ПРЕОБРАЗОВАН И i
ФУУ bt
В КОМПЛЕКСНОЙ
ОБЛАСТИ

FOURIER TRANSFORMS
IN THE
COMPLEX DOMAIN
by
RAYMOND E. A. C. PALEY
and
NORBERT WIENER
Published by the
AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
NEW YORK 1934

Н. ВИНЕР, Р. ПЭЛИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ФУРЬЕ
В КОМПЛЕКСНОЙ
ОБЛАСТИ
Перевод g английского
Ф. В. ШИРОКОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА 1964

517.2
В 48
УДК 517.512:517-53
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
1. Теорема Планшереля 9
2. Преобразование Фурье экспоненциально убывающей
функции 12
3. Преобразование Фурье функции, аналитической в
полосе 13
4. Преобразование Фурье функции, аналитической в
полуплоскости 19
5. Теоремы типа Фрагмена—Линделёфа 21
6. Целые функции экспоненциального типа 25
Глава I. Квазианалитические функции 28
7. Задача о квазианалитических функциях 28
8. Доказательство теоремы, основной для квазианали-
квазианалитических функций 33
9. Доказательство теоремы Карлемана 37
10. Модуль преобразования Фурье функции, обращаю-
обращающейся в нуль при больших значениях аргумента ... 42
Глава П. Теорема Саса 45
11. Некоторые теоремы о замкнутости 45
12. Теорема Саса 54
Глава III. Некоторые интегральные разложения ... 60
13. Интегральные уравнения Лапласа и Планка .... 60
14. Интегральное уравнение Стилтьеса 66
15. Асимптотический ряд 69
16. Преобразования Ватсона 70
Глава IV. Один класс сингулярных интегральных уравнений 77
17. Теория Хопфа — Винера 77
18. Замечание об уравнении Вольтерра 91
19. Теорема Харди 99
Глава V. Целые функции экспоненциального типа ... 105
20. Классические теоремы о целых функциях 105
21. Тауберова теорема о целых функциях 108

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
22. Условие, при котором нули целой функции являются
вещественными 115
23. Теорема о дзета-функции Римана 116
24. Некоторые теоремы Титчмарша 120
25. Теорема Пойя 124
26. Другая теорема Пойя 127
Г л а в а VI. Замкнутость систем комплексных показатель-
показательных функций 130
27. Методы из теории целых функций 130
28. Двойственность между замкнутостью и независимостью 143
Глава VII. Негармонические ряды Фурье и теорема
о лакунах 149
29. Теорема о замкнутости 149
30. Негармонические ряды Фурье 159
31. Новый класс почти периодических функций .... 170
32. Теоремы о лакунарных рядах 181
Глава VIII. Обобщенный гармонический анализ в комплекс-
комплексной области 187
33. Необходимые теоремы из обобщенного гармонического
анализа % 187
34. Теорема Коши 191
35. Почти периодические функции 202
Глава IX. Случайные функции 205
36. Случайные функции 205
37. Основная случайная функция 215
38. Свойства непрерывности случайной функции .... 229
Глава X. Гармонический анализ случайных функций 237
39. Эргодическая теорема 237
40. Теория преобразований 238
41. Гармонический анализ случайных функций .... 247
42. Нули случайной функции в комплексной плоскости 250
Литература 261
Алфавитный указатель 265

ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книге дано окончательное изложение резуль-
результатов, полученных покойным Р. Пэли и мной в течение
того года, когда Пэли был рокфеллеровским стипендиа-
стипендиатом в Массачусетском технологическом институте
A932 — 1933). Р. Пэли погиб 7 апреля, катаясь на лыжах
в Скалистых горах (Canadian Rockies) во время короткого
перерыва в нашей совместной работе. Я уже писал о той
огромной утрате, которую понесла математика с его
смертью; позвольте мне описать здесь лишь состояние,
в котором он оставил нашу совместную работу. Наше
сотрудничество отнюдь не носило официального харак-
характера. Мы работали вместе у доски, и, когда она покры-
покрывалась нашими заметками, один из нас переписывал суще-
существенное и превращал его в предварительную рукопись.
Большая часть нашей работы прошла через много вари-
вариантов, в написании которых принимали участие оба
автора. Даже в той части исследования, которая была
написана после смерти Пэли, совершенно невозможно
отделить новые результаты от воспоминаний о наших
многочисленных беседах.
Часть нашей работы была опубликована в виде серии
заметок в трудах Американского математического обще-
общества (Transactions of the American Mathematical Society).
Эта работа охватывала большое количество вопросов, но
объединяющей, центральной идеей было применение пре-
преобразования Фурье в комплексной области. Я уже давно
был убежден в важности преобразования Фурье —Мел-
лина как орудия анализа. Введение его, конечно, не
является новинкой, однако мне не встречалось система-
систематическое развитие этого метода. Быть может, самый
близкий подход к такому развитию следует искать в ра-
работах Г. Бора, Йессена и Безиковича по почти периоди-
периодическим функциям в комплексной области, Однако,

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
по-видимому, никто не осознал широты этого метода. С его
помощью мы смогли атаковать столь различные вопросы
анализа, как вопрос о квазианалитических функциях,
теорема Мерсера о суммируемости, интегральное уравне-
уравнение Милна в теории лучистого равновесия, теоремы Мюн-
ца и Саса о замкнутости последовательности степеней
независимого переменного, принадлежащая Титчмаршу
теория целых функций полуэкспоненциального типа с ве-
вещественными отрицательными нулями, тригонометриче-
тригонометрическое интерполирование и разложения по полиномам вида
лакунарные ряды, обобщенный гармонический анализ
в комплексной области, нули случайных функций и мно-
многие другие вопросы. Мы пришли к убеждению, что ана-
аналитический метод такой широты заслуживает специаль-
специальной монографии.
Американское математическое общество оказало мне
честь, пригласив меня прочитать курс лекций на коллок-
коллоквиуме, в Вильямстауне в 1934 г. До этого отчет о сов-
совместной работе не бывал предметом подобных лекций, но
моей наиболее подходящей работой была совместная, и я
предложил ее в качестве темы упомянутых лекций.
Я хочу поблагодарить Американское математическое
общество за приглашение и за согласие с нашими пла-
планами. Я хочу поблагодарить моих студентов С. С. Сас-
лоу, X. Малина и Н. Левинсона за очень ценную работу
по составлению записок, пересмотру их и критике. В ча-
частности, Н. Левинсон многое добавил к содержанию пер-
первой главы. Я хочу поблагодарить моего коллегу профес-
профессора Эберхарда Хопфа за позволение включить в книгу
материал § 17, который был нашей совместной работой.
И наконец, от своего имени и от имени моего покойного
соавтора я хочу поблагодарить профессора Я. Д. Тамар-
кина из Браунского университета за его неустанное одо-
одобрение, советы и критику, без которых эта книга не по-
появилась бы на свет.
Норберт Винер
Массачусетский
технологический институт,
1 марта 1934 г,

ВВЕДЕНИЕ
1. Теорема Планшереля. Книгу, подобную этой, объе-
объединенную скорее повторным применением некоторого числа
методов, чем большой однородностью материала, совер-
совершенно необходимо начать с краткого обзора сведений,
которыми должен владеть читатель, и с перечисления
основных методов. Сведения, предполагаемые у читателя
в большей части этой монографии, в основном покрыва-
покрываются весьма полезной книгой Титчмарша «Теория функ-
функций»*). Чаще всего используются:
A) Интегрирование по частям и различные приемы
обращения порядка в абсолютно сходящихся двойных
интегралах.
B) «Усечение» функции, т. е. замена функции функ-
функцией, тождественной ей в некоторой конечной области
и обращающейся в нуль вне этой области.
C) Неравенство Шварца
Ъ
[J
A.01)
и аналогичные неравенства для конечных сумм, рядов
и т. п.
D) Принадлежащая Вейлю форма теоремы Рисса —
Фишера, утверждающая, что если последовательность
функций {/п(^)} из L2 сходится в среднем в себе, т. е.
если
ь
lim \\fm(x)-fn(x)\*dx = O, A.02)
m, n-кэо t)
*) Русский перевод: Е. Титчмарш, Теория функций, Гос-
техиздат, М.—Л., 1951.

Ю ВВЕДЕНИЕ
то существует функция f(x) из L2, к которой эта после-
последовательность сходится в среднем, т. е.
b
lim \ \fm{x)-f(x)\2dx = 0. A.03)
m-
E) Теорема, утверждающая, что если последователь-
последовательность функций сходится в среднем к одному пределу
и сходится в обычном смысле к другому, то эти два пре-
предела отличаются самое большее на множестве меры нуль.
F) Методы суммирования и усреднения, в частности
теоремы абелева и тауберова типа*).
G) Методы, основанные на теоремах Планшереля
и Парсеваля о преобразованиях Фурье**).
Во всей этой книге мы будем предполагать, что чита-
читатель свободно владеет теорией и применениями интеграла
Лебега и знаком с соответствующими обозначениями.
Например, мы будем часто пользоваться обозначением L
для класса измеримых, абсолютно интегрируемых функ-
функций и обозначением Lp для класса тех измеримых функ-
функций, р-я степень модуля которых интегрируема. Однако
же мы редко будем встречаться с классами, отличными
от I и L2.
Фундаментальной теоремой о классе L2 в теории инте-
интеграла Фурье является теорема Планшереля. Она читается
следующим образом:
Теорема Планшереля. Пусть f (x) принадлежит
L2 на интервале ( — оо, оо). Тогда существует такая
функция g(u), принадлежащая L2 на (—оо, оо), что
А
lim
А-к»
—оо —А
f(x)eiuxdx 2du=0. A.04)
*) Gp. Wiener, The Fourier Integral and Certain of its Ap-
Applications, Cambridge, 1933. (Русский перевод: Н. Винер, Инте-
Интеграл Фурье и некоторые его применения, Физматгиз, 1963.) Тау-
беровы теоремы этой книги не содержатся в книге Титчмарша.
**) Достаточно элементарное исследование этих вопросов
можно найти в книге S. В осп пег, Vorlesungen liber Fouriersche
Integrale, Leipzig, 1932. (Русский перевод: С. Бохнер, Лекции
об .интегралах Фурье, Физматгиз, М., 1962. Трактовка в книге
Винера (см. выше) немного более повышенного типа.

ВВЕДЕНИЕ 11
Кроме того,
со со
J 5 f(x)\'dx A.05)
lim
A-*oo - - .
—оо —А
= 0. A.06)
Функция g(u) называется преобразованием Фурье функ-
функции f(x). Она определена с точностью до значений на
множестве меры нуль.
Если интеграл
со
А(а) = Bя)-1/2 С f(x)eiuxdx A.07)
—со
существует, то g(u) = h(u) почти всюду.
Важным следствием из теоремы Планшереля является
Теорема Парсеваля. Пусть функции fi (x) и /2 (х)
принадлежат L2, и пусть gi(u) и g2(w) соответственно
их преобразования Фурье. Тогда
оо со
\ gi(u)g2(u)du= J fi(x)f2(-x)dx. A.08)
— СО —CO
В частности,
со
gi(u)g2(u)e-^du= J fi(y)f2(x-y)dy. A.09)
Таким образом, если произведение g^ (и)g2(u) принадлежит
L2 наряду с обоими его сомножителями, то оно является
преобразованием Фурье функции
U(y)h(x-y)dy. A.10)
Го ewe салгое будет верно всякий раз, когда f\{xI
к функция A.10) принадлежат Lz.

12 ВВЕДЕНИЕ
2. Преобразование Фурье экспоненциально убываю-
убывающей функции. Предположим, что f(x) измерима и имеет
интегрируемый квадрат на любом конечном интервале.
Пусть
U [»-«,] BЛ)
Если — A,<a<|i, то преобразованием Фурье функции
f(x)eax будет
F(a, 0 = Bn)-v* J / (я) в<0+*'>* Лг. B.2)
Но этот интеграл сходится абсолютно и равномерно во
всякой области — A,-j-e<a<|i — 8. Таким образом, по
хорошо известной теореме из теории функций комплекс-
комплексного переменного функция
F{a + it) = F(o, t) B.3)
будет аналитической функцией от о-}- it внутри полосы
— А, < a < |х.
Кроме того, во всякой полосе —A, + e<a<|i — 8 мы
будем иметь
\F(a, 0l"*= I \f(x)\2e*°*dx<
оо О
< const. [ e~2exdx+ const. ? e2e3Cd^=const. B.4)
0
Таким образом, доказана
Теорема I. Если функция f(x) измерима, имеет
интегрируемый квадрат на любом конечном интер-
интервале и удовлетворяет условию B.1) с — X < и,, то форму-
формула B.2) определяет функцию F (о-\-Н), аналитическую
внутри полосы — А, < a < |i; в любой внутренней полосе
— Я + е<а<|л — 8 интеграл \ \F(a + it)\2dt ограничен.

ВВЕДЕНИЕ
13
3. Преобразование Фурье функции, аналитической
в полосе. Пусть F (а + it) — функция комплексного пере-
переменного s = а + it, которая является аналитической внутри
и на границе полосы — A,<a<|i, и пусть
\F(G + it)\2dt < const. [--A,<a<u.]. C.01)
Тогда по теореме Коши при достаточно большом А
и — X < a < и. имеем
г ц-Ai [i+Ai -k+Ai
I S $ Ш
I S $
-Я-Аг |Ы-Аг |Ы+Аг
Интегрируя еще раз, имеем, при достаточно большом В,
Б+1 -k-Ai \i-Ai [i+Ai -\-\-Ai
5 + S + S+ 5 ^
ЯА ЯА А А
5 S S 5
-Я^+Аг -Я-Аг ц-Аг |Ы+Аг
Далее,
C.03)
\i-\-Ai
-B-f-1
dz
л
В
М- B + l
<const. j doi J
— X В
Из C.01) следует, что
B+l
-Я
-^>dA
z-\-Ai — s
B+l
C.04)
< const.,
lim { t \F(a + it)\2dtY/% =0.
B-^oo
C.05)

14 ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известная теорема из теории интеграла Лебега
утверждает, что если последовательность интегрируемых
функций ограниченно сходится к пределу и если интеграл
от предела существует*), то предел интеграла от функ-
функции последовательности равен интегралу от предела.
Итак,
Я-И -l+Ai
^ [ dA [ LKdz = 0. C.06)
Аналогично
B+i \i~Ai
lim г—; \ ал \ —^-^az^O. (о.07)
Таким образом,
B + i A
F(s)— Ьт^— \ dA \ i j_ • _ s — \ i ¦, J
В
—J5
?+1
+
1 P
2^ )
p + iy-s
1 Г (/^-(-1 | y)/>'(ji-{^) л7/
-в
__L 1Г {E+i±u)F{-X+iy)dy\ C08)
-B-i
*) Это предположение излишне. — Прим. перев.

ВВЕДЕНИЕ
15
Но
Bfi
B+i
5
Л+1
С
< const.
+
st. { С
в
Из C.01) сразу же следует, что
C.09)
C.10)
Аналогичное рассуждение позволяет нам исключить из
C.08) еще три члена, и мы получаем
F{s)=
2я
оо
Wdy* С ^(-\+^dy. C.11)
iy—s у 2я J —X + iy—s * v '
Этот результат достаточно важен, чтобы занумеровать
его как теорему.
Теорема II. Пусть F (s) аналитична в полосе
— А,<о<[х, и пусть в этой области справедливо нера-
неравенство C.01). Тогда формула C.11) справедлива для s,
лежащих внутри этой области.
Неравенство Шварца дает нам оценку
v
\i-{-iy — s
- <3-«>
t, e. имеем следующую теорему:
Теорема III. В предположениях теоремы II функ-
функция F (s) ограничена в любой области — А,4-?<о<[х — 8.

16 ВВЕДЕНИЕ
Положим
/(а,х) = Bя)-1/2 1Л.т. \ F(o+ it) e~itxdt. C.13)
А-)-оо J
Л-)-оо
—А
Положим также
ж) = 0 [х<0\; <р(х) = е-ах [ж > 0]; а > 0. C.14)
Будем иметь
lxdx = ^±~. C.15)
о
Теорема Планшереля дает, если а > О,
а^я" i a=Wdy=s\ е-ах {х 01 ^
Аналогично, если а < 0, то
Го ^>о]'. (ЗЛ7)
Таким образом, при — Х-{-г < о < \л — в по теореме
Парсеваля имеем
Точно
оо
6
таким
же
способом
Bл
получим
оо
L С F
\x/i j ji — а
— оо

ВВЕДЕНИЕ 17
Таким образом, в силу C.11)
о
Bя)
— со
B.ч)' 0
e«*dx. C.20)
Еще раз применяя теорему Плашиереля, получим
[-oo<a:<0],
и, значит, полагая при некотором частном значении а
/(я) = /(а,я)в-°* [-^<а<^1], C.22)
будем иметь
/(а, *) = /(*)с°* [-Х<а<ц]. C.23)
Отсюда сразу же следует, что
lim \ |/(<т, х) — /(<т,, х)\Чх = О. C.24)
Кроме того, если Б положительно, a .Л отрицательно, то
оо со
^ | / (а, х) i2 da; < \ | / (}1, .т) |2 da; C.25)
в в
и
Л Л
— ОО
J /(-Х,х)|^х. C.26)
—ОО
Как следствие получаем
со
lim \ | /(a, x) — f(at, x)\2dx = 0. C.27)
—со
2 Н. Винер, Р. Пэли

18 ВВЕДЕНИЕ
Таким образом, по лемме Вейля к теореме Рисса—Фишера,
в Ьг существует некоторая функция fi (х) такая, что
оо
lim [ \f(o,x)-fi(x)\4x = 0. C.28)
^ —оо
Применяя преобразование Фурье и пользуясь теоремой
Планшереля, находим, что существует некоторая функ-
функция Fi(t) такая, что
со
lim \ \F(a + it) — Fi(t)\2dt = 0. C.29)
O-+VL—О _у
Однако мы заранее знаем, что
lim F(e+it) = F(\x + it), C.30)
a-^-jLi—0
а значит,
оо
lim [ | F (a -{-it) — F (ц + it)\* dt = 0. C.31)
Еще одно преобразование Фурье дает
со
lim \ j/(a, x)-~fbi, x)\*dx = 0. C.32)
Аналогично
со
lim [ |/(a, ж) —/( —Ь, ж)|2<йс=0. C.33)
—оо
Но
lim /(a, ж) = /( —Я,, ж) e(»*+W * [-00 < х < 0] C.34)
СГ—>JLL
И
lim /(a, ж)=/(|х, ж) 6-^+^) х [0 < х < оо]. C.35)
Итак, за возможным исключением множества меры нуль,
/(а, ж)=/(|А, х)в(а-м)« = /(—А,, ж)е^+^>ж
[_оо <ж<а>]. C.36)
Это дает нам теорему.

ВВЕДЕНИЕ \\)
Теорема IV. При условиях теоремы II сугцествует
такая измеримая функция f(x), что
со оо
\ \f(x)\2e^xdx< оо, С | / (х) \2e~2^xdx < со C.37)
—оо —оо
и на замкнутом интервале —A,<a<jj,
А
А-»оо J
Из теорем I и IV следует, что границы интервала,
на котором F(o--\-it) как функция от t равномерно
принадлежит L2, даются границами сходимости инте-
интеграла
со
\f(x)\2e2axdx.
4. Преобразование Фурье функции, аналитической
в полуплоскости. В частности, F(o-\-it) будет принад-
принадлежать Ьг на всякой прямой, параллельной мнимой оси
и лежащей в некоторой правой полуплоскости, тогда
и только тогда, когда
/ (х) |2 e2axdx < оо D.01)
для всех достаточно больших a; F(o-\-it) будет принад-
принадлежать L2 равномерно в такой полуплоскости тогда
и только тогда, когда
lim \ \f(x)\2e2cxdx<oo. D.02)
— СО
Эта последняяя возможность может встретиться только
тогда, когда f(x) обращается в нуль при почти всех
положительных значениях своего аргумента. В противном
2*

20 ВВЕДЕНИЕ
случае имелся бы некоторый интервал (а, Ь) [Ь > а > 0],
на котором
ъ
\\f(x)\2dx = I>0. D.03)
а
Тогда мы имели бы
\f(x)\2e2oxdx>e2°a/1 D.04)
что противоречит нашему предположению.
Обратно, если f(x) обращается в нуль при положи-
положительных значениях своего аргумента и если при некото-
некотором А,
о
co, D.05)
то функция F(o-\-it), определяемая равенством C.38),
будет равномерно принадлежать L2 как функция от t при
а>—X. В частности, имеем:
Теорема V. Следующие два класса аналитических
функций совпадают:
A) Класс всех функций F{e-\-it), аналитических при
о > 0 и таких, что
оо
\ \F(g + it) \2dt< const. [0<o<oo]. D.06)
— оо
B) Класс всех функций, определяемых равенством
о
F(o + it) = \.i.m.Bii)-1/* \ /(я)е*(а+"><&, D.07)
где f(x) принадлежит L2 на ( — оо, 0). При этом
о
l.i.m. F (а + it) - l.i.m. Bn)-^ [ f (x) eitxdx. D.08)
-A

ВВЕДЕНИЕ 21
5. Теоремы типа Фрагмена — Линделёфа. Рассмот-
Рассмотрим снова функции F(G-{-it), аналитические в полосе
Я<|л. Предположим, что
\F( — I \it)\2dt < оо, \ \F(\i+it)\2dt< oo E.01)
— ее —со
и что
Вместо C.04) при достаточно большом В будем иметь
Б+1 -1+гА р, ?+1
1 f , . f Z1 (z) , ! ^ 1 f , f МAЛ
2Я1 ,i J z — 5 I 2л; ^ J I
так что, как и раньше, устанавливается равенство C.08).
Таким образом, представление C.11) справедливо, и все
рассуждение вплоть до C.21) повторяется без изменения.
Единственное отличие состоит в том, что на этот раз рассуж-
рассуждение проводится так, чтобы доказать, что F(a-{-it) яв-
является преобразованием Фурье некоторой функции/(а, х)у
принадлежащей L2, вместо того, чтобы с самого начала
принимать без доказательства этот факт или эквивалент-
эквивалентный ему факт, что F(o-\-it) равномерно принадлежит L2.
Из C.21) сразу же вытекает, что /(a, t) равномерно
принадлежит L2 на (— К, [г), а отсюда —что F(G-{-it)
равномерно принадлежит L% на этом интервале.
Мы доказали, таким образом, теорему:
Теорема VI. Если условия E.01) и E.02) удовле-
удовлетворены, то справедливы предположения, а значит, и за-
заключения теорем II, III и IV.
Сошлемся теперь на классическую теорему Фрагмена—
Линделёфа*). Она утверждает, что если F(o-\-it) анали-
тична при — Я<а<|1, если
F(a + it) = O(e^) [Q<[i+K] E,04)
*) Е. Т и т ч м а р ш, Теория функций, Гостехиздат, М. —Л.,
1951, стр. 203 и след.

22 ВВЕДЕНИЕ
и если F (—X-\-it) и F(\x + it) ограничены, то F(a+it)
ограничена при всех t и —^<а<|л. Теперь без како-
какого-либо дополнительного предположения, кроме того,
что F(s) принадлежит L2 на прямых о= —X на=|л, мы
можем утверждать, что если F (s) аналитична в полосе
между этими прямыми, включая эти прямые, и если
выполнено условие E.04), то аналитическая функция
^ j )dr = ~ I F(s)dsE.05)
o+it
будет ограничена и будет удовлетворять условию E.04),
а отсюда рассуждением, которым мы доказали теорему IV,
получим
--оо
оо
<|i]. E.06)
Однако по хорошо известной теореме
ас+е
l.i.m.-l- \ фШ^ = Ф(.т), E.07)
X
если ф(^) принадлежит L2. Более того, имеем
\F&(o+it)\2 dt <
\F([i + it)\2dt E.08)
— OO —OO
и отсюда
F(a + it)\2dt < const. [ —h<a< |л]. E.09)
Это дает нам теорему.

ВВЕДЕНИЕ
Т еорсма VII. Если F (s) аиалитичпа в полосе
— A-<^a<iLi и если выполнены условия E.01) и E.04),
то заключения теорем II, III и IV справедливы.
Теперь перейдем от полосы к полуплоскости. Пусть
F (s) аналитична при сг>0, пусть
оо
\ \F(it)\*dt<ao,
и пусть
|F(a+«)|<const. [0<a< oo].
Как и прежде, имеем
В+1 A
F(s)= lim JL [ dA [
E.10)
E.11)
E.12)
при условии, что fi достаточно велико. Это равенство,
пользуясь рассуждениями типа C.10) и C.11), можно
записать так:
В->оо J J
Б — А
Но если \х достаточно велико и
Res>0,
то имеем
В+\ А
Б -А
< const.
когда [г—> оо.
Это возможно, только если
EЛ4)
.-4 J j
E-15)

2.4 ВВЕДЕНИЕ
Если мы положим
А
F(it)= l.i.m. (In)-1?* С f(x)eiixdx, E.16)
то получим равенство
со О
* [ f M ^ = _J__ С /(^)^+«)*da; E.17)
2л ^ ii/—s •* Bя) /2 J
—CO —OO
подобное равенству C.18). Поэтому функция
разномерно принадлежит L2 при о > 0 и сходится в сред-
среднем к некоторой функции из L2, когда а—> +0. Таким
образом, постоянная в E.15) должна принадлежать L2
и, значит, равняется нулю; имеем
ш]т№У. E-19)
— со
Это дает нам теорему.
Теорема VIII. Если F (s) ограничена и аналипшчна
в полуплоскости 0 < а < оо и если выполнено условие
E.10), то выполнено и условие D.06) и мы можем запи-
записать F (s) в виде D.07).
Введем теперь ту форму теоремы Фрагмена —Линде-
лёфа, которая утверждает, что если F (it) ограничена
и если
^g\)\ 0 E.20)
*->оо *
равномерно по всем 8 из ( — я/2, я/2), то F (s) ограни-
ограничена в полуплоскости 0<а<оо. Рассуждение, совер-
совершенно аналогичное тому, с помощью которого мы дока-
доказали теорему VII, позволяет установить теорему.
Теорема IX. Пусть F (s) аналитична в полупло-
полуплоскости 0<а<оо, и пусть выполнено условие E.10).
Пусть выполнено также условие E.20). Тогда выполнено
и условие D.06) и мы можем записать F (s) в виде D.07).

ВВЕДЕНИЕ 25
6. Целые функции экспоненциального типа. Мы
переходим теперь к рассмотрению одного класса целых
функций, который обозначим Е. Этот класс Е состоит
из всех целых функций F(z), для которых интеграл
по вещественной оси
F(a)\2dx< oo F.01)
и существует такая постоянная Л, что
F(z)--=O(eA\z\). F.02)
Тогда функция
^- [ F(iw)dw = G(z) F.03)
2
ограничена на мнимой оси и на положительной веще-
вещественной оси и имеет самое большее показательный рост.
Таким образом, по одной из форм теоремы Фрагмена —
Линделёфа она ограничена в правой полуплоскости и удо-
удовлетворяет условиям, высказанным в посылке теоремы IX.
Таким образом, мы можем написать
о
G(z)= \ fe(x)e2Xdx, F.04)
—оо
где fe(z) принадлежит L2, или
z+e Л
-— f F (w\ din — iC (i7\ pa™ — f // (r A\pizxrlr (Pi 0^)
z —oo
Аналогично
2 + 8 CO
- [ F(w)dw= \ ige(x — A)eizxdx. F.06)
z
To есть почти всюду
-A
F.07)

26 ВВЕДЕНИЕ
Но преобразование Фурье функции F (х) является преде-
пределом в среднем преобразования Фурье функции
4 I F(v)dy,
X
когда е—>0, и, стало быть, также должно обращаться
в нуль, когда |м|>Л. То есть
А
F(z)= \ f(u)eiMdu, F.08)
где f (и) принадлежит L2 па ( — А, А).
Обратно, пусть / (и) принадлежит L2 на (—А, А),
и пусть F (z) определена формулой F.08). Тогда условия
F.01) и F.02) будут выполнены, ибо
оо А
1и F.09)
_А
-А -А
lh^O(eA Umz|)# F.10)
-А
Мы получаем, таким образом, теорему.
Теорема X. Следующие два класса целых функций
тождественны:
A) класс всех целых функций F(z), удовлетворяющих
F.02) и принадлежащих L2 на вегцественной оси]
B) класс всех целых функций вида F.08), где f(x)
принадлежит L2 на (— Л, А).
Прямым следствием отсюда является
Теорема XI. Если F (z) — такая целая функция,
что
lim -lg*\ F{re™) \=0, F.11)

ВВЕДЕНИЕ 27
и если F (z) не равна тождественно нулю, то она не может
принадлежать L2 ни на какой прямой.
Если бы она принадлежала L2 на некоторой прямой,
то мы приняли бы эту прямую за вещественную ось.
Если F (х) принадлежит L2, то по теореме X преобра-
преобразование Фурье F (х) обращается в нуль почти всюду
вне (— А, А) при любом А > 0 и, стало быть, эквива-
эквивалентно нулю, Таким образом, F(z) тождественно равна
нулю, и мы приходим к противоречию.

ГЛАВА I
КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ*)
7. Задача о квазианалитических функциях. Одно
из основных свойств аналитической функции состоит
в том, что она задается во всей своей области опреде-
определения значениями всех своих производных (от нулевого
порядка и выше) в какой-либо одной точке. Класс анали-
аналитических функций/(ж) вещественного переменного на ин-
интервале (—1,1) можно охарактеризовать тем, что f(x)
бесконечно дифференцируема и что на этом интервале
\fW(x)\W<M (v=l, 2, ...)• G.01)
Данжуа**) показал, что существуют менее ограничи-
ограничительные условия на производные, которые также одно-
однозначно определяют функцию через ее значение и значе-
значения ее производных в какой-либо точке. Основной тео-
теоремой в этой области является теорема Карлемана***).
Карлеман определяет класс функций СА на интервале
( — 1, 1) следующим образом. Пусть Ло= 1, А{, ..., Лп, ...—
последовательность положительных чисел. Тогда символ
СА обозначает множество функций, определенных на
интервале ( — 1, 1), бесконечно дифференцируемых на нем
и удовлетворяющих неравенствам
max |/<*>(ж)|<В^ (v = 0, 1, 2, ...), G.02)
*) Ср. Р а 1 е у and Wiener, Notes on the theory and
application of Fourier transforms, Note I, On quasi-analytic func-
functions, Transactions of the American Mathematical Society, vol.
35, стр. 348—353.
**) A. D enjoy, Comptes Rendus, vol. 173A921), стр. 1329.
***) Т. Carle man, Les Functions Quasi-Analitiques,
Paris, 1926,

7. ЗАДАЧА О КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ 29
где В — некоторая постоянная, зависящая от /(#). Мы
говорим, что класс СА квазианалитичен, если функция
из СА полностью определяется на (—1,1) значениями
своих производных /<v> (x) (v = 0, 1, 2, ...) в одной точке х0
или, что то же самое, если из равенств
/<v>(*0) = 0 (v = 0, 1,2, ...) G.03)
и из условия, что / (х) принадлежит СА, вытекает, что
f(x) тождественно равна нулю.
Упомянутая теорема состоит в следующем:
Теорема Карлемана. Необходимым и достаточ-
достаточным условием квазианалитичности класса СА является
расходимость интеграла
или, что то лее самое, расходимость наименьшей невоз-
растаюгией мажоранты ряда
1/V. G.05)
Эквивалентность этих двух условий была установлена
Карлеманом в его книге*). Здесь мы не будем пользо-
пользоваться вторым условием. В этой главе мы дадим дока-
доказательство теоремы Карлемана о классе С\ и доказа-
доказательство аналогичной теоремы для других близко род-
родственных ему классов.
В первую очередь мы хотим определить квазианали-
квазианалитичность для иного класса функций. Это определение
вместо максимумов модулей содержит интегралы от ква-
квадратов модулей производных. Вводя, как и раньше,
последовательность положительных чисел
мы примем за СА множество тех функций, определенных на
интервале (— 1, 1), которые бесконечно дифференцируемы
¦) Т. Garleman, цит. соч., стр. 50 и след.

30 Гл. I. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ^ФУНКЦИИ
в этой области и удовлетворяют неравенствам
* (v = 0, 1,2, ...), G.06)
Л
где В — постоянная, зависящая от f(x). Ясно, что СА
будет содержаться в С'А.
С другой стороны, пусть
1
\ \Г?Чх)\*<В*П (v = 0, 1,2, ...), G.07)
j
и пусть для некоторой точки ? из ( — 1, 1)
/<v>(?) = 0 (v = 0, 1,2, ...). G.071)
Тогда по неравенству Шварца
u G.072)
-1
если х лежит в (— 1, 1).
Следовательно, существует такая постоянная С, что
G.08)
Положим теперь
Л^/Vh (v = 0, 1,2, ...)*). G.081)
Тогда класс С'р будет содержаться в СА, если речь идет
о функциях, которые обращаются в нуль вместе со всеми
*) Класс Карлемана СА не меняется при умножении после-
последовательности Ао, А±, ..., Ап> ... на постоянный положительный
множитель. Требование Ао = \ является условием нормировки
и несущественно. Здесь /lo — Fj Ф 1, вообще говоря.—Прим.
перев.

7. ЗАДАЧА О КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКПХ ФУНКЦИЯХ 31
производными в некоторой точке. Имеем
v=0 I v=0
j ^+ \ J
t\ 1
v=0 i
CO CO
\ i_ pr^TiQi" (/ 0Q\
о / л I О Г* ^'V'J-1'Э « • V • «v/i/ 1
1 "v=0 V '
Также
1 v=0
Поэтому
-v <
^)тт^ +const.
v=0
Таким образом, интегралы G.04), определяемые Av и FV1
сходятся или расходятся одновременно, потому что
часть такого интеграла, взятая в пределах от 0 до 1,
не изменяет его сходимости или расходимости.
Класс С'а можно, разумеется, перенести на бесконеч-
бесконечную область, сделав подстановку
которая преобразует функцию f(x), принадлежащую L2
на (— 1, 1), в функцию fi(y), принадлежащую L2 на
(— оо, оо). Наряду с этим прямым и, пожалуй, грубым
переносом теоремы, можно образовать аналогичную тео-
теорему, в которой интервал ( — 1, 1), использованный для
определения класса С'а, заменяется, как таковой, беско-
бесконечным интервалом (— оо, оо), а неравенство G.06)

32 Гл. 1. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
превращается в неравенство
оо
J \fW(x)\*dx<BvA* (v = 0, I, 2, ...)• G.13)
—ОО
Эта теорема для бесконечной области справедлива и мо-
может быть выведена из следующей основной теоремы.
Теорема XII. Пусть ф (х) — вещественная неотри-
неотрицательная функция, не эквивалентная нулю, определен-
определенная при — оо < х < оо и имеющая интегрируемый квад-
квадрат в этой области.
Сходимость интеграла
является необходимым и достаточным условием, при ко-
котором существует вещественно- или комплекснозначная
функция F (х), определенная в той же самой области,
обращающаяся в нуль при х > некоторого числа х0 и
такая, что ее преобразование Фурье G(x) удовлетворяет
условию | G(x) | ~ Ц)(х).
Значение этой теоремы для теории квазианалити-
квазианалитических функций определяется следующими фактами:
A) условие ограниченности преобразования Фурье некото-
некоторой функции тесно связано с условием ограниченности
его производных; B) функция F (х), обращающаяся
в нуль на полупрямой, но не обращающаяся в нуль
тождественно, не может определяться всеми своими про-
производными в какой-либо точке и является типичным
представителем класса неквазианалитических функций.
Теорема XII, будучи подобной теореме Валле-Пуссена*),
является значительно более определенной, потому что,
тогда как Валле-Пуссен имеет дело с порядком величины
коэффициентов ряда Фурье функции, обращающейся
в нуль вместе со всеми своими производными в некото-
некоторой точке, мы фактически фиксируем модуль преобразо-
преобразования Фурье функции этого типа, подчиненной, разу-
разумеется, условию сходимости интеграла G.14).
*) Т. Carl em an, цит. соч., стр. 76 и 91.

8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 33
8. Доказательство теоремы, основной для квазианали-
квазианалитических функций. Обратимся кдоказательству теоре-
теоремы XII. Предположим сначала, что интеграл G.14) схо-
сходится. При z — x-\-iy, у > О, введем функцию
*', (8.01)
которая будет гармонической в полуплоскости у > 0.
Пусть (i(z) —сопряженная ей гармоническая функция,
положим
h (z) = exp (A, (z) -f i|x (z)). (8.02)
Хорошо известно из рассуждений типа теоремы Фату*),
что для почти всех значений х
lim К (х + iy) = lg ф (х) (8.03)
или, что то же самое,
(8.04)
Геометрическое среднее двух положительных величин
не может превзойти их арифметического среднего.
В силу этого свойства, распространенного на интегралы,
или, иными словами, в силу свойства выпуклости лога-
логарифма имеем
i \ xZ%ly+yidx'. (8.05)
— ОО
Отсюда в силу неравенства Шварца
—оо —оо
х
— CO —ОО —ОО
со оо оо
J (!B_a:')«
)]• ^'- (8-06)
*) Е. Landau, Darstellung und Begriindung einiger neuerer
Ergebnisse der Funktionentheorie, 1929, стр. 40.
3 н. Винер, Р. Шли

34 Гл. I. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Это значит, что функция h(is) удовлетворяет условию A)
теоремы V, и мы можем воспользоваться этой теоремой.
Она дает нам
А
FiQe-tix+Mdt, (8.07)
-А
где F(х) обращается в нуль при ж>0 и принадлежит L2.
С другой стороны, из (8.07) следует, что
[ (8.08)
Положим
l.i.m. h (x 4- iy) = G (ж). (8.09)
В силу (8.04) почти всюду имеем
|СМ1 = ФМ, (8.10)
и в одну сторону теорема XII доказана.
Нам все еще надо доказать, что если G(x) задана,
как в теореме XII, то интеграл G.14) сходится. Пред-
Предположим, что F (х) обращается в нуль при х > х0; не
ограничивая общности, можно считать, что го = О. Вве-
Введем функции
f N
G (ж) = l.i.m. Bя)/2 \ F(x')e-ix*'dx\
с (8-11)
e-^'d.?;', Imz>0.
Легко видеть, что функция i|;(z) является аналитиче-
аналитической в полуплоскости Imz>0. Отобразим полупло-
полуплоскость Im z > 0 на круг | ? | < 1 (^ = reiQ) по формуле
z = j(S+1)/A—?), и пусть G(x) превратится в T(eie),
a ty(z) — B y(?)« Тогда легко видеть, что
(8Л2)

8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ 35
так что Г заведомо принадлежит классу Lz. Простая
выкладка показывает также, что если reiQ является обра-
образом точки x'-\-iy', то
я
Г(е)г о
v ; 1—2rcos@ —
v '(я — я')
—N
I
— N
о
—1/ С
= НтBя) /2 \ F (Е>) e-^'s+y'^dl^ ty(u
(8.13)
так что у является на самом деле интегралом Пуассона
от T(ei0). Тогда
я я
. (8.14)
Вспомним теперь одну из важнейших теорем анализа —
теорему Йенсена*). Она гласит:
Теорема XIII. Пусть f(z) аналитична при |z|<i?.
Предположим, что /@) не равно нулю, и пусть гь
¦) Е. Титчмарш, Теория функций, Гостехиздат, 1951,
стр. 147 и след.
3*

36 Гл. I. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
7*2* •••»гп, ...— модули нулей функции f(z) в круге
| z | < R, расположенные в неубывающем порядке. Тогда
при rn<r<rn+1
2Я
lZ^.7—l\l%\nre«)\dQ, (8.15)
О
где каждый нуль считается столько раз, какова его крат-
кратность.
Отсюда следует, что если у(О)фО, to
?Iy(O)I- (8-16)
—я
Кроме того,
я
[g"| y(reiQ)\dQ (8.17)
—я -я
и
я
= \ \ \Г\У (гв*в) | d0 - ± 5 lg | y (ге*в) |d6. (8.18)
— Я —Я
Отсюда, в силу (8.14) и (8.16), имеем равномерно по г
r(e'e)|»d8-lg|Y(O)|. (8-19)
Вообще, если у (я) имеет в точке 2 = 0 нуль кратности т,

9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КАРЛЕМАНА
37
ТО
r. (8.191)
Наконец, поскольку lg\y(reiQ)\ стремится почти всю-
всюду к lg|r(ei0)(, когда г—>1, имеем
я
¦k\ \h\T(e*)\\de<*> (8.20)
— Я
и, возвращаясь снова к полуплоскости, получаем
(821)
9. Доказательство теоремы Карлемана. Пусть инте-
интеграл G.04) сходится; положим
00
[2 ^у1. (9.01)
" V
Очевидно,
v-0
. (9.02)
Таким образом, согласно теореме XII существует
функция F(x), принадлежащая L2, обращающаяся в нуль
при х > 0, но не эквивалентная нулю, преобразование
Фурье которой G (х) удовлетворяет условию | G (х) \ = ф (х).
Кроме того,
J \F(v)(x)\2dx= J | G (х) |2x2v dx = J [ф(ж)]2a;2vda;<
—'ОО —ОО —ОО
оо
< \ [10A + ж2)] (^5-) a;2vda!<iii. (9.03)
Таким образом, расходимость первого из интегралов
(9.02) заведомо необходима для квазианалитичности

38 Гл. I. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
класса СА для бесконечной прямой и a fortiori необхо-
необходима для (—1, 1). Однако если задана последователь-
последовательность Av, для которой интеграл G.04) сходится, то по
формуле G.081) мы определим последовательность Fv,
для которой интеграл, соответствующий интегралу G.04),
также сходится.
Согласно оценке (9.03) существует функция, принад-
принадлежащая С'р и обращающаяся в нуль со всеми производ-
производными в начале координат. Формула G.08) показывает,
что эта функция будет принадлежать также С А. Таким
образом, расходимость интеграла G.04) необходима для
квазианалитичности класса СА.
Перейдем теперь к вопросу о достаточности условия
Карлемана для квазианалитичности; мы рассмотрим сна-
сначала случай класса СА на бесконечном интервале. Пусть
f(x)— всюду бесконечно дифференцируемая функция, не
равная тождественно нулю, но обращающаяся в нуль
вместе со всеми производными в точке # = 0. Мы хотим
показать, что интеграл G.04) сходится для всякого клас-
класса С'л, которому принадлежит f(x). Пусть F (х) совпа-
совпадает с f(x) при отрицательных х и обращается в нуль
при всех положительных х. Пусть G(x) — преобразование
Фурье функции F(x). Положим в формуле G.13) В~ 1,
что не является реальным ограничением. Получим
Следовательно,
| F(v) (х) |2dx = J
—оо
(9.04)
v=0 v=0 —оо
оо 2г+1
v=0 2r
2г+1 2г+1
<lgB [ \ \G(x)\'dx] 4)<2 J \\gB-1/i\G(x)\)\dx.
'ir 2r
95
(9.05)

9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КАРЛЕМАНА
39
Отсюда
v=0
2Г+1
2r
< 20 J | lg B/21 G (a;)
2~2
dx < oo.
(9.06)
Таким образом расходимость интеграла G.04) доста-
достаточна для квазианалитичности на бесконечном интервале.
Аналог теоремы Карлемана для класса СА на бесконеч-
бесконечном интервале доказан.
Обратимся теперь к случаю конечного интервала
( — 1, 1). Нам понадобится здесь следующая лемма
Н. Левинсона:
Пусть f(x) принадлежит классу СА на (— 1, II и
обращается в нуль на интервале (— 1, ?), г^е ?>0- То-
Тогда функция F(t), равная е~1 /A — е~г) при ?>0 и равная
0 при t < 0, будет принадлежать классу С а на ( — оо, оо).
Действительно, при ?>0
-e-(), (9.061)
-+-a,e
ni /<"-!
A-е"') + .. . + апе'1 f A - e"'),
+ fcie-<"+1>' /<n> A - О + . .. + bn+i e-' / A - *-')

40 Гл. I. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Здесь /<fe>(l— е~1) = ^кЦх), где x — i — ё~1. Из предыду-
предыдущих формул имеем:
Ьп = — 2an-i + an, bn+i= —an.
Отсюда получаем
+ 1), (9.063)
где ао = 1 и ап+1 = 0. Воспользуемся принципом индук-
индукции, чтобы получить неравенства для аа. Предположим,
что
|а«|<^-2п (а«1, 2, .... и). (9.064)
Тогда
[„2а-2 И2ап /и i п2а
(^ + 1)(bijT+^]2n<i4r--2n+1 (9-065)
(а = 1, 2, ..., п+1).
Но предположенное неравенство выполняется при п — 1,
а мы только что показали, что если оно выполняется
для п, то оно выполняется для /г + 1, и, значит, нера-
неравенство (9.064) доказано для всех значений п. Таким
образом, при 0
(9.066)
Далее, поскольку f(x) в точке х — 0 обращается
в нуль вместе со всеми своими производными, имеем
S <х &а~1 *(п) ?)<% (« > °)- (9-07)
Поэтому

9. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КАРЛЕМАНА
41
и, поскольку f(x) принадлежит СА, получаем, исполь-
используя оценку G.02),
;т!^тг- (9-081)
Пользуясь этой оценкой и тем, что е '<1 при
имеем
dtn
F(t)
<е-*BВ)»Апп
. (9-09)
Если выбрать некоторую часть членов ряда
то видно, что
< е BВ)п Ап пе2П < е~1 BВ)п Ап езп. (9.10)
Положив С = 2Ве3, имеем
<е'(СпАп при t>0. (9.11)
Отсюда
dnF (t)
dtn
1 dt < C2n Al
< C2n Л2П. (9.12)
Таким образом, F (t) принадлежит классу С а на
(— оо, оо). Это доказывает лемму.
Пусть теперь f(x) принадлежит классу СА на (— 1, 1),
и пусть последовательность Ап такова, что интеграл
G.04) расходится. Мы покажем, что если функция f(x)
и все ее производные обращаются в нуль в некоторой
точке этого интервала, то f(x) обращается в нуль, то-
тождественно; это и будет доказывать, что расходимость

42 Гл. I. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
интеграла G.04) достаточна для квазианалитичности
класса С А.
В самом деле, предположим, что / (х) не обращается
в нуль тождественно. Тогда сдвигом или сдвигом и под-
подстановкой г/= —х можно получить функцию f\{x), кото-
которая вместе со всеми своими производными обращается в
нуль в точке х~% (где 0<? < 1), все еще принадлежит
классу СА и не эквивалентна нулю на интервале 1 > х > |.
Положим /2 (х) = 0 при — 1 < х < \ и /2 (х) = /i (я)
при 1>ж>?. Функция /2(#) удовлетворяет условиям
предыдущей леммы. Из этой леммы и из того, что рас-
расходимость интеграла G.04), как уже было показано,
достаточна для квазианалитичности класса С'А на беско-
бесконечном интервале, следует, что функция F{t), фигури-
фигурировавшая в лемме, а стало быть и /2(#), должна тожде-
тождественно обращаться в нуль, что приводит к противоре-
противоречию. Таким образом, расходимость интеграла G.04)
достаточна также для квазианалитичности класса СА на
интервале ( —1, 1). Этим завершается доказательство
теоремы Карлемана для класса СА.
Расходимость интеграла G.04) достаточна также для
квазианалитичности класса CF на интервале ( — 1, 1).
В самом деле, предположим, что это неверно; тогда
существует функция, которая вместе со всеми своими
производными обращается в нуль в некоторой точке
замкнутого интервала ( — 1, 1), но не обращается в нуль
тождественно и принадлежит классу CF, причем инте-
интеграл G.04) расходится. В силу неравенства G.08) эта
функция принадлежит также классу СА, для которого
интеграл G.04) расходится, а из только что доказанной
теоремы Карлемана для классов СА следует, что эта
функция тождественно обращается в нуль. Это рассуж-
рассуждение завершает доказательство достаточности. Необхо-
Необходимость рассматриваемого условия уже была показана
для класса С'А, Таким образом, мы доказали аналог
теоремы Карлемана для классов С'А на интервале (— 1, 1).
10. Модуль преобразования Фурье функции, обра-
обращающейся в нуль при больших значениях аргумента.
Пусть функция f(x) принадлежит L на (— А, А) и
обращается в нуль вне (— А, А). Это высказывание

10. МОДУЛЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ ФУНКЦИИ 43
равносильно утверждению, что f(x) является произведе-
произведением двух функций из L2, одна из которых обращается
в нуль слева от —А, а другая — справа от А. Пусть
fi(x) и f2(x)~ эти функции, и пусть gx(u) и g2(u) — их
преобразования Фурье. Тогда по теореме Парсеваля
преобразованием Фурье / (х) будет функция
gl(v)gz(u-v)dv. A0.01)
Кроме того, согласно теореме XII вещественные функ-
функции |gi(^)| и |g2(^)j подчинены единственному условию:
du < „,. (Ю.02)
Это условие, очевидно, не зависит от А. Более того,
не изменяя | gx (и) | и \g%(u)\, можно так выбрать Д (х)
и /2(х), что эти функции будут иметь не эквивалентное
нулю произведение без каких-либо других предположе-
предположений, кроме A0.02).
Чтобы увидеть это, допустим, что функции 1гх(х) и
h2(x) равны соответственно | fi (х) \ и |/2(#)| на { — А, А)
и равны нулю в остальных точках. Мы заведомо можем
выбрать функции fi и /2 так, чтобы hi и h2 были
ненулевыми. Тогда, если
A0.03)
то имеем
2А оо
I hi(y)hz(-x + y)dy = bAY}anbnei^x/BA), A0.04)
-2А -оо
и поскольку а0 и 60> очевидно, не равны нулю, мы
можем иайти такое х0, лежащее внутри (— А, А), что
2А
\ Ъ(у)Ь2(-х0 + у)<1уф0. A0.05)
-2А

44
Гл. I. КВАЗИАНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Отсюда непосредственно следует, что
1Лх)и{-х*+х)фО, A0.06)
и если мы заменим fz{%) на f2(x — х0), то получим
функции fi и /2, соответствующие данным значениям
\gi\ и \gz\i Для которых /i/2 не эквивалентно нулю.
Далее, из формулы A0.01), получаем
\gz{u-v)\dv =
u/2
(v) | | g2 (и - y) | cfo <
u/2
!. A0.07)
Если существует некоторая функция ф (и) > 0, кото-
которая монотонно убывает при | и \ —> оо и для которой
справедливы неравенства
A\gi(u)\<<p(u)<B\g,(u)\ A=1, 2; 5>Л>0), A0.08)
то из условия
A0.09)
вытекает A0.02).

ГЛАВА II
ТЕОРЕМА САСА
11. Некоторые теоремы о замкнутости. В этой
главе мы хотим исследовать замкнутость на интервале
(а, Ъ) некоторых совокупностей функций {/n(#)},
/n(^)gL2. Множество функций {fn (x)} называется замкну-
замкнутым на (а, Ъ), если из условия
ь
\ f{x)fn(z)dx = O (n=l, 2, ...) A1.01)
вытекает, что f(x) обращается в нуль всюду, кроме
множества меры нуль, если только f(x)?L2. Множество
функций {fn{%)} называется полным, если для любой
функции f(x), принадлежащей L2, и для любого поло-
положительного 8 существует такой многочлен
x)t A1.02)
l
что
b
J \Pn(x)-f(x)\*dx<e. A1.021)
Мы докажем сейчас теорему, которая демонстрирует
значение замкнутости последовательности функций. Эта
теорема утверждает, что множество функций замкнуто
тогда и только тогда, когда оно полно.
Сначала мы докажем соответствующую классическую
теорему для множества {ф/г(?)}> которое является

46
Гл. II. ТЕОРЕМА САСА
нормальным и ортогональным, т. е. для которого
х = О (тфп),
A1.03)
=1 (л=1, 2, ...). A1.031)
Пусть /(ж)— любая функция из L2. Тогда
Ь п
а 1
Ъ
-2
п Ь
A1.04)
Это выражение положительно при любом выборе ak.
Поэтому оно будет минимальным, если взять
ъ
что заставляет последний член обратиться в нуль. Если
мы, кроме того, устремим п—>оо, то получим
Ъ оо b
fyhdxf>0. A1.041)
la
Это неравенство известно под названием неравенства
Бесселя.
Если известно, что множество {фп(^)} полно, то из
определения полноты и из минимизирующего свойства
чисел
= \ f фл dx

11. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЗАМКНУТОСТИ
47
видно, что неравенство Бесселя превращается в равен-
равенство, и мы имеем
Ь оо Ъ
$|/|*<& = 2|$/ф*<&|*- A1.042)
а 1а
Таким образом, не может существовать функция, не
эквивалентная нулю, которая была бы ортогональна
к каждой фд(^). Иными словами, полное множество
нормальных и ортогональных функций является замкну-
замкнутым.
Мы докажем теперь, что замкнутое множество полно.
Если оно не полно, то существует такая функция f(x)
из L2, что
Ь п Ь
lim \ /(*)- У Ф*(*) \fVkdx*dx>0, A1.043)
?i->oo J t «J
a la
ибо если бы удерживалось равенство, то множество было
бы полным. Отсюда и из A1.04) имеем
оо b
v i
1 a
Положим
A1.044)
A1.05)
Тогда по теореме Рисса —Фишера существует предел
g(x) = \.i.m.gn(x) A1.051)
и
Ь b оо b
'- ?1->OO <J »J
a a la
A1.052)

48
Гл. II. ТЕОРЕМА GAGA
Рассмотрим теперь f(x)— g{x)\ имеем
ь
Следовательно,
скольку множество
A1.044) следует
ъ
)]^J^jdx = 0(n = i,21 ...). (И.053)
f{%) — g(x) эквивалентна нулю, по-
по{ф&(я)} замкнуто. Но из A1.052) и
ъ ъ
\\f\2dx-^\g\*dx>0, A1.054)
а а
и, значит, f(x) не эквивалентна g(x). Таким образом,
замкнутое множество является также и полным. Мы до-
доказали, стало быть, что нормальное и ортогональное
множество функций замкнуто тогда и только тогда,
когда оно полно.
Приступим теперь к разбору общего случая, когда
{in (x)} является произвольным счетным множеством функ-
функций из L2. Из данного множества мы построим сейчас
некоторое нормальное и ортогональное множество.
В процессе этого построения мы отбрасываем любой
член множества {/д(#)}, который эквивалентен нулю или
линейной комбинации членов, предшествующих ему,
а затем строим последовательность {ф&(#)}, где
ф(*)~ h{x) ;
)—ч>1 (*) J /»E)
[Jl/i F) 1*^6-1 J
[I l/з
a
0-
A)
-Ф1<*)
S /¦ (E) Ф1 (Б) ««Б—ф
a
b о
J /s (Б) Ф1 (Б) ^Б "-
a
a
5/>(Е)ф2(Б)
*{
/з(Б)Фа(Б)«*Б
J

ф* (я) = Ь
ф2(X) = Й
21/
3l/
i(a-),
1 (X) + I
'22/2 (-0.
W2(a-)-M
11. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЗАМКНУТОСТИ 49
Ни один из знаменателей не обращается в нуль, посколь-
поскольку мы отбрасываем все члены, эквивалентные нулю или
линейной комбинации предшествующих членов. Как лег-
легко проверить, множество {фд(з)} нормально и ортогональ-
ортогонально. Его члены имеют вид
A1.061)
где ни один из коэффициентов Ьпп не обращается в нуль.
Из этого представления видно, что свойства замкнутости
множеств {щ{х)} и {fk{%)} полностью эквивалентны.
Далее, поскольку многочлен по функциям одного множе-
множества является многочленом по функциям другого (мы
можем выразить /&(.г) через ф&(#), так как Ьппф0),
свойства полноты у этих двух множеств полностью
эквивалентны. Это позволяет нам обобщить теорему,
доказанную для нормальных и ортогональных систем,
и мы видим теперь, что счетная последовательность
функций замкнута тогда и только тогда, когда она пол-
нд. Это свойство инвариантности замкнутости сохраняется
при весьма общих преобразованиях. Мы покажем теперь,
чго замкнутость инвариантна при любом линейном пре-
преобразовании всего L2 в себя, которое сохраняет интеграл
от квадрата модуля каждой функции. Иначе говоря,
пусть дано линейное преобразование такое, что каждой
функции f (х) класса Lz на а < х < Ъ соответствует
g(y), c<i/<d, класса L2, причем если fj(z)—>gj(y)*), то
cfj(z)->cgj(y), )
x)^gl(y) + g2(yI
а A1.07)
**= \\gj(y)\2dy (/=1, 2, ...)•
с J
Тогда свойства замкнутости последовательности {fn (x)}
такие же, как у последовательности {gn{x)}.
*) Знак—> означает здесь «соответствует», а не «стремится к».
/ Н. Винер, Р. Пэли

50 Гл. II. ТЕОРЕМА GAGA
Ибо, складывая соотношение
b d
y A1.071)
с аналогичными соотношениями для fx (х) — }2C;), /i(#) +
+ if2 (х) и /i (ж) — J/2 (•?)> умноженными соответственно на
множители 1, —1, г и —/, получим
b d
I /1 (х) Ш ds ^ J gl (у) ^G) dy. A1.072)
а с
Таким образом, для последовательности {/п (х)} и функ-
функции / (ж) из L2 и для соответствующих им образов g
имеем
(n=l, 2, ...)• A1-073)
а с
Таким образом, свойства замкнутости для последователь-
последовательностей fn и gn эквивалентны.
Некоторые специальные случаи этой теоремы имеют
большое значение. Например, если {/д(?)} замкнута на
интервале (— оо, оо), то замкнуто на этом интервале
ц множество преобразований Фурье
л
gH (?)= l.i.m. —^т- \ U{y)e^dy. A1.08)
A-*cQ Bя) /2 J
— А.
Ибо согласно теоремам Планшереля и Иар(еваляэто пре-
преобразование попадает в класс, рассмотренный выше.
Далее, пусть [fn{x)} замкнута на (a, b). Пусть срB) —
функция, имеющая производную ф' (t), которая определе-
определена для любого t и заключена между положительными
конечными пределами при t, лежащем в любой области
вида (с + 8, d~e). Пусть, наконец,
<p(c) = a, <p(d) = b. A1.09)
Тогда, если /(.>;) —любая функция из L2, а ^ — вещест-
вещественная изммримая функция, то

11. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЗАМКНУТОСТИ 51
Таким образом, преобразование, которое превращает f(x)
в /(ф@) [<p'@]1/2eiW)i обратимо, поскольку ф'@>0 и
оставляет инвариантным как класс L2, так и интеграл
от квадрата модуля каждой функции. Подобно преобра-
преобразованию Фурье, оно попадает в класс, рассмотренный
выше, и сохраняет свойство замкнутости.
Еще более простое преобразование, не меняющее
замкнутости, превращает }(х) в f(x)g(x), где g(x) —
ограниченная измеримая функция, не зависящая от /(#),
причем
-4т>е>0, A1.11)
g(x) ^ ^ '
ибо если
ь
J f(x)h(x)dz = 0, A1.12)
а
ТО
ь
l(x)g(x)j$dx = O, A1.13)
и наоборот. Ясно, что вместе с f(x) классу L принад-
принадлежат и f(x)g(x) и f(x)/g(x). Отсюда сразу же следует,
что наше преобразование не изменяет замкнутости.
В качестве частного случая рассмотрим множество
функций {хХп} на интервале @, 1). Хорошо известная
аппроксимационная теорема Вейерштрасса говорит нам,
что если мы возьмем Хп = п^>0, то система будет замк-
замкнутой. Здесь мы изучим более общий случай, когда нам
дано только, что ReA^> тг-. Это множество преобра-
преобразуется в множество
@ < ? < оо) A1.14)
преобразованием
/(ж)-»/(<г-6)е-6/2. A1.15)
Последнее в свою очередь становится множеством
{e-(bn+l/2)eV/2J ( — ОО < U< 00) A1.16)

52 Гл. II. ТЕОРЕМА САСА
при преобразовании
/(?)-»/(в*) е"/2. A1.17)
Заметим, что эти преобразования удовлетворяют усло-
условиям A1.07).
Преобразование Фурье превращает это множество
функций в множество
BяI/2 J^
оо
— - [ e-
BЯ)^ J
j
( —оо <w< ос-), A1.18)
где я|)(г^) — некоторая вещественная функция от w. По
хорошо известной теореме о гамма-функции
«{я soch nwyit—QriI''* e~^ /*~ (^")V2 sech— . A1.19)
Таким образом, используя различные теоремы экви-
эквивалентности, рассмотренные выше, можно утверждать, что
свойства замкнутости последовательности {хКп} на @, 1)
тождественны со свойствами последовательности
} или {е"я|ад1
на ( —оо, оо), ибо secb(nw/2) = g(w)e-TClw/2, где 1<
<i^(w;)l<2, и поэтому функция g(w) подчиняется усло-
условию A1.11).

11. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЗАМКНУТОСТИ 53
При повторном преобразовании Фурье функция
я (sech mv/2) f kn + -у < превращается в
/ Я V72 Г , nw /л . 1
/ ] \ сплЬ f / _J
0 — oo "^
д + _*_
о о
COS (wjC-\-W \g f kn + —
2BяI/*
A1.20)

54 Гл. II. ТЕОРЕМА CAGA
Выше мы воспользовались теоремой об ограниченной
сходимости, чтобы обратить порядок суммирования и ин-
интегрирования. Преобразование
f(e*x)ex->f{x) A1.21)
превращает эти функции в функции
@<х< оо). A1.22)
Таким образом, свойства замкнутости системы
1
на @, оо) те же самые, что и у системы хкп на @,1).
12. Теорема Саса. Исследуем теперь замкнутость мно-
множества функций A1.14). Все числа А,п + -п~ лежат в пра-
правой полуплоскости. Таким образом, вопрос о замкнуто-
замкнутости совпадает с вопросом о распределении нулей функ-
функции
со
$(fc)e-«Sd?, A2.01)
где F (?) принадлежит L2 на @, оо). Ибо если у{и)
имеет бесконечное число нулей \in в правой полуплос-
полуплоскости, ф([Хп) —0, то e~vnl не может быть замкнутым мно-
множеством. Функция ф(и), очевидно, будет аналитической
в правой полуплоскости. Пусть u = s-\-it, где s и t веще-
вещественны. Положим
А
<D(tt)=U.m. \ F (Ъ) e-vt dl, A2.02)
Л->со и

12. ТЕОРЕМА GAGA
55
Тогда г|) (z) будет аналитической в единичном круге.
В точности теми же рассуждениями, что и в формуле
(8.13), получим, что i|)(z) является интегралом Пуассона
от *P(eie). Пусть zu z2, ...—нули функции ij)(z), лежа-
лежащие в единичном круге, причем нули в начале коорди-
координат опущены, а остальные расположены в порядке не-
неубывания модулей. Если | zn |On< \zn+l | и яг— наимень-
наименьшее целое число такое, что ^тЦ0)ф0, то по теореме
Йенсена будем иметь, используя оценку (8.191),
чн-
31
= 2^ J \g\^(rne^)\dQ+\gm\-mlgr
n^
— П
Л
lg+1 i|j (rneie) | dQ + const. <
. A2.03)
— Я
и a fortiori при к < п
л
/г I (m) /а\ 1 ['
_ilJL i_i ^.—. V I Y (ег0) d0-|-const. A2.04)
—я
Устремляя rn—>1 в соотношении A2.04), как прямое
следствие получаем
1
< const.
и, значит,
A2.05)
A2.051)
Если теперь мы вновь превратим окружность | ъ \ = 1
в ось Imw; —0, а нули zk функции ty(z) — в нули функ-
функции ф(^), то это даст нам
- ¦-1~ал ._1-";л A2.06)

56 Гл. II. ТЕОРЕМА С АС А
а соотношение A2.051) превратится в соотношение
1
которое эквивалентно соотношению
12 *
A2.07)
A2.071)
Обратно, пусть {zk} —-множество чисел, удовлетворяющих
условию
A2-08)
и лежащих внутри единичного круга. Из A2.08) получаем
Произведение
zk — z zk
A2.10)
будет сходиться равномерно к аналитической функции
h(z) во всяком круге \z\ < /• < 1, поскольку
1 —
—zzk
1 —|
\zh\
A2.11)
и соответствующий мажорантный ряд сходится в силу
A2.09). Таким образом, для любой точки внутри единич-
единичного круга имеем
/1=1
<П
< const. A2.12)
в силу A2.08). Таким образом, функция h(z) аналитична
внутри единичного круга и равномерно ограничена

12. ТЕОРЕМА САСА 57
во всем круге. Положим
yp(z) = h(z)(l+z)\ A2.13)
Тогда i|)(z) будет определена внутри и на единичной
окружности и
!>(**)= О (*=*, 2, ...)• A2.131)
Кроме того, i|)(z) равномерно ограничена внутри еди-
единичного круга. Превратим, как и прежде, окружность
z | = 1 в ось Im w = 0. Будем иметь
Из формул A2.12) и A2.13) видим, что ^(s + it) будет
равномерно принадлежать классу L2 no t при любых s
таких, что 0<s<oo. Согласно этому из теоремы V
получаем
оо
(l)e-^dl, A2.15)
где F(l) — функция класса L2. Так, если
_1 —2/с
то множество {e~~Wfl } не будет замкнуто на @, оо), по-
поскольку F (|) принадлежит классу L2 и ортогональна
ко всем этим функциям в силу формулы A2.15).
Мы доказали, таким образом, теорему.
Теорема XIV (теорема Саса)*). Пусть кп —
множество чисел с вещественными частями большими —1/2.
Множество функций {хХп} будет замкнуто в L2 на @, 1)
тогда и только тогда, когда
оо
""^ = оо. A2.16)
*) О. Szasz, Uber die Approximation stetiger Funktionen
durch lineare Aggregate von Potenzen, Mathematische Annalen, Bd-
77 A916), стр. 482—496,

58 Гл. II. ТЕОРЕМА С АС А
Как следствие имеем:
Теорема XIV' *). Пусть ап — множество чисел,
лежащих в полосе | Im ап \ < -у . Множество функций
{e-n\w\/2-oniw} будет замкнуто на ( — оо, оо) тогда
и только тогда, когда
V с
^ c
—- —- оо.
Это сразу вытекает из рассуждений, приведенных
в абзаце, следующем за формулой A1.19).
Далее, согласно A1.22) имеем:
Теорема XIV"**). Пусть {[in} — множество чисел
с положительной вещественной частью. Множество функ-
функций l/(\inX-\~ 1) будет замкнуто на @, оо) тогда и только
тогда, когда
1
От теорем замкнутости в Lz перейдем теперь к теоре-
теоремам вейерштрассова тина о возможности равномерно
аппроксимировать произвольную непрерывную функцию
многочленами по данному множеству функций. Пусть
1 п
J \f(x)x*—^akx^dx<b. A2.19)
о 1
Тогда по неравенству Шварца
х п Я.Л:-1-а,
*) R. Е. А. С. Pale у and N. Wiener, Notes on the theory
and application of Fourier transforms, Note IV, a theorem on closure,
Transactions of the American Mathematical Society, vol. 35,
стр. 766—768.
**) Эта теорема была доказана профессором Сасом иными
методами (неопубликованная работа). Ср. также Szasz, Ober die
Approximation stetiger Funktionen durch gegebene Funktionenfolgen,
Mathematische Annalen, Bd. 104 A931), стр. 155—160.

12. ТЕОРЕМА САСА
59
Ясно, что произвольную непрерывную функцию, обращаю-
обращающуюся в нуль в начале координат, всегда можно равно-
равномерно аппроксимировать функциями вида
<p(x)dx,
A2.21)
где ф (х) принадлежит L2.
С другой стороны, пусть
Тогда
max | / (х)- 2 a>hx%k I < е-
X 1
A2.22)
Таким образом, мы доказали теорему.
Теорема XV (форма Саса теоремы Мюнт-
ца)*). Пусть Хп — множество чисел с положительной
вещественной частью. Произвольную непрерывную функцию
можно равномерно аппроксимировать на @, 1) полиномами
С2Я
71=1
такая аппроксимация всякой непрерывной функции не-
невозможна, если
Sl$U7f«<0°- A2-25)
*) Ср. Szasz, цит. соч.; С. Н. Miintz, Uber den Approxi-
mationssatz von Weierstrass, Schwarz's Festschrift, Berlin, 1914,
стр. 303—312.

ГЛАВА III
НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
13. Интегральные уравнения Лапласа и Планка.
Интегральное уравнение, известное под названием урав-
уравнения Лапласа, имеет вид
оо
g(a)= J f(x)e-axdx, A3.01)
о
где все независимые переменные вещественны, функция
g(u) является данной (с < г/< оо), а / (х)— искомой. Мы
будем считать, что несобственный интеграл понимается
А Л
в смысле lim \ , где \ —собственный интеграл Лебега.
А-°> i о
Допустим, что g(a) согласно формуле A3.01) суще-
существует и конечно. Положим
о
При и > а будем иметь
g(u)=
о о
Таким образом, интеграл A3.01) при и> а будет сходить-
сходиться, и мы будем иметь
A3.04)

13. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПЛАНКА 61
что можно записать так:
оэ
g2(u)=\f2(x)e-'xdx. A3.05)
о
Согласно A3.02) функция /2(^) является ограниченной
и имеет порядок О(е~ЕХ) на бесконечности. Таким образом,
мы нз ограничим существенно уравнение A3.01), если
будем считать, что функция f (х) принадлежит Ьг или
что она также ограничена и непрерывна.
Чрезвычайно простой метод решения уравнения A3.01)
принадлежит Уиддеру*).
Прямым дифференцированием, которое можно легко
обосновать, получаем
( _ i)n g(n) (^ = ^ xnf (х) e~llx dx. A3.06)
о
Таким образом,
е-пЦх
. A3.07)
О
Рассмотрим функцию
Ч»п (i) = g"e-«e/*. A3.08)
Для нее
[?] Ф»F)>0, A3.09)
Значит, (ф71(^) имеет один и только один максимум при
х = 1. Легко показать, кроме того, что
х+8 1+8/ас
b^ = 1. A3.10)
T
*) D. V. W i d d e r, The inversion of the Laplace integral and
the related moment problem, Transactions of the American Mathe-
mati cal Society, vol. 36, стр. 107—201.

62 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Иначе говоря, выражение A3.07) представляет собой сред-
среднее от /(?) с положительным весом, причем, когда п
стремится к бесконечности, общий вес значений /(?) для
аргумента ? вне (х — 8, х-\-г) стремится к нулю. Таким
образом, если f (х) ограничена и непрерывна, то рассуж-
рассуждение Фейера показывает, что
ЧтХтГ
f(x) = lim k^Z_SJLZ A3.11)
Уиддер показал, что условия ограниченности и непрерыв-
непрерывности несущественны.
Другой метод решения уравнения A3.01) состоит
в следующем: если f(x) принадлежит L2, то и /(е^^/2
обладает тем же свойством. Напишем
A3.12)
—ОО
И ПОЛОЖИМ
а->оо Bл:I' __А
1/8
^^ 1.1.Ш. |-т- \ J уХ) X 'z С1Х. ^lo.lOj
8
Тогда по теореме Парсеваля для преобразований Фурье
оо оо
BяI/Г2 «3 J
—оо —оо
A3.14)
Как мы уже видели (ср. A1.18)),
оо
{ e-eM<l/*-H»>d? = Г (iv+^r>)=O(e-n\vV2). A3.15)
— оо
Таким образом, произведение Г( у + ^ ) ^ (— у) при-
принадлежит L2, принадлежат L2 также и оба его сомножи-

13. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПЛАНКА 63
теля. По формуле A.7) теперь имеем
B^ I
A3.16)
Стоит отметить, что по теореме Планшереля F (v) будет
совершенно произвольной функцией, принадлежащей Ьг,
если сама f (х) является произвольной функцией из Z/2.
Таким образом, если функция g{u) подчинена единствен-
единственному условию, чтобы A3.01) имело решением некоторую
функцию f(x) из L2, то мы можем заменить это условие
эквивалентным условием, состоящим в том, что обе
функции а
e±™/2l.i.m. \ g(e4)eTi/2ei^dTi A3.17)
—А
принадлежат L2. Повторное обращение к теореме План-
Планшереля превратит формально это условие в условие, что
обе функции
g(eTi±m72)eTi/2±ni/4 A3.18)
принадлежат L2, т. е. что g(± iy) принадлежат L2. Этот
процесс, конечно, подразумевает продолжение g (и) в ком-
комплексную область. Мы увидим, что этот формальный
результат соответствует известному из теоремы Планше-
Планшереля результату, что
А
Li.m. [ f(x)e^yxdx A3.19)
принадлежит L2 на @, оо). Пользуясь теоремой Планше-
Планшереля, мы можем обратить соотношение A3.16)
А
А-н»
л
Xl.i.m.—^г- [ g (ew) e
в-кх> BяI/2 3 6 v У
—в
, A3.20)

64 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
что в свою очередь можно записать в виде
Это дает нам другую форму решения уравнения Лапласа.
Обратимся теперь к одной физической задаче, приво-
приводящей к интегральному уравнению, похожему на уравне-
уравнение Лапласа и отличающемуся от последнего тем, что
оно приводит нас к дзета-функции Римана. Согласно закону
Планка излучение на единицу объема в абсолютно черной
полости, находящейся в состоянии равновесия при темпе-
температуре Г, для частот, лежащих между v и v+dv, дается
выражением
h^JFr ^v> A3.22)
где /г — постоянная Планка, с — скорость света и к —
«газовая постоянная», отнесенная к одной молекуле. Этот
закон приводит к тому, что излучение источника, нахо-
находящегося в приближенном локальном равновесии, но
состоящего из смеси абсолютно черных тел с различной
температурой, будет иметь распределение, задаваемое
выражением
$5
о
где ф(Г) представляет в некотором смысле «количество»
излучения от абсолютно черных тел температуры Т. Тогда,
если мы имеем наблюдаемое излучение с распределением
по частотам x|)(v)dv, то задача о разложении его на
составляющие излучения абсолютно черных тел равно-
равносильна решению уравнения
Положим теперь
•А. = ц, ф^Г^ф^ф, -^=?(v). A3.25)

13. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПЛАНКА 65
Тогда уравнение A3.24) примет вид
^^. A3.26)
о
Это можно записать так:
dl. A3.27)
Положим (как в A3.13))
1/8
F(u) = l.i.m —L^ \ Ф{х)х^^йх, A3.28)
8->о Bя) /2 J
в предположении, что Ф(.т) принадлежит L2- Тогда по
теореме Парсеваля для преобразования Фурье
^. A3.29)
1
—оо
Но
:8/g ' ir) dl _ F i-l'*+iedx _
— w 0
VY +"ш ) ^\~2+lv) ^°^е 1У )• A3.30)
Значит, функции
и F( — v) принадлежат L2, как и их произведение. По
формуле A.06) имеем
= l.i.m. г— \ W(e^)e^2eiv^ dr\. A3.31)
A-voo BЯ) /2 J
x -A
Н. Винер, Р.. Пэли

66 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Таким образом, мы можем выразить F{ — v), а следова-
следовательно, и Ф(х) и ф (Т) через W (х) и ^(v). Этот процесс
содержит деление на дзета-функцию.
Аргумент 3/2 + ^ в формуле A3.31) лежит вне крити-
критической полосы, однако легко построить другие формаль-
формальные решения, в которых деление имеет место внутри
критической полосы и в которых, следовательно, гипотеза
Римана о нулях дзета-функции имеет важное значение.
14. Интегральное уравнение Стилтьеса. Пусть g(u)
определяется равенством A3.01). Тогда формально
= J e-uydy J f(x)e~uxdx =
= К f(x)dx \ e~^^y)du^ ^ fWdx . A4.01)
о о о
Мы докажем теперь это соотношение, используя теорию
преобразования Фурье. Полагая для у = е?\ имеем
h
Далее,
оо
2 NV2
2_V/2
о
оо
= 2(-i)-a
оо
л=0 О
оо
V2
V~2~/+y*
A4.03)

14. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТИЛТЬЕСА 67
Здесь мы воспользовались теоремой об ограниченной
сходимости, чтобы обратить порядок суммирования и ин-
интегрирования. Если f(x) принадлежит L2, a F (у) опре-
определена формулой A3.13), то по теореме Парсеваля, исполь-
используя формулу A3.16), будем иметь
Й^ IУ"
йя- (IУ
А
Xl.i.m.—4vj- \ g(eu)e^e~™ydu =
А->оо BЯ) /2 Ja
l..4i7
Л-»со Bл) '2 J
— А.
g(a:)e-»t|dj;. A4.04)
О
Сопоставляя эту фор]мулу с A4.02), видим, что
Заметим, что ряд Маклорена для сЬяг/ сходится так,
что его частные суммы остаются по модулю меньше chny.
Пусть
— 2т-я частная сумма.
*) Это уравнение и называется уравнением Стилтьеса.—
Прим. перев.

68 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Тогда
V Is zH (^ (erij вл/2) —
о
оо
—оо
Если F(х) принадлежит L2 на ( —оо, оо), то
А
/(е&) е?/2=: l.i.m.—V/- ^ F(y)e-il^dy. A4.07)
А->сю Bл) /2 J
При том же условии
А
1 (*
l.i.m. г— \ t< (у) е~~гм dy—
A^rjO Bл) /2 J
оо
— l.i.m. \ F (у) sech яг/фт (?/) e~iyT| d?/, A4.08)
т ->оо
поскольку в силу ограниченной сходимости
F (у) = l.i.m. /'([/)рес11Ш/фт(у) = 1ш1 F(
m->oo T7i->oo
A4.09)
Сопоставляя A4.07) и A4.08), получаем
F(у) sechяу<рт(у) e-*«ndy
A4.10)
или, в силу формулы A4.06),
о
Это соотношение можно записать так:
d Л211
( з
ж)). A4.12)

15. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 69
Это дает нам простую форму решения интегрального урав-
уравнения Стилтьеса. Проводя рассуждения в обратном по-
порядке, легко показать, что существование предела в сред-
среднем, указанного в A4.11), является необходимым и до-
достаточным условием для существования решения уравнения
Стилтьеса. Согласно формуле A4.01) уравнение Лапласа
будет при этом иметь решение
01/2
оо
= l.i.m. \ g(u)Km(ux)du, A4.13)
где
1 т
Это дает также другое необходимое и достаточное усло-
условие на g(x) для разрешимости уравнения Лапласа в слу-
случае, когда f (х) принадлежит L2, к которому, как мы
показали, приводятся все случаи.
15. Асимптотический ряд. Формально*) имеем
i / \ Г / (х) л 1 f /Ы ,
hly)= \ \ J-dx = — \ ' к ' dx =
о о 1+7
A5.01)
*) Ср. К. Knopp, Theory and Application of Infinite Series,
London, 1928; последняя глава.

70 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Полагая х = е%, y-=e^, f(e%)e&2 = ф(?), будем иметь
О — оо
A5.02)
и, если <p(|)e<"+i)? принадлежит L2, то
. A5.03)
Таким образом, при этом предположении формула A5.01)
дает хорошо известный асимптотический ряд для h(y).
Следует отметить, что член
оо / 1 \
5 *»(kJ A5.04)
-<S-n)(fc-4) v g.
имеет ядро е , формальное преобразование
Фурье которого имеет особенности в точках ( к—к- j i,
которые являются также особенностями функции
(я/2I^ sech пи преобразования Фурье ядра sech((? + 'n)/2).
Это не случайно, в более общих случаях мы найдем чле-
члены некоторого асимптотического ряда, связанные с особен-
особенностями ядра в комплексной области.
16. Преобразования Ватсона*). Пусть ф (х) — функ-
функция, определенная на (-—сю, оо), измеримая и по модулю
равная всюду 1.
*) Теория преобразований Ватсона (G. N. Watson, General
transforms, Proceedings of the London Mathematical Society, B),
vol. 35 A932), стр. 156—199) была недавно включена Бохнером
в более общую теорию унитарных преобразований в гильбертовом

16. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА
Пусть функция
оо
2 р ? sina(a|/2) ^
71
A6.01)
принадлежит L2 при любом а. Положим
Фа
.„(иНи.т.—^- С Фа(а:)е*«*<*с. A6.02)
Тогда при а <_ b < с
ь
dx
~" BяI/2 J L «~ J с
2 С
X
I Ф
пространстве (S. Bochner, Inversion formulae and unitary trans-
transformations, Annals of Mathematics, B), vol. 34 A934), стр. Ill —115).
Методы этого параграфа ближе к методам Харди и Титчмарша
(G. H. Hardy and E. С. Titchmarsh, A class of Fourier
kernels, Proceedings of the London Mathematical Society B), vol.
35 A932), стр. 116 —155) и, в противоположность методам Бохнера,
специфически применимы скорее к ядрам вида К (ху), чем, к бодее
общим ядрам вида К(х,у). Ср. также Е. С. Titchmarsh,
Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 A933),
стр. 217—220; M. Plancherel, там же, vol. 8 A933), стр. 220 —
226, и Ida W. Bus bridge, там же, vol. 9 A934), стр. 179—186,

72 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
= с
br\ cr\
f sin2 -ft- sin2 -ir
X
X
be
du.
Отсюда сразу же следует, что
A6.03)
A6.04)
и, значит, во всякой конечной области существует
функция
Ф(м) = 1.\.тФь(и). A6.05)
Теперь, отправляясь от функции / (х) такой, что
/(ж) = 0 [\х\>А], A6.06)
положим
f(x)O(y-x)dx =
i^ 5 f(x)d>bty-x)dx, A6.07)
/(ж)Фь(у — ж) Ас. A6.08)
Будем иметь
A6-09)

16. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА
73
и отсюда
со
-S
du.
Согласно формуле A6.01) и теореме Фейера почти всюду
имеем
I фь (и) | < 1, Пт | фь (и) | = 1,
Ь-*оо
так что формула A6.10) дает оценку
A6.10)
i всюду
A6.11)
и по теореме об ограниченной сходимости
СО ОО
lim \ \gb(y)\2dy= \ \f{x)fdx
— CO —ОО
Возвращаясь к A6.09), имеем
= 5 \f{x)\*dx A6.12)
A6.13)
lim \
с->-оо «J
Ь,
-lim
b, c-vco
со со
\ |Фь(ц)-фс(и)Р -* \ f(x)
e-iux
dx
A6.14)
Это соотношение, формула A6.07) и частно исполь-
используемый принцип, согласно которому предел и предел
в среднем, если они оба существуют, эквивалентны, дают
l.i.m. gb (у) ^g (у). A6.15)
b->co

74 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Таким образом, в силу A6.13) получаем
оо
\ё(у)\2*У= I \1{х)\Ых. A6.16)
— ОО —ОО
Обратимся теперь к случаю, когда f(y) является
совершенно произвольной функцией, принадлежащей L2.
Применяя формулу A6.16) к функции, равной / на (А, В)
и (—В, —А) и равной нулю в остальных точках, будем
иметь
Кг
BяI/2
-A
В А
r=r. ^\f(x)\*dx- ^\f(x)\2dx. A6.17)
-B -A
Таким образом, по теореме Рисса —Фишера суще-
существует функция
А
1 С
g(y)- -Аьт. B^)i/2 J^/W (У —л) ж> ( • )
принадлежащая L2, причем
= I \f(x)\*dx. A6.19)
Если f(x) обращается в нуль при достаточно больших
значениях аргумента, то в силу A6.08), A6.15) и A6.09)
имеем
B"I/2 _да
f(x)e'Uxdx. A6.20)

16. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВАТСОНА 75
Аппроксимируя f(x) функциями, отличными от нуля
только в конечной области, и переходя затем к пределу,
мы можем, используя A6.18), распространить формулу
A6.20) на самый общий случай, когда f(x) принад-
принадлежит L2. Это дает нам
л
Li. m. \т~ [ g(y)e~iiiydy=,
•—А.
В
j{x)e-^dx. A6.21)
Bя) /2 0
Вспомним теперь, что (р(и)~1/(р(и). Тогда получим
в
l.i.m.V
V
BяI/2 J
—в
A
= ^) 1. i. m. —L- \ g (у) е-^У dy A6.22)
A->oo BЯ) /2 УА
или, производя еще раз преобразование Фурье, как
в формуле A6.20),
А
A6.23)
f(x) = l.lm. —L_
— А.
Если мы положим теперь
f(-x) = h(x), A6.24)
то /г (я) будет принадлежать L2 и мы получим две двой-
двойственные формулы:
А
А A6.25)
А
= l.i.m.—-^- \
Произведем теперь замены:
g, g (у) = tjViG (tj),
A6.26)
)

76 Гл. III. НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Тогда формулы A6.25) примут вид
1/8
6
1/е
A6.27)
е->0 BЯI
В силу A6.19)
оо оо
\ I G (i\) |2 Aц = ^ | Я (?) |2 d?. A6.28)
о о
Приведем таблицу функций (f>(x) и соответствующих
функций К (?).
. / 2 Лх/2 / 1 .Л
егх2/2
\ 2 2 у
/ m—ice , 1 \
. я / 1 Л
Kit)
2 sin g (синус-преобразо-
(синус-преобразование Фурье)
2 cos g (косинус-преобра-
(косинус-преобразование Фурье)
2я
4 —i *-i/2-i*/2
2 ъ
BяI/2 Jm (g) g1/2
(преобразование Ган-
келя)

ГЛАВА IV
ОДИН КЛАСС СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
17. Теория Хопфа — Винера*). Мы посвятим этот
параграф решению однородного линейного интегрального
уравнения
оо
f{x)=\K(x-y)f{y)dy A7.01)
о
и будем считать, что ядро К экспоненциально убывает
при больших значениях \х\. Простейшим частным слу-
случаем является уравнение Лалеско с ядром
K(x) = e-W. A7.02)
При
сю
± yy-dt A7.03)
К(х) =
1*1
получается уравнение Милна. Это уравнение дает в качестве
решения распределение температуры в звездной атмос-
атмосфере, находящейся в лучистом равновесии**). Мы при-
применим метод преобразований Фурье в комбинации с некото-
некоторыми элеменарными соображениями из теории функций
комплексного переменного, чтобы получить «фунда-
«фундаментальные решения» уравнения A7.01), т. е. все решения
*) N. Wiener and Е. Н о р f, Ober eine Klasse singularer
Integralgleichungen, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie,
Mathematisch-Physikalische Klasse, 1931, стр. 696.
**) E. Hopf, Mathematisches zur Strahlungsgleichgewichts-
theorie der Fixsternatmospharen, Mathematische Zeitschrift, Bd. 33
A931), стр. 109.

7В Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
f(x), которые возрастают при больших значениях х мед-
медленнее, чем показательная функция с показателем мень-
меньшим, чем противоположная величина показателя экспо-
экспоненты, мажорирующей ядро К (х). Мы представим
эти решения в явной интегральной форме.
Теория аналогичного уравнения
оо
/(*•)= )j K(x-y)f(y)dy A7.04)
гораздо проще. Его решения являются, по существу,
показательными функциями. Если и = и* — п-кратный
нуль функции
1- \ K(t)eutdt, A7.05)
— оо
если () —произвольный полином степени, не превосходя-
превосходящей /г — 1, и если все нужные интегралы имеют смысл, то
Q{x)e~u*x A7.06)
будет решением уравнения A7.04). Связь уравнения
A7.01) с уравнением A7.04) можно выразить следующим
образом: решение уравнения A7.01) при больших х ведет
себя асимптотически, как некоторые решения уравнения
A7.04). Этот факт можно усмотреть уже из двух упо-
упомянутых выше примеров.
Перейдем теперь к решению уравнения A7.01). Пусть
ядро К вещественно и непрерывно, за исключением
конечного числа конечных скачков. Пусть К (х) es! х i
принадлежит L2 по меньшей мере при одном положи-
положительном значении s. He внося существенного ограниче-
ограничения, можно считать, что интеграл
(K{x)es\*\fdx A7.07)
сходится при всех s < 1. Тогда по неравенству Шварца
интеграл
I \K(x)\,
A7.08)

17. ТЕОРИЯ ХОПФА-ВИНЕРА 79
будет сходиться при s<l, что можно видеть, записав
подинтегральную функцию в виде
| К (х) | e(s+V I x l/2e—(I—s) | х |/2#
В дальнейшем мы рассмотрим те решения уравнения
A7.01), для которых
/(s) = 0(e°*), A7.09)
где а — произвольная фиксированная постоянная, мень-
меньшая 1.
Для того чтобы при этих предположениях решить
уравнение A7.01), запишем его сначала в виде
g(x) = f(x)- j K(x-y)f(y)dy, A7.10)
— CO
где
f(x) = O (ж<0), g(x) = 0 (x>0). A7.11)
Здесь функция g(x) определяется при я < 0 правой
частью формулы A7.10). Введем теперь преобразования
Лапласа
оо оо
Ф(»)= J f(x)euxdx, Y(«)= I g(x)euxdx,
—оо —оо
оо
к(и)= J K{x)e'xdx, A7.12)
— ОО
где и = 5 + ^ — комплексное переменное. Тогда
q>(s+i'O y(s-\~it) K(s-\-it)
Bя I/2 ' BяI/2 ' BяI/2 '
рассматриваемые как функции от ^, будут преобразова-
преобразованиями Фурье функций / (х) esx, g (x) esX, K(x) esX. Согласно
A7.11)
<р(и)= J f(x)euxdx, A7.13)
)euxdx. A7.14)
о
о

80 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ
В силу теорем V и III функция q>(u) будет регуляр-
регулярной в полуплоскости 5<—а и ограниченной во всякой
строго внутренней полуплоскости. Эти же теоремы пока-
показывают, что у (и) будет регулярной в полуплоскости
s > — 1 и ограниченной во всякой строго внутренней
полуплоскости, поскольку g(x) = О(е~! х|). Далее, полу-
полуплоскости регулярности функций ф и у покрывают совмест-
совместно всю плоскость и и имеют общую полосу — 1 < s < — а.
При наших предположениях о ядре К (х) интеграл
Лапласа для К(х) сходится абсолютно при |s|<l,
и к (и) будет регулярной в этой полосе. Если мы теперь
преобразуем по Лапласу соотношение A7.10), то получим
= q>(u)- J e»*dx J K{x-y)f (y)dy^
— 00 —CO
CO CO
= Ф(«)- J f(y)dy I K(x-y)euxdx =
= ф(и)- J f(y)eWJdy J K(t)eadt, A7.15)
— CO —CO
иначе говоря,
у(и) = ф(«)A-х(и)). A7.16)
Поскольку все интегралы сходятся абсолютно при
— l<s = Rei?< —а, произведенное изменение порядка
интегрирования законно.
Для того чтобы воспользоваться соотношением A7.16),
нам нужна следующая лемма:
Лемма. Функция 1 — к (и) имеет самое большое ко-
конечное число нулей во всякой полосе |s|<|5 (|5 < 1). Если
обозначить их через ии и2, . . ., ит, то функцию 1—к(и)
можно представить в полосе | s \ < |3 в виде
т
1-х(м) = ЯтП("-^). A7.17)
Здесь о+ (и) регулярна и не имеет пулей в полу-
полуплоскости 5> —E, тогда как о_(и) регулярна и не имеет

17. ТЕОРИЯ ХОПФА-ВИНЕРА 81
нулей в полуплоскости s<+P- Модули
| сг+ (и) uk+™/2 |, | а Ли) uk~™/21, A7.18)
при достаточно больших значениях и в соответствующих
полуплоскостях заключены между положительными грани-
границами. Здесь к — некоторое целое число, определяемое ядром.
Для четного ядра К = К(\х\) имеем к(и) = к( — и),
т = 2п — четное число и k = 0.
Полагая x = %-{-K/t, видим, что
и(и) = [ К (x)est eitxdx =
—оо
оо
A7.19)
Заменяя во втором интеграле g на х и складывая его
с первым интегралом, получим
2и(и)= J {^ у)|
A7.20)
Расщепляя подинтегральную функцию на две части, ви-
видим, что ее модуль не превосходит
en/t
\ ¦ i у * * •
+ \eut't-l\\K(x)\e** A7.21)
при \s\ < 1.Отсюда при |s|<so< 1 следует, что
|esoUidx. A7.22)
— СО
Если мы воспользуемся теперь нашими предположениями
о ядре К, то легко получим, что
x(s + «)->0 при |*|->оо A7.23)
6 н. Винер, Р. Шли

82 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
равномерно в полосе |s|<s0. Отсюда сразу же следует
наше утверждение, касающееся нулей функции 1 — к(и).
Кроме того,
*(*+;*}, A7.24)
BлI/2 V '
рассматриваемая как функция от t, является преобразова-
преобразованием Фурье функции К (х) esx, которую мы еще раньше
предположили принадлежащей L2. Таким образом, по
теореме Планшереля J и (s + Щ | также принадлежит L2 на
прямой — оо < t < оо.
Положим теперь
^^(^)* A7.25,
П (M-"v
1
где к все еще подлежит определению и где под (и2 — I)™/2
мы понимаем ту однозначную в полосе | s | < 1 ветвь,
которая ведет себя, как ит при больших значениях | и\.
Пусть Р < Р' < 1, где Р' выбрано, однако, так, чтобы
несколько более широкая полоса | s \ ^ Р' не содержала
новых нулей функции 1-х (и). Тогда т(и) будет регу-
регулярной и свободной от нулей в полосе |s|<(J', причем
т(м)->1 при |*|-» оо A7.26)
равномерно в полосе |s|<p\
Рассмотрим теперь приращение lgx(s-\-it), когда
t увеличивается от — оо до +оо. Согласно A7.26) это
приращение является целым кратным 2ш, и его можно
уничтожить подходящим выбором к в формуле A7.25).
Определив таким образом к, рассмотрим ту однозначную
в полосе |s| < Р' ветвь функции lg т (и), для которой lg т (и)
стремится к 0 при ?—>—оо. Тогда мы будем также иметь
lgT(^)—>0 при t—>-f-°°> т. е.
lg т (и) -> 0 при 111 -> оо A7.27)
во всей полосе |s|<P'. Кроме того, х(и) имеет вид
A7.28)

17. ТЕОРИЯ ХОПФА-ВИНЕРА 83
при больших значениях |?|, так что | lgx(w) | также при-
принадлежит L2 no t. Поэтому мы можем применить инте-
интегральную формулу Коши, которая дает lg т = lg т+ — lg т_,
где
Pi
-Э'-ioo
»¦+.» A7.29)
J
P'-ioo
при — p' <s = Rea<p'.
Теперь по неравенству Шварца
S J J^L, A7.30)
S5 S J
P' —ioo P' —ioo
так что функция lgx_(u) является регулярной и ограни-
ограниченной при s<p<p\ Аналогично функция lgT+(u)
регулярна и ограничена при s> — Р>— Р'. Если мы
теперь положим
_ () = Т_ Aг) (^ — l)-fe-hm/2 ? t1 • ^
то формула A7.17) и все свойства функций сг+и а_ будут сле-
следовать из соотношений A7.25) и A7.29).
Если К четное, то, очевидно, к (и) = к (— и) и число
нулей функции 1 — к (и) в полосе | s \ < [5 четно, т = 2гс.
Поскольку if (x) вещественно, к (и) = х (и). Если при этом
и чисто мнимое, то и = — и и х (м) = к ( — и) = х (м), т. е.
к (и) вещественна. Если мы положим /с = 0 в формуле
A7.25), то т(и) также будет вещественной при чисто
мнимых и. Поскольку т (и) Ф 0, приращение lg т (и)
вдоль мнимой оси и равно нулю.
Следует подчеркнуть, что функции а+ и а_ опреде-
определяются ядром К (х) посредством явных интегральных
формул.
Теперь уже легко решить уравнение A7.16). Пусть
щ, u2i .. .,цт — все нули функции 1 — х (и), лежащие
6*

84 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЙ
в полосе |s|<a, где а взято из оценки A7.09). Опреде-
Определим Р так, чтобы а<Р<1 и чтобы в полосе |s|<|3
не было новых нулей. Пользуясь этим [5, приме-
применим нашу лемму. Тогда A7.16) и A7.17) дают
т
^L Mu_Uv). A7.32)
О+ (и) G_(u) 11 V V/
По нашей лемме и еще одному замечанию, которое мы
уже сделали, левая часть этого равенства регулярна
при 5>-р и имеет вид O(\u\k+m/2) при больших зна-
значениях | и | . Аналогично правая часть регулярна при
5< — Р и имеем вид О (\ и |Ч-™/2) ПрИ больших значениях \и\.
Таким образом, соотношение A7.32) определяет неко-
некоторую целую функцию, которая равна O(\u\k+ml2) при
больших значениях |м|, и, значит, может быть только
полиномом степени, не превосходящей к + т/2.
В дальнейшем мы ограничимся случаем четного ве-
вещественного ядра К(х)~К( \х\). Тогда т = 2гс, к = 0
и формула A7.32) определяет полином самое большее
п-ж степени. Однако сама п-я. степень исключается, ибо
в противном случае по нашей лемме |ф(м)| был бы боль-
больше положительной постоянной при больших значениях
| а это противоречит тому, что по теореме Парсеваля
|p+i?)| как функция от t принадлежит L2. Таким
образом,
<?(")= a-2(nU)Pn-i(u), y(u) = eAu)Pn-i(u), A7.33)
П (*~*v)
i
где Pn-i — произвольный полином степени, не превосхо-
превосходящей п — 1.
Мы хотим теперь показать, что и обратно функции
ф(м) и у (и), определяемые формулой A7.33), действи-
действительно дают решение уравнений A7.10) и A7.11). Функ-
Функция ф(гг) будет регулярна в полуплоскости s<|$ всюду,
кроме полюсов и = щ, м2, ..., и2п, и будет равна О A/1 и |)
при больших значениях [и[. Аналогично y(^) регулярна
в полуплоскости 5>—р и равна 0A/\и\) при больших
значениях и\.

17. ТЕОРИЯ ХОПФА-ВИНЕРА 85
Таким образом, по теореме Планшереля интегралы
в формулах обращения Меллина
A7-34)
g{x) = \.i.m.±- \ y{u)e-"*du
имеют смысл и определяют функции / (х) и g(x), при-
принадлежащие L2. По формуле C.38) можно написать
оо
^ J , A7.35)
а по теореме V мы можем утверждать, что / (х) эквива-
эквивалентна нулю при отрицательных значениях х, тогда как
g(x) эквивалентна нулю при положительных значениях х,
т. е. выполнены равенства A7.11).
Что же касается равенства A7.10), то мы должны
показать, что функция
оо
t>(x) = e-»*(g(x)-f(x)+ J K{x-y)f{y)dy) A7.36)
— ОО
обращается в нуль, и в первую очередь, что она обра-
обращается в нуль почти всюду. Но согласно формулам
A7.34) функции e~$xf(x) и e~$xg(x) является преобразо-
преобразованиями Фурье функций
и
Bл;I/*
Таким образом, интеграл
оо
\ K(x-y)f(y)dy

86 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
в выражении A7.36) можно преобразовать по теореме
Парсеваля в интеграл
[ (f{u)K(u)e-uxdu. A7.37)
Иначе говоря, преобразованием Фурье интеграла в A7.36)
будет функция
y№P)yP)
V '
BяI/2
а преобразование Фурье б (х) равно
^( —Ф( —P + «) + Y( —Р + «) +
-Р + «)х(-р + И)) = О A7.39)
и 6 (я) обращается в нуль почти всюду.
Таким образом, функция /(#), определяемая равенст-
равенствами A7.33) и A7.34), удовлетворяет почти всюду инте-
интегральному уравнению A7.01). Наконец, легко показать,
исходя из уравнения A7.01) и из того факта, что / (х)е~$х
принадлежит L2, что f(x)e~$x является непрерывной
и ограниченной.
Мы хотим теперь обсудить асимптотическое поведение
f(x). Ограничимся случаем, когда К(х) четно. Если мы
переместим абсциссу интегрирования в первой из формул
A7.34) из — Р в +р, то мы изменим значение интеграла
на минус сумму вычетов функции ф (и) е~их в полосе
|Rett|<a. Согласно A7.33) подобный вычет имеет вид
— Q{x)e~u*x, A7.40)
где и* обозначает некоторый нуль функции 1 — к (и)
в полосе |Rett|<a, а Q(x) — полином степени меньшей,
чем кратность этого нуля. Таким образом,
и (х)=
2m ] (
A7.41)

17. ТЕОРИЯ ХОПФА-ВИНЕРА 87
где сумма в выражении для fo(x) берется повеем нулям
и* в полосе |Reu|<a. Функция fo(x) является реше-
решением интегрального уравнения A7.04), которое можно
записать в виде
со 0
fo(x)=^K(x-y)fo(y)dy + J K(x-y)fo(y)dy. A7.42)
Ясно, что fo{x) = 0(e$ '*')' и, используя наши предполо-
предположения относительно ядра К, мы получаем
о
O(e-P*). A7.43)
В силу A7.41) функция г(х)е$х является преобразова-
преобразованием Фурье функции
—Urj- ф (р - it)
BлI/2 YVK '
и принадлежит L2. Из соотношений A7.41) — A7.43) полу-
получаем
оо
r(x)= \ K(x-y)r(y)dy+O(e-l*). A7.44)
Подинтегральную функцию можно представить в виде
(К(х — у)е~$у)(г(у)е$У), так что в силу неравенства
Шварца г(х) = О(е-$х). Таким образом, в предположе-
предположениях, сделанных в этом параграфе о ядре К, мы уста-
установили теорему.
Теорема XVI. Пусть 2п —(всегда конечное) число
нулей функции
- J K(x)euxdx [K(x) = K(\x\)] A7.45)
с учетом их кратностей в полосе |Reu|<a<l. Тогда
максимальное число линейно независимых решений урав-
уравнений A7.01), для которых f (х) = О(е(а+6)х), где б — про-
произвольное Положительное число, равно в точности п.

88 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эти решения имеют вид
f (*) = 2 Q(ж) е-и** + О(е-Р*)*), A7.46)
где сумма берется по упомянутым нулям и*, a Q (х)— не-
некоторые полиномы степени меньшей, чем кратности и*;
Р — такое число, лежащее внутри интервала (а, 1), что
полосы а < Re w < |3 м — а > Re w > — $не содержат нулей.
Упомянем еще об одном свойстве четного ядра, именно:
среди членов главной части решения всегда присутствует
член с Rew*<0, иначе говоря, уравнение A7.01) не имеет
решения такого, что /(ж)—>0 при х —->оо, ибо из A7.33)
и из О-(и)ф0 следует, что ц(и) имеет по меньшей мере
один полюс, который не лежит в правой полуплоскости.
Применим теперь нашу общую теорию к некоторым
частным случаям. В уравнении Лалеско
нулями функции 1 — х являются и= ± A — 2ХI/2) и мы
имеем п = 1. Представление A7.17) непосредственно дает
= -5^г. A7-47)
При А,<0 не существует решений, подчиненных оценке
A7.09) с каким-либо а<1. При А,>0 имеется, по существу,
одно решение. Согласно A7.33) имеем
Далее, согласно A7.41)
ex(l-2XI/2_jre-x(l-2)
г-о^ \ T(w)e-^dw. A7.49)
Р
хA-2ХI/я xd-
2A—
*) Оценка A7.09) не обязана удовлетворяться, поскольку крат-
кратный нуль может лежать на границе полосы | Re и | ^ а и, стало
быть, в решении может присутствовать член xleax, I > О,

17. ТЕОРИЯ ХОПФА-ВИНЕРА 89
Интеграл в этой формуле должен обращаться в нуль,
поскольку абсциссу интегрирования можно переместить
сколь угодно далеко направо.
Вторым, более сложным примером служит уравнение
Милна. Здесь
оо
K(x)=y \ ^T~dt> A7.50)
1*1
так что
оо оо
Iff e~l
2 «3 J ^
x=Q t=x
оо t
1
dt =
__ 1 у е_ ~^1
2и ] t
0
ОО 1+U 1 +11
1 (* f _ / If ^^
= 1Г ] dt ] е W==~2H ] ~иГ==
0 1-u 1-u
где мы берем ту ветвь логарифма, которая регулярна
в полосе | Re и | < 1 и обращается в нуль при и = 0.
Уравнение 1 —х =- 0 имеет и = 0 двойным корнем. Неболь-
Небольшое размышление показывает, что в полосе |Reu|<l
нет других нулей.
Таким образом, существует только одно решение,
подчиненное оценке A7.09). При больших х оно ведет
себя, как линейная функция:
1{х) = х + а + О(е-«-Ь)х), A7.52)
где б — произвольное положительное число. В этом случае
нам не удалось привести интегральное представление f(x)
к элементарному виду. По-видимому, / (х) является новой
трансцендентной функцией.
В общем случае предположение A7.09) о решениях
уравнения A7.01) вполне естественно, поскольку 1—%

90 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
может иметь бесконечно много нулей в полосе | Re и | < 1.
В случае, когда 1 — х имеет только конечное число нулей,
как, например, в двух только что разобранных случаях,
можно доказать единственность наших решений даже при
более слабом предположении, чем A7.09), однако мы
не будем развивать этот вопрос.
Перейдем теперь к специальному случаю, когда ядро
положительно *). Пусть К = К (| х |) > 0 всюду, кроме
конечного числа точек, и пусть х@)<1, хA)> 1. Тогда
уравнение A7.01) будет иметь по меньшей мере одно
положительное решение. Ибо при этих предположениях
функция
х(и) =
о
будет монотонно возрастать, когда и возрастает по вещест-
вещественной оси от 0 до 1, и уравнение 1 — х = 0 будет иметь
в точности два вещественных нуля ± и* (и* >0) в полосе
|Rew| < 1. Таким образом, уравнение A7.01) будет иметь
решение, для которого / (х) = 0{еи*х), если и* > 0,
и f{x) = O(x), если и* —0, что означает, что х@) = 1.
В обоих случаях это решение положительно, начиная
с некоторой точки. Если бы оно было где-то нулем или
отрицательным, то оно принимало бы где-нибудь, скажем
при х = х0, свое наименьшее значение. Поскольку К > 0,
ОО 00
f(xo)= {K(xo-y)f(y)dy>f(xo)\K(xo-y)dy A7.53)
О О
или
оо
е с* ^
A7.54)
где знак равенства имеет место только при / = /()
Таким образом, равенство / (я;0) = 0 невозможно. Нера-
Неравенство f{xo)<.O также невозможно, поскольку интеграл,
*) См. также Е. Н о р f, Uber lineare Integralgleichungen mit
positivem Kern, Berliner Sitzungsberichte, 1928, XVIII.

18. ЗАМЕЧАНИЕ ОБ УРАВНЕНИИ ВОЛЬТЕРРА 91
стоящий в скобках, строго меньше, чем
Таким образом, /(я)>0 при я>0. Например, решение
A7.52) уравнения Милна положительно.
18. Замечание об уравнении Вольтерра. Теорема
Мерсера *) утверждает, что если 0 < а < 1 и если
п
a*n —(I —a)-jL2*v->*> A8.01)
i
то
sn->s. A8.02)
Эта теорема имеет обобщение нетривиального характера.
Непрерывный аналог утверждает, что если 0 < a < 1
и если
X
as (х) =^- \ s(y)dy—>s, когда х—>оо, A8.03)
1
то
s{x)->s. A8.04)
Заменой независимого переменного мы придем к утвержде-
утверждению, что если
a^S1 (g) + A — a) \ e^~^S(t\)di\—>s, когда ?—> со, A8.05)
о
то
?(Б)->*. A8.06)
*) J. Mercer, On the limits of real variants, Proceedings
of the London Mathematical Society, B), vol. 5 A907), стр. 206—224.
Pa ley and Wiener, цит. соч., Note VII, On the Volterra
equation, Transactions of the American Mathematical Society,
vol. 35, стр. 785-791.
L. L. Silyer.man, On the consistency and equivalence of
certain generalized definitions of the limit of a function of a con-
continuous variable, Annals of Mathematics, vol. 21 A920), стр 128—140.

92 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Это утверждение является частным случаем следующей
теоремы:
Теорема XVII. Пусть F (х) измерима и ограничена
во всякой конечной области (О, Л). Пусть К(х) принадле-
принадлежит L на @, оо), т. е.
i|dg<oo. A8.07)
о
Пусть, наконец,
X
F(х)+ { К(x — l)F(Qdl->s, когда я->оо. A8.08)
о
Тогда, если
00
\ К (?>)e~w% d^ Ф — 1 при Rew;>0, A8.09)
о
то
о
Обратно, пусть К (х) принадлежит L, пусть
и пусть из A8.08) вытекает A8.10) для всякой F(x),
удовлетворяющей нашим условиям. Тогда должно выпол-
выполняться условие A8.09).
Вторую часть этой теоремы можно доказать от против-
противного, положив
A8.11)
где
оо
:(t)e-w&dl=—l, ReM;0>0, ю0ф0. A8.12)

18. ЗАМЕЧАНИЕ ОБ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА 93
Тогда
-*O. A8.13)
И, поскольку A8.10), очевидно, не выполняется, вторая
часть теоремы доказана.
Первая часть теоремы XVII будет следствием одной
теоремы об интегральном уравнении Вольтерра с замкну-
замкнутым циклом*).
Мы будем пользоваться символом
А*В{х) A8.14)
для обозначения свертки двух функций
A8.15)
Хорошо известно**), что (ограниченное и измеримое)
решение интегрального уравнения Вольтерра
G(x) = F (x) + K *F(z) A8.16)
определяется однозначно и дается формулой
F (х) = G (х) + Q * G (х), A8.17)
л.
*) Уравнение Вольтерра / (о?) = ф (о?)—X \ К(х, y)f(y)dy назы-
0
вается уравнением с замкнутым циклом, если К (х, у)=К(х—у).
См. Ф. Трикоми, Интегральные уравнения, ИЛ, М., 1960,
стр. 37 и след.—Прим, перев.
**) V о 1 terra, Lecons sur les Equations Integrates et les
Equations Integro-Differentielles, Paris, 1913.

94 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где резольвентное ядро Q(x) само определяется из урав-
уравнения
Q(x)+K(x) = —K*Q(x)= — Q*K(x), A8.18)
или же формулами
<?(*) = 2(-1)п#п(я), A8.19)
Кп (х) = К * К71-1 (х), К1 (х) = К (х).
Заметим, что решение уравнения A8.18) легко полу-
получить, используя преобразование Лапласа*). Обозначим
через
оо
k(w)= [К (I) е-*Ы\, A8.20)
?(g)e-«*dg A8.21)
j
о
преобразования Лапласа ядер К(х) и Q (х). Уравнение
A8.18) приводится тогда к соотношению
№ A8-22)
и Q(x) отыскивается обращением интеграла Лапласа.
Теорему, о которой мы упомянули, можно теперь
сформулировать следующим образом:
Теорема XVIII. Необходимое и достаточное условие
того, что Q (х) принадлежит L на @, оо) (т. е. того, что
A8.23)
о
состоит в том, что
). A8.24)
*) См., например, S. В ос h пег, Vorlesungen uber Fouriersche
Integrale, Leipzig (русский перевод со второго английского изда-
издания: С. Б о х н е р, Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, 1962),
гл. VII. Ссылки на другие источники можно найти там же.

18. ЗАМЕЧАНИЕ ОБ УРАВНЕНИИ ВОЛЬТЕРРА
95
Если эта теорема справедлива, то первая часть теоре-
теоремы XVII сразу же доказывается. Действительно, при
сделанных предположениях имеем
X
F(x) = G(x)+[G{z-l)Q (I) dl. A8.25)
Здесь G (х) ограничена во всякой конечной области и
—>s, когда ?—>оо. Значит, G(?) ограничена на всей
полупрямой @, оо). Поскольку Q(E>) интегрируема на
(О, оо), мы можем перейти к пределу под знаком инте-
интеграла, когда х —>оо; в результате получим соотношение
1, A8-26)
которое и является в точности желаемой формулой A8.10).
Чтобы доказать необходимость условия A8.24), заме-
заметим, что если A8.23) выполняется, то q{w) наряду с k(w)
будет аналитической в полуплоскости Re w > 0 и непре-
непрерывной в ней, включая границу Rew = 0. Отсюда выте-
вытекает, что знаменатель в правой части формулы A8.22)
не обращается в нуль при Rew>0, так что условие
A8.24) выполняется.
Доказательство достаточности условия A8.24) является
более трудным. Введем вспомогательные функции:
[\и\<А],
Ч>а (и) =
!^ [А<\и\<2А], A8.27)
и положим:
W
<18-28)
, A8.29)
9i (и) = Фл (и) Q* М, Яг (и) = [1 - Фа (")] 9* (*«)• A8.30)
Мы хотим показать, что при достаточно большом А обе
функции <7i(u) и q2{u) будут преобразованиями Фурье
функций, принадлежащих L.

96 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Сначала заметим, что
Г —Фа (") & (ш)
Г л
когда и <24,
^() ' ' A8.31)
[ 0, когда \и\>2А.
Таким образом, qt (и) является частным двух функций,
каждая из которых является преобразованием Фурье
функции из L и обращается в нуль вне конечной области,
причем функция, стоящая в знаменателе, обращается
в нуль только в точках, лежащих внутри области,
в которой обращается в нуль функция, стоящая в чис-
числителе. Мы можем теперь сослаться на теорию Винера*),
и утверждать, что qi(u) является преобразованием Фурье
функции из L.
Имеем
№1г?%- <18-32>
Легко показать, что эта функция является преобразова-
преобразованием Фурье функции из L, если это утверждение спра-
справедливо для функции
— к (ш) [1 — фА/2 (и)] {1 + к (ш) [1 — фА/2 (и)]}-1 =
= 5 (-l)n{k(iu)[l-<fA/2(u)]}n. A8.33)
Но
{&(ш)[1-Фа/2(и)]}п A8.34)
является преобразованием Фурье некоторой функции
hn (я), для которой
°° A8.35)
*) N. Wiener, The Fourier Integral and Certain of its
Applications, Cambridge, 1933 (русский перевод: Н. Винер,
Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физматгиз, М.,
1963): леммы 67, 610, 618.

18. ЗАМЕЧАНИЕ ОБ УРАВНЕНИИ ВОЛЬТЕРРА 97
Рассуждение хорошо известного фейеровского типа
показывает, что мы можем выбрать А столь большим,
чтобы интеграл в скобках был меньше, чем любое на-
неред заданное число К из интервала О < К < 1.
Отсюда сразу же следует, что д2 (и) является преоб-
преобразованием Фурье некоторой функции F2(u), для которой
F2a)\dl<T^. A8.36)
Сопоставляя этот результат с аналогичным результа-
результатом для <7i(m), видим, что можно написать
где
со
5 |^< оо. A8.37)
Соотношение A8.37) можно переписать в виде
iu). A8.38)
Далее, легко видеть, что k(w)—>0, когда | w | —> оо рав-
равномерно в полуплоскости Rez#>0. Но так как по пред-
предположению 1 + к (w) Ф 0 при Re w > 0, то существует
такая положительная постоянная с, что
|1 + &(мО|>с>0. A8.39)
Таким образом, функция от w
со
- J E(l)e-**dl+q*(w) A8.40)
о
будет аналитической и ограниченной в правой полу-
полуплоскости и непрерывной в . замкнутой полуплоскости
с границей по мнимой оси. Аналогично функция от w
о
J E(l)e-»*dl A8.41)
—со
7 Н. Винер, Р. Пэля

98 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
будет аналитической и ограниченной в левой полупло-
полуплоскости и непрерывной в замкнутой полуплоскости с гра-
границей по мнимой оси. Кроме того, на мнимой оси эти
две функции совпадают. Классическое рассуждение Рима-
на — Пэнлеве сразу же показывает, что эти две функции
являются частями одной и той же аналитической функ-
функции, которая, таким образом, оказывается целой и ог-
ограниченной. Следовательно, она сводится к постоянной,
а поскольку
о
#(!-)e-«*d?-»O, когда w->oo, A8.42)
эта постоянная может быть только нулем. Таким образом,
-**dt. A8.43)
С другой стороны, из A8.19) сразу же следует, что суще-
существует такое число w0 > 0, что
(Kew>w0) A8.44)
i|e-™oidi< oo. A8.45)
По теореме единственности для преобразования Ла-
Лапласа заключаем, что E(x)e~wx и Q(x)e~wx совпадают
почти всюду и, значит, Q(x) принадлежит L.
В этом доказательстве мы воспользовались теоремой
Винера*), которая утверждает, что если функция f(х)
разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье и не
обращается в нуль, то функция l/f(x) также разлагается
в абсолютно сходящийся ряд Фурье. П. Леви **) показал, что
эти же методы достаточны для доказательства следующей
*) Цит. соч., лемма 616.
**) P. L ё v i, Sur le convergence absolue des series de Fourier,
Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, vol. 196A933), стр. 463.

19. ТЕОРЕМА ХАРДИ 99
теоремы: если функция f(x) имеет абсолютно сходя-
сходящийся ряд Фурье и если Ф аналитична в области значе-
значений функции f(x), то Ф [/(#)] имеет абсолютно сходя-
сходящийся ряд Фурье. Методами, не отличающимися суще-
существенно от методов этой работы, мы можем обобщить
эту теорему следующим образом: если f(x) является
преобразованием Фурье функции из L, а Ф(и) анали-
аналитична в области значений f(x), включая 0, то
ф [/Hi
является преобразованием Фурье функции из L.
19. Теорема Харди. Харди*) доказал следующую
теорему:
Теорема XIX. Пусть f(x) измерима, и пусть
f(x) = O(\x\ne-x2/2), когда я->±оо. A9.01)
Положим
п^7Г I (x)eiuxdx. A9.02)
* ' — СО
Если
g(u) = O(\u\ne-u2/2), когда и—>±оо, A9.03)
то f(x) имеет вид Р(х)е~х2/2, где Р(х) — некоторый поли-
полином степени, не превосходящей п.
Мы докажем эту теорему методами, аналогичными
методам, которые мы уже употребляли в этой главе.
Мы можем, очевидно, разбить f(x) на четную и нечетную
части и рассматривать их по отдельности. Доказатель-
Доказательства в этих двух случаях протекают вполне параллельно,
и поэтому мы ограничимся четным случаем. В этом
случае
со
f^y/2 С f(x)cosuxdx. A9.04)
*) G. H. Hardy, A theorem concerning Fourier transforms,
Journal of the London Mathematical Society, vol. 8A933),
стр. 227—231.
7*

100 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Кроме того, при Rez>—-^
= А
о
где А представляет различные постоянные.
Аналогично
--|-. A9.06)
Используя предположение теоремы, имеем
(X) ОО
[ g (и) uz-Vz du = lim С е~еи g (и) и2'1^ du =
= lim
Л /2
cos
= lim ^ f(x)dx(—
Но
cos их и*-1/* e-BUdu = х-*-1
оо
= ж-*-1/! J I [e-v (-
cos i/ г/2
и^ц. A9.07)
<fy. A9.08)

19. ТЕОРЕМА ХАРДИ 101
Пользуясь тем, что интеграл по замкнутому контуру
равен нулю, имеем
оо оо(—i+8/л)
С e-V(-i+e/x) yz-lfa dy= [ е-У(-*+е/л) yz-lfa dy =
О О
( i)(|) A9.081)
Аналогично
J e-v «+*'*)у*-1'*dy = Г (z + j} Q + ^YZ~1/2- A9.082)
0
Таким образом,
оо
\ cos их 1г2:~1
х.хр {-tf^i ,g (,+S)} cos {( )
A9.083)
Поэтому для чисто мнимого z и ж > 0 имеем
оо
К cos их ut-^e-^du < ж-1/» е* izl/2 гГг + у")!. A9.09)
Таким образом, по теореме о мажорированной сходимо-
сходимости имеем
оо
lim \ f(x)dx( — ) 2 \ cos их uz-
8->0 J Ч Я У J
A9.10)

102 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Используя A9.07), получим
оо оо
[ g (и) и2-1/*du=[ f (х) х-*-1!* dx X
В частности,
оо
С е-и2/2 Uz-V2 du =
0
A9.12)
Но
jj = 22/2-3/4 Г (у + 4) • A9.13)
Таким образом,
J / (ж) а;-2
°' . A9.14)
Чт+tj ч-i+t
Обозначим эту функцию F (z). Из оценок A9.05) и A9.06)
ясно, что эта функция целая и что в правой полупло-
полуплоскости
\F(z)\< const. | z [*/2 exp (я | Imz ]/4). A9.15)
Тем же способом можно доказать, что оценка A9.15)
выполняется в левой полуплоскости и, значит, во всей
плоскости.
Рассмотрим теперь функцию F (z) на положительной
части мнимой оси. Здесь

~АуЧ*
Но
\g(uc»)
19.
0
оо
/^ л/« \ 7
ТЕОРЕМА
g {и exp i
ХАРДИ
1 1 JiW~^/2 fill
J J Hi U/Li/
103
ееу.
A9.16)
X /-__M2e219v
^ ) aa; exp ( ^— у
X
X exp I —y cos Гу —
A9.17)
Таким образом, в силу A9.16) и A9.17) имеем
\F(iy)\~ const, у1
где интеграция производится вдоль вещественной оси.
Отсюда
при всех 8. Значит, в силу оценки A9.15) по теореме
Фрагмена — Линделёфа имеем
A9.18)
и оси.
A9.19)
еореме
A9.20)

104 Гл. IV. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
если е4 > 8. Отсюда следует, что F (z) должна либо быть
полиномом, либо иметь бесконечное число нулей, ибо в
противном случае F(z) имела бы вид eaz, что противо-
противоречит оценке A9.18). Таким образом, если F(z) не яв-
является полиномом, то мы можем удалить более чем
п/2 +1 ее нулей и получить некоторую целую функцию
G(z), которая принадлежит Lz на вещественной оси
и удовлетворяет оценке
A9.21)
при любом 8. Это, однако, невозможно в силу теоре-
теоремы XI. Таким образом, F(z) является полиномом, и,
как таковой, она не может в силу A9.15) иметь степень,
большую п/2. Отсюда
(-j+ jJ-*/2 A9.22)
0
и во всякой
А->оо
(Я
= 2
конечной
f d V
( X d~ J
области
iu)r ( ——
Ш
1 e-xy2 = у
( кУ S A9.23)
о
Здесь мы пользуемся математической индукцией на основе
соотношения
х ± (хп е-*»2) = (пхп — хп+2) е-х2'2. A9.24)

ГЛАВА V
ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
20. Классические теоремы о целых функциях. Пусть
f(z)— целая функция, т. е. функция, не имеющая осо-
особенностей во всей комплексной плоскости. Она называется
функцией конечного порядка, если существует такое
положительное число А, что
f(z) = O(erA), B0.01)
когда z = reie стремится к бесконечности. Нижняя грань
чисел А, для которых эта оценка справедлива, называется
порядком функции f(z). В этой книге основное внимание
мы уделим функциям f (z) порядка 1, т. е. функциям,
для которых
/(Z)==(9(^1+8) B0.02)
при 8 > 0, и, в частности, еще более узкому классу
функций экспоненциального типа, для которых сущест-
существует такое Л, что
f(z) = O[eTA). B0,03)
В этих случаях мы можем написать
B0.04)
по хорошо известной теореме Адамара*). В частности,
если f(z) четная, мы можем перемножить попарно
*) Е. Титчмарш, цит, соч., стр. 284,

106 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
множители в B0.04) и получить
оо
/(z) = M{j(i4), B0.05)
а если f(z) нечетная, то
с»
/ B) = 22»+i я JJ (!_?). B0.06)
Если f(z) четная, то имеем
Обозначим X (г) число нулей Кп, не превосходящих г по
модулю. Тогда
о
Отсюда вытекает, что
^М<яПЙ^>. B009)
С другой стороны, по теореме Йенсена, если
-2m==B=?01 B0.10)
г-»0
то имеем
, B0.11)

20. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРЕМЫ О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ Ю7
где п = Х(г). Таким образом,
г 2Я
1^
г-к» r J x jj
B0.12)
Ш± \ n&-dz<ml*\fW. B0.13)
Поскольку Я не убывает, это неравенство дает нам
Сопоставляя эту оценку с оценкой B0.09) получаем тео-
теорему:
Теорема XX. Если f(z) — четная целая функция
порядка 1, то Х(и)/и ограничена на бесконечности тог-
тогда и только тогда, когда (\g\f(z)\)/\z\ ограничена на
бесконечности; определение функции Х(и) дано в строке,
следующей за формулой B0.07).
Основная цель этой главы — доказать следующую,
гораздо более глубокую, теорему того же характера:
Теорема XXI. Пусть f (z) — четная целая функ-
функция, равная 1 в начале координат. Пусть
0
где интеграл берется вдоль вещественной оси, и пусть
Koo. B0.16)
Пусть ± zn — нули функции f(z). Положим

108 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
Тогда существует предел
^ = А, B0.17)
U-+GO
причем
В частности, это будет иметь место, если
f(x)\idx<co, B0.19)
г5е интеграл берется вдоль вещественной оси. При этом
будем иметь
f(z)= \ cosuzq>(u)du {L > 0), B0.20)*)
где ф(м) не эквивалентна нулю ни на каком из интер-
интервалов (nL — е, я/у).
Условие B0.15) можно заменить условием
%<<х>, B0.21)
где mf(r) равно
min
21. Тауберова теорема о целых функциях* В дока-
доказательстве теоремы XXI важное место занимает следую-
следующая теорема:
Теорема XXII. Пусть {Хп} — монотонная последо-
последовательность положительных чисел такая, что ряд
со
2 А'тГ2 сходится. Положим
1
*) Ср. с F.08) и теоремой X.

21. ТАУБЁРОВА ТЕОРЕМА О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ
Тогда утверждения
| у |
± оо
B1.02)
J lg\y(x)\x-*dx= —пЫ B1.03)
полностью эквивалентны.
Чтобы доказать это, заметим, что если k(t) является
числом нулей ХП1 не превосходящих t, и у > 0, то
71=1
ОО
= (яуР Jig (!+-?
B1.04)
Аналогично
ОО
-у
0 0
*2
х 2 dx =
y/t
о о
Оба выражения B1.04) и B1.05) имеют вид
5. B1.05)
B1.06)
где Я(^) — монотонно возрастающая функция. В B1.04)
имеем
±(J) B1.07)

НО Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
тогда как в B1.05)
i/k
ЛГт = ЛГрШ=«--4г- ^ le\l — x*\x'*dx =
B1-08
Функция Nt (к) положительна и монотонно убывает
То же самое верно и для iV2(^), поскольку
0. B1.09
1-Х
Обозначив через N (к) любую из функций NiCk)
(X), легко установить следующие свойства:
B1.10
B1.11
[ О A112), когда Я->со;
max ШСк)<оэ, NCk)>
Кроме того,
1
(it + i)ch-
B1.12;
1 — К
2tg-
B1.13)
Отсюда следует, что при вещественном t
B1.14)

21. ТАУБЕРОВА ТЕОРЕМА О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ Ш
И ЧТО
оо
J N(k)dk=l. B1.15)
о
Наконец, при у—>0
lX(t)= \im(ny)~1lgq)(iy) = O B1.16)
U t) Ч if У
О
И
оо у
lim— [ No С—^ dA,(O = Hm( —я2 ^lg |ф (а;) |ж с?ж^)=0.
" J ^"У ^ -i J
B1.17)
Таким образом, любое из утверждений
при у->оо (г = 1,2) B1.18)
влечет за собой ограниченность соответствующего инте-
интеграла
оо
B1.19)
в области @, ос). Непосредственное применение одной
из тауберовых теорем Винера*) показывает теперь, что
утверждения B1.18) полностью эквивалентны, что и со-
составляет как раз результат теоремы XXII.
Перейдем теперь к доказательству теоремы XXI.
Согласно теореме XX, если мы заменим каждую пару
нулей функции /(ж), отличающихся друг от друга только
знаком, другой парой нулей с тем же абсолютным зна-
значением, но вещественных, превратив тем самым функцию
B1.20)
*) N. Wiener, Tauberian theorems, Annales of Mathematics,
B), vol. 33 A932), стр. 1 — 100; теорема XI, стр. 30.

112 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
в функцию
мы заведомо не повлияем на справедливость соотноше-
соотношения B0.14), ибо при вещественных х
B1.22)
точно так же мы не повлияем на справедливость нера-
неравенства B0.19). Если К (и) — число нулей zv, не превос-
превосходящих и по модулю, то наше преобразование не вли-
влияет на Х(и), так что по теореме XX оценка B0.13) ос-
остается справедливой. Таким образом, при доказательстве
теоремы мы имеем право заменить f(z) на fi(z) и счи-
считать, что все zn вещественны и положительны. Мы бу-
будем предполагать, что
;..., B1.23)
где разумеется
Имеем
2
1
B1.24)
B1.25)
где (ср. B1.12))
оо

21. ТАУБЕРОВА ТЕОРЕМА О ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЯХ ИЗ
Ki(v)dv=U [ Kz(u)viwdv= ,.
0 0
J K2(u)du=l. B1.27)
о
Таким образом, по другой теореме Винера *) соотношения
4;4n B1.28)
Х(и)~Аи B1.29)
полностью эквивалентны. Это утверждение является так-
также одним из результатов Титчмарша**). Таким образом,
мы должны установить всего лишь равенство B1.28)
или, согласно теореме XXII, равенство
B1.30)
Мы уже знаем, что
lg+l/i(«OI=0(|M>l) B1-31)
lg+\fi(u)\u-*du<oo, B1.32)
как это следует из непосредственной выкладки. Из
B1.31) вытекает, что отношение X(t)/t ограничено. Отсюда
*) N. Wiener, A new method in Tauberian theorems,
Journal of Mathematics and Physics, Massachusetts Institute of
Technology, vol. 7 A928), стр. 161 —184. Эта теорема не сформу-
сформулирована здесь в форме, применимой к интегралу Стилтьеса,
однако приведенное доказательство, по существу, не зависит от
этой формы.
**) Е. С. Titchmarsh, On integral functions with real
negative zeros, Proceedings of the London Mathematical Society,
B), vol. 26 A927), стр. 185—200.
8 н. Винер, Р. Пэли

114 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
в силу B1.05) и B1.09)
= -2
lg
у—t
= 0
Сопоставляя эту оценку с неравенством B1.32), получаем
\l«"|/i (и) !»¦'** = 0A), B1-34)
-у
где интеграл берется вдоль вещественной оси. Таким
образом, имеем
<oo.
B1.35)
Это неравенство вместе с неравенством B1.32) дает соот-
соотношение B1.30). Мы будем, очевидно, иметь
hm
B1.36)
откуда сразу же следует B0.16).
Обратимся теперь к общему случаю, данному в по-
посылке теоремы XXI, когда не все нули функции f(x)
вещественны. Согласно оценке B0.13)
С другой стороны,
(и) = О(и).
B1.37)

22. УСЛОВИЕ ВЕЩЕСТВЕННОСТИ НУЛЕЙ Ц5
Ртсюда следует, что предел
A-Umh&^l&JWlb B1.39)
О
существует.
22. Условие, при котором нули целой функции
являются вещественными. Мы хотим доказать теорему:
Теорема XXIII. Пусть f(z)— четная целая функ-
функция порядка, не превосходящего 1, и пусть 2А,(г) —
число ее нулей ± zn, лежащих в круге радиуса г с цент-
центром в начале координат. Пусть
l(r)~Br (г->оо). B2.01)
При этих условиях все нули f(z) будут вещественными
тогда и только тогда, когда
B2-02>
В силу теоремы XXII и соотношений B1.28), B1.29)
мы должны доказать лишь, что
оо 1 1
B2.03)
тогда и только тогда, когда каждое из zv вещественно.
Но если какое-либо из zv не является вещественным,
то мы будем иметь
B2-04)
v=l
при вещественных и, что несовместимо с B2.03).
8*

116 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
23. Теорема о дзета-функции Римана. Приступим
к доказательству теоремы:
Теорема XXIV. Пусть числа Хп вещественны
и положительны, и пусть ряд SlAn сходится. Положим
B3.001)
Тогда утверждения
и
у
у\ при у->оэ B3.01)
lg | ф (х) | х~2 dx п2А \g\y\ B3.02)
-у
полностью эквивалентны.
Пусть г/>0; воспользуемся ядрами А^(А,), N2 (А,) пре-
предыдущего параграфа. Тогда соотношения B3.01) и B3.02)
можно заменить соответственно соотношениями:
), N2(X). B3.03)
V У У
0
Заметим теперь, что каждое из соотношений B3.03)
влечет оценку
% [у) = О (у lg у). B3.04)
Действительно, если B3.03) выполнено, то
у
>N(l)X(y)(y\gyy\ B3.05)
поскольку N(K) положительно и убывает. Докажем те-
теперь, что при условии B3.04) соотношение B3.03) экви-
эквивалентно соотношению

23. ТЕОРЕМА О ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА Ш
где
У
А*(у) = \(lgty4K(t) B3.07)
о
в смысле главного значения Коши.
Не внося существенного ограничения, мы можем счи-
считать, что X(t) непрерывна в точке 1. Из B3.04) и B3.07)
сразу же видно, что Л* (у) обращается в нуль при до-
достаточно малых у и что
А*(у) = О(у) при у -> оо. B3.08)
Далее, разность между левыми частями соотношений
B3.06) и B3.03) равна
= -(г/igу)'1 \ л* (t)dt [>(-?-) ig-f-] =
0
= 0{(lg уГ ] t §-t [.N (t) lg J- ] dt} = O(^) , B3.09)
0
что стремится к нулю, когда у—>со или у—>0. Та же
самая теорема Винера, которая была применена при до-
доказательстве теоремы XXII, сразу же показывает экви-
эквивалентность двух утверждений B3.06); поэтому эквива-
эквивалентны и два утверждения B3.03), а значит, эквивалентны
и B3.01) и B3.02).
Чтобы применить теорему XXIV к теории дзета-
функции Римана, введем функцию
B3.10)

118 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
Известно, что S(z) — четная целая функция, все нули
которой лежат в полосе |Imz|<-7r*). Кроме того,
Положим
, B3.11)
>, c = S(O). B3.12)
, |zv| = A,v B3.13)
На мнимой оси имеем
, 1#(и/)|_ v i
(«») I
v=l
B3.14)
1 + -
= 0A). B3.15)
Таким образом, при у > О в силу B3.11) имеем
B3.16)
и по теореме XXIV
у
dx —>—|-, когда у—> оо.
B3.17)
*) Ср. А. Е. Ingham, The distribution of Primes, Cambridge
Tract in Mathematics and Mathematical Physics, № 30, гл. Ill,
§ 7 (русский перевод: А. Е. Ингам, Распределение простых
чисел, ОНТИ, 1936).

23. ТЕОРЕМА О ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
119
Далее, на вещественной оси
1-
откуда
Кроме того,
lg
1—*«/*?
Интегрируя почленно, получим
со
0< \
V=l
Тогда согласно B3.17)
(lg У)'1
Ч(х) \x~*dx->-
\.
B3.18)
B3.19)
B3.20)
B3.22)
Если мы воспользуемся теперь формулой B3.10) и выра-
выразим все через дзета-функцию, то получим теорему:
Теорема XXV*).
B3.23)
*) Этот результат менее силен, чем результат, полученный
Титчмаршем в его «Cambridge tract» о дзета-функции. Титчмарш
устанавливает, что

120 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
24. Некоторые теоремы Титчмарша. Титчмарш*'
рассмотрел асимптотические свойства целых функции
с вещественными отрицательными нулями. В этом пара-
параграфе мы приводим некоторые результаты, которые пе-
перекрываются с результатами Титчмарша. Метод, исполь-
используемый для получения этих результатов/во многом ана-
аналогичен методу, использованному при доказательстве
теоремы XXII; поэтому мы даем здесь только краткий
набросок доказательства, предоставляя детали читателю.
Пусть
OiO B4-01)
v=l
— целая функция, все нули которой {—av} отрицатель-
отрицательны. Мы будем считать, что
оо
0"<а!<а2< ..., 2я^<°°. B4.02)
v=l
Символом п (г) мы будем обозначать число нулей tfv, не
превосходящих г. Буква х будет означать вещественное
положительное переменное, которое стремится к беско-
бесконечности.
Теорема XXVI. Пусть X, q, 0 — фиксированные
числа такие, что
Х>0, 0<q<1, |в|< я. B4.03)
Тогда утверждения
(i) n(x)~Xxf>,
(ii) ]g / (х) ~ лХ cosec щх?,
(ш) lg ] / (xeiQ) | — пХ cosec щ cos Qqx? (| 9 | < я),
(iv) [ r-t-W^nglf {re™)\dr~
о
n% cosec nQ cos 9g х^
эквивалентны. В последнем утверждении член в правой
*) Цит. соч. (см. стр. 113).

24. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ТИТЧМАРША 121
части в случае Q = n/BQ) следует заменить его предель-
предельным значением при q—>я/B9).
Заметим сначала, что из сходимости ряда B4.02) вы-
вытекает оценка
п(х) = о(х). B4.04)
Положим, далее,
(о(х) = х-рп(х). B4.05)
Ввиду того, что п{х) монотонно возрастает, легко видеть,
что утверждение (i), которое можно записать как
ю(ж)-»А,, B4.06)
и утверждение
X
J <o(r)dr~hx B4.07)
о
эквивалентны *).
Наш следующий шаг состоит в таком преобразовании
левых частей утверждений (ii) — (iv), которое позволит
непосредственно применить тауберовы теоремы Винера.
со
х-р lg / (х) = х-р J lg (l + f ) dn (t) =
0
*) Эту эквивалентность легко доказать непосредственно иль
вывести из одной теоремы Випера (цит. соч.—см. стр. 113, теорема
XIII, стр.34—35); она следует также из одной хорошо известной
теоремы Ландау (Landau, Beitrage zur analytischen Zahlentheorie,
Rendiconti del Gircolo Matematico di Palermo, vol. 26 A908), стр.
169—302 (стр. 218)).

122 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
х
хП/B \ 9 I )-p f г-1-Я/B| 0 I) lg | f (rei6) | dr =
0
о
х
_ хтс/B | 0 | )-р С r-i-n/B \Q\)drrp-l
О
X
x\ —^ rr-i-*/Biei>dr. B4.08)
Для последнего преобразования воспользуемся формулой
B4.12) с u = 0 и д0=я/2. Таким образом, все утвержде-
утверждения (ii) — (iv) представимы в виде
оо
- [ (o(t)N (-ЛсИ->'к, когда х-^оэ, B4.09)
где iV(j/) обозначает соответственно:
1 ур~{
Ns № = я cosec hq
р-1 1 + J/COS0
Я
Q 9, l fl
>Х
я cosec яр, cos 6q •
\ ?! г-1-я/B|е|)^г B4 10)
1+—соэО
Х

24. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ ТИТЧМАРША 123
Прямое вычисление дает:
iu-fp-1
dy = n cosec n(iu-\-Q), B4.11)
?т—
y
= я cosec я (iu + q) cos 9 (ш + q), B4.12)
1+1 cose
L
ш i+fcose+1
f+
,
oo
J
l-f2r cos 6 + r2
г
—я cosec я (ш-j-q) cos 6 (iu -\-q)
__ _
Легко проверить, что ядра N3(y), Nb(y) при |9|<-?
и N2(y) обладают всеми свойствами ядра N(y), сформу-
сформулированными в процессе доказательства теоремы XXII.
Положим
Функция Л(^) монотонно возрастает, поскольку со(?)>О.
Следовательно, можно применить здесь использованную
в § 21 теорему Винера, из которой следует, что утвержде-
утверждения (ii), (iii) при |9|<я/2 и (iv) эквивалентны, тогда
как любое из утверждений (ii) или (iv) влечет за собой

124 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
(ш) при я/2 < | 0 | < я. Следует заметить, что ядро N^(y)
не является положительным при 191 > я/2, тогда как
Nb(y) положительно во всей области |6|<я. Введение
этого ядра было вызвано отсутствием положительности
у ядра Nb(y) при |0[>я/2. Другая теорема Винера *)
показывает, что любое из утверждений (ii), (iii) при
|9[< я/2 и (iv) приводит к соотношению B4.07), а зна-
значит, и к соотношению B4.06), которое совпадает с (i).
С другой стороны, можно непосредственно доказать**),
что из (i) вытекает (ii), а значит, также (iii) и (iv).
Этим замечанием завершается доказательство теоре-
теоремы XXVI.
25. Теорема Пойя. Пойя ***) поставил задачу доказать
следующую теорему:
Теорема XXVII. Пусть f (z) — целая функция, огра-
ограниченная при целочисленных значениях аргумента z = 0,
± 1, ± 2, . . ., ± 72, . . . Пусть
max lg\f(reiQ)\ = o(r). B5.01)
Тогда f(z) сводится к постоянной.
Ясно, что эту теорему достаточно доказать для четных
/(z), ибо если / (z) нечетна, то нужно просто рассмотреть
f(z)/z, которая будет четной и, следовательно, будет сво-
сводиться к постоянной, которая может быть только нулем.
Случай произвольной функции можно тогда рассмотреть,
представляя ее как сумму четной и нечетной частей.
Если f{z) четна, то
g(Z) = {/(z)-/@)K2 B5.02)
будет целой. Таким образом,
2 |g(n)]<oo. B5.03)
*) N. Wiener, Цит. соч., теорема XI", стр. 31 — 32.
**) Titchmarsh, Цит соч., теорема I.
***) Poly a, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Ver-
einigung, Bd. 40 A931), 2-te Abteilung, стр. 80, проблема 105.
Решения были даны Чакаловым и Сегё, решение было проком-
прокомментировано Пойя (там же, Bd. 43, 2-te Abteilung, стр. 10, И, 67),
Пойя ссылается на более раннюю работу Дж. М. Уиттекера.

25. ТЕОРЕМА ПОЙЯ 125
Построим функцию
G(z)= J т B
п=—оо
Очевидно,
G(x + iy) = O{y-1e*W\). B5.05)
Образуем теперь целую функцию
Я (z) = [g (z) - G (z)] cosec nz. B5.06)
При любых значениях z и любых целых значениях п
имеем
-prJ B5.07)
равномерно по га. Здесь мы воспользовались оценками
B5.01) и B5.05). Отсюда
')\2 B5.08)
При Любом 8.
Положим
Я4= [я+4] » ^2= [ж — у].
Тогда по теореме Коши
H(x + iy) = Bniy1 \ —-^
-оо а?1 + -о
- Bт) \ —^-j ?-dyt. B5.09)

126 Гл. V. ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА
Отсюда
\ —
^ +
Н (zi-^
—оо
\ —41
"Vdy
B5.10)
и по теореме Планшереля и неравенствам Шварца и Мин-
ковского
J \H(x+iy)\*dy<
<const.
Таким образом, в силу оценки B5.08)
оо
J |tf(z-}-^)|2dy=0(e2el*l). B5.11)
•—ОО
Применяя теорему Когаи, получим
— ОО ОО
B5.12)
Тогда по теореме Планшереля
|2e-2u*du = 0(e28l*l). B5.13)
Это возможно, однако, только если ф(и) обращается

26. ДРУГАЯ ТЕОРЕМА ПОИЯ 127
в нуль почти всюду при |м|>е. Поскольку 8 произволь-
произвольно мало, у (и) должна быть эквивалентной нулю. Таким
образом, H(z) обращается в нуль и g(z) = G(z). С дру-
другой стороны, G(z) принадлежит L2 на вещественной оси,
поскольку
|G(a:)|2cte< со. B5.145)
Поэтому g(x) принадлежит L2 на вещественной оси. По
теореме XI g(x) должна тождественно обращаться в нуль.
Таким образом,
G(z) = g(z) = 0, f(z) = f(O), B5.15)
что и является желаемым результатом.
26. Другая теорема Пойя. Пойя *) поставил вопрос
о справедливости следующей теоремы, ответ на который
был дан Сасом**):
Пусть ти т2, ...—вещественные числа, обладающие
свойствами 0 < mt < т2 < ... и
>т>°- <26-01>
Пусть, кроме того, f(x) —функция, непрерывная в замк-
замкнутом интервале (а, Ь). Тогда из равенств
ь ъ
\ / (х) cos mnx dx = \ / (х) sin mnx dx = 0 B6.02)
а а
следует, что f(x) тождественно равна нулю.
*) Poly a, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Verei-
ningung, Bd. 40 A931), проблема 108 (стр. 81).
**) Там же, Bd. 43 A933), стр. 20 (часть 2).

128 Гл. v. Целые функции экспоненциального типа
Без ограничения можно предполагать, что Ъ= —а —я.
Мы докажем следующую, более общую, теорему:
Теорема XXVIII*). Пусть 0<m1<m2<...,
и пусть
fim — >1. B6.03)
п _» оотп
Тогда, если f(x) принадлежит L2 и
я
\f(x)e±imnXdx = O (n= 1,2,3,...), B6.04)
— Я
то f (х) обращается в нуль всюду, кроме некоторого мно-
множества меры нуль.
Очень важно, что мы заменим нижний предел lim
верхним lim. Это дает нам гораздо более глубокую теорему.
Поскольку условие B6.04) будет выполнено, если заме-
заменить f(x) на f(x)±f( — х), достаточно рассмотреть слу-
случаи, когда f(x) четная или нечетная. Мы подвергнем раз-
разбору случай четной/(х), предполагая дополнительно, что
Случай, когда это условие не выполняется, а также слу-
случай, когда f(x) нечетная, требуют лишь небольших мо-
модификаций, которые могут быть предоставлены читателю.
Положим
Ф(и)= J f(t)eiudt, B6.05)
—Я
где целая функция ф(и) является четной и где без потери
общности можно считать, что ф@) = 1. Заметим, что,
полагая u = a-{-ix, будем иметь
Я B6.06)
*) Эту теорему также можно вывести из одной теоремы
Титчмарша: Titchmarsh, The zeros of certain integral functions,
Proceedings of the London Mathematical Society, B), vol. 25 A925),
стр. 283 — 302; теорема iv.

26. ДРУГАЯ ТЕОРЕМА ПОИЯ 129
С другой стороны, из теории преобразования Фурье мы
внаем, что ф(а) принадлежит L2 на (— оо, оо) и что в
силу B6.05) преобразование Фурье функции ф (а) обра-
обращается в нуль вне интервала (— я, я). Отсюда по
теореме XII
оо
^ШШ^Ко. B607)
Таким образом, ф(а) удовлетворяет условиям теоремы XXI.
Отсюда сразу же следует, что существует предел
^ = Л, B6.08)
г
где гсф(г) — число нулей функции ф(а), по модулю не пре-
превосходящих г. Пусть {иv} — последовательность нулей
функции ф(гг). Ясно, что {± mv} является подпоследова-
подпоследовательностью последовательности {uv}. Следовательно, в силу
B6.03) получаем
^^-^. B6.09)
г
Но в силу оценки B6.06) по теореме Йенсена имеем
г 2я
2я
О
Отсюда
B6.11)
Получившееся противоречие показывает, что / (х) должна
обращаться в нуль всюду, кроме множества меры нуль.
9 Н. Винер, р. Пэли

ГЛАВА VI
ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
КОМПЛЕКСНЫХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
27. Методы из теории целых функций. Основная цель
этой главы — рассмотреть вопрос о замкнутости системы
функций {e±iKnx, 1} на конечном интервале, который,
не ограничивая общности, можно считать интервалом
( — я, я). Этому вопросу посвящено удивительно мало
работ. Вся литература, по-видимому, группируется вокруг
работы Биркгофа*), в которой он пользуется методом
непрерывного варьирования для исследования вопроса
о замкнутости систем функций Штурма — Лиувилля. Идеи
теоремы Биркгофа были применены Уолшем**) к три-
тригонометрическим системам функций.
Насколько нам известно, единственное исследование
случая, когда на Хп налагается (помимо вещественности
и четности) единственное ограничение
\Хп — п\< L< со, B7.01)
принадлежит Винеру***). Эта глава и часть следующей
будут посвящены результатам, которые аналогичны вине-
ровскому, но имеют больший объем.
*) G. D. Birkhof f, A theorem on series of orthogonal func-
functions with an appication to Sturm-Liuville series, Proceedings of the
National Academy of Sciences, vol. 3 A917), стр. 656.
**) J. L. Walsh, A generalization of the Fourier cosine series,
Transactions of the American Mathematical Society, vol. 22 A921),
стр. 230—239.
***) N. Wiener, On the closure of certain assemblages of trigo-
trigonometric functions, Proceedings of the National Academy of Sciences,
vol. 13 A927), стр. 27.

27. МЕТОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИИ 131
В § 26 мы показали, что если
Ит^-<1, B7.02)
71->ОО
то система функций [е±1^х} замкнута в L2 на (— я, я).
В этом параграфе мы ограничимся случаем, когда
lim_*» =1. B7.03)
П->оо ТЬ
В этом случае будет существовать целая функция
B7-04)
Если Л(?) —число показателей %п меньших, чем t, то
оо
= e
о
Если теперь мы воспользуемся условием B7.03), то по-
получим
lim — IgF (iy) = 1. B7.05)
у->оо У
Во всей этой главе мы определяем F (z) формулой B7.04).
Предполагая выполненным соотношение B7.03), мы дока-
докажем серию теорем, связывающих свойства замкнутости
системы {е±1^пх} или системы A, е±1Кх) со свойствами
чисел Хп или со свойствами функции F(z). Первой из них
является
Теорема XXIX. Пусть равенство B7.03) выполнено,
и пусть F(z) принадлежит L2 на вещественной оси. Тогда
система функций {e±iknX} не может быть замкнутой в L2
на (—я, я).
Далее, пусть zF(z) принадлежит L2 на вещественной
оси. Тогда система функций {1, е±1^пХ} не может быть
замкнутой в L2 на (— я, я). В каждом из этих случаев
конечное число функций системы можно заменить таким
же числом других функций вида ei>kx.
9*

132 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
Пусть F(z) принадлежит Lz, и пусть
А
f(u) = U.m.-Lj- \ F(x)e™xdx B7.06)
А-»оо Bjt) /2 J
— преобразование Фурье функции ^(я). Положим
H(z)=[ Z^LgiuKi+e)^ 8>o. B7.07)
Тогда #(z) будет целой функцией порядка 1, которая
ограничена как на вещественной оси, так и на положи-
положительной части мнимой оси. Таким образом, по теореме
Фрагмена — Линделёфа она будет ограниченной во всей
верхней полуплоскости Imz>0. По теореме Коши
Fj.)e«Wi Р JL^dw. B7.08)
\w-z\=6
Таким образом, F(z)eiz^+ey(z + i) является ограничен-
ограниченной в полуплоскости над любой прямой Im z = б > 0. Анало-
Аналогично можно доказать, что F (z) e~iz({+ey(z — i) ограничена в
полуплоскости под любой прямой lmz= — б < 0. Таким
образом, по теореме Фрагмена—Линделёфа функция
F(z)/(z-\-i) ограничена в любой горизонтальной полосе
над прямой Imz= —1. Таким образом, F (z)eiz({+ey(z-{- i)
ограничена во всякой полуплоскости Imz > а > — 1. Отсю-
Отсюда вытекает, что для произвольного s
lim sup
Im z->oo —oo<Re z<oo
z + i
F(z)e
= lim e-Imz.e/2 SUp
Im z-»oo —oo<Re z<oo
<K- lim e-Imze/2 = 0. B7.09)
Imz-voo
Применим теперь теорему Коши. При достаточно больших
А и В будем иметь
A A+iB -A+iB -A
-A A A+iB -A+iB
B7.10)

27. МЕТОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ 133
Поскольку F(w)eiv*i+ey(w + i) ограничена, устремив А
К бесконечности, получаем
^угг^ г \ - Т
(z+О2 2т L J J
—оо —oo+i-B
Пусть теперь В стремится к бесконечности. В силу B7.09)
имеем
lJ 2Ш J
По теореме Парсеваля имеем
1ллп
A->oo BjtI/2_^
A
a^' )A W 6 e w x , ^7 i3)
0 [x>0].
Отсюда вытекает, что
(w+iy)ei{w+iy^i+E^ F(w)<
lim
Здесь мы пользуемся тем фактом, что в силу B7.13)
функция F(w+ iy) ei(w+iyXi+eV(w + iy -\- iJ сходится в сред-
среднем, когда у—>0, и, значит, она должна сходиться
(в среднем) к своему обычному пределу. Таким образом,
по теореме Планшереля
l.i.m.-^- \ G , л» elwxdw = 0 [x>0]. B7.15)
а->оо {2пI/* \ (^+02 L J v '
Отсюда двумя формальными дифференцированиями полу-
получаем
А
l \xdw = 0 [x>0]. B7.16)
A^oo'BjtI/2 _a

134 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
Эти формальные дифференцирования можно обосновать,
поскольку F (z) принадлежит L2 и поскольку
= ту \
F z)e() i,x , 1 f FB)e(+> ,
e dz—¦ tj- \ w , . dz.
iB) /2 J z + l
Jm iBn) J^
B7.17)
Если мы отбросим постоянный член и проинтегрируем
еще раз, то получим B7.15). Аналогично
А
l.i.m.—L- [ F(z)e~W+*)eizxdz = 0 [x<0]. B7.18)
А->оо Bjt) /2 О
Таким образом, функция /(гг/я), определяемая равенством
B7.06), является функцией из L2, для которой
0 [|и|>я] B7.19)
и
«3 Ч л J
—со
Значит, множество функций {e±iX^u} не может быть замк-
замкнуто на (— я, я).
Вторая часть теоремы XXIX, которая относится
к системе {1, e±iKnU}, доказывается совершенно аналогично.
Возможность заменить конечное число функций дру-
другими функциями аналогичного вида вытекает из того, что
замена конечного числа линейных множителей в F(z)
таким же числом других линейных множителей не влияет
на принадлежность F (z) к L2 на вещественной оси и не
влияет также на область значений, в которой преобразо-
преобразование Фурье функции F(z) отлично от нуля. Второе из
этих утверждений вытекает из того, что эта замена не
влияет на предел
lim±lgF (iy). B7.21)
w-к» У

27. МЕТОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИИ 135
Перейдем теперь к следующей теорему.
Теорема XXX. Пусть выполняется условие B7.03),
и пусть множество функций {e±ilnU} замкнуто в L2 на
(— я, я), но пусть оно перестает быть замкнутым при
удалении некоторого члена. Тогда оно перестает быть
замкнутым при удалении любого из членов*, функция F (z)
не принадлежит L2 на вещественной оси, но F (z)/z при-
принадлежит L2 на A, оо). Далее, если множество функ-
функций {1, e±iXnX} замкнуто в L2 на (— я, я) и если оно
перестает быть замкнутым при удалении некоторого
члена, то этот член произволен, zF (z) не принадлежит L2
на вещественной оси, но F (z) принадлежит L2.
Мы должны рассмотреть только первую часть этой
теоремы. Из теоремы XXIX сразу же следует, что если
условия теоремы XXX выполнены, то F(z) не принадле-
принадлежит Lz. С другой стороны, существует некоторая ненуле-
ненулевая функция из L2, скажем ф(я), которая ортогональна
ко всем, кроме одной, функциям системы {e±i>KnX}. Положим
я
$>(z)= \ <p(z)eixzdx. B7.22)
-я
В силу неравенства Шварца
O(z) = 0{e*W), B7.23)
и мы видим, что Ф(я) является целой функцией порядка
не выше 1 с нулями в точках z = \хп. Множество чисел {\хп}
содержит в себе все множество {А,п}, кроме одного числа,
скажем \х. По известному свойству целых функций
B7.24)
1 [rn
Таким образом, мы имеем
()е. B7.25)
Таким образом, существует некоторая целая функция,
скажем ?(z), такая, что
Y(z). B7.26)

136 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
Если УР (z) не является экспоненциальной, то она будет
иметь по меньшей мере один корень, который мы обозна-
обозначим v. Тогда при | z | —> со
фB)~/-(я*)^>_. B7.27)
Таким образом, F(nu)}?(u)/(u — и) будет принадлежать L2
на всей вещественной оси и, ибо Ф(г) принадлежит L2
в силу B7.22) и теоремы Планшереля. Положим
iuxdu. B7.28)
-"A
Рассуждение теоремы XXIX (ср. B7.19)) показывает тогда,
что
g(x) = 0 [\х\>л]. B7.29)
Таким образом, по теореме Планшереля
\,д) = 0, B7.30)
в то время как g(x) принадлежит L2. Это противоречит
нашему предположению о замкнутости системы {е±г^пХ},
и, значит, 4я (z) не имеет нулей. Поэтому из формулы
B7.25) мы имеем
AF()CZ.. B7.31)
Поскольку на вещественной оси Ф (z) принадлежит L2
и поскольку F (nz) четна, мы видим, что F(nz)/(z — \i)
должна принадлежать классу L2 на вещественной оси.
Таким образом, наша теорема установлена.
Мы переходим теперь к следующей теореме.
Теорема XXXI. Пусть выполнено условие B7.03),
и пусть для некоторых г и п
\F(x+ie)\> 1+^|и >0 B7.32)
при всех вегцественных х. Тогда множество функций {}
будет незамкнуто или замкнуто в L2 на (— я, я), смотря
по тому, будет или не будет F (z) принадлежать L2

27. МЕТОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИИ 137
на всей вещественной оси. Это множество всегда можно
сделать замкнутым, присоединив к нему конечное число
функций eikx. Множество функций {1, е±1К*} будет не-
незамкнутым или замкнутым в L2, смотря по тому, будет
или не будет zF (z) принадлежать L2 на всей веществен-
вещественной оси.
Эта теорема также основана на использовании неко-
некоторой функции ф(я) и ее преобразования Фурье Ф(г).
Пусть {e±i%nX} замкнуто. Тогда по теореме XXIX функ-
функция F (z) не принадлежит L2. Пусть, с другой стороны,
{e±iknX} не замкнуто, и пусть
0 (n= 1, 2, 3, .. .). B7.33)
Пусть O(.z) определяется формулой B7.22). Как и в дока-
доказательстве теоремы XXX,
G>(z) = F(nz)W(z), B7.34)
где W (z) — некоторая целая функция. Из нашей асимпто-
асимптотической оценки *) функции F (z) на мнимой оси и из того,
что
|
—Л
5 |ф(*I2<^}1/2{ 5 e-zxydx\1/2=O(enM), B7.35)
—я —л
очевидно, что при любом е4 > О
V(iy) = O(eBiM). B7.36)
Далее, на прямой Imz = e функция Ф(з) ограничена,
и в силу неравенства B7.32)
|Y(z)|<B(l + l*|n). B7.37)
Функция T(z) является целой функцией порядка не боль-
большего единицы, и простое применение теоремы Фрагмена —
*) Формула B7.05). — Прим. перев.

138 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
Линделёфа дает нам как следствие оценок B7.36) и B7.37)
оценку
W(z) = O(e^). B7.38)
Пусть теперь
V(z) = (z-ai)(z-a2)...(z-ah)Vi(z), B7.39)
где ?1(z)~ некоторая целая функция. Такое разложение
всегда возможно, если только W (z) не является полино-
полиномом. Целая функция 1F1(z) будет принадлежать L2 на
некоторой прямой, параллельной вещественной оси, и будет
удовлетворять оценке
, B7.40)
Таким образом, проведя в основном то же рассуждение,
какое мы использовали при доказательстве теоремы XXIX,
мы покажем, что преобразование Фурье функции Wi (z)
вдоль прямой, на которой, как мы показали, она принад-
принадлежит L2, может быть отлично от нуля только внутри интер-
интервала (—8t, et). Поскольку г{ произвольно мало, это преобра-
преобразование Фурье, а стало быть и сама ^?(z), должно быть
эквивалентно нулю. Таким образом, Ф(г) должна также
тождественно обращаться в нуль, что приводит нас к про-
противоречию. Это показывает, что функция lF (z) должна быть
многочленом. Отсюда и из B7.34) следует, что F(nz)
принадлежит L2 на вещественной оси, поскольку CP(z)
принадлежит L2 на вещественной оси. Чтобы показать,
что {е±1^пХ} можно замкнуть, присоединив конечное число
членов вида eibc, мы добавляем достаточное число членов
этого вида так, чтобы только одного не хватало до замк-
замкнутости. Затем мы строим ср(#), ортогональную ко всем
этим членам. Рассуждая, как и в предыдущем доказа-
доказательстве, легко видеть, что было добавлено только конеч-
конечное число членов.
Остальные утверждения теоремы XXXI либо тривиаль-
тривиальны, либо могут быть доказаны тем же способом, что и первая
часть. Один пункт, представляющий некоторый интерес,
утверждает, что функции F(x)xm и F(x + is)x'n одно-
одновременно принадлежат или не принадлежат L2. Это можно
доказать, применив рассуждение теоремы XXIX к F(x)xm
вместо F(x).

27. МЕТОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
139
Прямым следствием из теорем XXIX и XXXI является
Теорема XXXII. Пусть оценка B7.32) справедлива
при некоторых п и г, и пусть
|F(х) |<const. (i + \x\m) B7.41)
при вещественных х. Назовем множество функций точ-
точным на интервале (—я, я), если оно замкнуто, но пере-
перестает быть замкнутым при удалении любого из членов.
Тогда множество функций {e±iXnX} либо с самого начала
является точным, либо становится точным при удалении
конечного числа функций, либо же становится точным
при добавлении конечного числа функций вида eiXx. Число
отбрасываемых или добавляемых функций называется
соответственно избытком или недостатком рассматри-
рассматриваемого множества. Конкретные функции вида eiXx, кото-
которые отбрасываются или добавляются, произвольны,
существенно только их число.
Важным применением теоремы XXXII является дока-
доказательство следующей теоремы.
Теорема XXXIII. Если выполнено неравенство
B7.01), то множество {e±iXnX} имеет самое большее конеч-
конечный избыток или недостаток.
Доказательство этой теоремы основано на оценке
функции
оо
(^) B7-42)
когда выполнено неравенство B7.01). Если 11тгг;| = е > 0
и если \Rew\ = \и\ > 2L, то имеем
[][
- п
1
1 —
п
п
B7.43)
Для членов первого произведения справа имеем
ИJ
> 1 —
. B7.44)

140 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
Для членов второго произведения имеем
2е 1 и I е
К
К 2М
Для членов третьего произведения имеем
\. 4
Таким образом,
B7.45)
B7.46)
X
П
П
1 —
. B7.47)
Но
п
1
п
1 —
> П 1-я: B7-48)
[L]+2
1-
{n-L?
п
ufl
. B7.49)
Поэтому
[JL]+2
l_Jfl
B7.50)

27. МЕТОДЫ ИЗ ТЕОРИИ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ
При тех же условиях
141
\F(nw)\= Д
1 —
[М]
П
М+2
К
п
CN1+1
1 ^
п
. B7.51)
fl
П
2. B7.52)
Но
Таким образом,
Здесь А — постоянная, которая может быть различной
в каждом из выражений. Мы можем воспользоваться теперь
теоремой Фрагмена — Линделёфа, чтобы получить оценку
Iг \Лх)\<Jconst. I хI B/.o4)
при х, стремящемся к бесконечности по вещественной оси.
Теорема XXXIII получится теперь сразу же, если
применить теорему XXXII.
Специализацией теоремы XXXIII является следующая
теорема.
Теорема XXXIV. Пусть выполнено неравенство
B7.01), и пусть
L<^+~. B7.55)
Тогда недостаток множества {1, e±i%nX) не может пре-
превосходить п. Если
?,<i + l, B7.56)
то избыток множества {1, e±i<KnX} не может превосхо-
превосходить п.
Теорема XXXIV отличается от теоремы XXXIII тем,
что мы должны воспользоваться более тонкими оценками,
связанными с гамма-функцией. Они восходят к формуле

142
Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
Стирлинга. В частности, если х вещественное, а В целое,
то имеем
B7.57)
И
п
1
со
п
i
1-
\
(а?-[-геJ
(и+В).
(п+В)*
X
X
I-1-2J
-1-2В
B7.58)
При доказательстве мы будем пользоваться обозначениями
0<С1<С<С2<оо, B7.59)
где С Может быть переменным, а С\ и С2 фиксированы.
Мы фиксируем е и положим
z;=[Rez#], |Imz#| = 6. B7.60)
Тогда, если В — некоторое целое число и
> Re w — v, где А и В считаются постоянными, то
v+B
п
1
1 —
_ | Г (v+A+B-w+l) Г (у+А+В+ш+1) | {Г (Л+1)}2
{Г (у+Л+В-Н)}2 | Г (A—w+l) Г (A+w+l) |
С 1 Г (v+A+B+w+1) Г (и>—А) |
>-3A-B-3/2> B7.61)
Следовательно, если мнимая часть w равна е, а веще-
вещественная часть положительна и достаточно велика, то
F(nw)\>
t>-[L]-
>а П
1--
i-2[L]-2
п
1— ;

28. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ И НЕЗАВИСИМОСТИ 143
> п •
W |
2[L]-2
TT
X
-2[L]-2i i-Reic+r+5/,
П
i
-1, B7.62)
где а — некоторая положительная постоянная, которая
может быть различной в каждом из выражений. Далее,
<П
1 —
II
М+2
1-
(n—
п
v-[L]
|2[L]+2 TT
2
П
1-
|2[L]
4L-i
B7.63)
Отсюда, как и в доказательстве теоремы XXXIII, при
достаточно больших вещественных х имеем
| F(nx) |<const. \x
.4L-1
B7.64)
Таким образом, F(х)/( \х\п-\-1) принадлежит Ьг на веще-
вещественной оси, когда L <n/4:-\-1/s. В свою очередь
F(w)w1+n не попадает в класс L2 на прямой, параллель-
параллельной вещественной оси, когда L^n/i-{-1/8. Из доказа-
доказательства теоремы XXIX непосредственно следует, что это
будет верно тогда и только тогда, когда F(x)x1+n не
попадает в класс Ьг на вещественной оси. Таким образом,
теорема XXXIV, которая устанавливает границы для
избытка и недостатка множества {1, e±iXnX}, сразу же
следует из теоремы XXXI.
28. Двойственность между замкнутостью и незави-
независимостью. Пусть множество функций {fn(%)} замкнуто,
нормально и ортогонально на отрезке (а, Ъ). Пусть

144 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
а < с < Ъ, и пусть множество {fn (x)} составлено из двух
неперекрывающихся подмножеств {gn{%)} и {hn(x)}. Пусть
f(x) обращается в нуль на (а, с) и принадлежит Lz на
(с, Ъ). Тогда, если f(x) ортогональна к каждой функции
из {gn(%)} на (с, Ъ), то f(x) будет ортогональна к этим
функциям и на (а, Ъ) и будет иметь ортогональное раз-
разложение вида
оо
для которого
~ B8.02)
Отсюда следует, что если {gn(%)} не замкнуто на (с, d),
то существует ряд B8.01), удовлетворяющий условию
B8.02) и сходящийся в среднем к нулю на (а, с).
С другой стороны, если {ga(z)} замкнуто на (с, Ь),
то не существует функции }(х), обращающейся в нуль
на (а, с), принадлежащей L2 на (с, Ъ) и ортогональной
на (с, Ъ) к каждой из функций g7i(x). Отсюда вытекает,
что не существует функции, обращающейся в нуль на
(а, с) и имеющей ортогональное разложение вида B8.01),
для которого выполняется условие B8.02). Мы выразим
этот результат теоремой:
Теорема XXXV. Пусть {fn (x)} — множество функ-
функций, нормальное, ортогональное и замкнутое на (а, Ь).
Мы назовем его подмножество {hn(x)} слабо независи-
независимым на подинтервале (а, с), если из соотношения
0-2flAW B8.03)
i
на (а, с), где выполнено B8.02), вытекает, что ап = 0
при всех п. Подмножесство {hn (x)} будет слабо независи-
независимым на (а, с) тогда и только тогда, когда дополнитель-
дополнительное множество {gn (x)}, состоящее из всех членов множе-
множества {/п(я)}, не принадлежащих {hn(x)}, является
замкнутым на (с, Ь). В частности, линейно независимое
множество является слабо независимым, так что его
дополнительное множество всегда замкнуто. Если мно->

28. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ И НЕЗАВИСИМОСТИ 145
жество является и замкнутым и слабо независимым, то
таким же является и его дополнительное множество в
дополнительной области. Если как множество, так и
его дополнение являются независимыми на дополнительных
областях, то оба они замкнуты.
Пусть в качестве приложения множество {1, e±inx}
составлено из множеств {е±1^пХ} и {1, е±1^пх}. Пусть
%i < К < • • • < К < . .., и пусть
lim -f- = 0. B8.04)
п
п
Отсюда по теореме XXVIII следует, что множество функ-
функций {е±1^пх} замкнуто на любом интервале (— я + е, я)
и, значит, на любом интервале (А, А-\-2п — е) или на
любом множестве (—я, А — е) + (Л, я), где — я + е<
< А < я. По теореме XXXV дополнительное множество
функций {e±i<Knx} будет слабо независимым на любом сколь
угодно малом интервале (А — е, А). Мы установили,
таким образом, теорему.
Теорема XXXVI. Пусть Х-п= — Хп, Я? < Я2 < ...
... < Кп < ..., пусть все %п целые, и пусть
- = 0. B8.05)
Пусть 2 | ап Р < оо, и пусть
—оо
N
2 ( А), B8.06)
iV->oo -JV
где е — произвольное положительное число. Тогда все коэф-
коэффициенты ап равны нулю.
Более общий результат той же самой природы можно
получить следующим образом*). Пусть %п — некоторое мно-
множество положительных чисел, и пусть
mi\Xm-K\>L>0. B8.07)
*) Следующее рассуждение (стр. 146—148) содержит много
неточностей.— Прим. перев.
Ю н. Винер, Р. Пэли

146 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
Существует число D такое, что
L>D>L(l — е), е>0, B8.08)
и такое, что ни одно из чисел Кр не равно (n-\-^AD.
Чтобы увидеть это, заметим, что числа Ln, для которых
+ у) Ln B8.09)
при некоторых целых р и т, образуют счетное множе-
множество, поскольку счетное множество счетных множеств
счетно.
Пусть теперь \хп равно ( п + -г ) D, если нет ни одного
кт, которое отстояло бы от nD меньше чем на D/2.
Пусть \хп равно %т, если
(n = 0, 1, ...). B8.10)
Положим о2п = 1*>п и G2n+i = Bп +1) D — |in. Тогда равен-
равенство оп = от при п Ф т невозможно. Мы покажем теперь,
что множество функций {1, e±iOnX} замкнуто на интервале
( — 2л/Dj 2я/D), но перестает быть замкнутым, если
мы удалим какой-либо один его член. Образуем функцию
оо
/оо=з п 0-¦?) B8Л1)
и рассмотрим ее на прямой Imz = 6>0. Имеем
о-
B8.12)
«+i = К (Bn +1) D - цп)* = (nD+ anf (nD - anf =
= (n2D2 — a2nJ, B8.13)
где |an|<Z)/2. Отсюда вытекает, что произведение
Д ^_ B8.14)

28. ДВОЙСТВЕННОСТЬ ЗАМКНУТОСТИ И НЕЗАВИСИМОСТИ 147
сходится к конечному значению. Остающееся произ-
произведение
о-
B8.15)
имеет вид
П
где |яп|<2?/2. Его можно записать в виде
Имеем Imz = 6>0. He ограничивая общности, можно
рассмотреть случай Rez — x>0. Легко видеть, что из
равномерной ограниченности интеграла
B8-18)
из того факта, что только для конечного (не зависящего
от z) числа членов
2а
n(nD-\-z)*(nD—-z)
2 '
и из неравенства
вытекает, что
B8.19)
B8.20)
Таким образом,
< с (Imz = 5), B8.22)
10*

148 Гл. VI. ЗАМКНУТОСТЬ СИСТЕМ
и поскольку
1
мы получаем сразу же, что lg|/(z)| ограничен. Отсюда
по теореме XXXI следует, что множество функций
{1, e±iGnX} замкнуто на (— 2n/D, 2n/D), но перестает быть
замкнутым, если мы удалим какой-либо член. Отсюда,
если функция
g (х) = 1. i. m. 2 ahe%hx _f a0 B8.24)
обращается в нуль на каком-либо интервале длины
и если, за возможным исключением конечного числа Кп,
\bM-K\>D, B8.25)
то все коэффициенты функции g(x) обращаются в нуль,
ибо в противном случае мы могли бы представить неко-
некоторую из экспонент е±г%ъх через остальные как предел
в среднем. Поскольку мы можем заменить конечное число
членов множества {e±iOnX} членами {е±алЭС}, не подчи-
подчиняющимися неравенству B8.25), не влияя на свойства
замкнутости множества, мы видим, что множество
{1, e±i%nX] было превращено в подмножество замкнутой
и линейно независимой последовательности.
Таким образом, если B8.25) выполняется для любого
положительного D, если опустить конечное число кп,
то, если функция B8.24) обращается в нуль на каком-
либо интервале, она обращается в нуль тождественно.
Это — частный случай теоремы о лакунах, подробный
разбор который мы предпримем в следующей главе.

ГЛАВА VII
НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ
И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
29. Теорема о замкнутости. Мы посвятим этот пара-
параграф доказательству теоремы:
Теорема XXXVII. Пусть множество функций
{fn{%)} нормально, ортогонально и замкнуто на интер-
интервале (а, 6). Пусть функции gn{%) принадлежат L2 на
(а, Ь) и пусть
Ъ N N
^\an\\ B9.01)
i
где 0 не зависит от N и ап; 0 < 1. Множество чисел
{ап\ произвольно. Тогда, если f (х) принадлежит L2, то
существуют такие кдэффициенты Ъп, что
N
f{x) = \A.m.y%bngn(x), B9.02)
iV->oo I
иными словами, множество {gn(%)} замкнуто. Кроме
того, это множество линейно независимо.
При этом имеем
оо
2lbnl2 B9.03)
1
U
оо b
|/(*)|**ч. B9.04)

150 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Существует множество {hn (x)} таких функций, принад-
принадлежащих L2, что
Г 0 если тфп /огч Агч
B9.05)
\ gm (х) К (х) dx = '
« [1,
0, если тфп,
если т = п.
Если f{x) принадлежит L2, то существуют такие
коэффициенты сп, что
N
f(x) = l.i.m. ^cnhn{x) B9.06)
N 1
la
Доказательство начнем с оценки
\ 1{
{\
а 1
5 |
а 1
а 1
сП2- B9-07)
B9.08)
Отсюда сразу же следует, что если мы рассмотрим
какое-либо множество {ап}, для которого
то предел
будет существовать и
Ъ
N-^oo
B9-09)
B9.10)

29. ТЕОРЕМА О ЗАМКНУТОСТИ 151
для этого нам надо воспользоваться только тем, что
в силу B9.08) имеем
N
Li. m. %angn(x) = 0. B9.12)
М, N-+oo M
Пусть теперь f{x)— произвольная функция из L2, и пусть
t(x)~^ahfk(x). B9.13)
1
Тогда функция
%х)-8к(х)) B9.14)
будет существовать и будет принадлежать Lz в силу
B9.01). Вообще, определим /(п+1)(я) по индукции.
Положим
2Л(*) B9.15)
1
х) ~ | at (fh (х) -gk (x)). B9.16)
Будем иметь
/c»>(*)-/<»+i>(s)~2cJr)**(:c) B9Л7)
1
и, складывая,
f{x)-fi«+mx)~ | {ah + a\f>+ ... +aln))gft(x). B9.18)
В силу соотношений B9.01) и B9.16) имеем
j I /(«+») (х) р ^ < е2 21 «in) I2 = б2 JI /(п) (*) I2
l
a
b
|/(ж)|яйж. B9.19)

152 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Таким образом,
l)|! B9.20)
2|[|
1 1
В силу B9.18) и B9.19) имеем
N
/(s) = I. i. m. 1. i. m.
n->oo N-+oo
))?а(ж). B9-21)
В силу неравенства Минковского и оценки B9.20) имеем
Таким образом, полагая
ak+a{l)+...=bh,
будем иметь
Ъ
21ь* I2 < (dsr« S
1 1
I2=
I2
Положим
Это дает нам
g (ж)-/(*) = 1. i. m. l.i.
?г->оо N->
Но, как и в B9.22),
B9.22)
B9.23)
»• B9-24)
B9-25)
B9.26)
2.
B9.27)

29. ТЕОРЕМА О ЗАМКНУТОСТИ
153
Отсюда
\ \g(x)-
B9.28)
B9.29)
Это представление функции f(x) из L2 через функции
gk(z) является единственным при условии, что сумма
квадратов модулей коэффициентов сходится. В против-
противном случае существовали бы такие числа 6ft, не все рав-
равные нулю, что
со
2Ьл?а(я0~О B9.30)
Эти числа дают
Ь со
а 1
B9.31)
b со
{\\libk(fk(x)-gh(x))
1
а 1
5|
а 1
Ь N
iV-к»
а 1
N
1im
ЛГ-юо
С другой стороны,
b со
а 1
Это дает нам противоречие.
B9.32)

154 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Пусть
п— 1 т
H™{x) = gn{x) + 2 akgh(x) + ^ ahgh(x); B9.34)
1 П+1
выберем коэффициенты ak так, чтобы
ъ
[ | #™ (х) |2 cte = minimum. B9.35)
а
Классическая теория ортогональных разложений пока-
показывает, что предел
Нп(х) = 1Л.т.Н%(х) B9.36)
т->оо
существует и принадлежит L2 и что он ортогонален
ко всем gh(%)i отличным от gn(x). Кроме того, функция
Нп{х) ортогональна к функции gn(x) — Hn(x), которая
сама разложима по gh(x), отличным от gn(x). В силу
B9.04) имеем
ь ь
\ 1 Нп (х) |2 dx = lim \\ H™ (x) \2dx>(l- 9J, B9.37)
а а
так что ни одна из Нп(х) не эквивалентна нулю. Положим
Нп{х) . B9.38)
а
Как мы уже видели,
ъ
\ gm(x)hn(x)dx = 0, если т Ф п, B9.39)
и, с другой стороны,
ъ ъ
gn(x)К(х)dx=\gn (x) b Нп(х) dx =
\\H(l)?dl
\ (Hn(x) + (gn(x)^Hn(x))) b Hn(x) dx. B9.40)
I 1#„(Ш24
a

В силу B9.42) и неравенства Шварца
29. ТЕОРЕМА О ЗАМКНУТОСТИ 155
Таким образом,
ь
\gn{x)hn{x)dx=l. B9.41)
а
Пусть
N N
4>N(x) = ^anhn(x), tyN(x) = ^1angn(x). B9.42)
i i
Ясно, что
Ъ N
[ Фаг (х) q>N (x) dx = 2 I я* |2 B9.43)
а 1
и по неравенству Шварца
ь ь n
*Mz)|ads>J2 |ал|2}2. B9.44)
1
Таким образом, в силу B9.03)
N N
A+6J 2 Ki2
1
Пусть, далее,
2ь»*»(з). B9.46)
{
111
B9.47)

156 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
То есть в силу B9.04)
ь
Флг (x) | dx
a
b
= A - ЭJ J I cp* (x) |2 dx. B9.48)
Функции hn(x) образуют замкнутое множество. В про-
противном случае существовала бы ненулевая функция /(#),
принадлежащая Lz и такая, что
ъ
J f(x)hn(x)dx = 0 (/1=1,2, ...)• B9,49)
a
Мы хотим доказать, что если выполнено B9.49), то
/(ж) = 0. B9.50)
Положим
оо
f(*)~%bngn(x) B9.51)
1
Тогда
00 Ь
2lM2= j / (я:) А (аг) Ав = 0. B9.53)
1 a
Это дает нам результат и завершает доказательство тео-
теоремы XXXVII.
Особенно важным является случай, когда
а=-п, b = n, fn(^) = -^Tj-^inx (-аэ</г<со).
B9.54)

29. ТЕОРЕМА О ЗАМКНУТОСТИ 157
Предположим, что
gn{x)=lJ^einx- B9-55)
Тогда
я
я
1 f _ /лг-/.л.^«_^^ B9.56)
Если мы примем, что все фд(#) обращаются в нуль вме-
вместе со своими первыми производными в точках ± я
и являются вторыми повторными интегралами от своих
вторых производных, которые принадлежат L2, то для
выражения B9.56) получим оценку
л
1 (* ег (п - то) эс
2я J "^11^~(ф^(ж)фто(^) + фп(:г)фто(^))^| =
-я
(х) + ф'; (ж) фт (х)) dx
-я -я
я я
—я —я
я я
ф;(»)|*^ J |фт(а;)|>
-я
я я
J 1Ф«И12^ 5 |ф™(ж)|^ж}1/2. B9.57)

158 Гл. VII. НЁГАРМОНЙЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Здесь мы воспользовались оценками
я
J |ф;(^)
±я
= 2я max
и
я
Таким образом, если
я
supjl
—Я
то имеем
Я N
^ |
-Я -N
B9.58)
—л
:= Л,
B9.59)
B9.60)
— Я
Я
N
-N
-N
N
N _
1 Лтт Л ^ aman
m, n=—N
— 00
B9.61)
—2V
Отсюда следует, что если все функции уп(х) являются
вторыми повторными интегралами от своих вторых про-
производных, которые принадлежат L2, если все фп (х) вместе

30. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 159
с их первыми производными обращаются в нуль в точ-
точках ± я и если
sup
то выполнено условие B9.01). Нет никакой причины
предполагать, что эти условия являются наименее ограни-
ограничительными достаточными условиями такого типа. (Этот
тип условий был предложен одному из авторов профессо-
профессором Биркгофом.) Этот тип интересен сам по себе, потому
что в большинстве прежних случаев при применении ана-
аналогичных методов варьирования множества ортогональных
функций множество, соответствовавшее gn, имело в каче-
качестве асимптотики именно множество fn. Можно надеяться,
что методы этого параграфа найдут дальнейшие приме-
применения к изучению задач о разложениях по специальным
функциям.
30. Негармонические ряды Фурье. Пусть снова а, Ь
и функции fn(x) определены соотношениями B9.54);
положим.
епЫ^-^щ-е***, C0.01)
где
\K-n\<L<±. C0.02)
Имеем
2 ап (fn (х) - gn (x)) = 2 -%? (ein* -
-N -N
N n oo
где функция -ф(ц) определяется следующим образом:
если п < кп, то 1|)(гг)= — ап на (п, кп)',]
если Кп < п, то г|5(^) = аЛ на (Хп, п)\ | в C0.04)
вне этих интервалов г|?(гг) = О.

160 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
По теореме Планшереля
N
— N
N
-N
N
-N
C0.05)
Неравенство
N
-аз -N
N
очевидно. Таким образом, имеем
Я N
-Я -N
N
-N
dx C0-06)
C0.07)
что и дает неравенство B9.01) в этом случае. Таким
образом, мы можем применить теорему XXXVII; мы
видим, что множество функций {е%%пХ} замкнуто в L2
на ( — я, я). Это является просто подтверждением части
теоремы XXXIV; строго новым является то, что если / (х)
принадлежит L2 на (-—я, я), то можно написать
N
f(x) = l.i.m.
-N
где
71 ОО
J | / (x) |2 dx < const. 2 I an I
C0.08)
C0.09)
2 I an |2 < Const.
—oo — л
C0.10)

30. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 161
Определив / (х) равенством C0.08), положим
N
M^liin.^/WV, C0.11)
Из неравенств C0.09) и C0.10) следует, что эта функ-
функция существует и принадлежит L2, а сравнивая ее при
различных значениях ?, мы видим, что ее можно запи-
записать в форме
h(x) = f(x + Q [ — оо<я<оо]. C0.12)
В силу C0.09) имеем
Я со со
J | f (х-+1) |г dx < const. 2 I cneiX»»812 = const. ^ I «n |2,
— Я —oo —oo
C0.13)
а в силу C0.10)
я я
\ I / (з + 5I" da; < const. ? | / (x)i2 dx. C0.14)
— Я —Я
Пусть fi(x) — периодическая функция с периодом 2я,
которая совпадает с f(x) на (— я, я); положим
g \Х) — Та\Х) — ТЬУг')» {O\J.1O)
По теореме Минковского имеем
я
\ \ё {х-\-Ц>)\2 dx<const., C0.16)
—я
а по определению g(x) имеем (кроме самое большее мно-
множества меры нуль)
g(x) = 0 (_я<*<я). C0.17)
Таким образом, интеграл
в
^ J \g{x)\*dx C0.18)
-в
И Н. Винер, Р. Пэли

162 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
ограничен. Отсюда
-в я
В В х
-В я -х
=с' C0-19)
где с представляет различные достоянные. Значит, функ
ция g(x)/x принадлежит L2. По теореме Планшерел:
она имеет преобразование Фурье
А
G(u) = -Xrr\A.m. [ g{x)е~ШХdx f C0.20)
Bя) /2 А->оо «). х
также принадлежащее L2, и
Отсюда вытекает, что
-С(»-«;)]в*«*Ас. C0.22)
А
С другой стороны, во всякой бесконечной области
g(x) = fa(z)-fb(x) = U.m. %(anein*-bneUnx), C0.23)
2V->oo ~iV
так что на (— со, оо)
g(x){i-eiWX) =U.m.%(ian f e^du-ib \
x iV-*oo ^ГЛ V
-iV n+w +
C0.24)

30. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЬГФУРЬЕ 163
Непосредственно очевидно, что, поскольку ряды
я 21М2 сходятся, формула C0.24) представляет функ-
—со
цию g(x)(l — еги>х)/х как преобразование Фурье некоторой
функции из L2, которое должно почти всюду совпадать
с преобразованием, даваемым формулой C0.22).
Это возможно, только если
G(u)+ 2 га„BяI/2- 2 *К BяI/2 ~ Я = const.
l<n<u l<hn<u
(и>0). C0.25)
Заметим, что этот результат и аналогичный результат
при отрицательных и приводят нас к соотношению
G (и) = const. [|Л + у-м|<й]. C0.26)
выполняющемуся, за исключением множества меры нуль,
на каждом таком интервале. Эти множества мы можем
считать пустыми. Поскольку G(u) принадлежит L2, это
дает нам
lim G(n+^) = 0, C0.27)
n->±oo 4 ^ У
а ввиду того, что ап и Ъп стремятся к нулю, когда
п—-> ± оо, мы можем так определить G(u), что
lim G(a) = 0. C0.28)
n->±oo
Таким образом, в силу C0.25) и в силу аналогичного
результата для отрицательных и имеем
2 (ten BяI/2 - ibn BяI/2) = К =
2
= - S (ten BяI/2 - «ЬЛ BяI/2), C0.29)
—оо
что позволяет написать
С(и)= 2 tenBji)Vl- 2 ibn{2n)v\ C0.30)
u<n и<\п
и*

164 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
При этом суммировании члены iamBnI/2 — ibmBnI/2
заключаются в скобки, за возможным исключением
последнего члена.
Пусть х лежит в интервале (—jt-f-е, п—г). Положим
(|s|>e/2),
(I x |< 8/2),
A
-A
А^оо'^ЯI
Имеем
где
-8/2
C0.31)
C0.32)
C0.33)
C0.34)
Отсюда сразу же следует, что
A A+w
ЯЫ7(ц)|2^< Tim С
ги->оо.<3.
lim
A-w
- lim \
ги->оо v
С другой стороны,
?2» = 0. C0.35)
C0.36)
е/2
На интервале (— я + е, я — е) имеем
1 f
—оо
оо
— \ С(-м)Я№(м)е-4ижйи

30. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 165
А А
-А -А
оо —А оо —А
А —оо А —оо
А
< const. 4 \ \ Ни (u)\2 du\
оо -А
+ const. \\ \ + М \G(u)\2du\'r? . C0.37)
Мы можем сначала выбрать А столь большим, чтобы
второй член в последней строке этой формулы не пре-
превосходил т]/2, а затем выбрать w столь большим, чтобы
первый член не превосходил т]/2. Поскольку ц произ-
произвольно, отсюда сразу же следует, что
lim JL Г е№ sin^(^) dl = 0 C0.38)
— оо
равномерно на интервале (—я+8, я—8). Далее, поскольку
2 4в Х C0.39)
\\nwx -iax j \ 1» если |и|<м;,
я j) а? [ о, если | и | > и?,
то в силу теоремы Парсеваля получаем
J_ С C^.sin^^-g) I P G{a)eiuXdu==
Я J 6 а:—? b BяI/2 J V ;
—со ' —го
1 ешх \ e—iwx
. Q (w\ в_ 1 Q / w\ e_
яI/2 V ; ™ BjtI/2 V ; ™
BяI/2 V ; ™ BjtI
го
_ 1 у
Р eiuxdG(u)

166 Гл. "VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Но
==i_ Г s inx_ s -I
[] X
BяI/з
C0.41)
Поскольку G(w) стремится к нулю, когда w—>±cc,
и поскольку Ьп—>0 при п—>± оо, имеем
dg= 2 (a/«-i^)+o(l), C0.42)
и в силу C0.38)
lim 2 (aneinx - Ъпе***) = 0 C0.43)
равномерно на интервале (— я + е, п — г). Мы получаем,
таким образом, теорему:
Теорема XXXVIII. Пусть
\K-n\<L<± [n = 0, 1, 2, ...; ~1, ~2, ...].
C0.44)
Тогда множество функций {eiKnX} замкнуто в Lz на
(— я, п) и обладает, единственным замкнутым нормаль-
нормальным биортог опальным множеством {hn{x)}. Если f(x) —
произвольная функция, принадлежащая L2 на (— зт, я),
то ряд
оо ф Я St
2 \jS \ iiDe^dl-e^n* J /(g)An(?)d|} C0.45)
—оо —Я —Я
сходится равномерно к нулю на любом интервале вида
(—я + е<ж<л: — е) и на любом таком интервале
свойства сходимости и суммируемости ряда
оо Я
2Je«.n* J i(l)hn(l)dl C0.46)
— оо —Я
совпадают со свойствами обычного ряда Фурье
Я
C0-47)

30. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 167
Мы все еще не знаем, сохраняется ли эта эквивалент-
эквивалентность для произвольных функций из Lt, и даже не знаем
никаких свойств этих рядов. Мы определенно знаем, что
свойства эквивалентности, которые мы установили, не
выполняются для абсолютной сходимости, ибо изменение
всего лишь одной из функций егпх в общем случае до-
достаточно для того, чтобы разрушить это свойство.
Мы не располагаем доказательством, что постоянная
1/я2 в неравенстве C0.44) является наилучшей. Заменяя
в формуле C0.06) выражение
оо N
an(fn(x)-gn(x)Jdx C0.48)
-N
выражением
Я N
-& I \^1an(fn(x)-gn(x))\2dx, C0.49)
-Я -N
мы прошли через промежуточную стадию
я .N
ап (/Л (Х) — gn (x)) I2 dx. C0.50)
' -N
Очень легко придумать примеры, показывающие, что
переход от C0.50) к C0.49) является в некотором смыс-
смысле наилучшим из возможных и что все большие значения
N
суммы 2 ап {fn {x)~ gn (#)) могут концентрироваться около
точек ± я. Однако переход от C0.48) к C0.50) может
содержать потерю точности, которую учесть труднее*).
Теорема XXXVIII доказывает и больше и меньше,
чем теорема XXXIII, которую мы установили совершен-
совершенно иными методами. Интервал в теореме XXXVIII уже,
чем в теореме XXXIII, но, с другой стороны, мы отка-
отказались от условий А,0 = 0 и А,_п=—%п. Мы доказали
также нечто гораздо большее, чем простая замкнутость.
*) Постоянная 1/я2 была недавЕЮ улучшена д-ром Малином
(Н. Malin) в его диссертации в Массачусетсом технологическом
институте. Наилучшая постоянная все еще неизвестна.

168 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Биортогональное множество функций {hn (х)} заслу-
заслуживает некоторого внимания. Мы ограничимся случаем,
когдаХ0 = 0, А,-П= —Хп, или близко родственным случаем,
когда это условие не выполняется только для конечного
числа показателей А,д. Этот второй случай столь походит
на первый, что нет необходимости рассматривать его
отдельно.
Положим поэтому
C0.51)
По теореме XXX функция G(z) не будет принадлежать
L2 на вещественной оси, aG(z)/z будет принадлежать L2.
Таким образом, все функции
будут принадлежать L2. В силу B7.20) будем иметь всю-
всюду, за исключением множества меры нуль,
kn(x) = 0 [\х\>п] C0.53)
и, поскольку функции G (и)/(С (кп) (и — кп)) являются
аналитическими и принимают значение 1 в точке Хп и зна-
значение 0 в точках Хт (т Ф п), имеем
о ? Г 1» еСЛИ ГП = П,
\ km(x)elX*xdx= \ hm(x)elX"xdx=\
-я -оо L 0, если тфп.
C0.54)
Таким образом, эти функции hn{x) совпадают с функ-
функциями, обозначенными тем же символом в теореме XXXVIII.
Они образуют замкнутое множество на интервале (— я, я),
и если f(x) принадлежит L2, то
C0-55)

30. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 169
В этом случае, как показывает теорема XXXVII,
C0.56)
— оо —Я
Производя преобразование Фурье, получим
оо со N
-оо -IV
где
C0.57)
C0.58)
Неравенства C0.57) справедливы в широком смысле,
именно, если какой-либо из членов в этих неравенствах
конечен, то конечен и другой и неравенства выполняются.
Выражение
IV
1 ; ™ V anG (и)
C0.59)
' -N
можно рассматривать как интерполяционную формулу
Лагранжа для функции, принимающей значения ап в точ-
точках %п. Мы можем резюмировать наши результаты в той
степени, в какой они касаются интерполяции, следующим
образом:
Теорема XXXIX. Пусть
C0.60)
Назовем выражение C0.59) интерполяционной формулой
Лагранжа для функции, принимающей значения ап

170 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
в точках Хп. Тогда класс всех функций, определяемых
подобными интерполяционными формулами Лагранжа с
<«>,
C0.61)
совпадает с классом всех целых функций <р(и), принад-
принадлежащих Lz на вещественной оси и удовлетворяющих
условию
lira J-lg | ф(гв*в)|^1,
C0.62)
или, если оставаться на вещественной оси, он совпадает
с классом всех функций из Ьг, преобразования Фурье ко-
которых обращаются в нуль вне ( — я, я). Кроме того,
справедливы соотношения C0.57) и C0.58).
Устанавливая эту теорему, мы воспользовались тео-
теоремой V.
31. Новый класс почти периодических функций.
Мы скажем, что функция f(x) (вообще говоря, комплексно-
значная) вещественного переменного х( — оо < я < оо)
является псевдопериодической, если f(x) принадлежит L2
в любой конечной области и если существуют два поло-
положительных числа А и В такие, что для любого набора
(а{, ...,ап) комплексных чисел и для любого набора
(bi, ...,bn) вещественных чисел и для вещественных
х ж у выполняется неравенство
х+А п
$12
X 1
У+А
Наибольшую нижнюю грань чисел А для всех В > 0 мы
будем называть псевдопериодом функции f(x).
Теорема XL. Класс псевдопериодических функций
овпадает с классом всех функций, не эквивалентных

31. НОВЫЙ КЛАСС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 171
нулю, которые принадлежат классу Степанова 2 *) и ха-
характеристические частоты {А^} которых располагаются
так, что
inf|A,m — Xn\>0. C1.02)
Здесь мы говорим, что функция f(x) из L2 принад-
принадлежит классу Степанова 2 и имеет характеристические
частоты {Хл}, если для любого заданного 8 мы можем
найти целое число N и полином
jrz \Х) — т^ апе \OL.\jo)
1
такой, что для любого х
х+1
J \Pe(t)-f(t)\*dZ<s. C1.04)
х
Пусть f(x) — такая функция, и пусть нижняя грань
C1.02) положительна и больше L. Тогда функции
{«*">?}
будут иметь преобразования Фурье
оо
Bл)V» 5 e%UXe " ~^Sin~2Tdx =
— СО
( -у- ) , если \Хп + и < -^ ,
^2У 2 C1.05)
0, если | А,п + м | > -у ,
которые отличны от нуля в неперекрывающихся областях
и ортогональны. Таким образом, по теореме Планшереля
имеем
I2—Z2—dx=y, \an\2%-. C1.06)
*) В. Степанов, Sur quelques generalisations des fonctions
presque periodiques, Comptes Rendus, vol. 181, стр. 90—92,

172 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Отсюда
rt/L
N
C1-07)
-rt/L
и вообще
JV
-rt/L+y
Пусть теперь сумма
при А > n/L имеем
А
C1.071)
i
задана. В силу C1.071)
N
C1.08)
-А
Таким образом,
оо -А
А -оо
-A
<
iV
N
i A i
Отсюда, используя C1.06), получаем
л . 9 Lx
sm2 —о-
-A
C1-Ю)

31. НОВЫЙ КЛАСС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 173
и, если с > О,
4я./(«Ь-2с) 4*1/(я1.-2с) ^
-4я2/ (яЬ-2с) -4я2/ (яЬ-2с)
4я2/(яЬ-2с)+т/
-4я2/(яЬ-2с)+У
C1.11)
Таким образом, мы установили неравенство C1.01) с
для полинома Ре(х), его сдвигов и их линейных комби-
комбинаций, вместо / (х) и функций, получаемых из нее ана-
аналогично. С помощью неравенства Минковского результат
можно перенести на саму f(x). В силу C1.12) псевдо-
псевдопериод f(x) не превосходит 8n/L.
Пусть, с другой стороны, / (х) псевдопериодична, а
А и В взяты согласно C1.01). Если К(х) принадлежит
L2 и обращается в нуль вне (— D, D), то в любой ко-
косо
нечной области функцию \ К(х—?) /(?) d^ можно аппро-
— оо
N
ксимировать в среднем полиномом ^anf (x-{-bn)*);
-N
*) J is:(*-E)/(E)rfE= J лг (»—Б) / се) rfg; e
—оо ~ D+X
поэтому в любой конечной области значений х мы можем ис-
использовать функцию fN{x)=f(x)> |z|<N; /jvW = 0, | ж | >TV.
Пусть gN(u) — преобразование /]у(я) и к (и)—преобразование
К(х). Тогда мы хотим аппроксимировать в среднем функцию
D+x
k(u)gN(u)e*«*dx= J
— D+x
в любой области | х |< N—D. Если мы воспользуемся теперь
теоремой Планшереля и неравенством Минковского и разложим

174 Гл. VII. НЁГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
отсюда следует, что если (х, х-\-А) и (у, у-\-А) лежат
в этой области, то
х+А оо
| | J KD-t)f(l)dtfd4
C1-13)
I | I K(r\-t)f(l)dl\2d4
У —оо
Поскольку область аппроксимации произвольна, это
неравенство выполняется для всех вещественных х и у.
В частности, если
х+е
$ \]±^\ C1.14)
ТО
X— 8
х+А
j
\fe(l)\2dl
У
х+А
I
У
а из C1.01) непосредственно вытекает, что
х+А
<В.
к {и) в ряд Фурье на интервале (—с, с), так что
C1.17)
в этой области, то мы получим искомое ?2-приближение в
N
лаемой форме 2 anf (xJr ъп)-

31. НОВЫЙ КЛАСС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 175
Отсюда, если w<A, то
X+W X+W
\fe(x+w)-n(x)\*=\ j na)dt\*<a j \n{i)\*di<c.
X X
C1.18)
В силу C1.16)
х+А
[ C1.19)
и, следовательно, |/е(?)|^С Для некоторого ? между х
и ж + А Отсюда в силу C1.18)
\й(х)\<С. C1.20)
Аналогично в силу C1.15)
\U(x)\<C. C1.21)
Таким образом, функции /8(^ + 0^^) являются равномерно
ограниченными и равностепенно непрерывными, и для
любой конечной области произвольная последователь-
последовательность вещественных чисел {оп} содержит подпоследова-
подпоследовательность {\in} такую, что предел
= ge(x) C1.22)
существует равномерно.
В силу C1.01) при — оо < х < оо
х+А
г*
lim \ |/e(? + l*m)--/e (? + Hn)|ad?-=0, C1.23)
т, n->oo «J
х
так что равномерно по любой области (х, х-\-А) сущест-
существует предел
ge (х) = l.i.m. /8 (ж + |*д). C1.24)
п->оо
Мы будем иметь равномерно
Х+8 Х+8
= lim -к- \ /e(g + (xn)dg. C1.25)
Х-Е

176 Гл. VII. НЕГАРМОНЙЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
х+г
Таким образом, функция
является нормальной*) в смысле Бохнера, т. е. в том
смысле, что всякая последовательность ф8(# + &п) содер-
содержит подпоследовательность, равномерно на (— со, со)
стремящуюся к пределу, и, значит, ф8(#) почти перио-
периодична. Как следствие мы получаем, что предел**)
х+Т
аЛ= lim-туг \ фЕ(?)е*А?^? C1.27)
X
будет существовать равномерно по х для всех Л и будет
отличен от 0 только для счетного множества {Ап} зна-
значений Л. В силу C1.13)
у+А х+Т х+Т
z+A х+Т
х+Т
и согласно C1.27)
z+A
dx
C1.28)
C1.29)
|2 ^
То есть
У+А
I
(l—cos(Am—An)x)dx
(I—cos(Aw—Лд)ж)
C1.30)
*) A. S. Besicovich, Almost periodic functions, Cambridge,
132, стр. 10.
**) См. там же, стр. 15.

31. НОВЫЙ КЛАСС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 177
откуда при Лт > Лтг и Лт — Ап достаточно малом,
полагая
_ jt A _ _А_
У тп-~ Z~ 2 '
видим, что
У~ Ат-Ап-~ 2 '
l+cos(Am—An) -тг
l—cos(Am—An)-j
C1.31)
Отсюда получаем
ЛЛL>5-1/2. C1.32)
Из другой фундаментальной теоремы теории почти перио-
периодических функций *) вытекает, что функцию ф8 (х) можно
равномерно аппроксимировать полиномом
Пусть на (— Д D)
C1.33)
C1.34)
Тогда внутри ( — D + 2&,
оо
ы*)-2*»
— оо
и
со
фе \х) 2л пп3л3е
—со
Таким образом,
D-28
\\\Х\ \ 1 / (х) ф (х) Р (
е~> -D+28
со
8->со
П=—оо
/)~28)
4ZJ ^.^2 пле innx/D
Аг2я2е2"Ш 2D ^
4D3 о. 2 ляе о. дгЯ8
дгЗзхЗеЗ^111 2D ^Ш Z>
C1.35)
2 a
C1.37)
*) См. A. S. Besicovich, Almost periodic functions,
Cambridge, стр. 29.
12 н. Винер, р. Пэли

178 Гл. VIT. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
В точности таким же рассуждением, каким мы восполь-
воспользовались, чтобы установить C1.13), получаем, что при
2D > А + 4е
х+Л
lim [ \f(x) — ye(x)\2dx = 0 C1.38)
е-*0 J
х
равномерно по х на ( — со, со). Из аппроксимации C1.33)
вытекает, что для любого 8 мы можем найти такой мно-
п
гочлен 2^e~lAftX' что оценка
1
х+А п
I / \ь)— 7j ^Ьу | ^ь ^ ь \OL.ov)
1
будет выполняться равномерно на ( — со, со); отсюда
х+1 п
I / \Ь/ j^Lj ' ^^ I /4 I ' ^ * '
х 1
и теорема XL доказана.
Заметим, что по классической теореме Степанова
функции, почти периодической в смысле класса Степа-
Степанова 2, сопоставляется счетное множество показателей
{А,п}, из которого могут быть выбраны показатели Лд
в неравенстве C1.40). Более того, если нам дана псевдо-
псевдопериодическая функция f(x) с показателями {Хп}, то мы
можем написать
Т со Г
lim т^-
Т->со ZI _JT ^ I T->ooZi JT
C1.41)
и
lim lim ~[
/V->oo
_JT
T->oo
C1.42)
Из C1.41), C1.08) и из теоремы Рисса— Фишера сле-
следует, что существует такая функция g(x), что на любом

31. НОВЫЙ КЛАСС ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 179
интервале длины А равномерно по у
У+А N Т
г» __. giAnX Г» 2
lim \ g \Х) — У^ Пш —к™— \ / (ё) &~~г п* dc, их = (J.
C1.43)
Эта функция #(#) будет, очевидно, псевдопериодической,
как и f(x) — g(x). В силу C1,42), C1.43) и неравенства
Минковского
т
lim ~ J | / (я) - g (x) |2 dx = 0, C1.44)
откуда сразу же вытекает, что для всех у
V+A
C1.45)
т. е. что f (х) эквивалентна g(x). В противном случае
У+А
некоторый интеграл \ был бы не равен 0, откуда в си-
У+А
лу псевдопериодичности любой интеграл \ был бы не
У
равен нулю (был бы ограничен снизу положительным
числом) и соотношение C1.44) было бы невозможно.
Таким образом,
lim J | / (х) - 2 lim ^^ J / (?) ^"Un6 dl
C1.46)
равномерно по у.
oo
Вообще, пусть 21 an |2 сходится, и пусть нижняя
1
грань C1.02) не равна нулю. Как и для C1.43), отсюда
будет следовать, что существует функция g(x), подобная
12*

180 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
функции из C1.43), которая на любом интервале длины Л
является равномерным пределом в среднем функций
2 aneiknX при N —» оо. Легкий переход к пределу в не-
1
равенствах C1.07) и C1.11) покажет, что если нижняя
грань C1.02) больше L, то
V+9JX/L
4L
а
2 ¦
C1.47)
а отсюда следует, что g(x) псевдопериодична.
Из оценок C1.47) можно сразу же заключить, что
оо
теория сходимости формальных рядов 2 ^n^i%nX псевдо-
1
периодических функций близка к тем приемам, которые
были изложены в теореме XXXVIII. В самом деле, ме-
методы доказательства этой теоремы позволяют нам непо-
непосредственно установить теорему:
Теорема XLI. Пусть f (x) — псевдопериодическая
функция с формальным рядом
оо Т оо
1 Т-со JT
и пусть на (— п, я)
1^еш f f(l)e-in*dl= У\ Ъпе
тогда на (— п-{-г, п — е) равномерно имеем
N
2 <*neiXnX-%bne*n**)=0. C1.49)
b\N N У
-N
В частности, сходимость, суммируемость по Чезаро
и т. п. егКпХ-ряда для функции f (х) совпадает со
сходимостью, суммируемостью по Чезаро и т. п. ряда
Фурье для f (х) равномерно на ( — я + е, я — г).

32. ТЕОРЕМЫ О ЛАКУНАРНЫХ РЯДАХ 181
32. Теоремы о лакунарных рядах. Мы приступаем
к доказательству теоремы:
Теорема XLII. Пусть ни одно из чисел ап не равно
оо
нулю, пусть ряд 2 I ап \2 сходится, и пусть . . . <А,_П< .. .
—оо
... < А,_! < А.0 < A,j < ... < А^ < . .. Пусть, далее *),
lim (А.,1+1-А.„) = оо, C2.01)
п->±оо
и пусть
N
f (х) = l.i.m. 2 aneiknX C2.02)
jV-x» -IV
в любой конечной области. Тогда, если f (x) эквивалентна
нулю на каком-либо интервале (а, Ь), то f(x) эквива-
эквивалентна нулю на любом интервале и все коэффициенты ап
обращаются в нуль.
Прежде всего, пусть L — произвольное положительное
число. Пусть N столь велико, что при |га| > N
K+i-K>L. C2.03)
Пусть 8 < (Ь — а)/2. Пусть функция ty(x), которую можно
построить процессом ортогонализации, принадлежит L2
8
на (— е, е), и пусть \ i|) (x) e~iXx dx не обращается в нуль
—8
для данного Xh, но обращается в нуль для всевозможных
Хп (отличных от данного), для которых |n|<iV. Положим
N
ф(g) l.i.m. 2 алв*^<*-6) dg =
со 8
= 2 OneiknX [ ty (I) e-**** dl. C2.04)
g(x)=[
*) С помощью теоремы Фабри о лакунах (vide infra) мы можем
доказать более общую теорему, получающуюся из теоремы XLII
заменой условия C2.01) условием lim —^L=oo.
п->±оэ П

182 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Тогда функция g (х) будет обращаться в нуль на интер-
интервале (а + е, Ъ — е), поскольку f(x) обращается в нуль
на (а, Ъ). Кроме того, функция g (х) будет равномерным
пределом ряда C2.04); этот ряд будет содержать член
е ъх с ненулевым коэффициентом, но любые два показа-
показателя к в этом ряде будут отстоять друг от друга не мень-
меньше чем на L. Тогда в силу C1.11) функция g(x) не мо-
может быть тождественным нулем ни на каком интервале
длины 9n/L, что приводит к противоречию, если L >
>9я/(& — а — 2е).
Отметим, что теорема XLII напоминает теорему
XXXVI тем, что она также является теоремой о лакунах,
однако она отличается от нее тем, что Хл не обязано
равняться —к-п, и тем, что числа %п не обязаны быть
кратными некоторому общему для них числу. С другой
стороны, теорема XXXVI относится только к нижней
плотности чисел %п.
Теоремой о лакунах, близко родственной теореме XLII,
является следующая:
Теорема ХЫГ. Пусть . .. < %-п < ... < %-i < Хо <
< %i < . .. <ХЛ < . . ., и пусть выполняется условие C2.01).
Пусть
К C2.05)
—оо
при 0 < г < 1. Пусть
N
f (г, х) = l.i.m. 2 ^ Хп ^я* C2.06)
IV->oo -N
в любой конечной области. Положим
f(x) = U.m.f(r,x) C2.07;
г->1
для любого интервала (а, 6), на котором указанный предел
в среднем существует. Тогда, если функция f (x) сущест-
существует на каком-либо интервале, то она существует на лю-
любом интервале. Если f (x) является на каком-либо интер-
интервале п-м повторным интегралом функции из L^, то она
является таким интегралом на любом интервале, за исклю-
исключением произвольного множества меры нуль, на котором

32. ТЕОРЕМЫ О ЛАКУНАРНЫХ РЯДАХ 183
она не определена. Если f (х) бесконечно дифференцируема
на (a, &), если
ь
\pn)(x)\2dx<DnA2n, C2.08)
а
где D не зависит от п, и если
Ап>п\, C2.09)
то при d > с существует положительное Р такое, что
d
\fm(x)\idx<PnAzn. C2.10)
Если f{x) аналитична па каком-либо интервале, то она
аналитична всюду.
Эта теорема была доказана Н. Винером в работе, кото-
которая должна появиться в Pisa Annali. Из нее как прямое
следствие вытекает результат, что если в степенном ряде
2 anzn лакуны между последовательными показателями
членов с ненулевыми коэффициентами стремятся к беско-
бесконечности, то окружность круга сходимости является естест-
естественной границей функции. Иными словами, всякая дуга
должна содержать особенность. Далее, теорема XLII также
является ее прямым следствием, ибо если / (х) обра-
обращается в нуль на каком-либо интервале, то f(x) анали-
аналитична всюду и, значит, должна тождественно обращаться
в нуль.
Винер сделал попытку использовать методы этого типа,
чтобы доказать знаменитую теорему Фабри о лакунах*).
Эта теорема утверждает, что окружность круга сходи-
сходимости является естественной границей при более слабом
предположении fknln—>co вместо Хп+1 —Хд-->оо. До сих
пор попытки не увенчались успехом. С другой стороны,
указанные методы применимы, наряду с рядами Тейлора,
и к рядам Дирихле.
Перейдем к доказательству теоремы ХЫГ. Заметим,
что после того, как интервал (а, Ь) фиксирован, мы можем
*) См. P. Dienes, The Taylor Series, Oxford, 1931, стр. 372
и след.

184 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
считать нижнюю грань
mi[Xn+i-Xn] C2.11)
сколь угодно большой, скажем > Z,, ибо для того, чтобы
добиться этого, мы должны лишь удалить из /(/*, х)
некоторый полином по е h , стремящийся к определен-
определенному аналитическому пределу при г —> 1. Такая функция
аналитична по я, и если мы обозначим ее Рт (х), то суще-
существует такая постоянная К, что
\Р{гп)(х)\ <Кпп\ C2.12)
Таким образом, без ограничения можно считать, что
Ь*+1-*д>-5=^ (и = 0, 1,2, ...; -1, -2, ...)•
C2.13)
Таким образом, в силу оценки C1.11) и следующего
за ней рассуждения, если
то при подходящей постоянной В имеем
d Ь
|/(r, x)\*dx<B(v + l) J|/(r, z)|2dz C2.15)
с а
и аналогично
d Ь
|/(n)(r> z)|2d:z<?(v + l) J |/(n)(>% я)|2<?г. C2.16)
с а
Дальнейшим результатом того же типа является
d
ь
<5(v + l) J \f(r,x)-f(s, x)\*dz, C2.17)
a
а поскольку существование / (х) требует, чтобы
b
a
b
lim \

32. ТЕОРЕМЫ О ЛАКУНАРНЫХ РЯДАХ 185
то, следовательно,
d
lim \
d
|/(r, x) — f(s, x)\2dx = 0. C2.19)
Таким образом, по теореме Рисса — Фишера функция
f(x) существует на (с, d). Точно таким же путем мы мо-
можем показать, что если f(x) является п-м повторным
интегралом от функции /(п)(ж), принадлежащей L2 на (а, 6),
то мы можем распространить fn)(x) на (с, d), причем
d Ъ
j | /<n) (a?) |a drc < -В (v + 1) J I /(п) (ж) |2 dx. C2.20)
с а
Это позволяет нам сделать простой переход от C2.08)
к C2.10).
Если f(x) аналитична на (а, 6), то на интервале
(а+ е, b — г) имеем*)
|/(п)(я)|<спп!, C2.21)
и наоборот. Пусть (с, d) — любой интервал, содержащий
(а, Ъ). Имеем
ь
J|r»(a!)|»da;<c|»(n!)«. C2.22)
а
Отсюда при некотором другом с0
d
|/(n)(^)i2^<c20-(n!J. C2.23)
Таким образом, на (с, d)
X
I гп) (х) к | /(п-х) («) I+1J /(
!-а |
а
с?п!. C2.24)
*) Ибо в этом случае ряд 2/<п>(ж)(?—#)п/гс! имеет положи-
положительный радиус сходимости при каждом х и, значит, по теореме
Гейне—Бореля этот радиус сходимости имеет положительную
нижнюю грань.

186 Гл. VII. НЕГАРМОНИЧ. РЯДЫ ФУРЬЕ И ТЕОРЕМА О ЛАКУНАХ
Следовательно,
|/(п)(яI<с?л!. C2-25)
Но отсюда вытекает утверждение, что f(x) аналитична
на любом интервале (с + е, d — е).
Интересно осмотреть всю картину, образованную резуль-
результатами данной и предыдущей главы, и особенно ту ее
часть, которая относится к свойствам замкнутости мно-
множества {eiKnX}, где \Хп — п | < L. Мы уже видели, что если
А,_д= — Хп, то это множество становится замкнутым после
присоединения самое большее конечного числа членов
и перестает быть замкнутым после отбрасывания самое
большее конечного числа членов (теорема XXXIII). Если
мы будем рассматривать это же самое множество на лю-
любом интервале длины большей, чем 4я/?, то из теоремы XL
сразу же следует, что 0 не может быть разложен в ряд
по функциям этого множества с ненулевыми коэффициен-
коэффициентами, сумма квадратов которых сходится, с другой сто-
стороны, на интервале (— 1/(яЬ), 1/(я?)); это множество (тео-
(теорема XXXVIII) содержит подмножество, теория /^-разло-
/^-разложений по которому, по существу, совпадает с теорией L2-
разложений в обычные ряды Фурье.
В целом результаты данной главы, хотя они и идут
значительно дальше, чем все предыдущие исследования
в этой области, являются фрагментарными почти во всех
отношениях. Едва ли в каком-либо случае наши теоремы
дают необходимые и достаточные условия, и на самом деле
весьма невероятно, чтобы большинство наших резуль-
результатов имело такую природу. Нигде не показано, что наши
неравенства являются наилучшими. Авторы считают, чтс
эти ограничения внутренне присущи употребленным мето-
методам; что, в то время как сила этих методов полностыс
не исчерпана, нужна некоторая радикально новая идея,
если мы хотим придать этой теории ее окончательный
вид.

ГЛАВА VIII
ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
33. Необходимые теоремы из обобщенного гармони-
гармонического анализа. Винер *) и другие авторы разработали
теорию обобщенного гармонического анализа. Это — тео-
теория разложений по тригонометрическим функциям, кото-
которая охватывает как частные случаи ряды Фурье и инте-
интеграл Фурье, но которая охватывает также такие теории,
как теория белого света, не попадающая ни в один из
упомянутых разделов. Теория Винера до сих пор отно-
относилась к функциям, хотя и комплекснозначным, но от
вещественных переменных. Но для всякой теории гармо-
гармонического анализа функций от переменных в веществен-
вещественной области существует соответствующая ей теория функ-
функций от переменных в комплексной области. В случае
интеграла Фурье соответствующей теорией является тео-
теория интеграла Лапласа; в случае рядов Фурье соответ-
соответствующей теорией является теория рядов Тейлора и Ло-
Лорана; а случаю негармонических разложений по дискрет-
дискретным тригонометрическим функциям, с которыми мы встре-
встречаемся в боровской теории почти периодических функ-
функций, соответствует теория рядов Дирихле. Цель данной
главы — расширить в этом смысле теорию Винера и под-
подчинить этой общей теории некоторые теоремы, касающиеся
почти периодических функций. Для этого нам нужно
воспроизвести некоторые результаты из книги Винера.
В задачи этой главы не входит доказательство этих
*) The Fourier Integral and certain of its applications, Gam-
bridge, 1933. (Русский перевод: Интеграл Фурье и некоторые его
приложения, Физматгиз, М., 1963.)

188 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
теорем или хотя бы сколько-нибудь подробное обсуждение
их значения. Мы отметим только, что f(x) представляет
функцию, подвергаемую гармоническому анализу; что s (и)
представляет интеграл от преобразования Фурье функции
f(x) (которое само не существует) с верхним пределом и
и что S (и) представляет полную энергию в спектре функ-
функции / вплоть до частоты и. Функция ср (х), которую мы
определим ниже, является так называемой автокорре-
автокорреляционной функцией *) функции /, и S (и) можно выра-
выразить через одну лишь ср. Через S мы обозначим класс
функций f(x), обладающих «спектром» S (и), а через 6" —
тот подкласс класса S, спектры функций которого не со-
содержат, в некотором смысле, энергии при' бесконечной
частоте.
Цитируемые теоремы и определения содержатся в гла-
главах III и IV книги Винера. Они читаются следующим
образом:
Теорема 20. Пусть f (x) — измеримая функция,
для которой интеграл
-т
ограничен по Т. Тогда
ЦМ?.*г<». C3.02)
о
Определение.
А-со BЯI' J J
1 -~~А
C3-03)
*) В оригццаде faltung—свертка.— Прим. перев.

33. НЕОБХОДИМЫЕ ТЕОРЕМЫ 189
Заметим, что в предположении теоремы 20 функция
s(u) будет существовать для почти всех и.
Теорема 22. В предположении теоремы 20
\irn
uu
_
— CO
T
^lim^- \ \f(x)\*dx C3.04)
T-KX> e)
в том смысле, что если существует одна из частей этого
равенства, то другая также существует и имеет то
же самое значение.
Определение.
dl. C3.05)
Определение. Класс S является классом измери-
измеримых функций f (х)у для которых функции ф(я) суще-
существуют при любом вещественном х. Класс S' является
классом функций из S, для которых (f(x) непрерывны.
Теорема 36. Если f(х) принадлежит S, то функ-
функция
S(u)=—{-Г [ (f(x)eiUX~i dx C3.06)
Bя) /2 J —1Х
— СО
существует при любом и.
На стр. 207 книги Винера под номером B1.257) при-
приведена формула, которая выглядит следующим образом:
. f \s(u + e) — s(u — s)\2du.
2еBя) 2 0
C3.07)
Эта формула утверждает большее, чем фактически было
установлено в этом месте; ее следует читать так:
C3.08)

190 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
В теореме 36 Винер показывает, далее, что если f(x)
принадлежит S, то разность а (и)— S(u) является посто-
постоянной всюду, за исключением самое большее множества
меры нуль. Таким образом, за исключением самое боль-
большее множества меры нуль, имеем
e->0
2e Bл;I
(u + e)-s(u-s)\*du].
C3.09)
Теорема 30. Пусть f(x) принадлежит S, и пусть
хК{х) принадлежит Lu a A +| х\)К(х) принадлежит
L2. Пусть
g(z)= J K{x-l)f&)dl.
C3.10)
Пусть функция S (и) определена формулой C3.06),
и пусть
-т
X
Тогда
t C3.11)
dS{u). C3.12)
Здесь мы заменили а в формуле Винера на S.
Лемма 293. В предположениях теоремы 30
со
1 С
lim— \ t(u-\-E) — t(u — e) — {s(u+s) — s(u — e)}x
X
C3.13)

34. ТЕОРЕМА КОШИ 191
где
А -1
1 g(x)e~iuxdx
BяI
1
1 Г fCX^-i)^ C3.14)
Лемма 296. ? предположениях теоремы 30 функция
g(x) будет принадлежать S'.
34. Теорема Коши. Пусть
А
? |/(х)|2^-О(Л). C4.01)
Тогда, как в C3.02),
\ Ч&-<Ь = ОМ. C4.02)
Таким образом, если f(x-\-iy) аналитична в полосе
Ь и
А
\ C4.03)
равномерно
ПО X
-А
при а<# <! Ь,
f(x+iy) / .
x-\-iy — c ^C ^
будет равномерно принадлежать
образом, в силу теоремы II при
f(*+iy)
оо
/(Ь+?т|)А
ТО
ь
L
а
функция
>а)
2 при а^х^Ь.
< х < Ъ имеем
C4.04)
Таким
Х~\-*У—с 2я J (&+г<П—с) (Ь+гт)—а:—iy)
— СХ)
оо
2я J (a-)-ir]—c)(a-f-ir]—х—iy)

192 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Далее,
x-{-iy—с
1
(b-{-ir\—с)(Ь-\-щ — х—iy) ~~ Ь-\-щ— х—iy b-\-ir\—с'
C4.06)
так что
b-\~ii]—x—iy
— OO
oo
-Г- \ f(a + m)dy\f , . i = r4 У C4.07)
2я J n " 'V а-\-щ — x—iy а-\-щ—cj v '
—oo
Построим функцию
C4.08)
и преобразования
Kt(z)=
На бесконечности при любом х < 0 будем иметь
а при любом х > 0
C4.09)
C4.10)
C4.11)
C4.12)
Рассмотрим теперь функции
L*^
/г (Z) =
1 v ;
z—аг—iy z—с
(с

п
34. ТЕОРЕМА КОШИ 193
п+1
о
n+2 со
_|_ С (/г + 2—gJ g6(x+iy-2)^^. f eS(z-c)dg C4.13)
n+i 0
И
(Rez < x)
n+i
J |^ g> C4.14)
Мы видим, что ht (z) и /г2 (z) представляют одну и ту же
аналитическую функцию, которая к тому же имеет поря-
порядок 0(l/(ImzJ) на бесконечности. Таким образом, по
теореме Коти
оо
I \, C4.15)
— ОО
и в силу C4.07) имеем
оо
— о
оо
-2S"
В силу C4.02) эти интегралы сходятся абсолютно.
Предположим теперь, что f(a + iy) и f(b + iy) при-
принадлежат S и что оценка C4.03) выполняется равномерно
13 н. Винер, Р. Пэли

194 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
при а<;#<6. Положим
А -1
1Л.т.
А->со Bjt)
1 — А
Тогда в силу C3.13) и C4.16)
Нт— \ \s{x, u + e) — s (х, и — &) —
8-° 8 i
где
(a, u + e) — s(a, u —
Ф„ (и)
. (з4.17)
C4.18)
- Ь + гг/) e'luv dy C4.19)
. C4.20)
Отсюда подходящим выбором п непосредственно получаем,
что в любой конечной области
lim
im—\ \s(x, u + e) — s(x, и— &) —
— {s(b, u-{-s) — s(b, и — г)}еи(х~ъЦ2dx =
в
~~~ Х1Ш. ~~~~~ \ I о ( Ху U "~|~" Б ) *~~~ S ( Ху U "~~~~ о ) —
8"^ А
/о (п ту _1_ р\ q (п и я\\ ри(х—а) | 2 /7тI П ^Л 9^

34. ТЕОРЕМА КОШИ 195
Кроме того, если е меньше, чем некоторая величина, не
зависящая от В и ху получаем, используя C3.04),
— s(b, u —
). C4.22)
Аналогично
Л
[ \{s(a u + s) s(a и г)}еи(<х~а) \2 dw<
2A<*-«>. C4.23)
Таким образом,
оо
lim— \ \s(x, u + s) — s(x, u — z)\2du =
—со
А
= lim lim— \ \s(b, u + e) — s(b, и —г) \2 e2u(x~W du =
А
= lim lim— [ \s(a, u + e)—s(a, и—г) \2 е2и(х~аЫи C4.24)
А->оо 8-»0 8 «3
А
—
А->оо 8-»0 8 «3
в случае, когда пределы
А
lim— С \s(b, u + e) — s(b, и —г) \2e2^x~b)du C4.25)
— А
И
А
lim— f |«(а, гг + е)-5(а, u — n)\*e***-°*du C4.26)
существуют для значений Л, принадлежащих некоторой
возрастающей последовательности, стремящейся к беско-
бесконечности.
13*

196 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Положим
" 7Z X
X Hm ±- \ f(x + iy+ i%) f(x+iy) dy, C4.27)
(X tf--L_ f (е-<и6-1)Д6 lim 1 f
x
—oo
oo
X J /(Ь+*т|)ЛГ,(а; + ^-Ь-«т1)?|11, C4.28)
— OO
OO
X
—oo
oo
X J /(a+«ti)Ji:2(a; + ^-o —<Tj)dti. C4.29)
— OO
По теореме 36 и лемме 296 функции 7\ (х, и) и
Т2(х, и) будут существовать для любого и. В силу
C3.09) и C3.13)
Tt (x, u)=U.m. U (8)+ \
0 L
U.. ()+. ,9\i/2X
8->0 L 28 BЯ) /2
X J \s(b, u+&)-s(b, u—E)\2[(fn(u)]2e2u^-b)du^\ .C4.30)
0
Далее, покажем, что если последовательность монотонных
функций fn(x) сходится в среднем к пределу f(x), то она
сходится к f(x) почти всюду. Имеем равномерно
x-fe х+е
I =lim± 5 fn{l)dl. C4.31)
28
x—e " x—8

34. ТЕОРЕМА КОШИ 197
Отсюда следует, что для любого 8 > О
28
x—e
x-fe
f(g)d?. C4.32)
Кроме того, по лемме Вейля для теоремы Рисса —Фишера,
существует подпоследовательность {fnk(%)} (к = 1, 2, ...)
последовательности {/п(#)}> сходящаяся почти всюду к
/(ж). Таким образом, f(x) является монотонной на мно-
множестве 2, отличающемся от всей оси самое большее на
множество меры нуль. Множество 2, разумеется, всюду
плотно. Пусть F(x) обозначает / (х), определенную, таким
образом, для х из 2. Если у не лежит в 2, то положим
= 1 Г sup F (х) + inf F (х)], C4.321)
* из 2
в остальных точках положим f (x) — F (х). Тогда функция
f (х) будет определена всюду и монотонна.
Далее, в силу C4.32)
Х+К)
х+л C4.322)
Ит/Л(ж —е)<Шп-5-- \ f{l)dl,
и по одной из основных теорем анализа имеем почти
всюду
lim fn(x-\-&)>f (x)> lim fn (х-г). C4.323)
Таким образом, почти всюду
/(s-e)< lim /Л(ж)<Пй"/Л(а;)</(ж+е), C4.324)
и, значит, почти всюду
lim f(x — s) < Ит /Л (ж) <Tim /n (ж) < lim f(x+s). C4.325)
8-» 0 п-»оо п->со е->0

198 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Поскольку монотонная функция почти всюду непрерывна,
последнее неравенство дает почти всюду
/(ж)< lim fn(ж)< lim fn(x)<f(x). C4.326)
Таким образом, для почти всех х
f(x) = limfn(x). C4.33)
п->оэ
Эта теорема позволяет нам заменить в формуле C4.30)
l.i.m. на lim.
Пусть теперь п в формуле C4.30) — произвольно боль-
большое отрицательное число. Тогда для почти всех А
А
Пт I \ \s(b, и + г)-з(Ь, ы-8) |2е.2« <*-<>> <fu =
8-+0 28 Bя) /2 «J
= Tt(x, A) — Tt(x, -Л). C4.34)
Аналогично, выбирая п большим положительным, полу-
получим
А
= Т2(х, А) — Т2(х, -А). C4.35)
Таким образом, согласно формуле C4.24) предел
оо
lim — \ \s(z, и + е)~s(x, u — &)\2du C4.36)
8->0 8 «5
— оо
существует при а<х<Ь и имеет значение, указанное
в этой формуле.
Рассуждение в точности такого же рода, несколько
более хлопотливое в деталях, но совершенно не отличаю-
отличающееся по своим принципам, показывает, что если а < х < Ь,
а ? вещественно, то предел
оо
1 С
lim— \ \s(x, и-\-г) — s(x, u — s)\2e~iu^du C4.361)
Е-+0 8 J
— оо

34. ТЕОРЕМА КОШИ 199
существует и равен пределу
А
lim lim — \ \s(b, u + E) — s(b, u — e)
0 8
C4.362)
A->oo 8->0
— A
Ясно, что
оо —А
— — lire с 11
lim lim-- \ + \ > s (b,
— s (b, и - e) |2 e2u (*-b)-*u5 du
oo — A
< lim lim — Г [ + [ 1 | 5 (Ь, и + г) —
л-^оо r-^o 8 L О J J
, C4.363)
а мы только что доказали в C4.34), что этот последний
предел равен нулю. Поэтому предел C4.362) существует,
и мы должны только доказать его тождественность пре-
пределу C4.361). Это будет сразу же установлено, если мы
покажем, что для некоторой последовательности значений
Л, стремящихся к бесконечности,
А
lim-1-
8-»0 8 J
— Л
u^0. C4.364)
Используя неравенство Шварца и ограниченность
величин
А
— \ \s(x, и~\-г) — s(x, u —
А
-A
C4.365)
A
8
-A

200 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
можно свести соотношение C4.364) к соотношению
А
1 С
lim — \ \s(x, и 4- е) — s (х, и — е) —
*->* 8 Л
) — s(b, и—E))\2du — 0, C4.366)
которое восходит к C4.21).
Определим теперь функцию
Sl(x, и) = 1л.т.—V Г (+ V 1 /(ж+гУ~''Е)
1 — А.
^) е"шу." dy. C4.37)
Она будет существовать по той же причине, что и функ-
функция C4.17). Как и на стр. 202 книги Винера, имеем
оо
\ | s% (x, u-\-e) — si(x, и — е)
Как и в проведенном там рассуждении, это приводит к
равенству
в
«т 2F \
В-*со^и О
-В
1
C4.39)
Если мы дадим w последовательно значения ±1, ±i
и сложим четыре формулы вида C4.39), умножив их на
коэффициенты +1, ±г, то получим формулу
в
в™№ )в
= lim ~ \ \s(x, u + e)-s(x, и-г)\2 e-^du, C4.40)

34. ТЕОРЕМА КОШИ 201
подобную формуле B1.17) книги Винера. Таким образом,
/ (х+ iy) принадлежит S при а <х < Ъ.
В силу C4.40) видим, что
в
I л
lim lim ^^- \ f(x-\-iy — z?) / (х + iy) dy —
-Hm ^ \ \f(x
oo
= lim lim ~ \ A — e~iu%)\s(x, u + e) — s(x1u —
— CO
A
< lim lim -.— \ 11 — е~ы^\ \ s(x, u~\-e) — s(x,u —
i->o 8->o 4jt8 JA
OO -A
Tim Tim -Д- Г \ + [ 111 — e~iu^
A —oo
X | 5 (ж, м + е) —s(x, и — e)|2du<
|l--e-iA? |Нт-Л- \ \s(x, м + е) —
e->0 4jt8 «3
— CO
— s(x, u — e)\2
oo —A
A —oo
1 Г
lim-^— \ \s(x, u + e) — s(x, u—e)\2du
0 zjts j
e->0
—oo
— lim-!- f |5(Ж) м + е) — s(x, u-z)\2du. C4.41)
3
Мы сошлемся теперь на формулы C4.24), C4.21) и
C4.34) и получим вместо последней строки в C4.41)

202 Гл. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
выражение
в
lim lim ^— \ | s F, и-\-&) — s(b, м~е)|2
А
C4.42)
которое можно сделать сколь угодно малым, выбирая А
достаточно большим.
Таким образом, при а < х < Ъ функция
в
1
А-оо
непрерывна по ? и f{x + iy) принадлежит 5", как функ-
функция от у.
35. Почти периодические функции. Вернемся к фор-
формуле C4.16). Пусть f(a-\-iy) и f(b + iy) почти периодич-
периодичны по у, т. е. пусть для любого е > 0 можно найти три-
тригонометрические полиномы
C5.01)
C5.02)
такие, что
И
\f(b + iy)—P2(y)\ < e (~оо< у <оо). C5.04)
Если оценка C4.03) выполняется равномерно на (а, Ь), то
мы можем воспользоваться формулой C4.16) и получить
>
оо

35. ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
оо
1
203
п оо
1 -оо
п оо
-sir S
/ (х + iy) -
п (Mft) +
где
2п
гу)
C5.05)
(Mft), C2A = -
м^а (Фп (Ал) -1).
C5.06)
Таким образом, /(# + &?/) равномерно принадлежит
классу почти периодических функций приa + e<#<fr — e,

204 ГЛ. VIII. ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
поскольку
оо оо
ОО —ОО
оо п+2
—оо п
п+2
const.
<const.,
\К2(х — a
C5.07)
C5.08)

ГЛАВА IX
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
36. Случайные функции. Под случайной функцией мы
понимаем функцию, которая известным образом (уточ-
(уточняемым в дальнейшем) зависит от переменного, обозна-
обозначаемого явно, и от некоторого параметра распределения,
обычно опускаемого. Подобные функции встречаются во
всей статистической механике. В статистической механике
то или иное возможное состояние вселенной выражается
функцией от одного или нескольких переменных, которые
задают геометрические координаты и время, и от некото-
некоторого параметра, который выделяет рассматриваемую все-
вселенную как одну среди всех возможных вселенных и опре-
определяет ее вероятность. В качестве более конкретного при-
примера возьмем путь частицы, подверженной броуновскому
движению, и рассмотрим одну из координат частицы
(скажем, я-координату) как функцию времени t. Тогда
при любом отдельном броуновском движении или движении
частицы, вынуждаемом толчками окружающих молекул,
находящихся в тепловом возбуждении, координата х будет
вполне определенной функцией от t. Если же вместо того,
чтобы рассматривать фактическую траекторию, описы-
описываемую конкретной частицей, мы рассмотрим всевозмож-
всевозможные траектории, описываемые всевозможными частицами,
то в дополнение к переменному t координата х будет
зависеть от переменного, которое выделяет рассматри-
рассматриваемое конкретное броуновское движение из всех возмож-
возможных броуновских движений. Это переменное вводится для
целей интегрирования; иными словами, некоторая область
значений этого переменного измеряет своей длиной веро-
вероятность того множества броуновских движений, которое
она представляет, а интегрирование по этому переменному

206 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
дает вероятностное среднее интегрируемой величины.
Эта вероятностная теория, естественно, вовсе не проста и
нуждается в подробном разъяснении; значительная часть
данной главы и посвящена такому разъяснению.
Мы увидим, что теория случайных функций в своих
существенных чертах представляет собой теорию интегри-
интегрирования в функциональном пространстве. Как таковая,
она может быть подчинена общим теориям интегрирования
Радона, Даниэля и Винера. Предварительная попытка
построить теорию интегрирования в функциональном про-
пространстве была сделана Гато, однако эта более ранняя
теория не является частным случаем теории интеграла
Даниэля — Радона. Эта более ранняя теория пыталась
трактовать каждое значение F(t0) функции F (t) как неза-
независимое переменное. Мы обнаруживаем в такой схеме,
что некоторая последовательность областей положитель-
положительной меры, охватывающих одна другую, может не обла-
обладать ни одним элементом, общим для всех этих областей.
Это явление нарушает один из наиболее существенных
канонов теории Даниэля. Чтобы исключить его, необхо-
необходимо, чтобы класс функций, по которому мы интегрируем,
был в том или ином смысле компактным, т. е. чтобы любая
последовательность функций содержала подпоследователь-
подпоследовательность, имеющую предельную функцию. Хотя это утверж-
утверждение и неверно в строгом смысле для первоначального
класса функций, с которым мы имеем дело, мы во всяком
случае должны иметь возможность сделать его верным
посредством удаления или добавления множества функций
произвольно малой меры. Компактность в обычном смыс-
смысле эквивалентна равномерной ограниченности и равно-
равностепенной цепрерывности. Далее, a priori очевидно, что
тип интегрирования Гато должен породить функции, кото-
которые почти нигде не являются непрерывными, и, стало
быть, никак не выдерживает этого требования.
Броуновское движение указывает нам выход из этого
затруднения. Здесь независимым от положения частицы
в данный момент времени является не ее положение в другой
момент времени, а ее движение в промежутке между этими
моментами времени. Грубо говоря, аналогом независимых
координат точки в конечномерном пространстве являют-
являются дифференциалы функции x(t), а не ее значения. С физи-

36. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 207
яеской точки зрения по меньшей мере разумным являет-
является требование непрерывности броуновского движения час-
Г7щы, и мы действительно покажем, что эйнштейновская
f еория броуновского движения позволяет нам утверждать,
что оно и на самом деле почти всегда является непрерыв-
непрерывным. Мы покажем даже большее, именно мы покажем,
что оно подчиняется условию равностепенной непрерыв-
непрерывности, за исключением множества случаев, меру которого
или, что то же самое, вероятность которого мы можем
свести к сколь угодно малой величине.
Теория случайных функций всегда производит впечат-
впечатление значительно большей искусственности, чем это есть
на самом деле. Причина состоит в том, что в теории инте-
интегрирования Даниэля или Лебега сумма счетного числа
множеств меры нуль сама является множеством меры
нуль, тогда как сумма континуального числа множеств
меры нуль не обязана быть множеством меры нуль. Бла-
Благодаря этому факту крайне желательно задавать случай-
случайную функцию счетным числом условий, тогда как зада-
задание подобной функции ее значениями при всех значениях
ее аргумента приводит к континуальному числу данных.
Поэтому, если мы будем пытаться задать случайную
функцию некоторым множеством ее значений, то почти
необходимо для наших технических построений, чтобы
первоначальное множество значений, которое мы берем,
было счетным. Например, мы можем определить такую
функцию ее4 значениями в рациональных или двоичных
точках прямой. С другой стороны, мы можем полностью
отказаться от задания такой функции ее значениями
и определить ее посредством ее коэффициентов Фурье
или ее коэффициентов в какой-либо иной схеме разложе-
разложения. В любом случае оказывается, что функция, которую
мы таким способом определим, будет, за исключением
множества случаев вероятности нуль (или меры нуль,
что то же самое), либо непрерывной, либо в некотором
легко определяемом смысле эквивалентной непрерывной
функции. Как только это сделано, мы можем определить
значения этой непрерывной функции однозначно на всем
интервале ее задания. Мы таким образом расширим нашу
исходную функцию, определяемую счетным множеством
параметров, до функции, определяемой внешне большим

208 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
числом параметров. Поступая таким способом, мы восполь-
воспользовались методом, который маскирует подлинную инва-
инвариантность результата, который мы получили. Однако
получение нашего результата не инвариантным путем
и установление его собственной инвариантности позднее
посредством специальных теорем является вполне закон-
законным математическим методом.
Процедура подобного рода обладает, однако, тем недо-
недостатком, что она крайне неэвристична и требует от чита-
читателя принимать на веру большое количество материала,
оправдание которого дается только после завершения
рассуждений. В конце концов окажется, что случайные
функции, с которыми мы имеем дело, и мера, должным
образом соотнесенная им, определяют функциональное
пространство, отличное от пространства Гильберта, но
ковариантное ему при всех унитарных преобразованиях,
которые оставляют инвариантным гильбертово простран-
пространство. В то время как подобную теорию можно построить
для вещественного гильбертова пространства и в то время
как такая теория была предметом предыдущих работ Вине-
Винера, данная теория пространства дифференциалов*) при-
применима к пространству, ковариантному комплексному
гильбертову пространству.
Мы увидим, что, хотя последние две главы этой книги
внешне посвящены интегрированию в континуальном
числе измерений, в действительности они образуют гла-
главы того, что Э. Борель назвал теорией «счетных вероятно-
вероятностей»**). Первый близкий подход к тем специфическим
задачам, которые интересуют нас здесь, был сделан Штейн-
гаузом***). Он рассматривает ряд
оо
S ± 1 • C6-01)
*) «Differential space» — «Пространство дифференциалов» —
название работы Н. Винера в «Journ. Math. Phys.», vol. 2, № 3
A923), 131—174.— Прим. перев.
**) Е. В о г е 1. Les probabilites denombrables et leurs applica-
applications arithmetiques, Rendiconti del Gircolo Matematico di Palermo,
vol. 27 A909), стр. 247—271.
***) Ср. Н. Steinhaus, Sur la probabilite de la convergence
de series, Studia Mathematica, vol. 2 A930), стр. 21—39 и более
ранние работы, на которые даны ссылки в этой статье.

36. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 209
где знаки ± представляют назависимые выборы, и пока-
показывает, что этот ряд сходится в почти всяком случае.
Методы Штейнгауза были превращены в мощный анали-
аналитический аппарат Пэли и Зигмундом *), особенно для
построения контрпримеров, а окончательная теория была
применена с большим успехом Бором и Йессеном**) к изу-
изучению римановской дзета-функции и к почти периоди-
периодическим функциям в комплексной области.
Винер***) развил теорию случайных функций, во мно-
многих отношениях параллельную теориям, которые были изу-
изучены уже упомянутыми авторами, но не тождественную
этим теориям. Поскольку винеровская теория случайных
функций выводится из соображений, относящихся к броу-
броуновскому движению и статистической механике, в которых
важную роль играют гауссовские распределения, эти
распределения играют также важную роль и в его теории.
В этом отношении теория Винера напоминает эйнштей-
эйнштейновскую теорию броуновского движения, которой, как мы
покажем позднее, она эквивалентна****). Фактически
можно провести резкое различие между теорией Винера
и остальными ранее упомянутыми теориями, ибо, хотя
в обоих случаях счетному множеству членов приписы-
приписываются коэффициенты с некоторым распределением, во
всех остальных теориях эти коэффициенты либо имеют
случайные значения ±1, либо распределены случайно по
единичной окружности в комплексной плоскости. В допол-
дополнение к тому, что теория Винера приложима к статистиче-
статистической механике, она обладает большей степенью симметрии,
чем противостоящие ей теории, или, говоря то же самое
*) On some series of functions, Proceedings of the Cambridge
Phylosophical Society, vol. 26 A930, стр. 337—357, 458—474;
vol. 28, стр. 190—205. Ср. также статью: Pale у, Wiener und
Zygmund, Mathematische Zeitschrpft, Bd. 37 A933), стр. 647—
688, на которой во многом основана данная глава.
**) Н. Bohr and В. Jessen, Uber die Werteverteilung der
Riemannschen Zetafunktion, Acta Mathematica, vol. 54 A930),
стр. 1—35; vol. 58 A932), стр. 1—55.
***) Gp. N.Wiener, Generalized harmonic analysis, Acta Mathe-
Mathematica, vol. 55, стр. 214 и след. и ссылки, приведенные в этой
работе.
****) А. Е i n s t e i n, Annalen der Physik, Bd. 17 A905), стр. 549
и след.; Bd. 19 A906), стр. 371 и след.
14 н. Винер, Р. Поли

210 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
иными словами, она обладает более обширной группой пре-
преобразований, при которых она инвариантна. Причина этого
в том, что если некоторое число членов имеет независимые
гауссовские распределения, то и любая линейная комбина-
комбинация этих членов сама имеет гауссовское распределение.
С другой стороны; если мы отправляемся от некоторого
распределения исходных величин по значениям ± 1 или по
единичной окружности, то распределение линейной комби-
комбинации этих исходных величин оказывается весьма сложным
и не поддающимся обработке. Таким образом, это свой-
свойство гауссовских распределений тесно связано с ковари-
ковариантностью гильбертову пространству, которую проявляет
развитая здесь теория случайных функций.
Изменяя шкалу, можно свести вещественное гаус-
гауссовское распределение к равномерному распределению
вещественного параметра по отрезку @, 1). Точно так же
комплексное гауссовское распределение можно свести к
совместному равномерному распределению двух независи-
независимых параметров по интервалу такого рода. Этим искус-
искусственным приемом наше интегрирование в функциональном
пространстве можно свести к интегрированию функции
"счетного числа переменных по кубу в соответствующем
пространстве. Подобное интегрирование рассматривалось
Даниэлем, Йессеном и другими авторами *).
Однако, поскольку читатель этой главы, по-видимо-
по-видимому, не знаком с этой теорией, мы выведем ее некоторым
процессом отображения из обычного интегрирования
функции одного переменного по интервалу или по прямой.
Этот процесс отображения представляет всего лишь раз-
разработку процесса, посредством которого квадрат можно
отобразить на прямую так, чтобы плоская мера множеств
перешла в равную ей линейную меру.
Это отображение квадрата на прямую с сохранением
меры заслуживает некоторого внимания. Пусть коорди-
координаты точки в единичном квадрате 0<ж<1,0<у<;1
*) P. J. Daniell, Integrals in an infinite number of dimen-
dimensions, Annals of Mathematics, B), vol. 20 A919), стр. 281—288;
В. J e s s e n, работа должна появиться в «Acta Mathematica»;
см. также «Bitrag til Integralteorien for Funktioner af unendelig
mange Variable», Copenhagen, 1930.

36 СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 211
представлены двоичными дробями в виде
(ап = 0 или 1 независимо по всем п),
У = Pi/2 + р2/4 + ... + рп/2" + ... C6.02)
(Рл — 0 или 1 независимо по всем п).
Соответствие между точками х и последовательностями
{ап}не является взаимно однозначным, но становится вза-
взаимно однозначным, если мы пренебрежем всеми рациональ-
рациональными значениями х, знаменатели которых являются сте-
степенями двойки; такие х имеют два разложения, оканчи-
оканчивающиеся соответственно нулями... 000... и единицами...
...111... Эти значения х образуют счетное множество и,
стало быть, множество линейной меры нуль. Точки (х, у)
с такими значениямд х составляют множество плоской
меры нуль. Аналогичные соображения применимы к соот-
соответствию между точками у и последовательностями {Рл}.
Таким образом, за исключением некоторого множества
точек (х, у) плоской меры нуль, соответствие между точ-
точками квадрата 0 <# <1, 0 <i/ <1 и парами после-
последовательностей (ап), {Рп} является взаимно однозначным.
Далее, пару последовательностей {ап}, {$п} можно
превратить в одну последовательность большим числом
различных взаимно однозначных способов. Например,
мы можем превратить пару {ап}, {рп} в последовательность
• . • СХпРп • . • C6.03)
и сопоставить ей число z с тем же самым двоичным пред-
представлением. Соответствие между числами z и последова-
последовательностями C6.03) будет взаимно однозначным, за исклю-
исключением нуль-множества рациональных значений z, зна-
знаменатели которых являются степенями 2. Кроме того,
ясно, что если мы зададим какой-либо класс значений z,
у которых счетное подмножество двоичных знаков имеет
фиксированные значения, то этот класс будет иметь меру
нуль и сумма счетного числа таких классов также будет
иметь меру нуль. Отсюда следует, что множество значений
z, соответствующих парам (я, г/), в которых не обе коорди-
координаты имеют единственные двоичные представления, само
является множеством меры нуль. То же самое верно и для
14*

212 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
плоской меры множества точек (х, у), соответствующих
значениям zc не единственным двоичным представлением.
Таким образом, если мы отбросим нуль-множество зна-
значений (х, у) и линейное нуль-множество значений z, то
отображение квадрата 0<#<1, 0 <i/ <1 на интер-
интервал 0 << 2 <1, определяемое схемой C6.03) или какой-
либо другой такой схемой, будет взаимно однозначным.
Плоское множество точек, определяемых неравенст-
неравенствами
Yi/2 + Y2/4 + .. . + ут/2т <х< Y;/2 + Yi/4 + ..
C6.031)
6J2 + 62/4 + .. . + &J2n <у< в;/2 + в;/4 + ... + б;/2^
(т >/г),
где все числа ya> Ун, &k и 6& равны 0 или 1, распадается
на 2*™ (о, Y;... Ym - о, Yi... ут) (о, б;...б; - о, 6i... ъп)
квадратов, каждый из которых имеет площадь 2~2т. Пре-
Преобразование C6.03) отображает его на таТкое же число
интервалов (длина каждого из которых 2~2т), имеющих
ту же самую общую меру. Аналогично любой интервал
значений z с двоично-рациональными концами является
образом конечного множества квадратов на плоскости
(х, у), общая площадь которых равна длине рассматри-
рассматриваемого интервала. Таким образом, преобразование C6.03)
или какое-либо аналогичное преобразование сохраняет
меру, если речь идет о прямоугольниках на плоскости
(х, у), вершины которых двоично-рациональны, и об интер-
интервалах на оси z с двоично-рациональными концами.
Всякий интервал на прямой можно заключить в интер-
интервал с двоично-рациональными концами, который будет
иметь сколь угодно близкую большую меру; точно так
же он содержит подобный интервал, сколь угодно близ-
близкой меньшей меры. На плоскости справедливо в точности
такое же утверждение для прямоугольников. Отсюда
сразу же следует, что отображение C6.03) или любое
аналогичное отображение преобразует всякий прямо-
прямоугольник на плоскости в измеримое множество на прямой,
с линейной мерой, равной площади прямоугольника,
и что всякий интервал на прямой является образом изме-
измеримого множества на плоскости, с плоской мерой, равной

36. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ 213
линейной мере интервала. Методами, хорошо известными
из теории интеграла Лебега, мы получаем, что всякому
измеримому множеству из единичного квадрата на пло-
плоскости соответствует измеримое множество на единичном
интервале, с линейной мерой, равной плоской мере исход-
исходного множества, и что всякое измеримое множество на
единичном интервале соответствует плоскому множеству
из единичного квадрата, с плоской мерой, равной линей-
линейной мере исходного множества. Вся теория интегрирова-
интегрирования по Лебегу для двух измерений может быть, таким
образом, выведена посредством этого отображения из соот-
соответствующей теории для одного измерения. Если на еди-
единичном квадрате задана какая-либо функция, то наш про-
процесс отображения определит функцию-образ на единичном
интервале, и если таковая интегрируема, то ее интеграл
будет совпадать с интегралом исходной функции двух
переменных и может быть использован для определения
этого интеграла. В точности таким же образом области
в пространстве трех или более измерений можно отобра-
отобразить на отрезок прямой с сохранением меры, и это ото-
отображение можно использовать, чтобы получить опреде-
определение интеграла Лебега в пространстве п измерений.
Этот метод определения обладает тем явным преимущест-
преимуществом, что все теоремы о лебеговом интегрировании в одном
измерении могут быть перенесены непосредственно, без
каких-либо модификаций в доказательствах, на лебегово
интегрирование в пространстве п измерений.
Это соображение еще более важно, когда речь идет
о построении интеграла Лебега в пространстве счетного
числа измерений. Как мы видели, Даниэль построил
общую теорию интегрирования и подвел под нее *) как
частный случай интегрирование в пространстве счетного
числа измерений. Преимуществом этого метода является
логическая прямота и прозрачность; недостаток же со-
состоит в том, что мы не можем сослаться на большую массу
теорем, уже имеющихся в теории интеграла Лебега,
и вынуждены каждую из них устанавливать de novo
путем тривиальной модификации в ее первоначальном
*)Р. J.Daniell, A general form of integral, Annals of Mathe-
Mathematics, B), vol. 19 A918), стр. 279—294.

214 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
доказательстве. В идеальном курсе по теории интеграла
Лебега все теоремы устанавливались бы с точки зрения
интеграла Даниэля, но при нынешнем состоянии мате-
математического образования метод отображения имеет явные
преимущества.
Отображение квадрата на отрезок прямой дает доста-
достаточное изложение общих принципов отображения, и мы
можем не подвергать разбору взаимно однозначный харак-
характер отображения, которое мы сейчас построим. Цель это-
этого отображения — представить на отрезке 0 <а < 1 точ-
точки (оц, а2, . . . , ап, . . .) области
0<a2< 1,
0<an<l,
C6.032)
в пространстве счетного числа измерений. Пусть двоичное
разложение числа а& имеет вид
0, амаЛ2 .. . а*п .. •; C6.04)
положим
а = 0, аца^аг^^азгССз^и^гзазг^! ••• C6.05)
Пусть
az, ...,av) C6.06)
— интегрируемая функция от конечного числа перемен-
переменных а&. Тогда методами, в существенном такими же,
какие мы использовали при разборе отображения квадрата
на отрезок, получим
1 1 1
F (a) da = jj da, . .. \ davf (сц, ..., av). C6.07)
о о о
Это следует из хорошо известного факта, относяще-
относящегося к интегралу Лебега от функции одного переменного;
именно, если f(x) — суммируемая функция х на отрезке

37. ОСНОВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 215
(О, 1), то для е > 0 существует ступенчатая функция g(x)
такая, что
1
J \f(v)-g(x)\dx<e. C6.08)
о
Нетрудно показать, что функцию g можно выбрать так,
чтобы абсциссы всех скачков были двоично-рациональ-
двоично-рациональными числами. Если мы применим этот результат к функ-
функциям от (СЦ, а2, .,.) и если мы отождествим интегриро-
интегрирование по (аь а2, . ..) с интегрированием соответствующей
функции по а, то мы увидим, что всякая функция
/(а1?а2, . .,,ап, ...), для которой существует интеграл
1 1 1
da2... Jj dan ... / (аь а2,..., ап, ...),
0
определяет по меньшей мере одну ступенчатую функцию
g(al9 а2, ..., av) конечного числа переменных а4, ..., av
такую, что
1 1 1
dan ... |/(a1? a2, ..., an, ...) —
— g(«i,a2, ...,av)|<e. C6.09)
37. Основная случайная функция. До сих пор мы
рассматривали бесконечное число вещественных перемен-
переменных av, равномерно и независимо распределенных по
отрезку @, 1). Мы хотим перенести это рассмотрение на
бесконечное число комплексных переменных, веществен-
вещественные и мнимые части которых имеют независимые гаус-
совские распределения. Для этой цели мы рассмотрим
выражения
(-hajI/2e2niah, где 0<<х,<1, 0<ал<1, j Ф к.
Если мы положим
C7.01)
то будем иметь
\da.jdak\= ±-re-**drdB @<r<oo, 0<6<2я). C7.02)

216 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Если теперь
# = rcos0, у = r sin 9, C7.03)
то
| daj dak | = -1 e-(x*+y*) \dxdy\ C7.04)
( —oo<x<oo, — co<*/<oo).
Таким образом, если сс^ и сс& равномерно распределены
по @, 1) и независимы, то вещественная и мнимая части
выражения (— lg aj)l/2e2nmh имеют независимые гауссов-
ские распределения.
Рассмотрим теперь формальный тригонометрический ряд
оо
Sn Akx /QT f\K\
a^e" , (o/.Uo)
—oo
в котором все вещественные и мнимые части коэффициен-
коэффициентов ад имеют одно и то же гауссовское распределение
и независимы друг от друга. Такой ряд почти никогда
не будет сходиться, даже в среднем, но мы покажем,
что его формальный интеграл
будет существовать как предел в среднем для почти всех
выборов коэффициентов {ah}. Мы выразим это более точно,
сказав, что функция
оо
4>(z, а)~х (- lga,I/2 е2
1
2 ^Sr +')I/2 e2ltia4n+2' C7-061)
1
рассматриваемая как функция от х, существует как предел
в среднем для почти всех а. Для этого мы должны по-
показать, что при почти всех a
оо оо
- 2 4г ^ a4»-i - 2 -Р"tea^+i < «>• C7.062)
1 i

37. ОСНОВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 217
Мы исследуем сначала распределение суммы
N N
- 2 ^ ig «4,-1 - 2 -яг !§ °w C7-063)
В силу C6.07)
1 N N
о м 3f
^A) ) C7-07)
Далее,
S
Отсюда следует, что, за исключением некоторого мно-
множества значений а с мерой, не превосходящей С2/М, имеет
место неравенство
- У. — lg a4n-i - У Л- lg <Wi < CJM. C7.09)
м м
Если мы положим теперь М =v2, 7V = (v + lJ, то увидим,
что для почти всех значений а существует постоянная Ciy
зависящая, вообще говоря, от а, такая, что
оо оо оо
-2-^^а4п-,-2^^а4п+,<2^-<ет- C7-10)
1 1 1
Таким образом, ty(x, a) определена при почти всех х для
почти всех а и принадлежит Ьг при почти всех а.
Мы хотим, однако, доказать более сильную теорему.
Теорема XLIII. Некоторая последовательность част-
частных сумм правой части формулы C7.061) сходится рае-
номерно по х к пределу для почти всех а. Таким образом,

218 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
функцию г|)(ж, а) можно определить так, чтобы она была
непрерывной по х для почти всех а.
Положим
п
m+l
Мы докажем, что ряд
оо
2 IV, 2"+* (*, о)| C7.12)
сходится равномерно для почти всех а и, стало быть, ряд
_ ,2«+Ч*,«) C7.13)
сходится равномерно для почти всех а. То же самое рас-
рассуждение покажет, что ряд
оП+1
ОО &
2 [ 2 ^(-h^if2*231^2] C7.14)
1 2n+l
сходится равномерно для почти всех а, и теорема XLIII
будет установлена.
Имеем
п
« eikx
X 2 ^(-k^J^e
m+l
n-m-1 n
+ 2Re{
.9
m+l
n-m-i n
—Igau-i)/2 (-I
v
X
jfe (fc—;)
XexpBni(a4ft-a4(ftw-)))|. C7.15)

37. ОСНОВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
Таким образом,
219
n-m-1 1
+ 2 2
-m-i X
n—m—1 1
i=l exp(-m«) exp(-me>
1 1
dln-m-l \dv\i . . . ^ТЬ-m-iX
X
fe=m+l+i
к (*-/)
, C7.16)
где е — некоторое положительное число, которое мы фикси-
фиксируем позже.
Далее, по неравенству Шварца
... \ dx\v
ahe
2- C7.17)

220 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Применяя эту оценку к C7.16), получим
\ sup|\J}m?2m(^, а)
о *
* s1
если 8 < x/4. Таким образом, за исключением некоторого
множества значений а с мерой, не превосходящей ст~1^^1
имеем
sup | г|)т? 2т (х, а) \^ст-Ч™ C7.19)
X
и, в частности, за исключением некоторого множества
значений а с мерой, не превосходящей ci-2~n/{2, имеем
sup [ %nf 2n+i (х, а) | < а • 2-^А2. C7.20)
Отсюда следует, что, за исключением некоторого мно-
множества значений а с мерой, не превосходящей
N
имеем для всех х
22-Я/12=Г'29~-1/12' C7-21)
| 2 V. 2«« (*. °) | < d 2 2"'/12 = /f O-1/12 • C7-22)
Поскольку выражение C7.21) стремится к 0, когда N —> оо,
мы видим, что, за исключением некоторого нуль-

37. ОСНОВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 221
множества значений а, предел
N
lim 2^2n 2n+i(x, а) C7.23)
iV->oo 1
существует равномерно по х. Этим теорема XLIII дока-
доказана. Здесь мы используем известный факт, что если ряд
сходится к одному пределу и сходится в среднем к дру-
другому пределу, то эти пределы отличаются самое большее
на нуль-множестве.
В дальнейшем мы будем считать ty(x, а) непрерывной.
Пусть теперь F (х) принадлежит L2, и пусть
F(x) = j]fheihx. C7.24)
— П
Я
Мы хотим определить интеграл \ F (x) d\p(x, а), однако
—я
мы не можем определить его как обычный интеграл
Стилтьеса, поскольку у нас нет причины считать, что
функция г|; (х, а) почти всегда имеет ограниченную
полную вариацию по х\ на самом деле она почти никогда
не имеет ограниченной полной вариации. Однако опре-
определим этот интеграл, выполнив указанное интегрирование
по частям. Имеем
я
{ (n, a) — F( — л) г|) ( — я, а) —
, a)F'(x)dx =
п
- lg а,I/2е2^/0+ ^ ( ~ Ъ a^fV"^ fk +
. C7.25)
Мы хотим теперь сформулировать и доказать теорему.
Теорема XLIV. Пусть F (х) определена формулой
C7.24). Пусть Ф — произвольная функция, для которой

222 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
интеграл
Я ОО Я
|[ J JVlj du = I C7.26)
существует как абсолютно сходящийся интеграл Лебега.
Тогда
1 я
[ф{ ^F(x)dy(x, a)}da = /. C7.27)
О -я
Аналогично пусть
G(x) = %gheikx. C7.28)
—я
я
\F(x)\2dx = A,
\G(x)\*dx = C, AC-\B\2 = D, C7.29)
и пусть Ф — произвольная функция, для которой интеграл
ОО ОО ОО ОО
1 ? ? ? (*
dut \ duz \ dut \ dv2 X
— ОО —ОО —ОЭ —ОО
JX
^2) = ^ C7.30)
существует как абсолютно сходящийся интеграл Лебега.
Тогда
J Ф { J ^ (ж) Л|> (х, а), С G(ж) Л|> (ж, о)} = /. C7.301)
0 —я —я

37. ОСНОВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 223
В частности, если F (х) и G(x) ортогональны друг к другу
в комплексном смысле, 5 = 0 и D = AC, то
оо оо оо оо
1
— CO —OO — OO —CO
1 1 я
= \ da \ сфФч \ F (x) dty (#, а),
О 0 -я -я
C7.302)
Чтобы доказать эквивалентность равенств C7.26)
и C7.27), заметим, что
со со п
I = — \ dx
Я J
—со —со
~n '" \ dXn I dy~n '" \ dyn X
—со —со —со —со
n n n
X exp ( - 2 4 - 2 У\) Ф {2я S /* (ЖА + ^*)} • C7-303)
—n —n —n
Теперь мы воспользуемся тем, что
4r ^ l, C7.304)
я /2 J
—оо
и тем, что выражение
остается инвариантным при унитарном преобразовании
переменных Xk + ij/k- Простой заменой переменных

224 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
получаем
i i
? ? Г Г
/ = \ da{ .. . \ ааАп+2Ф i 2я (—
о о
п п
+ ^ (-lg WV^A+H (-lg WV**^/-»] },
1 1
C7.305)
откуда в силу соотношения C7.25) следует C7.27).
Доказательство соотношения C7.301) совершенно ана-
аналогично. Указанной заменой переменных получаем
оо оо оо оо
J = -^ \ dxi \ dVi \ Лхг \ dy2exp(~xl-yl-x22—y\) X
—оо —оо —оо —со
X Ф {BяЛI/2 (х{ + iyt), -^i Б (х, + iVl) +
D \l/2
2n) (
оо оо оо оо
= тД+г" I dx~n " • • I dXn I dy~n '" I dyn
I I yn I yn x
—oo —od
n n
-j ^Я /j fk\%kriyh)i ^ У_\ ёк\хкг1Ук) \ » (o/.OUO)
откуда соотношение C7.30) вытекает так же, как соот-
соотношение C7.27) вытекает из C7.303).
Формула C7.302) является просто частным случаем
формулы C7.30), комбинированной с соотношением C7.27)
для F (х) и G(x) одновременно. Она означает, что если
две функции F (х) и G (х) ортогональны, то выражения
, a) и [ G(x)dty(x, a)

37. ОСНОВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 225
являются полностью независимыми, а не только линейно
независимыми. Этот результат сразу же распространяется
на любое конечное множество {Gn(x)} ортогональных
функций с обрывающимися разложениями Фурье.
Мы хотим теперь исключить это последнее ограниче-
ограничение, что разложения Фурье функций F и G или Gn обры-
обрываются. Мы делаем это посредством следующей теоремы:
Теорема XLV. Пусть
fkeikx
—с»
и пусть
fkeikx, C7.31)
Положим
Fn{x) = j±heihx. C7.33)
—п
Тогда, за исключением некоторого множества значений а
меры нуль, существует предел
я
lim \Fn(x)dy{x,a). C7.34)
— Я
я
Мы определяем интеграл \ F (x) dty (x, а) как этот
—я
последний предел.
При доказательстве этой теоремы заметим сначала,
что рассуждение, в точности аналогичное рассуждению,
которое мы использовали для доказательства C7.062),
показывает, что для почти всех а
— 1в «± | /о I" — S ( —18 «4A-l) I /ft Г —
1
— S (—18 «4ft+0 | /-л Iя < сх>. C7.35)
Мы прибегнем теперь к результату Радемахера*),
*) Н. Rademacher, Einige Satze uber Reihen von allge-
meinen Orthogonalfunktionen, Mathematische Annalen, Bd. 87 A922),
стр. 112—138.
15 Н. Винер, Р. Шли

226 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
утверждающему, что если
2К;2< со, C7.36)
то для почти всех выборов последовательности знаков
со
| 2 ±с„| < оо. C7.37)
Чтобы доказать это, введем функции Радемахера
Фп(*) = (-1)[2ПХ]. C7.38)
оо
Мы хотим показать, что для почти всех х ряд 2 спфп (#)
1
сходится. Заметим, во-первых, что функции (fn(x) нор-
нормальны и ортогональны и что существует функция ф (х)
из L2 такая, что
1 п
lim [ | ф (х) - 2 ck<?k (x)\* dx = 0. C7.39)
Заметим, что если 2~т[2тх] = хт, то
2т I Ф(?)^ = 2спф„(а)- C7.40)
хт 1
Таким образом, то, что мы хотим показать, сводится
к равенству для почти всех х:
хщ+2-tn
фМ=Нт2"г \ <?(t)dl. C7.41)
т->оо J
хт
Следует отметить, что оно очень близко к фундаменталь-
фундаментальной теореме анализа, утверждающей, что для почти
всех х
х+в
ф(ж) = Ит8-1 [ tf(l)dl. C7.42)
X
И фактически соотношение C7.41) является прямым

37. ОСНОВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ 227
следствием соотношения C7.42), ибо
хт+2-т
2т \ ф (I) dl =
хщ
хт+2~т
ФA
Мы сошлемся теперь на тот факт, что мера множе-
множества значений х, для которых любые р функций Раде-
Радемахера имеют заданные знаки, равна в точности 2~р, а это
равно вероятности того, что р независимых выборов при
равновероятных альтернативах дают определенный набор
результатов. Соответственно этому мы можем заменить
меру определенного множества значений х, при которых
функции Радемахера имеют предписанные знаки, на веро-
вероятность указанной последовательности знаков. Это уста-
устанавливает теорему Радемахера.
Если мы применим теорему Радемахера к рядам
± ( — gi)f
+ 2 ± (- ^ <*4*+iI/2 f-k cos 2na,k+2 C7.44)
l
и
CO
± (- lg atI/2 /osin 2яа2 + 2 ± (~ lg ^-i)V2 h sin 2nakk +
l
+ 2 ± (- lg <*4A+iI/2 f-k sin 2яа4^+2, C7.45)
l
то увидим, что при почти всех значениях а последова-
последовательности частных сумм рядов C7.44) и C7.45) сходятся
для почти всех последовательностей знаков ±. Однако
A Л
av -j- у ) — — cos 2rcav,
sin 2я f av + y ) = — sin2jiav. C7.451)
15*

228 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИЙ
Таким образом, изменение знаков у членов в рядах
C7.44) или C7.45) можно рассматривать как замену мно-
множества переменных {av}, независимо распределенных по
(О, 1), другим множеством {EV} независимых переменных
с тем же распределением. Такое изменение, следователь-
следовательно, не повлияет на интеграл или среднее какой-либо
функции от {av}. Это справедливо не только для специ-
специального изменения знаков у членов, это также верно для
почти всякого изменения знаков у членов, заданного так,
чтобы оно имело вполне определенное распределение.
Значит, если мы воспользуемся определением C7.25),
теорема XLV будет установлена сразу же.
Отсюда непосредственно вытекает теорема:
Теорема XLIV. Все результаты теоремы XLIV
можно распространить на любые функции Р(х) и G(x)
из L2, независимо от того, обрываются ли их ряды Фурье
или нет.
Здесь мы пользуемся уже доказанным фактом, что
любая функция бесконечного числа переменных, принад-
принадлежащая Llf может быть аппроксимирована в L4 функ-
функцией конечного числа этих переменных.
Дадим одно из приложений теоремы XLIV. Пусть
Ъ < ?<й<я, и пусть
fi(x)=l на (а, Ъ)\ fi(x) = O в остальных точках;
C7.46)
f2(x) = l на (с, d); /2(^ = 0 в остальных точках.
Тогда, очевидно,
Отсюда
i я
я
C7.47)
Я
~ \dQ\ e-uO{[2nue^(b-a)]lhydu C7.48)
—я

38. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 229
и
1
J Ф { J ft (х) d^> (х, a), J /2 (x) dq (x, а)}
О
-я
Jt
X Ф {[2nBie2iei (b-a)]1/2, [2nuze2^ (d - c)]1/2}. C7.49)
Мы получим аналогичные результаты для функций многих
переменных.
Мы можем сформулировать C7.48) и C7.49) следующим
образом: если у = ty(x, a) — кривая, зависящая от a
как от параметра распределения, то распределение у2 — у±
зависит только от распределения х2 — х± и не зависит
от «прошлого» или «будущего» величин х и г/. Если t —
время, тоя|з (t, a) представляет одну из координат частицы,
подвергающейся случайной, но равномерно распределен-
распределенной последовательности импульсов, подобной той, кото-
которую мы обнаруживаем при броуновском движении соглас-
согласно знаменитой теории Эйнштейна*) и Смолуховкого**).
38. Свойства непрерывности случайной функции.
Аномальные свойства броуновского движения хорошо
известны физикам. По словам Перрэна***), «этот меха-
механизм (броуновского движения) был подвергнут подробному
анализу Эйнштейном в великолепной серии теоретиче-
теоретических работ. Безусловно, следует отметить также прибли-
приближенный, но приводящий к интересным идеям анализ,
данный Смолуховским».
«Эйнштейн и Смолуховский одинаково характери-
характеризовали активность броуновского движения. До этого вре-
времени пытались определить «среднюю скорость» движения,
следя сколь возможно внимательнее за траекторией
*) A. Einstein, цит. соч.— см. стр. 209.
**) М. von Smoluchowski, Die Naturwissenschaften,
Bd. 6 A918), стр. 253—263.
***) J. Perrin, Atoms, перевод Д. Лл. Хэммика, второе
английское издание, Лондон, 1923, стр. 109 и след. (Мы цитируем по
русскому переводу И. А. Соколова: Ж. Перрэя, Атомы, Госу-
Государственное издательство, М., 1924 — Прим. перев.)

230 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
зернышка. Полученные таким образом числа были порядка
нескольких микронов в секунду для зернышек величиною
также около микрона.
Но вычисления, проведенные по этому способу, будут
грубо ошибочными. Изменения в направлении
траектории, ее зигзаги, так многочисленны и так быстры,
что проследить их все невозможно, а действительная
траектория будет гораздо сложнее и гораздо длиннее,
чем та, которую можно заметить.
Равным образом средняя кажущаяся скорость зер-
зернышка за данный промежуток времени меняется прямо
«сумасшедшим» образом по величине и направлению,
не обнаруживая никакого стремления к пределу, когда
время наблюдения уменьшается. В этом можно убедиться
весьма просто, отмечая из минуты в минуту или, лучше,
каждые 5 секунд положения одного из зернышек эмуль-
эмульсии или, еще лучше, фотографируя их через 1/20 долю
секунды, как это делали Виктор Анри (Victor Henri),
Командой (Comandon) или де Брольи (de Broglie), снимая
движение при помощи кинематографа. Бесполезно пытать-
пытаться провести, даже приблизительным образом, касательную
в какой-нибудь точке траектории; в этом случае, естест-
естественно, приходится думать о непрерывных функциях, не
имеющих производной, которые были придуманы мате-
математиками и которые ошибочно считали лишь математиче-
математическими курьезами, тогда как природа дает такие же образ-
образцы их, как и функций, имеющих производную...
Согласно с данными такого качественного наблюдения
мы составляем впечатление о том, что броуновское движе-
движение является совершенно беспорядочным
в плоскостях, перпендикулярных вертикальной линии...
Нужно, однако, помнить, что этот результат переста-
перестает быть точным в том случае, если перемещения настоль-
настолько малы, что дижения зернышка нельзя считать совер-
совершенно беспорядочными. Это тем более существенно, что
иначе истинная скорость может оказаться беско-
бесконечно большой. Весьма вероятно, что минималь-
минимальный промежуток, за который движе-
движение можно считать беспорядочным,
есть величина того же порядка, как и время, которое проте-
протекает между последовательными молекулярными ударами..,»

38. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 231
Чрезвычайно интересно, что броуновское движение
вызывает у Перрэна ассоциацию с недифференцируемыми
непрерывными функциями. В первую очередь он говорит
об этом движении как о геометрическом движении, при
котором х изображается графически как функция у, но
та же самая ситуация возникает, когда мы рассматриваем
х наряду с у или же комплексное переменное х + iy как
функцию времени t. Сравнительно просто доказать, что
вероятность того, что подобная функция имеет производ-
производную при каком-либо фиксированном значении аргумента,
равна нулю. Мы докажем значительно более трудную
и общую теорему, утверждающую, что почти все такие
функции не имеют производной ни при каких значениях
аргумента. Эта теорема является следствием еще более
общей теоремы*).
Теорема XLVI. Значения а, для которых сущест-
существует значение t такое, что
IIm|4>(* + e, a)-y{t, а)|е-*<оо U>^| , C8.01)
образуют множество меры нуль.
Мы докажем эту теорему от противного. Пусть такое
t существует и имеет двоичное разложение
•.•=<> или 1). C8.02)
Тогда, если выполнено соотношение C8.01), то для любо-
любого п мы должны иметь неравенства
C8.03)
¦) R. Е. А. С. Р a 1 е у, N.Wiener and A. Zygmund,
Notes on random functions, Mathematische Zeitschrift, Bd. 37 A933),
стр. 647—668. См. особенно теорему VII, стр. 666. Эта теорема отли-
отличается от теоремыХЬУ1 данной книги тем, что в ней речь идет о функ-
функции % (а, х), которая соответствует вещественной части функции
г|?(х, а).

232 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
которые дают неравенство
C8.04)
Если мы сможем доказать, что вероятность такого
стечения обстоятельств, как C8.04), равна нулю, то мы
установим нашу теорему. Для этой цели мы хотим рас-
рассмотреть распределение i|)(?+s, а), когда ty(t,a) и
i|)(? + 2e, а) заданы. Мера множества значений а, для
которых Re (if) (? + е, а) —i|)(?, а)) лежит между и и
u + du, тогда как Re(i|)(? + 2e, a) —1|)(?, а)) лежит между
v и u-\-du, равна асимптотически
expf-^-^^Л, C8.05)
2Я28
когда du и dfc—>0. Это можно видеть, подставляя в фор-
формулу C7.30) подходящие /ь /2 и Ф. Таким образом, обоз-
обозначая величину Re(i|;(?+e> «) — Ф (*» <*)) через м,
a Re (г|? (^ + 2е, а) — ty(t, а)) через и, найдем, что отноше-
отношение меры множества значений а, для которых | и \ < и0,
а и лежит между v0 и ио-{- du, к мере множества всех значе-
значений а, для которых и лежит между и0 и vo-\-dv, равно
uo up
\ ехр ( -7J —^. ) du \ (
-цр -цр
оо оо
ехр
C8.06)
В точности такой же результат справедлив для мни-
мнимой части i|). Таким образом, если г|)(?, а) и \|э(?-{-2е, а)
подчинены каким-либо ограничениям, которые выполняются
для множества значений а меры М} и если мьх потребуем

38. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 233
дополнительно, чтобы
в, а)-ф(*, а)|<в0, C8.061)
то отсюда будет следовать, что одновременно
, а)-!>(<, а)) |<в0 (
и что мера множества значений а, для которых г|) подчи-
подчинена исходным ограничениям совместно с ограничением
C8.061), не превосходит 2и20гМ. Тот же самый результат
будет иметь место, если мы заменим C8.061) на
| ф (* + 2е, а) — ф (* + в, а) | < в0. C8.063)
В любом случае мы будем описывать ситуацию, говоря,
что, каковы бы ни были я|) (?, a)nyp(t + 2е, а), вероятность
неравенств C8.062) или C8.063) не превосходит const. и90г.
Таким образом, вероятность того, что из 2q+1 величин
|Ч>@*+1J-«-\ а)-э|>(|*2-«-1", а) |
по меньшей мере Nq не превосходит 2~^a, каково бы
ни было распределение 2q аналогичных величин преды-
предыдущей серии, не превосходит
C8.07)
Эта величина при больших q асимптотически равна
оо
-±-\e-*du, C8.071)
ля
где
Aq = —
const. \
Это вытекает из известных теорем о связи гауссовского
распределения с биномиальным*). Так, если
Nq = const. 2^2~2^)+1 [0 < \i < I], C8.08)
*) С. Jordan, Statistique Mathematique, Paris, 1927, стр. 105
и след.

234 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
то выражение C8.072) становится больше, чем
const. 2«A-2^>- const. 2^~х\ C8.09)
что больше, чем const. 2gA~2+ц), что в свою очередь
больше, чем 2аA~ц) при достаточно больших значениях q.
Но если \i < 1, то
оо
I е~*du< со. C8.10)
const.
Таким образом, вероятность того, что можно найти более
чем конечное число значений q, для которых по мень-
меньшей мере Nq из 2Q+i величин
,а)| C8.11)
не превосходят const. 2~Xq, бесконечно мала. С другой
стороны, вероятность того, что множества Sq, состоящие
из всех точек Nq интервалов на q-м шаге, имеют общую
точку при всех значениях q от Qi + 1 до Q2, не пре-
превосходит
f[ const. ^^<CiC^-2^y\ C8.12)
где Ci и С2— постоянные. Эта оценка стремится к 0 при
Q2~>оо, если и, > -к-. Таким образом, вероятность того,
Z
что существует какая-либо точка, общая всем Sq, начи-
начиная с некоторого шага, бесконечно мала, и неравенство
C8.04) не может выполняться для какого-либо t и всех п.
Этим теорема XLVI доказана.
Антиподом теоремы XLVI является теорема:
Теорема XLVII *). Если X < 1/2, то, за исключением
множества значений а меры нуль,
lim (г|) (t + е, а) - ф (*, а))/е* = 0 C8.13)
8->0
равномерно по всем значениям t.
*) Частный случай этой теоремы был доказан Н. Винером
в статье «Generalized harmonic analysis», Acta Mathematica,
vol. 55, стр. 219, 220.

38. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНОСТИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 235
Поскольку функция ур (?, а) непрерывна по ?, не будет
существенным ограничением, если мы ограничим в C8.13)
значения t обрывающимися двоичными дробями и заста-
заставим 8 стремиться к нулю по обрывающимся двоичным
дробям. Пусть теперь
2Ы | ф ((& + 1) 2~n, а) - ф (/с2Л а) |< Л C8.14)
для всех значений /г, начиная с некоторого, и для всех к
из @,2п-1).
Тогда, если в двоичной системе
п— 1 раз
n—i раз
мы можем положить
f 0,000 ... ancn+icn+2 • ¦
S = 1 0,000 ... bndn+ldn,z ..
Положим
Г
Тогда
= 0,000 ..
= 0,000..
(ап = сп; Ъп = dn).
апап+1 ... ат,
bnbn+i...bm.
C8.15)
C8>
ft=n
п, а) —¦*(*, а) 1 +
< 2Л
^_ < const. e\
и соотношение C8.13) установлено.
Вероятность того, что
C8.17)
C8.18)

236 Гл. IX. СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
для некоторого Я, некоторого п и некоторого &, равна,
в силу C7.48),
'и du = б<-А2/<4я2)J<1 -2*)ne C8.19)
Если мы просуммируем это по 0<&<2п, то получим
результат, не превосходящий
exp(nlg2—^2A-2^"), C8.20)
и если мы просуммируем теперь по всем п > N, то полу-
получим результат, не превосходящий
(^) C8.21)
N
а это выражение стремится к нулю, когда N —>со. Таким
образом, за исключением множества значений а нулевой
меры, существуют некоторое А и некоторое N такие,
что если п> N и 0</с < 2П, то неравенство C8.14) удо-
удовлетворяется. Мы видели, что оно приводит к неравен-
неравенству C8.17) равномерно по всем t.
Теоремы XLVI и XLVII идут, так сказать, в про-
противоположных направлениях. Первая справедлива, когда
Х>1/2, вторая — когда X < 1/z- В критическом случае
Х — 1/2 необходимы более мощные средства для получе-
получения результатов более сильных, чем простейшие. Простой
результат, доказываемый аналогично теореме XLVII,
состоит в том, что мы можем заменить в ней е^ на
где 6 > 0. Для критического случая важные результаты
были получены Колмогоровым*).
*) А. Колмогоров, Основные понятия теории вероят-
вероятностей, ОНТИ, М.--Л., 1936.

ГЛАВА X
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ
ФУНКЦИЙ
39. Эргодическая теорема. В исследовании случай-
случайных функций одна из самых важных теорем принадлежит
Биркгофу *). Эта теорема, которая на самом деле яв-
является общей теоремой из теории меры Лебега, лежит
в основе изучения эргодических динамических систем.
Простейшее доказательство этой теоремы принадлежит
Хинчину**); оно основаОао на методе, набросанном
Хопфом***).
Пусть V — область пространства, имеющая конечный
объем, в которой действует стационарный поток, перево-
переводящий ее в себя. В дальнейшем х всегда обозначает
точку F, а интегрирование по х— это пространственное
интегрирование по V. Если движущаяся частица в момент
времени нуль находится в точке х, то Т%х обозначает
точку, в которой она будет находиться в момент 'к.
Если М — произвольное подмножество в F, то Т%М имеет
аналогичный смысл. Если множество М измеримо по
Лебегу и имеет меру Щ(М), то мы будем считать, что
C9.01)
для всех X.
*) G. D. Birkhoff, Proceedings of the National Academy
of Sciences, vol. 17A931), стр. 650—660.
**) А. К h i n t с h i n e, Zu Birkhoff's Losung des Ergodenpro-
blems, Mathematische Annalen, Bd. 107, стр. 485—488.
***) E. H о pf, Complete transitivity and the ergodic principle,
Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 18 A932),
стр. 204—209.

238 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Для вещественной /(#), принадлежащей L на F,
положим
ф(я, t)= J f(Tbx)dX. C9.02)
о
Ясно, что этот криволинейный интеграл имеет смысл для
почти всех х. Теорема Биркгофа теперь утверждает, что,
когда t стремится к бесконечности, предел
уф (я, О C9.03)
f->oo
существует как функция от х для почти всех х.
40. Теория преобразований. В этой главе мы зай-
займемся изучением некоторых средних, связанных с бро-
броуновским движением, особенно когда эти средние требуют
гармонического анализа в комплексной области. Наша
теория является, таким образом, точным двойником тео-
теории почти периодических функций в комплексной области,
развитой Бором и Йессеном*). В качестве необходимого
орудия мы используем теорию унитарных преобразований
в гильбертовом пространстве. Имеется большое сходство
между кругом идей, вводимых здесь, и теорией переме-
перемешивания Эбергарда Хопфа**), и фактически мы могли бы
превратить всю нашу теорию в частный случай его тео-
теории. После тщательного обдумывания мы отказались от
этого способа изложения, который потребовал бы замены
той формы гильбертова пространства, которая непосред-
непосредственно связана с нашей задачей, другой, несколько
искусственной формой. Мы хотим выразить особую бла-
благодарность профессору Хопфу и профессору Йессену,
указавших нам на то серьезное упрощение в наших рас-
рассуждениях, которое могло быть достигнуто введением
фундаментальной теоремы Биркгофа.
*) H.Bohr und В. J esse n, Uber bie Werteverteilung der Rie-
mannschen Zetafunktion, Erste Mitteilung, Acta Mathematica, vol.
54A930), стр. 31—35; Zweite Mitteilung, vol. 58A932), стр. 51—55.
**) E. Hopf, Complete transitivity.and the ergodic principle,
Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 18A932),
стр. 204—209.

40. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 239
Мы уже видели, что г|) (х, а) имеет формальный триго-
тригонометрический ряд
ф(х, а) ~ *( -lgaiI/2e2«^ + Ц ^-(-lga,*.,I
1
+ S ^- (- lg a.™I V***"», C7.061)
1
т. е.
я
—я
я
п-гпх
e-in* d* (ж, a) = (- lg o»».,
(n = l,2, ...). D0.01)
Поскольку задание последовательности {aft} экви-
эквивалентно заданию числа а, имеется взаимно однознач-
однозначное соответствие между а и последовательностью
я
^einxdip(x,a) D0.015)
[п=..., -2, -1, 0, 1, 2, ...].
Пусть теперь Г —унитарное преобразование гильбер-
гильбертова пространства в себя. Тогда, если {фп (х)} — нормаль-
нормальная и ортогональная замкнутая последовательность, то
теми же свойствами будут обладать и последовательности
{Т.<рп(х)} и {T'^nix)}. Пусть (fn(x)=?einx/{2nI^ тогда
последовательности Тегпх/BпI^ и Т 1егпх/BпI^ нормаль-
нормальны, ортогональны и замкнуты. Из теоремы XLIV следует,
что если а задано, то (за исключением самое большее нуль-
нульмножества случаев) последовательности
я я
Teinxd^(x, а) и [ T-leinxd^(x, a)

240 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
определены. Определим |3 равенством
ж, a). D0.02)
Это равенство определяет |3 как однозначную функцию
от а для почти всех значений а. Мы уже видели, что
любая интегрируемая функция бесконечного числа пере-
переменных может быть аппроксимирована в L{ сколь угодно
точно функцией конечного числа этих переменных. Любая
измеримая функция от а является функцией от перемен-
я
ных \ Teinxdty(x, а), и если мы положим
—я
я
-gL J Teinxdq (x, а) = (- Ig p,I V***, D0.03)
где /=1, к = 2 при п = 1\ / = 4и4-1, k = 4nJr2 при
п>1; j = 4m — 1, к==кт при гс= — т<0, то перемен-
переменные pv будут независимы друг от друга и будут распре-
распределены равномерно по отрезку @, 1) (ср. C7.27)). Отсюда
сразу же следует, что интеграл любой функции от (J,
зависящей только от конечного числа |3V, будет совпадать
с интегралом этой функции по а, и, значит, по только
что упомянутой теореме об аппроксимации интеграл любой
интегрируемой функции от |3 по переменному |3 будет
совпадать с ее интегралом по переменному а.
Далее, из соотношения D0.02) следует, что
Я N п N
-я-N -Я -N
откуда рассуждением, подобным рассуждению в теореме
XLIV', выводится, что если F(x) принадлежит L2, то
я я
jj F(x)d$(x, P)= jj TF(x)dty(x, a). D0.05)
-л -я

40. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 241
В частности,
я я
\ T'4inxd^{x, P)= J einxdyp(x, а). D0.06)
—я —я
Это позволяет нам определить а как однозначную функ-
функцию р для почти всех значений р. Таким образом, Т опре-
определяет некоторое преобразование а в р, которое сохраняет
меру и является взаимно однозначным для почти всех
значений а и для почти всех значений р. Мы будем
писать
ф(я,а) = 7ЧК:с,Р). D0.07)
Такое преобразование позволяет нам применить теорему
Биркгофа. Нуль-множества значений а и р, на которых
отображение перестает быть взаимно однозначным, можно
заменить другими нуль-множествами, которые отобража-
отображаются взаимно однозначно и которые не влияют на теоре-
теорему Биркгофа.
Мы введем теперь группу унитарных преобразова-
преобразований Т1, определяемую свойством т"х = 7"*и. Если
ф{
интегрируемо по Лебегу по а, то, применяя теорему
Биркгофа, получим, что для почти всех а существует
предел
А
lim -i- J Ф { J TlF(x)dy(x, a)} it. D0.08)
0
Это во всяком случае будет иметь место, если интеграл
C7.26) сходится абсолютно.
Рассмотрим теперь выражение
1\И
0 0
0 -Я
16 н. Винер, Р. Пэли

242 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
1 А Л
da —
\ 4" [ ф i [ TlF{x)d^{x, a)\ dt
О О —Jt
О -я
А А 1
я
Ф
б О " -,Л
1
Х
, p)}<*pf=
x)dy(x, а)} х
Ф{ ^TtF(y)d^(y, а)} da-
D0.09)
О -я
Применим теорему XLIV. Если мы положим
я я
I F (x) \2dx = U \ F (x) Ts~lF (x) dx = V D0 091)
—я —я
то правая часть равенства D0.09) примет вид
А А со со со оо
1 С С С С С ?
0 0 —оо —оо —оо —со
U + 2(uiu2Jrulu2)ReV +
>9—uoVi) Im V
ехр- . . . а 2 1/ .
X
2—|F|2]
ехр ( —
D0.092)
Предположим, что Ф подчинена условиям, которые
обеспечивают ограниченность интеграла
со со со со
\ dut \ dvi \ dw2 \ <
—со —со —со —со
X

40. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
243
X
Г /__(M2_J_u2_f_l;2_f_i;2)^.
exp \ ¦—v тт2_
при U <P, \V\<Q <Р. Тогда, если
lim
то мы будем иметь
1 А Я
lim \ 4" \ ф 1
А-+0О 'j Л J I
О О —Л
Я 00
— Я
В->0
оо оо оо оо
\ йщ \ du2 \ dut \
J «3 е) «3
—сх> —оо —оо
X
ехр
v\ + v\)+2 (uiU2-\-Viv2) Re
{2 (u!^—w2^i) Im В
ехр
(-{ul+ulivl+vl))
D0.093)
D0.094)
X
= 0. D0.095)
Таким образом, в сиду D0.08) и в силу того факта, что
предел и предел в среднем одной и той же функция
отличаются самое большее на нуль-множестве значений
аргумента, будем иметь для почти всех a
А Л
lim 4~
= ^_ С
Я оо
\F{х
i. D0.096)
16*

244 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Например, если выполняется D0.05), то для почти всех а
имеем
А Я
1 (* ? w
lim -к-7- \ \ Т F (x) dty(x, а) dt =
— А —Я
Я
~ /2. D0.097)
Этот результат является частным случаем следующего
результата, который может быть доказан тем же методом:
Теорема XLVIII. Пусть Ft (x), ..., FN(x) — набор
функций из L2, и пусть Т1 — однопараметрическая группа
унитарных преобразований, обладающая тем свойством,
что для любых тип
я
lim \F^Jx)TtFn(x)dx = O. D0.098)
/->сю «)
— Я
Тогда, если функция
я я
Ф { \ Fi (x) dty (х, а), ..., \ FN (x) dty (x, а)\ D0.10)
—я — я
интегрируема по Лебегу по а, то для почти всех а
А я
lim 4- \ Ф { \ TlFi (x)d\p(x, a), ...
—Я
я
»(ж)$
—я
D0.11)
Особенно важной группой преобразований Т1 является
группа всех сдвигов на бесконечной оси. Изоморфная ей

40. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 245
группа преобразований на (— я, я) получается заменой
у = tg (х/2) и определяется следующим образом: положим
F (х) = 2/2/ (tg (х/2)) sec (х/2),
G (ж) = 2/2g (tg (х/2)) sec (х/2)
и
У/г1 (х) = 2/2/ (tg (х/2) + 0 sec (х/2). D0.13)
Рассматриваемая группа, очевидно, унитарна. Если теперь
F (х) и G(x) — любые две функции, принадлежащие L2,
то будем иметь
Я
lim ^F(sJ2"G(a;)Ar = lim С Щ) g(l + t)dl = O. D0.14)
f-*oo «J *-»оо «3
— Я — оо
Введем обозначение
оо
¦ (х) d$ (х, а) = $ / (g) d? (g, a). D0.15).
— Я —оо
Формально будем иметь
я я
J /? (ж) di|) (x, a) = J 2~1/2/ (tg (х/2)) sec (х/2) d^ (ж, а) =
,o). D0.16)
Чтобы добиться согласованности с введенным обозначе-
обозначением, положим
I
? (?, а) = J 2-1/2 A + г]2I/2^ B arctg т|, а) =
о
tg F/2)
= J 2/2 sec (х/2) dyp (x, а). D0.17)
о
1/2 16 Н. Винер, Р. Пэли

246 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
При этом мы будем иметь
TtF(x)d\p(x,a) =
оо
= ] 2~1/2/ E + 0A + № *|> B arctg 5, а) =
= 5 f(t+t)dV(t, а), D0.18)
— оо
что разумно записать в виде
(l)dV(l-t,a). D0.19)
Если
я я
Ф { [ ZVni*d\|)(:c, а), . . ., [ Т1егпьхA^(х, а)\
L v «3 J
—я —я
— произвольный функционал от г|)(ж, а), который зависит
только от конечного числа коэффициентов Фурье функции
г|)(?, а) и интегрируем по а, то по теореме XLVIII будем
иметь для почти всех а
А+а я я
lim-l [ ®\[ Tlein^d^{x%a), ...Л Т1е{пъхс1^{х, a)\dt=
Д—>ОО «3 L t) еЗ J
а —я —я
А+а Я
^rlim— \ ф J V ginix ^/''''ф fx, а), ...
4 1 ll TV'/'
а -Я
Я
... Л einkx dT-'q (x, a)\ dt, D0.20)
-Я
что равно фиксированному значению, не зависящему от а,
для почти всех а. Далее, мы видели, что всякий функ-
функционал от г]) (х, а), являющийся непрерывной функцией а,
является равномерным пределом последовательности инте-
интегрируемых функционалов, зависящих только от конечного
числа коэффициентов Фурье функции ty(x, a), a также

41. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ 247
что произвольная интегрируемая функция от а является,
за исключением множества значений произвольно малой
меры, равномерным пределом последовательности непре-
непрерывных функций. Отсюда мы сразу же получаем теорему:
Теорема XLIX. Пусть Т1 определена формулами
D0.12) и D0.13). Пусть $(ур(х, а)) — произвольный функ-
функционал от ур(х, а), который интегрируем по а. Тогда
для почти всех а
N+a
jjt I $W(x + t, a))dt D0.21)
а
1
стремится при N—> со к пределу \ $(ty(x, a)) da.
о
41. Гармонический анализ случайных функций. Пусть
/ (х 4- iy) — аналитическая функция такая, что A + х2) X
X / {х -\-iy) и A +1 ж |) /' (х -\- iy) равномерно принадлежат
L2 при а < у < Ь. Для любого счетного множества значе-
значений у и для почти всех значений а как следствие из тео-
теоремы XLIX будем иметь
N оо
\ ftt + x + iy)dV(t, <xJ =
lim
0
i
-N
—oo
Я
-я
Я оо
Я
5
^, a)
I X
X sec(
du =
D1.01)
16*

248 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Точно таким же образом при а < у0 < у^ < Ъ будем иметь
N у\
Vo
VI
Кроме того, интеграл
, o)
, o) =
*f (tg(u/2)
sec
и, а) =
= — f яр (и, a) d B-V2/ (tg (M/2) + x + iy) sec (м/2)) D1.03)
—л
сходится абсолютно и равномерно для почти всех а, по-
поскольку гр ограничена и непрерывна, и, таким образом,
этот интеграл является аналитической функцией при
а < у < Ъ.
По теореме Коши и неравенству Шварца
V (I, «)
OO
\ -Z^
J x—xo-\-i(y —
E. «)
Уо)
2 я
2Я со
5 -,>, |У-У0,Щ
0 0 -со
D1.04)
где г —радиус окружности С, а 9 — центральный угол,
параметризующий эту окружность. Сравнение с D1.01)
показывает, что равномерно по х в полосе а + е < г/ < 6 — е

41. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ 249
, a) * < const. D1.05)
выполняется оценка
N оо
dx
— N
Кроме того, для любого конечного или счетного множества
абсцисс и для почти всех а по теореме XLVIII имеем
т
lim^r \ dx\ \ f(Z + x+iy + t)dV(Z, а)х
->оо Zi J L J
, a)J =
-Г -оо
оо
X
— оо
+ iy)dl. D1.06)
Таким образом, в силу результатов главы VIII функция
, a)
принадлежит S' при а < у < Ъ для почти всех а и является
ограниченной на любом интервале Уо<Су <z/i- Следова-
Следовательно, соотношение D1.01) выполняется для каждого у
из (Уо1 У\) при почти всех а.
Предположим, что
А
/(s) = l.i.m.-^- \ y(u)eiuzdu D1.07)
для любой абсциссы при а < у < Ь. Тогда из соотношения
C4.40) главы VIII будет следовать, что для почти всех а,
всех t и всех у из (у0, у{) выполняется равенство
Т оо
г- С*
j -\-t)dxY (g, a) X
Т->оо *L _-г
X
0 " • " ' ' ' J ^3i j
—оо —оо
D1.08)

250 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
42. Нули случайной функции в комплексной плоско-
плоскости. Пусть f(x-f-iy) обладает свойствами, приписанными
ей в предыдущем параграфе. Тогда по теореме XLIX
будем иметь
А ух с
lim Jj- \dx \dy Ig \
-A i/o —o
, a)
| Ig | [ 2
= \ e "d\
0 l/0 -co
Соответственно этому для любого С
-А А+С yi
D2.01)
lim
А->со
1
2Л
-А-С
X
+ S
dy x
1/0
}g \ /(s-f
|, а) =0. D2.02)
Из свойств гармонических функций следует также, что
A i/i со
X
А->со
—A
—oo
(У1-Уо)/2
(У1У
= lim -т—г \ dx • 2 \
X
dQ.
D2.03)
С другой стороны, пусть ф (z) ограничена в полосе | Imz | < а
и измерима по переменным Rez и Imz. Преобразуя поляр-
полярные координаты в декартовы, получим
А а 2я
1
-A
-A
D2.04)

42. НУЛИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 251
Замена переменного w = х -f ? приводит это выражение
к виду
\ d\
-а -[аг-т^/г
а Л [a2-T]2]V2
S { I ± J
I w
-А
-А
а
J dri I (^ + «Ч)^й D2.041)
-а -А
где
a [a2--n2]V2
]V2
< const. Л. D2.042)
Таким образом,
А а 2я
2А ] J ^а ~~Г 1 2Г 2л;
-А 0 б
А а
= о~7 \ ^ \ у {w-{-щ) dt\-\-О (А~г). D2.043)
—А —а
Сопоставляя это равенство с D2.02), получим
А (т/1
^ _ л V2
2Я со
б —оо

252 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
—оо
qo
= Je-"dujdy-[lg|[2n«
О
V2
У1
V0
. D2.05)
С другой стороны, по теореме Йенсена, обозначая через
со
ln + Щп нули функции \ f (l + z)dW(I, а) в полосе
г/о<С Imz < г/i, имеем
2Я со
О —оо
D2.06)
где J (r) — область, характеризуемая неравенством
D2.061)
Таким образом,
Ц1
vo

42. НУЛИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
А (У1-Уо)/2
253
= Km ?гх \ dx
rdr
]
X
X
. (^.07)
Qoлoжим
Qn) dr
Тогда правая часть равенства D2.07) примет вид
А (У1-Уо)/2
Нт 2^4 \ dx 2 \
А^°° -A J((yi-Vo)/2) pn
Воспользуемся теперь формулой
D2.072)
Подставляя ее в D2.072) и используя D2.07), получим
сю
\ \f(x+iy)\*dx
Уо
2/0—2/1
X
-A J((yi-yo)/2)
2Qn
D2.09)
Изменим теперь порядок суммирования и интегрирования.
Пределы нашего комбинированного интегрирования
17 н. Винер, Р. Пэли гл*

254 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
и суммирования означают, что х лежит между — А и А и что
(gn, т|д) лежит внутри круга радиуса у (у{ — у0) с центром
в точке ( х, -K-(l/o + yi)) . Отсюда следует, что ?п лежит
в пределах, зависящих от г\п, но содержащихся между
( )) (^ — Л—^-(i/i — г/о),
^ + у (#i — #о) ) • Кроме того, подинтегральная функция
в D2.09) всюду положительна. Поскольку предел в D2.09)
существует, мы будем иметь тот же самый предел, если заме-
заменим А на А ±-7г(у{ — у0), что дает отношение к А, стре-
мящееся к 1, когда А—>оо. Соответственно, если мы
возьмем область изменения ?п от —Л до Л, мы не изме-
изменим предел в D2.09). Точка fx, у (Уо+ */i) J будет ле-
лежать тогда внутри круга К радиуса -к- (у{ — у0) с центром
в точке (?п, цп). Соответственно этому правая часть
равенства D2.09) примет вид
x 2
<42-09"
Положим теперь и = %п — х и выполним интегрирование
по частям. Правая часть равенства D2.09) примет вид
¦
D2.092)
где L — внутренность круга
1-У0 V
У ^V 2 У •

42. НУЛИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 255
Если мы положим теперь
J^J]172' D2.093)
то правая часть D2.09) преобразуется к виду
Воспользуемся теперь формулой
р
D2.10)
Тогда правая часть равенства D2.09) примет вид
у Г vi—yp 1^ Уо+У1 у _
Z-I L 2 | 2 J
«пг У меньшее из чисел (Цп — УоJ>(Чп — \
D2.11)
Этот предел всегда существует, если у0 и г/, лежат
внутри интервала а < у < Ь, на любом внутреннем интер-
интервале которого функция f (x-\- iy) равномерно принадле-
принадлежит Ьг и удовлетворяет условиям, следующим за фор-
формулой D1.06) предыдущего параграфа. На интервале
а -}-е < у <. b — е имеем равномерно
lim 2^4 2 1 < const. (y{ — у0) D2.12)
I %n I < A
в соответствии с D2.09) и D2.11), поскольку (j\n — у0J > е2,
17*

256 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
(Цп — 2/iJ > е2. Дальнейшим следствием из этих формул
является
t/0+e
Vi-e
\t(*+iy)\2dx
dx
+4
СО
Здесь {gi-fiTji} — нули функции \ / (? + г) йЧР (?, а) в по-
полосе
11} — нули в полосе
^П + гг1п11} — НУЛИ в полосе (г/о,
^} — нули в полосе (^ — е,
Вспомним, что
, D2.14)

42. НУЛИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ 257
причем эта функция непрерывна по г/, и что
~ I u\cp(u)\*e-™du. D2.15)
Из формулы D2.13), если мы положим е—>0 и учтем
D2.12), будет следовать, что
J_
Z №-етЛ • D2.16)
»1<А J
Заменим теперь у0 на г/0+?, а г/4 на г/j — е. Будем иметь
1
= и
где
1 /(Ж + ?°
со
— оо
— оо
^^ , »(уо + У1)^|2Л/?1
— нули функции
I2
1
оо
\
в))|«*
(л,
С А
/(I-
^-J/o-e)} ,
D2.161)
f z)dT(g, a)
в полосе 4-(Уо + У|)<1тг<р, —е, а

258 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
нули в полосе (уо + г, -^ (у0 + у{) ). Истолковывая
Шп + J*]*11} и {^v+jt]Jv}, как и выше, мы видим, что
J \f(x+iyi)\*dx
oo
J
D2.162)
Как и раньше, используя D2.12), получаем
к 2 ! =
e-o
— OO
OO
• D2J63)

42. НУЛИ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Таким образом, в силу D2.15) и D2.14) имеем
259
4it
оо
—2u\y(u)\*e-2uyidu $ —2u\<p(u)\*e-2uy»du
X \q>(u)\*e~2uyidu J | q>.(i*)|2 e^^
л .. __ ^j^t- ^""
A->oo
Мы можем теперь высказать наш результат в виде тео-
теоремы.
Теорема L. Пусть
\ (l+x?)*\f(x + iy)\2dx< const. (a<y<b), D2.18)
и пусть
A ->OO
coiist. (a<y<b). D2.19)
D2.20)
9ля любых абсцисс при а < г/ < Ь. Тогда число нулей
функции
оо
f(l + z)dV(l, a) D2.21)
в полосе 2/0 < Im 2 < г/i (а < у0 < yi < 6) между абсцис-
абсциссами — Л гг А асимптотически равно
2л:
2u |
J |9(u)
J \<p(u)
. D2.22)

260 Гл. X. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ
Эта теорема для случайных функций является точным
двойником некоторых недавних теорем Бора и Йессена
для почти периодических функций*). Оба эти класса
теорем основаны на использовании формулы Йенсена.
Йессен использует специальную формулу Йенсена для
пулей в бесконечной полосе, которая содержит в себе
средние и может быть доказана путем аппроксимации
такой области областью, заключенной между двумя
окружностями, и конформного отображения такой области.
Мы используем классическую формулу Йенсена, интегри-
интегрируя ее по параметрам, определяющим центр круга,
к которому она применяется. Мы уверены, что наши
методы можно непосредственно применить к тому типу
задач, который изучался Бором и Йессеном.
*) Ср. с работой Б. Йессена, которая должна появиться
в «Journal of Mathematics and Physics» Массачусетского техноло-
технологического института.

ЛИТЕРАТУРА
A. S. Besicovitch, Almost periodic functions, Cambridge,
1932, стр. 10.
G. D. Birkhoff, Proceedings of the National Academy of Scien-
Sciences (USA), vol. 17 A931), стр. 650—660.
A theorem on series of orthogonal functions with an applica-
application to Sturm-Liouville series, Proceedings of the National Aca-
Academy of Sciences (USA), vol. 3 A917), стр. 656.
S. Bochner, Inversion formulae and unitary transformations,
Annals of Mathematics, B), vol. 34 A934), стр. 111—115.
Vorlesungen iiber Fouriersche Integrale, Leipzig, 1932. (Русский
перевод: С. Б о х н е р, Лекции об интегралах Фурье, Физ-
матгиз, М., 1962, сделан с американского издания: S.B ochner,
Lectures on Fourier Integrals, Princeton, 1959.)
Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente
eines Vektorraumes sind, Fundamenta Mathematicae, vol. 20
A933), стр. 262—276.
H. Bohr and B. J e s s e n, Uber die Werteverteilung der Rie-
mannschen Zetafunktion, Acta Mathematica, vol. 54 A930),
стр. 1—35; vol. 58 A932), стр. 1—55.
E. В о г e 1, Les probability denombrables et leurs applications
arithmetiques, Rendiconti del Gircolo Matematico di Palermo,
vol. 27 A909), стр. 247—271.
I. W. Busbridge, On general transforms of the Fourier type,
Journal of the London Mathematical Society, vol. 9 A934),
стр. 179—187.
Т. С а г 1 e m a n, Les Fonctions Quasi-Analitiques, Paris, 1926.
P. J. D a n i e 1 1, A general form of integral, Annals of Mathema-
Mathematics, B), vol. 19 A918), стр. 279—294.
Integrals in an infinite number of dimensions, Annals of Mathema-
Mathematics, B), vol. 20 A919), стр. 281—288.
Further properties of the general integral, Annals of Mathema-
Mathematics, B), vol. 21 A920), стр. 203—220.
A. D e n j о у, Gomptes Rendus, vol. 173, стр. 1329.
P. D i e n e s, The Taylor Series, Oxford, 1931, стр. 372 и след.
A. E i n s t e i n, Annalen der Physik, Bd. 17 A905), стр. 549 и след;
Bd. 19 A906), стр. 371 и след.
G. H. Hardy, A theorem concerning Fourier transforms, Journal
of the London Mathematical Society, vol. 8. A933), стр. 227—231.

262 ЛИТЕРАТУРА
G. H. Hardy and E. G. Titchmarsh, A class of Fourier
kernels, Proceedings of the London Mathematical Society, B),
vol. 35 A932), стр. 116—155.
E. H о p f, Ober lineare Integralgleichungen mit positivem Kern,
Sitzungsberichte der Berliner Akademie der Wissenschaften,
1928, Nr. XVIII.
Mathematisches zur Strahlungsgleichgewichtstheorie der Fix-
sternatmospharen, Mathematische Zeitschrift, Bd. 33 A931),
стр. 109.
Complete transitivity and the ergodic principle, Pro-
Proceedings of the National Academy of Sciences (USA), vol. 18
A932), стр. 204—209.
A. E. I n g h a m, The Distribution of Primes, Cambridge Tracts
in Mathematics and Mathematical Physics, No. 30, глава III,
§ 7. (Русский перевод: Ингам А. Е., Распределение простых
чисел, М., 1936.)
B. J e s s e п, Статья будет напечатана в «Journal of Mathematics
and Physics» Массачусетского технологического института.
Bidrag til Integralteorien for Funktioner af unendelig mange
Variable, Copenhagen, 1930.
C. Jordan, Statistique Mathematique, Paris, 1927, стр. 105
и след.
А. К h i n t с h i n e, Zu Birkhoff's Losung des Ergodenproblems,
Mathematische Annalen, Bd. 107 A933), стр. 285—288.
К. К n о р р, Theory and Application of Infinite Series, London,
1928.
А. Колмогоров, Основные понятия теории вероятностей, М.,
1936.
Е. Landau, Beitrage zur analytischen Zahlentheorie, Rendicon-
ti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 26 A908), стр. 218.
Darstellung und Begriindung einiger neuerer Ergebnisse der
Funktionentheorie, 1929.
N. Levinson, On a theorem of Carleman, Proceedings of the
National Academy of Sciences (USA), vol. 20 A934), стр. 523—525.
P. Levy, Sur la convergence absolue des series de Fourier, Comp-
tes Rendus, vol. 196 A933), стр. 463.
M. S. M a n d e 1 b г о j t, Sur Tunicite des series de Fourier, Jour-
Journal de l'Ecole Polytechnique, B), cahier 32 A934).
J. M e г с е r, On the limits of real variants, Proceedings of the Lon-
London Mathematical Society, B), vol. 5. A907), стр. 206—224.
G. W. M о г g a n, A note on Fourier transforms, Journal of the
London Mathematical Society, vol. 9 A934), стр. 187—193.
С. H. Muntz, Ober den Approximationssatz von Weierstrass,
Schwarz's Festschrift, Berlin, 1914, стр. 303—312.
R. E. А. С. P a 1 e у and N. Wiener, Notes on the theory and
application of Fourier transforms, Notes I—II, Transactions
of the American Mathematical Society, vol. 35A933), стр. 348—
355; Notes HI—VII, там же, vol. 35 A933), стр. 761—791.
R. E. А. С. P a 1 e у, N.Wiener and A. Zygmun d, Notes
on random functions, Mathematische Zeitschrift, Bd. 37 A933),
стр. 647—668.

ЛИТЕРАТУРА 263
R. Е. А. С. Р а 1 е у and A. Z у g m u n d, On some series of fun-
functions, Proceedings of the Cambridge Phylosophical Society,
vol. 26, стр. 337—357, 458—474, vol. 28, стр. 190—205.
J. P e r r i n, Atoms, перевод Хэммика (D. LI. Hammick), второе
английское издание, Лондон, 1923, стр. 110 и след. Русский
перевод: И. А. Соколова: Ж. Перрэн, Атомы, Госу-
Государственное издательство, М., 1924.
М. Plancherel, Sur les formules de reciprocite du type de Fou-
Fourier, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 A933),
стр. 220-226.
Contribution а Г etude de la representation d'une function
arbitraire par des integrates definies, Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo, vol. 30 A910), стр. 289—335.
G. P 6 1 у a, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Ver-
einigung, Bd. 40 A931), 2-te Abteilung, стр. 80, проблема 105;
см. также проблему 108 (стр. 81).
Н. Rademacher, Einige Satze iiber Reihen von allgemeinen
Orthogonalfunktionen, Mathematische Annalen, Bd. 87 A922),
стр. 112—138.
L. L. S i 1 v e r m a n, On the consistency and equivalence of certain
generalized definitions of the limit of a function of a continuous
variable, Annals of Mathematics, B), vol. 21 A920), стр. 128—140.
M. von Smoluchowski, Die Naturwissenschaften, Bd. 6.
A918), стр. 253—262..
H. Steinhaus, Sur la probabilite de la convergence de series,
Studia Mathematica, vol. 2 A930), стр. 21—39.
W. S t e p a n о f f, Sur quelques generalisations des fonctions
presque-periodiques, Comptes Rendus, vol. 181, стр. 90—92.
О. S z a s z, Uber die Approximation stetiger Funktionen durch
lineare Aggregate von Potenzen, Mathematische Annalen, Bd.
77 A916), стр. 482—496.
Tiber die Approximation stetiger Funktionen durch gegebene
Funktionenfolgen, Mathematische Annalen, Bd. 104 A931),
стр. 155—160.
E. C. Titchmarsh, The zeros of certain integral functions,
Proceedings of the London Mathematical Society, B), vol. 25
A926), стр. 283—302.
On integral functions with real negative zeros, Proceedings of
the London Mathematical Society, B), vol. 26 A927),
стр. 185—200.
A proof of a theorem of Watson, Journal of the London Mathe-
Mathematical Society, vol. 8 A933), стр. 217—220.
The theory of Functions, Oxford, 1932. Русский перевод
E. Титчмарш, Теория функций, М., 1951.
С. J. de la V а 1 1 ё е Poussin, Comptes Rendus, vol: 176 A923),
стр. 635.
V. V о 1 t e r r a, Lecons sur les Equations Integrates et les Equa-
Equations Integro-Differentielles, Paris, 1913.
J. L. Walsh, A generalization of the Fourier cosine series, Tran-
Transactions of the American Mathematical Society, vol. 22 A921),
стр. 230—239.

264 ЛИТЕРАТУРА
G. N. Watson, General transforms, Proceedings of the London
Mathematical Society, B), vol. 35 A932), стр. 156—199.
J. M. Whittaker, On the cardinal function of interpolation
theory, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, B),
vol. 1 A927), стр. 41—47.
The «Fourier» theory of the cardinal function, там же, B),
vol. 1 A928), стр. 169—177.
The lower order of integral functions, Journal of the London
Mathematical Society, vol. 8. A933), стр. 20—27.
D. V. W i d d e r, The inversion of the Laplace integral and the rela-
related moment problem, Transactions of the American Mathema-
Mathematical Society, vol. 36 A934), стр. 107—201.
N. W i e n e r, A new method in Tauberian theorems, Journal of
Mathematics and Physics of the Massachusetts Institute of
Technology, vol. 7 A928), стр. 161—184.
Tauberian theorems, Annals of Mathematics, B), vol. 33 A932),
стр. 1—100.
Generalized harmonic analysis, Acta Mathematica, vol. 55
A930), стр. 117—258.
The Fourier Integral and Certain of its Applications. Cambrid-
Cambridge, 1933. (Русский, перевод: Н. Винер, Интеграл Фурье
и некоторые его применения, Физматгиз, 1963.)
On the closure of certain assemblages of trigonometrical functi-
functions, Proceeding sof the National Academy of Sciences (USA),
vol. 13 A927), стр. 27.
N. Wiener and E. H о p f, t)ber eine Klasse singularer Inte-
gralgleichungen, Sitzungsberichte der Berliner Akademie der
Wissenschaften, 1931, стр. 696.

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автокорреляционная функция
188
Адамар 105
Аппроксимационные теоремы о
замкнутости 149 и ел.
Асимптотический ряд для реше-
решения уравнения Стилтьеса 69
Биркгоф 130, 159, 237, 238
Бор 209, 238, 260
Бохнер 10, 94, 176
Броуновское движение 205 и ел.
Гармонический анализ случай-
случайных функций 247 и ел.
Гато 206
Гильбертово пространство 210,
239 и ел.
Данжуа 28
Даниэль 206, 207, 210, 213
Дзета-функция Римана 64, 66,
115 и ел.
Замкнутость 45 и ел., 130 и ел.,
149 и ел.
Зигмунд 209, 231
Избыток 139, 141
Интеграл Лебега 10
Интегральное уравнение Воль-
терра 91 и ел.
— — — с замкнутым циклом
93
Интегральное уравнение Ла-
леско 77, 88
— — Лапласа 60
— — Лапласа, вторая форма
решения 64
— — —» решение Уиддера
61
— — —, третья форма реше-
решения 69
Милна 77, 89—91
Планка 64, 65
Стилтьеса 66—69
Интегрирование в функцио-
функциональном пространстве 206
и ел.
Интерполяция по Лагранжу
169
Йессен 209, 210, 238, 260
Квазианалитические функции 28
и ел.
Класс С а Карлемана 29
— Са 29-31
— Е 25
— S 188
— S' 188
Колмогоров 236
Косинус-преобразование 76
Лакунарные ряды 145 и ел.,
180 и ел.
Ландау 121
Лемма Вейля 9
— Левинсона 39—41
Малин 167

266
алфавитный указатель
Негармонические ряды Фурье
159 и ел.
— — —, свойства сходимости
166
Недифференцируемые непрерыв-
непрерывные функции 230 и ел.
Недостаток 139, 141
Независимость 143 и ел.
— слабая 144
Неравенство Бесселя 46
— Шварца 9
Нормальность функции в смыс-
смысле Бохнера 176
Нули целой функции, условие
вещественности 115
Обобщенный гармонический
анализ 187 и ел.
Ортогонализация 48—49
Основная случайная функция
215 и ел.
Перемешивание 238
Перрэн 229, 231
Полнота 45
Почти периодические функции
170 и ел., 202 и ел.
— — — Степанова 171
Преобразование Ганкеля 76
— Лапласа 60 и ел.
— Фурье функции, аналитиче-
аналитической в полосе 13 и ел.
— — —, полуплоскости
19 и ел.
— — —, обращающейся в нуль
при больших значениях аргу-
аргумента 32, 42—44
— — —, экспоненциально убы-
убывающей 12
Преобразования Ватсона 70 и
ел.
Псевдопериодические функции
170 и ел.
Радон 206
Сянус-преобразование 76
Системы экспонент 130 и ел.,
166 и ел.
Случайные функции 205 и ел.
— —, гармонический анализ
247
— — , непрерывность 229 и ел.
— —, нули 250
— —, формальный ряд Фурье
216
Смолуховский 229
Спектр функции 188
Сходимость в среднем и обыч-
обычная сходимость 10
— негармонических рядов
Фуръе 166
— почти периодических рядов
180
Тауберова теорема о целых
функциях 108
Тауберовы теоремы Винера 111,
ИЗ
Теорема Биркгофа 237, 238
— Винера — Леви 98—99
— Йенсена 35, 55, 106, 252
— Карлемана 29 и ел., 37 и ел.
— Мерсера 91
— Мюнца 59
—, основная для теории ква-
квазианалитических функций
33 и ел.
— Парсеваля И
— Планшереля 10
— Пойя вторая 127
первая 124—127
— Радемахера 225—227
— Рисса — Фишера 9
— Саса вторая 58
— — первая 57
— Титчмарша 120 и ел.
— Фабри 181, 183
— Харди 99
Теоремы о лакунарных рядах
145 и ел., 180 и ел.
— о сходимости лакунарных
рядов 180 и ел.
— типа Фрагмена — Линделё-
фа 21, 24
Теория преобразований 238 и
ел.
— спектра 188 и ел., 247—249

алфавитный указатель
267
Теория Хопфа — Винера 77
и ел.
Титчмарш 71, 119, 120, 124, 128
Харди 71, 99
Хинчин 237
Хопф 77, 90, 237, 238
Уиддеровское решение уравне-
уравнения Лапласа 61—62
Унитарные преобразования 239
Уолш 130
Усечение функции 9
Условие вещественности нулей
целой функции 115
Целые функции 105 и ел., 130
и ел.
— — экспоненциального типа
25, 105 и ел.
Штейнгауз 208
Фату 33
Форма Саса теоремы Мюнца 59
Фундаментальные решения ^77
Функции Радемахера 226
Эйнштейн 209, 229
Эргодическая теорема 237—238

Норберт Винер, Раймонд Пэли
Преобразование Фурье в комплексной области
М., 1964 г., 268 стр.
Редактор А. П. Баева
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректор Г. С. Плетнева
Сдано в набор 13/VI 1964 г. Подписано к пе-
печати 18/VIII 1964 г. Бумага 84x108/32- Физ.
печ. л. 8,38. Услови. печ. л. 13,73. Уч.-изд. л.
11,99. Тираж 10 000 экз. Цена книги 80 коп.
Заказ № 253.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 16
«Главполиграфпрома» Государственного
комитета Совета Министров СССР по печати.
Москва, Трехпрудный пер., 9.