151
не от выбора элемента i^s&. Если E.4) выполняется
только при d=l, то класс $$- называют апериодическим.
Пусть все состояния цепи Маркова \t с матрицей ве-
вероятностей перехода Р образуют один апериодический
класс сообщающихся состояний. Тогда существует такое
Целое число to, что при любом t > to все элементы мат-
рйЦы Р1 положительны и справедлива следующая
Теорема. Если для цепи Маркова с N < °° состоя-
состояниями при некотором to > 0 все элементы матрицы Р °
положительны, то существуют
lim pi} (t) = щ > 0, *,/€={!,..., iV};
(-¦оо
величины Ли • •»» л» являются единственным решением
системы линейных уравнений
2
Распределение л*= (,Л1, ..., я^) не зависит от началь-
начального состояния i цепи ?( и называется предельным или
финальным распределением ?,. Кроме того, распределе-
распределение п стационарно, т. е. nPf — я для любого ?в1, 2, .;.
В случае, рассмотренном в теореме, стационарное распре-
распределение единственно и совпадает с предельным; если
цепь Маркова имеет несколько апериодических классов
существенных сообщающихся состояний, то существует
много стационарных распределений и предельное распре-
распределение зависит от начального; если цепь содержит не-
несущественные состояния, то соответствующие им пре-
предельные вероятности равны 0.
Наконец, если все состояния 1, ..., N цепи Маркова
it образуют один класс периода cf> 1, то предельного
распределения %t ЕРН условии |о — I и ?-*-со не суще-
существует; однако существуют такие распределения л{1) ==¦
= (к(г\ .. -, п$) я{(М<\ .. .,я!?), что для любого
i е {1, ,.., N) и любого целого к !> О
\imPij(td + к)^ п^1м\ / = 1 Nt
где функция m(it к) принимает значения 1, .... d и при
любом j^ii, .,., N) лишь одно из чисел л^1, ..., я(/*
отлично от 0.
Цепью Маркова |( с непрерывным временем и мно-
множеством состояний {1, ..., N) называют случайный про-»
152
цесс, траектории которого являются кусочно-постоянны-
кусочно-постоянными функциями, принимающими значения 1, ..., АГ, и при
любых г, /^И, ..., 2V}, t n h>0 вероятности перехода
из состояния г в состояние / за время h
*e ЛЬ = *, iU««>
не зависят от поведения процесса ?„ до момента ? и удов-
удовлетворяют условиям
Функции p«(f), ^^0, являются решением систем диф
ференциальных уравнений Колмогорова — Чепмэна
N
Р'гз (*) = — «iPij @ + 2 «ftPfcj (On
fc
и
JV
Л EJS)
/4 @ « — «iP« (*) + 2 Pih (t) аьк
«./«{l^.^JV), E.6)
с начальными условиями /)«@)«= lt /jj}@)'-0 (^^A ^, /e
{ M
)
Классификация состояний описанных здесь цепей
Маркова с непрерывным временем отличается от случая
дискретного времени лишь тем, что состояния (и их
классы) не могут быть периодическими. Если все состоя-
состояния 1, ..., N цепи Маркова с непрерывным временем
сообщаются, то существуют
и предельное распределение л = (jii, ..., nN) является
единственным решением системы линейных уравнений
21
153
§ 1. Разные задачи
5.1°. Случайные величины |( (? = 0, ±1, ±2, ...) не-
независимы, М?( = a, D|, — о2. По действительным числам
со, сь ...» сЛ, удовлетворяющим условию со + с\ + ...
... + cft~l, построен случайный процесс
Л* scoi( + ci|,-i+ ... + <:,&_*, f = 0, ±1, ±2, ...
Найти Mrj,, Dt];, cov(ti(, т]8). Показать, что cov(r|() г\,)=*
= /?(|s — t\), т. е. зависит только от \s — t\.
5.2°. Пусть выполнены условия задачи 5.1.
а) Доказать, что последовательность случайных ве-
величин
Сп в 4 Oh + • • • + Лп)
при п -+• оо сходится по вероятности к а = М|*.
б) Сходится ли ?п к а с вероятностью при гс -*¦ °°?
5.3. Пусть выполнены условия задачи 5.1 и, кроме
того, а = 0, М^ = с < оо.
а) Доказать, что для любого целого s ^ 0 последовав
телыюсть случайных величин
при п -*¦ оо сходится по вероятности к R(s).
б) Сходится ли ?nJ к й(«) с вероятностью 1 при
5.4°. Случайный процесс |j, f = 0, ±1, ±2, ..., опре-
определяется формулой
где ct, p, {ej}JL_eo — независимые случайные величины,
Ма = 0, Da=l, p имеет равномерное распределение на
отрезке [—л, я], Ме( = 0, Dee = а2. Найти M|t, D|(,
cov(|,;|e).
5.5°. Случайный процесс |f, — °° < f < °°, задан фор-
формулой
|, = sia(t
где Tii и т]2 независимы и имеют равномерное распреде-
распределение на отрезке [—1, 1]. Найти М?,, D?(, cov(?,, |e).
5.6. Случайный процесс ?,, —oo<f<oo( задан фор-
формулой
154
где ?i и ?s независимы и имеют равномерное распреде-
распределение на отрезке [—1, 1]. Найти плотность распределения
случайной величины Ц = sup?(.
г
5.7*. Случайные величины ось осг, ... независимы и
одинаково распределены, M«i = 0, Da* = 1. Случайные
величины pi, рг, ... независимы, не зависят от cti, ссг,
и имеют равномерное распределение на отрезке [—гс, л].
Последовательность случайных процессов r)i(f), т]2 (?)»•••
определяется равенством
п
Цп @ = тт^ 2 a* cos V + Pft)-
а) Найти предельное распределение r\n(t) при гс -*- °°(
t = const.
б) Доказать, что м»@= 6ncos(? + ^п). Найти предель-
предельное распределение вектора ("/л, 9*) при w^-°°.
5.8°. Случайный процесс е(, 0^i<°°, с вероятностью
1 имеет непрерывные траектории, Me, ^= 0, De* < °о,
cov(e(, b8) = R(\t — s\) при любых t, s>0. Пусть л<—
= J eudw, f >0. Найти МЧ(, Dt](, cov(ti/, т]в).
о
5,9°. По траектории случайного процесса ?(t f > О,
определяется случайная величина
Найти функцию распределения FN(x)^ P{%N ^ ос) при
iV>0 в следующих случаях:
а)Ь-С, где Р{?<4м1"-E^й (ж>0, ft>0),.
б)" |( = t2 - 2*t, где Р{^ я) - 1 - «г** (х > 0),
в) li^te"', гДе а>0 и Р{? <л> = 1 - е~'м {х>0).
5.10. По последовательности ?о, 1ь ••• независимых
одинаково распределенных случайных величин построен
случайный процесс r\h==th+i — Ь» ^ = 0, 1, ... Положим
Найти Mti и Мтг в следующих трех случаях;
а) р{|0-1}-Р{|0 = 2} = 1/2,
б) Р {go « 1} = Р Цо = 2} = ... = РЦо = Л - 1Д
в) ?о имеет равномерное распределение на отрезке
[0, 1].
155
5.11. Найти распределение корня т случайного урав-
уравнения ^я + т^^О, где | а ц — независимые случайные ве-
величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
5.12, По последовательности ?i, ?2, ... независимых;
случайных величин, имеющих стандартное нормальное
распределение, строится траектория случайного процесса
It {t>0): |о*=О, !*-& + ...+ ?» при любом целом к>
> 1, *а при ?€=(&, fe+lI & = 0, 1, ..., графиком траекто-
траектории |, является отрезок, соединяющий точки (&, |*). и
(fc+1, ?А+1), т. е.
Найти математическое ожидание числа |xft нулей процес-
процесса |( на полуинтервале [0,&) (к > 1 — целое) и асимп-
асимптотику M|ift при к -¦- оо.
5.13. Случайный процесс |п(лг), —°°<а;<оо, опреде-
определяется равенством
где случайная величина ?о не зависит от случайного век-
вектора (?ь ..., t,n) и имеет непрерывную функцию распре-
распределения. Доказать, что при любых фиксированных х и а
5.14. Доказать, что если выполнены условия задачи
5.13, то с вероятностью 1 все действительные корни мно-
многочлена |п(#)—простые.
5.15. Случайный процесс |я(#), — <*> <х<.°°% опреде-
определяется равенством
Ы*)8*8 to+Eis+ ... + ?»*•,
где Со, Си * • ••> С* — независимые случайные величины,
имеющие нулевое математическое ожидание и единич-
единичную дисперсию. Найти M|n(#), D|n(o:), cov(|n(^), t*(y))-
5.16. Доказать, что если выполнены условия задачи
5.15, а случайные величины ?о, Си •••* ?п независимы и
имеют стандартное нормальное распределение, то при лю-
любых действительных хи *.., xh вектор (Ь,п(х\), ..., ^n{xk))
имеет многомерное нормальное распределение.
5.17*. Случайный процесс |п(#), —°° < ос < «>, опре-
определяется равенством
гДе ?о, Си • • ¦•> Сп — независимые случайные величины!
156
имеющие стандартное нормальное распределение. Исполь-
Используя результаты задач 5.15, 5.16 и 3.266, доказать, что
lira 4~ Р {In(х) In (x + h)<:0} =
Л-»0 п
-** \
= 1.
На рис. 6 приведены графики функции (
^). Доказать, что при п f oo функции ?»(#), монотон
но возрастая, стремятся к функции g(^) =
4
3
2.
1
О
5.18. Случайные величины ^i, ?g, - • • независимы ж
имеют одно и то ж© распределение на множестве {—1, О,
1, 2, ...} с производящей функцией f(s) = Ms5*. По слу-
случайному блужданию
построим случайные величины ть тг> ,..:
fmin {п: рп = ~ Щ, если inf р„ < — /с,
h = (оо в противном случае.
а) Доказать, что производящие функции q^ (s) =
связаны соотношениями щ (s) = tpj E), а производящая
функция ф1 (s) являетсярешениемуравнения s/(q)i(s))= 1.
б) Найти функцию <pi(s), если
P{h=k}~{l-p)pk+l, Л--1,0, 1, ...
157
в) Найти функцию <pi(s), если
5.19. По случайному блужданию рп, определенному в
задаче 5.18, построим случайную величину ц = inf рп.
а) Найти распределение ц.
б) Доказать, что Р([х > — °о} « 1 тогда и только тогда,
когда Mli > 0 или P{?i = 0} = 1.
5.20. Показать, что если ро = 0, рп *- h + ... 4- ?п —
случайное блуждание, построенное по независимым оди-
одинаково распределенным случайным величинам ?i, |г, . - •*•
РЦп - 1} - Р{|п - -1} = 1/2, п - 1, 2
то справедливы: следующие соотношения:
а) МРп « 0, DPn « W| P {Pan+1 - 0} - 0, Р ф2п -0} =
п— 1
,г0
5.21. Случайные векторы |ь ^2, ... в d-мерном евкли-
евклидовом пространстве независимы и при любом к — 1, 2, ..t
где llfc| —евклидова длина gft. Построим случайное блуж-
блуждание ро^О, рп = ?г+ Д1. + |п ('< > 1). Доказать, что
Мрп'— 0,- М| рп |2 = а? + р.. + с^п.
5.22. Случайные векторы 1» ¦= (|ft, ь • •.» \к, *) (к —
» 1,2, ...) в d-мерном евклидовом пространстве незави-
независимы .и имеют равномерное распределение на единичной
сфере
S*-1-!^!, ...,zd)e=tfd: x\+ ... +^d= II.
Пусть pn = §i + ...+ |в и |рп| —евклидова длина векто-
вектора рГ1. Найти MlpJ2, Dlpnl2.
5.23. Пусть выполнены условия задачи 5.22. Доказать,
что при любом а > 3/2
(lim
lim JM _ ol - 1.
5.24*. Случайные величины tu Ъ* • • • независимы,
принимают значения 1 и —1 с вероятностями р и дс
158
— 1 — р соответственно, и
So = 0, Sn = ii + .,. + U w«l, 2, ...
Обозначим через v число таких п, что 5п — 0.
а) Показать, что если р Ф q, то P{v<°°> —1;
б) показать, что если р = q=^ 1/2, то P{v — °°} = 1.
5.25*. Независимые случайные векторы g№ = (%n,u • • •
• ¦ ч In,s)^.fis, n=l, 2, ..., имеют независимые компонен-
компоненты и P{|n<i-l) = P {1пЛ = - 1> 1-,1 ^ i^s, n-1, 2, ...
Положим 5„ = |i + ... + |„, п = 1, 2, ..., и обозначим че-
через v число таких п, что ?„=@, ..., 0). Показать, что
p{v = оо} = 1 ПрИ s = 2 и что P{v < оо} = 1 при s > 3.
5.26. (Тождество Вальда.) Пусть случайные ве-
величины |i, ^2, ... независимы, М|* = а, Ml|il<C<<»
(г>1). Пусть BxaR\ ^2с=й2, ВгаВ.г, ... — произволь-
произвольная последовательность измеримых множеств, и случай-
случайная величина v определяется равенством
(v = оо) если (Ъ,и •••> |п)^-^п при любом w<oo). Исполь-
вуя равенство
2 S a{>}S (x{0
(где х^^ — индикатор события .4), доказать, что если
Mv < оо, то
5.27. Проверить справедливость установленного в за-
задаче 5.26 равенства в следующих случаях:
a) p{|<=l} = p{|i = -i} = l/2j v
Объяснить результаты.
5.28, Случайные величины |i, |г, ... независимы и
одинаково распределены, а « M|i > 0 и P{||i I < С} — 1
при некотором С < оо. Пусть ро =* 0, pn = |i + ... + ?„
(п> 1) и iVt ¦= inf {w>0: Sn>t). Доказать, что при лю-
любом t > 0
159
5.29. Случайные величины pi, рг, ... при любом целом
п ^ 1 удовлетворяют условию
M{pn+ilpi, ..., р»} >р„.
Доказать, что при любых целых &, п> 1
M{pn+ftlpi, ..., pJ > р».
5.30*. Неотрицательные случайные величины рь рг,
при любом целом п ^ 1 удовлетворяют условию
M{prt+ilpi, ..., рп> >р«.
Доказать, что для любого 6 > 0 и любого целого п > 1
P{max{Pl pn}>6}<^.
5.31, Случайные величины |if ^2, ».. независимы,
М|* = 0, i = 1, 2, ... Доказать, что для любого б > 0 я
любого целого п > 1
Pfmax
5.32, (Неравенство Колмогорова.) Случайные
величины |ь |2, ... независимы, Mgi = 0, Dgt = of < 00
(г = 1,2, ...). Доказать, что для любого 6>0 и любого
целого п > 1
Р (шах
§ 2. Пуассоновские процессы
5.33°. Найти cov(|(, gt+«) при f, s > 0, если:
а) ?* — пуассоновский процесс на [0, °о) с интенсив-
интенсивностью Я,
б) |t — пуассоновский процесс на [0, °°) с интенсив-
интенсивностью X(f).
5.34. Пусть {т^}^! @ < ti <T2 < ...) —положения то-
точек пуассоновского потока на [0, °°) с интенсивностью X.
Доказать, что при любом f>0
5.35. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти
Мт&, Dxft и плотность ^ь(х) распределения rk.
160
5.36. Пусть выполнены условия задачи. 5.34. Найти:
а) плотность р (х\9 ..., xk) совместного распределения
случайных величин Т|, хг, ..., xft,
б) ?{xi^x\%2>T}1 0<х<°°,
в) Р-{Т1 ^ х\тх < Г < х2>, 0< Ж Г.
5.37. Пусть выполнены условия задачи 5.34. Найти
условную плотность рт{яи •••) %ь.\ совместного распреде-
распределения случайных величин Ть ..., хА при условии, что
хА < Т<. тц+ь Сравнить Рт(хи ..., xk) с плотностью.
Ят(хи • ••, xk) совместного распределения членов вариа-
вариационного ряда 6(i) <5B><...<5(*)т построенного по не-
независимым случайным величинам |i, ..., |А, имеющим
равномерное распределение на отрезке [О, Т].
5.38°. Найти математическое ожидание числа точек
пуассоновекого потока с интенсивностью X, принадлежа-
принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что справа от каждой из
них в интервале длины Д нет других точек этого пуас-
пуассоновекого потока,
5.39°. Найти математическое ожидание числа точек
пуассоновекого потока с интенсивностью к, принадлежа-
принадлежащих интервалу (О, Т) и таких, что расстояния от каж-
каждой из них до ближайших точек пуассоновекого потока
не меньше Д.
5.40°. Пусть {ч}^„_со— положения точек пуассоновеко-
пуассоновекого потока на (—°°, °°) с интенсивностью "К. Перенумеруем
случайные величины тЛ так, чтобы они удовлетворяли
условиям 0«3 |т@I «3 1ТAI =5...
а) Как можно описать последовательность {| Т(ь) |}/J=o?
б) Что можно сказать о последовательности 0ft =¦
= т(й)/1т(ЬI, к = 0, 1, 2, ..., знаков чисел t(A)?
5.41°, Пусть 0 ^ ti < тг < ...— положения всех точек
пуассоновекого потока на [0, °°) с интенсивностью А.«
«Проредим» этот поток, исключая из него каждую точку
независимо от остальных с вероятностью р, где р — дан-
данное число, 0 < р < 1. Доказать, что прореженный поток
является пуассоновским. Чему равна его интенсивность?
5.42°. Пусть р{&)— кусочно-непрерывная функция,
принимающая значения из отрезка [0, 1], а 0 < Ti <
< тг < ...— положения всех точек пуассоновекого потока
на [0, ©о)' с интенсивностью Х(х). «Проредим» этот поток,
исключая из него каждую точку xft независимо от
остальных с вероятностью p(xft). Доказать, что прорежен-
прореженный поток является пуассоновским. Чему равна его ин-
интенсивность?
И А. М. Зубков и др. 161
5,43°, Моменты поступления требований в систему мас-
массового обслуживания образуют пуассоновский поток- на
(—оо, со) с интенсивностью X. Каждое требование неза-
независимо от остальных находится в системе случайное
время т с Р(т < х) « G(%)t Мт < ©°« Найти распределе-
распределение числа |t требований в системе в момент &
5.44. Для системы массового обслуживания, описан-»
ной в задаче 5.43, найти функцию /(?)=» Р{|, — 01 go *=0>.
Убедиться в том, что j(t) монотонно не возрастает
по t.
5.45. Случайно расположенные на плоскости точки
образуют пуассоновское поле с интенсивностью Я, т. е,
число точек в любой квадрируемой области S имеет пуас-
пуассоновское распределение с математическим ожиданием
XI5I, где 151 — площадь области St и числа точек в не-
непересекающихся областях независимы. Пусть pi ^
< Р2 ^ ...— упорядоченные по возрастанию расстояния
от начала координат до точек этого поля.
а) Как можно описать последовательность {рд}?^1?
б) Найти плотность рп(я) распределения р„, точную
формулу для Мрп и асимптотику Мрп при »-»-«>.
5.46. Случайно расположенные в пространстве В.г точ-
точки образуют пуассоновское поле с интенсивностью Я,
т. е. число точек в любой измеримой области V имеет
вуассоновское распределение с математическим ожида-
ожиданием %W\, где |У| —объем области Ft а числа точек в
непересекающихся областях независимы. Ответить на те
же вопросы, что в задаче 5.45.
5.47. Автобусы прибывают на остановку в случайные
моменты времени xi < Тг < ... Случайные величины ц,
Т2, ... независимы и тп имеет равномерное распределение
в интервале (п — 1, п).
а) Найти плотность р(х) распределения интервала
6„ = Tn+i — т„ между автобусами.
б) Найти плотность Pkfau #2)' распределения двумер-
двумерного вектора (б„, б«+Л) при к — 1, 2, ...
в) Моменты |i и |г прихода двух пассажиров на оста-
остановку независимы и имеют равномерное распределение
на интервале @, 1). Найти вероятность того, что они
ноедут на одном и том же автобусе.
г) Моменты gt и 5г прихода двух пассажиров на оста-
остановку независимы, gt имеет равномерное распределеоие
на интервале @, 1), а |г —на интервале A, 2). Найти
вероятность того, что эти пассажиры поедут на одном
автобусе,
162
д) Пассажир приходит на остановку в случайный мо-
момент |, имеющий равномерное распределение на интер-
интервале @, 1). Найти математическое ожидание, дисперсию1
и плотность _<?(л?) распределения времени ожидания
автобуса.
5.48. Решить задачу 5.47 в случае, когда последова-
последовательность ti < Т2 < ... моментов прибытия автобусов на
остановку образует пуассоновский поток с интенсив-
интенсивностью 1. Сравнить полученные результаты с результа-
результатами решения 'задачи 5.47.
§ 3. Цепи Маркова
5.49. Цепь Маркова |t имеет множество состояний
{—6, —5, ..., О, 1, ..., 6). Переходные вероятности p{i =
^ И|(+1 — }\%t ~ ?) при 1Ф 0 определяются соотношениями
1, если / = i -h I < 0 или / == I — 1 > О,
О в остальных случаях.
Провести классификацию цепи Маркова и множества ее
состояний, если:
б) />о, б — Ро, -6 ~ 1/2, ро, < — 0 (|с! Ф 6),
5.50. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова
имеет вед
/0,1 0,5 0
Р = 0,6 0,2 0,2
\0,3 0,4 0,3,
Распределение по состояниям в момент времени t = 0
определяется вектором @,7; 0,2; 0,1). Найти:
1) распределение по состояниям в момент f=2;
2) вероятность того, что в моменты t = 0, 1,.2, 3 со-
состояниями цепи будут соответственно 1, 3, 3, 2;
3) стационарное распределение.
5.51. Пусть |t — номер состояния в цепи Маркова в
момент времени t; P(?o=l)=l, и матрица вероятностей
перехода имеет вид
/3/7 3/7 1/7 \
1/11 2/11 8/11 ;
\1/11 4/11 6/11/
положим
\ir если 1(= 1,
^1 [23 если |t Ф1.
11» 163
Показать, что последовательность т], является цепью Мар-
Маркова. Найти ее матрицу вероятностей перехода.
5.52. Случайные величины |(, t = 1, 2, ..., незави-
независимы и
—1)—1 —р—«.
Положим т]о = 0; r]*+i — r\t + |,+ь Является ли последо-
последовательность T]t цепью Маркова? Найти P^t^m), m =
-О, 1, 2,,..
5.53. Пусть |(, i=l, 2, ...,— независимые случайные
величины, p(g( = 1)=*1 — Р(|, ==—1)= р являются ли це-
цепями Маркова последовательности случайных" величин:
а) Tjt^ltlt+r,
б) Ti*«6i|2..-6t;
в) ч*е(р(Ь, S*+i), „где ф(-1, -1)=1, ф(-1, 1)=2,
, -1) —3, <рA, 1)~4?
Для цепей Маркова най!и вероятности перехода за
один шаг.
5.54. В N ячейках последовательно независимо друг
от друга равновероятно размещают частицы. Пусть
Мю(га)— число ячеек, оставшихся пустыми после разме-
размещения п частиц. Показать, что последовательность ц-о(я),
я—!, 2, ..., является цепью Маркова. Найти вероятно-
вероятности перехода.
5.55. В N ячейках независимо друг от друга разме-
размещаются комплекты, состоящие из т частиц. Частицы
одного комплекта размещаются в ячейках по одной, и все
возможные выборы та мест из W имеют одинаковые ве-
вероятности. Обозначим через цо(и) число ячеек, остав-
оставшихся пустыми после размещения п комплектов. Пока-
Показать, что последовательность йо(^), га—1, 2, ..., является
цепью Маркова. Найти вероятности перехода.
5.56. Урна вначале содержит JV белых шаров. За 1
шаг из урны по схеме случайного равновероятного выбо-
выбора вынимают 1 шар и заменяют его новым, который —
независимо от предыстории процесса — является черным
с вероятностью р и белым с вероятностью q «-= 1 — р. Обо-
Обозначим через |„ число белых шаров в урне после га-го
шага.
а) Найти рч-Р^+г»/I|п-«}, i, /e{0, 1, .... /V).
Является ли последовательность |п цепью Маркова?
б) Найти UmP{ln = к} = nh, /с<={0, 1 JV>.
5.57. В бесконечной последовательности занумерован-
занумерованных шаров каждый шар независимо от остальных явля-
164
ется черным с вероятностью р. и белым о вероятностью
q = 1 — р. Будем считать, что в момент времени п ^
s {0, 1, ...} урна содержит шары с номерами п + 1,
п -Ь 2, ..., п + ДО, и обозначим через |„ число белых ша-
шаров в урне в момент п. Ответить на те же вопросы, что
в задаче 5.56,
5.58. Матрица ^ = || Pi?|u=i о неотрицательными эле-
элементами называется дважды стохастической,, если рп +
+ Рг2 + • - • + PiN =* />Н + ?2< + • . . + PKi я 1 ДЛЯ ЛЮбОГО С =-
= 1, 2, ..., ДО. Показать, что если цепь Маркова ?( с со-
состояниями 1, ..., ДО имеет дважды стохастическую матри-
матрицу вероятностей перехода Р =* ||pij||i,j=t* то равномерное
распределение на множестве A, ..., ДО} является стацио-
стационарным для цепи, |(.
5.59. Пусть %о, ^i, ...— цепь Маркова с множеством
состояний {1, 2, 3}, матрицей вероятностей перехода Wp^W
и стационарным распределением тс,. Показать, что если
Ри=Р22!=РЫ = 0 И Я1=-Я2^Яза 1/3, ТО Pi2 =" j?23 e ?3\
И Р13 = Р21 ^^32-
5.60. Пусть г]ь т]2, ...— последовательность независи-
независимых одинаково распределенных случайных величии, и
fixi У') — функция, принимающая значения в множестве
И, ..., ДО). Является ли последовательность случайных
величин
So ( Р (go - fc) - pf), |,+1 = / (Ь, lh+I),
цепью Маркова?
5.61. Пусть rjo, T|i, TJ2, ...— последовательность неза-
независимых случайных величин, имеющих равномерное рас-
распределение на отрезке [0, 1]. Показать, что для любого
начального распределения р =- (р[°\ ..», pffl) и для лю-
любой матрицы переходных вероятностей -Р =-j Ру Ци-i мож-
можно указать такие функции /(х, у) и g(y)'(x&{l, «.., ДО),
у ^[0, 1]), что последовательность §<>«g"(y]o)» |*+i *¦
^/(If* ^l*+i)» * —0, 1, ,,., будет цепью Маркова о на-
начальным распределением р<0) и матрицей вероятностей
перехода Р.
5.62. Игральная кость последовательно перекладыва-
етси с одной грани равновероятно на любую из четырех
соседних независимо от предыдущего. К какому пределу
стремится при t -*¦ <*> вероятность того, что при t-u пере-
перекладывании кость окажется на грани «6», если сначала
она находилась в этом же положении?
165
5.63. Цепь Маркова It имеет два состояния: 1 и 2 —
!р 1 — р \
и матрицу вероятностей перехода I q 1 х ). Пусть т^3
а) Найти условное распределение т при условии
6о-1.
б) Как изменится ответ, если матрица вероятностей
перехода будет равна
5.64. Матрица вероятностей перехода 11рц11 цепи Мар-
Маркова g( с п ¦+• 1 состояниями имеет вид: р« •= 1 — оь, с —
= 1, 2, ..., п+1; ру«=оь/», i^/. В процессе, начавшемсн
из состояния /с, ft*?*5 га+ 1, обозначим через т« момент пер-
первого попадания в состояние п+1. Подобрать последова-
последовательность Ап (Л«-*-оо при п -*¦ оо) так, чтобы существо-
существовал предел
lim P
и найти его.
5.65. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова
?пБ) с множеством состояний A, 2, 3) имеет вид
/ i — Р р 0
где 0 < р < 1 — е «3 1. Предполагая, что . Йе) ^ 1* рассмот-
рассмотрим случайную величину тг(е) = min (га^ 1: |пе) = 1( —
время возвращения в состояние 1.
а) Доказать, что при любом t — 1, 2, ...
е-* о
б) Показать, что Mti@)<°°, но НтМт1(е) ~ оо. .
в) Найти производящую функцию фе (s) = MsVfc).
5.66. Цепь Маркова |„ имеет начальное состояние
|о — 0 и переходные вероятности
?{1п+х ~к + 116» - ft) - p, P(|n+i » /c||n « ft) - 1 - А
где к, п«0, 1, ... и 0<р<1. Найти распределение |ftt
математическое ожидание и дисперсию %пщ
166 - -
5.67. По цепи Маркова |п, описанной в задаче 5.66»
построим последовательность случайных величин
то = 0, тЛ = min {п: |п =* к), к = 1, 2, .. •
а) Доказать, что {т&}?°=о—тоже цепь Маркова. Найти
ее переходные вероятности.
б) Найти Мть, йть, щ (s) = Ms1*.
5.68. Цепь Маркова |п имеет начальное состояние
go — 0 и переходные вероятности
Р{|я+| = к + Щ,, - Л:} = р, РAп+1 - 01 |п = Л:) - 1 - р,
где Л, я е @, 1, ...} и 0 < р < 1. Положим
то «0, тЛ = min {n ^ 1: |n = /с}, /с = 1, 2, ....
а) Найти производящую функцию щ (s) = MsTft и Мт^.
б) Найти предельное распределение случайной вели-
величины r\k = 7лт~ ПРИ ^ "*" °°* пользуясь результатом п. а)"
и методом характеристических функций.
5.69. Переходные вероятности цепи Маркова |« прд
любом п —0, 1, ... определяются равенствами
P{|»H.i«ft-ll|»«W«l-p, ^=1, 2, ...
Пусть ti, j — время перехода цепи |п из состояния I в со-
состояние /:
P(ti, - t) = P(min {» > 1: |„ »/} « «||0 « с>,
«-1,2,...
а) Найти производящую функцию фо, !($)=» Ms'0»1 и
Мто, I.
б) Найти рекурреитные формулы, связывающие про-
производящие функции ipft.ft+i E) = MsTfe-fe+i (fe « 0, 1, .,.).
в) Используя результаты пп. а) и б), составить и ре-
решить рекуррентные уравнения для MTft)ft+i, к — 0,1, ...
Найти асимптотические формулы для Мто,ь при к -*¦ <*.
5.70. Пусть ||, |г, ...— независимые одинаково рас-
распределенные случайные величины, P{|t = 1} =» P{^t =-
= -1) = 1/2; Zo^O, 2A = zh_! + |ft, к = 1, 2, ... Положим
tw = min {n > 1: UJ = M. Найти Mti, Мтг, Мтз.
5.71. Пусть последовательность Zo, zi, ... определена
как в задаче 5,70, Показать, что Мтл> = ./V2,
1G7
5.72. Движение частицы по целым точкам отрезка
[О, ЛГ| описывается цепью Маркова с N 4-1 состояниями
и вероятностями перехода за один шаг poi — pstfmm 1;
Pi. hi — P. Pi,i-\ = t-p=*q (i = 1, .'.., iV - 1). Пусть
!(?)— положение частицы в момент t ж t»min(t:
== #}. Показать, что
(РФ4)Г
5.73. Движение частицы по делым точкам отрезка
[О, N] описывается цепью Маркова с N Л-1 состояниями
и вероятностями перехода за один шаг роо = Pnn^ 1>
P<,i+i = P, Pi.i-i^q (*«1, ..., iV-l). Пусть 6@ —
положение частицы в момент t, Pu(t) = P{%(t)=j\%@)= с).
Найти вероятности поглощения частицы в точках 0 и N:
*40) = lim pk0 (t), n{N) - lim phN (*).
5.74. Вероятность появления брака при изготовлении
изделия равна л» При каждой проверке в ОТК наличие
брака обнаруживается с вероятностью q; в случае обна-
обнаружения брака изделие возвращается на доработку. После
доработки изделие независимо от предыстории может ока-
оказаться бракованным с вероятностью г. Доработанное из-
изделие снова поступает в ОТК, и цикл повторяется до тех
пор, пока ОТК не пропустит изделие как бездефектное.
Построив цепь Маркова, соответствующую описанному
процессу, найти:
а) распределение числа % раз прохождения изделия
через ОТК;
б) вероятность того, что изделие, признанное ОТК
бездефектным, в действительности является бракованным,
5.75. В городе N каждый житель имеет одну из трех
профессий: Ау В, С. Дети отцов, имеющих профессии Л,
В, С, сохраняют профессии отцов с вероятностями 3/5,
2/3, 1/4 соответственно, а если не сохраняют, то с рав-
равными вероятностями выбирают любую из двух других
профессий. Найти:
1) распределение по профессиям в следующем поколе-
поколении, если в данном поколении профессию Л имело 20 %
жителей, В — 30 %, С - 50 %;
2) предельное распределение по профессиям, когда
число поколений растет;
168
3) распределение по профессиям, не меняющееся при
смене поколений.
5.76. По двум урнам разложено N черных и N белых
шаров так, что каждая урна содержит N шаров. Число
черных шаров в первой урне в момент t — О, 1, 2, ...
обозначим |*. В каждый целочисленный момент времени
случайно выбирают по одному шару из каждой урны и
меняют их местами. Показать, что |( является цепью
Маркова со стационарным распределением
р =
1/12
0
0
0
0
1/12
0
0
0
0
3/12
3/4
1/2
¦0
0
1/12
1/4
1/2
0
0
4/12
0
0
1/3
2/3
2/12
0
0
2/3
1/3
5.77. Матрица вероятностей перехода Р и распределе-
распределение q по состояниям в момент t =* 0 цепи Маркова |(
имеют вид
й/12 2/12 1/12 3/12 1/12 2/12
1/12 3/12 1/12
0 3/4 1/4
0 1/2 1/2
0-0 0
0 0 0
G = A/2, 1/2,0, 0, 0,0).
Найти:
а) несущественные состояния;
б) математическое ожидание времени т до выхода иа
множества несущественных состояний;
в) вероятности pt, pf попадания в классы состоя-
состояний а = C; 4), ? •= E, 6), если начальным состоянием
является х ^ A, 2);
г) предельное при t -*¦ <*> распределение по состояниям,
т. е. величины nh =* lim P (|( = к).
t-*00
5.78. Цепь Маркова ?„ имеет начальное
— 0 и переходные вероятности
состояние
ъП+1
— Л|Е» — А> — 1 — -^е-
{0, 1, ...} и а > 1. Составить рекуррентные
>?П) е= Р {§„ «s к} И С ИХ ПОМОЩЬЮ
где к, п
уравнения для величий
найти №cfin и Оап,
если все собственные числа Хи
5.79. Показать, что
, К матрицы А = Цау|?л=х различны.
то
элементы
169
матрицы ЛГ — Jtf^HJj*,! представляются в виде
5.80. Показать, что если матрица Л = ||а^|[?^
имеет собственные числа A-i, ..., Яг, причем кратность
равна $и $\ + ... + sr =*= я, то элементы матрицы Л
в II aif) I"i-i представляются в виде
5.81. Используя задачи 5.79 и 5.80, показать, что по-
получение формулы для вероятности перехода за п шагов
из состояния ев состояние / в цени Маркова с N со-
состояниями может быть сведено к нахождению собствен-
собственных чисел матрицы Р •= ||Pij|kj-«i вероятностей перехода
ва один шаг, вычислению Р, Р2, ..., pN~l ц решению си-
системы линейных уравнений.
5.82. Матрица вероятностей перехода Р — Wptfi цепи
Маркова |, с состояниями 1 и 2 определяется формулами
рп *=* 1 — a, put — a, p2i *= р, р22 =* 1 — р.
Найти вероятности р«(*) перехода ва время / в стацио-
стационарные вероятности п(,
5.83. Для цеди Маркова |,, рассмотренной в задаче
5.82, обозначим через vi(f) число попаданий в состоя-
состояние 1 за время t. Показать, что для любого / = 1, 2 при
t -* оо
5.84. Пусть выполнены условия задачи 5.83. Показать,
что для любого е > 0 и любого / =* 1, 2
5.85. Пусть выполнены условия задачи 5.83. Положим
то в 0 и введем случайные величины
тк — mm it > tv-i: |* — 1), ft — lf 2, ...,
т. е. тЛ — момент fc-ro попадания в состояние 1. Тогда
170
vi(fj— max {/с: xh =S t} — хчисло поцаданий в состояние- 1
аа первые t шагов.
а) Доказать, что случайные величины б* ¦= хк+\ — Tft,
ft "*» 1, 2, ..., независимы, не зависят от 6oeTi и что
p{6ft«»77i} = P{6o=»ml|o = l}1 ft, лг« 1, 2, ..%.
Найти M6i, D6i, M{6ol|o « 2}, D{6ol?o — 2}.
б) Используя п. а) и задачу 4.140, найтн такие чис-
числа at и bt (?~1, 2, ...), что распределение случайной
V1(t)-ai
величины Til™3 ~~^~ь ПРИ t -*¦ °° сходится к стандарт-
стандартному нормальному распределению.
5.86. Пусть цепь Маркова ?* с состояниями 1Т ..., N
имеет матрицу вероятностей перехода Р = ЦруЦи»!
удовлетворяющую условию
Показать, что если ji=(jti, ..., я*)— стационарное рас-
распределение цепи |(, то
N
|
5.87. Пусть |( и %'t — цепи Маркова о матрицами
вероятностей перехода Р= Jpy \\u=i и Р' = \p'ij\u**i еоот-
ветственно, а я *= (Jtj, .,., jtjv) и я = \Я!, ..., я^^ —
стационарные распределения этих цепей. Следует ли из
близости элементов матриц Р и Р1 (например, из малости
величины 2 |pij — Р\}\) близость векторов я и я'?
5.88*. Частица совершает случайное блуждание по
множеству точек плоскости с целочисленными координа-
координатами. За единицу времени частица перемещается на еди*
ничное расстояние параллельно одной из осей координат.
Посыле прохождения каждого единичного отрезка частица
выбирает направление дальнейшего движения: либо про-
продолжать движение в том же направлении, либо повернуть
налево, либо направо (каждый из этих вариантов выби-
выбирается с вероятностью 1/3 независимо от предыдущих
движений частицы). Пусть ?п — (?п хьп) — положение
171
частицы в момент п. Найти М?„ при условии, что ?о —
-<0, 0), Ci-A, 0). .
5.89. Вероятность того, что атом радиоактивного эле-
элемента, существующий в момент t, распадется на интер-
интервале B, ?-ИА), при h I 0 имеет вид ah-\-o(h) и не за-
зависит от предыстории процесса. Найти:
а) вероятность того, что время т до распада атома
будет больше J,
б) период полураспада, т. е* такое число Т, что Р{т >
> Т) « 1/2,
в) плотность pn(t) распределения времени до распада
хотя бы одного из п существующих в момент t *= 0 и
независимо ведущих себя атомов.
5.90. Пусть |* — цепь Маркова с непрерывным вре«
менем и множеством состояний {1, 2). Вероятности пере-
перехода рц(к)*= P{|(+h «/ll* » i) удовлетворяют условиям
Pia(A)«aA + o(A)f psi(A).« §h + o{k)t h \ 0.
Найти p*(f), t>0, «,/S{1, 2).
5.91. Пусть P(a-e)(*) « I Pi?lp) (Oil —матрица вероятно-
вероятностей перехода за время t депи Маркова |() описанной
в задаче 5.90,, ai« 1Х 12 I — стохастическая матрица.
\а21 в22/
Доказать, что для любого фиксированного числа и > О
цепь Маркова |(, удовлетворяющая условию
существует тогда, и только тогда, когда а\\ + а2г > 1-
5.92. Для цепи Маркова &, определенной в задаче
5.90, обозначим через %h(t) (к = 1, 2) суммарную дли-
длительность пребывапия депи в состоянии к за время ?.
Найти Wj(t)e M{xi(^) l|o =* О и главный член асимпто-
асимптотической формулы для b\ (t)= D {xt (t) | g0 =» i} при
f -*¦ oo,
5.93. Движением точки по прямой управляет цепь
Маркова, определенная в задаче 5.90: если цепь Маркова
находится в состоянии 1, то точка движется в положи-
положительном направлении со скоростью t>i, а если цепь Мар-
Маркова находится в состоянии 2, то точка движется в от-
отрицательном направлении со скоростью г>2. Пусть rj, —
координата точки в момент t. Найти
M({t, ?)«M{f)t|t)o--2, Ъа=*Я, t>0t S = l, 2,
172
и асимптотику В\ (t, х) = D j r\t | % =» х, l0 = i), г = 1, 2,
при ? -> оо.
5.94. На телефонную линию могут поступать вызовы
двух типов:, простые и срочные. Любой вызов, поступаю-
поступающий на свободную линию, ванимает ее. Простой вызов,
поступающий на занятую линию, получает отказ и теря-
теряется. Срочный вызов, поступающий на занятую линию,
обрывает ведущийся в этот момент разговор и сам зани-
занимает линию. Моменты поступления простых и срочных
вызовов образуют пуассоновские потоки с интенсивностя-
ми cti и ct2 соответственно. Вероятность того, что разго-
разговор, ведущийся в момент ?, окончится на полуинтервале
(t, t+h], не зависит от предыстории процесса и от типа
вызова и имеет вид $h + о(А) при h \ 0.
Построить цепь Маркова с тремя состояниями, соот-
соответствующую описанному процессу. Найти ее матрицу
интенсивностей переходов и предельные вероятности Jti,
Л2 и яз того, что линия соответственно свободна, занята
простым вызовом и занята срочным вызовом.
5.95f Цепь Маркова |( с непрерывным временем име-
имеет множество состояний {0, 1, ..., N), а вероятности
pij(h)— Pi%t+h *= /l?t — i) перехода из состояния i в со-
состояние / за время h удовлетворяют при h \ 0 ус-
условиям
poo(h).= I ^ah + o(h), pNN(h)= 1 - рй + о(Л),
р«'(А)—1-(а
P(-i.i(A)—aft + o(A),
PaW=o(h), если \i-]\ > 1,
где a, ? — фиксированные положительные числа.
а) Составить систему дифференциальных уравнений
Д 0 # 0
б) Найти л^т - lim p (t)f / - 0, 1* •.., ДГ» как функ-
ции^от 6 « a/Р. Показать^ что если 6 « 1Г то jigW) — .,,
(JV) 1
в) В случае в < 1 найти щ «=» Нш п}^ / = 0. 1, ..
а в случае 6> 1 найти jtj « Ига л^, j г=0111 .. л
173
Глава 6
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
В математической статистике исследуются способы
получении выводов на основе эмпирических данных. Слу-
Случайной выборкой объема п (или просто выборкой) назы-
называется случайный вектор
«1, х2,..., хп, F.1);
где xt обычно предполагаются независимыми и имеющими
одну и ту же функцию распределения F(x) = Р(я< < x)t
Случайная выборка F.1) является математической мо-
моделью последовательно проводимых измерений или на-
наблюдений. Возможны другие способы получения эмпири-
эмпирических данных, приводящие к другим математическим
моделям. (См., например, задачи 6.16, 6.26, 6.42.)
Обычно для выборки F.1) известен только тип рас-
распределения (например, нормальный), но неизвестны па-
параметры, от которых зависит распределение. В этом слу-
случае по выборке требуется каким-либо образом опреде-
определить приближенные значения неизвестных параметров.
Пусть Р (хг ^ з) «в F^ (х, 8). Оценкой неизвестного па-
параметра 6 назовем произвольную функцию 6„ =»
=B*(zlt , ¦ м#п). Оценка 6П является несмещенной оценкой
6, если М0П = 0. Если 6П при п -*- «> сходится по веро-
вероятности к 6,. то оценка 6П называется состоятельной.
Может оказаться, _что_ существуют такие функции
в„ —в«(а:ь •••. Яп) и Ъп=Ъп(хи ..., хп), что Р(9В<6<
< 8я) — 1 — 2а одинакова при всех значениях неизвестно-
неизвестного параметра 6. В этом случае интервал FП, 8«) назы-
называют доверительным интервалом, и вероятность 1 — 2а
того, что интервал @^, 8«) накроет неизвестный пара-
параметр 6, вааывают доверительной вероятностью.
Если при п -*- «э
Где значение а пе зависит от 6, то интервал (8„, 9«) на-
называют асимптотически доверительным интервалом.
В качестве примера рассмотрим выборку F.1), обра-
вованную независимыми случайными величинами, имею-
имеющими нормальное распределение с неизвестными пара-
174
метрами! математическим ожиданием а и дисперсией о2.
Покажем, как для неизвестных параметров -а и а2 можно
построить доверительные интервалы.
Пусть go, ht •('«*# S» — независимые случайные величи-
величины, имеющие стандартное нормальное распределение. По-
Положим
Законы распределения этих величин называют соответ-
соответственно распределением у? и распределением Стьюдента
с п степенями свободы» Определим величины ?CT(ft и %а,п
как решения уравнений
Р К > *a,n} « af Р 1х« > %l,n\ = a.
Построим по выборке F.1) величины
ЕГогда (см. [7])'
l—a,n—
Отметим, что в рассмотренном случае (т. е. когда #i, .<i
..., хп независимы и имеют одно и то же нормальное
распределение) случайные величины х и s2 независимы.
Случайные величины F.1), расположенные в порядке
неубывания их значений:
...^ж<»), • F.2)
называют вариационным рядом. В частности,
min {х\% .. .| жJ, л{П) ет шах {ж», .
Эмпирической функцией распределения называется слу-
случайная функция Fu(xV которая принимает при х & [x{k)y
•C(»+i>) значение к/п (здесь к»0, 1, ..., п и считается,
что ге{о, =•—<», «(ft+i> ¦» °°). Нетрудно проверить, что ^n(ic)
является несмещенной и состоятельной оценкой F(x) при
любом х.
175
Одним из методов получения оценок являетсп метод
наибольшего правдоподобия. Пусть F.1) — независимая
выборка, соответствующая случайной величине |, которая
имеет плотность распределения pi(?;.6i, ..., 0*). Функ^
цией правдоподобия называется функция
п
L (хи ..,, хп\ в1а ,.., 9fc) - П Рг (х{; 0ь .,.,, 6а).
Оценками наибольшего правдоподобия параметров 6i, ...
..., 6А называется набор Э* =» 6* (х1у ., п жп)г ,,,, 6h =
= 6h (xu , ,«А а:п), максимизирующий значение L(xi, ...
..., х„; 6i, ,.., 8ft) при данных х\, ..., жп. Если плот-
плотность ръ (х; 8i, ..., в*) дифференцируема, то 6*^,^8^ —
решение системы уравнений
д In L
При довольно общих условиях оценки наибольшего прав-
правдоподобия являются состоятельными и. асимптотически
нормальными (см. [7]). Аналогично определяется функ-
функция L для дискретнщх случайных величин.
Другой круг задач математической статистики связан
с проверкой различных гипотез. Пусть предполагается,
что свойства выборки F.1) соответствуют одной из двух
гипотез:
Н\: х=(хи •. -t ?n) имеет распределение Pi,
Н2: ж«(дг1, ..., хп) имеет распределение Рг,
где Pi, Рг — два иввестных распределения.
Статистический критерий, на основании которого при-
принимается решение о том, какой из этих гипотез соответ-
соответствует выборка F.1), определяется множеством В <= Rn
и имеет вид: если (хи ...» хп)^ В, то принимается еипо~
теза #2, в противном случае — Ни Вероятность а -¦
-Pijxefi), т. е. вероятность принять Гипотезу #2, ког-
когда в действительности верна #i, называют ошибкой 1-го
рода. Вероятность ? = р2(###), т. е, вероятность при-
принять #i, когда верна Яг, называют ошибкой 2-го рода.
Если множество В задано в виде
..., ха)>С),
то функцию rjn»- rjn(iCi, ..,, ха) называют статистикой
критерия. Например, пусть р\ (х) — плотность распреде-
распределения каждого х{ при гипотезе lit и ръ{х\—соответству-
176
ющая плотность при гипотезе #2. Положим
Согласно критерию Неймана — Пирсона при г\п> С (С —
некоторая постоянная, определяемая по ошибке 1-го ро-
рода) принимается гипотез^ #2, а в противном случав —
Ни Этот критерий среди всех критериев с фиксирован-
фиксированной ошибкой 1-го рода имеет наименьшую ошибку 2-го
рода (см. [7], с. 576, 577). Аналогично формулируется
критерий для дискретных распределений.
Иногда формулируется только одна гипотеза о выбор-
выборке F,1). Эту гипотезу нужно либо принять, либо отверг-
отвергнуть. Пусть, например, гипотеза состоит в том, что вы-
выборка F.1) соответствует случайной величине | с
Р(| < x) = F(z). Для статистической проверки этой ги-
гипотезы используется критерий %2. Разобьем числовую ось
на г+1 непересекающихся полуинтервалов Дь Дг, ...
Г + 1
..., ДР+и U A* =• ¦(-" °°г °°). Положим рА = Р{| s Дд}, fe =1
i-1
= 1, ..., г+1. Обозначим через mft число я(, попавших
в ДЛ. Статистикой критерия %2 является величина
2Г+1
nPl
Оказывается, что если элементы выборки F.1) незави-
независимы и имеют функцию распределения F(x) (т. е. если
гипотеза верна), то (см. [10], § 57) для любого х при
п -*¦ оо
р{Лп,г<4^р1Хг<^Ь F.3)
По критерию х2 гипотеза отвергается, если г\п,г > С Ве-
Величина С выбирается так, чтобы вероятность Р(г}„1Г > С) =
= а была мала. При таком выборе С в случае г}„г > С
говорят, что гипотеза отвергается с уровнем значимости
а. Используя предельное распределение F.3), можно по-
положить С =* Ха.г, где Р 1х?> уХг) = а, и тогда в силу F.3)
?{Ца.г >С) -*¦ а, п -*- оо.
Если распределение F(#) зависит от неизвестных пара-
параметров 0—@i, ..., 6ft)» т*> вероятности рг@)=» Р{|е Д;}
вычисляют, заменяя параметры 0 их оценками (напри-
(например, оценками максимального правдоподобия). В этом
случае в предельном распределении F.3) число степеней
12 а, М. Зубков и др, 177
свободы г должно быть уменьшено на число оцениваемых
параметров (см. [7], с 460—463).
6.1. Пусть хи $2, . < ¦, хп — случайная выборка с Ма* *=
= а, Da:ft^o2, М(яа — аL < «°, ft-*l, ..,, «. Найти мате-
математическое ожидание величины
Является ли s2 состоятельной оценкой о2?
6.2. Найти математическое ожидание ш дисперсию
эмпирического момента мг = — — — независимой
выборки, соответствующей случайной величине | с
M|ft = аА, 1 < к Щ 2г.
6.3. По неоднородной выборке хи •••» xni где xkt Л=»
« 1, ..., «, независимы, МлгА«а, ^^=»о*й(ой известны),
найти несмещенную линейную относительно яЛ (й =
— 1, ..,, п) оценку а* параметра а, которая имеет наи-
наименьшую возможную дисперсию,
6.4*. Пусть xiu „.,, xirii (I — 1^ . ,,, /) — независимые
нормально распределенные величины с параметра*
ми (а, аа4); ^
- 1^
Является ли оценка
i
х =
несмещенной оценкой параметра а?
6.5. Пусть Хи ...» «» — независимые одинаково распре-
распределенные случайные величины с Ох{ >0, Ма^<;оо. Поло-
Положим
Найти
limP
6.6. Пусть (#!, yijt .*., (я„, Уп) — независимая выбор-
выборка, соответствующая случайному вектору (|, q), т» е.
178
, Уу) (g Ц^у}* Показать, что ве-
величина
п
fe-1
где
п
ивляется несмещенной и состоятельной оценкой cov(|, rj).
6.7. Пусть (л« — число успехов в п испытаниях схемы
Бернулли с вероятностью успеха р в каждом испытании.
Найти оценку наибольшего правдоподобия р* параметра р.
Доказать ее несмещенность и состоятельность.
6.8. Пусть ц„ — число успехов в п испытаниях схемы
Бернулли с вероятностью успеха р в каждом испытании.
Построить для р асимптотически доверительный интер-
интервал с доверительной вероятностью 1—2а.
6.9. Используя таблицу случайных чисел, получить
реализацию выборки Х\, ..., хП1 где хк равномерно рас-
распределены на отрезке [0, 1] (значения xh взять с тремя
знаками; я = 50). Найти:
а) вариационный ряд х{\) =5 х^ =3 ... ^ х(п);
б) эмпирическую функцию распределения (построить
ее график и график теоретической функции распреде-
распределения);
в) х = — (xt -f . . * + Хп) (сравнить с Mxft);
п
г) s* "= -д — 1 2 (^ ~~ ^^ (сравнить с OXh).
в.10. Используя таблицу нормально распределенных
случайных чисел, получить реализацию выборки ц, ...
..., хп, где xk имеет нормальное распределение с парамет-
параметрами а =* Мяй ет 0,5, о2 — Dxi, = 1; п = 50. Найтн: а) вариа-
вариационный ряд, б) эмпирическую функцию распределения,
в) х9 г) s2 (см, задачу 6,9).
6.11в По выборке, полученной в задаче 6Л0, построить
доверительный интервал для а (считая а и о неизве-
неизвестными) с доверительной вероятнотью 0,95.
6.12. Используя метод наибольшего правдоподобия,
%т
найти по выборке х\, • ¦ ¦, Яп, где Р(аъ =m)=-^j-e-\ m =
«0, 1, ..,, оценку X* параметра Я. Будет ли эта оценка
несмещенной и состоительной? Найти MX*, DX*.
12* 179
6.13. Пусть xi, «2, •.., хп — выборка, соответствующая
показательному распределению с параметром к. Найти
оценку максимального правдоподобия Л* для к. Вычис-
лить М-^*-> "Г*"*
6.14*. Для оценки параметров а, &, с имеются три
независимые выборки аь ..., ап\ Ьи • ¦ •» ^; С], ..., с„.
Известно, что c=*a+ft и величины а*, ft*, c^ распределены
нормально с Ma* = a, M&f—¦ ft, Mc< === с. Дисперсии Da* =
в а«, Dfej = а§, Dcj = а? известны. Найти-
а) оценки наибольшего правдоподобия а*, Ь*, с* пара-
параметров a, fc, с, используя для каждого параметра только
соответствующую ему выборку, а также найти Ma*, M&*,
Me*, Da*, Dfe*, Dc*;
б) оценки наибольшего правдоподобия а**, ?>**, с**,
используя сразу три выборки и связь с — а -Ь Ь, и также
найти Ma**, Мб**, Me**, Da**, D6**, Ос**.
6.15. Пусть y<ft> «= (y[h\ yBh)), Л = 1, ..., п% — незави-
независимые нормально распределенные случайные векторы,
Му?> = ai( Dy<« = о\, г = 1, 2, cov (^h), y<»>) - раЛ. Па-
раметры ох, о2, р известны. Найти:
а) оценку максимального правдоподобия (аь а2) па-
параметров (alt аг) по выборке yil\ ..., j/(n);
б) оденку максимального правдоподобия а4 парамет-
параметра а% по выборке у^>, ..., yjn>j
в) Mat, Dat, Mat*, DaJ*.
6.16*. Пусть s/(h) = (s/<h>, j/W)f ft =- 1, ..., »,— незави-
независимые нормально распределенные случайные векторы,
М#> = аи Му?> - а2, О|Лк> - i (« - 1, 2), cov (y[k\ yih)) -
= ph (ft — lf,.., n). Параметры ph известны. Найти:
а)" оценки максимального правдоподобия ai9 a2 пара-
параметров аи а2 по выборке уш,..., у4"*;
б) оценку максимального правдоподобия at парамет-
параметра ах по выборке у<±\ ..., г/(п)|
11* » i ** ГЧ * ГЧ **
в) Malf Max , Da1? D^ ;
г) доказать, что Оаг ^.&аг .
6.17*. Решить задачу 6.16 в случае, когда известно,
что параметр а2 = %2Ю = 0-
6.18. Пусть |i, ..., ,|m независимые случайные вели-
величины, равномерно распределенные в области G^Rn. Для
оценивания интеграла a = J ... J / (х) йхх ,,, dxn (x =»
G
180
^* (xXi * 4., яп)) по методу Монте-Карло используется
il
а) Найти Мт)т, Drjm.
б) Построить несмещенную оценку Ь*а дисперсии
d) по реализациям f(h), ..., /(im).
в) Предполагая, что J ».. J /4 (у) Лг^... dxn <. оо,
G
построить при т -+~ сю асимптотически доверительный ин-
интервал для а с доверительной вероятностью 1—2а.
6.19. Для величины А => а + ра + ^ получены оценки
Л* = а + Pzx + YZ3, ^* « а + Pza + v^t.
где а, р, *у — известные постоянные, zt, Z2, Z3 — независи-
независимые оценки неизвестных параметров: Мгз — Ь, Mzi «
«= М22щш a; Dzj =» o\, i ==» 1, 2, 3. Подобрать постоянные
Cj, C2 так, чтобы оценка ^4* = с1А1 + с2Л2 была не-
несмещенной и имела среди несмещенных оценок наимень-
наименьшую дисперсию.
6.20*. Пусть si, zg, Z3 — несмещенные оценки парамет-
параметра a; D2, = 1 {i — 1, 2, 3), covBi, гг)=1р, cov(z(, гз)=О
(г — 1, 2). Найти несмещенную линейную оценку z»
= С121 +С222 + сзга параметра а с наименьшей возможной
дисперсией и дисперсию этой оценки. Рассмотреть слу-
случаи: a) Ipl < 1, б) р «= —1, в) р = 1.
6.21. Функция у «= Ах измерена в точках х\, ...» ж«.
Пусть результаты измерений являются реализацией не-
независимых случайных величип уи ^2, •. -т рт У которых
N^iji =» ^ ¦» Ла?(, D^ = о2 < 00 (^ ¦¦ 1, 2, ..., /г). Найти:
а) оценку Л* параметра А, используя метод наимень-
наименьших квадратов, т. е. минимизируй по А выражение
б) М< Dj?-
Доказать, что оценка Ап состоятельна, если Х%, =»
6о22*0 Проведено п намерений значений функции у =»
— Ах и ее аргумента х. Пусть результаты измерений яв-
являются реализацией п независимых двумерных случайпых
векторов (#(, у^ (г = 1, ..., /г), у которых координаты
181
независимы, М#< — xt, W/i = Ut = Awti Dxt« о2, Dpi = <A
Найти:
а) оценку An параметра Ап, минимизируя по А и
X\1 ...., xn выражение
1{А,хи...,хп)~ 2 (?, - Ахгу + S Gi - Хг?.
б) Показать, что оценка Ап состоятельна, если при
п -*¦ °°
6.23. Функция у = Ах измерена щ раз в точке Хи •««
..., /гА раз в точке дт». Пусть результаты измерений yti
{/ = 1, ..., ni} i =? 1, ..., /с) некоррелированы и имеют вид
где M6W = 0, D6\j = о2.
а) Найти оценку Л* параметра Л, используя метод
наименьших квадратов, т. е. минимизируя по А выра*
жение
б) Найти МЛ* и DA*.
6.24. В предыдущей задаче обозначим
Подобрать си •.., cft так, чтобы оценка
Л* — сху\ + ^ + +
была несмещенной и имела наименьшую дисперсию. Най-
Найти DA* при наилучшем выборе с\, сг, ..., cft.
6.25. Из урны, содержащей N белых и черных шаров,
производится выборка объема п с возвращением. Пусть
ц„ — число белых шаров в выборке, а М — неизвестное
число белых шаров в урне. Для оценки величины р ==
= MIN используется статистика р* ¦- М-пМ Найти *
6,26. Из урны, содержащей N белых и черных шаров,
производится выборка объема п без возвращения. Пусть
182
р,„ — число белых шаров в выборке, а М — неизвестное
начальное число белых шаров в урне. Для оценки ве-
величины р == M/N используется статистика рп — fW^-
Найти Мр**, Dp**,
6.27, Для сравнения точности оценок /?*, р**, опреде-
определенных в задачах 6.25, 6.26, найти lim (Op**/Dp*) в
П-»0О
следующих случаях: а) п-*- оо, "^"r^V @<7<°°)'»
б) /г—>-оо( n/N-*-Q. ,'--¦
6.28. Из урны, содержащей неизвестное число шаров
N (шары занумерованы), производится выборка объема
п с возвращением. Для оценки числа N используется ве-
личипа 1/т)м где
|ft — число появлений шара с номером к в выборке. Най-
Найти Мт)я и асимптотическую формулу для Dv\n при /г,
6.29*. Пусть жA)|*2 ... *S ,r(n) — вариационный ряд, по-
построенный по выборке х\, •••» #«> где #ft независимы и
равномерно распределены на отрезке [а, Ь]. Являются ли
оценки а* ¦= жA„ Ь* = а:(п, несл1ещенными оценками а и
Ь? Найти Ma*, Mb*, Da*, Db*, cov(a*, b*). •
6.30*. Пусть #(i) ^ a:B, ^ ... ^ лГ(п) — вариационный
ряд, построенный по выборке х\у х% ..., хп, где хк не-
независимы и имеют показательное распределение с плот-
плотностью р(х) ==» ae~at3C> (я>0). Найти Ма:{1I M#(n), Da:(i)f
6.31. Пусть ж{1) ^ хС2) ^ ... «3 ж?П) — вариационный ряд,
построенный ао выборке хи %% •••, %п. Положим
Найти Мб*, DO^ (/с « 1, 2), если:
' а) выполнены условия задачи 6.29,
б) выполнены условия задачи 6.30.
6.32. Пусть X(i) *5 х^ ^ ... ^ xlJV) — ввриационпый ряд,
построенный.по выборке хи хч хПу где хк независимы
и имеют плотность распределения, равную ес~х при х >
> с > 0. Является ли оценка с* = #A) —— несмещенной
и состоятельной оценкой с? Найти Me*, Dc*.
183
6.33. Чтобы оценить ширину кольца, образованного
двумя окружностями с общим центром, измерялись их
радиусы Л и г, т. е. была получена выборка у и ..., уП1
хи • •., Zn, образованная независимыми случайными ве-
величинами, которые имеют нормальные распределения с
М^ = Л1Мд:1 = г (Я>г), D^-_D^ = o2, i = l, 2, ..., п.
Пусть х = (х\ + ... + ХпIп и у = (у{ + ... + #„)/п. Для
оценок а=у — х, а* = max@, у — х) ширины кольца а =
= R~r пайти: Ма, Ма*, УМ(а-аJ, УМ (а*-аJ. Вычис-
Вычислить эти величины при Л = 1001 м., г — 1000 м., а = 10 м-,
/г - 200.
6.34. Независимые наблюдения 8*,, ..,8* имеют не?
известные математические ожидания MG* = Gj и изве-
известные дисперсии D9j = o2if г = 1, ..., п. Для оценки ли-
линейной комбинации / » ciGi + ... + cnQn с заданными
си ..., с„ используются статистики
а) Доказать, что /„ — несмещенная, a IN при N < п —
смещенная оценка /.
б) Найти M(/w~/J. При каких условиях среднеквад-
ратическое отклонение смещенной оценки In-i меньше
среднеквадратического отклонения несмещенной оцен-
оценки /п?
6.35. Используя критерий х2, проверить гипотезу о том,
что выборка,, полученная в задаче 6.9, соответствует рав-
равномерному распределению на отрезке [0, 1]. Уровень зна-
значимости а = 0,05.
6.36. Используя критерий х2» проверить гипотезу о том,
что выборка, полученная в задаче 6.10, соответствует
нормальному распределению; параметры а и о считать
неизвестными. Уровень значимости положить равным 0,05.
6.37. Найти статистику цп критерия Неймана — Пир-
Пирсона для различения по выборке х\, ..., хп гипотез
Hi: xh распределены нормально с параметрами (аи с2),
Н%: xh распределены нормально с параметрами (аг, о2).
6.38. Найти статистику т)п критерия Неймана — Пир-
Пирсона для различения по выборке х\9 ...» хп гипотез
Я2: Р^-О-рР, i-l,i...,N.
6.39*. Статистика ^п при гипотезе Н{ (i = 1, 2)' имеет
нормальное распределение с M?n = nait Щп = пс\\ а\ < аг.
184
/Гипотеза Н% принимается, если |п > С, в противном слу-
случае принимается Ни Найти: а) постоянную С *= С«, так,
чтобы ошибка 1-го {Года была равна а; б) формулу, свя-
связывающую ошибки 1-го и 2-го рода а и р„; в) Urn f>n
при ri -»- оо, а — const > 0.
6.40*. Пусть #i, ..., хп — выборка. Гипотеза Н\ со-
состоит в том, что Xi равномерно распределены на интер-
интервале @, 1) и независимы, а гипотеза Яг — в том, что х{
независимы и имеют непрерывно дифференцируемую
плотность распределения g(x); g{x)*& 1 при 0 < Ж 1,
g(x)=^Q при х Ф [0, 1]. Разобьем [0, 1) на /V полуинтер-
валов 0, -jT-1, -^-, -jru • • •» —v—г 11 и обозначим через
jlio число полуинтервалов, в которые не попало ни одно из
вначений хи При гипотезах Н\ и Яг найти а} —
«« Hm(M|Lio/iV)) / = 1, 2, когда n/N -*• уе@, °°), /г, iV -+- °°.
6.41. Пусть 0 < Ti < Тг < ...— положения точек пуас-
соновского потока с неизвестной интенсивностью X. Над-
ти: а) оценку максимального правдоподобия Яп парамет-
параметра Я, построенную по ть •. •» тп; б) MXn, 0%п.
6.42. Пусть Tis(t)—число переходов в цепи Маркова,
определенной в задаче 5.82, из состояния 1 в состояние 2
за время t.
а) Найтл HmMi^s yimOb^L,
б) Является ли величина i\2(t)lt состоятельной оцен-
оценкой параметра ^ = ¦ ^а лри
Часть И. УКАЗАНИЯ
Глава i
1.3. Предположить, что все расположения книг равновероятны.
Найти число расположений книг с фиксированным расположением
трехтомника.
1.4. За множество Q принять множество всех последователь-
последовательностей длины 3, составленных из символов Г — «герб», Р — «ре-
«решетка».
1.8. Для простоты считать, что в каждой буквенной серии име-
имеются все 10* номеров от 0000 до 9999. (На самом деле номер 0000
не выдается. Кроме того, в некоторых сериях не все номера вы-
выданы, а часть номеров отсутствует в связи со снятием автомобиля
с учета.)
1.10. Положим At = {выбранное число а делится на а(}. Вос-
Воспользоваться том, что
Далее применить формулу A.12).
1.11. Поскольку а2 == 1 (mod 10) тогда и только тогда, когда
asalfmod 10) или а = 9(mod 10), надо подсчитать среди чисел
1, 2, ..., iV число тех, которые в десятичной записи оканчиваются
на 1 или 9. Полошив N — 10/с -f- h рассмотреть следующие случаи:
I = 0, 1 < I < 9, I = 9.
1.12. Если среди чисел 1, .,., Л' есть ровно т чисел, дающих
при делении на г остаток д, то (т — 1)r + q ^ Л' < тг + q, т. е.
mr<iV+ r — q < (m + l)r.
1.14. Введем обозначения для следующих событий:
Ак = Ц делится на к),
Bh = {у\ делится на к),
Cn = {числа %, и г\ взаимно просты}.
Тогда CN = U (^юП-^ю)' гДе объединение берется по всем
простым числам р, не- превосходящим N. Вероятность Р (CN\ на-
находится но формуле A.12). Воспользоваться решением задачи
1.10 и равенством ^ П^РП ... П\г = APlp^liPr* верным для
любых простых pt < р2 < ... < рг. Показать, что ^-m — =*
188
- 1.15. Искомая вероятность рх = An/N7, где An — чясло точек
плоскости о целыми координатами (х, у), удовлетворяющими ус-
ловиям х ^ 1, у ^ 1, х2 -J- у2 ^ TV2. Показать, что ^ ~ -^- iV при
7V-»-oo.
1.16. Число | Ч- л будет (л — к -f- 1)-значным тогда, и только
тогда, ^когда
1On-fc < ? + ^ < 10"-*+It 0 < к ^ л, A)
поэтому pn_fe+1 — 2П , где Лп, а — число точек плоскости о це-
целыми координатами (х, у), 0 ^ я, у ^ 10" — 1, для которых выпоя-
вены неравенства A).
1.17. Произведение | и^ будет Bл — &)-значным тогда, и толь-
только тогда, когда
102*-»-1 ^ |п < 102"-А, . (Г)
поэтому Р2п_ь = Jn , где Вп, h — число точек плоскости с целы-
целыми координатами (ж, у), О^ж, i/ ^ 10" — 1, для которых справед-
справедливы неравенства A'). Показать, что Вп, h ~ 2V102" при «->оо,
где Вн — площадь части единичного квадрата 0 ^ х, у ^ 1, для
координат (ху у) точек которой справедливы неравенства 10~fc" ^
^ ху ^ 10-*.
1.18. Представить указанную разность вероятностей в виде
2(р({*';,...,^] = о-р((х; *;i = O). w
1=1
убедиться в том, что A/^Cjy, что значения слагаемых в сум-
сумме (#) не зависят от ?, и оценить слагаемые в (¦) сверху и снизу.
1.19. Разность X2— У2 делится на 2 тогда и только тогда, ког-
когда четность X и У одинакова; X2— У2 делится на 3 тогда и только
тогда, когда X и У одновременно либо делятся, либо пе делят-
делятся на 3.
1.20. При к — 2, 3, 5 имеем
к)} — {X, y=0(mod A)} U {X, Уф0{той к)}.
1.21. Вывести из малой теоремы Ферма, что
{X*-1— УР-> = 0{тоа р)} =»
=* (X, ys0(mod/?)} U {X, y^0(mod p)}.
1.22. Чтобы получить явные формулы для указанных в усло-
условии вероятностей, воспользоваться соотношениями
3^0(тоё 3)} «
= {X, Fs»0(mod 3)} U {X^l, У^ -l(mod 3)} U
U {X^—i, У^ l(mod 3)},
{X, У = 0(mod 7)} U {X е Mi, Уе=Л/а} U {XsJI/a У^А/i},
187
где JIfi — множество всех чисел вида 1к + 1» 7fc + 2, 7/с4-4, Д/2~
множество всех чисел вида 7& + 3, 7k + 5, 7? + 6. Для доказатель-
доказательства неравенства пря N >¦ 7 воспользоваться тем, Что вв/4 — 1 ^
< uv < а2/4 при u -f у = л, Iй — "I < 2. Бри 4 < iV ^ 7 неравенст-
неравенство проверяется непосредственно с помощью явных формул.
1.23. Множеству Лс{1, ..., N) взаимно однозначно соответ-
соответствует составленная из нулей и единиц строка х^ = (x^i . •«
,.»,ij}), где i^l, если is^, и ж^ = 0, если t ф Л\ а слу-
_ чайным подмножествам А^ A%cz {1, ,.., TV} соответствует пара
строк ж *, х г, элементы Zj f, .«., asNf, жх t 4.., a:^ которых не-
независимы и принимают значения 0 и 1 с вероятностью 1/2. На-
Наконец
1.24. См. указание к задаче 1.23. Множества А\, ..., Ат попар-
но не пересекаются» если х^х -J- .*. •+¦ х$ ^ 1 . при всех i e
1.25. Разбить указанное в условии задачи событие на непере-
непересекающиеся события по вначениям разностей |з — ii — €з — 1з и
Пз"— Л< = 2 — "Из.
1.26. В пи, в) и г) найти вероятности противоположных со-
событий.
1.27. а) Заметить, что {Хг -\- .. .-f Xm — h) = {(/V —Xi)+...
б) Число A + N)m Ъ^п) таких наборов хи ..., хт е {0, ..., N),
что Х\ + . •. + хт — к, равно коэффициенту при zh в (l -\- г -f- ..,
(l — zN+1)m
... -г z )т =' ———'. Далее воспользоваться разложением
¦ A — z)m
функции A — z)-m в степенной ряд.
1.28. См. указание к задаче 1.8. Убедиться в том, что равно-
равновероятный выбор номера автомобиля из множества 104 номеров
от 0000 до 9999 эквивалентен выбору чисел Xi, X2, Х3, X* из мно-
множества 0, 1, ..., 9 по схеме равновероятного выбора с возвраще-
возвращением. Воспользоваться равенствцм.
18
18 1
i8, 1
и тчч, что согласно задаче 1.27
e CmmCft,i8-fe)+i в1 + шШ {&, 18 - *).
188
1.29. См. указание к задаче 1.28.
1.32. 2) Найти вероятность противоположного события Л, со-
состоящего в том, что хотя бы один номер не появился. Событие А
представить в виде А = Л1 [) ... [} Лт где Лн {к = 1, ..., iV) — со-
событие, состоящее в том, что шар с помером к не появился.
1.35. Воспользоваться равенством
при любых попарно различных
1.36. Найти вероятность противоположного события, состояще-
состоящего в том, что в отобранных папках содержится целиком либо две
рукописи, либо ровно одна.
1.37. В условии не указаны числа женщин и мужчин среди
гостей. Задача имеет тривиальное решение, если эти числа не рав-
равны друг другу. Если же среди гостей имеется га женщин и п муж-
мужчин, то для подсчета искомой вероятности можно воспользоваться
формулой ?{А U В) = ?{А) + ?{В) — Р(АВ), где А — {«пары» за-
занимают местя A, 2), C, 4), ... Bга — 1, 2п)} (прд некоторой ну-
нумерации мест по кругу), В = {«пары» занимают места B, 3),
D,5*,..., Bга —2, 2/г—1), Bл, 1)}.
1.38. Шесть номеров, вышедших в тираж, выбираются без воз-
возвращения из 49 номеров. Предположим, что все возможные шес-
шестерки номеров равновероятны. Если на данной карточке ровно
3 номера совпадут с номерами, вышедшими в тираж, то по дан-
вой карточке игрок получит минимальный выигрыш. Найти веро-
вероятность события Лй,, состоящего в том, что на каждой карточке
угадано ровно 3 номера, причем к = 0, 1, 2, 3 угаданных номеров
являются общими для двух карточек.
1.39. Нужно считать равновероятными все С^4 расположений
двух ладей. Найти вероятность противоположного события.
1.40. Ладьи не угрожают друг другу, если все они стоят на рав-
равных горизонталях и вертикалях. Выбрать сначала к горизонталей
и к вертикалей, а затем из fca клетои иа их пересечении выбрать к
клеток, удовлетвориющих нужному условию.
1.42, Рассмотреть все исходы первых к просмотров карманов.
1.46. Воспользоваться равенствами вида
1
где х(а < Ь) = 1» если а <. Ь, и х{а < Ь} » 0 в противном случае,
1.47. См. указания к задаче 1.46. Заметить, что при любых
1.48. См. указании к задаче 1.46.
1.49. См. указания к задаче 1.47.
1.50. 3) Рассмотреть заполневия двух типов: в) в одной иа
ячеен нет частиц, в двух ячейках — по две частицы ив (N ¦*• 3)
189
ячейках — по одной; 6) в одной из ячеек нет частиц; в одной —
три частицы ив (N — 2) ячейках—по одной частице.
4) Найти вероятность противоположного события.
1.51. Пусть Ai — событие, состоящее в том, что i-я ячейка ос-
осталась пустой. Найти Р{А^ (J А% у ... у AN).
1.52. Рассмотреть строки из N 4* «— 1 символов: га частиц и
/V—1 «перегородок» между ячейками. Число таких строк совпа-
совпадает, очевидно, с числом представлений числа п в виде п — г\ •+¦
4- r% -f-... -f- rJv» где все г* ^= 0 — целые числа.
1) Событие ц,0 = 0 происходит тогда и только тогда, когда все
х\ ^ 1. Число наборов (п, ..., глг), удовлетворяющих этому усло-
условию, равно числу представлений числа га — N в виде га — N =
= (r,_l)+...+ (rJV-l), где rfc-l>0.
2) Фиксировать пустую ячейку, а в остальных разместить ча-
стицы, как в п.1).
1.53. а) Число таких вариантов размещения га человек в ряду
из N кресел, когда пикакпе 2 человека не сидят рядом, есть про-
произведение п! и числа решений уравнения хй -f- х\ Н~ • • • + хп —
= N — п -4- 2 в целых положительных числах (х( — расстояния
>*ежду занятыми креслами, 0 < i < л). Последнее число есть
^jv—n+r ^м< указания к задаче 1.52.
б) Каждый человек имеет ровно одного соседа тогда и только
тогда, когда все сидят парами, изолированными одна от другой.
Поэтому при нечетном га искомая вероятность равна 0. При чет-
четном п рассуждать аналогично п. а).
в) Если Dn, n — число таких способов размещения п человек в
ряду из N кресел, когда выполняется условие в), то при четном N
число Dn, n равно произведению 2П а числа размещений га человек
в Л'/2 креслах. При нечетном N
Dn, n
-i, w-ь
1.54. Использовать указания к задаче 1.53.
1.57. Пусть At — событие, состоящее в том, что в выбранной
подстановке l->i. Найти ?{А\ U Л2 U .* ¦ U ^«)-
1.58. Найти число подстановок osSnc X\ = к.
1.59. Для квждого к = 2, ..., га найти число подстановок из 5П,
Содержащих элементы 1 и 2 в одном цикле длипы к.
1.60. а) Найти число подстановок в классе [1 12 2 ... п "J.
б) Если исключать единичный цикл t~*-i, то получится под-
подстановка из множества ll**1 2a2,,.(n —1) T1"*1J.
в) Показать, что события (-*-/ {/ е {т, 2, ..., n}\{t}) равно-
равновероятны.
1.61. Использовать равенства
где ^ — координата точки А.
1.69. Проверить, что геометрическое место точек, расположен-
расположенных ближе к границе многоугольника, чем к его диагоналям, со-
состоит из равнобедренных треугольников, построенных на сторонах
многоугольника как на основаниях и имеющих при основании уг-
углы я/Bга).
190
1.70. Установить зависимость числа корней от значении много-
многочлена в точках максимума и минимума.
1.71. Центр монеты можно считать равномерно распределен-
распределенным в том й-угольнике, в который он попал. Монета не заденет
границу ft-угольника, если центр будет отдален от нее на расстоя-
расстояние, большее г.
1.72. Монета падает гербом вверх, если конец вектора нормали
расположен выше его начала, т. е. середины стороны монеты с
гербом,
1.73. Пусть (р, ф) —полярные координаты середины хорды.
Выразить | через Лир.
1.78. Интересующее нас событие описывается подмножеством
А » {{и, v): min(i{, v) < t].
1.79. Слова «случайно бросается» здесь естественно понимать
как случайную равномерно распределенную ориентацию цилиндра
относительно вертикального направления. Так как цилиндр одно-
однородный, то центр описанной вокруг него сферы совпадает с его
центром тяжести. Цилиндр упадет на боковую поверхность, если
вертикальный направленный вниз из центра тяжести луч пересе-
пересечет боковую поверхность. Соответствующая вероятность находится
как отношение площади сферического пояса описанной около ци-
цилиндра сферы, ограничивающего боковую поверхность цилиндра,
к площади всей сферы.
1.80. (См. указание к задаче 1.79.) Вероятность того, что ци-
цилиндр упадет на какое-то основание, пропорциональна телесному
углу, под которым это основание видно из центра тяжести.
1.81. (См. указания к вадачам 1.79, 1.80.) Центр тяжести кону-
конуса расположен на его высоте на расстоянии kJA от основания.
1.82. (См. указания к задачам 1.79, 1.80.) Найти центр тяжести
полушара и определить величину телесного угла, под которым вид-
видна плоская часть границы полушара из центра тяжести.
1.83„ Положение бруса определяется положением прямоуголь-
прямоугольника в плоском сечении, перпендикулярном оси бруса. Брус упа-
упадет на ту грань, которую пересечет луч, направленный по верти-
вертикали внив из центра тяжести прямоугольника. (Ср. с задачами
1.79, 1.80.)
1.84. Если Л находится между Sh и Sk+u то расстояние от 0 до
сторон А ЛВС находится в интервале (ft/2, (/c-fl)/2), т. е. А ЛВС
содержит внутри себя окружности Si с l^i^[ft/2], находится
внутри окружности Su к -f- 1 ^ i ^ п, и граница Д ЛВС пересекает
окружности Si с [ft/2] <C i ^ ft.
1.85, Найти re-мерный объем Vn(r) re-мерного шара рздиуса г,
воспользовавшись рекуррентной формулой
о
н равенствами Vi(r) — 2г, Va(r) = яг2.
2п
о
491
Глава 2
2.3. Вероятность выбора любой заданной карточки равна 0,01.
2.6. Использовать определение условной вероятности и резуль-
результат задачи 1.23.
2.7. Пусть событие At состоит в том, что i-vt (i =-^1, 2) студент
возьмет «хороший» билет. Положить Q = {Л1Л2, А\А2, AiA2, Л1Л2}»
Р(ЛО = 1/5, P(A2\Ai) = 4/24, P(I2Mi) = 20/24.\Отсюда однозначно
определяются вероятности элементарных событий.
" 2.8. а) Пусть событие d — (появление белого шара в ё-м испы-
испытании} (испытания с нечетными номерами относятся к игроку, на-
начавшему игру); событие А = {выигрыш_игрока, начавшего игру}.
Воспользоваться равенствами А = С\ [) C\C2CZ, A = CxC<i \j С{С2СзСь
б, в) Решение аналогично а).
2.9. Пусть D^ (^i*0 — событие, состоящее в том, что 1-й
шар черный (белый). Воспользовавшись формулой B.3), показать,
что все события Di\ D^... DeJ с е1 +Ле2 + ... + eN = M (ei =
= 0,1; i = 1, ..., N) равновероятны. Поэтому ? (\) = р(^1)>
р (Sk 1) = р Ei г)' р (Ch i)=? ip\ 2) Воспользоваться равенствами
2.10. Цепочками из букв в, ч, б будем обозначать появление
красного, черного, белого шаров в испытаниях, соответствующих
месту буквы в цепочке. Например, событие кчч =. {в 1-м испыта-
испытании появился красный шар, во 2-м — черный, в 3-м — черный}.
Использовать равенства
А\ ~ б U ччб U ччччб,
А2 — чб U чччб LJ чччччб,
В = к U чк [) ччк U чччк [J ччччк U чччччк.
2.12. Решается аналогично 2,10.
2.13. Решается аналогично 2.10.
2.14. Найти вероятность того, что до появления автобуса марш-
маршрута номер 1 появится t = 1, 2, ...^автобусов разных маршрутов.
2.18. Использовать равенство АВ U АВ = А.
2.20. Пусть [\и . l«-i) —координаты точки, равномерно рас-
распределенной в (л — 1)-мерном кубе {(ал, ..„-xn-i): 0 ^ xt < 1,
j = i( ,.., n — 1}. Рассмотреть события
2.21. При п = 3 приписать вероятности 8 событиям Л]Л2^4з,
^, ...,~A\A2A3 так, чтобы условия задачи выполнялись, но со-
события А\ я Аз пе были бы независимыми.
( h (ел
2.22. Рассмотреть -совокупность событий \ П А) %\ е^ = 0 или
2.23. Сопоставить каждому событию Л* с: {1, 2, .,., п) = п век-
вектор <ц е #п, у которого /-я (/¦=!,..„ п) координата равна 0 (если
?<=?At) или У Pi (если ; ^ А<). Переходя к_векторам Ь\, . <м Ьь q
е= Я", ортогональным к а0 е= (Урь ..., Урп): bt = а* — Р(Л()ао
(/— 1, ..., А), показать, что события А\, ..„ Л* попарно незави-
независимы тогда и только тогда, когда векторы Ьь ..., Ън попарно ор-
ортогональны. /'~~
2.24. Пусть Ai = {изделие прошло 1-ю проверку}, i = 1, 2. По
условию задачи события А\ и А% независимы в обоих случаях. _
2.25. б) Воспользоваться неравенством ?{AlA^) <P.(^iL- P(^2),
где ^1 и Л2 — события, состоящие в том, что 1-й и 2-й приборы
будут работать.
2.26. Участник лотереи получает минимальный выигрыш, если
ов угадал ровно 3 номера, и какой-либо выигрыш, если число уга-
угаданных пм номеров не меньше 3. Положим Ak = {к-й участник по-
получает минимальный выигрыш}, Bk == {А-н участник получает ка-
какой-либо выигрыш}, к = 1, 2. Найти ?(Ak)t P(Bk), к — 1Т 2. __
2.27. Положим А{к) = {Л-й элемент не вышел из строя}, 4tA> =
= {fc-й элемент вышел из строя}, к = lt 2, ..., 5. По условию за-
задачи события любого набора, составленного нз событий Л(А), к —
='1,..., 5, с попарно различными индексами, являются взаимно не-
независимыми. Обозначим В событие, состоящее в том, что по участ-
участку, содержащему элементы Ль Л2, Л4, может проходить ток. Вос-
Воспользоваться равенствами
В = (Л<1> U Л<2>)Л<4> = А^А^ U
С = A^AW U
Заметим, что для вычисления вероятности ?{В) непосредственно
использовать равенство В — Л^'А'4' U А^А^ нельзя, так каа
АП)А^ и АB)А(А) не являются несовместпыми событиями.
2.28. Положим А^ = {при i-м выстреле допущен промах},
Ау> = {при ё-м выстреле происходит попадание}. По условию за-
задачи события АЁ\ , Л8* t ..., Ле^ (et *= 0t 1; («1,..., п) взаим-
взаимно независимы. Найти вероятность того, что было меньше двух
попадания.
2.34. Пусть С = {изделие, поступившее на проверку, удовлет-
удовлетворяет стандарту}. В задаче 2.24 вычислены вероятности P{A^2|C},
Р{Л|Л2|С}, где А] = {изделие прошло первую проверку}, Л2 =»
— {изделие прошло вторую-проверку}.
2.35. в) Использовать равенства
м
тп=о
2.37, Введем события С = {перелить кровь можно}, At = {до-
{донор имеет i-ю группу крови}, Bi = {больной имеет i-ю группу кро-
крови}. Найта Р(Лг-), РE,), Р(С\Вг) в предположении, что группы кро-
крови донора и больного независимы и распределены согласно при-
веденпой в задаче статистике.
2.38. Положим С = {вибрация}, В = {перегрев}. Найти вероят-
вероятности событий СВ, СВ, СВ, CBt
13 а. м. Зубков и др, 493
2.39. Используем те же обозначения, что в указаниями задаче
2.38. Положим ?{ВС) = я. Найти вероятности событий ВС, ЯС\ ЙС
как функции от х, Р(В), Р(С). Показать, что 0 ^ х ^ min (P(
Р(?)
.40. Полошим А ~ {случайно выбраппая урна содержит 2 бп-
лых и 3 черных шара}, В = {случайно выбранная урна содержит
1 белый и \ черный шар}, С — {из выбранной урны извлечен бе-
белый шар}. Используя условие задачи, определить вероятности
?) РЯ С\ РС\
р} у у
), Р(Я), ?(С\А), Р(С\В).
2.42. В
, (\), (\)
ведем следующие обозначения событий: А = {передана
последовательность АААА}, В = {передана последовательность
ВВВВ), С = {передана последовательность СССС}, D = {принято
ABC А). Так как при приеме ABC А вместо АААА буква А была ис-
1 —а 1 — а
Кажена два раза, то нужно положить Р {D \ А} = а—т^ 2— °"
Аналогично определяются вероятности ?{D\B), ?{D\C}t Воспользо-
Воспользоваться формулой Байеса.
2.45. Пусть Л^ — событие, состоящее в том, что i-й игрок
(i = 1, 2) извлек к белых шаров. Из условия задачи естественно
определяются вероятности Р ( А^\ (к = 0, 1, 2), Р { А^ | а\хЦ
(/с = 0, 1; /« 0, 1, 2). Найтн Р {41)|4Я)Ь A = 0f 1, 2.
2.46. Найти вероятность противоположного события.
2.50. Искомую вероятность можно найти, используя то, что для
любого элемента х ^ S
?{х<?А{А2) = 1 — ?{х<вАхА%) = 1 - ?{х е Ах}?{х <=А2}
и что отбор разных элементов в множества At происходит не-
еависимо.
2.5J. Множества Аи ..., Аг попарно не пересекаются, если каж-
каждый элемент з;е5 либо не включается ни в одно из г множеств,
либо включается ровно в одно множество.
2.52. Решать так же, как и задачу 2.51.
2.53. а) Каждый элемент х ^ S независимо от остальных вклю-
г
чается в A А, с вероятностью рт. б) Воспользоваться соотноше-*
1
г
нием U А *= П А. и свести задачу к п. а).
2.54. Моделью исследуемого явления можно считать схему
Бернулли. Обозначим через At событие, состоящее в том, что в
момент t по дороге мимо пешехода проезжает машина, ( ¦= 1, 2,
3,... События Аи Л2, ... независимы, Р(Л*)= р, Р(Л() = 1 —¦ р = д.
Выразить интересующие нас события через A\t Аг, »»» Например:
(пешеход ожидает 4 с} <== -^х^а^е^^ь^в^?' испольвовать вза-
взаимную независимость событий.
2.55. Результативные партии рассматривать как испытания Бер*
нулли с одинаковыми вероятностями исходов.
2.56. Последовательно обрабатываемые детали по принадлежно-
принадлежности к 1-й или 2-й группе образуют симметричную схему Бернулли*
Событие, вероятность которого мы ищем, можно записать в виде
Am, тС U Bm, ТС, где Лт, г = {из г -{- m первых деталей в 1-ю ем-
емкость попало г деталей, а во 2-ю попало m деталей}, Bm, r = {из
194
r-f m первых деталей во 2-ю емкость попало г деталей, а в i-ю по-
попало m деталей}, С = {(г Н~ т -\- 1)-я деталь попала в 1-ю емкость}*
Предлагаемая аадача является переформулировкой известной зада-
задачи Банаха (см. fill).
2.58. Воспользоваться теоремой Муавра — Лапласа.
2.59. Воспользоваться предельной теоремой Пуассопа,
2.60. ИсполЁзрвать теорему Пуассона.
2.61. При решении п. б) вывести равенство
q затем применить уточненную формулу Стерлинга для вычисле-
т
2.63. Использовать теорему Муавра — Лапласа. В ответе оста*
вить знаки, не меняющиеся при изменении границ 940, 1060 на
^Ь 1. (См. введение к гл. 2, а также задачи 2.61, 2.62.)
2.64. Пусть v — порядковый номер 1025-го числа, делящегося
па 3, jin — число чисел, делящихся на 3, среди первых п чисел таб*
лицы. Использовать равенство"
P{v > 2500} = P{ji2499 < Ю25}.
В ответе сохранить разумное число знаков. (См. указание к зада-
задаче 2.63.)
2.65. а) Пусть в гардеробах по х мест; обозначим через ц чпс-
ло пар, выбравших гардероб одного входа; тогда 500 — \i — число
пар, выбравших другой гардероб. Используя теорему Муавра —
Лапласа, подобрать х так, чтобы
Р{2[г < х, 1000 — 2ц < я} да 0,99.
2.66. Воспользоваться схемой Бернулли с п = 2500» р = 6/30 =
«= 0,2, q *=> 0,8.
2.72. Рассмотреть все цепочки исходов длины 2, содержащие к
успехов, из которых один стоит на конце цепочки.
2.73. Воспользоваться схемой Берпулли, в которой испытатш-
ем является бросание двух костей; за два исхода каждого испыта-
испытания принять выпадение или новыпадешш хотя бы одной «6». Рас-
Рассматриваемая схема является частным случаем B.15) — B.17).
2.74. Занумеруем подряд бросания монеты. Бросания с нечет-
нечетными номерами производятся первым игроком; остальные — вто-
вторым. Пусть d — событие, состоящее в том, что в 1-м бросании вы-
выпал «герб».
а) Событие, состоящее в том, что игра_закончится до 4-го бро-
бросания, представляется в виде С\ U C\C% (J С\СгС%\
б), в) рассматриваются аналогично.
2.75. Вероятностное пространство определяется формулами
B.15) — B.17) с W =з 2, р\ = р, р2 = q. Обозначим рассматриваемое
событие А. Положим Ви — {нуль впервые появился при &-м испы-
00
таяии}, Тогда Р (А) = 2 р
13* 195
2.76. (См. указание к задаче 2.75.) Нетрудно установить, что
рассматриваемое событие может произойти лишь в том случае, ког-
когда первые два испытания приводят к двум нулям.
2.77. Обозначим рассматриваемое событие А. Исход 1-го испы-
испытания @ яли 1) обозначим ?*. Для условных вероятностей />0 —
- P'tOli -0}f Pl = PMfti — i}tPli « P{A\h - ?s - 1} можно,
пзльвуясь формулой полной вероятности, составить систему ли-
нейпых уравнений. Решив ее, находим Роо|ш ^ Р{^} = flpo-ЬрРь
При составлении системы использовать равенства вида
?{A\h — 0, Е> — 1} — НЛ\Ь - 1}- Ри
PM||i — 1, «1 -» 0} -» P{A\ti - 0} = ро, ..-
2.78. Число единиц в п испытаниях схемы Беряулли однознач-
однозначно определяет положение частицы.
2л 1. Найти веронтность противоположного события. Непра-
вильиая передача происходит в следующих олучаях: К = {иска-
всеио ие менее 4 знаков}, L «= {два знака принято правильно, а ос-
остальные знаки одинаковы}, М «= {два знака принято правильно;
среди остальных ровно два одинаковых; из двух пар частых вна-
ков выбирается пара неверно принятых знаков),
2.62. Возможны два подхода.
1. Воспользоваться формулами
2
+mN),
2. Положим В^ я= {в /-м испытании появился исход 1> «
= {в f-ы. испытании ие появился исход 1). Тогда события
.., В^п) (е^ «= 0,1) взаимно независимы и Р ?)
2.83. Использовать решение задачи 2.82.
2.84. Решается аналогично 2.82.
2.85. ПоложимА* ¦= {1-я ячейка осталась пустой}. Тогда
Из решения задачи 2.84 следует, что
Р( П ^i\Ai-. •" \
совпадает с вероятностью того, что после размещение п частиц по
N — к ячейкам, отличным от fi, ,,., fe, среди втих ячеен нет пу-
пустых. Воспользоваться решением задачи 1.38.
196
2.88. Обозначим 8П число очков, выпавшее при n-м бро-
бросании; v — номер последнего бросания. Положим ^«={9*^5},
Вп « {2 ^ 9П < 5}, Возможны два подхода к решению.
1) Событие С, вероятность которого требуется найти, можно
(со \ '
и w... ^„j-Sjj.
2) Доказать равенства
?{С\Аг)
2.87. Найти вероятность того, что в к-й тройке все исходы раз-
различны. См. указания к задаче 2.80.
2.88. См. указания к задаче 2.86.
2.89. Обозначим через Ai появление хотя бы одной «6» у игро-
игрока А при t_M бросании; аналогично определяем В{ для игрока В.
Можно воспользоваться любым из подходов, описанных в указа-
указаниях к задаче 2.86.
Глава 3
3.2. Воспользоваться формулами
3.3. Воспользоваться формулой
21 1
ft (ft + 1) (ft + 2) ~ ft (к + 1) ~~ (к + 1) (ft + 2)*
3.8. Угол между положительным направлением оси ординат п
лучом АВ имеет равномерное распределение на отрезке [0, 2я].
3.9. Найти функцию распределения тт.
3.10. Найти сначала Р{|т)| > х), P{tt| > х) а воспользоваться
тем, что распределения х\ и ? симметричны, т. е. р{т| ^—х} гз
]>1г}, Р{С<—х) =Р{^>х},-оо < х< со.
.12. Заметить, что ?{F(l) ^ F(x)} = F(x) для любого з,
—со <Z х <Z оо.
3.13. Показать, что (F_j(ri) ^ х) = {y\^F(x)} для любого *,
—оо < х <. оо.
3.14Ь Распределение величины ^ = g(|) будет иметь атом в
точке у, т. е. Р{т) = у} > 0, если, например, уравнению #(x) *=¦ ^
удовлетворяют все точки интервала х\ ^ х ^ х2 п вероятность со-
события {^i^l^ а:"} положительна.
3.15. Воспользоваться тем, что при достаточно больших N зна-
значения F(—N) и 1 — ^(ЛО могут быть сделаны как угодно малыми,
а на любом замкнутом интервале [—.V, N] непрерывная функция
равномерно непрерывна.
3.17. б) Оценить сверху вероятность Р{| = г\} суммой
JVn—1
197
и показать, что за счет выбора достаточно больших п и N эта
сумма может быть сделана сколь угодно малой.
3.23. Использовать формулу C.2).
3.24. Использовать формулу C.2).
3.25. Убедиться в том, что Р{||i — Ы < 1} = 2Р{0 ^ h — Ь ^
^ 1}. Воспользоваться равенством
оо
Р {0 < \г - 12 < 1} = ( Р (и < 1г < и + 1) d? {$2 < «}.
3.26. Найти сначала функции распределена рассма!ривая па-
РУ A. Л) как случайную точку, равномерно распределенную в
квадрате со стороной о. и вычисляя площади соответствующих
фигуз!
1.27. Воспользоваться тем, что двумерная плотность распреде-
распределения (|, г\) равна е~х~У, х ^ 0, у ^ 0. Вычислить сначала функ-
функции распределения.
3.29. Воспользоваться формулой композиции C.4). Учесть, что
плотности ръ{х), рг\(у) на разных интервалах определяются раз-
разными аналитическими выражениями.
3.30. См. указание к задаче 3.29,
3.31. Показать, чго при любом t s= [0, а]
3.35. Воспользоваться результатом задачи
3-35. Воспользоваться результатом задачи 3.35.
3.37. Найти сначала функцию распределения г\.
3.38. Найти сначала P{r\ ^ я}, используя равенства
о
в результат задачи 3.36.
3.39. Воспользоваться пе-чаписимостыо |i п |э и равенством
Р (h + 12 < *¦} = Р{|2 ^ *, 6i = 0} -h Р{Ь ^ * - 1, li «* 1}.
,3.40. Использовать формулу композиции.
3.43. Площадь части поверхности сферы, лежащей в полупро-
полупространстве {хх $г х), равна 2пA — х) {\х\ ^ 1).
3.44. Воспользоваться результатом задачи 3.43.
3.45. Показать, что Рп ~ P{|i -f Is — четное число}.
3.46. а) Боспользоввться тем, что xt—т2 и т2 — %\ одинаково
рвспределепы н что (см. задачу 3.17, б) P{xi — т2} = 0; б) время
ожидания 3-го клиента равно niin (ть т2); в) событие, состоящее
в том, что 3-й клиепт закончит разговор раньше 2-го, можпо за-
закисать в виде Ti + т3 <С Т2. Найти сначала плотность распределе-
распределения Ti + Т3.
1УЗ
3.47. Пусть т& — время разговора к-то посетителя. Вероятность
Ра того, что к-й посетитель закончит разговор первым, равна
Ph == P{Tft < Тц Tk < T9 T* < Tfr-t, Tfr < Tfc-ч, . . ., Та < Т„}«
Показать, что Р\ =* ...— Ри
3.51. Пусть |в — число очков, выпавших в s-м испытании. Вы-
Выразить событие (9 «« I, v в и) через события, связанные со слу-
случайными величинами ?„ s « 1, 2, ...
3.52. а) Найти P{9i = i, т2 = i* 62 = /, т3 = lh 0э ^= *Ь б), ь)
Найти совместное распределение (9ь ..., 9w, т-i, .,ч тЛ*)«
3.53. См. указание к задаче 3.52.
3.54. а), б) Использовать равенства
где ^А' = {/е-й шпр черный), Л|й) = {Аг-й шар белый), в) Событие
{?! — kv Ъ3 = &fl, • • -t ём+] = ^м + i} °Днозначно определяет момегг-
ты появлйния белых и черных шаров.
3.56. Показать, что | й tj равномерно распределены на [0, 1|
и р{| = ri> == 1. См. задачу 3.55.
3.57. рассмотреть распределение двумерной случайной вели-
величины (|, л): Р{| = 0, ti = 1} = Р{| = 1, т) = 0} = 1/2. Положить
Xq = #о — О-
3.58. См. задачу 3.56.
3.59. Воспольвоваться при а, ^ а2, 6i ^ Ь3 соотношением
{1 ^ й2, Л ^ Ь2}\{| < а„ т)< Ь»} с {ai < | ^ а2) U {bt < Л < Ья).
3.60. а) Использовать равноспльность событий {^^ > ^} н
п
П (^{ > х) п независимость ^; б) использовать равносильность
п
событий {?(п) ^ а:}н П (^i^^) п независимость |{; в) использовать
п
равносильность событий {^^^d} П {1(Т1)<^2} и П {^^^г^^г}
и независимость |*.
3.61. а) Пусть Вт = {знвчения т— i величин нз It, ..., In
попали в (—оо, #), одно значение — в [х, х -\- Д#) и « — т значе-
значений в [х -f* Дя, -Ь00]). Показать, что
=o(M при Дя^О.
Воспользоваться полиномиальной схемой,
б) Решение аналогично п. а).
3.62. Использовать равенства
где (i'i, *2t ...» ^+i)—niofiflq перестановка {1. 2, ..., /c-f-1), ei
учесть, что P(|i = |j) =0 при ЬФ] (см. задачу 3.17, б).
199
3.63. Пусть
вероятность Р{
< У1+1 (* = 1, »••> n — 1). Найги
f«l, ..., re}. Разделив эту вероят-"
ность на JJ (j/i — x^j и устремив у* к хн, t = 1, ..., п, получаем
искомую плотность.
3.64. Найти плотность совместного распределения Д|, ..., Дп,
преобразовав с помощью формулы C.2) найденную при решенип
вадача 3.63 плотность совместного распределения |(d, ..., |(п).
3.65. Воспользоваться результатом задачи 3.64.
3.66. Вывести из задачи 3.62, что Р(Ап) = п~\ и = 2, 3, ...,
и воспользоваться неравенствами
I п
3.67. См, указания к задачам 3.62 и 3.66.
3.68. Использовать задачу 3.67 и указания к задаче 3.66.
3.69. Использовать вторую из формул C.5). Показать, что
вир |FE (х-\-в) — F* (х) \ -*- 0 при е | 0.
3.70. Воспользоваться результатом п. б) задачи 3.32.
3.71. Выбрав любое вероятностное пространство, на котором
вадана случайная величина г\, имеющая равномерное распределе-
вие на отрезке [0, 1], и воспользоваться задачей 3.13.
3.72. Показать, что Р{? = | или ? = t\) s= 1 и что поэтому
i,K
Далее заметить, что случайные величины
I
иря
<
Т] — j |; ^ =
& и ?2 (Si == 6> Ws >= Л
в противном случае)
?{tt = r\} = 1/2, / ж= 1, 2
фй
удовлетворяют условиям Р{?< = |} { \} ,
Тем самым все сводится к вычислению функций распределения
случайных величин
3.73. Использовать соотношения
P{mlo F, Т|)< I < max (|t r\)} ш* i
и указания к задаче 3.72.
3.74. Заметить, что если ах = mln {п\ Р(Х = п) > 0},
Ьх = шах {п: P(,JC = п) >¦ 0} и аналогично определены яг и 6у,
то а = ах Ч-ау, Ь = 6х+ &г. Вывести отсюда, что
min {P(Z = a), P(Z = fc)} < min {жу, A - x) A -
200
где х = PfX = ах}, у = P{Y = ay}. Максимизировать правую часть
серавенства сначала по у (при фиксированном х), а яатеы по х
3.76. См. указание к задаче 3.2.
3.78. б) Использовать формулу т^С™ = n^C^Zp
3.81. Заметить, что р I Л? + *Ч? = * 1 = *.
3.82. а) При вычислении дисперсии воспользоваться равен-
равенством sin2 х -h cos2 x =i 1; б) убедиться в том, что тк = М sin* \ =-
=г М cos* \ и составить рекуррентное уравнение для т\ с помощью
интегрирования по частям. Затем использовать формулу Стерлинга.
3.83. См. указание к задаче 3.82.
3.84. Воспользоваться формулой C.12).
3.85. См. указание к задаче 3.84.
3.89. Плотность распределения !(<> найдена в вадаче 8.61. Для
интегралов, возникающих при вычислении моментов, получить
рекуррентные формулы с помощью интегрирования по частям.
3.90. Показать, что для вычисления M{g«)|g<j).B»?}t 1 ^ I <3
¦< ) ^ га, можно воспользоваться результатом вадачи 8.89, так как
совместное распределение |<i), ..-, |(*-i> при условии |^>с=э
совпадает с распределением Щм, ..^ zi\(j-i)f где ti<n^...^
^T](j_D — вариационный ряд, построенный по независимым слу-
случайным величинам ть, ..., v\j-u равномерно распределенным на
отрезке [0, 1].
3.93. Пусть хь %2t Хз — индикаторы событий Аи А.% А* опре-
опреаче 2.19. П ^ ^
у хь %t Х др
деленных в задаче 2.19. Положить a «=« Xi "-
3.94. Положить % «я 2хоь, т^ е» 2хр, ? -=« 2^7, где об, р, -у — слу-
случайные величины, построенные в указании к вадаче 3.93, а слу-
случайная величина к не зависит от ct, p, f ж удовлетворяет условиям
Мк2 = а2, Мх3 = оо, Р{>с > 0} «« 1 или Р{к ^-0} = 1,
3.96. Ковариационная матрица должна быть симметричной н
положительно определенной.-
3.97. См. указание я вадаче 3.96.
3.98. См. указание к вадаче 8.96.
3.99. а) Если выполнены условия вадачи, то в правой части
равенства
M?i шах @, Сз) + М(—Ci max @,
вначения слагаемых одинаковы.
б) Использовать утверждение п. а) и формулу (8.17),
5.103. б) Выразить Rn Черев «i, ej, ,..
8.104. Найти плотность распределения \tt+\ — {<(•
3.105. Найти Mt)^, пользуясь указанием к задаче 8.104 и
мулой
0 0 0
1/11
о \оо
3.108. При вычислении дисперсии преобразовать ?п' в сум-
сумму независимых случайных величин, выразив т^ через \ь 1>
201
3.112. Использовать формулу ^^
* ' r,s=i
КхУ — 1, если v* — у, и к.х1/ — 0 в остальных случаях.
3.113. а) Положить 6i = |i + ... + In, где ?* = 1, если i-*-i9
и |i = 0 в противном: случае; тогда
ei- 2 6^ = 2^ + 2 *&
б) Положить 92 — — ^ ?у, где lij = 1, если i-*-1 ->- i, и
?*,- = 0в остальных случаях.
в) Написать для 6Г формулу, аналогичную случаям г = 1 и
г = 2.
З.Н4. Пусть |л0 — число непоявжвшихся номеров. Тогда щ =я
¦= Ii + 1э + ¦-•+ ?jv, где 6д s=s 1( если k-я номер не появился, и
|д s 0 в противном случае.
3.115. Представить % в виде суммы индикаторов ? = 6t + 62+
+ ...-f-fin, где 6f = 1, если i-й швр в выборке белый, и б* = 0 в
остальных случаях (предполагается, что шары вынимаются, из
урны поочередно). Воспользоваться тем, что
pFl) р(вА 1)= <(*' f^<M>
3.116. Воспользоваться равенством
) = Oi 4- Ь
где 8i г= 1, если f-я ячейка пуста, п 8* = 0 в противном случае.
3.117. См. указания к задаче 3.116.
3.118. Используя задачу 3.117, вывести рекуррентлую формулу
М >0
3.110. См. указания к задаче 3.116.
3.120. Использовать равенство In, < = ei, i -f* •. • + ^n, *, где
е^_ ja=l, если в &-м испытании появился /-и исход, и eft> j = 0 в
противном случае.
3.121. См. указания к задачам 3.116 и 3.117. При решении п, о)
использовать выпуклость вниз функции хп.
3.122. Использовать равенство v* = ti + ... + т*, где ti = 1,
Tj = Vj — vj—i (/ =2, 3,,..,) и результаты задачи 3.52.
3.123. Если 6( — число пассажиров t-го автобуса, которым не
Досталось билетов, то
3.124. Пусть ?А (к = 1, 2, ..., 10) — к-е по порядку извлечения
число. Доказать, что |h (A; = lt ..., 10) одинакозо'распределены.
3.125. Представить цоо в виде суммы индикаторов пг + ^ 4*
Ч-.-. + ^п, где r\h = i, если при к-м. испытании появилась цепоч-
цепочка 00, и r\k = 0 в остальных случаях. Найти Мцоо. Mj-'otr
3.126. Решение аналогично решению задачи 3.125.
202
3.127. Заметить, что /-е испытание является первым в серии
единиц тогда и только тогда, когда в этом испытании появилась
единица, а в (/ — 1)-м — нуль. Поэтому если 0j =г 1, когда /-е
испытание является началом серии единиц, и 6j = 0 в противном
случае, то: 1) т)п e 6i + 62 + ... + вп; 2) MBi = p, M8j = pq
(j > i); 3) PFj8j+i =0) = 1; Gj и 0а независимы при |/ — к\ > 2.
Далее см. указания к задаче 3.125.
3.128. Представить ? & виде суммы 0i + Вг + $з + В4, где
0j as 1, если i-я вершина квадрата, в который попал центр круга,
лежит в круге.
3.129. Представить |5j в виде (S \ = 51 а& гДе а*ЕВ *»
если Л: е 5, и % = 0, если к ф. S.
3.130. Определить на круге случайную функцию
'1, если Р (г, <р) е А,
(О, если Р (/-, Ч1) ^ Л,
где Я(/-, ф) —точка с полярными координатами г, <р. Тогда
8 fa j | X (г, ф) ^ dr d<p. В данном случае знаки математического
к
ожидания и интеграла можно поменять местами, так как
I X (г* ф) I r dr dq> < оо (см. [6], теорема Фубини)/
3.131. Пусть Хт(«, г/) и 1, если точка (я, у) покрыта ровно
т кругами, и Хт(я, #) = 0 в остальных случаях» Тогда
Воспользоваться тем, что
< я A -f г^J — я A — rN~f = 4п г^-*- 0*
© веронтностью 1. По теореме Фубини
М j J Xm (*. ») <«* **У - J J MXm (*, V)
Найти М%щ(в, ») при ж2^- У5 < 1 — ^.
3.133. Предварительно допевать, что »[А'» A J! т[Л3 Для
любых п, ft > 2, где с1»1 «*(* —1) ..«(* — у + 1), а затем пре-
преобразовать правую часть равенства
?03
3.134. Заметить, что если у — %i 4*
принимают только значения 0 и 1, то
где все слагаемые
k\
Ж, X,
3.135. Использовать результат задачи 3.13, геометрическое ис-
истолкование интеграла и формулу \ A — F {х)) dx — \ F_l {у) dy.
и и
О О
3.136. Использовать равенство | = max @, |) —max @, —?) и
задачу 3.135.
3.137. Рассмотреть отдельно случаи а "> 0 и а <С 0. Найти
функцию распределенин |а и воспользоваться задачей 3.135-
3.138. Использовать результат задачи 3.13.
3.139. В треугольнике Х{Х2ХЪ углы Хи Х2 о Х3 одинаково рас-
распределены, а их сумма равна 180°.
3.140. Событие {выпуклая оболочка Ah А$, AS} Л4 —трвуголь-
впк} есть объединение четырех попарно непересекающихся собы-
событий Bi = {Af лежит в треугольнике, образованном тремя осталь-
остальными точками}, i — 1, 2, 3,4,
3.141. .Рассмотреть независимые точки Хи ..., J9 ^ #2, имею-
имеющие распределение Р. Показать, что если х6 — число треугольни-
треугольников XiXjXk, 1 е^ i <Z j < к ^ б, имеющих хотя бы один угол не
мсшьше 120°, то: а) Мх6 = С|Рз; б)" Р{к* > 1} = 1, т. е. Мкб > 1.
Доказательство п. б) сводится к рассмотрению двух случаео:
1) точки A'i, ..., Х6 образуют выпуклый 6-угольник,
2) одиа из точек находится внутри треугольника, образован-
образованного какими-то тремя другими.
3.142. Рассмотреть совокупность Хи XSf Хз< Х4, Хь независимых
случайных точек Л2, имеющих распределение Р. Показать, что
если х$ — число выпуклых четырех-
четырехугольников, образованных точками
Хи i = U •-., 5, то: а) Мхг, = $Р*
б) Р{Х5> 1} — 1, И ПОЭТОМУ МК5 5=
^ 1. При доказательстве б) исполь-
использовать рис. 7.
3.143. Воспользоваться тем, что
Ц\ + ... + Л-п = 1 и распределения
ili, ..., г\п одинаковы. Распределения
пар T)f, 4i А*1**}) также одинаковы*
3.144, Показать, что случайные
величины |i, ..., |af+ii определен-»
иые в задаче 3.54, одинаково распре-
распределены и что ii — |j + 1, i = 1, ...
.,., Af, Хм+i = %м+\. Использовать
равенство li + \2 + . •. + Ъм+\ "=
= N — M.
3.146. Выписать явную формулу для D(| + Ч) и заметить, что
коэффициент корреляции может принимать любое значение из
[-1.1].
3.147. При Ml — тф @, 0, ..., 0) рассмотреть случайную ве-
величину (?, ет)у где е = г—7 m, и заметить, что
Ill,
204
3.150. Выразить D(|t.-f",.. -f- %п) через С и воспользоваться
неотрицательностью дисперсии.
3.151. Заметить, что при M|||h < °°
М | * \к - lim j uh d? {[ I [< и}, j | и lft dP {1 ? |<«}>САР {j g | > ж}.
О ж
3.152. Воспользоваться тем, что выпуклая вниз функция f(x)
удовлетворяет неравенству
где lira /'(*)<?* < lj
0 0
3.153. Использовать выпуклость вниз функции f(x) = \х\т
(г>1) и задачу 3.152.
3.154. При доказательстве первого неравенства показать, что
можно ограничить случаем 0 ^ у <: х и что при 0 ^ у ^ х про-
производная по у разности правой и левой частей неотрицательна.
Далее заметить, что при указанных в формулировке задачи усло-
условиях распределения случайных величин \ + ц и ? — ц совпадают,
и поэтому ^
3.155. Применить метод математической индукции и задачу
8.154.
3.156. Использовать задачу 3.152 и равенство
3.157. Показать, что если ?*а« ?|+ .,.+ ?» и случайная ве-
величина l^i не зависит от Sn и от ?*+! и распределена так же,
как lk+и то распределение ?ft+1 — ?л-|-1 симметрично и
3.158. Утверждение п. а) следует из утверждения п. б), а это
последнее следует из линейности операции cov (?, ?) по кап;; ой
из переменных.
3.159. а) Показать, что (а, Ва) в D(a, |).
б) Воспользоваться тем, что условие (ранг В не больше г]
эквивалентно условию {существуют линейно независимые векто-
векто6 Ь BbQ} {О 0}
у {уу
ры, 6i, ..., Ьь-Г, для ко1орых Bbi=zQ}t условие {Ог\ = 0} — усло-
усло{Р{г) »С}о1 для некоторого С}» в также п. б) задачу 3.15N.
3.160. Применить математическую индукцию и фортку sty C.0).
161 В { } {|++
3.161. Воспользоваться соотношением P{v > п} ¦= Р{.||+...+
+ In ^ 1} и результатами вадач 8.132 и 3.160.
3.162. Использовать метод неопределенных множителей Ла-
гранжа.
3.164. Воспользоваться формулой A^^jt^^ia •¦• inan)«
в/1 2 ... и\
где сумма берется по всем подстановкам а = а г
205
3,165. Заметить, что если матрица А
Воспользоваться тем, что M|™ = 0 для любого нечетного т ^ Ь.
3.166. Представить М sin \ и М cos \ в виде суммы интегралов
по [2я&, 2я(А + ^K, к = 0, 1, ..,, а затем показать, что каждый
из этих интегралов может быть представлен в виде интеграла по
(О, я/2) или по @, я) от положительной функции.
3.167. Если /> = 1/2. то М1Ь = J- -f-41 ^n j
п 2
„ , далее оос-
п 2
пользоваться неравенством М
п
О-Лл Лрп
например, при р > 1/2, заметить, что — = —- — J--f(l — 1_? ]| п,
W 7? 2 \ Н ,'
где In «* 1, если ц„ ^ и — ц„, и |п — 0, если (х„ > п — ц„. Найти
lira M|n = limP{_Ii<_ [с помощью теоремы Муэвра — Лапласа,
3.168. а) Положить А\ = {^,_х = е Ф I2k)t Bk - {Н2,,х
в использовать разложение
вХ\т
б) Заметить, что {v = 2k) = (^ (J 4j)/?1 ... Bfc_r
3.169. См. указание к задаче 3.168.
3.170. Прибыль предприятия ц представить в виде т\ *= %\ -^
"f Ss + . • • + ё»: где I» — прибыль аа к-в изделие. Вычислить
ft с помощью задачи 2.24.
3.171. Найти производную по х функции у(х) = М|| — г|, где
— координата точки В.
3.172. Воспользоваться решением задачи 3.171.
3.173. Воспользоваться равенством
3.174. Если A, т|) —координаты точки X, (а, Ь) —координаты
точки А то М|ЛХ|2 = М{(| — а}2 -\- (rj — бJ}. Воспользоваться за-
задачей 3.173,
3.175. Если ||, |2, ...— уровни весенних паводков в последова-
последовательные годы, а тг — время до разрушения плотииы паводком, то
{хг ^ '} ~ I m^X ^i ^ г1* Случайная величииа тг при любом
% > 0 имеет геометрическое распределение
3.176. Найти функцию распределения ?г. Воспользоваться фор-
формулой Р{т3 > и} = М{Р(тг > uitr)} и тем, что условное распре-
распределение т при условии ?г =» z — геометрическое при любом г.
3.177. Рассмотреть случайные величины оц ™ ||i — 1И» 1 ^
^ i <С / ^ 3, и воспользоваться соотношениями
206
«) Pl2+ P13+P2S = 2E,3, — 1A)),
6) min {|B) — 1,1», |,3) — im} ^ V2(iC) — irn).
3.178. Пусть P(a ^ | ^ b) = 1, fc — a = l. Воспользоваться тем,
что Щ <М(|— (o-fb)/2J (см. аадачу 3.173).
3.179. Воспользоваться тем, что при сц ^ Ь(
3.180. Воспользоватьея задачами 3.178, 3.179 и доказать, что
из предположения о том, что | сосредоточена на отрезке длины
I <. oof и из безграничной делимости распределения | следует ра-
равенство D| = 0, т. е. вырожденность распределения ?.
3.181. Вводя индикаторы Хь --ч Хп событий Ль -..i An, уста-
установить равенство
»/> = М (х, + ... + Хп) = | Р (Bk) = 2
и вывести из него, что для любого m = 1, 2, ..., п
3.182. Воспользоваться результатом задачи 3.136.
3.183. а) Рассмотреть случайные величины |el и т|:
Р(т, ^0)=1-^,Р(|| = Щр) =Pf Pe= @, 1].
б) Рассмотреть случайные величины ? и т), имеющие равно*
мерное распределение на [0, 1] и такие, что П —{! + рЬ т- е* Ч
равно дробной части числа | + ^*
в) Показать, что Р(| ^ ц) ^ а при а< 1, Рассмотреть слу-
случай, когда
{| } р) на множестве {юей: ? ^ а}.
Случай а >- 1 сводится к а < 1 делением на в: Р(? ^ ту)
l
3.184. Вычислить ME — -яг
и М
1
— ~2 I и воспользоваться
неравенством \х — у\ ^\х\-\- \у\.
3.185. Показать, что случайные величины min (?, х\) и
шах (?, t|) удовлетворяют условиям задачи и что
Р{? = I или ? = ti} *= 1.
3.186. Если
F_t(y) a sup {г: F{x) ^ #} и {х *= 1} »,{? > F-i(l — а)) — Л*
то для любой другой случайной величины %', Р{х' = 1} «= а,
^ е 0} = 1 — аи {х' — О = Л' ф Л, справедливо неравенство
"|, так как
1С — t'i 0)) > j?_i(i —а)Р(Л\4'),
IC'-X.O)) <F_i(l-e)PD'\^)
Р(Л'\Л) = Р(Л\Л').
Минимальное значение М(|х) достигается при {х = 1} в
та {| ^^_i(a)}. Для вычисления экстремальных значений M(ix)
воспользоваться задачами 3.135 и 3.136.
207
3.187. Представить ? в виде ? ~ V) + (I — v\}%, где случайная
взличипа v принимает значения 0 и 1 и {х == 0} =а {? = т)},
{X = 1} == (^ =- |}. Далее воспользоваться аддитивпостью мате-
математического ожидания и результатом задачи 3.186, (предваритель-
(предварительно вычислив функцию распределения | — ц).
3.188. а) Воспользоваться свойством аддитивности матриц ко-
вариаций.
б) Использовать результат п. а) и формулу для плотности
двумерного нормального распределения.
3.189. а), б), в) Найти Р{| = г\}; использовать равенство
Р II > П] « Р (К П) = A - Р {I = ЧИ/2.
3.190. Составить в решить рекуррептные уравнения: в случав
а) —для Р{| > к), в случаях б) и в) —для Р{1 = к},
3.191. Использовать задачи: 3.32 —в случае а), 3.26 — в слу-
случае б), 3.34 — в случае в).
3.192. Использовать результаты задачи 3.191.
3.193. Условные распределения | п ц при условии | + *1 = 2
совпадают. Если Р{ 11 + Л — ^ 1 ^eJ^O при нокотором е > 0, го
условное распределение | или г\ при условии g 4"Ч = г не опре-
определено.
3.195. Показать, что если х = {х^ ..., хп) и у » (^ь ..., уп) —
любые два набора, состоящие из к единиц ид — к нулей каждый,
i) F у)
.196» Доказать индукцией по &, что если ?<* С = *> ••*! "I
? = 1, 2, .,.)" — независЕтмые случайные величины, f*{|<j = 1} = Р%
P{|ij = 0} =з 1 — р при любых г, /, то
Xk «-|ц... ii ft + lit ... 6^ + ...+ |nl...|*b
3.198. Обозначим через т) число белых шаров в первой выбор-
выборке. Тогда по формуле полной вероятности
Р (| « т) ^ 21 Р t1) = О? (I
3.199. Найти условную плотность распределения т) при фикси-
фиксированном |8.
3.201. Вводя индикаторы событий, показать, что Мкп ="
¦«"Pfljl < |f»l ИЛИ |j2<ln2 ДЛЯ 7 = 1, ..., « — 1), И ВЫЧИСЛИТЬ
последнюю вероятность, используя независимость It, ,.., |fl л
формулу полной вероятности (фиксируя множество Л (|«) =
— {/; 1я < |ш или |j2<In2> и значения |пь Ins).
3.202. Использовать условные математические ожидания п
мулу Dt = Мт2— (МтJ.
3.203. Показать, что в равенстве
(| max (я, яг)|| >*, л)}
выражение под знаком математического ожидания можно оценить
снизу величиной Р{? !> л!1!) ПРИ любом фиксированном зна-
значении ц.
3.204. Воспользоваться задачей 3.203.
3.205. а) Заметить, что
б) Вывести из п. а), что распределения i)h и |i|2*<*|a сов-
совпадают.
208
в) Воспользоваться равенством
г) Заметить, что ть *= Д] +... + Д*» и. пользуясь результатами
пи. б) ив), найти MAv
д) Сы. указания к задаче 3.67.
3.206. Показать, что n-мерная условная плотность распределе-
распределения (St. ..., $п) ирн условии Sn =$ о- < *?n+i равна 0 вне множе-
множества Z?n(a) «= {(xi, ..., #»): 0< «! ^ ... <а:« <а} и постоянна
на Л„(я). Плотность распределения (|,п, • ..» Sen)) найдена в за-
задаче 3.63.
3.207. Представить Pj? — z>— > и Р{? > х} в виде интегра-
интегралов по промежутку [х, оо).
3.208. Положим |( = 1, если в испытании с номером t появи-
появилась 1, и ?t = 0 в противном случае. Для условных математиче-
математических ожиданий m0 = MfvooISi = 0}? mi — ^{voolii *= 1} составить
систему линейных уравнений, используя равенства
M{Voo|li = i2 = 0} =2,
M{vOoii. = 0, 12 = 1} = 1 + mi,
M{voo| h = 1, Ь *= 0} = 1 + mOi
ii = Ъг = i} =» 1 + mi,
и формулу C 20). Найдя из этой системы m0, roif получаем Mvw
3.209. Для условных математических ожиданий
= 0), mi = M{vtn||i = 1},
ти
составить систему линейных уравнений. Найдя из этой системы
mn и ть получим Mvin = 9тэ + рот|. См. также указание к за-
задаче 3.208.
3.210. См. указание к задаче 3.208.
3.211. Пусть Bt = {точки Ли ..., Ап лежат на дуге AiC дли-
длины х (направление от At к ?¦— ло часовой стрелке)}. Искомое
событие есть Вх (J ... [) Вп. Показать, что Bi (] В} = 0 при I */¦ /,
в найти F{Bt\Ai *= Х\.
3.212. Указанное в условии событие не происходит тогда и
только тогда, когда длина дуги, содержащей Ли •••, Лпн не пре-
превосходит половины длины окружхюсти. См. задачу 3.211.
3.213. Если Вп — событие, описанное в задаче 3.212, то
{v sg: п} = Вп. Для вычисления Mv и Dv использовать задачи 3>132
п 3.133. . .
3.214. Найти длину дуги, на которой должны быть сосредото-
сосредоточены точки Ли ..., Лп, чтобы событие, указанное в условии вада-
ч-и, не выполнялось, Использовать результат задачи 3*211.
3.215. Если длина дуги АХВ равна х, то {? > х) = {Л2, ..., Ап
не принадлежат дуге А\В}.
3.216. Использовать формулу полной вероятности
= J
д. м. Зубков и др, 209
где р^ (z) — плотность распределения Ei, и указания к
3.215. *
3,217. Использовать формулу полной вероятности
метод математической индукции (по к) и результаты задач 3.215
и 3.216.
3.218. Воспользоваться результатом задачи 3.217 и тем, что
3.219. Заметить, что v = Gi -f Ь 6«» где {6j « 1} = {It > Д}«
{Э* ^ 0} = {li < Д). Далее использовать задачи 3.132 я 3.133, 3.215
и 3.218.
3.220. Заметить, что {г)п > х\ = |J |gfe > x\. Исиользовать фор-
мулу A.12) из введения к гл. 1 и результат задач 3.217, 3.218.
3.221. Использовать задачи 3.220, 3.135 и равенство
п
V
A-dx=\ - - dx.
J 1-х
3,222. Пусть а, р, 7 — длины Дуг 5С, СЛ, ЛВ. Использовать
равенства
S = -у (sin a -f sinp-p sin 7),
2S a p V
r ~ — = cos — 4~ c°s ~ ~f cos T t
результаты задачи 3.215 ж свойство аддитивности математического
ожидания.
3.223. а) Использовать равенства
1 (I2)
Ma = ( {у - ej (f/ - e2) dy ~ t j (у - ах) (у — e2) i2ye
о mln(fira2)
б) Подставить результат п. а) в формулу Ma = М{М(о|Л)}в
3.224. а) Найти вероятность поражения цели при условии, что
? фиксировано; б) воспользоваться результатом вадачи 3.40.
3.227. Получить рекуррентную формулу для М|\ используя
интегрироьапие по частям,
210
S.228. Представить каждую часть неравенства в виде интегра-
интеграла по интервалу (.г, <х>) от ее производной и сравнить подынте-
подынтегральные выражения.
3.230. Записать ?{у\^х\ в виде интеграла и вычислить его,
переходя к полярным координатам.
3.231. Использовать результаты задач 3.35 и 3.229, а).
3.233. Пользуясь тем, что интеграл от плотности нормального
распределения равен 1, найти Me1* и Me2", где случайная величи-
величина г\ имеет нормальное распределение с параметрами (я, а2).
3.234. Воспользоваться задачами 3.233 и 3.229, б).
3.235. б) Заметить, что
Ь — М In I \ ( in a—M In Ъ\
Найти М in | и Dln|, используя результаты задачи 3.233.
3.236. См. указания к задачам 3.227 и 3.233.
3.237. Воспользоваться тем, что случайные величины | и —S
одинаково распределены.
3.238. Разложить cos | в ряд Тейлора по | и с помощью ре-
результатов задачи 3.227 найти математическое ожидание каждого
слагаемого. При вычислении М cos2 % предварительно перейти н
функции от двойного угла.
3.239. Воспользоваться результатами задач 3.237 и 3.238 и ра-
равенством М sin21 = 1 — М cosa |.
3.2/Ю. Вычислить (М cos f -f iM sin ff = (м*{*3)\ запи-
записав эту величину в виде двойного интеграла и затем переходи к
полярным координатам. При определении квадратного корня най-
найти знак Im Mf'^ , делая в интеграле замену переменных и^х7
и рассматривая интегралы по и от 2пк до 2я(А + $), & = 0, 1, ...
3.2-51, Найти плотность совместного распределения х\и Т|2.
3.242. а) Использовать равенство Р(—\ <ж, \\\ ^ 1) ==»
~Р(|<*, 111^1).
б) Найти P(| + ti = 0).
3.243. Случайная величина \—11 смеет нормальное распреде-
распределение.
3.244. Случайные величины 2|i — ?2, 2|i — ^2 + |з имеют нор-
нормальное распределение.
II соя ф '— sin ф|
3.245. Линейное преобразование с матрицей gjn ^ cos J
ортогонально.
3.246. Воспользоваться задачей 3.245 сф — я/4.
3.249. Используя задачи 3.247. 3.248, представить (?j, ?2) в ви-
виде подходящего линейного преобразования случайного вектора
(?ъ ?г)> имеющего сферически симметричное нормальное распре-
распреление с D?i «= D?2 — 1.
деление с
(x-\-iy)h
(x\iy)
3.250. Записать отображение z — х-\- iit -» . а —a\(fc—d/i' b
полярных координатах и воспользоваться сферической симметрич-
симметричностью совместного распределения ?i п 1э.
3.252. а) — в) Воспользоваться независимостью | и tj; г) вос-
воспользоваться решением а) и симметричностью двумерной плотно-
плотности распределения (|, у\) относительно начала координат; д), е)
вычислить с помощью интегрирования двумерной плотности.
14* 211
3.254. Воспользовавшись тем, что плотность сферически сим-
симметричного нормального распределения инвариантна относительно
поворота вокруг начала координат, повернуть прямоугольник так,
чтобы его стороны стали параллельны осям, а вероятность попа-
попадания в него не изменилась.
3.255. Воспользоваться симметричностью двумерной плотности
относительно любой прямой, проходящей через начало координат,
и ее инвариантностью относительно вращений вокруг начала ко-
координат.
3.257. б), в) Найти плотность (|, г\) в полярных координатах.
3.258. а) Выразить искомую вероятность через плотность в
полярных координатах (см. задачу 3.256),
б), в) См. указания к задаче 3.254.
3.259. Вектор (li —?г, П» — Лг) имеет нормальное сферически
симметричное распределение. Воспользоваться задачей 3.230.
3.260. Вектор AiMi « (-|i + (h + Is)/2» -41 + D2 + Лз)/2).
См. указание к задаче 3.259.
3.261. Показать, что точка М\ и вектор А2А$ независимы. Вы-
Вывести отсюда независимость векторов А\М\- и А^й (и, значит, их
длин).
3.262. Треугольник является тупоугольным тогда и только
тогда, когда одна из его сторон больше удвоенной медианы, про-
проведенной и этой стороне. Эти события, относящиеся к трем разным
сторонам, несовместны и имеют одну и ту же вероятность. Найти
ету вероятность, используя результаты задач 3.260 и 3.261.
3.263. Треугольник А\А^А^ не имеет тупых углов тогда и
только тогда, когда он не содержит внутри себя центр описанной
около него окружности. Использовать задачу 3.212.
3.264. Заметить, что распределения случайных величин ? в —?.
совпадают.
3.265. Ввести вспомогательный случайный веитор 1' =
¦=(^11 Ъ>г)—($>\1а±* ?2/°2)'имеЮ1П-ий сФеРически симметричное дву-
двумерное нормальное распределение.
3.266. Из результата вадачи 3.264 вывести, что достаточно най-
найти foo. Подобрать числа а\ч Ьи 62 так, чтобы случайный вектор
t «= (?1, ?э) ж=1 (aili, fciii + ?2*2) имел сферически симметричное
нормальное распределение с плотностью ^" ё т +v и *тобы
{|i > О, Ь > 0} - {ti > 0, fc > hjuth
Для вычисления роо воспольвоватьсн последним раведством в сфе-<
рической симметричностью распределеция ?.
3.267. Найти такие числа и и t>, что случайные величины gi и
ц = w|j + р|2 независимы и одинаково распределены. Записать
искомую йероятиость в терминах веитора (iif v\) и восиользо-
еаться сферической сниметричностью его распределения.
3.268. Найти распределение ?i — а|2.
3.270, а) Вектор (?»— li, 1з — li) является разностью двух
векторов (|* |») и (|i, |i), имеющих нормальные распределения.
6) РасЕгредеяввие (&<*> — &<¦>¦ $<•>--?<«) еовпа^ает с условным
распределвниеи (fis — еь Ь~10 при условии, что |i < Ь ^ Ss.
Вероятность события ?j, ^la,^ Sjf, ие зависит от перестановки
(ai, о2, 03) едементов A, 2, 3). в) Воспользоваться задачей 3.267.
3.271. См. указание к вадаче 3.270.
812
3.272. Ср, с задачей 2.19.
3.278. Найти функцию распределения
3.279. Воспользоваться соотношением 1М?|<М|?| и резуль-
результатом задачи 3.152.
3.281, Рассмотреть распределение с плотностью
р (xv х%) = С'1 exp I- (x\ + *J + x\x\)\f
00
С = J J ехр {- (,¦ + *« + *»,«)) *,,*,,.
Глава 4
4.1. Заметить, что если fx{t) =0 при |/| < я, fs(t) = 1
" 4.4- Показать, что длн любых 8>0н п = 1, 2,..,
[(«+D/21
_а
In/21
>4
II использовать приведенные во введении к гл. 4 условия выполне-
выполнения закона больших чисел.
4.5, Применить результат задачи 4.4.
4.6, Показать, что
= A+0A))
Сп
а—1
иайтет распределение (li +... + !„)/" и использовать точную
формулу для P{j?, 4-...4-|п)/л| <е).
4.7. Воспользоваться неравенством Чебышева п результатом
задачи 4.6. Выяснить, при каких значениях а удовлетворяет закону
больших чисел последовательность случайных величин ?i, ?j» •••*
если они независимы и при к = 1, 2,...
. P{|ft = 0} «I—2-\
4.8. Оценить сверху дисперсии ?t4-**-4-?n и ТI4-*--4-Л* и
применить неравенство Чебышева.
4.9. Вычислить математическое ожидание, дисперсию
и воспользоваться неравенством Чебышева.
4.10. Заметить, что
213
и что поэтому
— а2
2 ~
Оцепить первое слагаемое в правой части A) с помощью неравен-
неравенства Чобышева, а второе и третье — с помощью неравенства из
задачи 4.1 для функции g{cc) = \х\.
4.11. Найти M/(?i) и D/(^i) и воспользоваться законом
больших чисел.
б) Использовать центральную предельную теорему.
4.12. а) Если {а:} обозначает дробную долю х, то {| + кц} и
{It)} при любых целых к, I независимы и имеют равномерное рас-
распределение ыа [0, 1].
б) Воспользоваться неравенством Чебышева.
Заметить, что
1
„Г
/ (х) dx
если {| 4- ц}, .,., {| + щ} принадлежат отрезку [а, Ь).
4.13. Утверждение задачи можно вывести из закона больших
чисел.
4.14. Применить закон больших чисел.
4.15. Воспользоваться результатом задачи 3.157 и неравен-
неравенством из задачи 4.1.
4.16. а) Показать, что Mv < со.
б) Ввести случайные величины vn = X' ~Ь • • • "Ь Xn» я = 1, 2,,. п
где %у = 1, если происходит событие А}л ш %j = 0 в противном слу-
случае. Показать, что P{v^vn} = 1, п = 1, 2, ...; вычислить матема*
тическое ожидайие и дисперсию vn н с помощью неравенства Че-«
бышева убедиться в том, что для любого N < оо
Hm P{vn>iV} = 1.
П-»ао
4.17. Рассмотреть случайную величину vNt
v при v =^ N и равную 0 при v >- N. Очевидно,
зать, что предположение «существует
N]
совпадающую о
v^ ^ N* Пока-
Покатакое iV •< оо, что
, р ущу ,
P{v >- N] < а — е<о» приводит к противоречию, если вычислять
математическое ожидание vw по формуле
4,18. Связать события Лп со значениями одной я той же слу«
чайной величины, имеющей равномерное распределение на отрез-*
ке [0,1].
214
4.19. Показать, что если ve — число одновременно происходя-
происходящих событий {||п — ?| > е}, п = 1, 2,..., то
/
In-»
и применить лемму Бореля — Каятелли (задачу 4.16).
4.20. Показать, что выполвяются условия задачи 4.19.
4.21. а) Показать, что
рК1
и примепить лемму Бореля — Кантелли (задачу 4.16).
б) Использовать соотношение
4.22. Найти D ((t\ + ¦• • + ?П2)/). применить неравенство
Чебышева и результат задачи 4.19,
4.23. Найти D/с, я+i+l з+а+ ¦••~Ь?й)» использовать оценку
м
2
г=1
неравенство Чебышева и результат задачи 4.19,
4.24. Вывести усиленный закон больших чисел из результатов
задач 4.22 н 4.23.
4.25. а) Применить метод математической индукции (по п).
б) Найти
4.26. Воспользоваться результатами задачи 1,53 и равенствами
Р{т, (N) > п) = ?{Ап, ff}, Р{т2 W > гс} -= Р{СП, n}.
При нахождении предельных распределений полезно соотношение
In A— х) «—
4.27. Представать вероятность Р{т]„ < ж} @ < а; < 1) в впдв
оо (h+x)/n
к каждому слагаемому применить теорему о среднем.
4.28. Показать, что для любого в > 0 можно найти такой на-
набор {6i, ,.., Ьт} непересекающихся отрезков, что
215
til
и плотность pi(x) на U б. непрерывна и ограничена. Далее
воспользоваться решением задачи 4.27.
4.29. Воспользоваться равенством tg nl- = tgin In— И в резуль-
результатами задач 4-28 и 3.8.
4.30. Используя тригонометрическую форму записи комплекс-
комплексных чисел, показать, что*?п — tg (га arctg §), и применить резуль-
результаты вадач 4.28 и 3.8.
4.31. Использовать неравенства из задачи 3.228 и определенно
условной вероятности.
4.32. Использовать равенство Р{хп < х) —Fn(x) и асимптоти-
ческое соотношение lim /1 — — 1 ~ е с.
4^3. а) Воспользоваться справедливыми при любом 8 > 0
включениями
я тем, что
Р{А] -
б) Доказывается аналогично а).
4.34. Использовать теорему Муавра — Лапласа и п. а) зада-
задачи 4.33.
4.35. а) Воспользоваться неравенством
?{АВ) ^ mm {?{A),
справедливым для любых двух событий Ау В. ^
б) Использовать определение непрерывности функции двух
Переменных и результат п. а).
4.36. Показать, что при каждом ( = 1, 2 последовательность
?<п) ^ ^Ш _|_ 11 e _j_ ^"^/^ сходится по распределению к at, ког-
когда п-+оо, и прпл!енить результат задачи 4.35. Б случае а) сходи-
сходимость fc(n) к а следует из закона больших чисел (см. введение
к гл. 4) в случае б) — из задачи 4.15.
4.37. При вычислении Р{?я <: х) воспользоваться соотноше-
соотношением lim(l — еI/е ^ е~1.
е-> о
4.38. Заметить, что т& можно предотавить в виде суммы к не-
независимых случайных величин,, распределенных так же, как |,
Воспользоваться неравенством Чебышева.
4.39. Значение Мт вычислялось в задаче 3.202. Чтобы найти
распределение г, заметить, что
т v
Mi Mvv '
используя оценку
Р
21S
— а
>e
показать, что второй сомножитель в A) сходится по вероятности
к 1, и воспользоваться п. б) задачи 4.33.
4.40. Заметить, что случайная величина %q имеет такое ике рас-
распределение* как сумма ?i-f...lv, в которой |ь |2, ... и v не-
независимы, %и |2, ... распределены так же, как |, a v имеет гео-
геометрическое распределение с параметром q. Далее при решении
0. а} использовать задачу 4.37, а при решении п. б) — эадачу 4.39.
4.41. Первая оценка следует из неравенства Чебышева. Для
доказательства второй можно ввести индикатор %а события А н
воспользоваться результатами задач 3.186, 3.138, неравенством Ко-
ши — Буияковского и переходом к дополнительному событию.
4.42. Используя задачи 4.41 и 4.39, показать, что нахождение
предельного распределения qx\ сводится и применению задачи
4.37. Затем с помощью задач 4.33 и 4.41 показать, что предельные
распределения qii и qx% совпадают.
4.43. Убедиться в том, что процесс работы прибора удовлетво-
удовлетворяет схеме, описанной в задаче 4.42, и что для искомой случайной
величины т и случайных величин ti я Тг ив задачи 4.42 справед-
справедливо соотношение
P{ti<t<t2} = 1.
4.44. Применить результат задачн 4.43. Использовать аппрокси-
аппроксимацию пуассоновского распределения нормальным,
4.45. Использовать определения указанных видов сходимости.
При построении примера рассмотреть такие независимые случай-
случайные величины ?п» что
Вычислить M(?w — |)s f рсполъзовать лемму Бореля — Кантелли
(вадачу 4.16) для доказательства того, что
4.46. Если F(x) и Fn(х) —функции распределения 1 я ?«
{п*= 1, 2, ...) соответственно, ^*(я) и F^(x)~ обратные функции,
а случайная величина ? имеет равномерное распределение иа от-'
резке [0, i], то последовательность случайных величпн %п ¦=»
— ^JJ(Q сходится к |'«*^*(^) с вероятностью 1.
4.47. а) В случае когда |« сходится к \ по вероятности, вос-
воспользоваться равномерной непрерывностью f(x) на любом конеч-
конечном отрезке и включением
Г, \tn-t\ >е'Ь
справедливым для любых е >0, Г< оо при некотором е' = е'(е, Т)л
Случай сходимости с вероятностью 1 рассматривается аналогично,
а случай сходимости по распределению сводится к любому иа
рассмотренных с помощью результатов вадач 4.45 к 4.46.
б) Рассуждения проводятся так же, как в п. а), но при по-
построении множества, на котором f(x) равномерно непрерывна,
нужно исключить ив отрезка [—Г, Т] окрестности всех точек раз-
разрыва f{x).
217
4.48. Существование величины g = liin ?п следует из моно-
п~*со
тониости последовательности |п, а равенство М? = а — пз ипте-
трального представления М| (см. задачу 3.138) и из теоремы о мо-
монотонной сходимости (см. введение к гл. 3).
4.49. а) Показать, что если Д* (к ^ 2) —минимальный по
длине отрезок из тех, на которые отрезок [0, 1] разбивается точ-
точками |, ?fc_l( а |Дй1 — его длина, то Да+i сА» {к » 2, 3, ,..)
и М | Д& | -> 0 п ря к -> со,
б) Вычислить М| и М|2, пользуясь тем, что условное распре-
распределение | при условии |i=x совпадазт с распределением xg,
если ж =^ 1/2. и с распределением 1 — A — #)|, если х 5* 1/2.
4.50. а) Показать, чтоР / lira I ln — ?п-1 |« о\= 1, и воспользо-
ваться леммой о вложенных отрезках.
б) Воспользоваться тем, что условпое распределение 1 при
условии |i = х совпадает с безусловным распределением
451. Показать, что случайные величины <хп, определенные ра-
равенствами
g ft,)-г ft») '--"".,,.,
уд?влвтворяют условию
l:m P {| ап| > г} = 0 при лю'ом е>0.
Далее воспользоваться задачей 4.33, б).
4.52. См. указания к задаче 4.51. В отличив от задачи 4.51
определить случайные величины ал равенствами
4.53. а) Распределение случайной величины
~\/прA — р)
при и->оо сходится к стандартному нормальному распределению,
б) Использовать задачу 4.51 С ?п = — — ^, gn {х) = xi,
п
4.54. а) Использовать задачу 4.52.
б) Использовать задачу 4.51.
4.55. Показать, что для любого е ~> 0
lim P
если выполнены условия п. в). При построении примеров, дока-
вывающих, что условия з) и б) не обеспечивают совпадения пре-
Ъп~ап ln~av
дельных распределении —г " ; , рассмотреть случаи-
ные величины ^п = Ьп% -^- ап, где случайная величина ? ямеет
218
стандартное нормальное распределение, в подобрать соответствую-
соответствующим обрааом последовательности ап, bn, a.n> b'v.
4.56. а) Рассмотреть случайные величины
Б.«Х»§+A-Х»)^и, ««1,2,...,
где хь %ъ ... — случайные величины, не зависящие от |,
Р(Х« - 0} + Р{Хп = 1} - 1.
С) Сравнивая
00 ОС
Мб» j *dP Ц s? я} и M$n « J xd?{ln^x},
— оо ¦—оо
показать, что за счет выбора достаточно большого Т интегралы
можно сделать сколь угодно малыми, а разность интегралов до
области {\х\ <С Т} при и-^оо стремится к 0.
4.57. а) Рассуждая тек же, как в п. б) задачи 4.56, пока-
показать, что
Urn (Л/п-Л/)= lim lim f *2
TJ~>OO Т-»СЮ П-^ОО ^
Построение примера, в котором Л/<х> > М, провести аналогично
п. а) задачи 4.56.
б) Случайные величины |п — М?„ и |— М| удовлетворяют
условиям п. а).
4.59. Случайная величина ?„ имеет биномиальное распределен
пие с параметрами (п, р).
4.60. а) Использовать равенство M|Ife' = cp<ft> A),
б) См. определение производящей функции л ее свойства.
1
в) Использовать равенство \ zadz = —.—, а!> — 1.
о
4.62. Показать, что 0а = Tj + ...-{- хц, где п, . * „ %ь — независи-
независимые случайные величины, распределенные так же, как случайная
величина xi в задаче 4.61.
4.63. Сравнивая ряды
п j
" * pz
Т1=ТП
составить рекуррентное уравнение, связывающее производящие
функции Mz^ при соседних значениях т, и найти его решение,
4.64. Пользуясь результатами задачи 4.63, найги производящие
функции распределений ?i, |г, 1з и их суммы у\.
4.65. а) Воспользоваться формулой полного математического
ожидания.
б) Использовать результат п. а),
219
4.60. Найти P{li - Ь = 0}( P{li = 0}, ?{Ъ - 0}.
4.67. Представить (р|(г) в виде степенного ряда. Воспользовать-
Воспользоваться правилами почленного дифференцирования рядов и неотрица-
te^bHOCTbro коэффициентов ряда для Ц<? (z).
4.68. Сопоставить А:~му испытанию вектор (e*,iv •••» ва, лг), &™.
¦=1, 2t .. 4, где 8а. j = 1, если в k-ii испытании поввился /-й вс-
всход, и 8дг j = 0 в противном случае. Воспользоваться равенством
п
в свойствами производящих функция векторных случайных
величин.
4.69. Использовать результат задачи 4.68.
4.70. а} Воспользоваться формулой полного математического
ожидания и результатом задачи 4.68.
б) Вывести из результата п. а), что компоненты |v. ь ...» Iv.jr
независимы и ?v, ( имеет распределение Пуассопа с параметром %pt,
4-71. Воспользоваться тем, что ф(г) —аналитическая функция
в круге {|s| =^ 1}, что фA) = 1 я что <p(z) разлагается в ряд Тей-
Тейлора по степеням z с неотрицательными коэффициентами.
4.74. Вычислить характеристическую функцию |j + > • • -Ь S*.
4.75. Использовать формулу полного математического ожидания
к свойства характеристических функция (производящих функций).
4.76. а), б) Представить if>B) в виде степенного ряда по г.
в), д) Представить \p(z) в виде степенного ряда по <p(z) и ис-
использовать результат задачи 4.75.
г) Выразить ф(з) через yp(z) и использовать результат зада-
задачи 4.75.
4.77. Вычислить производящие функции Мз*, Mz**, (=1, .,,
..., т, и заметить, что если выполняются условия задача, то
Mz^ =s Мг * ... Мг m,
4.78. а) Использовать соотношение
если п делится на kf
0 в противном случае,
б) Заметить, что {I при делении на к дает остаток т) =^
к- {| — т ^ 0(mod к)}, и воспользоваться утверждением п. а).
4.79. При каждом ( =» 1, 2, ... заменить || случайной вели-
величиной ?* — остатком от деления ?| иа 3. Найти распределение и
характеристическую функцию ?| я воспользоваться задачей 4.78.
4.80. Использовать независимость 1ь •••» !«•
4.81. Представить Me*** в виде интеграла и оценить его сни-
снизу, пользуясь положительностью и монотонностью показательной
функции.
4.82. Использовать задачи 4.80 и 4.81.
4.83. Использовать задачи 4.80 и 4.81.
^ 4.84. Применить формулу полного математического ожидания*
220
4.85. Воспользоваться неравенством
4.86. Представить f(t) в виде суммы действительной и мнимой
частей. Воспользоваться условиями задачи и четностью функ-
функции COS X.
4.87. б) Показать, что ра(х) —это плотность распределения
суммы двух независимых случайных величия, одна из которых име-
имеет равномерное распределение на отрезке [0, I/a], a другаи — рав-
равномерное распределение на отрезке [—i/a, 0].
в) Использовать формулу обращения для преобразования
Фурье (см. введение к гл. 4) и результат п. б).
4.88. Дли доказательства тождества сравнить подынтегральное
выражение с плотностью соответствующего нормального распре-
распределения. Таи как распределение г\ симметрично, то Miy — 0, если
только М|т]| < оо. Для вычисления Di) — Мт]2 продифференциро-
продифференцировать обе части интегрального тождества по h.
4.89. Показать» что описанная в условии задачи функции f(t)
может быть представлена в виде
\ k
где к — число ввеньев ломаной (графика функции f(t) на полуоси
@, во)), числа at, .,., па, рь •••> Р* положительны, р0 > 0 и р9 +
+ Pi -К • • + рк ¦= 1. Далее воспользоваться результатами задач
4.84 и 4.87.
4.90. Рассмотреть последовательность /i@> МО» •••» характе-
характеристических функций, удовлетворяющих условиям задачи 4.89 н
такпх, что lim fn(t) ««/@ для любого f, \t\ -< оо. Затем вос-
П-+ос
пользоваться теоремой непрерывности для характеристических
функций (см. введение и гл. 4).
4.91. а) Разложить fi(t) в ряд Фурье и убедиться в тем, что
коэффициенты этого разложения определяют распределение ве-
вероятностей.
б) Заметить, что /2 {*) « g * и получить разложение
Л@ в РЯД Фурье с помощью результата п. а).
4.92. Использовать результат задачи 4.91.
4.93. Заметить, что функции / {г) «= Me1 ^ и g(t) «.
вААе "* "' k' связаны соотношением /*(*)¦"?(*) и что со-
согласно вадаче 4,85 функции g(t) и f(t) непрерывны.
4.94. Показать, что Me"* *= 1 тогда и только тогда, ког гл
2 4}}1
е{0, ±2п, ±4л,...}}«1.
4.95. Показать, что если | имеет плотпость р(х), указзнну^о я
условии вадачп, то
оо
1 — /(*)¦= 2 f A — cos tx) p (x) dx = о (\t I) при t-+ 0,
о
221
и поэтому /'@) = 0. Для оцеики интеграла разбить его на дна: от
0 до Т и от Т до оо; использовать неравенства 1 —cos у ^ j/2/2 и
асимптотическую формулу для р(ж), $—*¦ оо,
4.96. Использовать равенство
/" (а-) = Нш -i- (/ (х - f) - 2/ (*) + / (х + 0)
/—* о *
cos f S - 1
и следующее из него соотношение /" @) = НюМ|
4.97. Воспользоваться результатом задачи 4.96 и оценкой
/2
4.98. Использовать результаты задач 4.86, 4.94, 4.97.
4.99. Найти начальные члены разложений указанных функпий
в ряды Тейлора.
4.100. а) При вычислении функции распределения %\ перой-
ги в интеграле к полярным координатам.
б) Воспользоваться результатом п. а) и задачей 4.93 для вы-
вычисления Me '1,
4.101. Найти сначала характеристическую функцию гамма-рас-
гамма-распределения с параметром а — 1, затем (пользуясь задачей 4.93)
с а = 1/q, д = 1, 2, „.., затем с а = p/q (p, g — 1, 2, ...) и, нако-
наконец, с помощью теоремы непрерывности — для произвольно-
произвольного а > 0.
4.102. Найти характеристическую функцию
4.103. Найти характеристическую функцию распределения век-
вектора (^!, . .., %m).
4.104. Воспользоваться теоремой из курса линейной алгебры о
приведении симметричной квадратичной формы к диагональному
виду с помощью ортогональной замены координат.
4.105. Используя формулу Тейлора для 1пA —х), найти предел
логарифма производящей фуикпии ?$п^ 4- ... + ?п ПРЙ п ~*" °°*
4.106. Рассмотреть случайную величину ?, имеющую равномер-
равномерное распределение на отрезке [0, 1], и построить такие функции
/р(#)> 8р{х), are [0, 1], что случайная величина /Р(?) распределена
так же, как |, gp(?) —так же, как т|, и при к = 0, 1, ...
Р{/р(С) = Яр(Б) = ft) = min {Р« - Л}, Р{ц « ^}}.
4.107. Тем же способом, что в задаче 4.106, построить по незави-
независимым случайным величинам ?ь .,., ?п, имеющим равномерное
распределение на [0, 1], случайные величины |ь ..., |« и макси-
максимально совпадающие с ними независимые случайные величины
t|i» •••» т)п, имеющие распределения Пуассона с параметрами ри .-.
*..» рп соответствеппо. Далее воспользоваться соотнощеяиаи
$! + ...+*„*¦ тц-ьг..-br,n}g .и {ii^^uV
и свойствами распределения Пуассона (см. также книгу [21),
222
4.108. Рассматривая непересекающиеся события вида А{ ...
'" \\ • * ' AJN-q* ГДС О»» •¦-'?) U {/I,...,/tf-e) *= A ^}
и А —событие, дополнительное к А, показать, что
Подставить эти выражения в правую часть равенства, указанного
в условии задачи, и привести подобные члены, изменяя порядок
суммирования.
4.fO9. Разложить производящую функцию <p(z) = M26 по фор-
формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Лагранжа) в точке
2 = 1 и заметить, что ф @) = Р{? = 0}, <р<*>A) = mk и q><ft>(*) > 0
для любых z е [0, 1] и & = 0, 1, 2, ...
4.И0. Заметить, что если <р(г) =» МгЕ, то <p<">(.z) ™ M^Ifl1**-"f
т. е. фG1)@) = п)Р{^ = п}. Далее рассуждать так же, как в ва-
даче 4.109.
4.11 i. Если ф(г) = Мг^, то
Далее рассуждения аналогичны проведенным в задачах 4.109 ж
4.110. Равенство
dh 1 - Ф (я) I ф(й+1) A)
установить, используя формулы Лейбница и Тейлора.
4.112. Воспользоваться неравенством из задачи 4.110.
4А№. Применить утверждение задачи 4.112, выбрав в качестве
| случайную величину, имеющую распределение Пуассона с па-
параметром Я..
4.114. Представить случайную величину \n{nt N, s) в виде сум-
суммы индикаторов
1*4 (я, ^^ХР + Х^-Ь-*^
и воспользоваться формулой задачи 8.134 дли факториальных мо-
моментов. Исследовать функцию ft(n) *=Мц«(л( Л', *), рассматривая
отношение /<(т»+ l)//i(n)*
4.115. Использовать задачу 4.108.
4.116. Вывести ив результатов решения вадачи 4.114, что при
указанном предельном переходе выполняется соотношение
toin{n, N — n) ~ c(N)t Далее использовать явные формулы Для
факториальных моменте» u«(n, N, 9) и задачу 4113.
4.117. Представить ц,(/ц N) в виде Мп> Л') к Xi 4-».. + %**
где 5(/ =: U если i-н ичейка содержит ровно г частиц, и %i » 0 в
противном случае. Вычислить факториальяые моменты ^,г(л. ^)«
используя ревультат аадачк 8»Ш( и применить утверждение аада*
чи 4.113.
4.118. Так как
) +... - 0} « {vr(^) > п) s {|Xr(«, ff) - 0},
223
то при условиях
N) 0\ C Р ( 2 Н
выполняется соотношение P{vr(A0 > п)~*С. Значение С и спязь
между значениями п и N, при которой выполняются условия A),
найти с помощью задачи 4.113.
4.119, Если |Л^ («, Лт)'—число строк, в которые не попало
ни одной частицы, а [х^ (п, JV) — число таких же столбцов, то
случайные величины [х^ (п, N) и \i^ (га, Л') независимы и их
предельные распределения можно найти с помощью результата
задачи 4.117, а х (л, N) = ц(оп (/г, ЛГ) ц<02> (л, Л').
4.121. Применить центральную предельную теорему.
4.122. При любом к « 1, 2, ...
/ с \п
Использовать соотношение lim 1 4- —-
б) Случайная величина In t|n является нормированной суммой
независимых слагаемых.
4.123. а) Воспользоваться задачей 4.122.
б) Заметить, что
11
~2 2^о
4.124. См. указания к задаче 4.123.
4.125. Применить закон больших чнсел^ п центральную пре-
предельную теорему.
4.126. Так как сфера Sn~l переходит в себя при любой пере-
перенумерации координат и при отражениях относительно координат-
координатных гиперплоскостей, то величины |i, ..., |п одинаково распреде-
лепы и при любых i Ф / вектор {\i, \$) имеет такое же распреде-
распределение, как A*, —lj). Для вычисления М|? нужно использовать
еще аддитивность математического ожидапия и уравнение сферы.
4.127. Из сферической симметричности распределения вектора
| следует, что условное распределение вектора е — |/|Ц при ус-
условии р = г является равномерным па единичной сфере, т. е. нэ
аавпспт от г.
4.128. Ввести случайную величину рп, которая не зависит от
вектора е и такова, что р\ имеет %2~РаспРеДеление с п степеними
свободы, Мр^ — п, Dp^ = In, В силу задачи 4.127 случайный век-
вектор рпе имеет га-мерное нормальное распределение с нулевым век-
вектором математических ожидавий и единичной матрицей ковариа-
цпй. Предельные распределения случайных векторов (8ip«, ...
.., вдрп)и (eiVw, ,.,, Gk]'n) при к = const, n -+¦ оо совпадают 8 силу
224
того, что
?«.-1
для любого б > 0 (см. задачу 4.33, б).
4.129, Использовать результаты п. а} задачи 4.125 и п. б) за-
задачи 4.33.
4.130. Ввести случайные величины ejt« A ^ i ^ N, 1 =» 1, 2,,-..):
е* i ~ 1, если в /-м испытании появился (-и исход, и gj ( и 0 в
/ N \
противном случае. Тогда t|n =¦ 2 B Л1ел )• Далев воспользо-
ваться независимостью внутренних сумм и центральной предель-
предельно и теоремой.
4.132. Найти предел логарифма характеристической функции
4.133. Представить 5^ввиде суммы п независимых одинаково
распределенных случайных величия и воспользоваться централь-
центральной предельной теоромой.
4.134. Используя независимость ?», ь ..^ Zn.n, равенство
и одонку M|^|3^(DU3/2 (из которой следует, что —— max
.— 0, »-+¦ оо), показать, что для любого *, Ji| <; оо(
4.135. Воспользоваться утверждением задачи 4.134.
4.136. Воспользоваться утверждением задачи 4.134.
4.137. Для нахождения предельного при п ~> <х> распределе-
распределения случайной величины г\п использовать .метод производящих
функций.
4.138. б) Использовать задачу 4.134.
б) Представить tn в виде ?п == ^10) — $\ где
Предельные распределения ^°^ и ^^ найти с помощью зада-
задачи 4.105.
4.139. Характеристическая функция случайной величины ?пМж
при п-*-оо должна сходиться к характеристической функции пре-
предельного распределения.
4.140. а) Воспользоваться равенством
и законом больших чисел.
15 а. М. Зубков и др. 225
б) В отличив от п. а) воспользоваться центральной предель-
предельной теоремой,
4.141. Используя утверждение задачи 3.64, представить |(т>
в виде суммы т независимых случайных величин. Для доказатель-
доказательства асимптотической нормальности, случайной величины A<т) —
— M|(m))/yD|(m) показать, что выполняются условия задачи 4.134
(при этом удобно применить результаты задачи 4.74). Второе ут-
утверждение п. б) вывести из результата п. а) и задачи 4.55.
4,142.Заметить, что если Р„\{у) — функция, обратная к F(x),
то, согласно задаче 3.13, распределения ?imi и F-i(i— ехр{—сс|<т)})
совпадают (здесь Id) ^ ... ^ |(J7t) — то же случайные величины,
что в задаче 4.141). Далее воспользоваться утверждениями п. б) за-
задачи 4.141 и задачи 4.51.
4.143. а) Вычислив Р{т,„ > »|vo, v(, ,.., vm_i}, показать, что
тто не зависит от v0, vb ..., vm_i. Для нахождения Р{тт >• Vfc — vi}
воспользоваться формулой полной вероятности по значениям
^д — V/ и равенством у-л = Ti -f*.,, -J- тд.
б) Из точной формулы для Р{т711 > vm-i — Vm-r) получить дву-
стороннне неравенства, воспользовавшись оценкой
1 \ — х 1
4.144. Используя результаты задачи 4.143, найти предел лога-
логарифма производящей функции v& — к.
4.145. Для нахождения предельного распределения использовать
утверждение задачи 4.134, а для вычисления моментов — получен-
полученные в решении задачи 4,143 равенства vm = п -Ь •-.-{- тт (где
ti, ..., тт — независимые случайные величины) и формулу для
Производящей функции та.
4.146. Показать, что zj, ,.., zN ^ 0. Отсюда и из равенства
ф{1) ¦== 1 вывести, что
лт
ср (г) = Д A - р. + р.г), где р. - 1/A — г.).
4.147. Многочлен cp(z), удовлетворяющий условиям задачи, мо-
можно представить в виде произведения N — М квадратных трехчле-
трехчленов и 2М — N линейных дзучлеиов, причем коэффициенты всех
сомножителей неотрицательны, а при 2 = 1 каждый из них при-
принимает значение 1.
4.148. Использовать задачи 4.146 и 4.134,
4.149. Использовать задачи 4.146 и 4.105.
4.150. Для составления рекуррентного уравнения использовать
формулу полной вероятности, связывающую распределения
ц.0(я, Л') и цо(я + 1» Л7)- Показать, что если *„, N-i ^ zn, n-2 <; - ¦ •
. -. < «п.! < 0 — корни уравнения fn, n(z) ~ 0, то zn+\. к-\ ^
^ Zn, K-\ ^ zn + l, N-2 ^ 2я, Л-2 ^ • • • ^ -2п + 1, 1 ^ 2п, 1 ^ 0 И Zn, i+l <!
< zn+i, < < zn, ь если только г», i+i < гп, ¦(.
4.151. Воспользоваться задачами 4.148 и 4.150.
4.153. Пользуясь симметричностью распределения |, предста-
представить 1 — MeifE в виде интеграла от 0 до оо. Чтобы исследовагь
асимптотическое повудспве 1 — Ме"? при 2-*-0, разбить этот ин-
интеграл на два: от 0 до Т =* T{t) и от Т до оо —е оцепить первый
интеграл по модулю, а при исследовании второго использовать
асимптотическую формулу для р{х) при #-+ оо.
226
4.154. а) Получить явную формулу для tp(s) и разложить
в ряд Маклорена. При нахождении асимптотики 1—/(*) при t~+0
проследить за изменением arg(l — ф(г)), когда з=»1 — teut —я ^
^ х < я, t -+¦ 0.
б) Воспользоваться справедливым для любого комплексного
числа с соотношением A — cn~l)n-*-е~в, п->оо, и теоремой не-
непрерывности для характеристических функций.
4.155. Используя формулу обращения для характеристических
функций, приведенную во введении к гл. 4, показать, что распре-
распределение с характеристической функцией е~аМ имеет плотность
а 1
4.156. Показать, что плотность распределения случайной вели-
величины 1/|i удовлетворяет условиям задачи 4.153 с а ¦== 2 и С =•
= кр@). Использовать задачи 4.152, 4.155 и теорему непрерывно-
непрерывности для характеристических функций.
4.157. Воспользоваться свойствами характеристических функ-
функций и тем, что |i -J- ?3 = 2|ь
4.158. Заметить, что 1а, ъ(х) лишь постоянным множителем от-
отличается от нлотности суммы двух независимых случайных ве-
величин, имеющих распределения Коши с параметрами а в Ь. Рас-
Рассматривая характеристические функции, показать, что эта сумма
сама имеет распределение Коши.
Г л а в а 5
5.2. а) Показать, что D?n->0 при п-> оо.
б) Представить ?п в виде линейной комбинации случайных
величин Si-a, ia-ft, ...» In и воспользоваться усиленным законом
больших чисел.
5.3. а) Вычислить М?^ и показать, что D?^->. 0 при п->оо,
б) Представить t^s* в виде квадратичной формы от Ii-a,
^2-а, ..., ?п+« и разбить эту форму па сумму конечного числа сумм
независимых слагаемых. Далее воспользоваться усиленным зако-
законом больших чисел.
5.4. При вычислении ковариации |* и ?, использовать равенст-
равенство 2 sin х sin у = cos {x — у) — cos(x + у).
5.5. Показать, что если % + rciu = 2&1Я -f- ai(t)y n{t + т)г) =¦
= 2к2я 4- cc2(i), где числа к\ и к2 целые, a ai(Z), «a@ e [0, 2rc)t
то aj (г) и a2(t) независимы и имеют равномерное распределение
в отрезке [0, 2л], и it — sincci(f) -hsinazff). См> также указание
к задаче 5.4.
5.6. Так как число я иррационально, то ц — |^(| -f- |^г|.
5.7. а) Воспользоваться центральной предельной теоремой,
б) Представить r\n(t) в виде
¦^ 2 «
Применить многомерную центральную предельную теорему к
сумме
cos
15* 227
5.8. Обосновать возможность перестановки знаков интеграла
и математического ожидания.
5.9, Если траектория процесса ?* монотонно возрастает, то
{^<*} = {!*<#}.
5Л0. Для вычисления Мц использовать формулу из задачи 3.132.
Доказать, чю число строго возрастающих последовательностей
го, ».., xmt составленных из чисел 1, ,,„ d, равно, C™+1i а число
таких же неубшзазощих последовательностей равно C^n+a—v ^ СЛУ~
«ае в) использовать указание к задаче 3.62.
5.11. Шшти сначала функцию распределения \ ¦=—1I%, поль-
вуясь сферической симметричностью распределения вектора (?, т)),
5.12. Представить jih в виде \ib = Ло + t|i +../+• Tjfc-i, где r\i *=
и 1, если на полуинтервала [/, / + 1) имеется нуль процесса |г,
и щ «= 0 8 противном случае. При вычислении
восдользоваться задачей 3.26G.
5.13, Применить задачу 3,17 и формулу полной вероятности
Р{Ыя) — а} « МР{|п(г) = e|Sb ,-., С»}.
6.14. Многочлен |п(*) имеет кратные действительные корни
тогда и тслькб тогда, когда существует такое число и, что
Тх (Ci* + е2*2 +'..- + С»*") |х=и = 0, A)
= -(?iu 4- Ь*2 +. •. + С»»")- B)
При условии A) число значении правой части B) не превышает
п— i. Далее воспользоваться формулой полной вероятности по 8на~
чениям ?(, ,.., ?п (см. указания к задаче 5.13).
5.16. Найти характеристическую функцию распределения век-
юра
Б.17. Кроме задач, указанных в условии, воспользоваться асим-
асимптотической формулой
arcsin 1Л — ^2=-^- — j/(l -fa A)), у|0.
5.18. Случайные величины п, Та —ti, тз — т2, ... независимы
и одинаково распределены. При выводе уравнения для <pi(s) вос-
воспользоваться тем, что случайные величины %х и 1 Ч-Tj^gj одина-
одинаково распределены (здесь т0 = 0).
5.19. а) Используя указания к задаче 5.18, доказать, что
P{n<-&!>i<-*}=<Pi(l).
б) Из условия <pi @) = 0, непрерывности (pi(s) и уравнения
*/(ф!(*)) *= 1 вывеста, что
Фх ^> =- inf L> 0:
228
т. ©. что tpi(l) < 1 тогда и только тогда, когда уравнение /($) = 1
имеет корень s, 0 < $ <С 1.
5.20. а) Использовать формулу Стирлинга A.6) из введения
к гл. i.
б) Заметить, что M{|pn+i| Ipn =» fc} =* \h\ при к Ф 0 и
M(lpn+i| |р» —0) = 1, и составить рекуррентное уравнение для
М|рп|* используя формулу полного математического ожидания.
5.21. Составить рекуррентное уравнение для М|р»|*, используя
равенство
5.22. См. указания к задаче 5.21. При выводе рекуррентной
формулы для Mjpn|4 использовать соотношения
Р{1Ы «1} = U M(p«, ln+i) -О,
м(р». in+iJ=M|Pn|2M^+1(l
и М|2Д = -^- (см. задачу 4.126).
5.23. Исно: „зовать результаты задачи 5.22, неравенство Чебы-
шева и ломму Бореля — Кантелли (задачу 4.16).
5.24. а) Использовать лемму Бореля — Кантелли (п. а зада-
задачи 4,16) и формулу Стирлинга.
б) Убедиться в том, что п. б) задачи 4.16 неприменим. Вычис-
Вычислить Mv двумя способами: вводя ипдикаторы событий {р» ¦*» 0} и
вводя вспомогательные случайные величины
xi = тт{п > 1: рп =* 0}, ta+i =min{/j > хм р» — 0),
h -1,2, ...
(которые удовлетворяют условиям {v ^ к) =* {хн <. оо}.
5.25. Заметить, что колтонеыты рп, и • • •» рп, а вектора р« яа-
ляются независимыми реализациями величин, рассматривавшихся
в п. б) задачи 5.24. При s^3 использовать лемму Бореля — ЦЩЦ~
телли, при s = 2 рассуждать так же, как в п. б) задачи 5.24.
5.26. Случайные величины |< и %{v < (} независимы. Обосно-
Обосновать законность перестановка знаков суммирования и математи-
математического ожидания.
5.28, Применить тождество Бальда (задачу 5.26). Для доказа-
доказательства того, что M/V* < оо, использовать задачу 4.83 и соотно-
соотношение
}{}
5.29. Использовать метод математической индукции (по к) и
формулу полного математического ожидания (по значениим рЖл.;).
5.30. Ввести случайную величину
п + 1, если max {pt, ..., pn} < б,
min {/^ 1: Pi ^ 6} в цротнвяом случае.
Используя задачу 5.29, оценить снизу
229
5.3i. Использовать задачу 5.30. Для доказательства неравенства
использовать задачу 3.152.
5.32. Воспользоваться задачей 5.30, равенством
и указаниями к задаче 5.31.
5.33. Использовать равенство !*+» e|i+ (lt+» — It) и незави-
независимость случайных величин |( и |*+в —- li {$ > 0),
5.34. Воспользоваться равенством {т& ^ Т} == {|г ^ А:}, зада-
задачей 3.132 it свойствами пуассоповского процесса.
5.35. Случайные1 величины Д, = Т|, Дг — Ха — ть *Аз — т3 — т2,...
независимы и одинаково распределены:
Воспользоваться формулой для плотности гамма-распределения.
5.36. Си. указания к задаче 5.35. В случае в) в^-пользоваться
row. что {tj < Т < т2) = {1т — i}, где |, — пуассоновский про-
процесс с интенсивностью "к,
5.37. См. указания к задаче 5.35 и задачу 3.63.
5.38. Используя обозначения из задачи 5.34, ввести индикаторы
( 1, е
\ 0 в
( , если xfe<f n
к \ 0 в остальных случаях.
При вычислении М ^ т)й = V Р |^() = 1} заметить, что случай-
ные величины т& и Tft+.j — Th пезависпмы.
5.39. См. указания к задаче 5.38.
-^ 5.43. Величина %t равна числу требований, которые поступила
в систему на (—<х>, t] и не покинули ее к моменту t. Использовать
конструкцию, описанную в задаче 5.42, и свойства нуассоновского
потока.
5.44. См. указания к задаче 5.43.
5.45. б) Величина Р{рп > х) равна вероятности того, что в кру-
круге радиуса х имеется не более к — 1 точек пуассоиовского поля.
5.46. См. указания к задаче 5.45.
5.47. а) Случайная величина бп есть сумма двух независимых
случайных величин, имеющих равпомерное распределение па от-
отрезке [0t 1].
б) Б случае к = 1 воспользоваться равенством
о
где Р\(х\, жй1и)—плотность условного совместного распределения
Ьп и 6п+1 при условии, что тп+1 = п + и:
., если и ^.хг ^ и И- 1, 4 — и^ х2 ^ 2 — it,
) в остальных случаях,
в) Найти вероятность дополнительного события.
230
г) События {ti ^ |i} и {т2 > |э} независимы.
д) При вычислении Мх и Мк2 воспользоваться равенством
* « x(Ti > И (т, - I) + х{т, < U (т8 -1),
а при нахождении плотности д(х) — равенством q(x) — hAq(x\z,).
где д{х\и)—плотность условного распределения х, црц уоловии,
что ? = г*:
д(х\и) = -
1, если 0 ^ а: < 1 — w,
м, если 1 — u < =r ^ 2 — м,
О в остальных случаях.
5.48. Воспользоваться определением пуассоповского потока и
указаниями к задаче 5.47.
5.53, а) Найти р, = Р{^3 = 11^2 = —1}, Pi = Р{г|3 = 1 hi = 1,
}
5.54. Вычислить Р{цо(л-г-1) = *!цо(и) = &}, &, 1 = 0, 1, ...
№, и
при любых допустимых значениях к, к\у».., кп* I*
5.55. См. указания к задаче 5.54.
5.56. б) Убедиться в том, что цепь Маркова ?п удовлетворяет
условиям теоремы, сформулированной во введении к гл. 5. Прове-
Проверить, что биномиальное распределение с параметрами (TV, (?) яв-
является стационарным.
5.57. а) Для вычисления ptj воспользоваться тем, что при ус-
условия |л = i все С1^ вариантов окраски шаров с номерами
и + 1, ..., п + N равновероятны. Сравнить ?{\\ = 1, |г = 0||0 == 0}
б) Распределение %п не зависит от п:
5.59. Показать, что матрица |/'.^||*?J._1—дважды стохастиче-
стохастическая (см. задачу 5.58).
5.60. Показать, что при фиксированном значении ?( распреде-
распределение ?(+1 не зависит от |0, ?i, ..., %t-u
5.61. Построить кусочно постоянные функции g(y) и f(x, у)
так, чтобы при любых i, /е {1, ..., Л'} мера множества Тех значе-
значений у, при которых g(y) — / {j(U у) ~ /)) была равна р^0) (Ру)*
5.62. За состояние принять число очков на той грани, на кото-
которой лежит кость. (Сумма очков на противоположных гранях рав-
равна 7.) Выписать матрицу вероятностей перехода, применить тео-
теорему о финальных вероятностях.
5-64. Заметить, что pj, n+i = ее/л для любого / =¦ 1, ..,( пи что
поэтому распределение тп совпадает с распределением тп =
— minit^U ^ —1|, где ?1( ?2, ... — последопательпость Бер-
нулли;
Воспользоваться задачей 4.37,
231
5.65. а) Использовать соотношения P{ti(O]< 00} = i n
1 @ = г} > р {?f =.... = Ц% = г, if = 11 if = 1}.
6) Заметить, что при е > О
в) Пользуясь формулой полной вероятности по вначениям
t^e\ сначала составить и решить уравнение для производящей
функции % (в) = м| Л(е) \ ?<f> - 2}.
5.66. Последовательность т)п = In+i — in состоит из независи-
независимых одинаково распределенных случайных величин.
5.67. б) Воспользоваться тем, что Р{тй+| — т* = u\ik *=* t) ве за-
зависит ни от А;, ки от t,
5.68. а) Составить уравнепие для cph(s), пользуясь формулой
полного математического ожидания (по значениям б = шп{п !^ 1:
?* = 0}).
5.69. б) Использовать формулу полного математического ожи-
ожидания по значениям ?ь
5.70. Заметить, что P{xj = 1} = 1. Для вычисления mo(N) =
*= M{tjv|^o «= 0), iV = 1, 2, ..., составить п решить системы линей-
линейных уравнений для" ms(iV) -« М{тлг|^о ^ ^)t ft = 0, ±1, ±2, ...,
пользуясь формулой цолного математического ожидаияя (разло-
(разложением по значениям ?i). Сократить число неизвестных, заметив,
что mk(N) = m~h(N).
5.71. Так же, как в задаче 5.70, составить систему линейных
уравнений для rrih(N), к *= 0, 1, ..., N—1 Рассмотреть значения
mo(N) — mk(N), jfc = 1, 2, ..., tf — i при tf « 2, 3.
5.72. Используя формулу полного математического ожидания
(разложения по значениям ?(!)), составить систему линейных
уравнений, которым должны удовлетворять т0, т^ ..., т^; убе-
убедиться в том, что указанные значения nik являются единственным
решением этой системы.
5.73. Так же, как в задаче 5.70, составить систему линейных
уравнений, связывающих рь, л(?+1), ря-i, n@i P*+i,w(*) и» поль-
пользуясь монотонностью по ( величин PhN{t), перейти от этой системы
к системе линейных уравнений относительно л^\ к~0, 1,..., N,
Вывеете из этой системы, что отношение —^щ ,^ не зависят
от &, и воспользоваться равенствами тА ^ = 0, я^^= 1. Анало-
Аналогично получить формулы для к\!*\ к— 1, .,., N.
5.74. Рассмотреть цепь Маркова с тремя состояниями: Ео = (из-
(изделие исправно}, Е\ =^= {при проверке в ОТК обнаружен брак},
?2 = (изделие бракованное, но прошло через ОТК}.
5.76. Найти матрицу Р вероятностей перехода цепи Маркова ?(
и проверить, что лР = я, где л = <я0, яь ..., nw), и что я0 +
-f- Я1 -f-... + Ярг = 1. Использовать равенство CkN = С jy~ft и ме-
метод производящих функций.
5.77. б) С помощью формулы полного математического ожида-
ожидания (разложения по значениям ^ в классе несущественных состоя-
состояний) составить систему линейных уравнений для величин т( =*.
232
«« М{т||о вв *}i ?=1, 2. Решить эту систему и ваметить, что в
пашем случае
Мт = Р{?о = l}mi Ч- Р{&» — 2}т2.
в) Аналогично п. 6) составить системы линейных уравнений
для рЫ, р^> и ДЛЯ ,<», р»>.
г) Заметить, что если ^ = lim p{SjBI/|Le/|t / = 3, 4, 5,
' f-*oo *¦ 0 1
6,— предельные вероятности для цепп, начальное состояние кото-
которой принадлежит существенному классу, то
«I - Р Go ~ *} Н°Ч + Р {^о " 2) Л /^3,4.
я; в Р {'о в *} ^Ч %
5.79. Пусть си ...» сп — собственные векторы (векторы-столб-
(векторы-столбцы) матрицы Л, соответствующие собствепным числам Я], ..м Ям
вектор-столбец а^ имеет координаты а^\ ..., aff и все коорди-
координаты вектор а-столбца ej равны 0,- кроме /-й координаты, равной U
Если е- = р(/^ -f ... + р#>*я, то
5.80. Использовать указания к задаче 5.79 и приведение матри-
матрицы Л к жордановой нормальной форме.
5.81. По собственным числам матрицы Р и по вначепиям Pt
Р2, ..., ря-1 можно составить систему N линейных уравнений от-
относительно коэффициентов сц в формулах задач 5.79 и 5.80,
5.82. Использовать результат задачи 5.81.
5.83. Представить Vi(*) в виде суммы индикаторов! \\{t) «•
- 9, +.. ,+вA где {9ft - 1} - {tk - 1}, (9* = 0} = {U == 2} ft =-
==1,2,.,. Используя результат задачи 5.82: р-г {к) «= ^т|"т*
где |е^(<|1 — а —р!ь,
pji() pn(i — &), 1 ^ Л е^ Z, установить приведенную в усло-
условии задачи асимптотическую формулу для M{vi(t) ||0 = /} и дока-
доказать, что при г-»-оо
м I vl (О 110 = /1 = С1 + ° (*)) (м {vi (О I So = /}J.
t
Пользуясь представлением vx (*) — Mvx (*) = 2 (9^ "" M^ft)» мож"
но показать, что
5.84. Использовать результат задачи 5.24 и неравенство Че-
бышева.
5.86. Использовать равенство
1 V 4 V
"i ~ Ж = 2- nftPft? ~ JV в 2d п
ft-l h=i
233
5.87.
/1-е ? \ ,
Рассмотреть матрицы Р = I 2 а J в />
5.88. Показать, что последовательность gn = ?n+i — ь« образует
пепь Маркова с 4 состояниями. Найти явное выражение для Д*-й
степени матрицы вероятностей перехода этой цепи, представляя
ее в виде разности коммутирующих матриц / и G (т. е. таких,
что IG = G/). Далее вычислить м?ь и воспользоваться равенством
С» «go+li+...+ ?«-!.
5.89. а) Состояние атома описывается разложимой целью Мар-
Маркова с двумя состояниями.
5.90. Решить в данном частном случае систему уравнений E.5)
или E,6).
5.91. Используя результат задачи 5,90, рассмотреть систему
уравнений р(?*® @ = <*n, p1^ (*) — а^ относительно неот-
неотрицательных неизвестных а, р.
5.92. Положить
A, если ^ = 1,
0, если 1ьф\.
Тогда
t t t
t2 (о = j х с*) d*. tJ со = 2 J j x(*j) г(*а) ^2лх.
Использовать результат задачи 5.90 и указания к задаче 5.83.
5.93. Использовать равенство
t\(t) s> ii@) + vin(t) — v2T2(t) =ti@) — v2t+ (vi
и результаты задачи 5.92.
5.94, Составить систему дифференциальных уравнений для ве-
вероятностей перехода ptj(t) за время ( и перейти к системе урав-
уравнений для Я], па, л-з, заменяя Pa(t) на nj(t) ^ щ^ j = 1, 2, 3.
5.95. См. указания к задаче 5а94,
Глава G
А _П
2
6.1. Положим ук = xh — а, у = — ^ i/k. Показать, что
""^J; Найти Ms2. Доказать, что Os2 = О A/п) ара
6.3. См. задачу 3.162.
6.4. Использовать независимость xt и sj.
6.5. Величина s2 является состоятельной^ оценкой Dxi (см. за-
задачу 6Л), т. е. s2 — D^i при п-^-оо сходится по вероятности к 0.
Воспользоваться решением задачи 4.33,
234
6.6. Выразить величину т черев т^*=х^ — М?, у^*=у^ — Мт|.
Найти Mm. Доказать, что От = O(ifn) при л-»-оо,
6.7. Найти Mp*t Dp*. Использовать неравенство Чебышева.
6.8. Исполь8уя теорему Муавра -** Лапласа и результаты задач
6.7, 4.33, доказать, что если р* «* \Vnfn, то при п-*-то
6.14. б) Найти максимум функции правдоподобия при условии
в + Ь — с •= 0.
6.18. Воспользоваться результатом задачи 6.1, центральной пре-
предельной теоремой и задачей 4.33.
6.19. Оценки .Л* и Л* зависят от общей оценки г3 и, следо-
следовательно, нельзя воспользоваться решением задачи 6.3, Из условия
несмещенности МЛ* =*= Л получим с\ ¦+¦ с2 = 1. О тою да А* =в а +
H-p[ciZi+ A — ciJ2] H- ^s3. Найти ОЛ* и подобрать С| так, чтобы
Дисперсия была минимальной.
6.22. б) В формуле для Л* положить #< = \ц -f би, Ж* «=¦ «i +
+ бг<. Исттользовать задачу 4.33.
6.26. См. задачу 3,115. \
6.28. Воспользоваться формулами
— Л
и решением задачи 3.116.
6.29. Использовать результаты задач 3.89, 3.90.
6.30. Использовать результаты задач 3.64, 3.65.
6.31. Использовать результаты задач 6.29, 6.30.
6.32. Использовать результат задачи 6.30.
6.33. Использовать формулу C.9) и формулу
6.39. Использовать квантили м« нормального распределения:
1_Ф(ив) = а.
6.40. Воспользоваться решением задач 3.116, 3.121 и формулой
* М = ш (jf) + (* - if) z' (б/;) (еА е [|,
ft = 0, 1, ..., N— 1.
6.41. Воспользоваться решением задачи 5.36..
6.42. Использовать представление Tia(O b виде
гдо 1112(-s) = 1, если в момент s был переход из 1 в 2 (т. е. %{s) =
— 1 и l(s+ 1) = 2), и rjj2(s) = 0 в противном случае. Воспользо-
Воспользоваться задачей 5.82.
235
Часть III. РЕШЕНИЯ
Глава 1
1.18. При Ai Ф А) события [X'v ..., X'k] = Л4и [X'v
= А^ не пересекаются. По формуле A.12)
м
г'ак к) в^)-2р 0х; К]°*
То же верно и для \X"V ...,X^j. Поэтому
м
Для любого множества Ai, состоящего аз к элементов,
¦•а*; x;i=^)=^. рах;.-.^1=
Так как №ki < Nh при к > 1, то
B)
Далее, .
\1/2
•i) {N—i
fft-i
Ш
Из A), B) и C) в того, чтоМ<С^-, следует неравенство
238
1.19. Легко проверяется, что
]
']а
Покажем, что Я2 < Ръ прп
i.22. Нетрудно проворить, что
4-Г3е== 0(raod 3)} = -
3)} U(^s-r=l(mod 3)} U
¦, U {Х=ш— Г=— l(mod 3)},
r^i r^+ii , r^v +21 *r
Так пак " I + —3— "^ —3— ~ И
J<J, B)
то
Далее, если Л/i—множество чисел, дающих при делепии иа 7
остатки 1, 2 вли 4, Л/г — множество чисел, дающих при делении
иа 7 остатки 3, 5 или 6, то для любого п е М\ число га3 при деле-
пии на 7 дает остаток 1, а для п е= Л/2 число п3 при делении на 7
дает остаток —1. Поэтому
7)} »
= {X е= 7 = 0(mod 7)} U {X е Ми Y е= М2} и (Хе Л/2, У
7)} _ ^ ([|
237
Пользуясь равенством в B) и тем, что для любого N
^ 7 = ^f
+ Ч И М
О (m0d 7,} > ? ([?]' + 2 (I (* - [-f ]K - i))
3 \ Nf
получаем
Ия C) и E) следует, что
А* (Р {X3 + К3 «0 (mod 7)} - Р {A'3 + K3s0 (mod 3)})
Грв Л' > 7. Для /V = 4, 5, 6, 7 соотвошенне Р{Хг+ У3= 0(mod 7)}>
>¦ Р{Х* -f Yb г= 0 (mod 3)} проверяется нолосредственно с помощью
формул A) в D).
1.25. Если Si симметрична В2 относительно S3, то
Ь — ii = |э — 1з = di» Пз — ill = 11? — т]я ~ &г (I)
для некоторых полых чисел d\ и йг> не равных одновременно 0 и
удовлетворяющих условиям \d\\ ^ п, |rfs| ^ w. При фиксирован-
фиксированных d{ и d2 число троек карточек (git t)i), fgj, r]p), (ез, Пз), для
которых выполнено A), равно Bп + 1 — 2|rfj|)Bn -f I — 2jd2!).
Суммируя uo d\ и d3, находим число троек попарно различных кар-
ют он, для которых 5| симметрична S2 относительно 33:
2» + 1 + 2 2 a)^
» 2 Bn -f-1) (n Bn 4. i) — n (n -f i)) -f 2 {n Bn 4- 1) — n (n + i)) X
X Bn-f-l 4 2(raBn4-l) — и(ггН-1))) = 4па(и + IJ.
238
Так как общее число упорядоченных троек попарно различных кар-
карточек есть
то искомая вероятность равна
Рп D
1.40. Число способов выбора к горизонталей, занятых ft ладья-
ладьями, равно числу способов выбора к вертикалей и равно С\. На к*
клетках, по которым пересекаются выбранные вертикали и гори-
горизонтали, к клеток для расстановки ладей можно выбрать ft! спо-
способами. Поэтому число расположений к ладей, не угрожающих
ДРУГ другу, равно (С\У к\ «=(8[А]J/И. Значит,
иРа = 4">Т* Рз=='Ж<Т» ^6 =0,0493566... > 0,01, Рв«
= 0,0075289 ... < 0,01-
1.43. Пусть поиск /-го пряника Пончик начинает с кармана о
номером п}. Тогда число удачных вариантов начал поиска первых
к пряников равно числу таких последовательностей »i, ..., щ, со-
составленных из символов 1, 2, ..., 10, что каждый символ встреча-
встречается не более чем дважды. Число таких последовательностей, в ксь
торых т символов встречается дважды, а к — 2т символов — по
разу, равно С^т ———— ю^"""]. Общее число вариантов начал
поиска к пряников равно 10\ Значит, искомая вероятность равна
1.47. Пусть x(^) ^ It если событие А выполняется, и %{А)
= 0 в противном случае. Тогда
Но при любых {аг, Ьг, С|}?я1 и любых *1( (а, (8в{1, 2, 3}
X (ah < *l2) + X F^ < %)+ X («l3< %) < 2.
Значит, 5^у-3 «2 = 2. Если, например,
max а% < min Ь*, гаах Ь- < min с.,
\<i<3 l^i^3 KU3 Ki<3
то S = 2.
239
1.58. Цикл {U = 1, f2i***?fc) можно выбрать (п — l)[fe~IJ спосо-
способами, а остальные гс— к элементов можно переставлять (п — к)\
способами. Поэтому число подстановок ое5п с Я) ¦=¦ к равно
(в —1)|*-П(и —А)! » (я —1)! и Р{Л1 =* А} = (в —i)!/n! = 1/га.
1.59. Число циклов (tj = 1, i2 th) длины &, содержащих
элементы 1 и 2, равно С^__1 {п — 2)^~2\ а общее число подстано-
подстановок, содержащих 1 и 2 в одном цикле, есть
т. е. 1 и 2 содержатся в одном цикле с вероятностью 1/2.
1.72. Так пак tio условию толщина монеты предполагается рав-
равной 0, то вероятность того, что монета после падения встанет на
ребро, тоже равна 0. Будем считать, что монета ложится гербом
вверх, если в момент падения конец вектора нормали оказывается
Рис. 8
выше его начала, т. е. центра монеты. Па рис. 8, а изображено се-
сечение вертикальной плоскостью п, приходящей через центр О мо-
монеты и ось OS, вокруг которой вращается монета АВ; отрезки ON\
ON2 — это положения вектора нормали ON в момент его прохожде-
прохождения через плоскость л, прямая ОХ — это линия пересечения я с го-
рпзонтальпоп плоскостью *(¦
Если 8 ^ а, то весь конус, по которому скользит вектор ONt
расположен выше плоскости f, и тогда р(а, 8) = 1. Если 6 ^ —а,
то конус расположен ннже плоскости *у, и р(ос, 6) = 0. Если 8 =
— 0 <. а < п/2 или а «= я/2 >¦ \В\, то плоскость *у делит окруж-
окружность, которую описывает конец ^V вектора ON, tia две равные ча-
части, и поэтому р(а, 6) =* 1/2. В общем случае 0 -< |В| ^ а <С п/2,
изображенном па рис. 8, а, рассмотрим окружность, которую опи-
описывает конец Л' вектора норд* ал и ON (рис. 8, б). Искомая вероят-
вероятность р(а, 6) равна отношению длины дуги MiS\M' к длине псвй
окружности. Из рт;. 8, а находим:
O,tf2 — ОМ =» ООх tg a, OiL = OO{ tgO;
поэтому (см. рис. 8, б) угол
1 tgO
= 1 - - arccos fg-.
равен
arc cos
240
1.84. Граница ААВС, пересекает ровно т окружностей, если А
находится между S2m-i и Stm+i (при т — 0 — внутри Si, ври
2т — 1 < п < 2т -f- 1 — между ?п и Sn_i), и поэтому
1/n t
8m/»8,
Bn — 1)/л!
0,
m
1
а, m
m
= 0,
— n/2,
> n/2.
10»
n
— l)/2]
четное,
Глава 2
2.21. Если n — 2, то пз условий задачи
P(Ai) =ри Р(Л2) =*рг, ?{AiAz) « pips
следует независимость Л( н Л2.
При п = 3 уже можно привести пример совоиупности з а выси-
ыых событий, удовлетворяющих условию задачи:
1/8, Р^МгЛд) = P(ЛtЛ^48) = 1/8 — в,
РС11Л2Лз) = 1/8 + е,
1/8 -h 28, P(IiI2J3)x«-1/8 — 2е,
где 0 < 8 ^ 1/16. В этом случав P(Af) = 1/2; < =* 1, 2r 3, PDi^s) —
= 1/4, РСЛ1Л2Л3) = 1/8, но РСЛ1Л3) =1/4 — e Ф Р(Л:)Р(Лз).
2.22. Пусть события Ль ..., А\ удовлетворяют условиям зада-
задачи. Оценим снизу число элементов множества Q. Для любого на-
набора (8Ь.. „ eh), Bi = 0 или 1 (<= 1, 2, ..... k)t P П 4е*Н>0»
h , ,
где 40) = Аи 41} = лг» т* е- .П Af^ Ф 0- Так как при
(ег ..., efe)=?^(ej, ..., s^) события Г) л(8^ и П А\^ не перо-
сокаются, и чпсло различных наборов (е1? ...,eft) равно 2fc, то
t<log2rt. Экстремальным примером является Q == {(ev '.,., efe);
Sj=0 или 1}с P{(8l M}=2"h и ^«{е4=0}, <=!,...,*:.
2.23. Пусть Q = {соь ..., (о„}, P(o>i) = p, > 0 (/= 1 n)t
Pi + ¦ • • + Р» = 1. Событиям Л* ez Q, 0 ф Аг Ф Q (t = 1, ..., А)
сопоставим векторы в /?п
.--I XinTp«), «¦« 1, ..., ft,
где x*i ^^ 1,_если <0j__s Ль п /fj = 0 в противном случае, и поло-
положим со = (Урь • • -$Рп) е Я". Тогда при *, / « 1, ,. „ к (с0, а0) = 1,
(оо» й() = Р(Л(), (аи й>), == P(ЛfЛj). Векторы fy = at— Р(А{)а0
(i = 1, ..., fe) удовлетворяют следующим соотношениям:
(h, й0) — (аи со) -Р(ЛО(ао, во) =0 A = 1,..., fc), A)
(bt, bj) = (в*, ej) -Р(Л,)(с(, со) -Р(Л*)(со, aj) +
+ Р(.4,)Р(Л4{с0, со) = Р(Л(Л^— P(^i)P(^i)
(i,/ = 1, ..., ft). B)
16 А. М. Зубков и др. 241
Равенства A) означают, что векторы Ъ\, *,», Ьц лежат в (п — 1)-
мерной гиперплоскости \х е Rn\ (х, а0) = 0}. В силу равенств B)
события Ли ..^ Ah иодарно независимы тогда и только тогда, ког-
когда векторы bt, ..., bh попарно ортогональны. Следовательно, k ^
sg; л — 1.
Если п ^ 4, то пример п — 1 попарно независимых событий да-
дает следующая конструкция: Q = {o>i, ..., о>п},
Ai i= {tOi, О,;}, 1=1,.,.,Л-1,
2.61. а) Согласно теореме Муавра — Лапласа
Yl\ = 2Ф0 A) = 0,68269 ..,
HmP
= 1—2ФП A) =0,31730...
Эти предельные значения и являются приближениями для иско-
искомых вероятностей.
б) Яри р = q = 1/2 из формулы B.11) находим
р{бп = *}=с?г\ fc = o,i «. A)
Отсюда и из равенств
Р{|Бюо -50| < 5} - Р{45 < ^,оо < 55},
P(Uico - 501 > 5} = Р{|100 ^ 45} + Р(Ьо > 55} =
- 9,15635 -ifio. B)
2100
Используя уточненную формулу Стирлинга (см. стр. 10), на-
находим
О\юо
)
¦ 50) = У 100л f —
242
где 0 ^ 8Ь 92 ^ 1. Поэтому при некоторых Gi, \Qt\ ^ lf i = 3, 4, 5,
, 0,9975+ 65-10-'
51/2SV 40° i-8'10* 2-399а j 5V2S
Из B) и C) следует, что
Р{45 ^ ^юо ^ 55} « 0,72874 + бв-Ю, |93| < 1.
Аналогичпо находим, что
Р{ I ^оо - 50] > 5} - 0,36820 + 07-1О-5, |67| < 1.
Отличие значений вероятностей, получепных в п. а), от истин-
истинных значений объясняется двумя причинами: заменой допредель-
допредельных значений вероятностей предельными, а также тем, что собы-
события {Цюо — 501 ^5} и {|?юо — 50j ^5} пересекаются.
2.62. а) То же, что в предыдущей задаче.
б) Аналогично решению задачи 2.61 получаем
65 A+ 66 ^ + 67 l^1 + 68 у + 69 )))}) Ь ЬЬ
= 0,66906 +в-Ю, (б К 1,
и так как 4"|'2 — число не целое, то
— 4 — P{|&iSB — 641 ^4У2} =0,33094 +6-Ю-5, |6| < I.
Глава 3
3.64. Используя реяультат задачи 3.63, получим формулу для
плотности распределения pt(#), х = {х\у ..., хп), вектора | =»
A ^)
1о в остальных случаях.
Плотность распределения х\ в (Д,? ,,,, Дп) можно найти по фор-
формуле C.2) с функпией g{x) — (^i(a;)t ..., gn{x)), gi{x) » *i,
^(лг) вл-ц-г, («2, ..., л. Нетрудно проверить, что якобиан
/в преобразования у ~ g(x) тождественно равен 1. Обратное пре-
преобразование х — g-t{y) определяется формулами я* = у\ + ...
..' + ?<» f *« 1, ..., «. Подставляя в C.2) приведенные выражения
для р%{х)у g-\{x), Jg, получим
[и, если miu (.у г
16* 243
Плотность распределения рц{у) вектора i\ = (Ai, ..H An) представ-
представляется в виде произведении одномерных плотностей показатель-
показательных распределений:
fit <•-'+*>
Отсюда следует, что случайные величины Д|, , ,¦, Лп независимы и
tt имеет показательное распределение с параметром сс(л— с-{-1L
3,95. Согласно задаче 3.64 соответствующие вариационному ря-
ДУ *(!)<!(*> <-..^S<«> (построенному по ?ь ..., ?„) случайные
вел ич иды
Д, ¦= ?П), ДА « g(i) — S(k-i), ft = 2, 8, ...f л,
независимы и Д* имеет показательное распределение с параметром
(я™ & -f l)h, к = 1, ..., п. Остается заметить, что
что случайные величины |»/ft, ft = 1, 2, ..., nt независимы и l
имеет показательное распределение с параметром &Я, т« в, распре-
распределено так. же, как Дп-fc+i.
3.70. Введем вспомогательную случайную величину Ъ-> не за-
зависящую от Si и имеющую распределение Пуассона с параметром
Яг -*• Я|. Согласно п. б) задачи 3.32 распределение ?i 4- 1з совпадает
с распределением |j. Поэтому для любого к = 0, 1, 2, ...
- 2 pfeK=m)p(
3.129. Начало координат OsS. Точка а:е5(|г| > 1), если при
*>0 точки 1, 2, ..., 2х~1 — белые и при # < 0 точки — 1,
—2, . t., — 2х + i — белые. Пусть Qx —. i, если x&S, и 0х — 0, ес-
если лт ^ 5. Тогда
и, следовательно,
3.130. Воспользуемся представлением I— \ \% (г> ф) г dr dq> ,
Ч
предложенным в указаниях. Тогда %{т, <р) — 0 при г > 1/2
и Х(г) Ф) ¦* ^* если г < 1/2 в в круг ?г,ф радиусом г с центром в
точке (^, ф) не попала ни одна из точек Си • •., Сп. Для каждого
i == 1^ ., ti n вероятность того, что точка d цопала в круг Кт. <р, рав-
равна яг2/я = г2 и, следовательно,
Мх(г, ф)
если г <С 1/2. Меняя местами анаки математического ожидания и
244
интеграла в правой части равенства
получим
2 Л 1/2
М| =• \ \ Мх (г, ф) г dr dy = \ dy \ (l — г )n
о о
3.135. Пусть F-x(y) = sup(;r: F(x) ^у}\ тогда, согласно за-
задаче 3.13,
т. е.М|—площадь области {(х, у): 0
Но
о о
З.Ш. Событие
/> = (выпуклая оболочка Л|, Л2, Лз, -Л< — треугольник}
ость объединение четырех попарно нссовместпых событий:
Вг — (Ai лежит в треугольнике, образованном остальными точками},
i = 1, 2, 3, 4, вероятности которых одинаковы ввиду симметричпо-
б А Л Л Л П Р(/) 4(Я)
, , , р р д у
сти распределения набора Аг, Л2, Л а» Л4. Поэтому Р(/))
Так как точка Л4 не зависит от Аь Л2, Л3 и имеет равномерное
распределение в области, площадь которой равна 1, то условная
вероятность P(#4|.4i, Л2, Л3) (при условии, что положения точек
Ли Л2, Аъ фиксированы) равяа площади SAA A д треугольника
AiA2Aa. По формуле полного математического ожидания получим
4МР{г1|л1, а
3.141. Чтобы доказать неравенство РА ^ 1/20, воспользуемся сле-
следующим соображением. Пусть Х%, -..« Xn^R2 — независимые точ-
точки, имеющие одно и то же распределение Р, и хп — число таких
троек (i, /, к), для которых 1<К/<Кпи выполняется со-
событие Ацъ = (один из углов AXiXiXk не меньше 120°}. В силу ад-
ДИТИ1ШОСТИ математического ожидания
Поэтому Р = Wxn/C^i Для доказательства требуемой оценки
Рэ ,> 1/20 = l/f?g достаточно установить, что Мж5 ^ 1. Докажем бо-
более сильиие утверждение: Р{хь ^ 1} =я 1. Д(;йствительио, любые
24j
6 точек Х\, ..., Хв, накакпе три из которых не лежат на одной пря*
мои, либо образуют выпуклый шестиугольник, либо одна из этия
точек (скажем, Х\) содержится в треугольнике, образованном каки*
ми-то тремя другими (скажем, Х2, Х^ХА). В первом случае Хб ^ li
поскольку сумма углов шестиугольника равна 180°* F—2) *= 7^0°!
т. в. по крайней мере один из его шести углов не меньше 120°«
Во втором случае к& Г^ 1, поскольку углы ХяХ\Хъ, Х3Х1Х4 и Х^Х^Ха
треугольников Х1Х2Х3, Х\Х^ХЬ XiX2XA в сумме составляют 360°.
8.142. Рассуждения аналогичны проведенным в решении зада-
задачи 8.141. Если Хи ..., ХпеЛ2—независимые точки, имеющие рас-
распределение Р, и Хп-— число выпуклых четырехугольников, образо-
образованных точками Xi, ..., Хп, то в силу аддитивности математиче-
математического ожидания
*Ч, = ^Л, т. е. Р4-Мх„/С»,
и для доказательства приведенной в условии задачи оценки доста-
достаточно показать, что Мх5 ^ i Но Р{х5 ^ 1} = 1, поскольку 5 точек,
из которых никакие 3 не лежат на одной прямой, либо образуют
ььшуклын пятиугольник (и тогда Kg 5* 1), либо одна из этих точек
{скажем, Ха) лежит внутри треугольника, образованного тремя
другими (скажем, Xi, А'г, Х3). Эта конфигурация изображена на
рис. 7 (см. указание к задаче 3.142). Отрезки н лучи, приведенные? на
этом рисунке, разбивают плоскость йа 9 областей. Легко проверить,
что в какую бы из этих областей ни попала точка Х$, из точек Х\,Х?Л
Х& -^4 можно выбрать 3 точки, которые вместе с Xs образуют вы-
выпуклый, четырехугольник. Значит, и в этом случае к^ ^ 1, что и
требовалось доказать.
3.156. Так как функция }{х) = \х\г при г^ 1 выпукла вниз,
то при любом действительном х, согласно задаче 3.152,
Поэтому при г ^ 1
3.159. б) Если ранг матрицы В равен г, то существуют такие
линейно независимые векторы 6i, ..,, Ьд_г & Rb, что Bbt = 0, i =
=- i, ...t к-т. Поэтому D((bi, I)) = {hi, S6,)=0, ( *= 1, ...
..., к — г, т. e. P{(bu%) = d) = 1 для некоторых чисел сь .. .,са_г.
Значит, существует r-мераая гиперплоскость LrczRh, ортогональ-
ортогональная ыодпрострапству, натянутому па Ъ\, ..., Ьй_г, и удовлетворяю-
удовлетворяющая условию ?{% е J0»-} = 1.
Обратно, если существует д-мерная гиперплоскость Lq с: /?",
для которой Р{^ е L5} = 1, то существуют линейно независимые
векторы Ь\, ..., bk^q, ортогональные Lq, и числа Ci, ,.., Ch_?, удов-
удовлетворяющие условиям
Согласно п. б) задачи 3.158 тогда Bbi = 0, 1 = 1, «.., к — д, т. е.
ранг В не превышает q. Так как по условию ранг В равен г, то
соотношение Р{^ е ^r-i} = 1 но, может выполняться пи для какой
(г— 1)-мориой гиперплоскости Lr-\ a Rh.
3.175. Пусть ?ъ \ь ... уровни весенних паводков ю последова-
последовательные годы, а 1г — юремя до разрушения плотины доводкой.
246
Тогда
и, следовательно, Р{т» !> ?} = Fl(z). Отсюда, использун результат
задачи 3.132, получим
оо
f=i *=o **=o
В п. а) требуется найти минимальное значение s, при котором
Мтг > Т, где 21 = 100 лет. Такое * удовлетворяет уравнению
^ _ р ,, = Т и, следовательно,
где F_i(«) =. sup{a;: Ffar) ^ u}—функция, обратная н F(x)t
В п. б) требуется найти минимальное z, при котором Р{т< ^ 71} ^
^а==0,01, т. е. 1 — /^<z)s^a или A — aI'3" ^ ^(z). Отсюда
_, @,9999).
Пусть
(т >Цгяг} = (Ег+1 < в, ..
3.176. Приведем два решения, а) Пусть F(x)
Тогда
Кроме того, Р (tT ^ г\ = Р / max |. ^ г\= FT (г). Найдем теперь
Р {tT> wj, воспользовавшись формулой полной вероятности (8.2l)l
Р {тГ > «} = МР {тГ > и | ^т} = MF" (?г) -
оа
U B) d (FT B)) - Г J
0
Отсюда, полагая х = F(z), получим
Следовательно,
P {тг < u} = ~^j {u > 0), Мтг = oog
Р{тш^10} = 1/11.
б) Случайные величины \\, |2, .•• по услоюию независимы и
имеют одну и ту же непрерывную функцию распределения F{x).
247
Построим до случайным величинам |ь -••» 1т+п нх вариационный
рлд 6-п ^ ... < !(т+н>; в силу непрерывности F(x) с вероят-
вероятностью 1 все числа |ц),..., ?<т+щ различны. Тогда
{Ту ^ и} = {|(т+«) е {|г+ь .»., 1т+«}}.. A)
При условии, что значения ?(i>, ..., |(т+«> фиксированы, набор
(If. --•, 1г+к) имеет равномерное распределение на множестве
асех (Г + иI перестановок чисел ?(i>, ..H icr+u). Ив втих (Т-\-и)\
перестановок ровно для ' и(Т -{- и — 1I выполняется событие в
правой части (I). Поэтому
ц (Г+ » — !)! ^ и
г {тт < и} =д (Г _j_ и)] " и _|_ 7»
3,201. Пусть %« *= 1, если точка ^ — граничная, в %i — 0 в
противном случав. Тогда хп *= Xi + • • • + Хп и ^х» *= «М^ги по-
поскольку точки |[, .,., ?п независимы и одинаково распредепепьт.
Пользуясь формулой C.21), получаем МХл ¦c=P{?ji'< 1ы или ^j2 ^
^?«2, /«1 «-1} «МР^Чбп^ 1ш или |12 ^Inalb-i,
Sns) -=MA- A —S«i)(l —Ы))"-1 «МA — бшбпа)". По ус-
условию случайные величины |П| и ?П2 независимы и равномерно
распределены на отрезке [0, 1]. Значит,
71—1 П—1
Й-=0 0 ft=O
1 n
о о fi-1
8.224. а) По условию i-e орудие поражает цель, если
Так как случайные величины ?, ?i, ..., |п независимы, Р {? ^ х) =
"¦ 2$ "* 1^1 < d» a fcb •••» In одинаково распределены, то вероят-
вероятность (?п поражения цели залпом из п орудий определяется фор-
мул он
« 1 -МР { | g4 + ? | > е, i = 1,...., п | Ц
? тт
248
Используя равномерность распределения %i на [—с, с] и условие
с -J- а < 4, находим
{г/с, если | х | ^ с — е,
(# + i-|*|)/ac, если « —e<|z(<«-f в,
О, ©слн | z j > с -j- e.
Значит,
и #* -•* (с + »)/d < 1 при п -* оо.
б) Введем вспомогательные случайные величины f>{ "» р^ —а,
f = 1, ..., /г; эти случайные ведичины независимы и имеют pafcno-
мерное распределение на отрезке [—ft» ft], Ь >¦ c-f-^4~ *• Условие
поражения дели *-м орудием принимает внд
Аналогично п. а) получаем для Q* формулу
d с с п
-' - п&& И • • • 15 A~р|' Pi*
—d-c -сг Х
A)
Таи как E* имеет равномерное распределение на отрезке [—Ь, ft]
и по условию b>c + d + e>jyi| + |a:|4-e при любых yt a
[] [d d] A)
у > + + >jyi| + ||4 р
[—<N с], ж е [—d, d], то в подынтегральном выражении в A)
р1|р* + п + Н<е! = 2Б = Т
Значит,
—d —с —с
= 1 — И — у 1 ->1 при л -* оо.
Сравнение результатов пп. а) и б) показывает, что при доста-»
точно больших п введение искусственного рассеиваиия при при-
доливании увеличивает вероятность поражения цели. Этот неожи-
неожиданный эффект (в более сложной ситуации, когда случайные ве-
249
япчкны ?, g(j p( имеют нормальное распределение), был отмечен
А. И. Колмогоровым. *
(Г I 1
~—2
I, а вектор А Мг =* I—5 &i» "~"^—" — ^1 /* ^3 УСл0*
внй задачи следует, что |lt ^2, i3, "Hi- "ч.»» Лд независимы и име-
имеют стандартное нормальное распределение. Поэтому компоненты
ректора А1М1 независимы и имеют нормальное распределение с
14-1 3
нулевым средним ц дисперсией 1 -|-—т— = ~2> Значит, при. лю-
любом х > О
Sj-bXo^-t
3.261. Докажем более сильное утверждение: векторы А2А3 п
t независимы. Имеем А2Аа — (|з— ^2> Лз — "Пг) и (см. решение
задачи 3.260) Л1М1 ^(-" 2 — ^, §—1~Ь|- Поскольку
наборы случайных величин {?ь 1г, |з} и {тц, т^а, Пз) пеаавпеимы а
одинаково распределены, достаточно доказать, hio независимы еду-
12 + ^
чадные величины |8 — is и ¦—'¦ Ht. Случайные величины
1ь Izi 1э но условию яезаписимы и имеют стандартное нормаль-
нормальное распределение. Независимость случайных величин ?3~|2 я
(i2"T* 1з)/2 доказывается так же, как в задаче 3.241; вычитание из
(?а*г*?а)/2 случайной величины |j, не заинеящей от |з—i& не
нарушает независимости.
3.262. Так как треугольник А\А2Аз не может иметь более од-
одного тупого угла, то события \/-Ак > 90°}, {/~А2 > 90°} и
{/-.Аз > 90°} несовместны. Из независимости и одинаковой распре-
деленности точек Аи А2, Ай следует, что вероятности этих собы-
событий одинаковы. Значит,
Р {д АХА?А3 — тупоугольный} «3 Р {/_ А^ > 90°} ==
поскольку половина стороны треугольника больше проведенной
к ной медианы тогда и только тогда, когда противолежащий
угод — тупой. Вектор Л2Л5«: (|3—?в, х\ъ — Щ) имеет нормальное
распределение с нулевым аектором средних и матрицей коварна-
250
-
ции
/2 О
1,0 2
поэтому
J J
Согласно задаче 3.261 случайные величины 1^42^з! и |^i^i| неза-
независимы, и Р { | А1М11 < ж| _ 1 _ е~х '3 согласно решению вадачи
3.260. По формуле полной вероятности находим
Следовательно,
з — тупоугольный} = 3/4.
Глава 4
4.14. Из определения множества CTtZ следует, что
Р /1<п>
_ ) « Р
nl/2/л
I n j_
По условию случайные величины [ ^
одинаково распределены и
со
MUin)l:——
. A)
независимы,
lie этих соотношений и закона больших чисел следует, что правая
часть A) стремится к 0 при п~-*-оо для любого фиксированного
е > 0,
251
Сравнение результатов задач 4.13 и 4.14 (о учетом сфериче-
сферической симметричности распределения вектора |(п) и множества
В.- ) показывает, что при достаточно больших п гиперсфера
и поверхность w-мерного «октаэдра!
С " I* а Д": I *1 I *
близки друг к другу, а именно: для любого в > 0 отнопгениа
{п — 1)-мерного объема множества тех точек z& B^~ t для кото-
которых отрезок 1A —¦ е) л, A -Ь е) д?1 ие пересекается с С у-у- , к
(й — 1)-мерному объему 5^- /т. в. к «площади поверхности» ги-
вероферы By— \ стремится к 0.
4.24. Для любого п»1, 2, ... справедливы следующие равен-
равенства (в которых г\т — величина, введенная в задаче 4.23);
Ц+. _()ryl
Из результатов задач 4.22 и 4.23 следует, что \
вначит,
что и требовалось доказать.
4,31. Согласно задаче 3.228 при х > а
т. е.
252
lim P{1 > *}/2яе^"а^/й°г-—- = 1,
Поэтому для любого у > О
lim P«t-*)*>y|J>*}-« Hm
llm exp L
х-* со [
4,41, Первое утверждение легко следует из неравенства Че
бышева:
Для доказательства второго утверждения введем индикатор собы-
события Л:
A, если Л происходит,
О в противном случае.
Тогда ч
=а + уМ(?-а)ХА. A)
Пусть F^x (у) — sup {t: P (| — а< (}< у} — функция, обратная к
функции распределения случайной величины ?— а. Согласно ва-
дачо 3.186
р 1
|^„1(и)Bи<М(?-а)хд< j ^(«Jrfu, B)
о l-f
а согласно задаче 3.138
1
а2 « D^ = М (Б - аJ = J f ix (u) rf«. C)
о
Применяя к B) неравенство Кошм—Буняковского и ггольвуясь ?3),
получаем
f v 1
JV-i^Mrf^ J | ^-i (V) |
o i-p
]
о о i-p i-p
Отсюда и из A) следует, что
253
Если р 5s 1/2, то с помощью равенства
и оценки D), примененной к М{||Л}, находим
4.42. Рассмотрим сначала случайную величину Т(. Из условий
задачи следует, что образующие ti слагаемые %и |2, ... независимы,
не зависят от числа слагаемых v — 1, распределение каждого сла-
слагаемого совпадает с условным распределением |i при условии
6] = 0, и при д->-0
Из задачи 4.41 следует, что
кроме того,
М|? а2 + о2
<r=-q<T=j<°°- ' = 1.2,...
Применяя задачи 4.39 и 4.37, получаем соотношение
lim P (дт < сс\ = 1 — е~*/а, я; > 0.
Покажем теперь, что предельные распределения случайных ве-
величин дт\ и дт2 при д -*¦ 0 совпадают. Согласно п. а) задачи 4.33
для этого достаточно показать, что при любом 5 > О
Но из первого неравенства задачи 4.41 следует, что
о о
4.51. Пусть ^'(*) непрерывна в отрезке fa — б, a-f-б], б >-0,
По теореме Лагранжа при г, ап е [а — о, а + о]
где функция Gi — 6i(a;, an) удовлетворяет неравенству 0 < 8i < 1.
Для каждого п — 1, 2, ... определим случайную величину <Хп ра-
равенством
1 "'
Из A) следует, что если (а ~~ йп| ^ б, то на многкество
254
)
е'Ы
<*<<*)- sup Vbf-
1С—c|-<6
Функция h(8) стремится R 0 при б \ 0, так как по условию i
непрерывна при х «= а в g'(a) фО. Значит, при любом е > О
-*| >fi} + P{|S»-ai >-Л_,(в)}1 B)
если п достаточно велико, так что |о„ — а\ <? Л-[(е), где A-i(») —•
функция, обратная к Л{«)« Но в силу условий задачи при любом
п | — a
<1-«
= 0.
Отсюда и из B) следует, что при любом е > О
ШпР{|ай|>е} = 0. C)
Используя A), C) и задачу 4.33, б), получаем, что в каждой точке
непрерывности F(x)
4.54. а) Применим утверждение к задаче 4.52 с
По теореме Муавра — Лапласа
lim P
П-»оо
f En-*/
11/B 1/n
где | имеет стандартное нормальное распределение. Далее,
255
Согласно утверждению задачи 4.52
HmP
6) Применим утверждение задачи 4.51 о
По теореме Муавра —Лапласа при любом ж, —оо < х < <х>.
Р ( ^"PW < .1 - Ф <*) = гт=р f #-«f^«.
( У )/ J У2я^ J
Далее, gr (р) — In j __ #0 при р^1/2, и согласно утверж
дению задачи 4.51
lim p| / =~ <x\ = Ф
Следовательно, Bn (p) = In ^ __
4.83. Из условий sup Me ' x < oo, M | ^ | < оо и свойств про-
изводящих функций следует, что функция ty (X) =Ме" ^ опреде
лена и дифференцируема в полуинтервале [0, б) и что М| =
«=^'@). Согласно задачам 4.81 и 4,80
inf
Из формулы Тейлора
A +о (*» ^' @) = 1 + A + о A)) ЯМ|Г X | 0,
получаем, что ty (^,) <; е "* *Ё ' при достаточно малых X >* 0, по-
поэтому
«,= inf
Второе утверждение задачи следует из первого: достаточно заме-
заменить ?j на — 1^.
256
fl.88, Сначала докажем тождество, указанное в условии вада-
чп. Если 2Ао2< 1, то
1 т fi - 2feoa ^2^
— плотность нормального распределении с параметрами
, поэтому
A)
Если 1 имеет нормальное распределение с параметрами @, о ), а
\ то
C)
В B) под интегралом стоит нечетная функция^ значит, Mr) =
е=0, если только интеграл B) абсолютно сходится. Это заведомо
имеет место при 2ha <;!, так как тогда
¦¦ Q (е~ах ), а > 0, при | х \ -*¦ оо, D)
Чтобы вычислить интеграл C), продифференцируем по А обе ча-
части тождества A); в силу D) дифференцирование под знаком
интеграла в этом случае занонно:
о
Сопоставляя C) н E), получаем}
щ =ш М)!а = ^lh0^m при
Если 4ft(T2^ 1, то интеграл C) расходится и Оч\ == оо.
4.95. Если М|Ц < оо, то (см. введение к гл, 4) по свойствам
характеристических функций /'@) = itA\t Покажем, что если рас-
распределение | имеет плотность р(я), указанную в условии задачи,
то IffOJl < оо, а М|?| -¦ оо. Последнее соотношение легко
17 А. М. Зубков и др, 257
проверяется:
«о
О 0
где Osga(:r) <oo и а(х)->1 при т-»-оо. Для доказательство со-
соотношения |/'@)| < оо покажем, что
|1 —/@1 — о (О при t-*0
/тогда /' @) = lim (I — / (t))jt — (Л. Действительно, из оценки 1—
слодуот! что если
то
оо
р
, dx
Т
00
1 — / @ = 2 Г A — cos tx) p (x)
Г 1 — cos и
j и.1п(в/|М
^ о
Если Т ~ {\t\b\\t\)~*l2 при t-*-0, то последняя оценка дает
что и требовалось доказать',
4.%. Если функция j{x) дважды дифференцируема в точ-
точке х, то
ff (ж) = 1ш
Следовательно, в вашем случае
Так как выражение под знаком математического ожидания веще-
вещественно, то можно рассматривать только его действительную часть;
cos tB, — \ *> cos ft — 1
/" @) а- 2 lim M \ = lim M^2 \—,
258
_ . , v cos fy—i
Функция %t \y) — zjr~ неположительна ш дяя каждого
у \у\ < oo, стремится я —i при t-*-Q. Поэтому иа предположе-
пия М|2 «= оо следует ра во яство
Г (G) = Ига М?2#( (?) = -«»,
которое противоречит условию вадачи. Значит, М|2 <оо и
f @) --MV.
4.109. Пусть ф<*»A) < оо. Разложим производящую функцию
со
(f (г)= 2 ^* A — *) г^ по формуле Тейлора в точке г = 1 с оо
таточпым членом в форме Лагранжа:
ft-0
o< e <i.
Полагая здесь zaO и замечая, что ц>м (z) ^ 0 при любом
z е [0, 1], получаем
Ф(О) = Р{| = О} =
Отсюда и из того, что (p'h>(l) = mk, следуют неравенства, указан-
указанные в условии задачи.
4.123. а) Из независимости |i, |2) ••• и равенств
Mbi = Т D + 4) - 1'025» М?4 = Т A + 2l) - 1'10125'
М In gx = 0, D In lt = М ln2^ = In2 -| да 0,0248965
следует, что
7,6899.1041 « Ол1000,
М 1о цюа = 1000М In |, = 0, D In r\m = 1000D In Ei » 24,8065.
б) Так как In Tin = In |i + ... + In In. слагаемые In %u ..., In ^n
независимы, одинаково распределены и О In |i = In21,25 ¦< Ьо, то
согласно центральной предельнон теореме
Из этого соотношения следуют приолиженные равенства
!пг/
17* 259
Подставляя вместо у указанные в условии задачи аначенян а^гтоль-
вуясь результатами п. а), находим:
Р{Люоо < 0,001} да Ф(-1,384) « 0,0832,
Р(Люоо < 10е) да Ф B,769) да 0,9972.
Сравнивая последний результат с найденным в п, а) значением
Мгцооо л* 5,295 • 1010, обнаруживаем, что почти вся масса распре-
распределения rjiooo сосредоточена значительно левее его математического
ожидания.
в) Событие {гцгоо < 1} происходит, если число значений \\, ..•
• • м liooo. равных 1.25, не превосходит 499, а событие {r|iooo ^ О ~~
если зто число не превосходит 500, т. е,
4flt> 500
Р Ы < 11 = 2000 Ус* Р /п <
499 1000
Так как У, С? = ^ CiOOo = *
По формуле Стирлинга
2-1„оос6оО „ 2-иш У^Ш-1000 /
[7^500- 500500
Следовательно, Р{т1юоо < ^} ~ 0,4874, Pfriiooo < О ~ 0,5120.
Отличие этих значений от приближения 0,5 из п. б) объяс-
объясняется, во-яервых, тем,* что распределение случайной величины
rjiooo имеет атом в точке 1 (а нормальное распределение абсолютно
непрерывно), и во-вторых, заменой допредельного распределения
предельным.
4.137. Математическое ожидание и дисперсия ??*' вычисляются
непосредственно: M|jn) = 0, D|JnJ = 1. Найдем производящую
функцию г]П) пользуясь независимостью.слагаемых:
Поэтому прн любом фиксированном г
260
Так как e<*-u/2 — производящая функция случайной величины ?,
имеющей распределение Пуассона с параметром 1/2, а в^г ~ !г =*
= Mz"-?, то распределение г\п при п-~*оо сходится к распределе-
распределению разности двух независимых случайных величин, имеющих
распределение Пуассона с параметром 1/2;
limP{t|n-fc}
П-*со
,-1/2
= 0, ±1, ±2, ...
4.147. Множество всех JV корней многочлена (р(г) о действи-
действительными коэффициентами разбивается на множество {ц, ,.., гм}
действительных (неположительных) корней и множество
{ } пар комплексно сопряженных корней, т. е.
Im zM+2j # 0, 7 = 1, ..., (N — M)/2. Так как
м z-
г — Zj — многочлены с неотрицательными коэффициентами. Пер-
Первые М сомножителей являются производящими функциями слу-
случайных величин ?i, ,.., ?jtf, принимающих значения 0 и 1:
I z, I 1
Р /f =01 ¦ „J, ' ' О Г У \\ 7 = 1 М
Y \Ч °} " |1-2.|' Р Ы - а) - | 1 - s^. |' 7 =* 1, . • •, Л«.
а последние {N~M)/2 сомножителей — производящими функция-
функциями случайных величин ?m+i, ..., t;w+M)/2, принимающих значе-»
ния О, d и 2;
-2
Если так определенные случайные величины ?ь »*.» ?(jv+jif)/2 пе-
зэиисимы в совокупности, то распределение их суммы совпадает
с распределением |.
4.150. Так как частицы размещаются по ячейкам независимо а
равновероятно, то при любых целых п, N в к
[w, ЛО = к} = ^..
261
По формуле полной вероятности
(я -f lf N) = A, ^0 (и, JV) « A
Умножая обе части этого равенства на г* и суммируя по к от 0
до оо, получаем:
z d id
акРиМи.ЛГ) </V —1} = 1 и P{m.0(r,JV) =^/V-l} = ЛП-* > 0,
то /я.лФ) —многочлен степени JV — 1 при любом п ^ 1, Докажем
теперь индукцией по и, что все корни Zn.u •••» *я, w-i мвогочлепа
/п. jv(z) вещественны и что если —оо я гП| „ < гп, jv-i ^ . ¦ •
• • .^ %п, 2 ^ 2п, 1 ^ 0, ТО Zn-И, JV-l ^ 2Пг jv-1^ гп+1, JV-2^ ^n, JV-2.^- ¦ •
• ¦ • ^ 2п, г ^ zn+l, 1 ^ 2„, , П. более ТОГО, Zn, f+1 < «n+ii i < 2п f,
если только zn,t+i ¦< zn,i. (Ясно, что отсюда следует утверждение
задачи.)
При и « 1 и ^ а= 2 имеем;
т. e. «i.n-i «=...«= 3l, i = 0, г2, jv_, ==— JV-f 1 < z2. ^_2 = ..,
... =a гг. i =0, и доказываемое утверждение справедливо. Допу-
Допустим теперь, что вое /V — i корней многочлена /„, ^(г) веществен-
вещественны и поположигсльпы. Нетрудно проверить, что /n, ^v(s) > 0 при
2 > 0 и Ига г-(Л'~^/п N (z) = N1-71 > 0 и что если г«. j (I < j <
г-* —оо
< 7 4- А ^ Л7) — корень кратности ft, т. е.
*n, j-i !> 2„, j = 2n, j4_i =*... = гп, j+fc-i > zn, jjrk B)
(здесь мы считаем, что zn,jv = —оо, гп,о ¦¦ +оо), то
fn,N (*п,>) - /;,IV (*«,j) = . .. « /^1} («п.,') = 0. /{& («»,?) ^ °«
В силу (i) тогда
Л (sn j) « /п+1Л (*n,,-) -=---= /JiVliJv (Zn,j) = 0,
Иными словами, при переходе от fn,N{z) к /n+i,w(*) кратность
каждого корня 2n, j уменьшается на 1,
Далее, если zn, j+i <С 2Л, ?, то /„, *(г) не меняет знак на интер-
интервале (zn. j+i, гп, j) и равна нулю на его концах, a fn^{z) имеет
на этом интервале ровно один корень (так как все корни много-
многочлена /п, n{z) по предположению индукции действительны, то кор-
корни /„, N(z) н in,N^z) чередуются). Отсюда и из A) следует, что
/n+i,jv(z) меняет знак на интервале (zn, j+u zn,j), т. е. имеет на
нем корень (ровно один, поскольку в противном случае общее чис-
число корней многочлена /n+i,jv(«) превысило бы N—1). Тем самым
индуктивный переход от га к п + 1 полностью обоснован.
4.153. Так как распределенке 1 симметрично, т. е. р(х) =¦
= Р{—х), то Me-*'* = Me*'* = М cos f?,
Меи$ = f eitxp {x)dx = 2 Г p {x) cos tx dx.
—oo 0
Выберем e так, чтобы выполнялось условие 0 < 8 < 3 — а, тогда
при 11 0, используя соотношение 1 — cos и ~ и3/2 {и -+¦ 0), по-
получим:
00
1 —
2 Г A — cos tx) p (x) dx =*
О
2 j" A — cos tx) p (x) dx + 2 f A — cos tx) p (x) dx =
о (—e/2
oo
«ГH2"е) + 2 f A~coSW)
A—e/2
Далее, в силу условия р (
\ A - cos и) /э 1 7/Т =
(), () и того, что <
.< 3 — а < 2, следует, что
М,^ = 1 - 2С | t |а
Глава 5
5.7. а) Так как ан и рй независимы, то
С\х
гч<х—
Ы
в) =
оA))
|—а.
\ )
Г Л\ \
f
оо
00
,1
1
П
0{1а~Х)
оо
1"
0
— С(
иа
~> оо,
а
COS it
при
, аи
имеем;
1|0 и 0
> 1 М -»
о.
<
-0.
B)
е <
Мад cos
cos (t 4- fi.i
, = м<
ift) = Ма^М cos i
х|М cos2 (t -f- ph)
(^ + ?fc) =
1 = M cos2
0,
Pa
-1/2.
263
Применяя центральную предельную теорему к независимым оди-
одинаково распределенным случайным величинам a* cos {t + fa), * =~
*» lt 2, ..., получаем, что предельным распределением r\n(t) при
ге->оо, t *» const является нормальное распределение с парамет-
параметрами @, 1/2). *
б) Используя тригонометрическую форму 8аписи номилексных
чисел, находим
У""
»-,
cos I { + arg
«*«
».
Ч» СО - 8n cos (* + vn), где
п
Рассмотрим случайные величины ah
ahe h,
i, 2, «*
двумерные векторы (a* cos p*, a*sin^). Так как аь а2, ... и
Рь Ps, ... независимы, а fl* имеют равномерное распределение на
отрезке [—я, я], то распределение а±ег * -f ... Ч-ап<?г п сфериче-
сферически симметрично, т. е. Вп н у« независимы и уп имеет равномерное
распределение на отрезке [—п, я].
По условию векторы (а^созрй, atslnpk), ftel, 2, ..,, неза-
независимы, одинаково распределены, М(аь.созрй, ctftsinj}*) = @, 0),
а их матрица ковяриацнй, как нетрудно проверить, равна I U
Согласно многомерному варианту центральной предельной теоре-
теоремы предельное распределение вектора
является асимптотически нормальным с нулевым вектором мате-
математических ожиданий и матрицей ковариаций
1/2
Поэтому
ШпР{|^ ^^-^Jlm Р{|5„
)*. dv
dl
6.17. В силу вадач 5.16 и 5.15 вектор (!«(я), in(^ + ^)) имеет
двумерное нормальное распределение с нулевым вектором матома*
264
типескшг Ожиданий и матрицей воверггаццй
( - 1
{х
(если ж, я: 4* А или а: (ж -)- k) равно 1, то значения дробей в правой
) С 3.266
A)
части определяются по непрерывности). Согласно задаче
Р {|п (х) \п {х + А)< 0} =» L — J. arcsin , "¦ .Л, ¦¦ '"'^Д* B)
Рассматривая разность между 1 в квадратном аргументе arcsini
) D Ъ (х 4- Л)
((J (x + fc))«+l - JJ (.ra - 1) ((, + ЛJ - 1)
(*(* + *)- IJ (*2n+2 - 1) ((* + feJn+2 -
Приведем ее к общему знаменателю и преобразуем числнтелы
„ 4) {х (Я + ft) _ 1J _
-1J (^a -1) ((* + hf -1)«
- IK - (*"+* -.(,-}- fcj^+iI] (* (* -f h) - IK ^
- '((* (• + fc))n+1 - IJ [(• (a + h) - l)a - (x - («+ h)JI «
h*((x
/ J
Отсюда й из асимптотической формулы
arcsin Vi — V* = f - V A 4- о (l))f И О.
получаем при
263
п\х
~— 1 f
(9^)-""'¦¦-
- 1 (»+!)»" '"^ Г
., то матрица ковариаштй A) принимает вид
A
2
Остается воспользоваться формулами B) и C).
1
Монотонная сходимость функций gn (х) к # (,г) = —г- gT
¦ л 11 — i |
lipii n j- оо следует из того, что последовательность функции
ЙП ^ ТЗ^- - МГ7 (*"" + »-"+I t • • • + »"-2 + *")
щп п\ оо монотонно стремится к оо для каждого х, | х | =^= 1.
5,24. а) Согласно лемме Бореля — Каптеллц (см. задачу 4.16)
достаточно показать, что
оо
2Р{Рп = 0}<~. A)
Но Р{рп = 0} = 0 при любом нечетном п, а если п — 2fc, то по
формуле Стерлинга при к —*- оо
При р Ф q имеем 4/>д < 1, а отсюда следует A).
2G6
б) Хотя, согласно B), при р = q = 1/2
п, значит, ^ Р {Ргг ~ 0} = °°i мы не можем применить лемму
Вореля — Кантелли, поскольку события {рп = 0}, л = 1, 2, ..», не
являются независимыми.
Введем случайные величины
Ti = min {n > 1: р„ = 0},
з min {n > Tft: pn = 0), к = 1, 2, ..,
(в случае, если множество, стоящее под знаком min, пусто, следует
положить min равным оо). Из независимости и одинаковой рнс-
пределенности |lt %ъ > • • следует, что случайные величины ta+i — т^,
А — 1, 2 независимы, не зависят от п и распределены так жей
как Т[. Поэтому
- Р {Tt < ос} Д Р {Tj+1 - Ь < оо} = (р {тх < оо))*, D)
j=l
и, согласно задаче 3.132,
ос
Mv - g (Р {хх < со»* -—jL—j. E,
С другой стороны, если %п и 1 при рп = 0 и Хп =* 0 в осталь*
ных случаях, то v = Xi Н~ Х2 4- • •. и в силу C)
ОО СО
MV = 2 М*« ^ S Р {Р2Ь = °} *= «»• F>
Из (б) и F) следует, что Р{т^ <: оо} = 1, а тогда в силу D) я
P{v > к} = 1 при любом ft < оо, т. е. P{v = оо} = 1.
5.25. Заметим, что компоненты ря. ь •••* Рп,« вектора рп яв-
являются независимыми реализациями случайных ведичин, рассмат-
рассматривавшихся в п. б) задачи 5.24, и поэтому при п « 2к
Р{ р„ ssa @, ,,., 0)} == 0, если п нечетно. Значит,
2
П=1
при s ^ 3, и в силу леммы Бореля — Кантелли P{v <Z оо} = 1 при
$ ^ 3. В случае s =» 2, повторяя рассуждения из п. б) задачи 5.24,
находим, что Mv = оо, и если Ti = min {п: р„ = @, »»,, 0)}, то
2G7
Значит, P{ti < 00} = 1 и P{v
({i < 00})* = 1
6.30. Положим
in -f 1, есЛд max {px, ..., pn} < 6\
{ti < 00})* =* 1 при любом ft < oo( т. e. P{v = 00} = 1.
.30. П
n (minj/^ii Pj^Sj в противном случае.
Тогда в силу неотрицательности рп
Согласно 8адаче 5.29 н определению тп
М{М{рп|р1, ...» рл}|тп =• Щ > М{рд|тп = А;} > 6;
поэтому
- 6Р {тп < п) = 6Р {щах {pj, .. м рп} > б}.
Это неравенство вквивалентно приведенному в условии задачи.
5,8-8. Обозначим через е\ и es единичные векторы на осях коор-
координат и положим \п = tn+i — Cn- Тогда U « Ь + li + - • * -Ь ln-u
т. е. М^п м М?о-К-- + М|п-ь и последовательность io, ?1, •¦•
обрааует цепь Маркова с множеством состояний {eh e2j e3 =
«= —«в, в* «¦ ^-ej}, матрицей переходных вероятностей
'1/3 1/3 1/3 0
1/3 4/3 0 1/3
1/3 0 1/3 1/3
0 1/3 1/3 1/
1 1 1\ /000
111
7-
1 1 i
111/ \1 О О
я начальным состоянием |0 я (?1, Чтобы вычислить M^fe) заметим,
что при начальном условии |Q *=> ех
Тек кан IG=«QI — /, то
?63
далее, Ir = 4Г~7/, 6й = G ПРИ нечетном к и
A 0 0 0\
О 1 О О \
О О 1 О I при qeTH0M k-
0 О 0 1/
ft-1
Учитывая равенство 2 (— *)™ ^4h"m = D — 1)*- (— 1)\ нахо-
Ним;
тп=о
-*.(/-(-l)^illi^ К т. е.
1 2 — (— i)
Отсюда следует, что M|ft=-^^x и
Глава в
6.4. Случайные векторы (xi, «(), i«=l, ,^., 7, независимы, по-
поскольку являются функциями от независимых векторов
(sjli • •. 1 Ж1гц), ( = 1,...,/, соответственно. Кроме того, при условиях
вадачи 6.4 для любого i величины х\ и Si невависнмы (см. введе-
введение к гл. 6), т. е. xt и с\ независимы лрн каждом i = 1, .,., /. Тан
как М?< ш* а, с\ -\-«,, + Ct «a 1, то >
7 1 I 1
6.14. a) Функция правдоподобия, соответствующая выборке
,,,, а„, имеет вид
Приравнивая нулю производную ее логарифма по а, получим ли-
нейеое уравнение относительно неизвестного параметра а
269
рдипствеяиым ропши'игм которого является .искомая одонка
спмальвого правдоподобия а* — а. Очевидио, Мя* = я, De* = <j%/n*
Рассуждения для выборов {?**} и {с*} отличаются лишь обозначе-
обозначениями.
б) Функция правдоподобия, соответствующая полной выборке
Чтобы найти точку максимума In L при условии а -\- Ь — с — О,
используем метод неопределенных множителей Лаграпжа, т. е.
приравняем нулю производные фуцкдни
Id Li — (я ~\- Ь — с)Л
по а, 6, с и X. Получим систему линейных уразнений относительно
а, 6, с и А,:
п п
или
а ~ а = XffJ, & - 5 = Xff^, с"- с = - ^ст2с, а + Ь — с = 0.
Вычитая из суммы первых двух уравнений третье, находим
т. с. X, == E + 5— с)/о3, где о2 = о^ -f- a\ + ctJ. Подставляя это
гшачение Я в уравяеиия системы A), получаем искомые оценки
максимального правдоподобия
о"
= 6 — ^LCa^l — с),
о2
270
Hostowv ***** «? n, Mft** a9, M ¦*• » <j,
6.16. а) Функция правдоподобия L (yA), ..., fif^;^» aa)
имеет вид
Приравнивая нулю производные In L ao ax и ag> получим
уравнений для оценок максимального правдоподобия
Отсюда, положив
Y, = 1/A - Pi), Го = 2 Т*. Г,
находим
Решение этой системы определяется формулами
- rl}»«») + (rlP, - го)«/("'],
1
где Д - Г§ - г?.
271
б) Оценкой максимального правдоподобия а** параметра а%
по выборке, образованной первыми координатами, является обыч-
вое среднее арифметическое (см. задачу 6.15, б);
n
7Г ^
Отметим, что о* и о** совпадают лишь в случае одинаково рас-
распределенных */{1\ .,., у^К Еслп рй is р, то Г1 — pferQ = 0, Го —
— рьГ-== «, Д = п2 и, следовательно, а* = а**. Обратно, если
*Гвв1*1 то Гд — РЙГО«О, Ы,.1Ч п, г. е. pfe^p не за-
висит от &.
в) Исаользуя свойство линейности математического ожидания,
находим
п
М й*= V 2 V* [(Г, - Pfciy ва + (Г, ^
Отсюда и из равенств
получим MaJ = Oj. Так как векторы (v^\ ffjfe))i ^ s= 1, ..., л*
независимы, то
Отсюда, учитывая, что Ъу^ = 0y^k) = I, cov (y[h\ y[h)) = Ph>
получим
D [(Г, - РЙГ?) »<" + (Г, - Р,Г0) »(*>] =
= (Гс ~ P*riJ + (Г1 - Р*Гс)а + 2Р> (Го - P*ri) (Г1 - P»ri) -
= A - P.») (Tl + Г» - 2ГСГ1Р,).
Для оценки о** непосредственно находим
¦* 1
Da ^i^
272
г) Для доказательства неравенства -^ = Da* < D#** = —
умножим обе его части на пД:
«Г, < Г« - Г* или Г?<Го(Го-п)'
а затем воспользуемся оп ре делениями величин Го и
/ п \ п
h=il
Остается заметить, что в левой части последнего неравенства стоит
квйдрат скалярного произведения векторов
а в правой части — произведение квадратов их длин.
6.20, Из условия несмещенности следует, что сз — 1 — С\ — с2.
Дифференцируя Dz = с\ -}- с^ -f- A — с1 — с2J -+¦ 2с1с2р по ci и с2,
получим для определении Ci, а систему уравнений
2c2= 1. A)
а) Вычитай из первого уравнения второе, получим A — р)с\
*— A — р) с; == 0, или с\ = с2. Следовательно,
1 1 +р п 1 + Р
0
б) Если р «=я —1( то из первого уравнения A) получим с\ —
= 1/2, а из втор'ого с2 — 1/2. Следовательно, с3 = 0, т. е. в наилуч-
наилучшую оценку включаются в этом случае только коррелированные
оценки 2i и г2. При р — —1 величины z\ и г2 имеют вид z\ — о -f- ^*
г2 с=а а — ?, где М| = 0, DI = 1. Таким образом, 2 й (^i + 22)/2 ^
в я, Oz = 0.
в) При р = 1 уравнения в A) одинаковы: с\ + сг = 1/2. В этом
случае xt = а + fc, z2 « а + ?» где Ml = 0, DI = 1. Таким образом, -
очевидно, что при любых сь с2 (ci + с2 = 1/2) и с3 = 1/2 получаем
одно и то же выражение г = (я -}-1 -f 23)/2, и D2 = 1/2.
6.22. а) Приравнивая нулю производные от / по А и яд, полу-
получим систему уравнений
п
- 2 S (^г - ^*) Гг = °'
г=1
Отсюда xk — хк, Asl,((l!n, и
п \ i/ n
18 а. М, Зубков и др. 273
6} Преобразуем полученное » п. а) выражение, положив
Поело очевидных преобразований получли
К = (А + tilin + n2(ft)/(i + ч
где
n n
n».«=т* 2 Fh+лв«) **' ^.« =~ 2 ***«*•
n n
Ч3.П = ~ 2 *Al. ^4,n - 7^ 2 62**
Используя утверждение задачи 4.33, нераяенство Чебышова и ттв*
рапепство Р{1 ^ е} ^ М|/е (е!>0), верное для неотрицательных
случайных величин, нетрудно показать, что при и-»-оо величины
r|ft> „ (k a» 1, 2, 3, 4) сходятся по вероятности к 0. Отсюда следует
сходимость по вероятности Л* к А.
6.29. Чтобы упростить вычисления, перейдем от выборки х^ ,,t
..., хп из равномерного распределения нз [а, Ь] к выборке у\ «я
¦«/(«О» ¦••» tfn =/(^п), где "/(ж) «= (х — аI{Ь — а), из равномер-
равномерного распределения па отрезке [0, 1]. Ввиду монотонности функ-
функции / члены вариационного ряла y(i) ^ ... ^ у{П) удовлетворяют
соотношениям у(и =/(хщ). .Пользуясь результатами задая 3.89,
3.90, находим
1
cov (ц,н
(n + iy {n -f- 2)
Возвращаясь от y^ к исходной выборке, получаем окончательно
Ь— а п Ь — а
— аJ
°*<«-*<»>- („+!)«(,!+ 2)' COV(-(i)^(n))=(n+IJ
Таким образом, оценки а* = л;A) и 6* = ж(П) являются смещенпы-
ми, но их дисперсия при п->оо убывает значительно быстрее, чем
дисперсия среднего арифметического х = (х\ 4-... 4- xn)fn.
6.30. Из утверждений задач 3.64 и 3.65 следует, что хцу и
можно представить в виде
где |ц (&=!,..., w) — независимые случайные величины, имень
274
щие показательное распределение с параметром а. Таким образом,
I»
cov (т,.„х,„Л = cov —. Е- -I- ...-Ь — I» =D
))-cov(^.i1+... + isB)=Dk«._';-.
6.33. Очевидно, что Ma = My — M^ = /? — r = д и, следователь-
следовательно, М(й — aJ = Da. Статистики ^ и j/ неэавяснмы, и поэтому
2
- _ - 2а
Da — Da -f Dy =
Таким образом,
2a2
2a
Ma = o, /A (a— aJ = —. A)
Статистику a, поскольку она имеет нормальное распределение
с параметрами A), можно представить в виде а= а-^- Вц, где
В — )'2а2/п, т} —случайная неличина, имеющая стандартное нор-
нормальное распределение. Тогда
a* = max @, я -f- Br\)t a* — а — max(—а, Вц).
Рассматривая а* и а* — а как функции от rj, воспользуемся фор-
формулой C,9):
1» '
М,;* = f max @, a -f J9x) 9 (я) d.r,
М
(а* — а}2 = j* (max (— а, Вх)}2 <р (т) da?,
где ф(з-) — плотность стандартного нормального распределения.
Отсюда, используя формулы
f ж8ф (ж) rfi =Х ф (| X |)+
X Л'
18* 275
получим
Г (о + Вх) ф (х) dx = а \ у (х) + By (j-\
/В /В
-а/В -а/В
—а/В оо
—а/В оо
М (а* — af = a2 f ф (ж) Ас + Я2 f я2ф (я) <te =~
— оо —а/В
—а/В оо
= а2 Г ф (х) dx + В2 ( ф (ж) d^ — а^ф (—\
-оо —а/В
Выражая оставшиеся интегралы через табличную функцшо Фо (х) =
= \ y(v)dvt получим следующие формулы!
Для указанных в задаче числовых зналений имеем:
, 2-100 м2 2 а
Й==1м- В =' 200 = * м * Т = *'
фоA) = 0,3413, фA) = 0,2420.
Отсюда и из формул B) находим
Ма* =» @,5 + Ф0A)) +фA) = 1,0833 м,
М(а*-йJ=@,5-Ф0A)) +(О,5 + ФоA))-ФA) =
= 1—ФA) « 0,7580 м2,
Таквм образом,
Ма = 1 м, ?МE — аJ = 1 и,
Ма* = 1,0833 М, ТМ(а* — аJ = 0,8706 И.
6.39. Пусть верна гипотеза Н\. Ошибка 1-го рода а определяет
ся формулой
П -па С — па \
~у^ > rj±-}.
{ ъхУп Ojl/в J
Величина (?n — noi)/oiVn. имеет стандартное нормальное распреде-
распределение и, следовательно, значение (С — па\Iо\^п = иа определяв
ОО
ется соотношением =-~ J e~~X dx = a. Отсюда
276
Пусть теперь верна гипотеза 1/2. Тогда
\ 9 *
Величина (|п — па2)!ъ2~Уп имеет стандартное нормальное распреде-
распределение и, следовательно, (р~~пагI®гУп ~ ~ и$пщ Отсюда и из ра-
равенства A) получаем иаа\ + upnC2 = (a2 ~ ai) ~^n' Значит
Ua -*¦ оо при п -*-оо( т. е, ?Jn -*¦ 0 при re-*- оо,
6.40. Выборке х\, ..., хп сопоставим процесс размещения п ча-
частиц по N ячейкам: будем считать, что i-я частица попадает в
[fg J; j i\
•jft ~/V—/J k = °'lj' * *'N "" *¦ ПРИ такой
интерпретации получается схема независимого размещения частиц
по ячейкам, а случайная величина \iq равна числу пустых ячеек.
При гипотезе Я, вероятности попадания частиц в ячейки 1, 2, ,.«
,.., N одинаковы и равны 1//V, а при гипотезе Н2 вероятность по-
попадания в к-ю ячейку определяется формулой
j ^ k A)
k/N
где max | eft (N) | =» 0 (l/N2), поскольку по условию g{x) непрерыв*
но дифференцируема на отрезке [О, 1]. Математическое ожидание
и дисперсии величины цо при гипотезах Н\ и Н2 определяются фор->
мулами, полученными в задачах 3.116 и 3.121. При гипотезе Hi
I Y [ 1 Yv/VA+oU)) n
Vir) =>*[*—it) N
Отсюда
ах = lim —дг- =е
При гипотезе Я2
Из формулы A) следует, что при re, N~+ocr n}N-+y равномерно
по к
A - vk)n - exp [n In (l - 4" 8 ("J") -
- ехр¦{(- ( )
Отсюда и из формулы B), полагая в ней п a f/V(l -J- o(l)), шь,
Яучаем
277
Часть IV. ОТВЕТЫ
Глава 1
UU 2/3. 1.2. Р (А) = 1/1785 = 0,0005602..., Р (В) « 1/3927 -
0,0002546... 1.3. 1/6. 1.4. 1/2, 3/8, 7/8.
1.5. Р (А) = 1/3, Р (В) = С™_%2п-т~Ч-п @ < m < п - 2),
i.6. 7/18^0,38888... 1.7. Р {А) = 0,21, Р E) «0,01, (
«0,27. 1.8. а) 0,504; б) 0,432; в) 0,027; г) 0,036; д) 0,001.
'¦•• '«--М-fГт ""¦"•'¦
1.11. Если iV^iOft-l- /, то pN = 2k/N при 1 = 0, pN**{2k -
<1<9, pN «= 2 (h + l)/iV при 1. 9| pw-»-1/5
1.12.
1.14. fff-i + 2(-l)» 2 ^[j-^T. где
няровання проивводятся по всем простым чиолам Pi( P3, .*.)
* П f1 - т")в -^ •= °'607927 • • •.
где произведение берется по всем простым р.
1.15. я/4 «х 0,7853981...
278
, 1 i 99
1 99
) *
1.17. gh=s9.10~h~1 + (Qk-
1.19. Р2<Р3 при
2ГЛП2
2r
1.26. a) E/6I0 = 0,1615055...; 6) Cj.576"l0= 0,1550453...;
в) 1 - E/6I0 -=0,8384944...; r) 1 — E10 + 10-59)/6ie = 0.5154S33...
1.27. 0,055252. 1.28. 0,067. 1.29, 0,055252. 1.30. 2/21.
1 62016 99
1-81- Щ5-0,00009995..., ?7^ = 0,1300384.... -3^-
«= 0,1484257...
rmN
Щ 2 w
1.32. 1) * , если М=М +М +...
i + ... 4. m№ п?| ^ 0;
* ^ (M - M. - ... — M
-l> 2 ^
1.33. 1/2; 1/3. 1.34. C^CJJZm/^Jv. O*™ A-«)""". m =" °»
1 112546 »
1,2, ...,„. 1.35. щг1. 1.36. J3J95- 0,9508147...
1.37. 0, если числа мужчин п женщин не равны ДрУ»
2"+1 _ 2
ДРУГУ1 —г^ ? если число гостей каждого пола равно п.
2911
^^ ШТ2
fr> 3; при Л> 6. 1.41. {к— 1)/20. 1.42. Ph =
= С,95, Р3 = 0,855, Р4 = 0,72075, Рг> = 0,5S14, PR = 0,43605.
1.43. ^=1г
гУ. \ , Ря1, Р3,,
Р4 = 0,963, Рй^ 0,9144, />fi = 0,8424.
l.Vb 1/190* 1.45. 1/100. 1.46. а) 1/3, 1/3, 1/3; б) 2/3, 2/3, 0; в) 5/9,
5/9, 5/9. 1.47. {1, 2, 3), {4, 5, 6}, {7, 8. 9); 2. 1,48. а) 5/12, 5/12, 5/12,
5/12; б) 2/3, 2/3, 2/3, 2/3. 1.49. {1, 2, 3, 4, 5, (>}; G, 8, 9, 10, 11, 12},
{13, 14, 15, 16, 17, 18}, {19, 20, 21, 22, 23, 24}; 3.
279
4»5O.
N\
X
» если п
—' - f если 2 < n
1.51
еслв
(- D'(l - -L). 1.52. 1) 1 -
1 6)
иля п —
; 2)
2n IN Vn}
но, и Of если w нечетно; в) ~^Щ\~\ i еСли iV четно.
1 если
а)
б)
в)
если
воля ЛГ иечетноо.
1.55» а) гГп; б) (л — l)"~ftC^~n; в) n~h p) n~ft.
1.56. а) \jn\\ б) 0< если среди /^ #tlf /ft есть одинаковые)
\ если все /^ ,,„ )k различны; в) \fn\ г) 2(п^\ д) 1/и.
" 11
^ () ь&9 у2
max @, 2ж — 1) @<я<1),
1.61.
1.62. а) юш(|г, 1) («>0)| б) 4i(l^ar) @<*<l/2),
2)s в) па:2@<а: ( ^
280
— - arccos -j-j + У> - 1 A < x< 1/2).
1-63. а) лC — 2з) @<ж<1/2), 1 (з>1/2); 6H
(l 1)>1; в) -A—/)а (
1.64. tg (я/8) = 1/2 — 1 = 0,4142135...
1.65. Л-^-Y, 0<Ь<2а; 0, Ь > 2а.
1.66. [l--J , 0<6<а; 0,
О, Ь>2аУЗB-1/3).
1.68. Dя —ЗУ5)/6я = 0,39103 ....
2
1.69. />n = tg^-.tg^-=-^2A + o(l)) {n + oo).
( г л \2 а я
f.70. 5/6, 1/6. 1.71* /1 — 2— tg-?-j , если ^<jctg:-^; 0 при
а -я
yctgT, ft-3,4,6.
tg в
ccos
:, 0) = \.
1 tg в
1.72. lt если 0> а; 1 — — arccos |—, если |6|<а; 0, если
i.75. ^-i-^i^ ? ^
1.76. Р (^) - 1 - ™ (» -И), Р (Лх) - ^; Р (Л2) - ^(^
1L где Ak — событие, состоящее в том,что было к пересечений,
(fIт
1,79. ^ ^ 2; ^™-= 0,707106...; "-^--0,860025^...
281
-> 4
,.8О. а) |^_^_. б) ^_ »_.
I.8I. a) I- .-!===-; 6) 1- *_ = 0,378732...;
2 2УDг)а + Аа 2 21/17
в) __ = JLi_ ^ 0,4330127 ...
13 2 6
1.82. у——>;=-=0,3244382... 1.83. ^arctg-,
1.84. PQ= 1/n2, Pm = 8т/па A < т < л/2), Рп/2 = Bга— 1 )/«2
(и четкое), Рт = 0 (т > га/2).
1 /я \* 1
2.10. Р Hi) = ^o= 0,3952 ..., р{^2} = ^= 0,2047 ....
2/5.
ее
2.12. a) JL±A, б) й V
б) р - д V frt1 р - ^ V (>-
1 a 1
282
i.w. *-2ft— ii-4- ... -B/r) \ 2 у * r2fe+i^ 1.3- 5..... Bft 4- 1)
P2 =¦ 0,785398 ..., />a = 0,523598 ..., PJQ = 2,49039 .... 10~3, Pg0=»
-» 2,46113.... 10~8.
Глава 2
2.1. 1/3. 2.2. 1/7. 2.3. 1/19 (* = 0)t 2/19 (г = 1, 2, ..., 9)t
O(t = iO 18). 2.4. L_ , 2.5.^.
^V! 1_
2.8. a) 1/22; 6) 3/5;^) 42/7.
Р
2.14.
2.15. а) ^4[, Вк независимы при любых I, k\ б) Аь С% незави-
независимы; в) Л4, С4 зависимы.
2.16. Независимы пары А\, Aj с i, / е {1, 2, 5, 6}, и событии на-
наборов {Аи As, Ae} и {А2, Л5, Л6}.
2.17. Только при г^О,г^2/Зиг=1/3.
2.18. а), б) Являтотся. 2.19. А\А^ и Аг зависимы,
2.21, Является при п = 2; не обязательпо является при п^ 3.
2.22. ft sr log2 п. 2.23. ft < n — 1.
2.24. a)«ia2; б) i - A - fo) A - р2). 2.25. а) p«=(l-a,)X
-a2); 6) p> i —ai - az.
2.26. a)(CJc;s/Cjfl)Bs=010003H5...1 6) ( t ^
0,0003473 ...
2.27. qb{qb + ^3^4(^1 + />1?г)}, где g* = 1 —
2.28. i-n<*)(+
2.29. 38/105 ==0,3619047 ...
3 / 1
2.30. a) 5/28f 6) T (т
2.31. a) 11/20?
k ( 1 \ /3\
(J ^j -1,2,...,
3[ft]
^Г' Л= 1,2,3,4.
2.32. 0,87107... 2.33. a) 11/30, 6) 47/120, в) 47/90.
2.34. 8) j>(l-fr)(l-fe) 4- A—
6) p(i_p])(l_Js)/[j0A_p])(i_|i2) + A.
2.35. а), б), в) M/N (г < TV). 2.36. х/а.
2.37. а) 0,573683; б) 0,7776829...; 0.8732712...
2.38. Л = 0,0282, Р2 = 0,0428. 2.39. 0,027 < Р, ^ 0,033 0,0 i! ^
^ Р2 ^ 0,047.
2.40. 5/11. 2.41. 14/17 «= 0,8235294... 2.42. 2api/[2api + A—a) X
243. а3) a(l-T)/[a(l-1f)+Tf(l-P)]* б) 0,9173...
2.44. q0 *= рA — а)![р({ — а) + A — р) A — рI, дг »= арЦар -|*.
A -/>)L ^o>gi-^P>a. 2.45. а) 2/11; б) 6/11; в) 3/И.
2.46. 1- G/8J0-= 0,930791...
2.47. а) 0,348678...; б) 0,057395...; в) 0,987204...
A \2 г { \8
—- A — -3S-) «0.00021137...
2ЛЭ. C™pm+nqn~m. 2.50. A-раД 2.51.(г/-1р-НГЛ
283
2.52. Г^ Д^|
2.53. a) C%Pr*{i-prf N б) С%^Г"Л){1 - qr)'\
2 54. a) pq\ б) (i ~q*)pq\ в) A - q*-pq*)pq*.
2.55. qh - Cj+ft2"fc; * ?0 == 1/32, qi — 8/32, g2 — 21/128, g3 «-
«= 7/32, qA *= 63/256, ?5 •= 63/256.
2.56. C^+r2~r~m. 2.57. 0,593126... 2.58. 536. 2.59. 0.20502.
2.G0. 0,26424. 2.61. a) 0.68269, 0,31731; 6) 0 72874, 0,36S20. 2.62, a)
0,68269, 0 31731; 6) 0,66906, 0,33094. 2.63. 0,95 2.64. 0,846. 2.65. a) 558;
6) 541. 2.66. 547. 2.67. 0,1587. 2.68. 0,0228. 2.69. 0,98101, 2.70. 0,8185.
2.71. 0,80085. 2J2.CklZlphgl~k. 2.73. hjgj * ^. 2.74. a) 7/8; 6) 2/3;
ft) 1Д 2.75. q\ 0,5. 2.76. ?j; 0,25. 2.77. q(\. -p3)f(g + />3); 0,7.
2.78. Cjln+m)/2/)(n+m)/Vn~m)/2, если (п + m)/2- целое, О в
случае.
2.79. C?8!B!)-a@,l)e @,3J= 0,0054432 ... 2.80. />f + npj^.
2.81, 0,76896. 2.82. C™1/»™1 A — Pj)""^
П Qn ( I/ I I [ * J [
mQl ... mN! Й\1-Р,/
n —n2, 0 в противном случае.
JV-fe
о ge /7/fe [л ] ^i1 qI
2.86. 3/4. 2.87. P{e3v+1 = '} = l/3, ( = 1,2,3.
2.88. P1/(P1~\-PZ). 2.89. aj 0,489142...; 6) 0,295635...i
в) 0,215222..,
Глава 3
3.1. P{ni = i}^l/5, i«-2, -1, 0, 1, 2; P{yJ = 0} = 1/3.
2 =. t) « 2/5, t « 1, 2.
3.2. а) С « 1; 6) 8/4; в} (га* — rai + l)/(wi(«2+ 1)), n\ ^ n2.
.2. a) C 1; 6) 8/4; в} (n^ ni + l)/(wi(n2+ )), »i ^ 2.
3.3. а) С - 4; 6) 1/6; в) I („^л-ц " (n, + l)\n, + 2)"}
3.4. а) С « 3; б) р„(я) «• Зх* @ < x < 1); в) 0,026.
3.5. a) 20X6-°** (*>0); б) ае~а/г/B VJ) (x>0);
&) а2ехр{—а(еа« —ж)} (—as < x < oo).
3.6. а) ае-и*/A — e~a) {O^x^ 1); 6) 1 (z e [0, 1]).
284
3.7. э) 1/2 (х е [i, 3]); б) «-• (х > 0).
о о 1 1 х { а
о.о. -я- -J- •—• arctg—-, -~ F (—оо<г<оо),
О* LU* jE/Ti (¦3'I <^s 7)т f Д? 1
3.11. а) Ф(^) =^-1(я;); б) распределение ? совпадает с рас-
распределением |.
б) ?_2д = 1/8, i-li0=l/12, ?0_1'=1/2, gl0 = i/6, ?2Д =1/8, ос-
остальные q{i = 0; в) ^_2 t = д-2 . — 1/8, fflj.. == 1/12,' ?1(, = 1/6,
б) °' ЗЛ8'
3.19. i— ^я @<х<2).
3.20. a) C=i; б) р6 W«
1); в) Зхй
3.21. 4х~5 (*> 1). 3.22. pt (z)^f(z), р% (х) - g{x).
3.24. q(r, ф) = rp (rcos (p)
3.25. i — e-1^ 0,6321 ...
3.26. a)
6) t(J-
'@<z<2a), 0 (^
а); в) ^ln|-
, 2a]);
^@,a2)), r) 1/2 @<я<1), l/Bx2) (*>i),0 (* < 0).
3.27. a) xe~x {x > 0); б)-^*-'*1 (—oo<x<oo)( в) «
: г) Г^Г2 (*">0)'
3.28. Iminjl,!-
C — г)
2, -—2~L при
™г|} (°<г<3); ° (*^[0, 33).
3.29. i — €-x @<^<i); *-<*-« —е-* (i<«).
3.30. а) 1 — [l — а: | при 0<г<2, 0 в остальных точках;
* 3 / 3 \*
б) j при 0<ж< 1, j — lei —у I при 1<х
К 0 в остальных случаях. Вероятность
23 *
Г2,5} ^=^ = 0,95833 ...
-И X )т
mI e t m— и, 1, ...
285
8.33. а) апе~*пх (х > Г»); б) пае~а* (| - е-«*)*-1 (х > 0).
3.35, Гамма-распределение с параметрами (Я, ct, + • •* -f an)
• о .71—1 О
g^* >. 3.37.
§ё@, 1».
3.38. (n-i)(i-^)n-2 @<*<i), 3.39. pg (х) - 1/2
!021
3.41. P{^ = ^}=t), {^ {а}
= 0,45. Случайные величины ? и ^2 зависимы.
3.42. Зависимы, 3.43. p. t (г, у) = 1/Bя Kl — х2 — if)
(** + И<0( />fc (*) ж1/2 (kl<i). 3.44.
yl 3.45. Т+2B
( + )
в) 1/2. 3.47. Р(^{)вя4/л, iel, 2, 3.
3.49. ?(%i = lvS = ^):=qli+l^p\ lv ?2>1, g = *-p;
P^Tj = i} = Р{та — /} = ^!~1/)> ^>1. Случайные величины неза-
независимы. 3.50. а) зависимы; б), в), г) независимы.
3.51» Р (9 = г, v= п)=/4)П'Т('»2' 3,4; и «1,2,...).
Случайные величины v п 0 независимы.
3.52. а), б) Р(та-/2, .... %-г^)=ПР(Ч=М'Р(^=^)=
fc=2
/fc—1\'* / ft —1\
__ | —__ j i — —_-_ i Величины независимы, в) Р (G = 1^
62 = /а, ..., 6^ = iN) ~1/Лт1, если tlf ..., iN различны.
з.5з. Р(е, = ^, е2=*2 e^^-p^^.j^^j^-....
3.54. а) Л*<ЛГ —Jtf)[ftl/tf[ft+1l; б) Л/[2] (ЛГ - );
в) М1(Л^ — M)MN\t если ftf + ^2 + ... +*m+i = N ~ м> иОв
проигвном случае.
3.55. F(^, ^а)-^К, «д-^Ч*!, У2
3.56. 1—VT/2 = 0,29289... З.БО. а)
61 Fr (x) = Fn (x): в)
' Цп) ' \ n i
1 * n!
286
6)
3.62. l/(j& -f- i^ во всех случаях. З.Г& nl р{х\)р{х2) ...
ли ^i ^ a?2 ^... ^ хп, и 0 в остальных случаях.
JO t 4 \
3.72. 4*2<
3.73. F_,(l —l^fXmc^F-^i/yS), где
a75. 0; 6/5. 3.76. 2. &77. M| = 3/2; Mn — 3/4; D? « 3/4;
Dn -- 3/80.
3.78. a) Mg «* D| =
6) M| «= rap, D| = n
3.79. Mgj^-jg-, D6iS=j^(( = if 2), covf^, 12) = -Щ-
3.80. Mgf » 0, Dgi = 1/2 (i « 1, 2), cov(l,, |2) « 0.
3.81. Wt|i-Mi]2"scov(riij rJ) =0; случайные величины
аависимы.
3.82. a) M sin I — M cos fc = 0, D sin ? *= D cos 1 = 1/2;
6) M.sin2ft+1 I = M cos2fe+T | = Q, M sin2'1 > = M cos2* ? =«
прж
2 14
3.83. a) Msin?= — — 0,6366..., D sin | = -к- — -о-=0,0947. ..J
" ^ л-
M cos | = 0, Dcos|= 1/2;
BftA-!K 2 1
6) Msin2fe+1i= /9Г .'п. ~^ т /— при &->оо, осталытыв
^/c -j- iji л. |/n/e
моменты те же, что в задаче 3.82. 3.84. 4/3.
3.85. i — A + а)-2 при а > —1; — оо при а < —1.
3.86. Ml « 2Л/3, Dg = Л2/18.
3.87. a) 1; б) —1; в) ^1/15 = 0,9082...; г) 0; д) -^~Т =»
« — 0,91827 ...
9л: — 32
3.88. а) 2.-2—гг = — 0,300137...; б) —1/2. 3.89. рг(*)=*
3.90. Если 1 <^</<», то cov
287
8.93. Равенство неверно. 3.94. mln M|n? — —<», max M|ri$ =*
/1 0 0\
•- -f оо. 8.95. О 1 0 | во всех случаях. 3.96. а), г), ж) могут,
\0 0 1/
остальные -* не могут. 3.97. а) же [—1/2, 1]; б) *е [~1, 1/21.
п
3.100. a) M?-mf + ma + ... + »*„, D? = J aij* б> Мг^ я
*« (m, a), Dr) = aaa'; в) m + m*, m — m*t am -}-
a -\~ a
3.102. М5п^0, D5n= »/2.
3.103. МДп = 0, D«n = l, n>2. 3.104* n/3, 3,iO5. Dt]n= (llw—
D/180, nO | gj ^ ?2 | = n/ie.. 3.106. M?n = «a, M^ = npa, Uln =
«a2, D^ - np (a2 + a2^), cov (?n, С) = про*. 3.107. M^ - 1/n.
3.108, M^ - 0 (i « 1, 2, 3, 4), D#> = 2«aa, D^' - 2aa,
3.109. MU4) - 0, D#> - «a* (< « 1,2, 3, 4).
3.110, М?4) = л/4 (<» 1, 2t 3, 4), D^> - 7n/144, D??> ^(«
- 6)/144, DC{»> « (Зп1 + 4n)/144, D^4) = 13n/144.
3.111# M?f = na2 (f = lt 2,3f 4), D^)= na2 (a2 + 2a2)( D?(
- a1 [n (a2 + 4a2) ^ 2a2], Dtf? « na8 (^г + a2 + a2), D?j*
3.112* M5n = МГП = 0, D5n « na2, Drn = aan It + ПГ"
3.113. M9r=l/r, г>1; DOj^i.
JV
8.114. 2 (M — Mk)W/Min\ где itf-Jtff+.
3.116. Мц0 (», JV) - ^1 - ~Y « JVe~a A + о A)), Dfio(n,
a,
8.117. Мцг(„, 7V)« ^S (i-^y~r-tf? ,"a(l
3.118. Мцо« 1,3629.. M Mfi «. 8,0975..., Mjx2 ^ 3,3791...,
8 = 2,3551..мМц4С= 1,1775..., Мцб =«0,4496..., M^e=01362
^ = 0,0336...
?83
3.119.
г/
3.120. a) npf, 6) np{ A — рг)\ в) —пргр-.
JV N
3.121. a)
3.124. 155. 3.125.
К (Зи—5)); г-0
3.126.
3.127. a) ffnJ б) У (n-k+l)phq
Si
hqn-h
— р(яп-Рп)) при р^З, ^n+i2~n ПРИ /> = ff = l/2; в) npg
г) /^g(l — 3pg).
3.128, М^ = л. 3.129. 1 + j-—-^.
3.130. . л A— — . ЗЛ31. L-e~\ 3.139.60°.
n +1 \ V 4 / У ml
3.143. a) Mtifc-l/i»; 6) p(nfc, Ч|)^-1/(в^ 1) (A
в) P(nj + .
3.144.
3.146. (^-а2J<D(l + T|)<(a1 + oa)a. 3.160. а:п/и!. 3.161. e =.
=-2,71828.., 3.162. efc«l/(XaJ), где Х=» (l/aj) + ... + (l/aj);
Dt)n—1Д. 3.163. a) 0,99730... 6) 0,98168... в) 1; г) 8/9 = 0,8888...,
д) 0,91393,.. 3.164. МД=0, DA=MA2= п\ а27г. 3.166. MsinE>
> О, М cos | > 0. 3.167. max {p, 1 — р). 3.168. б) !/(/??).
ЗЛбк бI/(М). 3.170. «{Р[A — ^^A—Р2)а—A—A — Эх)A — Р2))^] —
-?[«лг4-A-«л)с]}-
3.171. Координата Ь точки В — медиана распределения Н.
т. е. Р(?^) = Р(*>г>)=П/2.
3.172. х — медиана |, у ¦— медиана г), т. е. Р(| ^ х) — P(g ^ ^) «=
•=»Р(Ч<») =Р(П>^) =" 1/2.
19 д. м. Зубков и др, 289
3.173. minM(| — a;)8=:D?j минимум достигается при #= М§,
3.174. Л = МХ.
3,176. a) z « /?_т (l _ ^.J =f_l @,99); б) «^((l-aI'7)*-
= **_i @,9999), где f _а (u) = sup {x: F {х) < и} — функция, обрат-
обратная к /" (г).
3.176. Мтт = оо, Р{тт<и} = и/(и + Г), р{*100< Ю} = 1/И.
1 3.183. а), б) Любое число из @, 1]; в) любое число из [0, а]
при я<1; любое число из [(а — 1)/л, 1] при о>1, 3.185, 1/3^
^<2/3.
.186. a^_, (а) — f ^ (л) dz < М|Х < а/7., A - в) -f
— /?1 (x)) dxt где F_j (у) « вир {*:
мальное значение М^х достигается при {х — 1} = {^<^„, (a)}, a
максимальное — при {х — 1} = {I > Р„г A — а)}.
3.187- 4""РA"Т'1^) <М^<у + (
экстремальные значения достигаются при {% в 1} = {|— т) ^ —
4-V2?} и {X = l}={i-T]> 1-V2?}. 3.188. а), б) Да.
3.189. а) Pl(i+q); б), в) q/2 A + д); г) 2 A + q) pqk~* (l -
-Я^1) (ft > 2); д) 2A + ^ /**<*-« (ft>i); e) (i+ff) pff«fc-">
(A1) ж) i/(* — 1) (A«i, ...t*-l); в) */2.
3.190.а) Plhtl^Pd-^'1; 6)P{6 = A}
3.191. a) — (s e [0, «]), 0 (x ^ [0, 2]);
6) l/i @<*<г), если 0<2<1, 1/B — 2) (z -~ i
если 1<г<2; в) 6хB — г)/гэ @<^<z).
3.192. а) г2/12; 6) z2/12 при 0<e< 1; B —г)а/12 при 1 ^ г^
<2; в) И/20.
3.193. M(^ 16 + Ti»г) = 2/2, если Р(^ + Л = 2)>0 или плот-
плотность р^+ъ (я) > 0.
3.194. A -(г/2))-1 @<з<1- (г/2)) и 0 (* ? [0, 1 - B/2)]),
если 0 < z < 2,
3.197. а)
3.198. P (| - m) - C^
3.199. Стандартное нормальное распределение.
3.200. ¦>{5I<*1.?tO11|51=i<mii1{|1,Se}}-^«1)
где F{x) =0 при я<г, Z1 (a:) — mm {{a> — z)l(а — г), 1} при
290
3.201.
3.205. б)
/*. 3.202.
; в) Р{ДА
М
Т• D
3.208. Mv0Q = A + <?)/<Д MvQ0 = 6 при р = 1/2;
3.209. MvH1 = A + * + ра)/Л Mvn| = 14 при р = 1/2.
3.210. MvQl = l/(pg), Mvol = 4 при р = 1/2.
3.211. на:11-1. 3.212. 1~ ^г1-". 3.213. Mv = 5, Dv =4.
3.214. 1-вЗ-п+1.
3.215. Р<? > х) = A~х/Bяг))п'1 @ <а:<2ягI Mg = 2яг/л,
= 4я2г2 (п — i)fr? (n+1).
3.216. Р
0
3.217.
3.219. MV= n (l -
(MvJ-
+ о A)).
3.220.
(а, 0).
3.221.
4-
к
—
3.222. MS =2F = 0,4774..., Мр =-^-= 3,8197..., Мг=~ —
— 1 = 0,2158...
.224. __-__^l-_j -
. 6) l — (i--?-
\ b
<, ) (
d \ b
3.225. P(i ||< 0,7) = 0,5160... > P(|g|>Ot7)» 0,4839
3.226. P(— 0,5<|<-0,l) = 0,1616... > P A <| < 2) =
0,1359... 3.227. M|2fe-i= 0, M^ft = 1.3-5.....B* — 1) a2k ==
B^-l)!!a2fi, k = l, 2, ...
3.229. a) L-r
ау2
; 6)
19
291
П.230. 1 - exp (- х/Bа2)) (z > 0). 3.23b Гамма-распределение
С X = —, a = -|-. 3.232, n\ 2n. 3.233, Щ = e^Wh^ D? ^
*=е*а+а*(еа*~1). 3.234. ea-°2; e™*1*.
3.235. а) 2Ф0 E/3)=0,9044... в любом случае; б) ФA 6268 )—
3.236. M4*« Ь3.5.....BА-1), Мл* = exp
JL о3*2].
3.237. 0. 3.238. M(cos^)=e-^2=0,6065..., D(cos g)=y(i_,-i)» и
-0,1997... 3.239. D (sin g) e i-(i _ ,-2) „ 0,4323... >D (cos ?) =,
= 4~ A - гJ = 0,1997... 3.240. Mcos f = ±- VWTi~
= 0,77688..., М3Щ2 = 4-^У^ = 0,32179... g^^ Явдя№
ся. 3.242. а) Стандартное нормальное; б) нет 3 243
-Ф (- 1/VD -0,5204... 3.244. а) 1/2; б) 0 7928- в)
3.245. Распределения^, у и (^^ одинаковы ' '
3.247. Двумерное нормальное распределение с нулевым средним и
г * а2 — Ь2\\
ковариационной матрицей 2 2 2 J-
3.248. Нормальное распределение с Мс^ = мс tj =0 и ко-
ковариационной матрицей !i x 1
3.250. Величины T)t и тJ распределены так же, как g и
3.251, 1. 3.252. аLФ20A)^0,4660...;бJФA)Ф0B)=0
в) 0J B) =0,2277...; г) 2Ф^ A) « 0,2330 ...; д) 1 _ ,-1/2 ^
¦«0,3934...; е) 1-е = 0,6321 ...
3.253. а) 4Ф0B,5)ФоA) = 0,6742 ...; б) 2ФОB,5) Ф B) = 0 4713 t
В) (Фо A,5) + Фо @,5)) (Фо C) + Фо B)) = 0,6095 ... ° '
..». [ф. (^)-ф0 (Щ [Фо (if )+Фо (^)]=ода9...
3.255. а) ф2 A/2)/2 « 0,08876 ...; б) Ф2 B) - ф2 (у§) =
- 0,05023 ...; в) (ф« B) - ф^ (Уг)/2 ,= 0,025Ц ...
3.256. ге-т2/*/Bя) (г>0, 0<(р<2я), 0 в остальных случаях.
3.257. а) 22Ф-|C) = 0,9946...; б) 1 - е^2 - 0,9888 ...'
в) 1-*-9 = 0,9998...
3.258. а) «-я-«-9/*« 0,1242...; б) 4 (ф20 C)- Ф^ B)) »
-0,0835...; в) 4 (Ф^(Уз/2)-Ф5 A/2/2))
3.259. V4
29а
8.260. Р { ]A1Mf | < z) - i -
3.262. 3/4. 3.263. 3/4. 3.265. ~ arctg ~. 3.266.
i , \ '. I2 1 .
где р «и , ^ — коэффициент корреляции ?f и |2.
3.267. -o^rarctg ° "Г*" t 3.268. а) 1/2; б) i —
л; к а — ее
•— ф{ь(У ст1з — 2a(Ti3-f а2о-22 )• 3.270. а) Нормальное распре-
распределение с нулевым вектором средних и матрицей ковариаций
тальных случаях; в) Р {^ < д;} =« -— arctg .^' @ < ж < 1).
3.271* а) Нормальное распределение с нулевым векторо м
2 !
средних и ковариационной матрицей I ,
б) —— е ^Xl X* KiK*'> при хг, я2>0 и 0 в остальных случаях;
в) РЦ<Я} = — arctg|ф^
/1 0 0\
8.272. а) @, 0, 0); 0 1 0 . б) 1,, \ , \г попарно независимы
\0 0 1/
и имеют стандартное нормальное распределение.
Bл8) 1/'2ехр [—(^f+ ^2+^1)/^)' еоли ^1*2*
0 в остальных случаях.
3.273. Положить
L если lt... 5n-1 — 0,
11 sgn (?j- ... |п_2), если lt ,.. |п-1 ?ь 0,
где | , ,.,, ln—1, ? независимы и имеют стандартное нормальное
распределение. 3.274. Нормальное распределение с параметрами
(@, ..., 0), Л'Л). 3.275. Mti|= @, 0, ..., 0), cov^^, r\\^ — а^.
3.276. Нормальное распределение с параметрами (@, ..., 0), |]Ь^|,
где Ъг- = 1 при i = j и Ьц = а4а, при i Ф j. 3.277. Нормальное
293
распределение с параметрами (@, ..., О), J^ij|)i ГД6 Ъ» =^
n-in(U)
«= 2 °ъ* 3*278' 15- 3'279< 1пМ|5{ ... |А|, 8.280. Нормальное
распределение с
12
'Л
} CiV 3#281'
- 112 = «) ¦* *z—
0(8,16,-*)
Вообще говоря, не является.
Глава 4
4.4. Выполняется. 4.5. Удовлетворяют* 4.6. О < а < 1»
4.7. а>0, а>1. 4.8. Удовлетворяют.
4.11. б) 2Ф(-в/С), C*=§f(x)dx~Hf(x)dx) ,
о ^з
4.12. а) МС, - / И dx, D? «= I /2 (x) dx - \ / (ж)
О
4.18. Всегда. 4.25. б) A-
4.26. Р {х (TV) > п) = JJ
при нечетном TV и 6 (TV) = 0 при четном TV, <?2 (г)=»1 — е~~ж '\
4.27. lim P /Y)ft<a:} = ^, 0<ж<1.
П-*0О
4.29. Распределение Коти с параметром 1. 4.30. Распределе-
Распределение Коши с параметром 1.
4.31. lim Р{(| — *)*< '*
4.32. a) lim Р(чпп-*1/а<д-) =е-к~а (ж>0);
б) lim Р(чпп1/а<з:) = е-(-*)а (*<0);
в) lim Р Ып — In n < a:) = е-е~*.
4.34. Ф(ж). 4.37. lim P ftn < ж) = 1 — е0, 0 < х < ос,
4.38. а) Мтк = ка, Dift=Ao". 4.39. Мт = oMv, р("Д7 <3:[-*'^ И»
294
4.40. а) Мт. =—, От
""Р+П\ б) limp' X"
— е~\ 0<ж<оо.
4.42. lim Р {д%г < я} = Нш Р {дх^ < я} - 1 — е~х/а, х > о.
4.43. P |-^
. 4.44. 0,265.
4.47. а), б) Сходится. 4.48. Равенство верно.
4.49. 6) Ml = 1/2, Dl = 7/44.
4.50. б) Mg=l/3, D? = /
4.53. a) x —распределение с 1 степенью свободы, б) Ап (z)
г? (г - рJ, Лп (г) =2{p~z) Vr?p(l~p).
* V р A^ р) •
4.54. а) 2Ф0П/*), б) Bn(p)- In
4.55. Условия в). 4.56. а) Любое соотношение может выпол-
выполняться, б) т^т^. 4.57. а) Л/<Л/Оо; б) ст2 < о^. 4.58. a) el(z~l>;
D|n = npq, где g = 1 — p. 4.60. a) M?»= ф' A), D| = ф" A)—
— Ф' A) (Ф' A) — !)* ^ (i —м^K = Ф'" A) + Зф" A) A — ф' A)) -f-
4.61.
2) Т±
. 4.63.
4.64. Р [ц = 0 = CylTj V"tf , т^т^^ + Шд, i > m.
4.65. a) ebp<*-i>; б) Хр, Xp.
4.66. a) | и |2 распределены по закону Пуассона с парамет-
параметрами X A — рЛ и X A — Рг) соответственно; б) М^ » D|t ^
== ХA — р2), "^12 *=* ^i2 "* ^ (' ~* ^i)» cov (^i* ^г)™ ^' слУчайные ве-
величины ? и Ej зависимы.
4.68. a) (Pjij-t- ... +Pjvxiv)n'» б) RlAlP?. »(
1пд. Va)^"
"/(^1
295
I. a) exp {X {Ptzi 4 « ¦ • 4 PatZJV *"" *)}?
4.71* а/у = Д,
д— ^ §/v¦= — f^, где O^a^l, О^й<1. 4,72.
4.73. a) exp {*(*"-1)}; 6) (p*« + <?)n; в)
4.74. (n + fc—l)[ft]oTft. 4.75. (p ())
4.76. a) P{?=*} = 7S|-<ft+l)P{g-*+l}) ft-0,1, ...
б) P{?:-=ft}«-Mf Pg>4. ft-o. i. ...
в) 5 = §|„.+^, где ij, E2, ... независимы и распределе-
распределены так же, как Е, a v не зависит от lv 12, ••• и Р {v = к) =яA -~
— a)ak, k = 0, I, ...;
г) -ф(г) —производящая функция тогда и только тогда, когда
| = t)i + ... + 1К где т)ь т]2, ... независимы и одинаково распреде*
лены, a v не зависит От т^, r\2t ... и имеет распределение Пуассона?
д) то же, что в п. в), но Р {v = к} =. уТ^Ес аЧ'^С^ к=*-
-0,1,...
4.77. n,-f ... ~{-пт=*п, р_. — ... »= рт*= р,
ft—i
4.78. б) А- Д] fBnj/k)e-2nimVkt 4.79. 11/27, 1/9.
4.82. Р
Р {цп < и/2)} < B Ур A - р))п, р>1/2.
4.84. p
в> *D-совт
)о/, 1Н (IM<), (И^).
, 4.88. Мт)«0 при 2Лаа<1, Мт) ие определено при 2Ао2>1;
2 •
при 4Лая>1.
Dri=7j2чз/2
4.89. Является. 4.90. Якляотся. 4.91. а)/б) Является. 4.92. Не
следует. 4.93. Изменится. 4.95. Равенство верно, если М||| < оо.
4.98. а), б), е), з) Являются; б), г),, д), ж) не являются.
4.99. а) 0, «2/3; б) 0, 7/6; в) 1, 1/6; г) 0, я2 (l + 2 "|/2)/4j
4.100. а) 1-•-*'*(* >0), 1_
296
б) AЫ)^' = A +4>Г« МР (^ "Ctg 4
( + ) ( — 2).
4Л01' (i»)» " (l
() +V
4.102. Нормальное распределение, М? = (а, с), 0% = (г, Be),
4.103. Многомерное нормальное распределение в Rm с вектором
математических ожиданий Са и матрицей ковариаций С#
v— знак транспонирования.
4.114. М(ц.(п, ЛГ, *))[Ч- ' К" »>'. Функция /, {п) -
»=М[д,|(п, TV, 5) прн любом < «48,0, 1, ..., s имеет единственный
максимум в точке nQ =* Ni и монотонна слева и справа от п •
При фиксированных t и s
n
4.115, —5Г- 2 (*- *)т~кся^ь(с1
4.117* Мр, (п, ^) = Crn (N ~ i)n'r
4.119. Распределение произведения ?j?2> где случайные величть
ньг 5i и ?з независимы и имеют распределение Пуассона с парамет-
параметром X.
4.120. п^790. 4.121. (—74,36-10-"», 74,36.10-"»).
4.122. a) Um МЛп».ехр(^-1в2г}, lim Dr\n^eln%z (eln%z~~l)\
б) a — 0, o2 =» -j In2 2;
в) Mt] = exp J-^-In8 zL Dt] ¦>« exp|-^-lna ajfexp lyln2 2J — t],
4.123. a) MTiiooo = l,0251000 » 5,295-1010, D^iooo » 7,6899- iO4If
0, l 28965 б Ф 32 Ф
) i , ,, ^
Mlntii000 == 0, Dlnriiooo » 24,8965; б) Ф (—1,384) да 0,0832, Ф @)
^0,5, Ф@) «=«0,5, ФB,769) да 0,9972; в) 0,5126..., 0,4873...
4.124. а) Мтцом — 1, От]10М ** 1,06251000- 1 « 2,1327- 10й,
MlnT]1000 ж —32,2693, DlnTiiooQ « 65,2357; б) Ф(—1,7064) ^ 0,0440,
Ф(О,О633) да 0,5252, Ф( 1,9996) да 0,9772; Ф@,0633) да 0,5252,
в) 0,5126..., 0,5378...
4.125. б) Ф(х). 4.126. Mgi « M|*6j = 0 (i ф ))t МД - 1/n.
4.127. р2 =|J + ...-f In, т. е. р2 имеет х2-Распределение сп
степенями свободы, Мр2 = n, Dp2 «2r. 4.129. Ф(х).
4.130. п ^ ЙЛ п[ 2 af^i — -2 a«M ; стандартное нор-
мальное распределение.
297
'¦ Ш. а) Mrfa = 3a, D^fe=362, cov(r|*,
«= b2, t-ov(Tifc, r\i) = 0 < {Л; — l\ >3), б) Ф(аг/У3).
4.132. ф(аг). 4.133. а) ж = p/(l — p). 4.135. Стаидартное нормаль-
нормальное распределение.
4.136. М?(п> = 0, D^n) = 1; при п-+ оо распределение Пп схо-
сходится к стандартному нормальному распределению.
4.137. Распределение разности двух независимых случайных
величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона с па-
параметром 1/2:
ml
4.138. а) 2 Pi"'. S рГЧ1-^): в> Распределение
1-1 1*1
tio — т| , где г)о и л^ независимы и имеют распределения Пуас-
Пуассона с параметрами % и % соответственно.
4.139. Fn{z)->a+(\ — a) {i — e~mx) (^>0), если 1 — dnAn ->¦
¦+ m е @, оо), ап ->- а ^ 1 при п ->¦ оо.
4.143. а) М,т ^1J A
'{'-> v, - vi} =
-) Д {A - -f)/(i - "Ж -
б) 2~Г.
4.144. Распределение Пуассона с параметром Х/2.
4.145. MVm-(l + g(l))^ln ^т, Dvm = A + о A)) ЛГ X
К Hv? — ln "л?
тп
стандартное нормальноо распределение.
4.146. pj = \_z% i = i, ..., N. 4.147. См. решение.
4.150. fn+uN (ж) - fntN (z) + —^- -g- /пл (г).
4.152. *xp{-C|(|a}.
4.154. a) 1-/@ — (l-isgnf)yi(l + o(l)), *-*0, где sgnf
/U| (t&O). 6) a = 2; g(() = exp{—A —
4.156. Распределение Коши с параметром пр@).
4.157. м."^1+6») *e>
Глава 5
k
5.1. Mt!(«a, ОЛ(-а22 cj, cov(t)(,л.)
При U-(|<fc, cov (r\t, x\s) == 0 при I s — * I > к.
5.2. б) Сходится, 5.8. б) Сходится, 5.4. Mgi=a 0t DS(«. а2 -^
4-4» cov (Jt,S,) --у ^^ <'-*>'"*'• Б'5' Mh = °> Dw«l.
cov(|t, l8) — f(cos(r — i) + cQsn(s— i)). 5.6. рц (x) - max {0,
i-U-el).
5.7. a) Нормальное распределение с параметрами @/1/2);
б) 8П и уп независимы, vn имеет равномерное распределеаяс на
1-я, я], Ига P{6n<^}-l-e-*Z (*>0).
(
5.8. Мт)( - 0, Dtif - 2 j (* — и) Д (в) du, cov (тц. Пв) ™= -j (°Л^
5.9. a) ^l+?jf ff>0; б) 1-6хр|-А(я2-^)},
в)
5.10. a) Mtj-n-y, Мт2-2; б) *Ы
в) Mtf = мт2«в -. а.
5.11. Распределеиие Коти с плотностью р. (ж) =—г——sr
Я A + г )
Б.12. М^ а 1 -|- л 2arct8 ЙЛ/7) = B +о A)) ТА/я. t^oo
5.15. М^(х)«0, DJn(*)-—з j* A*1*1), cov (?„(*
5.18. б) (l-Vl-4*p(i-p))/Bp);E)(l-Vri-4s2p(l-Pn))/BSp).
5.19. Р {^ = — оо} «< 1, если ф5 A) «1, Р {(л = — А;) =
(l-<P±(i))<P?(l). * —0, 1 если <р1A)<1. 5.22. М|рп|^
и, D| pn |2 == 2п (и— l)/d. 5.27. В указанных случаях Mv = оо.
5.33. а) ХЦ б) АA)« Гх(^)^ц. 5.35. Mtft=l, Dt^ = *
5.36. a) ^(x^ ...,^) = Xfc* *A, если 0<*
P(^j, ...,жА) = 0 в остальных случаях; б) 47 4-1
1 _ f (я ^ Г); в) .1.
ХГ+1 Г
299
5.37. p (xv ,.., xk) = ft! T~kt если 0 < ^ < ... < xh < yf
/>(# ,..,,jrfe) = O в противном случае; q {ж , ..., xh^=p(x ,.. .,#fe)«
6.38. ХГ*"^. 5-39. Х7>~2*"Л.
5.40. а) Пуассоновский поток на [0, оо) о интенсивностью 2Xt
б) 0h независимы, Р {0fe = -f 1} = Р {9fe = — 1} «* 1/2. 5.41. Хр.
Б.42. X (х)Р (ж). 5.43. Распределение Пуассона о параметром
, 5.44. / (*) - ехр - X f A - О (х)),
l о
5.45. а) Пуассоновский поток на [0, оо) с интенсивностью
5.46. а) Пуассоновский потон на [0, оо) с интенсивностью
2
б) рп (х) = Fu v ^ 7 ; в-«лля /а (я ^ 0), Мрп
Г(п+1/3)..:
Г(п) I/
5.47. a) p(as) i= max{0, 1— |1 — х|}, б) pi(xu ^2) =Ч
тах{1- [1 — xi\ — |1 — (Г2|, 0} при 0 < «h х2 < 2, A —«0 X
A — #2) ^ 0, pt(«i, з:2) = max{0, min{a:i, х2, 2 — xi, 2 — х2}} при
^ а:[ л2 ¦ё 2, A — ^i) A — х-Л ^ 0, pi(^i, #2) = 0 в остальных слу-
случаях; в) 5/6; г) 1/4; д) Мк = 7/12, Ох =» 23/144, д(х) =* 1 — ж2/2 при
0<*<1, «(«) — B — х)У2 при 1 <а:<2, ff(a:) = 0 при
5.48. а) 0-к(#>О), б) Г^^^.^^О), в) 2/е ^ 0,73576,
Г) A _ e-iJ ^ 0,39958, д) Ми « 1, D« =» 1, § (ж) =» е~к (ж > 0).
5.49. а) Периодическая с периодом 6 (детерминированная), со-
втоянЕЯ —6, . 4., —1 несущественные, остальные — сообщающиеся;
Щ периодическая Ф периодом 6, все состояния сообщающиеся;
i) иепердодическая| состояние —6 несущественное, остальные —
сообщающиеся.
5.50. а) @,885, 0,836, 0,279)} б) A6/47, 17/47, 14/47).
fa
/U 10/11,
t-{-m i-\-m f—m
5.52. Р{л( =sm}=CB p 2 q 2, если t — m четно, | т \ < t,
P h\t =. m\ =¦» 0, если i—m нечетно или 1т[>г.
5.53. а) Нет, если р Ф q, да, если р = g = 1/2; б) да, ри =
'•ят Р-1, -1 =*¦ Р» Pi, -i = Р-1.1 = 1 — Р! в) да, ри = Р2з = Рп —
"= />43 = 1 — Р» Pl2 = Р24 «= Р32 = Р44 = Р-
5.54. P{fio(n + 1) = к\\ю(п) = ft} = fcAV, Р{(ло(п+ 1) = ft-
— l|Me(n) =ft} -о (N-k)/N.
5.55. Р {Ио (п + 1) ^ ft - /1 ^ („) = к) = ^-гС^_,/С^.
300
5.56. а) ри «= р +(? -ир)№ pi. *-i — pW Pi. w~ Q(N — ()/#«
pti = о, если |f — f\ > 1; in — цепь Маркова; б) nh = ChNi^~hqkt
A = 0, ... JV.
5.57. a) pa те же, что в задаче 5.56, In — цепь Маркова при
N = 1 и не цепь Маркова при N > 2; б) лй = С^р'ч'~/г.;\ А- =
«0 JV.
5.60. Является. 5.62. 1/6.
5.63. а) Р{т = &!?„ = 1} = A — Ри) р\~х, к=\,2% ...;-б)отпет
не изменится. 5.64. lim P{'
6.65. s\l~
1 - A - е2) . .
5.66. Распределение |п ^- биномиальное с параметрами (и, р);
6.67. а)
б) Мт
5.70. ¦ 1; 4; 9. 5.73. n^ = (l-
15 18 8
T 41' 4l
138 52
5.77. a) {1,2}; 6) -^ = 1,42268 ...; в) pf> = щ -0,5360 ...,
40
pW = - = o,4123 ..., pf > = 1 - Py»), / = 1, 2; г) ^ «= я2 = О,
92 46 51
л3 = 291 = 0,3161 -.., «4 « 291 = 0,1580.,,«,« ^=194= 0,2628 ...
301
5.78. ^+1) = Pi"> A - а~») + Pil>-ft+1, Ма6" = „ (а-
582
а — еЛ _ ft = 1 — п .
5.85. a) M6i = 1 + j, D6 . = ^ B - а - Р), М <S0|S0=
D
{8 и =2}^
о / 1
5.87. Не следует. 5.88. j ег [1 ~ ^nj- 5-89- a)
б) ^-1п2; в) Рп@ = а«-а1"
5-92. ™х @ =5
W2
л3 = - i о, П2«1 —nf —л3. 5.95. в) Если Э<1,, то я^
= ej(l-G), если е> 1, то я* -(9-l)/ei+1t / = 0,1, ...
Глава 6
6.1. Ms2 = а2; / — состоятельпая оценка а2. 6.2. №тг = аг1
r- ^-2f. 6.3. а*
...+а~2). 6.4. Является. 6.5. Ф(х). 6.7.
S02
6.8. р*-в„ I/ ?—bi ?-i, p* + Brt I/ *- ""^ ™
7(
p* S цп/л, 1— Ф (ua) = a. 6.12. X* = — ^ #ft, оценка соотоятель-
ная и иесмещеннаягМд,* » а,, DA* = Л/и.
6.14. а) а*=а, Ъ* =Ъ, с* = с, где а, 6, с—средние арифмети-
арифметические по соответствующим выборкам; Ma* = a, Mb* = 6, Me* *= of
+ce^a-s)*!, iw ч-^г/^ ^=^/°2. *г=о»/^.
a| + o\\ Ma** = a, Mb** = b, Me** » e, Da** =.
,15* a), 6) a* - a** = ( 2 vf^U B) M«? = ai» D< = <*?/n.
6.16. a) ej- i
Tfc-i/(i"p{). rc-S^ г1-2рл. A-r;-rji
ft
6.17. a)a? =
«.r-12 ^-»«><-B r^r.^'-i-
h-i yk^i1 Pa/
U8. a) a, 1/j... j/3(*)ife1...<ten-aa\;
B) [in
6.19.
— и —
n ay
ci ~~ -г
01
i '
, 1 = 1,.
, где i — ¦
i, ил = ^
*(««) =
a.
303
6.20. a) e=(*i + »8+(i + p)ea)/CH-p)l Oz = A -f p)/C
6) * = (Zl-M2)/2, Dz-0; &) * = Vi + Va + T V ^
yj Dz-1/2.
6.21. a) A*n=
6.22/ a) <«
G.23. i4»=(
n
6.24. См. ответ к задаче 6.23. 6.25. /?, p A — p)/n«
6.26. Pl^p(i-p)^f-. 6.27. a) 1-t»; 6I.
6.28. Mnn=l/,V, Drin = 2/(a2iV3)-f О A/iV4), в/ЛГ-»-ае@( oo),
6.29. Ma* = a-f F — a)/(n + 1),
п
6.30. MzA) = l/(an), DzA) = l/(cmJ, M*(n) « I V * d^-,
ft-i
n
6.31. a) Me* = Me* = (a + 6)/2, D6* « (Ь- аJ/A2и), De* =
1
1
+
6.32. Является; Me* = c, Dc* = -j. 6.33. Мд « 1 м, Мд*
1,0833 м, /м(а-аJ = 1 м, /м (а* - аJ -0,8706 м.
6.34. б) м (/N - /)»= 2 с^ ( V
304
6.37. Чя - ( S *„) к 6.38. nn - | h (In
где lk — число величин ж^, равных к,
6.39, а) С-пя^ + Иа^Уп; б) »eai +"^ae (a«
6.40. в1-*-\ ee-
о
6.41. а) Я,* = тп/п; б) X, Х2/«.
6.42. а) CT_i_ fti ^ 6} является.
ТАБЛИЦЫ
Нормальное распределение
Таблица 1. Значения функции Ф (х)
X
0,0
0,1
о,^-
0,3
ои
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1.4
1,5
1,6
1*7
1,8
1,9
2,0
2Д
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
8,0
0
0,0000
398
793
0,1179
554
915
0,2257
580
881
0,3159
413
643
849
0,4032
192
332
452
554
641
713
0,4772
821
861
893
918
938
953
965
974
981
987
i
0,0040
438
832
0,1217
591
950
0,2291
611
910
0,3186
437
665
869
0,4049
207
345
463
564
649
719
0,4778
826
864
896
920
940
955
966
975
982
987
Сотые доли
2
0,0080
478
871
0,1255
628
985
0,2324
642
939
0,3212
461
686
888
0,4066
222
357
474
573
656
726
0,4783
830
868
898
922
941
956
967
976
982
987
3
0,0120
517
910
0,1293
664
0,2019
357
673
967
0,3238
485
708
907
0,4082
236
370
484
582
664
732
0,4788
834
871
901
925
943
957
968
977
983
988
4
0,0160
557
948
0,1331
700
0,2054
389
703
995
0,3264
508
729
925
0,4099
251
382
495
591
671
738
0,4793
838
875
904
927
945
959
969
977
984
988
Таблица 2. Значения функции иа
оо
1 Г
Функция иа определяется равенством а = - >— \ е~
а
иа
0,001
3,0902
0,005
2,5758
0,010
2,3263
0,01е)
2,1701
0,020
2,0537
иа
0
1
,025
,960A
306
Сотыр доли
5
0,0200
596
987
0,1368
736
0,2088
422
734
0,3023
289
531
749
944
0,4115
265
394
505
599
678
744
0,4798
842
878
906
929
946
960
970
978
984
'989
в
0,0239
636
0,1026
406
772
0,2123
454
7G4
0,3051
315
554
770
- 962
0,4131
279
406
515
608
686
750
0,4803
846
881
909
931
948
961
971
979
985
989
7
.0,0279
675
0,1064
443
808
0,2157
486
794
0,3078
340
577
790
980
0,4147
292
418
525
616
693
756
0,4808
850
884
911
932
949
962
972
979
985
989
8
0,0319
714
0,1103
480
844
0,2100
517
823
0,3106
365
599
810
997 .
0,4102
306
429
535
025
В99
761
0,4812
854
887
913
934
951
963
973
980
985
990
9
0,0359
753
0,1141
517
879
0,2224
549
852
0,3133
389
621
830
0,4015
0,4177
319
441
545
633
706
767
0,4817
857
890
916
936
952
964
974
981
986
990
X
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,3
1 *У
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2J7
2,8
2,9
3,0
а | 0,030 0,035 0,040 0,045
0,050
1,8808 1,8119 1,7507 1,6954 1,6449
20*
307
Распределение Пуассона
Таблица 3- Значения функции pkCk)
~%
0
1
2
3
4
5
6
¦ч. >-
h ^ч
0
1
2
3
4
5
б
7
0
1
2
3
4
5
б
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17.
од
0,90484
0,09048
0,00452
0,00015
0,2
0,81873
0,10375
0,01638
0,00109
0,00006
0,6
0,54881
0,32929
0,09879
0,01976
0,00296
0,00036
0,00004
1,0
0,36788
0,36788
0,18394
0,06131
0,01533
0,00307
0,00051
0,00007
0,00001
0,3
0,74082
0,22225
0,03334
0,00333
0,00025
0,00002
0,7
0,49659
0,34761
0,12166
0,02839
0,00497
0,00070
0,00008
0,00001
2,0
0,13534
0,27067
0,27067
0,18045
0,09022
0,03609
0,01203
0,00344
0,00086
0,00019
0,00004
0,00001
8,0
0,04979
0,14936
0,22404
0,22404
0,16803
0,10082
0,05041
0,02160
0,00810
0,00270
0,00081
0,00022
0,00006
0,00001
0*4
0,67032
0,26813
0,05363
0,00715
0,00072
0,00006
0,8
0,44933
0,35946
0,14379
0,03834
0,00767
0,00123
0,00016
0,00002
4,0
0,01832
0,07326
0,14653
0,19537
0,19537
0,15629
0,10419
0,05954
0,02977
0,01323
0,00529
0,00193
0,00064
0,00020
0,00006
0,00002
0,В
0,60653
0,30327
0,07582
0,01264
0,00158
0,00016
0,00001
0,9
0,40657
0,36591
0,16466
0,04940
0,01112
0,00200
0,00030
0,00004
5,0
0,00674
0,03369
0,08422
0,14037
0,17547
0,17547
Q.14622
0,10445
0,06528
0,03627
0,01813
0,00824
0,00343
0,00132
0,00047
0,00016
0,00005
0,00001
803
Распределение Стьюдента
Таблица 4. Значения функции ia n
Функция ta n определяется равенством
где случайная величина тп имеет распределение Стьюдента с п степе-
степенями свободы. Плотность распределения тп равна
+ 1
1-г —
п
^^^ 2а
п ^***
б
6
7
8
9
10
12 -
14
16
18
20
22
30
оо
0,10
2,015
1,943
1,895
1,860
1,833
1,812
1,782
1,761
1,746
1,734
1,725
1,717
1,697
1,645
0,05
2,571
2.447
2,365
2,306
2,262
2,228
2,179
2,145
2,120
2,101
2,086
2,074
2,042
. 1,960
0,02
3,365
3,143
2,998
2,896
2,821
2,764
2,681
2,624
2,583
2,552
2,528
2,508
2,457
2,326
0,01
4,032
8,707
3,499
3,355
8,250
3,169
8,055
?,977
2,921
2,878
2,845
2,819
2,750
2,576
309
X -распределение
Таблица 5. Значения функции Х^>
Функция
определяется равенством
где случайная величина х^ имеет ^-распределение о т степеня-
ми свободы. Плотность распределения /^ равна
т я
1 "*~^ ~~л
р * (ж)
(т)
2ТП/2
S. а
m ^ч
1
2
3
4
5
б
7
3
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,10
2,7
4,6
6,3
7,8
9,2
10,6
12,0
13,4
14,7
16,0
17,3
18,5
19,8
21,1
22,3
23,5
24,8
26.0
27,2
28,4
29,6
30,8
32,0
33,2
34,4
0,05
3,8
6,0
7,8
9,5
11,1
12,6
14,1
15,5
16,9
18,3
19,7
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
0,02
5,4
7,8
9,8
11,7
13,4
15,0
16,6
18,2
19,7'
21,2
22,6
24,1
25,5
26,9'
28,3
29,6
31,0
32,3
33,7
35,0
36,3
37,7
39,0
40,3
41,6
0,01
6,6
9,2
11,3
13,3
15,1
16,8
18,5
20,1
21,7
23,2
24,7
26,2
27,7
29,1
80,6
32,0
33,4
84,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
0,005
7,9
11,6
12,8
14,9
16,3
18,6
20,3
21,9
23,6
25,2
26,8
28,3
29,8
31
32,5
34
35,5
37
38,5
40
41,5
42,5
44,0
45,5
47
310
Случайные числа
Таблица 6. Равномерно распределенные случайные числа
Приведенные в таблице цифры можно рассматривать как реали-
реализации независимых случайных величин, принимающих значения
0,1, ...,9 с одной я той же вероятностью, равной 0,1.
10
37
08
99
12
80
20
15
88
98
34
45
02
05
03
11
23
18
S3
35
22
50
13
36
91
65
80
74
69
09
73
21
45
76
96
68
26
85
И
16
09
54
42
01
80
95
63
95
67
95
07
57
05
32
52
19
40
62
49
27
10
72
74
76
82
48
12
35
91
89
03
11
52
62
29
47
94
15
10
50
73
20
26
90
79
90
61
33
67
11
27
18
16
54
96
92
30
38
12
38
94
56
67
66
60
И
43
09
62
32
95
57
16
11
77
92
03
74
00
53
25
48
89
25
99
91
04
47
43
68
68
24
56
70
47
91
97
85
56
84
05
82
00
79
89
76
56
98
68
05
71
82
42
39
88
76
68
79
20
44
33
05
53
29
70
17
02
64
97
77
50
06
92
48
78
70
32
79
24
35
58
48
78
51
28
74
35
17
03
05
86
53
37
90
22
86
58
54
40
84
76
64
19
09
80
39
00
35
04
12
36
35
68
90
35
98
11
83
88
99
60
29
18
90
93
17
17
77
66
14
40
14
96
94
54
46
10
32
12
40
52
89
64
37
15
29
82
08
43
17
69
30
66
55
80
52
80
45
68
59
97
40
47
36
78
46
72
40
25
22
21
38
28
40
38
16
29
97
86
21
01
47
50
07
73
27
29
03
62
17
73
34
57
35
83
01
50
29
54
46
09
52
54
47
56
85
70
27
22
56
81
55
60
05
21
28
73
92
07
95
35
42
93
07
61
49
16
36
76
68
61
26
48
75
42
77
54
96
02
73
34
42
06
64
13
09
80
72
91
85
65
37
26
64
45
35
41
65
46
25
86
96
03
15
47
45
65
06
59
33
70
14
18
48
82
07
¦м
34
00
48
33
01
10
93
68
50
15
14
48
14
44
63
55
18
98
54
35
75
97
63
34
24
23
38
G4
66
31
85
63
73
65
86
73
28
60
14
39
(»6
86
87
50
52
68
29
23
58
45
43
36
46
91
80
44
12
63
94
53
57
96
43
67
80
20
31
03
06
06
26
57
79
81
79
05
46
93
90
80
28
50
51
50
77
71
60
47
04
31
23
93
42
49
33
10
55
60
75
14
60
64
65
35
52
90
13
23
57
01
97
33
64
33
90
38
82
52
56
82
89
75
76
07
56
17
91
83
77
82
60
68
75
91
69
48
07
64
08
03
04
48
17
48
40
25
И
66
47
08
76
21
57
98
74
52
87
03
86
77
80
84
49
39
78
78
10
41
69
23
02
72
67
45
45
19
37
93
99
33
08
94
70
76
37
60
65
53
17
05
02
35
53
85
39
47
09
44
07
32
83
01
СУ
. 98
51
17
62
13
74
74
10
03
88
23
98
49
42
29
23
40
81
39
82
311
Таблица 7. Нормально распределенные случайные числа
Приведенные в таблице 7 числа можно рассматривать как реали»
аации независимых, случайншг величин, имеющих нормальное рас
прецеление о параметрами а «¦ 0, о*=» 1.
0,464
0,060
1,486
1,022
1.394
0,006
1.179
— 1,501
—0.690
1,372
-0,482
-1,376
—1,010
—0,005
1,393
—1,787
—0,105
—1,339
1,041
0,279
—1,805
—1,186
0,658
•р-0,439
—1,399
0,199
0,159
2,273
0,041
-1,132
0,768
0,375
—0,513
0,29Й
1,026
—1,834
—0,287
0,161
—1,346
1,250
0,137
-2,256
-0,354
—0,472
—0,555
—0,513
-1,055
—0,488
0,756
0,225
1,678
—1,150
0,598
-0,899
—1,163
—0,261
—0,357
1,827
0,535
—2,056
—2,008
1,180
—1,141
0,358
—0,230
0,208
6,272
0,606
-0,307
—2,098
0,079
—1,658
—0,344
—0,521
2,990
1,278
—0,144
—0,886
0,193
-0,199
2,455
—0,531
—0.634
1,279
0,046
—0,525
0,007
—0,162
—4,618
0,378
-0,057
4,356
-0,918
0,012
—0,911
4,237
-4,384
—0,959
0,731
0,717
—1,633
1,114
1,151
—1,939
0,385
—1,083
—0,313
0,606
0,121
0,921
-1,473
—0,851
0,210
1,266
—0,574
—0,568
—0,254
—0,921
—1,202
—0,288
—0,323
-0,194
0,697
3,521
0,321
0,595
0,769
—0,138
—0,345
0,761
—1,229
-0,561
1,598
—0,725
1,231
1,046
0,360
0,424
1,377
-0,873
0,542
0t882
—1,210
0,891
-0,649
—0,219
0,084
—0,747
Q,790
0,145
0,034
0,234
—0,736
— l,2Ufi
—0,491
—0,109
0,574
—0,509
0,394
1,810
-0,068
0,543
0,926
0,571
2,945
0,881
0,971
1,033
—0,511
0,181
*-0,486
—0,256
О,0В5
1,147
—0,199
—0,508
-0,992
0,969
0,983
-1,096
0,250
1,265
—0,927
-0,227
-0,577
-0,291
-2,828
0,347
—0,584
0,446
-2,127
—0,656
1,041
—0,899
-1,114
—0,545
-0,451
1,410
—1,045
1,378
0,296
-1,558
1,375
—1,851
1,974
—0,934
0,712
0,203
—2,051
—0,736
0,856
—0,212
0,415
—0,121
—0,246
—1,630
—0,116
-1,141
-1,330
—1,396
—0,202
0,425
0,602
0,237
1,221
—0,439
1,291
0,541
-1,661
0,665
0,340
0,008
0,110
1,297
—0,566
—1,181
—0,518
0,843
0,584
-0,288
0,187
0,785
0,194
—0,258
1,579
4.090
0,448
—0,457
0,960
«•0,491
0,219
—0,169
1,096
1,239
-0,146
—1,698
—1,041
1,620
1,047
0,032
0,151
0,290
0,873
—0,289
1,119
—0,792
0,063
0,484
1,045
0,084
—0,086
0,427
-0,528
—1,433
2,923
—1,190
0,192
0,942
1,216
1,298 '
-1,190.
«-0,963
1Д92
0,412
0,161
-0,631
0,743
—0,218
—1,530
—1,983
0,779
0,313
0,181
—2,574
—0,392
—2,832
0,362
—1,040
0,089
0,079
—0,376
—0,902
—0,437
0,513
0,004
—1,275
-1,793
—0,986
-1,363
-0,880
—0,158
—0,831
—0,813
—1,345
0,500
—0,318
—0,432
1,045
0,733
812
Продолжение табл. 7
0,630 —0,537 0,782 0,060 0,499 —0,431 1,705 1 164
0,375 —1,941 0,247 —0,491 0,665 —0,135 -0,145 —о'498
—1,420 0,489 —1,711 —1,186 0,754 —0,732 —0 080 1006
—0,151 —0,243 —0,430 —0,762 0,298 1,049 1.810 2 885
—0,309 0,531 0,416 —1,541 1,456 2,040 —O'l24 0,196
0,424 —0,444 0,593 0,993 —0,106 0,116 0 484 —1 272
0,593 0,658 —1.127 —1,407 —1.579 —l,filfi Глад t 9G2
0,862 —0,885 —0,142 —0,504 0,532 1,3^1 0 022 —0 281
0,235 —0,628 —0,023 —0,463 —0,899 —0,394 —0,538 lYo7
—0,853 0,402 0,777 0,833 0,410 —0,349 —1,094 o',58O
0,241 —0,957 —1,885 —0,371 —2,830 —0,238 —0 627 0 561
0,022 0,525 —0,255 —0,702 0,953 —0,869 —1 108 —2 357
—0,853 —1,865 —0,423 —0,432 —0.973 —1,016 —1,726 l'O58
—0,501 —0,273 0,857 —0,465 —1,691 0,417 0,524 —0 281
0,439 —0,035 —0,260 0,120 —0.558 0,056 —0,573 0^932
0,471 -1,029 -2,015 -0,694 -0,579 0,551 0,359 0 326
—0,310 0,479 -^0,623 —1,047 —0,120 0,418 —0 094 1114
0,610 2,709 —0,699 -1,347 0,191 0,074 1501 1068
—0,220 -0,057 0,481 0,996 0,071 0,524 0,031 0 772
0,738 —0,300 —0,586 —1,023 —3,001 0,479 0,402 0,226
0,884 -0,298 1,006 1,097 -1,752 -0,329 -1,256 0 318
0,457 1,064 0,73$ -0,916 —0,291 0,085 1 701 —1 087
—0,798 0,162 -0,342 1,222 -0,933 0,130 0 674 o'8D9
—0,708 -0,129 —0,188 -1,153 -0,450 -0,244 0,072 l'c'8
0,023 -1,204 1,395 1,298 0,512 -0,882 0,490 -1ДL
1,531 0,349 -0,958 —0,059 0,415—1,084 . —0,856 -0 063
-0,443 -0,292 -0,248 -0,539 -1,382 0,318 -0,276 -l'llO
1,409 -0,883 -0,095 0,229 0,129 0,367 0 379 -0 446
1,730 -0,056 -1,488 -0,078 -2,361 -0,992 1 468 0*131
-0,266 0,757 -0,361 0,194 -1,078 0,529 - 805 -ОТО
ПРОГРАММНЫЕ ДАТЧИКИ
ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ
Теория вероятностей и математическая статистика
изучают свойства математических моделей случайных
явлений. Существование тех или иных свойств таких
моделей обосновывается, как и в других областях мате-
математики, строгими дедуктивными рассуждениями. Одна-
Однако поиск этих свойств может проводиться путем экспе-
экспериментов с математическими моделями. Для постановки
таких экспериментов необходимо иметь в своем распоря-
распоряжении последовательности чисел, которые, с той или
иной точки зрения, можно рассматривать как реализа-
реализации последовательности независимых случайных вели-
величин (см., например, задачи 6.9 — 6.11). Другой важной
областью практических применений таких последова-
последовательностей чисел являются методы Монте-Карло, про-
простейшие примеры которых содержатся в задачах 4.11
и 4.12.
В большинстве случаев необходимые для статистиче-
оких экспериментов последовательности чисел получа-
получаются с помощью ЭВМ. Существует много различных
программ, вырабатывающих детерминированные после-
последовательности чисел, которые имеют достаточно слож-
сложную нерегулярную структуру и поэтому во многом по-
похожи на последовательности случайных чисел. Чтобы
подчеркнуть принципиальное отличие этих детермини-
детерминированных последовательностей от «настоящих» случай-
случайных последовательностей, такие программу называют
датчиками псевдослучайных чисел.
Ниже приводится несколько датчиков псевдослучай-
псевдослучайных чисел для программируемого микрокалькулятора
«Электроника БЗ-34». Каждую из этих программ можно
использовать как подпрограмму, если заменить стоящую
314
в ее конце команду БП безусловного перехода к началу
командой В/О возврата из подпрограммы.
Для тех, кто владеет основами программирования, не
составит труда написать аналогичные программы для
других микрокалькуляторов или перевести их на какой-
нибудь язык программирования.
1. Псевдослучайные числа с равномерным распреде-
распределением на отрезке [0, 1].
Один из простейших способов построения последова-
последовательности Уо, 1?ь ^2, •.. псевдослучайных чисел из от-
отрезка [0, 1] с распределением, близким к равномерному,
дает рекуррентная формула
vn+l~{Kvn), n«0, 1, .,., A)
где {х} обозначает дробную долю числа х, а К — целое
число, определяющее свойства последовательности ivn}t
Чтобы последовательность {ип) имела достаточно боль-
большой период и не §ыла слишком регулярной, целесооб-*
разно выбирать в качестве К целое двузначное число,
дающее при делении на 8 остаток +3 или —3. Програм-
Программа А реализует преобразование A) числа yne@, 1),
находящегося на индикаторе и хранящегося в регистре
С (в случае, когда К =- 37).
Программа А
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
И
12
13
ПС
3
7
X
1
+
пд )
кипд I
XY
ипд
- J
с/п
БП
00 J
Вычисление vn = 37гп -f- 1в
Вычисление целой части [г*
Вычисление pn,j = {i>*} =
Выдача результата*
Переход к вычислению i7n+J
1 чжсла vn
< - К
Например, если перед началом работы программы
ввести на индикатор число vo = 0,1357913, то получим
последовательность 0,0242781, 0,8982897, 0,236719
0,758603,..
315
Если заменить в программе А число /? = 37 числом
К = 93, то получим другую последовательность псевдо-
псевдослучайных чисел: 0,628591, 0,458963, 0,683559,
0,570987,...
Приведем еще один датчик псевдослучайных чисел,
соответствующий рекуррентной формуле vn+[ =
•= Шу„ + я), п = 0, 1, ...; реализующая его программа
В отличается от программы А лишь несколькими пер-
первыми командами.
Программа В
00 ПС 07 КИПД
01 1 08 XY
02 1 09 ИПД
03 X 10 —
04 Frt 11 С/П
05 + 12 БП
06 ПД 13 00
Начиная работу программы В с того же числа ^о»
«0,1357913, получаем: 0,6352969, 0,129859, 0,5700416,
0,4120502,...
2. Псевдослучайные числа с равномерным распреде-
распределением на отрезке [а, Ь]у о равномерным, распределены-'
ем на множестве A, 2, ..., п) или с показательным рас-
распределением.
Датчик псевдослучайных чисел, имеющих равномер-
равномерное распределение на отрезке [0, 1], позволяет легко
получать последовательность псевдослучайных чисел,
Имеющих заданную функцию распределения F(x), если
обратная к пей функция F_i(i/)=- supix: F(x)^ у),
0 < у < 1, вычисляется достаточно просто (см. задачу
8.13). Например, если F(x) — функция равномерного
распределения на отрезке [а, Ь]% то F-i(y)*=* a + (b — а)у;
если F(x)— функция равномерного распределения на
множестве {1, 2, ..., n)J то F-\(y)*~ 1 + [пу]; если
р(х)= 1 — е~а* — функция показательного распределе-
распределения с параметром а, то F-\(y) ^ — а1пу.
Приведенные ниже программы С, D, В реализуют
указанные преобразования. Эти программы имеют общее
начало (команды 00—11) и используют регистр С для
Хранения текущего значения псевдослучайного числа,
имеющего равномерное распределение на отрезке [0, 1].
Перед пуском каждой из программ G — Ев регистр G
Следует заслать начальное значение Ро^(О, 1) датчика
псевдослучайных чисел,
813
В программе С (равномерное распределение на [я, Ь])
регистр А должен содержать значение at регистр В —
значение Ъ — а. В программе D (равномерное распреде-
распределение на {1, 2, ..., п)) регистр А должен содержать
значение п, В программе Е (показательное распределе-
распределение) регистр А должен содержать значение а.
Программы С — Е
00
01
02
03
04
05
06
G7
08
09
10
11
ипс
9
3
X
1
4-
пд
кипд
XY
ипд
—
ПС
12
13
14
15
16
17
18
С
ипв
X
ИПА
+
с/п
БП
00
12
13
14
15
10
17
18
19
20
21
D
ША
X
1
+
ПД
КИПД
ипд
с/п
БП
00
12
13
14
15
16
17
18
Е
Fin
-^
ИПА
ч-
с/п
БП
00
При одном и том же начальном значении vq —
*»0,1357913 (заполнении регистра С) эти программы
выдают следующие результаты:
С(а = —я, 6-я): 0,8079611, -0,2578431,...
D(n-12): 8, 6, 9, 7, 2, 6, 5, 4, 3,12,...
Е(сс- 1): 0,4642745, 0,7787857, 0,3804423,... ,
3. Псевдослучайные числа с нормальным распре-
распределением.
Для построения Последовательности псевдослучай-
псевдослучайных чисел с нормальным распределением метод, исполь-
использованный в п. 2, неудобен, потому что функция, обрат-
Бая к функции нормального распределения, вычисляется
сложно. Здесь можно использовать утверждение (ср. с
задачами 3.230 и 4.127): случайные величины \\ и |2
независимы и имеют стандартное нормальное распреде-
распределение тогда и только тогда, когда независимы случай-
случайные величины р2 == Й + й и ф = arg(g| + ih), причем
Поэтому если случайные величины vi и V2 независимы
и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1],
317
то случайные величины
cosBnvi)V— 2 In v2,
__ BУ
независимы и имеют стандартное нормальное распреде-
распределение с Mgi = М|2 = 0, D?i = DI2 в 1. Переход от слу-
случайной величины |, имеющей стандартное нормальное
распределение, к случайной величине т], имеющей нор-
нормальное распределение с параметрами Mrj => a, Dv\ =» о2,
осуществляется по формуле C.27) из вводной части
к гл. 3:
П = а + о|. C)
Программа F реализует преобразования B) и C) и
выдает псевдослучайные числа парами. Регистр А дол-
должен содержать значение а, регистр В — значение о, ре-
регистр С — начальное значение Vq e @, 1) датчика псев-
псевдослучайных чисел, содержимое регистра 9 перед нача-
началом работы должно быть равно 0.
Например, при а — 5 и о = 1 получаем, начиная о
щ = 0,1357913, последовательность 4,137646, 4,0978265,
4,5707727, 4,0322492, 5,9907414,...
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
И
12
13
БП
14
ИПС
9
3
X
1
+
пд
кипд
XY
ипд
в/о
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
1
ИП9
—
П9
Fx Ф0
42
ПП
02
ПС
пп
02
ИПС
Frt
X
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
П
2
X
П1
F соз
XY
ПС
Fin
Н
2
X
fV
П2
БП
45
р о г р а
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
м м a F
ИП1
Fsin
ИП2
X
ИПВ
X
ИПА
4-
с/п
БП
14
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Больше в Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической
статистики.— 3-е изд.— М.: Наука, 1983.—416 с.
2. Боровков А. А. Теория вероятностей.—2-е изд.—М.: Ппу-
ка, 1986.— 431 е.
3. Боровков А. А. Математическая статистика. Оценка пара-
параметров. Проверка гипотез.— М.: Наука, 1984.—472 с.
4. Йвченк-о Г. И., Медведев Ю. И. Математическая стати-
статистика.—М.: Высшая школа, 1984.— 248 с.
б. К о л м о г о р о в А. Н. Основные понятия теории вероятностей. —
2-е изд.— М.: Наука, 1974—Ш с.
6. Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функ-
функций и функционального анализа.— б-е изд.— М.: Наука. 1089.—
543 с.
7. К р а м е р Г. Математические методы статистики.— 2-е изд.:
Пер. с англ.—М.: Мир, 1976.—648 с.
8. Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г, Зодпчн
по теории вероятностей. Основные понятия. Предельные по-
ремы. Случайные процессы.— М.: Наука, 1986.— 327 с,
9. Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ,—М.; ИЛ,
1963.- 287 с. . ;'
40. Сев а етъ ян о в Б. А. Курс теории вероятностей в матомптм-
че^всой статистики.— М.: Наука, 1982.— 255 с.
11. Ф&лер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложо-
ни#в 2 т. Пер. « англ.— М.: Мир, 1984.—Т. 1,— 528 с; Т, 2.—
75%%.
12. Ч нет як о в В. П. Курс теории вероятностей.—3-е иэд.—М.:
На$ка, 1987.- 240 с.
13. Ширяев А. Н. Вероятность.—2-е изд.—М.; Наука, 1989.—
57#с.
Учебное издание
Зубков Андрей Михайлович
Севастьянов Борис Александрович
Чистяков Владимир Павлович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Заведующий редакцией А. П. Баева
Редактор Я. Е. Морозова
Художественный редактор Г. Н. Кольчеико
Технический редактор Е. В. Морозова
Корректор Я. Д. Дорохова
ИБ М 32828
Сдано в набор 17.05.88. Подписано к печати 11.08.89. Формам
84X108/32. Бумага книжно-журнальная. Гарнитура обыкно-
обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 16,8. Усл. кр.-отт. 16.8,
Уч.-изд. л. 19,85, Тираж 68 Ш экз. Заказ М 195. Цена i pyO,
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
WO077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25