Text
                    А.Н.Тихонов, АА.Самарсюш
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к
уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует
основным типам уравнений.
Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических
задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание
уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения
простейших задач и физической интерпретации результатов. В каждой главе
помещены задачи и примеры.
В основу книги положены лекции, читавшиеся на физическом факультете
МГУ.
Содержание
Предисловие к пятому изданию 9
Предисловие к четвертому изданию 9
Предисловие к третьему изданию 9
Из предисловия ко второму изданию 9
Из предисловия к первому изданию 9
Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 11
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными 11
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми 18
переменными
3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными 20
коэффициентами
Задачи к главе I 22
Глава П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического 23
типа. Постановка краевых задач
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны 23
2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн 27
3. Энергия колебания струны 28
4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах 30
5. Поперечные колебания мембраны 31
6. Уравнения гидродинамики и акустики 34
7. Граничные и начальные условия 39
8. Редукция общей задачи 44
9. Постановка краевых задач для случая многих переменных 45
10. Теорема единственности 46
Задачи 49
§ 2. Метод распространяющихся волн 50
1. Формула Даламбера 50
2. Физическая интерпретация 52


3. Примеры 50 4. Неоднородное уравнение 58 5. Устойчивость решений 60 6. Полуограничениая прямая и метод продолжений 64 7. Задачи для ограниченного отрезка 70 8. Дисперсия волн 73 9. Интегральное уравнение колебаний 75 10. Распространение разрывов вдоль характеристик 79 Задачи 80 § 3. Метод разделения переменных 82 1. Уравнение свободных колебаний струны 82 2. Интерпретация решения 88 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции 92 стоячих волн 4. Неоднородные уравнения 5. Общая первая краевая задача 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями 7. Задачи без начальных условий 8. Сосредоточенная Сила 9. Общая схема метода разделения переменных Задачи § 4. Задачи с данными на характеристиках 1. Постановка задачи 2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса Задачи § 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа 1. Сопряженные дифференциальные операторы 2. Интегральная форма решения 3. физическая интерпретация функции Римана 4. Уравнения с постоянными коэффициентами Задачи к главе II Приложения к главе II I. О колебании струн музыкальных инструментов П. О колебании стержней III. Колебания нагруженной струны 1. Постановка задачи 2. Собственные колебания нагруженной струны 3. Струна с грузом на конце 4. Поправки для собственных значений IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн 1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии 2. Ударные волны. Условия динамической совместности 3. Слабые разрывы V. Динамика сорбции газов
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа 2. Асимптотическое решение VI. Физические аналогии Глава III. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач 1. Линейная задача о распространении тепла 2. Уравнение диффузии 3. Распространение тепла в пространстве 4. Постановка краевых задач 5. Принцип максимального значения 6. Теорема единствениости 7. Теорема единств ениости для бесконечной прямой § 2. Метод разделения переменных 1. Однородная краевая задача 2. Функция источника 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями 4. Неоднородное уравнение теплопроводности 5. Общая первая краевая задача Задачи § 3. Задачи на бесконечной прямой 1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области 2. Краевые задачи для полу ограниченной прямой § 4. Задачи без начальных условий Задачи к главе III Приложения к главе III I. Температурные волны П. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры III. Метод подобия в теории теплопроводности 1. Функция источника для бесконечной прямой 2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности IV. Задача о фазовом переходе V. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова VI. 5-функция 1. Определение 5 -функции 2. Разложение 5 -функции в ряд Фурье 3. Применение 5 -функции к построению функции источника Глава IV. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА § 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа 1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач 2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического поля
3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат 4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа 5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного переменного 6. Преобразование обратных радиусов-векторов § 2. Общие свойства гармонических фуикции 1. Формулы Грниа. Интегральное представление решения 2. Некоторые основные свойства гармонических функций 3. Единствениость и устойчивость первой краевой задачи 4. Задачи с разрывными граничными условиями 5. Изолированные особые точки 6. Регулярность гармонической функции трех переменных в бесконечности 7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач 8. Вторая краевая задача. Теорема единственности § 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения переменных 1. Первая краевая задача для круга 2. Интеграл Пуассона 3. Случай разрывных граничных значений § 4. Функция источника 1. функция источника для уравнения VDelta u=0 и ее основные свойства 2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы 3. Функция источника для круга 4. Функция источника для полупространства § 5. Теория потенциала 1. Объемный потенциал 2. Плоская задача. Логарифмический потенциал 3. Несобственные интегралы 4. Первые производные объемного потенциала 5. Вторые производные объемного потенциала 6. Поверхностные потенциалы 7. Поверхности и кривые Ляпунова 8. Разрыв потенциала двойного слоя 9. Свойства потенциала простого слоя 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых задач 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам Задачи к главе IV Приложения к главе IV I. Асимптотическое выражение объемного потенциала
П. Задачи электростатики III. Основная задача электроразведки IV. Определение векторных полей V. Применение метода конформного преобразования в электростатике VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике VII. Бигармоническое уравнение 1. Единств ениость решения 2. Представление бигармонических функций через гармонические функции 3. Решение бигармонического уравнения для круга Глава V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Задача с начальными условиями 1. Уравнение колебаний в пространстве 2. Метод усреднения 3. Формула Пуассона 4. Метод спуска 5. Физическая интерпретация 6. Метод отражения § 2. Интегральная формула 1. Вывод интегральной формулы 2. Следствия из интегральной формулы § 3. Колебания ограниченных объемов 1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны 2. Колебания прямоугольной мембраны 3. Колебания круглой мембраны Задачи к главе V Приложения к главе V I. Приведение уравнении теории упругости к уравнениям колебаний П. Уравнения электромагнитного поля 1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия 2. Потенциалы электромагнитного поля 3. Электромагнитное поле осциллятора Глава VI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве 1. Функция температурного влияния 2. Распространение тепла в неограниченном пространстве § 2. Распространение тепла в ограниченных телах 1. Схема метода разделения переменных 2. Остывание круглого цилиндра 3. Определение критических размеров § 3. Краевые з адачи для областей с подвижными границами 1. Формула Грниа для уравнения теплопроводности и функция источника 2. Решениекраевойзадачи
3. функция источника для отрезка § 4. Тепловые потенциалы 1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя 2. Решение краевых задач Задачи к главе VI Приложения к главе VI I. Диффузия облака П. О размагничивании цилиндра с обмоткой Глава VII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО Т ИПА(ПРОДОЛЖЕНИЕ) § 1. Основные задачи, приводящие к уравнению Av + cv=0 1. Установившиеся колебания 2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях 3. Диффузия в движущейся среде 4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Av + cv=0 § 2. Функции влияния точечных источников 1. Функции влияния точечных источников 2. Интегральное представление решения 3. Потенциалы § 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения 1. Уравнение Av + cv=0=-/b неограниченном пространстве 2. Принцип предельного поглощения 3. Принцип предельной амплитуды 4. Условия излучения § 4. Задачи математической теории дифракции 1. Постановка задачи 2. Единствениость решения задачи дифракции 3. Дифракция на сфере Задачи к главе VII Приложения к главе VII I. Волны в цилиндрических трубах П. Электромагнитные колебания в полых резонаторах 1. Собственные колебания цилиндрического эидовибратора 2. Электромагнитная энергия собственных колебаний 3. Возбуждение колебаний в эидовибраторе III. Скни-эффект IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли Дополнение I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ § 1. Основные понятия 1. Сетки и сеточные функции 2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов 3. Разностная задача 4. Устойчивость
§ 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами 2. Погрешность аппроксимации 3. Энергетическое тождество 4. Устойчивость 5. Сходимость и точность 6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффициентами 7. Метод баланса. Консервативные схемы 8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами 9. Трехслойные схемы 10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки 11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений § 3. Метод конечных разностей для решения з адачи Дирихле 1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа 2. Принцип максимума 3. Оценка решения неоднородного уравнения 4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле 5. Решение разностных уравнений методом простой итерации § 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными переменными 1. Многомерные схемы 2. Экономичные схемы 3. Итерационные методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле Дополнение П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 1. Введение 2. Общее уравнение теории специальных функций 3. Поведение решений в окрестности х=а, если к(а')=0 4. Постановка краевых задач Часть I. Цилиндрические функции § 1. Цилиндрические функции 1. Степенные ряды 2. Рекуррентные формулы 3. Функции полуцелого порядка 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций § 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя § 3. Различные типы цилиндрических функций 1. Функции Ханкеля 2. Функции Ханкеля и Неймана 3. Функции мнимого аргумента 4. Функция К0(ж) § 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных
интегралов 1. Контурные интегралы 2. функции Ханкеля 3. Некоторые свойства гамма-функции 4. Интегральное представление функции Бесселя 5. Интегральное представление К^ж) 6. Асимптотические формулы для цилиндрических фуикций § 5. Интеграл Фурье-Бесселя и некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя 1. Интеграл Фурье-Бесселя 2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя Часть П. Сферические функции § 1. Полиномы Лежандра 1. Производящая функция и полиномы Лежандра 2. Рекуррентные формулы 3. Уравнение Лежандра 4. Ортогональность полиномов Лежандра 5. Норма полиномов Лежандра 6. Нули полиномов Лежандра 7. Ограниченность полиномов Лежандра § 2. Присоединенные функции Лежандра 1. Присоединенные функции 2. Норма присоединенных функций 3. Замкнутость системы присоединенных функций § 3. Гармонические полиномы и сферические функции 1. Гармонические полиномы 2. Сферические функции 3. Ортогональность системы сферических функций 4. Полнота системы сферических функций 5. Разложение по сферическим функциям § 4. Некоторые примеры применения сферических функций 1. Задача Дирихле для сферы 2. Проводящая сфера в поле точечного заряда 3. Поляризация шара в однородном поле 4. Собственные колебания сферы 5. Внешняя краевая задача для сферы Часть III. Полиномы Чебышева-Эрмнта и Чебьппева-Лагерра § 1. Полиномы Чебышева-Эрмита 1. Дифференциальная формула 2. Рекуррентные формулы 3. Уравнение Чебышева-Эрмита 4. Норма полиномов Н_п(х) 5. функции Чебышева-Эрмита § 2. Полиномы Чебьппева-Лагерра
1. Дифференциальная формула 706 3. Уравнение Чебьппева-Лагерра 707 4. Ортогональность и норма полиномов Чебьппева-Лагерра 708 5. Обобщенные полиномы Чебьппева-Лагерра 709 § 3. Простейпше задачи для уравнения Шредингера 710 1. Уравнение Шредингера 710 2. Гармонический осциллятор 712 3. Ротатор 713 4. Движение электрона в кулонов ом поле 714 Часть IV. Формулы, таблицы и графики 718 I. Основные свойства специальных функции 718 П. Таблицы 723 III. Графики специальных функций 726 IV. Различные ортогональные системы координат 728
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ Мы внесли лишь исправления опечаток, обнаруженных в чет- четвертом издании. 1977 А. Н. Тихонов. А. А. Самарский ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ Мы внесли лишь небольшие изменения в Дополнение I и во введение к Дополнению II. Приносим свою благодарность А. Ф. Никифорову и И. С. Гу- Гущину за ряд ценных замечаний. 1972 А. И. Тихонов, А. А. Самарский ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В настоящее издание внесен ряд изменений и дополнений. Наибольшему изменению подверглись разделы, касающиеся раз- разностных методов решения уравнений математической физики* Они объединены в виде Дополнения I. Мы считаем своим приятным долгом выразить благодарность В. Я. Арсенину за ряд ценных замечаний, а также В. В. Крав- Кравцову за большую помощь при подготовке этого издания. 1966 А. И. Тихонов, А. А. Самарский ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ Во втором издании устранены опечатки и неточности, заме- замеченные в первом издании. Некоторые разделы, особенно в гла- главах IV и VI, подверглись переработке. Написано новое приложе- приложение к главе VI. Авторы считают своим приятным долгом выразить благодар- благодарность В. И. Смирнову за большое число ценных замечаний, а так- также А. Г. Свешникову за помощь при подготовке второго издания. 1953 А. Тихонов, А. Самарский ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Круг вопросов математической физики тесно связан с изуче- изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике
10 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики. Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки, является математическим по своему существу. Однако постанов- постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изу- изучением физических проблем, имеет специфические черты. Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрез- чрезвычайно широк. В предлагаемой книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными. Мы стремились подчинить выбор и изложение материала ха- характеристике типичных физических процессов, в связи с чем рас- расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения простейших задач и физи- физической интерпретации получаемых результатов. В каждой главе помещены задачи, преследующие, в основном, цель развития технических навыков. Некоторые задачи сами по себе представ- представляют физический интерес. В конце каждой главы помещены при- приложения, в которых даются примеры применения изложенных в основном тексте методов к решению различных задач физики и техники, а также приводится ряд примеров, выходящих за рам- рамки задач, рассматриваемых в основном тексте. Выбор таких при- примеров, несомненно, можно сильно варьировать. Книга содержит лишь часть материала, входящего в курс ме- методов математической физики. В книгу не входят теория инте- интегральных уравнений и вариационные методы. Приближенные ме* тоды изложены недостаточно полно. В основу книги были положены лекции, читавшиеся свыше десяти лет А. Н. Тихоновым на физическом факультете МГУ. Ча- Частично содержание этих лекций было отражено в конспектах, из- изданных в 1948—1949 гг. В предлагаемой книге материал конспек- конспектов был расширен и подвергнут коренной переработке. Мы рады возможности выразить благодарность нашим учени- ученикам и товарищам по работе А. Б. Васильевой, В. Б. Гласко, В. И. Ильину, А. В. Лукьянову, О. И. Панычу, Б. Л. Рождествен- Рождественскому, А. Г. Свешникову и Д. Н. Четаеву, без помощи которых мы вряд ли смогли бы подготовить к печати книгу в короткий срок, а также Ю. Л. Рабиновичу, прочитавшему рукопись и сде- сделавшему ряд ценных замечаний. 1951 А. Тихонов, А. Самарский
ГЛАВА I КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Многие задачи математической физики приводят к диффе- дифференциальным уравнениям с частными производными. Наиболее часто встречаются дифференциальные уравнения 2-го порядка. В настоящей главе мы рассмотрим классификацию этих урав- уравнений. § 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми пе- переменными. Дадим необходимые определения. Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными х, у называется соотношение меж- между неизвестной функцией и(х, у) и ее частными производными до 2-го порядка включительно *): F{x, у, и, их, ии, ихх, иху, Mj,j,) = O. Аналогично записывается уравнение и для большего числа не- независимых переменных. Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид a\\Uxx + 2а12иху + а^иуу + F, (х, у, и, их, иу) = О, A) где аи, аи, «22 являются функциями х и у. Если коэффициенты аи, а&, а^ зависят не только от х и у, а являются, подобно Fu функциями х, у, и, их, иу, то такое уравнение называется квазилинейным. Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных Uxx, uxy, иуу, так и относи- относительно функции и и ее первых производных их, иу: + 2апиху + a^iyy + М* + Ь2иу + си + f = 0, B) J) Мы пользуемся следующими обозначениями для производных: ди ди д2и дЧ д*и = Ж U^ "= "^ U и
12 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I где аи, 012, О22, Ьи Ь2, с, f — функции только хну. Если коэф- коэффициенты уравнения B) не зависят от х и у, то оно представ- представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Уравнение называется однородным, если f(x, у) = 0. С помощью преобразования переменных 1 = <р(х, у), г)=Цр(х, у), допускающего обратное преобразование, мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному. Естественно поставить во- вопрос: как выбрать | и ц, чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму? В этом пункте мы дадим ответ на поставленный вопрос для уравнений, линейных относительно старших производных вида A) с двумя независимыми переменными хну: + 2а12иху + a22uvv + F (х, у, и, их, иу) = 0. Преобразуя производные к новым переменным, получаем: Чх = Щ1х + Uxx = иуу = C) Подставляя значения производных из C) в уравнение A), бу- будем иметь: _ ацЩг + 2с12Ы|ч + а22ичч + F = 0, D) где о12 а функция F не зависит от вторых производных. Заметим, что если исходное уравнение линейно, т. е. F{x, у, и, их, uv) = btUx + Ь2иу + си + f, то F имеет вид т. е. уравнение остается линейным1). ') Отметим, что если преобразование переменных линейно, то F = F, так как вторые производные от ? и ц в формулах C) равны, нулю и F не получает дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных.
§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 13 Выберем переменные ? и г\ так, чтобы коэффициент аи был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными 1-го порядка anzl + 2al2zxzy+a^l = 0. E) Пусть z — <p(x,у)—какое-нибудь частное решение этого урав- уравнения. Если положить | = ф (х, у), то коэффициент аи, очевид- очевидно, будет равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения E). Докажем следующие леммы. 1. Если z = cp(x,y) является частным решением уравнения то соотношение ср (х, у) = С представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения ап dy2 — 2а12 dx dy + a22 dx2 = 0. F) 2. Если ср (х, у) = С представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения ап dy2 — 2aI2 dx dy + а22 dx2 = 0, то функция z— ц>(х, у) удовлетворяет уравнению E). Докажем первую лемму. Поскольку функция г = ц>(х, у) удовлетворяет уравнению E), то равенство является тождеством: оно удовлетворяется для всех х, у в той области, где задано решение. Соотношение ц>(х, у)= С является общим интегралом уравнения F), если функция у, определенная из неявного соотношения <р(х, у) = С, удовлетворяет уравне- уравнению F). Пусть У = !(х, С) есть эта функция; тогда dx L Фу (х, у) \y=f {Xi c)' { ' где скобки и значок у = f (x, С) указывают, что в правой части равенства (8) переменная у не является независимой перемен- переменной, а имеет значение, равное f(x,C). Отсюда следует, что у = f(x, С) удовлетворяет уравнению F), так как
14 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1 поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при всех значениях х, у, а не только при у = f(x,C). Докажем вторую лемму. Пусть ц>(х, у) = С — общий ин- интеграл уравнения F). Докажем, что аи<Рх + 2аМу+а22<Ру = 0 G0 для любой точки (х, у). Пусть (хо, уо) — какая-нибудь заданная точка. Если мы докажем, что в ней удовлетворяется равенство (Т), то отсюда в силу произвольности (х0, у0) будет следовать, что равенство G') есть тождество и функция ф (х, у) является решением уравнения G'). Проведем через точку (х0, у0) инте- интегральную кривую уравнения F), полагая q>{xo,yo) = Со и рас- рассматривая кривую # = /(*,Со). Очевидно, что уо = f{xo,Co). Для всех точек этой кривой имеем: Jj,=f (х. Со) Полагая в последнем равенстве х = хо, получим: ацф* (хоУо) + 2ai2^ (хоУо) % (хоУо) + «22Ф» (хоУо) = 0. что и требовалось доказать *). Уравнение F) называется характеристическим для уравнения A), а его интегралы — характеристиками. Полагая | = ц>(х,у), где ф(х,у) = const есть общий инте- интеграл уравнения F), мы обращаем в нуль коэффициент при Ыц. Если -ф (х, у) = const является другим общим интегралом уравнения F), не зависимым от ц>(х,у), то, полагая ii^tyfay), мы обратим в нуль также и коэффициент при ыч. Уравнение F) распадается на два уравнения: йу _ 012 + ^2-0110 22 _ dy 012-^012- 011022 ¦) Установленная связь уравнений E) и F) эквивалентна известной связи (см. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, 1937, стр. 287j Смирнов, Курс высшей математики, т. II, 1948, стр. 78) между линейным уравнением с частными производными 1-го порядка и системой обыкновен- обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом можно убедиться, разлагая левую часть уравнения E) в произведение двух линейных дифференциальных вы- выражений.
§ 1J КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 15 Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения '*=0. A) Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением гиперболического типа, если в точке М а\2 — апа^ > О, эллиптического типа, если в точке М а\2 — опа22 < О, параболического типа, если в точке М a\z — аца22 == ^')• Нетрудно убедиться в правильности соотношения «И - «11*22 = (°12 - flna22) Я*. D =- lj\ ~ ПЛг из которого следует инвариантность типа уравнения при пре- преобразовании переменных, так как функциональный определи- определитель (якобиан) D преобразования переменных отличен от нуля. В различных точках области определения уравнение может принадлежать различным типам. Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Через каждую точку области G про- проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболиче- гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа — комплексны и различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики дей- действительны и совпадают между собой. Разберем каждый из этих случаев в отдельности. 1. Для уравнения гиперболического типа с$2 —аиа&Х) и правые части уравнений (9) и A0) действительны и различны. Общие интегралы их у(х,у) = С и ty(x,y) = С определяют действительные семейства характеристик. Полагая ? = ф(*. У), *)=**(*. У), A1) приводим уравнение D) после деления на коэффициент при ы6ч к виду Чп = Ф (I, *Ь ", "«. ич)> где Ф — — -~-. Это — так называемая каноническая форма уравнений гиперболического типа 2). Часто пользуются второй канонической ') Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка. 2) Для того чтобы было возможно введение новых переменных g и г] через функции ф и if, надо убедиться в независимости этих функций, доста- достаточным условием чего является отличие от нуля соответстиуюшего функцио- функционального определителя. Пусть функциональиый определитель I Ф* 4 в некоторой точке М обращается в нуль. Тогда имеет место пропорциональ-
16 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I формой. Положим | = а + В, л = а-р, т. е. а-1±П. в-61 а— 2 , р— 2 , где а и 6 — новые переменные. Тогда  = 2~(«о + «р), ыч = у("« —ыр)> ы^=х(ы««~ыРрЬ В результате уравнение D) примет вид 2. Для уравнений параболического типа af2 — аца_г = О, уравнения (9) и A0) совпадают, и мы получаем один общий интеграл уравнения F): ф (х, у) = const. Положим в этом случае | = ф(*, у) И Т\ = Х\(х, у), где г\(х,у) —любая функция, не зависимая от ф. При таком выборе переменных коэффициент так как al2= Vau V<h2> отсюда следует, что «12 = ailljei* + «12 = 0. После деления уравнения D) на коэффициент при ычч получим каноническую форму для уравнения параболического типа ит = Ф (|, л, и, щ, щ) (Ф =--?)• ность строк, т. е. что, однако, невозможно, так как И ~: аи ¦фу ап (при этом мы считаем аи ф 0, что не является ограничением общности). Тем самым независимость функций <р и я]) установлена.
§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 17 Если в правую часть не входит щ, то это уравнение будет обыкновенным дифференциальным уравнением, зависящим от | как от параметра. 3. Для уравнения эллиптического типа а\2 — ан^гг <0 и правые части уравнений (9) и A0) комплексны. Пусть Ф(х, у) = С — комплексный интеграл уравнения (9). Тогда Ф* {х, у) = С, где ф* — сопряженная к ф функция, будет представлять собой общий интеграл сопряженного уравнения A0). Перейдем к комплексным переменным, полагая | = ф(х, у), Т1 = ф*(х, у). При этом уравнение эллиптического типа приводится к такому же виду, что и гиперболическое. Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем новые переменные аир, равные <Р + <Р* <р — <р» 2 ' 2( ' так что | = а + ф, Л = а — Ф- В этом случае + а12 (а&у + ау$х) + а^у%) = 0, т. е. о„ == а22 и а12 = 0. Уравнение D) после деления на коэффициент при иаа прини- принимает вид{) _ «аа "F "рр = Ф (а, Р, U, Ыа, Up) (ф = - -?-) - Таким образом, в зависимости от знака выражения а\2 — ana22 имеют место следующие канонические формы ') Подобное преобразование законно только в том случае, если коэф- коэффициенты уравнения A) — аналитические функции. Действительно, если а\2 — апй22 < 0, то правые части уравнений (9) и A0) комплексны, а следо- следовательно, функция у должна иметь комплексные значения. О решении этих уравнений можно говорить лишь в том случае, когда коэффициенты аи, (х, у) определены для комплексных значений у. При приведении уравнения эллип- эллиптического типа к канонической форме мы ограничимся случаем аналитиче- аналитических коэффициентов.
18 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. I уравнения A): а212 — апа22>0 (гиперболический тип) ихх — иуу = Ф или иху — Ф, с?2 ~~ апа22 < 0 (эллиптический тип) ыжж + ыуу = Ф, ai2 ~ аиа22= 0 (параболический тип) ы^ггф. 2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими неза- независимыми переменными. Рассмотрим линейное уравнение с дей- действительными коэффициентами п п п 2 2 ai}uXlXj + 2 *i«x, + см + f = 0 (au = fl/l), A2) где а, 6, с, f являются функциями Xi, Хг, ..., xn. Введем новые независимые переменные |й, полагая U = lk(Xl, Х2, ..., Хп) (k=l, .... П). Тогда ихх =22 ицъРиРн + 2 где Подставляя выражения для производных в исходное уравнение, получим: 2 2 afe/M|felz + 2 bkuik + си + f = О, где = 2 2 аищкап, bk — 2 й^агй +2 2 «г/ (Ы-ж . Рассмотрим квадратическую форму 2 2 а°1]У1у}, A3) коэффициенты которой равны коэффициентам ац исходного уравнения в некоторой точке M0(x°v ..., х°). Производя над пе- переменными у линейное преобразование п vi = 2 щит, получим для квадратической формы новое выражение: п п п п 2 2 ajkmm. где &>ы = 2
§ Ц КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 19 Таким образом, коэффициенты главной части уравнения изме- изменяются аналогично коэффициентам квадратической формы при линейном преобразовании. Как известно, выбором соответствующего линейного преоб- преобразования можно привести матрицу {a°if ) квадратической фор- формы к диагональному виду, в котором [а°,| = 1, либо 0; ао/==о AФ1, i, /=1, 2, ...п). Согласно закону инерции, число положительных, отрица- отрицательных и равных нулю коэффициентов а%{ в каноническом ви- виде квадратичной формы инвариантно относительно линейного преобразования. Назовем уравнение A2) в точке Мо уравнением эллипти- эллиптического типа, если все п коэффициентов a°i{ одного знака; гиперболического типа (или нормального гипер- гиперболического типа), если п—1 коэффициентов а°н имеют одинаковый знак, а один коэффициент противоположен им по знаку; ультрагиперболического типа, если среди а^ имеется т коэффициентов одного знака и п — т противопо- противоположного знака (т, п — т>\); параболического типа, если хотя бы один из коэффициентов б°? равен нулю. Выбирая новые независимые переменные |,- так, чтобы в точке Мо где a°lk — коэффициенты преобразования, приводящего квадра- тическую форму A3) к каноническому виду (например, полагая ЕА==2а?2'10'полУчим' что в точке Мо уравнение в зависимости от типа приводится к одной из следующих канонических форм: иХххх + ы*л + ... + иХпхп + Ф = 0 (эллиптический тип), п "*,*, = 2 Uxtx. + Ф (гиперболический тип), т п. 2 их,х, = Ъ ихх, + Ф (т > 1, п — т > 1) (ультрагиперболический тип), п—т 2 (± м*^) + Ф = 0 (m>0) (параболический тип). Мы не останавливаемся при этом на более подробном делении уравнений параболического типа на уравнения эллиптически- параболические, гиперболически-параболические и т. д.
20 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I Таким образом, если уравнение A2) в некоторой точке М принадлежит к определенному типу, то его можно привести к соответствующей канонической форме в этой точке. Рассмотрим подробнее вопрос о том, можно ли привести уравнение к канонической форме в некоторой окрестности точки М, если во всех точках этой окрестности уравнение принадле- принадлежит к одному и тому же типу. Для приведения уравнения в некоторой области к канониче- каноническому виду нам пришлось бы функции ?i(xi, х2, ..., х„) (i = = 1, 2, ..., п) подчинить дифференциальным соотношениям аы = 0, для k ф I. Число этих условий, равное п(п—1)/2, пре- превосходит п — число определяемых функций | при п > 3. Для п = 3 недиагональные элементы матрицы (atft), вообще говоря, можно было бы обратить в нули, но при этом диагональные эле- элементы могут оказаться различными. Следовательно, при п ^ 3 уравнение нельзя привести к ка- каноническому виду в окрестности точки М. При п = 2 можно обратить в нуль единственный недиагональный коэффициент и удовлетворить условию равенства двух диагональных коэффи- коэффициентов, что и было сделано в п. 1. Если коэффициенты уравнения A2) постоянны, то, приводя A2) к канонической форме в одной точке М, мы получим урав- уравнение, приведенное к канонической форме во всей области оп- определения уравнения. 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. В случае двух независимых переменных ли- линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид auuxx + 2al2uxy+a22uvv+b1ux + b2uy + cu + f(x, y) = 0. A4) Ему соответствует характеристическое уравнение с постоянны- постоянными коэффициентами. Поэтому характеристики будут прямыми линиями С помощью соответствующего преобразования переменных уравнение A4) приводится к одной из простейших форм: и^ + ит + Ьх и% + Ь2ип + си + / = 0 (эллиптический тип), A5) 6)) 1 или 1 (гиперболический тип), A6) ин — ит + biul + Мч+сы + / = О J 2мт) + си + / — ° (параболический тип). A7) „
§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 21 Для дальнейшего упрощения введем вместо и новую функ- функцию V. и — е^+^ч • v, где К и ц — неопределенные пока постоянные. Тогда (vi + Щ, l2v), m (vnr] + 2wn + I*2»). Подставляя выражения для производных в уравнение A5) и сокращая затем на e^+w, получим: ок + «„„ + F, + 2Я,) о6 + (Ь2 + 2ц) оч + + W + »2 + b1X + b2li + c)v + fl=0. Параметры X и ц выбираем так, чтобы два коэффициента, на- например, при первых производных, обратились в нуль (Я, =* = —bj2; ц = —62/2). В результате получим: vtl + vrm + \v + f, = О, где у — постоянная, выражающаяся через с, bt и Ъг, fi = = ^е-сЧ+цч). Производя аналогичные операции и для случаев A6) и A7), приходим к следующим каноническим формам для уравнений с постоянными коэффициентами: tig! + ит + yv + f, = 0 (эллиптический тип), »S4+Y» + /i=O ) или } (гиперболический тип), + + f0 } vSg ~Ь ^2vr\ + /i = 0 (параболический тип). Как было отмечено в п. 2, уравнение с постоянными коэффи- коэффициентами в случае нескольких независимых переменных ' п п п 2 2 at]uxx + 2 biux + си + f = 0 при помощи линейного преобразования переменных приводится к каноническому виду одновременно для всех точек области его определения. Вводя вместо и новую функцию v
22 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ |ГЛ. I и выбирая нужным способом %%, мы можем дальше упростить уравнение, что приводит нас к каноническим формам, сходным со случаем п = 2. ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I 1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичиостн уравнения в привести его к каноническому виду в области гиперболичности. 2. Привести к каноническому виду уравнения: а) Uxx + xyuyy^O. б) уихх — хиуу + их + yuy — 0. в) е2хихх + 2ех+»иХу + е^иии = 0. г) ихх + {\ + уУиУу = П. Д) хихх + 2 Vxy иху + уиуу — их — 0. е) (х — у) ихх + (ху — у' — х + у) иху = 0. ж) У2ихх — е2хиуу + их = 0. з) sin2 уихх — е2хиуу + Зих — 5м = 0. и) ихх + 2иху + 4иуу + 2их + Зиу = 0. 3. Привести к каноническому виду и максимально упростить уравнение 2аиху + аиуу + Ьих + сиу + и = 0; а,Ь,с — постоянные. 4. Введя функцию v = ueKx+v'y и выбирая соответствующим образом па- параметры % и ц, упростить следующие уравнения с постоянными коэффи- коэффициентами: а) ихх + иуу + аих + Pmj, + \и = 0. б) ихх=-^-иу + аи + $их. в) ихх — -^- иуу = аих + Pmj, + \и. г) иХу
ГЛАВА II УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения с частными производными 2-го порядка гипербо- гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических зада- задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравне- уравнение гиперболического типа UXX Uyy = О обычно называют уравнением колебаний струны. В настоящей главе, как и в последующих, мы ограничимся рас- рассмотрением класса линейных уравнений. § 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа. Постановка краевых задач 1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Каж- Каждую точку струны длины / можно охарактеризовать значе- значением ее абсциссы х. Описание процесса колебания струны мо- может быть проведено при помощи задания положения точек струны в различные моменты времени. Для определения поло- положения струны в момент времени / достаточно задать компонен- компоненты вектора смещения {щ(х, t), u2(x,t), u3(x,t)} точки х в мо- момент t. Мы рассмотрим наиболее простую задачу о колебаниях струны. Будем предполагать, что смещения струны лежат в од- одной плоскости (х, и) и что вектор смещения и перпендикулярен в любой момент к оси х; тогда процесс колебания можно опи- описать одной функцией и(х, t), характеризующей вертикальное пе- перемещение струны. Будем рассматривать струну как гибкую уп- упругую нить. Математическое выражение понятия гибкости за- заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю (рис. 1). Это условие выражает собой то, что струна не сопро- сопротивляется изгибу. Величина натяжения, возникающего в струне вследствие уп- упругости, может быть вычислена по закону Гука'). Будем рас- рассматривать малые колебания струны и пренебрегать квадратом их по сравнению с единицей. >) С. П. С т р е л к о в, Механика, «Наука», 1965.
24 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытывае- испытываемое участком струны (хи х2). Длина дуги этого участка равна x2 Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда Рис. 1. в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т в каж- каждой точке не меняется со временем. Покажем также, что натя- натяжение не зависит и от х, т. е. Найдем проекции натяжения на оси х и и (обозначим их Тх и Ти): Тх (х) = Т (х) cos a = - ^ Т (х), 1 + (и*J Tu (х) = Т (х) sin а ^ Т (х) tg а = Т (х) их, где а — угол касательной к кривой u(x,t) с осью х. На участок (хь лг2) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инер- инерции. Сумма проекций всех сил на ось х должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так как силы инерции и внешние силы по предположению направ- направлены вдоль оси и, то = 0 или Т (xj) = Т (х2). A) Отсюда в силу произвольности х4 и х2 следует, что натяжение не зависит от х, т. е. для всех значений ли/
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 25 После сделанных предварительных замечаний перейдем к вы- выводу уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения участка струны (хь х2) по оси и равна Л2 где р —линейная плотность струны. Приравняем изменение ко- количества движения за промежуток времени At = h"—ti импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения ToUx\x=x TqUx\x—x в точках х2 и Xi и внешней силы, которую будем считать не- непрерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) F(x,t)t рассчитанной на единицу длины. В результате получим урав- уравнение поперечных колебаний элемента струны в интегральной форме U х, t, = J То [их (х2, т) - их (х1г т)] dx + j j F (l, т) d| dr. C) '. xt t, Для перехода к дифференциальному уравнению предположим существование и непрерывность вторых производных от и{х, tI). Тогда формула C)" после двукратногв применения тео- теоремы о среднем примет вид где Г, Г, Г"€=(*„ х2), а Г, Г, Г*eft, /2). ') Делая предположение о двукратной дифференцируемое™ функций, мы фактически уславливаемся о том, что будем рассматривать лишь функ- функции, обладающие этим свойством. Таким образом, подобного типа предполо- предположение связано с ограничением круга изучаемых физических явлений и не со- содержит в себе утверждения, что не существует функций, удовлетворяющих интегральному уравнению колебаний н не имеющих вторых производных. Такие функции существуют и представляют значительный практический ин- интерес Подробнее см. об этом § 2, а 7.
26 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Сократив на AxAt и переходя к пределу при х2-*Хи h-+h, по- получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний струны T = putt-F(x,t). D) В случае постоянной плотности р = const этому уравнению обычно придают вид где f(x,t)=±F(x,t) E) F) есть плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсут- отсутствии внешней силы полу- получим однородное уравнение Рис. 2. или ^ х описывающее свободные ко- колебания струны. Это урав- уравнение является простейшим примером уравнения ги- гиперболического типа. Если в точке х0 (xi < х0 < Хг) приложена сосредоточенная сила fo(t) (рис. 2), то уравнение C) запишется так: X, Хг U J р (I) [щ (|, t2) - щ (I, /,)] d| - j J f (I, т) rf| dx = X, X, t, U U = J ^o [«* (x* т) — ux {xu т)] dx + J f0 (t) rfr. Поскольку скорости точек струны ограничены, то при х\.—*-Хо и Хг —*¦ х0 интегралы в левой части этого равенства стремятся к нулю, и равенство C) принимает вид и и \ То [их (*0 + 0, т) - их (*о - 0, т)] dx = - J f0 (т) dx. G) Пользуясь теоремой о среднем, сокращая обе части равенства на At и переходя к пределу при k-*h, получим: их {х, t) |х°_ 0 -jr- /о (')•
$ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 27 Отсюда видно, что в точке приложения сосредоточенной силы первые производные претерпевают разрыв и дифференциальное уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполняться два условия сопряжения первое из которых выражает непрерывность струны, второе оп- определяет величину излома струны в точке #0, зависящую от fe(t) и натяжения То. 2. Уравиение продольиых колебаний стержней и струн. Урав- Уравнения продольных колебаний для струны, стержня и пружины записываются одинаково. Рассмотрим стержень, расположенный на отрезке @, /) оси х. Процесс продольных колебаний может быть описан одной функцией и(х, t), представляющей в момент 1 смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу х1). При продольных колебаниях это смещение происходит вдоль стержня. При выводе уравнения будем предполагать, что натяжения, возникающие в процессе колебания, следуют зако- закону Гука. Подсчитаем относительное удлинение элемента (х, х + '+ Ал:) в момент /. Координаты концов этого элемента в момент f имеют значения х + и(х, i), х + Ах + и(х + hx, i), а относительное удлинение равно Переходя к пределу при Д#->0, получим, что относительное удлинение в точке х определяется функцией ux(x,t). В силу ') Выбранная здесь геометрическая переменная к называется перемен- переменной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня в течение всего процесса характеризуется одной и той же геометрической координатой х. Физическая точка, занимаишая в начальный момент (в со- состоянии равновесия) положение к, в любой последующий момент t находится в точке с координатой ^ = х + м(х, t). Если мы фиксируем некоторую гео- геометрическую точку А с координатой X, то в различные моменты времени в этой точке будут находиться различные физические точки (с разными лагранжевыми координатами х). Часто пользуются также переменными Эйлера X, t, где X — геометрическая координата. Если U(X,t)—смещение . точки с эйлеровой координатой X, то лагранжева координата x = X-U(X,t). Пример использования координат Эйлера приведен в п. 6
28 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II закона Гука натяжение Т(х, t) равно T(x,t) = k(x)ux(x,t), (9) где k(x) — модуль Юнга в точке x(k(x) > 0). Пользуясь теоремой об изменении количества движения, получаем интегральное уравнение колебаний = J [k (х2) их {х2, x)-k (х.) их (хи x))dx + J J F (|, т) dg их, A0) где F(x,t) — плотность внешней силы, рассчитанная на еди- единицу длины. Предположим существование и непрерывность вторых произ- производных функции и (х, t). Применяя теорему о среднем и совер- совершая предельный переход1) при Ах = хг — Xi —»-0 и Д^ = = 4—?i-»-0, приходим к дифференциальному уравнению про- продольных колебаний стержня 2) [k(x)ux]x = putt-F(x,t). A1) Если стержень однороден (k(x) = const, p = const), то это уравнение записывают следующим образом: A2) где f (*,*) = -?&? A3) «сть плотность силы, отнесенная к единице массы. 3. Энергия колебаний струны. Найдем выражение для энер- тии поперечных колебаний струны Е = К. + U, где К — кинети- кинетическая и U — потенциальная энергия. Элемент струны dx, дви- движущийся со скоростью v = щ, обладает кинетической энер- энергией mv2 -^p{x)dx{utf (m — pdx). ') В дальнейшем мы будем опускать подробности, связанные с предель- предельными переходами, которые были разобраны при выводе уравнения попереч- поперечных колебаний струны. 2) Условие малости колебаний в данном случае связано только с гра- границей применимости закона Гука. В общем случае Т = k(x,ux)ux, н мы лриходим к квазилинейному уравнению \k (*, их) их]х = putt F (x,t).
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 29 Кинетическая энергия всей струны равна i {x)[ut(x,t)fdx. A4) Потенциальная энергия поперечных колебаний струны, имею- имеющей при t = to форму и(х, to) —Uo(x), равна работе, которую надо совершить, чтобы струна перешла из положения равнове- равновесия в положение щ (х). Пусть функция и (х, t) дает профиль струны в момент /, причем и {х, 0) = 0, и (х, t0) = и0 {х). Элемент dx под действием равнодействующей сил натяжения ди т ди x+dx = Turrdx X за время dt проходит путь ut{x,t)dt. Работа, производимая всей струной за время dt, равна \{ If,'/ I j J Т^иххщ dx j dt = j 7>хи,|о - J Touxuxt dx\dt=: о Интегрируя по / от О до t0, получаем: — 4" f T0{uxf dx\" + [ Тфхщ\ dt = 2J lo J In / t I = — j j ^o [«* (x, Qf dx + J Touxut dt. о Нетрудно выяснить смысл последнего слагаемого правой части этого равенства. Действительно, Тоих\х==0 есть величина натяжения на конце струны х = 0; ut(O,t)dt — перемещение этого конца, а интеграл и $it\x=0dt A5) представляет работу, которую надо затратить на перемещение конца х = 0. Аналогичный смысл имеет слагаемое, соответ- соответствующее х = I. Если концы струны закреплены, то работа на концах струны будет равна нулю (при этом ы@, t) =0,
jq УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II «i@, t) = 0). Следовательно, при перемещении закрепленной на концах струны из положения равновесия и = 0 в положение Uo(x) работа не зависит от способа перевода струны в это по- положение и равна ijfdx, A6) потенциальной энергии струны в момент t = t0 с обратным зна- знаком. Таким образом, полная энергия струны равна т J о Совершенно аналогично может быть получено выражение для потенциальной энергии продольных колебаний стержня. Впро- Впрочем, его можно получить также, исходя из формулы для потен- потенциальной энергии упругого стержня ~2 \ /о / где /о — начальная длина стержня, / — конечная длина. Отсюда непосредственно следует: 4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах. Прохождение электрического тока по проводу с распределенны- распределенными параметрами характеризуется силой тока i и напряжением v, которые являются функциями положения точки х и времени t. Применяя закон Ома к участку длиной dx, можно написать, что падение напряжения на элементе провода dx равняется сум- сумме электродвижущих сил: — vxdx = iRdx + itLdx, A8) где R и L — сопротивление и коэффициент самоиндукции, рас- рассчитанные на единицу длины. Количество электричества, притекающее на элемент прово- провода dx за время dt [i (x, t) -i(x + dx, t)] dt = - lx dx dt, A9) равно сумме количества электричества, необходимого для за- зарядки элемента dx, и количества, теряющегося вследствие несо- несовершенства изоляции: С [v (x, t + dt) — v (x, t)] dx-\-Gdx-vdt = (Cvt + Gv) dx dt, B0)
§ И ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 81 где С н G — коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, причем величину потерь мы считаем пропор- пропорциональной напряжению в рассматриваемой точке провода. Из формул A8), A9) и B0) получаем систему = 0, 1 = 0, J * ч называемую системой телеграфны*х уравнений•). Чтобы получить одно уравнение, определяющее функцию /, продифференцируем первое равенство B1) по х, второе — по t, умножив его на С. Производя вычитание в предположении постоянства коэффициентов, найдем: ixx + Gvx — CLitt — CRit = 0. Заменяя vx его значением из второго уравнения B1), получим уравнение для силы тока ixx = CLitt + (CR + GL) it + GRL B2) Аналогично выглядит уравнение для напряжения vxx = CLvtt + (CR + GL) vt + GRv. B3) Уравнение B2) или B3) называется телеграфным уравне- уравнением. Если можно пренебречь потерями через изоляцию и если сопротивление очень мало (G e^ R ^ 0), то мы приходим к изве- известному уравнению колебаний 5. Поперечные колебания мембраны. Мембраной называется плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Рас- Рассмотрим мембрану, натянутую на плоский контур С. Будем изу- изучать поперечные колебания мембраны, в которых смещение пер- «ендикулярнв к плоскости мембраны. Пусть ds — элемент дуги некоторого контура, взятого на по- поверхности мембраны и проходящего через точку М(х,у). На этот элемент действует натяжение, равное Т ds. Вектор Т вслед- вследствие отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу лежит в каса- касательной плоскости к мгновенной поверхности мембраны и пер- перпендикулярен к элементу ds. Можно показать, что отсутствие сопротивления сдвигу приводит к тому, что величина натяже- натяжения не зависит от направления элемента ds, так что вектор натяжения T = T(x,y,z) является функцией х, у и /. Эти ') Эти уравнения являются приближенными в рамках теории электро- электромагнитного поля, поскольку они не учитывают электромагнитных колебаний в среде, окружающей провод.
32 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. II свойства вектора Т служат математическим выражением отсут- отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу. Будем изучать малые колебания мембраны, пренебрегая квадратами первых производных их и иу, где функция u(x,y,t) определяет форму мембраны в момент времени t. Из этого предположения сразу же следует, что Th(x,y,t) —проекция на- натяжения на плоскость {х, у) — равна абсолютной величине на- натяжения. В самом деле, при любой ориентации дуги ds угол у' между вектором Т и плоскостью (л;, у) не превосходит угла у, образуемого нормалью к поверхности мембраны в точке (х, у) с осью г. Поэтому ?* 1 т. е. cosy'^ 1, и Th(х, у, z,t)=Tcosу'^Т{x, у, z, t). B5) Вертикальная составляющая натяжения, очевидно, равна j. у, ди Выделим на поверхности мембраны элемент площади, проекция которого на плоскость {х, у) является прямоугольником ABCD со сторонами, параллельными осям координат (рис. 3). На этот элемент действует сила натяжения, равная 3"= (j) Tds. B6) ABCD В силу отсутствия перемещения вдоль осей х и у проекции Т* на эти оси равны нулю: с о П= \ Т{х2, у, t)dy- J T{xu у, t)dy = В А = J {T (x2, y,t)-T {хи у, /)} dy = 0. &| Аналогично Гу = J {Т (х, у2, t)-T (х, уи /)} dx = 0. х, Пользуясь теоремой о среднем и учитывая произвол в выборе площадки ABCD, получаем: Т(х, yut)=T(x, y2,t), I и y,t)=T{x2,y,t), J
§11 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 33 т. е. натяжение Т не меняется при изменении х и у и может за- зависеть лишь от t. Площадь какого-либо элемента мембраны в момент вре- времени t равна в нашем приближении 'x dy. B8) Следовательно, в процессе колебаний не происходит растя- растяжения, откуда в силу закона Гука вытекает независимость на- натяжений от времени. Таким об- образом, мы установили, что на- натяжение не зависит от пере- переменных х, у и t Т (х и f) = const = Tq. B9) Перейдем к выводу урав- уравнения колебаний мембраны. Воспользуемся теоремой о при- приращении количества движения. Пусть Si — проекция на пло- плоскость (х, у) некоторого уча- участка мембраны, а С4 — гра- граница Si. Приравнивая изменение количества движения им- импульсу вертикальных составляющих сил натяжения и внешних действующих сил с плотностью F(x,y,t), получаем уравнение колебаний мембраны в интегральной форме J J ["<(*> У, к) — Щ{х, у, tx)]p(x, y)dxdy = У'Уг У'Ш т-хг Рис. 3. с, , C0) Si где р(х, у) —поверхностная плотность мембраны, a F(x,y,t) — плотность внешней силы (на единицу площади). Для перехода к дифференциальному уравнению предполо- предположим, что функция и (х, у, t) имеет непрерывные вторью произ- производные. С помощью теоремы Остроградского •) контурный ин- интеграл преобразуется в поверхностный С, Si •) См. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, 1948, стр. 196; Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965. 2 А, 11. Тихонов. А, А. Самарский
34 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II вследствие чего интегральное уравнение колебаний приводится к виду и J J J (Р«« - То (ихх + иуи) - F (х, у, t)} dx dy dt = 0. *, s, Пользуясь теоремой о среднем, произвольностью выбора St и промежутка времени (h,tz), делаем заключение о тождествен- тождественном равенстве нулю выражения в фигурных скобках. Таким об- образом, приходим к дифференциальному уравнению колебаний мембраны ры„ = Го (ихх + иуу) + F (х, у, t). C1) Для однородной мембраны уравнение колебаний можно запи- записать в виде "« = а2 (ихх + иуу) + f (х, ij, t) (a2 = -^), C2) где f(x,y,t)—плотность силы, рассчитанная на единицу мас- массы мембраны. 6. Уравнения гидродинамики и акустики. Для характери- характеристики движения жидкости пользуются функциями Vi (х, у, z, t), Vi{x,y,z,t), v3(x,y,z,t), представляющими компоненты вектора скорости v в точке (х, у, г) в момент t (эйлеровы переменные). Величинами,, характеризующими движение жидкости, являются также плотность p(x,y,z,t), давление p{x,y,z,t) и плотность внешних действующих сил F(x,y,z,t) (если они имеются), рас- рассчитанная на единицу массы. Рассмотрим некоторый объем жидкости Т и подсчитаем дей- действующие на него силы. Пренебрегая силами трения, обуслов- обусловленными вязкостью, т. е. рассматривая идеальную жидкость, по- получим для результирующей сил давления выражение в виде поверхностного интеграла -jjpndS, C3) s где S — поверхность объема Т, п — единичный вектор внешней нормали. Формула Остроградского •) дает: — jjpndS= — JJ Jgradptfr. C4) s г ') В самом деле, рп •= pcos{n,x)i + pcos{n,y)f + pcos{n,z)k, где i, j, ft — единичные векторы в системе координат (*, у; г), J J pcos(n, x) dx= j j J -|^-Л и т. д.
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 35 При вычислении ускорения какой-либо точки жидкости необхо- необходимо учесть перемещение самой точки. Пусть х = х (t), у = = y(t), z = z(t) —уравнение траектории этой точки. Вычислим производную скорости по времени dv _ dv , dv . i dv . , dv . _ If ~ ~df + ~dlx "T" ~di y + "aFZ ~ dv . dv , dv , dv dv —dT+-^^+-o^+^ где ? Такая производная по времени, учитывающая движение части- частицы среды (субстанции), называется субстанциональной или материальной. Уравнение движения жидкости выражает обычную связь между ускорением частиц и действующими на них силами -?л--Ш *"*'*+Л/<**• C5) г г г где последний интеграл представляет собой равнодействующую внешних сил, приложенных к объему Т. Отсюда в силу произ- произвольности объема Т получаем уравнение движения идеальной жидкости в форме Эйлера vt + (t>V) v = —j grad p + F. C6) Перейдем к выводу уравнения непрерывности. Если внутри Т нет никаких источников или стоков, то изменение в единицу времени количества жидкости, заключенной внутри Т, равно по- потоку через границу S JJJJ <37> Г S Преобразование поверхностного интеграла в объемный дает Так как это равенство справедливо для сколь угодно малых объемов, то отсюда следует уравнение непрерывности или |J O. C8)
35 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II К уравнениям C6) и C8) следует присоединить термодинами- термодинамическое уравнение состояния, которое мы здесь возьмем в виде P = f(p). Следовательно, мы получаем систему пяти уравнений с пя- пятью неизвестными функциями vx, vy, vz, pup. Если бы уравне- уравнение состояния содержало температуру, то нужно было бы доба- добавить еще уравнение теплопереноса (см. приложение IV). Таким образом, система уравнений = 0, C9> p=f(p) I представляет замкнутую систему уравнений гидродинамики. Применим уравнения гидродинамики к процессу распростра- распространения звука в газе. Сделаем следующие допущения: 1) внеш- внешние силы отсутствуют; 2) процесс распространения звука яв- является адиабатическим, поэтому уравнением состояния служит адиабата Пуассона Ро \Ро/ V со где ро и ро — начальная плотность и начальное давление, ср и с„ — теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме; 3) колебания газа малы, можно пренебрегать высшими степенями скоростей, градиентов скоростей и изменения плот- плотности. Назовем конденсацией газа величину s{x,y,z,t), рав- равную относительному изменению плотности s{x, у, z, 0= Р~Р°, D0) откуда p = Po(l+s). D1) Уравнения гидродинамики при сделанных предположениях принимают вид 1_ ' Ро Pt + Ро div v = 0, D2)
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 37 так как ¦¦~gradp = ~(l— s+ ...)gradp = -I-gradp+ ..., div pv = v grad p + P div v = p0 div v + где точками обозначены члены второго и высших порядков ма- малости. Вводя обозначение а2 = YPo/po. перепишем систему D2) в следующем виде: vt = — a2 grad s, I s, + divt> = 0. J Применяя к первому уравнению D2') оператор дивергенции и меняя порядок дифференцирования, будем иметь: dW-?- — -gfdivv = — a2div(grads) = — a2V2s = — a2 As, где — оператор Лапласа. Используя второе уравнение D2'), получим уравнение колебаний As = -i-s« D3) или & (sxx + syy + szz) = stt. Отсюда и из D0) получаем уравнение для плотности а2 {рхх + РУу + 9zz) = P«- D3') Уравнения D3) и D3') являются уравнениями колебаний. Введем теперь потенциал скоростей и покажем, что он удовлетворяет тому же уравнению колебаний D3), что и кон- конденсация. Из уравнения vt — — a2 grad s следует v(x, у, г, t) = v{x, у, г, 0) — a2grad f J sdt), D4) где v (х, у, z, 0) — начальное распределение скоростей. Если поле скоростей в начальный момент имеет потенциал v Lo = — grad / (х, у, г), D5)
38 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II то имеет место соотношение v = — grad \f{x, у, z) + a2 J s dt\ = — grad U, D6) которое означает, что существует потенциал скоростей U(x,y,z,t). Знания потенциала скоростей достаточно для опи- описания всего процесса движения 1) о = — gradt/, 1 1 ,, } D7) Подставляя эти значения в уравнение непрерывности st + divt; = 0, получим уравнение колебаний для потенциала a4Uxx + Uvv+Uzz) = Utt или С/„ = а2ДС/. D8) Для давления р и скорости v также можно получить уравне- уравнение колебаний вида D8), называемое часто уравнением акустики. При решении задач для двумерного и одномерного случаев надо в уравнении D8) оператор Лапласа заменить оператором -д-т-г-^т и> соответственно,-^-^. Постоянная ох оу ох имеет размерность скорости и, как будет показано в § 2, явля- является скоростью распространения звука. Вычислим скорость звука в воздухе п"ри нормальном атмо- атмосферном давлении. В этом случае y = 7/5, ро = 0,001293 г/см3, Ро = 1,033 кг/см2; следовательно, ')" Из формулы D6) видно, что потенциал U определен с точностью до слагаемого, являющегося произвольной функцией i. Из уравнения v, = = —a2 grad s и D6) следует grad Is j- vA = 0, т. e. s = —j Ut при соответствующей нормировке потенциала t/4
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 39 В случае колебаний газа в ограниченной области на ее гра- границе должны быть заданы определенные граничные условия. Если граница представляет собой твердую непроницаемую стен- стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что при- приводит к условиям dU дп = 0 или -^— дп = 0. D9) 7. Граничные и начальные условия. При математическом опи- описании физического процесса надо прежде всего поставить зада- задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однознач- однозначного определения процесса. Дифференциальные уравнения с обыкновенными и, тем бо- более, с частными производными имеют, вообще говоря, бесчислен- бесчисленное множество решений. Поэтому в том случае, когда физиче- физическая задача приводится к уравнению с частными производными, для однозначной характеристики процесса необходимо к урав- уравнению присоединить некоторые дополнительные условия. В случае обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка решение может быть определено начальными ус- условиями, т. е. заданием значений функции и ее первой производ- производной при «начальном» значении аргумента (задача Коши). Встречаются и другие формы дополнительных условий, когда, например, задаются значения функции в двух точках (задача о цепной линии). Для уравнения с частными производными воз- возможны, также различные формы дополнительных условий. Рассмотрим сперва простейшую задачу о поперечных коле- колебаниях струны, закрепленной на концах. В этой задаче и(х, t) дает отклонение струны от оси х. Если концы струны 0<1л:<1/ закреплены, то должны выполняться «граничные ¦ у с л о- в и я» и (О, /)==0, ы(/,/) = 0. E0) Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной формы и распределения скоростей, то следует задать «началь- «начальные условия»: и(*. *о) = <Р(*). 1 ut{x, to) = $(x). J Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных и начальных условий, где ц>(х) и ^(л;) —заданные функции точ- точки. В дальнейшем мы покажем, что эти условия вполне опре- определяют решение уравнения колебаний струны . E2)
40 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Если концы струны движутся по заданному закону, то гранич- граничные условия E0) принимают другой вид: E0) где Hi(t) и \iz(t)—заданные функции времени t. Аналогично ставится задача для продольных колебаний струны или пру- пружины. Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим, например, задачу о продольных колебаниях пружины, один ко- конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свобо- свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую является искомой функцией. В точке подвеса х = 0 отклонение «@, 0 = 0; на свободном конце х = I натяжение пружины E3) равно нулю (нет внешних сил), так что математическая фор- формулировка условия свободного конца имеет вид ux{U 0 = 0. Если конед х = 0 движется по определенному закону при х = I задана сила \{t), то и @, t) = p (t), ux (I, 0 = v (t), (v@ = -i v ( Типичным является также условие упругого закрепления,, ска- скажем для х = /, kuAl,t) = ~au(l, t) или uAUt) = -hu(l, t) (/* = ?). E4) при котором конец х = I может перемещаться, но упругая сила закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся вернуть сместившийся конец в прежнее положение. Эта сила, согласно закону Гука, пропорциональна смещению «(/,/); ко- коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом жесткости закрепления. Если точка (система), относительно которой имеет место упругое закрепление, перемещается и ее отклонение от началь- начального положения дается функцией Q(t), то граничное условие
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 41 принимает вид ux{l,t)=-h[u(l,f)-d(t)], Л = ?>0. E5) Условие упругого закрепления на левом конце х = О имеет вид и,@, <) = Л[и@, 0- (формально можно считать, что E5) имеет место и при х = 0, но h < 0). Следует отметить, что в случае жесткого закрепле- закрепления (а велико), когда даже небольшие сдвиги конца вызы- вызывают большие натяжения, граничное условие E5) переходит в условие u(l,t)=\i(t) (сс = оо) при \i(t) = 0@- В случае мягкого закрепления (а мало), при котором большие сдвиги конца вызывают слабые натяжения, граничное условие перехо- переходит в условие свободного конца М'. 0 = 0 (а = 0). В дальнейшем мы будем говорить о трех основных типах граничных условий: граничное условие 1-го рода .и@,0= мЧО— заданный ре- режим, граничное условие 2-го рода их@,t) = v(t) — заданная сила, граничное условие 3-го рода ux(O,t) = h[u(O,t) — Q(t)] — упругое закрепление. Аналогично задаются граничные условия и на втором конце х = I. Если функции, задаваемые в правой части (\i(t), \(t) или 0@), равны нулю, то граничные условия называются од- однородными. Комбинируя различные перечисленные типы граничных ус- условий, мы получим шесть типов простейших краевых задач. Более сложное граничное условие .имеет место, например, при упругом закреплении, не подчиняющемся закону Гука, ко- когда натяжение на конце является нелинейной функцией смеще- смещения u(l,t), так что ux(l, t) = \F[u{l, t)]. E6) Это граничное условие в отличие от рассмотренных выше яв- является нелинейным. Возможны, далее, соотношения между сме- смещениями и натяжениями на разных концах системы. Напри- Например, в задачах о колебании кольца, когда х = 0 и х = / пред- представляют одну и ту же физическую точку, граничные условия принимают вид и {I, 0 = «@, 0; их @, 0 = их {I, t), E7)
42 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II т. е. сводятся к требованиям непрерывности и и их. Производ- Производные по t могут также входить в граничные условия. Если ко- конец пружины испытывает сопротивление среды, пропорциональ- пропорциональное скорости его движения (к концу пружины прикреплена пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси пружины), то граничное условие принимает вид t). E8) Если к концу х = I пружины -прикреплен груз массы т, то при х = / должно выполняться условие mutt (I, t) = - kux (I, t) + mg. E9) Для поперечных колебаний струны все граничные условия за- записываются в той же форме с заменой k на То. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением трех про- простейших типов граничных условий, проводя основное изложе- изложение на примере первого типа граничного условия и отмечая лишь попутно особенности, связанные со вторым и третьим условиями. Сформулируем первую краевую задачу для уравнения E): найти функцию u(x,t), определенную в области О^.х^.1, t 5= 0, удовлетворяющую уравнению utt = a2u/x + f(xj) для 0<ж</, *>0, граничным и @, 0 = \i, (t), U(l, I) Р-2 (I), и начальным условиям: и (х, 0) = ср (х), {0 Аналогично ставится задача для уравнения A1). Если на обоих концах берутся граничные условия 2-го или 3-го рода, то соответствующие задачи называются второй или третьей краевыми задачами. Если граничные условия при х = 0 и х = I имеют различные типы, то такие краевые задачи называют смешанными, не проводя более подробной их клас- классификации. Обратимся теперь к рассмотрению предельных случаев по- поставленной задачи. Влияние граничных условий в точке Мо, достаточно удаленной от границы, на которой они заданы, ска- сказывается через достаточно большой промежуток времени. ') Мы не останавливаемся на случае, когда граничные условия заданы на отрезке 0 sg t sg: to.
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 43 Если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, когда влияние границ еще несущественно, то вместо полной задачи можно рассматривать предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области: найти решение уравнения utt = а2ихх + f (x, t) для — оо < jc < оо, t>0, с начальными условиями и(х, О) = ср(х) / m ,/ \ I ПРИ —оо<х<оо. F1) щ{х, 0) = яИ*) J Эту задачу часто называют задачей Кош и. Если же мы изучаем явление вблизи одной границы и влия- влияние граничного режима на второй границе не имеет существен- существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограни- полуограниченной прямой 0^х< оо, когда помимо уравнения даны допол- дополнительные условия: и@, 0 = ] F2) и(х, 0) = Ф(*), 1 щ(х, 0) = гр(лг) J оо. Характер явления для моментов времени, достаточно уда- удаленных от начального момента t = 0, вполне определяется граничными значениями, так как влияние начальных условий благодаря трению, присущему всякой реальной системе, с тече- течением времени ослабевает1). Задачи этого типа встречаются особенно часто в случаях, когда система возбуждается перио- периодическим граничным режимом, действующим длительное время. Такие задачи «без начальных условий» (на установившийся ре- режим) формулируются следующим образом: найти решение изучаемого уравнения для 0^x^.1 и t> > —оо при граничных условиях Аналогично ставится задача без начальных условий для полу- полуограниченной прямой. •} Уравнение колебаний с учетом 'трения, пропорционального скорости, имеет вид utt= а2ихх — aut (" > °)- Подробнее о постановке задач без начальных условий при а = 0 см. п. 7 § 3.
44 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II В дальнейшем мы будем рассматривать помимо основных краевых задач также предельные задачи: 1. Задачи в бесконечной области, когда одна или обе гра- границы находятся в бесконечности. 2. Задачи без начальных условий (на установившийся ре- режим), когда рассматривается решение, определенное в течение бесконечного промежутка времени. 8. Редукция общей задачи. При решении сложной задачи естественно стремиться свести ее решение к решению более простых задач. С этой целью представим решение общей крае- краевой задачи в виде суммы решений ряда частных краевых задач. Пусть щ (х, t) (i = 1,2,..., п) — функции, удовлетворяющие уравнениям при 0<х</, ^>0и дополнительным условиям ut{O,t) = ]x[ (t), ut (x, 0) — ф' (х), Очевидно, что имеет место суперпозиция решений, т. е. функ- функция удовлетворяет аналогичному уравнению с правой частью F7) и дополнительным условиям, правые части которых суть функ- функции 2i l. 2), F8) Указанный принцип суперпозиции относится, очевидно, не только к данной задаче, но и к любому линейному уравнению
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 45 с линейными дополнительными условиями. Этим свойством мы в дальнейшем неоднократно будем пользоваться. Решение общей краевой задачи F9) может быть представлено в виде суммы и (х, t) = и, (х, t) + и2 {х, t) + и3 (х, t) + «4 (*. *), G0) где ии и2, «3i  — решения следующих частных краевых задач: dt dx @l, t>0). , t) 1, t>0); и (о, q = MQ. и Ц, t) = ii2(t); и(х, О) = щ(х, 0) = a/» - и дх* щ @, 0 = 0, «2 @, /) = jxi @, «з @, 0 = 0, »4 @, 0 = О, и, (/, о = о; «2 (/. О=0; ы3 (/, 0 - \ь (*); «4 С. О=о; щ (х, 0) = ф (ж), ы2 (*> 0) = 0, ы3 (х, 0) = 0, ы4 (ж, 0) = О, и,( (х, 0) =р ^(д:), ы2( (х, 0) = 0; ы3< (х, 0) = 0; ы4<(х, 0) = 0. G1) Мы ограничимся здесь этой формальной редукцией для того, чтобы характеризовать частные краевые задачи, составляющие основные этапы при решении общей задачи. Аналогичная ре- редукция может быть произведена и для предельных случаев об- общей краевой_задачи. 9. Постановка краевых задач для случая многих переменных. Мы подробно рассмотрели постановку краевых задач для слу- случая одной независимой геометрической переменной х (и вре- времени t). Если число геометрических переменных п > 1 (напри- (например, п = 3), то первая краевая задача ставится совершенно сходным образом: требуется найти функцию u(M,t) = u(x,y,z,t), определен- определенную при t ^ 0 внутри заданной об Ласти Т с границей 2, удов- удовлетворяющую при t>0 внутри Т уравнению и„ = а2Аи + /(Af, t) (М(х, y,z)<=T,t>0), G2)
46 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II граничному условию на 2 «|s = |i(P, t) (P(x,y,z)f=2,f^0) G3) (\i(x, y, z, t) есть функция, заданная на S) и начальным усло- условиям и (М, 0) = ф (М), ) 1 т) = П G4) Разложение общей краевой задачи на ряд более простых про- происходит аналогично предшествующему. Отметим, что возможна также постановка предельных краевых задач для неограничен- неограниченной области, полупространства и т. д. 10. Теорема единственности. При решении краевых задач: 1) надо убедиться в том, что дополнительные условия до- достаточны для выделения однозначного решения; это дости- достигается доказательством теоремы единственности; 2) надо убедиться в том, что дополнительные условия не переопределяют задачу, т. е. среди них нет несовместных усло- условий; это достигается доказательством теоремы существо- существования; доказательство существования решения обычно тесно связано с методом нахождения решения. В настоящем пункте нами будет доказана следующая тео- теорема единственности: Возможно существование только odnqu функции u(x,t), определенной в области 0 *Cx4il, />0 и удовлетворяющей уравнению t>0, G5) начальным и граничным условиям и (х, 0) = Ф (*), щ (х, 0) = -ф (х), | и@, 0 = ^@. u(l,t) = li2(t),l { ' если выполнены условия: 1) функция и (х, t) и производные, входящие в уравнение G5), а также производная uxt непрерывны на отрезке 0 ^ х ^ < / при t ^ 0; 2) коэффициенты р(х) и k(x) непрерывны на отрезке 0^ Допустим, что существует два решения рассматриваемой за- задачи: Ui(x,J), Uzix, t), и рассмотрим разность v(x,t)= ui(x,t)~u2{x,t).
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 47 Функция v(x, t), очевидно, удовлетворяет однородному урав- уравнению и однородным дополнительным условиям о(*,0) = 0, 0@,0 = 0,1 vt(x,0) = 0; о (/,0 = 0, J ( } а также условию 1) теоремы. Докажем, что функция v(x, t) тождественно равна нулю. Рассмотрим функцию ? @ =4 J {* (о*J + Р (о Л dJt G9) о и покажем, что она не зависит от /. Физический смысл функ- функции E(t) очевиден: это полная энергия струны в момент вре- времени t. Продифференцируем E(t) no t, выполняя при этом дифференцирование под знаком интеграла') i J о (kvxvxt + pvtvtt) dx. б Интегрируя по частям первое слагаемое правой части, будем иметь: i i \ kvxvxt dx = [kvxvtiu — J vt (kvx)x dx. (80) о о Подстановка обращается в нуль в силу граничных условий (из v@,t) — 0 следует vt@,t) = 0 и аналогично для х = 1). От- Отсюда следует, что i i ¦ — J [ро*»в — vt (kvx)x] dx = J vt [pvtt — (kvx)x] dx = 0, о о т. e. E{t) = const. Учитывая начальные условия, получаем: ?'@ = const = Е @) = 1 J [k (Vxf + p (t»(J]<=0 dx = 0, (81) ') Для дифференцирования под знаком интеграла достаточно, чтобы получаемое при этом подынтегральное выражение было непрерывно на отрезке 0 ^ х ^ / при t 5= 0. Это требование в нашем случае выполнено, так как функция v{x,t) удовлетворяет условию 1) теоремы, а р(х) a k(x) — условию 2).
48 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II так как v(x, 0) = 0, »f(*. 0) = 0. Пользуясь формулой (81) и положительностью k и р, заклю- заключаем, что »х(х, Q==0, с,(лс, 0=-0, откуда и следует тождество v(x, f) = const = C0. • (82) Пользуясь начальным условием, находим: тем самым доказано, что v (x, f) = 0. (83) Следовательно, если существуют две функции щ(х,t) и u2(x,t), удовлетворяющие всем условиям теоремы, то щ (х, t) га щ,(х, t). Для второй краевой задачи функция v — щ — и2 удовлетво- удовлетворяет граничным условиям 0,@,0 = 0, о, (/,0 = 0, (84) и подстановка в формуле (80) также обращается в нуль. Даль- Дальнейшая часть доказательства теоремы естается без именений. Для третьей краевой задачи доказательство требует неко- некоторого видоизменения. Рассматривая по-прежнему два решения U\ и ы2. получаем для их разности v(x, t)=u\ — и2 уравнение G7) и граничные условия vx @, 0 - h{ v @, 0 = 0 (Л, > 0), vx(l,t) + h2v(l, 0 = 0 (Л2>0). Представим подстановку в (80) в виде ).' } (85) ikvxvt]l0=- 441^2 v- о+м2 (о, о] • Интегрируя —тг в пределах от нуля до /, получим: t i Е @ - Е @) = [ J vt [ро« - (kvx)x] dx dt - б о - 4 {h [v2 (I, 0 - v2 (I, 0)] -f Л, [у2 @, 0 - tJ @, 0)]}, откуда в силу уравнения и начальных условий следует: Е @ = - 4 [М2 (*, 0 + Л^2 @, 0К 0. (86)
§ 11 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 49 Так как. в силу неотрицательности подинтегральной функции E(t) 2г 0, то Е (t) = 0, (87) а следовательно, и v(x, 0 = 0. (88) Изложенный здесь метод доказательства теоремы единствен- единственности, основанный на использовании выражения полной энер- энергии, широко применяется при доказательстве теорем единствен- единственности в различных областях математической физики, например, в теории электромагнитных полей, теории упругости и гидро- гидродинамике. Доказательство единственности других краевых задач (за- (задачи Коши и задачи без начальных условий) будет дано в дальнейшем в соответствующем месте. Задачи 1. Доказать, что уравнение малых крутильных колебаний стержня имеет вид GJ где в есть угол поворота сечения стержня с абсциссой х, G — модуль сдвига, 1 — полярный момент инерции поперечного сечеиия, a k — момент инерции единицы длины стержня. Дать физическую интерпретацию граничных усло- условий 1-го, 2-го-и 3-го рода для этого уравнения. 2. Абсолютно гибкая однородная нить закреплена на одном из концов и под действием своего веса находится в вертикальном положении равнове- равновесия. Вывести уравнение малых колебаний нити. д2и , д Ответ: — = ^-^[(l-x)-^\, а> = g, где и(х, t)—смещение точки, / — длина нити, g— ускорение силы тяжести. 3. Тяжелая однородная нить длины I, прикрепленная верхним концом {х = 0) к вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угло- угловой скоростью со. Вывести уравнение малых колебаний нити около своего вертикального положения равновесия. Ответ: -др- = а2 -g^ [С — *) ~дх~\ + <*2«. где a? = g. 4. Вывести уравнение поперечных колебаний струны в среде, сопротив- сопротивление которой пропорционально первой степени скорости. Ответ: vff = a2v^r — h2v., а2' = 1/ —-. 5. Вывести граничные условия для уравнения продольных колебаний упругого стержня (пружниы) в случае, когда верхний конец стержня за- закреплен жестко, а к нижнему прикреплен груз Р, если: а) за положение равновесия принимается напряженное состояние стерж- стержня под действием иеподвижиого груза Р, подвешенного к нижнему концу (статическое растяжение);
50 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II б) за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня (например, в начальный момент из-под груза убирается подставка, и груз начинает растягивать стержень). 6. Написать уравнение и условия, определяющие процесс крутильных колебаний стержня, к обоим концам которого прикреплены шкивы. Ответ: При х = 0, х = I должны выполняться граничные условия вида 6Й @, t) = а2вх @, t), в„ (/, 0 = - ефх (Z, t). 7. В некоторой точке х = хв струны @ =^ х =^ /) подвешен груз массы М. Вывести условия сопряжения в точке х = х0. 8. К концу х = I упругого стержня, упруго закрепленного в точке х=0, подвешен груз массы М. Написать уравнение и условия, определяющие про- продольные колебания стержня, предполагая, что на него, кроме того, действует внешняя сила. Рассмотреть два случая: а) сила распределена по стержню с плотностью F(x,t); б) сила сосредоточена в точке х = хв и равна Fo(t). 9. Рассмотреть процесс малых колебаний идеального газа в цилиндриче- цилиндрической трубке. Вывести сначала основные уравнения гидродинамики, а затем, предполагая процесс адиабатическим, вывести дифференциальное уравнение для: 1) плотности р, 2) давления р, 3) потенциала V скорости частиц газа, 4) скорости v, 5) смещения и частиц. Привести примеры реализации гранич- граничных условий 1-го, 2-го и 3-го типов для этих уравнений. 10. Установить соотношения подобия между процессами механических, акустических и электрических колебаний (см. приложение VI к гл. II). 11. Привести примеры граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода для те- телеграфных уравнений. 12. Рассмотреть задачу о продольных колебаниях неоднородного стержня (k = ki при х < Хв, к = к2 при х > хв) и вывести условия сопряжения в точке стыка неоднородных частей стержня (при х = хв). 13. Дать физическую интерпретацию граничного условия аих@, t) + Vuf(O, t)=0. 14. Привести пример механической модели, для которой реализовалось бы уравнение 2 § 2. Метод распространяющихся волн 1. Формула Даламоера. Изучение методов построения реше- решений краевых задач для уравнений гиперболического типа мы начинаем с задачи с начальными условиями для неограничен- неограниченной струны: uti-a2uxx = 0, A) и{х, 0) = <р(*), 1 щ{х,0) = Ш- I ( ' Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержа- содержащему смешанную производную (см. гл. I). Уравнение характе- характеристик
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 51 распадается на два уравнения: интегралами которых являются прямые х — сА = Си x-\-at = C2. Вводя, как обычно, новые переменные I = х + at, r) = x — at, уравнение колебаний струны преобразуем к виду: «5„ = 0. C) Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения C) где f*(r\) — некоторая функция только переменного т). Интегри- Интегрируя это равенство по ц при фиксированном |, получим: и (|, Tj) = J Г (ri) dtj + /, (|) = f, (|) + f2 (ц), D) где /i и /г являются функциями только переменных | и tj. Об- Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции /1 и /2, функция ы(|, т)), определяемая формулой D), представ- представляет собой решение уравнения C). Так как всякое решение уравнения C) может быть представлено в виде D) при соот- соответствующем выборе /i и /г, то формула D) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция и (х, t) = f, (* + at) + U (x - at) E) является общим интегралом уравнения A). Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой E). Определим функции /i и /г та- таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия: F) щ (х, 0) = а\[ (х) - aff2 (х) = у (х). G) Интегрируя второе равенство, получим: X,
52 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II где х0 и С — постоянные. Из равенств находим: 1 -2 Ф if (8) Таким образом, мы определили функции /i н /г через за- заданные функции ф и ¦ф, причем равенства (8) должны иметь место для любого значения аргумента1). Подставляя в E) найденные значения fi и fz> получим: {¦x+at x—at ч J <,(«)*»- J *(a)rfa xt х0 ' или x+at j j x-a* Формулу (9), называемую формулой Даламбера, мы полу- получили, предполагая существование решения поставленной зада- задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи A) — B), то оно представлялось бы формулой (9) и совпадало бы с пер- первым решением. Нетрудно проверить, что формула (9) удовлетворяет (в пред- предположении двукратной дифференцируемости функции ф и одно- однократной дифференцируемости функции я])) уравнению и началь- начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставлен- поставленной задачи. 2. Физическая интерпретация. Функция и{х, t), определяемая формулой (9), представляет процесс распространения началь- ') В формуле E) функции /i и /г определены неоднозначно. Если от ft отнять, а к /2 прибавить некоторую постоянную Си то и не изменится. В формуле (8) постоянная С не определяется через фи\|), однако мы можем ее отбросить, не меняя значения и. При сложении fi и /г слагаемые С/2 и — С/2 взаимно уничтожаются.
§2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН а) ного отклонения и начальной скорости. Если фиксировать t = = t0, то функция и (х, t0) дает профиль струны в момент t0; фиксируя х — Хо, получим функцию u(xo,t), дающую процесс движения точки х0 (рис. 4). Предположим, что наблюдатель, находившийся в точке ^ = 0 в момент t = О, и движется со скоростью а в положительном направ- направлении. Введем систему ко- координат, связанную с на- наблюдателем, полагая х'= =х — at, f = t. В этой подвижной системе коор- координат функция u(x,t) = = f(x — at) будет опре- определяться формулой и= = /(*') и наблюдатель все время будет видеть тот же профиль, что и в начальный момент. Сле- Следовательно, функция и (х, t) =f{x—at) пред- представляет неизменный про- профиль f(x), перемещаю- перемещающийся вправо (в положи- положительном направлении оси х) со. скоростью а (распространяющуюся или бегущую волну). Функция f(x + at) представляет, очевидно, волну, рас- распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси я) со скоростью а. Таким образом, общее решение (9) задачи Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн /i (x + at) + h (x — а0> одна из которых распространяется на- направо со скоростью а, а вторая — налево с той же скоростью. При этом где Для выяснения характера решения (9) удобно пользоваться" плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые х —at = const и # + а/= const являются характеристиками уравнения A). Функция u = f{x — at) вдоль характеристики Рис. 4.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II х — at = const сохраняет постоянное значение, функция и = = f(x-\-at) постоянна вдоль характеристики х + at = const. Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале {Xi,x2) и равна нулю вне этого интервала. Проведем характе- характеристики х — at = х{ и х — at — х2 через точки (хи 0) и (#2.0); •они разбивают полуплоскость (х, t > 0) на три области /, // и /// (рис. 5,а). Функция u = f(x — at) отлична от нуля только в области //, где хх < х — at < х2 и характеристики х — at = = Xi и х — at = х2 представляют передний и задний фронты распространяющейся направо волны. P(xo-ato,0) Рнс. 5. Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку (х0, to) и проведем из нее обе характеристики х — at = х0 — ato и х + + at = #о + at0, которые пересекут ось х в точках xt = х0 — ¦'— at0, t = 0 и х2 = х0 + а*о. * = 0. Значение функции и = = fi(x — t)-j-f2{x + at) в точке {xo,to) равно и(х0,to) = M*i) + + /2(^2)» т. е. определяется значениями функций fi(x) и fz(x) в точках (jci, 0) и (^2,0). являющихся вершинами треугольника MPQ (рис. 5,6), образованного двумя характеристиками и осью х. Этот треугольник называется характеристическим тре- треугольником точки (#о. М • Из формулы (9) видно, что отклоне- отклонение и(х0, t0) точки струны в момент ?0 зависит только от зна- значений начального отклонения в вершинах Р(х0 — ato, 0) и Q(xo-\-ato,0) характеристического треугольника MPQ и от зна- значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится осо- особенно ясным, если формулу (9) записать в виде A0) PQ Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влия- влияния на значения и (х, t) в точке М (х0, t0). Если началыше усло- условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке PiQu
§2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН то они однозначно определяют решение внутри характеристиче- характеристического треугольника, основанием которого является отрезок PiQu 3. Примеры. Решение (9) можно представить в виде суммы и = щ (х, t) + щ (х, t), где *!,(*, 0 = 4-[ф (*-< О IT \" / I f at)], A1) ™ «2 {Х, f) = x+at . A2) Если начальная скорость равна нулю (i?> (х) = 0), то отклонение и — щ (х, t) есть сумма левой и правой бегу- бегущих волн, причем началь- начальная форма каждой волны определяется функцией 0,5ф(#), равной половине начального отклонения. Ес- Если же ф (х) =0, то и = = tiz(x,t) представляет воз- возмущение струны, создавае- создаваемое начальной скоростью. Пример 1. Рассмотрим распространение начального отклонения, заданного в виде равнобедренного треу- треугольника. Такой начальный профиль можно получить, если оттянуть струну в се- середине отрезка [хи х2]. На рис. 6 даны последователь- последовательные положения струны через промежутки времени Д? = _ x 8a Рнс- 6- \ »-г Рис. 7. Bi)/ Наглядное представление о характере процесса распростра- распространения можно получить с помощью фазовой плоскости .(x,t)^ Проведем характеристики через точки Р{хи0) и Q(x2,0); они разобьют полуплоскость (— оо < х < оо, t ^ 0) на шесть об- областей (рис. 7). Отклонение щ(х,t) в любой точке (x,t) дается формулой A1). Поэтому в областях /, ///, V отклонение равно нулю, так как характеристический треугольник любой точки
56 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II из этих областей не имеет общих точек с отрезком [jci, лг2], на котором заданы начальные условия. В области // решением является «правая волна» ы —0,5ф(х — at), в области IV—«ле- IV—«левая волна» и = 0,5ф (х + at), а в области VI решение есть сумма «левой» и «правой» волн. Пример 2. Пусть начальное отклонение ф(я)==0, а на- начальная скорость отлична от нуля только на отрезке [#i,#2], где она принимает постоянное'значение -ф0: ty{x) = ty0 при Xi ^ sg; х sg: х2, %р (х) — 0 при х > х2 и х < Xi. В этом случае реше- решением является функция u2(x,t). Вычислим функцию ^(х), вы- выбрав при этом Хо = 0 (рис. 8): О при х<хи {x — Xi)^0l2a при *,<.к<*2, A3) (х2 — х{) %/2а при х > х2. X Решение u2(x,t) есть разность правой и левой волн с профилем 4f (x). Последовательные положения этих волн через проме- промежутки времени At = (x2 — #i)/8a изображены на рис. 9. Про- Профиль струны для t ^ 4Д/ имеет форму трапеции, расширяю- расширяющейся равномерно с течением времени. Если ty(x) отлично от постоянной на [xi,x^\, то изменится лишь профиль ^(х). Для выяснения характера решения воспользуемся фазовой плоскостью (х, t) (рис. 7). Напишем выражения для и(х, t) в различных областях фазовой плоскости. В области / {х — at> х2) Ч (х + at) = ? (х — at) = const, u(x,t) = 0. В области V (x + at<xl) W (x — at) = У (х-{-at) = О, (t) ,) В области /// {х — at < хи х + at> x2) Ч(х+ at) = const = ^=^- -at) = 0, и(х, 0 = ^ В области II(xi<x — at<x2, x-\- at>x2) — °i — xi i / л х-> — (х — Та—L^o, u(x, 0=»-J—^ В области IV (xi<x + at<x2, x — at<x{) x + *-x4h>, 4{x-at) = 0, u(x, t) =
§г) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН В области VI{x — at>xu x + at<x2) 57 - at) = *"%,"*' «(*, t) = Пример 3. Рассмотрим задачу о колебаниях струны под действием сосредоточенного импульса. Сообщая в начальный момент точкам струны {х,х + + Ах) постоянную скорость ifo (например, ударяя струну мо- молоточком), мы прикладываем к этому участку импульс /, рав- равный изменению количества движения при t = 0, так что / = рДллро, где р — линейная плотность струны. Таким обра- образом, мы должны решить зада- задачу о колебаниях струны с ну- нулевым начальным отклонени- отклонением и начальной скоростью ¦ф = /0/р = i]H на интервале (х,х-\- Ах), ty = 0 вне этого интервала; здесь 10 = 1/Ах — плотность импульса. Анализ решения этой задачи был дан выше при решении примера 2. X Рис. 8. Рис. 9. Отклонение, вызываемое импульсом, распределенным на интер- интервале {х,х-\-Ах), представляет собой при t>Ax/2a трапецию с нижним основанием 2at + Ax и верхним 2at — Ax. Совершая предельный переход при Д*->0 /0 = const, видим, что откло- отклонения будут Нравны нулю вне {х — at,x + at) и //2ор внутри этого интервала. Можно условно говорить, что эти отклонения вызываются точечным импульсом /.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Рассмотрим фазовую плоскость (х, t) и проведем через точку (х0, t0) обе характеристики: х — at = х0 — atQ, х + at = xQ + at0 (рис. 10). Они определяют два угла oci и осг, называемые верх- верхним и, соответственно, нижним характеристическими углами для точки (х0, t0). Действие точечного импульса в точке (х0, *о) вызывает от- отклонение, равное -т^- — внутри верхнего характеристического угла и нулю вне его. 4. Неоднородное уравнение. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения коле- колебаний Рис. 10. Пусть wf (x, t; т) — решение вспомогательной задачи Коши ^Г «Я = «хх + f(x, f), — оо<д;<оо, и(х, 0) = ф(х), щ(х, 0) = ifW, схэ. A4) э, t>x Wf \Х, Т, т; — W, ^^ ^а, т, т; — / ^л, т;, t — т, tw Формула Даламбера (9) дает х+ a (t-x) 1 Г wf(x, t; x) = w{{x, t — т;т)=2^- J f(t, x-a(t-x) Перепишем формулу Даламбера (9) в виде о (х, t) = ^- (x, t; 0) + шф (х, t; 0), A5) оо. A6) A7) A8) x+at x+at где являются решениями задачи A5), A6) при т = 0 и f = ) / = Ф (д;) соответственно, так как непосредственное дифферен- *{x, t; 0) = ^- J il>(|)d|, o»,(jc, <;0) = ^- J
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН цирование показывает, что x+al + dwV (v t. Пч_ д l f J X—at Докажем, что справедлива следующая лемма: Решение неоднородного уравнения A4) с нулевыми на- начальными данными ut(x,0) =0, «(#,0) =0 имеет вид t u{x,f)=di\wf(x,t;x)dx. о Дифференцируя функцию A9) и учитывая условия A6) для Wf{x,t\x), находим: щ (х, t) = a2wf (х, t;t) + a4 -^ (х, f, т) dx =- Ф I -J (x, t; т) dxr б о B0) и«(*. t) = a2^-(x, t; t) + a* j ^-(x, t; x)dx = t = °2 J -?? {x> *> T)dr + °2f ^ ')• о t Г d2Wf Г d2wf uxx==a \ dx2 (X' ' T' == J 5/2 (-^« ^> T) ^T • о о Отсюда видно, что функция A9) удовлетворяет уравнению A4). Из формул A9) и B0) сразу следует: Решение задачи A4), в силу A8) и A9), можно предста- представить в виде t и (х, t) = -^L (je, t; 0) + шф (x, t; 0) + a2 J wt {x, t; x) dx. B1) о Пользуясь выражением A7) для wf, получим: x+at ± J t x+a ti) J f{%,x)d$dx. B2) J x-at t x+a ti-%) J J 0 x-ait-%
60 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. [I Прямая подстановка B2) в A4) показывает, что функция B2) в самом деле является решением задачи A4), если суще- существуют производные <р" (лг), o]/(jc) и df/dx. Из формулы A7) следует, что функция Ш/ удовлетворяет уравнению при t = т, если f дифференцируема по х, т. е. пред- представление B1) возможно при тех же условиях, при которых решение задачи Коши существует. Формула B1) показывает, что решение общей задачи A4) может быть сразу написано, если имеется решение вспомога- вспомогательной задачи A5) — A6). Аналогичная формула имеет место и для решения задачи Коши в неограниченном пространстве (см. гл. V). 5. Устойчивость решений. Решение уравнения A) однозначно определено начальными условиями B). Докажем, что это ре- решение меняется непрерывно при непрерывном изменении на- начальных условий. Каков бы ни был промежуток времени [0,t0] и какова бы ни была степень, точности е, найдется такое 6(е,/0), что всякие два решения уравнения A) щ(х, t) и u2(x,t) в течение проме- промежутка времени t0 будут различаться между, собой меньше чем. на е: ]щ(х, t) -u2(x, если только начальные значения \ щ {х, 0) = ф, (х), \ и2 (х, 0) = Фа (х), отличаются друг от друга меньше чем на 6: Доказательство этой теоремы чрезвычайно просто. Функции Ui(x,t) и uz{x,t) связаны со своими начальными значениями формулой (9) так что x+at J + t J x-at откуда получаем: что и; доказывает наше утверждение, если положить 6
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 61 Всякий физически определенный процесс, развивающийся во времени, должен характеризоваться функциями, непрерывно зависящими от начальных данных. Если бы не было этой не- непрерывной зависимости, то два существенно различных про- процесса могли бы соответствовать практически одинаковым си- системам начальных условий (различие которых лежит в преде- пределах точности измерений). Процессы такого типа нельзя считать определенными (физически) такими начальными условиями. Из предыдущей теоремы следует, что процесс колебаний струны не только математически, но и физически определен началь- начальными условиями. Если решение математической задачи непрерывно зависит от дополнительных условий (от начальных, граничных данных и от правой части уравнений — от исходных данных задачи), то говорят, что задача устойчива. В связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если 1) решение задачи суще- существует, 2) задача имеет единственное решение, 3) решение за- задачи непрерывно зависит от исходных данных (устойчиво). Отметим, что некорректно поставленные задачи часто встре- встречаются в приложениях и к их числу относятся многие хорошо известные математические задачи. Приведем пример некорректно поставленной задачи, реше- решение которой неустойчиво. Функция и(х,у), являющаяся решением уравнения Лапласа Чхх +"?/?/ = 0, однозначно определяется своими начальными условиями1) и(х,0) = q>(x), иу(х,0) = г];(х). Рассмотрим функ- функции иМ(х,у) = 0 и и{2)(х, у) = у sin Яде • chky, удовлетворяю- удовлетворяющие уравнению Лапласа. Функция и<2Цх,у) зависит от К, как от параметра. Начальные значения U(i) (х, 0) = 0, ы<2> (х, 0) = ф {х) = -i- sin lx, uf {x, 0) = 0, и» {x, 0) = ф (х) = Q различаются сколь угодно мало при достаточно больших Я. Однако при этом решение и^(х,у) может стать сколь угодно большим, каково бы ни было фиксированное значение у. Сле- Следовательно, задача с начальными условиями для уравнения Лапласа является некорректно поставленной. ') Эти условия математически однозначно определяют решение уравне- уравнения Лапласа. В самом деле, задание иу(х,0) эквивалентно vx(x,0), где v(x> У)—функция гармонически сопряженная для и(х, у). Этим с точностью до_постоянной однозначно определяется аналитическая функция, действитель- действительной частью которой является функция и(х,у) (см. гл. IV,1 § 1, п. 5).
g2 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. II Естественно возникает вопрос о том, могут ли некорректно поставлен- поставленные задачи вообще соответствовать каким-либо задачам, представляющим интерес для физики? А также, какую научную ценность может представлять приближенное решение некорректно поставленных задач, поскольку малым ошибкам в условиях задач могут соответствовать большие ошибки решения? Подобные сомнения возникают в связи с тем, что в сказанном выше подразумевается, что в качестве приближенного решения задачи берется точное решение задачи, соответствующее приближенным условиям. Приведем пример некорректно поставленной задачи, имеющей важное практическое значение. Рассмотрим задачу о нахождении производной z(x) = —i-no равномер- равномерным приближенным значениям для f{x). Пусть мера точности при задании J(x) и определении 2(х) определена как max | J (х) — f (x) | и max | z (х) — z (x) |. Очевидно, что эта задача с точки зрения приведенной выше терминологии неустойчива (поставлена некорректно). В самом деле, если f (х) = f (x) + + 6 cos сох, то max|f(>;)—f(x)\ — е при малом б. Однако если мы в каче- качестве приближенного значения z (x) выбрали бы точную производную для функции f(x), то & (х) = V (х) — бю sin &х и max | z (х) — z (х) | = бю; бш при фиксированном б и большом ш может быть как угодно большим числом. Однако хорошо известно, что в качестве приближенного значения f(x + b)—f(x) производной берется разностное отношение —i т J—, которое пред- представляет искомую производную с как угодно малой погрешностью, если только h и б/h достаточно малы. Понятно при этом, что для получения хоро- хорошего приближения для df/dx по приближенному значению для f (x) погреш- погрешность б должна быть достаточно мала. Итак, в рассматриваемом примере, несмотря на неустойчивость задачи, можно указать метод получения сколь угодно точных приближений для искомого решения по достаточно точным приближенным условиям задачи. Подобное положение типично для многих некорректно поставленных задач '). Некорректно поставленные задачи часто встречаются в физике при изу- изучении объектов, недоступных непосредственному исследованию (измерению). В этих случаях приходится делать заключения о характеристиках «г» таких объектов по их косвенным (физически детерминированным) проявлениям <ш», доступным для экспериментальных измерений и связанным с «z» функцио- функциональной зависимостью вида Аг = и. В результате мы приходим к задаче обработки наблюдений, которая является обратной задачей н состоит в опре- определении характеристик «г» объектов по данным ««» эксперимента. Многие из ') М. М. Лаврентьев, О некорректных задачах математической фи- физики, Изд. Сиб. отдел. АН СССР, Новосибирск, 1962; А. Н. Тихонов, Решение некорректно поставленных задач и метод регуляризации, ДАН СССР 151, № 3, 501—504 A963); «О регуляризации некорректно поставлен- поставленных задач», ДАН СССР 153, № 1, 45—52 A963); «О нелинейных уравнениях первого рода», ДАН СССР 161, № 5, 1023-1027 A965).
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 63 этих задач являются некорректно поставленными. В частности, приведенная выше задача Коши для уравнения Лапласа имеет непосредственное отноше- отношение к обратной задаче гравиметрии (об определении формы тела по созда- создаваемой им аномалии силы тяжести). Приведенный выше пример о вычис- вычислении производной по приближенным значениям функции типичен для многих экспериментов, где измерения проводятся по принципу накопления. Отметим теперь следующее обстоятельство. Очевидно, что функция и(х,t), определяемая формулой (9), может быть ре- решением уравнения A) только в том случае, если функция ty(x) дифференцируема, а функция ф(х) дифференцируема дважды. Из сказанного ясно, что функции, изображенные на рис. 11 и 12, не могут являться решением уравнения A), так как они не всюду дважды дифференцируемы. Более того, можно утверж- утверждать, что решения уравнения колебаний, удовлетворяющего X, Хг +i J* Рис. И. Рис. 12. условиям B), не существует, если функции ф(х) и -ф(х) не имеют нужных производных. Действительно, повторяя рассуж- рассуждения, приведшие нас к формуле (9), мы можем утверждать, что если существует решение уравнения колебаний, то оно должно представляться формулой (9). Если же функции ф, -ф не дифференцируемы достаточное число раз, то формула (9) определяет функцию, не удовлетворяющую уравнению A), т.е. не существует решения этой задачи. Однако если немного изменить начальные условия, заменив их дифференцируемыми функциями ф(х) и ijp(x), то этим на- начальным функциям уже будет соответствовать решение уравне- уравнения A). Кроме того, заметим, что при доказательстве теоремы настоящего пункта мы фактически доказали, что функции, определяемые формулой (9), непрерывно зависят от начальных функций ф и t|j (независимо от того, дифференцируемы эти функции или нет). Таким образом, если некоторым функциям ф, я]з не соответствует решение уравнения колебаний, удовлетво- удовлетворяющее условиям B), то функция, определяемая формулой (9), является пределом решений уравнения колебаний с немного сглаженными начальными условиями. Полученные таким предельным переходом функции назы- называются обобщенными решениями. Понятие обобщенных
64 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II решений играет большую роль в физике и было введено С. Л. Соболевым1). 6. Полуограниченная прямая и метод продолжений. Рассмот- Рассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной пря- прямой х ^ 0. Эта задача имеет особенно важное значение при изучении процессов отражения волн от конца и ставится сле- следующим образом: найти решение уравнения колебаний a2uxx = uit при 0<jc<oo, / > 0, удовлетворяющее граничному условию и @, 0 = ^ @ (или их @, 0 = v @) (/ > 0) и начальным условиям и (х, 0) = ф (х) Рассмотрим сначала случай однородного граничного условия ы@, t)—*0 (или их@, /) == 0). т. е. задачу о распространении начального возмущения на стру- струне с закрепленным концом х = 0 (или свободным концом). Отметим следующие две леммы о свойствах решений урав- уравнений колебаний, определенных на бесконечной прямой. 1. Если начальные данные в задаче о распространении ко- колебаний на неограниченной прямой (задача A) — B)) являются нечетными функциями относительно некоторой точки х0, то со- соответствующее решение в этой точке х0 равно нулю. 2. Если начальные данные в задаче о распространении ко- колебаний на неограниченной прямой (задача A) — B)) явля- являются четными функциями относительно некоторой точки х0, то производная по х соответствующего решения в этой точке равна нулю. Докажем лемму 1. Примем х0 за начало координат, х0 = 0. В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся в виде Ф (х) = — ф (— х); if (х) = — tf (— х). Функция u(x,t), определяемая формулой (9), при х = 0 и / > 0 равна —at ') См. подробнее С. Л. Соболев, Уравнения математической фнзаки, Гостехиздат, 1954, а также И. Г. Петровский, Лекции об уравнениих с частными производными, Фнзматгнз, 1961.
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 65 так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетносги ф(х), а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю. Аналогично доказывается лемма 2. Условия четности на- начальных данных имеют вид Заметим, что производная четной функции является функцией нечетной Из формулы (9) следует: а° +^-mat)-^-at)] = O, t>0, так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности q/(jc), а второе — в силу четности ty(x) '). Приведенное выше доказательство фактически опирается на формулу Даламбера и не связано с двукратной дифференци- руемостью функции и(х,t). Тем самым доказано, что лемма 1 верна для любых функций, представимых формулой Далам- Даламбера, а лемма 2 — для функций того же вида с дифференцируе- дифференцируемой функцией ty(x), т. е. для обобщенных решений задачи A)-B). При помощи этих двух лемм можно решить следующие за- задачи: требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее начальным условиям и граничному условию и@, *) = 0, *>0 (первая краевая задача). Рассмотрим функции Ф(х) и ^(х), являющиеся нечетным продолжением у(х) и а|з(дс), входящих в условие B'): Ф (х) для х > 0, — Ф (— х) для х < 0, ¦ф (х) для х > 0, — -ф(— х) для лс<0. ') Эти две леммы являются следствием того, что если начальные уело» вия четны (илн нечетны), то и при t > 0 функция u(x,t), определяемая фор- формулой Даламбера, обладает тем же свойством (предоставляем читателю до- доказать это). Геометрически очевидно, что нечетная непрерывная функция и производная четной дифференцируемой функции равны нулю при х = 0. 3 А, Н, Тихонов, А, А, Самарский
€6 Функция УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА x+at |ГЛ. II ^г J x-at определена для всех х и < > 0. В силу леммы 1 ы@, /) = 0. Кроме того, эта функция удовлетворяет при / = 0 и х > 0 сле- следующим начальным условиям: и(х, 0) = Ф(ж) = ф(х), 1 Таким образом, рассматривая полученную функцию и(х, t) только для х^>0, ?>0, мы получим функцию, удовлетворяю- удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи. Возвращаясь к прежним функциям, можно написать: Ф (х + at) + ф (х — at) , u(x, t) = x+at i J для x-at q>(x + at) — if (at — x) 2 x+at i J для B3) В области / < x/a влияние граничных условий не сказывается, и выражение для и(х,t) совпадает с решением (9) для беско- бесконечной прямой. Аналогично, если при х = 0 мы имеем свободный конец то, беря четное продолжение функций ц>(х) и г|з Ф (х) для х > О, ) (— х) для х < 0; •ф(лг) для х > 0, р (— л:) для х < 0, получим решение уравнения колебаний
§21 МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 67 или и(х, 0 = x+at Ф (х + at) + w(at — x) \x+at ^_ J x-at t|j (a) da at-x + для t > 8а удовлетворяющие в области х ^ 0 начальным условиям B) и граничному условию их@, t) = 0. В дальнейшем при решении различных задач нам часто придется пользоваться методом продолжения на бесконечную область начальных дан- хг-х, ных, определенных на не- u &t" которой части этой обла- области. —^ Поэтому мы еще раз сформулируем получен- ^ ные результаты в виде двух следующих правил. Для решения задачи . на полуограниченной пря- прямой с граничным усло- условием и @, t)= 0 началь- ные данные надо продол- продолжить на всю прямую не- четно. Для решения задачи на полуограниченной пря- мой с граничным усло- условием ux(b,t) =0 началь- ные данные надо продол- продолжить на всю прямую четно. Рассмотрим два при- примера. Пусть начальные данные на полуограничен- полуограниченной прямой, закреплен- закрепленной при х = 0, отличны ^ от нуля только в интер- интервале (a,b), 0<a<b, в котором начальное откло- отклонение, даваемое функций ф(х), изображается равнобедренным треугольником, а -ф(лг) =0. Решение этой задачи будет полу- Рис. 13.
68 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II чено, если начальные данные нечетно продолжить на бесконеч- бесконечную прямую. Процесс распространения волн изображен на рис. 13. Вначале процесс происходит так же, как и на неограни- неограниченной прямой. Заданное отклонение разбивается на две волны, движущиеся в разные стороны с постоянной скоростью, причем это продолжается до тех пор, пока полуволна, идущая налево не дойдет до точки х = О (рис. 13). В этот момент с левой сто- стороны (х <^ 0), на которой происходили аналогичные процессы, к точке х = 0 подходит полуволна с «обратной фазой». В последующие моменты происходит отра- отражение полуволны от за- закрепленного конца. Это изображено в деталях на рис. 13. Профиль отра- отражающейся волны укора- укорачивается, отклонения ис- исчезают, затем отклонения появляются с обратным знаком и, наконец, отра- отраженная полуволна пойдет вправо за ушедшей туда полуволной с той же ско- скоростью. Таким образом, при отражении волны от закрепленного конца струны, ее отклонение ме- меняет знак. Рассмотрим второй пример. Пусть на полу- полуограниченной прямой х^ ;э= 0, закрепленной при * = 0, начальное откло- отклонение всюду равно нулю, а начальная скорость $(х) отлична от нуля только в интервале (хих2) @<х1<л:2), причем здесь Ф (х) = const. Продолжим нечетно начальные данные. От каж- каждого интервала (хи хг) и (—хи — х2) распространяются откло- отклонения, подобные отклонениям, изображенным на рис. 14. Как видно из рисунка, в начальной стадии в области х > 0 процесс происходит так же, как и на бесконечной прямой. Затем проис- происходит отражение от закрепленного конца и, наконец, волна с профилем в виде равнобедренной трапеции с постоянной ско- скоростью движется вправо. Изучение отражения от свободного конца проводится ана- аналогично, только начальные данные нужно продолжать четно, Рис. 14.
§2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 69 так что отражение волны от свободного конца будет происхо- происходить не с измененной, а с той же фазой. Мы рассмотрели задачи с однородными граничными усло- условиями "(О, t) = [i{t) = O или М0> t) = v(t) = O. В общем случае неоднородных граничных условий решение представляется в виде суммы, каждое слагаемое которой удо- удовлетворяет только одному из поставленных условий (либо граничному, либо начальному). Обратимся теперь к решению уравнения при нулевых начальных и за- заданном граничном усло- условиях п (х, 0) = 0, щ (х, 0) = 0, п @, t) = ц (/), / > 0. Очевидно, что гранич- граничный режим вызовет вол- волну, распространяющуюся вдоль струны направо со скоростью а, что подсказывает нам аналитическую форму решения: u(x,t) = f(x-at). Определим функцию f из граничного условия откуда так что Рис. 15. -*[-*=*¦)-*(>-$ Однако эта функция определена лишь в области х — at ^ О, так как n(t) определена для / ^ 0. На рис. 15 эта область изо- изображается заштрихованной частью фазовой плоскости. Чтобы найти u(x,t) для всех значений аргументов, продол- продолжим функцию \x,(t) на отрицательные значения t, полагая y,(t) = 0 для / < 0. Тогда функция
70 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. И будет определена для всех значений аргументов и будет удов- удовлетворять нулевым начальным условиям. Сумма этой функции и функции B3), определенной в на- начале настоящего пункта, представляет решение первой крае- краевой задачи для однородного уравнения колебаний. Для полу- полуограниченной струны: <р (х + at) + ф (х — at) и {х, t)= ¦ + x+at J *(<*) 2fl x—at i (x + at) — ф (at — x) _ x+at •Ф (a) da da для B4) 2a J для at-x Аналогично может быть построено решение второй краевой задачи. О третьей краевой задаче см. п. 9, стр. 79. Мы ограничимся здесь решением краевой задачи для одно- однородного уравнения колебаний. Решение неоднородного уравнения см. в п. 9. 7. Задачи для ограниченного отрезка. Рассмотрим краевые задачи для ограниченного отрезка @, /). Будем искать решение уравнения 2 удовлетворяющее граничным условиям u@, 0 = MO и начальным условиям и(х, 0) = ф(х) щ(х, 0) = $(х] Рассмотрим предварительно случай однородных граничных условий ы@, 0=«(/. 0 = 0. Будем искать решение задачи в этом случае методом продол- продолжения, предполагая возможность следующего представления: x+at J t J X-at
§21 МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 71 где Ф и Ч? — функции, подлежащие определению. Начальные условия определяют значения фи?в интервале {0,1). Чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, нало- наложим на функции Ф(х) и W(x) требования нечетности относи- относительно точек х = 0, х = /: Ф(х) = — Ф(—х). Ф{х)=-Ф{21-х), Сопоставляя эти равенства, получим: Ф(х') = Ф{х' + 21) {х'=-х) и аналогично для ^{х), т. е. Ф и Ч* являются периодическими функциями с периодом 21. 21 Рис. 16. Нетрудно видеть, что условия нечетности относительно на- начала координат и условия периодичности определяют продол- продолжение Ф{х) и Чг(х) на всей прямой —оо < х < оо. Подставляя их в формулу (9), получаем решение задачи. На рис. 16 совмещены фазовая плоскость (х, t) и плоскость {х,и), в которой дано начальное отклонение и его продолже- продолжение. На фазовой плоскости штриховкой выделены полосы, вну- внутри которых отклонение отлично от нуля (см. рис. 7). Знаки плюс и минус, стоящие в этих полосах, указывают на знак (фазу) отклонения (в виде равнобедренного треугольника).
72 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. [Г Пользуясь этим рисунком, легко представить себе профиль от- отклонения в любой момент t. Так, в момент t = 21/а мы полу- получим отклонения, совпадающие с начальными. Таким образом, функция и(х,t) будет периодической функцией t с периодом Т = 21/а (см. стр.92). Рассмотрим теперь задачу о распространении граничного режима. Будем искать решение уравнения с нулевыми начальными условиями и(х, 0) — ф (х) = О, щ (х, 0) = •ф (х) = О и граничными условиями и @, t) = ц (t) Из результатов п. 6 вытекает, что при t < I/a решением служит функция (t), t>0, -Д('-Й. где р@ = { Однако эта функция не удовлетворяет граничному условию u(l, t) = 0 при t>l/a. Рассмотрим «отраженную» волну, идущую налево и имеющую при х = 1 отклонение, равное p. U 1. Ее аналитическое вы- выражение дается формулой I 1-х Легко проверить, что разность двух волн есть решение уравнения при t < 1Ца. Продолжая этот процесс далее, получим решение в виде ряда п=0 содержащего (для каждого фиксированного t) только конеч- конечное число отличных от нуля членов, ибо с каждым новым от- отражением аргумент уменьшается на 2Ца, а функция ji (/) = 0
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 73 для t <c 0. Выполнение граничных условий проверяется непос- непосредственно. В самом деле, положим х = 0и выделим из первой суммы отдельно первое слагаемое при п = 0, равное \a(t). Остальные слагаемые первой и второй сумм, соответствующие одинаковым значениям п, взаимно уничтожаются; это показы- показывает, что и@, t)= ц{1). Заменяя п на п — 1 и изменяя в связи с этим пределы сум- суммирования, преобразуем первую сумму к виду S_ /. 2га/ Л*—Г 2/ — п<=\ Полагая теперь х = I, непосредственно убеждаемся в том, что слагаемые первой и второй сумм взаимно уничтожаются1). Формула B5) имеет простой физический смысл. Функция представляет собой волну, возбуждаемую граничным режимом при х = 0, независимо от влияния конца х — I, как если бы струна была бесконечна @<л;<сх>). Следующие слагаемые представляют собой последовательные отражения от закреп- закрепленного края х = I (вторая сумма) и от края х = 0 (первая сумма). Аналогично, функция ^) дает решение однородного уравнения с нулевыми начальными условиями и(х,0) = 0, щ(х,0) = 0 и граничными условиями ы@,/) = 0 и u(l,t)==n(t). На доказательстве единственности рассмотренной задачи и непрерывной зависимости решения от начальных и граничных условий мы не останавливаемся. 8. Дисперсия волн. Уравнение колебаний струны utt = а2ихх допускает решение в виде бегущей волны u = f(x±at) произ- произвольной формы. Общее уравнение гиперболического типа с по- постоянными коэффициентами «д — а2«*А; + &1«* + М* + сй = 0 B6) с помощью указанной в гл. I подстановки п= иеКх+^г, где ц = = — 0,5&i, Я = —0,5 Ь2/а2, сводится к уравнению ««— а2ихх + си = 0, B7) ') Начальные условия также проверяются непосредственно, так как ар- аргументы всех функций отрицательны при / = 0 и выражение B5) при / = 0 равно нулю.
74 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. П где с = c-\-(bJ2J — (Ь2/2аJ. Покажем, что уравнение B7) не допускает решений в виде произвольной бегущей волны при с Ф 0. В самом деле, подставляя u = f(x — at) в B7), нахо- находим a2f" — а2]" 4-^ = 0, откуда, в силу произвольности f, сле- следует с = 0. Импульс или сигнал произвольной формы может быть раз- разложением в интеграл Фурье представлен в виде суперпозиции гармонических волн вида Ы( v t\ pi (tof—kx) где ю — частота, k = 2лД—волновое число, К — длина волны. Скорость, с которой фаза волны ее = и/ — kx перемещается в пространстве, называется фазовой скоростью волны и равна, очевидно, v = (й/й. Если фазовая скорость гармонической вол- волны зависит от частоты, то говорят о дисперсии волн. В этом случае гармонические составляющие сигнала смещаются друг относительно друга, в результате чего профиль сигнала иска- искажается. Очевидно, что если уравнение не допускает решений в виде волн произвольной формы, то фазовая скорость гармонической волны зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия. Покажем, что для уравнения B7) имеет место дисперсия при с ф 0. Подставляя в B7) и = е^'-ад, получаем уравнение, связывающее to и /г: а? — a2k2 -f- с = 0. Отсюда следует, что фазовая скорость о и V~T~" зависит от частоты. При условии с —0, т. е. для уравнения ко- колебаний струны ип = а2ихх, v = а не зависит от частоты и дисперсия отсутствует. Условие с = 0 называют также усло- условием отсутствия искажения. В качестве примера рассмотрим телеграфное уравнение (см. § 1, п. 4) ixx = CLitt + {CR + LG) it + GRi. Полагая i = uer-vt, где ^ = o,5(CR + GL)/CL, получаем для и уравнение ихх = CLutt + си, где с = —{CR — LGJ/4CL. Отсюда видно, что при CR^LG сигнал по кабелю распространяется с искажением, так как имеет место дисперсия волн. Условие CR = LG или -? = %¦
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 75 называется условием отсутствия искажения в линии. В этом случае телеграфное уравнение допускает решение в виде зату- затухающей волны R G 1 L С ' \>ТС ' где / — произвольная функция. Отсутствие искажения волн при их распространении по ка- кабелю имеет особо важное значение для телефонной и телеграф- телеграфной связи на больших расстояниях. 9. Интегральное уравнение колебаний. При выводе дифференциального уравнения колебаний E) в § I мы исходили из закона сохранения количе- количества движения, который привел нас к уравнению колебаний в интегральной форме C). Для того чтобы от интегрального уравнения перейти к дифферен- дифференциальному, мы предположили, что функция и(х, t) имеет вторые производ- производные. Всякое предположение об ограничении класса рассматриваемых функ- функций некоторым свойством означает отказ от изучения функций, не обладаю- обладающих предполагаемым свойством. Таким образом, переходя от интегрального уравнения колебаний к дифференциальному, мы исключаем из рассмотрения процессы колебаний, не удовлетворяющие требованию двукратной дифферен- дифференцируем ости. Покажем, что всю теорию можно развить в классе непрерывных кусочно- дифференцируемых функций, исходя из интегрального уравнения колебаний Хг *l t, Этому уравнению можно придать следующую форму. Рассмотрим в плоско- плоскости (х, t) область G, ограниченную кусочно-гладкой кривой С, и покажем, что для этой области имеет место интегральное соотношение I( H II B9) С Q Для однородной среды эта формула принимает вид Если кривая С является контуром прямоугольника со сторонами, параллель- параллельными осям координат, то формула B9) совпадает с формулой B8). Если кривая С состоит из кусков, параллельных осям, то область G можно пред- представить как сумму прямоугольников. Суммируя контурные интегралы, соот- соответствующие отдельным слагаемым, мы получим, что слагаемые, относя- относящиеся к внутренним границам, взаимно уничтожаются, так как интегри- интегрирование производится в противоположных направлениях, а остающиеся слагаемые дадут формулу B9). Пусть, далее, кривая С содержит дуги (Т,
76 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II не параллельные осям и не являющиеся линиями разрыва подынтегральной функции. Возьмем сетку со сторонамн, параллельными осям координат, и рас- рассмотрим ячейки сетки, пересекающиеся с областью G. Обозначим через G* совокупность этих ячеек и через С* — границу области G*. Формула B9) применима к G*. Переходя к пределу при уменьшающихся размерах сетки, нетрудно убедиться в справедливости формулы B9) для предельной кри- кривой С. В самом деле, первое слагаемое формулы B9), примененной к области G*, состоит из слагаемых типа U я L п L А Л / 1 Г Ф (х, t) dx или Г Ф (х, 0 dt, где Ф(х, t)—непрерывная функция н Рис. 17. Сп—дуга_коитура С*, аппроксимирую- аппроксимирующая ду_гу С (рис. 17). Пусть / =/„(х) — уравнение кривой С„ н / = t(x) —уравнение кри- кривой С. Очевидно, что tn(x) равномерно сходится к t(x) и ь Ь lim f Ф [х, tn (x)] dx= [ O[x,t {x)] dx, что и доказывает законность предельного перехода '). Если кривая С содержит дуги, являющиеся линиями разрыва подынтег- подынтегральной функции, то формула B9) сохраняет силу, если брать в качестве значений подынтегральной функции ее предельные значения с внутренней стороны области G. Таким образом, справедливость интегральной формулы B9) доказана. Рассмотрим следующую задачу: найти функцию u(x,t), определенную и кусочно-гладкую в области — оо<х<оо,/550, удовлетворяющую уравнению O B9') и (х, 0) = <р (х), и начальным условиям где <р(х) — кусочно-гладкая функция, a ty(x) и f(x,t)—кусочно-непрерыв- f(x,t)—кусочно-непрерывны. Здесь С — произвольный кусочно-гладкий контур, лежащий в области t 5= 0. Покажем, что эта задача имеет единственное решение, определяемое формулой Даламбера. Допустим, что функция u{x,t) представляет решение нашей задачи. Рас- Рассмотрим треугольник АВМ (рис. 18), примыкающий к оси t = 0 с вершиной в точке М(х, t), со сторонами, являющимися отрезками характеристик ') Поскольку dx = 0 иа вертикальных звеньях ломаной Сп, то в этой формуле t = tn (x) есть уравнение горизонтальных звеньев кривой С„.
§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 77 х — at = const и x-\-at = const и применим к нему формулу B9'). Вдоль л ч dx отрезка AM имеет место равенство —тг — а, так что ди . , 2 ди .. / ди ., . ди dt dx \ dt дх Вдоль отрезка MB имеет место равенство —тр = —а, так что ди . , „ ди ,, I ди ,. . ди Следовательно, подынтегральное выражение вдоль характеристик является полным дифференциалом. Производя интегрирование вдоль отрезков ВМ и МА, получим: м м так что формула B9') принимает вид: в или J (-g- dx + a'-g л) = - а [и (М) - и (В)]. в А J (-|?. Ас + о»-|Н. л) = а [и (Л) - « (Л*)], I J I x—ot 0 *—a(t—x) Таким образом, если решение поставленной задачи существует, то оно одно- однозначно определяется своими начальными значениями. В случае однородного уравнения (/ = 0) эта формула совпадает с формулой Даламбера. Отсюда следует теорема едииственностн для рассматриваемой задачи. Нетрудно непосредственной подстановкой проверить, что функция типа t x+a (t-x) J dx j f3 0 x-a(t-x) t J где fi и /г — кусочно-гладкие функции, а fs — кусочно-иепрерывная функция удовлетворяет уравнению B8), а тем самым и уравнению B9'). Это доказы- доказывает теорему существования. Решения задач, рассмотренных в п. 3 в каче- качестве примеров, являются кусочио-гладкими функциями и охватываются изло- изложенной теорией. Обратимся теперь к первой краевой задаче на полуограниченной прямой. Будем искать решение уравнения B9) в некоторой точке M(x,t) для
78 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II t > xla (рис. 19), так как в области t < xla (под характеристикой х = at) влияние граничного режима не сказывается, и решение определяется форму- формулой C0). Применим формулу B9') к четырехугольнику МАА'В, в котором МА, М(хЛ) В x-at x+at Рис. 18. Я' В Рис. 19. -*-Х MB и АА' — отрезки характеристик. Выполняя интегрирование вдоль характе- характеристик МА, АА' и ВМ, получим: в Чаи (М) = Чаи (Л) + аи (В) - аи (А') + Г -|у- dx + j | f dx dt. A' MAA'B Подставляя сюда координаты точек М, А, В а А', будем иметь: / _ _х\ и(х + at, 0) — и (at — х,.0) x+at "Г с\„ at—х I u(x, t) = \i[t — — ) + • x+at at) — Ф (o< — + t x+a(t~x) 0 (< ?). CD Из C1) непосредственно следует единственность решения рассматриваемой задачи. При / = 0 эта формула, как нетрудно заметить, совпадает с формулой B4) § 2, п. 6. Аналогичным способом изучается и вторая краевая задача, а также задачи для ограниченного отрезка. При изучении первой краевой задачи мы видели, что задания двух на- начальных условий и (х, 0) = ф (л), и{ (х, 0) = ф (х) и одного граничного условия и @, 0 = 1* @ достаточно для полного определения решения. Отсюда следует, что должно существовать соотношение, связывающее функции ф, чр, ц и v, где \(t) = = и*@, <). Дифференцируя формулу C1) по л: и полагая х = 0, получаем: v @ = -^ № (at) - [ц' @ - ЙФ' (al)]}, C21
'2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН где для простоты положено f = 0. Пользуясь формулой C2), можно, напри- например, третью краевую задачу свести к первой краевой задаче. 10. Распространение разрывов вдоль характеристик. Обратимся к рас- рассмотрению разрывов производных решений уравнения B9). Покажем, что линиями разрыва производных функций u(*>0i удовлетворяющих уравнению B9), ? могут быть только линии семейств характе- характеристик х — at = const, x + at = const. В самом деле, пусть некоторая дифферен- дифференцируемая кривая, определяемая уравне- уравнением р „„ является линией разрыва производных непрерывной, кусочно-дифференцируемой функции и(х, t). Предположим для опреде- определенности, что x(f) —возрастающая функция. Применим формулу B9') к пря- прямоугольнику ABCD (рис. 20): I A «•+*¦&.«)+ { (•?«•+-¦?«)-» AD DC+CB ) BA+AD DC+CB а также к криволинейным треугольникам Д1 = BAD и Д2 BDC: BA+AD Г ( ди j i ¦> ди л\ i Г ( ди J \-Wdx + a^dt)+ J Ьг Г / ди . ди , \ Г / ди -37" dx + а2-=— dt\ — -зг- J \ dt дх I J \ dt CB DB J DC+CB „ ди \ дх )г где скобки ( )il2 показывают, что надо брать предельные значения изнутри треугольников Д] или Дг. Вычитая из суммы последних двух равенств пред- предшествующее, получим: Г f ( ди , . „ ди \ I ди { -j- х + а2 -=— — -j- л J } \ dt ^ дх Jt \ dt DB или в силу произвольной малости дуги DB ' ди 1 . , „[ ди C3) где, как обычно, скобками обозначается величина разрыва функции Возьмем производную по t от значения функции и(х, t) вдоль линии разрыва производных
80 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II причем в качестве значения производных можно брать предельные значения как из Дь так и из Дг. Разность правых частей при i = 1 и i = 2 дает: Сопоставляя это равенство с равенством C3) и предполагая, что по крайней [ди~\ Г ди~\ -зт- > -3— отличен от нуля, видим, что эти равен- равенства возможны одновременно, если детерминант этой системы равен нулю: х' а2 1 х' или х = ± at + const. Таким образом, линии разрыва производных решения уравнения колебаний являются характеристиками. Задачи 1. Начертить профиль струны для различных моментов времени в сле- следующих случаях: I. Неограниченная струна (—оо < х < оо). а) начальная скорость равна нулю (ф(х) =0), а начальный профиль струны задан в виде рис. 21; б) начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость имеет по- постоянное значение ut (х, 0) = t|)o на участке струны (jci, x2) и равна нулю вне этого участка; в) начальные условия имеют вид = 0, II. Полуограниченная струна (^ ) г) начальная скорость' равна нулю (t|)(x) = 0), а начальное отклоне- отклонение задано в виде треугольника, изображенного на рис. 21. Конец струны закреплен; та же задача для струны со свободным концом х = 0; начальные условия имеют вид 0 h 2с2 0 CTf хBс — ) у н а (( х) ) < при при при ; х < х<с. с<х<2с. х>2с. оо). 3 ( 0 при 0<д:<с, <р (л:) = 0, *])(*) = •{ t|)o = const при с<х<2с, I 0 при х>'2с; конец струны х = 0 закреплен; ж) аналогичная задача для струны со свободным концом х = 0. Про- Профиль струны для всех задач а) — ж) следует начертить для моментов вре- времени <о = О, h=*-^k (ft=l, 2 8). Отметить для задач а) — ж) на фазовой плоскости (х, t) зоны, соответствую- соответствующие различным стадиям процесса.
§2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 81 2. Найти решение задачи 1а) для всех значений переменных х и t (фор- (формулы, выражающие функцию u(x,t), различны для разных зон фазовой плоскости). 3. Определить отклонение в некоторой точке х0, to, пользуясь фазовой плоскостью (х, t) и плоскостью (х, и), в которой (рис. 21) заданы начальные отклонения (ty = 0), как для случая не- неограниченной струны, так и для случая по- и луограиичеиной струны с закрепленным (или свободным) концом. 4. В начале длинной цилиндрической трубки, заполненной газом, находится пор- поршень, движущийся по произвольному за- закону х — f(t), со скоростью v — f'(t) < a. Начальное смещение и скорость частиц газа равны нулю. Найти смещение газа в се- сечении с абсциссой х. Рассмотреть случай движения поршня с постоянной скоростью с <а. Что можно сказать о решении задачи, если начиная с некоторого мо- момента скорость поршня v > с? (см. Приложение 5 к гл. II). 5. Пусть по неограниченной струне бежит волна u(x,t)=f{x — at). Состояние струны в момент t = 0 принять за начальное и решить уравнение колебаний при соответствующих начальных условиях. Сравнить с задачей 1а). 6. Неограниченный упругий стержень получен соединением в точке х=0 двух стержней с характеристиками Рис. 21. Pi, al=Vkilpl при *<0, ПРИ а) Пусть из области х < 0 бежит волна где / — заданная функция. Найти коэффициенты отражения и преломления волны при прохождении через точку стыка (х = 0). Установить, при каких условиях отраженная волна от- отсутствует. б) Решить аналогичную за- задачу, если задано локальное начальное отклонение и (х, 0)= 0 пра х < Xi, . .>(*) при д:1<х<х2<0, ( 0 при х>х2. Риг 99 • "• а начальная скорость равна нулю. 7. Пусть в некоторой точке струны х — х0 подвешен груз массы М и из области х < 0 бежит волна Найти преломленную и отраженную волны.
82 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II 8. Полуограничеииая трубка (х > 0), заполненная идеальным газом, имеет на одном конце, х = 0, свободно перемещающийся поршень массы М. В момент времени t = 0 поршню при помощи удара сообщают начальную скорость vD. Найти процесс распространения волны в газе, если известно что начальные отклонения и начальная скорость частиц газа равны нулю. Указание. Рассмотреть решение уравнения колебании в области х > 0. Использовать граничное условие Mutf(O,t)=Sypoux(O,t) (ро — начальное давление газа, S — площадь поперечного сечення трубки, с г, \ у = I и начальные условия на границе ы@,0) =0, ut {0,0) = г>0. 9. Бесконечная струна, имеющая в точке х = 0 сосредоточенную массу М, находится в положении равновесия. В начальный момент времени t = 0 уда- ударом молоточка массе М сообщается начальная скорость t/0. Доказать, что в момент времени t > 0 возмущенная струна имеет вид, указанный на рис. 22, где ui(x,i) и щ(х, t) определяются формулами Mav0 27" 0 «2 (*,*> = 0 *[,-. 27* при х — at<.0 (прямая волна), пр-и х — at> 0; при х — at<0 (обратная волиа), при х — at>0. Указание. Воспользоваться условием 10. Решить задачу о распространении электрических колебаний в бес- бесконечном проводе при условии G R и при произвольных начальных условиях. 11. Найти решение интегрального уравнения колебаний для полуогранн- ченной струны при граничных условиях третьего рода (см. п. 9). 12. На конце х = 0 полуограниченного стержня укреплена мембрана, оказывающая сопротивление продольным колебаниям стержня, пропорцио- пропорциональное скорости Ы(@, t). Найти процесс колебания, если заданы начальные смещения и щ(х, 0) = i|)(x) = 0. § 3. Метод разделения переменных 1. Уравнение свободных колебаний струны. Метод раз- разделения переменных или метод Фурье, является од- одним из наиболее распространенных методов решения уравне- уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Решение указанной задачи мы рассмотрим с исчерпы-
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 83 вающей подробностью и при дальнейшем изложении курса бу- будем ссылаться на этот параграф, опуская повторения доказа- доказательств. Итак, будем искать решение уравнения удовлетворяющее однородным граничным условиям «@,0 = 0, «(/,0 = 0 B) и начальным условиям и(х,0) = ср(х),) и,(*. 0) = *(*). J Уравнение A) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея до- достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение. Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения ип = а2ихх, не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям и @,0 = 0 и представимое в виде произведения E) где Х(х)—функция только переменного х, T(t)—функция только переменного t. Подставляя предполагаемую форму решения E) в уравне- уравнение (i), получим: или, после деления на XT, Х"(к)_ 1 T"(t) Х(х) а* Чтобы функция E) была решением уравнения A), равен- равенство F) должно удовлетворяться тождественно, т. е. для всех значений независимых переменных 0 < х < /, / > 0. Правая часть равенства F) является функцией только переменного t, а левая — только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части
84 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II равенства F) при изменении своих аргументов сохраняют по- постоянное значение **(*) ' Г*«)_ . Х(х) — а2 Г @ Л> V> где Я, — постоянная, которую для удобства последующих выкла- выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Из соотношения G) получаем обыкновенные дифференци- дифференциальные уравнения для определения функций Х(х) и T(t) X" (х) + XX (х) = О, X (х) ф 0, (8) Т" @ + а2кТ (t) = 0, Т (t) ф 0. (9) .Граничные условия D) дают: Отсюда следует, что функция Х(х) должна удовлетворять до- дополнительным условиям Х@) = *(/) = 0, A0) так как иначе мы имели бы 0 и и(х, 0^0, в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T(t) в основной вспомогательной за- задаче никаких дополнительных условий нет. Таким образом, в связи с нахождением функции Х(х) мы приходим к простейшей задаче о собственных значе- значениях: найти те значения параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи: Х@)= а также найти эти решения. Такие значения параметра К назы- называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функция- функциями задачи A1). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма — Лиувилля. Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр Я, отрицате- отрицателен, равен нулю или положителен. 1. При X < 0 задача не имеет нетривиальных решений. Дей- Действительно, общее решение уравнения (8) имеет вид X (х) = CiJtt* + С2е-^-ь *.
§ 3j МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 85 Граничные условия дают: X (/) = С,еа -+- С2е~а = О (а = т. е. С{ = -С2 и С, (еа - е~а) = 0. Но в рассматриваемом случае а — действительно и положитель- положительно, так что &*¦ — е~а ф 0. Поэтому С\ =: 0, С2 == 0 и, следовательно, Х(лг)з=0. 2. При К == 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (8) имеет вид X(a:) Граничные условия дают: д-(О=с,/=о, т. е. Q = 0 и С2 = 0 и, следовательно, Х(д;) = 0. 3. При А, > 0 общее решение уравнения может быть запи- записано в виде _ X (х) = A cos VKx + D2 sin У% х. Граничные условия дают: Если Х(х) не равно тождественно нулю, то Ds ^= 0, поэтому 0 A2) или где п — любое целое число. Следовательно, нетривиальные ре- решения задачи A1) возможны лишь при значениях
86 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Этим собственным значениям соответствуют собственные функ- функции Xn(x)=Dnsin-?j-x, где Dn — произвольная постоянная. Итак, только при значениях X, равных A3) существуют нетривиальные решения задачи A1) *„(*) = sin-=fL*, A4) ¦определяемые с точностью до произвольного множителя, кото- который мы положили равным единице. Этим же значениям Кп со- соответствуют решения уравнения (9) где Ап и Вп — произвольные постоянные. Возвращаясь к задаче A) — C), заключаем, что функции ип(х, ^ = Xa(x)Ta{t) = (Aacos-^-ai-\-Bnsin^-ut)sin~x A6) являются частными решениями уравнения A), удовлетворяю- удовлетворяющими граничным условиям D) и представимыми в виде произ- произведения E) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая — от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям C) нашей исходной задачи только для частных слу- случаев начальных функций ф(л:) и ty(x). Обратимся к решению задачи A) — C) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения A) сумма част- частных решений n=l —at + Bnsm — atj sin — x A7) также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям B). На этом вопросе мы подробнее остановимся несколько позже (см. п. 3 этого параграфа). Начальные условия позво- позволяют определить Ап и Вп. Потребуем, чтобы функция A7)
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ удовлетворяла условиям C): оо и(х, 0) = <р(х) = 'Укип(х, 0) 87 ut(x, О) = г|)(л:) = ПП п—1 п—1 A8) Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-не- кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), задан- заданная в промежутке 0 ^ х ^ /, разлагается в ряд Фурье где1) A9) B0) Если функции ф(лг) и г|)(л:) удовлетворяют условиям разложе- разложения в ряд Фурье, то n—l т] ^sin-^idi, B1) 0 — х, ф„ = у J ф (|) sin -?HL | dg. B2> n=l ') Обычно рассматриваются периодические функции с периодом 21 оо F (х) = -^ + 2j [an cos — д: + Ьп sin -y-xJ, +/ П=1 Если функция Р (х) нечетна, то ап = 0, так что F(x)^bnsin^x; Ьп=\ J ^(g)sin-^lrfl=| n=l -/ 0 Если функция F(x) задана только в промежутке @, /), то мы можем про- продолжить ее нечетно и вести разложение в промежутке от —/ до +/, что и приводит нас к формулам A9) и B0). (См. Б. М. Будак, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965.)
88 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Сравнение этих рядов с формулами A8) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить А,=»%, ?„=~1|)„, B3) чем полностью определяется функция A7), дающая решение исследуемой задачи. Мы определили решение в виде бесконечного ряда A7). Если ряд A7) расходится или функция, определяемая этим рядом, не является дифференцируемой, то он, конечно, не может пред- представлять решение нашего дифференциального уравнения. В настоящем пункте мы ограничимся формальным построе- построением решения. Выяснение условий, при которых ряд A7) схо- сходится и представляет решение, будет проведено в п. 3. 2. Интерпретация решения. Обратимся теперь к интерпре- интерпретации полученного решения. Функцию и„(х,t) можно пред- представить в виде ип {х, t) = (Ап cos 2± at + Bn sin 2± a/) sin — х = = а„ cos -^ а (t + б„) sin ^L Xt B4) где Vl l iHL fb. B5) Каждая точка струны х0 совершает гармонические колебания чп(*о. О = «„cos?j-a(t-\-6„)sin2±Xq с амплитудой О Sin j . ЯП О,п Sin Движение струны такого типа называется стоячей волной. Точки Аг = т — (т= 1, 2, .... п~ 1), в которых sin -у- х = О, в течение всего процесса остаются неподвижными и называются узлами стоячей волны ип(х,t). Точки х = т^ - 1(т~О, 1, .... п— 1), в которых sin—т~х— ± 1» совершают колебания с максимальной амплитудой ап и называются пучностями стоячей волны. Профиль стоячей волны в любой момент времени представ- представляет синусоиду «п {х, t) = Сп (t) sin -— х,
§ 31 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 89 где 6«) (<о„=-у-а). В момент времени t, при котором cos<on(^ + бп)= ±1, откло- отклонения достигают максимальных значений, а скорость движения равна нулю. В моменты времени t, при которых cos<on(^-f- -j-6n) = 0, отклонение равно нулю, а скорость движения мак- максимальна. Частоты колебаний всех точек струны одинаковы и равны «„ = ifc. B6) Частоты о)„ называются собственными частотами коле- колебаний струны. Для поперечных колебаний струны а2 = Г/р и, следовательно, пи -ш / Т у • B7) Энергия п-й стоячей волны (n-й гармоники) для случая по- поперечных колебаний струны равна Се Г Г = "f J H 0 — x "(^-Jсо82(о„(*+6„)], B8) так как t t . , яя , Г о пп , Z sin —у-хах~ cos*—т-х ах = y • Пользуясь выражением для а„, <о„, а также равенством Г = 2 ^. B9) = с2р, получаем: где М = /р — масса струны. Колебания струны воспринимаются нами обычно по звуку, издаваемому струной. Не останавливаясь на процессе распро- распространения колебаний в воздухе и восприятия звуковых колебаний
¦gO УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II нашим ухом, можно сказать, что звук струны является на- наложением «простых тонов», соответствующих стоячим вол- волнам, на которые разлагается колебание. Это разложение звука на простые тона не является операцией только математиче- математического характера. Выделение простых тонов можно произвести экспериментально при помощи резонаторов. Высота тона зависит от частоты колебаний, соответствую- соответствующих этому тону. Сила тона определяется его энергией и, сле- следовательно, его амплитудой. Самый низкий тон, который может создавать струна, определяется самой низкой собственной час- п ., /~Т~ тотои (о1 = у 1/ — и называется основным тоном стру- вы. Остальные тона, соответствующие частотам, кратным g>i, называются обертонами. Тембр звука зависит от присут- присутствия наряду с основным тоном обертонов и от распределения энергии по гармоникам. Низший тон струны и ее тембр зависят от способа возбуж- возбуждения колебаний. Действительно, способ возбуждения колеба- колебаний определяет начальные условия и(х, О) = ср(*); щ(х, 0) = ф(*). C) через которые выражаются коэффициенты Ап и Вп. Если Ах = = В\ = 0, то низшим тоном будет тон, соответствующий час- частоте (On, где п — наименьшее число, для которого Л„ или Вп отличны от нуля. Обычно струна издает один и тот же тон. В самом деле, приведем струну в колебание, оттягивая ее в одну сторону и отпуская без начальной скорости. В этом случае щ(х, 0) = 0, и{х, 0) = так как sinjl>0. Следующие коэффициенты, вообще говоря, значительно меньше Аи так как функция sin-1^—! знакопеременна при п~^2. В частности, если q>(x) симметрична относительно середины от- отрезка, то Л2 = 0. Таким образом, если привести струну в коле- колебание, оттягивая ее в одну сторону (ф(я) >0), то низшим тоном будет основной тон струны, энергия которого, вообще говоря, больше энергии других гармоник.
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 91 Привести струну в колебание можно и другими способами. Например, если начальная функция нечетна относительно се- середины струны, то Л, =0 и низший тон соответствует частоте со = (о2 = — у -. Если к звучащей струне прикоснуться точно в середине, то звук ее резко меняется и она звучит в октаву к своему тону. Этот прием изменения тона часто применяется при игре на скрипке, гитаре и других струнных инструментах и носит на- название флажолета. С точки зрения теории колебания струн это явление совершенно ясно. В момент прикосновения к середине струны мы гасим стоячие волны, имеющие в этой точке пучно- пучности, и сохраняем лишь гармоники, имеющие в этой точке узлы. Таким образом, остаются только четные гармоники, и самой низкой частотой будет @2 _2зх Г Т ~-гУ т- Если прикоснуться к струне на расстоянии 7з ее длины от края, то высота основного тона повышается втрое, так как при этом сохраняются лишь гармоники, имеющие узлы в точке х = 1/3. Формулы т и Tl=°ZK г- <30> определяющие частоту и, соответственно, период основного ко- колебания, объясняют следующие законы колебания струн, от- открытые впервые экспериментально (законы Мерсена). 1. Для струн одинаковой плотности и одинакового натяже- натяжения период колебания струны пропорционален ее длине. 2. При заданной длине струны период меняется обратно пропорционально корню квадратному из натяжения. 3. При заданной длине и натяжении период меняется про- пропорционально, корню квадратному из линейной плотности струны. Эти правила легко демонстрируются на монохорде. В настоящем пункте мы рассмотрели стоячие волны, возни- возникающие при колебании струны с закрепленными концами. Во- Вопрос о существовании решения вида
92 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II эквивалентен вопросу о существовании стоячих волн, так как профили этого решения для различных моментов времени про- пропорциональны. 3. Представление произвольных колебаний в виде суперпо- суперпозиции стоячих волн. В пункте 1 мы рассмотрели задачу о сво- свободных колебаниях струны, закрепленной на концах, и дока- доказали существование частных решений в виде стоячих волн. Там же была дана формальная схема представления произвольного колебания в виде бесконечной суммы стоячих волн. В настоя- настоящем пункте дается обоснование возможности представления произвольного решения в виде суперпозиции стоячих волн. В первую очередь рассмотрим обобщение хорошо известного для конечных сумм принципа суперпозиции на случай беско- бесконечных рядов. Пусть L(u) — линейный дифференциальный оператор, так что L(u) равен сумме некоторых производных функции (обык- (обыкновенных или частных) с коэффициентами, являющимися функ- функциями независимых переменных. Докажем лемму (обобщенный принцип суперпо- суперпозиции): Если функции щ (i = 1,2,... ,п,...) являются частными ре- решениями линейного и однородного дифференциального урав- уравнения L(u) = 0 (обыкновенного или с частными производны- оо ми), то ряд м= 2 CtUi является также решением этого урав- нения, если вычисление производных от и, фигурирующих в уравнении L (и) = 0, можно совершить при помощи почлен- почленного дифференцирования ряда. В самом деле, если производные и, фигурирующие в уравне- уравнении L (и) = 0, вычисляются почленным дифференцированием ряда, то в силу линейности уравнения L (и) = L B Ctu}j = 2 CtL (щ) = О, \t=i / t=i так как сходящиеся ряды можно складывать почленно. Тем са- самым доказано, что функция и удовлетворяет уравнению. В ка- качестве достаточного условия для возможности почленного диф- дифференцирования ряда мы постоянно будем пользоваться усло- условием равномерной сходимости ряда ?=1 C,L(ut), C1) 1 получаемого после дифференцирования1). ') См. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, «Наука», 1965} Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965.
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 93 Вернемся теперь к нашей краевой задаче. Мы должны пре- прежде всего убедиться в непрерывности функции и (*, t) = ]g ип (х, 0 = S (A, cos -2L д/ + Вп sin -^ a/) sin^x, C2) откуда будет следовать, что и (х, t) непрерывно примыкает к своим начальным и граничным значениям. Для этого доста- достаточно доказать равномерную сходимость ряда для и(х,t), так как общий член этого ряда — непрерывная функция, а равно- равномерно сходящийся ряд непрерывных функций определяет не- непрерывную функцию. Пользуясь неравенством !«„(*, OKI заключаем, что ряд ||AА,1 + |Яя1) C3) п=1 является мажорантным для ряда C2). Если мажорантный ряд C3) сходится, то ряд C2) сходится равномерно, то есть функ- функция и(х,t) непрерывна. Чтобы убедиться в том, что ut (x, t) непрерывно примыкает к своим начальным значениям, надо доказать непрерывность этой функции, для чего достаточно доказать равномерную схо- сходимость ряда «=i »=1 C4) или сходимость мажорантного ряда n]). C5) Наконец, чтобы убедиться в том, что функция и(х,t) удовле- удовлетворяет уравнению, т. е. применим обобщенный принцип супер- суперпозиции, достаточно доказать возможность двукратного почлен- почленного дифференцирования ряда для и(х,t), для чего в свою очередь достаточно доказать равномерную сходимость рядов оо оо -дх?=~\т) Zin\AnCOS~rat+BnSm~Tat)sm~Tx' ОО ОО \1 д2ип (яа\2\Л of » яп . , _ . пп Л . пп и"~ L~dF==~-rr) 2jn [Ancos—at-{¦Bnsm-j-at)sin—x, l l n=l
94 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 11 которым с точностью до множителей пропорциональности соот- соответствует общий мажорантный ряд п\). C6) Так как где i = у J я]> (л;) sin -^ x dx, то наша задача сводится к доказательству сходимости рядов со 2]пй|ф„| (k = -i, о, 1). C7) С этой целью мы используем известные •) свойства рядов Фурье. Если периодическая с периодом 2/ функция F(x) имеет k не- непрерывных производных, a {k-\-\)-n производная ее кусочно- непрерывна, то числовой ряд со « (|а„| + |0га|), C8) где а„ и Ьп — коэффициенты Фурье, сходится. Если речь идет о разложении в ряд по sin-^-A: функции f(x), заданной только в промежутке @, /), то надо, чтобы предшествующие требова- требования были выполнены для функции F(x), получающейся при не- нечетном продолжении f(x). В частности, для непрерывности F(x) необходимо, чтобы f @) = 0, так как в противном случае при нечетном продолжении получится разрыв в точке х — 0; анало- аналогично этому в точке х = / должно быть f(l) = 0, так как про- продолженная функция непрерывна и периодична с периодом 21. Непрерывность первой производной при х = 0, х = / получается автоматически при нечетном продолжении. Вообще для непре- непрерывности четных производных продолженной функции надо ') См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, «Наука», 1967; Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965.
§ 3) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 95 потребовать, чтобы рю @) = fk> (/) = о (k = 0, 2, 4, ..., 2п). C9) Непрерывность нечетных производных имеет место без допол- дополнительных требований. Итак, для сходимости рядов |]nfc|cpj {k = 0, 1, 2) достаточно потребовать, чтобы начальное отклонение ф(я) удо- удовлетворяло следующим требованиям. 1° Производные функции q>(x) до 2-го порядка включительно непрерывны, третья производная кусочно-непрерывна и, кроме того, 0; ф"(О)=ср"(О = О. D0) Для сходимости рядов S»*l*«l (* = -i, о, 1) на начальную скорость ty(x) следует наложить требования: 2° Функция ty{x) непрерывно-дифференцируема, имеет ку- кусочно-непрерывную вторую производную и, кроме того, ф(О) = ф(О=О. D1) Таким образом, нами доказано, что любое колебание и(х, t) при начальных функциях q>(x) и ty(x), удовлетворяющих требо- требованиям 1° и 2°, представляется в виде суперпозиции стоячих волн. Условия 1° и 2° являются достаточными условиями, свя- связанными с примененными здесь способами доказательства. Аналогичная задача была нами решена в п. 5, § 2 методом распростра- распространяющихся волн x+at *(*,<)- Ф(*-°0 + Ф(* + а0+^ J *(«)</«, D2) x-at где Ф и f являются нечетными относительно 0 и / продолжениями началь- начальных функций ф(х) и ty(x)> заданных на отрезке (О,/)- Функции Фи?, как было показано, периодичны с периодом 21 и поэтому могут быть представ- представлены рядами где <р„ и фп — коэффициенты Фурье функций <р(х) и ty(x). Подставляя эти ряды в формулу D2) и пользуясь теоремой о синусе и косинусе суммы и
96 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II разности, получим выражение оо и (*, t) = ^ |фга cos ~- at + -^ Фп sin ~ й< j sin ~ x, D3) совпадающее с представлением, даваемым методом разделения переменных. Следовательно,, формула D3) имеет место при тех же предположениях, что и формула D2) (см. п. 1 § 3), которая была получена при условии, что функция Ф(х) непрерывно-дифференцируема дважды, а функция f(x) — один раз. Переходя к функциям ц>(х) и il>(x), мы помимо условий дифференцируе- мости должны потребовать выполнения условий Ф"(О) = Ф"(/) = О. D4) Таким образом, условия 1° и 2°, являющиеся достаточными для обосно- обоснования метода разделения переменных, зависят от метода доказательства и содержат дополнительные условия по сравнению с условиями, обеспечиваю- обеспечивающими существование решения. При обосновании возможности представления решения как результата суперпозиции стоячих волн мы привели первый метод доказательства сходи- сходимости рядов, поскольку он не связан со специальной формой D2), примени- применимой только к простейшему уравнению колебаний, и без труда может быть перенесен на ряд других задач, хотя этот метод предъявляет несколько по- повышенные требования к начальным функциям. 4. Неоднородные уравнения. Рассмотрим неоднородное урав- уравнение колебаний utt = a2uxx + f(x,t), a2 = j, 0<x<t D5) с начальными условиями } •<*<' Dб) и однородными граничными условиями ы@, г)=0, Будем искать решение задачи в виде разложения в ряд Фурье по х DO и (х, Q = 2 и« W sin "Г" *' п=1 рассматривая при этом t как параметр. Для нахождения и(х, t) надо определить функцию un(t). Представим функцию f(x, t)
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ и начальные условия в виде рядов Фурье: f(x, t)=^fn(t)sm^x, M')=tJ /A, Osin^- 07 n=l 0 D9) Подставляя предполагаемую форму решения D8) в исходное уравнение D5) J sin^f x {- a* [?ff un {t) - йп (t) + /„ (t)} = 0, видим, что оно будет удовлетворено, если все коэффициенты разложения равны нулю, т. е. 2?un(t) = fn(t). E0) Для определения ы„@ мы получили обыкновенное дифферен- дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Началь- Начальные условия дают: и{х, 0) = ф(д;)= щ (х, 0) = ф (*) = 2 й«(°)sin "Г1 * e S *•sin -Г- откуда следует: @) ^j-x= ^Фпsin?j-x, оо Эти дополнительные условия полностью определяют решение уравнения E0). Функцию un(t) можно представить в виде где E2) 4 А. Н, Тихонов, А, А. Самарский
98 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II есть решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями1) и ^ ^„8т-^^ E3) — решение однородного уравнения с заданными начальными условиями. Таким образом, искомое решение запишется в виде и(х, Q^YilL J sin-^fl(* -Tjsin^-* • fa{x)dx + «=I 0 oo + 2, (Ф« cos -j- at + — ф„ sin -j- at) sin -j- x. E4) «=i Вторая сумма представляет решение задачи о свободных коле- колебаниях струны при заданных начальных условиях и была нами исследована ранее достаточно подробно. Обратимся к изучению первой суммы, представляющей вынужденные колебания струны под действием внешней силы при нулевых начальных условиях. Пользуясь выражением D9) для fn(t), находим: uV(x,t) = 2 t I J T)d|dT, E5) о о где oo G{x, 1, t-x) = ^ ^sin^-a(t-x)sin^-xsin^-t. E6) Выясним физический смысл полученного решения. Пусть функция /(|, т) отлична от нуля в достаточно малой окрестно- окрестности точки Л4оAо, то): Функция р/(|, т) представляет плотность действующей силы| сила, приложенная к участку (go, lo + А|), равна = P J fit ') В этом можно убедиться непосредственно. Формула E2) может быть получена методом вариации постоянных. См. также мелкий шрифт в конце настоящего пункта.
§3] причем МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 99 Т0+ДТ ?„+ = J F{x)dx = p J J есть импульс этой силы за время Ат. Если применить теорему о среднем значении к выражению t i u{x,f)=f j G{x, 1, t-x)f(t, x)dldx = о о VI-Дт Ы-Д? = J J G(x, I, t — x)f(l, x)d%dx, to lo будем иметь где ы(*. /)=G(*, I, t-x) J J to lo E7) Переходя в формуле E7) к пределу при А| -> 0 и Ат -> 0, полу- получим функцию и{х, t)=G(x, lo, t-xo)j, E8) которую можно трактовать как влияние мгновенного сосредото- сосредоточенного импульса мощности /. Если известна функция — G {х, %, t — т), представляющая действие единичного сосредоточенного импульса, то непосред- непосредственно ясно, что действие непрерыв- непрерывно распределенной силы f(x,t) должно представляться формулой и {х, t)= гаЪ i t ' G(x,bt-x)f{l,x)d%dx, E9) H-a(t-T)l~ %+att-T) Рис. 23. о о совпадающей с формулой E5), полу- полученной выше. Функция влияния сосредоточенного импульса для бесконечной прямой была рассмотрена в предыдущем па- параграфе. Напомним, что она является кусочно-постоянной функ- функцией, равной-г^-— внутри верхнего характеристического угла для точки A, т) и нулю вне этого угла. Функция влияния сосредото- сосредоточенного импульса для закрепленной струны @, /) может быть
100 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II получена из функции влияния для бесконечной струны путем не- нечетного продолжения относительно точек х = 0 и х = /. Рассмотрим момент времени /, достаточно близкий к т, когда влияние отражения от концов х = 0 и х = I еще не сказы- сказывается. Для этого момента функция влияния изображается гра- графиком, приведенным на рис. 23. Разложим эту функцию (пола- (полагая / = р) в ряд Фурье по sin^y-x; коэффициенты Фурье будут равны I Ъ+а (*-т) Ап = -г О (a, g, t — T)sm—j-ada— —j sin-y—ааа = 0 ia(tt) 2 . m , . ял ,. « sin — g sin -j- a(t — t). Отсюда получаем формулу оо GI ? / \ ^L^ I • ZUX ft \ • JT/Z • TCtl - {СП\ V ' fe> *~~ / / j Sin "^ u \t ¦^~ T^ Sin r*~ X • Sin —«— gi (DU^ n=l которая совпадает с формулой E6), найденной методом разде- разделения переменных. Для значений /, при которых начинает сказываться влияние закрепленных краев, построение функции влияния при помощи характеристик громоздко; представление же в форме ряда Фурье сохраняет силу и в этом случае. Мы ограничимся приведенной здесь формальной схемой ре- решения, не выясняя условий применимости полученной формулы. Рассмотрим неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффи- коэффициентами L (и) = им + Piu{n~l) + • • • + Pn-i«0) + PnU = f (t) A*) и начальными условиями ы(')(о)=о («=0, 1, .... п— 1). B») Его решение дается формулой «(*)= Jt/(*-T)f(T)rfT, C*) о где 1/@ — решение однородного уравнения
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 101 с начальными условиями t/'">@) = 0 (i=0,l n-2). U{n~l) @) = 1. D*) В самом деле, вычисляя производные u(f) дифференцированием правых частей по t, найдем t uw (t) = J I/1 >(t - x) f (т) dx + U @) / (t) [U @) = 0], о t „B) (t) = J f/B) (f - т) f (t) dr + f/A) @) / @ [f/A) @) = 0]. 0 ' 't И<п-О(г) = f U[n~x) (t-r)f (t) dx + f/("-2) @) f (t) [t/"-2> @) = 0], о t UM (() = J ifin) (t-x)f (T) dx + U[n~l) @) f @ [f/'"-1» @) = l]. о Подставляя эти производные в уравнение A*), получаем: t т. е. уравнение удовлетворяется. Очевидно, что начальные условия B*) так- также выполнены. Нетрудно дать наглядную физическую интерпретацию функции U(t) и формулы C*). Обычно функция u(t) представляет смещение некоторой си- системы, a f @ — силу, действующую на эту систему. Пусть для t < 0 наша система находилась в состоянии покоя, и ее смещение создается функцией /е@(^0), отличной от нуля только в промежутке времени 0 < t < e. Им- Импульс этой силы обозначим t /= Обозначим ыЕ@ функцию, соответствующую fe(t), считая е параметром и полагая / = 1. Нетрудно убедиться, что при е-»-0 существует lim и. (О, не е-»0 зависящий от способа выбора /Е@. н что этот предел равен функции U(t), определенной выше 1/@» Um ««(f). Е->0 если положить U(t) за 0 для t < Q. Таким образом, функцию U(t) естествен- естественно назвать функцией влияния мгновенного импульса. В самом деле, рассматривая формулу C*) и применяя теорему среднего значения, получаем:
|02 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Переходя к пределу при е -*¦ 0, видим, что существует предел lim ие @ = lim U (t — т!) == U (t), *0 е-»0 что н доказывает наше утверждение. Перейдем к представлению решения неоднородного уравнения через U(t)—функцию влияния мгновенного импульса. Разбивая промежуток @,0 точками Tj на равные части Дт ——, т представим функцию f(t) в виде т f (t) = 2 h @. 1=1 где ГО при t<%i и 1>Т|+„ f(t) при T Тогда функция где Hi(f) суть решения уравнения L(ut) = fj с нулевыми начальными дан- данными. ? Если m достаточно велико, то функцию ы*(<) можно рассматривать как функцию влияния мгновеиного импульса ннтеисивности так что m t и (t) == J] u (<-ti) f(t{) Дт -д^^о> J t/ (t - т) f (t) dt, b=l 0 т. е. мы приходим к формуле и @ = J U (t - т) f (т) dr, о показывающей, что влияние непрерывно действующей силы можно представ- представлять суперпозицией влияний мгновенных импульсов. В рассмотренном выше случае ы{,' удовлетворяет уравнению F0) и ус- условиям ы„@) = йп@) = 0. Для функции влияния U(t) имеем: U+LZj-Y a'U = 0, ?/@)=0, так что / Отсюда и из C*) получаем формулу E2) t t J t «!!' (t)=\u(t-т)fn (т)dx = JL- J siniHLa(t-т)/„ (т)dr. О о
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ЮЗ Полученное выше интегральное представление C*) решения обыкновен- обыкновенного дифференциального уравнения A*) имеет, как мы убедились, тот же физический смысл, что и формула E9), дающая интегральное представление решения иеодиородного уравнения колебаний. 5. Общая первая краевая задача. Рассмотрим общуюпер- вую краевую задачу для уравнения колебаний: найти решение уравнения t), 0<x<l,t>0 D5) с дополнительными условиями и(х, 0) = ф(л:) *мЛ D6) и (О, 0 = м,@,1 >0 D7) Введем новую неизвестную функцию v(x, t), полагая: и{х, t)=U{x, t) + v{x, t), так что v(x, t) представляет отклонение функции и(х, t) от не- некоторой известной функции U(x, t). Эта функция v(x, t) будет определяться как решение урав- уравнения vu = аЧхх + f (х, t), f (x, t) = f {x, t) -[Utt- aWxx] с дополнительными условиями v (x, 0) = ф (х), ф (д;) = ф (д;) - U (х, 0), Щ {х, 0) = ф (х); Ъ(х) = К> {х) - Ut (x, 0); v @, t) = р, @, Д, @ = ц, @ - f/ @, 0, о (/, 0 = д2 @; Д2 W = ^ @ - Выберем вспомогательную функцию U(x, t), таким образом, чтобы Д,(/) = 0 и Д2(/) = 0; для этого достаточно положить Тем самым общая краевая задача для функции и (х, t) сведена к краевой задаче для функции v(x, t) при нулевых граничных условиях. Метод решения этой задачи изложен выше (см. п. 4).
104 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II 6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями. Весьма важным классом задач являются краевые задачи со стационарными неоднородностями, когда граничные условия и правая часть уравнения не зависят от времени 4 D50 и @, 0 = ы„ ы, = const, 1 и (I, t) = и2, и2 = const. J В этом случае решение естественно искать в виде суммы и(х, t) = u(x) + v(x, t), где п (х) — стационарное состояние (статический прогиб) стру- струны, определяемое условиями й@) = ы„ а у (х, t) — отклонение от стационарного состояния. Нетрудно видеть, что функция п(х) равна 0 0 В частности, если /0 = const, то п {х) = щ + (и2 - ы,) -f + A- (/.v - д:2). Функция f(x, ?), очевидно, удовлетворяет однородному урав- уравнению vtt = a2vxx с однородными граничными условиями о@, 0 = 0, и начальными условиями о (д:, 0) = ф (х), ф (х) = ф (х) — «(я), Таким образом, v является решением простейшей краевой задачи, рассмотренной нами в п. 1 настоящего параграфа.
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 105 При выводе уравнения колебаний струны и в ряде других случаев мы не принимали во внимание действия силы тяжести. Из сказанного выше следует, что вместо явного учета силы тя- тяжести (и вообще сил, не зависящих от времени) достаточно брать отклонение от стационарного состояния. Решим простейшую задачу подобного типа при нулевых начальных ус- условиях: «« = а?ихх + h (*). D5") и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, D6') ы@, 0 = «i, «(/, 0 = «2- D7") В этом случае для функции v(x, t) получаем задачу Vu = CpVxx, v (x, 0) = ф (х) = - п (х), vt(x,0) = 0, t,@, 0 = 0. v(l, 0 = 0. Нетрудно убедиться, что для решения этой задачи нет необходимости поль- пользоваться точиым аиалитическим выражением для и{х). Выражение для v(x, t) согласно формуле A7) имеет вид оо v (дг, о = 2 (л«cos а ^^ + в"sin« где есть собственная функция следующей краевой задачи: X" + XX = Q, (8) Х@) = 0, X @ = 0. A0) Из начальных условий следует, что I Ап=~ jju(x)Xn(x)dx. о Для вычисления этого интеграла весьма удобным является следующий метод. Пользуясь уравнением (8), находим: Подставим это выражение в формулу для Ап и выполним двукратное инте- интегрирование по частям
106 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II откуда, учитывая уравнение и граничные условия для и(х), находим: 2 и2Х'п (/) - ЧХ'п @) - J ^~Хп (х) dx L о J или о В частности, для однородного уравнения (fo(x) = 0) имеем: Этим методом удобно вычислять коэффициенты Фурье для граничных усло- условий второго и третьего рода, а также в случае краевой задачи для неодно- неоднородной струны если известны собственные функции и собственные значения. 7. Задачи без начальных условий. Как было показано выше, задача о колебании струны при заданном граничном режиме может быть сведена к решению неоднородного уравнения с ну- нулевыми граничными условиями. Однако этот прием зачастую усложняет решение задачи, ко- которое может быть найдено непосредственно. При изучении влияния граничного режима важно найти ка- какое-нибудь частное решение (однородного уравнения), удовле- удовлетворяющее заданным граничным условиям, так как вычисление поправки на начальные данные сводится к решению того же уравнения с нулевыми граничными условиями. Весьма важным классом задач о распространении гранич- граничного режима являются «задачи без начальных условий». Если граничный режим действует достаточно долго, то бла- благодаря трению, присущему всякой реальной физической системе, влияние начальных данных с течением времени ослабевает. Та- Таким образом, мы естественно приходим к задаче без на- начальных условий (I): найти решение уравнения utt = a2uxx — aut (<z>0), 0 < х < I, t> — oo F1) при заданных граничных условиях: Эту задачу назовем задачей (!„). A„)
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 107 Слагаемое aut в правой части уравнения соответствует тре- трению, пропорциональному скорости. Рассмотрим сначала задачу о распространении периодиче- периодического граничного режима: и (I, t) = A cos со* (или и (I, t) = B sin at), F2) и @,0 = 0. F3) Для дальнейшего нам удобнее записать граничное условие в комплексной форме иA, Г) = Аеш. F4) Если и (х, t) = ы"> (х, t) + шB) (х, t) удовлетворяет уравнению F1) с граничными условиями F3) и F4), то ыA) (х, t) и «<2) (х, t)—его действительная и мнимая части — в отдельности удовлетворяют тому же уравнению (в силу его линейности), условию F3) и граничным условиям при х = I «<"(/. 0 = 4 cos cof, ЫЮ(/, 0 = Л sin со*. Итак, найдем решение задачи ии = а2ихх — ащ, и @,0 = 0, F5) Полагая и(х, г) = Х{х)еш и подставляя это выражение в уравнение, получим для функ- функции Х(х) следующую задачу: F6) *@) = 0, F7) ХA) = А. F8) Из уравнения F6) и граничного условия F7) находим: X(x) = Csinkx. Условие при х = 1 дает: так что ^ X2{x), G0) где Хх (х) и Х2 {х) — действительная и мнимая части X (х).
108 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Искомое решение можно представить в виде и {х, 0 = [Я, (х) + iX2 (х)] е™ = «<•> (я, t) + iu® {x, t), где ыA) (х, t) = Xt (x) cos at — Х2 {х) sin cof, ыB) (х, t) = Xt (x) sin со* + Х2 (х) cos со*. Переходя к пределу при а->0, найдем, что a->0 и, соответственно, G1) . со sin — х п») (х, t) = lim «<D (x, t) = A ^— cos at, G2) «->° sin а . со sin — х #2) (Xt t) = lim ы<2> (х, 0 = Л — sin (»f. G3) а->° sin — / а Рассмотрим следующую задачу: щ{ = с?ихх, 0<х<1, t>— оо; ы@, 0 = |i|(Q, f>-oo; и (I, /) = M0, которую будем называть задачей A0). Очевидно, что м<'> (х, <) и ы<2' (х, t) являются решениями задачи A0) при граничных условиях п«) @, t) = 0, пО (I, t) = A cos cof, йB) @, t) = 0, п<2> (I, t) = A sin erf. Решение задачи при а = 0 существует не всегда. Если ча- частота вынужденных колебаний со совпадает с собственной ча- частотой con колебаний струны с закрепленными концами пп ш = (о„=—а, то знаменатель в формулах для кA) и i№ обращается в нуль и решения задачи без начальных условий не существует. Этот факт имеет простой физический смысл: при со = со„ на- наступает резонанс, т. е. не существует установившегося режима. Амплитуда, начиная с некоторого момента t = t0, неограниченно нарастает. При наличии трения (а ф 0) установившийся режим воз- возможен при любом ш, так как sin kl ^ 0 при комплексном k.
§ 31 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 109 Если ni{t) = 0, а цг(О—периодическая функция, предста- вимая в виде ряда со = 4" + 2 (An cos ant + Вп sin ewrf), G4) где о — наименьшая частота, Ап к Вп — коэффициенты Фурье, то решение задачи для случая а = 0 принимает вид 00 sin — х ^x + 2) <Л« cos шп' + Вп sin ^ и=1 sin — / если только ни одна из частот соя не совпадает с собственными частотами закрепленной струны. Если же цг@—непериодическая функция, то, разлагая ее в интеграл Фурье, аналогичным методом можно получить реше- решение в интегральной форме. Отметим, что решение задачи без начальных условий при а = 0 определено неоднозначно, если только не накладывать каких-либо дополнительных условий. В самом деле, прибавляя к какому-либо решению этой задачи любую комбинацию стоя- стоячих волн Ап cos — at + Вп sin — at\ sin — x, где Ап и Вп — произвольные постоянные, видим, что эта сумма будет удовлетворять тому же уравнению и тем же граничным условиям. Чтобы получить единственное решение задачи Aа) при а = 0, введем дополнительное условие «исчезающего трения»: Решение задачи A0) мы называем удовлетворяющим усло- условию «исчезающего трения», если оно является решением за- задачи A«) при а -*¦ 0. Аналогично решается задача, если конец х = I закреплен, а при х = 0 задан граничный режим. Решение общей задачи без начальных условий и@. 0 = й,Ю. u{l,t) = ix2{t) Определяется в виде суммы двух слагаемых, для каждого из которых неоднородно лишь одно из граничных условии. Докажем единственность ограниченного решения задачи без начальных условий для уравнения F1). При этом мы будем предполагать непрерыв- непрерывность решения вместе с его производными до второго порядка включительно в области 0 ^ х ^ /, — оо < t < tB, если граничные значения «№0 = 11,@. »(/. 0*-МО определены в области — оо < t < to.
НО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Пусть щ(х, t) и и2(х, t) — два ограниченных решения рассматриваемой задачи (I), \иу\<М, \ut\<M, где М > 0 — некоторое число. Разность этих функций v (х, t) = щ (х, t) — н2 (х, t) ограничена (|о|<2М), удовлетворяет уравнению F1) и однородным гра- граничным условиям v @, t) = 0, v (/, /) = 0. Коэффициенты Фурье для функции о I 2 Г пп On @ = -г о (ж, 0 sin -т— х dx, о очевидно, удовлетворяют уравнению так как вторые производные функции v(x,t) непрерывны для 0 ^ х sg /. Общее решение уравнения (*) имеет вид где <?„' и q% — корни характеристического уравнения, равные mi ct (••) Так как а > 0, то Re <? J,1'2' < 0. Следовательно, решеняе (**) уравнения (*) будет ограниченным при t-*-—оо лишь при Ап = 0 и Вп = 0, т. е. vn(t) =0 для любого п. Таким образом, V (X, /)э0 н ttj (X, t)^Ui (X, t). 8. Сосредоточенная сила. Рассмотрим задачу о колебаниях струны под действием сосредоточенной силы, приложенной в точке х = Хо. Если сила распределена на некотором участке (х0 — е, х0 + е), то решение находится по формуле E5). Совер- Совершая предельный переход при е —»¦ 0, можно получить решение поставленной задачи. С другой стороны, при выводе уравнения колебаний мы ви- видели (см. (8), п. 1 §1), что в точке х0, к которой приложена со- сосредоточенная сила, происходит разрыв первой производной, а сама функция остается непрерывной. Решение задачи и(х, t) о колебаниях струны под действием силы, сосредоточенной в точке х0, можно представить двумя различными функциями: и (х, t) == ы, (х, t) при и {х, t) = и2 {х, t) при
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 111 Эти функции должны удовлетворять уравнению ии = а2ихх при хфх0, G6) граничным и начальным условиям и, @, 0 = 0, и(х, 0) = и2(/, и условиям сопряжения в точке х = х0 (см. (8), § 1), состоя- состоящим из условия непрерывности функции и (х, t): «i(*o. t) = u2(xQ, t), G8) и условия, связывающего величину разрыва производной с си- силой f(t), сосредоточенной в точке Хо: у , 0 = 0, и(х, 0) = ф(х), 1 /, 0 = 0; щ(х,0)=Ъ(х) I G7) ди дх _ди2, f(t) Xo-0 Заботиться о соблюдении начальных условий нет необходимо- необходимости. Если мы найдем частное решение уравнений G6), удовле- удовлетворяющее граничным условиям из G7), а также G8) и G9), то, прибавляя к нему решение однородного уравнения колеба- колебаний, мы всегда сможем удовлетворить заданным начальным условиям. Рассмотрим частный случай f(t) = A cos со*, — оо < t < + оо и найдем решение, удовлетворяющее лишь граничным условиям, предполагая, что сила действует все время, начиная от t = —оо (установившийся режим), т. е. решим задачу без на- начальных данных. Будем искать решение в виде Ы1 (*» ')= -^1 (х)cos ш* ПРИ 0 ^ л; ^ л;0, и2 (х, t) = Х2 (х) cos at при х0 ^ х •¦ Из уравнения G6) следует: при (80) , = 0 при Функции X) и Х2, кроме того, должны удовлетворять гранич- граничным условиям вытекающим из G7), и условиям сопряжения вытекающим из G8) и G9),
112 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Из уравнения (80) и условий (81) находим: [ГЛ. II условия сопряжения (82) дают: С sin -? х0 - D sin -2- (I - х0) = 0, Определяя отсюда коэффициенты С и D, получаем: u(x, t) = «i = sin — (/-*„) Аа а . а , 8Ш — х cos at при ka . ш а г sin — / , а sin -^ *0 sin — I a sin-—-A-х)cos©/ при хо Аналогично записывается решение при f(t) = A sinw*. Итак, получено решение для случая f (t) = A cos at или f(t)= A sinw*. Если f(t)—периодическая функция, равная / @ = if (а" cos ш^ + Р" Sin atlt (© — наименьшая частота), то, очевидно, U (X, t)= "Н1 ~~Г. а sin (/—А"о) . шп sin п=1 а X (а„ cos ant + Pn sin ant), —I1 T)+ . an asm— X° . mn(/-x)w wnsiA X («„ cosidtit + Pn sin ant), (83) •) ') Первые слагаемые этих сумм соответствуют стационарному прогибу, определяемому по величине силы f (t) = ao/2 = const, как нетрудно видеть, функциями: 5""^"*A"""t) при «2 (*. 0 = «2 (*) = J "у" *0 ( 1 — j
§31 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ЦЗ Если функция f(t) непериодическая, то, представляя ее в виде интеграла Фурье, аналогичным методом можно получить реше- решение в интегральной форме. Если знаменатель у этих функций (83) равен нулю . con/ „ sin—=o, пт (on = -r-a==(om, т. е. если спектр частот возбуждающей силы содержит одну из частот собственных колебаний (резонанс), то установившегося решения не существует. Если точка приложения силы х0 является одним из узлов стоячей волны, соответствующей свободному колебанию с ча- частотой Шт, ТО При этом числители соответствующих слагаемых для и обра- обращаются в нуль, и явление резонанса не имеет места. Если же точка приложения силы, действующей с частотой шт, является пучностью соответствующей стоячей волны с частотой шт, то и явление резонанса будет выражено наиболее резко. Отсюда следует правило, что для возбуждения резонанса струны при действии на нее сосредоточенной силой надо, чтобы частота ее ш была равна одной из собственных частот струны, а точка приложения силы совпадала с одной из пучностей стоя- стоячей волны. 9. Общая схема метода разделения переменных. Метод раз- разделения переменных применим не только для уравнения коле- колебаний однородной струны, но и для уравнения колебаний неод- неоднородной струны. Рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения = p{x)^, 0<x<l, t>0, (84) удовлетворяющее условиям u@,t) = 0, u{l,t) = O, *>0, (85) и (х, 0) = ф (*), щ (х, 0) = ф (х), 0 < х < /. (86)
114 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. И Здесь k, q и р — непрерывные на отрезке 0 ^ х ^ I положи- положительные функции (k > 0, р > 0, <7 ^ 0) '). Проведем решение этой задачи методом разделения переменных. Для отыскания частных решений обратимся, как и раньше, к вспомогательной задаче о существовании стоячих волн: найти нетривиальное решение уравнения (84), удовлетво- удовлетворяющее граничным условиям u(O,t) = O, u(l,t) = O и представимое в виде произведения u(x,t) = X(x)T(t). Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение и пользуясь граничными условиями, после разделения перемен- переменных получаем: Т" + %Т = 0. Для определения функции К{х) мы получим следующую краевую задачу на собственные значения2): найти те значения параметра К, при которых существуют не- нетривиальные решения задачи: 0, (87) X(l) = 0, (88) а также найти эти решения. Такие значения параметра Я, назы- называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения — собственными функция- функциями задачи (87) —(88). Сформулируем основные свойства собственных функций и собственных значений краевой задачи (87) и (88), необходимые для дальнейшего изложения. ') Тот случай, когда k(x) в некоторых точках обращается в нуль, рас- рассматривается отдельно (см. Дополнение II). 2) Прн р = ро — const, k = ko = const мы получаем краевую задачу о собственных колебаниях струны с закрепленными концами: .. «о. исследованную в § 2
116 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II граничные условия (88), будем иметь '); i J {XmL[Xn]-XnL[Xm]}dx = O (a = 0. b = l), о откуда, пользуясь уравнением (87), получаем: (К - К) J Хт (х) Хп (х) р (х) dx = 0. о Таким образом, если Кп Ф km, то имеет место условие i jXm(x)Xn(x)9(x)dx = 0, (92) о выражающее ортогональность с весом р(л;) собственных функ- функций Хт (X) ИХП(Х). Докажем теперь, что каждому собственному значению соот- соответствует с точностью до постоянного множителя только одна собственная функция2). В самом деле, всякая собственная функция определяется однозначно как решение дифференциаль- дифференциального уравнения 2-го порядка по значению самой функции и ее первой производной при х = 0. Допустив существование двух функций X и X, отвечающих одному и тому же значению А и обращающихся в нуль при х = 0, и беря функцию Х'{0) ') Производные Х'т и Х'п непрерывны всюду на отрезке 0 ^ х sg /, включая точки х = 0 и х = I, так как уравнение (87) дает: k (х) Х'т (х) = | (q - Ятр) Хт dx + С. X Отсюда и следует существование производной Х'т при х = 0 и х = /. 2) Доказываемое свойство первой краевой задачи основано на том, что два линейно независимых решения дифференциального уравнения 2-го по- порядка не могут обращаться в нуль в одной и той же точке. Это утверждение относится к краевой задаче с нулевыми граничными условиями. При других граничных условиях (например, Х@) = ХA), Х'@)=Х'(/)) могут суще- существовать две различные собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению (AJJ' (х) = cos —г- х, Х^1 (х) = sin —¦—- х при Л„ = (—^-j , п=0, I, 2, ... J.
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 117 видим, что эта функция удовлетворяет тому же уравнению 2-го порядка (87) и тем же начальным условиям, что и функция Х(х): dX* dx X'@) Тем самым доказано, что Х*(х) = Х(х) и что Отметим, что в процессе доказательства мы пользовались условием Х'^фО, которое безусловно выполняется, так как решение линейного уравнения (87), определяемое начальными условиями _ _ 1@) = О, ЗГ'(О) = О, тождественно равно нулю и тем самым не может быть собствен- собственной функцией (см. стр. 114). В силу линейности и однородности уравнения и краевых ус- условий очевидно, что если Хп(х) является собственной функцией при собственном значении К„, то функция АпХп(х) (Ап — про- произвольная постоянная) также является собственной функцией для того же Кп- Выше было доказано, что этим вполне исчер- исчерпывается класс собственных функций. Собственные функции, отличающиеся множителем, мы, разумеется, не считаем суще- существенно различными. Чтобы исключить неопределенность в вы- выборе множителя, можно подчинить собственные функции тре- требованию нормировки || хп if = J Х1 (х) p(x)dx=l. о Если некоторая функция Хп (х) не удовлетворяет этому требо- требованию, то ее можно «нормировать», умножая на коэффи- коэффициент Ап, АпХп(х) = Хп(х), А. = ппр Если подчинить собственные функции задачи (87) — (88) ус- условию нормировки (||ХП||— 1), то они образуют ортогональную и нормированную систему 0, т ф п, 1, т = п.
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 117 видим, что эта функция удовлетворяет тому же уравнению 2-го порядка (87) и тем же начальным условиям, что и функция Х(х): Тем самым доказано, что Х*(х) = Х(х) и что Х~(х) = АХ(х) (U=-P Отметим, что в процессе доказательства мы пользовались условием Х'@)=^0, которое безусловно выполняется, так как решение линейного уравнения (87), определяемое начальными условиями _ _ Х@) = 0, Ж'@) = 0, тождественно равно нулю и тем самым не может быть собствен- собственной функцией (см. стр. 114). В силу линейности и однородности уравнения и краевых ус- условий очевидно, что если Хп(х) является собственной функцией при собственном значении Кп, то функция А„Хп(х) (Ап — про- произвольная постоянная) также является собственной функцией для того же %п. Выше было доказано, что этим вполне исчер- исчерпывается класс собственных функций. Собственные функции, отличающиеся множителем, мы, разумеется, не считаем суще- существенно различными. Чтобы исключить неопределенность в вы- выборе множителя, можно подчинить собственные функции тре- требованию нормировки Если некоторая функция Хп(х) не удовлетворяет этому требо- требованию, то ее можно «нормировать», умножая на коэффи- коэффициент Ant . АпХп (х) = Хп (X), Ап = ||^ и . Если подчинить собственные функции задачи (87) — (88) ус- условию нормировки (||ХП||= 1), то они образуют ортогональную и нормированную систему \xm{x)Xa{x)p{x)dx = l >тфп> I [ I, т = п.
118 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Обратимся к доказательству свойства 2. Докажем, что Я, >• О при q^O. Пусть Хп(х)—нормированная собственная функция, соответствующая собственному значению Кп, так что Умножая обе части этого равенства на Хп(х) и интегрируя поле от 0 до /, получаем: / i К \ XI (х)9{x)dx=-\ Хп(х) L[Xn]dx о или I = -\хя-§^[Нх) Igjfl dx+\q(x)Xl{x)dx, о о так как функция Хп(х) предполагается нормированной. Инте- Интегрируя по частям и пользуясь граничными условиями (88), по- получаем: it К = -XnkX'n| + J k(x)[X'n{x)f dx+ jq(x)X2n(x)dx = 0 0 0 I k (x) [Xrn (x)f dx+ jq (x) Xl (x) dx, (93) | 0 0 I о откуда и следует, что Я„>0, так как по условию k(x)~>0 и q(x)^O. Оставляя доказательство теоремы разложимости в стороне, остановимся вкратце на вычислении коэффициентов разложе- разложения. Нетрудно видеть, что Fn = pjjjp jp(x)F (x) Xn (x) dx. (94) о В самом деле, умножая обе части равенства i) ^nn() на р(х)Хп(х), интегрируя по х от 0 до / и учитывая ортогональ- ортогональность собственных функций, получаем написанное выше выра- выражение для коэффициентов Fn (коэффициентов ФурьеI). ') Возможность почленного интегрирования ряда следует из теоремы Стеклова о равномерной сходимости ряда (90).
§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ цд Вернемся теперь к уравнению с частными производными. Для функции T(t) мы имеем уравнение Т" + КпТ = 0 (95) без каких-либо дополнительных условий. В силу доказанной по- положительности %п его решение имеет вид Тп (t) = An cos YKt + Bn sin где Ап и Вп — неопределенные коэффициенты. Таким образом, вспомогательная задача имеет бесчисленное множество реше- решений вида ип (х, t) = Тп @ Хп (х) = (Ап cos VKt + Bn sin VKt) Xn (x). Обратимся к решению задачи с заданными начальными ус- условиями. Будем искать решение в виде и (х, t) = 2 (Ап cos VKt + Bn sin VKt) Xn (x). (96) Формальная схема удовлетворения начальным условиям (86) основывается на теореме разложимости 4 и проводится совер- совершенно так же, как и для однородной струны. Из равенств оо и(х, 0) = ф(л;)=Е ЛпХп(х), щ (х, 0) = $(х) = S Bn VKXn (x) п=1 находим, что (97) где фп и я]з„ — коэффициенты Фурье функций q>(x) и -ф(>г) при разложении по ортогональной с весом р(л;) системе функций {Хп(хI Ограничиваясь общей схемой метода разделения перемен- переменных, мы не приводим условий применимости этого метода как в отношении коэффициентов уравнения, так и в отношении на- начальных функций. Основополагающие работы по обоснованию этого метода принадлежат В. А. Стеклову1). ') «Сообщения Харьковского математического общества», вторая серия, Т. 5, № 1 и 2 A896), «Основные задачи математической физики», т. 1 A922); 0. А. Ильин, О разрешимости смешанных задач для гиперболических и параболических уравнений, УМН 15, вып. 2 A960).
120 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Задачи 1. Найти функцию и(х, t), определяющую процесс колебания струны (О,/), закрепленной на концах и возбуждаемой (рис. 24) оттягиванием ее в точке х = с на величину А, т. е. и(с, 0) = h (см. приложение I). Начальная скорость равна нулю. 2. Закрепленная на концах струна в точке х = с оттянута силой Fо. Найти колебания струны, если в начальный момент сила перестает действо- действовать, а начальная скорость равна нулю. 3. Найти функцию и(х, t), определяющую процесс колебания струны @, /), закрепленной на концах и возбуждаемой импульсом К, распределен- распределенным на отрезке (с — 6, с + б): а) равномерно, б) по закону v0 cos ^-—— к (см. приложение I), если начальное отклонение равно нулю. 4. Найти функцию и(х, t), опре- определяющую колебания струны @,/), закрепленной на концах и возбуждае- х=0 х=г Х'1 мой импульсом К, приложенным в точке х = с (см. приложение I). На- рис 24 чальное отклонение равно нулю. 5. Доказать аддитивность энергии отдельных гармоник для процесса ко- колебаний при граничных условиях и = 0, их = 0. Рассмотреть также случай граничного условия 3-го рода их + hu = 0 (все ряды предполагать равно- равномерно сходящимися). Вычислить энергию отдельных гармоник в задачах 1, 2, 3, 4. 6. Пружина, закрепленная одним концом в точке х = 0, растянута гру- грузом массы М, подвешенным в точке х = I. Найти колебания пружины, если в момент t = 0 груз падает и в дальнейшем на конец х = I не действуют никакие силы. 7.. Один конец стержня закреплен, а на второй действует сила FD. Найти колебания стержня, если в начальный момент сила перестает действовать. 8. Найти процесс колебания пружины, один конец которой закреплен, а ко второму концу в начальный момент подвешивается груз массы. М. На- Начальные условия нулевые. 9. К однородной струне с закрепленными концами х = 0их=/в точ- точке х — с прикреплена масса М. Найти отклонение струны и(х, t), если: а) в начальный момент в точке х — с струна оттянута на величину h от положения равновесия и отпущена без начальной скорости; б) начальное отклонение и начальная скорость равны нулю (см. приложение III). 10. Найти процесс колебания пружины со свободными концами прн рав- равномерном начальном растяжении (представить модель этой задачи). 11. Найти процесс колебания пружины с упруго закрепленными концами яри одинаковых коэффициентах жесткости, если начальные условия произ- произвольны. Решение исследовать при малых h («мягкое» закрепление) и при боль- больших h («жесткое» закрепление) и вычислить соответствующие поправки к собственным значениям для струны со свободными и закрепленными кон- концами. 12. Найти отклонение и(х, t) струны с жестко закрепленными концами, если колебания происходят в среде, сопротивление которой пропорционально скорости, а начальные условия произвольны. 13. Изолированный электрический провод длины I с характеристиками \L, R, С и G = 0 заряжен до некоторого постоянного потенциала v0. В на- начальный момент один конец провода заземляется, а второй остается все время изолированным. Найти распределение напряжения в проводе.
§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 121 14. Струна с закрепленными концами колеблется под действием гармо- гармонической силы, распределенной с плотностью f(x, t) = 0(x)sin wf. Найти отклонение и(х, t) струны прн произвольных начальных условиях. Исследо- Исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса. 15. Решить задачу 14, предполагая, что колебания происходят в среде, сопротивление которой пропорционально скорости. Найти установившиеся колебания, составляющие главную часть решения при t -*¦ оо. 16. Упругий стержень длины / расположен вертикально и жестко при- прикреплен верхним концом к свободно падающему лифту, который, достигнув скорости tH, мгновенно останавливается. Найти колебания стержня, предпо- предполагая его нижний конец свободным. 17. Решить уравнение utt = а?ихх — Ъги + А при нулевых начальных условиях и граничных условиях и @, /) = 0, и (/, 0 = В, где Ь, А и В — постоянные. 18. Решить дифференциальное уравнение A sh x при нулевых начальных условиях и граничных условиях и @, 0 = В, и (/, t) = С, где А, В и С — постоянные. 19. К однородной струне с жестко закрепленными концами * = 0 и « = 1 в точке х = с @ < с < I) приложена гармоническая сила F (t) == Рв sin at, действующая, начиная с момента t = 0. Найти отклонение струны и(х, t), предполагая начальные условия нулевыми. 20. Решить задачу о колебаниях неоднородного стержня длины I с жест- жестко закрепленными концами, составленного из двух однородных стержней, со- соединенных в точке х = с@<с</), если начальное отклонение имеет вид и(х, 0) = — х при 0 <[ х <[ с, С -. - I ~~ С A-х) при а начальные скорости равны нулю. 21. Найти установившиеся колебания пружины, один конец которой за- закреплен, а на второй действует сила F (t) — A sin «,/ + В sin a2t. 22. Найти установившиеся колебания неоднородного стержня, составлен- составленного из двух однородных стержней, соединенных в точке х = с, если один конец стержня закреплен, а второй движется по закону и (I, t) = A sin at. § 4. Задача с данными на характеристиках I. Постановка задачи. Рассмотрим ряд задач, являющихся развитием первой краевой задачи для уравнения колебаний струны. Для простоты будем изучать явления вблизи одного края, считая другой край удаленным в бесконечность, т. е. в
122 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II качестве исходной задачи возьмем задачу для полубесконечной прямой. Уравнение колебаний струны tirr = а2ихх симметрично отно- относительно переменных х и I, если положить а2 = 1, т. е. изме- изменить масштаб времени, введя переменную t = at'. Однако до- дополнительные условия вносят асимметрию в математическое толкование х и t: в начальных условиях (при t = 0) за- задаются две функции и(х, 0) и щ(х, 0), в то время как в гра- граничных условиях (при х = 0) задается только одна функция и @,0- Как было отмечено в § 2, п. 9, между функциями и их нор- нормальными производными при t = 0 и х = 0 существует соот- соотношение Щ @, г) + их @, 2) = щ B, 0) + их B, 0) (а2 = 1) при произвольном значении г. Отсюда следует, что при л = 0и t = 0 нельзя независимым образом задать все эти функции; произвольными являются только три условия, что и указывает на невозможность симметричной постановки дополнительных условий. Дополнительные условия могут задаваться либо на прямых линиях х — 0, t = 0 (с задачами подобного рода мы имели дело до сих пор), либо на некоторых кривых в фа- фазовой плоскости. Напри- Например, граничные значения можно задавать на неко- некоторой кривой Ci(x = =/?i@), однако для раз- х решимости такой задачи кривая Ci должна поми- помимо достаточной гладкости удовлетворять еще неко- некоторым дополнительным условиям. Рассмотрим процесс колебаний газа в трубе Рис- ^ с подвижной границей (подвижным поршнем). Ясно, что скорость перемещения границы, движущейся по зако- закону x = fi(t), нельзя считать произвольной: она не должна пре- / /if (i\ \ восходить скорость звука al r'J ¦¦ < а). Геометрическим след- следствием этого является то, что кривая Ci (х = /i (t)) должна быть отделена характеристикой от линии t = 0 несущей на- начальные значения (рис. 25). Если хотя бы в одной точке ли-
§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 123 ния С1! лежала ниже характеристики х = at, то значение функ- функции и(х, t) вполне определялось бы начальными условиями и не могло бы задаваться произвольно. Физический смысл этого связан с тем, что при движении газа со скоростями, превосхо- превосходящими скорость звука, уравнение акустики теряет силу, и надо пользоваться нелинейными уравнениями газовой дина- динамики1). Начальные условия можно задавать не только на оси t — О, но и на некоторой линии С2 (t = f2(x)), которая должна удо- удовлетворять требованию | /г (¦») | < 1/а (при этом С2 лежит в обла- области влияния начальных данных). Задачи подобного типа легко решаются с помощью интегрального уравнения колебаний (см. §2, п. 7). Не ставя своей целью дать полный перечень всех возмож- возможных краевых задач, рассмотрим более подробно задачу опре- определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую задачу часто называют задачей Гурса. Задача с данными на характеристиках представляет большой интерес с точки зрения физических приложений. Она встречается, например, при изуче- изучении процессов сорбции и десорбции газов (см. приложение V), процессов сушки (см. задачу 1) и многих других задач. 2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса. Рассмотрим простейшую задачу с данными на характеристиках A) Дополнительные условия даны на прямых х = 0 и у = 0, яв- являющихся характеристиками уравнения A). Будем предпола- предполагать, что функции q>i(x) и фг(#) дифференцируемы и удовлетво- удовлетворяют условию сопряжения ф1@)=ф2@). Интегрируя последо- последовательно по х и у уравнение A), получим: о У х и(х,у) = и(х, 0) + и@, у)-и(О, 0) + 0 0 или У X и(х, г/) = ф, (х) + ф2 (у) — Ф1 @) + J J / (I, r\) &\ dr\. B) о о ') См. приложение IV, стр. 154.
124 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Таким образом, для простейшего уравнения, не содержащего первых производных их, иу и искомой функции, решение пред- представляется в явной аналитической форме B). Из формулы B) непосредственно следует единственность и существование реше- решения поставленной задачи. Перейдем к решению линейного уравнения гиперболического типа иху = а(х, y)ux + b(x, у)иу + с{х, y)u + f(x, у) C) при дополнительных условиях на характеристиках х = О, у = О и(х, 0) = ф,(х), «(О, У) = Ч>2(У), {6) где q>i(x) и фг(#) удовлетворяют требованиям дифференцируе- дифференцируемое™ и сопряжения. Коэффициенты с, b и с будем предпола- предполагать непрерывными функциями х и у. Формула C) показывает, что функция и(х, у) удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению и(х, у)= J J [a(I, r\)u% + b(l, т])иц + с (I, r\)и]d\dv\ + \\ f(h T])rf|rfT]. D) о о о о Для его решения воспользуемся методом последовательных приближений. Выберем в качестве нулевого приближения функ- функцию «о (х, У) = 0. Тогда D) дает для последовательных приближений следующие выражения: У х Щ {х, у) = ф, (х) + ф2 (у) - Ф, @) + J J / Ц, ц) dt dri, о о у x J J [a о о -^ + c(i, ii)Un-i]dldi\' E)
§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 125 Отметим попутно, что дип дщ . Г Г , ч dun—i ,11 \ dun—\ i / \ -ЫГ==-дх- + ] [а(Х'^—дГ- + Ь(х,гЪ-1^-+с(х,ц)ип-, о (в) Докажем равномерную сходимость последовательностей {Unix, у)}, \^-(х,у)}. {^-(х, у)}. Для этого рассмотрим разности г„ {х, у) = ип+1 {х, у) — ип (х, у) и х дгп (х, у) _ дип+, (х, у) дип (х, у) дх дх дх о дгп (х, у) дип+1 (х, у) дип (х, у) __ ду ду ду X = J [а (I, У) -^ + Ъ (|, у) ^- + с A, у) г„_, (|, у)] d%. о Пусть Ж — верхняя граница абсолютных величин коэффициен- коэффициентов а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) и Я —верхняя граница абсолютных величин 20 = щ (х, у) и ее производных дг0 при изменении хну внутри некоторого квадрата @ ^ х ^ L, О ^ у ^ L). Построим мажорантные оценки для функций Zn* TTf W' Очевидно> что 12, |< ЗНМху < 5НМ
126 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Предположим, что имеют место рекуррентные оценки I dz^ I < WMnKn-i (x + y)n где К > 0 — некоторое постоянное число, значение которого уточним ниже. Пользуясь этими оценками и формулой для (и + 1)'го приближения после ряда упрощений, усиливающих неравенство, получим: | < ЗНМп+1Кп~1 ,п?2у (п + з "I" 2) "^ 2 ^ т BKLM)n+2 ЗН BKLM)n+l 1Г+2" JX («+1)! ^ К (га+1)! ' где В правых частях этих неравенств с точностью до множите- множителей пропорциональности стоят общие члены разложения e2KLM. Эти оценки показывают, что последовательности функций дип ди0 . дг, . . дгп-, а*- ~т~ я„ "г ••• "Г* дх дх г дх дх ' ди„ ди0 ¦ дг, . . dzn-i ду — ду 1~ ду "*"••• """ ду сходятся равномерно к предельным функциям, которые мы обо- обозначим «(х, У) = Нт ип (х, у), П-»°о v(x, y)= lim -^- (х, у), ьу(х, у)= lim -^J-(x, ^/).
§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 127 Переходя к пределу под знаком интеграла в формулах E) и F), будем иметь: У х и {х, у) = щ (х, y)+j j[a (|, т]) v+b (|, т)) w+c (?, r\) u] rf| dr\, о о У v (x, y) = -?f- (x, y)+J [a (x, r\) n^- b(x,r\)w + c {x, r\) u] rfrj, \ G) 0 x w(x, y) = ^-(x,«/)+ [a(I, y)v-\-b(l,y)w + c(l, у)и]dl. Вытекающие отсюда равенства позволяют установить, что функция и(х, у) удовлетворяет ин- тегро-дифференциальному уравнению ///A, о о JJ [с(|, nL + b(h г1)и„ + с(Ь n)u]dldr], D) о о о У X J о о а также исходному дифференциальному уравнению C), что про- проверяется непосредственно дифференцированием D) по х и у. Функция п = и(х, у), как нетрудно убедиться, удовлетворяет и дополнительным условиям. Докажем теперь единственность решения рассматриваемой задачи C) — C'). Допуская существование двух решений Щ(х, у) и Ыг(х, у), сразу же получаем для их разности U (х, у) = щ (х, у) — и2 (х, у) однородное интегро-дифференциальное уравнение U(x,y)=fj (aUx + bUv + cU)dlЛ). о о Обозначая далее через Hi верхнюю грань абсолютных величин \U(x,y)\<Hl, \Ux{x,y)\<H» \Uy(x,y)\<Hl
128 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. И для 0<х^1, 0<|/</-и повторяя оценки, проведенные для функций zn(x, у), убеждаемся в справедливости неравенства +2 ^ ЗЯ, BKLM)n+2 при любом значении п. Отсюда и следует U (х, у)^0 или щ (х, у) гз щ (х, у), что и доказывает единственность решения задачи с данными на характеристиках. Если коэффициенты a, b и с постоянны, то уравнение C) с помощью подстановки u = ve^+w приводится к виду vxy + ClV = f. (8) При С\ = О мы получаем задачу для простейшего уравне- уравнения A), решение которой дается формулой B). Если С\ Ф О, то решение задачи для уравнения (8) также может быть получено в явной аналитической форме методом, изложенным в § 5. Задачи 1. Через трубу (х > 0), заполненную веществом, содержащим влагу, продувается воздух (со скоростью v). Пусть v (х, t)—концентрация влаги в поглощающем веществе, u(x, t) — концентрация свободных паров. Вывести уравнение для функций u(x, t) и v(x, t), описывающих процесс сушки, если: 1) процесс изотермический и 2) изотерма сушки имеет вид u = \v, где у -- постоянная изотермы (см. также приложение V). 2. По трубе (х > 0) пропускается со скоростью v горячая вода. Пусть и — температура воды в трубе, v — температура стенок трубы, Ио — темпе- температура окружающей среды. Вывести уравнения для и и v, пренебрегая рас- распределением температуры по сечению трубы и стенок и считая, что на гра- границах вода — стенка и стенка — среда существует перепад температур и происходит теплообмен по закону Ньютона (см. главу III, § 1). § 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа 1. Сопряженные дифференциальные операторы. Установим некоторые вспомогательные формулы, нужные нам для пред- представления решений краевых задач в интегральной форме. Пусть у)их + Ь(х, у)их + с(х, у)и A) (а{х, у), Ь(х, у), с(х, у) — дифференцируемые функции) — линейный дифференциальный оператор, соответствующий ли- линейному уравнению гиперболического типа. Умножая 3? [и] на
§ 5] ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА некоторую функцию v, запишем отдельные слагаемые в виде vuxx = (vux)x — (vxu)x + uvxx, vbuy = {bvu)y — и {bv)y, vuyy = (vuy)y — (vyu)y + uvyy> vcu = vaux = (avu)x — и {av)x, Суммируя отдельные слагаемые, получаем: \ + 2L. + ^, B) где JC(v) = vxx — Vyy — (av)x — (bv)y + cv, C) Н = vux — vxu + avu = {vu)x — Bvx — av) и = D) = -(vu)x + Bux + au)v, D') K = — vuy + vyu + bvu = — (vu)y + Bvy -\-bv)u = E) = («i>)j, — Buy — bu) v. E') Два дифференциальных оператора называются сопряжен- сопряженными, если разность является суммой частных производных по х и у от некоторых выражений Н и К. Рассматриваемые нами операторы 9? и Ж, очевидно, яв- являются сопряженными. Если 3? [и]= Ж [и], то оператор 9? [и] называется самосопря- самосопряженным. Двойной интеграл от разности v3? [и] — иЖ [v] по некоторой области G, ограниченной кусочно-гладким контуром С, равен J J (v2[и] - иЛ[v])dldn=j(Hd4-Krf|), F) о с где и и V — произвольные дважды дифференцируемые функции (двумерная формула Грина)'). 2. Интегральная форма решения. Воспользуемся форму- формулой F) для решения следующей задачи: найти решение линейного уравнения гиперболического типа и]=ихх—иуу+а {х, у)их + Ь (х, у) иу+с (х, у) u=*—f (x, у), G) ') Б. М. Будак, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965. 5 А. Н. Тихонов, А, А. Самарский
130 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II удовлетворяющее начальным условиям на кривой С, {ип — производная по направлению нормали к кривой С), и выяснить ту область, в кото- $4 /Ух рой решение определяется ус- условиями G'). Кривая С задана при этом уравнением где f(x)—дифференцируемая функция. Наложим на кривую С условие, чтобы всякая ха- рактеристика семейств у—х = = const и у -\- х = const пере- пересекала кривую С не более од- одного раза (для этого надо, чтобы |f(*)| < 1)- Формула F) для криволинейного треуголь- треугольника MPQ, ограниченного дугой PQ, кривой С и отрезками характеристик МР и MQ (рис. 26), дает: Рис. 26. MPQ J J (vS? [и] - иЛ [v]) dl йц = М Р Q = J (Яйц-Кй1)+ J (Hdn-Kdl)+ J (Яdr\-Kd?). Q М Р Преобразуем первые два интеграла, взятые вдоль характери- характеристик MQ и МР. Принимая во внимание, что =-rfrj=_-^ на QM, (ds-элемент дуги вдоль QM и МР) и пользуясь формулами D) и E), получим: м J (Я d4-tfda = - м м м
§ SI ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [31 и аналогично Р М Г (dv Ь-а \ Г fdv a+b Отсюда и из формулы F) следует: м м . . {uv)p+{uv)Q о + ±§(Hdr\-Kdt)-~ ^ (vS\u\ ~ uM\v])dld4. (8) Р MPQ Эта формула является тождеством, верным для любых до- достаточно гладких функций и и v. Пусть и — решение поставленной выше задачи с началь- начальными условиями, а функция v зависит от точки М как от пара- параметра и удовлетворяет следующим требованиям: = иц — v^ — (av)i — (Ью\ + cv = 0 внутри A MPQ (9) — = ~f v на характеристике МР, —— = ^_ и на характеристике MQ, (9а) Из условий на характеристиках и последнего условия находим: на f f Ь+а_ d= на MQ, где So — значение s в точке М. Как мы видели в § 4, уравне- уравнение (9) и значения функции v на характеристиках МР и MQ полностью определяют ее в области MPQ. Функцию v часто на- вывают функцией Римана.
132 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II Таким образом, формула (8) для функции и, удовлетворяю- удовлетворяющей уравнению G), принимает следующий окончательный вид: Q и (М) = {UV)P + (иа)о + ^j[v (щ rfq + S dl) - и + ио (a А| - й «$)] + \ J J и (М, МО f (МО rfcr^, (daM,=d| dr]). A0) J J MPQ Эта формула решает поставленную задачу, так как выражения, стоящие под знаком интеграла вдоль PQ, содержат функции, известные на дуге С. В самом деле, функция v была определена выше, а функции i / \ i / \ <р' их \с = us cos (х, s) + и„ cos (х, п) = и, \с = ив cos {у, s) + м„ cos (у, п) = ^ вычисляются при помощи начальных данных. Формула A0) показывает, что если начальные данные из- известны на дуге PQ, то они полностью определяют функцию в ха- характеристическом A PMQ, если функция f(x, у) известна в этой области !). Формула (Ю), полученная в предположении существования решения, определяет его через начальные данные и правую часть уравнения G) и тем самым по существу доказывает един- единственность решения (ср. с формулой Даламбера, гл. II, § 2, стр. 51). Можно показать, что функция и, определяемая формулой A0), удовлетворяет условиям задачи G) — G0. Однако мы на этом доказательстве не останавливаемся. 3. Физическая интерпретация функции Римана. Выясним фи- физический смысл функции v(M, M'). Для этого найдем решение неоднородного уравнения 2[u\ = -2U (/=2/,) с нулевыми начальными условиями на кривой С. Обращаясь к формуле A0), видим, что искомое решение имеет вид u{M)=\\v(M, МОh (МОdoM,. A1) MPQ ') Если характеристика пересекает кривую С в двух точках Р и Af, (см. рис. 26), то значение и(Л1,) не может задаваться произвольно, а определяет- определяется по формуле A0) с начальными данными на дуге PQi и значениями }{х,у) в Л PAJj,Qi.
§ 51 ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 133 Предположим, что fi(M)—локальная функция точки Mi, равная нулю всюду, кроме малой окрестности Se точки Ми и удовле- удовлетворяющая условию нормировки M')<V=l. A2) «Формула A1) в этом случае принимает вид =lJv (М, М*) fx (МО daM,. A3) Пользуясь теоремой о среднем значении, можно написать: ие (М) = v (М, М;) jjf, (МО daM, = v (М, Щ, где М\ — некоторая точка области SE. Стягивая е-окрестность Se в точку Mi(e-*0), находим: и (М) = lim ие (М) = v (M, Mi). 0 A4) •Функция /i, как мы видели на ряде примеров, обычно является плотностью силы, а пере- переменная у — временем. Вы- ражение A5) представляет собой импульс силы. Отсюда в силу фор- формулы A1) заключаем, что v (M, Afi) является функцией влияния единичного импульса, приложенного в точке Mi. Функ- Функция v(M, Mi) = v(x, у; t,,r\) была определена как функция па- параметров М(х,у), удовлетворяющая по координатам g, r\ точки М\ уравнению o] = 0 A6) Рис. 27. с дополнительными условиями (9а). Рассмотрим функцию и = и{М,
134 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ГГЛ II являющуюся функцией параметров Mi(%, r\) и удовлетворяю- удовлетворяющую по координатам х, у точки М уравнению с дополнительными условиями (см. рис. 27) ds ди ds U{MX Из этих условий ~ ft 2/2 -b + a и , М,)==1. находим: на на характеристике характеристике и(М, М1) = \ Ъ-а на s Г Ь+а J 2/Г ds на u(Mlt Af,)=l. Уравнение A7) и условия A8) полностью определяют функ- функцию и в четырехугольнике MP\MiQu ограниченном отрезками характеристик MPU MQt и M\Pi, MiQ\. Применяя формулу F) к четырехугольнику MPiMiQi, полу- получаем: р, м q, м, J J [р2\и] - иМ[v] )dldrr=\(Hd4-Kdl)+1 +1 + J = 0 AIP.M.Q, M Q, M, P, (/?(^, ri)—переменная точка интегрирования в MPiMiQ). Поль- Пользуясь формулами D) и E) для К и Н и условиями (9а) на ха- характеристиках для функции v, нетрудно вычислить первые два интеграла правой части р, J (Я *, - К d\) = - и м J (Я ?fl) - /С d|) = - подобно тому как это было сделано при выводе формулы A0).,
§ 5) ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 135 Аналогично, пользуясь равенствами D'), E') и условиями {19) для функции и(М, Mi) на характеристиках, находим: р и. м. J l-(vu)idr]-(uvI]dl]+jv[Bu^dr\+2u1)di)+(audYi-budl)] р р J j р, р, м, м, \\ (Я dri - К (® = (uv)Mi - Суммируя все эти четыре равенства, получаем: 2(uv)u=*2{uv)Mi или ы(М, Af,)=o(M. Af,)f B0) так как Таким образом, мы видим, что v(M, Мх)—функцию влияния единичного импульса, сосредоточенного в точке Mi, можно оп- определить как решение уравнения &{x,y)[v{M, М,)] = 0, М = М{х,у), ^, = ^,A, л) с дополнительными условиями A8). 4. Уравнения с постоянными коэффициентами. В качестве первого примера применения формулы A0) рассмотрим задачу х начальными данными для уравнения колебаний струны: чУу = "хх + h (х, 0 (у = at, /, = -i-j, и(х, 0) В формуле A0) дуга PQ является отрезком оси у = 0. Оператор &[] = ихх — иу иуу является самосопряженным, поскольку
136 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 1Г Так как а = О и Ъ = О, то функция v на характеристиках МР и MQ равна единице. Отсюда следует, что V (М, М') S3 1 для любой точки М' внутри треугольника PMQ. Учитывая затем, что в нашем случае dx\ = О на PQ, получаем: P PMQ Замечая, что Р = P (x — y, 0), Q = Q (x -f y, 0), где х и у — координаты точки М = М(х, у), и пользуясь начальными усло- виями, будем иметь: и(х, у) = _ ф (х — у) + ф (х + У) 2 4 *-х г/ *+(»-ч) Риг г/ *+(»ч) Г1 (S. Ч) ^1 J J J J 0 x-(f/-r Возвращаясь к переменным хи <, получаем формулу Далам- бера и{х, t) — x+at + J tx+a(t-x) J J у J x-o< 0 x-o (<-x) с которой мы уже встречались в п. 9 § 2 (формула C0)). В качестве второго примера рассмотрим задачу с началь- начальными условиями для уравнения с постоянными коэффициен- коэффициентами yy (а, Ь, с — постоянные числа), Подстановка х < оо, у > 0 B1). B2) B4)
§ 5) ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 137 позволяет привести уравнение B1) к более простому виду */**-tfw+Citf=0, c1=4Dc2-c2-62), -оо<д:<оо, у>0 B5) с дополнительными условиями U U = Ф(х) Д* = Ф1 (х), - оо < х < с», B20 я = ф1(х), -°о<х<оо, B3') «если только выбрать параметры Яиц, соответствующим образом, полагая Я = |, |i = -|. B6) Определение функции U(x, у) по начальным данным и урав- уравнению B5) сводится к построению функции Римана v(x, у; |, г\). Функция v должна удовлетворять условиям: vxx — vyy + clv = Q, B7) в = 1 на характеристике МР, \ v=\ на характеристике MQ (рис. 28). / Будем искать v в виде v = v (z), B9) где z = V(x-lf-(y-r\J или z* = (x-lf-(y~4f. C0) На характеристиках МР и MQ переменная z обращается в нуль, так что &@) = 1. Далее, левая часть уравнения B7) преобразуется следующим образом: °« - <W + с,о = о- (г) D - а?) + v' {г) (zxx - zj + cxv = 0. Дифференцируя выражение для z2 дважды, по х и у, получим: , = —(у —tj), Отсюда и из формулы C0) находим: у1 у1 1 ~ ~ J_ Zx Zy— X' Zxx Zyy— z ' -Уравнение для v принимает следующий вид: ' + o' + coO
138 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ 1Г при условии v @) = 1. Решением этого уравнения является функ- функция Бесселя нулевого порядка (см. Дополнение II, часть I, § 1) или v(x, у; |, т,) =/0 (/с, [(х-?J-(#-#]). C1) Воспользуемся теперь для нахождения U(x, у) формулой A0), которая в нашем случае принимает вид Q J р = 0). C2> Вычислим предварительно интеграл по отрезку PQ (т)=0): j(vUn-UVr)dl= J UoiVcAix-lf-y^U^l, 0)- Р х—у — .- — I d?. C3^ Пользуясь начальными условиями B2'), B3'), находим: х+у 1 J /0( откуда в силу B4), B2') и B3') получаем формулу и (д-) у) _ Ф(*- а—Ь а+Ь у ——— у + ) 2 х+у J + J утхУ /|( J J ^o(^ ^-Ю2-^)^^^^)^, C5) х-г/ дающую решение поставленной задачи.
¦§ 51 ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 139 Рассмотрим частный случай а = О, Ь = О, т. е. уравнение «хх — Ууу + CU — 0. "Из формулы C5) сразу получаем: х+у J x-y х+у ¦ (&)<*&• C6) муле Даламб х+а* х—у к s; y Полагая здесь Cj = O и y = at, приходим к формуле Даламбера x+at Н1М1. C7) x—at дающей решение уравнения колебаний струны ихх — -^-«« = 0 лри начальных условиях и(х, 0) = ф(х), щ(х, 0)=$(х), $(х) = а$(х) = аиу{у, 0). "ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II 1. Решить задачу 1 из § 4, предполагая, что в начальный момент кон- концентрация влаги постоянна вдоль всей трубы и на вход подается поток сухого воздуха. 2. Решить задачу 2 из § 4, считая, что начальная температура системы .равна «о, а температура на конце трубы все время поддерживается равной ¦»0 > 4A- 3. Решить систему телеграфных уравнений (см. § 1 B1)): ix + Cvt + Gv = 0, vx + Lif + Ri = 0 для бесконечной линии при начальных условиях / (х, 0) = ф (я), о(х,0) = ф(х). Указание. Свести систему уравнений (§ 1 B1)) к уравнению 2-го по- порядка для одной из функций i(x, t) или v(x, t), например lxx = СИ» + (CR + GL) it + GRi
140 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II с начальными условиями i(x, 0) = и воспользоваться затем формулой C5). 4. Исследовать решение телеграфного уравнения, полученное (формула C5)) для случая малых G и R. Рассмотреть предельный случай G->-0, R-*-0 и получить из формулы C5) формулу Даламбера для решения уравнений колебаний струны. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II I. О колебании струн музыкальных инструментов Колеблющаяся струна возбуждает колебания воздуха, вос- воспринимаемые ухом человека как звук, издаваемый струной. Сила звука характеризуется энергией или амплитудой колеба- колебаний, тон — периодом колебаний, а тембр •— соотношением энер- энергий основного тона и обертонов '). Не останавливаясь на физио- физиологических процессах восприятия звука и на процессе передачи звука по воздуху, мы будем характеризовать звук струны ее энергией, периодом и распределением энергии по обертонам. В музыкальных инструментах обычно возбуждаются попе- поперечные колебания струн. Различают три типа струнных инстру- инструментов: щипковые, ударные и смычковые. В ударных инструмен- инструментах (например, рояль) колебание возбуждается ударом, при- придающим струне начальную скорость без начального отклонения. В щипковых инструментах (например, арфа, гитара) колебания возбуждаются приданием струне некоторого начального откло- отклонения без начальной скорости. Свободные колебания струны, возбуждаемой произвольным способом, могут быть представлены в виде (см. главу II, § 3) оо u (х, t) = V (а„ cos a>nt + Ъп sin mnf) sin ^j- x шп = -^p- a). n=l В качестве упражнения к § 3 была предложена задача 1, ле- лежащая в основе простейшей теории возбуждения струн щипко- щипковых инструментов. Решение этой задачи показывает, что если начальное отклонение струны представлено в виде треугольника с высотой h в точке х=с (рис. 29), то 2й/2 . ппс , п /lv aSm b 0 Q> P э л е й, Теория звука, т. I, гл. VI, Гостехиздат, 1955,
Т. О КОЛЕБАНИИ СТРУН МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ HI Энергия п-й гармоники равна и убывает обратно пропорционально я2. В задаче 4 к § 3 рассматривается простейшая теория удар- ударного возбуждения струны при помощи сосредоточенного в точ- точке с удара с импульсом К. Решение этой задачи представляется в виде п=1 I яп \ \ft)«==~ra)> D) Таким образом, при возбуждении струны ударом, сосредото- сосредоточенным на небольшом интервале длины б, энергии различных гармоник (для которых б ма- ло по сравнению с расстоя- расстоянием между узлами) будут мало различаться между со- собой, и тон, издаваемый так воз- возбужденной струной, насыщен обертонами. Это заключение jc=o x=c х=1 легко проверяется эксперимен- Рис. 29. тально. Если натянутую стру- струну (на монохорде) ударить лезвием ножа, то струна зазвенит: звук будет насыщен обертонами. В рояле струна возбуждается ударом молоточка, обтянутого кожей. Такое возбуждение стру- струны можно представить при помощи следующих схем: 1. Струна возбуждается заданием постоянной начальной скорости v0 на интервале (с — б, с + б). Этот случай будет со- соответствовать плоскому жесткому молоточку, имеющему ши- ширину 26 и ударяющему в точке с. Процесс колебаний описы- описывается функцией (см.задачу 3 § 3) оо и(х, Ч = ~tf^- \~п*~sm~l— sin—6 • sin —л; • sinco,^, n=l и энергии отдельных гармоник равны 4Mv0 nnc nnb Еп = -^г-г sin2 -j- • sin2 —r-. 2. Струна возбуждается начальной скоростью T?"T '*"с|<6' \х-с\>Ь.
142 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Этот случай соответствует жесткому выпуклому молоточку ши- ширины 26. Такой молоточек в центре интервала 26 возбуждает наибольшую начальную скорость, что схематически может быть описано приведенной выше функцией. Возбужденное таким об- образом колебание имеет вид (см. задачу 3 § 3) ЯП . . ЯП "Г 6-5'П-Г С ЯП x, t) = -~ > — ] 2&nV—sin-j-#-sinconf и энергии гармоник равны япЬ #9 япс ?- / I1-I It cos2 —;— sin2 ¦ 3. Молоточек, возбуждающий колебания струны, не является идеально жестким. В этом случае колебания определяются уже не начальной скоростью, а силой, меняющейся со временем. Та- Таким образом, мы приходим к неоднородному уравнению с пра- правой частью х-с я . п* \х — с\<Ъ, —g-.fsm — . если 0/ О, если , Решение этого уравнения для / > т представляется в виде то ЛЛб @nT . ЯПС Рассмотренные примеры показывают, что ширина интервала, по которому производится удар, и продолжительность времени удара имеют весьма существенное влияние на величину энер- энергии высоких обертонов. Отметим, кроме того, что присутствие множителя sin-^-c показывает, что если центр удара молоточка приходится на узел п-й гармоники, то энергия соответствующей гармоники равна нулю. Наличие высоких обертонов (начиная с 7-го) нарушает гар- гармоничность звука и вызывает ощущение диссонанса '). Наличие ') Например, если основная частота (первая гармоника) в 440 колебаний в секунду соответствует «ля» первой октавы, то в семь раз большая частота соответствует «соль» четвертой октавы. Интервал ля — соль, так называе- называемая малая септима, имеет неприятный для слуха, диссонирующий характер.
II. О КОЛЕБАНИИ СТЕРЖНЕЙ 143 низких обертонов, наоборот, вызывает ощущение полноты звука. В рояле место удара молоточка выбирают близко от точки за- закрепления струны между узлами 7-го и 8-го обертонов, чтобы уменьшить их энергию. Регулируя ширину молоточка и его жесткость, стремятся увеличить относительную энергию низких C-го и 4-го) обертонов. В старых конструкциях рояля, обла- обладавших более резким, даже до некоторой степени звенящим тоном, пользовались узкими и жесткими молоточками. II. О колебании стержней В курсах методов математической физики основное место от- отводится уравнениям 2-го порядка. Однако большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т. д. приводит к уравнениям более высокого порядка. Рис. 30. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрим задачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную задаче о колебаниях тонкого прямоугольного стержня, зажа- зажатого одним концом в массивные тиски. Определение формы ко- колебаний камертона и его частоты сводится к решению «уравне- «уравнения поперечных колебаний стержня» дх* A) К этому уравнению приходят во многих задачах о колебаниях стержней, при расчете устойчивости вращающихся валов, а так- также при изучении вибрации кораблей '). ') См., например, монографию А. Н. Крылова «Вибрация судов».
144 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Приведем элементарный вывод уравнения A). Рассмотрим прямоугольный стержень длиной / @ ^ х ^ /), высотой И и шириной Ъ (рис. 30). Выделим элемент длины dx. После изгиба торцевые сечения выделенного элемен- элемента стержня, предполагаемые плоски- плоскими, образуют угол dcp. Если дефор- деформации малы, а длина оси стержня при изгибе не меняется (dl = dx), то -(M+dM) dcp дх x+dx Рис. 31. Слой материала, отстоящий от оси стержня у = 0 на расстоянии х\, из- изменяет свою длину на величину rj dtp (рис. 31). По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль слоя, равна где Е — модуль упругости материала стержня. Полный изги- изгибающий момент сил, действующих в сечении х, равен м=- B) где = b J tfdn = bh3 12 '— момент инерции прямоугольного сечения относительно своей горизонтальной оси. Обозначим через М(х) момент, действую- действующий на правую часть стержня в каждом сечении. В сечении х + dx, очевидно, действует момент сил, равный —(M-\-dM). Избыточный момент —dM уравновешивается моментом тан- тангенциальных сил = Fdx. Отсюда в силу равенства B) получаем величину тангенциаль- лой силы r/v л— дМ — F1 д3у C)
II. О КОЛЕБАНИИ СТЕРЖНЕЙ 145 Приравняв действующую на элемент результирующую силу UF — — dx — — FJ ^M- dx at — дх ах— ы-^ах произведению массы элемента на ускорение pS -0- dx, где р — плотность стержня, S — площадь поперечно1 ения (при этом мы пренебрегаем вращательным движением при из- изгибе), получаем уравнение поперечных колебаний стержня #+'#-° (*-#)¦ <¦> Граничными условиями для заделанного конца х=0 являют- являются неподвижность стержня и горизонтальность касательной у L=o—°' дх = 0. D) На свободном конце должны равняться нулю изгибающий мо- момент B) и тангенциальная сила C), откуда следует, что д3У = 0, дх2 L , "' дх* х=1 = 0. E) Для того чтобы полностью определить движение стержня, нужно еще задать начальные условия — начальное отклонение и начальную скорость У\м = 1{х) и 4Н =<р(х) @<х</)- F) Таким образом, задача сводится к решению уравнения A) ¦с граничными условиями D), E) и с начальными условия- условиями F). Будем решать задачу методом разделения переменных, по- полагая y=Y(x)T(t). G) Подставляя предлагаемую форму решения в A), имеем: T"(t) __ Yl4)(x) _ , аЧ (t) ~ Y (х) ~ Для функции Y{x) получаем задачу о собственных значениях УD) — XY = 0, (8) W=0 * Wy n * /j у 2 * А у 3 * \ ^V
146 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IT Общее решение уравнения (8) представляется в виде Y (х) = A ch \[%х + Bsh \fkx + С cos \fhx + D sin ]/Ъс. Из условий Г@) = 0, У'@) = 0 находим С = — А, D = Отсюда следует, что Y (х) = A (ch Укх — cos Vhx) + В (sh \flx — sin Yxx). Условия Y" @ = 0 и Yr" A) = О дают: A (ch Ykl + cos V"w) + В (sh '/я/ -f sin ]/u) = 0, Л (sh V^W - sin fyu) + В (ch Vw + cos ^/) = 0. Эта однородная система имеет нетривиальные решения А и В, если определитель системы равен нулю. Приравнивая этот опре- определитель нулю, получаем трансцендентное уравнение для вычис- вычисления собственных значений sh2 Уя/ — sin2 Уя/ = ch2 Yu + 2 ch \Tkl cos |/Я/ + cos2 Так как сп2лг — sh2A;=l, то это уравнение можно записать в виде Корни уравнения A0) без труда вычисляются, например, графически !): Hi = 1,875, 1*2 = 4,694, Из = 7,854, Hn~j{2n— 1) при и>3. Последняя формула дает значение ц„ с точностью до трех де- десятичных знаков, начиная с п=3, и с точностью до шестого знака для п ^ 7. Рассмотрим теперь частоты колебаний камертона. Уравне- Уравнению удовлетворяют тригонометрические функции Тп (t) = а„ cos 2nvJ + Ьп sin 2nxnt ') О вычислении корней уравнения A0) см. Рэлей, Теория звука, т. I, гл. VIII, 1955.
III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОП СТРУНЫ 147 с частотой L л/——JiL i/— 2я ~~ 2я г pS ~ 2nZ2 " pS Частоты vn собственных колебаний относятся как квадраты и„. Так как 2 2 -^¦=6,267, •?§¦= 17,648, то второй собственный тон выше основного тона более чем на две с половиной октавы, т. е. выше шестой гармоники струны при равном основном тоне, третье же собственное колебание выше основного тона более чем на четыре октавы. Например, если камертон имеет основную частоту в 440 колебаний в се- секунду (принятый стандарт для а' — ноты ля первой октавы), то следующая собственная частота камертона будет равна 2757,5 колебания в секунду (между с"" = 2637,3 и f" = 2794,0— между нотами ми и фа четвертой октавы равномерно-темпери- равномерно-темперированной гаммы), третья же собственная частота в 7721,1 коле- колебания в секунду уже выходит за пределы шкалы собственно музыкальных звуков. При возбуждении колебаний камертона ударом присутствует не только первая, но и высшие гармоники, чем и объясняется металлический звук в начальный момент. Однако с течением времени высшие гармоники быстро затухают и камертон из- издает чистый звук основного тона. III. Колебания нагруженной струны 1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях за- закрепленной на концах струны @, /), в нескольких точках кото- которой х=х{ (i= 1, 2, ..., п) помещены сосредоточенные массы Mt. Условия в точке хг можно получить двумя способами. Если в точке х{ (t=l, 2, ..., п) приложена сосредоточенная сила Fi(t), то должны выполняться соотношения и(х,-0, 0 = «(** +0, 0, A) huxQ^=-Ft. B) В данном случае под F{ следует понимать силу инерции. Под- Подставляя в формулу B) F[ = — M{utt (xh t), получим: Miutt(xt, t) = kux(x%- C)
148 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Возможен и другой вывод условия C). Распределим массу Mi на участке (лг,- — е, xt -f- е) с постоянной плотностью б,- и воспользуемся уравнением колебаний для неоднородной струны xt— e<x<xt + e, D) где р — плотность струны. Пусть иЁ (х, t) — решение этого урав- уравнения. Интегрируя уравнение D) по х в пределах от xt — е до Хг + е и совершая предельный переход при е —» О, получим условие C) для функции и (х, t) = lim иг (х, t). На обосновании Е-»-0 предельного перехода мы не останавливаемся. Формулируем полностью нашу задачу: найти решение уравнения колебаний р дР ~ дх удовлетворяющее граничным условиям и (I, условиям сопряжения в точках х = и (*,- — 0, t) = и (*,- + О, t), и (О, 0 = 0, 1 = о.) <6> и начальным условиям и(х, 0) = = ф(х), 1 = $(х), J где ф (х) ы -ф (х) — заданные функции. 2. Собственные колебания нагруженной струны. Остано- Остановимся, прежде всего, на исследовании собственных частот и профилей стоячих волн для нагруженной струны. Для этого мы должны найти решение поставленной задачи, представимое в виде произведения и(х, t) = X(x)T(t). (9) Подставляя это выражение в уравнение E) и пользуясь гра- граничными условиями, получим после разделения переменных Т" + КТ = 0 A0) и Г(о) = о, х (/) = о.
III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 149 Условия сопряжения дают: X(xt-0) = Принимая во внимание уравнение A0), перепишем последнее соотношение в виде Таким образом, для функции Х(х) мы получаем следующую за- задачу на собственные значения: -^(kX') + K9X = 07 k(x)>0, p(Jc)>0, A1) *@) = 0, X(l) = 0, A2) X(x,-0) = X(x, + 0) (i=l, 2, .... АО. 1 kX' (x{ + 0) — kXr (xt — 0) + XMtX (xt) = 0. J ( ' Отличительной особенностью рассматриваемой краевой задачи является то, что параметр К входит не только в уравнение, но и в дополнительные условия. Мы не будем здесь останавливаться на доказательствах су- существования бесчисленного множества собственных значений и собственных функций, положительности собственных значений, теоремы разложимости. Эта краевая задача, так же как и за- задачи обычного типа, рассмотренные нами в § 3 главы II, сво- сводится к некоторому интегральному уравнению, которое в дан- данном случае является нагруженным интегральным уравне- уравнением и эквивалентно интегральному уравнению в интегралах Стильтьеса. Остановимся более подробно на выводе условия ортогональ- ортогональности собственных функций *,(*), Х2(х),..., которое вь данном случае отлично от условия (92) § 3 и назы- называется условием ортогональности с нагрузкой. Как было показано в гл. II (см. § 3), собственные функции для краевой задачи Х@) = 0, А" (/) = 0 ортогональны с весом р на интервале @, I): J Хт{х)Хп(х) р(х)dx = 0 {тф п). A4)
450 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Распределяя каждую массу Мг с постоянной плотностью 6i на некотором интервале х{ — б <С х <С х, + е, где е > 0 — ма- .лое число, мы придем к задаче о собственных колебаниях неод- неоднородной СТруНЫ С ПЛОТНОСТЬЮ ре(х). ПуСТЬ Явп И {Хеп(х)} — собственные значения и собственные функции этой задачи, для которых должно выполняться условие ортогональности i J Хет (х) Хеп (х) ре (х) dx = 0. A5) о Выделяя в равенстве A5) интегралы по участкам (х, — е, Xi 4- е) и совершая предельный переход при е —> 0, мы получим соотношение I п J Хт (х) Хп (х) р (х) dx + % M,Xm (xt) Xn (xt) = 0 {тФ п), A6) ¦0 i=\ называемое условием ортогональности с нагрузкой1). Мы снова оставляем в стороне вопрос о возможности такого перехода. Условие ортогональности A6) может быть получено и чисто формальным путем из уравнения и условий A1) — A3). Пусть Хт(х) и Хп(х) —собственные функции задачи A1) — A3), соот- соответствующие собственным значениям Кт и Кп, удовлетворяющие уравнениям Умножим первое уравнение на Хп(х), второе — на Хт(х) и вы- вычтем из первого результата второй. Интегрируя полученное ра- равенство последовательно по участкам @, л^); (хих2)\ ...; (xN,l) и складывая, будем иметь: (К - К) J Хт (х) Хп (х) р (*) dx - ~Х J -zrlXmkX'n-XnkX'm]dx = 0, A7) причем мы полагаем х0—0, xN+i—l. Выполняя интегрирование в каждом из слагаемых суммы и объединяя члены, соответ- ') Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. I, т. VI, 1951.
III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 151 ствующие подстановкам х=Х{ — 0 и х—хг -\- О, получим сумму слагаемых вида Ai = (XmkX'n — XnkX'm)x^x 0 — (XmkX'n — XnkX'm)x_x +0. При этом подстановки при х=0 и х=1 в силу граничных ус- условий обращаются в нуль. Для вычисления At воспользуемся условиями сопряжения *,(*,-<» = *,(*, + <>), 1 - kX'i (x{ - 0) = - MtK,X,(xt) J u ~ m' nh {l6 > kX',(xt + O) Переписывая А{ в виде At = Хт (xt) [kX'n (x, - 0) - kX'n (xt + 0)] - - Xn (xi) [kX'm (xt - 0) - kX'm (xt + 0)Г и пользуясь формулой A3'), находим At = Хт (xi) MtKXn (xt) - Xn (xt) MtKmXm (xt) = = MtXm(xt)Xn(xt)(K-*-nd- Теперь равенство A7) можно написать в виде II N | (Кт-К)\\ Хт(х)Хп(х)р(х)dx + %MtXm(xt)Xn(x{) = 0. Если Кт Ф Я„, то отсюда сразу же следует условие ортогональ- ортогональности с нагрузкой A6). Норма собственных функций Хп (х) определяется по формуле / N || Хп \? = j Xl (х) р (х) dx + ^ MtX2n (xt). A8) Очевидно, что при разложении некоторой функции /(*). в ряд оо коэффициенты разложения будут определяться по формуле / N j f (х) Хп (х) р (х) dx+Yi Mtf (xi) Xn (xt) In== ify iil • ' l"л 11Лп11 Задача с начальными условиями, поставленная в п. 1, ре- решается по обычной схеме метода разделения переменных.
152 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Аналогично рассматривается задача о колебании стержня (или балки) при наличии сосредоточенных масс. Задача о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенны- сосредоточенными массами, находит широкое применение в физике и технике. Еще Пуассон решал задачу о продольном движении груза, под- подвешенного к упругой нити. А. Н. Крылов показал '), что к этой задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутиль- крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода «дро- «дрожащих» клапанов и т. д. Для теории многих измерительных приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу которой подвешена масса (например, зеркальце). Особую актуальность задача подобного типа приобрела в свя- связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Для решения этой задачи необходимо вычисление собственных ча- частот крыла (балки переменного сечения), нагруженного масса- массами (моторы). Кроме того, рассматриваемая задача встречается при расчете собственных колебаний антенн, нагруженных Сосре- Сосредоточенными емкостями и самоиндукциями (в связи с этим см. приложение, посвященное аналогии между механическими и электромагнитными колебаниями). Мы не останавливаемся здесь на приближенных методах на- нахождения собственных значений и функций задачи, аналогич- аналогичных приближенным методам нахождения соответствующих ве- величин для неоднородной струны. 3. Струна с грузом на конце. Значительный практический интерес представляет задача о колебаниях однородной струны-, один конец которой (х=0) закреплен, а ко второму концу (х—1) прикреплен груз массы М. В этом случае условие при х—1 принимает вид Мин = — kux (I, f) и для амплитуды стоячих волн получается уравнение с граничными условиями / М Отсюда находим v /.л_ sinVXTx где Кп определяется из уравнения м .— B0) ') А. Н. Крылов, О некоторых дифференциальных уравнениях матема- математической физики, гл. VII, изд. АН СССР, 1932.
III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 153 Условие ортогональности функций {Хп(х)} принимает вид i j Хп (х) Хт (х) р dx + МХп (I) Хт (I) = 0. о Вычислим квадрат нормы i Используя уравнение B0), получаем: Задача с начальными данными решается обычным методом. 4. Поправки для собственных значений. Вычислим поправки для собственных частот в случае больших и малых нагрузок М. Для простоты рассмотрим тот случай, когда груз подвешен к концу струны. Возможны два предельных случая. 1. М=0. Конец х=1 свободен. Собственные значения опре- определяются из формулы 2. М=оо. Конец х=1 жестко закреплен: «(/, f)=0. Соб- Собственные значения определяются из формулы Нас будет интересовать случай малых М (М —»0) и больших М (М-н-оо). 1° М мало. Найдем поправку к собственному значению К^\ полагая где е — некоторое число. Подставляя B1) в уравнение B0) и пренебрегая М2 и более высокими степенями М, получим: pi )' т.е. собственные частоты нагруженной струны при М—*д воз- возрастают, приближаясь к собственным частотам струны со сво- свободным концом. 2° М велико. Выбирая 1/М в качестве параметра малости,, положим: VbVig+B-L.
154 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II .Уравнение B0) дает: р — __?__ При этом мы пренебрегли членами, содержащими 1/М2 и более .высокие степени 1/М. Таким образом, т. е. при увеличении нагрузки собственные частоты убывают, равномерно приближаясь к собственным частотам струны с за- закрепленными концами. IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн 1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии. Урав- Уравнения акустики (см. § 1) были получены в предположении ма- .дости скоростей движения газа и малых изменений давления, что позволило линеаризовать уравнения гидродинамики. В задачах, возникающих при изучении полета ракет и ско- скоростных самолетов, в теории баллистики, взрывных волн и т. п., приходится иметь дело с гидродинамическими процессами, ха- характеризующимися большими скоростями и градиентами давле- давлений. В этом случае линейное приближение акустики непригодно и необходимо пользоваться нелинейными уравнениями гидроди- гидродинамики. Поскольку с такого рода движениями на практике при- приходится встречаться для газов, то принято о гидродинамике больших скоростей говорить как о газовой динамике или газо- газодинамике. Уравнения газодинамики в случае одномерного движения газа (в направлении оси х) имеют вид -^j- + -gj (pv) = 0 (уравнение непрерывности), A) dv , dv dp , , ._. PlJT + P^"^" ~ 7O (уравнение движения), B) p = f(p, T) (уравнение состояния). C) Таким образом, уравнения газодинамики представляют со- собой уравнения движения идеальной сжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил. Перейдем теперь к выводу закона сохранения энергии. Энер- Энергия единицы объема равна Ц- + Рв. D)
TV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН I5S где первый член есть кинетическая энергия, второй — внутрен- внутренняя энергия. Здесь е, очевидно, обозначает внутреннюю энергию единицы массы. Для идеального газа в=стТ, где с„ — теплоемкость при по- постоянном объеме, Т — температура. Вычислим изменение энер- энергии в единицу времени д I он2 . \ д 1 риг \ . д ~дТ\ 2 + Р8) = Ж( 2 ) + ^7 Производя дифференцирование в первом слагаемом и поль- пользуясь уравнениями A) и B), получим: V2 до . dv - v2 д , . 5 /о2\ др /сч Для преобразования производной -gr(pe) обратимся к первому- началу термодинамики, выражающему закон сохранения энер- энергии dQ = rfs -f- p dx, G) где dQ — количество тепла, получаемое (или отдаваемое) си- системой извне, р dx — работа, затрачиваемая при изменении- объема на величину dx (т=1/р — удельный объем). Если процесс адиабатический (теплообмена со средой, нет), то и ^ р р2 Пользуясь этим равенством, будем иметь: d (ре) = е dp + P rfe = e dp -f- — dp — w dp, (9) JLi \— iiL где •—тепловая- функция или теплосодержание единицы; массы. Производная -^— в силу соотношений (9) и A1) удовле- удовлетворяет уравнению dw dp
156 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Учитывая равенства B), E), F), A0), A2), получаем закон сохранения энергии в дифференциальной форме A3) Для выяснения физического смысла этого равенства проинте- проинтегрируем его по некоторому объему (хи х2) dt X, Слева стоит изменение энергии в единицу времени на интервале (хих2), справа — поток энергии, вытекающей в единицу вре- времени из рассматриваемого объема. Если эффектом теплопроводности нельзя пренебречь, то уравнение сохранения энергии принимает вид д I pv2 , \ д Г I v2 где у. — коэффициент теплопроводности. 2. Ударные волны. Условия динамической совместности. В случае больших скоростей возможны такие движения, при ко- которых на некоторых поверхностях, перемещающихся в простран- пространстве, возникают разрывы непрерывности в распределении гидро- гидродинамических величин (давления, скорости, плотности н др.)« Эти разрывы принято называть ударными волнами. На поверхности разрыва (фронте ударной волны) должны выполняться условия непрерывности потока вещества, энергии и количества движения (условия Гюгонио). Пе- Перейдем к выводу этих условий. Преобразуем уравнение B) к более удобному для наших целей виду. Умножая A) на v и складывая с B), получаем: -§T(pv) = --§^(p + pv\ B0 Перепишем теперь уравнения непрерывности, движения и сохранения энергии в виде B0 Рассмотрим на плоскости (х, t) линию x=a(t), являющуюся «следом» поверхности разрыва на плоскости (х, t). Пусть АС—
IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 157 некоторая дуга линии разрыва x=a(t), где А и С — точки с ко- координатами Х\, U и х2=х\ -f- Ax; t2=t\ + At соответственно. По- Построим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными ко- координатным осям. Запишем закон сохранения вещества в интегральной форме X, t, / [<P)fc - <P)J dx = - / [(pv)X2 - (pv)x] dt, A5) *i h тде слева стоит изменение массы на интервале (х\, х2) за про- промежуток времени (t\, t2), а справа — количество вещества, вы- вытекающего из интервала (х\, х2) за время (ti, t2). Если функ- функции р и ро непрерывны и дифференцируемы всюду внутри ABCD, то уравнение A5) эквивалентно уравнению A'). В рас- рассматриваемом случае это не имеет места. Воспользуемся теоремой среднего значения для каждого слагаемого в отдельности где х*, х**, I*, t** — средние значения аргументов х и t. Переходя к пределу при Дх—>0 {х2—*Х\) и At-*0 (t2~+t\)' и обозначая индексом 2 значения функций выше кривой х= —a(t) (сзади фронта ударной волны), а индексом 1 —значе- —значения функций ниже этой кривой (перед фронтом), получаем: тде ,, da .. Дх ?/==-^-= lim -Т7- *— скорость ударной волны. В системе координат, движущейся вместе с ударной волной, щ = и — vu u2=U — v2 обозначают скорости частиц перед фронтом и, соответственно, сзади фронта ударной волны. Полученное выше соотношение A6) можно переписать в виде A6') Это равенство выражает непрерывность потока вещества через фронт ударной волны. Записывая в интегральной форме закон сохранения коли- количества движения, имеем: Хг t / [(Pv)tz-(pv)tt]dx = - J
158 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II где справа стоит сумма импульса действующих сил (давле- (давления) и потока количества движения. Переходя к пределу при Ах —>¦ 0 и At—*O, получаем закон сохранения потока количества движения на фронте U [(pvJ - (ро),] = - (р + pt>2), + (р + pv\ или Р, + Р,«? = Р2 + Р2«2' A7> Аналогично получается также уравнение сохранения энергии, на фронте 2 которое после несложных преобразований принимает вид или в силу условия A6) 2 2 o», + -j- = o»2 + -y-. A8> Таким образом, на фронте ударной волны должны выполняться уравнения (условия динамической совместности или условия Гюгонио) р,ы,=р2ы2, A6') I 2 J 2 /17\ и2 и2 w1+-y = w2 + -±. A8) Из первых двух уравнений A6) и A7) выразим щ и «2 через рир: 2 — Рг Pi — Рг . W2 Pi ф Pi — Рг 1 Pi Pi — Рг 2 Рг Pi — Рг ' откуда Подставляя затем это выражение в уравнение A8), нахо- находим соотношение между значениями энергии по обе стороны фронта ЙУ, — W2 == -g^- (Pi 4" Рг) (Pi — Рг) е, — е2 == -2^- (pi — р2) (Pi + р2).
IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 159 Рассмотрим идеальный газ, для которого р__/^р7'; e = cvT; w = cpT — —RT- т. е. ™ = -^=Ti-f- A9) Пользуясь формулой A9), после несложных преобразований приходим к так называемому уравнению адиабаты Гю- гон ио или Pi _ (V+ I)P2 — (V— PPl Pi (У + '>) Pi — (у — I) р2 ' По этой формуле можно определить одну из величин ри pi, Рг, р2, если-известны три остальные величины. Ударная волна всегда движется относительно газа от обла- областей с большим давлением к областям с меньшим давлением: Р2> Р\ (теорема Цемплена). Отсюда следует, что плот- плотность газа за фронтом больше плотности перед фронтом. Формула B0) выражает зависимость между р2 и р2 при за- заданных pt и рь Функция р2=р2(А'2) при заданных рх и pi яв- является монотонно возрастающей функцией, стремящейся к ко- конечному пределу при р%1р\ —*¦ <х> (ударная волна большой ам- амплитуды) : Рг __ \'+ I Эта формула показывает максимальный скачок плотности (уплотнение), который может существовать на фронте ударной волны. Для двухатомного газа у=7/5 и максимальное уплотне- уплотнение равно 6: -fit = 6. Pi Пользуясь равенствами A6'), A7) и B0) и полагая р\=0, находим: и —1/У+1 рТ. ,, _-.Л(У1) Рг Если ударная волна движется по покоящемуся газу (ui=0),to скорость распространения ударной волны равна т. е. она растет пропорционально квадратному корню из
160 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Рассмотрим простейшую задачу теории ударных волн, до- допускающую аналитическое решение. В цилиндрической трубе х > 0, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем с другой (л:=0), находится покоящийся газ с постоянной плот- плотностью pi и при постоянном давлении Р\. В начальный момент t=0 поршень начинает двигаться с постоянной скоростью v в положительном направлении оси х. Перед поршнем возникает ударная волна, которая в начальный момент совпадает с порш- поршнем, а затем удаляется от него со скоростью U > v. Между поршнем и фронтом ударной волны возникает область 2, в ко- которой газ движется со скоростью поршня. Перед фронтом (область 1) газ находится в невозмущенном состоянии: р=рь р = р, (о ш= 0). Пользуясь условиями на фронте A6), A7) и A8), нетрудно определить скорость фронта, а также величину скачка, плот- плотности и давления. Введем безразмерные величины © = -?!-; # = -?-; 0=-?-. р = ^\, B3) р2 С, С! ' piC, где с, = VypilPi — скорость звука перед фронтом (в невозмущен- невозмущенной области 1). Тогда уравнения сохранения запишутся в виде ^U-v или G = j^-, B4) или р=1 + Ут=п ±) B6) Исключая отсюда р и U, получаем квадратное уравнение для определения со: 2со2 - со [4 + (y + 1) v2] + [2 + (у - 1) Э2] = 0. B7) Так как по смыслу со < 1; (р2 > Pi), то выбираем меньший корень 02 _ 0 B8) со2= 1 + il 0 _ 0 |A + tS. Из уравнений B4) и B8) находим ^ B9) C0)
IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 161 Возвращаясь к прежним величинам, получаем: CD C2) C3> Так как скорость ударной волны постоянна, то для положения фронта в момент / будем иметь: Г t ¦ < v л Ч C4) В предельном случае v/ct 3> 1 (ударная волна большой интен- интенсивности) из формул C1) — C3) находим предельные соотно- соотношения p2 = Pll+_L. и== у+1 0. p2 = Pi y(y + O °2 полученные нами ранее. Если v/ci <С 1 (волна малой интенсивности), то можно пре- пренебречь членами и2/ф 3. Слабые разрывы. Выше было рассмотрено движение удар- ударной волны, на фронте которой величины р, р, v и другие испы- испытывают скачки. Такого рода разрывы называются сильными. Возможны и такие движения, при которых на некоторой поверхности испытывают скачок первые производные величин р, р, v и других, в то время как сами эти величины остаются непрерывными. Такие разрывы называются слабыми. В § 2, п. 10 рассмотрено движение разрывов такого рода и установлено, что эти разрывы распространяются вдоль харак- характеристик. При этом мы исходили из уравнения акустики. Одна- Однако и для нелинейных задач газодинамики справедлив аналогич- аналогичный результат. 6 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский
162 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Нетрудно убедиться в том, что поверхность слабого раз- разрыва распространяется относительно газа со скоростью, рав- равной локальной скорости звука. В самом деле, выделим малую окрестность поверхности слабого разрыва и возьмем средние значения гидродинамических величин в этой окрестности. Сла- Слабый разрыв, очевидно, можно рассматривать на фоне средних значений как малое возмущение, которое удовлетворяет урав- уравнению акустики и должно распространяться с локальной ско- скоростью звука. В качестве примера рассмотрим истечение газа в вакуум (волна разрежения). Пусть в начальный момент ?=0 газ, за- заполняющий полупространство х > 0, покоится и имеет постоян- постоянные значения плотности р и давления р0 во всей области х > 0. При ^=0 внешнее давление, приложенное к плоскости х—0, снимается, и газ начинает двигаться; при этом возникает сла- слабый разрыв (волна разрежения), распространяющийся со скоростью звука с0 в положительном направлении оси х. На переднем фронте газа x=Xi(t) при /=0 мы имеем разрыв плот- плотности и давления. Однако этот разрыв сразу же после начала движения исчезает. В самом деле, из условий непрерывности потоков вещества и количества движения при x=X\(t) где pf, pj-, v^ — значения слева в точке х, (t), р+, р+, и+ — значе- значения справа в точке xt (t), получаем р+ = 0 и р/" = 0, так как РГ = РГ = 1)Г = 0- Для адиабатического процесса уравнение состояния идеального газа имеет вид p = po[JL}\ C5) Решения задачи будем искать в форме р = рA); р = р(|); v = v(Q, где l*=x/t. Вычисляя производные df J_sJ*L. df 1 df ~Ы~ Г * d% ' ~~tx~~ t rf|'
IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛИ 163 где / = р, v или р, и подставляя результаты в уравнения A) и B), получим: , ... dp dv (v -)~dY~~~p~dJ' dv C6) Умножим первое уравнение на (v — |) и сложим со вторым: или Отсюда имеем: где с — скорость звука при адиабатическом процессе. Поскольку мы рассматриваем движение слабого разрыва в положительном направлении оси х, надо выбрать в предыду- предыдущей формуле знак минус, т. е. о —? = —с. C7) Подставляя это решение в уравнения C6), получаем: или, что одно и то же, dv ^_ I dp ^ рс ' Пользуясь уравнением состояния C5), находим: и после интегрирования уравнения C8) Из последней формулы можно выразить р через v: - <40> Здесь с0 = VvPolPo
164 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II обозначает скорость звука при v=0 (в покоящемся газе). Фор- Формулу C9) можно также переписать в виде 0=_§_(с_Со). D1) Подставляя выражение D0) для р в уравнение состояния C5), находим: . D2) Из уравнений D1) и C7) получаем формулу <43> определяющую зависимость и от ж и t. Подставляя затем выра- выражение D3) для v в формулы D0) и D2), получим зависимость р и р от х и ^ в явной форме. Все величины оказываются зави- зависящими от x/t. Если измерять расстояния в единицах, пропор- пропорциональных t, то картина движения не меняется. Такое движе- движение называется автомодельным. Найдем скорость движения переднего фронта Vi(t), Полагая в равенстве D2) р=0, будем иметь: ^1 = -^ГТсо. D4) Отсюда следует, что скорость истечения газа в пустоту конечна. Для двухатомных газов у=7/ь и Vi = — 5с0. Выражение D4) для скорости левого фронта x—Xi(t) мож- можно получить также из уравнения баланса вещества J pdx = p0x2 = p(p(f. D5) X, Вводя переменную получим Со J pdl = poco. Подставляя затем выражение для р из D0) и полагая 1+J^l. !=??. = Я, V + 1 с
V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 165 будем иметь: Ь _2_ A,v-i d%= v , , D6) где После вычисления интеграла D6) получим; ¦V+1 Y+1 %2У~ —Я|Т~'=1, т. е. откуда и следует: ,, = - 2Со 1 " Задача об истечении газа в вакуум решена. Мы ограничились выше рассмотрением лишь наиболее про- простых задач газодинамики. За более подробным ознакомлением с затронутыми здесь вопросами отсылаем читателя к специаль- специальной литературе1). Л/. Динамика сорбции газов 1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа. Рас- Рассмотрим задачу о поглощении (сорбции) газа 2). Пусть че- через трубку (ось которой мы выберем за координатную ось х), заполненную поглощающим веществом (сорбентом), пропу- пропускается газовоздушная смесь. Обозначим через а(х, t) количе- количество газа, поглощенного единицей объема сорбента, а через u(x,t)—концентрацию газа, находящегося в порах сорбента в слое х. Напишем уравнение баланса вещества, предполагая, что ско- скорость газа v достаточно велика и процесс диффузии не играет существенной роли в переносе газа. Рассмотрим слой сорбента -от Xi до лг2 в течение промежутка времени от /4 до t%. Очевидно, ') См. Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика,'ч. II, гл. I, Гостехиздат, 1963; Л. Ландау и Е. Лифшиц, Механика сплошных сред, гл. VII, Гостехиздат, 1954; Я. Б. Зельдович, Теория ударных волн и введение в газодинамику, изд. АН СССР, 1946; ¦Л. И. Седов, Распространение сильных взрывных волн, Прикладная мате- математика и механика, т. X, вып. 2, A946). ' 2) А. Н. Тихонов, А. А. Жуховицкий и Я. Л. Забежинский, Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала, ЖФХ, 20, лып. 10 A946).
166 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II для него можно написать уравнение баланса вещества [ш |„ - vu у SAt = [(а + и) |ь - (а + и) |J S А*. A) которое после сокращения на Дл: At и перехода к пределу при Ах —* О At —*¦ О принимает вид ди д i . ч /„, -v-aF===-ar(fl + ")- B> Левая часть этого уравнения представляет количество газа, на- накопляющегося за счет переноса, рассчитанное на единицу длины и времени, правая часть — количество газа, израсходованного на повышение концентрации сорбированного газа и газа, нахо- находящегося в порах. К этому уравнению баланса следует присое- присоединить уравнение кинетики сорбции —-^Ии-У), C) где р — так называемый кинетический коэффициент, у — кон- концентрация газа, находящегося в «равновесии» с сорбированным количеством газа. Величины а и у связаны друг с другом уравнением a = fUt), D) являющимся характеристикой сорбента. Кривая a = f(y) называется изотермой сорбции. Если Y («о + РУ) ' то изотерма называется изотермой Лэнгмюра. Наибо- Наиболее простой вид функции f соответствует так называемой изо- изотерме Генри, справедливой в области малых концентраций, —|* E) где 1/y — коэффициент Генри. В этом случае мы приходим к следующей задаче: найти функции и (х, t) и а (х, t) из уравнений ди ди , да ._.. при дополнительных условиях а (х, 0) = 0, ) и<*.0> = 0.} <7> и @,0 = но. (8> где «о — концентрация газа на входе.
V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 167 Пренебрегая производной -кг, представляющей расход газа на повышение свободной концентрации в порах сорбента, по „ да ., сравнению с производной-^-, представляющей расход газа на увеличение сорбированного количества газа, получаем4): -^¦ = P(«-\-o), F) a(x, 0) = 0, и @, t) = ы0. Исключим функцию а(х, t), дифференцируя первое уравнение по t и используя второе уравнение — VMjjf =Р«( - или Определим начальное условие для и, полагая в первом уравне- уравнении t = 0, — vux (х, 0) = ры (х, 0), и @, 0) = и0, откуда находим: Задача нахождения функции u(x,t) свелась к интегрированию уравнения V при дополнительных условиях и(х, О) = ы0е"*, A0) u@,t) = u0. (8) Характеристиками этого уравнения являются линии х = const, t = const. Дополнительные условия в этой задаче представляют значения искомой функции u(x,t) на характеристиках. Аналогично ') Для системы уравнений B') и F) достаточно одного начального усло- условия, так как ось / = 0 в этом случае становится характеристикой. Подроб- .нее об этом см. примечание на стр. 168.
168 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Н ставится задача для функции a(x,t): а(х,0) = 0, а {0, /) = -^S-(l — (П) A2) Следует заметить, что подобная задача встречается при рас- рассмотрении ряда других вопросов (например, процесс сушки воздушным потоком, прогревание трубы потоком воды и т.д.I). Решение уравнения (9) может быть получено в явном виде методом, изложенным в § 5, и дается формулой и (*„ *,) Г _ , г -JL 1 e-''/oBV*i*i) + -^-J e X'lobVddxL A3) ') Переходя к уравнению B'), мы пренебрегали членом щ. Однако не- нетрудно показать, что мы придем к тому же уравнению, если введем пере- переменные: (рис. 32), в которых время в точке х отсчитывается от to — x/v—-момента прихода в эту точку потока газовоз- газовоздушной смеси. В самом деле, ди ди 1 ди д д дх d| v дх ' dt дх и уравнение B) принимает вид _ ди да V d§ ~~дх' да дх ¦- Р (и — уа). Рис. 32. Начальные условия G) и уравне- уравнения B) и F) дают: и {х, 0) = 0, uf (х, 0) =Ю. В области между прямой 1 = 0 я осью g мы получаем задачу определения функции и по начальным условиям G') (задача Коши), Очевидно, что в этой области функция и(х, t) == 0 (а также а = 0). Из уравнений B') и F) видно, что при т = 0 функция и(х, t) претерпевает разрыв, в то время как функция а(х, t) остается непрерывной. Таким образом, при т = 0 функциям, как было показано выше, определяется из уравнения B') при а(х, 0) = 0. Определяя, как это было сделано на стр. 167—168 (см. формулы A0) и A2)), значения и(х, 0) и а@, /), мы получаем для функций и(х, t) и а(х, t) за- задачи с данными иа характеристиках.
V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 169 где лг,= —, ti = — безразмерные переменные, /о—функ- /о—функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргу- аргумента. Пользуясь асимптотическими формулами для функции /о, нетрудно получить асимптотическое представление решения при больших значениях аргументов. 2. Асимптотическое решение. Выше мы изучали процесс сорбции газа, подчиняющегося изотерме сорбции Генри, свя- связывающей количество поглощенного вещества а с равновесной концентрацией у линейной зависимостью а = — и. у У Рассмотрим изотерму сорбции общего вида Если ввести безразмерные переменные х$ , ф и у_ а 1 v ' ' V «о «о «oY то система B'), F), G), (8) примет вид дп dv ' A4) ^ A5) яри дополнительных условиях ы@,*,) = 1, A6) о(х„0) = 0. A7) Нас будет интересовать асимптотическое поведение функций, лредставляющих решение системы A4). Относительно функции fi(z) мы будем предполагать сле- следующее: 1. fi(z) — возрастающая функция и fi@) = 0. 2. fi(z) имеет непрерывную производную для всех значений z, 0 < z< 1. 3. Луч, идущий из начала координат в точку A, /чA)), ле- лежит ниже кривой fi(z) в промежутке 0 ^ z <; 1 (рис. 33), что, в частности, имеет место для выпуклой изотермы.
170 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Вводя обозначение для обратной функции будем искать асимптотическое решение поставленной задачи в виде распространяющейся волны1) Г*®' ^x-at, A8) где а — скорость распространения волны, подлежащая опреде- определению. Это означает, что на больших расстояниях (при х —> оо) или через большой промежуток времени (t —>• оо) v (x, t) = v = ср (х — at); п (х, t) = и = г|з (х — at). Концентрации пив должны при х = оо или t — оо удовлетво- удовлетворять условию равновесия w = Ы«) или u = F{v). Из условия A6) тогда следует: Из условия A7) следует: = ^@) = 0. B0) Условия A9) означают, что при t—»оо(|—»• — оо) должно ус- установиться всюду насыщение. Подставляя предполагаемую форму решения в уравнения A4), получим: tf — otf=0, B1) — cq/ = г]з — F (q>). B2) Из B1) и B0) заключаем, что Из уравнений A9) тогда следует, что = 7ГПТ B4> и~ФA) . или, в размерных величинах, ff = Y7> «о = /("<>)• B4'Х ') Для упрощения запнси вместо xit t\ будем писать х, t.
V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 171 Из B2) и B3) находим: 5 После интегрирования будем иметь: со (ф) = g — to, B6) где ю(ф) —какой-либо интеграл левой части, a go — постоянная интегрирования. Отсюда искомая функция ф(|) определится <с точностью до неизвестной постоянной g0: Ф = а-1F-У, B7) ф = ся>-1(|-У. B8) Выясним, может ли быть определена функция от1 и будут ли ¦функции ф и г|з удовлетворять поставленным условиям при ,| -* оо и | —»• — оо. Покажем, что производная dq> огф — /i ' (ф) т. е. 6 50 == ю (ф) — монотонно убывающая функция ф. В самом деле, знамена- знаменатель в B9) равен Сф — f! (ф) = , /.. ф — fl (ф). Первое слагаемое есть принадлежащая ординате ф абсцисса точки, лежащей на луче, идущем из начала координат в точку 0> МО) (рис. 33). Так как мы условились, что кривая ф = = fi (z) лежит выше этого луча, то я, следовательно, ОФ-/Г'(Ф)>°- Кроме того, аф — f[l (ф) = 0 при ф = 0 и при ф Отсюда следует, что i — io = ь> (ф) = °° при ф = О, | —ео = ю(ф) = —с» при ф==/1( Для обратной функции получаем: Ф = ю (| —10) = 0 при | = с».
172 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Далее, в силу равенства B9) имеем: ф = Сф = -^г-щ-(р=1 при | = —оо, -—— = 0 при | = Итак, все условия A9) и B0) удовлетворены, и тем самым доказано, что система уравнений имеет решение в виде рас- распространяющейся волны, содержа- содержащей неопределенную постоянную go- Для определения go интегрируем первое уравнение по ti в пределах от 0 до to и по х в пределах or 0 до хо: (Ш'П Рис. 33. Г 'о to "I J п {х0, х) dx — J п @, т) dx \ г [ х° х° 1 + J v(x,to)dx— j v(x, 0)dx =0. Lo 0 J C0) Полученное равенство выражает за- закон сохранения вещества. Пере- Переходя к пределу при х0-»-оо и пользуясь начальными условиями для пио, находим: ОО te J v(x, to)dx= J fi@. x)dx = t0. Допустим, что для больших значений t решение нашей за- задачи приближается к функциям и и v, найденным выше в виде распространяющихся волн. Если мы определим |о из условия J v (х, t0) dx — to-+O (t0 -> оо), C1) то это и будет то значение go, которое соответствует функциям u(x,t) nv(x,t). Преобразуем наш интеграл J v{x, to)dx= j у{х — ato)dx= J ю^ — ot0 —10) dx = оо о = f «-'(Drfl
V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 173 Обозначим через ф* значение to~'(g) при ? = 0: ю-1@) = (р*. Нетрудно видеть, что если <р = <»-'(?) — обратная функция для ? = со(ф), то (рис. 34) оо 0 со J о-» @ di = J о-1 (Е) rfg-h Jco-1 (Е) d? = ti С. 0 Г со (?,) <р» "I = -Е^-'&Л- J ю(<р)Лр+J и(<р)<йр . C2) L <р» о J Отсюда следует, что вместо предельного равенства C1) можно написать: J ш {<р (-afo-!0) ^ Но+У<Р(-^о-|о)+ J «в(ф)Лр|—<0-*0 (t0-*oo). о ' C20 Перейдем к пределу при /0 —*¦ оо. Тогда сф(- cf0 -10) -*оф(- сх>) = fff, A) = 1. C2*) Чтобы вычислить предел выражения (— of 0 — go) —10, воспользуемся уравнением B5). Разлагая /Г1 ((р) = F(q>) в ряд вблизи точки фо = fi(l), получим: Сф — /7(ф) = = <т( откуда где точками обозначены члены более высокого порядка относи- относительно (ф фо). Из требования 3 для функции ft следует, что Из уравнения C3) находим порядок роста <р при |—»•—оо: Ф^ЛеЧ + фо, C4) где А и k > 0 — некоторые постоянные.
174 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Из C4) следует, что lim t0 [стер (- ot0 - у - 1 ] = lim t0Ace = 0. C2'") ><» и Совершая в формуле C2') предельный переход при fo-> принимая во внимание C2") и C2'"), получаем: ми !о = — тпту J ю(фМф- Тем самым профили волны {и, v] определены полностью. (з5) >-c Особый интерес представляет случай изотермы Лэнгмюра. Найдем асимптотическое решение для процесса сорбции газа, подчиняющегося изотерме Лэнгмюра. Уравнение B5) примет вид — с- C6) (Уф — 1 — где с= f ,.s = 1 + Р — скорость волны. Из C6) находим: где а (ф) = < афA — ^г=т [iln (с ~~! ~ раф) - 1пф] Очевидно, что когда (р меняется от 0 до Д A), то а((р) меняется от +оо до —оо. Выберем А так, чтобы т. е. чтобы = 0 при ф* = _/1A) = —
V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 175 При этом условии (Ф) = ~Т[i -С(Р) -1п2 Значение |0 определяется формулой Mi) So = —FTTiT J о и не зависит от р = щ[у, т. е. от подаваемой концентрации. Искомое асимптотическое решение имеет вид б (х, t) = ю-1 (х — at — у, п (х, t) = о®-1 (x — ct — у, C7) где a-'(g) — обратная для ю(ф) функция. На рис. 35 приведены результаты численного интегрирова- интегрирования уравнений A4) для изотермы Лэнгмюра методом конечных 0.0 разностей. Эти графики даны для значений 0 < t^Cti = 10. При t = t\ результаты численного интегрирования совпадают с асимп- асимптотическим решением с точностью до 1%- Для значений t > t\ можно пользоваться асимптотическими формулами.
176 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II VI. Физические аналогии При рассмотрении явлений в различных областях физики мы часто обнаруживаем общие черты в этих явлениях. Это при- приводит к тому, что при математической формулировке задачи мы получаем одни и те же уравнения, описывающие различные физические явления. Простейшим примером может служить уравнение описывающее различные колебательные процессы простейших систем: математический маятник, колебание груза под дейст- действием силы упругости пружины, электрические колебания в про- простом контуре с индуктивностью и емкостью и т. д. Общность уравнений для различных физических процессов позволяет на основании изучения свойств одного явления делать заключение о свойствах другого, менее изученного явления. Так, изучение различных акустических явлений может быть значительно об- облегчено предварительным рассмотрением подобных электриче- электрических схем. Распространение электрических колебаний в системах с рас- распределенными постоянными описывается, как известно, теле- телеграфными уравнениями дх at dx~~Ldt +J<J' j где С, G, L, R — распределенные емкости, утечка, индуктив- индуктивность и сопротивление системы. Если можно пренебречь сопро- сопротивлением и утечкой тока, то для V и / получаются обычные волновые уравнения —и' _ • дх* ^ — — 1С а уравнения A) принимают вид д! ду__г dl_ дх dt B) При решении задачи о распространении звука в одном направ- направлении, например, при изучении движения воздуха в трубах, мы
VI. ФИЗИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ 177 приходим к уравнениям _ dp dv C) dp dv ~~дх~~Р~ЬТ' dv 1 dp ~~дх~~~Т~Ж1 где v — скорость колеблющихся частиц, р — плотность, р —¦ давление, а т = poY — коэффициент упругости воздуха. Подобие уравнений B) и C) позволяет установить соот- соответствие между акустическими и электрическими величинами. Разности потенциалов соответствует давление, току — скорость смещения частиц. Плотность, определяющая инерционные свой- свойства газа, соответствует индуктивности электрической цепи, а емкости электрической цепи соответствует 1/т, т. е. обратная величина коэффициента упругости. Это же соответствие можно установить и из выражений кинетической и потенциальной энергий для электрической и акустической систем. Возвращаясь к уравнениям A), мы можем ввести акустиче- акустические аналоги сопротивления и утечки. Величину акустического сопротивления приходится учитывать в тех случаях, когда при рассмотрении движения газа оказывается существенным трение газа о стенки сосуда. По аналогии с электрическим сопротив- сопротивлением, которое определяется как отношение напряжения к то- току, можно ввести и акустическое сопротивление, определяемое отношением давления к току в среде, который пропорционален скорости смещения частиц газа, Ra = p/uv. В тех случаях, где рассматривается движение газа в пористой среде, приходится вводить величину, аналогичную утечке в электрических цепях. Эта величина, обозначаемая через Р,- называется пористостью и определяется частью объема материала, которая оказывается заполненной воздухом. Механическим аналогом телеграфного уравнения является уравнение продольных колебаний стержня, которое подобно уравнениям B) может быть записано в виде дх~~ k dt ' дх ~Р dt ' где Т — натяжение стержня, v — скорость колеблющихся точек, р — плотность и k — коэффициент упругости стержня. Сравнивая это уравнение с уравнением B), мы можем уста- установить подобие между механическими и электрическими вели- величинами. Так, устанавливая соответствие между электрическим напряжением и натяжением струны, током и скоростью дви- движения частиц, мы получим, что обратная величина коэффициен- коэффициента упругости соответствует емкости, а плотность — индуктив- индуктивности.
178 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II Таким образом, рассмотрение подобных динамических за- задач приводит к установлению соответствия между рядом элек- электрических акустических и механических величин. Это соответ- соответствие можно иллюстрировать следующей таблицей *): Переменные Параметры Электрическая система Напряжение V Ток / Заряд е Индуктивность L Емкость С Сопротивление R Акустическая система Давление р Скорость частиц v Смещение и Инертность (плот- (плотность) р Акустическая емкость Сл=1/т Акустическое сопро- сопротивление RA Механическая система Натяжение (сила) Т Скорость смещения х Смещение к Плотность массы рт Мягкость С м = 1/А: Механическое сопро- сопротивление RM Развитые выше соображения позволяют в ряде акустических задач получить некоторые сведения о характере явлений до решения задачи. Так, задача о движении воздуха в порах для простых гар- гармонических волн приводит к уравнениям2) — шрти = — grad p, где и — объемная скорость воздуха через поры, р — давление, р — плотность, рт — эффективная плотность воздуха в порах, которая может быть больше р, так как в порах вместе с воздухом могут колебаться и частицы вещества, Р — пори- пористость, с и со — скорость и частота звука, г — сопротивление по- потоку, которое характеризует падение давления в материале. vP Положив r = RA, рт — LA, -Ц- — СА, мы получим наши урав- уравнения в виде # л" = p, C,Lt др — ') См., например, Г. О л ь с о н, Динамические аналогии, ИЛ, 1947. 2) См. В. В. Фурдуев, Электроакустика, Гостехиздат, 1948.
VI. ФИЗИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ 179 Эти уравнения вполне подобны уравнениям распространения электрических колебаний в линии. Поэтому мы по аналогии с волновым сопротивлением линии можем сразу написать выражение для сопротивления, называе- называемого характеристическим импедансом пористого материала считая при этом G = 0. Выражение характеристического им- импеданса указывает на затухание волн, распространяющихся в пористом материале. Установленная аналогия между электрическими и акусти- акустическими явлениями позволяет заменить изучение ряда акустиче- акустических задач рассмотрением эквивалентных электрических схем. Метод подобия в последнее время нашел большое примене- применение в моделирующих счетно-решающих устройствах, в которых для решения уравнения, соответствующего какому-либо физи- физическому процессу, строится эквивалентная электрическая схема.
ГЛАВА III УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Уравнения с частными производными 2-го порядка парабо- параболического типа наиболее часто встречаются при изучении про- процессов теплопроводности и диффузии. Простейшее уравнение параболического типа обычно называют уравнением теплопроводности. § 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Постановка краевых задач 1. Линейная задача о распространении тепла. Рассмотрим однородный стержень длины /, теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать оди- одинаковой. Если концы стерж- стержня поддерживать при по- постоянных температурах щ и и2, то, как хорошо известно, вдоль стержня устанавли- устанавливается линейное распреде- распределение температуры (рис. 36) и (х) = ы, + I -X. A) При этом от более нагрето- Рис. 36. го к менее нагретому концу стержня будет перетекать тепло. Количество тепла, протекающее через сечение стержня площади S за единицу времени, дается экспериментальной фор- формулой B) ди где k — коэффициент теплопроводности, зависящий от материа- материала стержня.
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 181 Величина теплового потока считается положительной, если тепло течет в сторону возрастания х. Рассмотрим процесс распространения температуры в стерж- стержне. Этот процесс может быть описан функцией и(х,t), представ- представляющей температуру в сечении х в момент времени t. Найдем уравнение, которому должна удовлетворять функция и (х, t). Для этого сформулируем физические закономерности, опреде- определяющие процессы, связанные с распространением тепла. 1. Закон Фурье. Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой темпера- температурой. Количество тепла, протекающее через сечение х за проме- промежуток времени (t,t-\- dt), равно dQ = qSdt, C) где q = -k(x)^ D) — плотность теплового потока, равная количеству тепла, про- протекшего в единицу времени через площадь в 1 см2. Этот за- закон представляет обобщение формулы B). Ему можно также придать интегральную форму '? ои (у A At IK\ где Q — количество тепла, протекающее за промежуток време- времени (ti, tz) через сечение х. Если стержень неоднороден, то k является функцией х. 2. Количество тепла, которое необходимо сообщить одно- однородному телу, чтобы повысить его температуру на Аи, равно Q = cmAu — cpV Аи, F) где с — удельная теплоемкость, т — масса тела, р — его плот- плотность, V — объем. Если изменение температуры имеет различную величину на разных участках стержня или если стержень неоднороден, то Хг Q= j cpS Au(x)dx. G) 3. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло (например, при прохождении тока, вследствие химических реак- реакций и т. д.). Выделение тепла может быть характеризовано
182 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИТ плотностью тепловых источников F(x,t) в точке х в момент tl). В результате действия этих источников на участке стержня (х, х -f- dx) за промежуток времени (/, / -(- dt) выделится коли- количество тепла dQ = SF (x, t) dx dt (8) или в интегральной форме j j F(x, t)dxdt, (9) где Q — количество тепла, выделяющегося на участке стержня (xi, x2) за промежуток времени (tu tz). Уравнение теплопроводности получается при подсчете ба- баланса тепла на некотором отрезке (хи xz) за некоторый проме- промежуток времени (tt, tz). Применяя закон сохранения энергии и пользуясь формулами E), G) и (9), можно написать равен- равенство J L * ix—x2 , A0) которое и представляет уравнение теплопроводности в инте- интегральной форме. Чтобы получить уравнение теплопроводности в дифферен- дифференциальной форме, предположим, что функция и(х, t) имеет не- непрерывные производные ихх и щ2). Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство |, t2) - и (l, Шъ==Хз Ах, A1) 1) Если, например, тепло выделяется в результате прохождения электри- электрического тока силы / по стержню, сопротивление которого на единицу длины равно Я, то F = 0,24 -I2R. 2) Требуя дифференцируемости функций и(х, t), мы, вообще говоря, мо- можем потерять ряд возможных решений, удовлетворяющих интегральному уравнению, но не удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Однако в случае уравнений теплопроводности, требуя дифференцируемости решения, мы фактически не теряем возможных решений, так как можно доказать, что если функция удовлетворяет уравнению A0), то она обязательно должна -быть дифференцируема.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 183 которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно- преобразовать к виду г л.. -л AxAt, A2) где t3, 4, U и x3, xt, хь — промежуточные точки интервалов (tuh) и (xi,x2). Отсюда, после сокращения на произведение Ах At, находим: +F(x.f) дх ч ил , ,„_,. Х=Х4 Все эти рассуждения относятся к произвольным промежуткам (jci, xz) и (ti, t2). Переходя к пределу при хи х2 -»¦ х и /ь t2 —> *,. получим уравнение называемое уравнением теплопроводности. Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Если стержень однороден, то k, с, р можно считать по- постоянными, и уравнение обычно записывают в виде u, = a2uxx + f(x, t), t) - где а2 — постоянная, называемая коэффициентом тем- температуропроводности. Если источники отсутствуют, т. е. .Г(х, /) = 0, то уравнение теплопроводности принимает простой вид: и( = а2ихх. A4') 2. Плотность тепловых источников может зависеть от тем- температуры. В случае теплообмена с окружающей средой, подчи- подчиняющегося закону Ньютона, количество тепла, теряемого стержнем1), рассчитанное на единицу длины и времени, равно 1) Поскольку в нашем приближении не учитывается распределение тем- температуры по сечению, то действие поверхностных источников эквивалентно действию объемных источников тепла.
184 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill где Q(x,t)—температура окружающей среды, h — коэффи- коэффициент теплообмена. Таким образом, плотность тепловых источников в точке х в момент / равна F = Fl(x,t)-h(u-Q), A5) где Fx(x,t) —плотность других источников тепла. Если стержень однороден, то уравнение теплопроводности с боковым теплообменом имеет следующий вид: щ = а2ихх —au + f {x, t), где а = —; f (x, t) — аб (*, t) -j '(*' — известная функция. ср ср 3. Коэффициенты k и с, как правило, являются медленно меняющимися функциями температуры. Поэтому сделанное выше предположение о постоянстве этих коэффициентов воз- возможно лишь при условии рассмотрения небольших интервалов изменения температуры. Изучение температурных процессов в большом интервале изменения температур приводит к квази- квазилинейному уравнению теплопроводности, которое для неодно- неоднородной среды запишется в виде д дх (см. приложение III). 2. Уравнение диффузии. Если среда неравномерно заполнена газом, то имеет место диффузия его из мест с более высокой концентрацией в места с меньшей концентрацией. Это же яв- явление имеет место и в растворах, если концентрация растворен- растворенного вещества в объеме не постоянна. Рассмотрим процесс диффузии в полой трубке или в трубке, заполненной пористой средой, предполагая, что во всякий мо- момент времени концентрация газа (раствора) по сечению трубки одинакова. Тогда процесс диффузии может быть описан функ- функцией и{х,t), представляющей концентрацию в сечении х в момент времени t. Согласно закону Нернста масса газа, протекающая через сечение х за промежуток времени (t, t-\-&t), равна dQ = — D^-{x, t)Sdt = WSdt, где D — коэффициент диффузии, S — площадь сечения трубки, W(x, t) —плотность диффузионного потока, равная массе газа, протекающей в единицу времени через единицу площади. (k(u, x)?) + F(x, t) = C(u, x)p(u, x)%L
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 185 По определению концентрации, количество газа в объеме V равно Q = uV; отсюда получаем, что изменение массы газа на участке трубки. (xi, хг) при изменении концентрации на Аы равно Ха AQ = J c(x)ku-S dx, Xi где с(х) —коэффициент пористости1). Составим уравнение баланса массы газа на участке (xi,x2} за промежуток времени ( tu t2): и S \[D (x2) %L {x2, x)-D (*,) ¦§? (jc2, t)] dx = = s x, Отсюда, подобно п. 1, получим уравнение д / г, ди\ ди являющееся уравнением диффузии. Оно вполне ана- аналогично уравнению теплопроводности. При выводе этого урав- уравнения мы считали, что в трубке нет источников вещества и диффузия через стенки трубки отсутствует. Учет этих явлений приводит к уравнениям, сходным с уравнениями A4) и A5) (см. гл. VI, § 2, п. 3). Если коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диф- диффузии принимает вид щ = а2ихх, где a2 = D/c. Если коэффициент пористости с = 1, а коэффициент диффу- диффузии постоянен, то уравнение диффузии имеет вид 3. Распространение тепла в пространстве. Процесс распрост- распространения тепла в пространстве может быть характеризован тем- температурой u(x,y,z,t) являющейся функцией х, у, z и t. Если температура непостоянна, то возникают тепловые по- потоки, направленные от мест с более высокой температурой к местам с более низкой температурой. ') Коэффициентом пористости называется отношение объема пор к пол- полному объему Vo, равному в нашем случае S dx.
186 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. til Пусть do—некоторая площадка в точке Р(?, т),С) с нор- нормалью п. Количество тепла, протекающее через da в единицу времени, согласно закону Фурье, равно Wn da = {Wn) do = -k~do, тде k коэффициент теплопроводности, ди/дп — производная по направлению нормали п к do, равная ди ди , ч . ди , . , ди . . -fa = "з7 cos (п> х) + ~frf cos ("' у) + ~дг cos ^n> Z^ Закон Фурье часто записывают в форме W= — fegrad и, где IF — вектор плотности теплового потока. Если среда изотропная, то k есть скаляр. В случае анизо- анизотропной среды k есть тензор, а вектор теплового потока W представляет собой произведение тензора k на вектор —grad и. Мы будем рассматривать только изотропные среды. Перейдем к выводу уравнения теплопроводности в простран- пространстве. Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный поверхностью 5. Уравнение баланса тепла для объема V за время ht = t2 — — 11 имеет вид: A8) = - J dt J J Wn da + J dt (I J J F (P, t) dVP\ где P —P(g, r],?)—точка интегрирования, dVp = rfgrfr]C?? — элемент объема, ср — теплоемкость единицы объема, Wn — нормальная составляющая плотности теплового потока. Это уравнение выражает закон сохранения тепла в объеме V за время Д/: изменение количества тепла в объеме V за время At = t% — fi (левая часть в A8)) обусловлено потоком тепла через граничную поверхность S (первое слагаемое в правой части равенства A8)), а также количеством тепла, выделив- выделившимся в объеме V за время Д^ в результате действия тепло- тепловых источников. Чтобы перейти от интегрального уравнения баланса к диф- дифференциальному уравнению, предположим, что u(M,t) = = и (х, у, z, t) дважды дифференцируема по х, у, г и один раз по t и что эти производные непрерывны в рассматриваемой об-
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 187 ласти. Тогда можно воспользоваться формулой Остроградского JJ Wnda= JJJdivWW S V и преобразовать уравнение баланса к виду cp[u(P, t2)- и(Р, ^)]йУР = V t* и = -{ J[J div WrfVp df + f f J J F (Я, t)dVPdt. t, V i, ' V (Будем предполагать F(P,t) непрерывной функцией своих ар- аргументов.) Применяя теорему о среднем и теорему о конечных при- приращениях для функций многих переменных, получим: M-V M-V, p=p, где t3, h, U — промежуточные точки на интервале At, a Pu Р2г Pi — точки в объеме V. Фиксируем некоторую точку M(x,y,z) внутри V и будем стягивать V в эту точку, a Af стремить к нулю. После сокращения на AtV и указанного предельного перехода получим: ср -~ (х, у, г, t) == — div W(x, у, z, t) + F (x, y, z, t). Заменяя W по формуле W = —k grad и, получим дифференциаль- дифференциальное уравнение теплопроводности ср щ = div (k grad и) + F или Если среда однородна, то это уравнение обычно записывают в виде г» и, = а2 (ихх + иуу + uzz) + —, где а2 = k/cp — коэффициент температуропроводности, или где Д = -^г+ -^2- + -^- — оператор Лапласа.
188 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИГ 4. Постановка краевых задач. Для выделения единственного решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные условия. Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического типа состоит лишь в задании значений функции u(x,t) в на- начальный момент to- Граничные условия могут быть различны в зависимости от температурного режима на границах. Рассматривают три ос- основных типа граничных условий. 1. На конце стержня х = О задана температура и(о, о = где |л@—функция, заданная в некотором промежутке 4^ ^ t ^ Т, причем Т есть промежуток времени, в течение которо- которого изучается процесс. 2. На конце х = I задано значение производной К этому условию мы приходим, если задана величина теплового потока Q (/, t), протекающего через торцевое сечение стержня, откуда -гД (/, t) = v if), где \(t)—известная функция, выра- выражающаяся через заданный поток Q (I, t) по формуле 3. На конце х = / задано линейное соотношение между производной и функцией Это граничное условие соответствует теплообмену по закону Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, темпера- температура которой G известна. Пользуясь двумя выражениями для теплового потока, вытекающего через сечение х = /, Q = h(u — 6) и получаем математическую формулировку третьего граничного условия в виде
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ j gg где К = h/k — коэффициент теплообмена, 6 (t) — некоторая за- заданная функция. Для конца х = О стержня @, /) третье гра- граничное условие имеет вид Граничные условия при х = 0 и х = I могут быть разных типов, так что число различных задач велико. Первая краевая задача состоит в отыскании решения и = = и(х, t) уравнения теплопроводности и, = а2ихх при удовлетворяющего условиям и(х, 0) = ф(*), «@,9 = i*i(9, и{1, 9 = 1*2(9. где cp(*), ni(9 и [i2(t) — заданные функции. Аналогично ставятся и другие краевые задачи с различными комбинациями краевых условий при х = 0 и х = /. Возможны краевые условия более сложного типа, чем те, которые были рассмотрены выше. Пусть, например, на конце х = 0 стержня помещена сосре- сосредоточенная теплоемкость Ct (например, тело с большой тепло- теплопроводностью, вследствие чего температуру по всему объему этого тела можно считать постоянной) и происходит теплооб- теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Тогда краевое усло- условие при х = 0 (выражающее уравнение теплового баланса) будет иметь вид „ ди , ди . . ч Ci~dF^k~dx~~h(u~ u°'' где «о — температура внешней среды. Это условие содержит производную -^Нили -=-ti если учесть уравнение щ = а2ихх). Если среда неоднородна и коэффициенты уравнения яв- являются разрывными функциями, то промежуток @, /), в кото- котором ищется решение задачи, разбивается точками разрыва коэффициентов на несколько частей, внутри которых функция и удовлетворяет уравнению теплопроводности, а на границах — условиям сопряжения. В простейшем случае эти условия заключаются в непре- непрерывности температуры и непрерывности теплового потока u{Xi — 0, 9 = ufo + 0t 9. где Xi — точки разрыва коэффициентов.
190 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИГ Кроме названных^ здесь задач часто встречаются их предель- предельные случаи. Рассмотрим процесс теплопроводности в очень длинном стержне. В течение небольшого промежутка времени влияние температурного режима, заданного на границе, в цент- центральной части стержня сказывается весьма слабо, и темпера- температура на этом участке определяется в основном лишь началь- начальным распределением температуры. В этом случае точный учет длины стержня не имеет значения, так как изменение длины стержня не окажет существенного влияния на температуру инте- интересующего нас участка; в задачах подобного типа обычно счи- считают, что стержень имеет бесконечную длину. Таким образом, ставится задача с начальными условиями (задача Кош и) о распределении температуры на беско- бесконечной прямой: найти решение уравнения теплопроводности в области —со < х < со и t > /о, удовлетворяющее условию и(х, to)==([)(x) (— oo<x< + co). где <${х) —заданная функция. Аналогично, если участок стержня, температура которого нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от другого, то в этом случае температура практически определяется температурным режимом близкого конца и начальными ус- условиями. В задачах подобного типа обычно считают, что стер- стержень полубесконечен, и координата, отсчитываемая от конца, меняется в предел ахО ^ х ^ со. Приведем в качестве примера формулировку первой краевой задачи для полубес- полубесконечного стержня: найти решения уравнения теплопроводности в области 0 < х <С со и t0 ^ t, удовлетворяющее условиям и{х, у = (р(х) @<*<со), и@, 0 = 1*(9 (t>t0), где (р(х) и n(t) — заданные функции. Приведенные выше задачи представляют собой предельный случай (вырождение) основных краевых задач. Возможны предельные случаи основной задачи и другого типа, когда пре- пренебрегают точным учетом начальных условий. Влияние началь- начальных условий при распространении температуры по стержню ослабевает с течением времени. Если интересующий нас момент достаточно удален от начального, то температура стержня практически определяется граничными условиями, так как из- изменение начальных условий не изменило бы температурного состояния стержня в пределах точности наблюдения. В этом случае практически можно считать, что опыт продолжался бес- бесконечно долго, и начальные условия тем самым отпадают.
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 191 Таким образом, мы приходим к краевым задачам без начальных условий, когда ищется решение уравнения теплопроводности для О^х^/ и — со < /, удовлетворяющее условиям и @, t) = и, (О, В зависимости от характера граничного режима возможны и другие виды задач без начальных условий. Весьма важной является задача без начальных условий для полубесконечного стержня (/ = со), когда требуется найти ре- решение уравнения теплопроводности для 0 < л: < оо, / > — со, удовлетворяющее условию «@, 0 = |*@. где [i(t) —заданная функция. Наиболее часто встречаются задачи без начальных условий при периодическом граничном режиме ц (t) = A cos at (см. приложение I к гл. III). Естественно считать, что по прошествии большого проме- промежутка времени температура стержня практически также ме- меняется по периодическому закону с той же частотой. Однако, если мы захотим точно учитывать начальные условия, то фор- формально никогда не получим периодического решения, так как влияние начальных условий, хотя и будет ослабевать с тече- течением времени, но в нуль не обратится; учитывать это влияние ввиду ошибок наблюдения нет никакого смысла. Рассматривая периодическое решение, мы пренебрегаем влиянием начальных данных. Постановка краевых задач, изложенная выше, относится, конечно, не только к уравнению с постоянными коэффициен- коэффициентами. Под словами «уравнение теплопроводности» мы могли бы понимать любое из уравнений предыдущих пунктов. Помимо перечисленных выше линейных краевых задач, ста- ставятся также задачи с нелинейными граничными условиями, на- например, вида k@t) a[uH0tNH0t)] Это граничное условие соответствует излучению по закону Сте- Стефана — Больцмана с торца х = 0 в среду с температурой Q{t). Остановимся более подробно на постановке краевых задач. Рассмотрим первую краевую задачу для ограниченной области.
192 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Решением первой краевой задачи будем называть функцию и(х, t), обладающую следующими свойствами: 1) и(х, t) определена и непрерывна в замкнутой области 2) u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности в от- открытой области 0<х<1, tD<t; 3) и(х, t) удовлетворяет начальному и граничным усло- условиям, т. е. и (х, t0) = <р (х), и (О, t) = ц, (t), и (I, t) = ц2 (t), где <р(*)> M-i@> М«(*)—непрерывные функции, удовлетворяю- удовлетворяющие условиям сопряжения <Р(О) = М*о) [=и@, *„)]и <р(/)=ц2(*0) [=«(/, t0)], необходимым для непрерывности и(х,t) в замкнутой области. Рассмотрим плоскость фазовых состояний (х, t) (рис. 37). В нашей задаче ищется функция u(x,t), определенная внутри прямоугольника ABCD. Эта об- область определяется самой поста- постановкой задачи, так как изучается процесс распространения тепла в стержне 0 ^ х ^ / за проме- промежуток времени to ^ t <g: Г, в те- течение которого нам известен теп- тепловой режим на краях. Пусть ъ.х 4 = 0; мы предполагаем, что x=l u(x,t) удовлетворяет уравнению Рис. 37 только при 0<х</, 0<*<7\ но не при t = 0 (сторона АВ) и не при х — 0, х = 1 (стороны AD и ВС), где начальными и граничными условиями непосредственно задаются значе- значения этой функции. Если бы мы потребовали, чтобы урав- уравнение удовлетворялось, например, при t = 0, то этим мы потре- потребовали бы, чтобы существовала производная <р" = ихх(х,0), входящая в уравнение. Этим требованием мы ограничили бы область изучаемых физических явлений, исключив из рассмот- рассмотрения те функции, для которых это требование не выполняется, Условие 3) без предположения непрерывности и(х, t) в области 0 ^ х ^ /, 0 ^ t ^ Г (т. е. в замкнутом прямоугольнике ABCD) или какого-либо другого условия, заменяющего это предположение, теряет смысл1). Действительно, рассмотрим ') Ниже будут рассмотрены краевые задачи с разрывными граничными и начальными условиями. Для этих задач будет уточнено, в каком смысле понимается выполнение граничных условий.
§ I] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 193 функцию v[x, t), определенную следующим образом: v(x,t)=C где С — произвольная постоянная. Функция v(x,t), очевидно, удовлетворяет условию 2), а также граничным условиям. Од- Однако эта функция не представляет процесса распространения температуры в стержне при начальной температуре q>(x) ф С и граничных температурах щA) ф С и jx2@ Ф С, так как она разрывна при t — О, х = 0, х — I. Непрерывность функции u(x,t) при 0 < х < /, 0 < < =?1 Г следует из того, что эта функция удовлетворяет уравнению. Та- Таким образом, требование непрерывности и(х, t) при 0 ^ х ^ /, О ^ t ^ Т; по существу относится только к тем точкам, где задаются граничные и начальные значения. В дальнейшем мы под словами «решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям», будем подразумевать функцию, удовлетворяющую требованиям 1), 2), 3), не оговаривая эти условия каждый раз, если в этом нет специальной необходимости. Аналогично ставятся и другие краевые задачи, в том числе задачи на бесконечном стержне и задачи без начальных усло- условий. Для задач с несколькими независимыми геометрическими переменными все сказанное выше сохраняет силу. В этих за- задачах при t = t0 задается начальная температура, на поверх- поверхности тела — граничные условия. Можно рассматривать также и задачи для бесконечной области. В отношении каждой из поставленных задач возникают сле- следующие вопросы 1): 1) единственность решения поставленной задачи, 2) существование решения, 3) непрерывная зависимость решения от дополнительных условий. Если поставленная задача имеет несколько решений, то сло- слова «решение задачи» не имеют определенного смысла. По- Поэтому прежде чем говорить о решении задачи, необходимо доказать его единственность. Для практики наиболее сущест- существенным является вопрос 2), так как при доказательстве существования решения обычно дается способ вычисления решения. ') Ср. с гл. II, § 2. 7 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский
194 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Как было отмечено ранее (см. главу II, § 2, п. 5) процесс называется физически определенным, если при малом измене- изменении начальных и граничных условий задачи ее решение ме- меняется мало. В дальнейшем будет доказано, что процесс распространения тепла физически определяется своими началь- начальными и граничными условиями, т. е. небольшое изменение начального и граничных условий мало изменяет и само решение. 5. Принцип максимального значения. В дальнейшем мы бу- будем рассматривать уравнение с постоянными коэффициентами v, = a2vxx + $vx + yv. Как мы видели, это уравнение подстановкой V==e»x+Kt.u при tl = _j_j a,=v--g- приводится к виду и, = а2ихх. Докажем следующее свойство решений этого уравнения, которое мы будем называть принципом максимально- максимального значения. Если функция и (х, t), определенная и непрерывная в замк- замкнутой области Q ^.t ^.Т и О^х^/, удовлетворяет уравне- уравнению теплопроводности ut = a2uxx A9) в точках области О < х < /, 0 < t ^ Г, то максимальное и ми- минимальное значения функции u(x,t) достигаются или в на- начальный момент, или в точках границы х = О, или х = I. Функция и(х, t) = const, очевидно, удовлетворяет уравне- уравнению теплопроводности и достигает своего максимального (ми- (минимального) значения в любой точке. Однако это не противо- противоречит теореме, так как из ее условия следует, что если макси- максимальное (минимальное) значение достигается внутри области, то оно также (а не только) должно достигаться или при / = 0, или при х = 0, или при х = I. Физический смысл этой теоремы очевиден: если температу- температура на границе и в начальный момент не превосходит некото- некоторого значения М, то при отсутствии источников внутри тела не может создаться температура, большая М. Остановимся снача- сначала на доказательстве теоремы для максимального значения. Доказательство теоремы ведется от противного. Обозначим через М максимальное значение и(х, t) при t = 0 @ ^ х ^ /) или при х = 0, или при х = I @ ^ t ^ Г) *) и допустим, что ') Если не предполагать непрерывности и(х, t) в замкнутой области О <: х sg: /, 0 < t < Т, то функция и(х, t) могла бы не достигать своего максимума ни в одной точке, и дальнейшие рассуждения были бы неприме-
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 195 в некоторой точке (х0, t0) (О < х0 < /, 0 < to ^ T) функция и(х,t) достигает своего максимального значения, равного и(х0, to)=M + e. Сравним знаки левой и правой частей уравнения A9) в точ- точке (х0, t0). Так как в точке (хс, to) функция достигает своего максимального значения, то необходимо должно быть 4g-(x0,/0) = 0 и !5-(*о,*о)<О'). B0) Далее, так как u(xo,t) достигает максимального значения при / = *о, то*) ^f(xo,tc)>O. B1) Сравнивая знаки правой и левой части уравнения A9), мы ви- видим, что они различны. Однако это рассуждение еще не дока- доказывает теоремы, так как правая и левая части могут быть равны нулю, что не влечет за собой противоречия. Мы привели это рассуждение, чтобы яснее выделить основную идею доказа- доказательства. Для полного доказательства найдем точку (хи t\), в которой -g^-^О и -^г > 0- Для этого рассмотрим вспомо- вспомогательную функцию v(x, t) = !ф, t) + k(to-t), B2) нимы. В силу теоремы о том, что всякая непрерывная функция достигает своего максимального значения в замкнутой области, мы можем быть уве- уверены, что: 1) функция и(х, t) достигает максимального значения на нижней или боковых сторонах прямоугольника, которое мы обозначили через М; 2) если и(х, t) хотя бы в одной точке больше М, то существует точка (xD,t0), в которой и(х, t) достигает максимального значения, превосходящего М: u(xo,to) = M причем 0<л-0</, ') Действительно, как известно из анализа, достаточными условиями для тсго, чтобы функция f {x) в точке х0, лежащей внутри интервала @, /), имела относительный минимум, являются следующие условия: дх = 0, d2f I ¦^-^- >0.- Таким образом, если f (x) в точке хв имеет максимальное „ значение, то 1) f'(xo) — O и 2) не может быть, чтобы f" (хо)>О, т. е. Г()<° 2) При этом ясно, что если to<T, то —^г = 0, если же t0 = Т, то
196 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III где k — некоторое постоянное число. Очевидно, что v {х0, /0) = и(хс, to)=M + e Выберем k > О так, чтобы kT был меньше е/2, т. е. k < е/271; тогда максимальное значение v(x,t) при 2 = 0 или при х = 0, х = / не будет превосходить М + -§¦, т. е. v (x, t) < М + у (при f = 0 или л; == 0, или л; = /), B3) так как для этих аргументов первое слагаемое формулы B2) не превосходит М, а второе —е/2. В силу непрерывности функции v (x, t) она должна в неко- некоторой точке (хи ti) достигать своего максимального значения. Очевидно, что v(xu Поэтому ti > 0 и 0 < Xi < /, так как при t = 0 или х = 0, х= I имеет место неравенство B3). В точке (хи ti), по анало- аналогии С B0) И B1), ДОЛЖНО быть l>aa:(*l>*l) ^ 0, Vt{Xuti) ^ 0. Учитывая B2), находим: Щ {xi, ti) = vt (xu t{) + k > k > 0. Отсюда следует, что Щ(хх, tx) — ahixx(xu ti)^k> 0, т. е. уравнение A9) во внутренней точке (xit ti) не удовлетво- удовлетворяется. Тем самым доказано, что решение и(х, t) уравнения теп- теплопроводности A9) внутри области не может принимать зна- значений, превосходящих наибольшее значение и(х,I) на границе (т. е. при t — 0, х = 0, х = /). Аналогично может быть доказана и вторая часть теоремы о минимальном значении. Впрочем, это не требует отдельного доказательства, так как функция щ = —и имеет максимальное значение там, где и — минимальное. Обратимся теперь к установлению ряда следствий из прин- принципа максимального значения. Прежде всего докажем теорему единственности для первой краевой задачи. 6. Теорема единственности. Если две функции, щ (х, t) и ii2 (x, t), определенные и непрерывные в области 0 ^ х ^ /, 0 ^ t ^ T, удовлетворяют уравнению теплопроводности щ — а?ихх + / (л;, t) (для 0 < х < /, t > 0), B4)
¦§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 197 ¦одинаковым начальным и граничным условиям щ {х, 0) = и2 (х, 0) = ф (х), «,@, t) = u2@, 9 = ц,('). ГО Ui(xJ) =Uz(X,tI). Для доказательства этой теоремы рассмотрим функцию V (X, t) = U2 (X, t) — Щ (X, t). Поскольку функции щ (х, t) и u2(x,t) непрерывны при то и функция v(x, t), равная их разности, непрерывна в этой же области. Как разность двух решений уравнения теплопро- теплопроводности в области 0 < х < /, t > 0, функция v(x,t) является решением однородного уравнения теплопроводности в этой об- области. Таким образом, принцип максимального значения при- применим к этой функции, т. е. она достигает своего максимально- максимального и минимального значений или при t = 0, или при х = 0, или при х — I. Однако по условию мы имеем: о(*,0) = 0, 0@,0 = 0, о (/,<) = 0. Поэтому р(х,0 = 0, т. е. Щ (X, t) = «J, (X, t). Отсюда следует, что решение первой краевой задачи един- единственно. Докажем еще ряд прямых следствий из принципа макси- максимального значения. При этом в дальнейшем мы будем говорить просто «решение уравнения теплопроводности» вместо более подробного перечисления свойств функций, удовлетворяющих, кроме того, начальным и граничным условиям. 1. Если два решения уравнения теплопроводности щ (х, t) и U2(x,t) удовлетворяют условиям щ {х, 0) < и2 {х, Q), щ @, t) < и2 @, 0. Щ (I, t) < u2 (I, t), го щ (х, t) < и2 (х, t) для всех значений O^x^l, O^t^T. ') В п. 3, § 2 эта теорема будет усилена и требование непрерывности лри t = 0 снято.
198 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИГ Действительно, разность v(х,t) = и2(х,t)—щ(х,t) удов- удовлетворяет условиям, при которых установлен принцип макси- максимального значения, и, кроме того, и(х, 0)>0, t)@, *)>0, v(l, 0>0. Поэтому v(x, 0>0 для 0<х</, 0</<7\ так как иначе функция v(x,t) имела бы отрицательное мини- минимальное значение в области 0<х<1, 0</<7\ 2. Если три решения уравнения теплопроводности и(х, t), и_(х, t), п(х, t) удовлетворяют условиям и(х, t)^u(x, t)^.u(x, t) при / = 0, х = 0 и х — 1, то эти же неравенства выполняются тождественно, т. е. для всех х, t при 0<х</, 0<*<Г. Это утверждение является применением следствия 1 к функ- функциям и(х, t), п(х, f) и и(х, t), и(х, f). 3. Если для двух решений уравнения теплопроводности: ih(x,t) и U2.(x,t) имеет место неравенство | щ (х, t) — и2(х, t)\^.e для tf = 0, x = 0, x = l, то \udx, t) — u2(x, 01<е тождественно, т. е. имеет место для всех х, t Это утверждение вытекает из следствия 2, если его приме- применить к решениям уравнения теплопроводности и (х, t) = — e, и (х, t) = «, (х, t) — и2 (х, t), п (х, t) = е. Следствие 3 позволяет установить непрерывную зависимость, решения первой краевой задачи от начального и граничных, значений. Если мы в некоторой физической задаче вместо ре- решения уравнения теплопроводности, соответствующего началь- начальному и граничным условиям и (х, 0) = ф (*), и @, 0 = l*i @. и С 0 = ^2 (*).
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 199 возьмем решение и(х,t), соответствующее другим начальному и граничным значениям, определяемым функциями <р* (х), \x](t), H*2(t), не отличаемыми в пределах заданной степени точности е от функций <р(х), \x\(t) и то функция iii(x,t) будет отличаться от функции u(x,t) в пре- пределах той же точности е | и(х, t) — и, (х, t) |<е. В этом и заключается принцип физической определенности задачи. Мы подробно провели изучение вопроса о единственности и физической определенности задачи на примере первой крае- краевой задачи для ограниченного отрезка. Теорема единственности первой краевой задачи для ограниченной области в простран- пространстве двух или трех измерений может быть доказана букваль- буквальным повторением приведенных выше рассуждений. Подобные же вопросы возникают при изучении других за- задач, целый ряд которых был поставлен нами в предшествующем параграфе. Эти задачи требуют некоторого видоизменения ме- метода доказательства. Единственность решения задачи для неограниченной области (см.. п. 7) или задачи без начальных условий имеет место лишь яри наложении некоторых дополнительных условий на изучае- изучаемые функции. 7. Теорема единственности для бесконечной прямой. При решении задачи на бесконечной прямой существенным является требование ограниченности искомой функции во всей области, т. е. существование такого М, что \и(х,t)\<M для всех — со < х < + со и t 5= 0. Если Ui(x,t) и u2(x,t) —непрерывные, ограниченные во всей ¦области изменения переменных (х, t) функции, удовлетворяю- удовлетворяющие уравнению теплопроводности щ = а2ихх (— со < х < оо, t > 0) A9) .и условию щ (X, 0) = и2 (х, 0) (— со < х < оо), то щ(х, t) = u2(x, t) (— оо <х< с», Рассмотрим, как обычно, функцию v (х, t) = щ {х, t) — и2 {х, t).
200 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Функция v(x,t) непрерывна, удовлетворяет уравнению теп- теплопроводности, ограничена во всей области \v(x, 0 KIM*. 01 + 1 «2 («. t)\<2M (—oo<x< oo, f>0) и удовлетворяет условию v (х, 0) = 0. Принцип максимального значения, которым мы пользовались при доказательстве единственности задачи для отрезка, здесь неприменим, так как в неограниченной области функция v(x, t) может нигде не достигать максимальных значений. Чтобы вос- воспользоваться этим принципом, рассмотрим область где L — вспомогательное число, которое затем будем неогра- неограниченно увеличивать, и функцию (^ ) B5> Функция V(xJ) непрерывна, удовлетворяет уравнению тепло- теплопроводности, в чем нетрудно убедиться дифференцированием, и кроме того, обладает следующими свойствами: V(x,0)^\v{x, 0I = 0, V{±L,t)^2M^\v{±L,t)\. B6) Для ограниченной области \х\ ^ L, 0 ^ ? ^ Г справедлив прин- принцип максимального значения. Применяя следствие 2 из преды- предыдущего пункта для функции ы = —V(x,t), u — v(x,t) и п = = V{x, t) и учитывая B6), получаем: 4М ( х2 , 9 Л ^_ , ,ч ^_ AM ( х2 , Фиксируем некоторые значения (х, t) и, воспользовавшись произволом выбора L, будем его неограниченно увеличивать.. Переходя к пределу при L -* оо, получим: v{x, t) = 0, что и доказывает теорему. § 2. Метод разделения переменных 1. Однородная краевая задача. Перейдем к решению первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке: щ = а2ихх + I {x, t), @ < х < I, t> 0) A). с начальным условием B).
f 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 201 и граничными условиями ы@, *) = ц,(*) Изучение общей первой краевой задачи начнем с решения следующей простейшей задачи I: найти непрерывное в замкнутой области @^x^.1, 0 ^ ^ t ^ T) решение однородного уравнения щ=*(Рихх, 0<х<1, 0<*<7\ D) удовлетворяющее начальному условию и (ж, 0) = <р(ж), 0<х</ B) и однородным граничным условиям и@, /) = 0, ы(/, 0 = 0, 0</<Г. E) Для решения этой задачи рассмотрим, как принято в мето- методе разделения переменных, сначала основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения Щ = а2ихх, не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям и @, 0 = 0, и (I, 0 = 0 E) и представимое в виде u(x,t) = X(x)T{f), F) где Х(х)—функция только переменного х, T(t)—функция только переменного t. Подставляя предполагаемую форму решения F) в уравне- уравнение D) и производя деление обеих частей равенства на агХТ, получим: 1 7" Y" 1 J А_ i G\ а* ~Т X ~ А> W где % = const, так как от t, а правая — только Отсюда следует, Граничные условия что E) левая от х. К"-\- Т' + а- дают: часть равенства КХ = 0, гКТ = 0. зависит только (8) (80 = 0, X @ = 0. (9)
202 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. [ГЛ. ИГ Таким образом, для определения функции Х(х) мы получили задачу о собственных значениях (задачу Штурма — Лиувилля) Х" + ХХ = 0, Х@) = 0, *(/) = 0, (Ю) исследованную при решении уравнения колебаний в главе II (см. § 3, п. 1). При этом было показано, что только для зна- значений параметра К, равных Я„=(~J (л = 1, 2, 3, ...), существуют нетривиальные решения уравнения (8), равные Xn{x)==sin~x. A2) Этим значениям Кп соответствуют решения уравнения (8') Tn(t)-=Cae"^\ A3) где Сп — не определенные пока коэффициенты. Возвращаясь к основной вспомогательной задаче, видим, что функции ип (х, 0 = Хп (х) Тп @ = Cne-°°V sin JHL Xt A4> являются частными решениями уравнения D), удовлетворяю- удовлетворяющими нулевым граничным условиям. Обратимся теперь к решению задачи (I). Составим фор- формально ряд , ,. vi ~ -(-т~) аЧ .яп .,_. и{х, t) = 24C"e sm — x. A5) Функция u(x,t) удовлетворяет граничным условиям, так как им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения началь- начальных условий, получаем: Ф(х) = в (х. 0) = J] Cn sin -2L х, A6) т. е. Сп являются коэффициентами Фурье функции ц>(х) при разложении ее в ряд по синусам на интервале @, /): F)sin-2L|-d!. A7) Рассмотрим теперь ряд A5) с коэффициентами С„, опреде- определяемыми по формуле A7), и покажем, что этот ряд удовлетво- удовлетворяет всем условиям задачи (I). Для этого надо доказать, что
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 203 функция и(х, t), определяемая рядом A5), дифференцируема, удовлетворяет уравнению в области 0 < х < /, t > 0 и не- непрерывна в точках границы этой области (при t = 0, х = 0, Так как уравнение D) линейно, то в силу принципа супер* позиции ряд, составленный из частных решений, также будет решением, если он сходится и его можно дифференцировать почленно дважды по х и один раз по t (см. лемму главы II, •§ 3, п. 3). Покажем, что при t^i>0 (i — любое вспомога- вспомогательное число) ряды производных и j. дх2 ¦сходятся равномерно. В самом деле, В дальнейшем будут сформулированы дополнительные требо- требования, которым должна удовлетворять функция q>(x). Предпо- Предположим сначала, что ц>(х) ограничена, |ф(х)|<Л1; тогда |C.I = |f откуда следует, что и аналогично \дЧп дх2 ,<2МDЧ«2 Вообще <2М, для для t > t. для Исследуем сходимость мажорантного ряда 2 «п. гДе П=1 - = Nn"e A50
204 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как -(у-JаЦп*+2п+\I hm -^ fl->«> = hm 1 H— e v* / =0. Отсюда вытекает возможность почленного дифференцирования ряда A5) любое число раз в области t ^ t > 0. Далее, поль- пользуясь принципом суперпозиции, заключаем, что функция, опре- определенная этим рядом, удовлетворяет уравнению D). В силу произвольности t это имеет место для всех t > 0. Тем самым доказано, что при t>0 ряд A5) представляет функцию, диф- дифференцируемую нужное число раз и удовлетворяющую урав- уравнению D) 1). Если функция ff(x) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную и удовлетворяет условиям ф@) = 0 и ф(/) = 0, то ряд ^^)alsm^x A5) определяет непрерывную функцию при Действительно, из неравенства \un(x,t)\<\Cn\ (при сразу же следует равномерная сходимость ряда A5) при t ^ 0, 0 ^ х ^ /, что и доказывает справедливость сделанного выше утверждения, если учесть, что для непрерывной и кусочно- гладкой функции ф(х) ряд из модулей коэффициентов Фурье сходится, если <р@) = ф(/) = О2). Итак, задача нахождения решения первой краевой задачи для однородного уравнения с нулевыми граничными усло- условиями и непрерывным, кусочно-гладким начальным условием решена полностью. ') При доказательстве того, что ряд A5) удовлетворяет уравнению Ut = a2tixx при / > 0, была использована только ограниченность коэффициен- коэффициентов Фурье Сп, которая, в частности, будет иметь место для любой ограни- ограниченной <f(x). 2) См. гл. II, § 3, п. 3.
§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 205 2. Функция источника. Преобразуем полученное решение A5), заменяя Сп их значениями: = >, у J «pftjsin-j-gd! -e v ' / sin — x^ 7^u; sin-px-sin — 5 Изменение порядков суммирования и интегрирования всегда законно при t > 0 в силу того, что ряд в скобках сходится рав- равномерно по I при f>01). Обозначим ) аЧ яп sin-r-Jt • sm-r-g. A8) п=1 Пользуясь функцией G(jc, |, f), можно представить функцию н (х, t) в виде j J A9) Функция G (х, |, 0 называется функцией мгновенного точечного источника или, более подробно, функцией температурного влияния мгновенного точечного источника тепла. Покажем, что функция источника G(x,%,t), рассматривае- рассматриваемая как функция х, представляет распределение температуры в стержне 0 =SC x =sC / в момент времени t, если температура в начальный момент t = 0 равна нулю и в этот момент в точке х — | мгновенно выделяется некоторое количество тепла (вели- (величину которого мы определим позже), а на краях стержня все время поддерживается нулевая температура. Выражение «количество тепла Q, выделяющееся в точке g» обозначает, как обычно, что мы имеем дело с теплом, выде- выделяющимся на «небольшом» интервале около изучаемой точки |. ') Ряд 2а«> гДе ап определяется формулой A5'), при <? = 0 является мажорантным для ряда, стоящего в скобках.
206 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill Изменение температуры фс(|), вызываемое появлением тепла около точки, будет, очевидно, равно нулю вне интервала (| — е, | + е), на котором выделяется тепло, а внутри этого интервала фс(|) можно считать положительной, непрерывной и дифференцируемой функцией, для которой С9 J <РеО)<*? = <Э. B0) 1-е так как лгвая часть этого уравнения и представляет количе- количество тепла, вызвавшее изменение температуры на величину фЕ(|). Процесс распространения температуры в этом случае оп- определяется формулой A9): ие(дс, 0={С(дс, ?,*)%(?)<?. B1) о Совершим теперь предельный переход при е—»-0. Принимая во внимание непрерывность G при (>0 и равенство B0) и применяя теорему среднего значения при фиксированных зна- значениях х, t, будем иметь: 1+ Г = G {х, ?', t) J Фе(g) d\ = G (x, Г, 0-~. B10 где |* — некоторая средняя точка интервала (| — е, | + е). В силу непрерывности функции G {x, |, t) по | при t > 0 полу- получаем: \imue(x,t) = -?-G(x, I, /) = О 2 \1 -("Т^У °2' • пп . пп «. ,__, = 7^-TZie sm-px-sin-pl. B2) Отсюда следует, что G(x, |, t) представляет температуру в точ- точке х в момент t, вызванную действием мгновенного точечного источника мощности Q = ср, помещенного в момент t = 0 в точке | промежутка @, /). Отметим следующее свойство функции G (x, |, t): функция С(х, |, t)~>Q при любых х, | и t > 0. Действительно, рассмот- рассмотрим начальную функцию фЕ(х), обладающую перечисленными выше свойствами, и соответствующее ей решение BГ). Из неотрицательности начального и граничных условий в силу
§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 207 принципа максимального значения следует, что для всех 0-<л:-</ и t>0. Отсюда, воспользовавшись форму- формулой BГ), имеем: иЕ {х, t) = G {х. Г, 0 ¦? > 0 (при * > 0). BГ') Переходя к пределу при е-*0, из B1/) получим неравенство G(x,l,t)>0 при 0<ж, |</ и t > 0, которое и надо было доказать. Этот результат имеет простой физический смысл. Однако установить его непосредственно из формулы A9) было бы за- затруднительно, поскольку G (х, |, t) представляется знакопере- знакопеременным рядом. 3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями. Изложенная выше теория относится к решениям уравнения теплопроводности, непрерывным в замкнутой области 0 ^ х =sC =^ /, 0 ^ t ^ Т. Эти условия непрерывности являются весьма ограничительными. В самом деле, рассмотрим простейшую за- задачу об остывании равномерно нагретого стержня при нулевой температуре на краях. Дополнительные условия имеют вид и(х, 0) = н0> и@, t) = и(t, t)=0. Если Но Ф 0, то решение этой задачи должно быть разрывным в точках @, 0) и (/, 0). Этот пример показывает, что постав- поставленные выше условия непрерывности начального значения и условия сопряжения его с граничными значениями исключают из рассмотрения практически важные случаи. Однако формула A9) дает решение краевой задачи и в этом случае. В приложениях часто пользуются формулами, выходящими за границы условий их применимости, зачастую вообще не ста- ставя вопроса об условии применимости формул. Последователь- Последовательное обоснование всех формул было бы весьма громоздким и часто отвлекало бы внимание исследователя от количественных и качественных сторон явления, характерных для физической сущности процесса. Однако мы считаем нужным, по крайней мере на простей- простейших примерах, дать обоснование математического аппарата, достаточное для решения основных задач. Рассмотрим краевые задачи с кусочно-непрерывными на- начальными функциями, не предполагая, что начальная функция сопряжена с граничными условиями. Этот класс дополнитель- дополнительных условий является достаточно общим для потребностей прак- практики и достаточно простым для изложения теории. Нашей
208 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III целью является доказать, что та же формула A9) дает решение поставленной задачи. Проведем ее исследование в несколько этапов. Докажем предварительно теорему: Решение уравнения теплопроводности щ = а2ихх {0<х<1, t>0), D) непрерывное в замкнутой области {0^x^.1, 0 ^ t ^ T) и удовлетворяющее условиям «@, *) = и(/, 0 = 0, />0, E) и{х, 0) = ф(ж),- 0<х</, B) где <j (jc) — произвольная непрерывная функция, обращающаяся с нуль при х = 0, х — I, определено однозначно и представляет- представляется формулой j(*,g. 9Ф(?)<*&• (П) Эта теорема была доказана выше в предположении дополни- дополнительного условия о кусочно-непрерывной дифференцируемости функции ф(|). Освободимся от этого условия. Рассмотрим последователь- последовательность непрерывных кусочно-дифференцируемых функций фпA) (ф„@) = фп(/) = 0), равномерно сходящуюся к ср(х). (В каче- качестве фи(х) можно выбрать, например, функции, представимые /• k ломаными линиями, совпадающими с q>(x) в точках , k = = 0, 1,2, ..., п).Функции ип(х, ^.определяемыеформулой A9) через фи(х), удовлетворяют всем условиям теоремы, так как ц>п{х) удовлетворяют условию кусочной дифференцируемости. Эти функции равномерно сходятся и определяют в пределе не- непрерывную функцию и(х, t). В самом деле, для любого е мож- можно указать такое п(е), что К,(*) — Ф„,(*)| <е @<*<0. если пр «2>п(е), так как эти функции по условию сходятся равномерно. Отсюда в силу принципа максимальных значений следует также, что 1 Ип,(*it) — un,(x,t)\<e @<*</, 0<t<Г), если щ, п2 что и доказывает равномерную сходимость последовательности функций ип(х, t) к некоторой непрерывной функции и(х, t). Если мы, фиксировав точку (х, t), перейдем к пределу под знаком интеграла, то получим, что функция i I. и {х, t) = litn un (x, t) = lim \G {x, |, t)Ф„(|) dg = Г 6 {x, g, t)<p(
§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 209 непрерывна в замкнутой области 0 ^ х ^ /, 0 ^Г / =gC Г и удов- удовлетворяет начальному условию B). В силу сноски на стр. 200 нетрудно убедиться, что она также удовлетворяет уравнению D) при t > 0. Доказательство теоремы закончено. Формула A9) дает единственное непрерывное решение рас- рассматриваемой задачи. Обратимся к доказательству теоремы единственности для слу- случая кусочно-непрерывной начальной функции <р{х), не пред- предполагая, что эта функция сопряжена с граничными условиями. Докажем, что функция, непрерывная в области t > 0, удовлетворяющая уравнению тепло- теплопроводности Ч D) е области О < х < I, t > О, нулевым граничным условиям и (О, О = и (/, f) = O E) и начальному условию и (Xi q\ __ ф /^л /2) определена однозначно, если: 1) ока непрерывна в точках непрерывности функции <р(х) и 2) ограничена в замкнутой области 0 ^ х ^ /, 0 ^ / ^ 70, гбе (о — про- извольное положительное число. Предположим, что такая функция существует. Очевидно, что в силу предшествующей теоремы она может быть представлена в области t>i формулой и(х, t)= I" G(x, |, t — F)<p,(|)d| U>?>0) A9') о при любом 1, где t — вспомогательное значение, 0<F<*. <p{(x) = u(.x,t). Совершим предельный переход в этой формуле при F->-0, сохраняя х и t неизменными. Покажем '), что возможен переход под знаком интеграла ') Доказываемая ниже теорема является частным случаем теоремы Ле- Лебега о возможности перехода к пределу под знаком интеграла, если после- последовательность функций Fn(x) почти всюду сходится к предельной сумми- суммируемой функции F(х) и если эта последовательность ограничена суммируе- суммируемой функцией. Это доказательство приводится, чтобы избежать пользования теоретико-множественными понятиями. Если воспользоваться теоретико-мно- теоретико-множественными понятиями, то совершенно аналогично монно доказать теорему о том, что решение уравнения теплопроводности и(х, t), удовлетворяющее нулевым граничным условиям, однозначно определено: 1) егли и(х, I) ^.F(x), где F(х) —некоторая суммируемая функция и 2) если почти всюду lim и (х, t) = ф (х), to где <р(х) —заданная начальная суммируемая функция.
210 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III и, следовательно, функция и(х, t) представима в виде интеграла I и (х, t) = J G {x, I, t) Ф (|) rfg [<р (|) = и (б, 0)], однозначно ее определяющего. Пусть х\, х2, ••., х„ — точки разрыва функции ф(х). Полагая х0 = 0 и ж,г+1 = I (рис. 38) и беря замкнутые отрезки /ь (*ь + 6 ^ х ^ Jts+i — 6) .e4——- Рис. 38. (ft = 0, 1, ..., n), где 6 — некоторое фиксированное достаточно малое число» нетрудно убедиться, что подынтегральная функция из A9') равномерно схо- сходится к подынтегральной функции из A9) на всяком отрезке /л (ft = О, \_, 2, ..., п). На отрезках 7ft (xft — 6 =^ х ^ xh + 6) (ft = 1, 2, 3, ..., л), /о (хо =SJ х ^ Хо + 6), и /п+1 {хп+\ — 6 ^ х ^ х„+\) подынтегральные выра- выражения в A9) и A9') ограничены некоторым числом N при любом f(o^F^Fo) в силу предположенной ограниченности функции ы(х, t) н в силу непрерыв- непрерывности G(x, |, <) при 0^|^/, < > 0. Разбивая разность интегралов A9) и A9') на 2и + 3 интеграла, взятых по h (ft = 0, 1, ..., п) и /* (ft = 0, 1, ... .... п+1), видим, что эта разность может быть сделана меньше наперед за- заданного числа е, если е 1 2/г + 3 4N ' так что J [ G (х, 6, * - t) ф? A) - .G (х, I, t) Ф и если t выбрано настолько малым, что _, 1 е <Т2^+Т ДЛЯ '* так что J [G (х, l,t-i) <f{ (I) - G (x, I, t) ф A)] dl < ! = 0, 1, .... П), Отсюда следует неравенство 2n+3 для 0, 1, .... n) J [G (x, 1, t - t) Ф- (|) - G (x, 1, 0 Ф (!)] < e для
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 211 доказывающее законность перехода к пределу при <->0 под знаком интег- интеграла. Таким образом, если существует функция и(х, t), удовлетворяющая условиям теоремы, то она представнма в виде A9), что и доказывает един- единственность такой функции. Докажем теперь, что формула A9) представляет ограни- ограниченное решение уравнения D), удовлетворяющее условиям B) для любой кусочно-непре- «• рывной функции ц>{х),не- * прерывное во всех точках непрерывности ц>{х). Эту теорему мы дока- докажем в два приема. Дока- Докажем, что она верна, если q>(x) — линейная функция: <р(х) = B') Рис. 39. Рассмотрим последовательность вспомогательных непрерывных функций (рис. 39) сх для (" -т — х) для Функции ип(х,t), определенные при помощи формулы A9) для <р„(д;), являются непрерывными решениями уравнения тепло- теплопроводности с нулевыми граничными условиями и начальными условиями ип{х, 0)=ц>п(х). Так как iW (о < то в силу принципа максимальных значений ип (х, t) < ы„+1 (л:, 0- Функция ио(х) = сх является непрерывным решением уравне- уравнения теплопроводности. В силу принципа максимального значе- значения и„ (*,*)<?/„(*). так как это неравенство имеет место при дг = О, х = I и * = 0. Таким образом, ип {х, t) есть монотонно неубывающая последо- последовательность, ограниченная сверху функцией V0(x), откуда сле- следует, что эта последовательность сходится. Нетрудно видеть,
212 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III ЧТО / и (ж, 0= lim ^[х. 0= I'm \G(x, 1, 0<Pn ll->co n->co • так как переход к пределу под знаком интеграла законен. В силу сноски на стр. 204 эта функция удовлетворяет уравнению и нулевым граничным условиям при t > 0. Докажем, что эта функция непрерывна при t = 0 для 0 ^ х < /. Пусть х0 < L Выберем п так, чтобы хо<1 A — — J. В этом случае фп(*о) ==•' = Uo(x0). Принимая во внимание, что ип(х, Q<u(*. *)<?/„(*) и что lim ип(х, t)= lim ?/0 (х) = <р (лг0), заключаем, что существует предел lim u{x, f) = х->х„ t->0 не зависящий от способа стремления х—>Хо и t-*0. Отсюда а следует непрерывность и(х, t) в точке (л:0, 0). Эта функция ог- ограничена, так как она не превосходит U0(x). Итак, для <р(х) — = сх теорема доказана. Заменой х на / — х убеждаемся в том, что теорема верна Для q>(*) = 6 (/-*)¦ B") Отсюда следует, что она верна для любой функции типа так как подобная функция может быть получена суммирова- суммированием B') и B"). Далее, отсюда следует также, что теорема верна для любой непрерывной функции без предположения о том, что ф @) = ф (/) =0. В самом деле, любую функцию ф(д;) такого типа можно представить в виде Ф (х) = [Ф @) +1 (Ф (/) - Ф @))] + ф (х), где слагаемое в квадратных скобках — линейная функция, а \р(х)—непрерывная функция, обращающаяся в нуль на кон- концах отрезка: г|> @) = ^ (/) .= 0. Так как мы убедились уже
§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 21$ в том, что для каждого слагаемого теорема применима, то от- отсюда следует, что теорема верна и для ф(аг). Обратимся теперь к доказательству теоремы для произволь- произвольной кусочно-непрерывной функции <р(х). Формула A9) и в этом случае определяет решение, удовлетворяющее уравнению и нулевым граничным условиям. Пусть точка х0 — какая-либо точка непрерывности функции ф(д;). Докажем, что для любого е можно найти 6(е) такое, что \и(х, t) — (р{хо) |< е, если \х — лго|< б(е) и *<б(е). В силу непрерывности функции ф(л;) в точке х0 существует т](е) такое,, что |ф(лг) — ф(аго)|<-|- для \х — хо\<ц{е), откуда Ф (*o) — у ^ Ф (х) ^ ф (#о) + ~п Для | х — х0 | < т] (е). B3) Построим вспомогательные непрерывные дифференцируемые функции ф (л:) и ф(лг): _,. /\ie . i^/\ ф (х) = Ф (х0) + "тг Для | х — л:0 | < гце), (а) ф (х) > Ф (а:) для | х — х01 > т] (е), Ф (я) = ф (д;0) — -|- для | х — х0 | < ц (е), (б) ф(д;)<ф(д;) для | х — х0 \ > г\(е). На интервале \х — хо| > т](е) функции ф и ф удовлетворяют только условиям (а) и (б), а в остальном произвольны.В силу неравенств B3), Ф (л:) ^ ф (л:) ^ ф (д;). B4) Рассмотрим функции о i и (х, t) = Г G {х, | _ о В силу непрерывности функций ф (л:) и ф(х) функции п(х, t) и u(x,t) непрерывны в точке х0, т. е. найдется такое б(е), что- \п(х, 0-фL , для |ж —*0|<в(в), t<6(e), \и{х, 0-()|<|
14 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III ¦откуда п(х, *)<Ф(*) + |- = ф(*о) + е, J е J для | х — х0 К б(е), *<б(е), «(я, *)><?.(*) —у = ф(*о) — е ] В силу неотрицательности функции G(x, |, t) из формулы B4) следует, что и(х, *)<«(*, 0<«(*. t). B5) ¦Отсюда получаем неравенства Ф (д;0) — е < и (х, t) < ф (д;0) + е для | х — х0 |< б (е), t < б (е) или | и (х, t) — ф (д;0) | < е для | х — х01< б (е), * < б (е), что и требовалось доказать. Ограниченность функции |u(x,f)| следует из B5) и из ограниченности функций п(х, t) и и(х, t). Этим теорема доказана. 4. Неоднородное уравнение теплопроводности. Рассмотрим леоднородное уравнение теплопроводности ut=*a>uxx + f(x,f) A) ¦с начальным условием и (ж. 0) = 0 B6) ,и граничными условиями и @, 0 = 0, иA, 0 = 0. E) Будем искать решение этой задачи u(x,t) в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи A1), т. е. по функциям i sm — х>: n=l •считая при этом t параметром. Для нахождения функции и (х, t) надо определить функции un(t). Представим функцию f(x,t) в виде ряда Г \Х> Ч === ^^ In \Ч S1H —| Xt л-де
§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 215- Подставляя предполагаемую форму решения в исходное урав- уравнение A), будем иметь: sin in J» х {(-2.)' аЧп @ + и (t) - U @ } = 0. Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты разложения равны нулю, т. е. un(t) = -a*(-^) un(t) + fn(t). B9). Пользуясь начальным условием для u(x,t) и {х, 0) == получаем начальное условие для un(t): ы„@) = 0. C0) Решая обыкновенное дифференциальное уравнение B9) с ну- нулевым начальным условием C0I), находим: ип (t) = { е'М " ('-т) fn (T) dx. C1) о Подставляя выражение C1) для un(t) в формулу B7), полу- получим решение исходной задачи в виде [jin^ C2) n=l Lo J Воспользуемся выражением B8) для fn(x) и преобразуем найденное решение C2): о о I п=1 t i где Giv ? / ^^ т! ^^^ ^ л \ ' / cin ^-^— v • стп —^^ f~ f QЛ1 \л% С« * ^^ 1*1 '"•" ^^ / | С? olll , Л olll < Ц lull совпадает с функцией источника, определяемой формулой A8). ') См. мелкий шрифт в конце п. 4, § 3, гл. II.
216 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Выясним физический смысл полученного решения t i и (х, t) = J J G (x, l,t-x) f(l, т) d% dx. C3) 6 о Предположим, что функция f(g, т) отлична от нуля лишь в до- достаточно малой окрестности точки Мо(|о, То) 1о < S < 1о + Д|» т0 < т < т0 + Ат. Функция F(l,t) = cpf(l,t) представляет плотность тепловых источников. Общее количество тепла, выделяющееся на отрезке (О, /) за все время действия источника (т. е. за Дт), равно |0+Д| J cpf(l,T)dtdx. C5) Применим теорему о среднем к выражению t i и(х, 0= f f G(x, l,t- о о Т+Дт; Ь+Д| J G(x,ht-r) где lo < I < ёо + Д|» т0 < т < т0 + Лт. Переходя к пределу при Д| —> 0 и Ат —»¦ 0, получим функцию и (х, t) = lim u(x,f) = ~-G {x, l0, t-t0), C6) которую можно интерпретировать как функцию влияния мгно- мгновенного источника тепла, сосредоточенного в точке go в мо- момент То- Если известна функция — G (x, |, t — т), представляющая ср действие единичного мгновенного сосредоточенного источника, то действие источников, непрерывно распределенных с плот- плотностью F(x,t) =cpf(x,t), должно выражаться формулой C3), как это непосредственно следует из физического смысла функ- функции G(x,l,t — t). Итак, температурное влияние тепловых источников, дейст- действующих в области (go. go + Ag) (то, то + Ат), дается выраже« •нием G {x, 1, *-т)/(?, т)А|Дт (? = /(|, т)Д|Дт).
§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 217 Если источники распределены непрерывно, то, суммируя тепло- тепловые влияния источников, действующих во всей области 0 ^ =^ | =^ /, 0 ^ т ^ ?, получим после предельного перехода при Д| -> 0 и Ат -» О и{х, f) о о Таким образом, исходя из физического смысла функции источ- источника G(x, |, t), можно было бы сразу написать выражение C3) для функции, дающей решение неоднородного уравнения. Имея форму, в которой должно представляться решение за- задачи, можно исследовать условия применимости этой формулы в отношении функции Д|,т). Мы не будем проводить этого ис- исследования. Мы рассматривали здесь неоднородное уравнение с нулевы- нулевыми начальными условиями. Если начальное условие отлично от нуля, то к этому решению следует прибавить решение однород- однородного уравнения с заданным начальным условием и(х,0) = = <р(х), найденное в п. 1. 5. Общая первая краевая задача. Рассмотрим общую первую краевую задачу для уравнения теплопроводности: найти решение уравнения ut = a*uxx + f(x,t) A) с дополнительными условиями и(х, 0) = <р(*), B) в @, 0 = 11,@ Введем новую неизвестную функцию v(x,t) u(x,t)=U(x,t) + v(x,t), C7) представляющую отклонение от некоторой известной функции U(x,t). Эта функция v(x,t) будет определяться как решение урав- уравнения vt — a2vxx = / (х, t), f(x,t) = f(x,t)-[Ut-aWxx] с дополнительными условиями v (х, 0) = ф (дс), ф (*) = ф (х) — U (х, 0), о@. о = МО. Д. @ = ^,@- и @,0. v (/, 0 = Д2 @. Да @ = ^2 @ - U (/. 0-
218 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ш Выберем вспомогательную функцию U(x,t) таким образом, чтобы fi,W = 0 и Д2@==0, для чего достаточно положить1) Таким образом, нахождение функции u(x,t), дающей решение общей краевой задачи, сведено к нахождению функции v (х, t), дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными усло- условиями. Метод нахождения функции v (x, t) дан в п. 4. Изложенная выше формальная схема решения задач при наличии неоднородностей в уравнении и граничных условиях не всегда удобна для представления искомой функции и(х,t). Трудности, возникающие при нахождении вспомогательной функции v(x,t), зависят от функции U(x, t), от которой ищется отклонение. В частности, для задач со стационарными неоднородностями удобнее выделять стационарное решение и искать отклонение от этого решения 2). Рассмотрим, например, задачу для ограниченного стержня (О, /). концы которого поддерживаются при постоянных темпе- температурах и0 и ио щ = а2ихх, и(х, 0) = ф(л:), в @, 0 = «о. Решение будем искать в виде суммы и(х, t) = u(x) + v(х, t), где п(х)—стационарная температура, a v(x, t)—отклонение от стационарной температуры. Для функций п (х) и v (x, t) будем иметь условия п" = 0, vt = a2vxx; п @) = и0, v (л:, 0) = ф (х) — п (х) = ф, (х); пA) = ии v @,0 = 0, t»(/, o = o. Отсюда находим: у(ы, — «о)- ') См. гл. И, § 3, п. 5. 2) См. гл. II, § 3, п. 6.
§ Z] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ Функцию v(x,t), определяемую начальным условием и од- однородными граничными условиями, без труда находим мето- методом разделения переменных. Задачи 1. Вывести уравнение для процесса нагревания однородной тонкой про- проволоки постоянным электрическим током, если на ее поверхности происходит теплообмен с окружающей средой. 2. Вывести уравнение диффузии в среде, равиомерио движущейся в на- направлении оси х со скоростью w. Рассмотреть случай одной независимой переменной. 3. Исходя из уравнений Максвелла, предполагая Ех = Ег = 0, Нг = О и пренебрегая токами смещения, показать, что в однородной проводящей сре- среде составляющая электромагнитного поля Еу удовлетворяет уравнению 4лсг дЕу где а — проводимость среды, с — скорость света. Вывести уравнения для Нх„ 4. Дать физическое истолкование следующих граничных условий в зада- задачах теплопроводности и диффузии: а) «@,0 = 0, б) их @,0 = 0, в) «*@, 0-А«@, 0 = 0, ux(l,t) + hu{l, 0 = 0 5. Решить задачу об остывании равномерно нагретого однородного стерж- стержня при нулевой температуре на концах, предполагая отсутствие теплообмена на боковой поверхности. 6. Начальная температура стержня и(х, 0) = «о = const при 0 < * < /. Температура концов поддерживается постоянной «@, t) = и\\ u(l, t) = tiz при 0 < t < с». Найти температуру стержня, если теплообмен на боковой поверхности отсутствует. Найти стационарную температуру. 7. Решить задачу 6 при следующих граничных условиях: на одном конце поддерживается постоянная температура, второй конец теплоизолирован. 8. Решить задачу о нагревании тонкой однородной проволоки постоян- постоянным электрическим током, если начальная температура, граничная темпера- температура, а также температура окружающей среды равны нулю. 9. Цилиндр длины /, заполненный воздухом при давлении и температуре окружающей среды, открывают с одного конца в начальный момент времени, н из окружающей атмосферы, где концентрация некоторого газа равна ы0, начинается диффузия газа в цилиндр. Найти количество газа, диффундиро- диффундировавшего в цилиндр за время t, если начальная концентрация газа в цилиндре равна нулю. 10. Решить задачу 9 в предположении, что левый конец цилиндра за- закрыт полупроницаемой перегородкой. 11. Решить задачу об остывании однородного стержня с теплоизолиро- теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура и(х, 0)=ф(*), а иа концах происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Рас- Рассмотреть частный случай ф(х) = «о- 12. Решить задачу 11, предполагая, что температура окружающей среды равна UB. 13. Решить задачу 11, считая, что на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой: а) равна нулю б) постоянна и равна щ.
220 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III 14. Найти установившуюся температуру стержня, пренебрегая теплооб- теплообменом на боковой поверхности и считая, что одии конец стержня теплоизо- теплоизолирован, а ко второму концу подводится поток тепла, гармонически меняю- меняющийся во времени. 15. Решить задачу 14, считая, что один конец стержня имеет нулевую температуру, а температура второго конца гармонически меняется во времени. 16. Стержень @, /) составлен из двух однородных кусков одинакового поперечного сечения, соприкасающихся в точке х = х0 и обладающих харак- характеристиками яь k\ и, соответственно, ог, кг. Найти установившуюся темпе- температуру в таком стержне (тепловые волны), если один конец стержня (х — 0) поддерживается при нулевой температуре, а температура второго меняется синусоидально во времени. 17. Левый конец составного стержня задачи 16 поддерживается при тем- температуре, равной нулю, а правый — при температуре u(l,t) = uu начальная же температура стержня равна нулю. Найти температуру и(х, t) стержня на регулярном режиме (первый член разложения). 18. Найти температуру и(х, t) стержня, начальная температура которого равна нулю, а граничные условия имеют вид и @, 0 = Ae~at, и (/, t) = В, где А, В и а > 0 — постоянные. § 3. Задачи ка бесконечной прямой 1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для неограниченной области. Рассмотрим на бесконеч- бесконечной прямой задачу с начальными данными (задачу Коши): найти ограниченную функцию u(x,t), определенную в об- области— оо < х <С оо, t ^ 0, удовлетворяющую уравнению теп- теплопроводности щ — а2ихх, — оо < х < оо, t > 0, A) и начальному условию и {х, 0) = ф (х), — оо<х<оо. B) Если ц>(х)—непрерывная функция, то выполнение начального условия будем понимать в том смысле, что и(х, t) непрерывно при t = 0, т. е. lini и{х, *) = ф Как мы видели в п. 7, § 1, решение уравнения теплопроводности однозначно определяется своими начальными условиями, если оно ограничено. Поэтому в формулировку теорем вводится ус- условие ограниченности. Дадим сначала формальную схему решения поставленной задачи, основанную на разделении переменных. Будем искать ограниченное нетривиальное решение урав- уравнения A), представимое в виде произведения и(*./) = *(*) Г (<). C)
•§ 31 ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 221 Подставляя выражение C) в A), получаем: х — т — Л > где Я2 — параметр разделения. Отсюда следует: Г + а2Х2Т = 0, D) X" + Х2Х = 0. E) Решая уравнения D) и E), найдем частные решения уравне- уравнения A) вида и% {х, t) = A (X) e-v*4 ± "¦*, F) удовлетворяющие условию ограниченности. Здесь Я, — любое вещественное число — оо << Я, < оо; поэтому в F) возьмем знак «плюс» и образуем функцию u{x,t)= j Л(Л)е-°ад+'**с?Я,. G) Если производные, входящие в уравнение A), можно вычис- вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла G), то функция G), очевидно, будет удовлетворять уравнению A) как суперпозиция частных решений этого уравнения. Требуя выполнения начального условия при t = 0, будем иметь со <p(*)= J A{X)eiKxdX. (8) — оо Воспользуемся теперь формулой обратного преобразования интеграла Фурье: со =i J«p (!)*-'**<$• (9) — оо Подставляя (9) в G) и меняя порядок интегрирования, полу- получим: -СО /СО ( = -к J ( J е-сад+^<*-« d-k 1Ф (|) rf|. A0) ( ) — CO »— ОО ' 00,00
222 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Внутренний интеграл в A0) равен') I Г 2я J 2я — ОО Подставляя A1) в A0), приходим к интегральному представ- представлению искомого решения u(x,t)= Jg(*. !;Qq>(g)dg, A2) — оо где Функцию G(x,l;t), определяемую формулой A3), часто назы- называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция Q . Q -e 4ог('-'») A3') cp2Vna2(t — t0) представляет температуру в точке х в момент времени /, если в начальный момент времени t — t0 в точке | выделяется коли- количество тепла Q = ср. Функция G(x, |, t — to) удовлетворяет уравнению теплопро- теплопроводности по переменным (x,tJ), что можно проверить непо- непосредственным дифференцированием. ') Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965. 2) В самом деле, X — | *(tt)F* 2 У~п [ 2 [a2 (t - to))si> 4 [о2 (t - to)f' J e 4a>U-te)  a4t-h)L* 4a4t- т. е.
¦§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 223 Количество тепла, находящееся на оси х в момент t > t0, равно «р так как оо J e-«! da = /я Л — а~~ ~ 2Va*(t-t0) ' а~~ 2/а2 (*-<„) Таким образом, количество тепла на нашей прямой не меняет- меняется с течением времени. Функция G(x, *, t — t0) зависит от вре- времени только через аргумент 6= az(t —10), так что эту функ- функцию можно записать в виде S2 4e На рис. 40 изображен график функции G в зависимости от х для различных значений 6. Почти вся площадь, ограниченная этой кривой, находится над промежутком A-е, | + е), где е — сколь угодно малое число, если только 6 = az(t — /0) — достаточно малое число. Величина этой площади, умноженная на ср, равна количеству тепла, подведенному в начальный мо- момент. Таким образом, для малых значений t —10 > 0 почти все тепло сосредоточено в малой окрестности точки |. Из сказан- сказанного выше следует, что в момент U все количество тепла по- помещается в точке |. Рассматривая изменение температуры в фиксированной точ- точке х — | -f- h с течением времени при h = 0, т. е. при х = |, получим: 1 1 2Уя уе Таким образом, температура в той точке, где выделяется тепло, Для малых 6 неограниченно велика. Если х ф |, т. е. кфО, то функция G представляется в виде произведения двух множителей
224 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Второй сомножитель меньше единицы: при больших 9 он « 1, при малых 0 он л; 0. Отсюда следует, что Gx?=% = = Gx=i для больших 0; Gx^i <C Gx==% для малых 0. Чем мень- меньше к, т. е. чем ближе х к |, тем больше второй множитель. 3P I ko no 4 /I .e I 1 1—. i L_\, 75 BfO.1 2.0 15 1.0 0,8 020100H2 0,6 1.0 Рис. 40. 15 2.0 Графики функции Gx=s и Gx?=^ при h2 < /it приведены на рис. 41. Нетрудно видеть, что lim Gx?,t =0. Раскрывая неопределенность, находим: lim —f=—7= e-»o 2}7я Уе = —т=г lim 2/я = 0. Формула A3') показывает, что во всякой точке х темпера- температура, создаваемая мгновенным точечным источником, действую- действующим в начальный момент t = 0, отлична от нуля для сколь угодно малых моментов времени. Подобный факт можно было бы интерпретировать как результат бесконечно быстрого рас-
§3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ 225 пространения температуры (бесконечная скорость). Однако это противоречит молекулярно-кинетическим представлениям о при- природе тепла. Такое противоречие получается в связи с тем, что выше при выводе уравнения теплопроводности мы пользовались феноменологическими представлениями о растекании тепла, не учитывающими инерционность процес- процесса движения молекул. С; Теперь выясним условия примени- применимости формулы A2). Докажем, что формула Рис. 41. A2') называемая интегралом Пуас- Пуассона, для любой ограниченной функ- функции |ф(|)!<Л1 представляет при /> 0 ограниченное решение уравнения теплопроводности, не- непрерывно примыкающее при t = 0 к (р(х) во всех точках непре- непрерывности этой функций. Докажем предварительно лемму (обобщенный прин- принцип суперпозиции). Если функция U(x,t,a) no переменным (х, t) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению L(U) = 0 при любом фиксированном значении параметра а, то интеграл и (х, t) = \ U (x, t, а) ф (a) da также является решением того же уравнения L(u) = 0, если производные, входящие в линейный дифференциальный опера- оператор L(U), можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. Доказательство леммы крайне просто. Линейный дифферен- дифференциальный оператор L(U) представляет сумму производных функции U с некоторыми коэффициентами, зависящими от х и t. Дифференцирование функции и, по предположению, мож- можно производить под знаком интеграла. Коэффициенты также можно внести под знак интеграла. Отсюда следует, что L(u)= I L{U{x, t, a))<p(a)da=0, т. е. что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению L(u) = 0. Напомним достаточные условия дифференцируемости под знаком интеграла, зависящего от параметра. 8 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский
226 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. III Функция b F(x)=jf{x,a)da а при конечных пределах а и b дифференцируема под знаком интеграла, если -г— {х, а) является непрерывной функцией пе- переменных л: и а в области их изменения (см. Б. М. Б уд а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965). Нетрудно видеть также, что функция ь Fi (х) = \ f (x, а) ф (a) da а при конечных пределах а и Ъ дифференцируема под знаком интеграла при тех же условиях относительно функции f(x,a) и произвольной, ограниченной (и даже абсолютно интегрируе- интегрируемой) функции ф(а). Если пределы интегрирования бесконечны, то в этом случае требуется равномерная сходимость интеграла, полученного в результате дифференцирования подынтегральной функции по параметру (см. там же). Эти же замечания относятся и к кратным интегралам, зави- зависящим от параметров. Для линейных уравнений L(«)=0 имеет место принцип суперпозиции, заключающийся в том, что функция п U {Х, 0=2 CiUi (х> 0> представленная в виде суммы конечного числа частных реше- решений, является также решением уравнения. Если мы имеем решение и(х,t,а), зависящее от параметра, то интегральная сумма 2 и (х, t, ап) Сп (Сп = ф (а„) Да) A4) также является решением уравнения L(u) = 0. Доказанная лемма, так же как и лемма на стр. 91, устанавливает условия, лри которых предел суммы A4), в нашем случае равный и{х, f)= \ U(x, t, а)ф(a)da, также является решением уравнения L(u) = 0. С этой точки зрения доказанную лемму, как и лемму на стр. 91, естественно называть обобщенным принципом суперпозиции. Обратимся к изучению интеграла A2'). Докажем, во-пер- во-первых, что если функция <р(х) ограничена, |ф(х)| < М, то ин-
§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 227 теграл A2') сходится и представляет ограниченную функцию. В самом деле, оо = Л1-7=- [e-a2da = M (a= l~^-)> так как Докажем далее, что интеграл A2') удовлетворяет уравнению теплопроводности при t > 0. Для этого достаточно до- доказать, что производные этого интеграла при t ~> 0 можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком интеграла. В случае конечных пределов интегрирования это законно, так как все производные функции (*-?J 1 2 УпаЧ е ia2t при t >• 0 непрерывны. Для возможности дифференцирования под знаком интеграла при бесконечных пределах достаточно убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного после дифференцирования под знаком интеграла. Проведем это исследование на примере первой производной по х. Итак, для доказательства дифференцируемости функции A2) по х, а также равенства оо ~К7= "д7 (G (х> I. 0) ф (I) d\ OX J ОХ достаточно доказать равномерную сходимость интеграла, стоя- стоящего справа; при этом для дифференцируемости в точке (х0, t0) достаточно доказать равномерную сходимость интегра- интеграла в некоторой области значений переменных, содержащей ис- исследуемые значения (х0, t0), например в области Достаточным условием равномерной сходимости интегра- интеграла (аналогичным признаку равномерной сходимости ряда) является существование положительной функции ^(|), не
228 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill зависящей от параметров (х, t), которая мажорирует функцию ~G(x, |, ОФA) <F(l), t>x, t<-x, A5) и интеграл от которой сходится: оо X, J>(c)d|<oo, J F(|)c?5< оо. A5') л:, —со Величина Xi обозначает некоторое число, начиная с которого выполняется неравенство A5). Найдем оценку сверху для абсолютной величины подынте- подынтегрального выражения в формуле для -^-: д° ' , l,t) дх М при любых |х|^ж и ti ^ t ^ t2. Нетрудно убедиться в схо- сходимости интеграла A5') от функции F(l). Интеграл оо J 1 сходится, так как под знаком интеграла стоит множитель типа (а| + Ь)е~^. Отсюда заключаем, что оо ди Г -Ш= J 6G Совершенно аналогично доказывается возможность вычис- вычисления всех остальных производных под знаком интеграла. Тем самым доказано, что функция A2') удовлетворяет уравнению теплопроводности. Обратимся теперь к выяснению основного свойства интегра- интеграла A2'), а именно, докажем, что и{х, t)-*q>(x0) при t-+0 и х-+х0 во всех точках непрерывности функции q>(#).
§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 229 Итак, пусть ф(х) непрерывна в некоторой точке х0. Мы должны доказать, что lim u(x, t) = to т. е. каково бы ни было е > 0, можно указать такое б(е), что \u(x,t) — <p(xo)\<e, коль скоро |*-*0|<в(е) и Ш<6(е). В силу предполагаемой непрерывности функции <р(х) в точке х0 существует такое г)(е), что |Ф(*)-Ф(*„)|<|-. A7) если только \х — ко\<г\. Разбивая промежуток интеграции на части, представим и(х, t) в виде суммы трех слагаемых: со хг оо — f ... dg = u,(jc, t) + u2(x, t) + ua{x, t), A8) Я J + х2 где х1=х0 — ч\ и х2 = х0 + ц. Главное слагаемое этой суммы «2 можно представить в виде „ (Х л - - Ф <х») ' g~ 1 ж. Интеграл 1\ вычисляется непосредственно Хг—Х 1 iVn J YaH Ъ fn J ж, л=1-л; 2 Ya4 где а = g 7— . cfa= л—- A9) 2/а2< 2/а2^ V J
230 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Как только \х— Хо|<'П> то верхний предел становится поло- положительным, а нижний — отрицательным, и при t —> 0 верхний предел стремится к +оо, а нижний к —оо. Отсюда следует, что Игл /, = ф(л;0). <о Х-ЬХО Таким образом, можно указать такое бь что I Л-ф(*а> !<¦§¦• B0> если только |х —хо|<а, и |/|<в,. Покажем, что остальные интегралы: /2, «i и и3 — малы. Оценим прежде всего интеграл h: J e 4аЧ Из равенств A8) видно, что при ху < I < х2 имеет место неравенство 11 - х01< tj. Пользуясь неравенством A7), а также тем, что А ОО 1 Г -а» * Г -а2 каковы бы ни были х' и х", получаем: B1) где новая переменная а определяется формулой A9). Оценим |из(х, 01= ' J Хг м ^L | e-a*da->0 при *~>*° B2)
§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 231 и аналогично %Ya4 ^ П! <23> так как если х —> х0, то х2 — х > 0, и ЛГ] — * < 0, и если t -> 0, то в последних членах B2) и B3) нижний предел и, соответ- соответственно, верхний предел стремятся к + оо и — оо. Следова- Следовательно, можно указать такое бг, что 1«з(*. OKf и \щ(х, 01<|, B4) если только U-xo|<62 и Ш<б2. Пользуясь установленными выше оценками B2), B3),получаем: | и(х, t) - ф(хо)|<|Ы1 + [/, - ф(дго)] + /2 + ы3|< <|«11 + |/1-ф(^оI + |/21 + 1«з1<| + | + | + | = е, B5) если только \х — хо\<Ь и \t\<b, где б равно наименьшему из чисел б! и б2. Таким образом, мы доказали, что функция Аач ограничена, удовлетворяет уравнению теплопроводности и на- начальному условию. Если начальное значение задается не при t = 0, а при / = t0, то выражение для и(х, t) приобретает вид Единственность полученного решения для непрерывной функции ф(я) следует из теоремы, доквзанной в § 2, п. 3. Если начальная функция ф(х) имеет конечное число точек разры- за, то интеграл A2 ) представляет ограниченное решеж^е
232 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III уравнения A), непрерывное всюду, кроме точек разрыва функ- функции ф(*) 4). Рассмотрим в качестве примера следующую задачу: найти решение уравнения теплопроводности, если началь- начальная температура (при t = to — O) имеет постоянные, но раз- различные значения для х > 0 и х < 0, а именно: Г, для х > О, Г2 ддя x<Q Пользуясь формулой A2'), получаем решение задачи в виде — oo о ~wie АаЧ w^r+vtje 4аЧ —oo О _ т2 С _о г, Г ""Уя" J е ° а УТ j — оо X О так как —г \7-2 f e-«2rfa, B6) ""~ /я" — ОО И 1 I Г ! 1 Г ! • —Z —2 В частности, если то 1) Пользуясь методом, изложенным в п. 3, § 2, можно убедиться, что функция u{x,t) перечисленными условиями определяется однозначно.
§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 233 Профиль температуры в заданный момент t дается кривой где z представляет абсциссу точки, в которой определяется тем- температура, если за единицу длины, в зависимости от t, прини- принимается значение 2 \fa2t. Построение этой кривой не представ- представляет труда, так как интеграл = Y=r j e~a2da, о называемый обычно интегралом ошибок, часто встре- встречается в теории вероятностей и для него существуют подроб- подробные таблицы *). Формула B6) при произвольных Г4 и Т2 может быть запи- записана в виде и(х, t) = b±Ii + 1^ 2 2 _ 2Va4 Отсюда видно, что в точке х = О температура все время по- постоянна и равна полусумме начальных значений справа и сле- слева, так как Ф@) = 0. Решение неоднородного уравнения ut = a2uxx + f(x,t) (— оо < х < оо, t > 0) с нулевыми начальными условиями и (х, 0) = 0, очевидно, должно представляться формулой и (х, t) = J J G (x, t,t-x)f (|, т) d\ dx, B7) 0 -оо как то следует из смысла функции G(x, |, t) (см. п. 4, § 2). Мы не будем подробнее заниматься изучением этой формулы и ус- условий применимости, которые надо наложить на функцию f{x,t). 2. Краевые задачи для полуограниченной прямой. Как мы уже отмечали в § 1, п. 4, в тех случаях, когда интересуются распределением температуры вблизи одного из концов стержня, а влияние другого конца несущественно, принимают, что этот ') См., например, А. А. Марков, Курс теории вероятностей, где даны таблицы этого интеграла с шестью десятичными знаками. См. также более краткую таблицу в конце книги.
234 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III конец находится в бесконечности. Это приводит к задаче об определении решения уравнения теплопроводности щ = а2ихх, х>0, t>0 на полубесконечной прямой х > О для значений t > О, удовлет- удовлетворяющего начальному условию и(х, 0) = ф(х) (х>0) и граничному условию, которое, в зависимости от заданного характера граничного режима, берется в одном из следующих видов: ы@, t) = [i(t) (первая краевая задача), -gj@, t) = v(t) (вторая краевая задача) или -Jf- @, t) = К [и @, t) — G (t)] (третья краевая задача). В дальнейшем мы ограничимся подробным исследованием только первой краевой задачи, заключающейся в оты- отыскании решения уравнения теплопроводности при дополнитель- дополнительных условиях и(х, 0) = <р(ж), ы@, t) = v(t). B8) Для того чтобы условия задачи определяли единственное ре- решение, необходимо наложить некоторые условия в бесконеч- бесконечности. Потребуем в качестве дополнительного требования, что- чтобы функция и(х, t) была всюду ограничена \u(x,t)\<M для 0<х<оо и <>0, где М — некоторая постоянная. Отсюда следует, что начальная функция (р(х) должна также удовлетворять условию ограни- ограниченности Решение поставленной задачи можно представить в виде суммы и (х, t) = щ (х, t) + и2 (х, t), где щ(х,t) представляет влияние только начальных условий, а «2 (х, t)—влияние только граничного условия. Эти функции можно определить как решения уравнения A), удовлетворяю- удовлетворяющие условиям щ (х, 0) = ф (х), щ @, 0 = 0 B80 и и2 (х, 0) = 0, щ @, t) = ц (t). B8")
§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 235 Очевидно, что сумма этих функций будет удовлетворять усло- условиям B8). Докажем предварительно две леммы относительно функции и (х, t), определяемой интегралом Пуассона, B9) 1. Если функция ф(лг) является нечетной функцией, т. е. *(*) = -*(-*), то функция B9) обращается в нуль при х = О, ы@, 0 = 0. При этом, конечно, предполагается, что интеграл, определяю- определяющий функцию u(x,t), сходится, что имеет место, если ф(л;) ограничена. Подынтегральная функция в интеграле нечетна относительно ?, так как является произведением нечет- нечетной функции на четную. Интеграл же от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, рав- равняется нулю; следовательно, «(о, о = о, что и доказывает лемму. 2. Если функция ty(x) является четной функцией, т. е. ¦*(*) = ¦*(—*)> то производная функция u(x,t) из формулы B9) равна нулю при х = 0 для всех t > 0. В самом деле, ди ~д7 j С (х i.) 4аЧ = 0, так как при х = 0 подынтегральная функция нечетна, если *(Е) — четная.
236 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Перейдем теперь к построению функции щ{х,t), удовлетво- удовлетворяющей условиям B8'). Введем вспомогательную функцию U{x, t), определенную на бесконечной прямой — оо ¦< х < оо и удовлетворяющую урав- уравнению, а также условиям U {0, 0 = 0, U(x, 0) = ф(*) для Эту функцию, пользуясь леммой, можно определить при по- помощи начальной функции Ч^(х), совпадающей с <р(лг) для х > 0 и являющейся нечетным продолжением q>(x) для х < 0, т. е. *Ы для х>0> -ф(-дг) для *<0, так что Рассматривая значения функции U(x,t) только в интересующей нас области х ^ 0, получим: и (х, t)= U (x, f) при х 1> 0. Пользуясь определением функции Ч?(х), будем иметь: 0 4аЧ 4аЧ *®*+тк) ~mf iaH причем в первом интеграле сделана замена |' = —| и исполь- использовано равенство ) ф(—6) фA0- Соединяя оба интеграла вместе, получим искомую функцию Щ (х, t) = -^ j у= [е *» - е- ^ J Ф ft) rfg C0) в виде, не содержащем вспомогательных функций. Заметим, что при х = 0 выражение в фигурных скобках обращается в нуль и «i@,0 =0.
§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 237 Пользуясь леммой 2, нетрудно убедиться, что решение урав- уравнения теплопроводности с однородным граничным условием второго рода -g^ @, f) = 0 и начальным условием щ (х, 0) — = ф(х) представляется в виде оо ы, (х, t) = —Ц f -!=¦{ е^ + е~^^~ }Ф (?) rf|. C00 о Применим полученную формулу к решению задачи об осты- остывании равномерно нагретого стержня, на границе которого под- поддерживается постоянная температура, которую мы примем рав- равной нулю. Задача состоит в определении решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям vl(x,Q=T, v, @,^ = 0. Учитывая, что начальное условие задается не при t = 0, а при t = t0, вместо формулы C0) получим: т Г/ vi(x,f) = —-f= M 1V ' ; 2V^ J C1) Разбивая интеграл на два слагаемых и вводя переменные „=, }~х „.-. 1±* 2Va4t-tD)' получим: где г J — интеграл ошибок. Обратимся теперь к отысканию функции u2(x,t), представ- представляющей вторую часть решения первой краевой задачи. Пусть ц (t) = ц0 = const. Функция C2) является решением уравнения теплопроводности, удовлетворяю- удовлетворяющим условиям
238 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III Отсюда следует, что функция [(JL)] (зз) и является искомой, так как она удовлетворяет тому же урав- уравнению и условиям v{x,to) = O (x>0) и о@, *) = Цо (*>*„). Представим v (x, f) в виде v (х, t) —