Text
                    СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО УРАВНЕНИЯМ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ В.С. ВЛАДИМИРОВА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ
2001

УДК 517 ББК 22.16 С23 Авторы: В. С. ВЛАДИМИРОВ, А. А. БАШАРИН, X. X. КАРИМОВА, В. П. МИХАЙЛОВ, Ю. В. СИДОРОВ, М. И. ШАБУНИН Сборник задач по уравнениям математической физики. / Под ред. В. С. Владимирова. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 288 с. — ISBN 5-9221-0072-6. Сборник задач, составленный коллективом преподавателей Московского физико-технического института, базируется на обновленных курсах урав- нений математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих лет. В отличие от имеющихся задачников по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в которых исполь- зуется теория обобщенных функций и методы функционального анализа. В настоящее издание внесены уточнения и исправления. Второе издание — 1982 г. Для студентов физико-математических и инженерно-физических специ- альностей вузов. Ил. 4. Библиогр. 8 назв. ISBN 5-9221-0072-6 © ФИЗМАТЛИТ, 2001
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие к третьему изданию............................... 4 Из предисловия к первому изданию............................. 5 Основные определения и обозначения........................... 6 Глава I. Постановки краевых задач математической фи- зики .................................................. 9 § 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач ......... 9 §2. Классификация уравнений второго порядка............ 33 Глава II. Функциональные пространства и интегральные уравнения............................................. 39 § 3. Измеримые функции, интеграл Лебега................. 39 § 4. Функциональные пространства........................ 46 § 5. Интегральные уравнения............................. 66 Глава III. Обобщенные функции............................... 89 §6. Основные и обобщенные функции...................... 89 § 7. Дифференцирование обобщенных функций............... 95 § 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций. 104 § 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста................................................ 114 § 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций........ 122 §11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов........................................... 126 Глава IV. Задача Коши................................... 134 § 12. Задача Коши для уравнения второго порядка гипербо- лического типа....................................... 134 § 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности....... 159 § 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса . 170 Глава V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа................................................. 183 § 15. Задача Штурма-Лиувилля........................... 184 § 16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона........................................... 193 § 17. Функция Грина оператора Лапласа.................. 207 § 18. Метод потенциалов................................ 213 §19. Вариационные методы.............................. 232 Глава VI. Смешанная задача.............................. 241 § 20. Метод разделения переменных...................... 241 § 21. Другие методы.................................... 271 Дополнение. Примеры решений некоторых типовых задач................................................ 279 Список литературы.......................................... 287
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ Третье издание сборника задач по уравнениям математической фи- зики не отличается от второго (1982 г.) по содержанию. Авторы лишь исправили отдельные неточности в формулировках задач и устранили опечатки. Во втором издании было добавлено небольшое число задач (в ос- новном в главу III) к первому изданию сборника (1974 г.). Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики Московского физико-технического института за конструктивную критику, за предложения и замечания, которые спо- собствовали улучшению сборника и позволили устранить неточнос- ти и ошибки в ответах. В первую очередь, авторы признательны Т.Ф. Волкову, Ю.Н. Дрожжинову, А.Д. Кутасову, В. Б. Лидскому, А. Ф. Никифорову, В. И. Чехлову. Январь 2001 г. Авторы
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Широкое проникновение современных математических методов в теоретическую и математическую физику потребовало пересмотра традиционного курса «Уравнения математической физики». Это в первую очередь относится к такому фундаментальному понятию, как решение краевой задачи математической физики. Концепция обобщен- ного решения значительно расширяет круг рассматриваемых задач, позволяет изучать с единой точки зрения наиболее интересные зада- чи, не поддающиеся решению классическими методами. С этой целью на кафедре высшей математики Московского физико-технического института были созданы новые курсы: «Уравнения математической физики» В. С. Владимирова и «Уравнения в частных производных» В. П. Михайлова. Настоящий «Сборник задач по уравнениям математической физики» основан на этих курсах и существенно дополняет их. По- мимо классических краевых задач в сборник включено большое число краевых задач, имеющих только обобщенные решения. Исследование таких задач требует привлечения методов и результатов из различ- ных областей современного анализа. Поэтому в сборник включены задачи по теории интегрирования по Лебегу, по функциональным пространствам, в особенности пространствам обобщенно дифферен- цируемых функций, по обобщенным функциям, включая преобразова- ния Фурье и Лапласа, и по интегральным уравнениям. Этот сборник рассчитан на студентов вузов — математиков, физиков и инженеров с повышенной математической подготовкой. 1974 г. Авторы
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1. х = (zi,£2,,£«), У = (z/1,1/2,- -,£/п) — точки «-мерного вещественного евклидова пространства Rn. 2. dx = dx1dx2...dxn, У f(x)dx = у f(x1,x2,...,xn)dx1...dxn. Rn 3. a = (ai,a2,...,an) — мультииндекс (aj > 0 целые); a! = a,! o,!...a,,!, xa = x^x^.-.x^". 4. (x,y) =x1y1 + x2y2 + ... +xnyn; r = |rr| = = \Jx1+x2 + ...+x^. 5. U(xo; R) = {x : |a: — a:0| < R} — открытый шар с центром в точ- ке х0 радиуса R; S(x0;R) = {х : \х — то| = R} — сфера 17д = 17(0;/?), SR = 5(0,/?). 6. Множество А будем называть строго лежащим в области G С Rn и писать A <s G, если А ограничено и А с G. 7. Функция /(.т) называется локально интегрируемой в области G, если она абсолютно интегрируема по каждой подобласти G' G. Функции, локально интегрируемые в Rn, будем называть локально интегрируемыми функциями. о '/(ж1, Ж2; Жп) дх^дх^.-дх”" ’ 9. CP(G) — класс функций /, непрерывных вместе с производными Daf, |a| < р (0 < р < оо), в области G С Rn. Функции f G CP(G), у которых все производные Daf, |a| < р, допускают непрерывное продолжение на замыкание G, образуют класс CP(G); C(G) = C°(G), C(G) = C°(G)-, функции f G CP(G) при всех p образуют класс G°°(G). 10. Равномерная сходимость последовательности функций {Д} к функции f на множестве А обозначается fk(х) =4 f(x), к —> оо. 11. ЛиВ — объединение множеств А и В; А П В — пересече- ние А и В; Ах В — прямое произведение А и В (множество пар (а, Ь) (a G A, be В)\, А\В — дополнение В до А.
Основные обозначения и определения 7 12. Носителем непрерывной функции /(.т) называется замыкание множества тех точек х, в которых f(x) 0. Носитель функции f обозначается supp f. Если измеримая на области G функция f(x) об- ращается в нуль почти всюду в G/G', где G' € G, то f называется финитной в G функцией; функция, финитная в Rn, называется фи- нитной. д2 д2 д2 д2 13. Д = —^ + тг^+-+—^7 — оператор Лапласа; □„=—-а2Д— OKJ 0X2 ОХп OR волновой оператор; Qi = □; — а2 Д — оператор теплопроводности. 14. Г+ = {x,t : at > |т|} — конус будущего. 4 С£е 0, 16. ш£(х) — < 1 = Уe~1^1~x^dx-, ш£ — ядро усреднения, «шапочка», о 17. С — плоскость комплексного переменного, fl, ж > I 18. 9{х) — функция Хевисайда: 6{х) = < 2тгп/2 „ ж ——;-г — площадь поверхности единичной сфе- Г(п/2) где C£ = e e, 0. 1 19- ап = у ры Si в Rn. 20. В CP(G) введена норма ll/llc₽(G) = Е тах|Г“/« |а|<р XEG 21. Совокупность (измеримых) функций f(x), для которых |/|р интегрируема на G, обозначается через I/p(G). Норма в LP(G) вво- дится так: 11/1р I \f\pdx , 1 < р < оо, ll/llio=(G) = vrai sup |/(ж)|, p = oo. В La (G) вводится скалярное произведение (/, g) = f fg dx, f,ge L2(G). 22. Пусть р(х) — непрерывная положительная функция в облас- ти G. Совокупность (измеримых) функций f{x), для которых функция
8 Основные обозначения и определения р(ж)|/(ж)|2 интегрируема на G, обозначим через I/2>P(G); L2>P(G) — гильбертово пространство со скалярным произведением (/>5)l2,₽(G) = f pfgdx. G 23. Цилиндрические функции: а) функции Бесселя г i \ V'' (—l)fc (x^k+v w = S nuAimi) U) ' б) функции Неймана NJx) = ——[Jy(x) совят/ - J-j/t)], v n, вттгр AUz) = - - (-1)" д-гШ v = n; v 7 7Г dv dv в) функции Ханкеля Н^{х) = Jv(x) + iNv(x), H(}\x) = Jv{x) - iNv(x)-, г) функции мнимого аргумента = e-^J^ix), = у e^H^^ix).
Глава I ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ § 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач Условимся в следующих обозначениях: р(х) = р — плотность (линейная, поверхностная, объемная); То — натяжение струны, мембраны; Е — модуль Юнга; к — коэффициент упругости упругого закрепления концов струны, стержня или края мембраны; S — площадь поперечного сечения стержня, вала и т.д.; 7 = Ср/сг, — показатель адиабаты; р, ро — давление газа, жидкости; тп, тпо — масса; д — ускорение силы тяжести; ш — угловая скорость; fc, к(х), к(х, и) — коэффициент внутренней теплопроводности; а — коэффициент внешней теплопроводности (коэффициент теп- лообмена) ; D — коэффициент диффузии. Приведем несколько примеров на составление уравнений. Пример 1. Задачи о поперечных колебаниях струны. Струна длиной I натянута с силой 7Ь и находится в пря- молинейном положении равновесия. В момент времени t = 0 точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить за- дачу для определения малых поперечных колебаний точки струны при t > 0, если концы струны: а) закреплены жестко; б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым, парал- лельным направлению отклонения и; в) закреплены упруго, т. е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направлен- ное противоположно ему; г) двигаются в поперечном направлении по заданным законам. Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь.
10 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики Решение. Пусть ось х совпадает с направлением струны в по- ложении равновесия. Под струной понимается тонкая нить, которая не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением ее длины. Это значит, что если мысленно разрезать струну в точке х, то действие одного участка струны на другой (сила натяжения Т) будет направ- лено по касательной к струне в точке х. Для вывода уравнения коле- баний выделим участок струны от х до х + Да: и спроектируем все действующие на этот участок силы (включая и силы инерции) на оси координат. Согласно принципу Даламбера сумма проекций всех сил должна равняться нулю. Мы изучаем только поперечные колебания. Поэтому можно считать внешние силы и силу инерции направленны- ми вдоль оси и. Примем во внимание также, что рассматриваются малые колебания струны. Это значит, что в процессе вывода уравне- ния мы будем пренебрегать квадратами величины их(х, t). Длина S дуги АВ выражается интегралом Х-]-Д.Х S = J у/1 + 'u2 dx = Ах. X Это значит, что удлинения участков струны в процессе колебания не происходит и, следовательно, по закону Гука величина натяжения То = |Т| не зависит ни от времени, ни от х. Найдем проекции всех сил в момент времени t на оси и. Проекция силы натяжения с точнос- тью до бесконечно малых (б. м.) первого порядка равна (рис. 1): To[sina(a:+Aa:)- sina(a:)] = То = Т0 их (x + Ax,t) \/l + u2(x + Ax,t) tg а(к+Дк) 1/l+tg2o(a: + Aa:) ux(x,t) у/1 + и%(х,Г) tg а(ж) x/l+tg2a(a:) - 7о[мж(я + Да:,1)-цж(а:,1)] = - Touxx(x,t) Дж. Пусть р(х, t) — непрерывная линейная плотность внешних сил. Тогда на участок АВ вдоль оси и действует сила р(х, Г) Ах. Для нахожде- ния силы инерции участка АВ воспользуемся выражением — тип, где т — масса участка. Если р(х) — непрерывная линейная плотность струны, то rn = рАх. Таким образом, проекция на ось и силы инерции задается выражением —puttAx, а проекция всех сил на ось и имеет вид
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 11 [ToUsa, + р(х, t) - р(х) 14Н] Да; = 0. (1) Следовательно, 2o'U;„: ~ р(х) Utt + р(х, t) = 0. Это и есть уравнение вынужденных колебаний струны. Если р = = const, то уравнение принимает вид иа = а2ихх + g(x,t), где а2 = То/Pi 9(x,t) = p(x,t)/p. Кроме того, функция и(х, t) удов- летворяет начальным условиям и|4=о = ut|t=o = 'lKxk где <р(х), •ф(х) — заданные функции. Вывод краевых условий. а) Если концы струны жестко закреплены, то u 1а—о — 0, и|ж=г = 0. б) В случае свободных концов для получения условия при х = 0 спроектируем на ось и силы, действующие на участок КМ (рис. 2). Так как натяжение в точке х = 0 действует лишь параллельно оси х, то проекция сил натяжения на участок КМ равна ТоиДДа;, t). Про- екция внешней силы равна р(0, t) Ах, а проекция силы инерции равна —putt(0, t) Да;. Приравнивая нулю их сумму, получим Toux(Ax,t) + р(0, t) Да; — putt(O,t) Ах = 0. (2) Устремим Да; к нулю. Тогда вследствие непрерывности и ограничен- ности входящих функций получим условие 'и.т:|а:=о = 0- Аналогично получается условие на правом конце их |ж=г = 0. в) Действие упругих сил заделки на левом конце дается выраже- нием —ku(0, t). Приравниваем в этом случае проекцию всех сил, дейст- вующих на участок КМ, на ось и нулю. К левой части уравнения (2) добавится член — ku(0, t). Тогда имеем Тоих(Ах, t) - ku(p,t) +р(0, t) Ах — putt(0,t) Ах = 0, а при Да; -> 0 получаем (ц® ^^)|х—о — 0, h — к/То. На правом конце (рис. 3) проекция всех сил имеет вид
12 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики —Tqux(1 — Дт, t) — ku(l, t) + p(l, t) Ax — риц(1, t) Ax = 0, поскольку sino(/ - Ax) = При Ax —> 0 получим (u:r + hu)\x=i = 0. г) и|ж=о = Mi(t), I4|a:=z = M2W, где функции Pi(t), P2(t) определя- ют закон движения концов (pi(0) = </з(0), р2(0) = у?(/)). Пример 2. Задачи о колебании стержня. Упру- гий прямолинейный стержень длиной I выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент t = 0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что во время движе- ния поперечные сечения остаются параллельными плоскости, перпен- дикулярной к оси стержня, поставить задачу для определения малых продольных колебаний стержня при t > 0. Рассмотреть случаи, когда концы стержня: а) закреплены жестко; б) двигаются в продольном направлении по заданным законам; в) свободны; г) закреплены упруго, т.е. каждый из концов испытывает со сто- роны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и на- правленную противоположно смещению. Решение. Пусть ось х совпадает с направлением оси стержня (рис. 4) и пусть х — координата сечения pq, когда оно находится в Р Pi X х+Ах ч qi Рис. 4 покое. Мы изучаем малые продольные колебания стержня. Это зна- чит, что внешние силы и силы инерции можно считать направленны- ми вдоль оси стержня. Обозначим через и(х, t) смещение этого сечения
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 13 в момент t; тогда в рамках нашего предложения смещение сечения в точке х + Дж будет и(х + Да;, t) = и(х, t) + их(х, t) Ах. Поэтому относительное удлинение стержня в сечении х будет рав- но ux(x,t). По закону Гука натяжение в этом сечении равно Т = ESux(x, t), где S — площадь поперечного сечения, Е — модуль упругости материала стержня. Уравнение колебаний стержня полу- чим, если приравняем нулю сумму всех сил, включая силы инерции, действующие на участок pg, piQi- Равнодействующая сил натяжения равна Т(х + Ах) — Т(х) = ES[ux(x + Ax,t)—ux(x,t)] = ESuxx(x,t) Ах. Пусть p(x,t) — объемная плотность внешних сил. Тогда на учас- ток pq, piqi действует внешняя сила Sp(x, t) Ах и сила инерции —р{х) Suttfx, t) Ах. Сумма всех сил по принципу Даламбера равна ну- лю, т. е. [ESu^a;, t) + р(х, t) S — р(х) Sutt(x, t)] Ах = 0. (1) Отсюда р(х) ua(x,t) = Euxx(x,t) +p(x,t); (2) кроме того, u(x,t) удовлетворяет начальным условиям u|t=Q = ¥>(х), ujt=o = чр(х), где <р(х),тр(х) — заданные функции. Если р(х) — р = = const (однородный стержень), то уравнение принимает вид цц — д Джх т g(x,t), где а2 = Е/р, g(x, t) = р(х, t)/p. (3) Вывод краевых условий. а) В случае жесткого закрепления отклонения концов не происхо- дит, и, следовательно, = 0. б) ^(^=0 = = M2(t), гле Mi(*)> М2(^) — функции, опреде- ляющие закон движения концов (pi(0) = <р(0), Р2(0) = <р(/)). в) В случае свободных концов составляем баланс действующих сил для обоих концов. На левом конце равнодействующая упругих сил натяжения равна Т(Ах) = ESux(Ax,t), внешняя сила Sp(O,t) Ах и сила инерции — pSutt(0, t) Сумма всех сил, действующих на выде- ленный элемент, равна нулю. Отсюда ESux(Ax, t) + р(0, t) SAx — pSutt(0, t) Ax = 0, (4) и при Ax —> 0 получаем = 0. Аналогично рассуждая, на правом конце получаем условие 'и;с|;с=/ =0. г) В левой части уравнения (4) добавится сила — ku(0, t). И после перехода к пределу при Да; —> 0 получим
14 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики ESux(O, i) - ku(O, t) = 0 или (их - Ли)|а:=о = О, где h = k/(ES). На правом конце -Т(1 - Дж) = —ESux(l - Ах, t), Sp(l, t) Ах — внешняя сила, —р(х) Sutt(l, t) Ах — сила инерции. Тогда имеем — ESux(l — Ах, t) — ku(l, t) + Sp(l, t) Ax — Utt(l, t) Sp(x) Ax = 0, и при Ax —> 0 получаем второе граничное условие (их + hu)\x=i = 0. Пример 3. Задача о колебании мембраны. Мемб- раной называется натянутая пленка, которая сопротивляется растя- жению и не сопротивляется изгибу. Работа внешней силы, вызываю- щей изменение площади некоторого участка, пропорциональна этому изменению. Положительный коэффициент пропорциональности Т не зависит ни от формы этого участка, ни от его положения. Он назы- вается натяжением мембраны. Выведем уравнение равновесия мембраны, предполагая, что в на- чальный момент времени в положении равновесия мембрана совпа- дала с областью G плоскости (х±, тг), ограниченной некоторой до- статочно гладкой кривой L. Работа внутренних сил упругости рав- на по абсолютной величине работе внешних сил и противоположна ей по знаку. Пусть /(ж) — плотность силы в точке х, действующей перпендикулярно к плоскости Под действием внешней силы мембрана перейдет в новое положение, которое описывается уравне- нием и = и(х). Будем считать, что мембрана не сильно изогнута, так что в рассуждениях будем пренебрегать членами их и* Кро- ме того, будем считать, что точки мембраны под действием внешней силы перемещаются только по перпендикулярам к плоскости , жг), и, следовательно, координаты (дц, хг) произвольной точки мембраны при этом не меняются. Работа внешней силы, вызвавшей перемещение мембраны из пер- воначального положения (и = 0, х € G) в положение, задаваемое урав- нением и = и(х), х 6 G, равна У f(x) и(х) dx. G Изменение площади мембраны при этом перемещении равно / (^/1 + ^! +их2 - l)dx, G а работа внутренних сил упругости равна ~т/ [\/1 + u*i +их2 - i] ~ У (и2Х1 + ul2) dx. G G Следовательно, сумма всех работ равна Жи) = У [-у (и2Х1 + и2Х2) +/u] dx. (1) G Вариация функционала (1) выражается формулой
$ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 15 бА(и) = I [-Т (иХ1биХ1 + иХ2биХ2) + f би] dx. G Согласно принципу возможных перемещений в положении равновесия 5А(и) = 0 при всех допустимых би(х). Так как У (иХ1биХ1 + иХ2биХ2) dx = J ^6udl — j Aufrudx, G LG где n — вектор внешней нормали к контуру L, то <L4(u) = -Т [ ^6udl+ J\Tbu + f)6udx = 0. (2) L G Так как любая непрерывно дифференцируемая в G функция, рав- ная нулю на границе, является допустимой функцией, то, предполагая функции и(а?) и /(ж) достаточно гладкими, из (2) имеем ТАи = —/(т), х & G. (3) Краевые условия. а) Закрепленная мембрана. Если край мембраны жестко закреп- лен, то отклонения точек мембраны на границе L не происходит и, следовательно, u|l =0. б) Края мембраны свободны, т. е. они могут свободно переме- щаться по вертикальной боковой поверхности цилиндра с основани- ем L. В этом случае би будет произвольной как в G, так и на L, и из условия (2) получаем | =0. в) Если к краю мембраны приложена сила с линейной плотностью /1, то криволинейный интеграл в формуле (2) в этом случае заменит- ся на и вследствие произвольности би на L получим = 0. L г) В случае упругого закрепления края мембраны сила, дейст- вующая на краю, имеет плотность —ки, где к характеризует жест- кость закрепления мембраны. Для получения граничного условия ( ди \ I нужно в граничном условии Т —I- ЛИ — 0 заменить Д на —ки. Тогда получим (ди , l \| п , к (^-+nw) =0, где h = \дп j\l Т Выведем уравнение движения мембраны. Пусть и — и(х, t) — урав- нение, описывающее положение мембраны в момент времени t. Со- гласно принципу Даламбера функция и(х, t) удовлетворяет дифферен- циальному уравнению 7'Ди — —(/ — putt) (f = f(x,t) — плотность внешней среды, — р(х)иц — плотность силы инерции). Таким обра- зом, уравнение колебаний мембраны имеет вид
16 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики а2Аи -- utt = F(x, t), где а2 ~ Т/р, F = -f(x, t)/p. (4) Из физических соображений ясно, что для однозначного описания процесса колебаний, кроме уравнения (4) и условия на границе L (од- ного из условий а) г)), нужно задать начальное положение (форму мембраны при t — 0) и начальные скорости точек мембраны. Таким образом, имеем для уравнения (4) задачу: найти дважды непрерывно дифференцируемое решение u(x,t), х 6 G, t > 0, непре- рывно дифференцируемое в G при t > 0, удовлетворяющее a2 Au - utt = F(x,t), u\t=0 = ip(x), ut\t=o = •ф(х), где у?(х), ф(х) — заданные функции. Кроме того, в зависимости от условий на краю мембраны, функция u(x,t) должна удовлетворять одному из условий в)-г). Пример 4. Уравнение неразрывности. Задача обтекания. Уравнение акустики. Рассмотрим движе- ние идеальной жидкости (газа), т. е. жидкости, в которой отсутствуют силы вязкости*^. Пусть v = ('С1,'С2,'Сз) — вектор скорости движения жидкости, p(x,t) — ее плотность, f(x,t) — интенсивность источни- ков. Выделим в жидкости некоторый объем Q, ограниченный поверх- ностью S. Тогда изменение массы жидкости внутри Q в единицу вре- мени равно dx. С другой стороны, это изменение должно равняться приращению ко- личества Qi жидкости, выделенной источниками, минус количест- во Q2 жидкости, вытекающее через поверхность S. Очевидно, Qi = J f(x, t) dx, Q2 — J p(v ri)ds = J div (pv) dx, о so где n — внешняя нормаль. Таким образом, имеем ^\pt + div (р • v) - f] dx = 0. о Вследствие произвольности Я и непрерывности подынтегрального вы- ражения необходимо pt + div (р • г) = f(x,t). Это и есть уравнение неразрывности движения идеальной жидкости. Рассмотрим задачу об обтекании твердого тела Q с границей S потенциальным потоком несжимаемой однородной жидкости, имею- щей заданную скорость д0 на бесконечности при отсутствии источни- ков. Так как р = const и f = 0, то эта задача приводится к решению уравнения *)Движение жидкости рассматривается в эйлеровых координатах.
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 17 при условии div v = О (2) (3) где vn = (v, n), п — внешняя нормаль. Пусть и — потенциал скорос- тей, т. е. v = grad и. Тогда уравнение (2) принимает вид div grad и — . „ ди I ,, — 1ли = 0, а граничным условием становится — | — 0, так как vn - (у,п) - (gradu,n) = Из физических соображений ясно, что v(x) должна стремиться к Vq при |т| —> оо, где «о — скорость потока на бесконечности. Таким образом, указанная задача свелась к решению задачи Ди = 0, х g Q, lira grad и = «о- = 0’ cm Is Уравнения акустики. Предположим, что находящийся в некотором объеме идеальный газ под действием внешних сил с плотностью F(x, t) совершает малые колебания около положения рав- новесия и что движение газа адиабатическое, т. е. давление р(х, t) и плотность p(x,t) связаны соотношением (уравнением состояния) - = (~У, (4) Ро \ро/ где ро, Ро — начальные давления и плотность, а постоянная 7 > 0. Обозначим через u(x,i) — (u1(x,t),U2(x,t),us(x,t)) вектор сме- щения газа относительно положения равновесия, а через v(x,t) = = {vi(x,t'),V2(x,t),V3(x,t)) — вектор скорости: ди /г\ «=” <5) В наших предположениях (р — ро, и, v и их производные малы) урав- нение (4) можно переписать в виде Р~Ро\ ро / а уравнение неразрывности (1) — в виде Pt + Ро div v = 0 (считаем, что интенсивность источников равна нулю). В соответствии с законом Ньютона полный баланс сил, действую- щих на малый объем газа ДП, равен нулю, т.е. р Д V + gradp ДV = F&V, откуда после замены р на ро (в рамках нашего приближения) получаем (6) Р — Ро (7)
18 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики р0-=Р- grad/л (8) Дифференцируя (8) по t и пользуясь соотношениями (6) и (7), находим уравнение для вектора скорости v д2г> 2 , . 1 9F . . — ^gradd,^-—, (9) где а2 = ро?/ро- Если предположить, что в начальный момент времени имеет мес- то равенство div u = —1, то из (7) и (5) получим, что для всех по- следующих моментов времени имеет место равенство р + ро div и = 0. Отсюда и из (5), (6) и (8) вытекает уравнение для вектора смещения = a2grad div и + — F. (10) ot2 ро Наконец, дифференцируя уравнение (7) по t и используя (6) и (8), получим уравнения для плотности р и давления р ptt = а2 Др — div F, ptt = а2 Др — а2 div F. (11) Уравнения (9) (11) называются уравнениями акустики. Пример 5. Задачи о распространении тепла. Вывод уравнения теплопроводности базируется на законе Фурье, со- гласно которому количество тепла, проходящее за время Д1 через ма- лую площадку Д£>, лежащую внутри рассматриваемого тела, опреде- ляется формулой Д(? =-Аг(т,и)^^Д5Д1, (1) где п — нормаль к площадке, направленная в сторону передачи теп- ла, А:(а;, и) — коэффициент внутренней теплопроводности, и(х, t) — температура тела в точке х = (х^,Х2,Хз) в момент времени t. Пред- положим, что тело изотропно в отношении теплопроводности. Тогда к(х, и) не зависит от направления площадки. Для вывода уравнения, которому удовлетворяет температура и(х, t), выделим внутри тела объем Q, ограниченный поверхностью S. Согласно закону Фурье ко- личество тепла, втекающее в Q через поверхность S за промежуток времени [ti, 4г]> равно t2 У dt J k-^ds = f dt J div (k grad u) dx. ti s ti о Если F(x, t) — плотность тепловых источников, то количество теп- ла, образованное за их счет в 9 за указанный промежуток времени, равно
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 19 Общее количество притекшего в О за время от 11 до А2 тепла можно подсчитать также и через приращение температуры: #2 д У ср[и{х,1г) — u(x,ti)]dx = J dt j cp~dx, Г2 ti где c(x) и p(x) — теплоемкость и плотность вещества. Следовательно, У dt J (ср — div (A- grad и) — F(x, A)) dx = 0 (2) «1 о (при этом предполагаем, что подынтегральная функция непрерывна). В силу произвольности Q и промежутка времени [Ai, А2] из (2) вытекает равенство срщ — div (A- grad и) = F(x,t), (3) называемое уравнением теплопроводности. Если коэффициент теплопроводности к не зависит от температу- ры и, к(х,и) = А(т), то уравнение (3) становится линейным. Если тело однородно, то с(х) = const, р = const, к = const и уравнение принимает вид щ = а2 Ап + /(ге, А), (4) где а2 = к/(ср), f(x,t) = F(x,t)/(cp). Из физических соображений следует, что для однозначного описания процесса распространения тепла необходимо, кроме уравнения (3) или (4), задать начальную температуру, т.е. п|<=о = у?(т), и температурный режим на грани- це. Для случая когда на границе Г тела D поддерживается заданная температура, граничное условие выглядит так: ц|г = ф- Для случая когда на границе задан тепловой поток q, граничное усло- вие выглядит так: ди I _ , дп 1г ’ где h — q/k, п — внешняя нормаль. В частности, если тело G тепло- изолировано на границе, то FI =°- дп (г В случае если окружающее тело G пространство имеет заданную температуру, считаем, что на границе происходит теплообмен по за- кону Ньютона, т.е. <?|г = а(щ — ц)г, где q — тепловой поток, а — коэффициент внешней теплопроводности (теплообмена), Ui — темпе- ратура окружающего G пространства. С другой стороны, в едини- цу времени с единицы площади границы Г внутрь тела G по закону Фурье идет тепловой поток гд = к . Эти потоки должны быть рав- ны, т. е. А-^-1 = o(iti - и)|г, или — V’i(s)- дп\г \дп /1г
20 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики Пример 6. Задачи о диффузии. Вывести уравнение диффузии вещества в неподвижной среде, занимающей ограниченную область Q с границей Г, если задана плотность источников F(x,t) и диффузия происходит с поглощением (например, частицы диффунди- рующего вещества вступают в химическую реакцию с веществом сре- ды) , причем скорость поглощения в каждой точке пространства х G Q пропорциональна плотности и(х, t) диффундирующего вещества. Получить краевые условия для следующих случаев: а) на границе области поддерживается заданная плотность; б) граница непроницаема; в) граница полупроницаема, причем диффузия через границу про- исходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена. Вывод уравнения основывается на законе Нэрнста, согласно кото- рому количество вещества, проходящее за малый промежуток времени At через малую площадку AS, равно AQ = -£>(□:) ^ AS At, где D(x) — коэффициент диффузии, п — нормаль к элементу AS, направленная в сторону перемещения вещества. Пусть р(х) — коэф- фициент плотности среды. Как и при выводе уравнения теплопровод- ности, выделим некоторый объем Q с границей S и составим баланс количества вещества, пришедшего в Q за промежуток времени [ti, t2]- Количество вещества, пришедшего в Q через границу S, согласно закону Нэрнста равно *2 «2 ! dt J D(x) ~ ds = J dt J div (D grad и) dx. ti S ti Q Количество вещества, образовавшегося в Q за счет источников, равно <2 У dt у F(x, t) dx. ti о Количество вещества в Q уменьшилось на величину t2 У dt J q(x) и(х, t) dx ti о за счет поглощения среды (q(x) — коэффициент поглощения). По- скольку приращение количества вещества в Q за промежуток [ti, tz] равно также У p(x)[u(x,t2) — u(x,ti)] dx — f dt f P Tjjr dxi n ti n TO
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 21 ! dt У (put — div (D grad и) — F + qu) dx = 0 (1) ti fi (подынтегральная функция считается непрерывной). В силу произвольности Л и промежутка времени [ti, 4г] из (1) вы- текает равенство put + qu = div (D grad и) + F. (2) Это и есть искомое уравнение диффузии. Из физических соображений ясно, что для однозначного описания процесса диффузии необходимо знать начальное распределение плотности д|«=о = ^(ж), ж € 12, и режим диффузии на границе области. Как и в случае примера 5, краевые условия имеют вид: а) д|г = д0; б) =0; on 1г в) D ^1 = o(ui — д)|г, где — заданные функции, а — <Ш 1Г коэффициент проницаемости границы Г. 1.1. Найти статический прогиб струны, закрепленной на концах, под действием непрерывно распределенной нагрузки (на единицу длины). 1.2. Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны с насаженной на нее в некоторой внутренней точке Гц бусиной массы т. 1.3. Вывести уравнение колебания струны, колеблющейся в упру- гой среде. 1.4. Крутильными колебаниями стержня называют такие колеба- ния, при которых его поперечные сечения поворачиваются одно от- носительно другого, вращаясь при этом около оси стержня. Вывести уравнение малых крутильных колебаний однородного цилиндричес- кого стержня. Рассмотреть случаи: а) концы стержня свободны; б) концы стержня жестко закреплены; в) концы стержня упруго закреплены. 1.5. Точкам упругого однородного прямоугольного стержня, жест- ко закрепленного на левом конце и свободного на правом, в начальный момент времени t — 0 сообщены малые поперечные отклонения и ско- рости, параллельные продольной вертикальной плоскости симметрии стержня. Поставить краевую задачу для определения поперечных отклоне- ний точек стержня при t > 0, предполагая, что стержень совершает малые поперечные колебания. 1.6. Труба, заполненная идеальным газом и открытая с одного конца, движется поступательно в направлении своей оси с постоянной
22 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики скоростью v. В момент времени t = 0 труба мгновенно останавливает- ся. Поставить краевую задачу об определении смещения газа внутри трубы на расстоянии х от закрытого конца. 1.7. Заключенный в цилиндрической трубке идельный газ совер- шает малые продольные колебания; плоские поперечные сечения, состоящие из частиц газа, не деформируются и все частицы газа дви- гаются параллельно оси цилиндра. Поставить краевую задачу для определения смещения частиц газа в случаях, когда концы трубки: а) закрыты жесткими непроницаемыми перегородками; б) открыты; в) закрыты поршеньками с пренебрежимо малой массой, насажен- ными на пружинки с коэффициентами жесткости v и скользящими без трения внутри трубки. 1.8. Начиная с момента времени t = 0 один конец прямолинейного упругого однородного стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому приложена сила Ф(Z), направленная по оси стержня. В момент времени t — 0 поперечные сечения стержня были неподвижны и находились в неотклоненном положении. Поста- вить краевую задачу для определения малых продольных отклонений точек стержня при t > 0. 1.9. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны, закрепленной на обоих концах, в среде с сопротивлением, про- порциональным первой степени скорости. 1.10. Составить уравнение продольных колебаний стержня, у которого площадь поперечного сечения есть заданная функция от х, считая материал стержня однородным. 1.11. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упру- гого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если концы стерж- ня закреплены неподвижно и стержень выведен из состояния покоя тем, что его точкам в момент времени t = 0 сообщены начальные скорости и продольные отклонения. Длина стержня равна /, радиусы оснований R, г (R > г), материал стержня однороден. Деформацией поперечных сечений пренебречь. 1.12. Находящаяся в горизонтальной плоскости невесомая струна с постоянной угловой скоростью w вращается вокруг вертикальной оси, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен. В начальный момент времени t = 0 точкам этой струны сообщаются малые отклонения и скорости по нормалям к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. 1.13. Пусть в точке х — 0 бесконечной однородной струны нахо- дится шарик массы то- Начальные скорости и начальные отклонения точек струны равны нулю. Поставить краевую задачу для определе- ния отклонений точек струны от их положения равновесия в следую- щих случаях:
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 23 а) начиная с момента времени t = 0 на шарик действует сила F = Fo sin fit; б) в начальный момент времени t = 0 шарик получает импульс ро в поперечном направлении; в) шарик в случае б) закреплен упруго с эффективной жест- костью к2. 1.14. Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного упругого стержня, один конец которого жестко закреп- лен, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорос- ти. Сопротивлением среды пренебречь. 1.15. Во внутренних точках х = Xi, i = 1,...,п, на струне со- средоточены массы mt, г = 1,...,п. Поставить краевую задачу для определения малых поперечных колебаний струны при произвольных начальных данных. Концы струны закреплены. 1.16. Два полуограниченных однородных упругих стержня с оди- наковыми поперечными сечениями соединены жестко торцами и со- ставляют один неограниченный стержень. Пусть pi, Е± — плотность и модуль упругости одного из них, а р2, — другого. Поставить краевую задачу для определения отклонений поперечных сечений не- ограниченного стержня от их положения равновесия, если в началь- ный момент времени поперечным сечениям сообщены некоторые про- дольные смещения и скорости. 1.17. Тяжелая однородная нить длиной /, закрепленная верхним концом (х = /) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с по- стоянной угловой скоростью ш. Доказать, что уравнение малых коле- баний нити около своего вертикального положения равновесия имеет вид д2и д ( ди\ 2 + со и. 1.18. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяже- лой однородной струны относительно вертикального положения рав- новесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен. 1.19. Поставить задачу об определении магнитного поля внутри и вне цилиндрического проводника, по поверхности которого течет ток силой J. 1.20. Кабель, имеющий потенциал vq, при t = 0 заземляется на одном конце через сосредоточенную емкость (или индуктивность); другой конец изолирован. Поставить задачу об определении электри- ческого тока в кабеле. 1.21. Конец х = 0 круглого однородного вала закреплен, а к концу х — I жестко прикреплен диск с моментом инерции Jq. В начальный момент времени диск закручивается на угол а и отпускается без на- чальной скорости. Поставить краевую задачу для определения углов поворота поперечных сечений вала при t > 0. 1.22. Тяжелый стержень подвешен вертикально и защемлен так, что смещение во всех точках равно нулю. В момент времени t = 0
24 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики стержень освобождается. Поставить краевую задачу о вынужденных колебаниях стержня. 1.23. Пусть все условия предыдущей задачи остаются без изме- нения, за исключением условия на нижнем конце: к нему прикреплен груз Q, причем за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня (например, в начальный момент времени из-под груза убирается подставка и груз начинает растягивать стержень). 1.24. Поставить задачу о движении полуограниченной струны (О < х < оо) при t > 0, если при t < 0 по ней бежит волна и(х, t) = = fix + at), а конец струны х = 0 закреплен жестко. 1.25. Поставить краевую задачу о малых радиальных колебаниях идеального однородного газа, заключенного в цилиндрической трубке радиуса R настолько длинной, что ее можно считать простирающейся в обе стороны до бесконечности. Начальные отклонения и начальные скорости есть заданные функции от г. 1.26. Поставить задачу об обтекании шара стационарным пото- ком идеальной жидкости (потенциальное течение). Привести электро- статическую аналогию. 1.27. Поставить краевую задачу о малых радиальных колебани- ях идеального однородного газа, заключенного в сферическом сосуде радиуса R, если начальные скорости и начальные отклонения заданы как функции от г. 1.28. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях мем- браны, к которой приложено нормальное давление Р на единицу пло- щади, если в невозмущенном состоянии мембрана является плоской, а окружающая среда не оказывает сопротивления колебаниям мембра- ны. Рассмотреть случаи: а) мембрана жестко закреплена на границе L; б) мембрана свободна на L; в) на части Li границы L мембрана закреплена жестко, а на ос- тальной части границы L она свободна. 1.29. Поставить краевую задачу о колебании круглой однородной мембраны, закрепленной по краю, в среде, сопротивление которой про- порционально первой степени скорости. В момент времени t = 0 к поверхности мембраны приложена внешняя сила плотности f(r,ip,t), действующая перпендикулярно плоскости невозмущенной мембраны. Начальные скорости и отклонения точек мембраны отсутствуют. 1.30. Закрепленная по краям однородная прямоугольная мембра- на в начальный момент времени t = 0 получает удар в окрестности центральной точки, так что д0(х) dx = А, х = (хх,х2), ие где А — некоторая постоянная, Vq(x) — начальная скорость. Поста- вить краевую задачу о свободных колебаниях. lim [
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 25 1.31. Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления R, са- моиндукции L и емкости С. В момент времени t = 0 в цепь вклю- чается э.д.с. Ео. Показать, что сила тока i(t) в цепи удовлетворяет уравнению t Li'(t) 4- Ri(t) + ~ J г(т) dr = Eo, t > 0. о 1.32. Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой среде. Ис- ходя из уравнений Максвелла вывести уравнения, которым удовлетво- ряют компоненты векторов напряженности электрического и магнит- ного полей для случаев: а) плотность зарядов р — 0, е — const, Л = const, р = const, J = ХЕ (закон Ома); б) среда — вакуум и токи отсутствуют. 1.33. Поставить задачу о проникновении магнитного поля в пра- вое полупространство, заполненное средой с проводимостью ст, если начиная с момента времени t = 0 на поверхности х = 0 поддержи- вается напряженность магнитного поля Н = Но sin fit, направленная параллельно поверхности. 1.34. Поставить краевую задачу об определении температуры стержня 0 < х < I с теплоизолированной боковой поверхностью. Рас- смотреть случаи: а) концы стержня поддерживаются при заданной температуре; б) на концах стержня поддерживается заданный тепловой поток; в) на концах стержня происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой задана. 1.35. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде, предпо- лагая, что поверхностями равной плотности в каждый момент време- ни t являются плоскости, перпендикулярные к оси х. Написать гра- ничные условия, предполагая, что диффузия происходит в плоском слое 0 < х < I. Рассмотреть случаи: а) на граничных плоскостях концентрация диффундирующего ве- щества поддерживается равной нулю; б) граничные плоскости непроницаемы; в) граничные плоскости полупроницаемы, причем диффузия через эти плоскости происходит по закону, подобному закону Ньютона для конвективного теплообмена. 1.36. Вывести уравнение диффузии распадающегося газа (коли- чество распавшихся молекул в единицу времени в данной точке пропорционально плотности с коэффициентом пропорциональности а > 0). 1.37. Дан тонкий однородный стержень длиной I, начальная тем- пература которого f(x). Поставить краевую задачу об определении температуры стержня, если на конце х = 0 поддерживается постоян- ная температура зд, а на боковой поверхности и на конце х = I про-
26 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики исходит конвективный теплообмен по закону Ньютона с окружающей средой нулевой температуры. 1.38. Поставить задачу об определении температуры в бесконеч- ном тонком теплоизолированном стержне, по которому с момента t = О в положительном направлении со скоростью г»о начинает двигаться точечный тепловой источник, дающий q единиц тепла в единицу вре- мени. 1.39. Поставить краевую задачу об остывании тонкого однород- ного кольца радиуса R, на поверхности которого происходит конвек- тивный теплообмен с окружающей средой, имеющей заданную темпе- ратуру. Неравномерностью распределения температуры по толщине кольца пренебречь. 1.40. Вывести уравнение диффузии взвешенных частиц с учетом оседания, предполагая, что скорость частиц, вызываемая силой тя- жести, постоянна, а плотность частиц зависит только от высоты z и от времени t. Написать граничное условие, соответствующее непро- ницаемой перегородке. 1.41. Поставить краевую задачу об остывании равномерно нагре- того стержня формы усеченного конуса (искривлением изотермичес- ких поверхностей пренебрегаем), если концы стержня теплоизолиро- ваны, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры. 1.42. Растворенное вещество с начальной плотностью cq = const диффундирует из раствора, заключенного между плоскостями х = О и х = h, в растворитель, ограниченный плоскостями х = h, х = I. По- ставить краевую задачу для процесса выравнивания плотности, пред- полагая, что границы х = 0, х = I непроницаемы для вещества. 1.43. Внутри однородного шара начиная с момента времени t = О действуют источники тепла с равномерно распределеннной постоян- ной плотностью Q. Поставить краевую задачу о распределении тем- пературы при t > 0 внутри шара, если начальная температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки до центра шара. Рассмотреть случаи: а) на поверхности шара поддерживается нулевая температура; б) на поверхности шара происходит теплообмен (по закону Ньюто- на) с окружающей средой нулевой температуры. 1.44. Дан однородный шар радиуса R с начальной температурой, равной нулю. Поставить краевую задачу о распределении температу- ры при t > 0 внутри шара, если: а) шар нагревается равномерно по всей поверхности постоянным тепловым потоком г/; б) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой зависит только от времени. 1.45. Начальная температура неограниченной пластины толщи- ны 2h равна нулю. Поставить краевую задачу о распределении тем- пературы при t > 0 по толщине пластины, если:
1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 27 а) пластина нагревается с обеих сторон равными постоянными тепловыми потоками д; б) в пластине начиная с момента времени t = 0 действует источ- ник тепла с постоянной плотностью Q, а ее основания поддерживают- ся при температуре, равной нулю. 1.46. Неограниченный цилиндр радиуса R имеет начальную тем- пературу /(г). Поставить краевую задачу о радиальном распростра- нении тепла, если: а) боковая поверхность поддерживается при постоянной темпе- ратуре; б) с боковой поверхности происходит лучеиспускание в окружаю- щую среду нулевой температуры. 1.47. Дана тонкая прямоугольная пластина со сторонами I, т, для которой известно начальное распределение температуры. Поставить краевую задачу о распространении тепла в пластине, если боковые стороны поддерживаются при температуре w|j/=o = и\у=.т = <р2(х), Ч*=0 = 01 (ж), = 02(т). 1.48. Начальное распределение температуры в однородном шаре задано функцией Поставить краевую задачу о распределе- нии тепла в шаре, если поверхность шара поддерживается при посто- янной температуре ио- 1.49. Два полуограниченных стержня, сделанных из разных ма- териалов, в начальный момент времени приведены в соприкосновение своими концами. Поставить краевую задачу о распределении тепла в бесконечном стержне, если известны начальные температуры каждого из двух полуограниченных стержней. 1.50. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры в тонкой прямоугольной пластине О АС В со сторонами О А = а, О В — Ь, если: а) на боковых сторонах пластины поддерживаются заданные тем- пературы; б) на сторонах О А и О В заданы тепловые потоки, а стороны ВС и АС теплоизолированы. 1.51. На плоскую мембрану, ограниченную кривой L, действует стационарная поперечная нагрузка с плотностью f(x,y). Поставить краевую задачу об отклонении точек мембраны от плоскости, если: а) мембрана закреплена на краю; б) край мембраны свободен; в) край мембраны закреплен упруго. 1.52. Дан цилиндр с радиусом основания R и высотой h. Поста- вить краевую задачу о стационарном распределении температуры внутри цилиндра, если температура верхнего и нижнего оснований есть заданная функция от г, а боковая поверхность:
28 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики а) теплоизолирована; б) имеет температуру, зависящую только от z; в) свободно охлаждается в среде нужной температуры. 1.53. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры внутренних точек полусферы, если сферическая поверх- ность поддерживается при заданной температуре f (у>,0), а основание полусферы — при нулевой температуре. 1.54. Шар радиуса R нагревается плоскопараллельным потоком тепла плотности q, падающим на его поверхность, и отдает тепло в окружающую среду в соответствии с законом Ньютона. Поставить краевую задачу о распределении температуры внутренних точек шара. 1.55. Пусть n(x,s,t) — плотность частиц в точке х, летящих с постоянной скоростью v в направлении s = (si,82,83) в момент времени t; обозначим через а(х) коэффициент поглощения и h(x) — коэффициент умножения в точке х. Предполагая рассеяние в каждой точке х изотропным, показать, что п(х, s,t) удовлетворяет интегро- дифференциальному уравнению переноса - + (s, gradn) + а(х) п = ^^2 f п(х, s',t) ds'+ F, vdt ' 4тг J ' |s'|=! где F(x, s, t) — плотность источников, /3(х) = a(x) h(x). 1.56. Поставить краевую задачу для уравнения задачи 1.55, считая, что задано начальное распределение плотности и задан падающий поток частиц на границу S области G. 1.57. Показать, что для решения n(x,s) стационарной краевой задачи (s, gradn) + а(х) п = / п(х, s') ds' + F(x), 4тг J )s')=l n|s = 0, если (s, n) < О, где n — внешняя нормаль к S, средняя плотность п0(х) — у- f n(x,s)ds 47г J |s|=l удовлетворяет интегральному уравнению Пайерлса / 1 \ п0(х) = 4тг / I f a [tz-l-(l-t) ж'] dt I [/З(ж') п0(ж')-1-Г(ж')] dx'. \ о / 1.58. Разлагая решение п(х,з) стационарной краевой задачи 1.57 в ряд по сферическим функциям от s, удерживая только члены с ну- левой и первыми гармониками, показать, что функция ricdx) = [ n(x,s)ds 4тг J |s|=l есть решение краевой задачи (диффузное приближение)
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задан 29 -|div 1 grad/io) + (1 - h) h0 = Д ( 2 dn0\l Rio + о---я— ) \ За on J\s = 0. Ответы к § 1 1.1. Tuxx + f(x) = 0, 0 < х < I, и|ж=о = и|ж=1 = 0, где f(x) — плотность нагрузки. 1.2. putt — T()Uxx, 0 С X I, X Xq, t > 0, w|a:=O — в|ж—£ — 0, u(x0 + 0, t) = u(x0 - 0, i), ux(x0 + 0, t) - ux(x0 - 0, t) — — и«(ж0, £) J-o 1.3. pun = Tuxx — au, 0 < x < I, t > 0, где a — коэффициент упругости среды. 1.4. 0tt = о?6хХ, 0 < x < I, 0 < t < оо, 0(x,O) = f(x), Ot(x, 0) = = F(x), 0 < x < l, где 6(x,t) — угол поворота сечения стержня с координатой х в момент времени t, а2 = GJ/Ф, где G — модуль сдви- га, J — полярный момент инерции поперечного сечения относительно точки, в которой ось пересекает это поперечное сечение, Ф — осевой момент инерции единицы длины стержня. Граничные условия: a) 0x(0,t) = Gx(l,t) = 0; б) 0(0, t) = 0(1, t) = 0; в) (0Х - h0)\x=o = 0, (0Х + h0)\x=i = 0, где h = k/(GJ), к — жесткость упругого закрепления. 1.5. utt + a2Uxxxx = 0, 0 < х < I, t > 0, и(х, 0) = f(x), щ(х,0) = - F(x), 0 < х < I, u(0,t) = ux(0,t) = uxx(l,t) = uxxx(l,t) = 0, где а2 = EJ/(pS), J — геометрический момент инерции поперечного се- чения относительно его средней линии, перпендикулярной к плоскости колебаний. 1.6. utt = а2ихх, 0 < х < I, t > 0, а2 = уро/ро — скорость звука, и(х, 0) = 0, ut(x,0) = v, 0<х<1, u(0, t) = 0, ux(l,t) = O, t > 0. 1.7. utt = а2ихх, а2 = 7Ро/ро, 0 < х < I, t > 0, и(х, 0) = f(x), щ(х, 0) = F(x), 0 <х <1. Краевые условия: a) u(O,t) = u(l,t) = 0; б) ux(O,t) = ux(l,t) = 0; в) (их - hu)\x=0 = 0, (их + hu)\x=i = 0, где h = vKS'ypo), где S — площадь поперечного сечения трубки. 1.8. utt = о?ихх, 0 < х < I, t > 0, u(0,t) = <p(t), ux(l,t) = = $(t)/(ES), t>0, u(x,0) = 0, ut(x,0)=0, Q<x<l, a2=E/p. 1.9. utt = a2uxx — 2^2ut, 0<t <1, t>0, u(x, 0) = уз(т), щ(х, 0) = = ^(т), 0 < х < I, u(O,t) = u(l,t) = 0, t > 0, где 2п2 = к/p, к — коэффициент трения. 1.10. а Ы|Н] =«’(§, «! = ^. дх L ' дх\ dt2 Е
30 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики , чо д^и о ( 2^а\ г\ . , , г, 2 I г г. I 1.12. —- = а2— (яг— ), 0 < х < I, t > 0, а2 = —, tt(O,i) < оо, dt2 дх\ дх) 2 1 v п u(l,t) = 0, t > 0, и(я:,О) = /(я:), ц{(я:,О) = F(x), 0 < х < I. 1.13. utt = а2ихх, х 0, t > 0, а2 = Tf/p, и(я:,О) = 0, И((я:,О) = О, х 0; условие в точке х = 0 имеет вид: a) -mou(f(0, t) + To[ux(+O,t) - иж(—О, t)] + Fo sinflt = 0, t > 0; 6) w(—0,t) =u(+O,t), — moUtt(0,i) + 7o[ua;(+0,t)—ux{—0,t)] = 0, t > 0, u(—0,0) — u(4-0,0) = 0, moUt(—0,0) = moiit(+0,0) = Po; в) u(—0,t) = u(4-0,t), t > 0, moWtt(0,^) + To[i13:(+0,f)—t4a:(—0,t)] — —k2u(0,f) = 0, moWt(—0,0) = motif(+0,0) =p0, u(—0,0) = u(+0,0) = 0. 1.14. Utt = a2W:ra, 0 < x < I, t > 0, a2 — E/p, u(x,0) = f(x), ut(x,O) = g(x), 0 < x < I, ?/(0, t) = 0, (ESux — kut)\x=i =0, t > 0, где k — коэффициент трения для конца стержня х = I. 1.15. utt = а2ихх, х 5^ xt, i = 1, ...,n, 0 < х < I, t > 0, u(O,i) = u(l,t) = O, u{xi — 0, t) = u(xt 4- 0, t), ux(xt 4- 0,t) — ux(xi — 0,t) = ^-utt(xt,t), t>0, i = l,...,n; u|t=0 = f(x), ut|t=o = F(x), Q<x<l. ulf = a?uxx, — oo < x < 0 1-16. t > 0, u\O,t) = u2(0,t), Utt ~ a2Uxx’ 0 < X < 4-00 II II Eii4(0,t) = Ezu2(0,t), t > 0, ц1(я:,О) = /(я:), и£(я;,О) — F(x), —oo < x < 0, и2(я:,0) — /(я:), и2(я;,0) = F(x), х > 0, где и1,?/2 — смещение точек левого и правого стержней, а2 — Et/pi, г — 1,2. 1.18. = д~- (я:^\ 0 < х < I, t > 0, |гг(О, t)| < oo, u(/,t) = О, t > 0, w|t=o = fix), iit|t=o = Fix), 0 < X < I. 1.19. ДФ<‘) =0, r > R, =0, 0 < r < R, grad$ = H, ^|г=й = Ф^|г=Л, Ф^|г=д = (Ф^ + — boJI , |Ф'(0,01 < oo, V С /\т—R Зпов — — поверхностная плотность тока, а ф(г\ — потенциал ztfjR магнитного поля внутри и вне проводника соответственно. 1.20. Jx = — cvt, vx — —LJt, Q < x < I, t > 0, w|t=o = wq, v(O,t) — t = - J J dt на заземленном конце, их(1, t) = 0 — на изолированном, о 1.21. 0tt = а2вхх, < X < I, 0|ж=о = о, О < х < I, t > 0, ^|f=0 = ax/l, 0t|t=o — 0, 0 < #a:k=< = —где постоянные а2, Ф, J, G JQjr имеют тот же смысл, что и в задаче 1.4.
§ 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач 31 1.22. utt — a2uxx + g, 0 < х < I, t > О, и(х, 0) = ut(x, 0) = О, О < < х < I, u(fl,t) = О, ux(l,t) =0, t > 0, а2 = Е/р. 1.23. utt = а2ихх +д, 0 < х < I, t > 0, tz|f=0 = «t|t=o = О, 0 < < х < I, ~ Uttjx=i — ESux\x=i 4~ (^. 1.25. utt = a2 (urr + -0 < г < R, t > 0, u(r,O) = /(г), ut(r, 0) = F(r), 0 < г < R, |ы(0,1)| < оо, дг|г=я = 0. 1.26. Ду? = 0, г > R, t > 0, =0, t > 0, lim v = lim grad у? = or lr=R r—iOQ ?---->CO = vq, где зд — скорость потока на бесконечности. 1.27. Utt — а2(игг + -иЛ, 0 < г < R, t > 0, u(r, 0) = /(г), \ Т / д4|,_0 = F(r), 0 < г < R, |д(0,1)| < оо, дг|г=д = 0, где а2 = = УРо/ро- 1.29. иц + kut = a2Au + , 0 < г < R, 0 < <р < 2тг, 1 > О, Р it|t=o = iit|t=o = 0, |д(0,у?,1)| < оо, м(Л,у>,1) = 0, где а2 = Т/р, к = а/р, а — коэффициент упругого сопротивления среды. 1.32. a) utt — а2Аи + = 0, а2 = —; е ер (д2 2 Л\ 4тгс2 f д2 2л 1 n ре дфо ,. п б) 375-° д ]4>о = р, 7775-о Д ¥’ = 0, — -£--divy? = O, \dt2 ) е2р \dt2 J с dt где Е = (Ei, Е2, Ез) — напряженность электрического поля, Н = = (Н1,Н2,Нз) — напряженность магнитного поля, р(х) — плотность зарядов, £ — диэлектрическая постоянная среды, р — коэффициент магнитной проницаемости среды, I(x,t) = (11,12,1з) — ток проводи- мости. В случае а) для компонент Е и Н получается одно и то же теле- графное уравнение. Для случая б) вводится четырехкомпонентный электромагнитный потенциал (у?о,у?), = (у?1,у>2,</5з), с помощью которого решение , Н = i rot <р. 4тггг 1 1.33. Нхх = Ht + 4 Htt, X > 0, 1 > 0, H\t=o = 0, tff|t=0 = 0, с1 с2 х > 0, Н 1^=0 = Но sin fit, t > 0, где с — скорость света. 1.34. ut = а2ихх, 0 < х < I, 1 > 0, и(х,0) = f(x), 0 < х < I, краевые условия: а) д|ж=о = w|x=; = </52(1), 1 > 0; б) о — ?i(l), kSux\x~i — </52(1), 1 0, в) ггг|г=о = /i[w(O,t) - </5Х(1)], = -h[u(l,t) - </52(t)], а2 = = к/(ср') — теплоемкость, </5i(t), </?2(1) в случае а) — температура уравнений Максвелла ищется в виде Е — grad у>0 — i
32 Гл. I. Постановки краевых задач математической физики концов стержня, в случае б) — температура окружающего простран- ства на концах стержня, % — тепловые потоки на концах стержня. 1.35. Ut = Duxx, 0 < х < /, t > 0, и(ж,0) = /(ж), 0 < х < Z, граничные условия: a) u(0, t) — u(l, t) — 0, t > 0; б) 1x^(0, Z) = ux(l, t) = 0, t > 0; в) wT|T=n = h[u(0, t) -</?!(/)], t > 0, ?Т;г|ж=/ = -h\u(l,t) — глс a/D = h, а — коэффициент проницаемости на концах. 1.36. ut = D&.U — au, t > 0, х = (si,^2,жз) £ R3. 1.37. щ = а2ихх-----и, 0 < х < I, t cpS — и0, (их 4- — 0, t > 0, сечения стержня, h = а/к, а2 = к/(ср). > 0, u|t=0 = f (х), 0 < х < I, р — периметр поперечного 1.38. ut = а2ихх + - ё(х — Dot), —оо < х < +оо, t > 0, и(ж,0) = = , а2 = к/(ср). 1.39. щ = а2ихх — Ь(и — ио), 0 < х < I, t > 0, д(я;,0) = /(ж), 0 < х < I, и|ж=0 = u\x=l, а2 = —, Ь = где ср cpS Р — периметр поперечного сечения кольца, х = R6, в — угловая координата. 1.40. ut = Duzz - vuz, z > z0, t > 0, (Duz - nu)|2=Zo = 0, t > 0, где v — скорость оседания частиц. Л х \2 ди 2 & Гл k\25w1 2а(1 — х/Н) . 1.41. (1 - — — = а2— 1- — тг--------------------— и, 0 < х < I, \ HJ dt дх IV Н/ eta] ерго cos 7 t > 0, u|t=o = и0, 0 < х < I, wx|x=o = их\х=1 =0, t > 0, где а2 = к/(ср), Н — полная высота конуса, 7 — половина угла раство- ра конуса, Го — радиус большого основания, / — высота усеченного конуса. {со, 0 < х < h, 0, h < х < I. 1.43. щ = a2 (urr 4- | и^ 4- 0 < г < R, t > 0, u\t-o = f(r), 0< < t < R, |м(0, Z)| < 00; граничные условия: a) u(R, t) = 0; б) (иг + Ни)\г=ц = 0, Н = a/к, а2 = к/(ср). 1.44. щ — а2 (игг 4- | у 0 < г < R, t > 0, u|t=o = 0, 0 < г < R- граничные условия: a) |u(0,<)| < оо, ur(R,t) = q/k, t > 0; б) |u(0, Z)j < 00, (ur 4- Hu)\r=R — q>(t), t > 0, H = a/к, a2 = = k/(cp).
§ Z. Классификация уравнений второго порядка 33 1.45. a) ut — а2ихх, —h < х < h, t > 0, u|t=0 = О, (kux + </)|ж=-л = — О, ( kUx ~Ь л — б, б) Ut — d Uxx “Ь > h X < /l, t > О, w|t=O — б, ^|a:=±/i — б, 2 , и х СР а2 = к/(ср). 1.49. ut = а(х)ихх, х ± О, t > О, u(x,6) = f(x), tt(—6,t) = = u(+O,i), kiUx(-O,t) = k2ux(+O,t), a(x) = Z^’ < a2 — I floj X \J. Ci pi § 2. Классификация уравнений второго порядка Уравнение aij{x)uXiXj + $(s,u,gradu) = О М=1 в каждой фиксированной точке хо можно привести к каноническому виду неособым линейным преобразованием £ = ВТх, где В — такая матрица, что преобразование у = By приводит квадратичную форму п У2 atj^yiyj М=1 к каноническому виду. (Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду, например, методом выделения полных квадра- тов.) 2.1. Привести к каноническому виду уравнения: 1) Uxx 4~ %UXy 27/жг 4" ^^УУ 4“ ^UZz — 9, 2) ^Uxx ^UXy ‘^'U'yz 4" Uy 4" Uz — О, 3) иХу uxz 4“ их 4” Uy uz — О, 4) ихх 4~ *2иХу 2>uxz 4~ ^Uyy 4” Q,uzz — О, 5) ихх -f- ^tUXy 4:UXZ fyUyZ uzz — 0, 6) uxx 4" ^uXy 4~ ^Uyy 4~ ^Uyz 4” 2>Uyt 4~ %uzz 4~ — 0, 7) uXy uxt 4~ UZz ^Uzt 4" 2titf — 0, 8) uXy 4- uxz 4~ uxt 4- uzt — 0, 9) uxx 4~ 2>uXy 2uxz — A:UyZ 4~ 2/iiyt 4* uzz — 0, 10) uxx 4~ 2t/xz 2i/xt 4~ Uyy 4" *2ALyZ 4~ 2tz^t 4~ 2tz2Z 4~ — 0, 11) uxixi + 2 uxkxk ~ 2 ^2 uxkxk+1 = 0; fc=2 fe=l 12) uaia:i-2 f)(-l)fcUa,fc_ia:fc = 0; 13) kuXkXk+2^luXlXk=0; k=2 k=l l<.k 14) УЗ ^XkXk 4" УЗ ^XjXk — 9, 15) 'U'XlXk 9. k~l l<k l<k 2 - 1389
34 Гл. I. Постановка краевых задач математической физики Уравнение а(х,у)ихх + 2Ь(х,у)иху + с(х,у)иуу = Ф(х,у,и,их,иу), (1) где |а| 4- |Ь| + |с| 0, принадлежит (в точке или области): гиперболическому типу, если Ь2 — ас > 0; параболическому типу, если Ь2 — ас = 0; эллиптическому типу, если Ь2 — ас < 0. Для уравнения (1) характеристическое уравнение a(x,y)(dy)2 — 2b(x,y) dxdy + c(x,y)(dx)2 = 0 распадается на два уравнения: ady — (b + \/b'2 — ас) dx = 0, (2) ady — (b ~ — ас) dx = 0. (3) Уравнения гиперболического типа: Ь2 — ас > 0. Общие интегралы ip(x,y) = q, Tp(x,y) = С2 уравнений (2) и (3) дейст- вительны и различны. Они определяют два различных семейства дей- ствительных характеристик для уравнения (1). Заменой переменных £ = г(х,у), 7] = ’ф(х,у) уравнение (1) приводится к каноническому виду Щи = Ф1(Л,Ч,ЩЩ,Щ))- Уравнения параболического типа: Ь2 — ас = 0. Уравнения (2) и (3) совпадают. Общий интеграл ip(x,y) = с урав- нения (2) определяет семейство действительных характеристик для уравнения (1). Заменой переменных £ = tp(x,y), г/ = гф(х,у), где ф(х, у) — любая гладкая функция такая, что эта замена переменных взаимно однозначна в рассматриваемой области, уравнение (1) при- водится к каноническому виду Щи = Ф1(Л,т],и,Щ,щ)- Уравнения эллиптического типа: Ь2 — ас < 0. Пусть (р(х,у) + itp(x,y) = с — общий интеграл уравнения (2), где <р(х,у) и 'ф(х,у)—действительные функции*). Тогда заменой пере- менных £ = tp(x,y), т) = ф(х.,у) уравнение (1) приводится к канони- ческому виду + иии = Ф1(Л,71,ЩЩ,Щ)- 2.2. В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду уравнения: 1) ихх 2иху Зиуу Т иу — 0, 2) ихх (уиху -Ь 4“ их Зиу — 0, **Если а,Ь, с — аналитические функции, то существование общего ин- теграла уравнения (2) вытекает из теоремы Ковалевской.
§ 2. Классификация уравнений второго порядка 35 3) 4иХх 4" ^Uxy 4" "Uyy 2Uy — 0, 4) Uxx "E'U'yy — 5) UXx УПуу — 6) XUXx УЩу — Oj 7) yuxx "E'Hyy — 0, 8) x Uxx 4“ у uyy — 0? 9) у uXx 4" x Uyy — О, Ю) у Uxx tLyy — 11) (l + x2}uxx + ^ + y2)uyy + yUy = 0; 12) by2Uxx - e2xuyy = 0; 13) Uxx — 2 кш.-шжу 4- (2 — cos2 x) uyy = 0; 14) У uxx 4~ ^У'М’ху 4- Uyy — 0, 15) x uxx 2xuXy 4~ uyy — 0* Пусть коэффициенты уравнения (1) непрерывны в некоторой об- ласти D. Функция и(х,у) называется решением уравнения (1), если она принадлежит классу C2(D) и удовлетворяет уравнению (1) в об- ласти D. Множество всех решений уравнения (1) называется общим решением уравнения (1). 2.3. Найти общее решение уравнений с постоянными коэффициен- тами: 1) Uxy — 0, 2) иХх a Uyy ~ 0, 3) Uxx ^иху ^Uyy — 0, 4) Uxy 4- аих — 0, 5) 3uXx~5uXy~‘2uyy + 3ux + Uy — 2-, 6) иху 4- аих 4- Ьиу 4- abu = 0; 7) иху — 2их — Зиу 4- би = 2ex+v; 8) Uxx 4~ 2аиху 4" о ^yy 4~ Ux 4- auy — 0. 2.4. Доказать, что уравнение с постоянными коэффициентами иху 4- аих 4- Ьиу + си = 0 заменой и(х, у) = и(х, у) е~Ъх~ау приводится к виду иху 4- (с — ab) и = 0. 2.5. Доказать, что общее решение уравнения иху — и имеет вид и(х,у) = J f(t) Jo [2iyjy(x - t)^ dt + ° у 4" f 9(t) Jo {^iy/x(y - t)j dt + [/(0) 4- p(0)] Jo (2iy/xy), о где Jo(z) — функция Бесселя, a f и g — произвольные функции клас- са С1. 2.6. Доказать, что общее решение уравнения иху = F(x,y), где F G С(|я: — ж0| < а, \у — г/о | < Ъ), имеет вид и(х,у) = f(x) + g(y) + f f ХоУО где fug — произвольные функции класса С2. 2.7. Доказать, что общее решение уравнения иху 4- А(х,у) их — 0, где А(х,у) € CJflx — ж0| < а, \у — уо| < Ъ), имеет вид
36 Гл. I. Постановка краевых задач математической физики хо х у и(х, у) = f(y) 4- У g(£) exp < Л(£, д) dr] > d£, Уо где fug — произвольные функции классов С2 и С1 соответственно. 2.8. Доказать, что общее решение уравнения 1 , 1 _п Уху Ух 4“ Уу — 0 х-у х-у у i \ /(ж) + s(?/) t ж имеет вид у(х, у) = —ziza где fag — произвольные функции из х — у класса С2. 2.9. Доказать, что общее решение уравнения п , т _ п Уху Ух 4" Уу — U, х-у Х-у где пат — натуральные числа, имеет вид Qn+m—2 '“(ХГУ) = д^ду~ f(x)+g(y) х-у где / и д — произвольные функции из классов Ст+1 и Cn+1 соот- ветственно. 2.10. Доказать, что общее решение уравнения , п т Уху 4- ух Уу — 0, х — у х — у где пит — неотрицательные целые числа, имеет вид /(ж) 4- д(у) х-у где fug — произвольные функции из классов Сп+2 и С™+2 соответ- ственно. 2.11. В каждой из областей, где сохраняется тип уравнения, найти общее решение уравнений: 1) уихх -Ь (ж у) уху xUyy — 0, 2) х ухх у ууу — 0, 3) х уххг2хууХу Зу ууу 2хух— 0, 4) х ухх-\~2хуихуГ'У ууу— 0, 5) иХу — хих 4- и = 0; 6) иху 4- 2хууу — 2ху = 0; 7) иху 4- их 4- уиу 4- (у - 1) и = 0; 8) ^ху 4- хих 4- 2уиу 4- 2хуи = 0. Ответы к § 2 2. 1. 1) и€€ + ит + иа = 0; С = х, 7) = у-х, ( = х - 1 у + | z; 11 1 2) ии - + ucc + u7J = 0; £ = - ж, 4= zx + y, С = -^x-y + z-, 3) - ит + 2дс = 0; £ = х 4- у, г] = у - х, < = у + z;
§ 2. Классификация уравнений второго порядка 37 4) и^ + = 0; С = х, 7) = у- х, С = 2ж - у + z; t-x Cl С *311 5) - и(( = 0; £ = х, Т) = у - х, ( = - х - - у 4- - z; 6) и^ + 4- и^ + итт =0; £ = х, 7} = у — х, С = х — у + z, г = 2х — 2у + z + t; 7) и^~ит + и^+итт = 0; £ = х+у, т? — у — х, ( = z, т = y + z + t-, 8) и^ - 4- и<х — итт =0; £ = х + у, т} = х - у, ( = -2у 4- z + t, т = z — t; 9) U(f—u44+U(( = 0; £ = x, у = у — х, ( = 2х — y + z, т = x + z + t] 10) и^ 4- izw = 0; £ = х, у = у, (, = ~х — y + z, т = х — у + t; 11) Ё = °’ & = Е xi, к = 1,2,..., л; к=1 1=1 п к 12) E(-l)fc+1^ =0, £к = ^х{, к = 1,2,...,тг, к=1 1=1 п 13) £ uikik = 0, 6 = XI, £к = хк- хк_к, к = 2,3, ...,п; к=1 14) Eu«^=0> = E^i), fc = l,2,...,n; к —• 1 V I к п Ч — п I 9 п 15) uitil ~ Е = 0, = /9, n Xi 4- J------------------ £ хк, к=2 у/2(п -1) V п - 1 к=2 £к — ^1 — \/2хк, к = 2,3, ...,п. 2.2. 1) и^ - (и€ - и^) = 0, £ = х - у, 7] = 3х + у; 2) 4- Unn 4- щ = 0, £ = х, т] = Зх + у; 3) иУп 4- и^ = 0, £ = х — 2у, 7) = х; 4) + с/Д х +ит)) = °, € = |2:3/2 +У> У = |х3>2-у, х > 0; D\S I У) + Urjrj + щ = О, С = з (-ж)3/2, Г) = у, х < 0; 4 1 5) + o/FZ а ~ гц) = 0, = х 4- 2^/у, 7] = х - 2^/у, у > 0; zls V) + um — ~\ип 6) U^£ Unn = 0, £ = х, т] = 2у/^у, у <0; - ёЧ + -иц = °, £ = vkl, у = vlyl (х > °> 11 /— о, у < 0); Ufj. 4- - -Щ - - Uy = 0, £ = -/kb О, у < 0 или х < 0, у > 0); 1 у > U или У = у/\у\ (: 7) иа - Щп + ^ис - = 0, £ = 1ж13/2, У = М3/2 (х > О, ^7 11 У > о или х < 0, у < 0); и^ 4- uVn 4- гу и^ 4- — иу =0, £ = |s|3/2, У ~ |у|3/2 (х > 0, у < 0 или х < 0, у > 0);
38 Гл. I. Постановка краевых задач математической физики 8) U££ 4- uyy — Uf_ — Uy = 0, £ = 1п|ж|, г] = In |v/| (в каждом квад- ранте); 1 9) Uf£ 4- Uyy 4- 4- — = 0, £ = у2, у = х2 (в каждом квад- ранте); 2€ 21) 10) —757 (^4 ~ 6^) = °> С = У2 - х2, Г) = у2 4- ж2 S ) (в каждом квадранте); 11) и^ 4- Uyy - th £и^ = 0, £ = In (ж 4- д/1 4-ж2), у = In (у 4- i/14-у2); 12) ~ 2(£~— у) ~ + 4(ё+>/) + Uy} = °’ = У2 + еХ' 77 = = у2 — ех (у > 0 или у < 0); 13) и(.(. 4- Uyy 4- cos^u4 = 0, — х, у = у — cos ж; 14) Uyy - 2щ = 0, £ = 2ж — у2, у = у; 15) Uyy - = 0, £ = хеу, у = у, 2.3. 1) /(ж) 4- д(у); 2) f(y 4- аж) +д(у - аж); 3) /(ж - у) + ^(Зж 4- у); 4) /(у) 4- д(х) е-ау-, 5) ж-2/4-/(ж-Зу)4-р(2ж4-?/)е(3у’":с)/7; 6) [f (ж) 4- д(у)] е~Ьх~ау; 7) ех+у 4- [/(х) 4- ^(?/)] е3ж+2!/; 8) f(y - аж) + д(у- ах) е~х. 2. 11. 1) /(ж 4- у) 4- (ж - у) д(х2 - у2) (х > -у или ж < -у); fxs\ 3) f(xy) 4- |ж7/|3/4</( — I (в каждом квадранте); \ У J 4) xf^—^+g^—^ (в каждом квадранте); У X 5) xf(y) - Ш + f(x - О g(£) (Указ а н и e. Обозначая о их = v, получить соотношения и = xv — vy, vxy — xvx = 0.); 1 y 6) 2yg(x) +- g'(x) + J(y — £) /(£) e~x2^d^ (Указание. Обозна- 0 1 чая uy = v, получить соотношения и = — vx + yv, vxy + 2xyvy = 0.); у У$(х) + /'(ж) + f(y-T]) g(y) e~xr>dy (Указ а н и e. Обо- o значая uy + и = v, получить соотношения и = vx 4- yv, vxy 4- vx 4- + yvy + yv = 0.); у yf(x) 4- f'(x) + f(y~7]) gM e~xr,dr] (Указ а н и e. Обо- o J значая uy 4- xu = v, получить соотношения и = vx 4- 2yv, (vy 4- xv)x 4- 4-27/(11,, + xv) = 0.). 7) е~у 8) е~ху
Глава II ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега 1. Измеримые функции. Множество Е С Rn называется мно- жеством (п-мерной) меры нуль, если по любому е > 0 можно най- ти покрывающее его счетное множество открытых (п-мерных) кубов, сумма объемов которых меньше е. Пусть Q С Rn — область. Если некоторое свойство выполнено всюду в Q, за исключением, быть может, множества меры нуль, то говорят, что это свойство выполнено почти всюду в Q (п. в. в Q). Заданная в области Q функция f(x) называется измеримой в Q, если она является пределом п. в. в Q сходящейся последовательности функ- ций из C(Q). Если /(ж) = д(х) п. в. в Q, то говорят, что функции эквивалентны в Q. 3.1. Установить, что следующие множества являются множества- ми меры нуль: 1) конечное множество точек; 2) счетное множество точек; 3) пересечение счетного множества множеств меры нуль; 4) объединение счетного множества множеств меры нуль; 5) гладкая (п — 1)-мерная поверхность; 6) гладкая /г-мерная поверхность (k < п — 1). В задачах 3.2-3.9 доказать утверждения. 3.2. Функция Дирихле у (ж) (равная 1, если все координаты точ- ки ж рациональны, и 0 в противоположном случае) равна нулю п. в. 3.3. Функция /(ж) = -—почти всюду непрерывна в Rn. 1 - М 3.4. Последовательность функций /„(ж) = |ж|" в шаре |ж| < 1 схо- дится к нулю п. в. 3.5. Теорема. Для того чтобы множество Е было мно- жеством меры нуль, необходимо и достаточно, чтобы сущест- вовало такое его покрытие счетной системой открытых кубов с конечной суммой объемов, при котором каждая точка Е оказыва- ется покрытой бесконечным множеством кубов.
40 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 3.6. Функция / 6 C(Q) измерима. 3.7. Если f(x) и д(х) эквивалентны и д(х) измерима в Q, то f(x) тоже измерима в Q. 3.8. Предел почти всюду сходящейся последовательности измери- мых функций является измеримой функцией. 3.9. Функция, непрерывная в Q за исключением подмножества, составленного из конечного (или счетного) числа гладких /г-мерных поверхностей (fc < п — 1), измерима в Q. 3.10. Установить измеримость следующих функций, заданных на отрезке [—1,1]; а) у = sign х; sin i х 7^ 0, . sign fsin -V х Г 0, б) у = < х в) у = \ x.J 0, х = 0; 0, х = 0; 1 т Г) У = ' — . если х = — при взаимно простых т,п п п 0, если х иррационально. 3.11. Пусть функции /(ж) и д(х) измеримы в Q. Установить из- меримость следующих функций: с(х\ а) /(ж)р(ж); б) ( (при условии д(х) 0, х 6 Q); 9(х) г) (f(x))9tx\ если /(ж) > 0. в) |№)|; 3.12. Пусть f(x) е C'(Q) и в каждой точке х € Q существует производная fx . Доказать, что fx измерима в Q. 3.13. а) Пусть функции f(x) и д(х) измеримы в Q. Доказать из- меримость в Q функций max{f(x),g(x)}, min {/(ж), д(х)}. б) Доказать, что всякая измеримая функция f(x) есть разность двух неотрицательных измеримых функций f+(x) = max {/(ж), 0}, f (ж) = min {0, -/(ж)}. 3.14. Доказать, что неубывающая (невозрастающая) на отрезке [а, Ь] функция измерима. 3.15. Доказать, что если f(x) измерима в Q, то существует после- довательность многочленов, сходящихся к f(x) п. в. в Q. 2. Интеграл Лебега. Заданную в области Q функцию f(x) бу- дем считать принадлежащей классу L+(Q), если существует неубы- вающая последовательность непрерывных в Q финитных функций fn(x), п = 1,2,..., сходящаяся к f(x) п.в. в Q и такая, что последо- вательность интегралов (Римана) у fn(x)dx ограничена сверху. При Q
'/ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега 41 этом интеграл Лебега от функции f (ж) g L+(Q) определяется равен- ством Функция f(x) называется интегрируемой по Лебегу по области Q, если ее можно представить в виде разности /(ж) = /1(ж) — /г (ж) двух функций fi (ж) и /г (ж) из L+(Q). При этом интеграл Лебега от функ- ции /(ж) определяется равенством (L) У f dx = (L) у A dx - (L) у f2 dx. Q Q Q Комплекснозначную функцию /(ж) = Re f(x) + г Im/(ж) будем называть интегрируемой по Лебегу по области Q, если функции Re/(ж), Im/(ж) интегрируемы по Лебегу. При этом по определению полагаем (L) J f dx = (L) у Re f dx + i (L) J Im f dx. Q Q Q Множество интегрируемых по Лебегу по области Q комплексно- значных функций, отождествляемых в случае их эквивалентности, обозначается Li(Q). Функции из Li(<2) конечны п. в. в Q. Если функция интегрируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. Поэтому в дальнейшем будем опускать (L) перед знаком интеграла; всегда под интегралом подразумевается интеграл Лебега, а под интегрируемой функцией — функция, интегрируемая по Лебегу. Более того, если функция абсолютно несобственно интег- рируема по Риману, то она интегрируема и по Лебегу и ее интегралы Римана и Лебега совпадают. Следующие теоремы играют важную роль в теории лебеговского интегрирования. а) Если функция f(x) измерима в Q и |/(ж)| < д(ж), где д(х) 6 6 Li(<2), то f 6 Li(Q). В частности, измеримая ограниченная функ- ция в ограниченной области Q принадлежит Li(Q). б) Теорема Лебега. Если последовательность измери- мых в Q функций /1(ж),..., fn(x),... сходится к функции f(x) п. в. в Q и 1/п(ж)| < д(х), где g & Lt(Q), то f & L^Q) и J fn(x)dx —> J f dx при n —> 00. Q Q в) Теорема Фубини. Если f(x,y) & Li(Q x F), ж = (жх,... ...,жп) 6 Q, у = (g/i, ...,Ут) € F, где Q и P — некоторые области из Rn и Rm соответственно, то У f(x,y)dx е Li(P), у /(x^dy € 1ц(<2)
42 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения J f(x, у) dxdy = j dx J f(x, y)dy = J dy j f(x, y) dx. QxP Q P P Q Если f(x,y) измерима в Q x P, для n. в. x g Q функция |f(rr, y)| 6 e bi(-F) U J\f(x, 2/)| dy 6 L1(<2), mo f(x,y) 6 Li(Q x F). p В задачах 3.16-3.20 доказать утверждения. 3.16. Если f(x) > 0 и J f(x) dx = 0, то f(x) — 0 п. в. в Q. Q 3.17. Если f(x) — 0 п. в. в Q, то J f dx = 0. Q 3.18. Если f,g g Li(<2), то а/ + (3g 6 1ч(<2) при любых постоян- ных а и (3. 3.19. Если f е Li(Q), то |f| 6 A(Q) и / f dx < j |f| dx. Q Q 3.20. Если f g Li(Q), то для любого e > 0 найдется такая финит- ная функция ge 6 С(<2), что J\f — ge\dx < е. Q 3.21. Проверить, что функция Дирихле f 1, если х рациональное, f (ж) = < ( 0, если х иррациональное, интегрируема по Лебегу на [0,1], но не интегрируема по Риману. Чему равен ее интеграл Лебега? 3.22. Найти интегралы по отрезку [0,1] от следующих функций (предварительно доказав их интегрируемость): а) f^) = ' %2, .0, если х иррационально, если х рационально; 'х2, если х иррационально и больше 1/3, б) = < X3, если х иррационально и меньше 1/3, .0, если х рационально; ’ sin 7г.т, если х иррационально и меньше 1/2, в) f(x) = < х2, если х иррационально и больше 1/2, .°, если х рационально; г) f (ж) = < 1/п, °, если х — т/п, где т,п взаимно просты, если х иррационально;
§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега 43 {х 1/3, если х иррационально, з х , если х рационально; е) f — sign (sin 3.23. При каких значениях а интегрируемы по шару |rr| < 1 сле- дующие функции: а) f(x) = Л-- б) f(x) = ,л ,ч ; в) f(x) = ' V ' |®|“ ’ V ' (1 — |к|)“ J J \ ) l^jo, 3.24. Пусть д(х) — измеримая и ограниченная функция в ограни- ченной области Q. Показать, что функция /(.т) = надлежит Ck(Rn) при к < п — а. 3.25. Пусть f 6 Li(Q). Показать, что функция f (ж), если в точке х |f (т)| < N, N, если в точке х |f(rr)| > N, интегрируема по Q и справедливо соотношение [ d£ при- Мх) = ^lim у dx = у f(x) dx. Q Q 3.26. Пусть Q = (0 < xi < 1, 0 < X2 < 1), а функция f(x) задана в Q следующим образом: а) /(ж) = " 6) f(x) = 1 в) /(ж) = < при (^.^/(О.О), FI О при xi = Х2 = 0; 2 _ 2 Х1\х\42 ПРИ fai,^) / (0,0), 0 при xi = Х2 = 0; X при 0 < Xi < Х2 < 1, ®2 1 ---при 0 < Х2 < Х1 < 1, Х1 0 в остальных точках. 1) Принадлежат ли эти функции пространству Li(Q)? 1 1 2) Принадлежат ли Li(0,1) функции J f(xi,x2)dxi, J f(xi,X2)dx2? о о 3) Выполняется ли равенство 11 11 J dxi У f(x1,x2)dx2 = J dx2 J f(x1,x2)dx1? 0 0 0 0
44 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения fn(x) = 3.27. На отрезке [0,1] задана последовательность ступенчатых функций fn(x), п = 1,2,... -I +1 1 при -г < х < , 2* — — 2* О для остальных х е [0,1], где целые числа n,k,i связаны соотношениями п = 2к + г, 0 < г < 2к - 1. 1 Показать, что lim [ fndx — 0 и что /п(ж) —h 0 при п —> оо п—>оо J для х 6 [0,1]. ° Множество измеримых в Q функций, квадрат модуля которых при- надлежит Li(<2), называется пространством Lz(Q) (при этом, как и в случае Li(Q); эквивалентные функции считаются отождествлен- ными) . В задачах 3.28-3.33 доказать утверждения. 3.28. Если fi,/г 6 1/2(0), то afi + /З/г 6 1/г(0) при любых посто- янных а и /3. 3.29. Если f е 1/2 (О) и Q — ограниченная область (или область с ограниченным объемом), то f е LpQ). 3.30. Ни одно из включений Li(Rn) С L2(Rn), L2(Rn) С Li(Rn) места не имеет. 3.31. 3.32. Если f,g 6 L2(Q), то f -д 6 7ц (О)- Если f,g& L2(Q), то имеет место неравенство Буняковского Q Q 3.33. Q Если f,g€ L2(Q~), то имеет место неравенство Минковского 1/2 1/2 1/2 3.34. У = Q ' Установить принадлежность к 1/2 (О) следующих функций: 0 = (0,1); У = У = х-Р Q=[0,l]; б)У = |^, ж”1/3 cost, х иррационально, < ж-1/3, х рационально, х ф О, О, х = О, И 0 0, zi + х2 Q = (Ы < 1 (0,
§ 3. Измеримые функции. Интеграл Лебега 45 д) 1 < assign (sin ’ О, |ж| ф О, х 1/fc, х — О, х = 1/fc, Q = [0,1]. 3.35. При каких а и /3 функция f(x) = L2(Q), если Q = {|Ж11 + |ж2| > 1}? 1 |ai |“ + |агР принадлежит 3.36. При каких а функция г L2(Q), если: г = (х? + ж^)1/2, принадлежит a) Q = (r < 1); б) Q = (г > 1)? У = 3.37. При каких а функция f(^) = < sin |ж|2 |®1“ О при |ж| О, при |ж| = О, |ж| = (х^ + х^ + xf)1/2, принадлежит L2(Q), если Q = (|ж| < 1)? 3.38. При каких а функция |ж|-а, где |ж| = (ж2 + ... + ж2)1/2, принадлежит L2(Q), если: a) Q = (|ж| < 1); б) <2 = (|ж| > 1); в) Q = Я"? 3.39. Пусть функция д 6 L2(Q), где Q — ограниченная область. Показать, что функция f (ж) = J Q жит пространству Ск (Q) при к < - о(у) , п , , ау для а < — принадле- I® - 3/1“ 2 3.40. Показать, что для функции f 6 L2(Q) (Q — ограниченная область) по любому е > 0 найдется такая функция fe 6 C(Q), что У If - А|2<1ж < Е. Q Ответы к § 3 3.21. 0. 3.22. а) 1; б) в) 1 + ^; г) 0; д) е) 1-21п2. о 1UO 7Г 24 2 3.23. а) а < я; б) а < 1; в) а < 2я. 3.26. а) 1) Нет; 2) нет; 3) нет; б) 1) нет; 2) да; 3) нет; в) 1) нет; 2) да; 3) нет. 3-35. «>0. /3>0, i + i<l. 3.36. а) а < 1; б) а > 1.
46 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 3.37. а > 4 3.38. а) а < б) а > —; в) ни при каких а. § 4. Функциональные пространства 1. Линейные нормированные пространства. Комплексным (вещественным) линейным пространством называется множест- во М, для элементов которого определены операции сложения и умножения на комплексные (вещественные) числа, не выводящие из М и обладающие свойствами: а) ft + /2 — /2 + fi; б) (fi + /2) + /з = fi + (f2 + fs); в) в М существует такой элемент 0, что 0 • f = 0, для любого fGM- г) (ci + с2) f = Cif + c2f; д) c(fi + f2) = cfi + cf2; e) (cic2)f = ci(c2f); ж) 1 • f = f для любых f, f1, f2, fs из M и любых комплексных (вещественных) чисел с,ci,c2. Система элементов fi,...,fk из М называется линейной независи- мой, если равенство cifi + ... + Ckfk = 0 имеет место только при Ci = ... = с*, = 0. В противном случае система fi, - - -, fjt линейно зави- сима. Бесконечная система fi, f2,... называется линейно независимой, если любая ее конечная подсистема линейно независима. Линейное пространство называется нормированным, если каждому его элементу f поставлено в соответствие вещественное число ||f ||, называемое нормой f, удовлетворяющее следующим условиям: а) Ilf II > 0, причем ||f || = 0 лишь при f = 0; б) ||f + g|| < ||f || + ||р||, (неравенство треугольника); в) llcfll = lclllfll ПРИ произвольной постоянной с. Для линейного нормированного пространства можно определить понятие расстояния между элементами p(f,g) = ||f — g|| и понятие сходимости по норме: последовательность fi,f2,--. сходится к неко- торому элементу f (fn —> f при п —> оо), если p(f,fn) —> 0 при п —> оо. Последовательность f 1, f2,... линейного нормированного прост- ранства называется фундаментальной, если для любого е > 0 сущест- вует N = N(e) > 0 такое, что 11 fm — fn|| < е при т, п > N. Линейное нормированное пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность элементов имеет в этом пространстве предел. Полное линейное нормированное пространст- во В называется пространством Банаха.
§ 4- Функциональные пространства 47 Множество R 6 В называется плотным в В, если для любого элемента f е В существует последовательность fi, /г, • • • из R, сходя- щаяся к f (fn —> f при п —> оо). 4.1. Установить, что следующие множества являются линейными пространствами: а) множество Ck(Q), 0 < к < оо; б) множество точек n-мерного пространства Rn; множество точек комплексной плоскости С; в) множество финитных в Q функций; г) множество ограниченных в Q функций; д) множество аналитических функций в области Q комплексной плоскости С; е) множество функций из C(Q), обращающихся в нуль на некото- ром множестве Е 6 Q; ж) множество C^QXfa:0}), где х° 6 Q; з) множество функций f из C(Q), для которых J ftpdx = О, где у? — некоторая функция из С(<2), a Q — ограниченная область; и) множество функций f из C(Q), для которых J ftp ds = О, _ s где tp — некоторая функция из C(Q), a S — ограниченный кусок глад- кой поверхности, лежащей в Q; к) множество функций, интегрируемых по Риману (по области Q); л) множество принадлежащих Ck(Q) решений линейного диффе- ренциального уравнения Аа^х) Daf = 0, где Аа е C(Q), |а| < к; |o|<fe м) множество измеримых в Q функций; н) пространство Li(<2); о) пространство Ьг (<2)- 4.2. Убедиться, что следующие множества функций не составля- ют линейного пространства: а) множество функций из C(Q), равных 1 в некоторой точке х° 6 <2; б) множество функций f е C(Q), для которых J f dx = 1 (Q — ограниченная область); Q в) множество решений дифференциального уравнения Au = 1. 4.3. Доказать, что следующие системы функций линейно незави- симы: а) 1,х,х2... на отрезке [а, Ь] (а < Ь);
48 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения б) ха, |а| = 0,1,2,..., в области Q; в) егкх, к = 0,1,..., на отрезке [а, 6]; г) [f (Ж)Р А: = 0,1,..., в области Q, где f(x) — некоторая функция из C(Q), f const. 4.4. Доказать, что множество C(Q) является линейным нормиро- ванным пространством с нормой: 1) 11Л1с(ё) = max|f(x)|; 2) ||f||^} = 13max|f(х)|. 4.5. Доказать, что множество Ck(Q) есть линейное нормирован- ное пространство с нормой 11/11^(0) = Е max.\Daf(x)\. (1) |a|<fc XeQ 4.6. Пусть Е — некоторое множество из Q. Показать, что мно- жество непрерывных в Q функций /(я), обращающихся в нуль в точках Е, есть линейное нормированное пространство с нормой (1) при к = 0. 4.7. Установить, что следующие множества определенных в огра- ниченной области Q функций являются линейными нормированными пространствами с нормой (1) при к = 0: а) множество функций из С(<2), финитных в Q; б) множество С°°(<2); _ в) множество аналитических в Q и непрерывных в Q функций. 4.8. Убедиться, что в Rn можно ввести норму следующим обра- 30м- , п ,1/2 п a) IHlco = max |яч|; б) ||ж||2 = ( Е** ) ’ в) Iklli =Е^- i—1 ' i=l 4.9. Убедиться, что при любом р > 1 в Rn можно ввести норму формулой п /р ||<=(Ем₽) • Найти lim ||x|L. 1-1 р—>00 4.10. Показать, что при любом р > 1 в качестве нормы в C(Q) можно взять выражение / \1/р \\f\\P=[f\f\PdX] (2) (область Q ограничена). Найти lim ||f ||„. р—>оо 4.11. Убедиться, что линейные пространства примеров 4.4, 4.5, 4.6, 4.8, 4.9 являются банаховыми (т.е. полными в соответствующих нормах), а линейные нормированные пространства примеров 4.7, 4.10 при конечном р — неполными.
§ 4- Функциональные пространства 49 4.12. Показать, что в пространствах Li(Q) и Пг(О) можно ввести нормы ll/lk(Q)= f\f\dx, (3) Q / \l/2 II/IIl2(Q) = ( J \f\2dx] . (4) Имеет место следующая Теорема. Пространства Li(Q) с нормой (3) и L2(Q) с нор- мой (4) банаховы. Подмножество В' банахова пространства В называется (банахо- вым) подпространством пространства В, если оно является банахо- вым пространством с нормой пространства В. 4.13. Пусть область Q ограничена. Показать, что: а) множество С (Q) функций из C(Q), обращающихся в нуль на границе области Q, есть банахово подпространство C(Q) (с нормой (1) при к = 0); б) подмножество функций f из: 1) C(Q); 2) L^Q); 3) L2(Q), для которых J f(x)ipi(x)dx = 0, i = 1,2,..., s, где <pi,..., ips — некото- Q рые функции из С(<2), есть банахово подпространство пространства C(Q) (с нормой (1) при к = 0), Lr(Q) (с нормой (3)) и L2(Q) (с нор- мой (4)) соответственно. 4.14. Показать, что счетное множество, составленное из линейных комбинаций с рациональными коэффициентами одночленов ха, х = = (яц,...,хп), а = («!,..., ап), |а| = 0,1,2,..., всюду плотно в: a) C(Q) (норма (1) при к — 0); 6) L\(Q) (норма (3)); в) -Гг(<2) (норма (4)), где Q — ограниченная область. 2. Гильбертовы пространства. Пусть любым двум элемен- там f и g некоторого комплексного (вещественного) линейного прост- ранства Н поставленно в соответствие комплексное (вещественное) число (f,g), называемое скалярным произведением этих элементов, обладающее следующими свойствами: а) (f,g) = б) (f + s,fi) = (f,fi) + (s,fi); в) (cf > g) — c(f< g) ПРИ любой постоянной с; г) для любого f 6 Н число (f, f) вещественно и (f, f) > 0, причем (/, f) = 0 только при f = 0.
50 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения Пространство Н можно нормировать, положив, например, ||/|| = = (f, f)1/2. Эта норма называется нормой, порожденной скалярным произведением. Пространство Н называется гильбертовым, если оно полно в нор- ме, порожденной скалярным произведением. Последовательность элементов fi, /2, • • • из Н называется слабо сходящейся к элементу f g Н, если для любого h 6 Н (fk,h)—> (f,h) при к—> оо. Элементы fug называются ортогональными, если (/, д) — 0. Эле- мент f называется нормированным, если ||f|| = 1. Система ei,C2,... называется ортонормированной, если (е^е*,) = <5^, i = 1,2,... Пусть f g Н, а 61, в2,... — ортонормированная система в Н. Чис- ла fk = (Ле*,), к = 1,2,..., называются коэффициентами Фурье эле- ОО мента f, а сходящийся в норме Н ряд (f>ek)ek — рядом Фурье k=i элемента f по ортонормированной системе 61,62,... Система 61,62,... называется ортонормированным базисом или полной ортонормированной системой, если она является ортонорми- рованной и множество элементов CiCi + Сгег + ... + при всевоз- можных постоянных Ci,..., Ck и к всюду плотно в Н. Ряд Фурье элемента f по ортонормированному базису сходится в норме Н к f. 4.15. Показать, что 1/г(<2) — гильбертово пространство со ска- лярным произведением (f,g) = f fgdx. (1) Q 4.16. Подмножество функций f 6 L^Q), ортогональных к неко- торым функциям <Pi,...,<Pk из 1^2(0), образует подпространство пространства ^(О)- Пусть в области Q задана непрерывная и положительная функ- ция р(х) (весовая функция). Обозначим 1/2,р(<2) множество измери- мых в Q функций f (х), для которых p\f |2 g Li(Q). 4.17. Показать, что L2,P(Q) — гильбертово пространство со ска- лярным произведением (f,g) = I pfgdx. (2) Q 4.18. Доказать, что: а) Дг(<2) С L2,P(Q), если р(х) ограничена в Q-, 6) L2,p(Q) С L2(Q), если р(х) > р0> 0в Q (р0 = const). 4.19. Установить ортогональность в £2(6,2тг) тригонометричес- кой системы 1, sinх, cost, sin2т, cos2т, ...
§ 4- Функциональные пространства 51 4.20. Доказать, что системы функций sin(n + 1/2)х, п = 1,2,..., и cos (п + 1/2) х, п = 1,2,..., ортогональны в £2(0,тг). 4.21. Доказать, что многочлены Лежандра Рп(х) = -Ц [(я2 - 1)"1, п = 0,1,2,..., v ’ 2пп! V 2 dxn LV ' J’ ’ ’ образуют ортонормированную систему в £г(—1,1)- 4.22. Доказать, что система функций /2" Тп(х) = \ — cosn(arccosx), п = 0,1,2,..., есть система многочленов (многочлены Чебышева), ортонормирован- ная в 4.23. Доказать, что система функций 2 (1П 2 Нп(х) = (-1)пех ~е~х , п = 0,1,..., = 0, где д 6 С(Г), есть система многочленов (многочлены Эрмита), ортогональная в ^^-^(-ОО.ОО). 4.24. Показать, что отвечающие различным собственным значе- _ d2 ниям собственные функции оператора — ——заданного на функци- axz ях из С2((0,1)) П С1 ([0,1]) при граничных условиях (Ли — иж)|ж=о = = u^-i = 0, h — постоянная, ортогональны в £2(6,1). 4.25. Показать, что отвечающие различным значениям собствен- ные функции оператора —Д, заданного на функциях f € C2(Q) П С1 (Q) при граничном условии и|г = 0 или ортогональны в Дг(О- 4.26. Пусть р 6 C(Q), р(х) > ро > 0. Показать, что отвечающие различным собственным значениям собственные функции операто- ра —Д-- Д, заданного на C2(Q) П C*1(Q) при граничных условиях задачи 4.25, ортогональны в L2,p(Q)- 4.27. Пусть р 6 С1 [0,1], q £ С[0,1], р € С[0,1], р(т) > ро > 0. Показать, что отвечающие различным собственным значениям собст- венные функции оператора ___L1 [р(ал Al + ’М р(ж) dx 1/Л ’ dx] + р(х)’ заданного на С2((0,1)) П С1 ([0,1]) при граничных условиях иг|г=о = 0, (их + Ни)\х=1 = 0 (Н — постоянная), ортогональны в Д2,р(0,1). 4.28. Пусть р е C'(Q), q 6 C(Q), р 6 C(Q), р(х) > р0 > 0. Показать, что отвечающие различным собственным значениям собственные функции оператора —— div (р grad) + q(x), заданного
52 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения на C2(Q) nC1(Q) при граничных условиях задачи 4.25, ортогональны в £2,p(Q)- 4.29. Показать, что принадлежащие C2(Q) П СА (Q) решения в Q уравнения Дм = 0, удовлетворяющие при различных А граничному (ди . \| _ Т х—F Хи II = 0, ортогональны в £2(1 )• ст /|г 4.30. Показать, что последовательность sinkx, k — 1,2,..., схо- дится слабо к нулю в £2(0,2тг), но не сходится в норме L2(0,2тг). В задачах 4.31-4.39 доказать утверждения. 4.31. Если последовательность /„(х), п = 1,2,..., функций из L2(Q) сходится к f (т) по норме L2(Q), то она сходится и слабо к f(x). 4.32. Если последовательность fn(x), п = 1, 2, ..., функций из L2(Q) сходится к /(т) по норме L2(Q), то j fndx —» J f dx, n —> 00 (Q — ограниченная область). ® 00 4.33. Если Uk € L2(Q), k = 1,2,..., и ряд 52 uk(,x) сходится CO fc=l к u(x) по норме L2(Q), то 52 ukdx = иdx (Q — ограниченная область). k=1 Q Q 4.34. Если последовательность fn(x), n = 1,2,..., функций из C(Q) сходится к f(x) равномерно в Q, то она сходится и по норме -^г(О) (Q — ограниченная область). 4.35. Если последовательность f„(ar), п = 1,2,..., функций из £2(0 сходится слабо к f(x) 6 L2(Q), то последовательность норм llfn(^)||д2(<Э)> п~ ограничена. 4.36. Если последовательность fn(x}, п = 1,2,..., функций из L2(Q) сходится слабо к f(x) € L2(Q) и ||/„(т)|| —> ПРИ тг —> оо, то эта последовательность сходится к f(x) и по норме L2 (Q). 4.37. Для любой функции f(x) € L2(Q) имеет место неравенство Бесселя оо Е1А12<11Л12, k=l где fy, к — 1,2,..., — коэффициенты Фурье функции f по ортонорми- рованной системе ei,e2, .. 4.38. Любая ортонормированная система е±,...,е„,... в £г(0) схо- дится слабо к нулю, но не сходится по норме L2(Q). 4.39. Для любой f € L2(Q) п f ~^fkek А—1
§ J,. Функциональные пространства 53 (т. е. ti-я частная сумма ряда Фурье наилучшим образом приближа- ет fix') в L2(Q)). 4.40. Найти многочлен 2-й степени, наилучшим образом прибли- жающий в £2(—1,1) функцию: а) т3; б) sin7TT; в) |т|. 4.41. Найти тригонометрический многочлен первого порядка, наилучшим образом приближающий в функцию: а) |т|; б) sin |. 4.42. Найти многочлен первой степени, наилучшим образом при- ближающий в L2(Qi) функцию я:3 — ^2, где Qp а) круг х? + ^2 < 1; б) квадрат 0 < Xi, х2 < 1. 4.43. Установить полноту в L2(Q) систем: a) sinfcc, к =1,2,..., Q = [0,тг]; б) sin (2fc + 1) х, к = 0,1,..., Q = [0,7г/2]. В задачах 4.44 4.50 доказать утверждения. 4.44. Многочлены Лежандра (задача 4.21) и многочлены Чебы- шева (задача 4.22) образуют ортонормированные базисы пространст- ва L2{—1,1) и L2 1yv/1_3.2(—1,1) соответственно. 4.45. Чтобы ортонормированная в L2(Q) система ei,C2,... была ортонормированным базисом L2(Q), необходимо и достаточно, чтобы для любой функции f € L2(Q) выполнялось неравенство Парсеваля- Стеклова _ ОО ii/ii2 = Eiai2- fc=l ъ 4.46. Если / € L2(a,b) и J xkf(x)dx = 0 для к = 0,1,..., то f(x) = 0 п. в. на (а,Ь). а 4.47. Если f € L2 и Jxaf(x)dx = 0 для всех а, |а| = 0,1,..., то f(x) = 0 п. в. в Q. ® 4.48. Если fk и дь, к = 1,2,..., — коэффициенты Фурье функ- ций f и д из L2{Q) по некоторому ортонормированному базису, то ОО (/,р) = J2fksk. k=l 4.49. Всякая ортонормированная система е1,е2,...,еп линейно не- зависима. 4.50. Для того чтобы система функций <£>!,...,<£>„ из L2(Q) была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грамма det ||(<£>г-, ||, j = 1, ...,п, был отличен от нуля.
54 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения Пусть (pi,...,<pn — некоторая линейно независимая система функ- ций из L2(Q) (или L2,p(Q)). Функцию еДа?) определим следующим образом: е1 = . Подберем постоянные Ci и с2 так, чтобы функ- Ikill ция е2 — cid + c2ip2 была нормированной и ортогональной в L2(Q) (в L2 p(Q)) к функции ci и т. д. При условии, что построены функ- ции 6i,...,en-i, функцию еп будем разыскивать в виде еп = /?i6i+ + /З2С2 + ••• + + Рпфп с такими постоянными Д,. чтобы еп была нормированной и ортогональной к функциям с,,... Этот способ ортонормирования системы <pi (я?),..., (т) на- зывается методом Грамма-Шмидта. 4.51. Найти явное выражение функций е*,, к = 1,2, ...,п, через ФУНКЦИИ 4.52. Ортонормировать в L2p{Q) методом Грамма-Шмидта сле- дующие последовательности функций, предварительно убедившись в их линейной независимости: а) 1,ж, х2,х3 б) 1 — х, 1 + х2, 1 + х3 в) sin2irx, 1, совят г) 1,37, X2 д) 1,37, X2 е) 1,37, х2 ж) 1,х, х2 (Р=1, Q = (-1,4-1)); (р = 1, Q = (-1,4-1)); (р = 1, Q = (-1,4-1)); (р = е~х, Q = (0, оо)); (р = е ®2/2, Q = (-оо, +оо)); (p=v/r^, Q = (-1,1)); (р = 1/УГ^, Q = (-1,1)). 4.53. Показать, что в результате ортонормирования системы 1, х, х2, ... методом Грамма-Шмидта в скалярном произведении (f,g) = f -J^dx J v 1 — x получается ортонормированный базис пространства L2 (— 1,1), состоящий из многочленов Чебышева Тп(х), п = 1,2,... 4.54. Ортонормировать систему многочленов 1, rci, т2 в круге |т| < 1 со скалярным произведением (u,v) = I uvdx. p|<i 4.55. Ортонормировать систему многочленов 1, xi, х2, Хз в шаре |з?| < 1, 37 = (а71,372,з7з), со скалярным произведением (и, v) = j uvdx. |ж|<1
4- Функциональные пространства 55 4.56. Обозначим через Ь'2(—оо,оо) множество таких функций f(x) € Ь2,1ос(~оо, сю), для которых существует конечный предел к ’ ,lim. щ / И2 dx. Показать, что L'2(—(X), оо) — гильбертово простран- k-юо 2к J —к ство со скалярным произведением к (/’9) = /f«'h: -к 4.57. Доказать, что система функций егах, где а — любое вещест- венное число, является ортонормированной системой в L'2{—oo,ca) (см. предыдущую задачу). 3. Гильбертовы пространства дифференцируемых функ- ций. Пусть Q — некоторая ограниченная область пространства Rn с гладкой границей Г. Пусть а = (ai,...,on) — мультииндекс (см. обозначения). Функция G L\,ioc(Q) называется обобщенной про- изводной (о. п.) порядка а функции / из Li,ioc(Q), если для любой финитной в Q функции g € C'^(Q) имеет место равенство У fDagdx = (-1)|QI J f^gdx. Q Q (1) Если функция f G Clal(Q), то о. п. ft°\x) существует и f(Q)(x) = = Daf(x) п. в. Поэтому в дальнейшем о.п. порядка а функции f(x) будет обозначаться через Da f. Множество функций (будем считать их вещественными) f € L^tQ), имеющих все о. п. до порядка к включительно, принадлежащие Lz(Q), называется пространством Соболева Hk(Q). Hk(Q) — гильбертово пространство. Скалярное произведение в нем можно задать формулой (/,<?) = D°fDag]dx, |a|<fe / а соответствующую согласованную с ним норму — II Л1я*(<э) — При к = 0 пространство Hk(Q) совпадает с ДгС^З) = = 1-2 (Q))- Если граница Г достаточно гладкая, то пространство Hk(Q) есть пополнение множества Ck(Q) по норме (2'). **Волее общее определение см.: Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1985.
56 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения Пусть f g 7?1(Q), fk, k = 1,2,... — последовательность функ- ций из C1(Q), сходящаяся в норме P/’(Q) к f(x). Для любой гладкой (п — 1)-мерной поверхности S (состоящей из конечного числа кусков, каждый из которых однозначно проектируется на какую-нибудь ко- ординатную плоскость), лежащей в Q, существует такая постоянная с > 0, не зависящая от f(x) и Д(гс), k = 1,2,..., что J\fk ~ fm\ ds < c||/fc — s Из этого неравенства и полноты пространства Дг (5) вытекает, что по- следовательность следов функций /г (ж) на S сходится в норме />2(6) к некоторой функции д € /^(Ь). Функция д(х) не зависит от выбо- ра последовательности, приближающей функцию f(x), и называется следом f\s функции /(ж) на поверхности S € Q. Множество функций на 7?1(Q), след которых на границе Г равен нулю п. в. на Г, обозначим через H1(Q). Его можно получить попол- нением по норме (2х) при к = 1 множества функций, имеющих непре- рывные частные производные в Q первого порядка и обращающихся в нуль на Г. Для функции f & LttQ) свертка fh(x) = JсиЛ(|ят - т/|) f(y) dy, где Q w/,(|rc — 7/1) — ядро усреднения (см. обозначения), называется средней функцией для f. Пусть Xi = g>i(y), г = 1,...,п, у = (?д,..., уп) — к раз непрерывно дифференцируемое в Q взаимно однозначное отображение области Q на область Q' с якобианом, отличным от нуля в Q. Тогда, если / € € Hfc(Q), то Два скалярных произведения (и, v)i и (и, д)ц в гильбертовом про- странстве и соответствующие им нормы и ||ы||ц называются эк- вивалентными, если существуют постоянные > 0 и ft > О такие, что для любого и 6 Н справедливы неравенства Ci||rt||i < < 1Ы1п < c2|M|i. 4.58. Установить, что смешанная о. п. не зависит от порядка диф- ференцирования. 4.59. Показать, что из существования о. п. Daf не следует су- ществования о.п. Da f при a'i < cti, г = |а'| < |а|. У Казани е. Рассмотреть функцию /(х^х?) = + /2(^2), где fi(xi) не имеют о.п. первого порядка. 4.60. Показать, что если в области Q функция f(x) имеет о. п. Daf, то и в любой подобласти Q' С Q функция f(x) имеет о. п. Daf.
Да:) = § 4- Функциональные пространства 57 4.61. Пусть в области Qi задана функция fi(x), имеющая о.п. Dafi, а в области Q2 — функция Д (а:), имеющая о. п. Daf2. Доказать, что если Qi U б?2 — область и для х g Qi П Ог fi(x) = Д(а:), то fi(x), xeQi, f2(x), х 6 Q2, имеет о. п. Daf в Qi U Q2, равную Dafi в Qi и Daf2 в Q2. 4.62. Пусть f 1, если |a:| < 1, х2 > 1, /(Т1,Т2) = 4 I —1, если |а:| < 1, х2 < 1. Убедиться, что f(Xi,x2) имеет обобщенные производные первого по- рядка в каждом из полукругов, но не имеет о. п. по х2 в круге |т| < 1. 4.63. Доказать свойства средних функций: a) fh е С°°(ЯП); б) fh(x) сходятся при h —> 0 к f(x) в L2(Q), если f G L2(Q)-, в) в любой строго внутренней подобласти Q' <s Q при достаточно малом h имеет место равенство (Daf)h = Dafh, т.е. обобщенная про- изводная от средней функции равна средней функции от обобщенной производной. В задачах 4.64-4.72 доказать утверждения. 4.64. Если у функции f(x) в области Q существует о. п. Daf = = ш(х), а для функции а>(х) существует о. п. D^lu, то существует о. п. Da+(3f. 4.65. а) у = signa: ЯД—1,1); б) у = |^| е яД-1, 1), у = \х\$я2(-1,1). 4.66. Если f € Я1 (а, Ь) и о. п. f'(x) = 0, то Да:) = const п. в. 4.67. Если f € Я1 (а, Ь), то f(x) эквивалентна на [а, Ь] непрерывной функции. 4.68. Если Да:) € Я1(—оо,оо), то lim f(x) = 0. _ |ж|-юо 4.69. Обозначим через ЯДО, 2тг) подпространство пространства Я1 (0,2тг), состоящее из всех функций f(x) из Я1(0,2к), для которых /(0) = /(27г). Доказать следующее утверждение: для того чтобы функция f(x) (из ЯД0,2тг)) принадлежала ЯД0,2тг), необходимо и достаточно, что- бы сходился числовой ряд с общим членом я2 (а2 + Ь2), где 2к 2к ап = у Да:) cos пх dx, bn = J f(x) sin пх dx, п = 0,1,2,... о о Равенство
58 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения ft—о определяет одну из эквивалентных норм Л1 (0,2тг). 4.70. Для того чтобы функция f €£2(6,я) принадлежала необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд с общим членом fc2^, 2 7 bk = — / f (х) sin kxdx. При этом 7Г J 0 7Г ОО "С» ,> = / dx = 5 У + ч ' ’ 0 к=1 4.71. Для любой f £ Н^а, Ь) имеет место неравенство (одномер- ный вариант неравенства Стеклова) ь 9 ь 4.72. Найти функцию fo(x) 0, для которой неравенство зада- чи 4.71 превращается в равенство. Показать, что если f(x) cfo(x), где с — постоянная, то для f(x) имеет место строгое неравенство. 4.73. Доказать, что для любой функции f € /^(0,2тг), для кото- рой / (0) = f (2тг), имеет место неравенство 2тг 2тг / 2тг \2 J f2dx < J (J')2dx + I J f(x) dx j . о о \ 0 / 4.74. Доказать, что для любой функции f € Н1 (0,2тг) имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства Пуанкаре) 2 л 2тг / 2л J f2dx < 4 J (f')2dx + J fdxj. о о \ о / Указание. Воспользоваться тем, что система cos (fcc/2), k = = 0,1,2,..., является ортогональным базисом пространства Н1(0,2тг). 4.75. Доказать, что существует двумерное подпространство пространства Н1(0,2тг), для всех элементов которого неравенство задачи 4.74 превращается в равенство. Найти это подпространство и доказать, что для всех элементов из Н1(0,2тг), не принадлежащих этому подпространству, неравенство задачи 4.74 строгое. 4.76. Пусть f € Н1 (|т| < 1), Xi = |гс| соз<д х2 = |ж| sin</?, f(x) = =/(Ы,<д). Доказать, что lim |х|—>1—0 4.77. Пусть / 6 Н1 (|гс| < 1), хг = |т| cos<£>, х2 = |т| sin<р, f ||ж|=1 = = h(jp), 0 < <р < 2тг. Доказать, что 2тг / f2(M,ip)difi = 0.
§ 4- Функциональные пространства 59 2я lim Г \h(<p) - f(|rc|,<^)|2d<^ = 0. ж —>1—0 J о 4.78. Пусть f е Н1 (0 < хг < 1, 0 < х2 < 1). Доказать, что 1 У f2(xi,x2) dxi = о(х2) при х2—> 0. о 4.79. Пусть х = (хг,х2) — (pcos<£>, /?sin<р) и функция ОО f (ж) = у + 5? Pk (ak cos kip + bk sin kip) k=i принадлежит H1 (|ят| < 1). Выразить через ak,bk интеграл У (|gradf|2 + |f |2) dx. „ Р<г 4.80. Пусть oo oo = у + cos +s’n fap) и 52 к № + < °°- k=i k=i Доказать, что существует функция f(xk,x2) € Н1 (|т| < 1) такая, что /\Р=1=‘Ф(ф), х^ = pcosip, х2 = psinip. 4.81. При каких значениях а функция f = |x|““sin |т| принадле- жит Н2 (|гс| < 1), х = (я?1, х2)? 4.82. Доказать, что |rci|(|rc|2 — 1) € Н1 (|гс| < 1), х = (ari, х2, Хз). 4.83. При каких значениях а функция f = [xl~aeX1~X2 принадле- жит H1(|t| < 1), X = (гС1,ГС2,Яз)? ОО 4.84. Пусть f(xi,x2) = 52 ak sinкхк е~кХ2, 0 < хк < тг, х2 > 0. fe=i При каких at функция f принадлежит Н1 (0 < хк < тг, х2 > 0)? 4.85. Пусть f е J1/1 (|ж| < 1), х — (xi,x2, ...,хп), п > 2. Обязана ли функция f (х) быть эквивалентной непрерывной функции в шаре |гс| < 1 (ср. с результатом задачи 4.67)? В задачах 4.86-4.90 доказать утверждения. 4.86. Если f € H1(Q) и f(x) = const п. в. в Q1 С Q, то gradf = 0 п. в. в Q'. 4.87. Если f е H^tQ) и |gradf| = 0 п.в. в Q, то f(x) = const п. в. в Q. 4.88. Если f 6 H1(Q), д € HX(Q), то для всех i = 1,2, ...,п спра- ведлива формула у fдХ{ dx = — Jgfx. dx (формула интегрирования по частям).
60 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 4.89. Если f € Hl(Q) и д € 7?1(<Э), то для всех г = 1,2,...,п / fgXi dx = - у gfXi dx + J fg cos (nrcj ds, Q Q г где под знаком интеграла по Г стоят следы функций f и д на Г. 4.90. H^Q) есть подпространство пространства Пусть функция f ё L2(Q) продолжена, например, нулем вне Q. Конечноразностным отношением f(x) по переменному Xi, i = 1,2,... ..., п, будем называть при h 0 функцию xh f _ f(xi,...,Xi +h,...,Xn) - f(x) iJ ~ h также принадлежащую пространству L2(Q). В задачах 4.91-4.96 доказать утверждения. 4.91. Для любой финитной на (а, Ь) функции f из Ь2(а, Ь) и любой функции д G Ь2{а,Ъ) при достаточно малых |Л| имеет место формула «интегрирования по частям» (6hf,g) = -(f,6~hg), i = l,2,...,n. 4.92. Для достаточно малых |/г| 0 для произвольной финитной в Q функции f £ L2(Q) и произвольной функции д £ L2(Q) имеет место формула «интегрирования по частям» = i = l,2,...,n. 4.93. Если финитная на (а, Ь) функция f принадлежит Н1 (а, Ь), то при h —> 0 6hf(x) —> f'(x) в норме L2(a, b). 4.94. Если для финитной на (а,Ь) функции f G L2(a,b) при h —> 0 6hf —> f(x) в норме L2(a,b), то f(x) принадлежит Н1(а, Ь) и f(x) является о. п. функции /(т). 4.95. Если финитная в Q функция f € Вг(С?) имеет о. п. fXi G ё L2(a,b) при некотором i = 1,2, ...п, то при h —> 0 <5^/ —> fXi в норме L2(Q). 4.96. Если финитная в Q функция / принадлежит L2(Q) и при h —> 0 —> fi(x) в норме L2(Q) при некотором i = 1,2, ...,п, то f(x) имеет в Q о.п. по Xi, совпадающую с 4.97. С помощью результата задачи 4.71 показать, что скалярные произведения (Z,s)i = У (fg + f'g')dx, (J,g)u = j f'g'dx о 0 в пространстве Н1(0,тг) эквивалентны.
§ 4- Функциональные пространства 61 4.98. Доказать с помощью задачи 4.74, что скалярные произведе- (/,5)1 = У (Jg+f'g')dx, (J,g)n= У Г д' о о в пространстве Я1(0,2тг) эквивалентны. 4.99. Множество Я1 (0,2тг) функций f 6 Я1 (0,2тг), для которых 2тг У f(x)dx = 0, есть подпространство пространства Я1 (0,2тг). Пока- о зать, что в Я1 (0,2тг) скалярное произведение можно определить соот- 2тг ношением (/5)й1(0,2я) = / f'g'dx. О 4.100. Пусть р(х) Е C(Q) и р(х) > Ро > 0- Показать, что форму- лой (/, g)i = у pfgdx, f,g € LziQ), определяется скалярное произве- дение в Л-ДО, эквивалентное скалярному произведению / fgdx. Q 4.101. Пусть р е C(Q), р(х) > 0 в Q\x° и р(т°) = 0, где х° — некоторая точка из Q. Тогда формулой для (f, g)i задачи 4.100 опреде- ляется скалярное произведение в Lz(Q), не эквивалентное скалярному произведению J fgdx (Q— ограниченная область). Q 4.102. Пусть р е C(Q\t°), где т° — некоторая точка из Q и р(х) > 0 для х € Q\x°, р(х) —> оо при х —> х°, х g Q. Показать, что в £г,р(С?) можно ввести скалярное произведение J fgdx, не эквивалентное скалярному произведению J pfgdx. Q 4.103. Пусть f е Ях(|а:| < 1), х = (rci,rc2) и /(ж)||ж|=1 = /г(у>), Ti = |т| cos99, Х2 = |т| sin 99. Доказать, что существует такая не зави- сящая от функции /(ж) постоянная с > 0, что У /2 dx < с kl<i 2тг У h2(tp) dtp 4- у |grad f\2dx . о kl<i 4.104. Доказать существование такой постоянной с > 0, что для любой f G Н1 (Q) имеет место неравенство Стеклова У f2dx Q < с у |grad/|2da:. Q
62 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 4.105. Показать, что выражение J (grad f, grad д) dx задает ска- Q лярное произведение в U1(Q), эквивалентное скалярному произведе- нию J[fg + (grad /, gradp)] dx. Q 4.106. Пусть p, q G C(Q), p(x) > p0 > 0, q(x) > 0. Доказать, что скалярные произведения в Н1 (Q) (/, 5) = I [/9 + (grad f, grad д)] dx, Q (f,g)i = f [qf9 +P(grad/, grad §)] drc Q эквивалентны. 4.107. Пусть вещественные функции p-ij, Pij(x) = Pji(x), i,j = = 1,2, ...,n, и q принадлежат C(Q), g > 0, и для всех x E Q и всех вещественных векторов £ = (£i, - -чСп) € Rn имеет место неравенство 71 П 52 Рч^&Ъ > 70 52 Ci, М=1 i=l где постоянная 70 > 0. о Доказать, что в Н1 (Q) можно определить скалярное произведение / 7L \ (/,9)1 = J I 52 +qfg]dx, Q \i,3=l / эквивалентное скалярному произведению (/, д) = f [fg + (grad f, grad <?)] dx. Q 4.108. Пусть p, q e C(Q), p(x) > p0 > 0, q(x) > go > 0. Тогда скалярные произведения в HX(Q) (f,g)= f [fg + (grad f, grad p)] dx, Q (f, 9)1 = f [qfg + p(grad f, gradg)] dx Q эквивалентны. При решении задач 4.109, 4.113, 4.114, 4.118 полезна следующая Теорема. Для того чтобы множество М С Н1 (Q) было компактным в L2(Q), достаточно, чтобы М было ограниченным в норме H1(Q), т. е. чтобы существовала такая постоянная с > 0,
§4- Функциональные пространства 63 что ||u||h1(Q) < с для всех и 6 М. (Компактность М в L2 означа- ет, что из любой бесконечной последовательности элементов из М можно выбрать фундаментальную в L2 подпоследовательность.) 4.109. Пусть х° — произвольная точка из Q, a U = Q П Р {|т — То| < г} при некотором г > 0. Доказать, что существует такая постоянная с > 0, что для всех f б H1(Q) имеет место неравенство J f2dx < с у |grad/|2dT + J f2dx Q i-Q U 4.110. С помощью результата задачи 4.108 показать, что скаляр- ные произведения в HX(Q) (f > 5)i = f[f9 + (grad f, grad p)] dx, Q (J, 9)11 = f [qfg + p(grad f, grad g)] dx Q эквивалентны, если непрерывные в Q функции р(х) и q(x) удовлетво- ряют условиям: р > ро > 0, q(x) > 0 и q(x) 0 в Q. 4.111. Если в условиях задачи 4.107 q(x) > qo > 0, то выражение / п \ J ( 52 + Qf 9 j dx Q \ i,j=l / можно принять за скалярное произведение в H1(Q), причем оно будет эквивалентным скалярному произведению у [(grad/, grade/) + fg]dx. Q 4.112. Если в условиях задачи 4.107 q(x) > 0 в Q и q(x) 0, то выражение / п / I 52 PijfxiPxi + 9/9 j dx Q \ « J=1 / можно принять за скалярное произведение в H1(Q), причем оно будет эквивалентным скалярному произведению J[fg + (grad/,grad</)] dx. Q 4.113. Показать, что существует такая постоянная с > 0, что для любой / g Н1 (Q) имеет место неравенство У f2dx < с у |grad /12 dx + J f2 ds . Q L Q BQ - 4.114. Пусть x° — произвольная точка границы dQ, a. U = dQCt D {|rr — rc°| < г} при некотором г > 0. Доказать существование такой постоянной с > 0, что для всех / б H^Q) справедливо неравенство
64 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения У f2dx < с J |grad f\2dx + J f2 ds . Q Lq и - 4.115. Доказать, что если <т 6 С (9Q) и а(х) > 0, то выражение Q 8Q задает в H1(Q) скалярное произведение, причем оно будет эквива- лентным скалярному произведению (/, д) = f [fg + (grad /, grad 5)] dx. Q 4.116. Доказать, что если <т 6 C(dQ), а(х) > 0, <т(гс) 0, то в Н1 (Q) можно задать скалярное произведение Q 9Q эквивалентное скалярному произведению (/, 9) = f [f9 + (grad /, gradg)] dx. q 4.117. Пусть p e C(Q), q E C(Q), <r 6 C(dQ), p(x) > p0 > 0, д(т) > 0 в Q, <r(x) > 0 на dQ, причем или q(x) 0, или cr(x} 0. Тогда скалярные произведения в Н1 (Q) (f,9)i = f [p(grad /, grad g) + qfg] dx + J <rfg ds, Q 8Q (f, g)= f [fg + (grad /, grad 5)] dx Q эквивалентны. 4.118. Показать, что существует постоянная с > 0 такая, что для любой функции / Е H1(Q) (dQ 6 С1) имеет место неравенство (не- равенство Пуанкаре) 2 с Q L Q Q -* 4.119. С помощью результата задачи 4.118 показать эквивалент- ность скалярных произведений (/, д) = f [fg + (grad /, grad 5)] dx, Q (f, g)i = f (grad /, gradg) dx + J f dx • J gdx Q Q Q в пространстве H1(Q).
§ 4- Функциональные пространства 65 4.120. Показать, что множество H1(Q) функций / е H1(Q), для которых у / dx =0, образует подпространство H1(Q). Q 4.121. Показать, что в подпространстве Н1 (Q) можно определить скалярное произведение (/, g)i = J\graAf, gradg) dx, эквивалентное скалярному произведению (/, Я) = f [fg + (grad /, grad <?)] dx. Q Ответы к § 4 4.9. max|a;j|. 4.10. max|/(a:)|. 4.40. а) 4.41. а) 4.42. а) 3 «ч -а;; б) 4 ----cost; 7Г б) Xi - х2. 2 0; , 15а:2 , 3 В) ~16~ + Тб’ «ч 8 • б) — sin а:. 7 Зтг 4.51. e k=i 4.52. a) k-1 Ро, Pi, Р2, Р3, где Рп — многочлены Лежандра (см. 4.21); 6) (2 — 2x — 5a;2 4- 5a:3); ж) 2 . 2 ( • 2 3 —= Sin 7ГХ, 1 / - I Sin 7Г.Т — - у/З V 3 4 а:2 1, х - 1, 1 - 2а; 4- у; , cos 7га;; Ч 1 X х2 — 1 д) 775=’ 175=’ ~7к7л5= :X2 — 1)—многочлен Чебышева второго рода; То, Ti, Т2, Тп(х) — многочлен Чебышева. 4.54. — — —. 4.55. 4.72. sin Ц---- о — а 4.75. Подпространство с базисными элементами 1 и cos у 3 -1389 3
66 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения _ (2 ОО 2 »2 оо \ 4.7Э. + Е + 2 Е k {al + bty. 4.81. а < -1. 4.83. а < 1/2. 4.84. Е k (а2к + Ь|) < оо. к=1 4.85. Нет. § 5. Интегральные уравнения Уравнение tp(x) = X J JG(x,y)g>(y)dy + f(x) (1) G относительно неизвестной функции <р(х) в области G С Rn называет- ся линейным интегральным уравнением Фредгольма (второго рода). Известные функции JP(x,y) и f(x) называются ядром и свободным членом интегрального уравнения (1); А — комплексный параметр. Интегральное уравнение <р(х) = X f Jf(x,y)<p(y)dy (2) G называется однородным интегральным уравнением, соответствую- щим уравнению (1), а интегральное уравнение (здесь JP*(x,y) = JP(y,x)) ^(ж) = X j ^*(х,у)ф(у)бу (3) G — союзным к уравнению (2), ядро J^*(t,«/) называется эрмитово со- пряженным ядром к ядру .?Р(х,у). Интегральные уравнения (1)-(3) иногда записывают в оператор- ной форме <р = ХК<р + f, <р = ХК<р, ф = ХК*ф, где интегральные операторы К и К* определяются ядрами JG(x, у) и у) соответственно, т. е. Kg = f -Ж(я, у) д(у) dy, К*д = у Ж*(х, у) д(у) dy. Если при некотором значении параметра Л = Ло однородное ин- тегральное уравнение (2) имеет ненулевые решения из Lz(G), то число Ло называется характеристическим числом ядра JG(x,y) (интегрального уравнения (2)), а соответствующие решения уравне- ния (2) — собственными функциями ядра .ХР(х,у). Рангом (кратностью) характеристического числа Ло называется максимальное число линейно независимых собственных функций, от- вечающих этому числу Ло-
§ 5. Интегральные уравнения 67 Будем предполагать, что в уравнении (1) область G ограничена в Rn, функция / непрерывна на G, а ядро Jf(x,y) непрерывно на G х G. В задачах 5.5 5.7 используются следующие обозначения: М = max _ v= / dy. xeG, ytG J 5.1. Показать, что интегральный оператор К с ядром J^(rc, у) ограничен из L2(G) в £2(6'), если У \Jf(x,y)\2dxdy = с2 < оо. GxG 5.2. Показать, что интегральный оператор К с непрерывным яд- ром Jf(x,y) является нулевым в 7^2 (G) тогда и только тогда, когда J^(x,y) =0, х 6 G, у 6 G. 5.3. Пусть ядро JG(x,y) интегрального уравнения (1) принадле- жит £2(С х G). Доказать сходимость метода последовательных при- ближений для любой функции / 6 L2(G), если |Л| < 1/|с| (постоян- ная с взята из задачи 5.1). 5.4. Пусть К — интегральный оператор с непрерывным ядром. Доказать, что операторы Кр = К(Кр~1), р = 2,3,..., являются интег- ральными операторами с непрерывными ядрами и эти ядра удовлетворяют соотношениям ЛГр(х,у) = У (£,?/)<• G 5.5. Показать, что ядра JGp(x,y), введенные в задаче 5.4 (они на- зываются повторными (итерированными) ядрами ядра Jtf(x,y)), удов- летворяют неравенствам: \JGP(x,y)\ <Mpvp~\ р=1,2,... ОО __ _____. 5.6. Показать, что ряд х е G, у Е G, сходится т=0 в круге |А| < , а его сумма {%(х,у, А) (резольвента ядра J^(x,y)) непрерывна в G х G х U-^kmv) и аналитична по Л в круге |А| < . Показать также, что при |Л| < решение интегрального урав- нения (1) единственно в классе G(G) и для любой / Е G(G') представ- ляется через резольвенту SS(x, у, Л) формулой </5(т) = /(ж) + Л J SS(x, у, Л) f(y) dy. G 3*
68 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 5.7. Показать, что резольвента Й?(ж, у; А) (см. задачу 5.6) непре- рывного ядра .ХГ(х,у) удовлетворяет при |Л| < —— каждому из урав- Mv нении: а) Я(х,у,Х) = Л f JF(x,£)^,yX)d£ +JF(x, у)-, G б) &(х, yX) = Xj JF(£, у) Я(х, С; Л) d$ + JF(x, у)-, в) = J Я(х, Л) ^(С, у, Л) <%. . G В задачах 5.8-5.13 рассматриваются интегральные уравнения вида f JF(x,y)<p(y)dy = f(x), (4) 0 </?(т) = Л у ^(x,y)<p(y)dy + f(x), (5) о которые называются интегральными уравнениями Вольтерра перво- го и второго родов соответственно. 5.8. Пусть выполнены следующие условия: а) функции JF*(x.y) и JFx(x,y) непрерывны на множестве О < х < у < а\ б) JT(x, х) 0 для всех х; в) /еС1([0,о])и/(0)=0. Доказать, что при этих условиях уравнение (4) равносильно урав- нению х о 5.9. Показать, что дифференциальное уравнение У(п) -I- Я1 (ж)у(п-1) + ... + ап(х)у = F(x) с непрерывными коэффициентами щ(ж) (г = 1,2,...,п) при началь- ных условиях у(0) = Со, у'(0) = Ci,...,y(n-1)(0) = Сп-1 равносильно интегральному уравнению (5), где J^(x,y) — ат(х) ((т > 771=1 /(ж) = F(x) - Cn-LOitx) - (Сп~1Х + Сп_2) 02(ж) - ... ( хП1 А ... — I Cn—i _ j)! -I-... 4- Сгж + Со I On (ж).
§ 5. Интегральные уравнения 69 5.10. Пусть Е С (х > 0), = 0 при х < 0. Доказать, что обобщенная функция ^(х) — 6(х) +Й?(т), где Й? = * ,.%z* ... * 1 m раз есть фундаментальное решение оператора Вольтерра второго рода с ядром Jf(x,y) (см. (5)), т.е. ё— Ж* ё= 6. Показать, что при этом ряд для &(х) сходится равномерно в каж- дом конечном промежутке и удовлетворяет интегральному уравнению Вольтерра х Й?(т) = у J£\x — у) Й?(у) dy + Jf(z), х > 0 о (функция Й?(гс — у) является резольвентой ядра ,'Ж(х — у) при А = 1). 5.11. Найти резольвенту интегрального уравнения Вольтерра (5) с ядром J^(rc,y): 1) J^(rc,«/) = 1; 2) Jf(x,y) = х - у. 5.12. Решить следующие интегральные уравнения: 1) <р(х) = х + j (у ~х) <р(у) dy; О 2) <р(х) = 1 + A J (х - у) <р(у) dy; О з) НИ = л J(x~y) Ну) dy + z2. о 5.13. Показать, что если д 6 С1 (х > 0), д(0) =0, 0 < а < 1, то функция х f(x) = Su^ f д'(у)......d ’ 7Г J (Х-у)1-0 У О удовлетворяет интегральному уравнению Абеля [ dx = д(х). J (х-у)“ ’ о В задачах 5.14-5.30 ядро Ж(х, у) интегрального уравнения явля- ется вырожденным, т. е. -^(ж,У) = ' fт(х) 9т(у) 5 т~1 где функции fm(x) и дт(у) (т = непрерывны в квадра- те а < х, у < b и линейно независимы между собой. В этом случае интегральное уравнение (1) можно записать в виде
70 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения N = Дж) + A cmfm(x), ш=1 где неизвестные ст определяются из системы алгебраических уравне- ний. 5.14. Решить интегральное уравнение 1 Дж) = Л у Jf (ж, у) </?(«/) dy 4- /(ж) О ДД = ж; ДД = ех; /(ж) = ж + ж2. в следующих случаях: 1) ^Г(ж,«/) = ж — 1, 2) ^(ж,Д = 2ех+у, 3) JT{x,y) = ж + у — 2ху, 5.15. Решить интегральное уравнение 1 ДД = Л J Jf(x,y) Ду) dy + /(ж) -1 в следующих случаях: 1) JT(x,y) = ху 4- х2у2, 2) .Ж(х,у) = ж1/3+у1/3, 3) Jff(x, у) = ж4 4- 5ж3«/, 4) JT(x,y) = 2ху3 4- 5х2у2, 5) ^Дж,«/) = ж2 — ху, 6) JT(x,y) = 5 + 4жу — Зж2 — 3«/2 4-9ж2«/2, 5.16. Решить интегральное уравнение ДД = X I JT(x,y)<p(y)dy + /(ж) в следующих случаях: 0 1) JT(x, у) = sin (2ж + у), 2) JT(x, у) = sin (ж — 2у), 3) JT(x,y) = сов(2ж + у), 4) JT(x,y) = sin (Зж 4- у), 5) JT(x, у) = siny 4- «/cosж, 6) JC(x,y} = cos2(t — у), 5.17. Решить интегральное уравнение 2тг </>(ж) = Л у J^(t, у)<р(у) dy + /(ж) в следующих случаях: 0 /(ж) = ж2 4- ж4; ДД = 1 - 6ж2; /(ж) = ж2 - ж4; Дж) = 7ж4 + 3; /(ж) = ж2 + ж; ДД = ж. ДД = тг - 2ж; /(ж) = сов2ж; /(ж) = sin ж; /(ж) = cos ж; Дж) = 1-^; /(ж) = 14- соя4ж.
§ 5. Интегральные уравнения 71 f(x) = cos Зт; f(x) = cost; f(x) = sins. 1) .%<(т,у) = cost cosy + cos2t cos2y, 2) .//(т,у) = cost cosy + 2sin2т sin2y, 3) (x, y) = sin x sin у + 3 cos 2x cos 2y, 5.18. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные функции следующих интегральных уравнений: 1) <р(х) = A f |^sin (т + у) + -j у?(у) dy; О 2я Г 11 2) <р(х) = А у |cos2(T + y)4--jy>(y)dy; О J \х2у2 - о 4>(у) dy; 1 Г/тХ2/5 Z„\2/5' 4) р(х) = A f (-) + (5) ЖУ^У’ о 5) <p(x) = A j (sin x sin 4y 4- sin 2x sin 3y + 0 + sin 3s sin 2^ + sin 4s siny) ip(y) dy. 5.19. При каких значениях параметров а и Ь разрешимо интег- ральное уравнение ) ip(y) dy + ax2 + bx — 2 ? (р(х) = 12^ (ху - + j О Найти решения при этих значениях а и Ь. 5.20. При каких значениях параметра а разрешимо интегральное уравнение 1 - 3y)] <p(y) dy + ax + i ? о Найти решения при этих значениях а. 5.21. Выяснить, при каких значениях А интегральное уравнение 2л </?(аг) = Л J cos (2ж — y)ip(<y)dy + f(x) о разрешимо для любой f(x) € С([0,2тг]), и найти решение. 5.22. Найти решения следующих интегральных уравнений при всех А и при всех значениях параметров а, Ь, с, входящих в свободный член этих уравнений: к/2 1) <^(т) = A J (ysinT + cosy) tp(y) dy + ax + b; -k/2
72 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения я 2) <^(ж) = A J cos (ж 4- у) <р(у) dy 4- a sin ж 4- b; о 1 з) ¥>(х) = А у (1+ ху) <р(у) dy + ах2 4- Ьх 4- с; -1 1 4) = A J(х2у + ху2) <р(у) dy 4- ах 4- Ьх3; -1 1 г 5) <р(х) = ><f g (ХУ + х2У2) <р(у) dy + ах + Ь; -1 1 6) ip(x) = A J [5(гг?/)1 /3 + 7(ж^)2/3] tp(y) dy + ах + bx1/3- -1 7) ip(x) = A f <р(у) dy + а + х + bx2; A У 1 8) 4>(x) = Xj (j/x + tfy) tp(y) dy 4- ax2 4- bx 4- c; -i i 9) <p(x) — A J(xy 4- x2 4- y2 — 3т2?/2) <p(y) dy 4- ax 4- b. -1 5.23. Найти характеристические числа и соответствующие собст- венные функции ядра у) и решить интегральное уравнение 1 <р(х) = f Ж(х, у) у>(у) dy + f(x) -i при всех А, а, Ь, если: 1) J^(z, у) = Зх + ху — 5х2у2, f(x) = ax; 2) JfX(x,y) = Зху + 5х2у2, f(x) = ax2 + bx. 5.24. Найти характеристические числа и соответствующие собст- венные функции ядра Ж(т, у) и решить интегральное уравнение </?(т) = А у Jf(x, у) ip(y) dy + f(x) — 7Г при всех А, а, Ь, если: 1) J(X(x,y) = xcosy + sin я: sin?/, f(x) = a + bcosx; 2) ,%<(.т,?/) = .Tsiny + cost, f(x) = ax + b. 5.25. Найти решение и резольвенту ё^,{х, у; А) следующих интег- ральных уравнений: Я 1) ф(х) = А у sin (х 4- у) </?(?/) dy 4- /(ж); о
§ 5. Интегральные уравнения 73 1 2) <р(х) = А у (1 - у + 2ж«/) </>(?/) dy + /(ж); -1 Я 3) у?(ж) = A J (х sin у + cos ж) </?(?/) dy + ах + Ь', — Я 2я 4) <р(х) = А у (sinж sin?/ + sin 2ж sin 2у) <р(у) dy + /(ж), о 5.26. Найти все значения параметров а, Ъ, с, при которых следую- щие интегральные уравнения имеют решения при любых А: 1 1) у?(ж) = A J (ху + ж2?/2) >р(у) dy + аж2 + Ьх + с; -1 1 2) у?(ж) = A J (1 + ху) <р(у) dy + аж2 + Ьх + с, где а2 + Ъ2 + с2 = 1; -1 3) <р(х) = А f tp(y) dy + ж2 + ах + Ь; Д VI-!/2 1 / П 4) <р(х) = A f (ху - -j <р(у) dy + аж2 - Ьх + 1; о 1 5) у?(ж) = A j(x + у) <р(у) dy + ах + Ь + 1; о 2л 6) <р(х) — A J cos (2ж + 4у) ip(y) dy + еах+ь- о Я 7) ip(x) = А у (sin х sin 2у + sin 2х sin 4у) <р(у) dy + ах2 + bx + с; о 1 8) ip(x) = A J(1 -I- х2 + г/3) <р(у) dy + ах + Ьх3. -1 5.27. Найти все значения параметра а, при которых интегральное уравнение х </з(ж) = А у\аж - у) <р(у) dy + /(ж) о разрешимо при всех действительных А и всех f G С([0,1]). 5.28. Найти характеристические числа и соответствующие собст- венные функции следующих интегральных уравнений: 1) у5(ж1,ж2) = А у у [ж1 +ж2 + (yi +2/2)] tp(yi,y2)dy1dy2; -1-1
74 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 2) = A J (И2 + |^|2) ip(y)dy, х = (х1,х2У, Ы<1 3) ф(х) = X [ 1 ‘Ptyjdy, х = {xi,x2,x2). ы<1 |ж| 5.29. Выяснить, имеет ли интегральное уравнение y?(z) = A J (№ - |j/|2) у?(у)dj/, х = (xi,x2,x3) Ы<1 вещественные характеристические числа, и если имеет, то найти со- ответствующие собственные функции. 5.30. Найти характеристические числа и соответствующие собст- венные функции ядра .//(.т,у) = xjx2 + yiy2 и решить интегральное уравнение ^(Х1,ж2) = A J + У1У2) <р(У1,У2) dyi dy2 +/(Ж1,Ж2). -1-1 В задачах5.31, 5.33-5.35 ядро jT(x,y) интегрального уравнения (1) является эрмитовым, т. е. совпадает со своим эрмитово сопряженным ядром: Jf(x,y) = jT*(x,y} = JT(y,x). В частности, если эрмитово ядро является вещественным, то оно сим- метрично, т. е. Jff(x, у) = jT(y,x). Эрмитово непрерывное ядро (х, у) 0 обладает следующими свойствами: 1) множество характеристических чисел этого ядра не пусто, рас- положено на действительной оси, не более чем счетно и не имеет ко- нечных предельных точек; 2) система собственных функций } может быть выбрана орто- нормальной: (.фк>фгп) — ^кт- 5.31. Доказать, что если Jff(x, у) — эрмитово ядро, то характе- ристические числа второго итерированного ядра Jf^(x,y) (см. зада- чи 5.4-5.5) положительны. 5.32. Доказать, что если ядро jT(x,y) является кососимметрич- ным, т. е. JT(x,y) = —JT*(x,y), то его характеристические числа чисто мнимые. В задачах 5.33-5.35 предполагается, что характеристические чис- ла А* эрмитова непрерывного ядра JT(x,y) занумерованы в порядке возрастания их модулей, т. е. |Ai| < |А2| < |А3| < ...
§ 5. Интегральные уравнения 75 и каждое из этих чисел повторяется столько раз, сколько ему соот- ветствует линейно независимых собственных функций. Тогда можно считать, что каждому характеристическому числу А;, соответствует одна собственная функция уь- Систему собственных функций будем считать ортонормальной. 5.33. Пусть Jf(x,y) — эрмитово непрерывное ядро, J£p(x,y) — повторное ядро ядра JC(z, у). Доказать формулы: 1) £ ^21! = f \^x,y)\2dy, т=1 Лт J оо 1 Ъ Ъ 2) Е = [[ \^(х,у)\ dxdy; m=1 Лт а а 3) (Kf,f) = 52 , f € L2(G), К — интегральный опера- т=1 тор с ядром Jf(x,y); оо 1 Jf Jf 4) Е р? = // \JfP(x,y)\2dxdy m=l р= 1,2,... Пусть у) — п-е повторное ядро для эрмитова непрерывного ядра Jf(x,y). Назовем величину ь ап = J J?n(x, х) dx, п = 1,2,... а п-м следом ядра Jf(x,y). 5.34. Доказать: 1) отношение °2п+2 не убывает и ограничено; Q2n а 2) существует lim —и этот предел равен наименьшему ха- П—>ос Ot-2n+2 рактеристическому числу ядра .%2 у); оо 1 3) Е УТ = ап (,п - 2), где Хт, т = 1,2,..., — характеристичес- т=1 А’'> кие числа ядра JC(z,^), |Ai| < |А2| < ...; 4) -2- = lim /Q2n+2 = Пт |Л1| п—>оо у &2п п—хоо 5.35. Пусть А не является характеристическим числом эрмитова непрерывного ядра JC(z,у). Доказать, что (единственное) решение уравнения ь у(х) = A J 'Х'(х,у') <р(у) dy + f(x) а можно представить в виде ряда
76 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения оо А m=l равномерно сходящегося на G, а для резольвенты &(х,у;Х) имеет место формула Я(х,у,Х)=У1 ' Ат — А где билинейный ряд сходится b£2(G хб). 5.36. Найти характеристические числа и соответствующие собст- венные функции интегрального уравнения в следующих случаях: = \J ^^,y)ip(y)dy о 1) -Ж\х,у) = 2) 3) 4) 5) 6) 7) Х\х,у) = = « ж, если у, если VI VI н VI о 1, 1; о < У <х < X1 -у), если 0 < х < У < 1, 2/(1 - ж), если 0 < у < х < 1; 2-J/ —-— х, если 0 < гс < ; У < 1, 2 — х 0 < у < : х < 1; 2 если (гс 4-1)(т/— 2), если ( 3 < х < у (у + 1)(гс - 2), если ( ^<у <х (т + 1)у, если 0 < гс < У < 1, х{у + 1), если 0 < у < гс < 1; (ех -е-ж)( 'еу + е2“у), если 0 (ех + е2”*) \еУ - е~У) , если 0 sin re sin (1 -у), если 0 < гс < sin (1 — х) siny, если 0 < у < = < 5.37. Найти характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения с ядром Jtf(x,y) в следующих случаях: ы \ /П+^Х1 ~У^ если <у <1, 1) Jk (х, у) = < , ((1 — гс)(1 + у), если — 1 < у < х < 1; cost siny, если 0 < х < у < тг, cosy sinгс, если 0 < у < х < тг; 2) .%'(х,у) =
§ 5. Интегральные уравнения 77 f sin a: cos?/, если 0 < х < у < тг, 3) JfX(x,y) = < [ siny cos аг, если 0 < у < х < тг. 5.38. Найти характеристические числа и соответствующие собст- венные функции интегрального уравнения 7Г V?(az) = Л у + у) <р(у) dy в следующих случаях: ' 1) ai(t) — четная 2тг-периодическая функция, причем u’(t) = t, если t е [0, тг]; 2) aj(t) — четная 2тг-периодическая функция, причем a>(t) = тг — t, если t € [0, тг]. 5.39. Найти все характеристические числа и соответствующие собственные функции интегрального уравнения с ядром J^(a:, у) = = а>(х — у), где u>(t) — непрерывная кусочно гладкая четная 2тг-перио- дическая функция, 0 < х < 2тг, 0 < ?/ < 2тг. 5.40. Решить интегральное уравнение 1 ip(x) = Л f Jf(x, у) <p(y)dy + f(x), если /(а:) € С'2([0,1]) и ( х, если 0 < х < у < 1, Jf(a:, у) — < [ у, если 0 < у < х < 1. Пусть Jf(a:, у) — непрерывное ядро интегрального уравнения ь <р(х) = X f je\x,y)cp(y)dy + f(x). (6) Выражение , . ^(а^ьт/г) Х1 Х2 “ Хп ] = Ж(х2,У1) Ж(х2,у2) Jf(x2,yn) \ У1 У2 Уп 7 .............................. 4 7 Jf(xn,yi) Jf(xn,y2) J?(xn,yn) называется символом Фредгольма, а функция 00 л 7?(А) = 1 + £(-1)’1^А", (7) 71=1 где 66 ft t t \ Ап =[[1 2 '" п ) dtrdt2...dtn, (8) ' ' \ ti t2 • •. tfi I a a \ / называется определителем Фредгольма ядра JfX(x,y) или интеграль- ного уравнения (6).
78 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 5.41. Доказать, что коэффициенты Ап определителя Фредгольма удовлетворяют неравенствам |ЛП| < пп^2Мп{Ь— а)п. Вывести отсюда, что D(X) — целая функция от А. У казани е. Использовать неравенство Адамара (см. [2]). Минором Фредгольма называется функция где D(T,y;A) = Xjr(a:,2/) + 52(-ir^^A’1+1, (9) п=1 Ь Ь / , , . \ //* / X ti to - - • "П I ... ) dti dt2...dtn. (10) j \ytit2...tnJ 5.42. Показать, что если ЛГ(х, у) — непрерывная в квадрате L : {а < х, у < Ь} функция, то D(x,y;X) — непрерывная функция переменных х, у, А в L х С и D(x, у; А) (при фиксированных х и у) является целой функцией от А. 5.43. Доказать, что коэффициенты Ап, функции Вп(х,у) и ядро АГ(ху у) (см. (7)-(10)) связаны равенствами: ь 1) Вп(х,у) = AnJfT(x,y) - п J Вп_1(х,^) jT(^y)d(,; а b 2) Вп(х,у) = AnJfT(x,y) - п J ЛГ(х, О Вг1-1(£, у) d£. а У казани е. Разложить определитель, входящий в подынтег- ральное выражение для Вп(х,у), по элементам первого столбца. 5.44. Доказать первое и второе фундаментальные соотношения Фредгольма: В(х, у; А) - AJT(ж, у) £>(А) = А АГ(х, £) D(£, у; A) d£, а Ъ D(x, у, А) — XJtT(ж, у) D(X) = A j JT(£, у) D(x, £; A) d£. а У казани е. Воспользоваться разложением (9), сравнить коэф- фициенты при одинаковых степенях А в левой и правой частях дока- зываемых равенств и применить результат предыдущей задачи. 5.45. Доказать формулы ь ь Ап = [ Bn-i(x,x)dx, I D(x,x;X)dx = —XD'(X).
§ 5. Интегральные уравнения 79 D'(X\ 00 5.46. Доказать формулу ~ 12 ОпА""1 (коэффициенты ап определены на с. 75). П-1 5.47. Пусть определитель Фредгольма D(X) интегрального урав- нения (6) не равен нулю. Доказать, что в этом случае интегральное уравнение для любой f(x) € С([а, 5]) имеет решение и при том только одно и что это решение дается формулой ь y?(z) = f(x) + f D^’,yAX) f(y) dy. J 1У\Л) a 5.48. Используя представление решения интегрального уравнения при |А| < ----- через резольвенту у;Х) (см. задачу 5.6) и результат предыдущей задачи, доказать формулу ^А> = лЖг (эта формула определяет аналитическое продолжение резольвенты, заданной при | А[ < — в виде ряда (см. задачу 5.6)). 5.49. Доказать, что характеристические числа интегрального уравнения с непрерывным ядром совпадают с нулями определителя Фредгольма D(X) этого уравнения. 5.50. Доказать, что ранг т характеристического числа Ао интег- рального уравнения с непрерывным ядром (.7:, у) конечен и имеет место неравенство т < [А0|2 УУ\Jf(x,y)\2dxdy. а а 5.51. Доказать, что определители Фредгольма непрерывного ядра Jtf(x,y) и союзного с ним ядра Jf*(x,y) совпадают и, следовательно, данное и союзное уравнения имеют одни и те же характеристические числа (см. задачу 5.49). 5.52. Показать, что ранг характеристического числа для данного непрерывного ядра и союзного с ним ядра один и тот же. 5.53. Доказать, что при |А| < 1 интегральное уравнение Милна = 1 / ( / ^dt\<p(y)dy 0 \ |а:-у|=о ' чшееп единственное решение — 0 в классе ограниченных функций на [0, оо). 5.54. Для интегрального уравнения Пайерлса А г ^^4^/F^P “>0, доказать оценку
80 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения Ai (1 - e~aD) > а, где D — диаметр области G С R3, Ai — наименьшее по модулю характеристическое число ядра. 5.55. Доказать, что при А < 1/2 решение интегрального уравне- ния оо <р(х) = А у dy + f(x) — ОО единственно в классе ограниченных функций в Я1 и выражается фор- мулой оо у?(я;) =/(т) +-== [ V L — ZA J —ОО Ответы к § 5 5.11. 1) 5.12. 1) sin ж; 2) -^= sh л/А (ж — j/). V а 2) chMXrc); 3) |(сЬг/Аж-1). Л 5.14. 1) Если А = —2, то решений нет; если А —2, то <р(х) ~ 2х(А + 1) — А А + 2 если А Ai, где Ai = не имеет решений; если А 2 и А —6, 2) нение 3) А = —6 уравнение не имеет решений. 1 ех ^1’ Т° 1-А(е2-1); ПРИ 12А2ж — 24Аж — А2 + 42А 6(А + 6)(2 —А) ’ то А = Ai урав- при А = 2 и 5.15. 1) Если А | и А ^ |, то а;2 + г4; \ 3 если Л = то Сх 4- ~ х2 4- ж4, где С — произвольная постоянная; при Л = | уравнение не имеет решений; 2) ^Ц(5^ + 6А) + 1-6т2, уравнение не имеет решений; если А ± УХ; при А = ± Д 5 4 о ж при о 3) 1(^21) Х4 + еСЛИ Л I И А I5 Сх3 + 1 5 А = -, С — произвольная постоянная; при А = - уравнение не имеет решений; 4) —20А х2 + 7а:4 + 3, если А | и А i; 7т4 + 3 — — х2 + Сх, 1 — ZX Z Z о 5 1 где С — произвольная постоянная, если Л = при А — - урав- нение не имеет решений;
§ 5. Интегральные уравнения 81 3(5 — 2А) х ,з .,.31 з у-» 2 5) ' + хй, если А ± ±-; -х + хЛ + Сх, где С — произ- 0^0 “Г ZAj L О 3 3 вольная постоянная, если А = -; при А = — - решений нет; 6) если А = Ai = то С\ + | х; если А = Х2 — то С2(3т2 — 1) — 8 2 8 3 3 — х (Ci и С2 — произвольные постоянные); при А = Аз = - урав- 2 8 За? некие не имеет решений; если А 7^ Xi (г = 1,2,3), то >р(х) = -—— 3 — 8Л 5.16. 1) sin 2т + тг — 2а:, если А ф | и А^—|;тг —2т — 3 — 2 sin 2т + С cos 2т, где С — произвольная постоянная, если А = —; . 3 „ 2 при А = - уравнение не имеет решении; 2) —sin х + cos 2т, если А | и А — у; cos 2т — sin т + ' 2(2А + 3) '2'4 4 + С cost, где С — произвольная постоянная, если А = —-; при А — — | уравнение не имеет решений; 3) sinT+ q (2Acos2t+ | 8ш2т), если А ±—^=; ПРИ = , 3 ±—-= уравнение не имеет решении; 4) Атг ~2 sin Зт + cos т при всех значениях А; 5) 1 2т Атг . / . 1 4 2т ,0 о \ 1-------cost, если Л л ±й; й------------------Ь (8 + 7Г cost) с, ТГ 0(1 + ХЛ) 2. А ~ — произвольная постоянная, если А = где С некие не имеет решений; 1 х 1 -; при А = -- урав- Атг 2 4 6) ---- Ь 1 + cos4t, если А - и А —; cos4т — 1 + Ci cos 2т+ 2 — Атг тг тг . 4 + C2sin2T, где Ci и С2 — произвольные постоянные, если А = —; .2 - * при А = — уравнение не имеет решении, тг 5.17. 1) cos3t, если А 7^ —; cosЗт + Ci cosт + С2 cos2т, где С\ и 1 С2 — произвольные постоянные, если А = —; тг 2) cos:c если А i и А 7^ 2 cost 4- С sin 2т, где С — про- 1 — Атг тг 2тг . 1 .1 извольная постоянная, если А = —; при А = — уравнение не имеет 2тг тг решении;
82 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 3) х если Л - и А ^4 - sin х 4- С cos 2т, где С — про- 1 — 7ГА 7Г О7Г 2 X 1 X 1 извольная постоянная, если А = —; при А = — уравнение не имеет w ОТТ 7Г решении. 5.18. 1) Ai = -, sinT4-cosT, 1; А2 = — cosT-sinT; ТГ 7Г 12 2 2) Ai = —, 1; Д2 = —, cos 2т; Аз =-, sin2x; 2тГ ТГ 7Г 3) Ai = -45, Зж2 - 2; А2 = ^, 15ж2 - 1; 8 4) Ai = 1, Зж2/5 4-ж~2/5; А2 = -5, Зж2/5 -ж~2/5; 8 2 2 2 5) Ах =--, sin ж —sin 4ж, sin 2ж — sin Зж; А2 = —, sin 2ж 4-sin Зж, 7Г 7Г sin ж + sin 4ж. 5.19. а = —12, Ъ = 12, —12ж2 + С^х + С2, где Ci и С2 — произ- вольные постоянные. 5.20. а = л/15 - 3, С[4л/15ж2 + 3(1 - л/15)ж] + - - Зж, где С — произвольная постоянная. х 5.21. Уравнение разрешимо при любом А, 2тг 9?(ж)=А у cos(2x-y)f(y)dy + f(x). о 5.22. 1) 1o/^Q7rQ.. sin ж + - + ах + b, если А 1 (a,b лю- 12(1 — 2AJ 1 — 2А 2 бые); при А = - уравнение разрешимо в том и только в том случае, когда а = b — 0, </>(ж) = Ci sin ж 4- С2, где О и С2 — произвольные постоянные; 2(а - 2А6) . ,, . , , 2 , , - х х 2 2) ——-—- sin ж 4-о, если A yt ±— (а, о любые); при А= — 2 + Атт тг тг L / х Л7Г — 46 . , , , уравнение разрешимо при любых а и b и <р(х) = ----------sinх 4- о4- 27Г 2 4- Ci cos ж, где С± — произвольная постоянная; если А =-, то урав- 7Г некие разрешимо в том и только в том случае, когда атг 4- 4Ь = 0 и <р(х) = b + С2 sin ж, где С2 — произвольная постоянная; 36 2 . z 1 . , 3 ( , -—— х 4- ах , если А - и А / - (а, о, с лю- и — 2Л 2 2 3 2Аа 4- Зс ' 3(1 - 2А) + бые); при А = - уравнение разрешимо, если а 4- Зс = 0, </>(ж) = 3 2 2 = - Ьх 4- аж2 4- Ci, где Ci — произвольная постоянная; при А = - 2 1 2 уравнение разрешимо, если b = 0 и </?(ж) = аж2 — - (а 4- с) 4- С2ж, где С2 — произвольная постоянная; 2
§ 5. Интегральные уравнения 83 2А(5а + 36) 2 , 4А2(5а + 36) , , . , , ч/15 . , 4) 15 —4А2 Х + 5(15 — 4А2) х + ах + Ьх ’ если А Ь у/15 любые); при А = —— уравнение разрешимо, если 5а + 36 = 0, и ' 5 з ж - - ж где Ci шимо, х vl5 — произвольная постоянная; при А =----— уравнение разре- если 5а + 36 = 0 и -ж3' 3Х . 2 х~\/1х2 где С2 — произвольная постоянная; За , 5А6 ^2 _|_ если А 3 и А 5 (а, 6 любые); ж2 + 1 3 - А " ' 3(5 - А) при А = 3 уравнение разрешимо, если а = 0, и </?(ж) = б(- где (71 — произвольная постоянная; при А = 5 уравнение разрешимо, если 6 = 0, и </>(ж) = С2Х2-ах, где С2 — произвольная постоянная; ЗОАа + 76 1/з . \ / 1 z > р- \ , 1 6) —у—х 4- аж, если А / - (а, 6 любые); при А = - 7(1 — оЛ) о о уравнение разрешимо, если 5а+ 76 = 0, и </>(ж) = — - 6ж + Стж1/3 + 5 + С2ж2/3, где Ci и С2 — произвольные постоянные; —х 2а + А6(4 — тг) 2 , 2 \ / 7) -----—\+ -—уу.------------Г ж + Ьх2, если А ' 2 - Атг 2 - А(4 - тг) 2 (а,6 любые); при А = — уравнение разрешимо, если = 0, и </?(ж) = 2 1> 2 1 V 2 - и A -------- 7Г 4 — 7Г атг + 6(4 — тг) = ж + 6ж2 + С, где С — произвольная постоянная; 2(тг 2J при Л = — уравнение не имеет решений; 4 — 7Г ох 5А(14а + 36А6 + 42с) 1/3 , 28А2а + ЗОА6 + 35 , 2 , , 8> 41(6-12X0 1 + 7(5 - 12Л’) + + 1/ 2 (а, Ь, с любые); при А — г 2 15\/3 Ь + 7\/5 (а + Зс) = 0, и <р(ж) = ах2 + Ьх + с + Ci I ж1/3 + уравнение разрешимо, если где Ci — произвольная постоянная; при А = решимо, если 15\/3 6 — 7\/5 (а + Зс) = 0, и уравнение раз-
84 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения — ах2 + Ьх + с + С2 I т1/3 — 9) . 3 2 где Сг — произвольная постоянная; 30(6-1) А 2 , ЗаА2 , 36А2(6 —1) Л . 15 Л5 + 8А Х + З^АЖ + (15 Ч-8А)(3 — 2А) ’ eC™ Л “У И о 15 А - (а,Ь любые); при А = — — уравнение разрешимо, если b = 1, и 2 8 17 </т(т) = — ат Ч-1 — 20а + С(т2 Ч- 1), где С — произвольная постоянная; 3 при А = - уравнение разрешимо, если а = 6 = 0, и </?(т) = Cit Ч- С2, где Ci и С2 — произвольные постоянные. 3 1 5.23. 1) Ai = -, tpi = т; А2 = —<^2 = Зт — 4т2; </?(т) = Зат . . 3 . / 1 ( \ . 3 — г—-тг, если Ayt-HAyt—_ (а любое); при А = - уравне- о — 2Л 2 2 2 ние разрешимо, если а = 0, и <р(х) = Clt (Ci — произвольная постоянная); при А = — i уравнение разрешимо при любом а и 3 2 ¥’(т) = ат + С2(3т — 4т2), где С2 — произвольная постоянная; ох х 1 (!) (2) 2 / х ат2 + Ьх . , 1 2) Ai = -, <рг = х, <р\' = х\ <р(х) = ———, если А ф -; при _ 1 ~~ z 2) Аг = 1 А = i уравнение разрешимо, если а = b = 0 и ip(x) = С-^х2 + + С2т, где Ci и С2 — произвольные постоянные. 1 2тг2Л26 5.24. 1) Aj = —, </?! = sin т; <р(х) = а + b cos х + ХЬ-кх Ч-- sin х. 1 тг i 1 —Атг если А — (а, b любые); при А = — уравнение разрешимо, если b = О, ТГ 7Г и <р(х) = а + С sin х, где С — произвольная постоянная; 2) Ai = 2-, tpi = х; ф{х) = ах . Ч- 6 Ч- 2tt6Acost, если А 1 2тг 1 — 2тгА — (а, Ъ любые); при А = — уравнение разрешимо, если а = О 27Г 27Г и ф(х) = 6(1 + cost) + Сх, где С — произвольная постоянная. 7 sin (х + у) + 4г cos (х — у) 5.25. 1) <р(х) = A f-------------—----------------f(y)dy + /(т), если •1 Z-Л I Л J 0 тг2 2 Д(А) 0, где Д(А) = 1 — А2 —; при А = — уравнение разрешимо, 4 7Г если /i + f2 — 0, где 7Г 7Г Л = f f(y) cosydy, f2 = У f(y) sin у dy. о 0 2 </?(т) = Ci (sin т + cost) + - /i sinT + /(t) 7Г
§ 5. Интегральные уравнения 85 (Ci — произвольная постоянная); при А = — уравнение разреши- 2 мо, если fi — f2 = 0, и tp(x) — C2(sina; — cost)----fi sin.? + f(x), TV где C2 — произвольная постоянная; sin (x + у) + cos (a; - y) =-----------дД)-----------; 2) <p(x) = A f -—^Л+д/Тч 4XX f(y) dy + /(«), если Д(А) О, J ZA^A J 1 / 4 \ 1 где Д(А) = (1 — 2A) (1 — - Aj; при A = - уравнение разрешимо, ес- ли fi = 3f2, где f1 = j f(x) dx, f2 = j xf(x) dx, ip(x) ~ ~ I) Л + /(ж) + О -i -i 3 (Ci — произвольная постоянная); при A = - уравнение разрешимо, 3 4 если f2 = 0, <р(х) = - - fi + f(x) + С2(х + 1), где С2 — произвольная постоянная; х,у, 1 — | А + у(2х — 4Хх — 1) Л) ~ XTvi 3) V’(ar) = А [ ( + cosx\(ay + b)dy + ах + b = + J \1 — Z7TA / 1 — Z7TA 1 1 4- 2тгА6 cos х 4- Ъ. если А^ — (а, 6 любые); при А= — уравнение Z7T Z7T разрешимо, если а = 0, <р(х) = bfcosx 4- 1) 4- Сх, где С — произволь- ная постоянная; л?) / \ \ х sin V у, А) = -—+ cos ж; 1 — Z7TA х , , . 2/ sin х sin у + sin 2х sin 2у , > , 1 4) у(х) = A / ------------7---------- !{y)dy + f (ж), если A J 1 — Л7Г 7Г 0 x 1 при A — — уравнение разрешимо, если 7Г 2к 2тг У f (у) sinydy = у f (у) sin2?/dy = 0, ip(x) = f (а?) + Ci sin.'c + C2 sin 2т, о о где Ci и С2 — произвольные постоянные; ^{х,у, А) = sin х sin у + sin 2а; sin 2у 1 — Атт 5.26. 1) b = 0, За + 5с = 0; з 1 2) а= ~, Ь = 0, с=—i=; УТо Vw 3 , п а =-----т=. 6 — 0, с — х/10
86 Гл. II. Функциональные пространства и интегральные уравнения 3) а = 0, b — — i; 4) а = 6; 5) а = О, b — — 1; 6) а, b любые; 7) а, Ь, с любые; 8) 7а + 5Ь = О. 5. 27. 1 < а < 3. 5. 28. 1) Ai = 1, = 4(a?i + а?2) + 1; А2 = -1, фг = 4(^1 + х2) - 1; X 4\/3 — 6 1 /о/ 2 . 2Х X 4\/3 + 6 2) Л1 = ---------, tpi = 1 + v3(.'cf + X2h ^2 =---------------, ф2 = = х/З (a?i + х%) — 1; 3) Ai = где r = Vxi +х2 + хз- 5.29. чисел. 5.30. Уравнение не имеет вещественных характеристических 3 3 Характеристические числа Ai = - и Х2 = — -, соответству- ющие собственные функции ф1 = 1 + Зх^х2 и ф2 = 3xix2 — 1. Если х . 3 А = ±-, то 4 </’(ari,T2) = [(Л + 4А/2) Ж1Т2 + АД + /21 + /(ti,t2), Z-a^AJ l у j где ii ii h - J f ДУъУъ) dyr dy2, f2 = /f УМКм*) dyr dy2, ~i -i -i -i A (A) = 1 — А2; при A = уравнение разрешимо, если fi + 3f2 = 0, 3 и ip(xi,x2) = - xix2fi + f(xi,x2) + С(Зх!Х2 + 1), где Ci — произволь- 3 ная постоянная; при А = — - уравнение разрешимо, если Д — ЗД = 0, 3 и ф(х1,х2) = -4 Т1Т2/1 + f(xi,x2) + С2(ЗХ!Х2 - 1), где С2 — произ- вольная постоянная. 5.36. 1) А„ + тгп) , фп = sin + тт) х (п = 0,1,2,...); 2) А„ = д2тг2, фп = sin-Tma; (п = 1, 2,...); 3) Ап (п = 1,2,...) — положительные корни уравнения tg х/А = = фп = Sin \/Агг Щ; 4) Ап = — 1 /г2 (п = 1,2,...), где р.п — положительные корни урав- 1 „ . нения р.----— 2 ctg /1, фп = saipnx + рп cos/i„a?; У 5) Ao = 1, фо = еж; А„ = —п2я2 (д = 1,2,...), фп = sin7rna: + + тт cos ттх;
§ 5. Интегральные уравнения 87 б) Ап = (« = 0,1,2,...), <рп = sin (п + |) тгж; о(1 -г е ) \ 7) Д = (П7Г) 1 <рп = зштгпж (п = 1,2,...). sm 1 5.37. 1) A„) = , ipn = sin тгпх (n = 1,2,...); Ап^ = |^+тг«), = cos 4- тгп) x (n = 0,1,2,...); 2) A„ = 1 — (n +-J , pn = cos (n + -j x (n = 0,1,2,...); 3) An = (n+- 1, y>n = sin (n + j) x (n = 0,1,2,...). 5.38. 1) № = (2П^ ") ’ — sin (2n + 1)ж (n = 0, 1, 2,...); л(2) = _ PZl+lf ^2) = cos(2ti + 1)3; (n = 0,1, 2,...); Ao = ~, ipo = 1; 2 2) Ao = i, <po = 1; , 4$ = cos(2n + l)x (n = = 0,1,2,...); A*,2) - ~^2~ , T’n ) = sin (2n + 1) x (n = 0,1,2,...). 5.39. An = —, ffin'1 = sinnar, </>n^ = cosnx 2тг г an = f w(t) cosnt dt ф 0; Ao = —, >po = 1, если J flo 0 5.40. <p(x) = A у G(x,y) f(y)dy + f(x), где 0 ’ sin \/Л x cos v/A(y -1) гч v v/Acosv/A G(x, y) = sin v A у cos у A (x - 1) , \/X cos y/X (n = 1,2,...), если 2тг Go = J oj(t) dt 0. 0 X < y,
Глава III ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ § 6. Основные и обобщенные функции Обозначим через .'У = совокупность всех бесконечно диф- ференцируемых финитных функций в Rn. Последовательность {</’/, } функций из Q называется сходящейся к функции р (из Q) если: а) существует такое число R > 0, что soppy? С UR\ б) при каждом а Dapk(x) =4 Dap(x), К—> оо *1 При этом пишем рк —> р, к —>• оо в Q. Совокупность Q) функций с введенной сходимостью называется пространством основных функ- ций Q). Обозначим через У = ,Q(Rn) совокупность всех бесконечно диф- ференцируемых функций в Rn, убывающих при |т| —>• оо вместе со всеми производными быстрее любой степени |ar|-1. Последовательность функций из ^называется сходящейся к функции р (из 5Q, если для всех а и /3 „ X&R" а х@ Dapk(x) ~4 x^Dap(x), к —> оо. При этом пишем рк —> р, к —> оо в .У Совокупность У функ- ций с введенной сходимостью называется пространством основных функций S/'. 6.1. Пусть р € Q. Выяснить, есть ли среди последовательностей: П ^(х); 2) \р(кх\ 3) 1^(0; к = 1,2,..., сходящиеся в Q. 6.2. Пусть п = 1 и (1 при -2е < х < 2е, ХЩ = П 11^0 (0 при > 2е. Показать, что функция ж V(x)= j -y)dy, По поводу обозначений см. с. 6-8.
§ 6. Основные и обобщенные функции 89 где oj£ — «шапочка», является основной из ^(Д1), причем 0 < 7](х) < 1, т](х) = 1 при — е < х < е, т](х) = 0 при |.т| > Зе. 6.3. Пусть G2£ = (J U(x,2e)— 2д-окрестность ограниченной об- х EG ласти G и \(х) — характеристическая функция области G^, т.е. х(х) = 1, х € Сге и х(х) = 0, х ё Gie. Доказать, что функция 77(ж) = j х(.У) ^е(х - у) dy основная из S(Rn), причем 0 < т](х) < 1, 7](х) = 1 при х 6 Ge\ т](х) = О при х ё G3e. 6.4. Пусть функция т](х) удовлетворяет условиям задачи 6.2, я(ж) = 52 ~ер)’ = Доказать, что Н 6 С°°(Д1), Н{х) > 1; е G ^(Д1), 0 < е(ж) < 1; оо е(ж) = 1 при |.т| < £ и е(х) = 0 при |ж| > Зе; 52 е(ж — ер) = 1- 1/=—ОО 6.5. Доказать, что существуют такие функции ips G ^(Д1), б > 1, что ipg(x) = 1 при |ж| < <5 — 1, <рв(х) — 0 при |т| > <5 и |^4а\а:)| < Са, где постоянная Са не зависит от <5. 6.6. Пусть непрерывная функция /(ж) финитна: f(x) — 0, |т| > Д. Показать, что функция А(ж) = У f(y) ше(х - у) dy (е < Д) основная из ^(Д’!), причем f£(x) — 0 при |т| > Д + е. Показать, что x^Rn А(а?) =4 /(ж), £ —> 0. 6.7. 1) Доказать, что функция m—1 । - ^(ж) 52 ~ ’W(0) ,,Х к\ Х k=0 т = 1,2, основная из ^(Д1), где ip € ^(Д1) и т/ € ^(Д1), г) = 1 в окрестнос- ти х = 0; 2) доказать, что функция Мх\ = - ??(Д) У(0) а(а?) основная из ^(Д1), где <р 6 ^(Д1), rj^x) — функция из задачи 6.7, 1) и а 6 СОО(Д1), имеет единственный нуль порядка 1 в точке х = 0. 6.8. 1) Показать, что функция <pi из ^(Д1) может быть представ- лена как производная от некоторой другой функции <^2 из ^(Д1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условию
90 Гл. III. Обобщенные функции оо У (ж) dx = 0; — оо 2) показать, что всякая функция ip(x) из ^(/i1) может быть пред- ставлена в виде <р(ж) = ip0(x) J <p(x')dx' + <р[(х), —ОО где ф1 € SRJR1), а <ро(х) — любая основная функция из удов- ОО летворяющая условию J </?о(ж) dx — 1. —ОО У Казани е. Воспользоваться задачей 6.8, 1). 6.9. Показать, что О) С 3/ и из сходимости в следует сходи- мость в 33 6.10. Пусть 6 У. Выяснить, есть ли среди последовательностей: 1) 2) | <?(**); з) k = 1,2,..., сходящиеся в 33. 6.11. Пусть € У’и F — полином. Доказать, что ipP € 3?. 6.12. Пусть функция ф 6 СОО(Д1), ф(х) = 0 при х < а и ограни- чена вместе со всеми производными. Доказать, что функция ф(х) е~ах основная из .^(Т?1), если о > 0. Обозначим через & = Q'(Rn) совокупность всех линейных непре- рывных функционалов на пространстве основных функций 3>. Всякий функционал f 6 & назовем обобщенной функцией (из пространст- ва D'). Обозначим через 3е' = ,У'(Рп) совокупность всех линейных непре- рывных функционалов на пространстве основных функций 33 Всякий функционал f € 33 назовем обобщенной функцией медленного роста (из пространства 3^'). Значение функционала f на основной функции </> обозначим через (Д99). Чтобы указать аргумент основных функций, иногда вместо f и (Д99) будем писать f(x) и (/(ж), ^(ж)). Последовательность {Д} обобщенных функций из & называется сходящейся к обобщенной функции f (из £>'), если (Д,<р) —>• (f,<p), к —> оо для любой tp из £). В частности, ряд из обобщенных функций щ + it 2 +... + ик 4-... называется сходящимся в S) к обобщенной функ- ОО ции f, если для любой р> е 33 числовой ряд 52 (wfe > V) сходится к (Д 99). fc=i Сходимость последовательности и ряда в 33 определяется аналогично. Говорят, что обобщенная функция / равна нулю в области G, если (Д у) — 0 для всех ip из 3) с носителем в G. Обобщенные функции Д и Д называются равными в области G, если их разность Д — f2 равна
§ 6. Основные и обобщенные функции 91 нулю в G; fi и f2 называются равными, если (/i,</?) = (/2,<р) для всех ip € О>. Носителем обобщенной функции / называется множество всех та- ких точек, ни в какой окрестности которых / не обращается в нуль. Носитель / обозначается через supp/. Если supp/ — ограниченное множество, то / называется финитной обобщенной функцией. Регулярной обобщенной функцией из S>\Rn) называется всякий функционал вида (/, = У /(я) ^(х) dx, ip е &(Rn), где f — локально интегрируемая в Rn функция. Если f(x) — функция медленного роста в Rn, т. е. У |/(гг)|(1 + < оо при некотором т > 0, то она определяет регулярную обобщен- ную функцию из У' (медленного роста). Всякая обобщенная функция, не являющаяся регулярной, называ- ется сингулярной. Примером сингулярной обобщенной функции является <5-функция Дирака, определяемая правилом (<5,у?) =Н0), <^е^(лп). Обобщением <5-функции является поверхностная <5-функция. Пусть S — кусочно гладкая поверхность и р(х) — непрерывная функ- ция на ней. Обобщенную функцию pf>s, действующую по формуле (p<5s,9?) = у p(x)<p(x)dSx, <р € &(Rn), s назовем простым слоем. В частности, если S есть плоскость t = 0 в Rn+1(x, t), то p<5(f—0)(х, t) обозначим p(x)6(t), так что (р(зг) <5(1),у?) = у р(х) <р(х, 0) dx. Rn При п = 1 простой слой dsR(x) на сфере Sr обозначим через <5(Я— |а;|), так что (<5(Д — |аг|), ip) = <p(R) + у?(—R). Произведением f из &{Rn) и функции а(х) € Соо(/?п) называ- ется обобщенная функция af, действующая по формуле (af,<p) = = <р G @(Rn). Пусть /(ar) € ^'(Д”), A — неособое линейное преобразование и b — вектор в Rn. Обобщенную функцию f(Ay + b) определим фор- мулой (f(Ay + b)pp) = (f, ч> е &(Rn). При А = I имеем сдвиг обобщенной функции / на вектор — Ь:
92 Гл. III. Обобщенные функции (№ + &).</’) = (/,<р(х-Ь)У Например, (<5(х - хо),<р) = (<5, ‘/’(ж + ^о)) = <р(х0) — сдвиг й(г) на вектор Xq. При А = — I, Ъ = 0 имеем отражение (/(-х),<р) = (/, 9?(—я;)). 6.13. Доказать, что <5(т) — сингулярная обобщенная функция. Дать физическую интерпретацию ее. 6.14. Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям: N 1) 26(х-х0У, 2) 52 тпк6(х - хкУ, k=i 3) p.(x)5s(xy 4) |т| 6Sr(х - т0); 5) 2<5(Д1 - |т - 1|) + 3<5(Д2 - |х - 2|). Найти их носители. 6.15. Доказать, что: 1) д(х — м) —> 0, г/ —> оо в 2) <?5н(т) —> О, R —> оо в 6.16. Доказать, что У' С и из сходимости в У' следует схо- димость в &. 6.17. Доказать, что: 1) ez € ^'(Д1), ехё ^'(Я1); 2) е1^ ё ^'(Д1); 3) eosine* е ^'(Д1). 6.18. Доказать, что функционал действующий по формуле — сингулярная обобщенная функция. 6.19. Вычислить пределы в ^'(Д1) при £ —> +0: 1) АСЮ = | 1/(2е), 0, |т| < £, |т| > е; 2) ----------; ’ тг(хг+е2) 3) —т= е х2А4£); 4) i sin5) -2—sin2-. ' 2^/те 'хе ' тгх2 е 6.20. Доказать формулу Сохоцкого —1— = =ргтг<5(щ) + &>-. х ± г0 х 6.21. Вычислить пределы в ^'(Д1) при t —> +оо: ixt „-lit „ixt „-ixt 1) _r___ 2) -____ 3) 4) -____• x — г0 ’ x — г0 ’ ' x + г0 ’ ' x + i0’ 5) tmeixt, m>0.
§ 6. Основные и обобщенные функции 93 6.22. Найти предел & -os ^х, к —> оо, в ^'(Л1), где оо cos кх X ., Г cos кх , , , &--------,</>) = Vp / ----ip\x)dx — / —Е ОО\ = lim I [ + [ ] cos^x ip(x) dx, 9? G Q>. e-H-ol J JI x \ —OQ E / OO 6.23. Доказать, что ряд ак6(х — к): k=—oo 1) сходится в Я' при любых а*; 2) сходится в d?', если |а*| < С(1 + |fc|)m. 6.24. Пусть ф G ^(Д"), 'ф > О, J Ф(х) dx = 1. Доказать, что е~пф —> <5(ят), е —> +0 в @'(Rn); в частности, ше(х) —> 3(х), е —> 0 в S>'(Rn). 6.25. Показать, что функционал & —, действующий по формуле ОО (> ±, уЛ = Vp f ^(х) ~У(0) dx, pG0, \ Хл J J X* — оо — сингулярная обобщенная функция. 6.26. Показать, что: 1) а.(х)Ь(х) = а(0)<5(ж), a G С°°(ДП); в частности, х6(х) = 0, х G R1; 2) х&- = 1; X 3) хт&- = хт~\ т > 1. х 6.27. 1) Пусть обобщенная функция f равна нулю вне отрезка [—а, а]; доказать, что / = ??/, где т] G С00^1) и т](х) = 1 в [—а — е, а + е], е > 0 любое; 2) пусть / £ &'(Rn) и г] е ту(аг) = 1 в окрестности supp/; показать, что f = rtf и f G У'{Rn). 6.28. Доказать, что 6(ах) = <5(з:), а 0. 6.29. Доказать, что (а/)(х+Ь) = a(x+h) f (x+h), где a G C°°(Rn'), f G ®'(Rn), h G Rn. 6.30. Доказать, что обобщенная функция (ptsr^. = J x2 4- y2 J x2 л-у2 ат2+у2<1 a?24-y2>l удовлетворяет уравнению (з:2 + ?/2) Pf ^-5-^—j = 1 в Q>\R?}. X + у
94 Гл. III. Обобщенные функции 6.31. Пусть f G «Z' и Р — полином. Показать, что fP е У. 6.32. Пусть / € (Я1) финитна и Tjix) — произвольная функция из ^(Я1), равная 1 в окрестности supp/. Положим /(*) = Й? z^x+iy. 2тгг у х — z) Доказать, что: 1) /(z) не зависит от выбора вспрмогательной функции ту, 2) /(z) — аналитическая функция при z ё supp /; 3) f(z)=o(^\z—> оо; \|z|z 4) f(x + ie) — f(x — ie) —> /(t), £ —> +0 в ^'(Я1). 6.33. Пусть / G ^'(Я1), supp / С [—а,а] и у G ^(Я1), ??(£) = 1 в окрестности supp/. Доказать, что функция 7(z) = (/(С)л(О el2e), Z = х + iy, не зависит от т], целая и удовлетворяет при некотором тп > 0 и любом е > 0 оценке . . 7(x + ij/) < Сее'а+£)^1(1 + И)т. 6.34. Пусть / G &'(Rn) и supp / = {0}. Доказать, что / однознач- но представляется в виде /(г) = £ CoDa8(x). 0<|a|<W оо 6.35. Пусть ряд a^S^ix) сходится в St'iR1). Доказать, что av = 0 при и > Ро- Р=0 Ответы к § 6 6.1. 1) Сходится к нулю; 2) и 3) не сходятся, если </>(?:) 0. 6.6. Ясно, что /е(т) G S>. Далее, так как fix) непрерывна и фи- нитна, то для любого а > 0 и при всех достаточно малых е > 0 имеем |/(т) — /(?/)| < <т при |т — ?/| < е, х,у G Я1, так что \f(x)~fe(x)\< j\fix)-fiy)\iv£ix-y)dy <<т J а>е(х - у) dy = а, |х-у|<е X G R1. 6.7. 1) Решение. Очевидно, функция 'ф(х) финитна и беско- нечно дифференцируема при х 0. Осталось доказать, что 'ф(х) бес- конечно дифференцируема в точке х = 0. Пусть г/(т) = 1 при |а;| < е. Обозначив , fix) = 4>i?) - > , - kl_ x , получим к
§ 7. Дифференцирование обобщенных функций 95 ^(0) = lim ф(х) = lim 4 ' X-»о ’ ж—>о хт т! V-'(0) = Пт z->0 X = lim х—->О f(x) - ml /(т+1)(0) (т + 1)! и т.д. Таким образом, ф(х) € С00, и, значит, ф € Q. 6.8. 1) Указание. Для доказательства достаточности прове- рить, что = / V’i(z) dx е Q). 6.10. 1) и 3) сходятся к нулю в 2) не сходится в если <р(т) 0. 6.19. 1) 5(ж); 2) <5(ж); 3) <5(ж); 4) тг<5(г); 5) <5(х). 6.21. 1) 27гг<5(2:); 2) 0; 3) 0; 4) —2тгг<5(ж); 5) 0. 6.22. 0. § 7. Дифференцирование обобщенных функций Производной обобщенной функции f из ^'(Л1) называется функ- ционал определяемый формулой = —(/, <р'), <Р € ^(Л1). Каждая обобщенная функция имеет производные любого порядка и т > 1, есть функционал, действующий по формуле В случае п > 1 формула (*), определяющая производную DQf, прини- мает вид (Daf, (/, Da<p), <р е ^(Л"). Пусть S — кусочно гладкая двусторонняя поверхность, п — нор- маль к S и v(x) — непрерывная функция на S. Обобщенную функцию д , „ . — — (доф), действующую по формуле (-~ = / v^^-ds, <р е 0(л"), S назовем двойным слоем на поверхности S. В частности, если S есть плоскость t = 0 в пространстве Rn+1 переменных (ж, t) = (жх, Хг, -- ...,xn,t), то — (и<5(4=О)(з;, t)) обозначим через —i/(rc)<5'(t), так что (-t/(x) <5'(t), <Р) = f dx. Пусть локально интегрируемая в Rn функция fix') такова, что ее классическая производная порядка а = (ai,...,an) — кусочно непре-
96 Гл. III. Обобщенные функции рывная функция в Rn. Регулярную обобщенную функцию, опреде- ляемую этой производной, обозначим через {Daf(x}} (в отличие от обобщенной производной Daf(x)). 7.1. Дать физическую интерпретацию обобщенным функциям: в R1 —<5'(ж), —<5'(ж —ж°); в R3 -2 <5Sr(x - ж0). дп ° дп 7.2. Показать, что (<5(т^(ж — жо,</?(ж)) = (—1)™<//™)(жо), т>1. 7.3. Показать, что в D'tR1): 1) р(х) 6'(х) = -р'(0) ‘Ч®) + Р(0) г«е р(х) € С1 (Я1); 2) = — т<5(™_1)(з:), тп = 1,2,...; 3) хт^т\х) = (—1)™т! <5(ж), тп = 0,1,2,...; 4) xk^m\x) =0, m = 0,l,...,fc-l; 5) а(х)6^т\х) = £2 (—1)л+т^та(™_'’ЧО)<5^(з:), гДе «(з:) € С00^1); j=o 6) хкё^т\х) = (—l)*fc! С^6^т~к\х), т = к, к + 1,... 7.4. Показать, что 6' = ё, где 6 — функция Хевисайда. 7.5. 1) Показать, что в £)'(!&) (в(х) р(х))' = ё(х) р(0) + 0(х) р'(х), где р(ж) е С1 (Я1); 2) показать, что в @'(R2) £ (0(t) р(х, t)) = <5(t) р(ж, 0) + 0(f) где р е С1 (t > 0). Указание. Воспользоваться определением простого слоя (§ 6). 7.6. Вычислить: 1) в'(—х); 2) в^т\х — хо), т>1 целое; 3) 0(т)(хо — х), т> 1; 4) (signa:)(m\ т > 1; 5) (zsignz)'; 6) (|т|)(т\ т > 2; 7) (0(х) sin ж)'; 8) (0(х) cos ж)'; 9) (0(х)хт+кУт\ m > 1, к = 0,1,2,...; 10) (0(ж) хт~к)('т\ т > 1, к = 1, ...,т; 11) (6»(ж)еа:с)т, т > 1. 7.7. Вычислить производные порядка 1, 2, 3 функций: 1) у = |ж| sin ж; 2) у = |ж| cos ж. 7.8. Показать, что (£>“/)(ж + 7i) = £>“/(ж + 7i), /€^', h£Rn. 7.9. Доказать, что обобщенные функции <5,<5',<5",...,<5(™) линейно независимы.
§ 7. Дифференциров ание обобщенных функций 97 7.10. Доказать: 1) — In Ы = где определена в задаче 6.18; ах х х 2) -у- & — = где & Дг определена в задаче 6.25; ах х х‘ х‘ 3) Т-^ = Т7Г<5'(ж)-^^; ах х ±г0 х2 4) =-2<^ Д-, где ах х2 хл оо (^^,^)=Vp у y(z) (о) dx, ipt^R1). —ОО оо 7.11. Показать, что ряд 52 ajt^H37 — &) сходится в ^'(Я1) при любых ад. ~°° 7.12. Показать, что если |ад| < Д|/с|т + В, то ряд 52 ak('lkx СХОДИТСЯ В ^'(Я1). к=-оо 7.13. Пусть f(x) — такая кусочно непрерывная функция, что f € С'1(з: < то) О C^fx > х0). Доказать, что /'= {A*)}+[/W(*-*o) в ^'(Я1), (**) где [/]Жо = /(то + 0) — /(то — 0) — скачок функции / в точке хо- Доказать, что если классическая производная функции /(ж) имеет изолированные разрывы 1-го рода в точках {а;д}, то формула (**) принимает вид /' = {/'(з:)} + 52 1/U‘И® ~ k 7.14. Вычислить для функций: 1) в(а — |т|), а > 0; 2) [х]; 3) sign sinх; 4) sign cost; Здесь [а:] означает целую часть х, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее х. 7.15. Пусть /(а:) — 2тг-периодическая функция, причем /(а;) = = - —0 < х < 2тг. Найти 2 2тг - J 7.16. Пусть f(x) = х, — 1 < х < 1, — периодическая с периодом 2 функция. Найти f(m\ т > 1. 7.17. Доказать, что ОО оо Z «“ = s «(«- к——оо к——оо 7.18. Доказать, что — 52 cos (2^ + 1) х = 52 (~^)kd(x — kir). к=0 к=^—оо 4 - 1389
98 Гл. III. Обобщенные функции 7.19. Пусть /(т) € Соо(т < xo)l~lCcc(x > Tq). Доказать, что в ^'(R1) = {f <™>(т)} + - то) + + [/Ъо'5(т“2)(3;-3;0) + - где со =fW(Xo + 0)-fW(xo-0), А = 0,1, ...,т — 1, — скачок А-й производной в точке хо 7.20. Найти все производные функций: 1) У = Г sin х, х > 0, 1о, «<0; 2)Н ' COST, т > 0, „ 0, т < 0; 3) У = ' X2, — 1 < X < 1, 1о, |г|>1; 4)!,= ' г-Н VI О~ Н VI VI AI нон г-Н 5 + г-н R R 5) У = < ' 0, х < —1, (т + I)2, — 1 < х < 0, 6) у = < „ х2 + 1, х > 0; гЧ СЧ VI VI о" н Н N VI VI VI AI Н О гЧ н сч £7 . 1 - сч ы О Н о о 7) У= • 'sinT, —тг < х < тг, л 11^ 8) У ~ ) 1 0, |т| > тг; ' 1 sinT|, -7Г < Т < 7Г, . 0, |т| > ТГ. 7.21. Доказать: 1) | sin а: |" + | sin т| = 2 52 <5(т — Атг); к— — 2) | cos х\" + | cos т| = 2 52 (т — + * тг t— ™ ' 2 > У Казани е. Воспользоваться задачей 7.14, 3) и 4). Пусть т У2ак(х)у^ = f (*) k=0 — линейное дифференциальное уравнение порядка т с коэффициен- тами од(т) € С'ОО(Я1) и / G ^'(R1). Его обобщенным решением на- зывается всякая обобщенная функция у G ^'(R1), удовлетворяющая уравнению (*) в обобщенном смысле, т. е. (rn \ / т \ ^akyw,tp I = I у, J2(-l)fc(afc^)(A:) I = (/,у>) к~0 / \ к—О /
§ 1. Дифференцирование обобщенных функций 99 для любой ip G ^(Л1)*). Всякое решение уравнения (*) можно пред- ставить в виде суммы его частного решения и общего решения соот- ветствующего однородного уравнения. 7.22. Найти общие решения в ^'(R1) следующих уравнений: 1) ху = 0; 2) а(т) у = 0, где а € Соо(/?1) и имеет единственный нуль в точке х — 0 порядка 1; 3) а(х) у — 0, где а € С и а > 0; 4) (х-1)у = 0; 5) х(х — 1)у = 0; 6) (ж2 — 1)т/ = 0; 7) ху = 1; 8) ху = 9) хпу = 0, п = 2,3, 10) х2у = 2; 11) (ат+1)2?/ = 0; 12) (cos а:) ?/= 0. 7.23. Найти общие решения в уравнений: 1) у' =0; 2) m = 2,3,... 7.24. Доказать, что общим решением в $)'(RX) уравнения хпу(т'> = 0, п > т, является обобщенная функция 771 — 1 П~ 1 772—1 У = 52 + 52 b^k~m\x) + 52 ckxk, k~0 k~m k—0 где ak, bk, ck — произвольные постоянные. 7.25. Найти общие решения в ^'(R1) уравнений: 1) ху' = 1; 2) ху' = 3) х2у' = 0; 4) х2у' = 1; 5) у" = <5(т); 6) (х + 1) у" = 0; 7) (ж + 1)2у" = 0; 8) (х + 1) у'" = 0. 7.26. Доказать, что общим решением в &(R1) уравнения ху = = signa: является обобщенная функция С<5(а:) + г, где Нй' + \ l“£zl / J 1**'1 Iх! |х|<1 |®|>1 7.27. Доказать, что если / € ^'(R1) инвариантна относительно сдвига, т.е. (/,ip} = (f{x\p(x + Ti)), где h — любое вещественное число, то f — const. Указание. Доказать, что f = 0, и воспользоваться зада- чей 7.23, 1). ** Иногда для краткости выражение «удовлетворяет уравнению в обоб- щенном смысле» заменяется выражением «удовлетворяет уравнению в Я>'». 4*
100 Гл. III. Обобщенные функции 7.28. Найти решение в St'^R1) уравнения: af" + bf + cf = тё + пё', где а, Ь, с,т,п — заданные числа. Рассмотреть случаи: 1) а = с = п = 1, b = т = 2-, 2) Ь = п = 0, а = т = 1, с = 4; 3) Ъ = 0, а = тг = 1, m = 2, с = —4. 7.29. Доказать, что система = А(х) у, где матрица А(х) 6 ах € С00 (Л1) имеет в О)' только классическое решение. 7.30. Доказать, что уравнение и' = / разрешимо в ^'(Л1) при любой / е ^'(Л1). Указание. Воспользоваться задачей 6.8, 2). 7.31. Доказать, что уравнение хи = / разрешимо в при любой / € ^'(R1). У Казани е. Воспользоваться задачей 6.7, 1). 7.32. Доказать, что уравнение х3и' + 2и = 0 не имеет решений в ^'(Л1) (кроме 0). 7.33. Пусть 6(xi,X2, ...,Хп) = в(х1)...в(хп)- Показать, что -—5 61 — = <5(з:) = <5(а:1,...,з:п) UX1 UX2- - ОХп в ^'(Яп). 7.34. На плоскости (х, у) рассмотрим квадрат с вершинами >4(1,1), В(2,0), 67(3,1), Р(2,2). Пусть функция / равна 1 в ABCD и 0 вне его. Вычислить f" - f" Jyy J XX 7.35. Пусть область G С R3 ограничена кусочно гладкой поверх- ностью S и дана функция / € C'1(G) П C1(Gi), где Gi = Rn\G. Дока- зать формулу Й = IS) + [/]sc°s(n,3;i)<5,s, г = 1,2,3, в £)'(R3), где п = пх — внешняя нормаль к S в точке а: е S, a [/]s — скачок функции f(x) при переходе извне через поверхность S: lim fix') — lim f (а/) = [f]s(z), x e S. xr—>x x1 — x'eGi x'eG 7.36. Доказать, что если / e C2(G) П C2(Gi), где Gi = Rn\G, то справедлива формула Грина д' = (дМг£]Л + ^(1ЛА)-
§ 7. Дифференцирование обобщенных функций 101 7.37. Доказать, что если f(x, t) € С2 (t > 0) и / = 0 при t < 0, то в Rn+1 справедливы формулы: 1) = {°а/} + ft(x, 0) + <5'(t) /(ж, 0); 2) ^-a2A/ = {^-a2A/}+<5(t)/(T,0). С/С С С/С J Ответы к § 7 7.6. 1) -6(х)- 2) ^"^(т - т0); 3) -^“^(т-то); 4) 2<5(т~1)(т); 5) signa:; 6) 2<5^т_2\т); 7) в(х) cost; 8) <5(т) — 0(т) sinT; 9) 0(т) т*; 10) (т — А:)!<5^-1^(т); 11) б^-^х) + а^т-2\х) +... + ат-1<5(т) + атв(х) еах. 7.7. 1) у' = signT sinT + |т| cost, у" = 2signT cost — |т| sinT, у"1 = 4<5(т) — 3signT sinT — |т| cost; 2) у' — signT cost — |т| sinT, у" = 2й(т) — 2signT sinT — |т| cost, у'" = 26'(x) — 3signT cost + |t| sinT. 7.10. 2) Решение. _ цт ^(g) + ^(~g) e->0 e у(т) - y(0) dx = T2 — lim e—>0 = lim (yl£bsp(°) _ <X-gW(.0)\ _ \ \ e e->o у e —e ) \ x2 ) \ x2 J 7.14. 1) <5(т“1)(т + a) — <5(т-1)(т - a); 2) 52 <5^т~1^(т — fc); QQ k= — ОС 3) 2 52 (-l)*^”1-1^-fc7r); —oo 4) 2 £ (-i)fc+1<5(m-1) (т-(2*+1)£). fc=-oo ' 27 7.15. /' = --!-+ £2 6(x - 2Ьг). 27Г fc=-oo 7.16. /' = 1-2 £ <5(т-2А:-1), /(m) = -2 £ 6^m~1'>(x-2k-l), k=—co k—~ co m = 2,3,...
102 Гл. III. Обобщенные функции 7.17. У казани е. Воспользоваться 7.15. 7.18. У казани е. Воспользоваться 7.17. 7.20. У казани е. Воспользоваться задачами 7.13 и 7.19. [т/2] 1) у' = 6(х) cost, у(т) = 52 (-l)fc-1<5<m~2fc) (ж) 4- S(i)(smi)lm>, k=l т = 2,3,..., где [т/2] — целая часть —; [(т+1)/2] 2) у' = ё(х) — 0(т) sinrr, у<т) = 52 (—1)Л 1 <5^т 2Л+1^(т)4- 4-0(т)(со8т/т\ т = 2,3,...; fc-1 3) у' = 20(1 —|т|)т4-<?(т—1) —<5(т4-1), у" = 20(1 —|т|) — 2<5(т 4-1) — - 2<5(т - 1) 4- <5'(т + 1) - ~ 1), У^ — 52 (3 [(-l)fc~1 х х (х 4- 1) — ti<-m~k)(x — 1)], т = 3,4,...; 4) У' = 6(х) ~ 6(х - 1) 4- 20(т - 1) х, у" = <5(т) 4- ё(х - 1) 4- 2в(х - 1), ^(т) = 2<5(т-з) (ж _ 1) 4- j(m-2) (т - 1) + <5(т“2) (т), т = 3,4,...; 5) у' = 20(т 4- 1)(т 4- 1) - 20(т), у" = —2<5(т) 4- 20(т 4- 1), у™ = -2й(т-2) (ж) 4- 2<5<т~3) (х 4-1), т = 3,4,...; 6) у' = 20(т) х - 40(х - 1) - 20 (т — 2)(т — 2), у" = 20(т) - 20(т - 2) - — 4<5(т - 1), у(-т) = 2<5<т-3)(т) - 2<5<т-3)(т - 2) - 4<5<т-2)(т - 1), т = 3,4, ...; [т/2] 7) у' = 0(тг — |т|) cost, у1-™'1 = 0(тг - |т|)(sinт)(т) 4- (— l)fc х х {<5(т-2^(т 4- тг) — ё(т~2к\х — тг)}, т — 2,3,...; 8) у' = 0(тг — |т|) signт cost, у(т) = 0(тг — |т|) signT sin<m) т — [m/2] - 52 (~1)к{^т-2к\х)+^т-2к\х + -к) + ё^т-2к\х--к)}, m = 2,3,... к=1 7. 22. 1) Решение. Пусть решение у € <3>' существует. Тогда (т/,т<^) = 0 для любой р € О). (*) Найдем это?/. Имеем (?/,</?) = (у, Т)(х) + fp(x) — <^(0)т;(т)), гдет] € ?/(т) = 1 в [—е,е] и ?/(т) = 0 вне [—Зе,Зе], (у,у) = <р(9)(у, 11(х)) 4- (у, х = ip(P)C+(y,xip(x)), (**) где С = (у, rj) и -ф(х) = г?(ж) g (см решение задачи 6.7). В силу (*) (^,т^) = 0. Тогда из (**) имеем (?/,</?) = (С<5, </>) для всякой € &, т. е. у = Сё(х). Осталось заметить, что Сё(х) удовлетворяет уравнению ху = 0;
£ 7. Дифференцирование обобщенных функций 103 2) С <5 (ж) (У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 6.7, 2).); 3)0; 4) С<5(х-1); 5) С^х) + С26(х - 1); 6) Ci<5(ar - 1) + С2б(х + 1); 7) Сад + 8) С6(х) + 3>^; т—1 9) Ck^k\x) (У к а з а н и е. Свести к решению уравнения вида xz(x) = f(x), обозначив последовательно тт-1з/(ж) = z(x), хт~2у(х) = = z(x) и т.д., и воспользоваться результатом задачи 7.22, 1).); 10) Со<5(ж) + Ci<5'(t) + 2^i, где 3? \ — обобщенная функция из задачи 6.25; 11) С0<5(ж+ 1) +Ск5'(^+ 1); 12) £ Ск8 (х - £ - кА k=—oo ' 2 ' 7.2 3. 1) Решение. Пусть решение у € $>' существует, т. е. (?/,<^') = 0 для любой </? € 3>. (*) В силу результата задачи 6.8 (2) любая ip € 3) может быть представ- лена в виде ОО 9з(гс) = <р0(.х) J <р(х) dx + fp{(x), — ОО где </?i G 5-*, а </>о (ж) — любая основная функция из 3, удовлетворяющая ОО условию [ tpo(x)dx = 1. Следовательно, )оо = (у,Ч>о) J <pdx + (y,<pi). —ОО Так как, в силу (*), (у,^) = 0, а (у,ро) — С, то ОО {у^<р) = С J <pdx=(C,tp) для любой ip € — ОО т. е. у = С; 2) Со + С\х + ... 4- Ст-1Дт-1 (У к а з а н и е. Свести к реше- нию уравнения вида z' = f(x), обозначая последовательно = z, ^(m-2) — 2 и т.д., и воспользоваться результатом задачи 7.23, 1).). 7. 25. 1) Ci+C20(a:) + ln|a:|; 2) Ci + С2б(х) - ^; 3) Ci + С26(х) + С3<5(т); 4) Сг + С20(х) + С3ё(х) - 1; 5) Со+ С1ж + в(ж)ж; 6) Со + С1гг + С2в(ж + 1)(ж +1); 7) Со + С±х + С2в{х + 1) + С36(х + 1)(^ + 1); 8) Со + С1Д + С2х2 + С3в(х + l)(rr -I-1)2.
104 Гл. III. Обобщенные функции 7.28. 1) 0(х)е-а:(1 + х); 2) | 0(х) sin2т; 3) 0(х)е2х. У Казани е. Искать решение в виде 0(х) z(x), где z g С2 (I?1) — искомая. 7.34. - 2<5(т-1, у -1) + 2<5(ж - 2, у) + 2<5(т - 3, у -1) - 2<5(гс- 2, у - 2). § 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций Прямым произведением обобщенных функций f(x) € &'(Rn) и g(y) g &'(Rm) называется обобщенная функция f(x) -g(y) из £)'(Rn+m), определяемая формулой (/(*) • 9(у), у)) = (/(т), (д(у), <р(х, у))), <р € &(Rn+m). (1) Прямое произведение коммутативно, т. е. f(x) д(у) = д(у) - f(x) и ассоциативно, т. е. И (ж) • p(j/)] • h(z) = f(x) [p(j/) h(z)]. Если f € .y'(Rn) и g € ^'(Rm), to f(x) g(y) определяется no формуле (1), где <p € 5^(/?m+n), и принадлежит S?'(Rm+n). Производная прямого произведения обладает свойством D°(f(x)-g(y)) = Daf(x)g(y)-, D°(f(x)g(y)) = f(т)-Dag(y). (2) Если p.(x) g и v(x) G &(Rn), то обобщенные функции ц(х) <5(t) и — t'(rr) • <$'(£) называются простым и двойным слоями на поверхности t = 0 с плотностями ц(х) и и(х) соответственно. В случал непрерывных плотностей эти определения слоев совпадают с определениями, приведенными в §6 и §7, т. е. ц(х) 6(t) = pi(x) S(t) и —v(x) <5'(t) = — v(x) <5'(t). Обобщенную функцию 6(at — |ж|), a > 0, из &'(R2) определим равенством <5(at — |х|) = 0(t) 6(at + x) + 0(t) d(at — x), (3) где обобщенные функции 0(t) 6(at + x) и 0(1) 6(at — x) есть резуль- таты линейных замен переменных t' = t, £ = at±x в 0(t') • S(£), т.е. (0(t) d(at + x), ip) = J ip(—at',t')dt', (3i) (6(t) 6(at — x), ip) = J <p(at',t') dt'. о 8.1. Доказать: supp (f(x) g(y)) = supp / x supp g. 8.2. Доказать, что в &'(Rn+1(x,t))' 1) («1(т) • 6(t), <p) = (щ(т), tp(x, 0));
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 105 2) (и0(х) У(1),у>) = - ^о(ж), У Казани е. Воспользоваться формулой (1). 8.3. Доказать: 1) 0t(rc, 1) — простой слой на оси 1 = 0 плоскости (х, t) с плотнос- тью 0(т); 2) — 0tt (х, t) — двойной слой на оси t = 0 с плотностью в(х). Указание. Воспользоваться задачей 8.2. 8.4. Показать: 1) 0(xx) в(х2) ... -0(xn) = в(хх,х2,...,хп)-, 2) 6(хх) <5(т2) •... 6(хп) = 6(х1,х2,...,хп). 8.5. Показать: = ё(хх)-ё(х2) •... -<5(Жп). dxi дх2...дхп 8.6. Показать, что (/ - д)(х 4- хо, у) = f(x + то) • д(у)- 8.7. Показать, что a(x)(f(x) д (у)) = а(х) f(x) • д(у), где а € € С°°(ДП). 8.8. Доказать, что в &(R2)-. 1) f) (at — |ж|) = a6(at — |т|); 2) 6(at — |ж|) = 6(t) 6(at 4- |т|) — 0(1) <5(at — |т|); ох 3) f(at - |т|), = -a (S(at - |т|), 4) (6(at - |т|), у) = - 6(at 4- х), 4- \.ОХ“ / \ их/ + (0(1)<5(а1-т), g). Обобщенную функцию вида f(x) 1(у) назовем не зависящей от у. Она действует по правилу (/(<с) 1(21), ф) = f (/(ж), УУ) dy- (4) 8.9. Показать: 1) f(f(x),<p(x,y))dy = <p(x,y)dy^ 2) £>“(/(т) • 1(у)) = 0, где / е , |о| / 0. 8.10. Пусть д{у) € и tp € 5^(Bn+m). Доказать, что: 1) ‘Ф(х) = (д(у),<р(х 4- у)) € y(Rn)-, 2) DQiP(x) = {g(yRD%(p{x,y)y,
106 Гл. III. Обобщенные функции 3) если tpk —> V, к —> оо в 5^(/?п+т), то V’fc —> V;> к —> оо в ^(Я"); 4) если / € y'{Rn) и де ^'(Rm), то /(ж) • д(у) € .У’'(Д"+т). Сверткой локально интегрируемых в R11 функций /(ж) и д(х) та- ких, что функция h(x) = f \f(.y)9(x ~y)\dy также локально интегрируема в Rn, называется функция (/ * д)(х) = J /(?/) 9(х - У) dy = J д(у) f(x -y)dy = (g* /)(ж). Последовательность {%(ж)} функций из &(Rn) называется сходя- щейся к 1 в RT, если она обладает свойствами: а) для любого шара UR найдется такой номер 7V, что % (ж) = 1 при всех ж G UR и к > N; б) функции {гд} равномерно ограничены в Rn вместе со всеми производными, т. е. \DaT)k(x)\ <Са, xeRn, к = 1,2,..., а — любое. Пусть {%(ж;у)} — любая последовательность функций из S)(R2n), сходящаяся к 1 в R2n. Пусть обобщенные функции /(ж) и д(х) из &'(Rn) таковы, что для любой <р е &(RU) числовая последователь- (/(^) д(у), Т)к(х; у) <р(х + j/)) имеет предел при к —> оо и этот предел не зависит от выбора после- довательности {%}. Этот предел обозначим через (/(ж) д(у),<р(х + у\). Сверткой f * д называется функционал (/ *g,v) = (f(x) • д(у), р(х + у)) = = (/(ж) д(у),Пк(х;у)дз(х + у)), <р е $>(Rn). (5) к—>ос Свертка коммутативна, т.е. / * д = д * f. Дифференцирование свертки. Если свертка / * д существует, то существуют и свертки Daf * д и / * Dag, причем Daf * д = Da(f * д) =f*Dag. (6) Свертка инвариантна относительно сдвига, т. е. /(ж + h) * д(х) = (/ * д)(х + h), he Rn. Достаточные условия существования сверт- к и. I. Если / — произвольная, ад — финитная обобщенные функции в то / * д существует в & и представляется в виде
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 107 = Шж) g(y),'n(y)v>(x+ у)), (7) где Т) — любая основная функция, равная 1 в окрестности supp g. II. Обозначим через £)'+ множество обобщенных функций из обращающихся в нуль при х < 0. Если f,g Е то их сверт- ка принадлежит @'+ и выражается формулой (/ *9,<р) = (/(ж) • д(.у),т)1(х)т)2(у)(р(х + у)), (8) где = к = 1,2. [U, t < — 2£fc, Таким образом, множество &'+ образует сверточную алгебру. 8.11. Пусть f(x) и д(х) локально интегрируемы в Rn. Показать, что свертка / * д является локально интегрируемой функцией, если: 1) / идеТКЯ"); 2) / или д финитна; 3) / — 0 и д = 0 при х < 0; n = 1. В случае 1) показать, что f*g Е Lx(Rn) и справедливо неравенство II/ 8.12. Показать, что в условиях задачи 8.11, 3) (/ * 9)(х) = f f(y) <Ах - У) аУ- (9) 8.13. Показать: 1) ё * / = / * <5 = /; 2) <5(яг — a)*f(x) = f(x — а); 3) ё(х — а)*ё(х — Ь)=ё(х — а — Ь); 4) <5<т) * / =/<т>; 5) <5^т^(т — а) * f(x) = — а). 8.14. Вычислить в ^'(Т?1): 1) в(х)*в(х)- 2) в(х) * в(х) х2; 3) 4) е~ах2 * хе~ах , а > 0; 5) 0(x)x2 *0(х) sin х; 6) 6(х) cos х * 9(х) х3; 7) в(х) sin гг * в(х) shrr; 8) 6(а — |гг|) * в(а — |гг|). В задачах 8.15 8.29 доказать утверждения. та~г 8.15. Если fa(x) = в(х) - е ах, а > 0 — целое, то fa* fp = /1 (OJ а 4-/3- 8.16. Если fa(x) = —е~х2/(-2а2\ а > 0, то fa* fp = f ау2тг v 8.17. Если fa(x) = °—a > 0, to fa * fp = fa+p. + a2) 8.18. supp (/ * g) C [supp / + supp g]. Указание. Воспользоваться задачей 8.1.
108 Гл. III. Обобщенные -функции 8.19. Если f,g G £)'+, то eaxf * еахд = eax(J * д). 8.20. Если f € £>', <р Е то / * </? = р>(х — у)) G Соо(/?1). Указание. Воспользоваться формулой (7) и задачей 8.9, 1). 8.21. Если / G , f * д = 0 для всех <р € & и suppy? € [ж < 0], то / = 0 при х < 0. 8.22. Если свертка / * 1 существует, то она постоянна. 8.23. Для независимости обобщенной функции от Xi необходима и достаточна ее инвариантность относительно всех сдвигов по хi. 8.24. Для независимости f(x) € &'(Rn) от Xi необходимо и доста- к df п точно, чтобы = 0. dxi 8.25. Если / G не зависит от гг;, то и / * д не зависит от Х{. 8.26. Решением уравнения Lu = <5, где лт г1т~~г Л L=d^ + °1(ж) + - + °—di + От(ж)’ аь € в ^'(R1) является и(х) = в(х) Z{x), Z(x) е Ст(Д1) — решение задачи LZ = 0, Z(0) = Д'(0) = ... = Д(т~2>(0) = 0, Д(т~1)(0) = 1. 8.27. Решением уравнения Lu = /, / € $>'+, в &'+ является и = = 6Z * /, где Z(х) — функция из задачи 8.25. 8.28. Решением уравнения Абеля [ = 9 J (ж-£)“ s о где р(0) = 0, д € Сг(х > 0), 0 < а < 1, является функция = sin™ Г д'(£)<Х { ’ тг J (ж’ о У Казани е. Уравнение записать в виде свертки и * 9(х — а) = = д(х) (считаем и = 0 и д = 0 при х < 0) и воспользоваться зада- чей 8.15 при (3 = 1 — а. 8.29. Решением уравнения в(х) cosx * / = д в ^'(Д1), где д G 6 С1 (ж > 0), д = 0 при х < 0, является X f(x) = д'(х) + f s(£) d^- о 8.30. Пусть электрическая цепь состоит из сопротивления R, са- моиндукции L и емкости С. В момент времени t = 0 в цепь включается э.д.с. E(t). Показать, что сила тока i(t) в цепи удовлетворяет урав- нению Z * i = E(t), где
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 109 Z = Lb'ify + /?<$(£) + — импеданс цепи. О 8.31. Пусть f G £)l(Rn+1). Доказать: 1) [<5(ж - ж0) • <5(i)] * /(ж, t) = f(x - ж0, t); 2) [<5(ж - ж0) • <5(т)(0] * /(*, t) = d,nf(xdtmX0’t}: 8.32. Вычислить следующие свертки в &'(Rn): 1) f * 6Sr, где f(x) € С и 6Sr (ж) — простой слой на сфере |ж| = R с плотностью 1 (см. §6); 2)/* ^8Sr, где f € С1; 3) 6Sr * |ж|2, п = 3; 4) 5Sr * е_1ж12, п = 3; 5) 6Sr * sin |ж|2, п = 3; 6) * т---г-тт, п = 3; 7 ь« 1 + |ж|2 ’ 7) 7—г * ибс, п = 3; In т—7 * иёс, п = 2: Ы s’ |ж| ь’ 8) — Д * Д- (ц<5с), п = 3; In |ж| * Д- (i/<5s), п = 2; |ж| дп ' ° 1 дп S — ограниченная поверхность. Определение обобщенных функ- ций fj,6s и — — (v6s) см. в § 6 и § 7. 8.33. Вычислить в !3'(R2): 1) 6(t) х * 6(x)t-, 2) 6(t — |ж|) * 6(t — |ж|); 3) 6{t) 6(x) * 6(t — |ж|). 8.34. Пусть f,g € &'(Rn+1), f(x,t) = 0 при t < 0 и g = 0 вне Г+. Доказать, что свертка g * f существует в S>'(Rn+1) и выражается формулой (5*/,^) = - к12)^ + у>^+ ’’)). <р е ^(лп+1), где ??(i) е C°°(R1), r](t) = 0 при t < — 6 и g(t) = 1 при t > -е (0 < е < <5). 8.35. Пусть g(x, t) е &'(Rn+1), д = 0 вне Г+ и ц(ж) € &(Rn). Доказать: 1) д*и(х) -6(t) = д(х, t)*u(x), причем обобщенная функция д(х, t) * * и(х) действует по правилу (д(х, t) * ц(ж), 95) = (д(£, t) u(y),g(a2t2 - |2) </?(С + у,«)), v е 3>(Rn+1)-, 2) g * и(ж) • (g(x,t) * и(ж)) = * «(ж).
по Гл. III. Обобщенные функции 8.36. Вычислить в &'(R2): 1) в (at — |rc|) * [w(t) <5(rr)], a > О, где w(t) € C(t > 0) и w(t) = 0 при t < 0; 2) 6(at - |rr|) * [0(t) <5(x)]; 3) 6(at - |x|) * [0(t) <5(x)]; 4) 6(at — |rr|) * [6(t) • <5'(t)]; 5) 6(at — |rc|) * [0(ar) <5(£)]; 6) O(at — |х|) * [w(rr) • <$(£)], где ы(х) € C(R!) (У к а з а н и е. Вос- пользоваться задачей 7.5, 2).); 7) 8.37. Вычислить в &'(R2)-. 1) ex<5(i) * —е-1 a>0; 2) 0(i)е4а: * e~x2/(iel- v ' 2ay/^t У 2jrt 3) 6(x)6(t)* ^Le~x2/W. 8.38. Пусть f € C°° (/?”\{0}) и g G &'(Rn) финитна. Показать, что f * g € C°° (fi”\supp g). У Казани e. Воспользоваться формулой (7). 8.39. Пусть / G У' я финитна. Доказать, что / * д £ 5^'. 8.40. Доказать: если f G 9>', то f * а>£ —> е —> 0 в &. У казани е. Воспользоваться задачей 6.24. Введем обобщенную функцию fa(x), зависящую от параметра а, —оо < а < оо, «>о Г(а) . /.SvCO, « < 0, 0, N целое (ср. с задачей 8.15). 8.41. Доказать, что fa * fp = fa+p. 8.42. Доказать, что fo* = <$*, f-n* = *, fn* = 6 *0 *0*. п раз Сверточная операция f-a* при а > 0, а не равно целому числу, называется (дробной) производной порядка а (эту производную обо- значим через и^а\ т.е. и^°д = f_a * u); fa* при а > 0 называется первообразной порядка а (эту первообразную обозначим через U(Q), т-e. и(о) = fa* и). 8.43. Вычислить производную порядка 3/2 от 6(х). 8.44. Вычислить первообразную порядка 3/2 от 6(х).
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 111 8.45. Вычислить производную порядка 1/2 от /(т), / = 0 при х < 0. 8.46. Вычислить первообразную порядка 1/2 от /(т), f = 0 при х < 0. 8.47. Обозначим через S' пространство финитных обобщенных функций со сходимостью /*. —> 0, к —> оо в S', если: a) fk —> 0, к —>• оо в б) существует число R такое, что supp Д С UR при всех к. Доказать теорему: если линейный непрерывный оператор L из S' в & коммутирует с операцией сдвига, то L — оператор свертки, L = fo*, где fo = L6. о 5) 0(х)\х2 — 4 sin2 7) (sh х — sin т); Ответы к § 8 8.8. 1) Решение. В силу формул (3) и (31) = 7 ^^dtdx = —оо |.т\/а — J <р (х, — J dx = a J at',t') dt'+ a J <p(at',t') dt' = - оо ' О 0 = (a#(t) <5(at + x) + afi(t) 6(at — x),(p) — (a6(at — |t|), y>). 8.14. 1) Решение. В силу формулы (9) 6 *0 = J 0(у) 0(х — y)dy = 0(т) J dy = 6(х) х; з 0 2) 0(х) Х--, 4) ^Хе~ах2/2’ 6) 0(а:)(3т2 + 6cost - 6); 8) в(2а — |т|)(2а — |т|). 8.21. Указание. Воспользоваться задачей 8.20, применив ее к <р(—х) и положив х = 0. 8.30. У Казани е. Воспользоваться задачей 1.31. 8.31. 2) Решение. В силу формул (2) и (6) и результатов за- дач 8.4, 2) и 8.13, 2) [<5(аг -т0) <5(m)(t)] * /(T,t) = [<5(т - т0) - <5(t)] * f(x,t) = дт rl dmf(x-x0,t) = W)* /М) = -------------‘ 8.32. 1) f f(y)dSy-, |х—3/|=я 2) Решение. В силу формулы (7) и определения двойного слоя (см. § 7)
112 Гл. III. Обобщенные функции = (Ж> = -f №)( / dS«) dy = й" Ж1=л ' = -! (-/^^“^4 |«|=Д\ R” / \ |«|=й / 3) У |у|2^ = у \x-y\2dSy = |ж-г/|=й |^|=л = УУ (|ж|2 + .й2 — 27?|ж| cos в) R2 sin Odd dip = 4tt1?2(|x|2 + 1?2); о о 4) (е-(л-|*1)2-е-(л+1*1)2у 5) sin (Д2 + |ж|2) sin27?|x|; 6) ZL? in * + d33! + Д ) . уч Г р(у) jq . Ги(у\ ]п 1 (п . Ь} и 1п 1 + (|х|-Я)2 ’ 1} J \x-y\dby’ J^y>ln \x-y\dly' 8) f v(y) -^— j—-—r dSy\ f v(y) In 7—-—r dly. ' J dny |x - J/I y' J dny |x - j/| v f2 - r2 8.33. 1) He существует; 2) 0(t — |ar|) —-—; 3) | в(Г)[в(х + t)(x +1)2 + 0(x — t)(x — i)2 — 2f)(x) x2]. 8.34. Решение. В силу задачи 6.27 f(y,r) = т](т) f(y,r) и д(^, t) = 7?(t) T?(ci2i2 — |£|2) <?(£,£), так как т](т) = 1 в окрестности supp f(y,r) С [г > 0] и (a2t2 — |£|2) = 1 в окрестности suppg(£,t) С С Г+ (Г+ — область a2t2 — |£|2 >0, t > 0). В силу формулы (5) (g*f,<p) = Нт (g(£,t) • f(y,T),T]k(^t-,y,T) + y,t + t)) = К—УОО = lim (7?(t) T](a2t2 ~ |е|2)5(6*) ’ t](t) f(y,r), К—УОО + + t) = lim (s(£>*) • Ж'О.тЯ*)^) x k—tco x T] (a2t2 - |£|2) T]k (£, t; y, r) <p(£ + y,t + r)^ = = (д(Я, t) • f(y, r), r](t) 7](т) T] (a2t2 - |£|2) <p(£ + y,t + r)), так как T](t) т](т) T] (a2t2 — |£|2) <p(£ + y,t + r) G &(R2n+2).
§ 8. Прямое произведение и свертка обобщенных функций 113 8.35. 1) Решение. В силу формулы задачи 8.34, ассоциатив- ности прямого произведения и формулы (1) (д* [«(ж) - у?) = = ‘«(j/)] •<5(т),т?(*)77(т)т7 (a2t2 - |^|2)^ + y,t + T)) = = (д(Я, t) u(y),7](t) д (a2t2 - |£|2) <р(£ + у, t)}. Далее, в силу задачи 6.27 д = 7?(t) д, так как supp<?(£,t) С [t > 0]. Следовательно, (S*[u(i) <5(t)], <р) = = (y&t) • u(y),g(a2t2 - |£|2) <p(x + £, t)) = (g(x,t) • u(x),<f>), так как g (a2t2 — |£|2) <p(x + £, t) € &(R2n+1)-, 2) В силу формул (2) и (6) и формулы задачи 8.35, 1) g*u(x)-6<k\t) = д*-^ (u(a;)-<5(t)) = (g(x,t)*u(x)) = 9 9^к’^*и(х). Ul Ul Ub 8.36. 1) Решение. В силу формулы задачи 8.35, 1) (/,<£>) = (0(at — |ж|) w(r),g (a2t2 — |т|2) <p(x,t + т)) = = ! ш(т) (jj 6(at — |ar|) ip(x, t + r)dx dt^ dr = . t"— \x\/a . = Ц ip(x, — |z|) j u(r)dTjdxdt'. 4 о 7 Следовательно, t—|x|/a I = 0(at — |ar|) J w(r)dr-, о 2) 0(at — |ar|) (t — 3) 0(at — |ar|) (У к а з а н и e. Воспользоваться задачей 8.35, 2).); 4) _0(ot_W)fe 5) 0(t)[f)(x + at)(x + at) — 6{x — at)(x — at)]; 6) a0(t)[<jj(x + at) + oj(x — at)]; 7) 0(at — |rr|). 8.37. 1) 0(t) ex+a2t; 2) 0(t) т(е‘ - 1); z/(27t) 3)ew?b ! = е'И^)-
114 Гл. III. Обобщенные функции 8.43. Решение. 0(3/2) (ж) = /_3/2 * е = Л1/2 * в = /" 2 * о = (/1/2 * еу = а2 dx2 е(х) г <% \ Г(1/2) J £(2e«Vi) = E;(eW^s)- 8.44. Решение. 0(3/2) (*) = /3/2 * 0 = = 0(х) Г (.2/ 0 % 8.45. Решение. /(1« W = л,/г. / = Л'/г. f = (Л/г. /)' = Ate 8.46. f _J(£L df. j V^l § 9. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста Операция преобразования Фурье F[<p] на функциях д> из У опре- деляется формулой w =fe^^dx. (1) Преобразование Фурье F[/] произвольной обобщенной функции f из определим формулой Оператор (Л/Ы = (/,«. (2) (2^™-^’ fey' (обратное преобразование Фурье), является обратным для операто- ра F, т.е. F-1[F[/]] = /, F[F-1[/]] = /, / е У'. Справедливы следующие формулы (/, д 6 •S?'): D“F[f] = F[(ix)af], F[D°f] = (-i£)aF[f], F[f(x - a;0)] = ei(l0’4)F[/], Л/](е + &)] =F [/(t) e^«o)](e), Л/Ы] = i^[/](f), c#o, F[f(x) -g(y)] =F[/](e) -РШ), F[f * 5] = -P[/] (/ или g финитна). (4) Преобразование Фурье Fx по переменной х обобщенной функции f(x,y) е ^'(Rn+m), где х е Rn, у е Rm, определим формулой
§ 9. Преобразование Фуръе обобщенных функций 115 (F^/fr, ?/)](£, у), </?(£, у)) = (f(x,y), F[cp^,y)](x,y)), <р е 5%Rn+m). 9.1. 1) Пусть /(ж) е C^R1), к > О, и f |Ж(я)| dx < оо, а < /с; доказать, что F[/] е Cf-R1] и |£|*|F[/](£)| < а; 2) пусть /(т) £ Ck(Rn), к > 0 и |т|п+/1£>“/(т)| < Ь, |а| < к, I > 1 целое; доказать, что F[/] е и |£|ЖПМ)1<ь, 1/3|<г-1. 9.2. Доказать, что / = F-1[F[/]], где F-1 определяется форму- лой (3), для следующих /: 1) /(т) е С(Я"), |<+е|Ж)1 < а, |£|"+£|Д[Ж)1 < о, £ > 0; 2) /(т) е ^(й1), у < ОО, а < 2; 3) fix) е Cn+1(Rn), |£»“/(т)||т|п+1 < а, |а| < п + 1. Проверить, что случай 3) вытекает из случая 1). 9.3. Доказать, что ^DaF[<p](£) = il“l+^lF[P^(a;aV)](^), <р е У. 9.4. 1) Доказать, что если g .У, той F[<p] 6 ,.5^; 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из У в т. е. что из уз* —> <р, к —> оо, в У следует —> F[<p] в У. У казани е. Воспользоваться задачей 9.3. 9.5. 1) Доказать, что если / € У, то и F[/] € 2) доказать, что операция преобразования Фурье непрерывна из У в У, т. е. из Д —> /, к —> оо, в У следует F[/*] —> F[/] в 5^'; 3) доказать, что если f — функция медленного роста, то F[/](C)= lim I f(x)e^dx в R—tco J |x | <R 4) доказать, что если / € L2(Rn), то F[f ] € L2(Rn) и F[/](£) = lim У f{x)F^dx в £2(Лп) |х|<Я (теорема Планшереля); 5) доказать, что если / и д G L2(Rn), то справедливо равенство Парсеваля , , (2Tr)"(/,P) = (F[/],F[P]); 6) доказать, что если f € Fi(7?n), то F[/] € Доо(Я”) A C(Rn) и выражается формулой
116 Гл. III. Обобщенные функции « = //(*) e^dx, IIf[/]||£tom < ||/||£im w о, ici oo (теорема Римана-Лебега), F[f * ,g] = F[/] F[g], f,g e Li(Rn); 7) доказать, что если / € У' и <p e <5^, то W = W[d; 8) пусть / G LifJZ1) — кусочно непрерывная функция такая, что {Г(х}} — также кусочно непрерывна; доказать формулу обращения f(x+O) + f(x 0) = 1 ур 7 F[/](f) е-*х<х, xeR1. 2 2тг J 9.6. Доказать в 5^(йп): 1) F^z-zo)] = е^°’; 2) F[<5] = 1; 3) /[1] = (2тг)"<5(£); 4) + + = СО8т0е, п = 1; 5) Fp(E-EO)-<5(x + xo)] = gin п = 1 9.7. Доказать в 1) F[£>“<5] = (-i£)“; 2) Г[та] = (2тг)п(—г)1"1Паё(£). 9.8. Вычислить преобразования (n = 1): 1)0(Я-И); 2) е-“2ж2; 3) 5) f(x) = 0 при х < 0, /(ж) = к, Фурье следующих функций е“2; 4) e~ix2; к<х<к+1, к = 0,1,... 9.9. Доказать (п = 1): 1) Г[0(я:)е-аз:] = —, а > 0; а — г£ 2) F [0(-а:) еаз:1 = -А— а > 0; L v ' J a + iC 3) F [e’“W] = ^72- a>°5 4) F I = 2тге-а1«1, а > 0; 6>4eWe’“‘w] = (J^F a > 0, a > 0. 9.10. Воспользовавшись формулой Сохоцкого (см. задачу 6.20) и результатами задач 9.5 и 9.9, 1) и 2), доказать: 1) F[0(ж)] = тг<5(е) + г &> 2) F[0(-a:)] = тг<5(£) - г &> |.
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций 117 9.11. Вычислить преобразования Фурье следующих обобщенных функций (п = 1): 1) к =1,2,...; 2) в(х-а); 3) signa;; 4) 5) 6) |т|; х х ± гО 7) в(х)хк, = 1,2,...; 8) |аг|\ к = 2,3,...; 9) xks3 к = 1,2,...-, 10) хк6, к— 1,2...; 11) хкё^(х), т>к-, 12) & Д, где & Д определена в задаче 6.25: х2 ж2 13) S? Д, где 3? Д определена в задаче 7.10; х3 х3 оо 14) 52 akS(x - к), |dfc| < Г(1 + |/г|)т; к~—оо 15) в^^2\х) (определение дробных производных см. в §8). 9.12. Доказать, что где - 2с - 2 in iei, 1 оо /1 — cos и , Г COS и , Г.. --------du — / -----du — постоянная дилера, и J и о 1 а & 7—г (х G R1) определена в задаче 7.26. 9.13. Доказать, что = ~2?г1п |е|" 27ГС°’ где обобщенная функция S6 =5—, х Е R2, определяется формулой dx + [ уУ dx, J И2 |z|>l 1 оо Co = yiz^)du_y Л£п)^ и Jo — функция Бесселя. 9.14. Решить в У' интегральное уравнение У u(£) cos^xdx = 0(1 — х). о 9.15. Вычислить интеграл sin ах sin Ьх , ------5----- dx. хл
118 Гл. III. Обобщенные функции = 2тг^|^, £eR2. У казани e. Воспользоваться равенством Парсеваля и зада- чей 9.8, 1). 9.16. Доказать, что F [ е(д~ И) Lv/-R2-|2|2. 9.17. Доказать: Г 1 1 О—2 К1Л-” г 2) F[|a:|"*] = 2п-/гтгп/2 — Г У казани e. Воспользоваться формулой (2) при f = |ж| “k в (R1} и </, = e-l^l2/2. 2тгг л с С = £ + гт]. 9.18. Доказать, что F 9.19. Вычислить преобразование Фурье обобщенной функции -—- 6S , п = 3, определенной в §6. 47Г.К R 9.20. Методом преобразования Фурье доказать в .5^'(Я1), что: 1) у — c0<5(a:) + ci<51(a:) + ... +cn_i<5(n-1\a:) — общее решение урав- нения хпу = 0, п = 1,2, 2) 52 akXk + 52 bk6(x) x’n-k-i £2 ck№~m\x)—общее реше- /с=0 /с=0 k=m ние уравнения хпу^т'1 =0, п > тп. У казани е. Воспользоваться задачами 7.23, 2) и 7.24. 9.21. Доказать в ^'(Rn+1(x, i)), где (x,t) = (xi, ...,xn,t): 1) F4<5(T,t)] = 1(e) 6(t); 7 L dtm 3) Fx[0(at — |а:|)] = 20(t) sin a > 0, n = 1; 4) Fx[f(x) <5(t)] = F[/W(<), / e y\Rn). 9.22. Доказать в У'(Rn+my 1) D°D0Fx[f(x,y)] = Fx[(ixy>D0ft, 2) Fx[DSD0f] = (-i£rFx[D?f]. 9.23. Доказать, что в ^\R2) Le-^2/(4a2t) 2а->/тг1 У казани е. Воспользоваться формулой (3) и задачей 9.8, 2).
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций 119 9.24. Доказать, что в ,У’,(Л"+1) F-1 [0(0 e-“2|«l2'] = 0(t)f —2_уе-1’12/(4“2‘). * L J '2аутг£/ Указание. Воспользоваться задачей 9.23. 9.25. Доказать, что в У'(R2) У Казани е. Воспользоваться задачей 9.8, 1). 9.26. Доказать, что в ^'(R3) sin a|e|t 0(at — |а:|) 2тга yJaSt2 — |а:|2 Указание. Воспользоваться задачей 9.16. 9.27. Доказать, что в J/’'(Я4) р-i Li sin°l£Kl _ л « [ ( )~4ёП “) (здесь Sat = {я : И = at}). Указание. Воспользоваться задачей 9.19. 9.28. Пусть / — финитная обобщенная функция и 7) — любая функция из равная 1 в окрестности носителя /. Доказать, что функ- ция/(z) = (/(£), »/(£)ег(г’0), z = x + iy: а) не зависит от ту; б) целая; в) 7(ж) = F[/]. 9.29. Доказать, что если / и д финитны и / * д = 0, то либо f = 0, либо д = 0. Указание. Воспользоваться задачей 9.28. 9.30. 1) Доказать, что F[<5(ar) 1(у)] = (2тт)т1(£) <5(т?); 2) обозначим «5-функцию на гиперплоскости (а,х) — 0 простран- ства Rn через <5((а, х)), так что (<5((а,х)),<р) = J <pds, <р G 3)(Rn). (а,х)=0 Доказать, что F[«5(aia;i + 0,2X2)] = 2тг«5(а2^1 — 01^2)- Ответы к § 9 9.8. 1) 2^^; 4) 2) У7е-42/(4а2). з) а
120 Гл. III. Обобщенные функции 5) Решение. оо &+1 /[/] = А: / eix^dx = £ {е^ - 1) = /с=1 к=1 qq - ~ 1 ' оо gift? — ряд сходится в так как —— fe=i fe2 2) 7г<5(^) + ге“€^|; 9.11. 1) (—i£)k; 4) Z7rsign£; 52 keikt = -- k=l :*-1 d3 сходится равномерно в 1 Г 5) 4=гтг + Z7rsign£; 3) 2i^|; d3 dp* 2^ к2 к=1 R1. 1 e; 8) (—г)к2лб(к\£), к четное, 9) 2(-i)k~1^k-1\^; 1 ТА ( _i\k+m m- cm- к. 1 4 (m — k)f. ’ 13) Решение. задачи 9.11, 12) w , k нечетное; 10) 0; 12) -тг|С|; :. В силу задачи 7.10, 4), второй из формул (4) и »Х1£1. 2 ’ p [ cp> J_1 = p Г _ 1 jL cp> _L1 = L x3 J L 2 dx ad 2 14) Решение. В силу результатов задач 6.25, 2), 7.12 и 9.6, 1) ОО " ' f 52 ak$(x ~>^(О 52 ak$(x - A:),F[<p(£)] = = 52 akeiki,4>(£) , V е ^(Я1); 15) Решение. ?(i/2)j = f[/i/2 * е] = F^f>/2 * е] = f[(/i/2 * еу] = = F 0аГ1/2 о --7W * О Г e A 1 ------ eixidx. 2 9.14. 9.15. 9.19. sin£ ~Г' min(a, b). sin Я|£| о
§ 9. Преобразование Фурье обобщенных функций 121 9.20. Решение. Из F[a:”?/m)] — 0, в силу первой из формул (4), F(”) = 0. Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2), 9.7, 2) И формулы (3) = о0+О1£ + ...+оп_1С \ У(тп) = /Зоё(х) + А ад + ... + /Зп-тё^Хх). Отсюда в силу результатов задач 7.23, 2) и 7.6, 10) 771 — 1 771—1 71—1 у = Е akX>; + Е мф™-*-1 + 53 Скё<к~т\х). к=0 /с=0 к~т 9.21. 1) Решение. В силу формулы (5) и определения прямого произведения (см. §8) (Fx[5(o:, t)](C, t), </>(£, t)) = (<5(z,t),Fe[<p(f,t)](a:,t)) = = [t>(x,t),f = f адо)^ = (ко •<$(*), ; 2) Решение. В силу формулы (5) и определения производной обобщенной функции (см. §7): = (-1)“/МЛ dm<p(£,t) dtm )=(^>.[л*.<)1.4 sin 1|£ | ЛёГ при t > 0 и п = 3 вычисляется так: sin 1|£| ЛёГ У eir₽ cose sin 6M0 dp = 0 R - I COS t J 0 r R — — ^lim J J cos tp elpudp du = tp j elpudu dp — ----lim - Г .R—>сю ut J J [ cos p(u — t) + cos p(u + t)] dp du = sin R(u — t) । sin R(u +1) и — t и +t du = 27f2 5 at 27f2 27r2 x ( \ = - t) = —<5(r - i) = — Ш), У казани e. При переходе к пределу воспользоваться зада- чей 6.19, 4). о
122 Гл. III. Обобщенные функции §10. Преобразование Лапласа обобщенных функций Обозначим через 5^_(а) совокупность обобщенных функций f(t) из &'(Rly), обращающихся в нуль при t < 0 и таких, что /(t)e-crf G У при всех о > а. Преобразование Лапласа обобщенной функции / из ^'+(а) определяется равенством а>а. При этом f называют оригиналом, &— изображением и этот факт записывают так: f(t) <—> ^(р), а > а; здесь р = о + iw. Функция .^(р) аналитична в полуплоскости а > а и удовлетворяет следующему условию роста: для любых е > 0 и сто > а существуют такие числа с6 (сто) > 0 и т = т(сто) > 0, что \&(р}\ < Се(ст0) е-(1 + |р|Г , CT > CT0. Справедливы следующие формулы: CT> a, m = 0,1,. <—>pmJ?(p), CT> a, m = 0,1,. Ж eAf •<—> &(p — A), ст > a + Re (A); /(fct) й-l Дч STI'S q V ka, k > 0; <—> e Tp^(p), ст > a; f(m) (t) ^^2, ct> pm a, m = 0,1,. где /(mj — m-я первообразная f из ^(a); (/ *p)CO <—> > a, если g(t)-f-^-^(p), CT > a; 1 fd .m+2 /(t) = _L (£ _ a) / 2тгг \dt ) J a—ioa dp (p - c)m+2 P — формула обращения для преобразования Лапласа, интеграл не за- висит от ст > сто > а, т — т(сто). В задачах 10.1-10.9 и 10.11-10.14 доказать утверждения. 10.1. Если f(t) — локально интегрируема в R1, f(t) =0, t < 0 и f(t) = O(eat), t —> оо, то f € ^.(а) и <^(р) = J /(£) e-pfdt, ст > а. о
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций 123 10.2. Если f G f(t) <—> а > а и функция .^(сг + гш) абсолютно интегрируема по ш на R1 при некотором а > а, то в этом случае формула обращения принимает вид сг+гос) /(i) = f eptdp. Z7H J 10.3. 1) ^(щ) С ^+(а2), если щ < а2; 2) если f G У' Г) то f G 10.4. Если / G ^_(а), то: 1) pf G где р — полином; 2) f(kt) G @'+(ka), k > 0; 3) f(t) ext G ^_(a + ReA). 10.5. Если f,g G ^_(a), to f*g G 5^_(a) и справедливо равенство (/ * 9) = (/e <Tf) * (ре-<7‘), о > a. Указание. Воспользоваться 8.20. 10.6. Если / G ^_(а), то: 1) /(t - т) G ^+(а), т > 0; 2) G ^.(а), m = 1,2,...; 3) /(m) е ^+(а), m = 1,2,... 10.7. 1) 6(t) <—> 1; 2) -r) 4 —>pme~Tp, > 0, p любое, m = 0,1,...; 3) 0(t) a > 0; 4) 0(t) eiljt ч—> ——, a > 0; P — UaJ 5) 0(t) e-iut G- 1 p 4- гш U< Ui l/llzl VMtj b \ f o Q 5 17 p2 + ai2 7) 0(t) sint «— ’ Г(т) 9) 0(t)Jo(t)^- w > p2 + (J2 ’ a> 1 > (P - A)m 1 x/1 +p2’ 0; , (j > ReA, m = 0,1,...; > 0. 10.8. Если f — функция из ^(а), f G Сп (t > 0) и f <—> то {/(n)(t)} <-^p"^(p)-J2/(fc)(+0)p"-fc-1, о>а. k=0 10.9. Если f и д — функции из ^(а), д G С1^ > 0) и f <—> д «—> то t f f(r){g'(t - г)} dr <—> р^(р) &(р) ~ s(+0) &(р), о >а. 0 t di lr. 10.10. Решить уравнение L — +Ri+ — / г(т) dr = e(t), где e(t) — dt G J 0 локально интегрируемая функция, e(t) =0, t < 0.
124 Гл. III. Обобщенные функции 10.11. Фундаментальное решение <?(t) уравнения <?(m) + + ... + ат&= ё существует и единственно в классе (а) и удовлетворяет соотноше- нию 1 где в(р) = рт + aipm 1 + ... 4- ат, а = max Re Aj, Aj — корни полино- ма Q. 3 * * * 10.12. Если fa(t), —оо < а < оо, — обобщенная функция, введен- ная в §8 (с. 110), то: 1) fa(t) <—> —, о > 0, где ра — та ее ветвь, для которой ра > 0 ра при р > 0; 2) Ы)е»^^;а>Ш. 10.13. Если |a*;| < с(1 + fc)m, к = 0,1,..., то У^ a*<5(t — к) <—> ake~kp, <г > 0. fc=0 fc=0 10.14. Если f(t) — Т-периодическая функция, абсолютно интег- рируемая на периоде, то Т 0(f) f(t) j- /(i) e~ptdt, а > 0. о 10.15. Найти решения уравнений в классе ^.(а) (при надлежа- щем а): 1) (0 cost) * &= ё(р); 2) (Otcost) * ё(р); 3) ^+2(вк»().^=««); 4) ( ё * U1 + ё * U2 =0. 10.16. Пусть <91 — решение уравнения г; * <А — в в 5^_(а), причем <?1 — локально интегрируемая функция, £) € С1 (t > 0). Доказать, что решение в ^(а) уравнения д*и = f, где f — локально интегрируемая функция из @'+ (а), выражается формулой t U(t) = ^(+0) f(t) + у f(r){<%(t - г)} dr. о 10.17. Вычислить преобразование Лапласа функции /ч ГО, t<0, a(t) = < , v 7 12fe, k<t<k + l, fc = 0,l,... oo 10.18. Решить уравнение x * a = 52 2kd(t ~ к) в ^_(1п2); функ- ция a(t) определена в задаче 10.17. —°
§ 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций 125 t 10.19. Доказать формулу: sint = f J0(t — т) Jo(j) dr о 10.20. Решить следующие задачи Коши: 1) и' + Зи = е 2/, 2) и" + 5и' + 6и= 12, ( и' + 5u + 2v = е~г, 3) < , (. v + 2v + 2и = О, ц(0) = 0; ц(0) = 2, ц'(0) = 0; u(0) = 1, v(0) = 0. Ответы к § 10 10.3. 2) Решение. Пусть г]— любая функция класса С00 (Д1) такая, что T](t) = 0, t < —S, rj(t) = 1, t > — <5 > 0 любое. Тог- да при всех <т > 0, T](t) e~at е -У’, f - T)f, и поэтому /(t) e~nt = = G 10.6. Указание. Воспользоваться задачей 10.5 и формулами, соответственно: 1) /(* - т) = / * <5(t - г); 2) /(-) = / * <5^; 3) т раз 10.7. 9) Указание. Воспользоваться уравнением Бесселя. 10.10. ~ у [p+ep+(f~T> - e(r)d.T, р± = ± va 0 d = R2-—. С 10.15. 1) <5'(t)+0(t), а = 0; 2) <5"(t) + 3<5(t) + 40(t) sht, а = 1; 3) <5(t)-20(t)ef(l-t), а = 1; 4) ui(t) = — <5(t) — Oft) ef, u2(t) = 0(t) ef, а = 1. 10.16. У казани e. Воспользоваться формулой задачи 10.8. 1 — е~р 10.17. I-------г, <т>1п2. р(1 - 2е-₽) 10.18. k=0 10.19. Указание. Воспользоваться задачей 10.7, 9). 10.20. 1) e~2f - e-3t; 2) 2; 3) ^/ + 1^' + йе"бг’ +
126 Гл. III. Обобщенные функции § 11. Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов Обобщенным решением в области G С R" линейного дифференци- ального уравнения L(a;,£))u= 52 аа{х) Daи = f (х), (*) |а|=0 где аа(х) G C°°{Rn}, f G &, называется всякая обобщенная функция и, удовлетворяющая этому уравнению в G в обобщенном смысле, т. е. для любой <р G £}, носитель которой содержится в G, имеет место равенство где L*(x,D}<p = £ (-l)lQl£>Q(aQ</>). |a|=0 Обобщенная функция и принадлежит классу CP(G), если в облас- ти G она совпадает с функцией uq{x) класса CP(G), т.е. для любой supp <р € G, имеет место равенство (и,(р) = J ио(х)<р(х) dx. Пусть / € C(G) Г) &. Для того чтобы обобщенная функция и удовлетворяла уравнению (*) в области G в классическом смысле, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классу C’"‘(G) и удовлетворяла этому уравнению в обобщенном смысле в области G. Фундаментальным решением (функцией влияния) линейного диф- ференциального оператора ТП L(D) = 52 aaDa |a|=0 с постоянными коэффициентами аа(х) = аа называется обобщенная функция S, удовлетворяющая в Rn уравнению L(D)S=6(x). У всякого линейного дифференциального оператора L(D) сущест- вует фундаментальное решение медленного роста и это решение удов- летворяет алгебраическому уравнению L(-i£)F\S\ =1. Пусть f G такова, что свертка S* f существует в . Тогда и = S* f есть решение уравнения L(D) и = f. Это решение единственно в клас- се тех обобщенных функций и, для которых существует свертка с S.
§11. Фундаментальные решения дифференциальных операторов 127 11.1. Доказать, что единственное в £)'+ фундаментальное решение оператора d”1' —------h G1 —---- dxrn dx”1-1 + • •. + выражается формулой задачи 8.26 (определение S>'+ см. §8). 11.2. Доказать, что функция Дж) является фундаментальным ре- шением оператора: 1) <?(х) = 0(х)е±ах, 2) £(х) = 0(х) + а2; а ах* 3) Дж) = 0(х) —, -Д - а2; а ах* „т— 1 / л 4)^)=^)^-^, (АТа) т = 2,3,... 11.3. Найти единственные в &+ фундаментальные решения сле- дующих операторов: 1) Т^+4Т-; 2) тт-47- + 15 3) й + 3^ + 2; dx2 dx dx2 dx dx2 dx d2 . d - r-\ d3 з . d3 „ d2 o d dx2 dx dx6 dxA dx2 dx 7) di <S- 81 d* 2^+1 7)d^ 8) d^~2d^ + 1- 11.4. Доказать, что: 1) Дм) = — = —;—-—г — фундаментальное решение операто- 7r.z тг(а: + гу) и о 5 1 ( д . д \ ра Коши-Римана — = - | -—I- г — ; oz 2 \дх ду! 2) Дж,?/) = 7гГ(/с) Z к = 1,2,..., — фундаментальное решение оператора 2zk~lzrn~1 3) Дж,?/) = —- In\z\, к,т = 1,2,..., — фундаментальное 7Г1 хТ^') Qk+m решение оператора т ; 4) Дж, у) = —е — фундаментальное решение обоб- 2тгг у — лх д д щенного оператора Коши-Римана ——F А — + и, Im А 0. ох оу 11.5. Доказать, что Дж) = — In [ж| — фундаментальное решение Z7T оператора Лапласа в R2. Выяснить физический смысл.
128 Гл. III. Обобщенные функции 11.6. Доказать: 1) <^(х) =---г — фундаментальное решение оператора Лапла- 4тг|ж| са в Л3; выяснить физический смысл; 2) Дж) = — 7----—7, п = 3,4,..., — фундаментальное ре- ' ' z tn 9 I /Г -* 2тгп/2 “ площадь Г(п/2) |п-2 » шение оператора Лапласа в Rn, где стп = j поверхности единичной сферы в Rn; 51 . (—1)*Т(п/2 —/г) . \2k~n . 3) £n,k(x) = — фундаментальное решение итерированного оператора Лапласа Д* при 2к <п, к = 1,2,..., <^n,k(x) = 22fc~1r(fc) к 1П П = 2’ У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 9.17, 2). eiAcla=l - е~ <fckl 11.7. Доказать, что Дж) = — и Дж) = - фунда- 4тгр| 47г|а:| ментальные решения оператора Гельмгольца Д + к2 в R3. 11.8. Доказать, что если функция и(х) удовлетворяет в R3 урав- нению Ди + к2 и = 0 и условиям излучения ц(ж) = О(|ж|-1), ~ — гки(х) =о(|ж|-1) при |ж| —> оо, то и = 0. 11.9. Доказать, что фундаментальными решениями оператора Гельмгольца Д + к2 являются функции: 1) Дж) = -г-Н^(к\х\) и Дж,j/) = г-Н^(к\х\) в R2, где Н{ок}, к = 1,2, — функции Ханке ля; 2) Дж) = и Дж) = в R1. 11.10. Доказать, что фундаментальными решениями оператора Д — к2 являются функции: 1) Дж) = — ^—]—г в Л3; ’ 4тг|ж| 2) Дж) = - Ко(£|ж|) в Л2, где Ко(£) = — функция Z7T Z Ханкеля мнимого аргумента; 3) Дж) = в Я1; / 1 \п/2 / t \«/2—1 = (Д) Kn/2-dk\x\)BRn.
§11. Фундаментальные решения дифференциальных операторов 129 11.11. Доказать, что если Si(x,t) — фундаментальное решение д tk~1 оператора — + L(DX), то —ууг Д(гг, t) — фундаментальное решение Ot 1 { гъ ) / д Лк оператора + L(DX) 1 . 11.12. Доказать, что: 1) <^(ж, t) = -—^1=—e-kl2/(4a2t) — фундаментальное решение (2аутг<)" оператора теплопроводности — — а2 А в Rn; выяснить физический смысл; 0(1)1 -Ы2/(4а2Л ж 2) fc) 6 '' '—фундаментальное решение операто- (л -Л — — a2Aj в Rn, к = 1,2,... У казани е. Воспользоваться задачей 11.11. 11.13. Доказать, что <?(ж,1) = —ect (®+bt)2/(4o2t) — фунда- 2аутг1 а 2 а2 , а ментальное решение оператора —— а —— о —-------------с. .. п ot дх2 дх 11.14. Доказать, что: 1) <Fi (х, t) = — e4g2/(4t) — фундаментальное решение 2y/7vt Q q2 , оператора Шрёдингера i — + (У казани е. Воспользоваться ot охл \ формулой у elu2du = е17Г^4.^; ° г>\ П / 4\ 10(t) ( т0 \”'2 J • l^l2 / , ™ 1 ж 2) <?„(т,1) = -—) ехр|г^—(т + гО)-т]|-фун- * д h2 . даментальное решение оператора in — ч------А; п любое; at 2пю 0(t)tfc-1 ( f |s|2 тгп .\1 3) ----т=-----exp < ±1 + — i >, к = 1,2,..., — фундамен- ’ (2ау/^1)пГ(к) 1 \4ic2t 4 Д’ ’ ’ ’ / a тальное решение оператора у— ± га2А) в Rn (Указание. Вос- пользоваться задачей 11.11.). 11.15. Доказать, что: 1) <?i(a:, t) = ^-0(at — |.т|) — фундаментальное решение одномер- ного волнового оператора Оа; выяснить физический смысл; 2) — фундаментальное решение дву- мерного волнового оператора Qa, х = (xi,X2)', выяснить физический смысл. У казани е. Воспользоваться задачей 9.26. 5 — 1389
130 Гл. III. Обобщенные функции 11.16. Доказать, что: 1) <?з(М) = = ^-S(a2t2 - |ж|2), где Sat : |т| = at, ЧТГЯ С £71CL является фундаментальным решением трехмерного волнового опе- ратора х = (xi,X2,xi)-, выяснить физический смысл (Указа- ние. Воспользоваться задачей 9.27.); 8 1 5 O(at — |ге|) — фундаментальное решение оператора О2 в R3 4-, (a2t2 — |ж|2) * 2 в {at — |ге|) — фундамен- 1 7г22'=-1а2'=+1Г(А:)Г(Л:- 1) 2) 3) тальное решение оператора в Rn; 4) фундаментальное решение оператора в R4 можно предста- вить в виде I <%СМ) = 8^з 1Ж1)- 11.17. Доказать, что ____________1_____________ (2а)’>-2тг<”-1)/2Г □£п~3)/2[^М(а2*М*|2)], п > 3 нечетное, £п{х,б) = < ________1 п(»-2)/2 0(at- |Д) (2а)"-1тгп/2Г_________________° L л/«2*2 ~ М2- п четное, является фундаментальным решением волнового оператора Од. У казани е. При нечетных п воспользоваться формулой и задачей 9.27; при четных п применить метод спуска по перемен- ной Хп+1 11.18. Доказать, что <f(x,t) = ~ И) eb(-at~x^^2a2^ — фун- даментальное решение оператора m , <Э Ь fl □а-Ь---------—, где а,Ь>0. дх a dt У казани е. Воспользоваться формулой cv-f-ioo —[ -—dz = O(r), а > 0. 2т J z v ' a—ioQ 11.19. Доказать, что: 1) <?(x,t) — —O(t)O(—x)eat+bx — фундаментальное решение опе- ратора q2 g Q t „ ssi - а я— ь к; + а°> где ь > 0 ox dt дх dt (см. указание к задаче 11.18); 2) tf(x, t) = 0(t) в(х) Iq (2ту/ху') — фундаментальное решение опе- З2 о 02 ратора „ _ - в R . dxdt
§11- Фундаментальные решения дифференциальных операторов 131 11.20. Доказать, что фундаментальным решением оператора □о — т2 является функция <фг, = 6(at - |ж|) 7 Zm v/a2t2_x2'\ 2а \ а / 11.21. Доказать, что фундаментальным решением оператора Клейна-Гордона Фока По + т2 являются функции Дж,t) = e(at~ И) Jo fy/a2t2 — х2\ п = 1; 2а \ а / Дж, t) = е(а<-И) cos(tt ^Q2f2 ~ж2) 2tt<i2 y/a2t2 — x2 n = 2; ДЖ,*) = £М 5(a2t2 -|t|2) - 2тга v 7 71 = 3, - ~ O(at - |z|) k a2_....... = 4тга2 1 17 ^a2t2 _ |ж|2 где Jo, Ji — функции Бесселя. 11.22. Доказать, что фундаментальными решениями телеграфно- го оператора По + 2т — являются функции Дж, t) = e~mtf)(at - |т|) 10 (т^~ ~2 тг = 1; е mt6(at — Ircl) ch (т x/t2 — lxl2/a2 <£(x,t) =---------------' .' у у '_!2_ 2yra2y/t2 — \х\2 /а2 п = 2-, £(x,t) = e~mtS(a2t2 - Ы2) - 2тго v 7 me-mt6{at - |ж|) h (т y/t2 - |ж|2/а2') — —-------------------------------2 4тга3^/12 — |ж|2/а2 где /о(£) = Jo(^), -МО = —*Л(«0 — функции Бесселя мнимого ар- гумента. У Казани е. Воспользоваться задачей 11.21. 11.23. 1) Доказать, что <^(т, t) = v0(t) е avt6(x — vts), где (0(£) e~avt6(x — vts), i)) = J e~avt<p(yts, t) dt о — фундаментальное решение оператора переноса ± + (s,grad<^) + aS= 8(х, t), |s| = 1, v > 0, a > 0; ti = 3; 5»
132 Гл. III. Обобщенные функции 2) доказать, что ' / I I / \ \ ф = Ож т ~ я W=/ e~ap^ps} dp — фундаментальное решение стационарного оператора переноса (5, grad<^°) + а<^° = й(ж), п = 3. 11.24. Найти фундаментальное решение уравнения Z * S = 6, где Z из задачи 8.30. 11.25. Доказать, что если £{х, t) — фундаментальное решение оператора переноса L(D) = ai—----|-...-|-ап —-F а, |а| ф 0, oxi дхп то r(fc)|Qp(fe-i) ^1X1 + + о — фундаментальное решение оператора Lk(D). У казани е. Воспользоваться индукцией по к. Пусть f(x,t) е @'(Rn+1') и <р(х) е (Л"). Введем обобщенную функцию (/(ж, t), </?(ж)) € ^'(R1), действующую на основные функции ф € ^(Л1) по формуле ((/(ж,0,^(ж)),^(0) = Из определения вытекает, что к = 1,2,... Говорят, что обобщенная функция /(ж, i) принадлежит классу Ср по переменной t в интервале (а,Ь), если для любой <р € IZ(Rn) обоб- щенная функция (/(ж, !),<р(хУ) € Ср(а, Ь). 11.26. Для фундаментальных решений <^п(ж,i), п = 1,2,3, вол- нового оператора, рассмотренных в задачах 11.15-11.16, доказать: 1) <^п(ж, 0 € С°° по t е [0,оо); п\ е i л л 96>n(x,t) . 52<?„(ж,1) „ 2) <Г„(гс, i) —>• 0, —> <5(ж), ——>0 при г —>4-0 в ^'(Лп). 11.27. Для фундаментального решения £‘(х, 0 оператора тепло- проводности (см. задачу 11.12) доказать, что <Г(ж,*) —► <5(ж), i —>4-0 в ^'(Лп). 11.28. Для фундаментального решения оператора Шрёдингера (см. задачу 11.14) доказать, что (ж, i) —> —г<5(ж), t —> +0 в ^'(Л1). 11.29. Для фундаментального решения из задачи 11.18 доказать: 1) <^(ж, t) € С°° note [0, оо);
§11. Фундаментальные решения дифференциальных операторов 133 2) S(x,t) О, __> --<5^), t —> +0 bW)- 11.30. Для фундаментального решения из задачи 11.13 доказать, что —» 8(х), t —> +0 в & (Я1). Ответы к § 11 11.1. Е динственность. Очевидно, Д.т) € &+. Для и = = <?—<?*, где S* G 3>'+ — другое фундаментальное решение, имеем L(D)u = 0. Свертка и * S существует (см. формулу (8), §8). Имеем и = и*б = и* Д(Д) S = L(D) и * S = 0. Следовательно, S* = S. 11.3. 1) 6>(х)-~^ 4"; 2) 0(х)хех; 3) 0(т)(е“ж — е~2ж); 4) 0{х) е2х sin х; 5) еах - е ах/2 (cos х + \/3 sin хJ ; oG \ L j 6) ^(l-e1)2; 7) (sh ах — sin ах); 8) (тсЬ.т — shrzr). 11.12. Решение. Применив преобразование Фурье Fx к равен- ству —— a2 AS = 6(x,t), в силу результатов задачи 9.21, 1) и 2) и формул из § 9 получим ^+а2|е|2<? = 1(e)- <5(0, где S(Ct) = Fx[S(x,t)]. Пользуясь формулой для S(t) задачи 11.2, 1) с заменой а на а2|£|2, заключаем, что <?(£,!) = 0(t)e~a f. Отсюда в силу задачи 9.24 S(x,t) = F-1 [<?(£, 01 = , б~(Д<п е-Н2/(4°20. l J (2аутг£) 11.15. У Казани е. См. решение задачи 11.12. Для искомой Z(t) е С2 получим задачу Z" 4- a2^2Z = 0, Z(0) -- 0, Z(0) — 1. Отсюда Z(t) = и, следовательно, Sr^,t) = 0(0^^. Далее воспользоваться задачей 9.25. 11.24. е-^</(2Ь) (COSLJt _ sinwtY если 4L — CR2 > 0, где L \ 2La> )
Глава IV ЗАДАЧА КОШИ §12. Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболического типа 1. Задача Коши на плоскости. Задача Коши для уравнения а(х, у) ихх + 2Ь(х, у) иху + с(х, у)иуу + d(x, у) их + + е(х,у) иу + f(x,y)u = F(x,y) (1) с условиями и|г = и0(х,у), ~|г =и1(х,у) (2) состоит в следующем. Пусть в области D задано уравнение (1) гипер- болического типа (Ь2 — ас > 0) и на кривой Г, которая принадлежит области D или является частью границы области D, заданы функ- ции и0(х,у), ui(x, у) и направление 1(х, у). Требуется найти функцию и(х,у), которая в области D является решением уравнения (1) и на кривой Г удовлетворяет условиям (2). Если в каждой точке кривой Г направление I не является касатель- ным к кривой Г и касательное направление к кривой Г не является характеристическим, то в области D, ограниченной характеристика- ми, проходящими через концы кривой Г, при достаточной гладкости коэффициентов уравнения (1) и данных условий (2) существует един- ственное решение задачи Коши (1), (2). 12.1. Пусть на интервале (а, Ь) заданы функции у? £ С2, у/ 0, и0 € С2, ui € С1. Доказать, что задача Коши а < х иху = 0, с < у <d; Ulj/=V?(a:) — ио(т), Uy\y=<p(x) и1(а') имеет единственное решение и(х,у) = и0(х) + У wi(£)y?'(O*;, X где с = inf d = supy?(a:), у?-1 (у) — функция, обратная к функ- ции <р(х).
J 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 135 12.2. Пусть на интервале (—1,1) заданы функции ц0 € С2, иг G С1. Доказать, что задача Коши Ихх Иуу 0, ц|у—о — ^у!у=0 — имеет единственное решение в квадрате {|т — у\ < 1, |т + у| < 1}. Показать, что этот квадрат является наибольшей областью единст- венности решения поставленной задачи. 12.3. Доказать, что решение задачи Коши иху = 0, —оо < х, у < оо; u|j/=O = ?1o(t), = Ui(x) существует только тогда, когда ufl(x) € С2(Я1), a Ui(x) = const. По- казать, что при этом решение поставленной задачи не единственно и все решения этой задачи можно представить в виде и(т,?/) = и0(х) +f(y)- /(0) + y[ui(O) - /'(0)], где f(y) — любая функция из класса С2(Л1). 12.4. Доказать, что решение задачи Коши иху = 0, |т| < 1, 0 < у < 1; ^|у=г:2 0, Иу1у=д.2 — 1/1 (т) существует только тогда, когда щ(т) € С(—1,1), xui(x) € С1(—1,1), tti (а;) — четная функция. Показать, что при этом решение поставленной задачи единственно у/У ии(х,у) =2 J X 12.5. Доказать, что решение задачи Коши Мд,,, = 0, |т| < 1, |«/| < 1; X3 1 ^xly=x3 — О существует только тогда, когда а = 0 или а > 6. Показать, что при этом решение поставленной задачи единственно и и(х,у) = |«/|“/3. 12.6. Доказать, что решение задачи Коши ихх — иУу = 6(х + у), -оо < х, у < оо; ^|з/—X 0, ^х!у=х — (*^) существует только тогда, когда Ui(x) — За;2 = const. Показать, что при этом решение поставленной задачи не единственно и все решения этой задачи можно представить в виде и(х,у) = х3 - у3 + f(x -у)- /(0) + (х - j/)[m (0) - /'(0)], где /(а;) — любая функция из класса С2(Л1).
136 Гл. IV. Задача Коши В задачах 12.7-12.19 требуется найти наибольшую область, в кото- рой поставленная задача Коши имеет единственное решение, и найти это решение. 12.7. иху - 0; — л/kh I'Z'I < 12.8. иХу 4~ их — 0, и^у—х —* SHIT, ^®1з/=ж I? |х| < сю. 12.9. ихх — иуу 4- 2их 4- 2иу = 0; и|у=0 — Ху о — 0? |^| < сю. 12.10. ихх Иуу ~ ^их 2ity — 4, ^[х=0 — ~~Уj — У “ 1? |?/| < ОО- 12.11. Uxx ~Ь ^иХу ^Иуу —* 2, п|у-о — 0, и2/1з/=О — х + COST, |т| < оо. 12.12. иху 4- уих 4- хиу 4- хуи — 0; ^|j/=3a: — 0? ^yly=3x — > Т < 1. 12.13. 1) хихх Иуу 4” — 0, х > 0, 2) хиху ~ yityy Uy — 2т , и\у—х — sinT, uxfy=x = cost, т > 0. 12.14. хихх 4- (х 4- у) иху + уиуу = 0; 1/х — 1 ^xly=l/x 2т , Т > 0. 12.15. ихх + 2(1 4- 2т) иху 4- 4т(1 4- т) иуу 4- 2иу — 0; ^|ж=0 — У> |?/| 12.16. 1) х ихх у Uyy 2yUy — 0, ^|х=1 —* ?Л ^Аг|ж=1 У> 2/^0, 2) l^xx Иуу и ~ Их — 0, Чх=1=2/2 + 17 ^ж|ж=1=4, М < сю. 12.17. т ихх ‘ 2хуиХу Зу Uyy — 0, = 0, wy|?/=l — т > 0. 12.18. уихх 4~ х(2у 1) иХу 2т Uyy их 4" | о (их 4~ 2Tt/y) — 0, х L + Zy - i i “ 1) т > 0.
J 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 137 12.19. уихх (•£ “Ь У)'аху 4“ XUyy % (^х о X . Uy | у—о х, Uy) ~ х > 0. Задачи 12.20 12.24 требуется решить методом Римана. 12.20. иху + 2их + иу + 2и = 1, 0 < х, у < 1; а|з:4-у=1 — X, Ux |х+у=1 ~ 12.21. хуиху + хих — уиу — и = 2у, 0 < х, у < оо; 1 У1 Uy^xy~1 Р 12.22. их„ 4---— (их + иД = 2, 0 < х, у < оо; х + у у U^y=x -- 1 Uxjy=x ----- 1 4~ 2 2 12.23. ихх - иУу + - их-иу = 0, |т-«/|<1, |т + у - 2| < 1; ж у w|^=i = и0(х), = wi(t), u0 е С2(0,2), iti € С71 (0,2). 12.24. 2иху — е~хиуу = 4т, —оо < х, у < оо; и[у=х = X5 COST, Uy]y=x = х2 + 1. 2. Классическая задача Коши. Классической зада- чей Коши для волнового уравнения называется задача о нахождении функции u(x,t) класса C2(t > 0) П Cr(t > 0), удовлетворяющей при t > 0 уравнению utt = а2Лп + f(x, t) (3) и начальным условиям n|t=o = 4io(a;), «t|t=o = ш(ж), где f,Uo и Ui — заданные функции. Если выполняются условия /еС\к>0), ц0€С'2(Л1), теС1^1), f е C2(t > о), UO € C3(Bn), Щ е С2(ЯП), п = 1; п = 2,3, (4) (5) то решение задачи Коши (3), (4) существует, единственно и выра- жается: 1) при п = 1 формулой Даламбера и(х, 0 = | [?‘о(-'с + at) + и0{х- а0] + x+at t x+a(t-T) + ± [ и1(£)<1£+±-[ [ ftf,r)d£dT, (6) za J 2a J J x—at 0 x— a(t-T)
138 Гл. IV. Задача Коши 2) при п = 2 формулой Пуассона t , км**: + 2’“ /,<-„<<(,-11-к-«р j_ г ui(f)rfe , 1 a г »({)!$ . 2тга J -JJjP 2jra 9l J ,///4-- |f « P' |f—x|<atV |f—x|<atV 3) при n = 3 формулой Кирхгофа If—x\<at + ^?l J “«>dS + 4^s[l f ““«J"5 |f—x\=at |f—x\=at (8) 12.25. Пусть функция u(x,t) является решением задачи Коши Utt — О Ихху w|f—о — Uq(x), о U1 (□?). Доказать, что для любого Т > 0 существует решение задачи Коши vtt = a2vxx, t<T, xeR1; ^|t=r = «|/=т, vt\t=T = ut\t=T- Показать, что u(x, f) = v(x, t) при 0 < t < T. 12.26. Доказать, что если существует решение задачи Коши utt = а2ихх\ Ч«=о = «о(а0, ut |#=0 = иг(х), то ueC2(t>0), цобС2^1), мЭД. 12.27. Пусть функция и(х, t) является решением задачи Коши utt = а2 Да; n|t=o = Ч>&), ut |f=0 = 0. t Доказать, что функция v(x,t) = j и(х,т)<1т является решением за- дачи Коши 0 vtt = a2 Av; ц|4=о = 0, vf|f=0 = <р(х). 12.28. Пусть функция и(х, t, to) при каждом фиксированном t0 > 0 является решением задачи Коши utt = а2 Да; n|t=to = 0, uf|f=fo = f(x,t0). t Доказать, что функция v(x, t,to) = j u(x,t,T)dr является решени- ем задачи Коши to vtt = a2^v + f(x, t); ц|4=4о = 0, vt\t=t0 = 0. 12.29. Доказать, что если функции /(т),uq^),ui(x) — гармони- ческие в Rn, a g(t) € C1(t > 0), то решение задачи Коши
12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 139 Utt = а2Аи + g(t) f(x); u|,=0 = и0(х), ut|t=o = ur(x) выражается формулой и(х, t) = и0(т) + 1иг (т) + f{x) j\t — т) g(r) dr. о 12.30. Найти решение задачи Коши utt = а2Аи + f(x); u|t=0 = и0(х), ut |t=o = (а?), если f = 0, ANito = 0, ANiti = 0. 12.31. Доказать, что для существования решения задачи Коши utt = а2Да, х € Л2; a|t=o = /(^1) + £?(ж2), ut |t=0 = F(a?i) + G(t2) достаточно, чтобы функции f(xi) и <?(.'c2) принадлежали классу С2(Л1), а функции F(ti) и G(t2) — классу G1(B1). Найти это решение. 12.32. Доказать, что для существования решения задачи Коши иц = а2Да, х € Л3; и|t=o = /(ti) д(х2, х3), ut|/=о = 0 достаточно, чтобы функция <?(т2,тз) была гармонической и f С G2^1). Найти это решение. 12.33. Доказать, что для существования решения задачи Коши иц — a2ku, х € Л3; a|t=0 = »(И), at|t=0 = /3(|т|) достаточно, чтобы а(г) € G3(r > 0), /3(г) € С2(г > 0) и о'(0) = 0. Найти это решение. 12.34. Доказать, что для существования решения задачи Коши utt = Ди, х € R3; u|t=o = 0(1 - И)|т|“(1 - |т|)0, ut|t=о = 0 необходимо и достаточно, чтобы а > 2 и /3 > 3. Найти это решение. Результат этой задачи сравнить с достаточными условиями (5) (с. 137) в случаях 2<о<3, Д>3иа = 2, 2 < (3 < 3. 12.35. Решить задачу Коши utt = ихх; u|t=0 = 0(1 - |т|)(т2 - I)3, ut|t=o = 0. Построить графики функций и(х, 0), и (х, i), и(х, 1), и(х, 2). Решение задач 12.36-12.38 можно находить по формулам (6)-(8), но иногда удобнее применить метод разделения переменных или вос- пользоваться результатами задач 12.27-12.32. 12.36. Решить задачи (п = 1): l)u/t=uxx+6; u|t=0 = х2, ut|t=o = 4т; 2) ии = 4ижж + xt-, u|f=0 = x2, uf|/=o = т;
140 Гл. IV. Задача Коши 3) — Щх + si11 u|t=0 = sina;, ut |t=o — 0; 4) ^tt — ^хх “Ь J n|t=o = sina;, ^t|t=o = x + cos a;; 5) Utt = 9ихх + sin т; n|t=o = li ut |t=o = 1; 6) utt = а2ихх + sinwrc; n|t=o = 0, wt|t=o — 0; 7) utt = а2ихх + sinwi; w|t=o = 0, Wt|t=o = 0. 12.37. Решить задачи (n = 2): 1) Utt — Ли + 2; u|t=O = X, «t|t=o = y; 2) utt = Ли + 6xyt; w|t=o = x2— y2, ut |t=о = xy; 3) Utt = Ли+х3 — Зху2; u|t=o = ex cosy, w#|t=o = e^sina;; 4) Utt = Ли -|-1 sin у, w|t=O = X2, wt|t=o = siny; 5) ии = 2Ли; It|t=o = 2a;2 -y2, ut|f=o = 2x2 + y2; 6) utt = ЗДи + т3 + у3; w|t=o = x2, «t|t=о = y2; 7) utt = Ли + e3^; u|t=o = e3x+4y, ut|t=o = е3ж+4г/; 8) utt — а2Ли; u|t=o = cos(tar + cy), ut|t=o = sin(fcc + cy) 9) utt = а2Ли; 1 4 ^|t=0 = , «t|t=o = r4; ю; ) utt — а2Ли + г2е1; w|t=o = 0, ut |t=o = 0. 12.38. Решить задачи (n = 3): 1) uu = Ли + 2.xyz; u|t=o = x2+y2-2z2 ш|(=о — 1; 2) utt = 8 Ди + t2x2; 4t=o = У2, ц«к=о = z2; 3) utt = ЗЛи + 6r2; u|t=o = x2y2z2, wt|t=o = xyz; 4) utt = Ли + 6te:C4/2siny cosz; u|t=0 = ех+у cosz-\/2, ut |t=0 = e3j/+4z sin 5т; 5) Utt = а2 Ли; u|t=o = Ut |t=0 = r4; 6) Utt = а2Ли + г2е*; u|t=o = ut|t=o = 0; 7) Utt = а2 Ли + cos x sin yez; u|t=o = а;2ег'+2, ut |t=0 = sin xev+z 8) Utt = а2Ли + xe* cos (3y + 4z); 4t=o = xy COSZ, lit|t=0 = yzex; 9) Utt = а2 Ли; u|t=o = ut |t=0 = cost. 12.39. Пусть выполнены достаточные условия (5) (с. 137) для су- ществования решения задачи Коши utt = а2Ли; it|t=0 = н0(т), u|f=0 = иг(х) и пусть при |т| > ё > 0 < и0(х) < Л/|т|“, т< щ(т) < M|t|q-1, где а > 0, 0 < т < М. Доказать, что для каждой точки хо су- ществуют положительные числа to,Ci,Cz такие, что при всех t > to выполняется оценка
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 141 < u(x0,t) < С?!01. «t|t=o = щ(х) 12.40. Пусть выполнены достаточные условия (5) (с. 137) для су- ществования решения задачи Коши utt = а2 Ди; u|t=0 = Uq(x), и пусть для а > О lim = A, lim t t LrJtk ' II. = В. 3) f) Доказать, что lim — ’ = Cn и найти Cn, n = 1,2,3. t-»+oo ta 3. Обобщенная задача Коши для волнового уравнения. Если решение и(х, t) классической задачи Коши для волнового уравне- ния (3), (4) и функцию f(x,t) € C(t > 0) продолжить нулем при t < 0, то эта функция и(х, t) удовлетворяет в Rn+l уравнению (в обобщен- ном смысле) Utt = а2Дп + f(x,t) + и0(х) S'(t) + Ui(rr) • 6(t). Обобщенной задачей Коши для волнового уравнения с источником F G @'(Rn+1), F(x,t) = 0 при t < 0, называется задача о нахожде- нии обобщенной функции и 6 S>'(Rn+1), удовлетворяющей волновому уравнению ин = а2 Дп + F(x, t) (9) и обращающейся в нуль при t < 0. Решение обобщенной задачи Коши (9) существует, единственно и определяется формулой и = С * F, (10) где <эп(х, t) — фундаментальное решение волнового оператора, Свертка Vn = <Ап * F называется обобщенным волновым (запазды- вающим) потенциалом с плотностью F. В частности, если F = и±(х) <5(1) или F = по(з:) • S'(t), то свертки Vn(0) = ^n(x,t) * [ni(rr) <5(i)] = <fn(rr,i) * Ui(rr), Vn1) = <£n(x,t) * [uo(rr) • <5'(i)] = (&n(x,t) *u0(x))t называются обобщенными поверхностными волновыми (запаздываю- щими) потенциалами (простого и двойного слоя с плотностями щ и ид соответственно). Волновой (запаздывающий) потенциал Vn удовлетворяет уравне- нию (9).
142 Гл. IV. Задача Коши 12.41. Доказать, что если F(x, t) € £)'(Rn+1), F = 0 при t < 0, то свертка * F существует в ^'(J?n+1). 12.42. Доказать, что обобщенная задача Коши (9) имеет единст- венное решение в классе обобщенных функций из @'(Rn+1), обраща- ющихся в нуль при t < 0. 12.43. Доказать: 1) Vn(0) и V,;.1) принадлежат классу С°° по t g (0,оо); 2) Vn(0) и удовлетворяют предельным соотношениям при t —> +0 V^°\x,t) —> 0, —в ^'(Яп), V^\x,t) —^ыо(ж), d^W) _->0 в &'(R"). ОХ 12.44. Решить обобщенную задачу Коши (9) (х G R1) со следую- щими источниками F(х, Г): 1) <5(t) - ё(х); 2) <5(t — to) • <5(т — хо), to > 0; 3) <5(t) - <5'(^); 4) <5'(t) <5(ж); 5) <5'(t — t0) • <5(а:); 6) <5(t) <5'(rro — rr); 7) <5"(t) - <5(rc); 8) <5(t)-<5"(x); 9) <5(t) a(x)6(x), где a(x) fC и a(0) = 0; 10) <5(t) (3(x) ё(х), где (3(x) EC и /3(0) = 1. Ниже при постановке обобщенной задачи Коши будем считать источником функцию вида F(x, t) = f(x, t) + Uq(x) <5'(t) + щ(х) <5(t), f = 0 при t < 0. 12.45. Решить обобщенную задачу Коши со следующими источ- никами (х € R1): 1) f = w(t) • <5(т), где w(t) € C(t > 0), cu(t) = 0 при t < 0, wo = = <5(щ), щ = <5(т); 2) f = e(t)-6(x), u0 = ё(х-х0), wj = хё(х); 3) / = O(t)t- 6(х), uo = <5(2 — x), Wj = <5(3 — x); a = 1; 4) f = f)(t) sin t • 6(x — a ’o), u0 = 0, Wj = x8'{x)\ 5) f = 6(t) cost • ё(х), w0 = 0, Wj = х2ё"(х); 6) f = ff(t)eat -6(x), u0 = <5(1 ~И), wi = 0; 7) /=^-<5(2-т), «о = 0, Ui = <5(7? — |rr|); a = 1; 8) f = 0(t)t2-6(x), wq = C = const, щ — f)'(R— jrr|); a = 1; 9) f = 0(t) Ini - <5(ar), U°~ l+z2 wi = 0; 10) /=^=^-<5(*), Wo = 6>'(2 — |rr|), wi = 0; а = 1;
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 143 11) / = 0, 12) /=^-<5(т-1), 13) / = 0 (at - |х|), 14) / — 6(t)(at + (3) • хё'(х), u0 = o, «1 = 0"(2-И); a = l; Uo = o, U1 = sin я? — tt); Uo = o, U1 = 0; Uo = o, U1 = хё"(х)-, a = 1. 12.46. Доказать, что если щ (х) — локально интегрируемая функ- ция в Я1, то Vy°\x, t) — непрерывная функция в R2 и выражается формулой V1(0)(t,1) = ^ f m (£)<£• (И) x—at 12.47. Доказать, что если uo(x) — локально интегрируемая функ- ция в R1, то V^fx,!) — непрерывная функция в R2 и выражается формулой У/1^ (ж, t) = [ыо(ж + at) + - at)] (12) У казани е. Воспользоваться тем, что у/1^ = * Uo(x)] в силу задач 8.35 и 12.46. 12.48. Доказать, что если f(x,t) — локально интегрируемая функ- ция в R2, равная нулю при t < 0, то потенциал Vi(x,t) принадлежит C(R2) и выражается формулой t x+a(t—T) = / f^T^dT- (13) О х—a(t—т) 12.49. Решить обобщенные задачи: 1) utt = а2ихх + в(х) S'(t) + 9(х) <5(t); 2) utt = а2ихх + 0(t)(x — 1) + х - <5'(t) + sign (x) <5(t); 3) utt = a2uxx + 6(t) tx + <5(t); yjx 4) UH = + ®+ 0(-*) <5(0; 5) utt = uxx + 6(t - 2) Ini + ]ar| • <5'(t); 6) utt — a2uxx + 0(t) tm + 6(2 — |rr|) • <5'(t), m = l,2,...; 7) utt = uxx + 6(t) ex+t + 6(x) e~x <5(t); 8) utt = $uxx + 6(t — тг) cost + 6(x — 3) • <5'(t) + l(rr) <5(t); 9) utt = ^XX + 6(t)6(x)- 10) utt = uxx + 26(t) 0(x) x + eax - <5(t), a 0; 11) utt = Uxx + 6(t - l)(rr + t) + |rr| <5(t); 12) Utt = uxx + 6(t — 2) t + 6(x — 1) Inrr • <5'(t); 13) utt = uxx + 6(x) xm - <5'(t) + 6(x) xm <5(t), m = 1,2,...;
144 Гл. IV. Задача Коши 14) utt = иХх + + 0(х) cost <5(t); vt 15) ии = ихх + 6(t) уДх + в(—х) <5'(t) + 6(—x) x <5(t); 16) utt - uxx + 0(x) e~^ <5'(t) + ж2 <5(t); 17) Utt — Uxx + 6(t) sin (ж + t) + sin ж • <5(t); 18) utt = uxx + 0(1 - |x|) <5(t). 12.50. Доказать: 1) если u0 G C'2(7?1) и щ € C'1(7?1), то потенциалы и принадлежат классу C2(t > 0), удовлетворяют при t > 0 уравнению □ati = 0 и начальным условиям: Ц(о) |t=+0 = О, (^(О))4|4=+О = m(x), V1(1)|t=+o=uo(x), (vW)t|t=+o = 0 (У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формул (11) и (12).); 2) если f G Cx(t > 0), то потенциал V) € C2(R2) удовлетворяет при t > 0 уравнению Oati = f(x, t) и начальным условиям Vi|t=+o = 0, (Vi)t|t=+o = 0 (У к а з а н и е. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формулы (13).). 12.51. Пусть в задаче Коши (обобщенной) utt = а2ихх + и0(х) <5'(t) + ui(x) <5(t) функции uq G С2 и tii € С1 для всех х, кроме х = хо, где ио,щ (или их производные) имеют разрыв первого рода. Показать, что реше- ние этой задачи является классическим всюду в полуплоскости t > 0, кроме точек, лежащих на характеристиках, проходящих через точку х = хо, t = 0 (распад разрыва), для следующих случаев: 1) ио = 0(т) и>(х), где и> = С'2(1?1), ш(0) ^4 0 и tii = 0; 2) tio = 0, tii = 6(х — хо)ы(х), где w € С,1(7?1), ш(гго) 7^ 0; 3) ио = 6{х — 1), щ — 0(х — 2). 12.52. Для задачи Коши (9) убедиться в том, что: 1) от источника возмущения F = и0(х) <5'(t) = в(хо - |х|) /(т) • <5'(t), хо > 0, f G С72 (2?1), возникают две волны, которые имеют в каждый момент времени t > 0 передний фронт в точках х = ±(at+xo) соответственно и в каждый момент времени t > — задний фронт в точках х = а = Г:(at — хо) (принцип Гюйгенса);
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 145 2) от источника F = иг(х) <5(t) = 6(хо — |гг|) /(ж) • <5(t), хо > О, f € С1 (R1), возникают две волны, которые имеют в каждый момент времени t > 0 передний фронт в точках х — ±(at + то) и не имеют заднего фронта (размыв заднего фронта волны или диффузия волн). У казани е. Воспользоваться формулами (11) и (12). 12.53. Решить следующие обобщенные задачи и доказать, что полученные решения являются решениями и классической задачи Коши (3), (4): 1) utt = а2ихх + 0(f)(x +1) + еах (’)'(t); 2) иц = а2ихх + 0(t) tint + 3:с 6'(t); 3) иц = a2uxx + 0(t)(x2 + t2) + xm • <5'(t), m = 1,2...; 4) Utt = uxx + 6(t) x2 + cos x <5'(t) + cos x <f(t); 5) utt — a2uxx + x2 In |rr| <5(t); 6) utt = uxx + f)(t) cos (x + t) + 2х d(t); 7) utt ' —' ^xx + 0(t) sint + y+x2 ’ 8) utt = a2uxx + 6(t) el + <5'(i); 9) utt = uxx + (ax2 + /3) <5'(t) + rr4/3 <5(t); 10) utt — uxx + ln(l + ex) <5'(t) + e"3"2- <5(t); 11) Utt = uxx + f)(t) tmx + sinrr • <5'(t) + rrm<5(t), m = 1,2,...; 12) utt — ^xx + 0(t)arctgt + ln(l + x2) - <5'(t); 13) utt — 4uxx + 0(t) cost + y/1 + x2 <5'(t); 14) иц — uxx + 0(t) Tsint + x2e~№ <5'(t); 15) иц = 4uxx + e~x <5'(t) + e~x sinrr • <5(t); 16) utt — uxx + sin2 x <5'(t) + xe~lxl 6(t); 17) utt = uxx + e(t) 6'(ty, 18) utt = uxx + 6(1)(хе* +tex)+ 1 • <5(t). vi + т 12.54. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне- ния (х 6 R2): 1) utt = а2Ди + 6(t) - ё(х) + ё(х) <5'(t) + <5(т) • <5(t); 2) utt = а2 Ди + f)(t) t2 • b(x) + |т|т<5(т) - <5'(t) + b(x — ж2) • <5(t), m = = 1,2,...; 3) utt = а2Ди + cu(t) - 6(x) + e।ж1<5(щ) - <5(t), где w e C*(t > (J) и w = (J при t < 0; 4) иц = а2Ди + 6(t)(at + (3) d(x) + 5(x — xg) • <5(t).
146 Гл. IV. Задача Коши 12.55. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне- ния (ж € R3): 1) utt = a2 Aw + 6(t) - <5(rr) + 6(х) 6' (t) + <5(rr) <5(t); 2) utt = a2 Au + 0(t — to) — ^o) + <5(ж — x') 6(t), t0 > 0; 3) utt = a2Au + w(t)-<5(x) + H2^^-<5'(t) + ^^-<5(t), k = 1,2,3, OXfa где w f C(! > (J) и w = 0 при t < 0; 4) utt — a2Au + 0(t) sint • 6(x) + osfc 12.56. Доказать, что если щ (х) — локально интегрируемая функ- ция в Rn, п = 2,3, то Vn(0) — локально интегрируемая функция в Яп+1 и выражается формулами ДЁ’ <141> lira J у/a2t2 — г — £ 2 |а;—£|<«* V ' ' W°W) = ^ I ut^ds. (142) |ж—£|=af Замечание. Так как (<?г1(т, t) * u0(x)), то, заменяя в (14i) и (142) Ui на и(1 и дифференцируя по t, получим Д — — (I цо(£)^£ П4Д \ k-ei<atv 1 1 / = / “»«)А (14.) ' |ж—£|=а£ ' 12.57. Доказать, что если /(rr,t) — локально интегрируемая функ- ция в Rn+1, п = 2,3, равная нулю при t < 0, то V2 — непрерывная функция и V3 — локально интегрируемая функция в Д”+1 и они вы- ражаются формулами: V2M = 2^f / /~({(е’У|Т ар’ (151> 2тга J J \/a2(t — т)2 — г — £ 2 О |x-S|<a(t-r)V ' 41 ^•‘> = гЬ / («о |ж—£|<af 12.58. Доказать: 1) если ио G C3(Rn), щ € C2(Rn) при п = 2,3, то и п = 2,3, принадлежат классу C2(t > 0), удовлетворяют при t > 0 уравнению = 0 и начальным условиям
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 147 V„(0)|f=+0 = О, V^1)|f=+o=no(s), SV„(0) dt = Щ (ж), t=+o <ж(1) dt i=+0 = 0; 2) если f € C2 (t > 0), to Vn € C2 (t > 0), n = 2,3, удовлетворяет при t > 0 уравнению □„« = f(x,t) и начальным условиям V|f=+O = 0, ф-1 =0. dt lt=+o Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формул (14) и (15), если в них сделать замену переменных £ — х = ah) и £ — х = a(t — т)т) соответственно. 12.59. Решить обобщенную задачу Коши для волнового уравне- ния (х е R2) и проверить, что полученные решения являются реше- ниями классической задачи Коши (3), (4): 1) f = ио = С, «1 = с, С — const 2) / = Ж Uo = |т|2, ui = |ж|2; 3) f = G(t)t2, и0 = 0, U1 = 1 + |т|2; 4) / = ^)е-‘И2, и0 = 1 + И2, ui = 0. 12.60. Решить задачу Коши для волнового уравнения (х € R3) со следующими данными: 1) f = e(t)\x\2, ио = о, Ul = kl2; 2) f = 0(t) t2\x\2, uq = 1, Ul = 1; 3) / = cu(t), где w € C2 (t > 0) И bJ — 0 при t < 0, wo = 0, Ui = а|т|2 + /3; 4) f = 6(t) In |rr|, Uq = 0, Wj = 0; a = 1; 5) /-»«), + W1 = 0; 6) f = 0, u0 = sin |t|2, Ul = sh |t|2; a = 1; 7) f = O(t)t, u0 = |ж|2, Ul = 1 l + |x|2’ 8) f = 6(t) e~tktw(x), где w 6 C2, Wo = --^1+ |rr|2, Ui = 0; a = 1; 9) f = #(0 e—!ж12, u0 = 0, Ul = cos|x|2; a = 1; 10) / = 0, uo = ln(l + |a; I2), W! = е_1ж12; a = 1; 11) f = 0, wo = е_1ж12, Ul = In |x|; a = 1; 12) f = 0(t) sinl, wo = cos |rr|2, Ul = 0; 13) / = 0, u0 = ce(R- kl)> Ul = 0; 14) f = 6(at — |ж|), wo = 0, Ul = 0.
148 Гл. IV. Задача Коши Задачи Коши для уравнений 12.61-12.63 формулируются так же, как для волнового уравнения. 12.61. Решить обобщенную задачу Коши для уравнения гипербо- лического типа □aw = Ъих + - щ + F(x,t), а > О, b > О, где ° F(x,t) = f(x,t) + ио(х) <5'(1) + [wi(х) - • <5(t), со следующими данными: i) f = e(t)-s(x), w0 = <5(t), Wi = S(x); 2) f = в(Г) X, wo = 0, щ — ^(^); a = b = 1; 3) Wo = 1, U1 = X’ a = b = 1; 4) w0 = ex, Ui = ex; b= 1; 5) f = 6(f)ex, uq = ax + (3, Ui = 0. 12.62. Решить обобщенную задачу Коши для уравнения Клейна- ГордонаФока. □aw + т2и = f(x, t) + uq(x) S'(t) + 'Uy(x) S(t) co следующими данными: 1) f = 0, wo = <5(t), wi = S(x), a = m = 1; 2) / = iv(t) • S(x), где lj € C(t > 0) и w = 0 при t < 0, uq = 0, Wi — x; a = m = 1; 3) / = wo = 1, Wi = 1, a — m = 1; 4) f = 0, wq = 6(x), щ = 0(x), a = m — 1. 12.63. Решить обобщенную задачу Коши для телеграфного урав- нения □ow + 2mwt = /(ж, t) + wo(x) • S'{t) + иг (х) S(t) со следующими данными: 1) f — 0, wo = S(x), щ — <5(ж), а — т — 1; 2) f = • S(x), где wgC(t>0) и ш = 0 при t < 0, wo = 0, Wi = 0; a = m = 1; 3) f = 0, wo = 1, wi = 6(x), a = m = 1. Ответы к § 12 12.7. (у5/4 - |a:|5/2); k| < 1, 0 < у < 1. 12.8. siny — 1 + ex~v; —оо < x, у < co. 12.9. x — у — - + - e2y- —oo < x, у < oo. y 2 2 12.10. | [1 — x — 3y + (x + у — 1) e2x]; —oo < x, у < oo.
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 149 12.12. (у - Зх) е-(^+г/2)/2. х < х у < 3 12.13. 1) х + i у2; х > 0, |г/| < 2у/х; 2) х3у + sin ж — | х4 — i х4у2; х > 0, у > 0. х2 12.14. —; х > 0, у > 0. У 12.15. 2х + у — х2; —оо 12.16. 1) Х + х ' Зх 3 ’ 12.17. ? 2) X4 +у2', X > 0. 12.18. 12.19. 12.20. 12.21. 12.22. 12.23. х2 + 2у2 + 1; х > 0, < у < х2. х2 +ху + у2; х> |j/|. 1 + (4-32/)е1-^- f2x+|)e2( Z \ Z / ху -у; R= —. XT] т-» ж + V х~у + ху, R=-^- ~ [fa + У - 1) ио(х + У - 1) + {х 2ху L 1 + 2ху ех-(+2(у-у) Ж+2/-1 у Ж —J/+1 N-1 12.30. £ /с=0 a2kt2k+2 ’/.\2А 2k .2Л+1 л--*— • ~ w л‘“"ы + Ыш л‘“1«+ hw д‘/(а°' 12.31. i [/(xi + at) + f(x! - at) + g(x2 + at) + g(x2 - at)] + ®i4-at X2+at + ± [ F(£)d£+±- [ G{g)dg. 2a J 2a J x\—at Х2—0Л, 12.32. | <7(х2,а:з)[/(аа + at) + f(xY - ai)]. 12‘33’ 2jb] + + + ~ a<) ” a<^ + 2Щ| x |ж|4-а£ x у r/3(r)dr при |x| 0 и u(0, t) = a(at) + ata'(at). ||s|-at| 12.34. p(l - И - t)(\x\ + i)“+1(l - и - ty3 + 0(1 - ||x| - t|)x x sign (|x| - t)||x| - i|o+1(l - 1И - t|)0] при |rr| у 0 и u(0, t) = 0(1 — t) ta(l — t)^1 [(a + 1)(1 - t) — /3t].
150 Гл. IV. Задача Коши 12.35. j 0(1 - |х + t|) [(ж + I)2 12.36. 1) (x4-2t)2; 3) sin х; 5) 1 + t + i (1 — cos 31) sinx; t 1 9. . 7)--------„ smut, и u>2 l]3 4-i0(1 — |x — t|)[(x — t)2 — l]3. 2) x2 + xt + 4t2 4- - xt3; 6 4) xt 4- sin (x +t) - (1 - ch t) ex; 6) - (1 — cos aut) sinwx; a2aH 12.37. 1) x + ty + t2; 3) | t2(x3 — 3xy2) + ex cosy + tey sinx; 5) 2x2 - y2 + (2x2 + y2)t + 2t2 4- 2t3; 2) xyt(l +12) + x2 -y2; 4) x2 + t2 + t siny; 6) x2 + ty2 + | t2(6 + x3 + у3) + I3 + | t4(x + y); 7) 8) cos (bx4-cy) cos (at y/b2 + c2) 4- a\/b2+c2 sin (bx+cy) sin (at V7)24-c2 ); 9) (x2 + y2)2(l 4- t) 4- 8a2t2(x2 + y2) (1 + 11) 8 4.4 - at 3 (1+b)! 10) (x2 + y2 + 4a2)(e* - 1 - t) - 2a2t2 (1 + | ij. 12. 38. 1) x2 + y2 — 2z2 + t + t2xyz; 2) y2 + iz2 + 8t2 + |t3 + ^t4x2 + ^t6; 3) x2y2z2 4- txy 4- 3t2(x2 + y2 + z2 + x2y2 + x2z2 4- y2z2) 4- + 3t4 f | + x2 + y2 + z2\ +| t6; 4) ex+v cos (z\/2) + te3y+iz sin 5x + t3ex'^2 sin у cos z; 5) (1 + t)(x2 + y2 + z2)2 + 10a2!2 (1 + | tj(x2 +y2 + z2) + a4l4(5 +1); 6) (x2 + y2 + z2 + 6a2)(ef - 1 - t) - a2t2(3 + t); 7) (1 — cos al) ez cosx sin у + + ey+z i sh at sinx + sh (at-/2) + x2ch (at\/2) ; 8) xy cos z cos at + - yzexsh at + a + , , , cos (3w + 4z)(e* — cos 5ai — — sin 5at l+25a2 \ 5a . 9) ^cos at 4— sin at j cos \/x2 4- y2 4- z2 4- -I—. 1 = sin v/x2 4- y2 + z2 (t cos at — at sin at — - sin at y/x2 + y2 + z2 \ a
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 151 R ' эт-/2 R71/2 12.40. С1=а“(лч-----), Cz=aa А(а + 1) j\iiia+1g>dg) +— jsina<pd<p , L о о Сз =аа [А(а+1) + ^]. 12.41. Решение. Свертка £п * F существует в силу 8.34 и определяется формулой этой задачи, где g = Sn и f = F, так как F(x,t) = 0 при t < 0 и supp Л), (ж,/) С Г+ в силу 11.15-11.17. 12.42. Решение. Для w = и — и*, где u*(x,t) G £)'(Rn+l}, и* = 0 при t < 0, — другое решение задачи (9), имеем w G &(Rn+1), w = 0 при t < 0 и wtt = а2Д w. Свертка Ап * w существует в силу 12.41. Тогда w = <5 * w = ((бэ’п)н — а2Д<э^) * w = Ап * (wtt — а2 Aw) = 0. Следовательно, и* = и. 12.43. Решение. 1) <?п(т, 1) ё С°° по i е [0, оо) в силу 11.26. При каждом t > 0 носитель supp Л), содержится в шаре |т| < at и, следовательно, равномерно ограничен в Rn при t —> t0 > 0. Поэтому в силу непрерывности свертки в & имеем е С[0,оо), fc = 0,l,... (*) Для всех G &{Rn} (определение обобщенной функции (u(a:,t),y?(a:)) G G £)'{Rn} см. в конце § 11). Далее, в силу результатов задачи 8.35 ^(Уп°Чх^),<р{х)) = [ — (<?n(M) *ui(x)-<5(t)),vJ = (dkSn(x,t) , ч \ А,Г, , = I——- *ui(T),y?l еС[0, оо) в силу (*). Следовательно, (Vn°\a:,l),y?(a:)) G C^fOjOo), т.е. V„°) ё С00 по t ё [0, оо). Аналогично для V^1^; 2) в силу 11.26 при t —> +0 Vn°\x,t) = £n(x,t) *ui(x)—>0*iti=0 в S>'{Rn), dV^\x,t) 5 . „ , v ------dt—~ = dt = = *U1(a;) ^6*U1 =U1(x) в @\Rn). dt 12.44. У Казани e. Воспользоваться формулой (10) из § 12, за- дачей 11.15, формулами (3), (31) из §8 и задачами 8.31 и 8.8. 1) и = <£)(£, 1) = J-0(al-|a:|); 2) 0(a(t - t0) - - т0|); Ла ZiCi 3 3) = -L 0(t) 6(at -Ь х) — 0(t) 6(at — х)\ ox 2a 2a
152 Гл. IV. Задача Коши 4)^ = | <*(«* - И); 5) 1 <w - io) - И); 6) #(*) <5(ai + х — х0) — ~ 0(i) <5(ai — х — т0); 7> $ = 5^<“‘-и)’ 8> © = 9)0; 10) ^0(at-|x|). 12.45. См. указания к задаче 12.44. 1) Решение. Уравнение (9) для искомой и(х, t) имеет вид utt = а2ихх + f(x, 1) + и0(ж) • <5'(1) + щ (х) 6(t) = = а2ихх + w(t) • <5(т) + 6(х) 6'(1) + <5(т) <5(1). (*) В силу формулы (10) и = Vi + Ц(1) + V/0’ = Д * [w(t) • <5(ге)] + + Д * [<5(х) <5'(i)] + <?i * [<5(х) • <5(1)]. (**) В силу задачи 8.36, 1) t— | х\/а Vi = ^-3(at - |х)) [ cj(r)dr. j о В силу задачи 12.44, 1) и 4) у/°\х,1) = ^0(а1 — |т|) и V^\x, 1) = | 6(at — jx|). Подставив Vi, V^1) и в (**), получим решение обобщенной задачи Коши (*). Из 12.2 следует единственность задачи (*). Из задачи 12.43 следуют предельные соотношения u(x,t) —> <5(t), ut(x,t) —> <5(t), 1 —> 0 в ^'(Яп); 2) 3(at - |т|)(at - |х|) + 1 6 (at - |т - х0|); 3) 13(t - |x|)(i - И)2 + 10(1 - |х - 3|) + 1 <5(1 - |т - 2|); 4) 3(at — |т — а?о|)[1 — cos (t — -Ж- Qg0')] — — И) (Ука- зание. хё'(х) = — <5(т).); 5) 3(at — |я?|)^2 + sin (t — —(Указание. х26"(х) = 2<5(т).); 6) 3(at- |т|)(е“0-1з:1/“) _ 1) +| S(at- |т + 1|) + | 6(at - |т - 1|); 7) 3(t - |з: - 2|)У1 - |х - 2| 4- p(i - |т + Я|) 4- 3(t - |х - Я|); 8) j 3(t - |z|)(t - И)3 + C3(t) 4- p(i - |х + 1?|) - 10(t - |x - Л|) (Указание. См. задачу 7.14, 1).);
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 153 9) O(at — |т|)(1 — —In [е 1 (t — —| 6(at — |ж|); Ю) | 0(1-1 -|a:|)(arctg(t-|rr|) - +16(t-|ге+Я|) -1 <5(1- |ж-Я|); 11) | 0 (1) 6 (1 + x + 2) - | в (t) <5(1 - x - 2) - | в (1) 6 (t 4- x - 2) + + | 0(1) <5(1 — ж + 2) (Указание. См. задачи 7.14, 1) и 8.8, 2).); 12) у- 0(а1 — |ж — 1|) In (1 + 1 — 0(а1 — — д|); 13) 0(ш - И) 14) И)[«(1- И)2 +2/3(t- |з?|)] -0(1) <5(1 + ж) + 0(1) <5(1-ж) (Указание. Воспользоваться хё"(х) = —2б'(х) и задачей 8.8, 2).). 12.49. Указание. Воспользоваться формулами (10)(13). 1) Решение, и = Vi + Vi = 0. В силу формулы (11) ж-bat Г ж-bat x—at Ч(о) = ^ f 0(£>d(>=^ f f e^d^ = x—at L о 0 = [0(т + п1)(т + at) — 3(x — at)(x — at)], ж-bat = 1 f e<№ = x—at — (0(t + at) + 0(t — at)]; 2) 0(t) Ь + у (т - i) + |g + at|2a|a: -°-); 3) 0(1) + - 0(t + at)\/x + at — 0(t — at)y/x — at ; 4) 0(1) [(t + 1) In (1 + 1) - 1 + 10(1 - t)(1 - x) + | 0(-t - x)(t + <r)j ^Указание. V) = i 0(1 — |a:|) * 1(t).^; 5) 0(t - 2)^t2 lnx/t + (l-l)ln4- (1 —1)2+ (|z + t| + |т-1|); 6> Ф [fr^rn^+2) + -!’ + 0,11 + e<2--“4 7) Ш _ e^sh t + 0(t + t)(l - e~x^) - 0(x - t)(l - е‘-ж)]; 8) —0(1 - тг)(1 + cost) + ф [0(ж + 31 - 3) + 0(ж - 31 - 3) + 21]; 9) —- [0(т + 1)(т + I)2 + 0(т — 1)(т - I)2 - 20(т) ж2];
154 Гл. IV. Задача Коши Ю) |0(ге + 1)(т 4- t)3 4- 0(х — t)(x — I)3 — 20(т) х3 + — eQxshat], о L a J а 0; И) ^^-(3x + t + 2)(t-l)2 + 4- [sign (х + t)(x + t)2 - sign (ж - t)(x - t)2]; 12) ^^(t + 4)(t-2)24- + [0(ж — 1 4-1) In (x 4-1) 4- 0(x — 1 - t) In (x - t)]; 13) ф fax + t)(x + t)™ (1 + £±1) + 0(x -t)(x- t)™ (1 - iZ±)l; £ L \ fil t" Л/ \ 7Т1 "I- J./ J 14) [8t3/2 4- 30(x 4-t) sin (x 4-1) — 30 (x — t) sin (x — t)] ; 15) 0(f) ~ ^5/2 + 0(-z -1) Q + 4- 0(-x +t) (1 - ; lu \ £ 4 / \ * / 16) j6x2t 4- 2t3 4- 30(x 4-1) e 4- 3>0(x — t)e ; 17) -y-1 [cos x sin! 4- 2 sin ж sint — t cos (x 4- t)]; 18) [0(1 4- x 4- t)(l 4- x 4-t) - 0(1 4- x - t)(l 4- x — t) 4- 4-0(—1 4- x - t)(-l 4- x - t) - 0(-l 4- x 4-t)(— 1 4- x 4- t)]. 12. 53. Указание. Воспользоваться формулами (10)-(13), за- дачей 12.50 и решением задачи 12.45, 1). 1) 0(1)Q- + + eQXchaat); 2) 0(t)[t3 (i In t — 4- 3х ch a./j ^Указание. V) — x X 0(at — |t|) * 0(t) t Ini 1(t).^; 3) 7^ [(1 - a2) t4 4- 6t2T2 4- 6(t 4- at)m 4- 6(ж - at)TO]; 4) [t4 4- &t2x2 4- 12cost • (sin t 4- cost)]; 5) [3(t 4- at)3 In |t 4- at| — 3(t — at)3 In — at| — 6ax2t — 2a3t3]; 6) 0(0 2 2'e+1 - 2' t sin (x 4-1) — sm x sin t 4------- 7) 0(t) [t - sin t 4- j arctg i 8) 0(t)|ef - t - 1 4- 2[1 + (я + q()2] 4- 2[1 + (я. _ Qf)2] J;
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 155 9) 0(t)[a(z2 + t2) +/3 + ~ ((ж + t)* * * 7/3 - (х - «)7/3)]; Ю) In (1 + е2х + 2e!Cch t) + J e~z? dz x—t xtm+2 . л (ж + t)"14-1 -(.X- t)m+1 -------г?-----г + sin x cos t + ------—----; (m+l)(m + 2) 2(m + l) 12) (~^-{(t2 - 1) arctg t + Z - Z In (/2 +1) + In [(Z2 + x2 +1)2 - 4Z2t2]}; 13) (cos x sin21 + y/1 + (ж + 2Z)2 + л/1 + (ж — 2Z)2) 14) [2x(t - sini) + (x + i)2e_l“+fl + (x - t)2e“l®_fl]; 15) 0(i)^e-:rZ_4<2ch42:i + + e~x |e2t cos (ж - 2t - - e-2< cos (ж + 2Z - 16) 0(t) [ sin2 x cos2 t + cos2 x sin2 t + + | e_l®_fl(l + |ж — Z|) — | е_1ж+<1(1 + |ж + t|)j; 1 17) d(t) x (t arctg t — In \/l + Z2) + 1________ 4 — 2 cos (ж +t) 4 — 2 cos (x — t) ’ 18) 0(t) e^sh t + x(e* — 1) — xt — tex + i In ж +1 + y/1 + (ж + 02 x — t + y/1 + (ж — t)2 12. 54. Указание. Воспользоваться формулой (10) и зада- чей 11.15, 2). 1) 2) 3) 0(at — |ж|) /. at + ^/a2t2 — |ж|2____________а______\ Э<^а(ж, t) 2тга2 \ П |ж| y/a2t2 - |ж|2/ dt 0(at — |s|) 4тга3 0(at — |ж|) 2тга '(2at2 + Ю 1п ^ + У(«у-к12 _ \ а / 1®! + ^2(х - T0,t); * —|ж|/а , . , /ш(т) ат y/a2(t - т)2 - |ж|2 + ^(х, t)\ 4) ||<‘‘ум> [<а( + m 111 + _ « у(а4)г_М21 + 2тга2 [ |ж| а + <^2(х - x0,t). 12.55. Указание. Воспользоваться формулой (10) и зада- чей 11.16, 1).
156 Гл. IV. Задача Коши 1) Ъ (х, t) + —, где & = Л- 6S , (х); 4тга2|я| ' dt 4тга2£ ^at v 7 2) 0(a(t - to) -- - а;0|) 4тга2|ж — жо| 3) Решение, и = V3 + В силу 8.35, 1) (Уз,<р) = *w(t),</>) = (^^<5sot(a:) -^(т),’?(а2*2-|ж|2) <p(x,t + r) ОО ( оо = R)//^ -оо 'О |ж|=а£ dSx dt dr. Так как dSx d(at) = dx — элемент объема в Я3, то ОО (^з,¥>) = I w(r) у -оо 1дз у(я, г + |я|/а) 4тга2|гс| йХ аТ^ Следовательно, оо = fl ^^r^x^dxdt- -ОО R3 cv(t - |ж|/о) (о) _ dS3(x,t) (1) _ dS3(x,t) 4тга2|х| ’ 3 дхь ’ 3 dt так как |т|2 = 2<5(ж); 4) Mat Ы) sil1 (*~ 1д1Л0 । Э^зСаМ) -|х|2 д6(х) _ 36(х) 1 'х'} 4^а2и + dXkdt, таккаке дХк -~д^- 12.59. Указание. Воспользоваться задачей 11.15, формула- ми (10), (14J, (143) и (151). 1) ^)(y+Ct + c); 2) 0(4^ + f a2t3 +2a2t2 + |ж|2(^ +t + 1)1; 3) Mn4a2*3+t(1+|a:i2)]; 4) 0(*)[| °2*3 + (4a2 + k|2)(i - 1 + e_f) + 1 + |t|2j. 12.60. У казани e. Воспользоваться задачей 11.16 и формула- ми (10), (142), (144) и (152). 1) 0(*)^^ + ^- + M2t + a2t3^; /a2t6 2) ^)(^ + nV 12
§ 12. Задача Коши для уравнения гиперболического типа 157 3) !w(r)(t — т)(1т + 0(t)(aa2t3 + + (3t)\ о 4) 0^ (H.+lL ln(|a;|+t) + (|ж|.^|-) In ([ж| — t) — 2|ж|2 In |ж| - З*2 ; A it |<С I [«A I ех f|T| /2 , И +af , |ж| — at \ ' 2|ж| V 1 + (|ж| + at)2 1 + (|ж| — at)2 )' 6) [(И + t) sin (|ж| + t)2 + (|z| - t) sin (|ж| - t)2 + +1 ch (|ж| + t)2 - | ch (|ж| - t)2]; 7) Ш (2t3 + 12И2 + 36a2t2 + 4т ln 12 у а|ж| 1 + (|ж| — at)2) 8) ад f с,№'“<р^ф+Муг/1 + (М + ^ + L |z|<t + hfeM + (H-*)2 Z|X| 9) 2е 1*12 /е ₽2sh2p|a:| dp + sin (Ы + t)2 - sin (|rc| — t)2 4|ж| / 10) ^[(kl + *)in(i + (M + O2) + + (|ж| - t) In (1 + (|rzr| - t)2) + e-^a:l2-t2)sh21|a;|J; 11) {8e_(l®l2+t2) (|ж| ch 21]x| — t sh 21 |t|) + + [(k| + t)2 In (|ж| +t)2 - (|a:| - I)2 In (|ж| - l)2 - 41|a;|] j; 12) 0(t) (t - sin 1 + cos (kl + aiC)2 + ~^2|а;|— COS ~ a^2)’ 13) ^p^[(k|-al)l?(.R-|k|-ai|) + (|a:|+al)l?(.R-|rE|-al)] (У к a- 2|я| з а н и e. Решение зависит только от |ж| и 1; подстановкой иг(г, 1) = = ru(r,t) свести задачу к задаче Коши для уравнения колебаний струны и воспользоваться формулой (12).); 14) ^(а1_|ж|)^У -Ш. OQ 12.61. Указание. Воспользоваться формулой (10) и зада- чей 11.18. 1) Решение, щ — Vi + где V f «’(at-lrrl) Г / b{x-at)\ ( b(x - |х|)\1. V1 = f - в(и - —ъ— [ехр I—~ ехр I-------------------’ Ух(°) = [^(ж) • <5(1) - и0(х) - <5(1)] = (1 - |)<?;
158 Гл. IV. Задача Коши Ыя) • <54*)] = * [<5(^) • ОД] = ~ = _ _L^+ ОД ~ к!) СХр( ь(»-оО| 2а 2 I 2а2 j где <?(#,£) определяется формулой задачи 11.18; 2) Щ) (е‘ 1) (х +1 — 3) + 3t — xt + ~ + + f)(x + t) el — в(х — t) — 0(t — |ж|) e^~x^2 3) 0(1) е‘(-1 +ж +1) - x - у + 2 4) 0(1) a / 1; f px 5> 2 2 (е‘- ае‘/“+а- 1) + °' + ° е*+“‘+‘/« + ~ ° + 1 e*~at a — 1 ' ' 2a2 + 1 2а2 + 1 a2 b + a2 (e(b+a2)t/a — 1) -I- e~at — 1 + P + + a(x — at) + (ebt/“ — 1 12.62. У Казани e. Воспользоваться задачей 11.21. 1) 2) 3) 4) 0(1- kl) Jo(y/P^) - Л(Vi^ Vi2 — x2 t-kl У w(t) Jo (У(1 - t)2 - x2 ) dr + 0 „, . xA-t ж2) +|<5(i-k|); t 2 — sin t — cos t + J Jo {y/t2 — £2) — t о ф e(x +1) + o(x -1) + 2 0(1 ~ kl) 2 * Л(уу^) о + fO(x- 0 (jo (л/t^) - t < 2 x/t2 — x2 x2 ) dr; 12.63. У Казани e. Воспользоваться задачей 11.22. 1) 1 e-^t - И) + е-‘0(1 - |Ж|) /о(л^^) + | ^<2~а;2-) 2) 2^^“kl)e-f / w(t) ет Jo (* \/(1 - о 3) од(1 + ^ /0(^-0 e^Jofy/t2^
§' 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности 159 § 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности Классической задачей Коши для уравнения тепло- проводности называется задача о нахождении функции w(t, t) класса C2(t > 0) П C(t > 0), удовлетворяющей при х G Rn, t > 0 уравнению ut = а2 Ди + f(x, t) (1) и начальному условию (2) u|t=o = «о(ж), где f и Uq — заданные функции. Если функция f 6 C2(t > 0) и все ее производные до второго порядка включительно ограничены в каждой полосе 0 < t < Т, а функция и0 е C(Rn) и ограничена, то решение задачи Коши (1), (2) в классе функций и(x,t), ограниченных в каждой полосе 0 < t < Т, существует, единственно и выражается формулой Пуассона “р {-’Ъг} * + + [ [----{ - exp I- // [2ау/тг(1 - г)] I k-EI2 1 4a2(t — т) J d£ dr. 13.1. Пусть функция и(х, t, to) принадлежит классу С2 при х € Rn, t > t0 > 0. Доказать, что функция u(x,t, to) при каждом t0 > 0 является решением задачи Коши Ut — U Ди, a|t—tg — тогда и только тогда, когда функция t v(x,t,t0) = Ju(x,t,r)dr io при каждом t0 > 0 является решением задачи Коши vt = а2 Ди + f(x,t), w|t=fo=0. 13.2. Пусть uk(xk,t) — решение задачи Коши ut = а2 Ди, u\t=o = fk(.xk), к=1,2,...,п. п Доказать, что функция u(x,t) — f] uk(xk,t) является решением за- дачи Коши *=1 п ut = а2Ди, it|t=0 = JI fk{xk). k=i 13.3. Пусть функция /(ж, t) £ С2 (t > 0) является гармоничес- кой по х при каждом фиксированном t > 0. Доказать, что функция t u(x,t) = f f(x,T) dr является решением задачи Коши о
160 Гл. IV. Задача Коши ut = a2 Ait + f(x, t), it|t=o = 0. 13.4. Пусть u0 ё C°°(Rn), а ряд 52 ту Afcit0(^), <5 > 0, и все ря- k=o ды, полученные из него почленным дифференцированием до второго порядка включительно, сходятся равномерно в каждой конечной об- ласти. Доказать, что функция ОО 2к к и(х, 1) = 52 Jt=O является решением задачи Коши ut = а2Ли, 0 < t < it|t=0 = и0(х). а* Решения задач 13.5-13.8 можно находить по формуле Пуассона, но иногда удобнее применить метод разделения переменных или восполь- зоваться результатами задач 13.1-13.4. 13.5. Решить задачи (n = 1): 1) Ut = 4uxx + t + ef, it|t=o = 2; 2) ut — uxx 4" 3i , it|t=o — sinT; 3) Ut = uxx + e-t cost, it|f_0 = cost; 4) Ut = uxx + ef sinT, it|t=o = sinT; 5) Ut = uxx + sin t, it|t=o = e-*2; 6) 4it, „2а:—x2. n|t=o — e , 7) ut — ^XX J it|t=o = xe~x ; 8) 4it, t — ^XX) it|t=o = sinTe-^ . 13.6. Решить задачи (n = 2): 1) ut = Au + ef, it|f=0 = cost siny, 2) ut = Au + sin t sin x sin у , it|t=o = 1; 3) ut = Au + cos t, w|t=o = хуе-^-У2-, 4) 8u t = Au + 1, it|t=o = e-^-^2; 5) 2u t = Ait, it|t=o = cos ту. 13.7. Решить задачи (n = 3): 1) ut = 2 Au +1 cos x, u|£-0 — cos?/ cos г; 2) ut = 3Ait + ef, It|t=o = sin(T-y-z); 3) 4u t = Ait + sin2z, it|t=0 = sin2.? + e_:i:2cos2y; 4) Ut = Ait + cos (x — у + z) , it|t=0 =e-(^-z)2; 5) ut — Au, n|t=o — cos (ту) sinz.
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности 161 13.8. Решить задачу Коши ut = &.и, iz|t=o = и0(х), х & Rn для следующих щ,'- 1) и0 = cos хк-, k=i 3) и0 = f ^4 е“1х'2; \fc=i / 2) ио = е-1х12; 4) и0 = (sin £ sd е~ Iх'2; \ k-i / Если решение и(х, t) классической задачи Коши (1), (2) и функцию f(x,t) € С продолжить нулем при t < 0, то и u(x,t) удовлетворяет в Rn+1 уравнению (в обобщенном смысле) ut = а2 Ди + f(x, t) + ио(х) • 6(t). (4) Обобщенной задачей Коши для уравнения теплопроводности с источником F(x,t) е &'(Rn+1), F = 0 при t < 0, называется задача о нахождении обобщенной функции и G 0', обращающейся в нуль при t < 0 и удовлетворяющей в Rn+1 уравнению теплопроводности щ = а2Аи + F(x, t). (5) Если существует свертка S* F, где S(x,t) = -— ехр 5-7-57 ? ’ (2ay/rt)n [ 4o2t J — фундаментальное решение оператора теплопроводности, то и = S* F есть решение обобщенной задачи Коши (5). Это решение единственно в классе обобщенных функций и(х, t), для которых существует сверт- ка S* и. Свертка V = S* F называется обобщенным тепловым потенциа- лом с плотностью F. В частности, если F = ио(х) 5(t), где ио € @'(Rn), то свертка у(°) = S(x, t) * Uo(x) 6(t) = S(x, t) * Uo(x) (если она существует) называется обобщенным поверхностным теп- ловым потенциалом с плотностью Uq. Тепловой потенциал V удовлетворяет уравнению (5). Обозначим через М класс всех функций, локально интегрируемых в _Rn+1, равных нулю при t < 0 и ограниченных в каждой полосе О < t < Т, х е Rn. 6 - 1389
162 Гл. IV. Задача Коши 13.9. Найти решение обобщенной задачи Коши (5) для следую- щих F: 1) 2) 6(t-t0)6(x-x0), t0 >0; 3) <$(/)• 4) <5'(i)-<5(T); 5) Z0>0; 6) 5'(t) 7) 6(t)-5(x)\ 8) 6(t —t0) -5(x — x0), t0 > 0; 9) 6'(t)-S(x~ xo); 10) cj(t) 5(x), где cu e C(t >0), lj = 0 при t < 0. 13.10. Пусть f(x,t) e M. Показать, что свертка V = S’* f : 1) существует в M и представляется формулой У(т, t) = [ [ ?- - exp (- | dr; (6) // [2а7^7)]” ^(t-r)f 2) удовлетворяет оценке |V(a:,t)| < t sup |/(£,т)|, t > 0; i 0<r<t 3) представляет собой единственное в классе М решение (обоб- щенное) уравнения Vt = а2 ДУ + f(x,t). 13.11. Пусть Uo(x) — ограниченная функция в Rn. Доказать, что свертка , , У<°) = <?(.т, £) *Uo(x) • 6(t) = <?(т, i) *Uo(x): 1) существует в M и представляется формулой р’,м=Дг/,’Н1^}* <7> v ’ R" 2) удовлетворяет оценке | У(о) (ж, i)| < sup |u0(£)|, < > 0; 3) представляет собой единственное в классе М решение (обоб- щенное) уравнения = а2ДУ(°) + ио(х) S(t). 13.12. Доказать, что решение обобщенной задачи Коши ut = а2 Д?х 4- f(x, t) + и0(х) 6(t) (8) выражается классической формулой Пуассона “(1’ ° = / “°® яр { + +н Ч~з^И<*г- (9) если функция / локально интегрируема в Rn+l и равна нулю при t < 0, функция ио локально интегрируема в Rn и оба слагаемых в формуле (9) локально интегрируемы в Rn+1.
§13. Задача Коши для уравнения теплопроводности 163 13.13. Доказать: 1) если f € С2 (1 > 0) и все ее производные до второго порядка включительно принадлежат классу М, то V = S’* f G С2 (t > 0) П П С1 (t > 0) удовлетворяет при t > 0 уравнению Vt = a2 AV + f(x, t) и начальному условию V|t 0 = 0; 2) если Uq(x) — непрерывная и ограниченная функция, то V(0) = ио = С°° (1 > 0) П C(t > 0) удовлетворяет уравнению = а2Д0°} и начальному условию v(o)lt=+o = Mo(z); 3) при выполнении условий 1), 2) функция и = V+0°\ где V, 0°) определяются формулами (6) и (7), есть решение классической задачи Коши (1), (2). Указание. Требуемые свойства непосредственно вытекают из формулы (8). 13.14. Найти решение обобщенной задачи Коши Ut = ихх + ц0(а:) • <5(1) для следующих Uq: 1) 0(х)- 2) 0(1-2); 3)0(1-|ж|); 4) 0(т)е“®; 5) 0(т)(т + 1); 6) 0(ж — 1)ж. Показать, что найденные функции u(x,t) при t > 0 принадлежат классу С°° и удовлетворяют уравнению щ = ихх, а при t —> +0 непрерывны во всех точках непрерывности функции uq(x) и в этих точках удовлетворяют начальному условию w|t=+o = и$(х). 13.15. Найти решение обобщенной задачи Коши Щ = ихх + для следующих f: 1) 0(t — 1)е*; 2) 0(1 —tt)cos1; 3) 0(1-1) х; 4)0(1 —2) е®; 5) 0(1) 0(ж); 6) 0(1) - 0(1 - |ж|). Показать, что найденные функции ы(т,1) принадлежат классу C(R2), удовлетворяют начальному условию u|t=o = 0, а в точках не- прерывности функции /(т,1) принадлежат классу С2. 13.16. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х € R1) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениеями классической задачи Коши (1), (2): 1) f = 0(t)x, 2) / = 0(1)Л 3) / = 0(1)221, 4) / = 0(1)3ж212, и0 — Uo = X\ До = х3 + х4, а — 1; и0 = е®, a = 1; в*
164 Гл. IV. Задача Коши 5) / = 6) / = 7) f = 0(t) Ini, 8) f = 0(t)x cost, 9) f = O{t)ex, 10) f = 0(t) xex, Uq = sh t; Uo = xex; Uq = x sinT, a = 1; Uq = x cost, a = 1; Uq = 0(x)x, a = 1; Uq = 0(t) t2, a = 1. 13.17. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х € R2) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) f = 0(t) xye*, 2) f=0(t)(x2 + y2), 3) f = 0(t)4xy, 4) f = 0(i) ex cosy, 5) f = 0, 6) f = 0(t) xy, Uo = X2~y2; u0 = x2 + y2; u0 = x2y2, a = 1; up = ex+y; Uq = X COS y, Uq — COSy. 13.18. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (т € R3) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) f = 0(t) xyez, 2) / = 6(t) ХУ cosz, 3) / = 0(t) xyz cos t, uq = xey cos г; u0 = (t2+7/2) cosz, a = 1; Uq = Xyz Z, 4) / = 0(t)(x2-2у2 + 22)е*, u0=x + y2+z3; 5) f = £?(£) cos t sin 3x cos 4ye5z, u0 = sin 3т cos 4«/e4z, a = 1. 13.19. Решить обобщенную задачу Коши (8) для уравнения теп- лопроводности (х G Rn) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши (1), (2): 1) f = 0(i)|T|2, 2) f = 0(t) f t2, 3) / = e(t)cS Uq = |t|2; n w0 = E k=l f n 'j Uq - exp Xk fi n Г n 1 4) f = 0, Wo = E xk exp < E xk ?; k=l lfc=l ) ( n \ f n 1 5) f = 0, Uq = [COS 22 Xk ) exp 22 Xk ?• \ k=l / I k=l )
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности 165 Уравнение щ — а2ихх — Ьих — си = f(x, t), где a,b,c — постоянные, заменой v(y,t) = e~ctu(y — bt, t) сводится к уравнению теплопровод- ности. 13.20. Найти решение задачи ut - а2ихх - bux -си = f(x, t), w|t=o = U0(x) со следующими данными: 1) / = 1, и0 = 1, с= 1; 2) / = е*, uq=coS3J, а = с — 1, Ь = 0; 3) / = е*, ио = cost, а = \/2, с = 2, b = 0; 4) 5) f = tsinx, ио = 1, а = с = 1, / = 0, и0 = е~х2; ь = о-, 6) f = uj(t) € С1 (t > 0), no € С и ограничена. 13.21. Найти решение обобщенной задачи Коши ut — а2ихх — bux — си = f(x, t) + и0 (ж) • 6(t) со следующими данными: 1) / = Щ - 1), U0 = Q(x), с V 0; 2) / = 0(*-1), Uq = 0(l-x), c = 0; 3) / = 0(t —1)е*, Uq = 0(1- к c#l; 4) / = 0(i-l)et, Uq = 0(т) ex, c — 1; 5) U0 = x0(x), а = 2, b — c— —2; 6) f = 0(t)0(x), U0 = X. Исследовать гладкость полученных решений, как и в 13.14, 13.15. 13.22. Решить обобщенную задачу Коши Ut — а?ихх — bux — си = f(x, t) + Uq(x) S(t) с нижеследующими данными и проверить, что полученные решения являются решениями классической задачи Коши Ut о uxx bux — cu = f(x, t), u|t=0 = Uo(x)'- 1) f = 0(t) x2, о Uo = x , a = b = с = 1; 2) f = f(t) VI ’ Uo = ex; 3) f = e\t)tex, Uo = xex, a = 2, b = —1, с = —2: 4) f = 0(t) xex, Uo = xe^ + sha:, a — c = 1, b = —2; 5) f = 0(i) e^cosi sinx, uo = ex cost, а = 1, b = —2, с = 2; 6) f = 0(t) Uo = x sinx, a = b = c = 1. 13.23. Пусть и(х, t) — решение задачи Коши ut = а2 Ди, u|f=0 = ио(х), где и0 е C(Rn) и |и0(т)| < Ме-'5^2, <5 > 0. Доказать, что при всех t > 0, х € Rn
166 Гл. IV. Задача Коши |Ц*,01 < М(1 + 4a2ft)""/2 exp 13.24. Пусть и(х, t) — решение задачи Коши ut = a2&u, u|t=o = ио(х), где uq(x) — финитная непрерывная функция. Доказать, что для лю- бых Т > 0, ё < 2 - существует М > 0 такое, что |u(a:,t)| < Ме~6^\ xeRn, 0<t<T. 13.25. Пусть izo € С(ДП) и |izo(^)| < , где 6 > 0. Доказать, что при 0 < t < —4-т, X е Rn, функция и^х’4) = /и°® ехр {"(10) Л" принадлежит классу С°° и является решением задачи Коши щ = а2 £м, 0 < t < u|t=0 = i«o(aO- 13.26. Доказать, что если условие задачи 13.25 выполняется для всех ё > 0, то функция (10) принадлежит классу С°° при t > 0, х G Rn и является решением классической задачи Коши щ — а2Аи, t > 0; w|t=o = и0(х). 13.27. Методом обобщенных функций решить задачу ut = а2ихх, t > 0, х > 0; u|t=o = и0(х), ц|ж=о = 0, где ио(х) еС(х> 0). Ответы к § 13 13.5. 1) 1 + е* + |<2; 2) t3 + е *sina:; 3) (1 + t) е~ь cost; 4) chtsina:; 5) 1 — cost + (1+ 41)"1/2 ехр CX /т । —1/2 f X "It) 6) (14-i) 1/2 exp 7) t(1 +4i)”3/2exp|-r^j; 8) (1 + <)-!/= sl„ _i_ a, 13 .6. 1) e* — 1 + e~2t cos x sin y; 2) 1 + i sin a: sin?/ (2sint — cost + e~2<); 5
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности 167 3) 4) 5) , , xy sin t + . - exp (l+4t)3 p t , 1 I s + 7rn“p1 1 xy - .---cos ----exp vT+i2 1 +12 1 13.7. 1) i cos a; (e 2t 4 v 2) 3) х2 + у2 (ж - у)2 ( х2 ехр < — t----- 4) 5) t(x2 + у2) ) 2(1+ t2) /’ — 1 + 2z) + cosy cosze~4t; e* — 1 + sin (a: - у - z) e~9t; isin2z+-^B 4 у/l +t ~ cos (x - у + z)(l - e-3t) + sin z xy , cos---------~- y/1 + 4t2 1 + 4t2 1 . exp Vl + 121 i . t(s2 + y2) 1 expt‘- nTT( (x + y- z)2 1 + 121 13.8. 1) e-"fcos £ xk; 2) (1 + 41)~11/2 exp fc=i (1 + 4i)-("+2)/2 exp|- (1 + 41)-’V2 sin (£ xk ) exp <1 + jt=i / 1 1 + 4nt И2 1. 1 + 4t J’ 3) 4) 5) Л=1 /) 1 - ;...... exp Vl + 4nt 2 nt + |х|2 1 + 4t 13.9. 1) 2) <?(x — Xq, t — to)-, 4 (&-£)^.0 + ^,0; r\ xk 2a2(t tg) rs, . , . a) W“lo)2 ( ’ o)’ 6) 7^2 (n + 2 - S-VCM) + 7 4a2t2 \ 2a2t/ v ’ dxk ’ t t—to 7) ^<э(х,т)(1т; 8) J <!?(x — x0,t) dr; о о 9) [a? — a?p |2 4a2t2 <£(x — Xo,t) + d(x — ajo, i); 10) Jw(t) ^(x, t — t) dr. о isi4-« "Ha}
168 Гл. IV. Задача Когии 13.15. 1) 0(t- 1)(е* — е); 3) 0(t — l)(t- 1)т; 5) f о Vv / 2) 0(t — 7г) sint; 4) 0(t —2)(e*-2 — 1) e®; e> ад/ 0L\v/ \v/j 13.16. У казани e. Для доказательства см. задачу 13.13, для нахождения решения см. текст перед задачей 13.5. 1) O(t)(t + l)x; 2) 0(t)(x2 + x2t + 2a2t + a2t2); 3) 0(t) [ж3 + x4 + 6t(x + 2т2) + t2(12 + ж)]; 4) 0(t)(x2t3 + 114 + еж+*); 5) 0(t)(|t3/2 + Лг); 6) 0(t)(2jt + (t + 2a2t) ex+a2t>); 7) 0(t)[tlnt — t + (tshit + 2tcosT) e-*]; 8) 0(t)[xcosx + 2sina;(e * — 1)]; e-:c2/(4t) + тФ 9) 0(t) ex(e' 10) 0(t) (2 — x)ex + (x+2t — 2)ex+t +x 13.17. У казани e. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 0(<)[т2 — у2 + ху(е1 — 1)]; 2) 0(t)[(T2+«/2)(t + 1) + 4a2t + 2a2t2]; 3) 0(t)(x2y2+2t(x + y)2+4t2); 4) 0(t')^tex cosy + ех+у+2а2^- 5) 0(t) xey cos 2; 6) 0(t)(xyt + cos ye~a2t\ 13.18. Указание. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 0(t)[xey cosz + e~2xyez(ea f — Vj\’, 2) 0(t) cos z [тг/( 1 — e-t) + (x2 + y2 + 4t) e~*]; 3) 0{f)\xyz sint + x(y2 + 2a2t)(z3 + 6a2tz)]; 4) 0(t)[x + y2 + z3 + 2a2t(l + 3z) + (x2 — 2y2 + z2)(e* — 1)]; 5) 0(t)[sin3T cos4ye4z {e~st +sintez)].
§ 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности 169 13.19. Указание. См. указание в ответе к задаче 13.16. 1) 0(£)[(1 + £)|ж|2 + na2t(2 + t)]; 2) 12 [(1 + О + 3a2i(2 +t) жд.]\ \fc=i / з) e(t) el - 1 + exp na2t + 52 xk < fc=i . 4) e(t) 5) e(t) 2na2t + 52 xk) exp [ na2t + 52 xk) ; \ fc=i / \ fc=i 7J (n \ / n \‘ 2a2nt + 52 xk ) exp I 52 xk I • k=i ) \fc=l /. 13.20. 1) 2e* - 1; 3) e2< — e* + e~2< cost; 5) (1 + 4a2t)“1/2 exp ct — 2) te* + cos t; 4) e* + -t2 sins; (x + bt)2 1 + 4a2t ’ 0 —oo 13.21. 1) ~ ff(t — l)(ect~c -l) + 0(< 2) 0(t-l)(z_l)+e(t)$(lz^ 3) в^_ {el - ect- 4) 0(t - l)(t - 1) e* + 0(t) е*+<(1+ь+а2)ф 5) 0(«-l)(Z- l)ex + + 0(t)e~2t 2./^-expf—— 6) 0(t) (t + bt) ect (ж — £ + bt)2 4a2t 'x + bt+2a2t de x + bt — 1 t 13.22 . 1) e{t)(2x-x2+ 2[1-х + {х + 1)2]е1\, (t . \ ex+t(a2+b+c) + J ±=ecTdT . o * T J 3) 0(t) [(1 + x + 7t) ex+t - (1+ t) ex]; 4) 0(/)[т(^4-1) +e2*sh (a; — 2t)]; 5) O(t)(cosx + sint sin.z) ex; 6) d(t)[l — x + (x + t — 1) e* + (x + t) sin(3: + t) + 2t cos (x +1)].
170 Гл. IV. Задача Коши 13.27. 1 f и0(у) ехр Г- - ехр (- + dy. 2ax/nt J \ 4а‘t ) \ 4a2t / v 0 L \ / \ ZJ § 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 1. Задача Коши для уравнения Шрёдингера. Для уравне- ния Шрёдингера постановка классической задачи Коши ut = гДд + f(x, t), u|f=0 = д0(ж) (1) и обобщенной задачи Коши щ = г Ди + F(x,t) (2) аналогична соответствующим постановкам для уравнения теплопро- водности (см. с. 159 и 161). Фундаментальным решением уравнения Шрёдингера является функция <?'(х, t) = Для задачи Коши (1) справедливы результаты, аналогичные тем, которые сформулированы в задачах 13.1-13.4. Будем говорить, что функция и(х, Г) принадлежит классу если она удовлетворяет оценке |ц(з:,г)| < с(1 + |ж|)А, х е Rn, t > 0, при некоторых с и А. 6(t) (г|а?|2 тгшЛ ехрЫ-“м/ 14.1. Доказать, что если и0(х) € ^(Я"), то функция и(х, t)=(2^f f МО dC dy (3) Rn Rn является решением задачи Коши ut = iAu, u|t=o = u0(x)~, (4) u(x, t) € C°° (t > 0); u(x, t) E S^(Rn) при каждом фиксированном t > 0; для любых а и fl функции xfl Dau(x,f) равномерно ограничены по х е Rn, t>0. 14.2. Пусть и(х, t) — решение задачи Коши (4). Доказать, что для любого Т > 0 функция v(.r, t) = и(х, Т — t) является решением задачи Коши vt — —i&v, 0 < t <Т; v|t=T = uo(x)- 14.3. Пусть u(x,t) и v(x,t) — решения задач — iuxx, w|t=o — ^o(*c), (5) Vt = -ivxx, 0 < t < T, v\t=T = v0(x),
§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 171 причем и(х, t) € а функция v(x, t) находится с помощью формул задач 14.1 и 14.2. Доказать, что У ио(х) v(x, 0) dx = у и(х,Т) v0(x) dx. R1 Л1 Указание. В равенстве т 6 У у v(x, t) <pg(x)\ut(x,t) — шжж(т,£)] dx dt = 0, о -<5 где функция <ps(x) та же, что и в задаче 6.5, интегрированием по час- тям избавиться от производных функции и(х, t) и перейти к пределу при ё —> оо. 14.4. Доказать единственность решения задачи Коши (5) в клас- се S?. Указание. Воспользоваться результатом задачи 14.3. Решение задачи Коши (1) единственно в классе S? (для п = 1 см. задачу 14.4). В задачах 14.5-14.10 рассматриваются решения только из этого класса, причем существования utt не требуется. 14.5. Пусты7,0(х) € Сп+1(Дп), |ж|п+3|ио(а:)| < М, |ж|п+1 |D“it0(a:)| < < М для всех а, |о| < п -I-1. Доказать, что решение задачи Коши (4) существует и выражается формулой (3), которую можно записать в виде , 1 ( ™i\ Г = ТЦШ J (утгЧ <* Rn 14.6. Пусть ио(х) € С'ДД1), а > 2, u$(x) = 0 при |ят| > 1 и |идГ\я:)| < М, г < а. Доказать, что решение задачи Коши (5) принадлежит классу С°° (t > 0) и < СМ(1 + |я:|)2+г-“, г = 0,1, ...,а - 2, для всех х € R1, t > 0. 14.7. Пусть ио(х) 6 (^“(Д1), |иоГ\т)| < С(1 + |т|)А, г < а, а > 2, А < а — 5. И пусть Uk (х, t) — решение задачи Коши — i'U'xx, гф=о = и0(х) е(х - к), где функция е(х) та же, что и в задаче 6.4. Доказать, что решение задачи Коши (5) существует, выражается формулой
172 Гл. IV. Задача Коши оо u(x,t) = 57 Uk(,X,t) к~—оо и |u(a:,i)| < Ci(l + |т|)“ 2 для всех х € Я1, t > 0. Указание. Используя результат задачи 14.6, показать, что |„ (Т Л| < С1(2+К < Ci(i + Hr~2(2 + |fc|)A 1 Н ’ Л - (H-ls-fcDo-2 - (1 + |fc|)«-2 14.8. Пусть ио(х) € С1 (I?1) и J |тио(я:)| dx < оо. Доказать, что я1 решение задачи Коши (5) существует и выражается формулой (х-«)/(2л/1) u(x,t) = |[u0(+oo) +u0(-oo)] + -^=е-7гг/4 [ и'0(£) f e^dyd^. х/7Г J J Я1 о 14.9. Пусть ио(х) = ега1х1 , где а — действительное число, х Е Rn. Доказать, что при а > 0 существует решение задачи Коши (4), а при а < 0 решение существует только при 0 < t < — -i-. Найти это решение. ° Результат этой задачи сравнить с результатом задачи 14.7 при п = 1 в случаях а = 0, ±1. 14.10. Решить задачи: 1) ut = гихх + tx3; 1 2) Ut — iuxx, 0 < t < — 3) ut = г Au + x cos t — y2 sin t; 4) ut = iAu + 6x + y2 + iz3; 5) ut = «Alt; it|t=o = ж4; u|t=o = xe"“2; w|t=o = x2 +y2-, w|t=o = г (x3 + y3 + z3); i4|t=0 = e-kl2, x€Rn. 14.11. Найти решение обобщенной задачи Коши (2) для следую- щих F Е S>'(Rn+1): 1) <5(t)-<5(T); 2)5(0 ^; 3) 0(t) • ё(х 4- я?о), n = 1; 4) 6(t — to) ё(х), п = 1, to > 0. 14.12. Найти решение обобщенной задачи Коши Щ = iuxx + /(ж, t) + и0(х) d(t) при t > 0 для следующих / и и0 (/ = 0 при t < 0 и задается только для t > 0): 1) / = в(х), ио = 0(х)-, 2) / = 6>(t-l), и0 = #(1 - |т|); 3) / = 6(t — тг) sint, ио = x2- 4) / = Uo = cosx; 5) / = 6(t — l)(e* — e), ito = x sin a:. Доказать, что функции u(x,t), найденные в задаче 14.12, 3), 4), 5), являются решением классической задачи Коши.
§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Курса 173 2. Задача Коши для уравнения utt = —А?и + /(a:,t). 14.13. Пусть и(ж,1) € С4 (t > 0). Доказать, что функция u(x,t) является решением задачи Коши utt = —A2u; w|t=o = ut\t=o = 0 тогда и только тогда, когда функция t w(x, t) = и(х, t) + i J Au(j, t) dr о является решением задачи Коши wt = tAw; w|t=o = 14.14. Пусть функция w(x,t) € C4 (t > 0) является решением за- дачи Коши wt = iAw; w|t=о = <p(x), где <p(x) — действительная функция. Доказать, что функция u(x,t) — = Rcw(x,t) является решением задачи Коши utt = -A2w; u|t=o = ut|t=o = 0. 14.15. Пусть функция f(x,t) Е C4(t > 0) является бигармоничес- кой (А2/ = 0) при каждом t > 0. Найти решение задачи Коши utt = - A2it + f(x, t); u|t=o = 0, ut|f=o = 0. 14.16. Пусть uo(x) и ui(x) — бигармонические функции. Найти решение задачи Коши ии = -A2u; u|(=0 = и0(х), ut|t=o = Д1(ж). 14.17. Пусть функция w(x, t) Е С4 (t > 0) является решением за- дачи Коши wt = iAw; w|t=0 = <р(х), где <р(х) — действительная функция. Найти решение задачи Коши utt - -A2u; u|(=0 = 0, u«|t=o = 14.18. Пусть функция w(x,t) Е С4 (t > 0) является решением за- дачи Коши wt = IAw; w|t=o = У’(ж), где <р(х) — чисто мнимая функция. Найти решение задачи Коши utt = -A2u; it|t=0 = <р(х), ut|t=0 - 0. 14.19. Пусть uq(x) E Cn+3(Rn), |ж|п+5|и0(я:)| < M, |ж|п+1 |P°Uo(i)| < < M, |a| < n + 3. Доказать, что решение задачи Коши
174 Гл. IV. Задача Коши ип = -A2u, u|t=o = М^), «t|t=o = О существует и выражается формулой , If /|к-£|2 7гп\ = (i?Sr J “°® “Ь - т) Указание. Воспользоваться результатами задач 14.5 и 14.14. 14.20. Решить задачи: 1) Utt = -5-7 + 6teJ; dx4 n|t=o — 0, Ut\t=O = x4 2) Utt = —P^u + xyel\ u|t=o = x2y2, Ut\t=O = 0; 3) Utt = —k2u + 6т2у2 z2; n|t=o = 0, Ut |t=O = 0; 4) Utt = 0<t< dx4’ U < . 1 ' 4’ u|t=0 = COST2, Ut |t=O = 0. 3. Задача Коши для уравнения —— = Р(г—-)w. Класси- ТЛ ut \ OX J ческая задача Коши для уравнения л f ’ ® \ j. г\ л— р>1 —— Р(г——)w, t > 0, х е R , dt \ dxJ (6) где Р(ст) = uq(jn + ai&N 1 условием + ... 4- aN, Oq ф О, N > 2, с начальным u|t=0 = и0 (х) (7) ставится в классе функций u(x,t) € С (t > 0), у которых при t > 0 ди dN и существуют непрерывные производные и — U L их Задача Коши (6), (7) называется поставленной корректно в классе У (определение класса У см. §9), если для каждой функции и0(т) G 5х'существует единственное решение задачи (6), (7), которое при каждом t > 0 принадлежит классу и убывает при |т| —) оо вместе со своими производными, входящими в уравнение (6), быстрее любой степени |т|-1 равномерно относительно t в каждом интервале 0 < t < Т < оо. 14.21. Пусть задача Коши (б), (7) поставлена корректно в клас- се У И сю ц(сг, Г) = F[u(t, £)] = У u(x,t)elx°dx, —оо где u(x,t) — решение задачи (6), (7). Доказать, что функция v(a,t) при каждом t > 0 принадлежит классу и является решением задачи = Р(ст) v, ц|(=0 = F[uo(z)]. (8)
§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 175 14.22. Пусть ио(х) € У и ReF(cr) < С < оо (А) при всех действительных а. Доказать, что функция ОО оо u(x,t) = I ^tP{a)~ixa I (9) —оо —оо является решением задачи (6), (7), принадлежит классу C°°(t > 0) и при |х| —> оо убывает вместе со всеми производными быстрее любой степени |т|-1 равномерно относительно t > 0. 14.23. Доказать, что условие (А) является необходимым и доста- точным для корректности постановки задачи Коши (6), (7) в классе У. Указание. Для доказательства необходимо показать, что если условие (А) не выполнено, то существует такая функция Uq(x) € <!?, для которой решение задачи (8) не принадлежит классу У. 14.24. Пусть задача Коши (6), (7) поставлена корректно в клас- се У. Доказать, что ее решение выражается формулой (9), которую можно записать в виде u(x,t) = J uq(£)G(x — £,t)d£, (10) — ОО G(x,t) = ^~ 7 etpG)-ixo (п) 2тг J —оо Указание. Воспользоваться оценкой |G(rr, t)| < Ct~r^N. 14.25. Пусть условие (А) выполнено, uq(x) € С,Л?42(Д1) и У |ио*\я:)| dx < оо, к = 0,1,..., N + 2. —ОО Доказать, что решение задачи (6), (7) существует, выражается формулой (9) (или формулами (10), (11)) и функция u(x,t) ограни- чена при t > 0 вместе со своими производными, входящими в уравне- ние (6). 4. Задача Коши для уравнения первого порядка. 14.26. Решить задачи: 1) щ + 2их + Зи = 0, 2) ut + 2их + и = xt, 3) 2ut = их + хи, 4) 2щ = их — хи, 5) ut + (1 + х2) их — и = 0, 6) ut + (1 + t2) их+и= 1, и|«=о = х2; u|t=o = 2 - х; n|t=o = 1; u|t=0 = 2хех2/2; u|t=o = arctgrr; u|t=o = e~x;
176 Гл. IV. Задача Коши 7) ut = их + ——5 и, 1 + х2 8) 2tut + хих — Зх2и = О, u|t=o — 1; u|t=i = 5т2. 5. Задача Гурса. Формулировку постановки задачи Гурса см. в книге: Владимиров В. С. Уравнения математической фи- зики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1985. 14.27. Доказать, что задача Гурса Дху = 0, 0 < у < ах, х > 0, у > 0; u|y=o = f(x), и\у^ах = g(x) имеет единственное решение и(х,у) = /(ж) +#(-) - f(-\ \ОС/ \О!/ если функции f(x) и д(х) принадлежат классу С2 (х > 0) П С (х > 0) и /(0) = ^(0). 14.28. Доказать, что задача Гурса 1^ = 0, х > 0, 5 > 0, u\y=0 = f(x), и\х-0 = д(у) имеет единственное решение и(х,у) = f(x) + g(y) — /(0), если функции /(ж) и д(х) принадлежат классу С2(а:>0)ПС(1>0) и /(0) = р(0). 14.29. Доказать, что решение задачи Гурса иху = 0, у > ах, х > 0, а < 0; — 0, — 0 не единственно. Показать, что множество всех решений этой задачи имеет вид . и{х,у) = /(ж) - /(-), \CtJ где /(ж) — любая функция из класса С2(Л1), равная нулю при х < 0. 14.30. Доказать, что задача Гурса иху = 0, 0 < у < д>(х), ж > 0; ц|у=о f(x), u| y=<fi(x) имеет единственное решение и(х,у) = f(x) +g(v~1(y)) - f если функции f(x),g(ж), <р(ж) принадлежат классу С2 (х > 0) П С(х > 0), /(0) = 5(0), <р(0) = 0, д>'(х) > 0, 5>-1(5) — функция, обратная к функции д>(х). 14.31. Пусть функции <р(х), ip(x) принадлежат классу С2 (ж > 0) Г) ПС(ж > 0) и <^(0) = V;(0)- При каких действительных значениях а задача Гурса
§ Ц. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 177 UUXX + иуу = 0; х > 0, У > О, u|j,=o = и|ж=0 = имеет единственное решение? Найти это решение. 14.32. Для каких положительных значений параметра b задача иц = а2ихх; 0 < t < bx, х > 0, о — 0, — О имеет только нулевое решение? В задачах 14.33-14.55 требуется найти решение поставленной за- дачи Гурса и доказать единственность этого решения. 14.33. "Ь ^Х —* X > о, У > 0; и|з=О = У2, и 1у=о = X2. 14.34. иХу 4- х2уих = 0, х: > 0, У > 0; = 0» и 1у=о = X. 14.35. ^ху ^у ~~ 1? X > о, У > 0; Мя=о = и\ 1у=о = Ф(х), где функции tp(x), чр(х) принадлежат классу С2 (х > 0) П С (х > 0) и ф(0) = ^(0). 14.36. иху + хих = 0, х > 0, у > 0; и|а:=О = ф(^), w|j,=O = ’Ф(х), где функции ^(ж), Tp(x) принадлежат классу С2 (х > 0) П С(х > 0) и ф(0) = V(0)- 14.37. *2ихх %Uyy 4- их -р Uy — 0, у > |ж|, х — 1, —х — (х + 1) е . 14.38. %ихх -J- иху Uyy “Г их “Г Uy — 0, — -х<у<х, х > 0; ufy=х — 14* Зж, 14.39. ихх 4* fxuXy 4* ^Нуу — 0, и|у=ж = У’(ж), —ж/2 1- х < у < 5т, U|j/=5a: = V’(z), х > 0; где функции ip(x), tp(x) принадлежат классу С2 (х > 0) Л С(ж > 0) и ф(0) = ^(0). * 14.40. ихх 4- уиУу 4- - иу = 0, ~~х2<у<0, х > 0; о — 0, а:2/4 х • 14.41. С Uyy - 0, Мг=О = У2, у > е х, х > 0; ц|т/=—е-г = 1 4- х2.
178 Гл. IV. Задача Коши 14.42. 14.43. 14.44. 14.45. 14.46. 14.47. 14.48. 14.49. 14.50. 14.51. 14.52. 14.53. 14.54. уихх + (х-у)иХу-хиУу-их + иу = 0, G<y<x, и|у=о = о, = 4ж4. хихх + {х ~у) иху - уиуу = 0, 0 < у < х, : у=0 — О, У ихх “Ь иху — 0, у «1^=2 = Зж + 8, х2ихх - y2Uyy = О, -— X. - 8 < Зх <у3, ^|зж—у3 * Ujx = l — 1, Uxx ‘ У Uyy~\~XUx yUy — О, w| у=\/х О < у < 2; 1; Зз? Uxx 2>Х Uxx UxX Uxy + 2хуиху — У2иуу = О, 1 - <у <х, X = 1 + In X. = у2- ufx=y У-) ^|жу3 = 1 4“ 2хуиху у Uyy — О, и|у=ж = о, и|у=1 = cos — 2 sin хиху — cos2 хиуу — cos хиу = О, |у — cos ж| < х, ж > 0; x4-cos х — COS и]у=~ x-j-cos х — СО8Ж. 'U'XX '^'УУ 1; иу) — 1> о, и|ж=2 = 2 + 2у + ^у2. 2 п - - их = 0, у > X 1 Я-J X 2 + ~^и = о, у : х/ = 1, 4 Uxx И'УУ ^у=х иху — 1, ах < у < fix, ^|1/=о:ж — О, иХу = О, X2 < у ’ W|x=l = У- х > О, О и\у~рх — 0. 2х2, х > 0; yz=x2 — j ^1у=2х2 —
§ 14- Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 179 14.55. иху = 0, х4 < у < х2, 0 < х < 1; U^y~x2 — О, ^|у=а:4 ж(1 З:). 6. Задача Коши для квазилинейных уравнений. 14.56. Найти решение задачи Коши ut + иих =0, t > 0; it|t=o = signa:, непрерывное для t > 0, |a: | +1 ф 0 и непрерывно дифференцируемое при t / |ят|. 14.57. Найти решение задачи Коши ( а при х < 0, щ + иих = 0, t > 0; u|t=o = ( I (3 при x > 0, где а, Д(> а) — постоянные, непрерывное для t > 0, |а?| + t / 0 и непрерывно дифференцируемое вне прямых t = х/а, t — х/(3. 14.58. Доказать, что задача Коши для уравнения Бюргерса Ut И- иих — и ихх с начальным условием it|t=o = ио (х) подстановкой и = —2а2 — сводится к задаче Коши v . ( х Vt = a2vxx, v|t=0 = exp < - — J u0(£) d£ >. I о 14.59. Пусть и — решение задачи Коши ut + иих = e:uxx, ii|t=0 = sign x, непрерывное при t > 0, |х| +1 ф 0 и непрерывно дифференцируемое при t > 0. Доказать, что это решение при е —> +0 стремится к решению задачи 14.56 (теорема Э. Хопфа). 14.60. Проверить, кто решением уравнения Кортевега-де Фриза ut + биих + 'U'XXX — 0 является функция и(х, t) =-----2=—~----------> а > 0, 2ch2 (х — хо — at)] описывающая «уединенную волну» (солитонное решение). Показать, что это решение с конечной энергией ОО I № + их) dx < —оо 14.61. Для уравнения Лиувилля utt ~ ихх = деи, д > 0, проверить следующие утверждения:
180 Гл. IV. Задача Коши 1) функция , . I а2(1 — а2) u(x,t) — In -----=—*----------- 2g ch2 (к — х0 - at)j 0<а< 1, является решением при всех х и t; 2) функция Ц(М)=1п д[у>(ж + t) - ip(x - t)]2 является решением при любых <р и ip таких, что tp,ip Е С3, tp'ip' > 0; 3) функция u(x,t) = | [lio(^ + Г) + ио(х — t)] — In < cos2 2^—|—£ “ * У1 f eu^/2d£ - x—t _L является решением задачи Коши с начальными условиями если u|t=O = U0(x), Ut|t=o = 0, 14.62. Проверить, что для уравнения Utt ~ ихх = —gsinit, g > 0 функция , . . I ./о (х — хо — at) 1 и(х, t) = 4 arctg exp <± ——-д "д—~ р 0 < а < 1, является решением с конечной энергией ОО I № + и2) dx < оо. — ОС 14.63. Проверить, что решением нелинейного уравнения Шрёдингера iut + ихх + p|it|2it = 0, v > 0, является функция exp {i [| х - (£-«)*]} u(x.t) = \-------- ;--------- , V v ch [^/а (х — хо — at)] а > 0. Ответы к § 14 14.9. (1 + 4at)~n/2 exp 14.10. 1) х4 + t2 x3 — 12^ + itx (12т 4-12); X I IX I ) (1 - 4t)3/2 eXP I 1^4tJ’
§ Ц. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса 181 3) x sin t + x2 + y2 cos t + 2i(t + sin t); 4) i (ж3 + у3 + z3) — t (Gy + Gz — y2 — iz3) + t2(i — 3z); 5) (vT+4it)“nexp г j, 0 < arg 2) t-t0 4) у £(x, t) dr. о x/(2y/t) . . . . I у егу2 dy + J J егу2 dy dr); \ —oo 0 —oo / (х+1)/(2\Л) 2) 0(t - l)(t - 1) + e~™74 j eiy2 dy- 3) x2 + 2it - 0(t — тг)(1 + cost); 4) 2yft + cosxe~lt-, 5) 0(t - l)(e* - e — te) + (ж sin ж + 2it cos ж) e~lt. t 14.15. J(t — t) f(x, t) dr. о 14.16. Uo(x) + tui(x). t 14.17. Re у w(x,r)dr. 14.18. ilmw(x,t). 14.20. 1) tж4 + t3 (ж3 - 4); 2) 3) 3x2y2z2t2 ~2(x2+y2 + z2)t4- .. 1 ( 1 x2 . 1 7 2 \vTT4t 1 + 4t 14.26. 1) (ж — 2i)2e~3t; 14.11. 1) £(x,t)- t 3) J ё(х + хо,т)<1т; о 14.12. 1) 4=е х/тг t ж/(2л/т) “ * w2 5) (arctgz — t) е4; тг 2 х2у2 — 4t2 4- ху(е1 — 1 — t); у/1 -М, 2) 4) 6) ж2 \ COS ---— I. 1 — 4ty 4 — x — 2t + xt — 2e-4; (2ж + t) exp |1 ж2|; 1 — 4 1М- 5x2 ( — exp | 14.31. <p(x - ay) — tp(—ay) + a < 0. 14.32. b < a 7) 8) Зк2(< - 1) 2t
182 Гл. IV. Задача Коши 14.33. у2 + |х2(1 + е~У). 14.34. у ехр {-lf2y2J <%. о 14.35. у + V’(s) + [</?(?/) - 9?(О) - у] е~х. 14.36. lp(y) + f О 14.37. (1 + | х - ~ у} ехр || (х - у)}. 14.38. 1 + (х + 2у) ехр || (у — ж)}. 14-39. +^(^) -^(0). 14.40. 2ху/—у. 14.41. х2 + (у — 1 + еж)2. 14.42. ху(х + у)2. 14.43. у. 14.44. Зх + у3. 14.45. х. 14.46. ./rry + - In —. ___________ 2 у 14.47. У?. 14.48. у cos —. У 2?/ , . . „ 4 . о X У — COS X 14.49. - 1 + 2 cos - cos -—---. 14.50. i (x + у)2. У Казани e. Сделать замену и = —-— и. * х -у 14.51. 2 —у. Указание. Сделать замену и =- v. х у 1 14.52. -. Указание. Сделать замену и = — V. 14.53. (у - ах) (fix - у). 14.54. |т4 — х2 +у - ^у2. 14.55. х — у/у. 14.56. —1 при х < —t; +1 при х > t; при х < t. У к а з а и и е. Искать решение в виде f 14.57. (у. при а? tex у {3 при з> >*** у при tex х
Глава V КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Пусть S — гладкая поверхность, ограничивающая область G € Rn, и пх — внешняя нормаль к S в точке х G S. Функция и имеет правиль- ную нормальную производную на S изнутри S, если существует lim ди(х') _ ди(х) _ ди х'^х дпх дпх дп х'еСГ}(—п;г) равномерно по всем х G S. I. Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа: найти гармоническую в G С R3 функцию и G C(G), при- нимающую на S заданные (непрерывные) значения Uq . II. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области Gi = R3\G функцию и G C(Gi), u(oo) = 0, принимающую на S заданные (непрерывные) значения иJ. III. Внутренняя задача Неймана: найти гармони- ческую в G С R3 функцию и G C(G), имеющую на S заданную (непре- рывную) правильную нормальную производную щ . IV. Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в Gi функцию и g C(Gi), u(oo) = 0, имеющую на S заданную (непре- рывную) правильную нормальную производную и^. Задачи I, II и IV однозначно разрешимы. Решение задачи III опре- делено с точностью до произвольной постоянной, причем J Uj dS = О s — условие ее разрешимости. Аналогично ставятся задачи I-IV в А2, за исключением того, что для внешних задач от решения требуется лишь ограниченность при —> оо. Задачи I и II однозначно разрешимы. Решения задач III и IV определены с точностью до произвольных постоянных, причем У ufdS = О S — условие их разрешимости.
184 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа § 15. Задача Штурма—Лиувилля Рассмотрим краевую задачу = -(р(ж) ?/'(ж))' + q(x) у(х) = /(ж), (1) {а1у(а)-а2у'(а) = О, (2) 01У(Ъ) + (32у'(Ъ) = О, где al + а% О, (З2 + [3‘Z, 0, р е С’1([а, 6]), р(ж) 0, q Е G([a, 6]), f € С(а, Ь) П L2(a, b). Обычно в физических задачах выполняются условия 0102 > 0, /31/32 > 0, р(ж) > 0, q(x) > 0. Область определения ML оператора L состоит из функций у(х) класса С2(а,Ь)ПС1([а,Ь]), у" Е L2(a,b), удовлетворяющих граничным условиям (2). Задача о нахождении тех значений Л (собственных значений оператора L), при которых уравнение Ly = Ху имеет ненулевые решения у(х) из области определения ML (собственные функции, соответствующие этим собственным значениям), называется задачей Штурма-Лиувилля. Если Л = 0 не есть собственное значение оператора L, то решение краевой задачи (I) в классе ML единственно и выражается формулой ь у(х) = у G(x,e)/(e)de, а где G(t, — функция Грина краевой задачи (1)-(2) или оператора L. Функция G(t, £) представляется в виде _ 1 (У1 (ж)У2 (£)’ а^х^Ь (.*£) С) —' 11 k 12/1 (€)3/2(ж), £<х<Ь, где yi(x) и у2(х) — ненулевые решения уравнения Ly = 0, удовлетво- ряющие соответственно первому и второму граничному условию (2), k = р(х) w(t) = р(а) w(a) 0, х Е [а, 6], , . У1(х)У2(х) «W = Ч \ Ч \ уАх)У2(х) — определитель Вронского. Краевая задача г . . Ly = Ху + f, где f Е С (а, Ъ) Г) L2(a,b) при условии, что Л = 0 не есть собствен- ное значение оператора L, эквивалентна интегральному уравнению ь ъ у(х) = А у G(x, е) у($ d£ + f G(x, О /(О а а
§15. Задача Штурма-Лиувилля 185 Этот метод иногда можно применять и к задачам с вырождением, когда р(х) обращается в нуль или бесконечность или q(x) обращается в бесконечность на одном из концов отрезка [«,/>]. 15.1. Найти функцию Грина оператора L на интервале (0,1) в следующих случаях: 1) Ly = -у", 2/(0) = 2/(1) = 0; 2) Ly = -у", 2/'(0) = 2/(0), 2/'(1) + 2/(1) = 0; 3) Ly = -у", 2/(0) = hy' (0), /г>0, 2/(1) =0; 4) Ly - -у" - у, 2/(0) = 2/(1) = 0; 5) Ly = -у” - у, 2/(0) = 2/'(0), 2/(1) = 2/'(1); 6) Ly = -у” + у, 2/(0) = 2/(1) = 0; 7) Ly = -у” + у, 2/'(0) = ?/'(!) = 0. 15.2. Найти функцию Грина оператора L на интервале (1,2) в следующих случаях: 1) Ly = -х2у" - 2ху', 3/'(1) = о, 2/(2) = 0; 2) Ly = -ху" - 2/', 3/'(1) = о, ?/(2) = 0; 3) Ly = —х3у" — Зх2у — ху, ?/(1) = 0, 2/(2) + 22/42) = 0; 4) Ly =—х4у"— 4х3у'— 2х2у, 2/(1) + 2/'(1) = 0, 2/(2) + 32/'(2) = 0. 15.3. Найти функцию Грина оператора L на интервале (0, —J в следующих случаях: 1) Ly = -(cos2 х -у')', 2/(0) = 0, = 2) Ly = — , 2/(0) = 0, = \cosxj \4/ 3) Г?/= — cos2 ж ?/" + sin 2ж • ?/', 2/(0) = 2/'(0), у + у' Q) = °. 15.4. Найти функцию Грина оператора L на интервале (0,1) в следующих случаях: 1) Ly = -(1 + ж2) у" - 2ху', ?/(0) = У(0), 2/(1) = 0; 2) Ly = — (1 + ж2) y" — 2xy', 2/(0) = 0, 2/(1) + 2/'(1) = О; 3) Ly = — (3 + ж2) y" — 2xy', 2/(0) = 2/'(0), 2/(1) = 0; 4) Ly = -(ж + 1)22/"-2(ж+1) y'+2y, 2/(0) = 2/(1) = 0; 5) Ly = - ( y' + 3y \x — 2/ (ж ~ 2)3 ’ ?/(0) = 0, 2/(1) = 0; 6) Ly = — (4 — ж2) у" + 2xy', 2/(0) = 2/(1) = 0; 7) Ly = -(xy')' + ±y, 2/(0) = 2/(1) =0; 8) Ly = 1 „ , 2 , 2 —2 У + — У ~ 7ДУ’ Хг Хл X 2/'(0) = 2/(1) = 0.
186 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 15.5. Найти функцию Грина оператора L на интервале условии |у(0)| < оо, 2/(^) = 0 в следующих случаях: Р> i) п₽и 1) Ly = — (tg2a; - у')'- 2) Ly= —(tg x-у')'. 15.6. Найти функцию Грина оператора L на интервале (о, в следующих случаях: 1) Ly = — cos2 х у" + sin 2а: • у', 2) Ly = — sin2 х-у" — sin 2а: • у', 3) Ly = — sin2х-у" — sin2а:• у', 2/(0) = О, |?/(jj| < оо; |2/(0)| < оо, 7/^ = 0; |2/(0)| < оо, 2>(f) + y'(f) = 0- 15.7. Найти функцию Грина оператора L на интервале (0,1) при условии |?/(0)| < оо в следующих случаях: 1) Ly = —х2у" — 2ху + бу, 2) Ly = -у" + У, 3) Ly = -х2у" - 2ху' + 2у, 4) Ly = -(ху')', 5) Ly = -ху" - у', 6) Ly = —х2у" — 2ху' + 2у, 7) Ly = —х2у" — 2ху' + 2у, о\ т и I а (а 1) _| 8) Ly = -у" + у, а > 1, 7, ?/'(1) + 3?/(1) = 0; 2/(1) = 0; У'(1) = 0; 2/(1) = 0; 2/'(1) +2/(1) = 0; 2/(1) + 2/'(1) = 0; 22/(1) + 2/'(1) = 0; 2/(1) = 0; 9) Ly = —(ху')' + (1 + х) у, 2/(1) = 0. 15.8. Найти функцию Грина оператора Ly — —х4у" — 4х3у' — 2х2у на интервале (1,3), если у(1) + т/(1) = 0, 2у(3) + Зу'(З) = 0. 15.9. Найти функцию Грина оператора L на интервале (0,1) в следующих случаях: 1) Ly = — (е~х2 ^у')' + е~х2/2у, 2) Ly = —ех2у" — 2хех2у', 3) Ly = -у" + (1 + а:2) у, 2/(0) = 2/(1) = 0; у(0) = 22/40), 2/(1) = 0: 2/(0) = 2/'(1) = 0. У казани е. Частное решение уравнения — у" + (1 + х2)у = 0 можно искать в виде у = ez^. 15.10. Найти функцию Грина оператора Ly = — (y/ху')' + За:-3/2?/ на интервале (0,2), если |?/(0)| < оо, у(2) = 0. 15.11. Найти функцию Грина оператора Ly = — (а:+1) у" — у1, если |2/(—1)1 < оо, 2/(0) = 0. 15.12. Найти функцию Грина оператора Ly = —х2у" — ху' + п2у, если |?/(0)| < оо, 2/(1) = 0. 15.13. Найти функцию Грина оператора Ly = —[(а:2 — 1) у']' + 2у, если |2/(1) | < оо, 2/(2) = 0.
§ 15. Задача Штпурма-Лиувилля 187 15.14. Свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному урав- нению в следующих случаях: 1) Ly = —(1 + ех)у" — еху' = Хх2у, 0 < х < 1, у(0) — 2у'(0) = О, 2/'(1) =0; 2) Ly ~ -(х2 + 1)у" - 2ху' + 2у = Ху, 0 < х < 1, у'(0) = О, 2/(1) - 2/'(1) = 0;_____ 3) Ly = -у/l + е2х у"----- у' = Хху, 0 < х < 1, ?/(0) = = vW), S'(1) = 0; 4) Ly = —(1 — х2)у" + 2ху' — 2у = Ху, 0 < х < 1, у'(0) = О, |з/(1)1 < оо; 5) Ly ~ — cos4 х у" + 4 sin a: cos3 х • у' = Хху, 0 < х < — , 2у(0) — -у'(0) = 0, |?/(^)| < 6) Ly ~ —х2у" — 2a?y'+(2cos2 х+1) у = Ху cos2x, 1 < х < 2, у(1) = О, 2/'(2)=0; 7) Ly ~ -у" = Ху, 0 < х < 1, у'(0) = у'(1) = 0. 15.15. Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения ^Ху" - у'= 2Х^У, 0 < х < 1, при граничных условиях lim (Jx у') — 0, у(1) = 0. х~>0 15.16. Свести к интегральному уравнению нахождение решений уравнения —ху” + у' = Ху, 1 < х < 2, при граничных условиях у(1) = = у'(2)=0. 15.17. Свести к интегральному уравнению нахождение решений каждого из следующих уравнений при указанных граничных усло- виях: 1) — (1 + х2) у” — 2ху'+ Ху = 0, 2) ~еху" — еху' + Ху = О, 3) -у” + Ху = f(x), 4) —ху” — у' + Хху = О, у(0) = 2/'(1) = 0; 7/(0) = 0, 2/(1) + 2/'(1) = 0; 2/(0) = hy'(O), h>0, 7/(1) =0; |Х/(О)| < оо, ?/(1) = 0. 15.18. С помощью функции Грина решить следующие задачи: 1) ~т~---v = /СО» 1 < х < е, ?/(!) = °, ?/(е) -е?/'(е) = 0, где е — основание натуральных логарифмов; 2) -x4y"-4x3y'-2x2y = f(x), 1<х<2, у(1) = 0, у(2) +у'(2) = 0; 3) у” - У' = f(x), -1 < х < 0, 2У(-1) + у'(-1) = 0, |т/(0)| < оо; 4) — (1 + cost) у" + sinx у' = /(т), 0<т<;, ?/(0) — 2у'(0) = 0, 5) ~У"+^У = /(ж)> 1<*<2, 2г/(1) = г/'(1), у(2) + 2у'(2) = 0.
188 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 15.19. Доказать, что краевая задача -у” + q(x)y = f(x), у'(а) — hy(a) = Ci, y'(b) + Hy(b) = с2 эквивалентна трем задачам Коши: 1) У' + 92 = q(x), <z(a) = —h; 2) Y'-g(x)Y = -f(x), Y(a) = a- 3) y' + g(x)y = Y(x), y(b) = У казани e. Факторизовать оператор d2 ( d \f d \ -d^ + Q = -{d^-9)\di+S)- Ответы к § 15 Гт(1 — £), 0 < х < £, i ((ж + 1)(2 — О, 0 < х < £, 15.1. 1) { “ 2) i Г - (£(1 — х), £ < х < 1; 3 [(£ + 1)(2 — х), £<х<1; 1 f(x + /i)(C-l), 0 < а: < £, h + 1 ((е + /г)(^- 1), £<х< 1; 1 ( sina; sin (1 — £), 0 < а: < £, sin 1 [ sin (1 — х) sin £, £ < х < 1; {(sina: + cosa:)fctg * + * sinf + cos^Y 0 < x < f, (ctg 1 +1 s*nж + cos J)(s*n£ + cos£), C < x < 1; 1 fsha:sh (1 — £), 0 < a: < £, shl [ sh£sh (1 — x), < x < 1; 1 ((ex + e x)(e^ + e2 5), 0 < x < £, 2(e2 — 1) ЦеС _|- e~^)(ex + e2-1), < x < 1. '1 15.2. 1) < 2 .2 15.3. 1) < tg ж(1 - tg C), 0 < X < C, tg £(! - tg X), С < X <
§15. Задача Штурма-Лиувилля 189 2) 3) 15 2) 3) 4) 5) 6) 7) IS 2) in ж (у/2 sin£ — 1), О < х < £, in £ (\/2 sin ж — 1), £ < я < ; -ctgC-C+ (1 + ^)> °<x<^ яЛ тг 1+4J, C<^< < % “ 4’
190 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 15.6. 1) -tg х, -tg £, J ctg £, 0 < х < £, (ctg х, £<х < |; | ctg £ + 1, 0 < х < £, ( ctg х + 1, £ < х < \ О < х < £, £ < х < 1; 15.7. 1) < 5£3 ’ е 5к3 ’ ( - 1п£, 0<ж<£, 4) < ( — In ж, £ < х < 1; | 1 — In £, 0 < х < £, 5) < - - [ 1 — 1пж, £ < х < 1. 6) 8) 1 15.9. 1) < Ф(0)-Ф(1) 1 f (€ + 2£-2), | (ж + 2ж' 2), 1 са(„а_ „1— а 1-2<Л Х О , Ф(0) - Ф(1) е(;'2+«2)/2(Ф(ж) - Ф(О))(Ф(£) - Ф(1)), е(-2+«2)/2(Ф(£)~Ф(0))(Ф(ж)-Ф(1)), 0<ж<£, £<ж<1, X где Ф(ж) = у е-?2/2(1£; — ОО 2) 2 + J е t2dt\ ( f е + 2^ J е dt, 0 < ж < £, о ' 'о '1 2 + J e~t2dt^ у e~*2dt + 2^ J e~*2dt, £ < ж < 1;
§15. Задача Штурма-Лиувилля 191 3) Kyi(x) у2(&, КУ1(Я) у2(х), где е +J о 1 Г У1 (•''•) = е*2 15.10. /2 fe~t2dt, О ‘ _IL . 28\/2 /72 (ж) = еж2/2 (е 1 + f ( ' X - 8л/2£“3/2), 0 < £ < х, .2 1 i2 15.11. 15.12. — (€ 2п In 15.13. 15 .14.1) у(х) = л/ о ( х — In (1 Ч- ех) + 1 Ч- In 2, где C(’.e = ^_ln(1 + ce) + 1+1„2i } ( — £(l+.'carctg.T), 0<х<£, 2) y(x) = XfGMy(.()4(, где С«) = {-l(1+earctga ?<. <!: о 3) y(x) = XfG(x,e)W£)d£, О —2х где G(x, £) = 4) y(x) = xjG(x,^y(^)d^, где G(x,£)=< о я/2 5) у(х) = Х jG(x,£)&(£)(%, где = < О +tgrc + |, 0<х<£, ^+tg£+|, . 2п х — 1
192 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 6) У(х) = (А - 1) у G(x,Q cos2£?/(£X, 1 f (я - я:“2)(£ + 4£-2), 1 < х < е, где Glar.f) = — < 15 [(£ — £ 2)(х + 4х 2), £ < х < 2; 7) 2/(ж) = (А-а) у G(x,£)y(£)d£, t о 1 (cos-i/az • cosy/a(f — 1), 0 < х < f, где G(x,£) = ——-= < а > О, vQ sin vQ [cos yfa^ cos y/a(x — 1), £ < x < 1, а ф (тгп)2, n целое. i 15.15. y(x) = Xf G(x,£)y(£)d£, где G(x,£) = о 2(-l + v^), 0<a:<e, 2(— 1 + д/я), £<#<!• 15.16. y(x) = XjG(x,£)^ d^, где G(x,£) = < '1 2 1 .2 15.17. 1) y(x) = -X G(xM$d£, где G(x,O=^ + ' ~ ~Л Larctgf, £<#<1; 2) y(x) = -X[G(x,$y(£)d£, где G(a:,£)=J , 14 ' ~ о [(-e c+l)e , ^<®<1; 3) y(x) = Xf G(x,£)ytt)d£ + f G(x,t)f(№, о 0 f5rrr(a:+Zl)’ где G(®,e)=< +1 l Л + 1 0 < a; < ^, < a: < 1; 1 f In £, 0 < x < £, 4) y(x) = -X[G(x,№y(№, где G(x,^ = J ~ J I Ina:, f<a:<l. о 4 ’ s - — 15.18. 1) y(x) = fGMf(£)d£, (x + Ina: — 1)(£ + ln£), 0 < x < (£ + ln£ — l)(a: + Ina:), < x < 1; где G(x, £) = 2 2) y(x) = fG(x,£)f(£)d£, где G(a:,£) = <
§16. Метод разделения переменных 193 О fin |.'С| — х, —1 < 3) у(х)= [G(x,£)f(£)d£, где G(ir,£)=< ' ?! (ln|e|-e, e<a:<0; 4) у{х) = / G(x,$f(№, О где <7(я,£) = < Ktgl + iXi-tgf), 0<х<£, Ktgl+iXi-tgi), $<х<^ 5) у(х) = jG(x,£) f(g)d£, где G(x,£) = < §16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона 1. Краевые задачи на плоскости. Решение краевых задач в случае простейших областей (круг, круговое кольцо, прямоугольник и др.) можно получить методом разделения переменных. Изложим этот метод решения задачи Дирихле для круга: най- ти функцию и = u(r,tp), удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа Ди = О (1) и принимающую заданные значения на границе круга, т. е. и|г=л = f &) (2) Уравнение (1) в полярных координатах (г, tp) имеет вид 1 д ( ди\ 1 д2и „ - ТГ И л“) + ~2 л“"2 = °- (3) г or \ or / Г2 O<PZ Ищем частные решения уравнения (3) вида и = Z(r) Ф(^). (4) Подставляя (4) в (3), получаем Ф"(<р) + АФ(у>) = 0, (5) d / dZ\ dr \ dr J - XZ = 0. (6) Так как u(r, <p + 2тг) = u(r, <p), то Ф(у> + 2тг) = Ф(^), и из (5) находим у/Х = п (п целое), а Фп(у) = Ап COS п<р + Вп sin тир. 7 - 1389
194 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа Тогда из (6), полагая Z(r) = га, получаем а2 = п2, а = ±п (тг > 0) и, следовательно, „ , х ,, . _п Zn(r) = аг + Ъг ". При п = 0 (А = 0) из (6) находим Z(r) = Со In г + С. Для решения внутренней задачи Дирихле нужно положить Zn(r) = = агп (тг = 1,2,...) и Z0(r) = С, так как r“" —> оо и In г —)• —оо при г —> +0. Решение внутренней задачи Дирихле ищем в виде ряда °°Л п гг(г,^=С + £ — (Лп cos тг</> + Bn sin «</>), (7) п=1 где коэффициенты Ап и Вп определяются из краевого условия (2): Ап = cos пфдф, С=^^ф(ф)с1ф, Вп = УЦФ) sin пф Аф. Суммируя ряд (7), получаем решение внутренней задачи Дирихле внутри круга в виде интеграла Пуассона 17 R2 - г2 fW т2 — 2Rr cos (р — ф) + R2 Решение внешней задачи Дирихле ищем в виде ряда СЮ п и(г, (/?) = С + cos nip + Вп sin nip). п=1 Наконец, решение уравнения (1) в области Ri < г < R.2 при задан- ных краевых условиях на окружностях г = Ri и г = R2 ищем в виде ряда сю сю ц(г, <р) = cos п<р + (впгп + sin п<р + a In г + Ь. П=1 П=1 16.1. Найти функцию, гармоническую внутри единичного круга и такую, что u|r=i = f (<^), где: 1) /(у?) = cos2 tp; 2) f (<р) = sin3 <р; 3) f (v) = cos4 ip; 4) f(<p) = sin6 </? + cos6 </?. 16.2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса R с центром в начале координат и такую, что: ,, ди I . ди I . „ ди I .3 1) =Xcosw; 2) = Xcos2^; 3) -х- = sin <р. Эт-|г=л r dr\r=R dr\r=R 16.3. Найти стационарное распределение температуры u(r, tp) внутри бесконечного цилиндра радиуса R, если: 1) на его поверхности поддерживается температура u(r, = Xsinyi;
§16. Метод разделения переменных 195 2) на одной половине поверхности цилиндра (0 < </? < тг) поддер- живается температура —То, а на другой половине (—тг < <р < 0) — температура То. 16.4. Найти функцию, гармоническую в кольце 1<г<2 и такую, ЧТО гпр. u|r=i = fi (</>), u|r=2 = i /It!- 1) fl(v) =U1 = const, f2(v) = U2 = const; 2) fi(^) = 1 + COS2 ip, = sin2 ip. 16.5. Найти решение уравнения Au = А в кольце Ri < г < R2, если и^д, = ui, и|г=д2 = U2 (X,ui,U2 — заданные числа). 16.6. Найти решение уравнения Пуассона Ди = — Аху (Л = const) в круге радиуса R с центром в начале координат, если и|г=д = 0. 16.7. Найти решение уравнения Лапласа Au = 0 в прямоуголь- нике 0 < ж < а, 0 < у < Ь, если на границе этого многоугольника и(,т, у) принимает следующие значения: । л тги । _ ^4|а:=0 — Л sin Ща:~а — 0, и|у—о = 5sinи\у=ь = 0. 16.8. Найти распределение потенциала электростатического поля и(х,у) внутри прямоугольника [0 < х < а, 0 < у < Ь], если потенциал вдоль стороны этого прямоугольника, лежащей на оси Оу, равен Uq, а три другие стороны прямоугольника заземлены. Предполагается, что внутри прямоугольника нет электрических зарядов. 16.9. Найти распределение потенциала электростатического по- ля и(т, у) внутри коробки прямоугольного сечения —а < х < а, —Ь<у<Ь, две противоположные грани которой (х = а и х = —а) имеют потенциал uq, а две другие (у = Ь, у = — Ь) заземлены. 16.10. Найти стационарное распределение температуры и(х, у) в прямоугольной однородной пластинке 0 < ж < а, 0 < у < Ъ, если ее стороны х = а и у = b покрыты тепловой изоляцией, две другие стороны (х = 0, у = 0) поддерживаются при нулевой температуре, а в пластинке выделяется тепло с постоянной плотностью q. 2. Краевые задачи в пространстве. Нахождение решений за- дач 16.11, 16.12 методом разделения переменных требует применения бесселевых функций (см. с. 247). 16.11. Найти стационарную температуру u(r,z) внутренних то- чек цилиндра с радиусом основания R и высотой h, если: 1) температура нижнего основания и боковой поверхности цилинд- ра равна нулю, а температура верхнего основания зависит только от г (расстояние от оси цилиндра); 7*
196 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 2) температура нижнего основания равна нулю, боковая поверх- ность цилиндра покрыта непроницаемым для теплоты чехлом, а тем- пература верхнего основания есть функция от г; 3) температура нижнего основания равна нулю, боковая поверх- ность цилиндра свободно охлаждается в воздухе нулевой температу- ры, а температура верхнего основания есть функция от г; 4) температура верхнего и нижнего оснований равна нулю, а тем- пература в каждой точке боковой поверхности зависит только от рас- стояния этой точки до нижнего основания (т.е. от z); 5) основания цилиндра теплоизолированы, а температура боковой поверхности есть заданная функция от z. 16.12. Найти стационарное распределение температуры внутри твердого тела, имеющего форму цилиндра с радиусом основания R и высотой h, если: 1) к нижнему основанию z = 0 подводится постоянный тепловой поток q, а боковая поверхность г = R и верхнее основание z = h поддерживаются при нулевой температуре; 2) к нижнему основанию z = 0 подводится постоянный тепловой поток q, верхнее основание поддерживается при нулевой температуре, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой нулевой температуры. Применим метод разделения переменных к уравнению Лапласа в пространстве для шара радиуса R в случае, когда решение и не зави- сит от угла 99, т.е. и = и(г, в). Тогда Дм = ± £ г2 дг ( 2 ди\ V дг) + -^-1 r2 sin e de Isin0 ^)=0. de) (8) Полагая из (8) получаем и = J_ d_ Z dr Z(r) 17(0), (r2 = A, \ dr J (9) (10) 1 d ( (яп<’-л) = -A. (11) 17 sin 0 dd Вводя в (10) и (11) вместо А новую произвольную постоянную и, где А = v(y + 1), запишем уравнение (10) в следующем виде: г2 + 2r - v(y + 1) Z = 0. (12) dr2 dr Уравнение (12) имеет частные решения вида Z = га, где од = и и «2 — — (р + 1). Следовательно, Z(r) = 0!^ + С2г~^+1'>. (13) Уравнение (11) заменой независимой переменной по формуле £ = cos 6 приводится к виду
§16. Метод разделения переменных 197 (i-e2)^] +р(р + 1)?/ = 0, «С (14) где у = lV(arccos£). Уравнение (14) называется уравнением Лежанд- ра; оно имеет ограниченные на отрезке [—1,1] решения в том и только в том случае, когда и = п (п > 0 целое). Решениями уравнения (14) при и = п являются полиномы Ле- жандра ,n/t2_nn Приведем формулы для Рп(£) при п = 0,1,2,3,4: Po(o = i, mw, р2(е) = | (зе2 -1), р^) = | (5£3 - зе), р4(е) = | (35£4 - зое2+з). Z о Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему в L2(—1,1), т.е. i f Рп(Я) рт(£) = о (тг 7^ т) и, кроме того, -1 ||Р42 = /р=(е)«« = ~гт- -1 Отметим еще, что всякая функция f € Z<2(—1,1) разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра ОО f(o = E^(f,Pn)^(a СХОДЯЩИЙСЯ В L2(—1, 1)- Из (13), (14) находим частные решения уравнения (8) вида (9) un(r,ff) = [л„тп + B„7--<n+1)] P„(cos0), где Рп(£) — полиномы Лежандра. Функции ип(г, в) удобно использовать для нахождения решения уравнения Лапласа в случае, когда краевые условия заданы на сфе- ре (внутренняя и внешняя задачи) или на границе шарового слоя (Ri < г < R2). Решение внутренней задачи Дирихле (и других внутренних задач для уравнения Лапласа) в случае, когда краевые условия заданы на сфере г = R и зависят только от в, следует искать в виде w(r,0) = y^AnrnPn(cos6), п=0 а решение внешней задачи — в виде u(r,0) = E-Bnr-(”+1)Pn(cOs6’). n=0
198 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа Если краевые условия заданы на границе шарового слоя < г < R? и зависят только от 0, то решение нужно искать в виде ОО Цг,#) = 52 + Bnr-<n+1)] F„(cos#). п=0 Коэффициенты Ап, Вп определяются из краевых условий. 16.13. Найти функцию и, гармоническую внутри шара радиуса R с центром в начале координат и такую, что и|г=д = f (0), где: 1) /(0) = cos#; 2) f(0) = cos1 2 3 4 5#; 3) /(#) = cos 20; 4) f(0) = sin2 0. 16.14. Найти функцию, гармоническую внутри шара радиуса R и такую, что , ., , , . (и + 14г)|г=Л = 1 + cos 0. 16.15. Найти функцию, гармоническую вне шара радиуса R и та- кую, что: 1) ur\r=R = sin20; 2) (и — кг)|г=/г = sin2#; 3) ur\r=R = Xcos#. 16.16. Выяснить, разрешима ли внутренняя задача Неймана для шара радиуса R, если: 1) ur\r=R = Xcos#; 2) иг|г=д = sin#. Найти соответствующее решение. 16.17. Найти гармоническую внутри шарового слоя 1 < г < 2 функцию такую, что «|г=1 = /1 (6*), u|r=2 = /2(6*), если: 1) fi = COS2 #, f2 = I (cos2 # + 1); О д 2) fi — cos2 #, f2 = 4cos2 # — 3) f 1 = 1 — cos 2#, f2 = 2 cos #; 4) f1 = i cos #, /2 = 1 + cos 2#; 5) /j = 9cos2#, f2 = 3(1 — 7cos2 #). 16.18. Найти стационарную температуру внутренних точек полу- сферы радиуса R, если сферическая поверхность поддерживается при постоянной температуре То, а основание полусферы — при нулевой температуре. 16.19. Найти стационарную температуру внутри однородного изотропного шара радиуса R, если на поверхности шара поддержи- вается температура Г Ui при 0 < # < —, W|r=Ji — 1 7Г „ . При — < # < 7Г.
§16. Метод разделения переменных 199 Уравнение Лапласа Ди = 0 в сферических координатах (г, ip, 0) имеет вид 1 д ( 2 ди\ 1 д ( . оди\ 1 <Э2и „ , ТГ (г ТГ ) + 2 д ' яд Sln0 лд ) + 2 • 2Д я~2 = °- (15) г2 or \ дт 1 т2 sin в дв \ ди) т2 sin2 в др2 Будем находить решения уравнения (15) методом разделения перемен- ных. Полагая и(т, в, <р) = Z(r)Y(0,<p), из (15) находим r2Z" + 2rZ' - XZ = 0, (16) 1 д ( . о dYX sind ’ дв vmв дв) 1 52У -Az • + АУ = °- sin е др2 (17) Потребовав, чтобы функция Y(0, <р) была ограничена на единичной сфере, и учитывая, что Y(0,ip + 2тг) — Y(0, <р), будем искать решения уравнения (17), полагая Y(0, <р) = 1V(0) • Ф(</?). Мы получим Ф" + рФ = 0, Ф(<р + 2тг) = Ф(^), (18) откуда р = т2 (т целое) и Фт(<^) = Ст cos т<р + Dm sin т<р (19) — решения задачи (18). Функция W (0) определяется из уравнения -А-4 (sine^r) + (А~ -^)W = O> (20) sin и du \ du / \ sin2 & / она должна быть ограничена при в = 0 и в = тг. Полагая в (20) £ — cos 6 и обозначая W(в) = X (cos в) = Х(£), запишем уравнение (20) в следующем виде: 4 [а - е2) + (А - х = °- (21) ПС ’^С \ -L С / Уравнение (21) имеет ограниченные на отрезке [—1,1] решения лишь при А = n(n-|-1), где п — целое. Частными решениями уравнения (21) при А = п(п + 1) являются функции ^m)(e) = (i-e2)m/2^^, где Р„(е) (п = 0,1,...) — полиномы Лежандра. Возвращаясь к переменному в, найдем искомые частные решения уравнения (20): p('”)(cos0) = sin'” 0 [Pn(cos0)], (22) и CUd и причем Pnm\cos0) = 0 при т > п. Функции P„m\cos0), определяемые формулой (22), называются присоединенными полиномами Лежандра. Таким образом, частные решения уравнения (17), ограниченные на единичной сфере, имеют вид
200 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа п Yn(0, v) = a0Fn(cos в) + (a* cos kip + bk sin kip) P^> (cos 0). (23) fe=i Так как общее решение уравнения (16) имеет вид Z„(r) = AZ‘+ Д, то искомые частные решения уравнения (15) таковы: Un{r,e,ip) = zn(r)Yn(e,ip) = (аптп + Д-) Yn(e,ip), здесь Yn(0yip) определяется формулой (23). Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для сферы радиуса R с центром в начале координат: найти решение уравнения (15) при условии, что u\r=R = f(0,ip). (24) Решение этой задачи (и других внутренних задач) следует искать в виде ОО jfc u(r,0,^) = £(^)n(0,V), (25) ь=о причем в случае задачи (15), (24) в качестве функций Yk(0, ip) в (25) нужно взять те и только те функции, которые присутствуют в разло- жении f (0,ip) в ряд по сферическим функциям Yk(0,ip) ОО л^) = Еп(0М к=0 Решение задачи (15), (24) в точке Mo(ro,0o,ipo) можно представить интегралом Пуассона 2тг тг 2 2 «(го,»«,и.) = ///(«.v) (д._2Лгой+ О о где cos 7 = cos в cos 0q + sin в sin 0$ cos (ip — ipo). Решение внешней задачи Дирихле для сферы радиуса R (и других внешних задач) следует искать в виде u(r,0,ip) = ^2 (7) Yk(fi,ip). к=О Наконец, функцию, гармоническую в сферическом слое Ri < г < R% и принимающую заданные значения на границе этого слоя, нужно искать в виде ОО а ОО Lil / Т \к \fc+1 ~ u(r,0,ip) = £ Ш Yk(0,ip) + £ (^) Yk(0pp), к~Ъ к=0 где Yk(0, ip) — сферическая функция вида (23).
§ 16. Метод разделения переменных 201 Выпишем несколько присоединенных полиномов Лежандра и функ- ций Yk(6, р>) в явном виде для к = 0,1,2,3: Р^ (cos в) = sin #; Р^ (cos в) = 15 sin2 в cos 0; Р^ (cos #) = 3 sin в cos в; Р^ (cos 6) = 15 sin3 #; P3(1)(cos#) = sin# 15cos^^—3. P^(cos#) = sin"#; Yo (#,</>) = a0, Yi(0,ip) = aj cos # + (bi cos ip + ci sin ip) sin #, Y2(0,ip) = 02 (3 cos2 # — 1) + (62 cos 99 + С2 sin ip) sin# cos# + + (d2 cos 2<p + e2 sin 2ip) sin2 #, Y3(0, ip) = 03(6 cos3 # — 3 cos #) + (63 cos ip + C3 sin ip) sin # (15 cos2 # — 3) + 4- (d3 cos 2tp + £3 sin 2ip) sin2# cos # + (/3 cos Sip + g3 sin Sip) sin3#. 16.20. Найти функцию, гармоническую внутри единичной сферы и такую, что: 1) u|r=1 = cos ^2ip + sin2 #; 2) u|r=i = (sin # + sin 2#) sin (ip + 3) u|r=i = sin# (sin</3 + sin#); 4) ur|r=i = sin10# sinlO<^, u|r=o = 1- 16.21. Найти функцию, гармоническую внутри сферы радиуса R с центром в начале координат и такую, что: 1) ц|г=д = sin ^2ip + sin2 # cos#; 2) и|г=д = sin ^3^9 + sin3 #; 3) ц|г=д = sin2 # cos ^2ip — + sin# sin92; 4) (и + цг)|г=л = sin2 # ^y/2 cos (299 + "[) + 2 cos2 99]; 5) (и + пг)|г=д = sin # (sin ip + cos ip cos# +sin#). 16.22. Найти функцию, гармоническую вне единичной сферы и такую, что: 1) ur|r=i = sin — ip^ sin#; 2) u|r=i = cos2 # sin# sin (<p + ^0. 16.23. Найти функцию, гармоническую вне сферы радиуса R с центром в начале координат и такую, что: 1) и|г=д = sin3# cos# cos2) и|г=д — sin ЮО92 sin100#; 3) (и — ur)|r=ft = sin# cos2 sin {<p +
202 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 16.24. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1 < г < 2 и такую, что u|r_i = /1 (6*, </?), u|r=2 = /2 (#,7), где: 1) /i = sin# sin 99, 2) Л = 3sin2</; sin2 в, 3) /1 = 7 sin в cos <p, 4) /i = sin2 в (3 — sin 2</>), 5) /i = 12sin# cos2 - cos 99, 6) /i = sin 2ip sin2 #, 7) /i = cos 99 sin 2#, 8) /i = 31 sin 2# sin 99, 9) /i = cos#, /2=0; /2 = 3cos#; /2 = 7 cos #; /2=4/i; /2 = 0; /2 = cos 2ip sin2 #; /2 = sin 99 sin 2#; /2 = 31 sin2 # cos 2ip; /2 = cos92 (12 sin# — 15sin3 #). 16.25. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1 < г < 2 и такую, что: 1) (3u + ur)|r=i = 5sin2 в sin2</j, u|r=2 = — cos#; 2) u|r=i = sin# sin 99 (5 + 6cos#), ur|r=2 = 12sin2# sin 99; 3) w|r=i = 1, |r—2 = 15 cos 92 (cos2 # sin # + sin 92 sin2 # cos #). 16.26. Найти функцию, гармоническую внутри сферического слоя 1/2 < г < 1 и такую, что: 1) Мг=1/2 = 0, u|r=i = 6 cos2 ip sin2 #; 2) w|r=i/2 = 30cos2 ip sin2 в cos#, u|r=1 = 0. Ответы к § 16 16.1. 1) | (1 + r2 cos 2</з); 3 г2 г4 3) - + — cos 2<р + — cos 4<р; 8 2 8 16.2. 1) Ar cos <р +С; 2) 2) (3sin</; — г2 sin2</;); 4) I + I r4 cos 4ip. 8 8 r2 cos 2<p + C; 1 / 1 \ 3) - I 3r sin ip - —— sin Zip] +C. 4 \ 3/Г / Здесь C — произвольная постоянная. 16.3. 1) — sin 99; R 21 V (L\2n+1 sin(2n + l)y = 2T0 Д2 — r2 _ ' тг 2n +1 7Г tg2rBsin^ J°' 16.4. 1) U1 + (U2_U1)^; 2) |-l^ + (A_lr2)cos2v, 16.5. U2 + 4 (r2 - r22) + in —. 4 v InBa-lnBi r
§16. Метод разделения переменных 203 16.6. (R2 — г2) sin2</>. Ах у , 2 , 2\ Ar4 sin 2^7 Указание, и = v + w, где v = —(яг + у) —---------—---- частное решение уравнения Пуассона, aw — решение уравнения Лап- ласа, удовлетворяющее условию w|r=B = — R4 sin 2tp. , /I III —. sh — , 16.7. A —-----------— V 7T(Z sh “7- b sin^+B b sh^bl a у тгЬ sh — a sin 7ГЖ a Указание. Решение искать в виде и = v 4~ w, где v и w — гармонические функции такие, что 1?|ж=о — Л sin = г|у=о = — — 0, w|a;~o — w|^=a — w|y—— 0, о — В sin . b 16.8. — £ 71=0 , (2n4-l)(a—x) 7Г . (2п4-1)тгг/ oo sh ---------Sin -----------t~---- — b______ b -.4 , (2714-1) 7ГО (2n 4-1) sh 1-------- 16.9. — £(-l) n n=0 (2п+1)тгх (2n+l) Try СП 2b LOS 2b (2n + 1) ch тга „ь (2п+1)тг(Ь-у) iR in 16gQ V 1 1 - 2Q 1тг3 „t'o (2n + l)3 (2п-Ц)тгЬ L 2a sin (2n + 1) ttx 2a к — коэффициент внутренней теплопроводности. У казани е. Задача сводится к решению уравнения Ди = — при условиях и|ж=о = и|у=о = 0, иж|ж=а = иу1у=ь = 0. shZ¥ т ----Jo sh sn R тельные корни уравнения Jo(p) = 0, ап = 2—г । л Ji (Rn) 7 |, где Rn (п = 1,2,...) — положитель- - 2 f ' °" R2J2(Rn) J имеют вид |u|r=0| < оо, u|2=o = 0, 16.11. 1) £ a. , где pin (n = 1,2,...) — положи- 2 R dr-, sh^£ II sh sn R ные корни уравнения Ji(p) = 0, 2) £a, dr (У к а з а н и e. Краевые условия Tl-r|r—R — 0, ^|z=/i — Пд(г).), sh / sn R , /u„r 3) £ a, i, где цп (n = 1,2,...) — положитель- hlR2^1 -S~ x Rn ) sh^ Jl 2 ные корни уравнения rJi(r) — hiRJo^pi) =0, an = — 55-1*5
204 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа R х [Jo(/-m)] ~2 Jruo(r) Jo dr (Указание. Краевые условия име- о ют вид |и|г=о| < оо, а|2=о = О, (ur + hiu)\r=R = 0, u\2=h = u0(r).); 2 Г т (imR Л]”1 ( г ,/гЛ . тгп£ ,Д . -nnz , fimr Д 4) h £ P°br71 (Jsm sm где Jo(ix) — функция Бесселя нулевого порядка от чисто мнимого аргу- мента; 2 Г т fanR ДГ1/ г г'гх 1Л nriz т fanr Л /х/ 5) u/(e)cos^ vcos_^ <Ука- 1 \п / з а н и е. Краевые условия имеют вид u2|2=q = Uz|2=/i = 0, д|г=д = = Ж)-)- ОО 16.12. 1) £ а, , Pn(h-z) S R ch^ жительные корни уравнения Jq(m) = 0, ап = —k — коэф- Лрй-Л(рп) фициент теплопроводности (Указание. Задача сводится к реше- где [in (п = 1,2,...) — поло- 2 ад нию уравнения Дп = 0 при краевых условиях —fcu2|2=o — Q, д|г=л — = д|2=ь “ о.); оо Sh^n(h-Z) 2) £ ап--------—Jo(^— ), где р,п (п = 1,2,...) — положитель- n=i ch^ V ° 7 it ные корни уравнения — /?/i1J0(/i) = 0, hi — коэффициент теплообмена, ап = 2hiR3qk~1(R2hl + /Д [М/м)]-1/-^2 (Указа- ние. Краевые условия имеют вид (ur + hiu)\r=R = 0, — fcu2|2=o = Q, w|2=/1=0.). 16.13. 1) cos 6- 2) 1 (1 - -J) + cos2 0; 3) I (i)2p2(cos0) ~ l; 4) I" I 4 ?r2 16Л4‘ з + зЖ^)Р2(сок0)' 16 .15. 1) — (3cos20 — 1) + С, где С — произвольная постоянная; г 2> с + G - с) - (flWi (с“2" “ з)’ где с - пр“3- вольная постоянная; A R3 3) С — — — cos0, где С — произвольная постоянная. 16.16. 1) Задача разрешима: и = Ar cos в, где С — произвольная постоянная; 2) задача не имеет решения.
§ 16. Метод разделения переменных 205 16.17. 1) — + 3с0-^4-—; 2) i Г--1 + r2(3cos2 0-1)1; Зг Зг3 3 Lr J 3) " 5 + (|Г " тУ F1(COS0) + ~ S) F2(cos0); 4) И1"+ п (Д -r)F1(cos0) + И ~ У P2(cos0); 5) | -5 + 4(A_r2)p2(cos0). 16.18. т0 £ (-ip + 3)(^)2n+1p2n+1(coS0)l о<0< I- 16-19. + §(_1)пЗ-5-7:.^-1)(4п + з)>< Z L У1~о " *х О- • - ~г ) / у \2n4-l X F2n+1(cos0)^-J 16.20. 1) г2 cos^2<^+sin2 0; 2) (г sin 0 +г2 sin 20) sin ^92+^; 2 г2 г10 in 3) -- — (3cos20 + l)+rsin0sin<^; 4) 1 + — sin10 в sin IO92. le-21-1) (i) sin (292 + sin2 в cos 0; 2) sin (392 + sin3 0; 3) sin2 0 cos (292 — ~ sin0 sin 92; 4) | + Указание. -|p2(cos0), x pj2\cos0).); “ чЛй (3 cos26 ~ i) + (2 COS “ Sin 2^ Sin2 в 6{Z + rt) z + rt (ur + и)|г=л = | Fj2)(cos 0)(2 cos 292 - sin2</?) + | - о J и = A + Br2F2(cos0) + r2(Ceos 292 + D sin292) x n 2 5) 3 + 3 а н и e. (u 9 --F2(cos0), u «J //n \2 . n r2 sin 0 cos 0 cos (p r2 3 cos2 0 — 1 SlnySmg+ R(R + 2)-----------У Д(Д + 2) ^г)|г=л — sin 92 Fj 1\cos 0) + i cos<^F2(1)(cos0) + | — / r X I r /1 \ к a- 16.22. 1) sin0 sin - 92^; 2) [1^4 F3(1)(cos0) + Fj1}(cos0)] sin 16.23. 1) (|)6sin30cos0cos(392+ j); 2) (^^sin ЮО9? sinloo0;
206 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 3) [dh? (?) J’lVse) + (|)Ч(1)(со8#)] Sin(</> + Г) Указание, (и — пг)|г=д = ^F^cos#) + ^Fj^cos#)] sin (99 + - Л (4) Р^\совв) + В F^cos#) 810(99 + и = 16.24. 1) 1 (— г + 4) sin 99 sin#; 12 ( 1 \ _ , ( 96 Зг2\ . _ . 2о 2) Т (г - cos6+ (.31г2 - ТГ)Sln2^ sm 0; (1\ /8 \ г — —) cos# + (— — г) sin# cos 99; 4) (14 - F0(cos#) + r2(l — 3cos2 # - sin2 # • sin2ip); 6) [( 4 cos 2ip - 4 sin 2tp\ r2 + Д- (- ~ cos 2<p 4-1| sin 2<Д] sin2#; L\31 31 / \ 31 31 /1 7) 8) 9) 2 ( 1 8 . ' r ^-31 COS 9? + — SHI 99 32 2 ) sin 2# sin ip + (8r2 — l(A-r)cos# + ^(r3--L) 16.25. 1) (4 \r2 /32 8 . Y) . „„ г I — cos p - — sm p ) sin 2#; \ 31 31 / J Д) sin2 # cos2</>; 12 sin # — 15 sin3 # cos<^. r2 2 32 \ . 2 n n — — 1 sin # sin 299; — r 3) 1 + (r — 4) F^^cos#) cos99 + [r3 —1) cos'/’fJ1\cos#) + + (c3— 4) sin299 Fj2)(cos#) (у к a 3 а н и e. ur\r=2 = 2P^\cos0) x x cos</> + 1 P^2\cos0) sin29? + 3Fp\cos0) cos</>, и = (ar + 4^ x x sin# COS99 + C + + (/r3 + 4) Fg1\cos#) COS99 + (ir3 + 4) x x Fj2\cos#) sin 2ip.\ 16.26. 1) 4-2 + ^(4-32r2)F2(cos#) + l(32r2-4)F22)(cos#)cos2V (У к a 3 а н и e. u|r=i = 2 — 2F2(cos#) + P^\cos0') cos297.);
§ 11. Функция Грина оператора Лапласа 207 „>12/1 \ /1.8/1 „(2)/ m п 48 / з 1\ 2) у Ь“Г)СОК0+127 (««Я) cos2^+ — (г ~-4) х xF3(cos0) ^Указание. u|r=1/2 = —6Рз(соз0) + 6Fi(cos0)+ + P3(2)(cos0) cos 2</э, и = (аг +-5) Pi (cos 0) + (cr34--^ Pg2\cos0) cos 2<p + + {sr^ + ~i) Рз (cos 0) ) • § 17. Функция Грина оператора Лапласа Функцией Грина (внутренней) задачи Дирихле для области G € R3 называется функция ^(т, у), х Е G, у G G, обладающая свойствами: 1) У(х,у) = । 1 + д(х, у), где функция д — гармоническая в G и непрерывная в G пог, при каждом у € G' 2) ^(х, у)lares' = 0 при каждом у € G, где S — граница области G. Для неограниченных областей G требуем, чтобы д(х,у) —> 0 при |я:| —> оо. Если G — ограниченная область и S — достаточно гладкая по- верхность, то ^существует, единственна, имеет правильную нормаль- ную производную —— на S при каждом у € G и симметрична, т.е. О Tlx ^(х,у) = ^(у,х), х € G, у € G; д(х,у) непрерывна по совокупности переменных (а?, у) в G х G. Если решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Пуассона Дп = —/(a?), it|s = uq(x), где f € C(G) и uq € C(S), имеет правиль- ную нормальную производную на S, то оно определяется формулой / и°(у>> ds'J + / dy- М s У G Для ряда областей функцию Грина можно найти методом отра- жений. и 17.1. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: 1) полупространство а?з > 0; 2) двугранный угол а?2 > 0, х3 > 0; 3) октант a?i > 0, а?2 > 0, х3 > 0. 17.2. Построить функцию Грина для следующих областей в R3: 1) шар |а?| < Д; 2) полушар |а?| < R, х3 > 0; 3) четверть шара |а?| < R, ж 2 > 0, а?з > 0; 4) восьмая часть шара |а?| < R, a?i > 0, .'£2 > 0, х3 > 0. 17.3. Пользуясь методом отражений, построить функцию Грина для части пространства, заключенного между двумя параллельными плоскостями х3 = 0 и х3 = 1.
208 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа Ниже даны краевые задачи для уравнений Лапласа и Пуассона, решения которых могут быть найдены с помощью соответствующей функции Грина из задач 17.1-17.3 и формулы (1). 17.4. Найти решение задачи Дирихле Дд = -/(ж), ж3 > 0; uU3=o = и0(ж), для следующих f и Uq: 1) 2) /, ио — непрерывны и ограничены; f = 0,_ ио = cosa?i cosa?2; 3) f = e Жз sina?i cosa?2, ио = 0; 4) / = о, u0 = ~ zi); 5) / = о, u0 = (1 + x2 + x2) 6) f = 2 [а?1 + я:^ + (жз + 1)2] 2, uo = (1 + + a^) 15 П / = 0, f —1, a?i < 0, Uo = s 1+1, m >0. 17.5. Найти решение задачи Дирихле Ди = 0, а?2 > 0, а?з > 0, u|s = До (ж), Ио — кусочно непрерывна и ограничена. 17.6. Решить задачу 17.5 со следующими uq: 1) ^о|ж2=О — 0, ^о|ж3=О = е~4Ж1 sin5a?2; 2) ^о|ж2—о ~ 0, ^о|ж3=О = ж2 (1 + х2 + х%) 3^2 3) ^о|жз=0 — 0, ^о|жз—0 = в(х2 - \хг|). 17.7. Найти решение задачи Дирихле для шара |ж| < R: Au = -f(x), |ж| < R, и||ж|=л = и0(х). 17.8. Решить задачу 17.7 для следующих f и uq: 1) / = а = const, Uo = 0; 2) / = |a?|", п = 0,1,2,..., uq = а; 3) / = еИ, и0 = 0. 17.9. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа для полу- шара |a?| < R, Хз > 0. 17.10. Найти решение уравнения Пуассона Ди = — /(|ж|), / Е Е С (а < \х\ < Ь) в шаровом слое а < |а?| < Ь, удовлетворяющее крае- вым условиям . . 1> Щ]ж|—Ь t)- Функцией Грина задачи Дирихле для области G С R2 явля- ется 1 1 где z = х + гу Е G, ( = £ + it] Е G. Sf(z, обладает всеми свойства- ми функции Грина в R3 (см. начало §17). Решение задачи Дирихле Ди = z Е G; u|s = u0(z) в R2 (если оно существует) опре-
§17. Функция Грина оператора Лапласа 209 деляется формулой, соответствующей формуле (1) в Я2. В случае, когда область G — односвязная с достаточно гладкой границей S и известна некоторая функция w = w(z), конформно отображающая G на единичный круг |w| < 1, функция Грина находится по формуле 1н I / mi' 2тг k(z,C)| w(z) — w(C) 1 — w(z) w(z,<) = 17.11. Найти функцию Грина для областей: 1) полуплоскость Imz > 0; 2) четверть плоскости 0 < argz < —; 3) круг |z| < R; 4) полукруг \z\ < R, Imz > 0; 5) четверть круга |z| < 1, 0 < argz < —; 6) полоса 0 < Im z < тг; 7) полуполоса 0 < Imz < тт, Rez > 0. 17.12. Найти решение задачи Дирихле Ди = 0, у > 0; w|j,=q = ио(х) 3) и0(х) = 0, хЕ [а, Ь]; 5) = 7^; 7) Ио (ж) = cos х. для следующих ио(х): 1) uq(.t) кусочно непрерывна и ограничена; 2) uq(x) = 0(х — а); 4) х2 -1 6) 17.13. Найти решение уравнения Ди = 0 в первом квадранте х > 0, у > 0 со следующими краевыми условиями: 1) n|s = ио(х,у) — кусочно непрерывная, ограниченная функция, где S состоит из полупрямых {х = 0, у > 0} и {у = 0,. х > 0}; 2) и|а;—о = 0, и|у—о = 1, 3) и|д;—о — О, и|у=о — 4) и|ж=0 = 0, и|у—о = 6»(щ —1); 5)и|ж=о=О, и|у=0 = 6) и|ж—о = siny, u|y—о = sin ж. 17.14. Найти решение задачи Дирихле для уравнения Ди = 0, 0 < у < тг со следующими краевыми условиями: 1) u|s = ио(х,у) — кусочно непрерывная, ограниченная функция, где S — граница полосы 0 < у < тт; 2) и|у—о — u|y—yr — 0, 3) и|у—о — и|у—тг Я(д), 4) и|у—о — и|у—тг ~ Я(д), 5) и|у=о — Я(д), и|у—тг — "^)т 6) и|у=о = сояж, u)v=7T = 0. 17.15. Найти решение уравнения Лапласа Ди — 0 в полуполосе 0 < у < тг, х > 0, со следующими краевыми условиями:
210 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 1) uf^—о — lj 2) и|ж=о = О, 3) и|ж=о = О, 4) гг|а:=о = О, и|у—о — О, и|у=о = sin х, u|y=Q = th х, u|y=O — тг — О, ц|у—к — 0; и|У=Т: = th ж и|у=л — th ж 17.16. Найти решение уравнения Пуассона Au = —f(z) в круге |z| < R при краевом условии и||2|=л = uq(z) для следующих / и uq: 1) /, ио — непрерывные функции; 2) f = а, uq = Ъ; 3) / = \z\n, п = 1,2,..., uq = 0; 4) f = sin|z|, uq = 0; 5) / = 0, uq = cos tp, где tp = arg z, 0 < tp < 2тг. 17.17. Найти решение уравнения Лапласа Ди = 0 в полукруге |z| < 1, Im z > 0, при условии u|s = uq(z), где S — граница полукруга, для следующих uq(z): 1) Uq(z) — кусочно непрерывная функция; 2) uo|r=1 = sine/?, tp = argz, 0 < tp < 2тг; 3) Uo|/.=i = О, 4) Uo|r=l = cos |, iK) |^-=o — 0, Uq|{^=0 — 1» uo|(p=o = y/r, где г = \z\, uqI^—tt — 0, Uq| 99=77 — Ij UoI^—tt- — 0. 17.18. Найти решение задачи Дирихле Ди = 0, Rez>0, \z — 5|>3; w|Rez=0 = о, и||2_5|=з = 1. Ответы к § 17 В ответах к задачам 17.1-17.10 введены обозначения УтПк = ((-1)тг/1, (-W, (-1)М- 17.1. 1) ^ £ г~~~~~~Т: 471" к=о l1 Уоок I 1 1 ( 1\т+п+/г 3) 2_ V . 47Г m,n,/c=0 I’E Утпк I 1 Л (-1)п+* . 47Г п,*=о I® — !/onfcl 1/1 R \ 17.2. 1) — ( -------- - —--------- ] где, как и всюду в задаче 17.2, r2 4тг \|ж —j/| Утпк = |^2 Утпк, l?/mnfc||?/mnfcl = > 2) i Е(-1)" 47Г к=0 3) £ (-I)n+* 47Г п,к~0 4 4) i £ (-1)т 47Г т,п,к=0 1 R \ I®- %od Ml® - !/Sokl 7 1 R \ l^-S/ond Ml® - !/o„fcl/ i+к | 1 __________ R j kl®-
§ 17. Функция Грина оператора Лапласа 211 1 00 / 1 . — V [ ------------ _ 47Г n=-oo \ \/(xi - yi)2 + (х2 - у?)2 + (гз - (2п + з/з))2 _____________________________1___________________________ у/(zi - ?/1)2 + (Х2 - У2)2 + (х3 - (2п - уз))2 Указание (к задаче 17.4 и ниже). В случае, когда f и ио кусочно непрерывны и ограничены, а поверхность S кусочно глад- кая, постановка задачи Дирихле может быть обобщена таким образом, чтобы решение ее также определялось формулой (1). »»(?/) ла к - j/Р аЬУ 17-4- £ / Уз—о 2) е-^3 cos rci cos ад х 1 , 1 , Х2 - Х1 4) i + ^“c,g^5Jr; 6) [ж2 + х\ + (г3 + I)2] 1; 1__ -sd3 17.5. f 2тг J 2/2=0 i/. г/з>о 3) (e~V2x3 - е~Хз 1—-—г — 1---------г I di к - !/1 к-г/ooily ) sill.T'i COS .'£'2; 5) [xi + + (хз + 1)2] 1/2; 7) — arctg—. 7Г Хз 1 z-J/ooil3 dSy + аз>о хз г /1 1 А + f иоШ ~ I----------------------—is dSy. 2?г \к-г/1 к-г/ою! J 2/2 >0 Уз = 0 17.6. 1) е-4аа-3:сз sjn 5д.2. 2) х2 [ж2 + х?, + (жз + I)2] 3/2 ; 3) 1 — arctg ТГ /Г 2 + XI хз\/2 1 Ч— arctg Х2 — XI хз\/2 1 Г R ~ к i \jc 1 [( 1 К Ъ/ \j 17.7. —- / -j--------'-d-w(y)d,SУГ— / ------i_rn-------7i]f(y)dy, 4irR J k~ УI 4tt J V |z- 3/| 3/|k-S/I/ 12/1=7? |2/|<T?X где у* = yR2/\y |2 — точка, симметричная точке у относительно сферы Ы = R- 17.8.1)|(Д2-к12); 2) 3) ея_ем_ 2 (еЯ-1) + 2.(ек1-1). 17.9. и{х) = § f и0(У1,у2) - ШЛзН3) + 2/3=0 #2-k|2 f t \ 1 1 А ла + 4тгЯ J w°^4k-?/l3 k-!/*’l7 Sy' 1г/1=Я Уз >о где |а;| < R, хз > 0; у* и у** — точки, симметричные точке у относи- тельно сферы |у| = R и плоскости уз = 0 соответственно.
212 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 17-10. - ii ЛМ-р)р/(р) dp + f(a-p)pf(p) dp - |z|(6-a) |z| J |г|(6 —a) J I I b 0 17.11. 1) 1- In p—где z = x + iy, ( = £ + irj; 2?r \z - C| l^-c2!. iz2 - ei ’ \z - СЦЯ2 - <| ’ lex — еЯ 2) J-In ZTT 4> ^ln 6) 2тг 1П \e*-ef\ ’ 17.12. 1) f — tv J (x 3) 5) 7) ^1П ^1П — In 2тг 2) -С)2 + y2’ 3) 1-1 arctg + (я~Q)^~b); 2 тг y(b — a) г2 + (, + l)2 ’ 6) [z2 + (, + l)2]2 ’ 4) (3/+1)2 |д2-^|. к2_С2||Д4_(<)2| - |chz — ch£| |chz — ch£| 1 1 , x — a - + -arctg----; 2 тг у У+ 1 г2 + (у + l)2 ’ 7) c~’Jcos.2'. °° Г 1 I 17.13. 1) [ Wo(£,0) 2 d£ + tv J [(я; — £j+y2 (z-b£)2 + j/2 o° + Пзд(0’??) х* + (У~и)2 0 L 1 ®2 + (y + ,)2 di]', 2 4- x 2) —arctg—; ТГ у л\ i i у2 — s2 н 2 тг 2ху 6) e^sina: + е~х sin у. „\ 2 ( , у , , х 3) — а arctg — + b arctg - тт \ х у , я(;/ +1) ’ [г2 + (у + I)2]2 ’ 1 1 7 17.14. 1) £ -e^sint/ [ k=o -Г "ОО 1 1 t е-1—cos;/ 2~KarCtg sin, 5 2^4 1 -arctg ctg,--arctg-_cos2;;, cos x sh (тг — у) shrr 1X1 1 . sin2, —sh2a: 17.15. 1) - + - arctg ——r—;; 7 2 тг 2sm,sha: 2) 4) 6) зд(£,А:тг)е е2(х-^) _ 2ех~^ cos (у — /гтг) + 1 sin 2a; ,11 shz 3) - + -arctg -—; 2 тг sin у _х 1 1 , th я: 5) — Ч— arctg---; ' 2 тг Ь tg у sin х sh (тг — у) ' sh тг ’
§18. Метод потенциалов 213 sha: .. х sin2j/ + 3/sh2a: — тг sinj/sha: ch x + sin у ’ тг (ch 2a: + cos 2y) 1С1=Й Kl<« • z z z* CR2 где z = x + гу, Q = С + гт], (* = —; on+2_ n+2 2) £ (R2 - r2) + b; 3) ; '4 r (n+2)2 4) sin r — sin R + ( dp; 5) cos tp. J p ft Указание. В задачах 17.16, 2)-5) воспользоваться формулой задачи 17.16, 1), где перейти к полярным координатам z = reiV, £ = регв, 0 < tp, 0 < 2тг. 17 17' !> S |г/ Im£>0 1 / - - \ + 5/w°(^0)(|z-ei2 - Kz-ipJ где z = х + iy, С, = £ + irj; ,л оч 2 , 2rsiny> Л\ r~ Ч> 2) rsinw; 3) — arctg—-——; 4) vrcos+- 7Г Г2 — 1 £ §18. Метод потенциалов Пусть р е 3>'(Rn). Свертка Vn = |n^- * р, п > 3, называется Fl ньютоновым потенциалом, a V2 = hi — * р, п = 2, — логарифми- Fl ческим потенциалом с плотностью р (определение свертки см. в §8). Потенциал Vn удовлетворяет уравнению Пуассона AVn — (п 2) ОпР, п > 3; ДУг = —2тгр. Если р — финитная абсолютно интегрируемая функция в Rn, то соответствующий ньютонов (логарифмический) потенциал Vn назы- вается объемным потенциалом (потенциалом площади). Пусть S — ограниченная кусочно гладкая двусторонняя поверх- ность в Rn, п — нормаль к S и p5s и (vds) — простой и двойной слои на S с плотностями р и v (определение слоев см. в §6 и §7). Свертки = и •!;(•+). »гз.
214 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа называются поверхностными потенциалами простого и двойного слоя с плотностями р и и. Свертки У2(0)=1п|1*Мз и v2(1) = -inl*AW: п = 2, называются, соответственно, логарифмическими потенциалами прос- того и двойного слоя. Если S — поверхность Ляпунова и v € С'(S'), то в /?3 предельные значения потенциала двойного слоя У^ и Ур^ извне и изнутри S выражаются формулами У^Ог) = ±2лт/(а:) + И1»! = ±2irv(x) + [ V(y) dSy, (1) J jx-yl2 s где ipxy — угол между вектором х — у и нормалью пу в точке у Е S. Если р £ С (S), то потенциал простого слоя имеет правильные /0У(О)\ „ нормальные производные —7;— 1 и I —7;— на S извне и изнутри S \ on J+ \ дп )- (см. определение в начале гл. V), причем на S (dV^\ , , _ , , dV^x _ , , Г / \ cosiS™ .о /п\ Д(а:) = = ГЪгр(х) + у р(у) dsy, (2) где фху — угол между вектором у — х и нормалью пх. (1) fdV^X Аналогичные формулы для У± 7 (х) и J (ж) справедливы и в R2 с заменой 2тг на тг и |ж — j/|2 на ]х — j/|. 18.1 . Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = 0 вне G С Rn. Доказать: а) объемный потенциал выражается формулой б) -Ч-^dy, j/|n-2 «> (3) G Vn — гармоническая функция вне G; т. , ч 1 Г / х J . sG 1 А Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.2 . Пусть р — абсолютно интегрируемая функция, р = О вне G С R2. Доказать: а) потенциал площади выражается формулой j-1- \dy; I® - !/| (4) G б) Vz — гармоническая функция вне G;
§18. Метод потенциалов 215 в) У2(ж) = In щ у p(y)dy + о( 1 и Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.3 . Пусть S — ограниченная кусочно гладкая двусторонняя по- верхность и Е C(S). Доказать: а) потенциалы простого и двойного слоя выражаются формулами г,(1> М = / .(„) цДд®, = / „ы is, S S где угол (рХу определен в начале § 18; б) Уз °) и V3 — гармонические функции вне S; в) v^ = W\/^y}dS + 0^ и Уз(1)(а:) = 0(и2)’ Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.4 . Пусть S — ограниченная кусочно гладкая кривая и р,, v е £ С (S). Доказать: а) логарифмические потенциалы простого и двойного слоя выра- жаются формулами Г2(0)(ж) = [ р(у) 1п J Iх У\ S (6) г<‘>ы = Д(й I» ds, = Д(„) 2^,, s s где угол (рху определен в тексте; б) У2(°) и — гармонические функции вне S; в) V^)=ln±/p(Qds + o(^), г№=о(щ), И ->оо. Выяснить физический смысл этих потенциалов. 18.5 . 1) Вычислить ньютонов потенциал Уз с плотностью SSr- 2) вычислить логарифмический потенциал У2 с плотностью 5Sr. 18.6 . Вычислить объемный потенциал Уз для шара |ж| < R со следующими плотностями: I) р = р(И) е С- 2) 4) р = И2; 5) 8> 10) р=1п(1+И) р = р0 = const; 3) р — |т|; Р = \/Ы; 6) р = е_1а:1; р = sin |ж|; 9) р = cos |ж|;
216 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 18.7. Для сферического слоя Ri < |ж| < R2 вычислить объемный потенциал V3 масс, распределенных с плотностями: 1) Р — Ро = const; 2) р = р(|т|) е С(2?i < |т| < R2). 18.8. Пусть масса распределена в шаре г < R с плотностью р. Найти объемный потенциал V3 в точке, лежащей на оси 0 = 0 (О < 0 < тг) для следующих плотностей: 1) р пропорциональна квадрату расстояния от плоскости 0 = —; 2) p = cos0; 3) p = sin<p; 4) р = p{tp) — непрерывная, 2тг-периодическая функция; 0 < <р < < 2тг. 18.9. Пусть масса распределена с постоянной плотностью ро в ци- линдре {rcj + х3 < R2, 0 < Х3 < Н}. Найти объемный потенциал в точках оси хз > Н. 118.10. Найти потенциал площади для круга г < R со следующи- ми плотностями: 1) р = p(r) & C([0,R])-, 2) р = р0 = const; 3) р = г; 4) р = г2; 5) р = е~г- 6) р = 7) р = у/г; 8) p = sinr; 9) р = cost; 10) р = sin <р, 0 < <р < 2тг; 11) p = cos<p; 12) р = р(<р) — непрерывная, 2тг-периодическая функция. 18.11. Найти логарифмический потенциал площади для кольца Ri < г < R2 со следующими плотностями: 1) Р = Ро = const; 2) р = p(r) е C([Ri,R2]). 18.12. Пусть /(|?/|) непрерывна при |?/| < R и /(|х/|) = 0 при \у\ > R, у & R3. Доказать: а) объемный потенциал 14 (ж) с плотностью /(|j/|) зависит только от |ж | и W) = A [ f(\y\)dy, И>Я; Pl J |у|<Я б) для того чтобы V3(я) обратился в нуль при |ж| > JR, необходимо и достаточно выполнение условия / /(Ы)^ = 0; (*) в) при условии (*) справедливо равенство У V3(x)dx = -у f f(\y\)\y\2dy. Дать физическую интерпретацию полученных равенств. 18.13. Доказать: если функции fi(x) и /^(И) непрерывны при |ж| < Я; х е Д3, обращаются в нуль при |ж| > R и удовлетворяют уравнению Д/1(т)=Д>°/2(И),
§ 18. Метод потенциалов 217 то потенциал Уз (ж) с плотностью /2(|ж|) обращается в нуль при |ж| > R. 18.14. Доказать результаты, аналогичные результатам задач 18.12 и 18.14 для потенциала площади, а именно: 1)ВД=1п± [ f(\y\)dy, \y\>R; Ы<л 2) J V2(x)dx = J f(\y\)\y\2dy, если J /(|у|) dy = 0. 18.15. Распространить задачи 18.12-18.14 на случай, когда плот- ность f есть обобщенная функция. Под «интегралом» J f(x) dx для финитной f е О)' следует понимать число где ту Е 0, т] = 1 в окрестности носителя f (это число не зависит от выбора вспомога- тельной функции Т]). 18.16. Найти потенциал простого слоя, распределенного с посто- янной плотностью ро на сфере |ж| = R. 18.17. В точке, лежащей на оси в = 0 (0 < 6 < тг), найти потен- циал простого слоя, распределенного на сфере г = R со следующими плотностями: 1) р пропорциональна квадрату расстояния от плоскости 6 = тг/2; 2) Р = sin 3) р = ev, 0 < <р < тг, и р = e27r-v, тг < <р < 2тг. 18.18. На круглом диске радиуса R распределен простой слой с плотностью р. Найти потенциал в точке, лежащей на оси диска для следующих плотностей: 1) р = ро = const; 2) р = г; 3) р = г2; 4) р = р(<р) — непрерывная 2тг-периодическая функция. 18.19. Найти потенциал простого слоя, распределенного с плот- ностью р на цилиндре {х^ + х% = R2, 0 < хз < Н} в точке, лежащей на оси хз для следующих плотностей: 1) р = ро = const; 2) р = р(<р) — непрерывная 2тг-периодическая функция. 18.20. Найти потенциал двойного слоя с постоянной плот- ностью i/о Для сферы [ж| = R. 18.21. На сфере г = R распределены диполи с плотностью момента iz, ориентированные вдоль внешней нормали. Найти потен- циал двойного слоя в точке оси в = 0 (0 < 6 < тг), для следующих плотностей: g 1) iz = cos0; 2) v — sin -; 3) v = ev, 0 < <p < тг, и v = e27r-v, тг < <р < 2тг;
218 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 4) v = i/(<p) — непрерывная 2тг-периодическая функция; 5) v равна квадрату расстояния от плоскости в = 18.22. На круглом диске радиуса R распределены диполи с плот- ностью момента и, ориентированные вдоль нормали, направленной в сторону отрицательных ,г'3. Найти потенциал двойного слоя в точке, лежащей на оси диска, для следующих плотностей: 1) и = const; 2) и = iz(r) е С([0,/?]); 3) v = ц(у>) — непрерывная, 2тг-периодическая функция; 4) V — Г + if, 0 < <р < 7Г, и I/ = г + 2тг — (р, тг < ip < 2тг. 18.23. Найти логарифмический потенциал простого слоя для окружности радиуса R со следующими плотностями: 1) р = ро = const; 2) р = cos2 <р, R = 2. 18.24. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для окружности радиуса R со следующими плотностями: 1) и = const; 2) iz = sin<p. 18.25. Найти логарифмический потенциал простого слоя для от- резка —а < х < а, у = 0 со следующими плотностями: 1) р = const; 2) р = —ро, —а < х < 0, и /I = ро, 0 < х < а; 3) р = х. 18.26. Найти логарифмический потенциал двойного слоя для от- резка —а < х <а, у = 0 со следующими плотностями: 1) v = const; 2) v — —i/q, —а < х < 0, и и = iz0, 0 < х < а; 3) v = х; 4) v — х2. Пусть р(.г') — финитная обобщенная функция. Свертки V = = —4тг<э>* р и V = —4тг<? * р, где g = ------, £=--------- 4тг|я:| 4тг|я:| — фундаментальные решения оператора Гельмгольца Д + к2 в R3, являются аналогами ньютонова потенциала. Потенциалы V и V удов- летворяют уравнению Гельмгольца Ди + к2 и = —4тгр. Так же определяются аналоги потенциалов простого и двойного слоев. То же для оператора Д — к2. Здесь аналогом ньютонова потенциа- e-fcl4 ла является V* = — 4тг<53, * р, где <?, = — - — фундаментальное решение оператора Д — к2 в R3. 18.27. Пусть р — абсолютно интегрируемая функция и р(х) = О, х е Gi = R3\G. Доказать: 1) V, V и V, выражаются формулами
§18. Метод потенциалов 219 / ik\x-l/l _ r -ifc|x-y| । p(y) dy, V(x) = f p(y) dy, G G (7) К (ж) = I -г---rp(y)dy, J I® - !/ _ G 2) V, V и К C C'1(jR3) П C'°°(Gi) удовлетворяют в области G\ однородным уравнениям Дм + к2и = 0 и Ди — к2и = 0 соответственно; 3) V и V удовлетворяют условиям излучения Зоммерфельда и(х) ^(И'1), ^^iku(x) = о (И-1), |ж| —>• оо и К (ж) —> 0, |ж| —>• оо. 18.28. Для оператора Д + к2 вычислить потенциал V для шара |т| < R со следующими плотностями: 1) р = р(|ж|) е C(UR)\ 2) р = ро = const; 3) р = е-|ж|. 18.29. Для оператора Д + к2 вычислить потенциал V для сфери- ческого слоя R\ < |ж| < Ri с постоянной плотностью р0. 18.30. 1) Для оператора Д + к2 вычислить потенциал простого слоя распределенного с постоянной плотностью /ц, на сфере; 2) для оператора Д + к2 вычислить потенциал двойного слоя распределенного с постоянной плотностью i/g на сфере. 18.31. Для оператора Д — к2 вычислить потенциал V, для шара г < R со следующими плотностями: 1) Р = Р(И) ё 2) Р = Ро = const; 3) р = е-1=с1. 18.32. 1) Для оператора Д — к2 вычислить потенциал простого слоя распределенного с постоянной плотностью ро на сфере; 2) для оператора Д — к2 вычислить потенциал двойного слоя распределенного с постоянной плотностью i/q на сфере. 18.33. 1) Предполагая границу S области G С R? поверхностью Ляпунова, доказать, что , —4тг, х е G, = f = -2», X е S, (9) I О, xE/f\C. где угол ipXy определен в начале параграфа; 2) предполагая границу S области G С R2 кривой Ляпунова, доказать, что ,, „ п —iff, хЕG, У2(1)(ж) = [ dSy = -7Г, X е S, (9j) JS |а: I 0, х& R2\G. 18.34. Доказать: 1) подстановка и = v + V3, где V3(z) = J- fr^dy,' xeR3, 4тг J - j/|
220 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа сводит внутренние краевые задачи для уравнения Пуассона Aw = = — f к соответствующим внутренним краевым задачам для урав- нения Лапласа, если f е С1 (G) П С (G); 2) то же справедливо и для внешних задач при дополнительном условии, что f — финитная функция. 18.35. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Ди- рихле для уравнения Лапласа внутри и вне круга. 18.36. Найти стационарное распределение температуры внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса R при условии, что на границе поддерживается следующая температура uq: 1) Uq = const; 2) u0 = sin у?; 3) uq = cos tp; 4) Uq = C = const при — ^ < у? < ^, И Up = 0 при 7Г 2 Зтг ~2~' 18.37. Найти стационарное распределение температуры внутри неограниченного круглого цилиндра 0 < г < R при условии, что в цилиндре выделяется тепло с плотностью f (г, <р) и на границе г = R поддерживается температура Uq (R, <р) для следующих f и Uq : 1) f = /о = const, 3) f = r2, 5) f = sin r, 7) f = cos <p, u~ = 0; 2) uo = a> 4) Uq = cos ip; 6) «о = cos(y>-^). f = r, f = e~r, f = sin <p, u0 =0; Uq — sin 99; Uq = sin + 18.38. С помощью потенциала простого слоя решить задачу Неймана для уравнения Лапласа внутри и вне круга. 18.39. Найти плотность диффундирующего вещества при ста- ционарном процессе U(г, tp, z) внутри и вне бесконечного цилиндра радиуса R при условии, что источники вещества отсутствуют и коэффициент диффузии D = const, а на границе поддерживается заданный поток диффузии щ для следующих щ: 1) щ = const; 2) щ = sin <р; 3) ui = cosy?. 18.40. Найти стационарное распределение температуры внутри неограниченного круглого цилиндра радиуса R при условии, что в цилиндре выделяется тепло с плотностью f(r,ip) и на границе под- держивается заданный поток тепла иг (R, у>) для следующих f и иг : 1) f = /0 = const, «1 = f°R- 2k ’ 2) f = г, и^ = 3 ’ коэффициент теплопроводности k = 3) f = ——, J 1 + г2 ’ _ ln(l + Д2) “ R k= 1; 4) f = sin у?, U1 = sin 99, k= 1; 5) f = cos у?, U1 — COS 99, k= 1. 18.41. С помощью потенциалов простого и двойного слоя найти стационарную температуру точек полуплоскости у > 0, если:
§ 18. Метод потенциалов 221 1) на границе у = 0 поддерживается заданная температура и0(х)-, 2) на у = 0 поддерживается заданный поток тепла, т. е. Источников тепла нет. 18.42. Найти распределение потенциала электростатического поля внутри двугранного угла при условии, что его граница заряжена до потенциала Vq = const для следующих случаев: 1) £>0, ?/>0, —оо<я<оо; 2) О<<р<^о, ipo<^, 0<г<оо. 18.43. С помощью потенциала двойного слоя решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне шара |ж| < R. 18.44. Найти стационарное распределение температуры в шаре г < R при условии, что в шаре выделяется тепло с плотностью f и на границе г = R поддерживается температура для следующих / и 1) f = fo = const, Uq = 0; 2) f = г, Щ = a; 3)f=^, u~ = 1r^, k = l. 18.45. Доказать, что решение внутренней задачи Неймана для уравнения Лапласа для шара г < R определяется формулой U(г, 0, <р) = ~r [ и(р,0,<р) J Р о где и — интеграл Пуассона для шара, т. е. 2тт ТГ 2 = £ (K2+p2_2Xcos7)3/2 ^de.d^, о о где 7 — угол между радиусами-векторами точек (р, 0,ip) и (R, 0i,<pi) - ди\ I У казани е. Доказать, что если и(р, в, ip), д(0) =0 — гармони- ческая функция в области, содержащей начало координат, то и функ- г <7 ция U(r, 0,ip) = —R I и(р,0,<р) — является гармонической. Далее вое- J р 0 г пользоваться условием разрешимости задачи, а именно / uodS = 0. r=R 18.46. Доказать, что решение внешней задачи Неймана для уравнения Лапласа для шара определяется формулой U(r,e,<p) = R f и(р,е,<р}^, J Р оо где и(р, 0,ip) — решение внешней задачи Дирихле для шара, т. е.
222 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа г> Г Г г? _ fi = Тк ffuX<№,Pi) sin^d^; о о + _ ди I . «о — я — ^р=Я' дп lr=R У казани е. См. указание к задаче 18.45. 18.47. Решить внутреннюю и внешнюю задачи Неймана для г < R для Uq = и J = а = const. 18.48. С помощью поверхностных потенциалов решить задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа для полупространства х3 > 0. 18.49. Найти u(xi,X2,x3) — плотность диффундирующего вещест- ва при стационарном процессе при условии, что источники вещест- ва отсутствуют и коэффициент диффузии D = const для следующих областей G и граничных условий u|s: 1) х3 > 0, и|гз=о = и0 = const; । ( —1, Xi < 0, 2) х3 > 0, uk3=o-|+lj > 0; 3) Х3,Х3 > 0, —00 < Х1 < ОО, u|s = Uo = const. Краевые задачи для уравнений Гельмгольца Ди + к2 и = —f(x) и Ди — к2 и = ~f(x) в пространстве ставятся так же, как и для урав- нения Пуассона. При этом решения внешних задач на бесконечнос- ти должны удовлетворять условию излучения (см. формулу (8)) для уравнения Ди + к2и = — f и обращаться в нуль для Ди — к2 и — —f. 18.50. Решить задачу Дирихле для уравнения Ди + к2и = О внутри и вне сферы |а:| = R при условии и^^д = а. 18.51. Решить задачу Неймана для уравнения Ди + к2 и = О . । I D ди внутри и вне сферы р:| = R при условии — 18.52. Решить задачу Ди + fc2u = —/(ж), и||г|=д = щ (х) внутри сферы |т| = R для следующих f и и0 : 1) / = /о = const, Uq = 0, к = R = 1; 2)/ = 1, и~ =V2ei(1-’r/4)sinl-l, k = R = l. 18.53. Решить задачу Дирихле для уравнения Ди — к2и = О внутри и вне сферы |т| = R при условии и||г|=д = а. 18.54. Решить задачу Дирихле для уравнения Ди — к2и = О внутри и вне сферы |а:| = R при условии и||ж|=д = acosd, 0 < в < тг. 18.55. Решить задачу Неймана для уравнения Ди — к2и = О внутри и вне сферы |т| = R при условии । = а.
§18. Метод потенциалов 223 18.56. Решить задачу Ди - к2и = -f(x), = «о (ж) внутри сферы |т| = R для следующих f и и® : 1) / = /о = const, Ug = 0, к = R = 1; 2) f = 1, Ug = 1 — 2e-1sh 1, к = R = 1. 18.57. Найти стационарное распределение концентрации неустой- чивого газа внутри бесконечного цилиндра радиуса R, если на поверх- ности цилиндра поддерживается постоянная концентрация Uq. Ответы к § 18 18.3. Решение. В силу формулы (7) из § 8 и определения прос- того слоя из § 6 (y3(0),v) = (i|i + = = (jlpG^G/HsG/^G/MC + y))j = = f j|i ( f Ку) + y) dS^\ d^ = J ( J <p(x) dx- Л3 's ' RS 7 18.5. 1) В силу формулы (5): 4тгЛ, |а:| < R; 4тгR2/1х|, |а:| > R-, 2) — 2тг1пЯ, |а:| < R; — 2тг1п|ге|, |а:| > R. 18.6. У Казани е. Воспользоваться формулой (3) и ввести сфе- рические координаты. 1) R гч [ p(r)r2dr, |ж| > И J 0 4тг |Г| R - R; т—г p(r) r2dr 4-4-тг / p(r)rdr, J J 0 H |а:|>Я; 2) 2дЯ2ро - | тг|ге|2Ро, |ж| < R; 3) Ы > R; И (4Я3 - И3), |т| < Я; 4) 4тг7?5 । . „ ' 111 S R; - 1^), |т| < R- 5) 87rf7~, И > д; g (7Д5/2 _ 2|з;|5/2), |ж| < R; ОО 6) [2 - е-л(2 + 2R И 4тг + Я2)], И > R-, 2(1 Т* И) - е“л(1 + R) - e-l’l], И < R- 7) g(7?-arctg7?),H>7?; 4д (1 - + 1п Y И <Я; |Ж| у И1 у /
224 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 8) [(2 - R2) cos R - 2(1 -R sin R)], |xc| > R; |ж| 2 4тг т-r (cos |ж| — 1) + sin lari + sin/? — RcosR , [И 9) pj [2RcosR 4- (R2 - 2) sin R], [ге| > R; 4tt(cos |ar| — 2S*n ' - + RsinR + cosR ), 10) ^-(12 In2-5), |ж >R; 9|k| 2 n I +|И2 + 2И(Я-3)-Я2 , |а;| < R. 2R?\ 3 18.7. 1) 2тг(/?2 - Rl) Ро, И < Rr, 2-rrRlpo - | irp0 ^|ж|2 ZR2- ^(R*_Rl), \x\>R2-, Ri . И 2) 4тг J p(r)rdr, |x| < Ri; J p(r)r2dr-l R1 , R R,<M<R,-, ft J Ri 18.8. 1) ±7rR4cf- + |^), r>R; 2тгСR2r2- r4\ 15 7 rA J \ 6 15 70 у r < R, C — коэффициент пропорциональности; 2) г > R; ^vrRr —7гг2, r < R; 3r2 3 3) 0; 9 R3 2,Г / r2 \ 4) -gp f p(v) d<p, r>R- \R2 - у) /p(^) dip, r < R. о о 18.9. тг [(H - жз) a/R2 + (H - a:3)2 + x3 y/R2 + xj + H2 - 2Hx3 + + R2In (H-x3 + y/R2 + (H-x3)2^ -R2In (-Ж3 + y/R2+x2)]. 18.10. 1) [ [ ^(rjln-y- 1 .— n drj. dip; J j y/r2 + r{ — 2rri cos (<pi - ip) 2) —7rR2polnr, r > R; —тгро(Д21пД~ 2 Г )’ r — Решение. Пусть г > R. Тогда r 2тг i i - V2(r,tp) = po [rrdn [ In - + In - = dipi = i И ' У1+И-24«<».-»>)] = "7TpoE2lnr, так как
§18. Метод потенциалов 225 2тг 2к Г А /ln[l + A2-2Acos(V1-V)]dV=/ /1+2дГДТсХ1-^)^ о о 1о dip Хе^'~^ 1 — dX X = — <!-, Г 3) — | ТГ??2 In Г, 4) -^/?4lnr, 2тг = -2 о У — cosn(<^i — ip) dipi = О, ,п—1 г > R; ™ [/?3(1 - 31п/?) - г3], r<R- r>R; j [/?4(1 — 41п/?) -г4], г < R; 5) —27г [1 — (1 -Ь R) е“я] In г, г > R- -27Г е r — e R + lnr — (1 + R)e nln/? + [-------dry J Г1 г < Я; 6) —2тг In г In л/1 + R2, г > R; -2тг lnElnv/1 + Я2 - | у W + ^dn Г1 7) -^7гЯ5/21пг, г > R- тг [/?5/21п/? + | (г5/2 - /?5/2)], г < R; 8) 9) 2it(R cos R — sin R) In r, / R . \ 2-тгIRInRcosR — InRsinR4-sinr — sinR+ f smri dri I, \ J ri I 2тг1пг(1 — RsinR — cos/?), r > R; 2тг lnr-ln/?(/?sin/?4-cos/?) + cosr- R r cosri dri , r < R; 1 , %fl3smy ' 3r 1 1 X rrR3 cos p Sr ( 2r2\ тг I rR---— I sin ip, ( 2r2 \ 7Г I rR---— cos p 1, ttR2 r (R2-t2 R2 \ r 12) —Inr Jp(ip)dip, r>R\ (—-------------— In/? J p(ip)dip, r<R. 0 ' ' 0 8 - 1389
226 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 18.11. У Казани е. См. решение задачи 18.10, 2). (р2 _ 2\ Rl In г - R2 In R2 + —2 ~- ), / e>2 __ e>2 \ Я1<г<Я2; itpo Ififlnfii - Д| 1пй2 + 2 r<Ri-, R2 / r R2 \ 2) — 2тг1пг J p(x)dx, r>R2, — 2д I lnrjp(x)xdx + J p(x)xlnxdx j, Ri \ Ri r / R2 Ri<r<R2; —2-тг J p(x) xhixdx, r < R\. Ri 18.16. 47Г^оД-, |ж| > Я; 4тгр0Я, |ж| < R. |ж| У казани е. Воспользоваться формулой (5). _ о . 4тг7?2С Л , 2 Л2 \ „ 4 „ „ Л 2г2 \ . D 18.17. 1) —----- 1 + — , г > R; -vRC 1+ — , г < R, Зг у 5г2 J 3 у 5Д2 у С — коэффициент пропорциональности; тг R ( r, (г — R)2 . \/г + x/R\ . „ 2) — г + R - i—==2- In v- _ L r> R, r \ 2i/tR y/r-VRj - tcR ( . D (r — R)2 . i/R + v/r'l _ D — r + R - '—=4_ in —Y_ r < R; r \ 2VFR VR-y/rJ ~ . 3) ^-(e’-l), r>R- 2R(en — 1), r < R. 18.18. 1) 2тгр0 (\/жз + й2 — 2) 7ГЙд/т| + R2 — Tvxl In Д ; 4) +Я2 - |ж3|) f р(^) dtp. О 1B1Q ^9 Р 1 H-^+y/R2 + (H-яз)2 18 .19. 1) 27глн01п-----, -5 7 -х3 + y/R2 + х2 2) R £1п (н-х3 + у/R2 + (Н- х3)2^ - In (~х3 + \ЛН2 + т|Л J p(tp) dtp. о 18 .20. 0, |а:| > R; — 4тгро, |-ж| < —2ttpq, |а:| = R. У казани е. Воспользоваться формулой (5). 18 .21. 1) r>R- г<Я; -у, г = R-, 2) ^[д-Зг + (Л + Зг)(Д^у5)1„^±^], г>Я; д-Зг + (л + зг)(уГ-у£)|„^±^], г<*
§18. Метод потенциалов 227 3) 0, г > R; —4(6* — 1), r<R- -2^-1), г = R; 4) 16тгЯ5 15г3 ’ 5) 18.22. 1) 2тгг/ож3 ( V - 2тГЖ3 J о / 1 2) 2я —2 у v(<p) dtp, г < R-, о 4тгЯ2 Л 6г 2 \ + 5R2)’ 1________1_\ V«2 + х2 кз|/ v(r)rdr , 2 273/2 > Ж3 Г °! (з?3 + Г2)3/2 2тг — j v(ip) dtp, г = R; о г < R-, —2тг, г = R. хз ф О; yjR? + ж| |ж3 ( тг + 2-R тг . - . - :-г - 2 In \y/R2+xl Ы ж3 / О; ятз 0. 18.23. 1) —2тгйр0 In Й, r < R-, 2) —2тг1п2+r2cos2<p, r < 2; 18.24. 1) 0, r > R; — 7ri/0, r = R-, r2-R2 2Rr r2-R2 2Rr 0, 2) V2W(r,V) = < —2-irRpo In г, г > R-, 2тг —2тг In г 4- т cos 2w, г > R. г2 — — 277/4), г < R-, , R2+r2 . (R+r ~ . \ -77Sin<p+———arctg --------2ctg<p , r> r2 —It2 \r — R ) I?2 . _2 ✓ _7rsinv+__ , г < R; r — R. 18.25. 1) р0 2а — г/arctg _^L__<^ln((Q + a;),+!,,)_ 2 y In ((а - ж)2 + у2) - - ж In (ж2 + J/2) + - arctg 2^° Х v ' у у(х2 + у2- (о 4- ж)2 4- у2 _ t _________2аУ (а - ж)2 4- у2 У g ж2 + у2 - а2 ’ arctg -—— 4- arctg У У lim = Tvotr, у —> ±0, о . ж , а + х а — х 2arctg-----arctg--------F arctg------ У У у lim V2^ = ^pv07T, у —> ±0, 0 <ж<а; lim У2^= ±и07г, у —> ±0, — а<ж<0; 2) Ро In ((а + ж)2 + у2) - 3) а2 - ж2 + y2 18.26. 1) -^о в2)]’ , у 0; 0 при у = 0; 4 , у 0 при у = 0; 2) —Vq 8*
228 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа +8[п „#0; 2 (а — х)2 4- у2 , а — х . а + 3) —х arctg--------1- arctg--- L У У О при у = 0; lim (ж, у) = ^хтг, у —> ±0, —а < х < а; 4) (у2 —ж2) (arctg-—- + arctg 4- ху 1П + * у у^0\ ' У У J \а — х)2 + у О при у = 0; lim V^fx, у) = 4=х27г, у —> ±0, —а < х < а. . R 18.28. 1) —f гp(r) sin kr dr, A: kr J 0 fc|rr| I kl R \ f rp(r) sinkr dr 4- sin fc|x| f rp(r) elkr dr j, |rr| < R; о |x| / 2) eifckl (~RcoskR+ |ж| > Я; Ль |Ж| \ К / [sin fc|x| (-iR + elkR - |ж|], |ж| < R', Гъ kc L \ /С / J 3) Тм^ГТТ—7 (sin к + к cos к) 4- кIX | t К + 1 ' + —-ттт; [2fc (1 — e~R cos fc) - (1 - к2) e~R sin fell, |x| > R; (1 + «2)2L v J re-icos(1 _ 1^1) _ 2e-isin(l - |a:|) + ie^ - V5eid:cl+1+i+arctg2)], |s| |x| < 1, к — R = 1. 18.29. ^e^^lfarcosfcfii -J?2cosfcfi2 + sinfcfi2 |x|>R2- /ъ2|ж| \ kJ sinfclxl \-iR2eikR2 + iRieikR1 + | (eikR2 - eifcM, |x| <Ri; /с2[ж| L к x [e^fekl coskRi — Ixl cos/гЫ — s*n+ г|х| sinfc|x|^ + fc2|rr| L \ к / 4- etkR2 (— г/?2 sinfc|x|)], Ri < |x| < R2. X к J a 18.30. 1) eife|®l gin kR, |x| > R; ^^°eikR sinfc|a|, |x| < R; /с|ж| /qrr| 2) 4тгро ег>:|ж| (дсоз/гд _ 1 Sinfc/?Y |x| > R-, 1ъ \ К / '^7ГР° elkR (iRsin fc|x| — i sinfc|x|\ |x| < R; R \ kJ ^^0 ezkR /sjn CQS 1 sin J^p\ |ж| — R. R X 2 2 kJ
§18. Метод потенциалов 229 Атгр-М*! ? 18.31. 1) ——:— f rp(r) sh кг dr, Ы > R; «|я:| J . / И R \ I e-fckl f rp(r) sh кг dr + shfc|a:| f rp(r) e~kr dr I, |rc| < R; ЛЖ \ J Ji 11 \ о И / 2) (RchkR-ishfcflY |ж| > R; /с2|ж| \ к / [|ж| - (R+ e~fc*sh ф|], |rr| < Я; 3) ТГ7 71^-re-(Ji+k^(kchkR + shkR)+ z,shfi„ е~^д+1ж1) , /с|ж| [к2 — 1 (A; + I)2 |ж| > R, к —1. 18.32. 1) ^3l^e-k\^shkR, |ж| > R; e~kRshk\x\, (ж| < R; л|ж| /с|ж| II — 2) ^-e~k\x\ (RchkR- |shfcflY |ж] > R; |ж| \ к / ^-e~kR |flchA;fl- (r+ shfcfl], |ж] = R; z/t L \ К/ J -л?е-иг(д + |)shfcH> И < R- 18.35. У казани e. Воспользоваться формулами (1), (9i) и (4) из § 8. Ы=л Ы=л 18.36. У казани е. Воспользоваться задачей 18.35. т’ . R 1) ^о, г < R; и0, г > R; 2) — sin (р, г < R; — sin о?, г > R; R г г R 3) — cos<£, г < R; — cos 99, г > R-, R г Л\ с Л 2 t Rr cos р \ . с Л 2 t Rr cos (р\ ~ 4) o1+“arct'g“^—г )> r^R’ О (! + -arctg 2 оГ)> r>R- 2 \ тг R2 — t2J 2 \ тг r2 — R2 / 18.37. 1) Решение. Задача Ди (ж) = —47, |ж| < R; "?^||;C|=j? = К = Uq = 0, где х = (xi,xz) и к — коэффициент теплопроводности, подстановкой и = v + У%, где (ж) = i [ fo1п V dV2’ 2 К, , У(Х1—У1) +(Х2—У2)2 сводится к задаче Ди(х) — 0, |а:| < R-, v ||г|=Л ~ (и~ ^2)||ж|=д.В силу задачи 18.11, 2) имеем
230 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа £гъ R2 InR где (г, <р) — полярные координаты точки х. Тогда из формулы зада- чи 18.35 следует V(r,(p) — ^-R2lnR. Итак, u(r,p) = v + Vz = x x (R2 - r2); 2) 4) 5) 6) R3 r R r R r R -r3 9k sin <p + 1 COS Ip + - k R4 — r4 e~R — e~r + In R — In r — .2 Г / 7Г \ / Г \ Ъ « cos (v-?)+ (---)«»„. 1 k R . F e~p r~R ;-----т dSv + const, la;| < R; x = (xi,xz)', I® -y| 18.38. У казани e. Решение искать в виде потенциала прос- того слоя (см. формулу (6)). Затем воспользоваться формулой (2) и условием разрешимости задачи щ (у) dSy = 0. | f Щ(у)]п 7Г J — f ut (у) I*1 Iх ~ у\+ const, 1Ж1 > R- 7Г J M=R 18.39. У казани е. Воспользоваться формулами задачи 18.38. 1) Неразрешима, так как j щ dS 0; Г—Л 2) г sin ер + const, г < R-,--sin р + const, г > R; г r2 3) г cos <р + const, г < R;---cos ер + const, r > R. r 18.40. У казани e. Задача Au = r < R, = u7 k on |г=я подстановкой и = v + Vz (см. решение задачи 18.37) сводится к крае- л л I _ V2) I вой задаче Аг; = 0, г < R, — = „------ dnlr=R on lr=R 1) -— R2 In I?) + const; 2) 1 (R3 - r3 - 3R2 In R) + const; 3) In R In ч/1 + R2 - I f ln<1+-g!l dp + const; 2 J p
§ 18. Метод потенциалов 231 18.41. 1) » / , 7Г J (ГГ Г) +'//2 2) .-1 d£. V(x-£)2+y2 18.42. 1) arctg - + arctg - ; тг у х м vo f sin^o , . аД 2) —- тг Ч-------—F arctg - при 2тг \ х у J | =tg w v0 — arctg 7Г (у2 — х2) sin tpo + 2xy cos y>o (y2 — x2) cos ipo — 2xy sin y>o — F(x,y,<p0) при 7Г < tg <^0; — (тг + F(x, у, </?o)) при — >tg</r0- „ „ 7Г X 1 г R2 — Ш2 18-43-5Ж / М<л; |з/|=Я f И>«- 1з/|=л 18.44. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.6. 1) 4 (Я2-г2); 2)а+^й 3)0. V/Ъ 1.£гЬ 18.47. У казани е. Воспользоваться результатами задач 18.45 и 18.46. R2 а Г 18.48. 18.49. 18.50. г > R; в области г < R задача неразрешима. хз г и0(у) 1 г Ul(j/) „ 2тг J \х-у\1(1Лу' 2тг J \х-у\аЬу- У з=0 з/з=О 11 гц 2 XI ... Uo / ТГ Х2 , . а?з\ 1) д0; 2) —arctg—; 3) —( — +arctg--------Farctg—). тг а?з тг \2 а?з а?2/ aR sin fc|x| । । _ aR elfc|a:| , . n 77 . И < R', 7—7 -Ч7Б-, И > R- a: smkR a: e,kR У казани e. Решения задач ищем в виде потенциалов двойного слоя г Я ik|x-1/1 = / и») — 1^45, r~R Искомая плотность находится из интегральных уравнений /о г f) f,iklx-yl Мг=я = v± (ж) = т2тгр(х) + / р(у) ----j-----dSy = a, xe{r = R}. J uTiy y\ r=R Имеем v(x) = Л . — для внутренней задачи и v(x) = 4n(kR + г) sin kR ae~ikR = —------------j------для внешней. 4тг (cos kR — 7-^ sin kR I
232 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 18.51. Указание. Решение искать в виде потенциала простого слоя. aR2 sin fc|x| | । / о. aR2 eifcW I I о |я| (kR coskR — sin kR) ’ — ’ |я| (ikR— 1)’ ~ 18.52. См. указания к задаче 18.37 и результаты задачи 18.28, 2). J. fo /Sin|x| _ . Л 2. ^/2^1-77/4) sin|х| _ 1 |х| \ sinl /’ ' |х| 18.53. См. указания к задаче 18.50. aR shfclxl . . Т, aR е-*'*' . . Т, ... ... ! 1 ж < 7?; —------— ж > R. |а:| shAJ? |а:| e~kR 1О ( R \2 fclxlchfelxl — shfc|x| „ ii^o 18.54. а т-71 ' 1 , ,-, , ' cos#, ж < R; \|х|/ kR ch kR — sh kR (R \3 fclxl + 1 chfclxl — shfelxl „ i , . r, m) fcK+T chtB-shtfi COse’ W ' R- aR2 shfc|rr| , aR2 ek^~^ |ж| kRchkR-shkR’ 1 1 - ’ |a:| 1 + kR ’ 18.56 . 1) /o(l- 2) Т-ге"1^. \ |a?| sh 1 / |rr| 18.57 . u(x,y) = u0 jOf^} • Указание, и есть решение задачи Ди — к2и = О, и|г=я = Uq. г < R, § 19. Вариационные методы Пусть в ограниченной области Q С Rn задано уравнение Пуассона -Да = /, (1) а на гладкой границе Г — одно из граничных условий и1г = 9, (I) ди дп (П) (ди \| /ттт\ —+сш) =g, (III) где <т G С(Г). Функция и 6 7/1(Q) называется обобщенным решением задачи (1) при граничном условии (I), если ее след на Г равен g и она удовлетворяет при всех и G №(Q) интегральному тождеству У (grad и • grad t?) dx = j fvdx. (2) Q Q Считаем, что функция g является следом на Г некоторой функции из 771(<Э), a f 6 1>2(Q)- Функция и € 771(Q) называется обобщенным
§19. Вариационные методы 233 решением краевой задачи (1) при граничном условии (III) (или усло- вии (II)), где g G 1/2 (Г) и f G Дг(<Э), если при всех v G Л1(<2) она удовлетворяет интегральному тождеству У (grad д • grad t?) dx + J auvdS = J fvdx + j gvdS. (3) Q г q г Если функции f, g, а достаточно гладкие (например, непрерывно дифференцируемые), то обобщенные решения являются классически- ми решениями соответствующих задач. Важную роль при исследовании обобщенных решений краевых задач играет следующая Теорема Рисе а. Пусть на гильбертовом пространстве Н задан линейный ограниченный функционал 1(и). Существует един- ственный элемент h G Н такой, что l(u) = (h,u) (здесь через (h,u) обозначается скалярное произведение в Н элементов h,u). 19.1. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (I). Пока- зать, что если и G C1(Q), то и(х) является обобщенным решением задачи (1), (I). 19.2. Пусть и(х) — классическое решение задачи (1), (III) (или (П)). Показать, что если и G C1(Q), то и(х) является обобщен- ным решением задачи (1), (III) (или (II)). 19.3. Если и(х) — обобщенное решение задачи (1), (I) и u G G C2(Q) П C(Q), то и(х) является классическим решением этой за- дачи. 19.4. Если и(х) — обобщенное решение задачи (1), (III) (или (II)) и и G C2(Q) П C1(Q), то и(х) является классическим решением этой задачи. 19.5. Доказать единственность обобщенного решения зада- чи (1), (I) при <7 = 0. 19.6. Показать, что если функция g является следом на Г неко- торой функции из Л1(<2) (в частности, g G С1 (Г)), то обобщенное решение задачи (1), (I) существует. 19.7. Пусть в области Q задано эллиптическое уравнение L(u) = —div (pgradu) + q(x) и = /(ж), (4) где р G C1(Q), minp(rr) = р0 > 0,q G С((?), f G Дг(<Э)- Принад- лежащая пространству Л1(<2) функция и(х) называется обобщенным решением задачи (4), (I), если при всех v(x) G H1(Q) она удовлетво- ряет интегральному тождеству У (р grad и grad и + quv) dx = J fv dx Q Q и след ее на Г равен д. Доказать, что принадлежащее Н1 (Q) класси- ческое решение задачи (4), (I) является обобщенным.
234 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа 19.8. Доказать существование и единственность обобщенного ре- шения задачи (4), (I) при q > 0. У казани е. Воспользоваться результатом задачи 4.106. 19.9. Пусть в области Q задано эллиптическое уравнение п b(u) = - 12 +q^U = (5) i,j=l где вещественные функции pij € C1(Q), Pij{x) = Pji(x) {i.j = l,...,n) и для всех x 6 Q и любых вещественных (fi,...,fn) справедливо п _ неравенство ^2 Pii{x}&£i — 7o|f|2 с постоянной 70 > 0, q 6 C(Q), »J=i f € L2(Q). Принадлежащая пространству Hr(Q) функция u(x) называ- о - ется обобщенным решением задачи (5), (I), если при всех v(x) G Н1 (СУ) она удовлетворяет интегральному тождеству ! ux.vXj + quv^ dx = J fvdx Q Q и ее след на Г равен д. Доказать, что принадлежащее Hl(Q) класси- ческое решение задачи (5), (I) является обобщенным. 19.10. Доказать существование и единственность обобщенного решения задачи (5), (I), если q > 0. У казани е. Воспользоваться результатом задачи 4.112. 19.11. Обобщенным решением задачи (4), (III) (или (II)) называ- ется принадлежащая Hl(Q) функция и(х), удовлетворяющая при всех v{x) € 6 H1(Q) интегральному тождеству У (р grad и grad v + quv) dx + J pcruvds — J fvdx + j pgvds. Q г q г Доказать, что принадлежащее C1(Q) классическое решение зада- чи (4), (III) (или (II)) является обобщенным. 19.12. Доказать существование и единственность обобщенного решения задачи (4), (III) (или (II)) в предположении, что f 6 L2(Q), д 6 Дг(Г), сг(х) > 0 на Г, q(x) > 0 в Q, причем либо <т(ж) 0, либо д(ж) 0. Указание. Воспользоваться результатом задачи 4.117. 19.13. Пусть L2(Q) и Л1(<2) — подпространства пространств L2(Q) и Hx(Q), состоящие из тех функций из L2(Q) и Д1(<2) соот- ветственно, для которых Jf dx — 0. Доказать, что при д(х) = 0, Q q(x) = 0, f G L2(Q) существует единственное обобщенное решение задачи (4), (II), принадлежащее I71(Q). У казани е. Воспользоваться результатом задачи 4.121.
§19. Вариационные методы 235 Пусть p e C(Q), q G C(Q), a G С(Г), minp(a:) = p0 > 0, a(x) > 0, д(ж) > 0 и или q(x) 0, или a(x) 0. Тогда (см. задачи 4.105 и 4.113) в НГ(СУ) и Jd1(Q) можно ввести скалярные произведения, эквивалент- ные обычным, следующими способами: (/,5)^! = I[P(*)(grad/ gradp) + q(x) fg] dx, (*) Q = j [р(ж) (grad/-grad g) + qfg] dx + j pafgdS. (**) о ° Г Функция и G £T1(Q), на которой функционал ад = м2й1-2(/^)Ь2, рассматриваемый для и G Jd1(Q), достигает своего минимального зна- чения, есть обобщенное решение задачи (4), (I) при g = 0, если норма порождается скалярным произведением (*). Функция и G на которой функционал ВД = М2н1-2(/^)Ь2, рассматриваемый для v G Н1 (Q), достигает своего минимального зна- чения, есть обобщенное решение задачи (4), (III), при д(х) = 0, если норма ||v||hi порождается скалярным произведением (**). Обозначим через Ai,...,An,... расположенные в порядке неубыва- ния собственные значения, а через ui,..., ит,... — соответствующие собственные функции задачи —div (р(х) gradu) + q(x) и = Хи, х G Q, ы|г = 0. Аналогично через pi,. -., рт, - - - и t?i,..., vm,... обозначим собствен- ные функции задачи —div (р(х) grad u) + q(x) и = ри, Тогда + аи f A ini 7ГТТТ2------ — A1 feH\Q) 11-» l'i2(Q) Кроме того, при любом т > 1 IIlf Ilf 112 Q = Л™+1 И mf feH\Q) 1*^2«?) (/,«i)b2(Q)=0 и inf II/IIU). W4Q) ll/lll2(O) ’ = Pi- fEH\Q) П/П12«Э) (f,Vi) i2(Q)=0 11/11н1«2) . , ------— =Pm+i, г = 1, ...,m. 19.14. Рассмотрим при f G L2(Q) функционал Ei(v) = у (gradt?)2da: — 2 j fvdx Q Q
236 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа на множестве функций v G J/1(Q), для которых д|г = д, где функ- ция д(х) является следом на Г некоторой функции из J/1(Q). Показать, что функция д(ж), на которой функционал E(v) достигает минималь- ного значения, есть обобщенное решение задачи (1), (I). 19.15. Рассмотрим при f G Р 6 C(Q), q € С(<2), minp(i) = = ро > 0, q(x) > 0 функционал Е±(у) = у p|gradt?|2da: + j q(x)v2dx — 2 j fvdx Q Q Q на множестве функций v G /Z1(Q), для которых v|r = g, где функ- ция g(x) является следом на Г некоторой функции из HX(Q). Показать, что функция ы(ж), на которой функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (I). 19.16. Пустьpij, = q,f — функции, введенные в зада- че 19.9. Рассмотрим функционал Г п 1 ^г(^) = У 52 P’3V*'V*> dx + у qv2dx -2 j fvdx Q LiJ=l J Q Q на множестве функций v G Jd1(Q), для которых д|г = g, где функ- ция д(х) является следом на Г некоторой функции из df1(Q). Показать, что функция и(х), на которой функционал Е2(р) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (5), (I). 19.17. Рассмотрим при f G I/2(Q), д(х) G Ь2(Г>), <т € С(Г), <т > О на Г, <7(ж) 0, функционал Ei(v) = J |gradv\2dx + Jav2dS — 2 J fvdx — 2 JgvdS, v G /Z1(Q). Q г q г Показать, что функция и(х), на которой функционал Е^ (v) достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (1), (III). 19.18. Пусть /GL2(Q), р(ж)с1/г(Г), peC(Q), 9 € C(Q), <тсС(Г), minp(a:) = ро > 0, q(x) > 0, а(х) > 0 и или д(ж) 0, или <7(ж) 0. Рассмотрим на /Z1(Q) функционал E2(v) = у plgradwpdz + J qv2dx + Q Q apv2dS — 2 J fvdx — 2 Показать, что функция u(ar), на которой этот функционал достигает минимального значения, есть обобщенное решение задачи (4), (III) (или (II)). У казани е. См. задачу 4.117. 19.19. Рассмотрим при f G L2(ff), J f dx = 0, p G C(Q), minp(x) = = ро > 0 функционал Q Ei(v) — у p|gradt?|2da: — 2 j fvdx Q Q
§19. Вариационные методы 237 на подпространстве H1(Q) (определения множеств 1/2(0 и ^1(О см. в задаче 19.13; см. также задачи 4.118 -4.120) пространства H1(Q). Показать, что функция и е H1(Q), на которой этот функционал достигает минимума, есть обобщенное решение задачи (4), (II). 19.20. Найти функцию д0, реализующую минимум функционала 1 1 У (д'2 + д2) dx + 2 у vdx в классе А1 (О,1). о о 19.21. Доказать, что для всех д 6 С1 ([0,1]) справедливо неравен- 1 41 ство J (д'2 + 2жд) dx + д2(0) + Д2(1) > Имеет ли место знак о равенства для какой-либо функции? 19.22. Доказать, что для всех функций д Е С1 [0,1], д(1) = 0 имеет / .7 5 Д2(0) 1 Г ,2 , тт - . место неравенство / vdx < — -I + - / д dx. Наити функцию из J т: т: J О о этого класса, для которой достигается равенство. 19.23. Найти inf J f [(grad д)2 + 2 sin хл sin х2 д] dx I, где Q = = {0 < Xi < 7Г, 0 < X2 < 7г}. 19.24. Найти inf J J [(gradn)2 + 2|ж|2д] drrl, где x = , . 1>ен1(|ж|<1) Li^ici J = (Ж1,Ж2). 19.25. Найти inf f IgradnPda:, где x = (xi,x2), xi = |ж|<Г = |ж| cost/?, x2 — |ж| sint/?, д||ж|=1 = </?(тг — </?)(2тг — </?), О < tp < 2тг. 19.26. Найти inf J |gradn|2 da: на множестве функций д € |ж|<1 € Я‘1(|ж| < 1), х = (xi,x2), жх = |rr| cos99, х2 = |ж| sint/?, удовле- творяющих условию д||ж|=1 = <р2, —тг < ip < 7Г. 19.27. Может ли заданная на окружности |ж| = 1, a?i = cost/?, х2 = sint/?, функция ^(</?) быть граничным значением какой-либо функ- ции из Н1 (|ж| < 1), если: а) «/;((/?)= sign </?, — тг < </? < тг; б) «/;(</?) = £ 2""c°s22"/; ч I / \ \\ COS TI (р в) V'(v’) = Е „Г-- п=1 п 19.28. Пусть Q — квадрат {0 < х^ < 1, 0 < х2 < 1}. Доказать, что для любой f G Н1 (Q) имеет место неравенство
238 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа f f2dx f Igrad f\2 dx, Q Q и установить, что постоянная в неравенстве точная. 19.29. Пусть Q — куб {0 < х± < 1, 0 < х? < 1, 0 < Хз < 1}. Дока- зать, что для любой функции f € H1(Q) справедливо неравенство ИЖ < llgrad/||l2. О7Г 19.30. Пусть Q — кольцо {1 < |ж| < 2}. Найти inf J f [(grad/)2 + 4/1 dx + [ /2dsl, х = (ж!,ж2). feH\Q) 1 J J f /|k|=I=0 *-l<^l<2 kl=2 > 19.31. Пусть Q — квадрат {0 < Ж1 < 1, 0 < ж2 < 1}. Найти функцию, дающую минимум функционалу ( 71 1 infj < j [(gradu)2 + 48ШЖ1 зшжгд] dx + 2 J 8ШЖ1и(ж1, 7г) dx^ > “ 0 j в классе функций и G H1(Q), д|Ж2=о = д|Ж1=о = д|Ж1=7Г = 0. 19.32. Пусть Q — круг {|ж| < 1}, ж = (Ж1,Ж2). Доказать, что для любой функции и G Д(<2) справедливо неравенство llulll2 < ^~2 llgradulll2- 19.33. Доказать, что для всех функций и € С1(0 < Ж1 <1, 0 < < жг < 1), удовлетворяющих граничным условиям nlajj =0 n|a;2—Q 0, —1 Ж2, п|д;2 — 1 Ж1, справедливо неравенство 1 1 УУ(gradu)2<iri dx2 > - о о Имеет ли место равенство для какой-нибудь из этих функций? 19.34. Доказать, что для всех функций и € С'1(|ж| < 1), ж = = (ж1,жг) имеет место неравенство 2 / ж!Ж2д(ж) dx < —+ / (gradи)2 <Д. J 1J |г|<1 |ж|<1 19.35. Доказать, что для всех функций и G С,1(|ж| < 1), ж = = (ж1,жг,жз) имеет место неравенство У [(gradu)2 + u] dx > |ж|<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций?
§19. Вариационные методы 239 19.36. Показать, что для всех функций v € С1(|ж| < 1), Xi = = |ж| cost/?, Х2 = |ж| sin</?, удовлетворяющих условию п||ж|=1 = siri где х = (ж1,ж2), справедливо неравенство У [2|ж|2д + (gradи)2] dx > Ц тг. И<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.37. Доказать, что для всех функций и 6 С1 (0 < х^ <1, 0 < < Х2 < 1, 0 < х3 < 1), х = (х1,Х2,х3), удовлетворяющих граничным условиям ^|тх=О — п|а;2— о Ж^Ж3, ^|жз=0 Х}Х2, uU1=l = х2 + х3 + Ж2Ж3, и|Ж2=1 = Ж! + Х3 + Ж1Жз, и|Жз=1 = Ж1 +х2 +Х1.Х2, справедливо неравенство in |gradu|2da:i dx3 dx3 > ООО Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функций? 19.38. Показать, что для всех функций v G С1(|ж| < 1), х = = (х1,Х2,Хз), = |ж| cost/? sin (9, Х2 = |ж| sin</? sin (9, х3 = |ж| cos (9, удовлетворяющих условию t?||a;|=i = cos(9, справедливо неравенство У [2v + (grad u)2] dx>~-. |ж|<1 Имеет ли место равенство для какой-либо из описанных выше функ- ций? 19.39. Пусть Q — квадрат {0 < х± < 1, 0 < Х2 < 1}. Доказать, что для любой функции v € /Z1(Q), удовлетворяющей условию J sin vrai вттгжг^я) dx = О, Q справедливо неравенство Ml2 < ^llgradt?lli2- 19.40. Пусть Q — куб {0 < a?i < 1, 0 < ж2 < 1, 0 < ж3 < 1}. Дока- зать, что для любой функции v 6 Д1(<2), удовлетворяющей условию j sin7ra:i БШтгжг 8ттгжзд(ж) dx = О, Q 1 справедливо неравенство ||n||£2 < ]|grad v]\^2. 19.41. Пусть Q — куб {0 < Ж1 < тг, 0 < ж2 < тг, 0 < х3 < тг). Среди функций и € /Z1(Q), принимающих граничные значения
240 Гл. V. Краевые задачи для уравнений эллиптического типа — ^|.T2—О — 0 ^|ж1=Я — ^|ж2 = Я — О, найти ту, которая дает минимум функционалу я я Е(и) = у (grad u)2 dx + j J sinaii s'mx2u(xl,x2,Tr) dx^ dx2. Q oo 19.42. Пусть Q — шаровой слой {1 < |rr] < 2}, x = (xi,x2,x3). Среди функций и 6 H1(Q), принимающих граничные значения и1|ж|=2 = 0, найти ту, которая дает минимум функционалу Е(и) = J [(grad u)2 + 2и] dx + j u2dS. Q kl=i Ответы к § 19 19.20. -1+ -^-ch fa; - e + 1 V 27 x3 2 19.21. Да, для у - ± (ж + 1). 19.22. -x2 + ^±1. 2 2 19.23. 8 19.24. 64 oo 19.25. 144тг£й~5. 19.26. 16% 3. 19.27. а) Нет; б) нет; в) да. 19.30. 2(1 + 1п4) (51-941П2). 19.31. ,, sin ат ch x2 — Sinar sina;2 — 2 - . sh тг 19.33. Да. o • |a;|2 — 1 19.35. Да, для функции . 19.36. г4 — 1 Да, для г sin ip Ч ——. 19.37. Да, для х±х2 Ч- Х1Х3 + ж2г;з. 19.38. г2 - 1 Да, для г cos в Ч -—. г 6 19.41. 7= . - sina?i sina^sh (\/2а:з) \Z2ch (у2тг) 19.42. и!. ii 6 9|z| 18 ‘
Глава VI СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА § 20. Метод разделения переменных 1. Уравнения гиперболического типа. Изложим кратко су- щество метода Фурье или метода разделения переменных, рассматри- вая задачу о колебаниях струны, закрепленной на концах. Эта задача сводится к решению уравнения д2и 2 д2а С1) dt2 дх2 при начальных условиях Mi=0 = Мж), ^|t_0 = U1^ (2) и граничных условиях а|х=о = о, u|I=J = 0. (3) Будем сначала искать частные решения уравнения (1), не равные тождественно нулю и удовлетворяющие условиям (3), в виде и(х, t) = Х(х) T(t). (4) Подставляя (4) в (1), приходим к уравнениям T"(t) + a2XT(t) = 0, (5) Х"(х) + АХ (ж) = 0, (6) где А = const, причем для получения нетривиальных (не равных тож- дественно нулю) решений вида (4) необходимо найти нетривиальные решения, удовлетворяющие условиям Х(0) = 0, Х(/) = 0. (7) Мы приходим к задаче Штурма-Лиувилля (6), (7) (см. с. 184). Собственными значениями этой задачи являются числа Ал = (т)2 (fc = 1’2’-) (и только они), этим собственным значениям соответствуют (норми- рованные) собственные функции Хк(х) = у 7 Sln “Г’ При А = А^ уравнение (5) имеет общее решение
242 Гл. VI. Смешанная задача fcvrat , . kirat (t) = ак cos —------1- Ofc sin —-—, Тк поэтому функция ик(х, t) - Хк(х) Tk(t) = [ак cos + bk sin j sin 'Тр- удов летворяет уравнению (1) и граничным условиям (3) при любых ак и Ьк. Решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2), (3), ищем в виде ряда то , ( kirat , . kirat\ . к-пх и (ж, t) = 2_^ [ak cos -Ь sin —— I Sin —. (8) fc=l Если этот ряд сходится равномерно и его можно дважды почленно дифференцировать, то сумма ряда будет удовлетворять уравнению (1) и граничным условиям (3). Определяя постоянные ак и Ьк так, чтобы сумма ряда (8) удовле- творяла и начальным условиям (2), приходим к равенствам “ ктгт и0 (ж) = 57 ак sin -j—, (9) k=i , , к-па , . knx ВД = / , -j- °ksln fc=i (10) формулы (9), (10) дают разложение функций ио(х) и ик(х) в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1). Коэффициенты этих разложений вычисляются по известным формулам . ктгх , sin —— ах, ктгх , sin —— dx. ak — о о I 2’ В задачах 20.1, 20.2 нужно найти с помощью метода Фурье коле- бания струны, предполагая, что внешние силы отсутствуют. 20.1. Решить задачу о колебании струны 0 < х < I с закреплен- ными концами, если начальные скорости точек струны равны нулю, а начальное отклонение и0 имеет форму: 1) синусоиды ио(х) = Л sin (п целое); I 2) параболы, осью симметрии которой служит прямая х — -, а /I \ 2 вершиной — точка М hr 3) ломаной О АВ, где 0(0,0), А(с, h), В(1,0), 0 < с < I. Рассмот- I реть случаи с = -. 20.2. Решить задачу о колебании струны 0 < х < I с закреплен- ными концами, если в начальном положении струна находится в покое (ио = 0), а начальная скорость и± задается формулой:
§ 20. Метод разделения переменных 243 1) Ui(s) = Vo = const, х 6 [О,/]; 2) щ_(х) = ( Vo, если ( 0, если х е [а,/3], х G где 0 < а < (3 < I; 3) ui(s) = Л cos Ж—, если х € [ж0 — а,хо + а], 2а . О, если х € [х'о — а, х0 + а], где 0 < х0 — а < х0 + а < I. Уравнение (1) описывает свободные продольные колебания стерж- ня. В задачах 20.3, 20.4 требуется найти продольные колебания стержня, применяя метод разделения переменных. 20.3. Решить задачу о продольных колебаниях однородного стержня при произвольных начальных данных в каждом из сле- дующих случаев: 1) один конец стержня (х = 0) жестко закреплен, а другой конец (х = Г) свободен; 2) оба конца стержня свободны; 3) один конец стержня (х = I) закреплен упруго, а другой конец (х = 0) свободен. 20.4. Найти продольные колебания стержня, если один его конец (х = 0) жестко закреплен, а к другому концу (х = I) приложена сила Р (в момент времени t = 0 сила перестает действовать). 20.5. Найти силу тока i(x,t) в проводе длины I, по которому течет переменный ток, если утечка тока отсутствует и омическим сопро- тивлением можно пренебречь. Предполагается, что начальный ток в проводе (при t = 0) равен нулю, а начальное напряжение задается формулой v|t=0 = Ео sin Левый конец провода (х — 0) изолирован, а правый конец (ж = I) заземлен. Задача о нахождении вынужденных колебаний однородной струны 0 < х < /, жестко закрепленной на концах, под действием внешней силы с плотностью р приводится к решению уравнения д2и 2 д2и , , №=а (п) (д = р/р, где р — линейная плотность струны) при граничных усло- виях (3) и начальных условиях (2). Решение задачи (11), (2), (3) ищут в виде суммы и = v + w, где v — решение неоднородного уравнения (11), удовлетворяющее гра- ничным условиям (3) и нулевым начальным условия । о dv I vt=o = 0, д- ot lt=o = о,
244 Гл. VI. Смешанная задача a w есть решение однородного уравнения (1), удовлетворяющее гра- ничным условиям (3) и начальным условиям (2). Решение v представляет вынужденные колебания струны (эти колебания совершаются под действием внешней возмущающей силы при отсутствии начальных возмущений), а решение w представляет свободные колебания струны (они обусловлены начальными возмуще- ниями) . Функцию v отыскиваем в виде ряда ОО v(x,t) = ±Tk(t) sin по собственным функциям задачи (6), (7). Подставляя (12) в (11), получаем (12) ОО г >21 £ кт + (!=) т.ю й fc=l . ктгх , ,, sm — = g(x, t). (13) Разлагая функцию g(x, t) в интервале (О, I) в ряд Фурье по синусам 5(ж, t) = 52sin (14) fc=i и сравнивая (13) и (14), находим дифференциальные уравнения T^t) + (^Tk(t)=gk(t), (15) где ыо = |/<яб*)зт^# (k = i,2,...). о Решая уравнения (15) при нулевых начальных условиях 7i(0)=0, П(0) = 0 (к =1,2,...), (16) находим Tk(t), а затем определяем v с помощью формулы (12). За- метим, что решения Tk(t) уравнений (15) при условиях (16) представить в виде t i 1 МОЖНО Tk(t) = f f т) sin (t - т) sin dr. (17) Lo J Решение задачи (11), (2), (3) представляется в виде kirat , . ктга1\ . ак cos — -Ь bk sin —-—I sin ктгх u(x, t) = 52 sin + 52 k=i k=i где функции 7i(a;) определяются формулой (17), a коэффициенты ак и Ьк — формулами i 2 Г , . . ктгж . ак = у / и0(х) sin —j—dx, о . ктгх j sm —j— ах. О о
§ 20. Метод разделения переменных 245 20.6. Решить методом разделения переменных следующие сме- шанные задачи: 1) utt = ихх +26 (5 = const, 0 < х < /), и|ж=0 = 0, и|ж=/ = О, w|t=o = щ |<=о = 0; 2) Utt — Uxx 4“ COSt (0 < X <. тг), и|а:=О — ц|ж=7г — 0, u|f—о — = ut [t=o = 0. 20.7. Решить задачу о колебаниях однородной струны (0 < х < /), закрепленной на концах х = 0 и х = /, под действием внешней непрерывно распределенной силы с плотностью p(x,t) = Ар sin ait, и) ктш (к _ 1,2,...). Начальные условия — нулевые. 20.8. Решить задачу о продольных колебаниях стержня, подве- шенного за конец х = 0 (конец х = I свободен), совершаемых под влиянием силы тяжести. Задача о вынужденных колебаниях ограниченной струны под действием внешней силы в случае, когда концы струны двигаются по некоторому закону, приводится к решению уравнения (11) при граничных условиях вида и|г=о = /+ (0, u\x=i=p,2(t) (18) и начальных условиях (2). Решение задачи (11), (2), (18) ищем в виде и — v + w, где w = /ii(t) + у (/12(t) — /'1(0) — функция, удовлетворяющая задан- ным граничным условиям (18). Тогда функция v(x,t) удовлетворяет нулевым граничным усло- виям ц|1=0 = = 0, уравнению vtt - a2vxx = gi, где gi(x,t) = = g(x,t) — (wtt — a2wxx), и следующим начальным условиям: v|t=0 = Uo(x) - w|t=0, Vt|t=o = 141 (х) - wt|f=0. (19) Мы пришли к задаче типа (11), (2), (3) для функции и. Замечание. Иногда удается найти функцию и, удовлетво- ряющую неоднородному уравнению (11) и заданным граничным условиям (18). Тогда, отыскивая решение задачи (11), (2), (18) в виде и = v + w, находим, что функция w удовлетворяет однородному уравнению (1), нулевым граничным и начальным условиям (19). 20.9. Решить следующие смешанные задачи: 1) ихх = utt, 0 < х < I, u|I=o = 0, u|I=i = t, u|t=0 = ut |t=o = 0; 2) uxx — utt, 0 + x + 1, w|x=o — t + 1, i — t + 2, w|t=o , du I л = ж + 1, -p- =0. dt lt=o 20.10. Решить задачу о вынужденных поперечных колебаниях струны, закрепленной на одном конце (х = 0) и подверженной на дру-
246 Гл. VI. Смешанная задача гом конце (х = I) действию возмущающей силы, которая вызывает смещение, равное У1 sin где ш (fc = 1,2,...). В мени t = 0 смещения и скорости равны нулю. момент вре- 20.11. Пусть стержень длиной /, конец которого х = 0 жестко закреплен, находится в состоянии покоя. В момент t = 0 к его сво- бодному концу х = I приложена сила Q = const, действующая вдоль стержня. Найти смещение u(x,t) стержня. 20.12. Решить задачу о продольных колебаниях однородного ци- линдрического стержня, один конец которого заделан, а к другому концу приложена сила Q = A sin wt, направление которой совпадает с / , атг(2к +1) , \ осью стержня I ш А —к — 0,1,2,... I. 20.13. Решить задачу о свободных колебаниях однородной струны длиной I, закрепленной на концах и колеблющейся в среде, сопротив- ление которой пропорционально первой степени скорости. Начальные условия нулевые. 20.14. Решить следующие смешанные задачи: 1) ии = ихх - 4и (0 < х < 1); u|I=o = и|х=1 = 0; u|t=0 = х2 - х, Mt|t=o = 0; 2) Wft 4” 2Uf — UXx Ц (0 < X < ТГ), Д|д:=:0 — ^|а:=7г — 0, Tz|t—О — = тгт - т2, ut|t=o = 0; 3) Utt 4~ %Uf — Uxx и (0 < X < тг), Ux |т=0 — 0, тг — 0, и|(—о — 0? Ut |*=о = х; 4) Utt 4" Ut — UXx (0 < х < 1), — t, — 0, u|j—о — 0, Ut|t=o = 1 - х; 5) Utt — ихх + и (0 < х < 2), zz|z=o — 2t, w|x=2 — 0; — = wt|t=o — 0; 6) Utt = ихх + U (0 < x < /); w|x=o = о, u|x=z = t; u|f=0 = 0, i _ x Wt|t=o — y- 20.15. Решить следующие смешанные задачи: 1) utt = ихх + x (0 < x < тг); w|x=o = и|а=тг = 0; u|f=0 = sin2т, Ut |t=o = 0; 2) Utt + Ut — UXx 4“ 1 < T < 1), Tz|j-=q — Ti|a:=l — 0, w|t=O — = wt|t=o = 0. 20.16. Решить следующие смешанные задачи: 1) utt — ихх 4- 2ut = 4т + 8e4cosT (0 < x < ir/2):, ux|x=o = 2t, «|ж=7г/2 = «|t=o = cost, wt|t=o = 2т; 2) utt — uxx-= 4t(sinT-t) (0<t<tt/2); u|i=o = 3, ггх|1=л./2 = = t2 + t; u|t=o = 3, rtt|t=o = x + sinT;
§ 20. Метод разделения переменных 247 3) ии - 3ut = ихх + и - ж(4 + t) + cos — (0 < х < тг); uI|I=o = = t + 1, u|x=7r = тг(4 + 1); u|f=0 = uf|f=0 = rr; 4)------utt — 7ut = Uxx + 2ux — It — 7x — e~x sin 3a: (0<з:<тг); u|I=o = 0, ^|x=7T - Trt, Ti|t=O - 0, Wfl t=O Xj 5) Utt + 2uf = uxx +8u + 2a:(l — 4t) +cos3a: (0<ж<тг/2); = t, и|х=тг/2 = у; «|f=o = 0, ut|t=0 = a:; 6) Utt ~ uxx “b 4?z + 2sin x (0 < x <C тг), ux\x=о — — О» w|t=o = ut|t=o = 0; 7) иц = Uxx + 10u + 2sin2a: cosa: (0<s<тг/2); u|I=o = uxlx=lr/2 = 0; w|t=o = Щ |t=o = 0; 3) Utt 3ut — uxx + 2тгз; За: 2t (0 x тг), w|x=o — О, — = Tri; u|t=o = e~x sina:, ut|t=0 = x. В задачах 20.17-20.20 требуется применять метод разделения пе- ременных для изучения колебаний мембраны. Задача о колебаниях однородной мембраны сводится к решению уравнения иц = а2 Ди + f при некоторых начальных и граничных условиях (см. с. 14-16). В частности, задача о свободных колебаниях прямоугольной мем- браны (0 < х < р, 0 < у < q), закрепленной по контуру, сводится к решению волнового уравнения д2и _ 2 / д2и д2и dt2 ° Icte2 ду2 при граничных условиях Тг[т=О — U^x~p — а|у=о — и\у=д — 0 и начальных условиях u|t=0 = и0(х,у), — | = щ(х,у). 20.17. Решить задачу о свободных колебаниях квадратной мем- браны (0 < х < р, 0 < у < р), закрепленной вдоль контура, если , . . тгх . тгг/ ди I „ ut=o = >lsin — sin—, — =0. Р р at 1г=о 20.18. Решить следующую смешанную задачу: Utt — (0 < х < тг, 0 < у < тг), ^|а:=о ~ ^|я:=7г “ — uj^=n — 0, u\t=0 = 3 sin a; sin2y, ?it|t=o = 5sin3x sin4y. 20.19. Решить задачу о свободных колебаниях прямоугольной мембраны (0 < х < р, 0 < у < q), закрепленной вдоль контура, если u|t=0 = Аху(х-р)(у - q), = 0-
248 Гл. VI. Смешанная задача Задача о свободных колебаниях круглой мембраны радиуса R, за- крепленной по краю, приводится к решению уравнения 1 д2и _ д2и 1 ди 1 д2и a2 dt2 dr2 г dr г2 dtp2 (20) при граничном условии и|г=л = 0 (21) и начальных условиях u|t=0 = Uo(r, tp), ^1 = ur(r,tp). (22) ut lt=O Применяя метод разделения переменных, положим u(r, tp, t) = T(t) v(r, tp). (23) Подставив (23) в (20), получим уравнение для T(t) T"(t) + a2X2T(t) = 0 (24) и следующую краевую задачу для v(r,tp): d2v 1 ди 1 d2v , .2 г. ,ог. Я 1 2 я-2 "* V ~ 0- (25) ог^ г иг т1 dtp2 Из физического смысла задачи вытекает, что функция v(r, tp) является 2тг-периодической функцией от tp, т. е. v(r, tp) = v(r, tp + 2тг), (26) и что эта функция ограничена в центре круга, т. е. |ц|г=о | < сю. (27) Кроме того, из условия (21) следует, что Чг=л = 0. (28) Применяя метод разделения переменных к-задаче (25)-(28) поло- жим д(г, tp} = <b(tp)Z(r) (29) и из (25) найдем, что Ф"(</?) + м2Ф(</?) = 0, (30) 1 / 2 \ Z''(r) + -Z'(r)+(A2-yz(r) = 0, (31) причем в силу (27) и (28) должны выполняться условия Z(R) = 0, (32) |Z(0)| < сю. Из (30) и (26) находим (у = п целое): Фп(^) = Ап cos nip + Вп sin ntp. Уравнение (31) подстановкой Аг = x(Z(r) = у(х)) приводится к нению Бесселя (33) (34) урав-
§' 20. Метод разделения переменных 249 х2у" + ху’ + (х2 — р2) у = О, общее решение которого имеет следующий вид: yv(x) = Ci Л (ж) + С2К(ж), где J„(x) и Yl,(x) — функции Бесселя 1-го и 2-го родов р-го порядка. Свойства функций ТДх): 1) корн» уравнения = 0 (35) при v > — 1 — вещественные и простые (кроме, быть может, корня /2 = 0); они симметрично расположены на оси /2 относительно точки /2 = 0 и не имеют конечных предельных точек; л 0 i j 2) = . yKM]2=y^+iW, г = з, (36) где /ij и p.j — различные положительные корни уравнения (35); 3) функция /(ж) при некоторых условиях разлагается в равно- мерно сходящийся ряд Фурье по системе функций Jv{y.kx/H} (к = = 1,2,...), где /xi,дг, -- — положительные корни уравнения (35). Ве рнемся к уравнению (31); его общее решение при и = п имеет вид „ , , „ , , . о Так как в окрестности точки х = 0 функция Jn(x) ограничена, а функция Yn(x) является неограниченной, то в силу (33) Dn = 0, т.е. Zn(r) = CnJn(Xr). (37) Из условия (32) находим ./„(АЛ) = 0. Полагая XR = /2, (38) приходим к уравнению (35); пусть • — его положительные корни, т. е. J„(/2^)=0, (m=l,2,...). (39) Тогда из (37)-(39) получаем, что функции Znm(r) = Jn(^^ (40) являются решениями задачи (31)-(33). Функции ((п), (п)*\ * ciijjj-pi t j-» . aiim t \ ___ । Anm COS — Ь Bnrn sin — | cos iup 4- it Lb J („,XnY 1 Cnm cos + sin siring (41)
250 Гл. VI. Смешанная задача в силу (23), (24), (29), (34), (38), (40) являются частными решениями уравнения (20) и удовлетворяют граничному условию (21). Решение задачи (2()) (22) ищем в виде формального ряда ОО оо = 52 52 Unm(r,(p,t), п=0 т=1 где функции ипт определяются формулами (41). Задача сводится к разложению некоторых функций в ряд по системе функций r/Я) (т = 1,2,...). В силу (36) коэффициенты ат разложения ff(r) = £ amJn определяются формулами 2 г /и(п)г\ 20.20. Решить задачу о свободных колебаниях однородной круг- лой мембраны радиуса R, закрепленной по краю, в следующих слу- чаях: 1) начальное отклонение определяется равенством w|(=0 где pj. — положительный корень уравнения Л)(р) — 0; начальная скорость равна нулю; 2) начальное отклонение и начальная скорость зависят только ОТГ’Т-е- u|f=0 = /(r), Uf|f=0 = F(r); 3) начальное отклонение имеет форму параболоида вращения, а начальная скорость равна нулю. 20.21. Найти решение смешанной задачи Wtt — ^хх “Ь + f (t) ./о(/х^з:), X где — положительный корень уравнения Jo(p) = 0, 0 < х < 1, ^t|t=o — 0, |^|а:=о| < ОС', если: 1) f(t) = t2 + 1; 2) f(t) = sin! + cost. 20.22. Найти решение смешанной задачи Иц — нхх + 0 < X < 1, х h|I=o| < ОО, lt|I=l = g(t), u|,-0 = U0(x), Ut|t=o = Ul(x), если: 1) g(t) = sin2t, u0(x) = | [1 ~ Ui(x)=0; Z L Jot2) J 2) g(t) - cos2t, u0(x) = ui(x) = 0; Jot2)
§ 20. Метод разделения переменных 251 3) g(t) = t — 1, До (ж) = Jo(Mia') — 1, где Mi — положительный корень уравнения Jq(m) = 0> = 1. 20.23. Найти решение смешанной задачи ин + f (1) — ^хх "Ь ^х, о «с з? <с 1, X |u|z=o| < оо, w|x=i = g(t), u|f=0 = iZo(ar), u#|t=o = WiM, если: 1) /(0 = cos t, 2) /(*) = sin 3t, «o(x) = l-^, JoW g(t) = u0(x) = 1, ui(a?) = 0; u / \ = 1 [1 _ J°(3a:)l. 11 ’ 3 L Jo(3) Г ,ч 1 Г7о(2я:) .1 “»W = 2lw ‘г 3) f(t) = —2 cos 21, + Л)(М1Ж), гДе Mi — положительный корень уравнения Jq(m) = 0- 20.24. Решить смешанную задачу 'U'XX ”Ь ^Х = ”Ь 0 х ff(l) = u^x) = 0, 1, |«|х=о| < ОО, 11|ж=1 = COs2t + SH131, . Jo (к\/з) . 3Jo (2а;\/2) “'‘-° “ +W ’ Л (2^2) 20.25. Решить задачу о колебаниях однородной круглой мембра- ны радиуса R, закрепленной по краю, если эти колебания вызваны равномерно распределенным давлением р = ро sinwt, приложенным к одной стороне мембраны. Предполагается, что среда не оказывает со- противления и что а> ф где рп (п = 1,2,...) — положительные R корни уравнения -7о(м) — 0 (нет резонанса). 20.26. Решить смешанную задачу -4> ° X2- u|t=O = U0(x), Ut |t=o = «1(ж), Utt — Uxx 4" Ux X Д|ж=1 ’— 0, 1, если: 1) «о(ж) = Ji(pkx) + щ(х)=0; 2) «о(ж) = Jl(pkX), иг(х) = Здесь pk и Мт — Дви различных положительных корня уравнения Ji(p) = 0. 20.27. Решить смешанную задачу “ "^ХХ “Ь "^Х Q X X* где — положительный корень уравнения Ji(/x) = 0, 0 < х < 1,
252 Гл. VI. Смешанная задача |и|ж=о|<00, и|ж=1 = u|f=o = иг|(=о = 0. 20.28. Решить смешанную задачу ,1 и Г, 1 Uft - Uxx ”b 91 0 < Ж < 1, X xz hk=o| < оо, и|ж==1 — sin2t cost, гф=о = 0, I ________________ Л (ж) I 3 Ji(Зж) fli=0 2Л(1) + 2 Ji(3) ' 20.29. Решить смешанную задачу л __ .1 4u n i Utt — Uxx 4* Ux n j 0 <C ж <C 1, x xz |w|x=o| < OO, д|ж=1 = 0, u|t=o = Uo(x), Ut|t=o = если: 1) u0(ж) = щ(х) = htukx); 1 3 2) u0(x) - - Щцкх), ui(ar) = - J2(rkx). Здесь у,}. — положительный корень уравнения 7г(р) = 0. 20.30. Решить смешанную задачу 1 4и Utt=Uxx + ~Ux-----Я + f(t) Л(Р1Ж), 0 < X < 1, X X где pi — положительный корень уравнения J2 (р) = 0, |д|а:=о| < ОО, д|а:=1 — о — Ut|f—о — 0, если: 1) /(0 = *5 2) /(t) = cost. 20.31. Решить смешанную задачу Utt — Uxx их —г-, 0 X 1, х х* |w|z=o| < оо, гг|ж=1 = 0, ш|г=о = Js^xx), где pi — положительный корень уравнения ^з(р) = 0, д|(=о = и0(х), если: 1) до(ж) = 0; 2) и0(х) = J3(fiix). 20.32. Решить смешанную задачу 1 9и Utt — UXx "Ь Ux “h f (t) 0 X <С 1, X X <С ОО, ^|я=1 ” ^|f=0 = Ut|f=0 — 0, где — положительный корень уравнения Js(m) = 0, если: 1) 2) /(t) = t-t2.
§ 20. Метод разделения переменных 253 20.33. Решить смешанную задачу (%их)х = ии, 0 < х < -, |и|ж=о| < оо, и|ж=1/4 = 0, w|t=o = Jo (2plv/z), ut|t=o = О, где pi — положительный корень уравнения Jo(p) = 0. 20.34. Тяжелая однородная нить длиной I, подвешенная за один из своих концов (х = I), выводится из положения равновесия и отпус- кается без начальной скорости. Изучить колебания нити, которые она совершает под действием силы тяжести; предполагается, что среда не оказывает сопротивления. 20.35. Тяжелая однородная нить длиной I, закрепленная верхним концом (х = I) на вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой скоростью и. Найти отклонение u(x,t) нити от положения равновесия. 20.36. Решить смешанную задачу ии = (хих)х, 0 < х < 1, Ыя=о| < °°, иж|ж=1=0, u|i=o = 0, Uf|(=o = Jo faky/x), где — положительный корень уравнения Jj(p) = 0. 20.37. Решить смешанную задачу Utt = хихх + их + /(t) Jo (piy/z), 0 < х < 1, |п|а:=о| < ОО» ^|а:=1 — ^|f=0 — 0 — где pi — положительный корень уравнения Ji(p) = 0, если: 1) /(*) — *5 2) /(*) = sini- 20.38. Решить смешанную задачу Utt = хихх + их--, 0 < х < 1, х Ь|х=о| < оо, 1/^=1 = 0, д|(=о = 0, ut|i=0 = J2 (Hky/x), где pt — положительный корень уравнения J2 (р) = 0. 20.39. Решить смешанную задачу Ди — хихх Т их , 0 х 1, |«|а:=о| < ОО, Ц|ж=1 = 0, u|t=O = 0, U(|t=O = J3 (М1\/я), где pi — положительный корень уравнения 7з(р) = 0. 2. Уравнения параболического типа. а) Задача о распространении тепла в тонком однородном стержне О < х < I, боковая поверхность которого теплоизолирована, а концы х = 0 и х = I поддерживаются при нулевой температуре, приводится к решению уравнения теплопроводности Uf — и ихх (1) при граничных условиях
254 Гл. VI. Смешанная задача и|а:=0 — Oj w|sc=( — 0 (2) и при начальном условии u|t=o = uo(z)- (3) (4) Применяя метод разделения переменных, ищем частные решения уравнения (1) в виде V u(x,t) = X(x)T(t). Подставляя и из (4) в (1), получаем два уравнения T"(t) + a2XT(f) = О, (5) Х"(х) + XX (ж) = 0. (6) Для нахождения нетривиальных решений уравнений (1) вида (4), удовлетворяющих граничным условиям (2), нужно найти нетривиаль- ные решения уравнения (6), удовлетворяющие условиям (2). Для значений А, равных (см. § 20, п. 1) Л”=(т)2 (п = 1>2,--), и только для этих значений, существуют нетривиальные решения Хп(х) задачи (6), (2) и при этом Значениям А — Хп соответствуют следующие решения уравнения (5): Tn(t) = апе~^паМ\ Тогда функции un(x,t) = Xn(x)Tn(f) = апе~^па'1^1 sm удовлетворяют уравнению (1) и граничным условиям (2) при любых постоянных ап. Решение уравнения (1), удовлетворяющее условию (3), ищем в виде формального ряда ОО оо д(т, t) = y~^un(a:,t) = ane~^na/l')2t sin (7) n=l Из (7) и (3) находим оо U0(x) = Qn Sin ——, n=l 0 б) Задача о температуре однородного стержня длиной I, боковая поверхность которого теплоизолирована, а на концах его происходит конвективный теплообмен со средами, имеющими соответственно по- стоянные температуры ui и ц2, сводится к решению уравнения (1) при начальном условии (3) и граничных условиях вида 2 Г 7V71X где ап = j I ио (ж) sin ——dx.
§ 20. Метод разделения переменных 255 Пу [ж—О ^-1 [^|ж=О ^1] — О, (®) ^а:|а:=/ 4" ^2 ^2] — О, где Ai >0, h2 > 0. Если hi = h2 = 0, то условия (8) принимают вид ^.т|.т О — ^х|ж=/ “ 0. (9) Условия (9) означают, что концы стержня теплоизолированы. Решение задачи (1), (3), (8) ищем в виде и(х, t) = д(т) + w(x, t), где v(x) — решение уравнения (1) (у"(х) = 0), удовлетворяющее гра- ничным условиям (8). Уравнение v"(x) = 0 имеет общее решение v(x) = Cix + С2. (10) Определяя Ci и С2 из условий (8), получаем /-» _ hi(u2 — ui) „ Ci C1 - hi+h2+hih2l’ C2 - U1 + h? (H) Функция w(x,t) удовлетворяют уравнению (1), начальному условию w|f=o = w|*=o - H*=o = u0(x) ~ v(x) = u0(x), (12) где v(x) определяется из формул (10), (11), и следующим однородным граничным условиям: (wx - hiw)x=0 = (wx + h2w)x=i ~ 0. (13) Решая задачу (1), (12), (13) методом разделения переменных, полу- чаем 2 2 wn(x, t) = Апе~а х^Хп(х), 2 где ^2 = hn (п = 1,2,...) — положительные корни уравнения 1 / h\h2l2 \ Хп(х) = cos х + hi sin ~ х. Тогда w(ar,t) = Лпе-а А"‘Хп(ж), Л=1 где коэффициенты Ап находим из начального условия (12), используя ортогональность функций Хп(х) на [0, Z]: i Ап = f й0(т)(у- cos х + hi sin dx, 0 1 2 ||ФПII2 = j (у- cos у- ar + Al sin у xj dx. о
256 Гл. VI. Смешанная задача 20.40. Дан тонкий однородный стержень 0 < х < I, боковая по- верхность которого теплоизолирована. Найти распределение темпе- ратуры и(х, t) в стержне, если: 1) концы стержня х = 0 и х = I поддерживаются при нулевой температуре, а начальная температура u|t=0 = uo(a:); рассмотреть случаи: а) ио(х) = А = const, б) ио(х) = Ах(1 — х), А = const; 2) конец х = 0 поддерживается при нулевой температуре, а на конце х = I происходит теплообмен с окружающей средой нулевой температуры, начальная температура стержня u|t=o = ио(х\, 3) на обоих концах стержня (х = 0 и х = I) происходит теп- лообмен с окружающей средой, а начальная температура стержня u|i=o = и0(х)-, 4) концы стержня (х = 0 и х = 1) теплоизолированы, а начальная температура u|/=o = ио = const; 5) концы стержня теплоизолированы, а начальное распределение температуры задается формулой и» = const, если 0 < х < М«=о = * i 0, если - < х < Г, изучить поведение и(х, t) при t —> оо; 6) концы стержня теплоизолированы, а 2до г, , . I —j— х, если 0 < х < -, I I 2 U|i=o ~ 2и0 . I ' . , —— (< — х), если - < х < I, где uq = const; найти lim uk, t). t—>oc 20.41. Решить следующие смешанные задачи: 1) Ui — 0 < X < 1, о — 0, 1 — 0, u|f=Q — Д' Д 2) Uxx = ut + u, 0 < X < l, и|ж=0 = u\x=l = 0, u|f=0 = 1; 3) ut = uxx - 4u, 0 < X < 7Г, и|ж=0 = u|a;=7r = 0, u|f=O = X2 - 7ГТ. 20.42. Дан тонкий однородный стержень 0 < х < I, боковая по- верхность которого теплоизолирована. Найти распределение темпе- ратуры и(х, t) в стержне, если: 1) концы стержня поддерживаются при постоянных температу- рах и|ж=о = «1, и|ж=; = U2, а начальная температура равна u|t=o = = ио = const; найти lim u(x,t); t—>oc 2) концы стержня имеют постоянную температуру и|ж=о = i = = Ui, а начальная температура задается формулой u|f=0 = и0(х) = Ах(1 - ж), где А = const; найти lim u(x,t); t—>оо
§ 20. Метод разделения переменных 257 3) левый конец стержня теплоизолирован, правый поддерживает- ся при постоянной температуре и|ж=( = Пг, начальная температура , А равна u|f—о = — х, где А = const; 4) левый конец стержня поддерживается при заданной постоянной температуре tz|a._0 = ц1; а на правый конец подается извне заданный постоянный тепловой поток; начальная температура стержня ?x|t=o = = по (ж). 20.43. Дан тонкий однородный стержень длины I, с боковой по- верхности которого происходит лучеиспускание тепла в окружающую среду, имеющую нулевую температуру; левый конец стержня поддер- живается при постоянной температуре п|ж=о = Щ. Определить тем- пературу и(х, t) стержня, если: 1) правый конец стержня х = I поддерживается при температуре п|а:=( = пг = const, а начальная температура равна u|(=0 = ио(х)- 2) на правом конце происходит теплообмен с окружающей сре- дой, температура которой равна нулю; начальная температура равна нулю. В задаче о распространении тепла в стержне, концы которого под- держиваются при заданных температурах, зависящих, вообще говоря, от t, граничные условия имеют вид u\x=o = ai(t), u\x=i = a2(t). (8а) В этом случае решение задачи (1), (3), (8а) можно искать в виде и = и + w, где функция w определяется формулой w = »i(t) + у х х («з(0 - ai(t)). 20.44. Найти распределение температуры в стержне 0 < х < I с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его правом конце х = I поддерживается температура, равная нулю, а на левом конце температура равна u|T=o = At, где А — const. Начальная температура стержня равна нулю. 20.45. Решить следующие смешанные задачи: 1) Uxx, О < X < I, их |а,—о —- lj — 0, u|f—о — 0; 2) ut = ихх + u + 2 sin 2х sin х, 0 < х < тг/2, пж|®=о = и|ж=7Г/2 = = w|t=o = 0; 3) Ut Uxx 2их + X + 2t, 0 < Т < 1, U|а,—о ~~ = t, u|f=o — = ех sin тгт; 4) ut = ихх + и — х + 2sin2а: cost, 0 < т < тг/2, tz|a;=o = 0, ^х!х=7г/2 5) ut = + 4и + т2 — 2t — 4т2£ + 2 cos2 т, 0 < т < тг, пж|®=о = 0, Uxlx=yr — 27Г£, о — 0, 9 - 1389
258 Гл. VI. Смешанная задача 6) щ — ихх+2их — и = ех sina: — t, 0 < х < тг, ц|ж=0 = 14-t, и[х=7Г = = 1 + t, u|t=o = 1 + ех sin 2х. 20.46. Решить следующие смешанные задачи: 1) Ut И'хх — Ti (2 i) 4" 2 COS i, 0 < Т < 7Г, Ux |х—о — t , Ux^x=7r — = t2, u|t=o = cos 2яг; 2) ut — ихх — 9и = 4 sin2 t cos За: — 9x2 — 2, 0 < x < д, = О, ^х1х=7г — 2тг, u|f—q — x 4~ 2, 3) щ = uxx 4- 6u 4- 2t(l — 3t) — 6x + 2 cos ж cos 2т, 0 < x < тг/2, иж|ж=о = 1, «|ж=тг/2 = i2+тг/2, u|i=o = ar; 4) ut = uxx + 6u + x2(l — 6t) — 2(t + 3ar) 4- sin 2т, 0 < x < 7Г, n^|z=0 — 1, ^a:|a:—тг — 2?ri 4“ 1, u|f~o = X\ 5) щ = uxx 4- 4ux 4- x — 4t 4-1 4- e~2x cos2 дт, 0 < x < 1, и|ж=о = t, u|x=i = 2t, u|t=0 = 0. Задача о распространении тепла в однородном шаре радиуса R с центром в начале координат в случае, когда температура любой точки шара зависит только от расстояния этой точки от центра шара, приводится к решению уравнения теплопроводности й=«2(й+??!) (И) dt удг2 г orJ при начальном условии u|t=o = щ{г). (15) Если на поверхности шара происходит теплообмен с окружающей средой нулевой температуры, то граничное условие имеет вид (иг 4- hu)\r=R = 0. (16) Полагая v = ги, получаем dv _ 2 d2v dt ~а д^’ (17) w|r=o = 0, 4- (h - i') nil =0, L \ It/ (18) n|i=0 = ru0(r). (19) Таким образом, задача (14)-(16) приводится к задаче (17)-(19) о распространении тепла в стержне, один конец которого (г = 0) под- держивается при нулевой температуре, а на другом конце (г = R) происходит теплообмен с окружающей средой (см. задачу 20.43). 20.47. Дан однородный шар радиуса R с центром в начале коор- динат. Определить температуру внутри шара, если: 1) внешняя поверхность шара поддерживается при нулевой тем- пературе, а начальная температура зависит только от расстояния от центра шара, т. е. u|t=o — ио(г);
§ 20. Метод разделения переменных 259 2) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона со средой, имеющей нулевую температуру, a it|t=o = = u0(r); 3) на поверхности шара происходит конвективный теплообмен со средой, имеющей температуру щ = const, а и|f=о — Uo = const; 4) внутрь шара, начиная с момента t = 0, через его поверхность подается постоянный тепловой поток плотности q = const, а началь- ная температура u|t=o = i'-o = const. 20.48. Дана тонкая квадратная пластинка (0 < х < I, 0 < у < I), для которой известно начальное распределение температуры гф=о = = по (ж, у). Боковые стороны х = 0, х = I и стороны оснований у = 0, у = I во все время наблюдения удерживаются при нулевой температуре. Найти температуру любой точки пластинки в момент времени t > 0. Нахождение решений задач 20.48-20.52 требует применения бес- селевых функций (см. с. 249). В частности, задача о радиальном распространении тепла в бес- конечном круговом цилиндре радиуса R, боковая поверхность которо- го поддерживается при нулевой температуре, приводится к решению уравнения ди _ 2 ( д2и 1 ди dt у дг2 г дг при граничном условии Мг=Л = ° (20) (21) и начальном условии u|t=o = Wo(r). (22) Применяя метод разделения переменных, найдем, что решение задачи (20)-(22) можно получить в виде СЮ n=l где цп — положительные корни уравнения Jo(p) = 0, а коэффициен- ты ап определяются из начального условия (22). 20.49. Дан неограниченный круговой цилиндр радиуса R. Найти распределение температуры внутри цилиндра в момент времени t, если: 1) на поверхности цилиндра поддерживается все время нулевая температура, а температура внутри цилиндра в начальный момент равна u|t=o = AJol^f-j, где — положительный корень уравнения Jo(p) =0; 2) поверхность цилиндра поддерживается при постоянной темпе- ратуре ио, а начальная температура внутри цилиндра равна нулю; 9*
260 Гл. VI. Смешанная задача 3) с поверхности цилиндра происходит лучеиспускание в окру- жающую среду, температура которой равна нулю, а начальная тем- пература равна u|t=o = w(r)- 20.50. Найти решение смешанной задачи — ^хх "Ь их ~ и 4- f (£) Ji (р&т), х где р& — положительный корень уравнения Ji(p) = 0, 0 < х < 1, Mz=oI < оо, и|ж=1 = 0, u|t=0 = 0, если: 1) /(i) = sint; 2) f(t) = e~f. 20.51. Найти решение смешанной задачи щ = urr + - ur +1 Jo(pir), r где pi — положительный корень уравнения Jo(p) = 0, 0 < г < 1, |u|r=0| < oo, u|r=i = 0, u|(=o = 0. 20.52. Решить следующие смешанные задачи: 1) ut = хихх + их - ^u + tJ, (jJ,kVx), где pj, — положительный корень уравнения Ji(p) =0, 0 < х < 1, |и|ж=о| < оо, 1/^=1 = 0, д|(=0 = 0. g 2) Ut — хихх их — и, 0 < х < 1, |и|ж=о| < ОО, и|ж=1 = О, u\t=o = J3 (^kVx), где pj, — положительный корень уравнения J3 (р) = 0. Ответы к § 20 „„ „ . , . . mix miat 20.1. 1) Asin —— cos — 32/г 52 1 . (2к + 1) тгж ТГ S (2ГПУ --------------- (2к + 1) Trot cos 1------------- к а з а- н и е. uq(x) = х(1 — х). 3) 2hl2 тг2с(1 — с) 52, 1 . ктгс . ктгх k-irat J^smTsmT№^ 8h 52 (~l)fc тг2 k% (2fc + IP . (2/г + 1)тга: (2k + l)irat X sin 1-------j-2--- COS 1-------r2----- при с = Указание. uq(x) — — при 0 < x < c; c z ч h(l - x) J Uo(x) — —--------- при C < X < I. I — c D
§ 20. Метод разделения переменных 261 (2к + 1) Trat Sin 1’ 2»-2- ТГ И Д; —О » ктга ктг/3 2Z«o oo cos —— cos —j— kivx kivat 2) тг2а S 1.2 fc=l K sm ~-p- sm —~l—: irka . тгкхо oo cos —j— sm —j— ivkx ivkat 3) —,—. .... _ > —.—.—,———.— sm —— тг2а к[1-(2акУ/1^] sm —j—. 20.3. 1) 22, (2fc + l)?rat , , . (2& + 1)тга£ Е ак cos ---------------+ bk sin 4------------ . (2k + 1) Tvx Sm 21 I 2 г , . . (2k + 1)ttx , , 4 г , . где ak = - Uo(x) sin i-------------—2—dx, bk = — / ui(x) x I J 21 Tra(2fc + 1) J 0 0 x sin ^2fc dx (Указание. д|ж=о = О, Дж|ж=/ = 0, u|*=o = = и0(х), u*|*=0 = Д1(ж).); 1 г 2) | f [u0(£)+tU1(£)]d£ + 0 ктих t t 2 г cos —— dx, bk — —r / Ui I nak J о Y, I Ofc COS —-------1- bk sin ——) cos ——, k=i ' * * ' 1 (x) cos dx (У к a- зание. Дж|ж=о = = 0, u|/=0 = u0 (x), u*|/=o = th (ж).); OO 3) (a„ cos A„af + sin A„af) cos Anx, где A„ (n = 1,2,...) — n=l собственные значения, а Xn(x) = cosA?1rc — собственные функции краевой задачи: Х"(х) + А2Х = 0, Х'(0) = 0, Х'(Г) + hX(l) — 0 (Ап — положительные корни уравнения tg XI = h/А), 0,1 1|Х„|р J h 1 п ||X„|paA, У ик(х) cos A, i х dx, о ИЛ2 = I h 1(Х2п + Л2) к Чгк=0 = о, Дж|ж=/ = -hu\x=i, h = —, где Е — &сг поперечного сечения стержня, к — ко- ^У к а з а н и е. модуль Юнга, а — площадь эффициент, характеризующий жесткость закрепления; д|<=о = ио(х), Щ |1=0 . (2fc+l) тг.т (2fc+l) 7rat яр/ 00 , sin --тр,- cos --тр.--- 20.4 . u(x,t) = ------2\2fc + 1)2 , где a - площадь поперечного сечения стержня, Е — модуль Юнга. Рх ди I Указание. д|ж=о = 0, их\х=[ = 0, u\t=o — — | ath = 0-
262 Гл. VI. Смешанная задача 20.5. i tvx . ivat 1 COS — Sin ——, а = —7=. 21 21 y/LC Указание. Сила тока i(x, t) удовлетворяет уравнению LCitt = = ixx, где L — самоиндукция, С — емкость, отнесенная к единице длины провода. Начальные условия имеют вид г|*=о = 0, it|t=o = EqTT 7ТХ . । __ .1 _ = — —— cos —, а граничные условия таковы: гж|ж=о = 0, г]х=1 = 0. ZtJj 21 л>2> оо (—l)fc sin cos тг-1 20.6. 1) bx(l - x) + —— V --------------—---------- (Указа- w fc=i н и e. Решение можно искать в виде и = v + w, где функция v = = bx(l — х) удовлетворяет неоднородному уравнению и нулевым граничным условиям, а функция w удовлетворяет однородному урав- нению, нулевым граничным и следующим начальным условиям: v|t=o = bx(x - I), г;*|*=о = 0.); 2 00 4 2) — t sin t sin x + V -——--------------r (cos t — cos kt) sin kx. tv *=2 fcir(l - fc2) A A 00 20.7. — £ k=0 (2k + 1) ira 07* = ------------ 20.8. u(x,t) — Mt, 1\ • л bi) . (2fc+l)Trat (2k + 1) sin - — sin-f(2k + 1) irx гда (2fc + l)2(p2 gx(2l — x) 16gl2 2a2 тг3а2 cos (2fc+1) irat . (2fc+l) 7ГЖ v 21 sin 21 k=0 (2fc + l)3 I Указание. Задача сводится к решению уравнения utt = । 9иI . ди виях: и|ж=0 = = 0, и|1=о = = а2ихх + g, где g — ускорение силы тяжести, при следующих усло- . = 0. Решение этой задачи dt 11=о можно искать в виде и = v + w, где и — Ах2 + Вх + С (А, В, С выбрать так, чтобы функция удовлетворяла неоднородному уравне- нию и заданным граничным условиям). 20.9. 1) ? + Е t k=i sin —— sin ——; 2) t + 1 + х(Р — t + 1)+ 6(-l)fc+1 J . (—l)fc12tl . , —. ------1 Sin IT kt + 1, > Sin 7ГКЖ. (irfc)2 7Г3К3 I sin 20.10. A — bJX sinc^i + • bJi I sm a 2Awa / J k=l / . i . kjrat . ктгх (—1) sm —j— sm -j— cj2 — (ктга/l)2 Указание. Задача сводится к решению уравнения utt = а2ихх при нулевых начальных и следующих граничных условиях: п|,т=о = О, г1|ж=г = Asinwi. Решение этой задачи искать в виде и = v + w, где
§ 20. Метод разделения переменных 263 v = X (х) sin ait. Функцию v подобрать так, чтобы она удовлетворяла уравнению и заданным граничным условиям. 20 11 u(xt}~Qx 8Ql Г ros(2fc + l)™t .(2^ + 1)^ 20.11. u(x,t) -Eax (2fc + i)2 cos -----sm----------, где E — модуль упругости, a — площадь поперечного сечения стержня. Указание. Задача сводится к решению уравнения иц = а2 *ихх при нулевых начальных и следующих граничных условиях: д|ж=о = О, их|x=i = -Q-. Положить и = v + w, где и = Ах (А выбрать так, чтобы функция v удовлетворяла заданным граничным условиям). . . . л„ sin— ж sin wt 20.12. u(x,t) = ------------+ v ' Ecrw cos w* a . (2/г+1)тг 2Aau> “ (-l)fc“12« sin -----21---x . (2fc + l)TTt + E<rl (2fc + l)TT cj2-[(2fc + l)7ra/(20]2 SmO 21 У казани e. Задача сводится к решению уравнения иц = а2ихх при нулевых начальных и следующих граничных условиях: д|ж=о — О, д|ж=г= si*1 Решение этой задачи можно искать в виде и = и + w, Еа где v = f(x) sin wi; f(x) выбрать так, чтобы функция и удовлетворяла уравнению и заданным граничным условиям. °° кпх 20.13. u(x,t) = e~at (аь cos/ifci + bk sinp^t) sin ——, где k=i 1 Рк — „2 2 i,2 а тг к .. ------------a. P 2 f . . . jrfcx , . a 2 j ак = 7 / u0(x) sm —— dx, bk = — ak + -— / I J I рк 1рк J о о клх . sin —j— ах. У Казани e. Задача сводится к решению уравнения иц + 2ащ — = а2ихх (а > 0 мало) при следующих условиях: д|ж=о = ц|ж=г = О, д|*=0 = Wo(z), Ut|t=0 = «1(ж). 20.14. 1) -А § cos (у(2к 4 VW + 4ф 2) _?£_ 52 , 1 ;3 [cos (2к + 1) t + —sin (2А: + 1) tl sin (2fc +1) ж; 7Г д.=0 “г L ZKtI J 3> ««-‘S (sU-* 4) . 2k + 1 2k + 1 sin —-— t cos----------- 2 ?r(2fc + 1) tacosAfci + J- sinAfci - 2] L Afc J sin ttkx, A* —
264 Гл. VI. Смешанная задача 20.15. 1) sin2Tcos2£ + £2 (—l)fc-Д-(1 — cos&£) sinfcr; k=i , ч t(1 — x) V—' ( u(x,t) = 2 ( i—л x о° г / 1 \1 2) — c*J-1 + е~*/2( cos//fc£ + -—sm^kt]I sin (2А + 1)тгх, где jt=o L ' /J Ck = (2fc +4l)V № = +W-J- OO У Казани e. Искать решение в виде ряда и(х, 0 — 52 х х sin/стгт. k=1 Замечание к 2). Можно искать решение в виде суммы и = = v + w, где функция v = |т(1 — х) удовлетворяет уравнению и заданным граничным условиям. Тогда cos/j,kt+ sinpjT | е~*/2 sin (2к + 1) тгт. 2-Рк / 20.16. 1) 2xt + (2е* — е~* — 3te-*) cost; 2) 3 + x(t + t2) + (5ie* — 8e* + 4t + 8) sin t; 3) x(t + 1) + f i e5*/2 — e*/2 + cos t; \5 5/2 4) xt + - e2t + — e5^ e~x sin 3т; \10 6 15 / 5) xt + (1 — e-t — te"*) cos 3т; 1 1 /2 6) о (e2* + e-2*) - - - - cos 2т; o 4 z 7) i sinT(ch3i — 1) + sin3T(chi — 1); 8) xt + (2e* - e2*) e~x sinT. „„ , _ . a?rv2 , . /га: . тгу 20.17. A cos-----ism — sm —. P P P 20.18. 3 cos \/51 sin x sin 2у + sin 5i sin 3x sin 4т/. (2/с4-1)тгж . (2Z4-1)7fw 1G4n2n2 00 sm ---------- sin -------- 20Л9- -------------------(2-fc + lj3(2* + l/- cos™^.^> где (2fc + l)2 (21 + l)2 p2 + g2
§ 20. Метод разделения переменных 265 20.20. 1) 2) 52 fa„cos ^at + bnsin at\ Jo(^\ где ______j v XL XL / \ 71, / R R ап = WWiS [ rfM Jo РЙ *, \ [ rF^ Jo dr R Ji (Un) J \ R / ap,nRji yP'n) J \ R / о 0 (p„ — положительные корни уравнения J0(p) = 0); oo г (HnL} з) w < RnJl(Rn) Л n=l где pn (n = 1,2,...) — положительные корни уравнения Jo(p) = 0. Гу к а з а н и e. Задача приводится к решению уравнения urr + i иг = 1 ( Г2 \ = — ии при условиях д|г=д = 0, |д|г=о| < оо; д|*=о = All - —), az \ R J А = const, щ | t=o — 0. При вычислении коэффициентов ряда (*) восполь- X X зоваться следующими формулами: J£Jo(£) d£ = xJi (х), \ о о = 2х2 Jo(ж) + (х3 — 4х) Ji(x).J. 20.21. 1) u(x,t) = [pfe4(2-p^)cospfct + p“2t2+p^4(p^-2)] J0(fikx) (Указание. Решение можно искать в виде и = v + w, где и = = (at2 + с) Jo(jJ.k%) — частное решение неоднородного уравнения, w — решение однородного уравнения, w|t=0 = -n|f=0, w*|t=0 = —д*|<=0.); 2) u(x,t) = (pj( - l)-1(cost + sint - cospfct - p^1 sinpiJ) Jo(nkX) (Указание. Решение можно искать в виде и = v + w, где v = (asint + bcost) Jofjtkx) — частное решение неоднородного уравне- ния, w = (A cos pjfct + В sin pfet) J0(pfe3:) — решение однородного урав- нения, w|f=0 = -v|f=0, Wt|f=o = -Tf|*=o-)- 20.22. 1) - 1- ’ 2 Jo (2а:) « “s2T 3) t - 1 + Jo^i^) cospit. 20.23. 1) 1 - L jo(1) cost; 2) cos2*; i n\ I 1 Q4. 1 </о(Зж) 2) 1 + _81П3^1--^]; 9 3) Jo(2x) _ . Jo(2) cos2t + Jo{p,\x) cos pit. 20.24. Jo (xy/3) Jo (2xy/2) —\ cos 2t ч--V—y=A Jo (v/3) Jo (2\/2) sin3t.
266 Гл. VI. Смешанная задача 20.25. ^(а1^) ЛР ^^2R2~a2rn)Ji(/J.ny где р — поверхностная плотность мембраны. У казани е. Задача сводится к решению уравнения Л- иц = urr + r-1wr + p-1 sinivt, 0 < r < R, a2 |w|r=ol < oo, «|г=л = 0, w|*=o = ut|t=0 = 0. 20.26. 1) Ji(pfcz) cospjJ + Ji(pma:) cospm£; 2) Jk(pkx) cospkt + p,;1 J1(p„lx) sin p„J,. 20.27. (1 + pfc)-1(e* - cos pkt - p,.1 sin pkt) Ji(pkx). 20.28. 9 Afi sin* + о A?i Л(3ж) sin3t 20.29. 1) (cospkt + p^1 sinpkt) J2(pkx)-, 2) Q cospkt + ^p^1 sinpkt^ J2(pkx). 20.30. 1) (p^2t — Pi3 sinpi i) J2(pix)-, 2) (p2 - l)-1(cos£ - cospkt) J2(p1x). 20.31. 1) p'1J3(p1a:) sinpkt; 2) (cospii + p^1 sin pii) J3(pia;). 20.32. 1) [pfc(l + pl)]-1 (sin pkt - рк cos pkt + рке~*) J3(p*z); 2) Гк 2 (2РГ2 + t - t2 - РГ1 sm^kt - 2p^2 cospkt) J3(pkx). 20.33. Jo (2ply/x) cosp^. У казани e. Полагая и = X(x) T(t), получить уравнения T” + Х2Т = 0. Уравнение (*) подстановкой г) = 2Ау/ж свести к уравнению Бесселя Х"(7]) + ^Х'(7])+Х(7])=0, имеющему общее решение Х(т]) = aJ0(t]) + bY0(r]). 1 оо Jo (Pnk/x/l) .. nt lr 20.34. - An —cos ^-7=-, где An = f u0(x) x 1 n=l (Гп) 2VI g x ^x’ 11п = 1,2,...) — положительные корни уравне- ния Jo(p) = 0.
§ SO. Метод разделения переменных 267 Указание. Задача приводится к решению уравнения utt = = а2(хих)х, 0 < х < I, а = yfg, при условиях |«|ж=0| < оо, «|ж=; = О, u|*=o = «o(z), «t|f=o = 0. 20.35. Е (A„cosaAnf + BnsmaXnt) Jo^Pnyj ], где Xn = ~ (?) ’ Л‘ = lJ2(pn) / J° (P"7? ) dXj Bn = aXnlJ?(Xn) fU1^ dx' p„ (n = 1,2,...) — положительные корни уравнения Jo(p) = О- Указание. Задача приводится к решению уравнения utt = = с?(хих)х + w2u, 0 < х < I, а = у/д, при условиях |«|ж=о| < оо, «|ж=г — О, 20.36. 20.37. 1) (4pf2t-8pr3 2) 4(p2 20.38. 20.39. u|*=o = Uo(x), «t|*=0 = Ul(z). — Jo (pfcx/ir)sin ^-t. Pk 4 sin Jo(piv/z); - 4)-1 (sint - 2pf1sin Jo(piy/x). — sin ^tJ2(p.kVx). Pk i — sin tJ3(p,!y/x). Pi 20.40. 1) £Опехр - n=l I V 1 7 если uq(x) = А = const, то оо 4^4 । u(x.t) = — > —----------- exp V ’ 7 7Г 2/c + l F k=Q „ I . 7VTIX 2 Г f \ . 7VTIX < sm-y, где ап = -Juq(x) sin-^ах] о f \ 2 \ (2& + 1)тга\ J . —I i г sin (2fc + 1) 7ГХ I если uq(x) = Ax(x — I), to u(x, t) 1 (2fc +1)3 exp / \ 2 \ Z(2/c4-l) 7rft\ ,1 . I ---—1 t > sm k=0 (2fc + 1) тгя: I ’ 2) 7 E Q» 2 ехр(-(^“г) 4 sin^p, где an = fu0(x) x I о-(<т+1)+рй I v I > J I J x sin dx, pn (n = 1,2,...) — положительные корни уравнения tg p = — —, ст = hl > 0 (Указание. Граничные условия имеют вид «|ж=о =0, (их + hu)\x=i = 0.);
268 Гл. VI. Смешанная задача X Mzi < • Р'П l Pn cos cy-+asin ‘ ----a(a + 2)+ti2-, где bn = ]Uo(x)x c, pn (n = 1,2,...) — положитель- ст = hl, u0(x) = u|t=0 Граничные условия имеют вид (их — hu)\x=0 = = 0.); 3) |Eh,exp{-(^) । P»^ :n cos —-1- ст sm ные корни уравнения ctg p = (Указание. — fax 4" I 4) Uq (Указание. Граничные условия имеют вид WaJ^-o — — '^xlx=l — 0-)i 5) g(_1} 2 77 к=0 ( \ 2 \ (2/с + 1) 7Го\ 1 ---------—I t > cos ио _ 4ио ’ Т Е к=0 (^Wexp f \ 2 \ 2(2& + 1)тга\ J —-----—I Г cos (2k + 1) ttx I ’ lim u(x,t) = —oo v ’ 2 ’ 2(2k + 1) утя? lim u(x, t) = >oo 2 Л ЙТТ ехр 20.41. 1) 1)П, } 713 ,^0(2n + 1)3 4 00 1 2> 3) -I 2n + l \2 2 ”) (2fc + 1) tt\ I / 2n +1 cos —-— тгт; 1 . (2fc + 1) 7ГХ +1 t > sin --------------------• со . Е° (2fe +1)2 ехр Г(2/= + I)2} sin (2к + 1) х. 2 I 20.42. 4 U2 - Ul 1) «1 + I . ттх sm —i~ ’ , 8Л/2 ~ 2) + -ZT Е 77 fc=o - 4ui 52 ехр -j к=о I з) и2 + 4(л~,12) 52 77 к=О WHFexpi f(2fc + l) 7To\ I . — । *----I t > sin (-l)fc 2АН-Т еХ₽ 9 00 1 + =- Е Ч(«о -«i)[i - (-1П + 71 п=1 п + (-l)"(«2~«o)} ехр lim и(х,t) — щ + (и2 — ui) у; t—>оо I ?2fc +1) 7га\ } . ------—I t > sin (2к + 1) тгя: I (2& + 1)тга; .. ( . ------, ^lim и(x,t) =Ui\ z \ 2 о /(2& + 1)тга\ .1 — з------------- t > COS \ 21 / J (2fc +1) ттх 21 1 I _ 8Л “ 2 OO 1 (2fc + I)2 eXp f \ 2 \ (2&+ 1) 7Tft\ I -----2Z-----I 4 cos (2k + 1) ttx 21 ’
§ 20. Метод разделения переменных 269 4) t + < К п=0 . (2п + 1) 7ГХ х sin ----, где 4 7Г2 (2п + 1) 7rui + Zg/fc (2rs + I)2 ехр '(271+1) тгаУ ) 27 J f 21 н и е. Граничные условия имеют вид и|,т=о = Щ, ких\ «2 sh х — ui sh (х — I) 20.43. 1) sh — I а х ехр { — (aXn)2t} sin где х sm —— ах (У нения 12 . (2п + 1) тгх , sin 1-----ах (Указа- = «)• f — - (~1)Пц2~Ц1 _i > 2^ I 7 1 71=1 \ 1 А„ 2 I 5 0 к а з а н и e. Задача приводится к решению урав- щ = а2ихх — h2u (*) при граничных условиях и|ж=о = Ui, д|ж=г = и начальном условии w|*=o = uq(x). Решение этой задачи искать в виде и(х, t) = v(x) + + w(x,t), где v — решение уравнения a2v"(x) — h2v = 0, удовле- творяющее заданным граничным условиям, a w(x,t) — решение уравнения (*) при нулевых граничных условиях и начальном условии О 'П ] X h ch — (I — х) + hi a sh — (I — x) °° 2) U1 -----a , J - 2u\a2 £ TI— 1 pn (pn ~h ) (a2//2 +h2) h ch — + hia sh — a a x [j(M2+fc2) + /li] exp{-(a2p2+/i2) 7}sinp„T, где (n = 1,2,...) — положительные корни уравнения tg /р = — -p- (Указание. Гра- 7ii ничные условия имеют вид д|ж=о = «1, (их + /iiti)|a:=z = 0. Решение искать в виде u(x,t) = д(т) + w(x,t), где д(т) — решение уравнения a2v"(x) — h2v = 0, удовлетворяющее краевым условиям v|,T-o = Wi> (ух + /11п)|ж=1 = 0, a w(x,t) — решение уравнения (*) (см. зада- чу 40.43,1)) при условиях w|j;=o=0, (wx+hw)\x-i = 0, w|t=o = — v(t).). ( /пттач2 ЛI . 787ГТ expCm *Л81П— . . Tr(2fc +1) cosAfcT, Afc =---------; 3) xt + 8ттгтеж~*-7г2*; 5) tx2 + i (e4* — 1) +1 cos 2т; Л*1~Х 2Ар 1 Л 20.44. At —----------— L "7 I’ I тг-’а2 пЛ ( 87 .°°. е“А?‘ 20.45. 1)« 1 + 2) tcosx + - (е-8* — 1) cos Зт; 4) х + 7sinT + - (1 — e~8t) втЗт; 6) t + 1 + (1 — e~l) ех sin х + ех~и sin 2т. 20.46. 1) xt2 + е* + sin t — cos t + e~~3t cos 2т; 2) t2 + 2e9* + (2t — sin 2t) cos 3т;
270 Гл. VI. Смешанная задача 3) х + t2 + | (е5* - 1) cosх + | (1 - е 3*) совЗт; О О 4) x2t + х + f (2^у_6 I1 - sin(2A: - 1) х, Cik-\ = ~ (к, -г — оо г тг \2/г + 1 5) t(x + 1) + е~2* Л [1 - е-(^2+4И] sintej k=l к тг +i —1—Y 2fc —3/ (o, c‘ = il(^_ + _L^ + _2_\ l тг \2m — 1 2m + l 2m —3/ если к = 2m, если к = 2m — 1. о oo R 20.47. 1) — 52 о?1(Г(7ГП“//?)'^ sin ZTT; an = I ruo(r) sin dr; XL J XL 9 OG 2 . , 2 ® R 2) — 52 Q« Л_|_п_2 2 e~(MnQ/R)2* sin an= fru0(r) sindr, Hr n=1 a(a + l)+fi^ R J R цп (n = 1,2,3,...) — положительные корни уравнения tg p = — —, ст = hR — 1 (<r > —1); 3) + 2(u! - u0) ^5- 52 (-l)nane"(a,,n/R)2< sin pn — поло- r n=i R жительные корни уравнения tg p = —a = hR —1 (a > -1), h — (J коэффициент теплообмена в краевом условии [ur + h(u — u1)]|r=fi = 0, а = vY»+<72 Pn[p2 + <т(а + 1)] ’ .. о/За2, 5г2-ЗЯ2 2R2\ °° e~^/R)2t 4) Uo + у 1 + ——----------52 —з---------sm к \ R 10Я г ) рй cos pn R = 1,2,3,...) — положительные корни уравнения tg р = р ( н и е. Задача приводится к решению уравнения (14) (с. 258) при гра- ничных условиях |w|r=o| < оо, «г|г=д = у. ). к а з а- 20.48. f f aj.fce-W02b2+^)*sin2^ sin^, j=i k=i 1 1 ajk = ff u0(x,y) sin sin dxdy. о о У казани e. Применить метод разделения переменных для урав- нения щ = а2 Ли при условиях и|ж=о — = п|у=о = «|у=г = 0, ti|*=0 = и0(х,у). 20.49. 1) Ae-^k/R)2t J0(^y, 2) п0[1 + 2 £ Jo^-/R) e-(o.^/R)2t n=l P-nJoyhn) ложительные корни уравнения Jo(p) = 0; , где рп (п = 1,2,...) — по-
§ S1. Другие методы 271 а*Дп -~(atln/R)2t Т (11пГ\ rt+h2R2 °к R )’ _ 1 йП “ -Ждп) где цп (п = 1,2,3,...) — положительные корни уравне- ния /iJo(m) + hRJo(pi) = 0 (Указание. Граничные условия имеют вид |u|r=о| < оо, (v-r + hw)|r=.R = О-)- 20.50. 1) (1 + ^)“1(е-д^ + P-k sin* - cost) Ji^rc); 2) (Rk ~ i)”1 (e”‘ _ e“^f) Ji(pikx). 20.51. \p^2t + /if4(e-pif - 1)] Jo(Mir)- 20.52. 1) (16/^4e-^‘/4 + 4/i~2t - 16/i“4) Ji^ky/x); 2) e'M^f/4 §21. Другие методы 21.1. Доказать, что задача utt = а2ихх, t > 0, x > 0; u|/=o — 0, Utlt~ о — 0, ^|а?=о — p(t) имеет единственное решение если g е С2 (t > 0), g(Q) = ff'(O) = ff"(0) = 0. 21.2. Доказать, что задача ии = a2tia;c, t > 0, re > 0; u|t=o = u0(rc), ut |t=o = ui(rc), w|x=o = о имеет единственное решение ' ж+at - [u0(rc + at) + До(гс - at)] + — J и1(£)^£, x > at, . . x—at “M = 1 а4+ж - [u0(rc + at) - Uo(at - rc)] + — J Ui(£)df;, x < at, если uq € C2 (x > 0), ui € C1 (rc > 0), uo(O) = Uq(0) = ui(0) = 0. Показать, что это решение можно получить из формулы Далам- бера (с. 137), если функции uo(rc) и Ui(rc) продолжить нечетным образом для гс < 0. 21.3. Доказать, что задача иа = а2ихх, t > 0, гс > 0; u|t=0 = 0, Ut|t=O = 0, Uajz—O = g(t) имеет единственное решение
272 Гл. VI. Смешанная задача О, и(х, t) = < -a J g(T)dr, > о если g € C1 (t > 0), g(0) = </(0) = 0- 21.4. Доказать, что задача Utt — U UXx у t > О, u|f=o = u0(rc), ut |f=o = Ui(ar), имеет единственное решение i [u0(z + at) + u0(x - at)] + | [uo(^ + at) + u0(at — re)] + x^-at J Wl (£)</£ + 0 > О; их | х=О ~ О xA-at J ul(£)d£, x—at u(x,t) = < 1 2а at~x f u^dt , х < at, о uo(O) = ui(0) = 0- Пока- если uq е С2 зать, что это решение можно получить из формулы Даламбера, если функции ио (ж) и Ui (ж) продолжить четным образом для х < 0. 21.5. Доказать, что задача Utt — а иХХ) u|t=o = 0, «t|t=o = О, имеет единственное решение t > О, О < х < 1\ w|x=O=ff(t), u|x=Z = O и п=О если g € С2 (t > 0), 21.6. Доказать, Utt u|t=o = u0(rc), имеет единственное решение t-- к а g(t) = 2nl\ x 2(n +1) I — I-g[t +----------*----- a / \ a a g(t), t > o, o, t < o, ff(0) = ff'(0) = <,"(0) = 0. что задача = a2uxx, t > 0, ut |t=o = ui(rc), «|а:=О = О, l(|x=I = О x±at 1 _ _ If — u(a;,t) = - [u(rc + at) + u0(x - at)] + — / ui(£)d£, x—at где функции uq(x), tzi(rc) — нечетные, 2/-периодические и совпадаю- щие с функциями uq(x), Ui(rc) при О < х < I, если ио G С'2[0,Z], Ki € С1 [O,Z], uo(O) = u0(l) = Ui(O) = иг(1) = Uq(O) = и'0'(!) = 0.
§ 21. Другие методы 273 В задачах 21.7-21.23 требуется доказать, что существует единст- венное решение поставленной задачи; найти это решение. 21.7. utt = о?иХх, t > 0, х > 0; u|t=o = 0, ut|t=o = 0, (их - 0и)\х=о = g е с1 (t > 0), ff(0) = ff'(o) = о. 21.8. utt — a?uxx, t > 0, x > 0; 4=o = u0(rc), ut|t=о = 0, (ux - (Зи)|ж=0 = 0, u0 e C2 (x > 0), 4(0) - /3u0(Q) = 0. 21.9. utt = d2uxx, t > 0, 0 < x < I', 0 — 0, W/|/=0 ” 0, ^xIx=0 —: p(Z)j ^xlx^= i — 0, 9 e C1 (t > 0), ff(0) = p'(0) = 0. 21.10. utt = atuxx, t > 0, 0 < x < Z; u|t=0 = U0(rc), Ut|t=o = Ui(rc), 4=0 = °, «ж|х=/=0, UO e c2([o,z]), Ui e СЧМ, 4(0) = 4(0) = 4(0 = 4(0 = 0. 21.11. utt — a2uxx, t > 0, 0 < x < I; w|f=0 = 0, — 0, д|а:=0 ~ ff(0> ^ж|а:=1 — 0, geC2(Z>0), p(0) = S'(0)=ff"(0) = 0. 21.12. utt = a2uxx, t > 0, 0 < x < Z; 4=o = u0(t), ut |t=o = ui(x), и|ж=о = 0, ux]x=t — 0, uq e C2([O,Z]), щеСЧМ), зд(о) = 4(0) = ui(°) = 4(0 = 4(0 = o. 21.13. uu = uxx, t > 0, x > 0; u|t=o = x2, ut\t=o = x, 21.14. utt = 4uxx + 16Z2, t > 0, x > 0; u|t=o = |z4, ut|t=o = 2sinrc, 21.15. Qutt = uxx, t > 0, x > 0; u|t=o = 27rc3, wt|t=o = 0, 21.16. uu — uxx + 2, t > 0, x > 0; u|t=o = я + cost, ut|t=o = 1> w|x=0 — t . 4=o = 4Z4- ^|x=0 ~ • Ux | я =0 — 1 ♦ 21.17. utt = uxx, t > 0, x > 0; u|f=o “ Ut|t=o ~ ux^x=о — cost.
274 Гл. VI. Смешанная задача 21.18. utt = 9ихх 4- ef, t > 0, х > О; u|t=o = 1 4- х, ut|t=o = 4— 3cos иж|ж=0 = 2 - cost. 21.19. utt = Зихх + 2(1 - 6t2) е~2з:, t > 0, х > 0; u|t=0 = 1, uf|f=0 = х, (их - 2и)\х=0 =-2 + t - 4t2. 21.20. utt = uxx, t > 0, x > 0; w|t=o = 0, ut|t-o = 0, (ux + и)|ж=о = 1 - cost. 21.21. utt = uXx + 4, t > 0, x > 0; u|f=0 = 1 - x, ut|t=o = 0, (ux + u)U=o = 1t2. 21.22. utt = uxx, t > 0, x > 0; u|/=0 — X j Ut|f=0 — 0» (ut q = 2t t . 21.23. 1) utt = uxx — 6, t > 0, x > 0; u|t=o = x2, ut |t=o = 0, (ut + 2uJ|a;=o = —4t; 2) utt = 4uxx 4-2, t > 0, x > 0; u|/=o 2 t, Uf|f—q — 2, (ut 4- о — 3t e . 21.24. Найти наибольшую область, в которой поставленная зада- ча имеет единственное решение, и найти это решение: 1) Utt — иХХ1 u|t=o = х3, utlt=o = 0 0 < х < 2, и|ж=о = t3, 0 < t < 2; 2) Utt — ихх, u|f=o = 2т3, ut|t=o =0, 0 < X < 4, u|t=3a: = о, 0 < х < 1. 21.25. Доказать, что задача иа = а2Ди, t > 0, |ас| > 1, х е Л3, u|f=0 = 0, ut|t=o = 0, и|(а.|=1 = g(t) имеет единственное решение u(a;,t) = < i-M а |т| > 1 4- at, 1 < |т| < 1 4- at, если g € С2 (t > 0), <?(0) = <?'(0) = <?"(0) — 0. Показать, что ес- ли g(t) — финитная функция, то и(х, i) = 0 для любого фиксирован- ного х, |т| > 1, при достаточно больших t. В случае, когда g(t) ф 0 при 0 < t < Т, g(t) — 0 при t > Т, найти момент времени tx, в который через точку х, |т| > 1 пройдет задний фронт волны. 21.26. Найти решение задачи Utt = a2£vu, t > 0, |т| > 1, х € R3; u|t=o = a(|^|), ut|t=o = /3(|ж|), 141^1=1=0,
§ 21. Другие методы 275 где а(г) е С2 (г > 1), (3(г) & С1 (г > 1), а(1) = 0, а"(1) + 2а'(1) = О, /3(1) = 0. Доказать, что если функции а(г) и /3(г) финитные, то u(x,t) = 0 для любого фиксированного х, |ж| > 1, при достаточно больших t. 21.27. Найти решение задачи иц — ки, t > 0, |rc| > 1, х е R3; u|/=o = O, ut|t=o = 0, где g G С1 (t > 0), р(0) = g'(0) = 0. Доказать, что если g(t) — финитная функция, то существует такая функция с(гс), что |и(ге,t)| < c(s)e-t, а для того чтобы u(x,t) = 0 для каждого фиксированного х, |т| > 1, при достаточно больших t, ОО необходимо и достаточно, чтобы J elg(t) dt = 0. о 21.28. Найти решение задачи utt = Дщ t > 0, |rc| > 1, х G R3; u|t=o = а(|ж|), ut|t=0 = /3(|я|), f^|w=1=0’ где a G С2 (г > 1), /3 G С1 (г > 1), а'(1) =/?'(1) = 0. Доказать, что если функции а(г) и ft (г) финитные, то существует такая функция с(х), что |и(х, £)| < с(х) е~1, а для того чтобы u(x,t) = 0 для каждого фиксированного ж, |.т| > 1, при достаточно больших t, ОО необходимо и достаточно, чтобы j гег[о:(г) — /3(г)] dr = 0. 21.29. Решить задачу 0 utt = ^и, t > 0, |т| > 1, х G Н3; (ди \ I ки + — I = q(t), к = const. дть/1 |ж|=1 Решить задачи 21.30-21.36. 21.30. ut = а2ихх + f(x,t), t > 0, х > 0; u|t=o = uo(rc), и|ж=0 = 0. 21.31. ut = а2ихх, t > 0, х > 0; u|t=o = O, u\x=0 = g(t). 21.32. ut — a2uxx, t > 0, x > 0; u|t=o = uo(^), иж|ж=о = 0. 21.33. ut = a2uxx, t > 0, x > 0; ^|t=0 — 0,
276 Гл. VI. Смешанная задача 21.34. ut = ихх, t > 0, ГС > 0; u|f=o = о, (a - иж)|ж=о = ff(t). 21.35. ut = atuxx, t > 0, x > 0; u|t=o = uo(rc), (ux ^^)|a:=0 — 0» II. 21.36. d2u d4u „ . -57T + тгт = °, t > dt2 dx4 > 0, x > 0; w|t=0 = uo(rc), |^l =0, и|ж=о = g(t), =0. dt lt=o ox21 x=o 21.37. Решить задачу Wf — СУ (rc) UXx j t > 0, X 0, где a(x) = а при x < 0, a(x) = b при x > 0; ^|t=0 ^(^), —0 — U | x=+01 ^,7'|,7=—0 = Ответы к § 21 21.7. 0 при х > at; —ае^х ае> J еа@тg(r) dr при х < at. i 0 21.8. - [ito(rc + at) + uq(x — at)] при x > at; i [u0(rc + at) + u0(at - re)] — J u0(€) eK d£ при x < at. о x 2nl\ ff.,x 2(n +1) Z\ . . >, J U------------) - J 11 +-----------— ) , где f (rc) = 0 [ \ a a ) \ a a ) 21.9. 1 при x < 0, f (x) = —a J g(r) dr при x > 0. 1 0 j x+at 21.10. - [tz0(rc + at) + tz0(rc - at)] + — J Ui(£)d£, где функции x—at йо(гс), tli(rc) четные, 2/-периодические и совпадающие с функциями 2 Uq(x), Ui(rc) при 0 < х < I. 21.11. £(-1)” g(t-~~)+g(t + -- П=:О ' О / \ О, 21(п + 1) а g(t) = о, t < о, g(t) = g(t), t > 0. 21.12. - [a0(rc + at) + tlo(я ~ at)] + — J Ui(£)d£, где функции x—at uo(x), Ui(rc) нечетные, совпадающие с функциями uo(^), и±(x) при О < x < l, а йо(х — I), ui(x — Г) —четные функции. 21.13. х2 +xt + t2.
§ 21. Другие методы 277 21.14. 4t4 + 4t2x2 + i х4 + sin2t sina;. Vi 1 21.15. 9xt2 + 27a:3 при x > - t; t3 + 27tx2 при x < -t. 21.16. x + t + t2 + cosx cost. 21.17. x + t при x > t; 2t + sin (x — t) при x < t. 21.18. x + 3t + e* — 3sint cos при x > 3t; 2a: + ef — 3 cos t sin при x < 3t. 21.19. l + xt + t2e~2x. 21.20. О при x>t; 1 — i e*~x — - [sin (a: — t) + cos (a: — t)] при x<t. 2 2 1 21.21. 1 — x + 2t2 при x > t; 2i2 — t — - (x — t)2 + е*~х при x < t. 21.22. x2 + t2. 21.23. 1) a:2—2t2; 2) 2 + 2t — x + t2 при x > 2t; xt — ^x2 + 2е1~х!2 при x < 2t. 21.24. 1) x3 + 3a:t2 при 0 < x + t < 2, 0 < x — t < 2; 3 a:21 + t3 при 0 < x + t < 2, —2 < x — t < 0; 2) 2ж3 + 6xt2 при 0<x + t<4, 0<ж — t<4; (x + i)3 + 8(x — t)3 1 2a[x[ 21.25. tx = T+ щ 1 ° 21.26. -j—r [(|a:| + at) a(|a:| + at) + (|sc| - at) o(|a:| - ot)] + |&|+af f при |a:| > 1 + at; |®{—at —!-7 [(|a?j + at) a(|a:| + at) - (2 - |a:| + at) ct(2 - |a:| + at)] + |a:' l^l+at + УТ7 [ при 1 < |a:| < 1 + at. Z<Gz|3y| J 2—|x|+at Де1 1 о 21-28- on КИ+ + + _ + 1 1 . kl+‘ + 2Ы f при И - 1 + f; w~f kl+t -L[(|a;| + t)a(|a;| + t) + (2-|a;| + t)a(2-|a;| + t)]+-i-i [ I Jt* I I Jy I J 2-|®|+t 2-|a:|+t — t—г el*!-*-2 f Ae4a(£) — 6(6)1 df при 1 < la:l < 1 + t.
278 Гл. VI. Смешанная задача 21.29. О при |rc| > 1 + t; t+i-и e(*+i)(|x|-t-i) j e^k+1^Tg{r}dT при 1 < |я| < 1 + t. о 21-30- (“^) ~“р + _J_ 17ЯШ /ехр (*-£П _ехр (_ 2ау/тг J J ^/t — т { у 4a2(t — r)J у 4a2(t — r)Jj 21.31. -^= f ехр [--£-} dr. 2а С я J т3'2 I 4а2т I О 1 J СЮ г 21 32 X f HnfrJ exn Г (s-£)21 Г (*+e)2l l /7/ 2aV^t J U°W[CXP 4a2t 4а21 21.33. --Ш ^Ш1 ехр V?r J Шт I 4а2т 0 v v J 21.34. —f siL^le~^/(^)dT + yJTT J yjT ° 2 f °° + -~j= ex J g(t — t) er J e~°2 da dr. О Vt+x/(2,/t) 21.35. 1 2а\/тг1 21.36. 1 2Vrt / U°(e) 0 cos h e+7?)2 , \ , 1 —--------hrAdridt. — cos (ж+£)2 _ 7Г 4t 4 — 2h J exp о Cr~£)2 _ тг 4t 4 . x r g(t — t) + 2^ / r3/2 C°S 4т 7Г 4 dr. f uo(Os exP о *• 2 21.37. 2ka (b + ka) у/тг f e-ed( при x < 0; /(2a\7t) ka b + ka x/(2bV~t) ZO r кау/тг J d^ > при x > 0.
Дополнение ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ §1. Метод характеристик Задача 1. Найти решение задачи Коши для уравнения У ^Ху “Ь 'У'УУ ~ И'У — (1) в полуплоскости у > 0, удовлетворяющее начальным условиям w|j7=i — 1 ж, Ду|у~ 1 — 3. (2) Решение. Сначала найдем общее решение уравнения (1) в полуплоскости у > 0. Для этого приведем уравнение (1) к канони- ческому виду. Характеристическое уравнение — y2dxdy + (dx)2 = 0 распадается на два уравнения dx = 0, — y2dy + dx = 0, для которых х = С, Зх — у3 = С являются общими интегралами. Следовательно, в уравнении (1) нужно сделать замену переменных £ = х, т) = Зх — у3. Тогда Uy — Зу u^j Uxy — Зу u^ Qy и^^у Иуу — Htw ^У^г) и уравнение (1) приводится к каноническому виду — 0. Интегрируя это уравнение, находим и = f (£) + р(т?) = f (ж) + д(3х — у3). Теперь воспользуемся начальными условиями (2): f(x) + д(3х - 1) = 1 - х, —3д'(3х - 1) = 3. Решая эту систему, получаем f (гс) = 2х + С, д(х) = — х — С. Следо- вательно, решением задачи (1), (2) является функция и(х,у) = 2х + С + (—Зх + у3 — С), т. е. и(х, у) = у3 — х. Задача 2. Найти решение задачи Гурса для уравнения Uxx “Ь 3uxy ^Uyy ^Х "Ь Ц'У — 0 (1) во всей плоскости, удовлетворяющее условиям ^|у=4.7' — 5т + С , и^у= — х — 1- (2) Решение. Найдем общее решение уравнения (1). Характерис- тическое уравнение (dy)2 — 3dxdy — 4(с/.т)2 = 0 распадается на два уравнения dy + dx = 0, dy — 4dx = 0, для которых у + х = С,
280 Дополнение у — 4х = С являются общими интегралами. Заменой переменных £ = у + х, т) = у — 4т уравнение (1) приводится к каноническому виду ~ §ип = 0- Интегрируя это уравнение, находим и = /(»?) е“4/5 + ff(£) = f (у - 4т) е-(у+а:)/5 + д(у + х). Воспользуемся условиями (2): f(0) е~х + о(5т) = 5т + е1, (3) /(—5т) + р(0) = 1. Решая эту систему, получаем f (т) = 1 — д(0), д(х) = х + ех/5 — — f(fi) е~х/ъ. Следовательно, д(т, у) = [1 - <?(0)] е-(а:+у)/5 + т + у + е<ж+»)/5 - f (0) Учитывая, что из системы (3) при т = 0 следует равенство f (0) 4- + ff(0) = 1, окончательно находим решение задачи (1), (2): и(х,у) = = т + у + Задача 3. Найти решение смешанной задачи для уравнения utt ~ 414^ = 6xt (1) в области т > 0, t > 0, удовлетворяющее условиям u|t=o = х3, ut |t=o = 0, д|ж=о = t3. (2) Решение. Общее решение уравнения (1) имеет вид д(т, £) = = f (т + 2£) + д(х — 2t) + xt3. Из условий (2) получаем /(т) + .?(т) = т3, т > 0, /'(я) -ff'fa) = о, f(2t) + ff(-2t) =t3, т > 0, t > 0. Из первых двух уравнений этой системы находим f(x) = -т3 + С, 1 <?(т) = - т3 — С, х > 0. Подставляя найденную функцию f (т) в тре- тье уравнение системы (3), получаем д(х) = -х3 — С, х < 0. Следо- 8 вательно, решением задачи (1), (2) является функция u(x,t) = < | (т + 2t)3 + | (т - 2t)3 + xt3, i (т + 2£)3 + | (т - 2t)3 + xt3, 2 8 т > 2t, т < 2t. Задача 4. Найти решение смешанной задачи для уравнения Quxx — 2 (1) в области т > 0, t > 0, удовлетворяющее условиям u|t=0=T + T3, Ut|t=o = -9т2, = t2 - 1. (2)
§ 2. Метод разделения переменных 281 Решение. Общее решение уравнения (1) имеет вид и(х, t) = = f(x + 3t) + g(x — 3t) + t2. Из условий (2) получаем f(x) + g(x) = x + x3, x > 0, 3f'(x) — 3g'(x) = —9т2, x > 0, (3) /(3t) + 5(-3t) - /'(3t) - p'(-3t) = -1, t > 0. Из первых двух уравнений этой системы находим /(т) = ~гс + С, 1 д(х) = — х + х3 — С, х > 0. Подставляя найденную функцию /(т) в 2 11 третье уравнение системы (3), получаем д'{х) — д(х) = С + - — - х, откуда д(х) = С^ех + х — С, х < 0. Из условия непрерывности 2 1 функции д(х) при х = 0 находим Ci = 0, т. е. д(х) = -х — С, х < 0. Следовательно, решением задачи (1), (2) является функция ( (х — 3t)2 + х + t2, u(x,t) = < I x + t2, x > 3t, x < 3t. § 2. Метод разделения переменных Задача 5. Решить смешанную задачу для неоднородного уравне- ния гиперболического типа Utt — ихх = 2 i, 0 < х < 1, t > 0 (1) при начальных условиях u\t=o = 0, - X (2) и граничных условиях ^|ж=о — 0, Ux |®=1 ~ t- (3) Решение. Подберем сначала такую функцию w, чтобы она удовлетворяла граничным условиям (3). Пусть, например, w = xt. Тогда Wtt — wxx=Q, w|t=o = 0, Wt|t=o=T. Следовательно, функция t) = t) — xt (4) удовлетворяет уравнению ^tt ^ХХ " (5) однородным граничным условиям 1>|ж=о = о, ^х |х = 1 — 0 (6) и нулевым начальным условиям v|t=0 = о, Vt\t^G = 0- (7) Применяя метод разделения переменных для решения однородного уравнения Vtt — vxx = 0 при условиях (6), (7), положим v(x, t) = — X(x)T(t). Приходим к следующей задаче Штурма-Лиувилля:
282 Дополнение Х"{х) + А2Х = О, Х(О) = О, Х'(1) = О. Решая эту задачу, находим ее собственные значения А„ = ~ + тгп, п = 0,1,2,..., и соответствующие собственные функции Хп(х) = sin Хпх. (8) Решение задачи (5)-(7) ищем в виде ряда ОО v(x, t) = ТП(У) sinAna:, (9) n=0 где Tn(0) = о, т» = о. (10) Подставляя v(x,t) из (9) в (5), получаем ОО E(T"W + x2Mt)) sinXnx = 2t. (11) п—0 Для нахождения функций Tn(t) разложим функцию 1 в ряд Фурье по системе функций (8) на интервале (0,1): ОО 1 = ^2 ап sin Апа:. (12) Так как ”=0 1 1 Г . 2 л j 1 У • х . 2 / sin Хпхах = -, то ап = / smXnxdx - —, J 2 J лп О о и из (11) и (12) получаем T"(t)+A2T„(t) = -^. (13) Ап Общее решение уравнения (13) имеет вид 4t Tn(t) — — + A sin Xnt + В cos Xnt. Используя условие (10), получаем В = 0, А = —'Х/Х^. Подставляя 4 Tn(i) = ТГ ” ТГ sinA«* в формулу (9) и используя (4), находим искомое решение зада- чи (1)-(3): то 1 и = xt + 4 — (Ant — sin Xnt) sin Ana:, x 7Г . n=0 где An = - + тгп. Задача 6. Решить смешанную задачу для неоднородного уравне- ния параболического типа Ut — ихх = t(x +1), 0 < х < 1, t > 0 (1) при начальном условии u|t=o = 0 (2) и граничных условиях
§ 2. Метод разделения переменных 283 Ux |т-=0 — t j ^|а:=1 — (3) Решение. Функция w — xt2 удовлетворяет краевым услови- ям (3), уравнению wt — wxx = 2xt и начальному условию w|t=o = 0. Поэтому функция 2 v = и — xt (4) удовлетворяет уравнению vt - vxx = (1 - х) t (5) и условиям w|t=o = 0, 1^=0 = 0, ц|ж=1 == 0. (6) Применяя метод разделения переменных для решения однородного уравнения Vt — vxx = 0 при условиях (6), положим v = X(x)T(t). Получим задачу Штурма-Лиувилля Х"(х) + Х2Х(х) =0, Х'(0) = 0, Х(1) = 0, собственными значениями которой являются числа Ап = + тт, п = 0,1,2,а собственными функциями — функции Хп(х) = cosA„rc. (7) Решение задачи (5), (6) ищем в виде v{x, t) = cosAna:. (8) n=0 Подставляя v(x, t) из (8) в уравнение (5), получаем £(T'(t) + AXW)cosAnT=(l-T)t. (9) п=0 Разложим функцию 1 — х в ряд Фурье по системе функций (7) на интервале (0,1): 1 — х = ап cos Хпх. (10) Так как 1 ” ° ап = 2 J(1 — х) cos А„т dx = , о то из (9) и (10) находим TlAt) + A^T(t) = (11) Решением уравнения (11) при условии Тп(0) = 0 является функция T„(t) = 2А“6 (е-А"( + А^ t — 1). (12) Из (4), (8) и (12) находим решение задачи (1)—(3): и = xt2 + 2 лп6 (е-А"‘ + X2t - 1) cos Апт, 7Г «=0 где An = - + im.
284 Дополнение § 3. Интегральные уравнения с вырожденным ядром Задача 7. Решить интегральное уравнение 9?(sc) = А / (х sin у + у cos х) <p(y) dy + a sin х + Ьх при всех допустимых значениях а, Ь, А. Решение. Обозначим C'i = f sin у • <p(y)dy, С2 = / УЧ>{у) dy, (1) (2j тогда уравнение (1) примет вид <р(х) = XCix + АС2 cos х + a sin х + Ьх. (3) Из (2) и (3) получаем 7Г C'i = j sin у (ХСДу + А6'2 cos у + a sin у + by) dy, —Я С2 = у (ХСху + ХС2 cosy + a sin у + by) dy, (4) (5) откуда находим Ci = XCi 2тг + атг + 2тгЬ, С2 = АС1^+а-2тг + Ь^. Систему (4) запишем в следующем виде: Ci(l — 2тгА) = атг + 2тгЬ, . 2тг3 _ 2тг3Ь —A—— Ci + С2 — 2атг Ч-—. О о Определитель Д(А) системы (5) равен Д(А) = 1 — 2тгА. Если Д(А) О, т. е. А ф —, то система (5) имеет единственное решение при любых а > 2*7Г И ,, атг + 2тг6 _ 2тг3А(атг + 2тг6) 2тг36 с‘ = Т^л’ Сг= зц-г,,» +^+-г- И Подставляя Ci и С2 из (6) в (3), найдем при х ф единственное Z7T решение интегрального уравнения (1). Пусть А = ", тогда система (5) примет вид Ci 0 = (а + 2Ь) тг, ~ Ci + С2 = 2атг + О о Система (7) имеет решение тогда и только тогда, когда выполняется условие (7)
§4- Вариационные задачи 285 а + 2Ь = 0. (8) Условие (8) является необходимым и достаточным условием разре- шимости уравнения (1) при А = 2-. Здесь ---------характеристическое 27Г 27Г число интегрального уравнения 7Г ip(x) = X J (rcsiny 4- у cos х) <p(y)dy. Общее решение однородной линейной системы С1 о = о, 7Г2 -yCi + G = 0, соответствующей системе (7), имеет вид тг2 Ст = С, С2 = у С, где С — произвольная постоянная. В качестве частного решения системы (7) можно взять С? = 0, С2 = 2атг - Поэтому общее решение системы (7) имеет вид 7Г2 Ст = С, С2 = ~ .2 (9) Подставляя Ст и С2 из (9) в (3), найдем все решения уравнения (1) при А = — при условии (8). Эти решения можно записать формулой 2тг .2 v(t) = (а - |) т 4- 4 где А — произвольная постоянная. a sin х, § 4. Вариационные задачи dxi dx2 (1) G Задача 8. Найти минимум функционала I(v)= [ |gradv|2 4- . среди функций, принадлежащих классу C'1(Gf) х = (ti,t2). Решение. Известно, что существует функция € е C1(G), дающая минимум функционалу (1). Функция v0(x) является решением краевой задачи 2 , til |ж|—3 0, записав лапласиан в полярных координатах, получим
286 Дополнение (тигу = 2, и||г|=1 = и||г|=з = 0. (2) 4 Решением краевой задачи (2) является функция vq = 2(г — 1) — j— In г. Так как «о не зависит от 9?, то Тогда 2тг 3 х 0 1 —— ~ 1) —— In г] - > т dr dtp = In 3 г / L ' 1пЗ J г J 3 = 2тг 1 Д + _^1 + 8г_8_ In 3 In2 3 г 16 1 А ;-- 1П Г I dr = 1пЗ / з — 2тг /*(12г--^-8+-^----^1пг)</г = 32тг(-^--1). J \ 1пЗ 1п23 г 1пЗ 7 \1пЗ 7 1 Итак, минимум функционала (1) равен 32тг Гг—“ 1\
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функ- ции. — М.: Наука, 1974. 2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгеб- ры. — Изд. 8-е. — М.: Физматлит, 2000. 3. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985. 4. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физи- ки. — М.: Физматлит, 2000. 5. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производ- ных. — Изд. 2-е. — М.: Наука, 1983. 6. Никольский С. М. Курс математического анализа. — Изд. 5-е. — М.: Физматлит, 2000. 7. Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.-СПб.: Физматлит. Невский Диалект. Лаборатория Базовых Знаний, 2000. 8. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. — Изд. 3-е. — М.: Наука, 1989.
Учебное издание БАШАРИН Анатолий Алексеевич, ВЛАДИМИРОВ Василий Сергеевич, КАРИМОВА Хуршит Хусниевна, МИХАИЛОВ Валентин Петрович, СИДОРОВ Юрий Викторович, ШАБУНИН Михаил Иванович СБОРНИК ЗАДАЧ ПО УРАВНЕНИЯМ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Под редакцией В. С. Владимирова Издание третье, исправленное Редактор Е. Ю. Ходан Корректор Л. Т. Варьяш Оригинал-макет Л. К. Попковой ПР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 22.02.2001. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 18. Уч.-изд. л. 19,8. Тираж 5000 экз. Заказ № 1389 Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117864 Москва, Профсоюзная ул., 90 Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099 Москва, Шубинский пер., 6