А.Н.Тихонов, АА.Самарсюш
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
В книге рассматриваются задачи математической физики, приводящие к
уравнениям с частными производными. Расположение материала соответствует
основным типам уравнений.
Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических
задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа. Особое внимание
уделяется математической постановке задач, строгому изложению решения
простейших задач и физической интерпретации результатов. В каждой главе
помещены задачи и примеры.
В основу книги положены лекции, читавшиеся на физическом факультете
МГУ.
Содержание
Предисловие к пятому изданию 9
Предисловие к четвертому изданию 9
Предисловие к третьему изданию 9
Из предисловия ко второму изданию 9
Из предисловия к первому изданию 9
Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка 11
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными 11
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми 18
переменными
3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными 20
коэффициентами
Задачи к главе I 22
Глава П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического 23
типа. Постановка краевых задач
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны 23
2. Уравнение продольных колебаний стержней и струн 27
3. Энергия колебания струны 28
4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах 30
5. Поперечные колебания мембраны 31
6. Уравнения гидродинамики и акустики 34
7. Граничные и начальные условия 39
8. Редукция общей задачи 44
9. Постановка краевых задач для случая многих переменных 45
10. Теорема единственности 46
Задачи 49
§ 2. Метод распространяющихся волн 50
1. Формула Даламбера 50
2. Физическая интерпретация 52

3. Примеры 50
4. Неоднородное уравнение 58
5. Устойчивость решений 60
6. Полуограничениая прямая и метод продолжений 64
7. Задачи для ограниченного отрезка 70
8. Дисперсия волн 73
9. Интегральное уравнение колебаний 75
10. Распространение разрывов вдоль характеристик 79
Задачи 80
§ 3. Метод разделения переменных 82
1. Уравнение свободных колебаний струны 82
2. Интерпретация решения 88
3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции 92
стоячих волн
4. Неоднородные уравнения
5. Общая первая краевая задача
6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями
7. Задачи без начальных условий
8. Сосредоточенная Сила
9. Общая схема метода разделения переменных
Задачи
§ 4. Задачи с данными на характеристиках
1. Постановка задачи
2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса
Задачи
§ 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа
1. Сопряженные дифференциальные операторы
2. Интегральная форма решения
3. физическая интерпретация функции Римана
4. Уравнения с постоянными коэффициентами
Задачи к главе II
Приложения к главе II
I. О колебании струн музыкальных инструментов
П. О колебании стержней
III. Колебания нагруженной струны
1. Постановка задачи
2. Собственные колебания нагруженной струны
3. Струна с грузом на конце
4. Поправки для собственных значений
IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии
2. Ударные волны. Условия динамической совместности
3. Слабые разрывы
V. Динамика сорбции газов

1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа
2. Асимптотическое решение
VI. Физические аналогии
Глава III. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического типа.
Постановка краевых задач
1. Линейная задача о распространении тепла
2. Уравнение диффузии
3. Распространение тепла в пространстве
4. Постановка краевых задач
5. Принцип максимального значения
6. Теорема единствениости
7. Теорема единств ениости для бесконечной прямой
§ 2. Метод разделения переменных
1. Однородная краевая задача
2. Функция источника
3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями
4. Неоднородное уравнение теплопроводности
5. Общая первая краевая задача
Задачи
§ 3. Задачи на бесконечной прямой
1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция
источника для неограниченной области
2. Краевые задачи для полу ограниченной прямой
§ 4. Задачи без начальных условий
Задачи к главе III
Приложения к главе III
I. Температурные волны
П. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры
III. Метод подобия в теории теплопроводности
1. Функция источника для бесконечной прямой
2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности
IV. Задача о фазовом переходе
V. Уравнение Эйнштейна-Колмогорова
VI. 5-функция
1. Определение 5 -функции
2. Разложение 5 -функции в ряд Фурье
3. Применение 5 -функции к построению функции источника
Глава IV. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач
2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока
и электростатического поля

3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат
4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа
5. Гармонические функции и аналитические функции комплексного
переменного
6. Преобразование обратных радиусов-векторов
§ 2. Общие свойства гармонических фуикции
1. Формулы Грниа. Интегральное представление решения
2. Некоторые основные свойства гармонических функций
3. Единствениость и устойчивость первой краевой задачи
4. Задачи с разрывными граничными условиями
5. Изолированные особые точки
6. Регулярность гармонической функции трех переменных в
бесконечности
7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для двух- и
трехмерных задач
8. Вторая краевая задача. Теорема единственности
§ 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разделения
переменных
1. Первая краевая задача для круга
2. Интеграл Пуассона
3. Случай разрывных граничных значений
§ 4. Функция источника
1. функция источника для уравнения VDelta u=0 и ее основные
свойства
2. Метод электростатических изображений и функция источника для
сферы
3. Функция источника для круга
4. Функция источника для полупространства
§ 5. Теория потенциала
1. Объемный потенциал
2. Плоская задача. Логарифмический потенциал
3. Несобственные интегралы
4. Первые производные объемного потенциала
5. Вторые производные объемного потенциала
6. Поверхностные потенциалы
7. Поверхности и кривые Ляпунова
8. Разрыв потенциала двойного слоя
9. Свойства потенциала простого слоя
10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых
задач
11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам
Задачи к главе IV
Приложения к главе IV
I. Асимптотическое выражение объемного потенциала

П. Задачи электростатики
III. Основная задача электроразведки
IV. Определение векторных полей
V. Применение метода конформного преобразования в электростатике
VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике
VII. Бигармоническое уравнение
1. Единств ениость решения
2. Представление бигармонических функций через гармонические
функции
3. Решение бигармонического уравнения для круга
Глава V. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Задача с начальными условиями
1. Уравнение колебаний в пространстве
2. Метод усреднения
3. Формула Пуассона
4. Метод спуска
5. Физическая интерпретация
6. Метод отражения
§ 2. Интегральная формула
1. Вывод интегральной формулы
2. Следствия из интегральной формулы
§ 3. Колебания ограниченных объемов
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны
2. Колебания прямоугольной мембраны
3. Колебания круглой мембраны
Задачи к главе V
Приложения к главе V
I. Приведение уравнении теории упругости к уравнениям колебаний
П. Уравнения электромагнитного поля
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия
2. Потенциалы электромагнитного поля
3. Электромагнитное поле осциллятора
Глава VI. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве
1. Функция температурного влияния
2. Распространение тепла в неограниченном пространстве
§ 2. Распространение тепла в ограниченных телах
1. Схема метода разделения переменных
2. Остывание круглого цилиндра
3. Определение критических размеров
§ 3. Краевые з адачи для областей с подвижными границами
1. Формула Грниа для уравнения теплопроводности и функция
источника
2. Решениекраевойзадачи

3. функция источника для отрезка
§ 4. Тепловые потенциалы
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя
2. Решение краевых задач
Задачи к главе VI
Приложения к главе VI
I. Диффузия облака
П. О размагничивании цилиндра с обмоткой
Глава VII. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО
Т ИПА(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Основные задачи, приводящие к уравнению Av + cv=0
1. Установившиеся колебания
2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реакциях
3. Диффузия в движущейся среде
4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения Av + cv=0
§ 2. Функции влияния точечных источников
1. Функции влияния точечных источников
2. Интегральное представление решения
3. Потенциалы
§ 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучения
1. Уравнение Av + cv=0=-/b неограниченном пространстве
2. Принцип предельного поглощения
3. Принцип предельной амплитуды
4. Условия излучения
§ 4. Задачи математической теории дифракции
1. Постановка задачи
2. Единствениость решения задачи дифракции
3. Дифракция на сфере
Задачи к главе VII
Приложения к главе VII
I. Волны в цилиндрических трубах
П. Электромагнитные колебания в полых резонаторах
1. Собственные колебания цилиндрического эидовибратора
2. Электромагнитная энергия собственных колебаний
3. Возбуждение колебаний в эидовибраторе
III. Скни-эффект
IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли
Дополнение I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
§ 1. Основные понятия
1. Сетки и сеточные функции
2. Аппроксимация простейших дифференциальных операторов
3. Разностная задача
4. Устойчивость

§ 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами
2. Погрешность аппроксимации
3. Энергетическое тождество
4. Устойчивость
5. Сходимость и точность
6. Разностные схемы для уравнений с переменными
коэффициентами
7. Метод баланса. Консервативные схемы
8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с
переменными коэффициентами
9. Трехслойные схемы
10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки
11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений
§ 3. Метод конечных разностей для решения з адачи Дирихле
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа
2. Принцип максимума
3. Оценка решения неоднородного уравнения
4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле
5. Решение разностных уравнений методом простой итерации
§ 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространственными
переменными
1. Многомерные схемы
2. Экономичные схемы
3. Итерационные методы переменных направлений для решения
разностной задачи Дирихле
Дополнение П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение
2. Общее уравнение теории специальных функций
3. Поведение решений в окрестности х=а, если к(а')=0
4. Постановка краевых задач
Часть I. Цилиндрические функции
§ 1. Цилиндрические функции
1. Степенные ряды
2. Рекуррентные формулы
3. Функции полуцелого порядка
4. Асимптотический порядок цилиндрических функций
§ 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя
§ 3. Различные типы цилиндрических функций
1. Функции Ханкеля
2. Функции Ханкеля и Неймана
3. Функции мнимого аргумента
4. Функция К0(ж)
§ 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных

интегралов
1. Контурные интегралы
2. функции Ханкеля
3. Некоторые свойства гамма-функции
4. Интегральное представление функции Бесселя
5. Интегральное представление К^ж)
6. Асимптотические формулы для цилиндрических фуикций
§ 5. Интеграл Фурье-Бесселя и некоторые интегралы, содержащие
функции Бесселя
1. Интеграл Фурье-Бесселя
2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя
Часть П. Сферические функции
§ 1. Полиномы Лежандра
1. Производящая функция и полиномы Лежандра
2. Рекуррентные формулы
3. Уравнение Лежандра
4. Ортогональность полиномов Лежандра
5. Норма полиномов Лежандра
6. Нули полиномов Лежандра
7. Ограниченность полиномов Лежандра
§ 2. Присоединенные функции Лежандра
1. Присоединенные функции
2. Норма присоединенных функций
3. Замкнутость системы присоединенных функций
§ 3. Гармонические полиномы и сферические функции
1. Гармонические полиномы
2. Сферические функции
3. Ортогональность системы сферических функций
4. Полнота системы сферических функций
5. Разложение по сферическим функциям
§ 4. Некоторые примеры применения сферических функций
1. Задача Дирихле для сферы
2. Проводящая сфера в поле точечного заряда
3. Поляризация шара в однородном поле
4. Собственные колебания сферы
5. Внешняя краевая задача для сферы
Часть III. Полиномы Чебышева-Эрмнта и Чебьппева-Лагерра
§ 1. Полиномы Чебышева-Эрмита
1. Дифференциальная формула
2. Рекуррентные формулы
3. Уравнение Чебышева-Эрмита
4. Норма полиномов Н_п(х)
5. функции Чебышева-Эрмита
§ 2. Полиномы Чебьппева-Лагерра

1. Дифференциальная формула 706
3. Уравнение Чебьппева-Лагерра 707
4. Ортогональность и норма полиномов Чебьппева-Лагерра 708
5. Обобщенные полиномы Чебьппева-Лагерра 709
§ 3. Простейпше задачи для уравнения Шредингера 710
1. Уравнение Шредингера 710
2. Гармонический осциллятор 712
3. Ротатор 713
4. Движение электрона в кулонов ом поле 714
Часть IV. Формулы, таблицы и графики 718
I. Основные свойства специальных функции 718
П. Таблицы 723
III. Графики специальных функций 726
IV. Различные ортогональные системы координат 728

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Мы внесли лишь исправления опечаток, обнаруженных в чет-
четвертом издании.
1977 А. Н. Тихонов. А. А. Самарский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Мы внесли лишь небольшие изменения в Дополнение I и во
введение к Дополнению II.
Приносим свою благодарность А. Ф. Никифорову и И. С. Гу-
Гущину за ряд ценных замечаний.
1972 А. И. Тихонов, А. А. Самарский
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее издание внесен ряд изменений и дополнений.
Наибольшему изменению подверглись разделы, касающиеся раз-
разностных методов решения уравнений математической физики*
Они объединены в виде Дополнения I.
Мы считаем своим приятным долгом выразить благодарность
В. Я. Арсенину за ряд ценных замечаний, а также В. В. Крав-
Кравцову за большую помощь при подготовке этого издания.
1966 А. И. Тихонов, А. А. Самарский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во втором издании устранены опечатки и неточности, заме-
замеченные в первом издании. Некоторые разделы, особенно в гла-
главах IV и VI, подверглись переработке. Написано новое приложе-
приложение к главе VI.
Авторы считают своим приятным долгом выразить благодар-
благодарность В. И. Смирнову за большое число ценных замечаний, а так-
также А. Г. Свешникову за помощь при подготовке второго издания.
1953 А. Тихонов, А. Самарский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Круг вопросов математической физики тесно связан с изуче-
изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления,
изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике

10 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
и т. д. Возникающие при этом математические задачи содержат
много общих элементов и составляют предмет математической
физики.
Метод исследования, характеризующий эту отрасль науки,
является математическим по своему существу. Однако постанов-
постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изу-
изучением физических проблем, имеет специфические черты.
Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрез-
чрезвычайно широк. В предлагаемой книге рассматриваются задачи
математической физики, приводящие к уравнениям с частными
производными.
Мы стремились подчинить выбор и изложение материала ха-
характеристике типичных физических процессов, в связи с чем рас-
расположение материала соответствует основным типам уравнений.
Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших
физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого
типа. Особое внимание уделяется математической постановке
задач, строгому изложению решения простейших задач и физи-
физической интерпретации получаемых результатов. В каждой главе
помещены задачи, преследующие, в основном, цель развития
технических навыков. Некоторые задачи сами по себе представ-
представляют физический интерес. В конце каждой главы помещены при-
приложения, в которых даются примеры применения изложенных
в основном тексте методов к решению различных задач физики
и техники, а также приводится ряд примеров, выходящих за рам-
рамки задач, рассматриваемых в основном тексте. Выбор таких при-
примеров, несомненно, можно сильно варьировать.
Книга содержит лишь часть материала, входящего в курс ме-
методов математической физики. В книгу не входят теория инте-
интегральных уравнений и вариационные методы. Приближенные ме*
тоды изложены недостаточно полно.
В основу книги были положены лекции, читавшиеся свыше
десяти лет А. Н. Тихоновым на физическом факультете МГУ. Ча-
Частично содержание этих лекций было отражено в конспектах, из-
изданных в 1948—1949 гг. В предлагаемой книге материал конспек-
конспектов был расширен и подвергнут коренной переработке.
Мы рады возможности выразить благодарность нашим учени-
ученикам и товарищам по работе А. Б. Васильевой, В. Б. Гласко,
В. И. Ильину, А. В. Лукьянову, О. И. Панычу, Б. Л. Рождествен-
Рождественскому, А. Г. Свешникову и Д. Н. Четаеву, без помощи которых
мы вряд ли смогли бы подготовить к печати книгу в короткий
срок, а также Ю. Л. Рабиновичу, прочитавшему рукопись и сде-
сделавшему ряд ценных замечаний.
1951 А. Тихонов, А. Самарский

ГЛАВА I
КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Многие задачи математической физики приводят к диффе-
дифференциальным уравнениям с частными производными. Наиболее
часто встречаются дифференциальные уравнения 2-го порядка.
В настоящей главе мы рассмотрим классификацию этих урав-
уравнений.
§ 1. Классификация уравнений
с частными производными 2-го порядка
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми пе-
переменными. Дадим необходимые определения.
Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя
независимыми переменными х, у называется соотношение меж-
между неизвестной функцией и(х, у) и ее частными производными
до 2-го порядка включительно *):
F{x, у, и, их, ии, ихх, иху, Mj,j,) = O.
Аналогично записывается уравнение и для большего числа не-
независимых переменных.
Уравнение называется линейным относительно
старших производных, если оно имеет вид
a\\Uxx + 2а12иху + а^иуу + F, (х, у, и, их, иу) = О, A)
где аи, аи, «22 являются функциями х и у.
Если коэффициенты аи, а&, а^ зависят не только от х и у,
а являются, подобно Fu функциями х, у, и, их, иу, то такое
уравнение называется квазилинейным.
Уравнение называется линейным, если оно линейно как
относительно старших производных Uxx, uxy, иуу, так и относи-
относительно функции и и ее первых производных их, иу:
+ 2апиху + a^iyy + М* + Ь2иу + си + f = 0, B)
J) Мы пользуемся следующими обозначениями для производных:
ди ди д2и дЧ д*и
= Ж U^ "= "^ U и

12 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
где аи, 012, О22, Ьи Ь2, с, f — функции только хну. Если коэф-
коэффициенты уравнения B) не зависят от х и у, то оно представ-
представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Уравнение называется однородным, если f(x, у) = 0.
С помощью преобразования переменных
1 = <р(х, у), г)=Цр(х, у),
допускающего обратное преобразование, мы получаем новое
уравнение, эквивалентное исходному. Естественно поставить во-
вопрос: как выбрать | и ц, чтобы уравнение в этих переменных
имело наиболее простую форму?
В этом пункте мы дадим ответ на поставленный вопрос для
уравнений, линейных относительно старших производных вида
A) с двумя независимыми переменными хну:
+ 2а12иху + a22uvv + F (х, у, и, их, иу) = 0.
Преобразуя производные к новым переменным, получаем:
Чх = Щ1х +
Uxx =
иуу =
C)
Подставляя значения производных из C) в уравнение A), бу-
будем иметь: _
ацЩг + 2с12Ы|ч + а22ичч + F = 0, D)
где
о12
а функция F не зависит от вторых производных. Заметим, что
если исходное уравнение линейно, т. е.
F{x, у, и, их, uv) = btUx + Ь2иу + си + f,
то F имеет вид
т. е. уравнение остается линейным1).
') Отметим, что если преобразование переменных линейно, то F = F,
так как вторые производные от ? и ц в формулах C) равны, нулю и F не
получает дополнительных слагаемых от преобразования вторых производных.

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 13
Выберем переменные ? и г\ так, чтобы коэффициент аи был
равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными
1-го порядка
anzl + 2al2zxzy+a^l = 0. E)
Пусть z — <p(x,у)—какое-нибудь частное решение этого урав-
уравнения. Если положить | = ф (х, у), то коэффициент аи, очевид-
очевидно, будет равен нулю. Таким образом, упомянутая выше задача
о выборе новых независимых переменных связана с решением
уравнения E).
Докажем следующие леммы.
1. Если z = cp(x,y) является частным решением уравнения
то соотношение ср (х, у) = С представляет собой общий интеграл
обыкновенного дифференциального уравнения
ап dy2 — 2а12 dx dy + a22 dx2 = 0. F)
2. Если ср (х, у) = С представляет собой общий интеграл
обыкновенного дифференциального уравнения
ап dy2 — 2aI2 dx dy + а22 dx2 = 0,
то функция z— ц>(х, у) удовлетворяет уравнению E).
Докажем первую лемму. Поскольку функция г = ц>(х, у)
удовлетворяет уравнению E), то равенство
является тождеством: оно удовлетворяется для всех х, у в той
области, где задано решение. Соотношение ц>(х, у)= С является
общим интегралом уравнения F), если функция у, определенная
из неявного соотношения <р(х, у) = С, удовлетворяет уравне-
уравнению F). Пусть
У = !(х, С)
есть эта функция; тогда
dx L Фу (х, у) \y=f {Xi c)' { '
где скобки и значок у = f (x, С) указывают, что в правой части
равенства (8) переменная у не является независимой перемен-
переменной, а имеет значение, равное f(x,C). Отсюда следует, что
у = f(x, С) удовлетворяет уравнению F), так как

14 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. 1
поскольку выражение в квадратных скобках равно нулю при
всех значениях х, у, а не только при у = f(x,C).
Докажем вторую лемму. Пусть ц>(х, у) = С — общий ин-
интеграл уравнения F). Докажем, что
аи<Рх + 2аМу+а22<Ру = 0 G0
для любой точки (х, у). Пусть (хо, уо) — какая-нибудь заданная
точка. Если мы докажем, что в ней удовлетворяется равенство
(Т), то отсюда в силу произвольности (х0, у0) будет следовать,
что равенство G') есть тождество и функция ф (х, у) является
решением уравнения G'). Проведем через точку (х0, у0) инте-
интегральную кривую уравнения F), полагая q>{xo,yo) = Со и рас-
рассматривая кривую # = /(*,Со). Очевидно, что уо = f{xo,Co).
Для всех точек этой кривой имеем:
Jj,=f (х. Со)
Полагая в последнем равенстве х = хо, получим:
ацф* (хоУо) + 2ai2^ (хоУо) % (хоУо) + «22Ф» (хоУо) = 0.
что и требовалось доказать *).
Уравнение F) называется характеристическим для
уравнения A), а его интегралы — характеристиками.
Полагая | = ц>(х,у), где ф(х,у) = const есть общий инте-
интеграл уравнения F), мы обращаем в нуль коэффициент при
Ыц. Если -ф (х, у) = const является другим общим интегралом
уравнения F), не зависимым от ц>(х,у), то, полагая ii^tyfay),
мы обратим в нуль также и коэффициент при ыч.
Уравнение F) распадается на два уравнения:
йу _ 012 + ^2-0110
22
_
dy 012-^012-
011022
¦) Установленная связь уравнений E) и F) эквивалентна известной
связи (см. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, 1937, стр. 287j
Смирнов, Курс высшей математики, т. II, 1948, стр. 78) между линейным
уравнением с частными производными 1-го порядка и системой обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом можно убедиться, разлагая левую
часть уравнения E) в произведение двух линейных дифференциальных вы-
выражений.

§ 1J КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 15
Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения
'*=0. A)
Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением
гиперболического типа, если в точке М а\2 — апа^ > О,
эллиптического типа, если в точке М а\2 — опа22 < О,
параболического типа, если в точке М a\z — аца22 == ^')•
Нетрудно убедиться в правильности соотношения
«И - «11*22 = (°12 - flna22) Я*. D =- lj\ ~ ПЛг
из которого следует инвариантность типа уравнения при пре-
преобразовании переменных, так как функциональный определи-
определитель (якобиан) D преобразования переменных отличен от нуля.
В различных точках области определения уравнение может
принадлежать различным типам.
Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение
имеет один и тот же тип. Через каждую точку области G про-
проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболиче-
гиперболического типа характеристики действительны и различны, для
уравнений эллиптического типа — комплексны и различны, а
для уравнений параболического типа обе характеристики дей-
действительны и совпадают между собой.
Разберем каждый из этих случаев в отдельности.
1. Для уравнения гиперболического типа с$2 —аиа&Х) и
правые части уравнений (9) и A0) действительны и различны.
Общие интегралы их у(х,у) = С и ty(x,y) = С определяют
действительные семейства характеристик. Полагая
? = ф(*. У), *)=**(*. У), A1)
приводим уравнение D) после деления на коэффициент при
ы6ч к виду
Чп = Ф (I, *Ь ", "«. ич)> где Ф — — -~-.
Это — так называемая каноническая форма уравнений
гиперболического типа 2). Часто пользуются второй канонической
') Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка.
2) Для того чтобы было возможно введение новых переменных g и г]
через функции ф и if, надо убедиться в независимости этих функций, доста-
достаточным условием чего является отличие от нуля соответстиуюшего функцио-
функционального определителя. Пусть функциональиый определитель
I Ф* 4
в некоторой точке М обращается в нуль. Тогда имеет место пропорциональ-

16 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
формой. Положим
| = а + В, л = а-р,
т. е.
а-1±П. в-61
а— 2 , р— 2 ,
где а и 6 — новые переменные. Тогда
 = 2~(«о + «р), ыч = у("« —ыр)> ы^=х(ы««~ыРрЬ
В результате уравнение D) примет вид
2. Для уравнений параболического типа af2 — аца_г = О,
уравнения (9) и A0) совпадают, и мы получаем один общий
интеграл уравнения F): ф (х, у) = const. Положим в этом
случае
| = ф(*, у) И Т\ = Х\(х, у),
где г\(х,у) —любая функция, не зависимая от ф. При таком
выборе переменных коэффициент
так как al2= Vau V<h2> отсюда следует, что
«12 = ailljei* + «12
= 0.
После деления уравнения D) на коэффициент при ычч получим
каноническую форму для уравнения параболического типа
ит = Ф (|, л, и, щ, щ) (Ф =--?)•
ность строк, т. е.
что, однако, невозможно, так как
И ~:
аи ¦фу ап
(при этом мы считаем аи ф 0, что не является ограничением общности).
Тем самым независимость функций <р и я]) установлена.

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА
17
Если в правую часть не входит щ, то это уравнение будет
обыкновенным дифференциальным уравнением, зависящим от
| как от параметра.
3. Для уравнения эллиптического типа а\2 — ан^гг <0 и
правые части уравнений (9) и A0) комплексны. Пусть
Ф(х, у) = С
— комплексный интеграл уравнения (9). Тогда
Ф* {х, у) = С,
где ф* — сопряженная к ф функция, будет представлять собой
общий интеграл сопряженного уравнения A0). Перейдем к
комплексным переменным, полагая
| = ф(х, у), Т1 = ф*(х, у).
При этом уравнение эллиптического типа приводится к такому
же виду, что и гиперболическое.
Чтобы не иметь дела с комплексными переменными, введем
новые переменные аир, равные
<Р + <Р* <р — <р»
2 ' 2( '
так что
| = а + ф, Л = а — Ф-
В этом случае
+ а12 (а&у + ау$х) + а^у%) = 0,
т. е.
о„ == а22 и а12 = 0.
Уравнение D) после деления на коэффициент при иаа прини-
принимает вид{) _
«аа "F "рр = Ф (а, Р, U, Ыа, Up) (ф = - -?-) -
Таким образом, в зависимости от знака выражения
а\2 — ana22 имеют место следующие канонические формы
') Подобное преобразование законно только в том случае, если коэф-
коэффициенты уравнения A) — аналитические функции. Действительно, если
а\2 — апй22 < 0, то правые части уравнений (9) и A0) комплексны, а следо-
следовательно, функция у должна иметь комплексные значения. О решении этих
уравнений можно говорить лишь в том случае, когда коэффициенты аи, (х, у)
определены для комплексных значений у. При приведении уравнения эллип-
эллиптического типа к канонической форме мы ограничимся случаем аналитиче-
аналитических коэффициентов.

18 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. I
уравнения A):
а212 — апа22>0 (гиперболический тип) ихх — иуу = Ф или иху — Ф,
с?2 ~~ апа22 < 0 (эллиптический тип) ыжж + ыуу = Ф,
ai2 ~ аиа22= 0 (параболический тип) ы^ггф.
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими неза-
независимыми переменными. Рассмотрим линейное уравнение с дей-
действительными коэффициентами
п п п
2 2 ai}uXlXj + 2 *i«x, + см + f = 0 (au = fl/l), A2)
где а, 6, с, f являются функциями Xi, Хг, ..., xn. Введем новые
независимые переменные |й, полагая
U = lk(Xl, Х2, ..., Хп) (k=l, .... П).
Тогда
ихх =22 ицъРиРн + 2
где
Подставляя выражения для производных в исходное уравнение,
получим:
2 2 afe/M|felz + 2 bkuik + си + f = О,
где
= 2 2 аищкап, bk — 2 й^агй +2 2 «г/ (Ы-ж .
Рассмотрим квадратическую форму
2 2 а°1]У1у}, A3)
коэффициенты которой равны коэффициентам ац исходного
уравнения в некоторой точке M0(x°v ..., х°). Производя над пе-
переменными у линейное преобразование
п
vi = 2 щит,
получим для квадратической формы новое выражение:
п п п п
2 2 ajkmm. где &>ы = 2

§ Ц КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 19
Таким образом, коэффициенты главной части уравнения изме-
изменяются аналогично коэффициентам квадратической формы при
линейном преобразовании.
Как известно, выбором соответствующего линейного преоб-
преобразования можно привести матрицу {a°if ) квадратической фор-
формы к диагональному виду, в котором
[а°,| = 1, либо 0;
ао/==о AФ1, i, /=1, 2, ...п).
Согласно закону инерции, число положительных, отрица-
отрицательных и равных нулю коэффициентов а%{ в каноническом ви-
виде квадратичной формы инвариантно относительно линейного
преобразования.
Назовем уравнение A2) в точке Мо уравнением эллипти-
эллиптического типа, если все п коэффициентов a°i{ одного знака;
гиперболического типа (или нормального гипер-
гиперболического типа), если п—1 коэффициентов а°н имеют
одинаковый знак, а один коэффициент противоположен им по
знаку; ультрагиперболического типа, если среди а^
имеется т коэффициентов одного знака и п — т противопо-
противоположного знака (т, п — т>\); параболического типа,
если хотя бы один из коэффициентов б°? равен нулю.
Выбирая новые независимые переменные |,- так, чтобы
в точке Мо
где a°lk — коэффициенты преобразования, приводящего квадра-
тическую форму A3) к каноническому виду (например, полагая
ЕА==2а?2'10'полУчим' что в точке Мо уравнение в зависимости
от типа приводится к одной из следующих канонических форм:
иХххх + ы*л + ... + иХпхп + Ф = 0 (эллиптический тип),
п
"*,*, = 2 Uxtx. + Ф (гиперболический тип),
т п.
2 их,х, = Ъ ихх, + Ф (т > 1, п — т > 1)
(ультрагиперболический тип),
п—т
2 (± м*^) + Ф = 0 (m>0) (параболический тип).
Мы не останавливаемся при этом на более подробном делении
уравнений параболического типа на уравнения эллиптически-
параболические, гиперболически-параболические и т. д.

20 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. I
Таким образом, если уравнение A2) в некоторой точке М
принадлежит к определенному типу, то его можно привести к
соответствующей канонической форме в этой точке.
Рассмотрим подробнее вопрос о том, можно ли привести
уравнение к канонической форме в некоторой окрестности точки
М, если во всех точках этой окрестности уравнение принадле-
принадлежит к одному и тому же типу.
Для приведения уравнения в некоторой области к канониче-
каноническому виду нам пришлось бы функции ?i(xi, х2, ..., х„) (i =
= 1, 2, ..., п) подчинить дифференциальным соотношениям
аы = 0, для k ф I. Число этих условий, равное п(п—1)/2, пре-
превосходит п — число определяемых функций | при п > 3. Для
п = 3 недиагональные элементы матрицы (atft), вообще говоря,
можно было бы обратить в нули, но при этом диагональные эле-
элементы могут оказаться различными.
Следовательно, при п ^ 3 уравнение нельзя привести к ка-
каноническому виду в окрестности точки М. При п = 2 можно
обратить в нуль единственный недиагональный коэффициент и
удовлетворить условию равенства двух диагональных коэффи-
коэффициентов, что и было сделано в п. 1.
Если коэффициенты уравнения A2) постоянны, то, приводя
A2) к канонической форме в одной точке М, мы получим урав-
уравнение, приведенное к канонической форме во всей области оп-
определения уравнения.
3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными
коэффициентами. В случае двух независимых переменных ли-
линейное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид
auuxx + 2al2uxy+a22uvv+b1ux + b2uy + cu + f(x, y) = 0. A4)
Ему соответствует характеристическое уравнение с постоянны-
постоянными коэффициентами. Поэтому характеристики будут прямыми
линиями
С помощью соответствующего преобразования переменных
уравнение A4) приводится к одной из простейших форм:
и^ + ит + Ьх и% + Ь2ип + си + / = 0 (эллиптический тип), A5)
6)) 1
или 1 (гиперболический тип), A6)
ин — ит + biul + Мч+сы + / = О J
2мт) + си + / — ° (параболический тип). A7)
„

§ 1] КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА 21
Для дальнейшего упрощения введем вместо и новую функ-
функцию V.
и — е^+^ч • v,
где К и ц — неопределенные пока постоянные. Тогда
(vi + Щ,
l2v),
m (vnr] + 2wn + I*2»).
Подставляя выражения для производных в уравнение A5) и
сокращая затем на e^+w, получим:
ок + «„„ + F, + 2Я,) о6 + (Ь2 + 2ц) оч +
+ W + »2 + b1X + b2li + c)v + fl=0.
Параметры X и ц выбираем так, чтобы два коэффициента, на-
например, при первых производных, обратились в нуль (Я, =*
= —bj2; ц = —62/2). В результате получим:
vtl + vrm + \v + f, = О,
где у — постоянная, выражающаяся через с, bt и Ъг, fi =
= ^е-сЧ+цч). Производя аналогичные операции и для случаев
A6) и A7), приходим к следующим каноническим формам для
уравнений с постоянными коэффициентами:
tig! + ит + yv + f, = 0 (эллиптический тип),
»S4+Y» + /i=O )
или } (гиперболический тип),
+ + f0 }
vSg ~Ь ^2vr\ + /i = 0 (параболический тип).
Как было отмечено в п. 2, уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами в случае нескольких независимых переменных
' п п п
2 2 at]uxx + 2 biux + си + f = 0
при помощи линейного преобразования переменных приводится
к каноническому виду одновременно для всех точек области его
определения. Вводя вместо и новую функцию v

22 КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ |ГЛ. I
и выбирая нужным способом %%, мы можем дальше упростить
уравнение, что приводит нас к каноническим формам, сходным
со случаем п = 2.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I
1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичиостн
уравнения
в привести его к каноническому виду в области гиперболичности.
2. Привести к каноническому виду уравнения:
а) Uxx + xyuyy^O.
б) уихх — хиуу + их + yuy — 0.
в) е2хихх + 2ех+»иХу + е^иии = 0.
г) ихх + {\ + уУиУу = П.
Д) хихх + 2 Vxy иху + уиуу — их — 0.
е) (х — у) ихх + (ху — у' — х + у) иху = 0.
ж) У2ихх — е2хиуу + их = 0.
з) sin2 уихх — е2хиуу + Зих — 5м = 0.
и) ихх + 2иху + 4иуу + 2их + Зиу = 0.
3. Привести к каноническому виду и максимально упростить уравнение
2аиху + аиуу + Ьих + сиу + и = 0; а,Ь,с — постоянные.
4. Введя функцию v = ueKx+v'y и выбирая соответствующим образом па-
параметры % и ц, упростить следующие уравнения с постоянными коэффи-
коэффициентами:
а) ихх + иуу + аих + Pmj, + \и = 0.
б) ихх=-^-иу + аи + $их.
в) ихх — -^- иуу = аих + Pmj, + \и.
г) иХу

ГЛАВА II
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Уравнения с частными производными 2-го порядка гипербо-
гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических зада-
задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравне-
уравнение гиперболического типа
UXX Uyy = О
обычно называют уравнением колебаний струны.
В настоящей главе, как и в последующих, мы ограничимся рас-
рассмотрением класса линейных уравнений.
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям
гиперболического типа. Постановка краевых задач
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны. Каж-
Каждую точку струны длины / можно охарактеризовать значе-
значением ее абсциссы х. Описание процесса колебания струны мо-
может быть проведено при помощи задания положения точек
струны в различные моменты времени. Для определения поло-
положения струны в момент времени / достаточно задать компонен-
компоненты вектора смещения {щ(х, t), u2(x,t), u3(x,t)} точки х в мо-
момент t.
Мы рассмотрим наиболее простую задачу о колебаниях
струны. Будем предполагать, что смещения струны лежат в од-
одной плоскости (х, и) и что вектор смещения и перпендикулярен
в любой момент к оси х; тогда процесс колебания можно опи-
описать одной функцией и(х, t), характеризующей вертикальное пе-
перемещение струны. Будем рассматривать струну как гибкую уп-
упругую нить. Математическое выражение понятия гибкости за-
заключается в том, что напряжения, возникающие в струне,
всегда направлены по касательным к ее мгновенному профилю
(рис. 1). Это условие выражает собой то, что струна не сопро-
сопротивляется изгибу.
Величина натяжения, возникающего в струне вследствие уп-
упругости, может быть вычислена по закону Гука'). Будем рас-
рассматривать малые колебания струны и пренебрегать квадратом
их по сравнению с единицей.
>) С. П. С т р е л к о в, Механика, «Наука», 1965.

24
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
Пользуясь этим условием, подсчитаем удлинение, испытывае-
испытываемое участком струны (хи х2). Длина дуги этого участка равна
x2
Таким образом, в пределах принятой нами точности удлинения
участков струны в процессе колебания не происходит; отсюда
Рис. 1.
в силу закона Гука следует, что величина натяжения Т в каж-
каждой точке не меняется со временем. Покажем также, что натя-
натяжение не зависит и от х, т. е.
Найдем проекции натяжения на оси х и и (обозначим их Тх
и Ти):
Тх (х) = Т (х) cos a = -
^ Т (х),
1 + (и*J
Tu (х) = Т (х) sin а ^ Т (х) tg а = Т (х) их,
где а — угол касательной к кривой u(x,t) с осью х. На участок
(хь лг2) действуют силы натяжения, внешние силы и силы инер-
инерции. Сумма проекций всех сил на ось х должна быть равна
нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания). Так
как силы инерции и внешние силы по предположению направ-
направлены вдоль оси и, то
= 0 или Т (xj) = Т (х2). A)
Отсюда в силу произвольности х4 и х2 следует, что натяжение не
зависит от х, т. е. для всех значений ли/

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 25
После сделанных предварительных замечаний перейдем к вы-
выводу уравнения поперечных колебаний струны. Воспользуемся
вторым законом Ньютона. Составляющая количества движения
участка струны (хь х2) по оси и равна
Л2
где р —линейная плотность струны. Приравняем изменение ко-
количества движения за промежуток времени At = h"—ti
импульсу действующих сил, складывающихся из натяжения
ToUx\x=x TqUx\x—x
в точках х2 и Xi и внешней силы, которую будем считать не-
непрерывно распределенной с плотностью (нагрузкой) F(x,t)t
рассчитанной на единицу длины. В результате получим урав-
уравнение поперечных колебаний элемента струны в интегральной
форме
U х, t,
= J То [их (х2, т) - их (х1г т)] dx + j j F (l, т) d| dr. C)
'. xt t,
Для перехода к дифференциальному уравнению предположим
существование и непрерывность вторых производных от
и{х, tI). Тогда формула C)" после двукратногв применения тео-
теоремы о среднем примет вид
где
Г, Г, Г"€=(*„ х2), а Г, Г, Г*eft, /2).
') Делая предположение о двукратной дифференцируемое™ функций,
мы фактически уславливаемся о том, что будем рассматривать лишь функ-
функции, обладающие этим свойством. Таким образом, подобного типа предполо-
предположение связано с ограничением круга изучаемых физических явлений и не со-
содержит в себе утверждения, что не существует функций, удовлетворяющих
интегральному уравнению колебаний н не имеющих вторых производных.
Такие функции существуют и представляют значительный практический ин-
интерес Подробнее см. об этом § 2, а 7.

26
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
Сократив на AxAt и переходя к пределу при х2-*Хи h-+h, по-
получим дифференциальное уравнение поперечных колебаний
струны
T = putt-F(x,t). D)
В случае постоянной плотности р = const этому уравнению
обычно придают вид
где
f(x,t)=±F(x,t)
E)
F)
есть плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсут-
отсутствии внешней силы полу-
получим однородное уравнение
Рис. 2.
или
^ х описывающее свободные ко-
колебания струны. Это урав-
уравнение является простейшим
примером уравнения ги-
гиперболического типа.
Если в точке х0 (xi < х0 < Хг) приложена сосредоточенная
сила fo(t) (рис. 2), то уравнение C) запишется так:
X, Хг U
J р (I) [щ (|, t2) - щ (I, /,)] d| - j J f (I, т) rf| dx =
X, X, t,
U U
= J ^o [«* (x* т) — ux {xu т)] dx + J f0 (t) rfr.
Поскольку скорости точек струны ограничены, то при х\.—*-Хо и
Хг —*¦ х0 интегралы в левой части этого равенства стремятся к
нулю, и равенство C) принимает вид
и и
\ То [их (*0 + 0, т) - их (*о - 0, т)] dx = - J f0 (т) dx. G)
Пользуясь теоремой о среднем, сокращая обе части равенства
на At и переходя к пределу при k-*h, получим:
их {х, t) |х°_ 0 -jr- /о (')•

$ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 27
Отсюда видно, что в точке приложения сосредоточенной силы
первые производные претерпевают разрыв и дифференциальное
уравнение теряет смысл. В этой точке должны выполняться два
условия сопряжения
первое из которых выражает непрерывность струны, второе оп-
определяет величину излома струны в точке #0, зависящую от
fe(t) и натяжения То.
2. Уравиение продольиых колебаний стержней и струн. Урав-
Уравнения продольных колебаний для струны, стержня и пружины
записываются одинаково. Рассмотрим стержень, расположенный
на отрезке @, /) оси х. Процесс продольных колебаний может
быть описан одной функцией и(х, t), представляющей в момент
1 смещение точки, имевшей в положении равновесия абсциссу
х1). При продольных колебаниях это смещение происходит
вдоль стержня. При выводе уравнения будем предполагать, что
натяжения, возникающие в процессе колебания, следуют зако-
закону Гука.
Подсчитаем относительное удлинение элемента (х, х +
'+ Ал:) в момент /. Координаты концов этого элемента в момент
f имеют значения
х + и(х, i), х + Ах + и(х + hx, i),
а относительное удлинение равно
Переходя к пределу при Д#->0, получим, что относительное
удлинение в точке х определяется функцией ux(x,t). В силу
') Выбранная здесь геометрическая переменная к называется перемен-
переменной Лагранжа. В переменных Лагранжа каждая физическая точка стержня
в течение всего процесса характеризуется одной и той же геометрической
координатой х. Физическая точка, занимаишая в начальный момент (в со-
состоянии равновесия) положение к, в любой последующий момент t находится
в точке с координатой ^ = х + м(х, t). Если мы фиксируем некоторую гео-
геометрическую точку А с координатой X, то в различные моменты времени
в этой точке будут находиться различные физические точки (с разными
лагранжевыми координатами х). Часто пользуются также переменными
Эйлера X, t, где X — геометрическая координата. Если U(X,t)—смещение
. точки с эйлеровой координатой X, то лагранжева координата
x = X-U(X,t).
Пример использования координат Эйлера приведен в п. 6

28 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
закона Гука натяжение Т(х, t) равно
T(x,t) = k(x)ux(x,t), (9)
где k(x) — модуль Юнга в точке x(k(x) > 0).
Пользуясь теоремой об изменении количества движения,
получаем интегральное уравнение колебаний
= J [k (х2) их {х2, x)-k (х.) их (хи x))dx + J J F (|, т) dg их, A0)
где F(x,t) — плотность внешней силы, рассчитанная на еди-
единицу длины.
Предположим существование и непрерывность вторых произ-
производных функции и (х, t). Применяя теорему о среднем и совер-
совершая предельный переход1) при Ах = хг — Xi —»-0 и Д^ =
= 4—?i-»-0, приходим к дифференциальному уравнению про-
продольных колебаний стержня 2)
[k(x)ux]x = putt-F(x,t). A1)
Если стержень однороден (k(x) = const, p = const), то это
уравнение записывают следующим образом:
A2)
где
f (*,*) = -?&? A3)
«сть плотность силы, отнесенная к единице массы.
3. Энергия колебаний струны. Найдем выражение для энер-
тии поперечных колебаний струны Е = К. + U, где К — кинети-
кинетическая и U — потенциальная энергия. Элемент струны dx, дви-
движущийся со скоростью v = щ, обладает кинетической энер-
энергией
mv2 -^p{x)dx{utf (m — pdx).
') В дальнейшем мы будем опускать подробности, связанные с предель-
предельными переходами, которые были разобраны при выводе уравнения попереч-
поперечных колебаний струны.
2) Условие малости колебаний в данном случае связано только с гра-
границей применимости закона Гука. В общем случае Т = k(x,ux)ux, н мы
лриходим к квазилинейному уравнению
\k (*, их) их]х = putt F (x,t).

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 29
Кинетическая энергия всей струны равна
i
{x)[ut(x,t)fdx. A4)
Потенциальная энергия поперечных колебаний струны, имею-
имеющей при t = to форму и(х, to) —Uo(x), равна работе, которую
надо совершить, чтобы струна перешла из положения равнове-
равновесия в положение щ (х). Пусть функция и (х, t) дает профиль
струны в момент /, причем
и {х, 0) = 0, и (х, t0) = и0 {х).
Элемент dx под действием равнодействующей сил натяжения
ди
т
ди
x+dx
= Turrdx
X
за время dt проходит путь ut{x,t)dt. Работа, производимая всей
струной за время dt, равна
\{ If,'/ I
j J Т^иххщ dx j dt = j 7>хи,|о - J Touxuxt dx\dt=:
о
Интегрируя по / от О до t0, получаем:
— 4" f T0{uxf dx\" + [ Тфхщ\ dt =
2J lo J In
/ t
I
= — j j ^o [«* (x, Qf dx + J Touxut
dt.
о
Нетрудно выяснить смысл последнего слагаемого правой
части этого равенства. Действительно, Тоих\х==0 есть величина
натяжения на конце струны х = 0; ut(O,t)dt — перемещение
этого конца, а интеграл
и
$it\x=0dt A5)
представляет работу, которую надо затратить на перемещение
конца х = 0. Аналогичный смысл имеет слагаемое, соответ-
соответствующее х = I. Если концы струны закреплены, то работа на
концах струны будет равна нулю (при этом ы@, t) =0,

jq УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
«i@, t) = 0). Следовательно, при перемещении закрепленной на
концах струны из положения равновесия и = 0 в положение
Uo(x) работа не зависит от способа перевода струны в это по-
положение и равна
ijfdx, A6)
потенциальной энергии струны в момент t = t0 с обратным зна-
знаком. Таким образом, полная энергия струны равна
т J
о
Совершенно аналогично может быть получено выражение для
потенциальной энергии продольных колебаний стержня. Впро-
Впрочем, его можно получить также, исходя из формулы для потен-
потенциальной энергии упругого стержня
~2 \ /о /
где /о — начальная длина стержня, / — конечная длина. Отсюда
непосредственно следует:
4. Вывод уравнения электрических колебаний в проводах.
Прохождение электрического тока по проводу с распределенны-
распределенными параметрами характеризуется силой тока i и напряжением
v, которые являются функциями положения точки х и времени
t. Применяя закон Ома к участку длиной dx, можно написать,
что падение напряжения на элементе провода dx равняется сум-
сумме электродвижущих сил:
— vxdx = iRdx + itLdx, A8)
где R и L — сопротивление и коэффициент самоиндукции, рас-
рассчитанные на единицу длины.
Количество электричества, притекающее на элемент прово-
провода dx за время dt
[i (x, t) -i(x + dx, t)] dt = - lx dx dt, A9)
равно сумме количества электричества, необходимого для за-
зарядки элемента dx, и количества, теряющегося вследствие несо-
несовершенства изоляции:
С [v (x, t + dt) — v (x, t)] dx-\-Gdx-vdt = (Cvt + Gv) dx dt, B0)

§ И ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 81
где С н G — коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на
единицу длины, причем величину потерь мы считаем пропор-
пропорциональной напряжению в рассматриваемой точке провода.
Из формул A8), A9) и B0) получаем систему
= 0, 1
= 0, J * ч
называемую системой телеграфны*х уравнений•).
Чтобы получить одно уравнение, определяющее функцию /,
продифференцируем первое равенство B1) по х, второе — по
t, умножив его на С. Производя вычитание в предположении
постоянства коэффициентов, найдем:
ixx + Gvx — CLitt — CRit = 0.
Заменяя vx его значением из второго уравнения B1), получим
уравнение для силы тока
ixx = CLitt + (CR + GL) it + GRL B2)
Аналогично выглядит уравнение для напряжения
vxx = CLvtt + (CR + GL) vt + GRv. B3)
Уравнение B2) или B3) называется телеграфным уравне-
уравнением. Если можно пренебречь потерями через изоляцию и если
сопротивление очень мало (G e^ R ^ 0), то мы приходим к изве-
известному уравнению колебаний
5. Поперечные колебания мембраны. Мембраной называется
плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Рас-
Рассмотрим мембрану, натянутую на плоский контур С. Будем изу-
изучать поперечные колебания мембраны, в которых смещение пер-
«ендикулярнв к плоскости мембраны.
Пусть ds — элемент дуги некоторого контура, взятого на по-
поверхности мембраны и проходящего через точку М(х,у). На
этот элемент действует натяжение, равное Т ds. Вектор Т вслед-
вследствие отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу лежит в каса-
касательной плоскости к мгновенной поверхности мембраны и пер-
перпендикулярен к элементу ds. Можно показать, что отсутствие
сопротивления сдвигу приводит к тому, что величина натяже-
натяжения не зависит от направления элемента ds, так что вектор
натяжения T = T(x,y,z) является функцией х, у и /. Эти
') Эти уравнения являются приближенными в рамках теории электро-
электромагнитного поля, поскольку они не учитывают электромагнитных колебаний
в среде, окружающей провод.

32 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. II
свойства вектора Т служат математическим выражением отсут-
отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу.
Будем изучать малые колебания мембраны, пренебрегая
квадратами первых производных их и иу, где функция u(x,y,t)
определяет форму мембраны в момент времени t. Из этого
предположения сразу же следует, что Th(x,y,t) —проекция на-
натяжения на плоскость {х, у) — равна абсолютной величине на-
натяжения. В самом деле, при любой ориентации дуги ds угол у'
между вектором Т и плоскостью (л;, у) не превосходит угла у,
образуемого нормалью к поверхности мембраны в точке (х, у)
с осью г. Поэтому
?* 1
т. е. cosy'^ 1, и
Th(х, у, z,t)=Tcosу'^Т{x, у, z, t). B5)
Вертикальная составляющая натяжения, очевидно, равна
j. у, ди
Выделим на поверхности мембраны элемент площади, проекция
которого на плоскость {х, у) является прямоугольником ABCD
со сторонами, параллельными осям координат (рис. 3). На этот
элемент действует сила натяжения, равная
3"= (j) Tds. B6)
ABCD
В силу отсутствия перемещения вдоль осей х и у проекции Т*
на эти оси равны нулю:
с о
П= \ Т{х2, у, t)dy- J T{xu у, t)dy =
В А
= J {T (x2, y,t)-T {хи у, /)} dy = 0.
&|
Аналогично
Гу = J {Т (х, у2, t)-T (х, уи /)} dx = 0.
х,
Пользуясь теоремой о среднем и учитывая произвол в выборе
площадки ABCD, получаем:
Т(х, yut)=T(x, y2,t), I
и y,t)=T{x2,y,t), J

§11
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
33
т. е. натяжение Т не меняется при изменении х и у и может за-
зависеть лишь от t.
Площадь какого-либо элемента мембраны в момент вре-
времени t равна в нашем приближении
'x dy. B8)
Следовательно, в процессе колебаний не происходит растя-
растяжения, откуда в силу закона Гука вытекает независимость на-
натяжений от времени. Таким об-
образом, мы установили, что на-
натяжение не зависит от пере-
переменных х, у и t
Т (х и f) = const = Tq. B9)
Перейдем к выводу урав-
уравнения колебаний мембраны.
Воспользуемся теоремой о при-
приращении количества движения.
Пусть Si — проекция на пло-
плоскость (х, у) некоторого уча-
участка мембраны, а С4 — гра-
граница Si. Приравнивая изменение количества движения им-
импульсу вертикальных составляющих сил натяжения и внешних
действующих сил с плотностью F(x,y,t), получаем уравнение
колебаний мембраны в интегральной форме
J J ["<(*> У, к) — Щ{х, у, tx)]p(x, y)dxdy =
У'Уг
У'Ш
т-хг
Рис. 3.
с,
, C0)
Si
где р(х, у) —поверхностная плотность мембраны, a F(x,y,t) —
плотность внешней силы (на единицу площади).
Для перехода к дифференциальному уравнению предполо-
предположим, что функция и (х, у, t) имеет непрерывные вторью произ-
производные. С помощью теоремы Остроградского •) контурный ин-
интеграл преобразуется в поверхностный
С,
Si
•) См. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, 1948, стр. 196;
Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965.
2 А, 11. Тихонов. А, А. Самарский

34 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
вследствие чего интегральное уравнение колебаний приводится
к виду
и
J J J (Р«« - То (ихх + иуи) - F (х, у, t)} dx dy dt = 0.
*, s,
Пользуясь теоремой о среднем, произвольностью выбора St и
промежутка времени (h,tz), делаем заключение о тождествен-
тождественном равенстве нулю выражения в фигурных скобках. Таким об-
образом, приходим к дифференциальному уравнению колебаний
мембраны
ры„ = Го (ихх + иуу) + F (х, у, t). C1)
Для однородной мембраны уравнение колебаний можно запи-
записать в виде
"« = а2 (ихх + иуу) + f (х, ij, t) (a2 = -^), C2)
где f(x,y,t)—плотность силы, рассчитанная на единицу мас-
массы мембраны.
6. Уравнения гидродинамики и акустики. Для характери-
характеристики движения жидкости пользуются функциями Vi (х, у, z, t),
Vi{x,y,z,t), v3(x,y,z,t), представляющими компоненты вектора
скорости v в точке (х, у, г) в момент t (эйлеровы переменные).
Величинами,, характеризующими движение жидкости, являются
также плотность p(x,y,z,t), давление p{x,y,z,t) и плотность
внешних действующих сил F(x,y,z,t) (если они имеются), рас-
рассчитанная на единицу массы.
Рассмотрим некоторый объем жидкости Т и подсчитаем дей-
действующие на него силы. Пренебрегая силами трения, обуслов-
обусловленными вязкостью, т. е. рассматривая идеальную жидкость, по-
получим для результирующей сил давления выражение в виде
поверхностного интеграла
-jjpndS, C3)
s
где S — поверхность объема Т, п — единичный вектор внешней
нормали. Формула Остроградского •) дает:
— jjpndS= — JJ Jgradptfr. C4)
s г
') В самом деле, рп •= pcos{n,x)i + pcos{n,y)f + pcos{n,z)k, где
i, j, ft — единичные векторы в системе координат (*, у; г),
J J pcos(n, x) dx= j j J -|^-Л и т. д.

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 35
При вычислении ускорения какой-либо точки жидкости необхо-
необходимо учесть перемещение самой точки. Пусть х = х (t), у =
= y(t), z = z(t) —уравнение траектории этой точки. Вычислим
производную скорости по времени
dv _ dv , dv . i dv . , dv . _
If ~ ~df + ~dlx "T" ~di y + "aFZ ~
dv . dv , dv , dv dv
—dT+-^^+-o^+^
где
?
Такая производная по времени, учитывающая движение части-
частицы среды (субстанции), называется субстанциональной
или материальной. Уравнение движения жидкости выражает
обычную связь между ускорением частиц и действующими на
них силами
-?л--Ш *"*'*+Л/<**• C5)
г г г
где последний интеграл представляет собой равнодействующую
внешних сил, приложенных к объему Т. Отсюда в силу произ-
произвольности объема Т получаем уравнение движения идеальной
жидкости в форме Эйлера
vt + (t>V) v = —j grad p + F. C6)
Перейдем к выводу уравнения непрерывности. Если внутри Т
нет никаких источников или стоков, то изменение в единицу
времени количества жидкости, заключенной внутри Т, равно по-
потоку через границу S
JJJJ <37>
Г S
Преобразование поверхностного интеграла в объемный дает
Так как это равенство справедливо для сколь угодно малых
объемов, то отсюда следует уравнение непрерывности
или
|J O. C8)

35 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
К уравнениям C6) и C8) следует присоединить термодинами-
термодинамическое уравнение состояния, которое мы здесь возьмем
в виде
P = f(p).
Следовательно, мы получаем систему пяти уравнений с пя-
пятью неизвестными функциями vx, vy, vz, pup. Если бы уравне-
уравнение состояния содержало температуру, то нужно было бы доба-
добавить еще уравнение теплопереноса (см. приложение IV). Таким
образом, система уравнений
= 0, C9>
p=f(p) I
представляет замкнутую систему уравнений гидродинамики.
Применим уравнения гидродинамики к процессу распростра-
распространения звука в газе. Сделаем следующие допущения: 1) внеш-
внешние силы отсутствуют; 2) процесс распространения звука яв-
является адиабатическим, поэтому уравнением состояния служит
адиабата Пуассона
Ро \Ро/ V со
где ро и ро — начальная плотность и начальное давление, ср и
с„ — теплоемкости при постоянном давлении и постоянном
объеме; 3) колебания газа малы, можно пренебрегать высшими
степенями скоростей, градиентов скоростей и изменения плот-
плотности.
Назовем конденсацией газа величину s{x,y,z,t), рав-
равную относительному изменению плотности
s{x, у, z, 0= Р~Р°, D0)
откуда
p = Po(l+s). D1)
Уравнения гидродинамики при сделанных предположениях
принимают вид
1_
' Ро
Pt + Ро div v = 0,
D2)

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 37
так как
¦¦~gradp = ~(l— s+ ...)gradp = -I-gradp+ ...,
div pv = v grad p + P div v = p0 div v +
где точками обозначены члены второго и высших порядков ма-
малости. Вводя обозначение а2 = YPo/po. перепишем систему D2)
в следующем виде:
vt = — a2 grad s, I
s, + divt> = 0. J
Применяя к первому уравнению D2') оператор дивергенции и
меняя порядок дифференцирования, будем иметь:
dW-?- — -gfdivv = — a2div(grads) = — a2V2s = — a2 As,
где
— оператор Лапласа. Используя второе уравнение D2'),
получим уравнение колебаний
As = -i-s« D3)
или
& (sxx + syy + szz) = stt.
Отсюда и из D0) получаем уравнение для плотности
а2 {рхх + РУу + 9zz) = P«- D3')
Уравнения D3) и D3') являются уравнениями колебаний.
Введем теперь потенциал скоростей и покажем, что он
удовлетворяет тому же уравнению колебаний D3), что и кон-
конденсация.
Из уравнения
vt — — a2 grad s
следует
v(x, у, г, t) = v{x, у, г, 0) — a2grad f J sdt), D4)
где v (х, у, z, 0) — начальное распределение скоростей. Если поле
скоростей в начальный момент имеет потенциал
v Lo = — grad / (х, у, г), D5)

38 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
то имеет место соотношение
v = — grad \f{x, у, z) + a2 J s dt\ = — grad U,
D6)
которое означает, что существует потенциал скоростей
U(x,y,z,t). Знания потенциала скоростей достаточно для опи-
описания всего процесса движения 1)
о = — gradt/, 1
1 ,, } D7)
Подставляя эти значения в уравнение непрерывности
st + divt; = 0,
получим уравнение колебаний для потенциала
a4Uxx + Uvv+Uzz) = Utt
или
С/„ = а2ДС/. D8)
Для давления р и скорости v также можно получить уравне-
уравнение колебаний вида D8), называемое часто уравнением
акустики.
При решении задач для двумерного и одномерного случаев
надо в уравнении D8) оператор Лапласа заменить оператором
-д-т-г-^т и> соответственно,-^-^. Постоянная
ох оу ох
имеет размерность скорости и, как будет показано в § 2, явля-
является скоростью распространения звука.
Вычислим скорость звука в воздухе п"ри нормальном атмо-
атмосферном давлении. В этом случае y = 7/5, ро = 0,001293 г/см3,
Ро = 1,033 кг/см2; следовательно,
')" Из формулы D6) видно, что потенциал U определен с точностью до
слагаемого, являющегося произвольной функцией i. Из уравнения v, =
= —a2 grad s и D6) следует grad Is j- vA = 0, т. e. s = —j Ut при
соответствующей нормировке потенциала t/4

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 39
В случае колебаний газа в ограниченной области на ее гра-
границе должны быть заданы определенные граничные условия.
Если граница представляет собой твердую непроницаемую стен-
стенку, то нормальная составляющая скорости равна нулю, что при-
приводит к условиям
dU
дп
= 0 или -^—
дп
= 0. D9)
7. Граничные и начальные условия. При математическом опи-
описании физического процесса надо прежде всего поставить зада-
задачу, т. е. сформулировать условия, достаточные для однознач-
однозначного определения процесса.
Дифференциальные уравнения с обыкновенными и, тем бо-
более, с частными производными имеют, вообще говоря, бесчислен-
бесчисленное множество решений. Поэтому в том случае, когда физиче-
физическая задача приводится к уравнению с частными производными,
для однозначной характеристики процесса необходимо к урав-
уравнению присоединить некоторые дополнительные условия.
В случае обыкновенного дифференциального уравнения
2-го порядка решение может быть определено начальными ус-
условиями, т. е. заданием значений функции и ее первой производ-
производной при «начальном» значении аргумента (задача Коши).
Встречаются и другие формы дополнительных условий, когда,
например, задаются значения функции в двух точках (задача
о цепной линии). Для уравнения с частными производными воз-
возможны, также различные формы дополнительных условий.
Рассмотрим сперва простейшую задачу о поперечных коле-
колебаниях струны, закрепленной на концах. В этой задаче и(х, t)
дает отклонение струны от оси х. Если концы струны 0<1л:<1/
закреплены, то должны выполняться «граничные ¦ у с л о-
в и я»
и (О, /)==0, ы(/,/) = 0. E0)
Так как процесс колебаний струны зависит от ее начальной
формы и распределения скоростей, то следует задать «началь-
«начальные условия»:
и(*. *о) = <Р(*). 1
ut{x, to) = $(x). J
Таким образом, дополнительные условия состоят из граничных
и начальных условий, где ц>(х) и ^(л;) —заданные функции точ-
точки. В дальнейшем мы покажем, что эти условия вполне опре-
определяют решение уравнения колебаний струны
. E2)

40 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Если концы струны движутся по заданному закону, то гранич-
граничные условия E0) принимают другой вид:
E0)
где Hi(t) и \iz(t)—заданные функции времени t. Аналогично
ставится задача для продольных колебаний струны или пру-
пружины.
Возможны и другие типы граничных условий. Рассмотрим,
например, задачу о продольных колебаниях пружины, один ко-
конец которой закреплен (точка подвеса), а другой конец свобо-
свободен. Закон движения свободного конца не задан и зачастую
является искомой функцией.
В точке подвеса х = 0 отклонение
«@, 0 = 0;
на свободном конце х = I натяжение пружины
E3)
равно нулю (нет внешних сил), так что математическая фор-
формулировка условия свободного конца имеет вид
ux{U 0 = 0.
Если конед х = 0 движется по определенному закону
при х = I задана сила \{t), то
и @, t) = p (t), ux (I, 0 = v (t), (v@ = -i v (
Типичным является также условие упругого закрепления,, ска-
скажем для х = /,
kuAl,t) = ~au(l, t)
или
uAUt) = -hu(l, t) (/* = ?). E4)
при котором конец х = I может перемещаться, но упругая сила
закрепления вызывает на этом конце натяжение, стремящееся
вернуть сместившийся конец в прежнее положение. Эта сила,
согласно закону Гука, пропорциональна смещению «(/,/); ко-
коэффициент пропорциональности а называется коэффициентом
жесткости закрепления.
Если точка (система), относительно которой имеет место
упругое закрепление, перемещается и ее отклонение от началь-
начального положения дается функцией Q(t), то граничное условие

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 41
принимает вид
ux{l,t)=-h[u(l,f)-d(t)], Л = ?>0. E5)
Условие упругого закрепления на левом конце х = О имеет вид
и,@, <) = Л[и@, 0-
(формально можно считать, что E5) имеет место и при х = 0,
но h < 0). Следует отметить, что в случае жесткого закрепле-
закрепления (а велико), когда даже небольшие сдвиги конца вызы-
вызывают большие натяжения, граничное условие E5) переходит
в условие u(l,t)=\i(t) (сс = оо) при \i(t) = 0@- В случае
мягкого закрепления (а мало), при котором большие сдвиги
конца вызывают слабые натяжения, граничное условие перехо-
переходит в условие свободного конца
М'. 0 = 0 (а = 0).
В дальнейшем мы будем говорить о трех основных типах
граничных условий:
граничное условие 1-го рода .и@,0= мЧО— заданный ре-
режим,
граничное условие 2-го рода их@,t) = v(t) — заданная сила,
граничное условие 3-го рода ux(O,t) = h[u(O,t) — Q(t)] —
упругое закрепление.
Аналогично задаются граничные условия и на втором конце
х = I. Если функции, задаваемые в правой части (\i(t), \(t)
или 0@), равны нулю, то граничные условия называются од-
однородными.
Комбинируя различные перечисленные типы граничных ус-
условий, мы получим шесть типов простейших краевых задач.
Более сложное граничное условие .имеет место, например,
при упругом закреплении, не подчиняющемся закону Гука, ко-
когда натяжение на конце является нелинейной функцией смеще-
смещения u(l,t), так что
ux(l, t) = \F[u{l, t)]. E6)
Это граничное условие в отличие от рассмотренных выше яв-
является нелинейным. Возможны, далее, соотношения между сме-
смещениями и натяжениями на разных концах системы. Напри-
Например, в задачах о колебании кольца, когда х = 0 и х = / пред-
представляют одну и ту же физическую точку, граничные условия
принимают вид
и {I, 0 = «@, 0; их @, 0 = их {I, t), E7)

42 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
т. е. сводятся к требованиям непрерывности и и их. Производ-
Производные по t могут также входить в граничные условия. Если ко-
конец пружины испытывает сопротивление среды, пропорциональ-
пропорциональное скорости его движения (к концу пружины прикреплена
пластинка, плоскость которой перпендикулярна оси пружины),
то граничное условие принимает вид
t). E8)
Если к концу х = I пружины -прикреплен груз массы т, то
при х = / должно выполняться условие
mutt (I, t) = - kux (I, t) + mg. E9)
Для поперечных колебаний струны все граничные условия за-
записываются в той же форме с заменой k на То.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением трех про-
простейших типов граничных условий, проводя основное изложе-
изложение на примере первого типа граничного условия и отмечая
лишь попутно особенности, связанные со вторым и третьим
условиями.
Сформулируем первую краевую задачу для уравнения E):
найти функцию u(x,t), определенную в области О^.х^.1,
t 5= 0, удовлетворяющую уравнению
utt = a2u/x + f(xj) для 0<ж</, *>0,
граничным
и @, 0 = \i, (t),
U(l, I) Р-2 (I),
и начальным условиям:
и (х, 0) = ср (х),
{0
Аналогично ставится задача для уравнения A1).
Если на обоих концах берутся граничные условия 2-го или
3-го рода, то соответствующие задачи называются второй или
третьей краевыми задачами. Если граничные условия при
х = 0 и х = I имеют различные типы, то такие краевые задачи
называют смешанными, не проводя более подробной их клас-
классификации.
Обратимся теперь к рассмотрению предельных случаев по-
поставленной задачи. Влияние граничных условий в точке Мо,
достаточно удаленной от границы, на которой они заданы, ска-
сказывается через достаточно большой промежуток времени.
') Мы не останавливаемся на случае, когда граничные условия заданы
на отрезке 0 sg t sg: to.

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 43
Если нас интересует явление в течение малого промежутка
времени, когда влияние границ еще несущественно, то вместо
полной задачи можно рассматривать предельную задачу
с начальными условиями для неограниченной области:
найти решение уравнения
utt = а2ихх + f (x, t) для — оо < jc < оо, t>0,
с начальными условиями
и(х, О) = ср(х)
/ m ,/ \ I ПРИ —оо<х<оо. F1)
щ{х, 0) = яИ*) J
Эту задачу часто называют задачей Кош и.
Если же мы изучаем явление вблизи одной границы и влия-
влияние граничного режима на второй границе не имеет существен-
существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка
времени, то мы приходим к постановке задачи на полуограни-
полуограниченной прямой 0^х< оо, когда помимо уравнения даны допол-
дополнительные условия:
и@, 0 = ]
F2)
и(х, 0) = Ф(*), 1
щ(х, 0) = гр(лг) J
оо.
Характер явления для моментов времени, достаточно уда-
удаленных от начального момента t = 0, вполне определяется
граничными значениями, так как влияние начальных условий
благодаря трению, присущему всякой реальной системе, с тече-
течением времени ослабевает1). Задачи этого типа встречаются
особенно часто в случаях, когда система возбуждается перио-
периодическим граничным режимом, действующим длительное время.
Такие задачи «без начальных условий» (на установившийся ре-
режим) формулируются следующим образом:
найти решение изучаемого уравнения для 0^x^.1 и t>
> —оо при граничных условиях
Аналогично ставится задача без начальных условий для полу-
полуограниченной прямой.
•} Уравнение колебаний с учетом 'трения, пропорционального скорости,
имеет вид
utt= а2ихх — aut (" > °)-
Подробнее о постановке задач без начальных условий при а = 0 см. п. 7 § 3.

44
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
В дальнейшем мы будем рассматривать помимо основных
краевых задач также предельные задачи:
1. Задачи в бесконечной области, когда одна или обе гра-
границы находятся в бесконечности.
2. Задачи без начальных условий (на установившийся ре-
режим), когда рассматривается решение, определенное в течение
бесконечного промежутка времени.
8. Редукция общей задачи. При решении сложной задачи
естественно стремиться свести ее решение к решению более
простых задач. С этой целью представим решение общей крае-
краевой задачи в виде суммы решений ряда частных краевых задач.
Пусть щ (х, t) (i = 1,2,..., п) — функции, удовлетворяющие
уравнениям
при 0<х</, ^>0и дополнительным условиям
ut{O,t) = ]x[ (t),
ut (x, 0) — ф' (х),
Очевидно, что имеет место суперпозиция решений, т. е. функ-
функция
удовлетворяет аналогичному уравнению с правой частью
F7)
и дополнительным условиям, правые части которых суть функ-
функции
2i
l. 2),
F8)
Указанный принцип суперпозиции относится, очевидно, не
только к данной задаче, но и к любому линейному уравнению

§ 1]
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
45
с линейными дополнительными условиями. Этим свойством мы
в дальнейшем неоднократно будем пользоваться.
Решение общей краевой задачи
F9)
может быть представлено в виде суммы
и (х, t) = и, (х, t) + и2 {х, t) + и3 (х, t) + «4 (*. *), G0)
где ии и2, «3i  — решения следующих частных краевых задач:
dt dx @l, t>0).
, t)
1, t>0);
и (о, q = MQ.
и Ц, t) = ii2(t);
и(х, О) =
щ(х, 0) =
a/» - и дх*
щ @, 0 = 0, «2 @, /) = jxi @, «з @, 0 = 0, »4 @, 0 = О,
и, (/, о = о; «2 (/. О=0; ы3 (/, 0 - \ь (*); «4 С. О=о;
щ (х, 0) = ф (ж), ы2 (*> 0) = 0, ы3 (х, 0) = 0, ы4 (ж, 0) = О,
и,( (х, 0) =р ^(д:), ы2( (х, 0) = 0; ы3< (х, 0) = 0; ы4<(х, 0) = 0.
G1)
Мы ограничимся здесь этой формальной редукцией для того,
чтобы характеризовать частные краевые задачи, составляющие
основные этапы при решении общей задачи. Аналогичная ре-
редукция может быть произведена и для предельных случаев об-
общей краевой_задачи.
9. Постановка краевых задач для случая многих переменных.
Мы подробно рассмотрели постановку краевых задач для слу-
случая одной независимой геометрической переменной х (и вре-
времени t). Если число геометрических переменных п > 1 (напри-
(например, п = 3), то первая краевая задача ставится совершенно
сходным образом:
требуется найти функцию u(M,t) = u(x,y,z,t), определен-
определенную при t ^ 0 внутри заданной об Ласти Т с границей 2, удов-
удовлетворяющую при t>0 внутри Т уравнению
и„ = а2Аи + /(Af, t) (М(х, y,z)<=T,t>0),
G2)

46 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
граничному условию на 2
«|s = |i(P, t) (P(x,y,z)f=2,f^0) G3)
(\i(x, y, z, t) есть функция, заданная на S) и начальным усло-
условиям
и (М, 0) = ф (М), )
1 т) = П G4)
Разложение общей краевой задачи на ряд более простых про-
происходит аналогично предшествующему. Отметим, что возможна
также постановка предельных краевых задач для неограничен-
неограниченной области, полупространства и т. д.
10. Теорема единственности. При решении краевых задач:
1) надо убедиться в том, что дополнительные условия до-
достаточны для выделения однозначного решения; это дости-
достигается доказательством теоремы единственности;
2) надо убедиться в том, что дополнительные условия не
переопределяют задачу, т. е. среди них нет несовместных усло-
условий; это достигается доказательством теоремы существо-
существования; доказательство существования решения обычно тесно
связано с методом нахождения решения.
В настоящем пункте нами будет доказана следующая тео-
теорема единственности:
Возможно существование только odnqu функции u(x,t),
определенной в области 0 *Cx4il, />0 и удовлетворяющей
уравнению
t>0, G5)
начальным и граничным условиям
и (х, 0) = Ф (*), щ (х, 0) = -ф (х), |
и@, 0 = ^@. u(l,t) = li2(t),l { '
если выполнены условия:
1) функция и (х, t) и производные, входящие в уравнение
G5), а также производная uxt непрерывны на отрезке 0 ^ х ^
< / при t ^ 0;
2) коэффициенты р(х) и k(x) непрерывны на отрезке 0^
Допустим, что существует два решения рассматриваемой за-
задачи:
Ui(x,J), Uzix, t),
и рассмотрим разность v(x,t)= ui(x,t)~u2{x,t).

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 47
Функция v(x, t), очевидно, удовлетворяет однородному урав-
уравнению
и однородным дополнительным условиям
о(*,0) = 0, 0@,0 = 0,1
vt(x,0) = 0; о (/,0 = 0, J ( }
а также условию 1) теоремы.
Докажем, что функция v(x, t) тождественно равна нулю.
Рассмотрим функцию
? @ =4 J {* (о*J + Р (о Л dJt G9)
о
и покажем, что она не зависит от /. Физический смысл функ-
функции E(t) очевиден: это полная энергия струны в момент вре-
времени t. Продифференцируем E(t) no t, выполняя при этом
дифференцирование под знаком интеграла')
i
J
о
(kvxvxt + pvtvtt) dx.
б
Интегрируя по частям первое слагаемое правой части, будем
иметь:
i i
\ kvxvxt dx = [kvxvtiu — J vt (kvx)x dx. (80)
о о
Подстановка обращается в нуль в силу граничных условий (из
v@,t) — 0 следует vt@,t) = 0 и аналогично для х = 1). От-
Отсюда следует, что
i i
¦ — J [ро*»в — vt (kvx)x] dx = J vt [pvtt — (kvx)x] dx = 0,
о о
т. e. E{t) = const. Учитывая начальные условия, получаем:
?'@ = const = Е @) = 1 J [k (Vxf + p (t»(J]<=0 dx = 0, (81)
') Для дифференцирования под знаком интеграла достаточно, чтобы
получаемое при этом подынтегральное выражение было непрерывно на
отрезке 0 ^ х ^ / при t 5= 0. Это требование в нашем случае выполнено,
так как функция v{x,t) удовлетворяет условию 1) теоремы, а р(х) a k(x) —
условию 2).

48 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
так как
v(x, 0) = 0, »f(*. 0) = 0.
Пользуясь формулой (81) и положительностью k и р, заклю-
заключаем, что
»х(х, Q==0, с,(лс, 0=-0,
откуда и следует тождество
v(x, f) = const = C0. • (82)
Пользуясь начальным условием, находим:
тем самым доказано, что
v (x, f) = 0. (83)
Следовательно, если существуют две функции щ(х,t) и u2(x,t),
удовлетворяющие всем условиям теоремы, то щ (х, t) га щ,(х, t).
Для второй краевой задачи функция v — щ — и2 удовлетво-
удовлетворяет граничным условиям
0,@,0 = 0, о, (/,0 = 0, (84)
и подстановка в формуле (80) также обращается в нуль. Даль-
Дальнейшая часть доказательства теоремы естается без именений.
Для третьей краевой задачи доказательство требует неко-
некоторого видоизменения. Рассматривая по-прежнему два решения
U\ и ы2. получаем для их разности v(x, t)=u\ — и2 уравнение
G7) и граничные условия
vx @, 0 - h{ v @, 0 = 0 (Л, > 0),
vx(l,t) + h2v(l, 0 = 0 (Л2>0).
Представим подстановку в (80) в виде
).' } (85)
ikvxvt]l0=- 441^2 v- о+м2 (о, о] •
Интегрируя —тг в пределах от нуля до /, получим:
t i
Е @ - Е @) = [ J vt [ро« - (kvx)x] dx dt -
б о
- 4 {h [v2 (I, 0 - v2 (I, 0)] -f Л, [у2 @, 0 - tJ @, 0)]},
откуда в силу уравнения и начальных условий следует:
Е @ = - 4 [М2 (*, 0 + Л^2 @, 0К 0. (86)

§ 11 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 49
Так как. в силу неотрицательности подинтегральной функции
E(t) 2г 0, то
Е (t) = 0, (87)
а следовательно, и
v(x, 0 = 0. (88)
Изложенный здесь метод доказательства теоремы единствен-
единственности, основанный на использовании выражения полной энер-
энергии, широко применяется при доказательстве теорем единствен-
единственности в различных областях математической физики, например,
в теории электромагнитных полей, теории упругости и гидро-
гидродинамике.
Доказательство единственности других краевых задач (за-
(задачи Коши и задачи без начальных условий) будет дано
в дальнейшем в соответствующем месте.
Задачи
1. Доказать, что уравнение малых крутильных колебаний стержня имеет
вид
GJ
где в есть угол поворота сечения стержня с абсциссой х, G — модуль сдвига,
1 — полярный момент инерции поперечного сечеиия, a k — момент инерции
единицы длины стержня. Дать физическую интерпретацию граничных усло-
условий 1-го, 2-го-и 3-го рода для этого уравнения.
2. Абсолютно гибкая однородная нить закреплена на одном из концов
и под действием своего веса находится в вертикальном положении равнове-
равновесия. Вывести уравнение малых колебаний нити.
д2и , д
Ответ: — = ^-^[(l-x)-^\, а> = g,
где и(х, t)—смещение точки, / — длина нити, g— ускорение силы тяжести.
3. Тяжелая однородная нить длины I, прикрепленная верхним концом
{х = 0) к вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угло-
угловой скоростью со. Вывести уравнение малых колебаний нити около своего
вертикального положения равновесия.
Ответ: -др- = а2 -g^ [С — *) ~дх~\ + <*2«. где a? = g.
4. Вывести уравнение поперечных колебаний струны в среде, сопротив-
сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.
Ответ: vff = a2v^r — h2v., а2' = 1/ —-.
5. Вывести граничные условия для уравнения продольных колебаний
упругого стержня (пружниы) в случае, когда верхний конец стержня за-
закреплен жестко, а к нижнему прикреплен груз Р, если:
а) за положение равновесия принимается напряженное состояние стерж-
стержня под действием иеподвижиого груза Р, подвешенного к нижнему концу
(статическое растяжение);

50 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
б) за положение равновесия принимается ненапряженное состояние
стержня (например, в начальный момент из-под груза убирается подставка,
и груз начинает растягивать стержень).
6. Написать уравнение и условия, определяющие процесс крутильных
колебаний стержня, к обоим концам которого прикреплены шкивы.
Ответ: При х = 0, х = I должны выполняться граничные условия вида
6Й @, t) = а2вх @, t), в„ (/, 0 = - ефх (Z, t).
7. В некоторой точке х = хв струны @ =^ х =^ /) подвешен груз массы М.
Вывести условия сопряжения в точке х = х0.
8. К концу х = I упругого стержня, упруго закрепленного в точке х=0,
подвешен груз массы М. Написать уравнение и условия, определяющие про-
продольные колебания стержня, предполагая, что на него, кроме того, действует
внешняя сила. Рассмотреть два случая:
а) сила распределена по стержню с плотностью F(x,t);
б) сила сосредоточена в точке х = хв и равна Fo(t).
9. Рассмотреть процесс малых колебаний идеального газа в цилиндриче-
цилиндрической трубке. Вывести сначала основные уравнения гидродинамики, а затем,
предполагая процесс адиабатическим, вывести дифференциальное уравнение
для: 1) плотности р, 2) давления р, 3) потенциала V скорости частиц газа,
4) скорости v, 5) смещения и частиц. Привести примеры реализации гранич-
граничных условий 1-го, 2-го и 3-го типов для этих уравнений.
10. Установить соотношения подобия между процессами механических,
акустических и электрических колебаний (см. приложение VI к гл. II).
11. Привести примеры граничных условий 1-го, 2-го и 3-го рода для те-
телеграфных уравнений.
12. Рассмотреть задачу о продольных колебаниях неоднородного стержня
(k = ki при х < Хв, к = к2 при х > хв) и вывести условия сопряжения в
точке стыка неоднородных частей стержня (при х = хв).
13. Дать физическую интерпретацию граничного условия
аих@, t) + Vuf(O, t)=0.
14. Привести пример механической модели, для которой реализовалось бы
уравнение
2
§ 2. Метод распространяющихся волн
1. Формула Даламоера. Изучение методов построения реше-
решений краевых задач для уравнений гиперболического типа мы
начинаем с задачи с начальными условиями для неограничен-
неограниченной струны:
uti-a2uxx = 0, A)
и{х, 0) = <р(*), 1
щ{х,0) = Ш- I ( '
Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержа-
содержащему смешанную производную (см. гл. I). Уравнение характе-
характеристик

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 51
распадается на два уравнения:
интегралами которых являются прямые
х — сА = Си x-\-at = C2.
Вводя, как обычно, новые переменные
I = х + at, r) = x — at,
уравнение колебаний струны преобразуем к виду:
«5„ = 0. C)
Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для
всякого решения уравнения C)
где f*(r\) — некоторая функция только переменного т). Интегри-
Интегрируя это равенство по ц при фиксированном |, получим:
и (|, Tj) = J Г (ri) dtj + /, (|) = f, (|) + f2 (ц), D)
где /i и /г являются функциями только переменных | и tj. Об-
Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции
/1 и /2, функция ы(|, т)), определяемая формулой D), представ-
представляет собой решение уравнения C). Так как всякое решение
уравнения C) может быть представлено в виде D) при соот-
соответствующем выборе /i и /г, то формула D) является общим
интегралом этого уравнения. Следовательно, функция
и (х, t) = f, (* + at) + U (x - at) E)
является общим интегралом уравнения A).
Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует;
тогда оно дается формулой E). Определим функции /i и /г та-
таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:
F)
щ (х, 0) = а\[ (х) - aff2 (х) = у (х). G)
Интегрируя второе равенство, получим:
X,

52 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
где х0 и С — постоянные. Из равенств
находим:
1
-2 Ф
if
(8)
Таким образом, мы определили функции /i н /г через за-
заданные функции ф и ¦ф, причем равенства (8) должны иметь
место для любого значения аргумента1). Подставляя в E)
найденные значения fi и fz> получим:
{¦x+at x—at ч
J <,(«)*»- J *(a)rfa
xt х0 '
или
x+at
j
j
x-a*
Формулу (9), называемую формулой Даламбера, мы полу-
получили, предполагая существование решения поставленной зада-
задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом
деле, если бы существовало второе решение задачи A) — B), то
оно представлялось бы формулой (9) и совпадало бы с пер-
первым решением.
Нетрудно проверить, что формула (9) удовлетворяет (в пред-
предположении двукратной дифференцируемости функции ф и одно-
однократной дифференцируемости функции я])) уравнению и началь-
начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает
как единственность, так и существование решения поставлен-
поставленной задачи.
2. Физическая интерпретация. Функция и{х, t), определяемая
формулой (9), представляет процесс распространения началь-
') В формуле E) функции /i и /г определены неоднозначно. Если от ft
отнять, а к /2 прибавить некоторую постоянную Си то и не изменится.
В формуле (8) постоянная С не определяется через фи\|), однако мы можем
ее отбросить, не меняя значения и. При сложении fi и /г слагаемые С/2 и
— С/2 взаимно уничтожаются.

§2]
МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
а)
ного отклонения и начальной скорости. Если фиксировать t =
= t0, то функция и (х, t0) дает профиль струны в момент t0;
фиксируя х — Хо, получим функцию u(xo,t), дающую процесс
движения точки х0 (рис. 4). Предположим, что наблюдатель,
находившийся в точке
^ = 0 в момент t = О, и
движется со скоростью а
в положительном направ-
направлении. Введем систему ко-
координат, связанную с на-
наблюдателем, полагая х'=
=х — at, f = t. В этой
подвижной системе коор-
координат функция u(x,t) =
= f(x — at) будет опре-
определяться формулой и=
= /(*') и наблюдатель
все время будет видеть
тот же профиль, что и в
начальный момент. Сле-
Следовательно, функция
и (х, t) =f{x—at) пред-
представляет неизменный про-
профиль f(x), перемещаю-
перемещающийся вправо (в положи-
положительном направлении
оси х) со. скоростью а (распространяющуюся или бегущую
волну). Функция f(x + at) представляет, очевидно, волну, рас-
распространяющуюся налево (в отрицательном направлении оси я)
со скоростью а. Таким образом, общее решение (9) задачи
Коши для бесконечной струны есть суперпозиция двух волн
/i (x + at) + h (x — а0> одна из которых распространяется на-
направо со скоростью а, а вторая — налево с той же скоростью.
При этом
где
Для выяснения характера решения (9) удобно пользоваться"
плоскостью состояний (x,t) или «фазовой плоскостью». Прямые
х —at = const и # + а/= const являются характеристиками
уравнения A). Функция u = f{x — at) вдоль характеристики
Рис. 4.

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
х — at = const сохраняет постоянное значение, функция и =
= f(x-\-at) постоянна вдоль характеристики х + at = const.
Предположим, что f(x) отлична от нуля только в интервале
{Xi,x2) и равна нулю вне этого интервала. Проведем характе-
характеристики х — at = х{ и х — at — х2 через точки (хи 0) и (#2.0);
•они разбивают полуплоскость (х, t > 0) на три области /, //
и /// (рис. 5,а). Функция u = f(x — at) отлична от нуля только
в области //, где хх < х — at < х2 и характеристики х — at =
= Xi и х — at = х2 представляют передний и задний фронты
распространяющейся направо волны.
P(xo-ato,0)
Рнс. 5.
Рассмотрим теперь некоторую фиксированную точку (х0, to)
и проведем из нее обе характеристики х — at = х0 — ato и х +
+ at = #о + at0, которые пересекут ось х в точках xt = х0 —
¦'— at0, t = 0 и х2 = х0 + а*о. * = 0. Значение функции и =
= fi(x — t)-j-f2{x + at) в точке {xo,to) равно и(х0,to) = M*i) +
+ /2(^2)» т. е. определяется значениями функций fi(x) и fz(x)
в точках (jci, 0) и (^2,0). являющихся вершинами треугольника
MPQ (рис. 5,6), образованного двумя характеристиками и
осью х. Этот треугольник называется характеристическим тре-
треугольником точки (#о. М • Из формулы (9) видно, что отклоне-
отклонение и(х0, t0) точки струны в момент ?0 зависит только от зна-
значений начального отклонения в вершинах Р(х0 — ato, 0) и
Q(xo-\-ato,0) характеристического треугольника MPQ и от зна-
значений начальной скорости на стороне PQ. Это становится осо-
особенно ясным, если формулу (9) записать в виде
A0)
PQ
Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влия-
влияния на значения и (х, t) в точке М (х0, t0). Если началыше усло-
условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке PiQu

§2]
МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
то они однозначно определяют решение внутри характеристиче-
характеристического треугольника, основанием которого является отрезок PiQu
3. Примеры. Решение (9) можно представить в виде суммы
и = щ (х, t) + щ (х, t), где
*!,(*, 0 = 4-[ф (*-<
О IT \" / I f
at)], A1) ™
«2 {Х, f) =
x+at
. A2)
Если начальная скорость
равна нулю (i?> (х) = 0), то
отклонение и — щ (х, t) есть
сумма левой и правой бегу-
бегущих волн, причем началь-
начальная форма каждой волны
определяется функцией
0,5ф(#), равной половине
начального отклонения. Ес-
Если же ф (х) =0, то и =
= tiz(x,t) представляет воз-
возмущение струны, создавае-
создаваемое начальной скоростью.
Пример 1. Рассмотрим
распространение начального
отклонения, заданного в
виде равнобедренного треу-
треугольника. Такой начальный
профиль можно получить,
если оттянуть струну в се-
середине отрезка [хи х2]. На
рис. 6 даны последователь-
последовательные положения струны через
промежутки времени Д? =
_ x
8a
Рнс- 6-
\
»-г
Рис. 7.
Bi)/
Наглядное представление о характере процесса распростра-
распространения можно получить с помощью фазовой плоскости .(x,t)^
Проведем характеристики через точки Р{хи0) и Q(x2,0); они
разобьют полуплоскость (— оо < х < оо, t ^ 0) на шесть об-
областей (рис. 7). Отклонение щ(х,t) в любой точке (x,t) дается
формулой A1). Поэтому в областях /, ///, V отклонение равно
нулю, так как характеристический треугольник любой точки

56 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
из этих областей не имеет общих точек с отрезком [jci, лг2], на
котором заданы начальные условия. В области // решением
является «правая волна» ы —0,5ф(х — at), в области IV—«ле-
IV—«левая волна» и = 0,5ф (х + at), а в области VI решение есть
сумма «левой» и «правой» волн.
Пример 2. Пусть начальное отклонение ф(я)==0, а на-
начальная скорость отлична от нуля только на отрезке [#i,#2],
где она принимает постоянное'значение -ф0: ty{x) = ty0 при Xi ^
sg; х sg: х2, %р (х) — 0 при х > х2 и х < Xi. В этом случае реше-
решением является функция u2(x,t). Вычислим функцию ^(х), вы-
выбрав при этом Хо = 0 (рис. 8):
О при х<хи
{x — Xi)^0l2a при *,<.к<*2, A3)
(х2 — х{) %/2а при х > х2.
X
Решение u2(x,t) есть разность правой и левой волн с профилем
4f (x). Последовательные положения этих волн через проме-
промежутки времени At = (x2 — #i)/8a изображены на рис. 9. Про-
Профиль струны для t ^ 4Д/ имеет форму трапеции, расширяю-
расширяющейся равномерно с течением времени. Если ty(x) отлично от
постоянной на [xi,x^\, то изменится лишь профиль ^(х).
Для выяснения характера решения воспользуемся фазовой
плоскостью (х, t) (рис. 7). Напишем выражения для и(х, t)
в различных областях фазовой плоскости.
В области / {х — at> х2) Ч (х + at) = ? (х — at) = const,
u(x,t) = 0.
В области V (x + at<xl) W (x — at) = У (х-{-at) = О,
(t)
,)
В области /// {х — at < хи х + at> x2)
Ч(х+ at) = const = ^=^-
-at) = 0, и(х, 0 = ^
В области II(xi<x — at<x2, x-\- at>x2)
— °i — xi i / л х-> — (х —
Та—L^o, u(x, 0=»-J—^
В области IV (xi<x + at<x2, x — at<x{)
x + *-x4h>, 4{x-at) = 0, u(x, t) =

§г) МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
В области VI{x — at>xu x + at<x2)
57
- at) =
*"%,"*'
«(*, t) =
Пример 3. Рассмотрим задачу о колебаниях струны под
действием сосредоточенного импульса. Сообщая в начальный
момент точкам струны {х,х +
+ Ах) постоянную скорость ifo
(например, ударяя струну мо-
молоточком), мы прикладываем к
этому участку импульс /, рав-
равный изменению количества
движения при t = 0, так что
/ = рДллро, где р — линейная
плотность струны. Таким обра-
образом, мы должны решить зада-
задачу о колебаниях струны с ну-
нулевым начальным отклонени-
отклонением и начальной скоростью
¦ф = /0/р = i]H на интервале
(х,х-\- Ах), ty = 0 вне этого
интервала; здесь 10 = 1/Ах —
плотность импульса. Анализ
решения этой задачи был дан
выше при решении примера 2.
X
Рис. 8.
Рис. 9.
Отклонение, вызываемое импульсом, распределенным на интер-
интервале {х,х-\-Ах), представляет собой при t>Ax/2a трапецию
с нижним основанием 2at + Ax и верхним 2at — Ax. Совершая
предельный переход при Д*->0 /0 = const, видим, что откло-
отклонения будут Нравны нулю вне {х — at,x + at) и //2ор внутри
этого интервала. Можно условно говорить, что эти отклонения
вызываются точечным импульсом /.

УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
Рассмотрим фазовую плоскость (х, t) и проведем через
точку (х0, t0) обе характеристики:
х — at = х0 — atQ, х + at = xQ + at0
(рис. 10). Они определяют два угла oci и осг, называемые верх-
верхним и, соответственно, нижним характеристическими углами для
точки (х0, t0).
Действие точечного импульса в точке (х0, *о) вызывает от-
отклонение, равное -т^- — внутри верхнего характеристического
угла и нулю вне его.
4. Неоднородное уравнение.
Рассмотрим задачу Коши для
неоднородного уравнения коле-
колебаний
Рис. 10.
Пусть wf (x, t; т) — решение вспомогательной задачи Коши
^Г «Я = «хх + f(x, f),
— оо<д;<оо,
и(х, 0) = ф(х),
щ(х, 0) = ifW,
схэ.
A4)
э, t>x
Wf \Х, Т, т; — W, ^^ ^а, т, т; — / ^л, т;, t — т, tw
Формула Даламбера (9) дает
х+ a (t-x)
1 Г
wf(x, t; x) = w{{x, t — т;т)=2^- J f(t,
x-a(t-x)
Перепишем формулу Даламбера (9) в виде
о (х, t) = ^- (x, t; 0) + шф (х, t; 0),
A5)
оо. A6)
A7)
A8)
x+at
x+at
где
являются решениями задачи A5), A6) при т = 0 и f = )
/ = Ф (д;) соответственно, так как непосредственное дифферен-
*{x, t; 0) = ^- J il>(|)d|, o»,(jc, <;0) = ^- J

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
цирование показывает, что
x+al
+
dwV (v t. Пч_ д l f
J
X—at
Докажем, что справедлива следующая лемма:
Решение неоднородного уравнения A4) с нулевыми на-
начальными данными ut(x,0) =0, «(#,0) =0 имеет вид
t
u{x,f)=di\wf(x,t;x)dx.
о
Дифференцируя функцию A9) и учитывая условия A6) для
Wf{x,t\x), находим:
щ (х, t) = a2wf (х, t;t) + a4 -^ (х, f, т) dx =- Ф I -J (x, t; т) dxr
б о
B0)
и«(*. t) = a2^-(x, t; t) + a* j ^-(x, t; x)dx =
t
= °2 J -?? {x> *> T)dr + °2f ^ ')•
о
t
Г d2Wf Г d2wf
uxx==a \ dx2 (X' ' T' == J 5/2 (-^« ^> T) ^T •
о о
Отсюда видно, что функция A9) удовлетворяет уравнению A4).
Из формул A9) и B0) сразу следует:
Решение задачи A4), в силу A8) и A9), можно предста-
представить в виде
t
и (х, t) = -^L (je, t; 0) + шф (x, t; 0) + a2 J wt {x, t; x) dx. B1)
о
Пользуясь выражением A7) для wf, получим:
x+at
± J
t
x+a ti)
J f{%,x)d$dx. B2)
J
x-at
t x+a ti-%)
J J
0 x-ait-%

60 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. [I
Прямая подстановка B2) в A4) показывает, что функция
B2) в самом деле является решением задачи A4), если суще-
существуют производные <р" (лг), o]/(jc) и df/dx.
Из формулы A7) следует, что функция Ш/ удовлетворяет
уравнению при t = т, если f дифференцируема по х, т. е. пред-
представление B1) возможно при тех же условиях, при которых
решение задачи Коши существует.
Формула B1) показывает, что решение общей задачи A4)
может быть сразу написано, если имеется решение вспомога-
вспомогательной задачи A5) — A6). Аналогичная формула имеет место
и для решения задачи Коши в неограниченном пространстве
(см. гл. V).
5. Устойчивость решений. Решение уравнения A) однозначно
определено начальными условиями B). Докажем, что это ре-
решение меняется непрерывно при непрерывном изменении на-
начальных условий.
Каков бы ни был промежуток времени [0,t0] и какова бы
ни была степень, точности е, найдется такое 6(е,/0), что всякие
два решения уравнения A) щ(х, t) и u2(x,t) в течение проме-
промежутка времени t0 будут различаться между, собой меньше чем.
на е:
]щ(х, t) -u2(x,
если только начальные значения
\ щ {х, 0) = ф, (х), \ и2 (х, 0) = Фа (х),
отличаются друг от друга меньше чем на 6:
Доказательство этой теоремы чрезвычайно просто. Функции
Ui(x,t) и uz{x,t) связаны со своими начальными значениями
формулой (9) так что
x+at
J
+
t
J
x-at
откуда получаем:
что и; доказывает наше утверждение, если положить
6

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 61
Всякий физически определенный процесс, развивающийся
во времени, должен характеризоваться функциями, непрерывно
зависящими от начальных данных. Если бы не было этой не-
непрерывной зависимости, то два существенно различных про-
процесса могли бы соответствовать практически одинаковым си-
системам начальных условий (различие которых лежит в преде-
пределах точности измерений). Процессы такого типа нельзя считать
определенными (физически) такими начальными условиями.
Из предыдущей теоремы следует, что процесс колебаний струны
не только математически, но и физически определен началь-
начальными условиями.
Если решение математической задачи непрерывно зависит
от дополнительных условий (от начальных, граничных данных
и от правой части уравнений — от исходных данных задачи),
то говорят, что задача устойчива.
В связи с изучением физически детерминированных явлений
вводится понятие корректности. Говорят, что математическая
задача поставлена корректно, если 1) решение задачи суще-
существует, 2) задача имеет единственное решение, 3) решение за-
задачи непрерывно зависит от исходных данных (устойчиво).
Отметим, что некорректно поставленные задачи часто встре-
встречаются в приложениях и к их числу относятся многие хорошо
известные математические задачи.
Приведем пример некорректно поставленной задачи, реше-
решение которой неустойчиво.
Функция и(х,у), являющаяся решением уравнения Лапласа
Чхх +"?/?/ = 0, однозначно определяется своими начальными
условиями1) и(х,0) = q>(x), иу(х,0) = г];(х). Рассмотрим функ-
функции иМ(х,у) = 0 и и{2)(х, у) = у sin Яде • chky, удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнению Лапласа. Функция и<2Цх,у) зависит от К, как
от параметра. Начальные значения
U(i) (х, 0) = 0, ы<2> (х, 0) = ф {х) = -i- sin lx,
uf {x, 0) = 0, и» {x, 0) = ф (х) = Q
различаются сколь угодно мало при достаточно больших Я.
Однако при этом решение и^(х,у) может стать сколь угодно
большим, каково бы ни было фиксированное значение у. Сле-
Следовательно, задача с начальными условиями для уравнения
Лапласа является некорректно поставленной.
') Эти условия математически однозначно определяют решение уравне-
уравнения Лапласа. В самом деле, задание иу(х,0) эквивалентно vx(x,0), где
v(x> У)—функция гармонически сопряженная для и(х, у). Этим с точностью
до_постоянной однозначно определяется аналитическая функция, действитель-
действительной частью которой является функция и(х,у) (см. гл. IV,1 § 1, п. 5).

g2 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. II
Естественно возникает вопрос о том, могут ли некорректно поставлен-
поставленные задачи вообще соответствовать каким-либо задачам, представляющим
интерес для физики? А также, какую научную ценность может представлять
приближенное решение некорректно поставленных задач, поскольку малым
ошибкам в условиях задач могут соответствовать большие ошибки решения?
Подобные сомнения возникают в связи с тем, что в сказанном выше
подразумевается, что в качестве приближенного решения задачи берется
точное решение задачи, соответствующее приближенным условиям.
Приведем пример некорректно поставленной задачи, имеющей важное
практическое значение.
Рассмотрим задачу о нахождении производной z(x) = —i-no равномер-
равномерным приближенным значениям для f{x). Пусть мера точности при задании
J(x) и определении 2(х) определена как
max | J (х) — f (x) | и max | z (х) — z (x) |.
Очевидно, что эта задача с точки зрения приведенной выше терминологии
неустойчива (поставлена некорректно). В самом деле, если f (х) = f (x) +
+ 6 cos сох, то max|f(>;)—f(x)\ — е при малом б. Однако если мы в каче-
качестве приближенного значения z (x) выбрали бы точную производную для
функции f(x), то
& (х) = V (х) — бю sin &х и max | z (х) — z (х) | = бю;
бш при фиксированном б и большом ш может быть как угодно большим
числом. Однако хорошо известно, что в качестве приближенного значения
f(x + b)—f(x)
производной берется разностное отношение —i т J—, которое пред-
представляет искомую производную с как угодно малой погрешностью, если
только h и б/h достаточно малы. Понятно при этом, что для получения хоро-
хорошего приближения для df/dx по приближенному значению для f (x) погреш-
погрешность б должна быть достаточно мала.
Итак, в рассматриваемом примере, несмотря на неустойчивость задачи,
можно указать метод получения сколь угодно точных приближений для
искомого решения по достаточно точным приближенным условиям задачи.
Подобное положение типично для многих некорректно поставленных
задач ').
Некорректно поставленные задачи часто встречаются в физике при изу-
изучении объектов, недоступных непосредственному исследованию (измерению).
В этих случаях приходится делать заключения о характеристиках «г» таких
объектов по их косвенным (физически детерминированным) проявлениям <ш»,
доступным для экспериментальных измерений и связанным с «z» функцио-
функциональной зависимостью вида Аг = и. В результате мы приходим к задаче
обработки наблюдений, которая является обратной задачей н состоит в опре-
определении характеристик «г» объектов по данным ««» эксперимента. Многие из
') М. М. Лаврентьев, О некорректных задачах математической фи-
физики, Изд. Сиб. отдел. АН СССР, Новосибирск, 1962; А. Н. Тихонов,
Решение некорректно поставленных задач и метод регуляризации, ДАН
СССР 151, № 3, 501—504 A963); «О регуляризации некорректно поставлен-
поставленных задач», ДАН СССР 153, № 1, 45—52 A963); «О нелинейных уравнениях
первого рода», ДАН СССР 161, № 5, 1023-1027 A965).

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 63
этих задач являются некорректно поставленными. В частности, приведенная
выше задача Коши для уравнения Лапласа имеет непосредственное отноше-
отношение к обратной задаче гравиметрии (об определении формы тела по созда-
создаваемой им аномалии силы тяжести). Приведенный выше пример о вычис-
вычислении производной по приближенным значениям функции типичен для многих
экспериментов, где измерения проводятся по принципу накопления.
Отметим теперь следующее обстоятельство. Очевидно, что
функция и(х,t), определяемая формулой (9), может быть ре-
решением уравнения A) только в том случае, если функция ty(x)
дифференцируема, а функция ф(х) дифференцируема дважды.
Из сказанного ясно, что функции, изображенные на рис. 11 и
12, не могут являться решением уравнения A), так как они не
всюду дважды дифференцируемы. Более того, можно утверж-
утверждать, что решения уравнения колебаний, удовлетворяющего
X, Хг +i J*
Рис. И. Рис. 12.
условиям B), не существует, если функции ф(х) и -ф(х) не
имеют нужных производных. Действительно, повторяя рассуж-
рассуждения, приведшие нас к формуле (9), мы можем утверждать,
что если существует решение уравнения колебаний, то оно
должно представляться формулой (9). Если же функции ф, -ф
не дифференцируемы достаточное число раз, то формула (9)
определяет функцию, не удовлетворяющую уравнению A), т.е.
не существует решения этой задачи.
Однако если немного изменить начальные условия, заменив
их дифференцируемыми функциями ф(х) и ijp(x), то этим на-
начальным функциям уже будет соответствовать решение уравне-
уравнения A). Кроме того, заметим, что при доказательстве теоремы
настоящего пункта мы фактически доказали, что функции,
определяемые формулой (9), непрерывно зависят от начальных
функций ф и t|j (независимо от того, дифференцируемы эти
функции или нет). Таким образом, если некоторым функциям ф,
я]з не соответствует решение уравнения колебаний, удовлетво-
удовлетворяющее условиям B), то функция, определяемая формулой (9),
является пределом решений уравнения колебаний с немного
сглаженными начальными условиями.
Полученные таким предельным переходом функции назы-
называются обобщенными решениями. Понятие обобщенных

64 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
решений играет большую роль в физике и было введено
С. Л. Соболевым1).
6. Полуограниченная прямая и метод продолжений. Рассмот-
Рассмотрим задачу о распространении волн на полуограниченной пря-
прямой х ^ 0. Эта задача имеет особенно важное значение при
изучении процессов отражения волн от конца и ставится сле-
следующим образом:
найти решение уравнения колебаний
a2uxx = uit при 0<jc<oo, / > 0,
удовлетворяющее граничному условию
и @, 0 = ^ @ (или их @, 0 = v @) (/ > 0)
и начальным условиям
и (х, 0) = ф (х)
Рассмотрим сначала случай однородного граничного условия
ы@, t)—*0 (или их@, /) == 0).
т. е. задачу о распространении начального возмущения на стру-
струне с закрепленным концом х = 0 (или свободным концом).
Отметим следующие две леммы о свойствах решений урав-
уравнений колебаний, определенных на бесконечной прямой.
1. Если начальные данные в задаче о распространении ко-
колебаний на неограниченной прямой (задача A) — B)) являются
нечетными функциями относительно некоторой точки х0, то со-
соответствующее решение в этой точке х0 равно нулю.
2. Если начальные данные в задаче о распространении ко-
колебаний на неограниченной прямой (задача A) — B)) явля-
являются четными функциями относительно некоторой точки х0, то
производная по х соответствующего решения в этой точке равна
нулю.
Докажем лемму 1. Примем х0 за начало координат, х0 = 0.
В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся
в виде
Ф (х) = — ф (— х); if (х) = — tf (— х).
Функция u(x,t), определяемая формулой (9), при х = 0 и
/ > 0 равна
—at
') См. подробнее С. Л. Соболев, Уравнения математической фнзаки,
Гостехиздат, 1954, а также И. Г. Петровский, Лекции об уравнениих
с частными производными, Фнзматгнз, 1961.

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 65
так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетносги ф(х),
а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции
в пределах, симметричных относительно начала координат,
всегда равен нулю.
Аналогично доказывается лемма 2. Условия четности на-
начальных данных имеют вид
Заметим, что производная четной функции является функцией
нечетной
Из формулы (9) следует:
а° +^-mat)-^-at)] = O, t>0,
так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности q/(jc),
а второе — в силу четности ty(x) ').
Приведенное выше доказательство фактически опирается на
формулу Даламбера и не связано с двукратной дифференци-
руемостью функции и(х,t). Тем самым доказано, что лемма 1
верна для любых функций, представимых формулой Далам-
Даламбера, а лемма 2 — для функций того же вида с дифференцируе-
дифференцируемой функцией ty(x), т. е. для обобщенных решений задачи
A)-B).
При помощи этих двух лемм можно решить следующие за-
задачи:
требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее
начальным условиям
и граничному условию
и@, *) = 0, *>0
(первая краевая задача).
Рассмотрим функции Ф(х) и ^(х), являющиеся нечетным
продолжением у(х) и а|з(дс), входящих в условие B'):
Ф (х) для х > 0,
— Ф (— х) для х < 0,
¦ф (х) для х > 0,
— -ф(— х) для лс<0.
') Эти две леммы являются следствием того, что если начальные уело»
вия четны (илн нечетны), то и при t > 0 функция u(x,t), определяемая фор-
формулой Даламбера, обладает тем же свойством (предоставляем читателю до-
доказать это). Геометрически очевидно, что нечетная непрерывная функция и
производная четной дифференцируемой функции равны нулю при х = 0.
3 А, Н, Тихонов, А, А, Самарский

€6
Функция
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
x+at
|ГЛ. II
^г J
x-at
определена для всех х и < > 0. В силу леммы 1
ы@, /) = 0.
Кроме того, эта функция удовлетворяет при / = 0 и х > 0 сле-
следующим начальным условиям:
и(х, 0) = Ф(ж) = ф(х), 1
Таким образом, рассматривая полученную функцию и(х, t)
только для х^>0, ?>0, мы получим функцию, удовлетворяю-
удовлетворяющую всем условиям поставленной задачи.
Возвращаясь к прежним функциям, можно написать:
Ф (х + at) + ф (х — at) ,
u(x, t) =
x+at
i J
для
x-at
q>(x + at) — if (at — x)
2
x+at
i J
для
B3)
В области / < x/a влияние граничных условий не сказывается,
и выражение для и(х,t) совпадает с решением (9) для беско-
бесконечной прямой.
Аналогично, если при х = 0 мы имеем свободный конец
то, беря четное продолжение функций ц>(х) и г|з
Ф (х) для х > О,
) (— х) для х < 0;
•ф(лг) для х > 0,
р (— л:) для х < 0,
получим решение уравнения колебаний

§21
МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
67
или
и(х, 0 =
x+at
Ф (х + at) + w(at — x)
\x+at
^_ J
x-at
t|j (a) da
at-x
+
для t >
8а
удовлетворяющие в области х ^ 0 начальным условиям B) и
граничному условию их@, t) = 0.
В дальнейшем при решении различных задач нам часто
придется пользоваться методом продолжения на бесконечную
область начальных дан- хг-х,
ных, определенных на не- u &t"
которой части этой обла-
области. —^
Поэтому мы еще раз
сформулируем получен- ^
ные результаты в виде
двух следующих правил.
Для решения задачи .
на полуограниченной пря-
прямой с граничным усло-
условием и @, t)= 0 началь-
ные данные надо продол-
продолжить на всю прямую не-
четно.
Для решения задачи
на полуограниченной пря-
мой с граничным усло-
условием ux(b,t) =0 началь-
ные данные надо продол-
продолжить на всю прямую
четно.
Рассмотрим два при-
примера. Пусть начальные
данные на полуограничен-
полуограниченной прямой, закреплен-
закрепленной при х = 0, отличны ^
от нуля только в интер-
интервале (a,b), 0<a<b, в
котором начальное откло-
отклонение, даваемое функций ф(х), изображается равнобедренным
треугольником, а -ф(лг) =0. Решение этой задачи будет полу-
Рис. 13.

68
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
чено, если начальные данные нечетно продолжить на бесконеч-
бесконечную прямую. Процесс распространения волн изображен на
рис. 13. Вначале процесс происходит так же, как и на неограни-
неограниченной прямой. Заданное отклонение разбивается на две волны,
движущиеся в разные стороны с постоянной скоростью, причем
это продолжается до тех пор, пока полуволна, идущая налево
не дойдет до точки х = О (рис. 13). В этот момент с левой сто-
стороны (х <^ 0), на которой происходили аналогичные процессы,
к точке х = 0 подходит
полуволна с «обратной
фазой». В последующие
моменты происходит отра-
отражение полуволны от за-
закрепленного конца. Это
изображено в деталях на
рис. 13. Профиль отра-
отражающейся волны укора-
укорачивается, отклонения ис-
исчезают, затем отклонения
появляются с обратным
знаком и, наконец, отра-
отраженная полуволна пойдет
вправо за ушедшей туда
полуволной с той же ско-
скоростью. Таким образом,
при отражении волны от
закрепленного конца
струны, ее отклонение ме-
меняет знак.
Рассмотрим второй
пример. Пусть на полу-
полуограниченной прямой х^
;э= 0, закрепленной при
* = 0, начальное откло-
отклонение всюду равно нулю, а начальная скорость $(х) отлична от
нуля только в интервале (хих2) @<х1<л:2), причем здесь
Ф (х) = const. Продолжим нечетно начальные данные. От каж-
каждого интервала (хи хг) и (—хи — х2) распространяются откло-
отклонения, подобные отклонениям, изображенным на рис. 14. Как
видно из рисунка, в начальной стадии в области х > 0 процесс
происходит так же, как и на бесконечной прямой. Затем проис-
происходит отражение от закрепленного конца и, наконец, волна
с профилем в виде равнобедренной трапеции с постоянной ско-
скоростью движется вправо.
Изучение отражения от свободного конца проводится ана-
аналогично, только начальные данные нужно продолжать четно,
Рис. 14.

§2]
МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
69
так что отражение волны от свободного конца будет происхо-
происходить не с измененной, а с той же фазой.
Мы рассмотрели задачи с однородными граничными усло-
условиями
"(О, t) = [i{t) = O
или
М0> t) = v(t) = O.
В общем случае неоднородных граничных условий решение
представляется в виде суммы, каждое слагаемое которой удо-
удовлетворяет только одному
из поставленных условий
(либо граничному, либо
начальному).
Обратимся теперь к
решению уравнения при
нулевых начальных и за-
заданном граничном усло-
условиях
п (х, 0) = 0, щ (х, 0) = 0,
п @, t) = ц (/), / > 0.
Очевидно, что гранич-
граничный режим вызовет вол-
волну, распространяющуюся
вдоль струны направо со скоростью а, что подсказывает нам
аналитическую форму решения:
u(x,t) = f(x-at).
Определим функцию f из граничного условия
откуда
так что
Рис. 15.
-*[-*=*¦)-*(>-$
Однако эта функция определена лишь в области х — at ^ О,
так как n(t) определена для / ^ 0. На рис. 15 эта область изо-
изображается заштрихованной частью фазовой плоскости.
Чтобы найти u(x,t) для всех значений аргументов, продол-
продолжим функцию \x,(t) на отрицательные значения t, полагая
y,(t) = 0 для / < 0. Тогда функция

70
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. И
будет определена для всех значений аргументов и будет удов-
удовлетворять нулевым начальным условиям.
Сумма этой функции и функции B3), определенной в на-
начале настоящего пункта, представляет решение первой крае-
краевой задачи для однородного уравнения колебаний. Для полу-
полуограниченной струны:
<р (х + at) + ф (х — at)
и {х, t)=
¦ +
x+at
J *(<*)
2fl
x—at
i (x + at) — ф (at — x)
_
x+at
•Ф (a) da
da для
B4)
2a
J
для
at-x
Аналогично может быть построено решение второй краевой
задачи. О третьей краевой задаче см. п. 9, стр. 79.
Мы ограничимся здесь решением краевой задачи для одно-
однородного уравнения колебаний.
Решение неоднородного уравнения см. в п. 9.
7. Задачи для ограниченного отрезка. Рассмотрим краевые
задачи для ограниченного отрезка @, /). Будем искать решение
уравнения
2
удовлетворяющее граничным условиям
u@, 0 = MO
и начальным условиям
и(х, 0) = ф(х)
щ(х, 0) = $(х]
Рассмотрим предварительно случай однородных граничных
условий
ы@, 0=«(/. 0 = 0.
Будем искать решение задачи в этом случае методом продол-
продолжения, предполагая возможность следующего представления:
x+at
J
t
J
X-at

§21
МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
71
где Ф и Ч? — функции, подлежащие определению. Начальные
условия
определяют значения фи?в интервале {0,1).
Чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, нало-
наложим на функции Ф(х) и W(x) требования нечетности относи-
относительно точек х = 0, х = /:
Ф(х) = — Ф(—х). Ф{х)=-Ф{21-х),
Сопоставляя эти равенства, получим:
Ф(х') = Ф{х' + 21) {х'=-х)
и аналогично для ^{х), т. е. Ф и Ч* являются периодическими
функциями с периодом 21.
21
Рис. 16.
Нетрудно видеть, что условия нечетности относительно на-
начала координат и условия периодичности определяют продол-
продолжение Ф{х) и Чг(х) на всей прямой —оо < х < оо. Подставляя
их в формулу (9), получаем решение задачи.
На рис. 16 совмещены фазовая плоскость (х, t) и плоскость
{х,и), в которой дано начальное отклонение и его продолже-
продолжение. На фазовой плоскости штриховкой выделены полосы, вну-
внутри которых отклонение отлично от нуля (см. рис. 7). Знаки
плюс и минус, стоящие в этих полосах, указывают на знак
(фазу) отклонения (в виде равнобедренного треугольника).

72 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. [Г
Пользуясь этим рисунком, легко представить себе профиль от-
отклонения в любой момент t. Так, в момент t = 21/а мы полу-
получим отклонения, совпадающие с начальными. Таким образом,
функция и(х,t) будет периодической функцией t с периодом
Т = 21/а (см. стр.92).
Рассмотрим теперь задачу о распространении граничного
режима. Будем искать решение уравнения
с нулевыми начальными условиями
и(х, 0) — ф (х) = О,
щ (х, 0) = •ф (х) = О
и граничными условиями
и @, t) = ц (t)
Из результатов п. 6 вытекает, что при t < I/a решением служит
функция
(t), t>0,
-Д('-Й. где р@ = {
Однако эта функция не удовлетворяет граничному условию
u(l, t) = 0 при t>l/a.
Рассмотрим «отраженную» волну, идущую налево и имеющую
при х = 1 отклонение, равное p. U 1. Ее аналитическое вы-
выражение дается формулой
I 1-х
Легко проверить, что разность двух волн
есть решение уравнения при t < 1Ца.
Продолжая этот процесс далее, получим решение в виде
ряда
п=0
содержащего (для каждого фиксированного t) только конеч-
конечное число отличных от нуля членов, ибо с каждым новым от-
отражением аргумент уменьшается на 2Ца, а функция ji (/) = 0

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 73
для t <c 0. Выполнение граничных условий проверяется непос-
непосредственно. В самом деле, положим х = 0и выделим из первой
суммы отдельно первое слагаемое при п = 0, равное \a(t).
Остальные слагаемые первой и второй сумм, соответствующие
одинаковым значениям п, взаимно уничтожаются; это показы-
показывает, что и@, t)= ц{1).
Заменяя п на п — 1 и изменяя в связи с этим пределы сум-
суммирования, преобразуем первую сумму к виду
S_ /. 2га/
Л*—Г
2/ —
п<=\
Полагая теперь х = I, непосредственно убеждаемся в том, что
слагаемые первой и второй сумм взаимно уничтожаются1).
Формула B5) имеет простой физический смысл. Функция
представляет собой волну, возбуждаемую граничным режимом
при х = 0, независимо от влияния конца х — I, как если бы
струна была бесконечна @<л;<сх>). Следующие слагаемые
представляют собой последовательные отражения от закреп-
закрепленного края х = I (вторая сумма) и от края х = 0 (первая
сумма).
Аналогично, функция
^)
дает решение однородного уравнения с нулевыми начальными
условиями и(х,0) = 0, щ(х,0) = 0 и граничными условиями
ы@,/) = 0 и u(l,t)==n(t). На доказательстве единственности
рассмотренной задачи и непрерывной зависимости решения от
начальных и граничных условий мы не останавливаемся.
8. Дисперсия волн. Уравнение колебаний струны utt = а2ихх
допускает решение в виде бегущей волны u = f(x±at) произ-
произвольной формы. Общее уравнение гиперболического типа с по-
постоянными коэффициентами
«д — а2«*А; + &1«* + М* + сй = 0 B6)
с помощью указанной в гл. I подстановки п= иеКх+^г, где ц =
= — 0,5&i, Я = —0,5 Ь2/а2, сводится к уравнению
««— а2ихх + си = 0, B7)
') Начальные условия также проверяются непосредственно, так как ар-
аргументы всех функций отрицательны при / = 0 и выражение B5) при / = 0
равно нулю.

74 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. П
где с = c-\-(bJ2J — (Ь2/2аJ. Покажем, что уравнение B7) не
допускает решений в виде произвольной бегущей волны при
с Ф 0. В самом деле, подставляя u = f(x — at) в B7), нахо-
находим a2f" — а2]" 4-^ = 0, откуда, в силу произвольности f, сле-
следует с = 0.
Импульс или сигнал произвольной формы может быть раз-
разложением в интеграл Фурье представлен в виде суперпозиции
гармонических волн вида
Ы( v t\ pi (tof—kx)
где ю — частота, k = 2лД—волновое число, К — длина волны.
Скорость, с которой фаза волны ее = и/ — kx перемещается
в пространстве, называется фазовой скоростью волны и равна,
очевидно, v = (й/й. Если фазовая скорость гармонической вол-
волны зависит от частоты, то говорят о дисперсии волн. В этом
случае гармонические составляющие сигнала смещаются друг
относительно друга, в результате чего профиль сигнала иска-
искажается.
Очевидно, что если уравнение не допускает решений в виде
волн произвольной формы, то фазовая скорость гармонической
волны зависит от частоты, т. е. имеет место дисперсия.
Покажем, что для уравнения B7) имеет место дисперсия
при с ф 0. Подставляя в B7) и = е^'-ад, получаем уравнение,
связывающее to и /г:
а? — a2k2 -f- с = 0.
Отсюда следует, что фазовая скорость
о и
V~T~"
зависит от частоты. При условии с —0, т. е. для уравнения ко-
колебаний струны ип = а2ихх, v = а не зависит от частоты и
дисперсия отсутствует. Условие с = 0 называют также усло-
условием отсутствия искажения.
В качестве примера рассмотрим телеграфное уравнение
(см. § 1, п. 4)
ixx = CLitt + {CR + LG) it + GRi.
Полагая i = uer-vt, где ^ = o,5(CR + GL)/CL, получаем для и
уравнение
ихх = CLutt + си,
где с = —{CR — LGJ/4CL. Отсюда видно, что при CR^LG
сигнал по кабелю распространяется с искажением, так как
имеет место дисперсия волн. Условие
CR = LG или -? = %¦

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 75
называется условием отсутствия искажения в линии. В этом
случае телеграфное уравнение допускает решение в виде зату-
затухающей волны
R G 1
L С ' \>ТС '
где / — произвольная функция.
Отсутствие искажения волн при их распространении по ка-
кабелю имеет особо важное значение для телефонной и телеграф-
телеграфной связи на больших расстояниях.
9. Интегральное уравнение колебаний. При выводе дифференциального
уравнения колебаний E) в § I мы исходили из закона сохранения количе-
количества движения, который привел нас к уравнению колебаний в интегральной
форме C). Для того чтобы от интегрального уравнения перейти к дифферен-
дифференциальному, мы предположили, что функция и(х, t) имеет вторые производ-
производные. Всякое предположение об ограничении класса рассматриваемых функ-
функций некоторым свойством означает отказ от изучения функций, не обладаю-
обладающих предполагаемым свойством. Таким образом, переходя от интегрального
уравнения колебаний к дифференциальному, мы исключаем из рассмотрения
процессы колебаний, не удовлетворяющие требованию двукратной дифферен-
дифференцируем ости.
Покажем, что всю теорию можно развить в классе непрерывных кусочно-
дифференцируемых функций, исходя из интегрального уравнения колебаний
Хг
*l t,
Этому уравнению можно придать следующую форму. Рассмотрим в плоско-
плоскости (х, t) область G, ограниченную кусочно-гладкой кривой С, и покажем,
что для этой области имеет место интегральное соотношение
I( H II B9)
С Q
Для однородной среды эта формула принимает вид
Если кривая С является контуром прямоугольника со сторонами, параллель-
параллельными осям координат, то формула B9) совпадает с формулой B8). Если
кривая С состоит из кусков, параллельных осям, то область G можно пред-
представить как сумму прямоугольников. Суммируя контурные интегралы, соот-
соответствующие отдельным слагаемым, мы получим, что слагаемые, относя-
относящиеся к внутренним границам, взаимно уничтожаются, так как интегри-
интегрирование производится в противоположных направлениях, а остающиеся
слагаемые дадут формулу B9). Пусть, далее, кривая С содержит дуги (Т,

76
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
не параллельные осям и не являющиеся линиями разрыва подынтегральной
функции. Возьмем сетку со сторонамн, параллельными осям координат, и рас-
рассмотрим ячейки сетки, пересекающиеся с областью G. Обозначим через G*
совокупность этих ячеек и через С* — границу области G*. Формула B9)
применима к G*. Переходя к пределу
при уменьшающихся размерах сетки,
нетрудно убедиться в справедливости
формулы B9) для предельной кри-
кривой С.
В самом деле, первое слагаемое
формулы B9), примененной к области
G*, состоит из слагаемых типа
U
я
L
п
L
А
Л
/
1
Г Ф (х, t) dx или Г Ф (х, 0 dt,
где Ф(х, t)—непрерывная функция н
Рис. 17. Сп—дуга_коитура С*, аппроксимирую-
аппроксимирующая ду_гу С (рис. 17).
Пусть / =/„(х) — уравнение кривой С„ н / = t(x) —уравнение кри-
кривой С. Очевидно, что tn(x) равномерно сходится к t(x) и
ь Ь
lim f Ф [х, tn (x)] dx= [ O[x,t {x)] dx,
что и доказывает законность предельного перехода ').
Если кривая С содержит дуги, являющиеся линиями разрыва подынтег-
подынтегральной функции, то формула B9) сохраняет силу, если брать в качестве
значений подынтегральной функции ее предельные значения с внутренней
стороны области G. Таким образом, справедливость интегральной формулы
B9) доказана.
Рассмотрим следующую задачу:
найти функцию u(x,t), определенную и кусочно-гладкую в области
— оо<х<оо,/550, удовлетворяющую уравнению
O B9')
и (х, 0) = <р (х),
и начальным условиям
где <р(х) — кусочно-гладкая функция, a ty(x) и f(x,t)—кусочно-непрерыв-
f(x,t)—кусочно-непрерывны. Здесь С — произвольный кусочно-гладкий контур, лежащий в области
t 5= 0. Покажем, что эта задача имеет единственное решение, определяемое
формулой Даламбера.
Допустим, что функция u{x,t) представляет решение нашей задачи. Рас-
Рассмотрим треугольник АВМ (рис. 18), примыкающий к оси t = 0 с вершиной
в точке М(х, t), со сторонами, являющимися отрезками характеристик
') Поскольку dx = 0 иа вертикальных звеньях ломаной Сп, то в этой
формуле t = tn (x) есть уравнение горизонтальных звеньев кривой С„.

§ 2] МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН 77
х — at = const и x-\-at = const и применим к нему формулу B9'). Вдоль
л ч dx
отрезка AM имеет место равенство —тг — а, так что
ди . , 2 ди .. / ди ., . ди
dt dx \ dt дх
Вдоль отрезка MB имеет место равенство —тр = —а, так что
ди . , „ ди ,, I ди ,. . ди
Следовательно, подынтегральное выражение вдоль характеристик является
полным дифференциалом. Производя интегрирование вдоль отрезков ВМ и
МА, получим:
м
м
так что формула B9') принимает вид:
в
или
J (-g- dx + a'-g л) = - а [и (М) - и (В)].
в
А
J (-|?. Ас + о»-|Н. л) = а [и (Л) - « (Л*)],
I J I
x—ot 0 *—a(t—x)
Таким образом, если решение поставленной задачи существует, то оно одно-
однозначно определяется своими начальными значениями. В случае однородного
уравнения (/ = 0) эта формула совпадает с формулой Даламбера. Отсюда
следует теорема едииственностн для рассматриваемой задачи.
Нетрудно непосредственной подстановкой проверить, что функция типа
t x+a (t-x)
J dx j f3
0 x-a(t-x)
t
J
где fi и /г — кусочно-гладкие функции, а fs — кусочно-иепрерывная функция
удовлетворяет уравнению B8), а тем самым и уравнению B9'). Это доказы-
доказывает теорему существования. Решения задач, рассмотренных в п. 3 в каче-
качестве примеров, являются кусочио-гладкими функциями и охватываются изло-
изложенной теорией.
Обратимся теперь к первой краевой задаче на полуограниченной прямой.
Будем искать решение уравнения B9) в некоторой точке M(x,t) для

78
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
t > xla (рис. 19), так как в области t < xla (под характеристикой х = at)
влияние граничного режима не сказывается, и решение определяется форму-
формулой C0). Применим формулу B9') к четырехугольнику МАА'В, в котором МА,
М(хЛ)
В
x-at x+at
Рис. 18.
Я' В
Рис. 19.
-*-Х
MB и АА' — отрезки характеристик. Выполняя интегрирование вдоль характе-
характеристик МА, АА' и ВМ, получим:
в
Чаи (М) = Чаи (Л) + аи (В) - аи (А') + Г -|у- dx + j | f dx dt.
A' MAA'B
Подставляя сюда координаты точек М, А, В а А', будем иметь:
/ _ _х\ и(х + at, 0) — и (at — х,.0)
x+at
"Г с\„
at—х
I
u(x, t) = \i[t — — ) + •
x+at
at) — Ф (o< —
+
t x+a(t~x)
0 (<
?). CD
Из C1) непосредственно следует единственность решения рассматриваемой
задачи.
При / = 0 эта формула, как нетрудно заметить, совпадает с формулой
B4) § 2, п. 6. Аналогичным способом изучается и вторая краевая задача, а
также задачи для ограниченного отрезка.
При изучении первой краевой задачи мы видели, что задания двух на-
начальных условий
и (х, 0) = ф (л), и{ (х, 0) = ф (х)
и одного граничного условия
и @, 0 = 1* @
достаточно для полного определения решения. Отсюда следует, что должно
существовать соотношение, связывающее функции ф, чр, ц и v, где \(t) =
= и*@, <). Дифференцируя формулу C1) по л: и полагая х = 0, получаем:
v @ = -^ № (at) - [ц' @ - ЙФ' (al)]},
C21

'2]
МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
где для простоты положено f = 0. Пользуясь формулой C2), можно, напри-
например, третью краевую задачу свести к первой краевой задаче.
10. Распространение разрывов вдоль характеристик. Обратимся к рас-
рассмотрению разрывов производных решений уравнения B9). Покажем, что
линиями разрыва производных функций
u(*>0i удовлетворяющих уравнению B9), ?
могут быть только линии семейств характе-
характеристик
х — at = const, x + at = const.
В самом деле, пусть некоторая дифферен-
дифференцируемая кривая, определяемая уравне-
уравнением
р „„
является линией разрыва производных
непрерывной, кусочно-дифференцируемой
функции и(х, t). Предположим для опреде-
определенности, что x(f) —возрастающая функция. Применим формулу B9') к пря-
прямоугольнику ABCD (рис. 20):
I A «•+*¦&.«)+ { (•?«•+-¦?«)-»
AD DC+CB
)
BA+AD DC+CB
а также к криволинейным треугольникам Д1 = BAD и Д2
BDC:
BA+AD
Г ( ди j i ¦> ди л\ i Г ( ди
J \-Wdx + a^dt)+ J Ьг
Г / ди . ди , \ Г / ди
-37" dx + а2-=— dt\ — -зг-
J \ dt дх I J \ dt
CB DB
J
DC+CB
„ ди \
дх )г
где скобки ( )il2 показывают, что надо брать предельные значения изнутри
треугольников Д] или Дг. Вычитая из суммы последних двух равенств пред-
предшествующее, получим:
Г f ( ди , . „ ди \ I ди
{ -j- х + а2 -=— — -j- л
J } \ dt ^ дх Jt \ dt
DB
или в силу произвольной малости дуги DB
' ди 1 . , „[ ди
C3)
где, как обычно, скобками обозначается величина разрыва функции
Возьмем производную по t от значения функции и(х, t) вдоль линии разрыва
производных

80 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
причем в качестве значения производных можно брать предельные значения
как из Дь так и из Дг. Разность правых частей при i = 1 и i = 2 дает:
Сопоставляя это равенство с равенством C3) и предполагая, что по крайней
[ди~\ Г ди~\
-зт- > -3— отличен от нуля, видим, что эти равен-
равенства возможны одновременно, если детерминант этой системы равен нулю:
х' а2
1 х'
или
х = ± at + const.
Таким образом, линии разрыва производных решения уравнения колебаний
являются характеристиками.
Задачи
1. Начертить профиль струны для различных моментов времени в сле-
следующих случаях:
I. Неограниченная струна (—оо < х < оо).
а) начальная скорость равна нулю (ф(х) =0), а начальный профиль
струны задан в виде рис. 21;
б) начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость имеет по-
постоянное значение ut (х, 0) = t|)o на участке струны (jci, x2) и равна нулю вне
этого участка;
в) начальные условия имеют вид
= 0,
II. Полуограниченная струна (^ )
г) начальная скорость' равна нулю (t|)(x) = 0), а начальное отклоне-
отклонение задано в виде треугольника, изображенного на рис. 21. Конец струны
закреплен;
та же задача для струны со свободным концом х = 0;
начальные условия имеют вид
0
h
2с2
0
CTf
хBс —
) у н а ((
х)
) <
при
при
при
; х <
х<с.
с<х<2с.
х>2с.
оо).
3
( 0 при 0<д:<с,
<р (л:) = 0, *])(*) = •{ t|)o = const при с<х<2с,
I 0
при х>'2с;
конец струны х = 0 закреплен;
ж) аналогичная задача для струны со свободным концом х = 0. Про-
Профиль струны для всех задач а) — ж) следует начертить для моментов вре-
времени
<о = О, h=*-^k (ft=l, 2 8).
Отметить для задач а) — ж) на фазовой плоскости (х, t) зоны, соответствую-
соответствующие различным стадиям процесса.

§2]
МЕТОД РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН
81
2. Найти решение задачи 1а) для всех значений переменных х и t (фор-
(формулы, выражающие функцию u(x,t), различны для разных зон фазовой
плоскости).
3. Определить отклонение в некоторой точке х0, to, пользуясь фазовой
плоскостью (х, t) и плоскостью (х, и), в которой (рис. 21) заданы начальные
отклонения (ty = 0), как для случая не-
неограниченной струны, так и для случая по- и
луограиичеиной струны с закрепленным
(или свободным) концом.
4. В начале длинной цилиндрической
трубки, заполненной газом, находится пор-
поршень, движущийся по произвольному за-
закону х — f(t), со скоростью v — f'(t) < a.
Начальное смещение и скорость частиц газа
равны нулю. Найти смещение газа в се-
сечении с абсциссой х. Рассмотреть случай
движения поршня с постоянной скоростью
с <а. Что можно сказать о решении задачи, если начиная с некоторого мо-
момента скорость поршня v > с? (см. Приложение 5 к гл. II).
5. Пусть по неограниченной струне бежит волна u(x,t)=f{x — at).
Состояние струны в момент t = 0 принять за начальное и решить уравнение
колебаний при соответствующих начальных условиях. Сравнить с задачей 1а).
6. Неограниченный упругий стержень получен соединением в точке х=0
двух стержней с характеристиками
Рис. 21.
Pi,
al=Vkilpl при *<0,
ПРИ
а) Пусть из области х < 0 бежит волна
где / — заданная функция. Найти коэффициенты отражения и преломления
волны при прохождении через точку стыка (х = 0). Установить, при каких
условиях отраженная волна от-
отсутствует.
б) Решить аналогичную за-
задачу, если задано локальное
начальное отклонение
и (х, 0)=
0 пра х < Xi,
. .>(*) при д:1<х<х2<0,
( 0 при х>х2.
Риг 99
• "• а начальная скорость равна
нулю.
7. Пусть в некоторой точке струны х — х0 подвешен груз массы М и
из области х < 0 бежит волна
Найти преломленную и отраженную волны.

82
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
8. Полуограничеииая трубка (х > 0), заполненная идеальным газом,
имеет на одном конце, х = 0, свободно перемещающийся поршень массы М.
В момент времени t = 0 поршню при помощи удара сообщают начальную
скорость vD. Найти процесс распространения волны в газе, если известно что
начальные отклонения и начальная скорость частиц газа равны нулю.
Указание. Рассмотреть решение уравнения колебании в области
х > 0. Использовать граничное условие
Mutf(O,t)=Sypoux(O,t)
(ро — начальное давление газа, S — площадь поперечного сечення трубки,
с г, \
у = I и начальные условия на границе ы@,0) =0, ut {0,0) = г>0.
9. Бесконечная струна, имеющая в точке х = 0 сосредоточенную массу М,
находится в положении равновесия. В начальный момент времени t = 0 уда-
ударом молоточка массе М сообщается начальная скорость t/0. Доказать, что в
момент времени t > 0 возмущенная струна имеет вид, указанный на рис. 22,
где ui(x,i) и щ(х, t) определяются формулами
Mav0
27"
0
«2 (*,*> =
0
*[,-.
27*
при х — at<.0 (прямая волна),
пр-и х — at> 0;
при х — at<0 (обратная волиа),
при х — at>0.
Указание. Воспользоваться условием
10. Решить задачу о распространении электрических колебаний в бес-
бесконечном проводе при условии
G R
и при произвольных начальных условиях.
11. Найти решение интегрального уравнения колебаний для полуогранн-
ченной струны при граничных условиях третьего рода (см. п. 9).
12. На конце х = 0 полуограниченного стержня укреплена мембрана,
оказывающая сопротивление продольным колебаниям стержня, пропорцио-
пропорциональное скорости Ы(@, t). Найти процесс колебания, если заданы начальные
смещения и щ(х, 0) = i|)(x) = 0.
§ 3. Метод разделения переменных
1. Уравнение свободных колебаний струны. Метод раз-
разделения переменных или метод Фурье, является од-
одним из наиболее распространенных методов решения уравне-
уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы
проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на
концах. Решение указанной задачи мы рассмотрим с исчерпы-

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 83
вающей подробностью и при дальнейшем изложении курса бу-
будем ссылаться на этот параграф, опуская повторения доказа-
доказательств.
Итак, будем искать решение уравнения
удовлетворяющее однородным граничным условиям
«@,0 = 0, «(/,0 = 0 B)
и начальным условиям
и(х,0) = ср(х),)
и,(*. 0) = *(*). J
Уравнение A) линейно и однородно, поэтому сумма частных
решений также является решением этого уравнения. Имея до-
достаточно большое число частных решений, можно попытаться
при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами
найти искомое решение.
Поставим основную вспомогательную задачу:
найти решение уравнения
ип = а2ихх,
не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным
граничным условиям
и @,0 = 0
и представимое в виде произведения
E)
где Х(х)—функция только переменного х, T(t)—функция
только переменного t.
Подставляя предполагаемую форму решения E) в уравне-
уравнение (i), получим:
или, после деления на XT,
Х"(к)_ 1 T"(t)
Х(х)
а*
Чтобы функция E) была решением уравнения A), равен-
равенство F) должно удовлетворяться тождественно, т. е. для всех
значений независимых переменных 0 < х < /, / > 0. Правая
часть равенства F) является функцией только переменного t,
а левая — только х. Фиксируя, например, некоторое значение х
и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части

84 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
равенства F) при изменении своих аргументов сохраняют по-
постоянное значение
**(*) ' Г*«)_ .
Х(х) — а2 Г @ Л> V>
где Я, — постоянная, которую для удобства последующих выкла-
выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом
о ее знаке.
Из соотношения G) получаем обыкновенные дифференци-
дифференциальные уравнения для определения функций Х(х) и T(t)
X" (х) + XX (х) = О, X (х) ф 0, (8)
Т" @ + а2кТ (t) = 0, Т (t) ф 0. (9)
.Граничные условия D) дают:
Отсюда следует, что функция Х(х) должна удовлетворять до-
дополнительным условиям
Х@) = *(/) = 0, A0)
так как иначе мы имели бы
0 и и(х, 0^0,
в то время как задача состоит в нахождении нетривиального
решения. Для функции T(t) в основной вспомогательной за-
задаче никаких дополнительных условий нет.
Таким образом, в связи с нахождением функции Х(х) мы
приходим к простейшей задаче о собственных значе-
значениях:
найти те значения параметра X, при которых существуют
нетривиальные решения задачи:
Х@)=
а также найти эти решения. Такие значения параметра К назы-
называются собственными значениями, а соответствующие
им нетривиальные решения — собственными функция-
функциями задачи A1). Сформулированную таким образом задачу
часто называют задачей Штурма — Лиувилля.
Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр Я, отрицате-
отрицателен, равен нулю или положителен.
1. При X < 0 задача не имеет нетривиальных решений. Дей-
Действительно, общее решение уравнения (8) имеет вид
X (х) = CiJtt* + С2е-^-ь *.

§ 3j МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 85
Граничные условия дают:
X (/) = С,еа -+- С2е~а = О (а =
т. е.
С{ = -С2 и С, (еа - е~а) = 0.
Но в рассматриваемом случае а — действительно и положитель-
положительно, так что &*¦ — е~а ф 0. Поэтому
С\ =: 0, С2 == 0
и, следовательно,
Х(лг)з=0.
2. При К == 0 также не существует нетривиальных решений.
Действительно, в этом случае общее решение уравнения (8)
имеет вид
X(a:)
Граничные условия дают:
д-(О=с,/=о,
т. е. Q = 0 и С2 = 0 и, следовательно,
Х(д;) = 0.
3. При А, > 0 общее решение уравнения может быть запи-
записано в виде _
X (х) = A cos VKx + D2 sin У% х.
Граничные условия дают:
Если Х(х) не равно тождественно нулю, то Ds ^= 0, поэтому
0 A2)
или
где п — любое целое число. Следовательно, нетривиальные ре-
решения задачи A1) возможны лишь при значениях

86 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Этим собственным значениям соответствуют собственные функ-
функции
Xn(x)=Dnsin-?j-x,
где Dn — произвольная постоянная.
Итак, только при значениях X, равных
A3)
существуют нетривиальные решения задачи A1)
*„(*) = sin-=fL*, A4)
¦определяемые с точностью до произвольного множителя, кото-
который мы положили равным единице. Этим же значениям Кп со-
соответствуют решения уравнения (9)
где Ап и Вп — произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче A) — C), заключаем, что функции
ип(х, ^ = Xa(x)Ta{t) = (Aacos-^-ai-\-Bnsin^-ut)sin~x A6)
являются частными решениями уравнения A), удовлетворяю-
удовлетворяющими граничным условиям D) и представимыми в виде произ-
произведения E) двух функций, одна из которых зависит только от
х, другая — от t. Эти решения могут удовлетворить начальным
условиям C) нашей исходной задачи только для частных слу-
случаев начальных функций ф(л:) и ty(x).
Обратимся к решению задачи A) — C) в общем случае.
В силу линейности и однородности уравнения A) сумма част-
частных решений
n=l
—at + Bnsm — atj sin — x A7)
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям
B). На этом вопросе мы подробнее остановимся несколько
позже (см. п. 3 этого параграфа). Начальные условия позво-
позволяют определить Ап и Вп. Потребуем, чтобы функция A7)

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
удовлетворяла условиям C):
оо
и(х, 0) = <р(х) = 'Укип(х, 0)
87
ut(x, О) = г|)(л:) =
ПП
п—1
п—1
A8)
Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-не-
кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), задан-
заданная в промежутке 0 ^ х ^ /, разлагается в ряд Фурье
где1)
A9)
B0)
Если функции ф(лг) и г|)(л:) удовлетворяют условиям разложе-
разложения в ряд Фурье, то
n—l
т] ^sin-^idi, B1)
0
— х, ф„ = у J ф (|) sin -?HL | dg. B2>
n=l
') Обычно рассматриваются периодические функции с периодом 21
оо
F (х) = -^ + 2j [an cos — д: + Ьп sin -y-xJ,
+/
П=1
Если функция Р (х) нечетна, то ап = 0, так что
F(x)^bnsin^x; Ьп=\ J ^(g)sin-^lrfl=|
n=l -/ 0
Если функция F(x) задана только в промежутке @, /), то мы можем про-
продолжить ее нечетно и вести разложение в промежутке от —/ до +/, что и
приводит нас к формулам A9) и B0). (См. Б. М. Будак, С. В. Фомин,
Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965.)

88 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Сравнение этих рядов с формулами A8) показывает, что для
выполнения начальных условий надо положить
А,=»%, ?„=~1|)„, B3)
чем полностью определяется функция A7), дающая решение
исследуемой задачи.
Мы определили решение в виде бесконечного ряда A7). Если
ряд A7) расходится или функция, определяемая этим рядом,
не является дифференцируемой, то он, конечно, не может пред-
представлять решение нашего дифференциального уравнения.
В настоящем пункте мы ограничимся формальным построе-
построением решения. Выяснение условий, при которых ряд A7) схо-
сходится и представляет решение, будет проведено в п. 3.
2. Интерпретация решения. Обратимся теперь к интерпре-
интерпретации полученного решения. Функцию и„(х,t) можно пред-
представить в виде
ип {х, t) = (Ап cos 2± at + Bn sin 2± a/) sin — х =
= а„ cos -^ а (t + б„) sin ^L Xt B4)
где
Vl l iHL fb. B5)
Каждая точка струны х0 совершает гармонические колебания
чп(*о. О = «„cos?j-a(t-\-6„)sin2±Xq
с амплитудой
О Sin j
. ЯП
О,п Sin
Движение струны такого типа называется стоячей волной.
Точки Аг = т — (т= 1, 2, .... п~ 1), в которых sin -у- х = О,
в течение всего процесса остаются неподвижными и называются
узлами стоячей волны ип(х,t). Точки х = т^ - 1(т~О,
1, .... п— 1), в которых sin—т~х— ± 1» совершают колебания
с максимальной амплитудой ап и называются пучностями
стоячей волны.
Профиль стоячей волны в любой момент времени представ-
представляет синусоиду
«п {х, t) = Сп (t) sin -— х,

§ 31 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 89
где
6«) (<о„=-у-а).
В момент времени t, при котором cos<on(^ + бп)= ±1, откло-
отклонения достигают максимальных значений, а скорость движения
равна нулю. В моменты времени t, при которых cos<on(^-f-
-j-6n) = 0, отклонение равно нулю, а скорость движения мак-
максимальна. Частоты колебаний всех точек струны одинаковы и
равны
«„ = ifc. B6)
Частоты о)„ называются собственными частотами коле-
колебаний струны. Для поперечных колебаний струны а2 = Г/р и,
следовательно,
пи -ш / Т
у • B7)
Энергия п-й стоячей волны (n-й гармоники) для случая по-
поперечных колебаний струны равна
Се Г Г
= "f J H
0
— x
"(^-Jсо82(о„(*+6„)], B8)
так как
t t
. , яя , Г о пп , Z
sin —у-хах~ cos*—т-х ах = y •
Пользуясь выражением для а„, <о„, а также равенством Г =
2
^. B9)
= с2р, получаем:
где М = /р — масса струны.
Колебания струны воспринимаются нами обычно по звуку,
издаваемому струной. Не останавливаясь на процессе распро-
распространения колебаний в воздухе и восприятия звуковых колебаний

¦gO УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
нашим ухом, можно сказать, что звук струны является на-
наложением «простых тонов», соответствующих стоячим вол-
волнам, на которые разлагается колебание. Это разложение звука
на простые тона не является операцией только математиче-
математического характера. Выделение простых тонов можно произвести
экспериментально при помощи резонаторов.
Высота тона зависит от частоты колебаний, соответствую-
соответствующих этому тону. Сила тона определяется его энергией и, сле-
следовательно, его амплитудой. Самый низкий тон, который может
создавать струна, определяется самой низкой собственной час-
п ., /~Т~
тотои (о1 = у 1/ — и называется основным тоном стру-
вы. Остальные тона, соответствующие частотам, кратным g>i,
называются обертонами. Тембр звука зависит от присут-
присутствия наряду с основным тоном обертонов и от распределения
энергии по гармоникам.
Низший тон струны и ее тембр зависят от способа возбуж-
возбуждения колебаний. Действительно, способ возбуждения колеба-
колебаний определяет начальные условия
и(х, О) = ср(*); щ(х, 0) = ф(*). C)
через которые выражаются коэффициенты Ап и Вп. Если Ах =
= В\ = 0, то низшим тоном будет тон, соответствующий час-
частоте (On, где п — наименьшее число, для которого Л„ или Вп
отличны от нуля.
Обычно струна издает один и тот же тон. В самом деле,
приведем струну в колебание, оттягивая ее в одну сторону и
отпуская без начальной скорости. В этом случае
щ(х, 0) = 0, и{х, 0) =
так как
sinjl>0.
Следующие коэффициенты, вообще говоря, значительно
меньше Аи так как функция sin-1^—! знакопеременна при п~^2.
В частности, если q>(x) симметрична относительно середины от-
отрезка, то Л2 = 0. Таким образом, если привести струну в коле-
колебание, оттягивая ее в одну сторону (ф(я) >0), то низшим
тоном будет основной тон струны, энергия которого, вообще
говоря, больше энергии других гармоник.

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 91
Привести струну в колебание можно и другими способами.
Например, если начальная функция нечетна относительно се-
середины струны, то
Л, =0
и низший тон соответствует частоте
со = (о2 = — у -.
Если к звучащей струне прикоснуться точно в середине, то
звук ее резко меняется и она звучит в октаву к своему тону.
Этот прием изменения тона часто применяется при игре на
скрипке, гитаре и других струнных инструментах и носит на-
название флажолета. С точки зрения теории колебания струн это
явление совершенно ясно. В момент прикосновения к середине
струны мы гасим стоячие волны, имеющие в этой точке пучно-
пучности, и сохраняем лишь гармоники, имеющие в этой точке узлы.
Таким образом, остаются только четные гармоники, и самой
низкой частотой будет
@2
_2зх Г Т
~-гУ т-
Если прикоснуться к струне на расстоянии 7з ее длины от
края, то высота основного тона повышается втрое, так как при
этом сохраняются лишь гармоники, имеющие узлы в точке
х = 1/3.
Формулы
т и Tl=°ZK г- <30>
определяющие частоту и, соответственно, период основного ко-
колебания, объясняют следующие законы колебания струн, от-
открытые впервые экспериментально (законы Мерсена).
1. Для струн одинаковой плотности и одинакового натяже-
натяжения период колебания струны пропорционален ее длине.
2. При заданной длине струны период меняется обратно
пропорционально корню квадратному из натяжения.
3. При заданной длине и натяжении период меняется про-
пропорционально, корню квадратному из линейной плотности
струны.
Эти правила легко демонстрируются на монохорде.
В настоящем пункте мы рассмотрели стоячие волны, возни-
возникающие при колебании струны с закрепленными концами. Во-
Вопрос о существовании решения вида

92 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
эквивалентен вопросу о существовании стоячих волн, так как
профили этого решения для различных моментов времени про-
пропорциональны.
3. Представление произвольных колебаний в виде суперпо-
суперпозиции стоячих волн. В пункте 1 мы рассмотрели задачу о сво-
свободных колебаниях струны, закрепленной на концах, и дока-
доказали существование частных решений в виде стоячих волн. Там
же была дана формальная схема представления произвольного
колебания в виде бесконечной суммы стоячих волн. В настоя-
настоящем пункте дается обоснование возможности представления
произвольного решения в виде суперпозиции стоячих волн.
В первую очередь рассмотрим обобщение хорошо известного
для конечных сумм принципа суперпозиции на случай беско-
бесконечных рядов.
Пусть L(u) — линейный дифференциальный оператор, так
что L(u) равен сумме некоторых производных функции (обык-
(обыкновенных или частных) с коэффициентами, являющимися функ-
функциями независимых переменных.
Докажем лемму (обобщенный принцип суперпо-
суперпозиции):
Если функции щ (i = 1,2,... ,п,...) являются частными ре-
решениями линейного и однородного дифференциального урав-
уравнения L(u) = 0 (обыкновенного или с частными производны-
оо
ми), то ряд м= 2 CtUi является также решением этого урав-
нения, если вычисление производных от и, фигурирующих
в уравнении L (и) = 0, можно совершить при помощи почлен-
почленного дифференцирования ряда.
В самом деле, если производные и, фигурирующие в уравне-
уравнении L (и) = 0, вычисляются почленным дифференцированием
ряда, то в силу линейности уравнения
L (и) = L B Ctu}j = 2 CtL (щ) = О,
\t=i / t=i
так как сходящиеся ряды можно складывать почленно. Тем са-
самым доказано, что функция и удовлетворяет уравнению. В ка-
качестве достаточного условия для возможности почленного диф-
дифференцирования ряда мы постоянно будем пользоваться усло-
условием равномерной сходимости ряда
?=1
C,L(ut), C1)
1
получаемого после дифференцирования1).
') См. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, «Наука», 1965}
Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965.

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 93
Вернемся теперь к нашей краевой задаче. Мы должны пре-
прежде всего убедиться в непрерывности функции
и (*, t) = ]g ип (х, 0 = S (A, cos -2L д/ + Вп sin -^ a/) sin^x, C2)
откуда будет следовать, что и (х, t) непрерывно примыкает
к своим начальным и граничным значениям. Для этого доста-
достаточно доказать равномерную сходимость ряда для и(х,t), так
как общий член этого ряда — непрерывная функция, а равно-
равномерно сходящийся ряд непрерывных функций определяет не-
непрерывную функцию. Пользуясь неравенством
!«„(*, OKI
заключаем, что ряд
||AА,1 + |Яя1) C3)
п=1
является мажорантным для ряда C2). Если мажорантный ряд
C3) сходится, то ряд C2) сходится равномерно, то есть функ-
функция и(х,t) непрерывна.
Чтобы убедиться в том, что ut (x, t) непрерывно примыкает
к своим начальным значениям, надо доказать непрерывность
этой функции, для чего достаточно доказать равномерную схо-
сходимость ряда
«=i »=1 C4)
или сходимость мажорантного ряда
n]). C5)
Наконец, чтобы убедиться в том, что функция и(х,t) удовле-
удовлетворяет уравнению, т. е. применим обобщенный принцип супер-
суперпозиции, достаточно доказать возможность двукратного почлен-
почленного дифференцирования ряда для и(х,t), для чего в свою
очередь достаточно доказать равномерную сходимость рядов
оо оо
-дх?=~\т) Zin\AnCOS~rat+BnSm~Tat)sm~Tx'
ОО ОО
\1 д2ип (яа\2\Л of » яп . , _ . пп Л . пп
и"~ L~dF==~-rr) 2jn [Ancos—at-{¦Bnsm-j-at)sin—x,
l l
n=l

94 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. 11
которым с точностью до множителей пропорциональности соот-
соответствует общий мажорантный ряд
п\). C6)
Так как
где
i
= у J я]> (л;) sin -^ x dx,
то наша задача сводится к доказательству сходимости рядов
со
2]пй|ф„| (k = -i, о, 1).
C7)
С этой целью мы используем известные •) свойства рядов
Фурье.
Если периодическая с периодом 2/ функция F(x) имеет k не-
непрерывных производных, a {k-\-\)-n производная ее кусочно-
непрерывна, то числовой ряд
со
« (|а„| + |0га|), C8)
где а„ и Ьп — коэффициенты Фурье, сходится. Если речь идет
о разложении в ряд по sin-^-A: функции f(x), заданной только
в промежутке @, /), то надо, чтобы предшествующие требова-
требования были выполнены для функции F(x), получающейся при не-
нечетном продолжении f(x). В частности, для непрерывности F(x)
необходимо, чтобы f @) = 0, так как в противном случае при
нечетном продолжении получится разрыв в точке х — 0; анало-
аналогично этому в точке х = / должно быть f(l) = 0, так как про-
продолженная функция непрерывна и периодична с периодом 21.
Непрерывность первой производной при х = 0, х = / получается
автоматически при нечетном продолжении. Вообще для непре-
непрерывности четных производных продолженной функции надо
') См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II,
«Наука», 1967; Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды,
«Наука», 1965.

§ 3) МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 95
потребовать, чтобы
рю @) = fk> (/) = о (k = 0, 2, 4, ..., 2п). C9)
Непрерывность нечетных производных имеет место без допол-
дополнительных требований.
Итак, для сходимости рядов
|]nfc|cpj {k = 0, 1, 2)
достаточно потребовать, чтобы начальное отклонение ф(я) удо-
удовлетворяло следующим требованиям.
1° Производные функции q>(x) до 2-го порядка включительно
непрерывны, третья производная кусочно-непрерывна и, кроме
того,
0; ф"(О)=ср"(О = О. D0)
Для сходимости рядов
S»*l*«l (* = -i, о, 1)
на начальную скорость ty(x) следует наложить требования:
2° Функция ty{x) непрерывно-дифференцируема, имеет ку-
кусочно-непрерывную вторую производную и, кроме того,
ф(О) = ф(О=О. D1)
Таким образом, нами доказано, что любое колебание и(х, t)
при начальных функциях q>(x) и ty(x), удовлетворяющих требо-
требованиям 1° и 2°, представляется в виде суперпозиции стоячих
волн. Условия 1° и 2° являются достаточными условиями, свя-
связанными с примененными здесь способами доказательства.
Аналогичная задача была нами решена в п. 5, § 2 методом распростра-
распространяющихся волн
x+at
*(*,<)- Ф(*-°0 + Ф(* + а0+^ J *(«)</«, D2)
x-at
где Ф и f являются нечетными относительно 0 и / продолжениями началь-
начальных функций ф(х) и ty(x)> заданных на отрезке (О,/)- Функции Фи?, как
было показано, периодичны с периодом 21 и поэтому могут быть представ-
представлены рядами
где <р„ и фп — коэффициенты Фурье функций <р(х) и ty(x). Подставляя эти
ряды в формулу D2) и пользуясь теоремой о синусе и косинусе суммы и

96 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
разности, получим выражение
оо
и (*, t) = ^ |фга cos ~- at + -^ Фп sin ~ й< j sin ~ x, D3)
совпадающее с представлением, даваемым методом разделения переменных.
Следовательно,, формула D3) имеет место при тех же предположениях,
что и формула D2) (см. п. 1 § 3), которая была получена при условии, что
функция Ф(х) непрерывно-дифференцируема дважды, а функция f(x) —
один раз.
Переходя к функциям ц>(х) и il>(x), мы помимо условий дифференцируе-
мости должны потребовать выполнения условий
Ф"(О) = Ф"(/) = О. D4)
Таким образом, условия 1° и 2°, являющиеся достаточными для обосно-
обоснования метода разделения переменных, зависят от метода доказательства и
содержат дополнительные условия по сравнению с условиями, обеспечиваю-
обеспечивающими существование решения.
При обосновании возможности представления решения как результата
суперпозиции стоячих волн мы привели первый метод доказательства сходи-
сходимости рядов, поскольку он не связан со специальной формой D2), примени-
применимой только к простейшему уравнению колебаний, и без труда может быть
перенесен на ряд других задач, хотя этот метод предъявляет несколько по-
повышенные требования к начальным функциям.
4. Неоднородные уравнения. Рассмотрим неоднородное урав-
уравнение колебаний
utt = a2uxx + f(x,t), a2 = j, 0<x<t D5)
с начальными условиями
} •<*<' Dб)
и однородными граничными условиями
ы@, г)=0,
Будем искать решение задачи в виде разложения в ряд
Фурье по х
DO
и (х, Q = 2 и« W sin "Г" *'
п=1
рассматривая при этом t как параметр. Для нахождения и(х, t)
надо определить функцию un(t). Представим функцию f(x, t)

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
и начальные условия в виде рядов Фурье:
f(x, t)=^fn(t)sm^x, M')=tJ /A, Osin^-
07
n=l
0
D9)
Подставляя предполагаемую форму решения D8) в исходное
уравнение D5)
J sin^f x {- a* [?ff un {t) - йп (t) + /„ (t)} = 0,
видим, что оно будет удовлетворено, если все коэффициенты
разложения равны нулю, т. е.
2?un(t) = fn(t). E0)
Для определения ы„@ мы получили обыкновенное дифферен-
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Началь-
Начальные условия дают:
и{х, 0) = ф(д;)=
щ (х, 0) = ф (*) = 2 й«(°)sin "Г1 * e S *•sin -Г-
откуда следует:
@)
^j-x= ^Фпsin?j-x,
оо
Эти дополнительные условия полностью определяют решение
уравнения E0). Функцию un(t) можно представить в виде
где
E2)
4 А. Н, Тихонов, А, А. Самарский

98 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
есть решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными
условиями1) и
^ ^„8т-^^ E3)
— решение однородного уравнения с заданными начальными
условиями. Таким образом, искомое решение запишется в виде
и(х, Q^YilL J sin-^fl(* -Tjsin^-* • fa{x)dx +
«=I 0
oo
+ 2, (Ф« cos -j- at + — ф„ sin -j- at) sin -j- x. E4)
«=i
Вторая сумма представляет решение задачи о свободных коле-
колебаниях струны при заданных начальных условиях и была нами
исследована ранее достаточно подробно. Обратимся к изучению
первой суммы, представляющей вынужденные колебания струны
под действием внешней силы при нулевых начальных условиях.
Пользуясь выражением D9) для fn(t), находим:
uV(x,t) =
2
t I
J T)d|dT, E5)
о о
где
oo
G{x, 1, t-x) = ^ ^sin^-a(t-x)sin^-xsin^-t. E6)
Выясним физический смысл полученного решения. Пусть
функция /(|, т) отлична от нуля в достаточно малой окрестно-
окрестности точки Л4оAо, то):
Функция р/(|, т) представляет плотность действующей силы|
сила, приложенная к участку (go, lo + А|), равна
= P J fit
') В этом можно убедиться непосредственно. Формула E2) может быть
получена методом вариации постоянных. См. также мелкий шрифт в конце
настоящего пункта.

§3]
причем
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
99
Т0+ДТ ?„+
= J F{x)dx = p J J
есть импульс этой силы за время Ат. Если применить теорему
о среднем значении к выражению
t i
u{x,f)=f j G{x, 1, t-x)f(t, x)dldx =
о о
VI-Дт Ы-Д?
= J J G(x, I, t — x)f(l, x)d%dx,
to lo
будем иметь
где
ы(*. /)=G(*, I, t-x) J J
to lo
E7)
Переходя в формуле E7) к пределу при А| -> 0 и Ат -> 0, полу-
получим функцию
и{х, t)=G(x, lo, t-xo)j, E8)
которую можно трактовать как влияние мгновенного сосредото-
сосредоточенного импульса мощности /.
Если известна функция — G {х, %, t — т), представляющая
действие единичного сосредоточенного импульса, то непосред-
непосредственно ясно, что действие непрерыв-
непрерывно распределенной силы f(x,t) должно
представляться формулой
и {х, t)= гаЪ
i t '
G(x,bt-x)f{l,x)d%dx, E9)
H-a(t-T)l~ %+att-T)
Рис. 23.
о о
совпадающей с формулой E5), полу-
полученной выше.
Функция влияния сосредоточенного
импульса для бесконечной прямой
была рассмотрена в предыдущем па-
параграфе. Напомним, что она является кусочно-постоянной функ-
функцией, равной-г^-— внутри верхнего характеристического угла для
точки A, т) и нулю вне этого угла. Функция влияния сосредото-
сосредоточенного импульса для закрепленной струны @, /) может быть

100 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
получена из функции влияния для бесконечной струны путем не-
нечетного продолжения относительно точек х = 0 и х = /.
Рассмотрим момент времени /, достаточно близкий к т, когда
влияние отражения от концов х = 0 и х = I еще не сказы-
сказывается. Для этого момента функция влияния изображается гра-
графиком, приведенным на рис. 23. Разложим эту функцию (пола-
(полагая / = р) в ряд Фурье по sin^y-x; коэффициенты Фурье будут
равны
I Ъ+а (*-т)
Ап = -г О (a, g, t — T)sm—j-ada— —j sin-y—ааа =
0 ia(tt)
2 . m , . ял ,. «
sin — g sin -j- a(t — t).
Отсюда получаем формулу
оо
GI ? / \ ^L^ I • ZUX ft \ • JT/Z • TCtl - {СП\
V ' fe> *~~ / / j Sin "^ u \t ¦^~ T^ Sin r*~ X • Sin —«— gi (DU^
n=l
которая совпадает с формулой E6), найденной методом разде-
разделения переменных.
Для значений /, при которых начинает сказываться влияние
закрепленных краев, построение функции влияния при помощи
характеристик громоздко; представление же в форме ряда
Фурье сохраняет силу и в этом случае.
Мы ограничимся приведенной здесь формальной схемой ре-
решения, не выясняя условий применимости полученной формулы.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффи-
коэффициентами
L (и) = им + Piu{n~l) + • • • + Pn-i«0) + PnU = f (t) A*)
и начальными условиями
ы(')(о)=о («=0, 1, .... п— 1). B»)
Его решение дается формулой
«(*)= Jt/(*-T)f(T)rfT, C*)
о
где 1/@ — решение однородного уравнения

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 101
с начальными условиями
t/'">@) = 0 (i=0,l n-2). U{n~l) @) = 1. D*)
В самом деле, вычисляя производные u(f) дифференцированием правых
частей по t, найдем
t
uw (t) = J I/1 >(t - x) f (т) dx + U @) / (t) [U @) = 0],
о
t
„B) (t) = J f/B) (f - т) f (t) dr + f/A) @) / @ [f/A) @) = 0].
0
' 't
И<п-О(г) = f U[n~x) (t-r)f (t) dx + f/("-2) @) f (t) [t/"-2> @) = 0],
о
t
UM (() = J ifin) (t-x)f (T) dx + U[n~l) @) f @ [f/'"-1» @) = l].
о
Подставляя эти производные в уравнение A*), получаем:
t
т. е. уравнение удовлетворяется. Очевидно, что начальные условия B*) так-
также выполнены.
Нетрудно дать наглядную физическую интерпретацию функции U(t) и
формулы C*). Обычно функция u(t) представляет смещение некоторой си-
системы, a f @ — силу, действующую на эту систему. Пусть для t < 0 наша
система находилась в состоянии покоя, и ее смещение создается функцией
/е@(^0), отличной от нуля только в промежутке времени 0 < t < e. Им-
Импульс этой силы обозначим
t
/=
Обозначим ыЕ@ функцию, соответствующую fe(t), считая е параметром и
полагая / = 1. Нетрудно убедиться, что при е-»-0 существует lim и. (О, не
е-»0
зависящий от способа выбора /Е@. н что этот предел равен функции U(t),
определенной выше
1/@» Um ««(f).
Е->0
если положить U(t) за 0 для t < Q. Таким образом, функцию U(t) естествен-
естественно назвать функцией влияния мгновенного импульса.
В самом деле, рассматривая формулу C*) и применяя теорему среднего
значения, получаем:

|02 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Переходя к пределу при е -*¦ 0, видим, что существует предел
lim ие @ = lim U (t — т!) == U (t),
*0 е-»0
что н доказывает наше утверждение.
Перейдем к представлению решения неоднородного уравнения через
U(t)—функцию влияния мгновенного импульса. Разбивая промежуток @,0
точками Tj на равные части
Дт ——,
т
представим функцию f(t) в виде
т
f (t) = 2 h @.
1=1
где
ГО при t<%i и 1>Т|+„
f(t) при T
Тогда функция
где Hi(f) суть решения уравнения L(ut) = fj с нулевыми начальными дан-
данными. ?
Если m достаточно велико, то функцию ы*(<) можно рассматривать как
функцию влияния мгновеиного импульса ннтеисивности
так что
m t
и (t) == J] u (<-ti) f(t{) Дт -д^^о> J t/ (t - т) f (t) dt,
b=l 0
т. е. мы приходим к формуле
и @ = J U (t - т) f (т) dr,
о
показывающей, что влияние непрерывно действующей силы можно представ-
представлять суперпозицией влияний мгновенных импульсов.
В рассмотренном выше случае ы{,' удовлетворяет уравнению F0) и ус-
условиям ы„@) = йп@) = 0. Для функции влияния U(t) имеем:
U+LZj-Y a'U = 0, ?/@)=0,
так что
/
Отсюда и из C*) получаем формулу E2)
t t
J
t
«!!' (t)=\u(t-т)fn (т)dx = JL- J siniHLa(t-т)/„ (т)dr.
О о

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ЮЗ
Полученное выше интегральное представление C*) решения обыкновен-
обыкновенного дифференциального уравнения A*) имеет, как мы убедились, тот же
физический смысл, что и формула E9), дающая интегральное представление
решения иеодиородного уравнения колебаний.
5. Общая первая краевая задача. Рассмотрим общуюпер-
вую краевую задачу для уравнения колебаний:
найти решение уравнения
t), 0<x<l,t>0 D5)
с дополнительными условиями
и(х, 0) = ф(л:)
*мЛ D6)
и (О, 0 = м,@,1
>0 D7)
Введем новую неизвестную функцию v(x, t), полагая:
и{х, t)=U{x, t) + v{x, t),
так что v(x, t) представляет отклонение функции и(х, t) от не-
некоторой известной функции U(x, t).
Эта функция v(x, t) будет определяться как решение урав-
уравнения
vu = аЧхх + f (х, t), f (x, t) = f {x, t) -[Utt- aWxx]
с дополнительными условиями
v (x, 0) = ф (х), ф (д;) = ф (д;) - U (х, 0),
Щ {х, 0) = ф (х); Ъ(х) = К> {х) - Ut (x, 0);
v @, t) = р, @, Д, @ = ц, @ - f/ @, 0,
о (/, 0 = д2 @; Д2 W = ^ @ -
Выберем вспомогательную функцию U(x, t), таким образом,
чтобы
Д,(/) = 0 и Д2(/) = 0;
для этого достаточно положить
Тем самым общая краевая задача для функции и (х, t) сведена
к краевой задаче для функции v(x, t) при нулевых граничных
условиях. Метод решения этой задачи изложен выше (см. п. 4).

104 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
6. Краевые задачи со стационарными неоднородностями.
Весьма важным классом задач являются краевые задачи со
стационарными неоднородностями, когда граничные условия и
правая часть уравнения не зависят от времени
4 D50
и @, 0 = ы„ ы, = const, 1
и (I, t) = и2, и2 = const. J
В этом случае решение естественно искать в виде суммы
и(х, t) = u(x) + v(x, t),
где п (х) — стационарное состояние (статический прогиб) стру-
струны, определяемое условиями
й@) = ы„
а у (х, t) — отклонение от стационарного состояния. Нетрудно
видеть, что функция п(х) равна
0 0
В частности, если /0 = const, то
п {х) = щ + (и2 - ы,) -f + A- (/.v - д:2).
Функция f(x, ?), очевидно, удовлетворяет однородному урав-
уравнению
vtt = a2vxx
с однородными граничными условиями
о@, 0 = 0,
и начальными условиями
о (д:, 0) = ф (х), ф (х) = ф (х) — «(я),
Таким образом, v является решением простейшей краевой
задачи, рассмотренной нами в п. 1 настоящего параграфа.

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 105
При выводе уравнения колебаний струны и в ряде других
случаев мы не принимали во внимание действия силы тяжести.
Из сказанного выше следует, что вместо явного учета силы тя-
тяжести (и вообще сил, не зависящих от времени) достаточно
брать отклонение от стационарного состояния.
Решим простейшую задачу подобного типа при нулевых начальных ус-
условиях:
«« = а?ихх + h (*). D5")
и(х, 0) = 0, щ(х, 0) = 0, D6')
ы@, 0 = «i, «(/, 0 = «2- D7")
В этом случае для функции v(x, t) получаем задачу
Vu = CpVxx,
v (x, 0) = ф (х) = - п (х), vt(x,0) = 0,
t,@, 0 = 0. v(l, 0 = 0.
Нетрудно убедиться, что для решения этой задачи нет необходимости поль-
пользоваться точиым аиалитическим выражением для и{х).
Выражение для v(x, t) согласно формуле A7) имеет вид
оо
v (дг, о = 2 (л«cos а ^^ + в"sin«
где
есть собственная функция следующей краевой задачи:
X" + XX = Q, (8)
Х@) = 0, X @ = 0. A0)
Из начальных условий следует, что
I
Ап=~ jju(x)Xn(x)dx.
о
Для вычисления этого интеграла весьма удобным является следующий метод.
Пользуясь уравнением (8), находим:
Подставим это выражение в формулу для Ап и выполним двукратное инте-
интегрирование по частям

106 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
откуда, учитывая уравнение и граничные условия для и(х), находим:
2
и2Х'п (/) - ЧХ'п @) - J ^~Хп (х) dx
L о J
или
о
В частности, для однородного уравнения (fo(x) = 0) имеем:
Этим методом удобно вычислять коэффициенты Фурье для граничных усло-
условий второго и третьего рода, а также в случае краевой задачи для неодно-
неоднородной струны
если известны собственные функции и собственные значения.
7. Задачи без начальных условий. Как было показано выше,
задача о колебании струны при заданном граничном режиме
может быть сведена к решению неоднородного уравнения с ну-
нулевыми граничными условиями.
Однако этот прием зачастую усложняет решение задачи, ко-
которое может быть найдено непосредственно.
При изучении влияния граничного режима важно найти ка-
какое-нибудь частное решение (однородного уравнения), удовле-
удовлетворяющее заданным граничным условиям, так как вычисление
поправки на начальные данные сводится к решению того же
уравнения с нулевыми граничными условиями.
Весьма важным классом задач о распространении гранич-
граничного режима являются «задачи без начальных условий».
Если граничный режим действует достаточно долго, то бла-
благодаря трению, присущему всякой реальной физической системе,
влияние начальных данных с течением времени ослабевает. Та-
Таким образом, мы естественно приходим к задаче без на-
начальных условий (I):
найти решение уравнения
utt = a2uxx — aut (<z>0), 0 < х < I, t> — oo F1)
при заданных граничных условиях:
Эту задачу назовем задачей (!„).
A„)

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 107
Слагаемое aut в правой части уравнения соответствует тре-
трению, пропорциональному скорости.
Рассмотрим сначала задачу о распространении периодиче-
периодического граничного режима:
и (I, t) = A cos со* (или и (I, t) = B sin at), F2)
и @,0 = 0. F3)
Для дальнейшего нам удобнее записать граничное условие
в комплексной форме
иA, Г) = Аеш. F4)
Если
и (х, t) = ы"> (х, t) + шB) (х, t)
удовлетворяет уравнению F1) с граничными условиями F3) и
F4), то ыA) (х, t) и «<2) (х, t)—его действительная и мнимая
части — в отдельности удовлетворяют тому же уравнению
(в силу его линейности), условию F3) и граничным условиям
при х = I
«<"(/. 0 = 4 cos cof,
ЫЮ(/, 0 = Л sin со*.
Итак, найдем решение задачи
ии = а2ихх — ащ,
и @,0 = 0, F5)
Полагая
и(х, г) = Х{х)еш
и подставляя это выражение в уравнение, получим для функ-
функции Х(х) следующую задачу:
F6)
*@) = 0, F7)
ХA) = А. F8)
Из уравнения F6) и граничного условия F7) находим:
X(x) = Csinkx.
Условие при х = 1 дает:
так что
^ X2{x), G0)
где Хх (х) и Х2 {х) — действительная и мнимая части X (х).

108 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Искомое решение можно представить в виде
и {х, 0 = [Я, (х) + iX2 (х)] е™ = «<•> (я, t) + iu® {x, t),
где
ыA) (х, t) = Xt (x) cos at — Х2 {х) sin cof,
ыB) (х, t) = Xt (x) sin со* + Х2 (х) cos со*.
Переходя к пределу при а->0, найдем, что
a->0
и, соответственно,
G1)
. со
sin — х
п») (х, t) = lim «<D (x, t) = A ^— cos at, G2)
«->°
sin
а
. со
sin — х
#2) (Xt t) = lim ы<2> (х, 0 = Л — sin (»f. G3)
а->° sin — /
а
Рассмотрим следующую задачу:
щ{ = с?ихх, 0<х<1, t>— оо;
ы@, 0 = |i|(Q, f>-oo;
и (I, /) = M0,
которую будем называть задачей A0). Очевидно, что м<'> (х, <)
и ы<2' (х, t) являются решениями задачи A0) при граничных
условиях
п«) @, t) = 0, пО (I, t) = A cos cof,
йB) @, t) = 0, п<2> (I, t) = A sin erf.
Решение задачи при а = 0 существует не всегда. Если ча-
частота вынужденных колебаний со совпадает с собственной ча-
частотой con колебаний струны с закрепленными концами
пп
ш = (о„=—а,
то знаменатель в формулах для кA) и i№ обращается в нуль и
решения задачи без начальных условий не существует.
Этот факт имеет простой физический смысл: при со = со„ на-
наступает резонанс, т. е. не существует установившегося режима.
Амплитуда, начиная с некоторого момента t = t0, неограниченно
нарастает.
При наличии трения (а ф 0) установившийся режим воз-
возможен при любом ш, так как sin kl ^ 0 при комплексном k.

§ 31 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 109
Если ni{t) = 0, а цг(О—периодическая функция, предста-
вимая в виде ряда
со
= 4" + 2 (An cos ant + Вп sin ewrf), G4)
где о — наименьшая частота, Ап к Вп — коэффициенты Фурье,
то решение задачи для случая а = 0 принимает вид
00 sin — х
^x + 2) <Л« cos шп' + Вп sin ^
и=1 sin — /
если только ни одна из частот соя не совпадает с собственными
частотами закрепленной струны.
Если же цг@—непериодическая функция, то, разлагая ее
в интеграл Фурье, аналогичным методом можно получить реше-
решение в интегральной форме.
Отметим, что решение задачи без начальных условий при
а = 0 определено неоднозначно, если только не накладывать
каких-либо дополнительных условий. В самом деле, прибавляя
к какому-либо решению этой задачи любую комбинацию стоя-
стоячих волн
Ап cos — at + Вп sin — at\ sin — x,
где Ап и Вп — произвольные постоянные, видим, что эта сумма
будет удовлетворять тому же уравнению и тем же граничным
условиям.
Чтобы получить единственное решение задачи Aа) при
а = 0, введем дополнительное условие «исчезающего трения»:
Решение задачи A0) мы называем удовлетворяющим усло-
условию «исчезающего трения», если оно является решением за-
задачи A«) при а -*¦ 0.
Аналогично решается задача, если конец х = I закреплен,
а при х = 0 задан граничный режим.
Решение общей задачи без начальных условий
и@. 0 = й,Ю. u{l,t) = ix2{t)
Определяется в виде суммы двух слагаемых, для каждого из
которых неоднородно лишь одно из граничных условии.
Докажем единственность ограниченного решения задачи без начальных
условий для уравнения F1). При этом мы будем предполагать непрерыв-
непрерывность решения вместе с его производными до второго порядка включительно
в области 0 ^ х ^ /, — оо < t < tB, если граничные значения
«№0 = 11,@. »(/. 0*-МО
определены в области — оо < t < to.

НО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Пусть щ(х, t) и и2(х, t) — два ограниченных решения рассматриваемой
задачи (I),
\иу\<М, \ut\<M,
где М > 0 — некоторое число.
Разность этих функций
v (х, t) = щ (х, t) — н2 (х, t)
ограничена (|о|<2М), удовлетворяет уравнению F1) и однородным гра-
граничным условиям
v @, t) = 0, v (/, /) = 0.
Коэффициенты Фурье для функции о
I
2 Г пп
On @ = -г о (ж, 0 sin -т— х dx,
о
очевидно, удовлетворяют уравнению
так как вторые производные функции v(x,t) непрерывны для 0 ^ х sg /.
Общее решение уравнения (*) имеет вид
где <?„' и q% — корни характеристического уравнения, равные
mi ct
(••)
Так как а > 0, то Re <? J,1'2' < 0. Следовательно, решеняе (**) уравнения (*)
будет ограниченным при t-*-—оо лишь при Ап = 0 и Вп = 0, т. е. vn(t) =0
для любого п.
Таким образом,
V (X, /)э0 н ttj (X, t)^Ui (X, t).
8. Сосредоточенная сила. Рассмотрим задачу о колебаниях
струны под действием сосредоточенной силы, приложенной
в точке х = Хо. Если сила распределена на некотором участке
(х0 — е, х0 + е), то решение находится по формуле E5). Совер-
Совершая предельный переход при е —»¦ 0, можно получить решение
поставленной задачи.
С другой стороны, при выводе уравнения колебаний мы ви-
видели (см. (8), п. 1 §1), что в точке х0, к которой приложена со-
сосредоточенная сила, происходит разрыв первой производной,
а сама функция остается непрерывной. Решение задачи и(х, t)
о колебаниях струны под действием силы, сосредоточенной
в точке х0, можно представить двумя различными функциями:
и (х, t) == ы, (х, t) при
и {х, t) = и2 {х, t) при

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 111
Эти функции должны удовлетворять уравнению
ии = а2ихх при хфх0, G6)
граничным и начальным условиям
и, @, 0 = 0, и(х, 0) =
и2(/,
и условиям сопряжения в точке х = х0 (см. (8), § 1), состоя-
состоящим из условия непрерывности функции и (х, t):
«i(*o. t) = u2(xQ, t), G8)
и условия, связывающего величину разрыва производной с си-
силой f(t), сосредоточенной в точке Хо:
у
, 0 = 0, и(х, 0) = ф(х), 1
/, 0 = 0; щ(х,0)=Ъ(х) I G7)
ди
дх
_ди2,
f(t)
Xo-0
Заботиться о соблюдении начальных условий нет необходимо-
необходимости. Если мы найдем частное решение уравнений G6), удовле-
удовлетворяющее граничным условиям из G7), а также G8) и G9),
то, прибавляя к нему решение однородного уравнения колеба-
колебаний, мы всегда сможем удовлетворить заданным начальным
условиям.
Рассмотрим частный случай
f(t) = A cos со*, — оо < t < + оо
и найдем решение, удовлетворяющее лишь граничным условиям,
предполагая, что сила действует все время, начиная от
t = —оо (установившийся режим), т. е. решим задачу без на-
начальных данных. Будем искать решение в виде
Ы1 (*» ')= -^1 (х)cos ш* ПРИ 0 ^ л; ^ л;0,
и2 (х, t) = Х2 (х) cos at при х0 ^ х •¦
Из уравнения G6) следует:
при
(80)
, = 0 при
Функции X) и Х2, кроме того, должны удовлетворять гранич-
граничным условиям
вытекающим из G7), и условиям сопряжения
вытекающим из G8) и G9),

112 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Из уравнения (80) и условий (81) находим:
[ГЛ. II
условия сопряжения (82) дают:
С sin -? х0 - D sin -2- (I - х0) = 0,
Определяя отсюда коэффициенты С и D, получаем:
u(x, t) =
«i =
sin — (/-*„)
Аа а . а ,
8Ш — х cos at при
ka . ш а г
sin — /
,
а
sin -^ *0
sin — I
a
sin-—-A-х)cos©/ при хо
Аналогично записывается решение при f(t) = A sinw*.
Итак, получено решение для случая f (t) = A cos at или
f(t)= A sinw*. Если f(t)—периодическая функция, равная
/ @ = if
(а" cos ш^ + Р" Sin atlt
(© — наименьшая частота), то, очевидно,
U (X, t)=
"Н1 ~~Г.
а sin (/—А"о)
. шп sin
п=1 а
X (а„ cos ant + Pn sin ant),
—I1 T)+
. an
asm— X° . mn(/-x)w
wnsiA
X («„ cosidtit + Pn sin ant),
(83) •)
') Первые слагаемые этих сумм соответствуют стационарному прогибу,
определяемому по величине силы f (t) = ao/2 = const, как нетрудно видеть,
функциями:
5""^"*A"""t) при
«2 (*. 0 = «2 (*) = J "у" *0 ( 1 — j

§31 МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ ЦЗ
Если функция f(t) непериодическая, то, представляя ее в виде
интеграла Фурье, аналогичным методом можно получить реше-
решение в интегральной форме.
Если знаменатель у этих функций (83) равен нулю
. con/ „
sin—=o,
пт
(on = -r-a==(om,
т. е. если спектр частот возбуждающей силы содержит одну из
частот собственных колебаний (резонанс), то установившегося
решения не существует.
Если точка приложения силы х0 является одним из узлов
стоячей волны, соответствующей свободному колебанию с ча-
частотой Шт, ТО
При этом числители соответствующих слагаемых для и обра-
обращаются в нуль, и явление резонанса не имеет места. Если же
точка приложения силы, действующей с частотой шт, является
пучностью соответствующей стоячей волны с частотой шт, то
и явление резонанса будет выражено наиболее резко.
Отсюда следует правило, что для возбуждения резонанса
струны при действии на нее сосредоточенной силой надо, чтобы
частота ее ш была равна одной из собственных частот струны,
а точка приложения силы совпадала с одной из пучностей стоя-
стоячей волны.
9. Общая схема метода разделения переменных. Метод раз-
разделения переменных применим не только для уравнения коле-
колебаний однородной струны, но и для уравнения колебаний неод-
неоднородной струны. Рассмотрим следующую задачу:
найти решение уравнения
= p{x)^, 0<x<l, t>0, (84)
удовлетворяющее условиям
u@,t) = 0, u{l,t) = O, *>0, (85)
и (х, 0) = ф (*), щ (х, 0) = ф (х), 0 < х < /. (86)

114 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. И
Здесь k, q и р — непрерывные на отрезке 0 ^ х ^ I положи-
положительные функции (k > 0, р > 0, <7 ^ 0) '). Проведем решение
этой задачи методом разделения переменных. Для отыскания
частных решений обратимся, как и раньше, к вспомогательной
задаче о существовании стоячих волн:
найти нетривиальное решение уравнения (84), удовлетво-
удовлетворяющее граничным условиям
u(O,t) = O, u(l,t) = O
и представимое в виде произведения
u(x,t) = X(x)T(t).
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение и
пользуясь граничными условиями, после разделения перемен-
переменных получаем:
Т" + %Т = 0.
Для определения функции К{х) мы получим следующую
краевую задачу на собственные значения2):
найти те значения параметра К, при которых существуют не-
нетривиальные решения задачи:
0, (87)
X(l) = 0, (88)
а также найти эти решения. Такие значения параметра Я, назы-
называются собственными значениями, а соответствующие
им нетривиальные решения — собственными функция-
функциями задачи (87) —(88).
Сформулируем основные свойства собственных функций и
собственных значений краевой задачи (87) и (88), необходимые
для дальнейшего изложения.
') Тот случай, когда k(x) в некоторых точках обращается в нуль, рас-
рассматривается отдельно (см. Дополнение II).
2) Прн р = ро — const, k = ko = const мы получаем краевую задачу о
собственных колебаниях струны с закрепленными концами:
.. «о.
исследованную в § 2

116 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
граничные условия (88), будем иметь ');
i
J {XmL[Xn]-XnL[Xm]}dx = O (a = 0. b = l),
о
откуда, пользуясь уравнением (87), получаем:
(К - К) J Хт (х) Хп (х) р (х) dx = 0.
о
Таким образом, если Кп Ф km, то имеет место условие
i
jXm(x)Xn(x)9(x)dx = 0, (92)
о
выражающее ортогональность с весом р(л;) собственных функ-
функций Хт (X) ИХП(Х).
Докажем теперь, что каждому собственному значению соот-
соответствует с точностью до постоянного множителя только одна
собственная функция2). В самом деле, всякая собственная
функция определяется однозначно как решение дифференциаль-
дифференциального уравнения 2-го порядка по значению самой функции и ее
первой производной при х = 0. Допустив существование двух
функций X и X, отвечающих одному и тому же значению А и
обращающихся в нуль при х = 0, и беря функцию
Х'{0)
') Производные Х'т и Х'п непрерывны всюду на отрезке 0 ^ х sg /,
включая точки х = 0 и х = I, так как уравнение (87) дает:
k (х) Х'т (х) = | (q - Ятр) Хт dx + С.
X
Отсюда и следует существование производной Х'т при х = 0 и х = /.
2) Доказываемое свойство первой краевой задачи основано на том, что
два линейно независимых решения дифференциального уравнения 2-го по-
порядка не могут обращаться в нуль в одной и той же точке. Это утверждение
относится к краевой задаче с нулевыми граничными условиями. При других
граничных условиях (например, Х@) = ХA), Х'@)=Х'(/)) могут суще-
существовать две различные собственные функции, соответствующие одному и
тому же собственному значению (AJJ' (х) = cos —г- х, Х^1 (х) = sin —¦—- х
при
Л„ = (—^-j , п=0, I, 2, ... J.

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 117
видим, что эта функция удовлетворяет тому же уравнению 2-го
порядка (87) и тем же начальным условиям, что и функция
Х(х):
dX*
dx X'@)
Тем самым доказано, что Х*(х) = Х(х) и что
Отметим, что в процессе доказательства мы пользовались
условием Х'^фО, которое безусловно выполняется, так как
решение линейного уравнения (87), определяемое начальными
условиями _ _
1@) = О, ЗГ'(О) = О,
тождественно равно нулю и тем самым не может быть собствен-
собственной функцией (см. стр. 114).
В силу линейности и однородности уравнения и краевых ус-
условий очевидно, что если Хп(х) является собственной функцией
при собственном значении К„, то функция АпХп(х) (Ап — про-
произвольная постоянная) также является собственной функцией
для того же Кп- Выше было доказано, что этим вполне исчер-
исчерпывается класс собственных функций. Собственные функции,
отличающиеся множителем, мы, разумеется, не считаем суще-
существенно различными. Чтобы исключить неопределенность в вы-
выборе множителя, можно подчинить собственные функции тре-
требованию нормировки
|| хп if = J Х1 (х) p(x)dx=l.
о
Если некоторая функция Хп (х) не удовлетворяет этому требо-
требованию, то ее можно «нормировать», умножая на коэффи-
коэффициент Ап,
АпХп(х) = Хп(х), А. = ппр
Если подчинить собственные функции задачи (87) — (88) ус-
условию нормировки (||ХП||— 1), то они образуют ортогональную
и нормированную систему
0, т ф п,
1, т = п.

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 117
видим, что эта функция удовлетворяет тому же уравнению 2-го
порядка (87) и тем же начальным условиям, что и функция
Х(х):
Тем самым доказано, что Х*(х) = Х(х) и что
Х~(х) = АХ(х) (U=-P
Отметим, что в процессе доказательства мы пользовались
условием Х'@)=^0, которое безусловно выполняется, так как
решение линейного уравнения (87), определяемое начальными
условиями _ _
Х@) = 0, Ж'@) = 0,
тождественно равно нулю и тем самым не может быть собствен-
собственной функцией (см. стр. 114).
В силу линейности и однородности уравнения и краевых ус-
условий очевидно, что если Хп(х) является собственной функцией
при собственном значении Кп, то функция А„Хп(х) (Ап — про-
произвольная постоянная) также является собственной функцией
для того же %п. Выше было доказано, что этим вполне исчер-
исчерпывается класс собственных функций. Собственные функции,
отличающиеся множителем, мы, разумеется, не считаем суще-
существенно различными. Чтобы исключить неопределенность в вы-
выборе множителя, можно подчинить собственные функции тре-
требованию нормировки
Если некоторая функция Хп(х) не удовлетворяет этому требо-
требованию, то ее можно «нормировать», умножая на коэффи-
коэффициент Ant
. АпХп (х) = Хп (X), Ап = ||^ и .
Если подчинить собственные функции задачи (87) — (88) ус-
условию нормировки (||ХП||= 1), то они образуют ортогональную
и нормированную систему
\xm{x)Xa{x)p{x)dx = l >тфп>
I [ I, т = п.

118 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Обратимся к доказательству свойства 2. Докажем, что Я, >• О
при q^O. Пусть Хп(х)—нормированная собственная функция,
соответствующая собственному значению Кп, так что
Умножая обе части этого равенства на Хп(х) и интегрируя поле
от 0 до /, получаем:
/ i
К \ XI (х)9{x)dx=-\ Хп(х) L[Xn]dx
о
или
I
= -\хя-§^[Нх) Igjfl dx+\q(x)Xl{x)dx,
о о
так как функция Хп(х) предполагается нормированной. Инте-
Интегрируя по частям и пользуясь граничными условиями (88), по-
получаем:
it
К = -XnkX'n| + J k(x)[X'n{x)f dx+ jq(x)X2n(x)dx =
0 0 0
I
k (x) [Xrn (x)f dx+ jq (x) Xl (x) dx, (93)
|
0 0
I
о
откуда и следует, что
Я„>0,
так как по условию k(x)~>0 и q(x)^O.
Оставляя доказательство теоремы разложимости в стороне,
остановимся вкратце на вычислении коэффициентов разложе-
разложения.
Нетрудно видеть, что
Fn = pjjjp jp(x)F (x) Xn (x) dx. (94)
о
В самом деле, умножая обе части равенства
i) ^nn()
на р(х)Хп(х), интегрируя по х от 0 до / и учитывая ортогональ-
ортогональность собственных функций, получаем написанное выше выра-
выражение для коэффициентов Fn (коэффициентов ФурьеI).
') Возможность почленного интегрирования ряда следует из теоремы
Стеклова о равномерной сходимости ряда (90).

§ 3] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ цд
Вернемся теперь к уравнению с частными производными.
Для функции T(t) мы имеем уравнение
Т" + КпТ = 0 (95)
без каких-либо дополнительных условий. В силу доказанной по-
положительности %п его решение имеет вид
Тп (t) = An cos YKt + Bn sin
где Ап и Вп — неопределенные коэффициенты. Таким образом,
вспомогательная задача имеет бесчисленное множество реше-
решений вида
ип (х, t) = Тп @ Хп (х) = (Ап cos VKt + Bn sin VKt) Xn (x).
Обратимся к решению задачи с заданными начальными ус-
условиями. Будем искать решение в виде
и (х, t) = 2 (Ап cos VKt + Bn sin VKt) Xn (x). (96)
Формальная схема удовлетворения начальным условиям (86)
основывается на теореме разложимости 4 и проводится совер-
совершенно так же, как и для однородной струны. Из равенств
оо
и(х, 0) = ф(л;)=Е ЛпХп(х),
щ (х, 0) = $(х) = S Bn VKXn (x)
п=1
находим, что
(97)
где фп и я]з„ — коэффициенты Фурье функций q>(x) и -ф(>г) при
разложении по ортогональной с весом р(л;) системе функций
{Хп(хI
Ограничиваясь общей схемой метода разделения перемен-
переменных, мы не приводим условий применимости этого метода как
в отношении коэффициентов уравнения, так и в отношении на-
начальных функций.
Основополагающие работы по обоснованию этого метода
принадлежат В. А. Стеклову1).
') «Сообщения Харьковского математического общества», вторая серия,
Т. 5, № 1 и 2 A896), «Основные задачи математической физики», т. 1 A922);
0. А. Ильин, О разрешимости смешанных задач для гиперболических и
параболических уравнений, УМН 15, вып. 2 A960).

120 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Задачи
1. Найти функцию и(х, t), определяющую процесс колебания струны
(О,/), закрепленной на концах и возбуждаемой (рис. 24) оттягиванием ее в
точке х = с на величину А, т. е. и(с, 0) = h (см. приложение I). Начальная
скорость равна нулю.
2. Закрепленная на концах струна в точке х = с оттянута силой Fо.
Найти колебания струны, если в начальный момент сила перестает действо-
действовать, а начальная скорость равна нулю.
3. Найти функцию и(х, t), определяющую процесс колебания струны
@, /), закрепленной на концах и возбуждаемой импульсом К, распределен-
распределенным на отрезке (с — 6, с + б): а) равномерно, б) по закону v0 cos ^-—— к
(см. приложение I), если начальное
отклонение равно нулю.
4. Найти функцию и(х, t), опре-
определяющую колебания струны @,/),
закрепленной на концах и возбуждае-
х=0 х=г Х'1 мой импульсом К, приложенным в
точке х = с (см. приложение I). На-
рис 24 чальное отклонение равно нулю.
5. Доказать аддитивность энергии
отдельных гармоник для процесса ко-
колебаний при граничных условиях и = 0, их = 0. Рассмотреть также случай
граничного условия 3-го рода их + hu = 0 (все ряды предполагать равно-
равномерно сходящимися). Вычислить энергию отдельных гармоник в задачах 1,
2, 3, 4.
6. Пружина, закрепленная одним концом в точке х = 0, растянута гру-
грузом массы М, подвешенным в точке х = I. Найти колебания пружины, если
в момент t = 0 груз падает и в дальнейшем на конец х = I не действуют
никакие силы.
7.. Один конец стержня закреплен, а на второй действует сила FD. Найти
колебания стержня, если в начальный момент сила перестает действовать.
8. Найти процесс колебания пружины, один конец которой закреплен,
а ко второму концу в начальный момент подвешивается груз массы. М. На-
Начальные условия нулевые.
9. К однородной струне с закрепленными концами х = 0их=/в точ-
точке х — с прикреплена масса М. Найти отклонение струны и(х, t), если:
а) в начальный момент в точке х — с струна оттянута на величину h от
положения равновесия и отпущена без начальной скорости; б) начальное
отклонение и начальная скорость равны нулю (см. приложение III).
10. Найти процесс колебания пружины со свободными концами прн рав-
равномерном начальном растяжении (представить модель этой задачи).
11. Найти процесс колебания пружины с упруго закрепленными концами
яри одинаковых коэффициентах жесткости, если начальные условия произ-
произвольны.
Решение исследовать при малых h («мягкое» закрепление) и при боль-
больших h («жесткое» закрепление) и вычислить соответствующие поправки
к собственным значениям для струны со свободными и закрепленными кон-
концами.
12. Найти отклонение и(х, t) струны с жестко закрепленными концами,
если колебания происходят в среде, сопротивление которой пропорционально
скорости, а начальные условия произвольны.
13. Изолированный электрический провод длины I с характеристиками
\L, R, С и G = 0 заряжен до некоторого постоянного потенциала v0. В на-
начальный момент один конец провода заземляется, а второй остается все
время изолированным. Найти распределение напряжения в проводе.

§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 121
14. Струна с закрепленными концами колеблется под действием гармо-
гармонической силы, распределенной с плотностью f(x, t) = 0(x)sin wf. Найти
отклонение и(х, t) струны прн произвольных начальных условиях. Исследо-
Исследовать возможность резонанса и найти решение в случае резонанса.
15. Решить задачу 14, предполагая, что колебания происходят в среде,
сопротивление которой пропорционально скорости. Найти установившиеся
колебания, составляющие главную часть решения при t -*¦ оо.
16. Упругий стержень длины / расположен вертикально и жестко при-
прикреплен верхним концом к свободно падающему лифту, который, достигнув
скорости tH, мгновенно останавливается. Найти колебания стержня, предпо-
предполагая его нижний конец свободным.
17. Решить уравнение
utt = а?ихх — Ъги + А
при нулевых начальных условиях и граничных условиях
и @, /) = 0, и (/, 0 = В,
где Ь, А и В — постоянные.
18. Решить дифференциальное уравнение
A sh x
при нулевых начальных условиях и граничных условиях
и @, 0 = В, и (/, t) = С,
где А, В и С — постоянные.
19. К однородной струне с жестко закрепленными концами * = 0 и « = 1
в точке х = с @ < с < I) приложена гармоническая сила
F (t) == Рв sin at,
действующая, начиная с момента t = 0. Найти отклонение струны и(х, t),
предполагая начальные условия нулевыми.
20. Решить задачу о колебаниях неоднородного стержня длины I с жест-
жестко закрепленными концами, составленного из двух однородных стержней, со-
соединенных в точке х = с@<с</), если начальное отклонение имеет вид
и(х, 0) =
— х при 0 <[ х <[ с,
С
-. -
I ~~ С
A-х) при
а начальные скорости равны нулю.
21. Найти установившиеся колебания пружины, один конец которой за-
закреплен, а на второй действует сила
F (t) — A sin «,/ + В sin a2t.
22. Найти установившиеся колебания неоднородного стержня, составлен-
составленного из двух однородных стержней, соединенных в точке х = с, если один
конец стержня закреплен, а второй движется по закону
и (I, t) = A sin at.
§ 4. Задача с данными на характеристиках
I. Постановка задачи. Рассмотрим ряд задач, являющихся
развитием первой краевой задачи для уравнения колебаний
струны. Для простоты будем изучать явления вблизи одного
края, считая другой край удаленным в бесконечность, т. е. в

122
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. II
качестве исходной задачи возьмем задачу для полубесконечной
прямой.
Уравнение колебаний струны tirr = а2ихх симметрично отно-
относительно переменных х и I, если положить а2 = 1, т. е. изме-
изменить масштаб времени, введя переменную t = at'. Однако до-
дополнительные условия вносят асимметрию в математическое
толкование х и t: в начальных условиях (при t = 0) за-
задаются две функции и(х, 0) и щ(х, 0), в то время как в гра-
граничных условиях (при х = 0) задается только одна функция
и @,0-
Как было отмечено в § 2, п. 9, между функциями и их нор-
нормальными производными при t = 0 и х = 0 существует соот-
соотношение
Щ @, г) + их @, 2) = щ B, 0) + их B, 0) (а2 = 1)
при произвольном значении г. Отсюда следует, что при л = 0и
t = 0 нельзя независимым образом задать все эти функции;
произвольными являются только три условия, что и указывает
на невозможность симметричной постановки дополнительных
условий.
Дополнительные условия могут задаваться либо на прямых
линиях х — 0, t = 0 (с задачами подобного рода мы имели
дело до сих пор), либо на
некоторых кривых в фа-
фазовой плоскости. Напри-
Например, граничные значения
можно задавать на неко-
некоторой кривой Ci(x =
=/?i@), однако для раз-
х решимости такой задачи
кривая Ci должна поми-
помимо достаточной гладкости
удовлетворять еще неко-
некоторым дополнительным
условиям.
Рассмотрим процесс
колебаний газа в трубе
Рис- ^ с подвижной границей
(подвижным поршнем).
Ясно, что скорость перемещения границы, движущейся по зако-
закону x = fi(t), нельзя считать произвольной: она не должна пре-
/ /if (i\ \
восходить скорость звука al r'J ¦¦ < а). Геометрическим след-
следствием этого является то, что кривая Ci (х = /i (t)) должна
быть отделена характеристикой от линии t = 0 несущей на-
начальные значения (рис. 25). Если хотя бы в одной точке ли-

§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 123
ния С1! лежала ниже характеристики х = at, то значение функ-
функции и(х, t) вполне определялось бы начальными условиями и
не могло бы задаваться произвольно. Физический смысл этого
связан с тем, что при движении газа со скоростями, превосхо-
превосходящими скорость звука, уравнение акустики теряет силу, и
надо пользоваться нелинейными уравнениями газовой дина-
динамики1).
Начальные условия можно задавать не только на оси t — О,
но и на некоторой линии С2 (t = f2(x)), которая должна удо-
удовлетворять требованию | /г (¦») | < 1/а (при этом С2 лежит в обла-
области влияния начальных данных). Задачи подобного типа легко
решаются с помощью интегрального уравнения колебаний (см.
§2, п. 7).
Не ставя своей целью дать полный перечень всех возмож-
возможных краевых задач, рассмотрим более подробно задачу опре-
определения решения по данным на характеристиках. Эту краевую
задачу часто называют задачей Гурса. Задача с данными на
характеристиках представляет большой интерес с точки зрения
физических приложений. Она встречается, например, при изуче-
изучении процессов сорбции и десорбции газов (см. приложение V),
процессов сушки (см. задачу 1) и многих других задач.
2. Метод последовательных приближений для задачи Гурса.
Рассмотрим простейшую задачу с данными на характеристиках
A)
Дополнительные условия даны на прямых х = 0 и у = 0, яв-
являющихся характеристиками уравнения A). Будем предпола-
предполагать, что функции q>i(x) и фг(#) дифференцируемы и удовлетво-
удовлетворяют условию сопряжения ф1@)=ф2@). Интегрируя последо-
последовательно по х и у уравнение A), получим:
о
У х
и(х,у) = и(х, 0) + и@, у)-и(О, 0) +
0 0
или
У X
и(х, г/) = ф, (х) + ф2 (у) — Ф1 @) + J J / (I, r\) &\ dr\. B)
о о
') См. приложение IV, стр. 154.

124 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Таким образом, для простейшего уравнения, не содержащего
первых производных их, иу и искомой функции, решение пред-
представляется в явной аналитической форме B). Из формулы B)
непосредственно следует единственность и существование реше-
решения поставленной задачи.
Перейдем к решению линейного уравнения гиперболического
типа
иху = а(х, y)ux + b(x, у)иу + с{х, y)u + f(x, у) C)
при дополнительных условиях на характеристиках х = О, у = О
и(х, 0) = ф,(х),
«(О, У) = Ч>2(У), {6)
где q>i(x) и фг(#) удовлетворяют требованиям дифференцируе-
дифференцируемое™ и сопряжения. Коэффициенты с, b и с будем предпола-
предполагать непрерывными функциями х и у.
Формула C) показывает, что функция и(х, у) удовлетворяет
интегро-дифференциальному уравнению
и(х, у)= J J [a(I, r\)u% + b(l, т])иц + с (I, r\)и]d\dv\ +
\\ f(h T])rf|rfT]. D)
о о
о о
Для его решения воспользуемся методом последовательных
приближений. Выберем в качестве нулевого приближения функ-
функцию
«о (х, У) = 0.
Тогда D) дает для последовательных приближений следующие
выражения:
У х
Щ {х, у) = ф, (х) + ф2 (у) - Ф, @) + J J / Ц, ц) dt dri,
о о
у x
J J [a
о о
-^ + c(i, ii)Un-i]dldi\'
E)

§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 125
Отметим попутно, что
дип дщ . Г Г , ч dun—i ,11 \ dun—\ i / \
-ЫГ==-дх- + ] [а(Х'^—дГ- + Ь(х,гЪ-1^-+с(х,ц)ип-,
о
(в)
Докажем равномерную сходимость последовательностей
{Unix, у)}, \^-(х,у)}. {^-(х, у)}.
Для этого рассмотрим разности
г„ {х, у) = ип+1 {х, у) — ип (х, у)
и х
дгп (х, у) _ дип+, (х, у) дип (х, у)
дх дх дх
о
дгп (х, у) дип+1 (х, у) дип (х, у) __
ду ду ду
X
= J [а (I, У) -^ + Ъ (|, у) ^- + с A, у) г„_, (|, у)] d%.
о
Пусть Ж — верхняя граница абсолютных величин коэффициен-
коэффициентов а(х, у), Ь(х, у), с(х, у) и Я —верхняя граница абсолютных
величин 20 = щ (х, у) и ее производных
дг0
при изменении хну внутри некоторого квадрата @ ^ х ^ L,
О ^ у ^ L). Построим мажорантные оценки для функций
Zn* TTf W' Очевидно> что
12, |< ЗНМху < 5НМ

126 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Предположим, что имеют место рекуррентные оценки
I dz^ I < WMnKn-i (x + y)n
где К > 0 — некоторое постоянное число, значение которого
уточним ниже. Пользуясь этими оценками и формулой для
(и + 1)'го приближения после ряда упрощений, усиливающих
неравенство, получим:
| < ЗНМп+1Кп~1 ,п?2у (п + з "I" 2) "^
2 ^ т BKLM)n+2
ЗН BKLM)n+l
1Г+2"
JX («+1)! ^ К (га+1)! '
где
В правых частях этих неравенств с точностью до множите-
множителей пропорциональности стоят общие члены разложения e2KLM.
Эти оценки показывают, что последовательности функций
дип ди0 . дг, . . дгп-,
а*- ~т~ я„ "г ••• "Г*
дх дх г дх дх '
ди„ ди0 ¦ дг, . . dzn-i
ду — ду 1~ ду "*"••• """ ду
сходятся равномерно к предельным функциям, которые мы обо-
обозначим
«(х, У) = Нт ип (х, у),
П-»°о
v(x, y)= lim -^- (х, у),
ьу(х, у)= lim -^J-(x, ^/).

§ 4] ЗАДАЧА С ДАННЫМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 127
Переходя к пределу под знаком интеграла в формулах E) и
F), будем иметь:
У х
и {х, у) = щ (х, y)+j j[a (|, т]) v+b (|, т)) w+c (?, r\) u] rf| dr\,
о о
У
v (x, y) = -?f- (x, y)+J [a (x, r\) n^- b(x,r\)w + c {x, r\) u] rfrj, \ G)
0
x
w(x, y) = ^-(x,«/)+ [a(I, y)v-\-b(l,y)w + c(l, у)и]dl.
Вытекающие отсюда равенства
позволяют установить, что функция и(х, у) удовлетворяет ин-
тегро-дифференциальному уравнению
///A,
о о
JJ [с(|, nL + b(h г1)и„ + с(Ь n)u]dldr], D)
о
о о
У X
J
о о
а также исходному дифференциальному уравнению C), что про-
проверяется непосредственно дифференцированием D) по х и у.
Функция п = и(х, у), как нетрудно убедиться, удовлетворяет и
дополнительным условиям.
Докажем теперь единственность решения рассматриваемой
задачи C) — C'). Допуская существование двух решений
Щ(х, у) и Ыг(х, у), сразу же получаем для их разности
U (х, у) = щ (х, у) — и2 (х, у)
однородное интегро-дифференциальное уравнение
U(x,y)=fj (aUx + bUv + cU)dlЛ).
о о
Обозначая далее через Hi верхнюю грань абсолютных величин
\U(x,y)\<Hl, \Ux{x,y)\<H» \Uy(x,y)\<Hl

128 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. И
для 0<х^1, 0<|/</-и повторяя оценки, проведенные для
функций zn(x, у), убеждаемся в справедливости неравенства
+2 ^ ЗЯ, BKLM)n+2
при любом значении п. Отсюда и следует
U (х, у)^0 или щ (х, у) гз щ (х, у),
что и доказывает единственность решения задачи с данными на
характеристиках.
Если коэффициенты a, b и с постоянны, то уравнение C)
с помощью подстановки
u = ve^+w
приводится к виду
vxy + ClV = f. (8)
При С\ = О мы получаем задачу для простейшего уравне-
уравнения A), решение которой дается формулой B).
Если С\ Ф О, то решение задачи для уравнения (8) также
может быть получено в явной аналитической форме методом,
изложенным в § 5.
Задачи
1. Через трубу (х > 0), заполненную веществом, содержащим влагу,
продувается воздух (со скоростью v). Пусть v (х, t)—концентрация влаги
в поглощающем веществе, u(x, t) — концентрация свободных паров. Вывести
уравнение для функций u(x, t) и v(x, t), описывающих процесс сушки, если:
1) процесс изотермический и 2) изотерма сушки имеет вид u = \v, где у --
постоянная изотермы (см. также приложение V).
2. По трубе (х > 0) пропускается со скоростью v горячая вода. Пусть
и — температура воды в трубе, v — температура стенок трубы, Ио — темпе-
температура окружающей среды. Вывести уравнения для и и v, пренебрегая рас-
распределением температуры по сечению трубы и стенок и считая, что на гра-
границах вода — стенка и стенка — среда существует перепад температур и
происходит теплообмен по закону Ньютона (см. главу III, § 1).
§ 5. Решение общих линейных уравнений
гиперболического типа
1. Сопряженные дифференциальные операторы. Установим
некоторые вспомогательные формулы, нужные нам для пред-
представления решений краевых задач в интегральной форме. Пусть
у)их + Ь(х, у)их + с(х, у)и A)
(а{х, у), Ь(х, у), с(х, у) — дифференцируемые функции)
— линейный дифференциальный оператор, соответствующий ли-
линейному уравнению гиперболического типа. Умножая 3? [и] на

§ 5] ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
некоторую функцию v, запишем отдельные слагаемые в виде
vuxx = (vux)x — (vxu)x + uvxx, vbuy = {bvu)y — и {bv)y,
vuyy = (vuy)y — (vyu)y + uvyy> vcu =
vaux = (avu)x — и {av)x,
Суммируя отдельные слагаемые, получаем:
\ + 2L. + ^, B)
где
JC(v) = vxx — Vyy — (av)x — (bv)y + cv, C)
Н = vux — vxu + avu = {vu)x — Bvx — av) и = D)
= -(vu)x + Bux + au)v, D')
K = — vuy + vyu + bvu = — (vu)y + Bvy -\-bv)u = E)
= («i>)j, — Buy — bu) v. E')
Два дифференциальных оператора называются сопряжен-
сопряженными, если разность
является суммой частных производных по х и у от некоторых
выражений Н и К.
Рассматриваемые нами операторы 9? и Ж, очевидно, яв-
являются сопряженными.
Если 3? [и]= Ж [и], то оператор 9? [и] называется самосопря-
самосопряженным.
Двойной интеграл от разности v3? [и] — иЖ [v] по некоторой
области G, ограниченной кусочно-гладким контуром С, равен
J J (v2[и] - иЛ[v])dldn=j(Hd4-Krf|), F)
о с
где и и V — произвольные дважды дифференцируемые функции
(двумерная формула Грина)').
2. Интегральная форма решения. Воспользуемся форму-
формулой F) для решения следующей задачи:
найти решение линейного уравнения гиперболического типа
и]=ихх—иуу+а {х, у)их + Ь (х, у) иу+с (х, у) u=*—f (x, у), G)
') Б. М. Будак, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука»,
1965.
5 А. Н. Тихонов, А, А. Самарский

130 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
удовлетворяющее начальным условиям на кривой С,
{ип — производная по направлению нормали к кривой С), и
выяснить ту область, в кото-
$4 /Ух рой решение определяется ус-
условиями G').
Кривая С задана при этом
уравнением
где f(x)—дифференцируемая
функция. Наложим на кривую
С условие, чтобы всякая ха-
рактеристика семейств у—х =
= const и у -\- х = const пере-
пересекала кривую С не более од-
одного раза (для этого надо,
чтобы |f(*)| < 1)- Формула F) для криволинейного треуголь-
треугольника MPQ, ограниченного дугой PQ, кривой С и отрезками
характеристик МР и MQ (рис. 26), дает:
Рис. 26.
MPQ
J J (vS? [и] - иЛ [v]) dl йц =
М Р Q
= J (Яйц-Кй1)+ J (Hdn-Kdl)+ J (Яdr\-Kd?).
Q М Р
Преобразуем первые два интеграла, взятые вдоль характери-
характеристик MQ и МР. Принимая во внимание, что
=-rfrj=_-^ на QM,
(ds-элемент дуги вдоль QM и МР)
и пользуясь формулами D) и E), получим:
м
J (Я d4-tfda = -
м
м
м

§ SI ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [31
и аналогично
Р М
Г (dv Ь-а \ Г fdv a+b
Отсюда и из формулы F) следует:
м м
. . {uv)p+{uv)Q
о
+ ±§(Hdr\-Kdt)-~ ^ (vS\u\ ~ uM\v])dld4. (8)
Р MPQ
Эта формула является тождеством, верным для любых до-
достаточно гладких функций и и v.
Пусть и — решение поставленной выше задачи с началь-
начальными условиями, а функция v зависит от точки М как от пара-
параметра и удовлетворяет следующим требованиям:
= иц — v^ — (av)i — (Ью\ + cv = 0 внутри A MPQ (9)
— = ~f v на характеристике МР,
—— = ^_ и на характеристике MQ,
(9а)
Из условий на характеристиках и последнего условия находим:
на
f
f
Ь+а_ d=
на MQ,
где So — значение s в точке М. Как мы видели в § 4, уравне-
уравнение (9) и значения функции v на характеристиках МР и MQ
полностью определяют ее в области MPQ. Функцию v часто на-
вывают функцией Римана.

132 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. II
Таким образом, формула (8) для функции и, удовлетворяю-
удовлетворяющей уравнению G), принимает следующий окончательный вид:
Q
и (М) = {UV)P + (иа)о + ^j[v (щ rfq + S dl) - и
+ ио (a А| - й «$)] + \ J J и (М, МО f (МО rfcr^, (daM,=d| dr]). A0)
J J
MPQ
Эта формула решает поставленную задачу, так как выражения,
стоящие под знаком интеграла вдоль PQ, содержат функции,
известные на дуге С. В самом деле, функция v была определена
выше, а функции
i / \ i / \ <р'
их \с = us cos (х, s) + и„ cos (х, п) =
и, \с = ив cos {у, s) + м„ cos (у, п) = ^
вычисляются при помощи начальных данных.
Формула A0) показывает, что если начальные данные из-
известны на дуге PQ, то они полностью определяют функцию в ха-
характеристическом A PMQ, если функция f(x, у) известна в этой
области !).
Формула (Ю), полученная в предположении существования
решения, определяет его через начальные данные и правую
часть уравнения G) и тем самым по существу доказывает един-
единственность решения (ср. с формулой Даламбера, гл. II, § 2,
стр. 51).
Можно показать, что функция и, определяемая формулой
A0), удовлетворяет условиям задачи G) — G0. Однако мы на
этом доказательстве не останавливаемся.
3. Физическая интерпретация функции Римана. Выясним фи-
физический смысл функции v(M, M'). Для этого найдем решение
неоднородного уравнения
2[u\ = -2U (/=2/,)
с нулевыми начальными условиями на кривой С. Обращаясь
к формуле A0), видим, что искомое решение имеет вид
u{M)=\\v(M, МОh (МОdoM,. A1)
MPQ
') Если характеристика пересекает кривую С в двух точках Р и Af, (см.
рис. 26), то значение и(Л1,) не может задаваться произвольно, а определяет-
определяется по формуле A0) с начальными данными на дуге PQi и значениями }{х,у)
в Л PAJj,Qi.

§ 51 ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
133
Предположим, что fi(M)—локальная функция точки Mi, равная
нулю всюду, кроме малой окрестности Se точки Ми и удовле-
удовлетворяющая условию нормировки
M')<V=l. A2)
«Формула A1) в этом случае принимает вид
=lJv (М, М*) fx (МО daM,.
A3)
Пользуясь теоремой о среднем значении, можно написать:
ие (М) = v (М, М;) jjf, (МО daM, = v (М, Щ,
где М\ — некоторая точка области SE.
Стягивая е-окрестность Se в точку Mi(e-*0), находим:
и (М) = lim ие (М) = v (M, Mi).
0
A4)
•Функция /i, как мы видели на ряде примеров, обычно является
плотностью силы, а пере-
переменная у — временем. Вы-
ражение
A5)
представляет собой импульс
силы. Отсюда в силу фор-
формулы A1) заключаем, что
v (M, Afi) является функцией
влияния единичного импульса, приложенного в точке Mi. Функ-
Функция v(M, Mi) = v(x, у; t,,r\) была определена как функция па-
параметров М(х,у), удовлетворяющая по координатам g, r\ точки
М\ уравнению
o] = 0 A6)
Рис. 27.
с дополнительными условиями (9а).
Рассмотрим функцию
и = и{М,

134
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
ГГЛ II
являющуюся функцией параметров Mi(%, r\) и удовлетворяю-
удовлетворяющую по координатам х, у точки М уравнению
с дополнительными условиями (см. рис. 27)
ds
ди
ds
U{MX
Из этих условий
~ ft
2/2
-b + a и
, М,)==1.
находим:
на
на
характеристике
характеристике
и(М, М1) = \
Ъ-а
на
s
Г Ь+а
J 2/Г
ds
на
u(Mlt Af,)=l.
Уравнение A7) и условия A8) полностью определяют функ-
функцию и в четырехугольнике MP\MiQu ограниченном отрезками
характеристик MPU MQt и M\Pi, MiQ\.
Применяя формулу F) к четырехугольнику MPiMiQi, полу-
получаем:
р, м q, м,
J J [р2\и] - иМ[v] )dldrr=\(Hd4-Kdl)+1 +1 + J = 0
AIP.M.Q, M Q, M, P,
(/?(^, ri)—переменная точка интегрирования в MPiMiQ). Поль-
Пользуясь формулами D) и E) для К и Н и условиями (9а) на ха-
характеристиках для функции v, нетрудно вычислить первые два
интеграла правой части
р,
J (Я *, - К d\) = -
и
м
J (Я ?fl) - /С d|) = -
подобно тому как это было сделано при выводе формулы A0).,

§ 5) ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 135
Аналогично, пользуясь равенствами D'), E') и условиями
{19) для функции и(М, Mi) на характеристиках, находим:
р
и. м.
J l-(vu)idr]-(uvI]dl]+jv[Bu^dr\+2u1)di)+(audYi-budl)]
р р
J j
р, р,
м, м,
\\
(Я dri - К (® = (uv)Mi -
Суммируя все эти четыре равенства, получаем:
2(uv)u=*2{uv)Mi
или
ы(М, Af,)=o(M. Af,)f B0)
так как
Таким образом, мы видим, что v(M, Мх)—функцию влияния
единичного импульса, сосредоточенного в точке Mi, можно оп-
определить как решение уравнения
&{x,y)[v{M, М,)] = 0, М = М{х,у), ^, = ^,A, л)
с дополнительными условиями A8).
4. Уравнения с постоянными коэффициентами. В качестве
первого примера применения формулы A0) рассмотрим задачу
х начальными данными для уравнения колебаний струны:
чУу = "хх + h (х, 0 (у = at, /, = -i-j,
и(х, 0)
В формуле A0) дуга PQ является отрезком оси у = 0.
Оператор
&[] = ихх — иу
иуу
является самосопряженным, поскольку

136
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. 1Г
Так как а = О и Ъ = О, то функция v на характеристиках
МР и MQ равна единице. Отсюда следует, что
V (М, М') S3 1
для любой точки М' внутри треугольника PMQ.
Учитывая затем, что в нашем случае
dx\ = О на PQ,
получаем:
P PMQ
Замечая, что Р = P (x — y, 0), Q = Q (x -f y, 0), где х и у —
координаты точки М = М(х, у), и пользуясь начальными усло-
виями, будем иметь:
и(х, у) =
_ ф (х — у) + ф (х + У)
2
4
*-х
г/ *+(»-ч)
Риг
г/ *+(»ч)
Г1 (S. Ч) ^1
J J
J J
0 x-(f/-r
Возвращаясь к переменным хи <, получаем формулу Далам-
бера
и{х, t) —
x+at
+
J
tx+a(t-x)
J
J у J
x-o< 0 x-o (<-x)
с которой мы уже встречались в п. 9 § 2 (формула C0)).
В качестве второго примера рассмотрим задачу с началь-
начальными условиями для уравнения с постоянными коэффициен-
коэффициентами
yy
(а, Ь, с — постоянные числа),
Подстановка
х < оо, у > 0 B1).
B2)
B4)

§ 5) ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 137
позволяет привести уравнение B1) к более простому виду
*/**-tfw+Citf=0, c1=4Dc2-c2-62), -оо<д:<оо, у>0 B5)
с дополнительными условиями
U U = Ф(х) Д* = Ф1 (х), - оо < х < с», B20
я = ф1(х), -°о<х<оо, B3')
«если только выбрать параметры Яиц, соответствующим образом,
полагая
Я = |, |i = -|. B6)
Определение функции U(x, у) по начальным данным и урав-
уравнению B5) сводится к построению функции Римана v(x, у; |, г\).
Функция v должна удовлетворять условиям:
vxx — vyy + clv = Q, B7)
в = 1 на характеристике МР, \
v=\ на характеристике MQ (рис. 28). /
Будем искать v в виде
v = v (z), B9)
где
z = V(x-lf-(y-r\J или z* = (x-lf-(y~4f. C0)
На характеристиках МР и MQ переменная z обращается
в нуль, так что &@) = 1. Далее, левая часть уравнения B7)
преобразуется следующим образом:
°« - <W + с,о = о- (г) D - а?) + v' {г) (zxx - zj + cxv = 0.
Дифференцируя выражение для z2 дважды, по х и у, получим:
, = —(у —tj),
Отсюда и из формулы C0) находим:
у1 у1 1 ~ ~ J_
Zx Zy— X' Zxx Zyy— z '
-Уравнение для v принимает следующий вид:
' + o' + coO

138 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ 1Г
при условии v @) = 1. Решением этого уравнения является функ-
функция Бесселя нулевого порядка (см. Дополнение II, часть I, § 1)
или
v(x, у; |, т,) =/0 (/с, [(х-?J-(#-#]). C1)
Воспользуемся теперь для нахождения U(x, у) формулой A0),
которая в нашем случае принимает вид
Q
J
р
= 0). C2>
Вычислим предварительно интеграл по отрезку PQ (т)=0):
j(vUn-UVr)dl= J UoiVcAix-lf-y^U^l, 0)-
Р х—у
— .- — I d?. C3^
Пользуясь начальными условиями B2'), B3'), находим:
х+у
1 J /0(
откуда в силу B4), B2') и B3') получаем формулу
и (д-) у) _ Ф(*-
а—Ь а+Ь
у ——— у
+ ) 2
х+у
J
+
J
утхУ /|(
J
J ^o(^ ^-Ю2-^)^^^^)^, C5)
х-г/
дающую решение поставленной задачи.

¦§ 51 ОБЩИЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 139
Рассмотрим частный случай а = О, Ь = О, т. е. уравнение
«хх — Ууу + CU — 0.
"Из формулы C5) сразу получаем:
х+у
J
x-y
х+у
¦ (&)<*&• C6)
муле Даламб
х+а*
х—у к s; y
Полагая здесь Cj = O и y = at, приходим к формуле Даламбера
x+at
Н1М1. C7)
x—at
дающей решение уравнения колебаний струны
ихх — -^-«« = 0
лри начальных условиях
и(х, 0) = ф(х),
щ(х, 0)=$(х),
$(х) = а$(х) = аиу{у, 0).
"ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ II
1. Решить задачу 1 из § 4, предполагая, что в начальный момент кон-
концентрация влаги постоянна вдоль всей трубы и на вход подается поток
сухого воздуха.
2. Решить задачу 2 из § 4, считая, что начальная температура системы
.равна «о, а температура на конце трубы все время поддерживается равной
¦»0 > 4A-
3. Решить систему телеграфных уравнений (см. § 1 B1)):
ix + Cvt + Gv = 0,
vx + Lif + Ri = 0
для бесконечной линии при начальных условиях
/ (х, 0) = ф (я), о(х,0) = ф(х).
Указание. Свести систему уравнений (§ 1 B1)) к уравнению 2-го по-
порядка для одной из функций i(x, t) или v(x, t), например
lxx = СИ» + (CR + GL) it + GRi

140 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
с начальными условиями i(x, 0) =
и воспользоваться затем формулой C5).
4. Исследовать решение телеграфного уравнения, полученное (формула
C5)) для случая малых G и R. Рассмотреть предельный случай G->-0, R-*-0
и получить из формулы C5) формулу Даламбера для решения уравнений
колебаний струны.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
I. О колебании струн музыкальных инструментов
Колеблющаяся струна возбуждает колебания воздуха, вос-
воспринимаемые ухом человека как звук, издаваемый струной.
Сила звука характеризуется энергией или амплитудой колеба-
колебаний, тон — периодом колебаний, а тембр •— соотношением энер-
энергий основного тона и обертонов '). Не останавливаясь на физио-
физиологических процессах восприятия звука и на процессе передачи
звука по воздуху, мы будем характеризовать звук струны ее
энергией, периодом и распределением энергии по обертонам.
В музыкальных инструментах обычно возбуждаются попе-
поперечные колебания струн. Различают три типа струнных инстру-
инструментов: щипковые, ударные и смычковые. В ударных инструмен-
инструментах (например, рояль) колебание возбуждается ударом, при-
придающим струне начальную скорость без начального отклонения.
В щипковых инструментах (например, арфа, гитара) колебания
возбуждаются приданием струне некоторого начального откло-
отклонения без начальной скорости.
Свободные колебания струны, возбуждаемой произвольным
способом, могут быть представлены в виде (см. главу II, § 3)
оо
u (х, t) = V (а„ cos a>nt + Ъп sin mnf) sin ^j- x шп = -^p- a).
n=l
В качестве упражнения к § 3 была предложена задача 1, ле-
лежащая в основе простейшей теории возбуждения струн щипко-
щипковых инструментов. Решение этой задачи показывает, что если
начальное отклонение струны представлено в виде треугольника
с высотой h в точке х=с (рис. 29), то
2й/2 . ппс , п /lv
aSm b 0 Q>
P э л е й, Теория звука, т. I, гл. VI, Гостехиздат, 1955,

Т. О КОЛЕБАНИИ СТРУН МУЗЫКАЛЬНЫХ ИНСТРУМЕНТОВ HI
Энергия п-й гармоники равна
и убывает обратно пропорционально я2.
В задаче 4 к § 3 рассматривается простейшая теория удар-
ударного возбуждения струны при помощи сосредоточенного в точ-
точке с удара с импульсом К. Решение этой задачи представляется
в виде
п=1
I яп \
\ft)«==~ra)>
D)
Таким образом, при возбуждении струны ударом, сосредото-
сосредоточенным на небольшом интервале длины б, энергии различных
гармоник (для которых б ма-
ло по сравнению с расстоя-
расстоянием между узлами) будут
мало различаться между со-
собой, и тон, издаваемый так воз-
возбужденной струной, насыщен
обертонами. Это заключение jc=o x=c х=1
легко проверяется эксперимен- Рис. 29.
тально. Если натянутую стру-
струну (на монохорде) ударить лезвием ножа, то струна зазвенит:
звук будет насыщен обертонами. В рояле струна возбуждается
ударом молоточка, обтянутого кожей. Такое возбуждение стру-
струны можно представить при помощи следующих схем:
1. Струна возбуждается заданием постоянной начальной
скорости v0 на интервале (с — б, с + б). Этот случай будет со-
соответствовать плоскому жесткому молоточку, имеющему ши-
ширину 26 и ударяющему в точке с. Процесс колебаний описы-
описывается функцией (см.задачу 3 § 3)
оо
и(х, Ч = ~tf^- \~п*~sm~l— sin—6 • sin —л; • sinco,^,
n=l
и энергии отдельных гармоник равны
4Mv0 nnc nnb
Еп = -^г-г sin2 -j- • sin2 —r-.
2. Струна возбуждается начальной скоростью
T?"T '*"с|<6'
\х-с\>Ь.

142 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Этот случай соответствует жесткому выпуклому молоточку ши-
ширины 26. Такой молоточек в центре интервала 26 возбуждает
наибольшую начальную скорость, что схематически может быть
описано приведенной выше функцией. Возбужденное таким об-
образом колебание имеет вид (см. задачу 3 § 3)
ЯП . . ЯП
"Г 6-5'П-Г С ЯП
x, t) = -~ > — ] 2&nV—sin-j-#-sinconf
и энергии гармоник равны
япЬ #9 япс
?- /
I1-I
It
cos2 —;— sin2 ¦
3. Молоточек, возбуждающий колебания струны, не является
идеально жестким. В этом случае колебания определяются уже
не начальной скоростью, а силой, меняющейся со временем. Та-
Таким образом, мы приходим к неоднородному уравнению с пра-
правой частью
х-с я . п* \х — с\<Ъ,
—g-.fsm — . если 0/
О, если ,
Решение этого уравнения для / > т представляется в виде
то ЛЛб @nT . ЯПС
Рассмотренные примеры показывают, что ширина интервала,
по которому производится удар, и продолжительность времени
удара имеют весьма существенное влияние на величину энер-
энергии высоких обертонов. Отметим, кроме того, что присутствие
множителя sin-^-c показывает, что если центр удара молоточка
приходится на узел п-й гармоники, то энергия соответствующей
гармоники равна нулю.
Наличие высоких обертонов (начиная с 7-го) нарушает гар-
гармоничность звука и вызывает ощущение диссонанса '). Наличие
') Например, если основная частота (первая гармоника) в 440 колебаний
в секунду соответствует «ля» первой октавы, то в семь раз большая частота
соответствует «соль» четвертой октавы. Интервал ля — соль, так называе-
называемая малая септима, имеет неприятный для слуха, диссонирующий характер.

II. О КОЛЕБАНИИ СТЕРЖНЕЙ
143
низких обертонов, наоборот, вызывает ощущение полноты звука.
В рояле место удара молоточка выбирают близко от точки за-
закрепления струны между узлами 7-го и 8-го обертонов, чтобы
уменьшить их энергию. Регулируя ширину молоточка и его
жесткость, стремятся увеличить относительную энергию низких
C-го и 4-го) обертонов. В старых конструкциях рояля, обла-
обладавших более резким, даже до некоторой степени звенящим
тоном, пользовались узкими и жесткими молоточками.
II. О колебании стержней
В курсах методов математической физики основное место от-
отводится уравнениям 2-го порядка. Однако большое число задач
о колебаниях стержней, пластин и т. д. приводит к уравнениям
более высокого порядка.
Рис. 30.
В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрим
задачу о собственных колебаниях камертона, эквивалентную
задаче о колебаниях тонкого прямоугольного стержня, зажа-
зажатого одним концом в массивные тиски. Определение формы ко-
колебаний камертона и его частоты сводится к решению «уравне-
«уравнения поперечных колебаний стержня»
дх*
A)
К этому уравнению приходят во многих задачах о колебаниях
стержней, при расчете устойчивости вращающихся валов, а так-
также при изучении вибрации кораблей ').
') См., например, монографию А. Н. Крылова «Вибрация судов».

144
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Приведем элементарный вывод уравнения A). Рассмотрим
прямоугольный стержень длиной / @ ^ х ^ /), высотой И и
шириной Ъ (рис. 30). Выделим элемент длины dx. После изгиба
торцевые сечения выделенного элемен-
элемента стержня, предполагаемые плоски-
плоскими, образуют угол dcp. Если дефор-
деформации малы, а длина оси стержня при
изгибе не меняется (dl = dx), то
-(M+dM)
dcp
дх
x+dx
Рис. 31.
Слой материала, отстоящий от оси
стержня у = 0 на расстоянии х\, из-
изменяет свою длину на величину rj dtp
(рис. 31). По закону Гука сила натяжения, действующая вдоль
слоя, равна
где Е — модуль упругости материала стержня. Полный изги-
изгибающий момент сил, действующих в сечении х, равен
м=-
B)
где
= b J tfdn =
bh3
12
'— момент инерции прямоугольного сечения относительно своей
горизонтальной оси. Обозначим через М(х) момент, действую-
действующий на правую часть стержня в каждом сечении. В сечении
х + dx, очевидно, действует момент сил, равный —(M-\-dM).
Избыточный момент —dM уравновешивается моментом тан-
тангенциальных сил
= Fdx.
Отсюда в силу равенства B) получаем величину тангенциаль-
лой силы
r/v л— дМ — F1 д3у
C)

II. О КОЛЕБАНИИ СТЕРЖНЕЙ 145
Приравняв действующую на элемент результирующую силу
UF — — dx — — FJ ^M- dx
at — дх ах— ы-^ах
произведению массы элемента на ускорение
pS -0- dx,
где р — плотность стержня, S — площадь поперечно1 ения
(при этом мы пренебрегаем вращательным движением при из-
изгибе), получаем уравнение поперечных колебаний стержня
#+'#-° (*-#)¦ <¦>
Граничными условиями для заделанного конца х=0 являют-
являются неподвижность стержня и горизонтальность касательной
у L=o—°' дх
= 0. D)
На свободном конце должны равняться нулю изгибающий мо-
момент B) и тангенциальная сила C), откуда следует, что
д3У
= 0,
дх2 L , "' дх*
х=1
= 0. E)
Для того чтобы полностью определить движение стержня,
нужно еще задать начальные условия — начальное отклонение
и начальную скорость
У\м = 1{х) и 4Н =<р(х) @<х</)- F)
Таким образом, задача сводится к решению уравнения A)
¦с граничными условиями D), E) и с начальными условия-
условиями F).
Будем решать задачу методом разделения переменных, по-
полагая
y=Y(x)T(t). G)
Подставляя предлагаемую форму решения в A), имеем:
T"(t) __ Yl4)(x) _ ,
аЧ (t) ~ Y (х) ~
Для функции Y{x) получаем задачу о собственных значениях
УD) — XY = 0, (8)
W=0 * Wy n * /j у 2 * А у 3 * \ ^V

146 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IT
Общее решение уравнения (8) представляется в виде
Y (х) = A ch \[%х + Bsh \fkx + С cos \fhx + D sin ]/Ъс.
Из условий Г@) = 0, У'@) = 0 находим С = — А, D =
Отсюда следует, что
Y (х) = A (ch Укх — cos Vhx) + В (sh \flx — sin Yxx).
Условия Y" @ = 0 и Yr" A) = О дают:
A (ch Ykl + cos V"w) + В (sh '/я/ -f sin ]/u) = 0,
Л (sh V^W - sin fyu) + В (ch Vw + cos ^/) = 0.
Эта однородная система имеет нетривиальные решения А и В,
если определитель системы равен нулю. Приравнивая этот опре-
определитель нулю, получаем трансцендентное уравнение для вычис-
вычисления собственных значений
sh2 Уя/ — sin2 Уя/ = ch2 Yu + 2 ch \Tkl cos |/Я/ + cos2
Так как сп2лг — sh2A;=l, то это уравнение можно записать
в виде
Корни уравнения A0) без труда вычисляются, например,
графически !):
Hi = 1,875,
1*2 = 4,694,
Из = 7,854,
Hn~j{2n— 1) при и>3.
Последняя формула дает значение ц„ с точностью до трех де-
десятичных знаков, начиная с п=3, и с точностью до шестого
знака для п ^ 7.
Рассмотрим теперь частоты колебаний камертона. Уравне-
Уравнению
удовлетворяют тригонометрические функции
Тп (t) = а„ cos 2nvJ + Ьп sin 2nxnt
') О вычислении корней уравнения A0) см. Рэлей, Теория звука, т. I,
гл. VIII, 1955.

III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОП СТРУНЫ 147
с частотой
L л/——JiL i/—
2я ~~ 2я г pS ~ 2nZ2 " pS
Частоты vn собственных колебаний относятся как квадраты
и„. Так как
2 2
-^¦=6,267, •?§¦= 17,648,
то второй собственный тон выше основного тона более чем на
две с половиной октавы, т. е. выше шестой гармоники струны
при равном основном тоне, третье же собственное колебание
выше основного тона более чем на четыре октавы. Например,
если камертон имеет основную частоту в 440 колебаний в се-
секунду (принятый стандарт для а' — ноты ля первой октавы),
то следующая собственная частота камертона будет равна
2757,5 колебания в секунду (между с"" = 2637,3 и f" = 2794,0—
между нотами ми и фа четвертой октавы равномерно-темпери-
равномерно-темперированной гаммы), третья же собственная частота в 7721,1 коле-
колебания в секунду уже выходит за пределы шкалы собственно
музыкальных звуков.
При возбуждении колебаний камертона ударом присутствует
не только первая, но и высшие гармоники, чем и объясняется
металлический звук в начальный момент. Однако с течением
времени высшие гармоники быстро затухают и камертон из-
издает чистый звук основного тона.
III. Колебания нагруженной струны
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о колебаниях за-
закрепленной на концах струны @, /), в нескольких точках кото-
которой х=х{ (i= 1, 2, ..., п) помещены сосредоточенные массы Mt.
Условия в точке хг можно получить двумя способами. Если
в точке х{ (t=l, 2, ..., п) приложена сосредоточенная сила
Fi(t), то должны выполняться соотношения
и(х,-0, 0 = «(** +0, 0, A)
huxQ^=-Ft. B)
В данном случае под F{ следует понимать силу инерции. Под-
Подставляя в формулу B)
F[ = — M{utt (xh t),
получим:
Miutt(xt, t) = kux(x%- C)

148 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Возможен и другой вывод условия C). Распределим массу
Mi на участке (лг,- — е, xt -f- е) с постоянной плотностью б,- и
воспользуемся уравнением колебаний для неоднородной струны
xt— e<x<xt + e, D)
где р — плотность струны. Пусть иЁ (х, t) — решение этого урав-
уравнения.
Интегрируя уравнение D) по х в пределах от xt — е до
Хг + е и совершая предельный переход при е —» О, получим
условие C) для функции и (х, t) = lim иг (х, t). На обосновании
Е-»-0
предельного перехода мы не останавливаемся.
Формулируем полностью нашу задачу:
найти решение уравнения колебаний
р дР ~ дх
удовлетворяющее граничным условиям
и (I,
условиям сопряжения в точках х =
и (*,- — 0, t) = и (*,- + О, t),
и (О, 0 = 0, 1
= о.) <6>
и начальным условиям
и(х, 0) =
= ф(х), 1
= $(х), J
где ф (х) ы -ф (х) — заданные функции.
2. Собственные колебания нагруженной струны. Остано-
Остановимся, прежде всего, на исследовании собственных частот и
профилей стоячих волн для нагруженной струны. Для этого мы
должны найти решение поставленной задачи, представимое
в виде произведения
и(х, t) = X(x)T(t). (9)
Подставляя это выражение в уравнение E) и пользуясь гра-
граничными условиями, получим после разделения переменных
Т" + КТ = 0 A0)
и
Г(о) = о, х (/) = о.

III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 149
Условия сопряжения дают:
X(xt-0) =
Принимая во внимание уравнение A0), перепишем последнее
соотношение в виде
Таким образом, для функции Х(х) мы получаем следующую за-
задачу на собственные значения:
-^(kX') + K9X = 07 k(x)>0, p(Jc)>0, A1)
*@) = 0, X(l) = 0, A2)
X(x,-0) = X(x, + 0) (i=l, 2, .... АО. 1
kX' (x{ + 0) — kXr (xt — 0) + XMtX (xt) = 0. J ( '
Отличительной особенностью рассматриваемой краевой задачи
является то, что параметр К входит не только в уравнение, но и
в дополнительные условия.
Мы не будем здесь останавливаться на доказательствах су-
существования бесчисленного множества собственных значений и
собственных функций, положительности собственных значений,
теоремы разложимости. Эта краевая задача, так же как и за-
задачи обычного типа, рассмотренные нами в § 3 главы II, сво-
сводится к некоторому интегральному уравнению, которое в дан-
данном случае является нагруженным интегральным уравне-
уравнением и эквивалентно интегральному уравнению в интегралах
Стильтьеса.
Остановимся более подробно на выводе условия ортогональ-
ортогональности собственных функций
*,(*), Х2(х),...,
которое вь данном случае отлично от условия (92) § 3 и назы-
называется условием ортогональности с нагрузкой.
Как было показано в гл. II (см. § 3), собственные функции
для краевой задачи
Х@) = 0, А" (/) = 0
ортогональны с весом р на интервале @, I):
J Хт{х)Хп(х) р(х)dx = 0 {тф п). A4)

450 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Распределяя каждую массу Мг с постоянной плотностью 6i
на некотором интервале х{ — б <С х <С х, + е, где е > 0 — ма-
.лое число, мы придем к задаче о собственных колебаниях неод-
неоднородной СТруНЫ С ПЛОТНОСТЬЮ ре(х). ПуСТЬ Явп И {Хеп(х)} —
собственные значения и собственные функции этой задачи, для
которых должно выполняться условие ортогональности
i
J Хет (х) Хеп (х) ре (х) dx = 0. A5)
о
Выделяя в равенстве A5) интегралы по участкам (х, — е,
Xi 4- е) и совершая предельный переход при е —> 0, мы получим
соотношение
I п
J Хт (х) Хп (х) р (х) dx + % M,Xm (xt) Xn (xt) = 0 {тФ п), A6)
¦0 i=\
называемое условием ортогональности с нагрузкой1).
Мы снова оставляем в стороне вопрос о возможности такого
перехода.
Условие ортогональности A6) может быть получено и чисто
формальным путем из уравнения и условий A1) — A3). Пусть
Хт(х) и Хп(х) —собственные функции задачи A1) — A3), соот-
соответствующие собственным значениям Кт и Кп, удовлетворяющие
уравнениям
Умножим первое уравнение на Хп(х), второе — на Хт(х) и вы-
вычтем из первого результата второй. Интегрируя полученное ра-
равенство последовательно по участкам @, л^); (хих2)\ ...; (xN,l)
и складывая, будем иметь:
(К - К) J Хт (х) Хп (х) р (*) dx -
~Х J -zrlXmkX'n-XnkX'm]dx = 0, A7)
причем мы полагаем х0—0, xN+i—l. Выполняя интегрирование
в каждом из слагаемых суммы и объединяя члены, соответ-
') Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. I,
т. VI, 1951.

III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 151
ствующие подстановкам х=Х{ — 0 и х—хг -\- О, получим сумму
слагаемых вида
Ai = (XmkX'n — XnkX'm)x^x 0 — (XmkX'n — XnkX'm)x_x +0.
При этом подстановки при х=0 и х=1 в силу граничных ус-
условий обращаются в нуль.
Для вычисления At воспользуемся условиями сопряжения
*,(*,-<» = *,(*, + <>), 1
- kX'i (x{ - 0) = - MtK,X,(xt) J u ~ m' nh {l6 >
kX',(xt + O)
Переписывая А{ в виде
At = Хт (xt) [kX'n (x, - 0) - kX'n (xt + 0)] -
- Xn (xi) [kX'm (xt - 0) - kX'm (xt + 0)Г
и пользуясь формулой A3'), находим
At = Хт (xi) MtKXn (xt) - Xn (xt) MtKmXm (xt) =
= MtXm(xt)Xn(xt)(K-*-nd-
Теперь равенство A7) можно написать в виде
II N |
(Кт-К)\\ Хт(х)Хп(х)р(х)dx + %MtXm(xt)Xn(x{) = 0.
Если Кт Ф Я„, то отсюда сразу же следует условие ортогональ-
ортогональности с нагрузкой A6).
Норма собственных функций Хп (х) определяется по формуле
/ N
|| Хп \? = j Xl (х) р (х) dx + ^ MtX2n (xt). A8)
Очевидно, что при разложении некоторой функции /(*).
в ряд
оо
коэффициенты разложения будут определяться по формуле
/ N
j f (х) Хп (х) р (х) dx+Yi Mtf (xi) Xn (xt)
In== ify iil • ' l"л
11Лп11
Задача с начальными условиями, поставленная в п. 1, ре-
решается по обычной схеме метода разделения переменных.

152 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Аналогично рассматривается задача о колебании стержня (или
балки) при наличии сосредоточенных масс.
Задача о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенны-
сосредоточенными массами, находит широкое применение в физике и технике.
Еще Пуассон решал задачу о продольном движении груза, под-
подвешенного к упругой нити. А. Н. Крылов показал '), что к этой
задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутиль-
крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода «дро-
«дрожащих» клапанов и т. д. Для теории многих измерительных
приборов важно изучение крутильных колебаний нити, к концу
которой подвешена масса (например, зеркальце).
Особую актуальность задача подобного типа приобрела в свя-
связи с изучением устойчивости вибраций крыльев самолета. Для
решения этой задачи необходимо вычисление собственных ча-
частот крыла (балки переменного сечения), нагруженного масса-
массами (моторы). Кроме того, рассматриваемая задача встречается
при расчете собственных колебаний антенн, нагруженных Сосре-
Сосредоточенными емкостями и самоиндукциями (в связи с этим см.
приложение, посвященное аналогии между механическими и
электромагнитными колебаниями).
Мы не останавливаемся здесь на приближенных методах на-
нахождения собственных значений и функций задачи, аналогич-
аналогичных приближенным методам нахождения соответствующих ве-
величин для неоднородной струны.
3. Струна с грузом на конце. Значительный практический
интерес представляет задача о колебаниях однородной струны-,
один конец которой (х=0) закреплен, а ко второму концу
(х—1) прикреплен груз массы М.
В этом случае условие при х—1 принимает вид
Мин = — kux (I, f)
и для амплитуды стоячих волн получается уравнение
с граничными условиями
/ М
Отсюда находим
v /.л_ sinVXTx
где Кп определяется из уравнения
м .—
B0)
') А. Н. Крылов, О некоторых дифференциальных уравнениях матема-
математической физики, гл. VII, изд. АН СССР, 1932.

III. КОЛЕБАНИЯ НАГРУЖЕННОЙ СТРУНЫ 153
Условие ортогональности функций {Хп(х)} принимает вид
i
j Хп (х) Хт (х) р dx + МХп (I) Хт (I) = 0.
о
Вычислим квадрат нормы
i
Используя уравнение B0), получаем:
Задача с начальными данными решается обычным методом.
4. Поправки для собственных значений. Вычислим поправки
для собственных частот в случае больших и малых нагрузок М.
Для простоты рассмотрим тот случай, когда груз подвешен
к концу струны. Возможны два предельных случая.
1. М=0. Конец х=1 свободен. Собственные значения опре-
определяются из формулы
2. М=оо. Конец х=1 жестко закреплен: «(/, f)=0. Соб-
Собственные значения определяются из формулы
Нас будет интересовать случай малых М (М —»0) и больших
М (М-н-оо).
1° М мало. Найдем поправку к собственному значению К^\
полагая
где е — некоторое число. Подставляя B1) в уравнение B0) и
пренебрегая М2 и более высокими степенями М, получим:
pi )'
т.е. собственные частоты нагруженной струны при М—*д воз-
возрастают, приближаясь к собственным частотам струны со сво-
свободным концом.
2° М велико. Выбирая 1/М в качестве параметра малости,,
положим:
VbVig+B-L.

154 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
.Уравнение B0) дает:
р — __?__
При этом мы пренебрегли членами, содержащими 1/М2 и более
.высокие степени 1/М.
Таким образом,
т. е. при увеличении нагрузки собственные частоты убывают,
равномерно приближаясь к собственным частотам струны с за-
закрепленными концами.
IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии. Урав-
Уравнения акустики (см. § 1) были получены в предположении ма-
.дости скоростей движения газа и малых изменений давления,
что позволило линеаризовать уравнения гидродинамики.
В задачах, возникающих при изучении полета ракет и ско-
скоростных самолетов, в теории баллистики, взрывных волн и т. п.,
приходится иметь дело с гидродинамическими процессами, ха-
характеризующимися большими скоростями и градиентами давле-
давлений. В этом случае линейное приближение акустики непригодно
и необходимо пользоваться нелинейными уравнениями гидроди-
гидродинамики. Поскольку с такого рода движениями на практике при-
приходится встречаться для газов, то принято о гидродинамике
больших скоростей говорить как о газовой динамике или газо-
газодинамике.
Уравнения газодинамики в случае одномерного движения
газа (в направлении оси х) имеют вид
-^j- + -gj (pv) = 0 (уравнение непрерывности), A)
dv , dv dp , , ._.
PlJT + P^"^" ~ 7O (уравнение движения), B)
p = f(p, T) (уравнение состояния). C)
Таким образом, уравнения газодинамики представляют со-
собой уравнения движения идеальной сжимаемой жидкости при
отсутствии внешних сил.
Перейдем теперь к выводу закона сохранения энергии. Энер-
Энергия единицы объема равна
Ц- + Рв. D)

TV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН I5S
где первый член есть кинетическая энергия, второй — внутрен-
внутренняя энергия. Здесь е, очевидно, обозначает внутреннюю
энергию единицы массы.
Для идеального газа в=стТ, где с„ — теплоемкость при по-
постоянном объеме, Т — температура. Вычислим изменение энер-
энергии в единицу времени
д I он2 . \ д 1 риг \ . д
~дТ\ 2 + Р8) = Ж( 2 ) + ^7
Производя дифференцирование в первом слагаемом и поль-
пользуясь уравнениями A) и B), получим:
V2 до . dv - v2 д , . 5 /о2\ др /сч
Для преобразования производной -gr(pe) обратимся к первому-
началу термодинамики, выражающему закон сохранения энер-
энергии
dQ = rfs -f- p dx, G)
где dQ — количество тепла, получаемое (или отдаваемое) си-
системой извне, р dx — работа, затрачиваемая при изменении-
объема на величину dx (т=1/р — удельный объем).
Если процесс адиабатический (теплообмена со средой,
нет), то
и
^ р р2
Пользуясь этим равенством, будем иметь:
d (ре) = е dp + P rfe = e dp -f- — dp — w dp, (9)
JLi \— iiL
где
•—тепловая- функция или теплосодержание единицы;
массы.
Производная -^— в силу соотношений (9) и A1) удовле-
удовлетворяет уравнению
dw dp

156 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Учитывая равенства B), E), F), A0), A2), получаем закон
сохранения энергии в дифференциальной форме
A3)
Для выяснения физического смысла этого равенства проинте-
проинтегрируем его по некоторому объему (хи х2)
dt
X,
Слева стоит изменение энергии в единицу времени на интервале
(хих2), справа — поток энергии, вытекающей в единицу вре-
времени из рассматриваемого объема.
Если эффектом теплопроводности нельзя пренебречь, то
уравнение сохранения энергии принимает вид
д I pv2 , \ д Г I v2
где у. — коэффициент теплопроводности.
2. Ударные волны. Условия динамической совместности.
В случае больших скоростей возможны такие движения, при ко-
которых на некоторых поверхностях, перемещающихся в простран-
пространстве, возникают разрывы непрерывности в распределении гидро-
гидродинамических величин (давления, скорости, плотности н др.)«
Эти разрывы принято называть ударными волнами.
На поверхности разрыва (фронте ударной волны)
должны выполняться условия непрерывности потока вещества,
энергии и количества движения (условия Гюгонио). Пе-
Перейдем к выводу этих условий.
Преобразуем уравнение B) к более удобному для наших
целей виду. Умножая A) на v и складывая с B), получаем:
-§T(pv) = --§^(p + pv\ B0
Перепишем теперь уравнения непрерывности, движения и
сохранения энергии в виде
B0
Рассмотрим на плоскости (х, t) линию x=a(t), являющуюся
«следом» поверхности разрыва на плоскости (х, t). Пусть АС—

IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 157
некоторая дуга линии разрыва x=a(t), где А и С — точки с ко-
координатами Х\, U и х2=х\ -f- Ax; t2=t\ + At соответственно. По-
Построим прямоугольник ABCD со сторонами, параллельными ко-
координатным осям.
Запишем закон сохранения вещества в интегральной форме
X, t,
/ [<P)fc - <P)J dx = - / [(pv)X2 - (pv)x] dt, A5)
*i h
тде слева стоит изменение массы на интервале (х\, х2) за про-
промежуток времени (t\, t2), а справа — количество вещества, вы-
вытекающего из интервала (х\, х2) за время (ti, t2). Если функ-
функции р и ро непрерывны и дифференцируемы всюду внутри
ABCD, то уравнение A5) эквивалентно уравнению A'). В рас-
рассматриваемом случае это не имеет места.
Воспользуемся теоремой среднего значения для каждого
слагаемого в отдельности
где х*, х**, I*, t** — средние значения аргументов х и t.
Переходя к пределу при Дх—>0 {х2—*Х\) и At-*0 (t2~+t\)'
и обозначая индексом 2 значения функций выше кривой х=
—a(t) (сзади фронта ударной волны), а индексом 1 —значе-
—значения функций ниже этой кривой (перед фронтом), получаем:
тде
,, da .. Дх
?/==-^-= lim -Т7-
*— скорость ударной волны.
В системе координат, движущейся вместе с ударной волной,
щ = и — vu u2=U — v2
обозначают скорости частиц перед фронтом и, соответственно,
сзади фронта ударной волны. Полученное выше соотношение
A6) можно переписать в виде
A6')
Это равенство выражает непрерывность потока вещества через
фронт ударной волны.
Записывая в интегральной форме закон сохранения коли-
количества движения, имеем:
Хг t
/ [(Pv)tz-(pv)tt]dx = - J

158 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
где справа стоит сумма импульса действующих сил (давле-
(давления) и потока количества движения. Переходя к пределу при
Ах —>¦ 0 и At—*O, получаем закон сохранения потока количества
движения на фронте
U [(pvJ - (ро),] = - (р + pt>2), + (р + pv\
или
Р, + Р,«? = Р2 + Р2«2' A7>
Аналогично получается также уравнение сохранения энергии,
на фронте
2
которое после несложных преобразований принимает вид
или в силу условия A6)
2 2
o», + -j- = o»2 + -y-. A8>
Таким образом, на фронте ударной волны должны выполняться
уравнения (условия динамической совместности
или условия Гюгонио)
р,ы,=р2ы2, A6')
I 2 J 2 /17\
и2 и2
w1+-y = w2 + -±. A8)
Из первых двух уравнений A6) и A7) выразим щ и «2 через
рир:
2 — Рг Pi — Рг . W2 Pi ф Pi — Рг
1 Pi Pi — Рг 2 Рг Pi — Рг '
откуда
Подставляя затем это выражение в уравнение A8), нахо-
находим соотношение между значениями энергии по обе стороны
фронта
ЙУ, — W2 == -g^- (Pi 4" Рг) (Pi — Рг)
е, — е2 == -2^- (pi — р2) (Pi + р2).

IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 159
Рассмотрим идеальный газ, для которого
р__/^р7'; e = cvT; w = cpT — —RT-
т. е.
™ = -^=Ti-f- A9)
Пользуясь формулой A9), после несложных преобразований
приходим к так называемому уравнению адиабаты Гю-
гон ио
или
Pi _ (V+ I)P2 — (V— PPl
Pi (У + '>) Pi — (у — I) р2 '
По этой формуле можно определить одну из величин ри pi, Рг,
р2, если-известны три остальные величины.
Ударная волна всегда движется относительно газа от обла-
областей с большим давлением к областям с меньшим давлением:
Р2> Р\ (теорема Цемплена). Отсюда следует, что плот-
плотность газа за фронтом больше плотности перед фронтом.
Формула B0) выражает зависимость между р2 и р2 при за-
заданных pt и рь Функция р2=р2(А'2) при заданных рх и pi яв-
является монотонно возрастающей функцией, стремящейся к ко-
конечному пределу при р%1р\ —*¦ <х> (ударная волна большой ам-
амплитуды) :
Рг __ \'+ I
Эта формула показывает максимальный скачок плотности
(уплотнение), который может существовать на фронте ударной
волны. Для двухатомного газа у=7/5 и максимальное уплотне-
уплотнение равно 6:
-fit = 6.
Pi
Пользуясь равенствами A6'), A7) и B0) и полагая р\=0,
находим:
и —1/У+1 рТ. ,, _-.Л(У1) Рг
Если ударная волна движется по покоящемуся газу (ui=0),to
скорость распространения ударной волны равна
т. е. она растет пропорционально квадратному корню из

160 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Рассмотрим простейшую задачу теории ударных волн, до-
допускающую аналитическое решение. В цилиндрической трубе
х > 0, неограниченной с одной стороны и закрытой поршнем
с другой (л:=0), находится покоящийся газ с постоянной плот-
плотностью pi и при постоянном давлении Р\. В начальный момент
t=0 поршень начинает двигаться с постоянной скоростью v
в положительном направлении оси х. Перед поршнем возникает
ударная волна, которая в начальный момент совпадает с порш-
поршнем, а затем удаляется от него со скоростью U > v. Между
поршнем и фронтом ударной волны возникает область 2, в ко-
которой газ движется со скоростью поршня. Перед фронтом
(область 1) газ находится в невозмущенном состоянии: р=рь
р = р, (о ш= 0).
Пользуясь условиями на фронте A6), A7) и A8), нетрудно
определить скорость фронта, а также величину скачка, плот-
плотности и давления.
Введем безразмерные величины
© = -?!-; # = -?-; 0=-?-. р = ^\, B3)
р2 С, С! ' piC,
где с, = VypilPi — скорость звука перед фронтом (в невозмущен-
невозмущенной области 1). Тогда уравнения сохранения запишутся в виде
^U-v или G = j^-, B4)
или р=1 + Ут=п
±) B6)
Исключая отсюда р и U, получаем квадратное уравнение для
определения со:
2со2 - со [4 + (y + 1) v2] + [2 + (у - 1) Э2] = 0. B7)
Так как по смыслу со < 1; (р2 > Pi), то выбираем меньший корень
02 _ 0
B8)
со2= 1 + il 0 _ 0 |A + tS.
Из уравнений B4) и B8) находим
^ B9)
C0)

IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 161
Возвращаясь к прежним величинам, получаем:
CD
C2)
C3>
Так как скорость ударной волны постоянна, то для положения
фронта в момент / будем иметь:
Г t ¦ < v л Ч
C4)
В предельном случае v/ct 3> 1 (ударная волна большой интен-
интенсивности) из формул C1) — C3) находим предельные соотно-
соотношения
p2 = Pll+_L. и== у+1 0. p2 = Pi y(y + O °2
полученные нами ранее.
Если v/ci <С 1 (волна малой интенсивности), то можно пре-
пренебречь членами и2/ф
3. Слабые разрывы. Выше было рассмотрено движение удар-
ударной волны, на фронте которой величины р, р, v и другие испы-
испытывают скачки. Такого рода разрывы называются сильными.
Возможны и такие движения, при которых на некоторой
поверхности испытывают скачок первые производные величин
р, р, v и других, в то время как сами эти величины остаются
непрерывными. Такие разрывы называются слабыми.
В § 2, п. 10 рассмотрено движение разрывов такого рода и
установлено, что эти разрывы распространяются вдоль харак-
характеристик. При этом мы исходили из уравнения акустики. Одна-
Однако и для нелинейных задач газодинамики справедлив аналогич-
аналогичный результат.
6 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

162 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Нетрудно убедиться в том, что поверхность слабого раз-
разрыва распространяется относительно газа со скоростью, рав-
равной локальной скорости звука. В самом деле, выделим малую
окрестность поверхности слабого разрыва и возьмем средние
значения гидродинамических величин в этой окрестности. Сла-
Слабый разрыв, очевидно, можно рассматривать на фоне средних
значений как малое возмущение, которое удовлетворяет урав-
уравнению акустики и должно распространяться с локальной ско-
скоростью звука.
В качестве примера рассмотрим истечение газа в вакуум
(волна разрежения). Пусть в начальный момент ?=0 газ, за-
заполняющий полупространство х > 0, покоится и имеет постоян-
постоянные значения плотности р и давления р0 во всей области х > 0.
При ^=0 внешнее давление, приложенное к плоскости х—0,
снимается, и газ начинает двигаться; при этом возникает сла-
слабый разрыв (волна разрежения), распространяющийся
со скоростью звука с0 в положительном направлении оси х. На
переднем фронте газа x=Xi(t) при /=0 мы имеем разрыв плот-
плотности и давления. Однако этот разрыв сразу же после начала
движения исчезает.
В самом деле, из условий непрерывности потоков вещества
и количества движения при x=X\(t)
где pf, pj-, v^ — значения слева в точке х, (t), р+, р+, и+ — значе-
значения справа в точке xt (t), получаем
р+ = 0 и р/" = 0,
так как
РГ = РГ = 1)Г = 0-
Для адиабатического процесса уравнение состояния идеального
газа имеет вид
p = po[JL}\ C5)
Решения задачи будем искать в форме
р = рA); р = р(|); v = v(Q, где l*=x/t.
Вычисляя производные
df J_sJ*L. df 1 df
~Ы~ Г * d% ' ~~tx~~ t rf|'

IV. УРАВНЕНИЯ ГАЗОДИНАМИКИ И ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛИ 163
где / = р, v или р, и подставляя результаты в уравнения A)
и B), получим:
, ... dp dv
(v -)~dY~~~p~dJ'
dv
C6)
Умножим первое уравнение на (v — |) и сложим со вторым:
или
Отсюда имеем:
где с — скорость звука при адиабатическом процессе.
Поскольку мы рассматриваем движение слабого разрыва
в положительном направлении оси х, надо выбрать в предыду-
предыдущей формуле знак минус, т. е.
о —? = —с. C7)
Подставляя это решение в уравнения C6), получаем:
или, что одно и то же,
dv ^_ I
dp ^ рс '
Пользуясь уравнением состояния C5), находим:
и после интегрирования уравнения C8)
Из последней формулы можно выразить р через v:
- <40>
Здесь
с0 = VvPolPo

164 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
обозначает скорость звука при v=0 (в покоящемся газе). Фор-
Формулу C9) можно также переписать в виде
0=_§_(с_Со). D1)
Подставляя выражение D0) для р в уравнение состояния
C5), находим:
. D2)
Из уравнений D1) и C7) получаем формулу
<43>
определяющую зависимость и от ж и t. Подставляя затем выра-
выражение D3) для v в формулы D0) и D2), получим зависимость
р и р от х и ^ в явной форме. Все величины оказываются зави-
зависящими от x/t. Если измерять расстояния в единицах, пропор-
пропорциональных t, то картина движения не меняется. Такое движе-
движение называется автомодельным.
Найдем скорость движения переднего фронта Vi(t), Полагая
в равенстве D2) р=0, будем иметь:
^1 = -^ГТсо. D4)
Отсюда следует, что скорость истечения газа в пустоту конечна.
Для двухатомных газов у=7/ь и
Vi = — 5с0.
Выражение D4) для скорости левого фронта x—Xi(t) мож-
можно получить также из уравнения баланса вещества
J pdx = p0x2 = p(p(f. D5)
X,
Вводя переменную
получим
Со
J pdl = poco.
Подставляя затем выражение для р из D0) и полагая
1+J^l. !=??. = Я,
V + 1 с

V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 165
будем иметь:
Ь _2_
A,v-i d%= v , , D6)
где
После вычисления интеграла D6) получим;
¦V+1 Y+1
%2У~ —Я|Т~'=1,
т. е.
откуда и следует:
,, = - 2Со
1 "
Задача об истечении газа в вакуум решена.
Мы ограничились выше рассмотрением лишь наиболее про-
простых задач газодинамики. За более подробным ознакомлением
с затронутыми здесь вопросами отсылаем читателя к специаль-
специальной литературе1).
Л/. Динамика сорбции газов
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа. Рас-
Рассмотрим задачу о поглощении (сорбции) газа 2). Пусть че-
через трубку (ось которой мы выберем за координатную ось х),
заполненную поглощающим веществом (сорбентом), пропу-
пропускается газовоздушная смесь. Обозначим через а(х, t) количе-
количество газа, поглощенного единицей объема сорбента, а через
u(x,t)—концентрацию газа, находящегося в порах сорбента
в слое х.
Напишем уравнение баланса вещества, предполагая, что ско-
скорость газа v достаточно велика и процесс диффузии не играет
существенной роли в переносе газа. Рассмотрим слой сорбента
-от Xi до лг2 в течение промежутка времени от /4 до t%. Очевидно,
') См. Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь и Н. В. Розе, Теоретическая
гидромеханика,'ч. II, гл. I, Гостехиздат, 1963; Л. Ландау и Е. Лифшиц,
Механика сплошных сред, гл. VII, Гостехиздат, 1954; Я. Б. Зельдович,
Теория ударных волн и введение в газодинамику, изд. АН СССР, 1946;
¦Л. И. Седов, Распространение сильных взрывных волн, Прикладная мате-
математика и механика, т. X, вып. 2, A946).
' 2) А. Н. Тихонов, А. А. Жуховицкий и Я. Л. Забежинский,
Поглощение газа из тока воздуха слоем зернистого материала, ЖФХ, 20,
лып. 10 A946).

166 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
для него можно написать уравнение баланса вещества
[ш |„ - vu у SAt = [(а + и) |ь - (а + и) |J S А*. A)
которое после сокращения на Дл: At и перехода к пределу при
Ах —* О At —*¦ О принимает вид
ди д i . ч /„,
-v-aF===-ar(fl + ")- B>
Левая часть этого уравнения представляет количество газа, на-
накопляющегося за счет переноса, рассчитанное на единицу длины
и времени, правая часть — количество газа, израсходованного
на повышение концентрации сорбированного газа и газа, нахо-
находящегося в порах. К этому уравнению баланса следует присое-
присоединить уравнение кинетики сорбции
—-^Ии-У), C)
где р — так называемый кинетический коэффициент, у — кон-
концентрация газа, находящегося в «равновесии» с сорбированным
количеством газа.
Величины а и у связаны друг с другом уравнением
a = fUt), D)
являющимся характеристикой сорбента.
Кривая a = f(y) называется изотермой сорбции. Если
Y («о + РУ) '
то изотерма называется изотермой Лэнгмюра. Наибо-
Наиболее простой вид функции f соответствует так называемой изо-
изотерме Генри, справедливой в области малых концентраций,
—|* E)
где 1/y — коэффициент Генри.
В этом случае мы приходим к следующей задаче:
найти функции и (х, t) и а (х, t) из уравнений
ди ди , да ._..
при дополнительных условиях
а (х, 0) = 0, )
и<*.0> = 0.} <7>
и @,0 = но. (8>
где «о — концентрация газа на входе.

V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 167
Пренебрегая производной -кг, представляющей расход газа
на повышение свободной концентрации в порах сорбента, по
„ да .,
сравнению с производной-^-, представляющей расход газа на
увеличение сорбированного количества газа, получаем4):
-^¦ = P(«-\-o), F)
a(x, 0) = 0,
и @, t) = ы0.
Исключим функцию а(х, t), дифференцируя первое уравнение
по t и используя второе уравнение
— VMjjf =Р«( -
или
Определим начальное условие для и, полагая в первом уравне-
уравнении t = 0,
— vux (х, 0) = ры (х, 0), и @, 0) = и0,
откуда находим:
Задача нахождения функции u(x,t) свелась к интегрированию
уравнения
V
при дополнительных условиях
и(х, О) = ы0е"*, A0)
u@,t) = u0. (8)
Характеристиками этого уравнения являются линии
х = const, t = const.
Дополнительные условия в этой задаче представляют значения
искомой функции u(x,t) на характеристиках. Аналогично
') Для системы уравнений B') и F) достаточно одного начального усло-
условия, так как ось / = 0 в этом случае становится характеристикой. Подроб-
.нее об этом см. примечание на стр. 168.

168 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Н
ставится задача для функции a(x,t):
а(х,0) = 0,
а {0, /) = -^S-(l —
(П)
A2)
Следует заметить, что подобная задача встречается при рас-
рассмотрении ряда других вопросов (например, процесс сушки
воздушным потоком, прогревание трубы потоком воды и т.д.I).
Решение уравнения (9) может быть получено в явном виде
методом, изложенным в § 5, и дается формулой
и (*„ *,)
Г _ , г -JL 1
e-''/oBV*i*i) + -^-J e X'lobVddxL
A3)
') Переходя к уравнению B'), мы пренебрегали членом щ. Однако не-
нетрудно показать, что мы придем к тому же уравнению, если введем пере-
переменные:
(рис. 32), в которых время в точке х отсчитывается от to — x/v—-момента
прихода в эту точку потока газовоз-
газовоздушной смеси. В самом деле,
ди ди 1 ди д д
дх d| v дх ' dt дх
и уравнение B) принимает вид
_ ди да
V d§ ~~дх'
да
дх
¦- Р (и — уа).
Рис. 32.
Начальные условия G) и уравне-
уравнения B) и F) дают:
и {х, 0) = 0,
uf (х, 0) =Ю.
В области между прямой 1 = 0 я осью g мы получаем задачу определения
функции и по начальным условиям G') (задача Коши), Очевидно, что в этой
области функция и(х, t) == 0 (а также а = 0). Из уравнений B') и F)
видно, что при т = 0 функция и(х, t) претерпевает разрыв, в то время как
функция а(х, t) остается непрерывной. Таким образом, при т = 0 функциям,
как было показано выше, определяется из уравнения B') при а(х, 0) = 0.
Определяя, как это было сделано на стр. 167—168 (см. формулы A0) и A2)),
значения и(х, 0) и а@, /), мы получаем для функций и(х, t) и а(х, t) за-
задачи с данными иа характеристиках.

V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 169
где лг,= —, ti = — безразмерные переменные, /о—функ-
/о—функция Бесселя первого рода нулевого порядка от мнимого аргу-
аргумента.
Пользуясь асимптотическими формулами для функции /о,
нетрудно получить асимптотическое представление решения при
больших значениях аргументов.
2. Асимптотическое решение. Выше мы изучали процесс
сорбции газа, подчиняющегося изотерме сорбции Генри, свя-
связывающей количество поглощенного вещества а с равновесной
концентрацией у линейной зависимостью
а = — и.
у У
Рассмотрим изотерму сорбции общего вида
Если ввести безразмерные переменные
х$ , ф и у_ а
1 v ' ' V «о «о «oY
то система B'), F), G), (8) примет вид
дп dv
' A4)
^ A5)
яри дополнительных условиях
ы@,*,) = 1, A6)
о(х„0) = 0. A7)
Нас будет интересовать асимптотическое поведение функций,
лредставляющих решение системы A4).
Относительно функции fi(z) мы будем предполагать сле-
следующее:
1. fi(z) — возрастающая функция и fi@) = 0.
2. fi(z) имеет непрерывную производную для всех значений
z, 0 < z< 1.
3. Луч, идущий из начала координат в точку A, /чA)), ле-
лежит ниже кривой fi(z) в промежутке 0 ^ z <; 1 (рис. 33), что,
в частности, имеет место для выпуклой изотермы.

170 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Вводя обозначение для обратной функции
будем искать асимптотическое решение поставленной задачи
в виде распространяющейся волны1)
Г*®' ^x-at, A8)
где а — скорость распространения волны, подлежащая опреде-
определению.
Это означает, что на больших расстояниях (при х —> оо) или
через большой промежуток времени (t —>• оо)
v (x, t) = v = ср (х — at); п (х, t) = и = г|з (х — at).
Концентрации пив должны при х = оо или t — оо удовлетво-
удовлетворять условию равновесия
w = Ы«) или u = F{v).
Из условия A6) тогда следует:
Из условия A7) следует:
= ^@) = 0. B0)
Условия A9) означают, что при t—»оо(|—»• — оо) должно ус-
установиться всюду насыщение.
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнения
A4), получим:
tf — otf=0, B1)
— cq/ = г]з — F (q>). B2)
Из B1) и B0) заключаем, что
Из уравнений A9) тогда следует, что
= 7ГПТ B4>
и~ФA) .
или, в размерных величинах,
ff = Y7> «о = /("<>)• B4'Х
') Для упрощения запнси вместо xit t\ будем писать х, t.

V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 171
Из B2) и B3) находим:
5
После интегрирования будем иметь:
со (ф) = g — to, B6)
где ю(ф) —какой-либо интеграл левой части, a go — постоянная
интегрирования. Отсюда искомая функция ф(|) определится
<с точностью до неизвестной постоянной g0:
Ф = а-1F-У, B7)
ф = ся>-1(|-У. B8)
Выясним, может ли быть определена функция от1 и будут ли
¦функции ф и г|з удовлетворять поставленным условиям при
,| -* оо и | —»• — оо. Покажем, что производная
dq> огф — /i ' (ф)
т. е.
6 50 == ю (ф)
— монотонно убывающая функция ф. В самом деле, знамена-
знаменатель в B9) равен
Сф — f! (ф) = , /.. ф — fl (ф).
Первое слагаемое есть принадлежащая ординате ф абсцисса
точки, лежащей на луче, идущем из начала координат в точку
0> МО) (рис. 33). Так как мы условились, что кривая ф =
= fi (z) лежит выше этого луча, то
я, следовательно,
ОФ-/Г'(Ф)>°-
Кроме того,
аф — f[l (ф) = 0 при ф = 0 и при ф
Отсюда следует, что
i — io = ь> (ф) = °° при ф = О,
| —ео = ю(ф) = —с» при ф==/1(
Для обратной функции получаем:
Ф = ю (| —10) = 0 при | = с».

172
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Далее, в силу равенства B9) имеем:
ф = Сф = -^г-щ-(р=1 при | = —оо,
-——
= 0 при | =
Итак, все условия A9) и B0) удовлетворены, и тем самым
доказано, что система уравнений имеет решение в виде рас-
распространяющейся волны, содержа-
содержащей неопределенную постоянную go-
Для определения go интегрируем
первое уравнение по ti в пределах
от 0 до to и по х в пределах or
0 до хо:
(Ш'П
Рис. 33.
Г 'о to "I
J п {х0, х) dx — J п @, т) dx \
г [ х° х° 1
+ J v(x,to)dx— j v(x, 0)dx =0.
Lo 0 J
C0)
Полученное равенство выражает за-
закон сохранения вещества. Пере-
Переходя к пределу при х0-»-оо и пользуясь начальными условиями
для пио, находим:
ОО te
J v(x, to)dx= J fi@. x)dx = t0.
Допустим, что для больших значений t решение нашей за-
задачи приближается к функциям и и v, найденным выше в виде
распространяющихся волн.
Если мы определим |о из условия
J v (х, t0) dx — to-+O (t0 -> оо),
C1)
то это и будет то значение go, которое соответствует функциям
u(x,t) nv(x,t).
Преобразуем наш интеграл
J v{x, to)dx= j у{х — ato)dx= J ю^ — ot0 —10) dx =
оо о
= f «-'(Drfl

V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ 173
Обозначим через ф* значение to~'(g) при ? = 0:
ю-1@) = (р*.
Нетрудно видеть, что если <р = <»-'(?) — обратная функция для
? = со(ф), то (рис. 34)
оо 0 со
J о-» @ di = J о-1 (Е) rfg-h Jco-1 (Е) d? =
ti С. 0
Г со (?,) <р» "I
= -Е^-'&Л- J ю(<р)Лр+J и(<р)<йр . C2)
L <р» о J
Отсюда следует, что вместо предельного равенства C1) можно
написать:
J ш
{<р (-afo-!0) ^
Но+У<Р(-^о-|о)+ J «в(ф)Лр|—<0-*0 (t0-*oo).
о '
C20
Перейдем к пределу при /0 —*¦ оо. Тогда
сф(- cf0 -10) -*оф(- сх>) = fff, A) = 1. C2*)
Чтобы вычислить предел выражения
(— of 0 — go) —10,
воспользуемся уравнением B5). Разлагая /Г1 ((р) = F(q>) в ряд
вблизи точки фо = fi(l), получим:
Сф — /7(ф) =
= <т(
откуда
где точками обозначены члены более высокого порядка относи-
относительно (ф фо).
Из требования 3 для функции ft следует, что
Из уравнения C3) находим порядок роста <р при |—»•—оо:
Ф^ЛеЧ + фо, C4)
где А и k > 0 — некоторые постоянные.

174
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Из C4) следует, что
lim t0 [стер (- ot0 - у - 1 ] = lim t0Ace
= 0. C2'")
><» и
Совершая в формуле C2') предельный переход при fo->
принимая во внимание C2") и C2'"), получаем:
ми
!о = — тпту J ю(фМф-
Тем самым профили волны {и, v] определены полностью.
(з5)
>-c
Особый интерес представляет случай изотермы Лэнгмюра.
Найдем асимптотическое решение для процесса сорбции газа,
подчиняющегося изотерме Лэнгмюра.
Уравнение B5) примет вид
— с-
C6)
(Уф —
1 —
где с= f ,.s = 1 + Р — скорость волны. Из C6) находим:
где
а (ф) = <
афA —
^г=т [iln (с ~~! ~ раф) - 1пф]
Очевидно, что когда (р меняется от 0 до Д A), то а((р) меняется
от +оо до —оо. Выберем А так, чтобы
т. е. чтобы
= 0 при ф* = _/1A) = —

V. ДИНАМИКА СОРБЦИИ ГАЗОВ
175
При этом условии
(Ф) = ~Т[i
-С(Р) -1п2
Значение |0 определяется формулой
Mi)
So = —FTTiT J
о
и не зависит от р = щ[у, т. е. от подаваемой концентрации.
Искомое асимптотическое решение имеет вид
б (х, t) = ю-1 (х — at — у,
п (х, t) = о®-1 (x — ct — у,
C7)
где a-'(g) — обратная для ю(ф) функция.
На рис. 35 приведены результаты численного интегрирова-
интегрирования уравнений A4) для изотермы Лэнгмюра методом конечных
0.0
разностей. Эти графики даны для значений 0 < t^Cti = 10. При
t = t\ результаты численного интегрирования совпадают с асимп-
асимптотическим решением с точностью до 1%- Для значений t > t\
можно пользоваться асимптотическими формулами.

176 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
VI. Физические аналогии
При рассмотрении явлений в различных областях физики
мы часто обнаруживаем общие черты в этих явлениях. Это при-
приводит к тому, что при математической формулировке задачи
мы получаем одни и те же уравнения, описывающие различные
физические явления. Простейшим примером может служить
уравнение
описывающее различные колебательные процессы простейших
систем: математический маятник, колебание груза под дейст-
действием силы упругости пружины, электрические колебания в про-
простом контуре с индуктивностью и емкостью и т. д. Общность
уравнений для различных физических процессов позволяет на
основании изучения свойств одного явления делать заключение
о свойствах другого, менее изученного явления. Так, изучение
различных акустических явлений может быть значительно об-
облегчено предварительным рассмотрением подобных электриче-
электрических схем.
Распространение электрических колебаний в системах с рас-
распределенными постоянными описывается, как известно, теле-
телеграфными уравнениями
дх at
dx~~Ldt +J<J' j
где С, G, L, R — распределенные емкости, утечка, индуктив-
индуктивность и сопротивление системы. Если можно пренебречь сопро-
сопротивлением и утечкой тока, то для V и / получаются обычные
волновые уравнения
—и'
_
• дх* ^
— — 1С
а уравнения A) принимают вид
д!
ду__г dl_
дх dt
B)
При решении задачи о распространении звука в одном направ-
направлении, например, при изучении движения воздуха в трубах, мы

VI. ФИЗИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ 177
приходим к уравнениям
_ dp dv
C)
dp dv
~~дх~~Р~ЬТ'
dv 1 dp
~~дх~~~Т~Ж1
где v — скорость колеблющихся частиц, р — плотность, р —¦
давление, а т = poY — коэффициент упругости воздуха.
Подобие уравнений B) и C) позволяет установить соот-
соответствие между акустическими и электрическими величинами.
Разности потенциалов соответствует давление, току — скорость
смещения частиц. Плотность, определяющая инерционные свой-
свойства газа, соответствует индуктивности электрической цепи, а
емкости электрической цепи соответствует 1/т, т. е. обратная
величина коэффициента упругости. Это же соответствие можно
установить и из выражений кинетической и потенциальной
энергий для электрической и акустической систем.
Возвращаясь к уравнениям A), мы можем ввести акустиче-
акустические аналоги сопротивления и утечки. Величину акустического
сопротивления приходится учитывать в тех случаях, когда при
рассмотрении движения газа оказывается существенным трение
газа о стенки сосуда. По аналогии с электрическим сопротив-
сопротивлением, которое определяется как отношение напряжения к то-
току, можно ввести и акустическое сопротивление, определяемое
отношением давления к току в среде, который пропорционален
скорости смещения частиц газа, Ra = p/uv. В тех случаях, где
рассматривается движение газа в пористой среде, приходится
вводить величину, аналогичную утечке в электрических цепях.
Эта величина, обозначаемая через Р,- называется пористостью и
определяется частью объема материала, которая оказывается
заполненной воздухом.
Механическим аналогом телеграфного уравнения является
уравнение продольных колебаний стержня, которое подобно
уравнениям B) может быть записано в виде
дх~~ k dt ' дх ~Р dt '
где Т — натяжение стержня, v — скорость колеблющихся точек,
р — плотность и k — коэффициент упругости стержня.
Сравнивая это уравнение с уравнением B), мы можем уста-
установить подобие между механическими и электрическими вели-
величинами. Так, устанавливая соответствие между электрическим
напряжением и натяжением струны, током и скоростью дви-
движения частиц, мы получим, что обратная величина коэффициен-
коэффициента упругости соответствует емкости, а плотность — индуктив-
индуктивности.

178
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ II
Таким образом, рассмотрение подобных динамических за-
задач приводит к установлению соответствия между рядом элек-
электрических акустических и механических величин. Это соответ-
соответствие можно иллюстрировать следующей таблицей *):
Переменные
Параметры
Электрическая система
Напряжение V
Ток /
Заряд е
Индуктивность L
Емкость С
Сопротивление R
Акустическая система
Давление р
Скорость частиц v
Смещение и
Инертность (плот-
(плотность) р
Акустическая емкость
Сл=1/т
Акустическое сопро-
сопротивление RA
Механическая система
Натяжение (сила) Т
Скорость смещения х
Смещение к
Плотность массы рт
Мягкость С м = 1/А:
Механическое сопро-
сопротивление RM
Развитые выше соображения позволяют в ряде акустических
задач получить некоторые сведения о характере явлений до
решения задачи.
Так, задача о движении воздуха в порах для простых гар-
гармонических волн приводит к уравнениям2)
— шрти
= — grad p,
где и — объемная скорость воздуха через поры, р — давление,
р — плотность, рт — эффективная плотность воздуха в порах,
которая может быть больше р, так как в порах вместе
с воздухом могут колебаться и частицы вещества, Р — пори-
пористость, с и со — скорость и частота звука, г — сопротивление по-
потоку, которое характеризует падение давления в материале.
vP
Положив r = RA, рт — LA, -Ц- — СА, мы получим наши урав-
уравнения в виде
# л" =
p,
C,Lt
др —
') См., например, Г. О л ь с о н, Динамические аналогии, ИЛ, 1947.
2) См. В. В. Фурдуев, Электроакустика, Гостехиздат, 1948.

VI. ФИЗИЧЕСКИЕ АНАЛОГИИ 179
Эти уравнения вполне подобны уравнениям распространения
электрических колебаний в линии. Поэтому мы по аналогии
с волновым сопротивлением линии
можем сразу написать выражение для сопротивления, называе-
называемого характеристическим импедансом пористого материала
считая при этом G = 0. Выражение характеристического им-
импеданса указывает на затухание волн, распространяющихся
в пористом материале.
Установленная аналогия между электрическими и акусти-
акустическими явлениями позволяет заменить изучение ряда акустиче-
акустических задач рассмотрением эквивалентных электрических схем.
Метод подобия в последнее время нашел большое примене-
применение в моделирующих счетно-решающих устройствах, в которых
для решения уравнения, соответствующего какому-либо физи-
физическому процессу, строится эквивалентная электрическая схема.

ГЛАВА III
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Уравнения с частными производными 2-го порядка парабо-
параболического типа наиболее часто встречаются при изучении про-
процессов теплопроводности и диффузии. Простейшее уравнение
параболического типа
обычно называют уравнением теплопроводности.
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям
параболического типа. Постановка краевых задач
1. Линейная задача о распространении тепла. Рассмотрим
однородный стержень длины /, теплоизолированный с боков и
достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени температуру
во всех точках поперечного сечения можно было считать оди-
одинаковой. Если концы стерж-
стержня поддерживать при по-
постоянных температурах щ и
и2, то, как хорошо известно,
вдоль стержня устанавли-
устанавливается линейное распреде-
распределение температуры (рис. 36)
и (х) = ы, +
I
-X.
A)
При этом от более нагрето-
Рис. 36. го к менее нагретому концу
стержня будет перетекать
тепло. Количество тепла, протекающее через сечение стержня
площади S за единицу времени, дается экспериментальной фор-
формулой
B)
ди
где k — коэффициент теплопроводности, зависящий от материа-
материала стержня.

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 181
Величина теплового потока считается положительной, если
тепло течет в сторону возрастания х.
Рассмотрим процесс распространения температуры в стерж-
стержне. Этот процесс может быть описан функцией и(х,t), представ-
представляющей температуру в сечении х в момент времени t. Найдем
уравнение, которому должна удовлетворять функция и (х, t).
Для этого сформулируем физические закономерности, опреде-
определяющие процессы, связанные с распространением тепла.
1. Закон Фурье. Если температура тела неравномерна,
то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест
с более высокой температурой в места с более низкой темпера-
температурой.
Количество тепла, протекающее через сечение х за проме-
промежуток времени (t,t-\- dt), равно
dQ = qSdt, C)
где
q = -k(x)^ D)
— плотность теплового потока, равная количеству тепла, про-
протекшего в единицу времени через площадь в 1 см2. Этот за-
закон представляет обобщение формулы B). Ему можно также
придать интегральную форму
'? ои (у A At IK\
где Q — количество тепла, протекающее за промежуток време-
времени (ti, tz) через сечение х. Если стержень неоднороден, то k
является функцией х.
2. Количество тепла, которое необходимо сообщить одно-
однородному телу, чтобы повысить его температуру на Аи, равно
Q = cmAu — cpV Аи, F)
где с — удельная теплоемкость, т — масса тела, р — его плот-
плотность, V — объем.
Если изменение температуры имеет различную величину на
разных участках стержня или если стержень неоднороден, то
Хг
Q= j cpS Au(x)dx. G)
3. Внутри стержня может возникать или поглощаться тепло
(например, при прохождении тока, вследствие химических реак-
реакций и т. д.). Выделение тепла может быть характеризовано

182 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИТ
плотностью тепловых источников F(x,t) в точке х в момент tl).
В результате действия этих источников на участке стержня
(х, х -f- dx) за промежуток времени (/, / -(- dt) выделится коли-
количество тепла
dQ = SF (x, t) dx dt (8)
или в интегральной форме
j j F(x, t)dxdt, (9)
где Q — количество тепла, выделяющегося на участке стержня
(xi, x2) за промежуток времени (tu tz).
Уравнение теплопроводности получается при подсчете ба-
баланса тепла на некотором отрезке (хи xz) за некоторый проме-
промежуток времени (tt, tz). Применяя закон сохранения энергии и
пользуясь формулами E), G) и (9), можно написать равен-
равенство
J L * ix—x2
, A0)
которое и представляет уравнение теплопроводности в инте-
интегральной форме.
Чтобы получить уравнение теплопроводности в дифферен-
дифференциальной форме, предположим, что функция и(х, t) имеет не-
непрерывные производные ихх и щ2).
Пользуясь теоремой о среднем, получаем равенство
|, t2) - и (l, Шъ==Хз Ах, A1)
1) Если, например, тепло выделяется в результате прохождения электри-
электрического тока силы / по стержню, сопротивление которого на единицу длины
равно Я, то F = 0,24 -I2R.
2) Требуя дифференцируемости функций и(х, t), мы, вообще говоря, мо-
можем потерять ряд возможных решений, удовлетворяющих интегральному
уравнению, но не удовлетворяющих дифференциальному уравнению. Однако
в случае уравнений теплопроводности, требуя дифференцируемости решения,
мы фактически не теряем возможных решений, так как можно доказать, что
если функция удовлетворяет уравнению A0), то она обязательно должна
-быть дифференцируема.

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 183
которое при помощи теоремы о конечных приращениях можно-
преобразовать к виду
г л.. -л
AxAt, A2)
где t3, 4, U и x3, xt, хь — промежуточные точки интервалов
(tuh) и (xi,x2).
Отсюда, после сокращения на произведение Ах At, находим:
+F(x.f)
дх ч ил , ,„_,. Х=Х4
Все эти рассуждения относятся к произвольным промежуткам
(jci, xz) и (ti, t2). Переходя к пределу при хи х2 -»¦ х и /ь t2 —> *,.
получим уравнение
называемое уравнением теплопроводности.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Если стержень однороден, то k, с, р можно считать по-
постоянными, и уравнение обычно записывают в виде
u, = a2uxx + f(x, t),
t)
-
где а2 — постоянная, называемая коэффициентом тем-
температуропроводности. Если источники отсутствуют,
т. е. .Г(х, /) = 0, то уравнение теплопроводности принимает
простой вид:
и( = а2ихх. A4')
2. Плотность тепловых источников может зависеть от тем-
температуры. В случае теплообмена с окружающей средой, подчи-
подчиняющегося закону Ньютона, количество тепла, теряемого
стержнем1), рассчитанное на единицу длины и времени, равно
1) Поскольку в нашем приближении не учитывается распределение тем-
температуры по сечению, то действие поверхностных источников эквивалентно
действию объемных источников тепла.

184 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill
где Q(x,t)—температура окружающей среды, h — коэффи-
коэффициент теплообмена. Таким образом, плотность тепловых
источников в точке х в момент / равна
F = Fl(x,t)-h(u-Q), A5)
где Fx(x,t) —плотность других источников тепла.
Если стержень однороден, то уравнение теплопроводности
с боковым теплообменом имеет следующий вид:
щ = а2ихх —au + f {x, t),
где а = —; f (x, t) — аб (*, t) -j '(*' — известная функция.
ср ср
3. Коэффициенты k и с, как правило, являются медленно
меняющимися функциями температуры. Поэтому сделанное
выше предположение о постоянстве этих коэффициентов воз-
возможно лишь при условии рассмотрения небольших интервалов
изменения температуры. Изучение температурных процессов
в большом интервале изменения температур приводит к квази-
квазилинейному уравнению теплопроводности, которое для неодно-
неоднородной среды запишется в виде
д
дх
(см. приложение III).
2. Уравнение диффузии. Если среда неравномерно заполнена
газом, то имеет место диффузия его из мест с более высокой
концентрацией в места с меньшей концентрацией. Это же яв-
явление имеет место и в растворах, если концентрация растворен-
растворенного вещества в объеме не постоянна.
Рассмотрим процесс диффузии в полой трубке или в трубке,
заполненной пористой средой, предполагая, что во всякий мо-
момент времени концентрация газа (раствора) по сечению трубки
одинакова. Тогда процесс диффузии может быть описан функ-
функцией и{х,t), представляющей концентрацию в сечении х
в момент времени t.
Согласно закону Нернста масса газа, протекающая
через сечение х за промежуток времени (t, t-\-&t), равна
dQ = — D^-{x, t)Sdt = WSdt,
где D — коэффициент диффузии, S — площадь сечения трубки,
W(x, t) —плотность диффузионного потока, равная массе газа,
протекающей в единицу времени через единицу площади.
(k(u, x)?) + F(x, t) = C(u, x)p(u, x)%L

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 185
По определению концентрации, количество газа в объеме V
равно
Q = uV;
отсюда получаем, что изменение массы газа на участке трубки.
(xi, хг) при изменении концентрации на Аы равно
Ха
AQ = J c(x)ku-S dx,
Xi
где с(х) —коэффициент пористости1).
Составим уравнение баланса массы газа на участке (xi,x2}
за промежуток времени ( tu t2):
и
S \[D (x2) %L {x2, x)-D (*,) ¦§? (jc2, t)] dx =
= s
x,
Отсюда, подобно п. 1, получим уравнение
д / г, ди\ ди
являющееся уравнением диффузии. Оно вполне ана-
аналогично уравнению теплопроводности. При выводе этого урав-
уравнения мы считали, что в трубке нет источников вещества и
диффузия через стенки трубки отсутствует. Учет этих явлений
приводит к уравнениям, сходным с уравнениями A4) и A5)
(см. гл. VI, § 2, п. 3).
Если коэффициент диффузии постоянен, то уравнение диф-
диффузии принимает вид
щ = а2ихх, где a2 = D/c.
Если коэффициент пористости с = 1, а коэффициент диффу-
диффузии постоянен, то уравнение диффузии имеет вид
3. Распространение тепла в пространстве. Процесс распрост-
распространения тепла в пространстве может быть характеризован тем-
температурой u(x,y,z,t) являющейся функцией х, у, z и t.
Если температура непостоянна, то возникают тепловые по-
потоки, направленные от мест с более высокой температурой
к местам с более низкой температурой.
') Коэффициентом пористости называется отношение объема пор к пол-
полному объему Vo, равному в нашем случае S dx.

186 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. til
Пусть do—некоторая площадка в точке Р(?, т),С) с нор-
нормалью п. Количество тепла, протекающее через da в единицу
времени, согласно закону Фурье, равно
Wn da = {Wn) do = -k~do,
тде k коэффициент теплопроводности, ди/дп — производная по
направлению нормали п к do, равная
ди ди , ч . ди , . , ди . .
-fa = "з7 cos (п> х) + ~frf cos ("' у) + ~дг cos ^n> Z^
Закон Фурье часто записывают в форме
W= — fegrad и,
где IF — вектор плотности теплового потока.
Если среда изотропная, то k есть скаляр. В случае анизо-
анизотропной среды k есть тензор, а вектор теплового потока W
представляет собой произведение тензора k на вектор —grad и.
Мы будем рассматривать только изотропные среды.
Перейдем к выводу уравнения теплопроводности в простран-
пространстве.
Рассмотрим некоторый объем V, ограниченный поверхностью
5. Уравнение баланса тепла для объема V за время ht = t2 —
— 11 имеет вид:
A8)
= - J dt J J Wn da + J dt (I J J F (P, t) dVP\
где P —P(g, r],?)—точка интегрирования, dVp = rfgrfr]C?? —
элемент объема, ср — теплоемкость единицы объема, Wn —
нормальная составляющая плотности теплового потока. Это
уравнение выражает закон сохранения тепла в объеме V за
время Д/: изменение количества тепла в объеме V за время
At = t% — fi (левая часть в A8)) обусловлено потоком тепла
через граничную поверхность S (первое слагаемое в правой
части равенства A8)), а также количеством тепла, выделив-
выделившимся в объеме V за время Д^ в результате действия тепло-
тепловых источников.
Чтобы перейти от интегрального уравнения баланса к диф-
дифференциальному уравнению, предположим, что u(M,t) =
= и (х, у, z, t) дважды дифференцируема по х, у, г и один раз
по t и что эти производные непрерывны в рассматриваемой об-

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 187
ласти. Тогда можно воспользоваться формулой Остроградского
JJ Wnda= JJJdivWW
S V
и преобразовать уравнение баланса к виду
cp[u(P, t2)- и(Р, ^)]йУР =
V
t* и
= -{ J[J div WrfVp df + f f J J F (Я, t)dVPdt.
t, V i, ' V
(Будем предполагать F(P,t) непрерывной функцией своих ар-
аргументов.)
Применяя теорему о среднем и теорему о конечных при-
приращениях для функций многих переменных, получим:
M-V
M-V,
p=p,
где t3, h, U — промежуточные точки на интервале At, a Pu Р2г
Pi — точки в объеме V. Фиксируем некоторую точку M(x,y,z)
внутри V и будем стягивать V в эту точку, a Af стремить к нулю.
После сокращения на AtV и указанного предельного перехода
получим:
ср -~ (х, у, г, t) == — div W(x, у, z, t) + F (x, y, z, t).
Заменяя W по формуле W = —k grad и, получим дифференциаль-
дифференциальное уравнение теплопроводности
ср щ = div (k grad и) + F
или
Если среда однородна, то это уравнение обычно записывают
в виде
г»
и, = а2 (ихх + иуу + uzz) + —,
где а2 = k/cp — коэффициент температуропроводности, или
где Д = -^г+ -^2- + -^- — оператор Лапласа.

188 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИГ
4. Постановка краевых задач. Для выделения единственного
решения уравнения теплопроводности необходимо к уравнению
присоединить начальные и граничные условия.
Начальное условие в отличие от уравнения гиперболического
типа состоит лишь в задании значений функции u(x,t) в на-
начальный момент to-
Граничные условия могут быть различны в зависимости от
температурного режима на границах. Рассматривают три ос-
основных типа граничных условий.
1. На конце стержня х = О задана температура
и(о, о =
где |л@—функция, заданная в некотором промежутке 4^
^ t ^ Т, причем Т есть промежуток времени, в течение которо-
которого изучается процесс.
2. На конце х = I задано значение производной
К этому условию мы приходим, если задана величина теплового
потока Q (/, t), протекающего через торцевое сечение стержня,
откуда -гД (/, t) = v if), где \(t)—известная функция, выра-
выражающаяся через заданный поток Q (I, t) по формуле
3. На конце х = / задано линейное соотношение между
производной и функцией
Это граничное условие соответствует теплообмену по закону
Ньютона на поверхности тела с окружающей средой, темпера-
температура которой G известна. Пользуясь двумя выражениями для
теплового потока, вытекающего через сечение х = /,
Q = h(u — 6)
и
получаем математическую формулировку третьего граничного
условия в виде

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ j gg
где К = h/k — коэффициент теплообмена, 6 (t) — некоторая за-
заданная функция. Для конца х = О стержня @, /) третье гра-
граничное условие имеет вид
Граничные условия при х = 0 и х = I могут быть разных
типов, так что число различных задач велико.
Первая краевая задача состоит в отыскании решения и =
= и(х, t) уравнения теплопроводности
и, = а2ихх при
удовлетворяющего условиям
и(х, 0) = ф(*),
«@,9 = i*i(9, и{1, 9 = 1*2(9.
где cp(*), ni(9 и [i2(t) — заданные функции.
Аналогично ставятся и другие краевые задачи с различными
комбинациями краевых условий при х = 0 и х = /. Возможны
краевые условия более сложного типа, чем те, которые были
рассмотрены выше.
Пусть, например, на конце х = 0 стержня помещена сосре-
сосредоточенная теплоемкость Ct (например, тело с большой тепло-
теплопроводностью, вследствие чего температуру по всему объему
этого тела можно считать постоянной) и происходит теплооб-
теплообмен с внешней средой по закону Ньютона. Тогда краевое усло-
условие при х = 0 (выражающее уравнение теплового баланса)
будет иметь вид
„ ди , ди . . ч
Ci~dF^k~dx~~h(u~ u°''
где «о — температура внешней среды. Это условие содержит
производную -^Нили -=-ti если учесть уравнение щ = а2ихх).
Если среда неоднородна и коэффициенты уравнения яв-
являются разрывными функциями, то промежуток @, /), в кото-
котором ищется решение задачи, разбивается точками разрыва
коэффициентов на несколько частей, внутри которых функция
и удовлетворяет уравнению теплопроводности, а на границах —
условиям сопряжения.
В простейшем случае эти условия заключаются в непре-
непрерывности температуры и непрерывности теплового потока
u{Xi — 0, 9 = ufo + 0t 9.
где Xi — точки разрыва коэффициентов.

190 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИГ
Кроме названных^ здесь задач часто встречаются их предель-
предельные случаи. Рассмотрим процесс теплопроводности в очень
длинном стержне. В течение небольшого промежутка времени
влияние температурного режима, заданного на границе, в цент-
центральной части стержня сказывается весьма слабо, и темпера-
температура на этом участке определяется в основном лишь началь-
начальным распределением температуры. В этом случае точный учет
длины стержня не имеет значения, так как изменение длины
стержня не окажет существенного влияния на температуру инте-
интересующего нас участка; в задачах подобного типа обычно счи-
считают, что стержень имеет бесконечную длину. Таким образом,
ставится задача с начальными условиями (задача
Кош и) о распределении температуры на беско-
бесконечной прямой:
найти решение уравнения теплопроводности в области
—со < х < со и t > /о, удовлетворяющее условию
и(х, to)==([)(x) (— oo<x< + co).
где <${х) —заданная функция.
Аналогично, если участок стержня, температура которого
нас интересует, находится вблизи одного конца и далеко от
другого, то в этом случае температура практически определяется
температурным режимом близкого конца и начальными ус-
условиями. В задачах подобного типа обычно считают, что стер-
стержень полубесконечен, и координата, отсчитываемая от конца,
меняется в предел ахО ^ х ^ со. Приведем в качестве примера
формулировку первой краевой задачи для полубес-
полубесконечного стержня:
найти решения уравнения теплопроводности в области
0 < х <С со и t0 ^ t, удовлетворяющее условиям
и{х, у = (р(х) @<*<со),
и@, 0 = 1*(9 (t>t0),
где (р(х) и n(t) — заданные функции.
Приведенные выше задачи представляют собой предельный
случай (вырождение) основных краевых задач. Возможны
предельные случаи основной задачи и другого типа, когда пре-
пренебрегают точным учетом начальных условий. Влияние началь-
начальных условий при распространении температуры по стержню
ослабевает с течением времени. Если интересующий нас момент
достаточно удален от начального, то температура стержня
практически определяется граничными условиями, так как из-
изменение начальных условий не изменило бы температурного
состояния стержня в пределах точности наблюдения. В этом
случае практически можно считать, что опыт продолжался бес-
бесконечно долго, и начальные условия тем самым отпадают.

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 191
Таким образом, мы приходим к краевым задачам без
начальных условий, когда ищется решение уравнения
теплопроводности для О^х^/ и — со < /, удовлетворяющее
условиям
и @, t) = и, (О,
В зависимости от характера граничного режима возможны
и другие виды задач без начальных условий.
Весьма важной является задача без начальных условий для
полубесконечного стержня (/ = со), когда требуется найти ре-
решение уравнения теплопроводности для 0 < л: < оо, / > — со,
удовлетворяющее условию
«@, 0 = |*@.
где [i(t) —заданная функция.
Наиболее часто встречаются задачи без начальных условий
при периодическом граничном режиме
ц (t) = A cos at
(см. приложение I к гл. III).
Естественно считать, что по прошествии большого проме-
промежутка времени температура стержня практически также ме-
меняется по периодическому закону с той же частотой. Однако,
если мы захотим точно учитывать начальные условия, то фор-
формально никогда не получим периодического решения, так как
влияние начальных условий, хотя и будет ослабевать с тече-
течением времени, но в нуль не обратится; учитывать это влияние
ввиду ошибок наблюдения нет никакого смысла. Рассматривая
периодическое решение, мы пренебрегаем влиянием начальных
данных.
Постановка краевых задач, изложенная выше, относится,
конечно, не только к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами. Под словами «уравнение теплопроводности» мы могли
бы понимать любое из уравнений предыдущих пунктов.
Помимо перечисленных выше линейных краевых задач, ста-
ставятся также задачи с нелинейными граничными условиями, на-
например, вида
k@t) a[uH0tNH0t)]
Это граничное условие соответствует излучению по закону Сте-
Стефана — Больцмана с торца х = 0 в среду с температурой Q{t).
Остановимся более подробно на постановке краевых задач.
Рассмотрим первую краевую задачу для ограниченной области.

192 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Решением первой краевой задачи будем называть
функцию и(х, t), обладающую следующими свойствами:
1) и(х, t) определена и непрерывна в замкнутой области
2) u(x,t) удовлетворяет уравнению теплопроводности в от-
открытой области
0<х<1, tD<t;
3) и(х, t) удовлетворяет начальному и граничным усло-
условиям, т. е.
и (х, t0) = <р (х), и (О, t) = ц, (t), и (I, t) = ц2 (t),
где <р(*)> M-i@> М«(*)—непрерывные функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям сопряжения
<Р(О) = М*о) [=и@, *„)]и <р(/)=ц2(*0) [=«(/, t0)],
необходимым для непрерывности и(х,t) в замкнутой области.
Рассмотрим плоскость фазовых состояний (х, t) (рис. 37).
В нашей задаче ищется функция u(x,t), определенная внутри
прямоугольника ABCD. Эта об-
область определяется самой поста-
постановкой задачи, так как изучается
процесс распространения тепла
в стержне 0 ^ х ^ / за проме-
промежуток времени to ^ t <g: Г, в те-
течение которого нам известен теп-
тепловой режим на краях. Пусть
ъ.х 4 = 0; мы предполагаем, что
x=l u(x,t) удовлетворяет уравнению
Рис. 37 только при 0<х</, 0<*<7\
но не при t = 0 (сторона АВ)
и не при х — 0, х = 1 (стороны AD и ВС), где начальными
и граничными условиями непосредственно задаются значе-
значения этой функции. Если бы мы потребовали, чтобы урав-
уравнение удовлетворялось, например, при t = 0, то этим мы потре-
потребовали бы, чтобы существовала производная <р" = ихх(х,0),
входящая в уравнение. Этим требованием мы ограничили бы
область изучаемых физических явлений, исключив из рассмот-
рассмотрения те функции, для которых это требование не выполняется,
Условие 3) без предположения непрерывности и(х, t) в области
0 ^ х ^ /, 0 ^ t ^ Г (т. е. в замкнутом прямоугольнике
ABCD) или какого-либо другого условия, заменяющего это
предположение, теряет смысл1). Действительно, рассмотрим
') Ниже будут рассмотрены краевые задачи с разрывными граничными
и начальными условиями. Для этих задач будет уточнено, в каком смысле
понимается выполнение граничных условий.

§ I] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 193
функцию v[x, t), определенную следующим образом:
v(x,t)=C
где С — произвольная постоянная. Функция v(x,t), очевидно,
удовлетворяет условию 2), а также граничным условиям. Од-
Однако эта функция не представляет процесса распространения
температуры в стержне при начальной температуре q>(x) ф С
и граничных температурах щA) ф С и jx2@ Ф С, так как она
разрывна при t — О, х = 0, х — I.
Непрерывность функции u(x,t) при 0 < х < /, 0 < < =?1 Г
следует из того, что эта функция удовлетворяет уравнению. Та-
Таким образом, требование непрерывности и(х, t) при 0 ^ х ^ /,
О ^ t ^ Т; по существу относится только к тем точкам, где
задаются граничные и начальные значения. В дальнейшем мы
под словами «решение уравнения, удовлетворяющее граничным
условиям», будем подразумевать функцию, удовлетворяющую
требованиям 1), 2), 3), не оговаривая эти условия каждый раз,
если в этом нет специальной необходимости.
Аналогично ставятся и другие краевые задачи, в том числе
задачи на бесконечном стержне и задачи без начальных усло-
условий.
Для задач с несколькими независимыми геометрическими
переменными все сказанное выше сохраняет силу. В этих за-
задачах при t = t0 задается начальная температура, на поверх-
поверхности тела — граничные условия. Можно рассматривать также
и задачи для бесконечной области.
В отношении каждой из поставленных задач возникают сле-
следующие вопросы 1):
1) единственность решения поставленной задачи,
2) существование решения,
3) непрерывная зависимость решения от дополнительных
условий.
Если поставленная задача имеет несколько решений, то сло-
слова «решение задачи» не имеют определенного смысла. По-
Поэтому прежде чем говорить о решении задачи, необходимо
доказать его единственность. Для практики наиболее сущест-
существенным является вопрос 2), так как при доказательстве
существования решения обычно дается способ вычисления
решения.
') Ср. с гл. II, § 2.
7 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

194 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Как было отмечено ранее (см. главу II, § 2, п. 5) процесс
называется физически определенным, если при малом измене-
изменении начальных и граничных условий задачи ее решение ме-
меняется мало. В дальнейшем будет доказано, что процесс
распространения тепла физически определяется своими началь-
начальными и граничными условиями, т. е. небольшое изменение
начального и граничных условий мало изменяет и само решение.
5. Принцип максимального значения. В дальнейшем мы бу-
будем рассматривать уравнение с постоянными коэффициентами
v, = a2vxx + $vx + yv.
Как мы видели, это уравнение подстановкой
V==e»x+Kt.u при tl = _j_j a,=v--g-
приводится к виду
и, = а2ихх.
Докажем следующее свойство решений этого уравнения,
которое мы будем называть принципом максимально-
максимального значения.
Если функция и (х, t), определенная и непрерывная в замк-
замкнутой области Q ^.t ^.Т и О^х^/, удовлетворяет уравне-
уравнению теплопроводности
ut = a2uxx A9)
в точках области О < х < /, 0 < t ^ Г, то максимальное и ми-
минимальное значения функции u(x,t) достигаются или в на-
начальный момент, или в точках границы х = О, или х = I.
Функция и(х, t) = const, очевидно, удовлетворяет уравне-
уравнению теплопроводности и достигает своего максимального (ми-
(минимального) значения в любой точке. Однако это не противо-
противоречит теореме, так как из ее условия следует, что если макси-
максимальное (минимальное) значение достигается внутри области,
то оно также (а не только) должно достигаться или при
/ = 0, или при х = 0, или при х = I.
Физический смысл этой теоремы очевиден: если температу-
температура на границе и в начальный момент не превосходит некото-
некоторого значения М, то при отсутствии источников внутри тела не
может создаться температура, большая М. Остановимся снача-
сначала на доказательстве теоремы для максимального значения.
Доказательство теоремы ведется от противного. Обозначим
через М максимальное значение и(х, t) при t = 0 @ ^ х ^ /)
или при х = 0, или при х = I @ ^ t ^ Г) *) и допустим, что
') Если не предполагать непрерывности и(х, t) в замкнутой области
О <: х sg: /, 0 < t < Т, то функция и(х, t) могла бы не достигать своего
максимума ни в одной точке, и дальнейшие рассуждения были бы неприме-

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 195
в некоторой точке (х0, t0) (О < х0 < /, 0 < to ^ T) функция
и(х,t) достигает своего максимального значения, равного
и(х0, to)=M + e.
Сравним знаки левой и правой частей уравнения A9) в точ-
точке (х0, t0). Так как в точке (хс, to) функция достигает своего
максимального значения, то необходимо должно быть
4g-(x0,/0) = 0 и !5-(*о,*о)<О'). B0)
Далее, так как u(xo,t) достигает максимального значения при
/ = *о, то*)
^f(xo,tc)>O. B1)
Сравнивая знаки правой и левой части уравнения A9), мы ви-
видим, что они различны. Однако это рассуждение еще не дока-
доказывает теоремы, так как правая и левая части могут быть
равны нулю, что не влечет за собой противоречия. Мы привели
это рассуждение, чтобы яснее выделить основную идею доказа-
доказательства. Для полного доказательства найдем точку (хи t\),
в которой -g^-^О и -^г > 0- Для этого рассмотрим вспомо-
вспомогательную функцию
v(x, t) = !ф, t) + k(to-t), B2)
нимы. В силу теоремы о том, что всякая непрерывная функция достигает
своего максимального значения в замкнутой области, мы можем быть уве-
уверены, что: 1) функция и(х, t) достигает максимального значения на нижней
или боковых сторонах прямоугольника, которое мы обозначили через М;
2) если и(х, t) хотя бы в одной точке больше М, то существует точка (xD,t0),
в которой и(х, t) достигает максимального значения, превосходящего М:
u(xo,to) = M
причем
0<л-0</,
') Действительно, как известно из анализа, достаточными условиями
для тсго, чтобы функция f {x) в точке х0, лежащей внутри интервала @, /),
имела относительный минимум, являются следующие условия:
дх
= 0,
d2f I
¦^-^- >0.- Таким образом, если f (x) в точке хв имеет максимальное
„
значение, то 1) f'(xo) — O и 2) не может быть, чтобы f" (хо)>О, т. е.
Г()<°
2) При этом ясно, что если to<T, то —^г = 0, если же t0 = Т, то

196 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
где k — некоторое постоянное число. Очевидно, что
v {х0, /0) = и(хс, to)=M + e
Выберем k > О так, чтобы kT был меньше е/2, т. е. k < е/271;
тогда максимальное значение v(x,t) при 2 = 0 или при х = 0,
х = / не будет превосходить М + -§¦, т. е.
v (x, t) < М + у (при f = 0 или л; == 0, или л; = /), B3)
так как для этих аргументов первое слагаемое формулы B2)
не превосходит М, а второе —е/2.
В силу непрерывности функции v (x, t) она должна в неко-
некоторой точке (хи ti) достигать своего максимального значения.
Очевидно, что
v(xu
Поэтому ti > 0 и 0 < Xi < /, так как при t = 0 или х = 0,
х= I имеет место неравенство B3). В точке (хи ti), по анало-
аналогии С B0) И B1), ДОЛЖНО быть l>aa:(*l>*l) ^ 0, Vt{Xuti) ^ 0.
Учитывая B2), находим:
Щ {xi, ti) = vt (xu t{) + k > k > 0.
Отсюда следует, что
Щ(хх, tx) — ahixx(xu ti)^k> 0,
т. е. уравнение A9) во внутренней точке (xit ti) не удовлетво-
удовлетворяется. Тем самым доказано, что решение и(х, t) уравнения теп-
теплопроводности A9) внутри области не может принимать зна-
значений, превосходящих наибольшее значение и(х,I) на границе
(т. е. при t — 0, х = 0, х = /).
Аналогично может быть доказана и вторая часть теоремы
о минимальном значении. Впрочем, это не требует отдельного
доказательства, так как функция щ = —и имеет максимальное
значение там, где и — минимальное.
Обратимся теперь к установлению ряда следствий из прин-
принципа максимального значения. Прежде всего докажем теорему
единственности для первой краевой задачи.
6. Теорема единственности. Если две функции, щ (х, t) и
ii2 (x, t), определенные и непрерывные в области 0 ^ х ^ /,
0 ^ t ^ T, удовлетворяют уравнению теплопроводности
щ — а?ихх + / (л;, t) (для 0 < х < /, t > 0), B4)

¦§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 197
¦одинаковым начальным и граничным условиям
щ {х, 0) = и2 (х, 0) = ф (х),
«,@, t) = u2@, 9 = ц,(').
ГО Ui(xJ) =Uz(X,tI).
Для доказательства этой теоремы рассмотрим функцию
V (X, t) = U2 (X, t) — Щ (X, t).
Поскольку функции щ (х, t) и u2(x,t) непрерывны при
то и функция v(x, t), равная их разности, непрерывна в этой
же области. Как разность двух решений уравнения теплопро-
теплопроводности в области 0 < х < /, t > 0, функция v(x,t) является
решением однородного уравнения теплопроводности в этой об-
области. Таким образом, принцип максимального значения при-
применим к этой функции, т. е. она достигает своего максимально-
максимального и минимального значений или при t = 0, или при х = 0, или
при х — I. Однако по условию мы имеем:
о(*,0) = 0, 0@,0 = 0, о (/,<) = 0.
Поэтому
р(х,0 = 0,
т. е.
Щ (X, t) = «J, (X, t).
Отсюда следует, что решение первой краевой задачи един-
единственно.
Докажем еще ряд прямых следствий из принципа макси-
максимального значения. При этом в дальнейшем мы будем говорить
просто «решение уравнения теплопроводности» вместо более
подробного перечисления свойств функций, удовлетворяющих,
кроме того, начальным и граничным условиям.
1. Если два решения уравнения теплопроводности щ (х, t)
и U2(x,t) удовлетворяют условиям
щ {х, 0) < и2 {х, Q),
щ @, t) < и2 @, 0. Щ (I, t) < u2 (I, t),
го
щ (х, t) < и2 (х, t)
для всех значений O^x^l, O^t^T.
') В п. 3, § 2 эта теорема будет усилена и требование непрерывности
лри t = 0 снято.

198 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. ИГ
Действительно, разность v(х,t) = и2(х,t)—щ(х,t) удов-
удовлетворяет условиям, при которых установлен принцип макси-
максимального значения, и, кроме того,
и(х, 0)>0, t)@, *)>0, v(l, 0>0.
Поэтому
v(x, 0>0 для 0<х</, 0</<7\
так как иначе функция v(x,t) имела бы отрицательное мини-
минимальное значение в области
0<х<1, 0</<7\
2. Если три решения уравнения теплопроводности
и(х, t), и_(х, t), п(х, t)
удовлетворяют условиям
и(х, t)^u(x, t)^.u(x, t) при / = 0, х = 0 и х — 1,
то эти же неравенства выполняются тождественно, т. е. для
всех х, t при 0<х</, 0<*<Г.
Это утверждение является применением следствия 1 к функ-
функциям
и(х, t), п(х, f) и и(х, t), и(х, f).
3. Если для двух решений уравнения теплопроводности:
ih(x,t) и U2.(x,t) имеет место неравенство
| щ (х, t) — и2(х, t)\^.e для tf = 0, x = 0, x = l,
то
\udx, t) — u2(x, 01<е
тождественно, т. е. имеет место для всех х, t
Это утверждение вытекает из следствия 2, если его приме-
применить к решениям уравнения теплопроводности
и (х, t) = — e,
и (х, t) = «, (х, t) — и2 (х, t),
п (х, t) = е.
Следствие 3 позволяет установить непрерывную зависимость,
решения первой краевой задачи от начального и граничных,
значений. Если мы в некоторой физической задаче вместо ре-
решения уравнения теплопроводности, соответствующего началь-
начальному и граничным условиям
и (х, 0) = ф (*), и @, 0 = l*i @. и С 0 = ^2 (*).

§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 199
возьмем решение и(х,t), соответствующее другим начальному
и граничным значениям, определяемым функциями <р* (х), \x](t),
H*2(t), не отличаемыми в пределах заданной степени точности е
от функций <р(х), \x\(t) и
то функция iii(x,t) будет отличаться от функции u(x,t) в пре-
пределах той же точности е
| и(х, t) — и, (х, t) |<е.
В этом и заключается принцип физической определенности
задачи.
Мы подробно провели изучение вопроса о единственности
и физической определенности задачи на примере первой крае-
краевой задачи для ограниченного отрезка. Теорема единственности
первой краевой задачи для ограниченной области в простран-
пространстве двух или трех измерений может быть доказана букваль-
буквальным повторением приведенных выше рассуждений.
Подобные же вопросы возникают при изучении других за-
задач, целый ряд которых был поставлен нами в предшествующем
параграфе. Эти задачи требуют некоторого видоизменения ме-
метода доказательства.
Единственность решения задачи для неограниченной области
(см.. п. 7) или задачи без начальных условий имеет место лишь
яри наложении некоторых дополнительных условий на изучае-
изучаемые функции.
7. Теорема единственности для бесконечной прямой. При
решении задачи на бесконечной прямой существенным является
требование ограниченности искомой функции во всей области,
т. е. существование такого М, что \и(х,t)\<M для всех
— со < х < + со и t 5= 0.
Если Ui(x,t) и u2(x,t) —непрерывные, ограниченные во всей
¦области изменения переменных (х, t) функции, удовлетворяю-
удовлетворяющие уравнению теплопроводности
щ = а2ихх (— со < х < оо, t > 0) A9)
.и условию
щ (X, 0) = и2 (х, 0) (— со < х < оо),
то
щ(х, t) = u2(x, t) (— оо <х< с»,
Рассмотрим, как обычно, функцию
v (х, t) = щ {х, t) — и2 {х, t).

200 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Функция v(x,t) непрерывна, удовлетворяет уравнению теп-
теплопроводности, ограничена во всей области
\v(x, 0 KIM*. 01 + 1 «2 («. t)\<2M (—oo<x< oo, f>0)
и удовлетворяет условию
v (х, 0) = 0.
Принцип максимального значения, которым мы пользовались
при доказательстве единственности задачи для отрезка, здесь
неприменим, так как в неограниченной области функция v(x, t)
может нигде не достигать максимальных значений. Чтобы вос-
воспользоваться этим принципом, рассмотрим область
где L — вспомогательное число, которое затем будем неогра-
неограниченно увеличивать, и функцию
(^ ) B5>
Функция V(xJ) непрерывна, удовлетворяет уравнению тепло-
теплопроводности, в чем нетрудно убедиться дифференцированием, и
кроме того, обладает следующими свойствами:
V(x,0)^\v{x, 0I = 0,
V{±L,t)^2M^\v{±L,t)\. B6)
Для ограниченной области \х\ ^ L, 0 ^ ? ^ Г справедлив прин-
принцип максимального значения. Применяя следствие 2 из преды-
предыдущего пункта для функции ы = —V(x,t), u — v(x,t) и п =
= V{x, t) и учитывая B6), получаем:
4М ( х2 , 9 Л ^_ , ,ч ^_ AM ( х2 ,
Фиксируем некоторые значения (х, t) и, воспользовавшись
произволом выбора L, будем его неограниченно увеличивать..
Переходя к пределу при L -* оо, получим:
v{x, t) = 0,
что и доказывает теорему.
§ 2. Метод разделения переменных
1. Однородная краевая задача. Перейдем к решению первой
краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке:
щ = а2ихх + I {x, t), @ < х < I, t> 0) A).
с начальным условием
B).

f 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 201
и граничными условиями
ы@, *) = ц,(*)
Изучение общей первой краевой задачи начнем с решения
следующей простейшей задачи I:
найти непрерывное в замкнутой области @^x^.1, 0 ^
^ t ^ T) решение однородного уравнения
щ=*(Рихх, 0<х<1, 0<*<7\ D)
удовлетворяющее начальному условию
и (ж, 0) = <р(ж), 0<х</ B)
и однородным граничным условиям
и@, /) = 0, ы(/, 0 = 0, 0</<Г. E)
Для решения этой задачи рассмотрим, как принято в мето-
методе разделения переменных, сначала основную вспомогательную
задачу:
найти решение уравнения
Щ = а2ихх,
не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным
граничным условиям
и @, 0 = 0, и (I, 0 = 0 E)
и представимое в виде
u(x,t) = X(x)T{f), F)
где Х(х)—функция только переменного х, T(t)—функция
только переменного t.
Подставляя предполагаемую форму решения F) в уравне-
уравнение D) и производя деление обеих частей равенства на агХТ,
получим:
1 7" Y"
1 J А_ i G\
а* ~Т X ~ А> W
где % = const, так
как
от t, а правая — только
Отсюда следует,
Граничные условия
что
E)
левая
от х.
К"-\-
Т' + а-
дают:
часть равенства
КХ = 0,
гКТ = 0.
зависит только
(8)
(80
= 0, X @ = 0. (9)

202 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. [ГЛ. ИГ
Таким образом, для определения функции Х(х) мы получили
задачу о собственных значениях (задачу Штурма — Лиувилля)
Х" + ХХ = 0, Х@) = 0, *(/) = 0, (Ю)
исследованную при решении уравнения колебаний в главе II
(см. § 3, п. 1). При этом было показано, что только для зна-
значений параметра К, равных
Я„=(~J (л = 1, 2, 3, ...),
существуют нетривиальные решения уравнения (8), равные
Xn{x)==sin~x. A2)
Этим значениям Кп соответствуют решения уравнения (8')
Tn(t)-=Cae"^\ A3)
где Сп — не определенные пока коэффициенты.
Возвращаясь к основной вспомогательной задаче, видим, что
функции
ип (х, 0 = Хп (х) Тп @ = Cne-°°V sin JHL Xt A4>
являются частными решениями уравнения D), удовлетворяю-
удовлетворяющими нулевым граничным условиям.
Обратимся теперь к решению задачи (I). Составим фор-
формально ряд
, ,. vi ~ -(-т~) аЧ .яп .,_.
и{х, t) = 24C"e sm — x. A5)
Функция u(x,t) удовлетворяет граничным условиям, так как
им удовлетворяют все члены ряда. Требуя выполнения началь-
начальных условий, получаем:
Ф(х) = в (х. 0) = J] Cn sin -2L х, A6)
т. е. Сп являются коэффициентами Фурье функции ц>(х) при
разложении ее в ряд по синусам на интервале @, /):
F)sin-2L|-d!. A7)
Рассмотрим теперь ряд A5) с коэффициентами С„, опреде-
определяемыми по формуле A7), и покажем, что этот ряд удовлетво-
удовлетворяет всем условиям задачи (I). Для этого надо доказать, что

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
203
функция и(х, t), определяемая рядом A5), дифференцируема,
удовлетворяет уравнению в области 0 < х < /, t > 0 и не-
непрерывна в точках границы этой области (при t = 0, х = 0,
Так как уравнение D) линейно, то в силу принципа супер*
позиции ряд, составленный из частных решений, также будет
решением, если он сходится и его можно дифференцировать
почленно дважды по х и один раз по t (см. лемму главы II,
•§ 3, п. 3). Покажем, что при t^i>0 (i — любое вспомога-
вспомогательное число) ряды производных
и j.
дх2
¦сходятся равномерно. В самом деле,
В дальнейшем будут сформулированы дополнительные требо-
требования, которым должна удовлетворять функция q>(x). Предпо-
Предположим сначала, что ц>(х) ограничена, |ф(х)|<Л1; тогда
|C.I = |f
откуда следует, что
и аналогично
\дЧп
дх2 ,<2МDЧ«2
Вообще
<2М,
для
для t > t.
для
Исследуем сходимость мажорантного ряда 2 «п. гДе
П=1
-
= Nn"e
A50

204 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
По признаку Даламбера этот ряд сходится, так как
-(у-JаЦп*+2п+\I
hm -^
fl->«>
= hm 1 H— e v* / =0.
Отсюда вытекает возможность почленного дифференцирования
ряда A5) любое число раз в области t ^ t > 0. Далее, поль-
пользуясь принципом суперпозиции, заключаем, что функция, опре-
определенная этим рядом, удовлетворяет уравнению D). В силу
произвольности t это имеет место для всех t > 0. Тем самым
доказано, что при t>0 ряд A5) представляет функцию, диф-
дифференцируемую нужное число раз и удовлетворяющую урав-
уравнению D) 1).
Если функция ff(x) непрерывна, имеет кусочно-непрерывную
производную и удовлетворяет условиям ф@) = 0 и ф(/) = 0,
то ряд
^^)alsm^x A5)
определяет непрерывную функцию при
Действительно, из неравенства
\un(x,t)\<\Cn\ (при
сразу же следует равномерная сходимость ряда A5) при t ^ 0,
0 ^ х ^ /, что и доказывает справедливость сделанного выше
утверждения, если учесть, что для непрерывной и кусочно-
гладкой функции ф(х) ряд из модулей коэффициентов Фурье
сходится, если <р@) = ф(/) = О2).
Итак, задача нахождения решения первой краевой задачи
для однородного уравнения с нулевыми граничными усло-
условиями и непрерывным, кусочно-гладким начальным условием
решена полностью.
') При доказательстве того, что ряд A5) удовлетворяет уравнению
Ut = a2tixx при / > 0, была использована только ограниченность коэффициен-
коэффициентов Фурье Сп, которая, в частности, будет иметь место для любой ограни-
ограниченной <f(x).
2) См. гл. II, § 3, п. 3.

§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 205
2. Функция источника. Преобразуем полученное решение
A5), заменяя Сп их значениями:
= >, у J «pftjsin-j-gd! -e v ' / sin — x^
7^u; sin-px-sin — 5
Изменение порядков суммирования и интегрирования всегда
законно при t > 0 в силу того, что ряд в скобках сходится рав-
равномерно по I при f>01).
Обозначим
) аЧ яп
sin-r-Jt • sm-r-g. A8)
п=1
Пользуясь функцией G(jc, |, f), можно представить функцию
н (х, t) в виде
j
J A9)
Функция G (х, |, 0 называется функцией мгновенного
точечного источника или, более подробно, функцией
температурного влияния мгновенного точечного источника
тепла.
Покажем, что функция источника G(x,%,t), рассматривае-
рассматриваемая как функция х, представляет распределение температуры
в стержне 0 =SC x =sC / в момент времени t, если температура в
начальный момент t = 0 равна нулю и в этот момент в точке
х — | мгновенно выделяется некоторое количество тепла (вели-
(величину которого мы определим позже), а на краях стержня все
время поддерживается нулевая температура.
Выражение «количество тепла Q, выделяющееся в точке g»
обозначает, как обычно, что мы имеем дело с теплом, выде-
выделяющимся на «небольшом» интервале около изучаемой точки |.
') Ряд 2а«> гДе ап определяется формулой A5'), при <? = 0 является
мажорантным для ряда, стоящего в скобках.

206 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill
Изменение температуры фс(|), вызываемое появлением тепла
около точки, будет, очевидно, равно нулю вне интервала
(| — е, | + е), на котором выделяется тепло, а внутри этого
интервала фс(|) можно считать положительной, непрерывной и
дифференцируемой функцией, для которой
С9 J <РеО)<*? = <Э. B0)
1-е
так как лгвая часть этого уравнения и представляет количе-
количество тепла, вызвавшее изменение температуры на величину
фЕ(|). Процесс распространения температуры в этом случае оп-
определяется формулой A9):
ие(дс, 0={С(дс, ?,*)%(?)<?. B1)
о
Совершим теперь предельный переход при е—»-0. Принимая
во внимание непрерывность G при (>0 и равенство B0) и
применяя теорему среднего значения при фиксированных зна-
значениях х, t, будем иметь:
1+
Г
= G {х, ?', t) J Фе(g) d\ = G (x, Г, 0-~. B10
где |* — некоторая средняя точка интервала (| — е, | + е).
В силу непрерывности функции G {x, |, t) по | при t > 0 полу-
получаем:
\imue(x,t) = -?-G(x, I, /) =
О 2 \1 -("Т^У °2' • пп . пп «. ,__,
= 7^-TZie sm-px-sin-pl. B2)
Отсюда следует, что G(x, |, t) представляет температуру в точ-
точке х в момент t, вызванную действием мгновенного точечного
источника мощности Q = ср, помещенного в момент t = 0
в точке | промежутка @, /).
Отметим следующее свойство функции G (x, |, t): функция
С(х, |, t)~>Q при любых х, | и t > 0. Действительно, рассмот-
рассмотрим начальную функцию фЕ(х), обладающую перечисленными
выше свойствами, и соответствующее ей решение BГ). Из
неотрицательности начального и граничных условий в силу

§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 207
принципа максимального значения следует, что
для всех 0-<л:-</ и t>0. Отсюда, воспользовавшись форму-
формулой BГ), имеем:
иЕ {х, t) = G {х. Г, 0 ¦? > 0 (при * > 0). BГ')
Переходя к пределу при е-*0, из B1/) получим неравенство
G(x,l,t)>0 при 0<ж, |</ и t > 0,
которое и надо было доказать.
Этот результат имеет простой физический смысл. Однако
установить его непосредственно из формулы A9) было бы за-
затруднительно, поскольку G (х, |, t) представляется знакопере-
знакопеременным рядом.
3. Краевые задачи с разрывными начальными условиями.
Изложенная выше теория относится к решениям уравнения
теплопроводности, непрерывным в замкнутой области 0 ^ х =sC
=^ /, 0 ^ t ^ Т. Эти условия непрерывности являются весьма
ограничительными. В самом деле, рассмотрим простейшую за-
задачу об остывании равномерно нагретого стержня при нулевой
температуре на краях. Дополнительные условия имеют вид
и(х, 0) = н0> и@, t) = и(t, t)=0.
Если Но Ф 0, то решение этой задачи должно быть разрывным
в точках @, 0) и (/, 0). Этот пример показывает, что постав-
поставленные выше условия непрерывности начального значения и
условия сопряжения его с граничными значениями исключают
из рассмотрения практически важные случаи. Однако формула
A9) дает решение краевой задачи и в этом случае.
В приложениях часто пользуются формулами, выходящими
за границы условий их применимости, зачастую вообще не ста-
ставя вопроса об условии применимости формул. Последователь-
Последовательное обоснование всех формул было бы весьма громоздким и
часто отвлекало бы внимание исследователя от количественных
и качественных сторон явления, характерных для физической
сущности процесса.
Однако мы считаем нужным, по крайней мере на простей-
простейших примерах, дать обоснование математического аппарата,
достаточное для решения основных задач.
Рассмотрим краевые задачи с кусочно-непрерывными на-
начальными функциями, не предполагая, что начальная функция
сопряжена с граничными условиями. Этот класс дополнитель-
дополнительных условий является достаточно общим для потребностей прак-
практики и достаточно простым для изложения теории. Нашей

208 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
целью является доказать, что та же формула A9) дает решение
поставленной задачи. Проведем ее исследование в несколько
этапов. Докажем предварительно теорему:
Решение уравнения теплопроводности
щ = а2ихх {0<х<1, t>0), D)
непрерывное в замкнутой области {0^x^.1, 0 ^ t ^ T) и
удовлетворяющее условиям
«@, *) = и(/, 0 = 0, />0, E)
и{х, 0) = ф(ж),- 0<х</, B)
где <j (jc) — произвольная непрерывная функция, обращающаяся
с нуль при х = 0, х — I, определено однозначно и представляет-
представляется формулой
j(*,g. 9Ф(?)<*&• (П)
Эта теорема была доказана выше в предположении дополни-
дополнительного условия о кусочно-непрерывной дифференцируемости
функции ф(|).
Освободимся от этого условия. Рассмотрим последователь-
последовательность непрерывных кусочно-дифференцируемых функций фпA)
(ф„@) = фп(/) = 0), равномерно сходящуюся к ср(х). (В каче-
качестве фи(х) можно выбрать, например, функции, представимые
/• k
ломаными линиями, совпадающими с q>(x) в точках , k =
= 0, 1,2, ..., п).Функции ип(х, ^.определяемыеформулой A9)
через фи(х), удовлетворяют всем условиям теоремы, так как
ц>п{х) удовлетворяют условию кусочной дифференцируемости.
Эти функции равномерно сходятся и определяют в пределе не-
непрерывную функцию и(х, t). В самом деле, для любого е мож-
можно указать такое п(е), что
К,(*) — Ф„,(*)| <е @<*<0. если пр «2>п(е),
так как эти функции по условию сходятся равномерно. Отсюда
в силу принципа максимальных значений следует также, что
1 Ип,(*it) — un,(x,t)\<e @<*</, 0<t<Г), если щ, п2
что и доказывает равномерную сходимость последовательности
функций ип(х, t) к некоторой непрерывной функции и(х, t).
Если мы, фиксировав точку (х, t), перейдем к пределу под
знаком интеграла, то получим, что функция
i I.
и {х, t) = litn un (x, t) = lim \G {x, |, t)Ф„(|) dg = Г 6 {x, g, t)<p(

§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 209
непрерывна в замкнутой области 0 ^ х ^ /, 0 ^Г / =gC Г и удов-
удовлетворяет начальному условию B). В силу сноски на стр. 200
нетрудно убедиться, что она также удовлетворяет уравнению D)
при t > 0. Доказательство теоремы закончено.
Формула A9) дает единственное непрерывное решение рас-
рассматриваемой задачи.
Обратимся к доказательству теоремы единственности для слу-
случая кусочно-непрерывной начальной функции <р{х), не пред-
предполагая, что эта функция сопряжена с граничными условиями. Докажем, что
функция, непрерывная в области t > 0, удовлетворяющая уравнению тепло-
теплопроводности
Ч D)
е области О < х < I, t > О, нулевым граничным условиям
и (О, О = и (/, f) = O E)
и начальному условию
и (Xi q\ __ ф /^л /2)
определена однозначно, если:
1) ока непрерывна в точках непрерывности функции <р(х) и
2) ограничена в замкнутой области 0 ^ х ^ /, 0 ^ / ^ 70, гбе (о — про-
извольное положительное число.
Предположим, что такая функция существует. Очевидно, что в силу
предшествующей теоремы она может быть представлена в области t>i
формулой
и(х, t)= I" G(x, |, t — F)<p,(|)d| U>?>0) A9')
о
при любом 1, где t — вспомогательное значение,
0<F<*. <p{(x) = u(.x,t).
Совершим предельный переход в этой формуле при F->-0, сохраняя х
и t неизменными. Покажем '), что возможен переход под знаком интеграла
') Доказываемая ниже теорема является частным случаем теоремы Ле-
Лебега о возможности перехода к пределу под знаком интеграла, если после-
последовательность функций Fn(x) почти всюду сходится к предельной сумми-
суммируемой функции F(х) и если эта последовательность ограничена суммируе-
суммируемой функцией. Это доказательство приводится, чтобы избежать пользования
теоретико-множественными понятиями. Если воспользоваться теоретико-мно-
теоретико-множественными понятиями, то совершенно аналогично монно доказать теорему
о том, что решение уравнения теплопроводности и(х, t), удовлетворяющее
нулевым граничным условиям, однозначно определено:
1) егли и(х, I) ^.F(x), где F(х) —некоторая суммируемая функция и
2) если почти всюду
lim и (х, t) = ф (х),
to
где <р(х) —заданная начальная суммируемая функция.

210
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. III
и, следовательно, функция и(х, t) представима в виде интеграла
I
и (х, t) = J G {x, I, t) Ф (|) rfg [<р (|) = и (б, 0)],
однозначно ее определяющего.
Пусть х\, х2, ••., х„ — точки разрыва функции ф(х). Полагая х0 = 0 и
ж,г+1 = I (рис. 38) и беря замкнутые отрезки /ь (*ь + 6 ^ х ^ Jts+i — 6)
.e4——-
Рис. 38.
(ft = 0, 1, ..., n), где 6 — некоторое фиксированное достаточно малое число»
нетрудно убедиться, что подынтегральная функция из A9') равномерно схо-
сходится к подынтегральной функции из A9) на всяком отрезке /л (ft = О,
\_, 2, ..., п). На отрезках 7ft (xft — 6 =^ х ^ xh + 6) (ft = 1, 2, 3, ..., л),
/о (хо =SJ х ^ Хо + 6), и /п+1 {хп+\ — 6 ^ х ^ х„+\) подынтегральные выра-
выражения в A9) и A9') ограничены некоторым числом N при любом f(o^F^Fo)
в силу предположенной ограниченности функции ы(х, t) н в силу непрерыв-
непрерывности G(x, |, <) при 0^|^/, < > 0. Разбивая разность интегралов A9) и
A9') на 2и + 3 интеграла, взятых по h (ft = 0, 1, ..., п) и /* (ft = 0, 1, ...
.... п+1), видим, что эта разность может быть сделана меньше наперед за-
заданного числа е, если
е 1
2/г + 3 4N '
так что
J [
G (х, 6, * - t) ф? A) - .G (х, I, t) Ф
и если t выбрано настолько малым, что
_, 1 е
<Т2^+Т ДЛЯ '*
так что
J [G (х, l,t-i) <f{ (I) - G (x, I, t) ф A)] dl <
! = 0, 1, .... П),
Отсюда следует неравенство
2n+3
для
0, 1, .... n)
J [G (x, 1, t - t) Ф- (|) - G (x, 1, 0 Ф (!)]
< e для

МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
211
доказывающее законность перехода к пределу при <->0 под знаком интег-
интеграла. Таким образом, если существует функция и(х, t), удовлетворяющая
условиям теоремы, то она представнма в виде A9), что и доказывает един-
единственность такой функции.
Докажем теперь, что формула A9) представляет ограни-
ограниченное решение уравнения D), удовлетворяющее условиям B)
для любой кусочно-непре- «•
рывной функции ц>{х),не- *
прерывное во всех точках
непрерывности ц>{х).
Эту теорему мы дока-
докажем в два приема. Дока-
Докажем, что она верна, если
q>(x) — линейная функция:
<р(х) =
B')
Рис. 39.
Рассмотрим последовательность вспомогательных непрерывных
функций (рис. 39)
сх для
(" -т
— х) для
Функции ип(х,t), определенные при помощи формулы A9) для
<р„(д;), являются непрерывными решениями уравнения тепло-
теплопроводности с нулевыми граничными условиями и начальными
условиями
ип{х, 0)=ц>п(х).
Так как
iW (о <
то в силу принципа максимальных значений
ип (х, t) < ы„+1 (л:, 0-
Функция ио(х) = сх является непрерывным решением уравне-
уравнения теплопроводности. В силу принципа максимального значе-
значения
и„ (*,*)<?/„(*).
так как это неравенство имеет место при дг = О, х = I и * = 0.
Таким образом, ип {х, t) есть монотонно неубывающая последо-
последовательность, ограниченная сверху функцией V0(x), откуда сле-
следует, что эта последовательность сходится. Нетрудно видеть,

212 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
ЧТО
/
и (ж, 0= lim ^[х. 0= I'm \G(x, 1, 0<Pn
ll->co n->co •
так как переход к пределу под знаком интеграла законен. В силу
сноски на стр. 204 эта функция удовлетворяет уравнению и
нулевым граничным условиям при t > 0. Докажем, что эта
функция непрерывна при t = 0 для 0 ^ х < /. Пусть х0 < L
Выберем п так, чтобы хо<1 A — — J. В этом случае фп(*о) ==•'
= Uo(x0). Принимая во внимание, что
ип(х, Q<u(*. *)<?/„(*)
и что
lim ип(х, t)= lim ?/0 (х) = <р (лг0),
заключаем, что существует предел
lim u{x, f) =
х->х„
t->0
не зависящий от способа стремления х—>Хо и t-*0. Отсюда а
следует непрерывность и(х, t) в точке (л:0, 0). Эта функция ог-
ограничена, так как она не превосходит U0(x). Итак, для <р(х) —
= сх теорема доказана.
Заменой х на / — х убеждаемся в том, что теорема верна
Для
q>(*) = 6 (/-*)¦ B")
Отсюда следует, что она верна для любой функции типа
так как подобная функция может быть получена суммирова-
суммированием B') и B"). Далее, отсюда следует также, что теорема
верна для любой непрерывной функции без предположения о
том, что ф @) = ф (/) =0. В самом деле, любую функцию
ф(д;) такого типа можно представить в виде
Ф (х) = [Ф @) +1 (Ф (/) - Ф @))] + ф (х),
где слагаемое в квадратных скобках — линейная функция, а
\р(х)—непрерывная функция, обращающаяся в нуль на кон-
концах отрезка: г|> @) = ^ (/) .= 0. Так как мы убедились уже

§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 21$
в том, что для каждого слагаемого теорема применима, то от-
отсюда следует, что теорема верна и для ф(аг).
Обратимся теперь к доказательству теоремы для произволь-
произвольной кусочно-непрерывной функции <р(х). Формула A9) и в
этом случае определяет решение, удовлетворяющее уравнению
и нулевым граничным условиям.
Пусть точка х0 — какая-либо точка непрерывности функции
ф(д;). Докажем, что для любого е можно найти 6(е) такое, что
\и(х, t) — (р{хо) |< е, если \х — лго|< б(е) и *<б(е). В силу
непрерывности функции ф(л;) в точке х0 существует т](е) такое,,
что
|ф(лг) — ф(аго)|<-|- для \х — хо\<ц{е),
откуда
Ф (*o) — у ^ Ф (х) ^ ф (#о) + ~п Для | х — х0 | < т] (е). B3)
Построим вспомогательные непрерывные дифференцируемые
функции ф (л:) и ф(лг):
_,. /\ie . i^/\
ф (х) = Ф (х0) + "тг Для | х — л:0 | < гце),
(а)
ф (х) > Ф (а:) для | х — х01 > т] (е),
Ф (я) = ф (д;0) — -|- для | х — х0 | < ц (е),
(б)
ф(д;)<ф(д;) для | х — х0 \ > г\(е).
На интервале \х — хо| > т](е) функции ф и ф удовлетворяют
только условиям (а) и (б), а в остальном произвольны.В силу
неравенств B3),
Ф (л:) ^ ф (л:) ^ ф (д;). B4)
Рассмотрим функции
о
i
и (х, t) = Г G {х, | _
о
В силу непрерывности функций ф (л:) и ф(х) функции п(х, t)
и u(x,t) непрерывны в точке х0, т. е. найдется такое б(е), что-
\п(х, 0-фL
, для |ж —*0|<в(в), t<6(e),
\и{х, 0-()|<|

14 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
¦откуда
п(х, *)<Ф(*) + |- = ф(*о) + е, J
е J для | х — х0 К б(е), *<б(е),
«(я, *)><?.(*) —у = ф(*о) — е ]
В силу неотрицательности функции G(x, |, t) из формулы B4)
следует, что
и(х, *)<«(*, 0<«(*. t). B5)
¦Отсюда получаем неравенства
Ф (д;0) — е < и (х, t) < ф (д;0) + е для | х — х0 |< б (е), t < б (е)
или
| и (х, t) — ф (д;0) | < е для | х — х01< б (е), * < б (е),
что и требовалось доказать. Ограниченность функции |u(x,f)|
следует из B5) и из ограниченности функций п(х, t) и и(х, t).
Этим теорема доказана.
4. Неоднородное уравнение теплопроводности. Рассмотрим
леоднородное уравнение теплопроводности
ut=*a>uxx + f(x,f) A)
¦с начальным условием
и (ж. 0) = 0 B6)
,и граничными условиями
и @, 0 = 0,
иA, 0 = 0. E)
Будем искать решение этой задачи u(x,t) в виде ряда Фурье
по собственным функциям задачи A1), т. е. по функциям
i sm — х>:
n=l
•считая при этом t параметром. Для нахождения функции и (х, t)
надо определить функции un(t). Представим функцию f(x,t)
в виде ряда
Г \Х> Ч === ^^ In \Ч S1H —| Xt
л-де

§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 215-
Подставляя предполагаемую форму решения в исходное урав-
уравнение A), будем иметь:
sin
in J» х {(-2.)' аЧп @ + и (t) - U @ } = 0.
Это уравнение будет удовлетворено, если все коэффициенты
разложения равны нулю, т. е.
un(t) = -a*(-^) un(t) + fn(t). B9).
Пользуясь начальным условием для u(x,t)
и {х, 0) ==
получаем начальное условие для un(t):
ы„@) = 0. C0)
Решая обыкновенное дифференциальное уравнение B9) с ну-
нулевым начальным условием C0I), находим:
ип (t) = { е'М " ('-т) fn (T) dx. C1)
о
Подставляя выражение C1) для un(t) в формулу B7), полу-
получим решение исходной задачи в виде
[jin^ C2)
n=l Lo J
Воспользуемся выражением B8) для fn(x) и преобразуем
найденное решение C2):
о о I
п=1
t i
где
Giv ? / ^^ т! ^^^ ^ л \ ' / cin ^-^— v • стп —^^ f~ f QЛ1
\л% С« * ^^ 1*1 '"•" ^^ / | С? olll , Л olll < Ц lull
совпадает с функцией источника, определяемой формулой A8).
') См. мелкий шрифт в конце п. 4, § 3, гл. II.

216 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Выясним физический смысл полученного решения
t i
и (х, t) = J J G (x, l,t-x) f(l, т) d% dx. C3)
6 о
Предположим, что функция f(g, т) отлична от нуля лишь в до-
достаточно малой окрестности точки Мо(|о, То)
1о < S < 1о + Д|» т0 < т < т0 + Ат.
Функция F(l,t) = cpf(l,t) представляет плотность тепловых
источников. Общее количество тепла, выделяющееся на отрезке
(О, /) за все время действия источника (т. е. за Дт), равно
|0+Д|
J cpf(l,T)dtdx. C5)
Применим теорему о среднем к выражению
t i
и(х, 0= f f G(x, l,t-
о о
Т+Дт; Ь+Д|
J G(x,ht-r)
где
lo < I < ёо + Д|» т0 < т < т0 + Лт.
Переходя к пределу при Д| —> 0 и Ат —»¦ 0, получим функцию
и (х, t) = lim u(x,f) = ~-G {x, l0, t-t0), C6)
которую можно интерпретировать как функцию влияния мгно-
мгновенного источника тепла, сосредоточенного в точке go в мо-
момент То-
Если известна функция — G (x, |, t — т), представляющая
ср
действие единичного мгновенного сосредоточенного источника,
то действие источников, непрерывно распределенных с плот-
плотностью F(x,t) =cpf(x,t), должно выражаться формулой C3),
как это непосредственно следует из физического смысла функ-
функции G(x,l,t — t).
Итак, температурное влияние тепловых источников, дейст-
действующих в области (go. go + Ag) (то, то + Ат), дается выраже«
•нием
G
{x, 1, *-т)/(?, т)А|Дт (? = /(|, т)Д|Дт).

§ 2] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 217
Если источники распределены непрерывно, то, суммируя тепло-
тепловые влияния источников, действующих во всей области 0 ^
=^ | =^ /, 0 ^ т ^ ?, получим после предельного перехода при
Д| -> 0 и Ат -» О
и{х, f)
о о
Таким образом, исходя из физического смысла функции источ-
источника G(x, |, t), можно было бы сразу написать выражение C3)
для функции, дающей решение неоднородного уравнения.
Имея форму, в которой должно представляться решение за-
задачи, можно исследовать условия применимости этой формулы
в отношении функции Д|,т). Мы не будем проводить этого ис-
исследования.
Мы рассматривали здесь неоднородное уравнение с нулевы-
нулевыми начальными условиями. Если начальное условие отлично от
нуля, то к этому решению следует прибавить решение однород-
однородного уравнения с заданным начальным условием и(х,0) =
= <р(х), найденное в п. 1.
5. Общая первая краевая задача. Рассмотрим общую первую
краевую задачу для уравнения теплопроводности:
найти решение уравнения
ut = a*uxx + f(x,t) A)
с дополнительными условиями
и(х, 0) = <р(*), B)
в @, 0 = 11,@
Введем новую неизвестную функцию v(x,t)
u(x,t)=U(x,t) + v(x,t), C7)
представляющую отклонение от некоторой известной функции
U(x,t).
Эта функция v(x,t) будет определяться как решение урав-
уравнения
vt — a2vxx = / (х, t),
f(x,t) = f(x,t)-[Ut-aWxx]
с дополнительными условиями
v (х, 0) = ф (дс), ф (*) = ф (х) — U (х, 0),
о@. о = МО. Д. @ = ^,@- и @,0.
v (/, 0 = Д2 @. Да @ = ^2 @ - U (/. 0-

218 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ш
Выберем вспомогательную функцию U(x,t) таким образом,
чтобы
fi,W = 0 и Д2@==0,
для чего достаточно положить1)
Таким образом, нахождение функции u(x,t), дающей решение
общей краевой задачи, сведено к нахождению функции v (х, t),
дающей решение краевой задачи с нулевыми граничными усло-
условиями. Метод нахождения функции v (x, t) дан в п. 4.
Изложенная выше формальная схема решения задач при
наличии неоднородностей в уравнении и граничных условиях
не всегда удобна для представления искомой функции и(х,t).
Трудности, возникающие при нахождении вспомогательной
функции v(x,t), зависят от функции U(x, t), от которой ищется
отклонение.
В частности, для задач со стационарными неоднородностями
удобнее выделять стационарное решение и искать отклонение
от этого решения 2).
Рассмотрим, например, задачу для ограниченного стержня
(О, /). концы которого поддерживаются при постоянных темпе-
температурах и0 и ио
щ = а2ихх,
и(х, 0) = ф(л:),
в @, 0 = «о.
Решение будем искать в виде суммы
и(х, t) = u(x) + v(х, t),
где п(х)—стационарная температура, a v(x, t)—отклонение
от стационарной температуры.
Для функций п (х) и v (x, t) будем иметь условия
п" = 0, vt = a2vxx;
п @) = и0, v (л:, 0) = ф (х) — п (х) = ф, (х);
пA) = ии v @,0 = 0,
t»(/, o = o.
Отсюда находим:
у(ы, — «о)-
') См. гл. И, § 3, п. 5.
2) См. гл. II, § 3, п. 6.

§ Z] МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Функцию v(x,t), определяемую начальным условием и од-
однородными граничными условиями, без труда находим мето-
методом разделения переменных.
Задачи
1. Вывести уравнение для процесса нагревания однородной тонкой про-
проволоки постоянным электрическим током, если на ее поверхности происходит
теплообмен с окружающей средой.
2. Вывести уравнение диффузии в среде, равиомерио движущейся в на-
направлении оси х со скоростью w. Рассмотреть случай одной независимой
переменной.
3. Исходя из уравнений Максвелла, предполагая Ех = Ег = 0, Нг = О и
пренебрегая токами смещения, показать, что в однородной проводящей сре-
среде составляющая электромагнитного поля Еу удовлетворяет уравнению
4лсг дЕу
где а — проводимость среды, с — скорость света. Вывести уравнения для Нх„
4. Дать физическое истолкование следующих граничных условий в зада-
задачах теплопроводности и диффузии:
а) «@,0 = 0, б) их @,0 = 0,
в) «*@, 0-А«@, 0 = 0,
ux(l,t) + hu{l, 0 = 0
5. Решить задачу об остывании равномерно нагретого однородного стерж-
стержня при нулевой температуре на концах, предполагая отсутствие теплообмена
на боковой поверхности.
6. Начальная температура стержня и(х, 0) = «о = const при 0 < * < /.
Температура концов поддерживается постоянной «@, t) = и\\ u(l, t) = tiz
при 0 < t < с». Найти температуру стержня, если теплообмен на боковой
поверхности отсутствует. Найти стационарную температуру.
7. Решить задачу 6 при следующих граничных условиях: на одном конце
поддерживается постоянная температура, второй конец теплоизолирован.
8. Решить задачу о нагревании тонкой однородной проволоки постоян-
постоянным электрическим током, если начальная температура, граничная темпера-
температура, а также температура окружающей среды равны нулю.
9. Цилиндр длины /, заполненный воздухом при давлении и температуре
окружающей среды, открывают с одного конца в начальный момент времени,
н из окружающей атмосферы, где концентрация некоторого газа равна ы0,
начинается диффузия газа в цилиндр. Найти количество газа, диффундиро-
диффундировавшего в цилиндр за время t, если начальная концентрация газа в цилиндре
равна нулю.
10. Решить задачу 9 в предположении, что левый конец цилиндра за-
закрыт полупроницаемой перегородкой.
11. Решить задачу об остывании однородного стержня с теплоизолиро-
теплоизолированной боковой поверхностью, если его начальная температура и(х, 0)=ф(*),
а иа концах происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Рас-
Рассмотреть частный случай ф(х) = «о-
12. Решить задачу 11, предполагая, что температура окружающей среды
равна UB.
13. Решить задачу 11, считая, что на боковой поверхности происходит
теплообмен со средой, температура которой:
а) равна нулю
б) постоянна и равна щ.

220 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
14. Найти установившуюся температуру стержня, пренебрегая теплооб-
теплообменом на боковой поверхности и считая, что одии конец стержня теплоизо-
теплоизолирован, а ко второму концу подводится поток тепла, гармонически меняю-
меняющийся во времени.
15. Решить задачу 14, считая, что один конец стержня имеет нулевую
температуру, а температура второго конца гармонически меняется во времени.
16. Стержень @, /) составлен из двух однородных кусков одинакового
поперечного сечения, соприкасающихся в точке х = х0 и обладающих харак-
характеристиками яь k\ и, соответственно, ог, кг. Найти установившуюся темпе-
температуру в таком стержне (тепловые волны), если один конец стержня (х — 0)
поддерживается при нулевой температуре, а температура второго меняется
синусоидально во времени.
17. Левый конец составного стержня задачи 16 поддерживается при тем-
температуре, равной нулю, а правый — при температуре u(l,t) = uu начальная
же температура стержня равна нулю. Найти температуру и(х, t) стержня на
регулярном режиме (первый член разложения).
18. Найти температуру и(х, t) стержня, начальная температура которого
равна нулю, а граничные условия имеют вид
и @, 0 = Ae~at, и (/, t) = В,
где А, В и а > 0 — постоянные.
§ 3. Задачи ка бесконечной прямой
1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция
источника для неограниченной области. Рассмотрим на бесконеч-
бесконечной прямой задачу с начальными данными (задачу Коши):
найти ограниченную функцию u(x,t), определенную в об-
области— оо < х <С оо, t ^ 0, удовлетворяющую уравнению теп-
теплопроводности
щ — а2ихх, — оо < х < оо, t > 0, A)
и начальному условию
и {х, 0) = ф (х), — оо<х<оо. B)
Если ц>(х)—непрерывная функция, то выполнение начального
условия будем понимать в том смысле, что и(х, t) непрерывно
при t = 0, т. е.
lini и{х, *) = ф
Как мы видели в п. 7, § 1, решение уравнения теплопроводности
однозначно определяется своими начальными условиями, если
оно ограничено. Поэтому в формулировку теорем вводится ус-
условие ограниченности.
Дадим сначала формальную схему решения поставленной
задачи, основанную на разделении переменных.
Будем искать ограниченное нетривиальное решение урав-
уравнения A), представимое в виде произведения
и(*./) = *(*) Г (<). C)

•§ 31 ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 221
Подставляя выражение C) в A), получаем:
х — т — Л >
где Я2 — параметр разделения. Отсюда следует:
Г + а2Х2Т = 0, D)
X" + Х2Х = 0. E)
Решая уравнения D) и E), найдем частные решения уравне-
уравнения A) вида
и% {х, t) = A (X) e-v*4 ± "¦*, F)
удовлетворяющие условию ограниченности. Здесь Я, — любое
вещественное число — оо << Я, < оо; поэтому в F) возьмем
знак «плюс» и образуем функцию
u{x,t)= j Л(Л)е-°ад+'**с?Я,. G)
Если производные, входящие в уравнение A), можно вычис-
вычислять путем дифференцирования под знаком интеграла G), то
функция G), очевидно, будет удовлетворять уравнению A) как
суперпозиция частных решений этого уравнения.
Требуя выполнения начального условия при t = 0, будем
иметь
со
<p(*)= J A{X)eiKxdX. (8)
— оо
Воспользуемся теперь формулой обратного преобразования
интеграла Фурье:
со
=i J«p (!)*-'**<$• (9)
— оо
Подставляя (9) в G) и меняя порядок интегрирования, полу-
получим:
-СО /СО
(
= -к J ( J е-сад+^<*-« d-k 1Ф (|) rf|. A0)
( )
— CO »— ОО '
00,00

222 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Внутренний интеграл в A0) равен')
I Г
2я J
2я
— ОО
Подставляя A1) в A0), приходим к интегральному представ-
представлению искомого решения
u(x,t)= Jg(*. !;Qq>(g)dg, A2)
— оо
где
Функцию G(x,l;t), определяемую формулой A3), часто назы-
называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности.
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что
функция
Q
. Q -e 4ог('-'») A3')
cp2Vna2(t — t0)
представляет температуру в точке х в момент времени /, если
в начальный момент времени t — t0 в точке | выделяется коли-
количество тепла Q = ср.
Функция G(x, |, t — to) удовлетворяет уравнению теплопро-
теплопроводности по переменным (x,tJ), что можно проверить непо-
непосредственным дифференцированием.
') Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука»,
1965.
2) В самом деле,
X — |
*(tt)F*
2 У~п [ 2 [a2 (t - to))si> 4 [о2 (t - to)f' J
e 4a>U-te)

a4t-h)L* 4a4t-
т. е.

¦§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 223
Количество тепла, находящееся на оси х в момент t > t0,
равно
«р
так как
оо
J e-«! da = /я
Л —
а~~
~ 2Va*(t-t0) ' а~~ 2/а2 (*-<„)
Таким образом, количество тепла на нашей прямой не меняет-
меняется с течением времени. Функция G(x, *, t — t0) зависит от вре-
времени только через аргумент 6= az(t —10), так что эту функ-
функцию можно записать в виде
S2
4e
На рис. 40 изображен график функции G в зависимости от х
для различных значений 6. Почти вся площадь, ограниченная
этой кривой, находится над промежутком
A-е, | + е),
где е — сколь угодно малое число, если только 6 = az(t — /0) —
достаточно малое число. Величина этой площади, умноженная
на ср, равна количеству тепла, подведенному в начальный мо-
момент. Таким образом, для малых значений t —10 > 0 почти все
тепло сосредоточено в малой окрестности точки |. Из сказан-
сказанного выше следует, что в момент U все количество тепла по-
помещается в точке |.
Рассматривая изменение температуры в фиксированной точ-
точке х — | -f- h с течением времени при h = 0, т. е. при х = |,
получим:
1 1
2Уя уе
Таким образом, температура в той точке, где выделяется тепло,
Для малых 6 неограниченно велика.
Если х ф |, т. е. кфО, то функция G представляется
в виде произведения двух множителей

224
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. III
Второй сомножитель меньше единицы: при больших 9
он « 1, при малых 0 он л; 0. Отсюда следует, что Gx?=% =
= Gx=i для больших 0; Gx^i <C Gx==% для малых 0. Чем мень-
меньше к, т. е. чем ближе х к |, тем больше второй множитель.
3P
I
ko
no
4
/I
.e
I
1
1—.
i L_\,
75
BfO.1
2.0 15 1.0 0,8 020100H2 0,6 1.0
Рис. 40.
15
2.0
Графики функции Gx=s и Gx?=^ при h2 < /it приведены на
рис. 41.
Нетрудно видеть, что
lim Gx?,t =0.
Раскрывая неопределенность, находим:
lim —f=—7=
e-»o 2}7я Уе
= —т=г lim
2/я
= 0.
Формула A3') показывает, что во всякой точке х темпера-
температура, создаваемая мгновенным точечным источником, действую-
действующим в начальный момент t = 0, отлична от нуля для сколь
угодно малых моментов времени. Подобный факт можно было
бы интерпретировать как результат бесконечно быстрого рас-

§3]
ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ
225
пространения температуры (бесконечная скорость). Однако это
противоречит молекулярно-кинетическим представлениям о при-
природе тепла. Такое противоречие получается в связи с тем, что
выше при выводе уравнения теплопроводности мы пользовались
феноменологическими представлениями о растекании тепла, не
учитывающими инерционность процес-
процесса движения молекул. С;
Теперь выясним условия примени-
применимости формулы A2).
Докажем, что формула
Рис. 41.
A2')
называемая интегралом Пуас-
Пуассона, для любой ограниченной функ-
функции |ф(|)!<Л1 представляет при
/> 0 ограниченное решение уравнения теплопроводности, не-
непрерывно примыкающее при t = 0 к (р(х) во всех точках непре-
непрерывности этой функций.
Докажем предварительно лемму (обобщенный прин-
принцип суперпозиции).
Если функция U(x,t,a) no переменным (х, t) удовлетворяет
линейному дифференциальному уравнению
L(U) = 0
при любом фиксированном значении параметра а, то интеграл
и (х, t) = \ U (x, t, а) ф (a) da
также является решением того же уравнения L(u) = 0, если
производные, входящие в линейный дифференциальный опера-
оператор L(U), можно вычислять при помощи дифференцирования
под знаком интеграла.
Доказательство леммы крайне просто. Линейный дифферен-
дифференциальный оператор L(U) представляет сумму производных
функции U с некоторыми коэффициентами, зависящими от х
и t. Дифференцирование функции и, по предположению, мож-
можно производить под знаком интеграла. Коэффициенты также
можно внести под знак интеграла. Отсюда следует, что
L(u)= I L{U{x, t, a))<p(a)da=0,
т. е. что функция u(x,t) удовлетворяет уравнению L(u) = 0.
Напомним достаточные условия дифференцируемости под
знаком интеграла, зависящего от параметра.
8 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

226 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. III
Функция
b
F(x)=jf{x,a)da
а
при конечных пределах а и b дифференцируема под знаком
интеграла, если -г— {х, а) является непрерывной функцией пе-
переменных л: и а в области их изменения (см. Б. М. Б уд а к,
С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука», 1965).
Нетрудно видеть также, что функция
ь
Fi (х) = \ f (x, а) ф (a) da
а
при конечных пределах а и Ъ дифференцируема под знаком
интеграла при тех же условиях относительно функции f(x,a)
и произвольной, ограниченной (и даже абсолютно интегрируе-
интегрируемой) функции ф(а). Если пределы интегрирования бесконечны,
то в этом случае требуется равномерная сходимость интеграла,
полученного в результате дифференцирования подынтегральной
функции по параметру (см. там же).
Эти же замечания относятся и к кратным интегралам, зави-
зависящим от параметров.
Для линейных уравнений L(«)=0 имеет место принцип
суперпозиции, заключающийся в том, что функция
п
U {Х, 0=2 CiUi (х> 0>
представленная в виде суммы конечного числа частных реше-
решений, является также решением уравнения. Если мы имеем
решение и(х,t,а), зависящее от параметра, то интегральная
сумма
2 и (х, t, ап) Сп (Сп = ф (а„) Да) A4)
также является решением уравнения L(u) = 0. Доказанная
лемма, так же как и лемма на стр. 91, устанавливает условия,
лри которых предел суммы A4), в нашем случае равный
и{х, f)= \ U(x, t, а)ф(a)da,
также является решением уравнения L(u) = 0. С этой точки
зрения доказанную лемму, как и лемму на стр. 91, естественно
называть обобщенным принципом суперпозиции.
Обратимся к изучению интеграла A2'). Докажем, во-пер-
во-первых, что если функция <р(х) ограничена, |ф(х)| < М, то ин-

§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 227
теграл A2') сходится и представляет ограниченную функцию.
В самом деле,
оо
= Л1-7=- [e-a2da = M (a= l~^-)>
так как
Докажем далее, что интеграл A2') удовлетворяет уравнению
теплопроводности при t > 0. Для этого достаточно до-
доказать, что производные этого интеграла при t ~> 0 можно
вычислять при помощи дифференцирования под знаком
интеграла.
В случае конечных пределов интегрирования это законно,
так как все производные функции
(*-?J
1
2 УпаЧ
е
ia2t
при t >• 0 непрерывны. Для возможности дифференцирования
под знаком интеграла при бесконечных пределах достаточно
убедиться в равномерной сходимости интеграла, полученного
после дифференцирования под знаком интеграла. Проведем
это исследование на примере первой производной по х.
Итак, для доказательства дифференцируемости функции
A2) по х, а также равенства
оо
~К7= "д7 (G (х> I. 0) ф (I) d\
OX J ОХ
достаточно доказать равномерную сходимость интеграла, стоя-
стоящего справа; при этом для дифференцируемости в точке
(х0, t0) достаточно доказать равномерную сходимость интегра-
интеграла в некоторой области значений переменных, содержащей ис-
исследуемые значения (х0, t0), например в области
Достаточным условием равномерной сходимости интегра-
интеграла (аналогичным признаку равномерной сходимости ряда)
является существование положительной функции ^(|), не

228 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ill
зависящей от параметров (х, t), которая мажорирует
функцию
~G(x, |, ОФA) <F(l), t>x, t<-x, A5)
и интеграл от которой сходится:
оо X,
J>(c)d|<oo, J F(|)c?5< оо. A5')
л:, —со
Величина Xi обозначает некоторое число, начиная с которого
выполняется неравенство A5).
Найдем оценку сверху для абсолютной величины подынте-
подынтегрального выражения в формуле для -^-:
д° ' , l,t)
дх
М
при любых |х|^ж и ti ^ t ^ t2. Нетрудно убедиться в схо-
сходимости интеграла A5') от функции F(l). Интеграл
оо
J
1
сходится, так как под знаком интеграла стоит множитель типа
(а| + Ь)е~^. Отсюда заключаем, что
оо
ди Г
-Ш= J
6G
Совершенно аналогично доказывается возможность вычис-
вычисления всех остальных производных под знаком интеграла. Тем
самым доказано, что функция A2') удовлетворяет уравнению
теплопроводности.
Обратимся теперь к выяснению основного свойства интегра-
интеграла A2'), а именно, докажем, что
и{х, t)-*q>(x0) при t-+0 и х-+х0
во всех точках непрерывности функции q>(#).

§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 229
Итак, пусть ф(х) непрерывна в некоторой точке х0. Мы
должны доказать, что
lim u(x, t) =
to
т. е. каково бы ни было е > 0, можно указать такое б(е), что
\u(x,t) — <p(xo)\<e,
коль скоро
|*-*0|<в(е) и Ш<6(е).
В силу предполагаемой непрерывности функции <р(х) в точке
х0 существует такое г)(е), что
|Ф(*)-Ф(*„)|<|-. A7)
если только
\х — ко\<г\.
Разбивая промежуток интеграции на части, представим и(х, t)
в виде суммы трех слагаемых:
со хг
оо
— f ... dg = u,(jc, t) + u2(x, t) + ua{x, t), A8)
Я J
+
х2
где
х1=х0 — ч\ и х2 = х0 + ц.
Главное слагаемое этой суммы «2 можно представить в виде
„ (Х л - - Ф <х») ' g~
1
ж.
Интеграл 1\ вычисляется непосредственно
Хг—Х
1 iVn J YaH Ъ fn J
ж, л=1-л;
2 Ya4
где
а = g 7— . cfa= л—- A9)
2/а2< 2/а2^ V J

230 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Как только \х— Хо|<'П> то верхний предел становится поло-
положительным, а нижний — отрицательным, и при t —> 0 верхний
предел стремится к +оо, а нижний к —оо. Отсюда следует,
что
Игл /, = ф(л;0).
<о
Х-ЬХО
Таким образом, можно указать такое бь что
I Л-ф(*а> !<¦§¦• B0>
если только
|х —хо|<а, и |/|<в,.
Покажем, что остальные интегралы: /2, «i и и3 — малы. Оценим
прежде всего интеграл h:
J e 4аЧ
Из равенств A8) видно, что при
ху < I < х2
имеет место неравенство
11 - х01< tj.
Пользуясь неравенством A7), а также тем, что
А ОО
1 Г -а» * Г -а2
каковы бы ни были х' и х", получаем:
B1)
где новая переменная а определяется формулой A9). Оценим
|из(х, 01= '
J
Хг
м
^L | e-a*da->0 при *~>*° B2)

§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 231
и аналогично
%Ya4
^ П! <23>
так как если х —> х0, то х2 — х > 0, и ЛГ] — * < 0, и если t -> 0,
то в последних членах B2) и B3) нижний предел и, соответ-
соответственно, верхний предел стремятся к + оо и — оо. Следова-
Следовательно, можно указать такое бг, что
1«з(*. OKf и \щ(х, 01<|, B4)
если только
U-xo|<62 и Ш<б2.
Пользуясь установленными выше оценками B2), B3),получаем:
| и(х, t) - ф(хо)|<|Ы1 + [/, - ф(дго)] + /2 + ы3|<
<|«11 + |/1-ф(^оI + |/21 + 1«з1<| + | + | + | = е, B5)
если только
\х — хо\<Ь и \t\<b,
где б равно наименьшему из чисел б! и б2.
Таким образом, мы доказали, что функция
Аач
ограничена, удовлетворяет уравнению теплопроводности и на-
начальному условию.
Если начальное значение задается не при t = 0, а при
/ = t0, то выражение для и(х, t) приобретает вид
Единственность полученного решения для непрерывной
функции ф(я) следует из теоремы, доквзанной в § 2, п. 3. Если
начальная функция ф(х) имеет конечное число точек разры-
за, то интеграл A2 ) представляет ограниченное решеж^е

232 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
уравнения A), непрерывное всюду, кроме точек разрыва функ-
функции ф(*) 4).
Рассмотрим в качестве примера следующую задачу:
найти решение уравнения теплопроводности, если началь-
начальная температура (при t = to — O) имеет постоянные, но раз-
различные значения для х > 0 и х < 0, а именно:
Г, для х > О,
Г2 ддя x<Q
Пользуясь формулой A2'), получаем решение задачи в виде
— oo
о
~wie АаЧ w^r+vtje 4аЧ
—oo О
_ т2 С _о г, Г
""Уя" J е ° а УТ j
— оо X
О
так как
—г
\7-2 f e-«2rfa, B6)
""~ /я"
— ОО
И
1
I Г ! 1 Г ! •
—Z —2
В частности, если
то
1) Пользуясь методом, изложенным в п. 3, § 2, можно убедиться, что
функция u{x,t) перечисленными условиями определяется однозначно.

§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 233
Профиль температуры в заданный момент t дается кривой
где z представляет абсциссу точки, в которой определяется тем-
температура, если за единицу длины, в зависимости от t, прини-
принимается значение 2 \fa2t. Построение этой кривой не представ-
представляет труда, так как интеграл
= Y=r j e~a2da,
о
называемый обычно интегралом ошибок, часто встре-
встречается в теории вероятностей и для него существуют подроб-
подробные таблицы *).
Формула B6) при произвольных Г4 и Т2 может быть запи-
записана в виде
и(х, t) = b±Ii + 1^
2 2
_
2Va4
Отсюда видно, что в точке х = О температура все время по-
постоянна и равна полусумме начальных значений справа и сле-
слева, так как Ф@) = 0.
Решение неоднородного уравнения
ut = a2uxx + f(x,t) (— оо < х < оо, t > 0)
с нулевыми начальными условиями
и (х, 0) = 0,
очевидно, должно представляться формулой
и (х, t) = J J G (x, t,t-x)f (|, т) d\ dx, B7)
0 -оо
как то следует из смысла функции G(x, |, t) (см. п. 4, § 2). Мы
не будем подробнее заниматься изучением этой формулы и ус-
условий применимости, которые надо наложить на функцию
f{x,t).
2. Краевые задачи для полуограниченной прямой. Как мы
уже отмечали в § 1, п. 4, в тех случаях, когда интересуются
распределением температуры вблизи одного из концов стержня,
а влияние другого конца несущественно, принимают, что этот
') См., например, А. А. Марков, Курс теории вероятностей, где даны
таблицы этого интеграла с шестью десятичными знаками. См. также более
краткую таблицу в конце книги.

234 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
конец находится в бесконечности. Это приводит к задаче об
определении решения уравнения теплопроводности
щ = а2ихх, х>0, t>0
на полубесконечной прямой х > О для значений t > О, удовлет-
удовлетворяющего начальному условию
и(х, 0) = ф(х) (х>0)
и граничному условию, которое, в зависимости от заданного
характера граничного режима, берется в одном из следующих
видов:
ы@, t) = [i(t) (первая краевая задача),
-gj@, t) = v(t) (вторая краевая задача)
или
-Jf- @, t) = К [и @, t) — G (t)] (третья краевая задача).
В дальнейшем мы ограничимся подробным исследованием
только первой краевой задачи, заключающейся в оты-
отыскании решения уравнения теплопроводности при дополнитель-
дополнительных условиях
и(х, 0) = <р(ж), ы@, t) = v(t). B8)
Для того чтобы условия задачи определяли единственное ре-
решение, необходимо наложить некоторые условия в бесконеч-
бесконечности. Потребуем в качестве дополнительного требования, что-
чтобы функция и(х, t) была всюду ограничена
\u(x,t)\<M для 0<х<оо и <>0,
где М — некоторая постоянная. Отсюда следует, что начальная
функция (р(х) должна также удовлетворять условию ограни-
ограниченности
Решение поставленной задачи можно представить в виде
суммы
и (х, t) = щ (х, t) + и2 (х, t),
где щ(х,t) представляет влияние только начальных условий, а
«2 (х, t)—влияние только граничного условия. Эти функции
можно определить как решения уравнения A), удовлетворяю-
удовлетворяющие условиям
щ (х, 0) = ф (х), щ @, 0 = 0 B80
и
и2 (х, 0) = 0, щ @, t) = ц (t). B8")

§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 235
Очевидно, что сумма этих функций будет удовлетворять усло-
условиям B8). Докажем предварительно две леммы относительно
функции и (х, t), определяемой интегралом Пуассона,
B9)
1. Если функция ф(лг) является нечетной функцией, т. е.
*(*) = -*(-*),
то функция B9)
обращается в нуль при х = О,
ы@, 0 = 0.
При этом, конечно, предполагается, что интеграл, определяю-
определяющий функцию u(x,t), сходится, что имеет место, если ф(л;)
ограничена. Подынтегральная функция в интеграле
нечетна относительно ?, так как является произведением нечет-
нечетной функции на четную. Интеграл же от нечетной функции
в пределах, симметричных относительно начала координат, рав-
равняется нулю; следовательно,
«(о, о = о,
что и доказывает лемму.
2. Если функция ty(x) является четной функцией, т. е.
¦*(*) = ¦*(—*)>
то производная функция u(x,t) из формулы B9) равна нулю
при х = 0
для всех t > 0.
В самом деле,
ди
~д7
j С (х i.)
4аЧ
= 0,
так как при х = 0 подынтегральная функция нечетна, если
*(Е) — четная.

236 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Перейдем теперь к построению функции щ{х,t), удовлетво-
удовлетворяющей условиям B8').
Введем вспомогательную функцию U{x, t), определенную на
бесконечной прямой — оо ¦< х < оо и удовлетворяющую урав-
уравнению, а также условиям
U {0, 0 = 0,
U(x, 0) = ф(*) для
Эту функцию, пользуясь леммой, можно определить при по-
помощи начальной функции Ч^(х), совпадающей с <р(лг) для
х > 0 и являющейся нечетным продолжением q>(x) для
х < 0, т. е.
*Ы для х>0>
-ф(-дг) для *<0,
так что
Рассматривая значения функции U(x,t) только в интересующей
нас области х ^ 0, получим:
и (х, t)= U (x, f) при х 1> 0.
Пользуясь определением функции Ч?(х), будем иметь:
0
4аЧ
4аЧ *®*+тк) ~mf iaH
причем в первом интеграле сделана замена |' = —| и исполь-
использовано равенство
) ф(—6) фA0-
Соединяя оба интеграла вместе, получим искомую функцию
Щ (х, t) = -^ j у= [е *» - е- ^ J Ф ft) rfg C0)
в виде, не содержащем вспомогательных функций. Заметим, что
при х = 0 выражение в фигурных скобках обращается в нуль
и «i@,0 =0.

§ 3] ЗАДАЧИ НА БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 237
Пользуясь леммой 2, нетрудно убедиться, что решение урав-
уравнения теплопроводности с однородным граничным условием
второго рода -g^ @, f) = 0 и начальным условием щ (х, 0) —
= ф(х) представляется в виде
оо
ы, (х, t) = —Ц f -!=¦{ е^ + е~^^~ }Ф (?) rf|. C00
о
Применим полученную формулу к решению задачи об осты-
остывании равномерно нагретого стержня, на границе которого под-
поддерживается постоянная температура, которую мы примем рав-
равной нулю. Задача состоит в определении решения уравнения
теплопроводности, удовлетворяющего условиям
vl(x,Q=T, v, @,^ = 0.
Учитывая, что начальное условие задается не при t = 0, а
при t = t0, вместо формулы C0) получим:
т Г/
vi(x,f) = —-f= M
1V ' ; 2V^ J
C1)
Разбивая интеграл на два слагаемых и вводя переменные
„=, }~х „.-. 1±*
2Va4t-tD)'
получим:
где
г
J
— интеграл ошибок.
Обратимся теперь к отысканию функции u2(x,t), представ-
представляющей вторую часть решения первой краевой задачи.
Пусть
ц (t) = ц0 = const.
Функция
C2)
является решением уравнения теплопроводности, удовлетворяю-
удовлетворяющим условиям

238 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
Отсюда следует, что функция
[(JL)] (зз)
и является искомой, так как она удовлетворяет тому же урав-
уравнению и условиям
v{x,to) = O (x>0) и о@, *) = Цо (*>*„).
Представим v (x, f) в виде
v (х, t) — цои (х, t —10),
где
оо
(;)^ I -"*. C4)
является решением той же задачи, что и v(x,t), при ц0 = 1.
По определению функция U(x,t —10) имеет смысл только
при t ^ i0. Продолжим определение этой функции, полагая
U {x, t — to) = O для t< t0.
Очевидно, что это определение согласуется со значением функ-
функции U(x,t) при / = 0 и определенная таким образом функция
будет удовлетворять уравнению теплопроводности для всех t
при х 5> 0. Гранич::оо значение этой функции (при х = 0) яв-
является ступенчатой функцией, равной нулю при /<(ци равной
единице при t > t0. Функция U(x, t) весьма часто встречается
в приложениях и является вспомогательным звеном для на-
нахождения функции и2{х, t).
Рассмотрим вторую вспомогательную задачу, заключаю-
заключающуюся в нахождении решения уравнения теплопроводности со
следующими начальными и граничными условиями:
n для tn < t < t,,
для ;>v
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что
v(х, 0 = Но[U(x, t-to)-U(x,t-Ь)].
Вообще, если граничная функция \i{t) задается в виде ступен-
ступенчатой функции
для to
ДЛЯ Л
„_! ДЛЯ

§ 3] ЗАД." ""I НЛ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРЯМОЙ 239
то, рассуждая совершенно аналогично, получим, что решение
краевой задачи с подобной функцией n(t) может быть запи-
записано следующим образом:
и (х, Г) = 2 И* [U (х, t-U)-U(x,t- tt+l)] + nn_,t/ (jc, t - *„_,).
C5)
Пользуясь теоремой о конечном приращении, получим:
п-2
u{x, t) = YlVitdU{x'dtt~x) Ат+!!„_,?/(*, *-*„_,) C6)
fc=0 Ti
ДЛЯ ^<T?<<? + 1.
Обратимся теперь к задаче о нахождении решения и(х, t) урав-
уравнения теплопроводности с нулевым начальным условием и гра-
граничным условием
ы@, *) = n(f) (f>0),
где \i(t)—произвольная кусочно-непрерывная функция. Прибли-
Приближенное решение этой задачи легко получить в виде C6), если
функцию \x(t) заменить кусочно-постоянной функцией. Переходя
к пределу при уменьшении интервалов постоянства вспомога-
вспомогательной функции, получим, что предел суммы C6) будет равен
t
о
J
о
так как при х> О
lim nn-iU(x, t — tn-i) = 0.
Очевидно, что искомое решение u2(x,t) второй задачи должно
быть равно
t
и2 (х, t) = j~ (x, t-x)\i (т) dr. C7)
Мы не будем подробно останавливаться на правомерности пре-
предельного перехода и выяснении условий применимости этой
формулы в отношении функции ц(т).
Нетрудно убедиться в том, что
* I Vn J I 2 Vn [d4]1*
2Vn VtiH j

240 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. П1
Таким образом, искомое решение в случае произвольной
функции ii(t) может быть представлено в виде
и2{х, t) = -^= Г - s-
ИЛИ
u2 (x, t) = 2c2 J -|^ (x, 0, t - x) [x (t) rfr ')• C8)
to
Отметим, что в процессе получения формулы C8) мы нигде
не пользовались специальными свойствами уравнения теплопро-
теплопроводности, кроме его линейности. Мы нигде не пользовались так-
также аналитической формулой функции U(x,t), а только тем, что
она удовлетворяет граничным и начальным условиям
U @,0=1 Для f>0,
U (х, 0) = 0 для х > 0
или
для t > 0,
для «0.
Очевидно, что если мы имеем дело с решением какого-либо ли-
линейного дифференциального уравнения при граничном условии
нулевых начальных условиях и нулевых дополнительных гра-
граничных условиях, если такие имеют место (например, при х=1),
то решение этой задачи может быть представлено в виде
t
и (х, t) = J -^- (x, t - х) |1 (т) dx, C9)
о
где U(x,t)—решение аналогичной краевой задачи при
?/@,0 = 1.
Сформулированный здесь принцип, называемый принци-
принципом Д ю г а м е л я, показывает, что основную трудность при
решении краевых задач представляет постоянное граничное зна-
значение. Если краевая задача с постоянным граничным значением
решена, то решение краевой задачи с переменным граничным
условием представляется формулой C9). Этим принципом часто
') Это представление решения первой краевой задачи с нулевыми на-
начальными условиями дано здесь для удобства сравнения с решением той же
задачи, полученным в гл. VI, § 4 другим методом.

§ 4] ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ 241
пользуются при решении многих краевых задач, приводя реше-
решение только для постоянного граничного условия, не оговаривая,
что решение краевой задачи с переменным n(t) дается форму-
формулой C9).
Сумма функций
щ (х, t) + щ {х, t)
дает решение первой краевой задачи для полубесконечной пря-
прямой для однородного уравнения.
Пользуясь формулой B7) п. 1 § 3 и принципом нечетного
продолжения, нетрудно убедиться в том, что решение неодно-
неоднородного уравнения
Щ = а2ихх + f(x, t) @<x<oo, *>0)
при нулевом начальном и нулевом граничном условии
(и (О, ^) = 0) дается формулой
, t) =
= -?=г , \е ^«-ч -е **«-* }/(!, x)dldT. D0)
2 У п J J У a2{t — x)
¦Сумма
щ (х, t) + и2 (х, t) + «з (х, t) = u {х, t)
дает решение первой краевой задачи
ut = a2uxx + f(x, t),
и @, /) = !*(/), и(х,0) = ц>(х).
§ 4. Задачи без начальных условий
Если изучается процесс теплопроводности в момент, доста-
достаточно удаленный от начального, то влияние начальных условий
практически не сказывается на распределении температуры в
момент наблюдения. В этом случае ставится задача об отыска-
«ии решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего
граничным условиям одного из трех типов, заданным для всех
t > —оо. Если стержень ограничен, то задаются граничные ус-
условия на обоих концах стержня. Для полубесконечного стерж-
стержня задается лишь, одно граничное условие.
Рассмотрим первую краевую задачу для полубесконечного
стержня:
найти ограниченное решение уравнения теплопроводности в
области х> 0, удовлетворяющее условию
к@, o = |i(o, A)

242 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Щ
где n(t)—заданная функция. Предполагается, что функции
u(x,t) и n(t) ограничены всюду, т. е.
\и(х, t)\<M,
Как будет показано ниже (см. мелкий шрифт), функция и(х,t)
определяется однозначно. Возьмем наиболее часто встречаю-
встречающийся случай граничного условия
(х (t) = A cos со/. B)
Эта задача изучалась еще Фурье и впервые была применена
при определении температурных колебаний почвы1).
Запишем граничное условие в виде
IX (t) = Аеш. B'}
Из линейности уравнения теплопроводности следует, что дей-
действительная и мнимая части некоторого комплексного решения
уравнения теплопроводности каждая в отдельности удовлетво-
удовлетворяет тому же уравнению.
Если найдено решение уравнения теплопроводности, удовле-
удовлетворяющее условию B'), то его действительная часть удовле-
удовлетворяет условию B), а мнимая — условию
и (О, t) = Hi (t) = A sin at.
Итак, рассмотрим задачу:
Щ = а2ихх, C>
и @, t) = Аеш.
Ее решение будем искать в виде
и (х, t) = Де°*+Р*, D)
где аир — неопределенные пока постоянные.
Подставляя выражение D) в уравнение C) и граничное
условие, находим:
о,
откуда
]) См. приложение 1.

§ 4] ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ 243
Для u(x, t) имеем:
и{х, О-аУ^Ч*/^*4*). E)
Действительная часть этого решения
и (х, f) = Ае*У "гН5- х cos ^ ± уГ-^ х + arf) F)
удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному ус-
условию B). Формула F) в зависимости от выбора знака
определяет не одну, а две функции. Однако только функция, со-
соответствующая знаку минус, удовлетворяет требованию ограни-
ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи полу-
получаем в виде
и (х, t) = Ae'V & х cos (- YluF x +
Аналогично решается задача без начальных условий для ог-
ограниченного отрезка:
щ = а2ихх, \
и @, t) = Acosv)t, \ (8)
и (I, 0 = 0. I
Переписывая граничное условие в виде
u{0,t) = Aertmt, йA, 0 = 0.
будем искать решение в форме
u{x,f) = X(x)e-™. (9)
Подставляя это выражение в уравнение (8), получим для
функции Х(х) уравнение
0°)
и дополнительные условия
Х@) = А, J(/) = 0. A1)
Отсюда для функции Х(х) будем иметь:
X{х) = А ™У«-Х) =Хг(х) + iX2(х),

244 УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. III
где Xi и Х2 — вещественная и мнимая части функции Х(х). Для
функций й(х, t) получаем выражение
)е~ш. A3)
й(х,В = А\е.
4 ' sin yl
Выделяя вещественную часть функции u(x,t), находим реше-
решение исходной задачи без начальных условий в виде
и (х, t) = Хх (х) cos at + Х2 (х) sin at. A4)
Мы не даем здесь явного выражения для Х4 и Х2, хотя это и
нетрудно сделать.
Если граничная функция представляет собой комбинацию
гармоник разных частот, то решение такой задачи может быть
получено как суперпозиция решений, соответствующих отдель-
отдельным гармоникам.
Докажем единственность задачи без начальных условий для полуограни-
полуограниченной прямой. Будем исходить из формулы
и (ат)
=irk J
n j VaUt-tn)
ta)dl=Il + I2 A5)
(t>to).
которая представляет любое ограниченное решение уравнения теплопровод-
теплопроводности через его начальное значение и(х, tB) и граничное и@,t) = \i(t) в об-
области х ^ 0, t ^ to.
Покажем, что
lim /2 (х, t) = 0, A6)
если только
\u(x,t)\<M
при любом t. Действительно,
где
а, =

§ 4] ЗАДАЧИ БЕЗ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ 245-
Отсюда и следует равенство A6), так как х и t фиксированы, a to-*- —<».
Если в формуле A5) фиксировать к и t и устремить <0->-—°°. со u(x,t)
будет равно пределу только первого слагаемого, и мы получим формулу
= -$= Г *
2 У я J [с2(/ — т)
—оо
A7).
доказывающую, что двух различных решений нашей задачи быть не может.
Можно также доказать, что для любой ограниченной кусочно-непрерывной
функции \i(t) формула A7) представляет решение поставленной задачи.
Аналогично может быть исследована задача без начальных условий для
ограниченного отрезка @ ^ х ^ I). Эта задача без условия ограниченности-
имеет многозначное решение, так как функция
un(x,t) = Ce sin JELX
при любом п представляет решение этой задачи с нулевыми граничными зна-
значениями. Однако решения такого типа при /-»—оо неограниченны, и не-
несоставляет труда доказать единственность ограниченного решения постав-
поставленной задачи.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ III
1. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для:
а) полуограниченного стержня при граничных условиях 1-го и 2-го рода
и при отсутствии теплообмена на боковой поверхности;
б) неограниченного стержня при наличии теплообмена на боковой по-
поверхности;
в) полуограничениого стержня при наличии теплообмена на боковой по-
поверхности и при граничных условиях первых двух типов.
2. Найти функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для
полуограниченного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью для
третьей краевой задачи [граничное условие вида -= Ни @, t) = f (/)].
3. Решить уравнение теплопроводности для случаев а), б), в) задачи I,.
если:
1) в точке х = |о действует источник тепла Q = Q{t), в частности
Q — Qo = const;
2) задано начальное распределение температуры u(x,G) = q>(*), в част-
частности
Г «о при 0 < х < I,
1 0 вне интервала @, /);
3) тепловые источники распределены с плотностью f (x, t) по всему стерж-
стержню, а начальная температура равна нулю; рассмотреть, в частности, случай-
/ = Qo = const (стационарные источники).
4. Полуограниченный стержень с теплоизолированной боковой поверх-
поверхностью был равномерно нагрет до температуры
и {х, 0) = «о = const (x>0).
Конец стержня, начиная с момента / = 0, поддерживается при температуре,..
равной О,
«(О, <) = 0

¦'246 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Найти температуру стержня u(x,t) и, пользуясь таблицами интеграла ошибок
,—L.f
Vn J
—ft2
ф B) = _i_ е-а da,
о
построить графики по х на интервале 0 ^ х ^ / функции и(х, t) при / =
= Р/16а\ t = Щ2а\ t = Щаг.
Указание. Удобно ввести безразмерные переменные
х' = а://, 6 = аЧЦ2, v = «/«0.
5. Конец полуограниченного цилиндра в начальный момент времени
,< = О открывают в атмосфере, где концентрация некоторого газа равна и0.
Найтн концентрацию газа в цилиндре u(x,t) для <>0 и х > 0, если
начальная концентрация u(x,t) =0. Пользуясь таблицами интеграла ошибок,
установить, через какое время в слое, отстоящем на расстоянии / от конца
цилиндра, концентрация газа достигнет 95% внешней концентрации. Найти
закон движения фронта постоянной концентрации.
6. К концу полуограниченного стержня, начальная температура которого
была равна нулю, подводится тепловой поток kux(O,t) = q(t). Найти тем-
температуру и(х, t) стержня, если:
а) стержень теплоизолирован с боков;
б) на боковой поверхности стержня происходит теплообмен (по закону
Ньютона) со средой нулевой температуры.
Рассмотреть частный случай q = q0 = const.
7. Конец полуограниченного стержня поддерживается при постоянной
температуре «о; на боковой поверхности стержня происходит теплообмен со
• средой, постоянная температура которой равна щ. Начальная температура
стержня равна нулю. Найтн и(х, t) —температуру стержня.
8. Решить задачи 6а, 66, считая, что и(х, 0) — uD = const.
9. Найти установившуюся температуру вдоль полуограниченного стержня
с теплоизолированной боковой поверхностью, на конце которого
а) задана температура «@,0 = A cos at;
б) задан тепловой поток Q(t) = В sin at;
в) происходит теплообмен по закону Ньютона со средой, температура
которой меняется по закону v(t) = С sin cor.
10. Пользуясь методом отражения, построить функцию влияния мгновен-
мгновенного точечного источника для ограниченного стержня с теплоизолированной
-боковой поверхностью при граничных условиях 1-го и 2-го рода.
11. Неограниченный стержень составлен из двух однородных стержней,
соприкасающихся в точке х = 0 и обладающих характеристиками аь k\ и,
соответственно, с2, k2. Начальная температура
«(*,о) = ф(*) = ( Tl при
I Г2 при
Найти температуру u(x,t) стержня для случая, когда боковая поверхность
теплоизолирована.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
I. Температурные волны
Задача о распространении температурных волн в почве яв-
. ляется одним из первых примеров приложения математической
теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений
.лр ироды.

1. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ВОЛНЫ 247
Температура на поверхности земли носит, как известно, ярко
выраженную суточную и годовую периодичность. Обратимся к
задаче о распространении периодических температурных коле-
колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное
полупространство 0 ^ х ^ оо. Эта задача является характер-
характерной задачей без начальных условий, так как при многократном
повторении температурного хода на поверхности влияние на-
начальной температуры будет меньше влияния других факторов,
которыми мы пренебрегаем (например, неоднородность почвы).
Таким образом, приходим к следующей задаче *):
найти ограниченное решение уравнения теплопроводности
~дГ==а ~д? (°<*<°°. —oo<Q, A)
удовлетворяющее условию
и (О, t) = A cos at. B)
Эта задача была рассмотрена в главе III. Ее решение имеет
вид (см. гл. III, § 4, G))
и (х, t) = Ае~* Ъ* Х cos (jA^r x - arf). C) •
На основании полученного решения можно дать следующую
характеристику процесса распространения температурной вол-
волны в почве. Если температура поверхности длительное время
периодически меняется, то в почве также устанавливаются ко-
колебания температуры с тем же периодом, причем:
1. Амплитуда колебаний экспоненциально убывает с глуби-
глубиной
т. е., если глубины растут в арифметической прогрессии, то
амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый за-
закон Фурье).
2. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом
фазы. Время б запаздывания максимумов (минимумов) темпе-
температуры в почве от соответствующих моментов на поверхности
пропорционально глубине
(второй закон Фурье).
3. Глубина проникновения тепла в почву зависит от перио-
периода колебаний температуры на поверхности. Относительное
') X. С. Карслоу, Теория теплопроводности, гл. III, Гостехиздат, 1947.-

248 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
изменение температурной амплитуды равно
Эта формула показывает, что чем меньше период, тем мень-
меньше глубина проникновения температуры. Для температурных
колебаний с периодами 7\ и Т2 глубины Xi и хг, на которых про-
происходит одинаковое относительное изменение температуры, свя-
связаны соотношением
Х2 =
(третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и го-
годовых колебаний, для которых Т2 = 365 Ти показывает, что
т. е. что глубина проникновения годовых колебаний при оди-
одинаковой амплитуде на поверхности была бы в 19,1 раза больше
глубины проникновения суточных колебаний.
В качестве примера приведем результаты наблюдений над
годовыми температурными колебаниями на станции Гош ,в
Приамурье *):
Глубина (м) 12 3 4
Амплитуды (°С) 11,5 6,8 4,2 2,6
Эти данные показывают, что амплитуда годовых колебаний
на глубине 4 м уменьшается до 13,3% своего значения на по-
поверхности, равного 19,5°. На основании этих данных можно оп-
определить коэффициент температуропроводности почвы
in_i_ = _!/_*, fl2== A(x),
Ш А
откуда находим, что коэффициент температуропроводности поч-
почвы равен
а2 = 4- 1(Г3 см21сек.
Время запаздывания максимальной температуры на глубине
4 м достигает 4 месяцев.
Следует, однако, иметь в виду, что изложенная здесь теория
относится к распространению тепла в сухой почве или горных
породах. Наличие влаги усложняет температурные явления в
почве, при замерзании происходит выделение скрытой теплоты,
не учитываемое этой теорией.
') М. И. Сумгин, С. П. Качурин, Н. И. Толстихин, В. Ф. Ту-
м е л ь, Общее мерзлотоведение, гл. V, Изд. АН СССР, 1940.

I. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ВОЛНЫ 249
Температуропроводность является одной из характеристик
тела, важных для изучения его физических свойств, а также
для различных технических расчетов. На изучении распростра-
распространения температурных волн в стержнях основан один из лабо-
лабораторных методов определения температуропроводности1).
Пусть на конце достаточно длинного стержня поддерживает-
поддерживается периодическая температура ii(t). Представив эту функцию в
виде ряда Фурье
= -f + 2j [an cos — t + bn sin — tj =
l
n=l
где T — период, и взяв температурные волны, соответствующие
каждому слагаемому, получим, что температура u(xt t) для лю-
любого х будет периодической функцией времени и ее п-я гармо-
гармоника равна
х, O = an(x)
или
Эта формула показывает, что если произвести измерение
температуры в каких-нибудь двух точках, Xi и хг, за полный пе-
период, то, находя коэффициенты an(xi), bn(x{), an(x2), bn(x2)
при помощи гармонического анализа, можно определить коэф-
коэффициент температуропроводности стержня а2.
Периодические колебания температуры в стержне можно
вызвать, например, следующим образом. Поместим один из-
концов стержня в электрическую печь и будем через одинако-
одинаковые промежутки времени включать и выключать ток. В резуль-
результате такого периодического нагревания в стержне через неко-
некоторое время установятся периодические колебания темпера-
температуры; измеряя с помощью термопар температуры u(xut) и
и(х2, 0 в каких-либо двух точках, хи и х2, за полный период
') Специальный физический практикум, т. I, Гостехиздат, 1945, задача

250 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш
изменения граничного режима и подвергая щ и и% описанной
выше обработке, можно определить а2 — коэффициент темпера-
температуропроводности материала, из которого сделан стержень. Есте-
Естественно, что для применимости изложенной выше теории стер-
стержень должен быть теплоизолирован с боков, а также должен
быть проведен контроль температуры на другом конце стержня,
чтобы иметь возможность пользоваться теорией температурных
волн в полубесконечном стержне.
Для возможности использования теории температурных
волн в полубесконечном стержне надо убедиться в том, что
температура на свободном конце стержня постоянна. Это конт-
контролируется с помощью дополнительной термопары.
II. Влияние радиоактивного распада на температуру
земной коры
Для суждения о внутреннем температурном состоянии Зем-
Земли мы имеем немногие данные, получаемые из наблюдений на
ее поверхности. Основные сведения о термическом поле зем-
земной коры заключаются в следующем. Суточные и годовые ко-
колебания температуры происходят в сравнительно тонком по-
поверхностном слое (порядка 10—20 м для годовых колебаний).
Ниже этого слоя температура с течением времени меняется
очень медленно.
Наблюдения в шахтах и скважинах, относящиеся к верхним
2—3 км земной коры, показывают, что температура с глубиной
повышается в среднем на 3°С на каждые 100 м.
Первые попытки, относящиеся к концу прошлого столетия,
.дать теоретическое объяснение наблюдаемого геотермического
градиента встретили непреодолимые трудности *). Эти попытки
исходили из представления об охлаждении Земли, раскаленной
в прошлом. Начальная температура, характеризующая этот
процесс остывания, должна иметь порядок То = 1200° С (тем-
.пература плавления горных пород), а поверхностная темпера-
температура имеет порядок 0°С и не могла значительно (больше 100°)
отклоняться от этой величины за весь период существования
жизни на Земле. Простейшая количественная теория остывания
Земли приводит к решению уравнения теплопроводности
dt dz2
в полупространстве 0 < z < оо при следующих начальных и
граничных условиях:
и{г, 0) = Т0, и@,*) = 0.
') X. С. К а р с л о у, Теория теплопроводности, гл. III, Гостехиздат, 1947.

II. ВЛИЯНИЕ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 25f
Решение этой задачи было рассмотрено в § 3 настоящей гла-
главы и дается формулой
u(z, t) = T0-T= f e-a*da.
о
Градиент этой функции при z = 0 равен
дг
z=0
Vn VaH
т,
о
z=0
Подставляя сюда известные значения геотермического градиен-
градиента ДМ =y = 3- 10~4 град/см, Го = 1200°С, а также значе-
oz lz=0
ние а2 — 0,006 см2/сек, соответствующее среднему эксперимен-
экспериментально определяемому коэффициенту температуропроводности,
гранитов и базальтов, получим для продолжительности процес-
процесса остывания значение ? = 0,85-1015 сек = 27000000 лет. Та-
Такое представление о возрасте Земли никак не согласовывалось
с геологическими данными. Приближенный характер рассмат-
рассматриваемой теории (пренебрежение кривизной Земли, непостоян-
непостоянство коэффициента температуропроводности, приближенность
значения То) не может, конечно, изменить порядка найденного
значения для возраста Земли, который по современным данным
оценивается приблизительно в 2-Ю9 лет.
Физическая схема температурного режима Земли подверг-
подверглась существенному пересмотру после открытия явления радио-
радиоактивного распада. Радиоактивные элементы, рассеянные в зем-
земной коре, при распаде вызывают ее нагревание, так что уравне-
уравнение теплопроводности должно иметь вид
ди 9 д2и ¦ г
где А — объемная плотность тепловых источников. На основа-
основании многочисленных измерений радиоактивности горных пород,
и их тепловыделения принято значение
А = 1,3 • 10~12 кал/см3сек.
Это значение учитывает тепло, выделяемое ураном, торием п
калием вместе с их продуктами распада.
Предположим, . что плотность радиоактивных источников
внутри земного шара постоянна и равна значению Л, опреде-
определенному для верхних слоев земной коры. В этом случае
количество тепла, выделяющегося во всем земном шаре-

¦252
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ ИГ
за единицу времени, будет равно
Q = ~nR3A.
•Сделаем второе предположение о том, что Земля радиоактив-
радиоактивным теплом не нагревается. В этом случае поток тепла через
единицу поверхности
-^ Q
дг
2=0
где k и
ди
дг
z=0
суть коэффициент теплопроводности и гео-
термический градиент у поверхности Земли.
Отсюда для -Q— при 2 = 0 находим значение
vu I -*^ AR t г
10 2 град/см,
где /? = 6,3-103 км — радиус Земли и k = 0,004 — среднее зна-
значение коэффициента теплопроводности осадочных пород.
Таким образом, геотермический градиент, вычисленный в
предположении, что распределение радиоактивных элементов
постоянно и что Земля не нагревается благодаря радиоактив-
радиоактивному распаду, на два порядка превышает наблюдаемое значе-
значение геотермического коэффициента
у = 3 • 10 град/см.
Откажемся от гипотезы постоянства распределения радиоак-
радиоактивных элементов и предположим, что радиоактивные эле-
элементы расположены в слое мощности Н у поверхности Земли.
Пренебрегая кривизной Земли, получим для определения ста-
стационарной температуры уравнение
д2и
dz2
(
-т для
О для z > Н
•с условиями
и@) =
ди
дг
= 0.
Очевидно, что решение поставленной задачи равно
А №
k 2
г>Н,

II. ВЛИЯНИЕ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 253
так как эта функция непрерывна вместе с первой призводной
при z = Н и удовлетворяет условиям задачи.
Определяя значение градиента этой функции при z = О,
равное
ди
дг
АН
k
и сопоставляя его с наблюдаемым значением y = 3 • 10 4 град/см,
находим, что
Я = -^^106 ел* = 10 км.
Оценим влияние сделанной гипотезы стационарности тем-
температуры на величину геотермического градиента. Рассмотрим
для этого решение уравнения теплопроводности
,_!?¦ *<•<»¦
10, z > H
с нулевыми начальными и граничными условиями
w {z, 0) = 0,
су @, 0 = 0.
Решение этой задачи представляется, как мы видели в § 3, ин-
интегралом
со t
о о
где G — функция источника для полубесконечной прямой,
равная
<г-Е)г (г+Е>2
Вычислим значение градиента при z = 0, принимая во внима-
внимание значение функции f:
J J
н2
t ia?(t-x)
cpVn J b!(f-i) J

254
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Таким образом,
dw
где
с = -
z=0
Н
2Vt H_ С e-&da_ I
а а2 J с2 ['
ап =
Н
da
а2
Н
Вычислим интеграл
Г
Jc
откуда
dw
дг
2=0
Отметим,
da e~a*
оо
Q
A J 2a y'V 1,
cpa2 \ КгГ
что
1
г
2Va't
A)
так как ера2 = fe, предел первого слагаемого в фигурных скоб-
скобках равен нулю, а предел второго слагаемого равен Н.
_ dw
Вычислим отклонение -^— от его предельного значения для
= 2- 109 лет = 6- 10й сек.
Значение <т0 мало:
о _^
Разлагая функции, входящие в формулу A), в ряды, получим:
A TI dw
— п
к дг
z=0
т. е.
dw
2=0
отличается от своего предельного значения на 1,4%.
Нетрудно было бы вычислить функцию w(z,t) для г>0 в
убедиться, что для z^z H, w (г, t) далеко еще не достигает
своего предельного значения для t, равного возрасту Земли1)
(хотя, как мы убедились, градиент у поверхности практически
равен своему предельному значению).
') А. Н. Тихонов, О влиянии радиоактивного распада на температуру
земной коры. Изв. АН СССР, отд. матем. и естеств. наук, 1937, стр. 431—459.

111. МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 255
Приведенные выше рассуждения носят, конечно, лишь оце-
оценочный характер; однако, принимая во внимание весьма
большую устойчивость скорости радиоактивного распада, не изме-
изменяющейся под воздействием доступных нам температур и дав-
давлений, мы должны прийти к заключению о том, что концентра-
концентрация радиоактивных элементов должна быстро убывать с глу-
глубиной, если основываться на значении А для верхних слоев
земной коры, установленном многочисленными измерениями.
Физическое объяснение, позволяющее установить закон убыва-
убывания концентрации радиоактивных элементов с глубиной, до сих
пор отсутствует.
III. Метод подобия в теории теплопроводности
Для решения ряда задач теплопроводности весьма полезен
метод подобия. В качестве примера рассмотрим две задачи.
1. Функция источника для бесконечной прямой. Уравнение
теплопроводности, как нетрудно видеть, остается неизменным
при преобразовании переменных
xf = kx, t' = k2t, A)
т. е., если масштабы длины меняются в k раз, то масштаб вре-
времени следует изменить в k2 раз.
Будем искать сначала решение уравнения теплопроводности
Щ = а2иХх B)
с начальным условием
f щ при х> О,
и(х, 0)= п ^п C)
{ 0 при х < 0. v '
При указанном выше изменении масштабов начальное условие
C) остается также без изменения, поэтому для функции и(х,t)
должно иметь место равенство
u(x,t) = u(kx,k2t) D)
при любых значениях х, t и k.
Полагая
получим:
Таким образом, и зависит только от аргумента

256 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Вычисляя производные для и из формулы F)
д2и _ d2f J_
дх* U° dz2 ¦ 4/ '
ди х-и0 df _ г d}
dt ~~ 4t% dz ~ "'• It ~dz '
подставляя в уравнение теплопроводности B) и сокращая на
множитель Ио/4?, получаем:
при дополнительных условиях
/(_оо) = 0, f(oo) = l, (9)
соответствующих начальному условию для функции и.
Интегрируя уравнение (8) будем иметь:
z х-
f = C Je d§ = C, J e-Vdl.
Здесь нижний предел выбран так, чтобы выполнялось первое
условие (9). Чтобы удовлетворить второму условию (9), сле-
следует положить:
Таким образом,
2УаЧ
где
Vn 0-
(интеграл ошибок). Если начальное значение имеет вид
ы0 при х > х,
при х < х,
то
A2)
«(*,0)={U°

III. МЕТОД ПОДОБИЯ В ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 257
Обратимся теперь к решению второй вспомогательной зада-
задачи, где начальные значения задаются в виде
и (х, 0)=
О при х2 < х,
ип при л:, < х < х2, A3)
О при х < хг.
В этом случае
и(х, t) = -^[ф(-Z=*l) _ ф(^Щ.
' 2 L \iYa4 ) \iYa4 /J
Начальная температура и0 соответствует количеству тепла
Q = ср (х2 — х,) ы0.
Если
Q = cp,
то
V> ' x2-Xl 2
Функция влияния источника, сосредоточенного в точке, оче-
очевидно, представляет предел функции и(х,t) при Х2 — xi—*0.
Предельный переход в формуле A4) дает:
так как в правой части формулы A4) стоит разностное отно-
отношение, пределом которого является производная в A5).
Производя дифференцирование, находим:
т. е. u(x,t) = G(x,Xt,t)—функция мгновенного точечного ис-
источника.
2. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопро-
теплопроводности. Рассмотрим квазилинейное уравнение теплопровод-
теплопроводности
д (, / . ди \ ди i, -,
-%— I к (U) -г-1 = ср -дГ- A/)
с коэффициентом теплопроводности, зависящим от температуры.
Найдем решение этого уравнения, удовлетворяющее гранич-
граничному и начальному условиям
и @, 0 = «i, и(х,0) = и2. A8)
9 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

358
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
предельными значениями производной по внешней (внутренней)
нормали в точке Ро1).
Исследуем разрывы внутренней нормальной производной
dV
потенциала простого слоя на 2. Производная — в точке М
оси z, направленной по внутренней
нормали, равна
- Г f
D4)
где яр — угол между осью z и векто-
Рис. 63. ром МР. Проведем из точки Р (рис. 63)
нормаль PQ и прямую PN, параллель-
параллельную оси z (нормали в точке Ро), и обозначим через 9 угол NPQ,
равный углу между нормалями в точках Р и Ро2). Выражение
для потенциала двойного слоя W(M) содержит множитель
с°^ф , где ф = Z. MPQ. Так как угол MPN равен
п — г|з, то
cos (л — Щ = cos ф cos 0 + sin ф sin 0 cos Q = — cos ij>,
где Q —двугранный угол с ребром PQ3). Отсюда следует, что
dV_
dz
= -Wl-l{M), D5)
') Предел разностного отношения
У(М)-У(Р0)
МР0
прн М->-Ро равен пре-
пределу извне для производной по внешней нормали или пределу изнутри для
производной по внутренней нормали, в зависимости от того, с какой стороны
точка М приближается к точке Рв.
2) Очевидно, что 6 и sin 6 стремятся к нулю, когда Р -»Рд. Если поверх-
поверхность обладает конечной кривизной в окрестности точки Рв, т. е. ее уравне-
уравнение можно представить в виде
где ](х, у) имеет вторые производные, то sin 6 будет дифференцируемой
функцией х, у и, следовательно,
sin 6 < Аг
(для поверхностей Ляпунова sin 6 < Аг ).
3) Если направление PQ принять за ось новой сферической системы, то
эта формула совпадает с формулой A3) на стр. 326.

IV. ЗАДАЧА О ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ 259
для преобразованной функции уравнение -^—1A -\-аи)-^- =
= -^г с начальными и граничными условиями и(х,0) = 0,
u(O,t) = 1. Полагая
получаем для f уравнение
= 1, f(°o) = 0. B2)
Если коэффициент теплопроводности k(u) является степен-
степенной функцией температуры, k(u) = &omc, k0 = const > 0, a > О,
а вместо A8) заданы условия ы@, t) — Uotn, n > 0, и(л;, 0) = 0,
то уравнение A7) при ср = 1 имеет решения вида и(х, t) —
= tnf{z), где z = x/ctm, m = A +na)/2, с = const > 0. В ча-
частности, при п = о получаем решения типа «температурной
волны», распространяющейся с конечной скоростью с:и(х,t) =
= U(jtn A — -^-j при л; ^ с^, и(х, t) = 0 при x~^-ct (см. Допол-
Дополнение I, рис. 87). На рис. 42 приведены результаты численного
интегрирования уравнения B2) для различных значений а.
IV. Задача о фазовом переходе
При изменении температуры тела может происходить изме-
изменение его физического состояния, в частности при переходе тем-
температуры через точку плавления — переход из жидкой фазы в
твердую (или обратный переход). На поверхности фазового
перехода все время сохраняется постоянная температура. При
движении поверхности фазового перехода происходит выделе-
выделение скрытой теплоты затвердевания (плавления). Сформулируем
те дополнительные условия, которые должны выполняться на
поверхности затвердевания1).
Рассмотрим плоскую задачу, когда поверхностью раздела
является плоскость x — \(i). За время t, t-\-At граница
х = g переместится от точки ? = Xi до точки g = лг2 = Xi -\-
+ Д|. При этом затвердевает масса рД? (или расплавляется,
если Д| < 0) и выделяется соответствующее количество теп-
тепла Я,рД?.
Для выполнения теплового баланса это количество тепла
должно равняться разности количеств тепла, прошедших череа
') Ф. Франк и Р. М и з е с, Дифференциальные и интегральные урав-
уравнения математической физики, гл. XIII, Гостехнздат, 1937.
9*

260 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Ш
границы | = xi и | = х2) т. е. должно выполняться условие
где ^i и k2 — коэффициенты теплопроводности первой и второй
фазы, а К—скрытая теплота плавления.
Переходя к пределу при At —> 0, мы и получим дополнитель-
дополнительное условие на границе раздела в следующем виде:
ft,
дх
Это условие имеет место как для процесса затвердевания (когда
Д? > 0 и ~ > 0), так и для процесса плавления (когда Д| < 0
и -^j-< 0); направление процесса определяется знаком левой
части.
Рассмотрим процесс замерзания воды, при котором темпе-
температура фазового перехода равна нулю. Будем рассматри-
рассматривать массу воды х ^ 0, ограниченную с одной стороны пло-
плоскостью х — 0. В начальный момент t — 0 вода обладает по-
постоянной температурой с > 0. Если на поверхности х = 0 все
время поддерживается постоянная температура Ci <; 0, то гра-
граница замерзания х = | будет со временем проникать в глубь
жидкости.
Задача о распределении температуры при наличии фазового
перехода и о скорости движения границы раздела фаз (напри-
(например, внутри замерзающей воды) сводится к решению уравне-
уравнений
dt ~~ai дх*
ди* 9 д*и2
для 0 < х < I,
для 6 < х < оо
с дополнительными условиями
щ = с1 при х —
и2 = с при
* = 0, 1
* = 0 J
и условиями на границе замерзания
, дил
A)
B)
C)
D)

IV. ЗАДАЧА О ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ 261
где kv а\ и /г2, а\— коэффициенты теплопроводности и тем-
температуропроводности твердой и, соответственно, жидкой фаз.
Задачу A) — D) часто называют задачей Стефана, задачей о
фазовом переходе или задачей о промерзании.
Решение задачи будем искать в виде
где Аи Ви А2 и В2 — пока неопределенные постоянные, а Ф —
интеграл ошибок
Удовлетворяя условиям B) и C), получим:
А1 = си А2 + В3 = с
из условия B) и
из условия C). Последние условия должны иметь место для
любых значений t. Это возможно лишь при выполнении соот-
соотношения
E = aVT, E)
где a—некоторая постоянная. Соотношение E) определяет за-
закон движения границы замерзания.
Для постоянных Аи Ви А2, В2 и а получаются выражения
с.
сФ
\ 2а2 )
1—<
Ш'
F)
Чтобы определить постоянную а, надо воспользоваться со-
соотношением D)
_ а? _ а2
4а, tai r—
k2ce _ ,„_ V_n_^ ^

262
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Решение этого трансцендентного уравнения и дает значение а.
Наличие хотя бы одного решения при с( < 0, с> 0 следует уже
из того, что при изменении а
от 0 до оо левая часть уравне-
уравнения изменяется от — с» до
+ ОО1), а правая — от 0 до
— оо. В случае, если с равно
температуре плавления (с=0),
то выражения F) и G) для оп-
определения коэффициентов при-
принимают более простой вид:
0.S
tof
F0
-. G0
Положив a/2d = p, можем переписать уравнение G') в таком
виде:
1 в'?
где постоянная D определяется выражением
Воспользовавшись графиком функции ч№) = гг7=-——-, дан-
V п Ф (р)
ным на рис. 43, легко графически определить значение а.
Решение задачи о промерзании может быть также получено
при помощи метода подобия, приведенного в приложении III к
этой главе. Задача о промерзании является в некотором смыс-
смысле предельным случаем нелинейных краевых задач, рассмотрен-
рассмотренных в приложении III. В самом деле, коэффициенты теплопро-
теплопроводности и теплоемкости в задаче о промерзании являются
кусочно-постоянными функциями, и, кроме того, при и — 0 теп-
теплоемкость имеет бесконечно большое значение. Этот случай
можно получить как предельный при е->0, когда скрытая теп-
теплота выделяется не мгновенно, а на некотором промежутке
') Асимптотическое представление функции 1 — Ф(г) при г-»-оо см.
стр. 71&

IV. ЗАДАЧА О ФАЗТ5ВОМ ПЕРЕХОДЕ 263
—е, +е, причем должно выполняться условие
8
f с {и) du = К.
—е
Однако эту задачу можно решить и непосредственно, пользуясь
методом подобия. Нетрудно проверить, что все условия задачи
останутся неизменными, если масштаб длины увеличить в k
раз, а масштаб времени — в k2 раз. Это значит, что решение
задачи зависит от аргумента —т=, т. е. что
Отсюда, в частности, следует, что движение нулевой изотермы
будет описываться уравнением |= aYt , где а — значение ар-
аргумента, при котором /(а) = 0. Для определения функции /
мы имеем следующие условия:
t для «<*<«>
- для a<z<oo;
= c; f 1 («) = U («) = 0;
Поэтому функция f(z) имеет следующий вид:
fi&) = Ai+ &&(-?-), если 0<2<а,
}\(г) = Л2 + Я2Ф(¦—-), если а < z < оо.
Для определения постоянных Ai, Bt, Аг, В2 мы должны ис-
использовать условия B) и C), из которых вытекают формулы
F). Для определения а получается условие G). Таким обра-
образом, аналитическая часть решения в обоих методах одинакова.
Изложенные здесь соображения показывают, что задачу о
промерзании можно решать также и в тех случаях, когда скры-
скрытая теплота выделяется не при фиксированной температуре, а
на некотором интервале температур. Подобным же методом
можно решить задачу, если имеется не одна, а несколько кри-
критических температур, что встречается при фазовых превраще-
превращениях в процессе перехода от одной кристаллической структуры
к другой, например при перекристаллизации стали. Наиболее
эффективным методом численного решения задач о фазовых

264 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
переходах является метод конечных разностей, который при-
применим для случая двух и трех пространственных переменных
при -наличии нескольких фазовых переходов (см. Дополне-
Дополнение I, § 4).
V. Уравнение Зйнштейна — Колмогорова
Микроскопические частицы, находящиеся в среде в свобод-
свободном, взвешенном состоянии, совершают беспорядочное движе-
движение, называемое броуновским. Обозначим вероятность для ча-
частицы, вышедшей из точки Мо в момент to, находиться в момент
/ в малой окрестности AV точки М функцией
W(M,t;M0,t0)-AV. A)
Вероятность здесь понимается в том смысле, что если в те-
течение некоторого малого промежутка t0 + Д^ из точки Мо вы-
выходит достаточно большое количество частиц N (причем взаи-
взаимодействие между ними пренебрежимо мало), то концентра-
концентрация этих частиц при Д/-+0 в точке М в момент t будет равна
W(M, t; M0,t0), если за единицу массы частиц принять всю мас-
массу выходящих из точки Мо частиц.
С подобным же явлением мы встречаемся при диффузии
газа, происходящей в какой-либо (например, воздушной) сре-
среде. Функция W(M, t\ M0,t0) представляет функцию точечного
источника, соответствующего единичной массе.
Очевидно, что
J W (М, t; Mo, t0) dVM = 1 {t> t0) B)
и что если начальная концентрация частиц в некоторый момент
времени to равна ц>(М), то концентрация u(M,t) этих частиц
в момент t > t0 будет равна
u{M,f)=$W (М, t; P, t0)Ф(Р)dVP, C)
где интеграл берется по всему пространству.
Из последнего равенства следует уравнение *)
W (M, t; Mo, t0) = j W (M, t; P, 6) W (P, 6; Mo, t0) dVP D)
(to<Q< t),
имеющее место для любого значения t0 <C 8 < t. Это послед-
последнее уравнение называют уравнением Эйнштейна —
Колмогорова.
') М. А. Леонтович, Статистическая физика, гл. VI, Гостехиздат,
1944; А. Н. Колмогоров, Аналитические методы теории вероятности.
Успехи математических наук, вып. V, 1938.

V. УРАВНЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА — КОЛМОГОРОВА 265
Покажем, что при определенных условиях, наложенных на
функцию W(M, t; Mo,to), решение уравнения Эйнштейна —
Колмогорова удовлетворяет некоторому уравнению с частными
производными параболического типа. Рассмотрим случай, ког-
когда положение точки М характеризуется одной координатой х.
Предположим, что функция W(x, t; xo,to) удовлетворяет сле-
следующим условиям:
Г
Hm ^- = \im±l(x-l)W{x,t + т; ?, i)dx = AA, /). E)
Если за время т частица переходит из положения | в поло-
положение х, то Л ~~ё является средней скоростью частицы. Та-
Таким образом, первое условие означает требование существова-
существования конечной скорости упорядоченного движения частицы.
2°
{х~1)> = Hm \ | (х -1J IF (х, * + т; \, t) dx = 26 (g, 0- F)
Величина (х—|J не зависит от направления смещения точки
х относительно точки |. Среднее значение квадрата отклонения
за время т
(х^=1? = J (х -1J W (х, / + т; |, t) dx
обычно рассматривается как мера неупорядоченности движения
за этот промежуток времени. Требование 2° означает предпо-
предположение линейной зависимости среднего квадрата от времени
при малых т.
3°
1 „ _ ? |.) I Г
jjjjj 1 А s I __ jijYj __ I j? t Р • Ii7 fх ^ 4- t' E A rfx = 0 G}
т-».о T T J
Функция lF(x,/-j-т; |, f). являющаяся функцией точечного ис-
источника, для малых значений т должна быстро убывать, когда
jx — cj->oo, и возрастать, когда \х — %\ мало.
Для получения дифференциального уравнения Эйнштейна —
Колмогорова умножим обе части уравнения D) на произволь-
произвольную функцию яЬ(х), обращающуюся в нуль вместе со своей про-
производной на границах области интегрирования, и проинтегри-
проинтегрируем по всей этой области:
j W (х, t + т; х0> tQ) ф (х) dx =
= J W (Е, /; xOl t0) dl J W (x, / + t; I, t) ф (x) dx.

266 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
Разложив в правой части функцию ty(x) в ряд Тейлора по
х-1:
где ?* — среднее значение, заключенное между х и |, и разде-
разделив на т, после простых преобразований будем иметь:
Г ^
; *„, /0) - W (х, t; xp, t0) dx =
= | W (|, /; *0, ^0) [ф' A) ^=li + ф» ft) ^Ц &1
{ J Ф"' (Г) (* ~ IK W A, /; х0, t0) W(x,t + т; |, t) dl
Предполагая, что ф'"(^) ограничена
W"{x)\<A
и учитывая, что
мы получим:
тП *"'(Г) (x ~|K г (|> <; *0' ^о) ^(A;>'+т; ё> ° d| dx
Из условия 3° вытекает, что это выражение при т->0 стре-
стремится к нулю. Поэтому, переходя к пределу при т-*-0 и ис-
используя условия 1°, 2°, получаем:
= | W (|, t; х0, t0) W (I) Л (|, t) + V (I) B (|,
После интегрирования по частям правой части, принимая во
внимание, что функция ф обращается в нуль вместе со своей
производной на границе области интегрирования, получим:
Так как это соотношение должно иметь место для произволь-
произвольной функции ty(x), то для функции вероятности W{x,t; xo,to)
мы получаем дифференциальное уравнение Эйн-
Эйнштейна— Колмогорова
ew _ а (Ащ ¦
dt ~ дх """

VI. 6-ФУНКЦИЯ 267
Полученное уравнение является уравнением параболического
типа, подобным уравнению теплопроводности, и может быть за-
записано в виде
Wt = -^{BWx) + aWx + pW, (9)
где
а = — А + Вх, Р = — Ах + Вхх = ах.
Из уравнения (9) видно, что величина В имеет физический
смысл коэффициента диффузии. Если рассматриваемый процесс
однороден в пространстве и времени, т. е. функция W за-
зависит только от разности | = х— х0 и В = t — U, то коэффи-
коэффициенты Л и В не зависят от х и t и являются постоянными.
Уравнение (8) в этом случае является уравнением с постоянны-
постоянными коэффициентами
Если функция W зависит только от \х —1|, т. е. вероятности
смещения направо и налево на одинаковые расстояния от точ-
точки | равны, то очевидно, что А должно быть равно нулю. Ана-
Аналитически это следует из формулы E) в силу того, что под-
интегральная функция нечетна.
В этом случае уравнение (8) является простейшим уравне-
уравнением теплопроводности
VI. 6-функция
1. Определение 6-функции. Наряду с непрерывно распре-
распределенными величинами (масса, заряд, тепловые источники, ме-
механический импульс и т. п.) часто приходится иметь дело с со-
сосредоточенными величинами (точечная масса, точечный заряд,
точечный источник тепла, сосредоточенный импульс и т. д.).
Не следует забывать, что эти понятия являются «предельными
образами» и могут быть характеризованы при помощи понятия
«обобщенных функций»1).
Имея в виду физический смысл задачи, рассмотрим потен-
потенциал в точке М (см. главу IV, § 5) единичной массы, сосредо-
сосредоточенной внутри некоторого объема Т в окрестности точки Мо.
Возьмем какую-либо последовательность функций {р„} (р„ >
>0), каждая из которых равна нулю вне шара 5^° радиуса
еп с центром в точке Мо, где еп->0 при п-»-оо, и для
') См. подробнее Р. К у р а и т, Уравнения с частными производными,
Москва, 1964, а также И. М. Гельфанд и Е. Г. Шилов, Обобщенные
функции и действия над ними, Физматгиз, 1959.

268 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
которых, начиная с некоторого п,
j j j pn(P)drP= j $ j pn{P)drP=l. П)
Рассматривая последовательность функций
являющихся потенциалами масс, распределенных с плотностя-
плотностями рп, и совершая предельный переход при п —» оо, получим:
lim ы„=- . B)
n-»oo '
Этот результат, очевидно, не зависит от выбора последователь-
последовательности {р„}. Хотя последовательность {ип} и сходится к 1/г, од-
однако последовательность {р„} не имеет предела в классе
рассматриваемых кусочио-дифференцируемых функций. «Пре-
«Предельный образ», соответствующий последовательности {рп},
называют функцией 6(М, Л10).
Основным свойством, определяющим б-функцию, является
следующее формальное операторное соотношение:
[ f (МЛ, если Мо es T,
о(м0!м)/(м)^=(и J; если м^г; C)
Ш
где f{M)— произвольная непрерывная функция точки М. Имея
в виду, что при п —* оо функции р„ равномерно стремятся к ну-
нулю во всякой области, не содержащей точки Мо, и неограничен-
неограниченно возрастают в окрестности S« ° точки Мо, иногда определяют
б-функцию формально при помощи соотношений
б (М, Мо) = 0 при М ?-- Мо,
б (М, Мо) = со при М = Мо
и
При Мо €Е Т,
г ' "'Г1 '"" ^ ' '
Ш
Равенство E) является очевидным следствием формулы C) при
При рассмотрении последовательностей функций в различ-
различных задачах приходится иметь дело с разными определениями
сходимости.

VI. 8-ФУНКШЯ 269
Говорят, что последовательность функций
{Un (*)} = «1 (*). «2 (X), •¦-, Un (X), ... F)
сходится равномерно на интервале (а, Ь), если для любого
е > 0 можно указать такое N, что при п, т~> N для любого х
из (а, Ь) будет выполняться условие
| ип (х) — ит {х) |< е при п, m>N.
Говорят, что последовательность F) сходится в среднем на
интервале (а, Ь), если для любого е>0 можно указать такое
N, что при п, m > N
ъ
J \un(x) — um(x)fdx<e.
а
Говорят, что последовательность F) сходится слабо на ин-
интервале (а, Ь), если для любой непрерывной функции / суще-
существует предел
lim f f(x)un(x)dx.
n-Vra *
При рассмотрении сходящихся последовательностей обычно
вводят предельные элементы последовательностей.
Рассмотрим класс непрерывных функций на интервале (а, Ь).
В случае равномерной сходимости предельный элемент при-
принадлежит тому же классу функций, что не всегда имеет место
для сходимости в среднем и слабой сходимости.
Если предельный элемент не принадлежит рассматриваемо-
рассматриваемому классу функций, то вводят предельные элементы, расширяя
исходный класс. При этом под расширением понимается сово-
совокупность исходных и предельных элементов. С понятием расши-
расширения встречаются в теории действительного числа, когда ирра-
иррациональные числа вводятся как предельные элементы, опреде-
определяемые классом эквивалентных последовательностей.
Говоря о предельных элементах в смысле слабой сходи-
сходимости, мы будем говорить, что две последовательности, {ы„} и
{vn}, имеют один и тот же предельный элемент, если эти по-
последовательности эквивалентны, т. е. последовательность
{ип — vn} слабо сходится к нулю:
ъ
lim f f (х) [и„ {х) - о„ (х)] dx = 0.
а
Будем называть последовательность неотрицательных функции
{6я} нормированной локальной последовательностью точки ха,

270 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
если функция бп равна нулю вне интервала (хо — е„, хо-\-вп),
где еп —* 0 при п —*¦ оо, а
ь
/б„ (*)<**=!.
Очевидно, что последовательность {би} сходится слабо. Предель-
Предельный элемент последовательности {6И} обычно называют б-функ-
ц и е й точки х0.
В том случае, если предельный в смысле слабой сходимости
элемент и последовательности {ип} выходит из класса функций
ип, то интеграл от произведения некоторой функции f{x) на
элемент и определяется как предел
ь ь
lim j / (дг) ип (х) dx= J f(x)u dx.
а а
Очевидно, что для б-функции точки х0 имеет место равенство
ь
f(xN(xo,x)dx = f(xo).
Это соотношение часто принимают за определение б-функции.
2. Разложение 6-фуикции в ряд Фурье, б-функцию можно
определить так же, как предельный образ других последова-
последовательностей, эквивалентных в смысле слабой сходимости приве-
приведенной выше последовательности бп(#) локальных нормирован-
нормированных функций точки х0.
Рассмотрим последовательность функций
п
г . . 1.1 VI / тп тп , . тп . тп
m=l
п
1 . 1 Х^ тЯ Г \ /'TV
^it + t 2jcost^x~x^ ^
или в комплексной форме
^1тЬх-х'\ G0
¦определенную на интервале (—/, /).
Очевидно, что для любой функции g{x), разлагаемой в ряд
Фурье, имеет место следующее предельное равенство:
i
lim J 6„ (*0, х) g (x) dx = g (x0), (8)

VI. 8-ФУНКЦИЯ
271
которое показывает, что в классе функций {g(x)}, разлагаемых
в ряды Фурье, приведенная выше последовательность 8п{х0,х)
эквивалентна в смысле слабой сходимости последовательности
ёи (Хо, х), т. е. что
Хо, ^) = -2/- + T
cos
j— (дг0 — at),
(9)
если это равенство понимать с изложенной выше точки зрения
слабой сходимости.
С этой же точки зрения имеет место равенство
6 (х0, х) = 2ф„ (а:) ф„ (дг0),
(Ю)
где {фп(*)} — полная ортогональная и нормированная система
функций, определенная на некотором интервале (а, Ь), а также
равенство
J
= ^ J в1* <*•-*> ?flfe = JL
*0 — X)dk. A1)
Покажем, что при вычислении интегралов, содержащих б-функ-
цию, можно пользоваться рядом (9), производя почленное ин-
интегрирование подынтегральной функции.
Рассмотрим некоторую функцию g(x), разложимую в ряд
Фурье, и интеграл
J g(xN(x0, x)dx.
-i
Подставляя сюда вместо 8(хо,х) ее выражение из форму-
формулы (9), выполним почленное интегрирование ряда, стоящего
под знаком интеграла. В результате получим:
где
m=\
I
4" J
i
A10
—i
\
1 Г ЯОТ
i==~f \ ё wj) s'^~7— ^odx0.
A2)

272 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ lit
Сопоставление формулы A1) с равенством
i
J 6(*, xo)g{x)dx = g(х0) (-1<хо<1)
показывает, что выполненное выше почленное интегрирование
ряда для б-функции приводит к правильному результату.
Таким образом, в классе функций, разложимых в ряд Фурье,
последовательность частичных сумм
эквивалентна нормированной локальной последовательности
Другие формы представления б-функции также основаны
на использовании некоторых функциональных последователь-
последовательностей, эквивалентных в смысле слабой сходимости последова-
последовательности {би}.
3. Применение 6-функции к построению функции источника.
Рассмотрим следующую задачу:
Щ = аЧхх, A3)
ы (х, 0) = Ф {х), A4)
«@,0 = «(/,0 = 0. A5)
Заданной функции ф(лг) соответствует единственное решение за-
задачи
Допустим, что оператор 3: можно представить в виде
i
и(х, 0 = SB[Ф(л:)] =JG(x, t, 0ФЦ)dl, A6)
о
где G(x, |, t)—ядро оператора SB.
Для того чтобы найти ядро G(x, |, t), положим:
<р(д) = б(х — х0). A4')
Заменяя в формуле A6) <р(х) 6-функцией, получим:
u(x,t) = G(x,xo,t), A7)
т. е. G(x,xo,t) является решением задачи A3) при начальном
условии A47).
Представим б-функцию в виде ряда Фурье
оо
6 (х — х0) — 2j y sin — х sin — xQ.

VI. 8-ФУНКЦИЯ 273
Ядро G, очевидно, надо искать в виде суммы
^x, A8)
каждое слагаемое которой должно удовлетворять уравнению
теплопроводности. Отсюда следует, что
Из начального условия сразу же получаем:
Таким образом, мы формально получили для ядра G выраже-
выражение
пп
"sin-^xsin-^Xo, A9)
n=I
совпадающее с представлением для функции источника, кото-
которое было исследовано в § 3. Решение задачи A3) — A5) дает-
дается формулой A6), где G(x,xo,t) —функция, определяемая фор-
формулой A9).
Подобным же образом можно найти выражение для функ-
функции источника на неограниченной прямой. Функция G в этом
случае будет определяться условиями
щ — а2ихх = 0 (— со < х < оо), B0)
u(*,O) = 9<jf) = 6(*-jro). B1)
Имея в виду разложение б-фуниции в интеграл Фурье
оо
6(лг —хо) = — cos А (х — х0) dK,
п$
будем искать G (x, x0, t) в виде
ОО
G (х, х0, f) = ±JAK @ cos к (х- х0) dk. B2)
о
Из уравнения B0) находим:
B3)
Полагая 1 = 0 и сравнивая формулы B3) и B1), получаем:

274 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ ИГ
Таким образом,
оо
G (х, х0, 0 = ^J е-°™ cos к (х- *о) dX.
о
Вычисление этого интеграла дает:
(Х-ХоJ
Отсюда следует, что решение задачи о распространении началь-
начальной температуры на бесконечной прямой должно выражаться
формулой
оо
и (х, t) = J G (x, |, t) ф (g) rf|. B4)
— оо
Выяснение границы применимости формул, полученных мето-
методом б-функции, требует специального исследования.
В качестве примера рассмотрим теперь неоднородное урав-
уравнение
Щ = агихх Н ——, B5)
где F(x,t)—плотность распределенных тепловых источников.
Если в точке х = | в момент t = to помещен мгновенный ис-
источник тепла мощности Qo, то
t0). B6)
Найдем решение неоднородного уравнения
§ (fo>O) B7>
при нулевом начальном условии
и (х, 0) = 0.
Учитывая интегральное представление
оо
6 (л; — |) = -1J cosA(x —
будем искать функцию и (х, t) в виде
оо
и (*> 0 = ^ J "?. @ cos М* — I)

vi. 6-ФУНкция 275
Подставляя эти выражения в уравнение B7), получаем уравне-
уравнение для uK(t):
с начальным условием
Как известно, решение неоднородного уравнения
u + a2u = f{t), ы@) = 0
имеет вид
t
u{f)=\e-««-vf(x)dT. B8)
о
В нашем случае
О при t < t0,
Щ { ^е-аъч,-и, при t>t
Таким образом,
оо
и (х, t) = -|- i- J е-<™ «-« cos Я, (х - g) dk = j± G (x, |,t - ^0),
где
— функция влияния мгновенного точечного источника.
Подобный метод построения функции влияния часто исполь-
используется в теоретической физике1).
•) См. подробное изложение теории б-функции и многочисленные при-
примеры ее применения в книге Д. Д. Иваненко и А. А. Соколова, Клас-
Классическая теория поля, гл. I, Гостехиздат, 1951.

ГЛАВА TV
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
При исследовании стационарных процессов различной физи-
физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия
и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа.
Наиболее распространенным уравнением этого типа является
уравнение Лапласа
Ди = 0.
Функция и называется гармонической в области Т,
если она непрерывна в этой области вместе со своими произ-
производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.
При изучении свойств гармонических функций были разра-
разработаны различные математические методы, оказавшиеся пло-
плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического и
параболического типов.
§ I. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
I. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач.
Рассмотрим стационарное тепловое поле. В главе III было по-
показано, что температура нестационарного теплового поля удов-
удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности
Если процесс стационарен, то устанавливается распределение
температуры u{x,y,z), не меняющееся с течением времени и,
следовательно, удовлетворяющее уравнению Лапласа
Ди = О. (I)
При наличии источников тепла получаем уравнение
Д« = -Д f = -j. B)
где F — плотность тепловых источников, a k — коэффициент
теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа B) часто
называют уравнением Пуассона.
Рассмотрим некоторый объем Г, ограниченный поверхностью
2. Задача о стационарном распределении температуры и(х,у,г)
внутри тела Т формулируется следующим образом:

§ 1] ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 277'
найти функцию u(x,y,z), удовлетворяющую внутри Т урав-
уравнению
&u = — f(x,y,z) B)
и граничному условию, которое может быть взято в одном из
следующих видов:
I. u — f{ на Б (пер в ая краевая задача),
II. 7^ =/2 Ha ^ (вторая краевая задача)*
III. -^~ + h(u — f3) = 0 на Б (третья краевая задача),.
где fi, fz, fs, h — заданные функции, -^ производная по
внешней нормали к поверхности 2 4).
Физический смысл этих граничных условий очевиден (см.
гл. III, § 1). Первую краевую задачу для уравнения Лапласа
часто называют задачей Дирихле, а вторую задачу —
задачей Неймана.
Если ищется решение в области То, внутренней (или внеш-
внешней) по отношению к поверхности 2, то соответствующую за-
задачу называют внутренней (или внешней) краевой задачей.
2. Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационар-
стационарного тока и электростатического поля. В качестве второго при-
примера рассмотрим потенциальное течение жидкости без источни-
источников. Пусть внутри некоторого объема Т с границей 2 имеет
место стационарное течение несжимаемой жидкости (плотность
р =z const), характеризуемое скоростью v{x,y,z). Если течение
жидкости не вихревое, то скорость v является потенциальным
вектором, т. е.
¦о = — grad ф, C)
где ф — скалярная функция, называемая потенциалом
скорости. Если отсутствуют источники, то
div v = 0. D)
Подставляя сюда выражение C) для v, получим:
div grad ф = 0
') Очевидно, что стационарное распределение температуры может уста-
установиться лишь при условии равенства нулю суммарного потока тепла через,
границу области. Отсюда следует, что функция f2 должна удовлетворять до-
дополнительному требованию:
Я'-
do=0.

278 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. IV
ИЛИ
АФ = О, E)
т. е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Пусть в однородной проводящей среде имеется стационар-
стационарный ток с объемной плотностью j(x,y,z). Если в среде нет
объемных источников тока, то
div/ = 0. F)
Электрическое поле Е определяется через плотность тока из
дифференциального закона Ома
E = i. G)
где X — проводимость среды. Поскольку процесс стационарный,
то электрическое поле является безвихревым или потен-
потенциальным1), т. е. существует такая скалярная функция
tp(x,у,г), для которой
Е = — grad ф {j = — K grad ф). (8)
Отсюда на основании формул F) и G) заключаем, что
Дф = 0, (9)
т. е. потенциал электрического поля стационарного тока удов-
удовлетворяет уравнению Лапласа.
Рассмотрим электрическое поле стационарных зарядов. Из
стационарности процесса следует, что
rot? = 0, A0)
т. е. поле является потенциальным и
Е = — grad ф. (8)
Пусть р(х,у, z) — объемная плотность зарядов, имеющихся
в среде, характеризуемой диэлектрической постоянной е = 1.
Исходя из основного закона электродинамики
\йх, (И)
s г
где Т — некоторый объем, 5 — поверхность, его ограничиваю-
ограничивающая, 2 е* — сумма всех зарядов внутри Т, и пользуясь теоре-
.мой Остроградского
J4J|J A2)
') Из второго уравнения Максвелла — Н = — rot E следует, что rot E = 0.

§ 1) ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 279"
получаем:
Подставляя сюда выражение (8) для Е, будем иметь:
Дф = —4яр, A3)
т. е. электростатический потенциал ф удовлетворяет уравнению
Пуассона. Если объемных зарядов нет (р = 0), то потенциал ф
должен удовлетворять уравнению Лапласа
Дф = 0.
Основные краевые задачи для рассмотренных процессов
относятся к трем типам, приведенным выше. Мы не будем здесь
останавливаться на некоторых других краевых задачах, харак-
характерных для различных физических процессов. Некоторые из
этих задач будут приведены в приложениях.
3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат.
Выведем выражение для оператора Лапласа в ортогональной
криволинейной системе координат. Пусть в пространстве вместо
декартовых координат х, у, z введены криволинейные координа-
координаты <7i, q2, <7з с помощью соотношений
<7i = h {x, У, г), q2 = f2 {х, у, г), q3 = /3 (х, у, г), A4)
разрешая которые относительно х, у, г, можно написать
х = q>i (<?i. <?2. <7з). У = Ч>2 (<7i> <7г. <7з)> г = фз(дх, q2, q3). A5)
Полагая <у4 = Cit q2 = С2, <?з = Cs, где С4, Сг, С% — постоянные,.,
получим три семейства координат-
координатных поверхностей: D
f (х и z) = C f (х и z) = C
и ' ' ' " "Л
h(x,y,z) = C3. A6)
Рассмотрим элемент объема в
новых координатах, ограниченный
тремя парами координатных поверх- Рис. 44.
ностей (рис. 44). Вдоль ребра
АВ q2 = const, <7з = const, вдоль AD qt = const, q2 = const,.
вдоль AC q\ = const, qs = const. Направляющие косинусы ка-
касательной к ребрам А В, АС м AD пропорциональны соответ-
соответственно
dq, • dqx ' dqt ' dq2 ' dq2 ' ~dqj' ~dq^' dq3
Условие ортогональности ребер будет иметь вид
d<Pi дщ дщ бф, , бфд dq>s _n ,.

280 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Вычислим элемент длины в новых координатах
A8)
Раскрывая скобки и учитывая условия ортогональности A7),
получаем:
ds2 = Я? dq\ + Hi dql + H% dq\, A9)
B0)
Вдоль каждого из ребер элементарного объема меняется только
одна координата, поэтому для длины этих ребер согласно фор-
формуле A9) будем иметь:
rfS] = Я1 dqx, ds2 = Я2 dq2, ds3 = Я3 dq3> B1)
так что элемент объема равен
dv = dsj ds2 ds3 — Нх Н2Н3 dqx dq2 dq3. B2)
Рассмотрим теперь некоторое векторное поле А(х,у,г). Вы-
Вычислим divA, определяемую известной формулой векторного
-анализа
J JAndS
divA = lim —- , B3)
где S — поверхность, ограничивающая некоторый объем vM, со-
содержащий рассматриваемую точку М. Применим эгу формулу
к элементу объема dv, изображенному на рис. 44.
Пользуясь теоремой о среднем, можно представить разность
-потоков вектора А через противоположные грани, например че-
через правую и левую грани, в виде
Q, = Л, ds2 ds31 — Л, ds2 ds3 \
Принимая во внимание формулы B1), получим:
J dq2 dq3 =
^q2dq3. B4)

§ 1J ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 281"
Аналогично вычисляются две другие разности потоков через
противоположные грани
Q2 = -jL (H3HXA2) dqx dq2 dq3, B5)
Q3 = -~ (Я,Я2Л3) dqx dq2 dq3. B6)
Подставляя в формулу B3) значение j J An ds = Q, -J- Q2 + Q3
s
и пользуясь формулой B2), получаем выражение дивергенции-
в криволинейных ортогональных координатах
4]- B7)
Предположим, что поле А потенциальное, т. е.
A = gradu. B8)
Тогда
л ди 1 ди . л ! ди . л 1 ди
л А А
Подставляя в B7) выражения B9) для Л4, Л2, -Д3, получим вы-
выражение для оператора Лапласа
Аи = div grad и =
_ 1 г д /h2hs ди \ . а / я3я, а« \ а /я,яг а« \i „„
— я,я2я3 La?, \ я, a9l Jf dg2\ я2 а92 j ^ а<?3 \ я3 a^a/J11 и/
Таким образом, уравнение Лапласа Аи = 0 в ортогональных
криволинейных координатах <7ь qz и <7з записывается следую-
следующим образом:
а„_ 1 f а /^я3 а«\ . a /ffsHjdu) . а /я^аихт-
U~H1H2H3\dq1\ Ht dql)~1r dq2 \ H2 dqj'r dg3 \ H3 dqj \ U"
C1
Рассмотрим два частных случая.
1. Сферические координаты. В этом случае qi = r,
qz = 6, <7з = ф. и формулы преобразования A5) принимают вид.
х = г sin 0 cos ф, у = г sin в sin ф, z = rcos6.
Вычислим ds2:
ds2 = (sin 0 cos ф dr + r cos в cos ф dQ — r sin 0 sin ф dipJ -j-
+ (sin 6 sin ф dr + r cos в sin ф dQ + r sin 0 cos ф dtpJ +
+ (cos в dr — r sin
после раскрытия скобок и упрощений находим:
ds2 = dr2 + г2 d& + г2 sin2 0 ^ф2,
т. е.
Я,= 1, #2 = /-, #3 = rsin0.

282 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Подставляя значения Ни Н2, Hs в формулу C1), получим урав-
уравнение Лапласа в сферических координатах
или окончательно
А.е.<р« = ~рг S?(г2 -Qf) + Г2sinе го (sin еж)+ ТЧмвд$ = °-
2. Цилиндрические координаты. В этом случае
<7i = р, ?2 = Ф, Яз = z;
лг = рсозф, y — ps\ny, z — z,
так что
Я, = 1, Я2 = р, Я3=1.
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах принимает
вид
. 1 д ( ди \ 1 д2и , дЧ _
Если искомая функция и не зависит от z, то уравнение C3)
упрощается:
а \ д I ди\ . \ д2и _ /о.ч
др.<р" = 7^(р^) + ^й?==0- C4)
4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа. Боль-
Большой интерес представляют решения уравнения Лапласа, обла-
обладающие сферической или цилиндрической симметрией, т. е. за-
зависящие только от одной переменной г или р.
Решение уравнения Лапласа u=U(r), обладающее сфери-
сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного диф-
дифференциального уравнения
dr \г dr )
Интегрируя это уравнение, находим:
где С4 и С2 — произвольные постоянные. Полагая, например,
d = 1, С2 = 0, получаем функцию
которую часто называют фундаментальным решением
уравнения Лапласа в пространстве.
Аналогично, полагая

§ 1] ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 283
и пользуясь уравнением C3) или C4), найдем решение, обла-
обладающее цилиндрической или круговой симметрией (в случае
двух независимых переменных), в виде
Выбирая Cj = —1 и С2==0, будем иметь:
^о=1п^. C6)-
Функцию Uo(p) часто называют фундаментальным ре-
решением уравнения Лапласа на плоскости (для
двух независимых переменных).
Функция Uo = — удовлетворяет уравнению Аи = О всюду,-
кроме точки г = О, где она обращается в бесконечность. С точ-;
ностью до множителя пропорциональности она совпадает с по-
полем точечного заряда е, помещенного в начале координат; по-
потенциал этого поля равен
Аналогично, функция In — удовлетворяет уравнению Лапласа-
всюду, кроме точки р = 0, где она обращается в (положитель-
(положительную) бесконечность, и с точностью до множителя совпадает с~
полем заряженной линии (см. подробнее § 5, п. 2), потенциал
которого равен
« 2eln
где е\ — плотность заряда, рассчитанная на единицу длины..
Эти функции имеют большое значение в теории гармонических
функций.
5. Гармонические функции и аналитические функции ком-
комплексного переменного. Весьма общим методом решения дву-
двумерных задач для уравнения Лапласа является метод, исполь-
использующий функции комплексного переменного.
Пусть
w=f(z) = u(x, y) + iv{x, у)
— некоторая функция комплексного переменного z = х -\- iyr.
причем и и v являются вещественными функциями переменных.
х и у. Наибольший интерес представляют так называемые ана-
аналитические функции, для которых существует производная
= Hm -^= lim
Л* д2->о
Приращение Дг = Ах + i Ay, очевидно, может стремиться к
нулю многими способами. Для каждого из способов стремления.

-284 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Аг к нулю, вообще говоря, может получиться свое значение
предела. Однако если функция w = f(z) аналитическая, то
предел lim —— = /'(г) не зависит от выбора пути.
Д2-»0
Необходимыми и достаточными условиями аналитичности
функции являются так называемые условия Коши —
Римана
их = vy, 1
иу = — vx. J
C7)
Эти условия можно получить, например, следующим образом.
Пусть w = и + iv = f(z) — аналитическая функция. Вычис-
Вычисляя производные
I . dw {z) dw
X X X ^^ X flg
, . dw (z) . dw
у У i у dz Zy dz
« требуя равенства значений —т-, определяемых из этих двух
соотношений, получаем:
¦ . dw
•откуда и следуют условия Коши — Римана. На доказательстве
достаточности этих условий мы не будем останавливаться.
В теории функций комплексного переменного доказывается,
что функция, аналитическая в некоторой области G плоскости
z = х + iy, имеет в этой области производные всех порядков и
разлагается в степенной ряд. В частности, для такой функции
и(х,у) и v(x, у) имеют непрерывные производные 2-го порядка
по х и у.
Дифференцируя первое равенство формулы C7) по х, а вто-
второе по у, получим:
ихх-\- иуу = О или
Подобным же образом, меняя порядок дифференцирования,
яаходим:
vxx + v уУ = 0 или Д2« = 0.
Таким образом, действительная и мнимая части аналитиче-
аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. Обычно го-
говорят, что и и v, удовлетворяющие условию Коши — Римана,
являются сопряженными гармоническими функциями.
Рассмотрим преобразование
х = х(и, v), и = и {х, у), I
и==111, v\ v==v(x ы\ I C8)
У—У \и> vh u u\At У)> >

§ 1] ЗАДАЧИ. ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ ЛАПЛАСА 285
взаимно однозначно отображающее некоторую область С пло-
плоскости (х, у), на область С плоскости (и, v), так что каждой
точке области G соответствует определенная точка области С
и, обратно, каждой точке области С соответствует определен-
определенная точка области G.
Пусть
U = U(x,y)
— некоторая вещественная дважды непрерывно дифференци-
дифференцируемая функция, определенная внутри области G.
Выясним, как изменяется при этом преобразовании оператор
Лапласа функции ?/= U[x(u,v), y(u,v)] = U(u,v).
Вычислим производные функции
Vx= 0иих + Dvvx, U у = 0ииу + Uvvy,
И хх = Uuuul + UVOVX + %UuvUKVx + 0uUxx + U0Vxx,
Uyy = OuuUg + UvvV2y + 2UuvUyVy + UuUgy + 0 vVyy,
откуда получаем:
Uxx + Uyy = Ouu (u* + UV) + Uvv {vl + V2y) +
+ 2UUV (uxvx + uyVy) + Uи (ихх + Uyy) + Uv {vxx + Vyy). C9)
Если и и v являются сопряженными гармоническими функ-
функциями, то преобразование C8) эквивалентно преобразованию,
осуществляемому аналитической функцией
w=f(z) — u-\-iv (z = x + iy). D0)
В этом случае в силу условий Коши — Римана C7) для
функций и и v должны выполняться соотношения
и\ + и\ = и\+ t'| =-1? + i? = | Г {г) I2,
Формула C9) принимает вид
U хх + Uyy = фт + Uvo) \f (г) ? D1)
или
KvO = jr^j?Ax,yU. D10
Отсюда следует, что в результате преобразования D0) гармо-
гармоническая в области G функция U(x,y) переходит в функцию
U — U(u, v), гармоническую в области С, если только
\Г{)\*Ф0

286 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
6. Преобразование обратных радиусов-векторов. При изу-
изучении гармонических функций часто пользуются преобразова-
преобразованием обратных радиусов-векторов. Преобразованием обратных
радиусов-векторов в сфере радиуса а называется такое преобра-
преобразование, при котором всякой точке М ставится в соответствие
точка М', лежащая на том же луче из начала координат, что и
точка М, радиус-вектор которой г' связан с радиусом-вектором
г точки М соотношением
г'г — а2 или г' = -^-. D2)
В дальнейшем будем считать а = 1, чего можно всегда до-
добиться изменением масштаба длины.
Покажем, что гармоническая функция двух независимых пе-
переменных ы(р,ф) преобразованием обратных радиусов-векторов
переводится в гармоническую функцию
v (р', ф) = и (р, ф), где р = —г. D3)
В самом деле, функция ы(р, ф), а тем самым и функция
in —, ф| как функции переменных р и ф удовлетворяют уравне-
уравнениям
д
д'у n
Переходя к переменным р' и ф, получим:
dv _ dv др' _ , dv
р dp ~~ Р др' др р др''
откуда и следует, что v (p', ф) удовлетворяет уравнению Др, <$v ==
= 0, так как
,2. , д ( , ду \ . д2у „
Р' Ар'. ^ = Р'-^г (р'-Щ-) + w = 0.
Переходя к случаю трех независимых переменных, пока-
покажем, что функция
v (г', 6, ф) = ги (г, 6, ф), где г = у D4)
удовлетворяет уравнению Лапласа АГ', е, q>w = 0, если ы(г, 0, ф) —
гармоническая функция своих переменных, Дг,е,<fti—O.
Преобразование D4) часто называют преобразованием
Кельвина.
Легко убедиться непосредственным дифференцированием,
что первое слагаемое в операторе Лапласа C2) преобразуется

§2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 287
к виду
J д (о ди\_д>и 2 ди _ I д2 {ги)
г2 йл V дг )~ дг* ~т~ г дг ~~ г дг* '
так что
. д2 (ги) , 1 Г 1 д I . „ ди
ИЛИ
1 д I . о dv \ . 1 d2v
in0)+
Замечая, что
dv dv dr' ,г dv
~дТ~"д?" ~дг~~Г ~dF
находим, что v удовлетворяет уравнению ДГ'.е, ф^ = 0, так как
,2 д ( ,2 dv \ . ,г Г 1 д ! . г. dv \ . 1 дЧЛ „
или
г'4Аг'. е, фу = 0.
§ 2. Общие свойства гармонических функций
В настоящем параграфе дается интегральное представление
гармонических функций, являющееся основным аппаратом для
изучения общих свойств гармонических функций. Одним из
важнейших следствий интегральной формулы является прин-
принцип максимального значения, многократно используемый нами
в дальнейшем как при доказательстве теоремы единственности,
так и при решении краевых задач. Здесь также дается матема-
математическая постановка внутренних и внешних краевых задач для
уравнения Лапласа и доказывается единственность и устойчи-
устойчивость решения этих задач.
1. Формулы Грина. Интегральное представление решения.
При изучении уравнений эллиптического типа мы часто будем
пользоваться формулами Грина, являющимися прямым след-
следствием формулы Остроградского.
Формула Остроградского в простейшем случае имеет вид1)
= j j Rcosyda, (I)
где T — некоторый объем, ограниченный достаточно гладкой
поверхностью S, R(x,y,z)—произвольная функция, непрерыв-
непрерывная внутри Т + 2 и имеющая непрерывные производные внутри
') Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука»,
1965.

288 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Т, у— угол между направлением оси z и внешней нормалью
к Е. В справедливости этой формулы нетрудно убедиться, вы-
выполняя интегрирование по z.
Формулу Остроградского обычно записывают в виде
а7 + -§7 + H)dT = / / <Pcosa + Qcosp+tfcostfrfa, B)
Т 2
где йт — dx dy dz — элемент объема, a = (пх), р = (пу), у =
= (nz) —углы внешней нормали п к поверхности Е с коорди-
координатными осями, Р, Q, R — произвольные дифференцируемые
функции').
Если Р, Q, R рассматривать как компоненты некоторого
вектора А — Pi + Q/ + Rk, то формулу Остроградского B)
можно записать следующим образом:
JJ / ("а7
Т
JJJ
div Лdx= \\ Anda, B')
где
Ап = Р cos a + Q cos P + i? cos у
— составляющая вектора Л вдоль внешней нормали.
Перейдем теперь к выводу формул Грина.
Пусть и = и(х,у,г) и v = v(x,y,z)—функции, непрерыв-
непрерывные вместе со своими первыми производными внутри Т + 2
и имеющие непрерывные вторые производные внутри Т.
Полагая
„ dv „ dv ~ dv
Р=и~ш> Q=u~di' я=г
и пользуясь формулой Остроградского B'), приходим к так
называемой первой формуле Грина
JJ JJJJ _+ +__)dT, C)
Т S Г
где Д=-^г- + -^ + -^г —оператор Лапласа, — = cosa-^- +
+ cosp-g—I-cosy-^—производная по направлению внешней
нормали.
') В дальнейшем мы будем предполагать, что к тем областям, с кото-
которыми мы будем иметь дело, применима формула Остроградского. Такими
поверхностями являются, например, поверхности с кусочно-непрерывной кри-
кривизной, а также поверхности Ляпунова (см. § 5).

ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
359
где W±(M) —потенциал двойного слоя с плотностью fii=n
имеющий разрыв на поверхности 2. Очевидно, что интеграл
1{М) является функцией, непрерывной в точке Ро, так как /(М)
сходится равномерно в этой точке (см. примечание, стр. 358).
Возвращаясь к формуле D5), видим:
(¦Иг)»=~
i (Po) ~2jtJii (Ро) ~7 (Ро)>
i (Ро) + 2п^ (Ро)
D6)
Обозначим
= Г_ JJ((i
cos
-Я'
Rl
PoP
где гро — угол между осью z и вектором PqP.
Замечая, что Ц1(Яо) == ц(^о), находим:
D7)
так как по условию ось z направлена по внутренней нормали.
Если ось z направить по внешней нормали, то знак cosip изме-
изменяется, и мы получим:
D8)
Для случая двух переменных имеют место аналогичные фор-
формулы с заменой 2я на'я.
10. Применение поверхностных потенциалов к решению
краевых задач. Метод разделения переменных и метод функции
источника позволяют получить явное выражение для решения
краевых задач только в случае областей простейшего вида. Све-
Сведение краевых задач для уравнения Лапласа (или Пуассона)

290 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
ограничена в области Т — Ке с границей 2 + 2е, где Ке — шар
радиуса е с центром в точке Мо и поверхностью 2е (рис. 45).
Применяя вторую формулу Грина E) к функциям и и
v = 1/R в области Т — Ке, получаем:
В правой части этого равенства только последние два интегра-
интеграла зависят от е. Вычисляя производную по внешней нормали
к области Т — Ке на 2е> найдем, что
откуда
Яд (l\ 1
дп \RJ a e2
где и* — среднее значение функции и(М) на поверхности 2е.
Преобразуем третий интеграл
(ди \* - ди
-д—\ —среднее значение нормальной производной -х— на
сфере Ее. Подставляя выражения G) и (8) в формулу F) и учи-
учитывая, что А (!/#) = О в Т — Ks, будем иметь:
2 (9)
Устремим теперь радиус е к нулю. Тогда получим:
1) lim м* = м (Мо), так как и(М) — непрерывная функция, а
е-»0
и* — ее среднее значение по сфере радиуса е с центром в точ-
точке Мо;
2) lim 4яе (-^-) =0,так как из непрерывности первых произ-
водных функций и(М) внутри Т сразу же вытекает ограничен-
ограниченность нормальной производной
в окрестности точки Л10;

2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 291
3) по определению несобственного интеграла
Ш
т-кв
В результате указанного предельного перехода е-*0 мы
приходим к основной интегральной формуле Гри-
s т (Ю)
где Р = Р(%,t\,t,)—точка с координатами Е, тг\, ?, лежащая на
поверхности 2.
Если точка Мо находится вне области Т, то v = l/RMp не-
непрерывна и гармонична во всех точках области Т. Поэтому
слева в формуле A0) получим нуль.
Рассмотрим случай, когда Мо принадлежит поверхности 2.
Предположим, что 2 имеет в Мо касательную плоскость с не-
непрерывными угловыми коэффициентами. Сфера 2е радиуса е
центром в Мо пересекает поверхность 2 и делит ее на две части
Ei и 22, часть 2i лежит внутри шара Ке- Формулу Грина E)
применим к и и v= l/R в области Г — Ти где Т{ — область,
ограниченная Si и частью сферы 2?, лежащей внутри Т. Общая
схема рассуждений, приведших к (9), остается неизменной. При
этом следует лишь учесть, что интеграл по 2i + Fg стремится к
2пи(М0), и внести соответствующие изменения в G), (8) и (8').
В результате мы приходим к формуле, получающейся из A0)
при замене 4л на 2л.
Объединяя все случаи, запишем основную формулу Грина
в виде
п ¦ и (Мо) =
где Q принимает значения:
( 4л, если точка Мо лежит внутри Т,
Q = { 2л, если точка Мо лежит на границе 2,
I 0 если точка Мо лежит вне Т.
Отметим, что если точка Мо является конической вершиной
поверхности 2, то Q = а, где а — величина телесного угла, об-
образуемого касательными к 2 в точке Мо.
10*

292 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Для гармонической функции А« = 0 и формула A0) прини-
принимает вид
(Мо — внутри Т).
Таким образом, значение гармонической функции в любой
внутренней точке области выражается через значение этой
функции и ее нормальной производной на поверхности области.
При этом предполагается непрерывность функции и и ее пер-
первых производных вплоть до границы. Отметим сразу же, что
каждый из интегралов
где |х и v — непрерывные функции, является гармонической
функцией вне поверхности 2. В самом деле, так как подынте-
подынтегральные функции и все их производные непрерывны вне по-
поверхности 2, то производные функций A2) любого порядка
можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком
интеграла. Так как, кроме того, функции
RMP дпр
\Кмр1
¦¦ -Цг (-1) cos <zP + -^ (-1.) cospP -f- JL (-L) cos yP
удовлетворяют уравнению Лапласа по переменным М(х,у,г),
то в силу обобщенного принципа суперпозиции (см. лемму на
стр. 221), функции A2) также удовлетворяют уравнению Лап-
Лапласа по переменным х, у, г.
Отсюда вытекает важное следствие: всякая гармоническая
функция внутри области гармоничности дифференцируема бес-
бесчисленное множество раз 1). Отметим также, что гармоническая
функция аналитична (разлагается в степенной ряд) во всякой
точке Мо области Т. В этом можно убедиться с помощью рас-
рассуждений, основанных на том же интегральном представле-
представлении A1).
Аналогичные формулы имеют место и для гармонических
функций двух независимых переменных. Пусть S — некоторая
область на плоскости (х, у), ограниченная контуром С, а п —
') Если для функции и, гармонической внутри Т, не выполнено условие
непрерывности ее вместе с первой производной на поверхности 2, то теорема
¦все же сохраняет силу, в чем можно убедиться, окружая точку М областью,
-лежащей вместе со своей границей внутри Т,

$2) ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 293
направление нормали к этому контуру, внешнее по отношению
к области S.
Полагая во второй формуле Грина о=1п A/#лы>), где Rm,p =
= У (х — х0J + (у — УоТ ~ расстояние Р(х, у) от фиксированной
точки Мо(хо,Уо), и проводя рассуждения, подобные тем, кото-
которые были проведены для трехмерного случая, получим основ-
основную формулу Грина на плоскости
где
2я, если Мо лежит внутри S,
я, если Мо лежит на границе С,
О, если Мо лежит вне S.
Если и(М) —гармоническая внутри 5 функция и Мо лежит
внутри S, то
2. Некоторые основные свойства гармонических функций.
Установим несколько важнейших свойств гармонических функ-
функций:
1. Если v — функция, гармоническая в области Т, ограни-
ограниченной поверхностью S, то
s
¦где S — любая замкнутая поверхность, целиком лежащая в об-
области Т.
В самом деле, подставляя в первую формулу Грина C') ка-
какую-либо гармоническую функцию v (kv = 0) и функцию и == 1,
•сразу же получим формулу A3). Из формулы A3) следует, что
вторая краевая задача fА« = 0 в Г, — = /1 ) может иметь ре-
решение только при условии
Это свойство гармонических функций можно интерпретиро-
интерпретировать как условие отсутствия источников внутри области 71*

294 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
2. Если функция и(М) гармонична в некоторой области Т,
а Мо — какая-нибудь точка, лежащая внутри области Т, та
имеет место формула
где 2а — сфера радиуса а с центром в точке Мо, целиком лежа-
лежащая в области Т (теорема среднего значения).
Эта теорема утверждает, что значение гармонической функ-
функции в некоторой точке Мо равно среднему значению этой функ-
функции на любой сфере Еа с центром в Мо, если сфера Sa не выхо-
выходит из области гармоничности функции и(М).
Применим формулу A1) к шару Ка с центром в точке Мо ш
поверхностью Sa:
Принимая во внимание, что
-77 = - на L и
-у-
а
(направление внешней нормали к 2О совпадает с направлением
радиуса), сразу же получаем A4) 1).
Записывая A4) в виде
о)= u(P)doP
и интегрируя по р от 0 до а, получаем:
1 Г Г Г _ 4я з
" v™o)== ~п I I I ^ аХр, V а == о а ,
'a J J J °
т. е. и(М0) есть среднее по объему шара Ка с границей 2а-
') При доказательстве этой теоремы мы пользовались равенством A3),.
предполагающим существование производных на поверхности сферы. Если
функция и(М), непрерывная в замкнутой области Т + 2, удовлетворяет урав-
уравнению Ди = 0 только для внутренних точек Т, то предшествующее заключе-
заключение для сферы 2йо, касающейся 2, было бы необоснованным. Однако тео-
теорема верна для любого а < а0, и, переходя к пределу при а-гай, получаем:
f f «

^ 2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 295
Для случая двух независимых переменых имеет место ана-
аналогичная теорема о среднем значении:
где Са — окружность радиуса а с центром в точке Мо, лежащая
в области гармоничности и.
3. Если функция и(М), определенная и непрерывная
в замкнутой области Т + 2, удовлетворяет уравнению Аи = О
внутри Т, то максимальные и минимальные значения функции
и(М) достигаются на поверхности 2 (принцип макси-
максимального значения).
Допустим, что функция и(М) достигает максимального зна-
значения в некоторой внутренней точке Мо области Т, так что
и0 = и(Мо) ^ и(М), где М — любая точка области Т. Окружим
точку Мо сферой 2Р радиуса р, целиком лежащей внутри обла-
области Т. Поскольку, по предположению, и(М0) есть наибольшее
значение функции и(М) в Г + Е, то и\х^ и(М0). Пользуясь
формулой среднего значения A4) и заменяя под интегралом
всюду и(М) значением и(М0), получим:
u(M0)da = u(M0). A6)
Если предположить, что хотя бы в одной точке М сферы 2Р
м(М) <м(М0), то очевидно, что вместо знака ^ будем иметь
знак <С, что приводит к противоречию. Таким образом, на всей
поверхности Sp u(M)^s и(М0).
Если р™ — минимальное расстояние от Мо до поверхности 2,
то и(М) == и(М0) для всех точек, лежащих внутри 2 т. Отсюда
¦следует, что в точках М*. принадлежащих общей части 2рт и 2,
по непрерывности и(М*) =и(М0). Это и доказывает теорему,
поскольку мы убедились, что максимальное значение и(М0) до-
достигается в точках границы М*.
Нетрудно убедиться, что если область Т связная и макси-
максимальное значение достигается хотя бы в одной внутренней точ-
точке Мо, то и(М) ==м(М0) во всей области. Пусть М(°> — какая-
либо другая точка области Т. Соединим точку М<°> с точкой Мо
ломанвй линией L (рис. 46), длину которой обозначим /. Пусть
Mi есть последняя точка выхода линии L из Ерт. В этой точке
и (Mi) = и(М0). Опишем из этой точки сферу 2т радиуса pj",
¦касающуюся 2, и пусть М2 — последняя точка выхода L из

296 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
2pm; в этой точке и(М2) =и(М0). Продолжая этот процесс
далее, получим, что не более чем через р = //р*7") шагов, гд&
р(т) — минимальное расстояние L до 2, одна из этих сфер за-
захватит точку М°>, откуда следует, что м(М°)) = и(М0). В силу-
произвольности М<°> и непрерывности и(М) в замкнутой области
Т + 2, заключаем, что и(М)==и(М0) всюду, включая точки
границы. Таким образом, из всех гармонических функций толь-
только постоянная может достигать своего максимального значе-
значения во внутренних точках об-
ласти.
Аналогичную теорему мож-
можно доказать и относительно
минимального значения.
Следствие 1. Если функ-
функции и и U непрерывны в обла-
области Г + 2, гармоничны в Г в
если
ы<?/ на Е,
то и
Рис. 46. u^.U всюду внутри Т.
В самом деле, функция U — и непрерывна в Т + 2, гармо-
гармонична в Г и
U — и>0 на S.
В силу принципа максимального значения
U — и ^ 0 всюду внутри Т,
откуда и следует наше утверждение.
Следствие 2. Если функции и и U непрерывны в области
Т + 2, гармоничны в Г и если
|«|<?/ на S,
то
| м |<: ?/ всюду внутри Т.
Из условий теоремы следует, что три гармонические функ-
функции — U, и и U удовлетворяют условиям
— f/<«<f/ на S.
Применяя дважды следствие 1, получим, что
— U <;«<;?/ всюду внутри Т
или
| и |<I U внутри Т.

i§ 2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 297
Следствие 3. Для гармонической в Г и непрерывной в
Т + 2 функции и(М) выполняется неравенство \и\ <; maxM |z
всюду в Т + 2. Для доказательства положим f/=max|«]|j; и
воспользуемся следствием 2.
Хотя изложение проводилось для трех измерений, однако
все результаты переносятся на случай гармонических функций
любого числа переменных.
3. Единственность и устойчивость первой краевой задачи.
Пусть дана область Т, ограниченная замкнутой поверхностью
2, на которой задана некоторая функция f. В простейшем слу-
случае, когда граничная функция f непрерывна, первая внутренняя
краевая задача (внутренняя задача Дирихле) для уравнения
Лапласа обычно ставится следующим образом.
Требуется найти функцию и, которая:
а) определена и непрерывна в замкнутой области Г+ 2,
включая границу;
б) удовлетворяет внутри области Т уравнению Аи = 0;
в) принимает на границе 2 заданные значения f.
В условии а) предполагается гармоничность функции внут-
внутри области Т. Требование гармоничности на границе является
излишним, так как оно повлекло бы за собой дополнительные
«граничения для граничных значений.
Условие непрерывности и в замкнутой области (или какое-
либо другое условие, разъясняющее смысл того, что функция
и принимает на границе заданные значения) необходимо для
¦единственности. Если отказаться от этого условия, то любую
•функцию, равную постоянной С внутри Т и заданной функции
f на 2, можно рассматривать как решение задачи, поскольку
она удовлетворяет условиям б), в).
Докажем теорему единственности:
первая внутренняя краевая задача для уравнения Лапласа
¦не может иметь двух различных решений.
Допустим, что существуют две различные функции, щ и и2,
¦являющиеся решениями задачи, т. е. функции, непрерывные в
замкнутой области Т + 2, удовлетворяющие внутри области
уравнению Лапласа и на поверхности 2 принимающие одно и
то же значение f. Разность этих функций и = щ — и2 обладает
следующими свойствами:
1) Д« — 0 внутри области Г;
2) и непрерывна в замкнутой области Т -f- 2;
3) «|2=0.
Функция и(М), таким образом, непрерывна и гармонична
в области Т и равна нулю на границе. Как известно, всякая
«епрерывная функция в замкнутой области достигает своего
максимального значения. Убедимся в том, что и э 0. Если
«функция и^О и хотя бы в одной точке и > 0, то она должна

298 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
достигать положительного максимального значения внутри об-
области, что невозможно. Совершенно так же доказывается, что
функция и не может принимать нигде внутри Т отрицательных
значений. Отсюда следует, что
Перейдем к доказательству непрерывной зависимости реше-
решения первой краевой задачи от граничных данных. Напомним,
что задача называется физически определенной, если малому
изменению условий, определяющих решеяиё задачи, в данном
случае граничных условий, соответствует малое изменение са-
самого решения.
Пусть щ и «2 — непрерывные в Т + 2 и гармонические внут-
внутри Т функции, для которых |«! — «г|^ е на 2. Тогда это же
неравенство выполняется внутри Т.
Это утверждение непосредственно вытекает из следствия 2у
стр. 296, в силу того, что U = е является гармонической функ-
функцией.
Таким образом, мы доказали непрерывную зависимость ре-
решения от граничных условий и единственность первой внутрен-
внутренней задачи.
4. Задачи с разрывными граничными условиями. Часто
встречается также первая краевая задача с разрывными гра-
граничными условиями. Функция, непрерывная в замкнутой об-
области, не может быть решением этой задачи. Поэтому требует-
требуется уточнить постановку первой краевой задачи применительно-
к рассматриваемому случаю.
Пусть на кривой С, ограничивающей область S, на пло-
плоскости (х, у) задана кусочно-непрерывная функция f(P). Тре-
Требуется найти функцию и(М): 1) гармоническую внутри области
5; 2) непрерывно примыкающую к граничным значениям в точ-
точках непрерывности последних; 3) ограниченную в замкнутой об-
области 5 + С.
Заметим, что дополнительное требование ограниченности
фактически относится к окрестностям точек разрыва функции
f(P)-
Докажем следующую теорему:
решение первой краевой задачи с кусочно-непрерывными
граничными значениями единственно.
Пусть «! и «2 — два решения поставленной задачи. Разность
V = Щ — «2
1) является гармонической функцией внутри S;
2) непрерывно примыкает к нулевым граничным значениям
на границе, за исключением точек разрыва f(P), в которых она
может претерпевать разрыв;

§ 2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 299
3) ограничена в S + С: \v\<.A.
Построим гармоническую функцию
тде е — произвольное положительное число, D — диаметр об-
области, Г{ — расстояние от рассматриваемой точки М до i-й точ-
точки разрыва Pi. Функция U(M) положительна, так как все сла-
слагаемые больше нуля.
Построим в каждой точке разрыва Pi круг Ki радиуса б,
выбрав б так, чтобы каждое слагаемое
eln —
ri
¦на соответствующей окружности Ct превосходило А, т. е. чтобы
е1п-?-^А Функция v непрерывна в замкнутой области
п
S — ">} Kt = S' и | v | <; U на границе этой области.
?=1
Поэтому в силу принципа максимума U является мажо-
мажорантой функции v:
|
•Фиксировав произвольную точку М из области S и устремляя
е-»0, получим:
lim[/(M)=0;
е-»0
¦следовательно,
v (М) = О,
так как v не зависит от е, или
«, == щ,
что и требовалось доказать.
5. Изолированные особые точки. Рассмотрим особые точки
гармонической функции. Пусть Р — изолированная особая точ-
точка, лежащая внутри области гармоничности функции и. Пред-
Представляются возможными два случая:
1) гармоническая функция ограничена в окрестности точ-
точки Р;
2) гармоническая функция не ограничена в окрестности
точки Р. С особыми точками второго рода мы уже встречались
(например, 1пA/г)). Следующая теорема показывает, что пер-
первый тип особых точек не может быть осуществлен.
Если ограниченная функция и(М) является гармонической
¦внутри области S, за исключением точки Р, то можно так

300 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
определить значение и(Р), чтобы функция и(М) была гармони~
ческой всюду внутри S.
Возьмем круг Ка радиуса а с центром в точке Р, целиком
лежащий внутри S, и рассмотрим внутри него гармоническую-
функцию v, совпадающую с функцией и на окружности Са
круга Ка*).
Составим разность
Ш = Ы — V,
которая
1) гармонична всюду внутри Ка, кроме точки Р, в которой*
w не определена,
2) непрерывно примыкает к нулевым граничным условиям
на Са,
3) ограничена в замкнутой области /Са+ Ca(\w\<C А).
Так же как и при доказательстве предыдущей теоремы
(п. 4), построим неотрицательную гармоническую функцию
Здесь е — произвольное положительное число, а — радиус кру-
круга Ка, г — расстояние от рассматриваемой точки М до точки
разрыва Р.
Построим круг К(, с центром в точке Р, выбрав его радиус
6 так, чтобы на его окружности значение U превосходило А, и
рассмотрим область Ка — Кь- Функция w непрерывна в замкну-
замкнутой области 8 ^ г <: а и на границе этой области имеет место>
неравенство |ьу|<1 U. В силу принципа максимального значе-
значения неотрицательная функция О является мажорантой функ-
функции W
||<С/(М) для
Фиксируя произвольную точку М области Ка, не совпадающую»
с Р, и совершая предельный переход при е—>•(), получим:
lim U (М) = 0,
следовательно, всюду, за исключением, быть может, точки Р:
Таким образом, функция и всюду в области S, за исключе-
исключением точки Р, совпадает с функцией v. Полагая и(Р) = v(P),.
мы получим функцию и = v, гармоническую всюду внутри об-
области S. Тем самым теорема доказана.
') Существование такой функции будет установлено в § 3, причем по»
строение ее не базируется на 'доказываемой теореме.

§ Z] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 301
Аналогично проводится доказательство теоремы для случая
трех измерений, где в качестве мажорантной функции может
быть взята функция U (М) = е ( ).
При доказательстве теоремы этого пункта мы предполагали,
что функция и ограничена в окрестности точки Р. Однако те
же рассуждения остаются в силе, если предположить, что
функция и в окрестности точки Р удовлетворяет неравенству
i-, A7)
где е(г)—произвольная функция, стремящаяся к нулю при
г->0, т. е. в окрестности точки Р функция и(М) растет медлен-
медленнее, чем log(l/rPM).
Итак, если функция и(М) является гармонической функ-
функцией внутри области S, за исключением точки Р, в окрестности
которой она растет медленнее, чем \og(l/rMp) при М-* Р, то
эта функция является ограниченной в окрестности точки Р, и
можно так определить значение и(Р), что функция и будет гар-
гармонической во всей области S.
Аналогично в случае трех независимых переменных: если
гармоническая функция и(М) в окрестности изолированной
особой точки Р растет медленнее, чем 1/г,
\и(М)\<в(г)-^-( К> 1, A8)
ГМР \ r->VJ
то она ограничена в окрестности этой точки, и можно так оп-
определить значение и(Р), чтобы функция и(М) была гармонич-
гармонична и в самой точке Р.
6. Регулярность гармонической функции трех переменных
в бесконечности. Гармоническая функция трех переменных
и(х,у,г) называется регулярной в бесконечности, если
. A I du I . A
<~r и \iizr\<-zr
Т
du\ ^ A I du
dy | ^ r2 ' \ dz
_А_
г*
при достаточно большом г ^ г0.
Докажем, что если функция и(х,у,z) гармонична вне не-
некоторой замкнутой поверхности 2 и равномерно стремится к
нулю на бесконечности, то она регулярна на бесконечности.
Условие равномерного стремления к нулю на бесконечности
означает, что существует такая функция в*(г), что
|ы(М)|<е'(г) (е* (г)-* 0 при г-+°о), B0)
где г — радиус-вектор точки М.

302 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Совершая преобразование Кельвина
v (гг, е, <р)=ги (г, е, <р),
где
получим, что функция v гармонична всюду внутри поверхности
?', в которую переходит поверхность 2 при преобразовании
обратных радиус-векторов, за исключением начала координат,
где она имеет изолированную особую точку.
Из условия B0) следует, что в окрестности начала коорди-
координат для функции v имеет место неравенство
I v (г1, е, ф)
где
e(r') = e*(—J->0 при /•'->().
На основании последней теоремы п. 5 функция v(r', 6, ф) ог-
ограничена и гармонична при г' ^ г'о:
\v(r\ 6, ф)|<Л при /•'</•?, B1)
откуда и следует, что
«f,6,(pl= <— при г>гс==-г.
В силу гармоничности функции и при г' = 0 можно напи-
написать:
ди(х, у, г) _ д 11 ( , . „\
— - -рг * и "Г" ~ [-qZ •-dx~^"W" ~дх~ ^"д7 ' ~дх~1' { '
где
х' — — г' и' = — г' г' = — г'
_ ах' ду' дг
Отсюда, вычисляя производные ~ду, ~q^t • ~g^ и принимая во
внимание ограниченность первых производных функции v
в окрестности точки г' = 0, получаем:
ди
дх
А
при
А ди ди
Аналогичные оценки имеют место для производных -^ и -^—.

§ 2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 303
7. Внешние краевые задачи. Единственность решения для
двух- и трехмерных задач. Внешние краевые задачи по-раз-
по-разному ставятся для трех и двух независимых переменных.
Рассмотрим сначала случай трех переменных. Пусть Т—
область, внешняя к некоторой замкнутой поверхности 2.
Первая внешняя краевая задача (внешняя за-
задача Дирихле) состоит в следующем:
требуется найти функцию и (х, у, z), удовлетворяющую усло-
условиям:
1) Дц = 0 в неограниченной области Т;
2) и всюду непрерывна, включая поверхность 2;
3) и\ ?= f(x,у,z), где f—функция, заданная на поверх-
поверхности 2;
4) и(М) равномерно стремится к 0 на бесконечности:
и (М) -* 0 при М -* оо.
Последнее условие является существенным для единствен-
единственности решения, в чем легко убедиться на простом примере.
Пусть требуется решить внешнюю первую краевую задачу для
сферы SR радиуса R с постоянным граничным условием
и \Sr = const = f0.
Опуская условие 4), видим, что решениями задачи могут слу-
служить функции «1 = f0 и u2 = f0 —, а также любая функция
и = ащ 4- Р«2> гДе а + Р = 1.
Докажем, что
внешняя первая краевая задача для гармонических функ-
функций с тремя независимыми переменными имеет единственное
решение. Предполагая существование двух решений их и и2,
удовлетворяющих условиям 1)—4), видим, что их разность
и = ut — иг представляет собой решение задачи с нулевыми
граничными условиями. Поскольку условие
4) выполнено также для функции и, то для
произвольного е > 0 можно указать такое
R*, что
\и(М)\<е при г > R*.
Если точка М лежит внутри области Т
(рис. 47), заключенной между поверхно-
поверхностью 2 и сферой Sr (r >/?*), то и(М)<е, Рис. 47.
как то следует из принципа максимального
значения, примененного к области Т. В силу произвольности е
заключаем, что «sOb области Т, а также и во всей области Т,
что и доказывает единственность решения внешней первой крае-
краевой задачи в пространстве.

304 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Первая внешняя задача на плоскости ставит-
ставится следующим образом:
требуется найти функцию и, удовлетворяющую условиям:
1) Аи = 0 в рассматриваемой бесконечной области 2, огра-
ограниченной контуром С;
2) функция и всюду непрерывна, включая С;
3) и | с = f (х, у), где f — функция, заданная на С;
4) и(М) ограничена в бесконечности, т. е. существует такое
число N, что | и (М) | <: TV.
Требование обращения решения в нуль на бесконечности и
здесь оказывается достаточным, чтобы доказать, что двух раз-
разных решений быть не может, но оно является слишком силь-
сильным, так как при кем задача может оказаться вообще нераз-
неразрешимой.
Докажем, что
внешняя первая краевая задача для функций двух перемен-
переменных имеет единственное решение.
Допуская существование двух различных решений щ и и2 и
рассматривая их разность и = и± — ы2, являющуюся решением
первой краевой задачи с нулевыми гра-
граничными условиями, будем в силу усло-
условия 4) иметь
\с где
* | «21
где Ni и Nz таковы, что |«i| <; Nu
| 1 ^ Nz. Обозначим через St область,
лежащую внутри С и являющуюся до-
дополнением к области S, так что 2 + Si
есть вся плоскость. Возьмем точку Мо
внутри Si и окружность радиуса R с
Рис- 48- центром в точке Мо, лежащую внутри Et
(рис. 48). Гармоническая функция
\n(l/RMMc) не имеет особенностей в области 2; функция
1п(#мм„А/?) положительна во всей области 2, включая С.
Пусть CRl — окружность радиуса Rt с центром в Мо, содержа-
содержащая целиком контур С, и 2' — область, ограниченная кривыми
С и CRl. Функция uRl, определяемая равенством
есть гармоническая функция, равная N на окружности радиуса
/?ь положительная на С; из принципа максимального значения
следует, что «r, является мажорантой для модуля функции
и(М) в области 2;
\u(M)\<uRi(M).

§ 2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 305
Фиксируем точку М и будем неограниченно увеличивать Ru
Очевидно, что uRl(M) _> 0 при Rt -* оо. Отсюда следует, что
и(М) = 0.
Тем самым, в силу произвольности М, единственность решения
поставленной задачи доказана. Единственность решения этой
задачи можно также доказать, пользуясь преобразованием об-
обратных рапиусов-векторов, переводящим область, внешнюю
к контуру С, в область, внутреннюю к контуру С, в который
переходит контур С.
При этом бесконечно удаленная точка перейдет в изолиро-
изолированную особую точку, в окрестности которой функция v ограни-
ограничена. Из теоремы п. 5 будет вытекать гармоничность функции
v в начале координат, а тем самым и единственность решения.
Из приведенных рассуждений следует, что гармоническая
функция двух переменных и(М), ограниченная в бесконечности,
стремится к определенному пределу при М, стремящейся к бес-
бесконечности.
Различие в постановке первой краевой внешней задачи для
двух и трех переменных можно пояснить на следующем физи-
физическом примере. Пусть дан шар радиуса R, на поверхности ко-
которого поддерживается постоянная температура ып, и требуется
определить стационарное распределение температуры во внеш-
внешнем пространстве. Функция и = uo(R/r) представляет решение
этой задачи, обращающееся в нуль на бесконечности.
Рассмотрим теперь двумерную задачу, и пусть на окружности
радиуса R задано постоянное граничное значение
и t = fо = const.
В этом случае и s=f0 есть единственное ограниченное решение
задачи и никакого решения, обращающегося в нуль на беско-
бесконечности, не существует. Мы уже встречались с существенно
различным характером поведения гармонических функций
в бесконечности для двух и трех независимых переменных (на-
(например, поведение 1/г и 1п 1/г на бесконечности).
Для пространственной и плоской неограниченных областей
имеет место принцип максимального значения. В этом нетрудно
убедиться с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые
были использованы при доказательстве теорем единственности.
Отсюда, в свою очередь, вытекает непрерывная зависимость ре-
решения от граничных условий.
8. Вторая краевая задача. Теорема единственности. Реше-
Решением второй краевой задачи будем называть функцию и, не-
непрерывную в области Т + 2 и удовлетворяющую на поверх-
поверхности Е условию
%\

306
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Докажем, что решение второй внутренней краевой задачи
{внутренней задачи Неймана) определяется с точностью до про-
произвольной постоянной.
Доказательство проведем при дополнительном предположе-
предположении, что функция и имеет непрерывные первые производные
в области Г+ 2 *).
Пусть «1 и «2 — две непрерывно дифференцируемые в Т -f-
-f- 2 функции, удовлетворяющие уравнению Аи = 0 в Т и ус-
условию -?\ =f(M) на 2. Для функции и = «i — и2 будем
иметь:
Eл
= 0.
Полагая в первой формуле Грина C) v = и и учитывая соот-
соотношения Ды = 0 и -д— = 0, получаем:
Отсюда в силу непрерывности функции и и ее первых произ-
производных следует:
ди ди ди _
0 т е "
что и требовалось доказать.
Изложенный здесь метод доказательства применим и в слу-
случае неограниченной области для функ-
функций, удовлетворяющих требованиям ре-
регулярности на бесконечности.
Покажем, что в случае неограничен-
неограниченной области, внешней к замкнутой по-
поверхности, формула Грина C) примени-
применима для функций, регулярных на беско-
бесконечности.
Рассмотрим область 7", внешнюю к
замкнутой поверхности. Проведем сферу
2R столь большого радиуса, чтобы 2 ле-
лежала внутри SR. Обозначим TR область,
ограниченную 2 и 2r (рис. 49). Применяя в области TR фор-
формулу Грина к двум функциям, 'и и v, регулярным в
Рис. 49.
') Предположение относительно непрерывности первых производных
в Т + 2 сделано для упрощения доказательства. Доказательство единствен-
единственности при наиболее общих предположениях было дано М. В. Келдышем и
М. А. Лаврентьевым (ДАН СССР, т. XVI, 1937); см. также В. И. Смир-
Смирнов, Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, 1958.

$ Z] ОБЩИЕ СВОЙСТВА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
бесконечности, получим:
307
-&*- <24>
Оценим интеграл по Sr, используя при этом свойство регуляр-
регулярности функций и и v:
II/
do j
дп
= ы (и* cos a + vу cos P + vг cos v) rfcr
Отсюда видно, что
Iim
f f uf-da=
J J дп
Стоящий справа в B4) интеграл по TR стремится к интегралу
по всей области Т при R —*¦ оо. Этот интеграл существует, так
как подынтегральное выражение в силу регулярности и и v ис-
исчезает на бесконечности как 1/#4. Следовательно, существует
предел
Iim Г Г и Av dx — \ Г и Дv dr.
ft -> оо
В результате мы приходим к формуле
г Г г
})}uAvdr =
Л С Г ди dv , ди dv , ди dv~] , , С С dv . /г.г.ч
J L дх дх ' д"у ду ' dz dz J J J дп ' * ;
T s
Тем самым установлена применимость первой, а следовательно,
и второй формул Грина для неограниченных областей к функ-
функциям, регулярным на бесконечности.
Покажем теперь, что вторая внешняя краевая задача (внеш-
(внешняя задача Неймана) имеет единственное решение, регулярное
на бесконечности.

308 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Полагая в формуле B5) v = и = «i — и2 и учитывая, что
Дм = 0 и -д—\ =0, получим:
Отсюда в силу непрерывности производных функции и следует,.
что
мж = 0, «^ = 0, ы2 = 0 и ы = const.
Так как и = 0 на бесконечности, то
ы = 0, т. е, щ ^ ы2,
что и требовалось доказать.
Естественно возникает вопрос: можно ли доказать этим же
методом единственность первой краевой задачи?
Пусть «i и «2 — различные решения первой краевой задачи
(внутренней). Применим формулу C) к функциям u = Ui — ы2
и v = и в области Т, ограниченной поверхностью 2:
Т Т
Отсюда, принимая во внимание условия
Ды = 0, u|z=0,
получаем
и, следовательно,
MJC = Mj,= uz = 0 и ы = const.
На поверхности Е функция « равна нулю, поэтому мы можем
утверждать, что
из= 0 и щ^и2-
Однако это доказательство некорректно, поскольку в процес-
процессе доказательства мы предполагали существование производ-
производных искомой функции на поверхности 2, что самой постановкой
задачи не предусматривается. Доказательство единственности,
основанное на принципе максимального значения, свободно от
этого недостатка.

§3] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 309*
§ 3. Решение краевых задач для простейших
областей методом разделения переменных
Решение краевых задач для уравнений Лапласа может быть
найдено методом разделения переменных в случае некоторых
простейших областей (круг, прямоугольник, шар и цилиндр и
др.). Получающиеся при этом задачи на собственные значения
(задачи Штурма — Лиувилля) приводят к различным классам
специальных функций. В этом параграфе мы рассмотрим зада-
задачи Дирихле (внутреннюю и внешнюю), при решении которых
используются только тригонометрические функции. Позже, при
изучении специальных функций, будут рассмотрены задачи Ди-
Дирихле для сферы и цилиндра.
1. Первая краевая задача для круга. Решим первую краевую
задачу для круга:
найти функцию и, удовлетворяющую уравнению:
Ды = 0 внутри круга A}
и граничному условию
u = f на границе круга, B)
где f — заданная функция.
Мы предположим сначала, что функция / непрерывна и диф-
дифференцируема и решение и(М) непрерывно в замкнутой об-
области; в дальнейшем мы освободимся от условия дифференци-
руемости и даже непрерывности функции f (ср. п. 4 § 2). На-
Наряду с внутренней краевой задачей мы будем рассматривать
также внешнюю краевую задачу (см. § 2, п. 7).
Введем полярную систему координат (р, ф) с началом
в центре круга. Уравнение A) в полярных координатах имеет
вид
А 1 д
(см. формулу C4) § I). Будем решать задачу методом разде-
разделения переменных, т. е. будем искать частное решение уравне-
уравнения A), вида
ы(р, ф) =
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение C)»
получим
d I dR\
dp V dp ) Ф"
1 ^ — -jr- — Л,
9

310 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
где % = const. Отсюда получаем два уравнения:
ф" + ХФ = 0, Ф^О, D)
Первое из этих уравнений дает:
Ф (qp) = A cos \/~кqp + В sin
Заметим, что при изменении угла q> на величину 2зт однознач-
однозначная функция ы(р, ф) должна вернуться к исходному значению
и (Pi Ф + 2я) = и (р, ф) (условие периодичности).
Отсюда следует, что Ф (ф + 2я) = Ф (ф), т. е. Ф (ф) является пе-
периодической^ функцией угла ф с периодом 2я. Это возможно толь-
только, если ~\["К = п, где п — целое число, и
Фп (ф) = Лп cos щ + Вп sin пф.
Функцию R (р) будем искать в виде R (р) = р1*. Подставляя в
уравнение E) и сокращая на р^, найдем:
п2 = ц,2 или ц = ± п (п > 0).
¦Следовательно,
где С и D — постоянные.
Для решения внутренней задачи надо положить R =
= Срп(ц = п), так как, если D Ф 0, то функция и = /?(р)Ф(ф)
обращается в бесконечность при р = 0 и не является гармони-
гармонической функцией внутри круга. Для решения внешней задачи,
наоборот, надо брать R — Dp~n (ц = —п), так как решение
внешней задачи должно быть ограничено в бесконечности.
Итак, частные решения нашей задачи найдены1):
"п (р. ф) = р" (At cos «ф + Вп sin пф) для
«п (р. ф) = -гтг (Ап cos щ + Вп sin пф) для р > а.
') Выражение оператора Лапласа в полярной системе координат C)
при р = 0 теряет смысл. Докажем, что Аип = 0 также при р = 0. Для до-
доказательства этого мы уже не можем пользоваться полярной системой коор-
координат.
Перейдем к декартовой системе координат; частные решения
f>n COS Яф Н р" Sin Яф,
будучи действительной и мнимой частями функции
являются многочленами по х и у. Очевидно, что многочлен, удовлетворяю-
удовлетворяющий уравнению Дм = 0 при р > 0, в силу непрерывности вторых производ-
производных удовлетворяет также этому уравнению при р = 0.

§ 3] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 311'
Суммы этих решений
оо
и (Р> ф) = 2 р" (Аг cos Пф + 23„ sin Пф) для внутренней задачи,
п=0
оо
и (р, ф) = V —п (Ап cos пф + Вп sin пф) для внешней задачи
п=0
при достаточно хорошей сходимости также будут гармонически-
гармоническими функциями.
Для определения коэффициентов Ап и Вп используем гра-
граничное условие
оо
и (а, ф) = 2 а" {An c°s Щ + Вп sin пц>) = /. F)
Считая, что / задана как функция угла ф, возьмем ее разло-
разложение в ряд Фурье
п=1
где
я
—п
п
j Г
ЗТ J
—п
п
Р„ = — f(ф)sinпфdip (n=l, 2, ...).
—я
Сравнивая ряды F) и G), получаем:
Л0 = -у-, Л„==-^-, Вп = ^; для внутренней задачи,
Ло = -^-, Ап = апап, Вп — ап$п для внешней задачи.
Таким образом, мы получили формальное решение первой внут-
внутренней задачи для круга в виде ряда
оо
и (р, ф) = -—¦ + У1 (—) («n cos щ + pn sin щ), (8),
n=l

312 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
« решение внешней задачи в виде
оо
«(Р. ф) = -у + 2 (f)n (а„ cos щ + Р« sin щ). (9)
Чтобы убедиться в том, что полученные функции действительно
являются искомыми решениями, нужно убедиться в примени-
применимости принципа суперпозиции, для чего надо доказать сходи-
сходимость рядов, возможность их почленного дифференцирования,
& также доказать непрерывность этих функций на границе
круга. Оба ряда можно представить одной формулой
"(р. ф) =
где
I — ^ 1 при р ^ а (внутренняя задача),
— ^ 1 при р 1> а (внешняя задача),
«n, Pn — коэффициенты Фурье функции /(ф).
Докажем, что ряды (8), (9) можно дифференцировать при
t < 1 любое число раз. Пусть
ип = t" (а„ cos щ + р„ sin ncp).
Вычислим k-ю производную функции ип по ф
-^- = tnnk \а„ cos (щ + k -) + р„ sin (щ + k Щ.
бфв L V 2/ V 2/J
Отсюда получаем оценку
д"ип ^<nnk2Mt
где через М обозначен максимум модуля коэффициентов Фурье
«тг и Р„:
|а„|<М, |р„|<М. A0)
Фиксируем некоторые значения р0 <С а (для внутренней задачи)
или pi = а2/ро > а (для внешней задачи), при этом t0 = ро/а <?
< 1. Рассматривая ряд
2 tnnk(| а„ | + 1Р« ) < 2 y
П=1 П=1
видим, что он сходится равномерно при t ^ tо •< 1 при любом
А. Поэтому ряды (8) и (9) можно дифференцировать по ф

§ 3] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 313
в любой точке внутри (вне) круга любое число раз. Аналогична
доказывается, что по переменной р также можно дифференци-
дифференцировать ряды (8) и (9) внутри (вне) круга радиуса ро < а
(pi > о) сколько угодно раз.
В силу произвольности ро заключаем, что ряды (8) и (9)
почленно дифференцируемы во всякой внутренней (внешней)
точке круга. Из возможности почленного дифференцирования
следует применимость принципа суперпозиции. Таким образом
доказано, что функции (8) и (9) удовлетворяют уравнению
Аи =0»).
При этом доказательстве мы пользовались только тем свой-
свойством функции /(ф), что ее коэффициенты Фурье ограничены
(формула A0)). Это имеет место для любой ограниченной
функции (и даже для любой абсолютно интегрируемой функ-
функции). Таким образом, ряды (8) и (9), соответствующие любой
ограниченной функции, определяют функции, удовлетворяющие
уравнению
Ды = 0 для t < 1.
Этим замечанием мы воспользуемся позже при обобщении ре-
результатов, полученных в настоящем пункте.
Обратимся теперь к доказательству непрерывности функции
в замкнутой области (t ^ 1). Очевидно, что без более деталь-
детальных сведений относительно свойств функции ^ф) этого сделать
нельзя.
Из предположенной непрерывности и дифференцируемости
функции /(q>) следует ее разложимость в ряд Фурье, а также
сходимость ряда
)<оо. A1)
С другой стороны, имеем:
| t"ancosnqp |<| an |, | Гр„sinnq>
Поэтому ряды (8) и (9) сходятся равномерно при Kl и, сле-
следовательно, представляемые ими функции непрерывны на гра-
границе круга. Из формулы A1) видно, что функция (9), полу-
полученная для внешней задачи, ограничена на бесконечности.
Таким образом установлено, что ряды (8) и (9) удовлетво-
удовлетворяют всем условиям рассматриваемых задач.
') Это уравнение удовлетворяется также при р = 0; в самом деле, вы-
выражая производные по декартовым координатам через производные по по-
полярным координатам, нетрудно убедиться, что функции (8) и (9) при t ^t0
Можно дифференцировать по х и у любое число ра.з. В силу примечания на
стр. 310 отсюда следует, что
Дя == 0 при р = 0.

314 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
2. Интеграл Пуассона. Преобразуем теперь формулы (8) и (9)
к более простому виду. Для определенности рассмотрим внут-
внутреннюю задачу, а для внешней напишем результат по аналогии.
Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в форму-
формулу (8) и меняя порядок суммирования и интегрирования, будем
иметь:
i Г I i хч / р \" I
.и (р, ф)=— I f (ф) I -к + Zj (cos nij) cos пф+sin mf sin mp) \ dty=
-Я I n=l J
= — I / (ф) i -«• "f" /11 — I cos я (ф — if) J di|j.
-n I n=l J
Произведем следующие тождественные преобразования:
со оо
П=1 П=1
П=1
2
/еНФ-Ч» <е-1(Ф-Ф) 1
""" 1 _ tel №-*» 1 — /е"' №~*J J ~~
2 1—
Подставляя полученные результаты в равенство A2), полу-
получаем:
я
«(P. <p) = i
Полученная формула, дающая решение первой краевой задачи
внутри круга, называется интегралом Пуассона, а под-
подынтегральное выражение
ф, а, ^)=Р2_2арсаО57фР-,1)) + аг
— ядром Пуассона. Отметим, что /С(р, ф, а, ¦ф) >¦ 0 при
р < а, так как 2ар < а2 + Р2. если р =?^= а.
Интеграл Пуассона выведен в предположении р <; а; при
р = а представление A3) теряет смысл. Однако
lim ы(р, ф) =
р->а
4>-><Pe

5 3] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 315
так как ряд, из которого получен интеграл Пуассона, является
непрерывной функцией в замкнутой области.
Функция, определенная формулой
п
— I / (*Ф) —^ т~^ ' dib при р ^ а
и (о cd\ — < 2зт J о2 — 2#р cos (ф — ib) -\- о?
/ (ф) при р = а,
удовлетворяет уравнению Ды = О при р < а, непрерывна в зам-
замкнутой области, включая окружность р = а.
Решение внешней краевой задачи, очевидно, имеет вид
-.—-—р ~а2 tfif при р > а,
—л
f (qp) при р = а.
В самом начале мы предположили, что функция /(ф) не-
непрерывна и дифференцируема, и, пользуясь этим, доказали, что
решение задачи можно представить в виде бесконечного ряда.
В дальнейшем с помощью тождественных преобразований мы
перешли от ряда к интегралу Пуассона.
Докажем теперь, что интеграл Пуассона дает решение пер-
первой краевой задачи и в том случае, когда функция f{<p) только
непрерывна.
Интеграл Пуассона представляет решение уравнения Лапла-
Лапласа при р < а (*<1) для произвольной ограниченной функции
/(ф). В самом деле, при р < a (t < 1) интеграл Пуассона тож-
тождествен ряду (8) и в силу замечания, сделанного на стр. 313,
удовлетворяет уравнению Ды = 0 при произвольной ограничен-
ограниченной функции /(ф).
Таким образом, нам остается доказать, что функция и в на-
нашем случае непрерывно примыкает к граничным значениям.
Выберем какую-либо последовательность непрерывных диффе-
дифференцируемых функций
Ыф). Ыф)> •••> Мф)
равномерно сходящуюся к функции /(ф) d):
lim fk (ф) =
Последовательности граничных функций будет соответствовать по-
последовательность гармонических функций ый (р, ф), определяемых
') Мы не будем останавливаться на том, как это осуществить. Такую
последовательность можно выбрать многими способами.

316 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
по формуле A3) или (8). Равномерная сходимость последова-
последовательности {/fc(qp)} означает, что для любого е>0 можно указать
такое k0 (e) > 0, что
1Ыф)-/*+/(фI<в при k>ko(e), />0.
Для функций Uk(r,ф), представляющих решения первой
краевой задачи, в силу принципа максимального значения, бу-
будем иметь:
I "к (Р, ф) — "ft+J (P. ф) К 8
при р^ро, если k> ko(E), l>0.
Таким образом, последовательность {щ} сходится равномерно
к некоторой функции и— lim uk. Предельная функция ы(р,qp)
ft->oo
непрерывна в замкнутой области, поскольку все функции Uh,
представляемые интегралами
я
)
—л
непрерывны в замкнутой области. Очевидно, что
и (Р. Ф) = ]|п^ "ft (Р. Ф) =
л
2зт J а2 — :
/(ф) при р = а,
так как последовательность {fh} сходится равномерно к f и
поэтому предельный переход под знаком интеграла законен.
Таким образом функция
при произвольной непрерывной функции f(qp) является реше-
решением уравнения Лапласа, непрерывно примыкающим на грани-
границе круга к заданным значениям.
3. Случай разрывных граничных значений. Докажем, что
формулы A3') и A4) дают решение краевой задачи для про-
произвольной кусочно-непрерывной функции f(q>), т. е., что это
решение ограничено во всей области и непрерывно примыкает
к граничным значениям в точках непрерывности функции f(<p),
являясь, таким образом, единственным решением, обладающим

$ 3] РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ 317
этим свойством (ср. § 2, п. 4). Пусть qp0 — какая-либо точка не-
непрерывности функции f(<p). Надо доказать, что каково бы ни
было е >¦ О, найдется такое б(е), что
1«(Р, ф) — /(ФоI<е,
если
| р — о |< б (е) и |ф-фо|<б(е).
В силу непрерывности функции f(qp) существует такое бо(е),
что
\f(<f)-fЫ\<¦J^ если 1Ф-Фо!<бо(е).
Рассмотрим вспомогательные непрерывные и дифференцируе-
дифференцируемые функции f(qp) и Дф), удовлетворяющие следующим усло-
условиям:
|- Для 1Ф —Фо
Ш) > f (ф) Для I ф — Фо I > 6о(е)
л
= ! (Фо)— -| Для I <р — Фо К So (e),
_ Для |ф — фо|>бо(е),
а в остальном произвольные. Если при помощи формулы A3)
мы определим для f и f функции п (р, <р) и и (р, qp), то это будут
гармонические функции, непрерывно примыкающие к f(<p) и
В силу положительности ядра Пуассона имеем, что
ы(р, ф)<ы(р, qp)<u(p, qp),
так как
H<f>XH<f>X~f(<f>).
Из непрерывности функций п(р, qp) и ы(р, ф) на границе при
*р = ф„ следует существование такого 61 (e), что
U(P. ф) — f (ФоI^|- Для |р — а\<61(е), |ф —фО|<б,(е)
I ** Р» ф;—Х(ФоI^т Для IР — а | < бх (е), | ф — Фо I < *i (e).

318 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Из этих неравенств находим:
й(р, <p)<f(<Po) + |- = f(<Po) + e, j | р — а |< б (е),
8 I ДЛЯ
f(<fo) — е=^(ф0) — -<«(р, ф) { |ф — Фо1<6(е),
где 6 = min (б0, 6i).
Сопоставляя полученные неравенства, находим, что
е<ы(р, Ф)<ф, ф)<ы(р,
или
..... .. | а — р | < в (е),
1«(р, ф)-/:(Фо)Ке для ,ф
что и доказывает непрерывность и(р, ф) в точке (а, ф0).
Ограниченность ы(р, ф) следует из того, что в силу положи-
положительности ядра Пуассона
2Л
р2_
о
если |/"(ф)|<Л1 Значение же интеграла
2л
± Г (Д2 - Р2) dij> __ .
п J р2 — 2ар cos (ф — ф) + а2 '
так как в силу ранее доказанного левая часть представляет
гармоническую функцию, непрерывно примыкающую к гранич-
граничным значениям f = 1, а такая функция тождественно равна 1.
Аналогично ы(р, ф) ~> Ми если /r>Mi, что и доказывает огра-
ограниченность модуля функции ы(р, ф).
§ 4. Функция источника
Метод функции источника дает удобный аппарат для анали-
аналитического представления решения краевых задач.
В настоящем параграфе будут даны определение и основные
свойства функции источника для уравнения Лапласа, а также
будут построены функции источника для ряда простейших обла-
областей (круг, сфера, полупространство). Это построение прово-
проводится методом электростатических изображений.

§ 4] ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА 319
1. Функция источника для уравнения Аи = 0 и ее основные
свойства. Для всякой функции и, непрерывной вместе с первыми
производными в замкнутой области Т, ограниченной достаточно
гладкой поверхностью 2, и имеющей вторые производные вну-
внутри Т, как было показано в § 2, п. 1, имеет место интегральное
представление
">
Если функция и(М) гармоническая, то объемный интеграл ра-
равен нулю; если же и(М) удовлетворяет уравнению Пуассона,
то объемный интеграл является известной функцией.
Пусть v(M) —некоторая гармоническая функция, непрерыв-
непрерывная в Т -J- 2 вместе с первыми производными, не имеющая нигде
особенностей. Вторая формула Грина
Т 2
дает:
Складывая B) и A), получаем:
где
' - + v C')
1— функция двух точек: М0(х, у, z) и М(|, т), ?). Точка Мо фикси-
фиксирована, и поэтому х, у, z играют роль параметров.
Формула C) содержите |2 и -—¦ . Между тем, при решении
первой краевой задачи задается лишь ы|2, а при решении вто-
второй краевой задачи — значение -~ . Функция v выбирается
таким образом, чтобы G|s = 0 для первой краевой задачи

320 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
4^М =0 для второй краевой задачи). Определим функцию
\ on |? /
G(M,P) при помощи условий:
1. G(M,P) как функция точки P(i, r\, Q при фиксированной
точке М(х, у, z) удовлетворяет уравнению Лапласа
СЧЧ+ССС = О, РФМ
во всех точках Р области Т, кроме точки Р = М.
2. G(M, Р) при совпадении аргументов (М = Р) обращается
в бесконечность и представима в виде C'), где v = v(M, P) —
гармоническая всюду в Т функция.
3. G(M, P) на границе обращается в нуль:
G(М, Р) = 0, если
Этому условию можно удовлетворить, потребовав, чтобы
Функцию G, определенную таким образом, будем называть
функцией точечного источника первой краевой
задачи для уравнения Ды = 0. Функция источника по-
позволяет дать явное представление для решения первой краевой
задачи для уравнения Аи = 0. В самом деле, формула C) дает:
-ff^a (/-«у. D)
Следует иметь в виду, что формула D) получена с помощью
формулы Грина, предполагающей выполнение определенных
условий в отношении функций и и G и поверхности 2. В форму-
... ас
лу D) входит выражение -~—, существование которого на поверх-
поверхности S не следует непосредственно из определения функции G.
При получении формулы D) мы исходим из того, что суще-
существует гармоническая функция и, принимающая на поверхности
S значение /. Тем самым даже для тех областей, для которых
существует функция источника, удовлетворяющая условиям при-
применимости формулы Грина, формула D) дает явное представле-
представление лишь тех решений и первой краевой задачи, которые удовле-
удовлетворяют условиям применимости формулы Грина (доказывая
единственность этого класса решений первой краевой задачи).
Подробное исследование формулы D), проведенное А. М. Ля-
Ляпуновым, показало, что для широкого класса поверхностей, на-
называемых поверхностями Ляпунова (см. § 5), она представляет
решение первой краевой задачи при весьма общих условиях.
Остановимся еще раз на определении функции G. Функция
G определяется при помощи.функции v, являющейся решением

§ 4] ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА 321
первой краевой задачи для уравнения
с граничными значениями
Может создаться впечатление, что имеет место порочный круг.
Для нахождения функции и — решения первой краевой задачи —
надо найти функцию v — решение той же задачи. На самом
деле порочного круга нет, так как знание функции источника
позволяет решить первую краевую задачу с произвольными гра-
ничными значениями (ы|? = f), в то время как для нахождения
самой функции G достаточно решить краевую задачу со специ-
специальными граничными значениями (a|z =—l/4nR), что, как мы
увидим на ряде примеров, значительно проще.
При электростатической интерпретации функция источника
представляет потенциал в точке М точечного заряда1), поме-
помещенного в точку Мо внутри заземленной проводящей поверхно-
поверхности 2. Первое слагаемое l/4nR есть, очевидно, потенциал точеч-
точечного заряда в свободном пространстве, а второе слагаемое v
обозначает потенциал поля зарядов, индуцированных на прово-
проводящей поверхности 2. Таким образом, построение функции ис-
источника сводится к определению индуцированного поля.
Остановимся на некоторых свойствах функции источника.
При этом мы будем предполагать, что рассматриваемые области
таковы, что для них существуют функции источника, обладаю-
обладающие нормальными производными на поверхности 2 и удовле-
удовлетворяющие условиям применимости формулы Грина.
1. Функция источника всюду положительна внутри Т. В са-
самом деле, функция G обращается в нуль на границе области Е
и положительна на поверхности достаточно малой сферы, опи-
описанной вокруг полюса. Отсюда следует, в силу принципа макси-
максимального значения, ее положительность во всей области.
') При термической интерпретации стационарная температура точечного
источника тепла интенсивности q определяется формулой
q/Ankr,
где k — коэффициент теплопроводности. Таким образом, функция G (ММо)
является температурой в точке М, если температура поверхности тела равна
нулю, а в точке Мо помещен тепловой источник интенсивности q = k.
Если размерность длины выбрана так, что k = 1, то функция G соответ-
соответствует источнику интенсивности, равной единице.
11 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

322 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ГГЛ. IV
Заметим также, что
?1
что непосредственно следует из доказанной положительности и
условия G \z = 0.
2. Функция источника симметрична относительно своих аргу-
аргументов М0(х, у, z) и M(l, r\, Q:
Пусть М'й и М'о — некоторые фиксированные точки области Т.
Проведем сферы St и 22 радиуса е с центрами в точках Мб и
М'о (рис. 50). Полагая
u(M) = G (M, М'о), v{M) = G (M, Щ
и применяя формулу Грина
- {/ («¦?—•?)* и
2+Z+Z
к области Ге, ограниченной поверхностями 2, Si и Ег, будем
иметь:
о,«, т !?<%&. _ 0 (м, щ
так как левая часть уравнения E) равна нулю, поскольку
AG — 0, а интеграл по поверхности Е равен нулю в силу гра-
граничных условий. Переходя затем к пределу при е—>0 и исполь-
используя особенность функции источника, получим 1):
G(M6, M'o') = G(M%, Мб)
или
G(M,M0) = G(M0,M).
Доказанная симметрия функции источника является матема-
математическим выражением принципа взаимности в физике:
источник, помещенный в точку Мо, производит в точке М такое
же действие, какое производит в точке Мо источник, помещен-
помещенный в точку М. Принцип взаимности носит весьма общий харак-
характер и относится к различным физическим полям (электромаг-
(электромагнитным, упругим и т. д.).
') Ляпуновым установлена эта теорема в применении к классу поверх-
поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова.

§4]
ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА
323
Отметим, в частности, что из свойств симметрии следует, что
при фиксированном М и(М0)= G(M,M0)t как функция пере-
переменных х, у, z точки Мо, обладает тем же свойством, что и функ-
функция v(M) — G(M, Mo) переменных |, г\, ? точки М при фикси-
фиксированном Мо, т. е. Дм,, G = 0 при М ф Мс, G = 0 при Мо е Е.
Функция источника G(M,M0) для слу-
случая двух измерений, очевидно, будет опре-
определяться условиями:
1. AG = О всюду в рассматриваемой об-
области S, кроме точки М = Л10.
2. В точке М = Мо функция G имеет
особенность вида
1
3. G\c = 0, где С — граница области S.
Функция источника в этом случае имеет вид
1 . 1
! = ^-1п
R
¦ЛШо
+ v (M, Мо),
Рис. 50.
где v — всюду непрерывная гармоническая функция, удовлетво-
удовлетворяющая на границе условию
Решение первой краевой задачи для Аи = 0 при этом дается
формулой
и(М0)=-
2. Метод электростатических изображений и функции источ-
источника для сферы. Наиболее распространенным методом построе-
построения функции источника является метод электростатиче-
электростатических изображений. Идея его состоит в том, что при по-
построении функции источника
G(M, Mo) = ^
индуцированное поле v представляется как поле зарядов, распо-
расположенных вне поверхности S и выбираемых таким образом,
чтобы выполнялось условие
Эти заряды называются электростатическими изобра-
изображениями единичного заряда, помещенного в точку Мо и

324
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
ГГЛ. IV
создающего в отсутствие поверхности Е потенциал l/4nR. Во
многих случаях выбор таких зарядов не представляет труда.
Ниже мы приведем примеры построения функции источника ме-
методом электростатических изображений.
Из представления функций источника, полученных во всех
этих примерах, непосредственно видна непрерывность первых
производных функций G на поверхности S.
В качестве первого примера рассмотрим функцию источника
для сферы.
Пусть дана сфера радиуса R с центром в точке О и требует-
требуется найти для нее функцию источника.
Поместим в точку А10 единичный заряд и отложим на ради*-
усе, проходящем через точку А10, такой отрезок ОМи что
PoPi =
F)
где ро = ОМ0 и pi = OMi (рис. 51).
Преобразование F), ставящее в соответствие точке Мо опре-
определенную точку Alt, является преобразованием обратных ради-
радиусов, а сама точка Mt называется сопряженной с точкой А10.
Это преобразование является взаимным, и точку Мо можно рас-
рассматривать как сопряженную с точкой Aft.
Докажем, что для всех точек Р, расположенных на сфере,
расстояния до Мо и AIt пропорциональны. Для этого рассмотрим
треугольники ОРМ0 и OPMi (см.
рис. 51); они подобны, так как
угол при О общий, а прилежа-
прилежащие к нему стороны пропорцио-
пропорциональны:
Ро __ R
К Pi
или
ом0
R
ОМ,
Рис. 51.
где Го = |AI0P|, rt = I
Из подобия треугольников сле-
следует:
г, R р, ' UJ
|. Из пропорции G) получаем:
для всех точек сферы. Поэтому гармоническая функция v =
= —« — на сфере принимает то же значение, что и функция
Ро f\
— 1/го. Она представляет, очевидно, потенциал заряда величины
— #/ро, помещенного в точку Mi.

§ 4] ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА 325
Таким образом, функция
G(P,Mo) = -J-(— — -?-—) (8)
и является искомой функцией источника для сферы, так как
это — гармоническая функция, имеющая в Мо особенность 1/4яГо
и обращающаяся в нуль на сфере.
Решение первой краевой задачи дается формулой D).
Вычислим производную
™_—L\-L(±\-A-L(±.X\ «л
дп 4л [дп \г0) р0 дп \ г, )\' (Vf
где п — внешняя нормаль, г, =|М,М| (М, вообще говоря, не
лежит на сфере).
Производные от 1/г0 и 1/г, по направлению п равны
д / I \ д I 1 \ дг0 1 , -^ ч
-—[ — ) = —-( —)—i = rcos(r0, п),
дп \г0) дг0 \г0) дп 4
—— (— l1^"^ [ |~: === ^"Cos^!, n),
оя \ г, ) 5/-, V г, у дп г.
A0)
так как
^- = cos(Cii), -g- = cos(C«). (И)
Нетрудно найти величины cos(rc, п) и cos (г,, п):
Используя пропорцию G), будем иметь:
cos
n)t =^= 2роГ„ .
^л: —— г0
Ро
D2 Р
так как р! = —, по определению точки М,, и гх = — г0 на
Ро Ро
сфере 2. Пользуясь формулами A0), а также выражениями
(9), A10. ОП. найдем:
дО
дп
Ро R
2Rr0 E?r* p0 2p0r0
t

326 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Таким образом, функция и(М0) в соответствии с формулой D)
равна
2 2
Введем сферическую систему координат с началом в центре
сферы. Пусть (R, 0, ф)—координаты точки Р, а (ро, 0о, фо) —
координаты точки Мо; у — угол между радиусами-векторами ОР
и ОМ0. Тогда формулу A2) можно переписать в виде
R Тг Д2-о2
«(ро.ео,ФО)=— /О, <р) — -—-^sinerfe^, A2')
too (i?2-2i?PcosY + P)
где
cos у = cos 6 cos 60 + sin 6 sin 0O cos (ф — ф0)'). A3)
Эта формула называется интегралом Пуассона для
сферы.
Тем же методом может быть построена функция источника
для области, внешней к сфере,
где rt = MMi — расстояние от фиксированной точки Ми лежа-
лежащей вне сферы, го = ММо— расстояние от точки Мо, сопряжен-
сопряженной с точкой Mi, р! — расстояние Mi от начала координат, а
R — радиус сферы.
Учитывая различие направлений нормалей для внутренней
и внешней задач, получим:
2Я Я 9 2
Pi A *. ,Л
«(pi, е„ ф1)=— [ Г
где cosy дается формулой A3) (индекс 0 надо заменить на I).
3. Функция источника для круга. Функция источника для
круга может быть получена таким же способом, как и функция
для сферы. В этом случае функцию следует искать в виде
') В самом деле, направляющие косинусы векторов ОР и ОМ0 равны,
соответственно (sin 6 cos <p, sin 6 sin <p, cos 6) и (sin 60 cos фо, sin 60 sin фо»
cos 60), откуда
cos у = cos 6 • cos 6o + sin 6 sin 60 (cos ф cos ф0 + sin ф sin <p0) =
=cos e cos e0 + sin e sin e0 cos (ф — ф0).

§4]
ФУНКЦИЯ ИСТОЧНИКА
327
Повторяя рассуждение предыдущего пункта от формулы F) до
формулы (8), мы найдем функцию G в виде
A6)
где ро = ОМо, го = М0Р, п = MiP, R = OP — радиус круга
(рис. 52). Нетрудно убедиться в том, что определенная таким
образом гармоническая функция
обращается в нуль на границе r M
Для решения первой краевой
задачи надо вычислить значе-
значения -г— на окружности С. Вы-
Вычисления проходят аналогично
случаю сферы и дают:
dG
2nR
Рис. 52.
Пусть (р, 6) — полярные координаты точки Р, лежащей на
окружности, а (ро, 6о) — координаты точки Мо, тогда
Подставляя в формулу
это выражение для г0 и принимая во внимание, что
= /F) и ds =
приходим для функции и(М0) к выражению
г>2 2
? — Ро
A7)
называемому интегралом Пуассона для круга (см.
стр. 314, формула A3)). Эта же формула с точностью до знака
дает решение внешней задачи.
4. Функция источника для полупространства. Понятие функ-
функции источника и формула D) имеют место и для неограничен-
неограниченного пространства, если рассматривать функции, регулярные на
бесконечности (см. § 2, п. 6). Найдем функцию источника для
полупространства г>0. Поместим в точку М0(х0, у0, г0) еди-
единичный заряд, который создает в неограниченном пространстве

328 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
поле, потенциал которого определяется функцией
[ГЛ. IV
» ГДе
Нетрудно видеть, что «индуцированное поле» v является полем
отрицательного единичного заряда, помещенного в точку
Mi(*o, Уо, — 20), являющуюся зеркальным изображением точки
Мо в плоскости 2 = 0 (рис. 53). Функция G, равная
G(М, Мо) — -j-^ —
где
•0 = | МоМ | = V(X - X0f +(y- yof + B - 20J,
(У ~ УоJ
г0J,
обращается в нуль при z = 0 и имеет нужную особенность
в точке Мо.
т-, dG I dG I „
Вычислим -б— = —5— • Очевидно, что
ОП _=!! "Z __n
1г=0 "л 1г=0
dG 1 I z — z0
dz 4я
т
Полагая z = 0, находим:
ас
г=0
Решение первой краевой задачи дается формулой
"xZ «MnP

§ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 329
где 20 — плоскость 2 = 0, f(P) = и |2=0, или
со оо
u(xo,yo,zo) = -±- f J- г-^ -^ f (х, у) dxdy. A8)
-L -L
§ 5. Теория потенциала
Функция i=V{x_ir + {yl_4r + {z_w представляющая
потенциал поля единичной массы (заряда), помещенной в точке
Мо(%, ц, ?) является решением уравнения Лапласа, зависящим
от параметров |, r\, Z,. Интегралы от этой фунции по параметрам
называются потенциалами и имеют существенное значение
с точки зрения непосредственных приложений в физике, а так-
также и с точки зрения развития методов решения краевых задач.
1. Объемный потенциал. Пусть в некоторой точке МоA, ц, ?)
помещена масса т0. По закону всемирного тяготения на массу
т, помещенную в точке М(х, у, z), действует сила притяжения
A)
где r=R/R — единичный вектор в направлении М0М (R=M0M),
a y — гравитационная постоянная. Выбирая систему единиц так,
чтобы у = li и полагая т = 1, получим:
р то г
г — R2 г.
Проекции этой силы на координатные оси будут:
B)
где а, р и у — углы, образованные вектором F с координатными
осями.
Введем функцию и, называемую потенциалом сило-
вогополя1) и определяемую равенством
') Не следует смешивать потенциал с потенциальной энергией силового
поля. Термин потенциал употребляется здесь в том же смысле, как с н л о-
вая функция в механике.

330 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
ИЛИ
У ди уди 7ди
Ш
В нашем случае
и- R .
Потенциал поля п материальных точек вследствие суперпозиции
силовых полей будет выражаться формулой
Перейдем к случаю непрерывного распределения массы.
Пусть дано тело Т с плотностью р(|, ц, ?). Определим потенциал
этого тела в точке М(х, у, г). Для этого разобьем тело Т на до-
достаточно мелкие части Дт. Сделаем естественное предположе-
предположение, что действие элемента Дт эквивалентно действию его массы,
сосредоточенной в некоторой «средней» точке1) объема Дт; тогда
для компоненты силы, действующей на точку М, получим сле-
следующее выражение:
ЬХ = -^(х-Ъ), где R* = (x-tf + (y-tf + (z-&.
Интегрирование по всему объему Т дает компоненту полной
силы притяжения точки М телом Т
т
Потенциал в точке М будет определяться формулой
Если точка М лежит вне тела, то в этом можно убедиться
непосредственно дифференцированием под знаком интеграла2).
') Более точно при этом предполагается, что действие некоторого тела Т
массы m на точку, лежащую вне выпуклого объема Т, содержащего это тело,
можно заменить действием некоторого эффективного центра той же массы пг,
лежащего внутри Т.
2) Для возможности дифференцирования определенного интеграла вида
f(M)=JF(M,P)q,{P)dxf
по параметру под знаком интеграла достаточно непрерывности производной
от функции F(M,P) по параметру и абсолютной интегрируемости функ-
функции ф(/)). Обычно эта теорема формулируется при (р(Р) == 1. Доказательство
ее для нашего случая ничем не отличается от обычного.

§S]
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
331
йгу.
Аналогично вычисляются и производные высших порядков Оче-
Очевидно, что потенциал и(М) вне тела Т удовлетворяет уравнению
Лапласа (см. подробнее стр. 340). В дальнейшем, не стремясь
к построению теории в наиболее общих условиях, мы будем
пользоваться указанными выше свойствами потенциалов и сфор-
сформулируем ряд теорем при условии, что
р — ограниченная функция (подразу-
(подразумевая ее интегрируемость).
Если точка М лежит внутри обла-
области Т, нельзя утверждать, что X = -?-
без дополнительного исследования, ко-
которое и будет дано ниже.
2. Плоская задача. Логарифмиче-
Логарифмический потенциал. Рассмотрим распре-
распределение масс в пространстве, завися-
зависящее лишь от двух координат (х, у).
В любой плоскости z = const потенциал, очевидно, принимает
одно и то же значение, поэтому достаточно исследовать потенциал
точки (х, у), лежащей в плоскости 2 = 0.
Определим потенциал однородной бесконечной прямой L.
Направим ось z вдоль этой прямой. Пусть погонная плотность
(т. е. масса единицы длины) равна ц,. Сила притяжения элемен-
элементом Дг точки Р(х, 0) (рис. 54) и ее составляющая по оси х рав-
равны, соответственно,
Рис. 54.
л F ^
ц
(х> + г2)
Отсюда
АХ = &F cos а = — ц, Az
X — — цх —5Г = — V-xP—T cos а da = —
(z/x = tg а).
Если Р(х, у) —произвольная точка, то сила притяжения точки
линией L будет, очевидно, направлена вдоль ОР и равна по ве-
величине
где
'—*•

332 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Потенциал этой силы называется логарифмическим
потенциалом и равен
К = 2ц1п-1. E)
в чем легко убедиться непосредственным дифференцированием.
Логарифмический потенциал является решением уравнения
Лапласа с двумя независимыми переменными, обладающим
круговой симметрией вокруг
полюса в точке р = 0, в кото-
которой он обращается в беско-
бесконечность.
Таким образом потенциал
однородной прямой дает плос-
плоское поле и выражается форму-
формулой E). Представление потен-
циала в виде интеграла было
м получено нами лишь для огра-
Рис. 55. ничейных объемов1). Отметим,
что в отличие от объемного
потенциала логарифмический потенциал не обращается в нуль
на бесконечности, а имеет там логарифмическую особен-
особенность.
Вычислим теперь компоненты силы притяжения точки Р
(рис. 55)
X —/rcosa= — 2ц -4" (cosa= — J,
Y = F sina= —
Если имеется несколько точек (бесконечных прямых -с рас-
распределенной вдоль них массой), то в силу принципа суперпози-
суперпозиции силовых полей потенциалы точек (линий) будут склады-
складываться.
') При вычислении потенциала бесконечной прямой нельзя было непо-
непосредственно интегрировать потенциалы отдельных элементов, так как в этом
случае получается расходящийся интеграл. В самом деле, потенциал эле-
элемента Аг равен
Формальное интегрирование дает расходящийся интеграл
йг

§ S\ ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 33^
В случае области S с непрерывно-распределенной плот-
плотностью ц(|, г]) *) (рис. 56) компоненты силы притяжения точки
Р выразятся двойными интегралами:
s
и потенциал будет равен
F)
и (х, у) — 2 ц (|, г\) In r dl, dr\, G)
S
что нетрудно проверить дифференцированием для точек, лежа-
лежащих вне S. Если же точка Р лежит в области S, то необходимо
провести дополнительное исследование.
3. Несобственные интегралы. Потенциалы и компоненты силы
притяжения представляются с помощью интегралов, у которых
подынтегральные функции обращаются
в бесконечность, если мы рассматри-
рассматриваем их значения в точках, находя-
находящихся в области, содержащей притя-
притягивающие массы.
Как известно, если подынтеграль-
подынтегральная функция обращается в некоторой
точке области интегрирования в бес- Рнс. 56.
конечность, то интеграл нельзя опре-
определять как предел интегральной суммы. Действительно, в этом
случае интегральная сумма не имеет предела, так как слагаемое,
относящееся к элементарному объему, содержащему особую
точку, может как угодно сильно менять величину суммы, в за-
зависимости от выбора промежуточной точки. Интегралы от по-
подобных функций определяются как интегралы несобственные.
Пусть в области Т задана функция F(x, у, z), обращающаяся
в бесконечность в некоторой точке М0(х0, у о, z0). Рассмотрим
определенный интеграл по области Т — КЕ, где КЕ — некоторая
окрестность точки Мо диаметра, не превосходящего е.
Если при произвольном стягивании области Кгп к точке Мо
последовательность интегралов
(e»-*0)
') Это соответствует в пространстве цилиндру с образующей, параллель-
параллельной оси г, и сечением S в плоскости (х, у), с объемной плотностью ц(|, ц),
не зависящей от ?•

334 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ГЛ. IV
имеет предел, не зависящий от выбора областей КЪп, то этот
предел называется несобственным интегралом от
функции F(x, у, г) по области Т и обозначается, как обычно,»
Ш
г
Если существует хотя бы одна последовательность областей
Ке , такая, что при еп -> 0 существует предел /, а для других
последовательностей Кеп этот предел имеет другие значения,
или даже вообще не существует, то предел / называется условно
сходящимся несобственным интегралом. Ясно, что при рассмот-
рассмотрении условно сходящегося несобственного интеграла / нужно
указывать ту последовательность областей Кеп, по которой
определяется этот интеграл.
Мы ограничимся здесь рассмотрением того случая, когда
подынтегральная функция имеет особенность в изолированной
точке. Исследуем сходимость интегралов типа
¦& ЛЛ, (8)
т
где С и а > 0 — некоторые постоянные,
R = Rmm, = V(x0 -1J + (УО - riJ + Bо - if,
Мо— точка области Т. Не ограничивая общности, можно счи-
считать, что Т есть шар радиуса R с центром в точке Мо. Возьмем
в качестве области К.г шар радиуса ъп с центром в точке Мо и
будем искать предел последовательности интегралов
2п п R R
ш
Шс ,
4яС -S г3-а\ , если а Ф 3,
L3- а 1,п
J 4яС [1п г]* , если а = 3.
Переход к пределу при еп, стремящемся к нулю, показывает,
что при а < 3 предел существует, при а ^ 3 предела не суще-
существует.
Покажем, что если функция F(x, у, г) неотрицательна и су-
существует предел
л /• I*
(е„-*0),

ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
335
где Kgn — шаР радиуса еп с центром в точке Мо, то существует
предел интегралов / и при любом выборе последовательности
областей Ке , стягивающихся к точке М, и значение этого пре-
предела не зависит от формы области КВп. Любую область КВп
можно заключить между двумя сферами KBrii и КВпг, радиусы
которых гп, и е„2 стремятся к нулю
вместе с гп (рис. 57). В силу положи-
положительности подынтегральной функции
т-к„
Т-КЕп Т~Кгп
Отсюда видно, что
lim JJjFdt=lim JJJ^t = /,
T-K
¦«n
т-к„
Рис. 57.
ш*
так как пределы крайних интегралов
существуют и равны этому числу.
Таким образом, в случае трех независимых переменных не-
несобственный интеграл
¦&dx (8)
т R
существует, если а < 3, и не существует, если а ^ 3.
Для другого числа независимых переменных критическое
значение а, определяющее границы сходимости интегралов типа
(8), равно числу измерений; так, например, для двух независи-
независимых переменных интеграл
Я
С , при а < 2 сходится,
— da
Р при а^2 расходится.
Остановимся на признаке сходимости несобственных инте-
интегралов. Докажем, что
для сходимости несобственного интеграла
\ \ \ F (х, у, z) dx dy dz
(9)
достаточно, чтобы существовала такая функция F(x, у, г), для
которой несобственный интеграл по области Т сходится, и чтобы
имело место неравенство
\F{x,y,z)\<F{x,y,z). A0)

336
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
Рассмотрим некоторую последовательность областей Ке, со-
содержащих особую точку Мо. В силу сходимости последователь-
последовательности интегралов /п от функции F для всякого е > 0 существует
такое N(e), что
I/„,-/„,! =
Ш '*
коль скоро П\, п2>Л^(е). Так как F является мажорантной
функцией для F(x, у, z), то можно написать:
i 'nt ' пг I
Ш Fdx< Ш
^ A00
если пи ri2>N(e). Выполнение условия A0') в силу признака
сходимости Коши является достаточным для сходимости после-
последовательности
к некоторому пределу
/„= f f f Fdx.
Нетрудно видеть, что этот предел не будет зависеть от формы
областей К.Ъп- Тем самым существование несобственного инте-
интеграла (9) доказано.
Если же для некоторой функции F(x, у, z) можно указать
такую положительную функцию F(x, у, z), что F(x, у, z) > F,
причем несобственный интеграл от F по области Т расходится,
то несобственный интеграл (9) будет, очевидно, расходиться.
Следствие: если для некоторой функции F(M, P), обращаю-
обращающейся в бесконечность при Р — М, имеет место неравенство
С а = const < 3,
R*mp C = const<oo,
то несобственный интеграл по области 7\ содержащей точку М,
F (M, P) dxP
ш
сходится.
Из теории собственных интегралов, зависящих от парамет-
параметров, известно, что непрерывность подынтегральной функции по
параметрам и независимым переменным является достаточным
условием непрерывности самого интеграла как функции пара-

§5]
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
337
метров'). Для несобственных интегралов непрерывность подын-
подынтегральной функции не имеет места и поэтому указанный выше
критерий неприменим. Установим критерий непрерывности не-
несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Будем рассматривать несобственные интегралы
V(M)=\F(P, M)f(P)dxP,
(П)
где F(P, M)—функция, обращающаяся в бесконечность при
совпадении аргументов и непрерывная по М, a f(P)—ограни-
f(P)—ограниченная функция.
Интеграл (И) называется равномерно сходящимся в точке
Мо, если для любого е > О можно указать такое б(е), что имеет
место неравенство
J F(P,M)f(P)dxP
для любой точки М, расстояние которой от Мо меньше б(е), и
для любой области ТцЕ), содержащей точку Мо и имеющей диа-
диаметр dsg: 6(e).
Докажем, что интеграл
V(M)=JF(P,M)f(P)dtP,
равномерно сходящийся в точке Мо, есть непрерывная функция
в этой точке Мо. Мы должны доказать, что для любого е можно
указать такое 6(е), что
\V(M0)-V(M)\<e
при
|ЛШ0|<6(е).
Выберем внутри области Т некоторую об-
область 7*1, содержащую точку Мо (рис. 58), и
разобьем интеграл на два слагаемых
где интеграл Vi берется по области Tif а Рнс. 58.
Vz — по области TZ=T—7\. В дальнейшем
мы более точно определим размеры области 7\. Рассмотрим не-
неравенство
') Б у д а к Б. М., Ф о м и и С. В., Кратные интегралы и ряды, «Наука»,
1965, стр. 442.

338 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. [V
и покажем, что каждое из слагаемых, стоящих справа, может
быть сделано меньше е/З при достаточно малом |M0M|. Выбирая
область 7\ внутри сферы радиуса б (е/З), будем иметь:
|V,(M0)l<if и l^iWKf если |лби|<6'(|-).
Существование такого б' вытекает из условия равномерной
сходимости интеграла A1) в точке Мо. Выбор области Т1 опре-
определяет область Т2.
Так как точка Мо лежит вне области Тг, то интеграл У2 яв-
является непрерывной функцией в этой точке.
Отсюда следует существование такого б"(е/З), что
-^ при |Лу
Полагая
6(e) = min[6'(e), 6"(e)],
получим:
при |ЛШ0|<6,
что и означает непрерывность равномерно сходящегося инте-
интеграла.
Отметим, что полученные результаты справедливы не только
для интегралов по объему, но также и для интегралов по по-
поверхностям и линиям. Это обстоятельство будет использовано
нами в дальнейшем.
Рассмотрим потенциал
и компоненты силы притяжения
Х(М)=-
A3)
в точках, лежащих внутри притягивающего тела Т. Несобствен-
Несобственные интегралы A2) и A3) являются сходящимися, если плот-
плотность р(М) ограничена |р(М)|<С Для потенциала V(M) это
очевидно, так как
1^<^ («=КЗ).

§5]
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
339
Для компонент силы притяжения это следует из неравенства
IpI |*-E1 < С /п_2^чч
так как \х— || < R.
Для иллюстрации понятия равномерной сходимости несоб-
несобственных интегралов покажем, что интегралы A2) и A3) яв-
являются непрерывными функциями.
Для этого надо доказать, что интегралы A2) и A3) равно-
равномерно сходятся во всякой точке Мо.
Вычислим модуль интеграла4)
<С
fffii
J.V «mp
где Kf°— шар радиуса б с центром в точке Мо, содержащий
область Т6. Однако вычисление этого интеграла по области Kf"
с центром в точке Мо — неудобно. Для вычисления последнего
интеграла целесообразно перейти к сферической системе коор-
координат с центром в точке М. Очевидно, что
*e
= С8яб2,
где К§ь— шар радиуса 26 с центром в точке М. Если нам за-
задано некоторое е > 0, то выбирая
6(е) =
мы убедимся в равномерной сходимости интеграла V.
Повторяя аналогичное рассуждение для интеграла
получаем:
ш
„м„
dxT
=8лбС<е,
если
1) Отметим, что интеграл A2) получается из интеграла A1) при
F(M,P) = URMP, f(P) (P)

340 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Таким образом, потенциал V и компоненты силы притяже-
притяжения X, У, Z являются непрерывными функциями во всем про-
пространстве1).
4. Первые производные объемного потенциала. Функции,
стоящие под знаком интегралов
^-d'cP, Y(M), Z(M),
являются производными по соответствующим переменным от
функции, стоящей под знаком интегралов
SMP
Если для функции V законно дифференцирование под знаком
интеграла, то
Х=— К = — Z = — A4)
т. е. V является потенциалом поля, компоненты которого равны
X. У, Z.
Если точка М лежит вне области Т, то функция
*-? -(*-?) __ д )
Rmp Ux-iy + ly-nY + iz-m'1' дх RMP
непрерывна по обоим аргументам М (х, у, z) и P(t,, ц, ?,). Следо-
Следовательно, в этом случае дифференцирование под знаком инте-
интеграла V законно.
Производные более высокого порядка можно также енчис-
лять при помощи дифференцирования под знаком интеграла
всюду вне тела Т. Отсюда в силу леммы главы III, § 3 следует,
что потенциал вне притягивающих масс удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа
AV = 0 вне тела Т.
Докажем, что вычисление производных потенциала V можно
производить путем дифференцирования под знаком интеграла
и в том случае, когда точка М лежит внутри тела Т.
При доказательстве мы будем пользоваться только ограни-
ограниченностью функции р(х, у, z)(\p(x, у, z)\<zC), не предполагая
ее непрерывности, откуда будет следовать, что функция
V(x, у, z) дифференцируема и в точках границы, которые можно
') Равномерная сходимость интегралов V(M) и Х(М) доказана в пред-
предположении ограниченности плотности |р|<С. Следовательно, эти интегралы
непрерывны также и в точках разрыва функции р, например на границе
области, заполненной массами.

§51
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
S4t
рассматривать как точки разрыва функции р(х, у, г), равной
нулю вне тела.
Покажем, что для любого е можно найти такое б(е), что
V(x+Ax,y,z)-V(x,y,z)
Ах 4
если
| 6.x | < б (е).
Заключим точку Мо в достаточно малый шар К$°, размеры ко-
которого мы уточним в дальнейшем, и разобьем V на два слагае-
слагаемых
где У] и V2 соответствуют интегрированию по объему 7^1 = /Се
и дополнительному объему Т2 — Т — /Сб'0. Тогда
У (х + Ах, у, г) — У (х, у, г)
Ах
_ Fi (х + Ах, у, г) — Vi (х, у, г) . У2 (х + Ах, у, г) — У2 (х, у, г)
Ах "¦" Ах
При любых фиксированных размерах области 71,
lim ——
так как точка Мо лежит вне области Т2.
Полагая Х = Х{-\- Х2, оценим
|Y F(x+Ax, y,z)-V(x, у, г)
| Ах
J2 (x + Ах, у, z)-V2(x, у, г)
Дх
V, (х + \х, у, г) — У, (х, у, г)
и покажем, что каждое из слагаемых можно сделать меньше
чем е/3. В самом деле,
6' 2Я Я
-dx
так как
т,
J
0 0
A5)
-—-1 < 1 и | р | < С. Рассмотрим последнее слагаемое
с, у, г) — Ух (х, у, z) \
Я
г,

342 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ IV
где
/?i = УК* + Ах) - |]2 + (у - г)J + (г - О2;
R = V(x-ZJ + (y-r)T + (z-z,f.
Стороны треугольника М0ММ1 равны г, гх и | Дл; |. Отсюда сле-
следует, что
|/?-/?,|<|Дх|.
Поэтому
так как для любых чисел а и b
При этом
где Кж — шар радиуса 26' с центром в точке М,.
При соответствующем выборе б' можно обеспечить нера-
неравенство
| S |< ~ 12лб' = блСб' < 4. A6)
Выбирая б' из условия A6), мы удовлетворим обоим неравен-
неравенствам— A5) и A6). Фиксируем область Тх—К$\ а тем самым
и область Т2=Т — 2"i.
Равенство A4) в применении к выбранной области Tz озна-
означает, что для любого е можно указать такое б", что
V2 (х + Ах, у, г) — У2 (х, у, г) ,
коль скоро |Дл:|<:б". Выбирая, наконец, 6 = min[6', б"], мы
получим:
(x + bx,y,z)-V(x,y,z)
< е, если | Дл; |< б.
Ах
Тем самым доказано, что существует производная -^-, равная

§ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 343
Формулы
=К и 4^ =
ду ' " дг
не требуют специального доказательства.
Таким образом доказано, что дифференцирование под зна-
знаком интеграла законно и что компоненты силового поля X, У, Z
являются компонентами grad V.
5. Вторые производные объемного потенциала. Несобствен-
Несобственный интеграл
не сходится абсолютно для внутренних точек Р тела Т. В этом
случае мажоранта для подынтегральной функции имеет вид
— при а = 3.
Установим формулы, по которым вычисляются внутри Т вто-
вторые производные потенциала V в предположении непрерывности
и непрерывной дифференцируемое™ плотности р(х, у, z) в окре-
окрестности исследуемых точек. В частности, исследование, прово-
проводимое ниже, не будет применимо к граничным точкам, где, как
правило, имеет место разрыв плотности.
Представим потенциал V в виде суммы двух слагаемых
V = V, + V2,
относящихся к областям Т\ и Тч, где Ti=K'&°—- шар радиуса
б с центром в рассматриваемой точке Мо, внутри которого функ-
функция р дифференцируема.
Вторую производную от Vz можно вычислять дифференциро-
дифференцированием под знаком интеграла, так как точка Мо лежит вне об-
области Т2
дх2 дх \ дх I
Первая производная Vi no x равна
так как

344 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Преобразуем интеграл A9), пользуясь формулой Остроград-
Остроградского
где I$°— поверхность сферы, ограничивающая объем Т\, a —
угол между внешней нормалью к поверхности 1$° и осью х.
Первое слагаемое является дифференцируемой функцией в
точке Мо, так как Мо лежит вне Ее4". Второе слагаемое в окрест-
окрестности точки Мо является также дифференцируемой функцией,
так как функция р имеет производную в 7\. Отсюда следует, что
в точке Мо существует вторая производная функции 1Л. Перей-
Перейдем к ее вычислению:
2»
Для второго слагаемого в точке Мо имеет место следующая
оценка:
т,
Применяя к поверхностному интегралу теорему о среднем,
получим:
ГС cos2a , . 4я
Яд ( 1
Здесь р* — значение плотности в некоторой точке 2б*°,
д_ /_|_\ __ х — I 1_
dx\R)~ R3 ~ R* COS °
я, кроме того,
| J ^ da = |J J -^ (cos^a + cos2p + cos2 Y) da = ± я.
Переход к пределу при 6->0 дает:

« 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 345
Равенство
_ d2Vt
дх2 дх2 "*" дх2
верно при всяком б и левая часть его не зависит от б, поэтому
d2V
Из существования второй производной -з-г"» доказанного выше,
следует существование
Последний интеграл получен при специальном способе пре-
предельного перехода, когда стягиваемые к точке Мо области яв-
являются шарами1), что и отмечается чертой над интегралом в
формуле B3). Изменение формы этих областей, вообще говоря,
может менять значение предела; интеграл B3) следует рассмат-
рассматривать как условно сходящийся. Таким образом,
дх* V"°>~
Отсюда видно, что вычисление вторых производных потенциала
при помощи формального дифференцирования под знаком инте-
интеграла привело бы нас к неверному результату.
d2V d*V
Для производных -Т7-Г и ~аТ получаются аналогичные вы-
выражения. Подставляя значения всех трех производных в выра-
выражение для оператора Лапласа, найдем:
ду2 ' дг2
. .. B5)
так как 1/R—.гармоническая функция2).
Предел B3) обычно называют главным значением интеграла.
Формула B5) установлена в предположении дифференцируемое™
функции р, что является достаточным условием и может быть заменено ме-
менее стеснительными условиями. Однако условия непрерывности функции р(М)
для справедливости B5) недостаточно, так как существуют примеры таких
непрерывных функции р[М), для которых объемный потенциал не имеег
вторых производных.

346 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Таким образом, объемный потенциал удовлетворяет уравне-
уравнению Пуассона
ДУ = — 4яр внутри тела
я уравнению Лапласа
AV = 0 вне тела.
Неоднородное уравнение
Ди = —f B5')
при условии дифференцируемое™ f внутри некоторой области Т
имеет частное решение
Отсюда следует, в частности, что решение краевой задачи
для неоднородного уравнения B5') можно свести к решению
аналогичной краевой задачи для уравнения Лапласа Av = 0,
если искомую функцию представить в виде суммы и = uo-{-v.
6. Поверхностные потенциалы. Как показывает основная
формула Грина (см. § 2)
любая гармоническая функция может быть представлена с по-
помощью интегралов, являющихся поверхностными потенциалами.
Рассмотрим поле, создаваемое массами, распределенными
на поверхности1), и определим потенциал этого поля. Поверх-
Поверхностной плотностью (j, (Z3) в точке Р поверхности 2 называют
предел отношения массы, находящейся на некотором элементе
do поверхности 2, содержащем точку Р, к его площади при стя-
стягивании do к точке Р. Потенциал этих масс представляется по-
поверхностным интегралом
V(M)= \ \ -^doP, B6)
называемым потенциалом простого слоя.
Другим типом поверхностного потенциала является потен-
потенциал двойного слоя. Перейдем к его определению.
') Если массы с объемной плотностью р расположены в некотором слое
толщины h около поверхности 2 и поле изучается на расстояниях, больших
по сравнению с h (h/R -€. 1), то учет толщины поверхности, вообще говоря,
не имеет смысла. Поэтому вместо объемного потенциала с плотностью р
целесообразно рассматривать поверхностный потенциал с поверхностной
плотностью (i = ph.

§5]
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
347
= N называется моментом
Рассмотрим диполь, образованный двумя массами —т и
+/я, расположенными в точках Р\ и Pi на расстоянии А/
(рис. 59). Произведение т-А1
диполя. Потенциал диполя
в некоторой точке М (х, у, г)
равен
Л7 т т ( \ 1 \
?г Г\ \г2 г, I
_,u_L(J 1Л ш
М \гг гх)> Р)
где гу и г2 — расстояния Рис. 59.
точки М от точек Pi и /^
Если А/ мало по сравнению с расстоянием до точки М
(A//ri<Cl), то, пользуясь теоремой о конечных приращениях,
можно написать:
= V(^-gJ + (г/ — -лJ + (г-gJ,
где производная берется по направлению от отталкивающей
массы к притягивающей и R — расстояние от точки М (х, у, z)
до некоторой средней точки
М(хш) р(Ъ> П, I) отрезка А/.
Вычислим производную
по направлению I:
?(М_
dl \R)~
cos
Рис. 60.
где вектор г направлен от
диполя к фиксированной
точке М, а ф есть угол между вектором I и вектором г. Таким
образом, потенциал диполя равен
V{M) = N^. B7>
где N — момент диполя.
Пусть на двух поверхностях 2 и 2' (рис. 60), находящихся
друг от друга на малом расстоянии б, распределены массы та-
таким образом, что масса каждого элемента поверхности 2' равна
по величине и противоположна по знаку массе соответствую-
соответствующего элемента поверхности 2. Обозначим через п общую нор-
нормаль к поверхностям 2 и 2', направленную от отталкивающих
масс к притягивающим. Переходя к пределу при б—>0, получим
двойной слой как совокупность двух простых слоев с взаимно
противоположными плотностями, находящимися друг от друга

348 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
на малом расстоянии. Если v — поверхностная плотность мо-
момента, то момент элемента поверхности dap будет равен
dN — V doP;
для потенциала элемента do в точке М(х, у, z) мы будем иметь:
MP ) RMP
где ф4 = (пРМ).
Назовем потенциалом двойного слоя интеграл
W(M) = - \\-JL-l-J-)v(P)doP. B8)
jj апр \ нМР )
Это определение, очевидно, соответствует такому случаю, когда
внешняя сторона поверхности является отталкивающей, а внут-
внутренняя — притягивающей.
Очевидно, что
где ф — угол иежду внутренней нормалью и направлением из
точки поверхности Р на фиксированную точку М. Если поверх-
поверхность незамкнутая, то мы должны считать ее двусторонней, так
как потенциал двойного слоя определяется только для таких
поверхностей.
Потенциалы простого и двойного слоев в случае двух неза-
независимых переменных имеют вид
B9)
(P)ds, C0)
i
RMp
где С — некоторая кривая, |х — линейная плотность простого
слоя, v — плотность момента линейного двойного слоя, ф — угол
между внутренней нормалью к линии С и направлением на фик-
фиксированную точку.
Если точка наблюдения М(х, у, z) находится вне поверхно-
поверхности (вне притягивающих масс), то подынтегральные функции и
их производные по х, у, z любого порядка в формулах

§ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 349
непрерывны по переменным х, у, z. Поэтому в точках, лежащих
вне поверхности 2, производные поверхностных потенциалов
можно вычислять при помощи дифференцирования под знаком
интеграла. Отсюда в силу принципа суперпозиции следует, что
поверхностные потенциалы удовлетворяют уравнению Лапласа
всюду вне притягивающих масс. Функции B9) и C0), очевидно,
удовлетворяют уравнению Лапласа с двумя независимыми пере-
переменными.
Поверхностные потенциалы в точках поверхности 2 пред-
представляются несобственными интегралами. Покажем, что если
поверхность имеет непрерывную кривизну, то потенциал двой-
двойного слоя в точках этой поверх- v
ности существует. Проведем до-
доказательство для случая двух не-
независимых переменных:
¦ = J
Рассмотрим кривую на плос- р
кости (х, у) и выберем начало Рис. 61.
координат в точке Р, ось х на-
направим по касательной, а ось у —по нормали в этой точке
(рис. 61). Уравнение кривой в некоторой окрестности точки Р
запишется в виде
У = У(х).
Кривая имеет, по предположению, непрерывную кривизну, т. е,
у(х) имеет непрерывную вторую производную. Поэтому
у (х) = у @) + ху' @) + -? у" (fix) @ < Ь < 1),
откуда вследствие выбора координатных осей
Отсюда будем иметь:

350 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
и"
Из выражения кривизны К = 8 Чя следует у"@) = К(Р).
Поэтому
Иш
cos ф
что доказывает непрерывность —^ вдоль дуги, а тем самым и
существование потенциала двойного слоя в точках кривой С для
ограниченной функции v.
Потенциал двойного слоя в случае трех независимых пере-
переменных также существует в точках поверхности, имеющей ко-
. cos ф
нечную кривизну, потому что функция р2 имеет интегрируе-
интегрируемую особенность порядка 1/R. Существование потенциала про-
простого слоя не вызывает сомнений.
7. Поверхности и кривые Ляпунова. Предположение о конечности кри-
кривизны оказывается излишним для существования поверхностных потенциалов.
Потенциалы простого и двойного слоев в точках поверхности Е являются
несобственными интегралами. Покажем, что эти интегралы сходятся для
определенного класса поверхностей, называемых поверхностями Ляпунова,
если плотность потенциала ограничена |v(P)|<C, где С — некоторая по-
постоянная.
Поверхность называется поверхностью Ляпунова, если выпол-
выполняются следующие условия:
1. В каждой точке поверхности 2 существует определенная нормаль (ка-
(касательная плоскость).
2. Существует такое число d > 0, что прямые, параллельные нормали
в какой-либо точке Р поверхности 2, пересекают не более одного раза часть
2р поверхности Е, лежащую внутри сферы радиуса d с центром Р. Эти
участки поверхности 2р называются окрестностями Ляпунова.
3. Угол у (Р> Р*) = {прг пр')> образованный нормалями в точках Р и Р',
удовлетворяет следующему условию:
Y(P, Р')<Агь, C1)
где г — расстояние между точками Р н Р', А — некоторая постоянная и
0<6sS 1.
Пусть Рв — некоторая точка поверхности 2. Выберем прямоугольную
систему координат, помещая начало координат в точку Ро и направляя ось г
вдоль внешней нормали. Плоскость (х, у) при этом совпадает с касательной
плоскостью. В силу условия 2 существует такое р0, что уравнение поверх-
поверхности 2 может быть представлено в виде
z-=f (*.»)») C2)
для
(зз)
') Отметим, что если функция f(x,y) имеет непрерывные вторые про-
производные в окрестности точки Ро, то поверхность г = f (x, у) удовлетворяет
условиям Ляпунова. Таким образом, поверхности с непрерывной кривизной
являются поверхностями Ляпунова.

§ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 351
Обозначим через 2ро окрестность точки Ро на поверхности 2, определяе-
определяемую условиями C2) и C3). Установим некоторые оценки для функции f(x,y)
и ее производных.
Из сущестнования нормали в каждой точке поверхности (условие 1)
следует дифференцируемость функции f(x,y). Направляющие косинусы нор-
нормали (внешней) выражаются формулами:
cos
У
В силу выбора нашей системы координат zx{P0) = 0, гу(Р0) = 0. Будем
считать, что поверхность 2Ро столь мала (ро столь мало), что
Обозначим через пР проекцию вектора пР на плоскость (х, у) н через а',
Р'—углы, образованные вектором п'р с осями х и у. Очевидно, что
cos a = sin у cos а', cos p = sin у sin а'.
Так как sin у < у, то в силу условия 3
sin у < Лгбрр<1
и, следовательно,
| cos а |< АгрРс, | cos P | < ArpPi>, C5)
cos а cos P 1 _
а так как zx= , г„ = —, причем < 2, то
cosy cosy COSY
Пользуясь формулой Тейлора для функции z = f (x, у) в окрестности
точки Ро @, 0) будем иметь:
г (х, у) = г @, 0) + хгх (х, у) + yzy (x, у), где 0<*<х, О^у^у,
откуда следует, что
\г(х,у)\<4Аг1Р# C6)
Полученные оценки C4), C6) позволяют доказать, что в точках, лежащих
на поверхности 2, потенциал двойного слоя
= f (
R
B8)
MP
является сходящимся несобственным интегралом, если 2 — поверхность
Ляпунова. Пусть М = Ра — точка поверхности 2. Выбирая систему коордннат;
как было указано выше, представим уравнение поверхности 2 в окрестности
точки Ро в виде
z = f(x,y).
Функция f(x, у) удовлетворяет условиям C4) и C6). Вычислим cos ф, где
qj — угол между направлением внутренней нормали в точке P(f, rj, ?)

352
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
и направлением PPq. Нетрудно видеть, что
| cos (р j =
-|-cos a + -j^-cosp + J|-cosy | < | cos а |
COS(p
PPo
C7)
R2
Представим W в виде суммы двух интегралов
W = IF, + W2,
где W\ — интеграл по поверхности 2ро, содержащей особую точку Ре, а ин-
интеграл W2 берется по остальной части поверхности 2 — 2ро. Так как под-
интегральная функция в интеграле №2 нигде не обращается в бесконечность,
то для сходимости интеграла W достаточно убедиться в сходимости интегра-
интеграла Wx. Поскольку
_ rfgtft) p ф d6
cos y cos y '
где р = У |2 + iJ, 6 — полярные координаты на плоскости (х, у), то преоб-
преобразование переменных в этом интеграле дает:
о о
cosv
Для подынтегральной функции в силу оценок C4), C6) н C7) имеем:
СОЭф
1
cosy
12ЛС
„2-6
так как р < R. _
Такой вид мажорантной функции F обеспечивает сходимость несобствен-
несобственного интеграла в случае двух независимых переменных (см. п. 3).
Нетрудно установить, что для поверхности Ляпунова потенциал про-
простого слоя
\\^ B6)
2 mp
также сходится в точках поверхности. Следует отметить, что эта сходимость
имеет место и для поверхностей более широкого класса.
В случае двух независимых переменных потенциалы простого н двой-
двойного слоев сходятся в точках кривой (см. формулы B9) н C0)), если эти
потенциалы берутся для кривых Ляпунова, определяемых условиями, ана-
аналогичными условиям 1—3 для поверхностей Ляпунова.
8. Разрыв потенциала двойного слоя. Покажем, что потен-
потенциал двойного слоя в некоторой точке Ра, лежащей на поверх-
поверхности 2, является разрывной функцией, для которой имеют

$ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 353
место соотношения
WH (Ро) = W (Ро) - 2nv {Ро),
где WB{P0)—предельное значение потенциала двойного слоя
при подходе к точке Ро с внутренней стороны, a WB(P0) —пре-
—предельное значение с наружной стороны поверхности1).
В случае двух независимых переменных соответствующие
формулы имеют вид
Потенциал двойного слоя для двух независимых переменных
выражается интегралом
W{M) =
Рассмотрим некоторый элемент дуги ds, концами которого
являются точки Р и Ри Проведем через точку Р дугу окружно-
окружности радиуса МР с центром в точке М до
пересечения ее с отрезком MPi в точке
Q, тогда с точностью до бесконечно ма-
малых высшего порядка можно написать
(рис. 62):
ds cos ф = do, -Q- = da, D0)
где ds — PPU da = PQ, dw — угол ви-
видимости, под которым видна дуга ds из ^
точки М. Знак dco совпадает со знаком м
cos ф, так что: da> > 0, если ф (угол Рис. 62.
между внутренней нормалью в точке
Р и вектором РМ) меньше я/2, и dco < 0, если ф > я/2.
Если dco > 0, т. е. ф < я/2, то из точки М видна «внутренняя»
сторона кривой С; при dco < 0 (ф > я/2) из точки М видна «на-
«наружная» сторона кривой. Отсюда следует, что угол видимости
некоторой дуги- Р\Р% равен углу Р\МР2, который описывает луч
МР, когда точка Р пробегает дугу Р±Р2-
') Если 2 — незамкнутая поверхность, то внутренняя сторона может
быть условно определена соглашением о том, какая нормаль в точке Ро на-
называется «внутренней» и какая — «внешней». Следует иметь в виду, что в
случае незамкнутых поверхностей потенциал двойного слоя определяется
только для двусторонних поверхностей.
12 А, Н, Тихонов, А, А. Самарский

354 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Рассмотрим потенциал двойного слоя W0 на замкнутой кри-
кривой С с постоянной плотностью v = vo = const. Луч МР описы-
описывает угол
2я, если точка М лежит внутри кривой С,
Q = я, если точка М лежит на кривой С,
О, если точка М лежит вне кривой С,
когда точка Р пробегает всю кривую С. Отсюда для потенциала
W0 получаем:
2jiv0, если точка М лежит внутри кривой С,
nv0, если точка М лежит на кривой С,
О, если точка М лежит вне кривой С.
Таким образом, потенциал с постоянной плотностью является
функцией кусочно-постоянной, причем
где №в, W°c, W° — значения потеницала внутри, на и вне кри-
кривой С.
Аналогично в случае трех независимых переменных будем
иметь:
^f^- = tfco, D2)
где da — телесный угол, под которым виден элемент da поверх-
поверхности ?. Пусть da' — элемент сферической поверхности, полу-
получающийся при пересечении сферы, описанной радиусом МР из
точки М, с конусом, имеющим вершину в точке М и опираю-
опирающимся на элемент поверхности da. Элемент поверхности rfa' =
= da cos ф. Отсюда и следует формула D2). Замечание, сделан-
сделанное выше относительно знака Ло, остается в силе, что приводит
нас к формулам
I4nv0, если точка М лежит внутри поверхности S,
2nv0, если точка М лежит на поверхности S,
О, если точка М лежит снаружи поверхности S.
характеризующим кусочное постоянство функции W0, а также
К формулам
1

§ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 355
где Wl, Wl — значение потенциала W° внутри и снаружи по-
поверхности S, a W%. — значение W0 на S.
Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя с переменной
плотностью и докажем, что в точках непрерывности плотности
имеют место формулы, аналогичные формулам D1) и D1').
Пусть Ро— точка поверхности S, в которой функция v(P) не-
непрерывна. Введем потенциал двойного слоя W0 с постоянной
плотностью vo = v{Po) и рассмотрим функцию
ЦМ) = W (М) - №«(М) = \\ [v (P)-Vo]
V
Докажем, что функция / непрерывна в точке Ро. Для этого до-
достаточно доказать равномерную сходимость интеграла 1{М)
в точке Ро- Зададимся некоторым числом е > 0. Из непрерывно-
непрерывности функции v(P) в точке Ро следует, что для любого наперед
заданного числа т] > 0 можно найти Si — окрестность точки Ра
на поверхности S — такую, что
I v (Р) - v (/>«>) К Ч,
если Р е 2ь Представим интеграл / в виде суммы
где интеграл 74 берется по поверхности Ei, a h — по поверхности
?г = 2 — Ei. Из определения Si следует:
где Вх — постоянная, определяемая условием
MP
при всевозможных положениях точки М, не зависящая от вы-
выбора поверхности Si- Подробнее относительно этой постоянной
будет сказано ниже.
Выбирая ц = e/Bs, мы убеждаемся в том, что для любого
е > 0 можно найти такое Si, содержащее Ро, что
при любом положении точки М. Отсюда и следует равномерная
сходимость интеграла 1(М) в точке Ро, а также его непрерыв-
непрерывность в этой точке.
Если WB(P0) и U?H(Po)—пределы потенциала W(M) при
М —» Ро с внутренней и наружной сторон поверхности S, то
U в (Ро) == №° (Ро) + / (Ро) = W0 (Ро)+/ (Po)+23xvo=^ (Рц) +2nv (Po)
12*

356 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА {ГЛ. IV
и аналогично
Справедливость формулы C8) установлена.
Проведенное выше доказательство справедливо для поверх-
поверхностей, удовлетворяющих условию ограниченности D3). Для
выпуклой поверхности, которую всякий луч из точки М пересе-
пересекает не более двух раз, В2 ^ 8л; для поверхностей, состоящих
из конечного числа выпуклых частей, В^ также ограничено. Та-
Таким образом, наше доказательство относится к весьма широ-
широкому классу поверхностей.
Все проведенные выше рассуждения остаются в силе и для
функций двух независимых переменных. В этом случае формулы
D1) принимают вид
9. Свойства потенциала простого слоя. В отличие от потен-
потенциала двойного слоя потенциал простого слоя
B6)
непрерывен в точках поверхности S. Убедимся в этом для слу-
случая гладкой поверхности S. Для этого достаточно устано-
установить равномерную сходимость интеграла V(M) в точках по-
поверхности S.
Действительно, пусть Ро — некоторая точка поверхности 2.
Представим потенциал V в виде суммы
2; mp J^ rmp
где Si — достаточно малая часть поверхности S, содержащаяся
в сфере радиуса б с центром в точке Ро. Величину б мы более
точно определим в дальнейшем.
Рассмотрим систему координат с началом в точке Ро,
ось z которой направлена по внешней нормали в Ро. Пусть
М(х, у, z)—произвольная точка, отстоящая от Р0@, 0, 0) на
расстоянии МР0 < б. Обозначим через 2[ проекцию Si на пло-
плоскость (х, у), а через К^ — круг радиуса 26 с центром в точке
М'(х, у, 0), целиком содержащий область Si. Предполагая
ограниченность функции

§ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 357
и принимая во внимание, что
cos v cos у
И
R = V{x - If + (y - nf + (z - ?J > V(x -If + (У ~ ЦJ = P,
получим:
-?- = a ff ,
2
do7cosv
„v ' i*"~ s) + (у — ц)
если б настолько мало, что cosv>V2-
Введем в плоскости (х, у) полярную систему координат (р, ф)
с началом в точке М'. Тогда можно написать
26 2я
г г
Z/1 J J
р
¦м * — - — .- оо
26
= 8Ляб.
Выбирая б = е/8яЛ, будем иметь
если МРО<6. Следовательно, V {М) равномерно сходится
во всякой точке Рое1и является непрерывной функцией в этой
точке.
Обратимся теперь к изучению поведения нормальных произ-
производных потенциала простого слоя на поверхности. Покажем, что
они имеют на S разрыв такого же типа, как и потенциал двой-
двойного слоя.
Внешняя и внутренняя нормальные производные функции V,
dV dV
—— и -;—, определяются следующим образом. Пусть Ро—•
некоторая точка ?. Из точки Ро проведем ось z, которую можно
направить либо вдоль внешней, либо вдоль внутренней нормали.
Рассмотрим производную -з— в некоторой точке М оси z.
г., (dV\ (dV\ „ dV
Обозначим l-j—J и 1-7— 1 пределы производной —г- при стрем-
стремлении точки М к точке Ро с внутренней или наружной стороны
поверхности S. Если ось z направлена по внешней (внутренней)
нормали, то эти значения называются внутренними и внешними

358
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
[ГЛ. IV
предельными значениями производной по внешней (внутренней)
нормали в точке Ро1).
Исследуем разрывы внутренней нормальной производной
потенциала простого слоя на 2. Производная —г- в точке М
оси z, направленной по внутренней
нормали, равна
, D4)
где г]з — угол между осью z и векто-
Рис. 63. ром МР. Проведем из точки Р (рис. 63)
нормаль PQ и прямую PN, параллель-
параллельную оси z (нормали в точке Ро), и обозначим через G угол NPQ,
равный углу между нормалями в точках Р и Ро2). Выражение
для потенциала двойного слоя W(M) содержит множитель
ф = Z MPQ. Так как угол MPN
я —
где
, то
cos (я
равен
г|з) = cos ф cos б + sin ф sin 8 cos Q = — cos яр,
где Q — двугранный угол с ребром PQS). Отсюда следует, что
D5)
при М -*¦ Ро равен пре-
') Предел разностного отношения
V (М) — V (Ро)
—^^—rrg
делу извне для производной по внешней нормали или пределу изнутри для
производной по внутренней нормали, в зависимости от того, с какой стороны
точка М приближается к точке PD.
2) Очевидно, что 6 и sin 6 стремятся к нулю, когда Р-+Ро. Если поверх-
поверхность обладает конечной кривизной в окрестности точки Рв, т. е. ее уравне-
уравнение можно представить в виде
* = Пх, у),
где f (x, у) имеет вторые производные, то sin 0 будет дифференцируемой
функцией к, у и, следовательно,
sin 6 < Аг
(для поверхностей Ляпунова sin 6 < Аг ).
3) Если направление PQ принять за ось новой сферической системы, та
эта формула совпадает с формулой A3) на стр. 326.

§5]
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
359
где Wt{M) —потенциал двойного слоя с плотностью fxi=|j,cose,
имеющий разрыв на поверхности S. Очевидно, что интеграл
1(М) является функцией, непрерывной в точке Ро, так как /(М)
сходится равномерно в этой точке (см. примечание, стр. 358).
Возвращаясь к формуле D5), видим:
Dг)в=-
D6)
Обозначим
= [- J J
L s
- JJ jxsinecos
s
ш=а,
где г]зо — угол между осью z и вектором Р0Р.
Замечая, что щ{Ро) = ц(Л)), находим:
так как по условию ось z направлена по внутренней нормали.
Если ось z направить по внешней нормали, то знак cos г]з изме-
изменяется, и мы получим:
Для случая двух переменных имеют место аналогичные фор-
формулы с заменой 2л на4 я.
10. Применение поверхностных потенциалов к решению
краевых задач. Метод разделения переменных и метод функции
источника позволяют получить явное выражение для решения
краевых задач только в случае областей простейшего вида. Све-
Сведение краевых задач для уравнения Лапласа (или Пуассона)

360 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. IV
при помощи поверхностных потенциалов к интегральным урав-
уравнениям, с одной стороны, удобно для теоретического исследова-
исследования вопроса о разрешимости и единственности краевых задач,
с другой стороны, дает возможность эффективного численного
решения краевых задач для областей сложной формы. Рассмот-
Рассмотрим внутренние краевые задачи для некоторого контура С:
найти функцию и, гармоническую в области Т, ограниченной
контуром С, и удовлетворяющую на С граничным условиям
u\c — f — первая краевая задача,
или
-~ =f — вторая краевая задача.
Аналогично ставятся внешние краевые задачи4).
Будем искать решение внутренней первой краевой задачи
в виде потенциала двойного слоя
)v(P)ds
При любом выборе v(P) функция W(M) удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа внутри С. Функция W(M) разрывна на контуре С.
Для выполнения граничного условия, очевидно, надо, чтобы
Принимая во внимание формулы C9), получаем уравнение для
определения функции v(P)
nv (Ро) + J -^ v (Р) dsP = f (Po). D9)
с
Если обозначить через s0 и s дуги контура С, соответствующие
точкам Ро и Р, то уравнение D9) можно переписать в виде
L
ял> (s0) + J К (s0, s) v (s) ds — f (s0), F0)
0
где L — длина контура С и
') При постановке второй краевой задачи как внутренней, так и внеш-
внешней, в граничном условии нормаль будем считать внутренней.

§ 5] ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 361
— ядро этого интегрального уравнения, являющегося интеграль-
интегральным уравнением типа Фредгольма второго рода1). Для внешней
задачи получается аналогичное уравнение
L
- jtv (s0) + J К (s0, s) v (s) ds = / (s0). E2)
0
Для второй краевой задачи получаются уравнения
L
— згц(s0) + J Ki (s0, s)[i(s) ds—f (s0) (внутренняя задача), E3)
о
L
згц (so) + J Ki (so> s) [i (s) ds = f (s0) (внешняя задача), E4)
где
-jj j = —= , E5)
ИРРо I WPPa
если ее решение искать в виде потенциала простого слоя
? rmp
Вопросы, связанные с разрешимостью этих уравнений, будут
рассматриваться в п. 11 настоящего параграфа.
Рассмотрим краевые задачи для некоторых простейших об-
областей, для которых соответствующие интегральные уравнения
легко разрешимы.
1. Первая краевая задача для круга. Если кон-
контур С является окружностью радиуса R, то внутренняя нормаль
') Интегральные уравнения, содержащие интегралы с постоянными пре-
пределами, называются уравнениями Фредгольма:
Ь
I К (х, s) ф (s) ds = f (x) — первого рода,
а
Ь
Ф (х) + I К (х, s) ф (s) ds = f (x) — второго рода.
а
2) Нетрудно видеть, что /C(s0, s) = /Ci(s, s0). Такие ядра называются
сопряженными, а сответствующие им уравнения называются сопряжен-
сопряженными интегральными уравнениями.

362 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
в точке Р направлена по диаметру и
COS ф 1
так как ц> есть угол РоРР' (рис. 64). Интегральное уравнение
ункции v принимает вид
v (so) + ± J -щ v (*) ds = lTf(so)- E6)
для функции v принимает вид
с
Нетрудно видеть, что его решением является
функция
v(s)=4/(s) + * E7)
Рис. 64.
где А — некоторая постоянная, подлежащая
определению. Подставляя предполагаемую форму решения
в уравнение E6), имеем:
откуда находим для постоянной А выражение через заданную
функцию
Таким образом,
4JJ F8)
с
является решением интегрального уравнения E6).
Соответствующий потенциал двойного слоя равен
=i VTv(P)dSp=J ^7[^f{s)- WIns)ds] ds'
Преобразуем правую часть предыдущей формулы, предполагая,
что М лежит внутри С:

§ 5]
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
363
Из А ОРМ (рис. 65) видно, что
__ cos<p I __ 2R cos ф — RMp
~ Яды» 2# ~
2RRMp cos ф — t?MP
- 2/Jpo cos F -
F0)
так как
Подставляя выражение F0) для К в формулу E9), получаем
интеграл Пуассона
дающей решение первой краевой задачи для
круга.
Проведенные в этом пункте рассуждения
показывают, что при любой непрерывной функ- рис 65.
ции / формула F1) определяет гармониче-
гармоническую функцию, непрерывно примыкающую к граничным значе-
значениям /:
Если функция f кусочно-непрерывна, то в силу свойства по-
потенциала двойного слоя функция W также непрерывна во всех
точках непрерывности f. Из ограниченности функции /
1/КС
следует ограниченность функции F1)
2я
так как')
2я 0J
F2)
2. Первая краевая задача для полупростран-
полупространства: найти гармоническую функцию, непрерывную всюду в об-
области 2^0, принимающую на границе z = 0 заданное значение
/(*, У).
') Равенство F2) следует нз того, что левая часть представляет решение
первой краевой задачи при / = 1.

364 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. TV
Будем искать решение этой задачи в виде потенциала двой-
двойного слоя
W(х, у, z) = J J -?^г"v(g, т)) dl dr\, R2 = {x — gJ + {y — r\f + z2.
—oo
В данном случае
COS ф Z Z
и ядро интегрального уравнения
2я V R2 J=о ~
Таким образом, плотность потенциала двойного слоя
и искомая функция равна
и(Х, у, z)-k
Нетрудно показать, что и(х, у, z) равномерно стремится к нулю
при /? = Y*2 Н~ У2 + z2 ~* °° > если этим свойством обладает
функция f.
11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым
задачам. При решении краевых задач для уравнения Лапласа
с помощью потенциалов простого и двойного слоев мы пришли
к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода E0).
Условия разрешимости интегральных уравнений Фредгольма
второго рода с непрерывным ядром и ограниченной (интегрируе-
(интегрируемой) правой частью сходны с условиями разрешимости систем
линейных алгебраических уравнений (к которым они сводятся,
если интеграл заменить интегральной суммой). Первая теорема
Фредгольма заключается в следующем:
неоднородное интегральное уравнение второго рода имеет
решение, и притом единственное, если соответствующее одно-
однородное уравнение имеет только нулевое решение1).
') Для кривых с ограниченной кривизной теория Фредгольма применима
непосредственно, так как ядро интегрального уравнения E0) непрерывно.
Теория Фредгольма применима также в том случае, когда непрерывно
одно нз повторных ядер:
Р2) = J" J К{1) (Р„ М) К{п) (М, Р2) daM, КA) (Р, М) = К {Р, М).
х
Докажем, что если S — поверхность Ляпунова, то повторные ядра на-
нашего уравнения, начиная с некоторого номера, непрерывны. Как мы видели,

§61
ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
365
Докажем, опираясь на сформулированную теорему, что инте-
интегральное уравнение E0) имеет единственное решение.
Ограничимся рассмотрением выпуклых контуров, не содер-
содержащих прямолинейных участков границы. В этом случае ядро
для поверхностей Ляпунова
coscp
г2
г2"
Повторные ядра могут быть представлены в виде
*1. 2 (Pi- P2)=U *1 (PV Щ *2
Покажем, что если |/(f|< 2_*n
\Ки:
P2)daM-
(rl = PiM; ctjX); /=1,2), то
если (Х[ + а2<2, r = PvP2.
Очевидно, что эту оценку достаточно установить для случая, когда точка P-z
лежит в окрестности Ляпунова 20 точки Ри причем вместо интеграла по 20
можно рассматривать интеграл по проекции So этой окрестности на каса-
касательную плоскость в точке Р\ в силу того, что
Х>
р (Р,
г{Р,М)
>В>°
(где р(Р,М)—расстояние между проекциями точек Р и М иа касательную
плоскость, В — некоторая постоянная), а также в силу связи между элемен-
элементом поверхности da и его проекцией dS:
da = dS/cos у, где согласно формуле C4)
cos y > 'A-
Для плоской области справедлива лемма:
если
_a ,
2_a
т о
Ki{Pt,M)K2(M,P2)dxdy
^ г2-а,-а2 •
Рис. 66.
Обозначим через R диаметр области So.
Разобьем интеграл / на два интеграла: 1\ —
взятый по кругу Gi радиуса 2л с центром в точке Р\ и /2 — распростра-
распространенный на оставшуюся область G2 (рис. 66). Так как для точек М, лежа-
лежащих В G2,
! < Г2 + Г < 2Г2, \

366
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
.ГЛ. IV
уравнения E0) К{Ро, Р) неотрицательно, так как
К(Р0.
где dco есть угол видимости дуги dSP из точки Ро.
Рассмотрим прежде всего первую краевую задачу для внут-
внутренней области. Однородное уравнение, соответствующее урав-
уравнению E0), имеет вид
L
nv («о) + J К (so, s) v (s) ds = 0. F3)
о
Как мы видели (см. п. 8), имеет место равенство
J К (s0, s) ds = я,
пользуясь которым однородное уравнение F3) можно записать
то для интеграла h получаем оценку
2л R
|/2|<4С,С2
Г I*-1-
drt dq>
0 2r
, a, + a2>2.
Производя в интеграле по G\ замену переменных х = гх', у = гу', по-
получаем:
1ЛК
В последнем интеграле, взятом по кругу G] с радиусом, равным 1г, г\ есть
расстояние от центра, г2 — от середины радиуса, вследствие чего этот инте-
интеграл сходится, причем он не зависит от положения точки Р2, т. е. от г.
Отсюда
Положив С3 + С4 = С, получим искомое неравенство
о,+а,>2.
Отсюда следует, что, начиная с некоторого номера, интегралы, производящие
повторные ядра, ограничены и равномерно сходятся, т. е. являются непре-
непрерывными функциями своих аргументов.

§ 51 ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА 367
в виде
]v(so) + v(s)]K(so,s)ds = O. F4)
Пусть ^o(so)— точка контура С, в которой функция |v(s)|
достигает своего максимального значения. Отсюда следует, что
сумма v(Sp) + v(s) знакопостоянна. Тогда, полагая в F4)
so==s* и пользуясь тем, что K(s0, s)^0, получим равенство
или
противоречащее непрерывности в точке s*0, если только v)
Следовательно, однородное уравнение F3) имеет только ну-
нулевое решение, и тем самым неоднородное уравнение имеет
единственное решение при любой функции fl).
Внешняя вторая краевая задача, как мы видели (см. п. 10),
сводится к интегральному уравнению
L
яц Ы + J /С, (s0, s) {х (s) ds = f (s0), E4)
о
ядро которого Ki(sq, s) является сопряженным по отношению
к ядру K{so, s), т. е. Ki(s0, s) — K(s, s0).
Вторая теорема Фредгольма состоит в следующем:
число линейно-независимых решений некоторого однородного
интегрального уравнения равно числу линейно-независимых ре-
решений сопряженного уравнения.
Из этой теоремы следует, что решение уравнения E4) опре-
определено однозначно.
Внешней первой краевой задаче соответствует уравнение
L
- Jtv (s0) + J К (s0, s) v (s) ds = f (s0). E2)
0
Однородное уравнение (/ = 0) согласно предыдущему может
быть приведено к виду
L
J [v (s0) - v (s)] К (s0, s) ds = 0. F5)
') При наличии прямолинейных участков границы рассуждения несколько
осложняются, хотя доведение нх до конца не представляет затруднений.

868 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
Обозначая через si точку, в которой |v(s)| достигает макси-
максимального значения, получим из F5)
Отсюда следует, что только
v (s) = const = v0
является решением однородного уравнения. В силу второй тео-
теоремы Фредгольма. сопряженное однородное уравнение будет
иметь единственное решение.
Условие разрешимости неоднородного уравнения дает
третья теорема Фредгольма:
если некоторое однородное интегральное уравнение
ъ
= J K(x, s)<p(s)ds
имеет k линейно-независимых решений цч{х) (i = 1, 2,
то сопряокенное неоднородное уравнение
Ь
имеет решение, если Г / (х) <р{ (х) dx — 0, i=l, 2 k.
а
Применяя третью теорему Фредгольма к уравнению E3),
соответствующему внутренней второй краевой задаче, получим
условие разрешимости этой задачи
s = O, F6)
с которым мы уже встречались в § 1.
Условие разрешимости внешней первой краевой задачи
имеет вид
L
jf(s)h(s)ds = O, F7)
о
где h(s)—решение однородного уравнения, соответствующего
E3). Нетрудно выяснить физический смысл этой функции.
Пусть цилиндрический проводник, имеющий в сечении фор-
форму S, заряжен до некоторого потенциала Vo. В проводнике весь
заряд находится на поверхности. Обозначим h(s) плотность по-
поверхностных зарядов. Потенциал, создаваемый этими поверхно-

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV 369
стными нарядами, является потенциалом простого слоя с плот-
плотностью h(s) и выражается формулой B9). Нормальные произ-
производные его изнутри равны нулю, так как внутри проводника
V = const. Поэтому функция h(s) удовлетворяет однородному
уравнению E3) и пропорциональна функции h(s), определен-
определенной выше, что и выясняет физический смысл этой функции.
Таким образом, интегральные уравнения, к которым сводят-
сводятся краевые задачи, разрешимы всегда для внутренней первой
и внешней второй краевых задач и разрешимы при условиях
F6) и F7) для внутренней второй и внешней первой краевых
задач J).
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ IV
1. Найти функцию м, гармоническую внутри круга радиуса а и прини-
принимающую иа окружности С значения
а) и\с = A cos ф;
б) и \с = А + В sin ф.
2. Решить уравиение Лапласа Дм = 0 внутри прямоугольника 0 sg х sg a,
О =5* У =SJ b при граничных условиях
" \х=о = ft (!/)• и lj/=o = ft (¦*)> и \х*=а = О» и lj/=b == О-
Доказать, что получающиеся при этом формулы дают решение задачи
для произвольной кусочно-непрерывной функции, заданной на границе.
Решить задачу для частного случая
fAy)-Ay(b-y), ft(x)=.Bcos?x, f. — f« = 0.
3. Решить уравнение Дм = 1 для круга радиуса а при граничном усло-
условии ы |г==о = 0.
4. Решить уравнение Дм = Аху для круга радиуса а с центром в точ-
точке @,0) при граничном условии и |г_п = 0.
5. Решить уравнение Дм — А + В(хг — г/2) в кольце a =sj P =?J b, если
= 0.
Начало координат находится в цеитре кольца.
6. Построить функцию источника для уравнения Лапласа (первая крае-
краевая задача): а) для полукруга, б) для кольца, в) для слоя @ ^ г ^ I).
7. Найти гармоническую функцию внутри кольца а ^ р ==J Ъ, удовлетво-
удовлетворяющую следующим граничным условиям:
« U*, = f i (ф). «1р=ь
') См. подробнее И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с част-
частными производными, § 39, Физматгиз, 1961.

370 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. IV
ГО
и (х, 0) = {
8. Найти решение уравнения Лапласа Аи = 0 в полуплоскости у ^ 0
с граничным условием
ГО при х<0,
«о при х>0.
9. Найти функцию и(р, ф), гармоническую внутри кругового сектора
р ^ а, 0 ^ ф ^ фо при граничных условиях:
а) «1ф=о = <7:. «1<р==ч,0 = 91. «1р=а = ?г. где ?, и ^ — постоянные;
б) «!ф=о = «|ф==фо = О,
10. Методом конечных разностей решить первую краевую задачу для
уравнения Ди = 0 внутри прямоугольника Osjxsja, OsJf/^6, подразде-
подразделяя каждую из его сторон на 8 равных частей, если граничные условия имеют
вид
Сравнить с аналитическим решением (см. Дополнение I, § 3).
П. Найти объемный потенциал сферы при постоянной плотности р = р„.
Указание. Решить уравнения Аи = 0 вне сферы и Аи = 4зтр0 внутри
сферы и решения сопрягать иа поверхности сферы.
12. Найти потенциал простого слоя, распределенного с постоянной плот-
плотностью v = v0 на сфере.
Указание. Искать решение уравнения Аи = 0 вне и внутри сферы и вос-
воспользоваться для сопряжения условиями разрыва производной потенциала
простого слоя.
13. Решить первую краевую задачу для ограниченного круглого цилиндра
(р<а, 0^г</):
а) на основаниях цилиндра заданы нулевые граничные условия (первого
или второго рода), а на боковой поверхности
б) на боковой поверхности и на одном из оснований цилиндра заданы
нулевые граничные условия (первого и второго рода), а на втором основа-
основании цилиндра
например f(p) = A
14. Решить неоднородное уравнение
Au = — f
в неограниченной цилиндрической области при нулевых граничных условиях
(первого или второго рода) и построить функцию источника.
15. Найти гармоническую внутри сферы функцию, равную щ на одной
половине сферы и «2 на второй половине сферы.
16. Написать разложение по сферическим функциям плотности поверх-
поверхностных зарядов, индуцированных иа проводящей сфере точечным зарядом.
17. Решить задачу о поляризации диэлектрического шара в поле точеч-
точечного заряда.
18. Вычислить гравитационный потенциал плоского диска. Сравнить с
асимптотическим представлением гравитационного потенциала на больших
расстояниях.
19. Вычислить магнитный потенциал кругового тока.
20. Решить задачу о возмущении плоскопараллельного электрического
поля идеально проводящей сферой. Решить задачу для абсолютно непрово»
дящей сферы,

I. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ОБЪЕМНОГО ПОТЕНЦИАЛА 371
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
I. Асимптотическое выражение объемного потенциала
При изучении объемного потенциала
т
A)
на больших расстояниях от тела обычно принимают значения
потенциала равным m/R, где т — масса тела Т, R — расстояние
его центра тяжести от точки наблюдения. Установим более точ-
точное асимптотическое выражение для V1).
Пусть 2 — сфера с центром в начале координат, целиком со-
содержащая тело Т. Вне этой сферы потенциал будет гармони-
гармонической функцией.
Расстояние от точки наблюдения M(x,y,z) до переменной
точки внутри тела Mi(xuyi,Zi) M
(рис. 67), по которой произво-
производится интегрирование, равно
r2l—2rrlcosQ
откуда
J__J
d ~~ r V\ + а2 — 2ац '
1
Рис. 67.
a = rl/r, n = cos6. C)
Так как rt < г, то а < 1, и поэтому имеет место разложение
(см. Дополнение II, ч. II, § 1)
оо
^ = у^Рп{ц), D)
/7=0
где Рэт(ц) —полином Лежандра n-го порядка (см. Дополнение
II, ч. II, § 1). Подставляя это выражение в формулу A) и учи-
учитывая, что 1/г не зависит от переменных интегрирования, полу-
получим:
V № =
E)
') В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, Гостехиздат, 1956.

372 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Первый член равен т/г, где т — масса всего тела, и дает нам
первое приближение для вычисления потенциала при больших г.
Перейдем к вычислению следующих членов разложения E).
Подынтегральное выражение во втором члене равно
РР, ю г, = mi = р,, cos е =
Величины х, у, z и г не зависят от переменных интегрирования
и могут быть вынесены за знак интеграла. После этого второй
член разложения потенциала принимает вид
w Ш
x=-h(Mi*+мя + Мзг)=-w <¦**
где
Ш- Г С Г
ox, dx = Мх, Mo = I I I I
^ ' l J J J '
т т
т
— моменты 1-го порядка, х, у, z — координаты центра тяжести.
Таким образом, второй член убывает как I//. Если начало ко-
координат поместить в центре тяжести (х = 0, у = 0, z = 0), то
Рассмотрим третий член разложения. Преобразуем подын-
подынтегральное выражение
= ¦?¦ [3 (д
Вводя обозначения
^ I I
приходим к следующему выражению для V3:
= -^г {х2 [3Af,i - (М„ + М22 + Мзз)] +
+ У2 [ЗМ-я - (Af „ + М22 + Мзз)] + z2 [ЗМ33 - (М„ + М22 + М33)] +
+ 2 • ЗхуМ 12 + 2 • 3*zMi3 + 2 • 3#zM23}.

II. ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 373
Полином, стоящий в фигурных скобках, является гармониче-
гармоническим полиномом, так как он может быть записан в виде
Vs = -&¦ «** - У2) Wu - М22] - (г* - х*) [М„ - Мзз] +
+ (у2 - z2) [М22 - М33] + 6 [хуМ12 + xzMl3 + yzM23$y
где каждое слагаемое удовлетворяет уравнению Лапласа. Ко-
Коэффициенты, стоящие в квадратных скобках, выражаются че-
через моменты инерции. Момент инерции тела Т относительно оси
х, как известно, равен
т
Аналогично моменты инерции относительно осей у и г равны
В = Мзз + М11; С = Ми+М22.
Отсюда следует, что
М„— М22 = В — А; М„ — М33 = С — А; М22 — М3з = С — В.
В результате мы приходим к асимптотическому выражению
для потенциала
V ^-у +%(хх + уу + zz)+^
+ (у2 - z2) (С - В) + (z2 - х2) (А - С) +
+ 6 (xyMl2 + yzM& + zxM3l)}, F)
справедливому с точностью до членов порядка 1/г6.
Выражение F) упрощается, если поместить начало коорди-
координат в центре тяжести, а оси координат направить по главным
осям инерции:
С)}. G)
Полученное асимптотическое представление потенциала по-
позволяет ответить на ряд вопросов обратной задачи теории по-
потенциала, заключающейся в определении характеристик тела по
его потенциалу (или каким-либо его производным).
В самом деле, определяя коэффициенты разложения F),
можно найти массу, координаты центра тяжести и моменты
инерции тела.
II. Задачи электростатики
В задачах электростатики решение уравнений Максвелла
сводится к отысканию одной скалярной функции — потенциала
ф, связанной с напряженностью поля соотношением
Е = — grad ф.

374 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Используя уравнения Максвелла
div Е= — 4яр,
получим:
Дф = — 4лр.
Таким образом, потенциал удовлетворяет уравнению Пуассо-
Пуассона в тех точках пространства, где находятся электрические за-
заряды, и уравнению Лапласа -— в тех точках, где зарядов нет.
1. Основной задачей электростатики является
отыскание поля, создаваемого системой зарядов на заданных
проводниках. При этом возможны две различные постановки
этой задачи.
I. Задаются потенциалы проводников и требуется опреде-
определить поле вне проводников и плотность зарядов на проводниках.
Математическая формулировка задачи состоит в следующем:
требуется найти функцию ф, удовлетворяющую уравнению
Лапласа Дф = 0 всюду вне заданной системы проводников,
обращающуюся в нуль на бесконечности и принимающую за-
заданные значения щ на поверхностях проводников Sc
Ф Is,- = Фь 4>i = const.
Таким образом, в этом случае мы приходим к первой краевой
задаче для уравнения Лапласа. Единственность ее решения сле-
следует из общей теории.
II. Возможна и обратная постановка задачи. На провод-
проводниках задаются полные заряды. Требуется определить потен-
потенциалы проводников, распределение зарядов по их поверхностям
и поле вне проводников. Решение этой задачи сводится к оты-
отысканию функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа
вне заданной системы проводников, обращающейся в нуль на
бесконечности, принимающей на поверхностях проводников не-
некоторые постоянные значения
Ф \Sl = const
и удовлетворяющей интегральному соотношению на поверх-
поверхностях проводников
v da = — 4net,
где Bi — полный заряд i-го проводника.
2. Единственность решения второй задачи из общей теоремы
не следует, но может быть легко доказана.

II. ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 375
Предположим, что существуют два решения ф1 и <р2 зада-
задачи II. Тогда их разность
q/ = ф, — ф2
будет удовлетворять уравнению
Дф' = 0
и условиям
Ф'Is,. = const, §^-da = 0, ф'|то = 0.
Заключим все заданные проводники внутрь сферы ER достаточ-
достаточно большого радиуса R и применим к функции ф' первую фор-
формулу Грина в области TR, ограниченной сферой Еи и поверхно-
поверхностями проводников Su
Jew*- S*
T T
В силу условий на бесконечности *) и на поверхностях, мы
получим:
lim
откуда, вследствие положительности подынтегрального выраже-
выражения, следует:
Уф' = 0 или ф' = const
всюду в рассматриваемой области. Учитывая условие на беско-
бесконечности ф'|оо = 0, получаем:
что и доказывает единственность поставленной задачи.
3. Из единственности решения краевой задачи для уравне-
уравнения Лапласа следует, что потенциал уединенного проводника
прямо пропорционален сообщенному ему заряду
е~=С.
ф
') Из условия ф'|ос =0 следует регулярность функции <р' на бесконеч-
бесконечности (см. стр. 301), в силу чего
*
' -^— da ->0 при Я -> °о.

-376 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
В самом деле, если на уединенный проводник поместить за-
заряды е и е' = те, то соответствующие потенциалы <р и ф' долж-
должны удовлетворять уравнениям
Д<р = О; Дф' = 0
и граничным условиям
откуда и следует, что ф' — тф = 0, т. е. — = —.
На поверхности уединенного проводника получаем:
в' в
—r = — = C = const.
Эту постоянную С называют емкостью уединенного провод-
проводника. Она не зависит от заряда проводника, а определяется
формой и размерами последнего. Таким образом, для уединен-
лого проводника имеет место соотношение
е = Сф, С = — -г
Емкость уединенного проводника численно равна, заряду, при
сообщении которого проводник приобретает потенциал, равный
1. Если проводник не уединен, то его потенциал существенно
зависит от формы и расположения других проводников. Для
системы проводников имеют место соотношения
е1 ==С11ф1+ С12(ф2 —фО + ... +Сш(ф„ —ф,),
е2 = С21 (ф, — ф2) + С22Ф2 + ... + С2п (ф„ — фа),
еп = С„, (ф, — tpn) + С„2(ф2 — ф„) + ... + С„„ф„,
где ег- и фг — заряд и потенциал i-ro проводника. Величина Сд
имеет смысл взаимной емкости t-ro проводника по отношению
к k-ыу проводнику. Она может быть определена как тот заряд,
который должен быть сообщен t-му проводнику для того, чтобы
все проводники, кроме /г-го, имели нулевой потенциал, а k-й
проводник — потенциал 1.
4. Легко показать, что матрица коэффициентов dh является
симметричной, т. е. имеют место соотношения

II. ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ 377
Для определенности рассмотрим случай двух проводников, хотя
и в случае п проводников доказательство остается тем же.
Пусть заданы два проводника а и Ь. Тогда определение ко-
коэффициентов Саь и СЬо сведется к определению функций Ф~> и
ы<2), удовлетворяющих уравнениям Ды'1' = 0 и Ды<2) = 0 и гра-
граничным условиям
to J dtt ""  ^»a-
Опишем сферу 2R достаточно большого радиуса /?, заклю-
заключающую оба проводника, а и 6, и применим формулу Грина к
функциям ыA> и ы<2> в области между поверхностью Ед и по-
поверхностями ПРОВОДНИКОВ Sa И Sb
= J (u
2S
Интеграл в левой части этого равенства равен нулю. Используя
граничные условия и условия в бесконечности, получим:
ИЛИ
что и требовалось доказать.
5. Перейдем к конкретным примерам.
Рассмотрим задачу о поле заряженного шара. Пусть на по-
поверхности проводящего шара радиуса а задан потенциал ф0.
Решая задачу 1, легко показать, что поле и плотность зарядев
на поверхности шара в этом случае будет определяться выра-
выражениями
и a =
-
Ала
Если вместо потенциала на поверхности шара <р0 задан полный
заряд во, сообщенный шару, то
в ^Т-

378 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
При этом емкость шара
С = а,
т. е. в абсолютных единицах емкость уединенного шара чис-
численно равна его радиусу.
В качестве следующего примера рассмотрим задачу о сфе-
сферическом конденсаторе (система двух концентрических прово-
проводящих сфер).
Пусть внутренний шар радиуса г1 имеет заданный потенциал
Vq, а внешний шар радиуса г2 заземлен. Тогда определение поля
внутри конденсатора сводится к отысканию функции ф, удов-
удовлетворяющей уравнению
Дф = 0
и условиям
ф1Г) = ^о. Ф12 = О.
Легко показать, что в этом случае
а емкость сферического конденсатора равна
Более сложной задачей является определение потенциала
сферы в присутствии другой сферы, не концентрической с дан-
данной. Эта задача решается методом отражений. Аналитическое
решение довольно громоздко, и мы здесь приводить его не бу-
будем1).
6.' Перейдем к двумерным задачам.
В качестве примера рассмотрим цилиндрический конденса-
конденсатор, образованный двумя бесконечно длинными коаксиальными
цилиндрами, на одном из которых равномерно распределен
электрический заряд. Очевидно, что решение задачи одинаково
во всех плоскостях, параллельных плоскости нормального се-
сечения цилиндра. Поэтому задачу можно рассматривать как
плоскую и вместо полного заряда задавать заряд на единицу
длины к.
Если внешний цилиндр радиуса гг заземлен, а нА внутрен-
внутреннем — радиуса /ч— задан заряд к, то потенциал поля в конден-
конденсаторе определяется выражением
') См. Франк и Мизес, Дифференциальные и интегральные уравне-
ния математической физики, т. II, стр. 713, 1937.

III. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ 379
а емкость единицы длины цилиндрического конденсатора равна
с== !_
Рассмотренный пример позволяет решить более сложную за-
задачу определения емкости провода, расположенного над про-
проводящей плоскостью. Пусть над бесконечной плоскостью на
расстоянии I от нее находится бесконечно длинный провод ра-
радиуса р, на котором распределен заряд с плотностью к (заряд
на единицу длины). Ясно, что и эта задача может решаться
как двумерная.
III. Основная задача электроразведки
Для изучения неоднородности земной коры в целях раз-
разведки полезных ископаемых широко применяются электриче-
электрические методы. Основная схема электроразведки постоянным
током заключается в следующем. При помощи заземленных
электродов в землю пропускается ток от питающей батареи. На
поверхности земли измеряются напряжения созданного таким
образом поля постоянного тока. При помощи наблюдений на
поверхности определяют подземную структуру. Методы опреде-
определения подземных структур (интерпретация наблюдений) бази-
базируются на математическом решении соответствующих задач.
Потенциал поля постоянного тока в однородной среде удов-
удовлетворяет уравнению Лапласа
Д1/ = 0 (z>0) A)
при дополнительном условии
dV
дг
= 0, B)
которое означает, что вертикальная составляющая плотности
тока1) на («дневной») поверхности г = 0 равна нулю, так как
полупространство z < 0 (воздух) непроводящее.
Рассмотрим точечный электрод на границе полупростран-
полупространства в точке А. Очевидно, что потенциал поля будет равен
V ^ ~2nR ' C)
где R — расстояние от источника А, р—удельное сопротивле-
сопротивление среды, а / — сила тока. Эта функция отличается от функ-
функции источника в неограниченном пространстве коэффициентом
2 в силу условия B).
') См. стр. 278.

380 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Измеряя разность потенциалов в точках М и N, лежащих
на одной прямой с А, при помощи измерительной цепи, полу-
получим:
где Ал — расстояние между точками N и М.
Предполагая, что точки М и N достаточно близки между со-
собой, получим:
V(M)-V(N) „
Дг
дг — 2лт2
где г — расстояние точки О (центра приемной цепи MN) от пи-
питающего электрода. Сила тока / в питающей цепи известна, так
как регистрируется в течение хода работы. Отсюда для со-
сопротивления однородного полупространства получим:
dV
дг
D)
Если среда неоднородна, то величину р, определяемую по фор-
формуле D), называют кажущимся сопротивлением и обозначают
через pft; р^ не будет постоянной величиной.
Рассмотрим задачу о вертикальном электрическом зондиро-
зондировании, когда слои земной коры залегают горизонтально и со-
сопротивление их зависит только от глубины
p = p(z).
В этом случае кажущееся сопротивление будет функцией
расстояния г = АО. Задача интерпретации результатов верти-
вертикальных электрических зондирований заключается в определе-
определении функции p(z), дающей «электрический разрез» среды по
известным значениям рь(г).
Рассмотрим подробнее задачу о двуслойной среде, когда од-
однородный слой мощности / и сопротивления ро лежит на одно-
однородной среде с сопротивлением pi,
f Ро при 0 < z < /,
РB)~1р, при Кг.
Очевидно, что на небольших расстояниях г <g / кажущееся
сопротивление рп равно р0, так как влияние подстилающей сре-
среды будет сказываться мало. Для больших расстояний (г ~^> I)
pk будет равно р4.
Задача сводится, таким образом, к нахождению решения
уравнения Лапласа Vo в слое 0<г</ и F| в полупростран-
полупространстве z > I. При г = I должны выполняться условия непрерыв-
непрерывности потенциала

III. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ 381
и непрерывности нормальных составляющих плотности, тока
F)
Ро дг
dz
При 2 = 0 потенциал Vo должен удовлетворять условию B),
а в точке А, которую мы выберем за начало цилиндрических
координат (г, q>, z), потенциал Vo должен иметь особенность
типа C)
где Vo—ограниченная функция.
Функция Vi должна быть ограниченной на бесконечности.
Функции Vo и Vi удовлетворяют уравнению A), которое в силу
цилиндрической симметрии задачи приобретает вид
"Г , Л, "Г л_2 '-'•
дг2 г г дг
Метод разделения переменных дает для V два типа решений,
ограниченных при г = 0:
где /о — функция Бесселя нулевого порядка (см. Дополнение II,
ч. I, § 1), а К—параметр разделения. Будем искать решение
в виде
(г, 2) = J (А,е-^ + В^*) /0
где Ао, Во, А\, Bi — некоторые постоянные. Условие B) дает
связь между Ао и Во. Вычислим
?lfi. = _ Ш. 5__— + (- -кАф-1-* + KBoeKz) /0 (%r) dK.
dz 2я (z2 + r2)'E J
OZ ***v у*, i « j =
Условие B) принимает вид
о
при произвольном г, откуда

382 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Из условия ограниченности Vi при г —> оо следует, что
?, = 0.
Таким образом,
оо
УЛг, г)= J Л,е-Л2/0(Ял)ЙЯ
о
и
оо
Уо (г, 2) = J foe-** + Ло (е~>* + е^)] Jo (Ял) d%;
о
при этом мы воспользовались формулой
(8)
(см. Дополнение II, ч. I, § 5) и обозначили -у- = ^.
Оставшиеся постоянные Ло и /^ определяются из условий
E) и F) для z = l, которые сводятся к системе алгебраических
уравнений:
откуда находится коэффициент
(Pi + Ро) - (p, - Ро) е~2и '
и решение Vo для верхнего слоя дается формулой
Vo (г, г) = ¦!&- f \е^г + -7~^ш (е~Кг + e%z)\ /0 (Яг) dl, (9>
о
где положено
Pi — Ро __ .
Pi + Ро
Преобразуем полученное выражение. Так как \k\ <C 1, то мож-
можно записать:
л=1

III. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ 383
- т? f; J кПе
п=О 0
ё Ё J
п=1 О
Отсюда, воспользовавшись формулой (8), получим:
Это выражение для решения (9) может быть сразу написано,
если решать задачу методом отражений. Полагая z = 0, по-
получаем распределение потенциала на поверхности земли
откуда
дУо = /роГ 1
д 2\*
и для ря по формуле D) имеем:
1
где | = л//, f(|) обозначает выражение в квадратных скобках.
При г <С / имеем
Pft = Ро-
Чтобы оценить поведение рл при больших г, устремим в фор-
формуле A2) /•-> оо(|—уоо). Предел n-го члена суммы будет ра-
равен kn, откуда следует, что
— n l+k —n Pi + Ро + (Pi ~ Ро) — п
-Ро !_fc -POp. + po-fp.-poJ-P»-
Сравнивая экспериментальную кривую с кривой, определяемой
формулой A2), мы можем определить р0 по значениям р& при

384 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
малых значениях г, pi по значениям ри при больших значениях г.
Мощность верхнего проводящего слоя / определяется подбо-
подбором. Она равна тому значению /, при котором эмпирическая
кривая как функция p(g)=p(r//) наиболее близко совпадает
с кривой, вычисляемой по формуле A2). На технике подбора,
производимого с помощью билогарифмических масштабов, мы
не будем останавливаться1).
В случае многослойных разрезов кривые для р^ вычисляют-
вычисляются аналогично. Характер электрического разреза среды опре-
определяется при помощи подбора теоретической кривой, наиболее
близко совпадающей с эмпирической. При увеличении числа
слоев техника интерпретации весьма осложняется, так как чис-
число вспомогательных теоретических кривых сильно растет.
Отметим, что при различных электрических разрезах pi (z) Ф
Ф ргB) соответствующие кажущиеся сопротивления также раз-
различны
следовательно, задача об определении электрического разреза
по кажущемуся сопротивлению с математической точки зрения
имеет единственное решение2).
Задачи, аналогичные рассмотренной задаче электроразвед-
электроразведки, встречаются в различных областях физики и техники.
С электростатическими задачами мы встречаемся при кон-
конструировании различных электронных приборов, с тепловыми и
гидродинамическими — во многих областях техники (теплоотда-
(теплоотдача зданиями, фильтрация воды под плотиной и г. д.K).
Задачи определения магнитного поля в неоднородной среде
встречаются, например, в магнитной дефектоскопии. Для опре-
определения дефекта в детали, например наличия пустот под по-
поверхностью, металлическую деталь помещают между полюсами
магнита и измеряют магнитное поле на поверхности детали. По
возмущению магнитного поля требуется определить наличие
дефекта, а также, если вЬзможно, размеры дефекта, глубину
его залегания и т. д.
Для решения задач используются методы моделирования,
основанные на подобии потенциальных полей различной фи-
физической природы4).
') См., например, прекрасную книгу А. И. Заборовского «Электрораз-
«Электроразведка», 1943.
2) А. Н. Тихонов, О единственности решения задачи электроразведки,
ДАН 69, № 6, 797 A949).
3) Н. Н. Павловский, Теория движения грунтовых вод под гидротех-
гидротехническими сооружениями и ее основные приложения, 1922, гл. XIV.
4) А. В. Лукьянов, Об электролитическом моделировании простран-
пространственных задач, ДАН 75, № 5 A950).

IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 385
В самом деле, рассмотрим потенциальные поля в неодно-
неоднородных средах различной физической природы (например, ста-
стационарное поле температур, магнитное поле в неоднородной
среде, электростатическое поле, поле скоростей жидкости при
фильтрации). Потенциальные функции этих полей и(х,у,г)
в каждой однородной области удовлетворяют уравнению Лап-
Лапласа Дм = 0. На границе областей Gi и G2 с различными ко-
коэффициентами теплопроводности, магнитной проницаемости и
т. д. выполняется условие
где ki и k2 — соответствующие физические постоянные.
Пусть на границах равных геометрических областей заданы
численно равные значения потенциалов или их нормальных
производных различных физических полей. Предположим, что
физические неоднородности этих областей геометрически рав-
равны и одинаково расположены; отношения физических постоян-
постоянных (теплопроводностей, магнитных проницаемостей и т. д.)
любой пары соответственных неоднородностей тоже равны. Тог-
Тогда численные значения потенциалов этих полей во внутренних
соответственных точках также равны, так как являются реше-
решением одной и той же математической задачи, имеющей един-
единственное решение.
IV. Определение векторных полей
Наряду со скалярными задачами во многих вопросах элек-
электродинамики и гидродинамики часто встречаются задачи об оп-
определении, векторного поля по заданным ротору и дивергенции
этого поля.
Докажем, что векторное поле А однозначно определено
внутри некоторой области G, ограниченной замкнутой поверх-
поверхностью S, если заданы ротор и дивергенция поля внутри G:
rot А = В, A)
divA = C, B}
а на границе S задана нормальная составляющая вектора А.
An\s = f(M). C)
Отметим, что функции В, С и f не могут быть заданы произ-
произвольно. Должны выполняться соотношения
divB = 0, (Д
JJJ (б)
О
13 А> "• Тихонов, А. А. Самарский.

386 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Функцию f будем считать непрерывной на поверхности S, функ-
функции В и С — непрерывными в G вместе со своими производны-
производными и поверхность S— такой, что для нее разрешима вторая
внутренняя краевая задача при непрерывных граничных зна-
значениях.
Поставленную задачу будем решать в несколько этапов.
Найдем вектор Аи удовлетворяющий условиям
rot Л] = 0, F)
div At = С. G)
Из соотношения F) следует, что
At = grad ф. (8)
Взяв функцию ф в виде
мы удовлетворим и уравнению G). Определим теперь вектор
Аг так, чтобы
rot4> = B, A0)
div42 = 0. A1)
Полагая
,42 = rotil), A2)
мы удовлетворим условию A1). Подставляя A2) в A0), полу-
получим:
grad div г|з — Дг]) = В. A3)
Потребуем, чтобы
div я]? = 0. A4)
Тогда уравнение A3) для вектора г|з примет вдц
Дг1)=-В. A5)
Рассмотрим область d, целиком содержащую область G и ог-
ограниченную поверхностью Si.
Продолжим вектор В в область Gi — G, потребовав выполне-
выполнения условий:
1) нормальная составляющая Вп вектора В на границе S
непрерывна (сам вектор В, вообще говоря, разрывен), Bni =
= Впе',
2) В« = 0 на S,; A6)
3) divB = 0 в Gi — G. D0
Укажем, как осуществить такое продолжение В на область
Gi — G. Положим
B=gradx в G^G.

IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ 387
Условие div В = 0 дает
ДХ=О в Gt-G. A7)
Граничные условия, в силу 1) и 2), имеют вид
|f- = BnJ на S, A7')
Ж = ° на S,, A7")
где В,гг- — предельное значение Вп на внутренней стороне S. Для
функции х мы получим вторую краевую задачу A7) — A7"). Не-
Необходимое условие разрешимости этой задачи
s
выполнено, так как
я«.<«-яг
S О
Положив
= Р(*. у, г), Q = Q(I, tj, 0, i?pO=^-|J + (У-г\J + (г-
мы, очевидно, удовлетворим уравнению A5).
Нетрудно убедиться в том, что условие A4) также выпол-
выполнено. В самом деле, вычислим производные
дх ' ду ' dz '
Представляя интеграл по области G4 в виде суммы интегралов
по G и Gi — G и учитывая соотношение
после интегрирования по частям будем иметь:
Я/1я^яя
О,-О О,-О S S,
где cos a = cos (и, я) \s, cos а, = cos {n, x) |Sj, n — направление
внешней нормали к поверхности.
13*

388 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Для -?*¦ получим:
54*= ± ffr^i±rfT + _L f f вхе-вх1
дх An J J J d% R 4л J J R
G, S
[_ Г Г о cos<
4я J J * R
s,
Аналогичные выражения имеют место для производных
и
Отсюда следует, что
ду " дг '
Ш
О,
В силу условий D), D') и A6), а также непрерывности нор-
нормальных составляющих вектора В на S {Bni = Впе), вектор
Аг, определяемый формулой A2), удовлетворяет уравнению
A0), если вектор ¦$ удовлетворяет условиям A4) и A5).
Ясно, что вектор At -j- Аг удовлетворяет условиям
rot (Л, + А,) = В, A8)
div(A1 + A2) = C. A9)
Чтобы найти вектор А нам остается удовлетворить гранич-
граничному условию C). Для этого найдем вектор Л3, удовлетворяю-
удовлетворяющий условиям внутри G:
rotA3 = 0, B0)
divA3 = 0, B1)
на S
А3п\ s = f № -• Аы |s - А2п \s = Г №. B2)
Ясно, что функция f*{M) определена однозначно. Из уравнения
B0) следует, что
-Аз = grade.
Подставляя это значение Л3 в уравнение B1), получим
внутри G:
Д6 = 0; B3)
условие B2) дает
1
т. е. для определения функции 8 мы получим вторую краевую
задачу. Поэтому вектор А3 определится однозначно.
Таким образом, доказано, что задача A) — C) имеет един-
единственное решение
А = Ах -J- Л2 + А3.

V. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 389
V. Применение метода конформного преобразования
в электростатике
1. Для решения двумерных электростатических задач часто
используется теория функций комплексного переменного. Рас-
Рассмотрим, например, следующую задачу электростатики:
найти электрическое поле нескольких заряженных провод-
проводников, потенциалы которых равны щ, и2, ...
Такая задача, как известно (см. приложение II), приводит
к уравнению
Ды = 0 A)
с граничными условиями
икг- = иь B)
где через S, обозначена поверхность проводника с номером /.
Если поле можно считать плоским, не меняющимся, например
вдоль оси г, то уравнение A) и граничные условия принимают
вид:
дх* + ду* — и' w
и 1с, = "I. D)
где С,- — контур, ограничивающий область S,-.
Будем искать потенциал и как мнимую часть некоторой ана-
аналитической функции
f(z) = v (х, у) + /и (х, у) (z = х + iy), E)
причем в силу условий Коши— Римана
vx = uy, vy = — ux F)
и
VxVy+UxUy = 0. G)
Из граничного условия D) следует, что функция f{z) имеет по-
постоянную мнимую часть на контурах Си ограничивающих наши
проводники.
Обращаясь к условию F), замечаем, что
»(*. У) = const (8)
представляет собой уравнение семейства силовых линий1),
в то время как уравнение
и(х, у) = const (9)
') В самом деле, уравнение силовых линий имеет вид в=——. Заме-
ндя их и-iiy согласно условиям (б) через —vy и vx, получим vxdx + vydy =
= dv = 0 или v(x, у) = const.

390 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
в силу условия G) определяет семейство эквипотенциальных
линий.
Таким образом, для решения поставленной задачи достаточ-
достаточно найти конформное преобразование
w = f(z),
переводящее плоскость комплексного переменного
г = х + iy
на плоскость
w = v + iu,
при котором границы проводников переходят в прямые
и = const
или
1тш = const.
Если известна такая функция w = f(z), то искомый потен-
потенциал находится по формуле
и = и(х, y) = lmf (z).
Зная потенциал, можно вычислить электрическое поле
* E
и плотность поверхностных зарядов на единицу длины по
оси z:
которая в силу условий Коши — Римана равна
<т = Т^|Пг)|. A1)
2. Поле полубесконечного плоского конден-
конденсатора. Найдем поле конденсатора, образованного бесконеч-
бесконечно тонкими металлическими пластинами у = —d/2 и у = d/2,
простирающимися в области х < 0. Не останавливаясь на вы-
выводе конформного преобразования, переводящего, область, изо-
изображенную на рис. 68 в слой | Im w | ^ л, мы применяем его не-
непосредственно к решению указанной задачи •).
Преобразование
z = ~(w + ew) (ш = Ф+/яр) A2)
') См. Франк и Мизес, Дифференциальные и интегральные уравне-
уравнения математической физики, т. II, гл. XV, § 5, 1937.

V. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ
391
переводит плоскость z — х + iy с двумя разрезами (у =
= ±d/2, х<.0) в слой ||
Рис. 68.
плоскости ay =
-п
Рис. 69.
(рис. 69). В качестве комплексного потенциала выберем функ-
функцию
где через «о обозначена разность потенциалов между пласти-
пластинами конденсатора, так что потенциал электрического поля вы-
выражается функцией
и (х, у) = ~-1]), A4)
где яр связано с х и у соотноше-
соотношениями
Рис. 70.
На рис. 70 изображены экви-
эквипотенциальные и силовые линии
полубесконечного плоского кон-
конденсатора.
Перейдем к исследованию поля вблизи края конденсатора.
Из формул A5) видно, что при ф—* — оо
т. е. внутри конденсатора, далеко от краев, поле является пло-
плоским,, а при ф —¦ со
-~гр, A7)
т. е. вне конденсатора, на больших расстояниях от его краев,
эквипотенциальные линии являются кругами.

392 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
Если вместо w ввести комплексный потенциал / = —-ш,
2я г о , .
так что W — —-J, то связь между г и f(z) задается уравнением
( f I ^-
\ «о 2я
откуда с/е^ует:
а при / = ^-(ф±ш) мы получаем:
f-¦*•<'
Полагая мо= 1, мы получим для плотности зарядов а со-
согласно формуле A1) следующее значение:
Отсюда следует, что при ф—>—оо о «* l/4nd, а при ф—>¦ + °°
о» l/4nde<v, т. е. в этом случае плотность зарядов убывает
на внешней стороне пластин как 1/р.
Из формулы A8) видно, что при ф — 0 (на краю конденса-
конденсатора) а = оо. В самом деле, край плоской пластины имеет бес-
бесконечную кривизну и для того, чтобы зарядить его до некото-
некоторого потенциала, необходимо поместить на него бесконечный
заряд.
Круг задач, решаемых методом конформного преобразова-
преобразования, очень широк. С его помощью может быть успешно решен
вопрос о влиянии края толстой стенки плоского конденсатора,
ряд задач, относящихся к влиянию изгибов в конденсаторе
и т. п. Конформное преобразование может быть также приме-
применено к расчету динамических задач. Недостатком изложенного
метода является то, что конформное преобразование приме-„
няется в основном лишь к плоским задачам, сводящимся к дву-
двумерному уравнению Дг« = 0.
VI. Применение метода конформного преобразования
в гидродинамике
1. При решении задач о движении твердого тела
в жидкости существенную роль играют граничные условия
на поверхности тела.
В случае идеальной жидкости граничное условие состоит в
том, что проекция vn скорости жидкости на направление нор-

VI. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ГИДРОДИНАМИКЕ 393
мали к поверхности тела должна равняться нормальной со-
составляющей скорости движения тела.
Если тело неподвижно, то граничное условие принимает про-
простой вид
на поверхности тела.
Если рассматриваемое движение потенциально, т. е.
v = grad ф,
то граничные условия принимают вид
-jT-l = 0 в случае неподвижного тела,
дш I
—21 =ип в случае тела, движущегося со скоростью и.
Как известно из гидродинамики, потенциал скоростей для
несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению
Дф = 0.
Таким образом, задача о потенциальном обтекании твердого
тела потоком несжимаемой идеальной жидкости сводится к ре-
решению уравнения Лапласа
Дф = 0
с дополнительным граничным условием на поверхности обте-
обтекаемого тела
7fcf|s = «"
т. е. к решению второй краевой задачи для уравнения Лапласа.
Если рассматриваемое движение плоское, то решение зада-
задачи может быть получено при помвщи теории функций комп-
комплексного переменного.
В случае плоского движения несжимаемой жидкости урав-
уравнение непрерывности дает:
dvx _д(— vу)
дх ~~ ду • У '
Запишем уравнения линий тока
dx _ dy
vx vv
в виде
vx dy — vy dx = 0 B)
и введем функцию ф при помощи соотношений

394 приложения к- главе iv
Тогда из уравнения A) следует, что левая часть выражения
B) является полным дифференциалом функции ф:
vx dy — Vydx —
Однопараметрическое семейство кривых
представляет собой линии тока несжимаемой жидкости.
Если существует потенциал скоростей, то равенство rot v =
= 0 равносильно уравнению
Из выражений для vx и vv следует:
йф di|) 5ф дф
~дх~~ду' ~ду~ ~дзГ'
т. е. функции ф и i|) удовлетворяют условиям Коши — Римана.
Следовательно, функция комплексного переменного
w (z) = ф (л;, у) + пр (х, у)
является аналитической.
Итак, всякое потенциальное плоское движение жидкости
соответствует определенной аналитической функции комплекс-
комплексного переменного и, обратно, всякая аналитическая функция
связана с определенной кинематической картиной движения
жидкости (точнее, с двумя картинами, так как функции ф и т|)
можно поменять ролями).
Рассмотрим конкретные примеры применения теории анали-
аналитических функций к решению задач об обтекании тел плоским
потоком жидкости.
2. Обтекание кругового цилиндра. Пусть на
круговой цилиндр радиуса г = й набегает плоский поток жид-
жидкости, имеющий на бесконечности постоянную скорость и.
В случае стационарного движения задачу можно обратить и
рассматривать движение цилиндра с постоянной скоростью и
относительно жидкости.
Свяжем с цилиндром неподвижную систему координат и на-
направим ось Ох параллельно скорости движения цилиндра.
На поверхности движущегося в жидкости тел.а, очевидно,
выполняется граничное условие
д-ф __ ду
ds ds •
где ds — элемент дуги на контуре, ограничивающем тело.
В случае поступательного движения со скоростью и это ус-
условие может быть проинтегрировано на поверхности тела, и

VI. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ГИДРОДИНАМИКЕ 395
мы получим:
на поверхности тела.
Итак, наша задача свелась к решению уравнения
с граничными условиями:
1) -ф = иу + С на поверхности цилиндра,
2) -^- и -^- стремятся к нулю на бесконечности.
Последнее условие означает, что функция
dw dty , . дф
~dT — 1Ц + * ~&Г — v* ~ tvv
является вне круга С однозначной аналитической функцией,
обращающейся в нуль в бесконечно удаленной точке. Это по-
позволяет представить функцию w в виде
Положив
Ск = Ак + 1Вк,
мы определим постоянные Ah и Bk из граничного условия
¦ф = иа sin 9 + С,
перейдя к полярным координатам г — aeiB.
Для постоянных получаются выражения
г
1 зГ*
Отсюда
Первый член в выражении для oj выражает циркуляцию интен-
интенсивности Г вокруг цилиндра. В простейшем случае отсутствия
циркуляции мы получим
а2
w = -u—.
Комплексный потенциал для потока, обтекающего неподвиж-
неподвижный цилиндр и имеющего на бесконечности скорость и, имеет

396
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
ВИД
3. Обтекание пластинки. Полученные результаты для
обтекания кругового цилиндра позволяют решать задачи об
обтекании произвольных контуров. При этом применяется ме-
метод конформного преобразования. Рассмотрим его применение
на конкретной задаче об обтекании пластинки.
-х
-а
Рис. 71.
Пусть на бесконечно длинную пластинку ширины 2а, распо-
расположенную на оси Ох (рис. 71), набегает постоянный плоский
поток, имеющий на бесконечности скорость с компонентами и
и v. При помощи аналитической функции
можно установить взаимно однозначное соответствие между об-
областью вне пластинки на плоскости г и областью вне круга
единичного радиуса на плоскости ?. При этом точке г — со
будет соответствовать точка ? = со, а
dz a ^ Л *.
-^- = у>0 при ?=со.
Посмотрим, как изменится условие на бесконечности. Для
комплексного потенциала
мы имеем
w (z) — ф + гф
' dw \ .
I az /г=оо
— сопряженное значение комплексной скорости.

VI. КОНФОРМНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ГИДРОДИНАМИКЕ 397
Найдем значение комплексной скорости фиктивного течения
на плоскости ?:
»@ = »Г'(*I: ?-•?•¦§.
откуда
t.-**- (*-*)•
Итак, фиктивное течение представляет собой обтекаяие ци-
цилиндра единичного радиуса потоком, имеющим на бесконеч-
бесконечности комплексную скорость kVoa. Для такого движения комп-
комплексный потенциал имеет вид
Из соотношения z = f(t,) следует:
Используя эти соотношения, мы получим для комплексного
потенциала жидкости, обтекающей пластинку, выражение '
w(z) = uz —.
В случае отсутствия циркуляции это выражение принимает вид
w (z) = uzr- iv Yz2 — a2.
Из полученных соотношений видно, что скорость на концах пла-
пластинки достигает бесконечно больших значений. В реальных ус-
условиях это, конечно, не имеет места. Наши результаты объяс-
объясняются тем, что мы считаем жидкость идеальной. Применяя
теорему Бернулли, можно найти выражение для силы, дейст-
действующей на обтекаемое жидкостью тело.
Изучением сил, с которыми воздух действует на движущееся
в нем крыло самолета, занимается аэродинамическая теория
крыла. В развитии этой теории исключительная роль принад-
принадлежит русским и советским ученым, в первую очередь Н. Е. Жу-
Жуковскому и С. А. Чаплыгину. В простейшем случае бесцирку-
бесциркулярного обтекания цилиндра плоским потоком жидкости мы по-
получаем парадоксальный результат — поток не оказывает на ци-
цилиндр никакого действия. В случае наложения на поступатель-
поступательный поток циркуляции скорости вокруг цилиндра возникает
сила, действующая на цилиндр перпендикулярно к направле-
направлению скорости потока в бесконечности.
Теория аналитических функций может быть использована
лишь в случае плоского движения. В трехмерном случае при-
приходится прибегать к другим методам решения задачи об

398 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
обтекании жидкостью твердого тела. В общем случае решение
задачи представляет большие трудности. Рассмотрим простей-
простейший случай движения шара в безграничной покоящейся жид-
жидкости с постоянной скоростью. Задача заключается в решении
уравнения
Дф = 0
вне шара с граничным условием
= и cos 0 на поверхности шара
дп
•^- = -^-=-gj = 0 в бесконечности.
Решение ищем в виде
. cos 6
Используя граничное условие, получим:
Ф= —72 COSB,
что и дает решение поставленной задачи.
Во всех рассмотренных случаях мы считали жидкость
идеальной. Для вязкой жидкости граничные условия изменяют-
изменяются. На поверхности тела должно выполняться условие прили-
прилипания, а именно: в точках твердой границы скорость жидкости
по величине и направлению должна совпадать со скоростью
соответствующей точки границы.
Задачи обтекания тел вязкой жидкостью приводят к боль-
большим математическим трудностям. В развитии этой области гид-
гидродинамики большую роль сыграли теории пограничного слоя.
VII. Бигармоническое уравнение
В приложении II к главе II было получено уравнение по-
поперечных колебаний стержня
Задача о колебании тонкой пластинки, свободной от нагрузки
и закрепленной на краях, также приводит к аналогичному урав-
уравнению *)
') В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. Ill, Гостехиздат, 1956.

VII. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ 399
и граничным условиям
и = 0 и -^ = 0 на границе. C)
Кроме того, функция и должна удовлетворять начальным ус-
условиям
и (х, у, 0) = ф (х, у); -^ (х, у,0)=$ (х, у). D)
Если на пластинку действует внешняя сила, распределенная с
плотностью f(x,y), то статический прогиб закрепленной по
краям пластинки будет определяться из уравнения
AA« = f E)
при граничных условиях
ы = 0и-|- = 0. C)
Уравнение
ЛЛы = 0 E')
называется бигармоническим, а его решения, имеющие
производные до 4-го порядка включительно, называются б и-
гармоническими функциями.
Основная краевая задача для бигармонического уравнения
ставится следующим образом:
найти функцию и(х,у), непрерывную вместе с первой про-
производной в замкнутой области S -\- С, имеющую производные
до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению E) или E')
внутри S и граничным условиям на С
F)
где g(s) и h (s) — непрерывные функции дуги s.
При решении формулированной выше задачи B) — D) с
начальными условиями методом разделения переменных пола-
полагают, как обычно,
()T() G)
Подставляя это выражение в уравнение B) и разделяя пере-
переменные, мы приходим к задаче об отыскании собственных зна-
значений уравнения
AAt>-ta> = 0 (8)
при граничных условиях
f = 0, -? = 0 на С. (9)
1. Единственность решения. Докажем, что бигармоническое
уравнение
АДы = 0

400 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
при граничных условиях
u\c = g{s), |г|с = Л(*) C0
ммеет единственное решение.
Пусть существует два решения ui и и%. Рассмотрим их раз-
разность
v = щ — и2.
Функция v удовлетворяет бигармоническому уравнению E') и
однородным граничным условиям
dv
дп
= 0.
С
Применяя формулу Грина
с с
к функциям ф = 1>, я]) = Д1>, получаем:
откуда
До = 0.
Принимая во внимание, что v |с = 0, получаем
v s= 0 и щ s= н2.
Следовательно, бигармоническая функция однозначно опреде-
определяется граничными условиями C').
2. Представление бигармонических функций через гармони-
гармонические функции. Докажем следующую теорему:
если и1 и «2 — две гармонические в некоторой области G
функции, то функция и = xui + «2 бигармонична в области G.
Для доказательства воспользуемся тождеством
2(?& + ??). A0)
Полагая
Ф = х, ¦»]) = «„
найдем:
2-g.. (И)
Применяя еще раз оператор Д, учитывая, что ДДыг = 0, полу-
получим:
ДД(л;и, -f ы2)==0.

VII. БИГАРМОНИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ <01
Если область G такова, что каждая прямая, параллельная
оси х, пересекает ее границу не более чем в двух точках, то
имеет место обратная теорема:
для каждой заданной в области G бигармонической функции
и найдутся такие гармонические функции ut и ы2, что
U = XUi + U2.
Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно
установить возможность выбора функции ui, удовлетворяющей
двум условиям:
Аи, = 0, A2)
Д(ы — хщ) = 0. A3)
Из условия A3) и формулы A1) следует:
Аи = А (*«,) = 2 4g-. A4)
Уравнению A4) удовлетворяет функция
Xo
Так как
то Ай1 зависит только от у:
Аи, = v (у).
Определим функцию щ {у) так, чтобы
5--ill---"&>•
и положим «!==«! + щ. Эта функция, очевидно, будет удовле-
удовлетворять обоим условиям A2) и A3).
Рассмотрим другой вид представления бигармонических
функций. Допустим, что начало координат выбрано внутри об-
области G и что любой луч, выходящий из начала, пересекает
границу области G, в одной точке. Тогда любая бигармониче-
ская в G функция и может быть представлена с помощью двух
гармонических функций щ и щ в виде
u = (r2-rl)Ul + u2. A5)
Здесь г2 = х2 + у2, & Н — заданная постоянная.
Это доказывается аналогично предыдущему с помощью
.тождества A0) и соотношений
Л 2 . дщ ди, дх , дщ ду

402 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ IV
3. Решение бигармонического уравнения для круга. Рассмо-
Рассмотрим круг радиуса -г0 с центром в начале координат и будем
искать бигармоническую функцию, удовлетворяющую при г —
= го граничным условиям F). Как было указано выше, иско-
искомую функцию можно представить в виде суммы
где щ и иг — гармонические функции. Из граничных условий
находим:
u2\r=n = g. A6)
Отсюда видно, что ы2 есть решение первой краевой задачи для
уравнения Лапласа и может быть представлено с помощью ин-
интеграла Пуассона
„,—Lf , Sr°~r2)gda . A7)
2я J r2 + rl - 2rr0 cos (a - 6)
Из второго граничного условия получаем:
= h. A8)
"' г—ra
Нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием,
что функция
+i^ A9)
удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому может быть вы-
выражена интегралом Пуассона
г ди9 1 Г (rl — Ahda
2г0щ+ - = -з г5 1 • B0)
0 ' г0 дг 2я J г2 + г2 - 2rr0 cos (a - 6)
Продифференцировав A7) по г и подставляя значение-г-^- в
формулу B0), найдем Ui. Заменяя в формуле A5) Ui и и2 их
выражениями, получим:
2л
- f -2 2 """" — +
и
_)_ Г S 1го — r cos (a — 6)] da

ГЛАВА V
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
В этой главе рассматривается задача с начальными дан-
данными (задача Коши) для уравнения колебаний
Au=-kl?-f> u = u(M,t) (i;
в неограниченном пространстве (М = М(х,у,г)) и на пло-
плоскости (М = М(х, у)).
§ 1. Задача с начальными условиями
1. Уравнение колебаний в пространстве. Простейшим уравне*
нием гиперболического типа является уравнение колебаний A),
которое в физике часто называют уравнением Даламбера.
В гл. II было показано, что уравнение A) описывает про-
процесс распространения звука в газе, процесс колебаний мембра-
мембраны; в этом случае A) имеет вид
Д2ы = ихх + иуу = -^utt — f {х, у, t).
К уравнению A) приводят также задачи о распространении
электромагнитных полей в непроводящей среде и задачи тео-
теории упругости (см. Приложение 1 к гл. V).
Для уравнения A) рассматриваются задача с начальными
данными (задача Коши) в бесконечном пространстве и краевые
задачи в ограниченной области.
В этой главе мы будем рассматривать задачу Коши в не-
неограниченном пространстве:
найти решение уравнения
), M = M(x,y,z) (I)
при
t>Q, — оо < х, у, z < оо,
удовлетворяющее начальным условиям:
и(М, 0) = q>(M), щ (М, 0) = ^ (М) при t = 0, {2)
f, ф, 1[з — заданные функции.

404 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Решением уравнения A) в некоторой области при />0 бу-
будем называть функцию и(М,t), непрерывную вместе со своими
производными, входящими в уравнение A) во всех точках рас-
рассматриваемой области и для всех t > 0.
Рассмотрим частные решения однородного уравнения
Ам = -^««, C)
обладающие центральной симметрией относительно некоторой
точки Мо, т. е. решения вида
u(M,t) = u(r,t),
где г = гдшо — расстояние между точками М и Мо. В этом слу-
случае уравнение колебаний. C) сводится к одномерному уравне-
уравнению для функции v = ги
vrr = -У »«• D)
В самом деле, если u = u(r,t), то оператор Лапласа в сфери-
сферической системе координат с центром в точке Мо (см. гл. IV, § 1,
п. 3) может быть преобразован к виду
в чем можно убедиться дифференцированием. Поэтому уравне-
уравнение C) принимает вид — {ги)„ = -^ ии. Вводя затем функцию
v = ги, получаем для нее уравнение D). Если функция u(r,t)
ограничена при г = 0, то функция v — ги обращается в нуль
при г = 0, v @, t) = 0. Поэтому задача Коши для уравнения
C) с начальными данными
и (г, 0) = Ф (г), щ (г, 0) =* ф (г) E)
сводится к задаче о колебаниях полуограниченной струны
@ ^ г < оо) с закрепленным концом г — 0:
vrr = -^r vu, v (г, 0) = гф (г), vt (r, 0) = гф (г), v @, 0 = 0, F)
рассмотренной в гл. П.
Общее решение уравнения D) имеет вид:
и, следовательно,

§ I] ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 405
где fi(|) и f2F)—произвольные дважды дифференцируемые
функции. Частные решения уравнения C)
-9 и *-4
называются сферическими волнами; Ui(r,t) есть расходящаяся
сферическая волна, uz(r,t)—сходящаяся в точку г = 0 сфе-
сферическая волна, а — скорость распространения волн. В отличие
I х \
от плоских волн м/±—I сферическая волна убывает обратно
пропорционально расстоянию от центра.
Таким образом, общее решение уравнения C) в случае
центральной симметрии представляется в виде суммы двух сфе-
сферических волн.
Учитывая условие v(O,t), находим 0 = fi(/)+M0 ИЛИ
fz(t) = — fi(t) = f(t) для всех значений t, т. е.
f(i)M7) en
и, в частности,
ы (О,*) =4 ПО- G')
2. Метод усреднения. Рассмотрим в неограниченном прост-
пространстве задачу Коши
uyy+uzz), —oo<x,y,z<oo, t > 0; |
Н<(М.0) = -ф(М), M = M{x,y,z). J
(8)
Предположим, что решение этой задачи существует и найдем
для него интегральное представление. Пусть Мо (х0, уо, z0) фик-
фиксированная точка. Введем сферическую систему координат
(г, G, ф) с началом в точке Мо.
Рассмотрим функцию
= r*dQ), (9)
являющуюся средним значением и на сфере Sr радиуса г
с центром в точке Мо, dQ = sin G dQ dtp.
Из (9) видно, что
0) = u@,t0). A0)
Покажем, что функция ru(r,t)=v, обладающая сферической
симметрией относительно точки Мо, удовлетворяет уравнению
D). Проинтегрируем уравнение (8) по объему шара Кт>

406 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ,У
ограниченного сферой Sr:
кг
Для преобразования левой части полученного равенства ис-
используем первую формулу Грина (глава IV) при v = 1, и =
= п(г,/) и учтем, что нормаль к Sr направлена по радиусу
1ди ди \
\ дп ~~ дг)
о
A2)
Дифференцируя A1) и A2) по г и полагая v = гп, полу-
получим D). Из формулы G') следует, что
^). A3)
Выразим / через <р и ¦$. После дифференцирования и =
f Ит)~^('-т)] по г и 1 найдем 4
при t = 0 и r = at0. Отсюда и из A3)
и (9) следует
-ж dQ\ • A4)
3. Формула Пуассона. Пользуясь начальными условиями (8)
и опуская индекс 0 при Мо, U, получаем из A4) формулу
Пуассона
L sat sat J
{dSP=(atfdQP),
которую, учитывая (9), можно записать в виде
U (М, 0 = -J tMat [ф] + tMat М. A6)

§ 1] ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 407
где
07)
Здесь Sat = Sat — сфера радиуса at с центром в точке М.
Пусть M^ —решение задачи (8) при ф = 0,
u^{M,t) = tMM. A8)
Из A6) видно, что решение задачи (8) можно записать
в виде
где
Из формулы Пуасбона, полученной в предположении суще-
существования решения задачи (8), следует единственность указан-
указанного решения. В самом деле, предполагая, что задача Коши
имеет два решения ы4 и ы2, получим для их разности начальные
условия ф = 0, я]) = 0. Применяя к функции Ui — ы2 предыду-
предыдущие рассуждения, приходим к формуле A5), в которой ф = 0,
яр = 0 и, следовательно, и = 0 или ut = ы2-
Покажем, что функция и{М,t), определяемая формулой
Пуассона, в самом деле дает решение задачи Коши (8), если
ф(х, у, г) непрерывна вместе со своими производными до треть-
третьего порядка, а я])(х, у, z)—до второго порядка включительно.
Доказательство проведем, предполагая сначала, что ф = 0, т. е.
и = ыф. Введем новые переменные а, {5, у, положив ? = х +
+ ata, т) = у + аф, ? = z + aty. Отсюда видно, что а, р, у —
направляющие косинусы радиуса-вектора точки Р(|,т], ?) сфе-
сферы Sat (a = cos (г, х) и т. д.). Тогда интеграл по Sat преобра-
преобразуется в интеграл по сфере Si (ос2 + р2 + у2 = 1) единичного ра-
радиуса, причем dSi = dQi = dS/a2t2, а под знаком интеграла
A5) будет
Ъ(х + ata, у + аф, z + aty) = ф (|, ц, I).
Нетрудно заметить, что
iJJ B0)
= -^ J J
s,
"at
l) Cp. A9) с формулой Даламбера.

408 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
так как ^хх = фк и т. д. При дифференцировании по t под
знаком интеграла B0) получим
Й1 Sat
Дифференцируя B2) по /, найдем (/(ыф )/)* =
-f- (Uq)t = (Uq)t + vt, т. е.
1
Первая формула Грина дает
at
«* «* p
B4)
где Kat — шар радиуса a/, Sp —сфера радиуса р с центром в
точке М (х, у, z). Вычислим производную, пользуясь при этом
равенством B1)
Sat
Отсюда и из B3) следует (нф)« = а2Дыф, т. е. ыф удовлетво-
удовлетворяет уравнению (8). Нетрудно убедиться в том, что функция
dtiq /dt также удовлетворяет уравнению (8), если имеет произ-
производные до третьего порядка включительно.
Покажем, что ы^, определяемая формулой B0), удовлетво-
удовлетворяет начальным условиям. Формулы B0), B2) дают и^(М,0) =
= 0,lim -r- =ty(M), lim-r = 0, так как функция ф непрерыв-
на и все интегралы ограничены. Поэтому, согласно B2), (нф)< =
==7~w*~'~Tt'"~s'1''^ ПРИ ^->0 и аналогично иф ->0 при /->0.
Из формулы A8') для Ыо> видно, что (ы^)« = 0 при / = 0и, сле-
следовательно, функция A6) удовлетворяет условиям (8). Тем са-
самым доказано, что формула Пуассона A6) определяет решение
задачи Коши (8).
Из формулы A6) непосредственно видна непрерывная за-
зависимость решения задачи Коши от начальных данных.
4. Метод спуска. Полученная в предыдущем пункте формула
A9) решает в пространстве (х, у, г) однородное уравнение ко-
колебаний с начальными условиями, являющимися, вообще гово-

§1]
ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
4С9
ря, произвольными функциями переменных х, у и z. Если на-
начальные функции ф и гр не зависят от z, то, очевидно, и функ-
функция и, даваемая формулой A9), также не будет зависеть от
переменного г. Следовательно, эта функция будет удовлетворять
уравнению
ихх
и начальным условиям
: "Г Uyy — "^Г иН — и
и {х, y,O) = q> (x, у),
ut{x,y, 0) = i])(x, у).
Таким образом, формула, дающая решение пространствен-
пространственной задачи, позволяет также решить задачу для плоскости.
В формуле A5) интегрирование происходит по сфере S%.
В силу независимости начальных данных от z интегрирование
по верхней полусфере можно заме-
заменить интегрированием по кругу
2^, получающемуся при пересече-
пересечении'сферы S%t с плоскостью (х,у)
(рис. 72). Элемент поверхности dS
связан с элементом плоскости da
соотношением
da = dS cos y.
где
V(atJ - p2
cosy = -
at
V{at)* - (x - |J - (y -
at
Рис. 72.
To же относится к интегрированию по нижней полусфере; сле-
следовательно, интеграл по кругу следует взять дважды.
В результате мы приходим к формуле
2яа
J J
Ф (j, т)) d% dx\
Я
V 7
в которой интегрирование производится по внутренности круга
радиуса at с центром в точке (х, у).
Аналогично, если начальные функции ф и я]) зависят только
от одного переменного х, то формула A9) позволяет найти

410 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
функцию u(x,t), являющуюся решением уравнения
"** —-^""« = 0
•с начальными данными
и{х, 0) = ф(*),
щ(х,0) = $(х).
Для этого введем сферическую систему координат, направив
полярную ось по оси х. Элемент поверхности dS выразится сле-
следующим образом:
dS = г2 sin В dQ dq> = — г dq> dl,
так как
% = х + г cos 9, d\ = — r sin 6 dQ.
Интегрируя в формуле Пуассона A5) по ф, получим:
[X+at x+at -•
x-at x-at J
Выполняя в первом интеграле дифференцирование по t, прихо-
приходим к известной из главы II, § 2 формуле Даламбера
x+at
/¦<&«. B6)
x-at
Уравнение колебаний с тремя, двумя и, соответственно, од-
одним пространственным аргументом часто называют уравне-
уравнениями сферических, цилиндрических и плоских волн. Эта
терминология вполне соответствует примененному выше методу,
называемому методом спуска, поскольку при решении уравне-
уравнения колебаний на плоскости и на прямой мы исходили из про-
пространственной задачи, как бы «спускаясь» к меньшему числу
переменных. Полученные решения для двух и одного перемен-
переменного носят характер цилиндрических и плоских волн.
Метод спуска применим не только к уравнению колебания,
но и к другим типам уравнений и позволяет в ряде случаев из
формулы, определяющей решение уравнения для многих пере-
переменных, извлечь решение задачи для уравнения с меньшим
числом независимых переменных.
5. Физическая интерпретация. Формулы A5) и B5) дают воз-
возможность выяснить физическую картину распространения сфе-
сферических и цилиндрических волн. Начнем со случая трех
переменных, для которого физический характер процесса рас-
распространения существенно отличается, как мы увидим из даль-
дальнейшего, от случая двух пространственных переменных.

§ 1] ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 411
Ограничимся изучением распространения локального возму-
возмущения, когда начальное состояние (функции ф > 0 и я]з >0)
отлично от нуля только в некоторой ограниченной области То-
Рассмотрим сначала изменение состояния и(М0,t) в точке Мо,
лежащей вне области То (рис. 73). Состояние и в точке Ма
в момент времени t определяется
в силу A5) начальным состоянием
в точках, лежащих на сфере SJ
радиуса at с центром в Мо. Функ-
Функция и (Mo, t) отлична от нуля толь-
только в том случае, если сфера Sat
пересекает область начальных зна-
значений То. Пусть d и D — расстояния
от точки Мо до ближайшей и наи-
наиболее удаленной точек области То
(рис. 73). Очевидно, если t доста-
достаточно мало (t <i ti = dfa), то сфера
S%t не пересекается с областью То, Рис. 73.
поверхностные интегралы в форму-
формуле A5) равны нулю: до точки Мо возмущение еще не дошло.
Начиная с момента ti = dfa до момента fe = D/a сфера
S%t (f, <t < t2) будет пересекать область То\ поверхностные
интегралы в формуле A5), вообще говоря, огличны от нуля:
точка Мо находится в возбужденном состоянии. При дальней-
дальнейшем увеличении t сфера Sat будет содержать область ?"„ вну-
внутри себя, поверхностные интегралы равны нулю: возмущение
прошло точку Мо. Таким образом, при распространении локаль-
локального возмущения в трехмерном пространстве явление последей-
последействия отсутствует.
Рассмотрим теперь мгновенную пространственную картину
возмущения и(М, t0) в некоторый момент t0. Точки М, находя-
находящиеся в возбужденном состоянии, характеризуются тем, что
сферы Saic пересекают область начальных возмущений То.
Иными словами, это означает, что геометрическое место точек
W, в которых возмущение отлично от нуля, состоит из точек М,
находящихся на сферах Sato радиуса at0 с центрами в точках Р
области То. Огибающие семейства сфер SatQ будут границами
области W. Внешняя огибающая называется передним фронтом,
внутренняя — задним фронтом распространяющейся волны. На
рис. 74 изображены передний и задний фронты волны (/ и 2)
для того случая, когда область То является сферой радиуса Ro.
Таким образом, начальное возмущение, локализованное
в пространстве, вызывает в каждой точке Мо пространства

412
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. V
действие, локализованное во времени; при этом имеет место рас-
распространение волны с резко очерченными передним и задним
фронтами (принцип Гюйгенса).
Перейдем к случаю двух переменных.. Пусть начальное воз-
возмущение задано в области So на плоскости (х, у). Рассмотрим
изменение состояния и(М0, t) в точке Мо, лежащей вне So. Со-
Состояние u(M0,t) в точке Мо в момент t определяется согласно
B5) начальными значениями в точках Р, принадлежащих кру-
ту 2$о радиуса at0 с центром в Мо. Для моментов времени
t < ti = dfa (d — расстояние от Мо
до ближайшей точки области So)
функция и(М0, t) = 0— до точки Мо
возмущение еще не дошло. Если
t>t\, то и(М0, г)Ф0. Это зна-
значит, что, начиная с момента t = tit
в точке Мо возникает возмущение,
которое сначала, вообще говоря,
возрастает, а затем, начиная с не-
некоторого момента, постепенно убы-
убывает до нуля (при t-*-oo). В этом
явлении последействия и заключа-
заключается отличие плоского случая от
пространственного. Влияние началь-
ных возмущений, локализованных
на плоскости, не локализовано во
времени и характеризуется длительно продолжающимся после-
последействием. Принцип Гюйгенса не имеет места.
Мгновенная картина возмущений на плоскости имеет резко
очерченный передний фронт, но не имеет заднего фронта. За-
Задачу для двух измерений можно рассматривать как про-
пространственную задачу, когда начальные возмущения заданы
в бесконечном цилиндре и не зависят от третьей координаты.
Пользуясь этой схемой, легко себе представить процесс после-
последействия.
6. Метод отражения. Задача с начальными условиями для
уравнения колебаний в случае областей, ограниченных плоско-
плоскостями, может быть решена методом отражений.
Рассмотрим задачу для полупространства г > 0:
найти решение уравнения колебаний
Рис- 74-
удовлетворяющее начальным условиям
u{x,y,z,O)-=cp(x,y,z),
щ(х, у, z, 0) = ij> (х, у, z)

§ I] ЗАДАЧА С НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ 413
и граничному условию
и\ =0 или —I =-0.
1г=0 аг 1г=0
Решение этой задачи дается формулой A5), если начальные
условия продолжить на все пространство нечетно по г (при
«|z=0 = 0)
<р(х,у, z) = — <p(x,y, —z); ^{x,y,z) = — ^(x,y, —z)
или четно (при -?- = 0)
\ °f 12=0 /
4>(х, У, z) = q>(x, у, —z); я|)(*. У, г) = ^(х, у, — z).
Проверим, что при нечетном по переменной г продолжении
функций ф и г]) граничное условие u|z=o = O выполняется авто-
автоматически. В самом деле,
и (Р, 0 = я (х, у, 0, t) =
4ла I dl J J af J J a< I '
I oP oP I
так как поверхностные интегралы по сферам с центрами в точ-
точках плоскости z = 0 равны нулю при нечетных функциях ф и г]).
Аналогично может быть решена задача для плоского слоя
0 ^ z г?1 / при граничных условиях первого и второго рода
и = 0 при 2 = 0 и z = l
или
-^- = 0 при г = 0 и 2 = /
и соответствующих начальных условиях.
Формула A5) сразу же дает решение задачи, если началь-
начальные условия продолжить нечетно (или четно) относительно
плоскостей 2 = 0 и z = /. Определяемые таким образом началь-
начальные функции ф и г]) будут периодическими по переменному z
с периодом 21 (ср. гл. II, § 2, п. 7).
Если в слое 0 < г < / начальные функции ф и ф являются
локальными функциями, отличными от нуля в области То, то
продолженные функции будут отличны от^нуля в ряде областей
Тп, получающихся из То при помощи зеркальных изображений-.
Функция и(М,t) для всякого М и t представляется как сумма
конечного числа слагаемых, определяемых возмущениями в Тп
(ср. с главрй II, § 2, п. 7). Физический смысл этого заключает-
заключается в том, что за конечный промежуток времени происходит ко-
конечное число отражений от стенок 2 = 0 и z = I. Аналогично
Может быть решена задача для параллелепипеда.

414
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
П"Л. V
§ 2. Интегральная формула
1. Вывод интегральной формулы. При решении уравнения
колебания струны
методом распространяющихся волн мы широко пользовались
понятием характеристического угла. Переходя к ре-
решению уравнения колебания на плоскости или в пространстве
A)
рассмотрим поверхность
— гммй = I ' — А) I»
называемую характеристическим ко ну сом для точки
Мо и момента t0. Совокупность точек «фазового» пространства
Случай п-2
Рис. 75.
(M,t), в которые приходит сигнал, распространяющийся со ско-
скоростью а и вышедший из точки Мо в момент t0, определяется
уравнением
и является верхней полостью характеристического конуса точ-
точки Мо. Аналогично сигнал, вышедший из точки М в момент t,

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА 415
приходит в точку Мо в момент t0, если
— /"ЛШо = ^0 — t {t < ^о) •
Геометрическое место таких точек (М, t) образует нижнюю по-
полость характеристического конуса (рис. 75).
Для определения в точке (Мо, to) функции и(М,t), пред-
стацляющей решение уравнения A), введем вместо времени t
локальное время t* точки Мо, полагая
и оставляя при этом неизменными геометрические координаты.
Пользуясь сферической системой координат (г, 8, ф), связанной
с точкой Мо, мы приходим к новой системе переменных
г'=г, е*=е, Ф*=ф, <*=*_(*0—1)..
Установим уравнение, которому удовлетворяет функция
и (г, е, ф, t) = и (л е\ ф', r + to-±) = и (г*, 8*. ф*. п.
Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид
U йг2 + г дг "•" г2 sin в дд Vm дв ) + г1
I д2и
sin2 6 dq>*
Выразим производные функции и через производные функ*
ции U:
—
Щ = Vf, щ, = U цч*.
Уравнение A) переходит в уравнение
Д </ = - ^--^г (r*t/,.) - f (г*, е*. ф', о, B)
где
Пусть точка Мо (х0, уо, z0) принадлежит некоторому телу Т, огра-
ограниченному поверхностью S. Рассматривая B) как неоднород-
неоднородное уравнение Лапласа, в котором t* играет роль параметра,

416 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
воспользуемся основной формулой Грина (глава IV). Приме-
Применим ее к области Т, полагая при этом t* = О*):
Точка Мо является особой точкой сферической системы коорди-
координат. Поэтому объемные интегралы естественно рассматривать
как пределы при е-*0 соответствующих интегралов, взятых по
объему Т— ТЕ, где Те — шар радиуса е с центром в точке Мп.
Преобразуем объемный интеграл
л,=
~Т—Т~
г-те
Интегрируя по переменному г*, получим:
Я
так как
dSn = dS cos (О*) = г*2 sin 9* dB* dqf.
Второе слагаемое в /е стремится к нулю при е->-0, так как
площадь поверхности Se равна 4яе2. Таким образам, предел /е
при е->0 равен
/o~J J J or'2 dr* V dt*
V )) ar^dt*
так как
') В силу принятого в главе IV условия знаки в формуле соответствуют
внешней нормали.
2) При этом преобразовании мы пользуемся тем, что dx = (г*J dQ dr,
интегрируем по г* и затем заменяем dQ— „2-.

§ Z] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА 417
что дает:
, 2 dU Л
Вернемся к старым переменным и функции и:
u(M,t)=U(M,t') (t = f + to-^
так что
а также
_dU_ , 1 at/ tfr
В результате для функции и(Мо, f0) получаем следующую ин-
интегральную формулу:
часто называемую формулой Кирхгоффа *). Здесь квадратные
скобки показывают, что значение функций надо брать для t* =
= 0, т.е. при t = t0--^-, так что [/] = ()
2. Следствия из интегральной формулы. Формула C) нахо-
находит свое применение при решении целого ряда задач. В каче-
качестве первого примера рассмотрим задачу с начальными дан-
данными:
найти решение уравнения колебаний
Au-~utt = 0
в неограниченном пространстве, если заданы начальные условия
') Формула Кирхгоффа была обобщена С. Л. Соболевым для уравнения
гиперболического типа с четным числом переменных. При помощи этой фор-
формулы Кирхгоффа — Соболева может быть построено решение задачи с началь-
начальными условиями для указанного уравнения (С. Л. Соболев, ДАН СССР,.
1933).
14 А, Н. Тихонов, А. А. Самарский

418 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ, V
Нижняя полость характеристического «конуса» г = a(to — t)
точки (Mo, to) пересекается с многообразием t = О по сфере
S^°o {r=at0) радиуса ato с центром в точке Мо. Воспользуемся
формулой C), полагая в ней S = Sal,- Для любой функции
v (M, t) значения [v] на сфере S^l имеет вид
= о(М, 0), так как
Поэтому, если точка М лежит на сфере Sat\, то
Далее
1йф д
Подставляя это выражение в C), находим:
Г ~~а~ (Г(Р) ~\ 'Щ dS =
"ate
LaU
откуда, опуская индексы 0 при Мо и t0, получаем формулу
Пуассона
-
--)
(см. A5), § 1).
В качестве второго примера рассмотрим теперь решение не-
неоднородного волнового уравнения с нулевыми начальными дан-
данными. Выбирая по-прежнему S = Satl, убеждаемся в том, что
поверхностный интеграл в C) обращается в нуль, вследствие
чего получаем:
^|||ВД E)
где Tatl — шар радиуса at0 с центром в Мо. Исследуем подроб-
подробнее тот случай, когда правая часть является периодической

§ 2] ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА 419
функцией времени
где со — заданная частота колебаний. Из E) находим:
=^, г^гмм). F)
Пусть fo(M)—локальная функция, т. е. функция, отличная
от нуля только внутри некоторой области Т. Если Мо лежит вне
области Т и расстояние от Мо до ближайшей точки области Г
равно й, то интеграл Tata равен нулю для to < d/a. Для таких
значений возмущение не успевает дойти до точки Мо. Если рас-
расстояние от Мо до наиболее удаленной точки области Т равно D,
то для моментов to > D/a интеграл в правой части постоянен и
сводится к интегралу, распространенному по всей области Т.
Таким образом, во всякой точке Мо, начиная с момента to =
= D/a, имеют место периодические колебания с амплитудой
1 Г Г Г р мм*
v(M0)=~ I I fo(M) —r dxM, G)
так что
Прямая подстановка выражения F) для и (при f0 > D/a)
в уравнение колебаний показывает, что функция v(M) должна
удовлетворять уравнению
bv + &v = -fo(M) {k>a>/a), (8)
которое мы будем в дальнейшем называть волновым урав-
уравнением (см. главу VII). Оно часто также называется урав-
уравнением Гельмгольца.
Рассмотрим формулу C) для случая установившихся коле-
колебаний, когда
и{М, t) = v
где v (M) — амплитуда колебаний, удовлетворяющая волново-
волновому уравнению (8).
В этом случае имеем:
[и] = u(M,t- ^) = v
\ e ' [dt\—
14*

420 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Подставляя эти выражения в формулу C), приходим к инте-
интегральной формуле для волнового уравнения (8):
О)
которая часто также называется формулой Кирхгоффа.
При k = 0 (со = 0 — статический случай) формула (9) пе-
переходит в основную формулу Грина (гл. IV, § 2) для неодно-
неоднородного уравнения Лапласа.
§ 3. Колебания ограниченных объемов
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие
волиы. Задача о колебании ограниченных объемов состоит в сле-
следующем:
найти решение уравнения
div(? grad и) — q(М)и = р(М)utt, k>0, <7>0, A)
где
М = М(х, у, z), внутри некоторого объема Т, ограниченного
замкнутой поверхностью Е, удовлетворяющее дополнительным
условиям
ы(М,0) = <р(М), ut(M,0)=^(M) в Т + 2, B)
u|s = 0 для *>0. C)
В случае однородной среды (k = const, p = const) для q — 0
уравнение A) принимает вид
С задачами подобного типа мы встречаемся при изучении про-
процесса колебаний мембраны (случай двух независимых геометри-
геометрических переменных), акустических колебаний газа, электромаг-
электромагнитных процессов в непроводящих средах. Особое значение
представляют задачи, связанные с генерацией электромагнит-
электромагнитных колебаний в замкнутых полых резонаторах (эндовибрато-
ры, клистроны, магнетроны и т. д.).
Заметим, что однородность граничного условия C) не свя-
связана с ограничением общности. В самом деле, случай
u\s = \i, C')

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ #1
где [I — произвольная функция точки Р поверхности S и вре-
времени t, легко сводится к случаю однородного граничного усло-
условия методом, который изложен в § 3 главы II для одного пере-
переменного и заключается в том, что рассматривается отклонение
от заданной функции. Аналогично ставятся вторая и третья
краевые задачи.
Будем искать решение и(М, t) однородного уравнения A)
с условиями B) и C) методом разделения переменных. В даль-
дальнейшем мы ограничимся изложением формальной схемы реше-
решения. С этой целью рассмотрим основную вспомогательную за-
задачу (ср. § 3 гл. II):
найти нетривиальное решение однородного уравнения
div (k grad и) — qu = putt в T, t > 0 (k > 0, р > 0, q > 0), (Г)
удовлетворяющее однородному граничному условию
«ls = 0, C)
представимое в виде произведения
D)
Подставляя предполагаемую форму решения D) в A) и раз-
разделяя, как обычно, переменные, приходим к следующим урав-
уравнениям для функции v(M) и T(t):
div (k grad v) — qv + Kpv = 0, v Ф 0; 1
4 = 0; J E)
T" + KT=0. F)
Для v(M) получаем задачу на собственные значения (за-
(задачу Штурма — Лиувилля):
найти те значения параметра Я, при которых существуют
нетривиальные решения задачи:
= O (k > 0, q>0, p > 0),
)
E)
а также найти эти решения. Такие значения параметра Я на-
называются собственными значениями, а соответствующие им не-
нетривиальные, решения— собственными функциями за-
задачи E).
Остановимся подробнее на этой задаче, аналогичной основ-
основной задаче § 3 главы П. В нашем случае уравнение для соб-
собственных функций представляет собой уравнение с частными
производными, вследствие чего трудно рассчитывать на полу-
получение явного представления собственных функций для произ-
произвольной области Т. В дальнейшем (пп. 2 и 3) будут рассмотрены

422 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
примеры областей Т, для которых явное представление
возможно, хотя и требует введения нового класса специальных
функций. Здесь мы рассмотрим общие свойства собственных
функций и собственных значений и проведем формальную схе-
схему метода разделения переменных. Перечислим эти свойства.
1. Существует счетное множество собственных значений
Ai ^ %г ^ • •. ^ Яп г=: ..., которым соответствуют собственные
функции
vx (х, у, z), v2 (х, y,z), .... vn (х, у, z), ...
Собственные значения Я„ с возрастанием номера п неограни-
неограниченно возрастают; Кп —*¦ оо при п —> оо.
2. При q ^ 0 все собственные значения Я положительны:
3. Собственные функции {vn} ортогональны между собой с
весом р(х, у, z) в области Т:
J vm (M) vn (M) p (M) dxM = 0 (m Ф п), G)
г
М = М(х, у, z); dxM == dxdy dz.
4. Теорема разложимости. Произвольная функция
F(M), дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетво-
удовлетворяющая граничному условию
F = 0 на Е,
разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по соб-
собственным функциям {vn(M)}:
где Fn — коэффициенты разложения.
Доказательство свойств 1 и 4 основывается обычно на тео-
теории интегральных уравнений. Перейдем к доказательству
свойств 2 и 3, не требующему специального математического ап-
аппарата. Докажем ортогональность собственных функций {vn}
(свойство 3). Пусть vn(M) и vm(M) —две собственные функ-
функции, соответствующие различным собственным значениям Яп
И 'Km.
¦&(**)+?(*?)+&(**)-«*+»¦¦'«.-<•.

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 423
причем vm = О и vn = 0 на S. Умножая первое уравнение на
vn(M) и вычитая из него второе уравнение, умноженное на
vm(M), находим:
J J J №п div (k grad oj — vm div (ft grad »„)} d% +
+ (К — xn)jjj vnvmp dx = 0.
T
Отсюда после преобразований, аналогичных тем, которые ис-
используются при выводе второй формулы Грина *), получаем:
2 Г
В силу граничных условий vm = 0 и vn = О на 2,
(Ят - Я„) J J J vmvnp dx = 0,
7"
откуда и следует, что при "km Ф Я„
Л/отОвР^т = 0 (тфп),
Т
т. е. собственные функции, соответствующие разным собствен-
собственным значениям, ортогональны между собой с весом р(М).
При изучении аналогичной краевой задачи для одного не-
независимого переменного
было доказано, что каждому собственному значению соответ-
соответствует одна нормированная собственная функция. Для двух и
трех независимых переменных это обстоятельство не имеет мес-
места. Как видно из примеров собственных функций прямоуголь-
прямоугольника и круга, рассмотренных ниже (пп. 2 и 3), одному и тому
же собственному значению может соответствовать несколько
собственных функций. Однако каждому собственному значению,
как это следует из теории интегральных уравнений, может со-
соответствовать лишь конечное число собственных функций, ли-
линейно-независимых между собой. Пусть некоторому значению
') В эту формулу входят нормальные производные собственных функций
на поверхности 2. Обоснование этой формулы для поверхностей типа Ляпу-
Ляпунова см. В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. IV, Физматгиз, 1958.

424 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
%п соответствует система линейно-независимых функций v%\
vin '• • • • > &nm)- Очевидно, что любая линейная комбинация этих
функций
т
5„ = 2а.»<'>
также является собственной функцией для того же собственно-
собственного значения Кп- Пользуясь известным приемом ортогонали-
зации1), можно построить функции v^\ ..., й{,т), являющиеся
линейными комбинациями исходных функций и ортогональные
между собой. Таким образом, если собственные функции, соот-
соответствующие некоторому Кп, не ортогональны между собой, то
мы можем ортогонализировать их и получить новую систему
собственных функций, ортогональных между собой и соответ-
соответствующих тому же Кп-
Совокупность таких систем собственных функций для раз-
разных Кп образует ортогональную систему собственных функций
рассматриваемой краевой задачи
div (k grad v) — qv + Kpv = 0,
0 = 0 на 2-
Число
называется нормой собственной функции. Умножая каждую
функцию vn на -г.—п-, получим систему собственных функций,
нормированных к единице.
Для доказательства положительности собственных значений
(свойство 2) достаточно воспользоваться первой формулой Гри-
Грина
Jj(fc grad tO2rfT =
г
= ~ J J J
T
Vn div {k grad Vn) d% + II Vnk ЖdG =
T
T
Отсюда видно, что при q ^э= 0 собственные значения Кп поло-
положительны.
') См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т, IV, Физ-
матгиз, 1958.

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 425
В дальнейшем мы будем пользоваться теоремой разложимо-
разложимости (свойство 4), отсылая за доказательством к соответствую-
соответствующему разделу интегральных уравнений. Пусть
n
Отсюда обычным способом, используя условие ортогональности
G), находим коэффициенты разложения
J J j F(M)vn(M)pdr
T • (8)
Вернемся теперь к уравнению в частных производных. Ре-
Решение уравнения
имеет вид
Тп (/) = Ап cos VKt + Bn sin
так что решением нашей основной вспомогательной задачи бу-
будет произведение
ип (М, t) = Тп (t) vn (M) = {Ап cos VKt + Bn sin VTJ) vn (M).
Общее решение исходной задачи с начальными данными есте-
естественно искать в виде суммы
и {М, t)=%un (M, t) = 2 (Ап cos VKt + Bn sin VKt) vn (M). (9)
Удовлетворяя начальным условиям B)
ы(М>0) = ф(УИ)=2 Anvn(M),
l
2
щ (М, 0) = ф (М) = S Вп VKvn (М)
и пользуясь Теоремой разложимости 4, находим:
Л„==ф„, BnVK = ^n,
где ф„ и tyn — коэффициенты Фурье функций q>(M) и 1])(М)
в их разложении по ортогональной с весом р(М) системе функ-
функций vn(M). Тем самым формальное построение решения исход-
исходной задачи закончено.

426 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Физическая интерпретация полученного решения вполне ана-
аналогична случаю одного переменного. Частные решения
ип (М, t) = (Ап cos VKt + Вп sin VIJ) vn (M)
представляют собой стоячие волны, которые могут суще-
существовать внутри ограниченного объема Т.
«Профили» стоячих волн, определяемые функцией vn(M),
для разных моментов времени отличаются лишь множителем
пропорциональности. Линии или поверхности (соответственно
для двух или трех переменных), вдоль которых vn(M) = О, на-
называются узловыми линиями (поверхностями) стоячей
волны vn(M). Точки, в которых vn(M) достигает относитель-
относительных максимумов или минимузиов, называются пучностями
этой стоячей волны 4). Общее решение представляется в виде
бесконечной суммы таких стоячих волн. Возможность представ-
представления общего решения в виде суммы слагаемых подобного типа
и означает возможность представления произвольного колеба-
колебания в виде суперпозиции стоячих волн 2).
Таким образом, задача о колебании мембран или объемов
сводится по существу к нахождению соответствующих собст-
собственных функций. В пп. 2 и 3 мы рассмотрим колебания прямо-
прямоугольной и круглой мембран, обращая при этом главное вни-
внимание на построение собственных функций. Как уже отмечалось
выше, нахождение собственных функций в явной аналитической
форме сопряжено с большими трудностями для областей более
сложной формы. В случае произвольных областей для построе-
построения собственных функций могут быть использованы прибли-
приближенные методы. Существуют различные приближенные мето-
методы, основанные на использовании интегральных уравнений,
вариационных принципов, конечных разностей.
2. Колебания прямоугольной мембраны. Процесс колебаний
плоской однородной мембраны, как было показано в главе II,
§ 1, описывается уравнением колебаний
ы„ = а2Ди. A0)
Пусть в плоскости (х, у) расположена прямоугольная мем-
мембрана со сторонами 64 и bz, закрепленная по краям и возбуж-
возбуждаемая с помощью начального отклонения и начальной ско-
') Если возбудить колебания мембраны, посыпанной песком, то песок
из пучностей будет сбрасываться к узловым линиям, образуя при этом так
называемые хладииевые фигуры, воспроизводящие узловые линии собствен-
собственных функций.
2) Обоснованию метода разделения для случая многих переменных по-
посвящена работа О. А. Ладыженской (ДАН СССР 85, 3 A952)) и работа
В. А. Ильина, О разрешимости смешаных задач для гиперболических и пара-
параболических уравнений, УМН 15, вып. 2 A960),

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 427
рости. Для нахождения функции u(x,y,t), характеризующей от-
отклонение мембраны от положения равновесия, мы должны ре-
решить уравнение колебаний
при заданных начальных условиях
и{х, у, 0) = у
и граничных
условиях
и@, у,
и{х, 0,
0 = 0,
0 = 0,
и(Ьи
и(х,
У>
ь2,
0=0,
0 = 0.
A2)
A3)
Мы ищем, как обычно, решение методом разделения перемен-
переменных, полагая
,t) = v(x,y)T(f). A4)
Подставляя A4) в A0) и разделяя переменные, получаем для
функции T(t) уравнение
0, A5)
A6)
а для функции v (x, у) — следующую краевую задачу:
v хх + vyy -f lv = 0;
о @,0) = 0, v{bby) = O;
v (х, 0) = 0, v (х, Ь2) = 0.
Таким образом, сама задача для собственных значений со-
состоит в решении однородного уравнения в частных производных
при однородных граничных условиях. Будем и эту задачу ре-
решать методом разделения переменных, полагая
v(x,y) = X(x)Y(y).
Проводя разделение переменных, получаем следующие од-
одномерные задачи на собственные значения:
= O, 1
= 0; J { '
-O, 1
= 0, J (О)
где v и ц — постоянные разделения переменных, связанные со-
соотношением ц-\-х = К. При этом граничные условия для Х(х)
и У (у) вытекают из соответствующих условий для функции о,

428 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Например, из
@)
следует Х@) = О, так как Y(у) =^= О (мы ишем нетривиальные
решения).
С решением задач, подобных A7) и A8), мы уже встреча-
встречались при изучении колебаний струны. Решения уравнений A7)
и A8) имеют вид
Собственным значениям
(ту,(тп
таким образом, соответствуют собственные функции
пп . тп
X Sin
. . пп . тп
, т = К, т Sin -^ X Sin -j- у,
где Ап> т — некоторый постоянный множитель. Выберем его так,
чтобы норма функции о„, т с весом I была равна единице
6|
J
0
о
Отсюда
—у bib2
Ортогональность функций {vn>m} очевидна и не нуждается в
доказательстве. Следовательно, функции
vn, m (х, у) = у з^-sin -^ х sin -j- у A9)
образуют ортонормированную систему собственных функций
прямоугольной мембраны.
Число собственных функций, принадлежащих %п,т (крат-
(кратность Кп, т), зависит от количества целочисленных решений п
и т уравнения
(пя\*,(тп
Найденная система собственных функций vn,m такова, что
любая функция F(x,y), дважды непрерывно дифференцируемая
и удовлетворяющая граничному условию, может быть разло-
разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по vnm. Это

§3]
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ
429
утверждение можно обосновать, сославшись на теорию кратных
рядов Фурье.
Покажем, что система A9) содержит все собственные функ-
функции нашей задачи о собственных значениях. Предположим, что
существует собственная функция «о, принадлежащая собствен-
собственному значению Яо- Так как функция и0 ортогональна всем соб-
собственным функциям, принадлежащим другим значениям Я, то
в ее разложении по системе A9) останется лишь конечное чис-
число членов, соответствующих собственным функциям, принадле-
принадлежащим собственному значению Яи, т = Яо. Поэтому «о является
линейной комбинацией лишь тех функций A9), которые соот-
соответствуют Яи, т = Яо- Таким образом, все функции прямоуголь-
прямоугольной мембраны даются формулой A9).
a)
6)
\
О
Рис. 76.
Возвращаясь к исходной задаче для уравнения A0), мы ви-
видим, что частные решения
Un, m = Vn, m (X, у) (В„, m COS VK,mat + ^п, т SI
представляют собой стоячие волны, профиль которых опреде-
определяется собственными функциями vn, m- Геометрические места
точек внутри прямоугольника, в которых собственные функции
обращаются в нуль, называются узловыми линиями. Рассмот-
Рассмотрим для простоты квадрат со стороной b(bi = b2). Узловые ли-
линии функции
2 . пя пп
Vn т = "Г Sin -т- X Sin -г- II
"¦m b b b *
являются прямыми, параллельными осям координат (рис. 76, а).
При кратных собственных значениях линейная комбинация
собственных функций также будет собственной функцией.
Ее узловые линии могут иметь весьма сложную форму (рис. 76, б).

430 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Искомое решение уравнения A0) при дополнительных усло-
условиях (И) — A3) имеет вид
оо оо __
и{х, у, t) = 2 2 (Bn.mcosVK.mat + fin.msinУК.та*)vn.m(x,у),
l I
где vn<m определяется формулой A9), а коэффициенты Вп%т и
В„,т равны:
6, Ь,
В„,т = ] \<9{x,ij)vn,m{x,ij)dxdy =
о о
о о
ь, ь.
-x sin
V а
б, 6,
,
-i- Г
b,b2 J J
3. Колебания круглой мембраны. При изучении колебаний
;руглой мембраны полезно перейти к полярным координатам.
Ъгда уравнение колебаний запишется в виде
круглой мембраны полезно перейти к поляр
Тогда уравнение колебаний запишется в виде
Будем искать решение этого уравнения при заданных на-
начальных условиях
и(г,е,о)=Л(г,е),
Mr,e,0)=/2(r,e)
и граничном условии
и(г„, 6,0 = 0 B2)
(закрепленная по краям мембрана радиуса г0). Как и в слу-
случае прямоугольной мембраны, мы прибегаем к разделению
переменных. Положив
мы получим уравнение для T(t)
= СХ cos Уа?М + С2 sin

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 431
и следующую задачу на собственные значения для функции
v(r,B):
1 d2v
| v @, 6) | < °o (условия ограниченности),
v(r0, 6) = 0 (граничное условие),
v (г, 6) = v (г, 6 + 2л) (условие периодичности).
Функция v должна быть однозначной и дифференцируемой
функцией точки; поскольку же 6 является циклической коорди-
координатой, то для однозначности v мы должны потребовать, чтобы
выполнялось условие периодичности с периодом 2я, т. е.
и(г,е + 2я) = г;(г, 6).
Положим
Подставляя предполагаемую форму решения в наше уравнение
и производя деление на R®, получаем:
Т ~йг V dr
R "•"
Отсюда приходим к уравнениям
в' F) = в' F + 2л);
Нетривиальные периодические решения для 0F) существуют
лишь при (д,2.= п2 (п — целое число) и имеют вид
6„ F) = Dln cos пв + D2n sin п6.
Отметим, что собственному значению п2 принадлежат две ли-
линейно-независимые собственные функции cos пв и sin пВ.
Для определения функции R (г) мы имеем уравнение
)-° си»
с однородными граничными условиями
|Я@)|<оо.

432 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Таким образом, для определения функции R (г) мы должны ре-
решить задачу о собственных значениях.
Второе условие, налагаемое на функцию R(r), представляю-
представляющее условие ограниченности при г = О, связано с тем, что
г = О является особой точкой уравнения; для особых же точек
в качестве граничного условия достаточно выставить требова-
требование ограниченности (см. Дополнение II, ч. I).
Вводя новую переменную
и обозначая
получим для определения функции у{х) уравнение цилиндри-
цилиндрических функций п-го порядка (см. Дополнение II, ч. I)
dx2 ' * dx л \L ~~ x2)y~" ^
с дополнительными граничными условиями
У \"*0/ *J V-^O r ' 0/9 \ )
I 0@) |< 00.
Общее решение уравнения цилиндрических функций имеет вид
где 1п(х) —функция Бесселя, Д/„ — функция Неймана п-го по-
порядка (см. Дополнение II, ч. I). Из второго условия следует,
что d% = 0. Первое условие дает:
) = O или /п(ц) = 0 (ц=/Аг0). B8)
Если (д.^» — т-и корень уравнения /„ (ц) = 0, то
B9)
Этому собственному значению принадлежит собственная функ-
функция
/ „<n> \
C0)

§ 3] КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ 433
Отметим следующие свойства собственных функций C0) '):
1. Собственные функции R(r), принадлежащие различным
собственным значениям К, ортогональны с весом г:
Го
0
ИЛИ
J rRnmi (r) Rnm2 (r) dr = 0 {тхФ т2)
Го
1
2. Норма этих функций равна
В частности, норма функции /ol——г) равна
и /ol——г)
и@) М2 rl
3. Всякая непрерывная в интервале @, г0) функция /(г),
имеющая кусочно-непрерывные первую и вторую производные
и удовлетворяющая граничным условиям задачи, может быть
разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
{) C3)
причем коэффициенты разложения определяются формулой
Г
/» = г • C4)
Возвращаясь к задаче о собственных значениях для круг-
круглой мембраны, получим для собственного значения
') См. Дополнение II, н. I, § 2.

434 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
две собственные функции
vn,m = Jn[^-r)cosne, Fn,m=/n(-^r)sinn0. C5)
Составив их линейную комбинацию, получим:
Vn, т (Г, 6) = /п \-^- Г) (Л„, т COSП0 + Вп, тSin /18). C6)
Вычислим норму собственной функции vUi т; попутно получит-
получится доказательство ортогональности собственных функций, вы-
вытекающее также из общей теории. Для упрощения вычислений
ограничимся собственными функциями vn,m-
2л Го
о
J J vn
о о
о о
Гц . , , , , 2л
= JnA^-nJnA^-Ardr cosn,6cosn2ede =
J V го / \ го / J
о о
О при щ ф п%,
О при щ = п2, ni\ ф тп%,
C7)
r2
17 (^OF2" ПРИ ", = «2 = 0 и
Аналогичные условия имеют место для функции
и(п)
Выражение для нормы можно записать в виде
Y яе« Un (^m*)]2' №<f — rdr dB) C8)
~f
где
2 при n = 0,
1 при пФО.
Из общей теории следует, что
всякая непрерывная функция F(r,Q) с непрерывными пер-
первыми и вторыми производными, удовлетворяющая граничным
условиям задачи, может быть разложена в абсолютно и рав-
равномерно сходящийся ряд
F (г, 9) = 2 (An. mvn, m (r, 6) + Вп, J,n, m (r, 6)) C9)
п, m

§3]
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ОБЪЕМОВ
435
по собственным функциям задачи о собственных значениях для
круга.
Коэффициенты разложения вычисляются по формулам
¦"«, m —
rlcosnQr drdQ
2я г° / («)
Г Г F(r, в) JnUy-r) sin nQ r drdQ
0 0
D0)
Отметим, что функция
o)
не зависит от 6.
Если заданная функция F зависит только от г, F = F(r),
то ряд, представляющий разложение F по собственным функ-
функциям, будет содержать лишь функции vo,m:
D1)
где
, m ="
D2)
Все остальные коэффициенты An>m и Bn, m равны нулю.
Возвращаясь к исходной задаче колебания мембраны при
заданном начальном отклонении и начальной скорости, можем
написать ее решение в виде
и (г, 6,
= ^ vn>m(r,
п, m=0
„(«)
n,

436 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. V
Коэффициенты Ап,т, Вп,т, Сп>т, Dn,m определяются из на-
начальных условий
оо
Ы(Г, 9,0) = S (An,mVn,m + Cn.mVn,m)=--fl{r, 6),
п, т=0
щ (г, в, 0) = 2j (B«-"^"-m + D"-™v"-«») "ТТ" = & (г, в)
n, m=0
по формулам
Л
¦«In. т
2я г,
Г J f i (r. 6) In (V^n. mr) cos пд г dr rfG
—-e [/(lA r)P
2Я Г,
/2 (r, 6) /„ (VKi, m r) sin «6 г dr d6
б
W, ra = ^2 •
~~2~ 8" I'" ( r *¦!», mro)J
Аналогичные формулы имеют место для аУ%п_тВп,т и, соот-
соответственно, для a ]/\j, mi5n> m.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ V
1. Решить задачу с начальными данными для уравнения колебаний
ы,, = а2Д« в пространстве, предполагая, что начальная скорость всюду равна
нулю, а начальные отклонения «|<=о = ф имеют вид
{1 внутри единичной сферы,
О вне единичной сферы
или
{.я ,
A cos —— г внутри сферы радиуса го,
О вне сферы радиуса г0.
2. Решить задачу о колебании полупространства г > 0 при однородном
граничном условии первого или второго рода, если заданы
а) локальное возмущение, т. е. начальная скорость и начальное отклоне-
отклонение в некоторой области То;
б) сосредоточенная сила, действующая по произвольному закону.
3. Решить ту же задачу для слоя —/ ^ г ^ /.
4. Решить уравнение колебаний в области, представляющей собой клин,
угол раствора которого равен л/2 и вообще п/п (п — целое число), если за-
заданы однородные граничные условия первого или второго рода, а также на-
начальная скорость и начальное отклонение.
5. Вывести аналог интегральной формулы C) § 2 для уравнения
Utt = а2 Ды + си, где с = const.

I. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 437
Рассмотреть случай с < О и найти решение задачи с начальными данными
для неоднородного уравнения. Дать физическую интерпретацию полученных
результатов.
6. Найти функцию и(р, ф, t), характеризующую колебания мембраны под
действием импульса К, сосредоточенного
а) в центре круглой мембраны,
б) в произвольной точке круглой мембраны,
в) в произвольной точке прямоугольной мембраны.
7. Найти собственные частоты и собственные функции мембран, имею-
имеющих форму
а) полукруга,
б) кольца,
в) кругового сектора,
г) кольцевого сектора.
Рассмотреть первую и вторую краевые задачи.
8. Найти установившиеся колебания круглой мембраны (мембраны микро-
микрофона) под действием периодической силы, распределенной по мембране с по-
постоянной плотностью / = A sin со<. Решить ту же задачу, еслн / ==,
= А 11 j J sin co<, где с — радиус мембраны.
9. Вывести уравнение распространения звука в среде, движущейся с по-
постоянной скоростью. Преобразовать полученное уравнение, перейти к системе
координат, движущейся вместе со средой.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
1. Приведение уравнений теории упругости
к уравнениям колебаний
Теория упругости ставит своей целью изучение возникаю-
возникающих в упругих телах деформаций и движений при помощи ма-
математических методов. Возникающие под действием внешних
сил деформации и движения можно характеризовать с помощью
вектора смещений и, проекции которого на координат-
координатные оси х, у, z будем обозначать u(x,y,z,t), v(x,y,z,i),
w(x,y,z,t). Эти смещения возникают в упругом теле под
действием внутренних сил (напряжений), которые обра-
образуют симметрический тензор напряжений
fyx
где ах, хХу, txz — составляющие силы (напряжения), действую-
действующей на единицу площади поверхностного элемента, перпенди-
перпендикулярного к оси х; аналогично хух, ау, хуг и т2Ж, хгу, аг — компо-
компоненты напряжений, действующих на единицу площади по-
поверхностных элементов, перпендикулярных к осям у и z.

438
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Компоненты Ох, ov, oz называют нормальными напряже-
напряжениями, а %Ху, txz и так далее называют скалывающими
напряжениями. Рассматривая элемент объема и состав-
составляя для него уравнение движения, получим:
д2и дах дхху дххг
+ ¦
дх
дх,
ду
УХ
d2w
V~dF-
дх
дхгх
~дх~
дг
дг
дг
Х,
Y,
A)
где р — объемная плотность в точке (я, у, г), X, Y, Z — состав-
составляющие внешних объемных сил. Связь напряжений, возникаю-
возникающих при деформации, с ее характеристиками дается законом
Гука, который записывается в следующем виде:
т •
}¦
т — 2
~ GV
yz>
т
— 1
-2 ;•
B)
При этом величины
ди
дх
dv
dw
ди
dv
dv
dw
dw
ди
дг
C)
i~ ~ду~ ~т"дх~' Чуг~~дг~~*~1)у~' Yz*'~ дх
образуют симметрический тензор деформаций
с Уху Ухг
Уух еу Ууг
Угх Угу Вг
В формулах B) мы пользуемся следующими обозначениями:
G — модуль сдвига, m — коэффициент, характеризующий
сжатие тела в поперечном направлении при его удлинении в
продольном направлении, .6 = div и —-57 + у" "^""^"-
К уравнениям A) и B) следует еще присоединить гранич-
граничные условия (на границе заданы, например, смещения и, v, w,
либо поверхностные силы и т. д.), на которых мы здесь не бу-
будем останавливаться.
Уравнения A) и B) образуют полную систему дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных для напряжений

I. ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 439
и деформаций. Подставляя выражения для напряжений из B)
в уравнения движения A) и учитывая соотношения C), полу-
получаем систему уравнений для смещений
Часто вводят вместо постоянных Gum так называемые по-
постоянные Ламэ Яиц, связанные с ними соотношениями
Это позволяет записать предыдущую систему уравнений в виде
одного векторного уравнения
p-^- = (A + 2n)graddivK-nrotrotK + F, E)
где и — вектор смещения с составляющими и, v и w, F — век-
вектор объемных сил с составляющими X, Y, Z. Уравнение E)
обычно называют уравнением Ламэ.
Покажем, что уравнения E) могут быть сведены к волно-
волновым уравнениям для соответствующим образом выбранных
функций*).
Произвольный вектор F всегда можно представить в виде
суммы
F
где U — скалярный, at — векторный потенциал.
Положим
к = grad Ф + rot A,
где
Нетрудно убедиться прямой подстановкой, что определенный
таким способом вектор и действительно удовлетворяет уравне-
уравнениям упругости D).
Если объемные силы отсутствуют, то для потенциалов Ф и А
мы получаем однородные уравнения колебаний
') С. Л. Соболев, Некоторые вопросы теории распространения колеба-
колебании; Франк и Мизес, Дифференциальные и интегральные уравнения мате-
математической физики, гл. XII, Гостехиздат, 1937.

440 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Уравнение колебаний для векторного потенциала А в не-
некоторых случаях (например, в декартовой системе координат)
распадается на три скалярных уравнения. Однако вопрос о при-
приведении уравнений упругости к отдельным скалярным уравне-
уравнениям колебаний не может быть рассмотрен до конца без при-
привлечения граничных условий, которые могут связывать разные
компоненты и тем самым представлять значительные трудности
для полного расщепления уравнений.
II. Уравнения электромагнитного поля
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия.
Электромагнитное поле характеризуется векторами Е и Н на-
пряженностей электрического и магнитного полей и векторами
D и В электрической и магнитной индукции. Полная система
уравнений Максвелла, связывающих эти величины, имеет вид
divfl = 0, C)
divD = 4np, D)
где/—объемная плотность токов проводимости, /<е) — плот-
плотность токов, происходящих от действия сторонних э. д. с, р —¦
объемная плотность зарядов, с — скорость света в пустоте.
В дальнейшем мы часто будем считать /<е> = 0.
К этим уравнениям следует присоединить так называемые
материальные уравнения поля
D = e?, E)
Я = цЯ, F)
/ = G27, G)
где е — диэлектрическая постоянная, ц — магнитная проницае-
проницаемость, о — проводимость среды. В дальнейшем мы будем пред-
предполагать среду однородной и изотропной. В этом случае е =
= const, ц = const, о = const. Мы часто будем рассматривать
электромагнитные процессы в пустоте, где е = ц = 1, а = О,
при условии отсутствия зарядов и токов. В этом случае урав-
уравнения Максвелла упрощаются:
=-|^-, div?

II. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 441
Уравнения A) и D) совместны, так как между р и / имеется
соотношение
выражающее закон сохранения электрического заряда.
Законы электромагнитного поля, выраженные в дифферен-
дифференциальной форме уравнениями A) — D), могут быть выраже-
выражены в интегральной форме
^\\do, A0
где
«-/о, + / = ^- + / (8)
— полный ток, /cM==:^"~g7 ток смеВДения- Интегрирование
производится по контуру С и по поверхности 2, опирающейся
на этот контур; Ф= Г Г Bndo — поток индукции, пронизываю-
X
щий контур С. Обозначая через Т некоторый замкнутый объем,
а через 2 — ограничивающую его поверхность, будем иметь
вместо C) и D)
JJnda = O, C0
J J Dnda = 4n J JJ рйт = 4яе, D0
где е — полный заряд внутри объема Т.
Уравнения (Г) — D') имеют простой физический смысл и
являются математическим выражением основных опытных фак-
фактов, послуживших основанием для вывода уравнений Макс-
Максвелла. Так, уравнение A0 является обобщением известного
закона Био и Савара, уравнение B0 выражает собой закон
электромагнитной индукции Фарадея, уравнение D0 может
быть непосредственно выведено из закона Кулона. Уравнение
C') является следствием замкнутости силовых линий магнит-
магнитного поля.
Если среда неоднородна, то к уравнению Максвелла следует
присоединить условия сопряжения. На границе раздела двух
разных сред A) и B) должны выполняться следующие усло-
условия:
?"? (9)

442 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
(непрерывность тангенциальных составляющих вектора Е),
Н? A0)
(непрерывность тангенциальных составляющих вектора Н),
а также
п@ rB) /m
tin, = рпш \\Ч
(непрерывность нормальных составляющих вектора В),
или BlEm-BaE^ = 4nv. A2)
где tii и п2 — нормали к поверхности раздела двух сред, при-
причем п4 направлена внутрь первой среды, а п2 — внутрь второй
среды, v — поверхностная плотность зарядов. Эти условия легко
получаются из уравнений A') — D').
Уравнения Максвелла вместе с граничными условиями по-
позволяют однозначно найти электромагнитное поле в простран-
пространстве по заданному начальному состоянию поля. При этом для
однозначного определения поля достаточно использовать усло-
условия (9) и A0) непрерывности тангенциальных составляющих
поля.
Если электромагнитный процесс является статическим, т. е.
не меняется во времени, то уравнения Максвелла принимают
вид
С С
= 0.
Если, кроме того, среда не обладает проводимостью, т. е.
а = 0, то мы получаем две независимые системы уравнений
для электрического и магнитного полей
f = 0, \
,. _, I (уравнения электростатики),
rot# =—j{e), 1
c f (уравнения магнитостатики).
div цН = 0 )
Уравнения электростатики были рассмотрены нами в главе
IV и в приложениях к главе IV.
В случае однородной среды нетрудно получить уравнения
для каждого из векторов Е и Н в отдельности. Предположим,
что р = 0, /(е> = 0.
Применяя к уравнению A) операцию rot, имеем:
rot rot H = f -J- rot E + -^ a rot E,

II. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 44$
откуда в силу уравнения B) и соотношения rot rot H =
= graddivi/—АН получим:
grad div H - АН = - ^-^- —^Щ-
или
. 4пац дИ / ._ с2
так как
Аналогично выводится уравнение для Е
В частности, уравнению A3) или A4) будут удовлетворять
компоненты Ех, Еу, Ez и Нх, Ну, Hz
ди
где и — одна из компонент Ех, Ev, Ez или Нх, Ну, Hz.
Характер процесса определяется свойствами среды. Если
среда непроводящая (а = 0), то мы получаем обычное урав-
уравнение колебаний
т. е. электромагнитные процессы распространяются в непро-
непроводящей среде без затухания со скоростью a = c/|/efi и,
в частности, в пустоте со скоростью света с.
Если среда обладает большой проводимостью и можно пре-
пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости,
то будем иметь уравнение параболического типа
Д« —-72—аг- A7)
В общем случае, когда токи проводимости и токи смещения
одного порядка, уравнение A5) является уравнением гипербо-
гиперболического типа, описывающим процессы распространения с зату-
затуханием, вызываемым диссипацией энергии вследствие проводи-
проводимости.
Для установившихся процессов, например, в задачах ди-
дифракции
u = v(x, у, г)еш,
мы приходим к уравнению эллиптического типа
До-f (&2-/<72)o = 0, A8)

444 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
где
A9)
Статические поля, как было уже отмечено в главе IV, описы-
описываются уравнением Лапласа.
2. Потенциалы электромагнитного поля. Для определения
электромагнитного поля мы должны найти шесть величин, яв-
являющихся составляющими векторов Е и Н. В ряде случаев,
однако, можно свести эту задачу к отысканию четырех, а иног-
иногда и меньшего числа величин. С этой целью вводят потенциалы
поля — векторный А, скалярный <р — следующим образом. Рас-
Рассмотрим уравнение Максвелла в однородной среде, например,
в пустоте. Из уравнения C)
следует, что вектор Н соленоидален и потому может быть
представлен с помощью другого вектора А в виде
Н = rot Л. B0)
Подставляя это выражение в уравнение B)
rotH -J-gf.
лолучаем:
1 дА
т. е. вектор Е-\ ^т- является потенциальным и потому мо-
может быть представлен в виде градиента некоторой скалярной
функции ф
откуда следует
Введенные таким образом векторный потенциал Л и скаляр-
скалярный потенциал <р определены не однозначно. В самом деле, из
формул B0) и B1) видно, что мы получим одни и те же поля,
«ели заменим А и <р потенциалами
где F — произвольная функция. Чтобы устранить эту неопре-
неопределенность, налагают на потенциалы А и ф дополнительное
условие
{| = 0, B2)

II. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 445
называемое часто условием Лоренца. Покажем, что при выпол-
выполнении этого условия потенциалы А и <р удовлетворяют уравне-
уравнениям
^| B3)
где р и / — плотности заданных зарядов и токов.
Подставляя выражения B0) и B1) в уравнение A)
дЕ , 4п . ,..
и пользуясь векторным тождеством
rot rot А = grad div A — ДА,
будем иметь
—/,
откуда в силу условия B2) и следует уравнение B4). Под-
Подставляя затем выражение B1) в четвертое уравнение Макс-
Максвелла
divE = 4np D)
и учитывая условие B2), получим уравнение B3) для ф.
В случае однородной проводящей среды (о Ф 0) потенциалы
вводятся с помощью соотношений
= то\А, E=-Srzd(p-±-^-. B5)
B6)
А и ф связаны между собой соотношением
«"V*+ ?? +Ф
и удовлетворяют уравнениям
¦ л ец д'А 4Я(га дА 4щх
с2 dt* ~T* df
к которым относится все сказанное выше по поводу уравнений
B3) и B4).
Если свободных зарядов нет (р == 0), то потенциал ф = 0 и
векторы поля выражаются через один вектор-потенциал А,
удовлетворяющий дополнительному условию
divA = 0.

446 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
В ряде случаев электромагнитные поля можно описывать
с помощью векторного потенциала, у которого отлична от нуля
лишь одна компонента.
Некоторые из примеров будут рассмотрены в дальнейшем
(см. также приложение I к гл. VII).
3. Электромагнитное поле осциллятора.
1. В теории излучения электромагнитных волн часто поль-
пользуются понятием осциллятора или вибратора. Это понятие тес-
тесно связано с представлением о линейных токах. Осциллятор
представляет собой линейный ток бесконечно малой длины.
Рассмотрим прямолинейный ток L, сила которого меняется
во времени. В простейшей модели предполагается, что сила
тока неизменна по длине проводника.
Ток, постоянный по длине проводника, связан с наличием на
его концах зарядов, меняющихся во времени. По аналогии
с электростатическим диполем, представляющим совокупность
двух зарядов -f-e и —е, осциллятор можно характеризовать
моментом
Сила тока в осцилляторе, очевидно, равна
/@ = <К0.
так что
Произведение J(t)l — /о@ называют моментом тока.
2. Найдем электрическое поле, возбуждаемое осциллятором
с моментом
Р === Pof @ C)
в неограниченном пространстве, предполагая, что а = О,
е= 1, ц = 1 (вакуум).
Рассмотрим задачу о возбуждении электромагнитного поля
прямолинейным током L, предельным случаем которого являет-
является осциллятор.
Вне тока L электромагнитное поле определяется из уравне-
уравнений Максвелла
= -j4jpf divfl =
D)
На линии тока L векторы поля Н и Е должны иметь особен-
особенность, характеризующуюся тем, что циркуляция по бесконечно

II. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 447
малой окружности Ке, охватывающей линию тока L, имеет сле-
следующее значение:
ds = J
С
E)
где / = I(t) — сила тока.
Из этого условия следует, что составляющая Hs на токе
имеет особенность типа
Н.~%. F)
где р = |М0Р|, Мо — точка на линии L, Р — точка на Ке (при
р = «О-
Для однозначного определения поля надо добавить началь-
начальные условия, которые мы предполагаем нулевыми.
Для решения этой задачи целесообразно ввести потенциалы
А и ф, через которые, как мы видели (см. стр. 444), поля вы-
выражаются следующим образом:
H = rotA, )
причем
Векторный потенциал вне тока L удовлетворяет однородному
уравнению колебаний
Введем декартову систему координат, направив ось z вдоль
тока L. Положим
А = А(х, у, z)z°,
где z° — единичный вектор оси z.
Функция A(x,y,z), очевидно, удовлетворяет вне линии тока
L однородному уравнению колебаний
Чтобы выяснить особенность вектора А на токе, воспользуемся
условием F). Из уравнения G) следует, что
"s~~ dp '

448 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Пользуясь далее условием F), находим, что функция А(х,у,z)
должна в точках линии L иметь особенность вида
Будем искать потенциал А в виде
А (Р, t)=JAy (P, M, t) dlM (P = P (x, у, г)), A2)
где Ао(Р,М,t) = Ai(P,M,t)dlM — вектор-потенциал элементар-
элементарного тока осциллятора, момент которого равен J0 = Jdl.
Для того чтобы потенциал А имел нужную особенность,
функция А0(Р, М, t) должна иметь особенность вида
д,(р, м, *)«A?L. A3)
CJ<PM
В самом деле, предполагая, что Ао имеет указанную особен-
особенность, и вычисляя по формуле A2) значение А вблизи тока
L@ < z < /), получаем:
~ J сД..„ ^~1 \ Vo2+(z-Er~
—1п
с z -J-
где точками обозначены члены, не обращающиеся в бесконеч-
бесконечность при р = 0.
3. Таким образом, функция А0(Р, М, t) должна удовлетво-
удовлетворять по переменным P(x,y,z), t уравнению колебаний
ДА,-7г-1^ = 0 A4)
всюду, кроме точки М, а в этой точке она должна иметь осо-
особенность вида
Ао - ¦$? . A5)
СКМР
Начальные условия в силу сказанного выше — нулевые.
Решение этой задачи, как мы видели в главе V, представ-
представляется в виде запаздывающего потенциала
Ло (А!, Р, t) = KcR C-L. A6)

II. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Как было отмечено выше, момент тока равен
449
<17)
Таким образом, вектор-потенциал осциллятора можно также
представить в виде
A8)
сг
Часто вместо вектора-потенциала пользуются поляризационным
потенциалом или вектором Герца П, полагая
с dt
Вектор П также удовлетворяет уравнению
и связан со скалярным потенциалом соотношением
Ф== — div П.
A9)
B0)
B1)
Векторы поля Е и Н выражаются через поляризационный потен-
потенциал с помощью формул
Е = grad div П —-^ -^- = rot rot П,
B2)
1
dt2
an
Н = — rot 37
с dt
B3)
Учитывая соотношение A8), получаем
следующее выражение поляризацион-
поляризационного потенциала для осциллятора
по=
¦=й илй „._4iil
Z
¦д \
и
1
"о
X
7
B4)
Рис. 77.
4. Для вычисления полей Е и Н перейдем к сферической
системе координат (г, ¦&, ф), в начале координат которой по-
поместим осциллятор и направим ось z{® = 0) вдоль вектора ро
(рис. 77). Обозначим ir, ц, <ф единичные векторы сферической
системы координат.
Вектор По, параллельный вектору р, может быть представ-
представлен в виде
По = По cos Ыг —110 sin 6if), \
П0 = |П0|. /
15 A, Hs Тихонов, А. А. Самарский

450
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
Подставляя выражение B5) в формулы B2) и B3), пользуясь
выражением дифференциального оператора rotf в сфериче-
сферической системе координат
ГО I л? ¦—— : 7Г~ 1 -цг\
и учитывая, что
?,.= —
= II0 (r, t), получим:
2cos-& Шо
дг
_ sin Ь д I дП0\ р _
^ — ~~Г~д7\г~дГ)' сч> —'
B6)
*.--
B7)
Из уравнений B6) и B7) следует, что электрическое и маг-
магнитное поля осциллятора взаимно перпендикулярны.
5. Рассмотрим частный случай, когда момент диполя перио-
периодически зависит от времени
В этом случае формулы B6) и B7) дают:
?г = 2 cos #(-!---?) По,
Я,, = Ik sin ¦& [ik — у) По,
где
„ikr
B8)
B9)
Исходя из формул B8), легко установить особенности строения
поля осциллятора. На расстояниях, малых по сравнению с дли-
длиной волны Л = 2л//г (йг<1), в формулах B8) можно огра-
ограничиться одним членом. Получающиеся при этом формулы для
напряженнрсти электрического поля соответствуют полю ста-
статического диполя, электрический момент которого р равен мгно-
мгновенному значению момента осциллятора p(t). Для напряжен-
напряженности магнитного поля получается выражение, соответствующее
закону Био и Савара. На больших расстояниях от диполя

II. УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 451
R > % (kr^l) в формуле B8) можно пренебречь всеми чле-
членами более высокого порядка, чем 1/г. При этом получим:
Яг = 0, ?в =#,,= —ft2 sin ОПо, C0)
т. е. поле становится поперечным относительно направления
распространения. Такие удаленные области поля, где поле из-
излучения становится поперечным, называются волновой зоной
осциллятора. Чтобы подсчитать поток энергии через поверх-
поверхность сферы радиуса R с центром в осцилляторе, надо вычис-
вычислить вектор Умова — Пойнтинга
и проинтегрировать это выражение по сфере.
Из формул B9) и C0) следует, что в волновой зоне веще-
вещественная часть векторов Hw и Е$ определяется выражением
.. _, и2 sin©
#, = ?<,= ^—
откуда
sin2©
53
r2cs
COS2 СО
\ с I
Поток энергии через сферу радиуса R за время одного пол-
полного периода Т = 2я/со будет определяться выражением
/J
о о
или
У=-
Зс3 '
Энергия, излучаемая гармоническим осциллятором, пропорцио-
пропорциональна четвертой степени частоты
или
где % — длина волны.
15*

ГЛАВА VI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве
1. Функция температурного влияния. В главе III было пока-
показано, что процесс распространения тепла в однородном изо-
изотропном пространстве определяется уравнением теплопровод-
теплопроводности
и,-о» Аи («2 = ^), A)
где и(М,t)—температура точки М(х,у,z) в момент t, p —
плотность, с — коэффициент удельной теплоемкости, k = const
и а2 = k/cp — коэффициенты теплопроводности и температуро-
температуропроводности. Уравнение A) допускает также диффузионное
истолкование. В этом случае и — концентрация диффундирую-
диффундирующего вещества, аг — D — коэффициент диффузии.
Рассмотрим в неограниченном пространстве следующую за-
задачу:
найти решение неоднородного уравнения теплопроводности
1-(а2 = -Ц, - оо < х, у, z < oo, t > 0, B)
(f — плотность тепловых источников) при начальном условии
и (х, у, z, 0) = ф (х, у, z). C)
Решение этой задачи может быть представлено в виде
суммы
и = «! + щ,
где «1 — решение однородного уравнения A) с неоднородными
начальными условиями, и% — решение неоднородного уравнения
B) с нулевыми начальными условиями. При изучении соответ-
соответствующих одномерных задач мы видели, что для их решения
достаточно определить функцию источника.
Построим функцию источника для уравнения теплопровод-
теплопроводности в неограниченном пространстве.
Предварительно докажем следующую лемму, которая будет
нами использована в дальнейшем.

§ 1] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 453
Если решение уравнения Аи 1гщ = 0 зависит только от
г и t, то функция v = г и удовлетворяет уравнению
i!^ = _L^!L (А)
дг2 a* dt ' ™
В самом деле, записывая оператор Лапласа в сферической
системе координат, видим, что функция и = u(r, t) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
^.-i_2^___LiL — о или ' g2M 1 да _п.
дг^гдг a* dt "~U ИЛИ 7 дг* ^~дГ~и'
полагая затем ги = v, получаем для v уравнение DI).
Пусть в начале координат помещен непрерывно действую-
действующий тепловой источник постоянной мощности q, а в остальном
пространстве начальная температура равна нулю
и (г, 0) = 0 при г ф 0.
Очевидно, что в этом случае температура и является функцией
только rut.
Наличие теплового источника при г = 0 означает, что теп-
тепловой поток в единицу времени через сферу Se (с центром в
г = 0 и радиусом е при е -*¦ 0 равен q, т. е.
Й5 [-{/*?*]-
E
Так как нормальная производная -^— = -д— в силу симметрии
постоянна на поверхности SE, то
. ди
• 4яг
-q при 8->0,
что означает наличие у производной -^— при г = 0 особен-
особенности вида —q/4nkr2. Следовательно, сама функция при г = О
должна иметь особенность вида
Ankr
так что произведение ги = v остается ограниченным при г = 0.
Функция v, определяемая условиями
32v _1_ до
дг2 ~~~1Р~дТ
о (г, 0) = 0,
E)
') Сравни с п. 1 § 1 главы V.

454 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
выражается формулой
2 VaH
(см. формулу C3), гл. III, § 3). Следовательно, решение за-
задачи о распространении температуры при непрерывно действую-
действующем источнике мощности q, помещенном в начале координат
(г = 0), имеет вид
Г e~a2da, F)
где U(r,t)—температура, соответствующая единичному ис-
источнику (<7''= 1).
Чтобы перейти к случаю мгновенного источника, рассмот-
рассмотрим источник мощности q, помещенный в точку (?, т), ?) и не-
непрерывно действующий в течение промежутка времени т.
Такой источник эквивалентен двум источникам мощности
-f-<7 и —q, первый из них включается при t = О, второй — при
t = т. Распределение температур при этом выражается форму-
формулой
и,(г, t) = q\U(r, 0-U(r, t-x)].
За промежуток времени т выделяется количество тепла Q = qx,
поэтому
Щ (г, 0 = -| W (г, f) - U (r,t - т)].
Переходя к пределу при т —*¦ 0 и считая Q постоянным, на-
находим:
ИЛИ
где
(
1 \з
G (х, у, z, t; 1, ч, Е) = (^=) е *« • G)
Функция G(х, у, z, t; I, tj, t,) есть функция температур-
температурного влияния мгновенного источника тепла. Она пред-
представляет собой температуру в точке х, у, г в момент времени /,
вызываемую точечным источником мощности Q = ср, помещен-
помещенным в момент t = 0 в точку (g, r\, ?,).

§ 1] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 455
Нетрудно убедиться в том, что
G(x,y, z, t; I, г], ?) dld4dt, = 1. (8)
В самом деле, тройной интеграл (8) можно представить в
виде произведения трех интегралов, каждый из которых равен
единице:
оо . ге °о
г 1 — i г
J 2Vna4 Vn J
оо
-Ц4
2|/q2>
Из формулы G) видно, что функция влияния G обладает
свойством симметрии
G (х, у, z, t; g, т], ?) = G (?, Л» S» ^ *. У. 2),
являющимся выражением принципа взаимности: действие в
точке (х, у, z) источника, находящегося в точке A, т), ?), рав-
равно действию в точке A, т), ^) такого же источника, помещен-
помещенного в точку (х, у, z). Однако относительно переменной t такая
симметрия не имеет места, что является выражением необра-
необратимости тепловых процессов во времени.
Определим вид функции влияния G в случае двух измере-
измерений. Пусть на прямой, параллельной оси z и проходящей через
точку A, г\), расположен бесконечный линейный источник;
обозначим через Q = const мощность источника, отнесенную
к единице длины. Функция влияния Gz такого источника не бу-
будет зависеть от z и вполне характеризуется своими значениями
в плоскости (х, у). Вычислим функцию G2. Пусть на элементе
dt, выделяется количество тепла
тогда распределение температуры в пространстве дается
интегралом
Вычисляя интеграл
оо (г-С)г ¦
Iе 4й2< dt= 2
I
— со
получаем:

456 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
где
r ™ • (80
Сопоставляя эту функцию с формулой G), видим их сходство
по структуре.
Аналогичным способом можно получить выражение для
функции источника в одномерном случае. Рассматривая беско-
бесконечный плоский источник с постоянной плотностью Q, полу-
получаем:
— CO —ОО
где
4a2t
— функция источника для одного измерения.
В главе III были даны графики, характеризующие поведение
функции влияния G(x,t; g). Качественная характеристика функ-
функции источника, данная в гл. III, имеет место и для простран-
пространственного случая.
2. Распространение тепла в неограниченном пространстве.
Используем теперь функцию источника, полученную в преды-
предыдущем пункте, для решения задачи о распространении началь-
начальной температуры в неограниченном пространстве.
Пусть требуется найти решение уравнения
— oo<x, у, z<oo, t>0, A)
удовлетворяющее начальному условию
и (х, у, z, 0) = ф (х, у, z). C)
Начальное температурное состояние, очевидно, можно пред-
представить как результат суперпозиции действия мгновенных ис-
источников, создающих начальную температуру. Рассмотрим эле-
элемент объема dl, dr\ dt,, содержащий точку (g, т], ?). Для создания
начальной температуры ф(?, T],Q, необходимо в объеме
d?,dr\dt, поместить количество тепла dQ = срф(g, t), ?)dg dr\ dt,.
Это сосредоточенное количество тепла создаст в точке
(х, у, z) в момент t температуру
4^- G (л, у, z, t; Ь т), Q = G (х, у, г, t; |, ч, у Ф (|, г], у d| йцс^. (9)

§ 1] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 457
В силу принципа суперпозиции решение нашей задачи может
быть получено интегрированием (9) по всему пространству
со
и{х, у, z, 0 = J J J G(x, у, г, t; \, л\, ?)Ф(?, ч, ?)dgrf4dg. A0)
Формула A0) получена нами в результате наводящих рассуж-
рассуждений, не определяющих границы ее применимости и не имею-
имеющих доказательной силы.
Докажем, что
если функция ф кусочно-непрерывна и ограничена, | ф | < А,
то функция и, определяемая выражением
do7)
1) ограничена во всем пространстве: |«|< А;
2) является решением уравнения теплопроводности при
*>0;
3) при t = 0 непрерывна в точках непрерывности функции
(р и удовлетворяет условию и(х,у,z,0) — ф(х,у,z).
Для доказательства того, что A0') удовлетворяет уравне-
уравнению A), воспользуемся известной леммой (см. § 3 главы III).
Если U(x,y,z,t; ?) при любом значении параметра g яв-
является решением уравнения 3?(и) =0, где 3?(и) — линейный
дифференциальный оператор, то функция
и (х, у, z, 0 = / U (х, у, z, t; I) Ф A) dg
также будет решением уравнения S(u) = 0, если производные
функции и, входящие в оператор ? (и), можно вычислять диф-
дифференцированием под знаком интеграла.
В нашем случае U = G удовлетворяет уравнению теплопро-
теплопроводности при любых ?, т), ? и t > 0. Как известно, дифференци-
дифференцирование по параметру под знаком несобственного интеграла
возможно, если: 1) производная по параметру от подынтеграль*
ной функции непрерывна и 2) интеграл, полученный после фор-
формального дифференцирования, равномерно сходится.
Произведя формальное дифференцирование интеграла A0')
по х, получим:
Ш(-
4аЧ ч>(i, ч, ?) di dndi. (ll)
Подынтегральная функция непрерывна при t > t > 0, а нали-
(g)a+()г+(г-ЕJ
чие множителя е 4аЧ обеспечивает равномерную

458 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
сходимость, если ер ограничено: |ф|<-Д. Аналогичные резуль-
результаты мы получим при повторном дифференцировании по х и
при дифференцировании по t; то же относится и к дифференци-
дифференцированию по у и г. Таким образом, функция G удовлетворяет
всем условиям леммы при t > 0. Следовательно, функция и при
/ > 0 удовлетворяет уравнению теплопроводности.
Ограниченность функции и, определяемой формулой A0'),
которую мы перепишем в виде
со
и (М, t) = | J J G (М, М', t) Ф {М') drM,
—оо
(М = М (х, у, г), М' = М' {\, п, 0),
устанавливается непосредственно, если принять во внимание ра-
равенство (8):
\и\<А j j j Gdr==A. A2)
—оо
Перейдем к доказательству непрерывности u(x,y,z,t) при
/ = 0.
Рассмотрим точку Мо (х0, уо, z0), являющуюся точкой непре-
непрерывности функции ф, и докажем, что для любого е > 0 суще-
существует такое 6(е) > 0, что
\и(М, 0-ф(М0)|<е при |ЛШо|<б(е) и *<6(е). A3)
Построим вспомогательную область Ти содержащую точку
Мо; ее размеры будут определены ниже; остальную часть про-
пространства обозначим через Г2. Принимая во внимание равенства
и (М, 0= J J J G (M, M', t) Ф (МО drM,+ J J J G (M, M', t) Ф (M') dxM,,
Tt Тг
(Мо) Ш G (M> M'- f) drM"
а также положительность функции G(M,M',t), будем иметь:
\и{М, 0-ф(М0)|</, + /2, A4)
где
/, = J J J G (M, M', t) | Ф (МО - ф(М0) | dxM,, A5)
\(M, M', t)dxM,. A6)
т.

§ 1] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В НЕОГРАНИЧЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 459
Из непрерывности функции ер в фиксированной точке Мо
следует: каково бы ни было r\ i> О, найдется такое 6'{ц) > О,
что
| Ф (Af#) — Ф (Afo) К Ч. если | МШ01< б' (rfr.
Следовательно, если диаметр области 7"t не превосходит
б'(е/3), то
Остановимся теперь подробно на выборе области 7V В ка-
качестве 7"i мы можем выбрать сферу с центром в точке М(х, у, z),
что удобно для оценки интеграла /г. Оценка A7) интеграла /i
сохраняет силу, если радиус этой сферы выбрать равным
Ро = тб'(-|) и если |ЛШ0|<ро.
Переходя к сферической системе координат с центром в точ-
точке М, получаем:
f
ШС dx == 4я ( ' У* f e'^r2 dr =
\2Vna4 ] J
т.
Ро
так как
со со со
0
Таким образом,
Jjj Gdx=\ — J jj Gdr-*0 при Г^О*,
т. е. для всякого е >0 можно указать такое 6"(8). что
Тг
и, следовательно,
/2<-f, A8)
если только г < 6" (е).

460 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
j / е \
Выбирая из чисел ".г^'гз") и ^"(е) наименьшее и обозна-
обозначая его через б(е), будем иметь неравенство
\и(М, 0-ф(М0)|<е при |ЛШо|<6(е) и *<6(е), A3)
которое и доказывает непрерывность и(М, t) при t = 0 во вся-
всякой точке Мо непрерывности функции ср(М).
Перейдем теперь к решению неоднородного уравнения
ы, = а2Ды + -^-, — оо <х, у, z< оо, * >0,
при нулевом начальном условии и(х, у, г, 0) = 0. Рассмотрим точ-
точку (|, т), ?) в момент времени т < t. Количество тепла, выделяю-
выделяющегося в элементе d?, dr\ dZ, за время dx и равное
вызывает в точке (х, у, г) в момент времени t температуру
-^G(x, у, z, t; g, т), g, x)f(l, т), ?, т) rf| dx\ dt, dx.
Пользуясь принципом суперпозиции, мы можем написать ре-
решение поставленной задачи в виде
и(х, у, z, /) =
t оо
-ЯЯ1
¦ G (х, у, z, /; I, т), С, т)/ (Е, ч, С, т) dg dtj rfg rfr. A9)
0 — "оо"
На доказательстве справедливости этой формулы и выяснении
условий ее применимости мы не останавливаемся.
Задачи для полупространства с однородными граничными
условиями первого и второго рода решаются методом отра-
отражения.
§ 2. Распространение тепла в ограниченных телах
1. Схема метода разделения переменных. Ранее мы рассма*
тривали распространение тепла в неограниченном пространстве.
При изучении распространения тепла в ограниченном теле не-
необходимо к уравнению и начальному условию добавить условия
на границе тела, которые в простейших случаях являются гра-
граничными условиями первого, второго или третьего рода.
Рассмотрим простейшую задачу с однородным граничным ус-
условием первого рода:
найти решение уравнения теплопроводности
ut = a2&u внутри Т при ?>0 A)

§ 2] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ 461
с начальным условием
и(х, у, г, О) = ср(л:, у, z)
и граничным условием
где 2 — граница области Т.
Решение этой задачи может быть получено обычным мето-
методом разделения переменных, изложенным применительно к
уравнению ии = агки в главе V, § 3; применение этого мето-
метода к нашей задаче проходит совершенно аналогично.
Рассмотрим вспомогательную задачу:
найти нетривиальное решение уравнения
= 0 в Г при t > 0, B>
удовлетворяющее однородному граничному условию
u|s = 0
и представимое в виде произведения
и(М, 0 = о (М) Г @^0.
Разделяя переменные обычным способом, приходим к сле-
следующим условиям, определяющим функции v(M) и T(t):
До + Xv = 0 в Т, v (M) щк 0,
v = 0 на 2 )
и
Т' + а2кТ = 0. D)
Для функции v получаем задачу на отыскание собственных
значений, с которой мы встречались при рассмотрении колеба-
колебаний ограниченных объемов (см. гл. V, § 3, п. 1).
Пусть Xi, hi, • •.. ^п, ••• — собственные значения, a vit v%, ...
..., vn, ¦¦• — собственные функции задачи C). Функции {vn}
образуют ортогональную систему.
Соответствующие функции Тп (/) имеют вид
и вспомогательная задача имеет нетривиальное решение
Общее решение исходной задачи может быть представлена
в Виде
оо
«(Af,/)=2Све-в'*»'о„(М). F)
№=1

462 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
Удовлетворяя начальному условию
и (М, 0) п= ф (М) = 2 Cni>n (A!), G)
п=1
находим коэффициенты
f <v(M')vn(M')dx
Сп= '"
М'
т
II On II
где
KI=[J°»WOdTM,j*_HOpMa функции о„.
Функция F) и представляет решение задачи.
Уравнение
(fJL) (8)
при однородных граничном и начальном условиях может быть
также решено методом разделения переменных.
Полагая, как обычно,
и(М, t)=2iTn(t)vn(M) (9)
и разлагая функцию f(M,t) по собственным функциям vn(M)
со
f (М, 0 = 2 fn (t) vn (Al), f» @ = it^s Г / (М', 0 о„ (МО rfV, A0)
n=I " Г
получаем для определения Tn(t) уравнение
К + К?п=Ш (И)
с начальным условием Тп@) =0, если и(М,0) =0, решение
которого имеет вид
J A2)
о
Отсюда получаем:
J { |e-^^>J!^Mi^l Ь(М', T)rfTM,rfT.
Г I п=1 " '
и{М, 0-JJ { |e-^^>J!^Mi^l Ь(М', T)rfTM,rfT. A3)
Выражение в фигурных скобках, очевидно, соответствует
функции влияния мгновенного источника мощности Q — ср,

§ 2) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ 463
помещенного в точку М' в момент т,
G (M, t, М, т) = j] °nWvn{AT) e-n.nlt-ot {14)
Решение первой краевой задачи п для уравнения теплопровод-
теплопроводности с неоднородными граничными условиями п\х = ц легко
приводится к решению и неоднородного уравнения с однород-
однородными граничными условиями ы| ?== о, если положить
Й = ы + Ф> A5)
где Ф — произвольная (достаточно гладкая) функция, прини-
принимающая значения ц на 2 (см. главу III, § 2). Весьма часто
встречающийся случай постоянных граничных значений, \ло =
= const, приводится к задаче с однородными граничными ус-
условиями, если ввести функцию
п = и + м« (Ф = const = ц0),
представляющую отклонение от стационарного решения.
Таким образом, основная трудность при решении задач
о распространении тепла в ограниченной области состоит в на-
нахождении собственных функций и собственных значений для
данной области.
Форма решения F), полученная методом разделения пере-
переменных, удобна для исследования достаточно развитой стадии
процесса при больших t. В самом деле, собственные значения
Хп для любой области быстро возрастают с номером п. По-
Поэтому при t > О ряд быстро сходится и, начиная с некоторого
момента, первый отличный от нуля член преобладает над суммой
остальных членов
и(М, t)^ClVl{M)e-a^. A6)
Это соответствует тому физическому факту, что, независимо от
начального распределения, начиная с некоторого момента, в те-
теле устанавливается «регулярный» температурный режим, при
котором «профиль» температуры не меняется во времени и
амплитуда убывает по экспоненте с возрастанием времени.
Этот факт положен в основу нестационарных методов опреде-
определения коэффициента температуропроводности. В самом деле,
измеряя температуру тела в произвольной точке Мо, находим,
что
In | и {Мо, 0 | ~ - a%t + In | С,о, (M) |. A7)
График этой функции изображается, начиная с некоторого
момента времени, прямой линией с угловым коэффициентом
—а2%\. Зная величину %\, зависящую от формы области, можно
найти коэффициент температуропроводности.

464 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VT
2. Остывание круглого цилиндра. Рассмотрим задачу об
остывании бесконечно длинного цилиндра радиуса г0, имеющего
некоторую начальную температуру, если на его поверхности
поддерживается температура, равная нулю. Предположим, что
начальная температура не зависит от г (ось z направлена
вдоль оси цилиндра). Тогда, очевидно, и в дальнейшем темпе-
температура не будет зависеть от z и меняется только в поперечном
сечении 5 цилиндра. Выбирая в этом сечении полярную систему
координат с полюсом, находящимся в центре круга S, мы при-
приходим к задаче об определении функции u(r, cp, t), удовлетво-
удовлетворяющей уравнению
д?и , _1_ ди _| 1_ д2и _1_ ди ,, „\
начальному условию
и(г, Ф, 0) = Ф(г, <р> A9)
и граничному условию
и(г0, Ф, 0 = 0. B0)
Как мы видели, решение задачи такого типа может быть
представлено в виде
u = Jtcne-*K"tvn(M), B1)
где суммирование распространяется на все собственные функ-
функции задачи
B2^
v (г0, ф) = 0. )
Эта задача на собственные значения была исследована нами
при изучении колебаний круглой мембраны (см. главу V, § 3).
Каждому собственному значению
((n) \2
¦^-1 '23)
соответствуют две собственные функции
/Vm' \ = /У"'
v =J I /-]cosnq> и f/im^^nl rlsinnm, B4)
квадраты нормы которых равны
f!: !^n; B6)

§ 2] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ
где ц<?> — tn-и корень уравнения
Пользуясь выражениями для v и X, получаем:
465
B6)
B7)
где коэффициенты Cnm и Спт определяются начальной функцией
Го 2я
I Ф (.Г, ф) Уп I—— г)сО8«ф Г ?/ф?/г
о о
Го 2я
2 °ni'n\
Г Г I м<п> \
II / II™ \
Ф (г, ф) У„ I —:— г I
J J \ t"o I
О О
sin nq> r dydr
B8)
1;
2; п=0.
Если начальная температура Ф зависит только от г, то двой-
двойной ряд B7) заменяется однократным рядом
(@)\2
-^.^-.,. ^:
т=\
B9)
где
u@)
ст~-
C0)
а (д.<^> —m-й корень уравнения /0(м.) = 0.
Остановимся подробнее на задаче об остывании равномерно
нагретого цилиндра при нулевой температуре на поверхности.
Если начальная температура
и(г, О) = Ф=Ио,

466 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
ТО
2«о I h\—r\rdr
ст=-
г0 |/l [У'т )J V-m h {V'm )
так как ct/0(a) = [aJ{ (а)]'. Таким образом мы получаем:
_.!. в-4).
В таблицах цилиндрических функций (см. стр. 725, таблицу 3)
даются численные значения как для корней цЯ, так и для /, (м-щ)-
В частности,
|л«°> = 2,40, /, (ц«») = 0,52,
Ряд C1) сходится быстро и при больших t можно ограничиться
первым членом этого ряда. В частности, на оси цилиндра
" (Г' *) = _JL__ р-B.40J в— 1 ЙПр-5.7Св (а —S^L\ (QQ\
Mo r==0 2,40-0,52 ~ 1>ou \D r0 j' ^z'
3. Определение критических размеров. В главе III было по-
показано, что процесс диффузии неустойчивого газа, скорость рас-
распада которого пропорциональна концентрации, приводит к урав-
уравнению
Большой интерес представляют процессы диффузии при на-
наличии цепных реакций. Цепные реакции характеризуются
тем, что частицы диффундирующего вещества, вступая в реак-
реакцию с окружающей средой, «размножаются». Так, например,
при столкновении нейтронов с «активными» ядрами урана про-
происходит реакция деления ядер, сопровождающаяся появлением
новых нейтронов, число которых больше единицы. Эти нейтро-
нейтроны в свою очередь вступают в реакцию с другими активными
ядрами, вызывая их деление с выделением новых нейтронов
и т. д. Таким образом происходит процесс размножения нейтро-
нейтронов, носящий характер цепной реакции.
Рассматривая описанный процесс в «диффузионном при-
приближении», мы приходим к следующему уравнению:
щ = а2 Аы + Р« (Р > 0), C3")
так как цепная реакция эквивалентна наличию источников диф-
диффундирующего вещества (нейтронов), пропоциональных кон-
концентрации (плотности нейтронов).

§ 2] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ 467
Рассмотрим следующую задачу:
найти решение уравнения
ы4 = а2Ды + Ры внутри Т, C3)
удовлетворяющее начальному условию
и(М, О) = ср(М) C4)
и граничному условию
ы|2 = 0. C5)
С помощью подстановки
и(М, t) = u(M, /)eP« C6)
уравнение C3) переходит в уравнение A); начальные и гра-
граничные условия при этом остаются неизменными. Таким обра-
образом, искомая функция и имеет вид
и (М, 0 = S Cj^-^n) *Vn (M), C7)
n=l
где Сп определяются начальной функцией по формуле A0).
В случае р < 0 (диффузия с распадом) показатели ряда C7)
меньше соответствующих показателей ряда F). Это означает,
что при наличии распада убывание концентрации происходит
быстрее по сравнению со случаем чистой диффузии (р = 0).
В случае р > 0 (диффузия с размножением), если хотя бы
один из показателей р — а2Х > 0, т. е. р > а2Ки то с течением
времени будет происходить, вообще говоря (Ci=fiO), нараста-
нарастание концентрации по экспоненциальному закону (цепная реак-
реакция). Величина р является характеристикой вещества (коэф-
(коэффициент размножения), a hi существенно зависит от формы и
размеров области. Будем говорить, что некоторая область 7"кр
имеет при заданном р критические размеры, если
Я,4 = р/а2. Определим критические размеры для бесконечного
слоя, цилиндра и сферы.
1. Бесконечный слой O^atss;/. Считая задачу од-
одномерной, имеем (см. главу II, § 3):
\2 „ % — л2
Критическая толщина слоя /кр, начиная с которой будет проис-
происходить процесс лавинного нарастания концентрации и, опре-
определяется из условия
f (р>0)- C8)
2. Бесконечный цилиндр. Считая задачу плоской,
видим, что наименьшее значение X соответствует собственной

468 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
функции, обладающей радиальной симметрией, и равно
/ ц@) \2
Я,(°) = \^±- I (уФ) = 2,4048).
Отсюда для критического диаметра получаем формулу
2ц(!0)а 4,80а
кр Vfi ~ VF
3. Сфера. Наименьшее значение Я, соответствует собствен-
собственной функции, обладающей сферической симметрией, и равно
откуда для критического диаметра Ющ, получаем формулу
§ 3. Краевые задачи для областей
с подвижными границами
I. Формула Грина для уравнения теплопроводности и функция источника.
Для уравнения теплопроводности можно ставить краевые задачи для областей
с границами, перемещающимися со вре-
* * менем.
Е [ Для простоты будем рассматривать
~~ " ' эту задачу для уравнения с одной геоме-
геометрической переменной
Л /о г («)¦=*« -«, = ». A)
хотя все изложенное ниже может быть
х перенесено на случай многих перемен-
переменных.
Рис. 78. Рассмотрим область BAEF (рис. 78),
ограниченную характеристиками АВ н
EF (t = const) и кривыми, определяемыми уравнениями
х = Xi @ (Для АЕ)
x = ^2(t) (для BF).
Первая краевая задача для этой области состоит в определении решения урав-
уравнения теплопроводности A), удовлетворяющего начальному и граничным усло-
условиям
и = ф (я) на АВ,
= ц. (О-
Из принципа максимального значения непосредственно следует, что эта
задача не может иметь более одного непрерывного решения. Аналогично могут
быть поставлены и другие краевые задачи.

§ 3] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 469
Установим формулу Грина для уравнения A) и интегральное представле-
представление решений этой задачи.
Рассмотрим оператор
интегрируя выражение
) М () = a2
по некоторой области PABQ (рис. 78), где ф(-М) н -ф(аг, /)—произвольные,
достаточное число раз дифференцируемые функции, и пользуясь формулой
Грина, получим:
J J
dx dt = § [фф dx + о» (if -g- - Ф
где правый интеграл берется по замкнутому контуру PABQ. Если й'(ф) = О
и M(ty) — 0, то, выписывая подробнее правую часть, получим:
BQ
АР
Пусть <p(x,t) = u(x,t)—какое-либо решение уравнения теплопроводности
Я?(и) = 0, а ¦ф == Gq(x, t, |, т)—функция источника для этого уравнения на
неограниченной прямой
(»-?)'
' ^ »'-*), E)
Оо(ж./,Е,т)= е »),
2 У jta2 (/ — т)
часто называемая фундаментальным решением уравнения
теплопроводности. Функция G0(x, t,\, т) удовлетворяет уравнению
3?(G0) = 0 по переменным х, t и сопряженному уравнению Jl{G0) =0 по
переменным ?, т.
Пусть М(д:, t)—некоторая фиксированная точка внутри области BAEF,
в которой мы хотим определить значение функции u(x,t), a Mt—точка с ко-
координатами х, i + ft, где ft > 0. Проводя через точку М характеристику PQ,
заменяя в формуле D) х на |, / на т и применяя ее затем к области ABQP
(рис. 78) и функциям
Ф = м(|,т) и -ф <?, т) = Оо(х,* + Л, I, т),
будем иметь:
и (I. О <*Е =
J [«(E.T)Go(*./ + A,E,T)dE + e*(Go-||—и-^-)л]. G)
BQ

470 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
Переходя к пределу при ft-+0 и учитывая непрерывность по ft функции
С0{х, t + h, g, т) и -_2. На PABQ, а также равенство
1Я
Г е~ 4a'h
Iim \—-r==ru{l,t)dl = u{x,t)i), (8)
если {x, t) лежит на отрезке PQ, получаем основную интегральную формулу
«(*,<) = J «(Ь T)G0(x,M,T)rf|+ J а«((?0-^._в-^-)л, (9)
РЛВС? BQ+РД
дающую представление произвольных решений уравнения теплопроводности.
Перепишем ее еще раз более подробно
Г d
Эта формула не дает решений краевых задач, так как для вычисления правой
части надо знать значения не только и, но и -^г- вдоль дуг АЕ н BF.
При помощи преобразования, подобного тому, которое было иыполнено
для уравнения Лапласа при виедении функции источника, можно исключить
из этой формулы -тг.
Пусть v — какое-либо решение сопряженного уравнения Jt{u) =0, обра-
обращающееся в нуль на PQ, и и — решение ураинеиия теплопроводности i?(u) =
= 0. Применяя формулу D) к функциям v и и для области PABQ, получим:
= J [«<!, т)о(Ь
AQ
0 J
PABQ
Вычитая из (9), равенстио A0), будем иметь:
«(*,<)= J [и&,т)С{х,1,1,т)<11 + а*(оЩ--иЩУ)<1т\, (II)
PABQ
где
О {х, t, I, т) = Go (x, t, |, т) - v. A2)
Если функцию v выбрать так, чтобы
G = 0 иа РА и BQ,
то получим интегральное представление для и(х, t) в виде
«(*,<)= J « №. т) О (х, t, 6, т) й| + a2 J «-||- Лг - а» J «-|г<*т. A3)
АВ АР BQ
«) См. главу III, § 3.

§ 31 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 471
Формула A3) дает решение краевой задачи (I)—B), в условиях которой за-
задаются значения функции и иа АР и BQ, а также на прямой АВ.
Остановимся подробнее на рассмотрении функции О. Она определяется
при помощи представления A2), где функция с(|, т) характеризуется следую-
следующими условиями:
Г с(?, т) определена в области PABQ и для т < t удовлетворяет сопря-
сопряженному уравнению Jt(v) = 0.
2° v = 0 на PQ, т. е. при т = t.
3° v(?, т) = -Ое(х, t, g, т) на РА и QB.
В силу этих условий функция v зависит от параметров х, t, так что v =••
= v(x, f, g, т), и для ее определения надо решить краевую задачу для уравне-
уравнения M(v) = 0, которая эквивалентна решению краевой задачи типа B) для
уравиеняя 3?(и) = 0, в чем легко убедиться изменением знака у т. Таким
образом, при представлении функции и(х, t) с помощью формулы A1), даю-
дающей решение краевой задачи B), основная трудность заключается в нахожде-
нахождении функции v (х, t, |, т).
Рассмотрим функцию v(x, t, Jj, т), определяемую условиями:
1° v(x, t, Jj, т) определена в области PABQ для t > т и, как функция пере-
переменных х, t, удовлетворяет уравнению теплопроводности 3?{и) = 0.
2° 6 = 0 иа АВ, т. е. при < = т.
3° v = — О0 на АР и BQ.
Докажем, что »(*> '. I. т) = J>(*. <, ?. т).
Рассмотрим функцию G(x, <, g, т) = Gc-f-tJ. Очевидно, что для любого
решения п уравнения Ж(и) = 0 имеет место формула, аналогичная (9),
й (|, х)
= J п
а2
Л,
(9")
а также формула, аналогичная A3),
й(?,т)= Г uGdx + a* Г п^-df-a2 Г «-^-
PC BQ ЛР
^ ^ A3')
PC BQ
Эти формулы могут быть получены из формул (9) и A3) изменением знака
у т, так как при этом уравение Ж = 0 переходит в уравнение 9? — 0.
Применяя формулу A3) к обла-
области PQRS (рис. 79), где RS — отрезок
прямой, соответствующий ординате 0,
где t > 0 > т, и к непрерывному в
этой области решению и (х, t) =
= G(x, t, g, 0) уравнения S(u) = 0,
получим:
С (х, t, ?, т) =
О (х\ 6, |, т) G (х, t, х', 0) dx',
J
р
\
А
у
/
в
Q
1
Рис-
так как интегралы по RP и SQ в силу
3° равны нулю.
Применяя аналогично формулу A3') к области ARSB и непрерывному в
этой области решению и(|, г) = G(x, <, |, г) уравнения ^?(и) = 0, получим:
О (х,
= J G
RS
<, ж', G) G (ж', 0, 1, т) dx',

472
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. VI
так как интегралы по BS и AR равны нулю. Сравнение этих формул дает, что
О (х, г, ?, т) = G (х, t, |, т).
Это равенство доказывает, что функция О, рассматриваемая как функция х, t,
имеет при г = т и х = | особенность, характерную для функции источника,
раина нулю при t = т и х Ф- g, удовлетворяет уравнению 3?x,i(G) = 0 вну-
внутри APQB и обращается в нуль на АР и BQ. Такую функцию естественно на-
назвать функцией влияния точечного источника для уравнения
теплопроводности в области APQB.
Итак, любое решение уравнения теплопроводности может быть представ-
представлено формулой A3) при помощи функции источника.
Если задано неоднородное уравнение 3?(и) =f(x,t), то в формуле A3)
к правой части следует прибавить слагаемое
Я
О (х, t, I, т) / (|, т) dl d%
2. Решение краевой задачи. Полученная выше формула A3) дает решение
краевой задачи для ограниченного отрезка с подвижными концами. Если же
концы отрезка АВ неподвижны, то дуги АЕ и BF заменяются отрезками пря-
прямых, параллельных оси t Область S в этом случае имеет вид прямоугольника
со сторонами, параллельными координатным осям. Из общей формулы (И)
можно предельным переходом получить формулу Пуассона, дающую решение
уравнения теплопроводности с за-
заданным начальным условием на
бесконечной прямой.
Предположим, что в части по-
полосы, ограниченной двумя харак-
характеристиками г= 0 и t = б, про-
проходящими через точки А и Е
(рис. 80), функции и и их удовле-
удовлетворяют неравенствам
I и (х, t) | е~Кх? < N
Е
п
_
1 I
t
д
t
=8
x=l
F
п
Рис. 80.
ди I _k-v2
IF e <Л/-
(А)
где /С>0 и Л/>0 — некоторые
числа. Заменим дугу BQ отрезком
прямой х = I, где / — положительное число, которое в дальнейшем будем не-
неограниченно увеличивать. При этом мы будем исходить из формулы (9), кото-
которую перепишем в виде
J 2]Лш2(*-т) [
b
PABQ
Рассмотрим интеграл по отрезку BQ
(*-№
ia*(t—t
(t ¦
х — 1
2(/
Зг*
4a2 (t—T)
'A-х)
dx- и A.x)
Q ^ -О '1=1 * * "- «- " 0
и покажем, что он стремится к нулю при I -> оо.
(<—т) (г—Т)

§ Z\ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 473
Оценим интеграл 1\ при больших значениях /
Р *
.... Na2 кг2~1б^6" С dt
]1i<e J
Очевидно, что |/i| -»-0 при /-s-oo, так как К —фиксированное число, а б мо-
может быть выбрано как угодно малым числом, например так, что
*<¦
16а2б '
Аналогично доказывается, что |/2| -»-0 при 1-*-оо.
Если для функции и(х, t) и ее производной — неравенства (А) выпол-
выполняются также при отрицательных х, то можно принять за кривую АЕ отрезок
прямой х = —/и, повторяя изложенные выше рассуждения, убедиться в том,
что при предельном переходе интеграл по РА в формуле (9) стремится к нулю.
В результате мы приходим к известной иам из главы III, § 3 формуле Пуас-
Пуассона ')
Рассматривая полубесконечную область и предполагая, что для функции
источника С(х, t, |, т) выполнены неравенства (А), с помощью аналогичных
рассуждений найдем:
оо
J б1 '|=хл J
РА л ХА
где
[I (<) = U (Хд, t) И ф (*) = U (X, 0).
Как нетрудно убедиться, функция источника для полубесконечной прямой
х ^ 0 может быть получена методом отражения и равна
2V
na
1 Г (*-iJ __i?±l>L1
\e **«~V_e 4*«-,)\
(t — т) L J
так как она представима в виде A2), удовлетворяет уравнению теплопровод-
теплопроводности по переменным х, t и обращается в нуль при х = 0:
o«w,i.T) = a
Вычислим производную
дО
е
1=0
4a2 (t-%)
') Приведенные рассуждения нельзя рассматривать как иывод этой фор-
формулы, так как мы основывались иа ней при выводе формулы (9).

474 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
и. подставляя ее значение в A4), получим формулу
7==- [е АаЛ — <
т, A5)
которая определяет функцию и (х, t), удовлетворяющую уравнению
ut = а2ихх @ < х < оо, <> 0)
и дополнительным условиям
и (х, 0) = ф (х),
„(ftO-nW (°<*<о0>-
3. Функция источника для отрезка. Решение уравнения теплопроводности
на ограниченном отрезке 0 < х < I даетси формулой A1), которая после за-
замены дуг РА и BQ отрезками прямых и сдвига начала координат в точку А
принимает вид
О {х, /: |, г) ==•
t t i
о о о
где
(J.I (/) = U @, t), (X2 (<) = U (I, t), ф (X) = U (X, 0).
Функция источника О (х, t, Jj, т) для отрезка может быть построена методом
отражения. Помещая положительные источники в точках 2nt + & и отрица-
отрицательные источники в точках 2nl — |, предстаиим функцию источника с по-
помощью ряда
оо
и (х. 0 = ? [Go (х, t, 2nl + |, т) - Go (х, t, 2nl - g, т)], A6)
где
Go (x, t, I, т) =
2 Уяа2 (^ — т)
— функция источника для неограниченной прямой.
Сходимость ряда, а также выполнение граничных условий G|x_0 = 0 и
С\ _, = 0 устанавливаются без труда.
В § 2 главы III была получена иная форма представления функции
источника
оо /At8 . „
* siniHL,sinif |. A7)
Докажем эквивалентность обоих представлений.

§ 3] КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЛАСТЕЙ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ 475
Формулу A7) можно рассматривать как разложение функции G (х, t, |, т)
в ряд Фурье по синусам на отрезке (О, I)
оо
О (х, t, I, т) = 2 On (х, t, т) sin ¦— |. A8)
Вычислим коэффициенты Фурье О„ функции О, определяемой рядом A6),
I
О„ = у J G (х, t, I, х) sm^f-tdl =
о
0
— Go (x, <, 2n/ — |s, t) sin ^-12 d|s [.
о J
Вводя новые переменные интегрирования
получим:
оо f <2«+1> '
2
пс=—оо I 2reZ
откуда следует, что
+ ОО
J
— — Г ? яп
/ J /
~7 J
—оо x '
Введем переменную
Тогда
I I yn t/ *

476 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
Второй интеграл равен нулю, так как под интегралом стоит нечетная относи»
тельио начала координат функция.
Первый интеграл является частным случаем интеграла
/(а, Р)= f e~°X2cosPXdK,
равного
/(«.Р) = д/-^ 4а\
В нашем случае а=1, Р = —.— -yja2 (t — т), так что
2 т пп
Gn = j-e sin—*.
Подставляя найденное выражение для коэффициентов Фурье 0„ в формулу
A8), сразу же получаем иторое представление A7) для функции источника
G. Тем самым эквивалентность двух разных представлений A6) и A7) до-
доказана.
§ 4. Тепловые потенциалы
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя. Как мы ви-
видели, всякое решение уравнения теплопроводности может быть представлено
и виде (рис. 79):
- J O0udl+ JooUrfi + a2 J (go-||-«-~°-\dx.
AP BQ BQ+PA
u(x,t)= j O0udt J J J
AB AP BQ BQ+PA
Займемся изучением отдельных слагаемых этой суммы и докажем в пер-
иую очередь, что каждое из них в отдельности удовлетворяет уравнению теп-
теплопроводности. Действительно, первое слагаемое является интегралом Пуас-
Пуассона, для которого" это уже было доказано.
Докажем, что для внутренних точек области PABQ уравнению теплопро-
теплопроводности удовлетворяют интегралы
/* 2 /* I —* ¦¦"' —
ЛР О
= 2а2 ^[idx = —-= — т^7~е 4а ('~Т
J
АР
Функции V и W называются тепловыми потенциалами (простого слоя и двой-
двойного слоя соответственно).

§ 4]
ТЕПЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
477
Производные функций V и W вычисляются при помощи дифференцирова-
дифференцирования под знаком интеграла, так как подстановка, входящая при дифференциро-
дифференцировании по t, равна нулю. Например,
Go (X, U Хх (Т), т) Ц (Т)
2 Vn Va* (t ~ x)
4а' ((-г)
= 0
x=t
в силу того, что х =jfc 5Ci(')- Таким образом, дифференцирование по параметрам
х, t будет относиться к функции Go, которая является решением уравнения
теплопроводности. Изучение остальных слагаемых проходит аналогично.
Рассмотрим теперь поведение функций V, W на кривой АР (х = %i(t)).
Очевидно, что интеграл V непрерывен при переходе точки (х, t) через кривую
АР, так как этот интеграл сходится равномерно (см. главу IV, § 5). Докажем,
что W претерпевает разрыв при переходе через кривую АР, причем
Это доказательство будет проведено в предположении дифференцируемостя
!) и функции ix(t).
Рассмотрим сперва W при постоянной плотности ц(/) = ц0
1*-Х. (тI2
«,«= -г= Щ±е ia4t
2aVn J (t — r)h
и вспомогательный интеграл
:: 1 _ Г 2Х?(Т)
2aVn J Vt — r
являющийся, в силу сделанного выше замечания, непрерывной функцией в точ-
точках дуги АР.
Разность W° — V0 вычисляется непосредственно
где
«о
e~a*da
(a= *-Х.(т)_\
a0 = + оо, если х > xi @.
a0 = 0, если х = xi @ = х0,
do = — оо. если х < %i (<).

478 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
При х->хв±0 мы получаем:
IW° (х0 ± 0, <) - W° (х0, <)] - [V (х0 ±O,t)-V (*„, t)] =
_2_
В силу непрерывности V имеем:
V(.xo±O,t)-V(xo,t) = O.
Таким образом,
W° (*0 ± 0, 0 = W° {xB, t) ± ц,
Если ц (<) не постоянна, то
где
Но тй=- е~п da = ± йо-
В силу сделанных предположений о дифференцируемости функции ц (<)
этот интеграл имеет такую же особенность при x = t, как и V, сходится
равномерно и является непрерывной функцией на кривой АР. Таким образом,
предел W {х, 1) при х = х0 ± 0 равен
W (хв ± 0, 0 = В70 (*о. О ± (I.
что и требовалось доказать.
dV
Нетрудно убедиться, что производная -^— (х, t), подобно W {x, t), раз-
разрывна при х — х0. Эта производная равна
I
2а/^ 2 J (/-т)%
и равна — W (x, t) с плотностью
Отсюда следует, что
где интеграл
t
.. _ _ 1 J_ Г *о — %\ (т)
2аУп 2 J (< — тK/"
равен полусумме произиодных V в точке х0 справа и слева:
Отметим, что функция V[x, t) в самой точке Xq не имеет производной.

§ 4] ТЕПЛОВЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 479
На этом мы заканчиваем исследование потенциалов вдоль АР. Свойства
потенциалов вдоль кривой BQ совершенно аналогичны.
2. Решение краевых задач. Тепловые потенциалы являются удобным ана-
аналитическим аппаратом для решения краевых задач.
Рассмотрим сперва первую краевую задачу для полуограниченной области
(')
>Х(
найти решение уравнения
щ = аЧхх при х > Xi @. t > 'о.
удовлетворяющее условиям
и(х, <0)=ф(*). *>xi('o);
и Ixi @: Ч -1* @. t> to-
Без ограничения общности можно считать, что <p(x) = 0, так как, беря
разность между и(х, t) и произвольным решением уравнения теплопроводно-
теплопроводности v(x,t), удоилетворяющим тому же начальному условию, получим новую
функцию, для которой <р(х) = 0, а граничное значение по-прежиему будет
известно.
Предполагая, что приведение к нулевому начальному условию уже сде-
сделано, представим решение в виде
й(«,О=^-Г(., 0= I ^r(x,t. Xi(x).x)p
_ lx~
эта функция удовлетворяет уравнению при х > Xi @. ограничена в_ бесконеч-
бесконечности и имеет нулевое начальное значение при любом выборе ц (<). При
х = yt(t) она разрывна и ее предельное значение при х = xi@ +0 должно
быть равно (i@
t
2а2
Г1
4^5 /J
=
Это соотношение является интегральным уравнением типа Вольтерра второго
рода для нахождения функции Д(т), определяющей искомое решение и(х, t).
Сущестиоваиие решения всегда имеет место в силу общей теории, если кривая
х = xi @ определяется дифференцируемой функцией.
Это уравнение особенно просто, если граница нашей области неподвижна:
50 (<) = х0. В этом случае интеграл обращается в нуль и
так что искомое решение имеет вид
С этой формулой мы уже встречались дважды (см. главу III, § 3 и главу VI,
§ 3, п. 2), однако только здесь дано доказательство того, что эта функция удо-
удовлетворяет уравнению и дополнительным условиям.

480 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ [ГЛ. VI
Вторая и третья краевые задачи решаются аналогично при помощи по-
потенциала. Рассмотрим краевую задачу для ограниченной области, беря допол-
дополнительные условия в виде
и(х, О) = ср(х), Xi@)<*<X2@),
и IXi @; t] = ц, (/), и [%2 (t); t] = й2 @ (t > 0).
Считая, что начальное значение приведено к нулю: <р(х) = 0, представим
решение в виде
(T)dT.
Эта функция удовлетворяет уравнению и нулевому начальному условию при
любом выборе функции Hi(f) и |х-2@. Она разрывна при х — %\(t) и х =
= %2@ и ее предельные значения при х = %t(t) +0 и х = Хг(О —0 должны
быть равны Hi(f) и Ц2@. что дает систему уравнений
t
1_
2о2 ^~ 4/яГ б
L | x.@-x.у
~1а^ +
_ i Г
4Vn j
Эта система является системой интегральных уравнений типа Вольтерра, всег-
всегда имеющей решение.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VI
1- Сфера радиуса Ro в начальный момент заполнена газом концентрации
«о; вне сферы концентрация равна нулю. Найти функцию и, характеризующую
процесс диффузии газа в неограниченном пространстве. Решить ту же задачу
для полупространства при наличии газонепроницаемой границы 2 = 0.
2. Решить задачу о нагревании сферы радиуса Re если начальная темпе-
температура равна нулю, а на границе поддерживается постоянная температура.
3. Найти температуру шара, на поверхности которого происходит тепло-
теплообмен со средой нулевой температуры, если начальная температура постоянна
и равна «о-
4. Однородное твердое тело ограничено двумя концентрическими сферами
с радиусами а и 2а. Внутренняя поверхность тела теплоизолирована, а на
внешней поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры.

I. ДИФФУЗИЯ ОБЛАКА 481
Найти распределение температуры в теле в момент t, если начальная темпера-
температура тела равна щ.
5. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся с постоянной ско-
скоростью. Написать выражение для функции точечного источника в неограничен-
неограниченном пространстве.
6. Рассмотреть стационарную задачу диффузии в подвижной среде, счи-
считая скорость движения постоянной и пренебрегая диффузией вдоль направле-
направления движения среды (задача о газовой атаке). Написать функцию источника
для полупространства, считая, что плоскость 2=0 газонепроницаема.
7. Построить функцию теплового источника для слоя, ограниченного пло-
плоскостями г = 0 и г = !, а также для клина с раствором п/п (п — целое чис-
число) при нулевых граничных условиях. Решение исследовать.
8. Найти функцию влияния мгновенного источника тепла мощности Q,
равномерно распределенного на поверхности сферы радиуса а.
9. Решить задачу о нагревании бесконечного цилиндра, начальная темпе-
температура которого равна нулю, а на поверхности поддерживается постоянная
температура. Пользуясь таблицами функций Бесселя, найти профиль темпера-
температуры (взяв на радиусе десять точек) и среднюю температуру по сечению для
больших моментов времени. Построить соответствующие графики.
10. Рассмотреть задачу о намагничивании бесконечного цилиндра постоян-
постоянным магнитным полем, параллельным оси цилиндра. Пользуясь таблицами бес-
бесселевых функций, подсчитать величину потока индукции через поперечное сече-
сечение цилиндра.
П. Построить функцию мгновенного точечного источника тепла для бес-
бесконечной цилиндрической области произвольного сечения при граничных усло-
условиях первого рода. Рассмотреть частный случай поперечного сечения круглой
формы.
Указание. Представить решение в виде
со
и (М, г, t) = 2 «n (z, t) ф« (М),
где i]>n (Щ — собственная функция поперечного сечения цилиндра.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
1. Диффузия облака
Рассмотрим процесс диффузии газового облака, образующе-
образующегося при разрыве снаряда.
При разрыве снаряда выделяется некоторое количество
дыма Q, который распространяется во все стороны, образуя
облако. Облако сначала растет, затем оно светлеет по краям,
его темная непрозрачная часть уменьшается, все облако свет-
светлеет, начинает «таять» и, наконец, исчезает. Эта картина осо-
особенно отчетливо видна в ясный день на фоне голубого неба.
Процесс распространения дымового облака можно тракто-
трактовать как процесс диффузии дыма от мгновенного точечного
источника мощности Q в неограниченном пространстве. Такой
процесс диффузии носит не молекулярный, а турбулентный ха-
характер; ему соответствует некоторый эффективный коэффициент
16 As H. Тихонов, А. А. Самарский

482 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
турбулентной диффузии D. Мы не учитываем здесь начальный
разброс дыма, а также практически совершенно не существен-
существенное влияние земли. В этих предположениях концентрация ды-
дыма дается формулой
и (х, у, z,t) = Q l-^Je-^T^ {D =
если начало координат поместить в точку разрыва снаряда.
Остановимся на вопросе о видимости облака. Время, за ко-
которое облако полностью «растает», зависит от поглощения света
в атмосфере и от порога чувствительности измерительного при-
прибора (глаз, фотопленка и т. д.).
Как известно, интенсивность света, проходящего через од-
однородные слои газа, приближенно равна
где /0 — первоначальная интенсивность света, а = аоы — коэф»
фициент поглощения, пропорциональный концентрации погло-
поглощающего газа (сю = const), и — концентрация газа в слое,
/ — толщина слоя.
Если имеется два слоя толщины k и 1% с разными концент-
концентрациями газа «1 и ы2, то
Отсюда ясно, что интенсивность света, проходящего через об-
облако с непрерывно меняющейся концентрацией дыма, будет оп-
определяться формулой
I
Видимость облака определяется отношением ///о, зависящим от
величины I и dl.
Пусть б — порог чувствительности инструмента наблюдения?
тогда при
-^f^- < 5 или 4~ > 1 - б
/о 'о
облако становится невидимым; при
> 1 — б или — < б
облако кажется совершенно непрозрачным. Если

I. ДИФФУЗИЯ ОБЛАКА
483
то облако кажется наблюдателю частично прозрачным. Степень
прозрачности зависит от величины отношения
/ -do f udl
—— = р
/о е
т. е. от величины интеграла Г и dl.
Направим теперь ось г по лучу зрения и будем считать, что
наблюдатель находится в бесконечности. При этом облако
проектируется на плоскость (х, у). Для оценки видимости раз-
различных участков облака, соответствующих точкам (х, у), вы-
вычислим интеграл
I
udl
op
x»+g4-z*
4Dt
Если количество дыма по лучу зрения мало
I
udl<4-, то J->\-f>,
а0 /о
и соответствующий участок полностью прозрачен. Если коли-
количество дыма по лучу зрения велико
f иЛ>-?-. то -/-
т. е. при надлежащем выборе А = In у соответствующий уча-
участок облака совершенно непро-
непрозрачен. При
условие
<% I udl = 6 или
Рис. 81.
определяет границу облака, за пределами которой оно стано-
становится невидимым. Радиус облака, очевидно, равен
(рис. 81).
16*

484 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
При малых значениях t радиус облака (р) мал и растет вместе
с t; при
f ± «oQ
— Ч — 4ne6D
р достигает максимума
n —2 VDt —"l/ a°^
Ртах —^ V 1->10— У ne6 ,
при t > t0 радиус облака р уменьшается и при
t — Qa°
обращается в нуль (облако исчезает).
Наблюдая процесс расплывания облака, можно определить
коэффициент турбулентной диффузии D в свободной атмосфере
(например, из формулы для U или для /0).
II. О размагничивании цилиндра с обмоткой
Рассмотрим задачу о размагничивании цилиндра с обмот-
обмоткой. Такая задача возникает в связи с теорией баллистического
гальванометра 1).
При включении или выключении магнитного поля в обмот-
обмотке возникает индукционный ток. При точной постановке задачи
нужно учитывать обратное воздействие этого тока на поле
внутри цилиндра. Однако это тормозящее действие обмотки
обычно не учитывается и задачу решают с упрощенными гра-
граничными условиями.
Познакомимся, прежде всего, с такой упрощенной постанов-
постановкой задачи. Рассмотрим бесконечный цилиндр радиуса R, на
поверхности которого намотана проводящая обмотка. Цилиндр
находится в однородном магнитном поле Яо, параллельном оси
цилиндра Oz. В момент t — 0 поле выключается.
Внутри цилиндра, очевидно, будет удовлетворяться урав-
уравнение
^^ A)
где
9
В силу осевой симметрии поля
Hz=H{r,t)
') Б. А. Введенский, Журнал Русского физико-химического общества
55, 1 A923).

II. О РАЗМАГНИЧИВАНИИ ЦИЛИНДРА С ОБМОТКОЙ 485
и уравнение A) может быть переписано в виде
дг* + г дг ~ a2 dt ' *¦ >
Если пренебречь влиянием индукционного тока в обмотке на
процесс размагничивания цилиндра, граничное условие на его
поверхности будет иметь вид
я (/г, о=о (*>о). B)
При г = 0
Я(г,0) = Я0. B')
Решение уравнения A') при граничном условии B) без тру-
труда получается методом разделения переменных (см. стр. 465)
fc=l ^ft
Здесь /о и Л — функции Бесселя нулевого и первого порядка,
}i<ft0> — k-к корень уравнения
/0(ц) = 0. D)
Так как с2 весьма велико, то для достаточно больших /
можно ограничиться в формуле C) первым членом (регуляр-
(регулярный режим)
Н (г, 0 = 1,60 • Ное ' R* /(Л2,4-^ч. E)
Отсюда для потока индукции получаем:
Г 4 V-^-t
- Отт I II T~J If т\ г /if /***', —— fT) & *\ (f\\
где Фо — начальный поток (при / = 0), ц, = ц( t
Формулой F) пользуются для практических расчетов при
измерениях с помощью баллистического гальванометра.
Чтобы определить область применимости этой формулы, сле-
следует решить указанную выше задачу, учитывая тормозящее
действие обмотки1).
Электродвижущая сила индукции в контуре (витке) L, как
известно, равна
1) Эта задача была решена В. Н. Никитиной.

486 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
Преобразуем контурный интеграл, используя для этой цели
теорему Стокса, второе уравнение Максвелла и уравнение A)
s
с
Я
Ana
или
Здесь S — поперечное сечение цилиндра, L — контур, ограничи-
ограничивающий S, v — нормаль к контуру L.
Граничные условия на поверхности цилиндра запишутся в ви-
виде условия скачка поля
H(R — 0, t) — H(R + 0, t)==^~-nJ,
где / — индукционный ток в обмотке, П'—число витков на еди-
единицу длины цилиндра. Отсюда, учитывая, что H(R + 0, t) = О,
где р — линейное сопротивление обмотки, / — длина одного
витка, получаем:
^^ (8)
Сопоставляя соотношения G) и (8), окончательно приходим
к граничному условию
Таким образом, мы должны решить уравнение
Hrr + ±Hr = ±-Ht (9)
при дополнительных условиях
Н(г, 0) = Я0,
Я(R, t) + aHr (R, 0 = 0 (а =-^).
Решение будем искать методом разделения переменных, пола-
полагая

II. О РАЗМАГНИЧИВАНИИ ЦИЛИНДРА С ОБМОТКОЙ 487
Для функции Х(г) и T(t) получим условия
* + tf* 0; (Ю)
{R) = 0 (*@)<oo),
Т' + К2а2Т = 0, A1)
где %2—параметр разделения.
Из второго уравнения сразу же находим:
Частными решениями уравнения A0) являются функции
/о(Яг) и N0(Kr) (см. Дополнение II, ч. I), однако условию огра-
ограниченности при г = 0 удовлетворяет лишь J0(hr). Поэтому
X{r) = AJ0(Kr).
Граничное условие при г = R дает уравнение для определения
собственных значений
или
/0 (у) -
где
р = а/#, y = %R. A2)
Корни этого уравнения могут быть найдены либо графиче-
графически, либо разложением функций Бесселя в ряд по степеням
Обозначим ун корни уравнения A2), так что
Общее решение нашей задачи будет иметь вид
оо
Я (г, /) = 2 AkJ0 (yk -?-) е-(уь/*УаЧ. A3)
Коэффициенты Ak находим из начального условия
I ffoh [г %Н г dr
Ak==
2/f J (у )
f . уЛ
J 4rir/rdr
о
Члены ряда A3) быстро убывают, так как а2 = с2/4пца
велико (~1013—1014). Поэтому с достаточной степенью точ-
точности можно ограничиться первым членом
— г .2
/о (»!-?¦) _y**Lt
\ Rl ' R' A5)

488
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VI
что приводит к следующему выражению для потока:
2 а2
A6)
где
ф0 = NHon,Rz {N — полное число витков в обмотке).
Расчеты приводят к следующим формулам потока для раз-
различных значений параметра Р:
f 0,804 Ф0е-".75е При р = 0,1,
Ф @ = | 0,872 Фое-3-9бе »
0,912 с
Р "»^> " D2 1>
позволяющим проследить за тормозящим действием тока на
спадание поля в цилиндре. С увеличением р, т. е. с увеличением
тока в обмотке, скорость убывания потока уменьшается. При
Р = 0 естественно приходим к выражению F) для потока,
являющемуся, таким образом, нулевым приближением.
В теории баллистического гальванометра важно знать время
т спадания потока от Фо до значений, определяемых чувстви-
чувствительностью гальванометра, которое характеризует инерцион-
инерционность прибора. Пусть у — относительная чувствительность галь-
гальванометра, т. е. гальванометр может регистрировать лишь зна-
значения Ф>уФо- Величину т, очевидно, можно найти, полагая
в формуле
ф = уФо в момент t = x.
Из сравнения полного решения A6) с грубым решением F)
видно, что коэффициент в формуле F) завышен. Это означает
завышенное значение чувствительности прибора при одном и
том же значении т.
Приводимая ниже таблица содержит значения т для раз-
различных р, в том числе и для р = 0, при у = 10~3.
Железо
ц=500
а = ю5 ом~1см~1
Альсифер
ц=2000
0=1,3.104 ож-'сж-1
R
1 см
1 см
а?Щ2
1,59
5,12
t (P=0)
0,71
0,217
т <Р=0,1)
0,888
0,272
т <р=0,2)
1,15
0,330
т (Р=0,3)
1,28
0,405

ГЛАВА VII
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
(продолжение)
§ 1. Основные задачи, приводящие
к уравнению А© + cv = О
1. Установившиеся колебания. Весьма широкий класс вопро-
вопросов, связанных с установившимися колебаниями
(механическими, акустическими, электромагнитными и т. д.)
приводит к так называемому волновому уравнению
Дг> + /г2г> = 0 (k2 = c>0). A)
Рассмотрим в качестве примера мембрану S, закрепленную
по границе С и колеблющуюся под действием периодических во
времени сил. Соответствующее уравнение имеет вид
А2« = ^г%- Fo (х, у) cos at. B)
При изучении периодических процессов удобно пользоваться
комплексными функциями, заменяя B) уравнением
Д2ы = ±- и„ - Fo (х, у) в"*. C)
Функция п, очевидно, является вещественной частью функции
и из C).
Будем искать установившиеся колебания, имеющие вид
и = иеш. D)
Для амплитуды установившихся колебаний v получаем сле-
следующее уравнение:
( ?) E)
к которому надо добавить граничное условие
о1с = 0. F)
Если контур мембраны С не закреплен, а совершает периоди-
периодические колебания с той же частотой ©
и\с = Уш, F')

490 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
то для функции v на контуре С имеет место неоднородное гра-
граничное условие
v\c = f0. F")
Как было уже отмечено выше, задачи об установившихся
колебаниях характерны также для акустики и теории электро-
электромагнитного поля. Кроме того, часто встречаются задачи об
установившихся колебаниях в неоднородной среде, в частности,
в кусочно-однородной среде (когда, например, в пространстве
имеются отдельные области, нарушающие однородность).
К этому кругу вопросов относятся задачи теории дифракции,
на которых мы остановимся ниже.
2. Диффузия газа при наличии распада и при цепных реак-
реакциях. При диффузии некоторых газов (например, эманации ра-
радия) происходит реакция распада молекул диффундирующего
газа. Скорость реакции распада обычно принимают пропорцио-
пропорциональной концентрации газа. При написании уравнения диффу-
диффузии это эквивалентно наличию отрицательных источников газа.
В случае стационарного процесса диффузии мы приходим к
уравнению
DAv + cv = 0 (c<0), G)
где D — коэффициент диффузии. Как было указано в главе VI,
§ 2, п. 3, большой интерес представляет случай с > 0, соответ-
соответствующий диффузии при наличии цепных реакций, ведущих к
размножению диффундирующих частиц. В стационарном слу-
случае мы получаем при этом уравнение
А» + cv = 0 (с > 0),
так как цепная реакция эквивалентна наличию источников диф-
диффундирующего вещества, пропорциональных концентрации
v{x,y,z).
3. Диффузия в движущейся среде. В главе IV была рассмо-
рассмотрена задача о диффузии газа в неподвижной среде. Рассмот-
Рассмотрим задачу о диффузии газа в заданном стационарном потоке,
скорость которого в точке М(х,у, z) имеет компоненты
bi(x,y,z), bz(x,y,z), Ъз(х,у,г). Количество газа, протекающего
через элементарную площадку da в точке M(x,y,z), равно
dQ = — Dn grad uda-\-u®n da,
где u(x,y,z)—концентрация газа в единице объема, п — еди-
единичный вектор, нормальный к площадке da, D — коэффициент
диффузии в точке (х, у, z), Q(x,y,z)—вектор скорости потока.
Составляя уравнение сохранения вещества для некоторого
объема Т с границей 2, получаем:
J [— Dn grad и + и$п\ da — 0.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ До + cv - 0 491
Преобразуем поверхностный интеграл в объемный, пользуясь
формулой Остроградского
J [div (D grad и) — div {иЩ dx = 0.
т
" дх ) ^ ду \ ду )^ dz [" dz
Отсюда в силу произвольности объема Т вытекает уравнение
диффузии в заданном потоке
div (D grad «) — div (««) = 0 (8)
или в скалярной форме
д
дх
д д д
~я~ (u^i) л~ (О'в'г) л~ (иФз) ~ 0* (8')
ох ®У uz
К такому же уравнению приводит задача о распространении
тепла в движущейся среде.
Рассмотрим следующий пример. Пусть в полупространстве
2^0 имеется воздушный поток с постоянной скоростью «о» на-
направленной по оси х. Считая коэффициент диффузии постоян-
постоянным, получаем нз (8) уравнение
являющееся простейшим вариантом уравнения газовой
атаки.
Полагая
и выбирая затем
получим для функции v (х, у, z) уравнение
2
А» + cv = 0, где с = — -щ < 0.
4. Постановка внутренних краевых задач для уравнения
Av-т cv = 0. Как было показано в главе I в связи с изучением
канонических форм уравнений с постоянными коэффициентами,
всякое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффи-
коэффициентами может быть приведено к виду
До 4- cv = 0. (9)
Свойства решения уравнения (9) существенно зависят от
знака коэффициента с, что физически очевидно, если иметь в
виду диффузионную интерпретацию этого уравнения.

492 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
Остановимся на вопросе единственности решения первой
краевой задачи уравнения (9). Для уравнения Да +cv = О
при с < О имеет место принцип максимального значения в сле-
следующей форме:
решение v(M) уравнения Av + cv = О (с<0), определенное
внутри некоторой области Т с границей 2, не может достигать во
внутренних точках области Т положительных максимальных (и
отрицательных минимальных) значений.
В самом деле, допустим, что в некоторой точке Мо, лежащей
внутри Т, функция v(M) достигает положительного максималь-
максимального значения [v (Мо) > 0]. Тогда в точке Мо
и, следовательно, Av :gC 0, что находится в противоречии с от-
отрицательностью коэффициента с и положительностью v(M0) l).
Из принципа максимального значения автоматически сле-
следует единственность решения первой краевой задачи для урав-
уравнения (9).
Может существовать только одно решение уравнения Av +
_(- cv = 0 (с ^ 0), определенное и непрерывное в замкнутой об-
области Т + S, принимающее на границе S заданные значения
Действительно, допуская существование двух различных ре-
решений Vi и v%, рассматривая их разность vi — v2 и проводя рас-
рассуждения способом, изложенным выше (см. главы III и IV),
мы приходим к противоречию с принципом максимального зна-
значения.
Если с = 0, то мы получаем первую краевую задачу для
уравнения Лапласа, единственность решения которой была до-
доказана.
Если с > 0, то единственность может не иметь места. Рас-
Рассматривая в главе V задачу о собственных значениях краевой
задачи
мы убедились на примерах в существовании нетривиальных ре-
решений (собственных функций) при Я > 0. Очевидно, что во-
вопрос о множественности или единственности решения первой
краевой задачи эквивалентен вопросу о том, совпадает ли с
с одним из собственных значений Кп рассматриваемой об-
области Т.
1) Сравнить с доказательством принципа максимального значения для
уравнения теплопроводности.

§ 2] ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 493
§ 2. Функции влияния точечных источников
1. Функции влияния точечных источников. Теория потенциа-
потенциалов, развитая в главе IV для уравнения Лапласа, может быть
распространена и на уравнение Av + cv = 0. Для построения
функций влияния точечного источника рассмотрим решение v0,
зависящее только от г. Оператор Лапласа для функции vo(r)
в сферической системе координат имеет вид
1 d I 2 dvо \ 1
~?"dr\r ~dTJ~~T^^r:i '
что приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению
-^ + cw = 0 (w = «,/)•
Вводя обозначение с = k2 для с > 0 и с = —и2 для с < 0, по-
получаем:
' = 0 (с>0), A)
-^ = 0 (с<0). A0
Из уравнения A) находим:
w = C1elkr + C2e-lkr B)
и, соответственно,
ikr -ikr
Vo = Cl^r-+C2-^-r-. C)
В случае вещественного k получаем два линейно-независимых
решения eihr/r и e~ihrfr, которым соответствуют вещественные ли-
линейно-независимые решения
cos fey sinfcr
При с <С 0 (с = —и2), пользуясь уравнением A'), получаем
два действительных линейно-независимых решения
-W ИГ
"V-и -^- (*>°)- D)
Функции
±lkr „±w
^— (с>0) и ±— (с<0)
при /" = 0 терпят разрыв непрерывности, обращаясь в бесконеч-
бесконечность как 1//". Такой же характер особенности имела функция
источника для уравнения Лапласа (с = 0), пропорциональ-
пропорциональная 1/г.

494 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
Рассмотрим поведение этих функций на бесконечности. Слу-
Случай с < О соответствует процессу, сопровождающемуся погло-
поглощением (ср. уравнение диффузии G) § 1). Одно из решений
е~к7/' экспоненциально стремится к нулю на бесконечности, что
в терминах задачи диффузии означает убывание концентрации,
вызываемое поглощением. Это убывание происходит тем силь-
сильнее, чем больше коэффициент |с|= и2, характеризующий интен-
интенсивность поглощения. Второе решение экспоненциально возра-
возрастает на бесконечности и физического смысла для задачи в не-
неограниченной области не имеет (его можно было бы интерпре-
интерпретировать как наличие источника в бесконечности).
Случай с = № > 0 соответствует установившимся волновым
процессам (см. § 1, п. 1). Функция v представляет амплитуду
функции
и(М, f) = 0
удовлетворяющей уравнению колебаний (§1).
Одно из главных решений уравнения A)
г
соответствует процессу колебаний
«о (г, /) =
et(e>t-kr)
который имеет характер сферической волны, расходящей-
расходящейся от источника в точке г = 0. Второе решение
eikr
Щ (г) = -у-
соответствует процессу колебаний
ei (orf+fcr)
имеющему характер сферической волны, приходящей из бес-
бесконечности в точку г = 0 (сходящиеся волны). Очевидно,
что это решение при изучении процессов, возбуждаемых точеч-
точечным источником в неограниченном пространстве, прямого физи-
физического смысла не имеет.
Отметим, что функцию v(M) можно рассматривать как
амплитуду колебаний типа eie>t или егш. Мы брали временной
фактор первого типа. Во втором случае расходящаяся волна
имеет вид
e-i(wl-kr)
Uo(r, 0 = 7. »

§53 ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 495
т. е. ей соответствует второе решение
Jfcr
Первое же решение
"о И =
«-*¦
при этом физического смысла не имеет.
2. Интегральное представление решения. Для уравнения (9),
§ 1 при с Ф О можно написать формулы, аналогичные форму-
формулам Грина, которые были установлены для уравнения Лапласа.
Вводя обозначение
= Ды + с«, E)
сразу же получаем формулу
J (uS (о) - vS («)) dr - J (и ? - v %) da, F)
являющуюся аналогом и прямым следствием второй формулы
Грина (см. главу IV, § 2). Подставляя сюда вместо v одну из
«функций точечного источника», например е~хЛ//?, и повторяя до-
дословно все рассуждения главы IV, § 2, приходим к аналогу
основной формулы Грина
1 Г Г д
ди
= Ялш.). G)
где и(М)—решение неоднородного уравнения 9?(и) = —f(M).
Для случая с = k2 имеет место аналогичная формула
«(Мо) =
1 Г Г д (e~tkl(\ e~ikR диЛ if
G0
которая была получена в главе V как следствие формулы Кирх-
гоффа.
Введем понятие функции источника уравнения & (и) =0 для
заданной области Т с границей 2. Пусть v (M) — решение
уравнения S?(v) = 0, регулярное всюду в Т. Формула F) дает
(8)

496 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
Складывая (8) с равенством G), получим:
Я
{R — Rmmo)- (9)
Эта формула справедлива для произвольного решения v(M)
уравнения Av — k2v = О, регулярного в области Т. Пользуясь про-
произволом выбора функции v, получаем:
и(Мо) = - J и(М) а°(^°'Ж) doM+§G{Мо, М) f (M)dxM,
где
W = J!Sr + v A1)
— функция источника, обладающая следующими свойствами:
1) G(M,M0) обращается в бесконечность при М = Мо как
1/4п/?, что следует из формулы A1);
2) G(M,M0) удовлетворяет уравнению 2(u)—Q всюду в
Т, кроме точки Мо;
3) G(P, Мо) = 0 в точках Р, лежащих на границе X.
Вопрос о существовании функции источника связан с вопро-
вопросом о существовании функции v, удовлетворяющей уравнению
?» = 0 в Т
"и граничному условию
p-v-R
Очевидно, что функция G(M,M0) однозначно определена для
любой области, допускающей единственное решение первой крае-
краевой задачи. В частности, при с = —и2 < 0 эта функция опре-
определена для любой области. В простейших случаях функцию
источника можно найти в явной форме, пользуясь методом, ана-
аналогичным методу электростатических изображений ').
Так, например, для полупространства z > 0 функция источ-
источника имеет вид
-V.R „-V.R,
С(ММ) ^^, A2)
R = # лш. = V (х ~ *оJ + (У ~ У о? + (г-
оГ 4- {у - yof + (z + zof,
') Для сферы метод электростатических изображений неприменим при
сФО.

§ ?) ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 497
где Mi(xo,уо, —z0) — изображение в плоскости г = 0 точки
M0(xo,y0,Zo).
Мы не останавливаемся здесь на вопросе о применимости
предыдущих формул для неограниченной области, что, впро-
впрочем, без труда может быть установлено в случае с < 0. Задачи
для неограниченного пространства при с > 0 связаны с «прин-
«принципом излучения» и будут рассмотрены в следующем параграфе.
Для функции источника G(M,MQ), определенной для про-
произвольной области Г, имеет место принцип взаимности,
выражаемый равенством
G(M, M0)=G(M0, M).
Доказательство этого свойства является буквальным повторе-
повторением соответствующего доказательства для случая уравнения
Лапласа (глава IV, § 4).
В случае двух независимых переменных уравнение для
функции vo(r) имеет вид
*Ч = 0 или **. + ±# + *Ч = 0.
т. е. является уравнением Бесселя нулевого по-
поря д к af общее решение которого может быть записано сле-
следующим образом (см. Дополнение II):
vo (г) = Crf (kr) + С2НЧ] (kr).
где Яо'(kr) и ЯсР(kr) — функции Ханкеля нулевого
порядка первого и второго рода.
Функции Ш)(кг) и Яо2)(^г) при г==0 имеют логарифмиче-
логарифмическую особенность:
где точками обозначены слагаемые, остающиеся конечными
при р = 0. На бесконечности (при р —*¦ оо) поведение функций
Ханкеля определяется асимптотическими формулами
"Т" • • • 1
где точками обозначены члены более высокого порядка ма-
малости относительно 1/р,

498 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
Таким образом, уравнение A?,v + kzv = 0 имеет два фунда-
фундаментальных решения
имеющих логарифмическую особенность и соответствующих
функциям eihr/r и e~ihr/r для пространства.
Выбор той или иной фундаментальной функции зависит от
вида условий излучения на бесконечности (см. § 3, п. 4). Если
временная зависимость берется в виде еш, то функция Яо2)(йг)
определяет расходящуюся цилиндрическую волну. При времен-
временной зависимости е-»®* расходящуюся волну определяет функция
$\)
Если с = —и2 ¦< 0, то линейно-независимыми решениями
уравнения
являются цилиндрические функции мнимого аргумента
/0 (кг) и /Со (кг),
Первая из этих функций 1о(кг) ограничена при г = 0 и экспо-
экспоненциально возрастает при г->оо; функция Ко(кг) имеет в
точке г = О логарифмическую особенность
и тем самым является искомым фундаментальным решением.
На бесконечности она убывает по закону
Мы не останавливаемся подробно на формулах Грина и по-
понятии функции источника G в случае двух независимых пере-
переменных, так как изложение этого было бы повторением пре-
предыдущего.
3. Потенциалы. В главе IV были рассмотрены потенциалы
для уравнения Аи = 0. Такого же типа потенциалы могут
быть построены и для уравнения Аи — х?и = 0.
Будем называть объемным потенциалом (для урав-
уравнения Аи — к2и = 0) интеграл
V(M) =
т
S, A3)
где р(Р) —плотность потенциала.

§ 2] ФУНКЦИИ ВЛИЯНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ИСТОЧНИКОВ 499
Сформулируем кратко основные свойства объемного потен-
потенциала, доказательство которых проводится по аналогии с гла-
главой IV.
1. Вне области Т функция V(M) удовлетворяет уравнению
AV — x2f = 0.
2. Внутри области Т интеграл A3) сходится, сходятся так-
также интегралы, получающиеся при помощи формального диффе-
дифференцирования V(M) под знаком интеграла
J
о -^
3. Функция V(x,y,z) дифференцируема, и ее первые про-
производные можно вычислять дифференцированием под знаком
интеграла
п.
Дифференцируемость функции V{x,y,z) доказывается в пред-
предположении только ограниченности функции р. Отсюда, в част-
частности, следует дифференцируемость V и в точках поверхности
2, ограничивающей область Т, где, как правило, имеет место
разрыв плотности р{М).
4. Во внутренних точках области Т, в окрестности которых
плотность р дифференцируема, вторые производные объемного
потенциала V существуют, и потенциал V удовлетворяет урав-
уравнению
5. Первые производные объемного потенциала представ-
представляются равномерно сходящимися интегралами в предположе-
предположении равномерной ограниченности р. Поэтому первые производ-
производные являются непрерывными функциями во всем пространстве,
включая точки поверхности ?.
Объемные потенциалы позволяют представить решение крае-
краевой задачи для неоднородного уравнения Аи — у?и = —f в ви-
виде суммы
где V(M)—объемный потенциал с плотностью p = f/4n,
Ui{M)—решение краевой задачи для однородного уравнения
Д«1 — х2«1 = 0.
Перейдем к обзору свойств потенциалов простого и двой-
двойного слоя. Назовем потенциалом двойного слоя

500 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
интеграл
^aP (R = RMP), (И)
где ii(P) —поверхностная плотность потенциала W.
Перечислим основные свойства потенциала двойного слоя,
отсылая за их доказательством к главе IV § 5.
1. Вне поверхности 2 потенциал двойного слоя всюду удов-
удовлетворяет однородному уравнению AW — x2W = 0.
2. Потенциал двойного слоя сходится в точках границы,
если 2 принадлежит к классу поверхностей Ляпунова.
3. Функция W разрывна в точках поверхности 2 и имеют
место соотношения
Здесь WB (Mo) — предельное значение функции W(M) при
стремлении М к Мо изнутри области Т, WH(M0) — предельное
значение W(M) при стремлении М к Мо снаружи Т. Потен-
Потенциал простого слоя, определяемый поверхностным ин-
интегралом
^-dop (R=RMP), A5)
обладает следующими свойствами:
1. Вне поверхности 2 потенциал простого слоя всюду удов-
удовлетворяет однородному уравнению AV — KZV = 0.
2. Интеграл равномерно сходится на ? и определяет функ-
функцию V(M), непрерывную во всем пространстве.
3. Нормальные производные потенциала простого слоя для
поверхностей класса Ляпунова удовлетворяют соотношениям
(ср. D8), § 5 главы IV)
где
(дУ\ (дУ\
I dv /в И \dv ;„
— предельные значения для нормальной производной изнутри
и, соответственно, извне 2 в точке Мо на поверхности 2 (v —
внешняя нормаль)

§ г] ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 501
Поверхностные потенциалы позволяют для весьма широкого
класса поверхностей (например, поверхностей класса Ляпуно-
Ляпунова) сводить краевые задачи к интегральным уравнениям.
Рассмотрим первую внутреннюю краевую задачу для урав-
уравнения Аи— к2« = 0 при граничном значении u\-z — f. Предпо-
Предположим, что искомую функцию можно представить в виде по-
потенциала двойного слоя
u(M)=W (М) = | * (Р) ?- [^Ц dap, A4)
который, как было отмечено выше, удовлетворяет внутри Т од-
однородному уравнению Ды — х2и — 0. Требуя выполнения гра-
граничного условия m|j = /, приходим к следующему интеграль-
интегральному уравнению для определения функции \i:
2яц (М) + [ ц (Р) -?{??-] dap = f (M),
? p
которое является линейным интегральным уравнением Фред-
гольма второго рода. На вопросах существования и единст-
единственности решения этого интегрального уравнения мы здесь не
останавливаемся.
Для уравнения Аи — к2и = 0, так же как и для уравнения
Лапласа, применим метод конечных разностей.
§ 3. Задачи для неограниченной области.
Принцип излучения
1. Уравнение Av + cv = — f в неограниченном пространстве.
Рассмотрим решение неоднородного уравнения
Av + cv = -f A)
в неограниченном пространстве. Для простоты изложения бу-
будем считать, что / отлична от нуля внутри некоторой ограни-
ограниченной области (локальная функция). Характер решения этого
уравнения существенно зависит от знака коэффициента с.
Остановимся сперва на случае с = —и2 < 0. Решение урав-
уравнения Av — k2v — —f можно представить в форме объемных
потенциалов
Таким образом, решение уравнения A) без дополнительных ус-
условий в бесконечности определено неоднозначно. Будем искать
по аналогии с внешней задачей для уравнения Лапласа,

Б02 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
решение уравнения A), обращающееся в нуль на бесконеч-
бесконечности. Этому условию удовлетворяет функция Vi(M) и не удов-
удовлетворяет функция vz(M).
Докажем следующую теорему единственности:
уравнение
Ар — н2о = — f
не может иметь более одного решения, обращающегося в нуль
на бесконечности1).
Допустим, что существуют два различных решения постав-
поставленной задачи v(M) и v(M) и рассмотрим их разность w =
= v — v. По предположению, найдется такая точка Мо, что
w (Мо) = А ф 0. Для определенности будем считать А > 0.
В силу того, что w (М) —*¦ 0 в бесконечности, можно указать
такое Ro, что при г > Ro функция w < Л/2. Отсюда следует,
что точка Мо лежит внутри Гд0 — сферы радиуса Ro — и что
функция w(M) достигает своего максимального значения внут-
внутри Гд0. Таким образом, мы приходим к противоречию с прин-
принципом максимального значения, имеющим место для нашего
уравнения (см. § 1, п. 4). Теорема единственности доказана.
Рассмотрим теперь случай с = № > 0.
Функции
и
по-прежнему являются решениями уравнения A). Однако в
этом случае обе функции убывают на бесконечности. Отсюда
вытекает необходимость введения дополнительных условий на
бесконечности, однозначно определяющих решение уравнения
A). Эти условия будут разобраны в пп. 2, 3 и 4 настоящего па-
параграфа.
2. Принцип предельного поглощения. Задача о вынужденных
колебаниях с затуханием приводит к уравнению
A« = ^-«« + P«f-F(M, t) (p>0). B)
Будем считать, что функция F(M, t) является периодической
по времени, т. е. F{M,t) = f(M)eia>t. В этом случае уравнение
B) имеет периодические решения вида
и(М. Ц = ю(М)еш. C)
') Под термином «функция, обращающаяся в нуль иа бесконечности» мы
понимаем следующее: каково бы ни было е, найдется такое г (в), что для лю-
любой точки М(г, 0, ф), для которой г > г(е), |ы(Л1)| < е, т. е. мы предпола-
предполагаем равномерное стремление к нулю прн г ->¦ со.

§3] ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 503
Функция г>(М), очевидно, удовлетворяет уравнению
где qz = k2 — /род является комплексной величиной, k = a>fa.
Будем называть уравнение D) с комплексным значением
коэффициента q2 уравнением с комплексным погло-
поглощением 1-го (Im<72<;0) или 2-го типа (Im<72>0),
в зависимости от знака мнимой части ф, что соответствует вре-
временной зависимости еш A-го типа) e~iwt B-го типа).
Фундаментальные решения этого уравнения, зависящие толь-
только от г, имеют вид
Со \*) — ' И %)q \Г) —: ~~ f
т г
где
Знаки корней выберем так, чтобы q± > 0. Следовательно,
-lqor = Jqur
Щ (г) = -Ч— е-"'г, р0 (г) = -V- е«'г.
Условию ограниченности на_бесконечности удовлетворяет толь-
только функция vo(r); функция 1>о(г) неограниченно возрастает при
г->оо и потому не имеет прямого физического смысла.
Объемный потенциал
(* = *А!Р) F)
представляет единственное решение уравнения D), обращаю-
обращающееся в нуль на бесконечности. Предел v(M) при р—>0 равен
j
так как при р—>0 имеем: qo-+k и qi~>0. При выбранной нами
временной зависимости егЧ°* величина 9о > 0, так как знак 9»
связан со знаком qi соотношением 2^1 = Рм-
Если зависимость от времени взята в виде е~ш (Im<72>0)>
то положительному значению qt будет соответствовать qQ < О
и предел q0 при р -¦ 0 равен —k.
Таким образом, дополнительным условием, позволяющим
выделить решение волнового уравнения

504 УРАБНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
соответствующее расходящимся волнам, является требование,
чтобы функция v(M) являлась пределом ограниченного реше-
решения волнового уравнения с комплексным поглощением первого
рода при стремлении к нулю коэффициента поглощения1).
3. Принцип предельной амплитуды. С волновым уравнением
Av + k2v = — f G)
чаще всего приходится встречаться при изучении установив-
установившихся колебаний, возбуждаемых периодическими силами (см.
§ 1, п. 1).
Рассмотрим уравнение колебаний с периодической правой
частью
Au-±utt = -F (F = fe"»t). (8)
Для определенности решения к уравнению следует добавить
некоторые начальные условия, например, нулевые:
щ(М, 0) = 0.
Функция u(M,t) в начальной стадии процесса не будет строго
периодической. Однако с течением времени в системе будут ус-
устанавливаться периодические колебания с частотой вынуждаю-
вынуждающей силы, т. е. решение и (М, t) примет вид
'°>t, A0)
v(M) представляет предельную амплитуду колебаний, т. е.
X) (м) = lim ие~ш, и удовлетворяют уравнению
Требование, чтобы v(M) было предельной амплитудой колеба-
колебаний с нулевыми начальными данными, и представляет то допол-
дополнительное условие, которое надо присоединить к волновому
уравнению для выделения единственного решения.
Таким образом, приходим к следующей задаче:
найти решение волнового уравнения Av -f- k2v = —/, яв-
являющееся предельной амплитудой для решения уравнения ко-
колебаний
Аи rutt — ~f (Щ еШ (8*)
с начальными условиями
ut(M, 0) = 0.
') См. А. Г. Свешников, Принцип излучения, ДАН 73, 5 A950).

§ 3] ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 505
Представим предельную амплитуду в явной форме. Для этого
найдем решение уравнения колебаний (8*) с нулевыми началь-
начальными данными, пользуясь формулой
=i J
тм
at
полученной в главе V (§ 2, E)). Здесь Tat — шар радиуса at
с центром в точке М.
Пусть f(P)—локальная функция, отличная от нуля только
внутри некоторой ограниченной области То. Тогда для предель-
предельной амплитудыv{M) получим выражение
, Г -ikR
V(M)= lim и(М, г)е~ш= Hm ~ J ^—f(P)drp =
Таким образом, предельная амплитуда представляется объем-
объемным потенциалом, определяемым главным решением e~ihR/R,
которое соответствует расходящимся волнам ei<C0'~ftiiV,R.
Принцип предельной амплитуды приводит математически к
тому же результату, что и принцип предельного поглощения.
Это и естественно, так как оба эти принципа выделяют реше-
решение, соответствующее расходящимся волнам.
4. Условия излучения. В предшествующих пунктах были рас-
рассмотрены общие физические основания, позволяющие найти ре-
решение волнового уравнения, соответствующее расходящимся
волнам. Однако такой путь требовал обращения к решениям
вспомогательных задач. Установим теперь аналитическое усло-
условие, характеризующее расходящуюся волну и выраженное не-
непосредственно в терминах изучаемого решения волнового урав-
уравнения.
Плоские волны, распространяющиеся вдоль оси х, имеют вид
u=f\t — 7f) ~ прямая волна (идущая в положительном на-
направлении оси х);
ч = f\t + —) — обратная волна (идущая в отрицательном на-
направлении оси х).
Прямая волна характеризуется соотношением
дп . 1 дй _ „
дх "*¦ a dt ~"и»

506 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ? 1ГЛ. VII
обратная волна — соотношением *)
ди \_дп_ п
дх a dt ~и"
Для установившегося режима
u = v(x)eie>t
эти соотношения принимают вид
-{Пг+ikv — О для прямой волны,
dv
(*-т)
-Q- — ikv = 0 для обратной волны.
A2)
Перейдем теперь к случаю сферических волн. Если сфери-
сферическая волна возбуждается источниками, расположенными в
ограниченной части пространства, то на больших расстояниях
от источников сферическая волна подобна плоской волне, амп-
амплитуда которой убывает как 1/г. Отсюда естественно считать,
что расходящаяся сферическая волна должна удовлетворять
соотношению 2)
_EfL_i_± lE-^oll)- A3)
дг a dt \r}'
аналогично для сходящейся сферической волны
ди
дг
Для амплитуды установившихся колебаний эти условия прини-
принимают вид
dv
— -\-ikv=o\—\ для расходящихся сферических волн, A5)
— ikv=o\—\ для сходящихся сферических волн. A6)
dv
дг
Соотношения A5) и A6) мы получили, предполагая, что на
больших расстояниях всякая расходящаяся волна подобна
плоской волне, амплитуда которой убывает как 1/г. Убедимся
в правильности этого утверждения.
') Написанные соотношения представляют уравнения с частными произ-
производными 1-го порядка, решения которых имеют внд прямой и обратной волиы.
2) В дальнейшем мы пользуемся двумя обозначениями: О(|)—величина,
убывающая как | при |-»-0, о(|)—величина более высокого порядка мало-
малости, чем 6 ПРИ ?-»-0.

§3] ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 507
1. В случае точечного источника, находящегося в начале
координат, это утверждение совершенно очевидно, поскольку
сама волна имеет вид
е1Ш-ьг) Ч> R м
и (г, t) = = vo(r)ele>t,
Г Pol
так что
2. Пусть сферическая волна Рис-
возбуждается точечным источ-
источником, находящимся в некоторой точке Мо. Амплитуда сфери-
сферической волны равна
где R — расстояние между точками М и Мо, равное (рис. 82)
R=
Вычислим производную
В силу пункта 1
Проверим справедливость формулы A5):
В самом деле,
так как
Отсюда и из пункта 1 следует:
что и требовалось доказать.
3. Покажем, что объемный потенциал

S08 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
удовлетворяет условию A5). Очевидно, что
Формула A1) представляет амплитуду расходящейся волны,
возбуждаемой источниками, произвольно распределенными
внутри ограниченной части пространства Т. Мы видели, что
функция v(M) удовлетворяет волновому уравнению
Дс + tfv = - / (М)
и стремится к нулю как 1/г на бесконечности; кроме того, как
было показано, для нее на бесконечности выполняется соотно-
соотношение
__
= о (-).
являющееся необходимым дополнительным условием.
Покажем, что
существует единственное решение волнового уравнения
где f(M) —локальная функция, удовлетворяющее на бесконеч-
бесконечности условиям
(I) [>
(а)
Допуская существование двух различных решений vi и v2, по-
получаем, что их разность
удовлетворяет однородному уравнению и условию (а). Пусть
2Я—сфера радиуса R, который мы в дальнейшем устремим в
бесконечность. Пользуясь основной формулой Грина для функ-
е-ш?
ций w (М) и v0 (М) = 4nR , будем иметь в точке Мо, лежащей
внутри S,
') И. Н. Веку а показано, что первое из приведенных здесь двух условий
•является следствием второго; см. И. Н. Век у а, Труды Тб. Матем. ин-та
12 A943).

§ 3] ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ. ПРИНЦИП ИЗЛУЧЕНИЯ 509
Условие (а) для vo(r) и w(M) дает:
Поэтому
w(MQ)— o\-f)do->0 при J?->oo,
откуда и следует, в силу произвольности точки Мо, единствен-
единственность решения нашей задачи.
Условия
$•+*•—(т)
часто называют условиями излучения или условиями
Зоммерфельда.
Следует отметить, что для неограниченных областей, не
совпадающих со всем пространством, условия на бесконечности
могут иметь форму, отличную от условий Зоммерфельда.
Таким образом, собтношения (а) представляют аналитиче-
аналитическую форму условий излучения для неограниченного простран-
пространства и не основаны на физическом принципе, который позволил
бы сформулировать эти условия для областей более сложной
формы.
Условия излучения, получающиеся при введении в волновое
уравнение бесконечно малого комплексного поглощения, впер-
впервые были использованы В. С. Игнатовским *). Принцип введе-
введения бесконечно малого комплексного поглощения легко при-
применим для неограниченных областей различной формы и для
более сложных задач.
Для задач на плоскости, связанных с уравнением
Д2о + А:2о = 0, A7)
условия излучения на бесконечности принимают вид
\
») В. С. Игнатовский, Ann. d. Phys. 18 A905).

510 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
Простейшими решениями этого уравнения являются функции
Ханкеля нулевого порядка Ht) (kr) и Но* (kr) (см. Дополнение
И, ч. I, § 3).
Из асимптотических формул
и рекуррентных соотношений
видно, что условию излучения удовлетворяет лишь функция
Hi? (kr).
Таким образом, функция Но) (kr) удовлетворяет уравнению
A7), условиям излучения A8) и имеет логарифмическую осо-
особенность при г = 0. Поэтому функция //о2) (kr), как уже отме-
отмечалось в § 2, играет роль функции точечного источника для вол-
волнового уравнения G) в случае двух независимых переменных.
Решение неоднородного уравнения
выражается формулой
v(M) = --L j§ HV(kRMP)f(P)dop,
где S — область, в которой функция f отлична от нуля.
§ 4. Задачи математической теории дифракции
1. Постановка задачи. Распространение волновых процессов
(электромагнитных, упругих, акустических и т. д.) сопровож-
сопровождается целым рядом типичных явлений (дифракция, преломле-
преломление, отражение и т. д.). Решение задач, связанных с этими яв-
явлениями, проводится непосредственно или имеет много общего
с решением волнового уравнения в неоднородной среде
д ( dv\ , д t dv\ , д
[p)+(p)+
где р и р — параметры среды.
Наибольший интерес с точки зрения физических приложений
представляет случай кусочно-постоянных параметров р и р.
Соответствующая математическая задача состоит в следующем.

§4] ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 511
В неограниченном пространстве имеется ряд ограниченных об-
областей Ti с постоянными параметрами pt и pt; часть простран-
пространства Го, внешняя по отношению к областям 7\, также однород-
однородна (ро = const, po = const). Волновое уравнение внутри каж-
каждой области Ti принимает обычный вид
= -f, в Т{ (г = 0, 1, .... /г), B)
где щ — значение искомой функции и внутри Ти
в области Т^ На поверхностях Sj, ограничивающих области Tt')
дифференциальные уравнения заменяются условиями сопря-
сопряжения
vt = v0 на 2<, ]
Л-Й—ЛТЙ- на Е< «-1.2.....П)
На бесконечности функция v0, являющаяся решением волнового
уравнения Аи -
виям излучения
уравнения Аи + kov = — f0 в То, должна удовлетворять уело-
-. A).
D)
Ниже будет показана достаточность условий сопряжения и
условий излучения для однозначного определения функции v во
всем пространстве. Поставленная выше задача является про-
простейшей задачей математической теории дифракции.
2. Единственность решения задачн днфракцни. Докажем, что задача мате-
математической теории дифракции, сформулированная в п. 1, имеет единственное
решение. Для упрощения записи будем предполагать, что однородность среды
нарушается только одним телом Ти ограниченным замкнутой поверхностью
Si, вие которой расположена область 7. При этом мы не делаем предполо-
предположения об односвязности области Т\.
Докажем следующую теорему:
может существовать только одна функция, удовлетворяющая:
а) уравнениям
(о,) = До,+$«, = -/, в Г
') При этом мы рассматриваем для простоты тот случай, когда неодно-
неоднородности Tt имеют общую границу только с окружающей средой.

612 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
б) условиям сопряжения на поверхности Si
t), = Do |
dt>i dv0 . f C)
в) условиям излучения на бесконечности
-*g> +/*„„ = о A). ]
Допуская существование двух различных решений
V = {Vl,Vo) И V — {V\, Vq),
получаем, что их разность
где = =
удовлетворяет однородным уравнениям и прежним дополнительным условиям
5>0(ю0) = 0 в 7, 3?l(wl) = 0 в 7",, B*)
W\ = Wq, Pi ¦—=— = po —ч— на 2], C*)
И)о = 01—I, ——- + ikw0 = о I—j при r-»oo. D*)
Для функций wQ, o>j, комплексно-сопряженных к функциям w0 и и)|, очевидно,
будут удовлетворяться однородные уравнения B*), условия C*) и условия
излучения
dw*0 IV
Пусть 2R — сфера достаточно большого радиуса R, охватывающая область
7"., и Г. — область, ограниченная поверхностями 2j н 2_.
Применяя формулу Грина к функциям wx, wx в области Tt и К-дао, ша
в области Тп, получаем:
С * Г / dw\ * dwt \
т, х,
Г / OWq » OWq I Г I OWq , OWq 1
J V ^Vo 5vo/ J \ ° dvo ° дч0/

§ 4] ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 513
где vQ — нормаль внешняя к области TR, Vj — нормаль, внешняя к области 7^.
Очевидно, -А- = --^-на21.
Умножая первое равенство на ри второе на р0, складывая нх и поль-
пользуясь условиями сопряжения C*), находим:
Выражая нз условий излучения производные
1 ^ dw0
дт
приходим к следующему равенству:
2ik
ik J wtf/0do + J |^Ho \-^-J — wo [-%}\ do = 0.
Второй интеграл при R -> оо стремится к нулю, поэтому
Г WqwI do= Г | Rw0 fdQ-*O, R->oo (dQ = sin 6 dQ dy). E)
В Дополнении II, ч. II, §< 4 показано, что функция
где
н Ym F. ф) — сферическая функция m-го порядка, удовлетворяет волновому
уравнению
l
и условию излучения
Применим формулу Грина в области TR к функциям wQ и Vm
0= I [wo2? (Vm) — VmSe (teH)] dx =
TR
Второе слагаемое /_ в силу условий излучения стремится к нулю при
(см. теорему § 3, п. 4). Так как первый интеграл Л не зависит от /?, то
17 А, И, Тихонов, А, А, Самарский

514 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
отсюда следует, что /( = 0 и, следовательно, IR = 0 при любом R, т. е.
f w0Ym(B, (f)dQ =
f (*(,*) «m (M) - «m (*o«) Eg1 ( V?) = 0.
Если обозначить
то можно написать:
откуда находим
где ат — постоянный множитель.
Условие полноты сферических функций
и формула (Б) дают:
F)
m=0
Ram (k0R) -> 0 при /? -> оо.
Однако согласно асимптотической формуле
произведение »"S^(^or) остается по модулю больше некоторого положитель-
положительного числа при больших значениях г, следовательно, ат = 0, т. е. am(koR) =
^ 0; отсюда в силу уравнения замкнутости F) вытекает, что w0 = 0 на сфере
Zr. Таким образом, если сфера 2Г некоторого радиуса го охватывает область
7"ь то вне этой сферы функция w ^ 0. Отсюда в силу аналитичности1) реше-
решения уравнения SS = 0 заключаем, что функция w0 = 0 всюду в области 7.
Далее, из условий сопряжения следует, что на поверхности 2i
ш,=0 и
G)
Основная формула Грина, примененная в области 7"i к функции wu по-
показывает, что
1 f Г
2
где /? = fiMp, в любой точке М области 7V
Итак мы убедились, что w(M) = 0 во всем пространстве; это и доказы-
доказывает теорему единственности.
') Аналитичность функции w в области 7"i следует из формулы G) § 2
для комплексного значения к = ik и для поверхности S, целиком лежащей
внутри 7"].

§ 4] ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 515
3. Дифракция иа сфере. 1. Практически важным классом решений уравне-
уравнения колебаний
являются плоские волны. Плоской волной, распространяющейся в каком-нн-
будь заданном направлении, называется решение, зависящее от времени и от
одной пространственной координаты, отсчитываемой в направлении распро-
распространения. Например, плоская волна, распространяющаяся вдоль оси х, удо-
удовлетворяет уравнению с двумя независимыми переменными
«XX—U-0
хх Qf tx
н имеет вид
и(х, t)=f{t --?¦).
В случае установившегося режима, когда зависимость от времени определяется
множителем еш, плоская волна имеет вид
где k = ю/а — волновое число, \А\ — амплитуда.
Плоская волна, распространяющаяся в направлении I, где 1AХ, /„, 1г) —
единичный вектор, может быть записана следующим образом:
и (х, у, z, t) = Ае 1 * * у гП=Ае . A0)
Функции
v (х) = Ae-ikx, v (х, у, z) = Ае~Шг, A1)
являющиеся решениями волнового уравнения
До + /г2о = 0, A2)
обычно также называются плоскими волнами.
В математической теории дифракции обычно изучаются возмущения поля
в однородной среде, создаваемые наличием включений 7",, нарушающих одно-
однородность среды. Пусть v (M) — поле в однородной среде, создаваемое задан-
заданными источниками, которые мы считаем расположенными вне области 7V
(i = 1 и); в частности, это могут быть достаточно удаленные источники,
вызывающие появление плоских волн,
S (х, у, z) = Ае~Шг. A3)
Действительное поле Оо, имеющее место в области Тй при наличии неоднород-
ностей, можно представить в виде суммы
()—«падающая волна», wo(M)—дифрагированная или отраженная
волна, представляющая возмущение внешнего поля v неоднородностями 7\-.
Будем искать в области То дифрагированное поле Wo(M), а внутри Tt-~
«преломленное поле» vt. Установим условия, определяющие искомые функции
Wo и vi (( = 1, 2, ..., и):
а) функции w0 и с, удовлетворяют уравнениям
| О в То, A4)
в Tt(i=l,2 п);
17*

516 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. VII
б) на границах раздела 2г- областей 7",- и 7"о выполняются следующие ус-
условия сопряжения:
о,-= о>0 + й0 на 2j, A5)
где t>o — заданная функция,
dv, dwn
где f( = р0 -рр- — заданная функция;
в) отраженная волна wB(M) на бесконечности ведет себя, как расходя-
расходящаяся сферическая волна, т. е. удовлетворяет условию излучения
wo(M)--
dw0
дг
+ ikw,
>-{?!¦
2. Рассмотрим более подробно дифракцию плоской волны на сфере').
Пусть в направлении оси z нз бесконечности падает плоская волна
Vj=Ae-ikz A7)
на шар радиуса R с центром в начале координат. Ищем отраженное и пре-
преломленное поля в виде разложения по сферическнм функциям; vonf = po—~^-,
входящие в правые части условий сопряжения, разложим по сферическим
функциям.
Положим z — r cos G; тогда можно воспользоваться следующим разло-
разложением плоской волны по сферическим функциям:
c-«rcose= ? Bm+I)(-fl')m(ftr)i>m(coee), A8)
где
я J т+чг(кг) —функция Бесселя первого рода (т + '/г)-го порядка,
Рт (cos 0) — полином Лежаидра пг-го порядка. В самом деле, слева стоит
решение волнового уравнения, зависящее только от г. Всякое решение волно-
волнового уравнения может быть представлено как сумма произведений сферических
функций иа $m(kr). Поскольку в нашем случае левая часть A8) обладает зо-
зональной симметрией, то
е-ш cos е _ |j Cm^m {kr) Pm (cos e)>
Jn=O
'•) Аналогичные методы часто используются в квантовой механике в зада-
qax о рассеянии частиц.

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
517
где Ст — неопределенные пока коэффициенты. Пользуясь ортогональностью
полиномов Лежандра и их нормой (см. Дополнение II, ч. II), получаем:
B0)
-1
Найдем первый член асимптотического представления для интеграла, стоя-
стоящего в правой части; сравнение его с первым членом асимптотического раз-
разложения функции i]>m(p) позволит нам определить коэффициент Ст. Проинте-
Проинтегрируем т раз по частям, интегрируя каждый раз е~1р^ и дифференцируя
J>m(i). В результате получим разложение интеграла по степеням 1/р.
Сохраняя только первый член разложения, будем иметь:
+1
У
-ф
A) -
— «р
-ip " " -> -' p
С другой стороны, как известно (см. Дополнение II, ч. I, § 1),
sin
(•-тг
Сравнивая эти выражения, находим из B0):
Cm=Bm+l)(-i)m,
что и доказывает формулу A8).
Из A7) следует:
оо
(k0R);
dvol Vac
arLo= li bmP
= AkQp0 Bm + 1) (—'
B1)
B2)
B3)
Отраженное и преломленное поля являются решениями волнового урав-
аения и, так же как и падающее поле, обладают зональной симметрией.

518 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. Vir
Поэтому функции Vi и Wo мы ищем в виде
оо
B4>
B5>
Перейдем теперь к определению коэффициентов разложения ат и рт.
Пользуясь условием сопряжения и сравнивая коэффициенты при Рт (cos 8),
получаем:
(ktR) - PmSra (k0R) = am = Л Bm + 1) (- i)m Ф
m*m (*1«) ft>*X (V?) m 0^0 Bm + 1) (- i
откуда
Pm^ ЛBm + 1)(- 1
3. Рассмотрим в качестве примера задачу о рассеянии звука твердым сфе-
сферическим препятствием. Пусть иа абсолютно твердую и неподвижную сферу
радиуса R с центром в начале координат падает плоская звуковая волна, рас-
распространяющаяся в направлении оси г. Звуковое давление p(x,y,z,t), как.
было установлено в главе II, § 1, удовлетворяет уравнению колебаний
_ = аДр> а = у^.
где а — скорость звука, у — показатель адиабаты, рв и ро — давление н плот-
плотность среды в невозмущенном состоянии.
Давление в падающей плоской волне дается функцией
где А — постоянная.
Рассматривая установившийся процесс
р (х, у, z,t) = p (х, у, z) е~ш,
получаем для р(х,у,г) волновое уравнение
k2p = 0.
На поверхности сферы SR в силу ее абсолютной твердости должна равняться
пулю нормальная составляющая скорости и. Проекция скорости на направле-
направление нормали п связана с давлением следующим уравнением:
дип 1 др
~Ш р дп '

§ 4] ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ 519
которое в стационарном случае дает
_ 1 др
Un ~ top ~дп-
¦Отсюда получаем граничное условие
Полагая р = р0 + и\ где w(x, у, г)—давление рассеянной волны, получаем
для определения w следующие условия:
а) функция w(x, у, г) удовлетворяет волновому уравнению
Дю + k2w — 0;
б) на поверхности сферы SR выполняется граничное условие
dw I др0 I
~дп \Sr ~~ дп~\Sr'
в) рассеянная волна w ведет себя на бесконечности, как расходящаяся
•сферическая волна, т. е. удовлетворяет условию излучения при г -> оо,
w (М) = О (—\,
dw
IF'
Нетрудно видеть, что эта задача является частным случаем рассмотрен-
рассмотренной выше задачи дифракции и соответствует значению параметра р, = 0.
Полагая в формулах B5) н B8) р, = 0, получаем:
рга = - А Bт + 1) (- l)m , ° ¦ B9)
C0)
Если длина волны велика по сравнению с размерами шара, т. е. kBR<.l,
то в формуле B9) можно воспользоваться разложениями функций г]зт (kR)
и ?т (kR) в ряды, которые следуют из разложений функцнй /m+i/2 (kR) и
¦rfin+y, (*Я) по степеням малого аргумента kR (см. Дополнение II, ч. I, §§ 1 и 3):
/ kR у'1'
Так как

520 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ.
то получаем:
откуда следует
Подставляя в формулу B9) найденные выражения для -§'т и ?^, нахо-
: А А
Нетрудно видеть, что следующие коэффициенты пропорциональны (kR)b, по-
поэтому при рассеянии длинных волн (kR < 1) возмущение w приближенно
представляется двумя первыми членами ряда C0)
[р0(cosв) = 1, p1(cose)==coSe]. ] '
На больших расстояниях от возмущающей сферы (кг » 1) в так называемой
«дальней» или «волновой» зоне для функций to(kr) и Zi(kr) имеем асимпто-
асимптотические представления
ЫИе-^е-*, iAkr) = ~-~e-ikr, C2У
которые вытекают из асимптотических представлений функций Ханкеля.
Подставляя в формулу C1) выражения C2) для t,o(kr) и t,i(kr) и заме-
заменяя Ро и Pi их приближенными значениями, получим:
*. C3>
Обратимся теперь к вычислению интенсивности рассеянной волны; эта
величина определяется как среднее значение потока энергии (вектора Умова),.
равного произведению избыточного звукового давления w на скорость и,
причем под w и и следует понимать действительные части соответствующих
выражений. В нашем случае
w = ш0 cos (at — kr), 
и = «о cos (<в/ — kr), j
где Wo и «о — соответствующие амплитуды.
Вычислим интенсивность звука / в волновой зоне, сохраняя при этом,
главные члены асимптотических разложений,
Т
= fi- период
).
Из уравнения движения
ди 1 dw
dt ~ p дг

ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII
521
-и формулы C4) находим:
Таким образом,
ар'
"~2Бр-
Обозначая мощность, рассеянную сферой в конус d6, через
2яг22 F) sin 6 dQ,
'будем иметь:
¦ з
Полярная диаграмма интенсивности рассеянного шаром звука приведена
Рис. 83.
«а рис. 83 (масштабы не соблюдены). Если
cos6 = + -g-» е = а = 48(У,
то в направлении 6 = а рассеяние отсутствует.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ VII
1. Найти функцию влияния стационарного точечного источника газа, пред-
предполагая, что газ распадается в процессе диффузии. Решить задачу для диф-
диффузии в пространстве и на плоскости.
2. Решить ту же задачу в полуплоскости у > 0, считая, что при у == О
¦концентрация равна нулю.
3. а) Решить внутреннюю и внешнюю задачи для уравнения
Д« — к2и = О,
«ели на сфере г = г0 задано граничное условие и \r—r = A cos 6.
В случае внешней задачи сформулировать условия на бесконечности, обе-
обеспечивающие единственность решения.

522 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) [ГЛ. У1Г
Рассмотреть аналогичные задачи, предполагая, что
б) Решить аналогичные задачи для уравнения с двумя независимыми пе-
переменными, когда граничные условия заданы на окружности радиуса г0 и
имеют вид
и \г=г = A cos ф
и, соответственно,
и
4. Решить задачи 3 а),'б) для уравнения
Дн + k2u = 0.
В случае внутренней задачи исследовать вопрос о том, при каких значениях:
/"о существует единственное решение (k считать заданным).
Сформулировать условия, гарантирующие единственность решения как для'
двух, так и для трех независимых переменных.
5. На глубине h под поверхностью земли находится среда, в которой с по-
постоянной плотностью распределено радиоактивное вещество. Найти концен-
концентрацию эманации, считая, что концентрация ее на поверхности равна нулю.
6. Найти собственные частоты мембраны, имеющей форму кольца, радиусы
которого равны а и Ь (а < Ь), считая что v|r=a = 0 и о|г=ь = 0. Показать,
что предел первого собственного значения при а-*-0 равен первому собствен-
собственному значению круглой мембраны радиуса b с закрепленной границей.
7. Найти собственные колебания и собственные частоты для эндовибра-
тора цилиндрической формы, считая стенки эндовибратора идеально проводя-
проводящими. Рассмотреть ту же задачу в акустической интерпретации.
Указание. В случае электромагнитных колебаний ввести поляризационный
потенциал (см. приложение I к гл. VII).
8. Определить электромагнитное поле точечного диполя в неограниченном-
пространстве, считая, что величины поля пропорциональны е . Исследовать,
асимптотическое поведение решения на больших расстояниях (в волновой
зоне). Решить ту же задачу для диполя, находящегося над идеально прово-
проводящей поверхностью (вертикальный диполь).
Указание. Ввести поляризационный потенциал.
9. Поставить задачу о распространении электромагнитных волн внутри
бесконечного цилиндрического радиоволновода произвольного сечения с иде-
идеально проводящими стенками. Рассмотреть волну электрического типа, распро-
распространяющуюся вдоль круглого цилиндрического волновода и имеющую наи-
наибольшую длину. Найти поле, вычислить поток энергии через сечение, перпен-
перпендикулярное к основанию (см. приложение I к гл. VII).
10. Решить неоднородное уравнение
Дн + k2u = - /
в неограниченной цилиндрической области круглого сечения, на поверхности-
которой имеют место однородные граничные условия первого рода или вто-
второго рода, и построить функцию источника (см. приложение II к гл. VII).
И. Построить функцию источника в случае первой краевой задачи для.
уравнения
Дн + k2u = 0
а) в полупространстве г > 0;
б) на полуплоскости у > 0;
в) внутри слоя —I ^ г s^.1.

I. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 523
12. Решить задачу о дифракции плоской электромагнитной волны на бес-
бесконечном идеально проводящем цилиндре. Решить эту же задачу в акустиче-
акустической интерпретации.
13. Найти собственные электромагнитные колебания сферического эидо-
вибратора с идеально проводящими стенками. Рассмотреть случаи колебаний
типа ТЕ и ТМ (см. приложение II к гл. VII).
14. Найти собственные электромагнитные колебания эндовибратора, пред-
предоставляющего собой область, заключенную между двумя коаксиальными ци-
цилиндрическими поверхностями и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси
цилиндров.
Указание. Для поляризационного потенциала Пп, m воспользоваться фор-
формулой, аналогичной формуле A4) приложения II к гл. VII.
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
1. Волны в цилиндрических трубах
1. При конструировании различного рода радиоустановок
приходится решать важную задачу о передаче электромагнит-
электромагнитной энергии от передатчика к передающей антенне или, наобо-
наоборот, от антенны к приемнику. Вопросы трансляции электромаг-
электромагнитной энергии встречаются также и в ряде других практиче-
практических задач современной радиотехники.
До последнего времени эта задача удовлетворительно ре-
решалась с помощью двухпроводной линии, представляющей со-
собой два металлических провода, между которыми распростра-
распространяется электромагнитная волна. Но оказывается, что наряду с
недостатками, свойственными вообще передающим линиям, та-
такая двухпроводная линия излучает электромагнитную энергию,
причем это излучение увеличивается с повышением частоты ра-
радиоволн. Поэтому такой вид передающей линии становится мало
удобным в области ультракоротких радиоволн.
В последние годы в технике ультракоротких (сантиметровых
и дециметровых) радиоволн для передачи энергии применяются
•совершенно другие передающие устройства — полые металличе-
металлические трубы (радиоволноводы), внутри которых происхо-
происходит распространение радиоволн. Такие передающие устройства,
•обладая малыми потерями, являются очень удобными линиями
передач *).
Математическая теория распространения радиоволн по тру-
трубам была заложена еще Рэлеем, изучавшим распространение
акустических волн в трубах. Интенсивное развитие теория ра-
радиоволноводов получила в последние годы, особенно в работах
') Б. А. Введенский и А. Г. Аренберг, Радиоволноводы, ч. I, Гос-
техиздат, 1946.

524 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
советских ученых. В настоящее время свойства круглого, пря-
прямоугольного и других типов волноводов изучены достаточна
хорошо.
Рассмотрим сначала свойства радиоволноводов произволь-
произвольного поперечного сечения, а затем проиллюстрируем их на ряде
конкретных примеров. Итак, рассмотрим цилиндрическую тру-
трубу, неограниченно простирающуюся вдоль оси z. Будем предпо-
предполагать стенки трубы идеально проводящими. Обозначим 2 —
поверхность, S — поперечное сечение трубы и С — контур, огра-
ограничивающий это сечение. Предположим, что: 1) характеристики
среды, заполняющей такой волновод, е и |х равны 1, о — 0;
2) внутри волновода отсутствуют источники поля; 3) поля перио-
периодически меняются по закону е~т.
Уравнения Максвелла в этом случае принимают вид
rot E = ikH, / <в\
div? = 0.
Поскольку стенки волновода являются идеально проводя-
проводящими, тангенциальная компонента Et на стенке волновода рав-
равна нулю
Покажем, что внутри волновода могут распространяться бегу-
щие электромагнитные волны. Будем искать решение уравне-
уравнений A) в виде
?=graddivII+?2II,
где П — поляризационный потенциал. Рассмотрим случай, ко-
когда вектор П имеет лишь одну компоненту, направленную-
вдоль оси z(Hz = 0). В этом случае уравнения A) после под-
подстановки в них выражений C) дадут:
ДП+/г2П = 0 или §J
(п=пу.
Условие B) будет выполнено, если потребовать, чтобы
П|Б = 0. E>
Ищем решение в виде
U(M, z) = ${M)f(z), F)

I. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 525
где М — точка, лежащая в поперечном сечении S. Подставляя
F) в D), приходим к выводу, что яр(М) является собственной
функцией задачи о колебаниях мембраны, закрепленной по
контуру, т. е.
Д2гр + Аф = 0 внутри S, 1
Здесь Д2 = -~~г + -Z-2—двумерный оператор Лапласа.
Обозначим через {кп} и {фи} систему собственных значений
и собственных функций этой задачи. Частное решение задачи
D) имеет вид
где функция fn(z) определяется из уравнения
Общее решение уравнения (8)
h (г) = Апе*п* + впе~1^ (Уп = У^=К). (9)
Нетрудно видеть, что член Ane'VnZ соответствует волне, бе-
бегущей в положительном направлении оси z, второй же член в
формуле (9) — волне, бегущей в обратном направлении.
Рассматривая лишь волну, бегущую в одном направлении,
положим
тогда получим решение в виде
г (Ю)
где Ап — постоянная, определяемая из условий возбуждения
полей.
Подставляя выражение A0) в формулы C) и восстанавли-
восстанавливая множитель е~ш, найдем составляющие поля в виде
FAme'Vn*-"*), (И)
где Fn — функция, выражающаяся через собственную функцию
мембраны tyn(M) или ее производные.
Если k2 > Kn, то уп вещественно и выражение A1) пред-
представляет собой бегущую волну, распространяющуюся вдоль оси
z с фазовой скоростью
с >

526 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
Групповая скорость волны, очевидно, равна
т. е. в пустом волноводе имеет место дисперсия.
Если № <. кп, то \п = iv.n (к-п > 0) и вместо выражения
A1) получаем затухающую волну
Рп(М)е-ш-"п\ A2)
распространяющуюся вдоль оси z в положительном направле-
направлении.
Так как собственные частоты Кп мембраны неограниченно
возрастают с увеличением номера п, то какова бы ни была ча-
частота и, начиная с некоторого номера п — N, будем иметь:
Следовательно, в волноводе может распространяться лишь ко-
конечное число бегущих волн. Если k2 < Xi, то в волноводе не
может существовать ни одной бегущей волны.
Для того чтобы в волноводе заданной формы и размеров
могла распространяться хотя бы одна бегущая волна, должно,
очевидно, выполняться условие
лг < к1 или Л <
где Л — длина волны, распространяющейся в трубе.
Для волновода прямоугольного сечения со сторонами а и
Ъ имеем:
п = 1 2 /' A3)
и, следовательно, бегущая волна может существовать лишь при
условии
—5- + -г~ ИЛИ Л <
гт—т'
Решениями уравнений Максвелла могут быть также поля
с равной нулю 2-составляющей электрического поля
?г = 0. A5)
Вводя вектор П = Ш2 и полагая
Е = ik rotfi; H = grad div ft + k2Q A6)

I. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 527
убеждаемся, что функция П(М,г) должна определяться из
уравнения
ДП+/г2П = 0 или Д2И + -|— + ?2П = 0 A7)
и граничного условия
4?- = 0 на 2. A8)
Повторяя приведенные выше рассуждения, найдем решения
этой задачи
П„ = АЛп № e'^z (y« = V^-ЯД A9)
которым соответствуют решения уравнения Максвелла вида'
Здесь ¦фп(М) и Кп означают собственные функции и собствен-
собственные частоты мембраны S со свободной границей
Дг'Ф» + К$п = 0 в S,
~W~и на с>
Таким образом, в волноводе могут существовать электро-
электромагнитные поля двух типов {27, Щ и {?, Я}, определяемые по
формулам C) и A6). Принята следующая терминология: гово-
говорят об электрических волнах (или волнах типа ТМ), если
Нг = 0, или о магнитных волнах (типа ТЕ), если Ег = 0. Мы
убедились, что в волноводе могут существовать волны ТЕ и
ТМ. Можно показать1), что любое поле в волноводе предста-
вимо в виде суммы полей ТЕ и ТМ. Отсюда следует, что произ-
произвольное поле в волноводе можно определить, если известны
две скалярные функции П(М, z) и П(М, z).
2. Найдем величину энергии, уносимой бегущей волной, на-
например типа ТМ.
Для этого вычислим величину потока вектора Умова —
Пойнтинга через сечение S:
W z = i- [EH\dS, B0)
s
где H* — вектор, комплексно-сопряженный вектору H, S — пер-
перпендикулярное сечение волновода.
') А. Н. Тихонов и А. А. Самарский, Вестник МГУ, вып. 7 A948).

528 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
Введем прямоугольную систему координат х, у, г. Тогда
B1)
Выразим составляющие поля через поляризационный потенциал
П по формулам
х ~ дхдг • hy~~ ду дг '
„, .. ОТ* „, .. ОТ*
* ду ' у дх
н подставим их значения в равенство B1)
vn с -и Г [ ( дШ дП* . дШ дп*
Функция П и сопряженная ей функция П* согласно A0) пред-
ставимы в виде
П(М, г) = У1АА
где фи — собственная функция закрепленной мембраны
(г1>п|с = 0). Отсюда следует, что вместо B2) можно написать
Применяя первую формулу Грина
|J JJJ J
's s с s
получаем выражение для потока энергии бегущей волны но-
номера п
Wz = 4L\An?ynK. B3)
Если одновременно распространяется несколько волн, то Wz
будет равно сумме слагаемых вида B3).
Перейдем теперь к задаче о возбуждении электромагнитных
полей в волноводе заданными токами1).
3. Пусть в некотором объеме Vo внутри волновода 2 зада-
заданы токи j(M.z)e~iwt, меняющиеся во времени по гармоническому
') А. А. Самарский и А. Н. Тихонов, ЖТФ 27, вып. И, 12 A947).

I. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 529
закону. Найдем поля, возбуждаемые этими токами. В силу
принципа суперпозиции полей достаточно, очевидно, решить за-
задачу о возбуждении волновода элементарным диполем произ-
произвольной ориентации.
Чтобы дать представление о методе решения поставленной
выше общей задачи, рассмотрим более простой случай воз-
возбуждения волновода линейным током / = /0(z) егш, заданным
на отрезке L, параллельном оси z.
Для определения электромагнитных полей, возбужденных
в волноводе, надо использовать:
1) уравнения Максвелла A),
2) граничные условия
ftang =0 на 2,
3) условие излучения в виде требования отсутствия, волн,
приходящих из бесконечности,
4) условие возбуждения, которое мы берем в виде1)
,ds = -%-l0 или Я,~-|?, B4)
где Кг — окружность радиуса е(е—*0), охватывающая линию
L, р = |ЛШ0|, где Мо — точка на токе, М — точка на окруж-
окружности /СЕ- Иными словами, электромагнитное поле на токе
должно иметь особенность определенного типа.
Перейдем к потенциалу II, воспользовавшись для этого фор-
формулами C). Пусть (Мо, 5) — произвольная точка на токе. Вве-
Введем цилиндрическую систему координат р, ф, z с центром в точ-
точке (Мо, ?) и вычислим Hs, пользуясь уравнением C),
и -и еп
/7. = 1К -гг—.
s dp
Отсюда и из B4) следует, что в точке (Мо, ?) функция П долж-
должна иметь логарифмическую особенность
n~-!frlnf B5>
Таким образом, функция U(M,z) должна удовлетворять вол-
волновому уравнению D), граничному условию П = 0 на 2, усло-
условию излучения и условию возбуждения B5).
Будем искать решение этой задачи в виде
П = К J По (М, Мо; z, Q /0 @ dt, B6)
') См. главу V, приложение II, п. 3.

530 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
где П0(М, Мо; z,t)—функция источника, определяемая как
решение уравнения
по переменным (М, г) и (Мо, ?), удовлетворяющее граничному
условию
По = 0 на 2,
1 eikr
условию излучения и имеющее особенность типа -j при
совпадении аргументов, т. е. представимое в виде суммы
П0(М, М; г, ?) = .?_ + 0(M, Мо; г, Q
(г = 1/Р2 + (г-^J, р = |АШ01),
где v — регулярная функция, определяемая из волнового урав-
уравнения и граничного условия
e+ikr
V
Нетрудно видеть, что функция И(М, г), определяемая по фор-
формуле B6), будет иметь логарифмическую особенность, и ус-
условие возбуждения выполнится, если положить нормирующий
множитель
к 4п_
л — ike '
Отсюда следует, что
II (Af, г) = - j? J По (Af. Мо; г, О /0 (?) dt,.
В частности, для элемента тока длины Д/
П(М, г)=--^/0.Д/-П0.
Следовательно, По имеет физический смысл поляризацион-
поляризационного потенциала, соответствующего возбуждению эле-
элементом тока, помещенным в точке (Мо, ?) параллельно оси вол-
волновода.
Таким образом, задача определения поля в волноводе пол-
полностью сведена к построению функции источника По первой
краевой задачи для уравнения Аи + k2u = 0 внутри бесконеч-
бесконечного цилиндра.
Для построения функции источника может быть применен
метод, изложенный в главе VI, § 2. Рассмотрим неоднородное
уравнение
A + k2 = -f{M, г), B7)

I. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 531
где f(M,z)—заданная функция с граничным условием
Будем искать функцию и(М, г) в виде ряда
и(М, 2) = 2 ип(г)Ъп№, B8)
где 1]зп(М) —нормированные собственные функции мембраны S
Разлагая f(M,z) в ряд
* °°
/ (М, z)=^fnB)г|>„(М), fnB) = J J /(M't z)ф„(МОdaM B9)
n=l S
и подставляя выражения B8) и B9) в уравнение B7), полу-
получаем уравнение
Решение этого уравнения, как нетрудно заметить, представляет-
представляется формулой
и„B)= Г-^ fniQdt, C1)
—оо
которая в силу формулы B9) может быть записана в виде
ЯГ е п
п f (M', L)tyn (МО da,,' dt. C10
S —оо
Подставляя это выражение в формулу B8) и меняя порядок
суммирования и интегрирования, будем иметь:
и{М, г) = J J J По(М, М', z-l)l(М\ ?)rfa^dC C2)
где
По (М, А!', г - 0 = 2 ^(МНММО е~"п I^t I. C3)
Ряд для По(М,М',г — ?) при 2=^=^ раькомерно и абсолютно

532 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
сходится в силу оценок для собственных функций 1) и присут-
присутствия экспоненциального множителя. Функция П(М, М', z — ?)
в точке (М = М', г = ?) имеет особенность типа 1/г. На до-
доказательстве последнего утверждения мы не останавливаем-
останавливаемся 2). Из сказанного выше следует, что
G (М, M', z - ?) = По (М, М', г - Q,
т. е. функция источника По имеет вид
, М', г-?) = У &
мл
tv=\
Из формулы C3) следует, что поле в этом случае предста-
представится в виде суперпозиции волн вида A1) и A2). Из замеча-
замечания на стр. 526 следует, что ряд C3) будет состоять из конеч-
конечного числа слагаемых вида
ад„(М)eIY«'г"Е' (бегущие волны) (уп = Vk2-K, ря= — i\n>
и из бесконечного числа слагаемых вида
Вп^п (М) е~Рп' Z~E' (затухающие волны),
где
Для определения полей надо воспользоваться формулами B6)-
и C).
') Для собственных функций ^„(М) имеет место равномерная оценка
|ij)n(M) | ^ АКп, где А — постоянная, не зависящая ни от точки М, нн от ин-
индекса п. В самом деле, краевая задача G) равносильна интегральному урав-
уравнению ij)re (М) = Яп J j G (M, M') ij)n (ЛГ) doM,, где G(M, M') — функция ис-
S
точника для уравнения Лапласа Д2и = 0 при граничном условии и \ с = 0. Из
этого интегрального уравнения вытекает в силу неравенства Буняковского-
Я« I I/ J J °2 (М> М>) d°M'\ J *» (ЛП d<JM' <A\Xn\-
' S S
ИЦ2п (M') daM, = 1; f f G2 (M, M') daM, < A2,
s s
Аналогичным методом получаются оценки для производных
I б^_ I 2
так как
| дх
2) См. А. А. С а м а р с к и й и А. Н. Т и х о н о в, ЖТФ 27, вып. 11 A947).

1. ВОЛНЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТРУБАХ 53*
Задача о возбуждении волновода элементом магнитного
тока, параллельным оси z (бесконечно малая петля с электри-
электрическим током в плоскости 5z=g), приводит нас ко второй функ-
функции источника
П0(М,
п=1
удовлетворяющей граничному условию -^-2- = 0 на 2. При этом
#г = 0; П = гг—&ДШ0 (&Д/— момент элемента магнитного
тока).
Аналогичным методом можно решить задачу о возбуждении
произвольно ориентированным диполем (элементом тока),
найдя особенности полей в этом случае. Соответствующие функ-
функции П будут определяться по формуле, аналогичной формуле
C3). В случае поверхностных и объемных токов функции П
даются поверхностными и объемными интегралами (по анало-
аналогии с B6)). Дальнейшее вычисление полей производится по
формулам C).
Тем самым задача о возбуждении любого цилиндрического вол»
новода произвольными заданными токами решается полностью.
Чтобы использовать общие формулы для волновода определен-
определенного сечения, достаточно найти собственные колебания мембраны,
имеющей форму перпендикулярного сечения волновода.
Приведем выражения для ортонормированных собственных,
функций прямоугольной мембраны со сторонами а и Ь:
= 2, }ФО; ео=1);;
— - I 2 I «2 I•
Для круглой мембраны радиуса а имеем:
/— Лг( V-tnn —I cos
~\)t . sin«<p.
I n \r-mn) |
Vmn — корень уравнения Jn (у.) = 0; Яшп = V2mn/a2, Amn — корень-
уравнения Гп(ц) = 0; Ьтп = \х2тп/а2.

¦534 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
Л. Электромагнитные колебания в полых резонаторах
В последние годы в радиотехнике получили широкое распро-
распространение объемные резонаторы или эндовибра-
торы, представляющие собой металлические полости, запол-
заполненные диэлектриком (в частности, воздухом). В эндовибрато-
рах могут существовать стационарные электромагнитные поля
(стоячие волны), называемые собственными электромагнитны-
электромагнитными колебаниями.
В радиотехнике ультракоротких волн применяются эндо-
вибраторы весьма сложной формы. Общая проблема определе-
определения собственных колебаний эндовибраторов произвольной формы
чрезвычайно сложна, однако для эндовибраторов простейшей
формы решение получается в явном виде. Так как стенки из-
изготовляются из хорошо проводящего металла, то при расчете
собственных колебаний обычно предполагают стенки идеально
проводящими. Поправки на конечную проводимость можно по-
получить, используя граничные условия Леонтовича. В дальней-
дальнейшем мы будем предполагать, что стенки эндовибратора яв-
являются идеально проводящими и все величины поля меняются
во времени по закону e~ic0*.
Не ставя своей целью дать исчерпывающее изложение тео-
теории эндовибраторов, остановимся на некоторых общих вопро-
вопросах теории этих колебательных систем.
1. Собственные колебания цилиндрического эндовибратора.
Проблема определения собственных электромагнитных колеба-
колебаний состоит в нахождении нетривиальных решений уравнений
Максвелла1), точнее в определении собственных частот ©, при
которых система однородных уравнений Максвелла с однород-
однородными краевыми условиями имеет нетривиальные решения, а
также самих нетривиальных решений.
Уравнения Максвелла в этом случае имеют вид
rot#= — ikE,
rot E=ikH,
div?=0,
div H = 0
внутри полости Т, на поверхности которой 2 выполняются ус-
условия
?, = 0 B)
ИЛИ
дНуз « /о\
___jl = 0; (о)
оба эти условия, как нетрудно показать, эквивалентны.
') Множитель е~ш* всюду опускаем.

II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРАХ 535
Приведем расчет собственных колебаний для эндовибратора,
представляющего «отрезок» цилиндрического волновода произ-
произвольного сечения, ограниченный двумя боковыми стенками-
z= ±Z (ось 2 параллельна образующей цилиндра).
Так же как и в цилиндрическом волноводе, в рассматривае-
рассматриваемом эндовибраторе возможны колебания и электрического-
типа (Я2 = 0) и магнитного типа (Ez = 0).
Для волн электрического типа положим
*4I, 1
I
где П = Шг (iz — единичный вектор, направленный по оси г) —
поляризационный вектор-потенциал, у которого отлична от ну-
нуля лишь составляющая по оси г. Из формулы D) сразу вид-
видно, что в этом случае Нг = 0.
Функция П, как обычно, удовлетворяет волновому уравне-
уравнению
ЛП
Выберем на поверхности 2 локальную прямоугольную систе-
систему координат (s, v, iz), где v — единичный вектор, направлен-
направленный по нормали к поверхности, s — по касательной к контуру-
С, ограничивающему перпендикулярное сечение S цилидриче-
ского эндовибратора.
В силу граничных условий B) имеем:
= 0,
!
dsdz
Оба эти равенства будут удовлетворены, если потребовать,
чтобы
П^О. G>
При г = ±1 из B) получаем условия
= 0,
¦Ev I ._, =-
для выполнения которых достаточно положить
ап
дг
= 0. (8).
г—±1

536 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ Vir
Таким образом, мы приходим к следующей краевой задаче:
найти нетривиальные решения волнового уравнения
5р = 0 F')
•с однородными граничными условиями
П|2 = 0, G)
Как и в случае цилиндрического волновода (см. стр. 524),
решение ищем в виде
ЩМ, z)=$(M)f(z). (9)
Подставляя это выражение в уравнение F') и используя усло-
условие G), получаем для функции г|)(М) задачу о собственных ко-
колебаниях закрепленной мембраны,
Д2115 + Лг|> = 0 в S, A0)
г|> = 0 на С. A1)
Для определения функции f(z) после разделения переменных
получаем уравнение
f" + (k2-l)f = 0 A2)
с граничным условием
Г (±0 = 0, A3)
вытекающим из условия (8).
Следует иметь в виду, что здесь, в отличие от задачи для
волноводов, k2 не является заданной величиной, а входит в
уравнение в качестве параметра. Мы должны найти те значе-
значения k2, при которых задача F) — (8) допускает нетривиаль-
нетривиальное решение.
Решая уравнение A2) с условиями A3), находим собствен-
собственные функции
соответствующие собственным значениям
-^-j (m = 0, 1, ...),
где
!»«=*;.-*•
Краевая задача A0) — A1) дает спектр собственных значе-
значений {Кп} с соответствующей системой нормированных собствен-
собственных функций {i|)n(M)}. Отсюда вытекает, что в эндовибраторе
могут существовать только такие колебания, собственные или

IГ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРАХ 537"
резонансные частоты которых равны
Этим частотам соответствует система собственных функций
П„. т (М, г) = Ап, тф„ (М) cos -^-(l-z) A4>
или
П„,т(М, 2) = i4n.m*n(M)fm(z), A4').
где
— нормированные к единице функции. Решение определено с
точностью до амплитудного множителя Ап<т, который находит-
находится из условий возбуждения колебания данного типа.
Если собственные функции мембраны tyn(M) известны, та
го формулам A4) и D) можно вычислить компоненты поля.
Если поперечное сечение 5 эндовибратора представляет со-
собой прямоугольник со сторонами а и Ь, то будем иметь:
vy О», ? = i. 2, з, ...)*
пт ., .
-fi-V — г).
В этом случае наименьшей собственной частоте
«о, ы = с У%, i = сп у -^ + -р-
соответствует максимальная допустимая длина волны
Л
о2 + б2
В частности, при 6 = с наибольшая длина волны
равна диагонали квадрата, получающегося в перпендикулярном-
сечении. Следовательно, в таком эндовибраторе возможны лишь
собственные колебания с частотой

338
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
ИЛИ ДЛИНОЙ ВОЛНЫ
л<л0.
Совершенно аналогично находятся собственные колебания маг-
магнитного типа (Ег = 0). В этом случае полагаем
Е = ik rot П,
где
= ГОг.
Для определения U(M,z) получаем уравнение F) с граничными
условиями
дй = 0, G0
решая которые находим:
лт .
(80
A5)
В этом случае под фп(М) следует понимать собственные функ-
функции мембраны S при граничном условии -%— = 0 на С.
2. Электромагнитная энергия собственных колебаний. Вычис-
Вычислим энергию электрического и магнитного полей в стоячей вол-
волне в цилиндрическом эндовибраторе.
Для простоты ограничимся случаем волны электрического
типа. Учитывая в формулах D) зависимость Е и Н от времени
по закону е~ш и беря только действительную часть, полу-
получаем:
Ех = -д-р— cos at,
х dz дх
.— -.-. cos (at,
1 dzdy '
A6)
-sin©/,
дх
A7)

II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРАХ 539"
Для вычисления энергии электрического и магнитного полей
воспользуемся известными формулами
] dx. A8)
где интегрирование производится по объему Т эндовибратора.
Подставляя в формулу A8) выражения A6) и пользуясь
формулой A4'), будем иметь1):
-i
s -/
Производя несложные вычисления, получим:
¦2 и?—ui х HQ'V
' f2dz = Я2, B0)
так как в силу нормировки функций f
i
B1)
Для вычисления интегралов по S воспользуемся первой фор-
формулой Грина, уравнением для функции \J)n, граничными усло-
условиями и условием нормировки
o = b, B2)
где V2 — оператор «набла» в плоскости S, Д2 — двумерный опе-
оператор Лапласа. В результате получаем выражение для энергии
') Значки m, n мы временно опускаем.

540 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
электрического поля
^эл @ = 4^Г k*% COS2 Ы •
Для энергии магнитного поля в силу формул A7), A9) и A4')
имеем:
s -г
откуда, учитывая равенства B1) и B2), находим:
^rf. B4)
Полная энергия электромагнитного поля, очевидно, не меняет-
меняется во времени:
# = «"«(О+ #-@ = ^-Л. B5)
Из формул B3) и B4) видно, что в стоячей волне происходит
взаимное превращение электрической энергии в магнитную и
-обратно, причем средняя за период энергия электрического поля
^Т1 B6>
равна средней энергии магнитного поля
гг 1 Агск2 , 1
3. Возбуждение колебаний в эндовибраторе. Для возбужде-
возбуждения поля в эндовибраторе внешним источником надо ввести
через щель в его оболочке элемент связи. Таким элементом
связи может быть либо виток, либо стержень, действующий
как маленькая антенна. Для того чтобы элемент связи не воз-
возмущал поля в эндовибраторе, необходимо, чтобы его размеры
были много меньше длины волны. Возможны и другие спосо-
способы возбуждения эндовибратора, например пучком электронов,
пронизывающим полость эндовибратора (через отверстия в его
-стенках).
Решение задачи о возбуждении эндовибратора антенной,
помещенной внутрь, или в предельном случае элементарным ди-
диполем, требует учета конечной проводимости стенок. В против-
противном случае установившийся процесс невозможен. Учет конеч-
конечной проводимости стенок может быть произведен с помощью
условий Леонтовича.
Мы рассмотрим здесь задачу о возбуждении сферического
.эндовибратора диполем, допускающую простое аналитическое

II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОЛЫХ РЕЗОНАТОРАХ
541
решение *). Пусть в центре сферы радиуса г0 помещен диполь,
колеблющийся с частотой to и амплитудой 1 и направленный
вдоль оси z. Требуется найти поле внутри сферы, учитывая ко-
конечную проводимость стенок.
В этом случае поля Е и Н можно выразить через функ-
функцию U:
B8)
ди
ди
Остальные компоненты ?ф, Нг, Не равны нулю.
Так как диполь направлен по оси z @ = 0), то поля, оче-
очевидно, не должны зависеть от угла ф.
Функция U удовлетворяет уравнению
д
д
где p = kr, причем U имеет при р-»0 особенность вида
ie
,lkr
itf
C0)
На поверхности сферы (р = р0) должно выполняться условие
Леонтовича
Ев = аНу C1)
где
с А
C2)
•— эффективная глубина скин-слоя.
Из соотношений C1) и B8) вытекает граничное условие для
функции U
или
Ро
dU
др
Р=Ро
+ (l-ipoa)U
Р=Ро
= 0.
C3)
Решением уравнения B9), имеющим особенность C0), оче-
очевидно, является функция
U = - ft2 У-%- [НЩ (р) + C/v, (p)] Рг (
(cos
См. С. М. Рыто в, ДАН СССР 51, вып. 2 A946).

S42 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
где Pi (cos 0) —полином Лежандра первого порядка, Я»"—функ-
Я»"—функция Ханкеля первого рода, /»/, — функция Бесселя,
Pj (cos G) = cos G,
Постоянная С определяется из граничного условия C3)
Ро Ро \ 'Ро
С== —
tcospn . /, 1 \ . . /sinp0 \1 '
— +11 - -о" sin Ро - ш ( — - cos p0 ]
Ро \ Рб/ V Ро /J
Полученное решение можно использовать для определения ве-
величины потерь в стенках. Мощность, поглощаемая в стенках,
вычисляется непосредственно и равна Q = -^ \в — i A\2 ' где
Л sin р0 п cos Pn ¦ /1 1 \ •
= —— — cosp0, В = ^ + A Hsi
Ро Ро \ Ро/
Если диполь расположен не в центре сферы, то расчет полей
сильно осложняется, однако решение может быть получено в
виде рядов.
III. Скин-эффект
Переменный ток в отличие от постоянного не распределяется
равномерно по сечению проводника, а имеет большую плотность
у его поверхности. Это явление называют скин-эффек-
скин-эффектом1) (по-английски skin — кожа).
Рассмотрим, для простоты, бесконечный однородный цилин-
цилиндрический провод ((х = const, a = const), по которому течет
переменный ток. Будем предполагать, что полный ток / =
= heim, протекающий через сечение провода, известен.
Пренебрегая токами смещения по сравнению с током прово-
проводимости 2) и считая процесс установившимся, т. е. зависящим
') И. Е. Там м, Основы теории электричества, «Наука», 1966.
2) Отметим, что внутри проводников, в частности внутри металлов, плот-
плотность токов смещения ничтожно мала по сравнению с плотностью токов про-
проводимости: /см -С i = сЕ. В нашем случае последнее условие эквивалентно
требованию ею <. с. Ввиду того, что для твердых металлов проводимость
а л; 10" абс. ед., токами смешения можно пренебречь для всех частот, упо-
употребляемых в технике.

III. СКИН-ЭФФЕКТ 543
от времени по закону eiat, получим, после сокращения на мно-
множитель еш, уравнения Максвелла в виде
^, A)
rot?= — ikiiH, B)
div? = 0, C)
divtf = 0, D)
где k = а/с. Уравнения C) и D) в данном случае, очевидно,
следуют из уравнений A) и B).
Введем цилиндрическую систему координат (г, z, ф), так
чтобы ось 2 совпадала с осью провода. Тогда в силу осевой
симметрии тока все величины можно считать зависящими толь-
только от переменной г.
Так как в нашем случае вектор Е направлен вдоль оси г,
то из уравнений A) и B) будем иметь:
(rH)rEz, A0
^y B0
Исключая отсюда Яф, найдем:
Введем граничное условие на поверхности провода при
г = R. Для этого воспользуемся тем, что нам известен полный
ток /о, протекающий по цилиндру.
Запишем первое уравнение Максвелла A) в интегральной
форме:
где С — контур, охватывающий провод, Hs — тангенциальная
составляющая вектора Н на С. Если в качестве такого контура
взять окружность г = R, то получим:
2я

544 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
ИЛИ
9/
<р' °)== ~^~ • F)
Отсюда, пользуясь соотношением B), находим:
dEz
dr _t
Таким образом, мы должны решить уравнение Бесселя
п"(,\\ 1 с-' /»\ I („лГ Л2 р /»\ п ^2 4яацш \ ,_„
•cz и; ~г ~ ?>z v) "г \а V — ч E'z v) = и I а = ^— I E /
при граничном условии
и условии ограниченности при г = О
|?2@)|<°о. (8)
Общее решение уравнения E') имеет вид
Ah {ar У^ + BN0 (ar V~i), (9)
где /о и No — функции Бесселя первого и второго рода (см.
Дополнение II, ч, I), А и В — постоянные, подлежащие опреде-
определению.
Функция А^о имеет логарифмическую особенность при г = 0.
Поэтому в силу условия (8) В — 0 и, следовательно,
(Ю)
Коэффициент А определим из граничного условия G);
Отсюда для плотности тока
получаем:
В правой части этой формулы стоят функции Бесселя от комп-
комплексного аргумента

ш. скин-эффект 545
Обычно пользуются для этих функций следующими обозначе-
обозначениями:
/0 (х V^—»") = ber0 х + i bei0 x;
/, (л; У— i) = Ьег, х + i beit x.
Нетрудно найти выражения для вещественных функций Ьегх
и bei х, пользуясь разложением функций Бесселя в ряд. На-
Например,
, (I) W ,
"I" B1J C1J "Г
(I)'
(IIJ ^ BIJ (З!J ' D1)
1 —
B!J ^ D!J
откуда получаем:
^ ^A3)
Нетрудно убедиться подобным же образом, что
°~ У 2 \ 2 1121 2131 3! 41 j '
+ +..
2 1121 213! 3141
В приложениях встречаются также производные
Ьегр х, beio x,
причем
/I(xl/:=7) = ^=^(bei^-fber^). A7)
Пользуясь введенными функциями, выражение A2) для то-
.ка можно записать в виде
•, v __ /оа Ьег0 аг + / bei0 ar
1 ^ ' ~~ 2я« bei J aR - t berj ai? '
18 A. H. Тихонов, А. А. Самарский

546 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
ИЛИ
_ loa ЦК)
(bei'Q aRf + (Ъег'о aRf
+ j
;/ ч_ foa f (beroarbeljaa-beioa#-ber?a/?)
(beij aRf + (ber? a/?J
Вычисляя абсолютную величину этого выражения, получим:
_ /р« -. / (ber0 «гJ + (bei0 a/-J
~ 2nR V (ber? aRf + (bei^ aRf '
Rf + (bei^ aRf
Величиной, характеризующей распределение тока по сечению,
является отношение
_ -, / (Ьег0 аг)г + (bei0
Произведем расчет распределения тока по сечению для двух
частот со] =314 E0 периодов в сек.), к>2 = 314-104 E-Ю5 перио-
периодов в сек.).
Все изложенные выше выкладки были произведены в гаус-
гауссовой симметричной системе. Поэтому при переходе к системе
СГСЭ следует учесть, что Цсгсэ = Игаусс ~^г • Все остальные ве-
величины, входящие в формулы A2), A8), A9) и B0), в обеих
системах (гауссовой и СГСЭ) сбвпадают. Поэтому в системе
СГСЭ
а2 = 4я!.1С©.
Для меди а —57-Ю5 СГСЭ, поэтому ai = 0,4444 (для coi),
аг = 44,44 (для со2). Вычислим отношение модулей токов B0)
для низкой частоты coi = 314 для двух значений г: г = 0 и
г — 0,5 R. При этом R положим равным единице.
Имея в виду1), что
ЬегоО =1,
bei0 0 =0,
ber0 0,222 = 1 — 0,000036 + ... = 0,999964,
bei0 0,222 = 0,0123-0,000002+ ... =0,012300,
ber0 0,444 = 1 -0,00061+ ... =0,99939,
bei0 0,444 = 0,493 —0,0003+ ... =0,4930,
') См. также Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш, Специальные функции, фор-
формулы, графики, таблицы, «Наука», 1964.

IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ 547
найдем, что
/@)
HR)
= 0,9994,
= 0,9999,
т. е. при небольшой частоте ток распределяется по сечению
приблизительно равномерно (скин-эффект отсутствует).
Рассмотрим теперь второй случай: со2 = 314-104. Так как а
велико, то для расчета удобнее исходить не из разложений
функций ber и bei в ряды, а из асимптотических формул
аг
откуда получаем, задаваясь значениями г — 0,9 R\ R = 1:
0,047.
HR) p=
09
Этот результат свидетельствует о чрезвычайно быстром умень-
уменьшении плотности тока по мере углубления внутрь проводника
при высоких частотах. Отметим в заключение, что скин-эффек-
скин-эффектом широко пользуются на практике для закалки металлов.
IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли
Проблемы, сязанные с распространением радиоволн как в
свободном пространстве, так и при наличии поверхностей раз-
раздела, имеют огромное теоретическое
и практическое значение. Этим вопро-
вопросам посвящено чрезвычайно большое
количество работ советских и ино-
иностранных авторов.
Мы рассмотрим задачу о влиянии
земли на распространение радиоволн,
излучаемых вертикальным диполем.
При этом землю буде?41 считать плос-
плоской1).
Пусть над поверхностью земли на
расстоянии h в точке Ро находится
диполь, излучающий периодические
колебания частоты со. Примем плоскость земли за плоскость
2 = 0 и направим ось г по оси диполя (рис. 84). Положим,
¦) Эта задача была впервые решена Зоммерфельдом в 1909 г Первона-
Первоначальное решение Зоммерфельда содержало ошибку, которая была исправлена
В. А. Фоком.
Рис. 84.
18*

548 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
что в атмосфере (z > 0) ео=(хо=1, с0 = 0. Предположим да-
далее, что земля (z < 0) характеризуется диэлектрической по-
постоянной е, проводимостью а, а магнитная проницаемость ,ц
может быть принята равной единице; в и а будем считать по-
постоянными.
Наша задача заключается в отыскании напряженности поля,
создаваемого диполем. Процесс распространения электромаг-
электромагнитных волн описывается уравнением Максвелла.
Как было показано в Приложении II к гл. V, решение урав-
уравнений Максвелла может быть сведено к решению волнового
уравнения для поляризационного потенциала П1):
ДП-т-/г2П = 0, A)
где
[*8~?; г>0;
k2 — {
i «2 ею2 + гЧлстш „
«з = —2 ', Z < 0.
I c
Потенциал П связан с напряженностями поля соотношениями
В нашем случае вектор П направлен параллельно излучающему
диполю
П=@, О, П2); Пг = Пг(г,г). C)
Положив
9 ¦ , 4л<т
п2 = е + i
получим:
,2 2,2
«з = п fto-
Соотношения B) и C) дают:
Ег—§7^Г' Hv = -iko^> ^ф = ^г = 0 при 2>0, D)
д дЩ Щ дП3
Er = -fr-g^-'i H<p — ~~T0 df~' E<f = Hr — Q при z<0. E)
Чтобы получить граничные условия при 2 = 0, воспользуем-
воспользуемся условием непрерывности тангенциальных составляющих на-
пряженностей полей. Эти условия, как показывают формулы
') Так как рассматривается установившийся процесс, то временной мно-
множитель e~twt можно опустить.

IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ 549
D) и E), будут выполнены, если положить:
^Г = ^; Щ = п*Пз при 2 = 0. F)
Будем искать решение уравнения A) при граничных условиях
F) в виде суперпозиции частных решений вида
Для неограниченной области вместо дискретного спектра соб-
собственных значений к получается непрерывный спектр. Поэто-
Поэтому решение П можно искать в виде
со
П = J F (к) /0(кг) e±v-z dk; G)
о
знак у ц должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечи-
обеспечивалась сходимость интеграла G). Остающаяся пока неопреде-
неопределенной функция F(k) представляет собой амплитудный множи-
множитель отдельных колебаний.
Воспользуемся интегральным представлением потенциала
{см. Дополнение II, ч. I, § 5)
(8)
Рассмотрим две различные области:
а) Воздух (z>-0). Поле в этой области будет иметь вид
По = Пперв "Г Ивтор»
где
е1кК
(У)
— потенциал поля первичного возбуждения, создаваемого са-
самим диполем, а ПВТор — потенциал поля вторичного возбужде-
возбуждения, создаваемого возникающими в земле токами.
Используя представления G), (8) и (9), мы можем запи-
записать:
Пперв=
ПВТОР = J> (к) /0 (кг) е~» <г+"> dk,
о
где F (к) — пока что неопределенная функция.
A0)

550 ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ VII
б) Земля (г < 0). В этой области имеет место только вто-
вторичное возбуждение, которое мы можем записать в виде
П3 = J F3 (Я) /0 (Яг) (Р*-& dk,
где ц2 = &| — Я2. Так как z < 0, то знак показателя экспо-
экспоненты обеспечит сходимость интеграла.
Для определения функций F(K) и F3(K) воспользуемся гра-
граничными условиями F), которые дают:
/0 (кг) e~»h [Я - vlF (Я) - vl3Fз (Я) ] dk = 0,
Г /0 (кг) е-»* [Я + »F (Я) - n2vF3 (Я)] ^ = 0.
Условия A2) будут выполнены, если мы положим
^(Я) + ^з(Я) = Я, 1
ц/=-(Я)-п2^3(Я) = -Я. }
Решая уравнение A3), найдем F(K) и FS(K) в виде
A2)
i
Подставляя полученное выражение A4) в формулы A0) и
A1), получим следующие выражения для поляризационного по-
потенциала поля вертикального диполя:
= 1 J0(Xr)e-v-\z-h\*^L+ f
A5)
Обозначая через R — У г2 + (z — hf расстояние от точки
наблюдения до диполя, через Rr = ]/r2 + (z + hf расстояние
от точки наблюдения до зеркального отражения диполя в пло-

IV. РАСПРОСТРАНЕНИЕ РАДИОВОЛН НАД ПОВЕРХНОСТЬЮ ЗЕМЛИ 551
скости z —О и пользуясь представлением (8), перепишем выра-
выражение для функции По в виде
Рассмотрим некоторые предельные случаи.
1) Идеально проводящая земля. В этом случае
а—>оо, а следовательно, |&3| и |п|—>оо. При этом формулы
A5) и A5') дают:
JkR JkR'
к | е ^ „ п
О — п ~~\ Ту » А13 "•
Этот же результат легко получить непосредственно, решая за-
задачу методом отражений.
2) Диполь в однородной среде. В этом случае
ko = k3; п=1; ц = jx3. Формулы A5) и A5') дают:
с»
JkR
т. е. имеет место одно первичное возбуждение, как и должно
быть.
Полученные интегральные выражения A5) являются весьма
сложными для исследования и практического применения. Под-
интегральные выражения имеют точки ветвления и полюсы.
Зоммерфельдом был предложен метод приближенного вычис-
вычисления этих интегралов путем деформации контура интегриро-
интегрирования1). При этом им была получена следующая приближен-
приближенная формула для поля вблизи поверхности земли:
ea2da), A6)
где величина р — так называемое «численное расстояние» —
связано с полюсом р подынтегрального выражения A5) соот-
соотношением
p = i(ko — p)r.
Формула A6) совпадает с формулами, полученными совершен-
совершенно иным путем рядом других авторов (Вейль, Ван-дер-Поль,
Фок).
') Франк и Мизес, Дифференциальные и интегральные уравнения
математической физики, т. II, 1937.

ДОПОЛНЕНИЕ I
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ')
§ 1. Основные понятия
Мы познакомились с аналитическими методами решения
уравнений с частными производными. Однако явное представ-
представление решения в виде ряда или интеграла не всегда возможно.
Рассмотрим, например, уравнение теплопроводности
Метод разделения переменных применим только в случае
k(x,t) — ki{x)k2.(t). Однако часто встречаются задачи, когда
коэффициент теплопроводности непредставим в таком виде или
даже зависит от температуры (квазилинейное уравнение тепло-
теплопроводности). Представление решений нелинейных уравнений
в аналитической форме возможно в исключительных случаях.
Универсальным методом приближенного решения дифферен-
дифференциальных уравнений, применимым для широкого класса урав-
уравнений математической физики, является метол конечных раз-
разностей (или метод сеток).
Метод конечных разностей состоит в следующем. Область
непрерывного изменения аргументов (например, х и t) заме-
заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), на-
называемым сеткой; вместо функций непрерывного аргумента рас-
рассматриваются функции дискретного аргумента, определенные
в узлах сетки и называемые сеточными функциями. Производ-
Производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются (ап-
(аппроксимируются) при помощи соответствующих разностных
отношений; дифференциальное уравнение при этом заменяется
системой алгебраических уравнений (разностным уравнением).
Начальные и краевые условия тоже заменяются разностными
начальными и краевыми условиями для сеточной функции.
Естественно требовать, чтобы полученная таким образом
разностная краевая задача была разрешима и ее решение при
увеличении числа /V узлов сетки приближалось (сходилось)
к решению исходной задачи для дифференциального урав-
уравнения. Ниже понятия аппроксимации, сходимости, точности и
устойчивости иллюстрируются на простейших примерах.
*) См. А. А. Самарский, Введение в теорию разностных схем,
«Наука», 1971.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 553
1. Сетки и сеточные функции. Рассмотрим простейшие при-
примеры сеток.
Пусть область изменения аргумента х есть отрезок 0 ^ х ^ /.
Разобьем отрезок 0 =sC х =sC / точками х, = ih (i = 0, 1, 2, ...
..., N; h > 0) на N равных частей длины h = l/N каждая.
Множество точек х, = ih, i = 0, 1, 2, ..., N, называется раз-
разностной сеткой на отрезке 0 ^ х ^ I и обозначается юЛ =
= {хг = ih, i = 0, 1, .... Л/}, а число /г — расстояние между
точками (узлами) сетки йл — называется шагом сетки.
Отрезок [0, /] можно разбить на N частей, вводя произвола
ные точки Xi < хг < ... <#jv-i < I- Тогда получим сетку
йЛ = {хг, i = 0, 1 N, хо = 0, хм = /} с шагом hi =
= дс,- — дс{_ь который зависит от номера i узла х*. Если Л,- =?
=5^= ft{+i хотя бы для одного номера i, то сетка юЛ == ю^ назы-
называется неравномерной. Если hi = const = h = //Л/ для всех
i = 1, 2, ..., N, то мы получаем построенную выше равномер-
равномерную сетку.
На бесконечной прямой — оо < х < с» можно рассматри-
рассматривать сетку ©л, ж = {х + ih, i = 0, ±1, ±2, ...} с началом в лю-
любой точке х, состоящую из бесконечного числа узлов.
Функцию tji = tj[Xi) дискретного аргумента Хг, i = 0, 1, ...
..., N, называют сеточной функцией, определенной на сетке йЛ.
Всякой непрерывной функции f(x) можно поставить в со-
соответствие сеточную функцию f), полагая, например, fht =
— /(*,)• Впрочем, в некоторых случаях удобнее устанавливать
это соответствие другими способами.
Пусть область изменения аргументов (х, t) есть прямоуголь-
прямоугольник Д = @ ^ х ^ 1, 0 ^ t ^ Г). Построим на отрезке
0 ^ х ^ 1 сетку ihh = {хг = ih, i = 0, I, ..., N} с шагом h =
= ]/N и сетку ю t = {tj — jx, j — 0, 1, ..., NQ} с шагом т =
= TIN о на отрезке 0 ^ t ^ Г. Множество узлов (xit tj) с коор-
координатами Хг = ih и tj = jx назовем сеткой в прямоугольнике Д
и обозначим ibhx — {(*i = tft, tj = jx), i = 0, 1 JV, / =
= 0, 1, ..., Л/о}. Эта сетка равномерна по каждому из пере-
переменных х и t. Если хотя бы одна из сеток й/, или юг нерав-
неравномерна, то сетка 5>пх называется неравномерной. Сетка ihhx,
очевидно, состоит из точек пересечения прямых х = xit i =
= 0, 1, ..., Af и прямых t = tj, j ~ 0, 1, ..., No.
Пусть у—сеточная функция, заданная на й/м. Будем обо-
обозначать yi( '= у (Xi, tj) значение сеточной функции у в узле
{хп tj) сетки ibhx. _
Непрерывной функции и (х, t), где (х, t) — точка из Д, будем
ставить в соответствие сеточную функцию ut = ui h т = ы(х., t.\
Возможны и другие способы такого соответствия, на кото-
которых мы здесь не останавливаемся.

554 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
2. Аппроксимация простейших дифференциальных операто-
операторов. Оператор Lh, преобразуюший сеточную функцию у в сеточ-
сеточную функцию У = Lhy, называют сеточным или разностным опе-
оператором. Дифференциальный оператор L, заданный в классе
функций непрерывного аргумента, может быть приближенно
заменен (аппроксимирован) разностным оператором Lh, задан-
заданным на сеточных функциях. Для этого каждая из производ-
производных заменяется разностным отношением (отсюда и название
«разностный оператор»), содержащим значения сеточной функ-
функции в нескольких узлах сетки. Посмотрим, как это делается для
первых и вторых производных функции одного переменного.
Пусть юл = [xi = ih] — сетка с шагом h на отрезке 0 =?1
=?1 х ^ 1. Рассмотрим первую производную Lv = v' функции
v(x). Заменить ее разностным выражением можно бесчислен-
бесчисленным множеством способов. Простейшими являются замены
— левая разностная производная или левое разностное отно-
отношение,
— правая разностная производная или LPhv. = l+\h '~'
центральная разностная производная.
Здесь Vi = v(xt), знак ~ означает соответствие или ап-
аппроксимацию. При замене Lv = v' разностным выражением
L*vt допускается погрешность L*vt — (Lv)i=ty.> называемая
погрешностью аппроксимации оператора L разностным опера-
оператором Lh- Естественно требовать, чтобы при стремлении h
к нулю эта погрешность стремилась к нулю. Для оценки ^h.
надо предположить, что v(x) гладкая функция. Будем гово-
говорить, что v(x) принадлежит классу (пространству) №>[0, 1]
{v(x) g C(m) [0, 1]) функций, заданных на отрезке 0 sg: х ^ 1,
если v (х) имеет т непрерывных на отрезке 0 ^ х *С 1 произ-
производных. При т = 0 получаем класс С<°> [0, 1] непрерывных при
О ^ х ^ 1 функций.
Пусть v (х) е От> [0, 1], где m ^ 2. Разложим v (x) в окре-
окрестности ТОЧКИ X — Xf.
и вычислим 4J)?=LJ~o. — гк = О(Л)> ^ = L^v. — v't = О (h).
Будем говорить, что разностный оператор Lh: 1) аппрокси-
аппроксимирует дифференциальный оператор L на сетке юл, если

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ S55
max j я]зМ = max | Lhvt — (Lv)t I, где v (x) — достаточно гладкая
&h 6>h
функция, стремится к нулю при Л-^-0; 2) аппроксимирует L
с порядком ft (ft>0), если max I •$ | = О (hn) (или max я]^ ^.Mhn,
где М — положительная постоянная, не зависящая от К).
Обращаясь к формулам для L*, видим, что LhVi и Ltvi ап-
аппроксимируют Lv — v' с первым порядком при v e От\ где
т ^ 2. Увеличение т не меняет порядка аппроксимации.
Выражение для L^vi содержит значения v в двух узлах
х = Xi и х = Xi_t сетки. Говорят, что оператор L^" является
двухточечным или оператором первого порядка.
Множество узлов, значения сеточной функции в которых
входят в выражение L/,w,, называют шаблоном оператора Lh
в точке х^ Очевидно, что шаблон оператора Lh состоит из
двух узлов Х{ и Xi-i, а шаблон Lt — из узлов xt и xi+i.
Возьмем, например, трехточечный оператор, определенный на
шаблоне х<_ь Х
•Lft wr= cTbh Uj + A — a) Lh Vi = ! т — , \2)
где о— произвольное число. В частности, при a = 1/2 получаем
центральную разностную производную L^vi = - '+1 _. '~' , кото-
которая, как нетрудно показать, при v(x) е О3) [0, 1] аппроксими-
аппроксимирует v'(x) со вторым порядком.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями
д_ _ pi-pi-i 0 fttLl^L
„ *_„ 'Г' Л C)
о? , = •
В тех случаях, когда номер i узла не имеет значения, будем его
опускать и писать v~, vx, v °.
Рассмотрим теперь вторую производную Lv = v". На двух-
двухточечном шаблоне, очевидно, ее аппроксимировать нельзя. Вы-
Выберем трехточечный шаблон, состоящий из узлов x,_i, xu xi+l, и
рассмотрим разностный оператор
Lv=v -L(V _0 4_pt+l-2pl + pt-l Ш
HVi Vxx, i — h \Vx. I V*. 0 ~ h2 ' * >
Если v e Om> [0, 1], m ^ 4, то можно написать
*>1*г = °,±Щ + Т-v" ± Т-<" + If 0(/V) + 4 ©

556 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
(о (hn)—величина, стремящаяся к нулю при h —>0 быстрее,
чем hn). Отсюда следует (индекс i опускаем), что
vRx-v" = -^vW + 0{h\ F)
т. е. v~x аппроксимирует v" со вторым порядком.
Для аппроксимации четвертой производной Lv = u<IV> выбе-
выберем пятиточечный шаблон, состоящий из узлов хг + kh(k = О,
±1, ±2), и положим
LhVi — Vxxxx, i = hi()
В этом случае v~xix — v{lV) = O(h2) для о(х)еСF). На пяти-
пятиточечном шаблоне (x{-\-kh), /г = 0, ±1, ±2, можно добиться
аппроксимации O(h4) для v", если иеСй. В самом деле,
из F) и G) следует, что оператор
V = v*x ~ -f ^ххх = ^" + О (W) (8)
имеет 4-й порядок аппроксимации.
На практике аппроксимация производных на многоточечных
шаблонах используется редко, так как при увеличении шабло-
шаблона обычно увеличивается объем вычислительной работы и ухуд-
ухудшаются качества получающихся разностных операторов
(в смысле устойчивости).
Еще раз отметим, что порядок аппроксимации разностного
оператора Lh зависит от порядка т дифференцируемое™ функ-
функции v(x). Мы везде фактически говорили о максимальном по-
порядке аппроксимации, который не меняется при увеличении но-
номера т класса №*>, считая, что v(x) — любая функция из От>.
Очевидно, что при специальном выборе v(x) порядок аппрокси-
аппроксимации может повыситься. Если, например, v(x) — и(х) есть реше-
решение уравнения и" = х, то u<IV> = 0 и uix — и", т. е. vXx аппро-
аппроксимирует v" точно при v = и.
Рассмотрим более сложный оператор
~ dt дх" • У4'
где и = u(xj) —функция двух аргументов х и /, меняющихся
в области Д = @ ^ х ^ 1, О^^^Г). Введем сетку
e>hx = {(Xi = ih, tj = jr), ; = 0, 1, ..., N, / = 0, 1
с шагами h = \/N и т = T/No, построенную в п. 2.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 557
Произведем замену
/+1 /^iV "iy-l-2"f + »{+l _„,
Л2
В результате получим разностный оператор
который msjkho записать в виде Lhxu = u{ — йХх, где й — и\,
u = ui+l. Этот оператор определен на шаблоне, состоящем из
четырех точек (xh tj+l), (xit tj), (x,_i, tj), (xi+i, tj) (рис. 85, в).
Оператор L/,T определен не во всех узлах ©ht, а только при
О < i < N и / > 0, т. е.
Q (i-JJ+t) (i.j+i) (MJ*O (i.J*O
г
A
a)
Рис.
I
6)
85.
в)
в тех узлах, в которых шаблон состоит только из узлов сетки
ffiht. Узлы (хи tj), 0 < i < N, />0, назовем внутренними и
обозначим ti)hx = [{Х{, tj), 0 < t < Л/, 0 < / •<Л/о} множество всех
внутренних узлов. Таким образом, оператор Lht определен на
ю/,г, т. е. во внутренних узлах. В остальных узлах, называемых
граничными, должны быть заданы краевые и начальные усло-
условия. Оператор Lhx имеет первый порядок апроксимации по т и
второй по h:
LhxH/-(LH)/| = O(tf + T), A1)
так как и-х = и" + О (Л2), щ = й + О(ч) [й = (~^]. Здесь
штрих означает дифференцирование по х, точка — дифферен-
дифференцирование по /. Рассмотрим оператор
„/+1 ,,/ „/+1 9,,/+' _L ,,/+•
определенный на четырехточечном шаблоне (x,--i, ^-+i), (^«, <j+i),
(xi+i, ^j+i), (х,, ^) (рис. 85,6). Он аппроксимирует Lu с тем же
порядком, что и оператор A0).
В § 2 будет рассмотрено однопараметрическое семейство
разностных операторов, аппроксимирующих оператор (9). Это
семейство содержит операторы A0) и A2).

558 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
До сих пор мы оценивали величину погрешности аппрокси-
аппроксимации ф = LhV — Lv для оператора Lh (или Lhx) как max | ¦ф I,
л
т. е. по норме *) («в норме»)
|Ц>Ио=тахЦ>(*)|. A3)
Для оценки величины сеточной функции г|з можно исполь-
использовать и другие нормы, например:
I! ф ||2 = ( 2 Л*?) \ IIФ Hi = g h | ifc I и т. д. A4)
Пусть || -ф || — некоторая норма для функций г]), заданных на
сетке ©л. В дальнейшем будем говорить, что разностный опера-
оператор Lh: 1) аппроксимирует дифференциальный оператор L по
норме || • ||, если || ф || = || Lhv — Lv || -»¦ 0 при h -» 0; 2) аппрок-
аппроксимирует L с порядком п (п > 0) (L/, имеет ft-й порядок ап-
аппроксимации) , если || -ф || = О (hn) или || г|з II ^ Mhn, где М =
= const > 0 не зависит от h.
Если v — достаточно гладкая функция, а ш;, — равномерная
сетка, то все рассмотренные выше разностные операторы имеют
один и тот же порядок аппроксимации в любой из норм A3),
A4).
Иначе обстоит дело в случае неравномерной сетки.
Пусть 5>п = [xi, i = 0, 1, ..., N, xo = 0, xN = 1} — неравно-
неравномерная сетка с шагами /г, = Х{ — хг-_ь i — 1, 2, ..., N, на. от-
отрезке 0 ^ х ^ 1. Рассмотрим оператор Lv = v". Ему поставим
в соответствие разностный оператор
где hi = -n(ht -\- h1+l), — определенный на трехточечном шаблоне
({\, t, 1 + i)
Вычислим погрешность аппроксимации ф, = LhVi
Предполагая, что v(x) gC4 [0, 1] и пользуясь разложениями
') Каждой сеточной функции у ставится в соответствие некоторое неотри-
неотрицательное число ||{/||, называемое нормой и представляющее собой аналог рас-
расстояния от начала координат в обычной геометрии. Норма удовлетворяет тре-
требованиям: 1) ||{/|| = 0 только при у(х) ез 0; 2) \\cy\\ = \с\ \\y\\, с = const;
3) \\у + z\\ ^ \\y\\ + ||z|| (неравенство треугольника) (см. Л. В. Канторо-
Канторович и Г. П. А к и л о в, Функциональный анализ в нормированных простран-
пространствах, Физматгиз, 1959).

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 559
находим
Отсюда видно, что |] ф ||? = О (ho), ho = maxhit если ||-||s при
s = 0, 1, 2,—любая из норм A3), A4). Отсюда следует, что
Ln имеет 1-й порядок аппроксимации в нормах ||-|1о, II-Нь II • Иг-
Покажем, что при надлежащем выборе нормы, а именно:
[N-l I I \21Vj
НФНз
оператор A5) имеет в этой норме второй порядок аппрокси-
аппроксимации:
Так как v'[' = о?, + О (Л|+1), то (Л|+, - ht) v[" = §
= -2йг(Л?+1о^+, — Л*г/") + ° (Лг+0' и поэтому ф. представится
в виде
i о /
Вычисляя S fijiifj = 2 (iii+i—lift) —flt+i—il! и учитывая, что
|г]| = О(Л^), получаем ||-ф||3 = О{kfy и, следовательно,
где М = const >0 не зависит от сетки, т. е. A5) имеет 2-й
порядок аппроксимации в норме || • ||3 на любой неравномерной
сетке мл. Этот результат сохраняет силу и для норм
Л'-l
[ЛГ—1 /ЛГ-1 VI'/2
Отметим, что || if ||3 ^ ] -ф \\s, s = 0, 1,2.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями
i [^p ^4^] A6)

560 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Если сетка юл неравномерна, то при аппроксимации оператора
(9) используется оператор A5), так что вместо A0) и A2) бу-
будем иметь разностные операторы Lh%u=Uf — й^, Lhxu—uf — ия..
В этом случае вместо A1) получим оценку
max\\Lhxti-Luh = O(h20 + T), A7)
где максимум берется по /=1, 2, ..., No.
Сетка ©т также может быть неравномерной с шагом х, =
= */ — tj_u /=1, 2,..., Nc. При этом (?]" ~"
/ ди s/+l
= 1-дГ +O(T/+i): тогда в A7) т= max ту.
on K/<W.
3. Разностная задача. До сих пор мы занимались аппрокси-
аппроксимацией простейших дифференциальных операторов разностны-
разностными операторами. Обычно требуется решить дифференциальное
уравнение Lu = —f с некоторыми дополнительными (началь-
(начальными, краевыми) условиями. Поэтому кроме построения раз-
разностного оператора нужно аппроксимировать на сетке правую
часть и дополнительные условия, после чего можно поставить
разностную задачу, т. е. написать разностные (алгебраические)
уравнения и дополнительные условия на сетке.
Закон написания разностных уравнений и дополнительных
условий называют разностной схемой.
Рассмотрим несколько примеров постановки разностной за-
задачи.
Пример 1. Задаче Коши для уравнения 1-го порядка
u'(x)=f(x), x>0, в(О) = «о, A8)
на равномерной сетке соответствует разностная краевая задача
yt+i — yt = h%, У0 = и0 (V|S=fJ*) = f(x1)),
получаемая при замене оператора и' разностным оператором
Пример 2. Краевой задаче для уравнения 2-го порядка
u" = -f(x), 0<*<1, н@) = ц„ «A) = ^, A9)
на равномерной сетке соответствует краевая задача
Уi+i— 2yt + У1-1 =
получаемая при замене оператора и разностным операто-
оператором Uxx-

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 561
Пример 3. Краевой задаче для уравнения теплопровод-
теплопроводности
•§T = -0 + f (*•'), °<*<!> 0<t<T, B0)
0<х<1, B1)
"(О, 9 = МО. «A, 0 = М0, 0</<Г, B2)
на равномерной сетке <Ьнх = {Xi = (ft, tj = jx(i = 0, 1, ...
..., N, / = О, 1, ..., No)} соответствует разностная краевая
задача
«»(*,). B3)
B4)
получаемая при замене оператора теплопроводности разност-
разностным оператором A0). Определим yi+1:
у\" = A—2v) У/ + Y (^-, + yf+i) + «P/+I. B5)
где у = т/Л2.
Если //j известно, то по этой формуле можно определить
у{+1 во всех узлах (=1,2, ..., N— 1 (на слое /+ 1). Так как
при / = 0 задано начальное условие у°. = и(х{), то формула
B5) позволяет определить от слоя к слою значения yi(+l во
всех узлах сетки ы?,.х, используя при этом краевые условия
B4). Схема B3) называется явной.
Пусть Lhx определяется формулой A2). Тогда уравнение
принимает вид
.-'+' _ „/ ,,'"+' _ 9,,/+' j- „ж
У, = УЛ + Ф «ли 11—". = .''" \ +у^+фГ.. B6)
Для определения yi+l на новом слое / + 1 получаем систему
алгебраических уравнений
V^i! = -P,'-^/+I, 0<i<N. B7)
Такая схема- называется неявной или схемой с опережением.
4. Устойчивость. После того как разностная схема написана,
т. е. сформулированы разностное уравнение и все дополнитель-
дополнительные условия, возникает прежде всего вопрос о разрешимости
полученной алгебраической системы уравнений. Если эта систе-
система неразрешима, то такую схему следует признать непригод-
непригодной.

562 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Пусть разностная задача разрешима. Тогда естественно тре-
требовать, чтобы при неограниченном измельчении сетки решение
разностной задачи стремилось к решению исходной задачи для
дифференциального уравнения (схема сходилась). В этих рас-
рассуждениях мы предполагаем, что разностная задача решается
точно и решение может быть найдено с любым числом знаков.
Практически же все вычисления ведутся с конечным числом
знаков и на каждом этапе вычислений допускаются ошибки
округления. Если малые ошибки округления, допускаемые на
промежуточных этапах вычислительного процесса, при сгущении
сетки приводят к большим искажениям решения, то такую
схему называют неустойчивой. Она непригодна для практики.
Ошибки вычислений можно рассматривать как возмущение
начальных данных или правой части уравнения. Отсюда сле-
следует, что от схемы надо требовать, чтобы решение разностной
задачи мало менялось при малом изменении входных данных
задачи (правой части, краевых и начальных условий) или,
иными словами, чтобы решение непрерывно зависело от вход-
входных данных при измельчении сетки. Если это требование вы-
выполняется, то схема называется устойчивой, в противном случае
схема неустойчива. Ниже приводятся примеры неустойчивых и
устойчивых схем.
Пример 4. Устойчивая схема. Рассмотрим задачу Коши
для уравнения
и' = — аи, х>0, и@) = и0. «>0, B8>
имеющую решением и(х)~иое~ах и заменим ее разностной
схемой
"i~"Vt—\ _,, f i о 1, .,
jj = — o,tji, i—i, г, ..., y0 — u0.
Из разностных уравнений получаем yi{l + ah) = yt..l или */,=
= s#f_i=s'#o» гДе s— 1 ¦¦ aft "^ *' Преобразуем выражение
для s:
lns = — ln(l + ah) = — ah + О (h2) = — h(a + О (h)),
ИЛИ s==re-ft(a+O(A))#
Рассмотрим какую-либо точку х. Для простоты будем пред-
предполагать, что эта точка является узлом последовательности се-
сеток ©л при h->0. Номера i, соответствующие этой точке для
сетки юА, равны i = x/h. Очевидно, что
Уо1е—*+0 (Л)],
что и доказывает сходимость разностной схемы.

§ 1] ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 563
Отсюда видно, что при малом изменении начального зна-
значения у0 решение у% разностной задачи также меняется мало
(непрерывно зависит от уо).
Пример 5. Неустойчивая схема. Рассмотрим ту же зада-
задачу B8), что и в примере 4:
и' = — аи, х > 0, и @) = ы0.
Аппроксимируем уравнение и' = —аи разностной схемой
с У1 ~*1~1 + A - с) "t+1~ Vi + ay, = 0, ;=1, 2,..., B9)
где a — произвольный параметр, не равный единице, аф 1.
Так как схема трехточечная, то начальные значения надо
задавать не только в точке х = 0, но и в точке х\ = h: у0 = щ,
yi = по. Из B9) следует
(о ~ О Уш ~ [Bа - 1) + aft] yt + ery,_, = 0. C0)
Будем искать частные решения этого уравнения в виде Уг = s*.
Для s из C0) получим квадратное уравнение
(a— l)s2 — BG—l+ah)s + <y = 0, C1)
дискриминант которого равен
Д = Bа — 1 + ahf — 4а (а — 1) = 1 + 2 Bа — 1) ah + a2h\
так что V& = 1 + Bа — 1) ah + О (И2). Отсюда находим для
корней $! и s2 уравнения C1):
ah
Общее решение уравнения C0) имеет вид
y. = As{ + Bs2, C2)
где постоянные А и В определяются из начальных условий при
i = 0 и t=l. Учитывая, что In (I ± ah + O{hz)) = ±h(a +
у- О (Л)), находим
_?_
Пусть х — фиксированная точка, являющаяся узлом сетки
, так что х == ih. Из C2) следует
Отсюда видно, что поведение решения зависит от значения
параметра а. Если а> 1, то р_ 1 > 1 и первое слагаемое

561 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
при любом значении А Ф О неограниченно возрастает при
h0
Коэффициент А зависит от у0> у\. Если при некотором выбо-
выборе начальных значений А = 0, то при сколь угодно малом воз-
возмущении начальных данных, хотя бы за счет ошибки округ-
округления, мы получим А ф О и соответствующее решение будет
неограниченно возрастать при h-*0.
Таким образом, при о > 1 схема B9) неустойчива и непри-
непригодна для вычислений1).
Приведенные выше примеры показывают, что если схема
устойчива, то малые изменения начальных данных или пра-
правой части уравнения приводят к малым изменениям ре-
решения разностной задачи; если же схема неустойчива, то ма-
малые изменения начальных данных и правой части могут приво-
приводить на достаточно мелкой сетке к сколь угодно большим из-
изменениям решения. Поэтому неустойчивая схема рас-
расходится.
Пусть ищется решение yh некоторой разностной задачи с ша-
шагом к на сетке u>h, удовлетворяющее разностному уравнению
с заданной правой частью <р и дополнительными соотношениями
(например, начальным, краевым условиями), заданными в гра-
граничных узлах сетки. Правую часть уравнения и известные функ-
функции, содержащиеся в дополнительных условиях, называют вход-
входными данными. Решение разностной задачи зависит от входных
данных и от параметра h — шага сетки. Меняя h, мы получаем
последовательность {у'1} решений разностной задачи.
Говорят, что разностная задача поставлена корректно (раз-
(разностная схема корректна), если ее решение yh при любом до-
достаточно малом h ^ h0:
1) существует для произвольных входных данных;
2) непрерывно зависит от входных данных, причем эта за-
зависимость равномерна относительно шага h.
Свойство непрерывной зависимости решения разностной за-
задачи от входных данных называется также устойчивостью раз-
разностной задачи (схемы).
Решение разностной задачи yh рассматривается не при од-
одном фиксированном значении И, а при любых h ^ /г0, т. е. на
любых последовательностях достаточно мелких сеток. Равномер-
Равномерная по h непрерывная зависимость yh от входных данных озна-
означает, что свойство непрерывной зависимости сохраняется при
к —>• 0. Иными словами, если решение оценивать по норме
|| • ||A), а входные данные, например, правую часть ф по норме
11-11B), то устойчивость (равномерная по h) схемы по правой
части означает существование такой постоянной М > 0, не
') При а = 0,5 схема B9) также неустойчива.

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 565
зависящей от h, что
II Ун \[i) ^ М || ф 1^ при любых h <; h0.
Данное выше определение корректности разностной схемы
аналогично определению корректности задачи для дифферен-
дифференциального уравнения, с которым мы неоднократно встречались-
в курсе. Различие между этими определениями состоит в тре-
требовании равномерной по h устойчивости решения разностной
задачи.
§ 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопро-
теплопроводности:
найти непрерывную в прямоугольнике Д (О^.х^.1, 0 =sC
^ t ^ Т) функцию и = u(x,t), удовлетворяющую условиям:
и (х, 0) = во (х), и @, t) = щ @, и A, t) = щ (t). J
Введем в Д описанную в § 1 сетку шЛт = йлХйт = {{х{ = ih,
tj = }r), 1 = 0, 1, ..., N, / = 0, 1, ..., No} с шагами h=l/N
r=T/N0. Проводя замену
\"xx)t — Л2
/+• ИЖ_„/ /+1
dt } ~ х —Щ> I
и вводя произвольный вещественный параметр а (вес верхнего
слоя / = ?/+i), получим однопараметрическое семейство схем
— — = Л (oyi+1 + A — a) yi\ + <рж, B)
/==12 Л^Л »= 1 2 Л/ 1
где Ayh — y-x t.
Схема B) определена на шеститочечном шаблоне, состоящем
из узлов (xi+s, tj+h) {s = —1, 0, 1; k = 0, 1), расположенных
на двух слоях ( = /j и t = tj+i (рис. ?5, с). Поэтому схему B)
часто называют двухслойной шеститочечной схемой или схемой
с весами.
Поскольку в B) входит произвольный параметр о, то факти-
фактически мы рассматриваем не одну схему, а однопараметрическое

566 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
семейство схем. В дальнейшем будет показано, что с помощью
параметра а можно управлять устойчивостью и точностью схе-
схемы B). Так как схема B) пишется одинаково во всех внут-
внутренних (при 1 < i < N, / > 0) узлах (х{, tj) сетки юат, то ин-
индексы i, / можно опустить и пользоваться безындексными обо-
обозначениями, полагая
В этих обозначениях схему B) перепишем в виде
y-t = Л {су + A — 0) у) + ф, (х, t) е= а>ьх. C)
Присоединяя сюда начальные и краевые условия
у(х,0) = щ{х), хейь
у @, t) = н, @, У A, 0 = и2 @, t е шт> D)
получаем разностную задачу C)—D), соответствующую задаче A).
Требуется найти сеточную функцию у(х, f), определенную для
(х, /)Gffij, и удовлетворяющую уравнению C) во внутренних
узлах (ahx = {{xlt tj), 0<i<N, 0</<ЛГ0}, а в граничных
узлах Vat = {(*<- tj), i = 0, 0</<JV0; i = N, 0</<Л^О; / = 0,
0^(<|N} сетки ш/,т — условиям D).
Для определения у = yl+1 из C) и D) получаем задачу
= — Fit 0<i<N,
Уа=Щ> Уы — 11?'
Ft = A - 2Y A - a)) pt + A - a) y &_, + ^+I) + тф,, Y = p--
Значения у = у{ и, следовательно, fj на нижнем слое (при
,/ = tj) известны. Счет идет от слоя / к слою / + 1, начиная
с / = 0, при котором задано у0 = ио(х).
При 0^0 получаем явную схему (см. § 1, п. 2). Для нее
уг = Fu т. е. значения у определяются независимо в каждом
узле сетки ю/,. При о ф 0 для определения у получаем систему
алгебраических уравнений порядка N — 1 (такие схемы назы-
называются неявными). Метод решения этой системы, учитываю-
учитывающий специальный вид (трехдиагональность ее матрицы, у кото-
которой отличны от нуля только элементы, стоящие вдоль главной
диагонали и двух соседних с нею диагоналей), указан в п. 10.
2. Погрешность аппроксимации. Пусть у = у{х, t) — решение
задачи C) — D), u — u(x,t)—решение исходной задачи A).
Рассмотрим разность zf+I =у{+[ — и(хр //+1) или z=y — м
а подставим у = z-\-и в уравнение C). Предполагая и —

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 567
= u(x, t) заданной функцией, найдем
z-. — A(az-\- A — o)z) + i|5, (x, t)^ahx, )
z(x, 0) = 0, z@,0 = 2A.0 = 0, J
где
представляет собой погрешность, с которой решение и = u{x,f)
уравнения A) удовлетворяет разностному уравнению C). Се-
Сеточная функция -ф = -ф (х, t, u\ h,x,a), определяемая формулой
F), называется погрешностью аппроксимации дифференциаль-
дифференциального уравнения A) разностным уравнением C) в классе реше-
решений и — u(x,t) уравнения A) (или «погрешностью аппрокси-
аппроксимации для схемы C) на решении уравнения A)»).
Для оценки величины функции -ф мы будем пользоваться
различными нормами (при фиксированном t^ax), например:
ih|, G)
Ki<N
(N-\ V/2
(JjA4>?J , (8)-
а также нормами
maxll-фЦ,,, maxll^lla и т. д. (9)
Будем говорить, что схема C) имеет по норме || г}з || m-Pi по-
порядок аппроксимации по h и n-й по т на решении u = u(x,t)
(аппроксимирует уравнение A) с порядком (т, п)) или просто
имеет аппроксимацию O(hm) + О(хп), если
|| г|з || < М (hm + т'г) (т > 0, п > 0), A0)
где М — положительная постоянная, не зависящая от h и т, а
II -|| — некоторая норма (например, G) или (8)).
Для оценки порядка -ф по h и т разложим и = u(x,t) в ок-
окрестности точки (Х{, t — tJ+u2 = tj + 0,5т) по степеням Лит.
Будем предполагать, что u(x,t) имеет нужное по ходу изложе-
г*., . ди , ди
ния число производных. Обозначая ы=-^-, «' = -—-- и т. д.,
U = u(Xi,tj+i),
п = и(х{, //+1/s), получим Ли == и" + -^- k<iv> -f ... (см. § 1, п. 1),.
и = п + 0,5ты + ^- м + О (т3), й = й — 0,5тй + -^- й + О (т3),

558 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Пользуясь разложениями для и, й, Аи, находим
аи + A — а) й = п + (а — 0,5) тй + О (т2)
= п" + (а - 0,5) та" + О (Л2 + т2).
Подставляя полученные выражения в F), будем иметь
ф = ы" - й + (<х - 0,5) тй" + <р + О (Л2 + т2).
Так как и есть решение уравнения A), то п" —-й= —f и
^ = <p _f + (a -0,5)тп" + О (Л2 + т2)').
Выбирая ф так, чтобы ф =f + О(Л2 + т2), например q> — f, если
feC@), получаем
¦ф = (а - 0,5) та" + О (Л2 + т2). A1)
Обозначим через С^(Д) класс функций, имеющих m произ-
производных по х и п производных по ?, непрерывных в Д. Из пре-
предыдущего ясно, что
IIФ lie-=» О (Л2 Н-т) при а ^0,5 и иеЙ1, A2)
\\q\\c = O(h2 + T2) при а = 0,5 и ке^. A3)
Выбирая параметр а равным
и правую часть
получим схему повышенного порядка аппроксимации ф =
= 6(к* + т\ если «eCf, fsCf»2).
3. Энергетическое тождество. Чтобы выяснить, при каких зна-
значениях а схема B) устойчива по начальным данным и по пра-
правой части, найдем оценку решения разностной задачи C) — D)
с однородными краевыми условиями (щ = щ = 0) через q> и щ.
Для этого используем метод интегральных или энергетических
соотношений, который без существенных изменений переносит-
переносится на случай уравнений с переменными коэффициентами. Нам
') Так как п" + / — й = 0, то F) можно было бы сразу записать в виде
ф = [Л {аи + О - а) к) - «"] + (Ф - f) - (и. - й).
2) К пп. 1, 2 см. В. К- С а у л ь е в, Интегрирование параболических урав-
уравнений методом сеток, Физматгиз, 1960.

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
понадобится небольшое число предварительных сведений. Пусть
v(x) = vu z(x) = zt — произвольные функции, заданные на
сетке ibh = {Xi = ih}.
Имеют место следующие формулы:
1. Формула разностного дифференцирования произведения
(vz)x,t = vtzx<i + vXtizt+l. A6)
В самом деле, vtzXt i + vx. iZi+i — [vt (zi+i — 2,) + (ui+1 —
— Vi)zi+i]/h = (vi+izi+i — vtZi)/h= (vz)Xii. Формула A6) яв-
является разностным аналогом формулы дифференцирования про-
произведения (uv)' = u'v + uv'.
2. Формула суммирования по частям
(v, zx) = - (z, vx] + (vz)N - vozv A7>
где
N-l N
(v, w) = 2 vtwth, (v, w]— 2 vtwih, A8>
являющаяся разностным аналогом формулы интегрирования по
частям.
Выразим из A6) ViZXii= (vz)Xii — vXtiZi+i и преобразуем
сумму
N-\ JV-I Л'-1
(v, zx) = 2 *>0х, ih = 2 [(vz)t+i — (vz),] — 2 o*
= (VZ)N - 0,2, - g О,, ^?Л (Ох> .
Учитывая затем, что vi — v0 + (v1 — v0) = v0 + Лиг ,> получим
Л?
(о, z,) = (oz)ff - (v0 + hv-K ^zx - 2 ztv- .h = (vz)N -
3. Первая разностная формула Грина
(v, {ay-)x) = - (ay., vx] + ayxv \ N - voatyx |,. A9>
В самом деле, полагая в A7) z = ayx, сразу получим A9),
Из A9), в частности, следует, что
(v,(ayx)x)= — (ayx-,vx]J если y = v = O при i — O,N; B0>
если Уо =
Формула A9) является разностным аналогом формулы Грина
J и (kw'Y dx == kuw' — J ku'w' dx.

S70 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
4. Вторая разностная формула Грина
(°> И4) - (У* (av*)x) = un {"Ух - yvX - ai И* ~ У"хH B2)
получается из A9), если в A9) поменять местами у и v и вы-
вычесть из A9) полученное равенство.
Нам понадобится также неравенство
| (у, гу | < У(у, уу (г, z)', B3)
где
{.У, zf = S UkZkh, i = 2,3,...,N. B4)
Рассмотрим сумму
(у + te.y + %zI = (у, уI + 2% (//, 2)г + Я2 (г, г)г > О,
тде Я — любое вещественное число.
Если B, z)i =#=0, то {у + "кг, у + Яг) * ^ 0 при любых зна-
значениях Я только при условии, что дискриминант квадратного
трехчлена [(у, z)*]2— (у, у){- (г, z)« ^ 0. Отсюда и следует B3).
В частности, при i = N получаем неравенство Крши — Буня-
ковского
||-||2||, B5)
где ( , ) дается формулой A8), а \\y\\ — норма сеточной функ-
функции у = уи равная
УII = ViyTJ) = ( g y\h) - B6)
Докажем следующие неравенства:
I|2
yI|2j^> если zo = zw=O, B7)
jIIzjj], если zo = zN = O, B8)
где 112 11,,= max \zt\, \\z\\ дается формулой B6), а
N V/,
j
Замечая, что z\— 2 zx J1 ] — 2 zx J1) > представим zf)
в виде

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 571
Применяя неравенство B3) для каждой из сумм, например:
*JЙ • Ж I%=*« Sew*
получим:
B9)
Так как max л;A—л;) = -г, то отсюда следует, что ||z|k^
<1 4
Умножив B9) на h и просуммировав по /=1, 2 ЛГ—1,
N 1
N— 1
будем иметь || 2 |р < ¦-1| г^ ]2 или || z |1<^Иz* 1> так как
= (iV-l)ft<l.
Пусть Лу = (аи^)х, а>с, > 0. Из B1) и B7) следует оценка
- (Ао, v) = - ((flOjE),, у) > 4с, || о |р. C0)
В самом деле, —(Ли, v) = {a, (и*J]>с,|| v^f в силу B1). Поль-
Пользуясь затем неравенством B7), получим C0).
Укажем еще одно неравенство:
2\ab\^cDa2 + ±-b\ C1)
где а и Ь — заданные числа, с0 — произвольное положительное
число. В самом деле,
так как 2|а,&] I ^G2 + Ъ\ при любых ах и Ьх.
Перейдем теперь к изучению вопроса об устойчивости схе-
схемы C) по начальным данным и по правой части.
Напишем энергетическое тождество, соответствующее урав-
уравнению с однородными граничными условиями:
z, = AzW + i]>, 20 = 2w = 0, z(x, О) = го(х), C2)
где
z«« = ffz + (l —o)z.
Умножим уравнение на 2xz{ ih — 2(zi — zl)h и просумми-
просуммируем по t=l, 2, ..., N—1:
2т | z-t |]2 = 2т (ЛгС), zf) + 2т (ф, zf), Az = Zjbt. C3)

572 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Представляя z(a) в виде
z<°> = 0,5 (z + 5) + (a — 0,5) (z - z) = 0,5 (z + 5) + (a - 0,5) xz-t
и пользуясь первой формулой Грина B0) для а = 1, г/ = тг<- =
= z — z, t» = z + z и с = 1, у = v — z-t, имеем ')
2т (Л*«. г,) = - 2 (а - 0,5) т2 (г*, %] - (г, + *„ г, - Ц =
Подставив это выражение в C3), получим энергетическое
тождество:
2T[||z,f + (а-0,5)т|2^12] + ||2,12 = |^]2 + 2т(ф, zf). C4)
Отметим, что имеет место следующее неравенство:
И^Р<^Н12, если vo = vN = O. C5)
В самом деле, суммируя неравенство
по г=1, 2, ..., N, приходим к C5).
4. Устойчивость. Как было указано в § 1, п. 4, устойчивость
схемы означает непрерывную зависимость решения разностной
задачи от входных данных (от начальных данных, от правой
части и от краевых условий в данном случае).
Выясним, при каких значениях параметра о схема C) устой-
устойчива по начальным данным и по правой части. Для этого рас-
рассмотрим задачу C2) с однородными краевыми условиями.
Уточним понятие устойчивости.
Пусть решение задачи C2) оценивается по норме || z \\(i)
(например, || z \\т = II z ||с, || z ||(]) = II 2*]), а правая часть ty —
по норме II ф Ни (например, || ф ||B, = II ^ ||с, II i> 11B) = II ф ||2).
Будем говорить, что схема C2) (или C) — D)) устойчива
по начальным данным и по правой части, если при достаточно
малых А ^ йо и т ^ То имеет место неравенство
max || z (x, t) |L < M, || z (x, 0) |L + M2 max || ф (л;, f) |L C6)
^de Mi, M2 — положительные постоянные, не зависящие
от h и т.
1) (Л(г + ?), г — й) = — (z_ + iL, z. — 2 1, (Лг., гЛ = — (z_-, z .1.

5 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 573
Для устойчивости схемы C2) достаточно, чтобы выполня-
выполнялось одно из условий
Hzl^O+^TjIISI^ + CsTJIiHIp,, C7)
или
ff + CjxIliUfj,, C8)
где Си Сг — положительные постоянные, не зависящие от ft и т.
В самом деле, пусть выполнено условие C7). Запишем его
в виде
1|2'"||A><A +с1т)||2/-Ч1A) + с2т||ф'|!B), C9)
/=1, 2, ...
Исключая из C9) последовательно |] г' |L , || z'~2 |L., ...
и учитывая, что A + с,т.)' ^.ec>ti при /'^/, получим
| г%} < e^i \\\ г (х, 0) ||A) + с2 2 т | V |lj . D0)
Отсюда следует C6) при Ml = eCtT, M?=c^MxT. Предполагая,
что выполнено C8), аналогичными рассуждениями приходим
к неравенству вида D0), в котором следует заменить || • || вы-
ражениями ||-||2- В результате снова получим C6) с М^е2 ,
2
Пользуясь тождеством C4) для схемы C2), мы установим
неравенство вида C6), из которого и будет следовать, в силу
сказанного выше, устойчивость схемы C).
Чтобы выяснить вопрос об устойчивости по начальным дан-
данным, рассмотрим задачу C2) при ф = 0 и положим || z |Lj = || г* ].
Тождество C4) при г]л = 0 имеет вид
2т[|^;Р + (а-0,5)т||г^Р1 + |!г,Р = 1^12. D1)
Пусть о ^ 0,5. Тогда выражение в квадратных скобках
неотрицательно и
<i^F или
Отсюда, в силу начального условия г° = го(х) следует, что
11г/Ц1)<1|2ьЦ1), где || z 1^ = 11 г?\. D2)
Пусть а < 0,5, так что а — 0,5 < 0. Обозначая Zj— v и поль-
пользуясь C5), найдем
II v f + (о - 0,5) т|| v-x f >|| v |р - @,5 - а) т • ~|| v |p =

574 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
при
1-@,5-а)т~>0,
1 h2
т. е. при а^сто = -^-——. При этом условии выражение
в квадратных скобках в C4) неотрицательно, и мы снова при-
приходим к D2).
Таким образом, схема C2) (и схема C)) устойчива по
начальным данным в норме || г ||(]) = И zx ], если выполнено
условие
1 ¦
Рассмотрим частные случаи. Если а^ —, то условие D3)
всегда выполнено и схема C2) устойчива при любых /гит.
Для явной схемы а = 0 и условие D3) дает
Y=-^-<y или ^<у/г2, D4)
т. е. явная схема условно устойчива (устойчива при условии
D4), связывающем х и h). Можно показать, что при У^-^Л-
+ с,та, 0^а< 1, явная схема неустойчива, т. е. условие у <
< -g- + CiTa является необходимым для устойчивости явной схемы
(ci = const > О — произвольная постоянная, не зависящая от
h и т).
Из D3) видно, что схема повышенного порядка точности
\o = olt = -2 ГГ")' безусловно (при любых /гит) устойчива,
так как а* ^ оо.
Перейдем к оценке устойчивости схемы C2) по правой
части. Будем исходить из тождества C4). Имеет место теорема:
Разностная схема C2) устойчива по начальным данным и
по правой части при
так что для решения г задачи C2) верна оценка
D5)
Пользуясь неравенствами B6) и C1), имеем
D6)

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 575
Если а^'/г» то мы получаем из C4) неравенство
Выбирая затем со = 2, будем иметь
Отсюда сразу следует
/'=1
Так как а2 + Ь2 ^ (а + ЬJ при а !> О, 61> 0, то тем самым тео-
теорема доказана.
Замечание. Несколько изменяя рассуждения, можно показать, что
j j е
теорема верна при о^ое = — ft2, где 0<е<!1; в D5) следует
вместо 1^2 написать У^2е. Сравнение с C6) показывает, что || z ||A) <!|| z^jj,
ii * Ню=II * II. mi = 1. л*« = к-?¦•
Нетрудно получить оценку C6) с [| z||(I)= || z ||, || if ||B) = || if> || при
4%
Ограничимся доказательством устойчивости по начальным данным. По-
Положим в уравнении C2) if> = 0, умножим его на 2тг'°'Л и просуммируем по
/ = 1, 2 Л^—1. Пользуясь формулой Грина B0) и тождеством
2т (z(a), z_) = (z + z, z - г) + 2т (о - 0,5) J zf f = || г ||2 - || г ||2+2т (о-0,5)Х
X || zf ||2, получим || г ||2 + 2т2 (о - 0,5) | г. |2 + 2т || zf f=\\z \\\ Отсюда при
о >0,5 следует II г||2<|| г ||2 и Hz' ||<||zol|.
Эта оценка справедлива и при о ^ о0. Однако мы не имеем возмож-
возможности останавливаться на доказательстве этого факта.
Мы доказали устойчивость схемы C2) в нормах ||ZxJ и ||z||,
1 \ Нг
являющихся разностными аналогами норм
и \ \ и2 dx \ . Пользуясь разностным аналогом принципа мак-
\о J
симума, можно убедиться в том, что чисто неявная схема
устойчива в равномерной метрике, т. е.
II2 \[: ^ || z0 \{, при а = 1 (яр = 0). D7)
Оказывается, что симметричная шеститочечная схема с а = 0,5
также равномерно устойчива при любых /гит
II z IL. < ЛГ|| 2ь II, при с = 0,5. D8)

576 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Рассмотрим явную схему (о = 0). Запишем ее в виде
iji = A — 2у) yt + Y {iJi-\ +
|/г|<(у)|^| + УA^. 1 + 1.?,+.1) +
так как 1—2у^0. Отсюда следует
при у<7г и
11#Ч<1Ы1+2 *W\U D9)
где || у % — max | у |. Таким образом, явная схема равномерно
йй
устойчива по начальным данным и по правой части, если вы-
выполнено условие Y^'/a-
5. Сходимость и точность. Будем говорить, что:
1) решение задачи C) — D) сходится к решению и —
= u(x,t) задачи A) (схема C) — D) сходится) при h—*0 и
т->0, если max \\у!— «/ II(i> —>0 при h-+0 и т—>0;
2) схема C) — D) сходится со скоростью O(ftm-f-т")г
т > 0, п > 0, или имеет точность O(hm + хп) (порядка т по h
и порядка п по т), если при достаточно малых ft < Ао и т < то
max \\y'-
где М = const > 0 не зависит от h и т.
Характеристикой точности схемы C) — D) является
I! ^ ll(i, == II у — «11A), где ||-|l(i)—одна из введенных выше норм.
Функция z = z(X{,tj+l) является решением задачи E). Так как
z(x, 0) =0, то из D5) для z следует оценка
при o^i-. E0)
Учитывая неравенство B8), получаем
|| z> I < М= max \W II = М 2 max | ^' ||. E1)
Отсюда следует теорема:
Из устойчивости по правой части и аппроксимации схемы
(<?) следует ее равномерная сходимость, причем порядок ее точ-
точности совпадает с порядком аппроксимации •). Иными словами,
если схема C) устойчива по правой части, т. е. а ^ '/г. и вы-
выполнены условия, при которых схема C) имеет максимальный
Порядок аппроксимации на решении и — u(x,t) (см. A2),
') См. В. С. Рябенький, А. Ф. Филиппов, Об устойчивости раз-
разностных уравнений, Гостехнздат, 1956.

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 577
A3)), то она имеет точность О (тт° + ft2), где то = 2 при
а =0,5, тс = 1 при а ф 0,5:
+тт°) при 0=^0., E2)
где М = const > 0 не зависит от /г и т.
Из п. 2 следует, что оценка E2) имеет место, если и е О*\
Ф = / при с =?0,5, «eCf, (p = f = f/+1/2 при о = 0,5.
Из неравенства D9) следует, что для явной схемы || у1—и1 ||с^
< М (/г2 + т), если ы <= Ci4).
Замечание. В силу замечания к теореме в п. 4 схема C)
при cr = -g-—J2^- имеет при «eCf1, /eCf1 точность О^+т2),
если ф определяется по формуле A5).
6. Разностные схемы для уравнений с переменными коэффи-
коэффициентами. Перейдем теперь к изучению разностных схем для
численного решения уравнения теплопроводности (диффузии)
с переменными коэффициентами
*«+'• *>0' с>0' E3)
где c = c(x,t), k = k(x,t), q = q(xj), f = f(x,t) — заданные
функции х и t. Если, например, коэффициент теплопроводности
k = k{x, t,и) зависит от температуры и, то уравнение E3) на-
называется квазилинейным. Квазилинейные уравнения допускают
аналитические решения только в исключительных случаях. Раз-
Развитие вычислительной техники и применение метода конечных
разностей сделали возможным решение линейных и квазилиней-
квазилинейных уравнений с переменными коэффициентами. При этом вы-
выявилась необходимость развивать методы, пригодные для ре-
решения по одним и тем же программам уравнений как с не-
непрерывными, так и с разрывными коэффициентами.
Задачи с разрывными коэффициентами встречаются очень
часто в физике и технике. Достаточно, например, указать зада-
задачи о диффузии нейтронов и о термическом режиме в гетероген-
гетерогенном реакторе, состоящем из большого числа зон с разными фи-
физическими'свойствами, задачи о движении границ фазовых пе-
переходов (см. гл. III, приложение IV) и т. д. Для решения задач
с разрывными коэффициентами используют схемы «сквозного»
счета, не использующие информации о положении точек разры-
разрыва. При этом во всех узлах сетки и для любых коэффициентов
пишутся одни и те же формулы (без какого-либо изменения
формул в окрестности разрывов).
Требования сходимости и точности схем сквозного счета
накладывают ограничения на вид этих схем. Схемы, сходя-
сходящиеся в случае разрывных коэффициентов, можно получить
19 А, Н, Тихонов, А, А. Самарский

578 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
при помощи метода баланса или интегро-интерполяционного
метода.
7. Метод баланса. Консервативные схемы. Физические про-
процессы, с которыми мы познакомились в курсе, характеризуют-
характеризуются интегральными уравнениями сохранения (количества тепла,
количества движения, энергии и т. д.). Так, например, закон
сохранения тепла (уравнение баланса) на отрезке [хи лг2] за
время bd = tz — ti имеет вид
X,
\ с[и (х, t2) — и (х, t^] dx =
U x2 U
— \ W{xu t)—Wix2, t)\dt+ J J fix, t)dxdt,
t, X, t,
где и (x, t) — температура, с — теплоемкость единицы длины,
fix, t) — плотность источников тепла, Wix, t)= —k(x, t) X
X -д— (х> 0—тепловой поток, &(л;, t)—коэффициент теплопро-
теплопроводности. Если существуют непрерывные производные -? и
~g-~(&F~)' то из УРавнения баланса следует дифференциальное
уравнение теплопроводности
Естественно при написании разностных уравнений, при-
приближенно описывающих тот или иной процесс, исходить из
уравнения баланса. Пусть дана сетка (хг = ih, tt = /т). Для
каждой элементарной ячейки (прямоугольника) этой сетки пи-
пишется уравнение баланса, которое содержит интегралы от функ-
функции и ее производных (потоки в случае уравнения баланса теп-
тепла) вдоль границы ячейки. Для их вычисления необходимы
предположения о профиле функций. В зависимости от выбора
локальной интерполяции как по х, так и по / мы получим раз-
различные схемы. Вопрос о выборе интерполяций подчинен требо-
требованиям устойчивости, точности и простоты реализации (в част-
частности, требованию минимума арифметических операций, кото-
которые надо произвести для получения решения).
Проиллюстрируем метод баланса (интегро-ин-
терп оляционный метод) на примерах.
Сначала рассмотрим стационарное уравнение теплопровод-
теплопроводности
^)q(x)u=-f(x), 0<*<1, k>O,q>O; E4)

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 579
здесь q (х) и — мощность стоков тепла (при q ^ 0 — источни-
источников) , пропорциональная температуре и (х).
Выберем на отрезке 0 ^ х ^ 1 сетку юл = {л;,- = ih, i =
= О, 1 N] с шагом h. Напишем уравнение баланса тепла
1 h
на отрезке х{-Чг < х < xt+4t, xt-i,t = у (xt-i + xt) = xt-i + -j:
- J q(x)u(x)dx+ J f(x)dx = 0, E5)
где UP (x) = — й (x) -; поток тепла. Чтобы получить схему,
заменим первый интеграл и W разностными выражениями.
Возьмем простейшую аппроксимацию (u = const = щ при xi-y2^.
<<)
J 9 (*)«(*) dx » М/Ы/, dt = ~h J
Проинтегрируем равенство •7г- = г- на отрезке
Так как W входит в E5) в полуцелых точках лг*±у„ то, пола-
полагая W = const = Wi-ч, при лг*_1=^л:^л:*, будем иметь
ш С dx
т
или
E7)
!_,А = - a, f ftf-' =
а* = ^ . E70
Л J *(*)

580 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Отметим, что , Д есть тепловое сопротивление отрезка
[xi-i, X{]. Заменяя интеграл E7') по одной из формул
Х{ х{
1_ С _dx 1__ _1_ С dx _ J_ l 1 , j_\
h J k(x) ~ кг_ъ ' h J k(x) ~ 2 (/г,,, ~*~ k, )'
xi-\ xi-\
получим а{ = к{-ч2, а1 = ~ь—'~L 1 и т- Д- ^ce эти коэффициен-
Rl-l "T" R«
ты отличаются друг от друга на величину O(h2). Подставляя
в E5) выражения E6) и E7) и обозначая искомую функцию
Ни получим разностную схему, выражающую закон сохранения
тепла на сетке (консервативную схему):
_ [-±—± -h J - dlVi = - ф,, E8)
которую можно написать в виде
(ayx)x-dy=-q>, E8')
где
dt==T J 4{x)dx, Ф< = | J f(x)dx. E9)
Метод баланса, таким образом, позволяет получать схемы,
коэффициенты которых во всех узлах сетки вычисляются по од-
одним и тем же формулам как средние значения коэффициентов
дифференциального уравнения в окрестности узла сетки.
Сами схемы E8) пишутся одинаково во всех узлах сетки и
для любых k(x), q{x), f(x). Такие схемы называются одно-
однородными. Для практических целей целесообразно находить
коэффициенты схемы a, d, ц> по более простым формулам, ис-
используя значения k, q, f в отдельных точках. При этом a, d, <p
определяются как средние значения k, q, f в одной или несколь-
нескольких точках
а(х)= S Cjkix + Sjh), — l<S/<0, S cj=l, c;>0, F0)
и аналогично для d, <p. Совокупность точек {sj называется
коэффициентным шаблоном.
Обычно используют шаблоны из одной или из двух точек,
полагая, например,

$ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 581
если k, q, f непрерывны. Если k, q, f разрывны, то в этих фор-
формулах следует брать полусумму предельных значений слева и
справа 1).
Схема E8) имеет второй порядок аппроксимации, если
F2)
В самом деле, погрешность аппроксимации для схемы E8) на
решении и = и(х) уравнения E4) равна
-ф, = (Аи - du + Ф), = p-[fl,+, ("i+i—«,)—«, (", —«,_,)]—^
Подставляя сюда
я учитывая, что ((ku'Y — qu-\- f){ = 0, получим
«г
Отсюда видно, что ф = O(ft2), если выполнены условия F2).
Нетрудно убедиться в том, что коэффициенты а, й, <р, написан-
написанные выше, удовлетворяют этим условиям.
Таким образом, метод баланса приводит к однородным схе-
схемам 2-го порядка аппроксимации. Эти схемы сходятся в клас-
классе кусочно-непрерывных коэффициентов и имеют по крайней
¦мере 1-й порядок точности (схема E8) с коэффициентами E7'),
E9)—2-й порядок).
Разностные схемы для уравнения E4) можно писать, исходя
из требования 2-го порядка аппроксимации. Однако при этом
может оказаться, что схема О (ft2) расходится в классе разрыв-
разрывных коэффициентов. Примером может служить схема
1
2А2А
F3)
соответствующая уравнению (ku')r — qu = ku" + k'u'— qu =—/.
Имеется пример1) (при <7 = 0, f = 0, ы@)=1, ыA) = 0), пока-
показывающий, что решение уравнения F3) при h->0 имеет преде-
пределом функцию к (л:), не являющуюся решением исходной задачи.
') См. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, Об однородных разностных
¦схемах, Ж- вычисл. матем. и матем. физ. 1, № 1 A961).

582
ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Если вопрос о сходимости схемы выяснить путем сгущения сеток
(что часто делается на практике), то можно сделать ошибочный
вывод о ее сходимости (она «сходится», но не к решению исход-
исходной задачи).
8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с
переменными коэффициентами. Обратимся теперь к нестационар-
нестационарному уравнению теплопроводности E3). Для простоты положим
с = 1, q = 0. Напишем уравнение баланса для прямоугольника
(хг-у, <*<*/+V,, */<*<*/+!) (рис. 86):
'2 '/+1
J [u{x,tj+1) — u(x,
*«-%
Ж2 /+1
J [М (*,_,/„ 0 - W (х,+.А, t)] dt + J J f (x, t) dx dt, F4)
где W— — k~Q~' Возьмем простейшие формулы:
J [и (x, t,+l) — и(x, t,)]dx ~ h[u{xt, tl+i) — и (xt, t,)]. F5)
*i-4,
'/+1
J [W{xt+,/itt)-W{Xl-4i,t)]dt™
lti - Will,,] + x A - a) [wl+4t - WU], F6>
где о — произвольное число. Пользуясь для №i_t/2 формулой
E7) и подставляя F5), F6) в F4), получим двухслойную кон-
консервативную схему
1, F7>
'/+1 *1+Ч,
t Г Г
*i *«-% F8)
где а вычисляется (при фиксированном t) по формулам пре-
предыдущего пункта, так что Аи =-~—\k-^-\-\-O{h2). Для го
можно пользоваться и другими формулами, эквивалентными
F8) с точностью до О(Л2 + т2). Если f — непрерывная функ-
функция, то полагаем <p|+1 = f[+xi*.

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 583
По аналогии с п. 3 убеждаемся в том, что схема F7) имеет
аппроксимацию О (Л2 + (а—1/2) х -+- т2). Если заменить (г(+1
-j- A — о) {Ау)[ выражением
A - а) у') = («>+* (аур* + A - a) yl)x
то получим схему того же порядка точности:
у'+1~ У' = Л/+* (oyi+i + A _ а) у') + <р>+1
или
Vi = A (ay + A — ст) у") + ф. F9)
Так как уравнение баланса может быть написано для лю-
любой области G на плоскости (х, t), ограниченной кривой Г:
= \\f{x,t)dxdt,
Г G
то его можно использовать для получения консервативных раз-
разностных схем в случае тепловых задач с подвижными внутрен-
внутренними и внешними границами на произвольных неравномерных
сетках.
Аналогично можно получить консервативные схемы для
уравнений газодинамики, упругости и т. д. Во всех случаях не-
необходимо у полученных разностных схем проверять порядок ап-
аппроксимации, устойчивость, сходимость и другие свойства, так
как эти качества схемы не следуют из ее консервативности.
Метод баланса, или интегро-интерполяционныи метод (см.
ссылку на стр. 581), широко применяется на практике1). Полу-
Получающиеся при этом схемы сквозного счета сходятся в классе
разрывных коэффициентов.
Рассмотрим теперь первую краевую задачу для уравнения
теплопроводности в области @ ^ л: ^ 1, 0 eg: tf ^ Т)
~- = Lu + f(x,f), 0<х<1, t>0, Lu = -
и(О, t) = щ (t), u{l,t) = »2@, и (х, 0) = ы0 (х),
0<с,
где cIt c2 = const.
G0)
') См., например, Г. И. Марчук, Численные методы расчета ядерных
реакторов, Атомиздат, 1958.

584 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Для ее решения на сетке юЛт (см. п. 1 § 1) воспользуемся
двухслойной схемой F9), полученной методом баланса:
= jx>0,
y(x, O) =
G1)
где Ay = (a{x, ^+г^уя)х есть схема 2-го порядка аппроксима-
аппроксимации по Л.
Для определения у = у{+1 из G1) получаем краевую задачу:
С&1 + А№-1 = — рь 0<i<N, 1
#o = Hi. yN = \h> )
где Ai^a-^-ai, Ct = At + At+i + 1, a Ft выражается через у1.
Оценим погрешность аппроксимации схемы G1). Пусть
у (х, t) — решение задачи G1), а и = и (лс, t) — решение исход-
исходной задачи G0). Подставляя в G1) yt = zt + ul, получим для
разности z = y — u условия
z- = A(crz + (l-cr)z) + 1lI zo = z;V = O, G3)
z(x, 0) = 0,
где if = Л (аи ¦+ A — ст) й) + ф — «? — погрешность аппроксима-
аппроксимации для схемы G1) на решении u = u{x,t) уравнения G0).
Учитывая, что Au = Lu + O (ft2), <p = f'+\ щ = (^'+'''+О (х\
ои + A—о)й = (и + {а — 0,5)тйI+'1г+О{т;2), получаем i]) =
«= (<г - Va) *(Lu)'+'h + О (т2 + Л2), если ы (д:, t) и k (x, t) - до-
достаточно гладкие функции («g^41, fceCo3')-
Отсюда видно, что симметричная схема [а = 0,5) имеет 2-й
порядок аппроксимации по ft и т.
Перейдем к исследованию устойчивости схемы G1) по на-
начальным данным и по правой части. Так как oz-\-(l—a)z =
— 0,5 (z + z) + (a — 0,5) xz{, то G3) можно записать в виде:
z, —(<r —0,5)TAzf —0,5Л(г + 2) = Ф. zo = z;V = O. G4)
Будем предполагать, что
z(*. O) = zo(x), G5)
0 < с, <; а <: с2, | at | ^ с3 или | а — а \ ^ тс3. G6)

=§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 585
Действуя так же, как в п. 3, напишем энергетическое то-
тождество для задачи G4) — G6), аналогичное тождеству C3):
2т J z-t f - 2х2 (а - 0,5) (Az-t, г{) - (Л (z + z), z-z) = 2x (ф, zt).
G7)
Б силу формулы Грина A9) имеем — (Av, v) = (a, о|],
+ z), zz) = (a(z, + z,), z,z^{a, 4]-(a, Щ.
Представляя затем а в виде а = й-\- (а — й) = й -f- xaf и поль-
пользуясь условием |af|^c3, будем иметь а^.A+гс4)й, с4 = с3/си
(а, г|]^A +с4т)(й, i|J. Подставим эту оценку в G7):
2т[|К-||2 + (а- Ч2)х(а, г
G8)
Исследуем сначала устойчивость схемы G4) по начальным
данным. Для этого положим в G8) i]) = 0. Покажем, что вы-
h2
ражение в квадратных скобках ^0 при (т^0,5 — -j—. При
5 это очевидно. Пусть о < 0,5. По аналогии с п. 4 на-
находим || v |р - @,5 - а) х (а, о|] > II о IP — @,5 - о) с2т|| юя f >
^(\— @,5 — ff)-^-)II vIP>0 при 1 — @,5 — aLc2xh~2>0 (здесь
v=Zj). Поэтому из G8) следует
J|||^ где ||г|^ = (а, z|].
G9)
U (?)
(80)
Таким образом доказана теорема:
Разностная схема G4) (или G1)) устойчива по начальным
данным в норме || z ||A) = |^(а, z|j при
Б этом случае для решения задачи G4) — G6) при ф = 0 спра
еедлива оценка
llz'I^M.IIZoU,,,, где M, = eW*r. (82)
Из (81) следует, что явная схема (а = 0) 2? = Л^ устойчи-
устойчива при т ^С h2/2c2, т. е. шаг по времени для устойчивости
явной схемы должен быть тем меньше, чем больше максимум

586 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
коэффициента теплопроводности. Поэтому явные схемы нецеле-
нецелесообразно использовать для уравнений с переменными коэффи-
коэффициентами.
Докажем теорему:
Для решения разностной задачи G4) — G6) при a^0,S
справедлива оценка
max || z |L, < М, || z0 L, + М2 max || ф ||, (83>
где
\\г\\1} = У(аГЩ\- (84)
Обратимся к неравенству G8):
2т|г?р + (а, 4]<A + с4т)(й, zj] + 2т (ф, z,-) при о^Ч2. (85)
Подставляя сюда оценку D6), получим (при с0 = 2)
(а, 4]<A + с4т)(й, г|] + у
Решив это неравенство (по аналогии с п. 4)
приходим к оценке (83).
Если учесть, что (a, zfj^cjz^f >4c, ||г|^, то из (83) для
решения задачи G3) получим
max || z It <M max || ф ||, (86>
где
Тем самым доказана теорема: если схема G1) устойчива
{при с :> 0,5) и аппроксимирует уравнение G0), то она схо-
сходится, причем порядок ее точности совпадает с порядком ап-
аппроксимации.
Пусть сетка 5>h неравномерна, &\ = {х1, i = 0, 1, ..., JV), ее шаг ht =
— х{ — х{—\ зависит от /. Тогда в G1) вместо Ау следует подставить вы-
выражение (ср. п. 2 § 1, A5))

$ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 587
Погрешность аппроксимации для Л может быть представлена в виде
*| = Aui ~ Lui — -gj" fti+i -4t) + O {h\ + Af+1),
где т) = О (hj), т. e. || ф ||0 = О (Ло), || ф ||2 = О (А). Однако, как было пока-
показано в п. 2, для || ф ||з верна оценка
[;V-1 / i \21Ч2
2*1 2 й***
«=i \fc=i / J
Схема может быть получена методом баланса.
Если коэффициент k(x,t) имеет разрыв 1-го рода на линии х — const (не-
(неподвижный разрыв) или х — %(t) (движущийся разрыв), то схема G1) по-
прежнему сходится, однако порядок ее точности, вообще говоря, понижается.
В случае неподвижного разрыва (при х = const) целесообразно выбирать
сетку так, чтобы точка разрыва х = const была узлом сетки со^. Это приводит
к неравномерным сеткам. Однако порядок точности (второй по К) схемы
G1) на такой сетке сохраняется и в случае разрывного k.
Оценка порядка точности в случае разрывных коэффициентов и неравно-
неравномерной сетки значительно усложняется. При этом справедлива оценка вида
(86), однако в правой части (86) вместо \Щ\ стоит норма специального вида
ИфНз. указанная выше.
До сих пор мы рассматривали краевые условия 1-го рода.
Они удовлетворяются на сетке йл точно, и поэтому точность
разностной схемы определяется порядком аппроксимации урав-
уравнения. Краевые условия 3-го рода аппроксимируются прибли-
приближенно. Естественно требовать, чтобы порядок их аппроксима-
аппроксимации совпадал с порядком аппроксимации дифференциального
уравнения.
Приведем разностные краевые условия 3-го рода без вы-
вывода *).
Рассмотрим сначала краевую задачу
(kuy-qu = -f(x), 0<x<l; k(x) > 0, q (x) >О;
М0)ы'@) = М@)-Ц,; -fe(I)«'(l) = fctt(l)-fe (88)
где Pi > 0, Рг > 0. Уравнение заменяется схемой E8), а усло-
условия при х = 0, х = 1 — разностными краевыми условиями 3-го
рода:
а\Ух, о = Мо - Др ~ акУ-х, n = hyN - А* (89)
где ai = a(h), aN = a(xN) — a(l), p, = pj + 0,5hq@), p2 ==
= p2 + 0,5ft<7(l), f!i = fxi +0,5ft/@), fc = iX2 + 0,5hf{l). Эти
условия аппроксимируют условия (88) на решении и — и(х)
задачи (88) с порядком O(h2).
') См. А. А. Самарский, Однородные разностные схемы для нелиней-
нелинейных уравнений параболического типа, Журн. вычисл. матем. и матем: физ. 2,
.№ 1 A962). Условия (89) и (92) могут быть получены методом баланса.

588 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Разрешая (89) относительно у0 и yN, получим удобную для
вычислений запись краевых условий 3-го рода:
Уо = ЩУ\ + v,, yN = к2у дг-1 + v2, (90>
где щ = aj(ai+ Лр",), и2 = aN/(aN + Лр), Vi = ftjli/(a, + hfa), v2 =
Обратимся теперь к третьей краевой задаче для уравнения
теплопроводности G0). Пусть при х = 0, х = 1 заданы усло-
условия:
k -д— = Р] (t) и — Hi U) при х = I
(91)
Разностные краевые условия 3-го рода в этом случае имеют
вид
М + М^о + О— °)Уо)-
д, = ц, -f 0,5/1/= @, 0.
(92>
где Й1, 0jy, Эь Рг, Дь Дг берутся в момент t = /j+o,5. cr — пара-
параметр, входящий в уравнение G1). Они имеют тот же порядок
аппроксимации O(h?-\- (а—0,5)т + т2) на решении и = и(х,t)
(уравнения G0) с условиями 91)), что и схема G1). Учитывая,
что у = у' известны для всех / = 0, I, ..., N, нетрудно при-
привести (92) к счетному виду (90). Выражения для уц, кг, Vi и \z
не выписываем.
В результате для определения у — yi+i получим разностное
уравнение G2) с краевыми условиями (90).
9. Трехслойные схемы. Помимо двухслойных схем, рассмотренных
в п. 8, для численного решения уравнения теплопроводности G0) исполь-
используются трехслойные схемы, связывающие значения искомой функции у для
трех моментов времени t = t,+v t., t,_l (на трех слоях)').
Часто применяются трехслойные симметричные схемы)
yl+ 7J — Л (оу'+1 + A - 2а) у1 + cry') + <р' (Ф' = f'
~2^ —" \«# -rv»—*"/ у т "<г /тт w ~*|"Л (93У
где Лу = (я(д:1 t])Vx)x- Они имеют погрешность аппроксимации О(А2 + т2^
при любом а.
') См. Р. Д. Р и х т м а и е р, Разностные методы решения краевых за*
дач, ИЛ, 1960.

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 589
Для трехслойной схемы (93) помимо у(х, 0) необходимо задавать зна-
значение у (х, т) при t = r. Это можно сделать двумя способами: 1) используя
формулу и (х, т) = и (х, 0) + т -дт- (х, 0) + О (т2) и уравнение G0), полу-
получаем у(х, r) = u0(x) + x[Lu + f]t=0 = u0{x) + r[(k(x, 0)u'0)' + f(x, 0)];
2) использовать для определения у (х, т) двухслойную схему 2-го порядка
точности: у = 0,5Л (у + у) + ф при t = т. Итак, пусть заданы начальные
условия
у {х, 0) = и0 (*), у (х, т) = й0 (х), х е= wft. (94)
При jt = O, д:=1 ставятся краевые условия, например, 1-го рода.
Покажем, что схема (93) устойчива по начальным условиям и по пра-
правой части при
сг>7<. (95)
Для этого рассмотрим однородные граничные условия у0 = 0, у„ = 0. Вве-
Введем обозначения у = у^1, у — уК у= у' и перепишем схему (93) в виде
1L^ (96)
Умножим уравнение (96) на 2ryf)h, просуммируем по /=>1, 2 N —
и учтем тождества
Y (у2 + у2) = т(у + ^J + Т(v ~~ SV-
В результате будем иметь
|| у Hf,,
f + 2т (а, (г//»J] = || $ И,2,, + 2т (Ф, y(c)), (97)
IIУ 0?i) = ^ II У + J? I!2 + (о - 'А) IIУ - J? II2. (98)
где
IIУ 0?i) ^
IlyllfD^^IIy-J?»2 при а>'/4-
Пользуясь затем неравенствами
2т (Ф, у^ < тСо II у™ II2 + -J II ФИ2, (а. (#J1 > 4с, II уМ II3
и выбирая Со — 8с\, получаем
Отсюда следует оценка
при a>I/i> A00>

590 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Эта оценка позволяет доказать сходимость схемы (93), (94) со скоростью
~'h2 + t2) при 0>'/4.
Укажем еще одну трехслойную схему
' I (Ш1)
Она безусловно устойчива и имеет точность О (Л2 + т2). Для определения
yl+l из A01) получаем задачу G2) с
1 С -А 3 - ^-У'Г1
ft ?ъ X
которая решается методом прогонки (см. п. 10).
Для уравнения гиперболического типа
^¦щ-Lu + f. Lu=*-^[k{x, t)-jf), A02)
ди
U @, t) — «1 It), U(l, t) = U2(t), U [X, 0) = Но (X), -37- (X, 0) = Ho (X) A03)
at
разностные схемы должны содержать не менее трех слоев. Симметричные
схемы
имеют аппроксимацию О (Л2 + т2) и устойчивы при
1 Л2
4 4т2с2 '
В частности, явная схема (с = 0) условно устойчива при
Хотя все устойчивые схемы A04) имеют один и тот же порядок точности,
но на реальных сетках, как показывают численные эксперименты, точность
схемы увеличивается с уменьшением а. Поэтому можно рекомендовать
пользоваться безусловно устойчивыми схемами при а ='/4.
10. Решение систем разностных уравнений. Метод прогонки.
Неявные схемы для уравнения теплопроводности приводят
к системе алгебраических уравнений для значения искомой
функции yi+l на новом слое t = tm.
Эта система уравнений имеет вид
Aat-i - Ctyt + Ваш = -Flt 0<i<N, A05)
где Fi — заданная функция.
Для уравнения с постоянными коэффициентами

§ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 591
Для уравнения с переменными коэффициентами
At = oyat, Bt = oyai+1=Ai+l, Ct =At + Ai+l + 1.
В случае неравномерной сетки
аа, оа,.,
"ft nthi+i
Краевые условия 1-го и 3-го рода, рассмотренные нами
в § 1 и § 2, можно записать в виде
0о = *i0i + vi, yN = УъУц-i + v2. A06)
При xi = О, Х2 == 0 отсюда следуют условия 1-го рода у0 = vii
UN = V2-
Итак, рассмотрим уравнение A05) с краевыми условиями
A06) и предположим, что
А, > 0, Вг > 0, Ci > At+Bi или Ct = At+Bt+D,, Dt > 0,
0<ха<1, а=1, 2.
При этих условиях, как будет показано ниже, задача A05) —
A06) разрешима. Для нахождения ее решения можно приме-
применять обычные методы линейной алгебры или методы итераций.
Однако наиболее выгодным или экономичным по объему за-
затрачиваемой работы является метод прогонки или метод фак-
факторизации1), учитывающей специальный вид матрицы системы
уравнений A05) — ее трехдиагональность.
Будем искать решение задачи A05) — (Ю6) в виде
Pi+i. i = 0, 1, 2, .... tf-1, A08)
где а*- и Pi — неизвестные пока функции. Подставляя уг_4 =
= «ij/i + Pi в A05), исключим у\-\ и получим (Aiai— Сг)уг +
+ Biyi+i + (Афг + Ft) = 0, после чего при помощи A08) исклки
чим у\\
- С,) at+i + Bt] yi+i + [{Atat - Ct) Рг+1 + (А${ + Ft)] = 0.
Уравнение A05) будет удовлетворено, если выражения в квад-
квадратных скобках равны нулю. Из этих двух равенств находим
рекуррентные формулы для определения oci+i и p
•) См. Г. И. М а р ч у к, Численные методы расчета ядерных реакторов,
Атомиздат, 1958; С. К. Годунов, В. С. Рябенький, Введение в теорию
разностных схем, Физматгиз, 1962.

592 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Сравнивая формулу у0 = aij/i + Pi с краевым условием A06)
при i = 0, находим:
oi = xi, Pi = v,. (ПО)
Решая A09) с начальными условиями (ПО), найдем ось Рь
i = 1, 2, ..., N. Чтобы пользоваться формулой A08), надо
знать ун.
Определим yN через ocjv и Pjv из краевого условия A06) при
i = N. Исключая t/jv-i из формул yN = x2t/jv-i + V2, «/jv-i =
+ Pjv, находим:
при УСЛОВИИ, ЧТО 1 — XzOLr? Ф 0.
Покажем, что из условий A07) следует 0 ^ щ < 1 для всех
i = 1, 2, ...,N. Из формулы oci+i = ?,/[?г + ЛгA — ai) +
+ DJ видно, что 0 < ai+i < 1, если 0 ^ a, < 1 и, следователь-
следовательно, 0 -^ ai < 1 для i — \,2, ..., N, так как ai = щ < 1. Та-
Таким образом, 1—X2<Xjv > 0 при 0^хг< 1 и формула A11)
имеет смысл.
Решение задачи A05) — A06) состоит из двух этапов: 1) по
начальным данным (ПО) и формулам A09) последовательно
определяются «,-, затем Pi для I = 1, 2, ..., W (счет идет слева
направо — от i к i-\- 1); 2) из A11) находится yN и затем по
формуле A08) последовательно (справа налево — от i -f- I
к i) определяются Уи-и J/w-2, .... уи Уо-
Счет по формулам A08) устойчив, так как 0 ^ осг- < 1.
Существует еще один вариант формул прогонки:
Ь^с-Хь+г' /==1'2 N-\, %N = ^, A12)
»"=». 2, .... Л^-1, t^-vs; A13)
. »"=!. 2 N-1, уо=7
Порядок счета: 1) по формулам A12) и A13) последова-
последовательно от i + 1 кг (справа налево) определяется сначала ?*,
затем i]i для i — N— 1, N — 2, .... 1, 0; 2) по формулам A14)
последовательно от i к i+ 1 (слева направо) находятся
УиУг • • ¦. Vn-
Нетрудно убедиться в том, что число арифметических дей-
действий, производимых при решении задачи A05) — A06), про-
пропорционально числу уравнений.
11. Разностные методы решения квазилинейных уравнений.
При изучении высокотемпературных процессов необходимо
учитывать зависимость коэффициентов теплоемкости и тепло-

$ 2] РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 593
проводности от температуры. Мощность тепловых источников
может также зависеть от температуры, если, например, тепло
выделяется в результате химической реакции. В результате мы
получаем для описания процесса распространения тепла ква-
квазилинейное уравнение теплопроводности
с(«)>0. ВД>0. (П5)
Б общем случае с = с(х, t,u), k = k(x, t, u), f = f(x,t,u).
В неоднородной среде к и с могут быть разрывными функ-
функциями аргументов х и и (для разных веществ зависимость k,
с от температуры различна). Уравнение вида A15) встречается
также при изучении проникновения магнитного поля в среду,
коэффициент магнитной восприимчивости которой зависит от
магнитного поля.
Уравнение A15) заменой искомой функции приводится к
«одному из видов
?-¦?(*<»>¦?). <116>
W- ()
U
В самом деле, вводя, например, функцию v = J с (и) du, полу-
о
чим для нее уравнение A16).
В настоящее время метод конечных разностей является
единственным методом, позволяющим эффективно найти реше-
решение квазилинейных уравнений.
Рассмотрим простейшие двухслойные схемы для уравнения
A15). Они могут быть получены методом баланса по аналогии
с п. 7, если учесть, что W = — k (и) -g—.
Для квазилинейных уравнений использование явных схем
нецелесообразно, если k{u) является быстроменяющейся (на-
(например, степенной) функцией, так как условие устойчивости
2 max k (и)
требует очень мелкого шага т по времени. Поэтому применяют-
применяются неявные схемы — линейные и нелинейные относительно у**1.
В случае нелинейных схем применяются итерационные методы
для нахождения yi+l.

594 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
а) Неявные схемы с точностью O(hz -f- т):
l-W
- at (у^) (///+• - */?})] + / {у'*1), A19)
где
"¦i_zl+yLy A20)
При х = 0, х = 1 ставятся краевые условия, например г/о = «ь
Первая схема линейна относительно у[+1 — значения у на
новом слое t = ?j+i. Решение разностной краевой задачи для
y[+l находится методом прогонки (см. п. 10).
.Вторая схема A19) нелинейна относительно у{+1. Для ре-
решения получающейся системы нелинейных уравнений приме-
применяются итерационные методы. Напишем уравнение для опреде-
ления итераций yt в случае простейшего итерационного ме-
метода
s s+1 s s+I s s+1 s
Aiyi—i — Cii yi -р /!/_(.ij/f_(.i = — Fi, A21)
где
s = 0, 1,2, ... — номер итерации.
В качестве нулевого приближения обычно берут значение
о
yi с предыдущего слоя, полагая yi = yli', иногда применяют
экстраполяцию с использованием у[~1 (если у[ yl&vl функция /
S+I
монотонна). Решение уравнений A21) относительно yi с крае-
краевыми условиями при i = 0, i= N 1-го или 3-го рода находится
методом прогонки (см. п. 10). Для окончания итераций ис-
S+I S
пользуется условие max | yt — у{ | < 8 или же задается опре-
1<?<W-1
деленное число итераций. Обычно уже две-три итерации замет-
заметно повышают точность. Итерационные схемы A19) позволяют
для обеспечения заданной точности использовать более круп-
крупный шаг по времени по сравнению с безитерационными схемами
A18), что зачастую приводит к значительному уменьшению
объема вычислительной работы.

§2]
РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
595
б) Симметричная шеститочечная схема О(Л2
^-4 [н*;+ы.j+
где a,i = ki-1 '»—-). Это нелинейная схема, и для определе-
определения yt+1 нужны итерации.
В случае слабой квазилинейности, когда k не зависит от и,
а правая часть /(и) нелинейна, имеются безитерационные без-
безусловно устойчивые схемы 2-го порядка точности.
Напишем такую схему (при k = const =1):
-«') + / (B)t
A23)
yl+l~y' = 0,
где у — промежуточное значение. Сначала применяется с ша-
шагом 0,5 т и правой частью f(y') чисто неявная схема, затем с
шагом т и правой частью f(y) — симметричная шеститочечная
схема. В результате полу-
получается схема 2-го поряд-
порядка точности по Л и т.
Иногда для решения
квазилинейных уравнений
используются симметрич-
симметричные трехслойные схемы
(93); в этом случае k(u)
и f(u) берутся на шаге /.
Однако предпочтения за-
заслуживает нелинейная
схема, аналогичная схе-
схеме A01).
Пример. Приведем
результаты численных
расчетов по схеме A19)
для случая k(u) = xoua, Рис- 87-
щ > 0, а > 0, / = 0. Урав-
Уравнение -д^- = -д—(коы°-д^-) имеет решения, производные которых
в точках, где ы —0 разрывны, а поток щи°-д— непрерывен,
т. е. существует фронт температуры, который распространяется
с конечной скоростью (рис. 87).
Примером такого решения является функция
_ f [стек-1 (ct - x)fla при x^ct,
I 0 при x^ct,

596 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
где с —скорость температурной волны. Эта функция является
решением задачи
и(х, 0) = 0, и @, 1) = и/'°, где uQ
Для этого примера по схеме A19) были проведены расчеты
с параметрами а = 2, хо = 0,5, с = 5, h = 0,2 (число точек
N = 50) и шагом т = 2-10~4. Точное решение и результаты
расчета нанесены на рис. 87. Всюду, кроме нескольких бли-
ближайших к фронту узлов, отклонение сосчитанного решения от
точного не превосходит 0,02. Число итераций v ^ 3 (е = 10~3).
Сплошная линия на рис. 87 — точное решение, кружки — рас-
расчетные точки 1).
Отметим, что схема A22) немонотонна и поэтому при расче-
расчете температурной волны дает худшие результаты по сравнению»
с монотонной схемой A19).
§ 3. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле
1. Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Пусть на
плоскости (хи xz) задана область С, ограниченная замкнутой
кривой Г. Рассмотрим задачу Дирихле (см. гл. IV)
Для решения задачи A) методом конечных разностей надо
в области G + Г ввести сетку и аппроксимировать на этой сетке
уравнение и краевое условие.
Начнем с аппроксимации оператора Лапласа. Заменим каж-
д2и д2и
дую из вторых производных —g» —2 разностными выраже-
ОХ @%
ОХ л @%2
ниями:
д2и , и (xi + hu x2) — 2и (*1, х2) + и (*i — hi, хг)
дх\ h\
д2и и (xi, х2 + h2) — 2и fa, ха) + « (-*ь х2 — h2)
где ha — шаг по ха, а = 1, 2.
•) См. А. А. Самарский, И. М. Соболь. Примеры численного рас-
расчета температурных волн, Ж. вычнсл. матем. и матем. физ. 3, № 4, 702—719
A963).

МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
59Г
Оператор Лапласа Аи заменим разностным оператором
Аы==ы. +ы_ , B)
который определен на пятиточечном шаблоне («крест»), состоя-
состоящем из точек (хи х2), (x\ — h\, x2), (xi&- Ль х2), (хи х2 — Л2),
(хи %г + hz). Он изображен на рис. 88, а. Вычислим погреш-
погрешность аппроксимации для оператора Л. Так как (см. п. 2 § 1)
Ха^а д у 19 r5 jr^
о=1, 2,
12
и, следовательно,
12
Av — Av
где v — любая функция, имеющая не менее четырех производ-
производных по Xi и xz (и е О', т^4). Таким образом, оператор А
аппроксимирует оператор Лап-
Лапласа со 2-м порядком. г
Нетрудно убедиться в том,
что оператор
K'v = Av
.?*-
12
V
о л,
C)
определенный на девятиточеч-
девятиточечном шаблоне («ящик»)
(рис. 88,6), имеет на решении
и = и(х) уравнения Аи = О
4-й порядок аппроксимации
(А'ы — Аи = О(|Л|4) при ые=
е С<т', т ^ 6) и 6-й порядок
(А'ы — Аи = О (he) при и е
е Dm', m ^ 8) на квадратной
сетке, т. е. при h\ = h2 = h.
Напишем. подробнее выражение для А в случае
(на квадратной сетке)
4
Рис. 88.
б)
о л,
*/г
4
г)
= /г2 = h
Разрешая уравнение Ау = 0 относительно i/0, получим
—т(й + Уг

$98
ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Значение у в центре шаблона есть среднее арифметическое зна-
значений в остальных узлах шаблона. Эта формула является раз-
разностным аналогом формулы среднего значения для гармониче-
гармонической функции.
Уравнение Пуассона Ды = —f(xi,xz) заменяется схемой
АУ = — Ф (х), Ф (х) = ф (хи х2) = f(xu х2).
D)
Перейдем теперь к построению разностного аналога задачи
Дирихле A) в области G + Г. Проведем два семейства па-
параллельных прямых xi = iihu x2 = hh2, ti, «2 = 0, ±1, ... (бу-
(будем считать, что начало координат @, 0) лежит внутри G).
Точки {iihu izh2) назовем узлами. Узлы x = (ilhu i2h2) и х'=
.= (r(/ib i2h2) назовем соседними, если они лежат на прямой, па-
параллельной либо оси Хи либо
оси Хг и отстоят друг от друга
на расстоянии шага (hi или
hz), так что | i\ — м I + I *2 —
— г21 = 1. Узел х = (hhiJzhz)
называется регулярным, если
его соседние узлы ((i\ ±
± l)Al, *2Й2), (*lAl, (*2± 1)AS),
образующие пятиточечный
шаблон «крест», находятся
либо внутри области G, либо
на ее границе. Если хотя бы
один из этих четырех соседних
узлов не принадлежит С + Г,
то узел х = х* назовем нере-
о
гулярным. Обозначим ©л мно-
множество всех регулярных узлов,
со^ — множество всех нерегу-
нерегулярных узлов. Точки пересе-
пересечения прямых Xi = i,A,, x2 —
= t2/i2 с границей Г назовем граничными узлами. Множество
всех граничных узлов назовем границей сетки и обозначим
¦yh. Таким образом, области G + Г ставится в соответствие
сетка ihh(G -\- Г), т. е. множество точек х е юл, где йл =
~=k + < + Vh (Рис.89).
Будем предполагать, что сетка обладает свойством связ-
связности, т. е. любые два внутренних узла можно соединить ло-
ломаной, целиком лежащей внутри G и состоящей из звеньев,
•соединяющих узлы сетки и параллельных либо Ох\, либо Ох2.
В регулярных узлах пишем разностное уравнение D), ис-
используя пятиточечный шаблон «крест» с шагами hi и hz.
• Граничные узлы,
х //ерегулярнб/еузлы,
о Регулярные узлы,
Рис. 89.

§3]
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
599-
В граничных узлах
ции
задаем значение искомой функ-
функy = ix(x), x*=yh. E>
В нерегулярных узлах могут быть написаны различные усло-
условия.
1) Интерполяция нулевого порядка.
Значение у(х) Wh полагается равным
ц(х) в ближайшем узле х границы уи'
F)
При X'
\ со,.
2) Интерполяция первого порядка.
Значение у (х) \а* определяется при
помощи линейной интерполяции. На-
Например, для случая, изображенного на
рис. 90, значение уо в узле О опреде-
определяется по формуле
(-j- + "а—) Уо ~ ~/Г
которую можно записать в виде
Л у = 0, где
• Граничные узмы,хьул
о Регулярные узлы,
Рис. 90.
— аппроксимация оператора Ltu==—к- на неравномерной'
сетке (см. § 1, п. 2).
3j
И
У
±?
О I
u+h2), h,_=l
Рис. 91.
3) Интерполяция второго порядка. В узле х е со* пишется
пятиточечная схема на нерегулярном шаблоне (на неравномер-
неравномерной сетке)
А^ ^, = -Ф. (8).

^600 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Нерегулярный шаблон изображен на рис. 91, с и 88, в. Узел 3
является граничным, 1, 2, 4 — внутренние. Пусть /zj_ — рас-
расстояние между узлами 3 и 0. Тогда Л,;/ = -?- Ш.~Уо — Уо~Уз\ =
Ну \ /li Ну-. J
k +k (CM- § l • п- 2) А*У = \ (Уа- 2Уо + У4) = Уы
Ay = A1y-\-A2y. Второй случай изображен на рис. 91, б и 88, г.
Узлы 2 и 3 находятся на границе, h2+ — расстояние между
узлами 2 и 0. В этом случае
2 — У О
Л2+
тде Й2 = 0,5 (h2 + h2+). Мы будем рассматривать 3-й способ
задания условий на (о*. Как будет показано ниже, он является
наиболее точным.
Сформулируем теперь разностную краевую задачу, соответ-
соответствующую задаче A):
о
у = ц, x^yh. A1)
Возникают два вопроса: 1) о разрешимости задачи, т. е.
о существовании решения системы алгебраических уравнений
(9) — (И); 2) о сходимости и точности схемы (9) — A1). От-
Ответы на эти вопросы мы получим ниже при помощи принципа
¦максимума.
Чтобы оценить погрешность, с которой мы определяем ре-
решение задачи A) из уравнений (9) — (И), нужно оценить раз-
разность у(х)—u{x)=z(x), где у(х) — решение задачи (9)—
A1), и(х) —решение задачи A), взятое в узлах сетки йЛ. Под-
Подставляя у = z -f- и в (9) — (И), получим
о
Az = — •>}>, i}> = Аи + ф, х е (оЛ,
Л*2 = — гЬ*. ** = Л*
A2)
z = 0, хе=у„.
Из предыдущего следует, что ф = Аи + ф = 0 (| h |2), если
ф = f(x), 1]з* = 0(|Л|) для условия (8), -ф* = 0A) для усло-
условия G). Чтобы оценить решение задачи (9) — A1) через пра-
правую часть, нам понадобится принцип максимума.

§ 3] МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 601
2. Принцип максимума. Рассмотрим задачу (9) — A1). Раз-
Разрешим уравнение (9) относительно у0 (см. рис. 88,а):
тЙ ^ ^(.%
1 «2/ «1 «2
Пусть 0 — нерегулярный узел (см. рис. 88, в). Тогда из урав-
уравнения А*у + ф = 0 следует
1 / У\ — Уо Уо — Уз \ ¦ 1 / Уг — Уо Уо — уЛ
Й. I Л. А,_ ,М Л2 \ h2 h2 )— 'фо»
2 (— г- Л^ .'/о = -Г7~ -'/1 + Тг (-'/2 + .'/4) + Фо. A4)
где фо= Фо + "*F7i—JJ-C), /Z]_— расстояние между узлом 0 и гра-
граничным узлом 3, й] == 0,5 (Л] _ + /ij). Из A3) и A4) видно, что
обе формулы могут быть записаны в виде А (х) у (х) =
о
= 2 В(х, |) у (|) + F (х) для всех х е соЛ = coft + ^>*h, где сум-
суммирование проводится по всем узлам шаблона с центром
в узле х, исключая сам узел х. Коэффициенты А(х) и В(х, ?)
удовлетворяют условиям А(х)>0, В(х, |) > 0,
о
2 В (х, I) = .4 (х) при х «ее юЛ.
Если # |v =0, то по крайней мере один из коэффициентов В {х, 1}
в пограничной зоне со* можно формально положить равным
нулю, так что 2 В (х, %) = А (х) — D (x), D (х) > 0. Если, на-
например, узел 3 (см. рис. 91, а) находится на \h, то D(x) —
= Z)@) = —l-—>-у, так как ft, =0,5(Л1_ + Л,)</г,. Если же
два узла 2 и 3 (см. рис. 91, б) являются граничными, то D{x) —
= D @) > -^ + -^, В@, 2) = В@, 3)==0. Таким образом, при.
Л, Л2
н | =0 в to? всегда выполнено условие
:U» где Л = max (&,, Л2). A5)
Итак, рассмотрим задачу: требуется найти функцию у(х),
определенную на (оЛ=соЛ+уй и удовлетворяющую в соЛ уравнению-
A6)
А (х) у (х)= 2 В (х,
А (х) > 0, В (х, I) > 0,
Справедлива следующая теорема (принцип максимум a) i

602 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Если F(x) sg: 0 всюду в юл, то решение задачи A6) {не рав-
равное постоянной) не может принимать наибольшего положитель-
положительного значения во внутренних узлах сетки юн- Если же у(х) Ф
Ф const и F(x) ^ 0 в юл, то у(х) не может принимать внутри
Oh наименьшего отрицательного значения.
Доказательство. Пусть F(x) ^ 0 во всех внутренних
узлах. Допустим, что у (х) принимает положительное макси-
максимальное значение в некотором внутреннем узле. Так как
у (х) Ф const, то существует такая точка ^евл, в которой
у (х) == max у (х) = Мо >0, а в соседнем узле |еШ'(ж),
имеем ;/(|)<М0. Уравнение A6) в узле х перепишем в виде
В (х, Щ у (х) + 2 В (х, I) (у (х) - у F)) = F (х). A7)
Так как 2 В % 1) (у (jc) - у (S)) > В (ж, 1) (у (х) - у (D) > 0, то
из A7) и A6) следует F(x)>0, что противоречит условию
F(x)^0. Первая часть теоремы доказана.
Вторая часть доказывается аналогично.
1 Е (
р
Следствие 1. Если F (х) ]> 0, х е ал и у | ^ 0, то ре-
'! _
шение задачи A6) неотрицательно: у(х) ^ 0 всюду в йл. В са-
самом деле, пусть хотя бы в одном узле xeoj функция у(х)
отрицательна; тогда она должна принимать отрицательное наи-
наименьшее значение во внутреннем узле. Это невозможно, в силу
принципа максимума (если только у(х) Ф const).
Следствие 2. Если F (х)^.0, х^(йни у \ ^ 0, то у(х)
для всех х е ал.
Следствие 3. Однородное уравнение
А(х)у(х)= 2 В(х,1)У&) 08)
при однородном граничном условии у |Y = 0 имеет только три-
тривиальное решение.
В самом деле при F = 0 следствия 1 и 2 дают соответствен-
соответственно у(х) ^ 0, у{х) < 0, т. е. у(х) з= 0.
Таким образом, разностная задача A6) имеет единственное
решение.
Следствие 4. Для решения однородного уравнения A8)
верна оценка
II */Но < II.'/Но, у, A9)
где [|#||о= max \у(х)\, \\ у ||0, v = max | у (х) \ (решение уравнения
A8) принимает наибольшее и наименьшее значение на гра-
границе ун).

§ 3] МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 603:
Имеет место следующая теорема сравнения:
Пусть у(х)—решение уравнения A6), а у(х)—решение
того же уравнения с правой частью F{x) ^ 0 и граничным
значением у\^ !>0. Если выполнены условия \F(x) | ^ F(x)
при х е an, \у(х)\^у(х) при хеул> то \у(х)\^у{х) для
всех хеб/,.
Следствие 1 сразу дает у(х) ^0 всюду в йл. Функции
и = у + у, v = y — y удовлетворяют уравнению A6) с правы-
правыми частями Fu = F + F, Fv = F — F и граничными значениями
и = у + у | Y, v = у — у\у. Так как по условию Fu Ss= 0,
«|v ^ 0 и Fv ^ 0, v\y ^ 0, то, в силу следствия 1, и ^ 0 или
у <> —у, v^-О или у ^ у, т. е. | у \ ^ у при л: е ал.
3. Оценка решения неоднородного уравнения. Рассмотрим
неоднородное уравнение
2i(,)y(l) + F(x), л:€Е(ой, B0)
с однородным граничным условием
;/|Y = 0.
Пусть выполнены условия
для всех х
Тогда для решения задачи B0), B1) верна оценка
II # Но <^. B2)
В силу теоремы сравнения |;/|=S^i/, где у — решение зада-
задачи B0) с правой частью F = \Р\. Пусть у{х) принимает наи-
наибольшее значение в узле х. Так как у{х) > 0, то
Учитывая, что || у ||0 ^ у (х) иВ^б, получаем B2). Заметим,
что фактически нами получена оценка
Предположим, что
D (х) > б > 0 при х <= (о* и D {х) > 0 при х <= юА, B3)
О
F (х) — 0 при х е (оЛ, F {х) = F* при jc s v>*hm B4)

ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Тогда для решения задачи B0), B3), B4) верна оценка
4 B5)
В самом деле, у (х) ^ 0 в силу принципа максимума и не
о
•может иметь наибольшего значения в узлах х е (ол, в которых
-F(x) = 0. Предполагая, что хею* есть точка, в которой до-
достигается максимум, получим оценку B5).
Наибольшие трудности при оценке решения задачи B1) воз-
возникают в случае D(x) == 0 при ^е% В этом случае строится
мажорантная функция у (х)^ ^ || у ||0, удовлетворяющая уравне-
уравнению B0) с правой частью F{x)^-\F{x) |.
Итак, если выполнено условие D (х) ^ б > 0, х е юл, то
для решения задачи B0) — B1) верна оценка
выражающая непрерывную зависимость решения от граничных
данных и от правой части.
4. Сходимость решения разностной задачи Дирихле. Чтобы
установить сходимость и порядок точности схемы (9) — A1),
мы должны оценить решение задачи A2).
Погрешность аппроксимации в регулярных узлах чр =
= (Лы + ф) — (Lu -f f) = О(|Л|2), если и^О®, и в нере-
нерегулярных узлах ч|) = 1}>* = О(|Л|).
Так как ||i}>* Но = O(|ft|), то для оценки г следует рассмот-
рассмотреть отдельно вклад в г за счет погрешности аппроксимации
о
¦в нерегулярных узлах. Представим г в виде суммы 2=2 + 2*,
о
где 2 и г* — решение задачи
!о
У" ' ' I 0, дгео!;
Р' ^^' B8)
Так как z|Y =0, то D(jc)>-^-==6 > 0 при jcew' и Z)(jt)>0
при д; е (ол.
Пользуясь B5), получаем
Ь. B9)
о
Для оценки 2 воспользуемся теоремой сравнения. Построим
мажорантную функцию
r2 = 4+ 4»

-§ 3] МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 605
где R — радиус круга с центром в точке @, 0) е G, содержаще-
содержащего область G, K = const > 0. Вычислим разностные производ-
производные
о
Л2г2 = 2 при ЛЁ%. В нерегулярных узлах также имеем Л,г2=2.
Таким образом,
О
AU = — /СЛг2 = — 4К при л: е юл = ил + со*.
Выберем К так, чтобы II яр ||0 ^ 4/С. Для этого достаточно по-
1 °
ложить К — -jll Ф Но- Учитывая, что t/ > 0 при я е ул, t/ < KR2 ==¦
1 °
= — R2\\ чр ||о и пользуясь теоремой сравнения, находим
р
Объединяя неравенства B9) и C0) и учитывая, что || г ||0^|| г ||о +
-fllz'llo, получаем
4 C1)
Тем самым доказана теорема:
Для решения задачи A2) имеет место оценка C1).
Из C1) видно, что если меСй(ё), т. _е. решение задачи
имеет непрерывные в замкнутой области U = G + Г вторые
производные, так что Нф Но = р(|Л|), II ф* Но= р(|й|), где
|ft| +0 при |Л|-*0, то схема (9) — A1) сходится:
1И1о=Иг/-и|1о = р(|/г|). C2)
Если ке С<4> (G), то справедливы оценки
где Ms =
a.G
dsu
дх
C3)
(а = 1, 2, s = 3, 4). Применяя неравенство C1), видим, что
для решения задачи A2) верна оценка
т. е. схема (9) — A1) равномерно сходится со скоростью
О(|Л|2) (имеет 2-й порядок точности).
Заметим, что если у на v)*h задавать при помощи линейной
интерполяции (см. G)), то ф* = 0A) и оценка C1) дает
!1*/-и||0 = О(|Л|2), C4)
т. е. и в этом случае схема (9) имеет 2-й порядок точности.

606 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
5. Решение разностных уравнений методом простой итера-
итерации. Для определения решения разностной задачи Дирихле
(9) — A1) мы получаем систему линейных алгебраических
уравнений большого порядка, равного числу внутренних узлов
сетки. При точном решении этой системы известными методами
линейной алгебры требуется большое число арифметических
действий и большой объем оперативной памяти машины. По-
Поэтому систему уравнений решают итерационными методами,
учитывающими специальный вид матрицы системы.
В этом пункте мы рассмотрим метод простой итерации
(метод Якоб и). Пусть 1ц = h2 = h. Запишем уравнение (9)
на шаблоне (рис. 88, с). В регулярном узле имеем:
S S S S
s_, о 1 + о г + о з + р 4
Vq =
/осу
где s — 0, 1, 2, ... — номер итерации. В нерегулярном узле
(см. рис. 91, с) в случае, когда узел 3^yh:
s+1 l\hh- * , h- / . s Л . h*h- . h2 /ocv
. vo =^l-firVl + -ir(v2+v4)\ + —u-(po + -4?-li3. C6)
где [1з = [i C) — значение у L = ц в узле З.
h о
При s = 0 выбирается начальное приближение v = щ.
S
Пусть у — точное решение задачи (9) — A1), v — s-я итерация.
S S
Итерационный процесс сходится, если разность v — y = z стре-
стремится (по некоторой норме) к нулю при s —*¦ оо. Подставляя
S S J
v = у + z в C5) и учитывая, что у0 — т (у1 + у2 + у3 + У4 +
4
Л2ф0), получим для z однородное уравнение
. S S S S
z0 = 2 , хеш,, C7)
s+1 i Г u s «, s s 
*o=T№z' + -Tr<z* + 2'>J' x^<> C8>
о О
с условиями 2 lv =0 и начальным условием z — у — и0, где z
есть погрешность, допускаемая при выборе начального при-
приближения.
s
Чтобы оценить г, надо выбрать норму II • II, например:
= max | 21, И 2 Ib = B 22 (/,*,. i2h2) ЛЛ)*.

3] МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ 607
Будем говорить, что метод итераций C5) сходится, если
I! у — v || —> 0 при s —»¦ оо. Обычно задают точность е > 0, с ко-
которой надо найти приближенное решение; при этом ставится
требование
\\v-y\\<e\\uo-y\\. C9)
Если итерации сходятся со скоростью геометрической прогрес-
S S—1
сии, т.. е. || v — у ||<р|| v — у |]<рЧ| Щ — у\\, 0 < р < 1, то усло-
условие C9) будет выполнено, если р* < е. Отсюда следует, что для
уменьшения начальной невязки || щ — у || в — раз достаточно
С
сделать so^ln—/In— итераций.
Метод простой итерации сходится со скоростью геометриче-
геометрической прогрессии по норме || • ||2 (в среднем) в случае, когда G —
= @ ^ ха ^ 1, а = 1, 2) — квадрат и hi = h2 = h, знамена-
знаменатель р= 1 —2sin2-^-< 1 (при Л<у) зависит от шага h сетки.
гт , , 1 Л2Л2 2 , 1
При малых п In— «—jr~ и, следовательно, so*« 2,2 In—, т. е.
число итераций пропорционально числу узлов N = -j^- сетки.
Так как на вычисление одной итерации по формулам C5), C6)
затрачивается О f -p-J действий, то, чтобы получить решение
задачи (9) — A1) с точностью е, надо затратить of-rj-ln —J
арифметических действий. Заметим, что погрешность в определе-
определении решения исходной задачи есть сумма погрешности O(h2)
самой разностной схемы (9) и погрешности О(е) метода итера-
итераций для решения (9). Чтобы обе эти погрешности были одного
порядка, естественно выбирать е = O(h2). Таким образом, для
метода простой итерации
В настоящее время имеются методы, которые обеспечивают
точность е:
а) для прямоугольника с числом итераций s0 «* In -г-In — и
fl 6
общим объемом работы О f-rj-ln-v-ln—);
б) для непрямоугольных областей с so^-r-ln— и общим
объемом работы О(-гэ-1п —).

608 ДОПОЛНЕНИЕ I. МСТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Это — методы переменных направлений, которые мы рас-
рассмотрим в § 4, п. 3.
Сравнение с ними показывает, что метод простой итерации
является слишком трудоемким. Поэтому, несмотря на свою
простоту, он в настоящее время почти не используется при ре-
решении разностных задач для эллиптических уравнений.
§ 4. Разностные методы решения задач
с несколькими пространственными переменными
1. Многомерные схемы. В § 2 мы рассматривали разностные
-схемы для решения задачи Дирихле в случае двух измерений
(xi, х2). При написании разностных схем для уравнения тепло-
теплопроводности
первым шагом является аппроксимация оператора Лапласа.
Пусть
Л Л + Л АаУ = Ухаха> <х=1, 2, B)
— пятиточечный оператор на юл с шагами ht и Л2-
По аналогии с § 2, п. 2 двухслойные схемы для A) возьмем
в виде
Ш1 + A - а) у!) + ф, C)
Пусть В—область на плоскости (хих2), ограниченная кри-
кривой Г. Введем в G = G + Г сетку йЛ, описанную в § 3. Будем
рассматривать задачу
|j 0, xsbG, 0</<7\ J
и(х, 0) = uQ(x), и|Г = ц(х, i). J
Ей поставим в соответствие разностную схему C) с краевыми
условиями
;/| =|х, у(х, О)=ио(х). E)
'Л
По аналогии с § 2 устанавливается, что схема C) устойчива
при
a^j— g^- (если Л, = Л2 = Л).
Отсюда следует, что явная схема (а = 0)
„/+1 ,./
У v =Лу/ + ф/+' или */'+'= */' + т (Л*//+ ФЖ) F)

§ 4] РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 609
- Ь2 ,
условно устойчива при т^-т- (в одномерном случае при
т s^ h2/2, см. § 2). Неявные схемы безусловно устойчивы при
о>1/2. В случае трех измерений, когда х — (хих2,xs), в C)
нужно подставить
Ау = Л у + А2у + Л ;/, Л у = у , а = 1, 2, 3.
а а
Условие устойчивости имеет вид
1 Л2
Явная схема (<т = 0) устойчива при т<^Л2/6. Порядок аппрокси-
мации ф = (Лы + ф — щ) — ( Lu + f gf \ зависит от а:
р 2 2
при ст = 0,5, ф= О(\ h |2 + т) при
(|Л|2= 2 Л2, р = 2, 31 при любом числе измерений.
Краевые условия на \н ставятся так же, как и в § 3 для за-
задачи Дирихле. В нерегулярных узлах (u*h оператор Л (Л ~ Д)
пишется на неравномерной сетке. Для схемы с опережением
(о = 1) справедлив принцип максимума. Она равномерно схо-
сходится со скоростью О(|й|2 + т).
Не представляет труда написание (по аналогии с § 2 и 3)
схем повышенного порядка О(|Л|4 + т2) аппроксимации; напри-
например, при р = 2(х— (хих2)) схема О(|й|4 + т2) имеет вид
Л2
У1 = Л1 (^У + 0 ~ ffi) У) + Л2 К'/ + A - Ъ) У) (f = 0),
а= 1, 2 (G — прямоугольник).
В случае уравнений с переменными коэффициентами для
получения схем можно воспользоваться методом баланса на
сетке ©л. Пусть, например, дано уравнение теплопроводности
t), х = (х{ хр), Ь = Ц + L2+ ... + L
p,
G)
Пусть р = 2. Возьмем объем П/, — -
(i2 — -g-J^^^^I^ + Yj^» ^<^<^+i) и напишем для него
20 А. Н. Тихонов, А. А. Самарский

610 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
уравнение баланса тепла
8
= J J {Wx dx2 + W2 dxx) -f J J J f (x, t) dxx dx2,
tj С в t,
где g = (('i "~"Г
A \ \ Л
/2 + тг)fhI —прямоугольник, С—его граница, Wa = —ka-^- —
тепловой поток по направлению оси Оха. Заменяя интегралы
и потоки разностными выражениями по аналогии с п. 8 § 2,
приходим к схеме вида:
или
т
где
(Ю)
т. е. Аа есть аналог разностного оператора Ау = (ауЛ , ап-
аппроксимирующего Lu= (kw)' (см. § 2, п. 7). Коэффициент аа
определяется из выражений вида F1) § 2, например:
и т. д.
Для ф=ф*+1 можно взять формулу <p!+l = f (iihu i2h2, t!+,/2).
Если коэффициенты ka имеют разрывы при ха = const, a =
= 1, 2, то простейшее выражение для аа имеет вид
<*i = т \h (/,л, - о, i2h2 - о, о + *i (*жЛж - о. ^ + о,
+ ft, A,Л, + 0, i2h2 + 0, /) + ft, (/,Л, + 0, i2h2 - 0, /)]
и аналогично для (h-
Для полученных схем (8) справедливы результаты § 2, п. 8.
2. Экономичные схемы. При решении методом сеток много-
многомерных уравнений большое значение имеет объем вычислитель-
вычислительной работы, т. е. число арифметических действий для решения
задачи с требуемой точностью. Посмотрим с этой точки зрения
ла схемы, полученные в предыдущем пункте.

§4] РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 611
Пусть G — квадрат @ ^ х{ ^ 1, 0^х2^1), ©л =¦
= {{i\h, i2h), t"i, iz = 0,1, ..., N} — сетка с шагом h. Она имеет
(N— lJ = O(-p-j внутрених узлов. Рассмотрим явную схему F)
и неявную схему C) при 0=1. Обе схемы имеют один и тот
же порядок точности. Число Q действий для определения у}+1
во всех узлах ©л на новом слое t = ti+i пропорционально чис-
числу (N— IJ узлов сетки со^, т. е.
В случае неявной схемы C) при а = 1 для определения yi+t
нужно решить систему {N—IJ уравнений. Это требует не ме-
менее чем QHeHB= о(~м~) действий, т. е. значительно больше, чем
для явной схемы.
С другой стороны, неявная схема (а = 1) устойчива при
любых т и h, а явная схема устойчива лишь при т^-^-А2.
Возникает вопрос: нельзя ли найти такие схемы, которые со-
сочетали бы лучшие качества явной (объем работы Q=O(-T2-I)
и неявной (безусловная устойчивость) схем?
Такие схемы называют экономичными.
В последние годы предложено много экономичных схем для
различных задач математической физики1). Экономичные схе-
схемы позволили найти численное решение ряда сложнейших за-
задач физики и техники, в отношении которых еще несколько лет
назад были сомнения в возможности их приближенного реше-
решения даже с использованием самых совершенных быстродей-
быстродействующих вычислительных машин.
В случае одного пространственного переменного, как мы ви-
видели в § 2, неявные схемы приводят к системе уравнений A05),
которые решаются методом прогонки. При этом для нахожде-
нахождения у**1 требуется О L-A операций. Рассмотрим сетку юЛ с ша-
шагом h = l/N в квадрате G@ <; Xi ^ 1, 0 ^ х2 ^ 1). Сетку
можно представить как совокупность узлов, расположенных на
«строках» i2 = 0, I, 2, ... N, или как совокупность узлов, рас-
') D. W. Peace man, H. H. Rachford, The numerical solution of pa-
rabolie and elliptic differential equations. J. Industr. Math. Soc. 3, № 1, 28—41
A955); J. Douglas, On numerical integration of uxx + uyy = ut implicit
methods. J. Industr. Math. Soc. 3, 42—65 A955); H. H. Яненко, Об одном
разностном методе счета многомерного уравнения теплопроводности, Докл.
АН СССР 125, № 6, 1207—1210 A959); Е. Г. Дьякон о в, Разностные схемы
с расщепляющимся оператором для многомерных нестационарных задач, Ж.
вычисл. матем. н матем. физ. 2, № 4 A962); А. А. Самарский, Об одном
экономичном разностном методе решения многомерного параболического урав-
уравнения в произвольной области, Ж- вычисл. матем. и матем. физ. 2, № 5 A962).
20*

612 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
положенных на «столбцах» ii = О, 1, 2, ..., N. Всего имеется
N + 1 строка и N + 1 столбец. Число узлов в каждой строке
(столбце) равно N + 1.
Если на каждой строке (столбце) решать задачу вида A05)
из § 2 методом прогонки при фиксированном fefa'i), то для на-
нахождения решения на всех строках (столбцах), т. е. во всех уз-
узлах сетки, потребуется число действий Ol-p-j, пропорциональ-
пропорциональное числу узлов юл. Основная идея экономичных методов и со-
состоит в последовательном решении одномерных задач вида
A05) из § 2 вдоль строк и вдоль столбцов.
Наиболее четко выражает эту идею продольно-поперечная
схема (неявный метод переменных направлений):
^V (ID
A2)
Переход от слоя / к слою / + 1 совершается в два этапа с ша-
шагами 0,5т: сначала решается уравнение A1), неявное по напра-
направлению Х\ и явное по х2, затем уравнение A2), явное по Х\ и не-
неявное по Х2. Значение у>+11* является промежуточным.
Формулируем краевые и начальные условия для схемы
(И) — A2) в случае, когда G = {0 ^ хи х2 ^ 1} — квадрат,
G>a = {(tiAi, tVfe)} —сетка с шагами hu h2. Если краевые усло-
условия в D) не зависят от t, т. е. ц = р(х), то полагаем г/'+|/21 =
'h
= yi+i | =ц(д:) I . Если же ц, = \х(х, t) зависит от t, то для
¦л 'А
промежуточного значения yi+ '2 краевые условия при U = 0,
Ni задаются по формуле
^ |^/) = A при i, = 0, Nlt A3)
для yi+i ставятся обычные условия
у/+| = ц/+1 при i2 = 0, N2. A4)
Присоединяя сюда начальное условие
г/°=ио(х) при / = 0, A5)
получаем разностную задачу A1) — A5), соответствующую за-
задаче D).
Продольно-поперечная схема A1) — A2) безусловно устой-
устойчива (при любых т и К) и имеет точность О(х2 + №).
Подставим в A1), A2) вместо Ail/ и Лгу их выражения
(#,-,_, — 2t/«,
_, - 2ylt + yh+l)

§ 41 РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 613
(пишем только тот индекс (ii или i2), который меняется). Тог-
Тогда для г/-*4'2 = у и yi+i = у получим краевые задачи
да - A + Yi) y{fk
i,= l, 2 JV, —
A6)
- A + Y2) */{+' +
=1, 2, ..., ЛГ2-
= 0,5Y, (r/f+
A7)
Здесь jx определяется по формуле A3). Пусть yi и, следова-
следовательно, Fi+ч* известны. Фиксируем ii = 1 и на этой строке по
формулам прогонки решаем краевую задачу A6). Полагая за-
затем ii = 2, ..., Af2—1, последовательно найдем уз+'1г во всех
узлах сол. После этого вычисляем Fi+'i' и вдоль столбцов й =
= 1, 2, ..., Ni— 1 решаем краевые задачи A7). В результате
получаем значение г/-)+1 на новом слое. При переходе от слоя
/ + 1 к слою / + 2 процедура счета повторяется.
Из сказанного выше ясно, что при переходе от слоя / к слою
/ + 1 затрачивается Сч-тг-) арифметических действий. Чтобы
найти у1' при ^о = /от по начальным данным, требуется, очевид-
очевидно, О f-^2-)/o= O[~jfyr) операций, т. е. число операций пропор-
пропорционально числу использованных узлов пространственно-времен-
пространственно-временной сетки &hx = {{iihi, i2h2, jx)}.
В случае уравнения G) с переменными коэффициентами
в A1) — A2) следует подставить, согласно F7) § 2, выраже-
выражения &ау = (аа {х, tj +o,5) yxjx , а = 1, 2, Lau — Лам = О (hi).
Операторы Л4 и Лг действуют только вдоль строк и столбцов
соответственно. Поэтому схемой A1) — A2) можно пользо-
пользоваться и для произвольной области, полагая, например, р, =
= 0,5(ц,' + ц.3+1). Если G = Gi область, составленная из пря-
прямоугольников, то при
Д = 0,5 (ц' + ,*'+') - 0,25tL2 (jx'+> - ц')
продольно-поперечная схема имеет точность

614 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Схему A1) — A2) нельзя формально обобщить на случай
трех пространственных переменных Х\, х2, х$. Так построенная
схема неустойчива.
Универсальным методом, пригодным для решения уравнения
теплопроводности с переменными и даже разрывными коэффи-
коэффициентами в произвольной области G любого числа измерений,
является локально-одномерный метод. В основе его лежит по-
понятие суммарной аппроксимации схемы. Пусть дано уравнение
G). Будем искать его приближенное решение vi+l при t = tj+i,
последовательно (при а= 1, 2, ..., р) решая одномерные урав-
уравнения теплопроводности
д р
-^=Lavia) + fa, t,^t^tl+1, %fa = f, a=l, 2 р, A8)
с условиями и'а) = o/^j)i а = 2, ..., р, v[l) = vl и естественными
краевыми условиями. Решением этой задачи, которую мы
условно запишем в виде LI->L2->- ... -*LP, является и'+' =
= v(pI- Зная v°—uo{x), находим vi+l.
Каждое из уравнений номера а заменим двухслойной шести-
dv v1+l — v1
точечной схемой с весом аа (при этом —^ » ~ —, La~Aat
fa~4>a) ВИДа
Учитывая, что »(а)= ^^!i). заменяя v на у и опуская индекс
/"+ 1, получим последовательность схем для одномерных урав-
уравнений теплопроводности (одномерных схем), которую мы назо-
назовем локально-одномерной схемой и условно запишем в виде
л| " -*Л2 ->¦'... ->Л), р\ Напишем локально-одномерную схему
для случая о«= 1 (Л^-^Л^-* ... -
а=1, 2 , р, ут = у', У(Р) = У{+1.
Здесь. \у=(аа(х, f)y? \ , <ра = <ра(х, Г), где t* — любое зна-
а'ха
чение t на отрезке tj^.i^t!+u например t* = ti+l. Правые
части фа выбираются так, что <Pi + q>2+ •¦• +9p==f(Jf. O +
+ О(|/г|2 + т), например ф1 = ф2= ... =фр_, = 0, ФР = Л
Формулируем краевые условия для r/(a). Пусть G — р-мер-
ная область в пространстве х = {хх хр), Г —ее граница.

§ 4] РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 615
Построим по аналогии с § 3, п. 2 в G + Г сетку йй. Возьмем
о
любую точку х е coft и проведем через нее прямую Са, парал-
параллельную оси Ох&. Рассмотрим тот простейший случай, когда
Са пересекает Г в двух точках Р~ и Р+. Множество всех то-
точек Р~ и Р+ обозначим y?> а=1, 2, ..., р. Если G = G0 —
= {0^ха^.1а, а — 1, 2} — прямоугольник, то y? состоит из узлов
(/Д; i2h2), лежащих на сторонах ха = 0{ia — 0)иха = 1а(ia = Na),
а=1, 2. Краевые условия для у{а), очевидно, задаются только
на Yft°:
У(а) = Р(х,Г) при j;gy», а=1, 2, .... р. B0)
В начальный момент t = 0 задано условие
B1)
Условия A9) — B1) однозначно определяют уз при всех
/= 1, 2, ... и л:еcoft. Для нахождения г/<а> мы получаем урав-
уравнение г/(сЕ) — rAayia) = Fa = r/(a_i) + тфа с краевыми усло-
условиями B0). Эта разностная задача решается методом прогон-
прогонки вдоль строк или столбцов.
Схема A9) аппроксимирует уравнение G) в суммарном
смысле: погрешность аппроксимации ф для локально-одномер-
локально-одномерной схемы есть сумма погрешностей аппроксимации ij)a на ре-
решении ы= и{х, t) для одномерных схем A9) номера а:
a(| ), хотя все ^а = ОA). B2)
а=]
Схема A9) безусловно устойчива и равномерно сходится:
тгх\у' — и1\ = О(\Н? + х). B3)
В случае двух измерений (р = 2) схема A9) имеет вид
^ (ут - у) = \ут + ф„ ± (у{+1 - уп)) = V+I + ф2'
так как уф) = у', У{2) = У!+1-
В схеме A9) не все направления равноправны. Симметри-
зованная локально-одномерная схема
0,5Л(," -> 0,5Л^ -> ... -> 0,5л™ -> О.БЛ'р0 -> ... -> 0,5Л^" -* О.БЛ1,1',
как показывают численные эксперименты, обладает большей
точностью по сравнению со схемой A9) с шагом 0,5 т.
Можно построить ряд симметричных схем, имеющих второй
порядок точности по т. Оказывается, что схема A1) — A2)

616 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
также является симметричной локально-одномерной схемой
вида
0,5Л<20) - 0,5А[1} - 0,5Л(,0) -*
с
В этом можно убедиться, если исключить г/A) и г/C> (сложив 1-е
и 2-е, 3-е и 4-е уравнения) и обозначить г/B) = у1+>к.
Напишем одну из симметричных локально-одномерных схем
с i|> = O(\h\2 + т2) для трех измерений (р = 3, л; = (xt, x2, х3)):
0,5Л(,0> - 0,5ЛГ'5) - Л<°-5) -* О.БЛГ» - 0,БЛ^. B4)
Эта схема, изученная И. В. Фрязиновым, является обобщением
схемы A1) — A2) на трехмерный случай.
Нетрудно написать локально-одномерную схему для квази-
квазилинейного уравнения
а=1
Достаточно заменить каждую из одномерных схем A9) любой
из схем, рассмотренных в § 2, п. 12, для одномерных уравне-
уравнений:
?(*<«>?) + *<> S f. («)¦=/(«)• B6)
a=I
Так, например, для двумерного случая р = 2 достаточно
в A9) заменить Aii/(i) и A2t/'+1 выражениями (J/J+1 = уB) при
Р = 2)
%,. B7)
и положить ф4 == 0; ф2 == f(i))
На равномерной сетке ЛдГ/, очевидно, имеет вид (а = 1,2)
^ B8)
Для определения у^ и yi+l получаем нелинейные трехточеч-
трехточечные задачи, которые решаются по аналогии с п. 12, § 2 мето-
методом итераций с использованием формул прогонки для каждой
итерации. Если в B7) положить ai = ai(yi) и а^ = Ог(j/(i>), то
получим для определения ущ и yi+l линейные краевые задачи,
которые решаются сразу путем прогонки по строкам и по столб-
столбцам соответственно.

§4]
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
617
Приведем два примера.
Пример 1. Расчет двумерной температурной волны. Рас-
Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности
B9)
с параметрами d = 4, к4 = 4, с2 = 2, и2 = 0,25 и для расчета
используем точное решение
0,5 V
(
i/T-f- 16(f —x,^
при *>х, + 2*а, C0)
0 при /<!.*:, + 2х2-
Сетка грубая: h{ = hz= 1; число узлов Л/4 • Л/г = 30 • 20 = 600.
Из решения взяты начальные значения, т. е. и(хи х2, 0) == 0, и
краевые условия на прямых Xi = 0, л:4 = 30, х2 — 0 и Хг — 20.
№,0 *
Рис. 92.
Расчеты проводились по локально-одномерной схеме A9)
с операторами Ai и Лг, определяемыми формулами B7): а) ша-
шагом т = 0,2; б) шагом т= 1,0; в) шагом т = 2,0. Некоторые
результаты при t = 30 нанесены на рис. 92, где крестиками
обозначены результаты варианта в), точками — варианта
а), сплошные линии — это аналитическое решение1).
Пример 2. Расчет задачи о фазовом переходе (задачи
Стефана). Предположим, что имеется две фазы 1, 2 с коэффи-
коэффициентами теплоемкости й(а), с2{и) и теплопроводности ki(u),
k2{u). В каждой из фаз температура и(х,t) удовлетворяет
') См. ссылку на стр. 596.

618 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
уравнению теплопроводности
^(^) f{x,f), s = l, 2, C1)
x = (xlt .... xp), p=l, 2, 3,
где f(x,t)—плотность тепловых источников. На границе раз-
раздела фаз температура и(х, t) = и* постоянна и равна темпера-
температуре и* их фазового перехода, тепловые потоки разрывны и их
разность равна %v, где % — теплота фазового перехода, v — ско-
скорость фронта границы фаз. В одномерном случае условия на
границе х = %(t) раздела фаз имеют вид
= и\ ft.-g-l k
df
C2)
если в фазе 1 и < и*, а в фазе 2 и > и*.
Вводя б-функцию Дирака, запишем уравнение C1) в виде
C3)
№=1
. 1. U<U\
v ' - * к ¦ и
Условия на границе фаз (в частности, условия C2) при р = 1)
следуют из уравнения C3).
Для решения задачи Стефана применяется метод сглажива-
сглаживания: 6-функция приближенно заменяется 6-образной функцией
6(ы — и*, А), отличной от нуля только на интервале (и* — А,
и* ¦+¦ А) и удовлетворяющей условию нормировки
I б (ы — и*, A)du = 1.
и*-Д
Вводя эффективную теплоемкость
с(и) = с (и) + Яб (ы — и", А)
и эффективный коэффициент k{u), совпадающий с fti(«) при
и<Си* — А и с k2{u) при ы>ы* + А, мы получаем для опре-
определения и квазилинейное уравнение теплопроводности

§4]
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
619
с соответствующими краевыми условиями на границе Г области
G, в которой ищется решение.
Так как «размазывание» проводится по температуре, то оно
применимо для любого числа измерений и любого числа фаз.
Для решения уравнения C4) применяется локально-одно-
локально-одномерная схема A9), B7).
Отметим, что 6(ы— и*, Д) выбирается таким образом, что-
чтобы с (и) вблизи и = и* имело наиболее простой вид: «ступень-
«ступеньки», параболы и т. д.
Были получены численные решения следующих задач,
имеющих точные аналитические решения1):
1) задачи с косым плоским фронтом (рис. 93);
Рис. 93.
Рис. 94.
2) осесимметрической задачи, в которой граница фаз есть
окружность (рис. 94).
Решение этих задач проводилось в прямоугольной системе
координат. Результаты расчета показаны на рис. 93 и 94.
Сплошные линии — границы раздела фаз, крестики — расчет-
расчетные точки, в которых и = и*.
3. Итерационные методы переменных направлений для ре-
решения разностной задачи Дирихле. Решение уравнения теплопро-
теплопроводности du/dt = Аи с однородными краевыми условиями стре-
стремится к нулю при t—» оо (см. гл. III и VI) и, следовательно,
') А. А. Самарский, Б. Д. Моисееико, Экономичная схема сквоз-
сквозного счета для многомерной задачи Стефана, Ж. вычисл. матем. и матем. физ.
5, № 5 A965); см. также Б. М. Б у д а к, Е. Н. Соловьева, А. Б. Успен-
Успенский, Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи
Стефана, там же.

620 ДОПОЛНЕНИЕ I. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
решение задачи
ди л i *
ж=ди + /.
, и\т = ц(х), и(х, О) = ио(х)
с правой частью и краевыми значениями, не зависящими от t
(со стационарными неоднородностями), при t -* оо стремится
к решению задачи Дирихле
Ди = -/(*), xe=G, u\T = ix(x). C5)
Этим же свойством обладают и решения разностных задач C3),
соответствующих уравнению теплопроводности. Поэтому разно-
разностные схемы для уравнения теплопроводности используются
в качестве итерационных методов для приближенного решения
разностной задачи Дирихле
Av = — <р(х), хе=щ, v\Vh = ix(x), C6)
рассмотренной в § 3.
Метод простой итерации § 3, п. 5 есть явная схема F) для
уравнения теплопроводности A) (при f = f(x)) с фиксиро-
фиксированным шагом r = -jh2 (в случае, когда G = Go— прямоуголь-
прямоугольник и hi = hi = h). При этом yi — итерация номера /,
у(х, 0) = ио(х) —начальное приближение. Число итераций для
явной схемы so = so(e) = О (-р-1п — I. Значительно меньшего
числа итераций требует продольно-поперечная схема (неяв-
(неявная схема переменных направлений):
= у* + Ts+vAzy3 + Ъ+Vif. У"+1к L =1* (*). C7)
ft = ц (ж), у" = у0 (х). C8)
Здесь s — номер итерации (s = 0, 1, ..., s0— 1), j/s+'/j — проме-
промежуточное значение (подитерация), А\у = у-^, \у = ухм %s+lk
и ts+1 — итерационные параметры, зависящие от номера итера-
итерации. Для нахождения ys+l/z применяется прогонка по строкам,
для ys+l — по столбцам. Параметры ts+i/2 и xs+i выбираются
так, чтобы число итераций so = so(e) было минимальным. В слу-
случае, когда G = G0 — @^.xa^.la, а = 1, 2) — прямоугольник,
задача о выборе оптимального набора параметров {ts+i/J и {}
решена.
Пусть
А 4 cjn2 .nka „ Л _ 4 гг,«? ЛЙ"
6a=T^Sln "^- И Да —-^COS —-
"а а а Ла

§ 4] РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 621
— наименьшее и наибольшее собственные значения оператора
Ла(а= 1, 2). Проведем замену
mas+i + г ^ mcos+i — г
-1 1 — D( (I pj_i * *
где p и г определяются по формулам
п_*--| А,-5, А2 Т;_1/Г(А1-61)(А2-62)
р к + |' * Д2 + 6, Д, ' 6 Г (A2 + 6,)(A,+62) ' .
(ДД + (Д + Д^) « + ^?
Оценим число итераций so(e) по формуле
so(e)~ 4fln-!lri-i, где т} = -|-=-|-. D1)
Зная s0, вычисляем параметры
°'= n^tT^ + l1"')' /=1'2 S°' (Щ
где
1 / 1 \ Oi 1
после чего по формулам C9) находим ts+i/2 и ts+i («набор пара-
параметров по Жордану»).
Применяется и другой, более грубый, способ выбора пара-
параметра со; — циклический набор параметров с п0 параметров
в цикле и k0 циклов, так что со,+й„0 = coy, / = 1, 2, .... п0. Пара-
Параметры со,, со2, ..., соПо образуют геометрическую прогрессию
co/+i = <7соу, знаменатель которой ^ = 0,16,
где [а] — целая часть числа а>0, р = 0,186.
При выборе параметров обоими способами для so(e) верна
оценка so= O(ln-^-ln—), где h — mm(hu Л2), но циклический
набор приводит к несколько большему числу итераций. Зато
такого типа наборы можно строить в случае трех измерений.
Для схемы О(|Л|4) при р = 2, 3 также можно указать на-
наборы параметров, при которых so= O(ln-^-ln— J.
В случае областей более сложной формы пользуются схемой
C7) — C8) с постоянными параметрами тЯ = ts+i/2 и т® = ts+i.
Пусть, например, G = d — ступенчатая область, составлен-
составленная из прямоугольников со сторонами, параллельными осям

622 ДОПОЛНЕНИЕ 1. МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
координат, 1а — диаметр области G± по направлению ха
(а = 1, 2) и можно ввести сетку ©й—равномерную по хх и х2
с шагами ht и h2. Собственные значения оператора Аау — уя х
лежат на интервале (ба, Да),
О« — q-Sin • Да — s" COS •
h 9/ h 9/
Полагая б, + с0 = Ъ\, Д, + с0 = Д{, б2 — с0 = 6'2, Д2 — сс = Д^
и определяя co = F2A2 — e1A1)/FJ + б2 + Ai + Д2) из условия
6^ = 6^2, получим для тA) и тB) формулы
Число итераций so=|ln—/in— + 1, где
т. е. So(e) =
Метод переменных направлений C7) — C8) с постоянны-
постоянными параметрами т<1! = ts+v2 и т<2) = ts+1 пригоден и в случае
областей более сложной формы, а также для эллиптических
уравнений с переменными коэффициентами. В формулах D3)
изменяются лишь выражения для 6а и Да.
Однако продольно-поперечная схема C7) — C8) применима
лишь для двух измерений. По числу итераций ей эквивалентна
двухпараметрическая попеременно-треугольная схема («схема
бегущего счета» или «явный метод переменных направлений»),
пригодная для любого числа измерений и для области сложной
формы и для уравнений с переменными коэффициентами. Эта
схема может быть записана в виде
= ys + <*R2ys + сй2#,#2^ + т (Лу* + ф) = F\ D4)
= Fs+\ s = 0, 1, ..., /+* |Yft = /+I |Yft = »(x), D5)
где
p p
a=l a=I
p — число измерений. Для простоты изложения предпола-
предполагаем, что G = Go = {0 <1 ха ^С 1а, а = 1, ..., р} — р-мерный

§ 4] РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ 623
параллелепипед, сетка йл равномерна по каждому ха,
<x=l
Параметры со и т находятся по формулам
2 2
где Yi = ;
D6)
а б и Д — границы спектра оператора Л, равные
б — 4V — sin2-^ Л—4VL
a=l a a a=I a
Поясним алгоритм нахождения ys+i/' и ys+l из D4)—D5)
для р = 2. Из D4)—D5) при р = 2 находим
2 х , 2
-i!L r/S+'/j _1_ f* I ,,S + '/2 I = „ /v\ Ь--_( У Ji _1_ 1 I
Й« a J H \?lh" J
D7)
"> ,.«+' i pS+'/s
,2 »/„ + ! "Г Г
\a=I
Пусть G = Go = @ < Xi < Л, 0 ^ x2 < /2). Счет j/s+'/* на-
начинается из левого нижнего угла @,0) и идет либо по строкам,
либо по столбцам. Счет ys+l начинается из верхнего правого
угла A\, /2) и ведется либо по строкам, либо по столбцам. В са-
самом деле, значение в узле (йь h2) сразу находится по формуле
D7), так как ys+ll'(hu0)= ц(Ни0) и у*+11>@,1ц) = ц@,h2) изве-
известны. Зная #8+1/>(Аь ^2). можно найти ys+^{h\,2hz) или
ys+Vi{2h\,hb), и т. д. Таким образом, tf+'i' и ys+l находятся во
всех узлах j;g«h по рекуррентным формулам D7) — D8) с за-
затратой числа действий, пропорционального числу узлов. Число
итераций есть величина О / ~_ In — j = О f -^ In—J ')•
') Более подробно см. А. А. Самарский, Введение в теорию разност-
разностных схем, глава VIII, «Наука», 1971. Там же дан список литературы.

ДОПОЛНЕНИЕ II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение. Метод разделения переменных для уравнений
с частными производными приводит к задаче Штурма—Лиу-
вилля. Для уравнений с постоянными коэффициентами и гра-
граничными условиями первого рода, которые рассматриваются
в гл. II, III, V, мы получаем задачу на собственные значения,
или задачу Штурма — Лиувилля:
найти значения К, при которых однородное уравнение Ду +
-j- %v = О в области Т с однородным условием v | 2 =0 на гра-
границе Е имеет нетривиальные решения v (Р) Ф0 (собствен-
(собственные функции).
Если Т — отрезок 0 ^ х ^С /, прямоугольник @ йС х ^С /lt
O^J/^/г) или параллелепипед @^Cx^Clu 0*Су*С12, 0 ^.г <.
^ /3), то собственные функции vn (P) выражаются через триго-
тригонометрические функции.
Если Т — круг, цилиндр или шар, то для нахождения соб-
собственных функций вводятся новые специальные функции — ци-
цилиндрические и сферические функции.
Рассмотрим отдельные случаи.
I. Круг 0^г^г0. В полярных координатах (г,ф)
4|D) + ^ + Ь = 0, 0<г<г0,
иЦ = 0, иФО. A)
Функцию v ищем в виде v (г, <р) = R (г) ф (<р). Подставим v =
= ЯФ в уравнение и разделим переменные:
=_^.=[Х1 где ^
Отсюда следует, что
-i (rR'Y + (Я - i) R = 0, R (r0) = 0.
В силу однозначности решения Ф(<р) должна быть периоди-
периодической функцией, т. е. Ф (<р + 2я) = Ф (ф). Это_условие дает
^ = п2, где п — целое число. Полагая x = Y^r> приходим
к уравнению цилиндрических функций или уравнению Бесселя

ДОПОЛНЕНИЕ П. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 625
и-ro порядка:
причем #(г) = j/d/Я, г). При и = 0 получаем уравнение Бесселя
нулевого порядка
х) + уя=0 Или
х их \ dx I ' а
которое соответствует случаю решений задачи A), обладающих
осевой симметрией.
Решения уравнения B) называют цилиндрическими функ-
функциями. К уравнению B) приводят также задачи для уравнения
Лапласа и волнового уравнения в случае, когда область Т есть
круговой цилиндр.
2. Шар 0 ^ г ^ г0. Рассмотрим задачу Штурма — Лиу-
вилля
До + Я,о = 0, 0<г<г0, Ч=Го = О. C)
В сферических координатах
А 1 д ( 2 dv \ . 1 А А 1 д I . о dv \ , 1 <Э2о
D)
Положим и = /?(г)ш@, ф) и проведем разделение переменных:
(r»W + kr*R _ Ае,фш _
•откуда следует
Ае. ф^ + V-w = 0, E)
(/2/?')' + (я^)/? 0 Я(г) О F)
Подстановка л: = ]/^. y — RlVx приводит F) к уравнению
Бесселя
Для функции w(Q, ф), определенной на сфере, мы получили
уравнение E), которое имеет ограниченное решение (сфериче-
(сферические функции) только при ц = «(«+!)¦ Таким образом, при
разделении переменных для оператора Лапласа в сферической
системе координат мы приходим к сферическим функциям.
В частном случае, когда w — w(Q) не зависит от ф, уравнение
{5) принимает вид
цг0 = О, где s = cose, -1<s<1. G)

626 ДОПОЛНЕНИЕ И. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Это уравнение Лежандра, имеющее только при (г = и(п+1)
ограниченное решение (полиномы Лежандра). Сферические
функции выражаются через производные полиномов Лежандра
и тригонометрические функции.
В квантовой механике часто встречаются полиномы Чебы-
шева — Эрмита и Чебышева — Лагерра.
2. Общее уравнение теории специальных функций. Уравнения
для простейших специальных функций могут быть записаны
в виде
)y = 0, а<х<Ь, р(х)>0, (8)
Простейшая краевая задача у" + Ку = 0, у@) — уA) = О,
соответствующая а = 0, b = I, q = 0, k = p — const, определяет
тригонометрические функции. Рассмотрим уравнения для дру-
других специальных функций.
1) Уравнение Бесселя B), или (ху')' -\-ihx——\у = 0, соот-
п2
ветствует k (х) = х, р (х) = х, q{x) — — , а = 0, b = г0.
2) При k(x) = \ —х2, р = 1, <7 = 0, а = — 1, 6 = 1 получаем
уравнение Лежандра
[A — я2) У']' + Яг/ = 0. (9)
3) Уравнение присоединенных функций Лежандра
[(l-x^t/Y-j^y + Ky^O A0)
соответствует k {х) = 1 — л?, о (л:) = -. s-, р = 1, а = —1,6 = 1.
4) Уравнение Чебышева — Эрмита
(е-х'у'У + Ке~х'у = 0 или г/" — 2ху' + Я j/ = 0 A1)
соответствует k {х) = е~х\ q {х) = 0, р(х) = е~х\ а = — оо, 6 = оо.
5) Уравнение Чебышева — Лагерра
|'-ЬЛе-*# = О или у" + A —х)у' + Ку = 0 A2)
соответствует k(x) = xe~x, q — 0, p = e~x> c = 0, fc = oo.
Характерной особенностью указанных уравнений является
обращение в нуль коэффициента k(x), по крайней мере, на од-
одном из концов интервала (а, Ь). Это свойство k (x), как будет
показано ниже, играет важную роль для постановки краевых
задач для уравнения (8).

ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 627
Рассмотрим поведение решений уравнения (8) вблизи осо-
особой точки, в которой k(x) обращается в нуль.
3. Поведение решений в окрестности х — а, если k(a) = 0.
Рассмотрим случай, когда а конечно.
Если в уравнении (8) q(x) — Kp(x) заменить функцией q(x),
то все результаты, полученные ниже для уравнения
Ly = (k (х) у')' — q(x)y = 0, k (x) > 0 при а < х < Ь, (8')
будут справедливы и для уравнения (8).
Лемма 1. Пусть У\(х) и у2{х)—Два ливейно-независимых
решения уравнения (8'), коэффициент которого k(x) имеет вид
k(x) = {x-a)<p(x), у(а)Ф0, A3)
где <p(x)>0— непрерывная на (а,Ь) функция. Если у\{х) —
ограниченное решение, представимое в виде
где и(х) — непрерывная на (а,Ь) функция и и(а)Ф0, то вто-
второе решение Уг(х) при х-*а является неограниченным.
Заметим, что у2{х) можно представить в виде квадратуры
через линейно-независимое решение ух (х). В самом деле, из
0 = y2Lyt — yxLy = [k (у2у\ — yly2)]' следует, что вронскиан функ-
функций j/i (х) и у2 (х) равен уху'2 — у2у\ = Cjk (x), где С ф 0, так как
Ух(х) и у2(х) линейно-независимы. После деления на у\ полу-
получим (j/2/#i)'= C/ky\. Интегрируя это уравнение от х0 до х,
получим
, где Сх = const.
В силу линейной независимости у\(х) и у2(х) можно считать
Ci = 0. Кроме того, можно положить С=1, так как решение
однородного уравнения определено с точностью до постоянного
множителя. В результате будем иметь
у2
X
{х)=ух{х)
J
причем х0 выберем так, чтобы ух(а) не обращалось в нуль на
интервале а < a < jc0-

628 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Подставляя вместо k(х) и у\{х) их выражения и пользуясь
теоремой о среднем, найдем (заменяя у2 на у2):
X
У2 {х) = (x — af и (x) j (a _ ayn.
da
_ (х-с)геи(х) f da
(*-a)"«(*) j
2и (а — сJ"
при И > О,
! In (a — a) |* при п = 0,
где if = ф (л:) u2(л:), х*^(х, х0). Представим у2(х) в виде
где
Г 1
A5)
44 ' [1п(х-а) при и = 0;
,,/Уи„_„\п I ?г—. гт=— при п > 0,
[ — In (х0 — а) при п = 0.
Отсюда видно, что fz(x,x0) при л:—»а остается ограниченной,
а |Ы*) I-*00 при л:—»а либо как ¦, _ .и , либо как 11п(лг—а) |.
Фактически доказана следующая
Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Если
у\ (а) Ф 0, т. е. п = 0, то у2(х) имеет при х = а логарифмическую
особенность:
у2 (х) ~ In (х — а) при yi (а) фО (п = 0).
Если у\ (х) имеет при х = а нуль «-го порядка: у\ (х) =.- (х —¦
— а)пи(х), п > 0, то у2(х) имеет при х = а полюс порядка п:
у2 (х) ~ (х — а)~п, если ух (х) ~{х — а)п, п>0.
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 1 и коэффи-
коэффициент q (x) либо ограничен, либо стремится к оо при л:->а,
так что
/ , а>0, Чо{а)ФО,
(х — а)

ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 629
qo(x) — непрерывная на [а,Ь] функция. Тогда для ограниченного
решения у\(х) вида A4) выполняется условие
Iim ft (*)%(*) = 0, A6)'
если, кроме того, имеет место неравенство
п>а — 1.
В самом деле, фиксируем некоторое значение хи a-<.
и проинтегрируем (8') от х до хи а < х < х,:
k (х) у\ (х) = k (хх) у\ (*,) — J <7 (а) ух (а) Лх = Q (х).
X
Подставляя сюда выражения для у\(х) и д(х), найдем:
J
Отсюда видно, что Q (х) — непрерывная на отрезке аг
функция, если а — и<1 или и> а—1. Переходя к пределу
при х->а, видим, что существует предел UmQ(x) = Q(a) nT.
следовательно,
Покажем, что Q(a) = 0. Для этого выразим ух (х) через Q(x):.
Хг X,
Уг (х) = У,(х,)- \i^da = yl{xl)- J (J^\(a) da.
Отсюда видно, что yi(x) может быть ограничена в точке х = а
лишь при условии Q(a) = 0, откуда и следует A6).
4. Постановка краевых задач. Перейдем к постановке крае-
краевых задач для уравнения
O и Ly = 0 A7)
в промежутке (а, Ь), на одном или обоих концах которого k (x)
обращается в нуль. Если k (a) =0 и выполнено условие A3),
то при х = а мы будем требовать ограниченности вида A4)
решения уравнений A7). При этом не требуется, чтобы реше-
решение у(х) при х = а принимало заданное значение.
Общее решение уравнений A7) есть у(х) = Ayi(x) -{-Byz(x),
где у\ и У2 — любые линейно-независимые решения уравнения
A7), А и В — произвольные постоянные. Если yi(x)

€30 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
удовлетворяет условию ограниченности A4) при х = 0, то у2(х)
при х-*а обращается в бесконечность (лемма 1). Поэтому из
требования ограниченности A4), которое мы будем записывать
формально в виде
\У(а)\< со A8)
и называть естественным условием ограниченности (поскольку
оно является следствием структуры оператора L), сразу сле-
следует В = 0.
В результате мы приходим к следующей краевой задаче:
Найти собственные значения и собственные функции у{х)Ф
Ф 0 уравнения
{ktf)'-qy + kpy = O, k(x)>0, a<x<b, A9)
.где k(x) имеет вид A3), при условии ограниченности A4) или
A8) и обычном условии, например, первого рода:
у(Ь) — О при х ==Ь.
Если k(a) — 0 и k(b) = O (например, для уравнения Ле-
жандра), то на обоих концах интервала (а, Ъ) ставится условие
ограниченности, так что ух (х) = (х — а)п\{Ъ — х)Пг и (х), где П\ ^
^ 0, п2 ^в 0, и(а)Фй, и{Ъ)Фй, и(х) — непрерывная на (а, Ь)
функция; это условие формально записываем в виде
\yifl)\<oo, \у(Ь)\<°°.
Если интервал (а, Ь) бесконечен, как, например, а = —оо,
b = оо для уравнения Чебышева — Эрмита или а = 0, Ъ = оо
для уравнения Чебышева — Лагерра, то при а = — оо или при
Ь = оо в этом случае условие ограниченности A8) заменяется
более слабым требованием: решение на бесконечности не
должно возрастать сильнее, чем конечная степень х.
Формулируем общие свойства собственных функций и соб-
собственных значений поставленной краевой задачи A8)—B0).
1. Существует бесчисленное множество собственных значе-
значений Xi < Я,2 <. Яз <. ... <. Яп <. ..-, которым соответствуют
собственные функции ух(х), у2(х), ..., уп(х), ...
2. При q ^ 0 все собственные значения не отрицательны:
3. Собственные функции уп(х) и ут{х), соответствующие
разным собственным значениям Яп и Ят, ортогональны между
-собой с весом р(х):
ь
(Уп, Ут) = J Уп М Ут (X) 9 (*) dx = 0.

ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 63Г
4. Имеет место теорема разложимости: функция f(x) разла-
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд по собствен-
собственным функциям уп(х) данной задачи
если: 1) f(x) имеет при а<С.х<С.Ь непрерывную первую и ку-
кусочно-непрерывную вторую производные;
2) f{x) удовлетворяет граничным условиям задачи; прге
этом, если k (а) = 0, то
|f(a)|<oo при 0<<7(а)<оо,
f(a) = O при
Свойства 2 и 3 доказываются так же, как и в гл. II, § 3*
с помощью формул Грина. При этом используется ограничен-
ограниченность в точке х = а функции уп (х), а также следующее из
леммы 3 равенство lim k (x) y'n (х) = О, в силу чего подстановки
в формулах Грина при х — а обращаются в нуль. Доказатель-
Доказательство свойств 1 и 4 обычно проводится с помощью теории инте-
интегральных уравнений. Для того чтобы 1 и 4 имели место, до-
достаточно, чтобы k(x) была непрерывной, a q(x) — либо непре-
непрерывной, либо имела вид ql(x)/(x — a), где qi(x) — непрерывная
функция. Для изучаемых ниже классов специальных функций
эти условия выполнены.
Краевая задача A9)—B0) эквивалентна интегральному уравнению
Ь
где К(х, %) = G(x, g) l^p (х) р (|), q> (х) = YpJJ) V (*). a G (х, ?)-функция-
Грина для оператора L. В случае k (а) — 0, k (b) ф 0, у F) == 0 функция
Грина определяется так:
1. G (х, |) — непрерывная функция х при фиксированном
2. Первая производная —=— испытывает скачок при х — \:
3. LXG (x, |) = 0 во всех точках а < x < b, кроме х = g.
4. G (x, |) удовлетворяет граничным условиям
\G(a, |)|<oo, G(b, |) = 0.
Из определения G (x, |) следует G (x, |) > 0 при x, g <= (a, b), G (x, |) = G (g,
(симметрия).

632 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
Перейдем к изучению конкретных специальных функций: ци-
цилиндрических и сферических функций, а также полиномов Че-
бышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра.
ЧАСТЬ I
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Цилиндрические функции
При решении многих задач математической физики прихо-
приходят к обыкновенному дифференциальному уравнению
или
х dx
A)
называемому уравнением цилиндрических функций
п-го порядка. Это уравнение часто называют также урав-
уравнением Бесселя гг-ro порядка.
Характерными задачами (см. главы V, VI и VII), приводя-
приводящими к цилиндрическим функциям, являются краевые задачи
для уравнения
Аи -f- k2u = 0 B)
вне или внутри круга (вне или внутри цилиндра в случае трех
независимых переменных). Вводя полярные координаты, преоб-
преобразуем уравнение B) к виду
Полагая и = /?Ф и разделяя в C) переменные, получаем:
г dr V dr)^\R r*)K~U
ф" + А,Ф = 0.
Условие периодичности для Ф(ф) дает X = п2, где п — целое
число. Полагая затем х = kr, приходим к уравнению цилиндри-
цилиндрических функций
лли

§ 1] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 633
В случае решений волнового уравнения B), обладающих ради-
радиальной (цилиндрической) симметрией, мы получим уравнение
Бесселя нулевого порядка
y=° или y"+
1. Степенные ряды. Уравнение Бесселя v-ro порядка
или
х2у" + ху' + (х2 — v2) у = О (Г>
(v — произвольное действительное или комплексное число, дей-
действительную часть которого мы можем считать неотрицатель-
неотрицательной) имеет особую точку при х = 0. Поэтому решение у(х) сле-
следует искать в виде степенного ряда')
.. + akxk + ...), D)
начинающегося с ха, где а—характеристический показатель,
подлежащий определению. Подставляя ряд D) в уравнение A')
и приравнивая нулю коэффициенты при ха, xo+l, ..., xa+h, по-
получим уравнение для определения с и систему уравнений для
определения коэффициентов ah:
a0(o2-v2) = 0
E)
(/2 = 2,3,...).
Так как мы можем предположить, что а0 ф 0, то из первого
уравнения E) следует, что
а2 — v2 = 0 или a == ± v. F)
Перепишем k-e уравнение E) k > 1 в виде
(c + ? + v)(c + ?-v)afe + afe_2 = 0. G)
Оставим пока в стороне тот случай, когда а-\-\ или a — v
(и соответственно —2v или 2v) равно отрицательному целому
числу.
') См. В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз,„
1959; Л. Э. Э л ь с г о л ь ц, Дифференциальные уравнения н вариационное--
исчисление, «Наука», 1965.

ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. I
Тогда из второго уравнения E), в силу F), будем иметь
я, = 0. (8)
Уравнение G) дает рекуррентную формулу для определения
через aft_2:
Отсюда и из (8) заключаем, что все нечетные коэффициенты
равны нулю. Если v вещественно, то при о = —v решение об-
обращается в бесконечность в точке х = 0.
Остановимся на случае а = v. Из (9) следует, что каждый
четный коэффициент может быть выражен через предыдущий:
Последовательное применение этой формулы позволяет найти
выражение а^т через а0
«2т = (— 1)т 2*тт\ (v + 1) (v + 2) ... (v + т) '
Воспользуемся свойством гамма-функции F(sI)
r(s+l)==sr(s)== ... =s(s —l)...(s —n)T(s —n).
Если s — целое число, то
Коэффициент с0 до сих пор оставался произвольным. Если
-V ф — п, где п > 0 — целое число, то, полагая
я используя отмеченное выше свойство гамма-функций, получим:
a2* = (-l)*22ft+vr(fe + 1)r(fe + v + 1)- A3)
Если же а = —v, v фп, где п > 0 — целое число, то, полагая
получим:
(* v + 1) • (И)
1) Б. М. Будак, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука»,
1965.

§ 1] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 635-
Ряд C), соответствующий c = v^0, с коэффициентами A2)
и A3)
fo=0
называется функцией Бесселя первого рода v-ro
порядка. Ряд
ft=0
соответствующий с = — v, представляет второе решение урав-
уравнения A), линейно независимое от J4(x). Ряды A5) и A6), оче-
очевидно, сходятся на всей плоскости х.
Рассмотрим теперь тот случай, когда v равно половине целого числа-
A \2
п + — j , где п ;> 0 — целое число. Полагая в формулах E)>
а = п + -^-, получим:
2(n+l)«i=0,
так что
а,=0,
Последовательно применяя эту формулу, найдем:
2-4... Bk) Bи + 3) Bи + 5) ... Bи + 2k + 1)
Положив, далее,
Полагая здесь v = n + —, получаем формулу A1).
1
«o = ;
получим формулу A3).
Пусть
_J_
о— п 2,
тогда уравнения E) для aft принимают вид
а!-1(-2п)=0,

•636 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. I
По-прежнему все коэффициенты as a3 ат—\ равны нулю, но для
д2.1+1 получаем уравнение 0 • a2n+i + Щп— i = 0, которое удовлетворяется
при любом значении a^n+i- При k~>n коэффициент a2k+i определяется равен-
равенством
Bп + 3) Bя + S) ... 2 • 4 ... Bk - 2n) '
Полагая a2n+i = 0, ao — j , получаем формулу A4).
Таким образом, при v= ± (я-(--^-l не требуется никакого изменения
1В определении функции /v (х). Формулы A5) и A6) остаются в силе.
Отметим, что формула A6) определяет /_v(*) лишь для
.нецелых значений v, поскольку определение а0 по формулам
A2) при целых отрицательных v = —п лишено смысла. Про-
Продолжим по непрерывности A6) на целые значения v = п. По-
Поскольку Г (/г — гг+1) = ±оо для k ^ k0 = п — 1, суммирование
A6) фактически начинается со значений /г =/г0-{-1 = п. Из-
.меняя в A6) индекс суммирования k — n-\-k', получаем:
J-n (X) = (— 1)" 2d Г(к' + п+
2k'+n
так как суммирование начинается с k' — 0.
Выпишем в качестве примера ряды для функций Бесселя
первого рода нулевого (п = 0) и первого (п=1) порядков:
(З!)
(х
\ 2
J' w ~ 2 2! \ 2 /
± К\ц
2 2! \ 2 / 2! 3!
¦Функции Jo(x) и /i(jc) наиболее часто встречаются в приложе-
приложениях и для них имеются подробные таблицы1). На стр. 726
приводятся графики J0{x) и Ji(x).
Функции Jn(x) и J-n(x) (n — целое число), как мы видели,
линейно зависимы
/_„(*) = (-!)"'«(*)•
Для нецелых значений v функций /v(*) и J-V(x) линейно
•независимы. В самом деле, Jv(x) имеет нуль a J-V(x)—полюс
v-ro порядка в точке х = 0. Таким образом, если v — нецелое
') Во всех таблицах специальных функций всегда имеются таблицы для
€есселевых функций первого рода (см., например, Е. Я н к е и Ф. Э м д е,
Ф. Лёш, Специальные функции, формулы, графики, таблицы, «Наука», 1964,
.где Jo(x) и /i(*) даны с пятью знаками для значений х в интервале от 0
ЛР 14,9).

§ 1] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 637
число, то всякое решение yv{x) уравнения Бесселя A) может
быть представлено в виде линейной комбинации функций /v(*)
И /_V(X)
Если ищется ограниченное решение уравнения A), то С2 = 0 и
yv(x) = CtJv(x) при Rev>0.
2. Рекуррентные формулы. Установим следующие соотноше-
соотношения, существующие между функциями Бесселя первого рода
различных порядков,
d //v(*)\_
dx \ xv I
Эти формулы проверяются непосредственным дифференцирова-
дифференцированием рядов для бесселевых функций. Покажем, например, спра-
справедливость соотношения A7)
2*'
v-V d
dx
1 / х \
В последней сумме k меняются от 1 до оо. Введем новый ин-
индекс суммирования l = k—1, который будет меняться от 0 до
оо. Тогда будем иметь*
d (
dx{
= _ V(_
что и доказывает формулу A7). Справедливость формулы A8)
доказывается аналогично.
Отметим два важных частных случая рекуррентных формул.
При v = 0 из A7) следует:
/6 (*) =-/,(*). A9)
Для случая v= 1 формула A8) дает:
или */,(x)=JV0(i)dg. B0)

638
ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ч: т
Установим рекуррентные формулы, связывающие /v(*)> /v+i(*)
и /v_i(x). Производя дифференцирование в A7) и A8), полу-
получаем:
«0. A70
к). A80
Складывая и вычитая A7') и A80. находим рекуррентные
формулы
2
С помощью формулы B1) можно вычислять /v+i (х), если из-
известны /v(*) и /v_i(x):
(x)
= - /v-1 (*) +
B10
3. Функции полуцелого порядка. Найдем выражения для
функций Ji/t(x) и /()
го=0 "» Мтг
( ] (|) . . B2)
(i) • B3)
Пользуясь свойством гамма-функции, находим:
B4)
где
Подставляя B4) в формулы B2) и B3), получаем:
т=0
т=0
(-1)"
BтI
B5)
B6)

§ 1] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 639
Нетрудно видеть, что сумма в B5) представляет собой разложе-
разложение sin*, а сумма в B6) — разложение cos* по степеням х.
Таким образом, /¦/,(*) и /_¦//(*) выражаются через элементар-
элементарные функции
/^ B7)
B8)
Рассмотрим функции /„+¦/,(*), где п — целое число. Из B1')
следует:
/(*) ' w=]/l (-cos
Применяя последовательно формулу B1') найдем:
/»+% (*) = У 5 sin (* - ^) Р„ (-i-) + cos (x - -f-) Qn(JL)}, B9)
где Рп (—) — многочлен степени п относительно — , a Qn(—) —
многочлен степени п — 1. Отметим, что Pn@)—I, Qn@) = 0.
/4. Асимптотический порядок цилиндрических функций. Реше-
Решения уравнения Бесселя обычно называют цилиндрическими
функциями. В п. 1 была определена одна из цилиндрических
функций — функция Бесселя.
Основным свойством цилиндрических функций является их
поведение при х—*0 и х-*оо (асимптотическое поведение).
Ниже будет показано, что любая цилиндрическая функция од-
однозначно определяется своей асимптотикой при х—*оо, точнее,
главным членом асимптотического разложения.
Докажем, что любая вещественная цилиндрическая функция
при больших х представима в виде
(X + бос) | л/1\ /Qm
где Yt» Ф 0. бте — некоторые постоянные, О \-тЛ означает члены
порядка не ниже —щ.

640 ДОПОЛНЕНИЕ И. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
Полагая
вычисляя производные у' = — Q,§x-*hv + x-'W, y" = x~^v" —
— x~'!lvf + 0,75x~s'2v и подставляя их в уравнение Бесселя,
получим уравнение
( *-i\
[^J C2>
являющееся частным случаем уравнения
v" + (l + f>(x))v = 0, C3)
где
р(х) = 0(±). C4)
Положим
v = y sin (x + 6), vr = y cos (x + 6), C5)
где у(х) и д(х) — некоторые функции х, причем yM^O ни
в одной точке, иначе v и v' одновременно обращались бы в нуль
и v(x) было бы тождественно равно нулю. Пользуясь C5) и
C3), будем иметь:
l)cos(x + 6),
v" == Y' cos (x + 6) - y Fr + 1) sin (x + 6) = — A + p) y sin (x + 6).
Отсюда находим:
(L) C6)
--psto(* + 6)cos(x + 6)~o(^). C7)
Покажем, что существуют предельные значения y и 6 при х—> <х>
В самом деле,
откуда, в силу C6), следует, что существует предел lim 6(а) = 6ТО и
в-»оо
() C8)
Аналогично находим из C7)
VW = Y»A + O(^)), C9)
причем Yoo Ф 0.

§ 1] ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 641
Таким образом, всякое решение уравнения C3), и, следова-
следовательно, уравнения C2) при х—»оо имеет вид
) D0)
Тем самым установлена справедливость асимптотической фор-
формулы C0) для любой цилиндрической функции yv{x).
Покажем, что не может существовать двух различных ци-
цилиндрических функций с одинаковой асимптотикой. В самом
деле, пусть yv(x) и yv(x) — две различные цилиндрические функ-
функции, для которых
Yo^Yoo» 6^=6^. D1)
Разность этих функций
У v (x) = yv (х) — yv (х) Ф 0
также является цилиндрической функцией, имеющей, в силу
D1), следующую асимптотику:
Однако это противоречит формуле C0) для любой цилиндри-
цилиндрической функции yv(x). =
Следовательно, yv(x)s=0 и yv(x)=yv(x).
Решением уравнения Бесселя может быть и комплексная
функция Zv(x) = Zv(x)-{-iZv(x), где Zv(x) и Zv(x)—веществен-
Zv(x)—вещественные цилиндрические функции. Из предыдущего следует, что
комплексная цилиндрическая функция также однозначно опре-
определяется своей асимптотикой при х—»оо.
Значения постоянных у^ и 6<x> определяются с помощью до-
дополнительных исследований, которые дают
.=/?
для всех v.
В § 1, п. 3 для v = n+'/2 была получена формула B9),
из которой следует, что
i-sinf*-— ) + о(-4г)- D2)
пх \ 2 / U/!/
В § 4 будет дан вывод асимптотической формулы для
функции Jv(x):
,у -°(-жЬ D3>
21 А. Н. Тихонов, А, А. Самарский

642 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. I
где v — любое неотрицательное число (v^O). Формула D3)
имеет место и при произвольном v, так что
_]_). D4)
§ 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя
Простейшая -краевая задача для уравнения Бесселя на
отрезке [0, г0] связана с задачей о собственных колебаниях
круглой мембраны
и(г,ф)|г=Го = О, |»(r,«p)|<oo, и(г,<р)ф0. B)
Полагая v (г, ф) = 7?(г)Ф(ф) и разделяя переменные (см. Введе-
Введение), получаем:
ф" + гФ = 0, C)
Условие периодичности для Ф(ф) дает v = n2, где п — целое
число. Таким образом, функция R(r) должна определяться из
уравнения Бесселя
( ?($)) E)
при граничном условии
= 0 F)
и естественном граничном условии ограниченности в точке г = 0
|Я@)|<оо. G)
Полагая
I х \ (8)
приходим к уравнению
при дополнительных условиях
1У@)|<оо. (И)
Отсюда находим
и (тЛ AT (v\ AО\
У\Х) — AJn(X). A2)

§ 21 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ 643
В силу граничного условия у(г0 |/"я) = 0 имеем:
/пО*) = 0 (ц = го^я). A3)
Это трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество
й [n) 4n) ^* ') A)
Эо рацд ур ео множество
вещественных корней \i[n), f4,n). • • •> М^*» •••'). т. е. уравнение A)
имеет бесчисленное множество собственных значений
=1, 2, ...).
которым соответствуют собственные функции
'-^-rj A5)
краевой задачи E) — G).
Из способа построения собственных функций видно, что вся-
всякое нетривиальное решение рассматриваемой краевой задачи
дается формулой A5).
Из общей теории уравнений вида 2?\у\ + hpy = О, рассмот-
рассмотренных выше (см. Введение), следует ортогональность системы
собственных функций
с весом г:
J
= O при т,^=т2. A6)
Вычислим норму собственных функций R\(r) = Jn(a\r), где
<xi==fim>/ro- Попутно будет получено условие ортогональности
A6). Для этого рассмотрим функцию R2(r) = /П(«2Г)> гДе а2 —
произвольный параметр.
Функции Ri(r) и /?г(г) удовлетворяют уравнениям
dr
dr
причем Rl(r0) = 0, a H.z{r) уже не удовлетворяет этому гра-
граничному условию. Вычитая из первого уравнения второе, пред-
предварительно умножив их, соответственно, на Rz{r) и Ri{r), и
') На стр. 725 дана таблица корней уравнения /o(jx) = 0, в частности
первый корень n(j0) = 2,4048.
21*

644 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. I
интегрируя затем по г в пределах от 0 до г0, будем иметь:
(а? - а*) J r/?, (r) tf2 (r) dr + [г {R2R\ - Я,/ф] |Qr« = О,
о
откуда находим:
а/п («/о)
a^n (nlr0)
2 2^
ay— a|
Переходя к пределу при a2-*-ai и раскрывая неопределен-
неопределенность в правой части, получаем выражение для квадрата нормы:
II ^i If = II /„ (a,r) |f = J rR\ (r) dr = -± [К (airo)]2
0
или
Г° /n(n
J 4т
0
В частности, квадрат нормы функции /01 г) равен
ц(п) ц(п)
Если положить a2 = —— ^ ai = ——, то из формулы A7)
"о ч>
сразу следует условие A6) ортогональности функций Бесселя.
Отметим, что имеются таблицы нулей ц<?> функции /0(ц) и
соответствующих им значений /, (ц^) ¦ (см. стр. 725). Приведем
несколько первых значений ц^>: ц(,0) = 2,4048, ц|0) = 5,5201,
ц<,°> = 8,6531, ц<4°) = 11,7915.
Из асимптотической формулы D2) § 2 следует, что с воз-
возрастанием номера т нуля ц<?> разность ^]+1 — \&? должна
стремиться к п. Это можно проследить даже для приведенных
выше значений ц?> (например, р® — ц2°» = 3,1330, цD0) —К0) =
= 3,1384, ц?»-ц<°> = 3,1405 и т. д.).
В силу общих свойств собственных функций краевых задач
{стр. 630) имеет место теорема разложимости;

§ 3] РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 645
всякая дважды дифференцируемая функция f(r), ограни-
ограниченная при г = О и обращающаяся в нуль при г = г0, может
быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся ряд
m=I
где
Го
rdr
Вторая краевая задача для уравнения Бесселя:
R'(ro) = 0, \R@)\<oo
решается аналогично. Собственные функции и собственные зна-
значения также будут выражаться формулами A5) и A4), где
лод цМ следует понимать корень номера m уравнения
Собственные функции задачи ортогональны между собой
с весом г (см. A6)) и имеют квадрат нормы, равный
J Ч г0 )rdr 2L1 W
Аналогично решается и третья краевая задача. В этом слу-
случае для определения ц<?> получается уравнение вида
¦§ 3. Различные типы цилиндрических функций
1. Функции Ханкеля. Наряду с функциями Бесселя первого
рода Jv(x) большое значение для приложений имеют другие
специальные'виды решений уравнения Бесселя. К их числу от-
относятся прежде всего функции Ханкеля первого и вто-
второго рода МР(х) и Н%\х), являющиеся комплексно-сопря-
комплексно-сопряженными решениями уравнения Бесселя. С точки зрения физи-
физических приложений основной характеристикой функций Хан-
Ханкеля является асимптотическое поведение при больших значе-
значениях аргумента. Поэтому мы определим функции Ханкеля как

646 ДОПОЛНЕНИЕ И. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
цилиндрические функции, обладающие следующей асимптоти-
асимптотикой:
где точками обозначены члены более высокого порядка малости
относительно l/х. Условия A), B), в силу п. 4 § 1, определяют
Hv] и #12> однозначно. Разделяя действительную и мнимую
части, представим функцию Ханкеля в виде
H^(x) = Jv(x) + iNv(x), C)
H^(x) = Jv(x)-iNv(x), D)
где функции
;ч(х)=±[нУ(х) + н{?(х)], C'>
Nv(x) = -^ W {х) - Я12)(х)] (П
имеют асимптотический характер
cos(*-?v--?-)+ .... E).
..., F).
что следует из формул A) и B).
Как будет показано ниже (см. п. 4. § 4), введенная здесь
функция Jv(x) является функцией Бесселя первого рода, рас-
рассмотренной в § 1. Мнимая часть Nv(x) функции Ханкеля назы-
называется функцией Неймана или цилиндрической
функцией второго рода v-ro порядка.
Формулы C) и D) устанавливают связь между функциями
Ханкеля, Бесселя и Неймана, аналогичную связи между пока-
показательной функцией мнимого аргумента, синусом и косинусом
(формула Эйлера). Асимптотические формулы A), B), E) и.
F) подчеркивают эту аналогию.
При изучении решений уравнения колебаний
«я = а2 (ихх + «м,)
мы видели, что амплитуда v (x, у) установившихся колебаний.
u{x,y,t) = v{x,y)e1^

¦S 3] РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 647
удовлетворяет волновому уравнению
Если решение волнового уравнения обладает радиальной сим-
симметрией v (х, у) = v (г), то, как было отмечено в § 1, функция
v(kr) удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка.
Таким образом, функции
Ч7+ (v)f G)
nkr У i
Я<2> (kr) еш = YlkFei Ш~НГ) УТЛ- ... (8)
являются решениями уравнения колебаний, имеющими харак-
характер цилиндрических волн. Функция #о2> {kr) emf соответствует
расходящимся цилиндрическим волнам, а функция Но\кг)еш —
сходящимся цилиндрическим волнам1).
Вторым важным свойством цилиндрических функций является
их поведение при д:->0. В силу леммы 1 Введения функции #v' 2)
и Nv при х—>0 обращаются в бесконечность (так как /v@)
конечно), точнее, Но^х), H^ix), No(x) ~ In —, так как /0@) =
= 1 ф 0; Н$\х), Н(?(х), Nv(x) ~ -\ при v > 0, так как /v (x) ~ xv
при дг-э-О.
Функции Ханкеля и Неймана нулевого порядка являются
фундаментальными решениями уравнения Д2и + k2v = 0, так
как они имеют нужную логарифмическую особенность при
г = Y*2 + У2""•*¦ 0 (см.гл.VII). Приведем (без доказательства)
точные выражения для главных членов разложения этих функ-
дий в окрестности точки х — 0:
2. Функции Ханкеля и Неймана. Как было отмечено в п. 1,
¦всякое решение уравнения Бесселя нецелого порядка v выра-
выражается через функции /v и /_v. Установим связь между функ-
функциями н{", Н%\ Nv и Jv, J-v.
') Если взять временной множитель е ш, то расходящимся волнам
соответствует #{," (kr) е~ш, а сходящимся — tfjf' (kr) е~ш.

648 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
Так как всякое решение уравнения Бесселя при нецелом v
можно представить в виде линейной комбинации функций
Jv(x) и J-V(x), то
М," (х) = C,/v (х) + C2J-V (x), (9)
где С\ и С2 — постоянные, подлежащие определению. Для глав-
главных членов асимптотических разложений, очевидно, имеет ме-
место аналогичное равенство
Преобразуем аргумент второго слагаемого к виду (л; — 4г v — -j] :.
cos ^л; + -g- v — -j-j = cos Цл; — -^ v — -j-j + nvj =
= cos (x — -j- v — -j-J cos nv — sin [x —^ v — -2-J sin nv.
Сокращая обе части равенства A0) на j/2/зтл: и пользуясь
формулой Эйлера для левой части, получаем
cos [х — Т v ~ т)+1 sin Г ~ Т v ~ TJ=
— у v —-jj — C2sinnvsin fx — у v~^)»
откуда
или
A1>
Подставляя A1) в (9), находим:
Аналогично
Пользуясь формулой DГ), определяющей Nv(x), получаем из A2)
и A3): •
N (Л Jv(x)cosnv-J-y(x)

§3] РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 649
Формулы A2), A3) и A4) получены нами для нецелых значе-
значений v. Для целого значения v — п функции Ханкеля и Неймана
могут быть определены из A2), A3) и A4) с помощью пре-
предельного перехода при v—*n. Переходя в этих формулах к пре-
пределу при V—*п и раскрывая неопределенность по известному
правилу, будем иметь:
.
Пользуясь представлением функций /v и /_v в виде степен-
степенных рядов, можно получить аналогичные представления для
Nv(x), а также Н$\х) и tff (x).
Формулы A2) и A3) можно рассматривать как аналитиче-
аналитическое определение функций Ханкеля. Существуют, однако, и
другие способы введения функций Ханкеля. В § 6 будет дано
лредставление функций Ханкеля в виде контурных интегралов.
Если v = п + '/г, то функции Ханкеля и Неймана выра-
выражаются в конечном виде через элементарные функции. В част-
частности, при v = 7г имеем:
% (х) = /у, (х) - iN4i (х) = ]/^ [cos (*-?)- I sin (x - Щ =
3. Функции мнимого аргумента. Цилиндрические функции
можно рассматривать не только при действительных, но и при
комплексных значениях аргумента. В настоящем пункте мы
рассмотрим цилиндрические функции первого рода от чисто
мнимого аргумента.
Подставляя в ряд, определяющий Jv(x), значение ix вместо
х, получаем:
~i 2,
r(ft+1)r(ft+v+1)

650 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. Г
где
1 I х \
2k+v
— вещественная функция, связанная с Jv{ix) соотношением
/v'(jc) = fv/v(ix) или /v(jc) = e~2 *"" /v(ijc).
В частности, при v = 0
/„ (x) = J0 (ix) = 1 + (|J + -^
Из ряда A6) видно, что Iv{x) являются монотонно возрастаю-
возрастающими функциями, имеющими при х = 0 нуль v-ro порядка.
Пользуясь асимптотической формулой E), получим, что для.
1м(х) должна иметь место асимптотическая формула
при больших значениях аргумента х.
Аналогично вводится 1-м(х). Функции /v и /_v при нецелом
v линейно независимы, так как в точке х = 0 Iv(x) (v > 0),
имеет нуль v-ro порядка, a /_v(-*:)—полюс лг\ Если v = n—¦
целое число, то /_„(х) = 1п{х).
Цилиндрические функции мнимого аргумента являются ре«
шениями уравнения
= Q A9)
и, в частности, функция 10(х) удовлетворяет уравнению
t/f + ~yr-y = O. B0)
Наряду с функцией Iv(x) рассматривают функцию Макдональда
Kv(x), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мни-
мнимого аргумента
Kv{x) = \niJtmi H(»(ix). B1)
Kv(x) является вещественной функцией х. В самом деле, фор-
формулы A2) и A3) дают

§ 3) РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 651
Пользуясь асимптотическим выражением для Н?\ находим:
/U*) = l/-?e-* + ... B3)
Формулы B3) и A8) показывают, что Kv(x) экспоненциально
убывают, a Iv(x) экспоненциально возрастают при я—¦оо. От-
Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также
возможность представлений любого решения уравнения A9)
в виде линейной комбинации
В частности, если у ограничено на бесконечности, то А = 0 и
у = BKv(x); если же у ограничено при л: = О, то В = О и у =
= AIv{x).
Из линейной независимости /v и /Cv следует, что Kv{x) имеет
при х = 0 полюс v-ro порядка (Kv ~ *~v) при v?=0 и логариф-
логарифмическую особенность при v = 0. В п. 4 показано, что
Ко (х) = In — + ••• при я->0.
На рис. 107 даны графики 10(х) и Ко{х). В отличие от /v(*)
и Nv{x) функции Iv{x) и Kv{x) являются монотонными {Iv(x)
возрастает, a Kv(x) убывает с ростом х).
Наиболее важное значение имеет функция
4. Функция Ко (х). Покажем, что для функции Ко (х) справедливо сле-
следующее интегральное представление:
*«>(*)¦= J
B4}
о
Нетрудно убедиться в том, что интеграл
F(X)=j
d\ B4')
«>
о
удовлетворяет уравнению
--У" Л / — у—О. B5)
В самом деле,
х
о

652 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. 1
Интегрируя второе слагаемое по частям, получим:
то оо
S2 = X f e~xchl chid| = -2^ie-JcchH°O + Г e-xchl
xj lo J
откуда и следует:
5"(F) = 0.
Полагая ch| = T], преобразуем интеграл B4') для F (х) к виду
Пользуясь этой формулой, можно выясинть характер поведения функции Р(хУ
при х -» оо. Производя еще раз замену переменной
получаем:
При ДС->оо
«ьплм
оо
¦J
Следовательно, при больших значениях х
где е -> 0 при х -> оо. Отсюда получаем асимптотическую формулу
e~x+ ¦•- Bб>
где точками отмечены члены более высокого порядка малости. Введенная
с помощью интеграла B4') функция F (х) является решением уравнения B5)*
ограниченным на бесконечности, поэтому
Сравнение асимптотических формул для Ко(х) и F0(x) показывает, что В = I
и, следовательно,
оо
/Со (х) = J e~x ch *dt (x > 0). B4>
о
Выясним характер функции Ко (х) при х -*¦ 0.

13] РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 653
Представим интеграл
1
в виде
оо
-А,
= J y=
X
X
Разбивая этот интеграл на три части
- f d%. ( (e~*-l)dX f
-J yjr=^+) Vjjztt* +J
e~%dK
где А — некоторая вспомогательная постоянная, видим, что первое слагаемое
равно
х
а второе и третье слагаемые ограничены при х-уО. Отсюда следует, что
/Го(*)=--1п*+ ... =1п^+ ••¦• B7)
где точки означают слагаемые, остающиеся конечными при х = 0. Таким об-
образом, функция Ко(х) является решением уравнения B5), имеющим лога-
логарифмическую особенность в точке х = 0 и экспоненциально убывающим при
ДС-э-оо.
Следующая задача дает физическую интерпретацию функции /СоМ- Пусть
в начале координат действует стационарный источник неустойчивого газа
мощности Qo. Стационарный процесс диффузии сопровождается распадом газа
и описывается уравнением
Вт
I
где р — коэффициент распада, D — коэффициент диффузии. Функция источ-
источника этого уравнения обладает круговой симметрией и, следовательно, удо-
удовлетворяет уравнению
1 d ( du
кроме того, функция источника имеет логарифмическую особеииость в начале
координат и ограничена на бесконечности. Отсюда следует, что функция ис-
источиика пропорциональна Ka(w):
B9)

654 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. I
Для определения множителя Л воспользуемся условием источника
-q» C0>
где интеграл слева выражает диффузионный поток через окружность Ке ра-
радиуса е с центром в источнике. Подставляя в это условие вместо и функцию
G = ЛЯо(хг) и учитывая логарифмическую особенность функции ^Со(*) при
х = 0, получаем:
iim I —
е->01
{— \ D-^-ds\ = lim{D2neA — 1
J дг \ Е->о I e J
•Отсюда
Qo
А =
2nD
Интегральную формулу B4) для Къ(х) можно получить, исходя из простых
физических соображений.
Рассмотрим нестационарную задачу диффузии газа с распадом. Пусть
ъ начале координат находится источник постоянной мощности Qo, действую-
действующий начиная с момента t = 0. Будем предполагать, что в начальный момент
t = 0 концентрация газа всюду равна нулю. Концентрация u(x,y,t) должна
удовлетворять уравнению
D Аи - Ри = ut C2)
и соответствующим дополнительным условиям. Уравнение C2) при помощи
подстановки
и = йе~р'
преобразуетси в обычное уравнение диффузии
D М = йр
для которого функция влияния точечного источника имеет вид
п =
Таким образом, функция влияния мгновенного точечного источника для урав-
уравнения C2) равна
¦Функция влияния источиика мощности Qo, непрерывно действующего от t = 0
до момента /, дается формулой

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 655
Вводя новую переменную
получаем:
Qo
Jе ш тг-
о
Функция источника, соответствующая стационарной задаче, может быть най«
дена предельным переходом при (-юо в предыдущей формуле
о
Преобразуем этот интеграл при помощи подстановки
9 = Се6,
где С — некоторая постоянная,
J
с
Требуя, чтобы выполнялось равенство
dl.
4DC
находим:
=рс,
и рст/
4DC 2 Г D 2
Отсюда следует, что стационарная функция источника имеет вид
Таким образом, рассмотренная здесь задача приводит к интегральному пред-
представлению B4) для функции Ко (х).
% 4. Представление цилиндрических функций
в виде контурных интегралов
1. Контурные интегралы. Рассмотрим уравнение колебаний
utt = а2(ихх-{- иуу) — й2Д2« и будем искать его решение в виде
и (*, y,t) = v (х, у) еш; для v (x, у) получим уравнение A2v -j-;
-f k2v = 0 (k = a/a). Его частными решениями являются функ-
функции v = e±ibx и v = е^У — амплитуды плоских волн ы =
= ег(соШгзс) и и = giCcottft!/^ распространяющихся ВДОЛЬ ОСИ X И
соответственно вдоль оси у. Плоская волна, распространяющаяся

656 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ pi. I
в направлении /, очевидно, имеет вид
v == ?~ik(lr) __ g—Ik (x cos Ф+j/ sin Ф) __ e—lkr cos (Ф—a)
x = rcosa, y = rsina, / = ?(созф, э^пф).
Если a = л/2, то на оси у амплитуда волны, падающей под
углом ф к оси х, равна
ц = е-'*г!51пЧ). A)
Будем искать решение Zv(x) уравнения Бесселя
L(y) = x*y" + Xt/ + {x2-v*)y = 0 B)
в виде суперпозиции плоских волн вида A), считая при этом
Ф = ф1 + 'ф2 комплексны-
комплексными и обозначая kr = х.
Положим
ш
г
-277
ЗП-П Л1
'2 "г
2
Ш
2 2Я
C)
где С — некоторый кон-
контур на плоскости ф =
= ф1 + *'ф2, К (X, ф) =
_ e-ix em Ф> фу (ф) _ не.
определенный пока фазо-
Рис 95 вый множитель. Выберем
С так, чтобы интеграл
C) сходился, а Фу(ф) так, чтобы этот интеграл удовлетворял
уравнению Бесселя. Найдем сначала Ф?(ф), предполагая, что
интеграл C) сходится и его можно дифференцировать под зна-
знаком интеграла. Вычислим L(K). Замечая, что /Сф = —ixcoK
/Сфф = ix sin q>K — xz cos2 <pK, Kx = —I sin ф^. Кхх = —sin2
получим x2Kxx + хКх + Х2К = /С (л:2 cos2 ф — ix sin ф) = — К
L{K) = — b>2K + Kw) и, следовательно,
L (Zv) = - J GCW +
v (ф) dV.
Проинтегрируем по частям, считая, что подстановки обра-
обращаются в нуль (на бесконечности, если контур уходит в

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
бесконечность):
657
Для того чтобы L(ZV) = O, достаточно, чтобы
Выберем Ov = e'v(P. Тогда Z4{x) — J e~tx sin <o+lv» dtp. Для сходи-
сходимости этого интеграла до-
достаточно, чтобы
Re {ix sin ф) =
= Re {ix sin (ф, + /ф2)) =
= — x cos ф! sh ф2 > О
(ф = Ф1 + *Ф2)-
Это условие выполнено при
х > 0, если
Ф2<0,
либо ф2 > О,
Tt+ioo
О .
!л f
k=±\, ±2, ... D)
-loo
Рис. 96.
На рис. 95 области, по которым должен проходить контур, за-
заштрихованы. В качестве контура С можно взять любой контур,
асимптотические ветви которого лежат в заштрихованных об-
областях.
2. Функции Ханкеля. Выберем два контура: С, — контур,
состоящий из луча (— /оо, 0), отрезка @, — л) и луча (— я,
— п + i°°), а контур С2 = (ioo + я, л) + (я, 0) + @, — ioo) (рис. 96).
Соответствующие интегралы C) определяют цилиндрические
функции
(*) = - JL J e-ix лп ф+^ф ^ф) ft = 1, 2.
с
E)
В п. 4 будет показано, что определенные при помощи кон-
контурных интегралов E) функции Н1®{х) совпадают с функциями

658 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
Ханкеля, которые были введены в § 2. Для этого достаточна
будет убедиться в том, "что функции E) имеют асимптотику
av = *-fv--^. F)
Пользуясь определением E) функций Ханкеля Н^'2)(х), можно
получить для них рекуррентные формулы
= — Hnv+
r() tr() „(k) rr(fc) „(к) nulfty- v . i o
v+l + Лv-l = — Hv , nv+l — /7V-1 = — ^"v (*), К =1,2.
Выведем первую формулу. Замечая, что <Pv+i + <DV_, = 2cos«pG>v,
<Dv = e'v<p, и интегрируя по частям, находим:
Н[%г (х) + Mf2.i (х) = - — Г в"'*sin ф+ггф cos Ф dq> =
= —^- f e~lx sin »+'v» ^ф = i5L
Из E) и формулы /v(jc) = -5- (Яу'+ ff'v') можно получить пред-
представление в виде контурного интеграла для функции Бес-
Бесселя Jv(x), полагая
Je^ G)
Со
где Со = Ci + С2 — контур, состоящий из луча (n + i°°,0), от-
отрезка (it,—п) и луча (—тс,—л + '°°)- Направление обхода
указано на рис. 96.
Чтобы убедиться в том, что интеграл G) в самом деле дает
функцию, совпадающую с введенной в § 1 функцией Бесселя,
надо показать, что он разлагается в степенной ряд A5) § 1,
Для этого нам понадобятся некоторые свойства гамма-функции.
3. Некоторые свойства гамма-функции. Гамма-функция T(s)f
как известно, есть интеграл
оо
Г (s) = J er*x^idx, (8)
о
где s — вообще говоря, комплексный аргумент, причем Re s >
> 0. Помимо элементарных свойств ')
1) = вГ(в) и т. д.,
') Б. М. Б у д а к, С. В. Фомин, Кратные интегралы и ряды, «Наука»,
1965.

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 659
нам понадобится свойство
жкг (9)
В самом деле,
оо со
Г (s) Г A - s) = J J e~lx+\s~lrs dx dt.
о о
Будем рассматривать этот интеграл как двойной интеграл и
произведем замену переменных, полагая l, = x-\-t, r\ = x/t.
Вычисляя lxv\t — IfTfe = — A + rfilt, получим dxdt— — y^— d\dt\и
Интеграл, стоящий справа, вычисляется при помощи вычетов
и равен зх/sin ns').
Для гамма-функции имеет место представление в виде кон-
контурного интеграла (интеграла Римана — Ханкеля)
Г (s) = (е«™ - I) J e-V dq>, A0)
где y — любой контур (на плоскости комплексного переменного
Ф = ф, + /фг) указанного на рис. 97 вида; этот контур идет из
+оо, обходит вокруг точки ф = 0 и воз-
возвращается опять на +оо. Подынтегральная
функция / (ф) = е-фф8 = er^e-s~x^ ч> ком-
комплексного переменного ф имеет точку вет-
ветвления ф = 0. Проведем разрез вдоль по-
положительной части вещественной оси, пола-
полагая а^ф = 0 на верхнем берегу разреза Рис 97.
и а^ф = 2:гс на нижнем берегу разреза.
В силу теоремы Коши контур у можно, без изменения величины
интеграла f(q>)dq>, произвольно деформировать, сохраняя об-
Y
ход вокруг точки ф = 0 и удерживая концы контура на +оо.
Выберем в качестве у контур, состоящий из луча (+оо, е) на
верхнем берегу разреза, окружности СЕ с центром ф = 0 и ра-
радиусом е и луча (е, +00) вдоль нижнего берега. Тогда ^(ф) =
= e-q>+(s-uin ф на верхнем берегу и Дф) = e(s-iJJii-q>+(s-i)in Ф на
нижнем берегу, где In ф принимает вещественные значения,
') М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат, Методы теории функции комп-
комплексного переменного, Физматгиз, 1958.

660 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. I
так что
у
8 OS
= J e~xxs-1 dx + е<*-1Jл* J e-xxs~l dx + J e-V1 Жр. A1)
Покажем, что интеграл по Св стремится к нулю при е-»0, если
Res>0- В самом деле, на Се |е~ф| ограничен,
| ф«-1 | = e<so-« In I Ф |-s, arg Ф __ gsc-lg-s, arg Ф^ g _.
И
f е-фф5
< Л2яе5«е~5' are ч> -> 0 при е -> 0 (s0 > 0).
Поэтому предельный переход в A1) приводит к A0).
Формула A0) определяет справа от мнимой оси аналитиче-
аналитическую функцию F(s). В силу аналитического продолжения фор-
формула A0) справедлива на всей плоскости и T(s) представ-
представляется в виде частного двух целых функций. При s = —п
(я ^ 0) T{s) имеет полюса.
Справедлива формула
1 е1"
у
Она следует из (9) и A0). В самом деле,
1 sinji(s+ 1) г , . sinjis .
_____ я 1 {-s) _i i-s)_
-ins_Jns Г Jns Г
= —-—-— e~^~s-1 dtp = ——r-
V Y
4. Интегральное представление функции Бесселя. Покажем
теперь, что функция
/ (х) L e-ix sin ф+^Ф ^д,
Со
разлагается в ряд A5) § 1. Для этого преобразуем контур Cft
(см. стр. 658), полагая р = -|-е-'(<Р-л> (х>0). Из таблицы
ф/оо + яя -=- 0 — п — я +' °°
2
п
е Т*

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 661*
видно, что Со преобразуется в контур у, показанный на рис. 98*
который состоит из луча (+ °°. х/2), окружности С* радиуса 0,5*
и луча @,5х:, + оо). Вычисляя
преобразуем интеграл A3) к виду
Разложим ехр(х2/4р) в степенной ряд и подставим в A4):
fe=0 V
Пользуясь затем формулой A2) для 1/Г(& + v -f 1), получим
\2ft+v
)
Таким образом, функция A3) есть функция Бесселя /v (x), вве-
введенная в § 1, п. 1. Преобразуем ин-
интеграл A3), разбив его на три части:
по оси ф1 (от —я до я) и по бесконеч-
ным ветвям. Для вычисления инте-
интеграла по ветвям (±я -f- ioo) введем Рис. 98.
новую переменную, полагая соответ-
соответственно ф = ig ± я. В результате получаем для функции Бесселя,
v-ro порядка следующее интегральное представление:
/v(Х) = -i- jjrtx sin v+m d(p _ ™}p_ J e-x sh B-vt db (i5y
-л О
Если v = n целое число, то sin nv = 0 и
л
7« w=~k J e~ix sln ф+'пф rf(p-
Отсюда, в частности, следует, что для плоской волны e~ixBin<t"
имеет место разложение в ряд Фурье

662 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
так как A6) есть формула для коэффициента Фурье этого раз-
разложения. Полагая <р = if + я/2 и учитывая, что, в силу перио-
периодичности подынтегральной функции в A6), интегрирование
можно производить по любому промежутку длиною 2я, получим
вторую интегральную формулу:
л
/п (*) = -Ц- J е-'*cos ¦+««* Л|), A7)
—л
которая соответствует следующему разложению плоской волны:
В частности, при п = 0 имеем:
л
'oW^-gr Je-tecoe*rf*. A8)
—л
5. Интегральное представление /Су(х). Покажем, что для
функции Кх(х) мнимого аргумента, определяемой по формуле
(см. §3),
—JTVf
\ A9)
¦справедливо интегральное представление
оо
Ку (х) = 4" J е-' ch *-* d%, x>0, B0)
Отсюда видно, что Kv(x) — вещественная монотонно убы-
убывающая положительная функция. При v = 0 формула B0) дает
e-*<**dl. B1)
о
Для доказательства B0) обратимся к A9) и представлению
E) для функции М". Пусть Cit^—контур (рис. 99), у которого
вертикальные части пути Ci вместо — я и 0 имеют абсциссы
—я —ф и if (<|)<0); в частности, Cii0 = Ci. В силу теоремы
Коши замена Ci в E) контуром Ci,^, не влияет на значение
интеграла, если при больших |ф2| выполнено условие сходи-
сходимости интеграла Re(—ix sin ф) < 0, где х = хх + ix2, ф = ф1 +]
4- 1ф2- В силу A9) нас интересует функция Ханкеля Н^ (ix)
чисто мнимого аргумента. Условие сходимости при Xi = 0, х =
~= ixz, ф = ф имеет вид х% sin ф1 ch фг •< 0 или х% sin ф <; 0. Мы

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
663
выберем контур С\ш -л/2 при -ф = — я/2. Заменим х2 на х и вве-
введем новую переменную интегрирования g, положив ф = —?- + *"!;.
тогда
примет вид
"г*
Рис. Уу.
= id%, sin ф = cos ig = ch g и интеграл E) no Ci,
1
J e-* ^ s-
Отсюда и из A9) следует B0).
6. Асимптотические формулы для цилиндрических функций.
Пользуясь методом перевала1), покажем, что для функций
М,1>2)(л:), определяемых при помощи контурных интегралов E),
справедливы при больших значениях вещественного аргумента
х > 0 следующие асимптотические формулы:
B2)
') М. А. Лаврентьев, Б. В. Ш а б а т, Методы теории функции ком-
комплексного переменного, Физматгиз, 1958.

664
ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[Ч. I
Отсюда, в силу п. 4 § 1, будет следовать, что функции E) тож-
тождественно совпадают с функциями Ханкеля, введенными в § 3
при помощи формул A2), A3).
Из формул H(y = Jv-\-iNv, H(? = Jv — iNv и B2) следуют
асимптотические формулы для функций Бесселя Jv(x) и функ-
функций Неймана Nv(x):
/„(*) =
-к), B3)
B4)
Напомним, что в п. 4 мы доказали тождественность функ-
функций Jv(x), введенных при помощи контурных интегралов,
с функциями Jx{x), введенными в § 1 при помощи рядов.
При выводе асимптотических формул B2) мы будем поль-
пользоваться контурными интегралами E). Рассуждения достаточ-
достаточно провести для #v' (х). Подынтегральная функция
e~lx sin Ф+tvcp^ х > О,
в формуле E) не имеет особенностей в конечной части пло-
плоскости комплексного переменного ф.
Поэтому, в силу теоремы Коши, контур интегрирования в ко-
конечной плоскости можно произвольно деформировать при усло-
условии, что асимптоты ветвей контура, уходящих в бесконечность,
лежат в тех же заштрихованных поло-
полосах плоскости ф, как и для контура Си
Если выбранный контур Ci целиком ле-
лежит в заштрихованной области
(рис. 100), то во всех точках, где БШф ^=
Ф 0, подынтегральная функция экспонен-
циально стремится к нулю при х—»оо,
так как Im sin ф < 0. Если отдельные ча-
части контура проходят по незаштрихован-
ной области, то на этих частях в под-
подынтегральном выражении происходят
сложные интерференционные явления.
Для выяснения асимптотического
поведения функции #У' {х) при больших
значениях аргумента х целесообразно
контур Ci выбрать так, чтобы он цели-
целиком лежал в заштрихованной области. Такой контур очевидно
пройдет через точку —я/2, в которой действительная часть
JRe(—/sin<p) =С08ф18Пф2 обращается в нуль. При х—*<х под-
подынтегральная функция в окрестности этой точки не стремится
Рис. 100.

§ 4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ В ВИДЕ КОНТУРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 665
равномерно к нулю, поэтому главной частью интеграла по Ct
при х—»оо является интеграл по малой дуге, содержащей точку
Ф = —я/2. С этой точки зрения Ct следует выбрать так, чтобы
на нем множитель e~ixBln<f убывал наиболее быстро при удале-
удалении от точки ф = —я/2. Рассмотрим «топографию» функции
e-ix sin <р в окрестности ф = —я/2. Положим ф= —-»¦ + sem. Для
малых значений s найдем:
-J-sin2e-H(l — -
Для действительной части Re(— / sin ф) = y s2 sin 26 точка
s = О является седловой точкой: в заштрихованных полосах эта
функция отрицательна, в незаштрихованных областях — поло-
положительна, а при s = 0 (ф = —я/2) обращается в нуль. На-
Направление 6 = 60 = —я/4, очевидно, будет направлением наи-
s2
быстрейшего спуска (убывания) для функции -5- sin 26. Отсюда
следует, что и для модуля функции e~ix Bln ч> точка s = 0 яв-
является седловой, а 6о =' —я/4 соответствует направлению бы-
быстрейшего спуска.
Выберем контур d так, чтобы он содержал прямолинейный
отрезок С\е (—e<s<e), проходящий через точку s = 0
(ф = —я/2) под углом 6о = —я/4, а его ветви, уходящие
в бесконечность, целиком лежали в заштрихованных областях
(рис. 100).
Подынтегральная функция в E) экспоненциально убывает
при удалении от точки s = 0. Поэтому с точностью до экспо-
экспоненциально убывающего слагаемого можно написать:
n J n
C, -e
i
так как вдоль С1е ф = — -^- + se~IIt/4, dq> = e 4 ds, — isintp я*
«* — -j- + i, etv4> ^ e 2 , a s изменяется от е до — e. Введем
обозначения g = sYx/2, d\ = ]/x/2 ds, a = Yx№- Тогда

«666 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
Ed оо
Если х-э-оо1), т. е. <х-»оо, то Г е~^ dl~* Г e~52 dg = ]/я".
—еа —со
Отсюда находим первый член асимптотической формулы B2).
Следующие члены разложения можно получить, если взять
члены более высокого порядка малости относительно s. Оценка
О 1—гА для остаточных членов в B2) следует из п. 4 § 1.
Отметим, что изложенный выше метод перевала или метод
седловой точки применим для получения асимптотического раз-
разложения ряда других функций, представимых в виде контурных
интегралов, а также для Hlv' (x) при v«j;->oo.
§ 5. Интеграл Фурье—Бесселя и некоторые интегралы,
содержащие функции Бесселя
1. Интеграл Фурье—Бесселя. Найдем разложение заданной
функции f(r) в интеграл по функциям Бесселя. Интеграл Фурье
для функции f(x) и соответственно для функции двух перемен-
переменных f(x,y), как известно, имеет вид
со со
к*>=-к J dVL Jf ® eiMx~l) d^ (!)
ОО 00
\ J . B)
—оо —оо —оо — оо
Вводя полярные координаты с помощью соотношений
x = rcos<p, g = pcosi|), (i =
у = r sirup; т] = р sirup; n/ =
.получим:
dldr\ = pdpdty, d]idn'
ЦХ + \l'y = Ir COS (g — ф), pg -f (i'T] = kp COS (ф — g).
Предполагая, что f{x, у) имеет вид
f(x,y)=f(r)e^, C)
где п—целое число, и преобразовывая с помощью написанных
') Ошибка, допускаемая при замене конечных пределов бесконечными,
лмеет экспоненциальный характер убывания, так как
J
d\ » е~г2/2г.

§ S\ ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ 667
выше соотношений интеграл Фурье B), находим:
оо оо Л
/ (Г) еш = J J f (р) р dpi dl • -^ J е'*»1 cos <Е-»)+'« E-ф) rfg . е«*р X
л
X — Г е-'1"cos »-E)+'n (Ф-6) dy. D>
—л
Воспользуемся формулами (см. A6), A7) § 4 п. 4)
л
1 Г
'п(г) = ~ J в'*
—л
л
1 Г
/»(z) = -^ J
г—
'e 2rf|/ (g=. я+ 10- F>
Так как подынтегральные выражения в E) и F) являются пе-
периодическими функциями | и |' и интегрировать поэтому можно
по любому промежутку длиной 2я, то можно написать:
л
dl = Jn{z)e 2, G)
1
2я
л
2я J
j>cosE-
—л
— 12 COS (б —
где |0 и |q — произвольные числа. Подставляя G) и (8) в D) и
сокращая обе части на е'пф, получаем интеграл Фурье —
Бесселя:
оо оо
f (г) = J J f (P) /„ (^Р) /„ dr) Я dk p dp (9)
о о
или
f (г) = J Ф (>•) /«(И ^ <«,. где ф (Я) = J f (p) /„ (Яр) р ф.
Для того чтобы разложение в интеграл Фурье — Бесселя
было возможно, достаточно потребовать от функции f(r), опреде-
определенной в промежутке @, со), выполнения следующих условий:
1) f{r) непрерывна в промежутке @, оо);
2) f(r) имеет конечное число максимумов и минимумов во
всяком конечном промежутке;

?68 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Г
3) существует интеграл
оо
\p\f(p)\dp.
о
На доказательстве этого мы не останавливаемся.
2. Некоторые интегралы, содержащие функции Бесселя.
В различных приложениях часто встречаются определенные ин-
интегралы, содержащие бесселевы функции
К числу наиболее распространенных интегралов этого типа
принадлежит интеграл
оо
В, == J е-*Ча (рк) dk = y== (z > 0). A0)
Для доказательства этой формулы заменим /0 ее интегральным
выражением (A6) § 4) и затем изменим порядок интегриро-
интегрирования:
оо оо Л
Bi = J е~*Ч0 (pi) dl = — J е~А dl J е-'«* sl« » dtp =
0 0 -л
Л оо П
=4- Г «ftp f в-*н-»«1пФ)х<о||= * Г d<p.—=
2я J YJ 2я J г + /p sin ф
л 0
—л
л
1 Г zdy if p sin ф dtp 1 Г
"йГ J г2 + р2 sin2 ф ~ 2я J 22 + р2 sin2 ф ~ "я* J
22 + p2 Sin2 ф *
—л — я О
так как
л
Г sin ф dq> _»
J z2 + р2 sin2 ф
л
в силу нечетности подынтегрального выражения.
•*—г^ I= 4t полу-
получаем:
_ 1 Г zdq> 2г Г dq>
°1~~п] г2 + р2 sin2 ф n"J 22 + р2 sin2 ф
о о
оо
+ n2

SSI
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ
669
тем самым формула A0) доказана. Пользуясь A0), сразу же
находим:
оо
Г /, (рХ) е~* dX - (l - . z )
(И)
Полагая в формулах A0) и A1) z = ia и разделяя действи-
действительную и мнимые части, получаем ряд следствий:
J0{рХ) cos aXdX ¦¦
Jx (pX) sin aX dX ¦¦
при р>я; A2)
J /0 (рЯ) si
sin aXdX = -
a2 — p2
при а > p;
A3)
Г /, (pX)cosaXdX = — (l r a ),
oo
J /, (pX) sin aX dX = 0
о
Докажем вторую интегральную формулу
при а>р. A3')
A4)

670 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. Т
Подставим в эту формулу вместо /v степенной ряд и произ-
произведем почленное интегрирование (/ > 0!):
_У (-1)* (P\2k+V f\»+2v+I -W-
D2~~ZiT(k + l)T(k + v + l) \2) JA e aA"
fc=0 0
Вычисляя вспомогательный интеграл
J е dA — ft+v+1 J в | rig — 2,ft+v+i r(ft + v+ I),
о о
получаем:
\4t) —2Г\!г
ft=0
что и требовалось доказать.
Отметим, что вычисление В, можно провести аналогично,
разлагая бесселеву функцию в ряд и производя затем почленное
интегрирование.
Рассмотрим интеграл
A5)
J
Нетрудно убедиться, что он является решением уравнения
1 \ дх2 ду2 dz2 )
Функция
также удовлетворяет волновому уравнению (г > 0)
Ли0 + k2v0 = — -гр- (rv0) + k2v0 = — k2 1- k2v0 = 0.
Разложим функцию vo(p) = eikli/p в интеграл Фурье — Бесселя:
A6)
о
где

§5] ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ 671
Для вычисления функции F(K) воспользуемся формулами A2)
F (Я) = J /0 (Яр) (cos kp + i sin kp) dp =
если Я > k,
= , ' _ , если k > Я.
Таким образом,
со
¦?!^= Г/0(рЯ) rXdX , A8)
р J У Я,2 к2
О
т. е. функция
eikVp2+z2
совпадает с интегралом С(р, 2) при 2 = 0. Итак, обе функции
vo(p, z) и С(р, 2)
являются решениями волнового уравнения, совпадают при
2 = 0и имеют в точке 2 = 0, р = 0 одинаковую особенность.
Отсюда следует, что они тождественно равны друг Другу,
т. е.
eikVv>+z' ^
VX2-k2 /P2 + z2 '
Полученная формула широко применялась А. Зоммерфельдом
в физических исследованиях и часто называется формулой
Зоммерфельда.
часть п
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Сферические функции были введены в связи с изучением ре-
решений уравнения Лапласа и, в частности, с теорией потенциала.
В § 1 мы рассматриваем полиномы Лежандра, которые исполь-
используются затем для построения шаровых и сферических функций
(§ 2). Сферические функции являются весьма мощным аппаратом
для решения многих задач математической физики.

672 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. II
§ 1. Полиномы Лежандра
1. Производящая функция и полиномы Лежандра. Полиномы
Лежандра тесно связаны с фундаментальным решением уравне-
уравнения Лапласд -jr, где R—расстояние точки М от фиксирован-
фиксированной точки Мо. Пусть г и Го — радиусы-векторы точек М и Мо,
а 0 — угол между ними (рис. 101). Очевидно, можно написать
* V'о + г2 -2гг0 cos G
— ,/-., . === Для r<ro.
Го У 1 + Р2 — 2р*
1 1
г ==¦ ДЛЯ Г > Гп,
г /l+p*-2p* °'
A)
где х = cos G (— 1 <С х *SC 1) и р = — < 1 или р = — < 1 (в обоих
Го т
случаях р меньше единицы).
Функция
L2p, №<Р<Ь-1<*<1) B)
Называется производящей функцией полиномов Ле-
Лежандра.
Разложим функцию *? (р, х) в ряд по степеням р:
ЧЧр> х) = %Рп(х)Р\ C)
№=0
Коэффициенты Рп(х) разложения C) являются полиномами
и-й степени и называются полиномами
Лежандра.
В силу теоремы Коши из фор-
формулы C) следует, что
р (х\ — ' " т ___L_ _IJ=L±L/ff
D)
где С — любой замкнутый контур в плоскости комплексного
переменного g = | + Щ, содержащий точку Z, = 0. Полагая
У1 — 2-rt; + С2 = 1 — Sz. найдем ? = 2 (z — x)/(z2 — 1), dg =
= 2 A — t,z) dz/(z2 — 1), ^ (g, x) dg = 2 dz/(z2 — 1).
Формула D) примет вид
где Cj —любой контур, окружающий точку 2 = х.

§ II ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА g73
Учитывая, что
с,
и пользуясь формулой для производной
dx"c\ z~x JF^T1"*'
получаем из E) формулу для Рп(х):
Рп (х) = -з^т -^№ -1П- F)
Из формулы F) непосредственно видно, что: 1) Рп(х) есть
полином степени п; -2) Рп{х) содержит только степени х той
четности, что и номер п, так что
Рп(-х) = {-1)пРп{х). G)
Полагая лг=1, находим:
п=0
т. е. Р„A) = 1, и, ь силу G),
Р»(-1) = (-1)л. G')
Формула F) называется дифференциальной формулой для по-
полиномов Лежандра или формулой Родрига.
Заметим, что из A) и C) следует разложение потенциала
R
rn(cosV) при г<г0,
(8)
п=0
2. Рекуррентные формулы. Дифференцируя Ч^р, х) по р
и х, получим два тождества:
-Р)^ = О, (9)
-рЧ^^О. A0)
Запишем левую часть формулы (9) в виде степенного ряда
относительно р, подставив в нее ряд C) для Ч^ и ряд Чг.=
оо
= 2(n+I)Pn+iWpn- Коэффициент при р" полученного ряда,
22 А. Н. Тихонов, А5 А. Самарский

674 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. II
в силу (9), равен нулю при всех х:
(я + 1) Рп+1 (х) - х Bя + I) Рп (х) + яРп_, (*) = 0. A1)
Это тождество есть рекуррентная формула, связывающая три
последовательных полинома. Она позволяет найти последова-
последовательно все Рп(х) (п> I), если учесть, что F) дает
P0(x)=l,
-7 ¦ 1 UQhTTPHI P_ ( v\ —
Так, например, полагая в (II) гс= I, найдем Р2(х) = -=¦ (Зх2 — 1).
Выведем еще две рекуррентные формулы:
пРп (х) - хР'п (х) + P'n-i (х) = 0,
или
К-1 (X) = ХР'П (X) - ПР„ (X), A2)
К (х) - хК-\ (х) - nPn-i (х) = 0. A3)
Исключив из (9) и A0) УР, получим тождество рЧ^р —
— (х — р)Чгл = 0, из которого сразу следует A2), если в левую
часть этого тождества подставить ряд C) и приравнять нулю
коэффициент при р". Дифференцируя затем (II) по х и исключая
К-\=хР'п — пРп, ПОЛУЧИМ Р'п+1 ~ ХР'П — (П + 1)Рп = 0 ИЛИ A3)
после замены п + 1 на п.
3. Уравнение Лежандра. Найдем дифференциальное урав-
уравнение, решением которого является Рп{х). Для этого исключим
Р„_1 и Р'п-\ из A2) и A3). Сначала подставим Ргп-\ из A2)
в A3):
К - xP'n-l — nPa-i =(l-X*)P'n + ПХРп - пРп-1 = 0,
затем продифференцируем полученное тождество по х и еще
раз применим формулу A2) для Р'п-\'-
1A - х2) К\' + пхК + пРп - пР'п-Х =
= [A - X2) Р'п] + ПхР'п + ПРп - (ПХР'П - П2Рп) = 0.
В результате приходим к уравнению
[(I — jc8) Pi]' + n(n + 1) Р„ = 0. A4)
Тем самым доказано, что полиномы Лежандра Рп (х)
являются собственными функциями, соответствующими соб-
собственным значениям %п = п (п + 1), следующей задачи:
найти такие значения X, для которых на отрезке —
существуют нетривиальные решения уравнения Лежандра

§1] ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА 675
ограниченные при х = ± 1 и ^удовлетворяющие условию нор-
нормировки уA)=1.
4. Ортогональность полиномов Лежандра. Уравнение Ле-
жандра A5) является частным случаем (при <7 = 0, р=1,
k(x)=l —Xs) рассмотренного во Введении уравнения
O. A6)
Поэтому к нему применима общая теория для уравнения A6).
Из этой теории следует:
1) полиномы Лежандра разных порядков ортогональны
между собой:
1
Г Рп {х) Рт (х) их = О при тфп;
-1
2) второе линейно независимое решение уравнения Лежандра
при % = п{п-\- 1) обращается в бесконечность при х=± 1 как
1A)
Система ортогональных полиномов, как известно, является
замкнутой1). Поэтому уравнение Лежандра не имеет нетри-
•) Система ортогональных функций {ф„} называется замкнутой, если
не существует непрерывной функции, не равной тождественно нулю и орто-
ортогональной ко всем функциям данной системы.
Система ортогональных функций {ф„} называется полной в проме-
промежутке (а, Ь), если любую непрерывную функцию можно аппроксимировать
в среднем с любой степенью точности при помощи линейной комбинации функ-
функций {фп}. Иными словами, какого бы ии было е > 0, всегда можно указать
такую линейную комбинацию функций
5п==с,ф,+ ... +с„ф„,
что
ь
\[f(x)-Sn{xWdx<z.
а
Для полной системы функций {фп} имеет место соотношение
Ъ оо
n=l
где fn — коэффициенты Фурье функции f (x)
ь
Замкнутость есть следствие полноты. Пусть даиа некоторая полная си-
система ортогональных функций {фп(л:)}. Допустим, что существует непрерывная
функция f(x)^O, ортогональная ко всем фп(л:). Тогда в силу полноты
22*

676 ДОПОЛНЕНИЕ И. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. II
виальных ограниченных решений ни при каком Кфп(п-\-1).
В самом деле, если бы существовало решение у(х) для К Ф
Фп{п-\-\), то оно было бы ортогонально во всем Рп{х).
Отсюда, в силу замкнутости системы ортогональных полиномов
{Рп(х)}, следует, что у(х) н= 0. Тем самым доказано, что мы
нашли все ограниченные нетривиальные решения уравнения Ле-
жандра.
5. Норма полиномов Лежандра. Вычислим норму || Рп || поли-
полиномов Рп{х):
И Я» 11=1 lfi(x)dx\ .
Применим рекуррентную формулу A1) дважды: сначала вы-
выразим из нее (предварительно заменив в A1) п + 1 на п) Рп
через Рп-1 и Рп-г, а затем хРп — через Pn+i и Pn-i- Учитывая
ортогональность полиномов Рп, Рп-\, Рп-2, получим:
1
п f = ^ J Рп (х) {Bп - 1) */>„_, (х) - (rt - 1) Р„_2} dx =
I
= 2«ZlL J {xPn) pn_x dX = |j^i || Р„_, f.
1
J
-I
J
—1
Последовательное применение этой формулы дает ||Р„|р =
— 2п . {||Pc\f. Подставив сюда || Pof=\\ I IF = 2, находим квадрат
нормы
системы функций {фп} должно иметь место равенство
Ъ оо
п=\
так как /„ = 0 по предположению. Отсюда следует, что f = 0, что противо-
противоречит сделанному допущению, т. е. система {фп(*)} является замкнутой.
Полнота и, тем самым, замкнутость системы ортогональных полиномов
{Рп(х)} является следствием теоремы Вейерштрасса о возможности
равномерной аппроксимации непрерывной функции при помощи полиномов:
какова бы ни была непрерывная функция f(x), заданная в промежутке (а,Ь),
и каково бы ни было е > 0, существует такой полином Qn(x), что
\f(x)-Qn(x)\<B- (A)
В самом деле, представляя полином Qn(*) в виде линейной комбинации
ортогональных полиномов {Рп(х)) и пользуясь неравенством (Л), мы получим
условие полноты системы ортогональных полиномов.

¦§ 1]
ПОЛИНОМЫ ЛЕЖАНДРА
677
Таким образом,
i @, тфп,
Pm(x)Pn(x)dx = \ 2
A8)
6. Нули полиномов Лежандра. С помощью формулы Родри-
га F) можно доказать теорему:
Полином Лежандра Рп{х) имеет п нулей, расположенных на
интервале —1<х<1, а его производная к-го порядка kfCn,
имеет п—k нулей внутри интер-
интервала (¦—1, 1) и не обращается в
нуль на его концах.
Действительно, функция w =
= (х2— 1)п обращается в нуль
на концах интервала (—1, 1). Ее
производная w'(x) обращается в
нуль при jt=l и х = -1 и по
теореме о нуле производной _,*"
имеет хотя бы один нуль внутри
интервала (—1, 1). Вторая про-
производная w"(x) имеет, по край-
крайней мере, два нуля внутри интер-
интервала и не обращается в нуль на его концах (рис. 102). Про-
Продолжая рассуждения, приходим к заключению, что п-я произ-
производная хю<-п1(х) имеет, по крайней мере, п нулей на интервале
(—1, 1) или, точнее, ровно п нулей, так как она есть полином
п-й степени. Первая часть утверждения доказана. Производная
Р'п(х) по той же теореме должна иметь, по крайней мере, п— 1
нуль внутри (—1, 1), но она есть полином (п—-1)-й степени и
потому имеет ровно п — 1 нуль внутри интервала. Далее sa-
saключаем, что —^ Рп(х) имеет п — k нулей внутри интерва-
интервала (-1, 1).
7. Ограниченность полиномов Лежандра. Покажем, что по-
полиномы Лежандра Рп(х) равномерно ограничены для всех зна-
значений аргумента —1 ^ *;?: 1:
Рис. 102.
Для этого н.ам понадобится интегральное представление
A9)
Выведем формулу A9). Возьмем в E) в качестве контура Су
окружность радиуса R=Y\—х2 {\х\<\) с центром в точке

678 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. IF
z = х. Тогда z = х + /Т=3?е*», rfz = i Vl— x2el*dq>, (z — x)n+1 =
n+l
= (i — ?) 2 e« (n+о »t г2_1== ^2_ i + (i _
(t + () j1y
= y^l—jeV» [2x+Vl—x2 (e"» — e-'*)] = 2 /1 — ^2егч> [л: + i X
X Vl —д^втф]. Подставляя эти выражения в E), получим A9).
Если — I <;х«SC1, то |л: + / Yl -^sinipl^ 1 и из A9) сразу
следует ограниченность Рп{х).
§ 2. Присоединенные функции Лежандра
1. Присоединенные функции. Рассмотрим следующую за-
задачу:
найти собственные значения и собственные функции урав-
уравнения
при условии ограниченности
\У{±1)\<°°. B)"
Уравнение A) является частным случаем уравнения (8),
рассмотренного во Введении, при k(x) = 1—xz, q(x) =
= m2/(l—хг), р = 1, a = —1, 6=1. Так как коэффициент
Аг(лг) = 1—х2 обращается в нуль на обоих концах отрезка
—1 ^ л: ^ 1, то естественное условие ограниченности ставится
при х = —1 и х = 1. В силу леммы 2 Введения решение у(х)
задачи A) должно при х = ±1 иметь нули порядка v, где
v = т/2. Отсюда следует, что решение задачи A) естественна
искать в виде
у (х) = A - x2)ml2 v (х), 0{±1)Ф 0. C>
Подставляя C) в уравнение A), найдем:
A — х2) v" — 2 (т + 1) Vе + [К — m(m + l)]v =0. D)
dmz
Это же уравнение получается для производной , m решения
уравнения Лежандра A5) § 1, если его продифференцировать
m раз. Нетривиальное ограниченное решение z = Рп (х) урав-
уравнения Лежандра существует лишь при К = п(п +.1), где п — це-
целое положительное число. Отсюда следует, что
o(*) = Я = п(п+1) E>

¦§ 2] ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 679
•есть решение уравнения B), а функция
^ F)
¦есть собственная функция задачи A), соответствующая собст-
собственному значению
Я„ = п(п+1), п=1, 2, ... G)
РТ\х) называется присоединенной функцией Лежандра т-го по-
порядка. Очевидно, что Рп)(х) = Рп(х), РТ){х)^0 лишь при
т <С п.
2. Норма присоединенных функций. Согласно общей теореме
на стр. 630 присоединенные функции Р^т> образуют ортогональ-
ортогональную систему. Вычислим норму [flT'l присоединенных функций.
Попутно будет доказана их ортогональность. Умножим уравне-
уравнение D) на A—хг)т и учтем E). После замены т + 1 на т
получим:
Введем обозначение
Lik=\е»(х)нт)(г)dX = JA -хт dZn dZk dx-
-1 -1
Интегрирование по частям дает:
Подстановка обращается в нуль, а подынтегральный член,
в силу (8) и G), преобразуется к виду
Из этой рекуррентной формулы следует
.l?.k = (n + m){n + m-l)...(n+l)n...
(n + m)! n\
п\ (п - т)! Ьп- к~~ (п- т)\ "
Выражение для L°,fe дается формулой A8) § 1, так как Рп) =
3 результате получаем:
1 [ 0 при кфп,
(x)dx = \ 2 (n + m)l
I 2n + l (n-m)\
1

680 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ |Ч. If
т. е. присоединенные функции ортогональны между собой к
квадрат нормы присоединенной функции Р^^ равен
(и-т)! '
3. Замкнутость системы присоединенных функций. Докажем,,
что система присоединенных функций {Pnm)(jt)} полностью ис-
исчерпывает все ограниченные решения уравнения A).
В самом деле, при К = п(п+ 1) решение, линейно независи-
независимое с Р(™* (х), обращается в бесконечность при x=±L
Ограниченное же решение при А ф п(п -f- 1) должно быть орто-
ортогонально ко всем PIT' (л;);
Для того чтобы убедиться, что не существует ограниченных
решений уравнения A), отличных от PJ,m)(jt), достаточно уста-
установить, что система присоединенных функций {р^т)(д;)} замкну-
замкнута, т. е. что не существует никакой непрерывной функции, не
равной тождественно нулю, которая была бы ортогональна ко
всем функциям системы.
Лемма. Любая функция f(x), непрерывная на отрезке
[—1, 1] и обращающаяся в нуль на его концах при х=1 и
х — —1, может быть равномерно аппроксимирована с любой
степенью точности линейной комбинацией из присоединенных
функций любого порядка т.
Заметим, прежде всего, что производные полиномов Ле-
dm
жандра -г-щ Рп (х) являются полиномами степени п — т. По»
скольку любой полином по степеням х может быть представлен
в виде линейной комбинации этих полиномов, то, в силу тео-
теоремы Вейерштрасса, любая функция f(x), непрерывная на от-
отрезке [—1, 1], может быть равномерно аппроксимирована с лю-
любой степенью точности при помощи линейной комбинации
й
dxm ¦ n w
n0
fW- ^e«^-p«W <e, если no>N(e).
Умножая это неравенство на A — х2)™12, получаем, что
Ы*)-
<е, если по> N(е),
где
т. е. любая функция f(x), представленная в виде A1), где
f(x) — функция, непрерывная на отрезке [—1, 1], может быть

-§ 2] ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА 681
равномерно аппроксимирована с любой степенью точности ли-
линейной комбинацией присоединенных функций.
Будем говорить, что функция fi(x) принадлежит классу #ь
если она непрерывна на отрезке [—1, 1] и тождественно равна
нулю в малых окрестностях точек х = —1 и х = 1.
f,(x) = 0 при |1— б|<|х|<1.
Так как для каждой функции fi(x) класса #t функция
? (х\ = fi(*)
и — *)
является непрерывной на [—1, 1], то тем самым лемма доказана
для функций класса #t.
Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную на от-
отрезке [—1, 1], обращающуюся в нуль на концах. Очевидно, что
эту функцию можно равномерно аппроксимировать при помо-
помощи функции fi(x) из класса #i с точностью до е/2:
Аппроксимируя fi(x) линейной комбинацией из присоединен-
присоединенных функций с точностью до е/2,
получаем неравенство
которое и доказывает лемму.
С помощью этой леммы легко доказывается полнота системы
присоединенных функций, а тем самым и ее замкнутость.
Напомним, что система функций {(рп(х)} называется пол-
полной на некотором отрезке [а, Ь], если любую функцию F(x), не-
непрерывную на [а, Ь], можно аппроксимировать в среднем с лю-
любой степенью точности при помощи линейной комбинации этих
функций
Ь г- . ru -i2
J \F (х) — 2 с„ф„ (*) dx < е, если по> N (е).
a L п=! J
Очевидно, что всякую функцию, непрерывную на отрезке
1—1, 1], можно аппроксимировать в среднем с любой степенью
точности при помощи, функции f(x), непрерывной на [—1, 1] и

682 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. \Т
обращающейся в нуль при х = ±lt
1
J [F(x) -f(x)fdx<e'.
Беря линейную комбинацию присоединенных функций, рав-
равномерно аппроксимирующих функцию f(x)
и пользуясь неравенством
получим:
1 1 1
J [>(*)-E]Sd*<2 J [^w-/wp^+2 J [f w-
-i -i -i
(если 2е/ + 4(е//J<е),
что доказывает полноту, а тем самым и замкнутость системы
присоединенных функций.
§ 3. Гармонические полиномы и сферические функции
1. Гармонические полиномы. Гармоническим полиномом на-
называется однородный полином, удовлетворяющий уравнению-
Лапласа
Нетрудно убедиться, что первые два однородных гармони-
гармонических полинома имеют вид
щ (х, у, z) = Ax + By + Cz,
щ (х, у, z) = Ах2 + By2 — (А + В) г2 + Сху + Dxz + Eyz,
где А, В, С — произвольные коэффициенты.
Определим число линейно-независимых однородных гармо-
гармонических полиномов степени п
««= 2 ам,г*Угг. * B)
Целая однородная функция степени п имеет (п -\- 1) (п + 2)/2
коэффициентов. Действительно, правую часть равенства B)
можно представить в виде
«о, о,nz" + (а,,о.n-ix + a0, i.n-iV) z" ... +
+ (an-i,o,i*"~I + ctn-2,i,i*'I~2#+ ... +ao,n-i,i2/"-1)z +
... -t-a0,n>0«/")z0..

§ 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 683
При zn имеется один коэффициент, при zn~l — два, . .., при z
имеем п коэффициентов, а при 2° число коэффициентов равняет-
равняется (п + 1), так что общее число коэффициентов равно
1+2+
Уравнение A) налагает на коэффициенты п(п— 1)/2 линей-
линейных однородных соотношений, так как Дып — однородная функ-
функция степени п — 2. Таким образом, полином должен иметь не
(п+1)(« + 2) (n— \)n „if л.
менее чем - -? -—^— = 2п + 1 независимых коэф-
коэффициентов. Если бы указанные («—1)п/2 соотношения оказа-
оказались линейно-зависимыми, то число независимых коэффициен-
коэффициентов было бы больше 2« + 1.
Покажем, что только 2« + 1 коэффициентов линейно незави-
независимы. Коэффициенты аР, q, r однородного полинома можно пред-
представить в виде
a»"-r plqlrl
Если ип — гармонический полином, то aPt q, r при г ^ 2 можно
выразить через коэффициенты аР, ч, о и аР, g, i, число которых
в точности равно 2« + 1.
Действительно,
2 #
Р-Ч'Г
-*\. dz2 \
Г &>и„ &>ип]
г~2 [ дз? ду2 \
а"-2
р! q\ r\ дхр ду" дгг
= PiC(p+2, q, r-2 + Р2ар, q+2, г-2-
"Поступая аналогично с коэффициентами aP+2,q,r-2 и аР,я+2,г-2,
мы в конце концов выразим аР, q, r через коэффициенты типа
«р, я, о (Р + Q = п) и аР. я, 1 (Р + 0 + 1 = п) • Число коэффи-
коэффициентов вида ар, д,о равно (п + 1), a aP,q,r равно п. Таким об-
образом, общее число линейно-независимых коэффициентов, а
следовательно, и независимых гармонических полиномов п-й
степени в точности равно 2« + 1.
Однородные гармонические полиномы называются шаро-
шаровыми функциями.
2. Сферические функции. Сферические функции проще всего
могут быть' введены при решении уравнения Лапласа для ша-
шаровой области методом разделения переменных.
Будем искать решение уравнения Лапласа в переменных
(г, е, Ф)
А 1 д I , ди \ , 1 д I . . ди\ . 1 д2и п ...
А"^Г) + 18Ш0) + 0 (!>

R84 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 14. 1Г
полагая
и(г, 0, y) = R
Для определения R(r) получаем уравнение Эйлера
а для определения У@, ф) —уравнение
с дополнительным условием ограниченности функции Y на всей
сфере.
В частности, функция У@, ф) удовлетворяет условиям
=Г@, Ф),
я, ф)|<сх>
. }
Ограниченные решения уравнения E), обладающие непрерыв-
непрерывными до 2-го порядка производными, называются сфериче-
сферическими функциями.
Решение задачи для У@, ф) ищем также методом разделе-
разделения переменных, полагая
?(в, Ф) = в(9)Ф(ф).
Функция Ф(ф) удовлетворяет уравнению
и условию периодичности
Задача для Ф(ф) имеет решение лишь при целом ц = т2 в
линейно-независимыми решениями являются функции совтф в
sin пир. Функция 6@) определяется из уравнения
sine
и условий ограниченности при 6 = 0 и 8 = я.
Вводя переменную
и обозначая X(t) \t= cose = ^(cos 0) = 6@), получим для X(t}
уравнение присоединенных функций

5 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 685
Уравнение F), как мы уже видели в § 2, допускает ограничен-
ограниченные решения лишь при Я, = п(п + 1)
т=\ У},(в. Ф)=^«)(со8в)со8ф, У!,"(в, ф)—^"(cos6)sin ф,
=k У<Г*'@, ф)=Р^ (cos 0) cos fop, Y{^(Q, (p)=P^(cosQ)sink((>
(k=l, 2 n).
где т ^ п.
Выпишем полученную систему сферических функций n-го по-
порядка. Условимся приписывать отрицательный верхний индекс
тем функциям, которые содержат cos fop, и положительный —
тем функциям, которые содержат sin fop. Тогда будем иметь:
G)
Число различных сферических функций «-го порядка У„ равно
2п-\-1. Линейная комбинация этих 2п-\-I сферических функ-
функций G)
П
У„ (в, Ф) = 2 (Апт cos тФ + Впт sin гщ) Pf (cos 0) G*)
т=0
ИЛИ
п
Уп[р, ф)= ^j Cmnyn 10, ф),
/Л*22—ft
где
_f-4nm при т<0,
т"~1В„т при т>0
является также сферической функцией и называется сфериче-
сферической гармоникой.
Функции Yn} — Pn(cos0) не зависят от ф и называются зо-
зональными. Так как Рп@ в силу леммы § 1, п. 6 имеет ров-
ровно п нулей внутри промежутка (—1, +U. то сфера разделяется
на (п+1) широтных зон, внутри которых зональная функция
сохраняет знак.
Рассмотрим поведение функции
f=cosel cosfop
на сфере. Так как sin 0 обращается в нуль на полюсах, sin fop
или cos fop обращаются в нуль на 2k меридианах, а—^ЛДО

686
ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[Ч. II
в силу той же леммы — на (n — k) широтах, то вся сфера раз-
разбивается на клетки, в которых Y{*k) сохраняет постоянный знак
(рис. 103). Функции Y{rTk) (при k > 0) называются т е с с е-
ральными.
Вернемся теперь к отысканию функции R. Будем искать
функцию R(r) в виде
Подставляя искомую форму решения в уравнение D), получим
характеристическое уравнение для
определения а:
откуда находим два значения ai
а = п и а= — (я + !)•
Следовательно, частными решения-
решениями уравнения Лапласа являются
функции
гпУ™ F, ф), G0
Рис. 103.
первая из которых, очевидно, соответствует решению внутрен-
внутренних задач, а вторая — внешних задач (см. § 4, п. 1).
Покажем, что найденные решения уравнения Лапласа яв-
являются однородными полиномами n-й степени. Общий член, на-
например, в формуле G') можно записать так:
v = rn sinfe 0 cos
-fe~2« 0,
где q изменяется от 0 до (п — k)/2. Функцию v можно предста-
представить в виде произведения трех полиномов;
где
v = щ • щ • щ,
щ = гк sin* 0 cos kq> = Re [r sin бе'""»]* = Re [(* + iy)%
U2 =
-fe-2<? 0 = Z«-fe-2
Отсюда ясно, что функция rnY^(Q, <p) есть однородный гармо-
гармонический полином степени k -\- я— k — 2q -j- 2q = я.
Очевидно, что сферические функции являются значениями
шаровых функций G') и G") на сфере радиуса единица.

§ 3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 687
3. Ортогональность системы сферических функций. Докажем,
что сферические функции, соответствующие различным значе-
значениям А, ортогональны на поверхности сферы 2- Пусть У[ и Уг
удовлетворяют уравнениям
Д6.(/1-г-Ь1Г1=0; Ае. фУ2 + 12Y2 = 0, E)
где
д \sin е Ж) + "Sii?F "л?"'
Нетрудно видеть, что имеет место формула
(dQ = sin 0
легко получаемая интегрированием по частям.
На поверхности сферы
так что
Ае, ф« = div grad и
и формулу (8) можно записать в виде
J J У2 АУ, rfQ = — J J grad YA • grad Г2 • du.
Меняя местами в формуле (8) функции У1 и Y2 и вычитая по-
полученную формулу из формулы (8), будем иметь:
J=jj {У2Ае,ФУ. - УЛ.Ф^dQ = 0. (9)
Формулы (8) и (9) являются формулами Грина для оператора
сферических функций.
Из формулы (9) легко следует ортогональность функций У4
и Уг. В самом деле, пользуясь уравнениями E), получим из
формулы (9)
/ = (Л2 —Я,)
откуда при ^ Ф %2
J J F1

688
ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[Ч. II
ИЛИ
@, ф) Y2 @, Ф) sin QdQd<p = 0.
о о
Тем самым доказана ортогональность сферических функций, со-
соответствующих разным А.
Выше мы получили для %= п(п + 1) систему 2п -\- 1 сфе-
сферических функций п-го порядка. Докажем, что и эти сфериче-
сферические функции ортогональны между собой на сфере.
Пусть Kjf'* и Y{nг) — две сферические функции. Интегрируя их
произведение и пользуясь формулой (9) § 2, получим:
и
2Я П
= J J У?1' @, ф) К<?!> @, Ф) sin 0 dQ dq> =
0 0
2Я П
J cos /г,ф cos ^2ф ^ф J F%l) (cos 0) Piftl) (cos 0) sin 0 dQ =
2л +1
= J COS &,ф COS ktff dtp J Р|?
О -1
0
при
К ф k2,
2n
(n-fe)l
2n
при
(80
т. е. сферические функции, определяемые формулой G), обра-
образуют ортогональную систему в области 0^0^ я, 0^ф^2я
и имеют квадрат нормы, равный
2л л
о о
о о
где е0 = 2, eft = 1 при k > 0.
Предполагая возможность разложения произвольной функ-
функции /(8, ф) в ряд по сферическим функциям (возможность та-
такого разложения для дважды непрерывно дифференцируемой
функции будет подробно обоснована ниже, п. 5), допускающий
почленное интегрирование, получим
ТО П
f @, ф) = 2 2 (Лпт cos mq> -f Bnm sin тф) f*nm) (cos 0),
0 0

§31
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
689
где Апт и Впт — коэффициенты Фурье, определяемые форму-
формулами
2л л
J J f F, ф) P*,m) (cos 6) cos гщ sin 6 г!в rf<p
'Irtm
О О
2л П
J J f F. ф) Я(„т) (cos G) sin тф sin 6 rf9 d<p
О о
(9)
2яет (п + тI |
~ 2ft+l (ft —т)! ' т \
2 при т = 0,
1 при т > 0.
Общее решение уравнения Лапласа можно представить
в виде
и(г, 0, ф) = \. I —I Yn(Q, ф)
п=О
для внутренней краевой задачи или
~ \п+1
«(г, в. ф)=5Кт)п
п=0
для внешней краевой задачи, где
оо
Yn (в, Ф) = 2 {<W cos тф + р„т sin тФ} /4т) (cos 0)
т=0
— сферическая гармоника.
4. Полнота системы сферических функций. Докажем полноту
системы сферических функций, определяемых формулой G).
Докажем сперва, что любая функция /@, ф), имеющая непре-
непрерывные вторые производные, может быть равномерно аппро-
аппроксимирована некоторым полиномом из сферических функций.
Рассмотрим разложение такой функции в ряд Фурье
оо
^@, ф)= 2 [Ащ F) cos тф + Вт @) sin тф].
т=0
Используя ограниченность второй производной, легко оценить
коэффициенты Ат и Вт этого разложения
I Л I ^ ''* . In I ^ 'W
где
= max|/W|.

690
ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[Ч. (Г
Отсюда следует, что для остаточного члена ряда Фурье имеет
место равномерная оценка
f —
cosгщ + Вт(В)skimp]
m=0
=|#mo|<2M J]i
A0)
где e' > 0 — любое наперед заданное число.
На основании п. 3 § 2 коэффициенты Фурье Лт@) и Вт(В),
являющиеся непрерывными функциями 0, обращающимися в
нуль при 0, равном 0 и л, могут быть равномерно аппроксими-
аппроксимированы линейными комбинациями присоединенных функций
т-то порядка
k—0
2mo+l
2mo+
(И)
Тогда из неравенств A0) и A1) будет следовать:
f@, ф) — 2 2 [aftPim)(cos0)cos/^ +
+ bkP™ (cos 0) sin тф] | < 2e', A2)
что и доказывает возможность равномерной аппроксимации лю-
любой дважды дифференцируемой функции /F, ф) полиномом из
сферических функций. Отсюда следует, что и любую непрерыв-
непрерывную функцию можно равномерно аппроксимировать полиномом
сферических функций, что и доказывает полноту системы функ-
функций, определяемых формулой G). Из полноты этой системы сле-
следует ее замкнутость.
Таким образом, доказано, что уравнение сферических функ-
функций не имеет ограниченных решений при %фп(п-{-1) и что вся-
всякая сферическая функция n-го порядка (при К = п(п+1))
представима формулой G*).
5. Разложение по сферическим функциям. Сферические функ-
функции являются собственными функциями уравнения
1
sine
= О или
= 0 A3)
на поверхности сферы 2 @ ^ Ф ^ 2я, 0 ^ 0 ^ я) при допол-
дополнительных условиях ограниченности.
Для обоснования разложимости произвольной дважды не-
непрерывно дифференцируемой функции /@, ф) в ряд по сфери-

4 31 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 691
ческим функциям перейдем к соответствующему интегральному
уравнению. С этой целью построим функцию источника урав-
уравнения
. 1 д I . _ ди\ . 1 д2и п
А" (81пе) + 0
удовлетворяющую условию ограниченности решения при 0 = 0, я.
Как было отмечено выше
де. <рм = (div grad м)е, ф A5)
на поверхности сферы. Уравнение A4) можно рассматривать
как уравнение стационарного распределения температуры или
стационарного электрического тока на поверхности сферы.
С этой точки зрения понятно, что невозможно построить ре-
решение однородного уравнения
Ле.Ф" = 0 A6)
с особенностью в одной только точке, так как для возмож-
возможности существования стационарной температуры необходимо,
чтобы сумма источников и стоков равнялась нулю.
Введем обобщенную функцию источника, которая в нашем
случае должна быть решением уравнения
Ае, (fU — Q (<7 = 1/4я), A7)
регулярным всюду, кроме полюса 0 = 0, где она должна иметь
логарифмическую особенность. Правая часть уравнения A7)
означает плотность отрицательных источников (стоков) тепла,
равномерно распределенных по поверхности сферы так, что
JJVcr=l. A8)
Предполагая, что искомая функция источника и является функ-
функцией только одного переменного 0, получаем для нее обыкно-
обыкновенное дифференциальное уравнение, решая которое найдем:
и — — д In sin 0 + clntg-^-- A9)
Требуя, чтобы и имело особенность только при 0 = 0, полу-
получаем:
и = — 2q In sin -к —
Так как щ = const является решением однородного уравнения,
то функция источника G определена с точностью до произвольной

692 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ |Ч. II
постоянной. Поэтому мы можем написать:
C = -J-lnsIn|-. B0)
Если источник находится в некоторой точке Мо, то функция
источника имеет вид
^ B1)
где \ММо— угловое расстояние между точками МоFо,фо) и
6,ч>)*).
Перейдем теперь к решению неоднородного уравнения
*'FЧ>). B2)
Это уравнение может иметь регулярное всюду на Б решение
только при выполнении условия
O, B3)
выражающего, что сумма источников и стоков должна быть
равна нулю. Его легко получить из формул Грина для опе-
оператора Де, (р, установленных в п. 3.
Покажем, что всякое решение уравнения B2), удовлетво-
удовлетворяющее условию B3), представимо в виде
и(Щ = J J G(М, P)F(P)daP + A,
где А — некоторая постоянная, a G (М, Р) — функция источника,
определяемая формулой B1). Пусть М —некоторая фиксиро-
фиксированная точка сферы, в которую мы помещаем северный полюс
@ = 0), a Mi — диаметрально противоположная ей точка. Точки
М и Mi являются особыми точками уравнения B2). Поэтому
построим на Б в этих точках малые кружки Ке1 и К^1 и рас-
рассмотрим интеграл
/= ^j (uAG—GAu)do.
J) Угол v определяется из формулы
cos y = cos 6 cos 6o + sin 6 sin60 cos (ф — ф0).

§3] ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 693
Подставляя в правую часть выражения для Дм и ДО, имеем:
2Я Л—8
Г ^^ Г Г d^G
"i~ J sine J [U dq>2 ~~
о о
О е
2л
Учитывая, что в квадратных скобках стоят точные производ-
производные от выражений
п Г dG у-> ди 1 dG у-, ди ,2л г,
sin6 м-зп—G-^Q- и и-5 G~jr- = v, причем vt =0,.
получаем после интегрирования
2я
0
Далее, замечая, что
dG l^i-G 1,0
будем иметь:
2я
i_ Г г • jb_, js. t —
" 2П} *-Sln 2 C0S 2 C g 2 • "
[2n -in—e
6 Г ди I
n sm 2 j dQ ф — ,
0 Je
Отсюда видно, что
Следовательно,
lim /| = и (М) и lim /2 = 0.
8-»0 Е-»0
и (М) = J J G (M, P) F (P) dap + A, B4).
Л = -j— и rfa —
где
iff
¦ постоянная.
Решение нашей задачи определено с точностью до аддитивной
постоянной. То решение, для которого Г | и da=0, определяется

694 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ |Ч. 1Г
¦формулой
и (М) = J J G (М, Р) F (P) daР.
Применяя B4) к уравнению сферических функций Де_ ^и =
= —Ки, заключаем:
сферические функции, определяемые формулой G), пред-
представляют совокупность всех линейно-независимых собственных
¦функций интегрального уравнения
и (М) = Я J J G(M, P)u (P) doP
с симметрическим ядром G(M, P), определяемым формулой B1).
К этому уравнению применима общая теория интегральных
уравнений с симметрическим ядром. Отсюда следует, что про-
произвольная дважды дифференцируемая функция /@, ф) может
быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по
сферическим функциям
оо
= S S (Anm cos пир + Bnm sin mqp) Pjf' (cos 6), B5)
где
n
Yn F, ф) = 2 (Anm cos mq> + Bnm sin пир) P^m) (cos 6), B6)
m=0
Anm и Bnm — коэффициенты Фурье.
-§ 4. Некоторые примеры применения сферических функций
Рассмотрим несколько типичных задач математической фи-
физики, требующих применения сферических функций.
Напомним, что общее решение уравнений Лапласа в сфери-
сферической системе координат (г, 6, ф) имеет вид
оо
и (г, 6, Ф) = ^ (Апгп + -^г) Yn F, ф),
где Уп(8, ф) —сферическая гармоника, т. е. линейная комбина-
комбинация всех 2п + 1 сферических функций. Если решение ищется
в области г < а (внутренняя задача), то Вп = 0, для задачи
в области г > а (внешней задачи) следует положить Ап = 0 и,
наконец, в случае области а < г < Ь, не содержащей ни г = О,
ни г = оо, в решение, вообще говоря, входят слагаемые с г" и

§ 4] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 695-
1. Задача Дирихле для сферы. Пусть дана сфера радиуса а.
Поместим в центр этой сферы начало сферической системы ко-
координат (г, 0, ф) и рассмотрим две задачи Дирихле:
Ды = 0 при г<а, и \г_а = / @, ф) (внутренняя задача), A)
Ли = 0 при r>a, u\r=a = f(Q, ф) (внешняя задача), (Г)
где f = /@, ф) —заданная функция на поверхности сферы. Раз-
Разложим /F, ф) в ряд по сферическим функциям:
Уп F, Ф) = S {Anm cos шФ + Впт sin тф} Р(пт) (cos в),
0
где АПт и Впт вычисляются по формулам (9) § 3.
Решение внутренней задачи ищем в виде
и (г, 6, <р) = J] (¦?)" У» №. ф) при г < а.
и=0
Пользуясь граничным условием при г = а и учитывая разложе-
разложение для /@, ф), находим
Аналогично находим решение внешней задачи B):
оо
Г г>а-
2. Проводящая сфера в поле точечного заряда. Найдем элек-
электростатическое поле точечного заряда е в точке Р в присутствии
идеально проводящей сферы радиуса а. Будем предполагать,
что сфера заземлена, т. е. ее потенциал равен нулю. Поместим
начало сферической системы координат (г, 0, ф) в центр О сфе-
сферы, а полярную ось @ = 0) проведем через точку Р; ОР =
= г0 > а.
Электростатическое поле Е = —grad и. Потенциал и =
= и(М), (М = М(г, 0, ф)) удовлетворяет уравнению Лапласа
всюду вне сферы, кроме точки М = Р, в которой имеет особен-
особенность вида e/RMp= и0, где и0 — потенциал заряда е в неогра-
неограниченном пространстве (в отсутствии сферы). На поверхности
сферы потенциал м|г=а = 0. Решение задачи естественно искать
в виде
~ + v(M), R = RMp= Yrl + г2-2rr0cos8 ,

¦695
ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(Ч. 1Г
где v есть решение внешней задачи Дирихле
Ду = 0 при г>а,
B)
В данном случае f из A) имеет вид f(Q) = —~\ . Восполь-
lr=a
зуемся разложением 1/7?
в ряд при r<rQ (см. § 1,
п. 1)
и=0
при г < г0. C)
Решение внешней задачи
Дирихле B) ищется в виде
Рис. 104.
Из B) и C) находим Кй = — eanr~(n+l)Pn (cos 6). Таким образом,
потенциал и = и(г, 6) найден:
3. Поляризация шара в однородном поле. Пусть в электро-
электростатическое поле в однородной изотропной среде с диэлектри-
диэлектрической постоянной ei помещен шар радиуса а из диэлектрика с
постоянной ег (рис. 104). Будем искать потенциал создавшегося
поля в виде суммы
ui = u0-\-vi вне шара,
внутри шара,
где Мо—потенциал невозмущенного (в отсутствии диэлектри-
диэлектрического шара) поля, a v — возмущение, вызываемое помещен-
помещенным в поле шаром. Потенциал и удовлетворяет уравнению
I «2 = 1
яри дополнительных условиях
щ = и2 на S,
^ ^i на S
на °'
дп
дп

§ 4] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 697"
где S — граница шара, м4 и м2 — значения функции и вне и
внутри шара. Отсюда следует, что потенциал v будет опреде-
определяться условиями
v{ = v2 на S, D>
так как для функции щ имеем:
(uo)i = («0J на S,
В правой части равенства D') стоит известная функция В и<р,
которую мы разложим по сферическим функциям:
дщ
s
дп
ге=О
Полагая
и пользуясь граничными условиями D) и D'), получаем:
(я+1) (а\п+1у 1 _. V"[f\ 7 1 —
откуда
у у (81
Рассмотрим теперь частный случай. Шар помещен в одно-
однородном параллельном внешнем поле ?о, направленном вдоль
оси г. Потенциал этого поля равен
м0 = — Eoz = — ?or cos 0,
так что
ди0 I ^ц0

•698 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. II
Формула D") дает:
У„ = 0 при пф\,
у F гпч ft (ei — е2) а
Для потенциала возмущенного поля имеем:
и, = - Eoz [l + 2ee't~ee22 (уK] вне шара (г > а),
и2 = — ^ 9р3е' „ внутри шара (г < а),
откуда следует, что
| г
дг — L 2е, + е2 г» J ?°'
diij Г. ei — е2 2а3 ~|
~ д — L 2 + » J
1 dz 2e, + e2 "
т. е. поле внутри шара параллельно и однородно.
Если ег > 8i, то эквипотенциальные поверхности, оставаясь
плоскостями, перпендикулярными к направлению поля, будут
расположены реже, чем в невозмущенном поле. Силовые линии,
являющиеся ортогональными траекториями эквипотенциальных
поверхностей, будут втягиваться в шар с большей диэлектриче-
диэлектрической постоянной. В случае ei > e2 картина будет обратной.
Этим же методом можно получить решение задачи о поля-
поляризации шара в присутствии точечного источника, если восполь-
воспользоваться разложением 1/R по сферическим функциям (см. § 1).
Следует отметить, что аналогичные задачи встречаются при
изучении магнитных и термических полей, а также поля стацио-
стационарного электрического тока при наличии сферического вклю-
включения, физические характеристики которого отличны от харак-
характеристик среды. Для термической задачи в граничное условие
C) вместо ei и ег будут входить коэффициенты теплопровод-
теплопроводности ki и А:2, для магнитной задачи — магнитные проницаемости
}Xi и \i2, а для последней задачи — проводимости Х4 и Я2.
4. Собственные колебания сферы. Рассмотрим задачу о соб-
собственных колебаниях сферы радиуса г0 с нулевыми граничными
условиями первого рода. Эта задача сводится к отысканию соб-
собственных значений и собственных функций уравнения
Av + Xv = 0 E)
с граничным условием на поверхности сферы
v = 0. F)

§ 41 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ 699
Помещая начало сферической системы координат в центр сфе-
сферы, перепишем уравнен-ие E) в виде
^НИ^ + ^е.^ + ^О, E0
где
1 с
Решение будем искать методом разделения переменных, пола-
полагая
V(r, е, <р)=/г(г)Г(в, ф).
После подстановки этого выражения в уравнение E) получим!
откуда следует:
Ы.,У + рУ = 0, (8)
Решая уравнение (8) при естественных условиях ограничен-
ограниченности в полюсах сферы
и условии периодичности по ср: УF, ф + 2л) = УF, ф), полу-
получаем собственные значения
Ц = п(п+1), A1)
каждому из которых соответствует 2п + 1 сферическая функ-
функция:
{n0 F, Ф) = Pf (cos е)co
У{п F, ф) = P\l} (cos в) sin /ф (/ = 1,2,..., п). ]
A2)
Обратимся теперь к уравнению (9). Учитывая равенство A1),
граничные условия при г = г0 и естественное условие ограни-
ограниченности при г — 0, получаем для функции R (г) следующую
задачу на собственные значения:
A3)
A4),

700 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. II
С помощью подстановки
Я(г) = -^ A5)
это уравнение приводится к уравнению Бесселя порядка
<n+VS):
±[&?*]=o. A6)
общее решение которого имеет вид (см. Дополнение II, ч. I,
§ 1)
у (г) = Л/„+.,2 (V^r) + BNn+% {Vkr\ A7)
Из условия ограниченности A4) следует, что
В = 0.
Граничное условие A3) дает:
Так как мы ищем нетривиальные решения уравнения, то
А Ф 0 и, следовательно,
Обозначив \\п), \<?\ ..., v^> корни трансцендентного уравнения
/n+V2(v) = 0, A8)
находим собственные значения
^.n = [-^j . A9)
Каждому собственному значению Я™, п соответствует 2п + 1
•собственная функция. Введем обозначение
*)• B0)
Тогда собственные функции уравнения E) при граничном усло-
условии F) можно представить в виде
On. т. / (Г, 6, ф) = ф„ (^f г) У^ (9,
ф)
(п = 0,1, ...; т=1,2, ...; / = — п —1, 0, 1, .... п). B1)
Рассмотрим теперь первую внутреннюю краевую задачу для
волнового уравнения
Др + А2о = 0 B2)

"§ 4] НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 701
при граничном условии
v = f(Q, ф) B3)
на поверхности сферы радиуса г0.
Из предшествующего изложения ясно, что решение этой за-
задачи представляется в виде
v (г, 6, Ф) = ? 2 fnt *$%¦ Y</> (в. ф). B4)
п=0 /=-п
где fnj — коэффициенты разложения функции f(Q, ф) по сфе-
сферическим функциям {yj/1 F, ф)}
f(e. ф)=21 2 fn/i™(e, ф). B5)
Если А2 совпадает с одним из собственных значений
« — лто„„ —
то краевая задача B2) — B3) имеет решение не для всякой
функции f(Q, ф). Формула B4) показывает, что необходимым и
достаточным условием разрешимости нашей краевой задачи в
этом случае является обращение в нуль коэффициентов fmt
или
я 2л
J J f @. ф) Упо1 @. ф) sin e rfe ^ф = о.
о о
Если эти условия выполнены, то решение определяется форму-
формулой B4), в которой слагаемые, соответствующие п = п0, отсут-
отсутствуют. Однако при этом решение определено неоднозначно,
так как к нему всегда можно прибавить любую линейную
комбинацию собственных функций, соответствующих А2 = Ято„о.
5. Внешняя краевая задача для сферы. Рассмотрим внеш-
внешнюю первую краевую задачу для сферы (см. гл. VII, § 3)
ti = O(—) при г->оо,
lim r ("яг- + ikv\ = 0 (условие излучения).

702 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (Ч. II
Как было показано в § 3 главы VII, эта задача имеет един-
единственное решение. Разложим искомую функцию и функцию
/@, ф) в ряды по сферическим функциям:
v(r, e, Ф)=2 2
n=0 j=—n
f(e, Ф)=2 2 „Л
Коэффициенты разложения Rn(r), очевидно, будут удовлетво-
удовлетворять уравнению
граничному условию
Rn (ro) — In
и условиям излучения при г—>оо:
Я* @ = О (-М, lim г (/?; + ikRn) =•= 0.
Общее решение этого уравнения имеет вид (см. п. 4 и Допол-
Дополнение I, § 3)
Rn(r)=\W(kr) +
где
Учитывая асимптотические формулы для функций Ханкеля
^ (см. Дополнение I, § 3):
.
(точками обозначены члены более высокого порядка малости
относительно 1/р), получаем для функций #? и g® следующие
асимптотические формулы:

§ 1] ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА 703
Отсюда видно, что условию излучения удовлетворяет лишь
функция ?<f>.
Поэтому
Л„ = 0.
Пользуясь граничным условием при г = г0, находим:
r —hi
п1~
Таким образом, мы получаем функцию v (r, 9, <р) в виде
где
я 2я
0 0
Inj II у(/) |2
И
я 2я
— квадрат нормы сферической функции Yn\Q, <p).
ЧАСТЬ III
ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА —ЭРМИТА И ЧЕБЫШЕВА —ЛАГЕРРА
§ 1. Полиномы Чебышева — Эрмита
1. Дифференциальная формула. Полиномы Чебышева — Эр-
Эрмита Нп(х) определим по аналогии с полиномами Лежандра
при помощи производящей функции W{p;x), полагая
Ч* (р, х) = е^-^ =2иН^1п- W
Отсюда, в силу теоремы Коши, следует
р=о
где С — замкнутый контур в плоскости комплексного перемен-
переменного ?, охватывающий точку ? = 0. Вводя новую переменную

704 ДОПОЛНЕНИЕ II, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ f4. Ill
интегрирования z = x — ?, преобразуем B) к виду
с,
где (^ — контур, охватывающий точку z = x. В силу теоремы
Коши, выражение в фигурных скобках равно —и п ^ Ре"
зультате получаем из C) дифференциальную формулу
Эта формула показывает, что Нп(х) есть полином степени п,
причем
Нп\ х)х==\—1) "n(xh E)
Из D) находим Н0(х)—\, Н1(х) = 2х, Н2{х) = 4х2 — 2 и т. д.
2. Рекуррентные формулы. Дифференцируя производящую
функцию по р и х, найдем:
^ 0. F)
В каждое из тождеств F) подставим ряд A) для \Р"(р, х).
Собирая члены при ри и приравнивая их к нулю, получим две
рекуррентные формулы:
Нп{х)^2пНп.1(х), G)
Нп+1(х)-2хНп(х) + 2пНп^(х) = 0. (8)
Формула (8) позволяет последовательно определять Нп для
всех п, зная Н0(х) = 1, Hi(x) =2х. Так, например, Нг{х) =
= 2хН1 — 2#„ •= 4x2 _ 2, Hs = 2xHz — 4Я4 = 8х» — 12^ и т. д.
3. Уравнение Чебышева — Эрмита. Найдем уравнение, кото-
которому удовлетворяет Нп(х). Для этого используем рекуррентные
формулы G) и (8). Сначала с помощью G) исключим из (8)
2пНп-1:
это уравнение продифференцируем по х:
H'n+i - 2хН'а - 2На + HI = 0
и подставим сюда H'n+i = 2{n-)- \)H'n из .G). В результате по-
получим:
= 0 или -^(е-*г-^) + 2пе-*Нп==0. (9)

§ I] ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА — ЭРМИТА 705
Отсюда видно, что полином Чебышева — Эрмита является соб-
собственной функцией, соответствующей собственному значению
Я = 2п, следующей задачи (задача Штурма — Лиувилля):
найти те значения К, при которых уравнение Чебышева —
Эрмита
(е-х*у'У + %е-*у = 0, - оо < х < оо, (Ю)
имеем нетривиальное решение, возрастающее при х —»¦ оо не
быстрее, чем конечная степень х.
Решение этой задачи можно было бы искать в виде степей-
оо
ного ряда у = 2 CLnxn. Подставляя этот ряд в уравнение A0),
получим для коэффициентов рекуррентную формулу
In — %
fl а
Из формулы A1) видно, что при Я = 2п все коэффициенты
ah = 0 для k > n и ряд обрывается. Только при % = 2п может
быть выполнено условие на бесконечности. Получающиеся по-
полиномы определены с точностью до постоянного множителя.
Выбирая ап = 2", получим полиномы Нп(х).
4. Норма полиномов Нп(х). Докажем (не обращаясь к об-
общей теории), что полиномы Чебышева — Эрмита образуют
ортогональную с весом ег*2 на бесконечной прямой — оо <
<л;<оо систему функций, и вычислим их норму (с весом
р(*) =*-«•): =_
ЦЯ„|| = |/2"л!/я. A2)
Рассмотрим выражение
оо оо
Lmn = J Hm (х) Нп (х) е-* dx = (-1)" J Hm (х) -^ (е-**) dx.
— оо —оо
Положим для определенности, что m sgC п. Интегрируя по ча-
частям и пользуясь формулой G), а также тем, что на беско-
бесконечности обращается в нуль произведение полинома на er^t
получим:
(-1)""' 2m
оо
J tfm_, ^r (e-#) dx =
23 A. H. Тихонов, А. А. Самарский

706 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. III
так как Яо=1. Отсюда видно, что
Ьтп=(-1)п~т2тт\-^ш=г(е-^)\_^0 при т<п.
Если т = п, то
оо
/.„„ — 2"n! J е-*1 dx = 2"n! Уя—1| Я„р.
Тем самым доказано, что
2"п! у я, т = п.
Система полиномов Чебышева — Эрмита является замкну-
замкнутой (на доказательстве этого факта мы не останавливаемся),
и, следовательно, мы нашли все решения задачи A0), т. е.
% ф In не может быть собственным значением.
5. Функции Чебышева — Эрмита. В приложениях (см.
стр. 712) часто пользуются функциями Чебышева — Эрмита
образующими ортогональную и нормированную с весом р(х)
= 1 систему на бесконечном интервале — оо < х <С ooi
? f 0.
—оо
Эти функции обращаются в нуль при х —*¦ ± со и удовлетво-
удовлетворяют уравнению
•ф^ -}- (Я — х2)фЛ = 0 при % = 2п-\-1.
§ 2. Полиномы Чебышева — Лагерра
1. Дифференциальная формула. Полиномы Чебышева — Ла-
Лагерра Ln{x) мы определим при помощи производящей функции
Разлагая ее в степенной ряд
I ЯПХХГ
B)
р=0
n=0

ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА 707
и пользуясь теоремой Коши, найдем:
С
где С — контур, охватывающий точку ? = 0. Введем новую пере-
переменную интегрирования г, положив ?= 1 , rf? = ^*^; тогда
с,
где С]—контур, охватывающий точку z = x. Формула C) дает
Ln{x)=*±eK-?r(x»er*)- D)
Отсюда заключаем, что Ln{x) есть многочлен степени п.
В частности, имеем L0(x)=l, Li(x) = l—х.
2. Рекуррентные формулы. Дифференцируя ^(р, *) по р
и х, получим два тождества:
х)^ = 0, E)
0. F)
Подставим в E) и F) ряд B) и приравняем коэффициенты при
p«+i нулю; это дает рекуррентные формулы
(п + 1) U+i ~ B« + 1 - х) Ln + «?.„_, = 0, G)
L'n + Ln=0. (8)
Формула G) устанавливает связь между полиномами Ln+l, Ln,
Ln-i и позволяет последовательно определить все Ln, например:
L2{x)=.±[C-x)Ll-L0] = ±x*-2x+l.
Выведем еще одну рекуррентную формулу
xVl + {n+l-x)Ln-(n+l)Ln+1=0. (9)
Для этого заменим в G) пнав+1 и продифференцируем пох:
дважды применяя формулу (8), исключим отсюда Lrn+2 и L'n+i
и в результате получим (9).
3. Уравнение Чебышева — Лагерра. Найдем уравнение, ре-
решением которого является Ln{x). Дифференцируя (9) по х, по-
получим xL'n + (п + 2 — х) L'n — Ln — \п + 1) L'n+\ = 0, после чего
23*

708 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. III
исключим L'n+i при помощи (8). В результате приходим к урав-
уравнению для Ln:
xtt-\-(l-x)L'n + nLn = 0 или -?r(?r)
(Ю)
которое называется уравнением Чебышева — Лагерра.
Тем самым доказано, что Ln(x) есть собственная функция,
соответствующая собственному значению % = п задачи:
найти значения X, при которых уравнение
(хе-ху')' + Ке-ху = 0, 0 < х < оо, A1)
имеет в области 0 < х <. оо нетривиальное решение, ограни-
ограниченное при 1 = 0 к возрастающее при х—*ооне быстрее, чем
конечная степень х.
Заметим, что уравнение A0) для Ln(x) можно получить,
если продифференцировать п + 2 раза функцию z = хпе~х и
воспользоваться дифференциальной формулой D).
4. Ортогональность и норма полиномов Чебышева—Лагерра.
Докажем ортогональность и нормированность с весом ег* по-
полиномов Ln(x), исходя из фрмулы D). Рассмотрим интеграл
оо оо
Jmn = | Lm (х) Ln (х) е- dx = ±-\ Lm (x) -gr (х"е~*) dx.
о о
Пусть m =SC п. Интегрируя m раз по частям и учитывая, что
из-за наличия множителя вида xhe~x(k > 0) все подстановки
обращаются в нуль, получим:
оо
==(_nm_L " Lm " (xne-x)dx
' mn '
«(-1
б
Если m<n, то, интегрируя еще раз, найдем Jmn=0, так как
dxm+r Lm = 0- В случае пг = п имеем
dnLn
dxn
И
\n
A3)
Итак, полиномы Чебышева — Лагерра образуют ортонормиро-
ванную с весом е~х систему функций:
I Lm{x)Ln(x)e-*dx=\°' тф"" A4)
0J { 1, m=n.

§ 2] ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА — ЛАГЕРРА 709
5. Обобщенные полиномы Чебышева — Лагерра. При изучении
движения электрона в поле кулоновых сил, а также в других
задачах современной физики наряду с полиномами Ln(x)
встречаются обобщенные полиномы Чебышева — Лагерра
Lsn(x). Теорию этих полиномов можно построить по аналогии
с пп. 1 — 4, исходя из производящей функции
. __??L
«-*, s>-l, A5)
и разлагая ее в ряд по степеням р:
со
^s (р. х) = 2 Ln (*) 9п; а (х) =-1- -^ (р, х)
Повторяя рассуждения, проведенные для s = 0 в п. 1, находим:
С С|
Отсюда следует, что
С{х) = ±х-°ех^{хп+°е-х), A6)
т.е. Lsn(x) действительно является многочленом n-й степени.
В частности, 1Л(х) = 1, Li{x) = I +s — x.
Вводя функцию z = xn+se~x и дифференцируя ее (п + 2) раза
dnz
по х, найдем для функции и = -j-jc уравнение хи"+{х + 1 —s) u'+
+ («+1)ы = 0. Вычислим производные для Lsn (х) = -^ x~sexu
и учтем при этом уравнение для и; тогда получим уравнение
x(LU№-(x-s-l)(LHY + nL'n = O, A7)
которому удовлетворяют обобщенные полиномы Ln (x). Тем са-
самым доказано, что обобщенные полиномы Чебышева — Лагер-
Лагерра являются собственными функциями, соответствующими соб-
собственным значениям
следующей задачи:
найти значения Я, при которых уравнение
ху"
или
-у)' + **-*(Я - -?±1)у = 0 A8)

710 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. III
имеет в области 0 -^ х < оо нетривиальное решение, ограни-
ограниченное при х = 0 и возрастающее при х-*оо не быстрее ко-
конечной степени х.
Исходя из дифференциальной формулы A6) и проводя рас-
рассуждения по аналогии с п. 4, нетрудно доказать, что полиномы
Lsn образуют ортогональную с весом e~xxs систему функций:
р Г 0, тфп (s > -1),
Ln (x) Lsm (x) e~xxs dx = { r(ft + s+l)
Полиномам Чебышева — Лагерра Lsn{x) соответствуют орто-
ортогональные и нормированные с весом р (лг) == 1 функции
где
которые являются решениями уравнения
= 0 A9)
при граничных условиях: ограниченность в точке х = 0 и об-
обращение в нуль при х->-оо, соответствующими собственным
значениям
hn = П -\ 2— ¦
Из формулы A8) видно, что iX (x) = Ln (x) для hn равного
п + 1/2 (если в уравнении A8) X заменить на Л+У2, то при
s = 0 оно совпадает с уравнением Чебышева — Лагерра A0)).
В заключение отметим, что ортогональные системы полино-
полиномов {Ln (x)} и \Ln (x)} являются замкнутыми (на доказательстве
этого факта не останавливаемся). Тем самым мы нашли все
собственные функции задач A0) и A8).
§ 3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера')
1. Уравнение Шредингера. В квантовой механике поведение
частицы, находящейся в поле потенциальных сил, описывается
уравнением Шредингера
ib^ = --%r^+U(x,y, z, 0*. О)
') Рассматриваемые здесь задачи для уравнения Шредингера дают при-
примеры применения полиномов Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра.
Приведенное ниже изложение не претендует на полное освещение вопросов,
связанных с уравнением Шредингера. По университетской программе кванто-
квантовая механика изучается после курса математической физики.

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 711
где й=1,05-107 эрг-сек — постоянная Планка, *= \Z"—1»
ц — масса частицы, U — ее потенциальная энергия в силовом
поле, "ф = "ф (х, у, z, t) —волновая функция.
Если силы не зависят от времени, U = U(x,y,z), то воз-
возможны стационарные состояния с заданным состоянием энер-
энергии, т. е. существуют решения вида
-JS.,
Ъ = -?>(х,у,г)е * , B)
где Е — общая энергия частицы. Подставляя это выражение
в уравнение A), приходим ко второму уравнению Шредингера
At|f + f(fi-y)f-O, C)
в котором Е играет роль собственного значения, подлежащего
определению. В дальнейшем вместо •ф8 мы будем писать ф:
Дф+ ¦§?(?-Г/) ф-0. D)
В случае отсутствия силового поля U = О уравнение D)
принимает вид
ДЧ> + Т?Ф = 0. E)
Нетрудно заметить сходство этого уравнения с волновым урав-
уравнением классической физики
Дф + ^ = 0, F)
, а 2я „ Л
где k — — = —г волновое число, л — длина волны. Однако
С Л
это сходство является чисто внешним и формальным в силу
различия физического смысла функций, входящих в уравнения
E) и F).
В уравнении Шредингера непосредственный физический
смысл имеет не сама функция ф, a |t])|2, которое истолковы-
истолковывается в статистическом духе: выражение \ty\2dxdydz означает
вероятность пребывания частицы внутри элементарного объема
их йу dz в точке (х, у, z) пространства.
В связи с этим нормировка собственных функций к единице,
которой мы неоднократно пользовались ранее в целях матема-
математической простоты, теперь приобретает фундаментальное зна-
значение. Условие нормировки
=l G)

7!2 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 14. Ill
означает, что частица находится в каком-либо месте простран-
пространства и поэтому вероятность найти частицу где-нибудь в про-
пространстве равна единице (достоверное событие).
Рассмотрим некоторые простейшие задачи для уравнения
Шредингера.
2. Гармонический осциллятор. Уравнение Шредингера для
гармонического осциллятора принимает вид
?
где U = —~ х2, е»о—собственная частота (циклическая) ос-
осциллятора. Наша задача будет состоять в отыскании стацио-
стационарных состояний, т. е. спектра собственных значений энергии
Е и соответствующих собственных функций tj) из уравнения
при дополнительном условии нормировки
со
J|i|>pdx=l. (9)
— со
Вводя обозначения
для функции ¦ф = 'ф(|) после очевидных, преобразований полу-
получим уравнение
d|2 I V"
с дополнительным условием нормировки
оо
— со
Решением этой задачи, в силу п. 5 § 1, будут функции
Vn
соответствующие собственным значениям

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 713
Возвращаясь к исходным обозначениям, находим:
1° A3)
x0 \Чпп\ Ул
(п = 0. 1,2, ...)• (И)
В классической механике энергия осциллятора
р1
где рж — импульс частицы, может принимать непрерывный ряд
значений. С точки зрения квантовой механики энергия осцил-
осциллятора, как показывает формула A4), может принимать лишь
дискретный ряд значений Еп. В этом случае говорят, что энер-
энергия квантуется. Число п, определяющее номер квантового
уровня, называют главным квантовым числом. В низшем кван-
квантовом состоянии при п = О энергия осциллятора отлична от
нуля и равна
3. Ротатор. Найдем собственные значения энергии ротатора
со свободной осью, т. е. частицы, вращающейся на одном и
том же расстоянии вокруг неподвижного центра.
Потенциальная энергия U ротатора сохраняет одно и то же
значение во всех положениях частицы и ее можно положить рав-
равной нулю U = 0.
В сферической системе координат (г, 8, ф) с началом коор-
координат в неподвижном центре уравнение Шредингера для ро-
ротатора
можно записать в виде
При этом используется условие
дг и*
Вводя вместо массы ц момент инерции

714 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 14. III
получаем
1
sine д
или
Де>_$ -j- Xi|)= 0, A6)
где
2/
Таким образом, мы приходим к краевой задаче на собствен-
собственные значения для уравнения
0 A6)
при естественном граничном условии ограниченности в точках
8 = 0и8 = яи условии нормировки
Я 2л
J J |^psin9rfe^=l. A8)
о о
Решениями этой задачи, как мы знаем, являются нормирован-
нормированные сферические функции
cos/пф A9)
У\т) F, Ф) = Mm) (cos 9) (т = 0, 1,...,/),
sin/пф
соответствующие собственным значениям
1 = 1A+1). B0)
Заменяя % его значением согласно формуле A7), получаем
формулу для квантованных значений энергии ротатора
J?i« = /0+!)-?-. / = 0,1,2,... B1)
4. Движение электрона в кулоновом поле. Одной из простей-
простейших задач атомной механики является задача о движении
электрона в кулоновом поле ядра, имеющая большой практи-
практический интерес, так как решение ее дает не только теорию
спектра водорода, но также приближенную теорию спектров
атомов с одним валентным электроном (водородоподобных ато-
атомов), например атома натрия.
В атоме водорода электрон находится в кулоновом электро-
электростатическом поле ядра (протона), так что потенциальная энер-
энергия U(x,y,z) равна
U = —y. B2)
где г есть расстояние электрона от ядра, — е — заряд элек-
электрона, +е — заряд ядра.

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 715
Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид
= 0. B3)
Наша задача состоит в отыскании таких значений Е, для кото-
которых уравнение B3) допускает решение, непрерывное во всем
пространстве и удовлетворяющее условию нормировки
со
J J /Ж*, y,z)fdxdydz=\. B4)
— оо
Введем сферическую систему координат с началом в ядре, ко-
которое предполагается неподвижным,
и будем искать решение в виде
¦ (/-. *, Ф) = ХИУ|1Я)(«, Ф). B6)
Принимая во внимание дифференциальное уравнейие для сфе-
сферических функций У{т)@, ф):
Ае. фУ(/т) F, Ф) + / (/ + 1) Y\m) (G, ф) = О,
получаем:
Введем в качестве единицы длины величину
в качестве единицы энергии
Полагая
р = г/а,
перепишем уравнение B7) i
dp2 "*" р dp ~*~ \
С помощью подстановки
0
— величину
це4 е2
~ fi2 a "
е = ?/?0 (е
в виде
Л + Р Р2
1
<0).
• 1)\ „
B8)
B9)
C0)
уравнение B9) приводится к виду
где

716 ДОПОЛНЕНИЕ tt. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ГЧ. II»
Вводя в качестве независимой переменной величину
х = рУ~^8ё~, C2)
получим вместо C1) уравнение
*у" + у'-[т + ?)у + уь=о C3)
или
где
совпадающее с рассмотренным нами в § 2 уравнением A9).
Найденные там собственные значения оказались равными
а собственные функции (определенные с точностью до постоян-
постоянного множителя) выражались через обобщенные полиномы
Чебышева — Лагерра Lnr:
Л -.—
,. (г\ V2o 2fs (Y\ (QK\
Упг\л) — х е 1^пг\Х), \У°)
где Lnr (x) определяются формулой A6) § 2.
Учитывая, что
получаем:
k = nr + l+l=n (ft=l, 2, ...)• C6)
Целое число п называется главным квантовым числом, пг —
радиальным квантовым числом, / — азимутальным квантовым
числом.
Заменяя К его выражением согласно формулам C4) и B8),
получаем квантованные значения энергии
Они зависят только от главного квантового числа п.
Положим Е равным энергии кванта йсо = hv, Е = —hvf
где v = со/2я — частота. Тогда будем иметь:
це"
V ~~ ~
где ^ = "орг=:'41г~так называемая постоянная Ридберга.
Найдем частоты спектральных линий. Наблюдаемая в спек-
спектральной линии частота \пп соответствует переходу из состоя-
состояния с энергией Е„ в состояние с энергией ЕП1.

§ 3] ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 717
Частота упП1 кванта, излучаемого при таком квантовом пе-
переходе, равна
Полагая щ = 1 и давая п значения ft = 2, 3, ..., мы получим
ряд линий, составляющих так называемую серию Лаймана
Далее, значения п4 = 2, п = 3, 4, ... дают серию Бальмера
Vnn,
== % [ 22 ~ ~W) •
значения щ = 3, п = 4, 5, ... — серию Пашена
Перейдем теперь к определению собственных функций во-
водородного атома. Для этого в силу формулы B6) нам доста-
достаточно найти радиальные функции х(р)-
Пользуясь формулами C5), C2), C0), C4), C6), можем
написать:
D0)
где Ап — нормировочный множитель, определяемый из условия
D1)
о
Вычисляя Ап, получаем следующее выражение для нормиро-
нормированных радиальных функций:
В силу формул B6) и A9) нормированные собственные
функции имеют вид
где %ni(p) определяется формулой D2).
Число т (т = 0, ±1, ±2 +/) называется магнитным
квантовым числом.
Так как пг всегда неотрицательно (пг = 0, 1, 2, ...), то при
данном п в силу формулы
ft = ftr + /+l
квантовое число / не может быть больше п — 1 (/ = 0, 1, 2, ...
..., п—1). Поэтому при определенном значении главного

718 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. IV
квантового числа п число I может принимать п значений / =
= 0, 1, ..., ft— 1, а каждому значению / соответствует 2/ + 1
значение т. Отсюда следует, что заданному значению энергии
Еп, т. е. заданному значению п, соответствует
2? B/+ 1)= 1 + 3 + 5+ ... +Bft-l) = n2
различных собственных функций. Таким образом, каждый уро-
уровень энергии имеет вырождение кратности ft2.
Найденный нами дискретный спектр отрицательных собст-
собственных значений энергии Еп состоит из бесконечного множества
чисел с точкой сгущения в нуле.
Второй отличительной чертой рассматриваемой задачи для
уравнения Шредингера является наличие непрерывного спектра
положительных собственных значений (всякое положительное
число Е является собственным значением уравнения B3)).
В этом случае электрон уже не связан с ядром, но все еще на-
находится в его поле (ионизированный атом водорода). На дока-
доказательстве существования сплошного спектра мы не останав-
останавливаемся, отсылая читателя к специальной литературе1).
ЧАСТЬ IV
ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
Ниже приводятся таблицы некоторых специальных функций,
с которыми мы встречались при решении краевых задач мате-
математической физики. Таблицы сопровождаются перечнем про-
простейших свойств специальных функций.
I. Основные свойства специальных функций
1. Интеграл ошибок
1. Интеграл ошибок:
Z
<D(Z) = -JL- Г e-a'da.
Vn J
2. Разложение при малых z:
Vn \ 1!-3 2!-5
3. Асимптотическая формула при больших z:
Ул
l) См., например, В. А. Ф о к, Начала квантовой механики, 1932; Курант
и Гильберт, Методы математической физики, т. I, Гостехиздат, 1951, гл. V.

Ч, IV]
ФОРМУЛЫ. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
719
2. Цилиндрические функции
Асимптотические формулы
Ряды
1. Функции Бесселя
2. Функции Неймана
+К1Г+-
Af»(x)al/ -4т
(С = 0,577215664901532 есть
постоянная Эйлера)
ад—-^+
+ ^(,)(lnf +
iVnW = -i-(-|)n («-!)!+...
3. Функции Ханкеля
/~o—
4. Функции мнимого аргумента
(х\" 1 ¦
Uj T(v+1) "*" •••
in-1I ( 2 \n
2

720 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 14. IV
5. Рекуррентные формулы:
d TvV7 (yW vV7 ly\ d fZv(J
—— \X ?,v \X)\ — X ^.v-i [X), ——I —
ax dxL *
где Zv(x) —любая цилиндрическая функция вещественного
аргумента.
Частные случаи:
к
/J (х) = - /, (х), J /, (х) dx = 1 - /0 (х),
о
х
-?- [XJ1 (х)] = xJ0 (х), J jc/0 (x) dx = xJx (х).
о
Для функций мнимого аргумента:
/v_, (х) - /v+1 (x) = ~IV (x), Kv-t (x) - Kv+l (x) = -~ /Cv (x),
v_, (x) + /V+IW = 2 -^ /
v
6. Определитель Вронского для цилиндрических функций:
Jv(x)N'Ax)-Nv(x)J'v(x) = ~,
//<" (х) Н?у (х) - Н™ (х) mY (х) = - -ii-,
/v w ^c w - ^ w /;w=- -j.
7. Интегральные формулы:
я я
Г ei«cos<P+ гпф ^ф _ (—«)" Г gixcoscp cos Пф ^ф>
—Я 0
(*) = — -1 Г в-1*в1пд
С
Cl.2
где контуры интегрирования С\ и С2 изображены на рис. 96;

Ч. IV] ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 721
8. Функции полуцелого порядка:
r_)/2(*) = |/-
2~ / sin x
3. Полиномы Лежандра
1. Производящая функция:
2. Рекуррентная формула:
(п + 1) Рп+1 (х) - х Bп + 1) Рп (дс) + пРл_, (х) = 0.
3. Формула Родрига:
4. Уравнение полиномов Лежандра:
5. Интегральная формула:
2л
0
6. Квадрат нормы:
l|PnlP= / P
-I
7.
Р0(х)=1, Р1(х) = х,
Р3 (х) = 4- E*3 - Зх), Р4 (х) = | C5х4 - 30л2 + 3).
2

722 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. IV
4. Присоединенные функции
1. Уравнение присоединенных функций:
2.
3.
f = j [pf' (x)f dx =
2и + 1 (и — m)! '
5. Полиномы Чебышева — Эрмита
1. Производящая функция:
pitx-t* V1 U (г\
2. Рекуррентные формулы:
/^ (х) = 2пЯ„_, (х), Ял+1 (х) - 2хНп(х) + 2пЯ„_, (х) = 0.
3. Дифференциальная формула:
4.
оо
II Нп [р = J Я* (х) в"*2 dx = 2"n! Уп .
—оо
6. Полиномы Чебышева —Лагерра
1. Производящая функция:
xt
'i-t
2. Дифференциальная формула:
3.

Ч. IV]
ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
723
П. Таблицы
Интеграл ошибок <D(z) = —^= I e~~a'da
Л- Г.
о
Таблиц а 1
0<z<2,8
•
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
Ф(г) | г
0,0000
0,0113
0,0226
0,0338
0,0451
0,0564
0,0676
0,0789
0,0901
0,1013
0,1125
0,1236
0,1348
0,1459
0,1569
0,1680
0,1790
0,1900
0,2009
0,2118
0,2227
0,2335
0,2443
0,2550
0,2657
0,2763
0,2869
0,2974
0,3079
0,3183
0,3286
0,3389
0,3491
0,3593
0,3694
0,3794
0,3893
0,3992
0,4090
0,4187
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
Ф(г) | z
0,4284
0,4380
0,4475
0,4569
0,4662
0,4755
0,4847
0,4937
0,5027
0,5117
0,5205
0,5292
0,5379
0,5465
0,5549
0,5633
0,5716
0,5798
0,5879
0,5959
0,6039
0,6117
0,6194
0,6270
0,6346
0,6420
0,6494
0,6566
0,6633
0,6708
0,6778
0,6847
0,6914
0,6981
0,7047
0,7112
0,7175
0,7238
0,7300
0,7361
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
,11
1,12
1,13
1,14
,15
,16
1,17
,18
1,19
Ф(г) | г
0,7421
0,7480
0,7538
0,7595
0,7651
0,7707
6,7761
0,7814
0,7867
0,7918
0,7969
0,8019
0,8068
0,8116
0,8163
0,8209
0,8254
0,8299
0,8342
0,8385
0,8427
0,8468
0,8508
0,8548
0,8586
0,8624
0,8661
0,8698
0,8733
0,8768
0,8802
0,8835
0,8868
0,8900
0,8931
0,8961
0,8991
0,9020
0,9048
0,9076
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2.6
2,7
2,8
Ф(г)
0,9103
0,9130
0,9155
0,9181
0,9205
0,9229
0,9252
0;9275
0,9297
0,9319
0,9340
0,9361
0,9381
0,9400
0,9419
0,9438
0,9456
0,9473
0,9490
0,9507
0,9523
0,9539
0,9554
0,9569
0,9583
0,9597
0,9611
0,9624
0,9637
0,9649
0,9661
0,9661
0,9763
0,9838
0,9891
0,9928
0,9953
0,9970
0,9981
0,9989
0,9993
0,9996
0,9998
0,9999
0,9999

со со со со со со со со со со ю ю ю ю ю ю ю ю to to
§%ggegg8 g"§sggeg§8
I I I I I I I I I I I I I I I+++++
>p pppppppppp pppppppppp
~tt± '?. со со "со со со w to to "to"—"— "о "о о "о *—"— "to to co'co'j^'bi'bi'cJ5"o5Vj Vi
"~ to о оо ел to ч о — о ел
ppppppppp~
00 00 00 CO CO CO CO ^
О *t* 00 *¦" OO 05 ""si C
00 СЛ to 00 ^^ J
p
CO
CO
* J
ооооооооо oooooooooo oooooooooo
+++++
oooooooooo
о о "о "о "— "— N3 "ю со со
to — cntoco^tocnoco
-ч1 СО ф» СЛ —J СО — — — СО
5004 —
"ел ел ел *ел *."*.¦;
++++++++++
¦Р.0.0.0 ° ррр о_о
с^^ оЪ ю oo tj4^ со >г*1ь со ^^ ^^
^5 СО СО 00 tO О^ 00 СО ^^ ^^
ОО05О050005С505
80о"чО>"ел1^ СО N3 — О
ооооооооо
елелелелелелелелелел
"sggggss
++++++++++
oooooooooo
"—fo N3 N3 То kj "ю"ю"ю со
СО^СОСЛ05400СОСОО
ор о о о
" ""
++++1 I I I I I
oooooooooo
"— "о о о "о о о —"— "—
tofoo-J-j — a>o*.oo
I I I I I I I I I I
oooooooooo
со
I
s
я
•«г
я
т.
01
"I
fcl
а
м
м
п
я
м
ioi ' oioo
"ю со со со со coco со со "со
СО"—N3C04s.hN45*»b.COtO
С 0
oooooooooo
ЪэТоьэ (о""ю То"— **— — "о
СО^СЛСОО^СООО!
Е
м
о
00
СОсОСО^ОсОСОСОСОсОСО
oooooooooooooooooooo
*•—' tw* *•—' *•—' >*** \^J \^J \^* \^J *—Г ^«^ \ъ^ l~^ \^шГ \_^ 1^ S*^ ^l_/ t._.-* \_^
о 00^2*0 "¦— — "—"— "— Tofo'to'tolototototo
to о to *. да со — со ел-4 ooo — to со*. *. ел *. *.
TofoToTolvstoTototo to to to t
tO О tO * SS CO — CO СЛ-nI 00 О — N3 CO *. *. СЛ *. *. Ф.СО1ЧЗС
СЛ N3 — СЛ 00 О N3 CO CO •— ОО СО ОЭ ОО -J СО ОО О СО О) О tO tO t
.—-- .—P
a>S— •— Scntot-oS^
cntocoCTtotocntoooto
•а
в
о
3
т.
S
I I I I I I I
oooooooooo
I I I I I I
"to"t>s"to to to "to to "to"— — "— — "— "— Ъ"о bobt
tOCOCOCOtOtO*""OC04 O54sbt0O"fc0Cnc0O>—^
со to со to oo to *. *. — -n| о to to — со ел — -j ooc
pppppppppp
oo"—"— ^—"— ToToTo'to
a to •— Ф.О500О — co***
count - ¦ ¦ ~
oooooooooc
"to "to "to "to "to "to "to to "to T
ia>ijiia>cn*c
>*>ococo —cnoooot

Ч. IV]
ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
725
Таблица 3
Последовательные корни уравнения /0 (р „> = 0 и соответствующие
значения | /, (mj |
1
2
3
4
5
2,4048
5,5201
8,6537
11,7915
14,9309
0,5191
0,3403
0,2715
0,2325
0,2065
6
7
8
9
10
18,0711
21,2116
24,3525
27,4935
30,6346
0,1877
0,1733
0,1617
0,1522
0,1442
Таблица 4
Значения функций Ко (*) и Ki (x)
X
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
1,1
1,2
1,3
1,4
,5
1,6
,7
,8
,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2.9
3,0
Ко(х)
2,4271
1,7527
1,3725
1,1145
0,9244
0,7775
0,6605
0,5653
0,4867
0,4210
0,3656
0,3185
0,2782
0,2437
0,2138
0,1880
0,1655
0,1459
0,1288
0,1139
0,1008
0,0893
0,0791
0,0702
0,0623
0,0554
0,0492
0,0438
0,0390
0,0347
9,8538
4,7760
3,0560
2,1844
1,6564
1,3028
1,0503
0,8618
0,7165
0,6019
0,5098
0,4346
0,3725
0,3208
0,2774
0,2406
0,2094
0,1826
0,1597
0,1399
0,1227
0,1079
0,0950
0,0837
0,0739
0,0653
0,0577
0,0511
0,0453
0,0402
X
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
0,0310
0,0276
0,0246
0,0220
0,0196
0,0175
0,0156
0,0140
0,0125
0,0112
0,0998
0,0089
0,0080
0,0071
0,0064
0,0057
0.0051
0,0046
0,0041
0,0037
0,0033
0,0030
0,0027
0,0024
0,0021
0,0019
0,0017
0,0015
0,0014
0,0012
К, Ы
0,0356
0,0316
0,0281
0,0250
0,0222
0,0198
0,0176
0,0157
0,0140
0,0125
0,0111
0,0099
0,0089
0,0079
0,0071
0,0063
0,0056
0,0051
0,0045
0,0040
0,0036
0,0032
0,0029
0,0026
0,0023
0,0021
0,0019
0,0017
0,0015
0,0013

726 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
III. Графики специальных функций
[Ч. IV
Рис. 105. Графики функций Бесселя /0 (ж), /j (x) и 12 (х).
\17в/ ю
V
Рис. 106. Графики функций Неймана No (x) и Nt (x).

Ч. IV]
ФОРМУЛЫ. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ
727
г
¦а?
N.
\
I
о
о
о
о
в
S
•е-

728
ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[Ч. IV
JV. Различные ортогональные системы координат
Пусть х, у, z — декартовы координаты некоторой точки, а
jfi, Хг, х3 — криволинейные ортогональные координаты этой точ-
точки. Квадрат элемента длины выражается формулой
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = h\ dx\ + h2 dx\ + h\ dx%
где
— метрические коэффициенты, или коэффициенты Ламэ. Орто-
Ортогональная координатная система полностью характеризуется
тремя метрическими коэффициентами hu h2, hs.
Приведем общее выражение для операторов grad, div, rot,
Д в ортогональной криволинейной системе координат:
1=1
I I
div A = -ЩГ3 [-к (h*h*AJ + -FiT (Л^И2) + -^ (МИа)].
TotA =
A,A2A3
hih h2i2 hj,
JL JL JL
дх, дх2 дх3
Pi A bt A Pi J.
r 1 Г д (h2h3 ди \ i д / hzhx ди \ , д / hxh2 ди \]
' hxh2hz L dxi \ hi dxy ) ' dx2 \ h2 dx2 ) dxz \ hz dx3 )\ '
где h, h, is — единичные базисные векторы, А=
произвольный вектор, и — скаляр.
1. Прямоугольные координаты.
= z, /г, = 1, Л2=1, Л3=1,
ди .
grad« = ^i
rot Л==
ди
ди
dAx
dx
dAy
ду
+
дг
i j k
д _д_ _й_
дх ду дг
/\% Л» **z
_1дАг дАу\
\ ду dz J1^ •••'
где i, ] и k — направляющие единичные векторы осей х, у, z.

Ч. IV] ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 729
2. Цилиндрические координаты
хх = г, х2 = у, х3=г
связаны с прямоугольными координатами уравнениями
y = rsinqi, z — z.
Координатные поверхности: г = const — цилиндры, ф =
= const — плоскости, z = const — плоскости.
Метрические коэффициенты равны
А,= 1, Л2 = г, Л3=1,
так что
. ди . , 1 ди . . ди .
grad и = -gp h + Т -щ Ч + з7 «з.
3. Сферические координаты
Xi = r, x2 = Q, x3 = y
связаны с прямоугольными координатами формулами
х = г sin 6 cos ф, у = г sin 6 sin ф, z = r cos 6.
Координатные поверхности: концентрические сферы г
= const, плоскости ф = const, конусы 6 = const.
Метрические коэффициенты равны
так что
ди . . 1 ди . , 1 <Эи
дг ' '
дг ' ' г <Э6 2 ' г sin6 (Эф 6'
Ш [
^ г [дг {ГАУ ~ дв
г»8ш*в
~г2йЛ drj" r^sine ае V °"aej"•" г

730 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. IV
4. Эллиптические координаты
Х\ = Л, Xj = |1, ДГ3 ==> Z
•определяются с помощью формул преобразования
|i2), z = г,
где с — масштабный множитель.
Метрические коэффициенты равны
/1» _ |iF"
Координатные поверхности: Я = const — цилиндры эллипти-
эллиптического сечения с фокусами в точках х = ±с, у = 0, ц =
= const — семейство конфокальных гиперболических цилинд-
цилиндров, z = const — плоскости.
5. Параболические координаты.
Если г, 6 — полярные координаты точки на плоскости, то
параболические координаты могут быть введены с помощью
формул
Xi=K= yiJTsin-g-, х2 = ц = У2г cosy, *3 = z.
Координатные поверхности К = const и ц = const представ-
представляют собой пересекающиеся параболические цилиндры с обра-
образующими, параллельными оси г. Связь с декартовыми коорди-
координатами дают формулы
Метрические коэффициенты ht = 1ц = |^Я,2 -}- Ц2» Л3=1.
6. Эллипсоидальные координаты.
Вводятся с помощью уравнений (а > Ъ > с):
г (^> ~с2) (уравнениеэллипсоида),
(уравнение одно-
1 (~с2>»1>-62) полостного ги-
перболоида),
ф Z2 (уравнение двух-
+ fe2 + v + ca + v — 1 (— & > v > — а2) полостного гипер-
болоида).
Каждой точке (х, у, г) соответствует только одна система
значений Я,, ц, v. Параметры х, = Л, х2 = р, x3°=v н назы-

Ч. IV] ФОРМУЛЫ. ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 731
ваются эллипсоидальными координатами. Координаты х, у, г
выражаются явно через К, ц, v:
— а?) (с2 — а2) ' у -V (с2 - Ь2) (а2 — Ь2) *
(а2 — с2) (б2 - с2)
Коэффициенты Ламэ равны
- _ 1 -./"(Х^-цНХ-у) л _ 1
П1~2Г /?2(Я.) ' п*~~ 2
где
Я («) = У (в + я2) (в + *>2) (в + с2) (s = Я,, ц, v).
Оператор Лапласа можно представить в виде
Частное решение уравнения Лапласа, зависящее только от Яь
U = U (Я,), дается формулой
где Л и В — произвольные постоянные.
7. Вырожденные эллипсоидальные коорди-
координаты.
а) Вырожденные эллипсоидальные координаты (а, р, <р) для
вытянутого эллипсоида вращения определяются при помощи-
формул
х = с sin p cos ф, у = с sin a sin p sin ф, 2 = с ch а cos p,
где с — масштабный множитель, 0 ^ а < оо, 0 ^ р ^ п,.
—п < ф ^ п. Координатные поверхности: вытянутые эллипсои-
эллипсоиды вращения а = const, двухполостные гиперболоиды враще-
вращения р = const и плоскости ф .= const.
Квадрат элемента длины дается выражением
ds2 = с2 (sh2 a + sin2 p) (da2 + dp2) + с2 sh2 a sin2 p dq>2,
откуда для метрических коэффициентов получаются значение
sin2p, A3 = Л, = с sh a sin p.

732 ДОПОЛНЕНИЕ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч. IV
Уравнение Лапласа имеет вид
1 д ( и ди
1511а
~ \ sh2 а ~ sin2 р j дф2 J и#
б) Система вырожденных эллипсоидальных координат
(а, р, ф) для сплюснутого эллипсоида вращения определяется
с помощью равенств
x = cchasinpcos<p, # = cchasinpsin<p, г^
0<а<оо,
Координатные поверхности: сплюснутые эллипсоиды враще-
вращения a = const, однополостные гиперболоиды вращения р =
= const и плоскости ф = const, проходящие через ось г.
Квадрат линейного элемента и оператор Лапласа в рассмат-
рассматриваемой системе координат имеют вид
ds2 = с2 (ch2 a - sin2 p) (da2 + rfp2) + с2 ch2 a sin2 p dq>\
A
ch2a
d(p2 J'
8. Тороидальные координаты.
Система тороидальных координат (a, p, ф) определяется при
помощи формул
с sh в cos q> с sh a sin ф с sin f5
Х ~~ ch a — cos P ' У ~ ch a — cos f' Z ~ ch a — cos p '
тде с — масштабный множитель 0 ^ a < схэ, —п < Р ^ п,
—п < ф ^ п.
Координатные поверхности суть торы a = const:
сферы р = const:
p
•плоскости ф = const.
Выражение для квадрата линейного элемента имеет вид
cospr [^2 + Ф2 + sh2 a

Ч. IV] ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 733
метрические коэффициенты равны
h —h — с h csha
па — пр
h
cha —cosP' "ч>~ cha —cosP '
и оператор Лапласа дается следующим выражением:
sha ди\ 4 ( sha ди\ I!
д _ JE.
\ 4- —
) ~*~ dp
JE. ( \ 4- — ( \ -I ! —
йа\сЬа —cosP да ) ~*~ dp \,cha — cosP йр } + (cha — cosP)sha йф2"
Удобно вводить вместо и новую функцию v с помощью соотно-
соотношения
и = /2 cha— 2cosP • v,
при этом уравнение Ды = 0 приводится к уравнению
9. Биполярные координаты
а) Биполярные координаты на плоскости. Переменные
х,=а, *2 = р, x3 = z
называются биполярными координатами, если имеют место
равенства
a sha asinp
*"~ cha-cosp » y ~~ cha-cosp ' Z ~~ Z'
Метрические коэффициенты равны hi==h2 = -r—— о-» /z3=l.
б) Бисферические координаты хх — а, х2 = р, х3 = ф опреде-
определяются при помощи формул
с sin a cos (p с sin a sin ф с sh p
ch p — cos a ' " ch p — cos a ' ch p — cos a '
где с — постоянный множитель 0^a<P, — оо<р<оо,
— л < Ф^п.
Эти формулы можно представить в компактной форме:
Координатные поверхности суть: веретенообразные поверхно-
поверхности вращения a = const:

734 ДОПОЛНЕНИЕ И. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [Ч, IV
сферы р = const:
плоскости р = const.
Выражение для квадрата линейного элемента в простран-
пространственных биполярных координатах имеет вид
откуда следует
h ____?__ h — с sin a
«2 h p cs a * ~
«2 Ch p — cos a * ~ chp-cosa '
и уравнение Лапласа принимает вид
д I sin a ди \ . д I sin a дЦ.\-1 \ Й^ О
5a \ chp — cos а ~да)~*~~д$\ chp — cos а "йР ) "~ sin a (ch р — cos а) Зф5 "
При решении уравнения Лапласа удобна подстановка
hp — 2cosa v.
Тогда для функции v получается уравнение
10. Сфероидальные координаты,
а) Вытянутые сфероидальные координаты
x=ckix,, у=с /(Я2-1)A—n^cos ф, z=c /(Я2 — 1) A — ц2) sin
б) Сплюснутые сфероидальные координаты
л, = Я, д;2 '= ц, д;3 = Ф,
у = с У{№ — 1) A — ц2), 2==сЯцсозф.
Поверхности Я, = const—сплюснутые сфероиды, ц = const—одно-
полостные гиперболоиды. Метрические коэффициенты

Ч. IV] ФОРМУЛЫ, ТАБЛИЦЫ И ГРАФИКИ 735
11. Параболоидные координаты. Переменные
Xi = K *2 = Ц, Х3 = ф,
определяемые соотношениями
z = -j(A,2 —ц2),
называются параболоидными координатами. Метрические коэф-
коэффициенты равны hx — h2 = lA-2 + И2 • Л3 = Яр..
Координатные поверхности Я, = const, ц = const являются
параболоидами вращения вокруг оси симметрии Ог.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к пятому изданию 9
Предисловие к четвертому изданию 9
Предисловие к третьему изданию 9
Из предисловия ко второму изданию 9
Из предисловия к первому изданию 9
Глава I
КЛАССИФИКАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
§ 1. Классификация уравнений с частными производными 2-го порядка . 11
1. Дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными (П).
2. Классификация уравнений 2-го порядка со многими независимыми перемен-
переменными A8). 3. Канонические формы линейных уравнений с постоянными коэф-
коэффициентами B0).
Задачи к главе I 22
Глава II
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям гиперболического
типа. Постановка краевых задач .23
1. Уравнение малых поперечных колебаний струны B3). Уравнение продольных
колебаний стержней и струн B7). 3. Энергия колебания струны B8). 4. Вывод
уравнения электрических колебаний в проводах C0). 5. Поперечные колебания
мембраны C1). 6. Уравнения гидродинамики и акустики C4). 7. Граничные и на-
начальные условия C9). 8. Редукция общей задачи D4). 9. Постановка краевых
задач для случая многих переменных D5). 10. Теорема единственности D6). За-
Задачи D9).
§ 2. Метод распространяющихся волн 50
1, Формула Даламбера E0). 2. Физическая интерпретация E2). 3. Примеры E0).
4. Неоднородное уравнение E8). Устойчивость решений F0). 6. Полуограннчеи-
ная прямая и метод продолжений F4). 7. Задачи для ограниченного отрезка G0).
8. Дисперсия волн G3). 9. Интегральное уравнение колебаний G5). 10. Распро-
Распространение разрывов вдоль характеристик G9). Задачи (80).
§ 3. Метод разделения переменных 82
1. Уравнение свободных колебаний струны (82). 2. Интерпретация решения (88).
3. Представление произвольных колебаний в виде суперпозиции стоячих волн
(92). 4. Неоднородные уравнения (96). 5. Общая первая краевая задача A03).
6. Краевые задачи со стационарными неодиородностями A04). 7. Задачи без на-
начальных условий A06). 8. Сосредоточенная Сила (ПО). 9. Общая схема метода
разделения переменных A13). Задачи A20).
§ 4. Задачи с данными на характеристиках 121
1. Постановка задачи A21). 2. Метод последовательных приближений дли зада-
задачи Гурса A23), Задачи A28).

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Решение общих линейных уравнений гиперболического типа .... 128
1. Сопряженные дифференциальные операторы A28). 2. Интегральная форма
решения A29). 3. Физическая интерпретации функции Римана A32). 4. Уравне-
Уравнения с постоянными коэффициентами A35).
Задачи к главе II 139
Приложения к главе II 140
I. О колебании струн музыкальных инструментов 140
II. О колебании стержней 143
III. Колебания нагруженной струны . 147
1. Постановка задачи A47). 2. Собственные колебания нагруженной струны A48).
3. Струна с грузом на конце A52). 4. Поправки для собственных значений A53).
IV. Уравнения газодинамики и теория ударных волн 154
1. Уравнения газодинамики. Закон сохранения энергии A54). 2. Ударные волны.
Условия динамической совместности A56). 3. Слабые разрывы A61).
V. Динамика сорбции газов 165
1. Уравнения, описывающие процесс сорбции газа A65). 2. Асимптотическое
решение A69).
VI. Физические аналогии 176
Глава III
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Простейшие задачи, приводящие к уравнениям параболического
типа. Постановка краевых задач 180
1. Линейная задача о распространении тепла A80). 2. Уравнение днффузни A84).
3. Распространение тепла в пространстве A85). 4. Постановка краевых за-
задач A88). 5. Принцип максимального значения A94). 6. Теорема единствен-
единственности A96). 7. Теорема единственности для бесконечной прямой A99).
§ 2. Метод разделения переменных 200
1. Однородная краевая задача B00). 2. Функция источника B05). 3. Краевые
задачи с разрывными начальными условиями B07). 4. Неоднородное уравнение
теплопроводности B14). 5. Общая первая краевая задача B17). Задачи B19).
§ 3. Задачи на бесконечной прямой 220
1. Распространение тепла на бесконечной прямой. Функция источника для
неограниченной области B20). 2. Краевые задачи для полуограннчеиной пря-
прямой B33).
§ 4. Задачи без начальных условий 241
Задачи к главе III 245
Приложения к главе III 246
I. Температурные волны 246
II. Влияние радиоактивного распада на температуру земной коры .... 250
III. Метод подобия в теории теплопроводности 255
1. Функция источника для бесконечной прямой B56). 2. Краевые зада,чн для
квазилинейного уравнения теплопроводности B57).
IV. Задача о фазовом переходе 259
V. Уравнение Эйнштейна — Колмогорова 264
VI. б-функция 267
1. Определение б-фуикции B67). 2. Разложение 6-фуикции в ряд Фурье B70).
3. Применение fi-функции к построению функции источника B72).

ОГЛАВЛЕНИЕ g
Глава IV
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
§ 1. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа 276
1. Стационарное тепловое поле. Постановка краевых задач B76). 2. Потенциаль-
Потенциальное течение жидкости. Потенциал стационарного тока и электростатического
поля B77). 3. Уравнение Лапласа в криволинейной системе координат B79).
4. Некоторые частные решения уравнения Лапласа B82). 5. Гармонические функ-
функции и аналитические функции комплексного переменного B83). 6. Преобразова-
Преобразование обратных радиусов-векторов B86).
§ 2. Общие свойства гармонических функций 287
1. Формулы Грина. Интегральное представление решения B87). 2. Некоторые
основные свойства гармонических функций B93). 3. Единственность и устойчи-
устойчивость первой краевой задачи B97). 4. Задачи с разрывными граничными усло-
условиями B98).. 5. Изолированные особые точки B99). 6. Регулярность гармониче-
гармонической функции трех переменных в бесконечности C01). 7. Внешние краевые за-
задачи. Единственность решения для двух- и трехмерных задач C03). 8. Вторая
краевая задача. Теорема единственности C05).
§ 3. Решение краевых задач для простейших областей методом разде-
разделения переменных 309
1. Первая краевая задача для круга (ЗЭ9). 2. Интеграл Пуассона C14). 3. Случай
разрывных граничных значений C16).
§ 4. Функция источника 318
1. Функция источника для уравнения Аи=0 и ее основные свойства C19).
2. Метод электростатических изображений и функция источника для сферы C23).
3. Функция источника для круга C26). 4. Функция источника для полупрост-
полупространства C27).
§ 5. Теории потенциала 329
1. Объемный потенциал C29). 2. Плоская задача. Логарифмический потен-
потенциал C31). Несобственные интегралы C33). 4. Первые производные объемного
потенциала C40). 5. Вторые производные объемного потенциала C43). 6.
Поверхностные потенциалы C46). 7. Поверхности и кривые Ляпунова C50). 8.
Разрыв потенциала двойного слоя C52). 9. Свойства 'потенциала простого слоя
C56). 10. Применение поверхностных потенциалов к решению краевых зядач
C59). 11. Интегральные уравнения, соответствующие краевым задачам C64).
Задачи к главе IV 369
Приложения к главе IV 371
I. Асимптотическое выражение объемного потенциала 371
II. Задачи электростатики 373
III. Основная задача электроразведки 379
IV. Определение векторных полей 385
V. Применение метода конформного преобразования в электростатике 389
VI. Применение метода конформного преобразования в гидродинамике 392
VII. Бигармоническое уравнение 398
1. Единственность решения C99). 2. Представление бигармоиических функций
через гармонические функции D00). 3. Решение бнгармоинческого уравнения для
Глава V
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Задача с начальными условиями 403
1. Уравнение колебаний в пространстве D03). 2. Метод усреднения D05). 3. Фор-
Формула Пуассона D06). 4. Метод спуска D08). 5. Физическая интерпретация D10).
о. Метод отражения D12),

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 2. Интегральная формула 414
1. Вывод интегральной формулы D14). 2. Следствия из интегральной фор-
формулы D17). е
§ 3. Колебания ограниченных объемов 420
1. Общая схема метода разделения переменных. Стоячие волны D20). 2. Коле-
Колебания прямоугольной мембраны D26). 3. Колебания круглой мембраны D30).
Задачи к главе V 436
Приложения е главе V 437
I. Приведение уравнений теории упругости к уравнениям колебаний 437
II. Уравнения электромагнитного поля 440
1. Уравнения электромагнитного поля и граничные условия D40). 2. Потенциалы
электромагнитного поля D44). 3. Электромагнитное поле осциллятора D46).
Глава VI
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТЕПЛА В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Распространение тепла в неограниченном пространстве 462
1. Функция температурного влияния D52). 2. Распространение тепла в неогра-
неограниченном пространстве D56).
§ 2. Распространение тепла в ограниченных телах 460 ^
1. Схема метода разделения переменных D60). 2. Остываине круглого цилинд-
цилиндра D64). 3. Определение критических размеров D66).
§ 3. Краевые задачи для областей с подвижными границами 468
1. Формула Грина дли уравнения теплопроводности и функция источника D68).
2. Решение краевой задачи D72). 3. Функция источника для отрезка D74).
§ 4. Тепловые потенциалы 476
1. Свойства тепловых потенциалов простого и двойного слоя D76). 2. Решение
краевых задач D79).
Задачи к главе VI 480
Приложения к главе VI 481
I. Диффузия облака 481
II. О размагничивании цилиндра с обмоткой 484
Глава VII
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. Основные задачи, приводящие к уравнению До + cv = 0 489
1. Установившиеся колебания D89). 2, Диффузия газа при наличии распада
и при цепных реакциях D90). 3. Диффузия в движущейся среде D90). 4. По-
Постановка внутренних краевых задач для уравнения Др + св=0 D91).
§ 2. Функции влиянии точечных источников 493
1. Функции влияния точечных источников D93). 2. Интегральное представле-
представление решения D95). 3. Потенциалы D98).
§ 3. Задачи для неограниченной области. Принцип излучении 501
1. Уравнение До + со=—f в неограниченном пространстве E01). 2. Принцип
предельного поглощения E02). 3. Принцип предельной амплитуды E04). 4. Ус-
Условия излучения E05).
§ 4. Задачи математической теории дифракции 510
1. Постановка задачи E10). 2. Единственность решения задачи дифракции E11).
3. Дифракция на сфере E15).
Задачи к главе VII 521

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
Приложения к главе VII 523
I. Волны в цилиндрических трубах 523
И. Электромагнитные колебания в полых резонаторах 534
1. Собственные колебания цилиндрического эндовнбратора E34). 2. Электромаг-
Электромагнитная энергия собственных колебаний E38). 3. Возбуждение колебаний в »ндо-
вибраторе E40).
III. Скни-эффект 542
IV. Распространение радиоволн над поверхностью земли 547
Дополнение I
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
§ 1. Основные понятия 552
1. Сетки и сеточные функции E53). 2. Аппроксимация простейших дифферен-
дифференциальных операторов E54). 3. Разностная задача E60). 4. Устойчивость E61).
§ 2. Разностные схемы для уравнения теплопроводности 568
1. Схемы для уравнения с постоянными коэффициентами E65). 2. Погрешность
аппроксимации E66). 3. Энергетическое тождество E6S). 4. Устойчивость E72).
5. Сходимость н точность E76). 6. Разностные схемы для уравнений с перемен-
переменными коэффициентами E77). 7. Метод баланса. Консервативные схемы E78).
8. Двухслойные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэф-
коэффициентами E82). 9. Трехслойные схемы E38). 10. Решение систем разностных
уравнений. Метод прогонки E90). 11. Разностные методы решения квазилиней-
квазилинейных уравнений E92).
§ 3. Метод конечных разностей для решения задачи Дирихле 596
1. Разиостигг аппроксимация оператора Лапласа E96). 2. Принцип максиму-
максимума F01). 3. Оценка решения неоднородного уравнения F03). 4. Сходимость
решения разностной задачи Дирихле F04). 5. Решение разностных уравнений
методом простой итерации F06).
§ 4. Разностные методы решения задач с несколькими пространствен-
пространственными переменными 608
1. Многомерные схемы F08). 2. Экономичные схемы F10). 3. Итерационные
методы переменных направлений для решения разностной задачи Дирихле F19).
Дополнение II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1. Введение F24). 2. Общее уравнение теории специальных функций F26).
3. Поведение решений в окрестности х=а, если k (a)=0 F27). 4. Постановка
краевых задач F29).
Часть I. Цилиндрические функции 632
§ 1. Цилиндрические функции 632
1. Степенные ряды F33). 2. Рекуррентные формулы F37). 3. Функции полуце-
полуцелого порядка F38). 4. Асимптотический порядок цилиндрических функций F39).
§ 2. Краевые задачи для уравнения Бесселя 642
§ 3. Различные типы цилиндрических функций 645
1. Функции Ханкеля F45). 2. Функции Ханкеля и Неймана F47). 3. Функции
мнимого аргумента F49). 4. Функция /Со (х) F51).
§ 4. Представление цилиндрических функций в виде контурных интег-
интегралов 655
1. Контурные интегралы F55). 2. функции Ханкеля F57). 3. Некоторые свой-
свойства гамма-функцни F58). 4. Интегральное представление функции Бес-
Бесселя F60). 5. Интегральное представление %v (x) F62). 6, Асимптотические
формулы для цилиндрических функций F63).

3 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Интеграл Фурье — Бесселя и некоторые интегралы, содержащие
функция Бесселя 666
1. Интеграл Фурье - Бесселя F66). 2. Некоторые интегралы, содержащие функ-
функции Бесселя F68).
Часть II. Сферические функции 671
§ 1. Полиномы Лежандра 672
1. Производящая функция и полиномы Лежандра F72). 2. Рекуррентные фор-
формулы F73). 3. Уравнение Лежандра F74). 4. Ортогональность полиномов
Лежандра F75). 5. Норма полиномов Лежандра F76). 6. Нули полиномов
Лежандра F77). 7. Ограниченность полиномов Лежандра F77).
§ 2. Присоединенные функции Лежандра 678
I. Присоединенные функции F78). 2. Норма присоединенных функций F79).
3. Замкнутость системы присоединенных функций F80).
§ 3. Гармонические полиномы и сферические функции 682
1. Гармонические полиномы F82). 2. Сферические функции F83). 3. Ортого-
Ортогональность системы сферических функции F87). 4. Полнота системы сфериче-
сферических функций F89). 5. Разложение по сферическим функциям F90).
§ 4. Некоторые примеры применения сферических функций 694
1. Задача Дирихле для сферы F95). 2. Проводящая сфера в поле точечного
заряда F95). 3. Поляризация шара в однородном поле F96). 4. Собственные
колебания сферы F98). 5. Внешняя краевая задача для сферы G01).
Часть III. Полиномы Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра
§ 1. Полиномы Чебышева — Эрмита 703
1. Дифференциальная формула G03). 2. Рекуррентные формулы 1704). 3. Урав-
Уравнение Чебышева - Эрмита G04). 4. Норма полиномов Нп (х) G05). 5. Функции
Чебышева —Эрмнта G06).
§ 2. Полиномы Чебышева — Лагерра 706
I. Дифференциальная формула G06). 2. Рекуррентные формулы G07). 3. Урав-
Уравнение Чебышева —Лагерра G07). 4. Ортогональность и норма полиномов Чебы-
Чебышева—Лагерра G08). 5. Обобщенные полиномы Чебышева—Лагерра G09).
§ 3. Простейшие задачи для уравнения Шредингера 710
I. Уравнение Шредингера G10). 2. Гармонический осциллятор G12). 3. Рота-
Ротатор G13). 4. Движение электрона в кулоновом поле G14).
Часть IV. Формулы, таблицы и графики 718
I. Основные свойства специальных функций 718
И. Таблицы 723
III. Графики специальных функций 726
IV. Различные ортогональные системы координат 728