Г. .ТОЛСТО J
• • к • •• ' •

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА ИНЖЕНЕРА
Г. П. ТОЛСТОВ
РЯДЫ ФУРЬЕ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ.
ИСПРАВЛЕННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1960

АННОТАЦИЯ
Настоящая книга посвящена изложению теории
рядов Фурье и их применению при решении задач*
математической физики.
Книга предназначается для студентов старших
курсов и аспирантов втузов, а также для
широких кругов инженеров, связанных с
исследовательской работой, и преподавателей втузов.
Толстое Георгий Павлович
Ряды Фурье
Редактор С. М. Полованкин.
Техн. редактор Е. А. Ермакова Корректор З.В. Моисеева
Сдано в набор 25/1 1960 г. Подписано к печати 25/1И i960 г. Бумага 84Х'08/,Я.
Физ. печ. л. 12,25. Условн. печ. л. 20,09. Уч.-изд. л. 19,07. Тираж 11000 вкз.
Т-01060. Цена книги 11 р. 55 к. Заказ № 320.
Государственное издательство физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградский Совет народного хозяйства. Управление полиграфической
промышленности. Типография Ш 1 „Печатный Двор" имени А. М, Горького.
Ленинград, Гатчинская, 26.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию 8
Предисловие ко второму изданию 10
Глава I. Тригонометрические ряды Фурье 11
§ 1. Периодические функции 11
§ 2. Гармоники 13
§ 3. Тригонометрические многочлены и ряды 17
§ 4. Уточнение терминологии. Интегрируемость.
Функциональные ряды 19
§ 5. Основная тригонометрическая система.
Ортогональность синусов и косинусов 22
§ 6. Ряд Фурье для функции периода 2п 24
§ 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
длины 2я 28
§ 8. Правый и левый пределы функции в точке. Точки
разрыва первого рода 30
§ 9. Гладкие и кусочно-гладкие функции 31
§ 10. Признак сходимости ряда Фурье 33
§ 11. Четные и нечетные функции 35
§ 12. Ряды по косинусам и ряды по синусам 36
§ 13. Примеры разложений в ряд Фурье 39
§ 14. Комплексная форма ряда Фурье 48
§ 15. Функции периода 2/ 51
Глава II. Ортогональные системы 59
§ 1. Определение. Нормированные системы 59
§ 2. Ряд Фурье по данной ортогональной системе 60
§ 3. Примеры простейших ортогональных систем 62
§ 4. Функции с интегрируемым квадратом. Неравенство
Буняковского 70
§ 5. Квадратичное уклонение; его минимум 72
§ 6. Неравенство Бесселя и его следствия 75
§ 7. Полные системы. Сходимость в среднем 75
§ 8. Важнейшие свойства полных систем 79
§ 9. Критерий полноты системы 81
§ 10*. Аналогия с векторами , 83
1*

ш
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава III. Сходимость тригонометрических рядов Фурье 87
§ 1. Неравенство Бесселя и его следствие 87
§ 2. Предел при л —со тригонометрических интегралов
b b
\f(x)cosnxdx и §f(x)s'mnxdx 88
а а
§ 3. Формула для суммы косинусов. Вспомогательные
интегралы 94
§ 4. Интегральная формула для частной суммы ряда
Фурье 95
§ 5. Правая и левая производные 96
§ 6. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье
в точке непрерывности функции 98
§ 7. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье
в точке разрыва функции 100
§ 8. Обобщение достаточных условий, установленных
в §§ 6 и 7 102
§ 9. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой функции
(непрерывной или разрывной) 103
§ 10. Абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье
непрерывной и кусочно-гладкой функции периода 2тс 104
§ 11. Равномерная сходимость ряда Фурье непрерывной
функции периода 2я, обладающей абсолютно
интегрируемой производной 107
§ 12. Обобщение результатов § 11 111
§ 13. Принцип локализации 115
§ 14. Примеры разложения в ряд Фурье неограниченных
функций 118
§ 15. Замечание о функциях периода 2/ 122
Глава IV. Тригонометрические ряды с убывающими
коэффициентами. Отыскание сумм некоторых рядов 123
§ 1. Лемма Абеля 123
§ 2. Формула для суммы синусов. Вспомогательные
неравенства 124
§ 3. Сходимость тригонометрических рядов с монотонно
убывающими коэффициентами 126
§ 4*. Некоторые следствия теорем § 3 ■. 129
§ 5. Применение функций комплексного переменного для
отыскания сумм некоторых тригонометрических рядов 133
§ 6. Уточнение результатов § 5. . . 136
Глава V. Полнота тригонометрической системы.
Операции с рядами Фурье 145
§ 1. Приближения функций тригонометрическими
многочленами 145
§ 2. Полнота тригонометрической системы 148
§ 3. Формула Ляпунова. Важнейшие следствия полноты
тригонометрической системы 149
§ 4*. Приближения функций многочленами 151
ОГЛАВЛЕНИВ б
§ 5. Сложение и вычитание рядов Фурье. Умножение
на число 154
§ 6*. Умножение рядов Фурье 155
§ 7. Интегрирование рядов Фурье ' 157
§ 8. Дифференцирование рядов Фурье. Случай
непрерывной функции периода 2тс 162
§ 9*. Дифференцирование рядов Фурье. Случай функции,
заданной на отрезке [—тс, тс] 166
§ 10*. Дифференцирование рядов Фурье. Случай функции,
заданной на отрезке [0, тс] 172
§ 11. Улучшение сходимости рядов Фурье 181
§ 12. Таблица некоторых тригонометрических разложений 186
§ 13. Приближенное вычисление коэффициентов Фурье 190
Глава VI. Суммирование тригонометрических рядов
Фурье 198
§ 1. Постановка задачи 198
§ 2. Способ средних арифметических 199
§ 3. Интегральная формула для среднего арифметического
частных сумм ряда Фурье 200
§ 4. Суммирование рядов Фурье способом средних
арифметических ... 202
§ 5. Способ степенных множителей 206
§ 6. Ядро Пуассона 207
§ 7. Применение способа степенных множителей к
суммированию рядов Фурье 209
Глава VII. Двойные тригонометрические ряды. Интеграл
Фурье. 218
§ 1. Ортогональные системы в случае двух переменных.
Ряды Фурье 218
§ 2. Основная тригонометрическая система в случае двух
переменных. Двойные тригонометрические ряды Фурье 220
§ 3. Интегральная формула для частных сумм двойного
тригонометрического ряда Фурье. Признак
сходимости 224
§ 4. Двойные ряды Фурье в случае функций с
различными периодами по х и по у 226
§ 5. Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье 227
§ 6. О несобственных интегралах, зависящих от параметра 230
§ 7. Две леммы 234
§ 8. Доказательство интегральной формулы Фурье.... 237
§ 9. Различные виды интегральной формулы Фурье . . . 238
§ 10*. Преобразование Фурье 240
§ 11*. Спектральная функция 244
Глава VIII. Бесселевы функции 246
§ 1. Уравнение Эйлера—Бесселя 246
§ 2. Бесселевы функции первого рода с
неотрицательным индексом 247

в
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. О Г-функции 251
§ 4. Бесселевы функции первого рода с отрицательным
индексом 252
§ 5. Общий интеграл уравнения Эйлера — Бесселя.... 254
§ 6. Бесселевы функции второго рода 254
§ 7. Соотношения между бесселевыми функциями с
различными индексами 256
§ 8. Бесселевы функции первого рода с индексом вида
2л+1
р = —п »п — целое 258
§ 9. Асимптотические формулы для бесселевых функ- «59
ций
§ 10. Корни бесселевых функций и функций,
связанных с ними 266
§ 11. Уравнение Эйлера — Бесселя с параметром 268
§ 12. Ортогональность функций вида Jp (Ал;) 269
i
§ 13. Вычисление интеграла С xJ* (Хлг) dx 272
о
1
§ 14*. Оценка интеграла §xJ*fix)dx 274
о
Глава IX. Ряды Фурье по бесселевым функциям 276
§ 1. Ряды Фурье — Бесселя 276
§ 2. Признаки сходимости рядов Фурье — Бесселя .... 277
§ 3*. Неравенство Бесселя и следствия из него 279
§ 4*. Порядок коэффициентов, обеспечивающий
равномерную сходимость ряда Фурье — Бесселя 282
§ 5*. Порядок коэффициентов Фурье — Бесселя для
дважды дифференцируемой функции 285
§ 6*. Порядок коэффициентов Фурье — Бесселя для
функции, дифференцируемой несколько раз 289
§ 7*. О почленном дифференцировании рядов Фурье —
Бесселя 292
§ 8. Ряды Фурье — Бесселя второго типа 296
§ 9*. Распространение результатов §§ 3—7 на ряды
Фурье — Бесселя второго типа 299
§ 10. Разложение в ряды Фурье — Бесселя функций,
заданных на отрезке [0,./] 302
Глава X. Метод собственных функций в решении
некоторых задач математической физики 306
§ 1. Сущность метода 306
§ 2. Обычная постановка краевой задачи 312
§ 3. О существовании собственных значений 313
§ 4. Собственные функции; их ортогональность...... 314
§ 5. О знаке собственных значений 317
§ 6. Ряды Фурье по собстренным функциям ,,,,.,., 318
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
§ 7. Всегда ли метод "собственных функций
действительно приводит к решению задачи? 322
§ 8. Обобщенное решение 326
§ 9. Неоднородная задача . • 330
§ 10. Заключение • . 333
Глава XI. Приложения 335
§ 1. Уравнение колеблющейся струны 335
§ 2. Свободные колебания струны 337
§ 3. Вынужденные колебания струны 341
§ 4. Уравнение продольных колебаний стержня 343
§ 5. Свободные колебания стержня 346
§ 6. Вынужденные колебания стержня 349
§ 7. Колебания прямоугольной мембраны 351
§ 8. Радиальные колебания круглой мембраны 358
§ 9. Колебания круглой мембраны (общий случай) .... 361
§ 10. Уравнение распространения тепла в стержне .... 367
§ 11. Распространение тепла в стержне, концы которого
поддерживаются при нулевой температуре 369
§ 12. Распространение тепла в стержне, концы которого
поддерживаются при постоянных температурах . . . 371
§ 13. Распространение тепла в стержне, концы которого
находятся при заданных переменных
температурах 372
§ 14. Распространение тепла в стержне, в концах
которого происходят свободный теплообмен с
окружающей средой 373
§ 15. Распространение тепла в бесконечном стержне. . . 378
§ 16. Распространение тепла в круглом цилиндре;
случай изолированной поверхности 384
§ 17. Распространение тепла в круглом цилиндре;
случай теплообмена с внешней средой на
поверхности 386
§ 18. Распространение тепла в круглом цилиндре;
случай установившейся температуры 387

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Задача книги — ввести читателя в теорию
тригонометрических рядов Фурье, дать начальные сведения по теории
общих и некоторых специальных ортогональных систем и
показать, как эти теории прилагаются к решению
практических задач.
Книга рассчитана на читателя, усвоившего курс
математического анализа в объеме обычной втузовской
программы. Однако для удобства читателя автор счел
полезным посвятить несколько параграфов (в разных местах)
напоминанию некоторых фактов из дифференциального и
интегрального исчислений.
Расположение материала подсказано педагогическими
соображениями — автору в течение нескольких лет
приходилось читать курс рядов Фурье во втузе.
Что касается содержания, то автор несколько нарушил
традицию и ввел в курс рядов Фурье, с одной стороны,
элементы теории бесселевых функций и рядов по
бесселевым функциям, с другой стороны, — элементы метода
собственных функций (включая понятие краевой задачи для
обыкновенного дифференциального уравнения) в
приложении к задачам математической физики. Автор нарушил
также традицию — либо доказывать теорему, либо молчать
о ней, и в отдельных случаях приводит формулировки без
доказательств. Это вызвано желанием не перегружать
книгу тонкими и длинными рассуждениями (которые порой
потребовали бы от читателя больше математических
познаний, чем вправе требовать автор) и вместе с тем все-таки
познакомить читателя с основными положениями теории.
В главе XI (приложения) автор ограничивается
задачами о колебаниях и по теплопроводности, считая, что
иллюстрация теории должна осуществляться, по крайней
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
9
мере на первых шагах, на явлениях по возможности
простых и в какой-то мере известных возможно более широкому
кругу читателей.
При создании этой книги автор использовал руководства:
И. И. Привалов, Ряды Фурье, 1934 г.
Д. Джексон, Ряды Фурье и ортогональные полиномы,
1948 г.
B. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 2, 1948 г.
Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и
интегрального исчисления, т. III, 1949 г.
Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции, 1935 г.
Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, ч. 1, 1949 г.
C. Л. Соболев, Уравнения математической физики, 1947.
И. И. Привалов, Интегральные уравнения, 1935 г.
Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической
физики, т. 1, 1931 г., т. 2, 1945 г.
X. С. Карслоу, Теория теплопроводности, 1945 г.
В книгах: Н. С. Кошляков, Основные
дифференциальные уравнения математической физики, 1936 г., А. Н.
Крылов, О некоторых дифференциальных уравнениях
математической физики, 1933 г., а также в упомянутых книгах
Привалова, Кузьмина и Карслоу интересующийся
читатель сможет найти большое число задач математической
физики, к которым с успехом прилагается изложенное
в настоящей книге.
Читателю, желающему более основательно
ознакомиться с теорией разложения функций в ряды по собственным
функциям, можно указать книгу: Б. М. Левитан,
Разложение по собственным функциям, 1950 г.
Разделы книги, которые можно пропустить без ущерба
для ее цельности, без которых читатель может
сознательно овладеть методами, нужными для практических
приложений (сюда относятся разделы, носящие характер
дополнительных сведений, характер расширения и углубления
основных сведений), в оглавлении и в тексте отмечены
звездочками.
За советы, использованные при составлении книги,
автор выражает благодарность В. Я. Козлову, Л. А. Ту-
маркину, А. И. Плеснер.
24 сентября 1950 г.
Г. Толстое

10
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Книга печатается без существенных изменений — сделаны
лишь мелкие улучшения и исправления. Для читателя,
желающего поскорее добраться до приложений, привожу
«упрощенный» вариант чтения книги: гл. I, гл. II, гл V
§§ 11—13, гл. VII § 5 и 9, гл. VIII, гл. IX §§ 1, 2, 8 и
10, гл. X, гл. XI.
3 января 1959 г.
Г. Толстое
ГЛАВА I
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. Периодические функции. Функция f(x) называется
периодической, если существует постоянное число Г^>0,
для которого
д* + г) =/(*), (l.i)
каково бы ни было х из области задания этой функции *).
Число Т с таким свойством называется периодом функцииf(x).
Наиболее известными периодическими функциями являются
Черт. I.
sin х, cos x, tg x,... С периодическими функциями
приходится иметь дело во многих приложениях математики к
задачам физики и техники.
Сумма, разность, произведение и частное функций
периода Т, очевидно, всегда дают функции того же периода.
Если мы построим график периодической функции
у =f(x) для какого-нибудь отрезка [а, а -\- Т] значений х,
то полный график этой функции получим периодическим
повторением построенного (черт. 1).
*) Подразумевается, что в область задания вместе с х входит
и число х -f- Т.

12 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Если 7 есть период функции f{x), то числа 27, 37,
47,... будут также периодами, что сразу вытекает из
рассмотрения графика периодической функции или из цепи
равенств
fix) =f(x -f 7) =f(x -f 27) =f(x 4-37) = ...*),
являющихся следствием многократного пользования
условием (1.1). Таким образом, если 7—период, то и всякое
Черт. 2.
число вида k Т, где k — целое положительное число, есть
также период, т. е. период, если он существует, всегда не
единственен. Отметим следующее свойство любой функции
f(x) периода 7.
Если f(x) интегрируема на некотором отрезке длины
Т, то она интегрируема на всяком другом отрезке той
же длины, и величина интеграла при этом неизменна,
т. е.
а + Т Ь+Т
\ f(x)dx= $f(x)dx (1.2)
при любых а и Ь.
Это свойство легко вытекает из интерпретации
интеграла как площади. Действительно, интеграл слагается из
площадей, заключенных между кривой y=f(x), крайними
ординатами и осью Ох, причем площади, лежащие над
осью Ох, берутся со знаком «-}-», а лежащие под осью
Ох, со знаком «— •». В нашем случае в силу периодич-
*) Рекомендуем читателю доказать, что наряду с этими
равенствами справедливы и такие:
/(*) =f(x - Т) =f(x - 27) =/(jc - 37) =...
§ 2]
ГАРМОНИКИ
13
ности f(x) эти площади оказываются одинаковыми для
обоих интегралов (1.2) (черт. 2).
В дальнейшем, когда мы будем говорить, что функция
периода 7 интегрируема, то будем под этим
подразумевать ее интегрируемость на отрезке длины 7, а значит,
и на любом отрезке конечной длины, как это легко
следует из только что установленного свойства.
§ 2. Гармоники. Простейшей, и в то же время очень
важной для приложений, является периодическая
функция у = A sin (<oJtr 4~ <p)i где A, to, <p — постоянные. Эту
функцию называют гармоникой с амплитудой \А\,
частотой to и начальной фазой <р. Гармоника имеет период
2я
7= — .Действительно, при любом х
A sin Г «о [х 4- -^) 4" 91 = А sin К*0-* + 9) + 2irl =
= .Asin(u)jc4-<p).
Происхождение наименований «амплитуда», «частота»,
«начальная фаза» связано со следующей задачей механики
о простейшем колебательном
движении — гармонических колеба- (J Г М
ниях. ! '*
Пусть материальная точка М г* s
с массой т движется по прямой
под действием силы F, пропор- Черт. 3.
циональной расстоянию s точки
М от фиксированной точки О и направленной к О (черт. 3).
Считая, как обычно, s]>0 справа от О и s<^0 слева
от О, т. е. задаваясь на прямой обычным положительным
направлением, находим F= — ks, где k— коэффициент
пропорциональности, k^>0. Следовательно,
■ d*s ,
т -тга = — ks
dt*
или
g + * = *
где положено <ю2 = -, откуда w
У т •

14
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Решением полученного дифференциального уравнения
(как легко проверить) будет функция s=A sin (о>/-{-<Р)>
где А и ср — постоянные, которые можно вычислить, зная
положение и скорость точки М в начальный момент, т. е.
в момент £ = 0. Мы получили гармонику. Таким образом,
s есть периодическая функция времени t с периодом
Т= —. Это означает, что под действием указанной силы
F точка М будет совершать колебательное движение.
Амплитуда | А | есть максимальное отклонение точки
М от О. Величина -= есть число колебаний в единицу
времени. Следовательно, w = -~ есть число колебаний за
отрезок времени длительностью в 2т: единиц (секунд,
например). Отсюда наименование «частота». Величина <р —
начальная фаза — характеризует положение точки М в
начальный момент, так как при t = 0 имеем: s0 = sin<j>.
Возвратимся к гармонике у = A sin (шх -{-¥)• ^ак
выглядит ее график? Будем считать ш]>0, так как в противном
случае знак минус мы могли бы вынести из-под знака sin.
В наиболее простом случае — при А = 1, а>=1, <р=0 — мы
получаем функцию y = sinx, т. е. обычную синусоиду
(черт. 4, а). При А = \, <о=1, {Р = о" мы получаем
косинусоиду у = cos х, график которой есть сдвинутый на
«- влево график синусоиды у = sin x.
Рассмотрим гармонику y = sinwx и положим <ax = z.
Получим y = s'mz. Мы пришли к обычной синусоиде.
Но х = —. Следовательно, график гармоники _у = sin tojcr
можно получить из графика обычной синусоиды с помощью
деформации последнего в направлении оси абсцисс. При
<ю^>1 деформация сводится к равномерному сжатию в to
раз, а при ш <^ 1 — к растяжению в — раз. На черт. 4, б
изображена гармоника у = sin Ъх с периодом Т=-^-.
о
Рассмотрим теперь гармонику у = sin (wje-|-?) и положим
wх "4~ *?== шг- График гармоники y = sinwz нам уже изве-
§ 2]
ГАРМОНИКИ
15
стен. Но x = z — -5-. Следовательно, график гармоники
со
у = sin (<ox-\-<f) получается из графика гармоники _y = sin to-xr
сдвигом на — -£- вдоль оси абсцисс. На черт. 4, в изобра-
Черт. 4.
жена гармоника у = sin (3 х -{- -w) с периодом Т=-^ и
начальной фазой (р = -^.
Наконец, график гармоники у== A sin (шаг —|— <р) получается
из графика гармоники у = sin {wx -j- <p) умножением всех ор-

16 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
динат на число А. На черт. 4, г изображена гармоника у =
= 2sin(3^+-j)-
Резюмируем сказанное: график всякой гармоники у==
A sin((ojc-j-(p) получается из графика обычной синусоиды
равномерным сжатием (или растяжением) в направлении
осей координат и сдвигом вдоль оси Ох.
Пользуясь известной формулой тригонометрии, напишем:
A sin (cdjc -\-(р) = А (cos iax sin <p -j- sin our cos <p).
Положив
a = Asin<p, b = Acostp, (2.1)
убедимся, что всякую гармонику можно представить в виде
a cos <ох -{- Ь sin wx. (2.2)
Обратно, всякая функция вида (2.2) есть гармоника.
Чтобы убедиться в этом, достаточно найти А и <р из уравнений
(2.1). При этом получим:
A = V<? + b\ sin9 = % = y=?=,
b b
COS Ф= -г = —-pz ■,
откуда <р легко находится.
В дальнейшем для гармоник мы будем пользоваться
записью вида (2.2). Эта запись для гармоники у =
= 2 sin (3je-{--?-)> изображенной на черт. 4, г, дает:
2 sin (Зх -}- ~\ = }/Y cos Sx -f- sin Sx.
Нам удобно будет также в (2.2) явно ввести период Т
следующим образом:
Положим Т=21. Тогда вследствие равенства Т= —
получим:
2тс я
§ 3] ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫ И РЯДЫ 17
и, следовательно, гармоника с периодом Г =2/ может быть
записана так:
a cos -у -j- b sin ~. (2.3)
§ 3. Тригонометрические многочлены и ряды. Зададимся
числом Г=2/ и рассмотрим гармоники
ak cos ^у ■+ ^* sin ^T (£ = 1,2,...) (3.1)
с частотами юл = — и периодами Гл =—=т" П°СК0ЛЬКУ
T—2l=kTk, постольку число Т=21 является периодом
для всех гармоник (3.1) сразу (так как период, умноженный
на целое число, опять дает период — см. § 1). Поэтому
всякая сумма вида
п
sn{x) = A-\- ^(oaCos — -j-^sin— J,
где А = const, будучи суммой функций периода 2/, есть
функция того же периода (прибавление постоянной, очевидно,
не нарушает периодичности; к тому же постоянную можно
рассматривать как функцию, для которой любое число
является периодом). Функцию s„(Jtr) будем называть
тригонометрическим многочленом порядка п (периода 21).
Тригонометрический многочлен хотя и слагается из
нескольких гармоник, но представляет собой вообще функцию
значительно более сложной природы, нежели простая
гармоника. Располагая значениями постоянных Л, at, bt, aa, bif...
..., ап, bn, мы можем образовывать функции y = sn(x)
с графиками, совсем непохожими на плавный и симметричный
график простой гармоники. На черт. 5 изображен график
тригонометрического многочлена
у = sin х -4- 2" sin 2х -f- j- sin Sx.
Сумма бесконечного тригонометрического ряда
оо
л+2Да*cos ~r+^*Sln ~rj
k=i

18 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
(если он сходится) представляет собой также функцию
периода 2/. Природа функций, являющихся суммами
таких тригонометрических рядов, еще более разнообразна.
Поэтому естествен вопрос: нельзя ли всякую заданную
функцию периода Т =2/ представить в виде суммы
тригонометрического ряда?
Мы увидим, что такое представление действительно
возможно для весьма широкого класса функций.
Черт. 5.
Пусть fix) принадлежит этому классу. Это значит,
что fix) может быть разложена в сумму гармоник,
т. е. в сумму функций очень простой структуры. График
функции y=f(x) получается «наложением» графиков гармоник.
Если трактовать каждую гармонику как простое
гармоническое колебание, a f(x) как характеристику сложного
колебательного движения, то последнее оказывается
разложенным на сумму отдельных гармонических колебаний.
Не нужно, однако, думать, что тригонометрические
ряды приложимы лишь к колебательным явлениям. Это
совсем не так. Понятие тригонометрического ряда
оказывается очень полезным и при изучении многих явлений
совсем иной природы.
Если
00
f{x) = А + 2 («* cos 5*5 + h sin^), (3.2)
то, положив -у = * или х= —, найдем для <р(0==/(~)
00
<р (0 = A -{- \ (flfe cos kt -f- bk sin kt). (3.3)
a = i
§ 4] УТОЧНЕНИЕ ТЕРМИНОЛОГИИ. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ 19
Гармоники этого ряда имеют общий период 2тс. Таким
образом, если для f(x) периода 2/ имеет место
разложение (3.2), то для функции <р (£)=/(-) периода 2тс имеет
место разложение (3.3). Справедливо, очевидно, и обратное
заключение. Именно, если для функции <р(0 периода 2тс
имеет место разложение . (3.3), то для функции
fix) = (f(T^-\ периода 2/ имеет место разложение (3.2).
Таким образом, достаточно уметь решать задачу
разложения в тригонометрический ряд для функций
«стандартного» периода 2тс. В этом случае к тому же и ряд
выглядит проще. Поэтому мы и будем строить теорию для
рядов вида (3.3) и лишь окончательные результаты будем
переводить на «язык» общих рядов (3.2).
§ 4. Уточнение терминологии. Интегрируемость.
Функциональные ряды. Уточним терминологию и
напомним некоторые сведения из дифференциального и
интегрального исчисления. Когда мы будем говорить, что
fix) интегрируема на отрезке [а, Ь], то будем иметь
в виду существование интеграла (хотя бы и
несобственного)
ь
\f(x)dx (4.1)
а
в элементарном смысле. Таким образом, интегрируемая
fix) у нас всегда либо непрерывна, либо имеет на
отрезке [а, Ь] конечное число точек разрыва, вблизи которых
функция может быть как ограниченной, так и
неограниченной.
В курсах интегрального исчисления доказывается, что
для функции с конечным числом разрывов из существования
интеграла
ь
\\f{x)\dx
а
всегда следует существование интеграла (4.1) (обратное
не всегда верно). При этом функцию fix) называют
абсолютно интегрируемой. Если fix) абсолютно интегрируема,

20 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
а <р (х) — ограниченная интегрируемая функция, то
произведение f(x) 9 С*0 абсолютно интегрируемо. Имеет место
также следующее правило интегрирования по частям:
Пусть f{x) и ср(лг) — непрерывные на [а, Ь] функции,
возможно лишенные производных в конечном числе точек,
причем предполагается, что f (х) и у'(х) абсолютно
интегрируемы*). Тогда
ъ ь
§f(x)<?'(x)dx = [f(x)<?(x))Xx2ba— § f(*)9(x)dx- (4-2)
а а
Известно: если функции /j (x), /а (х), ...,/„ (х)
интегрируемы на [а, Ь], то интегрируема и их сумма, причем
Ъ п п Ь
I [ 2л с*)] dx=2 \ /* <•*>dx- <4-з>
a k — \ k=\ a
Рассмотрим теперь бесконечный функциональный ряд
со
/i(*)+/.(*)+...+/*(*)+.-.=2fk(x)- (4-4)
Он называется сходящимся для данного значения X, если для
его частных сумм
п
s«(-*)=2! л с*) (л=1,2, ..о
ft = l
существует конечный предел
s(x)= \imsn(x).
п — со
Величина s(jc) называется тогда суммой ряда и, очевидно,
представляет собой функцию от х. Если ряд сходится для
всех х из отрезка [а, Ь], то его сумма s(x) определена на
[а, Ь].
*) Вместо абсолютной интегрируемости обеих производных
можно было бы ограничиться требованием этого для одной из них,
но нам для дальнейшего достаточно первого.
§ 4] УТОЧНЕНИЕ ТЕРМИНОЛОГИИ. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ 21
Распространяется ли формула (4.3) на случай сходящегося
на отрезке [а, Ь] функционального ряда интегрируемых
функций, т. е. справедлива ли формула
со
\ [2/*<*>]**=$*(*)**=]£ Uk(x)dx (4-5)
а я= 1 a k=\a
(речь идет, таким образом, о возможности почленного
интегрирования ряда)? Оказывается, что не всегда, и хотя бы
уже потому, что ряд интегрируемых и даже просто
непрерывных функций может иметь неинтегрируемую сумму.
Аналогичная проблема связана
с возможностью почленного
дифференцирования рядов.
Мы выделим важный класс
функциональных рядов, к
которым указанные операции
приложимы.
Говорят, что ряд (4.4)
сходится равномерно на
отрезке [а, Ь], если для
всякого положительного числа е
существует число N такое, что для всех п^ N и для
всех х из отрезка [а, Ь] выполняется неравенство
Черт. 6.
\s(x) — sn(x)\^e.
(4.6)
Если мы рассмотрим графики функций y = s(x) (сумма
ряда) и y = sn(x) (частная сумма ряда), то свойство
равномерной сходимости означает, что для всех достаточно
больших индексов п и для всех х графики суммы ряда и
соответствующих его частных сумм отстоят друг от друга меньше
чем на наперед заданную величину е, т. е. эти.графики
равномерно (для всех х) близки (черт. 6).
Не всякий сходящийся на некотором отрезке ряд сходится
равномерно. Имеется очень полезный и простой признак
равномерной сходимости функциональных рядов (признак Вейер-
штрасса):
Если числовой ряд с положительными членами
«1 + "а +... -j- и ц + • • •

22 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
сходится и для всех k, начиная с некоторого, \fk(x)\^ uk>
каково бы ни было х из отрезка [а, Ь], то ряд (4.3)
сходится равномерно (и к тому же абсолютно) на [а, Ь].
Справедливы следующие важные теоремы:
I. Если члены ряда (4.4) непрерывны на [а, Ь] и ряд
сходится равномерно на этом отрезке, то
г) сумма ряда есть функция непрерывная,
б) ряд можно интегрировать почленно, т. е. для него
справедлива формула (4.5).
II. Если ряд (4.4) сходится, его члены
дифференцируемы и ряд
оо
лс*)+лю+...+лс*)+...=2л(*>
* = 1
равномерно сходится на [а, Ь], то
со со
(2л с*)У=*ч*)=2л <**
т. е. ряд (4.4) можно дифференцировать почленно*).
§ 5. Основная тригонометрическая система.
Ортогональность синусов и косинусов. Основной
тригонометрической системой будем называть систему функций
1, cos л:, sin х, cos 2x, sin2jtr, ,.., cos nx, sin nx, ... (5.1)
Все эти функции имеют общий период 2тс (хотя cos nx
и sin nx имеют и меньший период —). Установим несколько
вспомогательных формул.
При любом целом и^О
С , Г sin nx~\ х = * _
\ cos nx dx = = 0,
— я
я
I sin пхах= 1 _ =0,
(5.2)
*) В курсах анализа для простоты доказательства обычно
требуют еще непрерывность производных.
§б]
ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
23
'J cos9 nx dx = p + f2^ dx=.«,
— *
Я
\ sina nx dx
— к
я
I
1 — cos Ъгх
dx = n.
(5.3)
В силу известных формул тригонометрии
cos a cos р =у [COS (а -j- P) -f- COS (а — р)],
sin а sin P = y [COS (а — p) — COS (а -\- р)]
для любых целых п и т, п фт,
л
cos nx cos mx dx =
1
л
~T \ [cos(n+ rri)x-\-cos{n — m)x]dx = 0,
я
sin nx sin mx dx =
(5.4)
я
= 1 [cos (л — m)x — cos(n-{-m)x]dx = 0.
Наконец, в силу формулы
sin a cos р = у [sin (а -f- Р) + sin (а — Р)]
для любых целых п и т
я
sin плг cos mx dx =
л
= 2~ \ [sin (л-J-"О*-}-sin (я — w)jc]rfjc = 0. (5.
б)
— ж

24 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Равенства (5.2), (5.4), (5.5) показывают, что интеграл
от произведения двух любых различных функций системы
(5.1), взятый по отрезку [—те, те], равен нулю.
Условимся говорить, что две функции у(х) и ф(лг)
ортогональны на отрезке [а, Ь], если
ь
\<?(x)ty(x)dx = 0*).
а
Приняв это определение, можем сказать, что функции
системы (5.1) попарно ортогональны на отрезке [ — те, те],
или, короче, система (5.1) ортогональна на [—те, те].
Мы знаем, что для периодической функции интеграл
по любому отрезку длины, равной периоду, имеет
неизменное значение (см. § 1). Поэтому формулы (5.2) — (5.5)
справедливы не только для отрезка [— те, те], но и для
любого отрезка [а, а -\- 2те]. Следовательно, система (5.1)
ортогональна на всяком таком отрезке.
§ 6. Ряд Фурье для функции периода 2те. Пусть
для функции /(лг) периода 2те имеет место разложение
со
f(x) = ^-\-2,akcoskx-\-bks'mkx. (6.1)
Постоянное слагаемое здесь обозначено через -^ для
симметрии дальнейших формул. Поставим себе задачей вычислить
коэффициенты ай, ak и bk, k = \, 2,..., зная функцию f(x).
Для этого сделаем такое допущение: будем предполагать,
что ряд (6.1) и ряды, которые мы сейчас получим, можно
интегрировать почленно, т. е. для этих рядов интеграл от
суммы равен сумме интегралов (тем самым предположена и
*) В геометрии слово ортогональность обозначает
перпендикулярность. Не нужно думать, что понятие ортогональности
функций соответствует чему-то похожему на перпендикулярность
графиков, хотя это понятие все же родственно понятию
перпендикулярности, надлежащим образом обобщенному (по этому поводу
см. § 10 гл. И).
§ 6] ряд фурье для функции периода 2те 25
интегрируемость функции f{x)). Интегрируя равенство (6.1)
в пределах от — те до те, получим:
к я со я «
I f{x)dx = ^ii с1х-\-У lak f coskxdx-f bk \s\nkxdx\.
—it —я k = 1 —ft —it
В силу (5.2) все интегралы под знаком суммы равны нулю.
Поэтому
я
С f(x)dx=va0. (6.2)
—я
Умножим обе части равенства (6.1) на cos nx и результат
опять интегрируем в прежних пределах. Получим:
я
I f(x) cos nxdx =
—я
я со я
= к5 1 cos nx dx -f- У, (аь \ cos kx cos nx dx -f-
—я k = 1 —я
я
-j- bk \ sin kx cos nx dx).
—я
В силу (5.2) первый интеграл справа равен нулю. Так как
функции системы (5.1) попарно ортогональны, то все
интегралы под знаком суммы, кроме одного, оказываются также
равными нулю. Останется лишь интеграл
я
\ cosa nxdx = те
—я
(см. (5.3)), являющийся коэффициентом при ап. Таким образом,
я
\ / (х) cos nx dx = я„те. (6.3)
—я
Аналогичным приемом найдем, что
я
1 / (лг) sin nx dx = £„те. (6 А)
—я

26 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Из (6.2) —(6.4) вытекает
ап=~ \ f(x) cos nx dx, bn = \ \f(x) sin nx dx. (6.5)
—я — я
(л = 0, 1, 2,...) («=1, 2,...)
Итак, если /(лг) интегрируема и может быть разложена в
тригонометрический ряд, причем почленное интегрирование
этого ряда и рядов, получающихся из него умножением на
cosnx и sin nx (л = 1, 2,...), возможно, то коэффициенты
ап и Ьп вычисляются по формулам (6.5).
Пусть теперь задана некоторая интегрируемая функция
периода 2тс, и мы хотим представить эту функцию в виде
суммы тригонометрического ряда. Если такое представление
вообще возможно (с выполнением требования почленной
интегрируемости, упомянутого выше), то в силу изложенного
коэффициенты ап и Ьп необходимо получаются по формулам
(6.5). Поэтому в поисках тригонометрического ряда, имеющего
своей суммой заданную функцию f(x), в первую очередь
естественно обратить внимание на тот ряд, коэффициенты
которого вычисляются по формулам (6.5), и посмотреть, не
обладает ли он нужным нам свойством. Мы увидим далее, что
для обширного класса функций это так и будет.
Коэффициенты ап и Ьп, вычисленные по формулам (6.5),
называются коэффициентами Фурье для функции f(x), a
тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется
ее рядом Фурье. Заметим, кстати, что в формулах (6.5)
интегрируются функции периода 2тс. Поэтому отрезок
интегрирования [— %, ш] может быть заменен любым другим
отрезком длины 2тс (см. § 1), и мы наряду с формулами (6.5)
получаем:
ап=~ \ f(x)cosnxdx (п = 0, 1, 2, ...),
с + 2я
(6.6)
bn= ~ j f(x) sin nxdx (n— 1, 2, ...).
Изложенное выше делает естественным особое
внимание к рядам Фурье. Составив ряд Фурье для функции f(x)
§ б]
РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ ПЕРИОДА 2я
27
и не предрешая вопроса о его сходимости к f(x), мы
пишем:
оо
/{Х) ~ f-° + 2 (йп C0S ПХ + Ьп Sin пХ) •
л = 1
Такая запись означает лишь, что функции f(x)
соответствует ряд Фурье, написанный справа. Знак «~» можно
заменить знаком « = » только тогда, когда нам удастся
доказать сходимость ряда и равенство его суммы функции f{x).
Из предшествующих рассуждений легко вытекает следующая,
оказывающаяся часто полезной
Теорема 1. Если для функции f(x) периода 2к имеет
место разложение в некоторый равномерно сходящийся
на всей оси Ох *) тригонометрический ряд, то этот ряд
есть ряд Фурье для f(x).
Действительно, пусть для f(x) имеет место равенство
(6.1), где ряд сходится равномерно. В силу теоремы I,
приведенной в § 4, f(x) непрерывна и почленное
интегрирование ряда возможно. Это нам дает равенство (6.2).
Рассмотрим равенство
/(х) cosnx =
00
= р cos nx -\- У (ak cos kx cos nx -f- bk sin kx cos nx) (6.7)
и покажем, что ряд справа сходится равномерно.
Положим:
т
sm (х) = y + 2 (с* cos kx ~^~ bk sin kx^'
Пусть е — произвольное положительное число. Если ряд
(6.1) сходится равномерно, то существует число N такое,
что для всех m^N
\f(x) — sm(x)\^s.
*) Вместо равномерной сходимости на всей Ох в силу
периодичности f(x) можно было бы требовать равномерной сходимости
на [ — к, те].

28 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
Произведение sm (х) cos nx, очевидно, является т-й
частной суммой для ряда (6.7).
Поэтому из соотношения
\f(x) cos nx — sm (x) cos nx I = \f(x) — sm (x) 11 cos nx I ^ e,
справедливого для всех m^N, и вытекает равномерная
сходимость ряда (6.7).
В таком случае этот ряд можно почленно
интегрировать, а интегрирование дает равенство (6.3). Аналогично
доказывается равенство (6.4). Тем самым для
коэффициентов ап и Ьп доказаны формулы (6.5). Это и означает,
что ряд (6.1) есть ряд Фурье для f{x).
Современная теория рядов Фурье позволяет доказать
следующее более общее предложение, доказательство
которого мы приводить не будем из-за его сложности.
Теорема 2. Если абсолютно интегрируемая функция
f(x) периода 2те допускает разложение в некоторый
тригонометрический ряд, сходящийся к ней всюду за
исключением, быть может, конечного числа значений (для
одного периода), то этот ряд есть ряд Фурье для f(x).
Эта теорема подтверждает высказанное выше
соображение, что в поисках тригонометрического ряда, имеющего
своей суммой заданную функцию, в первую очередь
следует обращаться к ряду Фурье.
§ 7. Ряд Фурье для функции, заданной на отрезке
длины 2те. В приложениях очень часто возникает задача
о разложении в тригонометрический ряд функции /(лг),
заданной лишь на отрезке [—те, те]. Здесь, следовательно,
о периодичности f(x) нет и речи. Это тем не менее
нисколько не мешает нам написать для нее ряд Фурье, ибо
в формулах (6.5) фигурирует лишь отрезок [—те, те].
Вместе с тем, если периодически продолжить f(x) с
отрезка [—те, те] на всю ось Ох, то получим периодическую,
совпадающую с f(x) на [— те, те] функцию, для которой
ряд Фурье будет тождественным с рядом Фурье для f(x).
К тому же, если ряд Фурье для f{x) оказывается
сходящимся к ней, то его сумма, будучи периодической
функцией, даст как раз упомянутое периодическое
продолжение f(x) с отрезка [—те, те] на всю ось Ох.
§ 7] ряд фурье на отрезке длины 2тс 29
Таким образом, говорить о ряде Фурье для f(x),
заданной на [—те, те],— это все равно, что говорить о ряде
Фурье для функции, получающейся из f(x) периодическим
продолжением ее на ось Ох. Отсюда вытекает, что
признаки сходимости рядов Фурье достаточно формулировать
для периодических функций.
В связи с упомянутым периодическим продолжением
f(x) с отрезка [—те, те] на ось Ох уместно сделать
следующее замечание.
Если /(—те)=/(те), то периодическое продолжение
никаких затруднений не встречает (черт. 7, а). При этом,
4*
если f(x) была непрерывной на отрезке [— те, те], то ее
продолжение будет непрерывным на всей оси Ох.
Если же /(—те)^/(те), то, не изменяя значений /(—те)
и /(те), мы не сможем осуществить нужное продолжение,
так как по смыслу периодичности /(— те) должно
совпадать с /(те). Обойти это затруднение мы можем двояким
образом: во-первых, исключить вовсе из рассмотрения
значения f{x) при х = — те и дг = те, сделав тем самым
функцию неопределенной для этих значений и, следовательно,
сделав неопределенным периодическое продолжение f(x) для
всех значений х вида (2k -f- 1)те [k= О, нь 1, нь 2...); во-вторых,
изменить выгодным нам образом значения функции f(x) .при
х=—те и х = те,сделав их равными. Важно отметить, что и в том
и в другом случаях коэффициенты Фурье будут иметь те
же значения, что и сначала. Действительно, изменение значений

30 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [гЛ. I
функции в конечном числе точек, или даже
неопределенность ее в этих точках, — не может оказать влияния на
величину интеграла, в частности на величину интегралов
(6.5), определяющих коэффициенты Фурье. Таким образом,
независимо от того, осуществим мы указанную
модификацию функции f{x) или нет, ряд Фурье для неё остается
неизменным.
Нужно отметить, что при /(—%)^bf{%) и при
непрерывности f{x) на отрезке [—it, -к] периодическое
продолжение f(x) на всю ось Ох будет иметь разрывы во всех
точках вида лг = (2А-{- 1)те (Аг == 0, zt 1, ±2,...), как
бы мы ни изменяли значения функции при х = — тс
и х = % (см. черт. 7, б). К каким значениям следует
ожидать сходимости ряда Фурье в этих точках при
/(—%)^bf{rt), — это вопрос особый, и мы решим его
позднее.
Пусть теперь f(x) задана на произвольном отрезке
[а,а-|-2гс] длины 2гс и ее требуется разложить в
тригонометрический ряд. Коэффициенты Фурье вычисляем по
формулам (6.6). Как и выше, приходим к выводу, что
говорить о ряде Фурье для f(x) или для функции,
получающейся из нее периодическим продолжением на всю ось
Ох, — это одно и то же. При этом непрерывная на отрезке
[a, a-f-2ic] Функция f(x) при f(a) ^ f(a -[- 2тс) дает
продолжение, разрывное в точках вида х—а~\-2Ы (Л = 0,
z±l, dr2,...).
§ 8. Правый и левый пределы функции в точке.
Точки разрыва первого рода. Введем обозначения:
lim f{x) =/<*, - 0), Urn f(x) =^/(дг0 -f 0) »)
X-*Xo X—X0
x<x0 JOJr0
(если эти пределы существуют и конечны). Первый из
этих пределов называется пределом f(x) в точке дг0 слева,
второй — пределом f(x) в точке х0 справа. В точках
непрерывности, по самому определению понятия
непрерывности, эти пределы существуют, причем
/(*о - 0) =/(■*•) =/С*о + 0)- (8Л)
*) Если л-0 = 0, то не пишут /(0 + 0) или /(0—0), а просто
/(+0) или/(-0).
§9]
ГЛАДКИЕ И КУСОЧНО-ГЛАДКИЕ ФУНКЦИИ
31
Если х0 есть точка разрыва функции f(x), то пределы
справа и слева (оба или один из них) могут существовать
в одних случаях и не существовать в других. Если оба
предела существуют, то говорят, что точка лг0 есть точка
разрыва первого рода для функции fix). Если же хотя бы
один предел не существует, то точка лг0 называется точкой
разрыва второго рода. Нас будут интересовать точки
разрыва первого рода. Если х0— такая точка, то величина
8 =f(x0 + 0) -f(x0 - 0) (8.2)
называется скачком функции fix) в точке лг0.
Для пояснения сказанного рассмотрим пример. Пусть
— л:3 для х <[ 1,
/(лг)= 0 для лг=1, (8.3)
Ух для х^> 1.
На черт. 8 изображен график этой функции.
Значение функции при лг=1 изображено маленьким
кружком. Для пределов слева и справа при х = 1, очевидно,
имеем:
/(1-0) = -1,
/(1+0)=1.
Следовательно, для скачка функ- X
ции получаем:
2,
Черт. 8.
Ь =/(1+0) -/(1-0)
что вполне согласуется с
наглядным представлением о скачке (см.
черт. 8).
Точки разрыва первого рода могут появиться, например,
при периодическом продолжении непрерывной на отрезке
[—я, гс] функции fix) с этого отрезка на всю ось Ох
в случае, когда /(—тс)^/(*) (см. черт. 7, б). При этом
все скачки оказываются равными числу
8 =/(_*) -/(*).
§ 9. Гладкие и кусочно-гладкие функции. Функцию fix)
называют гладкой на отрезке [а, Ь], если она на этом
отрезке обладает непрерывной производной. На геометрическом

32 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. 1
языке это означает, что при перемещении вдоль кривой
y=f(x) направление касательной изменяется непрерывно,
без скачков (черт. 9, а). Таким образом, график
гладкой функции представляет собой плавную кривую,
лишённую угловых точек.
Черт. 9.
Функцию f(x) называют кусочно-гладкой на отрезке
[а,Ь\, если она сама и ее производная либо непрерывны на
этом отрезке, либо допускают на нем лишь разрывы первого
рода, и притом в конечном числе.
Легко понять, что график кусочно-гладкой функции
представляет собой непрерывную или разрывную кривую,
которая может иметь конечное число угловых точек (в них
происходит скачок производной); с приближением к такому
углу или к месту разрыва (с той или иной стороны)
направление касательной стремится к определенному
положению (ведь у нас производная имеет лишь разрывы первого
рода!).
На черт. 9,6 и в изображены графики непрерывной и
разрывной кусочно-гладких функций. Гладкие функции мы
будем рассматривать в дальнейшем как частный случай
функций кусочно-гладких.
Непрерывная или разрывная функция f(x), заданная на
всей оси Ох, называется кусочно-гладкой, если она такова
§ Ю]
ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬВ
33
для каждого отрезка конечной длины. В частности, это
относится к периодическим функциям.
Всякая кусочно-гладкая функция f(x) (непрерывная или
разрывная) ограничена и имеет ограниченную производную
всюду, за исключением угловых точек и точек разрыва (во
всех этих точках f'(x) не существует).
§10. Признак сходимости ряда Фурье. Мы
сформулируем наиболее употребительный признак сходимости ряда
Фурье, оставив доказательство этого признака до гл. III.
Черт. 10.
Ряд Фурье кусочно-гладкой (непрерывной или
разрывной) функции f(x) периода 2тс сходится для всех
значений х, причем его сумма равна f(x) в каждой точке
/(* + ())+/(■*: — 0) . Л
непрерывности и равна числу ——!— ' (среднее
арифметическое предельных значений справа и слева)
в каждой точке разрыва (черт. 10).
Если f(x) всюду непрерывна, то ряд сходится
абсолютно и равномерно.
Пусть функция f(x) задана лишь на [—тс, -к], является
кусочно-гладкой на этом отрезке и непрерывна в его
концах. Как мы заметили в § 7, ряд Фурье для f(x)
совпадает с рядом Фурье для функции, являющейся
периодическим продолжением f(x) на всю Ох. Но такое
периодическое продолжение в нашем случае, очевидно,
приведет к функции f(x), кусочно-гладкой на всей оси Ох.
Поэтому из сформулированного нами признака
вытекает, что ряд Фурье будет всюду сходящимся. В
частности, это будет иметь место на интересующем нас
отрезке [—п,%\, причем для —iz<^x<^iz ряд будет
сходиться к f(x) в точках непрерывности и к значению
2 Г. П. Толстое

34
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[гл. т
-—■— X в точках разрыва. Что же будет
происходить в концах отрезка [— тс, тс] ?
Возможны два случая:
1) /(—тс)=/(тс). Здесь периодическое продолжение
приводит, очевидно, к функции, непрерывной в точках —тс и тс
(и вообще во всех точках вида лг = (2А -f-1) тг (£ = 0, ± 1,
zt 2,...)). В силу нашего признака и в концах отрезка ряд
будет сходиться, следовательно, к f{x).
Черт. 11.
2) /(—тс) ф /(те). Здесь периодическое продолжение
приводит к функции, разрывной в точках — тс и тс (а также во
всех точках вида x = {2k-\- 1)тс(£ = 0, ;± 1, ±2,...)),
причем для продолженной f{x) очевидно:
/(- * — 0) =/(тс), /(- тс -f 0) =/(- тс),,
/(тс + 0) =/(- тс), /(тс - 0) =/(тс)
(черт. 11). Поэтому при х =— тс и л; = тсряд будет
сходиться к значениям
Я
-*+0)+/(-*-0)
2
/(* + 0)+/(*-0)
[_/(-«) + /(*)
Таким образом, для функции /(лг), заданной на отрезке
[—тс, тс] и непрерывной при х =— тс и лг = тс, ряд Фурье
ведет себя в этих точках, как и в прочих точках
непрерывности функции, если/(—тс)=/(тс). Если же/(—тс)^/(тс),
то ряд заведомо не может сходиться к f(x) при х== — тс и
дг = тс. Поэтому в последнем случае задачу о разложении f(x)
в ряд Фурье имеет смысл ставить не для — тс ^ х
— тс <[ X <^ те.
тс, а для
§ HI
ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ
35
Аналогичное замечание можно сделать относительно ряда
Фурье для функции, заданной на отрезке вида [а, а -\- 2тс],
где а — любое число.
Впрочем, при решении каждой конкретной задачи, когда
читатель построит график периодически продолженной
функции (а это всегда рекомендуется!) и вспомнит
сформулированный выше признак, то вопрос о поведении ряда Фурье
в концах отрезка сразу станет ясным.
§11. Четные и нечетные функции. Пусть f(x) задана на
всей оси Ох или же на некотором отрезке, симметричном
относительно начала координат.
Черт. 12.
Скажем, что f(x) есть четная функция, если для каждого х
/(-*)=/(*)•
Из этого определения вытекает, что график всякой четной
функции y=f(x) симметричен относительно оси Оу (черт. 12,я).
Из интерпретации интеграла как площади для четных
функций имеем:
/ i
\f{x)dx = 2i\f{x)dx (11.1)
— i о
при любом / (лишь бы f(x) была определена и
интегрируема на отрезке [—/, /]).
Функцию f(x) назовем нечетной, если для каждого х
f(-x) = -f(x).
Для нечетной функции, в частности,
Л-0) = -/(0;

36 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [гЛ. I
и, следовательно, /(0) = 0. График всякой нечетной функции
у =f (х) симметричен относительно точки О (см. черт. 12, б).
Для нечетных функций
f(x)dx = 0 (11.2)
—/
при любом / (лишь бы f{x) была определена и интегрируема
на отрезке [— /, /]).
Из определения четных и нечетных функций легко
вытекает:
а) Произведение двух четных или двух нечетных
функций есть функция четная.
б) Произведение четной и нечетной функций есть
функция нечетная.
Действительно, если 9 (х) и Ф (х) — четные функции, то
для fix) = 9 С*г) ф (x) имеем:
/(- х) = 9 (- х) ф (- х) =. 9 С*) Ф (х) =f(x).
Если же 9(лг) и ФС*) нечетны, то
А-*)=Ф (-*) ф (-•*)=■[-?(*)][-Ф С*)] =
= <Р С*) Ф (*)=/(*).
Тем самым свойство а) доказано.
Пусть у(х) четна, ф(лг) нечетна. Тогда
f(-x) — 9 (— х) ф(-лг) = 9 (х) [- ф (*)] =
« — ? С*) Ф С*) = —/(■*),
т. е. доказано и б).
§ 12. Ряды по косинусам и ряды по синусам. Пусть
fix) -— четная функция, заданная на отрезке [— it, it] (или
же четная периодическая функция).
Так как cos пх(п = О, 1, 2,...) есть функция, очевидно,
четная, то по свойству а) § 11 будет четной и функция
f(x) cos пх. Функция sin пх {п = 1, 2,...) нечетна. Поэтому
по свойству б) § 11 нечетна и функция fix) sin nx.
(12.1)
§ 12] РЯДЫ ПО КОСИНУСАМ И РЯДЫ ПО СИНУСАМ 37
Тогда в силу (6.5), (11.1) и (11.2) для коэффициентов
Фурье четной функции fix) получаем:
ап = -i- f f(x) cos nxdx=-| f fix) cos nx dx
(я = 0,1,2,...),
bn= — f /С*) sin nxdx=0
— я
(я =1,2,...).
Следовательно, для четной функции ряд Фурье
содержит лишь косинусы, т. е.
00
fix) ~ Ц -f ^ ап cos я*,
причем коэффициенты ап вычисляются по формулам (12.1).
Пусть теперь fix) — нечетная функция, заданная на
отрезке [ — тс, те] (или же нечетная периодическая функция),
cos яд; (я = 0,1,2,...) — четная функция. Следовательно, по
свойству б) § 11 функция f{x) cos nx нечетная. Функция
sinn-xr (л =1,2,...) нечетна. Поэтому по свойству а) § 11
функция fix) sin nx оказывается четной.
Тогда в силу (6.5), (11.1) и (11.2) для коэффициентов
Фурье нечетной функции fix) получаем:
ап = — \ fix) cos nxdx = 0
—я
(л = 0,1,2,...),
Ьп = — \ fix) sin nx dx = — l fix) sin nx dx
(12.2;
(я=1,2,...).
Таким образом, ряд Фурье нечетной функции содержит
лишь синусы, т. е.
00
fix)~^ibnsmnx,
я = 1

38 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬВ [гЛ I
где Ьп вычисляются по формулам (12.2). Поскольку ряд
Фурье для нечетной функции содержит лишь синусы, то,
очевидно, он всегда сходится к нулевому значению при х =
= — тс, х = 0 и х = к (и вообще при x^£тс), каково бы
ни было значение f(x) в этих точках.
Часто возникает задача о разложении в ряд по
косинусам или в ряд по синусам функции f{x), заданной и
абсолютно интегрируемой на отрезке [0, тс].
Для разложения f(x) в ряд по косинусам можно
рассуждать следующим образом. Продолжим f(x) четным
образом с отрезка [0, тс] на отрезок [ — тс,0] (черт. 13, а).
-я О
(а)
П 3!
(Si
п at
Черт. 13.
Тогда для «продолженной» четной функции справедливы
все предыдущие рассуждения, и, следовательно, коэффициенты
Фурье могут быть вычислены по формулам
1С
ап — \ f f(x) cos nx dx (n = 0,1,2,...), (12.3)
о
fc„ = 0 (л=1,2,...).
В этих формулах фигурируют лишь заданные на [0, тс]
значения f(x). Следовательно, при практических вычислениях
фактически можно и не осуществлять указанное четное
продолжение.
Если мы хотим разложить f(x) в ряд по синусам,
то продолжаем ее с отрезка [0, тс] на отрезок [ — тс,0]
нечетным образом (см. черт. 13,6). При этом по смыслу
нечетности должны принять /(0) = 0. К «продолженной»
нечетной функции опять применимы соображения,
приведенные выше, и, следовательно, для коэффициентов
§ 13] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬВ 39
Фурье справедливы формулы:
ап = 0 (п = 0, 1, 2,...),
1С
Ьп = ^ f / (jc)sin nx dx (n = 1,2,...). (12.4)
Поскольку здесь участвуют лишь значения f(x) на [0, тс],
постольку, как и в случае ряда по косинусам,
фактическое продолжение функции f(x) с отрезка [0, тс] на отрезок
[—тс, 0] можно и не осуществлять.
Однако, чтобы не впасть в ошибку при использовании
признака сходимости § 10, все же рекомендуется иметь
эскиз графика функции f(x) с ее четным или нечетным
продолжением на отрезок [ — тс, 0] и с последующим
периодическим (по периоду 2тс) продолжением на всю Ох.
Этот эскиз поможет разобраться с характером поведения
«продолженной» функции, к которой упомянутый признак и
нужно прилагать.
§ 13. Примеры разложений в ряд Фурье.
Пример 1. f(x) = x* для —тс^дг^тс. Функция
f(x) — четная. График f(x) вместе с ее периодическим
продолжением изображен на черт. 14. Продолженная функ-
ция — непрерывная и кусочно-гладкая. Поэтому по
признаку § 10 ряд Фурье сходится к/(х) = х* всюду на [ — тс, к]
и к периодическому продолжению этой функции вне [ — тс, тс].
Сходимость — абсолютная и равномерная. Подсчет дает:
«•-4}*,л'=1[тК_>
2л*
~3~

40
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
С помощью интегрирования по частям далее находим:
= \ х sin nx dx =
■к ж
2 f 2 J 4
йя = - lr cos nx dx =
Ki
4 г •,*—ж 4 f ,4 4
= —jlxcosnx] = \ cos nx dx = -^ cos лтс ==(—1У~.
n/i*
Л"
Я1
£„ = 0 (л = 1,2,...) (так как / (л:) четна). Поэтому для
ЯйьСЛГ^ТС
а п* . ( cos2х . cosЗлг \ ,«„ ,v
х* = -j — 4 ^cosx _-f—jjs ...J. (13.1)
Пример 2. / (лг) = I лг j для —тс^дг^тс. Функция
/ (х) — четная. Ее график вместе с периодическим
продолжением изображен на черт. 15. Продолженная функция —
непрерывная и кусочно-гладкая. Признак § 10 приложим.
Черт. 15.
Поэтому ряд Фурье сходится к f(x) = \x\ всюду на
[ — тс, тс] и к ее периодическому продолжению вне этого
отрезка. Сходимость абсолютная и равномерная.
Так как |лг| = д: для лг^О, то
cos nx dx =
2_
пп
X sin nx dx =
Ъ
X = 1C
= — j [COS ПХ] = —s [COS ЛТС — 1] = —, [( — 1)" — 11.
ЛЯ2 L J*=0 ИЯ8 l J ЯЯЯ LV ' Jt
§ 13]
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬЕ
41
Отсюда вытекает, что для п четных ап = 0, а для п
4
нечетных ап = 5.
Наконец, Ьп = 0 (п=1,2,...), так как f(x) четна. Таким
образом, для —тс^лг^тс
. . я 4 / , cos Злг . cos 5л: . \ /ioo\
\x\=y- — [cosx-\—35 h—5* !-••■;• V1^)
Пример 3. / (л:) = | sin л: |. Эта функция определена
для всех х и представляет собой непрерывную кусочно-
гладкую и четную функцию. Ее график изображен на
-тс 0
п Зк
Черт. 16.
5к «s
черт. 16. Признак § 10 приложим. Следовательно, / (л:) =
= | sin jc | всюду равна своему ряду Фурье, который сходится
абсолютно и равномерно.
Так как I sin л: I = sin х для 0 ^ л: ^ тс, то
а0
= — \ sin x dx = —,
тс J к
ап= — \ sin л: cos nxdx=
о
1С
= ~ С [sm(n-\-l)x—sin(n—l)x]dx =
1 Г cos (я + 1)лг cos (я — 1)*1*=*
к I я +1 я — 1 J*=0
1 r(-i)"+'-l (—l)"-1 — ! 1
= «L я+1 n—1 J
ir(_iyH-i_i (— I)"-1 — ! 1 0(-l)"4-l
если n 9^ 1.

42
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
Для п = 1
Я It
ах= - i smxcosxdx= — l sin 2*d*; = О,
4 Kg
bn = 0(n=l, 2,...), так как f(x) четна.
Таким образом, для всех х
sin
. 2 4 /cos2x , cos4at
л: == —^ Г
1 те я \ 3 '
15
+
cos 6л:
35
+ ».).
Пример 4. f(x) = x для —тс<л;<>. Функция/(л:)
нечетна. График f(x) вместе с ее периодическим
продолжением изображен на черт. 17. Продолженная функция является
Черт. 17.
кусочно-гладкой и разрывной в точках вида x = (2k-\-l)ic
(k = 0,zh l,db2,...). Признак § 10 приложим. В точках
разрыва ряд Фурье сходится к нулю.
В силу нечетности f{x)
ая = 0(л = 0, 1, 2, ...),
'.=§{-
sin nxdx = [х cos плс]
7t/l l ЛХ = 0
-I \ cosn.r(JjF=s
I ■ ЧТЯ 1
«л.
= — -cosnn = -(— l)n + 1.
n n v '
Поэтому для — тс<^л;<[7с
X
= 2(sin x —
sin 2x
втЗл;
• * • I •
(13.3)
Пример 5. Разложить в ряд по синусам функцию
f(x)=l для 0<лг<тс. Нечетное продолжение f(x) на
отрезок [ — тс, 0] порождает разрыв при л; = 0. График
f{x) вместе с ее нечетным продолжением на [ — тс, 0] и по-?
§ 131
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬВ
43
следующим периодическим продолжением (по периоду 2я)
на всю Ох изображен на черт. 18. К такой «продолженной»
функции признак § 10 приложим. Поэтому ряд Фурье
сходится к /(*)=! для 0<лг<тс и к функции, изображенной
1
-|Я
1
0
Л
%
»L-
•
2JJF
i
3|яг
i
4\7C
• X
5% _
Черт. 18.
на черт. 18, вне этого промежутка, причем в точках вида
x=kis (£ = 0, ztl, zt2,...) сумма ряда равна нулю.
Имеем, далее,
ап = 0 (п = 0, 1, 2,...),
«
Ъп = -? С s'mnxdx= -[ — cosnx]x~* = -\l—(—l)n].
Таким образом, для 0<[л;<[тс
i 4 / . . sin 3x - sin 5x , \ /ло л\
l=-(sin.v-| - ( ^ г"---)- (13-4)
Пример 6. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x
для 0<^х<^2к. Внешне задача напоминает пример 4, но
если построить график периодически продолженной f(x),
то сразу усмотрим различие (черт. 19). К продолженной
функции признак § 10 приложим. В точках разрыва ряд
сходите» к среднему арифметическому предельных значений

44
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
справа и слева, т. е. к значению тс. Функция /(лг) не
принадлежит классу четных или нечетных функций:
2я
а,
>=Цхйх=Щх^==^>
1
.* = 2* 1С
= -\х cosnxdx = — [xsinпх]~ " \ sinnxdx =
о
= 0 (я=1, 2, ...),
2*
Ьп = - \ х sin nxdx =
'i
2it
= [xcosnx] -\ \cosnxdx = .
Т.П.1 Jx=0 ' ПП Л tl
Поэтому для 0<[лг<^2тс
о / . , sin 2л: ■ sin Зл: , \ /(...
x = iz — 2\smx-\ g 1 g }-••-)• (13-5)
Пример 7. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = x*
для 0<^-^<^27с. Задача напоминает пример 1, но график
8к Юп IfaX
Черт. 20.
периодически продолженной функции сразу указывает на
различие (черт. 20). К продолженной функции признак § 10
приложим. В точках разрыва ряд сходится к среднему
арифметическому предельных значений справа и слева, i. е.
| 13] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬЕ
45
к значению 2тс8. Функция f(x) не принадлежит классу четных
или нечетных функций:
[(• ,. 1 Г*»!*-2* _8п»
*»=*}* ^=4tUo —г-
о
йя=1 $x*cosnxdx = — - \xsmnxdx =
2-я
= ДJxcosnx] ^-~^iV^nxdx=-it
2«
bn = ~ f jc2sinn^^ =
о
2tt
i л jc=2ic , 2 Г j
=—- [лг8 cos nx] n-\- — \x cos ял; rf* =
0
2it
4* 2 f ... ^ 4*
4тс 2 f . , 4тс
= — ———5 \ 81ПЯЛГЙЛ7 = -р.
Я Я/1" J П
Поэтому для 0<^х<С^2ъ
-а 4п8 . / . . cos 2x n sin 2x ,
* =-3 +4(cosat— xsin^-f—2i 2 К"
. cos ил: я sin ял: . \
00
4«я , . VI / cos nx n sin nx \
3 "т" ДД л1 й J13"
п=1
со со
=^+42-25~-4-2-^!1- * <13-6)
П=1 Л=1
Пример 8. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =
= Ах* -\- Вх -J- С для —тс <[ дг <^ тс, где А, В, С — постоянные.
График f(x) представляет собой параболу. В результате
периодического продолжения, в зависимости от выбора
значений А, В и С может получаться непрерывная или разрывная
функция. На черт. 21 изображено такое продолжение для

46
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. 1
некоторых фиксированных А, В и С. Можно было бы
подсчитать коэффициенты Фурье по соответствующим формулам,
но в этом нужды нет, так как мы можем воспользоваться
-я
Черт. 21.
уже известными разложениями для —ъ<^х<^ъ функций
лга и х (примеры 1 и 4). Это дает для —к<^х<^ъ:
Ах% + Вх-\-С =
оо
=^+с+4л2(-0Л^-2в2(-1Г^.
п=1
л=1
Пример 9. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) =
= Ах* -4- Вх -J- С для 0 < х < 2тс. На черт. 22 изображена
периодически продолженная f(x) (при некотором выборе посто-
Черт. 22.
янных А, В, С). Пользуясь уже известными нам
разложениями для Ъ<^х<^2ъ функций л:2 и л: (примеры 6 и 7),
получим для 0<^jf<[2ic:
Ах*-{-Вх + С =
оо
00
4^я3 in i •■> i л я V cos ПХ /ля от V ^^
= -г -j- fl« -J- С -J- 4Л 2 „s {4кА—2В) 2 --^.
д=1
л-1
§ 13] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЙ В РЯД ФУРЬЕ 47
Из наших примеров можно вывести значения сумм
некоторых важных тригонометрических рядов. Так, из (13.5) для
0<^х<С2-к сразу получаем:
у dnnx = n—_x (137)
Am П 2
п=1
Из (13.5) и (13.6) для 0<*<2тс выводим:
оо
^ cosnx Злг8 — бдл: -{- 2яа П3 81
ij и8 12
Так как члены ряда слева не превосходят по
абсолютной величине чисел -^, то отсюда вытекает равномерная
сходимость ряда, а значит, и непрерывность его суммы для
всех л: (см. § 4). Поэтому равенство (13.8) справедливо для
0^лг^27с, а не только для 0<^х<^2к.
Из (13.3) для — «<*<« находим:
2(-iri4^=f- (13-9)
Из (13.1) для — ъ^х^к
2 (- 1)™^=^=^. (13.10)
Из (13.4) для ООО
00
у sin (2/г + Ох л ПЗШ
Z. 2/1+1 — 4* V • 7
Из (13.2) для 0<*^*
00
yi со&(2п-\-\)х к* — 2пх (1312)
Zi (2л+ 1)8 "*" 8 * V • /
л=0
С помощью вычитания из равенства (13.7) равенства (13.11)
найдем для 0<^х<^ъ:
У™*1^^*-2*, (13.13)
п—1

48
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[гл. i
а с помощью вычитания равенств (13.8) и (13.2) для
О «£ х ^ тс:
оо
п cos 2 яд: 6 а:' — 6 пх + я"
у cos I пх
Zi (2 «)2 "
24
(13.14)
п = 1
Установленные равенства позволяют получить выражения для
сумм некоторых числовых рядов.
Так при х = 0 из (13.8) и (13.10) находим:
И'_14-^-4-^+^4- * —i-L + L-l-L.
q — 1 Г 2* | З9 ' 4'~'" ' 12 2я ' 3я 4я ' * * *
я
При лг = 2" Равенство (13.11) дает:
i=i_L + L_Lj_
4 3 • 5 7 * "•
§ 14. Комплексная форма ряда Фурье. Пусть функция
f(x) интегрируема на отрезке [ — тс, тс]. Составим для нее
ряд Фурье:
00
/(X) ~ J -f ^ (°п C0S ПХ + *» Sitl ПХ)> (14Л>
я= 1
ап = ~ \ f(x) cos nxdx
(/i = 0,l,2,...),
£„= - \ f(x) sin nxdx
* (л=1,2,...).
(14.2)
Воспользуемся известным тождеством Эйлера,
связывающим тригонометрические функции с показательной:
е1<р = cos <p -j- i sin <р.
Из этого тождества легко вытекает, что
eif 4- е—h . е{ч — е—*9
cos<p = —^ , sin<p = 2/—•
§14] КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬВ 49
Поэтому можем написать:
ginx -f- е—*пх
cos пх = •
2
einx — е—fox . —г'л*4- e—fo*
smnjc = ^ = * ^
Подстановка в (14.1) дает:
/(^)_|о + 2(^^^ + ^4^^-). (14.3)
я = 1
Если положить
«.,=*, сп = а-^г**, С_П = М^ («=1,2,...), (14.4)
то /я-я частная сумма ряда (14.3), а значит, и ряда (14.1)
может быть записана так:
т т
sm (-*) = со + 2 ('«*"" + '_„<?-*") = 2 '«***• О 4-5)
ге =1 я = — т
Поэтому естественна запись
00
я*)~21 c**""- (14,6)
л = — оо
Это и есть комплексная форма ряда Фурье для f(x).
Сходимость ряда (14.6) нужно понимать как существование
предела при т — оо симметричных сумм (14.5).
Коэффициенты сп, дающиеся формулами (14.4),
называются комплексными коэффициентами Фурье функции
f(x). Для них справедливы соотношения
Cn = L\ Кх) e~in*dx (« = 0, it 1, ± 2,...). (14.7)
— я
Действительно, в силу тождества Эйлера и формул (14.4)
— к
Я It
==2я \ f(x)cosnxdx — i \ f(x)sir\nx dx\=z£
— it —я

50 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [гЛ. I
для положительных индексов и
— я
к *
= — V f{x) cos nxdx-\-i \ / (х) sin nxdx =
—ж —ic
=-2" К+ #«)=*-«
для отрицательных индексов.
Полезно иметь в виду, что для действительной функции
f(x) коэффициенты сп и с_п являются взаимно
сопряженными комплексными числами- Это сразу следует из (14.4).
Заметим, кстати, что формулы (14.7) могут быть
получены и непосредственно, подобно формулам (14.2) (см.
§ 6), если предположить, что в (14.6) вместо знака «^^»
стоит знак « = » и законно почленное интегрирование.
Действительно, умножая обе части равенства
оо
k = — оо
на e~inx и интегрируя (справа — почленно) по отрезку
[—тс, тс], находим:
к
f f(x) e-in*dx = 2яс„, (14.8)
—я
так как для k-фп (см. § 5)
1С
ck= [e^k-n)xdx =
— К
1С
— ck \ lcos № — n)x-\-i sin (k — ri) x] dx = 0,
— ic
т. е. все интегралы справа, кроме соответствующего
номеру k = n, равны нулю, а для k = n приходим к числу
2тссл. Формулы (14.7) сразу следуют из (14.8).
§ 16] функции периода 2/ 51
§ 15. Функции периода 21. Если нужно разложить в
тригонометрический ряд функцию f(x) периода 2/, то мы
полагаем х = — и получаем функцию 9(0=/(—) периода
2тс (см. § 3). Для 9(0 можем составить ряд Фурье
со
* (о ~ -£- -ь 2(Ля cos nt+b* sin nt)> (1бЛ)
л = 1
где
ic it
a„ = -^-f <p(Qcosn*<# = -i- f fl^Acosntdt
— 1С _K
(л = 0, 1, 2,...),
1С It
fcn=-i-f <p(t)sinntdt= -if fUL\sinntdt
— 1С —it
(и=1, 2,...).
Возвратившись к прежнему переменному л:, т. е. положив
. пХ
t= -J-, получим:
/w~-^+2(^«*:7L+*-,ta~)' <ls-2>
где
л=1
/
о-п = у \ f(x) cos ^j~ dx (n = °' lp 2" * *)•
*л = у J /(-*) sin ^d* (л = 1,2,...).
(15.3)
Коэффициенты (15.3) и здесь называются
коэффициентами Фурье для f(x), а ряд (15.2) — рядом Фурье для f(x).
Если в (15.1) имело место равенство, то и в (15.2)
будет равенство, и наоборот.
Можно было бы и прямо строить теорию для рядов
вида (15.2), отправляясь от тригонометрической системы вида
, ПХ . ПХ ППХ . ППХ ,. _ ..
1, cos-^-, sin—,..., cos-у-, sin — ,..., (15.4)

62 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [ГЛ. I
подобно тому как мы делали это для основной
тригонометрической системы (5.1). Система (15.4) состоит из
функций с общим периодом 2/ и, как легко проверяется,
ортогональна на всяком отрезке длины 2/. Рассуждения §§ 6,
7, 10, 12, 14 можно было бы повторить применительно
к системе (15.4), что приводит к формулировкам,
аналогичным приведенным в этих параграфах (с заменой
тс на /).
В частности, вместо функции f(x) периода 2/ можно
рассматривать функцию, заданную на отрезке [—/, /]
(или на каком-нибудь другом отрезке длины 2/ с
соответствующим изменением пределов интегрирования в (15.3)),
причем ряд Фурье для такой функции тождествен с рядом
Фурье ее периодического продолжения на всю ось Ох.
Признак сходимости § 10 с заменой периода 2тс на период 2/
продолжает «работать».
В случае четной функции f(x) формулы (15.3)
принимают вид
i
an = —\f(x)cos7:~dx (n = 0, 1, 2,...),
Ъ (15.5)
Ьп = 0 (л=1, 2,...),
а в случае нечетной f(x)
ап = 0 (п = 0, 1, 2,...)
i
bn=-p\/(x)sm~-dx (л = 1, 2,...).
Этим обстоятельством, как и в § 12, можно воспользоваться
для разложения в ряд по косинусам или по синусам функции,
заданной лишь на отрезке [0, 1\ (с помощью четного,
или, соответственно, нечетного ее продолжения на
отрезок [—/, 0]).
В комплексной форме ряд (15.2) записывается так;
+ оо iitnx
(15.6)
§ 15] функции периода 2/ 63
где
или же
Оо
со— о > сп
I innx
*п = £ £/(*)«' ' dx
(я = 0, ztl, ±2,...),
— °п — Мп _ ап + ton ,
? ''-Л
(я = 1, 2,...),
Пример 1. Разложить в ряд по косинусам функцию
fix), определяемую равенствами
/(*) =
COS-у- ДЛЯ 0*^X^2 >
О
ДЛЯ -х<^Х^1.
График f(x) вместе с ее четным продолжением на
отрезок [ — /, 0] и последующим периодическим
продолжением (по периоду 21) изображен на черт. 23.
У
I О
I I
г
Черт. 23.
Признак сходимости, очевидно, приложим всюду. Для
2<^х*^1 имеем f(x) = 0, и поэтому
2_
I
д0=-
а.
}/(*>**=■§•}«"*» =4.
\Пх)см^0х = 1 Г cos^cos^rf*.

54
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
[ГЛ. I
КХ
Здесь выгодно сделать подстановку — =t. Получим
я
"2
я
"2
ап = - \ cos t cos ntdt = ~ \ [cos (n-\- l)^-J-cos {n—l)t]dt
Отсюда
it
"2
t-4
If/ n* i 1чл 1 Г sin 2^ , Лг=="2 1
в1=Т^(сов2#+1)Л=т[-т-+^в0=-2,
l_rdn(n+l)f + «ln(i«-l)M*-j- >
« 1С L Я+1 ' Л— 1 J, = 0 V ^ '
Следовательно, для нечетного п ^> 1
a„ = 0
и для четного п
n
2( l)2
йп== я (я* — 1)' *«==0 (Я==Ь 2»---)«
Таким образом,
oo
1,1 тис 2 \i (— l)n Ъспх
—\- jr- cos -. 7 \ , t cos —r- =
я ' 2 / я ^ 4и8 — 1 /
COS у , O^X^j ,
0, ^O*^/.
На всей оси Ох ряд сходится к функции, изображенной
на черт. 23.
Пример 2. Разложить в ряд Фурье по синусам
функцию f(x), определяемую равенствами
/(*) =
X, O^AT^-r,
График f(x) вместе с ее нечетным продолжением на отре-
8ок [ — ДО] и последующим периодическим продолжением
(по периоду 21) на всю ось Ох изображен на черт. 24.
§ 15]
ФУНКЦИИ ПЕРИОДА 2/
55
Признак сходимости приложим всюду;
ап==0 (л = 0, 1, 2,...),
„ = |f/(AT)sin^^:
=~ f хsin Z»Ldx+ 7 J" С—*)sin^dx (я=1, 2,...).
Черт. 24.
яд:
Полагаем — = t. Тогда
1С
Т
*я = ^з §tsmntdt + ^a ^(n — f)slnntdt =
я
~2~
т
2/ Г * cos лЛ * . 2/ Г ....
= ^l H*-o+iSiJC08,rf4tf +
о
Поэтому
4//. тех °"'~7 | "" I \
'-Т
я
. Зпх
sm
5ядг
2»
X ДЛЯ O^Jf:
/— AT ДЛЯ ^ <><-£.
На всей оси Ох ряд сходится к функции,
изображенной на черт. 24.

56 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ [гЛ. I
Упражнения к гл. I
1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = еах для — те < х < те,
а = const, афО.
Ответ:
оо
^о* = Ьг + 7 о ■ а (о cos ял:— я sin ял:)
те [2а ±4 и8+о J
Я=1
(— я < л: < те).
2. Разложить в ряд Фурье функцию /(л:) = cos ал: для
— те ^ х ^ те (с не является целым числом).
Ответ:
оо
2 . Г 1 . V / 1\и ° cos ял* 1. _ .
cos ал: = —sin ате —-4- 7 (—0 —s г- (— я ^ ■* =^ я).
те [2а ' а^ х а8 — я3 Jv -—->-/
n=l
3. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)= sin ax для
— те < х <Z те (а не является целым числом).
Ответ:
оо
. 2 . 'V / 1\я я sin ял: . _ .
sin ах = — sin ате > (— 1) —; г- (— я < л: <: те).
те AJ а8 — я8
п=1
4. Пользуясь разложением из примера 2, доказать, что
оо
—=-+У (- d4-j- 4——1
sin г г ' ^i * ' \_z — nn [ z-\- яте J'
л=1
dg—i+f [_!_+-J-1,
6 г ^ jLi \_z — яте^г + пп]'
где г — любое число, не являющееся целым кратным те.
5. Воспользовавшись разложением из примера 1, разложить
еах -\- е~ах
в ряд Фурье функцию ft (х) =ch ах= —-^ (косинус
гиперболах g-ax
лический) (— те^лгг^Сте) и функцию /в(л:) = shах = —:—=
(синус гиперболический) (— те < х < те).
Ответ:
оо
chax = |sha7c^-|-21 (~ 1)П ««Та5 cos "*]*"" * ^ Х ^ л)'
га=1
оо
sh ах =- sh ате У (— 1)л х g ? g sin л* ( — я < x < те).
те aj «8-f-as
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. I
57
6. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию f(x) = sin ax
для О^лт^те (а не является целым числом).
Ответ:
sin ax
и = 1
1 + cos ате у со5(2я+1).у „,<*<,Л
+ 2fl те L а8-(2я+1)8 (°^*^*).
я=0
Что будет при а целом?
7. Разложить в ряд Фурье для — те <: х < те функцию,
заданную условиями
О для — те <: л: < О,
л: для 0^л:<те.
Ответ:
/w-C
те COS яте — 1 1
an = —- a = b = f — lV-1 —
0 2' я я8те • n { l} n'
*, \ я 2 ii sin 2x 2 _ ,
/(•*)=X~"~n" cos* + sta* 2 9re cos3* +
. sin Зл; sin Ax
4 о 1— ... (— те < л: < те).
8. Разложить в ряд по косинусам функцию, заданную условиями
1 для 0^x^.h,
<л:«^те.
Ответ:
,, . f 1 для 0s
/(*) = {()дляП
х, \ 2й ГI , V sin ял 1 ._ _ _, .
/(•*) = — Iу + 2d ~W C0S ** I ( ^л:<те),
п= 1
за исключением значения х = Л, где сумма ряда равна у (почему?).
9. Проделать то же для
10,
2Л<л:^те.
Ответ:
™=Щ+ 2 (^)8<Н «><«*•*
п=1

58
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
|ГЛ. I
!0. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f(x),
определяемую равенствами
Дх) =
. ИХ г, /
sin -у- для 0 ^ х < ^,
О для -^ < х <: / .
Отвепк
00
(—1)лп . 2ппх
/W^dn^-iJ&^T-in^ «><^^0,
л = 1
/ 1
за исключением значения х = -*-, где сумма равна ^.
11. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию /(х),
определяемою равенствами
/(*) =
. их л_. _ /
sin— для 0^л:<-|г,
. лл; / _ .,
— sin -у для -х < л: ^ /.
Ответ:
4 vin cos 2
fin COS 7Г
— 2 , пял:
sin —j- =
4/2
= - j^ Sin
2ял-
я=2
4 . 4«лг
б . бтслг
35 8Ш —
-)
(O^x^l), за исключением значения д: = —f где сумма ряда
равна 0.
12. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
Ч1Х
, / = const, />0.
/w=
COS
Ответ:
[_ 2яял: .
1 ^п cos ~Т~ Л
п=1 J
ГЛАВА II
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 1. Определение. Нормированные системы.
Бесконечная система действительных функций
<Ро(4 9iС*). <ft»(*) ?«(■*)>••• (1.1)
называется ортогональной на отрезке [а, Ь\, если
\
{пфт\ п = О, 1, 2,...; /я = О, 1, 2,...).
(1.2)
Будем также предполагать всегда, что
ь
9я (х) dx ^0 (л = 0, 1,2,...). (1.3)
а
Условие (1.2) выражает попарную ортогональность
функций системы (1.1). Из условия же (1.3) вытекает, что
никакая из функций этой системы не равна тождественно
нулю.
Мы уже имели дело с частными случаями
ортогональных систем: с основной тригонометрической системой
1, cosjc, shut,..., cosnx, sinnx,..., (1.4)
ортогональной на любом отрезке длины 2эг, и с обшей
тригонометрической системой
. жх . -кх ппх . %пх - ,+ -ч
1, cos —, sin — ,..., cos-p, sin-т-,..., (1.5)
ортогональной на любом отрезке длины 2/ (см. §§ б и
15 гл. I).

60 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
Система (1.1) называется нормированной, если
ь
J?" (*)<** = 1 (л = 0, 1,2,...).
а
Всякую ортогональную систему можно нормировать.
Это означает следующее: всегда можно подобрать
постоянные }t0, щ,..., ft,,... так» чтобы система
IVPoO*)» Wt\(■*).•■•» (VPn (*)>•••>
которая, очевидно, по-прежнему ортогональна, была уже
и нормированной. Действительно, из условия
ъ ь
£|£ ?!(*)<** = 1*1 Jtf (*)<**=! (л = 0, 1, 2,...)
следует, что
1*11=
(дг)с?лг
а
Наконец, введем обозначение
yi*
pji=|/|ri
IIТ. 11= "I/ }<(l(x)<lx (и = 0, 1, 2,...)
и назовем это число нормой функции <?„(.£). Если система (1.1)
нормирована, то, очевидно,
II9.11=1 (л = 0, 1, 2,...).
§ 2. Ряд Фурье по данной ортогональной системе.
Сейчас мы по существу дела повторим рассуждение § 6
гл. I. Пусть f(x) задана на отрезке [а, Ь] и может быть
представлена в виде суммы ряда по функциям
ортогональной системы (1.1), т. е. всюду на [а, Ь]
/С*) = <VP„ (х) + с1<?1 (х) +.., + сп<?п (*) + ...., (2.1)
§ 2] РЯД ФУРЬЕ ПО ДАННОЙ ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ 61
где с0, сх,..., сп,... — постоянные. Поставим себе
задачей вычислить эти постоянные. Для этого делаем
допущение, что. ряды
fix) ?я (■*) = ^о (•*) <?л (х) -f с,9, (х) ?„ (х) -f • • •
• • • + сп-1¥„-1 (*) <Р„ (-*) + *„ тД (л:) + с„+!«ря+1 (х) ?„(*)+...
(л = 0, 1, 2,.. .) (2.2)
(результат умножения равенства (2.1) на <рп(х)) можно
интегрировать почленно по отрезку [а, Ь]. В силу (1.2)
такое интегрирование дает:
ъ ь
\ f(x) ?я (■*) dx = cn \ <рД (х) dx (п = 0, 1, 2, ...).
а а
Поэтому
Ь Ь
\ f (х) <ря (х) dx j / (х) <р„ (лг) dx
сп = а—ь = - (л = 0, 1, 2, ...). (2.3)
**(*)** |Ы|"
5
Предположим теперь, что заданную на отрезке [а, Ь]
функцию f(x) мы хотим разложить в ряд по функциям
системы (1.1), хотя и не знаем заранее, возможно такое
разложение или нет. Если такое разложение возможно (и
возможно почленное интегрирование, о котором говорилось выше),
то мы в силу изложенного необходимо приходим к
формулам (2.3). Поэтому в поисках нужного нам разложения
функции f(x) прежде всего естественно рассмотреть ряд
с коэффициентами, дающимися формулами (2.3), и
посмотреть затем, не окажется ли этот ряд сходящимся к f(x).
Коэффициенты, вычисляемые по формулам (2.3),
называются коэффициентами Фурье функции f(x) no
системе (1.1), а соответствующий ряд ее — рядом Фурье по
этой системе.
Если система (1.1) нормирована, то формулы для
коэффициентов Фурье получают особенно простой вид. Именно:
ъ
ся==J /(л) ?„ (х) dx (л = 0, 1,2,...). (2.4)

62 ортогональные системы [гл. и
До тех пор пока не установлено, что ряд Фурье
действительно сходится к f(x), мы пишем:
f(x) ~ с090 (х) + c,9i (x) -f-... + с„9„ (х) +...
Следует, однако, заметить, что даже в случае, когда
ряд Фурье оказывается расходящимся (а это иногда
действительно имеет место), он все же обладает рядом
замечательных свойств, о которых будет сказано ниже.
Если функции системы (1.1) непрерывны и ряд
справа в (2.1) сходится равномерно, то легко доказывается
равномерная сходимость, а следовательно, и возможность
почленного интегрирования ряда (2.2) (см. доказательство
теоремы 1 § 6 гл. I). Отсюда сразу вытекает
Теорема. Если функции системы (1.1) непрерывны
и для f(x) имеет место равенство (2.1), причем ряд
справа сходится равномерно, то этот ряд есть ряд
Фурье для f(x).
§ 3. Примеры простейших ортогональных систем.
Помимо уже упоминавшихся ортогональных систем (1.4)
и (1.5), укажем еще следующие.
I. Система
1, cos х, cos 2jc,..., cosnx,...
ортогональна на отрезке [0, тс].
Действительно,
С cosnxdx=[^~Y^Q=0 (л = 1,2,...), (3.1)
что означает ортогональность функций cosnx и 1. Далее,
Л cosnxcosmxdx = -= \ [cos(n-{-m)x-\-cos(n—m)x]dx=
= 2 \ cos (п ~\~ т) х dx -J- -s \ сое (п — т) х dx = О (п ?ь т),
о о
как это следует из (3.1). Тем самым и доказана
ортогональность системы I.
§ 3] ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 63
Для ряда Фурье по системе I сохраним запись, принятую
в гл. I, т. е. будем писать:
/ (х) ~ 2° ~h at cos x -f a* cos 2х -f-... -f an cos nx -f...
Применительно к такому обозначению коэффициентов
Фурье формулы (2.3) дают:
go о_
2 -~ *
it
J/(*)rf*
J =~§f(x)dx,
l-dx
"6
an
it
J
Ho
f(x) cos nx dx
n (л=1, 2,...).
I cos2 nx dx
i
{ cos* nxdx=\ l + c^2^rfjC=|.
Поэтому можем писать:
к
ап= — \ f(x) cosnx dx (w = 0, I, 2, ...).
Мы, естественно, пришли к тем же формулам (12.3),
которые мы получили в гл. I для ряда по косинусам.
II. Система
sin х, sin 2x, ... , sin nx, ...
ортогональна на [0, те].
Действительно,
it it
^ sinn* sinmxdx= К [cos (л — m) x — cos (л -f- m) x] dx = 0
Ь о
для п^ьт (см. (3.1)).

64 ортогональные системы [гл. и
Для ряда Фурье по системе II, как и в предыдущем
случае, сохраним запись, принятую в гл. I:
f(х) ~ Ьх sin x-\-bi sin 2х -f... -\-Ьл sin nx-\-...
Тогда в силу (2.3)
it
I f(x) sin nxdx
bn=L («=1,2, ...).
sin9 nxdx
Так как
i
\ sin2 nxdx= 1 g
1 — cos 2nx j *
—a x=-o-,
TO
bn = - \f(x) sin nxdx (n = l, 2, ...),
'■=4-
т. е., как и следовало ожидать, мы пришли к формулам (12.4),
полученным нами в гл. I для ряда по синусам.
III. Система
sin х, sin Sx, sin 5x, ... , sin (2 л-f l)x, ...
ортогональна на 10, у .
Действительно, для пфт, п = 0, 1, 2,..., т = 0, 1, 2 ,...
1С
2
S
sin (2л + 1) jc sin (2m -\-l)xdx =
я
[cos 2 (л — /я) jc — cos 2 (л -f- т + 1) дт] rf.*r:
1 Г sin2(n — т)х'\ * _ 1 Г sin 2(rt + w + 0*1 * — 0
~~ 2 L 2{n-m) Jx-o " 2 L 2(n + w + l) ]*-o
1С л
2 1 Г r.S« О /я _L »i _l_ П *- 1 '
§ 3] ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ 65
Формулы (2.3) для коэффициентов Фурье дают:
1С
2
I
f(x) sin (2л + 1) х dx
cn=i («==0, 1, 2,...).
2
(2л + \)xdx
i sin81
Ho
1С *
2 2
5 ч ,n 1,ч j f 1 — cos (4л -f- 2) * . «
sina(2/i-f-1) xdx= \ 2 —dx = l'
и поэтому
*п-Ц
cn = j \f(x)sin(2n+l)xdx (л = 0, 1, 2, ...). (3.2)
Заметим, что к разложению функции f(x), заданной на
отрезке 0, ]Н, по системе III можно прийти, отправляясь от
основной тригонометрической системы, подобно тому как мы
пришли в § 12 гл. I к разложению в ряд косинусов или в
ряд синусов функции, заданной на отрезке [0, те], с помощью
ее четного или нечетного продолжения на отрезок [—те, 0].
Для этого расширим понятие четности и нечетности
функции. Пусть f{x) задана на некотором отрезке оси Ох,
симметричном относительно точки x = i, или же задана на всей
оси Ох. Скажем, что f(x) четна относительно х = 1, если
для каждого h
/(/-*)=/(/+АХ
Это означает, что график функции у=/(х) симметричен
относительно прямой х—1 (черт. 25).
Для четной относительно х — 1 функции, очевидно,
l + o l
^ f(x)dx=2 С f{x)dx
i ' а 1-й
3 Г. П. Толстое

66
ОРТОГОНАЛЬНЫЙ СИСТЕМЫ
[гл. и
и, в частности (при а = 1),
21
\f(x)dx = 2^f(x)dx.
(3.3)
Скажем, что f(x) нечетна относительно х = 1, если для
каждого h
f(l-h) = -f(l+h).
Это означает, что график функции у=/(х) симметричен
Черт. 25.
относительно точки (/, 0) (черт. 26). Для нечетной
относительно х = 1 функции, очевидно,
1+а
V
\ f(x)dx—0
и, в частности,
1—а
2/
\f(x)dx = 0.
Произведение двух четных или двух нечетных относительно
Черт. 26.
х = 1 функций есть функция четная. Произведение же
четной и нечетной функций дает функцию нечетную.
Доказательство этого ничем существенным не отличается от
проведенного в § 11 гл. I.
§3]
ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
67
Пусть теперь f(x) определена на отрезке 0, ^- .
Продолжим ее на отрезок я-,« четным образом (черт. 27).
Получим определенную уже на отрезке [0,я] функцию g(x),
совпадающую с f(x) на 0, |- . Функцию g(x) разложим в
W
-п
г
о
Черт. 27.
V X
%
2
п
ряд по синусам (что равносильно нечетному продолжению
g(x) на отрезок [—тс, 0]—см. § 12 гл. I). Получим:
к
bn = -\ g{x) sin nxdx (л=1,2,...).
(3.4)
Заметим теперь, что функции системы III четны
относительно х = ^-. Действительно, для я = 0, 1,2,...
«in (2л+1) (=—*) =
= sin(2n-f 1)J cos (2л +1) ft —
— cos (2л + 1) ^ sin (2л -\- 1) ft =
= 81п(2л+1)| cos(2«-f-l)ft +
+ cos(2rt+l)^sin(2W-f-l)ft=sin(2W-f 1)(*-+ft),
так как
3*
я
cos (2л +1) ~ =0.

68 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ |гЛ II
Поэтому из четности относительно jc=£- функций g{x)
и sin(2n-}-l) следует в силу (3.3) и (3.4):
п
*ал+1 = - J g (■*) sin (2w 4- 1) x dx =
з
*=~;§f(x)sln{2n+l)xdx
(л = 0, 1,2,...).
С другой стороны, функции sin 2пх(п = 1, 2,...)
нечетны относительно х = ^, так как
sin 2л (S- — h j = sin эгл cos 2nh — cos irw sin 2nh =
= — (sin icn cos 2лЛ -f- cos тел sin 2лЛ) = — sin 2n [^- -j- h).
Поэтому произведения g(x) sin 2пдг (n = 1, 2,...)
представляют собой функции, нечетные относительно х=^-.
Следовательно,
я
*»я = - I #(■*) sin 2nxdx = 0 (п = 1, 2,...).
Таким образом, функция ^(jc), а значит и f(x),
оказывается разложенной в ряд по синусам, все четные
коэффициенты которого равны нулю. Нечетные же
коэффициенты даются формулами (3.4), совпадающими с (3.2).
Это довольно длинное рассуждение мы привели для того,
чтобы к рядам по системе III можно было прилагать признак
сходимости § 10 гл. I, сформулированный нами для функций
периода 2те. Из нашего рассуждения следует, что признак
этот нужно применять к функции, получающейся из f(x)
сначала четным продолжением на отрезок I у ,я , затем
нечетным продолжением полученной функции на отрезок
[—те, 0] (на черт. 27 изображен график функции у=/(х)
вместе с ее упомянутым сложным продолжением) и, наконец,
§ 3] ПРИМЕРЫ ПРОСТЕЙШИХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ
69
периодическим продолжением результата (по периоду 2те) на
всю Ох.
IV, V. Системы
, кх 2ялг „„„ ппх
1, COS у , COS — , ... , COS —
t * •
. пх . 2плг .„ ппх
sin у , sin— sin — ,...
ортогональны на отрезке [0, /].
Действительно, интегралы от парных произведений
функций каждой из этих систем сводятся к соответствующим
■кХ ,
интегралам для систем I и II с помощью подстановки — = г.
Этим же путем для коэффициентов Фурье получаются
формулы (15.5) и (15.6), найденные нами в § 15 гл. I.
VI. Система
, ъх . Ъъх . 5юс „,^(2я + 0"*
sin ту-, sin ^- , sin ~2j- sin 2/ • • • •
ортогональна на отрезке [0, /].
ПЛ .
Действительно, с помощью подстановки t^ = i получаем:
т.Х
\
s{nQn^s[n(2^l^dx=s
= |Z С sin(2n-f-l)rsin(2/w+l)frfr = 0 (л ф т),
поскольку все свелось к ортогональности функции системы III.
Для коэффициентов Фурье по системе VI находим:
С , . (2я + 1) их .
\f(x)stnK \} dx
\)ъХ
,„=L =sj^)sin№^.
j*.a+?
dx

70 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. И
Впрочем, если мы хотим разложить в ряд Фурье по
системе VI функцию f(x), заданную на отрезке [0, /], то
с помощью подстановки -^j = t задачу можно свести к
разложению функции <р(£)=/ (—1, заданной на |о»тг|»
в ряд по системе III, от которого можно вернуться к
нужному ряду по системе VI с помощью возврата к
переменной х.
Отсюда следует, что к рядам по системе VI (а такие
довольно часто встречаются в приложениях) приложим
признак сходимости § 10 гл. I, поскольку он приложим
к рядам по системе III.
В дальнейшем мы встретимся и с ортогональными
системами, образованными из функций более сложной
природы, нежели тригонометрические (бесселевы функции
и др.).
§ 4. Функции с интегрируемым квадратом.
Неравенство Буняковского. Будем говорить, что функция f(x),
заданная на отрезке [а, Ь], есть функция с
интегрируемым квадратом, если она сама и ее квадрат интегрируемы
на [а, Ь]. Всякая ограниченная интегрируемая функция
обязательно есть функция с интегрируемым квадратом.
Это не всегда так для неограниченных интегрируемых
функций. В самом деле, интеграл
i
С dx
существует, но интеграл
Jyr
о
уже не существует.
Пусть 9 (х) и ф (х) заданы на [а, Ь] и являются
функциями с интегрируемым квадратом. Заметим прежде всего, что
из элементарного неравенства
ИК у <*" + «-
§ 41
ФУНКЦИИ С ИНТЕГРИРУЕМЫМ КВАДРАТОМ
7t
следует интегрируемость функции | уф | *). Рассмотрим теперь
для произвольного постоянного X соотношение
ь ь ь ь
f (9 + 40* dx= f cp2^-f-2X f ytydx-j-k* ^fdx^O
и положим
b
S\<fdx = A, \^dx = B, f fdx = C.
Тогда
Л + 2ЯХ + СХ*^0
при любом X. Следовательно, график квадратного
трехчлена
,х = Л + 2ВХ-}-СХв,
представляющий собой- параболу, расположен над осью ОХ,
возможно касаясь ее (черт. 28).
Черт. 28.
Отсюда следует, что наш трехчлен не может иметь
различных действительных корней (так как тогда график
*) Отсюда, кстати следует, что функция с интегрируемым
квадратом всегда абсолютно интегрируема (обратное, мы видели,
не всегда верно). Чтобы убедиться в этом, достаточно в нашем
рассуждении положить ty (х) = 1.

72 ортогональные системы [гл. и
пересекал бы ось ОХ в двух точках). Поэтому для
дискриминанта трехчлена обязательно
В* — АС*^0
или
В**£АС.
Вспомнив наши обозначения, получим:
ъ ъ ь
(f ^dx)**^ f <fdx- ^fdx. (4.1)
Мы получили очень полезное неравенство, называемое
неравенством Буняковского.
Из установленного нами следует, что сумма любого
конечного числа функций с интегрируемым квадратом
является также функцией с интегрируемым квадратом.
Действительно, для двух функций
ь ъ ъ ь
f(<P-H)8tf-*=J <?dx + 2 f <?tydx+ ffrfjc.
а а о а
От двух слагаемых перейти к любому их числу уже не
составляет труда.
§ б. Квадратичное уклонение; его минимум. Пусть
f(x) — произвольная, заданная на отрезке [а, Ь] функция
с интегрируемым квадратом. Рассмотрим многочлен п-го
порядка по системе (1.1):
«и (■*) = ЬЪ С*) -Ь ЬЪ (■*) + ••. + Тя?я С*)» (6.1)
где fo, Ti» •■•» Тя — постоянные. В силу наших
предположений относительно системы (1.1) все уп{х) являются
функциями с интегрируемым квадратом (см. (1.3)).
Поэтому и многочлен оя (дг), и разности f(x) — ап (х) (п = 0, 1, 2,...)
также представляют собой функции с интегрируемым
квадратом.
Рассмотрим величину
ъ
K=^[f(x)-cn(x)fdx, (5.2)
а
которую будем называть квадратичным уклонением
многочлена ол (л:) от функции f(x).
§ б] КВАДРАТИЧНОЕ УКЛОНЕНИЕ; ЕГО МИНИМУМ 73
Можно различными способами оценивать меру
уклонения многочлена ап(х) от функции f(x). Мы за эту меру
примем квадратичное уклонение, особенно удобное в теории
рядов Фурье.
Поставим себе задачу: при данном п выбрать
коэффициенты -jo, Ti» •■•» Тл так» чтобы квадратичное
уклонение Ьп было наименьшим.
Из (6.2) следует:
ь ь ь
&„=£/* №d*—2 J /с*) °»с*)dx+У °»с*)dx- (5-3>
о п а
В силу (5.1)
b n ft
[f(x)cn(x)dx=y^k \f(x)<?k(x)dx.
i * Л i
Но согласно (2.3)
ь
J/С*) ?*(*)<** = «* II 9* II" & = °> 1. 2, ■■•).
а
где сь — коэффициенты Фурье функции f{x), и поэтому
ft я
\ fix) on (х) dx=y^ ch ||rf. (5.4)
Далее,
ь ъ п
a a fe=0
ft n
= J ( Jfltl (■*) + 2 ТрТ,М*>М*>) dx =
я ft ft
=21т* У?* и^+2ТрТ9 У «м*) **<■*)**•
Последняя сумма распространена на всевозможные
неравные индексы р и q, не превосходящие п. В силу
ортогональности системы (1.1) эта сумма равна нулю. Таким

74 ортогональные системы [гл. и
образом,
Ь л
J ой (*)<** = 2 т* II?» II'. (5-5)
а А=0
(5.4) и (5.5) подставляем в (5.3). При этом получим:
Ъ п п
К= У Р{x)dx- 2^ Wk II ?* II8 + 2т* II 9* И" =
= У /■(*)** + 2^-Т*)1. II П IIе - |>|1| П IIе.
в ft=0 k~=0
Ь п
Здесь I /3 (*) rfjc = const и У с% || <рА ||в = const (не зависит
fe-=0
от То» Ti» T«»---)» и поэтому величина 8„ будет, очевидно,
минимальной тогда, когда
л
2(<*-т*Л1?п1Г=о»
А=0
что равносильно условиям
Tfc = *fe (^ = 0, 1, 2, ..., л).
Итак, квадратичное уклонение будет минимальным
в том случае, когда коэффициенты многочлена (5.1)
являются коэффициентами Фурье. При этом, обозначив
минимальное уклонение через Дя, получим:
ь п
дп=у [я*) — 2 **** с*) ]"«**=
а А=0
= У/8 И dx-^clW П IIе- (5.6)
Это выражение показывает, что с ростом п величина Дл,
оставаясь положительной, может только уменьшаться,
т. е. с ростом л частные суммы ряда Фурье дают более
точное " приближенное представление функции f(x) (за меру
погрешности принято квадратичное уклонение).
§ 7| ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 75
§ 6. Неравенство Бесселя и его следствия. Так как
Дл^0, то из (5.6) следует:
ь л
\p{x)dx^ 2I*II**II1-
О k — 0
В этом неравенстве л произвольно. Сумма справа с ростом
л может только возрастать. Поэтому, будучи
ограниченной постоянной величиной (интеграл слева), эта сумма
при и -► со имеет конечный предел, т. е. ряд
со
15»
ft=0
сходится и
2<* II ** 1Г
00
у/ч*)**^2с*||<р*1г- (6Л)
Мы получили очень важное неравенство Бесселя. Из
сходимости ряда справа сразу вытекает, что
Нтся||9я||=0. (6.2)
л-»оо
Если система (1.1) была нормированной, то
неравенство Бесселя получает вид
b оо
\/\х)йх^^с%
о А=0
и, следовательно, ряд из квадратов коэффициентов Фурье
оказывается сходящимся.
Ив (6.2) для нормированной системы находим:
\\mcn = Q,
п-+оо
т. е. коэффициенты Фурье стремятся к нулю при п -*■ со.
§ 7. Полные системы. Сходимость в среднем.
Система (1.1) называется полной, если для любой функции f(x)
с интегрируемым квадратом имеет место равенство
Ь оо
\/\х)йх = ^с1\\^Г (7.1)
а *«=0

76 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 1!
(вместо неравенства Бесселя). Здесь, как и выше,
ck(k = 0, 1, 2,...) — коэффициенты Фурье функции fix).
Равенство (7.1) будем называть условием полноты
системы (1.1).
Отметим сразу такое простое следствие условия
полноты:
Теорема 1. Пусть fix) и Fix)— функции с
интегрируемым квадратом, причем
/C*r)~<VPo (*)-f с&х (x)-{-...,
F (х) ~ С0<ро (■*) + Ci?i (■*) + •••
и система (1.1) полна. Тогда
Ь оо
J f{x) F (x) dx=2 ckCh || ?Jt ||e. (7.2)
a fe = 0
В самом деле, сумма f(x) -j- F (x) и разность/(дг) — F(x)
являются функциями с интегрируемым квадратом, причем
для первой коэффициентами Фурье служат числа ck-\-Ck
и для второй — числа ck — Ck. В силу условия полноты
Ь со
\ [/{*) +Fix)?dx = 2^ + C»)1 II <Р* IIе,
a fc=0 -
b oo
f \№-F(x)?dx = %(сь-с*У II ?* II8-
a ft-=0
Отсюда с помощью вычитания получаем:
6 оо
4 f f(x)F(x)dx = 2 4ckCk || ?A У9,
a k = 0
что и доказывает равенство (7.2).
К важным выводам приводит следующее предложение.
Теорема 2. Для того чтобы система (1.1) была
полна, необходимо и достаточно, чтобы для любой
функции f(x) с интегрируемым квадратом выполнялось
равенство
ь п
lim f f/ (х) ~УскП (x)Jdx = 0, (7.3)
а к—О
§ 7] ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ. СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ 77
где ck (k=0, l, 2, ...) — коэффициенты Фурье для
функции f(x) no системе (1.1).
Действительно, условие полноты равносильно такому
условию:
ь п
а *-=0
Остается вспомнить равенство (5.6).
При выполнении равенства (7.3) говорят, что ряд Фурье
сходится к fix) в среднем. Поэтому теореме 2 можно
дать новую формулировку:
Для того чтобы система (1.1) была полна,
необходимо и достаточно, чтобы ряд Фурье для любой
функции f{x) с интегрируемым квадратом сходился к ней в
среднем.
Нужно заметить, что обычная сходимость ряда Фурье
к функции, для которой он составлен, не всегда имеет
место, хотя бы система (1.1) и была полной. Тем не менее
нами доказано, что для полных систем сходимость в среднем
всегда имеет место (речь идет о функциях с интегрируемым
квадратом).
Замеченное справедливо, в частности, в применении
к тригонометрической системе (ее полнота будет доказана
в § 2 гл. V).
Наше замечание показывает важность понятия
сходимости в среднем и позволяет рассматривать эту сходимость
как обобщение обычной сходимости. Последнее, правда,
будет вполне правомерным, если мы докажем, что ряд
Фурье может сходиться в среднем лишь к одной функции.
Но это (с некоторой оговоркой) действительно так.
В самом деле, пусть наряду с (7.3) имеет место
равенство
ь п
21 ИF {x) -2 е*** {x)}dx=°- (7-4)
a fc = 0
Воспользовавшись элементарным неравенством
(a -f bf ^ 2 (а* -J- П

78
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. И
получим:
о
0< J [F(*)-/(*)]■«** =
а
Ь
= J [{рм - 2Cfc<?k (x))+(2.Ck<?k (x) -fM)]dx
2j[F(*)- ^ '***(*)]"** +
А=0
b
Отсюда в силу (7.3) и (7.4)
V
§[F{x)—f{x)Tdx = 0.
Из положительности подынтегральной функции
вытекает, что в точках ее непрерывности
F(x)=f(x).
Точек же разрыва — конечное число. Таким образом,
функции F(x) и f(x) совпадают между собой всюду,
исключая, может быть, конечное множество точек. Такие
функции в теории рядов Фурье вряд ли следует
различать, поскольку значения функции в отдельных точках
на поведение ряда Фурье никак повлиять не могут (так
как коэффициенты Фурье выражаются через интегралы,
а последние не зависят от значений функций в конечном
числе точек!).
Изложенное позволяет сделать такой вывод:
Теорема 3. Если система (1.1) полна, то всякая
функция f(x) с интегрируемым квадратом вполне
определена (с точностью до значений в конечном числе точек)
своим рядом Фурье независимо от того, сходится этот
ряд или нет.
§ Я] ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА ПОЛНЫХ СИСТЕМ 79
Это нужно понимать в том смысле, что никакая
другая функция, существенно отличная от данной (т. е.
отличная более чем в конечном числе точек), не может иметь
тот же самый ряд Фурье.
§ 8. Важнейшие свойства полных систем. Мы
установим сейчас несколько весьма важных предложений.
Теорема 1. Если система (1.1) полна, то не
существует непрерывной функции f(x), не равной нулю
тождественно и ортогональной ко всем функциям
системы.
Действительно, ортогональность f(x) ко всем
функциям системы означает равенство нулю всех ее
коэффициентов Фурье. Тогда из условия полноты (7.1)
вытекает, что
ь
f(x)dx = 0,
а отсюда в силу непрерывности f(x) следует:
/(■*) = 0.
Теорема 2. Если система (1.1) полна, функции
системы непрерывны и ряд Фурье для непрерывной
функции f(x) сходится равномерно, то его сумма
совпадает с f(x).
В самом деле, пусть
f(x) ~ с0<Ро (•*) + ЗД (*)+... + с„<?„ (х) -f-...
Положим:
s (х) = с0<Ро (х) + Ci?i (■*) + ••• + М>* (•*) + •■• (8-1)
Из непрерывности функций системы (1.1) и равномерной
сходимости ряда вытекает непрерывность его суммы,
т. е. непрерывность функции s(x).
Из теоремы § 2 следует, что ряд (8.1) есть ряд Фурье
для s(x).
Таким образом, непрерывные функции f(x) и s(x)
имеют одинаковые ряды Фурье.

80 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. II
Но тогда из теоремы 3 § 7 вытекает:
f(x)=ES(x)
и в силу (8.1)
f(x) = с0<ро (х) + см (х) -f- ... + сп<?п (*) + ...
Теорема 3. Если система (1.1) полна, то ряд
Фурье для каждой функции f(x) с интегрируемым
квадратом можно интегрировать почленно, независимо от
того, сходится он или нет.
Иными словами, если
f(x) ~ с0<ро (х) + *i<Pi С*) + • ■ • + СпУп С*) 4" • • •»
то
j/w
)^ЛГ:
*1
С?ЛГ =
^o J?e(*)rfx + ci ]<?i(x)dx-\-...-{-cn ^<?n(x)dx +...,
ДГ1 ДГ1 Xt
(8.2)
где Art и х9 — любые точки из отрезка [а, Ь].
Действительно, предположив для определенности, что
х\ "С! хг> получим:
X* П X» Х% П
| ) fix) dx — 2 ck £ <?k(x)dx I ^ J |/(*)—21 *****•*>
*i *=0 xi xi k=0
Ь п
a *=0
—.- - _
<")/ § [fix)- 2, Wk(*)Jdx ■ J 1 ■<** (8-3)
(мы воспользовались неравенством Буняковского — см. § 4).
По теореме 2 § 7 последний член в (8.3) стремится
к нулю при п-+оо. Поэтому
Хш П Хв
Нш [ J f{x) dx - 2 Ck \ 9k (x) dx] = О,
"-*00 *! ft-0 Xi
что равносильно равенству (8.2).
§ 9] критерий полноты системы 81
§ 9. Критерий полноты системы. Ввиду важности
понятия полноты системы целесообразно дать для этого
по возможности простой признак. Весьма удобным
представляется следующий.
Если для всякой непрерывной на [а, Ь] функции F(x),
каково бы ни было число е^>0, существует многочлен
<»nC*)==WoC*) + Ti?iC*) + ... -\-1п<?п(х),
для которого
ь
J [F (х) — ап (х)]8 dx <: е, (9.1)
а
то система (1.1) полна.
Действительно, прежде всего отметим, что для всякой
функции f(x) с интегрируемым квадратом существует
непрерывная функция F(x), для которой
ь
§[f(x)-F(x)]*dx^e. (9.2)
а
Этот факт геометрически довольно ясен. Однако для
читателя, не представляющего себе этого вполне отчетливо,
приведем доказательство.
функция f(x) может иметь лишь конечное число точек
разрыва. В частности, она может иметь лишь конечное
число точек, вблизи которых является неограниченной.
Каждую такую точку можно заключить в промежуток
столь малой длины, чтобы сумма интегралов от функции /2
по этим промежуткам была меньше -г. Положим
вспомогательную функцию Ф(л0 равной f(x) вне упомянутых
промежутков и равной нулю внутри их. Ф(х) ограничена,
может иметь лишь конечное число разрывов, и, очевидно,
ь
j [/(*)-Ф С*)]8 d*<:|. (9.3)
a
Каждую точку разрыва функции Ф(лг)в свою очередь
заключим в столь малый промежуток, чтобы для их

82
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. II
суммарной длины / выполнялось условие
где М — какое-нибудь число, превосходящее |Ф(лг)| для
а <: х ^ Ь.
Рассмотрим, наконец, непрерывную функцию F(x),
равную Ф(лг) вне только что упомянутых промежутков
и линейную внутри каждого
из них (черт. 29). Очевидно,
о
f [Ф(*) — F(x)]*dx
4
(9.4)
f Точка разрыва
Черт. 29.
Из (9.3) и (9.4) в силу
неравенства
(а -|- Ь)* ^2 (а8 -f ft8) (9.5)
получаем:
О v
§[f(x)-F(x)]4x=§[(f(x)-0(x))+(<b(x)-F(x))]4x^
а а
Ь Ь
< 2f [/(дг) —Ф(д:)]8^ + 2J [Ф{х)~F(x)]*dx*^e.
а а
Это доказывает, что функция F(x) удовлетворяет
условию (9.2).
Чтобы доказать критерий полноты, рассмотрим
многочлен оп(х), для которого справедливо неравенство (9.1).
Применение неравенства (9.5) дает:
ь ь
^[f(x)~cn(x)]4x=^[(f(x)-F(x))-\-(F(x)-on(x))]4x^
а а
Ь Ь
^2*\[f{x)—F(x)]4x-\-2§[F{x)—on(x)]*dx^4t. (9.6)
§ 10] АНАЛОГИЯ С ВЕКТОРАМИ 83
Теперь вспомним, что многочлен с коэффициентами
Фурье дает минимальное уклонение (см. § 5).
Поэтому из (9.6) вытекает:
ь п
а *=1
Отсюда в силу (5.6)
Ь п
0<J/«(Jf)rfJC-2I^ll^llf<4^
а значит, и
b оо
0^\/*{х)<1х-2с%Ш*^Ь.
а й=1
Так как е произвольно, то мы получаем (7.1), т. е.
полнота системы (1.1) доказана.
§ 10*. Аналогия с векторами. Пусть в пространстве
даны три взаимно-перпендикулярных (ортогональных)
вектора i, /, k произвольной длины. Если мы хотим
заданный вектор г разложить в сумму вида
r=ai + bj-\-ck, (10.1)
что сводится к вычислению скалярных коэффициентов
а, Ь, с, то поступаем так:
Обе части равенства (10.1) умножаем скалярно сначала
на i, затем на j и, наконец, на k. В силу
ортогональности этих векторов при этом получаем:
(г, 0 = в|1|\
(r,J) = b\J\\
(г, k) = c\k\\
откуда
Знаком абсолютной величины мы обозначаем длину
вектора.

84 ортогональные системы [гл. п
Допустим теперь, что мы, зная разложение (ЮЛ),
хотим вычислить длину вектора г. Для этого умножаем
равенство (10.1) скалярно на г. В результате получим:
Ив = я(г, 0+ 6(г, j) + c{r, к)
или, воспользовавшись равенствами (10.2),
|г|* = а2|*|2 + *2|У|а-|-с2|*|в. (10.3)
Величины a\l\, b\j\, c\k\ представляют собой
проекции вектора г на направления векторов /, J, к.
Следовательно, равенство (10.3) есть известное выражение
квадрата длины вектора через его проекции.
Если теперь наряду с вектором г мы рассмотрим еще
вектор
R=M-\-Bj-\-Ck (10.4)
и скалярно перемножим г и R, то (ЮЛ) и (10.4) дадут:
(г, R) = aA\i\* + bB\j\* + cC\k\\ (10.5)
Читатель, внимательно ознакомившийся с содержанием
настоящей главы, сразу усмотрит аналогию между нашими
рассуждениями в отношении рядов Фурье и только что
проведенными рассуждениями о векторах.
Действительно, условимся каждую функцию с
интегрируемым квадратом, заданную на отрезке [а, Ь],
трактовать как обобщенный вектор. Скалярное произведение
таких обобщенных векторов определим равенством
ь
(?» т*)= §<p(x)q(x)dx.
а
Тогда
ь
M2=j<P* (*)<** ==(?>¥)•
а
Ортогональную систему
Ъ(х)> <Pi(■*)>•••> <?п(*)>•-- (Ю-6)
§10] аналогия с векторами 85
будем рассматривать как систему ортогональных векторов,
что вполне согласуется с нашим определением скалярного
произведения. Если нам задана функция f(x) с
интегрируемым квадратом и мы хотим представить ее рядом
по системе (10.6)
f(x) ~ ад С*) -Ь с№ (*) + ••• + сп<?п (■*) + •••.
то рассуждения, приведшие к соотношениям (10.2),
приведут нас к равенствам
г —(/> Уи) (п = 0 1 2 1
ся — || „ it а \п — и» 1' ^> •' v»
в которых мы узнаем формулы для коэффициентов Фурье
(см. (2.3)). Эти же самые рассуждения мы проделали в § 2.
В условии полноты (7.1) читатель узнает обобщенную
формулу (10.3), а в равенстве (7.2) — формулу (10.5).
Кстати о термине «полнота».
Так как любой вектор г из трехмерного пространства
может быть представлен в виде (10.1), т.е. в виде линейной
комбинации векторов i, j, k, то естественно систему этих
трех векторов именовать полной системой.
Не так дело обстоит, если мы пытаемся произвольный
вектор г из трехмерного пространства представить в виде
линейной комбинации не трех взаимно ортогональных векторов,
а, например, двух — i к / В общем случае мы не сможем
добиться равенства вида
r-=ai + bJ,
причем для коэффициентов а и Ь, полученных по формулам
(10.2), очевидно, справедливо неравенство
\r?is**\t\% + b*\jt (Ю.7)
(знак равенства будет лишь в случае, когда вектор г лежит
в плоскрсти векторов i и J).
Таким образом, двух ортогональных векторов
недостаточно, чтобы с помощью их представить любой вектор
пространства, и мы говорим поэтому, что система двух
ортогональных векторов не полна.
Аналогичные соображения имеют место и при
разложении в ряд Фурье. Если система (10.6) удовлетворяет условию

86
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[гл и
(7.1), то она оказывается столь «богатой» функциями — мы
выражаем это словами «полная система», — что всякая
функция с интегрируемым квадратом оказывается представимой
своим рядом Фурье (в смысле сходимости в среднем).
Если же система (10.6) не удовлетворяет условию (7.1),
то мы говорим, что она не полна. Можно было бы доказать,
что для каждой неполной системы всегда имеются функции
с интегрируемым квадратом, к которым их ряды Фурье не
сходятся в среднем.
В неравенстве Бесселя (7.1) читатель без труда усмотрит
аналог неравенства (10.7).
Случай нормированной системы (10.6) соответствует
случаю, когда векторы /, / k являются единичными векторами;
и в том и в другом случае все формулы упрощаются. Так,
формулы (10.2) получают вид
a = (r, i), b = (r, j), c = {r, k)
(здесь a, b и с совпадают с проекциями вектора г,
соответственно, на i, j и k), а формулы для коэффициентов
Фурье становятся такими:
сп = (/. <Р«) (я = 0, I, 2, ...).
Читателю, хотя бы немного знакомому с векторами
в я-мерном пространстве, где имеется п взаимно
ортогональных векторов, аналогия, о которой мы говорили, представится
еще более естественной, хотя переход от п взаимно
ортогональных векторов к бесконечному множеству их (поскольку
мы ортогональную систему функций трактуем как систему
векторов), как бы велико ни было п, все же нельзя
рассматривать лишь как количественное изменение, так как
налицо и качественный скачок — вместо обычных сумм
появляются ряды и сходимость в среднем.
ГЛАВА Ш
СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
РЯДОВ ФУРЬЕ
§ 1. Неравенство Бесселя и его следствие. Лля
основной тригонометрической системы
1, cosjc, sinx,..., cos nx, sinnx,... i1**)
получаем:
l|| = l/ j" l-dx= /2тг,
Л
|| cos nx ||=l/ \ cos* nxdx= /n (« = 1,2,...),
-V)
sin nx ||= I/ \ sin-nx dx = ^ (n=l, 2,...).
—it
Пусть f(x) — функция с интегрируемым квадратом,
заданная на отрезке [—тс, тс]. В применении к системе
(1.1) неравенство Бесселя (см. § 6 гл. И) приобретает вид
J/2(JC)^^(-f-)2-lllll2+2(G«llcos^ll2+^ilsin^ll2)
ИЛИ
f f\x)dx^ [^ J ■ 2* + 2 К + Ь%) ■ *,
—* п=1

88 сходимость тригонометрических рядов фурье [гл. ш
откуда
Л 00
-1 j Г (х) dx ^f + 2 (fl« + Ю- (1 -2)
В такой именно форме и принято писать неравенство
Бесселя для случая основной тригонометрической системы.
Позднее будет доказано (см. § 3 гл. V), что фактически
имеет место равенство. Нам же пока достаточно
установленного неравенства (1.2).
Это неравенство содержит в себе утверждение о
сходимости ряда справа. Следовательно, справедлива
Теорема. Ряд из квадратов коэффициентов Фурье
любой функции с интегрируемым квадратом всегда
есть ряд сходящийся.
Полезно заметить, что для всякой иной функции
(т. е. для всякой функции, квадрат которой неинтегрируем)
ряд из квадратов коэффициентов Фурье всегда
расходится. Этого мы доказывать не будем.
§ 2. Предел при п—-со тригонометрических инте-
ь ь
градов \ f(x) cos nx dx и I / (х) sin nx dx. Из предыду-
а а
щей теоремы сразу следует, что
\\man = \\mbn — Q (2.1)
л-»оо я-»оо
для любой функции с интегрируемым квадратом (поскольку
общий член сходящегося ряда обязательно стремится к нулю
при п —• со). Но
тс
ап = — \ f(x) cos nx dx,
—it
it
bn = — \ f(x) sin nx dx,
и поэтому
It К
lim V / (x) cos nx dx = lim \ f(x) sin nxdx=0. (2.2)
n-*oo J Jl-»oo J
—* —*
§ 21
ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛОВ
89
Отсюда следует, что
ь ь
lim \ f{x) cos nx dx = lira \ / (x) sin nx dx = 0, (2.3)
n-»oov n-+ao v
a a
каков бы ни был отрезок [а, Ь] (пока мы предполагаем, что
f(x) — функция с интегрируемым квадратом, хотя позднее
от этого требования откажемся).
Действительно, допустим сначала, что а <^ Ь <: а -\- 2т:,
т. е. Ь — а<:2тс, и положим g(x)=f(x) для а^х^Ь,
g(x) = 0 для b <[ х <: а ~\- 2т:. Функция g(x), очевидно,
с интегрируемым квадратом на отрезке [а, а -}- 2т:].
Продолжим ее периодически (по периоду 2т:) на всю ось Ох.
Тогда по свойству периодических функций
V g (x) cos nx dx = i g(x) cos nxdx,
a —it
откуда в силу (2.2)
и + 2* я
lim I g(x)cosnxdx = \\m I g(x) cos nxdx = 0.
n-»oo J n-*co J
a — я
С другой стороны, из определения функции g(x) следует,
что
а + 2я ъ
\ g(x)cos nx dx = 1 f(x) cos nx dx,
и поэтому
о
lim f/(x)
Л-+00 tJ
cos n* cfjtr = 0.
Для второго интеграла в (2.3) рассуждение такое же.
Если же b — а ^> 2т;, то отрезок [а, Ь] можно разбить
на конечное число частичных отрезков с длиной, не
превосходящей 2т:, для каждого из которых свойство,
выраженное равенством (2.3), уже доказано. Но тогда это свойство
будет справедливо и для всего отрезка.
Теперь мы освободимся от требования того, что f(x)
есть функция с интегрируемым квадратом.

00
СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ II!
Более того, мы освободимся и от требования, что п
является целым числом.
Для этого нам понадобятся две леммы, довольно
очевидные с геометрической точки зрения.
Лемма 1. Пусть /0*0 непрерывна на отрезке [а,Ь].
Для всякого е]>0 существует непрерывная и кусочно-
гладкая функция g(x) такая, что
|/(*) —*(*)!<• (2.4)
для всех х(а^х^Ь).
Доказательство. Разобьем отрезок fa,b] на части
точками вида
a = x0<xl<xi<...<xm = b
и в качестве g{x) возьмем непрерывную функцию, для
которой g(xk)—f(xk) (k = 0,l,2,...,m) и которая ли-
Черт. 30.
нейна на каждом отрезке [xk_u xk] (k = 1,2, .... т).
График функции y — g(x) представляет собой ломаную линию
с вершинами на кривой у=/(х) (черт. 30); g(x)— очевидно,
кусочно-гладкая функция.
Так как /0*0 непрерывна, то части, на которые мы
разбили отрезок [а, Ь], можно взять столь малыми, чтобы
для любого х из [а, Ь] было справедливо (2.4).
Лемма 2. Пусть f(x) абсолютно интегрируема на
отрезке [а, Ь]. Для всякого е ^> 0 существует
непрерывная и кусочно-гладкая функция g(x) такая, что
ь
§\f(x)-g(.x)\dx^*.
(2.5)
§ 2] ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛОВ 91
Доказательство *). Функция f(x) может иметь лишь
конечное число точек разрыва и, в частности, лишь
конечное число точек, вблизи которых она не ограничена. Каждую
такую точку заключим в промежуток столь малой длины,
чтобы сумма интегралов от функции |/0*01 по этим
промежуткам не превосходила числа s.
Пусть Ф(х) — вспомогательная функция, равная f(x) вне
упомянутых промежутков и равная нулю внутри их. Ф(х)
ограничена, может иметь лишь конечное число разрывов и,
очевидно,
ь
f I/O*) — Ф 0*0 I dx ^ \. (2.6)
а
Каждую точку разрыва функции Ф(х) в свою очередь
заключим в столь малый промежуток, чтобы для суммарной
длины / этих промежутков выполнялось условие
где М — какое-нибудь число, превосходящее |Ф(л0| ДЛЯ
а «^ х ^ Ь.
Рассмотрим непрерывную функцию F(x), равную Ф(х)
вне только что упомянутых промежутков и линейную внутри
каждого из них (см. черт. 29 гл. II). Очевидно,
ь
| Ф 0*0 — F(x) | dx < 2М/ ^ j. (2.7)
а
Наконец, по лемме 1 существует кусочно-гладкая
непрерывная функция g(x), для которой
(а^х^Ь), откуда
ь
§\F{x) — g(x)\dx*£j. (2.8)
а
*) Приводимое доказательство основано, на той же идее, что и
доказательство формулы (9.2) гл. II.

92 сходимость тригонометрических рядов фурье [гл. ш
Из (2.6), (2.7), (2.8) вытекает:
ь ь
§\f(x)-g(x)\dx=§\[f(x)-<&(x)] + [<b(x)-F(x)] +
а а
ь
+ [F(x)-g(x)]\dx<:$\f(x)-<b(x)\dx +
а
Ъ Ь
+ £|Ф(*) —F(*)|rf.*+ J \F(x)-g(x)\dx^t,
а а
что и требовалось доказать.
Замечание. Если f(x) — абсолютно интегрируемая и
периодическая функция, то и функцию g(x) можно взять
периодической.
Теорема. Для любой абсолютно интегрируемой
функции
ь ь
lim \f(x) cos mxdx = lim 1 f(x) sin mx dx — 0, (2.9)
причем т не предполагается целым.
Доказательство. Пусть е — произвольно малое
положительное число. В силу леммы 2 существует непрерывная
и кусочно-гладкая функция g(x), для которой
(2.10)
Рассмотрим
о
£/(■*)
cos mx dx
О 0
\ [/(•*) — g(x)\ cos mxdx~\- I g(x) cos mxdx
a a
1b
fix) — g{x) I dx -J- \ g (x) cos mx dx .
(2.11)
§ 21
ПРЕДЕЛ ИНТЕГРАЛОВ
93
Интегрируя по частям, получим:
'{*<*>
cos mx dx =
о
— ]ц[е(х) sin тх]Хх ~ * — I J ^ (д:) sin mx dx.
Выражение в квадратных скобках и интеграл справа, очевидно,
ограничены. Поэтому для всех достаточно больших значений т
о
\ g(x) cos mxdx
(2.12)
В силу (2.10) и (2.12) из (2.11) вытекает, что для всех
достаточно больших т
U(x)
cos mx dx
т. е.
lim
т-юо
J/M
cos mx dx ■
Для второго интеграла (2.9) рассуждение то же. Теорема
доказана.
Если мы вспомним формулы для коэффициентов Фурье,
то из доказанной теоремы получим другое следствие:
Коэффициенты Фурье для любой абсолютно
интегрируемой функции стремятся к нулю при п-+оо.
В начале параграфа это свойство нами было доказано
для функций с интегрируемым квадратом, а теперь мы его
распространяем на любые абсолютно интегрируемые функции.
Следует заметить, что при отказе от условия абсолютной
интегрируемости функции коэффициенты Фурье уже могут и
не стремиться к нулю при п~*оо.

94 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬВ [ГЛ. III
§ 3. Формула для суммы косинусов. Вспомогательные
интегралы. Докажем, что
sin (я-f -Ли
-=-f-cos и-f-cos 2w-}-...-f-cos пи = 1 '-—. (3.1)
2 sin 2
Для этого сумму слева обозначим через 5. Очевидно,
2S sin -JJ — sin -2 + 2 cos и sin -^ -f- 2 cos 2и sin 4! -f*...
... -+- 2 cos nu sin |.
Прилагая к каждому произведению справа формулу
2 cos a sin р = sin (а -\- р) — sin (а — Р),
найдем:
ос • « . в , / . 3 . в\ |
2Ssin-jj = sin g -f- (sin -gи — sin о) "Г
-f-(sin-gи — sin 2«)-+-•• •
...-|- rein (л-f- J" —sinfn— yJKj = sinfrt-f Ли.
Отсюда
sin [n + - J в
S=
2 sin I
что и требовалось доказать.
Установим еще две вспомогательные формулы.
Проинтегрировав равенство (3.1) по отрезку [ — тс,я] u разделив
результат на я, получим:
* sin (л-f-Ив"
2
каково бы ни было л (так как интегралы от косинусов
равны нулю).
Нетрудно сообразить, что под интегралом в (3.2) стоит
четная функция (смена знака у и меняет знак и в числителе
§ 41
ФОРМУЛА ДЛЯ РЯДА ФУРЬЕ
95
и в знаменателе, и, следовательно, отношение остается
неизменным). Поэтому
1 } зш(«+-2-)в j °c sin (n+~)u
1 \ V ±j—d„=±. \ V £/_</„_* (3.3)
b 2 sin -2- Лп 2 sin у
§ 4. Интегральная формула для частной суммы ряда
Фурье. Пусть f(x) имеет период 2я и
00
f(x) r*~> у -j- Л (ak cos Лл: -f- £ft sin kx).
Положим:
л
sn (x) == у -f- 2 (fl* cos A* + ** sin Ллг).
Подставив сюда выражения для коэффициентов Фурье,
получим:
л я
— ж *-»!—«
+ f /(0 sin « Л • sin kx\ =
— «
я л
= — \ /(0 -к- -}- У (cos Л* cos £лг-}- sin Atf sin Ллг) Л=
я U1
я я
=^Ул«[т+2совЛ('-*)]л'
*»i
или, воспользовавшись формулой (3.1),
-« eta Г (я + 4-)(#-дг)1
dt.
w —— v
2 sin

96 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. Ш
В этом интеграле произведем замену переменного, положив
i — х = и. Это даст:
1 с sin (л+ 1) и
sin
cfw,
-*-* 2 sin у
sin
(л+ ~)и
Функции /(л:-}-и) и — по переменному и имеют
период 2т: (см. равенство (3.1)), а отрезок [—те— х, те— х]
имеет длину, равную 2т:. Следовательно, интеграл по этому
отрезку совпадает с интегралом по отрезку [—те, тс] (см.
§ 1 гл. I), и мы получаем:
« sin In + у) "
s„ С*) = j /(* + «) " £*- du • (41)
v 9 cin
2
Эта интегральная формула для частной суммы ряда
Фурье позволит нам установить условия, при которых может
быть гарантирована сходимость ряда к функции f(x).
§ 5. Правая и левая производные. Предположим, что
функция f(x) непрерывна в точке х справа, т. е.
f(x-\-0)=f(x). Скажем, что fix) имеет в точке х правую
производную, если существует конечный предел
lim/(*+„)-/W=/.Wj l51>
Если же f(x) непрерывна в точке х слева, т. е.
f(x — 0)=f(x) и существует конечный предел
Ит/(* + ц)-/(*)=/:(лг)( (52)
а <;0
то скажем, что f(x) имеет в точке х левую производную.
В случае, когда f'+(x) — fi (x), функция f(x) в точке х
имеет, очевидно, обычную производную, численно равную
§ 5] ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ПРОИЗВОДНЫЕ 97
общему значению правой и левой производных, т. е.
кривая y—f(x) в точке с абсциссой х имеет касательную.
В случае же, когда f+(x) Ф f'_{x), но та и другая
производные существуют, кривая j/=/(at) имеет «излом», и
можно говорить о наличии правой и левой касательных
(на черт. 31 указаны
стрелками).
Пусть теперь х есть
точка разрыва первого рода.
Тогда, если существует
конечный предел (вместо (5.1))
1О0
!Л(*).
(5.3)
Черт. 31.
то мы опять говорим, что /(лг) в точке х имеет правую
производную. Если же существует конечный предел
(вместо (5.2))
(5.4)
то мы говорим о наличии в точке х левой производной.
Существование правой производной в точке разрыва х = х0
равносильно существованию касательной при лп=зл;0 к
графику функции y=f+(x), совпадающей с f(x) для x>xQ
и равной /(лг0-|-0) при х = х0 (функция /+(лг) определена,
таким образом, лишь для х^Хц). Точно так же
существование левой производной при х = х0 равносильно
существованию касательной при лг = лг0 к графику функции
У=/-{х), совпадающей с f(x) для х<^0 и равной
/(*о — 0) при х = х0 (функция /_ (л:) определена для х^ аг0).
Так, для функции
fix)
' —л:8 для лг<^1,
0 для х— 1,
,/д7 ДЛЯ ЛГ>1,
4 Г. П. Толстов

©8 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. III
график которой изображен на черт. 32, в точке х=1,
являющейся точкой разрыва,
очевидно, имеем:
f+{*) = Vrx Для *^1,
/_(.*) = — х* для х< 1,
Черт. 32.
и, следовательно,
/10)—(-»*■)_—-з.
Соответствующие касательные изображены на чертеже
в виде стрелок.
§ 6. Достаточное условие для сходимости ряда Фурье
в точке непрерывности функции. Мы докажем, что в каж-*
дой точке непрерывности абсолютно интегрируемой
функции f(x) периода 2ж, в которой f{x) обладает
правой и левой производными, ряд Фурье сходится и
имеет своей суммой f(x). В частности, это будет
иметь место в каждой точке дифференцируемости f(x).
Пусть х есть точка непрерывности функции f(x),
в которой существуют правая и левая производные. Нужно
доказать, что
Umsn(x)=f(x).
п-*со
В силу (4.1) это эквивалентно равенству
ic sin (п + -о")и
Шп-±- \ /(дг+к)—* U—du =
/(*)• (6.1)
Из (8.2) следует:
sin
(п+±)а
—Я
2 sin
и
du.
§ 6] ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ 99
Поэтому вместо (6.1) можем написать:
« einU + T)u
lim J- V [f(x + и) -/(*) ] —* £*- du « 0. (6.2)
Задача, таким обравом, свелась к доказательству этого
равенства. Прежде всего установим абсолютную
интегрируемость функции
у („)-'<*+ И>-/<*> »/<* + «»)-/(*) ■ -J*_ (6.3)
2«in-£ и 2ein|-
(jc фиксировано).
Так как /(дг) в точке х обладает правой и левой
производными, то отношение
/(х+ «)-/(*)
и
(6.4)
остается ограниченным при и-*-0. Иными словами,
существует число 8>0, такое, что
/<* + «)-/<*) |<AfMC<W8t
дЛЯ — 8 «^ и <; 8. Так как при к ^ 0 это отношение может
иметь разрывы лишь там, где их имеет f{x-\-u) (а эта
функция, будучи абсолютно интегрируемой, поскольку
абсолютно интегрируема функция f(x), может иметь лишь
конечное число разрывов), то оно представляет собой
функцию, абсолютно интегрируемую на [—8, 8].
Вне отрезка [—8,8] отношение (6.4) представляет
собой произведение абсолютно интегрируемой функции
f{x~\-u)—f(x) на ограниченную функцию — (так как из
| и | з$= 8 следует, что — «^ -гЧ и поэтому является
функцией абсолютно интегрируемой.
Итак, отношение (6.4) представляет собой абсолютно
интегрируемую функцию как внутри отрезка [—8,8], так
и вне этого отрезка. Следовательно, абсолютная
интегрируемость имеет место и на [—я, я].
4»

100 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬВ [ГЛ. III
С другой стороны, функция
и
2elnf
(6.5)
непрерывна при й^Ой стремится к единице для и -*• 0 *).
Следовательно, она представляет собой ограниченную
непрерывную функцию (не определенную лишь для и = 0).
Таким образом, <$>(н) (см. (6.3)), представляя собой
произведение абсолютно интегрируемой функции (6.4) на
ограниченную функцию (6.5), сама является абсолютно
интегрируемой.
Но
" sin ( я + т) и
I [/(* + и) —fix)) * У— du»
28inT
= \ <р (к) sin (п + -g-J и du.
Поэтому в силу (2.9) отсюда следует равенство (6.2).
§ 7. Достаточное условие для сходимости ряда
Фурье в точке разрыва функции. Докажем, что в
каждой точке разрыва абсолютно интегрируемой функции
f(x) периода 2тс, в которой f{x) обладает правой и
левой производными, ряд Фурье сходится и имеет своей
суммой число /<* + 0>+/(*-0>.
В силу (4.1) нужно доказать равенство
нш!■(/(«+«) *(" + *)' du= 0£±3Lt£i£=S;
*) В силу известного равенства lim = 1.
а-»о а
§ 7] СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ В ТОЧКЕ РАЗРЫВА 101
Для этого достаточно установить, что
limlf/(,+H)4^|)ld„=/J£±i>, (7.1)
»-,0° 8 2 sin ~2
Iimlf/(, + ,,^|)l,a=/J^. (7.2)
в-со " J 9 sin 4-
Мы ограничимся доказательством равенства (7.1), так
как для (7.2), рассуждение ничем существенным не
отличается.
Ввиду (3.3)
sin
du.
2einf
Поэтому вместо (7.1) можем доказывать равенство
* eln(« + *-)u
lim i- V [/(* + H)-/(.r+0)]—* -р- de = 0. (7.3)
»-оо * i 2 sin -y
Сначала установим абсолютную интегрируемость на
отрезке [0, тс] функции переменного «:
, („л /(х + и)-/(х-\-0)=/(х + и)-/(х+0) t и
2 eln -у 2 sin -у
Так как /(дг) в точке х обладает правой производной,
то отношение
f(x + u)-f(x + 0) (я > 0) (? 4)
остается ограниченным при и-*0*). Отсюда (как и для
*) Для доказательства (7.2) вместо (7.4) пришлось бы
рассматривать
,(x + u)-f(x-0) {и<^
и

102 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬВ [ГЛ. III
отношения (6.4) в § 6) мы делаем заключение о его
абсолютной интегрируемости. Поскольку функция — огра-
2 sin-y
ничена, то абсолютно интегрируемой на [0, -к] оказывается
и функция у (к). Но
sin ( я + -у) и
I
[f(x + и) - f(x + 0)] * ^—du »
2siny
== V 9(к) sin [п-\--Ли du,
и, чтобы получить (7.3), остается применить (2.9).
§ 8. Обобщение достаточных условий, установленных
в §§ 6 и 7. Анализ доказательств, приведенных в §§ 6 и 7,
приводит к выводу, что существование правой и левой
производных в точке х потребовалось лишь для того* чтобы
можно было утверждать абсолютную интегрируемость
отношения
f(x + u)— f(x) «8
в § 6 (см. (6.4) и далее) и абсолютную интегрируемость
отношений
/(, + «)-/(* + <» (ц>0),)
и
/(* + «)-/(*-0) („<0)J
(8.2)
и
в § 7 (см. (7.4) и далее), где х фиксировано и отношения
рассматриваются как функции переменного к.
Следовательно, если мы эту абсолютную интегрируемость
потребуем (отказавшись от условия существования правой и
левой производных), то получим более общий признак сходимости:
Ряд Фурье абсолютно интегрируемой функции f(x)
периода 2тс сходится к f(x) в каждой точке непрерывности,
в которой отношение (8.1) представляет собой абсолютно
интегрируемую функцию переменного и, и сходится к
значению "ъ в каждой точке разрыва, в ко*
торой абсолютно интегрируемы оба отношения (8.2).
§ 9] СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬВ КУСОЧНО-ГЛАДКОЙ ФУНКЦИИ 103
§ 9. Сходимость ряда Фурье для кусочно-гладкой
функции (непрерывной или разрывной). Как следствие
§§ 6 и 7 может быть получена
Теорема. Если f(x) — абсолютно интегрируемая
функция периода 2тс, кусочно-гладкая на отрезке [а, Ь],
то ряд Фурье сходится для всех х, удовлетворяющих
условию а<^х<^Ь, причем его сумма равна f(X) в точ-
/(X_j_0)+/(x — 0)
ках непрерывности и равна значению ——' L
в точках разрыва (для значений лгжг и x*s*b
сходимость может не иметь места).
Теорема есть простое следствие того факта, что кусочно-
гладкая на [а,Ь] функция (см. § 9 гл. I) для каждого х,
а<^х<^Ь, обязательно имеет правую и левую производные
(и нам остается применить признаки §§ 6 и 7). Для точек
дифференцируемости функции это ясно. Для угловой точки
с помощью известной формулы Лагранжа мы получаем:
lim f(x + и) ~/{х) = lira /'(£) =. f\x + 0),
и-0 ц и-0
так как х<^£<[х-\-и, и, следовательно, t->x, t°^> х.
Подобным образом для точки разрыва функции:
ЦшЛ* + «)-Л* + 0) = итт =Пх + 0)<
и—0 и и-0
«>0 и5к0
Иными словами, и в угловой точке, и в точке разрыва
имеется правая производная. Существование левой
производной устанавливается аналогично.
Что касается концов отрезка [а, Ь], то из условия теоремы
следует существование лишь правой производной для х = а
и лишь левой производной для х — b. Следовательно,
признаки §§ 6 и 7 мы здесь применять не можем.
Если отрезок [а, Ь] имеет длину 2тс, то легко сообразить,
что f(x) оказывается кусочно-гладкой на всей оси Ох
(поскольку f(x) — периодическая функция). В этом случае ряд
Фурье оказывается всюду сходящимся. Мы получили то, что
составляет первую часть признака, сформулированного в § 10
гл. I. Вторая часть, касающаяся абсолютной и равномерной
сходимости ряда в случае непрерывности f(x), будет
доказана в следующем параграфе.

104 сходимость тригонометрических рядов фурье [гл. in
§ 10. Абсолютная и равномерная сходимость ряда
Фурье непрерывной и кусочно-гладкой функции
периода 2it. Пусть f{x)— непрерывная и кусочно-гладкая
функция периода 2те. Производная f\x) существует всюду,
за исключением угловых точек графика f(x), и является
ограниченной функцией (см. § 9 гл. I).
Поэтому, применяя формулу интегрирования по частям
(что дозволительно ввиду § 4 гл. I), получим:
я
ап = - \ f(x) cos nx dx =
—л
в h vwsin nx£Z~* - ^n \ f <*>sin nx dx>
—я
bn = - 1 f{x) sin nx dx =
— st
1С
—~~к l/(*} cos "*C-. + -к \ f№cos nx dx-
—*
Первые члены справа в обеих формулах обращаются
в нуль. Следовательно, если обозначить через а'п и Ь'п
коэффициенты Фурье функции /'(дг), то найдем:
<*« = —f, К=а~ (п=1, 2,...). (10.1)
Так как f'{x) ограничена и, следовательно, является
функцией с интегрируемым квадратом, то в силу теоремы
§ 1 ряд
00
11=1
сходится.
Рассмотрим очевидные соотношения
2^' + ^ СЮ.2)
§ 10] АБСОЛЮТНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ 105
откуда
-Ц^ + ^^^^ + едЧ-^ (я = 1. 2-..).
Справа здесь стоит член сходящегося ряда. Поэтому
сходится и ряд
га=1
Но тогда из (10.1) следует.
Для любой непрерывной кусочно-гладкой функции ряд
оо
я=1
сходится.
Замечание. Для доказательства сходимости ряда (10.3)
мы использовали лишь сходимость ряда (10.2). Последнее
будет иметь место для непрерывной функции f(x, периода 2it
всегда, когда f'(x) есть функция с интегрируемым
квадратом (f'(x) может и не существовать в отдельных точках *)).
Поэтому сходимость ряда (10.3) имеет место и в этом случае.
Теперь обратим внимание на очень простой, но и очень
важный факт. Пусть дан некоторый тригонометрический ряд
00
|° + У (ап cos nx -f bn sin nx) (10.4)
(заранее не предполагается, что этот ряд является рядом
Фурье для какой-либо функции). Тогда имеет место
Теорема 1. Если ряд
00
2KI + M (10-б>
л=1
сходится, то ряд (10.4) сходится абсолютно и
равномерно и, следовательно, имеет непрерывную сумму, для
которой, является рядом Фурье (см. теорему 1 § 6 гл. I).
Действительно,
\ап cos nx -J- Ьп sin пх\ ^ \ап cos пх\ + \ЬЯ sin пх\ ^ \ап\ + \Ьп\.
*) Иными словами, f(x) может не существовать в конечном числе
точек (для каждого периода).

106 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬВ [ГЛ. III
Таким образом, члены функционального ряда (10.4)
по абсолютной величине не превосходят членов
сходящегося числового ряда (10.6). Отсюда и вытекает
справедливость нашего утверждения (см. § 4 гл. I).
Из доказанного (см. также § 9) вытекает
Теорема 2. Ряд Фурье непрерывной кусочно-гладкой
функции f(x) периода 2тс сходится к ней абсолютно и
равномерно.
Мы получили вторую часть признака в § 10 гл. I.
Ив этой теоремы следует, что непрерывная и кусочно-
гладкая функция f(x) периода 2тс для больших п должна
Черт. 38.
хорошо аппроксимироваться частными суммами sn(x) ел
ряда Фурье (именно к этому и сводится сущность понятия
равномерной сходимости! — см. § 4 гл. I).
Для иллюстрации этого рассмотрим периодическую,
непрерывную и кусочно-гладкую функцию f(x), совпадающую
с |*| для —ъ^х^к. В примере 2 § 13 гл. I нами было
установлено, что
cos 5* . \
5» "Г • • •] •
т.
/Ю-- *.(«**+««*
з»
На черт. 33 изображен график f(x) и частной суммы
ее ряда Фурье
«/*л п 4 (~ | cos За: ■ cos 5x\
§11] РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЬЕ 107
Мы видим, что уже при л = 5 графики весьма близко
прилегают друг к другу.
Замечание на стр. 105 позволяет высказать следующее
обобщение теоремы 2:
Ряд Фурье непрерывной функции f(x) периода 2тс,
производная которой есть функция с интегрируемым
квадратом (последняя может и не существовать в
отдельных точках), сходится к f(x) абсолютно и
равномерно.
§ П. Равномерная сходимость ряда Фурье
непрерывной функции периода 2тс, обладающей абсолютно
интегрируемой производной. Лемма 1. Пусть /(х)—
непрерывная функция периода 2гс, обладающая абсолютно
интегрируемой производной {последняя может и не
существовать в отдельных точках), а ш (и) (а <: и ^ Р) —
функция с непрерывной производной. Тогда, каково бы ни
было число е>0, для всех значений х справедливо
неравенство
I f /С* + «)« (ц) sln ти du I «* s> 01Л)
лишь только т достаточно велико (т не предполагается
целым).
Доказательство. Интегрирование по частям дает:
i
f(x-\- и) ш (к) sin ти du =
= ~ [— /(л: + к) ш (к) cos/як]*"e-f-
Р
_|_ L С [f{x -f- и) ю (к)]' cos ти du. (11.2)
а
Скобка в правой части, очевидно, ограничена. Так как
У(х -j- и) ш (и)]' =/'{х -f и) ш (И; +/(* + и) а)' («), (11.3)

108 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. Ill
то отсюда легко вытекает и ограниченность интеграла справа.
Действительно, величины <о(и) и f{x -{- к) а/ (к) ограничены
и, следовательно, по абсолютной величине не превосходят
некоторой постоянной М. Но тогда в силу (11.3)
Р
1 [/ С* -f-к)ш (К)Г cos mu du U^
а
$|/Ч* + «)|<*« + Л!(Р-аХ
а
it
^Ж f \f'(u)\du-\-M($ — a) = const
—*
(мы воспользовались периодичностью функции f(x), а
значит, и \/'(х)\ и предположили, что р — а<:27с; последнее,
впрочем не существенно, но достаточно нам для
дальнейшего).
Раз скобка и интеграл в (11.2) ограничены, то
справедливость (11.1) становится очевидной.
Лемма 2. Интеграл
l=\j^Ldt (11.4)
ограничен при любом т и —ir^K^ir.
Действительно,
а и
/= f «Ч** dt -f f a> (0 sin /w* <ff, (11.5)
где положено
§11] РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДА ФУРЫ! Ю9
Применение правила Лопиталя позволяет убедиться в том,
что wit) и (о'(0 непрерывны (если принять ш(0) = 0).
Второй интеграл в (11.5), очевидно, ограничен. С другой
стороны, положив mt = x, получим:
а та
Ssin mt .. С sin x .
а этот последний интеграл, как легко сообразить, не
превосходит площади первой арки кривой у— ——- (черт. 34).
Черт. 34.
Тем самым ограничен каждый интеграл справа в (11.5).
Следовательно, ограничен и интеграл /.
Теорема. Ряд Фурье непрерывной функции f(x)
периода 2ic, обладающей абсолютно интегрируемой
производной {последняя может и не существовать в
отдельных точках), сходится к f(x) равномерно для всех х.
Доказательство. Рассмотрим уже подсчитанную нами
в § 6 разность
sn(x)-f(x)=l- \[f(x-\-u)-f(x)]^^du, (11.6)
Ji 2 sin g
где положено /изаея+д". Зададимся по произволу числом
е]>0. Пусть 8 — число, заключенное между нулем и <
Интеграл, фигурирующий в (11.6), разобьем на три интеграла
h, J» 4» соответственно, по отрезкам [ — 8, 8], [8, я],

110 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. III
I — it, —8]. Интегрирование по частям дает:
-\\f>{x + uy\^dt\du.
Л1 ff2Stag J
В качестве значения первого, члена справа [если учесть
четность функции -\ получим;
2 ein У
ъ
К/С* + 8) -/С*))+(/(*- 8) -/И)] • f ^ ^
« 2 sin|
откуда видно, что для всех достаточно малых значений 8
этот член по абсолютной величине не превосходит^
(поскольку f(x) непрерывна, а интеграл ограничен по лемме 2).
С другой стороны, в силу леммы 2
Щ''(*+Чщ^и
<M-$\f{x+u)\du=*M- J/чдл<£
—в д: — 8
(М — некоторая постоянная) для всех достаточно малых 8,
поскольку интеграл
V \f(t)\dt
есть приращение непрерывной функции
х
(jf0 фиксировано) и, следовательно, мал вместе с 8*).
*) Не нарушая общности, можем считать, что — я^х^я*
§ 12] ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ §11 111
Раз так, то
если только число 8 выбрано достаточно малым, каково бы
НИ быЛО X.
Далее,
|/.1<|(/(*+»)^л| + |}/(*)^л
'Г 2sinH- I Ijf 2 slnj
для всех х, если только л достаточно велико, как это
следует из леммы 1, где нужно принять а)(к)^= . Анало-
2 8inF
гичное неравенство получается и для интеграла /8. Но тогда
к(*)-/(*)|=~|/,+/а+'.к!в<*
«■*■-■-■ 7С
для всех х, лишь только л достаточно велико, что и
доказывает теорему.
§ 12. Обобщение результатов § 11. Что можно сказать
о характере сходимости ряда Фурье, если f(x) непрерывна
и обладает абсолютно интегрируемой производной не всюду,
а лишь на некотором отрезке? Этим вопросом мы и займемся.
Прежде всего усилим лемму 1 § 11:
Лемма. Пусть f(x) — абсолютно интегрируемая фун-
кция периода 2гс, а (о(н) (а^и^р) — функция с
непрерывной производной. Тогда, каково бы ни было число е ^> 0,
для всех х справедливо неравенство
II
!
f(x -f- к) <о (к) sin mu du U^ e, (12.1)
лишь только число т достаточно велико (т не
предполагается целым).
Доказательство. Пусть | о> (и) | ^ М, М — const.
Выберем непрерывную и кусочно-гладкую функцию g(x)

112 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬВ [ГЛ. III
периода 2гс, так, чтобы выполнялось неравенство
1С
Jl/C*) — g{x)\dx^^
—«
(см. лемму 2 § 2, замечание). Тогда
i р
11
f(x -f- и) (о (и) sin mu du
9
■» I [fix -f- и) — £(■* + к)] ^ (w) sIn mu du -\-
а
Р
-f- \ #(■* ~Ь и)ш (и)sul wu ^и ^
а
«£ $ I [А* + и)-*(* + «)]<«> (и) К« +
а
Р
+ I \ g(x -f- к) sin mu du . (12.2)
а
Если т достаточно велико, то последний интеграл в силу
леммы 1 § И не превосходит я-.
С другой стороны,
[f{x + И) — g(X -f- U)] СО (И) | rfK *S§
р *
<Af-J|/(jp + h) —^(др+и)|ЛкЛ! J|/(jp)—s-(*)|d*:<~
о —*
(мы воспользовались периодичностью разности /(лг)— #(.*)
и предположили, что (3 — а<:2т:). Раз это так, то (12.1)
вытекает из (12.2).
Теорема. Пусть fix) — абсолютно интегрируемая
функция периода 2тс, непрерывная и обладающая
абсолютно интегрируемой производной на некотором отрезке
[а, Ь] Производная может и не существовать в
отдельных точках). Тогда ряд Фурье сходится к fix)
равномерно на всяком отрезке [а -}-8, Ь — 8] (8>0).
§ 12] ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ § 11 113
Доказательство. Если длина отрезка [а, Ь] не
меньше чем 2гс, то легко сообразить, что fix) оказывается
непрерывной для всех х, обладает абсолютно интегрируемой
производной и ввиду теоремы, доказанной в § 11,
сходимость оказывается равномерной на всей оси Ох. Остается
предположить, что длина отрезка [а, Ь] меньше 2it.
Введем вспомогательную непрерывную функцию Fix)
периода 2я, положив ее равной f(x) для а^х^Ь,
равной значению /(а) при j: = a-f-2it и линейной на отрезке
[Ь, а -{- 2ic] (черт. 35). Вне отрезка [a, a -f- 2т:] значения F ix)
F(bhf(a)
получаем периодическим продолжением. Легко сообразить, что
Fix) обладает абсолютно интегрируемой производной.
Положим Ф(дг)*=/(дг) — Fix). Эта функция абсолютно
интегрируема, причем
Ф(.*) = 0
цля а^х^Ь. Очевидно,
fix)-=Fix) + <l>ix)
и
It
—«
sin mu
9 «in " dU +
2siny
, 1 Ггж/ i ч * / м sin mu
+ -) [Ф (* + *)-<&(*)] -—^.dttsasIi + b (12<3)
— * 2
где положено m = n-f- -5-.

114 сходимость тригонометрических рядов фурье [гл. ш
Пусть е]>0 задано произвольно. В силу теоремы § 11
ряд Фурье для Р(х) сходится к ней равномерно. Но тогда
для всех х
lAKf. (12.4)
лишь только п достаточно велико.
Пусть теперь а-\-Ь^х^Ь — 8. Тогда Ф (х) = 0 и,
следовательно,
1С
i I f л / , ч eln та
* J О «In U
2 sinJ!-
2
Если —8<:н^8, то для рассматриваемых значений х
а^х-\-и^Ь
и, следовательно,
Ф(л:-|-и) = 0.
Поэтому
"i, 2sin£ *j 2sinJ|
и к каждому из этих интегралов остается применить лемму,
доказанную выше. В результате для a-j-8^.x:^&— 8 и
для всех достаточно больших п мы получим:
|/||<{. (12.5)
Из (12.4) и (12.5) в силу (12.3) следует, что для всех х из
отрезка [а-|г- 8, b — 8]
1*»С*)—/(*)<l/il + |/. К».
лишь только п достаточно велико. Это и доказывает теорему.
Замечание. Теорема справедлива, в частности, для
абсолютно интегрируемой функции f(x) периода 2тс,
непрерывной и кусочно-гладкой на отрезке [а, Ь].
Для иллюстрации теоремы рассмотрим кусочно-гладкую
нечетную периодическую функцию f(x), равную -j- для
0<^ДГ<Ся и равную —-J- для —%<^х<^0.
§ 13] ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ 116
В примере 5 § 13 гл. 1 было доказано, что
г, ч . , sin Зх , sin 5л: ■ sin lx ,
f(x)=smx-] _-|_ _^_-f _Т- -+-...
для хфкк (k = 0, ±1, ±:2), а в этих точках f(x) «0.
На черт. 36 изображены график f(x) и графики частных
сумм ее ряда Фурье:
$,(.*)= sin.*,
s8 (дг) з= sin л: ^-f-
б!пЗл-
ч »
. ч . . sin Зл: , sin 5л:
s9(x)=$mx-\ з-Н g—
»
, ч . , sin Зл: - sin 5л: - sin 7л?
$,(*)=« sin лг-j з~-| g | у—.
Чертеж ясно показывает равномерный характер
приближения частных сумм к f{x) на отрезках [—тс-}-&, — 8| и
[8, тс — 8] (8^>0), на которых/(дг) — гладкая функция.
Заметим, что число 8 может быть взято сколь угодно малым
(но отличным от нуля). При этом нетрудно сообразить, что
с уменьшением 8 для хорошей аппроксимации f(x) на
упомянутых отрезках (точнее говоря, для аппроксимации с
заданной степенью точности) нам придется брать частные
суммы с ббльшими номерами.
§ 13. Принцип локализации. Изменение значений
функции на некотором, хотя бы и малом, отрезке может
значительно изменить ее коэффициенты Фурье. Однако, если
абсолютно интегрируемая функция f(x) обладает в точке х
правой и левой производными или же непрерывна и обладает
абсолютно интегрируемой производной вблизи этой точки,
то в силу §§ 6, 7 и 12 ее ряд Фурье будет оставаться
сходящимся, как бы мы ни изменяли значения f(x) вне некоторой
окрестности рассматриваемой точки х. Это обстоятельство

116 СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ ФУРЬЕ [гЛ. III
Черт. 36.
§ 13]
ПРИНЦИП ЛОКАЛИЗАЦИИ
117
содержится как частный случай в следующем предложении,
называемом принципом локализации:
Поведение ряда Фурье абсолютно интегрируемой
функции /(х) в точке х зависит лишь от значений функции
в сколь угодно малой окрестности этой точки.
Это означает: если ряд Фурье был сходящимся в точке х,
то, как бы мы ни меняли значения функции (оставляя ее
абсолютно интегрируемой) вне некоторой окрестности (хотя
бы и очень малой) этой точки, ряд Фурье останется
сходящимся, и если он был расходящимся в точке х, то и
останется таковым.
Для доказательства воспользуемся интегральной
формулой для частных сумм (см. § 4):
л
/ ч 1 С,, | v sin та .
sn(x) = - \f(x + u) -du
"J 9 sin "
2 sin К
— * о
fi
П J . 9! sin "
-8 2«ln2
где положено т = n -\- s-, Ь — произвольно малое
положительное число, a /t и /а — интегралы по отрезкам \Ь, rcj и
На этих отрезках функция '■ непрерывна (так как
2 sin".
2
|и|^5), и, следовательно, функция
абсолютно интегрируема. Но тогда интеграл
1С
Л=- \ 9(")sinmudu
стремится к нулю при т—*со в силу (2.9). То же
справедливо и для /2. Таким образом, существование или несущег
ствование предела частных сумм ряда Фурье в точке х за-

118 сходимость тригонометрических рядов фурьв [гл. ш
висит от поведения при
/race интеграла
sin mu
1 Р„ . ч sin mu .
в котором фигурируют лишь значения функции f(x) в
окрестности (х—8, лг —{— 8) точки Xi Это и доказывает
принцип локализации.
§ 14. Примеры разложения в ряд Фурье
неограниченных функций.
Пример 1. f{x) = — in 2 sin -^ . Эта функция —
четная и обращается в бесконечность для x = 2kn(k = 0, + I,
~t 2, ...)• Покажем, что f{x) имеет период 2я. Действительно,
2 sin
х-\-2ъ
Поэтому и
In
2sln(^ + ic)
2 sin—L—
-2sft.^-
ln|2sin||,
2 sin Й.
что и доказывает периодичность f(x).
График функции f(x) изображен на черт. 37.
Черт. 37.
Чтобы доказать интегрируемость f(x\ достаточно
установить это для отрезка 0, -|~ (см. график / (х)). иче-
§ 141
ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬВ
119
видно,
8 Т
— fin J2sin-|-|rfAr»— f \n(2sln~)dx;
я
^ *L X COS
[*'*(а-т)]«+Ут-4**
У
2single
a xcos-*-
— «lnf2rin4-)+ f \dx
(знак абсолютной величины можно отбросить, так как для
°<*<т281пт>0)-
При « — 0 величина в In f2 sin-^-) стремится к нулю (в чем
легко убедиться с помощью известного правила Лопиталя),
а последний интеграл стремится к интегралу
1С
Т X
Ъ *COe-7j-
dxt
s
2-n-J-
очевидно имеющему смысл, так как подынтегральная
функция ограничена (ведь lim *ш 1). Таким образом,
2 sin -л-
Т
lim f In I 2 sin 4-1 dx
•-о J I * I
существует, а это и означает интегрируемость f(x) на
отревке 0, -^-1. Поскольку на этом отрезке f(x)

120 сходимость тригонометрических рядов фурье |гл: tit
сохраняет знак (см. черт. 34), то интегрируемость —
абсолютная.
В силу четности f(x)
Ьп*=0 (л=1, 2,...),
ап = — — V In ( 2 sin ^) cos nx dx (л = 0, 1, 2,...).
Прежде всего вычислим интеграл
■к к
/*= f In (2 sin у) dx= f (in 2 -{- In sin y) dx=
= icln2-f- 1 Xnsm^dx,
2
Последний интеграл обозначим через Y. Подстановка x = 2t
дает:
Т 2
f In sin t dt = 2 f In (2sin |- cos-|-) <tt =
K=2 \ lnslntdt = 2
T T
*ln2-J-2 f In sin |- Л -f2 f lncos-|-<#.
Подстановка t = n — и дает:
"2*
2 f lncos|-<# = 2 f lnsin|-rf« = 2 Clnsln-|<#.
0 • « «
2 2
Поэтому F=icln2 -f-2F, откуда
Г= —*ln2.
Отсюда в свою очередь следует, что /=«0, а значит, и
о0 = 0.
14] ПРИМЕРЫ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ 121
Далее, интегрирование по частям дает:
2 ( Г In (2 sin |j sin nx "J*"* j *
I 0
sin nx cos -=
F^*}==
2sin|
<*)
* sin nx cos -K-
-I x
siny
(первый член в фигурной скобке равен нулю, так как
неопределенность, получающаяся при х — 0, легко
«раскрывается» по правилу Лопиталя). Но
sin nx cos -у = -A sin in-\--^\x-\-s,\n in 2jx\*
и поэтому
что ввиду формул (3.3) § 3 дает:
ал=^ («.= 1, 2, .,.)•
Так как функция f(x), очевидно, дифференцируема для
Хф 2fcic(A = 0, =t 1, ±2, . . .), то в силу § 6 найдем:
— In
2sinf
, cos2x , cos3* , „,1V
= cosx-\-—y~.-\—g-+... Ц4Л)
для x^2kin (k = 0, ±1, =t2, . . .).
Следует заметить, что при яг=»2Ая и левая и правая части
равенства (14.1) обращаются в бесконечность. Таким образом,
в известном смысле равенство (14.1) можно считать
справедливым для всех х.
Положив в (14.1) x = iz, получим известное равенство
1п2=1 о- + -о т + •••

122 сходимость тригонометрических рядов фурье [гл. ш
Пример 2. f{x) = In 2 cos -5- . Эта функция — четная
и обращается в отрицательную бесконечность для лг =
«=(2Л+!)^ (А— 0, ±1, ±2,...). Положив х=* — щ
видим, что
In
2 cos
In 2 cos
(i-т)!
In
2sl»T
т. е. график функции In 2 cos -у получается из графика функ-
2 sin у сдвигом на.тс. Чтобы получить разложение
в ряд Фурье функции f(x), достаточно в разложении
In I 2 sin у
— cos t —
cos 2/
cos3£
(см. (14.1)) сделать подстановку *«#-}-*.
При этом получим
Ы1 о „«. х \ сое 2х - сое Зх
2 cos -к- = cos х ;j 1 =—
— . . . (14.2)
для x^{2k~\- 1>гс (k =-0, zt 1, -± 2,...). Впрочем; поскольку
для лг=(2А-{- 1)тс обе части равенства (14.2) обращаются
в отрицательную бесконечность, то это равенство можно
считать справедливым для всех х.
§ 15. Замечание о функциях периода 2/. В этой главе
и далее — в вопросах теории — мы не говорим о
разложении -в тригонометрические ряды функций периода 7*= 2/,
так как читатель, уже знакомый с содержанием гл. I и II,
сам легко перейдет от случая «стандартного периода 2«
к случаю любого периода.
ГЛАВА IV
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
С УБЫВАЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ
§ 1. Лемма Абеля. Так называется следующая лемма,
которая понадобится нам в дальнейшем:
Пусть дан числовой ряд (с действительными или
комплексными членами)
"о + и1 + и« + - •• + »« + •••»
для частных сумм ап которого выполнено условие
\оп\^М, М = const.
Если положительные числа а0, <xlt aa, ..., ля, ...
монотонно стремятся к нулю,, то ряд
аоио + а1"1+ **"* + • •• + anH«~K'* (1Л)
сходится и для его суммы s справедливо неравенство
\s\^Ma0. (1.2)
Доказательство. Пусть
sn = а0н0 -\- ai«i +... + апап-
Так как и0 = о0 и ttn=an'—<3n-i (л = 2, 3,...), то
Sn = a0o0 -f- ai(°i — «о) + a*(°a ~ °i) + • • • + an(Pn — en -1)»
или
вя = ов(ав —at) -f Oi(«j —«i)+ ... + °я-*(а«-»~"ая)+°«я«'

124 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ. IV
Отсюда
*п — вплп = ао(ао — ai) + °i(ai ~aj) + -..+e„.i(an., — an).
(1.3)
Рассмотрим ряд
Mao —ai)-H°i(ai—as) + ---+°/i-i(a/i -! — «/.) + •. -0.4)
Этот ряд сходится, так как его члены по абсолютной
величине не превосходят соответствующих членов следующего
сходящегося ряда с неотрицательными членами:
Л1(а0 — a,)-f M(a,— a2)-f...-f-M(an _t — a„)-{-...=
= УИ (а0 — a, -f- «i — а2 + • • • + an -1 — an "f • ■ •) = ^ао-
Правая часть равенства (1.3) представляет собой »-ю
частную сумму ряда (1.4). Поэтому при л —со она стремится
к определенному пределу, и предел этот по абсолютной
величине не превосходит числа Жа0. Раз так, то существует
предел при п —* со и левой части равенства (1.3), причем
|lim(s„ —ояап)|^Жа0.
Л-»00
Так как
\аплп\^Мам
то
lim onan =з= 0.
п-*со
Поэтому существует
lim sn=s
я-»оо
(что означает сходимость ряда (1.1)) и s удовлетворяет
неравенству (1.2). Лемма доказана.
..§ 2. Формула для суммы синусов. Вспомогательные
неравенства. Докажем равенство
sin х -f- sin 2х -f-. .. -J- sin nx =
cos ^ — cos ( n + — ) x
= ~ x- • (2Л)
Sin y
Для этого сумму слева обозначим через S. Тогда,
очевидно,
2£sin£=2sin*sin |-|-2 sin 2x sin ^+...+2 sin л* stay.
§ 2]
ФОРМУЛА ДЛЯ СУММЫ СИНУСОВ
125
Воспользовавшись формулой
2 sin a sin р = cos (a — P)— cos (a + P),
получим:
2Ssin у = (cos y— cos-s- x J -f- (cos -x-x — cos-r-x ] -f- •. •
...-f-fcos In — -Ax— cosfw-j-yW j =
= cos y — cos (w+-o"W.
;£-CQs(n+i-)*
Отсюда
cos
5=
2 sin y
что и доказывает равенство (2.1).
Поскольку, очевидно,
сое-у— сое
Н4)-
2 sin
х
cosT
+ | cos (n+ -Лх 1 !
2sinT
sin-
для дг^гАтс (A = 0, zb 1, ±2,...), то мы получаем
неравенство
n
1
Л sin fcx:
8ln
(2.2)
для л: ^ 2&гс (k =*= 0, zt 1, zt 2,...), показывающее
ограниченность сумм синусов для каждого фиксированного
значения х (для х = 2kiz сумма, очевидно, равна нулю, -т. е.
также ограничена).
Вспомним формулу (см. § 3 гл. III)
1 ъ\п[п^-\х
•к- -j- cos х -J- cos 2x -\-... -f- cos л* = ^ '-—=
2sinX

126 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ. IV
из которой сразу следует, что
п
||-f 2 cos kx| < j—Ц-i С2-3)
aZi l 12 sin^
для x^2kv (A«bO, :tl, ±2,...) (а для этих последних
значений сумма, очевидно, равна п -j- -«- и» следовательно, не
ограничена при возрастании л).
§ 3. Сходимость тригонометрических рядов с
монотонно убывающими коэффициентами. Рассмотрим два
тригонометрических ряда:
00
^ + %ааС05ПХ, <ЗЛ>
со
У Ъп sin nxt (3.2)
n=l
относительно которых мы даже не предполагаем, что они
являются рядами Фурье от каких-либо функций.
Теорема 1. Если коэффициенты ап и Ъп
положительны, не возрастают и стремятся к нулю при п —* со,
то ряды (3.1) и (3.2) сходятся при любом х, исключая,
быть может, значения x = 2kn (А = 0, :± 1, =t2,...) для
ряда (3.1).
В случае сходимости ряда из коэффициентов ап и Ьп
теорема следует из § 10 гл. III. В общем же случае
рассмотрим ряд
-к- -j- cos x -f- cos 2x -j-... -f- cos nx -j-... (3.3)
Его частные суммы ап(х) ограничены для каждого х -ф 2kit.
Для доказательства утверждения теоремы, касающегося ряда
(3.1), остается применить лемму Абеля.
Для ряда (3.2) ввиду (2.2) рассуждение ничем не
отличается.
Замечание. Доказанная теорема 1, равно как и
последующие теоремы, останется, разумеется, справедливой,
§ 3] сходимость тригонометрических рядов 127
если требование невозрастания коэффициентов выполнено Ht
для всех п, а лишь начиная с некоторого. В частности,
теорема будет верной в случае, когда несколько первых
коэффициентов равны нулю. Так, ряд
00
2С08ПХ
Inn
сходится для х ф 2Ы. Для х = 2kv ряд обращается в
такой:
со
У—
и следовательно, расходится.
Уточним теорему 1.
Теорема 2. Если коэффициенты ап и Ьп
положительны, не возрастают и стремятся к нулю при п -* со,
то ряды (3.1) и (3.2) сходятся равномерно на любом
отрезке [а,Ь], не содержащем точек вида x=^2ktt
(А = 0, ±1, ±2,...).
Действительно, если ряды из коэффициентов ап и Ьп
сходятся, то сходимость будет равномерной на всей оси Ох
в силу § 10 гл. III. В общем же случае, так как суммы
рядов (3.1) и (3.2) являются периодическими функциями,
то достаточно доказать теорему для всякого отрезка [а, Ь\,
содержащегося в отрезке [0, 2тс]. Доказательство теоремы
для обоих рядов одинаково. Поэтому мы ограничимся
случаем ряда (3.1).
Пусть число е>0 задано произвольно. Для а^х^Ь
рассмотрим остаток ряда (3.1)
*(■*)—sn{x)=an+tcos(n+l)x-{-an+tCOs(n+2)x+... (3.4)
и применим к нему лемму Абеля. С этой целью положим;
Хт {X) == Ол+|Д (X) — Са (X),
где оп(х) и ап+т(х) — частные суммы ряда (3.3).
Тогда в силу (2.3)
1ъ(*)1<К+ж(*)1 + К(*)К—Ц-.

128
ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ
[гл. iv
Так как 0<а^.*^£<2тс, то
Sln|^:|i>0,
где (1 — минимальное из чисел sin g- и sin2" (чеРт- 38).
Поэтому, положив М = —, найдем
г"
|тт(дг)|^Ж== const
для всех х из отрезка [а, Ь]. Таким образом, к числам
W
Черт. 38.
ая+1, ап+а апш,... и к ряду (3.4) приложима лемма Абеля,
из которой получим
\s(x) — sn{x)\^Man+i
для любого х из отрезка [а, Ь]. Так как ап-*0 при л-*-со,
то для всех достаточно больших п будем иметь:
- Ма„+1<;е.
Иными словами, для всех достаточно больших п и для
любого х из отрезка [а, Ь] справедливо неравенство
что и означает равномерную сходимость ряда (3.1).
Из теорем 1 и 2 сразу вытекает.
Теорема 3. Если коэффициенты ап и Ьп
положительны, не возрастают и стремятся к нулю при я-*оо,
то функции периода 2п
00 ОО
/(>>=.§: + 21 вя"соеimp, g(x)^2ibnsinnx
1ч п—l Я—1
§ 4] НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ § 3 129
непрерывны для всех х, исключая, быть может, значения
х = 2къ (k = 0, ±1, ±2,...).
Действительно, если ряды из коэффициентов ап и Ьп
сходятся, то теорема вытекает из § 10 гл. III. В общем
же случае любая точка х0 Ф 2kn может быть заключена
в некоторый отрезок [а, Ь], не содержащий точек вида
x=2kiz. На этом отрезке сходимость рядов равномерна
Черт. 39.
(в силу теоремы 2), а значит, суммы их непрерывны (см. § 4 гл. I).
Они непрерывны, в частности, для х = х0. Поскольку х0 —
произвольная точка, отличная от точек вида 2kn, то теорема
доказана.
В качестве иллюстрации можно рассмотреть уже
известные нам разложения
/(*)=-m 2sin^r==y^^f
' 2 1 ^ n '
я—l
оо
*гс*)=-2-=2~я— (оо<2«)
(см. пример 1 § 14 гл. III и равенство (13.7) гл. I). График
f{x) изображен на черт. 37, а график g(x) вместе с ее
периодическим продолжением — на черт. 39.
§ 4*. Некоторые следствия теорем § 3. Укажем
некоторые полезные следствия доказанных в § 3 теорем.
Теорема 1. Если коэффициенты ап и Ъп
положительны, не возрастают и стремятся к нулю при п — со,
б Г. П. Толстое '

130 отыскание сумм некоторых рядов [гл. iv
то ряды
оо
у + 2 (— !)"*» cos nx> (4.1)
00
2] (—l)nbn sin л* (4.2)
л = ]
обладают следующими свойствами:
1) Оли сходятся для всех значений х, исключая,
быть может, значения
jc = (2/j-|- 1)тс (Л==0, ±1, ±2,...)
для ряда (4.1).
2) Сходимость равномерна на всяком отрезке [а, Ь],
не содержащем упомянутых точек.
3) Их суммы непрерывны всюду за исключением разве
упомянутых значений х.
Действительно, положим в (3.1) и (3.2) x = t — я.
Получим ряды
00
% h2a«cos «(* — *) =
л«=1
00
= -^ -f- \ an [cos пъ cos nt -f- sin ятс sin nt] =
= y —at cos *-f"fls cos It — аъ cos 3*-{-•••»
00 00
Л £n sin n (t — rc) = У bn [ cos rnz sin л£ — sin nn cos л£] =
n=l n=l
= — £t sin t -f- #a sin 2£ — b3 sin 3* -f-...
Мы пришли к знакочередующимся рядам, для которых
теоремы 1, 2, 3 § 3 будут верны с той лишь оговоркой,
что роль точек х = 2кк будут играть точки t = -к -{- 2kn =
= (2А-}- 1)л. Отсюда и следует теорема 1.
Теорема 1, очевидно, останется справедливой, если в (4.1)
и (4.2) вместо (— 1)" писать (— 1)л+1.
§ 41
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМ § 3
131
Иллюстрацией к теореме 4 могут служить уже
известные нам разложения
cos 2л: . cos Sx
о ~г а
и
In 2 cos £- = cos x
X=s^x_J^+™J*-...-*<X<«
(см. пример 2 § 14 гл. Ill и равенство (13.9) гл. I).
Доказанные теоремы могут быть еще обобщены.
Действительно, рассмотрим ряды вида
ах cos px -\- a2 cos {p -f- m) x -f- a3 cos (/? -f- 2т) х -\~...
...-{-an+i cos (р-\-пт)х-f-...
и
bi sinpx~\- bi sin (р -|-т)х~\~Ьг sin (р~\- 2т) х-\-...
...-\-bn+x sin(p~\-nm)x-\-..
где р и от — какие-нибудь числа, а коэффициенты ап и &„
положительны, не возрастают и стремятся к нулю.
Н4.3)
В обоих этих рядах коэффициенты при
арифметическую прогрессию с разностью т.
Примерами таких рядов могут служить:
. cos5x , cos 9л: , cos 13лг ,
cos*H о Ь—— +
х образуют
(здесь р= 1, т
sin 2x
In 2
+
2
4),
sin 5л:
"ln¥"
+
sin 8л: ■ sin 11л:
In 4 ' Ш5
+
(4.4)
(здесь р = 2, от = 3).
Заметив, что
cos (р _|_ Пт) х = cos px cos птх — sin px sin nmx,
sin (р -\- пт) х «= sin px cos nmx -\- cos px sin я/илт,
ряды (4.3) можем переписать так:
sin nmx,
cospx У an+l cos nmx—sin px ^ an+i sii
со °°
sin/u: У bn+l cos iwur+ cosjw У *>л+1 sin nmx.
л=0
л=0
Б1

182 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ. IV
Если положить здесь mx = t или xs=> — t то получим:
00 00
cos^n 21 e"+i cos я<—sin »f 2 a"+i sin "*•
(4.8)
oo oo v '
sin — Л bn+l cos nt — cos — У £n+1 sin nt.
л«=0 л=0
Ко всем четырем рядам, фигурирующим здесь, приложимы
теоремы 1, 2 и 3 § 3. Отсюда вытекает, что при любом р:
1) ряды (4.5) сходятся и имеют непрерывные суммы для
всех t, кроме, быть может, значений вида г=2£тс, 2)
сходимость их равномерна на всяком отрезке, не содержащем
указанных значений. Если вернуться к переменному х, то
имеет место
Теорема 2. Если коэффициенты ап и Ъп
положительны, не возрастают и стремятся к нулю при п — со,
то ряды (4.3) сходятся и имеют непрерывные суммы
для всех значений х, исключая разве значения
х*=—- (k = 0, zb 1, нь2,...), причем сходимость равно-
мерна на всяком отрезке, не содержащем поименованных
точек.
Так, для первого из рядов (4.4) упомянутыми «исключи-
2/j7l kit,
тельными» значениями будут л: =-j-з=-^ , а для второго
2kn
х— 3 .
Аналогично тому, как была получена теорема 2, может
быть получена
Теорема 3. Если коэффициенты ап и Ъп положи-
тельны, не возрастают и стремятся к нулю при п —<■ оо,
то ряды вида
At cospx — a2 cos (p -|~ tri)x-f-aB cos (p-f- 2m)x —...,
bx sin px — b% sin (p-\-m) x -f- b3 sin (p -}- 2m)x —...
сходятся и имеют непрерывные суммы для всех х, кроме,
быть может, х = -—+ '* (k = 0, zt 1» ^t2,...), при-
§ 51 ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 133
чем сходимость равномерна на всяком отрезке, не
содержащем упомянутых значений.
В приложениях часто оказывается полезным следующее
предложение, которое мы приведем без доказательства.
Теорема 4. В условиях предшествующих теорем
в случае сходимости рядов
ОО 00
21 - 14
п=\ л=1
соответствующие тригонометрические ряды определяют
собой абсолютно интегрируемые функции (и, следовательно,
являются их рядами Фурье — см. теорему 2 § 6 гл. I).
§ 5. Применение функций комплексного переменного
для отыскания сумм некоторых тригонометрических
рядов. Пусть F(z) — аналитическая (дифференцируемая)
функция комплексного переменного z = x-\-iy, лишенная особых
точек*) для |г|^1. В этих условиях известно, что для
| z | <: 1 (т. е. в круге радиуса 1 с центром в точке О
плоскости комплексного переменного) функция F{z) может быть
разложена в степенной ряд
F(z) = cQ-\- ctz-{- с2г2 -f-... -f- cnzn +... (5.1)
Допустим, что коэффициенты этого ряда оказались
действительными числами. Положим г = е*х. При этом
равенство (5.1) сохранится, так как | е,х \ = | cos x -f- i sin x \ =
= У cos* x-\- sin 2 х= 1. Таким образом, для любого х
F(elx) = со -Ь cteix + c,eflx +... + сп<?х +... =
= Со -f- ct (cos x -f- i sin x) -f- c8 (cos 2л: -f- i sin 2x) -}-...
... -f- c„ (cos ял: -f-1 sin ял:) -]-...=
= c0-\-ct cos x-\- Съ cos 2x-\-...-\-cn cos nx-{-...)-\-
~f-i(c, sin x-\-c2 sin 2x-{-...-\-cn sin nx-}-...). (5.2)
*) Точка г называется особой точкой функции F(z), если
в плоскости комплексного переменного не существует круга
с центром в этой точке (хотя бы и весьма малого радиуса), внутри
которого F (г) — аналитическая.

134 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ TV
Отделим в выражении F (е1х) действительную и мнимую
части, т. е. представим F{e?x) в виде
F(eix)=f(*) + ig(x),
где f(x) и g(x)— действительные функции. Из (5.2) тогда,
очевидно, следует, что
f{x) = с0-j-с, cos х-\-с% cos 2х-\- ...-\-сп cos пх-f-...,
g(x) = с, sin x-f-c2 sin 2х-f-... ~\-cns'm nx-\-...
Этим обстоятельством можно воспользоваться, чтобы
получить суммы некоторых тригонометрических рядов.
Пример 1. Известно, что для всех z
** = 1+г + ^+.
Тогда в силу (5.2)
pix 1 л i i COS LX .
ее =^l + cos^-f—2р-+.
. cos/и: .
+ ...) +
, . / . , sin 2л: . . sin пх . \
+ i ^Sin*-| ^—+ . . • + —^j—+ . • • ).
Но
в*** = ecoe x + iBlnx—. ecot x ei sin x __ecoi jfJcos (Sln x} _j_
-{- i sin (sin x)],
И 1ЮЭТОМУ
e«>«- cos (sin x)= 1 + cos* + ^L^+ .. . + S2LH+ _t
В этом примере мы отправлялись от заданной функции
комплексного переменного и получили для ее
действительной и мнимой частей разложения в. тригонометрические
ряды. Иными словами, мы по-новому (в сравнении с гл. I и III)
подошли к задаче разложения функций в
тригонометрические ряды. Вместе с тем соображения, изложенные в начале
этого параграфа, позволяют в ряде случаев решить и
обратную задачу: по данному тригонометрическому ряду найти
его сумму.
Действительно, пусть даны сходящиеся ряды
с0-f-су cos х-f-с2cos 2х-{-...-\-сп cos пх-{-...,
сх sin х -j- с2 sin 2х -j-... -j- cn sin пх -J-.,.
§ 5] ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 135
С их помощью образуем ряд с комплексными членами
(с0 -{- сх cos х -{- ct cos 2х -j-...) -j-1 (ct sin x -j- ca sin 2x -f- ...)=*
= c0-\-Ci (cos л: + i sin л:) + ca(cos 2* + i sin 2x)-}-...=
= c0 + c,e'x -f- *&*** + • • •
Обозначив здесь eix через г, получим степенной ряд
Со + ct* -|- с**1 + • • •
Если нам известна сумма ^(г) этого ряда для интересующих
нас значений z, то, положив
F(eix)=f(x) + ig(x),
очевидно, получим:
f(x) = с0 -|- С\ cos л: -f с2 cos 2х -\-...,
g(x) = ct sin х -|- сг sin 2x -j-...
Пример 2. Найти суммы рядов
cos л: , cos 2x
i-|--^ I—^г-~Г'»-"г pn ~r • • • »
sin л: . sin 2x ■ ■ sin плг .
— I ^i Г • • * "Г pn i- • • • »
(5.3)
где ^ — действительное постоянное число, по абсолютной
величине превосходящее единицу.
Ряды (5.3) сходятся для всех х. Рассмотрим
/, . cosx , cos2x . \ , .(sin х , sin 2х , \
Р'
eix
Но
ч-1+£+..-«
=i+v+v+---
4-=,-^™
i-p
поскольку ряд слева представляет собой геометрическую
'<■).
прогрессию (сходящуюся для

136 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ. IV
Следовательно,
F(eix)=:—£— = В. (Р— C08jc) + i sinx__
V ) p — eix (p—cosjc) — i sin* ^(p — ca&x)* + &n*x
(p — cos x) 4- i sin x
~~P p* — 2p cosx+l '
и мы получаем для всех х:
pip— cosx) . , cosx ■ cos2л: ■ , cosnx .
•)*—2р cos* 4-1 "т~ р ' я8 ~*~ * ' ' ~т Б" «••••
р8—2р cosjc+I ' р ' р8 ' ••' ' р
р sin л: sin* ■ sin 2x . , sin
р8 —2р cos*4-l ~"р~ ' р8 г • • • ~Г~^
§ 6. Уточнение результатов § б. В начале § 5 мы
предполагаем, что функция F(z) лишена особых точек для
|z|^l. Предположим теперь отсутствие особых точек лишь
для I^Kl и допустим, что для |z| = l, или, геометрически
выражаясь, на единичной окружности С с центром в О,
имеются как особые точки, так и неособые.
Для |г|<[1 разложение (5.1) по-прежнему имеет место.
Более того, равенство (5.1) справедливо в каждой
неособой точке z окружности С, в которой ряд справа в (5.1)
сходится.
Для читателя, незнакомого с этим обстоятельством,
приведем доказательство. Нам понадобится
Лемма. Пусть ряд (с действительными или
комплексными членами)
Ио + «1 + «а+... + Ип + .-- (6Л)
сходится. Тогда ряд
Щ + ЩГ-^-щг*-{-...-\-ипгп-\-... (6.2)
сходится для О < г <: 1 и его сумма а (г) непрерывна на
этом отрезке.
Доказательство. Пусть
о ■= н0 4- и, -|- Щ -j-... -f к„ 4- • • •
Для каждого е]>0 существует индекс N такой, что для
n^N
1°-"я1<£ (6.3)
§ 6] УТОЧНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ § 5 137
(оп — частные суммы ряда (6.1)). Рассмотрим остаток ряда (6.1)
Rn = ° — «n = «n+i+ ««+■ + ••■ <6'4)
и его частные суммы
Ип+1-Г-нп+8 + --- + ип+т (т—1, 2,...).
В силу (6.3), очевидно,
\un + l + Un + i+Un+m\ = \Rn — Яи+т1^|ЯЛЖЯИ + т!<е-
Итак, частные суммы ряда (6.4), равно как и вся его
сумма, по абсолютной величине ограничены числом е.
Так как числа
-П + 1 -Я + 2
I > I ! • • •
не возрастают с ростом показателя и стремятся к нулю при
каждом значении г(0^г<1), то к ряду
/?лС) = ип+1гп+14-"л+^п+2+.-
приложимы лемма Абеля, из которой следует сходимость
этого ряда, а значит и ряда (6.2), и неравенство
\Rn(r)\^ern+l^e (0^г<1).
Обозначив через ап (г) частные суммы ряда (6.2), получим
|в(г)-ая(г)|==|ЯвС)|<« (6б)
для 0^г<^1. Если заметим, что с(1) = с, ап(1) = ап) то
в силу (6.3) можем утверждать, что неравенство (6.5)
справедливо всюду на отрезке 0 <: г ^ 1. Это означает
равномерную сходимость ряда (6.2) на этом отрезке и,
следовательно, влечет за собой непрерывность функции о (г)
(О =^ г ^ 1). Лемма доказана.
Чтобы доказать сформулированное выше предложение,
допустим, что ряд
C0 + C1Z+CiZ* + ... + CnZn+...
сходится в точке z, лежащей на окружности С. По
доказанной лемме функция
^о + Cirz" 4~ <У V 4" • • • Н~ V**" + • • •

138 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ. IV
непрерывна по г для 0 ^ г ^ 1 и, следовательно,
lim F (rz)=li m (c« -f- cxrz -f- carV -{-...) =
= ^o + ctz -{- caz2 -{-... (6.6)
С другой стороны, так как точка z — неособая точка, то
F(z) непрерывна в этой точке, и поэтому
lim F{rz) = F(z\ (6.7)
поскольку rz—*z при г—♦ 1.
Из сравнения (6.6) и (6.7) находим:
F(z)=c0 + c»z-f cez8 +...-Ь с„2л + • • -.
что и требовалось доказать.
Доказанное делает законными рассуждения § 5 для
каждой неособой точки z = eiX (эта точка лежит на С,
поскольку \е?х\ = \), в которой ряд справа в (5.1) сходится.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим примеры.
Пример 1. Известно, что
г*
ln(l -\-z) = z— ^ +lf — ?+ • • •
для |г|<^1, причем функция In (14-2) является
аналитической во всех точках окружности С, кроме точки z = — 1,
или, что то же, г=е(2* + 1)я'. В силу (5.2) для z = e*x, где
х Ф (2k -f- 1) тс, имеем:
1 /1 I ix\ I COS 2X , COS 3X \ ,
ln(l-bO = (cOSAT § (-—g . . .j-j-
. . / . sin 2л: , sin Зл: \ /с оч
причем равенство мы имеем право писать, так как ряды
справа для интересующих нас х действительно сходятся
(см. теорему 1 § 4).
С другой стороны, для —^<[лг<[тс, очевидно,
1 _^/* —(1 -j- cos x) + ismx=2 cos2 £ + i,2sin| cos ~ =
== 2 cos ^ (cos ^ -j- i sin |J.
§ 6] УТОЧНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ § 5 139
Поэтому
In (1 4- dx) = In 2cos 14-t I •)
для —тс<[л:<^тс.
Тогда в силу (6.8) для этих х
. /п л:\ cos 2л: , совЗл:
In (2 cos 2J = cos x 2 1 3 • • • 1
x . sin 2x , sin 3x
Y — sm л: 2 I з • • •
(6.9)
Мы получили уже известные нам разложения (см. пример 2
§ 14 гл. 111 и (13.9) § 13 гл. I).
Аналогичным приемом могут быть найдены также уже
встречавшиеся нам разложения
, /п . х\ , cos2л: . совЗл: . ^
—In (2 sm тИ = cos x 4 ^ 1 3 г
те— x ■ sin 2x 1 sin Зл: , f (b.10)
—2~ =SinAT4 ^ J - j- . . . J
для 0 <[ x <^ 2тс. В этом случае нужно отправляться от
функции
1пТ=1==~ 1п(1— г)=г4-у4-:|"+. • • (г^О*
для которой
/(*) = — In 2 sin |, g(x)=n-^ (0<><2тс).
Впрочем, гораздо проще разложения (6.10) могут быть
получены из (6.9) подстановкой x=t — тс.
Пример 2. Найти суммы рядов
cos 2л: , cos Зл: , , cos (п -\-1) х
"Г"-"Г П(п+1)
, , sin (п-\- 1)л .
т" • • «i пыл- \\ г • • •
, cos ах ■ . ius \п т I) л |
ТТ ' 2-3 "г ' * *"• п(п+1) "г ' • • •
sin 2л: , вшЗл: , , sin (п + 1) х
1.2' 2-3 "Г • • • Т п(п-£-1)
*) Мы воспользовались известным свойством логарифма: если
г — ре'в, — те < 6 < те, то In z = In p -f- ib. В нашем случае
p=«2cos-2, a=2*

140 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ. IV
I
Ряды сходятся для всех дг. Рассмотрим-
/cos2х . совЗл: ■ \ ■ . /sin 2х ■ sin Зх . \
\~1^2 ' 2-з "г---;~г1\ Ь2 ' 2-з т"---;3*
Из тождества
вытекает, что
gilx еъ1х gin+uix
:~Ь2"~г~2^3~ • * * '~^~ п(п + 1)~^~ • '
1 1 1
п (п -4-1) п п-1-1
г" гь , z"+1
1-2 ' 2-3 + ' ' •"• п(п +l)""- * ' ,SSS
=(гв+т+--- + -£т1 + ---)-
~~\T + T+ • ' - + Т+Т+ • - •)"
= — *ln(l — z)-fln(l — г) + г =
= (1 — 2)ln(l— г) + г = /7(г)
(см. пример 1) для всех z, удовлетворяющих условиям
|г |г=с 1, г^ — 1. Поэтому для 0<х<2я
^(«**)«=(1 — e'*)ln(l —eix)-\-eix =
«=[(1 — cos дт) —t sin x) (in 2sin £- —j^=£j-|-
-+- (cos дг -{- i sin дг) =
■= I (1 — cos at) • In 2sin -к л T * sin дг-|- cos дг I -j-
-f-/ "T* (cos дг — 1) — sin дг • In 2sin ^ -j- sin дг
(см. пример 1) и, следовательно,
х
~2
(1 — cos дг) In 2sin -т -^-г—sin дг -f- cos дг =
cos 2x i cos Зл: ,
1-2 . • 2-3
2-— (cos дг — 1) — sin дг In 2sin-y -f- sin дг =
in 2x . j
Ь2~ "+" 2-3
sin 2x , sin Злг ■
~T о.а "Г • • •
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
141
Упражнения к гл. IV
1. Для каких значений х сходятся ряды
со оо оо .
Y4 cos nx vi sin nx -\\ cos пх + втял:
^1ут- 6>2w в>2—ys—?
n=l n=l r п=1
Ответ:
а) хф2кл, б) для всех дг, в) лг^2Ля.
2. Для каких х суммы указанных выше рядов непрерывны?
Являются ли эти ряды рядами Фурье от функций с интегрируемым
квадратом?
Ответ. 1) хф2Ыу
2) нет.
3. Для каких значений х сходятся ряды
00 со
со&пх ЛЛ vi cos nx -4- (—1)" sin пх
In л •
оо оо
VI соэял: v
п=\ п=2
00 ОО
у _sin_3n£ г) у ( 1у|4.1 cos(2n + 3)AT
в)
Ответ:
а) дг^(2й+ 1)к, б) хф2Ы, в) для всех х, г) для всех д:.
4. Для каких значений дг суммы рядов предшествующего
примера непрерывны? Построить график суммы ряда в).
Ответ:
а), б) для хф(2к+\)к,
, 2kic
в) для х ф -у-,
г) длялг^(2й+1)-^-.
5. Для комплексного переменного г = х -{- 1у
тригонометрические и гиперболические функции определяются рядами
z» . гь
ЯП2==г зГ+-51 ' * ■'
cos г = 1 — -jrj- +
zb
2| '4! ' " ' »
sh z = г -f- -щ—h ~h h • ■ • (синус гиперболический),
z* z4
ch г = 1 -j- -щ—|- -jj—f- • • ■ (косинус гиперболический).

142
ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ
[гл. iv
С помощью формул
sin (а + Р) = sin а cos P + cosa sinР>
cos(a + Р) — cosot cos P — s*n a s'nP»
справедливых и для комплексных аир, доказать, что
sin (а + Р<) =** sin а • ch Р + / cosa * sn P, 1
cos(a + p<) = cosoechp— /sina-shp. J
6. Найти суммы рядов
cos За . cos 5л:
О
а) cosx
б) sin а:
31 "*" 51
sin За . sin 5л:
3!
+
51
+
+
• • •
Указание. F (г) = sin г. Воспользоваться первой формулой (*).
Omeenv.
а) sin (cos л:) «ch( sin л*), б) cos(cosa)- sh(sinA).
7. Найти суммы рядов
. , cos2a . cos4a
а) 1 к. 1-
б)
2| ■ 4! * ' * •
sin 2л: sin 4а , sin 6л:
21
41
+
61
Указание. F(z) = cos г. Воспользоваться второй формулой (*).
Ответ:
а) cos (cos л:) -ch( sin л*), б) sin(cosA)»sh(sinA).
8. Найти суммы рядов
. совл* cos2a cos3a
3) + ~П2~ 2vF + 3-4 * ' ' •
-. sin л: sin 2л: . sin За
б) т-о ^J- +
1-2
2-3
3-4
Указание. Использовать метод примера 2 § 6 и результат
примера 1 того же параграфа.
Ответ:
х х
а) (1 + cosa) • In 2 cos-^-H—=-• sin a,
X X
б) -г- ■ (1 + cos a) — sinx • In 2 cos-^- (— it <x < я).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IV
9. Найти суммы рядов
cos 2л: cos За
а)
б)
cos па"
3
8
+ •••+( U nt | ~г • • • t
sin 2л: sin За
smnx
3 - , +...+<r-irlp=l +
Указание. Воспользоваться тождеством
1 д±(—i . 1 )
л8—1 2 V п— 1 п+1 }
и результатами примера 1 § 6.
Ответ:
1x1 л: 1
а) -=- к- яп х j- cosa, б) sin х • In 2 cos -= j- sin x
(— к < X < те).
10. Найти суммы рядов
2 cos2a 3 cos3a . . (—Yfnco&nx .
б)
3 8 i • • • i П2 _ 1
2 sin 2л: 3 sin Зл: .. n я sin nx .
3 ■ 8 +- • - + (— ' n*-l +
. . .,
Указание. Воспользоваться тождеством
л*—1~~ 2 \п —1 п+1 ^
и результатами примера 1 § 6.
Ответ:
, о х 1 1
а) cos л: • In 2 cos -^ j- cos дг ^-,
л: 1
б)-^-- cosa: + -j- sin л: (—те<СА<те).
11. Найти суммы рядов
cosa: cos2x , cos ял:
а) 1 i ^T i~ ~o~\ iT + • • • + T i 7Г + • • •
1+P 2+p f ' ' ' ' n+p
sin a , sin 2a sin да
чТ+7 + 2+7+--- + мТ
+
где р — целое положительное и постоянное число.
Указание.
™ = ТТ7Г+2Т7+• ■- + ЯТ7+• • • =
1 / z1+P z*+P zn+P \
= iF\T+7 + 2+7+"' -+^+7 + •,7в
-£(-о-«- к).
п=1

144 ОТЫСКАНИЕ СУММ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ [ГЛ. IV
Воспользоваться также результатами примера 1 § 6.
Ответ:
р р
„ч /, о i х I V cos/ia;\ , . Ы — х уп sinпх \
а) cx3spx\ln2s]n -у + ^ _——j-{- smpx\ —^ ^ ~~п~~)*
р р
б) соз/>ж(—^ 2^ ~-jr~) + япР*(1п2 sin -у + ^ ""п-)
(О < Ж < 2тс).
ГЛАВА V
ПОЛНОТА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ
§ 1. Приближения функций тригонометрическими
многочленами. В гл. III мы установили некоторые условия, при
которых непрерывная (а иногда и разрывная) функция периода
2те представима в виде суммы тригонометрического ряда. Но,
может быть, лишь несовершенство способа рассуждения не
позволило нам установить это для произвольной непрерывной
функции? Иными словами, может быть, более совершенные
рассуждения все-таки позволят доказать, что ряд Фурье для
произвольной непрерывной функции всегда сходится к ней?
Это, оказывается, не так — имеются примеры непрерывных
функций с расходящимися рядами Фурье.
Пойдем по другому пути. Именно по пути приближенного
представления функций. Здесь мы сразу получаем следующий
замечательный результат.
Теорема. Пусть f(x) — непрерывная функция
периода 2те. Каково бы ни было s ]> 0, существует
тригонометрический многочлен
п
сп (х) = <х0 -[- 2 (а* cos kx + Р* sin kx)> Ол)
к—1
для которого
\/(х)-оп{х)\^*
при любом х.
Доказательство. Рассмотрим график функции у=/(х)
на отрезке [ — it, те]. Этот отрезок разобьем на части
точками вида
АГ0 = — п<^Х1<^Хъ<^ ••• <^хт-1<Схт — 'к

146
ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ
[ГЛ. V
и построим непрерывную функцию ^(лг), для которой g(xk) =
=/(хк) (& = 0, 1, 2, ...,т) и которая линейна на каждом
отрезке [xk_v xk]. График функции y = g(x) представляет
собой ломаную линию с вершинами на кривой y=f(x)
(черт. 40).
Части, на которые мы разбили отрезок [ — л, те], можно
взять столь малыми, чтобы для любого х из отрезка [ — те, те]
выполнялось неравенство
!/(*)-*(■*)!<£-.
(1.2)
Функцию g(x) можем периодически продолжить на всю
Ох. Тогда условие (1.2), очевидно, будет справедливым и
|-я-=
И^Ш^Щ Wg s3 0
Ят-г $п-*Я=*Фа
Черт. 40.
для продолженной g(x), причем эта функция будет
непрерывной и кусочно-гладкой на всей оси Ох. Составим ряд
Фурье для g(x). По теореме 2 § 10 гл. III этот ряд
сходится к g(x) равномерно. Но тогда для всех достаточно
больших п
\g(x) — an(x)\^
(1.3)
(х — произвольно), где через оп (х) мы обозначаем rt-ю
частную сумму ряда Фурье функции g{x).
Пусть п— один из индексов, для которых справедливо
(1.3). Из (1.2) и (1.3) следует:
|/(лг) - сп (х) | = | (/(*) - g(x)) -f (g(x) - ап (х)) | <:
^ 1/С*) — g&) | -Н g(x) — an (х) | <: е,
каково 6bi ни была х, что и доказывает теорему.
§ 11
ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
147
Отметим такие следствия доказанной теоремы:
Следствие 1. Если f(x) непрерывна на отрезке
[а, а + 2те], причем /(а) =/(а + 2те)' то> каково бы ни было
е]>0, существует тригонометрический многочлен вида
(1.1), для которого
1/С*) —««(■*)/«£•
(1.4)
при любом х из отрезка [а, а ~\- 2те].
Чтобы убедиться в этом, достаточно периодически
продолжить f(x) на всю ось Ох (что в силу условия /(а)=з
=/(а -|" 2те) не нарушит непрерывности) и к продолженной
функции применить теорему.
Следствие 2. Если f(x) непрерывна на отрезке
[а, Ь] длины, меньшей 2те, то, каково бы ни было е ^> 0,
существует тригонометрический многочлен вида (l.i),
для которого
\f{x)-on{x)\^s
сохранилась непрерывность и
при любом х из отрезка [а, Ь).
Действительно, продолжим f(x) с отрезка [а, Ь] на
отрезок [а, а -(- 2т:] так, чтобы
чтобы для продолженной
функции было справедливо
равенство /(а)<=/(а-|-2те).
Для этого достаточно,
например, положить /(а-]-2те) =
=/(а) и принять
функцию линейной на отрезке
[Ь, а~\- 2те] (черт. 41). К
продолженной таким образом функции уже применимо
следствие 1, согласно которому равенство (1.4) справедливо для
всех х из отрезка [а, а -\- 2те] и, в частности, из
отрезка [а, Ь].
Доказанное кратко можно формулировать так:
В условиях теоремы (или ее следствий) функция f(x)
может быть равномерно аппроксимирована
тригонометрическим многочленом вида (1.1) с любой, наперед за~
данной степенью точности.

148 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
§ 2. Полнота тригонометрической системы. Ввиду
§ 9 гл. II (критерий полноты системы), чтобы убедиться
в полноте тригонометрической системы, достаточно доказать,
что для любой непрерывной на [—тс, тс] функции f(x),
каково бы ни было е^>0, существует
тригонометрический многочлен оп{х), для которого
*
J [/(*) — «„(*)]■«**<•. (2.1)
— я
Докажем это. Если /(—тс)=/(тс), то в силу
следствия 1 теоремы § 1 существует тригонометрический
многочлен ап(х), для которого
|/(*)-o„W !<}/"£.
каково бы ни было х. Поэтому
I [f(x)-cn(x)fdx^^ ^d* = *>
—*
что и требовалось доказать.
Пусть теперь /(—тс)?£:/(тс). Обозначим через М
максимум модуля/(аг) на отрезке [—тс, тс] и подберем число Л^>0
столь малым, чтобы выполнялось условие
4М*Л^4-
4
Пусть g(x)— непрерывная функция, совпадающая с f{x)
на отрезке [—тс, тс — А], равная /(—тс) при лг = тс и
линейная на отрезке [тс — А, тс] (это построение подобно
указанному на черт. 41). Очевидно, | g{x) | *^М, и поэтому
я
J [f(x)-g(x)fdx =
—*
= \ [f(x) — g(x)]*dx^ С 4APW* = 4M9A*sc|. (2.2)
* —А я—Л
С другой стороны, g(x) непрерывна и принимает равные
вначения на концах отрезка [— тс, тс]. Поэтому существует
§ 3] ФОРМУЛА ЛЯПУНОВА 140
тригонометрический многочлен о„(лг), для которого
■к
—*
Но тогда из (2.2), (2.3) и элементарного неравенства
(а + *02<2(аа + £а)
следует:
1С
$ [/(х)-ап(х)]Чх=ш
—*
*
*= J M*)-g(x)) +(*<*) - °п С*))]* dx ^
—*
<2$ [/(*) —tf(*)N*+2 J [g(x) — cn(x)Ydx^et
—it —я
что и требовалось доказать.
§ 3. Формула Ляпунова. Важнейшие следствия
полноты тригонометрической системы. Поскольку
тригонометрическая система полна, неравенство Бесселя (см. (1.2)
гл. Ill) переходит D равенство
I J p (х) dx = f + 2 (el + К), (8-0
— Я П=1
где f(x) — произвольная функция с интегрируемым
квадратом, ап и Ьп — ее коэффициенты Фурье.
Формула (3.1) носит имя А. М. Ляпунова, впервые
давшего ей строгое доказательство (для случая ограниченных
функций).
Вспомнив, что
||1||=1/2тс,
|] cos пх || =У~к, || sin пх || =>/Гтс (п= 1, 2,...),
из теоремы 1 § 7 гл. II получим:

150 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ ГгЛ. V
Теорема 1. Пусть f(x) и F(x)— функции с
интегрируемым квадратом, заданные на [—тс, тс], причем
со
f{x) ~ -± -j- У (ап cos nx -f- bn sin nx),
п=\
00
F{x) ~ -£ -\- 7 (Лп cos nx -\- bn sin nx)t
A
n = \
тогда
■к оо
n=l
Из теоремы 2 § 7 гл. II сразу следует:
Теорема 2. Тригонометрический ряд Фурье для
любой функции f(x) с интегрируемым квадратом
сходится к ней в среднем, т. е.
■к п
lim f Г/(дг) — (у -f У <а* cos kx + b* sin k*))Jdx = °-
Эта теорема тем более замечательна, что обычная
сходимость тригонометрического ряда Фурье, как мы уже говорили
в § 1, не всегда имеет место даже для непрерывной функции.
В § 7 гл. 11 нами было доказано, что ряд Фурье
может сходиться в среднем лишь к одной функции (с
точностью до ее изменения в конечном числе точек). Отсюда
следует
Теорема 3. Любая функция с интегрируемым
квадратом вполне определена (с точностью до ее значений
в конечном числе точек) своим тригонометрическим
рядом Фурье независимо от того, сходится этот ряд
или нет.
Мы говорим определена, но это еще не означает, что
мы уже сейчас знаем, как фактически можно найти
функцию, зная ее ряд Фурье. Задача о фактическом
«восстановлении» функции по ее ряду Фурье полностью будет решена
§ 4] ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 151
в следующей главе, а в некоторых частных случаях ее можно
решить методом, использованным в §§ 5 и 6 гл. IV.
Отметим еще два таких следствия полноты
тригонометрической системы (см. теоремы 1 и 2 § 8 гл. II):
Теорема 4. Не существует непрерывной функции
f(x), не равной нулю тождественно и ортогональной ко
всем функциям тригонометрической системы.
Иными словами, к тригонометрической системе нельзя
присоединить отличную от тождественного нуля непрерывную
функцию так, чтобы «расширенная» система была
ортогональной.
Теорему 4 можно перефразировать так:
Если все коэффициенты Фурье непрерывной функции
равны нулю, то функция тождественно равна нулю.
Наконец,
Теорема 5. Если тригонометрический ряд Фурье
для непрерывной функции f(x) сходится равномерно, то
его сумма совпадает с f(x).
§ 4*. Приближения функций многочленами. В
качестве довольно простого следствия результатов § 1 может
быть получено часто оказывающееся весьма полезным такое
предложение:
Теорема. Пусть f{x) — непрерывная на отрезке
[а, Ь] функция. Каково бы ни было е }> 0, существует
многочлен
Рт С*) = со + схх +... + стхт,
для которого
\/(х)—Рт(х)\^е (4.1)
всюду на отрезке [а, Ь].
Доказательство, С помощью преобразования
* = «fEf (4-2)
или, что то же,
Ъ — а . ,
Х = 1 4- а

162 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
отрезок [а, Ь] оси Ох произвольной длины переведем в
отрезок [0, те] оси Ot (если длина отрезка [а, Ь] меньше 2те,
то этого преобразования можно не делать). Положим
f l-^^-t-\-a\ = F(t). В силу следствия 2 теоремы § 1
существует тригонометрический многочлен
п
an(t)=a0 -|- ^ (ak cos kt -\- pft sin kt\
для которого
\F(t)-an(t)\^. (4.3)
всюду на [0, те]. Фиксировав п, выберем положительное
число а>]>0 столь малым, чтобы выполнялось условие
п
О) •
ft«=l
2 <1 «* I + I M) <f (4.4)
Далее, известно, что для любого z
COSZ=l — 2Г + 4Г— "*'
8102! = *-^ + ^-...,
причем сходимость этих рядов равномерна на всяком отрезке
конечной длины. В частности, последнее имеет место для
O^z^nit. Но тогда при фиксированном п и для всех
достаточно больших /
и. (л кЧ> , кЧ* . . v.ik4il\\
sin^_^__+__...+(_iy___j|
(I)
(4.5)
(ft = l, 2,..., я), каково бы ни было / из отрезка [0, те]
(так как функций coskt и sin kt для k=l, 2 п
имеется лишь конечное число* именно 2л, то индекс / всегда
§ 4] ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 153
можно взять столь большим, чтобы все неравенства (4.5)
выполнялись одновременно).
Многочлены степени 2/ и 21-\-\, стоящие в скобках в
неравенствах (4.6), обозначим соответственно через гк if) и sk (t).
Тогда
| cos kt — rk {t) j ^ to,
| sin ft* —s* (I) | «s£u>
(k = l, 2,..., я) для любого t из [0, те]. Рассмотрим сумму
п
представляющую собой многочлен степени /и = 2/ —(— 1.
Для этого многочлена в силу (4.6) и (4.4) всюду
на [0, те]
К(')-Л.(0| =
п
= |2 aft(cos/tf-rft(0)+Msin^-MO)|^
k—i
п
Отсюда и из (4.3) вытекает, что
I F{t)-Pm{t) | = |(^(о-бя(0)Н-К(0-^(0)1 ^
^ |F(*)-o„(0 | + | оя(0- Рт«)\ ^е
всюду на [0, те]. Возвращаясь с помощью формулы (4.2)
к переменному х, получим
|/(*)-/>т(те^)|<* (4-7)
всюду на [а, Ь].
Легко сообразить, что функция
(4.6)

154 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
есть многочлен тон же степени т. Раз так, то неравенство
(4.7) представляет собой подлежащее доказательству
неравенство (4.1) Теорема доказана.
§5. Сложение и вычитание рядов Фурье. Умножение на
число. Чтобы получить ряд Фурье для суммы или разности
двух функций, ряды Фурье которых известны, достаточно
произвести сложение или, соответственно, вычитание этих
известных рядов. Действительно, пусть
00
f(x)~ ~--\- ^(an cos nx-\-bn sin nx),
п = \
со
F(x)~-±-\- \(Ancosnx-{-Bns'mnx).
п— 1
(5.1)
Для коэффициентов Фурье ап и (Зп функции f(x)zhF(x)
тогда получим:
1С
а„=— 1 (f(x)ztF(x))cos nxdx =
—я
— \ f{x) cos nxdxzt — \ F{x) sin nxdx = an± An
—я —я
и аналогично
$n = bn±B,
n>
что и доказывает сказанное нами.
Совершенно так же показывается, что ряд Фурье для
функции kf{x)(k= const) получается из ряда Фурье для
f(x) умножением всех его членов на k.
Несмотря на простоту этих положений, они
свидетельствуют о весьма важном факте — возможности оперировать
с рядами Фурье так, как если бы они были сходящимися
и вместо знака «-~» стоял бы знак «=», хотя сходимость
мы и не предполагаем. С такого же рода явлением мы-
встретимся и в следующих параграфах.
§ 61
УМНОЖЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ
155
§ 6*. Умножение рядов Фурье. Как составить ряд
Фурье для произведения f(x) ■ F(x), когда известны ряды
Фурье для сомножителей? Чтобы ответить на этот вопрос,
будем рассуждать так. Прежде всего предположим, что f{x)
и F(x) являются функциями с интегрируемым квадратом.
Тогда произведение f(x)F(x) представляет собой функцию,
заведомо интегрируемую (см. § 4 гл. II). Заметим, что при
отказе от требования, предъявленного нами к f(x) и F(x),
произведение /(x)F(x) может оказаться неинтегрируемым,
и тогда вопрос о ряде Фурье для этого произведения
станет бессмысленным.
Пусть, далее, для f(x) и F(x) имеют место
соотношения (5.1) и
со
f(x) F(x)~"j-+ 2 К cos nx -f P„ sin nx).
Наша задача — выразить коэффициенты ап и (3„ через ап,
Ьп, К и Вп.
Пользуясь теоремой 1 § 3, находим:
со
«0 = 4" J f(x)F{x)dx = a-^+^{anAn+bnBnl (6.1)
— it п=\
Чтобы подсчитать
ая = — \ f (x)F(x) cos nxdx, (6.2)
—«
достаточно знать коэффициенты Фурье функции F(x)cosnx,
так как тогда опять можно будет воспользоваться
теоремой 1 § 3 применительно уже к произведению f{x)F{x) cos nx.
Вычислим эти коэффициенты:
— 1 F (x) cos nx • cos mx dx =
—it
it it
= T~ я \ F{x)Z0S(mJCn)xdx-{- \ F(x)cos(m — n)j?<fjt|.
—я

166 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
Это дает:
4-(Лт+« + Л"»-«)' еСЛИ «**«.
-J-iAn+m + An-ml еСЛИ /И<Я.
Если мы раз навсегда положим
то можем писать:
—«
Аналогично
— I F (х) cos пл; sin тх dx =
—я
= -tj- — 1 F(at) sin (т-\-п) x dx -\~
—«
+ 4" J Z7 (■*) sin (m — n) x dx] = i- (tf m+„ + B^„),
где положено B_k=—Bk.
Итак, мы знаем коэффициенты Фурье функции F {x) cos nx.
Поэтому, применив теорему 1 § 3 к интегралу (6.2), получим:
00
+ MSW+*+ #«-«)]• (6.3)
Совершенно аналогично найдем:
со
-*«.(^-Ul. (6.4)
Формулы (6.1), (6.3) и (6.4) дают решение нашей задачи.
§7]
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬВ
167
Заметим, что эти формулы можно получить путем
формального перемножения рядов (5.1) (т. е. рассуждая так, как
будто эти ряды сходятся и перемножение законно)*) с
последующей заменой произведений синусов и косинусов их
суммами и разностями и объединением подобных членов.
§ 7. Интегрирование рядов Фурье. В приложениях
могут встретиться случаи, когда известен лишь ряд Фурье, но
не сама функция. В связи с этим возникают задачи:
1) Зная ряд Фурье функции f(x) периода 2я, вычислить
ь
\f(x)dx,
а
где [а, Ь\ — произвольный отрезок.
2) Зная ряд Фурье функции /(л;),составить ряд Фурье для
функции
х
F{x)=[f(x)dx.
Ответ на первую задачу дает
Теорема 1. Если абсолютно интегрируемая
функция f(x) задана своим рядом Фурье
00
/{х) ~ Y + 2!(а»cos пх+ъ*sin п*ь (7Л)
п = \
*) Известно, что сходящиеся ряды s з= и, + и, _{- • • • + «п + • • •»
о = ©1 + ©а + • • • + vn + • • ■ перемножаются по формуле
80 = Ki»i + (Ki»a + UsVi) +... + («i»n + "a»n-i + -.- + «n-i«'8 +
00
+ urfii) + - • • = 21 (Ult,n + U'Vn-i + • • • + "n-i»a + tlnVi)t
n~\
причем эта формула верна всякий раз, как сходится последний ряд.
Формула всегда верна, если ряды сходятся абсолютно.

158 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
то
ъ
\f{x)dx
а
может быть найден почленным интегрированием ряда
(7.1) независимо от того, сходится последний или нет,
т. е.
ь
\f(x)dx =
а
оо
«о tt. \ i V ап(sinnb~ sinnfl)—bn(cosnb— cosna) ,_ Qv
n = l
Если /(jc) есть функция с интегрируемым квадратом, то
сформулированная теорема есть частный случай теоремы 3
§ 8 гл. II. В общем же случае рассуждаем следующим
образом.
Положим:
X
F{x)=Uf{x)—af\dx. (7.3)
Эта функция непрерывна, имеет абсолютно интегрируемую
производную (не существующую, быть может, в конечном
числе точек), причем
F(* + 2*)= С [/(*)--af\dx+ J [№—%-]dx=.
*
= F{x)+ §[f(x)-^]dx =
—«
= F(x) + J f{x)dx — Kac = F{x),
—*
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬВ 159
т. е. F(x) имеет период 2гс. Поэтому F(x) может быть
разложена в ряд Фурье (§ И гл. III):
00
F (х) = у -f 2 (An c°s пх -f- Вп sin лдг).
Интегрирование по частям для п ^ 1 дает:
Ля = ^ f F(*)cos/urd*=~FC*)-^L
—«
ДГмК
лг«— «
и аналогично
°я п *
Следовательно,
с, ч А> i V ап sin ял: — ftn сев пх^
или в силу (7.3)
п
п«1
00
f/W^^^ + ^+i! **"*-*.«»«*. (?4)
О п=1
Чтобы получить (7.2), остается положить здесь лг = £,
затем х=а и вычесть результаты.
Ответ на вторую задачу дает
Теорема 2. Пусть абсолютно интегрируемая
функция f(x) задана своим рядом Фурье (сходящимся или
нет)
оо
/(*) ~ ^° + 2 (ал C0S ЛЛГ + ^» sin «*)•
п—1

160 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
Тогда для ее интеграла имеет место следующее
разложение в ряд Фурье:
х со оо
f f(x)dx=y ^-f У ~~Ьп C°S ПХ + (°" + (~1)я+10о) sin "*
О Л«=1 Я=1
(_*<><». (7.5)
Для доказательства воспользуемся равенством (7.4).
Положив там х = 0, найдем:
я=1
С другой стороны, в силу (13.9) гл. I для —гс<^л:<^тс
оо
f=2(~~ l)"+li^. (7.7)
Подстановка (7.6) и (7.7) в (7.4) и дает (7.5).
Замечание. Попутно нами была доказана сходимость
для всякой абсолютно интегрируемой функции ряда
00
1Ь
Это обстоятельство иногда оказывается полезным, так как
в некоторых случаях позволяет различать ряды Фурье
абсолютно интегрируемых функций от других
тригонометрических рядов. Так, например, всюду сходящийся ряд
1
00
sin пх
Inn
(см. § 3 гл. IV) заведомо не является рядом Фурье от
абсолютно интегрируемой функции, поскольку ряд
оо
У-*-
Xj я Inn
п = 2
расходится.
§ 7] ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬВ 161
Отметим важный частный случай теоремы 2.
Теорема 3. В случае а0 = 0 (прочие условия — по
теореме 2) для всех х*)
inx)dX=2J£+2~b>a*"xn+''n*nnx- <7-8>
а ч = | п= i
т. е. ряд Фурье для интеграла может быть получен
почленным интегрированием ряда для f(x).
Формула (7.8) получается из (7.5) простой подстановкой
туда значения а0 = 0- Справедливость же ее для всех х
(а не только для —эг<^лг<^эг, как в (7.5)) вытекает из
периодичности интеграла слева, а что это действительно так,
видно из следующего:
Х\2к х х + 2к
f{x)dx=[f{x)dx + J f(x)dx =
х х
= I f(x)dx -f- iza0= i f(x)dx.
T
Формула (7.8) позволяет получить много новых
тригонометрических разложений, отправляясь от какого-нибудь
известного. Например, мы знаем, что для —ic<^jc<^it
х_ sin 2л: ■ sin Зл:
у—sin* 2 -j -g ...
Интегрируя, получим:
>t = (l-± + ±- )-
/ cos 2л: . совЗл: \
— (cos* 2«—Ь—з« ...] =
00
«=С— 21 (-1)п+1-^. C=const.
п = 1
*) Если мы интересуемся значениями —те < х <с п, то, как и
в теореме 2, не нужно требовать периодичности f(x). Если же нас
интересуют все значения х, то для справедливости (7.8) нужно
считать f(x) периодической.
в Г. П. Толстое

162 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
Чтобы найти С, интегрируем последнее равенство по отрезку
[—it, -к]. Так как ряд справа сходится равномерно, то
почленное интегрирование законно, и мы получаем:
К 00 Я
С £- dx = 2гсС — ^ (— l)n+1 ^ С cos /глг d* = 2яС.
я = 1
Следовательно,
Поэтому
8тс J * СЛ: — 12'
00
(это разложение было получено нами в § 18 гл. I).
Интегрируем еще раз:
X 00
.„+, $}П ПХ
К5-?)<*-2<-*
_
"Цвет «—1
или
12* 12
оо
JC" V / 1 VM-1 sln nx
^-^
§ 8. Дифференцирование рядов Фурье. Случай
непрерывной функции периода 2тг.
Теорема 1. Пусть f(x) — непрерывная функция■
периода 2к, обладающая абсолютно интегрируемой
производной (которая может и не существовать в отдельных
точках*). Тогда ряд Фурье для f'(x) может быть
получен из ряда Фурье функции f{x) почленным
дифференцированием.
Доказательство. Пусть
оо
f(x) ■= Ц -\- ^ ifin cos nx ~\- bn sin nx). (8.1
*) Иными словами, f'(x) может не существовать в конечное
числе точек (для одного периода).
§ 8] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 163
Знак равенства здесь можно писать в силу теоремы § 11
гл. Ш. Обозначим через ап и Ь'п коэффициенты Фурье для
f'{x). Прежде всего,
«о
0.
.(8.2)
г0 = 1 J /' (х) dx =/(*) -/(-*) =
—«
Далее, интегрирование по частям дает:
к
a'n=±^f (х) cos nx rf* = ■£■[—/(*) sin nx]xxZ-. +
—я
1С
-j- — \ f(x) sin nx dx = nbn,
—«
b'n = I J /' (*) sin л* <lx: = £ [f(x) cos л*] *ll„ —
—я
IT
— — l f(x) cos nxdx = — ла„.
—«
Поэтому
/' (jc) *~ У n (bn cos лл: — an sin ллг),
а это и есть ряд, получающийся из (8.1) почленным диф-
ферен цированием.
Замечание. В условиях теоремы 1
Ъ'п а'п
ап= — —> bnx=z — * (83)
что сразу вытекает из (8.2). Кроме того, так как
коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции стремятся
к нулю при л-*оо (см. § 2 гл. III), то можем написать:
lim пап = lim пЪп = О,
л-»оо л-*оо

164
ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ
[ГЛ. V
т. е. ап и Ьп являются при я-►со бесконечно малыми более
1
высокого порядка, чем —.
Теорема 2. Пусть f(x\— непрерывная функция
периода 2и, обладающая т производными, причем т — 1
производных непрерывны, а т-я производная абсолютно
интегрируема (эта т-я производная может и не
существовать в отдельных точках). Тогда: 1) ряды Фурье
для всех т производных могут быть получены
почленным дифференцированием ряда Фурье для f{x) причем
все эти ряды, кроме, быть может, последнего, сходятся
к соответствующим производным', 2) для
коэффициентов Фурье функции f(x) имеют место соотношения
lim птап ■= 1 im nmbn — 0. (8.4)
Л -+ 00 П-+СЮ
Чтобы получить доказательство первого утверждения,
достаточно т раз применить теорему 1. Сходимость всех
получающихся почленным дифференцированием рядов, кроме,
быть может, последнего, к соответствующим производным
вытекает из дифференцируемости этих производных (до
(т—1)-й включительно).
Равенства (8.4) получаются в результате
последовательного применения (т раз) равенств (8.3):
я я
а""~ п~ п*
< К
где а'п, а"п, ..., b'n, b'n, ... — коэффициенты Фурье функции
f'{x), f"{x), ..., а через ап и р„ обозначены взятые с
нужными знаками соответствующие коэффициенты Фурье
функции /(т) (х). Так как f(m) (х) — абсолютно интегрируема, то
ая-уО и P„-»-0 при п-+оо, откуда и следует (8.4).
Замечание. В условиях теоремы 2 ряд для f{x) и
все ряды, получающиеся из него почленным
дифференцированием, за исключением, быть может, последнего, сходятся
равномерно (вытекает из § 11 гл. III).
Следующее предложение является в некотором смысле
обратным для теоремы 2.
л"
"я
пт »
(8.5)
§ 8] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬВ 166
Теорема 3. Пусть дан тригонометрический ряд
00
Ц -\- У (ап cos nx -}- Ьп sin nx). (8.6)
Если для коэффициентов ап и Ьп справедливы
соотношения
|лтая| <М, | птЬп\<*М (/и 3s 2, М = const), (8.7)
то сумма ряда (8.6) есть непрерывная функция периода
2те, обладающая т — 2 непрерывными производными,
которые могут быть получены почленным
дифференцированием ряда (8.6).
Доказательство. Обозначим сумму ряда (8.6)
через /(х).
Ввиду (8.7) можем написать:
/(*)=£+2 (scos пх+%sin nx)'
где
\ап\^М, |рга|^М, M = const.
Если будем формально дифференцировать этот ряд, то
после k дифференцирований коэффициенты по абсолютной
величине не превзойдут чисел
М
Отсюда следует, что для k = l, 2, ..., т — 2 ряды из
абсолютных величин коэффициентов будут сходиться.
Поэтому в силу теоремы I § 10 гл. III для k = i, 2, ..., т — 2
ряды, получающиеся почленным дифференцированием ряда
(8.6), будут равномерно сходящимися. Но тогда, из § 4 гл. I
вытекают дифференцируемость (а значит, и непрерывность)
функции f(x) m — 2 раза, непрерывность производных и
законность почленного дифференцирования.

166 ОПЕРАЦИИ С РЯЛАМЙ ФУРЬЕ (гл V
§ 9*. Дифференцирование рядов Фурье. Случай
функции, заданной на отрезке [ — те, те].
Теорема 1. Пусть непрерывная функция /(х)
задана на отрезке [ — it, те] и обладает абсолютно
интегрируемой производной (которая может и не
существовать в отдельных точках).
Тогда
оо
Г (х) ~ | + 2 ^пЬп ~^~ (~~1У с) cos пх ~ пйп sin nx\' &'1)
4=1
где ап и Ьп — коэффициенты Фурье функции f(x), а
постоянная с определяется равенством
Доказательство. Пусть
со
Р(х)~ у -|- У (ап cos nx -\-b'n sin пх).
л—I
Следовательно,
al = I J f'(x) dx=X~ [/(те) - /(- те)].
Очевидно,
f {х)—Ц~ ^(а'п cos пх + Ъп sin пх) *). (9.3)
ra=J
*) Хотя (9.3) и не представляет собой равенства, но переносить
члены из правой части в левую все же возможно, что проверяется
подсчетом коэффициентов Фурье для функции, фигурирующей в
левой части. В нашем случае для функции f {х) — ■£ свободный член
оказывается равным нулю, а все прочие коэффициенты остаются
теми же, что и для /' (л).
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 167
Ряд Фурье для функции
X
f{x) -1) dx =f(x) - ^ -/(0) (9.4)
может быть получен из ряда (9.3) почленным
интегрированием (см. теорему 3 § 7). Поэтому, наоборот, ряд (9.3) можно
получить почленным дифференцированием ряда для
функции (9.4). Но
00
/ (х) — -^ -f- 2(а"cos пх+Ъп sin пх)*
л=«1
и в силу (7.7)
A*)-flir-/(0)=
00
= Ц -/(0) + 2 [ ап «* пх + ( Ъп + <=^.) sinnx].
л = 1
Следовательно,
00
/'(*)— ^~ 2 [~~ пап*мпх + (пЬп + (—\fa'Q) cos nx],
л = 1
откуда и вытекает (9.1), если положить с = ао.
Следствие. Если с = 0, т. е. /(гс)=/(— те), то
формула (9.1) дает:
оо
f {Х)1^ 2л П (*я C0S ПХ — а« S'n ПХ^'
л = 1
Иными словами, ряд Фурье для f(x) можно почленно
дифференцировать. Это, впрочем, и непосредственно ясно,
так как при /(тс)=/(—*0 периодическое продолжение на
всю ось Ох приводит к непрерывной функции и остается
применить теорему 1 § 8.
Замечание. Теорема 1 особенно важна в случае, когда
сама /(лг) не задана, а дан лишь ее ряд Фурье. Знание
<

168
ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ
[гл. v
последнего оказывается достаточным, чтобы составить ряд Фурье
для f'(x). Вычисление постоянной с по формуле (9.2) в
рассматриваемом нами случае может оказаться затруднительным.
Пользования формулой (9.2) можно избежать, если вспомнить,
что коэффициенты Фурье абсолютно интегрируемой функции
стремятся к нулю при л->оо(см. § 2 гл. III). Поэтому из
(9.1) следует:
lim [пЬп + {— 1)пс) = 0,
Л-+О0
откуда
c = \im [(— \)n+1nbn].
П-+СО
Вычислить этот предел оказывается обычно нетрудным.
Нетрудно сообразить, что существование этого предела
равносильно существованию равных по абсолютной величине и
противоположных по знаку пределов произведения nbn в
отдельности для четных п и для нечетных п.
Теорема 1 предполагает известным факт непрерывности
функции f{x) на [ — тс, it] и наличия у нее абсолютно
интегрируемой производной. В приложениях можно встретиться
со случаем, когда мы знаем лишь ряд Фурье для f(x).
В этом случае, следовательно, ставится более сложная
задача: узнать по ряду Фурье, дифференцируема ли функция
и интегрируема ли производная, и при утвердительном ответе
составить ряд Фурье для этой производной. Следующая
теорема часто может помочь решению этой задачи.
Теорема 2. Пусть дан ряд
00
Ц- -\- ^ (ап cos пх ~\~ &п sin nx)- (9.5)
Если ряд
4" + У [(nbn ~\-(— *)" с) cos пх — пап sm пх\ (9-6)
я=1
где
с = Нтп[(— l)n+1nbn], (9.7)
/г-»со
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 169
является рядом Фурье от некоторой абсолютно
интегрируемой функции у(х)*), то ряд (9.5) является рядом
Фурье от функции f(x) = \ <р (лт) dx -\- ~ -\- У ап? не~
прерывной для —^<СЛГ<С1С' сходится к этой функции,
причем, очевидно, /'(лг) = <р (лг) во всех точках
непрерывности у(х).
Доказательство. К ряду
с
<?(х)~ 2 + У [(nbn + (—1)п с) CGS пх — пап sin nx\
п=\
можно применить теорему 2 § 7. При этом для —к<^х<^ъ
получим:
х
\ y(x)dx =
\1 , \i nan cos nx+(nbn-\ -(— 1)"с+(— 1)я+1с) sinn*
=- 2 а*+ Z п
ОО СО
= — 2 ап+ 2 (ancosnx+J>ns\nnx)
,= I п = 1
или
х оо
Л <?{x)dx-\- ^ ап= 2 (ап cos nx~\-Ksln пх)
л=1 п=1
и, следовательно,
х 00 00
U(x)dx-\-^-\-2i "«^Т+И (а"C0S ПХ + ЬпSinПХ)-
8 п=\ п=«
*) Сходимость ряда (9.6) не предполагается.

170 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
Пример 1. Ряд
00
VI , t yt n sin nx
Zd К ' п«—1
п = 2
есть ряд Фурье от непрерывной *) и дифференцируемой
для —те<^лг<4 функции. Действительно, по формуле (9.7)
находим:
с = lim ( г^—г) = — 1.
я-ool »"—1/
Составляем ряд (9.6):
оо
-l+cos^+ ^ [(-iy_^T + (-iy+i]coeiw
n=2
ИЛИ
оо
1 , , V^ r 1 \п сея лл:
y_f-Cos*-f Z(~l) *Г=Т-
п=2
Этот ряд сходится абсолютно и равномерно (так как
сходится, очевидно, ряд из абсолютных величин
коэффициентов) и поэтому имеет непрерывную сумму <р(*), Для
которой является рядом Фурье (см. теорему I § 6 гл. I).
По теореме 2
X 00
/(*) = f <p (*) dx = 2 (-1Г^г (9-8)
О л=2
00
/'(*) = <pC*0=-y+cos*+2 C-1)"^!- (9-9)
л=2
Заметим, кстати, что дифференцирование рядов Фурье
иногда приводит к возможности находить их суммы. Так,
*) О непрерывности суммы ряда можно заключить и на
основании теоремы 1 § 4 гл. IV.
§ 9] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 171
в рассмотренном примере применение теоремы 2 к ряду (9.9)
дает:
л—2
и, следовательно,
/''(*) = — sin*— f(x)
или
/"(*) + /(•*) = — sin*.
Если решить это дифференциальное уравнение
относительно fix), то получим:
f(x) = c1 cos х-\-СъЪтх-\ к—■ (9.10)
Найдем Су и св. Положив лг = 0, получим /(0) = ^.
В силу (9.8) /(0)=0, и поэтому с, = 0. Чтобы найти
св, дифференцируем (9.10) и сравниваем с (9.9). При этом
получим:
оо
, cos х х sin х 1 | , Vj t , чЯ cos nx
c9COS* + —2 2 = —-2~+cos*-t2j( * й«=Т'
ra=2
Для л: = 0 это равенство дает:
*- |(-^^-т1<-<4т-.-^)-
""(t^tJ + '-J^T'
Итак,
-, ч sin х , a: cos*
/(*)=-4-Н 2~*
Отметим еще один полезный признак дифференцируемости
функции, заданной тригонометрическим рядом.
Теорема 3. Пусть дан ряд
00
ц 4- 21 (—1У &"cos nx+ft"sin ллг^ t9,1!)
п=1

172 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬВ [ГЛ. V
где ап и Ьп положительны. Если величины пап, пЪп не
возрастают (начиная с некоторого п) и стремятся
к нулю при п -*■ оо, то ряд сходится для —тс <^ х <^«
и имеет дифференцируемую сумму f(x), причем
оо
/' (х) = 2, (—!Т п (Рп cos пх — ап sin пх), (9.12)
п = 1
т. е. ряд (9.11) можно дифференцировать почленно.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
коэффициенты ап и Ьп "не возрастают и стремятся к нулю
при п-+со. В силу теоремы 1 § 4 гл. IV ряд (9.11) и ряд
справа в (9.12) сходятся равномерно на всяком отрезке [а, Ь],
внутреннем к [—тс, ttj. Отсюда вытекает возможность
почленного дифференцирования ряда (9.11) для —^<С.х<^,к, что
и доказывает равенство (9.12).
Пример 2. Ряд
00
X (— и»cosnx
jLK ' и Inn
имеет для —тс<[л;<^тс дифференцируемую сумму f(x),
причем
/'(*) = -!(-!)» ^,
п = 2
что сразу вытекает из теоремы 3.
§ 10*. Дифференцирование рядов Фурье. Случай
функции, заданной на отрезке [0, тс]. В качестве простого
следствия теоремы 1 § 8 получается
Теорема 1. Если f{x) непрерывна на [0, тс], имеет
абсолютно интегрируемую производную (которая может
и не существовать в отдельных точках) и разложена
в ряд Фурье по косинусам или по синусам, то ряд по
косинусам всегда можно почленно дифференцировать,
а для ряда синусов это справедливо при /(0)=/(тс) = 0.
Действительно, продолжение на отрезок [—тс, 0] — для
ряда косинусов четное, для ряда синусов нечетное — в обоих
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬВ 173
случаях приводит к функции, непрерывной на [—тс, тс] и
принимающей равные значения в концах этого отрезка.
Поэтому последующее периодическое продолжение на всю Ох
приводит к непрерывной функции периода 2тс с
абсолютно интегрируемой производной. Остается применить
теорему 1 § 8.
Теорема 2. Пусть f(x) непрерывна на [0, тс], имеет
абсолютно интегрируемую производную (которая может
и не существовать в отдельных точках) и разложена
в ряд Фурье по синусам
оо
f(x) = У bn sin пх (0 < х < тс).
л —1
Тогда
00
f(x)~±.-\-^[nbn — d + (c + d)(r-l)"]cosw*, (10.1)
n= 1
где
'=|-Г/00-/(0)], ^ = |/(0). (10.2)
Доказательство. Пусть
00
л = 1
Тогда
оо
/' (х) — Ц ~ 2] а'п cos пх. (10.3)
я = 1
Мы имели (см. (13.9) и (13.11) § 13 гл. I):
оо
п=\
у sin (2k -j- 1) х jn
Zi 2k+\ ~~ 4
oo
= Ц(1-(-!)")-„— (0<*O). (10.4)
«=i

174 операция с рядами фурьв [гл. v
Поэтому
X
[ (/' И - fj dx=/(*) - Ц _/(0) =
00 00
= 2ibnslnnx-a'o2i(-l)n+1^1^-
n=l n — \
OS
2
-#/(°)2>-(-1)п)^
00
= 2["»- - v/W + («* +1/(0)) (-1)"] ^. (Ю.5)
Мы получили ряд Фурье для функции
X
j(/'(*)-°j)d*.
Но ведь этот ряд можно получить почленным
интегрированием ряда (10.3) (см. § 7), и, следовательно, наоборот,
ряд (10.3) может быть получен почленным
дифференцированием ряда (10.5).
Поэтому
00
/ч*)-т~ 2 К -4 л°)+fa+i/(o)) (-irl cos «*.
откуда и следуют (10.1) и (10.2), если положить:
c = aQ=2-\f'(x)dx = l[fW-f(0)l tf = |/(0).
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 176
Следствие. Если — d -\-(c-{-d)(— 1)" = 0 (л =
= 1, 2,...), то вместо (10.1) получаем:
со
/' (лг) ~ У л&„ cos ллг,
п = 1
/и. е. ряд Фурье для f'(x) получается из ряда для f(x)
простым почленным дифференцированием.
Этот случай соответствует условию
/(0) =/(*) = О,
которое нами рассматривалось уже в теореме 1. Действи
тельно, для четного п сразу получаем с = 0. Но тогда для
нечетного п находим —2d = 0 или d = 0. Остается
вспомнить (10.2).
Замечание. Для определения постоянных cud вместо
(10.2) можно пользоваться формулами
с = —lim nbn (n — четное),
л-»оо (10.0)
d = -K- (lim nbn — с) (п —нечетное).
Действительно, коэффициенты Фурье абсолютно
интегрируемой функции f'(x) стремятся к нулю при я-»-оо.
Поэтому для четных п из (10.1) следует:
lim(nbn-{-c)=0,
п—»оо
откуда и вытекает первая формула (10.6).
Для нечетных п
lim(nbn — c — 2d) = 0,
/I-+00
что дает вторую формулу (10.6).
Теоремы 1 и 2 допускают обращения.
Теорема 3. Пусть дан ряд
оо
Ц -\-^ancosnx. (10.7)
л=-1

176 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
Если ряд
со
— У пап sin nx*)
л— 1
является рядом Фурье от некоторой абсолютно
интегрируемой функции <р(х), то ряд (10.7) является рядом
оо
Фурье от функции f(x) = f <p (х) dx -f у -f У ал» ««/^
о n=i
рывной на [0, ти] **), сходится к этой функции и,
очевидно, f'(x) = (f(x) во всех точках непрерывности <р(лг).
Эта теорема является простым следствием теоремы 2 § 9.
Чтобы убедиться в этом, там достаточно положить Ьп = 0,
л=1, 2,...
Теорема 4. Пусть дан ряд
ОО
^bnslnnx. (10.8)
л=1
Если существуют пределы (10.6) и /;яд
во
с
л—I
является рядом Фурье от некоторой абсолютно
интегрируемой функции <р(лг), то ряд (10.8) является рядом
х
Фурье от функции /(лг)= i (p(x)dx-\--^ (0<С-х:<Сте)»
сходится к этой функции, причем, очевидно, f {х) = <р (х)
во всех точках непрерывности функции у(х).
*) Сходимость этого ряда не предполагается.
**) Поскольку сумма ряда (10.7) есть четная функция, то
непрерывность будет иметь место и на [—я, п], а следовательно, и
на всей Ох.
§10] дифференцирование рядов фурьв 177
Доказательство. К ряду
00
«р (*) ~-\ + 2 [**• - d+('+<9(—Wcos n*
можно применить теорему 2 § 7. При этом для 0<[лг<[те
получим:
* оо
C^(x)dx_y [nbn-d + (c + d)(-iy> + (-\y44c] sin я* ^
оо оо оо
(см. (10.4)). Поэтому для 0<*<*
оо
j <р(*) dx + j =^*nsin л*.
л—I
Теорема доказана.
Как частный случай этой теоремы получается следующая
Теорема б. Пусть дан ряд (10.8). Если существует
предел
\\mnbn = h (10.10)
п-*оо
и ряд
оо
~~ 4+21 ^пЬп ~~Л) cos nx (ю.и)
я=1
представляет собой ряд Фурье от некоторой абсолютно
интегрируемой функции (р(лг), то ряд (10.8) есть ряд
X
Фурье от функции f(x) = 1 <$> (х) dx -f- у (0 < л: <те),
сходится к этой функции, причем, очевидно, f (х) = <р (д;)
во всел: точках непрерывности функции у(х).

178 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
Действительно, в случае, когда существует предел (10.10),
формулы (10.6) дают: с = — h, d = h, и ряд (10.9) получает
вид «(10.11), что и доказывает теорему 5.
Пример 1. Ряд
со
пь sin nx
1
л4 + 1
п = 1
есть ряд Фурье от функции, допускающий для 0<^х<^к
сколько угодно производных.
Действительно, формула (10.10) дает:
h= lim = 1.
пА-\-1
п —» с»
Составляем ряд (10.11):
-^+2(^тт-1)С08ЛЛГ
л = 1
ИЛИ
00
COS ПХ
1 VI СО
2 L п*
+ Г
Этот ряд сходится абсолютно и равномерно и,
следовательно, имеет непрерывную сумму <?{х). По теореме 5 для
0<>О
/(*)=2^т=J * <■*>**+£ &<*<«). fw=9(*y-
n=l 0
Заметим, что для коэффициентов* Фурье функции <р(лг)
имеем:
п*'
1Л*а«1==яч:т<1-
§ 10] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ 179
Поэтому в силу теоремы 3 § 8 функция <р(л:) обладает
двумя непрерывными производными, причем
п = 1
оо
' , \ Y1 Я8 COS ПХ
* <*>=2lF+r--
п = 1
К последнему ряду можно применить теорему 3. При
этом получим:
оо
» = 1
Очевидно,
<р'"(лг)=/^(дг).
Поэтому для /(лг) получаем дифференциальное уравнение
flv(x) = -f(x) (О О О),
откуда и следует существование для /(лг) производных
любого порядка.
Как и в § 9, результаты § 10 могут быть приложены
к вычислению сумм некоторых тригонометрических рядов.
Пример 2. Найти сумму ряда
DO
2 cos nx
ймм- (10-12)
п=1
Этот ряд сходится равномерно и, следовательно, имеет
непрерывную сумму F(x).
Дифференцируя почленно, получим:
оо
VI Л Sin ПХ
2^+7"" (10-13)
я —1

180
ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [гл V
К этому ряду приложима теорема 5. Действительно, формула
(10.10) дает: v v J
Л = "ш(_-^) = _1,
л-*оо
и мы в качестве ряда (10.11) получаем:
+21(~~^TT+1)cosnAr
00
1_
2
п = 1
или
_1 , у cos пх lip, ч
2 "г Zin*+l~ "2"TrW-
п = 1
Таким образом, по теореме 5 для суммы f(x) ряда
(10.13) имеем:
X
f{x) = ~-[-{\F{x)dx—^ (0OO).
Но тогда к ряду (10.12) приложима теорема 3.
Следовательно,
X
Z7'(*) = £+JF(*)</*-£- (0ОО) (10.14)
или
F'{x)-F{x) = Xf.
Из этого дифференциального уравнения находим:
F{x) = Cle* + C9e~* — L, (Ю.15)
и поэтому
§ 11] УЛУЧШЕНИИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬВ 181
Положив в этих равенствах х = 0 и воспользовавшись (10.12)
и (10.14), получим:
оо
2^471 = ^ + ^-2»
п —1
— 2~ — с* — с*
Отсюда находим:
Ci=2\2j ^ТТ^"^""^)'
л—I
C*~2\2d л»+~Г + 2" + 2~)*
При таких значениях постоянных ct и са функция (10.15)
дает сумму ряда (10.12).
§ 11. Улучшение сходимости рядов Фурье. В
приложениях наиболее удобны тригонометрические ряды с быстро
убывающими коэффициентами. Действительно, в этом случае
лишь несколько первых членов ряда весьма точно
определяют его сумму, так как при . достаточной быстроте
приближения к нулю коэффициентов сумма всех последующих
членов ряда оказывается малой. При этом, чем быстрее
убывают коэффициенты, тем меньше нам понадобится членов
ряда для приближенного представления его суммы с нужной
степенью точности.
Наиболее просто обстоит дело и с дифференцированием
тригонометрических рядов с быстро убывающими
коэффициентами (см. теорему 3 § 8).
Сказанное естественным образом приводит к следующей
задаче.
Дан тригонометрический ряд (сумму его обозначим
через f{x))
00
fix) ^у + У (ancosnx-\-bnsinnx). (11.1)
. л—1

182
ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ
[гл. v
Требуется выделить из этого ряда другой ряд, сумма
которого <р(.я) известна (в конечном виде), с тем, чтобы
оставшийся ряд, т. е. ряд, связанный с f(x) и у(х)
соотношением
оо
f(x) — <p (х) + Л аи C0S ПХ ~Ь Р« Sin ПХ>
п=\
имел достаточно быстро убывающие коэффициенты.
Если эта задача решена, то операции над f(x)
заменятся операциями над известной функцией <р(х) и над
рядом с быстро убывающими коэффициентами.
Разрешимость этой задачи в практически интересных
случаях вытекает из следующих соображений.
Пусть на [ — iz, к] (или на [0, тс]) задана несколько раз
дифференцируемая функция f\x). Распространение этой
функции на всю ось Ох по периоду 2тс может
привести к разрывной функции (или к функции с разрывными
производными), что в свою очередь приводит к медленному
убыванию коэффициентов Фурье. Нетрудно сообразить, что,
вычитая из f(x) надлежащим образом подобранную
линейную функцию, можно превратить ее в функцию с равными
значениями.на концах отрезка и, следовательно, непрерывно
продолжаемую на всю Ох, т. е. в функцию с более быстро
убывающими коэффициентами Фурье, чем первоначальная. Если
из f(x) вычесть надлежащим образом выбранный многочлен,
то можно добиться, чтобы равные значения в концах отрезка
имела не только функция, но и ее несколько производных.
Но тогда и функция и эти производные будут непрерывно
продолжаемы на всю ось Ох, а это означает приложимость
теоремы 2 § 8, т. е. гарантирует уже весьма быстрое
убывание коэффициентов.
Таким образом, задача наша не безнадежна. Однако в
задаче этой дан ряд, а не функция. Следовательно, вид
функции ф (х) нужно установить, исходя из ряда, и в этом
трудность, которая, впрочем, довольно часто оказывается
преодолимой.
Когда поставленная задача решена, мы говорим, что
улучшили сходимость ряда (11.1).
Укажем два приема такого улучшения сходимости рядов.
Первый прием основан на следующем обстоятельстве: раз-
§11] УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 183
ность двух эквивалентных бесконечно малых величин*) есть
бесконечно малая величина более высокого порядка, чем
каждая из них.
Пример 1. Улучшить сходимость ряда
Л»
В данном случае величина п1_ ^ при л—оо эквива-
1 Л8 1 Л4 \
лентна величине— (ибо —.—г:~7Г==;л—г-^ 1 при я —- оо).
Л Л' — 1 Л Л — 1
При этом подсчет дает:
я8 1 _ 1
л4— 1 л пь —л"
Поэтому
оо оо
п=2 п=2
Но (см. § 13 гл. I, (13.9))
00
л=1
Поэтому
2(-1Г'^=х (—<*<«).
00
л=2
В последнем ряде, очевидно,
\Ьпп*\^М (М = const),
т. е. коэффициенты Фурье имеют порядок—^.
' *) Две бесконечно малые называются эквивалентными, если их
отношение стремится к единице.

184 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
Пример 2. Улучшить сходимость ряда
/(•*) = 2 п»(п«+1)С08/иг-
В данном случае коэффициент ряда эквивалентен
величине —г. При этом
п* — ля +1 1 1
л*(л*+1) п» ~~л*+Г
Следовательно,
оо со
£t \ \3 cos nx V cosn*
я*)=2-^—2ячл"
2 cos л* За:8 -г бтсл: + 27:' ,л _ _ _ ч
Лч Злгя — Ъъх—2тс8 V cos я* /л _, _« ч
ллг.
Но (см. § 13 гл. I, (13.8))
cos nx Зл:8 -г бкх + 27:"
и поэтому
Злгя— бкх—2тс8 VI cos nx
Для последнего ряда
»4
|вяя»К1,
и, следовательно, коэффициенты Фурье имеют порядок —г.
Второй прием улучшения сходимости основан на
представлении коэффициентов Фурье в виде сумм
1—г-1-... (А = const, В=const) *).
Пример 3. Улучшить сходимость ряда
со
/С«) = 21^Т (с = const, в>0).
л«=1
*) Впрочем, как можно показать, этот прием сводится к
многократному применению первого приема.
§ 11] улучшение сходимости рядов фурье 185
Очевидно,
' -±._! ±(,_ «+*_...)•>.
п-\-а л а л \ л' л8 /
л
Прогрессию, стоящую в скобках, оборвем на члене -,,
а остаток просуммируем. Получим:
_1 1 Л а а* аь \ 1 а а* а'
п + а^пХ л +л* л8(л+в)У=3л ля_г"л« л8(л + а)'
Поэтому
оо со
* t ч V* sin лл: у; sin ла: I
n = l n=-l
oo
. 2V sin nx jV sin nx
~ra Zi ~nb a Zi л8(л + а) *
n = 1 n=1
Суммы первых трех рядов, как и вообще суммы рядов вида
оо
2т соэлл: , ч
d ~HF~ & ~ целое)»
со оо
V sin nx
L~hr- или
И = I fl= 1
могут быть легко получены из известных разложений.
Действительно (см. § 13 гл. I, (13.7), (13.8) и § 14 гл. III, (14.1)),
V^ sin nx я ■
Zd~л
п = \
со
cosnx Злт* — бпл: -|- 2гся
п = 1
2 cos nx Злг* — Ьпх
~ИГ~-~ 12"
2|i^e-ln2siny (0О<2тг).
п»1
*) Говорить о бесконечной прогрессии можно, конечно, лишь
а, когда — <: 1, но
л
рить, справедлив всегда.
тогда, когда — <il, но нужный нам результат, как легко прове
л

186 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [гл. V
Интегрируя второй и третий ряды, получим для 0 <[лг <[ 2тс:
у sin nx f 3*» — 6ял- + 2*' ,
Li n* ~~ J 12
3*» — бялг + 2it» й v x» — Зтс*» -f 2***
12"
n—1. о
CO X
Поэтому
2^—W»-*)**
/(л:)=^^ + a ^ In (2 sin -£J rf* -f-
00
Коэффициенты последнего ряда имеют порядок —^.
§ 12. Таблица некоторых тригонометрических
разложений. При операциях с рядами Фурье выгодно иметь
таблицу часто встречающихся тригонометрических разложений.
Это особенно полезно, когда речь идет об улучшении
сходимости рядов.
В приводимой ниже таблице мы собрали воедино
разложения, полученные нами в предыдущих главах, и добавили
некоторые новые.
со
1) 2 -EEF=-ln (2 sin f) (°оо)'
(гл.Ш, (14.1)),
00
2) 21 ^тг- = -Чг <° < х <2*>' <гл-1>(13J))'
00
оч VI COS л* Зх* — бпх -f 2те* ,_ ^^-о_ч iv„ 1 п ч »чч
) 2. л3 = 12"^ (0 ^дг =5^ 2гс), (гл. I, (13.8)),
П=1
§ 12] ТАБЛИЦА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 187
00
4) 2^-=- f ln(2sin|)^ ф^х^2ж\
(см. §11),
5) izp-uSb^tx+ib
*«=1 О О п—1
(0*£*<2it)
о»
( Z?- 25,7^36... -'.««О»-)'
я-1
(получается почленным интегрированием из предшествующего
ряда),
со
сч \1 sin nx хъ — Зллг* + 2к*х /г, _ „ _ 0 .
6) 2~^~== 12^ (0^*^2*),
(см. § 11),
00
7) 2(-1Г' ^=,п (2 cos f) <- * о < *>•
(гл. III, (14.2)),
00
(гл. I, (13.9)),
о»
(гл. i, (13.10))k
О»
ю) 2(-i)n+i8j^=
я—1
= t in f2cosy)dx (— ic*£*^ic),

188 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬВ [ГЛ. V
(получается почленным интегрированием ряда 7))
и—1
00
==2(~" 1)Л+1^~~! rf*I ln(2cosf)rfx (—«<дг^«),
(получается почленным интегрированием ряда 10)),
12) |(_1Г'^ = =^ (-«<*<*
(получается почленным интегрированием ряда 9)),
оо
13) 2"ЗД>*—lto»f (P<*<«i
л—О
(получается сложением 1) и 7)),
14) ^!lEgL+_l)£=| (0<*О), (гл. I, (13.11)),
я—О
00
15) 21 COS(^+"l)»X = ;1==Г^ <0<*<1С* (ГЛ-1,(13Л2))'
п-0
00
16) |*ff+})*—^ Сьч,^to <р<х««х
п—О О
(получается почленным интегрированием ряда 13)),
оо
1-ч V cos Qn-\-\)x
' Д (2л+1)* ~~
п—О
- i j "* j7lai* idx+ J0ot <p«*««x
§ 12] ТАБЛИЦА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЙ 189
(получается почленным интегрированием ряда 16)),
оо
,«v у sin(2n+l)x_ те8* — пх* 1{\*гг<:-\
18) 2 (2п+1)« = § (О^Х^к),
(получается почленным интегрированием ряда 15)).
Если в формулах 13)—18) заменить х через t, а
затем положить t = -K — х, то получим разложения:
п=0
оо
»>2<-ir*£#*—>*(W)
л-=0
(-уО<т)-
It
я—О О
(-т**<т).
00
09^ Х( 1 у» dn(2tt+!)*_** / тг _«\
^) Д(— 1) (2л+1)8 — Т ^~Т^^^ 2J'
п=0
оо
о^ W 1 ,п cos(2n4-l)-y_n8 — 4тс.уа / я тг\
^ ^1—^ (2л +1)» — 32 V 2^X^2j'
я~0
/V Zi}~ } (2я+1)» '
п-0
1С
у- *
2 Ж рр

190 ОПЕРАЦИЙ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
§ 13. Приближенное вычисление коэффициентов
Фурье. В практических вопросах очень часто функция,
которую нужно разложить в ряд Фурье, задается не
аналитически, а таблицей или графически, т. е. приближенно. В этом
случае коэффициенты Фурье с помощью непосредственного
применения обычных формул
2к
ап = — i f(x) cos пх dx (n = 0, 1, 2,...) ,
о
2л
Ьп= — \ /(л;)sin nxdx (л=1, 2,...)
(13.1)
получены быть не могут, и ставится задача об их
приближенном вычислении. При этом для практических целей в
большинстве случаев достаточно знать лишь несколько первых
коэффициентов.
Для решения поставленной задачи от точных формул
(13.1) переходят к приближенным формулам, используя
методы приближенного интегрирования. Обычно используется
метод прямоугольников или метод трапеций. Применение
метода прямоугольников в нашем случае сводится к следующему.
Пусть отрезок [0, 2тс] точками
0, —, 2-—,..., (т—1)- — ,2тс
от' т' ' v 'от'
(13.2)
разделен на т равных частей и нам известны значения f(x)
в этих точках:
Уо> Уь _Уя»• • •» Ут~1> У
т'
Тогда
т—\
2 V 2йтг
ап^ m 2-у*'с08!Гл'
ft=0
т—\
(13.3)
. 2 \\ . 2Ы
0_ гя« —- / у у • Sin П.
*-о
§ 131
ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФ. ФУРЬЕ
191
Пусть, например, т =12. Тогда числа (13.2) имеют вид
„it it я 2я 5я 7л 4я Зя 5п 11я ~
'6"'3~'2,3_'F'1C'6_'3~'2~'3_'~6_' W
или в градусах
0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 240°,
270°, 300°, 330°, 360°.
Но тогда, как легко сообразить, все множители, на
которые умножаются ординаты в (13.3), сведутся к следующим:
0, ± 1, zt sin 30° = zh 0,5, ± sin 60° = ± 0,866.
Нетрудно проверить, что
0аъ**Уъ-\-У\-\-Уг-\-Уг+У1+Уъ+ Л
+ ^6 ~\гУч +.У8 +^9 +J>10 +^И'
6аг гы (_у0 — уь) -f (yt -\-yn — _yB —_y7) • 0,866 -f
+ Оя +.У10 —^4 — J'e) • ° A
6a9 я« (j/0 -f _ye — у t — j/9) -f-
+Oi 4-^6 +^7 H-j'n — y» —yi —у* —Уы) • °&
6а8 ъу9 -j-j/4 -{- у% — _ув — _ув — j/10,
66t я« (j/! -f j/8 — J>7 —J'n) • 0,5 +
+ CVa +.У4 — J'e —.Ум) ■ 0,866 -f- (_y8 — j/9),
6£>9 л# (J/, -j-j/a + _y7 +_y8 —j/4 —\yB — j/10 — yn) ■ 0,866,
6£>8 ^j/t -\-y9 -f j/9 — j/3 — j/7 —j/n
и т. д.
(13.4)
Для упрощения выкладок их выгодно проводить по
следующей схеме.
Сначала в указанном ниже порядке выписывают ординаты
Уч, У и Уч, • • • и П°Д каждой парой ординат, подписанных одна
под другой, производят сложение и вычитание:
суммы
разность
Уо У1 Уч Уь Ук Уъ У*
Уп Ую Уд Ув Уч
w0 «j щ щ и4 wB и6
vx г>2 v9 v& vB

192
ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ
[ГЛ V
Затем выписываются эти суммы и разности и аналогичным
образом подвергаются сложению и вычитанию:
г»1 г»а г/8
суммы
разность
"о
"в
«i
щ
s0 st
h
h
иа «в
щ
$2 *8
*.
суммы
разность
о, о2 о3
с1 ^Я
Пользуясь полученными величинами, вместо (13.4) можем
писать:
6а0 = s0 -{- st -f- 4 -f- s8,
6а, = *0 4- 0,866r, -[- 0,5г9,
6а2 = s0 — s8 -f- 0,5 (Sj—s9),
6а8 = £0 — tif
6£», = 0,6oj -j- 0,866oa -J- o8,
6£»a= 0,866 (Tj-f-xa),
6£8 = o, — o8.
Мы провели схему вычислений для двенадцати заданных
ординат. Применение этой схемы к гладким функциям, для
которых мы знаем точные значения коэффициентов Фурье, дает
приближенные значения коэффициентов а0, а1? bv аъ bit а8, Ьь,
весьма близкие к точным.
Для более точных результатов, а также в случаях, когда
надо знать большее число коэффициентов Фурье,
употребляют схемы с ббльшим числом ординат. Употребительна схема
с 24 ординатами.
Упражнения к гл. V
1. Вычислить суммы числовых рядов
ОО СО СО
1 « V 1 . VI (— 1)"+1
■> In- 6> 2srW B) 24F-
л«= I п = 0 п= I
со оо
г) 7 —. д) У-—~. е)
Г) Z п*' Д) Z(2/i+l)6'
оо
п=»1
я = I
v(-i>
/
Я+1
/ „в
Указание. Воспользоваться таблицей § 12 и формулой
Ляпунова (§ 3).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V
193
Ответы:
а>90' б)
у (-1)*+' _ 5 i___ \_L_
' Zj л^"- *~ jL (2л + О4 Zi №*
90' ' 96
СО ОО 00
в;
п—1 п=1
= 7Г
90"
Г' 945' Д) 960' е; * ^960 2е-945,
2. Вычислить интегралы
а) f In8 ^2 sin^rfx,
1С
б) f ln^COS^rfAT,
в) [in'tg^dx.
Указание. Воспользоваться формулой Ляпунова и таблицей § 12.
Ответы:
а) У2, б) 15, в) т.
3. /(л:) непрерывна и имеет на отрезке [0, я] три непрерывные
производные, причем /(0)=/(п)=0и/" (0)=/" (я) = 0. Доказать,
что ряд Фурье для f{x) по синусам можно дважды почленно
дифференцировать и что ряд
f>'i*«i
п = 1
сходится.
Указание. Нечетное продолжение f(x) на отрезок [ — я, 0]
приводит к нечетной функции F(x) с равными (нулевыми)
значениями на концах отрезка [ — я, я] Р (х), очевидно, четная
непрерывная функция, F" (х)— нечетная функция, но опять-таки с равными
(нулевыми) значениями на концах отрезка [ — я, я]; Р" (х)
оказывается тогда непрерывной четной функцией.
Следовательно, F(x) и ее первые три производные непрерывно
продолжаемы на всю Ох, причем F" (х) оказывается гладкой фун-
7 Г. П. Толстое

194 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬЕ [ГЛ. V
кцией. Но мы знаем, что коэффициенты Фурье непрерывной
функции связаны с коэффициентами Фурье ее производной равенствами
*„ = --, *« = -
(см. (8.3)).
Поэтому в нашем случае
п~~п~ ~ п«"
Но для гладкой функции ряд абсолютных величин
коэффициентов Фурье сходится (§ 10 гл. III). Так как
со оо
21'«1=2»'1*.1.
п=1 и=1
то отсюда следует сходимость последнего ряда. Это в свою
очередь влечет равномерную сходимость рядов, получающихся
однократным и двукратным почленным дифференцированием исходного
ряда. Равномерная же сходимость этих рядов гарантирует
законность почленного дифференцирования.
4. Функция задана рядом
п=л
Написать ряд Фурье для ее производной.
Указание. Воспользоваться теоремой 2 § 9 данной главы.
Ответ:
У») —^ + |[(-1У"^." *"] (**<2А+1>-).
п=1
5. Доказать дифференцируемость функции, заданной для
— «<лг<я рядом
/(*)=i(-iy /*"-"* ,
и±| п{Уп+\)
и написать разложение для производной.
Указание. Воспользоваться теоремой 3 § 9 данной главы.
Ответ:
г(*)=2(-1)»-^Ь
6. Доказать дифференцируемость функции, заданной для
0<a:<jc рядом
оо со
а)/(*)=]? n»+t+l Sinn*' б)/^)=2 5j/+1 Si"^
и написать разложение для производной.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V
196
Указание. Воспользоваться теоремой 5 § 10 настоящей главы.
Ответ:
оо
1 V cos их
п=1
оо
совял:
б)/'(*) = To-o-Zsn^fT'
в=1
7. Найти сумму ряда
оо
\1 СОВПХ
Z п8—1 #
п=2
Указание. Поступать, как в примере 2 § 10 настоящей главы.
Ответ:
F(jc) = c1cosx + c»sinx + 2- (О^х^я),
где
оо
с'=2п^г-4=2 (таккак-л^==И«^:т~4п))'
я=2
с8 = ~2.
8. Улучшить сходимость рядов. В примерах в) — ж) получить
ряды с коэффициентами порядка ^.
п=1
п=1
оо w
>» 2 sf?злесь и млее • >«г) 2 <-|)W Зт:
п=1 «=!
д) 'у/_!«,! S«L«£. e) У^<2в + 1)У-;
n=l я-*
оо
ч V cos (2л + 1)л:
Ж) 2"~п~Т~а '
7*

196 ОПЕРАЦИИ С РЯДАМИ ФУРЬВ [ГЛ. V
Ответ (через / (х) обозначена сумма заданного ряда):
00
оо
т. — к , V sin nx ,л
Г-+2^ГГ <о<*<2«)
п
(см. таблицу, форм. (2));
х\ */~\ я —х V sin яд: ._ ^ х
б) /(*) = -g 2^(пТ+Т) «><*<*).
+ 1
п-»1
оо
п=1
Указание. Поступать, как в примерах 1 и 2 § 11 настоящей
главы. В примерах в), г), д):
_J I _J__eI/,_£.£_ \_
л + fl п ' а_ п\ п^п* •••) —
* п
л \ и т л (я + <*)/ я л* ля (п + в) •
Каждый ряд разбивается иа три ряда и используется
таблица § 12.
в) /Ч*) = — In ^2 sin J) — ^(Злг« — 6*A: + 2*8)-f-
00
я-1
оо
а я=1
(—я < л: < л);
оо
д) /(x) = ln(2cosf)+-IF- + ^2 п'(п + аГ
п= 1
(— я < л: < «).
В примерах е) и ж):
11 11
2(« + в)""2я+1 + 2в—1 ~"2я+Г , , 2а—1
+ 2я+1
L_/i_ 2Д-1 ■ (2fl-l)' \
""2Я-Г-Ц Zn + l^ZVn + lHn + W'
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. V 197
Каждый ряд разбивается на три ряда, и используется таблица:
а я—i
(О < дг < «);
ж)/(,)=-1п^4 + <2<-1'^—>.
Я«1

ГЛАВА VI
СУММИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
РЯДОВ ФУРЬЕ
§ 1. Постановка задачи. Пусть нам дан
тригонометрический ряд
оо
Ц- + У (а„ cos nx -\- Ьп sin nx), (1.1)
относительно которого известно только, что он является
рядом Фурье некоторой функции f(x). Можно ли найти
эту функцию f(x)? Если заранее' известно, что ряд (1.1)
сходится к f(x), то f(x) получается как предел
частных сумм этого ряда. Иначе дело обстоит в случае,
когда сходимость ряда установить не удалось или же
когда ряд оказался расходящимся. Здесь мы либо не знаем,
существует или нет предел частных сумм, либо знаем,
что этот предел не существует. Нужно, следовательно,
изыскать операцию, которая позволяла бы найти функцию
по ее ряду Фурье, независимо от того, сходится этот ряд
или нет. Этим мы и займемся в следующих параграфах.
Операцию, нас интересующую, условимся называть
суммированием ряда. Суммирование не следует
смешивать с операцией отыскания сумм заведомо сходящихся
рядов, так как оно применяется к рядам и
расходящимся.
Задача суммирования может быть поставлена и для
произвольных числовых или функциональных рядов.
Операция суммирования, разумно определенная, естественно, всегда
должна приводить к обычной сумме ряда, если ряд сходится.
§ 2] СПОСОБ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ 199
§ 2. Способ средних арифметических. Рассмотрим ряд
Ko + «i + Ke + --- + K« + --- (2Л)
и положим:
sn = u0~\- «! + ... + «„,
0д= 50 + * + -.. + **,*. (л==1, 2, ...).
Может случиться, что ряд (2.1) расходится, а величины о„
(средние арифметические частных сумм ряда) стремятся
к определенному пределу при л—-со. Действительно, ряд
1 — 1 —|- 1 — 1
расходится, но для него s0=l» si = 0, *в=1» s3*=0, ...,
и, следовательно, для четных п оп=-^-, для нечетных п
о„
•п 2 Т 2п '
и поэтому
lim оя я- !.
П-+СО &
Возвратимся к общему случаю. Если существует limo„ = o,
я-» со
то условимся говорить, что ряд (2.1) суммируем способом
средних Арифметических к значению а.
Удовлетворяет ли этот способ суммирования требованию,
о котором мы говорили в § 1, т. е. совпадает ли число о
с суммой ряда в случае сходимости последнего?
Положительный ответ дает
Теорема. Если ряд (2.1) сходится и его сумма
равна а, то ряд суммируем способом средних
арифметических к тому же значению а.
Доказательство. Так как по условию
lim s„ = o,
П-+00
то для всякого е^О существует число т такое, что
с
2
I*» —Кт. <2-2>

200 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. VI
лишь только n^ztn. Рассмотрим
ч.-«-»+»+---+*-'-»-±2'(..-«>
ft-=0
При п^>т
т—\ п—\
ft=0 k=m
и, следовательно,
то—1 п—1
ft = 0 ft=-/7I
Так как т фиксировано, то для всех достаточно
больших п
т—\
т 2ls*-°l<T-
ft=0
С другой стороны, в силу (2.2)
Т 2ls*-°l<—п т<т-
Поэтому
|ол —о|<е
для всех достаточно больших п, что и доказывает теорему.
Понятно, что способ средних арифметических приложим и
к функциональным рядам, в частности к рядам Фурье.
§ 3. Интегральная формула для среднего
арифметического частных сумм ряда Фурье. Пусть
со
f(x) ~ y -J- У (ак cos kx -J- bk sin kx\
n
sn (x) = vf "h 7 («a cos Ад; -j- bk sin Адг).
§ 3] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА 201
Тогда для среднего арифметического частных сумм, т. е. для
„ (v.\ Sp (X) + »1 (X) + • ■ . + gn-i (*)
on (х) — ,
мы получим:
ап (х) = Ц + 2 ^JT (Cfc C0S ** + Ък Sin *** (ЗЛ)
ft=i
Для оя(дг) можно получить и интегральную формулу. В
самом деле, мы имели (гл. III (4.1))
* sin (п + т)и
*.(•*) =-И /(* + «) — J^rf«-
-« 2 sin -2
Следовательно,
-ic 2 Sin — ft=0
Фигурирующую здесь сумму синусов мы можем подсчитать.
Действительно,
2sin -£sin (k-\-^)u= cos Ли — cos (k -f- 1)w,
и поэтому
я-l n—\
2sinf 2sin(* + i)H== 2(cOS*W — cos(£ + 1)k) =
ft=0 ft=0
, _ . Q till
= 1 — cos nu = 2 sin* y ,
откуда
«-» ■ sta»^
2 sin (A + -j) « = —4 <K * 0)' (3'2)
ft-o япу
Следовательно,
sin'-jr-
4.W=5 f/(* + B)-T75rf"- <8-3)
2 sin» -2

202 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. VI
Эту формулу мы и хотели получить. Отметим еще одно
следствие этой формулы. Пусть f(x)=\ для всех х.
Тогда sn(х) = 1 (я = 0, 1, 2,...) и, следовательно, ап(х) = 1
(я=1, 2,...). Поэтому из (3.3) получаем:
leir \ udu (пвяв1> *-* <3-4)
§ 4. Суммирование рядов Фурье способом средних
арифметических.
Теорема 1. Ряд Фурье абсолютно интегрируемой
функции f(x) периода 2* суммируется способом средних
арифметических к этой функции в каждой точке ее
/(лг + 0) + (лг — 0)
непрерывности и к значению ——'—*-ф-* в точках
разрыва первого рода.
Доказательство. Ввиду того, что в точках
непрерывности
/(* + 0)+/(лг-0) mf(x)f
то достаточно доказать равенство
п-*со *
для чего в свою очередь достаточно установить, что
mn-Lf
sin*-г-
/(*+«) 1-йи=Щ^, (4.1)
2sin8-|-
ЯП"
шъ \ /<*+*>—ld»-=^V^ <4-2>
»-« Л 2юп8^ 1
(см. (3.3)).
Оба эти равенства доказываются одинаково, и мы
остановимся на первом из них.
§ 4] СУММИРОВАНИЕ СПОСОБОМ СРЕДНИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ 203
Так как под знаком интеграла в (3.4) стоит четная
функция, то
.пи
4-=М—-** (4-3>
и, следовательно,
sin8 -
Из (4.1) следует тогда, что нужно доказать равенство
lim -I f [/(* + «)—/(ДР + О)] -<te = 0. (4.4)
п-оо*л J 2sin*-£-
Пусть е^>0 задано произвольно. Так как
Urn/(* +и) =/(* + <>>
и-*х
то для достаточно малого 8]>0 из неравенства 0<и*=^8
следует:
|/(*+и)-/(* + 0)|<е. (4.5)
Интеграл, фигурирующий в (4.4), разобьем на два:
* sin8 —
лп ^ 2 sin8-|-
* sin8 -к-
+ -М [/С*+ ")-/(■*+ 0)1 5-rf« = /t + /* (4.6)
*" g> 2 sin8 2"
Тогда из (4.5) следует, что
* sin8— * sin8 —
ILK-L С 2-rf«<- С |-dii
g 2 an* -TT- о ^ sm "o-

204 суммирование рядов фурье [гл. vr
и в силу (4.3) при любом п
1ЛКу. (4.7)
С другой стороны,
Ш<—L— f !/(* + *)-/С*+0)1 Ль
и, следовательно, для всех достаточно больших, п
Ш<Т. (4.8)
Соотношения (4.8), (4.7), (4.6) доказывают равенство (4.4).
Теорема доказана.
Теорема 2. Ряд Фурье абсолютно интегрируемой
функции f{x) периода 2тс равномерно суммируется к f(x)
способом средних арифметических на каждом отрезке
[а, р], внутреннем (в строгом смысле) к отрезку [а, Ь]
непрерывности этой функции.
Равномерно суммируется на [а, р] — это значит, что
для всякого &^>0 существует число N такое, что
I/O*) — «« (■*)!<«,
лишь только n^zN, каково бы ни было а «^ х «^ р. Докажем
это свойство. Пусть х лежит на отрезке [а, р]. С помощью
(3.3) и (3.4) можем написать:
sin»-
*«(*)—/(*) = ^ \ \fix + u)—f{x)\ |-<*й=У+У,(4.9)
-« 2 sin*—
где J—интеграл от 0 до те, a у—интеграл в пределах от
>—те до 0.
Пусть 8]>0 столь мало, что
'|/(* + в)—/(*)!<-£-, (4.10)
лишь только | и | <[ 8, каково бы ни было х из [а, р] (для
существования такого 8 мы и требовали, чтобы отрезок
[а, р] содержался внутри более обширного отрезка [а, Ь]
непрерывности /С*)).
§ 4] суммирование способом средних арифметических 205
Обозначим через М максимум \f{x)\ на ^а, pj и
рассмотрим
} sin* —
J= ^n\ [/(* + и)-fix)] \du +
ni 2sin*-£
2
sin*y
+ L \ [/(* + »)-/(*)] !<*« = /, + /,. (4.И)
П V 2sin 2
Тогда из (4.10) для любого х из [<х,р] следует неравенство
1Л1<Т
(см. доказательство неравенства (4.7)). С другой стороны,
для х из (а, р]
— f(x)\du
|/«к——Л i/(*+«>-/(*)
2ял sin* -^- у
^ —r(f |/(* + и)|Л* + 1сЛ|).
2яя sin* -^ 1*
Здесь в скобках стоит постоянная величина, и поэтому
существует N такое, что для всех n^N справедливо
неравенство
Но тогда в силу (4.11) для всех n^N
каково бы ни было jc (a «s: лг <: р).
Аналогичное неравенство и тем же способом
устанавливается для интеграла у. В силу (4.9) это и завершает
доказательство теоремы.

206 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬВ [ГЛ. VI
Из теоремы 2 получается замечательное следствие:
Теорема 3. Ряд Фурье непрерывной функции fix)
периода 2тг равномерно суммируется к ней способом
средних арифметических.
Подчеркнем силу доказанных теорем, еще раз напомнив,
что ряд Фурье даже непрерывной функции f(x) может быть
расходящимся. Тем самым частные суммы ряда Фурье могут
оказаться плохими приближениями для fix). Однако средние
арифметические частных сумм, т. е. суммы вида (3.1) при
непрерывности/^) являются для нее равномерными приближениями.
Установленные теоремы могут быть использованы для
уточнения некоторых вопросов сходимости рядов Фурье. Так,
из теоремы 1 в силу § 2 вытекает
Теорема 4. Если ряд Фурье абсолютно
интегрируемой функции f{x) сходится в точке ее непрерывности
(или же в точке разрыва первого рода), то его сумма
необходимо совпадает с fix) (соответственно с ~Г ).
Теорема 5. Если ряд Фурье абсолютно интегрируемой
функции fix) сходится всюду, за исключением разве
конечного числа точек, то его сумма совпадает с fix)
также за исключением, быть может, нескольких точек.
Эта последняя теорема сводится к предыдущей, если
заметить, что интегрируемая функция (в нашем понимании
интегрируемости) может быть разрывной лишь в конечном
числе точек.
Наконец, из теоремы 1 вытекает также, что метод
средних арифметических восстанавливает абсолютно
интегрируемую функцию по ее ряду Фурье во всех точках ее
непрерывности, т. е. всюду, за исключением, быть может,
конечного числа точек. Поэтому справедливо следующее важное
предложение, обобщающее теорему 3 § 3 гл. V:
Теорема 6. Любая абсолютно интегрируемая
функция вполне определена (с точностью до ее значений в
конечном числе точек) своим тригонометрическим рядом
Фурье независимо от того, сходится этот ряд или нет.
§ 5. Способ степенных множителей. Рассмотрим ряд
«о + н, + ив + ••• +«„+... (5.1)
и наряду с ним ряд
Щ + «V + «/* + • • • + «„г" +.... (5.2)
§6]
ЯДРО ПУАССОНА
207
Допустим, что ряд (5.2) сходится для 0<г<1 (последнее,
кстати, всегда будет иметь место, когда члены ряда (5.1)
ограничены) и для его суммы а (г) существует предел
lim о (г) = о.
В этом случае мы скажем, что ряд (5.1) суммируется
способом степенных множителей к значению о. Этим
способом суммируются некоторые расходящиеся ряды. Например,
уже встречавшийся нам ряд
1 — 1 + 1 — 1 + ...
суммируется к значению о= ^ (как и способом средних
арифметических). Действительно,
o(r)==l_r + ra — ^+...—1^7,
и, следовательно,
lime (г) = я-.
Дает ли изложенный способ суммирования обычную
сумму, если ряд (5.1) сходится? Положительный ответ дает
Теорема. Если ряд (5.1) сходится и его сумма
равна а, то ряд суммируем изложенным способом к тому
же значению о.
Доказательство. Если ряд (5.1) сходится, то в силу
леммы § 6 гл. IV сходится ряд (5.2) и его сумма о (г)
непрерывна на отрезке (Xr^l. Это означает, что
Hmo(r) = o(l) = o.
Теорема доказана.
§ в. Ядро Пуассона. Подсчитаем сумму ряда
со
л«1

208 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. VI
С этой целью рассмотрим ряд
с»
Y + 2! г" * = r(cos9 + isin<p).
Так как |г|я=г<^1, то
00
У*!" Zd Z ~~~ 2 ' 1 — * ~2(1—г)~~2(1 — г cosy—/г sin?) ~~
Пае I
(1 + г cos у -f- fr" sin у) (1 — г cos у + /г sin у)
2[(1—г cosy)» + r* sinay] =я
_ 1 — г» + 2r/ sin у
~~2(1— 2г сое у %***)'
С другой стороны,
оо со
я = 1 я—1
Поэтому
Т+1^С05ИУ°Т-1-^Г'н-г' <Р«-ОИвЛ)
я = 1 '
и попутно мы получили еще формулу
00 •
2 ^ Sln п*~ 1-ZrZl+r- <°^г<')• <6-2>
Я — 1
Функцию переменных г и <р
1—г»
1 — 2rcosy-{-r*
называют ядром Пуассона. Полезно заметить, что ядро
Пуассона представляет собой величину положительную, так
как при 0^г<1
1— r*>0, 1 — 2rcos<p-f r2 = (l— r)a + 4r sin21-> 0.(6.3)
§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА СТЕПЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ 209
§ 7. Применение способа степенных множителей
к суммированию рядов Фурье. Пусть f(x)— абсолютно
интегрируемая функция и
00
/"(•*) ~-?г + У (ап cos пх -f- Ьп sin пх). (7.1)
я=1
Рассмотрим для 0 ^ г <^ 1 ряд
оо
/(X, Г) = ^ -f У Г" (а« COS П* + *« Sin Л*> (7-2)
я=1
Этот ряд сходится, так как ап->0 и Ьп-*0 при я-*-со
и, следовательно,
|ая|^М, |6П|^М (л=1, 2,...,Ж = const),
| г" (an coswjc -}- ft„ sin лдг) | «^ 2М • г"
(где справа стоит член сходящегося ряда, поскольку г<^1).
Если существует Нт/(дг, г), то это означает, что ряд (7.2)
суммируем способом степенных множителей. Для удобства
изучения свойств такого суммирования мы представим
функцию f(x, r) в виде интеграла.
Вспомнив, что
я
ап = — \f(f)cosntdt (л = 0, 1, 2,...)
Ьп=\ §f(t)smntdt (я=1, 2,...),
— я
можем написать:
я оо я
/<■**г)=М /(°л+т 2 ^ J / wcos » с - •*)л- (7-3)
—я л=1 —я
Но ряд
00
■у + £ rn cos n(t — x)

210 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. VI
при фиксированных г <^ 1 их сходится равномерно по t,
так как его члены по абсолютной величине не превосходят
соответствующих членов заведомо сходящегося ряда
00
rt=l
и, следовательно, может быть проинтегрирован почленно.
Тогда может быть почленно проинтегрирован и ряд
fit)
^ rn f (t) cos n(t — x).
я=1
Отсюда следует, что вместо (7.3) можно написать:
f(x, r) = ± J/(f)[i-+ 21 rncosn(t~x)\dt
—ж п=\
или, если воспользоваться формулой (6.1),
ж
/(*. О-Ёг^ЛО,,»,^:!^,.* (0<г<1). (7.4)
— Я
Для /(jc, г) мы получили интеграл, называемый интегралом
Пуассона. Установим еще одну формулу. Если f(x) = 1, то
-^ = 1, ап — 0, Ьп = 0 и, следовательно, /(дг, г)= 1. Поэтому
я
— Я
Теорема 1. Пусть f{x) — абсолютно
интегрируемая функция периода 2тс. Тогда в каждой точке
непрерывности функции f(x) Нт/(дг, r)=f(x) и в каждой
точке разрыва первого рода
ш/(х, г)==Я*+о)+/(*-о>.
Иными словами, ряд Фурье функции f(x) суммируется
способом степенных множителей к значению /(лг) в каждой
§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА СТЕПЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ 211
f{x+Q)+f(x-Q)
точке непрерывности функции и к значению «р-*
в каждой точке разрыва первого рода.
Доказательство. Положим в (7.4) t — х — и. Тогда
Я — Jf
или ввиду периодичности подынтегральной функции
1С
fix, r)= IJ Пх + ») ,_^Г'Ц + Г, du. (7.6)
—Я
Аналогично вместо (7.5) можно получить:
я
1 = 1 f -—01~/'а . ,du. (7.7)
2и J 1 — 2r cos и + га * '
Так как в точках непрерывности
/(* + 0)+/(*-0) =/(х),
то достаточно доказать, что во всякой точке, где
существуют правый и левый пределы,
ШПх,г)=™+ *+/<* ~°\
а для этого в свою очередь достаточно установить равенства
liml j/(x + «),_^r'u + r,^=/-^->, (7.8)
О
Оба эти равенства доказываются одинаково, и поэтому мы
остановимся лишь на первом из них.

212 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬВ [ГЛ. V!
Ввиду четности (по и) подынтегральной функции в (7.7)
справедливо соотношение
1С
и, следовательно,
с
О
Поэтому вместо (7.8) можем доказывать равенство
1С
2 '=lU(x + 0)T=4^+7-d«-
1С
Пусть е ]> 0 задано произвольно. Так как
\\mf{x-\-u)=f{x-\-0\
0)
то для достаточно малого 8]>0
1/(д: + м)—/(л:+0)|^е, (7.11)
лишь только 0 < и ^ 8.
Интеграл в (7.10) представим в виде суммы двух
интегралов:
г
I ji/e*+«)-/(*+o>] t_2;^r:+r, ч».
I -о-
= /! + /,. (7.12)
В силу положительности ядра Пуассона из (7.11) вытекает:
г 1С
0 О
или, если воспользоваться равенством (7.9),
е
l'il<io-. (7-!3)
§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА СТЕПЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ 213
каково бы ни было г(0^г<^ 1). С другой стороны (см. (6.3)),
я
|/t|<-l=£L. [\f(x-\-u)-f(x + 0)\du. (7.14)
Заметив, что
1 —г*
11m -—— = 0
r^\ r
для всех г, достаточно близких к единице, будем иметь:
!/•!<£. (7Л5)
Из (7.12), (7.13), (7.15) и вытекает равенство (7.10).
Теорема доказана.
Теорема 2. Ряд Фурье абсолютно интегрируемой
функции f(x) периода 2к равномерно суммируется к f{x)
способом степенных множителей на каждом отрезке
[а, р J, внутреннем (в строгом смысле) к отрезку [а, Ь]
непрерывности этой функции.
Равномерная суммируемость на [а, р ] означает, что для
каждого е (е ^> 0) существует число г0 (0 <^ г0 <[ 1), для
которого из неравенства /о<Сг<0 следует неравенство
\f(x)-f(x, г)|«£е, (7.16)
каково бы ни было х из отрезка [а, р ].
Доказательство. Ввиду (7.7) можем написать:
/С*, r)-f(x) =
я
-5 J [/(*+«)-/W1 ,_а'^+г. *»=■/+А (7-17)
—ж
где У—интеграл в пределах от 0 до тс, a j — интеграл в
пределах от —тс до 0.
Можно выбрать число 8^>0 столь малым, чтобы
|/(* + и)_/(*)|^1, (7.18)
лишь только |и|<^8, каково бы ни было X из [а, р ].

214 СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ [ГЛ. VI
Рассмотрим
в
1С
В силу (7.18) для любого л: из [а, р]
(см. доказательство неравенства (7.13)). С другой стороны,
каково бы ни было х из [а, р ] (ср. (7.14)),
1С
|Jil< '"'"a У !/(■*+«)-/(*)
Якг sin» — v
fifa
8иг sin8 -^ 5
1С
«£ '~Га » (У |/(*Н-«)|Л + А*-«),
8иг sin»^- w_ '
8яг sin ^ -«
где Ж — постоянная, ограничивающая fix) для аа^лг^р
(ведь f{x) непрерывна на [а, р] !). В скобках стоит
постоянная. Поэтому существует число г0 (0<V0<[ 1), Для которого
из неравенства г0 <У <С 1 следует, что
каково бы ни было jc из [а, р].
Но тогда
1-/|<5
для г0<г<1, а^д;^р.
Аналогичное неравенство устанавливается для интеграла /.
Тогда из (7.17) следует (7.16), что и доказывает теорему.
Из этой теоремы вытекает следствие:
Теорема 3. Пусть f(x) — непрерывная функция
периода 2те. Тогда f{xt r)—*f(x) при г— 1 равномерно для
всех х.
§ 7] ПРИМЕНЕНИЕ СПОСОБА СТЕПЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ 215
Иными словами, ряд Фурье непрерывной функции
периода 2тс равномерно суммируется к f(x) способом
степенных множителей.
Приведем без доказательства следующую замечательную
теорему:
Теорема 4. Если абсолютно интегрируемая
функция fix) периода 2тс обладает в точке х т-й
производной /(m) ix), то ряд Фурье функции fix),
продифференцированный т раз почленно, суммируется способом
степенных множителей к значению f(m) (jc).
Следует заметить, что при почленном
дифференцировании ряда Фурье мы, вообще говоря, не получаем ряда Фурье
для производной, даже если эта производная существует
для —7c<^JC<^TC. Более того, как правило, в результате
почленного дифференцирования будут получаться ряды,
коэффициенты которых не стремятся к нулю (такие ряды,
как можно доказать, расходятся) или даже стремятся к
бесконечности. Так, например, мы знаем, что
00
л=1
В результате первого почленного дифференцирования
получим ряд
00
2 (— l)n+1cos/ur, (7.19)
л=1
в результате второго дифференцирования —
со
— 2(— 1>Я+1 "sinnx. (7.20)
В силу теоремы 4 ряд (7.19) должен для —т<^дг<^я
суммироваться к -к- , ряд (7.20) — к 0.
Если с точки зрения обычной сходимости законность
почленного дифференцирования ряда обусловливается довольно
жесткими требованиями, то с точки зрения суммирования
(по способу степенных множителей), как показывает теорема 4,
почленное дифференцирование ряда Фурье всегда законно,
коль скоро дифференцируема сама функция, хотя бы
получающийся ряд и был расходящимся.

216 суммирование рядов фурье [гл. vi
Упражнения к гл. VI
1. Просуммировать способом средних арифметических ряды
оо со
а) ~2 + У cos пх» б) У sin /w.
Я=1 Я=1
Указание. Для а) воспользоваться формулой (3.2), для б) —
формулой (2.1) гл. IV.
Ответы:
а) аг = 0 для —п^х^те, х^ЬО,
1 х
б) о = Ту Ctg -ъ Для — и^дс^те, х^ЬО.
2. Доказать, что для рядов предыдущего примера способ
степенных множителей дает тот же результат, что и способ средних
арифметических.
Указание. Воспользоваться формулами (6.1), (6.2) и (6.3).
3. Доказать, что для 0 ^ г < 1 ряды
со оо
~2 + У, г" cos и <р, У rn sin щ
я*= 1 я = 1
можно почленно дифференцировать по г и по <р сколько угодно раз.
4. Просуммировать способом степенных множителей
а) 1—2 + 3 — 4 + ...,
6)р-2р* + 3р*-4р* + ..., |р|<1.
Указание.
1_2г + 3гв — 4г»+ ...=* — (1— r + ra — г8 — ...у *
р - 2рвг + 3/>»г» - 4/>*г« + ... = -(1 +pr)a.
Ответы:
а) в = Т*
б) о= (1 + р>8' ряд СХ°ДИТСЯ«
(1 + гу
1
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VI
217
5. Вычислить сумму сходящегося ряда
со
У прп cos пх, \р\<1
я —1
(почему этот ряд сходящийся?).
Указание.
р сое л: + 2гря cos 2х + Зг'р" cos 3* +... =
*='дг[~2^~гр C08A: + Г,il,, cosZv + rV cosav + ... )=*
__d_/J_ 1—гара \
"~ 6V i 2 1 —2r/7 cos* + гV J *
Ответ:
J_ 1 + 2р» cos x — 3/>»
2 (1 — 2/; cos x +/>*)*'

ГЛАВА VII
ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 1. Ортогональные системы в случае двух
переменных. Ряды Фурье. Пусть в плоскости хОу задан
прямоугольник R, характеризуемый неравенствами а <; х ^ Ь,
c^y^d, и в этом прямоугольнике задана система
непрерывных *) функций
Чп{х>У) (л = 0, 1, 2, ...), (1.1)
не обращающихся в нуль тождественно.
Система (1.1) называется ортогональной на R, если
3 £ ?«(*> У) ¥,*(-*» y)dxdy = 0,
коль скоро пфт.
Число
Ъп\*=У \\№.y)dxdy
R
называется нормой функции
\\?п(х,у)\\. (1.2)
Система (1.1) называется нормированной, если
|| <рв || = 1 (л = 0, 1,2,...),
*) Вместо непрерывных функций можно было бы рассматривать,
как в гл. 11, функции с интегрируемым квадратом.
§ 11
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
219
или, что то же,
J J ?£(•*» y)dxdy=\.
Всякую ортогональную систему можно нормировать, т. е.
всегда можно подобрать постоянные рп (я = 0, 1, 2,...)
так, чтобы система функций
Wn(x,y) (и = 0, 1, 2,...),
которая, очевидно, по-прежнему ортогональна, была уже
нормированной. Для этого достаточно положить:
1
II Т. II"
Со всякой абсолютно интегрируемой в R функцией
/(■*• У) можно, как и в случае одного переменного
(см. гл. II), связать ряд Фурье
/(*, у)~<70<ро(х, у) + см (х, у)-f с2ср2(х, у) + ...
••• + *«¥»(■*. J0 + -... 0-3)
где
S J fix, У) ?„ (х, У) dx dy j j/(*, у) <j>„ (x, у) dx dy
Cn== ? №n(xty)dxdy =- ет •(1,4)
V
При этом в случае, когда в (1.3) имеет место равенство
и ряд справа сходится равномерно, то для коэффициентов
необходимо справедливы равенства (1.4).
Величины сп, вычисленные по формулам (1.4), называются
коэффициентами Фурье.
Как и в случае одного переменного, для всякой функции
f(x, у) с интегрируемым квадратом справедливо свойство
минимальности коэффициентов Фурье при аппроксимации
f(x, у) многочленами по системе (1.1) (в смысле
квадратичного уклонения), а также имеет место неравенство Бесселя
со
$ [r^^dxdy^^clW^WK (1.5)
R «=0

220 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
Если для всякой функции f(x, у) с интегрируемым
квадратом вместо неравенства (1.5) имеет место равенство,
то система называется полной.
Справедливы все следствия полноты системы,
установленные нами в гл. II для функций одного переменного
(см. §§ 7 и 8 гл. II). Справедлив и критерий полноты (см. § 9
гл. II), сформулированный, разумеется, применительно к нашему
случаю.
Если читатель внимательно прочел гл. II и данный пара-
граф, то ему должно стать ясным, каким образом все
сказанное здесь относительно ортогональных систем
обобщается на случай любого числа переменных.
§ 2. Основная тригонометрическая система в случае
двух переменных. Двойные тригонометрические ряды
Фурье. Функции
1, cos mх, sin mx, cos ny, sin ny, ... ,
cos mx cos ny, sin mx cos ny,
cos mx sin ny, sin mx sin ny, ...
(w=l, 2, ... ; n = l, 2, ...)
(2.1)
образуют основную тригонометрическую систему для
случая двух переменных. Каждая из функций имеет период
2ir по х и такой же период по у.
Функции системы (2.1) ортогональны в квадрате
К(—тсг^лг^тс, —ъ^у^ъ), как, впрочем, и в каждом
квадрате вида (а ^х^а -\- 2тс, b^y<~b-\- 2тс).
Действительно,
к к
1 \ 1 • cos mx dx dy = \ dy \ cosmxdx=a=0
—я
и аналогично
\ 1 1 • sin mx dx dy = \ 11 • cos ny dx dy =**
= \ I 1 • sin ny dx dy = 0.
§ 2] ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 221
Далее,
\ \ (cos mx cos ny) (cos rx cos sy) dy =
= 1 cos mx cos rx ( \ cos ny cos sy dy] dx =
—* —*
= V cos mx cos rx dx • V cos ny cos sy dy = 0,
—к —*
если тфг или n^s.
Аналогичным образом доказывается ортогональность
любой пары различных функций системы (2.1).
Подсчет норм дает:
|| 11| = 2тс; || cos mx || = || sin mx || =
= || cos ny || = || sin ny || = /2 • те;
|| cos mx cos ny || = ||sin mx cos ny || =
= |jcos mx sin ny || = ||sin mx sin ny || = те.
Для коэффициентов Фурье функции f(x,y), заданной
в К, получаем:
$\f(x,y) dxdy
и n fL — 1 \ \ f(x,y) dx dy,
M / (*!.У) cos mx dx dy
Am'0= || cos mx И8 ~
= „— V f(x,y) cos mx dxdy (nz=l,2, ... ),
/с
$$/(*»-V) cosn-V dxаУ
АЬ" == || cos ny\\* ==
~Ъ? V i f(xty)-cosnydxdy (n=l,2, ... ),
$ \f(.x,y) sin wjf Л*: dy
•Dm.0
"»>° II sin mx IIя
= A V \ f(x,y) sin mx dxdy (w=l,2, ... ),

222
£о,я =
ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
\\f (х, у) sin ny dx dy
[гл. vii
sin пу
(2.2)
= 2^i J \/(Х>У) sinnydxdy (я = 1, 2, ... )
к
и, наконец, при /га =1,2, ... , я=1,2, ... аналогично:
ат,п = ;i \ \/(х>У) cos mx cos ny cU dy,
к
°m,n ^¥ £ \f(x,y)smmxcosnydxdy,
к
cm,n = ^ \ \ f(*>y) cos /w* sin ny dx dy,
к
dm.n = ~2 \ \ f(x>y) sjn mx sin яу dx dy.
Впрочем, обычно вместо Л0,о пишут а°'° и тогда а00
можно найти по первой формуле (2.2), положив там т = 0,
я = 0, а вместо Лот>0, А0,п, ВтЛ, B0tn пишут, соответственно,
^f~, a~Y, JY~tC~Y't причем ат0, а0,п, Ът#, с0,я могут быть
опять-таки найдены по соответствующим формулам (2.2).
Тем самым ряд Фурье для f(x,y) может быть записан
в виде
оо
/ С*, У) ~ 2] lm>n [am>n COS MX COS tiy -f
т, я=0
-j- bmm sin mx cos ny -j- cm,„ cos mx sin яу 4-
-\-dmtnsin mx sin ny\, (2.3)
где
1
*7n.n—
j при /я = я = 0,
2 при /я ]> 0, я = 0 или т = 0, я ]> 0,
. 1 при гп^>0, п^>0,
§ 2] ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 223
а коэффициенты am,ni bm,n, cmtn, dm%n вычислены по
формулам (2.2) при т = 0,1,2, ..., я = 0,1,2, ...
В комплексной форме ряд Фурье записывается более
компактно:
/Я, Я = — ОО
где
/с
(/я = 0,±1,±:2,...; я==0,=Ь 1,±2,...). (2.5)
Доказательство этого мы предоставляем читателю
(рекомендуется от (2.4) идти к (2.3)).
Доказано, что система (2.1) полна. Это означает:
со
f \ Г (*,У) dxdy = A l,0W + У AlnJ** +
оо оо оо
+21 Ain ^+21 я-.о2*а + 2 во.«2^+
л = 1 m = l n = 1
оо
+ 21 (°ц »+«*»+«*«.«+«я».-)*9»
т,п = \
откуда
^ $£/*(*,.у)<*-*4у==
/С
= 21 ^л(ам + ^»+4» + 4,»). (2.6)
/л, п=0
Мы получили формулу Ляпунова для случая двух
переменных.
Справедливы все следствия полноты тригонометрической
системы (2.1), аналогичные установленным нами в гл. V для
случая одного переменного, нужно лишь соответствующим
образом изменить формулировки.

224 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
§ 3. Интегральная формула для частных сумм
двойного тригонометрического ряда Фурье. Признак
сходимости. Пусть имеет место (2.3), причем предположим, что
f(x,y) имеет период 2я как по х, так и по у. Если бы
f(x,y) была задана лишь в К, то мы распространили бы ее
периодически (по х и по у) на всю плоскость хОу.
Положим:
т п
Sm, п {Х,у) = 21 2 ^ V ^ v C°S **"* C°S ™~Ь~
-j- b^, sin fijc cos vy -j- c^ v cos px sin vy -(- rf^ v sin jaa: sin vy].
Величины sm, „ (дг,у) (т = 0,1, 2 я = 0,1, 2,...)
называются частными суммами ряда Фурье. В силу (2.2)
sm,n{x,y) =
т п
^22Х^ \ J/M)costi(s — j0cosv(*— y)dsdt=*
,х=(Ь.= 0 /if
m
=^ J J/(s.o[|+2cos ^s-^) ]х
n
n
v = 1
или, вспомнив формулу для суммы косинусов (см. § 3 гл. III),
Sm,n(X>y) =
sin[(/H+-I)(s-x)] sin ^n + ^C-J')]
MW°
л • s — a: . t — у
4 sm —к— sin —^~~
dsdt.
Если положим здесь s — x = u, t—y — v и воспользуемся
периодичностью подынтегральной функции, то получим:
sm.n(x,y) =
, р/. sin ( т + т) «• sin (л + т)»
ТС 4 sin 2" . sin y
§ 3] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ЧАСТНЫХ СУММ 225
Мы получили формулу, вполне аналогичную формуле (4.1)
гл. III, установленной нами там для случая одного
переменного.
Способом, сходным с употребленным в §§ 6 и 7 гл. III,
может быть доказана
Теорема. Пусть f(x, у) задана в К, непрерывна
и имеет ограниченные частные производные -J- и ~.
Тогда в каждой внутренней точке квадрата, в некоторой
окрестности которой существует непрерывная смешан-
d*f
ная производная < V--, ряд Фурье сходится и имеет
своей суммой функцию f(x, у). Если f(x, у) имеет
период 2п и по х и по у и непрерывна во всей плоскости,
причем в К обладает непрерывными частными производ-
ными -4-, -J-, , \.—, то ряд Фурье сходится к f (х, у)
всюду.
Для читателя, не привыкшего иметь дело с двойными
рядами, во избежание недоразумений напомним:
Равенство
со
f{X, у) = 21 Х™. « lam. n cos mx cos пУ +
-\- Ьт, п sin mx cos ny -\~ cm, n cos mx sin ny -\~
-\- dm> n sin mx sin ny]
означает, что
lim sm,n(x,y)==f(x,y),
m-*oo
n-*oo
или более точно: для всякого е ^> 0 существует число N
такое, что для m^N, n^N справедливо неравенство
\f{xty) — sm,n(x,y) | ^е.
Все сказанное выше для квадрата К(—тс^дг^я,
— к^у^ъ) приложимо и ко всякому квадрату
Q(a^x^a +2те, Ь ^ х ^ Ь -\- 2я).
Пример 1. Разложить в двойной ряд Фурье функцию
f(x, у) = ху для — %<^х<^к, — те <^у <[те. Формулы (2.2)
8 Г. П. Тодсгов

226 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
дают:
CL„ „ = ft— - = С-, „ ^= О,
/П. Я ТЧх П Ш\ Л '
am.n — ( 4 mn-
В силу предыдущей теоремы можем писать:
00
л V/ / 1 чот+и sin mx sin пу, ^> ^~ ^* ^ ч
ху=4 2 (—1) Ш—-(—«ОО,—«ОО).
т, л=»1
П р и м е р 2. Ту же функцию разложить в квадрате
0<^x<^2iz, 0<.y<2rc. Формулы (2.2) дают:
а0> 0 = 4тс*, остальные amt „ = О,
Ьт.%= — ~, остальные Ьт,п = 0,
с0, „ = — -^, остальные ст, я = О,
Поэтому
ху.
dm,n
*а-
=
-2*
—
_4_
оо
2*
(и=1,
sin mx
т
I
оо
yj sin ny
«=1
2,.
+
• • i
4
/я =
оо
1
,л«=1
1,
л,...).
sin /пх sin
тп
пу
(О О О*, О О О*)-
§ 4. Двойные ряды Фурье в случае функций с
различными периодами по х и по у. В приложениях часто
возникает задача о разложении в двойной
тригонометрический ряд функции f(x,y), заданной в прямоугольные
R(—/<:.*:<:/, —h^y^h), или же функции f(x, y\
заданной для всех х и у, с периодом 2/ по х и периодом
2ft по у. Задача может быть сведена к- рассмотренному уже
Т.Х пу
случаю с помощью подстановок и = — , v = -j-, так как
тогда функция
г flu hv\ , л
/(-, -) = <р(н,хО
будет иметь период 2гс и по и и по и.
§ 5] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 227
Если мы получили:
оо
9 (и, v) ~ 2 *m, n [em, л cos /ии cos nv -f- 6m. л sin mu cos яг» -f
я», п—О
+ cm. л cos WM s*n *w> + dm, „ sin /тш sin nv],
то, возвращаясь к прежним переменным д: и _у, найдем:
00
fix, у)~ 2, Х«' я LaOT'n C0S ~7~ cos ~7Г +
m, л=0
. . . nmx кпу ■
+ *m.«sin-7-C0S ~^ +
7tmjc . ялу i , . лтлг . ялу!
-i-^m.nCOS -у- sin-^ + ^^Sin-j- Sin -^-J,
где
а™ « = 7/Г J J ^(*' -^ C0S~T C0S ~A~ d* ^
И Т. Д.
Комплексная запись в этом случае имеет вид
00
f{x,y)~ 21 С*>**
*
т, л«=—оо
где
1 Г Г (^LlM\i
R
(m = 0, =Ь 1, =t2, .... я = 0, ±1, ±2, ...).
Все выводы §§ 2 и 3 имеют место и в нашем случае:
нужно лишь соответствующим образом изменить
формулировки.
§ 5. Интеграл Фурье как предельный случай ряда
Фурье. Пусть f(x) — функция, заданная для всех
действительных х и кусочно-гладкая (непрерывная или разрывная)
на каждом конечном отрезке [ — /, /]. Тогда на каждом га-
8»

228 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
ком отрезке fix) может быть разложена в ряд Фурье
/W = у + | («. cos =£ + ». sin 2£) (5.1)
/ st \ /(* + 0)+/(х — 0\
(в точках разрыва вместо /(л:) нужно писать ——!—'\Г ч J,
причем
i
«я = -у J /(«)cos = rfH (л = 0, 1, 2, ...)
*J,= 4-J/<I0sinJ!r<te (я=Ь 2...)
(см. § 15 гл. I). Если в (6.1) подставить выражения для
ап и Ью то получим:
I 00 I
/0*) = ^ \ /(H)rftt-j-2I T J /(tt)cos y"(e —Jc)«te.
—I я = 1 —/
Предположим теперь абсолютную интегрируемость fix) на
всей Ох, т. е. предположим существование интеграла
00
£ |/(*)|rf*. (5.2)
— 00
Тогда при /— оо (д: — фиксировано) получим:
оо I
f{x) = lim У. -т- f /(«) cos ^{u — x) du. (5.3)
Z-»oo^". * «J *
л—1 —/
Попытаемся установить, во что перейдет в пределе сумма
справа. С этой целью положим:
> ъ_ у 2л . ля
л1 — i » ла — ^i ■••! лп -г- ~[ » • • •»
ДХ„ = Хя+1 — Х„ = у.
Тогда интересующая нас сумма получит вид
оо
Т 2 М« f f{u) cos ln{ii — x)(In, (5.4)
Л«1 -*
§ 51
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
229
Это напоминает интегральную сумму для функции
переменного X
00
— f /(h) cos X (н — х) du,
— 00
составленную для промежутка [0, + со]. Поэтому естественно
ожидать, что при /—со (5.4) перейдет в двойной
несобственный интеграл, и, следовательно, естественно ожидать
формулы (вместо (5.3))
00 00
f(x) = ^ f dX С / (и) cos X (и — jc) d«. (5.5)
О —оо
Наше рассуждение, конечно, не является строгим, но мы
знаем теперь по крайней мере, какой формулы следует
ожидать. Ниже будет доказано, что в наших предположениях и
даже в несколько более широких предположениях
относительно fix) формула (5.5) на самом деле имеет место. При
этом напомним: в точках разрыва функции вместо fix) нужно
писать /<* + 0>+/(*-0>.
Интеграл справа в (5.5) называется интегралом Фурье,
а формула в целом — интегральной формулой Фурье. Если
воспользоваться формулой для косинуса разности, то вместо
(5.5) можем написать:
00
f(x)= С (a(X)cosXjc + ^(X)sinXjc)crX, (5.6)
где
00 ОО
a(X)= — \ fiu)cos^udu, £(Х) = — V /(и)sinXudu. (5.7)
— оо —оо
Читатель сразу усмотрит здесь сходство с рядом Фурье:
знак суммы заменился знаком интеграла, и вместо
целочисленного параметра п фигурирует непрерывно изменяющийся
параметр X. Коэффициенты а(Х) и Ь(к) весьма напоминают
коэффициенты Фурье.

230
ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
§ в. О несобственных интегралах, зависящих от
параметра. Рассмотрим интеграл
ОО
§F(x, *)dx (6.1)
а
и предположим, что он сходится для а =^ X sg: р. Будем
называть его равномерно сходящимся для a^Xsgzp, если
для всякого е^>0 существует число L такое, что для
всех l^L
со
lj>(*. *)
dx
е,
(6.2)
каково бы ни было X, а^Х^р.
Прежде всего заметим следующее:
Для того чтобы интеграл (6.1) равномерно сходился,
необходимо и достаточно, чтобы для всякой
последовательности чисел
хъ = а <^_ xt <Г -#2 \ ■ • • \ хп \ • • •»
(6.3)
lim хп = оо,
п~»оо
равномерно сходился для а^Х^р ряд
оо Л1 дг8
£f(jc, X)dx=^F(x, \)dx+\F(x, \)dx + ...
0 ДГо X,
*л + 1
...+ f F(x, \)dx + .
(6.4)
члены которого представляют собой функцию от X.
Действительно, если (6.2) выполнено, то для хп
имеем:
00
я *k
00
£ F(x, l)dx — 2] f F{x, l)dx = | f F(x, k)dx —
00
- tF(x, \)dx =| f F(x, \)dx ^e (a^X^P), (6.5)
а это означает равномерную сходимость ряда (6.4).
§ 6]
О НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛАХ
231
Наоборот, допустим, что ряд (6.4) сходится равномерно
для любой последовательности вида (6.3). Если бы при этом
интеграл (6.1) не оказался равномерно сходящимся, то это
означало бы существование хотя бы для одного значения
е^>0 сколь угодно больших значений
Ху v^ X% v^ . ■ . v^ Хп \^ .. .,
для каждого из которых при некотором X
оо
| £/?(*, X)rf*|>£ (я=1, 2,...).
Но это невозможно, так как, приняв эти хп за
последовательность (6.3), мы для всех достаточно больших п
необходимо получим (6.5). Полученное противоречие показывает,
что интеграл (6.1) сходится равномерно.
Из этого замечания следует
Теорема 1. Если F (х, X) непрерывна как функция
двух переменных (или имеет разрывы для конечного
числа значений х на каждом конечном интервале,
оставаясь интегрируемой по х и непрерывной по X) и
интеграл (6.1) сходится равномерно для а^Х^р, то этот
интеграл представляет собой непрерывную функцию
от X.
Действительно, в ряде (6.4) каждый член представляет
собой непрерывную функцию от X (по свойству интегралов
с конечными пределами) и так как этот ряд сходится
равномерно, то его сумма, т. е. интеграл (6.1), есть
непрерывная функция.
Теорема 2. В условиях теоремы 1
Р оо оо р
\ dl f F(x, k)dx= f dx f F(x, X)rfX.
Действительно, ввиду равномерной сходимости ряда (6.4)
его можно интегрировать почленно, причем для каждого

232 ДВОЙНЫВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VI!
члена можно переставить порядок интегрирования (при
конечных интервалах — это законно). Получим:
I
оо
dk С F(x, \)dx =
— \dx\ F(x, X)dX + С dx \F(x, X)rfX-{-...=
A'o * Xl
хп В оо р
= lim С dx \ F(x, X)dX = f dx f F{x, X)dX.
n-*oo J J J J
a a a a
Теорема З. Если F(x, X) непрерывна как функция
двух переменных и допускает непрерывную частную про-
dF{x,\)
изводную —jsji * причем интегралы
00
f F(x,\)dx, \dFi£;l) dx
существуют и второй из них равномерно сходится для
а^Х^р, то
00 00
д_
а
оо оо
С F(х, X)dx = f aF^'Х) с?лг (а<Х^р). (6.6)
В самом деле, ряд
х0 xt a
равномерно сходится, причем его члены представляют собой
производные от соответствующих членов ряда (6.4) (так как
для конечных интервалов интегрирования
дифференцирование под знаком интеграла законно). Но тогда ряд (6.4)
мы вправе дифференцировать почленно, что и дает
равенство (6.6).
Следующая теорема дает очень хороший критерий
равномерной сходимости интеграла (6.1).
§ 61
О НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛАХ
233
Теорема 4. Если для а^Х^р
|F(*,X) |</С*>
причем интеграл
fi/w
dx
существует, то интеграл (6.1) сходится равномерно
(требования к F(x, X) по теореме 1).
Действительно, члены ряда (6.4) по абсолютной величине
не превосходят членов сходящегося числового ряда
оо
*J
*8
§\f(x)\dx=§\f(x)\dx+§\f(x)\dx-\-...
а х0 xi
Отсюда и следует теорема.
Вместо (6.1) можно рассматривать интегралы вида
Ь оо
$F(x,\)dx, С F(x,X)dx,
(6.7)
—оо
причем условие (6.2) заменится условием
—<
$ F(x, X)
—оо
dX
для первого интеграла и двумя условиями
-I оо
I С F(x, X)dX
—оо
оо
., | \F(x, X)dX
i
для второго интеграла.
Установленные нами теоремы и здесь имеют место,
причем доказательство может быть сведено к разобранному
случаю подстановкой х = —у для первого интеграла (6.7)
и разбивкой на два интеграла
О оо
С F(x, \)dx, [Fix, l)dx
—оо О
для второго интеграла (6.7).

234 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
§ 7. Две леммы. Уточним результаты § 2 гл. III.
Лемма 1. Если f(x) абсолютно интегрируема на
(а, оо), то
11m f/(«)
/-+0О J
sin lu du = 0 (7.1)
(/ принимает любые значения).
Доказательство. Если е ^> О задано произвольно
и Ь достаточно велико, то
оо
\ /(м) sin ludii
ь
~'2'
Если же / достаточно велико, то в силу теоремы § 2 гл. III
sin lu du
J/00
. e
:"2*
Таким образом,
оо
I f{u) sin ludu
a
для всех достаточно больших /, а это и означает
справедливость формулы (7.1).
Замечание. Вместо интеграла по промежутку (а, оо)
можно рассматривать интегралы по промежуткам (—оо, а) и
(—оо, оо). Вместо sin lu можно рассматривать cos lu.
Доказательства при этом не изменятся.
Лемма 2. Если в точке х для абсолютно
интегрируемой на всей оси Ох функции f(x) существуют
правая и левая производные, то
оо
.. If'*/ I ч sin/" л /(* + 0)+/(х—0) ,7оч
hm — \ f(x-\-u) du = ~—!—-^-£Л -. (7«2)
—оо
Доказательство. Зададимся произвольно
положительным числом е и выберем 8 ^> 0 столь малым, чтобы
§ 7]
ДВЕ ЛЕММЫ
233
выполнялось неравенство
г
)| <*»<■?-.
I j i/(*+«:
Функция '&+ц* для — оо<и^8 и 8<и<-[-°° аб'
солютно интегрируема. Поэтому в силу леммы 1
Kmlf/(*+ «)—<*" =
—Ь
= liml \ f(x±u)*^du = 0. (7.3)
/—оол J и
—оо
Теперь рассмотрим уже доказанное в § 7 гл. III равенство
lim I f f(x + ц) J*^. d„ =J* + °> +/<* ~ °>,
— * 2 ЯП -н-
где /и = я -]- -2-, я — целое. Его можно переписать так:
lim i Г f(x + и) -*1™- rf« =/(^ + 0)+/(^-0) (? 4)
1-ЮО Л «Л. о -:„ М ^
Я1-ЮО
—в
2 sin
поскольку в силу абсолютной интегрируемости функции
/ {х + и) на 0ТрезКах [ — я, —8], [8, и] интегралы по этим
отрезкам стремятся к нулю при т — оо (см. § 2 гл. III).
Заметим теперь, что интеграл слева в (7.4) отличается
от интеграла
I С г, | ч sin /пи ,
- J/(* + M)__rfH
—Й
(7.5)
на величину
7 $/(■* + »)
2 dn
« и
sin mudu, (7.6)

236 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [>Л. VII
причем функция, фигурирующая в квадратных скобках,
непрерывна, если при и = 0 считать ее равной нулю
(в этом можно убедиться с помощью правила Лопиталя).
Но интеграл (7.6) в силу § 2 гл. III стремится к нулю
при т—*оо. Поэтому вместо (7.4) можем писать:
,lmi г/(х+в)-г=л=ш±а±а«з«г. а.7)
ОТ-+00 Л _V U
Пусть т^1<т-\-1. Тогда 1=т-{-в, 0=^6<1.
Применив теорему Лагранжа, получим:
яп Ш — sin mu
и
■=(I — т) cos hu = B cos hu,
где h заключено между т и /.
Поэтому
в ь
II С г. . ч sin lu , 1 С ,, . л sin mu .
\- \/(* + «) —— du~^ \/(^ + ")-7T-rfM
8 S
= ■^1 \ f(x-\-и)6 cos hudu\^^ f \f(x-\-u)\du<\ (7.8)
при любом /. Если / велико, то велико и mt и,
следовательно, при больших / для соответствующих т в силу (7.7)
получаем:
/С+Щ+/(«-Щ_1 jf(x + a) *Ц»Л|<£.
Сопоставление этого неравенства с (7.8) дает:
в
|/(лг + 0) + /(лг —0) 1 С ,, . 4sin/H , ^
— о
для всех достаточно больших /. Ввиду (7.3) для
достаточно больших / вместо последнего неравенства можем
написать:
/(* + 0)+/(*-0) 1
2
— 00
что и доказывает (7.2).
-\ U(-x+^^rLd"\<t-
§ 8] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ ФУРЬВ 237
§ 8. Доказательство интегральной формулы Фурье.
Предположим, что f(x) абсолютно интегрируема на всей Ох.
По самому определению понятия несобственного интеграла
оо оо
— 1 dX V / (и) cos X (и — x)du =
О —оо
I оо
= lim - f dl f /(и) cos X (u — x) du. (8.1)
/ — со Л J J
0 —oo
Таким образом, существование интеграла слева
эквивалентно существованию предела справа.
Но интеграл
оо
1 /(к) cos X (а — х) du
—оо
равномерно сходится для — оо < X <^ оо, так как
|/(и)С08Х(В —*)|<|/(В)|,
а/(и) абсолютно интегрируема на всей оси (см. теорему 4 §6).
Поэтому (см. теорему 2 § 6)
I 00 ОО 1
\ d\ 1 /(и) cos X (к — х) du = \ du I /(и) cos Х(и—лг)а*Х=
— оо —оо
оо оо
С ,, ч sin/(и — л:) , С ,, , ч sin lu .
—оо —оо
(мы сделали замену и — х = г», а затем вместо г» опять
стали писать и). В силу (8.1)
СО 00 СО
IfrfX f/(H)cosX(tt — x)du = lim^ f f(x -f- u) ^~ du.
6 --CO — 00
Если теперь в точке х функция fix) имеет правую и
левую производные, то по лемме 2 § 7 предел в правой
/(лг + 0)+/(лг —0) п
части существует и равен числу ——■— ^ J v '-.
Следовательно, существует интеграл слева и
If Л lm«K4»-x)du = f(x + 0)+nx-0). (8.2)
О —оо

238 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
В точках непрерывности полусумма предельных значений
совпадает с f{x).
Таким образом:
Если f(x) абсолютно интегрируема на всей оси Ох,
то интегральная формула Фурье имеет место в каждой
точке х, в которой f(x) имеет правую и левую
производные.
Отсюда:
Если кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке
функция f(x) абсолютно интегрируема на всей оси Ох,
то интегральная формула Фурье имеет место для
всех х.
§ 9. Различные виды интегральной формулы Фурье.
Предполагая fix) абсолютно интегрируемой на всей оси Ох,
рассмотрим интеграл
со
1 /(и) sin X (н — х) du.
— 00
Этот интеграл равномерно сходится для — со <^ X <^ со,
так как
|/(н)8тХ(н-*)|<:|/(и)|
(см. теорему 4- § 6). Поэтому он представляет собой
непрерывную и, очевидно, нечетную функцию от X. Но тогда
}Z> J dk £ /(и) sin X (и-*)*!«=
со со
f dk f /(и)sinX(и — x)du = 0*).
—I -co
CO
— CO —CO
*) Может случиться, что последний (внешний) интеграл не
существует в обычном смысле, и тогда мы понимаем его как предел
lim 1 . . . ,
/ — со J
который, очевидно, здесь существует и равен 0 (главное значение
интеграла в смысле Коши).
§ 9] РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМУЛЫ ФУРЬВ 239
С другой стороны, интеграл
00
f /(и) cos X (и — х) du
—со
представляет собой четную функцию от X. Поэтому вместо
(5.5) можем писать:
со со
/(jc) = J-f dk f /(h)[cosX(h — x)-\-isink(u — x)]du =
00 00
= ^L С dk f /(и) eW»-#du. (9.1)
—00 —CO
00 00
—CO —00
Мы получили комплексную форму интеграла Фурье.
Перепишем теперь формулу (5.5) в виде
со I со \
/(дг) =\\ cos kx f \ f(u) cos ku du\ dk +
00 00
oo oo
-f — С sin kx I f /(и) sin Хи du J dk. (9.2)
0 —oo
В случае четной /(и)
СО 00
Г /(и) cos Хи du = 2 \ /(и) cos Хи du,
—со О
00
С /(и) sin Хи du = О
—со
и равенство (9.2) дает:
оо со
у(лг) = i.f cos Хдг ( f /(и) cos Хи du J dk. (9.3)
В случае нечетной /(и) аналогично получим:
со со
f{x) = -?- f sin kx I f /(и) sin Хи du j dk. (9.4)

240 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
Если/(лг) задана лишь для [0, со], то формула (9.3) четным
образом распространяет f{x) на всю Ох, а формула (9.4) —
нечетным образом. Для положительных х, таким образом,
приложимы обе формулы, а для отрицательных — они дадут
разные значения. Заметим, что при непрерывности f(x) для
х—0 формула (9.3) всегда справедлива в этой точке,
а формула (9.4) справедлива лишь тогда, когда /(0) = 0
(так как при нечетном продолжении функции всегда
/(+0)+/(—0) л
'-±-1— А—- = 0, а это значение и принимает интеграл
в (9.4) при дг = 0).
§ Ю*. Преобразование Фурье. Пусть /(н) задана.
Функцию
00
F(k) = -±= §f(u)e»"du (10.1)
называют преобразованием Фурье функции /(и). Если для
f{x) справедлива интегральная формула Фурье, то
в силу (9.1)
00
f(x) = -Л- J F (X) е~ах d\. (10.2)
—оо
Эта функция будет обратным преобразованием Фурье
функции F(X).
Функцию (ЮЛ) можно рассматривать как решение
интегрального уравнения (10.2): f{x) задана, F(X) ищется.
Отметим несколько свойств преобразований Фурье
F(x)= 75 f me'
оо
ixudu.
—00
1. Если f{x) абсолютно интегрируема в промежутке
(—оо, сю), то функция F(x) непрерывна для всех х и
стремится к нулю при \х \ -> со.
Непрерывность следует из равномерной сходимости
интеграла (по х), поскольку
\eixa\=l, |/(«)e'*"l = i/(")l.
§ 101
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬВ
241
а интеграл
00
J 1/(и)1
du
—оо
существует (хотя под интегралом имеется мнимость, но все
выводы § 6 продолжают иметь место).
Далее,
lim F (х) =
|*|-со
00 СО
= —-= Г Hm f /(h) cos xu du -f ^ lim \ /(h) sin xu du = 0
У 2n Li*|-»oo J \x\-*<x> J J
* ' ' —CO —OO
в силу леммы 1 § 7 (см. замечание).
2. Если функция xnf(x) (n — целое, положительное)
абсолютно интегрируема в промежутке (—со, оо), то
для F(x) существует п производных, причем
ОО
/**>(*)=* Г f{u)ukeixudu (Л = 1, 2, ..., п) (10.3)
у 2п J
—00
и все эти производные стремятся к нулю при \ х \ —* оо.
Действительно, формулы (10.3) могут быть получены
дифференцированием под знаком интеграла, поскольку
каждый раз мы получаем интегралы, равномерно сходящиеся
(по х), что вытекает из равенств
|/(h)hV*«| = |/(h)h*|
(k=l, 2,..., л),
где функции справа абсолютно интегрируемы.
Чтобы показать, что производные /^'(лг) стремятся
к нулю при | х | —* оо, нужно опять воспользоваться леммой 1
§ 7 (см. замечание).
3. Если f(x) непрерывна и стремится к нулю при
| х | — оо, f (x) абсолютно интегрируема в промежутке
(— оо, оо), то
00

242 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ |>Л VII
4. Если f(x) абсолютно интегрируема в промежутке
х
(— оо, оо), а 1 /(и) du -> 0 при \ х \ -*• оо, то
со
—оо О
Обе последние формулы доказываются интегрированием
по частям. Эти формулы позволяют сделать следующий
интересный вывод:
Дифференцированию исходной функции f(x) отвечает
умножение на -г- ее преобразованной функции F (х), а
интегрированию — деление на ту же величину. Идея
такого рода сведения сложных операций математического
анализа к простым алгебраическим операциям с
преобразованными функциями (с последующим обратным
преобразованием окончательного результата) лежит в основе
операционного исчисления, весьма важного по своим
приложениям раздела математики.
Обратимся теперь к преобразованиям несколько иного
вида. Функцию
00
'-/ij/fr
F(X) = l/ — \ /(h) cos ludu (10.4)
условимся называть косинус-преобразованием Фурье для
функции /(h). Если для f(x) справедлива интегральная
формула Фурье, то из (9.3) следует:
00
/ (х) = Л[ — \ F(l) cos лгХ dX, (10.5)
УЦ
т. е. f(x) в свою очередь является
косинус-преобразованием для Fft). Иными словами, функции / и F являются
взаимными косинус-преобразованиями.
Аналогично, функция
оо
ф (X) = \/~1- С f{ii) sin X н du (10.6)
§ Ю]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
243
называется синус-преобразованием Фурье для /(н).
Из (9.4) получаем:
оо
/(лг)=]/Г^^Ф(Х)81пл:Ха, (10.7)
о
т. е., подобно случаю косинус-преобразований, / и Ф
оказываются взаимными синус-преобразованиями.
Функцию (10.4) можно рассматривать как решение
интегрального уравнения (10.5) (J(x) задана, F(X) ищется),
а функцию (10.6) — как решение интегрального
уравнения (10.7).
В качестве упражнения применим косинус- и синус-
преобразования Фурье к вычислению некоторых интегралов.
Пример 1. Пусть f{x) = e~ax (a>0, лг^О). Эта
функция интегрируема для 0 ^ х <^ оо и всюду обладает
производной. С помощью интегрирования по частям
найдем:
00
F(X) = l/"-| f eau cos \udu= l/"-?-
a8+Xs*
00
*W=/| J^si„X„d„=|/"l .o-A_.
Тогда формулы (10.5) и (10.7) дадут:
00
^=-лЩ^ с*» «а
__ 2а С cos
'"-tP^fp* ^>°>-
Пример 2.
1 для 0 =5^ х < а,
f(x)= \ \ Для х=а,
О для х^>а.

244 ДВОЙНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ [ГЛ. VII
Очевидно,
о
и в силу (10.5)
1 для 0^х<^а,
00 I
sin dk cos хX d\ I 1
О для х^>а.
= { 2 для х == а>
В частности, при х — а
оо
1 1С sin 2оХ ,.
2
1
и если положить а = — то получаем:
оо
sinxdx.
5-5
X
§ 11*. Спектральная функция. Формулу (9.1), как легко
сообразить, можно переписать так:
с» с»
/С*) =4 J d\ J/(и)*л<*-"> du (11.1)
—CO —CO %
(ибо eiX и-и) = cos \(x — u)-\-i sin X (x — и) = cos X (в—x) —
— i sin X (h — л:), а интеграл, содержащий синус, равен 0 — см.
§ 9). Теперь положим:
оо
—00
Эта функция (в общем случае — комплексная) играет важную
роль в электротехнике и носит наименование спектральной
функции для f(x). В силу (11.1) и (1.1.2)
оо
/(*)= f A(k)e°"dk. (11.3)
—00
*) Иногда множитель =- в этой формуле опускают (тогда он,
конечно, появится в формуле (11.3)).
§ П]
СПЕКТРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ
245
Формула (11.2) является аналогом формулы (14.7) гл. I,
дающей значения комплексных коэффициентов Фурье;
формула (11.3) — аналог формулы (14.6) гл. I.
Пример. Найти спектральную функцию для
/(*) =
1 при \х\<^а,
О при |лг|^>а
(см. черт. 42).
-а О
а
Черт. 42.
Формула (11.2) дает:
—а
1 gtta_g Да 1 sinflX
2тс /X эт X
Таким образом, А (X) оказалось здесь действительной
функцией; ее график (при с=1) изображен на черт. 43.

ГЛАВА VIII
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
§ 1. Уравнение Эйлера — Бесселя. Так называется
следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго
порядка:
. *У + */ + (*» —р*)у = 0> (1-1)
или, что то же,
где р — постоянная, называемая индексом уравнения (1.1).
Решение уравнения (1.1), за исключением весьма частных зна-
.чений р, не выражается через элементарные функции (в
конечном виде) и приводит к так называемым бесселевым
функциям, имеющим большие приложения в технике и физике.
Для бесселевых функций составлены таблицы, которыми
пользуются при практических расчетах *).
Так как уравнение Эйлера — Бесселя линейно, то его
общий интеграл может быть записан в, виде
y = Ciy1 + Ciyi, (1.2)
где yt и j/9— два любых линейно независимых частных
решения уравнения Эйлера — Бесселя, a Ct и С2 — произвольные
постоянные. Таким образом, чтобы найти общий интеграл
уравнения (1.1), достаточно найти два каких-нибудь линейно
независимых его решения.
*) См., например, Л. А. Люстерник, И. Я. Акушский
и В. А. Д и т к и н, Таблицы бесселевых функций, Гостехиздат, 1949.
§ 2] БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 247
§ 2. Бесселевы функции первого рода с
неотрицательным индексом. Пусть р^О. Чтобы упростить дальнейшие
выкладки, в уравнении (1.1) сделаем подстановку
y = xPz. (2.1)
Очевидно,
y=pxp-1-z~{-xp-z,y y"=p(p—l) xp~*-z + 2рхр1-2? -f- xp-z".
Подставив в (1.1), получим для функции z уравнение
Z" _|_ SP±i z'-\-z = 0. (2.2)
Решение этого уравнения будем искать в виде
степенного ряда
z = с0 -\- схх -\- с9х8 -}-••• + спхп -{-...
Вычисления дают
z* = сх -f- 2с9х -f- Зс3лг8 -f 4с4л^ + • • • +(" + 2) cn+i хп*1 -f-...,
~ = j + 2с9 -f ЗсзДГ -f 4с4дг8 + • • • + (я + 2) гя+9 хп -f...,
/'=2c9+2.3c3^4-3.4c4>:24---. + («+l)(«+2)rn+9^n+...
Подставив полученные ряды в (2.2), найдем:
^li«iH-[2c,H-(2!p+l)2ca + t#]+[2.3t1+(25p+l)-3ct+
+ *,]*+[3-4**+ (2/> + 1)4с4Н-г9]дг8 + ...
... Ч- К» +* О <Л + 2> сп+* + &Р + 1) (» + 2) cn+i -J" *«] *" +
4-...=о.
Чтобы удовлетворить уравнению, требуем обращения
в нуль коэффициентов при различных степенях х:
сх = 0, (2.3)
(n + l)(n + 2)cn+i + {2p + l)(n + 2)cn+i + cn = Q
(я = 0, 1, 2,...).

248 БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
Отсюда
Сп+ъ — — (я_|_2)(л + 2р + 2) (п=0> Ь 2»---)- (2-4)
Из (2.3) и (2.4) вытекает:
С\ Сз Cj .. . ^Чтп -1 • • • "»
с — с°
2—" 2(2/> + 2)'
,. С2 С0
с6 =
4(2/> + 4) 2-4.(2р + 2)(2р + 4)'
с4 с0
6(2р + 6)— 2.4.6.(2/> + 2)(2/7 + 4)(2/> + 6Г
**, = (-О"
и вообще
2-4-6...2т (2/? + 2)(2/> + 4) (2р+6)...(2р+2т)
—— ( 1 у "•
2s'«.1.2.3...m(/?+l)(p + 2)(p + 3)...(p+m) '
Таким образом, решение уравнения (2.2) дается рядом
2г=с0 [1 — 2 (2/, + 2) + 2-4 (2р + 2) (2/? + 4) ~ ■ * *J ==
_ (, . Y (-lr»-*"" 1
— соY~^Zd 2™.\-2...m(p+l)(p + 2)...(p + m) \,
1 m=I J
где с0 — постоянная, которую можно взять произвольно.
С помощью известного признака Даламбера легко
доказывается сходимость полученного ряда для всех значений лг.
Так как почленное дифференцирование степенных рядов
всегда законно (внутри интервала сходимости), то z
действительно будет решением уравнения (2.2). Но тогда функция
V _— Vi 1 I I
у = Х Z—CqX |^1 — 2(2/» + 2)"T2.4.(2p + 2)(2Jp + 4)~","J —
:Со
14_ Y (— \)mxP+*m
tZ'2s'».1.2...m(p-fl)(JD + 2)...0' + ffi)
(2-5)
§ 2] БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 249
при любом значении постоянной с0 будет решением
уравнения (1.1). Обычно принимают:
со—2РГ(р+1)* (2'6)
где Г — известная в математическом анализе
гамма-функция (подробнее о ней см. в следующем параграфе), для
которой
1)Г(1)=1,
2) Г(р-\- 1)=рГ(р) при любом р,
3) Г(р-\-1)=р\ при целом положительном р.
Когда постоянная с0 определяется формулой (2.6),
ряд (2.5) дает бесселеву функцию первого рода индекса р
(пока р^О), обозначаемую символом Jp(x).
Итак,
JP(JC)==2Pr(p+l)L1~2(2p + 2) + 2.4(2/? + 2)(2/> + 4)~'--J=!
Z. 1-2...
p+am
(2.7)
Г(р+1)^^ 1.2..л10» + 1)0»+2)...(р + я)Г(р+1)
Но в силу свойств Г-функции
1-2...ш = т\ = Г(т-{-1),
<р + 1)(р + 2)...(р + т)Г{р+1) =
= 0» + 2)(/> + 3)...^ + «)Г</> + 2) =
= (Я + 3)^4-4)...(р + /«)Г(/; + 3) = ...
... = (/> + «)r(/> + «) = r(/' + » + 1)i
и поэтому
X (-1)т\2)
jP(x)=2dr(m+i)r(p+m+i) ^^
т=0
(см. также свойство 1).

250
БЕССВЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
В частности, при р — 0
J'о(ЛГ) = 1 2" ~г 2>.48 2s-48-68 т~*' • ===
( Х\2™
т=0
(«О1
(2.9)
(здесь нужно считать 0! = 1). При р=\
х Г jc8
= -у<-"",(у)
2-4 "Т" 2-4-4-6 2-4-6-4-6-8
х \2т+1
+-.-■] =
т=0
/я1(/я + 1)!
Вообще при целом положительном р
X3 , JC4
Л(ДР) = ^т|1
'2Рр1
['
; + ■
= у ^Kf)
2 (2р + 2) ~ 2-4-(2/> + 2) (2/> + 4)
д: \2от+р
] =
от =0
/я!(/> 4- m)!
(2.10)
Формулы (2.9) и (2.10) показывают, что для /? = 0 или
для любого целого и четного р функция Jp(x) представляет
Черт. 44.
собой четную функцию (так как лг входит лишь в четных
степенях). Для любого же целого и нечетного р функция Jp{x)
нечетна (так как х входит лишь в нечетных степенях).
Графики функций y = J^{x) и y = Jl{x) изображены на
черт. 44.
§ 3] о г-функции 251
Замечание. Следует заметить, что для х<[0 при
дробном р функция Jp(x), вообще говоря, принимает мнимые
значения (см. (2.7)). Чтобы не иметь дела с мнимыми
значениями, мы будем рассматривать Jp{x) (при дробных р) лишь
для х^О.
§ 3. О Г-функции. Для р^>0 Г-функцию обычно
определяют формулой
Г(р)= \ е^х^Ых (3.1)
\
(этот несобственный интеграл имеет смысл только для р ^> 0).
Докажем, что свойства 1), 2), 3) Г-функции, приведенные
в § 2, действительно имеют место.
оо
,лг=оо
1) Г(1)= f e-*dx = [-e-x\"^= l,
оо
2) Г(/>+1)=Л e-xxpdx.
Интегрируя по частям, получим:
Г{р-\-1) = [~е-ххР]Х^-^р\ e-*x*>-ldx.
Первый член справа равен нулю (если, конечно, /?^>0), а
интеграл есть не что иное, как Г(р). Отсюда и следует
свойство 2).
3) Если р — целое, положительное, то, воспользовавшись
свойством 2), получим:
Г(Р+1)=рГ(р)=р(р—1)Г(р — 1)=...
...=р{р— 1)...2.ЬГ(1)
или в.силу свойства 1) Р(/? —f- l)=/?l
Таким образом, для р^>0 функция Г действительно
обладает упомянутыми свойствами.

252
БЕССБЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
Чтобы распространить функцию Г(р) на все значения р,
будем исходить из формулы
Г{р+1)=рГ(р)
или
r(p) = rJP±l\ (3.2)
Если —1</?<[0, то правая часть в этом равенстве имеет
смысл, так как 0 <^р -\- 1 < 1. Поэтому формулу (3.2) можно
принять за определение Г (р) для —1 <[/?<[ 0. Заметим,
кстати, что при /?->0 числитель справа в (3.2) стремится
к 1, а знаменатель к нулю, и поэтому мы пишем:
Г(0) = оо.
Пусть теперь — 2<><— 1. Тогда — 1 </>+ 1 <0, и
правая часть в (3.2) опять имеет смысл. Следовательно,
формула (3.2) дает возможность определить Г(р) уже для
— 2<0<— 1. Если />-»-— 1, то из (3.2) следует, что
Г(р)->оо. Поэтому пишем:
Г (—1) = оо.
Переходим к значениям —3<^р<^ — 2 и т. д. Так, шаг за
шагом мы можем определить Г(р) для всех отрицательных
значений р, причем Г(/?) = оо для /? = 0, —1, —2, ...
Таким образом, формула (3.1) для ^>0 и формула (3.2)
дают возможность определить Т{р) для всех р. В силу
самого способа определения, свойства 1), 2), 3) оказываются
выполненными для всех р.
§ 4. Бесселевы функции первого рода с
отрицательным индексом. Так как в уравнении (1.1) фигурирует /?9, то
естественно ожидать, что рассуждения -§ 2, будучи
примененными к — р вместо р, также приведут к решению уравнения
(1.1). Замена р на —р в (2.8) дает:
(х \-Р+*т
J-j,{*)— 2j r(m-r-l) Г (-jp + m-r-l)
(4.1)
(m+l) 1 l-/» + n»-r-i)
m = 0
§ 4] БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ 253
Заметим, что при целом р для т — 0, 1, 2, ..., р—1
величина —р-\-т-\-\ пробегает целые отрицательные
значения и нуль. Следовательно, для этих т будет Г(—р~\~
-\-m-\- 1) = со, и поэтому соответствующие члены в ряде
(4.1) мы считаем равными нулю.
Таким образом, для целых р
<-
О
х \-p+tm
J-p {*) — 2j Г(т + 1) Г (— р + т + 1)'
или, положив m=p-\-k,
J.f W = (- lyf ( »ulh + n = l- VJ.W. (4.2)
Если р не является целым числом, то знаменатели в (4.1)
не обращаются ни в нуль, ни в бесконечность.
Признак Даламбера дает сходимость ряда (4.1) для всех
хфЬ при р дробном и для всех х при р целом (см. 4.2).
Функция J_p(x) также называется бесселевой функцией
первого рода с индексом —р. Подстановка функции J^p(x)
в уравнение (1.1) показывает, что эта функция действительно
является решением. Проверку этого мы предоставляем
читателю *).
Для дальнейшего полезно будет отметить, что формулы
(2.8) и (4.1) можно объединить в одну:
т . t.m/x \P*vn
_х (~1) (т)
Jp(x) — 2i Г(т+.1)Г(р + т+1)»
т = 0
\P+sm
(4.3)
*) Следует заметить, что для некоторых р (например, для целых р)
часть рассуждений § 2, примененных к —р, перестает быть
законной, так как приводит, к дробям с нулевыми знаменателями (см.,
например, (2.4)). Тем не менее окончательная формула (2.8) после
замены р на — р имеет смысл и даже, как мы заметили, дает
решение уравнения (1.1),

254
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
где само число р может быть как положительным, так и
отрицательным.
Замечание, сделанное нами в конце § 2, распространяется
на случай дробных р любого знака.
§ 5. Общий интеграл уравнения Эйлера — Бесселя.
Пусть сначала число р^>0 не является целым. В этом
случае функции Jp(x) и J_p(x) не могут быть линейно
зависимыми, так как при л: = 0 первая функция обращается в нуль,
а вторая — в бесконечность (см. (2.8) и (4.1)). Действительно,
линейная зависимость означает существование постоянной С,
для которой
Jp(x) = CJ_p(x),
что невозможно в силу сказанного выше.
Таким образом, если р не является целым числом, то
общий интеграл уравнения (1.1) имеет вид
J= CtJp (x) -f- <V_p (x), (5.1)
где Ci и С2 — произвольные постоянные (см. (1.2)).
Если р^о есть целое число, то в силу (4.2) функции
Jp(x) и J_p(x) оказываются линейно зависимыми, и,
следовательно, (5.1) в этом случае не дает общего интеграла.
Поэтому для целых р мы вынуждены отыскать еще частное
решение уравнения (1.1), линейно независимое от Jp(x). Такое
частное решение дается бесселевой функцией второго рода
Ур(х) (см. следующий параграф).
Таким образом, в случае целого р общий интеграл
уравнения (1.1) получает вид
У = С^р(х) + С,Гр(х).
§ 6. Бесселевы функции второго рода. Для дробных р
бесселева функция второго рода получается из (5.1)
специальным выбором постоянных Сх и С2. Именно, полагаем:
УР С*) = ctg pit • Jp (х) — esc pv • У_р (x) =
Jp(x) cos рк—J {x)
= :—■ . (0.1)
БШ fit v '
§ 6] БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ ВТОРОГО РОДА 255
При целом р формула (6.1) приобретает неопределенный
вид, так как числитель обращается в величину Jp(x)'(— 1)р—
— J_p (x), равную нулю в силу (4.2), и знаменатель также
обращается в нуль. Возникает мысль: нельзя ли
«раскрыть» эту неопределенность, найдя предел дроби при р,
стремящемся к целому числу, и не даст ли этот предел
нужного нам решения для целого р? Это, оказывается, так
и есть.
Правило Лопиталя дает:
jr- [Jp (X) СОврп — J-p (X)]
Уп(х) = Пт °Р ъ =
Р-*п -=- sinojt
dp
cos pit j-Jp (x) — kJp (x) sin pn — ~- J_p (x)
__ i jm £ __ L —
— L Tt(— l)n Jp=n*
Если в последнее выражение подставить ряды (2.8) и
(4.1), продифференцировав их по р и подставив вместо
любого р целый индекс я, то после ряда преобразований,
которые мы приводить не будем (так как они довольно
кропотливы и связаны со специальными свойствами Г-функции),
получим:
М*) =
2 I / \Л * I •Л i "v(« — m —1)4х\-n+8m
от=0
со / i ynl _ i n-\-m m
__i у } \2> ..(yi+y±\
« Zd m\(n + m)\ \£dk^Lik)>
где С — 0,577215664901532... — так называемая постоянная
Эйлера.

256
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
оо
В частном случае при л = 0
м*>=! л<*> (* f+с) --^ |у? (f)'" х
т=*\
Подстановка функции Yn(x) в уравнение (1.1) при
р = п показывает, что эта функция действительно
является решением.
Вместе с тем функции
Jn(x) и Yn(x) не могут
быть линейно зависимыми,
так как при х — 0 первая
имеет конечное значение,
а вторая обращается в
бесконечность. Следовательно,
Уп (х) представляет собой
второе частное решение
уравнения (1.1), которое нужно было найти (см. конец § 5).
На черт. 45 изображен график функции у = К0 (х).
§ 7. Соотношения между бесселевыми функциями
с различными индексами. Для любого р имеют место
формулы
^[*Ч(*И = ЛГЧ-iW (71>
Черт. 45.
-^[x-%(x)] = ~x-PJp+1(x).
(7.2)
Аналогичные формулы справедливы для соответствующих
функций второго рода.
Доказательство. В силу (4.3) при любом р
£[*%<*)] = '
ЧП ( \\mxsp+sm
2i2P+*mT(m+l)T(p + m+l)==
dx
m=0
оо
=2
wi=0
(_ lyn^sp+tm-i
2P+am-ir (Ш + i) г (p + m ) — xPJp »W»
§ 71 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ БЕССВЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ 257
что и доказывает формулу (7.1). Формула (7.2) доказывается
аналогично. Чтобы доказать формулы для функций второго
рода, прежде всего из (7.2) получаем (заменой р на —р):
j-x [xpJ-P (лг)] = - x'J_p+l (x). (7.3)
Предполагая сначала р дробным, умножаем (7.1) на ctg рте,
(7.3) на esc рте и результаты вычитаем. При этом получим:
JL \хр Л> (■*) cos ртс — J-g (х)~\ __ р Jp_i (л:) cos ря + J-p+i (■*) ==
dxi sin pic J sin pn
« 7p_i (x) cos (p - l)ic — J-p+i
sin (p — l)ic
(так как cos (p — 1) те = — cos рте, sin (p — 1) те = — sin рте).
Иными словами, для дробных р (см. (6.1))
1[Лр(*)] = ^(х)1 (7.4)
Из (7.1) (после замены р на —р) следует:
^И-рН1=^-и(4 (7.5)
Умножаем (7.2) на ctg рте, (7.5) на esc рте и вычитаем:
d_ Г х-р Л, (*) cospic — J_p (x) 1 _.
dx l sin pit J
sin pic
(x) cos (p -f 1)тс — J_p_i (x)
sin (p + 1)я
(так как cos (p -f- 1)те = — cos рте, sin (p -f- 0 w = — sin рте).
Поэтому для дробных р (см. (6.1))
Гх \*~Рур И1 = - *~P}Vi (*> (7-6>
Для целых р формулы (7.5) и (7.6) (аналогичные (7.1) и
(7.2)) получаются предельным переходом при р, стремящемся
к целому числу.
9 Г. П. Толстов

258 бесселевы функции [гл. viii
Как следствие (7.1) и (7.2) получаются формулы
*fp С*) + pJpW = xjp_x (*), (7.7)
xfp С*) — PJP (x) = — xJp+t (x)t (7.8)
Jp-i (x) — Jp+i (x) = 2J'p (x), (7.9)
и аналогичные формулы для функций второго рода.
Действительно, из (7.1) следует: ~~--
*pJ'p(x)+pxp-1Jp{x) = xpJp-i (х),
откуда и получается (7.7) сокращением на хр~1. Формула
(7.8) получается аналогично из (7.2). Сложив (7.7) и (7.8)
и сократив результат на х, получим (7.9). Наконец, (7.10)
получается из (7.7) и (7.8) вычитанием и делением на х.
Полученными формулами мы не раз будем пользоваться
в дальнейшем и поэтому не будем говорить здесь об их
пользе. Отметим лишь формулу (7.10), которая показывает,
что, зная значения функций Уо(-*0 И А(х), мы с помощью
этой формулы можем вычислить значения функций Jp(x)
для любого целого, положительного или отрицательного р.
Аналогичное замечание можно сделать в отношении функций
второго рода.
§ 8. Бесселевы функции первого рода с индексом
вида /> = —?-, п — целое. Рассмотрим сначала (см. (2.7))
3-5-7 ^ ' ' 'J-
*'
2-4-6-
1 Г _х?_ . х*__х^ . ]_
1
SUIAT.
VB-r(»)
§ 9] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 259
Но (см. (3.1))
r(4)4r(i)=i|V.^=p*
Последний интеграл носит название интеграла Эйлера —
iccoHa и
Поэтому
Пуассона и равен числу -Чр
y1(jt)=l/'^-sinAr. (8.1)
2 '
Совершенно аналогично находится:
у_1(дг)= l/^cos х. (8.2)
2 '
Итак, функции J\ (х) и J_±(х) выражаются через эле-
Т 2
ментарные функции. Но тогда из формулы (7.10) легко
следует, что через элементарные функции выражаются любые
9га -I- 1
функции Jp (дг) с индексами вида р = —^- , п — целое.
Так, например, полагая в (7.10) /; = —, получим:
J I (x) + J3(x)=-!-Ji (х),
"2" У 2"
откуда
Л ix) = ]-Jx (x)-J , (*)= V^ sin*- Y^c c°sx-
з
Полагая в (7.10) р = -=-, аналогичным образом вычислим
Л (х) и т. д.
2
§ 9. Асимптотические формулы для бесселевых
функций. Установим формулу, позволяющую легко судить о
поведении бесселевых функций при больших значениях х
(формулы такого рода и называются асимптотическими).
9*

260 БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ [ГЛ. VHI
Прежде всего преобразуем уравнение (1.1) с помощью
подстановки
У-rfa («•■)
Это дает для функции z такое уравнение:
^+(l-^ri-j^ = 0. (9.2)
Положим:
т=х- — р\ JJ- = p. (9.3)
Тогда уравнение (9.2) примет вид
^-f-(l-f-p)^ —0. (9.4)
При больших х функция р = р (х) становится весьма
малой. Поэтому естественно ожидать, что для больших х
решение уравнения (9.4) будет мало отличаться от решения
уравнения
ж"-\-г = 0,
т. е. от функции
z = A «In (лг -|- ш) (А — const, со =а const).
Пусть z — не равное тождественно нулю решение
уравнения (9.4). В силу приведенных соображений естественно
предполагать существование функций а = а (л;) и 8 = 8 (х),
для которых
* *= <х sln(.x;-f&), (9.5)
причем а и 8 стремятся при х —»оо к определенным
конечным пределам. Чтобы установить существование таких
функций, наряду с (9.5) рассмотрим уравнение
z, = acos(x-\-b) (9.6)
и систему (9.6) — (9.6), где левые части известны, будем
рассматривать как систему уравнений, в которых
неизвестными являются функции а и 8.
§ 9] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 261
Из (9.4) и (9.5) вытекает:
г" = — (1 + Р) a sin (x -f 8),
а из (9.6)
z" = a' cos (д: + 8) — а(1 + &') sin (х + 8).
Из этих равенств легко следует, что
Дифференцируем (9.5):
z" = a' sin (х -f 8) + a (1 + s') cos (■* + 8)-
Сравнив это с (9.6), легко получим:
tg(* + 8) = -~. (9.8)
Перемножение равенств (9.7) и (9.8) дает:
откуда
8' = psinV + 8)- (9.9)
Тогда из (9.8) вытекает:
а = - tg(FF8) = - Р ^п (^ + &) cos (x + 8). (9Л0)
Заметим, что в отношении — знаменатель а в нуль
обращаться не может. Действительно, в противном случае
из (9.5) и (9.6) следовало бы одновременное обращение
в нуль z и У, а это означало бы, что в некоторой точке
x — Xq наше решение удовлетворяет нулевым начальным
условиям. В силу единственности решения,
удовлетворяющего заданным начальным условиям, отсюда вытекало бы,
что z есть тождественный нуль. По нашему же
предположению это не так.
Нужная нам функция 8 находится из дифференциального
уравнения (9.9), причем начальное условие для этой функции

262 БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ [гл. VIII
можно получить из начальных условий для z с помощью
уравнений (9.5), (9.6), исключив из них а (например, путем
деления). Зная Ь, из (9.10) нетрудно найти и а, причем
начальное условие для а получается из начальных условий
для z и 8 с помощью уравнения (9.5) или (9.6).
Остается выяснить асимптотическое поведение
функций а и 8.
v Очевидно,
ь
Ь(х) = Ь(Ь)— tl'(f)dt
X
или в силу (9.3) и (9.9)
Ь{х) = Ь{Ь)-т\ sin'« + b)dt
X
Перейдем здесь к пределу при ft — со. Получающийся
при этом несобственный интеграл, очевидно, сходится
(так как подынтегральная функция не превосходит ~\.
Поэтому существует и предел 8 (ft) при ft—*оо.
Положим:
lim 8(ft) = <o.
Ь-*со
Тогда
»(*) = .—«У E'",<<,+t) dt (9.11)
Но
ОО
о<у-й!?±а-*<1?-Н1ГЧ.
и, следовательно,
ОО
о о* J ""'g+'^o
§ 9] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 263
Иными словами, функция
Мх)=-тх) "'1,<<,+ 8> dt
X
остается ограниченной при любых х. Вместе с тем
равенство (9.11) может быть переписано так:
8(*) = и> + ^. (9.12)
Далее,
а-=(ы*у,
и поэтому
ь
lna(x)=\na(b)- \^щМ
х
или в силу (9.10)
lna(*) = lnaft) + « | ™« + b\r{t + b)dt
X
Подобно предыдущему переходим здесь к пределу при
ft —оо и замечаем, что получающийся справа
несобственный интеграл сходится. Это влечет за собой существование
конечного предела при ft —► со величины In a (ft), а значит, и
величины a (ft). Положим:
lim a (ft) = A,
b—»oo
причем А^О, так как в противном случае имели бы
In a (ft) -► со при ft-»-со. Тогда
оо
, , ч • я I f sin (t + Ь) cos It + Ь) ,,
1па(дг)=1пЛ-|-^ \ .а—L-J—-dt.
x
Аналогично тому, как мы установили ограниченность
функции t[{x\ можно установить и ограниченность функции

264 БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ [гл. VIII
При этом
1па(дг) = 1пЛ+^-),
откуда
а(х) — Ае * •
В силу формулы Тейлора для любого t
е<=1-{-'*в' (0<6<1).
Поэтому, положив здесь £=---1 получим:
<f(x)
<f(x) *LM
1 "1 7" е. * •
e 2 - i x e
6y(*)
Функция e * , очевидно, ограничена при х~*oo.
Следовательно, можем писать:
^_1 I ИХ)
, x —1-i —,
и значит,
«(*) = A(l+ *£*), (9.13)
где £ (лг) остается ограниченной при х —* оо.
Формулы (9.12) и (9.13) подтверждают нашу догадку
о характере поведения функций а и 8 при лг — сю и о
характере поведения решения z уравнения (9.4) (см. (9.6)).
Подстановка (9.12) и (9.13) в (9.5) дает:
*»= A (l + ^)sln (* + «> + l&y (9.14)
Преобразуем последний множитель. В силу формулы
Тейлора
sin(a-fO = sina_{-'cos(G + 0O (O<0<1).
Положив здесь а*=:х-\~ш, t — ^-}, получим:
§ 9] АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 265
где положено £(х)=ц(х)со&1х + «>-}- -^-) — ограниченная
для всех х функция.
Поэтому из (9.14) следует:
ее*) sin (* + «)+ (l +^)С(д:)
= A sin (а: + о) -J- А *
пли
z = Asln(x-{-u) + ^£, (9Л6)
где г(х) ограничена при х—►со. Мы получили
асимптотическую формулу для решения уравнения (9.2). Чтобы
перейти отсюда к случаю уравнения Эйлера—Бесселя,
достаточно вспомнить равенство (9.1). Мы получим:
y==-±sin{x + <»)-{--^lt (9Л6)
ух хух '
где А = const, со = const, r(at) ограничена при дг—-со. Эта
формула показывает, что для больших х любое решение
уравнения Эйлера—Бесселя весьма мало отличается от
затухающей синусоиды
у = —~ sin, (л: -4- ш).
Сказанное относится, в частности, к бесселевым
функциям Jp(x) и Yp(x). Более точный подсчет, который мы
приводить не будем, дает:
Гр(х)
хУ~х
(9.17)
где функции гр(х) и рр(х) остаются ограниченными при
х—-оо.
Для дальнейшего наряду с формулой (9.16) нам будет
полезно получить соответствующую формулу для zr. С этой
целью найденные выражения для Ь и а (см. (9.12) и

266 БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
(9.13)) подставим в (9.6). Это дает:
•=/(i+iia)c»(*+.+iia).
Если с этим равенством проделать преобразования,
аналогичные проделанным с формулой (9.14) и приведшим к (9.15),
то получим:
z1 = A cos (х+ &) + ?-&, (9.18)
где функция s(x) ограничена при х —»оо.
§ 10. Корни бесселевых функций и функций,
связанных с ними. Из формулы (9.15) легко следует, что любое
решение уравнения Эйлера—Бесселя имеет бесконечное
множество положительных корней и эти корни близки к
корням функции sin (х -\- ш), т. е. к числам вида
kn = izn — w, n — целое.
Покажем, что для достаточно больших п вблизи каждого
kn лежит лишь один корень.
Действительно, ввиду (9.1) функции у и z имеют одни
и те же положительные корни. Поэтому рассуждение
достаточно провести для функции z. Если бы для сколь угодно
больших п в любой близости от соответствующих kn
находилась пара корней функции z, то из теоремы Ролля
вытекало бы существование вблизи этих kn корня для У, а это
невозможно в силу формулы (9.18), так как вблизи kn =
= кп — о значения г! близки к значениям A cos кп, если
только п (а значит, и х) достаточно велико.
Итак, для достаточно больших х все корни функции у
лежат вблизи чисел £„, причем вблизи каждого kn лежит
лишь один корень. Отсюда вытекает, что разность между
двумя последовательными корнями функции у по мере
удаления от начала координат стремится к. тс.
Сказанное относится, в частности, к функциям Jp{x)
и Yp(x), причем ввиду (9.17) числа kn для этих функций
соответственно имеют вид
, , J071 . 1С
§ 10] КОРНИ БЕССЕЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ 267
В дальнейшем нас будут интересовать корни функций
Jp(x) и притом положительные корни (заметим, кстати, что
ввиду формулы (4.3) положительные и отрицательные корни
функции Jp{x) расположены симметрично относительно
начала координат).
Из формулы (7.2) в силу теоремы Ролля следует, что
между любыми двумя последовательными положительными
корнями функции x"pJp{x) лежит по крайней мере один
корень функции x~pJp+l(x), или что то же, между двумя
любыми последовательными положительными корнями
функции Jp(x) всегда имеется хотя бы один корень функции
В формуле (7.1) заменим р на р-\-\. При .этом получим:
Отсюда подобно предыдущему заключаем, что и, наоборот,
между любыми двумя последовательными корнями
функции Jp+i(x) всегда имеется по крайней мере один корень
функции Jp(x).
Таким образом, корни функции J„(x) и Jp+i(x) как бы
разделяют друг друга. Точнее говоря, между любыми
двумя последовательными положительными корнями
функции Jp(x) лежит один и только один корень
функции Jp + i(x).
Покажем, кроме того, что функции Jp(x) и Jp+i(x) не
могут иметь общих положительных корней. Действительно,
если бы Jp(x) и Jp+i(x) одновременно обращались в нуль
для аг0 ^> 0, то в силу (7.8) это имело бы место и для У£ (х),
что невозможно, так как из равенств Jp(x0) = 0, J'P (je0) = 0,
в силу теоремы единственности решения дифференциального
уравнения, следовало бы, что )р(х) = 0, а это, очевидно,
не так.
Обратимся теперь к корням функции Jp (х). В силу
теоремы Ролля между каждыми двумя последовательными
корнями функции Jp{x) лежит по крайней мере один корень
Jp (х). Следовательно, функция J£ (x) имеет, как и Jp(x),
бесконечное множество положительных корней.
Рассмотрим, наконец, функцию xfv {х) — ffJp(x)
(//= const). С корнями функций такого рода приходится
встречаться в приложениях.

268
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ
[ГЛ. VIII
Мы видели уже, что функции Jp (at) и Jp^(x) не могут
одновременно обращаться в нуль (для х^>0). Отсюда легко
следует, что Jp(x) при переходе через значение х, в
котором она обращается в нуль, обязательно меняет знак. Пусть
Xlt Х9,..., Хп,... — положительные корни функции Jp (x),
занумерованные в порядке их возрастания. Для 0<^x<^^t
функция Jp (х) сохраняет знак, причем при р ]> — 1 (а нас
только такие р и будут интересовать) Jp(x) положительна
в этом промежутке (см. формулу (4.3), где первый член,
определяющий знак Jp(x) при х, близких к нулю,
положителен). При переходе через X, Jp(x) переходит от
положительных значений к отрицательным, при переходе через Х2—
от отрицательных значений к положительным и т. д. Тогда
fp (хо<о, у; (Х9)>о, fp (x8)<o,...
Но
[х4 (х) - тр (х)]х_Хп=К4 (U
Поэтому функция xfp (х)— HJp(x) попеременно
положительна и отрицательна при х = X,, Х2, Х3,... и, следовательно,
обращается в нуль по крайней мере один раз в каждом
промежутке между корнями Xlf Xa,... Тем самым доказано
существование бесконечного множества положительных
корней и для этой функции.
Можно доказать, что расстояние между двумя
последовательными корнями функции Jp (x) или функции xJ'p (х)—
— HJp(x), как и в случае корней функции Jp(x), стремится
к тс по мере удаления от начала. Этого доказательства мы
приводить не будем.
§11. Уравнение Эйлера—Бесселя с параметром. Пусть
функция у{х) есть какое-нибудь решение уравнения (1.1).
Рассмотрим функцию у ==у (Хдг) и положим кх = t.
Очевидно,
^Ш+'ш+^-р*»**0' (11Л)
Но
dy 2 йУ_ а'У 1 а*у
~dt~\dx' dP^Wdx*'
§ 12] ортогональность функций вида /р(Хлг) 269
и поэтому, подставив это в (11.1) и приняв во внимание
равенство Xx = t, получим:
Таким образом, если функция у (дг) есть решение
уравнения (1.1), то функция у(Ьх) есть решение уравнения
х*у" + ху' + (Хадг9 — р*)у = О, (11.2)
называемого уравнением Эйлера—Бесселя с параметром X.
§ 12. Ортогональность функций вида JpQ>x). Пусть X
и jx — два неотрицательных числа. Для р ^> — 1 рассмотрим
две функции y = Jp(\x) и z=Jp(px). В силу § 11 для
этих функций справедливы равенства
xY + ху' + 0?х* ~ Р*)У = 0,
*V + xzf -f- (цадга—р*) z = 0
или
ху" +У — ху=*~ 1*ху'
xz" -\-z*— ^-гг=г — р*хг.
Первое из этих последних равенств умножаем на г,
второе — на у и вычитаем первое из второго. При этом
получим:
х Су г" - zy") 4- (у* - ж/)=(X9 — ^) xyz,
или
х(у* — ж/У 4- (У* — */)== (X9 - у*) xyz,
или, наконец,
[х {yz* — г/)]' = (Ха — у?) xyz. (12.1)
Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до 1. Это
даст:
[х (У* - zf)]*^ = W - ца) \ xyz dx. (12.2)

270 бесселевы функции [гл. viii
В наших условиях, т. е. при р> — 1, функции,
фигурирующие в равенстве (12.1), действительно интегрируемы на
отрезке [0, 1]. В самом деле, прежде всего вспомним, что
y — Jp(lx), z = Jp(y,x). Из формулы (4.3) тогда вытекает,
что
у = хр<р(х), z = xpty(x), (12.3)
где у(х) и ф (х) — суммы степенных рядов и, следовательно,
представляют собой непрерывные функции с непрерывными
производными. Поэтому
\xyz\ = \x*p+i<p(x)ty(x)\^Mx*p+1 (M = const).
В наших условиях 2/?-|- 1 >*—1, откуда и следует
интегрируемость правой, а следовательно, и левой частей
в (12.1).
Из (12.3) легко следует, что для р^>—1
[x{yz'-~zyf)}x_b=0.
Поэтому вместо (12.2) можем писать:
1
[х{уг? — zyr)]x^=Q^ — у?) f xyzdx. (12.4)
Заметим, что
\y]x-x = Jp(4 [*L-i = ^G0.
С другой стороны,
Z' = dxJP М = Pjp №)
и, следовательно,
[/],-! = Up (*). И х-1 = Ы'р 00-
Раз так, то равенство (12.4) приобретает вид
rt<*) 4 GO-4G0 •£<*)==
xJp (kx) J (fix) dx. (12.6)
= (NW)J
§ 12] ортогональность функций вида Jp(bx) 271
До сих пор X и р. у нас были произвольными
неотрицательными числами. Теперь мы наложим на них
ограничения. Рассмотрим три случая:
1) X и р. являются различными положительными корнями
функции Jp (х), т. е. Jp (X) = 0, Jp (ц) = 0, X ^ ц.
При таких X и ц левая часть соотношения (12.5)
обращается в нуль. Заметив, что Ха — ца ^ь 0, получаем тогда:
1
I
xJp (Хдг) Jp (цдг) dx == 0. (12.6)
Если бы здесь под знаком интеграла не было множителя х,
то мы имели бы обычную ортогональность функций Jp(^x)
и Jp(px). В нашем же случае мы говорим, что функции
Ур(Хлг) и Jp(px) ортогональны с весом х.
Однако мы могли бы говорить, конечно, об обычной
ортогональности функций zl = \rxJp(kx), zt = ]/дгJp(р.дг).
Заметим, кстати, что при /* = -у (в силу (8.1)) эти
функции обращаются в zx = 1/ — sin Хл;, z% = l/ — sin цат,
причем числа X и ц имеют вид тел. При р——у (в силу (8.2))
получаются функции zx = l/ — cos Хдг, zt = l/ — cos р.лг и
в этом случае X и ц имеют вид —^—к. Таким образом,
в этих частных случаях мы приходим к тригонометрическим
функциям: в первом случае (с точностью до постоянного
множителя) к функциям вида sin кпх, ортогональным на [0,1],
во втором случае — к функциям вида cos —^— кх, также
ортогональным на [0, 1].
2) X и (J. являются различными корнями функции J'p(x),
т. е.
у;(Х)=о, у;ы=о, х^ц.
Левая часть (12.5) и в этом случае обращается в нуль.
Поэтому мы опять приходим к равенству (12.6).

272 БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
Таким образом, и здесь функции Jp(\x) и Jp(\t>x)
оказываются ортогональными с весом х.
3) Пусть, наконец, X и ц — два различных корня
функции xJ'p(x) — HJp(x), т. е.
Up (к) — ЯУр(Х)=»0,
PJJGO —/А/рОО—0.
Первое из этих- равенств умножаем на Jp(p), второе — на
Ур(Х) и вычитаем из второго первое. При этом получим:
К» (>0 J'p Ы - Ч GO J'p W = °-
Следовательно, и в этом случае левая часть равенства (12.5)
обратилась в нуль, и мы опять получаем равенство (12.6),
т. е. ортогональность функций Jp(\x) и Jp(^x) с весом х.
1
§ 13. Вычисление интеграла I xJp(kx)dx. При
различных X и (д. из (12.5) получаем:
\ xJp {px)Jp (Хдг) dx = -£ \t_v — •
Если (л->-X, то дробь справа становится неопределенной,
так как числитель и знаменатель приближаются к нулю.
Чтобы «раскрыть» эту неопределенность, применяем правило
Лопиталя, считая Х = const и ц-»-Х. Это дает:
I
иу (X) - ир(х)/; (Х)-7Р(Х) гр(к)
~ 2Х я
= Т [4>9 (х> - 4 (*) 4' (*) - /р (1)хР <Х)] • (13Л>
§ 13] I 273
вычислвнив интеграла I xJp(kx)dx
Но JpQ), рассматриваемая как функция от X,
удовлетворяет уравнению Эйлера—Бесселя, т. е.
*Ч' (х)+Ч (*)+(^ - р*) jp (х)=о.
откуда
Поэтому из (13.1) следует:
i
f xJJ(Aje)dJe=-^[7;iW-f ( 1 -£ ) 4 (to ]• О3-2)
Таким образом:
1) Если X есть корень функции Ур(Х), то
i
f xJ% (\x)dx =Ц- S* (X). (13.3)
Этой формуле можно придать другой вид, если
воспользоваться равенством (7.8), положив там х = \, что даст:
ху;(Х)-^ур(Х)=^-хур+1(Х).
В нашем случае УР(Х) = 0 и поэтому
4(>0=-Wx)-
Следовательно,
1
f хГр (кх) dx = \ J'+1 (X). (13.4)
2) Если X есть корень функции /р(Х), то
i
f xJ*p(kx)dx=^{\ — £ j/j(X). (13.5)

274 БВССВЛВВЫ ФУНКЦИИ [ГЛ. VIII
I
§ 14*. Оценка интеграла \xJp(\x)dx. Для дальнейшего
о
нам будет полезно доказать следующее неравенство,
справедливое для всех достаточно больших значений X:
1
у-< §xJ>(\x)dx^~, (14.1)
о
где К^> 0 и Ж — постоянные (могут зависеть от р). Очевидно,
i х
f хЦ (Хдг) dx = -1 С Щ (t) dt (14.2)
Для достаточно больших t в силу асимптотической
формулы (9.16)
1-4(01 <f£,
и поэтому
Щ (t) dt^M^dt^Mk (M = const),
16
откуда вследствие равенства (14.2) и получаем правую часть
неравенства (14.1).
С другой стороны, в силу той же асимптотической
формулы (9.16) для больших г, т. е. для tf]>X0,
I
Щ (0=( A sin (/ -f ш) + ■£)" =
лв . д/, - ч - 2Л-г-sin (* + <•>) i г*
= A9sine(*-f «>Н 1 + -pr^
^:A9Sln9(^ + ">)—7* (Ь= COnSt).
Но
f U*{f)dt> f t4{f)dt^ f (a9 sin9(r-{-«>) — y)<
0 X„ X„
X
== Ла f sin9 (r -f (o) dt — L (In X — In X0) ^ /Г-Х
XJo
(#= const, /T> 0).
Отсюдз в силу (14.2) и следует левая часть (14.1).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. VIII
275
Упражнения к гл. VIII
1. Написать общий интеграл дифференциального уравнения
УказаниеЛопожт 5=2р-\-\,р=2, приводим уравнение к киду(2.2).
Тогда подстановка и=х*^у (см. (2.1)) приведет уравнение к
уравнению Эйлера—Бесселя
«»+^-«'+(i-3?)« = a
Отсюда легко следует:
y=^i(CtJ,(x) + CaYa(x)).
2. Вычислить Г(—5—)(л — целое положительное).
Ответ:
„/2Л + П 2я —1 2я—3 5 3 /3\
Г{~2-) = -^ г- ••••"2 " T,r\T/e
(2я—1) (2rt—3)...5-3-1 -_
= 2й У*
(см. § 3).
3. Получить асимптотическую формулу для J'(x).
Указание. Воспользоваться формулами (7.9) и (9.16).
Отлет:
г м- Д sin(x + P) , 9(х)
V*>- у7~~ + хух->
где В = const, P = const, р(#) ограничена при л: —со.
4. Получить асимптотическую формулу для Jl(x).
Указание. Воспользоваться уравнением (1.1), формулой (9.16) и
предыдущим примером.
Ответ:
г* лл A sto (* + <*) , *(*)
jpW- у^с + *}Гх~'
где Л и ш — постоянные, те же, что и для Jp (x), т (л;) ограничена
при дг-»оо
5. Доказать, что функции Jp (х) (р ^ 0) и Vx~Jp (x) [p^z—у)
ограничены для 0<jr<co.
Указание. Воспользоваться формулами (4.3) и (9.16).

ГЛАВА IX
РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ
§ 1. Ряды Фурье—Бесселя. Пусть Xlf Ха,..., Хл,...—
занумерованные в порядке возрастания положительные корни
функции Jp(x) (р^>—1). В силу § 12 предшествующей
главы функции
Jp О^х), Jp (Х**0» ••• i Jp (Хпаг), ... (1.1)
образуют на [0, 1] ортогональную систему с весом х.
y=J,(A,x/
у-4(Л,з)
y-J^x)
Черт. 46.
Чтобы читатель имел геометрическое представление
о функциях системы (1.1), на черт. 46 мы
изобразили графики функций y=J1(\1x), y=Jl(ktx), #у=У1(Х3дг),
которые рассматриваются на [0, 1]. Графики функций у =
s=Jt(knx) (л = 3, 4,...) для [0, 1] будут иметь все более
и более сложную природу — число «волн» будет возрастать.
Для всякой функции f(x), абсолютно интегрируемой на
[О, 1J, можно составить ряд Фурье по системе (1.1), или,
короче, ряд Фурье—Бесселя
/ С*) ~ cxJp (кгх) -4- с97р (Хадг) -f-..., (1.2)
§ 2] ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ БЕССЕЛЯ 277
где постоянные
1
I xf(x)Jp(Knx)dx l
*«=-—г
1 xJ^(knx)dx
4+1 ft
3$*
:f{x)Jp{Kx)dx (1.3)
называются коэффициентами Фурье—Бесселя. Эти
коэффициенты могут быть получены следующим формальным
рассуждением.
Вместо (1.2) пишем:
/(*) = ctJp (Х,дг) + c*Jp (М + •.. (1.4)
Умножаем обе части этого равенства на xJp(knx) и
интегрируем по отрезку [0,1], считая при этом возможным
почленное интегрирование. Ввиду ортогональности (с весом х)
системы (1.1) это даст:
1 i
1 xf(x)Jp(\nx)dx*!*cn I xJl(knx)dx,
откуда и получается (1.3) (см. также (13.4) предыдущей
главы).
Если равенство (1.4) на самом деле имеет место и
сходимость ряда справа равномерна, то почленное
интегрирование заведомо законно, и, следовательно, коэффициенты сп
необходимо определяются формулами (1.4).
Мы же (как и в случае обычных ортогональных систем —
см. гл. II § 2) сначала составляем ряд с помощью
формул (1.3) и лишь затем исследуем его сходимость к f(x).
§ 2. Признаки сходимости рядов Фурье—Бесселя.
Сформулируем без доказательства наиболее важные признаки
сходимости ряда Фурье—Бесселя к функции, для которой он
составлен. Эти признаки аналогичны известным нам
признакам сходимости тригонометрических рядов Фурье (см. § 9 и
§ 12 гл. III). Доказательства же в случае рядов
Фурье—Бесселя значительно сложнее, и мы их опускаем.

278 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССВЛВВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
Теорема 1. Ряд Фурье — Бесселя (р^ — «")
кусочно-гладкой на [О, 1], непрерывной или разрывной функции
f{x) сходится для 0<^л:<^1, причем его сумма равна
f(x) в каждой точке непрерывности этой функции и равна
числу ——!— 2 e* каждой точке разрыва.
Для х = 1 — всегда, а для х = 0 — при р^>0 ряд
сходится к нулю (поскольку при этих значениях все функции
системы (1.1) обращаются в нуль).
Заметим, что для/?<^0 все функции (1.1) принимают
бесконечные значения при х = 0 (см. (4.1) предыдущей главы), и
поэтому говорить о сходимости ряда в этой точке не имеет
смысла.
Замечание. Вместо кусочной гладкости f(x) на [0, 1]
достаточно требовать это для всякого отрезка [8, 1 — 8] (Ъ^> 0)
с присоединением сюда условия абсолютной
интегрируемости f{x), или даже V^cfix), на всем отрезке [0, 1].
Теорема 2. Ряд Фурье—Бесселя [р^ — у)абсолютно
интегрируемой на [0, 1] функции f(x), непрерывной и
обладающей абсолютно интегрируемой производной на
отрезке [а, Ь] (0*^а<^Ь^1) сходится равномерно на
каждом отрезке [а-\-Ь, Ь — 8] (8>0).
Теорема 3. Ряд Фурье—Бесселя (р^ — я~) абсолютно
интегрируемой на [0,1] функции f(x), непрерывной и
обладающей абсолютно интегрируемой производной на отрезке
[а, 1] (0а^я<^1) и удовлетворяющей условию /(1) = 0,
сходится равномерно на каждом отрезке [а-\-Ъ, 1] (8]>0).
Условие/(1) = 0 вполне естественно, поскольку все
функции системы (1.1) при х=1 обращаются в нуль.
Замечание. В теоремах 2 и 3 достаточно потребовать
абсолютной интегрируемости функции V~xf(x).
Пример. Разложить в ряд Фурье — Бесселя по системе
Jp (}цХ), /р (^9-*0> • • • г Jg, (*»Х), . . .
функцию f{x) =ssxp [р^ — 2") для 0<[х<[ 1.
31 НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО 279
По формуле (1.3)
сп = 75-4п [ x"+IJp <Х«*) dx (« = Ь 2,...).
'P+1
Но
X
п
[х»Чр fa) dx = ф f t*»% (t)dt
В силу (7.1) предыдущей главы (где надо взять р-\-1
вместо р)
£t[tp+1Jp+t(t)}=ti>«Jp(t).
Следовательно,
*Я *'
f t**j, (t)dt = Г [t^j^ (t)]' dt=[t'«Jp+i(t)] tJ=
и
1
J *p+% (Kx)dx=~Jp+1 (K)- (2.1)
0
Поэтому
Вследствие теоремы 1 при p~^z — -^ можем написать
для 0<дг<1.
§ 3*. Неравенство Бесселя и следствия из него.
Ортогональность с весом х функций системы (1.1) можно
трактовать как обычную ортогональность функций
Поэтому, если нам нужно функцию f(x) разложить в ряд
по системе (1.1), то мы сначала можем разложить в ряд

280 ряды фурье по бесселевым функциям [гл. IX
по обычной ортогональной системе (3.1) функцию УИс/(х),
что даст
Vxf(x) ^ctVxJp (ltx) -f c%VxJp (Х9дг) + ..-.,
а затем отсюда перейти к разложению (1.2) (как легко
проверить, коэффициенты обоих разложений одинаковы). Эти
соображения позволяют к рядам Фурье—Бесселя применить
результаты гл. II.
Предполагая, что F(x) = yrxf(x) является функцией
с интегрируемым квадратом (это будет заведомо так, если
f(x) есть функция с интегрируемым квадратом), то, применив
неравенство Бесселя (см. гл. II, § 6), мы получим:
1 со
5
F4x)dx^2c'n\\Vx.Jp(knx)\\*
п=1
ИЛИ
1 со 1
[ хр (х) dx =5= 2 «£ ■ [ xfp (Х„дг) dx.
О п=0 О
Следовательно,
1
lim Гс" • f xJ' (Хпх) dx 1 = 0.
я-*со L J Р J
Но в силу (14.1) предыдущей главы
1
xJsp (Х„лг)dx^-^- (АГ>0)
5
для всех достаточно больших л, и поэтому
lim -А = 0
ИЛИ
lim-^ = 0. (3.2)
«-►00 f Ап
§ 3] НЕРАВЕНСТВО БЕССЕЛЯ И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕГО 281
Далее. Из асимптотической формулы (9.16) предыдущей
главы вытекает, что для всех достаточно больших х
и, следовательно, для каждого фиксированного х^>0, если
п достаточно велико, то
|Ур(Хя^)|<^. (3.3)
В силу (3.2) отсюда получаем:
lim \cnJp(Xnx)\ = 0. (3.4)
я-»оо
Таким образом, общий член ряда Фурье — Бесселя для
функции с интегрируемым квадратом всегда стремится
к нулю (д:]>0). Если р^>0, то это, очевидно, будет иметь
место и при х = 0 (поскольку все функции системы (1.1)
в этом случае равны нулю при х = 0).
Наконец, из (1.3) следует:
1 1
f xf(x) Jp (Xnx) dx = сп f xJp (X„x) dx,
или в силу (14.1) предыдущей главы для достаточно
больших я
1
xf{x)Jp(knx)dx
о
1
М\сп\
К
и поэтому в соответствии с (3.2)
xf(x)Jp(knx)dx = 0. (3.5)
lim С
Мы получили аналог свойства интегралов, содержащих
тригонометрические функции (см. п. 2 гл. III).
Равенства (3.2), (3.5) оказываются справедливыми не
только для случая функций с интегрируемым квадратом, но
и для случая любых абсолютно интегрируемых функций.
Доказывать это мы не будем.

282 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО ВЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
§ 4*. Порядок коэффициентов, обеспечивающий
равномерную сходимость ряда Фурье—Бесселя.
Теорема 1. Если р^О и для всех достаточно
больших п
(4Л)
, _ с
с
где е ^> 0 и с — постоянные, то ряд
с^р (\tx) -f са/р (Хах) +... -f сп/р (Хпх) -f-... (4.2)
сходится абсолютно и равномерно на [0, 1].
Доказательство. При р^0 функцияJp(x)ограничена
вблизи лг = 0. В силу асимптотической формулы (9.16)
предыдущей главы она ограничена для больших х. Поэтому Jp(x)
ограничена для всех х. Отсюда вытекает, что
I cnJp (ktx) | ^ | сп | • L (L = const),
и в силу (4.1)
I *«■/,<*«*)I *£-гг..
Но из условия Xn+1 — Xn->7c при п->оо (см. § 9
предыдущей главы) следует, что для п^>т (т— некоторое
фиксированное число) *„!>*т4-(л — m) = n-\-h, h = const.
Поэтому, если п велико, то Х„^^- п и
Следовательно, для больших п
\cnJp (*«■*) I ^ ^rri (Я= const).
Справа здесь стоит член сходящегося числового ряда. Отсюда
и следует утверждение теоремы 1.
Теорема 2. Если р^ — ^ и для всех достаточно
больших п
KI^t1-. (4-4)
§ 4] порядок коэффициентов 283
где б)>Он с — постоянные, то
1) ряд
сх Vx Jp (ltx) -f- CiVx Jp (Xgjc) +... + cn Ух Jp (K*) +...
(4.5)
сходится абсолютно и равномерно на [0, 1], и как
следствие этого:
2) ряд (4.2) сходится абсолютно а равномерно на
каждом отрезке [8, 1], 8]>0.
Доказательство. При р^ — ^Функция ]/дг Jp (x)
ограничена при х-+0 (см. (4.3) предыдущей главы). В силу
асимптотической формулы (см. (9.16) предыдущей главы) она
ограничена при больших х. Поэтому она ограничена для
всех х. Но тогда
'VxTnJ (knx)\^L (L — const)
и, следовательно, каково бы ни было х из [0, 1],
VxJp(Kx)\^r±=, (4-6)
У кп
откуда
CnVxJp{Kx)\^^=
cL
X
!+•
п
или в силу (4.3)
' Ся V* J о (К*) | < ^Ш W = COtlSt) • ^4J)
Справа стоит член сходящегося числового ряда. Отсюда
и следует утверждение 1).
Утверждение 2) теоремы вытекает из неравенства,
получающегося из (4.7):
Теорема 3. Если р^> — 1 и для всех достаточно
больших п

284 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССВЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ IX
где е ]> О и с — постоянные, то ряд (4.2) сходится
абсолютно и равномерно на каждом отрезке [8, 1], 8]>0.
Доказательство. Пусть Bsgijurs-g: 1. В силу
асимптотической формулы (см. (9.16) предыдущей главы) для всех
достаточно больших х, т. е. для лг^лг0,
14(*>1<7~-
Для всех достаточно больших п выполняется неравенство
Х„8 ^ дг0. Тогда для х ^ 8 и подавно \пх ^= лг0. Поэтому для
Ь^х^\
1 рКп " VK* VK*
и, следовательно,
\CnJp(Kx)\^i£
2d Ы
или
В силу (4.3) отсюда получаем
I cnJp (Х„дг) К ^г (# ж const)
для всех достаточно больших л. Справа стоит член
сходящегося числового ряда, что и влечет за собой справедливость
теоремы.
Замечание. В теоремах 1 — 3 в условиях (4.1) и (4.4)
вместо Х„ можем писать просто п (в силу (4.3)).
Пример 1. Ряд
сходится абсолютно и равномерно на [0, 1 ], так как здесь
р=1, е=1, и, следовательно, приложима теорема 1.
Пример 2. Ряд
J ! (Х2лг) J l (Кпх)
J ^1^)+-^ + ■••+—« -+-
§ 5] ПОРЯДОК КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ—ВЕССЕЛЯ 285
сходится абсолютно и равномерно на каждом отрезке [8, 1J,
8>0, а ряд
VxJ _ ±(Ktx) Vic J_ ± (*„*)
V*J-±(bx)-\ £ К..Ч 7Г Ь»
сходится абсолютно и равномерно на всем отрезке [0, 1].
Здесь приложима теорема 2.
Пример 3. Ряд
/_ _, (К2х) J_ А (К„х)
/_i_(*i*H \—+■-.+ ———+,..
сходится абсолютно и равномерно на каждом отрезке [8, 1],
8]>0. Здесь приложима теорема 3.
§ б*. Порядок коэффициентов Фурье—Бесселя для
дважды дифференцируемой функции.
Лемма. Пусть F(x) определена и дважды
дифференцируема на отрезке [0, 1], причем F (0) = F' (0) = 0,
F{\) = 0, F" (х) ограничена {эта производная может и
не существовать в отдельных точках). Тогда если X
есть корень функции Jp{x), где р^>—1, то
1
f VxF{x)Jp{lx)dx
о
4 (Я = const). (6.1)
Действительно, в силу § 9 предыдущей главы (см. там
(9.1) и (9.2)) функция
z{t) = VtJp{t)
удовлетворяет уравнению
Положим tsss'Kx, Тогда
/(0= 1 йг
X их »
1 rf2 ?

286 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [гЛ. IX
и, следовательно,
-Mi- -tjJ-Jz^o
id*z , L p*~l
Kdx* ty l*x
или
d£ + \X* F~ jг — °" (5.2)
Таким образом, функция z = ]/" Ьх • Jp (Xx) удовлетворяет
уравнению (5.2). Но тогда этому уравнению удовлетворяет
и функция z = yicJp(kx) (так как она отличается от
предыдущей функции лишь постоянным множителем).
Из (5.2), положив там /?9 — — = т, находим:
*=4(5г-*")-
Поэтому
/= f VxF(x)Jp(\x)dx= f F(x)zdx =
о о
1
= ^\F{x){^z~zf')dx.
Легко проверить, что
(F-z — F- zy = F" z — F-z".
Следовательно,
i
/== М [(F(x)£ - F"ix)) z+(F ■ z~F' *A dx=
i
==^f (P(x) £-F'(x)}zdx + [F • z- F - z-]xxZ\>.
Ho
[F.z-F.z-]xxZl =
= [F(l)z(l)-F{l)z'{l)]-[F'(0).z(0)-F(0)-z'(Q)} = Q.
§ 5] ПОРЯДОК КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬВ — БЕССЕЛЯ 287
Действительно:
1) z(l)=[V^yp(X*)]*_i = ./p(X)==0, F(1) — конечное
значение;
2) F(1) = 0 по условию, г?(\)— конечное значение;
3) по формуле Тейлора F(x) = xF'(Bx) (0<б<1);
z= \/lcJpQ.x) = xp+"*<?(x), где <?(х) непрерывна и
дифференцируема как сумма степенного ряда (см. (4.3)
предыдущей главы);
F (0) • z (0) == lim F (x) z (х) = lim x^ <? (х) Г (Вх) = 0
*—О ж—0
(поскольку F" ограничена и р^>—1);
4) по формуле Тейлора F(x) = ~F'(Qx) (0<6<1);
*(х) = (хР + ^ 9(х)У=(р+12)хР~^ <?(х) + хР + ~* <е'(х);
F (0) • г? (0) == lim F (x) z' (x) =
*—О
П P + i- P+f f
= \- lim [(/>+1) * 4W + ^ ' ?' С*)]/7" <W = 0.
JC-*0
Поэтому
Как мы уже заметили, из формулы Тейлора следует, что
вблизи х = 0
X*
F(x) = ^F'(bx) (0<6<1).
Отсюда вытекает ограниченность функции, стоящей в
скобках под знаком интеграла в (5.3).
Но тогда
1 1
f [F(x)% — F"{x))zdx ^L \\z\dx (I = const).

288 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
В силу неравенства Буняковского (см. (4.1) гл. II)
1 i 1
( f | z | dxj^ f z8 dx == С xJ* (Ix) dx <y (M = const)
(cm. (14.1) предыдущей главы), и поэтому
i
J |*| £**<]/"£. (5.4)
о
Раз так, то из (5.3) следует:
X2
что и доказывает неравенство (5.1).
Теорема 1. Пусть функция f(x) определена и
дважды дифференцируема на отрезке [0,1], причем /(0) =
г=/'(0) = 0, /(1) = 0, f"(x) ограничена (эта производная
может и не существовать в отдельных точках). Тогда
для коэффициентов Фурье — Бесселя функции f(x)
справедливы неравенства
Ы<тт (С = const). (5.5)
Доказательство. Если f(x) удовлетворяет условиям
теоремы, то этим условиям удовлетворяет и функция F (х) =
— ]/лг • f(x). Поэтому, применив лемму, получим:
1 i
| \ */(■*) JpQ*x)dx\=s| [ /х • F(x) • Jp(\nx)dx\^
^~ (R = const).
n
В силу (14.1) предыдущей главы
i
S
xJ*(\nx)dx^f (K^O).
"n
§ 6] ПОРЯДОК КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
Тогда (1.3) дает:
1
л
xf(x)Jp(knx)dx
К| = ——i ~*^К * ~Т'
jc/p (Х„ л:) Ас
289
к1
а это и есть доказываемое неравенство (5.5).
Замечание. Теорема останется справедливой, если
вместо требований, наложенных на f(x), такие же
требования мы предъявим к функции F(x)=}/rxf(x), так как
именно к этой функции мы и применяли лемму.
Как следствие теоремы 1 получается такое предложение,
дополняющее теорему 2 § 2:
Теорема 2. Ряд Фурье—Бесселя непрерывной и
дважды дифференцируемой на [0, 1] функции f(x), для
которой /(0) =/' (0) = 0, /(1) = 0, /" (лг) ограничена (эта
производная может и не существовать в отдельных
точках), сходятся абсолютно и равномерно на каждом
отрезке [8, 1] (0<^8<^1) при р^>—1 и на всем отрезке
[0, 1] при р^0.
Доказательство. Если />]>—1, то утверждение
вытекает из предыдущей теоремы и теоремы 3 § 4.
Если р^0, то равномерная сходимость на всем отрезке
[0, 1] следует опять из предшествующей теоремы и
теоремы 1 § 4.
Замечание. Если воспользоваться теоремой 2 § 4,
то в условиях, наложенных на /(лг), и при р^ — 2*
получаем абсолютную и равномерную сходимость на всем
отрезке [0, 1] ряда (4.5).
§ 6*. Порядок коэффициентов Фурье—Бесселя для
функции, дифференцируемой несколько раз.
Теорема 1. Пусть функция f{x) определена и 2s
раз дифференцируема на отрезке [0, 1] (s>l), причем
1) /(0) =/'(0) = ...=/<2*- »>(0)= 0,
2) /<М (х) ограничена (эта производная может и не
существовать в отдельных точках),
3) /(1)=/'(1)=...=/12*-2>(1) = 0.
10 Г. П. Толстое

290 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
Тогда для коэффициентов Фурье—Бесселя функции /(х)
справедливо неравенство
КК-^Ц (C=const). (6.1)
Действительно, легко сообразить, что функция F(x)=
= }/rxf(x) также удовлетворяет условиям теоремы. В
частности, она удовлетворяет условиям леммы § 5. Поэтому для
нее справедливо равенство (б.З), т. е.
1 1
1= [ xf(x) J (Хя х) dx = f Vx~ F (x) J (A„ x) dx =
' = \ ■*/(■*) JP (K x)dx=\
l i
= §F{X)zdx~ f (JF- F")zdx,
i
где m=p* — j-, z = у x Jp (Хя х). Функцию в скобках
обозначим через Fv Тогда
1
J=\ f Ft-zdx.
Hi"*-'
Для функции Ft выполнены все условия леммы. Поэтому
в силу того же равенства (5.3)
/=-L f FfZdx,
■hi"
m
где положено F,9=-5Fi — F".
Если s^>2, то для F9 мы опять оказываемся в условиях
леммы и т. д. Во всяком случае мы всегда можем повторить
наше рассуждение ровно s раз. Это даст:
1
№"
Is=jp I Fs-zdx>
где Fs=-lFs — \ — Fs-1 — ограниченная функция.
Jm
§ б] ПОРЯДОК КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬВ — БЕССЕЛЯ 291
Следовательно,
1 1
lF5 •*<£*! s^I» V|z|rfjf (1 = const).
В силу (5.4)
f \z\dx ^ if— (M=const),
и поэтому
л
Но
■
\ xf(x)Jp(\n x)dx |
1<„1 = ^Ч .
и так как в силу (14.1) предыдущей главы
1
С xJp{\nx)dx^%-n (K>0)t
о
то
что и доказывает неравенство (6.1).
Как следствие теоремы 1 получается
Теорема 2. В условиях теоремы 1 для 5^1:
1) при p^sO
К4>(*л*)|<-^- (//= const) (6.2)
для любого х (0*^x^1);

292 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
2) при р^~-^
L
к»4»(*»■*)!< ухЛ? (^ = const) (6.3)
для всех х (0<^лг^1) равномерно;
3) при р^> — 1 равенство (6.3) справедливо для
каждого х (0<^лгг^ 1), если п^>п(х) (равномерности по х нет).
Доказательство. В § 4 (см. доказательство
теоремы 1) мы видели, что для р^О функция Jp(x) ограничена.
Поэтому неравенство (6.2) сразу вытекает из (6.1).
При /?^5 — -^ для Jpfinx) справедливо неравенство
(4.6). Остается использовать (6.1).
При р^>—1 из асимптотической формулы (9.16)
предыдущей главы для каждого х (0<лга^1) и для п^>п(х)
!•/„(*„*) К т4= {L = const), (6.4)
УК*
откуда, воспользовавшись неравенством (6.1), и
получаем (6.3).
§ 7*. О почленном дифференцировании рядов Фурье —
Бесселя. Пусть имеет место разложение Фурье — Бесселя
со
/(х)=^сп1р(Хпх). (7.1)
п=\
Установим условия, достаточные для справедливости
равенства
со со
f (х) = ^ fo. JP (К *))' = 2 сп К Jp (К ■*)■ (7.2)
п=1
Из формулы (7.8) предыдущей главы следует:
\Kxfp(^ax)\ = \pJp(},nx) — 'knxJp+l(knx)\^l
^ IPJP (К *) I +1*» -4*1 (Х**) I- (7-3>
Так как мы предполагаем, что р^>—1, то />-|-1]>0, и
следовательно, величина |~[fbnx Jp+i (knx) | ограничена (это
вытекает из асимптотической формулы (9.16) предыдущей
§ 7] О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЙ РЯДОВ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ 293
главы). Поэтому
I KxJ'p М \^\pJp (К х) | + VK -н {И=const) (7-4>
(рассматриваются значения 0^jc=^1). Если
1*»К-з^г. (7-5)
к'
где е)>0 и С—постоянные, то для х^>0
I спК4 (К*) I <гг!?т | {е^1 I +
СИ
К ' '
\1 + ш*
или в силу (6.4)
п Т п
Отсюда легко вытекают (см. (4.3)) сходимость ряда (7.2)
для 0 <[ х ^ 1 и его равномерная сходимость на каждом
отрезке [8, 1] (0<^8<^1). Последнее обстоятельство
влечет за собой справедливость равенства (7.2) для 0<л:<:1.
Что касается справедливости (7.2) при х = 0, то при
р<^1, р^ЬО, как нетрудно сообразить, все функции
J'p(\nx) обращаются в бесконечность для х = 0 (но-
скольку Jp(x)=xp(f(x), где <р(лг) дифференцируема и <р(0)^0,
см. (4.3) предыдущей главы), и поэтому равенство (7.2)
лишено смысла.
Если р ^ 1, то из формулы (7.9) предыдущей главы
следует, что
J'p (К*) = у (Jp-i (К*) — Jp+i (К*)),
причем у функций справа индексы неотрицательны, и,
следовательно, эти функции ограничены. Тогда
I «АЛ МI ^ I* A I' И (Я = const)'
Поэтому, если
п
to ряд в (7.2) оказывается равномерно сходящимся (см. (4.3))

294 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
на [0, 1], т. е. равенство (7.2) оказывается справедливым
всюду на [0, 1].
Наконец, если р = 0, то вместо (7.3) получаем:
IMo(^*)l = IMi(MOI-
Так как функция Jt ограничена, то в случае
справедливости (7.6)
\спК^О (КХ) I ^ ТГ+Т" »
п
ряд в (7.2) опять-таки оказывается равномерно
сходящимся, и, следовательно, равенство (7.2) справедливо для всех х
из отрезка [0, 1].
Таким образом, нами доказана
Теорема 1. Если р"^>— 1 и для сп справедливы
неравенства (7.5), то ряд (7.1) можно дифференцировать
почленно для 0<^лг^ 1. Если р = 0 или p^sl и сп
удовлетворяют условию (7.6), то ряд (7.1)*) можно
дифференцировать почленно всюду на [О, 1].
Теперь установим условие, достаточное для
двухкратной почленной дифференцируемости ряда (7.1), т. е. для
справедливости равенства
со оо
г м=2 (с* Jp (x«*»"=2fnKfP' (м- (7-7)
Поскольку Jp (х) есть решение уравнения Эйлера—Бесселя, то
Кх% (Кпх) + \пх/р (1пх) + (Кх* - р*) Jp (Хпх) = О
Отсюда
I Kxv; (к*)\=I - Kxj'p (К*) - кх% (Кх)+р% (Кх) | <
^ I KxJ'P (Кх) | +1 KxVp (Кх) I +1 Р% (Кх) |,
или в силу (7.4)
\Кх%(Кх)\^
^ \PJP (Кх) I + VK- #+1 Kx*Jp (Кх) | + \р% <1пх) |.
*) Заметим, что сходимость самого ряда (7.1) вытекает из
(7.5) или (7.6) в силу теорем § 4.
§ 7] О ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ РЯДОВ ФУРЬЕ — ВЕССЕЛЯ 295
Поэтому
k^/;A^I<K|2^5+(j£jit£L+«)l«-',A^)|.
Если
КК-Г-, (7.8)
где е)>Ои С — постоянные, то в силу (6.4) получаем?
Отсюда и из (4.3) следует сходимость ряда в (7.7) для
О <^ х ^ 1 и его равномерная сходимость на каждом отрезке
[8, 1] (0<8<1). Если заметить, что из условия (7.7)
вытекает сходимость ряда (7.2) для 0<[jC=s^1, to равномерная
сходимость ряда в (7.7) на каждом отрезке [8, 1] (8]>0)
влечет за собой справедливость для Q<^x*^-\ равенства (7.7).
Теперь заметим, что при — 1 <^р <^ 2, р ф 0, р ф 1 все
функции Jp(Kx) бесконечны при х = 0 (так как Jp(x) =
= хр(р(х), где (р(х) как сумма степенного ряда сколько
угодно раз дифференцируема и <р (0) Ф 0, см. (4.3)
предыдущей главы). Поэтому говорить здесь о равенстве (7.7) нет
смысла.
Рассуждениями, сходными проведенными при
доказательстве теоремы 1, можно показать, что для р^2, р = 0, р=*1
при
к
где е и С —постоянные, равенство (7.7) справедливо всюду
на [0, 1].
Следовательно, получается
Теорема 2. Если р^> — \ и для коэффициентов сп
справедливы неравенства (7.8), то ряд (7.1)*) можно по-
*) Сходимость самого ряда (7.1) вытекает из (7.8) или (7.9) в
силу теорем § 4.

296 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
членно дифференцировать для 0<^лг<:1. Если же р = 0,
р=\ или р^2 и сп удовлетворяют условию (7.9), то
почленное дифференцирование возможно всюду на [0, 1].
Как следствие этой теоремы получаем:
Теорема 3. В условиях теоремы 1 § 6 при 5 = 2
ряд Фурье—Бесселя для функции f(x) можно дважды
почленно дифференцировать для 0<^х^\ при р^>—1 и
всюду на [0, 1] при р*=0, />=1 или р^2.
Действительно, в этом случае в силу (6.1)
Q
К|^-у (С = const).
Остается применить предыдущую теорему.
§ 8. Ряды Фурье—Бесселя второго типа. Пусть теперь
числа Хь Ха, ..., \п, ... представляют собой занумерованные
в порядке возрастания положительные корни уравнения
xfp (х) — HJp (х) = О (Я = const). (8.1)
При //= 0 это уравнение получает вид
Jp(x) = 0. (8.2)
Существование бесконечного множества положительных
корней уравнения (8.1) (в частности, уравнения (8.2)) было
доказано в § 10 предыдущей главы. В силу § 12 той же главы
при р^> — 1 функции
•MM), Jpfax), ..., Jp{^nx\ ... (8.3)
образуют на [0, 1] ортогональную систему с весом х. Так
как (8.2) есть частный случай (8.1), то мы и будем вести
рассуждения применительно к корням уравнения (8.1), помня,
что все это справедливо и для системы (8.3), порожденной
корнями уравнения (8.2).
Для всякой функции f(x), абсолютно интегрируемой на
[0, 1], мы можем составить ряд Фурье по системе (8.3),
который будем называть рядом Фурье—Бесселя второго типа:
f{x) ~~ cxJp (\х) -\- с^р (Х8*) + ..., (8.4)
§ 8] РЯДЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ ВТОРОГО ТИПА 297
где постоянные
1
lxf{x)Jp(\„x)dx
сп= Г
fxJlMdx
о
bm^\xmJ'Mdx m
'Wl<M + <K
подобно коэффициентам Фурье—Бесселя (как, впрочем, и
коэффициенты Фурье вообще) могут быть получены обычным
формальным рассуждением. Имеет место следующее
предложение.
Теорема. Ряд второго типа ( р^—тг, p^>Hj
кусочно-гладкой на [0, 1] функции f(x) (непрерывной или
разрывной) сходится для 0<^лг<^1, причем его сумма
равна f(x) в каждой точке непрерывности и равна числу
jус-\-О)-\-j(х — ) g каЖдои[ точке разрыва.
Для дг=1 ряд сходится к значению/(1 — 0) (если/(дг)
непрерывна при х=\, то сумма ряда равна числу/(1)).
При/»]>0 в точке лг = 0 ряд сходится к нулю (поскольку
в этом случае все функции системы (8.3) обращаются в
нуль).
Так как при р<^0 все функции системы (8.3) принимают
бесконечные значения для х=0, то говорить о сходимости
ряда в этой точке бессмысленно.
Сформулированную теорему, весьма сходную с теоремой 1
§ 2, мы доказывать не будем. Заметим лишь, что условие
р^>Н (аналога которому нет в теоремах § 2) вызвано
осложнениями, получающимися при р^Н. Оказывается, в этом
случае для справедливости теоремы 1 к системе (8.3) необч
ходимо добавить новую функцию.
Так, при р = Н такой функцией будет хр, и вместо (8.3)
приходится рассматривать ортогональную систему
X , Jp (лдЛГ), Jp (лаДГ), .. .

298 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
При этом ортогональность (с весом х) функции хр с
другими функциями следует из двух обстоятельств:
1) X = 0 есть корень уравнения
xfp (x) — pJp (x) — О
(см. (7.8) предыдущей главы).
2) хр удовлетворяет уравнению Эйлера—Весселя с
параметром при А = 0, т. е. уравнению
х*у" + ху' — р*у = 0
(это легко проверить подстановкой). Поэтому к функциям хр
и JpQ>nx) приложимы все рассуждения § 12 предыдущей
главы, где речь идет об ортогональности решений
уравнений с параметром.
При р<^Н «добавочная» функция будет значительно
более сложной природы. Простоты ради мы и
ограничиваемся случаем р^>Н. К теореме можно сделать еще
замечание, аналогичное приведенному после формулировки
теоремы 1 § 2.
Помимо этой теоремы, имеют место еще две теоремы, вполне
аналогичные теоремам 2 и 3 § 2 с добавлением лишь
условия р^>Н в обоих случаях и исключением условия /(1) = 0
во втором случае. К этим теоремам приложимы замечания,
сделанные нами к соответствующим теоремам § 2.
Пример. Разложить функцию f(x) = хр k(0 ^ х ^ 1)
в ряд по системе
Jp(Л|Лг), Jp(а2лг),...tJp(аялг),..., (8.6)
где Х„ являются корнями уравнения ^(jc) = 0 (p^>0).
Формулы (8.6) дают:
2X8 к
с^щ^Рржг)хР Jp{Kx)dx-
В силу (2.1)
1
f xp+i jp anx) dx =I jp+1 (хя).
§ 91 распространение результатов §§ 3—7 299 .
Вследствие установленной теоремы можем писать:
00
Справедливо ли это равенство при р — 0? Ответ
отрицателен, так как при р = 0
(на основании (7.8) предыдущей главы) и поскольку Jo (Хл) = О,
то справа в (8.7) получаем 0, в то время как слева стоит
Дх) = х°=1.
Рассуждение, проведенное выше, не годится для р = 0.
Дело в том, что в нашем случае //=0 и, следовательно,
pz=H. Поэтому в силу сделанного выше замечания к
системе (8.6) мы должны присоединить функцию хр = х° = 1,
обозначив через с0 коэффициент, соответствующий этой
функции, мы получим:
1
{л: •/(*) • 1 • dx
\х • 1*. dx
так как f(x)—\. Кроме того, ся = 0, я=1, 2,..., так
что вместо (8.7) мы получим безусловно справедливое
равенство
1 = 14-0 + 0 + ...!
§ 9*. Распространение результатов §§ 3 — 7 на
ряды Фурье—Бесселя второго типа. В теоремах §§ 3 и 4
мы по существу дела совершенно не пользовались тем, что
числа А„ являются корнями уравнения Jp(x) = 0. Поэтому
эти теоремы полностью справедливы для рядов второго
типа. Что касается § 5, то в лемме условие Ур(Х) = 0 было
использовано (см. 1)) при доказательстве равенства (5.3).
Следовательно, нужна новая лемма, которую мы сейчас и
докажем.

800 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. I5f
Лемма. Пусть F(x) определена и дважды
дифференцируема на [0, 1], причем F(0) = F (0) = 6, F' (1) —
—*- \H-\--^\F{\)==0t F"(х) ограничена (эта производная
может и не существовать в отдельных точках). Тогда,
если X есть корень уравнения xfp{x)— HJp(x) = 0, где
р^>— 1, то
1
; '=| \Ух~Р(х)ЩЩ<*х\<:4- (tf = const). (9.1)
о Xs
Доказательство. Как и в лемме § 5, приходим
к равенству
1
I=\S[F-%-F")zdx+[F-z-F.2>]lZl
Все сводится к тому, чтобы доказать равенство нулю
последнего члена, представляющего собой разность
[F(l)z(l)-F(l)/(l)]-[F40)z(0)-F(0)/(0)]. (9.2)
Подсчитаем первую скобку. Так как z = У~хJp (Хл;), то
z(l) = Jp{\),
===^) + Ху;(х)=(я+у)^(Х)
(мы использовали условие Х/Р(Х)— HJp(k) = 0). Но тогда
для интересующей нас скобки получаем значение
[Г (1) - F <!)■(// + |) рр(Х),
которое равно нулю по условию леммы.
Что касается второй скобки в (9.2), то равенство ее
нулю доказывается так же, как в лемме § 5.
§ 9] РАСПРОСТРАНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ §§ 3—7 301
Доказательство в целом завершается тем же способом,
что в упомянутой лемме.
Из доказанной леммы следует
Теорема I. Пусть функция f{x) определена и дважды
дифференцируема на отрезке [0,1 ], причем /(0) =/' (0) = 0,
f (i)_//y (1) = 0«), f (x) ограничена (эта
производная может и не существовать в отдельных точках).
Тогда для коэффициентов Фурье по системе (8.3)
справедливы неравенства
\сп\^^{С — const). (9.3)
Л
Доказательство. Положим F(x) = Vxf (х).
Очевидно, F(0) = F(0) = 0 и F'(x) ограничена. Кроме того,
Поэтому П*)-^ + ^(4
Я(1)-(я+у)/7(1) =
в/Ш+/(1)-(//+|)/(1)=/'(1)-я/(1)=о.
Таким образом, к функции F(x) приложима лемма:
i 1
j С xf(x)J{K*)<lx | = j \ V^F{x)J{\nx)dx
(Я = const).
В силу (14.1) предыдущей главы
1
xJl(knx)dx^£- (/О>0).
1
Поэтому, вспомнив (8.5), получим (9.3).
Из этой теоремы следует (с помощью § 4)
*) Условие f(\) — Hf(l) = 0 выглядит здесь искусственным, но
оно весьма естественно появляется в приложениях.

302 РЯДЫ ФУРЬВ ПО БВССБЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
Теорема 2. Ряд второго типа непрерывной и дважды
дифференцируемой на [0,1] функции f{x), для которой
/(0) =/'(0) = 0, /' (1) — Я/(1) = 0, Г (х) ограничена (эта
производная может и не существовать в отдельных
точках), сходится абсолютно и равномерно на каждом
отрезке [Ь, 1] (0<[8<О) при р^>—1 и на всем отрезке
[0, 1] при р^О *).
На ряды второго типа полностью переносятся теоремы
1 и 2 § 7.
§ 10. Разложение в ряды Фурье—Бесселя функций,
заданных на отрезке [0, /]. Пусть f(x) задана и абсолютно
интегрируема на отрезке [0, /]. Положим x = lt или t=z—t
Тогда функция <р (£) =/(#) будет определена на отрезке
[0, 1] оси Ot, и мы можем писать:
<р(9~d^(V)+^^(V)+...H-^^(V)+.... (юл)
где
1
р+ п о
в случае ряда Фурье—Бесселя первого типа,
2Х» i
^ о
(л=1, 2,...)
в случае ряда второго типа.
Возвращаясь к переменному xt получим:
fix)r^cxJpi^x)^e%Jpi^x) + „. + enJpi^x)+...9
(Ю.2)
*) Если фигурировавшее в теореме § 8 условие р>Н не
выполнено, то ряд не обязательно будет иметь своей суммой /(*).
§ 10] РЯДЫ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ОТРЕЗКЕ [0, 1\ 303
где
I
c"=Kf^0^ixf^Jp{^fx)dx (n=h%...)t (10.3)
или
2Х» п п \
с" = /»[*•г*(хп) + (х«-р')j»(х„)]• ^ xfi*)Jp\fx)dx
(я=1, 2,...). (10.4)
Если ряд (ЮЛ) сходится, то сходится и ряд (10.2), и
наоборот. Заметим, что разложение (10.2) можно получить и
непосредственно, минуя вспомогательную функцию <р(£), если
заметить, что система
Ур(^*)....,./р(^ *),... 0>>-1) (Ю.5)
ортогональна с весом х на отрезке [0, /).
Действительно,
i
{xJp(ffx).Jp(^x)dx=*
1
= Р f t* J{\mt) • J{\J) dt = 0 {тфп)
(в интеграле мы сделали замену переменного, положив
Установив ортогональность системы (10.5), мы обычным
подсчётом коэффициентов Фурье получим формулы (10.3)
или (10.4), смотря по тому, корнями какого уравнения —
Jp(x) = 0 или xfp(x) — Шр(х) = 0 — будут числа ХЛ.
Как и в случае отрезка [0,1], ряд (10.2) с
коэффициентами (10.3) будем называть рядом Фурье—Бесселя первого
типа, а с коэффициентами (10.4) — рядом Фурье—Бесселя
второго типа.

304 РЯДЫ ФУРЬЕ ПО БЕССЕЛЕВЫМ ФУНКЦИЯМ [ГЛ. IX
Ввиду возможности перехода от ряда (10.2) к ряду
(10.1) с помощью подстановки x = lt все установленное
нами ранее для отрезка [0, 1] справедливо и в случае
отрезка [0, /]. В частности, справедливы признаки сходимости,
если их, конечно, сформулировать применительно к отрезку
[0, /] вместо [0, 1].
Упражнения к гл. IX
1. Разложить в ряд Фурье — Бесселя по системе
Jp (^i-*0, Jp 0*х), •..
функцию х~р (0 < х < 1).
Указание. Имеем:
1
1 хя
f x-P+4pMdx = j±a f t-P»Jp{t)dt.
Формула (7.2) предыдущей главы (с заменой р на р — 1) дает:
d_
dt
%r{t-P±4p_t(t)]=z-t-P+4p(t).
Поэтому
tn=ln ч— p+i г л v I
\
t-P"Jp(t)dt=[t-P»Jp_t(t)]t=0n = KP+ Jp-idn)- y-lT{p)
(cm. (4.3) предыдущей главы), и, следовательно,
_2 Up-ЛК) 1 1
mW L X 1-Р+*2Р-*Г(р) J*
Jp+l.., -
2. Разложить по системе
•Jp (^i-*)» Jp Q*x)t • • •»
где Хл —корни уравнения хЗ'р (х) — Шр (х) = 0, функцию
л*(0<*=£^1).
Указание. См. пример в § 8.
О/явет:
е ._ 2ХД7/?Н.1(ХП)
^(ХЯ) + (Х«-Я»)У^(ХЯ) *
Ряд будет сходиться к хр, если р ^ — —, р > Н.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛ. IX 305
3. Разложить в ряд Фурье — Бесселя для 0 < х < 2 функцию х»
Указание. Воспользоваться формулой (10.3) и результатами,
примера § 2.
Ответ:
» /«(if*)
для (Хл:<2.

ГЛАВА X
МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
В РЕШЕНИИ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Сущность метода. Многие задачи математической
физики приводятся к линейным дифференциальным
уравнениям в частных производных. Примерами таких уравнений
могут служить:
п д*и , 0 ди ■ ^ д*и ,. ,ч
пдаи , „ди | ^ ди ,, „ч
P& + R& + Qu=sdt' (L2)
где Р, R, Q — непрерывные функции переменного х, и =
— и(х, t) — неизвестная функция переменных х и t
К первому из этих уравнений приводит задача о
колебаниях струн и стержней, ко второму — задача о линейном
распространении тепла.
Фиксируем внимание на уравнении (1.1), так как этого
вполне достаточно, чтобы понять сущность метода, о
котором мы хотим рассказать.
В каждой конкретной задаче, приводящей к уравнению
вида (1.1), ищется решение и этого уравнения,
удовлетворяющее некоторым условиям. Пусть, например, нам нужно
найти решение и = и(х, t)y определенное для a^x^b и
для всех t^O, удовлетворяющее граничным условиям
ти№ 0+si^=o ' (U)
§ 1] СУЩНОСТЬ МЕТОДА 307
при любом t^zO, где а, р, f и Ь — постоянные, и начальным
условиям
и(х, 0)=f(x), ^^L^gix) (1.4)
для а ^ х ^ Ь, где f(x) и g(x) — заданные непрерывные
функции.
Обычно х — длина, t — время. Отсюда и термины —
граничные и начальные условия. Будем предполагать, что
постоянные аир, равно как у и S, одновременно в нуль не
обращаются (в противном случае вместо соответствующих
равенств (1.3) имели бы ничего не говорящие тождества
0 = 0). Наше предположение может быть записано так:
a' + PVO, f + 8a^0. (1.6)
Решение задачи начнем с отыскания частных решений
уравнения (1.1) вида
к = Ф(лг).Т(0, (1.6)
удовлетворяющих лишь граничным условиям (1.3), причем
будем интересоваться только решениями, отличными от
тождественного нуля. С этой целью дифференцируем (1.6) и
подставляем в (1.1). Это даст:
Р • Ф" . Т -f R • Ф' • Т -f Q • Ф • Т = Ф • Т",
откуда
р . ф" + f{ . ф' + Q . ф _ Т"
Ф Т '
Так как здесь левая часть является функцией только от
х, а правая — только от /, то равенство возможно лишь
тогда, когда отношения постоянны. Можем поэтому
положить:
p-°" + y + Q-°=^=-X (* = co„St>
Отсюда приходим к двум обыкновенным линейным
дифференциальным уравнениям второго порядка
/>.ф"-|-Я-ФЧ-<2-ф = — ХФ, (1.7)
Т"+ХТ = 0. (1.8)

308 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
Чтобы функция (1.6), отличная от и = 0, удовлетворяла
граничным условиям (1.3), очевидно, необходимо и достаточно,
чтобы функция Ф(х) удовлетворяла следующим граничным
условиям:
аФ(а)Н-рФ'(а) = 0,
ТФ(Ь) + ЪФ'(Ь) = 0.
Задачу отыскания решения уравнения (1.7),
удовлетворяющего условиям (1.9), будем называть краевой задачей для
уравнения (1.7) при условиях (1.9).
В общем случае краевая задача для линейного
дифференциального уравнения второго порядка имеет решение не при всяком
значении X. В частности, не при всяком X имеет решение
интересующая нас краевая задача для уравнения (1.7) при
условиях (1.9). Тем не менее при единственном условии Р^ЬО
доказано существование бесконечного множества значений
Хф, Xi Хя,..., для которых задача допускает решение.
Каждое значение X, для которого наша краевая задача
допускает решение, отличное от н = 0, будем называть
собственным значением, а соответствующее этому X решение
Ф — собственной функцией. Ниже будет показано, что в
нашем случае каждому собственному значению отвечает лишь
одна собственная функция (с точностью до постоянного
множителя).
Таким образом, для нашей задачи имеется бесконечное
множество собственных значений Х0, \ь..., Хд,... и
соответствующих им собственных функций
ФоС*). $iG*),..., Фя(лг), ... (1.10)
Функции (1.10), как будет показано в § 4, образуют на [а, Ь]
ортогональную систему с некоторым весом.
Закончив с уравнением (1.7), для каждого Х = ХЯ решаем
уравнение (1.8) и находим соответствующую функцию Tn(f),
зависящую от двух произвольных постоянных Ап и Вп. Так,
если Хл]>0 (я = 0, 1, 2,...) (а так именно довольно часто
и бывает в конкретных задачах), то, очевидно,
Тя(0 = Л„со8 /x7*-r-B„sin /Tnt, (1.Н)
где Ап и Вп — произвольные постоянные.
(1.9)
§ 1]
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
309
Каждая функция
ип(х, 0 = Фл(*)-Тя(0 (Я = 0, 1, 2, ...)
будет решением уравнения (1.1), удовлетворяющим
граничным условиям (1.3).
В силу линейности и однородности (относительна
функции и и ее производных) уравнения (1.1) всякая
конечная сумма решений будет решением. То же
справедливо и для ряда
СО со
rt=0 я=0
если он сходится и его можно дважды почленно
дифференцировать по л; и по t. Действительно, в этом случае
р дУ 4- Р-^ -J- On — д*и —
Л=0 л=0 . л=0 я=0
я=0
Так как каждая скобка в последней сумме равна нулю
(ведь ип есть решение уравнения (1.1)!), то равна нулю и
вся сумма, а это и означает, что функция (1.12) есть
решение уравнения (1.1). Поскольку каждое слагаемое в ряде
(1.12) удовлетворяет условиям (1.3), то этим условиям
будет удовлетворять и сумма ряда, т. е. функция и.
Но нам нужно еще удовлетворить начальным условиям
(1.4). Этого можно достигнуть, распорядившись
соответствующим образом значениями постоянных Ап и Вп, входящих
в выражения функций ип(х, t). С этой целью потребуем

810 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
выполнения равенств
00
nZ° (1.13)
и (х, 0) =/(х) = 2] ф« (*)'ТЯ (0),
я=0
что равносильно требованию разложимости функций f{x) и
g(x) в ряды по собственным функциям. Возможность такого
разложения доказана в довольно широких предположениях
относительно коэффициентов уравнения (1.1) и относительно
функций, которые раскладываются.
Пусть
00
Г(х)=^СпФп(х),
я=0
от
£4*)= 2! с"фя(*)*
я=0
Тогда остается положить:
тя(0)=ся>
откуда и находятся Ап и Вп.
Так, в случае (1.11)
и(х, 0)=/(*) = J Л»ф« <•*)»
я=0
№A=^W=2b./№(4
dt
п-=0
и, следовательно,
(1.14)
Тя";0;=с;1 («=0,1,2,...). (U5)
ЛП = С„, Вп = -£=- (п = 0, 1, 2, ...). (1.16)
§ 1]
СУЩНОСТЬ МЕТОДА
311
Наши выводы основаны на том, что ряд (1.12) сходится
и его можно дважды почленно дифференцировать по х
и по /, следовательно, найденные коэффициенты Ап и Вп
должны обеспечивать возможность этого. Однако в
конкретных задачах упомянутые коэффициенты часто таким
свойством не обладают. Будет ли в этом случае ряд (1.12)
решением или нет — по этому поводу см. § 7, а пока сделаем
следующее замечание.
Мы знаем, что ряды часто определяют собой
разрывные функции, поэтому во избежание недоразумений скажем
несколько слов в отношении граничных и начальных
условий.
Условия (1.3) и (1.4) нужно понимать в следующем смысле:
a lim и (х, t) + p lim ^d> =, о,
тНти(лг, 9 + 8lim du(f' t} = 0
Х-*Ь х-*Ь ах
(вместо (1.3)), и соответственно
lim и (х, t) =/(*), lim d-^%-U = g(x)
(вместо (1.4)). Иными словами, в (1.3) и (1.4) под значения-
. ,ч ди(а, t)
ми и (a, t\ ——-1 и т. д. нужно понимать пределы, к
которым стремятся и (х, t)t "!*' ' и т. д., когда точка (х, t)
изнутри области (a<^x<C^b, t^>0) стремится к
соответствующей граничной точке. Совершенно ясно, что только
такое понимание граничных и начальных условий и может
соответствовать физическому содержанию задачи.
Подобно предыдущему, в случае, когда мы говорим, что
функция и(х, t) непрерывна в области (a^zx^b, t^0\
мы предполагаем непрерывность и(х, t) в области (а<^х<^Ь,
/]>0) и существование конечного предела
lim и (х, t) (а < х <Ь, /> 0)
#-*х0
t-*t0

312 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
для каждой точки (х0, t0) границы области *). В этом случае,
как нетрудно доказать, граничные значения непрерывно
изменяются при движении точки (лг0, у0) вдоль границы.
В дальнейшем под решением задачи для уравнения (1.1)
(или другой подобной задачи) мы будем понимать всегда
решение, непрерывное в указанном смысле. Для существования
такого решения, как легко сообразить, граничные и
начальные условия должны быть «согласованы» в точках (а, 0) и
(Ь, 0) так, чтобы контурные значения не претерпевали
разрыва **).
§ 2. Обычная постановка краевой задачи. Будем
предполагать, что функция Р не обращается в нуль.
Уравнение (1.7), очевидно, не потеряет и не приобретет новых
собственных значений и собственных функций, если все его
члены умножить на функцию, не обращающуюся в нуль.
Покажем, что с помощью такого умножения уравнение
(1.7) можно преобразовать к виду
(/>Ф'/ + ?Ф = — ХгФ, (2.1)
где р, д, г — непрерывные на [а, Ь] функции от х, причем
р — положительная функция с непрерывной производной,
г — положительная функция.
Доказательство. Прежде всего, не нарушая
"общности, можем считать, что Р^> 0 (в противном случае все
члены уравнения (1.7) можно умножить на — 1 и положить
— Х = Х). Затем решаем систему
p = rP, p' = rR.
Это дает:
X
| = £, ]np=$£dx, p = e*o
Xq
*) При этом аналитическое выражение для и(х, t) может и не
быть непрерывной функцией, претерпевая скачок на границе.
**) Если, например, условия (1.3) имеют вид «(0, t) = 0,
и(1, *) = 0, а условия (1.4) —«(л:, 0) = л:4-1,—^— - = ■**, то
ясно, что контурные значения претерпевают разрыв в точках (0, 0) и
(1, 0), и задача непрерывного решения заведомо не имеет.
(2.2)
Р_
Р'
§ 3] О СУЩЕСТВОВАНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 313
где Хц — какая-нибудь точка отрезка [а, Ь] (постоянную
интегрирования мы приняли равной нулю). Очевидно, р^>0 и
р' непрерывна, г]>0. Остается рассмотреть
грф» _|_ г%ф' _j_ rQO = _ хгФ
и положить:
q = rQ. (2.3)
Тогда в силу (2.2)
рф» _|_ j/ф' _|_ дф = _ ХгФ,
а это и есть уравнение (2.1).
Обычно краевая задача и ставится для уравнения вида
(2.1) с коэффициентами, удовлетворяющими поставленным
выше требованиям. Граничные условия остаются теми же
условиями (1.9).
§ 3. О существовании собственных значений. Мы не
будем приводить полного доказательства существования
собственных значений для интересующей нас краевой задачи,
а лишь наметим его идею. В уравнении (2.1) фиксируем
какое-нибудь значение X (действительное или комплексное) и
найдем решение, удовлетворяющее условиям
[Ф]*-« = Р, [ФГ],-а = -«.
Это решение обозначим через Ф(лг, X). Очевидно,
аФ(«, X)-f РФ'(«, *) = 0 (3.1)
(производная по лг), т. е. Ф(лг, X) удовлетворяет первому из
граничных условий (1.9). С изменением X будет изменяться
и Ф(дг, X), удовлетворяя тем не менее все время условию (3.1).
Таким образом, известная нам функция от лг и от
параметра X (в теории дифференциальных уравнений доказано,
что Ф(х, X) может быть представлена в виде степенного
ряда по X и, следовательно, представляет собой
аналитическую функцию от X для всех значений X) при любом X

3 14 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
удовлетворяет первому условию (1.9). Составим функцию
ТФ(*, X) + W(*. X) (3.2)
и положим:
Д(Х) = ТФ(£, X)-f 8Ф'(*, X).
/)(Х) есть известная нам функция одного переменного X.
Всякое значение X, для которого
D (X) = ТФ (Ь, X) -f ЬФ (Ь, X) =* О, (8.3)
будет, очевидно, собственным значением нашей задачи
(поскольку для такого X одновременно выполняются (3.1) и
(3.3), т. е. выполняются оба условия (1.9)).
Таким образом, вопрос о существовании собственных
значений сводится к вопросу о корнях функции Z?(X). Это
обстоятельство позволяет доказать, что задача имеет
бесконечное множество собственных значений, причем все они
действительны и могут быть записаны в последовательность
вида
^о <С ^i ^ • • • <С ^я ^ • • •»
lim Хя = 4- со.
я-юэ
§ 4. Собственные функции; их ортогональность. Пусть
X —собственное значение. Нетрудно сообразить, что, коль
скоро Ф(лг) есть собственная функция, отвечающая этому X,
то и всякая функция вида СФ(лг), где С— произвольная
постоянная, отличная от нуля, также будет собственной
функцией, отвечающей тому же самому собственному значению.
Такие линейно зависимые собственные функции мы не
будем считать различными. В качестве «представителя» от
семейства функций вида СФ (х) (С ф 0) можно взять любую
из них.
Могут ли одному собственному значению отвечать две
линейно независимые собственные функции Ф(х) и *F(j<;)?
В наших условиях ответ отрицателен. Действительно, в
противном случае по известному свойству линейно независимых
решений дифференциального уравнения имели бы
Ф(х), Ф'(х)
ч7(*), «"'(■*)
^0
(4.1)
§ 4] собственные функции; их ортогональность 315
всюду на [а, Ь] и, в частности, при х=а. Но по первому
условию (1.9)
аФ(«) + рФ'(а) = 0,
a>F(a)4-p>F(a) = 0,
откуда в силу (4.1) вытекало бы, что а = 0и [3 = 0, а это
невозможно ввиду предположения (1.5).
Таким образом, каждому собственному значению с
точностью до постоянного множителя отвечает лишь одна
собственная функция.
Лемма 1. Пусть
*<»>=&(> £)+*• <4-2>
где 9 — любая функция, зависящая от х (если <р
зависит и от других переменных, например от t, то нужно
использовать знак частной производной). Тогда для
любых дважды дифференцируемых функций <р и <|>
справедливо тождество
<?L (ф) - <j>L (9) = ^ [р (<р<|/ - ?'ф)]. (4.3)
Доказательство получается подстановкой в левую часть
формулы вместо 1(ф) и L(<p) их выражений согласно (4.2).
Лемма 2. Если 9 и ф удовлетворяют граничным ус-*
ловиям (1.9), то
W - <Р'М*-а = М ~ 9'Hv-ft = 0. (4.4)
Доказательство. Числа а и р, не равные нулю
одновременно (в силу (1.5)), удовлетворяют однородной системе
«<Р («) + (¥ («) = 0>
аф(а) + РФ'(а) = °-
Это возможно лишь тогда, когда определитель этой системы
равен нулю, поэтому
ф(а), ф'(а)
Вторая часть равенства (4.4) доказывается аналогично.

316 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ. X
Покажем теперь, что каждая пара собственных
функций Ф(лг) и ЧГ (х), отвечающих различным собственным
значениям X и р., ортогональна на [а, Ь] с весом г.
В самом деле, пусть Ф и W удовлетворяют уравнениям
1(Ф) = — ХгФ,
L(47) = — цгч?
при одних и тех же граничных условиях (1.9). Умножаем
первое равенство на Ч?*, второе — на Ф и вычитаем из
второго первое. В силу леммы 1 получим:
[р (Фч?' — Ф'ч?)]' = (X — ц) гФЧТ.
Следовательно,
ь
[р (ФЧ7' — WWyfcZa = (Х — & $ rOT fc (4-5>
а
В силу леммы 2
[р (ф'цг _ Фч7')]*=* = о.
Поэтому из (4.5) вытекает:
ъ
(X —{i) $r<&Wdx=0,
а
и так как рФК то
ъ
С гФч?^ = 0,
а
что и требовалось доказать.
Замечание. В § 3 мы говорили (без доказательства)
о действительности собственных значений.
Это можно вывести из установленного факта
ортогональности собственных функций.
Действительно, если X = p. -\- h (v^O) есть собственное
значение, а Ф (лг) = <р (х) -J- fy (x) — отвечающая ему
собственная функция, то, подставив в уравнение (2.1), получим:
§ 5] О BHAKE СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 317
Но тогда справедливо равенство
Последнее означает, что X = (ц — h) есть также
собственное значение, а функция Ф(х) = у(х) — ity(x) —
соответствующая собственная функция. Но тогда
ъ ь
f гФФ dx = f г (<ра -f f)dx Ф 0,
что невозможно, так как X =£ X, и по доказанному выше
должна иметь место ортогональность.
§ 5. О знаке собственных значений. Следующая теорема
уточняет наши сведения о собственных значениях в весьма
часто встречающемся в приложениях случае, когда q^.0
для а^х^Ь.
Теорема. Если r]>0, q*^0 и из граничных условий
следует, что
[РФФ')Хх2а^0' (5.1)
то все собственные значения краевой задачи для
уравнения (2.1) неотрицательны.
В самом деле, пусть X — какое-нибудь собственное
значение и Ф (х) — отвечающая ему собственная функция.
Из (2.1) после умножения на Ф(лг) и интегрирования получим:
ъ ъ ъ
f (рФуФёх+ f q9*dx = — X f r®*dx,
откуда, интегрируя по частям;
ъ ъ ь
[РФФ%2а — J P®* dx + \ ЯФ* dx = — Х \ гф8 dx- ( 5-2)

318 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
Из (5.1) и условия у<:0 следует, что слева стоит
величина, меньшая или равная нулю. Поэтому Х^О, причем
равенство Х = 0 возможно лишь тогда, когда £ = 0, Ф' = 0,
т. е. когда уравнение (2.1) имеет вид
(рФ')' = — ХгФ
и функция Ф = const является собственной функцией.
Замечание. Условие (5.1) производит впечатление
довольно искусственного. Но на самом деле это не так.
Оно выполняется как раз при наиболее часто встречающихся
в приложениях граничных условиях: 1) Ф(а) = Ф(£)=0,
2) Ф'(а) = Ф'(£) = 0, 3) Ф'(а) — ЛФ(а) = 0, Ф'(£) +
-\-НФ(Ь) = 0, где h и Н—неотрицательные постоянные.
Сказанное очевидно для первых двух случаев. В последнем
же случае Ф' (а) = ЛФ (а), Ф* (Ь) = — НФ (Ь), и поэтому
[рфф'Тх2Ьа=—нр Р)ф8 iP)—hP (fl)ф8 («) < о.
§ 6. Ряды Фурье по собственным функциям. Пусть
Х0, Xt Хп,... — все собственные значения нашей краевой
задачи, занумерованные в порядке их возрастания, и
ФоС*Х ФЛх),..., Фл(*),... (6.1)
— соответствующие им собственные функции, которые,
простоты ради, будем считать нормированными так, чтобы
ь
f гФ£(*)<**= 1 (л = 0, 1, 2,...). (6.2)
а
Тогда для всякой абсолютно интегрируемой на [а, Ь\
функции f(x) можем составить ряд Фурье
f{x) ~ с0Ф0 (х) + с1Ф1 (х) +...,
где
ъ
сп=[г/(х)Фп(х)йх (л = 0, 1, 2,...). (6.3)
а
Справедливы следующие предложения, которые мы приведем
без доказательства.
§ 6] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ 319
Теорема 1. Если f(x) непрерывна на [а, Ь],
обладает кусочно-гладкой (хотя бы и разрывной)
производной и удовлетворяет граничным условиям краевой задачи,
т. е.
«/(«) +Р/(«)=*0, Т/0)+ */'(*) = 0, (6.4)
то ряд Фурье по собственным функциям сходится к f(x)
абсолютно и равномерно.
Условия (6.4) могут показаться искусственными, но если
мы вспомним происхождение нашей задачи (см. первые
соотношения в (1.4) и в (1.14)) и будем рассматривать f(x)
как начальное значение функции и (х, f), т. е. положим
f(x) = u(x, 0), то условия (1.3) при * = 0 как раз и
приведут к равенствам (6.4).
Теорема 2. Если f(x)— кусочно-гладкая на [а, Ь]
функция (разрывная или непрерывная), то ряд Фурье
функции f(x) no собственным функциям сходится для
а<^х<С^Ь и имеет своей суммой f(x) в каждой точке
непрерывности и значение ——!— А в каждой
точке разрыва.
Вместо системы (6.1), ортогональной с весом г, можно
рассматривать систему
VT%(x), УТФ1(х),..., (6.6)
ортогональную в обычном смысле, для которой
\\Vr®n(x)\\ =]/ \ГФ*П(Х)<1Х =
1 (« = 0, 1, 2,...).
Рассмотрим какую-нибудь функцию с интегрируемым
квадратом вида У г f(x). Ее коэффициенты Фурье по новой
системе имеют вид
ь
Сп=$г/(х)Фп(х)<1х,
а
т. е. совпадают с коэффициентами Фурье функции f(x) по
системе (6.1).

320 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
_Условие полноты системы (6.6) в применении к функции
Уг/(х) выглядело бы так (см. (7.1) гл. II):
Ь оо со
£ гПх)йх= 21 с'п II VT*A*) II =21cl <66>
а я—0 я—О
Если это равенство выполнено для любой функции f(x)
с интегрируемым квадратом, то вместо того, чтобы сводить
дело к системе (6.6), говорят просто, что система (6.1) полна
с весом г. Мы сейчас и докажем эту полноту.
Из предыдущего видно, что достаточно установить
полноту обычной ортогональной системы (6.6).
Всякую непрерывную функцию Ф(х) можно с любой
степенью точности аппроксимировать в среднем с помощью
функции g(x) (с двумя непрерывными производными),
удовлетворяющей граничным условиям краевой задачи (можно,
например, в качестве g(x) брать функции, для которых
g(a) = gr (a) =ng(p) = g\b) = 0. Это ясно из геометрических
соображений, и мы на доказательстве не останавливаемся.
Пусть
ь
$[*(*) — *(*)]■<*■*<■£. (6.7)
а
где е — произвольно малое положительное число.
По теореме 1 ряд Фурье по системе (6.1) сходится к g(x)
равномерно. Это значит, что существует многочлен
оп (*) = Тофо (х) + ЬФг (*) + ... + тА (*)» (6-8)
для которого
Отсюда
ь
$[*(*)-«!.(■*)]■<**<-£.' (6-9)
§ 6] РЯДЫ ФУРЬЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ 821
В силу элементарного неравенства
(Л + В)а^2(Да + £а)
из (6.7) и (6.9) вытекает:
ь
J [Ф (*)-=«„ <*)]■<** =
а
Ь
= $ [(Ф С*) — * <*)) + <* (*) — °п С*))]1 dx <
а
b 2
<: 2 Г [Ф (х) — g (x)f dx + 2 J [g(x)—оп(х)]Чх*£*.
а о
Тем самым мы доказали, что любая непрерывная
функция с любой степенью точности может быть
аппроксимирована в среднем многочленами вида (6.8).
Пусть F{x) — произвольная непрерывная функция. Тогда
и функция —j= непрерывна. Положим
h = max г.
В силу доказанного выше существует многочлен ап(х),
для которого
а
Поэтому
С [F(x) - V7on (*)Г dx = I г Ш - сп (x)]*dx <: е.
с °
Но функция УТап(х) представляет собой многочлен по
системе (6.5), и следовательно, эта система удовлетворяет
критерию полноты обычных ортогональных систем (см. § 9
гл. II), т. е. является полной системой, что и требовалось
доказать.
Таким образом, нами доказана
»/,!! Г. п. Толстое

322 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. *
Теорема 3. Система (6.1) полна с весом г, т. е. для
всякой функции f(x) с интегрируемым квадратом
справедливо равенство (6.6).
Отсюда легко вытекают:
Теорема 4. Для всякой функции f(x) с
интегрируемым квадратом
b оо
Km f г [/(*) — У <?4Ф» (*)]*<*№ О.
а «=0
где сп — коэффициенты Фурье функции /(лг) no системе
(6.1). Иными словами, ряд Фурье всегда сходится к /(лг)
в среднем (с весом г).
Для доказательства к функции ]/г/(лг) и к системе
(6.5) нужно применить равенство (7.3) гл. И.
Теорема 5. Не существует непрерывной функции
f(x), не равной нулю тождественно, ортогональной с
весом г ко всем функциям системы (6.1).
Действительно, ортогональность fix) к функциям системы
влечет за собой равенство нулю всех ее коэффициентов. Но
тогда в силу (6.6)
ъ
[rf*(x)dx = 0,
а
откуда /(лг) = 0.
Теорема о разложении в ряд по собственным функциям
в достаточно широких предположениях и связанная с ней
теорема полноты с вытекающими из нее следствиями
впервые были установлены выдающимся математиком В. А. Стек-
ловым.
§ 7. Всегда ли метод собствениых функций
действительно приводит к решению задачи? Метод собственных
функций заведомо приводит к решению задачи, поставленной
в § 1, если, во-первых, функции fix) и g(x) (см. (1.4))
допускают сходящиеся к ним разложения (1.14) в ряды по
собственным функциям, во-вторых, величины Ап и Вп,
определяемые из (1.15), обеспечивают сходимость ряда (1.12) и
4 7]" о применимости метода соёствённых функций 323
возможность его двукратного почленного дифференцирования
(мы рекомендуем читателю вновь прочитать § 1).
Более того, независимо от того, выполнены
упомянутые выше условия или нет, всякий раз, когда задача
вообще имеет решение, это решение может быть получено
способом, указанным в § 1 в виде ряда (1.12).
Отсюда вытекает единственность решения, о чем,
впрочем, часто можно заключить, исходя из физического
содержания задачи. Это физическое содержание позволяет судить
и о разрешимости задачи вообще, что в силу сказанного
выше и объясняет причину того, почему физик или техник,
используя метод собственных функций и оперируя с рядами
так, как будто они допускают почленное дифференцирование
и пр., даже тогда, когда это не так на самом деле, все же
приходит к верным результатам.
Более точная формулировка высказанного утверждения
выглядит так:
Теорема. Пусть функция и (лг, t) представляет
собой непрерывное в области (a^x^b, t^zO) решение
уравнения (1.1), удовлетворяющее граничным условиям (1.3)
и начальным условиям (1.4). Тогда
00
и{х, 0==2Т"(')Ф«(*)- <7Л>
Здесь Фп(х) — собственные функции соответствующей
краевой задачи*), а функции Tn(t) могут быть найдены
из уравнений
Тп + Х„Т„ = 0 (п = О, 1, 2, ...) (7.2)
при начальных условиях
Т„(0)=С„, т;(<>)=:<?„ (л = 0, 1, 2, ...),
где Сп и сп — коэффициенты Фурье для /(лг) и g(x) (см.
начальные условия (1.4)) по системе собственных функций.
*) Эти функции, простоты ради, предполагаются
нормированными—см. (6.2).

324 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [гЛ X
it ди д*и
При этом предполагается, что производные чт и р
непрерывны и ограничены в каждой области вида (а<^х<^Ь,
0<'<*о)-
Доказательство. Умножаем уравнение (1.1) на
функцию
X
р
dx
J*
г—.?а р
р — р
(см. § 2). Тогда в силу (2.2) и (2.3) получим:
пд*и i п'ди i д*"
д / ди\ . д*и
или
дх у дх) 1^" — ' dt
Ввиду (4.2) вместо этого можем писать:
L(u)=rd^, (7.3)
а гместо (2.1) —
Ь(Ф) = — ХгФ.
Следовательно, для собственных функций краевой задачи
справедливы соотношения
Цф») = -№ (л = 0, 1, 2,...). (7.4)
В силу условий доказываемой теоремы и в силу
теоремы 2 § 6 для а<^х<^Ь и для каждого t^>0 функция
и(х, t) может быть разложена в ряд вида (7.1), где
ь
Т„ (0 = J ru (x, t) Ф„ (х) dx (n = 0, 1, 2,...). (7.5)
а
Из (7.4) следует:
§ 7] О ПРИМЕНИМОСТИ МЕТОДА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 325
и поэтому
ь
Тп=-±$и(х, t)L{<bn)dx,
а
или в силу (4.3)
т»=-Нф»(*)1(и)^+>!г1>(ф»£-ф» •")]"!•
а
В силу леммы 2 § 4 последний член равен нулю.
Таким образом,
ь
Tn = -±-^n(x)L(u)dx. (7.6)
а
Отсюда в силу (7.3) получаем:
ь
Тп = -±-^гд^Фп(х)Лх. (7.7)
а
С другой стороны, из (7.5) дифференцированием по t
получим:
ъ
т»(0 = J'0 <*»(*)<*■* (7.8)
а
(дифференцирование под знаком интеграла законно в силу
ди д*и\
сделанных выше предположений относительно -^ и ^\.
Сопоставив (7.7) и (7.8), получим (7.2). Далее, так как
и (х, t) непрерывна в области (а <: х <: b, t ^ 0) и lim и {xt t) =
=f(x), то в силу (7.5)
ь
lim T„ it) = lim f ru {x, t) Фп (x) dx =
t-*0 t-*Q J
a
b
= J rf{x) Ф„ (x) dx = Cn {n = 0, 1,2....), (7.9)
a
11 Г. Н. Толстое

326 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
где Сп—коэффициенты Фурье функции f(x). Поскольку
функция Tn(t) непрерывна, то это равносильно
соотношениям
Т„(0) = С„ (« = 0, 1, 2,...).
Подобным образом доказывается, что
Гп(0) = сп (я = 0, 1, 2,...),
где сп — коэффициенты Фурье функции ^(лг). Это и
завершает доказательство теоремы.
Итак, когда решение интересующей нас задачи вообще
возможно, — оно получается методом § 1 в виде ряда (1.12).
С другой стороны, этот метод довольно часто приводит
к функции и(х, t), дифференцируемой не всюду. Такую
u(xt t) нельзя рассматривать как решение задачи в точном
смысле этого слова (ведь требуется удовлетворить
дифференциальному уравнению!). Вместе с тем, в силу доказанной
теоремы бесполезно и искать точное решение, так как если
бы оно существовало, то совпадало бы с и(дг, f). Тем
самым мы вынуждены удовлетвориться найденной функцией
и(х, t), которую будем называть обобщенным решением
задачи.
Можно доказать, что в наших условиях ряд (1.12),
получаемый методом § 1, всегда определяет собой некоторую
функцию, к которой он сходится в обычном смысле или
в среднем, и следовательно, если не точное, то обобщенное
решение задачи метод собственных функций дает всегда.
§ 8. Обобщенное решение. Какова практическая
ценность обобщенного решения (в указанном выше смысле)?
Дает ли оно что-нибудь физику или технику или же
представляет собой лишь чисто математический интерес?
Практическая ценность обобщенного решения будет
вытекать из нижеследующего.
Теорема. Пусть
то
я(*,9~ 21 т«(0ф«(*)
Л=0
§ 8] ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ . 327
есть точное или обобщенное решение уравнения (1.1) при
условиях (1.3) к (1.4). Если
ь
Urn \r[f(x)-fm(x)fdx==
т-*со v
а
Ь
= lim $r[g(x)~gm(x)]*dx = 0 (8.1)
а
{иными словами, /т(х) и gm(x) при /я—>оо сходятся
в среднем соответственно к f(x) и g(ii) *)) и
00
л=0
представляют собой точное или обобщенное решение
уравнения (1.1) при граничных условиях (1.3) а
начальных условиях
ит (х, 0) =fm (х), д-^^ = gm (xl
то ит(х, t)-^u(x, f) при w-oo в среднем.
Действительно, вспомним, что
Tn + KTn = Q> Т„(0) = Сй, Тп{0) = сп
(л = 0, 1, 2,...),
т';лн-хпт/пл=о, ттп(0)=стп, т'тп(о)=стп
(л = 0, 1, 2,...),
(8.2)
где Сп, сп, Стп, ^„ — коэффициенты Фурье соответственно
функции /(*), g(x), fm(x), gm(x).
Так как
Х0 <^ Xt <^ Х2 \ • • • \ Х„ \ • • ♦»
lim Хп = -{- со
Я-+00
(см. § 3), то лишь несколько первых значений Хя могут
быть отрицательными. Пусть Х„<:0 для n^N и Х„]>0
*) В частности, можно предположить, что fm(x)—*f(x) и
|fflW-gW равномерно.
11»

328 метод собственных функций
для n^>N. В силу (8.2)
[гл. х
+KC«-F^=)
е V X"' (n*^N)*),
Tn = CncosVKt + ^==smVlnt («>N),
Г *Л
. (8.3)
и аналогично
У-^nt
Т ——1Г -I cmw \ -У-А„< ■
«и ^-V-X„< (ЖЛО,
Tm„ = Cm„ cos j/^"/ + -^ sin / V (« > N).
Рассмотрим
ь
\ r [fix) ~fm (x) Tdx=2 (C„ - Cmn)\
n=0
oo
\r[g{x)-gm{x)fdx= J, {cn-cmJ
n=0
(8.4)
(см. теорему 3 § 6). Из этих равенств ввиду (8.1) следует
00
?со2 (Cn-CmnJ = 0,,
lim
m-*co
л=0
со
lim 2 [Сп — стп)*=0,
(8.5)
*) Может случиться, что Х^ = 0, тогда добавится член
Тд = CN -\- cNt.
§ 81
ОБОБЩЕННОЕ РЕШЕНИЕ
329
откуда
lim Cmn = Cn, 1
m-*co
lim cm„ = c„.
m-»oo
(8.6)
В силу (8.3), (8.4), (8.6)
Hm[T„-Tm„] = 0,
m-*oo
(8.7)
причем для n^>N
[T„--TUa = [(Cn-CmJcosl/^< + c-^^sinVT„/J
■2[(Ci-Q-)- + ("»)T
(8.8)
Остается рассмотреть равенство
ь
со
Jr [в (*, 0 - ия (х, t)f dx = ^ (Т„ - Tw„)8 =
л=0
N
л—О
(см. теорему 3 § 6). В силу (8.5), (8.7), (8.8)
г [я (х, t) — um (x, t)f dx -► 0,
I
а это и означает, что функции nm(x,t) при /и->оо в
среднем сходятся к и (х, t). Наше утверждение доказано.
Доказанное коротко можно резюмировать так:
Если fm{x) близка к f(x), a gm(x) близка к g(x)
(в смысле равномерной близости или же в среднем), то
функция um(x,t) близка к u(x,t) в среднем.
Теперь заметим, что функции f(x) и g(x) в конкретных
задачах физики и техники, вообще говоря, не являются
точными, а представляют собой лишь некоторые приближения

330 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
для соответствующих точных функций. Тем не менее в силу
доказанной теоремы решение уравнения (1.1) при условиях
(1.3) и (1.4), даже если оно не является точным, а лишь
обобщенным, будет мало отличаться (в смысле равномерной
близости или в среднем) от истинного решения задачи.
В этом — практическая ценность обобщенных решений.
Отметим еще такое следствие доказанной теоремы:
Если функции fm(x) и gm{x) выбраны так, чтобы
функции ит(х, t) были точными решениями
соответствующих задач (такие /т(х) и gm(x) всегда можно
подобрать/) *), то точное или обобщенное решение
уравнения (1.1) при условиях (1.3) и (1.4) оказывается
пределом точных решений ит(х, f), когда fm(x)-+f(x),
gm(x)-+ g(x) равномерно или в среднем. Отсюда легко
вытекает единственность обобщенного решения.
§ 9. Неоднородная задача. Вместо уравнения (1.1)
рассмотрим более общее уравнение
Pdt*+Rdx + Qlt = dT'+F(x>V (9-1)
при тех же начальных и граничных условиях (1.3) и (1.4).
В задаче о колебаниях уравнение (9.1) соответствует случаю
наличия возмущающей силы, в то время как уравнение (1.1)
относится к случаю свободных колебаний.
С помощью умножения на функцию
, и*
1 х„ Р
г— р е — р
(см. § 2) уравнение (9.1) можно преобразовать к виду
L(u) = r^ + rF(x, t). (9.2)
*) В качестве таких fm(x) и Sm(x) можно, например, взять
т-е частные суммы рядов Фурье этих функций.
§ 9]
НЕОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА
331
Допустим, что задача для уравнения (9.1) имеет решение
и F(x, t) допускает разложение в ряд по собственным
функциям краевой задачи для уравнения
ЦФ) = — ХгФ
(см. § 2). Для *>0 представим и(х, f) в виде ряда
со
п=0
Ь
Т„(0 = f ru(x, t)<S>n{x)dx (л = 0, 1, 2,...), (9.4)
а
что возможно в силу теоремы 2 § 6. Повторив рассуждения,
проделанные нами при доказательстве теоремы § 7, получим:
ь
Tnit) = -ynl®n{x)L{u)dX
а
(см. (7.6)) или на основании (9,2)
ь ь
Т„ (0 = - £ J ф Фл (*) dx - £ J rF (х, t) Фп (х) dx. (9.5)
а а
Предположив, что -^ и -^ ограничены, после
дифференцирования (9.4) дважды по / найдем:
ъ
Чп=\гд^ФЛх)<1х.
Наконец, если положить:
со
F(jf,*)=2 Fn(t)®n(x)dx,
л=0
Ь
Fn{t)=lrF(xtt)<bn(x)dx
(л = 0, 1, 2,...),
(9.6)

332 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
то равенство (9.5) даст:
1«- ьп1" к^
или
Т« + *Л + Fn = 0 (л = 0, 1, 2,...). (9.7)
Поступая дальше, как и при доказательстве теоремы § 7
(см. (7.9) и далее), найдем:
Т„ (0) = Сл, Т; (0) = сп (« = 0, 1,2....), (9.8)
где Сп и сп — коэффициенты Фурье функций f(x) и g(x).
Итак, если решение задачи существует, то оно дается
рядом (9.3), где Т„ определяются из уравнений (9.7) при
условиях (9.8).
Замечательно, что, как и в случае уравнения (1.1), к ряду
(9.3) можно прийти с помощью формальных операций с
рядами, не обращая внимания на то, законны эти операции
или нет.
Действительно, если в уравнение (9.2) вместо и
подставить ряд (9.3), а вместо F(x,t) — ряд (9.6),
дифференцировать ряд (9.3) почленно и затем приравнять нулю
коэффициенты при Фп (лг), то мы получим (9.7).
Положив в (9.3) < = 0 и потребовав, чтобы
оо
и(х, 0)=2 Т«(0)Ф« (*)=/(■*>
получим первое равенство (9.8). Дифференцируя (9.3)
почленно и полагая опять i = 0, находим:
л=0
откуда получается второе равенство (9.8).
Совершенно так же, как в § 7 для уравнения (1.1), мы
можем ввести и для уравнения (9.1) понятие обобщенного
решения. При этом оказывается, что при любой
непрерывной F(x, t) ряд (9.3) определяет собой некоторую
функцию и {х, t), к которой сходится в обычном смысле или
§ Ю]
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
333
в среднем, и следовательно, задача всегда имеет
решение— точное или обобщенное. Это решение к тому же
единственно, так как если U и V являются решениями задачи,
то функция u = U—V оказывается решением задачи для
уравнения (1.1) с нулевыми начальными условиями. В §§ 7
и 8 мы говорили, что задача для уравнения (1.1) допускает
единственное решение (точное или обобщенное). Поскольку
функция, равная тождественно нулю, является решением
задачи для уравнения (1.1) с нулевыми начальными условиями,
то в силу сказанного н = 0, т. е. U= V.
По поводу практической ценности обобщенных решений
можно было бы повторить сказанное в § 8.
§10. Заключение. Мы лишь для конкретности
рассматривали уравнение (1.1). Все рассуждения приложимы и
к уравнению (1.2) при тех же граничных условиях (1.3) и
при начальном условии
и(х, 0) =/(*). (ЮЛ)
Метод § 1 для этого случая дает:
со
и(х, t) = 2 Т„(0 *«(■*)> (Ю.2)
причем величины Т„ находятся из дифференциальных
уравнений первого порядка:
Т;, + Х„Т„ = 0, Т„ (0) = Сп (я = 0, 1,2,...), (10.3)
где Сп(п = 0, 1, 2,...) — коэффициенты Фурье для f(x).
Теорема § 7 нуждается лишь в соответствующем
исправлении формулировки — вместо (7.2) нужно рассматривать (10.3)
и требовать ограниченности лишь для ^т. Мы рекомендуем
читателю доказать это в качестве упражнения.
Понятие обобщенного решения может быть введено и
в случае уравнения (1.2). Но здесь обнаруживается су-

334 МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ [ГЛ. X
щественное отличие от случая уравнения (1.1). Именно,
всякое обобщенное решение оказывается в то же время и
точным. Это вытекает из того, что, за исключением, быть
может, нескольких, все Х„ положительны, а для таких Х„
(10.3) дает:
В результате этого ряд (10.2) оказывается сходящимся и
допускающим почленное дифференцирование сколько угодно
раз, т. е. оказывается точным решением.
Что касается неоднородного уравнения
г, д*и . Л ди , ~ ди , „, ,ч
Pdlc*+RdJc+QU==di + F(X>V>
при тех же начальных и граничных условиях, то к нему
приложимы рассуждения § 9. Решение дается рядом
оо
*{*. 9=2т«(0ф«(*).
где Т„ определяется из уравнений
t;+x„t+f„=o,
Тп(0) = Сп (w = 0, 1, 2,...).
Ввиду изложенного в §§ 7—10 в задачах, которые мы
будем решать в следующей главе, мы можем не заниматься
исследованием сходимости получающихся рядов, поскольку
нам теперь известно, что ряд, получающийся в результате,
всегда определяет решение (точное или обобщенное). Правда,
некоторые из упомянутых задач, строго говоря, не подходят
под изученный нами тип, но можно доказать, что сказанное
приложимо и к ним.
ГЛАВА XI
ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Уравнение колеблющейся струны. Рассмотрим
натянутую однородную струну, закрепленную в концах.
В покое струна имеет форму прямой. Эту прямую примем
за ось Ох и будем считать, что концы струны находятся
в точках дг=0 и дг = /(/—длина струны). Если отклонить
струну от положения равновесия (или придать ее точкам
некоторые скорости), а
затем предоставить самой
себе, то струна начнет
колебаться. Ограничимся
рассмотрением случая малых
колебаний струны. Это
позволяет считать длину
струны неизменной. Колебания
будем считать
происходящими в одной плоскости токим образом, что каждая точка
струны движется в направлении, перпендикулярном к Ох.
Пусть и = и(х, f) обозначает величину отклонения в
момент t точки струны с абсциссой х. При каждом
фиксированном значении t график функции и = и{х, f)t очевидно,
дает форму струны (черт. 47).
На элемент АВ струны (черт. 47 ) действуют силы
натяжения 7\ и Т%, направленные по касательной к струне (мы
предполагаем пока, что на струну никакие другие силы не
действуют). В положении покоя натяжение Т во всех точках
струны одинаково. Поскольку, как мы уже говорили, длину
струны можно считать неизменной, поскольку можно считать
неизменным и натяжение. Поэтому Тх и Т% по величине
совпадают с Т, хотя и различны между собой по направлению

336 ПРИЛОЖЕНИЯ ^ГЛ. XI
(их направления вследствие кривизны элемента АВ несколько
отличны от противоположных). Следовательно, в
направлении оси Ои на элемент АВ действует сила
7[sin (<р-\- Д<$>) — sin <p] ^
= TVU(X + Ux,t)bx (0<в<1).
Считая элемент Длг весьма малым, согласно закону Ньютона
можем написать:
рд4"=га>. о.»
где р — линейная плотность струны. Положив — = а2 и
сократив на Дат, получим:
Мы получили уравнение свободных колебаний струны. Если
бы на струну, помимо натяжения, действовала еще некоторая
сила F(x, t), которую будем считать отнесенной к единице
длины, то вместо уравнения (1.1) мы получили бы:
pbx^=T^bx + F(x,t)Ax,
откуда
dt%~ дх*^~ р * V-6>
Это есть уравнение вынужденных колебаний струны.
Мы займемся сейчас задачей: зная форму струны и
скорость ее точек в начальный момент (£==0), найти ее форму
в любой момент t. Математически эта задача сводится к
решению уравнения (1.2) — случай свободных колебаний или
(1.3) — случай вынужденных колебаний при граничных
условиях
»(0,9 = и(/,0 = 0 (1.4)
§ 2] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 337
и при начальных условиях
н (*,()) =/(*), *Ц*^- = *(*Х (1.5)
где f(x) и g(x)— заданные непрерывные функции,
обращающиеся в нуль при лг = 0 и при х = 1.
Уравнения (1.2) и (1.3) являются частными случаями
рассмотренных нами в гл. X.
§ 2. Свободные колебания струны. Мы не будем
пользоваться готовыми формулами предыдущей главы и
воспроизведем рассуждения, следуя методу, изложенному там в § 1.
Ищем частные решения (отличные от н = 0),
удовлетворяющие граничным условиям, в виде
u(x,t) = <&(x)-T(t). (2.1)
Подстановка в (1.2) дает:
ФТ" = а8Ф"Т,
откуда
Ф" Т" ^ .
-=- = -5= = — X = COnst
Ф д"Т
и, следовательно,
Ф" = — ХФ, (2.2)
Т" = — ааХТ. (2.3)
Чтобы функция (2.1), отличная от тождественного нуля,
удовлетворяла условиям (1.4), очевидно, нужно потребовать
выполнения условия
Ф(0) = Ф(/) = 0. (2.4)
Мы пришли к краевой задаче для уравнения (2.2) при
условии (2.4). Ввиду теоремы § 5 предыдущей главы (см. также
замечание) все собственные значения нашей задачи
положительны •). Поэтому вместо X мы вправе писать Xя. Тогда
*) Это можно проверить и непосредственно, рассмотрев
решение уравнения (2.2) при X ^0. Проделав это, читатель сможет
убедиться в невозможности удовлетворить условию (2.4).

338 приложения [гл. xi
уравнения (2.2) и (2.3) примут вид
Ф"-}-Х2Ф = 0, (2.5)
Т" + ааХаТ = 0. (2.6)
Из уравнения (2.5) находим:
Ф = d cos Xх -f- С9 sin Xx (Ct = const, C9 = const).
При л: = 0 и при х = 1 должны получить:
Ф(0) = С1==0,
Ф(/) = Са8тХ/=0.
Приняв С9 Ф 0 (в противном случае было бы Ф = 0),
найдем Х/=тсл (п — целое). Полагаем Са=1,
K=Jj~ (Л=Ь 2,...)
и получаем собственные функции
Фп(х)=вт^- («=1, 2,...)
(отрицательные п не рассматриваем, так как они с точностью
до постоянного множителя дали бы те же собственные
функции, что и для соответствующих положительных п; к тому
же и § 4 предыдущей главы говорит, что каждому
собственному значению X9 отвечает в указанном смысле лишь одна
собственная функция).
При Х = ХЯ уравнение (2.6) дает:
Т„ = Ап cos aknt -f- Вп sin aknt =
= An cos—j—f-Bnsin-^— (n=l, 2,...)
и, следовательно,
un{x* t) = \An cos ——f-B„sm —j-j sin — (2.7)
(л=1, 2,...).
§ 2] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ
Чтобы получить решение вадачи, полагаем
339
00
U(X, t)=^Un(X, 0 =
п=»1
= £ (д, cos «=* + B„sin 2?L) sin ^- (2.8)
и требуем, чтобы
00
и(х, 0) = 2Л«81п ПГ^/***
дм (л:, 0) _
dt ~
= IZ (-Л«-Г8Ш ~l Ь-В»-Г C0S "7"J S1" T"Jm>—
n=l
CO
2n оял . ялд: , ч „ч
Bn-j-sm-r==g(x)*).
я=1
Следовательно, мы должны f{x) и #(*) разложить
в ряды по системе {sin ^}. Формулы для коэффициентов
Фурье дают:
i
An==1^f(x)shl^Ldx («=1,2,...), (2.9)
„ отел 2 Г / \ . яялг j„
или
2
В„=— f ^(jc)sin-^-^ fa = l,2,...). (2.10)
л отел J *
*) В соответствии с методом § 1 предыдущей главы ряд
дифференцируется почленно.

340
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. XI
Таким образом, решение нашей задачи дается рядом (2.8),
где Ап и Вп определяются формулами (2.9) и (2.10).
Мы видим, что колебательное движение струны слагается
из отдельных гармонических колебаний вида (2.7), или, что
то же,
„ . (aunt | \ . ппх
ип = Нп-sin \-j- -f a„J • sin —,
__A.
где Нп = УА%-\-В*„, sin an=jf, cos a„
en
Амплитуда колебаний каждой точки л; зависит здесь
лишь от положения этой точки и неизменно равна числу
Я„
sin
ъпх
I
Точки, для которых лг = 0, —,
2/
{п-\)1
/, оста-
п п ' ' п
ются на месте: это — «узлы». Тем самым струна,
колеблющаяся по закону (2.7), разбивается
на п участков, в концах которых
колебаний нет. На соседних
участках отклонения струны различны по
знаку. Середины участков —
«пучности» — колеблются с наибольшей
амплитудой. Такого рода явление
носит название стоячей, волны.
На черт. 48 изображены
последовательные положения струны,
колеблющейся по закону (2.7),
для п= 1, 2, 3, 4. В общем случае,
когда струна колеблется по закону
(2.8), основной тон
определяется составляющей ut с частотой
периодом tj = — = 2/ 1/ _L. Осталь-
Черт. 48.
О),
ные тоны, издаваемые струной, или обертоны с частотами
т у± и периодами тл= - = - |/^
апп
§ 3] ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 341
характеризуют тембр звука, его «окраску». Если зажать
струну в середине, то четные обертоны, для которых
середина струны является узлом, естественно сохранятся. Что
же касается основного тона и нечетных обертонов, то они
сразу заглохнут, так как, зажав струну в середине, мы по
существу дела от струны длины / перейдем к струне
длины -к-, а замена / на -^ в (2.8) приведет к ряду лишь с
четными составляющими. Роль основного тона будет играть
обертон с периодом т9 = — = -j.
§ 3. Вынужденные колебания струны. Рассмотрим
случай периодической возмущающей силы, т. е. положим:
—v ' / = A sin (at.
Р
Тогда
00
£&4-=Asto*t=2 Р;Юв1п=5£, (3.1)
я—1
где
i
Fn(t) = j f A sm<utsin?j?-dx = ¥-[l— (— l)M]sinarf
(л=1,2,...).
Положим:
со
*(*.*)= 2! Тв (0 eta 2£. (3<2)
л=1
Подставив (3.2) и (3.1) в (1.3) и выполнив почленное
дифференцирование, получим:
f (T;+^T„-^[l-(-in-sinW)sin=f = 0,
^[1—(—l)"]sinarf = 0. (8.3)
л=1
откуда
г"п+-
Для краткости
1*
тп-
положим:
<°п
апп
~~Т~
(л=1,2,...)

342 приложения [гл. xi
(в этих числах мы узнаем частоты свободных или
собственных колебаний струны). Тогда уравнение (3.3) можно
переписать так:
т;+ш»Тл = ^[1-(-1)п]8И1и>*. (3.4)
Решив его, получим:
Тп=Лясо5«^ i-B„sinM+ 2AV-(-W sinvt (3.5)
* я '
(если шп^ш). Чтобы удовлетворить условиям (1.4) и (1.5),
требуем:
00
«С*. 0)= 2Т„(0) sin^ ==/(.*),
я=1
Подсчет коэффициентов Фурье для f(x) и g(x) дает (см.
также (3.5)):
Тя (0) = Ап = Н f{x) sin ^ dx, (3.6)
о
Я"~ /^ J ^W / ™*>« (со* _ <о») ' ^* '*
Если (3.6) и (3.7) подставить в (3.5), а затем найденное
выражение для Т„ подставить в (3.2), то получим:
или
"4~' - sin'2*^')**
м . . . (2ft + О тс
4^о S sin w«+1 *' sm * / —
§ 41 УРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ 343
где положено
i
в~п=-^ J «"(Jf) sin ^jdx.
о
Вспомнив выражение для шт в первой сумме справа в (3.8)
читатель без труда узнает функцию, дающую свободные
колебания струны при условиях (1.4) и (1.5) (см. (2.8), (2.9),
(2.10)). Следовательно, вторая и третья суммы — это тот
корректив, который вносится наличием возмущающей силы.
Среднюю сумму обычно называют «чистыми» вынужденными
колебаниями, поскольку они осуществляются с частотой
возмущающей силы.
Равенства (3.5) справедливы, если шп ф ш. Посмотрим, что
будет, когда ып = ш, т. е. частота возмущающей силы
совпадает с одной из собственных частот. В этом случае
уравнение (3.4) дает:
At
Т„ = Д, cos <•>*-}-£„ sin urf— — [l—(_l)«]cosarf,
откуда мы видим, что при п нечетном в слагаемом
Т„ (t) sin -у суммы (3.2) амплитуда колебания
я= т/^-^' + в;. sin ^
неограниченно растет вместе с t, т. е. наблюдается явление
резонанса.
§ 4. Уравнение продольных колебаний стержня.
Рассмотрим однородный стержень длины /. Если несколько
растянуть или сжать его вдоль продольной оси, а затем
предоставить самому себе, то он начнет совершать продольные
колебания. Направим ось Ох вдоль оси стержня и будем
считать, что в состоянии покоя концы стержня помещаются
в точках х = 0 и х = 1.
Пусть х — абсцисса некоторого сечения стержня, когда
последний находится в покое. Обозначим через и = и(х, t)
величину смещения этого сечения в момент времени t.
Рассмотрим элемент АВ стержня, концы которого в
состоянии покоя находятся в точках х и x-\-Lx. В момент t

344
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
концы этого элемента занимают положения А' и В' в
точках с абсциссами х -\-и (x, t) и (x-\-kx)-\-u(x-\-kx,t)
(черт. 49). Поэтому элемент АВ в момент t имеет длину
Ч h
fir В'
+
x+ufat) x+Ax+ufx+Az.t)
Черт. 49.
Да: -f- и (л: -|- Ах, t) — и(х, f). Следовательно, его
абсолютное удлинение имеет величину
и(* + Д*, t)-u(x, t) = du(x+d*x*x>e)bx <О<0<1),
а относительное удлинение равно
ди (х + А Аде, О
В пределе при Ддг-^0 для относительного удлинения в
сечении х получаем значение
ди (х, t)
дх •
По закону Гука натяжение Т в сечении х дается
формулой
T — Es-
1 — CS дх'
где Е — модуль упругости материала стержня, as — площадь
поперечного сечения.
Вернемся опять к элементу АВ, занимающему в момент t
положение А'В*. На этот элемент действуют силы натяжения
7"i и Тъ приложенные в точках А' и В' и направленные
вдоль Ох (других сил пока не рассматриваем).
Результирующая этих сил имеет величину
Т —T=Es ( ди(х + *х> *) _ди (*> Q)_
а ! \ дх дх J
| 4] УРАВНЕНИЕ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ 345
и направлена также вдоль Ох. Считая элемент АВ весьма
малым, можем писать:
А д*и г, д*и А /л л\
ps Ьх -^ = Es -^ Ьх, (4.1)
dt* ~~ дха
Е ,9
где р — плотность материала стержня. Положив —=а и
сократив на Да: и s, получим:
dt*~a дх"' ^'Z)
Мы получили уравнение свободных колебаний стержня. Это
уравнение имеет тот же вид, что и уравнение свободных
колебаний струны.
Если на стержень действует еще сила F(x, t), которую
считаем отнесенной к единице объема, то вместо (4.1)
получаем:
9sbx^ = Es^bx + F(x, t)sbx,
откуда
W~ ** дх
&и_ од'-и , F(x,t) (Л .
Это — уравнение вынужденных колебаний стержня (ср. (1.3)).
Мы решим задачу: найти смещения сечений стержня в
любой момент t по заданным начальным и граничным условиям.
Граничные условия могут быть заданы различным образом
в соответствии со случаями: 1) стержень закреплен в обоих
концах, т. е.
н(0, f) = u{l, /) = 0;
2) один конец закреплен, другой свободен, т. е.
и (0,0=0, ^|^=0 (4.4)
(на свободном конце натяжение равно нулю, и следователь-
но, j-= 0j; 3) оба конца свободны и т. д.

346 ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. 41
Остановимся на втором случае, т. е. на условиях (4.4).
Начальные условия имеют знакомый нам вид
и(х, 0) =/(*), d±^==g(X) (4.5)
(заданы смещения сечений стержня в начальный момент и
начальные скорости перемещения этих сечений).
§ б. Свободные колебания стержня. Как и в случае
струны (см. § 2), ищем частные решения вида
и{х, t) = 0(x)T(t)
и приходим к уравнениям
Ф" + Х2Ф' =0, (5.1)
T"-faaXaT = 0 (5.2)
при условиях
Ф(0) = Ф'(/) = 0- (5.3)
Уравнение (5.1) дает:
Ф = d cos Хд: -}- С9 sin Хл: (Ct = const, Ca = const).
При х = 0 и х = 1 в силу (5.3) должны получить:
Ф(0) = С1=0.
Ф'(/) = С9Хсо5 Х/=0.
Считая Са -ф 0 (в противном случае имели бы Ф = 0), отсюда
находим: Х/=-—~]Г (л— целое). Полагаем:
2
©„(*) = sinX„*=sin^^(« = 0, 1, 2,...)
(5.4)
(отрицательные п новых собственных функций не дадут).
При Х = ХЯ из уравнения (5.2), находим:
тя = А» cos аХл*-|-£л sinаХя* (п = 0, 1, 2, ...).
§ 5] СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 347
Следовательно,
ип (х, t) = (Ап cos dknt -f- Вп sin a\nf) sin Хлдг
(л = 0, 1, 2, ...).
Для решения задачи составляем ряд
00
U(X, t)= 2 Un(*> 0 =
со
= У (Ля cos akj -f- Вп sin яХ„0 sin \nx (5.5)
я=0
и требуем, чтобы
со
и(х, 0)= 2] Л, sin Хя* =/(*).
га=0
du(y, 0)
dt ~~
00
= [ 2 (— К аК sin аХя* + Вп akn cos аХя*) sin Хя*] <=о=»
л-Ю
со
= 2 £паХл sin Хял; = £■(•*).
л=0
Подсчет коэффициентов Фурье для f(x) и ^(д:) по системе
{sin Хплг} дает:
i
\ f(x) sin X„jc dx
An=—t (n = 0, 1, 2, ...),
\ sinsX„x<lx:
\g(x) sin l.„xdx
Bnakn=J— (W = 0, 1, 2, ...).
■Ac
Ho
V sin1 X„x <
\ sin9Xnjcrfjc:= у l (1 — cos 2\nx)dx = -^t

348
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
и поэтому
I
Ап=-г \ f(x)s'm'knxdx (n = 0, 1, 2, ...),
В« = Ж^1J g№ sin XflXdx == <5*6)
= (2МП)^1 «•(^sinX^djc (л = 0, 1, 2, ...)
(см. (5.4)).
Итак, решение задачи дается формулой (5.5), где Ап и
Вп определяются равенствами (5.6). Таким образом,
колебательное движение стержня слагается из гармонических
колебаний
ип = (Ап cos dknt -f- Bn sin aXnt) sin Хялг (5.7)
или
un = Hn sin (aknt -4- <xn) sin X„*,
где
Я„=1/Лй+£п, sina„ = ^, cosan=g*.
Амплитуда колебательного движения (5.7) зависит лишь
от положения сечения х и неизменно равна числу
(2л+1)тиг
Hn\s\nlnx\ = Hn\s'm
2/
Что касается частоты, то для нее имеем:
m —п\ _(2п+1)ак_(2п+ !)«., /Т
% —а*и — 27 — 2f~V 7*
и, следовательно, период дается формулой
2* 4/ __ 4/ т/Т"
Тп — <о„~(2л+1)а — 2л + 1 К £'
Основной тон в колебании стержня получается при « = 0.
Он имеет амплитуду
§6]
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ
349
частоту
и период
те -ш/~Е
Следовательно, для основного тона в закрепленном конце
стержня, т. е. при лг = 0, имеем узел, а в свободном конце,
т. е. при х = 1, —пучность (черт. 50).
х =0
х=1
Черт. 50.
§ 6. Вынужденные колебания стержня. Рассмотрим
случай, когда стержень подвешен за конец л: = 0 и
возмущающая сила есть сила тяжести, т. е.
F(x,t) = p-g
(сила F(x,t) отнесена к единице объема). Уравнение
колебаний для данного случая имеет вид
д>и ..... , (61)
в d8a ■
(см. (4.3)) при граничных условиях (4.4) и начальных
условиях (4.5). Положим:
00
u(x,t) = ^Tn(t) sm\nx,
п=0
со
=*=2! рп*™ьпх,
F(x,t)
Р
где
jf-
sin Хдд: dx
п=0
.%
(6.2)
I
sin8 X_jc dx
"Я,
(n = 0, 1, 2,...).

350 приложения [гл vi
Подставив ряды (6.2) в (6.1) и перенеся все члены влево,
получим:
00
2 (т« + а*ЪТп - 2£) sin Хпх = 0,
п=0
откуда
Тя + а9ХяТя-^==0 (я = 0, 1, 2, ...).
Решения этих уравнений имеют вид
Тя = Ап cos aknt -f £„ sin аХя* + ^Jfr (я = 0, 1,2,...).
Чтобы удовлетворить условиям (4.5), требуем:
со
U (X, 0) = 2 Т« (°> Sin Х«* =/(*Х
л=0
Подсчет коэффициентов Фурье для f{x) и ^(лг) по системе
{sin^jc} дает:
i
Т„ (0) = Ап + ^ = \ f /(*) sin Хя* «**,
Т„ (0) = Яп аХл = |^ g(x) sin Хй* d*
о
(ср. (5.6)), откуда
2 _-, 2£
А, =7 f /С*) sin Хял: dx — ^ = Ля
Б"~Ш~п У g№ sin Х»х dx (л = °» *» 2» • • •)•
§ 7] КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 351
Поэтому
со
и (л:, 0 = 2 ( Ai cos аК* + Вп sin aknt) sin Хпд: —
2^ V) cos aKnt sin Хял: r 3g у sin lnx
la» £ X» "Г /flS^/j X» '
n=0 n=0
В первой сумме справа читатель без труда узнает функцию,
дающую решение задачи о свободных колебаниях стержня
при тех же условиях (4.5). Следовательно, вторая и третья
суммы дают поправку на действие силы тяжести.
§ 7. Колебания прямоугольной мембраны. Мембраной
называют свободно изгибающуюся, натянутую на некоторый
плоский контур пленку. Когда мембрана находится в
спокойном состоянии, все ее точки лежат в одной плоскости,
которую примем за плоскость хОу. Если мембрану вывести
из состояния покоя и затем предоставить самой себе, то она
начнет колебаться. Мы будем рассматривать малые колебания
мембраны и будем считать, что площадь ее неизменна, а
колебания каждой точки совершаются в направлении,
перпендикулярном к плоскости хОу. Обозначив через и == и (х, у, t)
величину отклонения точки (х, у) мембраны от положения
покоя, рассуждением, сходным с проделанным для струны,
можно получить уравнение свободных колебаний мембраны
в виде
dt* — \дх* "1" душ]' *'л'
а для вынужденных колебаний
д%и _ гз (&и , d»u\ , F(x,y,t) п 9.
Здесь с9 = —, Т—натяжение мембраны, р — ее
поверхностная плотность, F(x, у, t) — сила, отнесенная к единице
площади.
Задача о колебаниях мембраны ставится так:
Нужно найти решение уравнения (7.1) или же (7.2), т. el
нужно найти смещения точек мембраны в любой момент I

352
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
при граничном условии
и = 0 (7.3)
на контуре (мембрана закреплена) и начальных условиях
и{х,у, 0)=/(дг, у) (7.4)
(заданы начальные смещения мембраны),
***jjb*=g(.x. У) (7.5)
(заданы начальные скорости точек мембраны).
Мы остановимся на случае свободных колебаний
мембраны, представляющей собой прямоугольник R(0^x^a,
Os^y <^b). Задача отличается от рассмотренной в
предыдущей главе тем, что функция и зависит уже не от двух
переменных, а от трех. Тем не менее мы опять применим
метод собственных функций и начнем с отыскания частных
решений вида
и = Ф(х,у)-ТУ), (7.6)
отличных от тождественного нуля и удовлетворяющих
условию (7.3) на контуре прямоугольника /?.
Дифференцируем (7.6) и подставляем в (7.1). Это дает:
*т,~«'(£+|?)-т.
откуда
д*Ф , д*Ф
дх*
dvs Т"
-=*—= -™ = — X9 == const *),
Ф с8Т
и, следовательно,
£ + £ + *•» = <>. (7.7)
Т"-|-саХ2Т = 0. (7.8)
причем, что легко сообразить, функция Ф должна удов л е-
*) То, что постоянную здесь не следует брать положительной,
видно хотя бы уже из того, что в противном случае коэффициент
при Т в уравнении (7.8) был бы отрицателен, решение этого
уравнения оказалось бы непериодическим, и мы не имели бы колебаний,
что противоречит опыту.
§ 7] КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 353
творять условию
Ф = 0 (7.9)
на контуре прямоугольника.
Займемся уравнением (7.7) при граничном условии (7.9).
Фиксируем X и ищем частные решения этого уравнения,
удовлетворяющие условию (7.9) на контуре, в виде
Ф = ?(■*) 4» О* (7Л0)
Подстановка в (7.7) дает:
или
чГ
■ 9
откуда
где положено
Уравнения (7.1
ф" + X" 1
~~ *
<?" + k\ =
Р-.
1) дают:
' о
- _ —- л — lunai.
:0, ф"-{-/*ф = 0,
= Ха — k\
(7.11)
(7.12)
<р (х) = Сх cos kx -f- Са sin kx, ф (х) = С3 cos ly -f- C4 sin ly\
Cit Cs, C3, Ci — постоянные. Из условия на контуре
прямоугольника вытекает, что
T(0) = f(e) = 0, ф(0) = ф(£) = 0,
и поэтому
d = С3 = 0, С9 sin ka = Ск sin lb = 0,
откуда ka = тк, lb = niz, m,n — целые. Полагаем С9 = C4 = 1,
km = —, lm = j- (/w=l,2,..., n=l, 2,...)
и получаем:
?m № = sin km* = Sin — , ф„ (y) = Sin lnX = sin -y
(m=\, 2,..., n=l, 2,...)
(отрицательных т и п не рассматриваем, так как они с
*) В случае положительной постоянной мы не сможем
удовлетворить условию на контуре.

354 приложения [гл. xt
точностью до постоянных множителей дают те же функции
9т и Фя)-
В силу (7.10) и (7.12) при
для уравнения (7.7) получаем следующие частные решения,
удовлетворяющие условию на контуре:
<*W О*. У) = 9т (*) % (У) = sin ^ sin ^.
Для каждого Х = Хтм решаем уравнение (7.8). Это дает:
Ттп (0 = &тп COS ckmnt -f Втп Sin dmnt
Следовательно, функции
нтл С*» у, t) = (Amn cos c\mnt -f Втп sin c\mnt) sin ^ sin ^
(7.14)
(/w=l,2,..., n=l,2,...)
являются частными решениями уравнения (7.1),
удовлетворяющими контурному условию (7.3).
Чтобы получить решение уравнения (7.1),
удовлетворяющее и начальным условиям, полагаем
со
U{X, y,t)= ^ итп(*> У, 0 =
т, п=1
со
= 2 ^Атп cos сХяш' ~^~Втп sin cXnin^sin ^гsin ^ (7Л 5)
от, п==1
и требуем, чтобы
со
и (х, у, 0) = ^ Лтп sin — sin -у =/(*, у),
т, л=1
<fa(x, J>, 0)_
ы —
со
= [2 (— Атпс\тп sm c\mJ-^Втпс\тп cos c\mnt)X
т, л=1
со
ч . . ятл: . тепу! "V г, л • к™* • ЯЛ.У
Х sm __ . Sln /J^=2 ^от* <*«я Sin — Sin Tu
m, и—I
§ 7] КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ 355
Предполагая разложимость f(x, у) и g(x, у) в двойные
ряды Фурье по системе [ sin ^^ sin ^у }, в силу § 4 гл. VII
получим:
А™ — 1& \\^х* y)sm ^Г sin ПГ^*^ (7Л6)
и
или
BmtAmn = ^ ] J £ С*, У) Sin ^ Sin ^ d* rf>/,
Bmn~abc
j^ J £#(•*» .У) sin^y sin ^ d*d[y *). (7.17)
Таким образом, решение задачи дается рядом (7.15), где
Атп и Втп вычисляются по формулам (7.16) и (7.17).
Частоты собственных колебаний прямоугольной мембраны
имеют вид (см. (7.13) и (7. 14))
штп
(т=1, 2,..., п=1, 2,...),
а соответствующие периоды
2п
хтп:
(т=1, 2, ..., л= 1, 2, ...).
Случай мембраны отличается от случая струны тем, что
для последней каждой собственной частоте отвечает свое
единственное расположение узлов, в то время как для
мембраны одной и той же собственной частоте может отвечать
*) В § 4 гл.УП мы разлагали функции в ряд Фурье в
прямоугольнике вида (—1^x^.1,—h^y^h). Если же мы хотим
разложить f(x, у) в прямоугольнике вида (О^х^а, 0^.у^Ь)
{. птх . ппхЛ
sin sin —г- \ t то этого можно достичь нечетным
продолжением f(x, у) сначала по х, а затем по у. При этом
формулы для коэффициентов Фурье будут иметь вид (7.16).

356 ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
несколько положений узловых линий, т. е. линий, в точках
которых смещений нет.
Поясним это на наиболее простом случае квадратной
мембраны, положив a = b=l. Для частот тогда получаем:
штя = сХтп = ъс Ут*-\-п*.
Вместо (7.14) можем, очевидно, писать:
итп=Нтп sin {<t>mnt -f- amn) sin ктх sin ппу,
где
тп *
sina =Ann cosa =йтп
/утя птя
Для основного тона, т. е. для т — п=1,
0)|, = ПС У%
un=Hn sin (о)„г -j- a„) sin тсд; sin wy,
откуда видно, что узловые линии отсутствуют. Полагаем
/»=1, п = 2 или т = 2, /i=l. Тогда одной и той же
частоте
О):
: 0),9 = 0)а1 == WC У 5
соответствуют два тона:
«19 = #19 sin (a>£ -j- a,9) sin vx sin 2 rcy,
K9i = #9i s in (arf -}- a9I) s in 2кх s in яу,
которые дают две узловые линии у = ~ и х=~-.
Но в колебании мембраны частоту ш имеет и «составной»
тон Hi9 + «9i и он приводит, вообще говоря, к новой
узловой линии. Действительно, положив для простоты <х19 = ам = О,
получим:
ип -|- им = sin fat (#19 sin кх sin 2яу -f- //91 sin 2ялг sin жу).
Отсюда вытекает, что линия с уравнением
#ia sin *jf sin 2яу -f- Ям sin 2ъх sin тсу=0 (7.18)
§ 7]
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ
357
будет узловой линией. В частности, при //1а == //а1 получим:
sin ъх sin 2тсу -|~ sin 2ъх sin «у ==
• = 2 sin тсл: sin тсу (cos тслг-|-cos тсу) = О,
что дает узловую линию
*-{-у=1.
При //9i = —//и аналогично найдем узловую линию
х —у = 0.
Таким образом, «составной» тон ип-\-и91 с изменением
коэффициентов //,2 и //м будет давать новые узловые линии,
fei
(5)
(*J
i
i
i
ч
N
Ч
ч •
ч
N
i
1
1
- ■ —J
/
S
/
Ч У
/\
Черт. 51.
определяемые каждый раз уравнением (7.18). Следовательно,
заданной частоте может отвечать бесконечное множество
узловых линий. Найденные нами простейшие узловые линии,
отвечающие частоте о) = тсс]/г5, изображены на черт. 51, а.
Положим, далее, т = 2, л = 2. Получим частоту
а)аа = izc у 8
я единственный тон
и29 = //9а sin (a)92f -\~ aw) sin 2ъх sin 2яу.
Узловой линией оказывается совокупность точек плоскости,
для которых либо х = ^> либ° У=о. Ссм« чеРт« 51, б).

358
ПРИЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. X!
На черт. 51, в изображены простейшие узловые линии,
отвечающие частоте
a) = u)13 = u)31 = ircj/A10. #
§ 8. Радиальные колебания круглой мембраны.
Рассмотрим круглую мембрану радиуса /. В плоскости хОу,
удобства ради, введем полярные координаты, приняв центр
мембраны за начало. Замена переменных по формулам х =
= rcos0, y = rsinQ преобразует уравнение (7.1) к виду
dt* — Idr* "Г г дг ~г г8 аеа) • *вл'
а уравнение (7.2) — к виду
Остановимся на случае свободных колебаний круглой
мембраны, т. е. на случае уравнения (8.1) и предположим,
что начальные смещения и начальные скорости точек
мембраны не зависят от угла б. Тогда ясно, что и при любом t
смещение не будет зависеть от 8, т. е. будет u = u(r, t).
Колебания в этом случае называются радиальными, и
уравнение (8.1) упрощается:
Граничное условие принимает вид
и(/, 0 = 0, (8.4)
а начальные условия —
и (г, 0)=/(г),
М=^(г). (8.5)
Следуя прежнему методу, ищем частные решения
уравнения (8.3), удовлетворяющие условию (8.4), в виде
u(r,t) = R(r)T(t).
Дифференцирование и подстановка в (8.3) дают:
§ 8] РАДИАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ 359
откуда
_—— = -^ = - Ха = const,
и, следовательно,
/T+-pfl' + W=0, (8-6)
Т" + с2Х2Т = 0. (8.7)
Уравнение (8.6) есть уравнение Эйлера — Бесселя индекса
р = 0 с параметром (см. § 11 гл. VIII). Его общий
интеграл имеет вид
fl(r) = C1Jr,(*r) + C,Ki(Xr).
Поскольку F(Xr) не ограничена вблизи значения г = 0,
мы вынуждены положить С2 = 0. Чтобы получить решение,
отличное от R = 0, нужно считать Ci Ф 0. Тогда из
граничного условия (8.4) следует:
Л(М) = 0,
т. е. jx = X/ должно быть корнем функции УоСн*)*
Полагаем Ci = l,
Rn (г) = А (V) = Л iff) (« = 1. 2, ...), (8.8)
где (ая = Хя/ есть л-й положительный корень функции ЛО*)*
Уравнение (8.7) дает для Х=АЯ:
Тя (0 = Л„ cos сХя* -}- £я sin сАя/ (л = 1, 2, ...).
Следовательно, для уравнения (8.3) нами найдены частные
решения (удовлетворяющие условию (8.4)) вида
н« (г, t) = (А„ cos c\nt + В„ sin сХ„0 70 (Аяг) (8.9)
(я=1, 2,...).
Чтобы получить решение уравнения (8.3),
удовлетворяющее как граничному условию (8.4), так и начальным уело-

360 ПРИЛОЖЕНИЯ Ггл. XI
виям (8.5), полагаем
со
«(Г, 0 = 2 (Ап cos СК* + вп sin <V) Л (V) (8.10)
и требуем, чтобы
00
«(r,0)=2^«Jo(V)=/(r),
я=1
со
"(^° =[ 2 (~~ Л"а« Sln СХ"* + В»'Х» C0S cXnO J» (Х«Г) ]/==0 =
я=1
оо
= 2I^Vo(V)==iKr).
Подсчет коэффициентов Фурье для /(г) и ^(г) по системе
{^(V)} (см. § 10 гл. IX) дает:
Ап = /VfV„) * I Г/(Г) Л (Х"Г) dr» <8'11)
г
В»сХ"=1й1<й~д ' fr£(r)Jo(X"r)dr'
о
или
I
^-з^кт' }'*(')ллл*. (8.12)
Таким образом, решение задачи дается рядом (8.10),
где коэффициенты Ап и £я определяются формулами (8.11)
и (8.12).
Отдельные гармонические колебания (8.9), из которых
слагается сложное колебание мембраны, могут быть
представлены в виде
"« (г, t) == И„ sin {clnt -\- an) /0 (Хяг),
§ 9] КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 361
где
л.~ •*:+/%
— *п
sma„=„
cos ап==
5»
//я*
Собственные частоты мембраны имеют вид
">„ = <*„=<£?•
Амплитуда колебаний каждого тона
ип\ЧКг)\
зависит лишь от г. Узловые линии получаются из уравнения
Л(Хяг) = 7(^) = 0 (0<г<()
(см. (8.8)). Для л=1 узловых линий нет. Для п— 2 узловая
Черт. 52.
линия получается при г = — /, для я = 3 — при г = — /,
г = — / и т. д. На черт. 52 изображены разрезы и узловые
линии мембраны, колеблющейся по закону (8.9) при п= 1, 2, 3.
§ 9. Колебания круглой мембраны (общий случай).
Задача о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса /
в общем случае сводится к решению уравнения
d*u_ i(dht_i_]_du_i_j_^u\
dt* "
12 Г. П. Толстое
а 1д*и ■ 1 ди ■ 1 даи\
(9.1)

362 приложения [гл. xi
(см. начало § 8) при граничном условии
и (/,6,0=0 (9.2)
и при начальных условиях
и(гЛ0)=/(г,6),
^0)^,6). №
Ищем частные решения, отличные от м = 0 и
удовлетворяющие граничному условию (9.2), в виде произведения
и(г,М) = Ф(г,6)Т(г).
Подстановка в (9.1) дает:
откуда
ф = cir = — Хя= const *).
Следовательно,
Т" + саХ8Т = 0, (9.5)
причем, чтобы удовлетворить граничному условию (9.2),
должны потребовать:
Ф(/,8) = 0. (9.6)
Тем самым мы пришли к краевой задаче для уравнения
(9.4). Чтобы решить эту задачу, ищем для уравнения (9.4)
частные решения вида
4> = /?(r)F(8), (9.7)
*) Постоянную мы считаем отрицательной, так как в противном
случае функция Т оказалась бы непериодической, и мы не имели бы
колебаний, что противоречит действительному положению вещей.
§ 9] КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 363
отличные от Ф = 0 и удовлетворяющие условию (9.6).
Подстановка в (9.4) дает:
RTF + 7 #F + 7* *F" + WF == 0,
j = -р = — v2 = const *),
и, следовательно,
ratf" + г% + (XV* — va) R = 0, (9.8)
F" + v2F = 0. (9.9)
Последнее уравнение имеет решения вида cos v0 и sin v6;
так как при изменении 8 на 2к мы попадаем в ту же точку
мембраны, то функция и, а следовательно, Ф и F должны
иметь период 2я. Поэтому число v должно быть целым.
Итак,
v = «, « = 0, 1, 2
и решениями уравнения (9.9) будут:
cos/i8, sin «8 (п = 0, 1, 2,...) **) (9.10)
(отрицательные я с точностью до знака дадут те же
функции).
Уравнение (9.8) получает вид
r*R" + rR' -f Q?r* — яа) R = 0.
Это есть уравнение Эйлера — Бесселя (с параметром)
целого индекса п. Его общий интеграл имеет вид
«(г) = СЛ(Хг) + С,Кя(Хг).
Поскольку решение должно быть ограниченным, вынуждены
положить Са = 0 (так как при г-»-0 К„ (Хг)-*-оо).
*) Постоянная берется отрицательной, так как по смыслу задачи
функция F(e) должна быть периодической (см. (9.9) и далее).
•*) При ч = 0 уравнение (9.9) допускает еще решение вида СЬ,
которое нужно отбросить как непериодическое.
12*

364 приложения [гл. xi
Принимаем Ct = l. В силу граничного условия (9.6)
tf(/) = J„(*0 = 0,
т. е. А/=ц должно быть корнем функции ./„(ц). Полагаем:
1 У-пт
*пт / »
Rnm = Jn (КтГ) =Jn {^f) (9.1 О
(i»=l,2,..., л = 0,1,2,...),
где цяот есть /я-й по порядку положительный корень
функции Jn(p).
Таким образом, краевая задача для уравнения (9.4) при
граничном условии (9.6) имеет собственные значения Хяот
(см. (9.11)) и собственные функции (см. (9.7), (9.10) и (9.11)):
Фпт (Г, б) = J„ (X„mr) COS П 0,
Флт(Г' 6) = J« (^nmr) Sin Я б (я=1,2,..., /Я=1,2,...).
Для Х = ХПОТ уравнение (9.5) дает:
Тпт = Km COS cknmt -f £nm sin CknJ.
Поэтому частными решениями уравнения (9.1),
удовлетворяющими граничному условию (9.2), будут:
"пт (Г, б, 0 = {Апт cos c\nmt + #„„, sin cXnmf) Jn (X„mr) cos я б
(m=l,2,..., « = 0,1,2,...),
<m (Г' 6' 0 = (Лят COS C W + ^ш Sin АЯ|В9 Jn (X„mr) sin Л 6
(/я = 1,2,..., я = 1,2,...).
Чтобы получить решение уравнения (9.1),
удовлетворяющее и граничным условиям (9.3), составляем ряд
со со
к (г, е, о=2 2 1 (Лпт cos cXnm* "*" в"т sin cX"m^cos n e+
+ (A;OTcosCX„^-f^msm<:X„OTOsih«e].y„(^m'') (9.12)
и требуем, чтобы
и (г, 8,0)=
00 00
= 22 (Лят COS П 9 + Л«т8*П Я 6> Jn ^тГ) =/(Г, б),
n-»0 m — 1
§ 9] КОЛЕБАНИЯ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) 365
du(r,6,0)_
dt -
00 СО
ln-«0 m—l
оо со
= | J %[(—KmcKms™cKJ+Bnmc\nmcoscKmt)™sne+
+ ( — ЛЯОТ А«« Sin CW +
+ Вш <*»т C0S * W) Sin П 6J Jn (Х"«Г) L _ о =
=2 2(^«'»cX'»»cosne+
»-Om-l +^a„OTsin«e)J„(^mO = 5-('-,e). (9.13)
Чтобы найти коэффициенты этих разложений, рассуждаем так.
Пусть
со
/(г, в> = 2г/я (г) cos n e +/»(r) sin n 6]'
я-0
где %
(9.14)
/п(г)=1 j/(r,6)cosnerfe,
/;(r)=^jV<r'6)sinne
(л=1,2,...)
rfe
(9.15)
(иными словами, функцию /(г, б) мы разложили в
тригонометрический ряд Фурье по переменному 6). Каждую функцию
/я (г) и fn (г) Разлагаем в Ряд Фурье по системе {Jn Q<nmr)}.
Это даст:
со
где
fn (Г) = 2 C™J» ^«^ ^ W = 2 ^т^ (Х-«Г>*
• т = \ т = 1
/
О
(9.16)

[гл. xi
366 приложения
Подстановка в (9.14) дает:
00 СО
/(Г,в)=2 2 <-Cnm™SnV + C*nmSllineyjn(\nmr).
л=0/п«=1
Сопоставив это с первым равенством (9.13) и
воспользовавшись соотношениями (9.15) и (9.16), получим:
/1С
1
Лот == ^-0/п ==
тш) | *j f/(r- в> л <W) *
,4 =Г —
db
™ «ЧЬ?<к-) I* I r/(r'9) cos M- *-*>
0 —71
(л=1, 2 /w=l, 2,. ..),
-4* —Г* —
6 —it
(л=1, 2 т=\, 2,...).
Совершенно аналогично найдем:
lJnwr пт —
О
*шА
■ ъ1ч*п+1 (?пт) \dr§ Т« (г' е>cos л67« (W0
"о —я
(я=1, 2,..., т = 1, 2,...),
d8
лот
/ It
§dr$rg(r,B)smnern(\nmr)dB
(9.17)
(9.18)
"^5+1 (f^nm)
О -n
(w=l, 2,..., /«=1, 2,...).
Таким образом, решением нашей задачи будет ряд (9.12),
коэффициенты которого определяются формулами (9.17) и
(9.18).
§ 10] УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ 367
Простым гармоническим колебаниям иптп и vCnm,
составляющим сложное колебание (9.12), отвечает большое
разнообразие положений узловых линий. Так, для и01, ноа, м03
получаются узловые линии, изображенные на черт. 52. На
черт. 53 изображены узловые линии для и1а,
И82> И32.
Как и в случае прямоугольной мембраны,
одной и той же частоте может отвечать
бесконечное множество различных случаев
расположения узловых линий (в зависимости от
коэффициентов Апт, Впт, А*пт В^Х
§ 10. Уравнение распространения тепла
в стержне. Рассмотрим однородный
цилиндрический стержень, боковая поверхность
которого изолирована от внешнего пространства.
Направим Ох вдоль оси стержня и обозначим
через и(х, t) температуру в сечении стержня
с абсциссой х в момент t. Пусть АВ —
элемент стержня, заключенный между сечениями
х и х-\-Ах (см. черт. 49). Будем считать
промежуток Ы: времени столь малым, чтобы Черт. 53.
температуру в сечениях х и х-\-Ах можно
было принять неизменной (во времени). Опытом установлено,
что количество тепла q, протекающее через какой-нибудь
стержень, концы которого поддерживаются при постоянных
температурах, пропорционально разности этих температур,
площади сечения стержня, промежутку времени и обратно
пропорционально длине стержня. Поэтому для элемента АВ
можем написать: (0<^В<С\)
K-[u(x4-&x,t) — u(x,tj\-8-At „
q=s _ = K,
du(x + bbx,t) д
дх
(o<e<i),
где К—коэффициент пропорциональности, называемый
коэффициентом внутренней теплопроводности, s — площадь
поперечного сечения. В пределе при Ах -*• 0 мы получим
количество тепла Q, протекающее через сечение х, за
время М:
Q(x) = K-±sU. (юл)

368 ПРИЛОЖЕНИЯ [Г Л XI
Рассмотрим опять элемент АВ. Нетрудно сообразить, что
количество тепла AQ, которое получит этот элемент за
время At, выразится так:
AQ = Q(x-\-Ax) — Q(*) =
\_ дх дх J
=KsUAxdau(x+^x>» (0<е1<1) (10.2)
(следует иметь в виду, что тепло течет в направлении,
обратном тому, в котором возрастает температура). Величину AQ
можно подсчитать и другим способом.
Будем считать элемент АВ столь малым, что в каждый
данный момент температуру всех его сечений можно считать
одной и той же. Тогда
AQ = cps Ах [и (х, t -\- At) — и (х, t)] =
= ,PsA^"<^+M<> <0<в,<1). (10.3)
где с — теплоемкость вещества стержня, р — плотность (на
единицу длины) и, следовательно, ps Ах — масса элемента АВ.
Сопоставление (10.2) и (10.3) дает:
ди (х, t + 68Д*) д*и (х + вИх, t)
с? Ш = * Wi ,
и если перейти к пределу при At -► 0 и Ах ->■ 0, то
*£=а*?^ (10 4)
К
где положено а2 =—. Мы получили уравнение
распространения тепла в стержне (или уравнение теплопроводности в
линейном случае).
В зависимости от условий, в которых находятся концы
стержня, можно поставить несколько задач.
§11] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ 369
§ 11. Распространение тепла в стержне, концы
которого поддерживаются при нулевой температуре.
Задача состоит в отыскании решения уравнения (10.4) при
граничных условиях
и (0,0 = к (/,/) = 0 (11.1)
(дг = 0 и х = 1 — концы стержня) и при начальном условии
u(x,0)=f(x), (11.2)
где f(x) — заданная функция.
Уравнение (10.4) есть частный случай уравнения (1.2)
предыдущей главы и, следовательно, к нашей задаче прило-
жимы все изложенные там соображения.
Ищем частные решения (отличные от н = 0 и
удовлетворяющие граничным условиям (11.1)) вида
u(x,t) = <t>(x)T(t).
Подстановка в (10.4) дает:
ФТ' = а2Ф"Т,
откуда
%- = ^ = — X2 = const*).
Ф ааТ
Следовательно,
Ф"4-^Ф = 0, (11.3)
Т' + а2Х2Т = 0. (11.4)
Из уравнения (11.3) находим:
Ф (х) = d cos Ьх -\- С9 sin \x.
В силу условия (11.1) должны потребовать, чтобы
Ф(0) = С1 = 0,
Ф(/) = Са5тХ/=0.
Отсюда, считая С8 Ф 0, получаем Х/=ял (л — целое).
Полагаем С2= 1,
, ял
ля —Т*
фп (•*) = sin Кх = sin 7~j- (л = 1,2,...).
*) Почему постоянная здесь берется отрицательной, — предо»
ставляем судить читателю (см. § 2).

370 ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
При Х = Х„ уравнение (11.4) дает:
Т„ (t) = Ane ~aVKnt = Ane' ~W~ и Ап = const
(я= 1, 2, ...).
Таким образом, функции
ип (х, t) = Ап sin — е- —тг-
(я=1, 2,...)
представляют собой частные решения уравнения (10.4),
удовлетворяющие условиям на границе.
Чтобы удовлетворить начальному условию,
составляем ряд
/1=1
и требуем, чтобы
00
и(х, 0) = 2 Ап si" ^j-=f{x).
rt=l
Следовательно, нужно разложить /(х) по системе
| sin ^т—[. Подсчет коэффициентов Фурье дает:
Ап = ~ f f(x) sin ^rfjc (я=1, 2, ...)• (П.6)
Итак, решение задачи дается рядом (11.5), где
коэффициенты Ап определяются по формулам (11.6). Вследствие
наличия множителей е i* ряд (11.5), как легко
проверить, сходится равномерно для t^t6^>0, каково бы ни
было to ^> 0. То же справедливо для рядов,
получающихся почленным дифференцированием по х и по t
(любое число раз). Следовательно, сумма ряда непрерывна
и почленное дифференцирование законно (ср. § 10
предыдущей главы).
§ 12] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ 371
§ 12. Распространение тепла в стержне, концы
которого поддерживаются при постоянных
температурах. Задача состоит в отыскании решения уравнения (10.4)
при граничных условиях
и (0, t) = А = const, u(l,t) = B = const *) (12.1)
и при начальном условии
и(х, 0) =/(*). (12.2)
Решение ищем в виде ряда
со
и(х, 0 = 21 T«(')sin ™, (12.3)
где
Т„ (0 = т J и (х> 0 sin ?ПГ dx' (12'4)
Интегрирование по частям дает:
2 я L ял / Jjc=o ' L я л 0* * J*=o
/я Г д%и . тшл: .
яяля J d*s /
о
Так как и(х, t) удовлетворяет уравнению (10.4) и
условиям (12.1), то
Дифференцируя (12.4) no t, получим:
i
т,, 2 С ди . ппх .
T»=T^disin-rdx>
и, следовательно,
*) Граничные условия этой задачи, а также задачи § 13
имеют иной вид, нежели рассматривавшиеся нами ранее. Ниже
показывается, как можно действовать в подобных случаях.

372 ггрилож^ния 1>гл. sft
откуда
т; + ^~ Т„ = '^~ [А - (- 1)" В). (12.5))
Это уравнение дает:
я я ' it/Z
Чтобы удовлетворить начальному условию (12.2), требуем
выполнения равенства
00
и (х, 0) = 2 Т„ (0) sin ^=f(x).
Подсчет коэффициентов Фурье для f(x) по системе
i sin —j- г дает:
i
Тя(0) = Ля + 2.Л-(-1)ЯД==1Г /(*)sln^«tef
и поэтому
л. - И /w .ь у л» - 2. * - <- Ц*1». о")
Таким образом, решение задачи дается рядом (12.3), где
Тп определяется формулами (12.6) и (12.7).
§ 13. Распространение тепла в стержне, концы
которого находятся при заданных переменных температурах.
В задаче требуется найти решение уравнения (10.4) при
граничных условиях
м(о,о=?(0. и(/,о = т*(9 03.1)
(ф и <]> заданы) и при начальном условии
и(х, 0) =/(*). (13.2)
Решение опять ищется в виде ряда (12.3). Повторив
рассуждения § 12, получим для Тя уравнение
т;+^т„=2-£%(0-(-WO]
§ Н] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ 373
(это — то же соотношение (12.5) с заменой лишь А и В
на 9 и ф). ^ешив уравнение, получим:
о*тс*па . _ . аап*п* .
■ * , 2arnn 75— *
X ^~"75~ • h(0-(-i)n^(t)]dt (1з.з)
о
Чтобы удовлетворить условию (13.2), требуем, чтобы
со
и (х, 0) = У Тя (0) sin ^ =/(дг)(.
rt=l
Подсчет коэффициентов Фурье для f{x) по системе
J sin -т— } дает:
Тп (0) = Ап =£ $ f{x) sin ^ dx. (13.4)
о
Следовательно, решением задачи будет ряд (12.3), где Тя
определяется равенствами (13.3) и (13.4).
§ 14. Распространение тепла в стержне, в концах
которого происходит свободный теплообмен с
окружающей средой. Если через поверхность тела происходит
теплообмен с окружающей газовой средой, то количество тепла,
протекающее за время Д£ через площадку s, выражается
формулой
Q==H(u — u(i)sM1 (14.1)
где и — температура тела, и0 — температура внешней среды,
// — постоянная, называемая коэффициентом внешней
теплопроводности.
В случае задачи о распространении тепла в стержне
(боковая поверхность которого изолирована) при наличии
свободного теплообмена на концах сопоставление (10.1) и
(14.1) приводит к следующим граничным условиям:
при х — 0

374
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
при х = 1
ди
//(н-н0) = -*£
дх
или, положив h = jz. (й]>0),
(14.2)
Предположим сначала, что нв = 0. Граничные условия
приобретают вид
(Н.З)
Начальное условие — прежнее:
и(х, 0) =/(*).
(14.4)
Следуя принятому методу, ищем частные решения
уравнения (10.4), удовлетворяющие условиям (14.3), в виде
и(дг,0 = Ф(^)Т(0.
Подстановка в (10.4) дает:
ФТ' = а*Ф'Т,
откуда
Ф" Т"
-г- = —=— Х== const,
аЧ
и, следовательно,
" = —ХФ, 1 .
' = —ааХТ. J
(14.5)
(14.6)
Чтобы удовлетворить условиям (14.3), очевидно, нужно
потребовать:
Ф'(0) — АФ(0) = 0,
Ф'(0 + АФ(/);
) = 0. J
(14.7)
§14] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНВ 375
Мы пришли к краевой задаче для уравнения (14.6) при
условиях (14.7).
В силу § 5 гл. 10 все собственные значения этой
краевой задачи положительны. Поэтому вместо X можем писать
Ха. Вместо уравнений (14.6) при этом получим:
ф"4_Л*Ф=:0, (14.8)
T"-f а8ХаТ = 0. (14.9)
Из уравнения (14.8) находим:
Ф (дг) = d cos \х -f- С8 sin \х.
В силу (14.7) должны иметь:
CgX — hC\ = 0,
( —d sin X/-f- C% cos X/) X -\- h (C, cos X/-f C8 sin X/) = 0.
Отсюда
г=т- <14-,0>
и, следовательно,
Найдя положительные корни этого уравнения, мы найдем
собственные значения. Эти корни, кстати сказать, являются
абсциссами точек пересечения котангенсоиды ц= —^ и ГИ-
дЯ fit
перболы jx=—гт— (в системе OfiA).
Пусть X = Х„ — я-й положительный корень уравнения
(14.11). В силу (14.10) можем принять С, = лп, Са = А. Тогда
для собственных функций получаем выражения
<bn(x) = KC0SKx-\-h$inlnx (я=1, 2, ...).
При л = Х„ уравнение (14.9) дает:
Тя(0 = ^-°^ («=1, 2, ...).
Таким образом, нами найдены частные решения
И|»С*»0 = Л« (хл cos Хл* ■+ h sin Ь*х)*~*хп. (я.= 1, 2, ...).

376 ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
Чтобы удовлетворить начальному условию (14.4),
составляем ряд
оо
и (х, t)=^ А„ (Xn cos lnx + h sin Xnx) e~ °*x«' (14.12)
я = 1
и требуем выполнения равенства
ОО
и (х, 0) = У Ля (Xn cos Хялг -|- h sin Хплг) =/ (дг).
л = 1
Подсчет коэффициентов Фурье функции fix) по системе
{Xn cos Xnx -}- й sin Хях} *) дает:
}/(х)Фя(х)А*:
Ая=£ (»=1, 2,...). (14.13)
l**n(x)dx
о
Таким образом, решение задачи дается рядом (14.12), где
коэффициенты подсчитываются по формулам (14.13).
Интеграл в знаменателе (14.13) может быть подсчитан
следующим образом.
Из равенства
вытекает, что
X" Ф* = —Ф • Ф'.
ля л в*
Поэтому
I
X
Но
■I j К ** = ~ [ФжФ'я]*-^+ j Ф^дг. (14.14)
Фя = Х„ cos Хядг -f- h sin *«*»
Ф' = — X8 sin X х -4- ЛХ cos X х
я л л ' л п
и, значит,
Х„Ф„ + Ф;8 = Хп + йаХя. (14.15)
') В силу предыдущей главы эта система ортогональна.
§ 147 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В СТЕРЖНЕ 377
Следовательно,
X:
„J Ф«Лс+ [ Ф„8<*лг = (Хя+Л2Хя)/.
Отсюда и из (14.14) вытекает:
г
2ХЯ f ФЯ^ = (ХЯ+ЛПЯ)/-[ФЯФ„]*=< (14.16)
К%П I Ф"
*=0*
С другой стороны, из граничных условий и из (14.15)
при дг = 0 и при х = 1 получается
Х„Фя+/гаФя=гХя-}-ЛаХя,
или
Ф«=ХЯ. (14.17)
Записав граничные условия в виде
[ФЯФ„ — йФ„Ь = о=0,
[ФяФя + ЛФл]*-* = 0,
в силу (14.17) найдем:
[Ф«ф;С-о = —2ЙХ1.
Подстановка в (14.16) дает:
Таким образом, вместо (14.13) можем писать:
i
2 f / (х) (Хя cos Хпх -\- h sin Xnx) dx
Дя = да I ^gw | 2А (и==1| &*'•')• (14.1 о)
В случае, когда на конце дг = 0 происходит теплообмен
со средой температуры и0, а на конце дг = / — со средой
температуры и1} то задачу можно свести к предыдущей с
помощью подстановки
U = V-\-'W,

380 приложения [гл. xi
есть решение уравнения (10.4). Действительно,
Чтобы удовлетворить начальному условию, потребуем
выполнения равенства
оо
и (х, 0) = f (А (X) cos X* -f В (X) sin \х) dX =f(x).
oJ
Этому равенству можно удовлетворить, если потребовать
представимости /(дг) интегралом Фурье (см. гл. VII § 5).
Для этого достаточно предположить, что f(x) есть
кусочно-гладкая и абсолютно интегрируемая на всей Ох
функция. В сделанных предположениях
00
А (X) = — i f{y) cos \v dv,
— 00
оо
#(Х) = 1 {f(y)sm'kvdv (15.6)
— оо
(см. (5.5)—(5.7) гл. VII).
При таких А (к) и В(\) интеграл (15.5) можно
дифференцировать по х и по t сколько угодно раз.
Действительно, ввиду наличия под интегралом множителя e~aVkii и
неравенств
00
И(Х)|<1 ^\№\dv=c,
— оо
00
|Я(*)|<^ $ \№\dv = С (С^= const)
— 00
сам интеграл (15.5) и получающиеся из него
дифференцированием по х и по t (под знаком, интеграла) любое
§15"] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 381
число раз оказываются равномерно сходящимися для
t^U^>0 (при любом t0^>0), поскольку
| (А (X) cos Xjc -f В (X) sin X*) | е~а^ ^ ЪСе~а*™ ^ 2C<rfl**f4
Ц^,[(А(X) cos \x-f В(X)sinX*)е~а'™]
< 2С Xя е~а*™ < 1С We-**»*,
^ [ (А (X) cos Хлг-f- В (*) sin \x) е~а*™]
s=S ЧСат\ш • е~аП** ^ ЧСаш\ше~аПг\
а мажорирующие функции интегрируемы по X в пределах
or 0 до со, и остается применить теоремы 4 и 3 § б
гл. VII. Правда, хотя наше рассуждение и доказывает,
что и(х, г) есть решение уравнения (10.4), но оно не
доказывает, что
\imu(x, t)=f(x).
*—о
Тем не менее последнее все же справедливо, и это можно
было бы доказать.
Ввиду (15.6) найденное нами решение можно переписать
так:
ОО 00
и (х, 0 = -i f rfX С f(v) cos X (x — v) е~а*™ dv. (15.7)
О —со
Преобразуем эту формулу, для чего прежде всего установим
возможность изменения порядка интегрирования. С этой
целью заметим, что для каждого е]>0 и всех достаточно
больших /
оо оо
I f cos X (х — v) е-а™ dl I ^ f е~аП*' d\ ^ e
(t^>0 фиксировано).
Следовательно,
оо оо
|-i- f dv f f(v) cos X (x — г/)e~a*™<AI ^± ^ \f(v)|dv,
—CO * — OO

382
ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ. XI
откуда следует, что интеграл слева стремится к нулю при
/—*оо. Но тогда
со со
~ f dv f f(v) cos X (x — v) e~a*xat dk ■.
—со О
oo /
= lim — С dv С f(v) cos X (x — v) e~anttdk =
/-ко n J J
— со О
/ oo
= lim — f dX С /(г;) cos X (x — v) e-*wdv = и {x, t)
/-+00 "J J
/-+00 -
0 —oo
(см. (15.7)). Изменение порядка интегрирования здесь
законно, так как интеграл
со
f f(v) cos X (х — г») e~a*wdv
— oo
сходится равномерно по X для 0«s;Xs^/, поскольку
подынтегральная функция не превосходит \f(v) | (см. теоремы 4
и 2 § 6 гл. VII).
Таким образом, можем писать:
оо
и(х, 0 = 4" ? /W^ ^ cosX(x — v)e~t/twdk. (15.8)
-oo 0
Внутренний интеграл, оказывается, можно вычислить.
Действительно, положим:
аХ y~t ~z, X (х — г;) = jaz,
откуда
« rfz jf — v
aVf aYt"
Поэтому
oo
s
cos X (x — и) e~amtdl =
со
1
= -±= \e~'* cos v.zdz = -f-1 fr). (15.9)
§ 151 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В БЕСКОНЕЧНОМ СТЕРЖНЕ 383
Дифференцирование по ja под знаком интеграла дает:
со
/' (ja) = — \ е~г* z sin jaz dz,
причем это дифференцирование законно в силу равномерной
сходимости полученного интеграла по ja. Интегрируем теперь
по частям:
оо
/'(fx)= y Ie~*8 sin ^г^Г ~~ Т \ в 2% C°S Pzdz— У ^)'
Отсюда
Чтобы найти С, полагаем здесь {а = 0. Это даст:
С=/(0)= f e~*dz.
Мы получили известный интеграл Эйлера—Пуассона,
значение которого равно -^V*- Поэтому
1 -. Г -£
и в силу (15.9)
оо , (х —-о)*
f cos X (х — v) е~°™ d\ = 11/"±.
4<z»t
Подставив это в (15.8), окончательно найдем
СО ^(^ — ^в
—оо
Эта формула, с одной стороны, показывает, что с течением
времени и (х, f) —■ 0, т. е. тепло как бы растекается вдоль
стержня. С другой стороны, она показывает, что тепло
передается вдоль стержня мгновенно.

384
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
Действительно, пусть начальная температура
положительна для x0^v^Xi и равна нулю вне этого отрезка.
Тогда для последующего распределения температуры
получаем:
1 *А (х-у)*
откуда видно, что при сколь угодно малых t^>0 и сколь
угодно больших х u(x,f)^>0.
§ 16. Распространение тепла в круглом цилиндре;
случай изолированной поверхности. Пусть ось цилиндра
радиуса / направлена вдоль Ог и торцы его изолированы
(или цилиндр бесконечен). Предположим, *что начальное
распределение температуры цилиндра и условия на границе
не зависят от г. В этом случае уравнение распространения
тепла имеет вид
ди о (д*и , д*и\ ,«« .*
ъ=а %*+w)- (16л)
где а9 = —, К — коэффициент внутренней
теплопроводности вещества цилиндра, с — теплоемкость, р — плотность.
Таким образом, температура оказывается не зависящей от z
(что, впрочем, и так ясно в силу сделанных нами выше
предположений), и задача по существу дела оказывается плоской.
Если перейти к полярным координатам, т. е. положить х =
= г cos 6, у— sin 6, то вместо уравнения (16.1) получим:
ди
dt
~~а \дг>^ г дг*г* дЬ*)'
Предположим теперь, что начальные и граничные условия
не зависят и от 6. Тогда, очевидно, и будет функцией лишь
от г и U и уравнение приобретет вид
да о (д*и , 1 ди\ /л л оч
di = a[d7i + Td?)- <16'2>
§ 16] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРЕ 385
Мы займемся сначала случаем, когда поверхность
цилиндра изолирована от внешней среды, т. е. когда
du(l,t) =0 (163)
дг
(отсутствует тепловой поток) и начальное распределение
температуры задано условием
и (г, 0)=/(г). (16.4)
Ищем частные решения в виде
и = Я(г)Т(0.
Подстановка в (16.2) дает:
откуда
и поэтому
- = -™ = — Х* = const.
R аЧ
ВГ + \К + *Я=Ь (16.5)
T'-fa2XeT = 0. (16.6)
Уравнение (16.5) есть уравнение Эйлера — Бесселя индекса
р = 0 (с параметром), см. § 11 гл. VIII. Его общий интеграл
записывается так:
^(г) = С1У0(Хг) + СвК0(Хг).
Поскольку К0(Хг)->оо при г->0, мы вынуждены принять
С2 = 0. Положив Ci=l, из граничного условия (16.3)
найдем:
.£(Х/) = 0.
Следовательно, ja = X/ должно быть корнем уравнения
Jo(p.) = 0. Полагаем:
Rn(r) = MKr) = Jo(*f) («=1,2,...),

386 ПРИЛОЖЕНИЯ [ГЛ " XI
где р,я = Хя/ есть w-й положительный корень функции Л(р).
Из уравнения (16.6) при Х = ХЯ находим:
Тя(0 = Ляе (w=l, 2,...). (16.7)
Таким образом, нами найдены частные решения уравнения
(16.2) (при условии (16.3)) вида
un(r, t)=AnJQ(\nr)e (л=1, 2,...). (16.8)
Составляем ряд
и(г, 0 = 2 АЛ(Кг)е (16.9)
и, чтобы удовлетворить начальному условию (16.4), требуем
выполнения равенства
со
и (Л 0)= 21 АЛ)(*яг)=/(г). (16.10)
я«=1
Подсчет коэффициентов Фурье для /(г) по системе
WV)} Дает:
i
л = /VgV„) Jr/(r)л(X,,r)rfr (w=lf 2f • • ° (16л 1}
(см. § 10 гл. IX). Тем самым решение задачи дается рядом
(16.9), где коэффициенты Ап вычисляются по формулам (16.11).
§ 17. Распространение тепла в круглом цилиндре;
случай теплообмена с внешней средой на поверхности.
Задача сводится к решению уравнения (16.2) при граничном
условии
ди^() + fiu(i9f) = 0 (17.1)
и прежнем начальном условии
и (г, 0)=/(г). (17.2)
Повторив рассуждения § Г6, получим опять уравнения (16.5)
и (16.6) и опять найдем:
§ 18) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРЕ 387
Условие (17.1) дает:
M,'(X/)-f-fc4>(V) = 0
или
Х/Уо (X/) -f- Шь (X0 = 0.
Следовательно, число (i = X/ должно быть корнем уравнения
{1../о(^) + Шо({*) = 0. (17.3)
Полагаем:
где (1я — я-й положительный корень уравнения (17.3).
Уравнение (16.6) при Х = ХЯ (л=1, 2,...) дает нам
равенства (16.7). Тогда формулы (16.8) определяют частные
решения уравнения (16.2), удовлетворяющие условию (17.1). Опять
составляем ряд (16.9) и требуем выполнения равенства (16.10).
Подсчет коэффициентов Фурье для /(г) по системе {Л(^лг)}
приводит к равенствам
i
А" = HVЫ + АЬЛ' J 'fVJ>^dr <17-4>
(см. § 10 гл. IX). Таким образом, решение уравнения (16.2)
при условиях (17.1) и (17.2) дается рядом (16.9),
коэффициенты которого подсчитываются по формулам (17.4). При
этом числа fi„ являются корнями уравнения (17.3).
§ 18. Распространение тепла в круглом цилиндре;
случай установившейся температуры. Будем предполагать,
что на поверхности цилиндра поддерживается неизменная
температура, причем распределение ее не зависит от z. По
прошествии длительного промежутка времени в каждой точке
цилиндра установится определенная температура. Иными
словами, функция и перестанет зависеть от t. Тогда вместо
уравнения (16.1) мы получим:
а»в ,^_ п
дх* "• ду* ~ и

388
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
или, в полярных координатах,
д8//4- 1 ди Л- Х д'и—С) (1RU
Пусть температура на границе задана условием
к(/, 6) =/(6). (18.2)
Ищем частные решения вида
м(г, 6) = Я(г).Ф(6).
Подстановка в (18.1) даст:
Я''Ф-fy /?'Ф + ^Ф"=0,
откуда
*" + У *' *•■
р-^ = Щ- = — X2 = const. (18.3)
£> Ф
Поэтому
г2/?" + г/?' — Х«/? = 0, (18.4)
Ф"-4-Х8Ф = 0. (18.5)
Из (18.5) находим:
Ф (6) = A cos \b + B sin Хб.
По смыслу задачи функция Ф (6) должна иметь период 2те
и, следовательно, X должно быть целым числом (заметим»
кстати, что мы не получили бы периодичности для Ф(0),
если бы взяли в (18.3) постоянную положительной).
Полагаем:
Фп(Ъ) = Апсоы$-{-ВпътпЪ (л = 0, 1, 2,...). (18.6)
При Х = л уравнение (18.4) получает вид
г2/?" -f rtf' — n*R = 0. (18.7)
Это есть линейное дифференциальное уравнение второго
порядка. Непосредственная проверка показывает, что функции
§ 18] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В КРУГЛОМ ЦИЛИНДРЕ 389
г" и г~" удовлетворяют этому уравнению. Поэтому для п ]> 0
общим интегралом уравнения (18.7) будет:
Rn = Cnrn + Dnr-n.
Поскольку г~п—>оо при г-»-0, то вынуждены положить
Dn = 0. При п = 0 легко находим
tfo = C0-f£>0lnr (18.8)
и, следовательно, опять должны принять Д> = 0.
В силу (18.6) и (18.8) и условий Dn = 0 (л = 0, 1, 2, ...)
можем писать:
ип (г, 6) = (ая cos nb + pn sin nb) г" (п = 1, 2, ...),
а0
М° —"2*
Составляем ряд
00
и (г, 6) = ^ + 21 (а" C0S л6"+" Р" sin w6) r"
и, чтобы удовлетворить условию (18.2), требуем выполнения
равенства
00
и(/, 6) = у+ 2 К cos л6 + Р« sin ne)/"=/(6).
Подсчет коэффициентов Фурье для /(6) дает:
it
апГ = ± [ f(B) cos n6de = an (/1 = 0,1,2,...),
-ж
■в
ря/л=1 J/(6)sinnede==&„ (Я=1, 2,...),
откуда
a ^^ о = *я
Следовательно,
oo
*M)=f+2 («ncosne+^sin^^j". (i8.9)
л = 1

390
ПРИЛОЖЕНИЯ
[гл. xi
Этот ряд для г<^1 можно сколько угодно раз
дифференцировать почленно по г и по 6, так как каждый раз
получаются ряды, равномерно сходящиеся для 0=^г^г0 при
любом г0<£ Отсюда следует, что формула (18.9)
действительно дает решение уравнения (18.1).
Этому решению можно придать более компактный вид,
если воспользоваться интегралом Пуассона (см. § 7 гл. VI),
что дает:
Г Л
'-(-Г
2*_i i_2|cos(^-e) + ^j
или
If» f I ft
и (Г, б) = 2^ J f® l>-2lrcos{t-*)+r*dt
—п
Вместе с тем lim«(r, 6) =/(6) всюду, где/(6) непрерывна.
/■-/
Это означает, что найденное решение удовлетворяет
граничному условию (18.2).
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
«ФИЗМАТГИЗ»
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ
Бронштейн И. Н. и Семендяев К. А. Справочник по
математике для инженеров и студентов втузов. Изд. 8.
Цена 14 р. 30 к.
Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций
комплексного переменного. Изд. 2. Цена 15 р. 05 к.
Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.
Цена 4 р. 45 к.
Панов Д. Ю. Справочник по численному решению
дифференциальных уравнений в частных производных. Изд. 5.
Цена 2 р. 90 к.
Смирнов Н. В. и Дунин-Барковский И. В. Краткий курс
математической статистики для технических приложений.
Цена 9 р. 75 к.
Фукс Б. А. и Левин В. И. Функции комплексного переменного
и их приложения. Цена 8 р". 80 к.
Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений
к вопросам приближенного анализа. Цена 5 р. 25 к.
Книги продаются в книжных магазинах, высылаются
наложенным платежом без задатка всеми республиканскими,
краевыми и областными отделениями «Книга — почтой»,
а также «Книга — почтой» магазина № 107, Москва, Г-87,
Физкультурный пр., д. 11/25.

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
«ФИЗМАТГИЗ»
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ
Бусленко Н. П. и Шрейдер Ю. А. Метод статистических
испытаний и его реализация на электронных цифровых
машинах.
Волковыский Л. И., Лунц Г. Л. и Араманович И. Г. Сборник
задач по теории функций комплексного переменного.
Волынский Б. А. и Бухман В. Е. Модели для решения
краевых задач.
Демидович Б. П. и Марон И. А. Основы приближенных
вычислений.
Мак Кинси Дж. Введение в теорию игр.
Митропольский А. К. Техника статистических вычислений.
Налимов В. В. Применение математической статистики при
анализе вещества.
Пентковский М. В. Номография, изд. 2.
Положий Г. Н. и др. Математический практикум и техника
работы на вычислительных машинах.
Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного
переменного, изд. 10.
Янпольский А. Р. Гиперболические функции.